ЬЕСТ1Л*Е8 (Ж
К1Ы08 АЫО М001Л.Е8
ТОАСНШ ЬАМВЕК
МсОШ 11п№ег8Иу
ВЬА130ЕЬЬ РОВЫ8НШО СОМРАNУ
А БШЗКЖ ОР ОINN АN^ СОМРАИУ
МАЬТНАМ, МА88АСНи8ЕТТ8 • ТОКСЖТО • ЬСЖБСЖ
1966

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
И. ЛАМБЕК
КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Перевод с английского
А. В. МИХАЛЁВА
Под редакцией
Л. А. СКОРНЯКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1971

УДК 519.49
Книга является введением в теорию колец и
содержит элементы гомологической алгебры.
Несмотря на небольшой объем, она включает в себя
не только основные результаты из этой области,
но и полученные в последнее время результаты,
связанные с кольцами частных. Для книги характерны
систематичность и аккуратность изложения, выбор
наиболее естественных и быстро приводящих к цели
доказательств.
Книга предназначена прежде всего для
алгебраистов, но математики других специальностей
найдут в ней много интересного. Она будет полезна
студентам, аспирантам и преподавателям
пединститутов, университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
ы 2-2-3
Инд Пи^тТ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
За последнее десятилетие за рубежом появилось
довольно много книг, посвященных теории колец и.
модулей, например Беренс A965), Кертес A967),
Пирс A968), Рибенбойм A969), Са Чин-хан A967),
Херстейн A968). При этом ни один из авторов не
стремился написать всеобъемлющую монографию,
подобную замечательной работе А. Г. Куроша по
теории групп, а концентрировал свое внимание вокруг
тех или иных специальных вопросов. С другой
стороны, каждый из авторов стремился сделать свою
книгу замкнутой в себе, что заставляло его излагать
основы теории колец. И это изложение занимало
большую часть объема. По этому же плану построена
и предлагаемая вниманию читателя книга Ламбека.
Следует только подчеркнуть, что русский читатель не
избалован изложениями основ теории колец: с
радикалом Джекобсона он может ознакомиться, пожалуй,
только по его «Строению колец» A962).
Каковы же специальные вопросы, привлекающие
внимание Ламбека? В первую очередь, это кольца
частных. Кроме того, можно назвать плоские модули
и групповые кольца (последним посвящено
дополнение, написанное Коннелом). Следует отметить, что
в последние годы теории колец частных посвящены
многочисленные работы. Обзор этих результатов (без
доказательств) дан в статье В. П. Елизарова A969).

6
Предисловие редактора перевода
Таким образом, книга Ламбека дает еще одну
возможность изучить основы теории колец, причем
предлагаемое изложение более доступно для начинающего,
чем изложение у Джекобсона. Несомненный интерес
представляет и компактное изложение вопросов,
относящихся к теории колец частных. Полезные факты
сообщаются в разделах, касающихся плоских
модулей и групповых колец.
При подготовке русского издания исправлены
неточности, имевшиеся в английском тексте. В этой
работе существенно помогли замечания проф. Ламбека,
которому переводчик и редактор перевода весьма
благодарны. Список литературы дополнен
монографиями и обзорами по теории колец и модулей,
имеющимися на русском языке. При ссылках на
литературу, имеющуюся в русском переводе, мы указываем
страницы и год русского издания.
Л. А. Скорняков

ВВЕДЕНИЕ
Эта книга рассчитана на аспирантов, а также на
подготовленных студентов, желающих познакомиться
с ассоциативными кольцами и модулями над ними.
(Все кольца предполагаются имеющими единицу,
поскольку если опустить это условие, то за достигнутую
таким путем общность придется платить усложнением
изложения.) В книге затронуты разные темы, однако
мы не считаем, что хотя бы по одной из них сказано
последнее слово. Некоторым областям, в разработке
которых автор лично участвовал, отводится больше
места, чем другим. По сравнению с более ранними
книгами на эту тему несколько более заметное место
отведено «кольцам частных» в том виде, как они
появились в работах Джонсона, Утуми, Голди и
Других.
В вводной главе (гл. 1) делается попытка
изложить основные понятия алгебры с тем, чтобы сделать
изложение замкнутым в себе. Глава 2 содержит
избранные результаты, касающиеся булевых колец и
других классов коммутативных колец. Впрочем,
некоторые из этих результатов доказываются далее в
большей общности. В гл. 3 излагается классическая
структурная теория ассоциативных колец (лишь то,
о чем можно рассказать без понятия инъективности).
В гл. 4 подробно рассматриваются инъективные
модули и кольца частных. В гл. 5 содержится введение
в гомологическую алгебру, высшей точкой которого
является новая техника диаграммного поиска.
Мои представления о предмете менялись в
процессе написания книги, и вполне вероятно, что сейчас
я бы скомпоновал материал по-другому. Однако я

8
Введение
воздержался от чрезмерных переделок, опасаясь
нарушить непосредственность изложения. Я также
сожалею, что в книгу не удалось включить многие
важные темы, в том числе тела, группу Брауэра, квази-
фробениусовы кольца, полиномиальные тождества,
ультрапроизведения, прямые и обратные пределы,
гомологическую размерность.
Читателю рекомендуется не так уж неуклонно
следовать порядку изложения, а перескакивать
вперед и назад в соответствии с его интересами и
успехами в понимании материала. Некоторые
предварительные сведения могут быть пропущены более
подготовленным читателем, с тем, чтобы вернуться к ним
лишь в тот момент, когда они понадобятся. Это
относится, например, к гл. 1, § 2.1, 2.2. Некоторые
вопросы, хотя и представляющие особый интерес для
автора, при первом чтении можно опустить,
например § 2.3—2.5, 4.3—4.7 и приложение 1.
Я многим обязан Цассенхаузу и Хигману, лекции
которых по теории колец я посещал много лет назад.
Естественно, ни в какой степени их нельзя считать
ответственными за недостатки этого текста.
В основных чертах изложенный материал дает
представление о содержании курса по теории колец
для аспирантов, читавшегося в Мак-Гильском
университете в 1962—1963 гг., и части курса по
гомологической алгебре. Часть книги была написана в
Летней школе Канадского математического конгресса.
Часть материала возникла в результате давнего
сотрудничества с Финдлеем. Приложение 3 было
любезно написано Коннелом.
Мне хочется поблагодарить моих студентов и
коллег за их стимулирующий интерес и поддержку.
Я особенно благодарен за проверку отдельных
разделов рукописи Армстронгу, Мире Бхаргаве,
Розмари Бонюн, Марте Бунге, Бергесу, Бушу, Коннелу,
Фейту, Клейнеру, Дане Шломьюк, Сторреру, Утуми и
Диане Уай.
Монреаль, Канада
Иоахим Ламбек

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
§ 1.1. Кольца и связанные с ними
алгебраические системы
Начнем с ряда определений, скорее из желания
добиться полноты изложения и уточнить используемые
обозначения и понятия, чем из стремления ознакомить
читателя с новыми вещами.
Полугруппой называется система E,*), где 5 —
множество и —бинарная операция на 5, для
которой справедлив закон ассоциативности
(а • Ъ) • с = а • (Ь • с).
(В таких случаях подразумевается, что тождество
справедливо при всех а, Ь, с из 5.) Обычно мы будем
опускать знак • и писать просто аЬ вместо а* Ь.
Полугруппа с 1 (часто называемая также моноидом) —
это система E, 1, •), где E, ^ — полугруппа, а 1 —
отмеченный элемент множества 5 (его можно
рассматривать как 0-арную операцию),
удовлетворяющий тождеству
а\ =а= 1а.
Группой называется система E, 1-,-1, •), где E, 1,-) —
полугруппа с 1, а ~1 — такая унарная операция, что
аа~г = 1 = а~га.
Согласно традиции, символ операции -1 пишется после
аргумента. Абелева группа — это группа, в которой
справедлив закон коммутативности
аЪ = Ьа.
Абелеву группу часто записывают аддитивно:
E,0,—,+). Однако символ + никогда не
опускается, а — пишется перед аргументом.

10 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
Кольцом (ассоциативным и с 1) называется
система E,0,1,—,+,-•)» где E,0,—,+)—абелева
группа, а E,1,*)—полугруппа с 1,
удовлетворяющие законам дистрибутивности
а (Ь + с) = аЬ + ас, (а + Ь)с = ас + Ьс.
Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором
справедлив закон аЪ = Ъа. Элемент 1 в кольце
называют единицей. Следует предостеречь читателя:
многие авторы не предполагают существования единицы
с кольце.
Введенные алгебраические системы задавались
как множества с некоторыми операциями @-арными,
унарными, бинарными, ...), удовлетворяющими
некоторым тождествам. Класс всех систем с данным
множеством операций, удовлетворяющих данному
множеству тождеств, назовем многообразием1).
Многообразиями являются, например, класс всех групп и
класс всех колец.
Телом называется кольцо, в котором
0=тИ&Уа#сД, (аЬ=1&Ьа=1).
Коммутативное тело называется полем.
Класс тел не был задан как многообразие. Более
того, как мы увидим позже, он и не может быть так
задан.
Иногда предлагают включать в определение
кольца условие 0=М. При добавлении этого постулата
мы потеряем лишь одно кольцо (нулевое), но кроме
того, мы лишимся полезной возможности
рассматривать класс колец как многообразие.
Упорядоченным множеством (иногда говорят
«частично упорядоченным») называется система E, <С),
где 5 — множество, а •< — бинарное отношение на
множестве 5, удовлетворяющее законам
рефлексивности, транзитивности и антисимметричности:
а<|а, (а<6&6<с)#а<с, (а^.Ь&Ь ^а)=Фа = Ь.
*) Автор использует термин «эквационально определенный
класс» ^иа1юпа11у (ЗеПпес! с1а$5). В русской литературе
употребляется также термин «примитивный класс». — Прим. перев.
и ред.

§ 1.1. Кольца и связанные с ними алгебраические системы 11
(Универсальные кванторы подразумеваются.)
Заметим, что ^С является отношением, а не операцией, и
постулаты для упорядоченного множества являются
импликациями, а не уравнениями. Упорядоченное
множество называется линейно упорядоченным, если
для любых двух элементов а и Ь имеет место либо
а^СЬ, либо Ь^Са. Полуструктурой называется
упорядоченное множество, в котором для любых двух
элементов а, Ъ существует точная нижняя грань, или
1п! (от «тНтшп») а/\Ьх). Таким образом,
полуструктура является системой E, <1, Л), где E, <!) —
упорядоченное множество, а Л—бинарная операция,
удовлетворяющая следующему условию:
КаЛ&ОК^Кй). A)
Очевидно, линейно упорядоченное множество
является полуструктурой.
Рассмотрим несколько примеров упорядоченных
множеств:
Пример . 1. Положительные целые числа с
отношением «меньше или равно».
Пример 2. Положительные целые числа с
отношением «делит».
Пример 3. Множество всех подмножеств
множества N (пусть, например, N — множество
положительных целых чисел) с отношением включения
«содержится в».
Лишь первое из этих множеств линейно
упорядочено. Однако все три множества являются
полуструктурами и точная нижняя грань двух элементов
является их минимумом в первом случае, наибольшим
общим делителем во втором и пересечением в
третьем.
Предложение 1. Класс полуструктур может быть
определен как многообразие всех полугрупп E, Л),
1) Точная нижняя грань а Л Ь определяется условием с ^
<аЛ&ФФ(с<я&с<6). — Прим. ред*

12 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
удовлетворяющих законам коммутативности и
идемпотентности:
а /\Ъ = Ь А а, аАа = а.
Доказательство (набросок). Если
операция Л удовлетворяет условию A), то выполнение
законов ассоциативности, коммутативности и
идемпотентности для Л легко проверяется; следовательно,
справедливо утверждение
а<6ффаЛ6 = а. B)
Обратно, можно использовать B) для определения
отношения ^С в полугруппе E, Л) и без труда
доказать выполнение законов рефлексивности,
транзитивности и антисимметричности, а также условия A).
Структурой называется система E, <, Л, V), в
которой для любых двух элементов а и Ь существует
точная нижняя грань аАЬ и точная верхняя грань,
или зир (от «зиргетит») а\/Ъх). Ясно, что линейно
упорядоченное множество является структурой,
причем а А Ь = а или Ь и а V Ь = Ъ или а. Структура
с 0 или 1—это структура, в которой всегда
0<а, а<1.
Элемент а' называется дополнением элемента а, если
аЛа' = 0, а\/а/=1.
Если каждый элемент обладает дополнением, то
говорят, что E, ^, Л, V)—структура с
дополнениями. Структура называется дистрибутивной, если
аЛ(Ь\/с) = (аЛЬ)У(аЛ о).
Заметим, что дополнения в дистрибутивной структуре
(если они существуют) определены однозначно.
Действительно, пусть а/ и а* —дополнения элемента а.
Тогда
а* = а* А 1 = а* А {а V О = (а* Л а) V {а* А а') =
= 0У(а*Ла') = а*Ла'= ... =а'.
1) Точная верхняя грань а\/Ъ определяется условием с^
>аУ Ь 4Ф (с ^ а & с ^ Ь). — Прим. ред.

$ /./. Кольца и связанные с ними алгебраические системы 13
Нетрудно заметить, что в дистрибутивной структуре
справедлив также и дуальный закон
дистрибутивности
аУ(Ъ Лс) = (а\/Ь)Л(аУсI).
Опять прервем изложение и обратимся к нашим
трем примерам. В действительности все три
множества являются структурами, где точная верхняя
грань двух элементов определяется соответственно
как максимум, наименьшее общее кратное и
объединение. Каждый из этих примеров дает нам
дистрибутивную структуру, но лишь третий из них —
структуру с дополнениями. Для того чтобы читатель не
сделал отсюда вывод, что все упорядоченные
множества являются дистрибутивными структурами, ему
предлагается придумать самому ряд контрпримеров.
Читатель, возможно, пожелает также рассмотреть
следующие примеры дистрибутивных структур: все
конечные подмножества множества N с отношением
«содержится в», все бесконечные и пустое
подмножество множества N с отношением «содержит».
Вот несколько других примеров дистрибутивных
структур с дополнениями:
Пример 4. Все делители данного
положительного целого числа, не делящегося на квадрат целого
числа, большего 1, с отношением «делит».
Пример 5. Все конечные подмножества и
дополнения конечных подмножеств множества N с
отношением «содержится в».
Пример 6. Все подмножества множества N «по
модулю» конечных подмножеств (т. е. мы
отождествляем два подмножества множества N тогда и
только тогда, когда они отличаются лишь на
конечное множествоJ).
*) (а V Ь) Л (а V с) = ((а V Ь) Л а) V ((а V Ь) Л с) =
= а V (Ь Л а) V {а Л с) V (Ъ Л с) = а V (Ь Л с). - Прим. ред.
2) Здесь предполагается, что класс % содержится в классе 83,
если найдутся множества Ле! и В е 35, такие, что А ^ В. —
Прим. ред.

14 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
Булевым кольцом называется кольцо,
удовлетворяющее закону идемпотентности
аа = а.
Булевой алгеброй называется система E,0,', Л),
где E, Л) — полуструктура, 0 — элемент в 5 и '—
унарная операция, причем
аАЬ' = 0$$аЛЬ = а (ффа<6).
Следующие два предложения показывают
совпадение классов дистрибутивных структур с дополнениями,
булевых алгебр и булевых колец. Сначала нам
понадобится
Лемма. В любой булевой алгебре а" = (а')' = а.
Доказательство. Из соотношения а'¦<а'
вытекает равенство а/ А а" = 0, откуда а" < а. Из
этого следует, с одной стороны, что а'"^Са/
(заменяем а на а') и, с другой стороны (заменяем а на а"),
что а"" < а" < а. Отсюда а"" Л а' = 0, поэтому
а'4^а'". Таким образом, а'" = а'. Наконец, из а<а
вытекают равенства а Л а"' = а Л а' = 0, поэтому
а<а".
Предложение 2. Булева алгебра является
дистрибутивной структурой с дополнениями, если
определить
а\/Ь = (а'ЛЬ'У и 1=0'.
Наоборот, любая дистрибутивная структура с
дополнениями является булевой алгеброй, в которой эти
равенства выполнены тождественно.
Доказательство. Пусть E, 0,', Л) — булева
алгебра. Тогда
аУЬ^с&{а' АЬ'У Лс' = 0&с'^а' ЛЬ'&
Таким образом, а V Ь является точной верхней
гранью элементов а и Ь. Следовательно, мы получим

§ 1.1. Кольца и связанные с ними алгебраические системы 15
структуру. Кроме того,
аА(Ь\/с)^х&аА(ЬУс)Ах' = 0&аАх'^Ь'Ас'<&
&а Лх' ^Ь'&а Лх'^с'&
&аАх'АЬ = 0&аАх'Ас = 0&
€$аАЬ^х&аАс^х€$
<Й>(аАЬ)У(аАс)^х.
Таким образом, справедлив закон дистрибутивности.
Наконец, а! является дополнением элемента а, так
как а Л о! = 0 (это следует из того, что а «< а) и
а-у а' = (а' Л а")' = (а7 Л а)' = 0' = 1.
(Читателю следует проверить, что 0-<а и а-<1.)
Обратно, пусть E,0,1/, Л, V)-—дистрибутивная
структура с дополнениями. Тогда из соотношения
а А Ь' = 0 следует, что
а = аА1=аА{ЬЧЬ') = (аАЬ)\/(аАЬ')~аАЬ,
а из равенства а А Ъ = а вытекает, что
адб' = ад&л&' = аЛ0 = 0.
Кроме того,
(аУЬ)А(а'АЬ') = (аАа'АЬ')У{ЬАа'АЬ') = 0\/0 = 0
и
(а V *) У(а'А У) = (а V Ь V а') Л (а V Ь V 6') = 1 V 1 = 1.
Следовательно, а' АЪ' является дополнением
элемента а V Ь. В силу единственности дополнения
а!АЪ' = (а\/Ьу\ Аналогично, из соотношений 0 Л 1 =0
и 0 V 1 = 1 вытекает, что 1=0'.
Следствие. Если E,0/, Л) — булева алгебра, то
булевой алгеброй является и E, 1,', V).
В этом случае каждая из булевых алгебр
называется дуальной по отношению к другой.
Предложение 3. Булева алгебра E, 0,', •)
превращается в булево кольцо E,0,1,—,+,•)» если
положить 1 = 0', —а « а, а + Ь = аЬ' V Ьа\ где, как и

16 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
раньше, а У Ь = {а'Ъ'у'. Обратно, любое булево
кольцо можно рассматривать как булеву алгебру с а' =
= 1—а, а приведенные выше определения 1, — и +]
превращаются в тождества.
Для упрощения формулировки этого предложения
мы употребили запись аЬ вместо а Л Ь.
Доказательство очевидно и опускается.
Рассмотрим упорядоченное множество E, ^С).
Элемент 5 множества 5 называется верхней гранью
подмножества Т множества 5, если /<^5 при всех
(бГ, и точной верхней гранью, если 5<^' для
любой верхней грани $' подмножества Т. Если 5 и 5х —
точные верхние грани подмножества Г, то 5^5Г и
$'^5, следовательно, 5 = $'. Таким образом,
точная верхняя грань подмножества Т множества 5
определена однозначно, если, конечно, она существует.
Обозначим ее через вир Т. Очевидно, что каждый
элемент множества 5 является верхней гранью пустого
множества. Если множество 5 содержит наименьший
элемент 0, то 0 является точной верхней гранью
пустого множества. Если I и I' — элементы множества 5,
то точная верхняя грань множества {I, V) совпадает
с элементом I V 1Г, где V—структурная операция,
рассмотренная ранее. Нижняя грань и точная
нижняя грань (тГ) определяются дуально1).
Упорядоченное множество E, «<) называется
полной структурой, если для каждого подмножества 5
существует как точная нижняя, так и точная верхняя
грань. Достаточно постулировать существование
точной нижней грани для любого подмножества
множества 5. Действительно, точную верхнюю грань
подмножества Т можно определить в этом случае как
точную нижнюю грань всех верхних граней,
вир Г = 1п! {$ е 5 | У,ег / < $}.
В частности, точная верхняя грань пустого
множества совпадает с т!5. Отсюда следует, что для каж-
1) В частности, точная нижняя грань пустого множества
есть 1. — Прим. ред.

§ 1.1. Кольца и связанные с ними алгебраические системы 17
дой пары элементов существует как точная нижняя,
так и точная верхняя грань. Следовательно, полная
структура является в действительности структурой.
Упорядоченное множество E, <) называется
вполне упорядоченным, если каждое непустое
подмножество содержит наименьший элемент1).
Очевидно, что вполне упорядоченное множество с
наибольшим элементом является полной структурой.
Булева алгебра называется полной, если она
является полной структурой.
Структуры в примерах 1 и 2 не являются
полными. Однако структура примера 1 становится
полной, если мы добавим бесконечный элемент. Булевы
алгебры в примерах 3 и 4 являются полными.
Булевы алгебры в примерах 5 и 6 не являются полными.
В случае примера 6 — это нетривиальный факт (см.
Халмош A963), § 25). Положительные целые числа
с отношением «меньше или равно» образуют вполне
упорядоченное множество. Однако они же с
отношением «больше или равно» не являются вполне
упорядоченным множеством, хотя это множество
линейно упорядочено.
Операцией замыкания на полной структуре E, •<)
называют отображение а-+ас множества 5 в 5,
такое, что
а^ас, (ас)с^ас, а<6=фа*<6*.-
Элемент а множества 5 называется замкнутым, если
ас-^.а, и, следовательно, ас = а. Очевидно, что Iе = 1,
где 1 —наибольший элемент множества 5.
Пример операции замыкания: если А —
подмножество группы О, то пусть Ас — наименьшее
подмножество группы О, содержащее А и замкнутое
относительно групповых операций.
Предложение 4. Пусть задана операция
замыкания на полной структуре. Тогда точная нижняя грань
1) В русской литературе, говоря о вполне упорядоченном
множестве, обычно имеют в виду линейно упорядоченное
множество, удовлетворяющее указанному в тексте условию. — Прим,
ред.

18 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
любого множества замкнутых элементов также
замкнута. Следовательно, замкнутые элементы образуют
полную структуру. Обратно, любое подмножество
полной структуры, замкнутое относительно операции
Ы, может быть представлено как множество всех
элементов, замкнутых относительно подходящей
операции замыкания.
Доказательство. Пусть X — множество
замкнутых элементов и а = т1Х. Тогда а-*Сх для
любого хе1, и, следовательно, ас<хс-<л;. Таким
образом, как и требовалось, ас^а.
Обратно, пусть Т — подмножество полной
структуры 5, замкнутое относительно операции Ш. Если
а е5, то положим ас = т!{/ е Т | а<1}, Легко
видеть, что а-+ас является операцией замыкания, а Т
в точности совпадает с множеством замкнутых
элементов.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что в определении группы
достаточно предполагать выполнение закона ассоциативности
и тождеств а\ = а и аа~х = 1. Покажите, что
существуют системы, отличные от групп, но
удовлетворяющие закону ассоциативности и тождествам а\ = а и
а~1а = 1.
2. Покажите, что группа может быть
эквивалентным образом задана как система E, 1,/), где / —
бинарная операция, удовлетворяющая тождествам
а/1 = а, а/а= 1, (а/с)/{Ь/с) = а/Ь.
[Указание: Положить а/Ь = аЬ~К Обратно, определим
а-1 = \/а и аЪ = а/(\/Ь)]
3. Покажите, что в определении кольца
предположение о справедливости закона коммутативности для
сложения излишне. Покажите, что в любом кольце
справедливы следующие тождества:
а0 = 0 = 0а, (-а)(-6) = а&.
4. Покажите, что в булевом кольце справедливы
тождества а + а = 0, аЬ = Ьа.

$ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы 19
5. Восполните пробелы в доказательстве
предложения 1.
6. Покажите, что структура может быть
определена как многообразие E, Л,\/), где E, Л) и
E, V) — полуструктуры, причем
а Л (я V Ь) = а, а\/ (а /\Ь) = а.
7. Покажите, что в дистрибутивной структуре
справедлив также дуальный закон дистрибутивности
а\/(ЬЛс) = (аУЬ)Л(а\/с).
8. Докажите предложение 3.
9. Докажите, что зир Т = ш! ГЛ, где
§ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы
Подмножество 5 кольца (/?, 0,1,—, +,•)
называется подкольцом, если 5 замкнуто относительно
всех операций кольца /?, т. е. если 5 содержит 0 и 1
и если для любых элементов а, Ь ^8 элементы
—а, а + Ъ и аЬ также принадлежат 5. Конечно,
система E,0,1,—, +,•) также является кольцом.
Нетрудно проверить, что пересечение любого
семейства подколец кольца Я также является подколь-
цом кольца /?. Это неверно для объединения
семейства подколец, за исключением частных случаев,
например когда семейство подколец линейно
упорядочено по включению (т. е. когда для подколец 8 и Т
из семейства либо 5сГ, либо Г с: 5). Таким
образом,
Предложение 1. Подкольца кольца образуют
полную структуру относительно включения. Точная
нижняя грань семейства подколец совпадает с их пере-
сечением. Точная верхняя грань линейно
упорядоченного семейства подколец совпадает с его
объединением.
В этом результате специфика колец не
используется: предложение остается справедливым в любом

20 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
многообразии алгебраических систем при замене под-
колец на соответствующие подсистемы, например
подгруппы, подструктуры и т. п.
Пусть /? и 5 — кольца. Отображение ср: /? —>5
называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все
операции, т. е. если
ф0 = 0, ф 1 = 1, ф(— а)= — фа,
ф(а +6) = фа + фй, ф(а&) = фаф&.
Эти условия не независимы. То же самое
определение (с сохранением соответствующих операций)
применимо к любому многообразию алгебраических
систем. Тождественное отображение кольца 7? на себя
и вложение подкольца кольца Я в Я являются
примерами гомоморфизмов. Гомоморфизм ф: /? —>5
называется мономорфизмом, если ф — взаимно
однозначное отображение, эпиморфизмом, если ф
отображает /? на все кольцо 5 *), и изоморфизмом, если ф —
взаимно однозначное отображение на все кольцо 5.
Гомоморфизм кольца Я в себя называется
эндоморфизмом, а изоморфизм кольца /? на себя —
автоморфизмом.
Если <р: /?-*5 и ф: 5-* Г — гомоморфизмы, то
гомоморфизмом является и их композиция или
произведение
фоф: Д->7\
определенное по следующему правилу:
(фоф)г = ф(фГ).
В некоторых странах принято вести машину по
левой стороне дороги, в других принято
правостороннее движение. Мы писали гомоморфизмы слева от
аргументов, но мы с тем же успехом могли бы писать
их справа. В этом случае (и иногда это будет нам
удобно) естественное определение произведения
Ф * ф: 7? -> Г
х) Следует подчеркнуть, что не всякий эпиморфизм в
категории колец является эпиморфизмом в смысле высказанного
определения. — Прим. перев.

$ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы 21
гомоморфизмов ф: /?->5 и ф: 5-* Т таково:
Г(ф*г|3) = (Гф)я|).
Заметим, что ф#я|) = 'фоф. Следует предостеречь
читателя: переход от левой записи к правой может
вызвать изменения в формулировках многих теорем.
Для ссылок в дальнейшем мы приведем без
доказательства несколько утверждений о
гомоморфизмах, остающихся справедливыми в любом
многообразии алгебраических систем:
Предложение 2.
Если ф и ф— мономорфизмы,
то я|э о ф — мономорфизм. A)
Если ф и ф — эпиморфизмы,
то \|) о ф — эпиморфизм. B)
Если г|) о ф — мономорфизм,
то ф — мономорфизм. C)
Если г|) о ф — эпиморфизм,
то ф — эпиморфизм. D)
Следствие. Гомоморфизм ф: Н—»5 является изо-
морфизмом тогда и только тогда, когда существует
гомоморфизм г|): 5->/?, такой, что фоф —
автоморфизм кольца 5, а г|) о ф — автоморфизм кольца /?.
Доказательство. Пусть выполнено условие.
Тогда в силу утверждения C) ф — мономорфизм,
а в силу утверждения D) ф — эпиморфизм и,
следовательно, ф — изоморфизм. Обратно, если ф —
изоморфизм, то обратное к нему отображение г|) = ф-1
является искомым гомоморфизмом.
Более общим, чем гомоморфизм, является понятие
гомоморфного отношения. Итак, пусть 0 — бинарное
отношение между кольцами # и 5, т. е.
подмножество прямого произведения /? X 5. Отношение 0
называется гомоморфным, если 000, 101 и из
соотношений а*!051, г2052 следует, что (—пN(—«О,
(П + г2) 0 E1 + 82), (Г1г2)-в E1$2). Конечно, аналогич-
ное определение может быть дано для любого

22 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
многообразия алгебраических систем. Можно
рассматривать 0 как многозначное отображение части
кольца Я в 5. Если 0 — однозначное и всюду определенное
отображение, то оно является обычным
гомоморфизмом, а г05 означает тогда то же самое, что и г0 = 5.
Гомоморфное отношение на кольце Я (т. е. когда
5 = 7?) называется конгруэнцией, если оно является
отношением эквивалентности, т. е. рефлексивно,
симметрично и транзитивно. Многие студенты ошибочно
уверены в том, что транзитивное и симметричное
отношение всегда рефлексивно. В действительности
нетрудно убедиться в том, что симметричное и
транзитивное гомоморфное отношение на кольце /?
является конгруэнцией на некотором подкольце 5
кольца К1). Удивительно, однако, что справедливо и
обратное утверждение.
Предложение 3 (Финдлей). Если 0 —
рефлексивное гомоморфное отношение на кольце, то 0
симметрично и транзитивно, и, следовательно, является кон-
груэнцией.
Доказательство. Допустим, что авЬ. Так
как ада и ЬдЬ, то
(а-а +6H (а-6+ 6),
т. е. &0а. Таким образом, отношение 0 симметрично.
Допустим, что а06 и Ьвс. Так как ЬВЬ, то
(а-Ь + Ь)д(Ь-Ь + с)9
т. е. авс. Таким образом, отношение 0 транзитивно.
Из доказательства ясно, что этот результат
справедлив в любом многообразии алгебраических
систем, в котором возможно определить тернарную
операцию 1(х,у,г), такую, что ?(х,у, у) = х и
1(У,У,г)~ г- Это можно сделать, например, в группах
и в структурах с дополнениями.
Если 0 — конгруэнция на кольце /?, то 0
разбивает кольцо /? на множество /?/0 непересекающихся
классов эквивалентности, или смежных классов.
1) Достаточно положить 5 = {5 15 € Л, 5 0 5}. — Прим. ред%

§ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы 23
Пусть Ог — смежный класс, содержащий элемент г,
т. е.
9г = {г' €= 7? | г'9г}.
На множестве Я/в также можно ввести структуру
кольца, положив
0 = 90, 1 = 91, -(9а) = 9 (-а),
9а + 96 = 9 (а + 6), 9а96 = 9 (аЬ).
Конечно, прежде чем давать эти определения, нам
следовало проверить, что —(9а), например, зависит
лишь от смежного класса 9а, а не от его
представителя а. Но 9а = 9а' означает, что а9а'. Отсюда
следует, что (—а)9(—а'), т. е., как и требовалось,
9(—а) = 9(—а'). Наконец, можно проверить, что /?/9
является кольцом, учитывая, что любое тождество,
справедливое в /?, справедливо и в /?/9. Таким
образом, например, из справедливости закона
коммутативности в Я следует, что 9а + 06 =8(а + 6) =
= 9F + а) =96 + 9а. Определим отображение я: /?—>
->/?/9, положив яг = 0г. Сразу же получаем, что я—
эпиморфизм. Будем называть я каноническим
эпиморфизмом кольца Я на кольцо /?/9.
Предложение 4. Если ф: /?-*5— гомоморфизм, то
существуют конгруэнция 9 яа /?, эпиморфизм я: #—>
—> /?/8 и мономорфизм х: /?/9 -* 5, такие, что ф = х о я.
Доказательство. Пусть г9г' означает, что
фг = ф/. Легко видеть, что 9 — конгруэнция. Пусть
я — канонический эпиморфизм кольца Я на /?/9.
Положим х(9г) = ф/*. Поскольку из равенства 9г = 0г'
следует, что г9г', т. е. <рг = фг', определение
корректно. Очевидно, что х — гомоморфизм кольца Я/д в 5.
Так как из фг = ф/-' следует, что гвг', т. е. 9г = 9/, то
Ф — мономорфизм. Наконец,
фг = х (9г) = х (яг) = (х о я) г.
Этот результат остается справедливым в любом
многообразии алгебраических систем. Так же обстоит

24 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
дело и со следующим результатом, аналогичным
предложению 1:
Предложение 5. Конгруэнции на кольце образуют
полную структуру относительно вложения. Точной
нижней гранью любого семейства конгруэнции
является их пересечение. Точной верхней гранью
линейно упорядоченного семейства конгруэнции является
их объединение.
Когда мы говорим о вложении, пересечении и
объединении конгруэнции, мы рассматриваем их как
подмножества множества /? X /?. В действительности
любое гомоморфное отношение 0 между /? и 5 можно
рассматривать как подкольцо кольца Я X 5.
(Структура кольца на множестве /?Х5 вводится обычным
образом; см. § 1.3.)
Обычно вместо понятия конгруэнции на кольцах
используется понятие идеала. Идеалом кольца #
называется аддитивная подгруппа К кольца Я, такая,
что кг ^К и гк^К для всех к^К и ге/?.
Очевидно, что пересечение идеалов — идеал.
Предложение 6. Идеалы К и конгруэнции 0
кольца Я находятся во взаимно однозначном соответствии,
при котором
г-г'е=К^гВг'.
Это соответствие осуществляет изоморфизм
структуры идеалов на структуру конгруэнции.
Доказательство. Если 0 — отношение
конгруэнтности, то стандартная проверка показывает, что
К = 00 = {г е# | г0О} — идеал. Обратно, если К —
идеал, то пусть г0г' означает, что г — г'е/С. Можно
проверить, что 0 — конгруэнция. Очевидно, что
пересечение идеалов соответствует пересечению
конгруэнции.
Если К — идеал, соответствующий конгруэнции 0,
то вместо /?/Э будем писать Я/К. Пусть 7? ^ 5
означает, что кольца Я и 5 изоморфны.
Предложение 7. Если ф— гомоморфизм кольца Я
в другое кольцо, то ц>Я ^ Я/ц)~г0. (При этом ф/? на-

§ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы 25
зывается образом, а ф_10 = {г е ^ | фг = 0} — ядром
гомоморфизма ф.)
Доказательство. В обозначениях
предложения в силу предложения 4 ф7? = к(пЯ) = лК = Я/д,
а в силу предложения 6 К/в = /?//(, где /С =
= {ге=/?|ге0} - {ге=/г|(рг = ф0} = {/-е^|ф/- = 0} =
= ф-!0.
Если Л — аддитивная абелева группа, а В и С — ее
подгруппы, то определим их сумму В + С как
множество всех элементов вида Ь + с, где &ЕЙ и сеС.
Более общим образом, пусть {В,-|/е/}— семейство
подгрупп группы А. Определим их сумму В= 2 Вь
как множество всех элементов вида 2 &1> гДе Ь^Вх
и все &ь кроме конечного числа, равны нулю. Тогда В
также является подгруппой группы А. В
действительности В — наименьшая подгруппа, содержащая все
ПОДГруППЫ Вг.
Заметим, что для подгрупп группы А справедлив
закон модулярности
Сс=В=#ВП(С + Д) = С + (ВПО).
Действительно, очевидно, что правая часть
содержится в левой. Пусть теперь Ъ = с + й —
произвольный элемент левой части, где Ь е В, с^ С, й^й.
Тогда й = Ь — сеВПО. Поэтому, как и
требовалось, Ъ (== с + {В П О).
Более общим образом, назовем структуру
модулярной, если
с^Ь=фЬЛ(сЧс1) = сУ(Ь А с1).
Теперь несколько усилим предложение 5:
Предложение 8. Идеалы кольца образуют полную
модулярную структуру относительно включения. При
этом точной нижней гранью любого семейства
идеалов является их пересечение и точной верхней
гранью — их сумма,

26 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
Доказательство. Утверждение немедленно
следует из предложений 5 и 6, приведенных выше
замечаний и того факта, что сумма идеалов является
идеалом.
В дополнение к структурным операциям на
множестве идеалов (или, более общим образом, на
множестве аддитивных подгрупп кольца) можно
рассматривать другие операции.
Если Л и В — аддитивные подгруппы кольца ^,
то определим подгруппы АВ, А .' В и Л •. В
следующим образом:
п
АВ состоит из всех конечных сумм 2 сг(Ь19
1 = 1
где а^еЛ и Ьг<= В. A)
Л . • В = {г е= /? \гВ с= Л}. (Читается „Л над В".) B)
В '. Л = {г е= /? | Вг с= Л}. (Читается „В под Л".) C)
Здесь, конечно, г В = {гЬ\Ь е В}. Подгруппы Л ." В
и В *. Л часто называют частными.
Предложение 9. Если А, В и С — аддитивные
подгруппы кольца /?, то (АВ)С = А (ВС). Более того,
ЛВс=С^фЛс!С.-ВОбс:Л-.С.
Доказательство. Закон ассоциативности
для подгрупп является очевидным следствием закона
ассоциативности для элементов. Если теперь Л В с: С,
то аВ а С для всех а <= Л, значит, а^Сг В для всех
аеЛ, т. е. ЛсС/В. Обратно, из этого включения
следует, что аЪ^С при всех ае/1 и &еВ, и,
следовательно, ЛВ с: С. Эквивалентность включению
В а А г .С доказывается симметрично.
Из предложения 9 легко получить также ряд
других тождеств.
Следствие. Если Л, В, С, Ах и В{ (/ е /) — под-
группы кольца /?, то
(Л .' В).-С = Аг {С В), {А- .В).-С = А- .(В .-С),
А'.{В*. С) = (ВА)' . С, B 4) Я = 2(Л,Й),
(ГИО • • 5 = П(^ •' в)> Аг^Вь = (\Аг В,).

§ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы 27
Вот, например, доказательство последнего
тождества:
Рассмотренные операции, примененные к идеалам,
дают нам другие идеалы. Мы опустим доказательство
следующего утверждения:
Предложение 10. Если А и В — идеалы кольца /?,
то АВ, А .'• В и А '. В также являются идеалами.
Кроме того,
АР> = А = ЯА, А.' К = А = Я-.А,
А.' А = $ = А*.А, АВсиА(]В.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что объединение линейно
.упорядоченного семейства подколец является подкольцом.
2. Докажите утверждения предложения 2.
3. Докажите, что эндоморфизмы алгебраической
системы образуют полугруппу с 1, а автоморфизмы
образуют группу. (В частности, множество всех
отображений множества в себя — полугруппа с 1.)
4. Докажите, что эндоморфизмы абелевой группы А
образуют кольцо, если сложение определено условием
(ф + й)# = фя + я|)а для всех а^А.
5. Если 0 — гомоморфное отношение между
кольцами К и 5, а Т — подкольцо кольца 5, то
97* = |ге 7? |Э,б7.г8*} — подкольцо кольца /?.
6. Если 9 и 9'— гомоморфные отношения между
кольцами /?, 5 и 5, Т соответственно, то 99' является
гомоморфным отношением между кольцами /? и Т,
где г99//ффЭ5е5(/*95&59//). Покажите, что
произведение гомоморфизмов является частным случаем
этого «частичного произведения». (Если
рассматривать 8 как многозначное отображение подмножества
кольца 7? в 5, то это частичное произведение будет сов-

28 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
падать с произведением гомоморфизмов,
записываемых справа.)
7. Рассмотрим многообразие алгебраических
систем с тернарной операцией 1(х,у,г), такой, что
тождественно 1(хуу,у) = х и 1(у,у,г) = г. Покажите,
что
а) если 01 и 02— конгруэнции на алгебраической
системе из этого класса, то 0102 = 020ь
б) конгруэнции на такой системе образуют
модулярную структуру;
в) если 0 — гомоморфное отношение между
системами /? и 5, то 00-10 = 0, где 0-1 — «обратное»
отношение, определяемое условием з&~1г ^ г05.
8. Найдите все идеалы кольца целых чисел.
9. Приведите доказательство остальных тождеств в
следствии к предложению 9 и предложения 10.
10. Дайте интерпретацию операций А + В, Л П В,
АВ и А .# В для идеалов кольца целых чисел.
11. Пусть О — аддитивная подгруппа кольца /?.
Каждой подгруппе А кольца 7? сопоставим подгруппу
Ас = (О .' Л) *. О. Покажите, что А-+Ас является
операцией замыкания на структуре подгрупп.
12. Покажите, что модулярные структуры
образуют многообразие.
§ 1.3. Модули/прямые произведения и прямые суммы
Правый К-модуль Ан состоит из аддитивной абе-
левой группы Л, кольца 7? и отображения АхК-*А,
обозначаемого аг (а^А,г^К), таких, что
(а + Ъ)г = аг + Ьгу а{г + 8) = аг + аз,
а (г • 8) = (аг)з, а\ =а
при всех а, ^е/1 и г, 5е^. Левый ^-модуль дЛ
определяется симметрично.
Примеры.
1. Если /? — поле, то правый /^-модуль Ап обычно
называется векторным пространством.
2. Если /? = 2 —кольцо целых чисел, то /?-модуль
Лв —не что иное, как абелева группа Л, поскольку

$ 1.3. Модула, прямые произведения и прямые суммы 29
умножение на положительные целые числа сводится
к многократному сложению. Таким образом, 2-модули
и аддитивные абелевы группы можно рассматривать
как одни и те же объекты.
3. Если А = Н и в качестве отображения АхК-*А
взять умножение, т. е. аг = а-г, то мы получим
правый модуль /?к-
4. Пусть ^ — множество эндоморфизмов
аддитивной абелевой группы Л, записываемых справа.
Положив
а0 = 0, а1=а, а{— /)= - (а/),
а (/ + е) = а! + а§, а (/*§•) = (а}) §
для любых йеЛ и /, §^Р, получим кольцо
(Р, О, 1, —, +, *). Кроме того, рассмотрим
отображение (а,/)-*а/ множества А X Р в А. Так как / —
гомоморфизм, то (а + Ь)} = а{ + Ь}, и,
следовательно, получаем правый модуль АР.
Предложение 1. Пусть Г: К-+Р — гомоморфизм
кольца Я в кольцо Р эндоморфизмов аддитивной
абелевой группы А (записываемых справа). Полагая
аг = а(Тг) при всех а^А и г^Я, получим правый
Я-модуль Ак, при этом каждый правый Я-модуль
можно получить таким способом.
Доказательство. Так как ГУ —
гомоморфизм, то
(а + Ь)г = (а + Ъ) Тг = аТг + ЪТг = аг + Ьг.
Учитывая определение сложения в кольце Р и тот
факт, что Г — гомоморфизм, получаем
а (г + з) = аТ (г + 5) = а {Тг + Тз) - аТг + аТ$ = аг + аз.
Так как Г — гомоморфизм, то с учетом определения
операции * в кольце Р получим
а(г.5)==аГ(г.5) = а(Гг*Г5) = (аГг)Г5 = (агM.
Наконец, поскольку Г — гомоморфизм, то
а1к = аТ1я = а\Р = а.

30 Гл. I. Основные алгебраические понятия
(В последнем равенстве для ясности мы различаем
единицу 1д кольца Я и единицу 1Р кольца Р,
являющуюся тождественным автоморфизмом группы Л.)
Обратно, пусть Ап — произвольный правый
^-модуль. Рассмотрим отображение Г: Я-+Р, для
которого а(Гг) = аг. Легко проверить, что Г —
гомоморфизм колец.
Можно рассматривать Я-молулъ Ап как систему
(Л, 0,—,+,/?), где (Л, 0,—,+)—абелева группа, а
каждый элемент кольца Я является унарной
операцией на группе Л, причем справедливы тождества
(а + Ь)г = аг + Ьг и т. д. Может случиться, что число
операций (если в кольце Я бесконечное число
элементов) и число тождеств бесконечно. Упомянутые
равенства образуют множество тождеств с
фиксированными элементами из Я. Во всяком случае класс
правых /^-модулей для данного кольца Я является
многообразием. Поэтому предложения 1—5
предыдущего параграфа применимы к модулям (следует лишь
заменить слова «кольцо» и «подкольцо» на «модуль»
и «подмодуль»). Подмодуль В модуля Л является,
конечно, подгруппой группы Л, которая замкнута
относительно новых операций, т. е. Ъг^В при всех
6еВ и г&Я. Кроме того, предложения 1.2.6—1.2.8
также остаются справедливыми для модулей при
замене слова «идеал» на «подмодуль». Таким образом,
аналоги предложений 1 и 8 для модулей совпадают.
Было бы скучно переформулировать и
передоказывать модульные аналоги этих предложений, и мы
воздержимся от этого.
Под гомоморфизмом (^-гомоморфизмом) ср: Ая—>
-+Вп понимается, конечно, гомоморфизм группы Л
в группу В, для которого к тому же выполнено
дополнительное условие ф(аг) = (сра)г при всех а^А
иге/?. Множество всех таких гомоморфизмов
обозначают через Нотя (Л, В). На этом множестве
можно' ввести структуру абелевой группы, определяя 0,
— и + равенствами
0а = 0, ( — <р)а=— (фа), (ф + ^а^фа + фа.

$ 1.3. Модули, прямые произведения и прямые суммы 31
Когда мы встречаемся с гомоморфизмами левых
/^-модулей, мы предпочитаем писать их справа, и в
этом случае дополнительное условие выглядит так:
(га)ф = г(шр).
Сейчас нам представился один из удобных
случаев применить лемму Цорна, утверждающую
следующее:
Если для любого линейно упорядоченного
подмножества непустого упорядоченного множества
(8, -<) существует верхняя грань в 8, то
упорядоченное множество 8 обладает по крайней мере одним
максимальным элементом т (максимальность
элемента т означает, что неравенство пг-^8 влечет за
собой равенство гп = 8 при всех 5Е5).
Это утверждение представляет собой
неотъемлемую часть математического аппарата и, как хорошо
известно, эквивалентно принципу полного
упорядочивания, утверждающего, что каждое множество
можно вполне упорядочить, а также эквивалентно
аксиоме выбора, утверждающей, что декартово
произведение непустого семейства {5г | / е /} непустых
множеств непусто, что означает, другими словами,
существование функции 1'-1-^и81, для которой
1A)<&8г при всех /е/ (через / было обозначено
множество индексов).
Предложение 2, Пусть Т — подмножество модуля
Ак. Тогда любой подмодуль В модуля АЕ, не
пересекающийся с Т или пересекающийся с ним лишь
по О, содержится в подмодуле М, являющемся
максимальным относительно этого свойства.
Это предложение остается справедливым, если
слова «модуль» и «подмодуль» заменить
соответственно на «кольцо» и «идеал».
Доказательство. Рассмотрим множество
всех подмодулей модуля Ап, которые содержат В и
пересечение которых с Т лежит в нулевом подмодуле.
Подмодуль В является элементом этого множества.

32 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
Можно упорядочить эти подмодули по включению.
Если {В{\1^1} — произвольное линейно
упорядоченное семейство подмодулей этого множества, то его
точная верхняя грань Ц| Вь также принадлежит
множеству. Таким образом, теперь выполнены
условия леммы Цорна.
Подмодули модуля Як называются правыми
идеалами. Правый идеал называется собственным, если он
отличен от Н, т. е. если он не содержит 1.
Рассматривая Т = {1, 0} (или Т = {1}), мы получаем
Следствие. Каждый собственный (правый) идеал
кольца содержится в максимальном собственном
(правом) идеале.
Под прямым произведением Н = Д /^ семейства
колец понимается их декартово произведение с
покомпонентными операциями. Таким образом, если
ге/?, т. е. г: /-> ^ Нь, где гA)^Нг при всех /б/,
то —г определим так: (—/•)(*') = —гA). Аналогично
определяются другие кольцевые операции.
Легко видеть, что любое тождество, справедливое
в каждом из колец Ни остается справедливым и в
кольце Н. Например, допустим, что все кольца Нг
коммутативны. Тогда г (I) з (I) = 8 (/) г (I) при всех г,
5б1? и / е /, откуда следует, что гз = 5Г. Теперь мы
можем выяснить, почему класс полей не является
многообразием. Действительно, если бы это было
так, то прямое произведение полей было бы полем,
а это на самом деле не так. Например, если Р—
поле, то элемент A,0)^@,0) является делителем
нуля в кольце Р X Р, и, следовательно, оно не
является полем.
Если Н— прямое произведение колец Нг A^1),
то рассмотрим элементы е\ е /?, для которых е\(\) = 1,
если / = I, и вгA) = 0, если ./ ф I. Легко проверяется,
что в\ — центральные элементы, т. е. лежат в
центре кольца /?, т. е. егг = тех при всех /"е/?. Более того,

§ 1.3. Модули, прямые произведения и прямые суммы 33
элементы е{ образуют систему ортогональных идемпо-
тентов в том смысле, что е\ = еь и е^е^ = 0, когда
IФ /. (Элемент е называется идемпотентом, если
е2 = е.)
Если е — центральный идемпотент кольца Я, то
каждый элемент ге^ можно записать в виде
г = ег + A — е)г,
где ег^еЯ и A—е)г^A—е)Я. Более того,
представление элемента г в виде суммы элементов из еЯ
и A—е)Я единственно, поскольку из равенства
г = ех + A — е) у следует, что ег = ех и A — е) г =
= A—е)#. Мы говорим, что Я является прямой
суммой идеалов еЯ и A — е) Я. Из сказанного следует,
что /? изоморфно прямому произведению еЯ X
ХA — е)Я. Заметим, что еЯ является кольцом с
единицей е, но не является подкольцом кольца •/?, за
исключением случая, когда е = 1. (Это следствие
нашего определения подкольца: подкольцо кольца /?
обязано содержать его единицу 1 и, следовательно,
не может быть собственным идеалом, т. е. идеалом,
отличным от /?.) В действительности идеал кольца ^
является кольцом (в нашем смысле) тогда и только
тогда, когда он «выделяется прямым слагаемым».
Действительно, пусть К — идеал с единицей е (мы
должны в обозначениях отличать ее от единицы 1
кольца Я), тогда К = еЯ и е2 = е 1).
Нетрудно распространить сделанное выше
замечание на любое конечное множество ортогональных
идемпотентов. Назовем сначала сумму 2 Кг П°Д"
групп Кг аддитивной абелевой группы прямой, если О
допускает лишь тривиальное представление в виде
суммы элементов из Ки т. е. если из равенства
0=2^1 (*/е^*) следует, что все к{ равны нулю.
Предложение 3. Следующие утверждения
эквивалентны-.
1) Кроме того, ег и ге лежат в К, поскольку е е К и К —
Двусторонний идеал. Следовательно, ег = еге = ге, так как е —
единица кольца К — Прим. ред.
2 Зак. 1027

34 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
а) Кольцо 7? изоморфно прямому произведению
колец Кг (/=1,2, ..., п).
б) Существуют центральные ортогональные идем-
п
потенты вх е /?, такие, что 1 = 2^ и е-/? = #*«
в) Кольцо /? является конечной прямой суммой
идеалов Кь = Я^
Доказательство (набросок).
(а)#(б)#(в)#(а).
Прямое произведение семейства /^-модулей
{Аг\1^1} определяется в точности так же, как и
прямое произведение колец (или, кстати, как прямое
произведение алгебраических систем). Если Л=П^
то рассмотрим канонические эпиморфизмы т:А->А{
и мономорфизмы щ\ Ах-*А, для которых
щ (а) = а (/), щ {аь) (/) =
Очевидно, что
я'вк'в 1о, /V/. A)
(Здесь 1—тождественное отображение модуля А{.)
Можно отметить, что щ существуют также для
колец, но в случае колец щ уже не являются
гомоморфизмами, так как они не отображают 1 на 1.
Введем теперь (внешнюю) прямую сумму
модулей:
состоящую из всех элементов ае ДЛ^ таких, что
ген/
аA) = 0 для всех, кроме конечного числа, индексов
I е /. Немедленно следует, что Л также является
/^-модулем. В частности, конечная прямая сумма
совпадает с конечным прямым произведением. По этой
причине мы пишем А X В для внешней прямой сум-
0, 1ф\.

§ 1.3. Модули, прямые произведения и прямые суммы 35
мы двух модулей, но мы хотели бы предостеречь
читателя: многие авторы используют обозначение
А® В.
Канонические эпиморфизмы и мономорфизмы
определяются для прямых сумм точно так же, как и
в случае прямых произведений. В дополнение к A)
в этом случае справедливо также равенство
2 {щ ощ)а = а B)
для любых а^А. Действительно, сумма, стоящая
слева, равна 2^#@ и применение ее к /е/ дает
а(\). Если мы рассматриваем конечную прямую
сумму, то B) можно записать также в виде равенства
п
2 Щ ° Щ = 1 >
где правая часть обозначает тождественный
автоморфизм модуля Ая.
ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ 8г = Кг оЩ е НоШд (Л, Л), ТО A)
и B) можно переписать в виде
е., / = /,
О, 1Ф1. <3>
и
2^ = а D)
для всех абА Будем говорить, что е* образуют
полную систему ортогональных идемпотентных
эндоморфизмов модуля Лй.
Предложение 4. Следующие утверждения
эквивалентны:
а) Модуль Лд изоморфен (внешней) прямой
сумме модулей '(Л*)д, /е/.
б) Модуль Ав обладает полной системой
ортогональных идемпотентных эндоморфизмов {е* | I е /} и
8гЛ ^ Л,.

36 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
в) Модуль Ап является (внешней) прямой суммой
подмодулей Вг ^ А{.
Доказательство (набросок).
(а)=#(б)#(в)=Ф(а).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если Ак — правый ^-модуль, то Ог = 0, (—а)г =
= —(аг), аО = 0, а{—г) = — (аг) для всех а<=Л и
2. Проверьте, что отображение Г в последней
части предложения 1 является гомоморфизмом.
3. Проверьте, что Нотй(Л,5)—абелева группа.
4. Если 2(п)—кольцо вычетов по модулю п, то
кольцо 2 (я) изоморфно прямому произведению всех
колец 2(/?г), где рг — наивысшая степень простого
числа р, делящая п.
5. Докажите, что если кольцо является суммой
идеалов, то оно является конечной суммой некоторых
из них.
6. Пусть <3 — поле рациональных чисел, Ор — под-
кольцо поля (&, состоящее из рациональных чисел,
знаменатели которых — степени простого числа р.
Покажите, что абелева группа <3/2 является прямой
суммой групп Ор/2.
7. Если К = 3 ХТ, то 5X0 — идеал кольца /? и
/?/Eх0)~7\
8. Докажите, что сумма 2 Вь подмодулей мо-
дуля Ал является прямой тогда и только тогда, когда
для всех I е /.
9. Восстановите в деталях доказательства
предложений 3 и 4.
§ 1.4. Классические теоремы об изоморфизмах
Чтобы сделать изложение замкнутым в себе,
приведем здесь классические теоремы об изоморфизмах,
обычно формулируемые для групп с операторами.

$ 1А. Классические теоремы об изоморфизмах 37
Хотя эти теоремы справедливы и для более широкого
класса, тем не менее мы ограничимся (правыми)
^-модулями. Этот случай представляет для нас
основной интерес, и при этом некоторые из доказательств
несколько проще, чем в общей ситуации.
Начнем с переформулировки предложения 1.2.7
для модулей вместо колец:
Предложение 1. Если <р^Нотд(Л, В)у то фЛ ^
е*Л/ф-Ч).
Обычно фЛ и ф_10 называют соответственно
образом и ядром гомоморфизма ф.
Предложение 2. Пусть С — подмодуль модуля Ак.
Каждый подмодуль модуля А/С имеет вид В/С, где
Сс:Вс2А,иА/В** (А/С) / (В /С).
Доказательство. Пусть я: А -> А/С —
канонический эпиморфизм. Для произвольного подмодуля
В/ модуля яЛ = А/С рассмотрим его полный
прообраз В = п~1В/ в модуле А. Тогда В/ = кВ. Очевидно,
что С = я_10 с: В. Поэтому можно написать пВ = В/С.
Пусть теперь я': яЛ-*яЛ/яВ— канонический
эпиморфизм. Тогда я'о я: Л—>яЛ/яВ, а ядро
отображения я7 о я равно я-1 (яВ) = В. Утверждение следует
теперь из предложения 1.
Предложение 3. Если В и С — подмодули
модуля А, то (В + С)/В^С/{ВГ\С).
Доказательство. Рассмотрим канонический
эпиморфизм я: В + С—>(В + С)/В и естественный
мономорфизм х: С —* В + С. Тогда ядро
гомоморфизма яох совпадает с В Л С, а его образ равен
пС = пВ + пС = я (В + С). Утверждение следует
теперь из предложения 1.
Лемма 1 (Цассенхауз). Если В'с: В с: А и С а
с: С с: А, то
(В' + (В П С))/(В'+(В Л С'))~(С + (В Л С))/(С'+ (В' Л С)).
Доказательство. Заметим, что
{В' + (В{)С')) + (В()С) = В' + {В(\С)

38 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
и (в силу закона модулярности)
(В' + (В(\С'))(\(В(\С) = (В'(\С) + (В[\С').
Затем, применив предложение 3, убедимся, что левая
часть изоморфна модулю (ВГ1С)/((ЯТ1С) + (ВПС)).
В силу симметрии правая часть изоморфна тому же
самому выражению.
Под (конечной) цепью подмодулей модуля Ап
будем понимать последовательность
Д0 с Л, с: ... <=Лт=Л
подмодулей, в которой Л* является подмодулем в
/1г-+1. Нас интересуют соответствующие фактормодули
А\+\\А\ (факторы).
Предложение 4 (Шраер). Пусть
В = В0аВ1с1 ... с=В„ = Л
— две цепи подмодулей. В этом случае обе цепи
можно так уплотнить, что получившиеся цепи будут
иметь одинаковую длину и изоморфные факторы (не
обязательно в одном и том же порядке).
Доказательство (Цассенхауз). Вставим
между модулями Лг- и Л,-+1 подмодули
А1,! = А1 + {А1+1Г\В!) (/ = 0, ..., /г),
а между модулями В?- и В$+\— подмодули
Ви = В1 + (В1+1(]А1) A = 0, ..., ет).
Тогда в силу леммы 1
Л/, /+1/Л,, / *= Вт, //5/, / (Л,- = Л,-, о и Лг+1 = Л,-, я).
Композиционным рядом модуля Ап называется
цепь
О^ЛоС^с: ... с=Лт = Л (А{Ф А1+1),
не допускающая собственных уплотнений.
Непосредственно доказывается

$ 1.4. Классические теоремы об изоморфизмах 39
Следствие (Жордан — Гельдер). Пусть
О = А0 а А{ с= ... с: Ат = А, 0 = В0С2 ... с= Вп = А
— два композиционных ряда модуля А. Тогда т = п и
А1 + 1/А1с*Вр{1)+1/Вр{1) (/=0, 1, ...,А1-1)
для некоторой подстановки р целых чисел О, 1, ...
..., л—1.
Модуль называется артиновым (нётеровым), если
каждое непустое множество подмодулей содержит
минимальный (максимальный) элемент. Другими
словами, это означает, что каждая убывающая
(возрастающая) последовательность подмодулей с
некоторого момента стабилизируется.
Действительно, пусть А — нётеров модуль, и пусть
А{ а А2 а ...
— возрастающая цепочка подмодулей модуля Л.
В этой последовательности найдется максимальный
элемент Ап. Следовательно,
Ап= Ап+{ =...-.
Обратно, допустим, что любая возрастающая
цепочка подмодулей модуля А с некоторого момента
стабилизируется. Рассмотрим произвольное непустое
множество подмодулей модуля А. Предположим, что
в этом множестве нет максимального элемента.
Возьмем любой элемент А\ этого множества. Так как А\
не является максимальным элементом, то А{ строго
содержится в элементе А2 множества и т. д. Таким
образом, получим бесконечную возрастающую
последовательность подмодулей
А\ с: А2 с: • • • >
ф ф
что противоречит предположению.
Предложение 5. Модуль является нётеровым
тогда и только тогда, когда каждый его подмодуль
конечно порожден.

40 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
Доказательство. Пусть В — подмодуль нё-
терова модуля. Рассмотрим множество всех конечно
порожденных подмодулей модуля В. Пусть С —
максимальный элемент этого множества. Следовательно,
С + ЬЯ = С для любого элемента 6еВ и поэтому
С = В.
Обратно, допустим, что каждый подмодуль
модуля Л# конечно порожден. Рассмотрим
возрастающую последовательность
Ах а Л2 с: ...
подмодулей модуля Ая. Пусть В — ее объединение.
В силу предположения В — конечно порожденный
подмодуль. Так как все образующие модуля В должны
лежать в одном из подмодулей Лп, то Ап = Лп+1 =
= ..., т. е. последовательность стабилизируется
начиная с подмодуля Ап.
Предложение 6. Пусть В — подмодуль модуля Ап.
Модуль А артинов (нётеров) тогда и только тогда,
когда модули В и А/В артиновы (нётеровы).
Доказательство. Допустим, что модуль А
артинов. Так как каждый подмодуль модуля В
является подмодулем модуля Л, то модуль В артинов.
Поскольку каждый подмодуль модуля А/В имеет вид
С/В, где ВсСсЛ, модуль А/В артинов.
Обратно, допустим, что модули А/В и В артиновы.
Рассмотрим любую убывающую цепочку подмодулей
Л1=)Л2=> ... . Рассмотрим теперь такие
последовательности подмодулей модуля А/В и модуля В
соответственно:
(Л,+ Я)/В=э(Л2 + В)/В =>...,
А^В^АгПВ....
В силу предположения обе эти последовательности
стабилизируются начиная, скажем, с шага п. Тогда
Ап()В = Ап+1()В=...
(Ап + В)/В = (Ап+1 + В)/В=...9

$ 1А. Классические теоремы об изоморфизмах 41
откуда
Лй + В = Ля+1 + В=... .
Используя закон модулярности, получим, что
Ап = Ап(\(Ап + В) = Ап(](Ап+1 + В) =
= Лп+1 + (Ап П В) = Ап+1 + (Л„+1 П 5) = ЛЛ+1 ^
Следствие. Конечное прямое произведение
модулей является артиновым (нётеровым) модулем тогда
и только тогда, когда каждый сомножитель артинов
(нётеров).
Доказательство. Достаточно рассмотреть
произведение двух модулей, скажем А = В X С. Но
тогда А/@ X С)^ В и применимо доказанное выше.
Здесь и всюду в дальнейшем 0 = {0} — наименьшая
подгруппа группы Л.
Предложение 7. Модуль АЕ обладает
композиционным рядом тогда и только тогда, когда он
одновременно артинов и нётеров.
Доказательство. Допустим, что модуль Ап
обладает композиционным рядом длины п. В силу
следствия предложения 4 длины цепей подмодулей
не превосходят п. Отсюда следуют артиновость и нё-
теровость модуля Л.
Обратно, допустим, что модуль А артинов и
нётеров. Поскольку Л — артинов модуль, найдутся
минимальный подмодуль А\Ф0, минимальный
подмодуль Л2, строго содержащий подмодуль Ль и т. д.
В силу нётеровости модуля Л последовательность
А1С1А2С1... должна оборваться. Следовательно,
Аш = Л при некотором т, и мы получаем
композиционный ряд.
Предложение 8. Эндоморфизм / артинова (нет е-
рова) модуля является автоморфизмом тогда и
только тогда, когда / — мономорфизм (эпиморфизм).
Доказательство. Пусть I — эндоморфизм
артинова модуля Ая, являющийся мономорфизмом.
Тогда Л =) /Л гэ /2Л =э ..., и, следовательно, \пА = }п+1А

42 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
для некоторого п. Если а— произвольный элемент
модуля Л, то }па = }п+1Ь для некоторого Ь^А.
Но 1п — мономорфизм, и, следовательно, а = [Ь.
Таким образом, I — эпиморфизм, и поэтому / —
автоморфизм.
Пусть теперь / — эндоморфизм нётерова модуля
Лй, являющийся эпиморфизмом. Тогда 0 с= /-]0 с:
с /~20 с ..., и, следовательно, /_п0 = /-(П+!Ю для
некоторого п. Возьмем произвольный элемент а^А,
для которого \а = 0. Так как /п — эпиморфизм, то
а = 1пЬ для некоторого Ъ ^ Л, и потому /п+16 = 0. Но
тогда а = }пЬ = 0. Таким образом, / — мономорфизм
и, следовательно, автоморфизм.
Следующее утверждение известно как лемма Фит-
тинга:
Предложение 9. Если / — эндоморфизм артинова
и нётерова модуля Лй, то для некоторого п имеет
место разложение в прямую сумму А = /ПЛ + /-п0.
Доказательство. Последовательность Л :э
:э /Л гэ 12А =э ... стабилизируется начиная, скажем,
с я-го шага. Таким образом, /ПЛ =/П+1Л.
Следовательно, 1п индуцирует эндоморфизм на нётеровом
модуле /ПЛ, являющийся эпиморфизмом, а
следовательно, и автоморфизмом. Таким образом, /ПЛ П /~п0 = 0.
Пусть теперь а^А. Тогда }па = }2пЬ для некоторого
6еЛ, и, следовательно, /п(а — )пЪ) = 0. Поскольку
а = ^Ь + (а — (пЬ), убеждаемся, что Л = \пА + /~п0,
а это и требовалось показать.
Ненулевой модуль называется неразложимым, если
он не разлагается в прямую сумму ненулевых
модулей, или, другими словами, если он не является
прямой суммой своих ненулевых подмодулей. Следующие
утверждения вытекают из леммы Фиттинга:
Следствие Х.Если Ак — неразложимый артинов и
нётеров модуль, то каждый эндоморфизм модуля Ап
либо нильпотентен, либо является автоморфизмом.
Доказательство. В силу леммы Фиттинга
либо /М = 0, либо /_п0 = 0. В первом случае
эндоморфизм / нильпотентен, во втором случае эндомор-

$ 1А. Классические теоремы об изоморфизмах 43
физм \п является автоморфизмом. Но тогда и / —
также автоморфизм.
Следствие 2. Если Ак — неразложимый артинов и
нётеров модуль, а # = Л + ... + /п — автоморфизм,
где 1г е Нотн(Л, А), то для некоторого I
эндоморфизм и является автоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим сначала
случай п = 2. Тогда 1 = §~1}[ + &~х!%- В силу следствия 1
эндоморфизм §~1{] либо является автоморфизмом,
либо нильпотентен. Во втором случае ё~~{!ч==
= 1 —ё~х!\ — автоморфизм. (Действительно, если
Нт = 0, то элемент, обратный к 1—Н, равен 1+/*+...
... + кт-1.) Для рассмотрения общего случая
проведем индукцию. Если /1 не является автоморфизмом,
то и §~1!\ не является автоморфизмом, и,
следовательно, 1—§~Ч\ — автоморфизм. В силу индуктивного
предположения §'~1}г — автоморфизм для некоторого
1ф\. Но тогда и 1г — автоморфизм.
Можно ли утверждать, что если А\ X А2 = В{ X В2
и А\^В[, то А2 = В2? В общем случае нельзя.
Действительно, возьмем в качестве А2 и В2
произвольные модули, а в качестве А\ = Вх прямое
произведение счетного числа экземпляров модуля Л2 X В2.
Однако утверждение верно в том случае, когда АххА2 —
артинов и нётеров модуль. Для начала нам
потребуется более слабое утверждение:
Лемма 2. Пусть % — изоморфизм артинова модуля
А = А\ X А2 на модуль В = В\ X В2, такой, что
А,(аь 0) = (аа\, $а{), где а — изоморфизм модуля А\
на В и тогда А29* В2.
Доказательство. Если |ЗЛ 1 = 0, то
утверждение очевидно, поскольку тогда А2 ^ А/(А{ X 0)оё
^ КА/(сцА1 X 0) = В/(В{ X 6) ^ В2. Доказательство,
следовательно, будет закончено, если мы построим
такой изоморфизм [х: А\ ХА2 -*В\ХВ2, что \х(а\,0) —
= (ааи0). Если %{аиа2) = (ЬиЬ2)у то положим
|А(аьа?)¦= {риЬъ — ра-1^). Очевидно, что \х удовле-

44 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
творяет нужному условию1). Чтобы убедиться
в том, что \х — изоморфизм, достаточно проверить,
что \х — мономорфизм. (Действительно, тогда Х~1\х—
мономорфизм, и, следовательно, автоморфизм.)
Предположим поэтому, что \х(аи а2) = 0. Тогда Ъ\ = 0 = Ь%
и поэтому а,\ = 0 = а2, поскольку X — мономорфизм.
Это завершает доказательство.
Следующий результат обычно связывают с одной
из комбинаций имен следующих математиков: Крулля,
Ремака, Шмидта и Веддербёрна.
Предложение 10. Пусть артинов и нётеров модуль
Л = А{Х Л2 X ... X Ат изоморфен модулю А/ = Л(Х
X АГ2 X ... X А'п, где А( и А\ — неразложимые модули.
Тогда т = п и (возможно, после перенумерации)
А, - А\.
Доказательство. Пусть X: А-*А' — данный
изоморфизм, а х/, и/ и щ, я/ — канонические
мономорфизмы и эпиморфизмы, ассоциированные с данными
прямыми разложениями. Положим <х/ = Я1°Л,<>и/ и
т
$1 = кь о V1 о к'\. Тогда 2 а* ° Р* = 1 > где 1 — тождест-
венный автоморфизм модуля Ль В силу следствия 2
одно из слагаемых (пусть первое) является
автоморфизмом. Таким образом, а{ о р1 — автоморфизм
модуля Ль Следовательно, эндоморфизм р^сц не
является нильпотентным, а тогда в силу следствия 1
р! о 0ц — автоморфизм модуля А{. Отсюда следует, что
а{ — изоморфизм модуля Ах на Л'. Очевидно, что
Х(аь 0, ..., 0) = (о1а1, *, ..., *). (Здесь * обозначает
не представляющие для нас интереса координаты.)
В силу леммы 2 Л2 X ... X Ат ^ А2 X ... X' А'п.
Повторяем эти же рассуждения до тех пор, пока
слева останется лишь Ат (можем считать, что п^т).
Поскольку модуль Ат неразложим, т = п и Ат^ А'п.
Чтобы опередить читателя, который попробовал
бы получить аналог предложения 10 для колец, за-
1) Действительно, ц (аь 0) = (ааь $ах — $ог1аа{) = (ааь 0).—
Прим. ред.

$ 1.4. Классические теоремы об изоморфизмах 45
метим, что если кольцо-является прямой суммой
неразложимых идеалов, то эти идеалы определены
однозначно (а не с точностью до изоморфизма). В
действительности кольцо является прямой суммой всех
своих неразложимых прямых слагаемых. Мы получим
этот результат по этапам.
Предложение 11. Центральные идемпотенты
кольца Н образуют булеву алгебру В (Я).
Доказательство. Пусть В — множество
центральных идемпотентов кольца /?. Тогда ОеВ,
а если е, I е В, то е'. = 1 — е ^ В и е\ е В. Очевидно,
что (В,-) — полуструктура1). Кроме того, е\' = 0, т.е.
яA —/)= 0> тогда и только тогда, когда е? = е.В силу
нашего определения (см. § 1.1) E,0/,-)—булева
алгебра.
Следует заметить, что, хотя умножение в
булевом кольце В(Н) и совпадает с умножением в
кольце /?, сложения в этих кольцах, вообще говоря, не
совпадают. Действительно, пусть е, /бй(^), тогда
их сумма в кольце В (/?) равна е\' V \е' (см.
предложение 1.1.3), что после некоторых выкладок2)
превращается в е + / — 2е{ = (е — /J. Здесь +
обозначает сложение в кольце /?.
Минимальный ненулевой элемент булевой
алгебры называется атомом.
Лемма 3. Если е — центральный идемпотент
кольца /?, то идеал еК неразложим тогда и только тогда,
когда е — атом булевой алгебры В(/?).
Доказательство (набросок). Если е не
является атомом, то е > / > 0 и, следовательно, е = I +
+ (е — /)» гДе / и е — I — ненулевые ортогональные
идемпотенты. Отсюда следует, что имеет место
разложение в прямую сумму идеалов еЯ = Щ + (е — /)/?.
Обратно, допустим, что еЯ = Щ + §Н — прямая
сумма идеалов, где / и § — ненулевые центральные
*) Обозначение (В,-) подразумевает (В, ^, •), где г</фф
ФФ е{ = е для е и } из В. — Прим. ред.
2) Заметим, что, как легко проверить, е\/ [ = е + {— е\ —
Прим. перев. и ред.

46 Гл. 1. Основные алгебраические понятия
идемпотенты. Легко показать, что /§ = О и е = } + §.
Следовательно, е не является атомом.
Предложение 12. Если кольцо Я является прямой
суммой неразложимых идеалов, то этими идеалами
исчерпываются все неразложимые прямые слагаемые
кольца Я.
Доказательство. Можно считать, что
Я = е\Я + ... + епЯ— прямая сумма, где е% —
центральные идемпотенты и 1 = в\ + ... + еп. Нам
известно, что идеалы е^Я неразложимы. Следовательно, в силу
леммы 3 вх являются атомами в В (К). Ими
исчерпываются все атомы в В (К). Действительно, если е —
п
атом, то либо 0=2^ = 0, либо е = е^ для неко-
торого ь. Таким образом, множество неразложимых
прямых слагаемых совпадает с множеством егЯ.
Аналог предложения 12 для неразложимых правых
идеалов уже неверен.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если К—идеал кольца Я, то все идеалы
кольца Я/К имеют вид 1/К, где / — идеал кольца /?,
содержащий /С, при этом
Я/1^(Я/К)/(ЛК).
2. Если 5 — подкольцо кольца /?, а К — идеал
кольца Я, то
C + К)/К^3/{8(]К).
3. Покажите, что аддитивная абелева группа
(т. е. 2-модуль) обладает композиционным рядом
тогда и только тогда, когда она конечна.
4. Если модуль А{ X Л2 = В{ X В2 артинов и нё-
теров и если А{ ^ Вь то А2 = В2. (Используйте
предложение 10.)
5. Покажите, что как артинов, так и нётеров
модуль разлагается в прямую сумму неразложимых
модулей.
6. Восстановите в деталях доказательство леммы 3.

ГЛАВА 2
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§ 2.1. Простые идеалы в коммутативных кольцах
Элемент г кольца /? называется обратимым, если
Г8 = 1 = зг для некоторого 5ЕЙ, и делителем нуля,
если Г8 = 0 или 8Г = 0 при 8 Ф 0. Очевидно, что
обратимый элемент не является делителем нуля.
Коммутативное кольцо называется полем, если О Ф 1 и
каждый ненулевой элемент обратим, и областью
целостности, если 0^=1, а 0 — единственный делитель нуля.
Лемма 1. Элемент коммутативного кольца
обратим тогда и только тогда, когда он не содержится ни
в каком собственном идеале; это равносильно тому,
что он не содержится ни в каком максимальном
(собственном) идеале.
Доказательство. Пусть г — элемент кольца.
Тогда Г8 = 1 для некоторого 5 в том и только том
случае, когда «главный» идеал гЯ, порожденный
элементом г, содержит 1, т. е. не является собственным.
Кроме того, каждый собственный идеал содержится
в максимальном собственном идеале (следствие
предложения 1.3.2).
Замечание. В дальнейшем мы будем
употреблять термин «максимальный идеал» вместо
«максимальный собственный идеал».
Собственный идеал Р кольца называется простым,
если из включения АВ аР, где А, В— идеалы кольца,
следует, что либо АаР, либо В а Р. Максимальные и
простые идеалы, как показывают следующие два
предложения, допускают описание на языке
элементов кольца,

48 Г л. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
Предложение 1. Собственный идеал М
коммутативного кольца /? является максимальным тогда и
только тогда, когда
Доказательство. В условии утверждается,
что М + гЯ содержит 1, т. е. М + г К не является
собственным идеалом ни для какого г ф М, что,
очевидно, эквивалентно максимальности идеала М.
Предложение 2. Собственный идеал Р
коммутативного кольца /? является простым тогда и только
тогда, когда из аЬ е Р, а, бе Я, следует, что либо
а^Р, либо Ъ е Р.
Доказательство. Пусть Р — простой идеал
и аЬ<=Р. Тогда (а/?) F/?)с:(а&)/? с: Р, откуда или
аР с: Р, или Ь# а Р, т. е. или йе Р, или Ъ еР.
Обратно, пусть выполнено условие предложения
и АВ а Р. Допустим, что А ф. Р. Тогда Заел афР.
Если 6 е В, то аб е Р и, следовательно, 6еР. Таким
образом, В с: Р, т. е. Р — простой идеал.
Более важной является характеризация
максимальных и простых идеалов при помощи факторко-
лец, ими определяемых.
Предложение 3. Идеал М коммутативного
кольца К максимален тогда и только тогда, когда /?/М —
поле.
Доказательство. Пусть я: /?-*К/М —
канонический эпиморфизм. Тогда #1М — поле тогда и
только тогда, когда каждый элемент вида пг, г фМ,
обратим, т. е. пгпх = 1 для некоторого хе/?, откуда
1 — гх^М для некоторого хе/?, что в силу
предложения 1 означает максимальность идеала М.
Предложение 4. Идеал Р коммутативного
кольца Я является простым тогда и только тогда, когда
Я1Р — область целостности.
Доказательство. Пусть опять я: Р —*Р/Р —
канонический гомоморфизм. Тогда ЮР — область це-

$ 2.1. Простые идеалы в коммутативных кольцах 49
лостности в том и только в том случае, когда из
равенства кг\пг2 = 0 следует, что пг\ = 0 или яг2 = О,
т. е. из включения Г\Г2 е Р следует, что Г\^Р или
г2 е Р. Последнее в силу предложения 2 равносильно
простоте идеала Р.
Предложение 5. Каждый максимальный идеал
коммутативного кольца прост.
Доказательство. Так как обратимые
элементы не являются делителями куля, то поле
является областью целостности. Утверждение
предложения следует теперь из предыдущих двух
предложений.
Простой идеал не обязан быть максимальным,
например нулевой идеал в кольце целых чисел.
Однако этот идеал является минимальным простым
идеалом. Существование минимальных простых идеалов
вытекает из следующего утверждения (при Л = 0):
Предложение 6. Если идеал А содержится в
простом идеале В, то множество всех простых идеалов Р,
таких, что А а Р а В, содержит минимальные
элементы.
Доказательство. В силу леммы Цорна
достаточно показать, что любое линейно упорядоченное
по включению семейство {Р* \ 1^1} простых идеалов,
лежащих между Л и В, обладает нижней гранью
в этом множестве идеалов. Пусть Р = ^ Рг.
Показе/
жем, что Р — простой идеал. Предположим, что аЬ^Р
и а^Р, Тогда афР{ для некоторого *\'Для любого
/ е / имеем либо Р$ а Р;, либо Р; с: Ру. В первом
случае а ф Р$ и, следовательно, Ь е Р;. Во втором
случае Ь е Р% а Р). Таким образом, 6еР.
Пересечение всех максимальных идеалов
коммутативного кольца /? называется радикалом1)
кольца /?, а пересечение всех простых идеалов —- первичным
1) Обычно его называют радикалом Джекобсона. — Прим.
ред.

50 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
радикалом*) кольца #. Очевидно, что первичный
радикал всегда лежит в радикале. Следующие два
предложения дают описание элементов радикала и
первичного радикала.
Предложение 7. Радикал кольца Я состоит из
всех таких элементов г^К, что элемент 1—гх
обратим при всех а;е/?.
Доказательство. Элемент г лежит в
радикале кольца /? тогда и только тогда, когда для
любого максимального идеала М и для любого
элемента х элемент 1—гх не принадлежит М. Это
равносильно тому, что для любого х элемент 1—гх не
лежит ни в каком максимальном идеале, т. е. по
лемме 1 элемент 1—гх обратим.
Элемент г кольца /? называется нильпотентным,
если гп = 0 для некоторого натурального числа п.
Предложение 8. Первичный радикал
коммутативного кольца Я состоит из всех его нильпотентных
элементов.
Доказательство. Если г — нильпотентный
элемент, тогп = 0еР для любого простого идеала Р,
следовательно, г^Р, и, таким образом, г
принадлежит первичному радикалу кольца.
Обратно, пусть элемент г не нильпотентен. Тогда
множество 7={1, г, г2, ...} не содержит 0. Пусть
Р — идеал кольца /?, являющийся максимальным
среди идеалов, не пересекающихся с 7. Если теперь
а, ЬфР, то из максимальности Р следует, что
гш<=Р + а/?, гп е Р + ЬН. Следовательно, * гт+п е
<= (Р + аЯ) (Р + ЬЯ)аР + аЪЯ. Так как г™+* ф Р, то
мы видим, что аЬфР. Таким образом, поскольку
\фР, то Р — простой идеал. Так как г фР, то г не
лежит в первичном радикале.
Если мы проанализируем вторую часть
приведенного выше доказательства, то увидим, что
существенными были следующие свойства множества 7:
]) В монографии Зарисского и Самюэля A963) он
называется радикалом. — Прим. ред.

$ 2.1. Простые идеалы в коммутативных кольцах 51
(а) Если 1и 12 е Т, то 1\1ъ е Т.
(б) 1еГ.
(в) ОфТ.
Так как 1 можно рассматривать как
произведение пустого множества, то (а) и (б) вместе означают,
что множество Т замкнуто относительно конечных
произведений. Следовательно, мы можем извлечь из
приведенного доказательства следующий результат,
который, имея в виду ссылки на него в дальнейшем,
выделим отдельно.
Лемма 2. Если Т — подмножество коммутативного
кольца, замкнутое относительно конечных
произведений и не содержащее О, то любой идеал, являющийся
максимальным среди идеалов, не пересекающихся
с Т, прост.
Коммутативное кольцо /? называется
полупримитивным1), если его радикал нулевой, т. е. если из
соотношения г Ф О следует, что 1—гх не является
обратимым элементом для некоторого х ^Я. (Мы
будем избегать употребления перегруженного
термина «полупростой».) Коммутативное кольцо /?
называется полупервичным, если его первичный радикал
равен 0, т. е. если Я— кольцо без нильпотентных
элементов. С этого момента Кае!/? и гас!/? будут
обозначать радикал и первичный радикал кольца 7?
соответственно. Очевидно, что гас! Я с: Кад/?.
Предложение 9. Кольцо Я/ЯгйЯ полупримитивно,
а кольцо Я/гай Я полупервично.
Доказательство, (а) Пусть я: Я -* /?/Кас1 Я —
канонический эпиморфизм. Если элемент пг из кЯ
принадлежит радикалу кольца л/?, то элемент
1—пгпх = кA—гх) обратим при всех кх^пЯ, т. е.
при всех хе/?, Но тогда 1 = п{\ — гх)пу =
= п(A — гх)у) для некоторого у е Я, т. е.
1 —A —гх)у е Кай/?. Следовательно, элемент
A — тх)у обратим. Поэтому обратим и элемент
1) Во многих книгах по теории колец принят термин
полупростое кольцо. — Прим. ред,

52 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
1 — гх. Так как это имеет место при всех х^Я, то
г е Кай Я и, значит, яг = 0.
(б) Пусть я: К -+ К/гай К — канонический
эпиморфизм, и пусть (яг)п = 0, значит я(гп) = 0, т. е.
гп е гай /?. Тогда (г71)^ = 0 для некоторого к.
Следовательно, г е гай /?, откуда яг = 0.
Будем говорить, что кольцо /? является подпрямым
произведением семейства колец {$г|/е7}, если
существует мономорфизм
х: /г->5 = П5„
для которого яг-°х— эпиморфизмы при всех (б/,
где я^: 5~»5г- — каноническая проекция.
Предложение 10. Кольцо Я является подпрямым
произведением колец 5г-, / е /, тогда и только тогда,
когда 5г- ^ #/^(г, где /(г- — идеал кольца Я и |~) Кь = 0.
Доказательство. Допустим сначала, что
кольцо Я является подпрямым произведением колец
5г, ахи Яг — определенные выше отображения. Так
как Яг-ох: /?-*5*— эпиморфизм, то 5г^/?//Сг-, где
Кг — ядро отображения яг-ох. Кроме того, ядро
гомоморфизма х состоит из всех тех элементов ге^, для
которых (яг о к)г = яг-(хг) = 0 при всех /е/, что
равносильно включению /*^Р) /($. Так как % — мономор-
16/
фиЗМ, ТО |^| Кг = 0.
16/
Обратно, если указанное условие выполнено, то
определим х: /?->Ц/?//Сь положив яг(хг) равным
каноническому образу элемента г в /?//Сг-. Тогда ядро
отображения х совпадает с (~) К( = 0.
Следствие 1. Коммутативное кольцо /? является
подпрямым произведением полей (областей целост-.
ности) тогда и только тогдау когда /? — полупримитив-
ное (полупервичное) кольцо.

$ 2.1. Простые идеалы в коммутативных кольцах 53
Следствие 2. Коммутативное кольцо полупервично
тогда и только тогда, когда оно изоморфно подколь-
цу прямого произведения областей целостности.
Доказательство. Тот факт, что
полупервичное кольцо обладает указанным свойством,
непосредственно следует из сказанного выше. Оттуда же
вытекает, что прямое произведение областей
целостности является полупервичным кольцом. Заметим,
наконец, что любое подкольцо коммутативного
полупервичного кольца является полупервичным, поскольку
нильпотентный элемент подкольца, конечно, является
нильпотентным элементом всего кольца.
Следствие 3. Коммутативное кольцо полупервично
тогда и только тогда, когда оно изоморфно подкольцу
прямого произведения полей.
Доказательство. Любая область
целостности может быть вложена в поле, например в свое
поле частных (см. § 2.3).
Кольцо # называется подпрямо неразложимым,
если пересечение всех его ненулевых идеалов отлично
от нуля. Это равносильно тому, что в любом
представлении кольца /? в виде прямого произведения
один из сомножителей этого произведения изоморфен
кольцу 7?1).
Предложение 11 (Биркгоф). Любое кольцо
является подпрямым произведением подпрямо
неразложимых колец.
Доказательство. Каждому элементу
Офг<^# сопоставим идеал Кг, являющийся
максимальным среди идеалов, содержащихся в /? — {г}. Так
как гфКг, то Р)/Сг = 0. Кроме того, Н/КГ —
подпрягло
мо неразложимое кольцо. Действительно, рассмотрим
все идеалы кольца /?, строго содержащие идеал Кг.
В силу максимальности идеала Кт каждый из них
*) Имеется в виду, что яг°х — изоморфизм для некоторого
I. — Прим. перев. и ред.

54 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
содержит элемент г. Следовательно, г лежит б их
пересечении, которое, таким образом, строго
содержит идеал Кг*
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что коммутативное кольцо является
полем (областью целостности) тогда и только тогда,
когда 0 — максимальный (простой) идеал.
2. Если г — нильпотентный элемент, то 1—г —
обратимый элемент кольца.
3. Покажите, что идеал Р коммутативного
кольца Ц является простым тогда и только тогда, когда
его дополнение 7? — Р замкнуто относительно
конечных произведений.
4. Найдите все простые и максимальные идеалы,
а также оба радикала кольца 2(я) вычетов по
модулю п.
5. Если К—идеал кольца /?, то существует
взаимно однозначное соответствие между простыми
идеалами кольца Я, содержащими К, и простыми
идеалами кольца К/К.
6. Покажите, что множество всех делителей нуля
коммутативного кольца содержит по крайней мере
один простой идеал.
7. Докажите, что в подпрямо неразложимом
коммутативном кольце делители нуля образуют идеал.
8. Обобщите предложение 11 на другие
алгебраические системы.
9. Пусть У? — коммутативное кольцо, и пусть
идеал А кольца У? содержится в конечном объединении
п
простых идеалов \}Р^ Покажите, что А содержится
по крайней мере в одном из /\-. [Указание: В
противном случае по индукции можно предположить, что
А{\Р^ У Рг для всех /. Пусть а1^А[]Р1, но
а1 Ф- \} ?1- Тогда элемент а\ + а2аъ ...ап лежит
1Ф !
в Л, но не принадлежит ни одному из Рг]
10. Пусть С — подмножество коммутативного
кольца, дополнение которого замкнуто относительно ко-

$ 2.2. Простые идеалы в классах коммутативных колец 55
нечных произведений, и такое, что сЯ с: С для всех
сеС. Покажите, что С является объединением
простых идеалов.
11. Пусть N — первичный радикал коммутативного
кольца /?. Положим Л/г+ = {г е /? |35 ^#г$ ^ Щ.
Покажите, что N совпадает с пересечением всех
минимальных простых идеалов кольца /?, а А4" — с их
объединением.
§ 2.2. Простые идеалы в некоторых классах
коммутативных колец
Посмотрим, во что превращаются наши понятия
в случае булевых колец. Подмножество Р булевой
алгебры (см. § 1.1) E, 0, ', Л) называется фильтром,
если
О'€=/?, A)
а, Ь*=Р=$а /\Ъ е/7, B)
(а€=?&аО)=ф&е=/\ C)
Будем говорить, что фильтр собственный, если 0 ф Р.
(В книгах по топологии термин «фильтр»
используется для обозначения собственного фильтра.)
Максимальный собственный фильтр называется
ультрафильтром. Рассматривая фильтры дуальной булевой
алгебры E, 1/, V), будем называть их для
краткости дуальными фильтрами.
Предложение {.Если рассматривать булеву
алгебру как кольцо, то дуальные фильтры в точности
совпадают с идеалами и, следовательно, дуальные
ультрафильтры — это в точности максимальные
идеалы.
Доказательство. Пусть К — дуальный фильтр.
Тогда в силу условия, дуального к A), Ое^. Если
а^К и 5е5, то а5-<а. Следовательно, в силу
условия, дуального к C), аз е К. Если а, Ъ е /С, то в силу
уже доказанного и условия, дуального к B), а + Ь =
= аЬ' V Ьа/ е К V К а К. Таким образом, К — идеал.
Обратно, пусть К —идеал. Тогда Ое/С, и если
Ъ < а и а е /(, то Ь = аЬ <= /С. Если а, Ь е/(, то

56 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
а V Ъ = (а'Ь7)' = а + Ь — аЬ <= К. Таким образом, К —
дуальный фильтр. (Напомним, что а/ = 1—а.)
Предложение 2. Следующие утверждения об
идеале К булева кольца 8 равносильны:
(а) К — максимальный идеал.
(б) К — простой идеал.
(в) Для любого элемента з либо 5Е/( и $' ф К,
либо з' <= К и з ф К.
Доказательство. Напомним, что из (а)
следует (б). Предположим теперь, что К — простой
идеал. Так как К — собственный идеал, то 5 + $' = 1 ф К.
Следовательно, ^ и 5; не могут одновременно лежать
в К. Но так как зз' = 0^К и К — простой идеал, то
либо 5, либо з' принадлежит К. Таким образом,
(б)=Ф(в).
Пусть выполнено условие (в). Тогда К —
собственный идеал, так как Ое/С, и, следовательно, 1=0'фК.
Если 8 фК, то $' е К. Тогда 1 = з' + 5 е К + з8.
Таким образом, К — максимальный идеал, т. е.
(в)=ф(а).
Следствие 1. Следующие утверждения о булевом
кольце 5 эквивалентны:
(а) 5 —поле.
(б) 5 — область целостности.
(в) 5 содержит в точности два элемента 0 и 1.
Существует лишь одно с точностью до
изоморфизма булево кольцо из двух элементов. Мы можем
представить себе такое кольцо как кольцо вычетов
по модулю 2, а также как множество всех
подмножеств одноэлементного множества.
Следствие 2. Булево кольцо полупримитивно. Та-
ким образом, элемент булева кольца равен нулю
тогда и только тогда, когда его образ равен нулю при
любом гомоморфизме кольца в булево кольцо из
двух элементов.
Класс колец, более широкий, чем класс булевых
колец, образуют регулярные кольца, введенные Ней-

$ 2.2. Простые идеалы в классах коммутативных колец 57
маном. В регулярном кольце предполагается, что для
любого элемента а найдется элемент а', для которого
аа'а = а. В коммутативном случае это, разумеется,
можно записать и в виде а2а' = а.
Предложение 3, В коммутативном регулярном
кольце справедливы следующие утверждения:
A) Каждый необратимый элемент является
делителем нуля.
B) Каждый простой идеал максимален.
C) Каждый главный идеал выделяется прямым
слагаемым.
Доказательство. A) Если а не является
делителем нуля, то из равенства а[а!а— 1) = 0 следует,
что а'а = 1.
B) Пусть Р — простой идеал, и пусть аф.Р.
Тогда а'а — 1 ё Р. Следовательно, 1еР + аЯ. Таким
образом, Р — максимальный идеал.
C) Положим а'а = е. Тогда е — идемпотент и
аЯ = еЯ. Остается вспомнить, что еЯ+A—е)Я = Я—
прямая сумма.
Предложение 4. Коммутативное регулярное коль-
цо полу примитивно.
Доказательство. Если а Ф О, то 1— аа/ —
делитель нуля и, следовательно, не является
обратимым элементом.
Покажем теперь, что существуют полупервичные
кольца, не являющиеся регулярными. Коммутативное
кольцо Я называется локальным, если /? обладает
в точности одним максимальным идеалом М.
Разумеется, в этом случае М — радикал кольца /?. В
любой области целостности О—простой идеал и,
следовательно, первичный радикал. Таким образом, нам
достаточно привести пример локального кольца без
делителей нуля, не являющегося полем.
Пример. Рассмотрим кольцо /? формальных
степенных рядов
а (х) = а0 + ахх + а2х2 + ...

58 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
над полем Р. Если а(х)Ф0 и Ь(х)Ф0, то а(х)Ь(х)Ф0
(это следует из рассмотрения первых отличных от
нуля коэффициентов). Таким образом, Н — область
целостности.
Заметим, что а(х) — обратимый элемент тогда и
только тогда, когда а0 Ф 0. Следовательно,
а (х) е= Кае! Я4ФУи*I-а(х)
Необратимый элемент О
ОУм,I-оА^()«Ф
и поэтому Кай /? совпадает с главным идеалом я/?,
порожденным элементом х. Предположим теперь, что
с(х)фх%. Тогда с0ФО и, следовательно, с(х)К = #.
Таким образом, х/? — максимальный идеал. Из
совпадения хК с радикалом кольца следует, что ^ —
единственный максимальный идеал в /?, т. е. /? —
локальное кольцо.
Локальные кольца, как мы увидим, можно
охарактеризовать разными способами.
Предложение 5. Пусть Я — коммутативное кольцо.
Тогда следующие условия эквивалентны:
A) Кольцо /? обладает единственным
максимальным идеалом М.
B) Все необратимые элементы кольца Я
принадлежат собственному идеалу М.
C) Необратимые элементы образуют идеал М.
Доказательство. A):фB). Любой
необратимый элемент содержится в некотором максимальном
идеале и, следовательно, в М.
B):фC). Поскольку собственный идеал содержит
лишь необратимые элементы, М является множеством
всех необратимых элементов.
C)=ф A). Так как собственный идеал содержит
лишь необратимые элементы, то каждый идеал
содержится в М. Поскольку 1 ф М, М — собственный
идеал.
Более узкий по сравнению с локальными кольцами
класс образуют кольца с единственным простым идеа-

$ 2.2. Простые идеалы в классах коммутативных колец 59
лом. Будем называть такие кольца вполне примар-
ными. (Обычно такие кольца называют примарными,
но мы зарезервируем этот термин для более общего
случая, когда в соответствии с обычной
терминологией 0 является примарным идеалом.)
Предложение 6. Пусть К — коммутативное кольцо.
Тогда следующие условия эквивалентны:
A) Каждый делитель нуля нильпотентен.
B) /? содержит минимальный простой идеал Р,
в котором лежат все делители нуля.
Назовем такое кольцо примарным.
Доказательство. Допустим, что выполнено
A). Тогда делители нуля образуют идеал Р,
являющийся простым. Так как Р — идеал, состоящий из
всех нильпотентных элементов, то Р — первичный
радикал и, следовательно, содержится в любом простом
идеале. Таким образом, из A) следует B).
Допустим, что выполнено B). Пусть г — элемент,
не являющийся нйльпотентным, . и пусть Т —
множество всех элементов вида згк, где 5^Ри &^>0 —
любое натуральное число. Очевидно, Т содержит 1 и г
и замкнуто относительно конечных произведений.
Кроме того, 0 ф Т. Действительно, если 0 е Г, т. е. згк — О,
гкФ0, то 5 — делитель нуля, и потому 5еР, что
незерно. Следовательно, /? — Т содержит некоторый
простой идеал. С другой стороны, /? — Т лежит в
минимальном простом идеале Р. Таким образом,
/? — Т = Р. Так как г е Г, то г ф Р. Итак, из B)
следует A).
Получим теперь несколько различных описаний
вполне примарных колец.
Предложение 7, Пусть /? — коммутативное кольцо.
Тогда следующие условия эквивалентны:
A) В # содержится единственный простой иде-
а<г Р.
B) /? — локальное кольцо и Кай 7? = гай 7?.
C) Каждый необратимый элемент нильпотентен.
D) /? — примарное кольцо, и все необратимые
элементы в Я являются делителями нуля,

60 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
Доказательство. Очевидно, что A):фB).
Пусть выполнено условие B). Тогда каждый
необратимый элемент лежит в гад/? и, следовательно,
является нильпотентным. Таким образом, B)=^>C).
Пусть выполнено условие C). Тогда каждый
необратимый элемент является делителем нуля и
каждый делитель нуля нильпотентен. Итак, C)гфD).
Пусть выполнено условие D). Тогда делители
нуля образуют наименьший простой идеал Р в /?.
Если г ф. Р, то г не является делителем нуля и,
следовательно, в силу предположения г — обратимый
элемент. Таким образом, Р — максимальный идеал и,
значит, единственный простой идеал. Итак, D)=^>A).
Возможно, уместно • рассмотреть здесь подробнее
подпрямо неразложимые кольца, являющиеся
кольцами с наименьшим ненулевым идеалом /. Разумеется,
/ порождается любым своим ненулевым элементом.
Следовательно, подпрямо неразложимые
коммутативные кольца могут быть охарактеризованы следующим
свойством:
Если К — подмножество коммутативного кольца
/?, то аннулятором множества К в /? будем называть
множество К* = {г ее К\гК = 0}. Ясно, что К* —
идеал. Вместо (/С*)* будем для краткости писать /С**.
Предложение 8 (Маккой). Пусть К — подпрямо
неразложимое коммутативное кольцо с наименьшим
ненулевым идеалом /. Тогда аннулятор /*
подмножества / совпадает с множеством всех делителей нуля,
/* является максимальным идеалом иР* = /.
Доказательство. Если г — делитель нуля, то
г* ф 0. Следовательно, г* =э /. Поэтому г е /*.. Таким
образом, /* — множество всех делителей нуля.
Очевидно, что 1 ф /*. Предположим, что г ф /*.
Тогда г/ ф 0 для некоторого / е /. Следовательно,
/ = Г]Я. В частности, / = г]х для некоторого хе^.
Таким образом, A—гх)} = 0, и потому 1— га; е /*,
Следовательно, /* — максимальный идеал,

§ 2.2. Простые идеалы в классах коммутативных колец 61
Поскольку включение / с: /** очевидно, мы
покажем, что /** с: /. Пусть О^аЕ /**. Тогда / с: аН.
Следовательно, О Ф аг е /' для некоторого г е /?,
откуда гф]*. В силу сказанного выше 1—гх^Р для
некоторого л:е/?. Следовательно, а(\—гх) = 0, а
потому а — агл; е /. Таким образом, /** = /.
Следствие. Если /? — подпрямо неразложимое
полупервичное кольцо, то /? — поле.
Доказательство. Так как Р ф О, то / <^ /*.
Таким образом, У* = 0. Следовательно, /? — поле.
Маккой указал также условия, необходимые и
достаточные для того, чтобы кольцо было подпрямо
неразложимым. В ' следующем утверждении дана иная
характеризация таких колец.
Предложение 9. Коммутативное кольцо /?
подпрямо неразложимо тогда и только тогда, когда Я
содержит элемент /, такой, что пересечение идеала //?
с любым ненулевым идеалом отлично от нуля и анну-
лятор }* является максимальным идеалом.
Доказательство. Если / — наименьший
ненулевой идеал кольца /? и 0 Ф / е / — произвольный
ненулевой элемент, то / = //? и в силу предложения 8
I* = у*—максимальный идеал. Другое условие
очевидно.
Обратно, пусть выполнены условия предложения.
Если а Ф 0, то аН П //? ^0 и, следовательно, 0 ф аг =
= /5 для некоторых г, 5 е /?. Таким образом, 5 ^ /* и,
значит, 1—5/ е /* для некоторого /е/?. Тогда / =
^M( = аг1, следовательно, как и требовалось, /7? с: а/?.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие из следующих свойств: полупервичность,
полупримитивность и регулярность — сохраняются при
переходе к подкольцам, факторкольцам и
произведениям колец?
2. Покажите, что кольцо (п X п) -матриц над
полем является регулярным кольцом,

62 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
3. Покажите, что если /? — регулярное кольцо, то
для любого элемента г найдется элемент г-, такой,
что пгг = г и г~гг- = г~. Если /? — коммутативное
кольцо, то г~ однозначно определяется элементом г.
4. Покажите, что в коммутативном регулярном
кольце для любого элемента г найдется обратимый
элемент и, такой, что гиг = г.
5. Покажите, что кольцо 7? является регулярным
тогда и только тогда, когда каждый главный правый
идеал выделяется прямым слагаемым (как правый
/^-модуль).
6. Покажите, что в коммутативном регулярном
кольце каждый конечно порожденный идеал является
главным.
7. Покажите, что коммутативное кольцо локально
тогда и только тогда, когда для любых элементов г
и 5 из равенства г + 5 = 1 следует, что либо г, либо
5 — обратимый элемент.
8. Пусть 2? — кольцо рациональных чисел,
знаменатели которых не делятся на простое число р.
Покажите, что 2> — локальное кольцо.
9. Если М — максимальный идеал коммутативного
кольца /?, а п — положительное целое число, то
кольцо К/Мп обладает единственным простым идеалом.
§ 2.3. Полное кольцо частных коммутативного кольца
Можно разными способами строить рациональные
числа, исходя из целых чисел. Некоторые из этих
способов восходят к теории пропорций Евклида. Мы
кратко опишем два таких метода.
Метод 1. Этот метод используется во многих
элементарных учебниках. Рассмотрим пары целых
чисел (а,Ь), ЬФО. Если считать пары (а, Ь) и (с, й)
эквивалентными в том и только в том случае, когда
ай = Ьс, то получим разбиение множества пар на
классы эквивалентности. Затем вводятся операции на
классах, превращающие множество классов
эквивалентных пар в поле, которое содержит кольцо целых
чисел. Иногда сразу определяют отношение а/Ь как

$ 2.3. Полное кольцо частных коммутативного кольца 63
множество всех пар (х,у), для которых ау = Ьх, и
работают дальше с отношениями.
Метод 2. Дробь 4/6 можно рассматривать как
частичный эндоморфизм аддитивной группы 2 целых
чисел. Его область определения — идеал 62, и он
переводит 6г в 4г, где 2Е2, Аналогично, дробь 6/9
определена на идеале 92 и переводит 9г в 6г. Эти две
дроби эквивалентны в том смысле, что они
согласованы на пересечении своих областей определений,
равном идеалу 182, поскольку и та и другая дробь
переводят \8г в 12г. Отношения определяются как
классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод,
можно выбрать в каждом классе эквивалентности
одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше
класс содержит несократимую дробь 2/3.
Оба метода можно применять для построения
«поля частных» областей целостности. Первый метод
можно применять к любому коммутативному кольцу
для построения «классического кольца частных», где
в качестве знаменателей допускаются все неделители
нуля. Второй метод может быть применен к
произвольному коммутативному кольцу для построения
«полного кольца частных», где в качестве областей
определения допускаются лишь идеалы определенного
типа. Как мы убедимся, «полное кольцо частных»
может быть больше «классического кольца частных».
Идеал й коммутативного кольца /? будем
называть плотным, если для любого г <= /? из равенства
гО = О следует, что г = 0. Перечислим некоторые
свойства плотных идеалов кольца К:
A) Я — плотный идеал.
B) Если й — плотный идеал и Оси', то идеал
^/ плотный.
C) Если й и й' — плотные идеалы, то ВО' и
В[\ВГ — также плотные идеалы.
D) Если НФО, то 0 не является плотным
идеалом.
Приведем доказательство утверждения C)
(остальные очевидны). Пусть гВВ' = 0. Тогда гс1О/ = 0

64 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
для любого й^В. Поэтому ввиду плотности идеала
В' гй = 0. Таким образом, тВ = 0. Следовательно,
ввиду плотности идеала В г = 0. Таким образом,
ВВ/ — плотный идеал. Так как ВВГ с^В Г\В'\ то
в силу B) В Л В/ — плотный идеал.
Под дробью мы будем подразумевать элемент
/е Нотй(Д /?), где В — некоторый плотный идеал.
Таким образом, / — гомоморфизм аддитивных групп,
для которого }(кг) = (}с1)г при всех й^В и ге/?.
Определим —/<= Нотй(Д, К), полагая (—1)с1 —
= —($й). Введем также дроби 0, 1 е Нотл(/?, /?),
положив 0/* = 0 и \г = г при всех ге/?. Сложение и
умножение дробей ^ е Нотяф*, /?), 1 = 1, 2,
определяются следующим образом:
А + ^еНогМ^П^, Л), (П + и) й = Пй + №.
Здесь идеал /Г1 А == {г е /? | /2г €= Т)]} является
плотным, поскольку он содержит идеал В2В\,
Очевидно, что дроби образуют аддитивную абе-
леву полугруппу (Р, 0, +) с нулем и полугруппу
(Р, 1,-) с единицей. Дроби не образуют кольцо,
поскольку, например, / + (—!)Ф0. (Область
определения левой части есть В; область определения правой
части равна /?.)
Будем писать /16/2, если /1 и /2 согласованы на
пересечении своих областей определений, т. е. [\с1 = \2й
при всех й <= В{ П В2.
Лемма 1. /10/2 тогда и только тогда, когда ^ и /2
согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство. Если /16/2, то /1 и /2
согласованы на В{ П В2. Обратно, пусть /1 и }2 согласованы
на плотном идеале В'. Тогда если й^. В\ Г\ В2 и
й' <= В\ то
Следовательно, A\с1 — 12Л)В' = 0, но так как В' —
плотный идеал, то \\й = \2й. Таким образом, /16/2-

§ 2.3. Полное кольцо частых коммутативного кольца 65
Лемма2. Отношение 0 является конгруэнцией на
системе (Р, О, 1, —, +, •)•
Доказательство. Очевидно, что отношение 9
рефлексивно и симметрично. Предположим теперь, что
/16/2 и /^б/з- Тогда ^ и }2 согласованы на Их Л #2, а /г
и /3 согласованы на В^ Г) #з- Следовательно, /1 и \ъ
согласованы на идеале В\ П Р>2 Л #з> являющемся
плотным идеалом. По лемме 1 Дб/з- Таким образом,
8 — отношение эквивалентности. Для того чтобы
показать, что Э — конгруэнция, мы должны проверить, что
отношение согласовано с операциями. Например, пусть
^Э/з, Ьб/ч. Тогда /1 + /2 и /3 + /4 определены и
согласованы на плотном идеале В\ П #2 П Ог П О*.
Следовательно, (Л +Ь)в(/з + /4).
Предложение 1. Если /? — коммутативное кольцо,
то система
(Р, 0, 1,- +, 0/8 = 0(/?)
также является коммутативным кольцом. Кольцо <?(/?)
содержит Я. (Будем называть ф (Я) полным кольцом
частных кольца /?.)
Доказательство. По лемме 2 все тождества,
выполняющиеся в Р, справедливы и в Р/д. Чтобы
убедиться в том, что (}(К) — коммутативное кольцо,
остается лишь проверить справедливость равенства
9/ + 9(—I) = 90 и законов дистрибутивности и
коммутативности.
Так как / + (—/) и 0 согласованы на /), области
определения /, то (/ + (—/))90. Кроме того, \\{12 + /з)
и (/1/2) + (/1/3) согласованы на Д^^з, т. е.
находятся в отношении 0. Отображения [^2 и /2/1
согласованы На #1#2-
Наконец, любому ге/? сопоставим дробь г/1 с
областью определения /?, при которой 5Е]? переходит
в Г8. Отображение г—^9(г/1), как легко видеть,
является гомоморфизмом. Если г/1 и 0/1 согласованы на
некотором плотном идеале Г), то гВ = 0 и,
следовательно, г = 0. Поэтому отображение г~*6(г/1)
является мономорфизмом. В дальнейшем будем называть
его каноническим мономорфизмом К в 0_(К).
3 Закл 1027

66 Га 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
Более общим образом, любому неделителю нуля
с1 ^ Я сопоставим плотный идеал сЩ. Если г €= /?, то
определим классическую дробь т\й е Нотд(й/?, /?),
полагая (г/с1) (Лз) = гз для любого 5 е /?.
Сформулируем без доказательства
Предложение 2. Классы эквивалентности 0(г/^),.
где г, й^%, причем й — неделитель нуля, образуют
подкольцо кольца ф(^). (Оно называется
классическим кольцом частных кольца Я и обозначается
Заметим, что 8(г1/д?1) = §{г21й2) тогда и только
тогда, когда г\\й\ и г2/^2 согласованы на 01^2, что
равносильно равенству Г\й2 = г2й\. Следовательно, <2с1(^?)
совпадает с классическим кольцом частных,
построенным первым методом.
Дробь называется несократимой, если ее область
определения не может быть расширена.
Предложение 3. Каждый класс эквивалентных
дробей содержит в точности одну несократимую дробь.
Доказательство. Если /1^/2 означает, что
Ох с: /J, то дроби в классе эквивалентности образуют
упорядоченное множество. Рассмотрим в нем линейно
упорядоченное семейство дробей {/г|/е/}. Пусть
0= [}0^ Определим / е Нотя(Д, Я), полагая \й =
16/
= 14 для й <= Ог. (Если при этом й е О), то \\й = /Д
поскольку и и /^ согласованы на Ог П Д/.) Таким
образом, / — верхняя грань линейно упорядоченного
семейства. В силу леммы Цорна класс эквивалентных
дробей содержит по крайней мере одну несократимую
дробь. Утверждение следует теперь из того
замечания, что любые две эквивалентные дроби обладают
общим расширением. Действительно, пусть/!0/2.
Определим I €= Н0Шдф1 + #2, /?), ПОЛОЖИВ /(^1 + й2) =
= М-1 + Н^2- (Чтобы убедиться в корректности
определения, надо показать, что из равенства й\ + с12 = О
следует равенство 1\й\ + /2^2 — 0. Но если й\ = —й2 е
€Е й{ Г) #2, ТО /^1 = /2^1 = —М*)

$ 2.3. Полное кольцо частных коммутативного кольца 67
Предложение 4. Следующие утверждения о
коммутативном кольце Я равносильны:
A) Область определения любой несократимой
дроби совпадает с Я.
B) Для любой дроби / можно найти элемент
5Е^, такой, что 1с1 = зй, при всех й<=В, где В —
область определения дроби (.
C) 0.{%) канонически изоморфно кольцу К.
При выполнении любого из этих условий мы
будем называть кольцо Я рационально полным.
Доказательство. Допустим, что справедливо
A). Пусть ( — дробь и /'— несократимое расширение
дроби /. В силу свойства A) область определения
дроби /' равна Я. Положим /'1 = 5. Тогда }й = \гй =
= /'(Ы) = (/'1)й == 8С^ ПРИ всех с1^й. Следовательно,
справедливо B).
Пусть справедливо B). Рассмотрим элемент 0/ из
B(Н). В силу B) /0E/1) (в обозначениях из
доказательства предложения 1). Таким образом, 0/ = 0E/1),
где правая часть равенства — канонический образ
элемента 5б/? в <2(#). Из этого следует, что
канонический мономорфизм /?—^G?) является
изоморфизмом.
Пусть справедливо C), и пусть /— несократимая
дробь. Тогда 0/= 0E/1) для некоторого 5Е]?. Но
5/1—несократимая дробь и, следовательно, [ = 5/1
по предложению 3. Поэтому область определения
дроби / совпадает с /?.
Предложение 5. Если /? — коммутативное кольцо,
то кольцо ($ (К) рационально полное.
Сделаем несколько предварительных замечаний.
Чтобы не усложнять обозначения, отождествим
кольцо /? с его каноническим образом в (?(/?). Таким
образом, 6 (г/1) = г. Если ц е <Э(/?), то положим ц~хК =
= {гЕ^|?ге/?}. Идеал ц~хК является плотным.
Действительно, если ц = 0/ и В — область определения
дроби /, то
цй = 0/0 (<*/1) = е (/(<*/!)) = д (№/{) = №
3*

68 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
при всех йеВ, Следовательно, цВ с: Я, и поэтому
В с= <гхК.
Доказательство. Пусть ф —дробь над С1(Я)
с областью определения К1). Положим /)={ге7?|фге
еЛ}. Определим /^Нотд@, /?), положив \й = ф<1
Покажем, что (а) /) — плотный идеал в /?; (б) ф& =
= @/)& для любого к ^ К- Утверждение предложения
будет следовать тогда из условия B) предложения 4.
(а) Пусть г <= Я и гВ = 0. Если й <= Дг, то ср& е
<ее <2G?). Положим /У = к-Щ Л (ф^)-1/?. Идеал В'
является плотным, ((рк)В' а Я я кВ/ а Я. Следовательно,
ц>{кВ')с^ Я. Поэтому кВ'а:В. Таким образом,
(г к) В' = г(кВ') а г В = 0 и, следовательно, гк = 0.
Итак, г К = 0, но поскольку К — плотный идеал, то
г = 0.
(б) Пусть к ^ К и с1' ^ В\ где В'— определенный
выше идеал. Тогда в силу только что приведенных
рассуждений {^к)й; = ф(Ы') = \(кй!) = @/) (Ы').
Следовательно, элемент ук — (в}) к аннулирует плотный
идеал В/ кольца Я, а поэтому он равен нулю.
(Действительно, элемент кольца <2(/?), аннулирующий
плотный идеал кольца Я, равен нулю.)
Пусть 5 — коммутативное кольцо, тогда мы можем
называть аддитивную подгруппу В кольца 5 плотной
(даже если В не является идеалом) в том случае,
когда для любого 5е5 из равенства $В = 0 следует
5 = 0. Предположим теперь, что Я — подкольцо
кольца 5. Кольцо 5 называется кольцом частных кольца
Л, если для любого $ ^ 5 подгруппа 5/? = {ге
^Я|5ге/?} плотна в 5. Итак, 5 — кольцо частных
кольца /? тогда и только тогда, когда для любых 5,
/е5 из соотношения I Ф 0 следует, что ^E-1^) ф 0.
Другими словами,
Это определение восходит к Утуми.
*) То есть ф е N0X1B ^ (/<", С} (#)). — Прим. ред.

§ 2.3. Полное кольцо частных коммутативного кольца 69
Следующее предложение показывает, что /?, СС1(#)
и С1(Я) являются кольцами частных кольца /?. Кстати,
это было предвосхищено нашей терминологией. Более
того, в некотором смысле, который мы уточним в
дальнейшем, Я является наименьшим, а С
(Л?)—наибольшим среди колец частных.
Предложение 6. Пусть К — подкольцо
коммутативного кольца 5. Тогда следующие три условия
равносильны:
A) 5 — кольцо частных кольца /?.
B) Если 0^5е5, то 8~1Я — полный идеал в
кольце Я и 8(8~1Я)Ф0.
C) Существует мономорфизм 5-> (?(/?),
индуцирующий канонический мономорфизм 7? —> <3 (/?).
Доказательство. Очевидно, что из A)
следует B). Пусть справедливо B). Отображение 5:
й-*8с1, где д?€Е5-1/?, является дробью, а отображение
$—>05, очевидно, оказывается гомоморфизмом кольца
5 в <2(/?), индуцирующим канонический мономорфизм
г->0г = 6(г/1). Ядро отображения 5-* 05 состоит из
всех 5^5, для которых 05 = 0, т. е. 500. Последнее
равносильно равенству 5E_17?) = 0, откуда 5 = 0.
Таким образом, это мономорфизм, и из B) следует C).
Пусть, наконец, справедливо C). Л1ожно считать,
что /?с5сС(]?). Если 5 = 0|е5, то 5/? :з /), где
й — область определения дроби /. Пусть теперь I е 5.
Допустим, что /E/?) = 0. Если * = е/', то/7) = 0,
следовательно, /'00, а тогда I = 0. Итак, из C)
следует A), что заканчивает доказательство.
Из последней части этого доказательства выводим
такое
Следствие. Если 5 — кольцо частных
коммутативного кольца К и О — плотный идеал в /?, то В плотно
в 5.
Предложение 7. <3(/?)—единственное (с точностью
до изоморфизма) рационально полное кольцо частных
коммутативного кольца К.
Доказательство. Пусть 5 — кольцо частных
кольца Я. В силу последнего предложения можно

70 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
считать, что ]?с5с^(]?). Для любого ц е О,(Я)
положим О = {$^5|<7$^5}*). Тогда й^^К и,
следовательно, I) — плотный идеал в52). Таким образом,
отображение й->^, йеО, является дробью над
5. Допустим теперь, что 5 рационально полно.
Тогда найдется 5е5, для которого цЛ = $й при всех
йей. Так как ст^ай, то Б плотно в <2(ДJ) и
можно заключить, что ц — 5. Таким образом, B(/?) =5.
Для полноты изложения сформулируем также
следующее
Предложение 8. Если {Я^'е/}— семейство
коммутативных колец, то
<г(Пя,)^П<г(я,).
\1€=/ } 1*6=/
Мы опустим доказательство этого факта,
поскольку нам придется в дальнейшем доказать это
утверждение для колец, не обязательно являющихся
коммутативными.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите предложение 2.
2. Дайте доказательство предложения 3 (не
использующее леммы Цорна), построив дробь, область
определения которой совпадает с суммой областей
определения дробей класса эквивалентности.
3. Если ^ с 5 с 7, то Т является кольцом
частных кольца /? тогда и только тогда, когда 5 — кольцо
частных кольца К, а Т — кольцо частных кольца 5.
4. Покажите, что 5 является кольцом частных
кольца /? тогда и только тогда, когда для любого
/^-подмодуля й в 5, содержащего /?, и для любого
Ф е Нотяф, 5) из ф/? = 0 следует, что ф = 0.
5. Покажите, что для любого кольца частных 5
кольца /? существует в точности один гомоморфизм
5->B(#), индуцирующий канонический мономорфизм
на-Д.
!) Разумеется, В зависит от ц. — Прим. перев. и ред.
2) Следует учесть, что д-1/? плотно в Н, и принять во
внимание следствие. — Прим. ред.

$ 2.4. Кольца частных полу первичных колец 71
6. Если / — несократимая дробь над Я и ц = 0/ —
ее класс эквивалентности, то д~1Я— область
определения дроби /.
7. Пусть Я— коммутативное кольцо. Покажите,
что /? = Bс\(Н) тогда и только тогда, когда каждый
необратимый элемент является делителем нуля.
8. Для каких коммутативных колец каждый класс
эквивалентности классической дроби содержит
единственную несократимую классическую дробь?
§ 2.4. Кольца частных коммутативных
полупервичных колец
Сопоставим подмножеству К коммутативного
кольца /? его аннулятор /С* = {г е Я\гК = 0}. Разумеется,
К* — идеал кольца /?. Как правило, подмножество К
само будет идеалом. Идеал К плотен тогда и только
тогда, когда К* = 0. Заметим, что если К\ и К2 —
подгруппы в /?, то (К\ + К2) = Дл Л /Сг- Будем обозначать
(К*)* через /С**.
Лемма 1. Если К—идеал коммутативного
полупервичного кольца, то
и К + К* является плотным идеалом.
Доказательство. Так как (К С] К*J с:
а К*К = 0, то К П К* = 0. В силу уже доказанного
(# + /Г)* = /СП/С = 0.
Предложение 1. Если Я— коммутативное кольцо,
то кольцо Я (Я) регулярно тогда и только тогда,
когда К — полупервичное кольцо.
Доказательство. Если кольцо Я (Я)
регулярно, то оно полупервично и, следовательно,
полупервично любое подкольцо кольца С! (Я) (в
частности, /?).
Допустим теперь, что /? — полупервичное кольцо.
Если для любой дроби ^ над /? найдется дробь /',
такая, что //79Д то Я(Я)—регулярное кольцо. Пусть

72 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
I — дробь с областью определения В и ядром К с: В.
Тогда поскольку В Л /С* П К = 0, то ограничение / на
В Л /С* — мономорфизм. Пусть Я =/(/? Г)/С*).
Определим У е НоШй(^ + Я*, /?), полагая /'(/я!) = й для
всех /й е Е и /V = 0 для всех геР. Тогда /77^ = /#,
где йейПК*. Но это равенство, очевидно,
выполнено, когда йе/(<=/). Отсюда элемент //7 —!
аннулирует идеал К+ (йОК*), который в силу закона
модулярности совпадает с идеалом В Л (К + К*),
являющимся плотным идеалом (как пересечение двух
плотных идеалов). Следовательно, /776/-
Лемма 2. В коммутативном кольце
/(с/^ГсГ. A)
К с= Г*. B)
/С*** = /С*. C)
Доказательство. Утверждение A) очевидно.
Утверждение B) следует из равенств К К* = К*К = 0.
Из A) и B) вытекает, что /С*** с: /С*; включение
/С* с: /С*** — частный случай свойства B).
Идеалы вида К* называются аннуляторными
идеалами. Таким образом, / является аннуляторным
идеалом тогда и только тогда, когда I = К* для
некоторого подмножества К в Н, что ввиду C) равносильно
равенству /** = /.
Предложение 2. Аннуляторные идеалы
коммутативного полупервичного кольца Я образуют полную
булеву алгебру В* {В) (с пересечением в качестве
точной нижней грани и * в качестве дополнения).
Доказательство. Поскольку |~) Кг = ( 2 К*),
любое пересечение а'ннуляторных идеалов является
аннуляторным идеалом. Следовательно, аннуляторные
идеалы образуют полную полуструктуру с
пересечением в качестве нижней грани. Чтобы проверить, что
они образуют булеву алгебру, осталось убедиться в
том, что
для аннуляторных идеалов / и К. Однако, если / с: /С,

$ 2.4. Кольца частных полупервичных колец 73
то / Л К* а К Г) К* = 0. Обратно, если / П К* = 0, то
//С* = 0, откуда / <= К** = К.
Лемма 3. Если Мя есть К-подмодуль в (${К) и
9(М ЛЯ) = 0, где д*=A(К), то цМ = 0.
Доказательство. Пусть ^(М П /?) = 0. Если
га е М и /) = га-1/?, то гай с: М Л #. Следовательно,
^т^ = 0. Так как й — плотный идеал, то цт = 0.
Таким образом, цМ = 0.
Предложение 3. Отображение К~*КГ\Н является
изоморфизмом В*(С)(К)) на В*(Я).
Доказательство. Пусть К — аннуляторный
идеал в Я (К), т.е. К = ЛГ*, где М с ()(%). Тогда по
лемме 3 К Л Я = {^е=#|гМ = 0} = (М Л /?) *. Таким
образом, /СП/?€=13*(#).
Указанное отображение является гомоморфизмом
булевых алгебр, так как оно переводит 0 в 0, К\ Л /Сг
в (/A Л #) Л (Кг Л /?) и «дополнение» (аннулятор)
идеала М в «дополнение» (М Л Я) * идеала М Л 7?.
Это отображение является мономорфизмом, так
так по лемме 3 из равенства К Л 7? = 0 следует, что
/С = 0. Оно — эпиморфизм, так как если /с:7?, то
/* = ЯЛЯ, где /С = {<7 ^<3 (/?) |<7/ = 0} —
аннуляторный идеал в С!(К).
Предложение 4. Если коммутативное кольцо /?
полупервично и рационально полно, то каждый
аннуляторный идеал выделяется прямым слагаемым.
Доказательство. Пусть К — аннуляторный
идеал. Рассмотрим отображение / ее Нотй(Д' + /С*, /?),
полагая ((а + Ь) = а, где йеД' и Ь^К*. Идеал
К + К* плотный (по лемме 1), а кольцо /?
рационально полно. Следовательно, существует элемент е е #,
такой, что а = [(а + Ъ) = е(а + Ь). Тогда е2(а + &) =
= еа = 1а = а = е(а + Ь). Таким образом, в2 — е
аннулирует плотный идеал К + /С*. Поэтому е2 = е. Кроме
того, /С = еКс^еК. Аналогично К*с:A — в)/?.
Следовательно, е/?с:(A—е)#)*с:/С** =/С. Таким
образом, К = е& является прямым слагаемым в /?,

74 Гл. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
Следствие 1. Если коммутативное кольцо Я
полупервично и рационально полно, то В*(Я)^В(Я), где
В (Я) — булева алгебра идемпотентов кольца Я.
Доказательство. Сопоставим идеалу еЯ идем-
потент е е В (Я). Детали оставляем в качестве
упражнения.
Следствие 2. Если Я — коммутативное
полупервичное кольцо, то В* {%) ^ В* {СЦЯ)) ^ В(<3{Я)).
Лемма 4. Если Я — булево кольцо, то кольцо
(}(Я) булево.
Доказательство. Пусть / — дробь над /? с
областью определения /). Тогда Р определена на О2,
что совпадает с /). (Действительно, О2 с: О, а если
йей, то й = й2еВ2.) Так как \Ч = Шс12) = (ЭД2 =
= \й для любого й <= Д то /20/\ Следовательно, (9/J =
= 9/, и поэтому B(/<?)—булево кольцо.
Для рассмотрения взаимоотношения между
булевыми кольцами Я и <2(Я) предпримем небольшой
обходной маневр.
Пусть E, ^) — упорядоченное множество.
Подмножеству X в 5 сопоставим множество ХА всех
верхних граней множества X и множество XV всех
нижних граней множества X. Пусть X У = (Д ) .
Лемма 5.
Хс=7гф(Глс:ХА&Кус:Ху). A)
1сЛ Хс=ХуА. B)
ХАуА = ХА, ^уАу = Ху. C)
Кроме того,
уА (а также Ау)—операция замыкания. D)
Доказательство оставим в качестве упражнения.
Назовем У нижним конусом, если У = Ху для
некоторого X. В силу C) это равносильно тому, что
У = УА\

$ 2.4. Кольца частных полупервичных колец 75
Предложение 5. Нижние конусы в E, ^) образуют
полную структуру 0C). Каноническое отображение
\х: 5->/)E), при котором \хх = {*}Ау, обладает
следующим свойством: х^Су тогда и только тогда, когда
[IXс= 1ху. Таким образом, (О (8),а) можно
рассматривать как расширение для E, <1). Кроме того, каждый
элемент из 0(8) является точной верхней гранью и
точной нижней гранью для некоторых подмножеств
из (л,5. (О (8) называют пополнением Дедекинда —
Макнейла упорядоченного множества 51).)
Доказательство. Очевидно, что из
неравенства х4{/ вытекает, что {у}Аа{х}Аи в силу A) \ххс2
а \ху. Обратно, если \1ха \ху, то, согласно C), {#}Ас:
с: {х} . Это означает, что для всех /е5из неравенства
у-^^ следует, что х<^. Но у-*Су и, следовательно,
х<у.
Затем мы покажем, что если X — нижний конус,
то X = зир {|ы$| |1$ с:^}. Действительно, \13сиХ
означает, что ХАа {$}А, т. е. 5е1 Конечно, X является
верхней гранью указанного множества конусов.
Предположим, что нижний конус У также является
верхней гранью того же множества. Тогда из включения
[л$ с: X следует, что [х5 с: У, т. е. если 5 е X, то 5 е У,
т.е. 1с У. Следовательно, X — точная верхняя грань.
Наконец, покажем, что если X — нижний конус,
то X = т1 {\181X с= A5}. Действительно, Хсщхз
означает, что {$}Лс: ^Л, т. е. для всех /е5 из неравенства
$<^ следует, что 1<^Х . Из этого вытекает, что
5е1л.С другой стороны, из того, что 5е1аи 5<<I,
следует в силу транзитивности отношения ^, что
(е1. Очевидно, что X — нижняя грань указанного
множества конусов. Допустим, что нижний конус У
также является нижней гранью того же множества.
Тогда из Хсцхз вытекает, что Ус:[х5, т. е. если $^^А,
то 5Е УЛ. Отсюда ХАс= Ул, т. е. Ус=Х.
Следовательно, X — точная нижняя грань.
!) Употребляется также термин пополнение сечениями. —
Прим. ред.

76 Г л. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
Предложение 6. Нижние конусы булевой алгебры
Яу рассматриваемой как кольцо, совпадают с аннуля-
торными идеалами, т. е. О (Я) = В* (Я).
Доказательство. Если К — подмножество в Я,
то множество К всех его верхних граней можно
задать так:
КА = [г е Н\ЧкеК гк = к} = {г е ЯП - г <= К%
Совокупность же /СЛу всех нижних граней множества
К задается равенством
КА*={8^Я\УГ^КЬ8Г = 8} = {8!=Я\8К* = 0} = К*\
Таким образом, 1{ — Ку тогда и только тогда, когда
К = К**.
Следствие. Если Я — булево кольцо, то его
пополнение Дедекинда — Макнейла изоморфно над Я
полному кольцу частных кольца Я 4).
Доказательство. /)(/?)= В*(Я)^ В(С}{Я)) =
= (?(/?). Изоморфизм, конечно, таков, что Я,
рассматриваемое как подмножество в О (Я), переходит
поэлементно в /?, рассматриваемое как подмножество в
О (Я).
Мы теперь в состоянии привести пример кольца Я,
полное кольцо частных которого не совпадает с
классическим кольцом частных. Действительно, если Я —
булево кольцо, то гA —г) = 0 для всех ге^.
Следовательно, 1 — единственный неделитель нуля. Таким
образом, (дс1(Я) = Я. Но мы только что показали, что
С}(Я)=0(Я). Легко построить булеву алгебру, не
являющуюся полной. Например, множество всех
конечных подмножеств множества натуральных чисел и их
дополнений составляет такую булеву алгебру. Ее
пополнение, разумеется, совпадает с множеством всех
подмножеств множества натуральных чисел.
*) Смысл термина «изоморфно над 7?» раскрыт последней
фразой доказательства. — Прим. ред.

$ 2.4. Кольца частных полупервичных колец 77
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть /? и 5 — множества, 6 — бинарное
отношение между ними (т. е. в сущности подмножество
в /?Х5). Для любых подмножеств Хс^.% и У с: 5
определим
Г={8^8\у/хеХхИз},
У+ = {г^Я\Уу^угду}.
Покажите, что
ХсГ+,
Х.аХп =^ Хп ^ д., X = X ,
а также, двойственным образом,
ГсГ+*
и т. д.
2. В обозначениях упражнения 1 покажите, что
соответствия Х-*Х*+ и К—>У+* являются операциями
замыкания на множествах всех подмножеств
соответственно в 7? и 5. Покажите, что структура
замкнутых подмножеств в /? дуально изоморфна структуре
замкнутых подмножеств в 5. (Такая ситуация
называется полярностью. Эта глава содержит два примера
полярностей, в которых ^ = 5. В первом примере г0$
означает, что гз = 0, во втором примере это означает,
что г<^5.)
3. 'Если К—идеал полупервичного кольца, то его
аниулятор К* совпадает с пересечением всех простых
идеалов, не содержащих /С.
4. Если /' построено так, как в доказательстве
предложения 1, то не только /770/» но также и /7/'0/'«
5. Если полупервичное кольцо /? является под-
кольцом коммутативного кольца 5, то 5 будет
кольцом частных кольца /? тогда и только тогда,
когда 5E_1^)=т^0 для всех ненулевых элементов 5е5.
6. Пусть # — коммутативное полупервичное
рационально полное кольцо. Если К — идеал кольца Н (не
обязательно плотный) и феНотк(/С,^), то
существует элемент ге/?, для которого срб = гк при всех

78 Г л. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
^еК. (Это свойство кольца /? называется самоинъ-
ективностью и будет обсуждено позже.)
7. Если 7? — коммутативное полупервичное
рационально полное кольцо, то /? = 5 X Т, где 5 — прямое
произведение полей и в В(Т) отсутствуют атомы.
8. Покажите, что пополнение Дедекинда — Мак-
нейла упорядоченного множества E, ^) можно с
точностью до изоморфизма над 5 охарактеризовать
абстрактно как полную структуру, которая
содержит 5 и каждый элемент которой можно представить
в виде точной нижней грани и точной верхней грани
элементов из 5.
§ 2.5. Пространства простых идеалов
Топологическим пространством называется
система (-^,7"), где X — множество, а Т — множество его
подмножеств, замкнутое относительно объединений и
конечных пересечений. Элементы из Т называются
открытыми множествами. Таким образом,
A) объединение открытых множеств открыто
(в частности, пустое множество открыто);
B) если У\ и У 2— открытые множества, то У\[\
П У 2 открыто;
C) X — открытое множество.
Топологическое пространство называется
компактным, если любое семейство открытых множеств,
покрывающих пространство, содержит конечное
подсемейство, также покрывающее все пространство.
Множество называется замкнутым, если его дополнение
открыто. Замыканием множества называется
пересечение всех замкнутых множеств, его содержащих.
В дальнейшем П будет обозначать некоторое
множество простых идеалов коммутативного кольца /?.
Примерами, которые нас интересуют, являются:
(а) множество всех простых идеалов,
(б) множество всех максимальных идеалов.
(Смотри, однако, доказательство предложения 4.)
Введем в П топологию, которую одни авторы
связывают с именем Стоуна, другие — с именем Зарис-
ского.

$ 2.5. Пространства простых идеалов 79
Предложение 1. П превращается в топологическое
пространство, если в качестве открытых множеств
взять все множества вида
ТА = {Р<=ЩАфР),
еде А — подмножество в Р. Если П содержит все
максимальные идеалы, то П — компактное
пространство.
Ясно, что ТА = ГЛ', где А/ — пересечение простых
идеалов из П, содержащих Л. Поскольку Аг — идеал,
отсюда следует, что запас открытых множеств
останется тем же самым, если считать, что А — идеал.
Заметим, что
ГЛ=У Га.
а*=А
Таким образом, множества вида Га образуют базис
открытых множеств пространства П в том смысле,
что они открыты и каждое открытое множество
является объединением открытых множеств из базиса.
Доказательство. Во-первых,
угЛг. = {Ре=П|эгеД^Р}==
Во-вторых,
ГА Г) ГВ = {Р 6= П | А ф Р&В ф Р) =
= {РеП|ЛВ<^Р} = Г(ЛВ).
В-третьих,
Гр = {Р€=П|Р<^Р} = И.
Наконец, если
п=угл| = гBлЛ
то идеал 2 Аь не содержится ни в одном
максимальном идеале и поэтому содержит 1. Но тогда
1 е 2 А1 > где Р — конечное подмножество в /,

80 Г л. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
Следовательно,
п=гB лг) = игл„
что заканчивает наше доказательство.
Заметим, что Г осуществляет отображение из
множества подмножеств кольца 7? в множество
подмножеств пространства П. Введем теперь отображение Д,
действующее в обратном направлении, положив
дк= Пр
для любого подмножества Ус: П. В частности, ДП —
первичный радикал или радикал кольца в зависимости
от того, является ли П множеством всех простых
идеалов или только множеством всех максимальных
идеалов кольца /?.
Заметим, что для любого подмножества А кольца
/? множество ТА является открытым и для любого
подмножества V в П множество ДУ является
пересечением простых идеалов. Что произойдет, если
применять и Г и Д?
Объединение всех открытых множеств,
содержащихся в множестве V, называется его внутренностью.
Нам удобно назвать внешностью множества V
внутренность его дополнения.
Предложение 2. Для любого подмножества V в П
его внешность совпадает с ГДУ. Если ДП = 0, то для
любого подмножества А в К аннулятор Л*
множества А совпадает с ДГЛ.
Доказательство. Во-первых,
Р'еГДУ^фДУ^Р'^
4ФЗге*У*еу(г€=Р&г^Р'LФ
что означает существование базисного открытого
множества Тг, содержащего Р' и не пересекающегося
с V, что в свою очередь равносильно принадлежности
Р/ внешности множества V,

§ 2.5. Пространства простых идеалов 81
Во-вторых, если АП = 0, то
геАГЛ4ФУреП(Л(^Р=фгеР)фф
Подмножество V топологического пространства
называется регулярным открытым множеством, если
V совпадает с внутренностью своего замыкания. Как
легко видеть, это равносильно тому, что V совпадает
с внутренностью некоторого замкнутого множества и,
следовательно, V является внешностью некоторого
открытого множества. Регулярные открытые
множества образуют полную булеву алгебру с конечными
пересечениями в качестве конечных точных нижних
граней и с внешностью в качестве дополнения. В этой
булевой алгебре нулевым элементом является пустое
множество.
Внешность внешности регулярного открытого
множества V совпадает с V. Аннулятор аннулятора ан-
нуляторного идеала А совпадает с А. Следовательно,
отображения Г и АГА являются взаимно обратными
(предполагая, разумеется, что ДП = 0). Кроме того,
как легко проверить, Г — гомоморфизм булевых
алгебр. Таким образом, мы получили первую часть
следующего утверждения:
Предложение 3. Если П — пространство простых
идеалов коммутативного кольца Я, такое, что АП = О,
то Г является изоморфизмом полной булевой
алгебры аннуляторных идеалов кольца Я на полную
булеву алгебру регулярных открытых множеств в П.
Кроме того, если П содержит все максимальные
идеалы кольца Я, то Г индуцирует изоморфизм булевой
алгебры прямых слагаемых кольца Я на булеву
алгебру замкнутых и одновременно открытых
подмножеств пространства П.
Доказательство. Остается лишь доказать
второе утверждение. Поскольку 7? — коммутативное

82 Г л, 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
полупервичное кольцо, прямые слагаемые можно
охарактеризовать как те аннуляторные идеалы Л, для
которых Л + Л* = #. Так как П содержит все
максимальные идеалы, то это равносильно тому, что
Г (Л + Л*) = Г/?, т. е. ТА [] ГАГЛ = П. Но ГАГЛ
является внешностью множества ГЛ. Следовательно,
аннуляторный идеал является прямым слагаемым
тогда и только тогда, когда ассоциированное
регулярное открытое множество ГЛ совпадает с дополнением
своей внешности, т. е. когда множество ГЛ
одновременно открыто и замкнуто.
Следствие (Стоун). Если П — множество всех
простых (максимальных) идеалов булева кольца /?,
то К изоморфно алгебре замкнутых и одновременно
открытых подмножеств пространства П. Кроме того,
пополнение Дедекинда — Макнейла этой алгебры
изоморфно алгебре регулярных открытых подмножеств
пространства П.
Доказательство. /? = Я(#), Г>(#) ~Я*(#).
Полученный результат дает представление булева
кольца в виде алгебры подмножеств множества П.
Можно спросить себя о том, как охарактеризовать
алгебру всех подмножеств некоторого множества.
Очевидно, что эта алгебра должна быть полной
(полной по Дедекинду или рационально полной) 1) и
атомной, т. е. для любого элемента г существует
атом (минимальный ненулевой элемент) а, для
которого а О.
Предложение 4. Булева алгебра /? изоморфна ал-
гебре всех подмножеств некоторого мнооюества тогда
и только тогда, когда Я— полная и атомная алгебра.
Доказательство. Остается установить
достаточность условий. Мы применим предложение 3
к пространству П, вообще говоря, не являющемуся
множеством всех простых идеалов.
*) См. предложение 2.3.4 и следствие предложения 2.4.6.—
Прим. перев. и ред.

$ 2.5. Пространства простых идеалов 83
Каждому атому а сопоставим идеал а*. Очевидно,
что \фа*. Пусть г фа*, тогда 0 фаг < а.
Следовательно, аг = а, и поэтому 1—г^а*. Таким образом,
а* — максимальный идеал.
Пусть П — множество всех максимальных идеалов
вида а*, где а — атом в /?. Если г Ф О, то найдется
атом а -< г. Поэтому аг = аф О и, следовательно, г ф
фа*. Тогда г ф АП. Таким образом, АП = 0, что дает
возможность применить первую часть предложения 3.
Если а — атом, то Га совпадает с множеством
всех &*, где Ь — атом, такой, что афЪ*, т. е. аЬ ФО,
или а = аЪ = Ь. Следовательно, Та = {а*}.
Таким образом, каждая точка в П является
открытым множеством. (В этом случае говорят, что
топология в П дискретная.) Легко видеть, что
каждое подмножество в П является регулярным
открытым множеством. Следовательно, алгебра й(Я) =
^В*(Я) изоморфна алгебре всех подмножеств
множества П. Так как /? — полная алгебра, то й(Я) = К,
что завершает доказательство.
Заметим, что хотя каждое подмножество
пространства П замкнуто и открыто, мы не могли бы
применить вторую часть предложения 3 (или его
следствие), поскольку П не обязательно содержит все
максимальные идеалы. На самом деле если бы П
содержало все максимальные идеалы, то оно было бы
конечным множеством, так как компактное дискретное
пространство всегда конечно.
Поскольку в приведенном выше доказательстве
полнота алгебры /? используется лишь в конце, мы
можем извлечь из этого рассуждения несколько
больше.
Следствие. Если /? — атомная булева алгебра, то
ее пополнение изоморфно алгебре всех подмножеств
множества атомов алгебры /?.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что внутренность любого замкнутого
множества совпадает с внутренностью ее
замыкания.

84 Г л. 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец
2. Докажите, что в любом топологическом
пространстве регулярные открытые множества образуют
булеву алгебру.
3. Докажите непосредственно, что любая конечная
булева алгебра изоморфна алгебре всех подмножеств
конечного множества.
4. Покажите, что в булевой алгебре /? для любых
элементов а, Ь\ е /?, г е /, справедливо равенство
а Л зир Ь1 = зир (а Л 6*).
16/ 16/
5. Дайте прямое доказательство предложения 4,
сопоставляя каждому элементу г ^ Я множество всех
атомов а, для которых а ^С г.

Г ЛАВА 3
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АССОЦИАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§ 3.1. Примитивные кольца
С этого момента /? — ассоциативное (возможно,
некоммутативное) кольцо с 1. Модуль Ап называется
неприводимым, если число подмодулей в Ак равно
в точности двум. Эти подмодули — А и 0. Таким
образом, из определения следует, что А Ф 0. Пусть М —
произвольный правый идеал в /?. Тогда Я/М —
неприводимый правый ^-модуль в том и только том
случае, когда М — максимальный (собственный)
правый идеал. С другой стороны, Мп — неприводимый
модуль тогда и только тогда, когда М —
минимальный ненулевой правый идеал, для краткости —
минимальный правый идеал.
Элемент г кольца Н называется обратимым
справа, если существует элемент 5е/?, для которого гз =
= 1 и обратимым, если он обратим справа и слева.
В этом случае легко проверяется совпадение левого
обратного с правым.
Предложение 1. Следующие условия на кольцо Я
эквивалентны:
A) 0 — максимальный правый идеал.
B) /?н — неприводимый правый К-модуль.
C) Каждый ненулевой элемент обратим справа.
D) Каждый ненулевой элемент обратим.
(V) — C') Условия A) — C) с заменой слова
«правый» на «левый». (Если выполнены эти условия, то
кольцо Я называется телом.)
Доказательство. Эквивалентность условий
A) — C), а также импликация D)==>C) очевидны.
Эквивалентность условиям (!') — C') следует из

86 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
симметричности условия D). Таким образом, осталось
показать, что C)=фD).
Если выполнено условие C) и ОФг^Н, то л$ = 1
для некоторого элемента 5Е]?. Так как О ф 5, то
5/ = 1 для некоторого / <= /?. Но
г=1г = (Г5)г = гEг) = Г1=Л
Отсюда 8Г = 1, и, следовательно, элемент г обратим
и слева.
Кольцо называется простым, если в нем имеется
всего лишь два идеала, т. е. если 0 — максимальный
идеал кольца. Если М— произвольный идеал
кольца /?, то Я/М — простое кольцо тогда и только тогда,
когда М — максимальный идеал. Очевидно, что
любое тело является простым кольцом. Коммутативное
кольцо просто тогда и только тогда, когда оно
является телом, т. е. тогда и только тогда, когда оно
поле. Сейчас модно вместо простых колец изучать
кольца более широкого класса.
Идеал Р кольца /? называется примитивным
(справа), если Р — наибольший идеал, содержащийся в
некотором максимальном правом идеале М. Таким
образом,
Это определение не является симметричным.
Известно, что из правой примитивности не следует левая.
Тем не менее прилагательное «правый» обычно
опускается. Кольцо /? называется примитивным (справа),
если примитивен его нулевой идеал. Легко показать,
что идеал Р примитивен тогда и только тогда, когда
Н1Р — примитивное кольцо. Коммутативное кольцо
является примитивным тогда и только тогда, когда
оно поле. Очевидно, что простое кольцо является
примитивным кольцом, а максимальный идеал —
примитивным идеалом.
Сейчас мы получим другую характеризацию
примитивных колец, которую иногда используют в
качестве определения. Для этого нам потребуется еще
одно понятие. Модуль Ан называется точным, если
Аг Ф О для любых О Ф г е /?. Это означает, что кано-

$ 3.1. Примитивные кольца
87
ническое представление кольца /? эндоморфизмами
аддитивной группы А является мономорфизмом.
Предложение 2 (Джекобсон). Кольцо Я
примитивно тогда и только тогда, когда существует точный
неприводимый модуль Ак.
Доказательство. Допустим, что Я—
примитивное кольцо. В этом случае существует
максимальный правый идеал М, для которого/? * . М = 0.
Положив А = Я/М, получим неприводимый модуль Ан.
Если ге/? и Аг = 0, то Яг с: М и, следовательно,
г^Я* . М = 0. Таким образом, Ап — точный модуль.
Обратно, пусть Ап — точный неприводимый
^-модуль. Если О^йеЛ, то О Ф аЯ а А, и потому аЯ=А.
Таким образом, отображение. /?—>Л, при котором
г-+аг, является эпиморфизмом. Пусть М — ядро
этого эпиморфизма. Тогда Я/М^.А— неприводимый
/?-модуль. Отсюда следует, что М — максимальный
правый идеал. Но ге^' .М тогда и только тогда,
когда Яг а М, т. е. когда Аг = 0. Ввиду точности
модуля Ап последнее равносильно равенству г = 0.
Поэтому ^ • . М = 0 и, следовательно, Я — примитивное
кольцо.
О строении примитивных колец можно сказать
несколько больше.
Лемма 1 (Шур). Если АК — неприводимый
модуль, то его кольцо эндоморфизмов О = Ногпя(Л, Л)
является телом.
Доказательство. Пусть О^йеО. Тогда
ОФЛАсА. Отсюда йА = А. Так как а~ЮфАу то
бНО = 0. Таким образом, й — автоморфизм модуля А.
Поэтому й — обратимый элемент кольца й.
(Напомним, что сНО = {а <= А | йа = 0}.)
Заметим, что в случае правого модуля АЕ мы
пишем эндоморфизмы йеО слева. Таким образом,
утверждение о том, что й является ^-эндоморфизмом,
записывается в виде условия ассоциативности
й{аг) = {йа)г (^еВ? а^А, ге^

88 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
(Конечно, дополнительно предполагается, что й —
эндоморфизм аддитивной группы А.) Таким образом,
А превращается не только в левый модуль ПА, но и
в так называемый бимодуль. Из условия
ассоциативности вытекает существование представления
кольца Я эндоморфизмами модуля ВА. Если же Ак —
точный модуль, то Я можно рассматривать как подколь-
цо кольца Е = Нотв(А,А). Поскольку И — тело,
модуль ПА называют также векторным пространством,
а Е— кольцом линейных преобразований этого
векторного пространства. Интересно выяснить, насколько
плотно лежит в Е кольцо /?. Следующее утверждение
принадлежит Джекобсону (теорема плотности).
Предложение 3. Пусть К — примитивное кольцо,
Ак — точный неприводимый модуль. Тогда Б =
= Нотк(Л,Л) является телом, а кольцо Я
канонически вкладывается в кольцо Е = Нош0{А,А) таким
образом, что для любого е е Е и любого конечно
порожденного подмодуля О в ВА существует элемент
ге/?, для которого С(е — г) = 0.
Доказательство. Положим Ог= {ге^ | Ог=0}
и 5' = {а е А \аЗ = 0}, где 5 — произвольное
подмножество в /?. Докажем, проведя индукцию по числу
образующих подмодуля О, что:
A) Зге* С(в-г) = 0 и B)Ог1=С.
Очевидно, что A) и B) имеют место в случае
О = 0. Допустим, что эти утверждения справедливы
для О. Рассмотрим О + Ва, где афО. Пусть
0(е — г) = 0. Будем искать элемент 5Е^, для
которого (О + йа) (е — г — 8)=0, т. е. Ва {е — г) =
= (О + Оа)8. Положим Ь = а(е — г). Достаточно
добиться, того, что Оз = 0 и а8 = Ъ. Существование
такого элемента 5 очевидно, если аОт = А. Если же
аОг Ф А, то аОг = 0, откуда йб Он = О, что
противоречит предположению. Таким образом, для О + Иа
выполнено A).
Остается показать, что О + Оа = (О + Оа)г1 =
= (Ог Г) атI. Очевидно, что О + Оа с= {О + йа)г1.
Пусть теперь йе(ОгП ат)\ т. е. Ъг = 0, если Ог = 0 и

$ 3.1. Примитивные кольца
89
аг = 0. Рассмотрим отображение й: аСг-+ЬОг,
переводящее аг в Ьг. Так как Л я — неприводимый модуль,
то либо аОг = 0, либо аОг = Л. В первом случае
ЬСг = 0 и потому Ь ^6г1 = О аб + йа. Во втором
случае с1^й и Ьг = йаг при всех г е Ог. Отсюда
следует, что & — с1а^ Ог1 = О и потому &еО + Да.
Таким образом, свойство B) справедливо для О+йа.
Можно дать топологическую интерпретацию
полученному результату. Пусть {Хг | /е/} — семейство
топологических пространств. Рассмотрим в Х= Ц Хь
топологию произведения, базис открытых множеств
которой состоит из всех подмножеств вида (*\ яг1]/.,
1<=Р
где Пг\ Х—>Хг — каноническая проекция, V*
принадлежит базису открытых множеств в Х^ а Р —
конечное подмножество в /. В частности, пусть все Хг
наделены дискретной топологией, в которой все
подмножества открыты. Тогда базис открытых множеств
топологии произведения на X состоит из множеств вида
V = Г\ пТ1хр где хг^%г- При этом, если / бесконеч-
но, X не является дискретным пространством. Легко
видеть, что
У = {х^Х\У1ерХ (/) = Хг},
где х{1) = ПгХ. Такую топологию иногда называют
конечной топологией на X.
Рассмотрим Е = Нохпв(А,А) как подмножество
множества Ц А всех функций из Л в Л с тополо-
гией, в которой открытые множества являются
пересечениями с Е открытых множеств пространства
П Л. (В действительности получается топологиче-
ское кольцо, но сейчас этот вопрос мы не будем
рассматривать.)
Базис открытых множеств в Е состоит из
подмножеств вида
V = {е е= Е | V* ^ра^ = Ъь),

90 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
где Р— конечное множество индексов, а*, Ьг^А.
Подмножество Т топологического пространства X
называется плотным, если его замыкание Т совпадает
со всем пространством, т. е. если пересечение Т с
любым непустым открытым множеством непусто. Из
предложения 3 вытекает такое
Следствие. Примитивное кольцо является плотным
подкольцом кольца всех линейных преобразований
векторного пространства.
Доказательство. Пусть V—базисное
открытое подмножество в Е. Тогда а^е = Ь\ для некоторого
е^Е и для всех 1&-Р. В силу предложения 3
существует элемент ге/!, для которого а^г = а^ = 6* при
всех I е Р. Отсюда г е /? П V, и, следовательно,
К П V Ф 0.
Идеал Р кольца /? называется первичным1), если
Р — собственный идеал (т. е. Р Ф Я) и для любых
идеалов Л и В кольца /? из включения АВ с: Р
следует, что либо АаР, либо В а Р. Кольцо 7?
называется первичным, если 0 — его первичный идеал.
Идеал Р первичен тогда и только тогда, когда К/Р —
первичное кольцо. Коммутативное кольцо первично
тогда и только тогда, когда оно является областью
целостности.
Предложение 4. Собственный идеал Р кольца К
первичен тогда и только тогда, когда для любых
элементов а, Ь е Я из включения аЯЬ с: Р следует, что
либо а^Р, либо Ь е Р.
Доказательство. Если Р — первичный идеал
и аКЬаР, то (НаК) {%ЬН)с:Р. Отсюда следует, что
или а е ЯаК а Р, или Ь е ЯЬЯ а Р. (Через каН мы
обозначили главный идеал, порожденный элементом а
и состоящий из всевозможных конечных сумм
элементов вида газ, где г, 8 е 7?.)
Наоборот, пусть выполнено условие предложения,
и пусть АВ а Р. Если А ф Р, то найдется элемент
!) В коммутативном случае такой вдеал называется
простым. — Прим. ред,

§ 3.1. Примитивные кольца
91
ае/1, такой, что афР. Но тогда аЯЬаР для
любого Ь е В. Отсюда следует, что 6еР. Таким
образом, В аР, что завершает доказательство.
Следствие. Кольцо Н первично тогда и только
тогда, когда I ФО и для любых ненулевых элементов а,
Ъ кольца К существует элемент ге/?, такой, что
агЪ ф 0.
Предложение 5. Примитивный идеал первичен.
Доказательство. Пусть Р — примитивный
идеал кольца /?. Тогда Р = /?' . М, где М —
некоторый максимальный правый идеал. Пусть теперь Л,
В — идеалы в /?, для которых АВ а Р аМ. Так как
Мс2 М . % В а # и М.-В — правый идеал, то
М . • В = М или М . ' В = Я. В первом случае
А с= М . " В = уИ и, следовательно, ЛсР. Во втором
случае Вс(М. В) В а М и, следовательно, В а Р.
Таким образом, Р является первичным идеалом.
(Символы . • и * . были введены в конце § 1.2.)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что кольцо линейных
преобразований конечномерного векторного пространства
является простым.
2. Если М — максимальный правый идеал коль-
ца /? и 5^/? — М, то 8~Ш =ь {ге^ | 8Г<=М) также
является максимальным правым идеалом и Я18~1М ^
3. Если М — максимальный правый идеал
кольца #, то ассоциированный примитивный идеал % '. М
совпадает с пересечением всех правых идеалов вида
5-Ш, где 5 пробегает все элементы из /? — М.
4. Покажите, что плотное подкольцо кольца
линейных преобразований векторного пространства
является примитивным кольцом.
5. Покажите, что кольцо Я первично тогда и
только тогда, когда 1 Ф 0 и произведение АВ любых двух
ненулевых правых идеалов А и В отлично от нуля.
6. Покажите, что первичное кольцо, обладающее
минимальным правым идеалом, является
примитивным (справа).

92 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
7. Покажите, что идеал Р кольца Я является
максимальным правым идеалом (максимальным идеалом.,
примитивным идеалом, первичным идеалом) тогда и
только тогда, когда ЩР — тело (простое кольцо,
примитивное кольцо, первичное кольцо).
8. Если е — идемпотент примитивного кольца /?, то
е%е — примитивное кольцо. [Указание: Если /? —
плотное подкольцо кольца линейных преобразований
векторного пространства пУ, то еЯе — плотное подкольцо
кольца линейных преобразований пространства Уе]
9. Модуль Мн называется подпрямо
неразложимым, если М содержит наименьший ненулевой
подмодуль А. Покажите, что Аг = {х е /? | Ах = 0}
является примитивным идеалом кольца 7?.
§ 3.2. Радикалы
Определим первичный радикал1) как пересечение
всех первичных идеалов кольца Н и обозначим его
через гай/?. Дадим его внутреннее описание. Элемент
йе/? назовем строго нильпотентным, если все члены
любой последовательности ао, #ь #2, . •., такой, что
а0 = а, ап+1^ап$ап,
начиная с некоторого номера равны нулю. Очевидно,
что строго нильпотентный элемент является нилыго-
тентным, т. е. ап = 0 для некоторого натурального
числа п. Если кольцо /? коммутативно, то каждый
нильпотентный элемент строго нильпотентен.
Предложение 1. Первичный радикал кольца К
совпадает с множеством всех строго нильпотентных
элементов.
Доказательство. Пусть а ф тай К. Тогда
ао = афР, где Р — некоторый первичный идеал.
Отсюда следует, что аоКа0 ф Р. Поэтому найдется
элемент.^ еа0/?а0, такой, что ах ф Р. Продолжая таким
же образом, найдем элемент ¦ ап+\ е апНап, не лежа-
1) Аналогичное определение для случая коммутативных
колец было дано на стр. 49—50, — Прим. ред.

$ 3.2. Радикалы
93
щий в Р. Итак, апф Р при всех натуральных
числах я, откуда ап ф О, и, следовательно, элемент а не
является строго нильпотентным.
Допустим теперь, что элемент а не является
строго нильпотентным, т. е. существует
последовательность #0, #ь #2, ..., такая, что все апФ0, а0 = а и
ап+1 е апНап. Пусть Г—множество всех элементов
ап. Тогда ОфТ. Рассмотрим идеал Р, являющийся
максимальным среди идеалов, не пересекающихся
с Т. Покажем, что Р первичный идеал. Тогда
получим, что аф гай/?, поскольку афР.
Действительно, предположим, что Л, В— такие
идеалы кольца /?, что А ф Р и В ф Р. Из
максимальности Р следует, что А 4- Р и В + Р пересекаются с Г.
Пусть йг е Л + Р, а^В + Я и га = тах (/, /). Тогда
Лт-н е= ат/?ат с: (Л + Р) (В + Р) с: ЛВ + Р.
Но ат+1фР. Следовательно, АВфР. Так как Р —
собственный идеал (поскольку афР), то Р первичен.
Идеал называется нильпотентным, если некоторая
его степень равна нулю.
Предложение 2. Следующие условия на кольцо /?
эквивалентны:
A) 0 — единственный нильпотентный идеал
кольца /?.
B) Пересечение первичных идеалов кольца рае-
но 0, г. е. гай /? = 0.
C) Если Л, В — идеалы кольца Я и АВ = 0, то
Л П В = 0.
(Если выполнено одно из этих условий, то кольцо К
называется полупервичным.)
Доказательство. Пусть выполнено условие
A), и пусть а0 = а ф 0. Тогда идеал На^Я не является
нильпотентным, и можно выбрать ненулевой элемент
а\ е а0Яа0. Продолжая этот процесс, убедимся, что
элемент а не является строго нильпотентным, т. е.
афта&К. Таким образом, из A) следует B).
Пусть выполнено условие B). Если АВ = 0, то
АВ а Р для любого первичного идеала Р, откуда либо

94 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
А а Р, либо В с: Р. Следовательно, А Л В с: Р. Таким
образом, А П В сг гай Я — О, т. е. из B) следует C).
Допустим, что выполнено условие C). Пусть
Ап = 0. Тогда А = Л П ... П А = 0, т. е. из C)
следует A).
Следствие. Первичный радикал кольца Я является
наименьшим среди идеалов К, для которых Я/К—
полупервичное кольцо.
Доказательство. При каноническом
взаимно однозначном соответствии между идеалами
кольца Я/К и идеалами кольца /?, содержащими идеал К,
первичные идеалы сопоставляются первичным: если
К а Ра Я, то Р/К — первичный идеал в Я/К тогда
и только тогда, когда Р — первичный идеал в /?.
Следовательно, кольцо Я/К полупервично тогда и
только тогда, когда К совпадает с пересечением
некоторого множества первичных идеалов кольца /?.
Очевидно, что та&Я является наименьшим среди
таких идеалов К.
Пересечение всех максимальных идеалов кольца
/?,¦ по-видимому, не играет важной роли. Однако
пересечение всех максимальных правых идеалов
называется радикалом (Перлиса—) Джекобсона или
просто радикалом кольца Я. Кажущееся нарушение
симметрии в определении будет устранено в дальнейшем.
Напомним, что в кольце всегда достаточно много
максимальных (собственных) правых идеалов. Именно
каждый собственный правый идеал содержится по
крайней мере в одном максимальном правом идеале.
Радикал кольца Я обозначим через Кай 7?. Напомним,
что элемент г кольца Я называется обратимым
справа, если гз = 1 для некоторого элемента 5е/?, т. е.
если гЯ не является собственным правым идеалом.
Предложение 3. Радикал кольца Я совпадает с
множеством всех таких элементов ге^, что при всех
8 ^Я элемент 1 — гз обратим справа.
Доказательство. Элемент г лежит в Кай7?
тогда и только тогда, когда для всех максимальных

$ 3.2. Радикалы
95
правых идеалов М элемент г принадлежит М, т. е.
1 ф М + гЯ. Следовательно, г е Кай Я в том и только
том случае, когда 1 — гз не принадлежит никакому
максимальному правому идеалу при всех 5Е/?, т. е.
если 1—гз— обратимый справа элемент.
Кольцо будем называть полупримитивным, если
его радикал нулевой. (Джекобсон называет такое
кольцо «полупростым», однако другие авторы
используют этот термин для более узкого класса колец.)
Предложение 4. Радикал Кай Я кольца Я
является идеалом, а Я/Я&&Я— полупримитивное кольцо.
Доказательство. Чтобы убедиться в том,
что Кай Я — идеал, нам надо лишь доказать, что
Кай/? — левый идеал, т. е. что для всех геКай/? и
всех 5, /б/? элемент 1 — 1гз обратим справа.
Поскольку гз е Кай /?, достаточно показать, что элемент
1—1г обратим справа для всякого г е Кай 7?. Но
1—г1 — обратимый справа элемент. Следовательно,
существует «е^, для которого A—г/)и=1, т. е.
1 + г(и = и. Таким образом,
A-*г)A +Ыг)= 1 + Ыг-1{\+гЫ)г = 1,
и элемент 1 —1г обратим справа.
Пусть теперь я: /?-*/?/Кай/?— канонический
эпиморфизм, и пусть кг е Кай (пЯ). Тогда геМ, где
М — любой максимальный правый идеал кольца /?,
содержащий Кай Я. Но так как каждый
максимальный правый идеал содержит Кай/?, то геКай/?, т. е.
пг = 0.
Предложение 5. Радикал кольца является
наибольшим среди его идеалов К, таких, что 1 — г —
обратимый элемент при всех г е /С.
Доказательство. В силу предложения 3
радикал содержит любой такой идеал /С. Так как
радикал является идеалом, то остается лишь показать
обратимость элемента 1—г для любого геКай/?.
Мы уже знаем, что A — г)и=1 для некоторого

96 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
и^К. Таким образом, а=1—A—и), где 1 — а =
= —ги е Кас1 #. Следовательно, существует элемент
V, такой, что иъ = 1. Тогда V = A —г)их) = 1 —г,
откуда и(\ —г) = 1.
В силу симметричности предложения 5
немедленно получаем такое
Следствие. Радикал совпадает с пересечением всех
максимальных левых идеалов.
Радикал можно также рассматривать и как
пересечение некоторых двусторонних идеалов.
Предложение 6. Радикал совпадает с пересечением
всех примитивных идеалов.
Доказательство. Радикал является идеалом,
поэтому включение г^Кас1# равносильно тому, что
ЯгаМ для любого максимального правого идеала
М,т.е.ге/? •. М = Р для любого примитивного
идеала Р.
Следующий очевидный результат приведем без
доказательства:
Предложение 7. Кольцо /? полупервично
(полупримитивно) тогда и только тогда, когда Я является
подпрямым произведений первичных (примитивных)
колец.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть 5 — такое подмножество кольца /?, что
1^5, 0е5 и для любых двух элементов а, Ь ф8
существует г е /?, для которого агЬ ф 8. Докажите
первичность идеала, являющегося максимальным
среди идеалов, лежащих в 5.
2. Если А — идеал, а г — элемент полупервичного
кольца К, то Аг = О тогда и только тогда, когда гА = 0.
3 (Томинага). Покажите, что идеалы К, для
которых К/К — полупервичное кольцо, образуют полную
дистрибутивную структуру.
4. Если К, Р — идеалы кольца /? и /Сс:Рс:/?, то
Р/К — первичный идеал в Я1К тогда и только тогда,
когда Р — первичный идеал в 7?.

$ 3.2. Радикалы
97
5. Покажите, что кольцо /? является подпрямьш
произведением тел (простых колец, примитивных
колец, первичных колец) тогда и только тогда, когда
Р) Рь = 0, где {Рг | I е /} — множество всех макси-
мальных правых идеалов (максимальных идеалов,
примитивных идеалов, первичных идеалов).
6 (Китайская теорема об остатках). Пусть Ри
Рг, ..., Рп — конечное множество идеалов кольца 7?,
таких, что Рг + Р] = /? при ь Ф /. Покажите, что для
любого набора элементов аи а2, ..., ап^К существует
элемент ге^, такой, что г — а* ^ Л при *=1,
2, ..., п.
7. Если пересечение всех максимальных идеалов
кольца # равно 0, то /? — плотное (в конечной
топологии) подкольцо в произведении простых колец.
8 (Экман). Будем говорить, что правый идеал А
кольца /? мал, если для любого правого идеала В из
равенства А + В = К следует, что В = К. Покажите,
что правый идеал А мал тогда и только тогда, когда
А а Кай/?.
9. Пусть /? — кольцо всех BX2)-матриц с
элементами из кольца А. Покажите, что Кай^ состоит
из всех матриц с элементами из Кай Л.
10 (Маккой). Пусть Щх]— кольцо, полученное
присоединением к кольцу /? переменной х,
коммутирующей с элементами из /?. Пусть я : Щх]-+К—
канонический эпиморфизм, для которого п!(х) = 1@).
Покажите, что если Р — первичный идеал в /?, то п~хР —
первичный идеал в Щх] и п~хР 0 /? = Р. Кроме того,
если Р' — первичный идеал в Щх], то РОК —
первичный идеал в /?. Вывести отсюда, что гаё (/?[*]) Л
П /? = гас!/?.
11 (Амицур, Маккой). Покажите, что гай(/?[*]) =
= (гай^)М, т. е. гай(^М) совпадает с множеством
всех многочленов от х с коэффициентами из гай/?.
[Указание: Пусть !{х) = а0хп + ... + ап <= гай (/?[*]),
Р — первичный идеал кольца /?. Тогда I (х) е п~1Р.
Следовательно, ап^Р а п^Р, поэтому а0хп + ...
... +аТ1-1*елг1/>. Положим §(х) =а()хп-1 + ... +ап^\
тогда элемент х§(х) строго нильпотентен, а поэтому
4 Зак. 1027

98 Гл. 3. Классическая теория, ассоциативных колец
и §{х) —строго нильпотентный элемент.
Следовательно, ап~1 еРит. д.]
12. Если ге/?ПКас1 (Я[х])> то г — нильпотентный
элемент. (Указание: 1 — гх является обратимым
элементом.)
13 (Амицур). Пусть характеристика кольца К
равна нулю, т. е. Офа^Н влечет па = а + а + ...
... + а ф О для всех п^\. Докажите, что Я Л
Л Кай(/?[*])^ 0, если Яай(Я[х])фО. [Указание: Пусть
Я*]— многочлен минимальной степени в Кай(/?[л:]).
Радикал инвариантен относительно всех
автоморфизмов кольца щх]. Следовательно, !(х+ 1)е Кас1(/?[л:]),
и поэтому в силу минимальности 1(х-т- 1) — !{х) = 0.]
14 (Амицур). Пусть характеристика кольца /?/#
равна нулю, где N = /? Л Ка&{Н[х]). Покажите, что
ВМ(Н[х]) = Щх]. [Указание: Полагая 5 = %/Ы,
проверьте, что Кас1E[л:])9Ё Яай(Я[х])/Щх], и выведите
отсюда равенство КайE[х]) Л 5 = 0.]
§ 3.3. Вполне приводимые модули
Можно определить радикал Кай Л произвольного
модуля Ац как пересечение всех его максимальных
(собственных) подмодулей. Если же таких подмодулей
нет, то Кай Л = Л. (Конечно, если Ан = %п, то эта
ситуация не возникает, так как 1 е К.) Двойственным
образом определим цоколь Зое Л модуля Ап как
сумму всех минимальных (ненулевых) подмодулей
модуля Л, т. е. всех неприводимых подмодулей модуля
Л. Если же таких подмодулей нет, то Зое Л =0.
Предложение 1. Цоколь модуля Ан является
прямой суммой некоторого множества неприводимых
подмодулей модуля Ап. Цоколь инвариантен
относительно любого эндоморфизма модуля Ая.
Доказательство. Пусть {Л г \ г е /} —
совокупность всех неприводимых подмодулей модуля Л.
В этом доказательстве (и лишь в нем) подмножество
/ множества индексов / будем называть прямым, если
2 Л/—прямая сумма. Рассмотрим линейно упорядо-

§ 3.3. Вполне приводимые модули
99
ченное по включению семейство {/& | к е К} прямых
подмножеств. Пусть /= \) 1&. Покажем, что / —
прямое подмножество. Действительно, пусть 2 Я/ =
= 0, где ^бЛ,- и {] ^1\а^Ф0}—конечное
множество, лежащее, разумеется, в некотором /&. Так как
/ь — прямое подмножество, то все а$ = 0, т. е.
множество / прямое.
Применив лемму Цорна, убедимся в
существовании максимального прямого подмножества /с/.
Предположим теперь, что А{ — неприводимый
подмодуль модуля А, не содержащийся в 2 Л#. Тогда
Л* Л 2 ^4/ = 0. Пусть а^ + 2 я# = 0, где а* е А, и
а/ е Л/. Тогда а^ = 0 = 2 Я/. Так как / — прямое под-
/е=/
множество, то все а/ = 0. Таким образом,
подмножество /11{0 также прямое, что противоречит
максимальности подмножества /. Следовательно, 8осЛ =
= 2 Л#— прямая сумма.
Наконец, если е е Нотл (А, А), то подмодуль еЛг-,
будучи гомоморфным образом модуля Аи должен
быть либо нулевым, либо неприводимым. В любом
случае еЛг-с:5осЛ и, следовательно, е5осЛс:5осЛ.
Следствие. Следующие свойства модуля Ая
эквивалентны:
A) Л = 5осЛ.
B) Л является суммой минимальных подмодулей.
C) Модуль А изоморфен прямой сумме
неприводимых модулей.
В этом случае модуль Л называется вполне
приводимым.
Отсюда немедленно следует, что подмодуль и фак-
тормодуль вполне приводимого модуля также вполне
приводимы.
Следуя Джонсону, назовем подмодуль модуля Ап
большим, если его пересечение с любым ненулевым
4*

100 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
подмодулем модуля Ав отлично от нуля. Следующая
лемма показывает, что больших подмодулей
достаточно много.
Лемма 1. Если В— подмодуль модуля А и С —
максимальный подмодуль среди подмодулей,
имеющих нулевое пересечение с В, то В + С — большой
подмодуль.
Доказательство. Допустим, что (В + С)С\
П В = 0. Так как В П С = 0, то также В П (С + И) = 0.
(Действительно, из равенства Ь = с + й вытекает, что
й=-Ъ — с = 0 и, следовательно, Ь = с = 0.) Из
максимальности подмодуля С вытекает, что ОсС.
Значит, й = (В + С) П В = 0.
Напомним, что структура Ь{А) подмодулей
модуля А является структурой с дополнениями, если для
любого подмодуля В модуля А найдется дополнение,
т. е. подмодуль В', такой, что В П В/ = 0 и В + В/ = А.
Лемма 2. Если Ь{А)—структура с дополнениями
и В — подмодуль модуля А, то Ь{В) — также
структура с дополнениями.
Доказательство. Пусть СсВ и С"—
дополнение подмодуля С в Ь{А). Подмодуль С [\ В
является дополнением подмодуля С в Ь(В), так как
в силу закона модулярности справедливы равенства
сп(^пв) = (спсопя=опв = о
С + (С,ПВ) = (С + С/)П5 = ЛПВ = 5.
Лемма 3. Если Ь{А)—структура с дополнениями,
то Кай Л =0.
Доказательство. Пусть 0Фа^А и М —
максимальный подмодуль среди подмодулей модуля Л,
не содержащих элемента а. Покажем, что М —
максимальный подмодуль модуля Л.
Действительно, пусть МсЛ^с^ и Ы' —
дополнение к N в Ь{А). Так как афМ и (в силу закона
модулярности) N П (М + Ы') = М, то либо афЫ, либо

$ 3.3. Вполне приводимые модули 101
а ф М + ЛГ. В силу максимальности подмодуля М
либо М = N. либо № = 0, т. е. N = Л.
Предложение 2. Следующие свойства модуля А
эквивалентны:
A) А — вполне приводимый модуль.
B) А не содержит собственных больших
подмодулей.
C) Ь{А)—структура с дополнениями.
Доказательство. Пусть выполнено свойство
A). Большой подмодуль модуля А имеет ненулевое
пересечение с любым отличным от нуля подмодулем
и, следовательно, содержит любой неприводимый
подмодуль модуля Л, а тогда он содержит и Зое Л = Л.
Таким образом, из A) следует B).
Пусть выполнено свойство B), и пусть В—
произвольный подмодуль модуля Л. Из леммы 1 следует
существование такого подмодуля С модуля Л, что
В П С = 0 и В + С — большой подмодуль. В силу B)
В + С = Л. Таким образом, из B) следует C) (см.
предложение 1.3.2).
Допустим, что справедливо C). Тогда Л =
= ЗосЛ + С, ЗосЛ П С = 0. В силу леммы 2 Ь{С) —
структура с дополнениями. Следовательно, по
лемме 3 Кай С = 0. Пусть 0 ф с е С. Тогда существует
максимальный подмодуль модуля С, не содержащий
с. Его дополнение в Ь{С) является неприводимым
подмодулем, что приводит к противоречию. Таким
образом, С = 0, и поэтому из C) следует A).
Если Ак — правый /?-модуль и Е = Нотд(Л,Л) —
его кольцо эндоморфизмов, то можно также
рассматривать левый модуль ЕА. Действительно, е(аг) = (еа)г
при всех а е Л, е^Е я г ф#. В этой ситуации
говорят о бимодуле #ЛН.
Пусть А{ — неприводимый ^-подмодуль модуля Л.
Обозначим через ЕА{ подмодуль модуля Л,
порожденный всеми элементами вида еаи где е^Е и
ах е А\. В этом случае ЕА{ является
^"-^-подмодулем в Л. Для любого е^Е подмодуль еА{ является
гомоморфным образом модуля Л*. Следовательно,

102 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
либо еАг = 0, либо еАг^Аг. Поэтому подмодуль еА\
либо нулевой, либо неприводимый.
Лемма 4. Если Ак — вполне приводимый модуль,
то ЕА{ совпадает с суммой всех неприводимых
подмодулей модуля Ап, изоморфных подмодулю Лг-.
(Подмодуль ЕАх называют однородной компонентой
модуля Ля.)
Доказательство. Рассмотрим произвольный
неприводимый подмодуль Ак^Аг. Поскольку Ь(АЯ) —
структура с дополнениями, А = А{ + А( и Л/ЛЛ*=0
для некоторого подмодуля А\ модуля Л. Рассмотрим
эндоморфизм ее В, индуцирующий на Л* данный
изоморфизм А{^Ак и аннулирующий подмодуль А\.
Тогда Ак = еАг с: ЕА^
Предложение 3. Пусть Ап — прямая сумма
конечного числа неприводимых подмодулей А^ ] е /, и
пусть Е = Нот*(Л,Л). Тогда любой Е-Я-подмодуль
В в ЕАЕ является (прямой) суммой некоторых
однородных компонент ЕА] модуля Л.
Доказательство. Пусть элементы е. = ^е5
таковы, что е}А = А;, 2 0/= 1. Тогда е^ВаА^ Сле-
довательно, либо в/В = 0, либо еуВ = Л/. Пусть /' =
= {/е/|вуВ = Л/}. Тогда 5= 2 еу5= 2 Л/. Для
любого / е /' справедливы включения В = 2 ^/ с:
с=2 Е^аЕВаВ, откуда 5= 2 гл/- Но^Л,-
минимальные подмодули бимодуля вВд. Применяя
предложение 14) к бимодулю ЕВп, убеждаемся в том,
что В также является прямой суммой некоторых ЯЛ/.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дайте более простое доказательство
предложения 1 в случае, когда / — конечное множество.
2. Если я: С->А — эпиморфизм, а В — большой
*) На самом деле применяется аналог предложения 1 для
бимодулей. — Прим. перге.

$ 3.4. Вполне приводимые кольца 103
подмодуль модуля Л, то п~1В— большой подмодуль
модуля С.
3. Если Л с В с С, то А — большой подмодуль
модуля С тогда и только тогда, когда А — большой
подмодуль модуля В, а В — большой подмодуль
модуля С.
4. Если В и С—большие подмодули модуля А, то
В () С — большой подмодуль.
5. Если Я— коммутативное кольцо, то каждый
плотный идеал является большим. Каждый большой
идеал является плотным в том и только в том
случае, когда /? — полупервичное кольцо.
6. Покажите, что кольцо эндоморфизмов вполне
приводимого модуля изоморфно прямому
произведению колец эндоморфизмов его однородных компонент.
7 (Сандомирский — Каш). Покажите, что
пересечение всех больших подмодулей модуля А совпадает
с цоколем модуля Л.
Рассмотрите дуальную задачу.
§ 3.4. Вполне приводимые кольца
Обратим теперь наше внимание на кольцо Я,
рассматриваемое как правый ^-модуль.
Предложение 1 (Брауэр). Если К — минимальный
правый идеал кольца Я, то либо К2 = 0, либо К = еЯ,
где' е2 = е е К.
Доказательство. Если К2Ф0, то кК Ф 0 для
некоторого элемента к^ К. Отсюда кК = К.
Рассмотрим /гЮ - {г е= 5 | кг = 0}. Тогда к~Ю П К Ф К и,
следовательно, к~10 П К = 0. Далее, ке = к для
некоторого е<=К. Таким образом, к(е2— е) = 0. Поэтому
е2 — е е к~10 П К = 0. Следовательно, е2 = е. Так как
к Ф 0, то е ф 0. Поскольку 0 Ф еЯ а К, еЯ = К.
Следствие. Каждый минимальный правый идеал
полупервичного кольца Я имеет вид еЯ> где е2 = ^Е./?.
Лемма 1. Если е2 = е е # и ( е Я, то имеет место
изоморфизм аддитивных групп Нотк(еЯ> }Я) = !Яе.
Более того, если I = е, то этот изоморфизм является
изоморфизмом колец.

104 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Доказательство. Рассмотрим произвольный
элемент \те е \Яе. Определим ф <= Нотд(еЯ, }Я)
равенством <р(ег') = (}ге) (ег') = \гег\ где г7 е #.
Очевидно, из равенства ф = 0 следует, что \те = 0. Кроме
того, таким способом можно получить любой элемент
Ф е Нотд (еЯ, /7?). Действительно, если ере = /т, то
у(ег') = ф(в2г/) = ((ре) (ег') = /тег'. Из этого следует
первое утверждение леммы. Второе утверждение
является простым следствием. Его доказательство мы
оставляем в качестве упражнения.
Пусть е2 = ее/?. Тогда еЯе — кольцо с единицей
е. В силу леммы 1 еЯе ^ НошЕ(еЯ,еЯ). Если еЯ —
неприводимый модуль, то по лемме Шура кольцо еЯе
является телом. Если Я — полупервичное кольцо, то
верно и обратное.
Предложение 2. Если Я — полупервичное кольцо и
е2 = е е Я, то еЯ — минимальный правый идеал тогда
и только тогда, когда еЯе — тело.
Доказательство. Осталось лишь установить
достаточность условия. Пусть еЯе — тело и г —
элемент кольца /?, для которого егФО. Так как /? —
полупервичное кольцо, то егЯег Ф 0. Следовательно,
егзефО для некоторого 5е/?, Пусть е1е — обратный
элемент для егзе, т. е. егзе1е = е. Таким образом,
егЯ = еЯ. Поэтому еЯ — неприводимый модуль.
Следствие. Если Я — полупервичное кольцо и е2=
= е&#, то еЯ является минимальным правым
идеалом тогда и только тогда, когда Яе — минимальный
левый идеал.
Предложение 3. Если е2 = е <= Я и I2 = / е Я, то
еЯ ^!Я тогда и только тогда, когда ьи = е и иъ = /
для некоторых и, V ^ Я.
Доказательство. Допустим, что еЯ**1Я.
Пусть и = \ие — элемент, соответствующий в силу
леммы 1 данному изоморфизму еЯ-*\Я, а V = еV} —
элемент, соответствующий обратному изоморфизму
1Я —> еЯ. Тогда очевидно, что Vи = е и иь = \.

§ ЗА. Вполне приводимые кольца 105
Обратно, допустим, что ьи, = е и т = /. Тогда
ие = и(ои) = (ию)и = /а. Аналогично, V} = еV. Таким
образом, отображения ег -» йег = /иг и /г7 —> я/г' =
*= еюг' являются взаимно обратными изоморфизмами.
Следствие. Если е2 = е^Н м/2 = /е^ то еН&!Н
тогда и только тогда, когда Це ^ /?/.
Доказательство. Утверждение
непосредственно следует из симметричности условий ьи = е и № = /.
Предложение 4. Ясли ./? — полупервичное кольцо,
то цоколи модулей Нп и ЯН совпадают. Более того,
однородные компоненты цоколей также совпадают и
являются минимальными идеалами.
Доказательство. В силу сказанного выше
цоколь 5 модуля /?я совпадает с 2 в/?, где е пробегает
множество всех таких идемпотентов, что еНе— тело.
Цоколь 5' модуля НН равен аналогичной сумме 2^#-
Но 5 является идеалом (предложение 1 предыдущего
параграфа) и, следовательно, 5'с: 5. Аналогично
5 с: 5х.
Рассмотрим теперь произвольную однородную
компоненту Я цоколя 5. Компонента Я имеет вид 2 еК
где е пробегает множество всех идемпотентов
кольца Н, для которых еН изоморфно фиксированному
минимальному правому идеалу //?, где Р = /е/?. Так
как еН^Щ тогда и только тогда, когда Не ^< Н!
(в силу сформулированного выше следствия), то
Н' = 2 Не является соответствующей однородной
компонентой цоколя 5х. Аналогично тому, как мы
доказали совпадение 5 и 5', можно показать, что
Пусть, наконец, К— произвольный ненулевой
идеал кольца /?, содержащийся в Я. Тогда Кп— вполне
приводимый модуль. Неприводимые подмодули
в Кп — это некоторые минимальные правые идеалы еН
кольца Н, где е2 = е. Если /7? ^ еН, то / = ш) = иеV
(как было отмечено выше) и, следовательно, }Н с=
аи(еН)с: иКа К Таким образом, Я с: К, поэтому

106 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Н является минимальным ненулевым двусторонним
идеалом.
Предложение 5. Следующие утверждения о кольце
Я эквивалентны:
A) Каждый правый Я-модуль вполне приводим.
B) Яп— вполне приводимый модуль.
C) Каждый левый Я-модуль вполне приводим.
D) к# — вполне приводимый модуль.
Если выполнены эти условия, то мы будем
говорить, что ^ — вполне приводимое кольцо. (Бурбаки
называет такое кольцо «полупростым»1).)
Доказательство. Очевидно, что A)=ФB).
Пусть выполнено условие B), и пусть Вп— правый
/?-модуль. Так как 7? — сумма неприводимых правых
идеалов А1 (ге/), то В= 2 Ь# является суммой
подмодулей ЪАи каждый из которых, являясь
гомоморфным образом модуля А{ при отображении
г->Ьг модуля Я в Б, должен быть либо нулевым,
либо неприводимым. Следовательно, модуль Вя
вполне приводим. Таким образом, A) 4ФB) и аналогично
C)«ФD).
Допустим опять, что выполнено B). Тогда в силу
леммы 3.3.3 /? — полупервичное кольцо. По
предложению 4 цоколи модулей Як и КЯ совпадают. Так
как Ян— вполне приводимый модуль, то его цоколь
совпадает с /?. Следовательно, НЯ также является
вполне приводимым модулем. Таким образом,
B) =# D) и симметрично D)=Ф B).
Напомним, что векторное пространство — это
модуль над телом.
Следствие. Векторное пространство вполне
приводимо.
Доказательство. Если Я — тело, то Ян —
вполне приводимый модуль. Следовательно,
выполнено условие B).
1) В русской литературе часто употребляется термин
«классически полупростое кольцо». — Прим. ред.

§ 3.4. Вполне приводимые кольца 107
Таким образом, векторное пространство является
прямой суммой некоторого множества экземпляров
Як- Число таких прямых слагаемых называется
размерностью векторного пространства.
Если Уп — конечномерное векторное пространство
над телом Я, то, как хорошо известно, кольцо
НоШдA/, V) эндоморфизмов пространства У
изоморфно кольцу (п X п) -матриц над Я, где п— размерность
пространства Уд.
Лемма 2. Пусть Я— первичное кольцо, и пусть
цоколь 8Н модуля Ян отличен от нуля. Пусть еЯ, где
е2 = е ^Ну есть минимальный правый идеал кольца Я.
Тогда кольцо НотйE,5) изоморфно кольцу
линейных преобразований НотеКе{Яе,Яе).
Заметим, что Не является правым еЯе-иолулем. и,
следовательно, векторным пространством.
Доказательство. Так как однородная
компонента Н цоколя 5 является прямым слагаемым в 5
и кольцо Я первично, то 8 = Н. Запишем 5 в виде
прямой суммы минимальных правых идеалов ^/?, .где
I е 7, е{Я ^ еЯ для любого г е /, е\ = ^ е # и е2 =
= е&#. Можно считать, что е является одним из-'е*.
В силу предложения 3 найдутся элементы и-и я* ^ Я,
для которых Ь\П1 = е и и^* = ^г. В этом случае
и^. = и^.и^. = е2 = ег
Рассмотрим теперь феНот^E, 5). Заметив, что
Неа8, определим <р'е Нотеке(Яе, Не), полагая
ф' (гё) = ф (гё) = ф (ге2) = ф (ге) е.
Для любого элемента 5 = 2^^ = 2 ^^Ле5 получим
ф5=2ф(^H^=2ф,(и^)-0^.
Из этой формулы легко следует, что соответствие
ф-*ф' является изоморфизмом.
Следующее предложение представляет собой
вариацию классического результата в теории колец.

108 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Предложение 6 (Веддербёрн — Артин). (а) Коль-
цо Я вполне приводимо тогда и только тогда, когда
Я изоморфно конечному прямому произведению
вполне приводимых простых колец, (б) Кольцо Я вполне
приводимо и просто тогда и только тогда, когда Я
является кольцом всех линейных преобразований
конечномерного векторного пространства.
Доказательство, (а) Пусть кольцо Я вполне
приводимо, т. е. является прямой суммой
минимальных правых идеалов. Но элемент 1 должен лежать
в некоторой конечной сумме идеалов, поэтому /?
является прямой суммой конечного числа минимальных
правых идеалов. Следовательно, Я является прямой
суммой конечного числа однородных компонент,
являющихся в силу предложения 4 минимальными
идеалами (Я полупервичное в силу леммы 3.3.3).
Из предложения 1.3.3 следует существование
центральных ортогональных идемпотентов с\ е Я, для ко-
т
торых 1 = 2 с1> а С%Я является 1-й однородной ком-
понентой. Очевидно, что сгЯ— кольцо с единицей Сг
(однако в нашей терминологии с^ не является под-
кольцом кольца /?, за исключением того случая, когда
С{~ 1), а кольцо Я изоморфно прямому произведению
колец с{Я.
Пусть Н = с{Я — произвольная однородная
компонента кольца /?. Легко видеть, что идеалы (правые
идеалы) кольца Н в точности совпадают с идеалами
(правыми идеалами) кольца Я, содержащимися в Н.
Поскольку Н — минимальный идеал кольца /?, Н
является простым кольцом. Так как Я — прямая сумма
конечного числа правых идеалов кольца Я,
являющихся минимальными правыми идеалами кольца Н,
то кольцо Н также вполне приводимо.
Обратно, допустим теперь, что Я — прямая сумма
идеалов, каждый из которых является вполне
приводимым кольцом. Те же рассуждения показывают, что
кольцо /? вполне приводимо.
(б) Пусть Я — вполне приводимое простое кольцо.
Тогда Я первично. Пусть еЯ — минимальный правый

$ ЗА. Вполне приводимые кольца 109
идеал кольца 7? и е2 = ее/?. Модуль Як совпадает
со своим цоколем. Поэтому в силу леммы 2
7? ^ Нотд G?, 7?) ~ Нот^ (Яе, Яе).
При этом (Яе)еПе — векторное пространство и,
следовательно, вполне приводимый модуль. Чтобы
убедиться в конечномерности пространства Яе,
достаточно показать его нётеровость.
Пусть {Кг\1 е/} —семейство подмодулей модуля
(Яе)епе. Тогда {КгЯ}— семейство подмодулей модуля
(ЯеЯ)н- Так как Яп — нётеров модуль, то нётеровым
является и модуль (ЯеЯ)п- Следовательно, в
семействе подмодулей {КгЯ} найдется максимальный
элемент КтЯ. Предположим, что Кт с: Кг. Тогда КтЯ а
с: КгЯ. Отсюда КтЯ = КгЯ. Поскольку Кг = КфЯе =
= КгЯе, отсюда можно заключить, что Кт = К%.
Следовательно, Кт—максимальный элемент семейства
{/0|;^/}. Таким образом, модуль (Яе)еЯе
действительно нётеров.
Допустим, наконец, что 7? = Нот^ (V, V), где
У0 — векторное пространство с базисом е^, ..., оя#
Пусть ец е 7? — эндоморфизм, для которого е{^) = ю^
еа'°к = 0 при к Ф /. Рассмотрим множество Аь =
п
= 2 ^/7)!) = {г е 7? | гУ с: ^73}. Ясно, что Аь — правый
идеал кольца 7?. Пусть теперь 0=^аЕ4 В этом
п
случаев = 2 е*А> й% е /), причем некоторое ^ отлично
от нуля. Тогда аек; = ецс(к. Отсюда ец — ае^йк ^аЯ
и поэтому Л^ с: а7?. Таким образом, А1 —
неприводимый идеал.
Поскольку 7? = 2 е*/# = 2 А19 кольцо 7? вполне
г, / I
приводимо. Чтобы убедиться в простоте кольца 7?,
надо для отличного от нуля элемента г кольца 7?
показать аналогичным образом, что ЯгЯ = Я. Мы
опустим детали доказательства этого факта.
*) Здесь й(е^ отождествлено с линейным преобразованием,
определяемым условием V. -> V^с^ при всех и — Прим. ред..

ПО Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если кольцо /? является прямой суммой
неприводимых правых идеалов А$ (/е/), то каждый идеал
кольца /? является прямой суммой некоторых КА^
2. Покажите, что кольцо Bx2)-матриц над
бесконечным полем содержит бесконечное множество
минимальных правых идеалов.
3. Если Ь —тело, ]/& — векторное пространство
размерности п над Д то Нотг>(У, V) ^/)п, где Вп —
кольцо (п X я)-матриц над й.
4. Если модуль Мк вполне приводим и совпадает
с однородной компонентой ЕА, содержащей
минимальный подмодуль Ля, то кольцо Е = \\отпЩ, М)
изоморфно кольцу всех таких матриц над телом
2) = Ногпя(Л,Л), у которых в каждом столбце
отлично от нуля лишь конечное число элементов.
5. Используя предыдущее упражнение, дайте
другое доказательство теоремы Веддербёрна — Артина.
6. Покажите, что кольцо /? вполне приводимо
тогда и только тогда, когда ни один из максимальных
правых идеалов не является большим идеалом.
7. Если О и В' — тела и Ип^Оп (см.
упражнение 3 выше), то й ^ /У и п = п\
§ 3.5. Артиновы и нётеровы кольца
Кольцо /? называется артиновым (нётеровым)
справа, если правый модуль /?я артинов (нётеров).
Предложение 1. Радикал артинова справа кольца
нильпотентен.
Доказательство. Среди степеней радикала
Над/? найдется наименьший идеал, скажем В =
= (Кай /?)п. В этом случае В2 = В. Допустим, что
В Ф 0. Пусть А — минимальный элемент в множестве
правых идеалов С, для которых С а В и СВФО.
Тогда аВфО для некоторого а^А. Так как аВ а
с/1сВи (аВ)В = аВ* = аВ ф 0, то аВ = А.
Следовательно, аЪ = а для некоторого Ь е В. Поскольку
Ь е В сгКаё^, существует элемент с^К, для кото-

§ 3.5. Артиновы и нётеровы кольца 111
рого A — Ъ)с = 1 и, следовательно, а = а(\ —Ь)с = 0.
Это противоречит нашему предположению, и поэтому
В = 0.
Следствие 1. Радикал артинова справа кольца
является наибольшим нильпотентным идеалом.
Доказательство. Любой нильпотентный
идеал содержится в первичном радикале гас! Я, который
в свою очередь содержится в Кас1 /?.
Следствие 2. Если кольцо Я артиново справа,
то Нас1# = гай/?.
Напомним, что кольцо Я называется регулярным,
если для любого элемента ае/? найдется элемент
а' е /?, такой, что аа'а = а. Полагая е = аа\
убедимся в том, что е2 = е и аЯ = еЯ. Следовательно,
каждый главный правый идеал выделяется прямым
слагаемым. Обратно, из этого свойства следует
регулярность кольца. Действительно, из равенства аЯ =
= еЯ вытекает, что е = аа/ для некоторого а'е/? и,
следовательно, аага = еа = а.
Лемма (Дж. Нейман). Каждый конечно
порожденный правый идеал регулярного кольца является
главным.
Доказательство. Достаточно рассмотреть
правый идеал вида аЯ + ЬЯ- Пусть аЯ = еЯ, где
е2 = е. Так как ЬЯ<=1еЬЯ + {1-е)ЬЯ, то аЯ + ЬЯ=*
= еЯ + {1-е)ЬЯ = еЯ + 1Я, где /2 = / и е/=0. Положим
§ = [A-е). Тогда
^ = /A-е)/ = /(/-е/) = /2 = А
§2 = §1 A - е) = / A ~ ё) = ^, ед = 0 = це.
Так как § е {Я и / е ##, то //? = ^7?. Следовательно,
аЯ + ЬЯ = еЯ + §Я. Покажем, что еЯ + §Я = (е + §*) /?.
Действительно, ег + §т' = (е + §) (ег + §г') и,
следовательно, еЯ + §Я а(е + §) Я- Обратное включение
очевидно. Таким образом, аЯ + ЬЯ = {е + §)Я — главный
правый идеал.

112 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Предложение 2. Следующие утверждения о
кольце Я эквивалентны:
A) # вполне приводимо.
B) /? артиново справа и регулярно.
C) ^ артиново справа и полупримитивно.
D) /? артиново справа и полупервично.
E) /? нётерово справа и регулярно.
Заметим, что слово «справа» в условиях B)—E)
может быть заменено на «слева», поскольку условие
A) симметрично.
Доказательство. Так как каждое
регулярное кольцо полупримитивно (ввиду того что 1 — аа/
является делителем нуля для любого а Ф 0) и
каждое полупримитивное кольцо полупервично, то
B)^C) =#D).
Пусть выполнено A). В этом случае кольцо %
является прямой суммой конечного числа
минимальных правых идеалов Аи ..., Ап. Поэтому существует
композиционный ряд
А1аА1 + А2с2'... с: У?
модуля %к. Отсюда следует, что кольцо /? артиново
справа и нётерово справа. Более того, каждый
правый идеал кольца 7?, в частности каждый главный
идеал, является прямым слагаемым, и,
следовательно, 7?— регулярное кольцо. Таким образом, A) =#B)
иA)#E).
Пусть выполнено D). В силу предложения 1
пересечение всех максимальных правых идеалов кольца /?
равно нулю. Поскольку это кольцо артиново справа,
равно нулю уже пересечение некоторого конечного
числа таких идеалов:
МХ[\М2[\ ... ГШп = 0.
Допустим, что Мгф Аи где А1 — |~)М/ (иначе М(
1 + 1
можно выбросить). Следовательно, М1 + Л^ = /?. С
другой стороны, Мь П А1 = 0. Поэтому Аг ^ Я/М1 является
неприводимым правым /^-модулем. Таким образом,

§ 3.5. Артиновы и нётеровы кольца 113
А1 = е.%, е\ = еь^ % и М. = A - е.) Я. Пусть е = 2 еь.
Тогда
е-1=(**-1) + 2*/.^^ + ^
(так как если / Ф I, то е^ е Л;- с: Л^). Следовательно,
А ¦ .' я
е — 1 е (IМ1 = 0. Таким образом, 1 = 2 ^'> и П0ЭТ0МУ
1=1 1=1
п
Я = 2 ^ ~ вполне приводимый /^-модуль. Итак,
D)#0).
Пусть справедливо E). Поскольку кольцо /? нё-
терово справа, каждый правый идеал конечно
порожден. Так как кольцо К регулярно, то каждый
конечно порожденный правый идеал является в силу
приведенной выше леммы главным и, следовательно,
выделяется прямым слагаемым. Следовательно,
каждый правый идеал выделяется прямым слагаемым.
Поэтому модуль Кп вполне приводим. Таким
образом, E)^A).
Предложение 3. Если кольцо Я артиново справа,
то нётеровость правого %-модуля равносильна его
артиновости.
Доказательство. Пусть IV = Кай /?. Тогда
в силу предложения 1 Л^> = 0 для некоторого
положительного целого числа р. Рассмотрим теперь
любой артинов правый ^-модуль Ап. В нем имеется
цепочка подмодулей
Л=э ЛЛ/=эЛ^2=> ..-. =>АЫр = 0
с факторами Рк = АЫк~1 /АЫк, &=1, ..., р.
Поскольку Р^ = 0, можно рассматривать Рк как /?/М-модуль.
В силу предложения 2 кольцо К/Ы вполне приводимо.
Следовательно, Ръ — вполне приводимый /?/Л/-модуль,
а значит, и вполне приводимый /?-модуль. Будучи ар-
тиновым модулем, Рк является прямой суммой
конечного числа неприводимых ^-модулей. Следовательно,

114 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Рь является также и нётеровым модулем. Итак,
модули
АМр-1(=Рр) и МР'21АЫР(^РР^)
нётеровы. Следовательно, и АЫ?-2 — нётеров модуль.
Продолжая таким же образом, убедимся, что кольцо А
нётерово.
Переставляя в этом рассуждении слова «артинов»
и «нётеров», мы получим обратное утверждение.
Следствие. Каждое артиново справа кольцо
является нётеровым справа.
Кольцо целых чисел показывает, что обратное
утверждение места не имеет.
Предложение 4. Первичный радикал нётерова
справа кольца является наибольшим нильпотентным
правым идеалом.
Доказательство. Пусть кольцо # нётерово
справа и правый идеал N максимален среди нильпо-
тентных правых идеалов. Пусть Ми = 0. В силу
теоремы о биноме
(Ык = 0 & Ы'" = 0) =Ф (Ы + Ы')к+к' - 0.
Следовательно, N — наибольший нильпотентный
правый идеал. Будучи нильпотентным, N содержится
в гай/?. Предположим теперь, что А — правый идеал
и АтаЫ для некоторого натурального числа т.
Тогда А — нильпотентный правый идеал и,
следовательно, АаЫ. Таким образом, /?/Л/' — полупервичное
кольцо1). Поэтому в силу следствия предложения
3.2.2 ЛГ = гас1/?.
Подмножество кольца будем называть ниль-под-
множеством, если каждый его элемент нильпотентен.
Из предложения 3.2.1 мы знаем, что первичный
радикал любого кольца является ниль-идеалом.
!) Следует учесть, что N — двусторонний идеал.
Действительно, если ге!?, то гЫ — нильпотентный правый идеал и,
следовательно, ^N г N. — Прим. перев. и ред.

$ 3.5. Артиновы и нётеровы кольца 115
Предложение 5 (Левицкий). Первичный радикал
нётерова справа кольца является наибольшим левым
ниль-идеалом.
Доказательство (Утуми). Пусть Я— нёте-
рово справа кольцо, N— произвольный левый ниль-
идеал кольца 7?. Мы хотим показать, что УУс:гас17?.
Допустим сначала, что ^? — полупервичное кольцо.
В этом случае мы докажем, что N = 0. Действительно,
если N ф О, то выберем п е N. пфО, для которого
аннулятор пг = {5 е /? | пз = 0} является
максимальным. Рассмотрим элемент хе^, для которого хп Ф0.
Пусть к = к(х)— наименьшее натуральное число, для
которого (хп)к = 0. Тогда к>\ и (хп)к~1Ф0.
Заметим, что любой элемент, аннулирующий п справа,
аннулирует также и (хп)к~1. Поэтому в силу
максимальности пт имеем пг = ((хп)к~1O'. Следовательно,
хп е пг, т. е. пхп = 0. Таким образом, пЯп = 0.
Отсюда, поскольку /? — полупервичное кольцо, п = 0.
Переходя к общему случаю, заметим, что образ
левого ниль-идеала N при естественном
гомоморфизме в нётерово справа кольцо Я/тай Я в силу
сказанного выше равен нулю. Следовательно, N с: гаё Я, что
мы и собирались доказать.
Следствие. Ниль-идеал нётерова справа кольца
нильпотентен.
Следующий важный результат известен как
теорема Гильберта в базисе:
Предложение 6. Пусть Я[х]— кольцо, полученное
присоединением к кольцу Я переменной х9
коммутирующей с элементами из Я. Тогда если кольцо Я
нётерово справа, то Я[х] также нётерово справа.
Доказательство. Если К — правый идеал
кольца Я[х], то обозначим через Кг множество всех
тех элементов г е Я, для которых существует
многочлен из К со старшим членом гх\ Тогда К%
является правым идеалом кольца Я и КгаКш. В силу
нётеровости кольца /? Кп = Кп+1 = ... начиная
пг (I)
с некоторого п. Пусть /С< = 2 ЬцЯ* Мы хотим показать,

116 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
что многочлены Рц{х), соответствующие элементам
Ъц О'^/гI), составляют систему образующих
идеала К.
Предположим, что не все многочлены из К
являются линейными комбинациями многочленов /^(я).
Тогда среди «плохих» многочленов можно выбрать
многочлен наименьшей степени т, скажем §{х) =
= схш + ... . Допустим, что ш ^ п. Так как с е /Ст,
то можем записать с в виде с =2&т/ст/« Поскольку
/
многочлен
/
лежит в К и его степень меньше п, приходим к
противоречию. Наконец, если ш > /г, то се Кп, и
поступаем аналогично, используя п вместо т2).
Следствие. Пусть Я[х\, #2, ..., яп]— кольцо,
полученное из кольца Я присоединением п переменных х^
коммутирующих между собой и с элементами из /?.
Тогда если кольцо Я нётерово справа, то кольцо
Я[х\, #2, ..., хп] также нётерово справа.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что факторкольцо нётерова (арти-
нова) справа кольца является нётеровым (артиновым)
справа кольцом.
2. Покажите, что конечное прямое произведение
нётеровых (артиновых) справа колец является
нётеровым (артиновым) справа кольцом.
3. Если /? содержит в качестве подкольца тело В
и векторное пространство Яъ конечномерно, то # —
артиново справа кольцо.
*) Напомним, что каждый элемент из Кг есть старший
коэффициент некоторого многочлена степени I из К- — Прим. ред.
2) Здесь с = 2 ^п\°п\ и рассматривается разность
/
8(х)-хт-п%Рп1(х)сп]9
— Прим. ред.

§ 3.5. Артиновы и нётеровы кольца 117
4. Если кольцо ^ — нётерово (артиново) справа,
то нётеров (артинов) любой конечно порожденный
правый /?-модуль.
5. Докажите, что артиново справа кольцо без
делителей нуля является телом.
6. Если кольцо /? изоморфно кольцу Ап всех
(п X п)-матриц над кольцом Л, то /? содержит
элементы вц (*', /= 1, ..., /г), для которых е^ец = ец и
ецвы = 0 при / ф к. Покажите, что без ограничения
общности можно предполагать справедливость
равенства аец = еца при всех а^А1). Проверьте, что
епНеп^А.
7. Если К — левый идеал кольца /? = Лл= 2 ецА>
то еиК является подмодулем свободного Л-модуля
ецЯ = ^еиА. Если ^ — подмодуль Л-модуля #ц/?,
то покажите, что 2#п^ является левым идеалом
I
кольца /?. Проверьте, что это соответствие
осуществляет изоморфизм между структурой левых
идеалов кольца /? и структурой Л-подмодулей модуля епК.
8. Покажите, что кольцо Ап нётерово (артиново)
справа тогда и только тогда, когда Л — нётерово
(артиново) справа кольцо. [Указание: Используйте
упражнения 2 и 7.]
9. Докажите, что все двусторонние идеалы кольца
Ап имеют вид Кп = 2 ецК, где К—идеал кольца Л,
и /
Покажите, что отображение К"-*Кп является
изоморфизмом структур идеалов, сохраняющим
произведение. Покажите затем, что идеал Кп первичен тогда
и только тогда, когда первичен идеал /(. Выведите
отсюда, что гай(Лп) = (гайЛ)п.
10. Покажите, что идеал Кп кольца Ап
примитивен тогда и только тогда, когда примитивен идеал К
кольца Л. Выведите отсюда, что Кас1(Лп) = (КайА)п.
[Указание: Используйте упражнение 3.1.8. Кроме того,
если К — примитивный идеал, то К является
*) Следует выбрать удачный способ вложения кольца А в
кольцо Ап. — Прим. ред.

118 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
наибольшим двусторонним идеалом в некотором
максимальном правом идеале М кольца А. Тогда Ш =
= 2 бцМ + 2 СцА + ... + 2 еьпА является макси-
мальным правым идеалом кольца Ап и в силу
упражнения 7 Кп является наибольшим двусторонним
идеалом, содержащимся в М']
11 (Смолл). Покажите, что кольцо всех
BX2)-матриц вида а | где а — целое число, Ъ и с — рацио-
\0 с/'
нальные числа, нётерово справа, но не слева.
12 (Смолл). Покажите, что кольцо всех Bх2)-мат-
(а Ь\
риц вида ( п 1, где а — рациональное , а Ь и с —
действительные числа, артиново справа, но не слева.
§ 3.6. Поднятие идемпотентов
Важным орудием в классической теории неполу-
примитивных артиновых колец является техника
поднятия идемпотентов.
В дальнейшем N будет обычно обозначать идеал
кольца #, лежащий в радикале этого кольца. Будем
говорить, что идемпотенты могут быть подняты по
модулю идеала Ы, если для любого элемента и е /?,
для которого и2 — и^ Ы, существует элемент е2 =
= ее/?, такой, что е — ие N. Другими словами, если
и — идемпотент по модулю Л/, то должен
существовать идемпотент в Я, сравнимый с и по модулю N.
Следующий результат является классическим.
Напомним, что идеал называется ниль-идеалом, если
каждый его элемент нильпотентен.
Предложение 1. Идемпотенты могут быть подняты
по модулю любого ниль-идеала N кольца Я.
Доказательство, Пусть и2 — и^N. Положим
е = и + хA —2и), где х — элемент кольца /?, который
мы должны определить и который должен
коммутировать с и. После некоторых вычислений мы
убеждаемся, что уравнение е2 = е равносильно уравнению
(х2-х){1+4п) + п = 0,

$ 3.6. Поднятие идемпотентов
119
где п = и2— и^N. Формальным решением этого
уравнения является
х = ±A-{1+4п?>) = Ц2п-A)п> + A)п>-...).
Так как п — нильпотентный элемент, то в
действительности эта формула определяет х как многочлен
от п, а следовательно, и от и с целыми
коэффициентами. Отсюда также вытекает, что, как мы и хотели,
х коммутирует с и. Следовательно, е = и + х{\—2и)
является решением уравнения е2 = е. Кроме того,
х ^ п# а N и потому е — меЛ/, что и требовалось.
Следствие. В любом кольце идемпотенты могут
быть подняты по модулю первичного радикала.
Обычно приходится поднимать по модулю идеала
не один* а целое множество взаимно ортогональных
идемпотентов. Для этой цели полезно следующее
утверждение:
Лемма 1. Допустим, что можно поднимать
идемпотенты по модулю идеала ЫаЦайК. Если § —
идемпотент кольца Кии — идемпотент по модулю
идеала Ы, для которого и§ и ци принадлежат N. то
существует идемпотент е^Н, такой, что е — и^N
и е§ = §е = 0.
Доказательство. Пусть и2 — и^И, §2 = §,
и§^ N и #и е N. В силу предположения найдем
} = {2^%, где [-ме^. Из этого следует, что /§" и
§¦/ лежат в IV. В частности, 1—}§ — обратимый
элемент кольца /?. Рассмотрим элемент Г = О —
— /&)~7A—/#)- Очевидно, что /'— идемпотент
кольца /? и }'§ = 0. Умножая у на 1 —\ц слева, видим, что
Положим теперь е = /' — ^' = A—§)!'• Очевидно,
что §е = 0 = е§ и е = A — §)[ = / = и(тоА Ы) 1).
Кроме того, е*= A -§)Г(\ - в)Г = (!-$)/' = *.
1) Запись а = Ь(той М) означает, что а — Ь^Ы. — Прим.
перев.

120 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Напомним, что множество идемпотентов
называется ортогональным, если произведение любых двух из
них равно нулю.
Предложение 2. Допустим, что можно поднимать
идемпотенты по модулю идеала N а Кай /?. В этой
случае любое конечное или счетное ортогональное
множество отличных от нуля идемпотентов может
быть поднято по модулю N до ортогонального
множества отличных от нуля идемпотентов кольца /?.
Другими словами, если ии и2, ... —элементы
кольца /?, такие, что щфК и и{и^ — Ь^щ е Ы, то
найдутся элементы еи е2, ..., такие, что е^ФО, е\ —
— ^еЛ[ и еф] = Ъ^е^ Здесь, как обычно,
( 1, если г = /,
г1 ~~ \ 0, если 1Ф].
Доказательство. Предположим, что мы уже
подняли элементы ии иъ ..., ик-\ до еи е2, ..., ек-\.
Положим § = в\ + ... ¦ + еА_ь Тогда, конечно, ик§ и
§ик лежат в N. Отсюда в силу леммы найдется идем-
потент ек, такой, что ек — ик^ N и ек ортогонален §,
а следовательно, и еи е2, ..., ек-\. Наконец, так как
ик ф Ы, то ек ф 0.
Следуя Бассу, назовем кольцо Я полусовершенным,
если кольцо Я/Яа&Я вполне приводимо и идемпотенты
можно поднимать по модулю Кай/?.
Предложение 3. Артиново справа кольцо
полусовершенно.
Замечание. В силу симметрии это же
утверждение справедливо и для артиновых слева колец.
Доказательство. Пусть /? — артиново справа
кольцо. Тогда кольцо /?/Кас1 Я также артиново справа
(см. упражнение 3.5.1). Будучи полупримитивным,
кольцо Я/Я&& Я вполне приводимо (предложение
3.5.2). Кроме того, так как Каё /? — ниль-идеал
(предложение 3.5.1), то в силу предложения 1 идемпотенты
можно поднимать по модулю радикала.
Отличный от нуля идемпотент е кольца Я назовем
примитивным, если е не может быть представлен

§ 3.6. Поднятие идемпотентов
121
в виде суммы двух ненулевых ортогональных
идемпотентов. Это, как легко видеть, равносильно
неразложимости правого модуля еН, а также в силу
симметрии неразложимости левого модуля Не. Заметим, что
в этом случае в кольце е#е & Нотн(еЯ,еН) идемпо-
тент е оказывается единственным ненулевым идемпо-
тентом. Действительно, если еге — идемпотент для
некоторого элемента ге^, то е — еге является идемпо-
тентом, ортогональным к е. Из примитивности идем-
потента е следует, что либо еге = О, либо еге = е.
Предложение 4. Полусовершенное кольцо К
содержит конечное ортогональное множество примитивных
идемпотентов, сумма которых равна 1.
Доказательство. Допустим временно, что
кольцо К нётерово справа. Пусть еие2, ... —
ортогональное множество отличных от нуля идемпотентов
кольца /?. В множестве правых идеалов ехЯ, е\Я +
+ е2Ку ... должен быть максимальный элемент.
Отсюда следует, что рассматриваемое множество
идемпотентов конечное. Таким образом, нётерово справа
кольцо обладает конечным максимальным
ортогональным множеством примитивных идемпотентов.
Применим это замечание к кольцу К/Ы, где N =
= Кас1/?. Пусть ии и% ..., ип — максимальное
ортогональное множество примитивных идемпотентов по
модулю Ы1). В силу предложения 2 это множество
можно поднять до ортогонального множества
ненулевых идемпотентов еи е2, ..., еп кольца /?. Докажем,
что е-и ..., е<п — также максимальное множество, а
е{ — примитивные идемпотенты.
Действительно, если идемпотент е ортогонален
всем вг% то е ортогонален всем щ по модулю N. В силу
максимальности множества ии ... ип либо е^Ы =
= Кай/?, либо е — е^&Ы для некоторого '/. В первом
случае A — е) — обратимый элемент, и из равенства
е(\— е) = 0 следует, что е = 0. Во втором случае
1) Это означает, что иг^Н и система смежных классов
{щ 4- Щ является максимальным ортогональным множеством
примитивных идемпотентов кольца Н/N. — Прим. ред.

122 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
аналогичным образом покажем, что е = е$.
Следовательно, еи е2, ..., еп — максимальное множество.
Допустим теперь, что е{ = е + /, где е и / —
ортогональные идемпотенты. Так как идемпотент щ
примитивен по модулю Ка<3 /?, то либо е е N. либо / е N.
Отсюда следует, что либо е = О, либо / = 0. Таким
образом, каждый из идемпотентов в\ примитивен.
Положим
5 = ^/? + ^/?+ ... +епЦ = еЦ,
где е = в\ + е2 + ... + еп — идемпотент. В этом
случае примитивные идемпотенты отсутствуют в A —
— в)/?1), а следовательно, и в A—е)К№. Так как
ЯШ — вполне приводимое кольцо, то нетрудно
показать, что A — е)И№ = 0 и, следовательно, 1 — еЕЛ^,
т. е. е = 1, что завершает доказательство.
Насколько однозначно определены примитивные
идемпотенты еи ..., еп в предложении 4? Конечно,
если еи ...,еп— ортогональное множество, сумма
элементов которого равна 1, то таким же свойством
обладает и множество иг1ехщ ..., и~1епи, где
^-—обратимый элемент. Мы вскоре увидим, что этим
исчерпываются все ортогональные множества примитивных
идемпотентов, сумма элементов которых равна 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Допустим, что идемпотенты можно поднимать
по модулю идеала N а Кай /?. Покажите, что если
ии'и — и^ N. то в кольце /? существуют элементы V
и V', для которых V — и^N, V' — и'^N и юю'ь^ь.
2. Покажите, что ненулевой идемпотент е кольца
# примитивен тогда и только тогда, когда кольцо еЯе
не содержит идемпотентов, отличных от 0 и е.
1) Действительно, пусть / — примитивный идемпотент в
A — е)Я. Тогда е\ = 0. Если / — \е = 0, то / = /2 = \е\ = 0, что
невозможно. Легко проверяется, что / — \е — идемпотент,
ортогональный е. Если / — \е примитивен, то мы вступаем в
противоречие с максимальностью системы {е*}. Следовательно, / — \е =
= # + /I, где §2 = §, № = к, §Н = Н§ = 0. Отсюда / = §} + Л/,
^/, Щ ф 0, а также е§ + ек — 0, откуда ец = ек = 0. Поэтому
}§ = ц и /А = К что влечет (#/J = §}, (/г/J = А/ и #/А/ = Щц] =
= 0, вопреки примитивности идемпотента /,— Прим. перев. и ред.

§ 3.7. Локальные и полу совершенные кольца 123
3. Допустим, что идемпотенты можно поднимать
по модулю идеала N с: Кай 7?. Покажите, что любой
примитивный идемпотент кольца Я остается
примитивным и по модулю N.
4. Если е — примитивный идемпотент регулярного
кольца Я, то еЯе— тело.
§ 3.7. Локальные и полусовершенные кольца
Предложение {.Пусть Я— кольцо, в котором
0=^=1. Тогда следующие условия эквивалентны:
A) Я/Кай 7? — тело.
B) Кольцо Я обладает единственным
максимальным правым идеалом.
C) Все необратимые элементы кольца Я лежат
в некотором собственном идеале.
D) Необратимые элементы кольца Я образуют
собственный идеал.
E) Для любого элемента г ее Я либо г, либо
1—г — обратимый элемент.
F) Для любого элемента г^Я либо г, либо
1 — г — обратимый справа элемент.
Замечание. Конечно, в B) и F) слово
«правый» можно заменить на «левый».
Если кольцо Я удовлетворяет одному из этих
эквивалентных условий, то мы будем говорить, что Я —
локальное кольцо. В литературе встречается также
термин «вполне примарное» кольцо, но название
«локальное» более согласовано с коммутативным
случаем. Циклическое доказательство эквивалентности
условий A) — F) мы оставляем читателю в качестве
упражнения.
Если е — идемпотент кольца Я, то еЯе — кольцо
с единицей е.
Лемма 1. Если е — идемпотент кольца Я и Ы —
= КасЗЯ, то №{еЯе) = еЯе Г) N = еЫе.
Доказательство. Пусть г = еге ^Яай(еЯе) и
х^Я. Тогда элемент е — гхе обладает в еЯе
обратным е — у, где у = еуе, т. е. (е — гхе) (е — у) = е.

124 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
После этого легко проверить, что
A - гх) A - г/) = 1 - гл: A -
Умножая правую часть этого равенства на 1 +
+ гх(\ —е) справа, получим 11). Следовательно,
элемент 1—гх обратим справа в кольце /?. Таким
образом, Кас1(е/?е) с: еЯе Л N.
Допустим теперь, что г е еЯе Л N. Тогда г = еге <=
е еЪ1е, откуда еКе Л N сг еЫе.
Наконец, пусть г е еЫе а N. и пусть х = ехе ^ еКе.
Тогда 1—гх обладает правым обратным 1—у в /?,
откуда
(е — гх) (е — еуё) = е A — гх) A — у) е = е.
Таким образом, еЫе с: ^ай(еЯе), что заканчивает
наше циклическое доказательство.
Предложение 2. Если е— примитивный
идемпотент в полусовершенном кольце К, то еЯе— локальное
кольцо.
Доказательство. Пусть Л^ = Кас1/?.
Рассмотрим произвольный элемент и^еЯе. Так как ЯШ—
регулярное кольцо, то и — ии'и^М для некоторого
иг е /?. Поскольку здесь можно заменить и' на еи'е,
то можно считать, что и' е еЯе.
Так как ии' является идемпотеитом по модулю N
и ортогонален к 1 — е, то по лемме 1 предыдущего
параграфа найдется идемпотент } в /?, для которого / —
— ии'<=Ы и /A— е) = 0 = A-е)). Таким образом,
}^еЯе, а / и е — } — ортогональные идемпотенты. Так
как е примитивен, то либо /, либо е — / равен нулю.
Допустим, что иф N. Так как \и = ии'и =
= и(то&N), то {Ф0. Следовательно, I = е, поэтому
ии' — е^К1. Аналогично и'и — е^N. Таким
образом, элемент и обратим в кольце еЯе по модулю N П
П еЯе = ЯаА(еЯе), т. е. еЯе— локальное кольцо.
Следствие I.Кольцо Я является локальным тогда
и только тогда, когда Я— полусовершенное кольцо,
а 1 — примитивный идемпотент в /?.
1) Следует учесть, что [гл:A — ^I2 == 0, ибо г = еге. — Прили
ред.

§ 3,7. Локальные и полусовершенные кольца 125
Нам будет удобно называть идемпотент е
локальным, если еЯе — локальное кольцо. (Джекобсон
использует термин «вполне примитивный».) Очевидно,
что локальный идемпотент является примитивным.
Обратное, вообще говоря, не имеет места. (Например,
если # — кольцо целых чисел, то 1 — примитивный
идемпотент, не являющийся локальным.) Ввиду
предложения 4 предыдущего параграфа справедливо
такое утверждение:
Следствие 2. Любое полусовершенное кольцо
содержит конечное ортогональное множество локальных
идемпотентов, сумма которых равна 1.
Прежде чем перейти к вопросу о единственности
такой системы локальных идемпотентов, нам надо
доказать две леммы:
Лемма 2. Если е — локальный идемпотент кольца
Я, а я: /? -*/?/Кай /? — канонический эпиморфизм, то
пе# — минимальный правый идеал кольца я/?.
Доказательство. Рассмотрим правый идеал
яA—е)Я кольца я/?. Очевидно, что это собственный
правый идеал (в противном случае е^ЯаАЯ и,
следовательно, е = 0). Таким образом, яA—е)Н
содержится в максимальном правом идеале пМ кольца я/?.
Утверждение леммы будет доказано, если мы
покажем, что пМ П кеН — 0.
Предположим, что это не так, т. е. пМ Г) пеЯ Ф 0.
Тогда, поскольку пН — полупервичное кольцо, (пМ Л
(}пе#JФ0. Следовательно, найдется элемент ге/?,
такой, что пег^пМ и пегефО. Но пе%е — тело.
Следовательно, в нем существует элемент ях, для
которого пегех = пе. Таким образом, пе е пМ, что дает
противоречивое соотношение я1 = пе + яA —е) е
ЕяМ.
Лемма 3. Пусть и'и — е и ии' — / лежат в Кай 7?,
причем ей] — идемпотенты кольца к. Тогда ю'-о = е и
VI*' = / для некоторых элементов V, V* е /?а

126 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Доказательство. Пусть N = Кай /?. Так как
1и и ии'и = ие (той Щ
и
ей' == и'ии' = «7 (той Л/'),
то
еи!\и = *//** = и'ие = е2 = е (той #).
Положим
х = е-~ еи'\и е АЛ
Тогда
еи'}и = еA — х)
и элемент 1 — х обладает обратным 1 — у. Так как
## = х + у, то мы видим, что уеЛ Положим
а = /«A — #) и ю' = еи'[.
Тогда
о'о = еи'}иA — г/) = ^ A — а:) A —
Отсюда
(уу'J = ае0' = оа'.
Поэтому
(/ — оа'J = / ~ !у®' ~~ 007 + 00' = / — из'.
Но
VV' = ^и{^—у) ей'! = /иеи7 = /гш7 = / (той Ы).
Следовательно, / — VV/^N. Так как радикал кольца
не содержит отличных от нуля идемпотентов, то VV/ =
= /, что завершает доказательство.
Предложение 3. Пусть К — произвольное кольцо,
и пусть
тп п
— два представления 1 в виде суммы ортогонального
множества локальных идемпотентов. Тогда пг = п и
существуют обратимый элемент V кольца К и
подстановка р чисел {1,2, ..., т}, такие, что
^в/р(^ (*'=1> 2> ••• гп).

§ 3.7. Локальные и полу совершенные кольца 127
Доказательство. Пусть я: /?->/?/Кас1 /?
—канонический эпиморфизм. Тогда
т п
2 пе^ = лЯ = 2 я//#
— два разложения в прямую сумму подмодулей. По
лемме 2 слагаемые являются неприводимыми я/?-мо-
дулями. Применяя теорему Жордана — Гёльдера
(следствие к предложению 1.4.4), убеждаемся в том,
что т = п и пеьН^:п1р{1)К для подходящей
подстановки р. Следовательно, существуют такие элементы
пиь и пи[ кольца я/?, что яе. = ш'.пи. = яа^. и я/ (/) =
= пи.и'.. (См. предложение 3.4.3.) По лемме 3
найдутся элементы юг и ю[ кольца /?, для которых ъ'р^
= ^и ХIХ)\==^р{1у Легко проверить, что также
Полагая
нетрудно убедиться в том, что аг/ = 1 = о'о и
а это завершает доказательство.
Следствие(Адзумая). Пусть 8-модуль А8
представлен двумя разными способами в виде прямой суммы
подмодулей, кольца эндоморфизмов которых
локальны,
пг п
2л = л=2в,.
Тогда пг ~ п и существует такая подстановка р чисел
от 1 до пг, что
А1 = ВРA) 0'=1, 2, ..., щ).
Доказательство. Пусть К = Нот5(Л, Л),
ехА = Л*, /;-Л = В у Тогда (как и в лемме 3.4.1)
Нот5(Л,, А1)^е1Це1
и т. д.

128 Гл. 3. Классическая теория ассоциативных колец
Читатель без труда убедится в том, что теорема
Крулля — Шмидта для модулей (предложение 1.4.10)
в силу леммы Фиттинга (предложение 1.4.9)
является частным случаем приведенного выше
утверждения. Таким образом, оказывается, что теорема
Крулля — Шмидта для модулей является следствием
теоремы Жордана — Гёльдера.
Вернемся теперь к вопросу о строении
полусовершенных колец. В общем случае строение таких колец
описывается весьма сложно, даже если предполагать
их артиновыми справа. Однако ситуация
становится совершенно прозрачной, если допустить, что
А)/Кас1 /? — простое или первичное кольцо. (Эти два
свойства равносильны для вполне приводимых колец.)
Предложение 4. Пусть Я — полу совершенное
кольцо, а Я/Я^АЯ— первичное кольцо. Тогда кольцо Я
изоморфно кольцу всех эндоморфизмов конечно
порожденного свободного 8-модуля над локальным
кольцом 5.
Замечание. Так как Я~Иотз{У, V), где
модуль У8 изоморфен прямой сумме п экземпляров
модуля 5в, то очевидно, что кольцо /? изоморфно кольцу
всех (п X п) -матриц с коэффициентами из 5.
Доказательство. Пусть еи #2, ..., еп —
ортогональное множество локальных идемпотентов кольца
/?, сумма которых равна 1. Пусть я: /? —> /?/Кай Я—
канонический эпиморфизм. Тогда в силу леммы 2
пвгЯ — неприводимые правые я#-модули. Следова-
п
тельно, кольцо пЯ = 2 п>еьЯ совпадает со своим цо-
г = 1
колем. Пусть е — один из идемпотентов е\. Так как
однородная компонента кЯеЯ является прямым
слагаемым в я/?, а кольцо я/? первично, то пЯ = пЯеЯ.
По лемме 3.3.4 пЯеЯ является прямой суммой
модулей, изоморфных модулю тсеЯ. По теореме
Жордана— Гёльдера пегЯ о* пеЯ. Следовательно, лV^пи^ =
= тсе и лщтг = лег для подходящих элементов щ и
VI. (См. предложение 3.4.3.) В силу леммы 3 данного
параграфа можно считать, что ЮгЩ = е и и\0\ = е. Ис-

$ 3.7. Локальные и полу совершенные кольца 129
пользуя рассуждения, уже знакомые нам (см.
доказательство леммы 3.4.2), убедимся в том, что
# ~ Нот (Яя, Як) ^ Нот,*, (/?<?, Яе).
Поскольку еь е2, ..., ^ — ортогональное мно-
п
жество, Яе^^е^е является прямой суммой правых
е ^-модулей. Кроме того, как легко видеть,
соответствие еьге -> ю^ре = ъцьрре = еюьге является е#е-изо-
морфизмом еьЯе->еЯе. Следовательно, Яе является
свободным е#е-модулем с п образующими.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проведите циклическое доказательство
предложения 1.
2. Проведите полное доказательство следствия
предложения 3.
3. Выведите теорему Крулля — Шмидта из теоремы
Адзумая.
4. Пусть ЫаЦаАЯ, и пусть я: 7? -+Я/Ы —
канонический эпиморфизм. Если е и / — идемпотенты
кольца 7?, то 7?-модули еЯ и Щ изоморфны тогда и только
тогда, когда изоморфны я/?-модули пеЯ и л}Я.
5 Зак. 1027

ГЛАВА 4
ИНЪЕКТИВНОСТЬ И БЛИЗКИЕ ВОПРОСЫ
§ 4.1. Проективные модули
Напомним, что (внешняя) прямая сумма
А= 2 Ф^1 семейства модулей состоит из всех элемен-
тов ае П Аи таких, что аA) = О почти для всех /
I Е/
(т. е. для всех, кроме конечного числа). Было
определено каноническое отображение щ\ А{-+А:
Отсюда следует, что
Предложение 1. Если А — прямая сумма
семейства модулей {Лг|/<=/} и тц: А^-^А — канонические
отображения, то для любого модуля В и для любого
семейства гомоморфизмов ср*: Лг-*В существует
единственный гомоморфизм ср: Л—»5, такой, что фо^ =
= фг. Более того, это свойство определяет прямую
сумму с точностью до изоморфизма.
Предложение можно иллюстрировать
„коммутативной диаграммой"
В<$ А
\
ф,\
ч
Пунктирная стрелка соответствует тому
отображению, существование которого утверждается.
Доказательство. Определимср: А->В, положив
фа = 2 ф*а (/).

§ 4.1. Проективные модули 131
Ясно, что ф — гомоморфизм и что
(ф ° И/) Я/= ф (ИуЯу) = 2 ФЛи/Я/К/НФ/Я/.
Таким образом, фои/ = ф/. Если также и -ф о >с/ = ф/,
то
фа= 2 Ф(и*а@) = 2 Ф*а(/) = фа,
и, следовательно, г|) = ф.
Обратно, пусть А' и и^: Л. ->Л' удовлетворяют
„абстрактным" условиям предложения 1. Полагая
Фг. = %\ и В = Л7, убедимся в существовании
отображения к': Л->Л', для которого %;о%. = ^.
Аналогично, существует отображение к: А/ -> Л, для
которого х°%; = иг Следовательно,
И о X7 о %ь = К о %^ = К- = 1 л о Ир
где 1л —тождественное отображение модуля Л. В силу
свойства единственности %°х'=\А. Аналогично,^ох =
= 1Л,. Следовательно, к — изоморфизм.
Следствие. Если модуль А изоморфен прямой
сумме модулей Аь с каноническими отображениями
щ: Аь~> А, то существуют отображения щ: А->А1
(также называемые каноническими), такие, что
щ о щ = 1 и щ°%} = О, когда I Ф /.
Кстати, из этого следует, что щ — мономорфизм,
а Я; —эпиморфизм.
Доказательство. Рассмотрим при
фиксированном индексе / отображение 6^: А^-^А^ где 6*/=1,
если / = /, и 6ц = О, если I Ф /. Существует
отображение щ: А->АЬ, для которого пьо%! = Ьц при всех /.
(Возьмите ф/ = Ьц и ф = щ.)
А. Л- А

132 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Модуль Мп называется свободным, если в нем
существует базис {/Пг|/е/}, т^еМ, т. е. такая система
элементов, что любой элемент т^М можно
однозначно представить в виде т = 2 ^0> где г% е= /? и
почти все (кроме конечного числа) Г\ равны нулю. Из
этого следует, что 2 Щг1 = О тогда и только тогда,
когда все г1 = 0. В частности, т{г = 0=^> г = 0, и,
следовательно, правые /?-модули т*# и 7? изоморфны.
Кроме того, М = 2 я^Я — прямая сумма. Следова-
тельно, мы доказали первую часть такого
утверждения:
Лемма. Модуль Мя является свободным тогда и
только тогда, когда он изоморфен прямой сумме
некоторого множества экземпляров модуля Кя.
Доказательство обратного утверждения очевидно
и опускается.
Одним из наиболее интересных свойств свободного
модуля М является его проективность в следующем
смысле: Пусть я— эпиморфизм некоторого модуля В
на некоторый модуль Л, тогда любой гомоморфизм
ф: М-+А может быть «поднят» до гомоморфизма
ф: М -> 5, такого, что я о «ф = ф. Это свойство
иллюстрируется диаграммой
М-±>В
44
Предложение 2. Свободный модуль является
проективным.
Доказательство. Пусть Мп — свободный
модуль с базисом {т^'е/}, и пусть феНот^(М, А).
Пусть также яеНот^(В, Л) —эпиморфизм. Тогда
для любого / е / существует элемент Ьь е В, такой, что
(рШ1 = ЛЬ}.

$ 4.1. Проективные модули
133
Для любого т = 2 ЩГ{ мы определим
16/
(Напомним, что почти все г{ равны нулю.) Для того
чтобы убедиться, что г|) — однозначное отображение,
допустим, что т = 0. Из этого вытекает, что все
гь = 0. Таким образом, 2 Ььгь = 0. Легко видеть, что
ф€=Нотл(АГ, В). *е/
Следствие. Не — проективный модуль.
Предложение 2 можно было бы доказать, показав
сначала справедливость следствия и использовав
затем предыдущую лемму вместе с таким результатом:
Предложение 3. Если М — прямая сумма
семейства модулей {Мг|/е/}, то модуль М проективен
тогда и только тогда, когда каждый из модулей Мг
проективен.
Доказательство. Допустим, что все Мг—
проективные модули. Пусть ф е Нотя(М, Л), и пусть я е
ееНошйE, А) —эпиморфизм. Тогда для
гомоморфизмов <рохг. Мг-+А найдутся гомоморфизмы г|)г: М*-*
—>Б, такие, что я °г|); = Ф 0^г. (Напомним, что и* —
каноническое вложение модуля М{ в М.) Теперь в
силу предложения 1 существует единственный
гомоморфизм г|), такой, что г|) о х* = г|)г для всех /е/. Мы не
будем использовать единственность отображения 1|э,
а воспользуемся лишь равенством фоХг = я°г|)г при
всех I е /. Поскольку я о -ф о щ = д о <фг- = ф о щ для
всех /, можно заключить, что я°г|) = ф. Таким
образом, М — проективный модуль.
М1 »¦*».«¦> В
*1\ /
м
\ ,
А

134 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Обратно, пусть М — проективный модуль, и пусть
фг*. Мг->Л и Яг: М —> Мг-— канонические отображения.
Тогда для фг°яг-: М-+А найдется гомоморфизм
ф: М —> В\ такой, что зт о \|э = ф$ о я*. Но яг- ° х* = 1 и,
следовательно, яо-ф°Хг = фг. Таким образом, модуль Мг-
является проективным.
Предложение 4. Каждый модуль изоморфен фак-
тормодулю свободного модуля.
Доказательство. Пусть Мп — правый /?-мо-
дуль. Можно записать модуль М, например, в виде
М = 2 ЩЛ* где Шг пробегают все элементы модуля
М. Пусть 7?#—экземпляр модуля Ня. Рассмотрим
отображение фг-: /?*-*М, определяемое условием
фг-г = ШгГ. Тогда существует отображение
для которого ф°хг = фг, где Хг — каноническое
отображение /?* в прямую сумму. Образ гомоморфизма
Ф содержит все ШгН и, следовательно, содержит
М= 2 #^7?. Таким образом, ф — эпиморфизм.
1 е/
Следствие. Каждый модуль изоморфен фактормо-
дулю проективного модуля.
Будем называть эпиморфизм я: В-+М прямым,
если существует гомоморфизм х: М —>В, такой, что
я°х=1. Заметим, что в этом случае х —
мономорфизм. Оправданием этой терминологии служит то
соображение, что в этом случае х°я является идемпо-
тентным эндоморфизмом модуля В, образ которого
изоморфен модулю пВ = М. Таким образом, модуль
М изоморфен прямому слагаемому модуля В.
(См. § 1.3.)
Предложение 5. Модуль М проективен тогда и
только тогда, когда каждый эпиморфизм я: В-+М
является прямым.
Иногда это предложение формулируют примерно
так: модуль М проективен тогда и только тогда, ко-

$ 4.1. Проективные модули
135
гда выделяется прямым слагаемым любой подмодуль,
фактормодулю по которому он изоморфен.
Доказательство. Допустим, что М —
проективный модуль и я: В->М — эпиморфизм. Для
тождественного отображения из М в М найдется
отображение х: М->5, такое, что я °х = 1:
М ¦-¦** В
Обратно, допустим, что каждый эпиморфизм
я: В-+М является прямым. В силу последнего
следствия можно взять в качестве В проективный модуль.
В этом случае М как прямое слагаемое проективного
модуля является в силу предложения 3 проективным
модулем.
Следствие. Модуль М проективен тогда и только
тогда, когда он изоморфен прямому слагаемому
свободного модуля.
Над какими кольцами Я все /?-модули являются
проективными?
Предложение 6. Каждый Я-модуль проективен
тогда и только тогда, когда кольцо Я вполне
приводимо.
Доказательство. Допустим, что каждый
/?-модуль проективен. Тогда для любого правого идеала
К. кольца 7? модуль Я/К проективен. В силу
предложения 5 канонический эпиморфизм я: Я-+Я/К
является прямым. Фактически мы имеем отображение
к: Я/К-+Я, для которого яох= 1. Как уже
отмечалось, %<>я является идемпотентным эндоморфизмом
модуля Я, образ которого изоморфен модулю пЯ =
= Я/К. Его ядро, очевидно, совпадает с я-10 = К.
Следовательно, Кв также является прямым слагаемым
модуля Ян, одним из дополнений которого служит
подмодуль к(пЯ). Таким образом, каждый правый
идеал выделяется прямым слагаемым, и,
следовательно, модуль Яп вполне приводим.

136 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Обратно, допустим, что # — вполне приводимое
кольцо. Пусть М — правый /?-модуль и яб
е Ношк E, М) — эпиморфизм. Пусть К = я_10.
Поскольку модуль В вполне приводим, К + К' = В и
К Л К' = 0 для некоторого подмодуля К! модуля В.
Таким образом, М ^ В/К = К' и К,' является
прямым слагаемым в модуле В. Так как мы можем
считать, что В — проективный (даже свободный) модуль,
то из этого следует проективность модуля М.
Мы готовы теперь рассмотреть пример
проективного модуля, не являющегося свободным.
Пример. Рассмотрим кольцо /? всех
BX2)-матриц над полем Р, скажем над полем действительных
чисел. Матрицы вида
1о о)*
где а, ре/?, образуют правый идеал кольца Я и,
следовательно, правый модуль МЕ. В силу
предложения 6 Мя — проективный модуль. Если рассматривать
М как векторное пространство над Ру то его
размерность равна 2. С другой стороны, размерность любого
свободного /?-модуля как векторного пространства
над Р кратна 4, размерности пространства Я*\ Таким
образом, модуль Мя не является свободным.
Рассмотрим для получения примеров другого типа
кольцо Я = 2 целых чисел. Заметим, что 2-модули—
не что иное, как абелевы группы. В силу следствия
предложения 5 абелева группа проективна тогда и
только тогда, когда она изоморфна прямому
слагаемому свободной абелевой группы. Как мы сейчас
увидим, любая подгруппа свободной группы является
свободной. Из этого следует, что абелева группа свободна
тогда и только тогда, когда она проективна.
Предложение 7. Пусть М = 2 М1 — прямая сум-
ма подмодулей М{. Допустим, что модуль Мг и все
его подмодули проективны. Тогда любой подмодуль

§ 4.1. Проективные модули
137
N модуля М изоморфен прямой сумме 2 ^ь г^е
Л;г с: М{ при всех I е /.
Заметим, что совпадение N с 2 Мь не утвер-
ждается.
Доказательство. Можем, например, взять
в качестве / множество всех порядковых чисел,
меньших л Для любого порядкового числа &-<> положим
Мк = 2 М*. При естественном отображении модуля
I <к
Л1&+1 = Мй + МА на Мк образом модуля Лт П Мк+1
является некоторый подмодуль Ы& модуля Мь. В силу
предположения Л^ — проективный модуль и,
следовательно, изоморфен прямому слагаемому модуля N П
П Мк+1. Другими словами,
где Ы()Мк{]Мь = 0 и Ыъ = Мь. Докажем, используя
трансфинитную индукцию, что
(прямая сумма подмодулей) для всех /О. Это
равенство очевидно для I = 0. Из его справедливости
для I = к в силу сказанного выше следует его
справедливость при 1 = 6+1. Пусть теперь к — любое
предельное порядковое число, и пусть утверждение
имеет место для всех К к. Тогда
4<к I 1< к
= 11B^\=2^.
1<к \!<1 I !<к
Легко видеть, что сумма в правой части является
прямой. Следовательно, наше утверждение справедливо
для всех г-^г, в частности при I = г.
Следствие. Если К — коммутативная область
целостности, в которой все идеалы являются главными,
то каждый подмодуль свободного модуля свободен.

138 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Доказательство. Свободный модуль М
является прямой суммой подмодулей Мь ~ 7?#. Затем,
любой ненулевой идеал кольца /? изоморфен модулю
/?я. Следовательно, все ненулевые модули N1
изоморфны /?я. Поэтому модуль N также свободен.
Предложение 8. Пусть М= 2 Мг — прямая сум-
ма подмодулей Мь Допустим, что каждый конечно
порожденный подмодуль любого модуля М* проективен.
Тогда произвольный конечно порожденный подмодуль
N модуля М изоморфен прямой сумме 2 Л/^, где Р—
конечное подмножество в I и А^ с: ЛЬ при любом
/ее/7.
Доказательство. Так как N — конечно
порожденный модуль, то N содержится в 2 М/; где Р —
некоторое конечное подмножество в /. Упростим обо-
п
значения. Пусть Мп = 2 ЛЬ и N— конечно порожден-
* = 1
ный подмодуль модуля Мп. Докажем по индукции, что
Очевидно, это верно при п = 1. Пусть это верно при
п— 1. Канонический эпиморфизм Мп = Мп~х + Мп на
Мп отображает N на конечно порожденный
подмодуль Ып модуля Мп. В силу предположения модуль Ып
проективен и, следовательно, изоморфен прямому
слагаемому Nп модуля N. Таким образом,
лтлг-'пл^о.
Поэтому /V П М71-1 как прямое слагаемое модуля N
является конечно порожденным модулем. В силу ин-
п—\
дуктивного предположения N {] Мп~х = 2 Л^. Следо-
1 = 1
п
вательно, N ^ 2 Л^.
г = 1

$ 4.1. Проективные модули
139
Можно заметить, что доказательство
предложения 8 очень похоже на доказательство предложения 7.
С небольшими усложнениями, вероятно, мы могли бы
найти единое доказательство двух предложений.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что модуль Мк проективен тогда и
только тогда, когда существуют элементы ть<^ М и
Д е Нотд(Л1, /?), /е /, такие, что для любого /пеМ
справедливо равенство т= ^т^^т). (Конечно, под-
разумевается, что /^т = 0 почти для всех /.)
2. Если Мя — конечно порожденный проективный
модуль, то существуют элементы ть ..., тп е М и
/ь , /„еНот^(М, 7?), такие, что
п п
для теМ и /е=Нот^(М, 7?),
3. Кольцо называется наследственным справа, если
каждый его правый идеал проективен. Докажите, что
каждый подмодуль свободного модуля над
наследственным справа кольцом изоморфен прямой сумме
правых идеалов кольца /?.
4. Покажите, что кольцо /? наследственно справа
тогда и только тогда, когда каждый подмодуль
проективного /^-модуля проективен.
5. Пусть кольцо 7? вполне приводимо. Покажите,
что каждый правый ^-модуль является прямой
суммой правых идеалов кольца У?.
6. Кольцо Я называется полунаследственным
справа, если каждый его конечно порожденный правый
идеал проективен. Например, регулярное кольцо
полунаследственно справа и слева.
Сформулируйте и докажите утверждения,
аналогичные упражнениям 3 и 4.
7. Покажите, что кольцо Ап всех (пХп) -матриц
с элементами из кольца А регулярно тогда и только
тогда, когда кольцо Л регулярно. (Указание: Возможный

140 Г л. 4. Инъективность и близкие вопросы
способ — рассмотреть элемент ецгец, соответствующий
элементу г е Ап. Другой способ — использовать
структурный изоморфизм из упражнения 3.5.7 и заметить,
что конечно порожденный правый идеал К кольца Ап
выделяется в нем прямым слагаемым тогда и только
тогда, когда е^К выделяется прямым слагаемым
в Л-модуле ецАп.)
8 (Смол). Покажите, что кольцо в упражнении 11
§ 3.5 наследственно справа, но не слева.
§ 4.2. Инъективные модули
Возможно, читателя удивит тот факт, что прямое
произведение модулей допускает абстрактное
описание, являющееся «дуальным» по отношению к харак-
теризации прямой суммы. Под «дуализацией»
подразумевается обращение стрелок (отображений) и
перемена местами приставок «эпи» и «моно».
Предложение 1. Если А — прямое произведение
семейства модулей {Аг\1<=1} с каноническими
отображениями щ: А->Аг, то для произвольного модуля В
и любого семейства гомоморфизмов фг-: В—>А{
найдется и притом единственный гомоморфизм ф: В—>А,
такой, что Яг ° ф = Фг. Более того, это свойство
определяет прямое произведение с точностью до
изоморфизма
В ..?•..-> А
\ к
Аь
Доказательство. Напомним, что яг-а = а(/) е'
еЛ| для любого аеЛ Определим ф: В—>Л,
положив
(ф6)(/)-Ф^.
Ясно, что ф —гомоморфизм и что
(щ о ф) Ъ = щ (фй) = (фб) (/) = щЬ.
Таким образом, я/оф = ф.. Если также и пг о,ф = ф/,то
(Щ (/) = щ (Щ = {щ о ф) Ъ = ф,6 = (фб) (/)
и, следовательно, а|) = ф.

$ 4.2. Инъективные модула
141
Обратно, пусть N и п\\ А''-> Аь удовлетворяют
условиям предложения 1. Рассмотрев ф* = я; и В = А',
убедимся в существовании отображения я': А'—> А,
такого, что щ ° я' = я*. Аналогично, существует
отображение я: А->А', такое, что я/оя = я*.
Следовательно,
Я^ о Я' о Я = Я/ о Я = Я; = Я; о 1^,
где \а — тождественное отображение модуля А. Из
единственности вытекает, что я'°я= 1а. Аналогично,
я°я/== 1Л,. Таким образом, я — изоморфизм.
Следствие. Если модуль А изоморфен прямому
произведению модулей А г с каноническими
отображениями щ: А-+А{у то существуют отображения
щ: Аг-+А {также называемые каноническими), такие,
ЧТО 7ЦоХг= 1 и Яг ° %г = 0 При I Ф /.
Доказательство. Фиксируем I и рассмотрим
отображение б^-: АХ->АЬ где 6ц = 1 и б^- = 0 при I Ф
Ф\. Тогда существуют отображения и*: Л;-» Л,
такие, что яу°х* = б^ при всех /. (Следует взять ср;-=
= б^ и ф = х,-.)
Двойственным к понятию проективности является
понятие инъективности. Модуль М называется инъек-
тивным, если он обладает следующим свойством.
Пусть х — мономорфизм некоторого модуля А в
некоторый модуль В, тогда любой гомоморфизм ф: А —>
—>М допускает продолжение до гомоморфизма ф:
В —> Му такого, что ф о и = <р:
А1 «¦¦*.¦. Я
\ |
ф\ |и
А
Доказательство предложения 4.1.3 можно
дуализировать, обратив все стрелки и поменяв местами
приставки «эпи» и «моно». Таким образом, немедленно
получаем
Предложение 2. Если М — прямое произведение
семейства модулей {Мг \ [ <= /}, то модуль М инъективен

142 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
тогда и только тогда, когда каждый модуль Мг инъек-
тивен.
Полезен следующий критерий инъективности:
Лемма 1 (Бэр). Модуль МЕ инъективен тогда и
только тогда, когда для любого правого идеала К
кольца /? и любого ф е Нотп(К> М) найдется элемент
т^М, такой, что ф& = тк для всех к^ К.
Доказательство. Если МК — инъективный
модуль, то ф допускает продолжение до гомоморфизма
•ф е Ношд(^, М). Положив т = г|э1, убедимся в
справедливости условия леммы.
Обратно, пусть модуль Мп удовлетворяет условию
леммы. Пусть Вн — произвольный модуль, а АК —
произвольный его подмодуль. Пусть феНотд(Л, М),
Нам хотелось бы продолжить ф до гомоморфизма ф е
^Нотя(В, М). Применяя лемму Цорна к множеству
частичных гомоморфизмов из В в М, упорядоченному
по включению их графиков, можно расширить ф до
гомоморфизма феНотд(Д-М), где Лс=Г)с:В и г|>
уже не допускает собственных расширений. Нам
остается показать, что Б = В.
Рассмотрим произвольный элемент Ъ еВ.
Положим К = {ге=ЩЬг<Е=0}. Тогда ЬЯ П О = ЬК.
Отображение к-+\$(Ьк) является гомоморфизмом из К в М.
Следовательно, найдется элемент т <= М, такой, что
$(Ьк) = тк при всех йе/(. Определим отображение
<ф': ЬЯ->М, полагая г|/(<2 + Ьг) = ^й + тг.
Отображение г|/ однозначное. Действительно, если й + Ьг =
= 0, то Ьг = —й еДи поэтому г <= К. Следовательно,
-ф^ + тг .= -ф (й + Ьг) = 0. Очевидно, что г|/ —
гомоморфизм, продолжающий «ф. Так как мы предполагали,
что гомоморфизм г|) не допускает собственных
расширений, то Ь<=БУ что завершает наше доказательство.
Абелева группа М = М2 называется делимой1),
если для любого элемента т <= М и любого
ненулевого целого числа г найдется элемент т/ е= М, такой,
что т'г = т.
1) В учебниках по теории групп используется также термин
«полная группа». — Прим. ред.

$ 4.2. Инъективные модули
143
Предложение 3. Абелева группа инъективна тогда
и только тогда, когда она делима.
Доказательство. Напомним, что группа М%
инъективна тогда и только тогда, когда для любого
идеала К кольца 2 и любого гомоморфизма ф е
е Нот2 (Л', М) найдется элемент т! е М, такой, что
фй = т'к при всех к^К- Без потери общности можем
считать, что КФО. Следовательно, Л' = г2, где О Ф
^зе2, и к = гг\ где г' е 2. Так как ф полностью
определено своим значением ц>г = т, то отсюда
следует, что группа Мг инъективна тогда и только
тогда, когда для любого 0^гЕ2 и любого /пеМ
найдется элемент т\ такой, что тг' = т'гг' при всех
г' е 2. Очевидно, что это равносильно делимости
группы М.
Пусть О — аддитивная группа рациональных
чисел, и пусть 0/2 — группа рациональных чисел по
модулю 1. (Группа 0/2 изоморфна мультипликативной
группе корней из единицы). Сопоставим любой
аддитивной группе М ее группу характеров
АГ* = Нот2(М, 0/2).
Если М — левый /?-модуль, то М* можно
рассматривать как правый /?~модуль М*^, где (%г)т = %(гт)
(х еМ*, г е^г/пеМ). Назовем М*я модулем
характеров модуля цМ. Аналогично, если М — правый
^-модуль, то М* — левый /?-модуль.
Лемма 2. Если О^/пеМ, то %тФО для
некоторого %-еМ*.
Доказательство. Достаточно найти фЕ
еНот2 (т2, 0/2), для которого утФО.
Действительно, поскольку 0/2 — делимая и, следовательно,
инъективная группа, <р допускает продолжение до
гомоморфизма х е Нот2 (М, 0/2).
Если тг Ф О для всех О Ф г е 2, то мы можем
определить ц>тг = п-^-г, где п: О—»0/2—
каноническое отображение. (Также годилось бы и -г^гА

144 Гл. 4. Инъективностъ а близкие вопросы
Если г0 — наименьшее натуральное число, для
которого тг0 = 0, то положим цтг = п — г. Это ото-
бражение является однозначным, поскольку из
равенства тг = О вытекает, что г = г0г/ и, следовательно,
утг = пг' = 0 в 0/2.
Следствие. Существует канонический
мономорфизм модуля М в (ЛГ*)*.
Доказательство. Отображение %-*ут
является характером модуля М*, который мы обозначим
через т. При этом т = О, лишь когда %т = 0 при всех
% е М*, т. е. когда в силу леммы 2 т = 0.
Отображению ср:Л-*В канонически сопоставим
отображение ср*: В*->Л*, определяемое равенством
(ХФ*)а = хМ), гДе хеВ*иаЕД.
Лемма 3. ^сла ф: А-+В — эпиморфизм, то ф*:
5* -> Л * — мономорфизм.
Доказательство. Предположим, что %ф* = 0.
Тогда %В = %(фЛ) = (%ф*)Л = 0 и, следовательно, % =
-0.
Предложение 4. Каждый модуль изоморфен
подмодулю модуля характеров свободного модуля.
Доказательство. Пусть Мп — заданный
модуль. В силу следствия к лемме 2 М а (М*)*. Модуль
в№* изоморфен фактормодулю свободного модуля цР,
и, следовательно, можно рассмотреть эпиморфизм
п: Р->М*. По лемме 3 гомоморфизм я*: (М*)* —> Т7*
является мономорфизмом.
Предложение 5. Если КР — свободный модуль, то
Р* — инъективный модуль.
Доказательство. Пусть К — правый идеал
кольца /?, феНотй(/С, Р*) и КР — аддитивная
подгруппа в Р, состоящая из всех конечных сумм
элементов вида Щ, где к^К и [е/7. Если пР — свободный
модуль с базисом {^|*е/}, то нетрудно показать, что
все элементы из КР имеют вид 2 &Л> гДе &г ^ К и

$ 4.2. Инъективные модули
145
почти все кг равны нулю. Введем в рассмотрение
отображение г|): КР-+0.12, для которого Ф B ^М =
= 2 (ф&*)/*- Отображение -ф однозначное, поскольку
из равенства 2 &Л = 0 следует, что все кг = 0, а это
означает равенство нулю правой части. Очевидно, что
ф есть 2-гомоморфизм. Поскольку 0/2— делимая, т. е.
инъективная группа, то -ф допускает продолжение до
гомоморфизма % е Нот2 (Т7, 0/2) = Т7*. Тогда (ц>к)[ =
= 'Ф(^) = %(Щ) = (%*)/ при всех [е/7.
Следовательно, %^ Р* и ук = %к при всех к<=К Таким образом,
в силу леммы 1 модуль Р*я инъективен.
Следствие. Каждый модуль изоморфен подмодулю
инъективного модуля.
Доказательство. Утверждение является
непосредственным следствием предложений 4 и 5.
Назовем мономорфизм к: М-*В прямым, если
существует гомоморфизм я: В—>М, такой, что я°х= 1.
Заметим, что в этом случае я — эпиморфизм. Как и
в случае прямых эпиморфизмов (см. § 4.1),
убеждаемся, что модуль М изоморфен прямому слагаемому
модуля В.
Предложение 6. Модуль М инъективен тогда и
только тогда, когда каждый мономорфизм к: М-+В
является прямым.
Иногда это формулируют в более свободной
форме: модуль М инъективен тогда и только тогда, когда
М выделяется прямым слагаемым в любом модуле,
содержащем М как подмодуль.
Доказательство в точности дуально доказательству
предложения 4.1.5.
Следствие. Модуль М инъективен тогда и только
тогда, когда М является прямым слагаемым модуля
характеров свободного модуля.
Предложение 7. Каждый К-модуль инъективен
тогда и только тогда, когда кольцо /? вполне приводимо.

146 Гл. 4. Инъективность а близкие вопросы
Опустим доказательство, поскольку оно
аналогично доказательству предложения 4.1.6.
Мы показали, что каждый модуль Мп можно
вложить в инъективный модуль /л. Попытаемся теперь
выбрать среди таких модулей наименьший. Модуль N.
содержащий модуль М, называется его существенным
расширением, если пересечение М с любым
ненулевым подмодулем модуля N отлично от нуля. Другими
словами, если МаЫ, то N — существенное
расширение подмодуля М тогда и только тогда, когда М —
большой подмодуль в N. Из следующего результата
видно, что все существенные расширения модуля М
располагаются с точностью до изоморфизма в любом
инъективном расширении / модуля М.
Лемма 4. Пусть N—существенное расширение
модуля М, а I — инъективный модуль, содержащий М.
Тогда тождественное отображение модуля М
допускает продолжение до мономорфизма модуля N6 1.
Доказательство. Поскольку / — инъективный
модуль, тождественное отображение модуля М
допускает продолжение до гомоморфизма ф е Нотл(Л/г, /).
Так как ф-40 П М = 0 и N — существенное расширение
модуля М, то ф_10 = 0.
Предложение 8. Модуль М инъективен тогда и
только тогда, когда у него отсутствуют собственные
существенные расширения.
Доказательство. Допустим, что М —
инъективный модуль и N — его существенное расширение.
В этом случае М является прямым слагаемым модуля
Ы, т. е. N = М + К, М П К = 0. Поэтому К = 0.
Следовательно, N = М не является собственным
расширением.
Обратно, допустим, что у модуля М нет
собственных существенных расширений. Пусть / —
инъективный модуль, содержащий модуль М, и пусть М' —
подмодуль модуля /, являющийся максимальным
среди подмодулей, пересечение которых с М равно нулю.
Убедимся, что модуль 1/М' является существенным
расширением модуля (М + М') /М'. Действительно,

$ 4.2. Инъективные модули 147
пусть М' аКа1. Допустим, что пересечение /С/ЛГ
с (М + М')/М' равно нулю, т. е. К Л (АГ + М') а М'.
Тогда /(Г1Л1с:Л1'Г1Л1==0, и, следовательно, в силу
максимальности модуля М' К = М'. Таким образом,
ЩШ = 0. В силу предположения 1/М'-^ёМ1), откуда
I = М + М'. Поэтому модуль М является прямым
слагаемым инъективного модуля / и, следовательно,
также инъективен.
Предложение 9. Каждый модуль М обладает
максимальным существенным расширением Ы, которое
единственно в следующем смысле: если М' — другое
максимальное существенное расширение модуля М, то
тождественное отображение модуля М допускает
продолжение до изоморфизма модуля Ы' на N.
Замечание. Мы говорим, что N является
максимальным существенным расширением модуля М, если
N — существенное расширение модуля М, а модуль N
уже не обладает собственными существенными
расширениями.
Доказательство. Пусть / — инъективный
модуль, содержащий модуль М. Объединение любой
линейно упорядоченной совокупности существенных
расширений модуля М в / также является существенным
расширением. Следовательно, в силу леммы Цорна
существует максимальное существенное расширение
N модуля Мв/.
Пусть теперь Ы'— любое существенное расширение
модуля М, содержащее Ы, но не обязательно
лежащее в /. Очевидно, что № — также существенное
расширение и модуля N. По лемме 4 тождественное
отображение модуля N может быть продолжено до
мономорфизма модуля Ы' в /. При этом образ этого
мономорфизма является существенным расширением
модуля N и, следовательно, совпадает с N. Таким
образом, N — максимальное существенное расширение
модуля М (не только в /, но и абсолютное).
1) Следует учесть, что М о* М/ (М (") М') ^ (М + М') /М' с
^ 1/М'. — Прим. ред.

148 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Любое существенное расширение модуля N
является и существенным расширением модуля М. Таким
образом, модуль N не обладает собственными
существенными расширениями. Следовательно, по
предложению 8 N является инъективным модулем. Если Ыг—
любое существенное расширение модуля М, то по
лемме 4 можно продолжить тождественное отображение
модуля М до мономорфизма модуля N/ в N. Если
ЛГ —максимальное существенное расширение, то этот
мономорфизм является изоморфизмом.
Предложение 10. Пусть N — расширение модуля М.
Следующие условия равносильны:
A) N — максимальное существенное расширение
модуля М.
B) N — существенное расширение модуля М, и
N — инъективный модуль.
C) N — минимальное инъективное расширение
модуля М.
В этом случае модуль N называется инъективной
оболочкой модуля М.
Доказательство. Пусть выполнено A). В этом
случае у модуля N нет собственных существенных
расширений. Следовательно, N — инъективный модуль.
Таким образом, A)==>B).
Пусть выполнено B). Предположим, что Мс/с
с= N и / — инъективный модуль. Тогда / является
прямым слагаемым модуля N. Но так как /V —
существенное расширение модуля I, то N = I. Таким образом,
B)=>C).
Пусть справедливо C), и пусть N— максимальное
существенное расширение модуля М в N. Тогда Ы'
(как и выше)—инъективный модуль. Следовательно,
Ы'= N. Таким образом, C)=^>A).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что понятие «подпрямое
произведение фактормодулей» дуально понятию «сумма
подмодулей».

$ 4.2. Инъективные модули 149
2. Покажите, что каждый /^-модуль является инъ-
ективным тогда и только тогда, когда /? — вполне
приводимое кольцо.
3. Покажите, что модуль характеров свободного
^-модуля является прямым произведением некоторого
множества экземпляров модуля /?^.
4. Покажите, что модуль Мк является инъектив-
ным тогда и только тогда, когда для любого большого
правого идеала К кольца /? и любого ср е Ногпд (К, М)
найдется элемент ш е М, такой, что ф& = тк для всех
ке=К.
5. Покажите, что кольцо /? наследственно
справа тогда и только тогда, когда каждый фактор-
модуль любого инъективного правого У?-модуля инъ-
ективен.
6. Если Мсг/СсгЛ^, то N является существенным
расширением модуля М тогда и только тогда, когда
К— существенное расширение модуля М, а N —
существенное расширение модуля К.
7. Пусть / — инъективный модуль, содержащий
модуль М, и пусть ЛГ — подмодуль модуля /,
являющийся максимальным среди обладающих свойством
М[)М' = 0. Пусть М" — подмодуль модуля
/.содержащий М и максимальный среди обладающих
свойством М"[)М'~0. Покажите, что М"—инъективная
оболочка модуля М.
Следующие далее упражнения взяты из статьи
Басса A960).
8. Подмодуль А модуля М называется малым, если
А + В = М:ф В = М для любого подмодуля В модуля
М. Если А мал в М и если /: М-+М', то /Л мал в М\
9. Эпиморфизм Р—>МУ ядро которого мало и где
Р — проективный модуль, называется проективным
накрытием модуля М. Если Р-+М и Р'-^М' —
проективные накрытия, то РхР'-+МхМ' является
проективным накрытием.
10. Пусть Р—*М— проективное накрытие, Р/—>
->М — эпиморфизм, К — его ядро, и пусть модуль
Р/ также проективен. Покажите, что Р' = Р\ + Р%
рх П Р2 = 0, Рхд* Р, Р2 с: К, подмодуль Рх П К мал

150 Гл. 4. Инъективностъ и близкие вопросы
в Рь Вывести отсюда, что модуль Р определен
однозначно с точностью до изоморфизма.
11. Если /? — полупримитивное кольцо и если
каждый неприводимый Я-модуль обладает проективным
накрытием, то кольцо Я вполне приводимо. [Указание:
Применить упражнение 10 с Р' = /? к проективному
накрытию Р-+Я/М, где М— максимальный правый
идеал кольца Я, содержащий цоколь. Используйте
упражнение 3.2.8 для того, чтобы показать, что
пересечение Р\ П М равно нулю. Выведите отсюда
равенство М = Р2, а следовательно, и включения Р\ а
<=5ос/?с=М.]
12. Пусть М — Я/К-молулъ, где К — идеал
кольца Я. Если Р-+М— проективное накрытие ^-модуля
М, то Р/РК-+М является проективным накрытием
Я/К-модуля М.
13. Покажите, что если каждый циклический Я-мо-
дуль обладает проективным накрытием, то кольцо Я
полусовершенно. [Указание: Используя упражнение
12, покажите, что каждый главный Я/Ы-модулъ
обладает проективным накрытием, где N = Кае! /?. Затем,
используя упражнения 9—11, можно поднять идемпо-
тент пе кольца пЯ = Я/Ы до идемпотента кольца Я,
строя проективные накрытия модулей тсеЯ и я A — е) Я
и сравнивая их прямую сумму с Як\
п
14 (Накаяма). Пусть М= 2 щАь где Аь — правые
1 = 1
идеалы кольца Я, М=Кас1/?. Покажите, что из
равенства МЫ = М следует равенство М = 0.

Указание: гпх A — а{) = 2 Що>ь а1^А1 П Ы, и, следовательно,
1=2
т,е 2 щА^ Выведите отсюда, что если модуль Мк
1=2 ^
конечно порожден, то подмодуль МЫ мал.
15. Пусть /? — полусовершенное кольцо, и пусть
Мк — конечно порожденный модуль. Покажите, что
модуль М обладает проективным накрытием.
[Указание: Используя упражнение 4.1.5, покажите, что
Я/Ы-модулъ М/МЫ изоморфен конечной прямой сумме

$ 4.3. Полное кольцо частных
151
правых идеалов кольца Я/Ы. Поднимая идемпотенты,
можно убедиться, что эти прямые слагаемые имеют
вид е.К/е.Ы, е2{ = е(е=#. Проверьте, что 20^#->М
является проективным накрытием.]
§ 4.3. Полное кольцо частных
Пусть /я = ЦЯк) —инъективная оболочка правого
модуля Як- Пусть Я = Н(Я) = Нотл(/, /) — кольцо
эндоморфизмов инъективной оболочки /к. Как
обычно, мы пишем эндоморфизмы слева от аргумента.
Таким образом, получим бимодуль Н1Е. Пусть ($ =
= С}(Я) = Нот#(/,/)— кольцо эндоморфизмов левого
Я-модуля я^ Будем писать эти новые эндоморфизмы
справа от аргумента. Получим бимодуль н^. Буквы
Я, /, Я и <2 сохраняют свое значение на протяжении
всей этой главы.
Кольцо С} называется полным правым кольцом
частных кольца /?. Как мы увидим, эта конструкция
эквивалентна конструкции, введенной Утуми, а в
случае коммутативного кольца 7? совпадает с
конструкцией, рассмотренной в гл. 2.
Лемма 1. Каноническое отображение кольца Я в
($ является мономорфизмом. Каноническое
отображение Н-+Н1 модуля НН в н1 является эпиморфизмом.
Каноническое отображение ц-*\ц модуля ^я в 1К
является мономорфизмом.
Доказательство. Каноническое отображение
кольца Я в С} сопоставляет каждому элементу ге/?
отображение 1->1г A^1). Если оно равно нулю, то
г = \г = 0. Следовательно, гомоморфизм г-*(г~>/г)
является мономорфизмом.
Отображение г-+ьг является гомоморфизмом
модуля Як в 1п для любого ь е /. В силу инъектйвности
модуля 1К оно может быть продолжено до
гомоморфизма АеНотл(/, /). Следовательно, А1 = г.
Поэтому Н\ =1. Значит, отображение
Н-+к\—эпиморфизм.
Наконец, мы рассмотрим канонический
гомоморфизм д~>\д модуля <2Д в 1К. Поскольку из равенства

152 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
1*7 = 0 следует в силу сказанного выше, что 1ц =
= {И\)ц = НAд) = 0, ядро гомоморфизма Ц-*\ц
равно нулю.
Замечание. С этого момента будем
рассматривать кольцо К как подкольцо кольца B. Однако для
ясности будем отличать B от его канонического
образа 1B в /. Заметим, что если Кв. — инъективный
модуль, то имеют место канонические изоморфизмы
Предложение 1. Канонический образ С1п в 1Н
состоит в точности из тех элементов инъективной
оболочки /д, которые аннулируются всеми элементами из
Я, аннулирующими /?, т. е.
1д = {/е/|Ул6я(Л/? = 0=^А/ = 0)}.
Доказательство. Пусть АеЯ, НЯ = 0. Тогда
/гAB) = (Н1)<3 = 0. Таким образом, 1(^ содержится
в указанном подмодуле инъективной оболочки 1п.
Обратно, допустим, что элемент ь^1 обладает
свойством Чк^н(ЬЯ = 0=ф'/и = 0). Найдем элемент (?Е^,
такой, что ь = 1д.
По лемме 1 любой элемент из / можно записать
в виде А1, где АеЯ. Рассмотрим теперь отображение
к\-*Ы модуля я/ в себя. (Чтобы убедиться в
однозначности этого отображения, допустим, что к\ =А/1.
Тогда (к— к')% = 0. Следовательно, в силу
предположения (к — й'I = 0.) Таким образом, (/г1)д = /ц
для некоторого ц е Нотя(/, /). Полагая к = 1,
получим требуемое равенство \ц = I.
Что произойдет, если мы проведем ту же
процедуру начиная не с модуля Кн, а с B<э?
Предложение 2. Инъективная оболочка
канонического образа модуля B<2 совпадает с 1Я, и Нот<г(/, /) =
= Я.
Доказательство. Пусть Л<э — подмодуль
модуля Вя, и пусть феНоп^Л, /). Так как 1п —
инъективный модуль, то можно продолжить ф до
гомоморфизма г|)еНотя(#, /). Если мы покажем, что г|э есть

§ 4.3. Полное кольцо частных 153
B-гомоморфизм, то из этого будет следовать инъек-
тивность модуля 1<э.
Для любого а^А рассмотрим г|)а*7 = 1|)(ад) — ('фа)д.
Очевидно, что гра е Нотя(B, /) и г|)а# = 0. Но г|)а
можно продолжить до гомоморфизма, лежащего в Я.
Следовательно, в силу предложения 1 г|)аB = 0. Таким
образом, г|) еНот$(В, /).
Поскольку /я — существенное расширение модуля
/?н, ^я является также и существенным расширением
модуля AB)я. Следовательно, 1Я — существенное
расширение модуля (К2)<?. Так как /<э — инъективный
модуль, то 1B — инъективная оболочка модуля (М2)<2.
Очевидно, что Нот*^/, /)с=Нотя(/, /) = Я. Так
как нЛ? — бимодуль, то получаем требуемое
равенство.
Следствие. Кольцо <2 совпадает со своим полным
правым кольцом частных.
Предложение 3. Следующие условия эквивалентны:
A) Модули НН и н1 канонически изоморфны.
B) Модули /я и Bя канонически изоморфны.
C) Кольца Я и С} канонически изоморфны.
D) Модуль (Зя инъективен.
E) Модули 1<з и B<э канонически изоморфны.
F) Модуль BC инъективен.
Доказательство. Допустим, что выполнено
условие A). Тогда ядро отображения Н->Н1 равно 0.
Таким образом, если НЯ = 0, то Ы = 0. Следовательно,
в силу предложения 1 / = 1B, т. е. выполнено условие
B). Это рассуждение допускает обращение;
следовательно, ALФB).
Пусть справедливы условия A) и B).
Рассматривая данные изоморфизмы Я->/<— B, убеждаемся, что
Н^Н соответствует д е B тогда и только тогда,
когда Н\ = 1<7. Пусть также Ы\ = \д\ Тогда
(КНг)\=Н(Ы\)^к(\дг) = (Н\)дг^(\д)дг^\(ддг).
Итак, из A) и B) следует C).
Пусть справедливо C). Тогда соотношение Н\ = \д
определяет изоморфизм между Я и ^. Теперь для

154 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
любого I <= I в силу леммы 1 найдется элемент ЛеЯ,
такой, что Н\ = и Следовательно, в силу
предположения найдется элемент <7^Р> такой, что I = 1д, т.е.
справедливо B). Таким, образом, из C) следует B).
Пусть справедливо D). Тогда канонический образ
модуля <2я в /я инъективен. Но модуль 1К является
существенным расширением этого образа.
Следовательно, I = 1С}, т.е. выполнено B). Так как
импликация B):ф D) очевидна, то B) О D).
Мы показали эквивалентность условий A) — D).
В силу предложения 2 мы, таким образом, получаем
эквивалентность условий A), E), C) и F).
Подмодуль й модуля <2я будем называть плотным,
если Улея(А/) = 0:=^А/? = 0). Очевидно, К — плотный
подмодуль.
Мы увидим сейчас, что для идеала коммутативного
кольца Н это понятие совпадает с введенным ранее
в гл. 2.
Лемма 2. Если й — плотный правый идеал кольца
К, то ц~хВ ={гЕ^|?геО} для любого элемента
(?е^ также является плотным идеалом.
Доказательство. Пусть к^Н, /г(^-1/))=0.
Рассмотрим отображение ср: Б + дК-+К,
определяемое равенством <р(й + ^^) = кг. (Если й + ?г = 0, то
цг ей и, следовательно, Аг = 0. Таким образом, ф —
однозначное отображение.) Продолжим ср до
отображения А': /я->/в. Тогда К'В = 0 и, следовательно,
А'/? = 0. Таким образом,
Итак, А/? = (А1)Я = 0.
Предложение 4. Если В — правый идеал кольца /?,
то О — плотный идеал тогда и только тогда, когда
(г,г^0&г2геВ).
Доказательство. Допустим, что приведенное
выше условие имеет место. Пусть кВ — 0, и пусть
Г\ е А/? П /?. Тогда гх = кг2, где г2 е /?. Если т\ Ф 0,
то можно выбрать элемент ге#, такой, что Г\гф0

§ 4.3. Полное кольцо частных
155
и г2г е О. Но при этом Г\Г — Нг2г е Ни = 0, что
приводит к противоречию. Следовательно, НН Л Л = 0.
Так как /н — существенное расширение модуля /?д, то
/г/? = 0. Таким образом, О — плотный идеал.
Обратно, пусть О — плотный правый идеал в #.
Тогда в силу леммы 2 г2 И при любом г2е/? также
является плотным правым идеалом. Отображение
г-*гхг можно продолжить до отображения к: /я-*/д.
Следовательно, из равенства г\(г2]О) = 0 следует, что
/*1 = 0. Таким образом, показано, что наше условие
выполнено.
Следствие. Идеал Б кольца /? является плотным
правым ^-модулем в /? тогда и только тогда, когда
Уг,е л (^ = 0=^^ = 0).
В случае коммутативных колец это фактически
совпадает с определением плотных идеалов в гл. 2.
Доказательство. Пусть справедливо условие,
и пусть г2 е /?. Если г\ Ф 0, то можно найти элемент
г е 1>, такой, что гхг Ф 0. Так как В — идеал, то г2г е
^й. В силу предложения 4 й— плотный правый
идеал.
Обратно, пусть И — плотный правый идеал.
Приведенное условие следует при г2 = 1 из условия
предложения 4.
Предложение 5. Пусть О и О — подмодули в (?я,
и пусть й — плотный подмодуль. Тогда Нотд(/), О)
и о # • о = (^ <= С1\дО с2 О} канонически изоморфны.
Доказательство. Канонический гомоморфизм
из О . * й в Ногпдф, О) — это, конечно, отображение,
сопоставляющее элементу ц е О .' И гомоморфизм
й-+цй модуля В в О. Очевидно, канонический
гомоморфизм является мономорфизмом, поскольку из
равенства цВ = 0 следует, что ц — 0. (Напомним, что
\д = й1 для подходящего АбЯ и что О является
плотным подмодулем.) Если для каждого / е
еНбШяф, О) мы сможем найти элемент ?е0,
такой, что /^ = цд. для всех йеО, то из этого будет

156 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
следовать, что канонический гомоморфизм является
изоморфизмом.
Чтобы найти такое ц, продолжим / до й: /~>/
в том смысле, что НЫ=- \\й для любого с1^В.
Рассмотрим теперь элемент Ы^ #, такой, что Н/Я = 0.
Тогда в силу предложения 1 А'АЮсА'^^О. Так
как В — плотный подмодуль, то /^7*1B = 0.
Следовательно, в силу предложения 1 Мфс: Щ. В частности,
Н\ = 1д для некоторого д^С}. Таким образом, 1/# =
= Н\й = \дй и, следовательно, \й = дй при всех й!еД
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Два плотных подмодуля О и О'
модуля (Зя изоморфны тогда и только тогда, когда дВ =
= В' для некоторого обратимого элемента д из (?.
Следствие 2. Если В — плотный правый идеал
кольца К и /еНотй(Д, #), то существует элемент
<7 е B, такой, что Чй<=ъЫ = цй.
Следствие 3. Предположим, что кольцо К
содержит наименьший плотный правый идеал В0. Тогда
(г~Нотл(Аь В0).
Доказательство. В силу леммы 2 д~хВо—
плотный правый идеал для любого д ^ С}.
Следовательно, Воад^Во, т. е. дВ0аВ0. Таким образом,
C = В0.'В0^Нотк(В0у В0).
Замечание. Предположения следствия
выполнены, например, если /? — артиново справа кольцо.
Между прочим, из доказательства следует, что В0 —
двусторонний идеал.
Лемма 3. Если В и В' — плотные правые идеалы
кольца /?, то В[\В' — также плотный правый идеал.
Доказательство. Используем условие
предложения 4. Пусть О Ф Г\ е Я и г2 е К. Так как В —
плотный правый идеал, то найдем элемент г е /?,
такой, что г{гфО и г2г^В. Поскольку В' — плотный
правый идеал, можно найти элемент г' е У?, такой, что
г^г'ФО и г2гг'^В\ Но тогда г2гг <=В П В'. Таким
образом, В Г) В' — плотный правый идеал.

$ 4.3. Полное кольцо частных
157
Предложение 6. Пусть й пробегает множество
всех плотных правых идеалов кольца /?. Рассмотрим
множество
УНотдф, Я)/е,
и
где 6 — отношение эквивалентности, которое имеет
место между двумя гомоморфизмами, если они
совпадают на пересечении их областей определения. Это
множество можно превратить в кольцо, которое изо-
морфно кольцу <2, если определить операции
следующим образом. Пусть ^еНотлф<, /?), 1=1, 2, и
пусть
й+ЬеНот^ПА* Я), /ЛеНот^1!)!, Я)
определяются так:
Тогда
ел + е^ = е (А + ^2), ад2 = е(Ш.
Если забыть об умножении, то это пример
прямого предела абелевых групп (важная конструкция,
которую здесь мы не изучаем).
Доказательство. Если д^С1, то пусть й =
= д_1# = {й е /?|<7^ е Я}- В силу леммы 2 Ь —
плотный правый идеал, при этом ?е/?/0.
Следовательно, ^ = \^(Н .' О). Из предложения 5 следует суще-
ствование изоморфизма /?.'/) ^ё Нот^ф, /?), при
котором ц е Я ." /5 соответствует гомоморфизму / е
еНотдф, /?), такому, что ^/ = цй при всех Aей.
Пусть элемент Ц\^К .% В^ соответствует
гомоморфизму ^ е Ношд(Ог, /?). Тогда убедимся, что
^1 = <7г, если и только если /чб/г.
Действительно, пусть \\д, = \ъ& при всех б?еЙ1П
П /?2- Тогда ^1^? = Цъй. Следовательно, {ц\ — 92) Ф\ П
П /3>2) = 0. Так как #1 П #2 — плотный правый идеал
и 1(^1 — ц<?)~к\ для подходящего Н^Н, то
1(91 — с/2) = 0 и, значит, #1 = ^2- Обратное
утверждение очевидно.

158 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Наконец, оставим в качестве упражнения
проверку того, что элементы Ц\ + #2 и #1<72 соответствуют
элементам 0(/1 +/2) и 9 (/1/2).
С точки зрения следствия к предложению 4 в
случае коммутативного кольца /? это означает, что B
совпадает с полным кольцом частных, определенным в
гл. 2. В частности, кольцо C тогда также
коммутативно. Вообще говоря, именно так полное правое
кольцо частных было впервые определено Утуми
(и называлось «максимальным», а не «полным»),
следовавшим конструкции Джонсона, с которой мы
познакомимся в следующем параграфе.
Следствие. Равенство ф = # имеет место тогда и
только тогда, когда для любого плотного правого
идеала О и любого гомоморфизма ^еНоткф, Я)
найдется элемент ге]?, такой, что Ча^оЫ^^й.
Другим следствием предложения 5 является такой
интересный результат:
Предложение 7 (Утуми). Пусть Я — первичное
кольцо с ненулевым цоколем. Тогда кольцо <2
является кольцом всех линейных преобразований
векторного пространства.
Доказательство. Цоколь 5 является идеалом.
(См. § 3.3 и 3.4.) Так как # — первичное кольцо, то из
л$ = 0 следует, что г = О для всех г е Я. Таким
образом, в силу следствия к предложению 4 5 — плотный
идеал. С другой стороны, 5 содержится в любом
большом правом идеале. Действительно, каждый большой
правый идеал содержит любой минимальный правый
идеал. Так как каждый плотный правый идеал
является большим (непосредственное следствие
предложения 4), то 5 — наименьший плотный правый идеал
кольца К. Поэтому в силу следствия 3 к
предложению 4 и в силу леммы 3.4.2 С} & Ношд E, 5) &
Пусть /? — подкольцо кольца 5. Кольцо 5
называется правым кольцом частных кольца /?, если 5_1/? =

$ 4.3. Полное кольцо частых
159
= {г е Я18г е /?} для любого 0^=5е5 является
плотным правым идеалом в /? и если 5E-1/?)=^0.
Предложение 8. Кольцо 0, является правым коль-
цом частных кольца К. Если 3— некоторое правое
кольцо частных кольца Я, то тождественное
отображение кольца Я может быть продолжено и притом
единственным образом до гомоморфизма модулей Зя
в фд, являющегося мономорфизмом колец.
Доказательство. Так как модуль Ян будет,
очевидно, своим плотным идеалом, то в силу леммы 2
д~1Я— плотный идеал. Более того, если дфО, то,
поскольку (?к — существенное расширение модуля Яд,
д(д-УК) = дК()КфО.
Пусть теперь 5 — некоторое правое кольцо частных
кольца #. Если 0^5е5, то 5?/?-П /? = 5(«-1/?) =^= 0 и,
следовательно, 5Л — существенное расширение
модуля Яп. Таким образом, можно рассматривать 5л как
подмодуль в /н. Предположим теперь, что йей и
НЯ = 0. Тогда Н8(8~1Я) = 0 для любого 5е5. Поэтому
так как $-1/? — плотный подмодуль, то НзЯ = 0. Итак,
НЗ = 0. Следовательно, по предложению 1 5с 1<2.
Пусть ф — гомоморфизм модуля 5д в 1Bд,
являющийся продолжением тождественного отображения
кольца #. Продолжим отображение 5->-ф5— 5 до
некоторого отображения Н^Н. Тогда НЯ = 0 и,
следовательно, в силу предложения 1 НЗ = 0. Итак, ф5 = 15.
Поэтому существует единственный такой гомоморфизм
модуля 5д в 1Cд, а следовательно, и в (Зд. Более того,
этот гомоморфизм является мономорфизмом.
Итак, можно рассматривать 5д как подмодуль
модуля <2д. Будет ли 5 подкольцом кольца <2?
Обозначим на время операцию умножения в 5 через *.
Рассмотрим 5, 8/ е 5. Сравним 5'нс произведением
$'5 в ($. Пусть й е 5/?. Тогда
(8'*8)а = 8'(8A) = {8'8)с11).
1) Подробнее: E' * 5) й = ($' * 5) * (I — 5' * E * й) = 5' * (зй) ~
= 5' (вй), так как й, $й е Л. — Прим. ред.

160 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Следовательно, ($' * 5 — 5'$) (я-1/?) = 0. Так как 5/? —
плотный идеал, то я/*5 = 5'$. Таким образом, можно
рассматривать 5 как подкольцо кольца ф.
Следствие. Пусть К — подкольцо кольца 8. Тогда
тождественное отображение кольца Я можно
продолжить до изоморфизма кольца 8 на B тогда и только
тогда, когда выполнены следующие два условия:
AM является правым кольцом частных кольца Я.
B) Э5е=$>^€Ея/^ = 8A для любого плотного правого
идеала Ъ кольца К и любого гомоморфизма / е
еЕНотя(ДЯI).
Мы в состоянии теперь доказать следующий
результат, который в коммутативном случае был
получен ранее.
Предложение 9 (Утуми).
Доказательство. Можно рассматривать /? =
= П Я/ как подкольцо кольца B'= Ц (^(/?,). Пусть
ОФдевС}'. Положим В' = П ?(/)~^/. Тогда цВ' а Я
и, следовательно, /)' с д-1/?. Непосредственная
выкладка, использующая предложение 4, показывает,
что В'—плотный подмодуль и что цВ'ФЪ. Опустим
утомительные подробности. Таким образом,
0!—правое кольцо частных кольца Я.
Пусть, далее, й — некоторый плотный правый
идеал кольца /?, О] — его канонический образ в К].
Опять используя предложение 4, можно легко
показать, что И} — плотный правый идеал кольца/?^ Пусть
теперь /е Нотдф, #). Найдем элемент д^С}',
такой, что У^<=я<7^ = /й.
Действительно, пусть щ: йу-^-0 и щ: И-^Н] —
каноническое отображение. Тогда п$ ° I 0 щ е
1) Принять во внимание доказательство предложения 6.—
Прим. ред.

$ 4.3. Полное кольцо частных
161
е Ношлф^,/?;•). Следовательно, существует элемент
^•е Я(#э), такой, что
\^уеЛу<7/<// = Я/ (/ (*/<//) ).
Пусть теперь йей. Заметим, что и^(/) = ^-, где
^ — идемпотент кольца /?, ассоциированный с /?*
Определим д^С}' так: д(/) = <7* Несложное
вычисление показывает, что <7^(/) = (№)(!) ПРИ всех /•
Поэтому, как и требовалось, ^ = !^-
Утверждение следует теперь из приведенного выше
следствия. Читатель может, немного потрудившись,
восполнить пропуски в доказательстве.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что <2 ^ Я/К, где К = {А е Я|/г1 = 0}
и Р = {/I €= Я | 7(/1 с= К].
2. Покажите, что модуль (?н инъективен тогда и
только тогда, когда К1 Л /? = 0.
3. Если /?— коммутативное кольцо, то кольцо B
изоморфно центру кольца Я.
4 (Утуми). Пусть Т7 — поле, 5 = Р [х]/ (хА) — кольцо
многочленов от х над Р по модулю многочлена х\
Я = Р + Рх2 + Рх?-~ подкольцо кольца 5, порожденное
1, х2 и х3, где #— образ элемента л: в 5. Покажите,
что модуль Bд не является инъективным, а кольцо Я
не является коммутативным.
5. Покажите, что каждый плотный правый идеал
является большим.
6 (Утуми). Пусть /? — подкольцо кольца 5.
Покажите, что 5 является правым кольцом частных кольца
/? тогда и только тогда, когда
7. Если 5 — правое кольцо частных кольца /? и
Т — правое кольцо частных кольца 5, то Т является
кольцом правых частных кольца /?.
8 (Утуми). Если Н = Ап — кольцо всех (#Х#)-
матриц над кольцом Л, то B = Вп> где В — полное
правое кольцо частных кольца А.
6 Зак. 1027

162 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
9 (Габриель). Пусть й — плотный правый идеал
кольца /?. Если А — правый идеал кольца Я, такой,
что бг^А — плотный правый идеал кольца /? при всех
й е Д, то А — также плотный правый идеал.
10 (Тевари). Отображение й: Н-^Я называется
дифференцированием кольца ./?, если й{г^ + г2) =
= йп + йг2, й(г1Г2) = (с1г1)г2 + гх(йг2) для всех ги
г2 е /?. Покажите, что любое дифференцирование й
кольца Я может быть продолжено и единственным
образом до дифференцирования й' кольца ^.
11. Элементу а е Я сопоставим
дифференцирование йа кольца #, такое, что йаг = аг — га при всех
ге/?. Используя предыдущее упражнение, покажите,
что если 7? — коммутативное кольцо, то кольцо С}
также коммутативно.
12. Пусть 7? — кольцо B X 2)-матриц
с:)
над полем Р, таких, что а + с = Ъ + й. Покажите, что
в этом случае 0,—кольцо всех B X 2)-матриц.
13 (Финдлей). Идеал А коммутативного кольца #
называется обратимым в кольце 5, содержащем /?
как подкольцо, если АВ = Я для некоторого
подмодуля В модуля 5д. Покажите, что следующие
утверждения эквивалентны:
(а) идеал А обратим в некотором кольце 5;
(б) идеал А обратим в кольце B;
(в) А является плотным конечно порожденным и
проективным идеалом.
14. Покажите, что сумма всех/?. шА = {д^(}\дАс2
с:/?}, где А — обратимый идеал кольца (?, является
подкольцом кольца B.
§ 4.4. Кольца эндоморфизмов инъективных модулей
Напомним, что подмодуль Ь модуля Мп
называется большим, если пересечение Ь с любым ненулевым
подмодулем модуля МЕ отлично от нуля.

$ 4.4. Кольца эндоморфизмов инъективных модулей 163
Лемма 1. Пусть Р = Нотд(М, М).
A) Пересечение конечного числа больших
подмодулей является большим подмодулем.
B) Если Ь — большой подмодуль модуля Мк и
{ <= Р, то }~1Ь = {т(=М\}т е Ц — большой подмодуль.
C) Множество всех эндоморфизмов § <= Р с
большими модулями в качестве ядер является идеалом
кольца /?.
Доказательство. A) Пусть Ь и Ь' — большие
подмодули, а К — ненулевой подмодуль в Мя. Так
как V — большой подмодуль, то Е' Л К Ф 0. Так как
Е — большой подмодуль, то Е(\ Ег [~\ Кф 0.
B) Допустим, что ^Е П К = 0. Тогда Е П }К = 0
и, следовательно, }К = Оа Е, Таким образом, К с:
C) Если §" обращается в нуль на Е, а #'— на Е',
то ^ + #' обращается в нуль на Е П Ь'. Если же / е Р,
то/ё" обращается в нуль на /,, а §•/— на (~1Е.
Нам потребуется еще одна лемма о радикале Дже-
кобсона модуля.
Лемма 2. Пусть К — подмодуль модуля Ак и
я: А-+А/К — канонический эпиморфизм. Тогда
я Кай А а Кай кА. Если К а Кай Л, го я Кай А =
= Кай яЛ.
Доказательство. Каждый максимальный
подмодуль модуля пА имеет вид пМ, где М —
максимальный подмодуль в Л, содержащий /(, при этом
Кай пА является их пересечением.
Предложение 1. Пусть 1п — инъективный модуль,
Н = Нотя(/, /) и N — идеал кольца Я, состоящий из
всех эндоморфизмов Н^Н с большими модулями
в качестве ядер. Тогда
A) кольцо Я/Л/" регулярно в смысле Неймана;
B) N является радикалом Джекобсона кольца Я;
C) идемпотенты можно поднимать по модулю
идеала N.
6*

164 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Замечание. Утверждение A) восходит к
Джонсону, B) принадлежит Утуми, а C), кажется, было
замечено независимо рядом математиков.
Доказательство. A) Пусть /г е Я.
Рассмотрим подмодуль К модуля /н, являющийся
максимальным среди подмодулей, пересечение которых с /гЮ =
= {1е/|Й1»0} равно нулю. В силу леммы 3.3.1
/гЮ + К—большой подмодуль в /к. Так как
ограничение Н на К является мономорфизмом, то укк = к
для некоторого у^НотвAгК,1) и при всех к^К.
Поскольку 1Е — инъективный модуль, можно
продолжить ф до й'е Я. Тогда ШЫ = Ы для любого х е
е/г40 + К. Таким образом, ШН — Н <= N.
Следовательно, Н/Ы — регулярное кольцо.
B) Пусть п: Н-+НЩ— канонический
эпиморфизм. В силу доказанного выше Кай пН = 0.
Следовательно, по лемме 2 яКай Я = 0, т. е. Кай Я аЫ.
Обратно, пусть йеЛ?. Тогда /гЧ) — большой
подмодуль модуля /л. Но /гЮ П A —А)~Ч) = 0 и,
следовательно, A — Н)~Ю = 0. Таким образом, модуль
A —НIп изоморфен модулю 1Я и, следовательно,
также является инъективным, а значит, и прямым
слагаемым в /д. Но A — НI = 1 для любого 1<=:к-Щ.
Тогда A—НI содержит /гЮ и, таким образом,
является большим подмодулем в /д. Отсюда следует, что
A — НI = /. Поэтому 1—Н — автоморфизм модуля
/я. Итак, 1 — Н — обратимый элемент для любого
элемента йеЛ Следовательно, N с: Кай Я.
C) Пусть деЯ. Допустим, что и2— ие1У. Тогда
(и2— и)Ь = 0 для некоторого большого подмодуля Ь
модуля /я. Инъективная оболочка модуля иЬ9 являясь
его минимальным инъективным расширением, может
быть вложена в инъективный модуль /л.
Следовательно, можно считать, что она имеет вид е/, где е2 = е ^
^ Я. Идемпотент е индуцирует на иЬ тождественное
отображение. Следовательно, (ей— и)/, = 0, поэтому
ей — и е N. К сожалению, мы не можем показать, что
е — и^N (тогда мы бы закончили доказательство).
Положим ! = е + еиA — е). Тогда е} = Д \е = е и /2 =
= /. Пусть V = A — еI 4- иЬ. Проведя стандартную

$ 4.4. Кольца эндоморфизмов инъективных модулей 165
проверку (которую мы оставляем в качестве
упражнения), убедимся, что V — большой подмодуль1) и что
(/ — ей) V = 02). Таким образом,} == ей = и (той Ы),
что завершает наше доказательство.
Следуя Голди, мы будем модуль Мп называть
конечномерным, если в нем не существует бесконечного
числа отличных от нуля подмодулей, образующих
прямую сумму. Очевидно, что все нётеровы и все арти-
новы модули являются конечномерными.
Предложение 2. Пусть Мп — конечномерный
модуль. Тогда
A) его инъективная оболочка 1п является прямой
суммой конечного числа неразложимых инъективных
модулей;
B) кольцо Н эндоморфизмов модуля 1Н полусовер-
шенно.
Напомним, что полусовершенность означает
полную приводимость кольца Н/Ы и возможность
поднимать идемпотенты по модулю N = Кай Н.
Доказательство. A) Рассмотрим
произвольное ортогональное множество Е отличных от нуля
идемпотентов кольца Н. Тогда 2 е! [\М— прямая
сумма ненулевых подмодулей модуля Мп. В силу
предположения множество Е должно быть конечным. Мы
дважды применим это соображение.
Сначала мы покажем, что множество еНе для
любого идемпотента е^ Я, е ФО, содержит примитивный
!) Отметим, что если 5' и Г' —большие подмодули в 5 и Т
соответственно, то 5' + V — большой подмодуль в прямой сумме
5 + Т. Действительно, пусть V — ненулевой подмодуль в 5 + Г.
Если О^пеУ, то V = 5 + /, где «е5, I е= Г. Если 5 = 0,
то 0 ф юК = IX е= V П Т' для некоторого Я е= /?. Если же 5 Ф О,
то для подходящего Я €= # имеем О Ф 8% €= 5'. Если 1% = О,
то ОФ VX = %8<~Vп8'. Если же И Ф О, то О Ф /Я|х €= Г для
некоторого \х е= #, откуда О Ф оЯц «= $Яц + /Яц €= V П ($' + Т'). —
Прим. перев. и ред.
2) (/—ей) //= (е+еи A-е) —еиI! « (е—еие) V = (е—еие) иЬ**
= [е {и — и2) +еи(и — ей)] 1 = 0, — Прим. ред,

166 Гл. 4. Инъективностъ и близкие вопросы
идемпотент. Действительно, если идемпотент е не
является примитивным, то еНе содержит ненулевой
идемпотент /1 ф е. Если /ч не является примитивным
идемпотентом, то /ч#/ч содержит ненулевой
идемпотент 12 Ф !\ и т. д. Идемпотенты е — /ь /1 — /2, •••
образуют ортогональное множество, которое должно
быть конечным.
Во-вторых, существует максимальное
ортогональное множество еи е2, ..., еп примитивных идемпотен-
тов. Пусть е— их сумма. Предположим, что е ф 1.
Тогда множество A—е)Н(\—е) содержало бы
примитивный идемпотент, ортогональный к е, а
следовательно, и ко всем ей что противоречит максимальности.
п п
Таким образом, 1 = 2 ^. Следовательно, /= 2 0*Л
при этом каждое слагаемое — неразложимый модуль.
B) Так как любой примитивный идемпотент
кольца Я остается примитивным по модулю N (см.
упражнение 3.6.3), то в кольце Я/М также остается
справедливым утверждение о том, что 1 является конечной
суммой примитивных идемпотентов. Таким образом,
Н/Ы является прямой суммой конечного числа
неразложимых правых идеалов. Так как кольцо Н/Ы
регулярное, то эти идеалы являются минимальными
правыми идеалами. Таким образом, кольцо Н/Ы вполне
приводимо. В силу предложения 1 можно поднимать
идемпотенты по модулю идеала N. Следовательно,
кольцо Я полусовершенное.
Следствие 1. Пусть Мв — конечномерный модуль.
Допустим, что все неразложимые компоненты инъек-
тивной оболочки модуля Мк изоморфны. Тогда кольца
Я/Кай Я и Я изоморфны кольцам эндоморфизмов ко-
нечно порожденных свободных модулей над телом и
над локальным кольцом соответственно.
Доказательство. Утверждение относительно
Я/Кас1 Я следует из классической теоремы Веддербёр-
на — Артина (предложение 3.4.6), а утверждение об Я
следует из предложения 3.7.4,

§ 4.4. Кольца эндоморфизмов инъективных модулей 167
Следствие 2. Допустим, что все ненулевые
подмодули модуля Мп являются большими. Тогда модуль 1Я
неразложим, а Н — локальное кольцо1).
Более внимательное рассмотрение результатов
этого параграфа показывает их справедливость в более
общем случае. Джонсон и Уонг называют модуль Мн
квазиинъективным, если каждый частичный
эндоморфизм модуля Мн допускает продолжение до полного
эндоморфизма, т. е. если для любых подмодуля Кп
модуля Мп и I ^Нотн(К,М) имеем §к = \к, к<=К,
для некоторого § е Нотя(М,М). Таким образом,
предложение 1 остается справедливым, если «инъек-
тивность» заменить на «квазиинъективность» (что
отмечено в одном из приведенных ниже упражнений).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что подмодуль V в доказательстве
предложения 1 является большим.
2. Докажите, что каждый ненулевой подмодуль
модуля Мн является большим тогда и только тогда,
когда инъективная оболочка модуля Мп неразложима.
3. Если /я — неразложимый инъективный модуль,
то Нотя(/,/) —локальное кольцо.
4 (Джонсон). Если модуль 1п инъективен, Н =
= Нотя(/, /) и Кас1// = 0, то Нн — инъективный
модуль. [Указание: Простейший путь — использовать
упражнение 5.4.7.] _
5. Рациональное пополнение Мп модуля Мн было
определено как множество всех элементов инъектив-
ной оболочки 1п модуля Мп, аннулируемых всеми
эндоморфизмам^, которые аннулируют модуль Мп.
Покажите, что Мп совпадает также с множеством всех
элементов в /д, которые инвариантны относительно
всех автоморфизмов модуля /й, относительно которых
инвариантны все элементы модуля Мк-
6 (Джонсон и Уонг). Пусть 1Я — инъективная
оболочка модуля МЕ и Я = Нотй (/,/). Покажите, что
модуль Мя квазиинъективен тогда и только тогда,
1) Учесть упражнение 2 и доказательство предложения
3.7.4. — Прим. ред.

168 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
когда НМ а М. Выведите отсюда, что модуль НМп
является наименьшим квазиинъективным существенным
расширением модуля Мя-
7 (Фейт и Утуми). Пусть М я — квазиинъективныи
модуль. Предположим, что у подмодуля Кв модуля Мн
нет существенных расширений в М. Покажите, что Кв
является прямым слагаемым модуля Мя. Выведите
отсюда, что Кв — также квазиинъективныи модуль.
8. Используя приведенное выше упражнение,
обобщите предложение 1 на случай квазиинъективных
модулей.
Следующие упражнения основаны на статье Мат-
лиса A958) и на книге Лезье и Круазо A963).
9. Подмодуль X модуля Мв называется
неразложимым в пересечение, если из равенства X = У П 2,
где У, 2—подмодули в Мй, следует, что Х= V или
X = 2. Покажите, что это равносильно
неразложимости инъективной оболочки 1(М/Х) модуля М/Х. (См.
упражнение 2.)
10. Пусть X = XI П Х2 П ... П Хп — пересечение
подмодулей Х{ в Мв> неразложимых в пересечение, и
п
пусть Ххф П Хг. Покажите, что /(М/Х) = 2/(М/Хг)
(сумма прямая).
11. Пусть инъективный модуль 1п представлен
двумя способами в виде прямой суммы неразложимых
инъективных модулей
пг п
/-2Л-2/}.
Тогда гп = п и /^/р(/) для некоторой подстановки р
чисел от 1 до т. [Указание: Используйте приведенное
выше упражнение 3 и теорему Адзумайи; см.
следствие к предложению З.7.З.]
12. Пусть Мв — нётеров модуль. Назовем модуль
Мв однородным типа Т9 если 1{МЯ) является прямой
суммой неразложимых инъективных модулей,
изоморфных данному модулю Т. Покажите, что если М/Х
и М/7—однородные модули типа Г, то и М/(Х Г) У) —

§ 4.5. Регулярность кольца частных 169
однородный модуль типа Г. Выведите отсюда, что
любой нётеров модуль является подпрямым
произведением конечного числа однородных модулей разных
типов. [Указание: Представьте сначала 0 как
пересечение конечного числа неразложимых в пересечение
подмодулей модуля Мп.]
13. Пусть модуль Мп представлен двумя способами
как несократимое подпрямое произведение
однородных модулей различных типов,
Тогда т = п и тип модуля М/Хг совпадает с типом
модуля М/КР(г) для некоторой подстановки р чисел от
1 до т.
14. Терциарный радикал модуля Мв состоит из
всех элементов кольца К, аннулирующих некоторый
большой подмодуль модуля Мя. Покажите, что
терциарный радикал является идеалом кольца /?,
который не меняется при переходе от Мп к существенному
расширению модуля Мя.
15. Пусть К — нётерово справа кольцо. Покажите,
что терциарный радикал модуля Мя является правым
аннулятором единственного большого подмодуля
модуля Мп.
16. Если кольцо К нётерово справа или
коммутативно, то терциарный радикал неразложимого инъек-
тивного ^-модуля является первичным идеалом.
17. Если Мя — однородный и конечномерный
модуль, то его терциарный радикал совпадает с
терциарным радикалом любой неразложимой компоненты
инъективной оболочки 1(Мп).
18. Если /? — коммутативное кольцо и Мп —
конечномерный модуль, то терциарные радикалы
неразложимых компонент модуля 1{МВ) совпадают тогда и
только тогда, когда Мн — однородный модуль.
§ 4.5. Регулярность кольца частных
Наша цель — получить некоторую информацию
о кольцах частных на базе материала § 4.4. Соберем
сначала воедино ряд фактов о так называемом
«сингулярном подмодуле» Джонсона.

170 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Предложение 1. Пусть I (Мп)—множество всех
элементов модуля Мн, аннулирующих большие
правые идеалы кольца Я. Тогда
A) 1(МК) есть Р-Я-под модуль в рМк, где Р =
= Нот* (М,М);
B) /(/?я) —идеал кольца Я\
C) Если 1п — инъективная оболочка модуля Яп,
то /(/д) = Кай (я/) (напомним, что Я = Ношк(/, /));
D) /// Aп) и аддиативная группа регулярного
кольца Н/Ы, где N = КаёЯ, изоморфны.
Модуль 1(МЯ) называется сингулярным
подмодулем модуля Мц, а / (Ян) — правым сингулярным
идеалом кольца /?.
Доказательство. Утверждение A)
проверяется точно так же, как утверждение C) леммы 4.4.1,
а B) является частным случаем A).
Для доказательства утверждений C) и D)
возьмем эпиморфизм яЕНотн(Я,/), для которого я/г =
= Й1, АбЯ, и который уже рассматривался в
лемме 4.3,1. Пусть К — его ядро. Очевидно, что идеал N
из предложения 4.4.1 совпадает с я_1/(/я). Было
показано, что N = Кас1Я. Следовательно, /// AК) ^ Я/Л/.
Так как К а Ы, то из леммы 4.4.2 следует, что
/ AК) = я Кае! Я = 1Ы яЯ = Кай (я/).
Предложение 2 (Джонсон). Пусть 1Я —
инъективная оболочка модуля Як, П^я)— сингулярный
подмодуль модуля /я, Я = Нотл(/, /), $ = Нотя(/, /).
Тогда следующие условия эквивалентны:
A) /(Яя) = 0.
B) /(/л) = 0.
C) Кас1Я = 0.
D) Кай(н/) = 0.
E) B — регулярное кольцо.
Доказательство. Так как / (Як) = / (/я) П Я и
1п — существенное расширение модуля Яп, то
ALФB). Из приведенного выше предложения 1
немедленно следует, что B) 4Ф D). Так как / Aп) =
= я Кай Я, то C)^>B).

$ 4.5. Регулярность кольца частных 171
Докажем теперь, что E)=^>A). Пусть Ь —
большой правый идеал кольца /? и, следовательно,
большой подмодуль модуля <3я. Допустим, что гЬ = О для
О Ф г <= /?. Если 0, — регулярное кольцо, то тцг = г
для некоторого элемента ц^О,. Следовательно, цг ф 0.
Поэтому цгК П Ь ф 0. Таким образом, можно
подобрать элемент 5 е /?, такой, что 0 Ф дгз <= Ь. Но тогда
гз = г^Г5 е гЬ = 0, что приводит к противоречию.
Наконец, показав, что из B) следуют C) и E),
мы закончим доказательство. Допустим, что /(/я)=0.
Тогда
Ы = {к^Н\к1е=1 AЯ)} = {к е= Я | к Я = 0}.
Но Л/" — идеал кольца Я и, следовательно,
Ш = ЫН1 с=ЛП=0.
В силу предложения 4.3.1 получаем, что / = К}.
Таким образом, выполнены эквивалентные условия
предложения 4.3.3. В частности, идеал N. являющийся
теперь ядром канонического эпиморфизма к ->А1
модуля ЯЯ на яЛ должен быть равен нулю.
Следовательно, B ^ Я = Я/М, а кольцо Я/Л^ регулярно в силу
предложения 4.4.1.
Следствие. Если правый сингулярный идеал
кольца Я равен нулю, то модуль С^с^ инъективен.
Доказательство. Как мы только что видели
в последней части доказательства, /=1B. По
предложению 4.3.3 модуль С}B инъективен.
Предложение 3 (Голди). Если /? — нётерово
справа кольцо, то 1(Яп) — нильпотентный идеал.
Доказательство. Пусть ае/(Нк) и п —
натуральное число. Рассмотрим правый «аннуляторный»
идеал
(ап)г = {х<=Я\апх = 0}.
Заметим, что (ап)г с: (а2п)г. Выберем т так,
чтобы правый идеал (ат)г был максимальным. Тогда
(аш)г = (а2т)г. Так как ате/G?й), то правый идеал
(ат)г является большим.

172 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Предположим теперь, что аш Ф 0. Тогда атЯ Л
П(ат)г=^0. Следовательно, ашуф0 и а2ту = 0 для
некоторого элемента у^Я. Но это противоречит
равенству (аш)г = (а2т)г. Таким образом, ат = 0.
Итак, 1(Ян) — ниль-идеал и, следовательно, в силу
теоремы Левицкого (следствие к предложению 3.5.5)
нильпотентный идеал.
Следствие. Если кольцо /? нётерово справа и
полупервично, то кольцо С} вполне приводимо.
Доказательство. В силу предложения 3
ЦКк) =0. Следовательно, по предложению 2 Кас1Я = 0.
Из доказательства предложения 2 следует
выполнение эквивалентных условий предложения 4.3.3. В
частности, С} ^ё Я. В силу предложения 4.4.2 кольцо
Я/Кай Я вполне приводимо.
Последний результат также восходит к Голди с
той разницей, что он рассматривал вместо С}
«классическое» правое кольцо частных кольца %. Этот
случай мы изучим в следующей главе.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что 1(Ян) = 0 тогда и только тогда,
когда каждый большой правый идеал является
плотным (см. § 4.3). Если кольцо /? коммутативно, то
/(#я) = 0 тогда и только тогда, когда к —
полупервичное кольцо.
2. Покажите, что композиция отображений
/г->/л->///(/л)->Я/Кас1Я
является гомоморфизмом колец.
3 (Джонсон). Если 1Я — инъективная оболочка
модуля #д, ТО
/Д(^)^1|НотлA, Я)/8,
Ь
где Ь пробегает множество всех больших правых
идеалов кольца Я, а 0 — отношение эквивалентности,

§ 4.6. Классические кольца частных 173
в котором /еНотй(^, Я) и /'бНотд^',/})
находятся тогда и только тогда, когда они совпадают на
некотором большом правом идеале, лежащем в Ь(\Ь\
4. Если Яп— конечномерный модуль, то кольцо С}
является прямой суммой конечного числа
неразложимых правых идеалов.
5 (Голди). Покажите, что следствие к
предложению 3 можно усилить таким образом: если кольцо Я
полупервично, модуль Ян конечномерен и любое
множество правых аннуляторов содержит максимальный
элемент, то кольцо С} вполне приводимо.
6. Покажите, что терциарный радикал модуля Мя
(см. упражнение 4.4.14) содержит все нильпотентные
идеалы кольца 7?. Если /? — коммутативное нётерово
кольцо, то его терциарный радикал, сингулярный
идеал и первичный радикал совпадают.
§ 4.6. Классические кольца частных
Элемент г кольца Я называется неделителем нуля,
если зг ФО и Г8 Ф О для любого 0^56^. (Мы
избегаем общепринятого термина «регулярный
элемент», поскольку возможна путаница с другими
использованиями слова «регулярный».)
Пусть Я — подкольцо кольца 5. Кольцо 5
называется классическим правым кольцом частных
кольца Я тогда и только тогда, когда выполнены
следующие два условия:
A) все неделители нуля кольца Я обратимы
в кольце 5;
B) все элементы кольца 8 имеют вид аЬ~1, где
а, Ь е /? и Ъ — неделитель нуля кольца Я.
Отнюдь не любое кольцо обладает классическим
правым кольцом частных. Действительно, допустим,
что 5 — классическое правое кольцо частных
кольца /?. Пусть а, &е5 — элементы кольца 5 и Ь —
неделитель нуля. В силу B) Ъ^ха = сй~х, где с, й^.Я
и (I — неделитель нуля. Таким образом, мы показали,
полагая с = а', й = Ь'7 необходимость следующего
условия:

174 Гл. 4. Инъективностъ и близкие вопросы
Условие (Оре). Для любых элементов а, Ь<=Н,
где Ъ — неделитель нуля, найдутся элементы а', Ь'^Я,
где У— неделитель нуля, такие, что аУ = Ъа\
Известно, что это условие является и достаточным.
Следующее доказательство этого факта использует
полное правое кольцо частных С} кольца Я.
Допустим, что выполнено условие Оре. Пусть Ь —
неделитель нуля кольца /?. Утверждаем, что ЬЯ
является плотным правым идеалом.
Действительно, пусть О Ф г\ е 7? и г2е^. В силу
условия Оре при г2 = а существуют элементы а', 6'е/?,
где У— неделитель нуля, такие, что г2У = Ьа/ и,
следовательно, г2У^ЬЯ. Так как У— неделитель нуля,
то г±У Ф 0. Таким образом, в силу предложения 4.3.4
ЬЯ — плотный правый идеал.
Затем определим /е НотдF/?,/?), полагая /6г = л
Заметим, что Ъг = &г'=ф г = г'. Поэтому в силу
следствия 2 к предложению 4.3.5 цЬ = \Ь = 1 для
некоторого элемента #еB. Таким образом, (Ьд—1)ЪЯ = 0
и ЬЯ— плотный правый идеал. Отсюда 6^=1.
(Напомним, что ненулевой элемент кольца С не может
аннулировать плотный правый идеал кольца Я.) Итак,
Ъ — обратимый элемент кольца ($.
Пусть множество BС\ = (?С1 (^) состоит из всех
элементов кольца Я = B(К) вида аЪ~\ где а, !>е^ и
Ь — неделитель нуля. Нетрудно заметить, что <3С1 — под-
кольцо кольца <Э- Действительно,
аЬ~1 + сдГх = (ай' + сЬ') {Ьй'У\
где Ыг = йУ и д/ — не делитель нуля, и
(аЬ-1){с<Г1) = {ас')(йЪ')~\
где сЬ' = Ьс' и У — неделитель нуля.
Из сказанного выше ясно, что BС1 — классическое
правое кольцо частных. Мы увидим, что оно в
некотором смысле определено однозначно.
Предположим, что 5 — некоторое классическое правое кольцо
частных кольца Я- Пусть элемент аЬ~1 из 5 соответ-

§ 4.6. Классические кольца частных 175
ствует элементу аЬ~1 из <Зсь Так как аЬ~г = 0 в 5
или в (?С1 тогда и только тогда, когда а = 0, то
указанное соответствие является изоморфизмом.
Следующее утверждение суммирует доказанное:
Предложение 1. Кольцо Я обладает классическим
правым кольцом частных 8 тогда и только тогда,
когда кольцо Я удовлетворяет условию Оре. Более
того, имеет место изоморфизм между кольцом 8 и
(^с1 = \аЬ~1 ^С}\ а, Ь е Я&Ь — неделитель нуля],
индуцирующий тождественное отображение на Я.
Обратим внимание на то, что условие Оре
автоматически выполнено в коммутативном кольце /?.
Следовательно, коммутативные кольца обладают
классическими кольцами частных (см. гл. 2).
Предложение 2. Если каждый большой правый
идеал кольца Я содержит неделитель нуля и если
модуль Яп конечномерен, то B = BС\.
Доказательство. Покажем, что кольцо <2
удовлетворяет двум условиям определения
классического правого кольца частных.
Заметим, что так как 1(Ян) состоит из аннулято-
ров больших правых идеалов, содержащих
неделители нуля, то 1(Яе) = 0. В силу предложения 4.5,2 ($ —
регулярное кольцо. Следовательно, каждый
неделитель нуля кольца C — обратимый элемент.
(Действительно, пусть ц — неделитель нуля в <3, тогда из
равенства ц{ц'ц—\) = Ъ следует, что #'д = 1 и т. д.)
Более того, каждый неделитель нуля г кольца /?
является неделителем нуля в С}. (Действительно, из
отношения гц = 0 вытекает, что г(дЯ П Я) = /^(д-1/?) =0
и, следовательно, дЯ П Я = 0, а тогда ц = 0. Если же
цг = 0, то из равенства гЯ (] зЯ = 0, где 5б/?,
следует, что сумма 2 г1зЯ является прямой. Учитывая
конечномерность модуля Яп, видим, что 5 = 0. Мы
показали, что правый идеал гЯ является большим.
Отсюда ц е / (<3я) ^ / (/л) = 0 в силу предложения 4.5.2.)

176 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Таким образом, каждый неделитель нуля кольца Я
обратим в (?, что показывает справедливость первого
условия.
Наконец, пусть # — элемент кольца С}. Тогда
правый идеал д~1Я является плотным и, следовательно,
большим. Поэтому д~1Я содержит неделитель нуля
Ь из Я. Таким образом, цЬ = а е /?. Но элемент Ь
обратим в <ЭГ следовательно, ц = аЬ~1. Это показывает
справедливость второго условия.
Лемма 1. Пусть Я— кольцо всех линейных
преобразований конечномерного векторного пространства
над телом й. Элемент г^Я обратим, если либо /т'=1,
либо г'г = 1 для некоторого элемента г' е 7?.
Доказательство. Пусть Ув —
конечномерное векторное пространство над телом й и # =
= НотоA/, V). Допустим, что /г' = 1. Тогда г(г'у) = V
для любого V е V. Следовательно, г — эпиморфизм.
В силу предложения 1.4.8 г—автоморфизм
векторного пространства ]/в, т. е. г — обратимый элемент
кольца Я.
Допустим, что г'г=1. Тогда ОфV = ^'(^V) для
любого элемента 0=/=ие1/. Следовательно, гю Ф 0.
Поэтому г — мономорфизм. В силу уже
упоминавшегося предложения г — автоморфизм, т. е. обратимый
элемент кольца /?.
Предложение 3 (Голди). Если Я —первичное
кольцо и С} — вполне приводимое кольцо, то любой
большой правый идеал кольца Я содержит обратимый
элемент кольца (}.
Доказательство. Пусть Ь — большой
правый идеал кольца /?, и пусть кольцо <3 вполне
приводимо. Напомним (предложение 3.5.2), что B — нё-
терово слева регулярное кольцо. Таким образом,
можно выбрать элемент а^Ь, такой, что левый идеал
(За кольца С} является максимальным среди левых
идеалов вида ($ху хе1, а также такой элемент
а' е С, что аага = а. Тогда элементы е = аа' и / == а'а
являются идемпотентами. Убедимся, что они оба
равны 1.

§ 4.6. Классические кольца частных 177
Рассмотрим произвольный элемент 6еA — е)С№
П Ь. Тогда е(а + Ь) = а и, следовательно, ($а а
аС}(а + Ь), где а + Ъ е1. Так как левый идеал С}а
выбран максимальным, то бе С}а. Таким образом,
(I — е).(} [) Ь с (}а. Но а(\— /) = 0 и, следовательно,
(A-*)ОП«(A-Д<гГНН0.
Так как /? — первичное кольцо, то один из правых
идеалов равен нулю. Поскольку Ь — большой правый
идеал, либо е = 1, либо / = 1.
Утверждение будет следовать теперь из леммы 1,
если мы покажем, что B является кольцом всех
линейных преобразований конечномерного векторного
пространства (что означает в дополнение к полной
приводимости простоту кольца <2; см. теорему Вед-
дербёрна — Артина, предложение 3.4.6).
Так как 7? — первичное кольцо, то его полное
кольцо частных C также первично. Действительно, если
<7, ?'€=<2 и ^^ = 0, то (?/? П Я) (?'Я П/?) = 0.
Следовательно, <7# П /? = 0 или <7'# П Я = 0. Отсюда
вытекает, что либо <7 = 0, либо ?' = 0, поскольку (?я —
существенное расширение модуля Нп- Так как ($
является прямой суммой простых колец и первично, то
B — простое кольцо, что завершает доказательство.
Следствие 1. Если /? — первичное кольцо, модуль
Кя конечномерен и кольцо B вполне приводимо, то
Я = <Эсь
Вытекает из предложений 3 и 2.
Следствие 2. Если кольцо Я нётерово справа и
первично, то (?С1 — простое вполне приводимое кольцо.
Это утверждение непосредственно вытекает из
сказанного выше и следствия к предложению 4.5.3.
Показав, что полное кольцо частных нётерова
справа первичного кольца является классическим, мы
хотели бы распространить этот результат на
полупервичные кольца. Сначала нам потребуются
некоторые элементарные факты об «аннуляторных
идеалах», уже обсуждавшиеся в коммутативном случае
(см. §2.4),

178 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Сопоставим любому двустороннему идеалу Л
кольца Я его левый аннулятор {г ^ Я | г А = 0} и его
правый аннулятор {г^Я\Аг = 0}. Очевидно, что оба
эти множества являются идеалами. Если теперь /? —
полупервичное кольцо, то 0 является пересечением
всех первичных идеалов. Следовательно, левый
аннулятор идеала А состоит из элементов ге^,
принадлежащих всем первичным идеалам кольца /?, не
содержащим Л1). Симметрично то же самое
утверждение справедливо для правого аннулятора
идеала Л. Отсюда следует их совпадение, что позволяет
нам говорить об аннуляторном идеале Л* идеала Л.
Если В— аннуляторный идеал, то (В*)* = В.
Предложение 4. Если Я— полупервичное кольцо,
то аннуляторные идеалы в Я образуют полную булеву
алгебру с пересечением в качестве нижней грани и *
в качестве дополнения. Если, кроме того, кольцо Я
нётерово справа, то эта булева алгебра конечна.
Любой идеал, максимальный среди собственных аннуля-
торных, первичен.
Доказательство. Первое утверждение уже
было доказано в коммутативном случае
(предложение 2.4.2). Доказательство в некоммутативном случае
точно такое же и повторяться не будет. Во всяком
случае, суть дела заключается в доказательстве того,
что для двух аннуляторных идеалов Л и В равенство
Л П В* = 0 равносильно включению А а В.
Если /?я — нётеров модуль, то булева алгебра
аннуляторных идеалов конечна. Действительно, если
каждое множество элементов булевой алгебры
содержит максимальный элемент, то, как легко видеть,
булева алгебра конечна. Это оставляется в качестве
упражнения2).
!) Действительно, пусть А1 — левый аннулятор идеала А,
Р' и Р" — пересечения первичных идеалов, содержащих и не
содержащих идеал А соответственно. Тогда Р"А сЛП^'е
еР'П^'^О, т. е. Р" ^ А1. Если же / — первичный идеал и
ЛдЁ /, то А1 А = 0е/, откуда А1 е /. Таким образом, А1 ^ Р" —
Прим, перев. и ред.
2) Учесть предложения 1.1.3, 3.5.2 и 3.4.6. — Прим. ред.

§ 4.6. Классические кольца частных 179
Наконец, пусть Р — произвольный максимальный
элемент в множестве всех собственных аннулятор-
ных идеалов кольца /?. Предположим, что АВ а Р,
где А, В — некоторые идеалы. Тогда
А а Р .' В = {г е= /? \гВ с= Р}.
Но Р с Р ." В. Так как Р — аннуляторный идеал, то
Р.'В также является аннуляторным идеалом,
поскольку Р.' В = {Р*У. • В = @. • Р*). * В = 0.' (ВР*) = (ЯР*)*
(см. следствие предложения 1.2.9). Значит, Р.' В = Р
или Р .' В = Я. В первом случае ЛсР, а во втором
В~ЯВ = (Р . • В) В с: Р. Таким образом, Р -
первичный идеал, что и требовалось показать.
Предложение 5 (Голди). Пусть Я—
полупервичное нётерово справа кольцо и Ри Р2, ..., Рп — его
идеалы, максимальные среди собственных аннулятор-
ных идеалов. Тогда полное правое кольцо частных
С} (К) изоморфно прямому произведению колец
С}(Н/Рг)у являющихся полными матричными
кольцами над телами и <2 (Я) является классическим правым
кольцом частных кольца Я.
Доказательство. Заметим сначала, что
Р*, ..., Р*— все атомы (т. е. минимальные
ненулевые элементы) конечной булевой алгебры В аннулятор-
ных идеалов, Следовательно, их сумма равна
единичному элементу алгебры Б, т. е. равна ^?, откуда
пересечение (]Р{ равно К* = 0.
Таким образом, каноническое отображение
х:К-+Т[Я/Рг
является мономорфизмом. Но Я/Рг— нётерово
первичное кольцо (см. упражнение 3,5.1), и,
следовательно, его полное и классическое правые кольца
частных являются полным кольцом матриц 5* над телом
(см. следствие 2 предложения 3). Утверждается, что
п
5 = П^ является как полным, так и классическим
1 = 1
правым кольцом частных кольца %/?.

180 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Действительно, 5 совпадает со своим собственным
полным правым кольцом частных (в силу
предложения 4.3.9). Более того, как легко понять, переходя
к 5*, каждый неделитель нуля в %Н обратим в 5.
Остается проверить, что для любого элемента 5е5
найдется неделитель нуля с в кН, такой, что зс е к%.
Пусть $ = ($ь ..., 5П), где 5|б51. Для каждого г
найдется неделитель нуля щ в Н1Ри такой, что
Рассмотрим теперь идеал Ьь = [Рг + Р])/Р( в Я/Рг
Идеал Ьг отличен от нуля, поскольку в противном слу-*
чае Р] а Рг П Р\ = 0, а потому Р{ = 0* - 7?. Но в
первичном кольце каждый ненулевой двусторонний
идеал Ь является большим как правый идеал (так как
из соотношения Ь П гН = 0 следовало бы, что гЬ а
с: Ь П г% = 0, а тогда г = 0). В частности, Ьг —
большой правый идеал и, следовательно, в силу
предложения 3 содержит неделитель нуля &* кольца Я/Рг.
Положим с = (а\Ьи ..., йпЪп). Элемент с обратим
в 5. (Действительно, элемент ахЪх обратим в кольце
5г-.) Наконец, с и зс = (з\а\Ь\, --, зпапЪп)
принадлежат кН, поскольку а\Ь\ и 810,^1 лежат в Ь1 и, как мы
сейчас покажем,
п
Действительно, любой элемент из Ьг имеет вид
я^Гр где гь^Р\ и яг. /?->К/Р1 — канонический
эпиморфизм. Для любых / Ф I справедливо включение
Р* с: Ру, и, следовательно, Я/Г^ =» 0. Полагая г = гх +
+ ... + Гю убеждаемся в том, что
(щгь ..., ппгп) = {лгг, ..., яяг) = иг,
а это заканчивает наше доказательство.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Обобщите предложение 1, заменяя множество
всех неделителей нуля на некоторое множество
неделителей нуля, которое замкнуто относительно
конечных произведений.

$ 4.7. Теорема Фейта — Утуми
181
2. Пусть В— булева алгебра, в которой каждое
непустое подмножество содержит максимальный
элемент. Покажите, что алгебра В конечна. Покажите
также, что сумма атомов алгебры В равна 1.
3. Предположим, что кольцо /? содержит в своем
центре поле А и что каждый элемент г кольца /?
удовлетворяет полиномиальному уравнению
гп + ап-хгп-1+ ... +а0 = 0
с коэффициентами из поля А. Покажите, что
<?<*(*) = *.
4 (Фейт). Покажите, что существуют конечные
кольца, для которых С} Ф <2С1, [Указание: Используйте
упражнения 4.3.12.]
5 (Смолл). Пусть Н — коммутативное кольцо, в
котором каждое множество аннуляторных идеалов
содержит максимальный элемент. Докажите
следующие утверждения:
(а) Каждый максимальный собственный аннуля-
торный идеал является простым.
(б) Каждое множество аннуляторных идеалов
содержит минимальный элемент.
(в) Число максимальных собственных
аннуляторных идеалов конечно. [Указание: Надо заметить, что
последовательность Рх^> Р\{\ Р2^ ...
стабилизируется.)
(г) Каждый делитель нуля принадлежит
некоторому максимальному собственному аннуляторному
идеалу.
(д) Идеал, состоящий целиком из делителей нуля,
содержится в некотором максимальном собственном
аннуляторном идеале. [Указание: Используйте
упражнение 2.1.9.]
(е) Каждый плотный идеал содержит неделитель
нуля.
(Ж) (?(*)= <2с!(Я).
§ 4.7. Теорема Фейта—-Утуми
Мы имели дело до этого с вполне приводимым
первичным кольцом ф. В силу теоремы Веддербёр-
на — Артина кольцо <2 изоморфно кольцу всех

182 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
(п X п) -матриц над телом И. Читатель без труда
проверит, что кольцо ф содержит элементы ец {I, / = 1,...
..., п)у для которых
_ / е1и I = к,
еаем-\ о, 1фк.
Элементы вц называются матричными единицами.
Более того, можно считать, что тело В состоит из
всех элементов кольца <2, которые перестановочны
с вц, и что
<э=2^д.
Легко показать, что
^ = епЯеП9
при этом изоморфизм осуществляется взаимно
обратными отображениями
с1->йеп = епс1еп,
вцЯвц -> 2 еп {епцеп) ен = 2 е^еи.
Под правым порядком 3 кольца B будем
понимать аддитивную подгруппу кольца B, замкнутую
относительно умножения, в которой для любого
элемента <7 ^ С? существует элемент 5е5, обратимый
в ($ и такой, что <75 е 5. Мы не предполагаем, что 5
содержит элемент 1. Таким образом, в нашей
терминологии 5 не обязано быть подкольцом кольца С}.
Фактически 5 вообще не обязано быть кольцом.
Несложное упражнение — показать, что для любого
конечного множества элементов <7ь Цъ, ..., цп кольца С?
существует элемент 5б5, обратимый в 0, и такой,
что Ц\$ е 5 для /=1,2, ...., п.
Исходя из данных правых порядков кольца Д,
легко построить правые порядки кольца <2. Так, пусть
С — правый порядок в О, и пусть 5 — некоторая
аддитивная подгруппа кольца B, замкнутая
относительно умножения и содержащая 2 ецС- Тогда 5 яв-
ляется правым порядком кольца (}. Действительно,

§ 4.7. Теорема Фейта — У ту ми
183
пусть 9=2^/^/, йц^И. Выберем элемент сеО,
обратимый в С и такой, что все йцс е С. Тогда
Кстати, никаких других правых порядков в
кольце <2 нет. Доказательство этого и составляет
содержание следующей замечательной теоремы Фейта и
Утуми.
Предложение. Пусть 8 — правый порядок во
вполне приводимом первичном кольце О,. Тогда
2^е^^Сс=:8с:^=%е^^^,
где ец — полное множество матричных единиц
кольца B, й состоит из всех элементов кольца С},
перестановочных с элементами е^, и С — правый порядок
в Я.
Доказательство. Для начала напишем
где е\\ образуют полное множество матричных еди-
нин, аВ7- ассоциированное тело. Пусть а — элемент
из 5, обратимый в () и такой, что е\\а е 5. Тогда
элементы вц^а^е^а образуют другое множество
матричных единиц, И = а~гО'а является
ассоциированным телом и аец е 5.
Рассмотрим
А = {8*=8\ЧИзеие=8}9
Очевидно, что А и В являются аддитивными
подгруппами в 5 и
8АаАу АеыаА, В8с:В, еыВаВ.
При этом А содержит ранее упоминавшийся
обратимый элемент а, г В содержит некоторый обратимый
элемент Ь из С}.
Положим теперь
С =
{2^1^1Л|?еВЛ|

184 Гл. 4. Инъективность и близкие вопросы
Тогда СсОи
2 Сец = 2 епСеи с= 2 е1хВАеи <= 5,
поскольку епВ с: 5 и Ле^- с: 5. Очевидно, что С
является аддитивной подгруппой тела Д замкнутой
относительно умножения. Фактически С ^епВАеп
(аддитивно и мультипликативно) при изоморфизме
0^е\^е\и который рассматривался в начале этого
параграфа. Остается показать, что С является
правым порядком в И или, эквивалентно, что ецВАец
является правым порядком в ец($е\\.
Пусть для краткости в\\ = е. Для заданного
элемента # ^ е0.е нам хотелось бы найти ненулевой
элемент х е еВАе, такой, что цх е еВАе. Пусть
элементы а и Ъ такие же, как и выше. Выберем элемент
/е5, обратимый в С} и такой, что Ъ~хцЫе5, т. е.
цЫ е ЬЗ. Рассмотрим теперь х е еЫЗае. Тогда,
конечно, х е еВЛе и
<7Л; е ецеЫЗае с: еЪЗае а еВАе.
Остается убедиться в том, что можно найти дс=^0.
Таким образом, нам надо показать, что еЫЗаеФО.
Поскольку а, Ь и I — обратимые элементы, еЫФО и
ае Ф 0. Утверждение вытекает теперь из следующего
замечания:
Замечание. Если 5 —правый порядок в
простом кольце B, а р к р'— ненулевые элементы
кольца <2, то рЗр' Ф 0.
Действительно, предположим, что рЗр' = 0 и р ф 0.
Тогда 1е0 = Рр<2, поскольку B — простое кольцо,
п
и поэтому 1 = 2 <7*Р<7р где ц{> ^ <= С. Выберем эле-
1 = 1
мент 5Е5, обратимый в С1 к такой, что все ?[5б 5.
Тогда
п
* = 1
Следовательно, зр' е B/?5// = 0, и поэтому р' = 0.

# 4.7. Теорема Фейта — Утуми
185
УПРАЖНЕНИЯ
1. Установите изоморфизм Д^епС^ц, о котором
шла речь в начале этого параграфа. (См. также
упражнение 3.5.6.)
2. Пусть задан правый порядок 5 кольца (? и
конечное множество <7ь ?2> .• •, Яп е Я- Покажите, что
существует такой элемент 5б5, обратимый в С}, что
3. Распространите теорему Фейта — Утуми на
правые порядки во вполне приводимых кольцах, вообще
говоря, не являющихся первичными.
4. Дайте более простое доказательство теоремы
Фейта — Утуми в том частном случае, когда 5
является не только правым, но также и левым
порядком в кольце (?. (При этом подходит любая система
матричных единиц ец.)
5 (Бёргес). Покажите, что в кольце С} всех
(п X п) -матриц над локальным кольцом Ь каждая
обратимая матрица содержит в каждой строке и
в каждом столбце обратимый элемент кольца Ь.
Выведите отсюда, что теорема Фейта — Утуми остается
справедливой и в кольце B всех (п X п) -матриц над
локальным кольцом.

ГЛАВА 5
ВВЕДЕНИЕ В ГОМОЛОГИЧЕСКУЮ АЛГЕБРУ
§ 5.1. Тензорное произведение модулей
Пусть Лй и кВ — правый и левый /^-модули.
Построим их тензорное произведение А ®д5.
Начнем с рассмотрения всех «формальных» сумм
п
2 (я*> ^*) паР элементов ^еЛ и Ь\^В. Предпола-
1 = 1
гается, что формальные суммы подчиняются законам
коммутативности и ассоциативности относительно
сложения. Тогда они образуют по сложению
коммутативную полугруппу 8(А,В). Пусть теперь 0
—наименьшая конгруэнция на 5(Л,В), для которой
(а + а',6)9((а,6) + (а/,6)), A)
{а,Ь + Ь')в({а,Ь) + (а9Ь'))9 B)
(аг,Ь)в(а,гЬ) C)
при всех а,а!'еЛ, Ь7Ь' ^ В и г <= /?. Таким образом, 8
является пересечением всех отношений конгруэнтности
на 5(Л,В), обладающих свойствами A) — C).
Обычно класс эквивалентности обозначают через
0((а, 6)) = а® Ь.
Следовательно,
еB(а„&,)) = 2^®^,
и мы пишем
5 (Л, В)/0 = Л®дВ.
Предложение 1. Тензорное произведение А®КВ
является абелевой группой по сложению.

$ 5.1. Тензорное произведение модулей 187
Доказательство. Так как 0 — отношение
конгруэнтности на полугруппе 5(Л,В), то А ®л5 также
является полугруппой. Остается определить
0 = 0®0
и
п п
- 2 сц ® ьг = 2 (- я*) ® ^,
г = 1 1 = 1
/г
что, кстати, в силу свойства C) равно 2 я* ® (— &*)>
и проверить обычные свойства. В силу C) 0 ® Ъ =
= 00®& = 0®06 = 0®0. Тогда
(а„ ® &„) + @ ® 0) = (ап ® й„) + @ ® Ьп) = ая ® &„,
и, таким образом,
/ п \ п
2 а, ® & Л + @ ® 0) = 2 ^ ® &*.
Более того,
2 ^® 6* + (-2^®**) = 2(а*®&* + (-а*)®6*Н
= 2о®б; = 2о®о = о®о = о.
Рассмотрим основные свойства аддитивной абеле-
вой группы Л ®ЙВ.
Пусть С — аддитивная абелева группа.
Отображение Ф: А хВ->С назовем билинейным
отображением из (Ак, кВ) в С, если
Ф (а + а', Ь) = Ф (а, 6) + Ф (а', 6),
Ф(а,.6 + 6/) = Ф(а,6) + Ф(а,6/).
Ф(аг, &) = Ф(а, гб)
при всех а, а'Е/1, Ь, Ь'<=В и /*е^ (Через АхВ
здесь обозначено декартово произведение множеств А
и В, а не их прямое произведение как групп!)
Ясно, что каноническое отображение я: АхВ-*
->А ®дВ, при котором л;(а, &) = а ® &, является
билинейным,

188 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Предложение 2. Пусть Ф — билинейное
отображение из (Ая,нВ) в абелеву группу С. Тогда существует
и притом единственный гомоморфизм <р: А ®ЛВ->С,
такой, что ф о л = Ф.
Л® В ---?-> С
1 /
АХВ/
Доказательство. Положим
/ п \ п
Проверим, что ф — отображение. Определим
конгруэнцию 0' на 5(Л, В), полагая
2 (а*, **) б'2 (а/, &/)
тогда и только тогда, когда
2Ф(^,6*)-2ф(а/,&/).
Так как Ф — билинейное отображение, то 0' также
удовлетворяет условиям A) — C). Например, из
равенства
Ф(аг, 6) = Ф(а, гб)
следует, что
(аг, й) 0' (а, г 6).
Но 0 — наименьшая конгруэнция на 5 (Л, 5),
удовлетворяющая условиям A) — C). Следовательно, 0^0'
в структуре конгруэнции на 5(Л, В). Если
2 я, ® 6* = 2 а/ ® 6/,
т. е.
2 (а*, &*)8 2(а/, */)»
то
2 (а,-, 6,) в7 2 (а/. 6/)»
т. е.
2Ф(а^) = 2ф(а,/,&9.

$ 5.1. Тензорное произведение модулей 189
Из этого следует, что ф — действительно однозначное
отображение.
Легко проверить, что ф — гомоморфизм. Наконец,
(ф о я) (а> Ь) = ф (а ® Ъ) = Ф (а, Ь).
Отсюда следует, что ф определено однозначно, что
завершает доказательство предложения.
Напомним, что Н-3-бимодуль нЛ8 является левым
модулем цА и правым модулем А8, причем
(га) 8 = г (аз)
для всех ге/?,йеЛ и5е5.
Предложение 3. Пусть НЛ8, тВ8 и тСп — бимодули.
Существует канонический способ превращения абеле-
вых групп Р = Нот8(Л, В), 0 = Нотг(#, С) и Н =
= С ®пА в бимодули тРп, зОя и тН8 так, что
Цг)а = !(га\ (Ц)а = Ща\ A)
Ь(8г) = {Ье)г, Ь(з§) = (Ьз)§, B)
B °1 ® #*) 5 = 2 сг ® #*$> 12 ^ ® #* = 2 ^ ® #* C)
для всех а, а(^ А, Ь е В, с(<=С> ге /?, 56 5,/еГ,
/еР а ^е= С
Заметим, что все условия A) —C) имеют вид
законов ассоциативности или дистрибутивности. В
случае B) это было достигнуто тем, что мы пишем
символ отображения § справа от аргумента.
Доказательство. Свойства A) и B) можно
взять в качестве определения элементов /г и 1$ из Р
и элементов @г и 5^ из О. При этом в последних двух
случаях использовано наше соглашение о записи
действия элементов из О.
Если Н = 2^ ® йь то вовсе не очевидно, что C)
корректно определяет элементы Нз и Иг. Чтобы показать
это, рассмотрим отображение Ф: С&А-+Н, для
которого Ф(с, а) = с®аз. Легко проверить, что Ф —
билинейное отображение из (Сн, ЯА) в Я. Например, пусть
ге #, Тогда Ф(сг, а) = сг ® аз = с ® газ = ф(с, га),

190 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
В силу предложения 2 найдется, и притом
единственный, гомоморфизм ф: #—>#, такой, что
фй = ф 2 сь ® аь = 2 Ф (^> я,) = 2 сь ® а^.
Равенство C) означает, что фй = Й5 и, следовательно,
корректно определяет элемент Нз. Аналогичное
рассуждение применимо к определению Иг.
Наконец, обычная проверка показывает, что тРв,
зОп и тН8 являются бимодулями.
Для более легкого запоминания предложения 3 мы
часто будем писать
ТРЯ = ТВ3 0 иА8 (читается: В над Л),
50# = ГВ5 55 гСд (читается: В под С),
ТН§ = ТСК ® #л$,
или более кратко,
Р = В0 8Ау О = В 0 ТС, Н = С ®КА,
где лишь последнее обозначение является
стандартным. Иногда мы вовсе опускаем индексы 5, Т и 7?.
Обозначения 0 и 0 полезны не только в этой
связи. Отметим лишь, что в ситуации яМк и к^в
модули N 0 М и М B Л1, вообще говоря, различные, не
различаются стандартным обозначением Нотд^,^).
УПРАЖНЕНИЯ
Лишь в этих упражнениях будем говорить, что
кольцо /? является расширением кольца А тогда, когда
задан гомоморфизм кольца А в К (который может и
не быть мономорфизмом). В этом случае кольцо /?
естественно превращается в бимодуль аКа- Кольцо /?
называется алгеброй над коммутативным кольцом А,
если образ указанного гомоморфизма лежит в центре
кольца /?.
1. Если /? и 5 — алгебры над коммутативным
кольцом Л, то модуль /? ®а 8 можно превратить в
алгебру над кольцом А так, что (г ® 5) (г' ® $') = /г' ®
®55х для всех г/'б^и^^Е 5,

$ 5.2. Функторы Нот и ®
191
2. Пусть нМ8 есть /?-5~бимодуль, где ^ и 5 —
алгебры над коммутативным кольцом А. Допустим, что
ат = та для всех а^А и т^М. Покажите, что кМ8
можно «рассматривать» как правый модуль Мз®яь
где /?° — кольцо, полученное из кольца /? изменением
порядка сомножителей при умножении.
3. Если # — простое кольцо и Р — его центр, то /?
является неприводимым правым модулем над кольцом
Т = /? ®/^°. Что можно извлечь при этом из теоремы
плотности?
§ 5.2. Функторы Нот и ®
Пусть дЛ5 и ЯА'8 — бимодули над одними и
теми же кольцами Я и 5. Отображение а: А->А'
называется гомоморфизмом бимодуля вАз в бимодуль ^Л^,
если а — гомоморфизм модуля дЛ в ДЛ7 и модуля А8
в Л^, т. е. если а — гомоморфизм аддитивной группы
и а (аз) = (аа)з, г(аа) = а (га) при всех абЛ, 5Е5
и ге/?. К сожалению, обозначения не позволяют нам
записать оба этих соотношения одновременно в виде
законов ассоциативности. Иногда для симметрии мы
пишем аа = аа.
Предложение 1. Пусть
а: Из^Из' $:.тВз~>тВз и V- тСк'~>тСн
— заданные гомоморфизмы бимодулей. Тогда суще-
стеуют канонические гомоморфизмы
Р0а: тВ30кА'3-*тВ'80хА3,
Р 0 V: ТВ3 О ТСН -> ТВ3 & ТС'К,
У® а: ТС^НА8->ТС'К®КА'3,
такие, что
(Р0а)/=ро/оа,
(Р 55 V) 5* = Р * % * V,
(V ® ее) 2 сг ® о-ь = 2 ^ ® «а*
для все* /еВ0 5Л', §• е= В' 0 Г Л, с1^С и а{ е= Л.

192 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Напомним, что * означает для символов
операторов, записанных справа, то же, что о для символов
операторов, записанных слева. Таким образом,
Ь (Р * § * V) = ((^Р) &) V = V ((Р&) ё) для любых Ь е В.
(См. замечание в начале этого параграфа.) Обычные
обозначения для р0а и р 0 у— это Нот (а, Р) и
Нот(р,-у) соответственно.
Доказательство. Опустим стандартную
проверку того, что отображение /->Р ° / © а определяет
гомоморфизм бимодуля В 0 А' в В' 0 А.
Аналогично случай р 0 у не вызывает иных трудностей, кроме
трудностей с обозначениями. Остается показать, что
соответствие ^с1 ® а1->^ус1 ® ааь задает
гомоморфизм бимодуля С ® А в С ® А'.
Основная трудность состоит в доказательстве того,
что оно определяет отображение. Это последнее
следует из того, что (с, а) -*ус ® аа — билинейное
отображение из (Ся,дЛ) в С ® цА'-
В формулировке следующего утверждения опустим
индексы, предполагаемые такими же, как и в
предложении 1.
Предложение 2. Пусть заданы гомоморфизмы би-
модулей
а: А->А', Р: В->В', у: С-+С
а': А'->А", р': В'->В\ у'\ С'->С".
Тогда
(Р' 0 а)о(р 0 а') = (Р'°Р) 0 (а'о а),
(Р0У,)°(Р,^У) = (Р,°Р)Ю^,О7),
{у' ® а') о (-у ® а) = (-у' ° V) ® (а' ° а)-
Доказательство. Чтобы убедиться в
справедливости, например, первого равенства, применим
левую часть к элементу / е В 0 8А" и получим, что
Р,о(ро/оа/)оа = (р/ор)о/о(а,оа),

$ 5.2. Функторы Нош и ®
193
а это в свою очередь совпадает также с результатом
применения к I правой части. Другие два равенства
доказываются аналогично.
Можно сформулировать более кратко полученные
результаты, сказав, что 0, C и ® — функторы двух
переменных, при этом р 0 а — ковариантный по р и
контравариантный по а функтор, р^-у — контрава-
риантный по р и ковариантный по у функтор, а
функтор у ® а ковариантен по обоим аргументам. Мы не
будем приводить строгих определений терминов
«функтор», «ковариантный» и «контравариантный»1).
Следствие. Пусть 1 обозначает тождественное
отображение бимодулей А, В или С. Тогда
A 0а)о(р0 1) = р0а = (Р0 1)оA0а),
AМ°(Р$ 1) = Р0У=*(Р$1)°A 0У)>
A ® а) о (у ® 1) - V ® а - (у ® 1) ° A ® а).
Имея в виду выполнение этих свойств, часто говорят,
что 0, 0 и ® — бифункторы.
Предложение 3. Если ЯА8, ТВ3, ЦСК и тВи — би~
модули, то имеют место канонические изоморфизмы
а{: (В ® С) ® А & В ® (С ® Л),
<у2: (В 0 А) 0 С <* В 0 (С ® Л),
сх3: В 0E 0Л)^ф0БHЛ,
(V- С $ (Я $ Я) ~ (О ® С) $ 5,
а5: 7? ® Л е* Л (^ Л ® 5),
аб: #0 Л^Л(^Л05),
!) Пусть К — некоторое кольцо. Обозначим через дЭД?
совокупность всех левых /^-модулей, а через н§ совокупность всех
гомоморфизмов модулей из КШ. Пару отображений Ф: К%Я -> 5ЭД1
и Ф: д§ "** с© (обозначаемых одной и той же буквой)
назовем ковариантным (контравариантным) функтором, если
Ф (Ношд (А Б)) с= Нот5 (Ф (Л), Ф (Б)), Ф (а о р) = Ф (а) о Ф (р)
[Ф(аор)=.ф(р)оф(а)]р где а, ре^( и Ф AЛ) = 1Ф (Л) для всех
А е ^ Ж — Прим. ред.
7 Зак. 1027

194 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
такие, что
0-1 ([й ® с) ® а) = й ® (с ® а),
(ог2/2) (с ® а) = (/2с) а,
(й® с)(оА!А) = аш>
а5 (г ® а) = га,
^6/6= 1/б>
где йеД с еС, аеД а /^ принадлежит области
определения изоморфизма а(.
Доказательство. Легко убедиться в
существовании этих отображений, а также в том, что они
в действительности являются изоморфизмами. В
качестве примера рассмотрим подробно отображения
С>2 И G5.
Очевидно, что (с, а)—>(/гс)а— билинейное
отображение из (СКуКА) в В. В силу предложения 5.1.2
существует отображение }2: С ® Л-> В, такое, что
/2 (^ ® а) = (/2с)а. Таким образом, получаем
отображение 12->12, которое, очевидно, является
гомоморфизмом Г-б^-бимодулей и которое можно обозначить
через 02.
С другой стороны, пусть 12^ В 0 (С <8> А). Тогда
можно определить элемент /2^(В04H С, положив
A2с) а = 12 (с ® а). Очевидно, что так определенное
отображение 12-+12 обратно к отображению а2: Т2~*?2>
которое, следовательно, является изоморфизмом.
Таким же образом (г, а)-*га — билинейное
отображение из (Ив, пА) в Л. В силу предложения 5.1.2
найдется такое отображение а$: У?® Л—>Л, что
а5(/' ® а) = га. Как легко видеть, сг5 является /?-5-гомо-
морфизмом. Кроме того, очевидно, что о$ обратно
к отображению а—>\ ® а, и, следовательно, оъ—
изоморфизм.
Канонические изоморфизмы предложения 3
обладают важным свойством, которое иллюстрируется
следующей коммутативной диаграммой, связанной с а*

$ 5.2. Функторы Нот и ®
195
Пусть а: А-*А\ |3: В->Я' и у: С~>С.
(В 0 А') 0 С —2> В0(С® Л')
№ 0 а) 0 VI
Р 0 (V ® а)
(В' 0 Л) 0 С — > 5' 0 (С ® Л)
Чтобы убедиться в том, что эта диаграмма
действительно коммутативна, рассмотрим элемент
/<== (В0А'HС и применим ((Р 0 (V ® а))°сг2)/ к
2^®Я/>где с^еС и а*еЛ. Непосредственная вы-
п
кладка показывает, что это равно 2р ((/(Vе*)) (ая^)),
что в свою очередь получается в результате примене-
п
ния <у2 ° ((Р 0 а) 0 V) к 2 ^ ® сц •
Этот результат обычно формулируется более
кратко следующим образом: изоморфизм сг2 между
функторами (р0ссHу и р0(у®а) является
естественным. Практически это означает, что можно
безболезненно отождествлять (В0АHС с В0(С®А). Мы
не будем приводить громоздкое определение
«естественного» изоморфизма функторов (мы даже не
определили, что такое «функтор»), но надеемся, что
изложенное выше пояснит это понятие. Сформулируем
без доказательства следующее утверждение.
Предложение 4. Все канонические изоморфизмы
предложения 3 естественны.
Напомним, что 2е обозначает прямую сумму
модулей.
Предложение 5. Пусть дано семейство бимодулей
{цАз | / е /} и бимодули ТВ8 и иСп. Тогда имеют
7*

196 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
место канонические изоморфизмы
Т1(В0А1)с*В01РА19 A)
П (А10В)~(ЦА1HВ9 B)
2е(с® а1)^с® 2ел1. C)
Конечно, справедливы также и «зеркально
двойственные» утверждения.
Доказательство. Чтобы построить
изоморфизм A), напомним (предложение 4.1.1), что для
любого семейства гомоморфизмов /* е Ногпз(Л*, В)
существует, и притом единственный, гомоморфизм
/: А -* В, такой, что / о щ = /{э где А = 2е А1,
а и<: А{-*А — канонический гомоморфизм. Таким
образом, получим взаимно однозначное соответствие
между семействами гомоморфизмов {/*: А1-* В \ 1^1}
и гомоморфизмами {/: Л-*В}. Легко видеть, что это
соответствие является Г-^-изоморфизмом модуля
П (В 0 А1) на В 0 А. Таким образом, доказано A),
а B) доказывается аналогично.
Используя те же обозначения, что и выше,
рассмотрим теперь C). Мы имеем гомоморфизмы
1С ® щ: С ® А1->С ® Л.
Тогда существует, и притом единственный,
гомоморфизм I: В-+С&А, такой, что /:°Я1-=1с®х^ где
В = 2е (С ® Л'), а А<: С ® Л* -> В - канонические го-
моморфизмы. Чтобы показать, что / — изоморфизм,
найдем его обратный.
Если а = 2 и*#* (я/ ^ Лг) — произвольный элемент
модуля Л, то можно рассмотреть билинейное
отображение (с, а)-> 2 Мс®а*) из (Сд, дЛ) в В. Сле-

$ 5.2. Функторы Нот и ®
197
довательно, существует гомоморфизм ^: С ® Л-> В,
такой, что ^ {с ® а) = 2 ^ (с ® а^). Опустим стан-
дартную проверку того, что § действительно является
обратным к /. Заметим, что обе суммы, появлявшиеся
в этом параграфе, являются конечными суммами,
поскольку все, кроме конечного числа, аь равны
нулю.
Для иллюстрации изложенного рассмотрим модуль
характеров правого модуля Мк. Пусть К = 0/2 —
рациональные числа по модулю 1. Рассмотрим бимо-
дули гМ% и гКх- Определим М* = ЛГ0 2К (см.
также § 4.2). В силу предложения 5.1.3 ЯМ*2 — бимодуль
и, следовательно, левый модуль дМ*. Аналогично
убеждаемся в том, что модуль характеров левого модуля
является правым модулем.
Пусть а: АК-*ВВ — некоторый ^-гомоморфизм.
Положим а* = а0 1#- В силу предложения 1
а*: в.В* —>кЛ*. В силу предложения 2 * — контрава-
риантный функтор. Таким образом, если C: 5д—>Сд,
то (роа)* = а*оC*.
Пусть даны модули пС и Оя. Из предложения 3
вытекает существование изоморфизма
а: С 0 /Г ~ (Я ® С)\
где
(й ® с)в§ = с1 {с§)
для йеД сеС и ^еС01)*. (Мы положили
В = К в 04-) В силу предложения 4 изоморфизм а
является естественным, и, следовательно, диаграмма
С/0Я,*-^>ф/®С/)*
(б ® V)*
С0Д* —> (В ® С)*
где у: С-^С'и 6: /)-*/У —заданные гомоморфизмы,
коммутативна*

198 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Наконец, для любого семейства {Л; | I <= /} правых
модулей из предложения 5 вытекает существование
изоморфизма П А; ^ ( 2е ^;Г* Конечно, это же
верно для левых модулей или даже для бимодулей.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите существование «канонического»
гомоморфизма А-*(В 0 А) 0В.
2. Проверьте предложенные вычисления, чтобы
убедиться в том, что гомоморфизм в2 предложения 3
является естественным.
3. Докажите, что гомоморфизм в$ предложения 3
естественный.
4. Являются ли изоморфизмы предложения 5
естественными?
5. Укажите естественный гомоморфизм А*0С^
^(С®А)*.
6. Покажите, что Л* выделяется прямым
слагаемым в модуле Л***.
7 (Тевари). Если либо Мк, либо ЫЕ — конечно
порожденный проективный модуль, то канонический
гомоморфизм а: N <8> (Я 0 М)-+ N 0 М является изо--
морфизмом, где в{п®1)т = пЦт) при всех де]У,
1е=Я0М, шееМ.
§ 5.3. Точные последовательности
Пусть временно Л, В и С—аддитивные абелевы
группы, модули или бимодули, а слово «гомоморфизм»
следует понимать соответствующим образом. Пусть
/:Л-*В— гомоморфизм. Будем говорить, что Л —
область определения гомоморфизма /, В— область
значений гомоморфизма /,
1т/ = /А = {/а|а€=Л}
— образ гомоморфизма / и
Кег/ = Г!0=фе= Л|/а = 0}
— ядро гомоморфизма /.

$ 5.3. Точные последовательности 199
Рассмотрим теперь пару (/, §•) гомоморфизмов,
у которой область значений гомоморфизма /
совпадает с областью определения гомоморфизма §.
Иллюстрацией этой ситуации может служить диаграмма
А-ив-^>с.
Назовем такую пару точной, если 1т1 = К^т §, т. е.
Более общим образом, назовем
последовательность гомоморфизмов
точной, если каждая пара соседних гомоморфизмов
точна, т. е. если 1т/п = Кег/п+1 при всех
возможных /г. Такая последовательность может быть
конечной или бесконечной в одном или в двух
направлениях.
Если даны правые модули Лк, Вк и Сп, то пусть
КЛ*, пВ* и КС*— их модули характеров. Напомним,
что Л* = Нот2(Л, 0/2) и что любому гомоморфизму
I ^Нотк(А, В) канонически сопоставляется
гомоморфизм /* е Нотя(в*, Л*), такой, что
(&Г)а = 6*(М>
где аеД 6* е= Б*.
Предложение 1. Последовательность
является точной тогда и только тогда, когда точна
последовательность
Доказательство. Пусть Ь* е В*, тогда
6*Aт/) = 6*(М) = (&7)Л
и, следовательно, 6* е Кег /* тогда и только тогда,
когда 6*Aт /) = 0. С другой стороны, 6* е 1т §* тогда

200 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
и только тогда, когда существует характер с*
модуля С, такой, что 6* = с*§*, т. е.
Ь'Ь = (с*8т)Ь = с*(еЬ)
для всех Ь е В. Это соотношение равносильно тому,
что 6*(Кег§) = 0. Действительно, если 6* (Кег §•) = (),
то §Ь-*Ь*Ь — гомоморфизм модуля 1т § в 0/2,
который может быть продолжен до гомоморфизма
с*: С—>С}/2, поскольку 0/2 — делимый и,
следовательно, инъективный модуль.
Таким образом, из равенства 1т/=Кегё" следует,
что Кег/* = 1т й"*1). Обратно, допустив последнее
равенство, получаем в силу изложенного выше2), что
&*Aт/) = 0О&*(Кег#) = 0.
Поскольку это имеет место при всех Ь* е 5*, можно
утверждать, что 1т I = Кег §, имея в виду
следующее общее замечание:
Лемма. Пусть Оя — подмодуль модуля ВПу Ь —
элемент модуля В, не лежащий в О. Тогда существует
характер Ь* модуля В, для которого Ь*й = 0 и
Ь*Ь Ф 0.
Доказательство. Применить лемму 4.2.2
к модулю В/й.
Следствие. Последовательность модулей
точна тогда и только тогда, когда точна
соответствующая последовательность модулей характеров
{направленная в противоположную сторону).
Нулевой гомоморфизм модуля А в модуль В
переводит каждый элемент модуля А в нулевой элемент
модуля В. Пусть 0 обозначает группу или модуль,
состоящие лишь из одного элемента. Тогда для любой
группы или модуля А существует, и притом один,
гомоморфизм Л~*0, а также гомоморфизм О—» Л
(в каждом из случаев это нулевой гомоморфизм).
*) Действительно, Ь* е= Кег /* #ф Ь* Aт /) - 0 #ф Ь* (Кег §) =
= О фф Ь* е 1т §*. — Прим. ред.
2) Из ранее доказанного вытекают импликации Ь* Aт /) =
- О фф Ь* е= Кег /* #ф Ь* е= 1т §* фф Ь* (Кег $) « 0. - Прим. ред.

# 5.3. Точные последовательности
201
Что означает точность последовательностей:
0—>Л-4б,
А-1+В—>0,
0—>лЛй~>0,
0—^Л-^->В-^->С—>0?
Очевидно, что точность первых трех
последовательностей утверждает, что / является мономорфизмом,
эпиморфизмом или изоморфизмом соответственно.
Последняя, часто называемая короткой точной
последовательностью, означает, что /: А-*В — мономорфизм
и что § — эпиморфизм модуля В на модуль С,
индуцирующий изоморфизм В\]А ^ С. В частности, если
А а В, имеем короткую точную последовательность
0->А—>5—->В/Л->0,
где к и я — канонические мономорфизм и эпиморфизм.
Рассмотрим теперь действие функторов ® и Нот
на короткие точные последовательности.
Предложение 2. Пусть дана короткая точная
последовательность
0->кА3-±+кВ8-^->кС3->0.
Тогда для любых бымодулей ТЕ8 и тОп точны
следующие последовательности:
О-+А0Е-&1+В0Е-421+С0Е, A)
0->Е 0 С -±2-*+Е 0 В -^±>Е 0 А, B)
Я® А-^->/)®й-^>/)®С-*0. C)
Кроме того,
8 01 — эпиморфизм при всех
эпиморфизмах § тогда и только тогда, когда Е8 —
проективный модуль; (V)
10} — эпиморфизм при всех
мономорфизмах } тогда и только тогда, когда Е8—инъ-
ективный модуль; B')

202 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
1 ® / — мономорфизм при всех
мономорфизмах / тогда и только тогда, когда пЕ>* — инъ-
ективный модуль. C')
В формулировке этой теоремы индексы часто
опускались. Вместо утверждений A) и B) часто
говорят, что функтор Нот точен слева, в то время как
вместо C) говорят, что функтор ® точен справа.
Здесь, конечно, к^*— модуль характеров модуля Дд.
Само собой разумеется, что все остается
справедливым, если заменить А0 Еу В ® А и т. д. на их
«зеркально двойственные» 50Л, Л®/)ит. д.
соответственно. (Однако стрелки должны быть обращены.)
Доказательство. A) Ядро гомоморфизма
/01 состоит из всех таких р: Е-*АУ что / о р = 0.
Поскольку /— мономорфизм, это ядро равно 0.
Образ гомоморфизма /01 состоит из всех
гомоморфизмов вида /ор, где р: Е-+А. Ядро
гомоморфизма §0\ состоит из всех таких ц\ 5-* В, что
§ од = 0. Очевидно, что оно содержит образ
гомоморфизма /01. Для доказательства равенства мы
должны показать обратное включение. Итак, допустим,
что § о ц = 0. Тогда 1т ц а Кег § = 1т /. Для любого
элемента е^Е мы можем, следовательно, определить
ре как такой элемент а, для которого /а = де
(единственность элемента а следует из того, что / —
мономорфизм) 1).
Наконец, образ гомоморфизма ^01 состоит из
всех гомоморфизмов вида ^<>^ где ц\ Е->В, т. е. из
всех элементов Г&С0Е, которые могут быть
«подняты» до В:
Е-ив
\. § — эпиморфизм
Г Ъ1 У
С
Совпадение его со всем С 0 Е при произвольном
эпиморфизме § равносильно проективности модуля Е.
*) Мы имеем \ре = це для всех ее^т.е. ц = \р е 1т (/0
01). — Прим. редо

$ 5.3. Точные последовательности
203
B) Ядро гомоморфизма \0§ состоит из всех
гомоморфизмов р: С—>5, для которых р о § = 0.
Поскольку § — эпиморфизм, Кег A 0 §) = 0.
Образ отображения 10 § состоит из всех
гомоморфизмов вида ро@у где р: С-+Е. Ядро отображен
ния 10/ состоит из всех гомоморфизмов ц\ В-+Е,
таких, что #°/ = 0. Очевидно, что последнее ядро
содержит образ гомоморфизма 10^. Для
доказательства равенства мы должны показать обратное
включение. Итак, допустим, что ^о/ = 0. Тогда Кег§" =
= 1т/с: Кег д. Следовательно, для любого элемента
Ь^В можем положить р{§Ь)= цЬ. Отсюда вытекает,
что ц = р о §.
Наконец, образ отображения 1 0/ состоит из всех
гомоморфизмов вида ^о/, где ц\ В-*Е, т. е. из всех
тех элементов гей0Л, которые могут быть
«продолжены» до модуля В:
Е+Я~В
>ч 1г — мономорфизм
А
Это совпадает со всем модулем Е0А для
произвольного мономорфизма / тогда и только тогда, когда
модуль Е инъективен.
C) Напомним (см. предыдущий параграф), что
канонический изоморфизм
а: Й*0Л~>(О®Л)*
является естественным. Следовательно, квадраты
следующей диаграммы коммутативны:
О->/)*0С ->Я*0В -*Я*0А
0->ф ® С)*->(Я ® Ву->(й ® А)*
В силу B) верхняя строчка точна. Поскольку
вертикальные отображения — изоморфизмы, легко видеть,
что нижняя строчка также точна. Следовательно, в
силу предложения 1 точна последовательность C).

204 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Наконец, ввиду предложения 1 последовательность
0-*/)® Л^-^->1>®В
точна тогда и только тогда, когда точна нижняя
строка следующей диаграммы:
й*0 В ->й*0Л ->0
(Д®Я)*->ф® АУ->0
Это, кроме того, означает, что точна верхняя
строчка. В силу утверждения B) точность последней при
всех мономорфизмах / равносильна инъективности
модуля Д*.
Модуль Ок называется плоским, если для любого
мономорфизма /: цА-+яВ индуцированный
гомоморфизм 1 ® /: В ® пА —> Г) ® КВ также является
мономорфизмом. Грубо говоря, это означает, что если
А а В, то В ® А а й ® В. Можно
переформулировать утверждение Cх) предложения 2 следующим
образом:
Следствие. Модуль Оп является плоским тогда и
только тогда, когда его модуль характеров кй*
инъективен.
Это же верно и в случае левых модулей.
Предложение 3. Пусть даны бимодули КА8, тВ8 и
ТСН. Тогда
Ск проективен &А8 проективен =ф (С®Л)8 проек-
тивен A)
ТВ инъективен &А3 проективен =фг(В0 А) инъективен,
B)
В3 инъективен & пА плоский^(В0А)я инъективен, C)
С к плоский & А8 плоский =# (С ® А) $ плоский. D)
Конечно, также справедливы и «зеркально
двойственные» варианты этих утверждений.
Доказательство. Это показывается с
помощью критериев проективности, инъективности и

§ 5.3. Точные последовательности
205
плоскости, приведенных в предложениях 2, и при этом
используются естественные соотношения
ассоциативности предыдущего параграфа. В качестве примера
приведем доказательство утверждения C).
Пусть последовательность 0-*Хй-*Уд точна.
Тогда также точна и последовательность 0->Х®Л —>
~>У®Л, поскольку пА — плоский модуль. Так как
В8 — инъективный модуль, то точна
последовательность
В 0 (У ® А)->В 0 {X ® Л)->0.
Используя естественный изоморфизм аг
предложений 5.2.3 и 5.2.4, легко показать, что
последовательность
(В0АHУ->(В0АH Х->0
точна. Теперь в силу утверждения (I7)
предложения 2 модуль В 0 А инъективен.
УПРАЖНЕНРШ
1. Если А — подмодуль модуля В, то модуль
(В/Л)* изоморфен подмодулю модуля В*, состоящему
из всех характеров, аннулирующих подмодуль Л.
2. Выведите из предложения 1 лемму 4.2.3.
3. Дайте прямое доказательство точности справа
функтора ®.
4. (а) Если к: А-+В — мономорфизм и ср: С—>В,
то существование гомоморфизма г|): С-*А, такого,
что %°я|) = ф, равносильно включению 1тфс:1т%.
(б) Если я: В—*А — эпиморфизм и ср: В-*С, то
существование гомоморфизма -ф: А->С, такого, что
1|) о я = ф, равносильно включению Кег я а Кег ф.
5. Пусть оба квадрата следующей диаграммы:
Л ->В -»С
у у у
коммутативны, а вертикальные отображения являются
изоморфизмами. Покажите, что точность верхней
строки равносильна точности нижней.

206 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
§ 5.4. Плоские модули
В предыдущем параграфе мы ввели понятие
плоского модуля. Левый модуль пМ был назван плоским,
если для любого мономорфизма х: АВ-*ВЕ
отображение и ® 1: А ® пМ-+В ® КМ также является
мономорфизмом. Ранее мы показали, что если я: В#-*
—> Сп — эпиморфизм, то всегда я ® 1: В ® КМ —>
—» С ® КМ — эпиморфизм.
Проще говоря, пусть Л с: В, и пусть образ
отображения к ® 1 обозначается через [А ® М]. Тогда
[Л ® М] состоит из всех элементов абелевой группы
п
В ® М вида 2 аь ® га^, где а* е Л. Следует отличать
1 = 1
[Л ® М] от Л ® Л4. Фактически каноническое
отображение Л ® М ~»[Л ® М] является изоморфизмом тогда
и только тогда, когда М — плоский модуль. С другой
стороны, всегда
{В ® М)/[А ® М] ~ В/Л ® М.
Рассмотрим пример, показывающий причину
отсутствия изоморфизма между Л ®М и [Л ® М].
Пример. Пусть Я = 2 — кольцо целых чисел,
В — аддитивная группа целых чисел, Л — аддитивная
группа четных чисел. Пусть М = 2/22— аддитивная
группа целых чисел по модулю 2. Тогда [Л ® М]
состоит из всех элементов вида
п п
2 26, ® т1 = 2 6/ ® 2/я* = 0,
/ = 1 1 = 1
где Ьг^В = 2 и, следовательно, [Л ® М] = 0. С
другой стороны, Л ^ 2 и потому Л®М^2®М^М.
Предложение 1. Модуль пМ является плоским
тогда и только тогда, когда для любого правого
идеала А кольца Я имеет место канонический изоморфизм
А ® пМ & АМ. Утверждение остается справедливым,
если А — произвольный конечно порожденный правый
идеал.

§ 5.4. Плоские модули
207
Доказательство. Напомним, что
отображение (г, т)—>гт осуществляет канонический
изоморфизм Я ® М ^ М. Если теперь НМ — плоский модуль,
то каноническое отображение Л ® М -> /? ® М —
мономорфизм и, следовательно, мономорфизмом
является и результирующее отображение Л®М~>М.
Так как образ последнего отображения, очевидно,
равен /Ш, то из плоскости модуля М следует, что
А <& М-*АМ — изоморфизм.
Обратно, допустим, что А ® М^АМ.
Следовательно, А®М-*М — мономорфизм. Тогда в силу
предложения 5.3.1 М*—>(Л®М)*— эпиморфизм. Так
как абелевы группы (А ®М)* и Нот(Л, АР)
канонически изоморфны (см. предложение 5.2.3), то
критерий инъективности (лемма 4.2.1) позволяет нам
заключить, что модуль М% инъективен и,
следовательно, что КМ — плоский модуль (см. следствие к
предложению 5.3.2).
Предположим теперь, что наше допущение об
изоморфизме А ® М ^ АМ относится лишь к конечно
порожденным правым идеалам А. Покажем, что если
В — произвольный правый идеал, то В ®ЛГ —>М — все
п
же мономорфизм. Итак, допустим, что 2 Ь1ть = 0.
* = 1
п п
Тогда 2 Ьь ® ть = 0 в модуле А ® М, где А = 2 &*# —
конечно порожденный правый идеал. Ввиду наличия
канонического гомоморфизма А ® М —> В ® М полу-
га
чаем, что и 2 6/ ® ^ = 0 в В ® М, что завершает
г = 1
доказательство.
Целесообразно теперь рассмотреть примеры
плоских модулей. Очевидно, что КЯ — плоский модуль.
Действительно, если Ап — подмодуль модуля Вп, то
канонический изоморфизм В ® я% ^ В индуцирует
канонический изоморфизм А ® КК ^ А.
Предложение 2. Прямая сумма семейства левых
Н-модулей {М1 \ г ее /} является плоским модулем
тогда и только тогда, когда каждый модуль Мг плоский.

208 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Доказательство. Прямая сумма является
плоским модулем тогда и только тогда, когда ее
модуль характеров инъективен (см. следствие
предложения 5.3.2), т. е. тогда и только тогда, когда
модуль П М\ инъективен (предложение 5.2.5A)). Но
последнее означает инъективность каждого из моду-
*
лей Мь (по предложению 4.2.2), т. е. плоскость
каждого из модулей М{.
Следствие. Каждый свободный модуль и каждый
проективный модуль является плоским.
Доказательство. Свободный левый /?-мо-
дуль является прямой суммой некоторого множества
экземпляров модуля я^, а проективный модуль —
прямое слагаемое свободного модуля.
Поскольку каждый модуль изоморфен фактормо-
дулю свободного модуля, следующий критерий
плоскости представляет интерес.
Предложение 3. Пусть пМ ^ Р/К, где пР —
плоский {в частности, свободный) модуль. Тогда модуль
КМ является плоским в том и только том случае, ког-
да АР П К = А К для любого правого идеала А.
Утверждение остается справедливым, если А — любой
конечно порожденный правый идеал.
Замечание. Так как всегда АКаАРПК, то
необходимым и достаточным условием плоскости
является включение АР П К с: АК.
Доказательство. В силу точности справа
функтора ® последовательность
А®К->А®Р->А®М->0
точна. Так как Р — плоский модуль, то имеет место
канонический изоморфизм А ® Р ^АР, а образ А ® К
в А ® Р при этом изоморфизме совпадает с АК.
Следовательно, А ® М ^АР/АК. Отсюда в силу
предложения 1 М — плоский модуль тогда и только тогда,

§ 5.4. Плоские модули
209
когда АМё* АР/АК для любого правого идеала А или
для любого конечно порожденного правого идеала А.
Во всяком случае, АМ состоит из всех элементов
вида
п п
г=1 2=1
где
я: кР->пМ, !1^РУ а,с= Л.
Итак,
АМ = (АР) я ^ АР/(АР Л К).
Следовательно, М — плоский модуль тогда и только
тогда, когда
АР/{АР (]К) ^ АР/АК
для любого правого идеала А или для любого конечно
порожденного правого идеала А. Так как АКаАРП
П К, то это равносильно тому, что АР Л К = АК.
Следствие. Пусть К — кольцо, в котором каждый
конечно порожденный идеал является главным. Пусть
КМ ^ Р/К, где Рп — свободный модуль. Тогда пМ —
плоский модуль в том и только том случае, когда гР Л
Л К с: г К при всех элементах г е #.
Доказательство. Конечно порожденный
правый идеал А предложения 3 в нашем случае имеет
вид А = гК.
Над какими кольцами все модули плоские?
Напомним, что кольцо называется регулярным, если для
любого элемента г существует такой элемент г\ что
гг'г = г.
Предложение 4. Каждый левый Я-модуль является
плоским тогда и только тогда, когда кольцо Я
регулярно.
Замечание. Поскольку регулярность —
симметричное свойство, в этом предложении слово «левый»
можно заменить на «правый».
Доказательство. A) Пусть ге^, и
допустим, что Я/Яг— плоский модуль. Тогда в силу

210 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
предложения 3 А Г) Яг = Аг для любого правого
идеала Л. В частности, если А = гЯ, то г е гЯ Л Яг = гЯг
и потому г = гг'г для некоторого элемента гг <= 7?.
B) Допустим, что /?— регулярное кольцо. Пусть
пМ ^ Р/К, где дТ7 — свободный модуль. Напомним, что
каждый конечно порожденный правый идеал является
главным (см. лемму Неймана из § 3.5). Таким
образом, учитывая следствие предложения 3, нам надо
лишь показать, что гР Л К а гК. Пусть к <= К П г Р.
Тогда к = г{ = гг'г] = гг'к <= г/С, где / — некоторый
элемент из Р, что завершает доказательство.
Можно применить следствие предложения 3 также
и для доказательства того факта, что модуль над
кольцом целых чисел является плоским тогда и
только тогда, когда он без кручения. Понятие модуля без
кручения может быть дано для произвольных
областей целостности (при этом понятие области
целостности допускает расширение и на некоммутативные
кольца). Итак, назовем кольцо /? областью целостно-
сти, если произведение двух ненулевых элементов
кольца # отлично от нуля. Левый модуль КМ
называется тогда модулем без кручения, если из того, что
0Ф г ^ Я и 0 Фпг е М, следует, что 0 Фтт.
Лемма. Если Я — область целостности, то каждый
свободный Я-модуль является модулем без кручения.
Доказательство. Пусть цР — свободный
модуль с базисом {1г\1 е /}. Пусть 0Ф г е Я. Допустим,
что г] = 0, где /= 2 ?{\ь причем все г<, кроме конеч-
ного числа, равны нулю. Тогда гт% = 0 при всех I е /
и, следовательно, г* = 0. Итак, / = 0, что и требовалось
показать.
Предложение 5. Пусть Я — область целостности,
в которой каждый конечно порожденный правый идеал
является главным. Тогда левый Я-модуль М является
плоским в том и только том случае, когда М — модуль
без кручения.
Доказательство. Пусть пМ ^ Р/К, где ЯР —
свободный модуль. В силу следствия предложения 3

$ 5.4. Плоские модули
211
модуль ЙМ плоский тогда и только тогда, когда
(Очевидно, что мы можем ограничиться элементами
г Ф 0.) Так как Р—модуль без кручения, то г/егЯ
в том и только том случае, когда [е/(.
Следовательно, наше условие имеет вид
Заменяя Р/К на М, можем записать, что
^^г-^т.Л(г«-0^«-0),
а это и утверждает, что пМ — модуль без кручения.
Этот результат можно вывести также и
непосредственно из предложения 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что модуль пМ является плоским
тогда и только тогда, когда имеет место
канонический изоморфизм Ь ® М оё ЬМ для любого большого
правого идеала Ь кольца /?.
2. Пусть пМо*:Р1К, где ЯР — свободный модуль.
Тогда ЕМ — плоский модуль в том и только том
случае, когда ЬР Л К = ЬК для любого большого
правого идеала Ь.
3. Если В— левый идеал кольца Я, то модуль
Я/В плоский тогда и только тогда, когда г#(] В = гВ
при всех ге^.
4. Выведите предложение 5 непосредственно из
предложения 1.
5. Пусть {Кг | I е /} — семейство подмодулей
модуля М, линейно упорядоченное по включению, и пусть
для любого /<=/ модуль М/Кг будет плоским. Если
К= № Кь, то модуль М/К также является плоским.
16/
6 (Тевари). Если 5 — сумма всех К .' А, где А —
идеал коммутативного кольца /?, обратимый в ($ (см.
упражнение 4.3.14), то модуль 5Я является плоским.

212 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
7 (Утуми). Если #— регулярное кольцо, модуль
В8 инъективен и пАв— некоторый ^-5-бимодуль, то
Нотз(А, В)—инъективный правый ^-модуль.
[Указание: Воспользуйтесь предложением 5.3.3C).]
Следующие упражнения взяты из статьи Басса
A960),
8. Пусть Ы — идеал кольца 7?, последовательность
0-*Кп-*Рв-+ МЕ-+ 0 точна и Рц — плоский модуль.
Покажите, что М ® N = РN/КN.
9. Пусть # — полусовершенное кольцо, М = Кас1#,
Р —>М — проективное накрытие конечно
порожденного модуля Мн с ядром /С. Покажите, что К а РЫ и
МЫ 5ё РЫ/К. [Указание: Используйте конструкцию
модуля Р в упражнении 4.2.15.]
10. Пусть Я — такое кольцо, что М=Кас1/? нильпо-
тентен, а факторкольцо К/Ы вполне приводимо, и
модуль Мк конечно порожден. Докажите эквивалентность
следующих утверждений:
(а) Модуль М проективен.
(б) Модуль М плоский.
(в) Имеет место канонический изоморфизм
М ® N ^ МЫ. [Указание: При доказательстве импли-*
кации (в)=^>(а) используйте упражнения 8 и 9 для
того, чтобы показать, что КЫ = К.]
§ 5.5. Функторы Тог и Ех1
Пусть ХеНотк(Л, В), тогда мы можем вместо X
писать А->В в том случае, когда нет других
кандидатов на это обозначение. В следующей коммутативной
диаграмме А-+Е соответствует лишь отображению
роЯ, поскольку последнее равно А/°а.
Предложение 1. Пусть в диаграмме
аЛ^вл^с
а| 1 |р 2 |*

# 5.5. Функторы Тог и Ех1
213
оба квадрата коммутативны, а верхняя и нижняя
строчки — точные последовательности. Тогда
1т (В->Е)() 1т (Р->Е) ^ Кег (В -> Р)
1т (А -> Е) ~ Кег (В -» С) + Кег (В-> Е) '
Доказательство.
1т рЛ 1т Я' = 1трП Кег \х' = №№№ = 0} -
= (Р6 171*6 = 0} — рКег (V о |х),
1т(роЛ)«р1тЛ = рКег|х = р(Кег|х + КегР).
Результат справедлив теперь в силу одной из
классических теорем об изоморфизме в теории групп
(предложение 1.4.2), поскольку очевидно, что
РКег(уо|х) _ Кег(уо[х)/Кегр
Р (Кег \х + Кег р) "" (Кег ц + Кег р)/Кег р *
Как мы убедимся, предложение 1 чрезвычайно
полезно в популярной игре, называемой «диаграммным
поиском». Вместо поиска элементов, как это принято
обычно, мы предпочитаем осуществлять поиск
квадратов. Для этих целей запишем наш результат более
кратко:
1т 1^ Кег 2,
где 1 и 2 обозначают коммутативные квадраты
диаграммы.
Чтобы подготовиться к нашему первому поиску,
обозначим через Ая и ЯАГ заданные ^-модули. Можно
найти плоские модули Рк и пР\ а также
эпиморфизмы я: Р-* А и я': Р'-*.А\ взяв, например, в
качестве Р и Р/ свободные модули. Пусть К и К! — ядра
эпиморфизмов я и я7 соответственно. Мы получили
точные последовательности
0->7С— >/?-~>Л->0, О-*/Г— ->/"—'>Л'->0,
где х и у! — отображения вложения. Положим теперь
X - Кег (К ® А'-+Р ® Л'), X' = Кег (Л ® К'->А® Рг)

214 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
и рассмотрим следующую диаграмму:
О
1
О —> X' —>*' —>0
у у у
К® К'—>Р®К'—-> Л ® /С' —> О
У У У
О—>К®Р'—>Р®Р' —>Л®^' —*0
У У У У
0_+х—>К®А'—>^® Л' —>Л® Л' —>0
I У У У
X —> О О О
у
о
В силу точности справа функтора ®,
характеристического свойства плоских модулей, а также в силу
определения модулей X и Х/ все строки и столбцы в этой
диаграмме являются точными последовательностями.
Например, второй непунктирный столбец точен ввиду
плоскости модуля Р. Кроме того, нетрудно заметить,
что все квадраты в диаграмме коммутативны.
Например, результирующее отображение модуля К&К'
в Р ® Р/ по одному пути равно
A ® 0°(к® 1) = х® %',
а по второму пути
(и ® 1) о A ® х') = %® к'.
(Этот пример является иллюстрацией общего факта,
по поводу которого обычно говорят, что ® —
бифунктор.) Пунктирные части диаграммы можно добавить
безнаказанно.
Применим теперь к нашей диаграмме
предложение 1. Получим тогда, что
X = Кег 1 ^ 1т 2 ^ Кег 3 ^ 1т 4 ^
~Кег5~1т6**Кег7-Я'.

$ 5.5. Функторы Тог и Ех1
215
Таким образом, мы получили результат, в котором
участвуют лишь X и Х'\
Предложение 2. Пусть О—»/С—>/7-*А-*0 —
точная последовательность правых %-модулей, причем
Рп— плоский модуль, и пусть О—> #/->/7/-->А'--*0—
точная последовательность левых Я-модулей, а кР/—
плоский модуль, тогда
Кег(Л: ® А'->Р ® А') ^Кег (А ® /С'-* Л ® ^)-
Из двух абелевых групп, изоморфизм которых
утверждается, первая не зависит от
последовательности О—*К'-*Р'~>А' —>0, в то время как вторая не
зависит от последовательности О—>К-*Р —>А —»0.
Следовательно, и та и другая зависят лишь от Л и А'.
Это общее значение (с точностью до изоморфизма)
обозначим через Тог (А, А').
Если в доказательстве предложения 4 мы
ограничимся лишь 1т 4, то получим такое следствие
к доказательству, симметрично выражающее
функтор Тог:
Следствие.
ют\/±9п) — 1т(К®К'->Р®Р')
Доказательство следующего предложения
аналогично доказательству предложения 2, и мы опустим
его.
Предложение 3. Пусть 0-*К->Р-*А-+0 и
О -* В —> / —> 1/В —> 0 — точные последовательности
правых Я-модулей, где Рк — проективный, а 1К — инъек-
тивный модуль. Тогда
Нот (К, В) Нот (Л, 1/В)
1т (Нот (Р, В) -> Нот (К, В)) ~1т (Нот (Д /)->Нот (Л, 1/В)) *
Поскольку левая часть не зависит от
последовательности О—>В -*/ —>1/В1 а правая часть не зависит
от последовательности 0~*/(-*Р—>Л-^О, и та и
другая части зависят лишь от Л и В Общее значение
(с точностью до изоморфизма) обозначим через

216 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Ех1(Л,В). Аналог сформулированного выше след*
ствия оставляем в качестве упражнения.
Лемма 1. Пусть дана коммутативная диаграмма
А-^В
Тогда существуют канонические гомоморфизмы
ф: Кег а-»Кег р и ф': Л'Дта—>В'Дтр, такие, что
следующие квадраты коммутативны:
Кег а-** Кег р А' — -> В'
А —* В Л'Дта-^^В'Дтр
Если, кроме того,
В -У+С
*'-- с'
— другая коммутативная диаграмма, причем
последовательности
0->Л->5->С->0, 0->А'-+В'->С'->0
точны, то точны следующие последовательности:
Кег а -> Кег р -> Кег у, А'/1т а -> 571т р -> С/1т у.
Доказательство. Для любого элемента
а е Кег а положим фа = %а. Очевидно, что это
элемент из Кег р, поскольку
р(Яа) = А/(аа) = 0.
Затем, пусть я: А'-*А'/\та и я7: В'-+В'/1т$—<
канонические эпиморфизмы. Для любого элемента
а'^А' положим ф'(яа') = к'СК'а'). Конечно, следует
проверить, что ф'— однозначно определенное отобра-

$ 5.5. Функторы Тог и Ех1
217
жение. Итак, пусть ш' = 0. Тогда а! = аа для
некоторого аеА Следовательно,
Я' (уа') = (яг о Я" о а) а = (яг о р о я) а = 0.
Наконец, докажем точность последовательности
ядер, оставив рассмотрение другой
последовательности в качестве упражнения. Рассмотрим следующую
диаграмму, в которой все квадраты коммутативны и
все строчки, кроме пунктирной, являются точными
последовательностями:
0 0 0
У У У
Кег а ¦¦""-> Кег Р •-*-> Кег у
У У У
0—>КегЯ —> А -±+ В ^> С
1 з а1 2
0—>КегЯ' —> А' —,+ В' -^ С
Наша цель — доказать точность пунктирной строки.
Теперь еще раз применим диаграммный поиск:
1т 1 ^Кег2^1тЗ.
Очевидно, что
Я Кег а
И
1т а Л Кег Я'
1тЗ = -
аКегЯ
Но нам дано, что Кег Я7 = 0. (Нам также дано, что
Кег Я = 0, но это нам не потребуется.)
Следовательно, 1т 1 ^ 1т 3 = 0, и поэтому
КегрП1тЯ = ЯКега.
Теперь мы видим, что 1т ф = Я Кег а и Кег г|э =
= {Ь €= Кег р | \хЬ = 0} = Кег р П Кег ц = Кег р П 1т Я.
Следовательно, 1тф = Кег\|), что завершает наше
доказательство.

218 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
Пусть $С->кС' и В%—>Вк—заданные
гомоморфизмы модулей. Применим первую часть леммы I в
следующих трех ситуациях:
I | (Р$ — ПЛОСКИЙ МО-
Р®С->Р®С> ДУЛЬ, ^«Л^
Нот (Р, В)^Нот(Р, В') ,п
} \ (Рк — проективный
Нот (/С, 5)->Нот(/С, В') *""""" °'"~ Л ч
модуль, Р/К = АЯ),
Нот (Б', /)-»Нот(Б, /) ,.
I 1 (¦* л— инъективныи
Нот (Б', 1/А)->Нот{В, II А)
модуль, Акс=.1к).
A)
B)
C)
Отсюда следует существование канонических
гомоморфизмов
Тог(Л, С)->Тог(Л, С), A)
Ех*(Л, В)->Ех*(Л, В'), B)
Ех1(Я', Л)->Ех1(В, Л). C)
Из второй части леммы вытекает теперь
Предложение 4. Пусть 0-> С-> С7-* С^-^О а
О—>В—> В' —>В/л—>0 — точные последовательности
левых и правых модулей соответственно. Тогда точны
следующие последовательности:
Тог (Л, С)->Тог(Л, С')-* Тог (Л, С'%
ЕхЦА, В)->Ех1(Л, В')->Ех*(Л, В"),
Ех1{В", Л)->Ех1(В', Л)->Ех1(В, Л).
В то время как этого результата можно было ожи-.
дать, следующий результат несколько более
неожидан для начинающего читателя.
Предложение 5. В ситуации, описанной выше,
имеют место «связывающие гомоморфизмы» -—¦>,

$ 5.5. Функторы Тог и Ех*
219
превращающие следующие последовательности в
точные:
Тог (Л, С) -> Тог (Л, С")~>А®С->А® С,
Нот (Л, Я7)-* Нот (Л, В")"*Ех1(Л, В)->Ех*(Л, В'),
Нот (Б', Л)->Нот (В, Л)-*Ех*(В", Л)-*Ех*(В', Л).
Доказательство. Это немедленно вытекает
из следующего утверждения.
Лемма 2. Пусть дана диаграмма
О
1
1 |
С—>Д —*Е-+0
У У У
о-^.р —*<? —>я
I I
1
О
в которой все строки и столбцы являются точными
последовательностями, а все квадраты коммутативны.
Тогда существует «связывающий гомоморфизм»
->, такой, что точна последовательность
Л-*В — >/->/.
Доказательство. Полагая
X = В/1т (Л -> В\ У = Кег (/ -> /),
убеждаемся, что последовательности
Л-^В->Х->0, 0->Г->/->/
точны. Наша задача в этом случае — доказать, что
Х&У. Часть нашей диаграммы можно расширить,

220 Гл. 5. Введение в гомологическую алгебру
сохраняя точность и коммутативность, следующим
образом:
0
I
у
!¦ I
А—+В—+ Х—+0
У У У
I « 1
0—>Н
Применяя третий раз диаграммный поиск, получаем,
что
Х==1т1^Кег2^1тЗ^Кег4.
Так как квадрат с номером 4 расположен в
первоначальной диаграмме симметрично, то также и
У ^ Кег 4. Следовательно, X ^ У, что и требовалось
доказать.
Следствие.
Тог (Л, С) = 0 для всех модулей С^ А —плоский
модуль,
Ех{(Л, В) = 0 для всех модулей В $$ А —проективный
модульу
Ех\(В, А) = 0 для всех модулей В 4Ф А — инъективный
модуль.
Доказательство мы оставляем в качестве
упражнения.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В обозначениях предложения 3 покажите, что
Ех1(Л,В) и
Кег (Нот (Р, /) -» Нот (/С, И В))
Кег (Нот (Р, /) -> Нот (Р, 1/В)) + Кег (Нот (Р, /) -> Нот (К, I))
изоморфны.

§ 5.5. Функторы Тог и Ех1
221
2. Если В* == Нот2E, 0/2)—модуль характеров
модуля В, то (Тог(Л,В))*^Ех1(Л,В*).
3. Проведите в деталях доказательство леммы 1.
4. Докажите следствие к предложению 5.
5. Пусть в следующей диаграмме все строки и
столбцы — точные последовательности, а все
квадраты коммутативны:
О
О X
I 1
Л—*В—> С-»0
у у у
У У У
о-^я—>/—>/
! I
У О
I
О
Докажите, что X ш У.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Функциональные представления
Пусть П — множество простых идеалов
коммутативного кольца /?. Каждому элементу ге^
сопоставляется функция
ре=п
на П со значениями в объединении попарно не
пересекающихся областей целостности ЩРУ где г(Р) —
канонический образ элемента г в ЩР. Таким образом,
получаем представление кольца /? как кольца функций.
Это представление будет точным тогда и только тогда,
когда его ядро равно нулю,
ДП= (] Р = 0.
Конечно, это бывает в том случае, когда кольцо К
является подпрямым произведением областей
целостности ЩР. Можно также ввести топологию на
множестве \^ Я/Ру относительно которой все функ-
ции г будут непрерывны, но мы не будем делать этого
здесь.
Заметим, что г(Р) = О тогда и только тогда, когда
геР. В каких случаях функция г обращается в нуль
не только на Р, но и на некотором открытом
множестве, содержащем Р (см. § 2.2.5)? Достаточно
рассмотреть базисное открытое множество Г$, 5е/?,
которое содержит Р в том и только том случае, когда
5 фР. Таким образом, нас интересует множество
(АП)р всех элементов г, для которых существует
элемент зфР, такой, что г е Р\ если только 5 ф Р\ Дру-

Функциональные представления
223
гими словами, 5 ф Р таков, что гз <= Р' для всех
Р' е П, т. е. /'5 е АП. Более общим образом, для
любого идеала А введем в рассмотрение множество
АР={г<=К\38^Ргз<=А}={г*=К\г-1АфР1
где г~1А = {з е^ | гз е А}. В литературе обычно АР
называют Р-компонентой идеала А.
Предложение 1. Если Р — подмножество кольца Я,
дополнение которого содержит 1 и замкнуто
относительно умножения, то АР — идеал кольца Я,
содержащий А. Кроме того, из включения А а Р следует, что
АР си Р.
Доказательство. Условие говорит о том, что
1 ф Р И 5Ь 52 ф Р =ф 5152 ф Р.
Допустим, что Г], г2^АР. Тогда существуют
элементы 5Ь 52 фР, такие, что г^еЛ и г252еЛ.
Следовательно, (Г\ + Г2M152е Л И 8\82фР, ОТСЮДа Г\ +
.+ г2 е= АР.
Допустим, что г\ е Лр, Г2 е /?. Тогда существует
элемент 51 с указанными выше свойствами.
Следовательно, (Г\Г2K\^А И 8\фР. ПОЭТОМУ Г\Г2<^ Ар.
Допустим, что а^А. Так как ХфР и а1еЛ, то
а е Л р. Допустим, что ЛсРиге Лр. Тогда гз^АаР
для некоторого элемента 5 ф Р, и потому г ^ Р.
Заметим, что #Р = #, а если Я — простой идеал, то
Предложение 2. Еслг/ П содержит все
максимальные идеалы коммутативного кольца /?, то ^\ АР = Л*
РеП
Доказательство. Пусть г ^ /?. В этом слу-
чае г^(^АР тогда и только тогда, когда ге^Р для
РбП
всех РеП, т. е. г_1Л ф Р. Если теперь г_1Л —
собственный идеал, то он содержится в некотором
максимальном идеале. Таким образом, только что
сказанное означает, что 1 ег_1Л, т. е. г^А.
Следствие. Если П содержит все максимальные
идеалы коммутативного кольца /?, то Я является под-
прямым произведением колец Н/Ор, где Р е. П.

224
Приложения
Доказательство. Пусть г(Р) — канонический
образ элемента г в Я/0Р. Ядро представления г-+г
равно Р) 0Р = 0.
Замечание. Условие о том, что П содержит все
максимальные идеалы кольца #, может быть
несколько ослаблено. На самом деле для
справедливости следствия достаточно, чтобы для каждого
ненулевого элемента г кольца /? нашелся простой идеал
Р е II, такой, что г* = г~10 с: Р.
Предложение 3. Если г: Т1-> \^ #/0Р — канони-
РеП
ческое представление элемента г е 7?, то г обращается
в нуль на Р лишь в том случае, когда г обращается
в нуль на некотором открытом множестве,
содержащем Р.
Доказательство. Пусть г (Р) = О, т. е.
г <= Ор. Таким образом, существует элемент 5 ф. Р,
такой, что Г5 = 0. Пусть теперь Р' е Г$. Тогда 8 фР' и,
следовательно, геОр'. Итак, г (Р') = 0 для всех Р'
из базисного открытого множества Г$,
содержащего Р.
Рассмотрим теперь более внимательно кольца
/?/0Р. Напомним, что, согласно предложению 1,
0рС:Р.
Предложение 4. Если Р — простой идеал
коммутативного кольца /?, то Р/0р — простой идеал кольца
Н/0р, содержащий все делители нуля кольца К/0Р.
Доказательство. Пусть я: /?->Я/0Р —
канонический ЭПИМОрфиЗМ. ДОПУСТИМ, ЧТО ПГ\Ш'2 С! яР.
Тогда Г{Г2 е Р и, следовательно, либо /ч е Р, либо
г2<= Р, а поэтому либо пг± е яР, либо яг2 е яР. Кроме
того, я1^яР, поскольку \фР. Следовательно, яР —
простой идеал.
Допустим теперь, что кг\лг2 = 0 и яг2 Ф 0. Это
означает, что Г\Г2 е 0Р, г2 ^ 0Р. Таким образом,
Мг15) = (г1г2M = 0 для некоторого 8 ф Р. Так как

Функциональные представления
225
г2 ф. Ор, то Г\8 е Р и, следовательно, п е Р, а
поэтому Я/*1 е ЯР.
Другие алгебраические свойства кольца Я/0Р
можно вывести из топологических свойств точки Р
пространства И. Говорят, что две точки топологического
пространства отделимы, если они содержатся в
непересекающихся открытых множествах. Если любые
две различные точки отделимы, то топологическое
пространство называется хаусдорфовым.
Предложение 5. Пусть П — пространство простых
идеалов коммутативного кольца /?, такое, что ДП = 0.
Тогда точка Р пространства П отделима от всех
других точек1) в том и только том случае, когда Р —
единственный элемент пространства П,
содержащий Ор.
Если П — множество всех максимальных идеалов,
то это означает, что Я/0Р— локальное кольцо. Если
же П — множество всех простых идеалов, то это
означает, что кольцо Я/Ор вполне примарно.
Доказательство. Заметим, что точки Р и
Р' из П отделимы тогда и только тогда, когда
существуют элементы г фР и зфР', такие, что Тгз =
= Гг П Г$ = 0, т. е. гз е АП = 0. Можно записать это
условие таким образом: 35^р'$е=0р, т. е. §РфР'.
Итак, точки Р и Рг отделимы для всех точек Рг ф Р
тогда и только тогда, когда 0Ра Р'-=$ Р/ = Р.
Следствие. Пространство максимальных {простых)
идеалов коммутативного полупримитивного
{полупервичного) кольца Я хаусдорфово тогда и только тогда,
когда Я/0Р — локальное {вполне примарное) кольцо
для каждого максимального {простого) идеала Р
кольца Я.
Как мы увидим, даже в том случае, когда кольцо
Я/0р не является локальным, существует локальное
кольцо, тесно связанное с Я/0Р. Как обычно, пусть
1) Это означает, что точки Р и Р' отделимы для всякой
точки Р' е П. - Прим. ред.
8 Зак, 1027

226
Приложения
CG?)—полное кольцо частных кольца /?. Для любого
идеала А кольца /? положим
= {д<=Я(Я)\д^А<?:Р}.
Здесь ц~хА = {5Е^|?5еЛ}, а Р — такое же, как
в предложении 1.
Предложение 6. Для произвольного
коммутативного кольца Я Яр является подкольцом кольца 0,{Н),
содержащим Я, и Ар — идеалом кольца /?р,
содержащим идеал А.
Таким образом, Яр является кольцом частных
кольца Я (см. § 2.2.3). В частности, если Б —
множество всех делителей нуля кольца Я, то Яв—
классическое кольцо частных кольца Я. Заметим, что
Ар0Я = АР.
Доказательство. Если дч, д2^Ар, то, как
в доказательстве предложения 1, Ц\ + д2^Ар.
Допустим, что ?1ЕЛри(?2е Яр. Тогда д\8{ б^и д282 <= Я
для некоторых 5Ь 82<^Р. Следовательно, (^1*72) {8\82)^
е^ и 8\82фР. Таким образом, Ц\Ц2^АР. Полагая
А = Я, убеждаемся в том, что Яр — кольцо. В общем
случае Ар — идеал кольца Яр. Наконец, Ар гэ Ар Л Я =
= ЛР:эЛ.
Предложение 7. Если П содероюит все
максимальные идеалы коммутативного кольца Я, то
П ^Р=А.
РеП
Доказывается так же, как предложение 2.
Предложение 8. Если все делилели нуля
коммутативного кольца Я содержатся в простом идеале Р,
то Яр — локальное кольцо с максимальным идеалом
Рр. Кроме того, Яр с: Яв, где Яв — классическое
кольцо частных кольца Я.
Доказательство. Пусть ц е Яр —
необратимый элемент. Тогда либо ц — делитель нуля, либо

Функциональные представления 227
в Я (Я) существует д^1, не лежащий в ^Р1). Но
<7$ е 7? для некоторого 5 ф Р. В первом случае #5 —
делитель нуля, а поэтому лежит в Р и, таким
образом, ц е Рр. Во втором случае для любого I е 7? из
включения ц~х1^Я следует, что 1^Р2). В
частности, полагая / = #5, видим, что #5 е Р, $фР, и,
следовательно, опять ?еРр. Наконец, из включения
ОсР следует, что #рс:/?*>.
Следствие. /?с./ш Р — простой идеал
коммутативного кольца Я, то (Я/0Р)Р10р— локальное кольцо,
содержащееся в классическом кольце частных
кольца Я/Ор.
Доказательство. Утверждение немедленно
вытекает из предложений 8 и 4.
Предложение 9. Если Р — подмножество
коммутативного кольца Я, дополнение которого содержит 1 и
замкнуто относительно умножения, то с точностью до
изоморфизма
Я/0Рс:Яр/Орс(Я/0Р)Р/0р.
Доказательство. Так как Я Л 0Р = 0Р, то
Я/Ор = Я/(Я П 0Р) ^ (/? + 0Р)/0Р с #Р/0Р.
Рассмотрим элемент я# е /?Р/0Р, где # е /?р, а я —
канонический эпиморфизм. Тогда дз ^ Я, зфЯ, и,
таким образом, ядя$е/?/0р, пзфЯ/Ор. Ввиду
предложения 4 Я5 не является делителем нуля.
Следовательно, яд лежит в классическом кольце частных
кольца Я/Ор. Таким образом, ЯР/0Р можно
рассматривать как подкольцо кольца ЯС\(Я/0Р). В силу
приведенного выше следствия подкольцом кольца
Bс\{Я/0р) является также и {Я/0Р) Р. Поскольку в
проведенных рассуждениях п8ф.Р/0Р, то ЯР/0Р с:
!) Напомним, что согласно предложению 2.3.2, B (#)
содержит С}С1(Н). — Прим. ред.
2) Действительно <7-1/е/? влечет за собой /е (^_1)_1^с=Р,
ибо ^г1 ^ #р, — Яриж. ред.
8*

228
Приложения
Каждому элементу $^B (В) можно было бы
сопоставить функцию ц со значениями в \^ #Р/РР или
РеП
в ^| НР/0Р, полагая $(Р) равным каноническому об-
РеП
разу элемента ц в Яр/Рр или в 7?Р/0Р. Это имеет
смысл лишь тогда, когда д^#р. Таким образом,
функция ц определена не на всем пространстве П,
а лишь на его открытом подмножестве
К(<7) = {РеП|(/е^} = {РеП||7/г?йР} = Г(G/г).
Нетрудно превратить объединение
5= и яюр
РеП
в топологическое пространство, рассматривая в
качестве базиса открытых множеств множества
г(У) = {г(Р)\Р^У},
где г^Н, а V — открытое подмножество
пространства П. Отсюда вытекает, что каждая точка г (Р0)
пространства 5 содержится в открытом
подмножестве, гомеоморфном своему образу в II при
канонической проекции г(Р)—»Р. По этой причине 5
называется пучком, однако это понятие не будет нас
интересовать здесь. Непрерывная функция /: П-*5
называется сечением, если /(Р)е/?/0Р для каждого
Р е П. Основную роль в том, что следует далее, будет
играть такое замечание: если два сечения совпадают
в точке Ро пространства П, то они совпадают и на
некотором открытом подмножестве, содержащем Р0.
Действительно, пусть /(Ро) = §"(Л)). Тогда эта точка
пространства 5 содержится в открытом
подмножестве V, которое гомеоморфно своему каноническому
образу V в П. На открытом подмножестве \]г[\\-х1](\
Г\дй как /, так и § совпадают с обратным
отображением к канонической проекции 5—>П.'Легко
проверить, что г — сечение для каждого ге/?. Это в
действительности послужило причиной такого способа
введения топологии на 5. Отнюдь не так очевидно
обратное утверждение:

Функциональные представления
229
Предложение 10 (Гротендик). Если П —
множество всех простых идеалов, то любое сечение
пространства 8 имеет вид г, где г е /?.
В действительности Гротендик и Дьендонне A960)
доказали это утверждение для пучка локальных
колец
однако в нашем случае доказательство несколько
проще. Основой доказательства будет следующая
Лемма. Пусть П — множество всех простых
идеалов кольца Н и ге/?. В этом случае геОр при всех
Р е Г$ тогда и только тогда, когда гзп = 0 для
некоторого натурального числа п.
Доказательство леммы. Включение геОР
справедливо при всех Р е Г$ тогда и только тогда,
когда 5 ф Р влечет за собой г~г0 ф Р, т. е. когда
5Е О Р- Ввиду предложения 2.1.8 это равно-
г~10<=Р
сильно тому, что зп е /—!0, т. е. тому, что гз71 = 0 для
некоторого п.
Доказательство предложения. Пусть
/: П—>5 — сечение. Так как для любого РеП имеем
для подходящего гре/?, то / — гР обращается в нуль
на некотором базисном открытом подмножестве Г$Р,
содержащем А В силу компактности (см.
предложение 2.5.1) найдутся точки Р\у Р2, .,., РШу такие, что
пг
II14=п.
Будем писать ^ вместо $рь и г{ вместо />.. Итак,
гЛР) = п{Р) при всех /,/==1,2,..., ти Ре=Г^Пг$/ =
= Г$;$/. В силу леммы найдутся натуральные числа
п(/, /), такие, что

230
Приложения
Полагая п равным максимальному из всех п{ь, })
(/,/=1,2,..., т), получим, что $^$?г. = $?$?гг Теперь
т т т
Следовательно, существуют элементы ^е/?, для
которых
т
Положим
т
Путем несложных вычислений получим, что $у = зп}гг
Но 5у ф Р] и, следовательно, з^фР., а тогда г—г^ 0р
и поэтому г = Г/ при всех /= 1, 2, ..., т. Таким
образом, г = /, что завершает доказательство.
Аналогичный результат верен для
Р еП
УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях 1—9 Р— коммутативное кольцо.
1. Покажите, что классическое кольцо частных
кольца Я— локальное кольцо тогда и только тогда,
когда делители нуля кольца # образуют идеал.
2. Если Р — минимальный простой идеал
кольца Р, то кольцо Р/Ор примарно.
3. Если Р — простой идеал кольца /?, то Рр —
простой идеал кольца Рр, а РР/0Р — простой идеал
кольца /?Р/0Р, содержащий все его делители нуля.
4. Если Р — регулярное кольцо, то 0Р = Р, 0Р = Рр.
5. Покажите, что либо АП — плотный идеал, либо
B(#) — объединение всех Рр, Ре П.
6. Приведите пример кольца, в котором АП —
плотный идеал.

Функциональные представления
231
7. Если А и В — идеалы кольца Я, то положим
Покажите, что /?Б — кольцо, а ЛБ — его идеал. Если
В — простой идеал, то Ав совпадает с идеалом Ав,
определенным ранее. Кроме того, Я0 = B {Я).
8. Подмножество топологического пространства
называется плотным, если оно пересекается с каждым
непустым открытым подмножеством. Покажите, что
подмножество V пространства П плотно тогда и
только тогда, когда Д V = ДП.
9. Покажите, что подмножество К(^) плотно
тогда и только тогда, когда ^е/?АП, и что ц обращается
в нуль на плотном подмножестве тогда и только
тогда, когда ц е 0ЛП. Вывести отсюда, что кольцо
^дпд)Дп допускает точное представление как кольцо
функций, определенных на плотном открытом
подмножестве пространства П по модулю очевидного
отношения эквивалентности.
В следующих упражнениях коммутативность
кольца /? не предполагается.
10. Покажите, что результаты этого приложения,
в частности предложение 10, остаются
справедливыми для любого ассоциативного кольца Я,
предполагая, что П — множество всех простых идеалов
центра кольца Я.
11. Каждому максимальному правому идеалу М
из # сопоставим идеал 0м={г<=Я \\?х&я3^мгх{ = 0}.
Покажите, что 0М — правый аннулятор инъективной
оболочки правого /?-модуля Я/М.
12. Назовем кольцо Я метапримитивным (Тьерен),
если существует точный подпрямо неразложимый
правый Я-модуль. Покажите, что кольцо Я метаприми-
тивно тогда и только тогда, когда в Я существует
максимальный правый идеал М, такой, что 0М = 0.
Выведите отсюда, что кольцо Я/0М всегда метапри-
митивно.
13 (Тьерен). Покажите, что любое кольцо
является подпрямым произведением метапримитивных
колец, а каждое метапримитивное кольцо является

232
Приложения
кольцом эндоморфизмов модуля ь/, где Ь —
локальное кольцо. [Указание: Пусть 1п — инъективная
оболочка модуля Н/М, а! = Ногпд (/, /).]
14. Пусть Я— метапримитивное кольцо, а ь1 —
определенный выше модуль. Докажите следующее:
для любого конечно порожденного подмодуля О
модуля ь1 и любого гомоморфизма е е Ноть@, К/М)
существует элемент г е /?, такой, что О (е — г) = 0.
(Аналогичный результат был доказан Тьерен A960).)
Групповое кольцо
Излагаемый ниже материал о групповых кольцах
почти целиком взят из статей Коннела A963) и Пас-
мана A962). Подобное этому изложение можно найти
в записках лекций Рибенбойма A965).
Из теории колец нам не требуется ничего, кроме
гл. 3 и § 4.1 и 4.2 этой книги. С другой стороны, мы
не будем теперь предполагать, что читатель не
знаком с основами теории групп. Впрочем
предполагаются известными лишь самые элементарные
сведения о порядке конечной группы, смежных классах и
нормальных делителях. Начнем с трех
подготовительных утверждений из теории групп, которые не
предполагаются известными.
Лемма А (Пуанкаре). Пересечение конечного
числа подгрупп конечного индекса является
подгруппой конечного индекса.
Доказательство. Пусть Н и К — подгруппы
конечного индекса в группе О. Элементы а и Ъ
группы О принадлежат одному и тому же смежному
классу по подгруппе Н Г) К тогда и только тогда, когда
аЬ-1 ейП^, т.е. когда аЬ~1 еЯи аЬ-1 е К. Таким
образом, рассматривая все непустые пересечения
правых смежных классов по подгруппе Я с правыми
смежными классами по подгруппе /С, получим все правые
смежные классы по подгруппе Н Л Л'.
Лемма В (Пасман). Если группа О является
объединением конечного числа правых смежных классов

Групповое кольцо
233
по подгруппам Яь ..., Нп, то индекс по крайней
мере одной из подгрупп Нг конечен.
Доказательство. Проведем индукцию по п.
Если все смежные классы по подгруппе Нп
встречаются среди покрывающих смежных классов, то
очевидно, что индекс подгруппы Нп конечен.
Предположим, что класса Нп§ в рассматриваемом покрытии
нет и что Нп§и •••> Нп§к — множество всех смежных
классов по #п, встречающихся в этом покрытии. Так
как пересечение Нп§ П Нп§^ пусто, то смежный класс
Нп§ покрывается лишь смежными классами по
подгруппам Ни ¦.., Нп-\. Следовательно, подгруппа Нп
может быть покрыта конечным числом смежных
классов по подгруппам Яь ..., #п-1 (возможно, не
входивших в первоначальное покрытие). Таким образом,
группа О может быть покрыта конечным числом
смежных классов по п—1 подгруппам, а тогда
применимо индуктивное предположение.
Лемма С (Дитцман). Пусть М — такое конечное
подмножество группы О, что д-ШдаМ при всех
§ <= О. Допустим, что порядки всех элементов
множества М конечны. Тогда подгруппа, порожденная
множеством М, также конечна.
Доказательство. Пусть к— число
элементов множества М, пг — наименьшее общее кратное
порядков элементов этого множества и Л —
подгруппа группы О, порожденная множеством М. Достаточно
доказать, что каждый элемент а подгруппы А можно
представить в виде произведения не более чем
к(т— 1) элементов из М.
Предположим, что а = а\а2 ... аи аг^М, 1>
>к(т—1). Тогда какой-либо из элементов
множества М, скажем а0, встречается по крайней мере
т раз. Пусть аг- — первый сомножитель произведения,
такой, что ах = а0. Положим а~1а]а0 = а']. при всех /</.
Тогда а|еА( и
а = а^{ ... а^ха1+1 ... аг.

234
Приложения
Применяя эту же процедуру к первому среди
оставшихся сомножителей а^+ь • • •, #ь равных а0, и
повторяя ее затем, в конце концов придем к выражению
а = а™а\... а)_т = а\ ... а^т,
имеющему менее чем I множителей.
Получив эти стоящие несколько в стороне
подготовительные результаты, дадим определение
группового кольца. Пусть даны группа О и кольцо А.
Групповое кольцо Н=АС состоит из всех функций г: О —>Л
с конечным носителем. Носителем функции г
называется множество {§^ 0\г(§)ф 0}. Кольцевые
операции в Я определяются следующим образом:
0(ёО = 0, 1(#)= 1, если #= 1,
и 1(#) = 0, если §Ф 1,
(- г) (ё) = ~ г (§), (г + г') (в) = г (§) + г' (*),
(гг')(8)= 2 г (А) г'(А').
Оставляем в качестве упражнения проверку того, что
#@,1, —, +, •) —действительно кольцо. (Как обычно,
мы пишем ггг вместо г • г'.)
Элементам аеД и^еО сопоставим элементы а*
и 8+ кольца К = АО: для любого А е О положим
я*(й) = а, если А=1, и а*(А) = 0, если Нф\,
#+(А)=1, если А = §", и §"+(А) = 0, если НФ8-
Легко проверить, что а —> а* — мономорфизм кольца
А в кольцо #, ё'-*^4' — мономорфизм полугруппы О
в полугруппу Я и
для любого элемента ге/?. Если положить га = га*,
то 7? превращается в свободный Д-модуль Ка с бази*
сом {8+\8€еО}-
С этого момента мы будем опускать символы *
и '+. Таким образом,
г= 2 г{8)8= 2 8г{8)

Групповое кольцо
235
для любого элемента г е /?. Отметим равенства
(г в) (Л) = г (Л^-1), (§/") (А) = /" («Г1/*), ё-а = а§
при всех ге^^АеО, аеА
Выясним, при каких условиях на группу С и
кольцо А групповое кольцо Я = АО нётерово справа, ар-
тиново справа, регулярно, вполне приводимо и
полупервично. В некоторых из этих случаев будет получен
окончательный ответ.
Лемма 1. Каждой подгруппе Н группы О
сопоставим правый идеал оо# кольца Я = АО,
порожденный всеми элементами 1 — Н, где Н е Н.
Отображение со структуры подгрупп группы О в структуру
правых идеалов кольца АО является точным1) и
сохраняет объединение. Кроме того, если Н —
нормальный делитель, то соЯ — идеал, являющийся к тому же
ядром канонического эпиморфизма АО->А( О/Н).
Если подгруппа Н порождается элементами {§{}, то
правый идеал, порожденный элементами {1—§{},
совпадает с со#.
Если я: 0-+0/Н — каноническое отображение, то
канонический эпиморфизм АО—>А(С/Н) переводит
элемент ^ г(§)§ в 2 г{8)л§.
Доказательство этой леммы оставляется в качестве
упражнения.
Предложение 1.
(а) Если кольцо А нётерово справа, а группа О
конечна, то кольцо АО нётерово справа.
(б) Если кольцо АО нётерово справа, то кольцо
А нётерово справа и каждая возрастающая
последовательность подгрупп группы О с некоторого момента
стабилизируется.
(в) Если группа О абелева, то кольцо АО
нётерово справа тогда и только тогда, когда кольцо А
нётерово справа, а группа О конечно порождена.
1) То есть Нг Ф #2 влечет за собой соЯх Ф со#2. - Прим, ред.

236
Приложения
Доказательство, (а) Так как Л О —конечно
порожденный свободный Л-модуль, то Л О является
нётеровым Л-модулем и, следовательно, нётеровым
справа кольцом.
(б) Кольцо Л^ЛС/оО нётерово справа. Кроме
того, для любой возрастающей последовательности
подгрупп Н\ а #2 с:... рассмотрим возрастающую
последовательность со#1 сг соЯ2 с: ... правых идеалов
кольца ЛО.В силу предположения существует такое п,
что соЯп = соЯп-ы = ..., и, следовательно, в силу
леммы 1 также Нп = Яп+1 = ... .
(в) Допустим, что О— конечно порожденная абе-
лева группа и Л — нётерово справа кольцо. Пусть
О ^ Р/Ы, где Р— конечно порожденная свободная абе-
лева группа. Тогда если АР — нётерово справа
кольцо, то таким же будет и кольцо АО ^АР/юЫ. Если
Х\, • ••> хп — образующие группы Р, то мы
рассмотрим элементы х\, хр1, ..., хп, х~1 в качестве 2п
переменных. Следовательно, кольцо АР является
гомоморфным образом кольца А[х{, х~1> ..., хп, лг*1]
многочленов от 2п переменных над кольцом А1).
Утверждение следует теперь из теоремы Гильберта о
базисе (предложение 3.5.6).
Соберем вместе несколько утверждений о левом
аннуляторе (соНI правого идеала оЯ кольца /? = АО,
где Я— подгруппа группы О. В частности, подгруппа
Я может порождаться одним элементом § группы О.
Лемма 2.
(а) Если Я— бесконечная подгруппа группы О, то
(юЯ)' = 0.
(б) Если Я — конечная подгруппа группы О, то
(а>#)' = Я( 2 Н).
(в) Если группа О конечна, то (соО)/ = ( 2 §) А.
(г) Если порядок элемента §[еС бесконечен, то
A-^ = 0-
]) Аккуратнее было бы писать А [^, у[, у2, у'2> ... ,уа, у'п]. —
Прим. ред.

Групповое кольцо
237
(д) Если порядок элемента § е О равен /г, то
A-г)' = #0+я + ... + гп-1).
Доказательство леммы оставляем читателю в
качестве упражнения.
Наш следующий результат в основном восходит
к Машке.
Лемма 3. Пусть Я = АО, где порядок группы О
равен п, а п — обратимый элемент кольца А. Тогда
правый Я-модуль проективен, если он проективен как
А-моду ль.
Доказательство. Пусть дан правый /?-мо-
дуль Рп. Так как А а Я, то Р автоматически является
Л-модулем РА. Допустим, что модуль РА проективен.
Мы хотим показать проективность модуля Рк.
Пусть я: Мв-+Мк— эпиморфизм, а <р: Рк-+Мн —
гомоморфизм. Нам надо поднять ср до гомоморфизма
ф': Рв-Ь'Мк. В силу предположения существует такой
гомоморфизм г|): Ра~*Ма, что я ° г|; = ф. Для любого
элемента реР положим у'р = п~1 2 ${р8)ё~1> Не-
сложные вычисления показывают, что ф' (р/г) =
г=(<р'р)Н для любого Н^О. Отсюда следует, что ф'
является /?-гомоморфизмом. Кроме того, легко
проверить, что я(ф'/?)= ф/7, а это завершает
доказательство.
Следствие. Пусть Я = АО, причем порядок группы
конечен и равен п, а п — обратимый элемент кольца
А. Тогда если А — регулярное кольцо, то и кольцо Я
регулярно.
Доказательство. В нашем случае Я а —
конечно порожденный свободный Л-модуль. Для любого
элемента ге/? правый идеал гЯ является прямым
слагаемым модуля Яа1)- Таким образом, Я/гЯ —
х) Заметим, что любой конечно порожденный подмодуль МА
свободного правого модуля Р с базой /ь ..., /п над регулярным
кольцом А выделяется прямым слагаемым. Действительно, пусть
Р' = \2А + ... + ]пА, и пусть я: Р-+А — естественное
отображение, индуцированное проектированием на первую координату.
Тогда пМ = еА, где е2 = е (см. § 3.5). В силу предложений 4.1.3

238
Приложения
проективный Л-модуль и, следовательно, в силу
леммы 3 проективный ^-модуль. Но тогда модуль г Я
является прямым слагаемым модуля Як1)- Итак, Я—
регулярное кольцо.
Это утверждение является частью следующей
теоремы, принадлежащей Ауслендеру, Маклафлину и
Вильямайеру.
Предложение 2. Групповое кольцо Я = АО
регулярно тогда и только тогда, когда
A) кольцо А регулярно\
B) каждая конечно порожденная подгруппа
группы О конечна;
C) порядок любой конечной подгруппы группы О
обратим в кольце А.
Доказательство. Допустим сначала, что
кольцо 7? регулярно. Тогда регулярно и кольцо А ^
^ Я/ыО. Если Я — конечно порожденная подгруппа
группы О, то в силу леммы 1 ооЯ — конечно
порожденный правый идеал и, следовательно, соЯ — прямое
слагаемое модуля Як- (См. лемму из § 3.5.) Отсюда
следует, что левый аннулятор правого идеала юЯ
отличен от нуля, и, следовательно, в силу леммы 2
Я — конечная подгруппа. Наконец, пусть § — элемент
порядка п. Поскольку кольцо Я регулярно, можно
найти элемент г ^ Я, такой, что A—ё)г(\—§) =
= A— ё), т. е.
A-0-*)/¦)(!-г) = 0.
и 4.1.5 существует гомоморфизм у: еА-^М, такой, что я°у =
= 1*а. Положим с = у(е), ^ = ^A— е) и АГ = Кег зт ГШ- Тогда
М = сА + М' (сумма прямая) и модуль М' конечно порожден.
Поскольку М' ^ Р\ в силу индуктивного предположения (при
п = 1 утверждение следует из результатов § 3.5) имеем прямую
сумму Р = М' + ЛГ для некоторого подмодуля Ы'. Положим
N = 4А + И'. Если х е= Р и зх (х) = |, то я (х - с% - й\) = % - е\ -
-A-еM = 0, т. е. х - с\ - й\ е= Р'= М' + Ы'. Таким образом,
р = М + N. Если ^еМ П N. то х = сА, + т' = ^ + /г', где ^цеЛ,
т'еЛГ, п'^Ы'. Отсюда п(х)= еХ = A — е)[х, т. е. л(д:)=0,
и, следовательно, сА, = у(^) = 0. Но тогда й\\, ее /1 А П /**' = 0,
откуда /лгг = п! = 0. Итак, л: = 0, т. е. сумма Р = М + N прямая. —
Прим. перев. и ред.
1) Достаточно рассмотреть точную последовательность
правых ^-модулей 0 -> г% -> /? -> %/г% -> 0. — Прим. перев. и ред.

Групповое кольцо
239
Из леммы 2 следует, что
1-A-2)г = /"A+$+ ... +8п~1)
для некоторого элемента гг е /?. Пусть теперь
я: Н->А — канонический эпиморфизм, для которого
пг= 2 г(#).
Применяя я к нашему равенству, получим, что
1 = пг'п и, следовательно, п— обратимый элемент.
Обратно, пусть выполнены все три условия. Мы
хотим показать, что кольцо Н регулярно. Для
произвольного ге^ будем искать элемент г' е 7?,
такой, что гг'г = т. Заметим, что носитель элемента г
конечен. Он порождает конечную подгруппу Я
группы О. Применяя полученное выше следствие к
групповому кольцу АН, найдем элемент гг кольца АН а
а АО, такой, что гг'г = г.
Следующая теорема представляет собой
обобщение классического результата Машке, полученное
Коннелом.
Предложение 3. Групповое кольцо К = АО вполне
приводимо тогда и только тогда, когда
A) кольцо А вполне приводимо;
B) группа О конечна;
C) порядок группы О обратим в кольце А.
Доказательство. Допустим сначала, что
/? — вполне приводимое кольцо и, следовательно, нё-
терово справа и регулярное кольцо (см. предложение
3.5.2). В силу предложения 1 кольцо А нётерово
справа, а О — конечно порожденная группа. В силу
предложения 2 А — регулярное кольцо и каждая конечно
порожденная подгруппа группы О конечна.
Следовательно, А — вполне приводимое кольцо (см.
предложение 3.5.2), а О —конечная группа. Наконец, C)
следует из предложения 2.
Обратно, пусть выполнены условия A) — C). В
силу предложений 1 и 2 кольцо Я нётерово справа и

240
Приложения
регулярно и, следовательно, вполне приводимо. Это
завершает доказательство.
Приведем несколько элементарных фактов о
первичном радикале группового кольца.
Лемма 4. Если В — подкольцо кольца Л, то
ВО П гас! АватайВО.
Если В лежит в центре кольца Л, то имеет место
равенство. Если Н — подгруппа группы О, то
ЛЯП гай АО с= гас! АН.
Если Н лежит в центре группы О, то имеет место
равенство. В частности,
ЛПгас! ЛО==гас1 Л.
Доказательство оставляем читателю в качестве
упражнения.
Первая часть следующей теоремы — классический
результат, доказательство которого принадлежит
П. Жордану. Вторая часть теоремы была получена
независимо Пасманом и Коннелом.
Предложение 4. Групповое кольцо АО над полем А
не содержит ненулевых ниль-идеалов в каждом из
следующих случаев:
(а) Л — алгебраически замкнутое поле
характеристики 0.
(б) Характеристика поля А—простое число р и
в группе О отсутствуют элементы порядка р.
Доказательство, (а) Поле Л получается¦ из
вещественно замкнутого поля Р присоединением
элемента *', такого, что I2 = —1 (см., например, Ван-дер-
Варден, I, § 71). Каждому элементу а = р + 1р'
поля Л сопоставим его сопряженный а* = р — 1рг. Пусть
теперь г = 2 т {§)§ — произвольный ненулевой эле-
мент идеала К кольца /?. Положим
г*= 2 г(§у§-1'

Групповое кольцо 241
Можно проверить, что (/у2)* = г*2г\. Тогда з = гг* <^К
и 5* = 5. Кроме того, будучи суммой квадратов,
5A)= 2 г(§)г*(§-1)= 2 г(в)г(вУ>0 в Р.
Таким же образом (з2)* = 82 и
52A)= 2 5(§M(§-1)= 2 3(ЯM($Г>0 В Р.
Повторяя это рассуждение, убеждаемся в том, что
82 ФО при всех п. Таким образом, К не является
ниль-идеалом.
(б) Если К — произвольный ненулевой идеал
кольца А О, то К содержит хотя бы один элемент г, такой,
что гA) = 1. (Действительно, если Офг'^К, то
существует элемент §еО, такой, что О Ф г'(§) = а.
Положим г = йг1/-7^-1.) Сейчас мы покажем, что
грA)= 1. По этой же причине г?2 A)= 1 и т. д.
Получим, таким образом, как угодно большую степень
элемента г, отличную от нуля. Поэтому К не является
ниль-идеалом.
Действительно,
где суммирование проводится по всем
последовательностям (§и ё2, ..., Ы> таким, что §1§2 ... §Р= 1.
Из равенства ё\§2. •. 8р = 1 следует, что
8к+1§к+2 ... §к+Р = 1; индексы берутся по модулю р.
Если р циклических перестановок последовательности
(8и ё, ..., 8р) все различны, то их совокупный
вклад в сумму кратен р и, следовательно, равен О
в Л. Возможно ли, чтобы (§и §2, . •., §р) ^
= (&к+\, Ёъ+2 •••, ёк-ьр) при 6=^0? Только в том
случае, когда §1 = #1+а = &1+2А = ... . Но индексы 1 + к,
I + 2к, ... пробегают все ненулевые смежные классы
по модулю р и, следовательно, все §г равны, а тогда
§р= 1 и, таким образом, §1 = 1. Поэтому
г*A) = гA)'=1,
что завершает доказательство.
У2 9 Зак. 1027

242
Приложения
Следствие. Если В — поле характеристики 0, то
групповое кольцо ВО полупервично.
Доказательство. Пусть А — алгебраическое
замыкание поля В. В силу леммы 4 и предложения
4(а)
гаAВ<3 = БСПгас1ЛО = 0.
Каждому элементу § группы О сопоставим его
централизатор С(§) ={йе 0\Н§ = §Н}. Очевидно,
что С(§) — подгруппа группы О. Нетрудно показать,
что конечность индекса С(§) в С равносильна
конечности числа сопряженных с ^ элементов в группе О.
Положим
0* = {^е 0\индекс С(§) конечен}.
Легко проверяется, что О* — нормальный делитель
группы О.
Предложение 5 (Пасман). Пусть А — Кольцова
О* — нормальный делитель группы О, состоящий из
всех элементов с конечным числом сопряженных. Если
кольцо АО* полупервично, то полупервично и кольцо
АО.
Доказательство. Допустим, что кольцо АО
не является полупервичным. Тогда кольцо АО
содержит ненулевой идеал, квадрат которого равен нулю.
В частности, можно найти такой элемент О^геЛО,
что гАОг = 0. Можно даже предполагать, что гA)=^0.
(Действительно, если г(§)Ф0у то заменим г на
ё^г.) Запишем г = г* + г', где г* ^АО* и г'(О*) = 0.
Тогда г*A)ф0. Положим С (г*) = [) С (§). Так как
г* (ё) Ф 0
носитель элемента г* конечен и так как индекс
каждой из подгрупп С(§) конечен, то в силу леммы
Пуанкаре (лемма А) индекс подгруппы С (г*) ко--
нечен.
Допустим, что кольцо АО* полупервично. Тогда
для указанного выше элемента г* можно найти такие
элементы §* и к* в подгруппе О* и элемент а^А, что

Групповое кольцо
243
(г*а§*г*) (Н*)Ф 0. Тогда для любого ^^С(г*)
Вычисляя значение этой функции в /**, получим, что
(г*а§*г*) (А*) + (е-^еае'гЧ (Л*) = 0.
Остальные члены равны нулю, поскольку О* —
нормальный делитель в О и г'(О*)=^02). Следовательно,
Поэтому существуют элементы х и у группы О,
принадлежащие носителю элемента г' и такие, что
Н* = §~1х^§*у9 т. е. §~гх§ = Н*у~1 (§*)~{* Таким образом,
определено отображение, ставящее в соответствие
каждому элементу # <= С (г*) пару (я, #). Легко
проверить, что все прообразы каждой из пар лежат в одном
правом смежном классе группы О по подгруппе С(х).
Поэтому найдется конечное число правых смежных
классов группы С, покрывающих С (г*). Так как индекс
подгруппы С (г*) конечен и каждый правый смежный
класс может быть покрыт аналогично, то мы получаем
конечное покрытие группы С смежными классами по
подгруппам С(х), где х. принадлежат носителю
элемента г\ В силу леммы В индекс по крайней мере одной
из подгрупп С(х) конечен, что противоречит равенству
*) Действительно, левая часть равенства принадлежит
множеству (§~~]г§) ЛОг — §~~}гАОг = 0. — Прим. ред.
2) Действительно, [г*а^*/] (п*) = 2 г* (^> а ^*г' Ы) =
= Е г* Шаг" (я* ё2) (см. стр. 235). Если ^2б(?* то
Г' (8* ^2) = °' ЕсЛИ Же ^2 & °*> т0 §1 в Н*ё2Х & °* И Г (8\) = 0»
поскольку г* е АО*. Следовательно, г*а§*г' (п*) = 0.
Далее, [§~1г^а^] (п*) = 2 ^(^Г) ' "•(*'~1й).
Если §1 е С*, то ^ад" е С* и, следовательно, г' (##1#""!) — 0.
Если же ^ ф О*, то, как и выше, получаем, что §*~ §2 Ф О* и,
следовательно, г* (#*~ §2) == 0. Таким образом, и второе
слагаемое обращается в нуль. — Прим. ред. и перев.
¦/,9*

244
Приложения
г'(С*) = 0. Это завершает одно из замечательных
доказательств!
Следствие. Если характеристика поля А равна р
и если р не делит порядок никакого конечного
нормального делителя группы О, то групповое кольцо
АО полупервично.
Доказательство. Допустим, что кольцо АО
не является полупервичным, тогда не является
полупервичным и кольцо Л О* (в силу сказанного выше).
По предложению 4F) порядок некоторого элемента
?еО* равен р. Число сопряженных с ^ элементов
в группе О конечно. В силу леммы Дитцмана
(лемма С) нормальный делитель, порожденный этим
множеством, конечен. Поскольку в него входит элемент
§, его порядок делится на р.
Отложим рассмотрение полупервичных групповых
колец для того, чтобы найти все артиновы групповые
кольца, поскольку это удобно сделать как раз сейчас.
Предложение 6 (Коннел). Групповое кольцо К =
= АО артиново справа тогда и только тогда, когда
кольцо А артиново справа, а группа О конечна.
Доказательство. Если модуль АА артинов
и группа О конечна, то модуль Я а является конечной
прямой суммой некоторого множества экземпляров
модуля А. Следовательно, модуль ЯА и тем более
модуль #я артиновы.
Обратно, допустим, что кольцо /? артиново справа.
Тогда артиново справа и кольцо А ^ /?/оH. Но
кольцо /? также и нётерово справа (см. следствие
предложения 3.5.3). Таким образом, в силу предложения 1
каждая возрастающая последовательность подгрупп
группы О с некоторого места стабилизируется. Это же
верно и для убывающей цепочки подгрупп (то же
рассуждение). Однако вопрос: следует ли из этих двух
условий обрыва цепочки подгрупп конечность
группы О--открыт. Тем не менее мы докажем, используя
предложение 5, конечность группы О, не решая эту
проблему теории групп,

Групповое кольцо
245
Так как АО — артиново справа кольцо, то и его
факторкольцо (А/гай А) О артиново справа. Таким
образом, без потери общности можно предположить,
что кольцо А полупервично. Так как кольцо А к тому
же артиново справа, то А вполне приводимо. Пусть
А = /И1) X ... X Л(п), где Л^) — простые артиновы
кольца. Тогда А О = Л(!H X ... X Л(*)С, причем А^О —
артиново справа кольцо, а Л*1)— простое кольцо. Пусть
В = ЛО) и С — центр кольца В. Утверждаем, что из
артиновости справа кольца ВО следует артиновость
справа кольца СО.
Действительно, пусть К\ гэ К2 =>... — убывающая
последовательность правых идеалов кольца СО. Тогда
К\В =э 7BВ =э ... — убывающая последовательность
правых идеалов кольца ВО. Следовательно, КпВ =
= Кп+\В = ... для некоторого п. Отсюда вытекает, что
Кп = Кп+1 = ... (надо учесть следующее замечание,
доказательство которого оставляем в качестве
упражнения:
КВ[)СО=К
для любого правого идеала К кольца СО).
Таким образом, можно считать без потери
общности, что Л — поле.
Случай 1. Характеристика поля Л равна нулю.
В силу следствия к предложению 4 кольцо АО
полупервично. Будучи также артиновым справа, кольцо
АО вполне приводимо. Следовательно, в силу
предложения 3 группа О конечна.
Случай 2. Характеристика поля Л равна р. Если
кольцо АО полупервично, то мы применяем
предыдущее рассуждение. В противном случае в силу
следствия к предложению 5 группа О = 0\ содержит
конечный нормальный делитель Н\. Мы знаем также,
что порядок группы #1 делится на р, и,
следовательно, #1 Ф {1}. Рассмотрим факторгруппу 02 = О/Н^
Если кольцо АС2 не является полупервичным, то
группа 02 содержит конечный нормальный делитель Н2/Ни
причем Н2ФН\. Рассмотрим тогда 03 = С/Н2 и т. д.
Последовательность подгрупп Н{ а Я2 с:... должна
стабилизироваться. Таким образом, кольцо АОп полу-

246
Приложения
первично для некоторой группы Оп = 6/Нп-1. Тогда
группа Оп конечна (как в случае 1). Но
Оя*с@/Нп-Шп-1Шп-2),
где группы Оп и #п_1/#п_2 конечны. Следовательно,
группа Оп-\ = С/Нп-2 конечна. Возвращаясь таким
образом к группе Оь убеждаемся, что она конечна.
Это завершает наше доказательство.
Прежде чем продолжить исследование
полупервичных групповых колец, нам понадобится следующее
общее утверждение из теории колец.
Лемма 5. Пусть М — множество неделителей нуля,
замкнутое относительно умножения, содержащее 1 и
лежащее в центре кольца /?. Пусть С} — полное
правое кольцо частных кольца Я. Тогда
КМг1 = [деС!\Зт&мдте=Я}
является подкольцом кольца С}, которое содержит /?,
причем все элементы из Я обратимы в КМ. Кроме
того,
гай Я = /? П гай ДАТ1, гай ДАТ1 = (гай #) М~\
(Последнее выражение обозначает, конечно,
множество {<7^ B \Зт^мдпг^. гас! /?}. Читателю, не чи*
тавшему гл. 4, следует построить ЯМ-1
непосредственно из отношений г/т.)
Доказательство. (См. § 4.3 для определения
кольца С}.) Для любого элемента т е М отображение
тг—>г является гомоморфизмом плотного идеала
тЯ = Ят в /?. (Используйте следствие к
предложению 4.3.4.) Таким образом, существует элемент (/е^,
такой, что цт=\. (См. следствие к предложению
4.3.5.) При этом тцт^т и, следовательно, тц—1
аннулирует плотный идеал тЯ. Поэтому тц = 1 и
можно писать тг1 вместо' ц. Отсюда непосредственно
следует, что каждый элемент множества ЯМ'1 имеет
вид гт-1, где г^Я и т^М. Так как М содержится
в центре кольца 7?, то без труда проверяется, что
ЯМ~{ —- подкольцо кольца ф.

Групповое кольф
247
Наконец, доказательство двух равенств оставляем
читателю в качестве упражнения.
Предложение 7 (Пасман).
(а) Если кольцо Я = АО полупервично, то кольцо
А полупервично и порядки конечных нормальных
делителей группы О не являются делителями нуля в А.
(б) Если А — коммутативное кольцо, то верно
обратное утверждение.
Доказательство, (а) Допустим, что кольцо /?
полупервично. Поскольку в силу леммы 4 гай Л =
= А П гай #, кольцо А полупервично. Предположим,
что Н = {§,^2, . • •, §п} —нормальный делитель
группы О и па = 0. Положим К = соЯ. Пусть К1 — левый
аннулятор идеала К в кольце /?. Тогда в силу леммы 2
в($1 + й + ... + &,) =
Но {К1 Г1 КJ а К1К = 0 и, следовательно, /РГ1/С = 0,
поскольку кольцо ^ полупервйчно. Таким образом,
а = 0, и поэтому я не является делителем нуля в
кольце Л.
(б) Предположим, что имеют место оба условия
и что кольцо А коммутативно. Пусть М —
мультипликативно замкнутая система, порожденная порядками
всех конечных нормальных делителей группы О,
причем порядки рассматриваются как элементы кольца
А. Рассмотрим НМ~1 = (АМ~1H. В силу леммы 5
гайЛМ-1 = (гайА)М~1 = 0, и, следовательно, кольцо
АМ~1 также полупервично. Так как, еще раз применяя
лемму 5, получаем, что гай/? =/? П гай/^М-1, то из
полупервичности кольца #М~1 будет следовать
полупервичность кольца 7?.
Переходя от Л к АМ~1 и от /? к ЦМ~1, можно,
.таким образом, предполагать, что Л — коммутативное
полупервичное кольцо и что порядок любого
нормального делителя группы О обратим в кольце Л. Мы хотели
бы доказать, что кольцо # полупервично. Кольцо Л
является подпрямым произведением коммутативных

248
Приложения
областей целостности В. Следовательно, кольцо /? =
= АО является подпрямым произведением
соответствующих групповых колец ВО. Так как подпрямое
произведение полупервичных колец полупервично, то
достаточно доказать полупервичность каждого из
колец ВО. Возьмем одно из колец В. Порядок любого
конечного нормального делителя группы О обратим
в 5, поскольку В — гомоморфный образ кольца А.
Пусть теперь М — множество всех ненулевых
элементов кольца В. Рассмотрим кольцо (ВО)М~1 =
= (ВМ-1)С. При этом ВМ~1 — поле, характеристика
которого либо равна 0, либо не делит порядок
никакого из конечных нормальных делителей группы С.
Из следствия предложений 4 и 5 вытекает, что кольцо
(ВМ-^О полупервично. Еще раз применяя лемму 5,
убеждаемся, что кольцо ВО полупервично. Этим
заканчивается доказательство.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что АО является кольцом для
любого кольца А и любой группы О. Проверьте, что
утверждение остается справедливым, если О —
произвольная полугруппа с 1. Убедитесь, что кольцо
многочленов А[х] является частным случаем этой
конструкции.
2. Докажите, что отображения а-*а* и §—>§+
являются, как и утверждалось в тексте,
мономорфизмами. Проверьте также справедливость формул
(гаг) Л = г(Н§~1) и т. д.
3. Докажите лемму 1. Покажите, что даже если
подгруппа Н не является нормальным делителем
группы О, то А@/Н) можно интерпретировать как
левый Л-модуль. [Указание: Докажите последнее
утверждение леммы, предварительно заметив, что
каждый элемент подгруппы Н является словом от
элементов §г и §71- Используйте индукцию по длине
слова и равенство 1 — Н§^1 = A — К) §±1 + A — §^1).\
4. Докажите лемму 2. [Указание: Если г(со#) = Ог
то г является константой на каждом левом смежном
классе по подгруппе Н]

Групповое кольцо
249
5. Если Я=АО и группа С конечна, то НотА(#, Л)
является правым ^-модулем, изоморфным
модулю Як.
6 (Коннел). Если Я = АО, модуль АА инъективен
и группа С конечна, то модуль Як инъективен.
7 (Коннел). Если Я = АО и модуль Як инъективен,
то модуль АА инъективен и каждая конечно
порожденная подгруппа группы С конечна.
8. Докажите лемму 4. [Указание: Пусть Р —
первичный идеал группового кольца АО. Если В — центр
кольца Л, то ВО П Р — первичный идеал кольца ВС.
Если Н— центр группы О, то АН П Р — первичный
идеал кольца АН.]
9. Покажите, что индекс централизатора С(§)
элемента §¦ группы О конечен тогда и только тогда,
когда число элементов, сопряженных с §, конечно.
Покажите, что множество О* всех таких элементов §
образует нормальный делитель группы О.
1.0. Если С-—центр простого кольца В и К —
правый идеал кольца СО, то КВ Л СО = К [Указание:
Вс является векторным пространством.]
11. Пусть М означает то же, что в лемме 5.
Докажите, что гаАЯМ~1= (гай/?)М-1, показав, что
строгая нильпотентность элемента гт~х в ЯМ~1
равносильна строгой нильпотентности элемента г в Я-
Выведите отсюда, что Я Л гай ЯМ~1 = гас! /?.
12. Группа О называется линейно упорядоченной,
если (С, •<)—линейно упорядоченное множество и
для любых а,Ь,с,с1^С из соотношений а К Ь и с ¦< й
следует, что ас^СЬй. Покажите, что если Л
—коммутативная область целостности, а группа С линейно
упорядочена, то кольцо АО полупримитивно.
[Указание: Покажите сначала, что каждый обратимый
элемент группового кольца АС имеет вид ад, где а —
обратимый элемент кольца А. Если же /*еКас!ЛО, то
1 + г§ — обратимый элемент при всех #е О.]
13. Если Л — коммутативная область целостности,
а О— линейно упорядоченная группа, то
полупримитивность кольца АО равносильна полупервичности
кольца Л.
Ю Зак. 1027

250
Приложения
Полупервичные групповые кольца
Ян. Г. Коннел
В этом продолжении второго приложения мы
отбросим предположение о коммутативности в
предложении 7, т. е. докажем следующий результат:
Предложение 8. Кольцо Я = АО полупервично
тогда и только тогда, когда А — полупервичное кольцо
и порядки конечных нормальных делителей группы О
не являются делителями нуля кольца А.
Мы выясним также, когда кольцо Я первично.
Однако нам придется использовать при этом результаты,
которые не излагались в этой книге, поэтому
доказательство не будет замкнутым в себе.
Доказательство необходимости содержится в
предложении 7. Остается доказать лишь достаточность.
Пусть 0+ — совокупность всех элементов
конечного порядка, лежащих в нормальном делителе О*.
(Напомним, что С* = {#<= 0\ индекс С(§) конечен}.)
Следующие утверждения легко проверяются с
помощью леммы Дитцмана:
A) 0+ — нормальный делитель группы О,
являющийся объединением (в структуре подгрупп) всех
конечных нормальных делителей группы О.
B) Каждая конечно порожденная подгруппа
группы 0+ конечна и содержится в некотором конечном
нормальном делителе группы О.
Используем также следующий поразительный
результат Б. Неймана A951):
C) 0*/0+ — абелева группа без кручения.
Идея доказательства — сведение задачи для
кольца АО к задаче о кольце Л О*, затем о кольце АО+ и
наконец о кольце АН, где Н — конечная группа.
Первая редукция уже была проведена в предложении 5.
Поэтому следующий шаг —вывод из
полупервичности кольца АО+ полупервичности кольца АО*.
Применение леммы Цорна показывает, кто каждая

Полу пер винные групповые кольца
251
абелева группа без кручения может быть линейно
упорядочена (см. Биркгоф A952, стр. 310) 1)).
Следовательно, если §г— представители смежных классов
О* по подгруппе 0+, то можно считать, что они
линейно упорядочены таким образом, что
81<81> 8к<8ь 818ь = Ь18т, 8181 = 148»
Каждый элемент г^АС* однозначно представим в
виде г = 2^#*, Гг^АО+. Если гФО, то положим
/г = ги где & — наименьший среди $з с г$ Ф 0. Кроме
того, положим /0 = 0. Если / — идеал кольца Л О*, то,
как показывают вычисления, И = {1}\1^1}
является идеалом в кольце ЛО+. Если же /2=0, то
(НJ = 0. (Удобно предполагать, что один из
элементов §г равен 1.)
Таким образом, мы свели задачу к доказательству
того, что гас1ЛО+ = 0. Если гегас!ЛО+, то пусть Я—
нормальный делитель группы О, порожденный
носителем элемента г. В силу замечания B) группа Я
конечна, а в силу предположения порядок п
подгруппы Я— неделитель нуля кольца Л. По лемме 4
г е гай АН. Поэтому остается доказать, что
гай ЛЯ = 0.
В силу леммы 5 можно считать, что п —
обратимый элемент кольца Л. Учитывая соображения,
связанные с разложением в подпрямое произведение,
можно считать, что Л — первичное кольцо. Таким
образом, центр Р кольца Л является областью
целостности. В силу той же леммы 5 можно считать, что
Р— поле. Так как характеристика поля Р не делит /г,
то в силу теоремы Машке
РН^1{Х12Х ... Х1к,
где и — простые кольца. Если / — одно из этих колец,
то его центр К — поле. Каноническое отображение
РН-+1 осуществляет вложение Р в /С Поэтому К
является расширением поля Р. Степень этого
1) См. также Фукс A965), стр. 56.
10*

252
Приложения
расширения конечна, поскольку /^-размерность
пространства РН конечна. Так как кольцо Ь®РРН ^
^ ЬН вполне приводимо для любого расширения Ь
поля Р, то РН — сепарабельная алгебра, и,
следовательно, К — сепарабельное расширение поля Р.
(См. Бурбаки A966, стр. 222, предложение 6)).
Поскольку АН ^А®РРН ^{А ®Р1\) X ... Х(А ®Р1к),
остается доказать, что А ®Р1 — полупервичное кольцо.
Лемма 6. Если К — поле, I—центральная простая
К-алгебра и В — произвольная К-алгебра, то
гас! (Л ®^/)^гас!В ®к1.
Доказательство. В книге Джекобсона A964,
стр. 109), а также A961, стр. 168) показано, что
отображение 7-*/®/ осуществляет изоморфизм между
структурой идеалов алгебр В и В®/. Простая
выкладка показывает, что это отображение сохраняет
произведение. Поэтому первичные идеалы
соответствуют первичным идеалам, отсюда следует
утверждение леммы.
Отображение 2(а® &)®/->2#® & осуществляет
изоморфизм колец
(Л 0^/0®*' = А ®р1.
В силу леммы 6, остается доказать полупервичность
кольца А®РК, что, в свою очередь, вытекает из
следующего утверждения:
Лемма 7. Пусть К — конечное сепарабельное
расширение поля Р и В — некоторая Р-алгебра. Тогда
В®РК — полупервичное кольцо в том и только том
случае, если полупервично кольцо В.
Доказательство. (Мы не будем доказывать
более общий результат, как это сделано для радикала
Джекобсона у Бурбаки A966, стр. 224).) Если
ии .. •, иш — базис в К над Р, то каждый элемент из
В®рК однозначно представим в виде 2&*®^> где
Ъг^В, и можно отождествить В с подкольцом
элементов вида 6®1. Если Р — первичный идеал в

Полупервичные групповые кольца
253
В®РК, то Р'= Р [} В — первичный идеал в В.
Действительно, если хВу а Р', то
х BЬ( ® щ)у = 2(*^У ®1)A®^)еР.
Поэтому, скажем, хеРи, следовательно, х е Р'.
Таким образом, если В®РК— полупервичное кольцо, то
иолупервично и кольцо В. Остается доказать
обратное.
Пусть Ь— конечное нормальное сепарабельное
расширение поля Р, содержащее К. Мы хотим
доказать, что В®РЬ ^(В®РК) ®х^ — полупервичное
кольцо. Действительно, в этом случае в силу уже
доказанной части утверждения кольцо В®рК оказывается
полупервичным. Пусть г|)ь ..., г|^ — элементы
группы Галуа расширения Ь над 7% а {§ги} — нормальный
базис. Следовательно, матрица (фг-1|^и) обладает
обратной, скажем матрицей (г^-), ^-б! (см. Бурбаки,
A965, стр. 179)). Так как отображение 2Ьь ® я|)^->
-* 2 6/ ® Ф/Ф^и — кольцевой автоморфизм, а радикал
отображается на себя при любом автоморфизме, то если
х = 2^ ® ф^ие гай (В <8>РЬ), то л:/ = 2 6/ ® Ф/Ф*и е
<= гай (В ®/?1) при любом /. Таким образом,
2 юк]х1 = Ьк ® 1 е== гай (В ® р V) {] В а гай В = 0.
Следовательно, 6А = 0 для любого к и, как и
требовалось, х = 0.
Предложение 9. Кольцо Я = АО первично тогда
и только тогда, когда кольцо А первично, и С+ = 1.
Доказательство. Пусть сначала /? —
первичное кольцо. Если / — идеал кольца Л, то //?—
идеал кольца Н и AКI^>11. Следовательно, А —
первичное кольцо. Если Я— конечный нормальный
делитель группы О, то соЯ— идеал и в силу леммы 2
(соНуфО. Поэтому о)Я = 0 и #=1. Итак, 0+=1.
Обратно, если г е /?, то положим фг = 2 г{§)§^
^АО*. Если / — ненулевой идеал кольца 7?, то
очевидно, что ф/ = {ф/1 / е /} — ненулевой идеал

254
Приложения
кольца ЛО*. Как заметил Пасман, простая
модификация доказательства предложения 5 устанавливает
следующий факт: если /, К — идеалы кольца 7? и //С = О,
то г|)/ф/( = 0. Это позволяет нам считать, что О* = О.
Так как 0+=0*+=1, то О — абелева группа без
кручения и, следовательно, линейно упорядочиваема.
Наконец, используя отображение I, определенное
ранее, мы видим, что если / — идеал кольца /? и 0^
Ф х е 1\ то 0 ф 1х е (ЫI. Поэтому И = 0, откуда
/ = 0, что завершает доказательство.

КОММЕНТАРИИ
Следующие замечания, распределенные по главам,
содержат некоторую несистематическую историческую
информацию, а также некоторые пришедшие позже
соображения. При этом я старался проследить, кому
принадлежат теоремы, появившиеся ранее в
других книгах. Ссылки в книге даны на автора и год
публикаций, указанных ниже в библиографии
(предполагается, что остающаяся неопределенность легко
устраняется).
§ 1.1. Изучение многообразий алгебраических
систем было начато Биркгофом A935, 1945).
Некоторые законы, не являющиеся тождествами, допускают
переформулировку в виде тождеств. Например, в
теории групп закон
УЛЭ6а& = 1
можно заменить тождеством
ааг1 = 1.
Читатель легко проверит, что любое многообразие
алгебр замкнуто относительно прямых произведений.
Именно поэтому класс тел не является
многообразием. (См. также § 1.3.)
Биркгоф показал, что класс множеств с общими
операциями является многообразием тогда и только
тогда, когда он замкнут относительно прямых
произведений, подсистем и факторсистем.
§ 1.2. Существенным моментом в утверждении
о точной верхней грани линейно упорядоченного
семейства подколец в предложении 1 является то, что
операции в кольце я-арны, причем п конечно.

256
Комментарии
В последние годы, даже в то время, когда
писалась эта книга, стало модным определять моно-, эпи-
и изоморфизмы в абстрактных категориях, используя
правила сокращения. Знакомый с этой тенденцией
читатель должен быть осторожен: данные здесь
определения эквивалентны современным определениям
в категории множеств, но не в категории колец. (В
соответствии с современной тенденцией каноническое
вложение целых чисел в рациональные является
эпиморфизмом в категории колец!) Новые определения
в категории модулей эквивалентны нашим, но это
надо доказать.
Гомоморфные отношения были впервые введены
Шодой A949) под названием «мероморфизмы» и
затем переоткрывались разными авторами. Системы
с тернарной операцией /(*, у, г), такой, что }(х, у, у) =
= х и / (у, у, г) = г, рассматривались Мальцевым
A954) и автором A957).
§ 1.3. Довольно прозаическое обсуждение прямых
произведений и сумм можно противопоставить кате-
горным рассмотрениям в § 4.1 и 4.2.
§ 1.4. Использование леммы 2 в доказательстве
теорем Крулля — Ремака — Шмидта, кажется,
является новым. Эта теорема и теорема Жордана —
Гёльдера — Шрайера обычно доказываются в более
общей ситуации, например для групп с операторами
в книге Цассенхауза. Вероятно, наиболее общие
формулировки этих теорем приведены в статьях Гол-
ди A950, 1952); см. также статью автора A957). По
поводу другого доказательства теоремы Крулля —
Ремака— Шмидта см. § 3.7.
§ 2.1. Следует отметить, что в нашей терминологии
максимальные и простые идеалы являются
собственными. Историю двух определенных здесь радикалов
читатель может найти в других книгах по теории
колец, например в легко читающейся книге Маккоя
A964).
Одно время подпрямо неразложимые кольца
рассматривались как блоки, из которых построены все
кольца. Сейчас их место заняли локальные кольца.

Комментарии
257
Аналогично подпрямые произведения заменены
пучками (см. приложение 1).
§ 2.2. Предложение 1 утверждает, что идеалы
булевых колец являются дуальными фильтрами. Многие
авторы предпочитают говорить, что фильтры являются
дуальными идеалами. Однако дуальные фильтры
существуют и в других упрядоченных множествах, в то
время как дуальные идеалы не существуют в других
кольцах. Кстати, если в качестве умножения
рассматривать V, а не Л, то мы вынуждены будем сказать,
что фильтры являются идеалами.
Следствие 2 к предложению 1 представляет
интерес в логике. В приложении к свободной булевой
алгебре со счетным числом образующих оно
допускает следующую интерпретацию: формула в
исчислении высказываний является теоремой тогда и толь-
ко тогда, когда она тавтологична.
§ 2.3. Полное кольцо частных кольца (не только
в коммутативном случае) впервые изучалось Утуми
A956), обобщившим конструкцию Джонсона A951).
Приведенное здесь изложение основано на статье
Финдлея и автора A958). Для разнообразия в общем
случае мы придерживаемся иного изложения (см.
§ 4.3).
§ 2.4. В то время как предложение 1 принадлежит
в основном Джонсону, упрощения, возникающие
в коммутативном случае, были указаны Файном и др.
A965). Общий случай можно найти в предложении
4.5.2.
Полная булева алгебра — это, конечно, булева
алгебра, полная как структура (см. § 1.1).
«Пополнение Дедекинда— Макнеила» названо так в книге
Биркгофа «Теория структур».
Утверждение о том, что полное кольцо частных
булева кольца является его пополнением Дедекинда—
Макнеила (следствие предложения 6), было
установлено Брейнердом и автором A959), при этом
используется более непосредственный метод доказательства.
Файн и др. A965) рассмотрели кольцо К = С(Х)
всех действительнозначных непрерывных функций на
компактном хаусдорфовом пространстве X. Было

258
Комментарии
показано, что полным кольцом частных кольца /?
является кольцо С1(Х) всех действительнозначных
непрерывных функций, определенных на плотных
открытых подмножествах пространства X, по модулю
очевидного отношения эквивалентности. (Две
функции отождествляются, если они совпадают на
пересечении их областей определения.)
Банашевский A965) обобщил этот результат на
произвольные коммутативные полупервичные кольца.
В качестве частного случая он также нашел полное
кольцо частных булева кольца.
§ 2.5. Топология на пространстве максимальных
идеалов называется специалистами по
функциональному анализу также оболочно-ядерной топологией.
Точная нижняя грань бесконечного семейства
регулярных открытых множеств не совпадает с их
пересечением, а является внутренней частью их
пересечения.
§ 3.1. Пример примитивного справа кольца, не
являющегося примитивным слева, был дан
Бергманом A964).
Наше доказательство теоремы плотности
Джекобсона (предложение 3) заимствовано у Артина и Тей-
та (см. Артин A950)).
Читателя убедительно просят различать «плотное
подкольцо» и «плотный идеал». В то время как в
первом случае «плотный» имеет топологический смысл,
во втором случае это не так.
§ 3.2. Понятие «строгой нильпотентности»
является вариацией изложения Джекобсона,
использующего «т-последовательности».
Дальнейшие упражнения, касающиеся двух
радикалов, встретятся в конце § 3.5. Более глубокие
результаты о радикале Джекобсона читатель мог бы
найти в гл. 1 книги Джекобсона A964); см. также
Амицур A956).
§ 3.3. Приведем точное определение «бимодуля»:
бимодуль КМ8 является левым модулем КМ и в то
же время правым модулем М8, таким, что
(гпг) 8 = г {тз)

Комментарии
259
при всех г е ^, шеМ, 5е5. Понятие цоколя
принадлежит Дьедонне A950).
§ 3.4. Изложение теории вполне приводимых
колец более элементарно и менее современно, чем
в книге Джекобсона «Строение колец», где многое
выводится из теоремы плотности (предложение 3.1.3).
Я избегал термина «полупростой», ввиду того что он
используется в самых различных смыслах.
§ 3.5. Первоначальное доказательство теоремы
Левицкого (предложение 5) было много длиннее.
Приведенное здесь доказательство Утуми основано
на более раннем доказательстве Херстейна.
Предложение 3, как нам кажется, принадлежит Гопкинсу.
§ 3.6. Джекобсон в гл. 3 своей книги «Строение
колец» ввел класс колец, «подходящих для поднятия
идемпотентов». Лемма 1 позволяет нам заменить его
на явно более широкий класс колец, в которых идем-
потенты можно поднимать по модулю радикала.
Сейчас ясно, что для полусовершенных колец Басса
можно доказывать то, что в былые времена доказывали
для артиновых колец (и для некоторых «полупримар-
ных» колец в книге Джекобсона).
§ 3.7. В действительности Адзумайя A950)
доказал более общую теорему, в которой число слагаемых
не обязано быть конечным.
§ 4.1. Понятия (но не термины) «проективность»
и «инъективность» восходят к Бэру. Однако
важностью своего положения в современной алгебре они
обязаны влиянию гомологической алгебры, в
частности основополагающей книге Картана и Эйленберга.
Более слабая форма предложения 7 (см.
упражнение 3), по мнению этих авторов, принадлежит Кап-
ланскому. К Картану и Эйленбергу восходит
предложение 8 (см. упражнение 6). Невольно возникает
проблема расширения понятий «наследственность» и
«полунаследственность» на модули.
§ 4.2. Иные, но аналогичные группы характеров
можно получить, заменив рациональные числа
действительными. Тогда группу характеров дискретной
абелевой группы можно естественным образом
наделить компактной топологией. Однако для наших

260
Комментарии
чисто алгебраических целей вполне достаточно
рациональных чисел.
Утверждение о том, что каждый модуль
изоморфен подмодулю инъективного модуля, было получено
Бэром A940). Приведенное доказательство
(использующее предложение 4) можно также найти в книге
Нортскотта A960). Существование минимальных инъ-
ективных расширений было доказано независимо
Экманом и Шопфом A953) и Шодой A952).
Последний устанавливает аналогию с алгебраическим
замыканием поля.
§ 4.3. Полные кольца частных уже
комментировались в коммутативном случае (§ 2.3). Приведенное
изложение принадлежит автору A963). Целая серия
обобщенных колец частных была введена Габриэлем
A962) (см. также упражнения в книге Бурбаки
«Коммутативная алгебра», стр. 105—113). Эти кольца
включают в себя не только подкольца наших полных
колец частных, но также и кольца, которые могут не
быть точными расширениями кольца /?.
§ 4.4. По поводу предложения 2 см. также работу
Лезьё и Круазо A963). Из упражнения 5 ясна
аналогия между модулями и полями:
Рациональное пополнение Максимальное чисто несепара-
_ бельное расширение
Инъективная оболочка Алгебраическое замыкание
Рациональные пополнения рассматривались Финд-
леем и автором A958) и Уонгом и Джонсоном A959).
§ 4.5. Джонсон первоначально построил
регулярное кольцо частных непосредственно, не используя
наше определение кольца С}.
§ 4.6. См. также Голди A958, 1960), Лезьё и
Круазо A959). Доказательство предложения 3,
приведенное здесь, возникло из анализа доказательства
Джонсона и Уонга A961). Фейт в своих лекциях дал
аналогичное доказательство в полупервичном случае.
Смол сообщил о том, что он доказал следующую
интересную теорему:
Нётерово справа кольцо % обладает артиновым
справа классическим правым кольцом частных тогда

Комментарии
261
и только тогда, когда все неделатели нуля кольца
Н/гайЯ могут быть «подняты» до неделителей нуля
кольца /?.
§ 4.7. Доказательство этого результата появилось
в статье Фейта и Утуми A965), в недавней статье
Джонсона A965) и в приложении к новому изданию
книги Джекобсона.
§ 5.1. Тензорное произведение было впервые
введено Уитни A938). Широкую популяризацию этой
конструкции провел Бурбаки.
§ 5.2. Обозначения этой главы идут от нашей
совместной работы с Финдлеем. Общее определение
«функтора» предполагает известным понятие
«категории», которое не вводилось здесь. По вопросам,
связанным с категориями, функторами и
естественными преобразованиями, можно обратиться к книге
Маклейна «Гомология» A965).
§ 5.3. Утверждение C') предложения 2 и
следствие были отмечены лишь недавно A964).
§ 5.4. Понятие «плоскости» было упомянуто Кар-
таном и Эйленбергом. Позже Бурбаки посвятил этому
понятию целую главу, где могут быть найдены
многие из результатов. В важной статье Басса A960)
охарактеризованы те кольца, над которыми каждый
плоский модуль проективен. Оказалось, что это в
точности те кольца, в которых каждое непустое
множество главных правых идеалов обладает
минимальным элементом. Эти кольца были названы
«совершенными». Отсюда — «полусовершенные» кольца,
которые встречались в книге. См. также статьи Фейта
A959) и Чейза A960).
§ 5.5. Теорема о двух квадратах и метод
диаграммного поиска были опубликованы автором A964), но
и Экман и Хилтон использовали ранее подобную
технику. В недавней книге Джанса предложено
чрезвычайно элегантное введение к дальнейшим результатам
гомологической алгебры.
Мое первоначальное доказательство предложения 1
было иным. Оно было основано на следующем
соображении, принадлежащем Гурса A889), которое мы
сформулируем здесь для модулей вместо групп.

262
Комментарии
Лемма. Пусть О — подмодуль модуля А X В.
Тогда
{а<=А\3ЬЕ5В(а9Ь)<=0} _ {Ь е В \ Зде А (а, Ь) е 0}
{аеЛ|(а,0)е(?} ~ {6 е= 5 | @, &)еО}
В доказательстве предложения 1 был использован
подходящий подмодуль модуля В X Е.
Обратно, нетрудно вывести лемму из
предложения 1. Если записать ее кратко в виде
О — в''
то утверждение легко следует из рассмотрения
диаграммы
\ \
У У V
с~>с -> о
с очевидными гомоморфизмами.
Приложение 1. Классическое обсуждение Р-компо-
ненты идеала можно найти у Норскотта A953).
Приложение 2. Основой являются статьи Коннела
A963), Пасмана A962), Ауслендера A957), Маклаф-
лина A958) и Вильямайера A959). Лемма Дитцмана
взята из книги Куроша (стр. 338).
Вопрос о полупримитивности группового кольца
более труден, чем вопрос о его полупервичности.
Результаты в этом направлении были получены Вилья-
майером A959), Амицуром A956) и Коннелом A963).
Приложение 3. Эти результаты были любезно
сообщены автору Коннелом. Они позволяют строить
много интересных первичных и полупервичных колец,
но при этом предполагается знакомство с
материалом, к сожалению, не включенным в эту книгу. В
дополнение к двум цитированным теоремам об абеле-
вых группах без кручения предполагается известным
понятие алгебры (кольцевое «расширение»
коммутативного кольца в смысле упражнения 5.1), сепара-
бельного расширения поля и алгебры, центральной
простой алгебры и тензорного произведения двух
алгебр (см. упражнение 5.1.1).

БИБЛИОГРАФИЯ1)
Приведенная библиография не является полной. Все книги,
надеюсь, упомянуты, однако многие полезные статьи в нее не
включены, в частности многие из тех, которые уже были
перечислены в книге Джекобсона «Строение колец». Предпочтение
отдано тем работам, которые действительно были использованы
или в которых изложенный здесь материал получил дальнейшее
развитие. Если журнал или номера страниц статьи не указаны,
то это означает, что я видел работу лишь в рукописи.
Адзумая (Агигпауа С), СоггесИопз апс! 5ирр1етеп1а1юпз
1о Му Рарег Сопсегтпд КгиП-Кетак-ЗсЬгшоТз ТЬеогет, Ыа-
ёоуа МаШ. /., 1 A950), 177—124.
Алберт (А 1 Ь е г 1 А. А.), Мос1егп Ш^Ьег А1^еЬга, СЫса^о, 11ш-
уегзИу о! СЫсадо Ргезз, 1947.
, Ыпеаг А1^еЬгаз, Ыа1юпа1 Асаскту о! 5с1епсез-ЫаНопа1
КезеагсЬ СоипсП РиЬПсаИоп 502, ШазЫп^оп, 1957.
Амицур (АтНзиг 5. А.), ТЬе Нас11са1 о! а Ро1упоггпа1 Шп^,
Сапай. /. МаШ., 8 A956), 355—361.
, Оп Пае Зегт-зипрНсйу о! Ше Огоир А1^еЬга, МкМдап
МаШ. /., 6 A959), 251—253.
Андерсон (Апдегзоп Р. \У.), ЬаШсе-огс1егес1 Нт^з о Г С?ио-
«еп*з, Сапай. I. МаШ., 17 A965), 434—448.
Андрунакиевич В. А., Арнаутов В. И.,
Рябухи н Ю. М.*, Кольца, в сб. «Алгебра. Топология.
Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР»), М., 1967,
133—180.
Ар тин (АгПп Е.), ТЬе 1пИиепсе о! 3. Н. М. ШесЫегЪигп оп
Ше Оеуе1ортеп1 о! Мос1егп А1^еЬга, Ви11. Атег. МаШ. Зое,
56 A950), 65—72.
, Шп^з \уИп Млштит СогкШюп, Апп. АгЬог ИтуегзМу о!
МюЫ&ап Ргезз, 1940.
Ауслендер (Аиз1апс1ег М.), Оп Ке^и1аг Огоир Ктдз,
Ргос. Атег. МаШ. Зое, 8 A957), 658—664.
Банашевский (Вапазспе^узк1 В.), Оп РгсцесМуе апA
ГфсНуе Мосш1ез, АгсН. МаШ., 15 A964), 271—275.
!) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. —
Прим. ред.

264
Библиография
Банашевский (Вапазспе\узк1 Ы.), (Зиотлеп! Ех^епзюпз
о! МОсМез, Ма(к., Ыйскг., 28 A965), 245—255.
, Махала! Кт§8 о\ <2иойеп15 о! Зепп-знпрЬ СогштйаНуе
Шп^з, Агск. МаНх., 16 A965), 414—420.
, Оп Соуепп^з оГ Мос1и1ез, МаОг. Ыаскг., 31 A965), 57—72.
Басе (В а з з Н.), РтШзИс Ното1о^1са1 Оппепзюп апA а Но-
то1одюа1 ОепегаПгайоп оГ Зепп-рптагу Кт^з, Тгапз. Апгег.
МаШ. Зое, 95 A960), 466—488.
, 11цесИуе Оипепзюп т ЫоеШепап Фпдз, Тгап8. Атег. Ма1к.
Зое, 102 A962), 18—29.
, Тогзюп Ргее апй Ргс^'есНуе Мос1и1ез, Тгапз. Атег. Ма1к.
Зое, 102 A962), 319—327.
Бергман (Вегдтап О. М.), А Кт§ РптШуе оп Ше КщЫ;
Ьи1 N01 оп те 1еП. Ргос. Атег. Ма1к. 8ос, 15 A964),
473—475.
Беренс* (Вепгепз Р. А.), А1^еЬгеп, ВШНодгарЫзспез 1пзИ-
Ы, Мапппеип, 1965.
Биркгоф (В 1 г к Ь о !! С), Оп те Зггисшге оГ АЬз(гас1 А1-
^еЬгаз, Ргос. СатЬгШде РкП. Зое, 31 A935), 433—454.
, ЗиЬсПгес! Шюпз т 11шуег5а1 А1^еЬга, Вий. Атег. МаШ.
Зое, 50 A944), 764—768.
, 11п1Уегза1 А1^еЪга, Ргос. Р1гз1: Сапас!. МаШ. Соп^г. 1945,
310—326.
, ЬаШсе ТЬеогу, Атег. Ма1к. 8ос, Со1к^шшп РиЬНсаНопз 25,
Неу. есЦ Атепсап МатетаИсз Зоаегу, Меду Уогк, 1948.
(Русский перевод: Биркгоф Г., Теория структур, ИЛ,
М., 1952.) ТЫМ (пете) еAШоп, 1967.
Бокуть Л. А., Жевлаков К. А., Кузьмин Е. Н. *, Теория
колец, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги
науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1970, 9—56.
Браун, Маккой (Вгочуп В., МсСоу N. Н.), КасИсаЬ апс!
ЗиЪсНгес! Зишз, Атег. /. Май., 69 A947), 46—58.
, Тпе Ка<Нса1 о! а Кт§, Вике Ма1к. /., 15 A948), 495—499.
, ТЬе Махппа1 Ке^и1аг Ыеа1 о! а Шпд, Ргос. Атег. Ма(к.
Зое, 1 A950), 165—171.
Брауэр (Вгаиег К.), №п-сотти1аиуе Кт^з, МиШ^гарпес!
Лесшге по!ез, СатЬпс!&е, Нагуагс! итуегзНу Ргезз.
Брейнерд, Ламбек (Вга1пегс1 В., ЬатЬек ].), Оп те
Шп^ о! (ЭиоНегйз о! а Воо1еап Кт&, Сапай. Ма1к. ВиИ., 2
A959), 25—29.
Бурбаки (ВоигЬак1 N0, А1^ёЬге, Спар1ег 5 (Разе. 16), Нег-
тапп & С1е, Рапз, 1956. (Русский перевод: Бурбаки Н.,
Алгебра. Многочлены и поля, упорядоченные группы (IV—
VI гл.), «Наука», М.; 1965.)
—, А1дёЬге, Спар1ег 8 (Разе. 23), Негтапп & Се, Рапз, 1958.
(Русский перевод: Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца,
формы (VII—IX гл.), «Наука», М., 1966.)

Библиография
265
Бурбаки (В о и г Ь а к 1 ^), А1^ёЬге СогшшЛаИуе, СЬар1егз 1—4
(Разе. 27, 28), Негтапп & Сле, Рапз, 1961. (Русский перевод:
Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, «Мир», М., 1971.)
Бэр (В а е г К.), АЬеНап Огоирз ауЫсЬ Аге 01гес1 Зшптапбз о?
Еуегу СопЫптд Сгоир, ВиИ. Атег. МаШ. Зое, 46 A940),
800—806.
Ван-дер-Варден (Уап с!ег \У а е г с! е п В.), А1^еЬга, I,
Зргт^ег, ВегНп, 1960; II, Зрпп^ег, ВегПп, 1959.
В и л ь а м а Й е р (V 111 а т а у о г О. Е.), Оп Ше 5егш-51трНс1{у
о! Огоир А1^еЬгаз, Ргос. Атег. МаШ. Зое, 9 A958), 621—
627; 10 A959), 27—31.
, Оп \Уеак 01тепзюп оГ А1^еЬгаз, Рас1]1с I. МаШ., 9 A959),
941—951.
Габриэль (О а Ь г 1 е 1 Р.)» Вез Са*ё§опез АЬёПеппез, ВиИ. Зое.
МаШ. Ргапсе, 90 A962), 323—448.
Говоров В. Е., Кольца, над которыми плоские модули
являются свободными, ДАН СССР, 144, № 5 A962), 965—967.
Голди (Оо1сПе А. \У.), ТЬе Логс1ап-Нб1с!ег ТЬеогет !ог Оепе-
га1 АЬз(.гас1 А1^еЬгаз, Ргос. 1опйоп МаШ. Зое, 52 A950),
107—131.
, Оп 01гес1; ЭесотрозШопз, Ргос. СатЬгШде РКП. Зое, 48
A952), 1—34.
, ОесотрозШоп оГ 5егт-зипр1е Кт^з, /. Ьопй. МаШ. Зое,
31 A956), 40—48.
, ТЬе 51шс1иге о! Рпте Шпдз ипс1ег АзсепсПп^ СЬат Соп-
сННопз, Ргос. Ьопйоп МаШ. Зое, 8 A958), 589—608.
, 5егш-рпте Нш^з тИл Мах1тит СопёШоп, Ргос. ЬопА.
МаШ. Зое, 10 A960), 201—220.
, Коп-сотяпйаНуе Рппс1ра1 Ыеа1 Кт^з, АгсН. МаШ., 13
A962), 214—221.
, Шп^з шИп Махпгшт СопсШюп, МиШ^гарпес! 1ес1иге по*ез,
Уа1е Ш1уегзИу Ргезз, №чу Науеп, 1961.
Гротендик, Дьедонне (Ого{пепсЛеск А., 01еис1оп-
пё ^.), Ё1ётеп1з с!е Оёотё1г1е А^ёЪг^ие, I Aпз1. с!ез Наи1ез
Ё1ис1ез 5с1еп1., РиЬНсаИопз МаШёта^иез, 4.) Ргеззез 11ш-
уегзИа^гез с!е Ргапсе, Рапз, 1960.
Гурса (Ооигза* Ё.), 5иг 1ез ЗиЬзШиИопз ОгШо^опа1ез... Апп
За. Ёсо1е Мог т. Зир. C), 6 A889), 9—102.
Дейринг (Оеимпд М.), А1деЬгеп, СЬе1зеа апс! Зрппдег,
№чу Уогк, 1948.
Джанс ^апз ^. Р.), Кт^з апс! Ното1оду, Ыеш Уогк, Но11,
ШпепаН апс! Штз1оп, 1964.
Джекобсон ^асоЬзоп Ы.), ТЬеогу о! Шп&з, Атепсап
МаШетаИса1 5ос1е1у Зигуеуз, Уо1. 2, Мечу Уогк, Атепсап
Ма1Ьетаиса1 5оае1у, 1943. (Русский перевод:
Джекобсон Н., Теория колец, ИЛ, М., 1952.)
, ЬесЬгез т АЬз1гас1 А1^еЬга, I: Вазк Сопсер^з, Рппсет.оп,
N. I.. Э. Уап №з1гапс! Сотрапу, 1951.

266
Библиография
Джекобсон (ЛасоЪзоп М.), Ьес1игез т АЬз1гас1 А1^еЬга,
II: Ьшеаг А1^еЪга, РппсеЮп, N. X, О. Уап Мозггапс! Сот-
рапу, 1953.
, 51гис1иге о! Шпдз, Атег. Мат. 5ос. СоНс^шит, Уо1. 36,
Кеу. её. Ргоу1с1епсе, К. I., 1964. (Русский перевод первого
издания 1956 г.: Джекобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961.)
Джонсон (Лоппзоп Н. Е.), Рпте Шпдз, Вике МаШ. /., 18
A951), 799—809.
, ТЬе Ех1епс1ес1 СепхгаПгег оГ а Кт^ оуег а Мос1и1е, Ргос.
Атег. МаШ. Зое, 2 A951), 891—895.
, КергезепгаНопз о! Рпте Нт^з, Тгапз. Атег. МаШ. Зое,
74 A953), 351—357.
, Зегт-рпте Шп&з, Тгапз. Атег. МаШ. Зое, 76 A954),
375—388.
, Згшсйлге Тпеогу о! РаН:Ыи1 Шпдз, I, II, Тгапз. Атег. МаШ.
Зое, 84 A957), 508—522, 523—544.
, 51гис1иге Тпеогу о! РаИЬ!и1 Шпдз, III: 1ггеAис1Ые Шп^з,
Ргос. Атег. МаШ. Зое, 11 A960), 710—717.
, (ЗиоНеп!; Шпдз о! Шп^з чуНН 2его Зш^икг Ыеа1, Раа{1с
/. МаШ., 11 A961), 1385—1392.
, Рппс1ра1 К1§Ы Иеа1 Шп^з, Сапай. I. МаШ., 15 A963),
297—301.
, 01з1т§шзпес1 Шп&з о! Ьтеаг ТгапзЬгтагюпз, Тгапз. Ат.
МаШ. Зое, 111 A964), 400—412.
, Рпте Ма1пх Шп^з. Ргос. Атег. МаШ. Зое, 16 A965),
1099—1105.
Джонсон, У о н г C о Ь п з о п К. Е., Ш о п ^ Е. Т.), <3иаз1-
ЩесИуе МосМез апс! 1ггесс1ис1Ые Шп^з, /. Ьопй. МаШ. Зое,
36 A961), 260—268.
Диксон (Шскзоп Ь. Е.), А1^еЬгаз апс! Тпе1Г Апштегкз,
Nе^у Уогк, О. Е. 51есЬег1 апс! Сотрапу, 1938.
Дьедонне @ 1еис!оппё ^.), Ьез Ргос1ш1з Тепзопе1з, Апп.
Ёсо1е Ыогт., 64 A947), 101—117.
, Ьез Ыёаих Мтнпаих с!апз 1ез Аппеаих АззоааШз, Ргос
1п1 Соп§. МаШетайсгапз, 2 A950), 44—48.
Жантиль (ОепШе Е. К.), Оп Шпдз ш#\ Опе-51с1ес1 Р1еЫ о!
<ЭиоКеп1з, Ргос. Атег. МаШ. Зое, 11 A960), 380—384.
, 5т^и1аг 5иЪтос!и1е апс! ^'есПуе Ни11, 1пйа&. МаШ., 24
A962), 426—433.
Жаффар (Л а Н а г с1 Р.), Ьез 5уз1ёте5 сЛёёаих, Рапз, Оипос!,
1960.
Зарисский, Самюэль Bаг1зк1 О., 5атие1 Р.), Сот-
гтйаНуе А1деЬга. I, В. Уап Мозггапс! Сотрапу, РппсеЬп,
1958. (Русский перевод: Зарисский О., Самюэль Р.,
Коммутативная алгебра, I, ИЛ, М., 1963.)
Елизаров В. П.*, Кольца частных, Алгебра и логика, 8, № 4
A969), 381—424.
Капланский (К а р 1 а п з к у Ь), МосЗи1ез оуег Оес!ектс! Шп^з
апс! Уа1иа1юп Кт^з, Тгапз. Атег. МаШ. Зое, 72 A952),
327—340,

Библиография
267
Капланский (Кар1апзку I.), 1пПш1е АЬеПап Сгоирз, Апп
АгЬог, ишуегзНу о! МюЫ^ап Ргезз, 1954; II еа\, 1969.
, Шп&з о! Орега(огз, XV. А. Вегцатш, Ые^у Уогк, 1968.
, РгсцесИуе МоскЛез, Апп. МаШ., 68 A958), 372—377.
(Русский перевод в сб. «Математика», 4:1 A960), 3—8.)
Карта н, Эйленберг (Саг1ап Н., ЕПепЪегд 3.), Но-
то1о^1са1 А1^еЬга, РппсеЬп Ш^егзНу Ргезз, РппсеЬп,
1956. (Русский перевод: К а р т а н А., Эйленберг С,
Гомологическая алгебра, ИЛ, М., 1960.)
Каш (КазсЬ Р.), Рго]'екглуе РгоЬепшз-Ег^уеНешп^еп, ЗИгип^з-
ЪепсЫе с1ег Не1ае1Ъегдег Акас1егше с1ег \^1ззепзсг1а!1еп, Ма-
Шета115сЬ-па{ипУ155еп5сЬаГШсЬе К1аззе A960—1961), 89—
109.
Ко (КоЬ К-), А Ыо1е оп а ЗеН-^'есНуе Шп&, Сапай. МаШ.
ВиИ, 8 A965), 29—32.
Кон (СоЬп Р. М.), Оп Ше ЕтЬеоМтд о! Шп^з т Зке^у ПеЫз,
Ргос. Ьопй. МаШ. Зое, И A961), 512—530.
, 11шуег5а1 А1^еЪга, Ые\у Уогк, Нагрег & Ко\у, 1965.
(Русский перевод: Кон П., Универсальная алгебра, ИЛ, М.,
1968.)
Кон н ел (СоппеП I. С), Оп Ше Огоир Шп§, Сап. /. МаШ.,
15 A963), 650—685.
, А ЫитЬег ТЬеогу РгоЫет Сопсегтп^ РтИе Сгоирз апс!
Шп^з, Сапай. МаШ. ВиИ, 7 A964), 23—24.
Крулль (КгиИ XV.), ЫеаИЬеопе, СЬе1зеа апс! Зрпп^ег, Ие\у
Уогк, 1948.
Курош А. Г. Теория групп, изд. 3-е дополн., «Наука», М., 1967.
К е р т е с* (К е г 1 ё з 2 А.), УоНезипдеп йЬег Айтзспе Шп^е,
Акас1е1тиа1 К1аск>, Вийарез!;, 1967.
Кэртис, Райнер (СигИзз С. XV., Ке1пег *!.), Кергезеп-
Ыюп Тпеогу о! РтИе Сгоирз апс! АззоааНуе А1^еЬгаз, Ые^у
Уогк, 1п1егзс1епсе РиЬПзЬегз, 1962. (Русский перевод:
Кэртис К., Райнер И., Представления конечных групп и
ассоциативных алгебр, «Наука», М., 1969.)
Лавер (Ьа\ууеге Р. XV.), Рипс1опа1 ЗетапИсз о! А1^еЬга1С
ТЬеопез, Ргос. ЫаA. Асай. За., 50 A963), 869—872.
Ламбек (ЬатЬек ^.), СоигзаГз ТЬеогет апс1 Ше 2аззепЬаиз
Ьетта, Сапай. /. МаШ., 10 A957), 45—56.
, Оп Ше 51гис1иге оГ Зегш-рпте Шп^з апс! Ше1г Шп^з о!
<2иоиеп1з, Сапай. I. МаШ., 13 A961), 392—417.
, Оп Ше Са1си1из о! Зуп1асглс Турез, Ргос. Зутр. т Арр1.
МаШ., 12 A961), 166—178.
, Оп ШитГз Шп^ оГ РиоИеп1з, Сапай. I. МаШ., 15 A963),
363—370.
, А Мос1и1е 15 Р1а1 И апс! Оп1у И Из СЬагас1ег МосЫе 13
1шесглуе, Сапай. МаШ. Вий., 7 A964), 237—343.
, СоигзаГз ТЬеогет апс! Ното1о^1са1 А1^еЬга, Сапай. МаШ.
ВиИ, 7 A964), 597—608.

268
Библиография
Лам бек (ЬатЬек Л.), Оп 1пе Шп§ о! (ЗиоИеп{з о! а ЫоеШе-
пап Кщ& Сапай. МаШ. ВиИ, 8 A965), 279—289.
¦ *, СотрЫюпз о! Са1е§опез, Зрппдег, Уег1а§, ВегНп, НеМеЬ
Ьег^, №\у Уогк, 1966.
— *, Тогзюп Тпепез, АоМШуе ЗетапИсз, апс! Шп^з о! (ЗиоИепЬ,
Зрпп^ег Уег1а§, ВегНп, Не1<1е1Ъег^, Ые^у Уогк, 1971.
Л ев и (Ьеуу Ь.), Тогзюп-Ггее апс! 01у1з1Ые Мос1и1ез оуег Ыоп-
ш1е^га1 Ботатз, Сапай. I. Май 15 A963), 132—151,
, 1)шдие ЗиЬсНгес! Зитз оГ Рпте Кт^з, Тгапз. Апгег. МаШ.
Зое, 106 A963), 64—76.
Лезьё, Круазо (Ьез1еиг Ь., Сго1зо1 К.), 5иг 1ез Ап-
пеаих Ргегшегз, МоеШёпепз а Оаиспе, Апп. Зс1. Ёсо1е Ыогт.
8ир., 76 A959), 161 — 183.
, А1^ёЬге НоеШёпеппе Ыоп-сотти^аНуе. (Мётопа1 Aез заеп-
сез татёта^иез. Разе. 44.), Оаиггпег-УШагз, Рапз, 1963.
, Соеиг й'ип МосШе, /. МаШ., 42 A963), 367-407.
Л енг* (Ьап§ 5.), Алгебра, «Мир», М., 1968.
Маккой (МсСоу N. Н.), 5иЬсИгес11у 1ггес1ис1Ые СоттигаНуе
Кт^з, Вике МаШ. /., 12 A945), 381—387.
, Нт^з апс1 Ыеа1з (Сагиз Мат. Мопо^гарЬз, 8), МепазсЬа,
\\Пз., Матета1юа1 АззопаНоп о! Атепса, 1948.
, Рпте Ыеа1з т Оепега1 Шп^з, Атег. I. МаШ., 71 A949),
823—833.
, Тпе Рпте КасНса1 о! а Ро1упогта1 Шп^, РиЫ МаОг. (ОеЬ-
гесеп), 4 A956), 161—162.
, А Йо1е оп РтИе Шюпз о! Ыеа1з апс1 ЗиЬ^гоирз, Ргос.
Атег. МаШ. Зое, 8 A957), 633—637.
, Сег1ат С1аззез оГ Ыеа1з т Ро1упоггпа1 Кт^з, Сапай. /.
МаШ., 9 A957), 352—362.
, Тпе Тпеогу о! Шпдз, МастШап Сотрапу, №чу Уогк, 1964.
Маклафлин (МсЬаидЬНп! Е.), А ^о!е оп Ке^и1аг Сгоир
Шп^з, М1сН. МаШ. /., 9 A958), 127—128.
Маклейн (МасЬапе 5.), Ап А1^еЬга о? АсЫШуе КеЫюпз,
Ргос. ЫаП. Асай. За. V. 3., 47 A961), 1043—1051.
, Ното1о^у, ВегНп, 5рпп^ег-Уег1а^ ОНО; Ые^у Уогк, Асас1е-
тю Ргезз, 1963. (Русский перевод: Маклейн С,
Гомология, «Мир», М., 1965.)
, Са1е&опса1 А1^еЬга, ВиИ. Атег. МаШ. Зое, 71 A965), 40—
106.
Мальцев А. И., О включении ассоциативных систем в группы,
II, Матем. сб., 8 E0) A940), 251—264.
, Об общей теории алгебраических систем, Матем. сб., 35
A954), 3-20.
Маранда (Магапс1а Л.-М.), 1п]ес1луе ЗхшсШгез, Тгапз.
Атег. МаШ. Зое, 110 A964), 98—135.
Марес (Магез Е. А.), Зегш-регГесг. МосЫез, МаШ. 2., 82
A963), 347—360.
Матлис (МаШз Е.), Л^'есНуе МосЗи1ез оуег №еШепап Шп^з,
Расфс /. МаШ., 8 A958), 511—528.

Библиография
269
Мёр дох (Миге! осп О. С), ЗиЬппдз о! Ше Махипа1 Шп^ оГ
(ЗиоИеп^з Аз50С1а1ес1 \\аШ С1озиге ОрегаНопз, Сапай. /.
МаОг., 15 A963), 723—743.
Михалев А. В., Скорняков Л. А.,* Модули, в сб.
«Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги науки. ВИНИТИ
АН СССР)», 1970, 57—100.
Мишина А. П., Скорняков Л. А., * Абелевы группы и
модули, «Наука», М., 1969.
Морит а, Кавада, Тахикава (Моги а К., Кадуас1а У.,
ТасЫка^а Н.), Оп 1фс1гуе Моаикз, МаОг. 2., 68 A957),
217—226.
Нагата (Ыада1а М.), Ьоса1 Шп^з, Иечу Уогк, Мегзаепсе
РиЬНзпегз, 1962.
Нейман Б. (Ыеитапп В. Н.), Огоирз ш1Ь РтМе С1аззез о!
Со1Т)'ида1е Е1етеп1з, Ргос. Ьопй. МаОг. Зое, 1 A951), 178—
187.
Нейман Дж. (уоп Ыеитапп .1.), Оп Кеди1аг Шп^з, Ргос.
Ыа1 Асай. За., 22 A936), 707—713.
Нортскотт AМог1псо11 В. О.), Неа1 ТЬеогу, СатЬпс1§е
Тгас1з 1п МаШетаИсз, 42, Ьопс!оп, СатЬпс1&е ишуегзНу
Ргезз, 1953.
, Ап 1п1гоAис11оп 1о Ното1о^1са1 А1^еЬга. Ьопа\, СатЪпс1^е
ЦшуегзИу Ргезз, 1960.
Ософская (Озогзку ВагЬага), Шп^з АН о! Шюзе РтЬ
1е1у Сепега^ес! Мосилкз аге ЩесИуе, Расфс /. МаОг., 14
A964), 645—650.
, Оп Кт^ РгорегИез о! 1^'есИуе Ни11з, Сапай. МаИг. ВиИ,
7 A964), 405—413.
Пасман (Р а з з т а п В. 5.), №1 1Aеа1з т Огоир Кт^з, М1сН.
МаОг. /., 9 A962), 375—384.
Пирс* (Р 1 е г с е К.) 1п1госЗис1юп 1о Ше Шеогу о1 аЪзхгас! а1-
^еЬгаз, Ьопс1оп, 1968.
Познер (Р о з п е г Е.. С), Рпте Кт^з ЗатлзГут^ а Рогупо-
гта1 ЫепШу., Ргос. Лт. МаШ. Зое, 11 A960), 180—183.
Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, Гостехиздат, М.,
1954.
Рибенбойм (К 1Ь е п Ь о 1 т Р.), МосМез апс! Шп^з, МиШ-
^гарпес! 1ес1иге по!ез, Ьопёоп, Оп1, (Зиееп'з ишуегзНу, 1965.
*, Шп^з апс! Моёи1ез, Ие\у Уогк, ЬопсЬп, Зубпеу, Тогоп1о,
1969.
Розенберг, Зелинский (НозепЬег^ А., 2 е П п з к у В.),
РтИепезз о! Ше ^есПуе Ни11, МаОг. 2., 70 A959), 372—
380.
, АпшЫЫогз, РоН. МаОг., 20 A961), 53—65.
Сандерсон (Запс1егзоп Э. Р.), А ОепегаНхаНоп о! ВЫ-
зилШу апс! Щео\\\Иу т Мос1и1е5, Сапай. МаИг. ВиИ, 8
A965), 505—513.

2/0
Библиография
С ас Г. (8 2 а 5 2 С), 1п1гос1ис1юп 1о ЬаШсе Тпеогу, Ые^ Уогк,
Асас1егшс Ргезз, 1963.
С ас Ф. E 2 а з 2 Р.), ОЬег Кт^е тИ Мтипа1Ьес1т&ип§ [иг
НаирггесЫзМеак, III, Ас1а МаШ., 14 A963), 447—461.
Са Чин-хан* Eап СЫп-Ьап), АЬз1гас1 А1^еЬга, Ые^
Уогк, Асаёегшс Ргезз, 1967.
Сикорский E1когзку К.), Воо1еап А1^еЬгаз, ВегНп, Зргт-
^ег-Уег1а§ ОНО, 1960; II есЦ 1964. (Русский перевод:
Сикорский Р., Булевы алгебры, «Мир», М., 1968.)
Скорняков Л. А., * Кольца, В сб. «Алгебра. Топология, 1962
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 59—79.
*, Модули, В сб. «Алгебра. Топология, 1962 (Итоги науки,
ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 80—89.
*, Модули, В сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1965.
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 181—216.
*, Гомологическая классификация колец, Математ. весн., 4,
№4 A967), 415—434.
*, Лекции по гомологической алгебре, Математ. весн., 5,
№ 1 A968), 71—113.
Талентайр (Та1еп(уге Т. Э.), (Зиотлеп! Шпдз оГ Шп^з
тИп Махппит СопсШюп оп Ш&Ы Ыеа1з, /. Ьопйоп, МаШ.
Зое, 38 A963), 439—450.
Т а м а р и (Т а т а г 1 В.) Оп Ше ЕтЪесЫтд о! В1гкпоН-ШШ
Кт^з т С^иоИеп! Р1еЫз, Ргос. Атег. МаШ. Зое, 4 A953),
197—202.
Тевари (Те\уаг1 К-)> Сотр1ехез оуег а Сотр1е1е А1^еЬга о!
диоИеп1з, Сапай. I. Май., 19 A967), 40—57.
Томинага (Тоггипа^а Н.), 5оте Кетагкз оп КасПса1 ЫеаЬ,
МаШ. /. Окауата С/пю., 3 A954), 139—142.
, А N016 оп Ма1пх Шп^з, МаШ. I. Окауата [/пш., 4 A955),
189—191.
Тьеррен (Тп1егг1п С), Оп Эио Шпдз, Сапай. МаШ. ВиИ.,
3 A960), 167—172.
, Аппеаих МёгарптШГз, Сапай. /. МаШ., 17 A965), 199—
205.
Уайлер (XV у 1 е г О.), Са1е^опез о! 51шс1игез, ТесЬшса1 ге-
рог! 32, АШицие^ие, N. М., УшуегзНу о! N6^ Мехюо, 1963.
Уитни (\Упйпеу Н.), Тепзог Ргойис1з о! АЬеПап Огоирз,
Вике МаШ. /., 4 A938), 495—528.
Уокер К., Уокер Э. (\Уа1кег С. Ь., \Уа1кег Е. А.), (^ио-
1леп1 СаЬ^опез апс! Кш^з о! Bио11еп1з, Тгапз. Атег. МаИг.
Зое. (в печати).
У о н г, Д ж о н с о н (\У о п % Е. Т., Л о Ь п з о п Е.), ЗеН-^есНуе
Шп^з, Сапай. МаШ. ВиИ, 2 A959), 167—174.
Утуми (Шипи У.), Оп (ЗиоИеп! Кшдз, Озака МаШ. /., 8
A956), 1—18.

Библиография
271
Утуми (Ш и т 1 У.), Оп а Тпеогет оп Мос1и1аг ЬаШсез, Ргос.
/арап Асаа4., 35 A959), 16—21.
, А Кетагк оп (ЗиазьРгоЪепшз Шп^з, Ргос. /арап Асаа1., 36
A960), 15—17.
, Оп СопЫпиоиз Кеди1аг Шп^з апс! Зепп-знпрк 5е1Ып-
1есИуе Шп^з, Сапой. /. Ма1Н., 12 A960), 597—605.
, Оп СопШшоиз Кеди1аг Шп^з, Сапай. МаОг. Вий., 4 A961),
63—69.
-—, Оп Шп{?5 о! ^ЫсЬ Апу Опе-зШей (Зиотлеп!: Кт^з Аге Т\уо-
81с1ес1, Ргос. Атег. МаИг. Зое, 14 A963), 141—147.
, А Мо(е оп Шпдз о! ^Ысп Апу Опе-51(Зес1 (ЗиоИеп! Шпдз
Аге Тчуо-зИес!, Ргос. /арап Асаа4., 39 A963), 287—288.
, А Тпеогет о! Ьеу1Ыи, Атег. МаОг. МопШу, 70 A963),
286.
, Оп Рпте 1-Шпдз шИп. 11ш?огт Опе-з1с1ес1 Ыеа1з, Атег.
/. Ма1к., 85 A963), 583—596.
Файн, Гиллман, Ламбек (Р1пе N. X, ОШтап Ь., Ьат-
Ьек У), Шп^з о! (ЭиойепЬ о! Шпдз о! РипсИопз, МсСНП
йшуегзиу Ргезз, Моп1геа1, 1965. (См. также Ыойсез Ат.
Ма(к. Зое, 7 A960), 980; 8 A961), 60—61.)
Фейт (РайЬ С), Шпдз шИ\ АНштит СоптЧюп оп Рппс1ра1
Ыеа1з I; II, АгсН. Ма1к., 10 A959), 327—330; 12 A961), 179—
181.
• , Огс1ег5 т 51тр1е АгИтап Шп^з, Тгап8. Атег. МаНг. Зое,
114 A965), 61—64.
, Ьес1игез оп ЩесИче МосМез апс! (ЗиоНеп! Шп^з, Ьес1иге
по!ез т МатетаИсз, 49, 5рпп§ег-Уег1а^, ВегНп, 1967.
, У ту ми (РаНЬ С, Шипи У.), Оп а №чу РгооГ о!
ЫоП'з ТЬеогет, Ас1а Ма1к., 14 A963), 369—371.
, Ваег Мос1и1ез, АгсН. МаИг., 15 A964), 266—270.
, (ЗиазН^'есНуе МосМез апс! Тпе1Г ЕпсЬтогрЫзт Шпдз,
АгсН. Мат., 15 A964), 166—174.
, Оп Ыоетепап Рпте Кт^з, Тгапз. Атег. МаЛк. Зое, 114
A965), 53-60.
, Ыппзгс Ех1епзюпз о! Кт^з, Рас1\[с /. Ма1к., 14 A964),
505—512.
Феллер (Ре Пег Е. Н.), Ргорег^ез о\ Рптагу 1Чопсотти1:а-
Иче Ктдз, Тгапз. Атег. Ма(к. Зое, 89 A958), 79—91.
, Ыоетепап МосМез апсЗ 1Моетепап ГщесНуе Шп#з, Тдкоки
АШк. /., 17 A965), 130—138.
Феллер, Своковский (РеПег Е. Н., 5\уокочузк1Е. XV.),
КеНесНуе М-рпте Кт^з ш1\\ 1Ье АзсепсПп^ СЬат СопсШюп,
Тгапз. Атег. Ма(к. Зое, 99 A961), 264—271.
, Оп Шп§ Ех1епзюпз Гог Сотр1е1е1у Рптагу МопсотггМа-
Нуе Ктр, Тгапз. Атег. Ма1к. Зое, 105 A962), 251—263.
, ТЬе Шп§ о\ ЕпдотогрЫзтз оГ а Тогзюп-ггее МосЗи1е, /.
Ьопйоп Ма1Н. Зое, 39 A964), 41—42.
Финдлей (Р1 п A1 а у О. С), КеИех1уе НототогрЫс КеМюпз,
Сапаа1. АШк. ВиИ, 3 A960), 131—132.

272
Библиография
Ф инд л ей (Р 1 п (П а у О. Э-), МиШрНсаглуе Ыеа1 ТЬеогу апс!
Шп^з о! (ЗиоИеп^з, Ргос. коуа1 Зое. Е(ИпЬиг§Н, 68, Раг! I
A968), 30—53.
Финдлей, Ламбек (Р 1 п <^ 1 а у О. Э., ЬатЬек Л.), А Ое-
пегаПгес! Шп& о! (ЗиоИепгз I; II; СапоЛ. МаШ. ВиИ, 1
A958), 77—85, 155—167.
Флайшер (Р 1 е 1 з с Ь е г I.), А Ыо*е оп ЗиЬаЧгес! Рго(Зис1з,
Ааа МаШ., 6 A955), 463—465.
Фудзивара (Ри,П\уага Т.), Оп 1Ье Ех1з1епсе о! А1§еЬга1-
са11у С1озес1 А1^еЬгаю Ех{епзюпз, Озака МаШ. /., 8 A956),
23—33.
Фу кс* (Р и с Ь Ь.), Частично упорядоченные алгебраические
системы, «Мир», М., 1965.
Халмош (На1то8 Р. К.), Воо1еап А1^еЬгаз, МиШ^гарЬес!
1ес1иге по!ез СЫса^о, ишуегзНу о! СЫса^о Ргезз, 1959.
, Ьестигез оп Воо1еап А1^еЪгаз. Рппсект, N. У., ^. Уап
Моз1гапA Сотрапу, 1963.
Херстейн (Н е г з 1 е 1 п I. М), ТЬеогу о! Шпдз, МиШ^гарЬео*
1ес1иге по1ез, СЫса^о, ишуегзЙу о! СЫса^о Ргезз, 1961.
, А Тпеогет о! 1ечНгки Ргос. Лтег. МаШ. Зое, 13 A962),
213—214.
*, МопсотгтШуе Шп^з, Ыечу Уогк, 1968.
Хилтон, Ледерман (ШИоп Р. 1, Ьебегтапп Ш.), Оп
Ше Логс1ап-Н61с1ег Тпеогет т Ното1о^юа1 Мопо1с1з, Ргос.
1опй. МаШ. Зое, 10 A960), 321—334.
Хилтон, У а й л и (Н 111 о п Р. Л., XV у 11 е 3.), Ното1о^у ТЬеогу,
Ьопс1оп, СатЬпс1&е, ОтуегзНу Ргезз, 1960. (Русский
перевод: Хилтон П. Дж., У а й л и С, Теория гомологии,
«Мир», М., 1966.)
Христенсен (СЬНзгепзеп I.), Оп Махппа1 Шп^з о! Ш^п*
(ЭиоИепгз, Сапаа1. МаШ. ВиИ, 5 A962), 147—149.
Чейз (СЬазе 5. II.), 01гес1 Ргосклс! о! МосМез, Тгапз. Апгег.
МаШ. Зое, 97 A960), 457—473.
Шода (ЗЬосЗа К-), АП&етете А1^еЬга, Озака МаШ. /., 1
A949), 182—225.
, 2иг ТЬеопе дег а1^еЬга1зсЬеп ЕпуеНешп^еп, Озака МаОг.
/., 4 A952), 133-144.
, ВепсЬИдипд ги (Зеп АгЬеНеп ОЬег (Не ЕгшеИегип^еп а1^еЬ-
га1зсЬег 5уз1ете, Озака МаШ. /., 9 A957), 239—240.
Цассенхауз BаззепЬаиз Н. Л.), ТЬе ТЬеогу о! Огоирз,
№\у Уогк, СЬе1зеа РиЬПзЫп^ Сотрапу, 1958.
Э к м а н, Ш о п ф (Есктапп В., 5 с Ь о р ! А.), ОЬег н-уесМуе
МоAи1п, Агск. МаШ., 4 A953), 75—78.
Ятегаонкар ^ а 1 е § а о п к а г), Ьей Рппара1 Ы.еа1 Кш^з,
Зрпп^ег-Уег1а§, ВегПп, Не1Aе1Ьег§, Ыечу Уогк, 1970.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 9
Автоморфизм 20
Адзумая теорема 127
Аксиома выбора 31
Аннулятор 60
Аннуляторный идеал 72, 178
Артинов модуль 39
Артиново кольцо 110
Атом 45, 82
Атомная булева алгебра 82
Базис открытых множеств 79
— свободного модуля 132
Билинейное отображение 187
Бимодуль 88, 101
Бифунктор 193, 214
Большой подмодуль 99, 162
Булева алгебра 14
Булево кольцо 14
Веддербёрна — Артина теорема
108
Векторное пространство 88, 106
Верхняя грань 16
Внешность 81
Внутренность 80
Вполне приводимое кольцо 106
— приводимый модуль 99
— примарное кольцо 59
— упорядоченное множество 17
Главный идеал 90
Гомоморфизм 20, 30, 191
Гомоморфное отношение 21
Группа 9
— характеров 143
Групповое кольцо 234
Делимая абелева группа 142
Делитель нуля 47
Дискретная топология 83
Дистрибутивная структура 12
Дитцмана лемма 233
Дифференцирование 162
Дополнение элемента 12
Дробь 64
Дуализация 140
Дуальная булева алгебра 15
Дуальный фильтр 55
Естественный изоморфизм
функторов 195
Закон модулярности,25
Замкнутое множество 78
Замкнутый элемент 17
Замкнутость относительно
конечных произведений 51
Замыкание 78
Идеал 24
— главный 90
— нильпотентный 93
— обратимый 162
— первичный 90
— плотный 63
— правый 32
минимальный 85
сингулярный 17
собственный 32
— примитивный (справа) 86
— простой 47
Идемпотент 33
Изоморфизм 20
Инъективная оболочка 149
Инъективный модуль 141
Канонический мономорфизм 65
— эпиморфизм 23
Квазиинъективный модуль 167

274
Предметный указатель
Китайская теорема об остатках
97
Классическая дробь 66
Классически полупростое
кольцо 106
Классическое кольцо частных
66
— правое кольцо частных
173
Ковариантный функтор 193
Кольцо 10
— артиново 110
— булево 14
— вполне приводимое 106
примарное 59
— групповое 234
— классически полупростое 106
— коммутативное 10
— локальное 57, 123
— метапримитивное 231
— наследственное справа 139
— нётерово ПО
— первичное 90
— подпрямо неразложимое 53
— полунаследственное справа
139
— полупервичное 51, 93
— полупримитивное 51, 95
— полупростое 51, 106
— полусовершенное 120
— примарное 59
— примитивное (справа) 86
— простое 86
— рационально полное 67
— регулярное 56, 57
— самоинъективное 77—78
— частных 68
классическое 66
правое 173
полное 65
правое 151
Коммутативное кольцо 10
Компактное топологическое
пространство 78
Композиционный ряд 38
Р-компонента идеала 223
Конгру-энция 22
Конечная топология 89
Конечномерный модуль 162
Контравариантный функтор
Короткая точная
последовательность 201
Крулля — Ремака —
Шмидта — Веддербёрна теорема
44
Линейное преобразование 88
Линейно упорядоченное
множество 11
Локальное кольцо 57, 123
Локальный идемпотент 125
Максимальное существенное
расширение 147
Максимальный идеал 47
— элемент 31
Малый подмодуль 149
Матричная единица 182
Метапримитивное кольцо 231
Минимальный правый идеал 85
Многообразие 10
Модуль 28
— артинов 39
— без кручения 210
— вполне приводимый 99
— инъективный 141
— квазиинъективный 167
— конечномерный 162
— неприводимый 85
— неразложимый 42
— нётеров 39
— однородный типа Т 168
— плоский 204, 206
— проективный 132
— свободный 132
— точный 86
— характеров 143
Модулярная структура 25
Моноид 9
Мономорфизм 20
Наследственное справа кольцо
139
Неделитель нуля 173
Неприводимый модуль 85
Неразложимый модуль 42
— в пересечение подмодуль
168
Несократимая дробь 66
Нётеров модуль 39
Нётерово кольцо ПО

Предметный указатель
275
Нижний конус 74
Нижняя грань 16
Ниль-идеал 118
Ниль-подмножество 114
Нильпотентный идеал 93
— элемент 50, 92
Носитель 234
Нулевой гомоморфизм 200
Область значений 198
— определения 198
— целостности 47, 210
Образ 198
Обратимый идеал 162
— справа элемент 85, 94
— элемент 47
Обратное отношение 28
Обратный элемент 47
Однородная компонента 102
Однородный модуль типа Т 168
Операция замыкания 17
Ортогональное множество
идемпотентов 120
Ортогональные идемпотенты 33
Отделимые точки 225
Открытое множество 78
Пасмана лемма 232
Первичное кольцо 90
Первичный идеал 90
— радикал 49—50, 92
Плоский модуль 204, 206
Плотная подгруппа 68
Плотное подмножество 90, 231
Плотный идеал 63
— подмодуль 154
Подкольцо 19
Поднятие идемпотентов 108
Подпрямое произведение 52
Подпрямо неразложимое
кольцо 53
Поле 10, 47
Полная абелева группа 142
— булева алгебра 17
— структура 16
Полное кольцо частных 65
— правое кольцо частных 151
Полугруппа 9
Полунаследственное справа
кольцо 139
Полупервичное кольцо 51, 93
Полупримитивное кольцо 51,95
Полупростое кольцо 51, 106
Полусовершенное кольцо 120
Полуструктура 11
Полярность 77
Пополнение Дедекинда — Мак-
нейла 75
— сечениями 75
Правое кольцо частных 158—
159
Правый идеал 32
— ^-модуль 28
— порядок 182
— сингулярный идеал 170
Примарное кольцо 59
Примитивное (справа) кольцо
86
Примитивный (справа) идеал
86
— идемпотент 120
Принцип полного
упорядочивания 31
Проективное накрытие 149
Проективный модуль 132
Простое кольцо 86
Простой идеал 47
Прямая сумма 33
внешняя 34, 130
Прямое произведение 32
Прямой мономорфизм 145
— эпиморфизм 134
Пучок 228
Радикал 49, 94
— Джекобсона 49, 94
— модуля 98
Размерность векторного
пространства 107
Рациональное пополнение 167
Рационально полное кольцо 67
Регулярное кольцо 56—57
— открытое множество 81
Самоинъективное кольцо 77—
78
Свободный модуль 132
Связывающие гомоморфизмы
218
Сечение 228
Сингулярный подмодуль 170
— правый идеал 170

276
Предметный указатель
Смежный класс 22
Собственный правый идеал 32
— фильтр 55
Строго нильпотентный элемент
92
Структура 12
— с дополнениями 12
Сумма абелевых групп 25
Существенное расширение 146
Тело 10, 85
Тензорное произведение 186
Терциарный радикал 169
Теорема Гильберта о базисе 115
— плотности 88
Топологическое пространство
78
Топология произведения 89
Точная верхняя грань 12, 16
—- нижняя грань 16
— пара 199
— последовательность 199
Точный модуль 86
— слева функтор 202
— справа функтор 202
Ультрафильтр 55
Упорядоченное множество 10
Условие Оре 174
Фактор 38
Фильтр 55
Фиттинга лемма 42
Функтор 193
Хаусдорфово топологическое
пространство 225
Цассенхауза лемма 37
Центр 32
Централизатор 242
Центральный элемент 32
Цепь подмодулей 38
Цоколь 98
Цорна лемма 31
Частичное произведение 27
Частные 26
Шраера теорема 38
Шура лемма 87
Эквационально определенный
класс 10
Эндоморфизм 20
Эпиморфизм 20
Ядро 198

УКАЗАТЕЛЬ МЕНЕЕ ОБЩЕПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
а Л Ь = ш! {а, Ь) 11
аУ Ь = вир {а, Ъ) 12
"ф°ср композиция или произведение 20
ф*а|) композиция или произведение 20
А.' В А над В 26
В'. Л Б под А 26
2® внешняя прямая сумма 34
В (Я) булева алгебра центральных идемпотентов 45
К* аннулятор 60, 72, 178
(} = С}(Н) полное правое кольцо частных 65, 151
<2с1 = (?о1 (Я) классическое (правое) кольцо частных 66, 173
В* (/?) булева алгебра аннуляторных идеалов 72
ХА множество всех верхних граней множества X 74
Х^ множество всех нижних граней множества X 74
/)E) пополнение Дедекинда — Макнейла 75
ТА = {Р <= П | А ф Р} 79
АУ=Р) Р 80
РаУ
К[х] кольцо многочленов 97, 115
ЦА] структура подмодулей 100
Мп модуль характеров 143
/*=/(/?*) 151
Н = Н(Я) =Нотн(/,/) 151
3(Мп) сингулярный подмодуль 170
Аг правый аннулятор идеала А 178
В 08 А В над А 190
В0г С В под С 190
Р0а, Р0Г, Р®а191
1т1, Кег2 213
АР Р-компонента 223
Ар = {де=Я\д-1А&Р} 226
АО 234
соЯ 235
Л1 левый аннулятор правого идеала 236
С(§), С (г*) централизатор 242
О* 242
0> 250
и 251

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Введение 7
Глава 1. Основные алгебраические понятия ....... 9
§ 1.1. Кольца и связанные с ними алгебраические
системы 9
§ 1.2. Подкольца, гомоморфизмы и идеалы .... 19
§ 1.3. Модули, прямые произведения и прямые суммы 28
§ 1.4. Классические теоремы об изоморфизмах ... 36
Глава 2. Некоторые вопросы теории коммутативных колец 47
§ 2.1. Простые идеалы в коммутативных кольцах . . 47
§ 2.2. Простые идеалы в некоторых классах
коммутативных колец 55
§ 2.3. Полное кольцо частных коммутативного кольца 62
§ 2.4. Кольца частных коммутативных полупервичных
колец 71
§ 2.5. Пространства простых идеалов 78
Глава 3. Классическая теория ассоциативных колец .... 85
§ 3.1. Примитивные кольца .85
§ 3.2. Радикалы 92
§ 3.3. Вполне приводимые модули . 98
§ 3.4. Вполне приводимые кольца 103
§ 3.5. Артиновы и нётеровы кольца ПО
§ 3.6. Поднятие идемпотентов 118
§ 3.7. Локальные и полусовершенные кольца .... 123
Глава 4. Инъективность и близкие вопросы 130
§ 4.1. Проективные модули 130
§ 4.2. Инъективные модули 140
§ 4.3. Полное кольцо частных 151
§ 4.4. Кольца эндоморфизмов инъектнвных модулей . 162
§ 4.5. Регулярность кольца частных 169
§ 4.6. Классические кольца частных 173
§ 4.7. Теорема Фейта — Утуми 181

Оглавление
Глава 5. Введение в гомологическую алгебру 186
§ 5.1. Тензорное произведение модулей 186
§ 5.2. Функторы Нот и ® 191
§ 5.3. Точные последовательности 198
§ 5.4. Плоские модули 206
§ 5.5. Функторы Тог и Ех1 212
Приложения 222
Функциональные представления 222
Групповое кольцо 232
Полупервичные групповые кольца. Ян Коннел . . . 250
Комментарии 255
Библиография 263
Предметный указатель 273
Указатель менее общепринятых обозначений .... 277

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу:
129820. Москва, И—ПО, ГСП
1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».
И. Л а м б е к
КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Редактор Г. М. Цукерман Художник Я. А. Филъчагина
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Я. Д. Дерва Корректор В. Я. Беделъ
Сдано в набор 2/Ш 1971 г. Подписано к печати 27/1Х 1971 г.
Бумага № 2. 84Х1081/з2 = 4,38 бум. л, 14,70 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 12,29.
Изд. № 1/5817. Цена 85 к. Зак. 1027.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгений Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при
Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29