01е СгшкНеЬгеп с!ег
ЛШЬетаИзсИеп \У18$еп8сЬаЙеп
Ваш! 115
ЕО\УШ НЕ\У1ТТ А№ КЕМЕТН А. К088
АЬз1гас1 Нагтошс Апа1у515
Уо1ите I
81гис1;иге о! Торо1о§1са1 Огоирз
1п1ебга1:10П ТНеогу
Огоир Керге8еп1аиоп5
8РЯ^СЕК-УЕКЬАО. ВЕКМ1ЧСОТТ1№Б1ЧНЕЮБЬВЕКС 1963

э. хьюитт
к. росс
Абстрактный
гармонический
анализ
Том 1
Структура топологических групп
Теория интегрирования
Представления групп
Перевод с английского
А. А. Мальцева
под редакцией
М. Я. Антоновского
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСК В А 19 7 6

517.2
Х-98
УДК 517
Абстрактный гармонический анализ, Э. X ь ю и т т, К. Росс,
Главная редакция физико-математической литературы
издательства «Наука», М., 1975.
Настоящая книга представляет собой первый том двухтомной
монографии американских математиков. Двухтомник содержит
энциклопедически полный обзор с единой точки зрения
современного состояния абстрактного гармонического анализа —бурно
развивающейся области математики. Монография отличается
широтой охвата и удачной компоновкой материала.
Первый том содержит изложение теории локально
бикомпактных групп и может рассматриваться как введение в абстрактный
гармонический анализ, хотя многие изложенные в нем тонкие
теоремы можно найти лишь в журнальных статьях.
© Перевод на русский язык,
20203—157 Главная редакция
62-75 физико-математической литератур]
053@2)-75 издательства «Цаука>с 197$

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Классический гармонический анализ возник как одно из
орудий решения задач механики, физики и теории вероятности.
Первым этапом его зрелости явились теория рядов и интегралов
Фурье, а также задачи спектрального анализа и синтеза. По мере
развития теории топологических групп становилось ясным, что
многие задачи и теоремы классического гармонического анализа
можно перенести и на случай произвольной топологической
группы. Так возник абстрактный гармонический анализ.
В создании этого замечательного направления в современной
математике, важного не только своей внутренней красотой,
но и новыми приложениями в функциональном анализе,
математической физике, теории дифференциальных уравнений,
сыграли большую роль работы советских математиков—Л. С. Пон-
трягина, А. И. Мальцева, И. М. Гельфанда, М. Г. Крейна,
М. А. Наймарка.
Хотя абстрактный гармонический анализ достаточно хорошо
представлен в математической литературе нашей страны, но
до сих пор не было полного изложения основ этой теории. Из
зарубежных монографий одной из наиболее популярных и часто
цитируемых является двухтомник Э. Хьюитта и К. Росса.
Первый том фактически представляет собой самостоятельную
монографию по теории топологических групп, во многих
отношениях хорошо дополняющую замечательную книгу Л. С. Понт-
рягина «Непрерывные группы».
По обилию фактического материала первый том можно
назвать энциклопедией по общей теории топологических групп.
Авторы обычно прослеживают все возможности обобщения
доказываемых теорем, очень строго формулируют условия. В
подавляющем большинстве случаев в специальных разделах после
каждой главы даются примеры, показывающие необходимость
требований в формулировках теорем, указываются и возможные
пути дальнейших обобщений.

6
Предисловие редакторов перевода
Второй том посвящен гармоническому анализу на
компактных и локально компактных абелевых группах. В тексте этого
тома имеется довольно много ссылок на учебник тех же
авторов «Вещественный и абстрактный анализ». Подавляющее
большинство фактов, изложенных в этом учебнике, входит в
программу курсов функционального анализа (или анализа III),
читаемых в наших университетах. Необходимые сведения
читатель может получить, например, из учебников А. Н. Колмогорова
и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального
анализа» (изд. 3-е, «Наука», 1972) и Г.Е.Шилова
«Математический анализ. Специальный курс» (изд. 2-е, Физматгиз, 1961).
Конечно, книга Хьюитта и Росса не охватывает весь
гармонический анализ. Например, полностью отсутствует часть,
связанная с группами Ли и их представлениями. Впрочем,
включение этого материала потребовало бы увеличения объема
в несколько раз, что вряд ли было бы разумно.
Мы надеемся, что предлагаемый перевод будет полезен и
начинающим математикам, и специалистам как подробное и
тщательное изложение основ гармонического анализа. Кроме того,
книга удобна для ссылок и может быть использована как
справочник всеми, кто применяет методы или результаты
гармонического анализа в других областях.
В русский перевод внесены любезно присланные авторами
исправления опечаток и неточностей, улучшения некоторых
доказательств.
Первый том переведен в издательстве «Наука», второй—в
издательстве «Мир».
М. Я- Антоновский
Л, А, Кириллов

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мы очень польщены решением Московского математического
общества и издательств «Наука» и «Мир» включить нашу
книгу в список зарубежных математических монографий,
переводящихся на русский язык. Доставляет большое удовольствие
думать о большом круге читателей во многих странах, которые
смогут прочесть и, мы надеемся, извлечь пользу из чтения
русского издания.
Как нам кажется, для издания книги по гармоническому
анализу Советский Союз—особенно подходящее место. Хотя
гармонический анализ использует аппарат алгебры, топологии,
функционального анализа, не следует упускать из вида, что
он прежде всего — анализ, опирается в основном на теорию
тригонометрических рядов и интегралов и даже сегодня
черпает многие свои идеи и методы из классического анализа.
Имена же П. Л. Чебышева, С. Н. Бернштейна, Д. Е. Меньшова,
А. Н. Колмогорова и многих других русских математиков —
среди наиболее известных в этой области. Рассматривая
топологическую алгебру в широком смысле слова (многие разделы
которой были созданы Л. С. Понтрягиным, А.И.Мальцевым,
А. Вейлем), также необходимо указать на фундаментальность
вклада советских математиков. Абстрактная же сторона
абстрактного гармонического анализа в еще большей степени обязана
русским математикам: теория (би)компактных пространств
П. С. Александрова и П. С. Урысона; теория двойственности
Л. С. Понтрягина; теория нормированных колец М. А. Наймарка
и И. М. Гельфанда; исследования положительно определенных
ядер М. Г. Крейна — далеко не полное описание вклада
советских математиков.
Приносим нашу сердечную благодарность переводчикам
книги и редакторам перевода, которые отнеслись к переводу
с исключительным вниманием.
Пользуемся также возможностью исправить замеченные
опечатки в оригинале, улучшить некоторые доказательства.
Эдвин Хьюитт
Кеннет А. Росс

ИЗ ВВЕДЕНИЯ АВТОРОВ
Принимая любезное приглашение проф. Ф. К- Шмидта
написать для серии «ОшпсПеЬгеп с!ег АШЬетаИзсЬеп Ш155епсЬа!1еп»
монографию по абстрактному гармоническому анализу, мы
намеревались изложить все сведения по этому вопросу, которыми мы
располагали, примерно на 600 печатных страницах. Мы
предполагали также, что наша книга будет в одинаковой степени
доступна начинающим и полезна специалистам. Оказалось, однако,
что эти цели несовместимы. Предлагаемый том поэтому
содержит лишь половину задуманного труда. В нем содержатся все
те сведения из теории топологических групп, которые
необходимы для построения гармонического анализа, как мы его себе
представляем. Подробно излагается, в частности, теория
интегрирования на локально компактных группах и коротко—теория
представлений групп. Во втором томе мы будем иметь дело с
самим гармоническим анализом на коммутативных компактных
и локально компактных группах.
Книга написана на основе лекций, читанных Э. Хьюиттом в
университете штата Вашингтон и университете Упсалы, хотя,
естественно, объем излагаемого здесь материала несравненно
больше в соответствии с требованиями, предъявляемыми к
специальным монографиям. Как и все другие курсы гармонического
анализа, появившиеся после 1940 года, предлагаемая книга является
прямым потомком фундаментального труда Андрэ Вейля [4]х).
*) Здесь и дальше числа в квадратных скобках указывают работы в
библиографии, находящейся в конце тома. Они упорядочены и пронумерованы
авторами.

Из введения авторов
9
Общеизвестно большое влияние, которое оказал этот труд на всех
работающих в данной области. Мы также широко использовали
книги Люмиса [2], М. А. Наймарка [1] и особенно Л. С. Понт-
рягина [7]. При изучении структуры абелевых локально
компактных групп и теорем двойственности Понтрягина — ван Кампена
мы находимся под сильным влиянием идей Понтрягина.
Мы надеемся все же, что появление этой новой книги по
абстрактному гармоническому анализу оправдано тем, что в нее
включено много недавних результатов, что все важные конструкции
и теоремы излагаются в ней детально, что рассматривается
большое количество конкретных примеров и фактов, не
содержащихся в других монографиях.
Предполагается, что книга доступна студентам, изучившим
стандартные курсы анализа, теоретико-множественной топологии
и алгебры в том объеме, который в настоящее время принят в
университетах США. Мы предполагаем, таким образом, что
читатель знаком с элементарной теорией множеств, элементами
теоретико-множественной топологии, теорией меры и основами
алгебры. Как правило (хотя мы этого правила и не всегда жестко
придерживаемся), факты и понятия из книг Келли [2], Халмо-
ша [2] и Ваи-дер-Вардена [1] будут использоваться без
объяснения или доказательства.
Стремясь сделать книгу полезной специалистам, мы
включили в нее много материала, который при первом чтении
благоразумнее опустить. Вот некоторые советы начинающему
студенту, желающему понять основы теории с минимальной затратой
сил. Можно прочитать вначале §§ 1—7, разделы (8.1)—(8.7) из
§ 8, (9.1)—(9.14) из § 9 и весь § 10. Читатель, уже знакомый
с теорией интегрирования на локально компактных хаусдорфо-
вых пространствах (или согласный принять ее на веру), может
пропустить §§ 11 —14. Параграф 15 абсолютно необходим и
должен быть прочитан с полным вниманием. Параграфы 16—18
можно опустить, а §§ 19—24 жизненно необходимы для понимания
последующего и должны читаться полностью. Параграфы 25—26
достаточно специальны, но настолько интересны, что, мы надеемся,
каждый из читателей возьмет на себя труд прочитать их.
Параграфы 4—11 и 15—26 содержат подразделы, озаглавленные
«Дополнительные теоремы и примеры». Некоторые из содержащихся

10
Из введения авторов
в этих подразделах результаты доказываются подробно,
доказательства других только намечены или вовсе опущены. Иногда мы
и в основном тексте будем ссылаться на факты из «Дополнительных
теорем и примеров». Все такие факты просты и снабжены полным
доказательством. Читателю рекомендуется хотя бы просматривать
утверждения этих подразделов и использовать их в качестве
упражнений ай НЬИшп.
Многие разделы снабжены также историческими справками.
Мы пытались проследить историю основных теорем и концепций,
но, очевидно, ни на какую полноту наш исторический обзор
претендовать не может. И хотя часть из излагаемых результатов
нова, отсутствие ссылки не означает, что авторы приписывают
данную теорему себе.
Для удобства читателя мы собрали в трех приложениях также
некоторый вспомогательный материал, не содержащийся в
стандартных курсах, однако существенный для тех или иных разделов.
Эти приложения могут прочитываться по мере необходимости,
параллельно с чтением основного текста.
Сиэттл, Вашингтон Эдвин Хьюитт
Рочестер, Нью-Йорк Кеннет Л. Росс
октябрь 1962

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Абстрактный гармонический анализ возник и развился в
последние десятилетия на базе нескольких дисциплин. Прежде всего,
в основе лежит классическая теория рядов и интегралов Фурье,
изложение которой можно найти во многих учебниках, например,
Зигмунда [1] или Бохнера [1]. Во-вторых, алгебраическая
теория групп и представлений групп, которая также излагается во
многих стандартных книгах [например, Ван-дер-Варден [1]].
В-третьих, теория топологических пространств, представляющая
собой ныне один из важнейших инструментов анализа и также уже
широко представленная литературой [например, Келли [2]].
Последние две теории объединяются в теорию топологических групп.
Топологическая группа—объект, который одновременно является
и группой, и топологическим пространством, причем групповая
операция определенным образом связана с топологией. Теория
топологических групп интенсивно развивалась в 1925—1940 годах, да
и сейчас ее построение далеко от завершения.
Используя фундаментальную конструкцию, опубликованную в
1933 году Хааром [3], А. Вейль в 1940 году показал, что
классические ряды Фурье и интегралы являются лишь специальными
случаями общей конструкции, пригодной для широкого класса
топологических групп. Более того, многие классические теоремы о
рядах и интегралах Фурье могут быть сформулированы и доказаны
и в этой общей ситуации [равенство Парсеваля, теорема Планшере-
ля, теорема Герглотца—Бохнера, неравенство Хаусдорфа—Юнга
и так далее]. И конца исследованиям в этом направлении, начатым
Вейлем, пока не предвидится. Проблемы в тех или других разделах
гармонического анализа привлекают внимание многих
математиков в настоящее время, и мы не беремся предсказать, в каком
направлении гармонический анализ будет развиваться в
дальнейшем.
В любом случае основания гармонического анализа теперь
кажутся ясными. Настоящий том и посвящен изложению этих

12
Гл. 1. Введение
оснований. Первой нашей целью является детальное изучение
топологических групп. Нам потребуется, естественно,
некоторое количество фактов о группах и топологических
пространствах, изложение которых и содержит настоящая глава.
§ 1. Обозначения и терминология
В этом разделе описываются терминология и обозначения,
употребляющиеся затем во всей книге, причем общепринятые
обозначения используются без объяснений.
Символы с: и з означают обычные включения множеств,
причем возможность равенства не исключается. Пустое
множество обозначается 0. Часто множества, которые мы
рассматриваем, являются подмножествами некоторого универсального
множества, скажем, Е. В этом случае Л' означает дополнение
множества Л
А' = {х: х^Е и х^А}.
В каждом отдельном случае будет ясно, о каком множестве Е
идет речь. Для любых двух множеств А я В симметрическая
разность А/\В определяется как множество (А П В') и (А' П В).
Семейство Л множеств центрированох), если Г) {А: А ^ $~)Ф0
для любого конечного подсемейства §Г семейства Л. В
частности, любое множество центрированной системы непусто.
Совокупность {Л^^/ множеств Ль называется разлоо/сением
множества X, если 1)А1 = Х, каждое из Ль непусто и множества А1
ье/
попарно не пересекаются. Семейство {Л^е/ называется
покрытием множества X, если ЦА^Х. Для данного X 9* (X) — мно-
16/
жество всех подмножеств множества X.
Предполагается, что читатель знаком с элементарными
фактами о кардинальных и порядковых числах. Под счетным
множеством мы понимаем также и конечное, и пустое множества.
Бесконечное счетное множество имеет мощность #0, а множество
вещественных чисел — мощность с = 2 °. Мощность
произвольного множества Л обозначается Л.
Подмножество V частично упорядоченного множества X
называется конфинальным вХ, если для любого х^Х существует
такое у€УУ что х^г/.
Термины «отображение», «преобразование», «соответствие»
мы считаем синонимами слова «функция». Термин «оператор»
*) Автор употребляет здесь термин «свойство конечного пересечения».—
Прим. перев.

§ 1. Обозначений и терминологий
13
имеет специальный смысл, объясняемый в Приложении (В.2).
Функция / часто определяется записью
где х обозначает произвольный элемент области определения
функции /, а /(х)—его образ относительно/. Для любой
функций' / и подмножества А ее области определения функция /1 А
определяется как сужение / на А.
Если /—функция из X в У, а §—функция из V в 2, то
композиция ^о/ функций § и / определяется формулой §о}(х) =
=ё(Нх)) Для любого х^Х\ §о[ отображает X в2.
Пусть А — подмножество множества X. Символ %А
употребляется для функции с областью определения X, задаваемой
следующим образом:
П при х€ Л,
Ы*) = |0 при хеА^
Функция 1А называется характеристической функцией
множества А.
Пусть {Х^.1^1} — непустое семейство множеств. Множество
Р Хь определяется как множество всех функций я из / в [)Х1
16/ 16/
таких, что х^^Хъ для любого 1^.1. Это множество называется
декартовым произведением множеств X,,. Мы будем обычно
записывать элементы декартова произведения Р Хь символами (хь),
1€/
где х1 = хA). Таким образом, (л;,,) есть элемент произведения
Р Х1 и для каждого I х1 есть элемент из Хь. Если все множе-
1€/
ства Хь одинаковы, Х1 = Х для всех I, а мощность множества /
равна т, то вместо Р Х1 часто пишем Хш. Если / конечно, ска-
16/
жем / = {1,2, ..., т\у соответствующее декартово произведение
т
иногда записываем Р Хк или ХххХ2х... хХ^.
Символ /? резервируется для множества вещественных
чисел, К—для множества комплексных чисел, <2—для множества
вещественных рациональных чисел, 2—для множества целых
чисел. Символ ехр означает показательную функцию,
определенную на К- Символ Тобозначает множество {ехр Bшх): 0^х< 1};
оно является подмножеством К. Множество всех чисел вида
ехр Bшк/рп)у где р—фиксированное простое число, к пробегает
все целые числа, а п—неотрицательные целые, обозначается
через 2(р°°). Функция 51§пшп или з§п на К определяется
формулой щпг = г/\г\ при ^Ои 5§п0 = 0.

14 Гл. 1. Введение
Для вещественных чисел а и Ь, а^.Ь, определяем
[а, Ь] = {х€К'.а^х^Ь\, (а, Ь) = {х^Н:а<х <Ь),
(а, &] = {*€ #: я <*<&}, [а, Ь) = {*6#: я<*<&}.
Полагаем также (а, оо) = {х ^ /?: а < л:} и аналогично определяем
[а, оо), (—оо, а), (—оо, а], (—оо, оо).
Комплексное п-мерное и вещественное п-мерное пространства
обозначаются соответственно Кп и Нп> п = 2, 3, 4, ... Для
а = (B!, ...,а„) и Ь = (Ь1У ...,Ьп) из /С" внутреннее произведение
п
<а, &> определяется как 2 аА: и норма элемента а как ||а||=
к = 1
=<а, аI/2. Символ 5„.! обозначает множество тех элементов
а^Кп, для которых ||а|| = 1.
Для непустого множества X и положительного
вещественного числа р определяем 1р(Х) как множество всех комплекс-
нозначных функций а на X, для которых ^\а{х)\р <оо. Оче-
хеХ
видно, функции из 1р(Х) равны нулю вне некоторого счетного
подмножества из X. Норма функции а^1р(Х) есть число
'2 И*) К
\хеХ
1/Р
Детальное обсуждение 1р(Х) см. в § 12.
Для произвольного непустого множества X 8ху обозначает
функцию на X х X такую, что 8ХХ = 1 для всех х ^ X и 8ху = О,
если х=Фу9 х,у^Х. Эта функция называется дельта-функцией
Кронекера или символом Кронекера.
Конец каждого доказательства обозначается символом [].
§ 2. Теория групп
В этом разделе приводится терминология и обозначения,
используемые затем во всей книге. Кроме того, здесь же
доказывается и несколько теорем о группах, хотя большинство из
них общеизвестны1). Доказательства их приводятся для
облегчения понимания аналогичных теорем в последующих разделах,
связанных с топологическими рассмотрениями. Подробное
систематическое изложение теории групп читатель может найти в
книге Куроша [1], а более короткое и
элементарное—например, в книге Ван-дер-Вардена [1].
!) Единственная нестандартная теорема § 2 есть B.9).

# 2. Теория грдпп
15
В некоторых разделах книги, таких, как §§ 9 и 23—26, нам
потребуются более тонкие теоремы об абелевых группах. Все
они приведены с полными доказательствами в приложении А.
Имея дело с абстрактными группами, мы будем, как
правило, для записи операций придерживаться мультипликативных
обозначений, за исключением части приложения А, где
аддитивная запись оказывается удобнее. Аддитивная запись
используется также для записи операций в множествах 7?, 2, Кп и т. д.
с естественнойгрупповойоперацией.В рассмотрениях,касающихся
мультипликативной группы О, символ в резервируется для записи
единичного элемента группы О.
Во всей книге основным объектом для нас являются группы.
Для некоторых целей, однако, полезно рассматривать
полугруппы. Под полугруппой мы понимаем непустое множество О
и отображение {х,у)*-*ху произведения ОхО в О такое, что
х{уг) — {ху)г для любых х, у, г^О. Иными словами, полугруппа
есть любое непустое множество с ассоциативной бинарной
операцией на нем. Мы не предполагаем наличия в полугруппе
единицы или выполнения какого-либо закона сокращения. Отметим
также, что полугруппы могут содержать подгруппы и что группы
могут содержать подполугруппы, не являющиеся подгруппами.
Пусть О—группа. Для фиксированного элементарно
отображения ху-^>ах и х\—>ха группы О на себя называются
соответственно левым и правым сдвигами на элемент а. Отображение
х\-+х~х группы О на себя называется инверсией.
Отображение х\-*>ахаГх группы О на себя называется
внутренним автоморфизмом группы О и будет обычно записываться
Рд, так что ра(х) = аха~1. Множество всех автоморфизмов
группы О само является группой относительно композиции в
качестве операции, содержащей внутренние автоморфизмы в
качестве подгруппы; отображение а к->ра является гомоморфизмом
группы О в ее группу автоморфизмов.
Пусть Л, В—подмножества группы О. Множество \аЬ: а^А,
Ъ^В) записывается АВ и, аналогично, А— {а'1: а$ А\. Для
сокращения записи пишем также аВ вместо {а} Б, Ва вместо
В {а} и Л2, Л3 и т. д. вместо АА, ААА... Подгруппа Я группы О
называется собственной, если НфО и НФ{е).
Для подгруппы Я группы О символ С/Я обозначает всегда
пространство левых классов смежности по Я. Точками 0/Н
являются, таким образом, множества хН и 0/Н = {хН:х^О\.
Пусть Я—нормальная подгруппа группы С. Отображение хь->хН
группы О на 0/Н называется естественным отображением О
на О/Н. Это отображение является, очевидно, гомоморфизмом.
Группа 0/Н называется при этом факторгруппой группы О по
подгруппе Я. Для фиксированного а^О через л1|) обозначается
отображение 0/Н на себя, заданное формулой а$(хН) = (ах) Я

16 Гл. 1. Введение
для любого хН^О/Н. Отображение а^, очевидно, определено
корректно, причем ая|)—взаимно однозначное отображение 0/Н
на себя, а множество {ая|):а^О} образует относительно
композиции группу, являющуюся гомоморфным образом группы О
при отображении ан-»^. Если хН и уН—классы смежности
группы О по подгруппе Я, то отображение ^-пр переводит,
очевидно, ## в уН. Элементы а и Ь в группе О называются
сопряженнымиу если а переводится в Ь некоторым внутренним
автоморфизмом группы О, т.е. если Ь = хах~1 для некоторого
х^О. Отношение сопряженности порождает разбиение {Л,,}1е/
группы О на классы, называемые классами сопряженности
группы О; два элемента а> Ь^О тогда и только тогда принадлежат
одному классу Аи когда элемент а сопряжен Ъ.
Как уже отмечалось, 7?, 2, ф, 7?", /С",...—абелевы группы
относительно операции сложения, а Г и 2(/?°°)—абелевы группы
относительно умножения. Группы #, Т, <2, 2(р°°) окажутся
нам очень нужными в структурной теории, строящейся в §§ 9,
24—26, а группа Т вообще играет, как мы увидим в §§ 23, 24,
фундаментальную роль во всем гармоническом анализе.
Через 2(т) будем обозначать конечную циклическую группу,
содержащую т элементов (т = 2, 3,...); чаще всего мы будем
записывать ее в виде множества @, 1,2, ..., т—1} с операцией
сложения по модулю т.
B.1) Первая теорема об изоморфизме. Пусть О — некоторая
группа, Н и А—ее подгруппы, причем Н нормальна. Тогда
АН = НА— подгруппа группы О, Н—нормальная подгруппа
группы АНу а НГ\А — нормальная подгруппа группы А. Далее,
группы АН/Н и А/(Н Л А) изоморфны, причем изоморфизм т между
ними задается отображением аНн->(аН) П А = а(Н Г) Л), а^А.
Доказательство. Первые три утверждения теоремы очевидны.
Докажем изоморфность АН/Н и А/(Н[]А). Рассмотрим
отображение группы А на АН/Н у заданное формулой а\->аН. Легко
усмотреть, что это—гомоморфизм, ядром которого служит
группа НГ\А. По основной теореме о гомоморфизмах групп,
группы АН/Н и А/(Н П А) изоморфны, причем изоморфизм
задается отображением а(Н(] А)\-^>аН. Обратное отображение к
последнему и есть т-[]
B.2) Вторая теорема об изоморфизме. Пусть О и б—группы
с единичными элементами е и е соответственно и пусть ср —
гомоморфизм О на О. Если Н—нормальная подгруппа в О, Я=ср_1(Я)
и Ы = ц~1(е), то группы 0/Н, 0/Н и @/Ы)/(Н/Щ изоморфны.
Доказательство. Отображение х\-^хр(х)Н является
гомоморфизмом группы О на группу 0\Н с ядром Ну так что группа

$ 2. Теория групп
17
0/Н изоморфна 0\Н. Поскольку б изоморфна 0/Ы, а Н
изоморфна Н/Ы, группа 0//7 изоморфна группе (С/Ы)/(Н/Ы). []
B.3) Прямые произведения. Пусть {О,,: ^/[ — некоторое
непустое семейство групп и пусть Р Сь—декартово произведение
16/
множеств Сь. В Р О,, вводим мультипликативно записываемую
16/
бинарную операцию, полагая (х%) (уь) равным элементу (х^) для
любых (хь) и (уь) в Р 0Ь. Относительно этой операции Р 01 явля-
16/ 16/
ется группой, называемой прямым произведением групп О,,1).
Сами группы 01 называются при этом сомножителями. Единицей
группы Р 01 служит элемент (еь)9 каждое ех которого есть еди-
16/
ница в соответствующем сомножителе 0Ь. Пусть Р* 0Ь—множе-
16/
ство тех элементов (хь) из Р Оь, у которых х1 феь лишь для ко-
16/
нечного числа индексов I (конечно, это множество индексов
различно, вообще говоря, для различных (хь)). Множество Р*01
16/
оказывается подгруппой группы Р 01 и называется слабым пря-
16/
мым произведением'2') групп 0Ь. Если все сомножители
произведения Р 0Ь одинаковы, т. е. 0Ь = 0 для всех I, а мощность мно-
16/
жества индексов равна т, то вместо Р 0Ь и Р**^ употребляются
16/ 16/
также записи 0т и 0т*.
B.4) Теорема. Пусть О—группа с единицей е, а Ы19 Ы2У ...,№т —
совокупность нормальных подгрупп в О такая, что
A) ЫгМ2 ... Ыт = 0;
(и) (Л^М2 ... Мк)Г{Мк+1 = {е} для всех к=1, 2, ..., т—1.
т
Тогда группа О изоморфна прямому произведению Р Ык.
Доказательство. В силу (и) имеем Л^ П Л/у = {е} при 1Ф].
Далее, для Ху€Ы1г, /=1, 2, имеем х1х2Х11х^1 = (х1х2х^1)х21^Ы^
и аналогично хгх2х1гх2г 6 Л/^, поэтому х1х2 = х2х1. С другой
стороны, каждый элемент х^д может быть записан как хгх2 ... хт,
где каждое хк принадлежит Nк. В силу сказанного выше
х) Для конечного числа сомножителей, особенно для двух, употребляется
также обозначение 01у<02.— Прим. перев.
2) В литературе также употребительны термины полное прямое произведение
для Р Си и прямое произведение для Р* 0\, . — Прим. перев,
16/ 16/

18
Гл. 1. Введение
(следствие условия (и)) это представление единственно и порож-
т
дает отображение группы С на Р Ык по формуле х(х)=
т к— 1
(хк) ^ Р N кУ где хгх2 ... хт = х. Нетрудно показать, что это
к=\ т
отображение есть изоморфизм О на Р Ык.[]
B.5) Теорема. Пусть О—группа с единицей е и пусть {А^:
1(Е/}—непустое семейство нормальных подгрупп в О. Пусть,
далее, для каждого 1^1 М1—наименьшая подгруппа группы О,
содержащая все Л/\ для Хф1. Если:
A) наименьшая подгруппа в О, содержащая все Ыи есть сама О;
(и) для каждого ь (Е / имеем М1(]Ы1= {е},
то группа 0 изоморфна слабому прямому произведению Р* Л^ь
16/
групп Ыь.
Доказательство. Множество всех конечных произведений
#1*2 ••• хк> *у€Л^., очевидно, есть подгруппа группы О,
содержащая все Л^ь и потому, в силу условия A), совпадающая с О.
Итак, всякий элемент х(ЦО записывается в виде х = хгх2 ... хк,
причем это представление единственно, так как из хгх2 ... хк=
=УгУ2 ••• У и (*/» У] €#1.) и вытекающего из A1) равенства
хгх8 = *,*, при хг € ЛГ1г, х5 6 #1,, следует г/г1*! • • • ^-Л-1 = Укхкх
и, снова по A1), ук = хк. Поэтому отображение хгх2 ... хк\->
«-»(*/,,) (где уь. = Ху при /=1,2, ..., & и гл, = е в остальных
случаях) есть изоморфизм О на Р* Ыь. ?
1€/
B.6) Полупрямые произведения. Пусть в группе Ь выделены
подгруппы О и Ну причем О—нормальная подгруппа, такие, что
ОЯ = /,и СП Н= {е}. Иначе говоря, предположим, что из каждого
смежного класса по подгруппе О можно выбрать элемент к таким
образом, что объединение выбранных элементов является
подгруппой, именно Н. Если Н—также нормальна, то группа Ь
изоморфна прямому произведению ОхН. Мы можем, однако,
и в случае, когда Я не является нормальной, восстановить
группу Ь по подгруппам О и Я, если мы знаем поведение
внутренних автоморфизмов рЛ на группе О. Именно, при х;-^0
и ку^Н (/=1, 2) имеем
(*Л) (Х*К) = ^Лл^Г^Л = *1 (Р*1 (*2)) КК
Только что приведенная конструкция может быть проведена
и в абстрактной форме. Пусть С и Я—произвольные группы,
У1 пусть задан гомоморфизм /и—>тЛ, отображающий Я на группу

§ й. Теория групп
19
автоморфизмов группы О; следовательно, т/2о% = % при Я,
к'^Н. Снабдим теперь декартово произведение групп О и Н
следующим умножением:
(х, к)(х', к') = {х{тп(х')), Ш)
для любых (х, к) и (х', к') из СхН. Получаем группу,
которая обозначается 0(§)Н и называется полупрямым произведением х)
групп О и Я. Единицей этой группы, очевидно, является
элемент (е1У е2), где ех и е2—единицы групп О и Я соответственно,
а обратным элементом к элементу (х, к) служит (т^-1 (лг1), к'1).
Пусть Ох^К*, е2): х^О) и Я1 = {(^1, /г): к^Н). Тогда Ох и Ях —
подгруппы группы 0(з)#, причем Ох — нормальная подгруппа.
Поскольку (е1э /*)•(*, ^2)(^, Л)_1 = (тЛ (х), е2), внутренний
автоморфизм Р(еи Н) для (^, к)$Н воспроизводит действие
гомоморфизма хн на О. Поэтому любое полупрямое произведение может
быть получено описанным ранее процессом.
B.7) Линейные группы, (а) Пусть Л = (ау7г) ¦? &=1—квадратная
матрица порядка я, в которой а^—комплексные числа.
Матрица гА называется транспонированной к матрице Л, если
'Л = (ал/)у, *=1, и матрица А называется сопряженной к Л, если
Л = (йу7е)/, /г=1, где а7е—число, комплексно-сопряженное с а^г
Матрица Л* определяется как комплексно-сопряженная к
транспонированной, т.е. А* = г(А) =(М). Слей 1гЛ матрицы Л есть
/г
число 2 Я// детерминант матрицы Л обозначается с!е1Л.
/=1
(Ь) Квадратная матрица Л называется ортогональной, если
А = А и М = Л~1, унитарной, если М = Л, симметрической,
если Л = М, кососимметрической, если Л = —'Л, эрмитовой,
если Л = Л*, косоэрмитовой, если Л =—Л*, и вещественной,
если А = А.
Пусть Т7 — некоторое подполе поля /С, например, само /С или
/?. Через 9Л(/г, ^) обозначается совокупность квадратных матриц
порядка /г с коэффициентами из /\ Подмножество
невырожденных (с1е1Л=^=0) матриц из Ш(п, Р) образует группу
относительно умножения, называемую общей линейной группой над Р
и обозначаемую ©2 (/г, Т7). Подгруппа группы ®2(я, Т7),
состоящая из матриц Л с <1е1 Л = 1, обозначается ©В (я, Т7) и
называется специальной линейной группой над Р. Унитарная группа
XX (п) и ортогональная группа Й(д) состоят соответственно из
унитарных и ортогональных матриц; они являются подгруппами
*) В литературе по теории представлений групп употребляется также
термин «скрещенное произведение» — Прим. перев.

20 Гл. 1. Введение
общей линейной группы ®2(/г, Р). Наконец, мы определяем
специальную унитарную группу и специальную ортогональную
группу как ©Ц(л) = ©2(/г, К)(]И(п) и ©О (п)=©2 (п, /С)П©(л)
соответственно. Множество 9Л(/г, Т7), группу ©2 (я, Т7) и все
ее подгруппы можно рассматривать обычным образом как
подмножества множества Рп ; мы часто будем
пользоваться этим.
B.8) Свободные группы и симметрические группы, (а) Пусть
X—любое непустое множество. Слово есть либо пустое (тогда
оно записывается е), либо конечное формальное произведение
х\*х%* ... Хпп элементов из X, где гп = ± 1 (элементы хк не
обязаны быть различными). Слово называется приведенным, если
оно пусто или если из хк = хк+1 следует гк = ек+1. Длиной
приведенного слова х\1Х%* ... х%п называется число п, при этом
длиной пустого слова е считается число 0. Рассмотрим множество
Р всех приведенных слов из X. Если х = х%}Х%* •.. х%п и у =
=У611У2* ••• Утт—Два слова из Р, их произведение ху
определяется следующим образом. Рассмотрим слово х\гх\*... х^1у\^у\^ ...
... у^т. Если оно приведенное, то его мы и называем
произведением ху. Если же оно не является приведенным, то, по
определению приведенности, хп=ух и гп =—бх. Рассмотрим слово
л^иф ... я^, у1*у%* . . . Утт. Если оно является приведенным,
то произведением мы называем его, а если нет—то продолжаем
процесс дальше, пока, наконец, не получим приведенного слова.
Его мы и считаем произведением ху. Относительно этой
операции Р является группой и называется свободной группой,
порожденной множеством X. Единицей группы Р является,
очевидно, е, а обратным к элементу х^х1* ... хгпп —
элемент Хп8^"*"-1 ... Хг*1. Доказательство ассоциативности
умножения (ху)г = х(уг) проводится прямой индукцией подлине
слова у.
(Ъ) Пусть X — любое непустое множество. Для каждого х^Х
пусть Рх—свободная группа, порожденная х, т.е. Рх = {ех, х,
лг1, х2, х~2, ...}. Слабое прямое произведение Р* р называется
- . хс X
свободной абелевой группой, порожденной X.
(с) Для любого непустого множества N множество всех
взаимно однозначных отображений N на себя образует
относительно операции композиции группу. Подмножество {/} этой
группы называется транзитивным, если для любых х, у^Ы
существует такое /06{/}, что /0 (*) = */•
Если множество N конечно и содержит п элементов, то
группа всех взаимно однозначных отображений N на себя назы-

$ 2. Теория групп
21
вается симметрической'группой &п порядка п, а ее элементы—
перестановками. Любая подгруппа этой группы называется
группой перестановок п-го порядка или группой перестановок п
символов.
B.9) Теорема. Пусть X — некоторое непустое множество и
пусть х\*х\* ... х%п (п^ I)—приведенное слово из свободной
группы, порожденной X. Пусть, далее, ь—тождественная переста-
новкав&п+1 или&п+2. Пусть, наконец, слово х\*х\г ... х%п не имеет
вида у~гу~х ... У~1 = у~п при и> 1. Тогда существует отобра-
оюение хь—>Рх множества X б 6й+1 такое, что
(I) Рх=1>, если х отлично от х1У х2, ..., хп\
(И) ре.о/».о ...оР*х«ф1]
(Ш) Р1*оРе*о...оРе»фРх для /=1,2, ...,п.
5с/ш х\гх%*... ^»! = г/""л, то существует отображение X в
&п+2 с теми же свойствами, а если л=1 и г1 = 1, то
существует отображение X в ©2, удовлетворяющее условиям A) и (и).
Доказательство. Будем рассматривать ®//+1 как множество
всех взаимно однозначных отображений множества {1, 2, ...
..., /г + 1} на себя. Если х^{х1У х2, ...,хп\, полагаем Рх = \>.
Пусть теперь х встречается в последовательности {хг, х2, ..., хп),
именно, пусть х=Х]1=Х1г~ ... =*/,. Тогда полагаем Рх Цк-\-\)=]к,,
если 8/ =1, и Рх(]ь) — 1к-\-1> если е/ =—1. Проведем это
построение для к = 1, 2, ..., /. Поскольку из х^ — х^^ следует
8у. = 8у+1, мы не придем к противоречию. Если хфхп, а х
встречается в \х19 ..., хп), положим Рх (я+ 1) = п-\-1. Если гп= —1,
пусть I — наименьшее целое такое, что х1 = хг+1= ... =хп\
полагаем тогда Рх (я+Т) = /. Остальные значения Рх выбираем
произвольно, лишь бы Рх было перестановкой символов
{1, 2, .. . ,/г+1}. Из построения Рх сразу следует, что Рх\оРъх\о...
•.. о/у*(я+1) = 1, чем и доказывается (и). Поскольку Р^оР^о. ..
.. .о Рхп(п+ 1)= 1 и Рх.(п + 1) = п + 1 при х;-Фхп, свойство
(Ш) очевидно при Ху =7^^. Поскольку РХп(п-\-\) = п, если ел=1,
и Р* (я+1) = />1, если 8л =—1, свойство A11) имеет место
и для хп.
Случай х\^х\* .. . х1п =у"п рассматривается легко. При хфу
полагаем Рх = \. Пусть Ру(к) = к+1, к=\, 2, ..., /г+1, и
Ру(п + 2)=1. Свойства A), A1), A11) проверяются
непосредственно.
Случай п = 1 и ех=1 тривиален: РХ1A) = 2 и РХ1B)=1.\]

йй
1*л. 1. Введение
§ 3. Топология
В этом параграфе мы дадим краткий обзор сведений из
теоретико-множественной топологии, используемых в книге.
Мы приводим определения, только если терминология или
обозначения не являются общепринятыми, и приводим
доказательства, если только в стандартных учебниках отсутствуют
сопоставимые по краткости с нашими. За всеми деталями мы
отсылаем читателя к книге Келли [2].
Рассматривая топологические пространства, мы всегда
считаем окрестности открытыми множествами. Топология чаще
всего задается системой своих открытых множеств,
записываемой 6. Внутренность множества А обозначается Л°, а
замыкание—А~. Если бх и 62—две топологии на множестве X и
бх с б2, то говорим, что 6г слабее 62, или что 62 сильнее 6г.
В отличие от книги Келли (и в согласии с многими другими
авторами), мы включаем в определения регулярности и полной
регулярности требование отделимости Т0, так что в нашей
терминологии регулярные и вполне регулярные пространства
всегда хаусдорфовы.
Вес топологического пространства Х> т. е. наименьшую
мощность открытой базы в нем, обозначаем Ъ(Х), а через Ь(Х)
обозначаем наименьшую мощность плотного в X подмножества.
Топологическое пространство X называется однородным,
если для любых двух точек х, у^Х найдется такой
гомеоморфизм / пространства X на себя, что ?(х)=у.
C.1) Разбиения единицы (Дьедонне [1]). Пусть X—нормаль-
ное пространство, Р—его замкнутое подмножество и 111, 02, ...
п
..., Vп—открытые подмножества множества X, причем II Цк=)Р.
Существуют такие непрерывные функции Н19 /*2, ..., Нп на X со
значениями в [О, 1], что
п
0) 2 й*(*)=1 для всех х$Р;
(и) Нк(IIь) = 0 для всех к=\, п.
Доказательство. (I) Предположим вначале, что Р = Х.
Докажем прежде всего существование в этом случае таких замкну-
п
тых множеств А19 Л2, ..., АПУ что II Ак = Х и АкаИк для
/г=1
всех к. Доказательство проводим по индукции. При /г=1
утверждение очевидно. Пусть д = 2 и {/11IУ2 = Х. Тогда 11[ и
VГ2—непересекающиеся замкнутые множества, и, в силу
нормальности X, существуют непересекающиеся открытые Уг и Уа,
У(^>11'1у « = 1,2. Полагая Л/ = 1^, /=1,2, получаем результат.

$ 3. Топология
23
Пусть теперь утверждение доказано для п—1 и (] Цк = Х.
к=\
Поскольку X = ( II IIА [} Vп, существуют такие замкнутые мно-
п-\
жества А и Ап$ что Ас и II к, Апа1)п и А[]Ап = Х. Поло-
я- 1
жим Ук = ЦкГ\ А, й= 1, 2, ..., /г—1. Тогда II Ук=А, и, по ин-
к = \
дуктивному предположению, примененному к пространству Л1),
существуют такие замкнутые в А множества А19 А2, ..., ЛЯ_1Э
что II ЛА = Л и ЛА с Ук, к= 1, 2, ..., л—1. Но, очевидно, Ак
к=\
п
замкнуты и в X, Ак с Vк и у Л^ = Х, что и требовалось.
(II) Докажем теперь (при том же дополнительном ПреДЛО-
ложении Х = Р) саму теорему. Итак, пусть I) 11к = Х. Опре-
к=\
делим А1У Л2, ..., Ап9 как в (I). По лемме Урысона для
каждого к существует непрерывная функция [к на X со значениями
в [0, 1] такая, что }к(х)=1 при х$Ак и [к(х) = 0 при х^Цгк.
Положим
М*) = /*(*} » *€Х, Л = 1,2 л.
га
Поскольку 2//(*)^* Для любого х^Х, эти функции
непрерывны, и, очевидно, удовлетворяют условиям теоремы.
п
(III) Доказываем саму теорему. Итак, II Vк =) Р и Т7 замк-
нуто. Рассмотрим систему {/0, II и ..., {/„, где 1/0 = Рг. Тогда
II 1УА = Х и, по (II), существуют такие непрерывные функции
6 = 0
п
Н0У Н1У ..., кп на X со значениями в [0, 1], что 2 Лл (л:) = 1 для
всех х(ЕХ и АА({/*) = 0, й = 0, 1, ..., /г. Поскольку Н0(Р) = 0,
п
2 ЛА(я) = 1 при х^Р, так что система Ах, А2, ..., /*„ удовлет-
/г=1
воряет условиям теоремы. []
*) Нетрудно проверить, что замкнутое подмножество нормального
пространства нормально.— Прим. перее.

24
Гл. 1. Введение
C.2) Компактные и локально компактные пространства.
Топологическое пространство X компактно1) [счетно компактно],
если любое его открытое покрытие [любое его счетное открытое
покрытие] содержит конечное подпокрытие. Топологическое
пространство X локально компактно [локально счетно компактно],
если каждая его точка имеет окрестность с компактным [счетно
компактным] замыканием. Топологическое пространство X
называется о'-компактным, если оно есть счетное объединение
компактных подпространств, и называется линделефовым, если любое
его открытое покрытие содержит счетное подпокрытие.
C.3) Теорема. Пусть топологическое пространство X
обладает тем свойством, что для любой точки х^Х и любой ее
окрестности I) х, х^О' х, существует меньшая окрестность точки х,
для которой У'х с Ь х. Тогда замыкание любого компактного
подмножества пространства X компактно2), и, кроме того, если
/—непрерывное отображение топологического пространства У в
X и А— подпространство из У с компактным замыканием, то
и /(Л) имеет компактное замыкание.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что подпространство
А с: X компактно тогда и только тогда, когда из всякого его
покрытия открытыми в X множествами можно выбрать
конечное подпокрытие. Пусть теперь А — компактное подпространство.
Для доказательства компактности замыкания А" достаточно
показать, что любое покрытие А открытыми в X множествами
является в то же время покрытием Л~. Действительно,
если %—некоторое открытое покрытие А, то, обозначая V?
множество II {II: V ^4} и Ух— такую окрестность точки х^А, что
У~ с: ИР, получаем новое открытое покрытие \УХ\ множества А,
содержащее, в силу компактности А, конечное подпокрытие
п
{У^^=1. По построению, А" а и Ух\ с: ИР, и потому %
покрывает А".
Пусть теперь / — непрерывное отображение некоторого У
в X, А с X и Л" компактно. По известной теореме
непрерывный образ компакта компактен, поэтому /(Л~) компактно, и,
х) В русской литературе соответствующее пространство называется обычно
бикомпактным и называется бикомпактом, если оно, кроме того, хаусдорфово,
компактом же называется метризуемый бикомпакт,— Прим. пер ев.
2) Замыкание компактного подмножества, вообще говоря, не обязано
быть компактным. Рассмотрим, например, множество 2x2 с топологией, в
которой замкнутыми подмножествами являются все %Х% и множества Р а 2x2
такие, что множество {т^2: (т, п)(^Р\ для любого я ^2 конечно или пусто.
Тогда множество Л^-{(т, 0): т^1) есть компакт, в то время как 4~=2х2
компактом не является.

$ 3. Топология
25
по доказанному, компактно [/(А~)]~. Тогда и [/(Л)]
компактно. []
C.4) Связность. Топологическое пространство связно, если
оно не допускает представления в виде суммы двух
непересекающихся непустых открыто-замкнутых его подмножеств.
Топологическое пространство локально связно, если оно обладает
открытой базой из связных подмножеств. Компонента
топологического пространства—связное его подмножество, не
содержащееся ни в каком большем связном подмножестве. Топологическое
пространство вполне несвязно, если все его компоненты—точки.
Топологическое пространство нульмерно, если
открыто-замкнутые его подмножества образуют базу топологии.
Топологическое пространство X называется линейно связным,
если для любой пары х, у^Х его точек найдется такое
непрерывное отображение /: [О, 1]—+Х, что }@)=х и /A)=у.
Топологическое пространство называется локально линейно
связным, если для любой точки х^Х и любой ее окрестности Vх
найдется такая окрестность Vх, х^Ух, что для любой пары
точек у, г ^Ух существует непрерывное отображение /: [0, 1]—>0х,
для которого {@) = у и /A) = г.
C.5) Теорема. Пусть X локально компактно, хаусдорфово и
вполне несвязно. Тогда X нульмерно.
Доказательство. Пусть а—произвольная точка из X и (/ — ее
окрестность с компактным замыканием У~. Нам достаточно
показать, что существует открыто-замкнутое V такое, что а^УаС/.
Проведем построение V в три этапа.
(I) Пусть Р—замкнутое подмножество из 1)~. Предположим,
что каждая точка х(~Р может быть отделена от некоторой
фиксированной точки Ъ $.11~\Р открыто-замкнутым подмножеством
Сха11~\ х^Сх, Ь^СХ. Тогда в V" найдется открыто-замкнутое
множество С, для которого Ра С, Ь^С. Действительно,
замкнутое подмножество Р хаусдорфова компакта 1]~ компактно,
и {Сх}х$р—его открытое покрытие. Следовательно, Р
покрывается некоторой конечной совокупностью из \Сх\ХеР- Пусть
п
Р с II Сх. Тогда С = СХ1{]СХ2\] ... [}СХ —искомое.
(II) Пусть М—совокупность тех точек в Ц~, которые нельзя
отделить от а открыто-замкнутыми подмножествами в (/". Тогда
М связно. Прежде чем доказывать это, заметим, что М замкнуто
в {]- и потому замкнуто в X, и что а(^М. Пусть М несвязно.
Тогда М = Е[]Р, где Е, Р—непустые непересекающиеся
замкнутые в М (и потому в И~ и в X) множества. Пусть, скажем,
а^Е. Множество Ц~ — компактно и хаусдорфово и потому

26
Гл. 1. Введение
нормально, так что существует окрестность И? множества Е,
замыкание которой не пересекает Р. Имеем, очевидно,
№-{\У)[\М = (ЧР-[\У)[\(Е\}Р) = 0. По определению Л М9
каждая точка пересечения ИР~ П №' П V" отделяется от точки а
открыто-замкнутым подмножеством в (/". По (I) существует
открыто-замкнутое С с {/", С з №" П №' П 1/~, а$С. Поскольку
С замкнуто в {/~, оно замкнуто в X, и потому Й^П С"
Пооткрыто в [/-. Но № П С П О" = V' П С П О", так что Г П С П */~
открыто-замкнуто в /7", содержит а и дизъюнктно с Р. Это
противоречит определению М, и предположение несвязности М
ложно.
(III) Поскольку X вполне несвязно, единственное связное
множество, содержащее а, есть {а}. В силу (II), для любой
точки х^11~, хфа существует открыто-замкнутое
подмножество Схс:[/~, для которого а^Сх и х(^Сх. Применяя (I)
к множеству (/-Г) {/', находим открыто-замкнутое СвС/", для
которого а^С и СПУ~~ Г\0' = 0. Но тогда, очевидно,
С—открыто-замкнутое подмножество X, лежащее в V. []
C.6) Теорема. Пусть X—вполне регулярное пространство, а
К—линейно связное пространство. Для любых попарно различных
точек х1У х2У ..., хп^Х и любых точек у19 у2, ..., уп^У
существует непрерывное отображение г|): X—»У> для которого
Доказательство. Пусть {/1э [/2, ..., (/„—попарно
непересекающиеся окрестности точек х1У х2У ..., хп и пусть Мк—такие
окрестности хк9 что хк^УкУ У& с: Цк, 6=1, 2, ..., я. Пусть,
далее, непрерывные отображения /^: X—>-[0, 1] таковы, что
1к (хк) = 1, /л (У^) = 0. Пусть, наконец, #0^У—некоторая
фиксированная точка и хк: [0, 1]—>У—такие непрерывные
отображения, что хк@) = уь и тАA)=^, й=1, 2, ..., д. Для лг^У*
полагаем теперь $(х) = {тко1к)(х) и 1|)(л;) = #0 для х$1 11 Ук) .
Легко видеть, что ф—искомое отображение. 0
C.7) Пусть X—метрическое пространство с метрикой й.
Для положительного е е-сеть в X есть конечное подмножество
{х17 ...,*„} с X такое, что расстояние любой точки х^Х до
одной из точек хкУ й=1, ..., /г, меньше 8. Метрическое
пространство X называется вполне ограниченным, если оно содержит
для любого б > 0 конечную е-сеть. Следующие факты окажутся
нам полезными. Метрическое пространство X компактно тогда
и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
Подмножество полного метрического пространства имеет компактное
замыкание тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

$ 3. Топология
27
Доказательства этого факта можно найти, например, у Келли
[2] стр. 265, теорема 32.
Топологическое пространство X называется локально
евклидовым, если существует такое целое положительное п, что любая
точка х^Х имеет окрестность, гомеоморфную открытому
единичному шару
я» ={(*!. ...,^)€/гя: 211^|2<1|
л-мерного евклидова пространства #п.
C.8) Паракомпактные пространства. Покрытие 33 множества X
вписано в покрытие Л, если каждый элемент покрытия 53
содержится в некотором элементе покрытия Л. Семейство Л
подмножеств пространства X локально конечно, если любая
точка х $Х имеет окрестность, пересекающуюся не более чем
с конечным числом элементов системы Л. Семейство Л
называется в-локально конечным, если оно есть счетная сумма
локально конечных подсемейств. Топологическое пространство
паракомпактно, если в любое его открытое покрытие можно
вписать открытое локально конечное покрытие.
Регулярное топологическое пространство паракомпактно
тогда и только тогда, когда в любое его открытое покрытие
можно вписать открытое сг-локально конечное покрытие. Все
паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны, и все
метризуемые пространства паракомпактны (см., например, Келли
[2], стр. 212—218).
C.9) Теорема. Пусть {Х^щ—некоторое семейство
топологических пространств. Тихоновское произведение Р Х1 = Х сг-ком-
16/
пактно тогда и только тогда, когда в-компактнывсе сомножители
Хи причем все они, кроме, может быть, конечного числа,
компактны.
Доказательство. Пусть X и У—а-компактные топологические
00 00
пространства, т. е. Х= II Хп и У = II Уп, где Хп иУп—ком-
00 00
пактные пространства, и= 1, 2, ... ТогдаХхК= II [) ХпхУтУ
и потому ХхУ—также а-компактное пространство. По
индукции легко проверяется аналогичное утверждение для любого
конечного числа сомножителей: конечное произведение а-ком-
пактных пространств а-компактно. Пусть теперь {Хь\1е1—такое
семейство а-компактных пространств Хи что все Хь, кроме,
может быть, конечного числа, компактны. Пусть Х%, Х%, ..., Хт—

28
Гл. 1. Введение
эти некомпактные пространства; тогда Р Хь компактно
I $ {1, . . ., т}
(по теореме Тихонова), тем более с-компактно, а потому
произведение Р X,, = Хг х Х2 х ... X Хт X Р Хь а-компактно
1С/ 1$ {1, .... т}
по доказанному. Достаточность, таким образом, доказана.
Пусть, наоборот, РХ^Х является а-компактным, т. е.
16/
ос
р Хь= и Ап, где все Ап компактны. Очевидно, для любого ь
1й1 п-\
00
{) пь(Ап) = Хъ, где яь: X—>Х,,—естественные проекции. Но
образ компакта при непрерывном отображении—компакт, так
что все Ху, ст-компактны. Допустим теперь, что среди Хь
бесконечно много некомпактных пространств; пусть, например, таковы
Х1п, л = 1, 2, ... Тогда пСп{Ап)ФХ1п для всех л = 1, 2, ...
Выберем точку (л^ё^ такую, что ^„^^(Л,,) для всех п =
00
= 1, 2, ... Тогда (Да) (? II Ап, что невозможно. []
C.10) Направленности1), (а) Частично упорядоченное2)
множество (О, >) называется направленным, если для любых ос, [3 (Е^
существует такое у 6^, что у>а и у>р.
Направленностью \ха\ в множестве X мы называем любое
отображение и: ^—*Х в множество X любого направленного
множества, где ха = и(а). Направленность {у$\ с областью
определения Е мы называем поднаправленностыо направленности \ха\
с областью определения Д если существует такое
отображение Ы: Е—>0, что
0) #з=*лмр> Для всех Р€^;
(И) для любого а^Б существует такое р (ЕЕ, что из 7 > Р
следует N (у)>а.
(Ь) Пусть {л:а| — некоторая направленность с областью
определения В в топологическом пространстве X. Направленность
{ха\ сходится к точке х^Х, если для любой окрестности I]
точки х существует такой элемент Р€Д что ха^1/ для всех
а^О, а > р. Точка х € X называется предельной точкой
направленности хау если для любой окрестности V точки х и любого
Рб^ существует такой элемент оь^#, что ха^11 и а>р.
Будем говорить, что направленность {л:а} с областью
определения В лежит в А? если ха^ А для всех а^й.
х) В литературе встречаются также термины «сеть» и «последовательность
по направленному множеству»; мы предпочли введенный А. В. Архангельским
термин «направленность». — Прим. перев.
2) От частичного порядка здесь требуется только транзитивность.

$ 3. Топология
29
(с) Приведем некоторые полезные факты о направленное -
тях. Любая поднаправленность сходящейся к х0 направленности
сама сходится к х0. П^сть X—топологическое пространство.
Для любого АаХ включение х^А~ имеет место тогда и только
тогда, когда некоторая направленность в А сходится к х.
Пространство X компактно тогда и только тогда, когда любая
направленность в нем содержит поднаправленность, сходящуюся
к некоторой точке из X. Пространство хаусдорфово тогда и
только тогда, когда любая направленность в нем сходится не
более чем к одной точке. Точка х^Х является предельной
для направленности {ха\ тогда и только тогда, когда к х
сходится некоторая поднаправленность направленности \ха}.
Отображение /: X—>У непрерывно тогда и только тогда, когда
направленность {/ (ха)\ сходится к / (х) для любой сходящейся к х
направленности {ха\ [Келли [2], стр. 95—106, 122, 184].
C.11) Размерность. Существует несколько различных
определений размерности топологического пространства. Мы используем
здесь классическое1) определение через покрытия, несколько
видоизменив его в соответствии с нашими потребностями B4.28).
Пусть Л—некоторое конечное семейство подмножеств
множества X. Для любого х^Х пусть т(х)—число элементов
подсемейства {А^Л :х$А\. Кратностью семейства Л называется
число т(Л)=тах т(х).
хеХ
Пусть X—компактное хаусдорфово пространство,
п—неотрицательное целое число. Мы говорим, что размерность X
равна п, и пишем (ИтХ = /г, если выполнены два условия;
0) в каждое конечное открытое покрытие пространства X
можно вписать конечное замкнутое покрытие кратности ^ я + 1.
(и) существует такое конечное открытое покрытие
пространства X, в которое нельзя вписать конечного замкнутого
покрытия кратности ^ п.
Если не существует такого целого п> что <ИтХ = пу то
говорим, что пространство X бесконечномерно, и пишем сНтХ = оо.
C.12) Теорема. Для компактных хаусдорфовых пространств
определение нульмерности, сформулированное в п. C.4),
согласуется с определением размерности 0 из C.11).
Доказательство. Пусть пространство X нульмерно в смысле
C.4), т. е. имеет открытую базу, состоящую из
открыто-замкнутых множеств. Пусть, далее, Л — любое конечное открытое
покрытие. Тогда в Л можно вписать конечное|открыто-замкнутое
*) Классическое определение размерности любого топологического
пространства: сНт X <; /г, если в любое открытое покрытие пространства X можно
вписать открытое покрытие кратности <:п-\-\, — Прим. перев.

30
Гл. 1. Введение
покрытие Й2 = {Я1Э 52, ...,Вп}. Положим Е1 = В1У Е2 = В2[)Е[, и
вообще Ек = Вк(\{Е1[) ... {]Ек^)\ к = 2, ..., п. Тогда <§ = \Е1У
Е21 ..., Еп} — замкнутое покрытие, вписанное в Л и имеющее
кратность 1, т. е. сПтХ = 0.
Обратно, пусть сПтХ = 0, х^Х и (/ — любая окрестность
точки х. В силу регулярности компактного хаусдорфова
пространства существует окрестность У~ точки ху для которой V" с: V,
Тогда Л = {<7, V"'} — конечное открытое покрытие пространства X,
и должно существовать поэтому замкнутое конечное покрытие
33 = {В1У... , Вп\, вписанное в Л и имеющее кратность 1; из
последнего следует, что все В( открыто-замкнуты. Но тогда
множество Ви, содержащее х, лежит в I/ и является
открыто-замкнутым, ц
Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и У — его
замкнутое подпространство. Легко проверить, что тогда
(НтУ^сИтЯ.

Глава 2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
В этой главе мы приступаем к осуществлению программы,
описанной в начале предыдущей главы: мы определяем и
изучаем структуру топологической группы. Более тонкие
результаты структурной теории нам придется отложить до главы
пятой, когда у нас будет мощный аналитический аппарат
теории представлений. Начнем же мы с того, что можно сделать,
так сказать, минимальными средствами. В параграфе 10 будет
дано описание некоторых специальных топологических групп,
играющих в дальнейшем важную роль. Остальная часть главы
посвящена изучению структурных свойств различных классов
топологических групп.
§ 4. Основные определения и факты
Топологическая группа есть множество, наделенное двумя
структурами,—структурой группы и структурой топологического
пространства. Эти структуры связаны между собой, так что
наличие алгебраической структуры влияет на топологические
свойства и обратно.
Настоящая глава—вводная в теорию топологических групп.
Мы начинаем с точного определения.
D.1) Определение. Пусть О—множество, одновременно
являющееся топологическим пространством и группой, причем:
A) отображение (х,у)\->ху декартова произведения ОхО
на О является непрерывным отображением;
B) отображение х\-^х пространства О на себя непрерывно.
Тогда О называется топологической группой *).
х) Заметим, что мы не требуем выполнения каких-либо аксиом
отделимости от пространства топологической группы. На протяжении §§ 4—8 эта
общая ситуация оказывается удобной. Но, начиная с § 9, под
«топологической группой» мы понимаем топологическую группу, пространство которой
удовлетворяет аксиоме Т0, — если только специально не оговорено противное.

32 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
В терминах открытых множеств условие A) формулируется
следующим образом: для любой окрестности № произведения ху
найдутся такие окрестности V и V элементов х и у
соответственно, что (УУсИР. Аналогично, условие B) утверждает, что
для любой окрестности № элемента х существует такая
окрестность V элемента х, что {/^сгИР.
Условимся теперь, что слова «связная группа», «Г0-группа»
и т. д. означают, что мы имеем дело с топологической группой,
топология которой обладает указанным свойством — является
связной или Го-топологией соответственно и т. д.1).
D.2) Теорема. Пусть О—топологическая группа. Для любого
а^О левый и правый сдвиги ху-^ах и х\->ха являются
гомеоморфизмами О на себя, так же как и инверсия х\->х~г.
Теорема является прямым следствием определения D.1).
D.3) Теорема. Пусть О—топологическая группа и пусть
41—„открытая база в точке е. Тогда каждое из семейств {х11}
и {11х}, где х пробегает все точки О, а V—все элементы семей-
ства 41, образует открытую базу всего пространства О.
Доказательство. Пусть 1^—любое непустое открытое
подмножество в С и а^. Отображение х\-^а~гх отображает №
на открытое подмножество яг1!?7, содержащее е. Поскольку
%—открытая база в точке еу найдется 11^41, для которого
е^И ааг1^/. Но тогда а^аНаУ/ и ^ оказывается
объединением множеств вида а1), т. е. \х11\ есть открытая база в О.
Доказательство утверждения для {Vх) абсолютно идентично. []
D.4) Теорема. Пусть О—топологическая группа, а А и В —
ее подмножества. Если А открыто, то, для любого В, АВ
открыто и В А открыто. Если А замкнуто, а В компактно, то
АВ и ВА замкнуты. Если А и В замкнуты, то АВ не
обязано быть замкнутым.
Доказательство. Первое утверждение почти тривиально.
Действительно, Л5= [}{АЬ: Ь^В}. Из открытости А следует
открытость АЬ для любого Ь, и АВ открыто как объединение
открытых множеств. Аналогично доказывается открытость В А.
Пусть А я В компактны. Тогда Ах В — компактное
подмножество пространства 0x0 и АВ компактно как непрерывный
образ компактного множества Ах В.
Пусть теперь А—замкнутое, а В — компактное. Для
доказательства замкнутости множества А В используем аппарат
направленностей. Имея в виду типичность подобного рассужде-
х) Единственным исключением из этого превосходного правила является
использование термина «нормальная подгруппа» для обозначения подгруппы,
инвариантной относительно внутренних автоморфизмов.

$ 4. Основные определения и факты
33
ния и предвидя возможность того, что читатель с этим
аппаратом знаком мало, проведем доказательство подробно; в
дальнейшем зато подобные рассуждения будут проводиться более
сжато. Пусть Б—некоторое направленное множество, и ха,
а^Б,— направленность в АВ, сходящаяся к точке х0^0. Для
доказательства замкнутости АВ достаточно показать, что х0 E АВ
C.10с). Для любого а^й имеем ха^АВ, так что *а=#ага, где
уа€А и га^В. Поскольку В компактно, существует подна-
правленность щу $€Е, направленности га, а^Д сходящаяся
к некоторой точке г0^В. Пусть N1 Е—*Ъ—соответствующее
отображение, определяющее поднаправленность C.10а). Тогда,
по определению, Ыр = г#ю); чтобы не вводить новых символов,
направленность щ мы будем записывать г#ю), $€Е, или даже,
в последующих доказательствах, просто 2р, $^Е. Итак, пусть
гN($), Р€-Б,— поднаправленность направленности га, сс^Д,
сходящаяся к г0. Пусть, далее, х^ф), $€Е> и уыф),
Р€^>—соответствующие поднаправленности направленностей ха, а^Л, и
Уа> а^С. Согласно (ЗЛОс), поднаправленность Хлчэъ Р€^,
сходится, как и сама направленность, к х0, а все предельные
точки направленности ##<р), рё^Е, лежат в Л в силу
замкнутости А. Направленность Vр = (xNф), г#ю)), Р€^, в
произведении ОхО сходится, таким образом, к точке (х0, г0)^ОхС. Но
отображение (лс, г) н->хг-1 непрерывно, и, в силу C.10.с),
направленность /(ор), Р€^, должна сходиться к /(*<>» г0), т. е.
направленность Хмф)г]^ф)у $€Е, должна сходиться к х0г^.
Замечая, что х^ф)гл1ф) = у^^I получаем, что точка х0г^г должна
принадлежать замкнутому множеству Л, так как все умф)^А,
откуда х0 = (х0г^1)г0 ^АВ. Аналогично доказывается замкнутость
произведения В А.
Справедливость последнего утверждения теоремы легко
усмотреть из следующего примера. Рассмотрим в абелевой
группе /? замкнутые подмножества Ъ и а2, где а—некоторое
иррациональное число. Множество Ъ-\-аЪ состоит из всех чисел
вида /я-{-осп, где т и п—целые. Оно, очевидно, плотно в 7?
и незамкнуто (хотя даже является подгруппой).
Вернемся теперь к изучению топологии топологической
группы. Как мы сейчас увидим, она может быть полностью
описана в терминах открытой базы в точке е.
D.5) Теорема. Пусть О—топологическая группа, и 41—от-
крытая база в точке е. Тогда
(|) для любого и ^41 существует такое V ^41, что У2а1}\
(И) для любого 11^41 существует такое V^41, что V'1 с:II;
A11) для любых I! ^41 и х^Ц существует такое V^41, что
хУс^Ц;
2 Э. Хьюитт, К. Росс, т. I

34
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(IV) для любых 11^41, х^О существует такое V^41, что
хУх-^Ц.
Обратно, пусть О—группа, и %—любое центрированное
семейство ее подмножеств, обладающее свойствами (\)—(IV).
Тогда системы подмножеств \х11) и {11х\, где х пробегает все О,
а I]—систему 41, служат открытыми предбазами (одной и той
оюе) топологии на О, относительно которой О является
топологической группой. Если семейство 41 обладает также свойством:
(V) для любых V', V ^41 существует такое И? 6%, что
№аО()Уу то {х11\ и {Vх\ являются открытыми базами той же
топологии на С.
Доказательство. Выполнение свойств A)—(IV) в любой
топологической группе непосредственно следует из определения
топологической группы. Именно, A) выражает свойство
непрерывности отображения (х, у)*->ху, (и) — непрерывности
отображения хн^г1, A11) утверждает, что V открыто, а (IV) следует
из того, что композиция х 1-»ахн-»ахаг1 двух гомеоморфизмов
сама является гомеоморфизмом.
Докажем вторую половину. Пусть 41— некоторая
центрированная система подмножеств группы О, удовлетворяющая
условиям A)—(IV). Тогда для любого ?У (Е*М существуют такие V^41
и № (^41, что У2а11 и ^~1аУ. Поскольку, в силу
центрированности, VП Г ф 0, имеем е$ (V П Г)-(УП Щ-^У^-'аУ^Ц,
так что е принадлежит всем элементам системы 41.
Рассмотрим семейство % всех конечных пересечений
элементов системы 41. Легко проверить, что 41 — центрированная
система, удовлетворяющая условиям A)—(IV). Действительно,
если П \]к—любой элемент системы 41, то, выбирая Ук^41у
к=\
к=1, 2, ..., п, такими, чтобы У%аИгкУ имеем {[\УЛс:
п п
с П У\а П Vк, и A) доказано. Аналогично, выбирая Ук^41,
к=\ к=\
к = 19 2, ..., пу такими, чтобы Укга11кУ имеем ( П У Л =
п п
= Г) У%гс: Г) Vк, так что и (И) выполнено. Из равенств
к=\ /г=1
(П ч П / П \ П
П УЛ= Г) (XVк) и х( Г) Ук)х~1= П хУкх~г выводятся A11)
к=\ ) к=\ \Л=1 / /е=1
и (IV), а центрированность, очевидно, следует из
центрированности 41.
Пусть теперь топология на О задана предбазой \х11\, где
х^О, 1)^41. Базой этой топологии, в соответствии с
определением предбазы, является семейство конечных пересечений

$ 4. Основные определения и факты
35
п п
вида П {хк11к), где хк^0 и Цк^(и. Пусть П (хкЦк) — один из
к=\ к=\
п
элементов базы, и у 6 П (хк11к). Согласно условию A11) для 41,
к=\
существуют такие Ук^41, к = \, 2, ..., п, что х1хуУка1]к. Тогда
^ п УЛ= Г) (^)сг П (*А#Й) и множества вида уО, где V €%,
\6=1 ) /г=1 /г=1
образуют открытую базу в точке у рассматриваемой топологии.
Докажем теперь, что относительно этой топологии
О—топологическая группа. Пусть а и Ъ—любые элементы группы С
и V—окрестность элемента аЪ. По только что доказанному
существует такое V ^41, что аЬОаЦ. По A) и (IV) для
семейства 41 существуют такие V€41 и 1^ ^41, что У2а0 и Ь-г№Ьс:У.
Тогда (Ъ'^Ь) Ус[7, откуда (а№) (ЬУР)<^аЬО, что доказывает
D.П). (Заметим, что V и 1У зависят лишь от I) и &, но не
от а.) Свойство D.Ш) аналогично выводится из (и) и (IV),
а эквивалентность топологий, порожденных предбазами \х11)
и {/7л:}, выводится из (IV).
Последнее утверждение теоремы теперь очевидно. []
Назовем подмножество Ааб группы О симметричным, если
А = А~\
D.6) Теорема. Каждая топологическая группа О имеет
в точке е открытую базу, состоящую из симметричных окрест-
ностей С/^Ц-1.
Доказательство. Для произвольной окрестности V точки е
пусть У = [/ П и~г. Очевидно, V симметрична, является
окрестностью е и Ус: {У. []
D.7) Следствие. Пусть О—топологическая группа. Для любой
окрестности V единицы е существует такая ее окрестность У,
что У~сС/ (регулярность в точке е).
Доказательство. Пусть У—симметричная окрестность
единицы е такая, что У2а11. Если х^У~, то (хУ)[\УФ0.
Следовательно, ху1=^у2 для некоторых ю1У у2^У и потому x = V2V^1€
€УУ-1^У2(=^. ?
D.8) Теорема. Пусть О есть Т0-группа. Тогда О регулярна
и потому хаусдорфова1).
Доказательство. По следствию D.7) пространство группы О
удовлетворяет аксиоме регулярности в точке е, и, в силу тео-
х) В § 8 (теорема (8.4)) мы покажем, что в действительности 70-группа
всегда вполне регулярна.
2*

36
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
ремы D.2), поэтому в произвольной точке. Но регулярным мы
называем как раз Го-пространство, удовлетворяющее в каждой
точке аксиоме регулярности. Всякое регулярное в этом смысле
пространство, очевидно, хаусдорфово. []
D.9) Теорема. Пусть О—топологическая группа,
V—некоторая окрестность ее единицы е, и Раб—компакт. Тогда
существует такая окрестность У единицы, что хУх~1аЦ для всех х^Р.
Доказательство. По теореме D.5) для любого х^О
существуют такие окрестности Ух и 47 х единицы е, что хУхх~1а11у
Г"г-^и Ч7%аУх. Из х$хЧ7х следует, что Ра (] (х47х). Но
хеР
Р—компакт, поэтому существуют такие х19 ..., хп^Р, что
п п
Ра и (хкЧ7х ). Положим ИР= П 47 х . Покажем теперь, что 47 —
к=\ к к=\ к
искомое, т. е. х47х~1а1) для любого х$Р. Действительно, для
любого фиксированного х^Р найдется такое к, что х^хк47х у
т. е. х = хктк, где и)к^47х . Но тогда хУ7х~х — х^^УщЧ^а
Теорема D.9) показывает, в частности, что свойство D.51У)
топологической группы для компактной группы допускает
существенное усиление—для всех х^О может быть выбрано одно
и то же У. Этот факт нам не раз потребуется в дальнейшем.
D.10) Теорема. Пусть О—топологическая группа,
Р—компактное ее подмножество, и V—открытое в О множество,
содержащее Р. Тогда существует такая окрестность У единицы е,
что (РУ){](ур)а11'. Если группа О локально компактна, то У
можно выбрать так, чтобы множество ((РУ) [) (УР))" было
компактным.
Доказательство. Для каждого х^Р существуют такие
окрестности У7Х и Ух единицы е, что У%аУ7х и х47'ха1)'. Поскольку
п
Ра [) (хУх), существуют х1У ...,хп^Р,лля которых/7с II {хкУх).
хеР ' к=\ к
п
Полагая ^=0 Ух , получаем
Л=1 ' к
РУхс С {х,ухуг)^ [) (х,У1) а 5 (*ЙГ )с{/.
к=\ к к=\ к к=\ к
Аналогично, существует окрестность У2 единицы, для которой
У2Ра11. Полагая У = У1ПУ2У получаем ({РУ) II (УР))а11. Если
группа локально компактна, то У можно выбрать с компакт-

$ 4. Основные определения и факты
37
ным замыканием У~. По теореме D.4), Р(У~) замкнуто и
компактно.
Поскольку РУаР{У-) и Р(У~) замкнуто, то (РУ)~с:Р(У-)
и потому (РУ)~ компактно. Аналогично доказывается
компактность {УР)~ и тем самым ((РУ)[](УР)У. ?
Тот факт, что левый и правый сдвиги в топологической
группе О являются гомеоморфизмами, дает нам возможность
ввести понятие «равномерной близости» точек в группе и
определить равномерную непрерывность вещественно- и комплексно-
значных функций на О, так же, как и других отображений.
Рассмотрим концепцию близости. Выберем любые две точки
х, у^О и сдвинем (скажем, слева) элементы х и у на один
и тот же элемент х: ху->х~1х = е, у*-^>х~гу. Если х~гу лежит
в некоторой симметричной окрестности (/ единицы е9 можно
сказать, что х и у «(/-близки в смысле левых сдвигов».
Подобным образом, если ух ^ (/, будем говорить, что х и у «(/-близки
в смысле правых сдвигов». Оба эти понятия носят равномерный
характер: их можно применять к любым точкам группы С.
Если ф — комплекснозначная функция на О, то можно говорить,
что ф равномерно непрерывна слева [соответственно, справа],
если для любого 8 > 0 существует такая окрестность (/
единицы е, что | ф (х)—ф(#)|<е, если только х и у (/-близки
в смысле левых [правых] сдвигов. Таким образом, для,
например, левой равномерной непрерывности мы должны иметь
|ф(*) —Ф (хи) | < 8 для всех х$ О и и ^ (/.
Понятия левой и правой равномерной непрерывности комп-
лекснозначной функции на топологической группе являются
естественными обобщениями понятия равномерной
непрерывности вещественно- или комплекснозначной функции, скажем,
вещественного переменного: для любого 8 > 0 существует
такое б > 0, что из |/|<б следует | ф (х) — ф(* + 0 | < е. В
нашем случае роль единого, пригодного для всех х^К сразу б
играет также единая, пригодная для всех х^О окрестность (/
единицы е группы О. Появление в случае произвольной
топологической группы двух, вообще говоря, совершенно различных
понятий левой и правой равномерных непрерывностей вытекает
из того важного факта, что О не обязана быть коммутативной,
каковой является группа вещественных чисел.
Не лишним будет именно в этом месте заметить, что
топологические группы, как абстракция от элементарных групп Я,
Т, @2(д, К) и т. д. и т. п., допускают много различных
структур и естественных отображений, являющихся прямыми
обобщениями понятий, относящихся к этим элементарным группам.
Сходства и различия между общими топологическими группами
и элементарными моделями, с которых вся теория
топологических групп и началась,— одна из наиболее привлекательных

38
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
сторон теории топологических групп и анализа на
топологических группах. Богатейшим источником теорем о топологических
группах поэтому служит собрание накопленных фактов об
элементарных группах. Справедливо ли то или иное
утверждение, подмеченное в частном примере, для любых
топологических групп? Мы постоянно будем встречаться с вопросами
подобного типа в течение всей книги.
Перейдем теперь к точному определению равномерной
структуры на топологической группе1).
D.11) Определение. Пусть О—топологическая группа. Для
любой окрестности V ее единицы е через Ьи обозначим
множество всех пар (х, у)$6х0, для которых х~ху^1], а через
Ни—множество пар (х, у)^ОхОУ для которых ух~1€С1. Левой
равномерной структурой на группе О называется семейство
3?1 (О) всех множеств ЬЦу где I] пробегает множество всех
окрестностей единицы, и аналогично правой равномерной
структурой называется семейство <^г{0) множеств #и.
D.12) Определение. Пусть О и Я—две топологические группы
и % и *У*—открытые базы единиц в С и Я соответственно.
Отображение ср: О—>Я называется равномерно непрерывным
относительно пары равномерных структур (<^(С), <^(Я)), если
для любого 1/^^° существует такое С/€*?/, что (фМ, ф(#))€^у
для всех (х,у)(ЦЬи (достаточно очевидно, что понятие
равномерной непрерывности отображения на деле не зависит от
выбора баз % и <УЭ). Аналогично определяются равномерные
непрерывности для пар равномерных структур (^@), <УГ(Я)),
(Л%(<?). ^(Я)),(^@),^(Я)).
D.13) Определение. Равномерные структуры ^(С) и с5%@)
на топологической группе О называются эквивалентными, если
тождественное отображением О—> О является равномерно
непрерывным для пар (<^(С), 3?г{0)) и (<9%@) &Л0))-
D.14) Приведем несколько фактов о равномерных
структурах, доказательства которых совсем просты, если не тривиальны,
и потому опущены.
(а) Если тождественное отображение и (?—>¦(? равномерно
непрерывно относительно одной из пар (с5^@), <!РГ\C)) и
г) Существует широко развитая теория равномерных пространств,
независимая от теории топологических групп. Мы совсем не будем ее касаться,
ограничиваясь лишь равномерными структурами на группах, необходимыми
для последующих рассмотрений. Общую теорию равномерных пространств
см., например, Келли [2] или Исбелл [1].

$ 4. Основные определения и факты 39
(о?г@), E^@)), то оно равномерно непрерывно и относительно
другой пары, и потому структуры &г (С) и <^г@) эквивалентны.
(Ь) Для абелевой топологической группы О структуры &>1 (О)
и <УГ(С) эквивалентны (точнее, идентичны).
(с) Все левые и правые сдвиги топологической группы
являются равномерно непрерывными относительно пар (е8^(С), с^ДО))
и (РАО), <3%<?)).
(ё) Для любых двух элементов а, Ь^О топологической
группы О отображение ху->ахЪ группы (л на себя равномерно
непрерывно относительно пар (е8^@), &1 (С)) и (с5%@), <5%(С)).
(е) Инверсия х\—^х^1 в топологической группе О равномерно
непрерывна относительно пар (<^г@), <§^@)) и (<8^(С), <5%(С)).
(!) Структуры (УАО) и <5%@) на топологической группе О
эквивалентны тогда и только тогда, когда инверсия хн^г1
в С равномерно непрерывна относительно хотя бы одной из пар
(^@), ,^((?)) и (<^@), <3%(С)).
(ё) Структуры е8^ (О) и с?г (О) на топологической группе О
эквивалентны тогда и только тогда, когда для любой
окрестности Ц единицы е существует такая окрестность V единицы е,
что хУх~г а V для любого х^О.
Докажем теперь основную теорему о равномерной
непрерывности.
D.15) Теорема. Пусть О и Я—топологические группы и
ф: О —> Я—такое непрерывное отображение, что для любой
окрестности № единицы е' в Я существует компактное подмножество
К\у а О, для которого <р (К'у) с \У. Тогда ф равномерно
непрерывно относительно любой из пар (&\ (О), &1 (Я)), (&>1 (О), о?г (Я)),
(<3%(С), ^|(Я)), (^@), <9%(#)).
Доказательство. Мы докажем теорему для первых двух пар,
поскольку доказательство для оставшихся пар не содержит
ничего нового. Все рассматриваемые в доказательстве
окрестности единиц в О и Я считаем, без ограничения общности,
симметричными.
Пусть нам задана окрестность ЦР единицы е'. Выберем такую
окрестность V единицы е'9 что У2с1^. По определению
непрерывности отображения <р для любой точки х^О найдется такая
окрестность Vх единицы е, что ч>(х1!х) с: (ф(х)У) П AЛр (*)).
Найдем снова окрестности О х единицы е такие, что 0Х с: {]Х. Пусть
К у—компактное подмножество О, для которого ^(Ку)аУ.
Семейство \х1/х\хеК образует открытое покрытие компакта К
и потому содержит конечное подпокрытие {*А{?* }{?в1. Покажем,
что Ц = п /У*—искомая окрестность. Пусть, действительно,
х~гу ^ {/; нам нужно доказать, что [ф (х)]" Ф (у) 6 №. Рассмотрим

40 Гл. 2. Элементы теории топологических груШ
вначале случай х^Ку. Тогда х^хкОх для некоторого к,
1 ^&^п, и потому
у€х1! с хк0Хк1/ с хк0*к с **г/*Л.
Очевидно, х^хк1]Хк, так что Ф (у) € ф (**) ^ и Ф (х) € ф (**) V.
Иначе говоря, [ф(^)] Ф(у) € V и [ф(х)] ф(яЛ) €^=У, откуда
[Ф(х)]-Ч(У) = [ф(^)]"Ч(^)[Ф(^)]-1Ф(У)€У1сГ.Случайу€^
разбирается аналогично. Остается поэтому рассмотреть случай,
когда ни х9 ни у не принадлежат Ку. Тогда ф(х)(ЕУ и ф(#)€^,
так что [ф(х)]ф(у)€^2 = И^,—тем самым равномерная
непрерывность ф относительно пары (<б^(С), 3>1(Н)) полностью
доказана.
Пусть снова х~гу^11. Если х6Лу» то х,у^хк1)Хк и,
следовательно, Ф (#) € Уф (Х/О и ф(*)€Уф(ял). Отсюда ф(у) [ф(#)]_1 =
= ц>(у)[Ц)(хк)]-1ц>(хк)[(р(х)]-1^У2с:]^. Если же х,у€К'у, то
ф(#) [ф(*)]~х €^2с:1^, так что ф равномерно непрерывно и
относительно пары (еУ,@), <3%(#)). ?
D.16) Следствие. Любое непрерывное отображение компактной
группы О в любую топологическую группу Н равномерно
непрерывно относительно любой пары равномерностей из D.15).
Доказательство. Для любой окрестности V? единицы е'
полагаем К^ — О и применяем теорему D.15). []
D.17) Следствие. На любой компактной группе 0 структуры
3>1 (О) и с5% @) эквивалентны.
Доказательство. Тождественное отображение непрерывно, и
потому равномерно непрерывно относительно любой из пар
равномерностей, что означает эквивалентность структур <8^(С)
и о?г {О) согласно определению D.13). Можно было бы вывести
утверждение и из свойств D.14) и D.9). Ц
Дополнительные теоремы и примеры
Мы приведем сейчас ряд примеров топологических групп и
дадим иллюстрации к определению топологической группы,
равномерной структуры и т. д. Некоторые из приводимых ниже
утверждений доказываются лишь вкратце, а некоторые
оставлены без доказательств совсем. Проведение строгих
доказательств в таких случаях предоставляется читателю.
D.18) (а) Элементарные примеры. Для произвольной группы
О пусть 6 = 5* (О). Тогда {С, 6}—топологическая группа, обычно
называемая дискретной группой.
(Ь) Для произвольной группы О пусть 6 = {0,О}. Тогда
{О, 6}—топологическая группа. Впрочем, кроме тривиального

$ 4, Основные определения а факты
41
случая 0=^{е\, эта группа для нас интереса представлять не
будет.
(с) Для любой группы О пусть в—семейство всех
подмножеств в О с конечным дополнением; тем самым на О задана
слабейшая из всех возможных 7\-топологий. Группа {О, 6}
топологической группой не является, поскольку топология б
на ней 7\, но не хаусдорфова [см. теорему D.8)].
(А) Аддитивная группа вещественных чисел /? в стандартной
топологии прямой является абелевой локально компактной
(очевидно, не компактной) группой.
(е) Мультипликативная группа Т с топологией, наследуемой
из комплексной плоскости (подмножеством которой Т
является),—абелева компактная группа.
(I) Группа ©2 (/г, К) с топологией, наследуемой из
^-мерного комплексного евклидова пространства (подмножеством
которого @й(/г, К) является),—топологическая группа. [Для
доказательства достаточно заметить, что и в формулу умножения
двух матриц, и в формулу обращения матрицы входят только
непрерывные функции от элементов матриц.]
(§) Любая подгруппа топологической группы О с
топологией, наследуемой из О, является топологической группой.
(Ь) Пусть Н—топологическая абелева группа, и О—абелева
группа, содержащая Н в качестве подгруппы. Пусть, далее,
% — открытая база единицы е группы Н. Введем в О
топологию, взяв за открытую базу окрестностей единицы то же самое
семейство 41, Свойства D.5) A) — (у) показывают, что топология
на О тем самым полностью определена и что относительно ее
С—топологическая группа.
A) Пусть О—некоторая группа, и {б,,},^/—произвольное
семейство топологий на О, относительно каждой из которых
О—топологическая группа. Тогда О является топологической
группой и относительно топологии вир6,,, т.е. относительно
слабейшей среди всех топологий на О, более сильных, чем
любая из 6Ьу ь^1.
(]) Топологическое линейное пространство Еу определенное
в приложении В, определение (В.5), рассматриваемое как
аддитивная группа, является топологической группой.
D.19) Упорядоченные группы, (а) Пусть на множестве С,
содержащем более одного элемента, заданы две структуры —
групповая структура и структура линейной упорядоченности,
связанные между собой следующим образом: для любых а, &, х^О
из а < Ь следует ах < Ьх и ха < хЪ. Тогда О называется
упорядоченной группой. Стандартная для линейно упорядоченного
множества интервальная топология позволяет рассматривать

42 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
всякую упорядоченную группу как топологическую группу.
Мы покажем ниже, что пространство упорядоченной группы
всегда нормально.
Напомним определение интервальной топологии. Открытой
предбазой в С служит система множеств вида (а, оо) = {х^0:
х > а) и (сю, а) — {х^О: х<а}, а^О. Поскольку в
упорядоченной группе не может быть ни наибольшего, пи наименьшего
элемента, базой открытых множеств1) для интервальной
топологии будет служить система всевозможных «интервалов» (а, Ь) =
= {х^О: а < х <&}, — ведь у (а,Ь) = 0.
а, ЬеО
[Проверим непрерывность операций в упорядоченной группе
относительно интервальной топологии. Непрерывность инверсии
хь->х-1 следует из равенства (а, 6)=-F, а-1),
проверяющегося непосредственно. Прежде чем доказывать непрерывность
умножения, покажем, что из непустоты интервала (еу а) следует
существование такого Ь^(е, а), что Ь2^а. Действительно, если
е < х < а и х2^а, то полагаем Ь = х. Если же х2 > а, то
положим Ь = ах~1. Теперь из Ь2 > а, т. е. из ах~1ах~1 > а, следовало
бы х~1ах~1 > е и а > х2, что противоречит предположению.
Докажем на этой основе непрерывность умножения в О. Пусть,
например, аЬ 6(°°, Р), Р(Е<3. Если интервал (аЬ, Р) пуст, то
пусты интервалы (е, а'^Ь'1), (а, Р&), F, а_1р) и потому
произведение окрестностей (сю, C6) и (оо, а_1Р) точек а и 6
соответственно лежат в (оо, Р). Если же интервал (аЬ, р) непуст, за
нужные окрестности точек а и Ь можно взять (оо, аи) и (оо, иЬ),
где в<^<а_1рб-1 и а2^арЬ. Поэтому С—топологическая
группа.
Наметим теперь доказательство нормальности О [которое
легко переносится на случай произвольного линейно
упорядоченного множества О с интервальной топологией]. Назовем
подмножество Саб выпуклым, если из а^Ь^С, а, Ь, г(ЦО,
а<Сг<Ь, следует г^С. Пусть А и В—два замкнутых
непересекающихся подмножества в О. Обозначим через {Сх\х&а
совокупность всех непустых максимальных выпуклых подмножеств
в (А [) В)' и выберем для каждого %$А по точке х^С^,. Пусть
х^А. Если (уу х] с А для некоторого у < х, то положим
х{] =(у, х]. В противном случае для некоторого К0 ^Л мы имеем,
что из у ^ В, у < х, с€~С%0 следует у<су т.е. что множество
Са0 лежит между множеством {у € 5: у < х) и точкой х. Положим
в этом случае х1! = (хх0, х]. Тем самым мы определили полуин-
х) Для того чтобы произвольно заданная система 41 а 3* (X) подмножеств
на X могла служить открытой предбазой некоторой топологии, необходимо
и достаточно, чтобы объединение элементов семейства % давало все X; для
базы нужно еще требование замкнутости % относительно конечных
пересечений.— Прим, перец,

$ 4. Основные определения и факты
43
тервал хи для любого х$А. Симметричным образом определим
полуинтервалы V х для всех х^А и полуинтервалы ХУ и Ух
для х$В. Тогда (/= у (Х1ЛI1Х) и У- у СД^У*) суть ис-
комые непересекающиеся окрестности множеств А и В
соответственно.]
(Ь) (Дьедонне [2]). Пусть О —множество вещественнозначных
функций, определенных на некотором вполне
упорядоченном множестве 5. Групповая структура в /? позволяет
превратить О также в абелеву группу: (/+§") (а) = / (а)+Я(а),
а ^ 5. Введем в О порядок, полагая /<§", если для некоторого
а0^5 имеем /(а0)<#(а0) и /(а) = #(а) для всех а<а0, а^5.
Тогда в интервальной топологии О—топологическая группа.
Если 5 имеет последний элемент Я, то нулевой элемент 0
(функция, тождественно равная нулю) допускает открытую базу,
состоящую из интервалов (—ёи ёг)* ^ > 0> гАе §г(а) = ® при
а<А, и ё1(^) = ^ Если в 5 нет последнего элемента и есть
канфинальное всему 5 счетное подмножество, то нуль 0
допускает счетную базу. Если конфинального счетного подмножества
нет, то и счетной базы у нуля нет. В этом случае пересечение
любого счетного семейства открытых множеств открыто, все
счетные множества замкнуты, а компактны только конечные
подмножества.
D.20) Независимость аксиом D.1). Следующие два примера
показывают независимость требований D.П) и D.1Н).
(а) Сохраним в Я. абелеву операцию, изменив топологию.
Именно, открытой базой объявим систему множеств вида [а, Ь),
где ауЬ^Яу а<Ь. Легко проверить, что отображение (х> у)\->
*->х + у непрерывно, т. е. непрерывна операция умножения,
а инверсия ли—>—х непрерывной не будет.
(Ь) На той же алгебраической группе 7? введем топологию,
объявив открытыми множества вида ЛпС, где А открыто
в обычной топологии прямой, а С счетно. Инверсия ян->—х
теперь будет непрерывной, а сложение (х, у)*->х-\-у нет.
[Первое утверждение очевидно; сложение же не может быть
непрерывным, поскольку существуют такие окрестности нуля V,
что ни для какой окрестности нуля V не выполнено 1)~ аУ.]
D.21) Топологии, определяемые подгруппами, (а) Пусть
О—группа, и сЛГ = {Л^} — некоторое семейство ее нормальных
подгрупп, замкнутое относительно конечных пересечений.
Объявим открытой базой топологии на С семейство всех множеств
вида хЫ, где х^О и #€оЛГ. Тогда О—нульмерная
топологическая группа (в действительности, все N €о№ открыто-замкнуты
и оЛГ— открытая база в единице е группы О).

44 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(Ь) Пусть в предыдущем примере семейство сДГ содержит
единственную подгруппу N. Если Ыф{е), то С не является
Т#-группой, поскольку точки одного класса смежности по N
не отделимы друг от друга. Любое конечное подмножество в
группе О, не являющееся объединением классов смежности по
Л/У компактно (как всякое конечное множество), но незамкнуто.
Очевидно также, что N является замыканием множества \е\.
Любая топология на конечной группе, относительно которой
группа является топологической, может быть построена таким
путем—через единственную нормальную подгруппу,
являющуюся замыканием единицы.
(с) Пусть О—неабелева группа, и N—подгруппа в О, не
являющаяся нормальной. Относительно рассматривавшейся
в примере (Ь) топологии 0 не является топологической группой.
[Отображение х\—>х~1 непрерывно в точке а^С тогда и только
тогда, когда аМа~1с:Ы.]
(й) (Холл [1]). Некоторое видоизменение примера (а)
получаем, рассматривая семейство Ж — {Я} подгрупп конечного
индекса в О. Покажем прежде всего, что семейство Ж замкнуто
относительно конечных пересечений. Пусть Н19 Н2^Ж. Если
х, */€#1 и хН2 = уН2У то у~1х^Н1Г\Н2я х(Нг [\НД = у(Нг ПЯ2).
Следовательно, если х(Н1ПН2) и у(Н1[)Н2) — различные классы
смежности группы Н1 по Н1(]Н2, то хН2 и уН2—различные
классы смежности группы О по Я2. Поэтому [Ях: Нх Г) Я2] ^
^[0: Я2]. Но из формулы классов имеем [О: Ях П Я2] =
= [О: Ях] [Ях: Ях ПЯ2], так что ЯХПЯ2 имеет конечный индекс
в группе О.
Покажем теперь, что каждая подгруппа Н^Ж содержит
нормальную подгруппу N ^Ж. Пусть, действительно, [О: Я] = /г,
хх=е и 0/Н={х1Н1 х2Н, ..., хпН)—левое разложение С по Я.
Отображение Р (х)\ 0/Н—>6/Н зададим формулой хиН—уххкН.
Тогда Р осуществляет гомоморфизм группы О на [транзитивную]
подгруппу Р (О) группы всех перестановок О/Я. Столь же ясно,
что Р (Я) есть в точности та подгруппа группы Р(С), которая
оставляет Я на месте. Если I—тождественная перестановка,
положим Ы^Р-1^). Тогда Л^сЯ, [О: Щ = ((Щ)^п\ и N
нормальна. Нетрудно проверить, что семейство Ж удовлетворяет
свойствам D.5) (г—V) и потому действительно может служить
базой окрестностей единицы топологической группы О.
Построенная топология является хаусдорфовой тогда и только тогда,
когда для любого §Ф е существует подгруппа Н^Ж такая,
что ё^Н.
(е) (Ивасава [1]; доказательство следует книге Куроша [1]
стр. 236—237. См. также фон Нейман и Вигнер [1]).
Конструкция, использованная в предыдущем примере, позволяет топо-

$ 4. Основные определения и факпгы 45
логизировать любую группу. Покажем, что для свободной группы
построенная топология хаусдорфова, причем для доказательства,
естественно, используем сформулированный выше критерий.
Пусть, действительно, X—система образующих для свободной
группы Р и §€Р, §фе—произвольный элемент. Строим
подгруппу конечного индекса в Р, не содержащую §'. Пусть # =
= х11 ... *^, где хи ..., хт€Х, еу = ± 1, /=1, ..., /и, причем
слово х\х.. .^ — приведенное. По теореме B.9) существуют такие
положительное целое п и отображение Хь-^РХ множества X
в группу @я+1 или в ©л+2, что перестановка'ф^Р^1 о.. .о Р^«
/л
отлична от единичной. Отображение /, определенное на системе
образующих свободной группы, однозначно продолжается до
гомоморфизма / в группу <&п+\ или ©,г + 2, причем / (§) = трфе
и потому §^ Кег/. Но Кег/ — очевидно, подгруппа конечного
индекса в Р.
D.22) Некоторые необычные топологии на /? и 2Г. (а)
Рассмотрим аддитивную группу 7? как линейное пространство над
полем рациональных чисел С?. Пусть Я—некоторый базис в Я
[базис Хамеля]. Обозначим «/с// подмножество, имеющее не
более чем счетное дополнение в Я, а через А)—подгруппу
в Я, составленную из элементов вида ггНх -\-г2к2-\- ... +гтНтУ
где г;.$B и Н^^^^ /= 1, 2, ..., т; т== 1, 2, ... Строим теперь
на 7? топологию, как в примере D.21а), используя в качестве
системы о^ систему {Лу} всех подгрупп АГ Тогда
Я—топологическая группа, причем наименьшая мощность открытой базы
этой топологии в точке 0 равна с.
(Ь) Рассмотрим на 7? топологию, равную точной верхней
грани двух топологий — обычной и определенной в предыдущем
пункте. И в этой топологии 7?—топологическая группа, и снова
наименьшая мощность открытой базы в точке 0 равна с, но на
этот раз имеется счетная последовательность V'п окрестностей О,
пересечение которой есть {0} (в предыдущем примере это было
не так). Далее, последовательность \хп\ сходится в этой
топологии к точке 0 только тогда, когда все хп, кроме конечного
числа, совпадают с О1).
*) И предыдущий пример, и этот основаны на следующей чисто
топологической конструкции, позволяющей строить топологические пространства
с указанными свойствами. В топологии хЛ на # открытыми объявляются те
и только те множества, дополнение к которым счетно. Если т — обычная
топология на /?, то в топологии зир (ть т2) открыты те и только те множества
^с:/?, в которых для любой точки а^Ц существует интервал с центром
в а, все точки которого, за исключением, может быть, счетного числа, лежат
в 0. — Прим. персе.

46 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(с) Рассмотрим семейство {/а}аея комплекснозначных
функций х*-Д.е1ах вещественного переменного. Снабдим /? слабейшей
из всех топологий, в которых все функции /а непрерывны.
Тогда /?—топологическая группа, причем топология на ней
строго слабее обычной. [Система множеств {х^Я: | схр Aах)—11<
< е| удовлетворяет условиям A — IV) теоремы D.5) и потому
порождает некоторую топологию на 7?. Непрерывность всех /а
в этой топологии очевидна, а последнее утверждение можно
извлечь, например, из теоремы Кронекера B6.19Ь).]
(й) Счетная бесконечная топологическая группа не
обязательно имеет счетную базу в единице. Так, группу 2 можно
превратить в топологическую группу без счетной базы в нуле.
[Пусть Н—некоторый базис Хамеля для линейного
пространства /? над полем ф, содержащий число 1. Для любых а1У
а2» •••, а/й^ЯП{1}/ и 8>0 положим V (а1} а2, ...,ат\ е) =
= {п^2: \акп—р^|<едля некоторых рк $2, й = 1, 2, ...,т\.
С помощью теоремы D.5) проверяется, что система всех таких
(/(о^, ...,ат\ е) определяет топологию на 2, в которой 2 —
топологическая группа. Теорема Кронекера B6.19Ь) показывает,
что все И (осх, ..., ат\ г) бесконечны. Мощность любой открытой
базы в нуле равна с]
D.23) Бесконечные абелевы группы, (а) Любая бесконечная
абелева группа допускает структуру недискретиой хаусдорфовой
топологической группы. Рассмотрим, действительно,
совокупность всех гомоморфизмов произвольной абелевой группы О
в группу Т. Поскольку группа Т делима, гомоморфизмов таких
достаточно много, в частности, для любого §^О, §Фе,
существует гомоморфизм /: О —». Т, для которого § ^ Кег /, это прямо
следует из теоремы (А.7). Слабейшая из всех топологий на О, в кото-*
рых непрерывны все гомоморфизмы /,— искомая. Мы убедимся
в этом в пункте B6.14).
(Ь) (Кертеш и Шель [1]). Любая бесконечная абелева группа
С допускает структуру недискретной хаусдорфовой
топологической группы с счетной базой в единице. [В силу примера
D.1811) достаточно ввести такую структуру в хотя бы одну
подгруппу С группы О, а в силу конструкции D.21а)
достаточно найти в О' счетную бесконечную убывающую
последовательность подгрупп с тривиальным пересечением.
Если в группе О есть элемент а бесконечного порядка,
искомую последовательность подгрупп
получаем, рассматривая в качестве Ап подгруппу с
образующей а2".

$ 4. Основные определения и факты
47
Пусть теперь О—периодическая группа. Согласно теореме
(А.З), группа О есть слабое прямое произведение своих р-при-
марных подгрупп О Если среди этих подгрупп бесконечно
много отличных от '{<?}, скажем, Орх, Ор^ ..., то определим
подгруппу Ап как состоящую из элементов (х19 х2, ..., хпУ .. .) ^0,
у которых х1 = х2= . .. = хп_х = е. Тогда ЛхзЛ2=).. . эЛр .. .—
искомая последовательность. Остается рассмотреть случай,
когда периодическая группа распадается в конечное прямое
слабое произведение своих р-примарных подгрупп Ор. Но тогда
хотя бы одна из этих подгрупп бесконечна, скажем, Ог Снова
рассмотрим два случая,— когда в Сц есть нетривиальная
делимая подгруппа и когда такой подгруппы нет. В первом случае,
по теореме (А. 14) в Ся есть подгруппа Л, изоморфная группе
1 (9е0). Но 2(<7°°), как подгруппа топологической группы 7\
допускает недискретную хаусдорфову топологию,— а потому
допускает ее Л, и, следовательно, О. Второй случай: в 0A нет
нетривиальных делимых подгрупп. Переходя, если нужно, снова
к подгруппе, будем считать, что Оц счетна. Строим
трансфинитную последовательность {Л(д\. Пусть [(х) = хд при х^С и
положим А0 = С , Л1=/(Л0), ..., Ля+1 = /(Ля), ..., Л0= Г) АпУ
/1 = 0
Л(й+1=/(Л©), ... Трансфинитная последовательность {Л^}
убывает, поэтому, начиная с некоторого счетного (вся 0A счетна)
траыефинита со, имеем Л0)+1 = ЛС0, причем А(д = {е}, раз в С1} нет
делимых подгрупп. Если со конечно, то 0Ц—группа
ограниченного порядка и, по теореме (А.25) есть слабое прямое
произведение счетного бесконечного числа конечных циклических
групп с общим пересечением \е\. Тогда \е\ есть пересечение и
убывающей счетной последовательности подгрупп. Если же со
бесконечно, то запишем систему \АЫ\ в последовательности
п
11У /2, ..., ]п, ... и положим Вп= П 3ьч п = 1, 2, ... Снова,
легко видеть, получаем убывающую счетную последовательность
подгрупп с тривиальным пересечением.]
D.24) Примеры, касающиеся равномерных структур. Пусть О—
любая Г0-группа. Если в О существуют две такие
последовательности {х„}~=1 и {уп\^и что
Нт хпуп = е, а Нт упхп = гфе,
П ->- со п -> со
то левая и правая равномерные структуры на О не
эквивалентны. [Пусть V и V? — непересекающиеся окрестности е и г
соответственно, а V—любая окрестность единицы е. Если п
выбрано так, чтобы хпуп^У и упхп€№, то {Хп1Угуп^У и

48 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Уп{хпг)^^ и потому Уп^п1)^- Следовательно, равномерные
структуры не эквивалентны.]
(а) Группы ©2 (л, Р) и ©2 (л, Р), где я>2, а Т7—некоторое
подполе поля /С, являются топологическими относительно
топологии, наследуемой из /С. В обеих правые и левые
равномерные структуры не эквивалентны. [Пусть Е—единичная матрица
в ©2(л, р) и для любых а, $€Р, аф§, пусть матрица
А (а, Р) = (ад,)" л=1 в ©2 (л, Т7) определена правилом ап = а,
апп = 1/а, а/7 = 1 при 1 < / < я, а1п = р и а;к = 0 для всех
остальных пар /, к. Легко проверить, что А (а, Р) А (у, б) = А (ау,
аб + Ру-1). Положим Хт = А(\/ту 1/т) и Уг1Я = Л(т, 1/т) для
любого т=1, 2, ... Тогда
Нт ХяГя=Нт Л A, ^ + ^) = А A, 0) = Я,
а
Нт ГтХл= Нт ЛA, 1 + 1) = Л A, 2).
т -> со т -> со
Поскольку Л A, 2)ФЕУ левая и правая равномерные структуры
на @2(/г, Р) и ©2 (я, Т7) не эквивалентны.]
(Ь) Рассмотрим подгруппу О группы ©2B, Р), состоящую
из всех матриц вида @ ^ ], где х> у(^Р и хфО. Тогда у О
левая и правая равномерные структуры не эквивалентны.
[Поскольку
^.(о !)(о ТК'1га.С т*)=A \)ФЕ'
ЛтАо 1До 1)=^тЛо 1 ;=(о О-*-'
D.25) Линейные группы, (а) Группы II (я), О (я), ©11 (л) и
©О(п) компактны. [Поскольку отображения А—+Л, А—+1АУ
А—*Л-1, Л—>»Л* и А—>Aе1А непрерывны, пространства
групп II (/г), О (я), ©И (/г), ©Г) (/г) замкнуты в /С. Поскольку
О (/г), ©II (я) и ©О (я) являются замкнутыми подмножествами
группы XI(п), достаточно доказать компактность группы М(п).
Если матрица А--= (а/к)^ к==1 унитарна, то 1АА = Е—единичная
и
матрица, и потому 2 ат^т]-Т=11 ПРИ 7— 1» . ..,я. Таким
обрати 1
зом |ау7г | ^ 1 для всех / и к, так что И (/г) — замкнутое и
ограниченное подмножество в /С и потому компактное.]

$ 4. Основные определения и факты
49
(Ь) Группы ®2(я, /С), ©2 (я, /С), П (я), ©и (я), ©2 (я, #),
©2 (я, Я), О (я) и ©О (л) все локально евклидовы, т. е.
единичный элемент в каждой из них допускает окрестности, гомео-
морфные открытому шару в (вещественном) евклидовом про-
странстве размерности 2я2, 2я2 — 2, я2, я2—1, я2, я2—1, —Ц—
и /г^/г"~ ' соответственно. Для доказательства введем в
рассмотрение экспоненциальную функцию от матрицы: для любой
00
матрицы А^Ш(пу К) положим ехр (А) = 2^ -гг А1, где А° = Е и
1 = 0
А1 = АА.. .А — произведение /экземпляров матрицы Л. [Если
а = тах{|а11|, ..., |а„л|}, то, как легко проверить, элементы
матрицы А1 не превосходят по абсолютной величине числа (паI,
т
так что каждый элемент матрицы ^~ггА1 есть т-й член схо-
1 = 0
дящейся последовательности и матрица ехр (А) действительно
И
т
определена, причем сходимость V — А1 равномерна на
компактно
ных подмножествах группы Ш(п, К) А Легко проверить
также, что
A) Для любой матрицы 5 $©2 (я, К) имеем ехр(В~1АВ) =
= В-1 ехр (А) В.
B) Если 'х19 ..., хп—собственные числа матрицы Л, то
ехр*!, ..., ехр ^„ — собственные числа матрицы ехр (Л)
(доказывается индукцией по я).
C) Детерминант с1е!(ехр(Л)) матрицы ехр (Л) равен
ехрAгЛ).
D) ехр (Л) 6 ©2 (я, К) для любой матрицы Л.
E) Если АВ^ВА, то ехр (Л + В) = ехр (Л) ехр (В).
F) ехр(Ц) = '(ехр(Л)).
G) ехр (Л) = ехр (Л).
Покажем теперь, что найдется окрестность 35 нуля в $01 (я, К)
такая, что функция ехр осуществляет гомеоморфное
отображение 33 на некоторую окрестность единичной матрицы Е в @2 (я, /С).
Элементы матрицы ехр (Л), очевидно, являются целыми
функциями от элементов матрицы Л, пусть ехр (Л) = (/7у7г)у1|Л:=1.
Поскольку ехр(А) = Е + Л + тг+ ••¦, Р;м(ап><*12> •••» апп)
отличается от 8ук-\-ау/г на функцию более высокого порядка
относительно а11У а12, ..., а„п. Рассмотрим теперь функцию ехр как
отображение К в Кп*. Якобиан этого отображения в нуле
равен единице, и, по теореме об обратной функции (Апостол [1],

50 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
стр. 144), функция ехр осуществляет взаимно однозначное
отображение некоторой окрестности 93 нуля. Поскольку©" можно
считать компактным, функция ехр обязана тогда быть
гомеоморфизмом.
Проведем, наконец, детальное доказательство того, что
группа УХ(п) локально евклидова и имеет размерность /г2. Пусть
23 — такая окрестность нуля в Ш (/г, /С), что отображение ехр
на 93 есть гомеоморфизм, и из Л ^ 23 следует 1А € 23, А ^ 93 и
— А 6 23 (такая окрестность найдется в силу непрерывности
отображений Лн->М, Л|-»Л и Ль->—А). Пусть 2В состоит из
всех косоэрмитовых ^матриц окрестности 93, т. е. матриц Л,
для которых М = — Л. Для того чтобы матрица А= (а/к)]%к=1
была косоэрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы все а^
были чисто мнимыми, а ак/ = — а;-к для любых 1</<&0.
Таким образом, множество всех косоэрмитовых матриц есть
(вещественное) евклидово пространство Я размерности п2 и '28
можно выбрать открытым шаром в Кп* с центром в нуле. Для
любой матрицы Л^ЗВ имеем (ехр (Л))* = '(ехр (Л)) = ехр (М) =
= ехр (— Л) = (ехр (Л)), так что ехр (Л) — всегда унитарная
матрица. С другой стороны, если матрица ехр (Л) унитарна и
лежит в ехр (93), то сама матрица Л косоэрмитова. Таким
образом, ехр осуществляет гомеоморфизм окрестности 2В на
некоторую окрестность единичной матрицы Е в Ц(п).
Аналогичные отображения строятся и для других упомянутых
выше линейных групп. Только укажем их:
для ©й(м, К) берем А€Ш1(п,К) П 33;
для ©8 (/г, К) берем Л €23, где 1гЛ — 0;
для ©Ц (п, К) берем Л € 93, где 1г Л = 0 и а-к = — ак]\
для ©й (/г, Д) берем Л 6 ЯЛ (/г, /?) П 23;
для ©2 (я, Я) берем А€Ш(п, #)ГШ, где 1гЛ-0;
для О (п) берем А (Е Ш (п, #)ГJ3, где а;-к = — ак/,
для ©О (л) берем Л(ЕЯК(гс, Я)П23, где а]к = — ак].
Для ©2 (я, Л") и ©II (п, К) для матриц Л окрестности 23 нуля
в Ш(п, К) должно также выполняться неравенство |1г Л | < 2я,
что, конечно, сделать возможно.]
D.26) Каждая недискретная, локально счетно компактная
70-группа О имеет мощность ^ с. (В действительности каждое
ее непустое открытое подмножество I] имеет мощность ^с.)
[Без потери общности.можем считать, что 11~ счетно компактно.
Поскольку группа О недискретна и является 70-группой
(следовательно, хаусдорфовой), то множество V бесконечно. Пусть
х0 и х1—две различные точки в I/, и Ц0 и Vх—такие их
окрестности, что {]\\)ЩаИ и Щ[\\]\^0. Пусть, далее, хщ и

$ 4. Основные определения и факты
51
х01—две различные точки в Ц0У а" (/00 и С/01 — их окрестности,
удовлетворяющие тем же условиям [У^и^/^с G0 и [/^0/7^=0.
Определим аналогично точки х10, хп и их окрестности ^/10 и /7П.
Продолжая процесс по индукции, строим непустые открытые
множества Vн.. .у- для всякой последовательности /х, /2, ..., /да,
состоящей из нулей и единиц, причем все (/^...у^ лежат в (/ и
Пусть теперь Ат= и {(/д.. .у : /^ = 0 или 1, & = 1, ..., /я} для
со
любого целого положительного т и Д= Г) Л,л. Из счетной
т— 1
компактности 6^~ следует, что 2)^ с. Действительно, для
каждой последовательности {/и}т~1 из нулей и единиц множество
со
П Щ^...]' с: О непусто и все такие множества попарно не
пересекаются. ]
Замечания. Понятие топологической группы в том виде,
в котором мы его используем сейчас, по-видимому, было
введено Ф. Лейа [1] в 1927 г. В 1925 г. О. Шрейер [1]
аксиоматически определил и изучил группы со структурой
^пространства Фреше на них, относительно которой групповые операции
непрерывны. Другое аксиоматическое построение, не
эквивалентное теории Лейа, было дано Р. Бэром [1] в 1929 г.
Локально евклидовы группы сами по себе изучались Э. Картаном
в 1930 г. [1]. С начала 30-х годов топологические группы уже
детально изучались многими авторами; см., например, ван
Данциг [1], [3], А. Хаар [3], Дж. фон Нейман [3].
Довольно обычным в первый период изучения топологических
групп было требование наличия счетной открытой базы;
начиная с работ А. Вейля это ограничение постепенно исчезает.
И в нашей книге мы, вообще говоря, не предполагаем наличия
счетной базы у пространства группы.
Многие теоремы из §§ 4—7 могут быть найдены в
монографиях Бурбаки [1], Люмиса [2], Монтгомери и Циппина [1],
Понтрягина [7], А. Вейля [4]. Трудно поэтому для каждой
теоремы дать полные ссылки, и мы не будем пытаться это
сделать. Могут представлять интерес, однако, первоисточники
результатов § 4. Теоремы D.4), D.7) и D.8) в основном следуют
А. А. Маркову [1]. Специальные случаи теорем D.6), D.7) и
D.8) были у Д. ван Данцига [3]. Аксиомы D.5)\\ — IV),
насколько нам известно, впервые появились у А. Вейля [3], см. также
ван Данциг [3]. Теорема D.9) известна давно; в специальном
случае она была уже у Монтгомери и Циппина [1]. Теорема D.10)

52 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
появилась у ван Кампена [1]. Равномерные пространства были
определены А. Вейлем [3], который описал и равномерные
структуры с^@) и &Г(С). Теоремы D.15) —D.17) принадлежат
также А. Вейлю (там же); см. также ван Кампен [1].
§ 5. Подгруппы и факторгруппы
В этом разделе мы изложим некоторые методы построения
по данной топологической группе новых топологических групп.
Начинаем с изучения подгрупп.
E.1) Теорема. Пусть О—топологическая группа и Н—ее
подгруппа. Относительно топологии, наследуемой из группы О,
подгруппа Н является топологической группой.
Доказательство. Отображения (х, у) ь->ху произведения Н хН
на Н и яь-^лг1 подгруппы Н на Н непрерывны, поскольку
являются сужениями непрерывных отображений 0x0—+ С и
E.2) Теорема. Пусть А и В—подмножества топологической
группы О. Тогда
A) {А-){В-)щ(АВ)-,
(и) {А-)-* = {А-1)-,
(ш) хА~у = (хАу)~ для любых х> у^О.
Если О—Т0-топологическая группа, то мы также имеем:
(IV) если аЬ = Ьа для любых а^А и Ь^В, то аЬ = Ьа для
любых а^А~ и Ь^В~.
Доказательство. Чтобы доказать A), предположим, что х (Е Л~,
у €В~ и что V — любая окрестность единицы е. Тогда
существует окрестность V единицы такая, что (хУ) (уУ)с: хуИ'. Поскольку
х^ А~ и у^В~, существуют точки а^А и Ь ^В такие, что
а € хУ и Ь^уУ. Следовательно, аЬ ^ (АВ) П (ху11), и потому
ху€(АВ)~.
Предложение (и) следует из того факта, что отображение
г\-^г~1 является гомеоморфизмом группы О на себя, а (Ш)
следует из гомеоморфности отображения гь->хгу группы О на
себя.
Покажем теперь (IV). Предположим, что аЬ = Ьа для всех
а^А, Ь^В. Отображение.(а, Ь)\-^>аЬа~1Ь~1 произведения 0x0
в О непрерывно. Поскольку множество {е} замкнуто по
теореме D.8), мы получаем, что подгруппа Н = {(а, Ь)^0х0:
аЪа-1Ъ~1=^е) замкнута. Очевидно, А хВ а Яи (А хВ)~ = А~~ хВ~.
Таким образом, мы получаем А~ хВ~ а Н и потому аЬ =¦¦ Ьа для
всех а$А-9 Ь€В~. []
E.3) Следствие. Если Н—подполугруппа, подгруппа или
нормальная подгруппа топологической группы 0} то Н~—также под-

$ ё. Подгруппы и факторгруппы
63
полугруппа, подгруппа или нормальная подгруппа соответственно.
Если О—Тц-топологическая группа и Я—ее абелева
подполугруппа или подгруппа, то Н~—также абелева подполугруппа или
подгруппа соответственно.
Доказательство. Если Я—подполугруппа в О, то Н2а Я и,
по E.21), мы имеем (й"Jс(й2)"сй_; иначе говоря,
множество Я~ есть подполугруппа в О. Если Я— подгруппа в С, то
также Я с: Я. Следовательно, (Я~)~1 = (Я)" с: Я~, так что
Н~—подгруппа в О. Остальные утверждения следствия
доказываются подобным же образом. []
E.4) Теорема. Пусть О—топологическая группа. Замыкание
{е}~ точки е в О является нормальной замкнутой подгруппой в О
и одновременно наименьшей замкнутой подгруппой в О.
Замыкание точки а к: С есть класс смежности а{е\~={е\~а.
Доказательство. Множество \е}~ есть замкнутая нормальная
подгруппа в О по E.3). Очевидно, это есть наименьшая
замкнутая подгруппа в О. Левый сдвиг является гомеоморфизмом,
и потому замыкание {а} есть а{е)~ для каждого а^О. Далее,
поскольку \е)~ есть нормальная подгруппа, мы имеем
а{е}- = {е}-а. []
E.5IТеорема. Подгруппа Я топологической группы О
открыта, если и только если ее внутренность непуста. Каждая
открытая подгруппа И в О замкнута.
Доказательство. Предположим, что Я имеет внутреннюю
точку х. Тогда существует такая окрестность V единицы е в О, что
хУаН.Цля каждого у E Я мы получаем гД/ =-~ух~1х11 аух~1Н=Н.
Следовательно, подгруппа Я открыта. Если Я открыта, то, по
определению, каждая точка в Я—внутренняя.
Если Я—открытая подгруппа в О, то Я''= [){хН: х(гН\.
Каждое множество хН открыто, так что Я' открыто. Значит,
Я замкнуто. []
E.6) Теорема. Пусть Л—семейство окрестностей единицы
в топологической группе О такое, что:
(\) для каждого V ^Л существует У ^Л такое, что У2а11',
(И) для каждого V ^Л существует V^Л такое, что У~1а II;
(ш) для любых V ,У ^Л существует № ^Л такое, что \Ра
Пусть Н= П {/7: V €Л\. Тогда Я—замкнутая подгруппа в О.
Если, дополнительно,
(IV) для любых О^Л и х^О существует У^Л такое, что
XVх с: V,
то Я—нормальная подгруппа в С.

54 Гл. 2. Элементы теории топологических груйп
Доказательство. Предположим, что х, у^Ничго V€Л.
Выберем У^Л так, чтоУ2с:{У. Тогда ху ^У2а I/, так что ху 6#-
Аналогично, х'1^ Я, если х^Н. Чтобы увидеть, что подгруппа
Я замкнута, возьмем любой элемент а ^ О, не принадлежащий Я.
Тогда а^[/ для некоторого I/^Л. Пусть У1э У2,
1/^^—такие, что 1/!с{/, У^с:^, УсКхПКя и потому УК с С/. Из
(аУ)Г\Уф0 вытекало бы а^У1/_1с: <У,что невозможно.
Следовательно, мы имеем а^аУа Я', и поэтому Я'открыто.
Следовательно, подгруппа Я замкнута.
Предположим, что (IV) выполнено и пусть а^Н и х^О. Для
каждого ?У €</? выберем У^^ такое, что хУх~гс: V'. Очевидно,
хах~х ^хУх~1а11 и, поскольку V $Л—произвольно, получаем
хах~1^Н. Следовательно, Я—нормальная подгруппа. []
В качестве приложения теоремы E.6) мы покажем сейчас,
как по окрестностям единицы е строить открыто-замкнутые
подгруппы.
E.7) Теорема. Пусть V—любая симметричная окрестность
00
единицы в топологической группе О. Тогда множество Ь= и Цп
является открыто-замкнутой подгруппой в О.
Доказательство. Если х^Цк и у^И1, то ху € 1]к'Ь1 и х ^
€((/~1)Л=[/А. Следовательно, Ь есть подгруппа в О. По
теореме E.5), подгруппа ./^ открыто-замкнута. []
E.8) Теорема. Подгруппа топологической группы дискретна,
если и только если она содержит изолированную точку.
Доказательство. Предположим, что х^П и что точка х
изолирована в относительной топологии На О. Значит,
существует такая окрестность V единицы в группе О, что (хО)[) Н = {х).
Тогда для произвольного у^Н имеем
(уи)(\Н = {уЦ)П(ухг'1Н)=ухг1{(хи)ПН)^{у\.
Поэтому каждая точка из Я изолирована, так что подгруппа Я
дискретна. Если Я дискретна, то, по определению, все ее точки
изолированы. []
E.9) Теорема. Пусть О—топологическая группа, и Я—ее
подгруппа такая, что II ~ П Я замкнуто в О для некоторой
окрестности I) единицы е в О. Тогда подгруппа Я замкнута.
Доказательство. Пусть {] — окрестность единицы е в О такая,
что множество \]~ (]Н замкнуто в О. Пусть У—симметричная
окрестность единицы в О, для которой У2а V. Пусть теперь
х—любая точка в Я"" и пусть ха, а^И—направленность в Я,
сходящаяся к х. Поскольку лг^Я" E.3), множество Ух~х[\Н

§ 5. Подгруппы и факторгруппы
55
непусто; пусть у $ Ух~х Г) Я. Существует такое а0 ^ Д что ха ^ хУ
для всех а >^ос0. Таким образом, если а >а0, то ул:а ^ (Ух-1) (л:У) =
= У2с: 17 и потому уха^Ц~ Г\П. Поскольку
направленность уха, а>ос0 сходится к ух и множество 1/~ (]Н замкнуто,
то ух^11~ [\Н. Следовательно, х = у~1ух^Н и потому Я"с: Я,
т. е. подгруппа Я замкнута. []
E.10) Теорема. Каждая дискретная подгруппа Я Т0-группы О
замкнута.
Доказательство. Пусть V — окрестность единицы в С, для
которой 1/(]Н = \е\. По следствию D.7), существует
окрестность V единицы е, для которой У~а V. Тогда У~{\Н=^{е\—
замкнутое множество, поскольку группа О—хаусдорфова D.8).
Из теоремы E.9) теперь следует замкнутость подгруппы Я. []
В теореме E.10) аксиома Т0 существенна, как показывает
пример E.37§). Имеет место также следующее обобщение
теоремы E.10):
E.11) Теорема. Пусть О—Т^-группа, и Я—ее подгруппа,
локально компактная в своей относительной топологии. Тогда Я
замкнута.
Доказательство. Пусть V — окрестность единицы в О такая,
что множество (У~ПЯ компактно как подмножество в Я и
потому как подмножество в О. Поскольку группа О хаусдорфова,
множество \]~ Г) Я замкнуто. Согласно теореме E.9) и подгруппа Я
замкнута. []
E.12) Определение. Топологическая группа О называется
компактно порожденной, если она содержит компактное
подмножество Р, алгебраически порождающее всю группу О, т. е.
0 = {е}[) и (Р(]Р~1)п-
п- 1
E.13) Теорема. Пусть О—локально компактная
топологическая группа. Тогда следующие условия эквивалентны:
(\) группа О компактно порождена;
(и) существует открытое подмножество V а О с компактным
замыканием Ц~, порождающее группу С;
A11) существует окрестность V единицы е в О с компактным
замыканием (/~, порождающая группу О.
Доказательство. Очевидно, что из (Ш) следует (и) и что из
(п) следует A). Пусть теперь группа С компактно порождена;
мы докажем, что условие (ш) выполнено. Пусть Р —
компактное подмножество в О, порождающее С. Тогда множество Р\){е)
компактно, и, по D.10), существует открытое множество V?

56 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
содержащее Р и {е\, с компактным замыканием (/". Очевидно, V
порождает О. []
E.14) Теорема. Пусть О—локально компактная группа, и
Р—ее компактное подмножество. Тогда существует открыто-
замкнутая компактно порожденная подгруппа в О, содержащая Р.
Доказательство. Пусть множество Р компактно. Тогда из
теоремы D.10) вытекает существование открытого
множества V с компактным замыканием И~, содержащего Р[}{е}.
со оо
Следовательно, II (И[]11-^)п^ у ((/-- у ((/-)-!)«_компактно
л=1 /1=1
порожденное множество, и есть открыто-замкнутая подгруппа
в О, по теореме E.7). []
Как и в алгебраической теории групп, подгруппы
топологических групп играют существенную роль в образовании
гомоморфных образов. Топологические свойства подгрупп будут
играть существенную роль в наших построениях. Мы теперь
перейдем к рассмотрению непрерывных гомоморфизмов
топологических групп и их связей с нормальными подгруппами.
Начинаем с обсуждения одной общей конструкции.
E.15) Определение. Пусть О—топологическая группа и Я —
ее подгруппа. Пусть, далее, х (—>л;Я—естественное
отображение группы О на множество 0/Н. Определим топологию
6 @/Н) на 0/Н по следующему правилу: подмножество \хН:
х$Х\ в 0/Н принадлежит б (О/Я), если и только если
множество ф-1 ({хН: х^Х}) открыто в О. Другими словами,
множество {хН: х^Х\^0/Н открыто в 0/Н, если и только если
множество {]{хН: х$Х\ = ХН открыто в О.
Поскольку {хН: х^Х}^={хН: х^ХН}, каждое открытое
множество в 0/Н имеет вид {иН: и^Ц}, где V — некоторое
открытое множество в О. Таким образом, топология в @/Н) состоит
из всех множеств вида {иН: и^Ц}, где V открыто. Легко
видеть, что множества вида {иН: и ё^/}, где V открыто в О и
а^Цу образуют открытую базу в произвольной точке аН в 0/Н.
E.16) Теорема. Семейство 6 @/Н) является топологией для
0/Н. Относительно этой топологии естественное отображение
ф: О—у 0/Н непрерывно, и 6 @/Н) есть сильнейшая топология
на 0/Н с этим свойством.
• р Доказательство. Пусть {иН: и^1]\ \к ел—некоторое семейство
открытых подмножеств в 0/Н, где каждое ^7Я открыто в
О. Тогда 'II \иН\ и$1]Л='{иН\ а$ I! IIк) открыто в 0/Н,
Л,еЛ ХеЛ
поскольку [} 1?ь открыто в О. Аналогично, пересечение любого

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
57
конечного числа множеств из 6 @/Н) снова принадлежит б (О/Я).
Очевидно, пустое множество 0'и все множество О/Н
принадлежат 6 @/Н) и потому 6 @/Н)—топология на 0/Н. Остающееся
утверждение теоремы проверяется легко; мы опускаем
доказательство. []
Топологическое пространство 0/Н называется факторпрост-
ранством группы О по Н. Перечислим теперь некоторые
полезные факты относительно 0/Н.
E.17) Теорема. Естественное отображение ср: О—>0/Н
является открытым отображением.
Доказательство. Если V открыто в О, то ПН открыто по
теореме D.4), и потому множество ^A]) = {иН\ и^И) открыто
в 0/Н. П
Легко видеть, что естественное отображение ср: О—>0/Н
не обязано быть замкнутым: ф(Л) может не быть замкнутым
в 0/Н для замкнутого множества Л в О. Простой пример
представляет аддитивная группа ^ и ее факторгруппа К/2.
Каждый класс смежности х-\-Ъ в Я содержит число х—[х] ([х] есть
целая часть числа х) и не содержит других чисел из
полуинтервала [0, 1). Таким образом, полуинтервал [0, 1) может
рассматриваться как пространство К/2. Нетрудно увидеть, что
топология на полуинтервале [0., 1) как модели пространства
К/2 может быть описана следующим образом. Открытая база
состоит из всех множеств вида (а, C), где 0<а<р<1, и
множеств вида [0, аI)(|3, 1), где 0<а<[5<1. Пусть теперь
А = {3/2, 9/4, ..., п + 2~пу ...}. Множество А замкнуто в К, но
<рD) = {1/2, 1/4, ..., 1/2", ...}с:[0, 1) незамкнуто.
Имея в виду этот пример, интересна следующая теорема.
E.18) Теорема. Если О—топологическая группа и И—ее ком-
пактная подгруппа, то естественное отображение ф: О—>0/Н
замкнуто.
Доказательство. Предположим, что А—замкнутое
подмножество в С; покажем, что (ф(Л))' открыто в 0/Н. Рассмотрим
точку х ъ О такую, что хН не принадлежит ф(Л); тогда х не
принадлежит АН. Поскольку АН замкнуто D.4),
существует окрестность V точки х такая, что VП(Л#) = 0. Очевидно,
иН: и ^11} — открытое множество в О/Я, содержащее хН и
иН: и^Ц} не пересекается с ф(Л). Следовательно, ф(Л)'
открыто. []
E.19) Теорема. Пусть О—топологическая группа, Н—ее
подгруппа, и I), V—окрестности единицы в О, для которых У~гУ с: V.
Пусть ф: О—>С/Н—естественное отображение. Тогда ф (У)~ с: фA/)-
Доказательство. Пусть хН ^О/Н принадлежит у(У)~. Тогда
{охН: V $ У)—окрестность элемента хН и, следовательно, содержит

58
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
некоторую точку из ф (У). Значит, существуют такие точки
01» ^2€У, что V^xН = V2Н, т. е. хН=^ю^2Н ^ Ь>Н\ хю^У'1]^}^
с {иН: абг/} = Ф'(^)- П
E.20) Теорема. Пусть О—топологическая группа и Я—ее
подгруппа. Для любого а^О пусть а^>—отображение,
определенное в § 2:
ва|> (хН) = {ах) Я при хН € О/Я.
Тогда аг|)—гомеоморфизм. Таким образом, О/Н— однородное
пространство.
Доказательство. Поскольку аг|) есть взаимно однозначное
отображение группы О/Н на себя и (в'ф) = а-»'Ф» нам нужно только
доказать открытость отображения а^>. Пусть {иН:
и^Ц}—открытое множество в О/Н, где V открыто в О. Тогда множество
а^({иН: и^11}) = {аиН: и^11} — \оН: V^а^} открыто, поскольку
аЬ открыто в О. []
E.21) Теорема. Пусть О—топологическая группа и Я—ее
подгруппа. Тогда пространство О/Н дискретно, если и только
если подгруппа Я открыта в О. Если Я замкнута, то
пространство О/Н регулярно и потому хаусдорфово. Если
пространство О/Н есть Т0-пространство, то подгруппа Я замкнута и
О/Н—регулярное пространство.
Доказательство. Если подгруппа Я открыта в О, то аН от*
крыто в О для любого а^О я ф {{аН\) = аН открыто в О для
каждой точки аН^О/Н. Значит, каждая точка из О/Н открыта,
и потому каждое подмножество из О/Н открыто. Обратно, если
группа О/Н дискретна, то множество {Я} открыто в О/Н и
потому ф~1({Я}) = Я открыто в О.
Теперь предположим, что Я замкнуто в О. Тогда аН
замкнуто в О для каждого а (Е О, а [аЩ = II {хН: хН Ф аН) открыто
в О. Отсюда следует, что дополнение каждого множества \аН\
в О/Н открыто в О/Н. Следовательно, каждая точка в О/Н есть
замкнутое множество. Но это свойство эквивалентно Т^-аксиоме
отделимости. Отсюда и из E.19) следует регулярность
пространства О/Н.
Наконец, предположим, что пространство О/Н является
Г0-пространством. Тогда по теореме E.19) оно является также
/^-пространством, и потому множество {хН: хНфН) открыто
в О/Н. Отсюда следует, что подгруппа Я = A1{хЯ: хНфН))'
замкнута в О. []
E.22) Теорема. Пусть О—компактная {локально компактная)
группа, и Я—любая ее подгруппа. Тогда пространство О/Н
компактно {локально компактно).

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
о9
Доказательство. Если О—компакт, то и О/Н, будучи
непрерывным образом группы О E.16), также является компактом.
Предположим, что группа О локально компактна и что II—
окрестность единицы в О с компактным замыканием. Тогда,
по теоремам C.3) и E.19), образ ф({/) имеет компактное
замыкание в О/Н. Поскольку пространство О/Н однородно E.20),
оно локально компактно. []
E.23) Лемма. Пусть О—топологическая группа, Н—ее
подгруппа и ср: О—>0/Н—естественное отображение. Предположим,
что V—симметричная окрестность единицы, для которой
множество ((У~K)~ П# компактно, и что множество {хН: х^Х)—
замкнутое компактное подмножество в^О/Н, такое, что {хН:
х^Х\ с {иН: и^И}. Тогда множество V" П (ХН) замкнуто и
компактно в О.
Доказательство. Очевидно, ХН = ц>~г ({хН: х^Х\) замкнуто,
так что и множество {/" П (ХН) замкнуто. Предположим, что
/У~ П (Х#) не компактно. Тогда существует такая
направленность ха, а^И в V" П (ХН), что никакая ее поднаправленность
не сходится ни к какой точке из /7" Г) {ХН). Поскольку И~ Л (ХН)
замкнуто, никакая поднаправленность из ха не сходится тогда
ни к какой точке из О. Но, поскольку каждое хаН лежит в \хН:
х^Х\, существуют поднаправленность х$, $$Е, направленности
ха и точка х0^Х такие, что х$Н сходится к х0Н в топологии
6 @/Н). По предположению, мы имеем х0Н = и0Н для
некоторого и0^Ц. Пусть А = ((^/~K)~. Очевидно, направленность х$
не содержит поднаправленностей, сходящихся к точке из
и0(А[]Н); значит, никакая точка из и0(АГ\Н) не является
предельной точкой направленности х$ C.10с). Следовательно, для
каждого х^и0(АГ\Н) найдется окрестность II х единицы и
элемент $Х€Е такие, что
из Р>Р* следует х$(^Цхх. A)
Для каждого х^и0(А()Н) пусть Ух—окрестность единицы
такая, что У%а IIх. По предположению, множество А(]Н
компактно и потому и0(АГ\Н) также компактно. Следовательно,
существуют такие точки х1У ..., хп€и0(А[)Н), что
Й V' хк=>и0(А()Н). B)
Пусть V—любая симметричная окрестность единицы такая, что
V а ( Г) Ух ) П II- Очевидно, {ш0//: V^V} есть окрестность точки
и0Н = х0Н в О/Н, и потому существует элемент Р0^Е, для
которого из р^Ро следует х$Н€{ии0Н: V^V}. Пусть у(ЦЕ такое,

60 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
что у>р0 и 7>Рл^ ПРИ &=1, ...у п. Тогда хуН = юи0Н для
некоторого у^У; значит, л:г = то0/1 для некоторого /г(Е#. Теперь,
к = и^~1ху€иУи- с (^/-Kс= Л
и, следовательно, и0Н^и0 (А Г\Н). Применяя B), получаем
и0к$Уххк для некоторого к F=1, 2, ...,/г) и потому
*7 = 1Щ0Й€УУ*А*А С= УХкУХкХк С {/*АХЛ.
Условие A) показывает, что это невозможно, поскольку у>($*
Отсюда следует, что множество Ц~ Г) (ХН) компактно. []
E.24) Замечание, (а) В лемме E.23) предположим дополни
тельно, что подгруппа Н компактна. Тогда условия леммы E.23)
будут выполнены, если мы положим /7 = 0. В этом случае
лемма E.23) остается справедливой, если условие замкнутости
множества {хН: х $ Х\ в С/Н опустить. Таким образом, мы
получаем: если Н—компактная подгруппа в О и если \хН: х^Х} —
компактное подмножество в С/Н, то множество ХН компактно
в С. Детали доказательства этого утверждения аналогичны
употреблявшимся при доказательстве леммы E.23) и потому
опущены.
Ь) Если группа С локально компактна, Н — ее подгруппа, а
множество {хН: х^Е}—замкнуто и компактно в С/Н, то
существует замкнутое компактное подмножество Р а С такое, что
{хН: х^Р\ = {хН: х^Е\. Действительно, если V—любая
окрестность единицы в О с компактным замыканием 1]~, а ср: О —> С/Н —
естественное отображение, то система {ср EG): 5 ^С\ есть
открытое покрытие пространства С/Н. Некоторое его конечное
подсемейство, скажем, Ц>(8г11), фE2^)> •••> фE«^)> покрывает
множество {хН: х^Е\. Мы теперь можем положить Р=
=(яхг/- и 5аг/- и... и 5„г/-) п ф-1 ({хн-. х $ е\).
E.25) Теорема. Пусть С—топологическая группа и Н—ее
подгруппа. Если обе группы Н и С/Н компактны, то и сама
группа С компактна. Если обе группы Н и С/Н локально
компактны, то и группа С также локально компактна.
Доказательство. Предположим, что группы Н и С/Н
компактны. Тогда, полагая Ц = Х = С и применяя лемму E.23),
мы видим, что группа 0 = 0" П (СН) компактна.
Предположим, что группы Н и С/Н локально компактны.
Пусть V—любая окрестность единицы в О, для которой
множество V" Г) Н компактно. Используя D.51), D.6) и D.7),
найдем симметричную окрестность 'С/единицы, для которой F^~Kс: V.
Тогда, очевидно, ((Г/~K)~П# компактно. Найдем окрестность
ИР единицы такую, чтобы {хН: х^№}~ было компактным в С/Н.

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
61
По теореме E.19) найдется такая окрестность И?0 единицы в О,
для которой фA^0)~ сф([/), и, значит,
{хН: х€№0}~ с: {хН: х$и\.
Выбирая подмножество ХаО, для которого {хН: х^Х}^
=-{хН: х^Ш [] №0}-, получим, что {хН: х$Х\ компактно в 0/Н и
\хН: хеХ}а{хН: х^^а{хН\ х^Щ.
По теореме E.23), множество V' П (ХН) замкнуто и компактно
в О. Далее, е 6 V П ((№ П №0) Н) с: 1/~ (] (ХН). Следовательно,
единица имеет окрестность Ь П ((№ Г) №0) #) с компактным
замыканием; значит, группа О локально компактна. []
Применим теперь конструкцию пространства 0/Н к случаю,
когда подгруппа Н является нормальной, т. е. к случаю, когда
0/Н есть группа.
E.26) Теорема. Пусть О—топологическая группа, и пусть
Н—ее нормальная подгруппа. Снабдим факторгруппу 0/Н
топологией, как в теореме E.15). Тогда 0/Н есть топологическая
группа, а естественное отображение ср: С—±С/Н есть открытый,
непрерывный гомоморфизм группы О на 0/Н. Группа 0/Н
дискретна, если и только если подгруппа Н открыта, и О/Н является
Т ^-группой (и, следовательно, регулярной группой), если и только
если подгруппа Н замкнута.
Доказательство. Для доказательства того, что 0/Н есть
топологическая группа, проверим условия D.51) — D.5у) для
семейства всех окрестностей элемента Н^О/Н (единицы в 0/Н).
Пусть {иН: и$Ц\ — произвольная окрестность элемента Я в
О/Я, где I/ — окрестность единицы в О. По D.51), существует
окрестность У единицы в О, для которой У2а11. Очевидно,
{оН,ю^У) открыто в 0/Н и кроме того, {оН\ V $У}2 = \уН: у $У2} с:
а{иН: и^1/\. Следовательно, условие D.51) выполнено для
группы 0/Н и топологии 6 @/Н). Проверка условия D.5П)для
0/Н аналогична.
Проверяем для 0/Н условие D.5Ш). Пусть опять {иН\ и^Ц\—
произвольная окрестность элемента Н^О/Н, где(/—окрестность
единицы в О, и пусть и0Н—любой элемент из {иН: и$.1)\.
Если V есть окрестность единицы в О, для которой и0Ус:1/
D.5Ш), то {иН: ю^У) есть окрестность элемента Я в 0/Н, и
и0Н-^Н: у€У\ = {и^Н^€У\с:{иН: и$11\.
А это и есть условие D.5Ш) для группы О/Н и топологии
6 (О /И).
Чтобы проверить условие D.51у)для 0/Н и топологии б (О/Я),
нам нужно только заметить, что хН-^Н: V ^У\-(хН)~1 =
= {хух~1Н: V^V}^ и применить условие D.51У) к группе О и ее

62
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
топологии. Свойство D.5у) совершенно очевидно, и мы опускаем
его доказательство.
Остальные утверждения теоремы прямо следуют из теорем
E.17), E.16), E.21) и E.21) в сочетании с теоремой D.8). ?
Теорема E.26) допускает обращение в том смысле, что все
открытые непрерывные гомоморфные образы топологической
группы могут быть реализованы, как факторгруппы С/Н с
топологией б (О/Я).
E.27) Теорема. Пусть С и С—топологические группы с
единицами е и е соответственно, и пусть (— открытый
непрерывный гомоморфизм группы С на группу О. Тогда ядро Н = $~х(е)
отображения / является нормальной подгруппой в О, а множества
/_1 (х), х ^ б, являются различными классами смежности группы С
по Я. Отображение х\—>/-1(х) = Ф (х) есть гомеоморфизм и
изоморфизм группы С на группу С/Н с топологией 6 (С/Н).
Доказательство. Ввиду теоремы B.2), все, что нам нужно
сделать здесь,— это показать, что отображение Ф является
гомеоморфизмом. Пусть, действительно, О — произвольное
открытое множество в б- Множество ФA/) является семейством
классов смежности \1~1{х): х^0\> открытых в С/Н, поскольку
и{/~1(х): х^.О) =1~1@) открыто в С (напомним, что
отображение / непрерывно). Поэтому отображение Ф открыто, т. е.
отображение Ф-1 непрерывно. Пусть \иН: и^ 11}— произвольное
открытое подмножество в О/Я, где V открыто в О. Тогда
Ф~~1(\иН: и^И\)^\х^С\ /_1(х) = аЯ для некоторого и (Е V) =
^{1(и)\ и € V) =(ф). Поскольку отображение {, по
предположению, открыто, множество /(^/) открыто в О. Значит,
отображения Ф-1 и Ф непрерывны, т. е. Ф—гомеоморфизм. []
На протяжении всей этой книги стандартная ситуация
состоит в рассмотрении отображения /: О—>С одной
топологической группы на другую, когда отображение / одновременно
является гомеоморфизмом и изоморфизмом. Мы допускаем
некоторую терминологическую неточность, называя такие группы
топологически изоморфными (строго интерпретируя такое
название, две группы следовало бы называть топологически
изоморфными, если бы существовали два, вообще говоря,
различных отображения группы О на группу б, одно из которых
является изоморфизмом, а другое—гомеоморфизмом).
Утверждения теорем E.26) и E.27) могут быть теперь сформулированы
так: группа С/Н топологически изоморфна группе О, если
и только если гомоморфизм /: С—+С непрерывен и открыт
(Я = 1~1(е)). Таким образом, группа б может быть восстановлена

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
63
не только как группа, но также как и топологическое
пространство по группе О и ядру 1~1{е), если только отображение/
является открытым непрерывным гомоморфизмом. Простые
примеры показывают, что эти ограничения на / необходимы.
Рассмотрим, например, аддитивную группу ^сее дискретной толологией
9* (Я), и пусть /—тождественное отображение группы ^ на себя.
Как мы уже видели в примерах D.18Ь), D.18A) и D.22), группа 7?
имеет много различных топологий, относительно которых она
является топологической группой. Тождественное отображение I
является групповым гомоморфизмом (в действительности, даже
изоморфизмом) и непрерывно как отображение группы /? с
топологией 9*- (Я) на Я относительно любой другой топологии 6.
Оно будет открытым, однако, только если 6 = 0Р(Я). Таким
образом, существует много непрерывных гомоморфизмов
(фактически, автоморфизмов) /?, которые не могут быть восстановлены
просто по данной топологии на 7? и ядру гомоморфизма.
Тем не менее, для достаточно широкого класса непрерывных
гомоморфизмов, открытость выполняется автоматически, как
показывает теорема E.29) ниже. Следующая лемма естЬ
некоторое видоизменение классической теоремы Бэра о категориях
(В.19).
E.28) Лемма. Локально счетно компактное регулярное про-
странство X не моэ/сет быть представленным в виде счетной
суммы замкнутых подмножеств с пустой внутренностью.
со
Доказательство. Предположим, что Х = II Ап, где каждое Ап
замкнуто и А% = 0. Для каждого п пусть Вп = А'а. Тогда все Вп
открыты и плотны в X. Мы покажем, что, в противоречие
00 00
с равенством Х= [) АпУ имеем П Впф0.
Пусть Ц0 — непустое открытоедюдмножество в X, для которого
замыкание 1/^ счетно компактно. Используя регулярность и тот
факт, что множество йг открыто и плотно, мы можем выбрать
непустое открытое множество Ц19 для которого Ц^с: Ц0 П Ц^
Определяем теперь множества Цк по индукции. Пусть уже
выбрано непустое открытое . множество Vп так, чтобы
УлС[/иЧ П Д,; мы выбираем непустое открытое множество 1/л+1
так, чтобы 1/^+1с[/„П/>я + 1. Поскольку множество И~ счетно
со
компактно и каждое 11~^ непусто, пересечение Г) У^ непусто.
со
Точки этого пересечения должны лежать в множестве П А*1). П
л=1
со
2) В действительности мы доказали плотность множества (] йп в X,

64 Гл. 2. Элементы 'теории топологических групй
E.29) Теорема. Пусть О — локально компактная а-компактная
со
группа: С=(] Ап, где А1У Л2, ... все компактны. Пусть / —
непрерывный гомоморфизм группы О на локально счетно
компактную Т0-группу О. Тогда [ — открытое отображение.
Доказательство. Пусть 41 — семейство всех симметричных
окрестностей единицы в С и 41 — семейство всех окрестностей
единицы в С. Предположим, что:
для каждого V ^41 существует такое 0 ^<Й, что Gс:/(^У). A)
Тогда рассмотрим произвольное открытое множество В в О.
Для каждого х^В найдется такое {/$%, что х1)аВ. Если
множество 0 выбрано как в A), мы имеем } (х) (Е/(#) Оа
с/(я)/F^) = /(*(/) с/(В). Таким образом, [(В) открыто в С.
Чтобы доказать нашу теорему, следовательно, достаточно
установить A).
Пусть действительно V—любое множество из % и пусть
У€.% обладает тем свойством, что У~ компактно и
(У-)-1(У-)<=1/. B)
Такое У существует ввиду D.51), D.7) и E.2Н). Семейство
множеств {хУ\ х € 0} образует открытое покрытие группы С и,
следовательно, каждого Ап. В силу компактности множеств Ап,
конечное число множеств хУ покрывает Ап9 и потому счетное
00 СО
число множеств хУ покрывает все О: 0= и (хпУ)= {] (хпУ~),
/г=1 я=1
~ со
где каждое хп^Ог). Очевидно, мы получаем 0= И }(хпУ~) =
= С/(*в)/(у-).
Мы теперь утверждаем, что множество /(V7") имеет непустую
внутренность в 6. Множества хпУ~ компактны в О, и потому
компактны их непрерывные образы /(яя)/(У~) в б. Поскольку
группа б удовлетворяет аксиоме Т0, она также хаусдорфова
D.8), и потому ее компактные подмножества/ (хп)[ (V~) замкнуты.
Предположим, что ((У~) имеет пустую внутренность. Поскольку
левый сдвиг является гомеоморфизмом, все множества/(ял)/(У~)
~ со
имеют пустые внутренности. Значит, 0 = II / (хп)[(У~) есть
п— 1
г) Мы используем здесь в действительности лииделефовость О. Однако
локально компактное пространство а-компактно тогда и только тогда, когда
оно линделефово, так что мы не могли бы усилить теорему, предполагая
лииделефовость О.

§ 5. Подгруппы и факторгруппы
65
счетное объединение замкнутых множеств с пустой
внутренностью. Это невозможно по лемме E.28), и следовательно,
? (V") содержит непустое открытое подмножество УаО.
Чтобы закончить доказательство, выберем любую точку х^У
и любую точку л;6/-1(*)ПУ-\ Тогда по B) имеем х~гУ~аЫ
и потому
/ A/)з/ (х-1У-) = !(х)-1[ (V") зх-ПЛ
Множество х~хУ является элементом семейства 41, что и
заканчивает наше доказательство. []
E.30) Замечание. В следующих двух случаях условие а-ком-
пактности в предыдущей теореме несущественно. Во-первых,
если группа О локально компактна и имеет счетную открытую
базу, то она очевидно линделефова, и, следовательно, сг-ком-
пактна. Во-вторых, если группа О компактно порождена и
локально компактна, то она также и а-компактна.
E.31) Теорема. Пусть О—топологическая группа, Н—ее
нормальная подгруппа и Ь—любая подгруппа группы О. Если
ф: С —>• О/Н—естественное отображение, то факторгруппа ЬН/Н
топологически изоморфна подгруппе <р(Ь) в О/Н.
Доказательство. В теореме B.1) мы указали, что ЬН является
подгруппой в О. Очевидно, Н нормальна в ЬН, и потому
факторгруппа ЬН/Н существует и является топологической группой
в топологии 6 (ЬН/Н). Рассматриваемые просто как семейства
подмножеств в О, факторгруппа ЬН/Н и образ ф (Ь) идентичны:
элементы факторгруппы ЬН/Н суть классы смежности хН сх^ ЬН,
а элементы ф (Ь) суть смежные классы хН с х^Ь. Но это,
очевидно, одни и те же семейства множеств, и тождественное
отображение I множества \хН: х^ЬН] на {хН: х^Ь)
осуществляет изоморфизм группы ЬН/Н на ц(Ь).
Мы докажем, что I есть гомеоморфизм. Пусть X —
подмножество в ЬН. Тогда множество {хН: х$Х\ открыто в ЬН/Н, если
и только если ХН относительно открыто в ЬН, т. е. если
и только если ХН^=1/ Г\(ЬН), где Ы открыто в О.
Подмножество {хН: х(ЦХ\ открыто в ф (Ь), если и только если оно
является пересечением с ф (Ь) некоторого открытого
подмножества в ф (О); иначе говоря, если и только если существует
такое открытое подмножество У в О, что \хН: х^Х} =
= ФA)П{0Я: V€V}.
Теперь, если {хН: х^Х\ открыто в ЬН/Н, так что ХН ¦=
= 1/ Г\(ЬН) для некоторого открытого подмножества У в С, то
{хН: хеХ\ = {хН: х$ V П (ЬН)} = \хН: х$и)(]{хН: х^ЬН)^
= \хН: *€^}ПФ(^).
3 Э. Хыоитт, К. Росс, т. I

66
Гл. 2 Элементы теории топологических групп
Следовательно, множество {хН: х^Х\ открыто в ф (^). Обратно,
предположим, что \хН\ х^Х} открыто в ц>(Ь). Тогда для
некоторого открытого подмножества У в О мы получаем
{хН: хеХ\ = <рA)П&Н: у^У) = {хН: х^У(]{ЬН))
и, следовательно, ХН = (V'{\(ЬН)) Я' = {УН){\(ЬН). Поскольку
множество УН открыто, отсюда следует, что множество \хН\ х^Х\
открыто в ЬН/Н. Таким образом, топологии идентичны, так
что I — гомеоморфизм. []
Рассмотрим теперь аналог теоремы об изоморфизме B.1) для
топологических групп. Если О—топологическая группа, А—ее
подгруппа, и Н—нормальная подгруппа в О, то теорема B.1)
показывает, что группы АН/Н и А/А П# изоморфны, а
отображение т, заданное формулой т (аН) = а(А[]Н), осуществляет
этот изоморфизм. Отображение т, однако, не обязано быть
гомоморфизмом, и в действительности простые примеры
показывают, что множества АН/Н и А/А П Н могут не быть гомеоморф-
ными (например, E.39A) ниже). Изоморфизм т всегда, однако,
является открытым отображением, и, при некоторых
дополнительных условиях, гомеоморфизмом. Мы опишем полностью
ситуацию в нижеследующих двух теоремах.
E.32) Теорема. Пусть О—топологическая группа, А—ее
подгруппа, и Н—ее нормальная подгруппа. Пусть т: АН/Н—>
—+А/А П Н — изоморфизм аН\~>а(А(] Я) =-- х (аН), описанный в
первой теореме об изоморфизме B.1). Тогда тявляется открытым
отображением АН/Н на А/АПН.
Доказательство. Открытыми в факторгруппе АН/Н являются
подмножества вида \хН\ х^Х\, где ХаА такое, что ХН открыто
в АН, рассматриваемом как подпространство группы О.
Множество т (\хН: .х ^ Х\) совпадает с множеством \х (Л П Я): х (Е Х\.
Поскольку X (Л П Н) = (ХН) П Л, множество X (Л П Н) открыто
в Л в относительной его топологии как подпространства группы С,
и поэтому, по определению топологии в А/А Г) Я, множество
|х:(ЛпЯ): х^Х) открыто в Л/ЛПЯ. ?
E.33) Теорема. Пусть мы находимся в обозначениях теоремы
E.32). Предположим, что подгруппа А локально компактна
и а-компактна, что подгруппа Я замкнута и что АН локально
компактна. Тогда изоморфизм т является гомеоморфизмом,
и потому группы (АН)/Н и А/А Г) Я топологически изоморфны.
Доказательство. Ввиду теорем B.1) и E.32), нам нужно
только показать, что отображение т-1 переводит открытые
подмножества из Л/ЛПЯ на открытые подмножества в (АН)/Н.
Рассмотрим сначала естественное отображение ср: О—^0/Н.
Суженное на подгруппу Л, отображение ф переводит подгруппу Л

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
67
на подгруппу (АН)/Н в 0/Н. Поскольку подгруппа АН локально
компактна, а подгруппа Я замкнута, то факторгруппа (АН)/Н
локально компактна по теореме E.22) и является Г0-группой
по теореме E.21). Значит, ср — непрерывный гомоморфизм
локально компактной а-компактной группы А на локально
компактную Г0-группу (АН)/Н. По теореме E.29), отображение
Ф открыто на А.
Пусть теперь {у (А Г) Н):у 6 У}, У с Л —произвольное
открытое подмножество в Л/Л П Я, т. е. У (Л П Я) открыто в Л.
Вычисляя ф(У(ЛпЯ)), мы непосредственно видим, что это есть
подмножество {уН:у^У\ в (АН)/Н. Поскольку отображение ф
открыто на Л, множество \уН:у^У\ открыто в (АН)/Н. По
определению отображения т мы также имеем \уН:у ^У\ =
= т'1 {у (Л п Н):у€.У\- Следовательно, т-1 переводит открытые
подмножества из А/А П Я на открытые подмножества в (АН)/Н.[]
Вторая теорема об изоморфизме B.2) имеет в случае
топологических групп полный аналог.
E.34) Теорема. Пусть О и О— топологические группы с
единицами е и е соответственно; пусть /—открытый непрерывный
гомоморфизм группы О на группу О. Если Я — любая нормальная
подгруппа в б, Н = [(Н) и М = }~1(е)9 то группы 0/Н, 0/Н
и @/Я)/(Я/М) топологически изоморфны.
Доказательство. Пусть я|)—естественное отображение группы
О на б/Я. По теореме E.26), отображение ^ есть открытый
непрерывный гомоморфизм, и потому я|ю/ — открытый
непрерывный гомоморфизм группы О на 0/Н с ядром Я. Следовательно,
группа О/Н топологически изоморфна группе 0/Н по теореме
E.27). Поскольку отображение х\-^1~г{х) является
топологическим изоморфизмом группы О на группу 0/Ыу также по
теореме E.27), а образ Я относительно этого отображения есть
Н/Ы, группа 0/Н топологически изоморфна @/Ы)/(Н/Ы). Ц
Теорема E.34) может быть переформулирована следующим
образом.
E.35) Теорема. Пусть 0—топологическая группа, а Я и N—
ее нормальные подгруппы, причем Мс:Н. Тогда группа 0/Н
топологически изоморфна группе @/М)/(Н/Ы).
Теперь мы можем показать, в какой степени изучение
топологических групп может быть сведено к изучению хаусдор-
фовых групп.
E.38) Теорема. Пусть О—топологическая группа. Тогда
группа 0/{е\~—хаусдорфова. Если /—любой непрерывный
з*

68 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
гомоморфизм О на некоторую Т0-группу О с единицей е> то
^~1(е)^)\е\~. Если отображение / также открыто, то группа
О является непрерывным открытым гомоморфным образом группы
0/{е\-.
Доказательство. Поскольку \е}~ —замкнутая нормальная
подгруппа в С (по теореме E.4)), С/{е\~ является 7\-группой
E.21) и потому хаусдорфовой группой D.8). Далее, }~1(е)—
нормальная подгруппа в С, замкнутая, поскольку
отображение / непрерывно. Следовательно, /^(е) =){<?}". Наконец, если
/—открытый непрерывный гомоморфизм, то группа О
топологически изоморфна группе С//_1(е). По теореме E.35), группа
О//-1 (е) топологически изоморфна группе @/М~)/(/_1(е)/{е}~),
которая является открытым непрерывным гомоморфным
образом группы 0/{е}~ E.26). []
Дополнительные теоремы и примеры
E.37) Подгруппы, (а) (Бурбаки [1], стр. 10). Подгруппа Я
топологической группы О замкнута, если и только если
существует такое открытое подмножество V в О, что V Г) Я = V ПЯ"
и 11ПНФ0.
(Ь) Если Я—незамкнутая подгруппа топологической группы,
то множество Я~ П Я' плотно в Я~.
(с) Пусть Я — плотная подгруппа топологической группы С,
и пусть / — нормальная подгруппа группы Я. Тогда подгруппа
/~ является нормальной подгруппой в О.
(й) Пересечение всех открытых подгрупп и пересечение всех
замкнутых подгрупп произвольной топологической группы
являются ее замкнутыми нормальными подгруппами.
(е) Центр топологической Т0-группы О является ее
замкнутой нормальной подгруппой.
да
(/) Пусть О—такая топологическая группа, что [} Уп = 0
/2=1
для любой окрестности У единицы е. Пусть, далее,
Я—дискретная нормальная подгруппа в О. Тогда Я содержится в центре
группы О. [Существует- такая окрестность V единицы е, что
(аО)пН={а\ для любого а (Е Я. По непрерывности умножения
тогда найдется другая окрестность У единицы, для которой
У-^аУааЦ. Следовательно, х~гах = а для любых а^Н ях^У.]
(§) Пусть С —любая группа и Я —ее нормальная подгруппа,
содержащая не менее двух элементов. Топологизируем группу О,
как указано в примере D.21Ь). Тогда О—топологическая группа,
а {е\ — ее дискретная подгруппа, не являющаяся замкнутой;
сравните с теоремой E.10).

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
69
(Ь) Пусть О—любая топологическая группа с единицей е.
Подмножество \е\~ группы О имеет слабейшую топологию:
0 и \е\~ суть ее единственные открытые множества.
A) Аддитивная группа ^ содержит открытые незамкнутые
подполугруппы, недискретные замкнутые подполугруппы
с изолированными точками и дискретные незамкнутые
подполугруппы. [Пример дискретной незамкнутой подполугруппы
в /? дает подполугруппа, порожденная множеством {1 +г,г}~=1,
где \гп\п=1—последовательность положительных вещественных
чисел, сходящаяся к нулю, для которой множество {1, г1э г2, ...}
рационально независимо.]
E.38) Факторпространства. (а) Если О— компактная группа
и Я—ее замкнутая подгруппа, то естественное отображение
ф: О—*0/Н является замкнутым. [Это следует из теоремы E.18).
Чтобы убедиться, что подгруппа Я обязана быть замкнутой,
рассмотрим С = Г и #={ехрBшг): г^С}}.]
(Ь) Пусть О— любая топологическая группа и Я—ее
подгруппа. Пусть, далее, Р—замкнутое подмножество в О,
являющееся объединением классов смежности хН. Тогда ф (Р)
замкнуто в О/Я.
(с) (Александров — Хопф [1], стр. 66.) Пусть
О—топологическая группа и Я — ее подгруппа. Введем топологию @ в
множество С/Н левых классов смежности хН по следующему
правилу. Для данного класса смежности аН рассмотрим любое
открытое множество V такое, что аНа11 аС. Рассмотрим
семейство всех классов смежности хН таких, что хНа11. Пусть
совокупность всех таких семейств классов смежности является
открытой базой для топологии ©. Тогда топология © сильнее,
чем в (О/Я) и @. = 6(С/Н)> если и только если для каждого
класса смежности аН и каждого открытого множества V
такого, что аНаЦ, существует открытое множество V, для
которого аНаУ и такое, что из х^С и хНГ\Уф0 следует
хНа1У. Если подгруппа Я компактна, то @ = 6@/Я).
(й) Пусть О—топологическая группа, и Я—ее подгруппа.
Тогда б (О/Я) совпадает со слабейшей топологией {0, С/Н),
если и только если Н~ = С.
(е) (Переработка примера Граева [4]). Пусть
О—топологическая группа и Я—ее подгруппа. Если группы Я и С/Н
имеют счетную открытую базу в каждой точке, то и группа О
имеет счетную открытую базу в каждой точке. [Пусть {1^7г}~=1—
последовательность симметричных окрестностей единицы в О
такая, что И?*+1с=ИР„ для каждого п и такая, что ]№п()Н}%=1
является открытой базой в точке е группы Я. Пусть, далее,
{{иН: ы€(/„}}*=1 —открытая база в точке Н^О/Н, где Vп —

70 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
окрестности единицы е в О. Для каждого п = 1, 2, ... положим
и СЛ = Р1П/>2П • • • ПЯ„. Легко усмотреть, что каждое ()„
является окрестностью единицы. Тогда {ф„}~=1 есть открытая
база единицы е в О. Чтобы доказать это, рассмотрим
произвольную окрестность У единицы в О и пусть V—такая
окрестность единицы, что У2аУ. Обозначим ср, как обычно,
естественное отображение группы О на О/Я. Существует такое т,
что Г^ПЯсКпЯ, и такое к,к>т, что ср (О^сср (V П №т + 1).
Тогда
СлсРйПРяс(^)П(В^+1(Яп1Р;))-'с
<=((^ПГи+1)Я)П(A/П1Гда+1)(ЯпГт))'с=
<=(^ПГт+1)(ЯП^и)с(УпГ/л+1)(КлЯ)сУ2с:К.]
({) Пусть О—топологическая группа и Я—ее подгруппа
такая, что группы Я и О/Н содержат плотные подмножества
мощностей ш и п соответственно. Тогда группа О содержит
плотное подмножество мощности, не большей тп. Мощности
т и п могут быть здесь конечными или бесконечными. [Пусть
А плотно в Я и пусть \ЬН: Ь^В\ плотно в О/Я. Если
множество V открыто в О и О Ф 0, то существует ЬН в {иН: и ^11}.
Поэтому {ЬН)[\ИФ0 и Н[\{Ь~ги)ф 0. Следовательно,
А Г) {Ь~х11) ф 0 и (ВА) П V ф 0. Отсюда следует плотность
множества В А в О.]
(§) Поучителен следующий пример топологической группы,
ее замкнутой подгруппы и соответствующего пространства
классов смежности. Рассмотрим группу ©2B, /?), состоящую
из всех квадратных матриц ( У\ с вещественными элементами,
для которых А = хш—угфО. Рассмотрим ее подгруппу «§,
состоящую из всех матриц вида (* Н\ схФ§. Пусть отображение
Т: ©2B, Я)-+#2П{@, 0)}' = Я определено формулой
г'е.')-(т-т)-
Для произвольных матриц А и В из ©2B, /?) нетрудно
доказать, что Т(А) = Т(В)У если и только если 5~М^^>.
Следовательно, если определить Т*(А$) = Т (А) для А$ б ©2 B, /?)/,&,
то 7* будет взаимно однозначным отображением ©2 B,/?)/«§
на ,Е. Легко проверить, что отображение Т* непрерывно. Чтобы

$ 5. Подгруппы и факторгруппы
71
показать, что оно открыто, используем тот факт, что
\1 и* + г/« /
для любого (и, г;)€Я, и тот факт, что и, V, ц2+^2 и ц2 + ^2
суть непрерывные функции от переменных и и V. Поэтому
топология на @й B, к)/$ есть обычная топология на Е. Для
А = (с ^)б©2B, 7?) с А = ас1—ЬсФО гомеоморфизм л"Ф группы
@2B, /?)/© соответствует по E.20) гомеоморфизму г\А
пространства Еу определенному формулой
, ч / аи + Ъо си А- йю \
лл(и^) = [-д—. —аг-;-
E.39) Факторгруппы, (а) Группа /?/2 топологически
изоморфна 7\
(Ь) Пусть С—топологическая группа и Н—ее нормальная
подгруппа. Соответствие Ьь-хр(Ь) является взаимно
однозначным и переводит семейство всех подгрупп группы О,
содержащих Я, на семейство всех подгрупп группы С/Н. Далее,
подгруппа Ь замкнута, если и только если ср (/.) замкнута.
(с) В теореме E.31) предположим, что Ь — произвольное
непустое подмножество группы О, и пусть М — наименьшая
подгруппа в О, содержащая Ы1. Тогда ср (/,) гомеоморфно образу
1Н в М/Н.
(A) Пусть 0—произвольное иррациональное вещественное
число. Тогда (92)/((е2) П 2)—дискретная подгруппа, а ((92) +2)/2—
нет. [Описываем группу ((Э2) + 2)/2 как подгруппу компактной
группы /?/2. Почему этот пример не противоречит теореме E.33)?]
(е) Результаты, полученные в теоремах E.32) и E.33) о
второй теореме об изоморфизмах, могут быть обобщены.
Обозначения те же, что в E.32). В доказательстве теоремы E.33) мы
показали, что если отображение ср открыто как отображение А
на (АНIН, то т—гомеоморфизм. Обратное также верно.
[Условие, что т есть гомеоморфизм, может быть переформулировано
следующим образом: если V—подмножество в А такое, что
V (А(]Н) = А{\11 для некоторого открытого множества V в О,
то УН — V Г\(АН) для некоторого другого открытого множества
V в О. Теперь, если ИР открыто в О, легко видеть, что
(А ПНР) (Л ()Н) = А П(ИР(Лп#)). Таким образом, если тесть
гомеоморфизм, то (А Г) ИР) Н = У [) (АН) для некоторого
открытого множества V в С. Следовательно, отображение ср:
А-+(АН)/Н открыто.]

72 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
([) (Фрейденталь [1].) Обозначения те же, что в E.32).
Предположим, что т—гомеоморфизм, А— локально компактная и Я—
замкнутая подгруппы. Тогда АН замкнуто в О. [По E.22)
пространство А/А Г) Я локально компактно, поэтому (АН)/Н
локально компактно и потому замкнуто в О/Н по теореме E.11).
Отсюда с очевидностью следует замкнутость АН в О.]
(§) Пусть О—топологическая группа и Н—ее нормальная
подгруппа. Тогда факторгруппа 0/Н~ топологически изоморфна
группе (С/Я)/{Я}~, где {Я}~—замыкание в 0/Н единичного
элемента Я. [Заметим, что множество {Я}~ совпадает с Н~ /Н,
и применим теорему E.35).]
(Ь) Пусть О— топологическая группа с компактной
нормальной подгруппой Я такой, что группа 0/Н компактно порождена.
Тогда сама группа О компактно порождена. [Если ср: О—*0/Н—
естественное отображение и \хН: х$А\— компактное
подмножество в 0/Н, порождающее О/Я, то АН компактно по E.24а).
Следовательно, (АН)[)Н компактно; очевидно, (АН)[)Н
порождает О.]
(\) Пусть О—локально компактная группа и Я—ее
нормальная подгруппа. Если обе группы О/Н и Я компактно
порождены, то группа Я также компактно порождена. [Пусть
\хН: х $Х\—замкнутое компактное подмножество в О/Я,
порождающее О/Н (такое множество существует по C.3) и D.7)).
По E.24Ь) мы можем предположить, что X компактно. Если
А — компактное подмножество в Я, порождающее Я, тоЛ11Х—
компактное подмножество в О, порождающее О.]
(]) Теорема E.27) имеет следующий аналог. Пусть /: О—у О—
непрерывный гомоморфизм компактной группы О на хаусдорфову
группу б. Тогда отображение / открыто, а группы О/Н и О
топологически изоморфны, где Я—ядро /\ [Для любого
х^О пусть Ф(х) = /(^). Тогда Ф—изоморфизм между 6 и
0/Н. Как в доказательстве теоремы E.27), непрерывность
отображения / влечет за собой непрерывность отображения Ф.
Поскольку группа О/Н компактна E.22), отображение Ф есть
гомеоморфизм. Иначе говоря, б и 0/Н топологически изоморфны;
/ есть открытое отображение по теореме E.26), поскольку
1(х)=Ф-1(хН) при х6 О.]
E.40) Гомоморфизмы, (а) Пусть О и б—топологические
группы с единицами е и е соответственной пусть /: О—*б—
гомоморфизм. Если I непрерывно в некоторой точке, то оно
равномерно непрерывно относительно пар равномерных структур
(<9?1 (О),E^@)) и (с^г (О), <Рг(в)). [Допустим, что / непрерывно в
точке #о ^ О. Тогда для любой окрестцостц 0 единицы е существует

# 5. Подгруппы и факторгруппы
73
такая окрестность I) единицы е, что [ (х011)с:[ (х0) 0. Значит,
если у1х^1/, мы имеем /(х(}у-1х) €!(х0) О, т. е. [(у)! (х) € 0.
Следовательно, отображение / равномерно непрерывно
относительно пары равномерных структур (е^@), е$^(С));
аналогичное рассуждение применяется к паре равномерных структур
(Л%(С), <^(б)).]
_ на ~
(Ь) Пусть С и О—топологические группы, и /: С—^0 —
гомоморфизм. Если /((/) имеет непустую внутренность для
любой окрестности (/ из открытой базы в точке е, то
отображение / открыто.
= на _
(с) Пусть О, О и О — топологические группы, а /: С—*0
~ ~ на ~
и /: О—^0 — непрерывные гомоморфизмы. Если суперпозиция
/о/ является топологическим изоморфизмом, то и оба
отображения / и / являются топологическими изоморфизмами.
(й) Пусть О — локально компактная группа, С —
произвольная топологическая группа и ср: О—* О— непрерывный
гомоморфизм такой, что ф есть открытое отображение группы О на
ф(С)сО. Тогда ф (С) — локально компактная подгруппа в О;
если О есть Го-группа, то ф (С) замкнута в О. [По теореме
E.27), группа ф (О) топологически изоморфна группе 0/ц)~1(е).
По теореме E.22), группа 0/ц)~1(е) локально компактна. По
теореме E.11), группа ф (С) замкнута, если С есть Г0-группа.]
(е) Образ замкнутой подгруппы относительно открытого
непрерывного гомоморфизма может не быть замкнутым.
[Рассмотрим отображение 1\—>ехр Bш7) группы /? на Т и образ
подгруппы \п]/ 2: п€%\-]
A) Группа 7? является открытым непрерывным гомоморфным
образом вполне несвязной топологической группы. [Рассмотрим
группу О всех последовательностей Коши г = {г1У г2, ...)
рациональных чисел относительно покоординатного сложения. При
^>0 пусть А+ состоит из всех г^О таких, что |гя|^/ для
всех п. Для а>0 пусть Уа= у Аг. Тогда \Уа + г: а>0, г^0\
Ка
есть открытая база топологии на С, относительно которой О —
топологическая группа. Пусть Н — подгруппа в С, состоящая
из всех тех г, что Пт гп = 0. Тогда 01Н с топологией б (О/Я)
П -V 00
топологически изоморфна группе 7?. Предположим, что 8ф{,
где 5, #6С. Тогда 8По^-(По для некоторого положительного
целого числа п0; скажем, 8По<{По. Пусть в^E„о, 1По)
иррационально. Тогда 11 = \г^0: гщ < 0} открыто и замкнуто, 8^Ц и
^6^'. Значит, группа С вполне несвязна. Предшествующее

74
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
построение является обычным построением группы У? по
группе ф, использующим последовательности, с топологией на /?,
определяемой новым образом.]
(§) (Граев [4].) Пусть О—группа, О—топологическая группа
и /: О —+0 — гомоморфизм; топология б на О: <У(Еб, если и
только если V = [~1 @), где 0 открыто в О. Тогда О с
топологией 6 является топологической группой.
(Ь) (Граев [4].) Пусть О — топологическая группа с
топологией 6 и X — ее подмножество. Пусть, далее,
\6х\кел—семейство всех топологий на О, относительно которых
О—топологическая группа и которые индуцируют на X топологию более
слабую, чем топология, индуцируемая б. Если б0—слабейшая
из топологий на О, более сильных, чем все 6*,, то
гомоморфизм }: 0-+С непрерывен относительно топологии б0, если
непрерывно его сужение на X.
(I) Пусть /: Н-+О — гомоморфизм, и ф: О ->
0/{е\~—естественное отображение. Если композиция фо[ непрерывна, то
и / непрерывно. [Если V — открытое множество в С, то V {е}~ = 1/
и потому [-1(Ц) = (ц)о!)~1(\х{е\~: х^Ц\).]
(]) Пусть /—гомоморфизм топологической группы Н на
топологическую группу О, а ср: 0-+0/{е\~—естественное
отображение. Если композиция ф о / является открытым
отображением, а }~1({е}~1) = ([~1(е))~у то и / — открытое отображение.
[Пусть V — произвольное открытое множество в Н. Очевидно,
множество ф_1офо/((/) открыто в С; мы покажем, что /({/) =
= Фофо/((/). Включение / ((/)с:ф~1 о <р о [ ((/) выполняется
всегда. Пусть у ^ ф о ф о / (II). Тогда для некоторого г ^ V
Ф (у) = ф (/(г)) и также у = [(х) для некоторого х^Н. Отсюда
следует, что
и, следовательно, х~1г €1~1(\е\~) = ([~1(е))~. Далее, х~х1)
является окрестностью элемента х~хг и потому пересекает (~1{е).
Значит, для некоторого и^11 мы имеем [(х~~ги) = е и потому
у=/(*)=/(и)€/(г/).]
Замечания. Как и в § 4, многие результаты § 5 восходят
к началу 30-х годов: ван Данциг [2], [3], Фрейденталь [1], ван
Кампен [1] и Марков [1] получили целый ряд результатов по
теории подгрупп и факторгрупп. Топологии, описанные в E.15),
были введены ван Данцигом [2] и независимо (и чуть в более
общей форме) Бэром и Леви [1]. Теорема E.17) принадлежит
Маркову [1], который также показал, что не всякий
непрерывный гомоморфизм открыт. Ввиду E.29) этот феномен не мог
быть найден до тех пор, пока в рассмотрение включались лишь

$ 6. Произведения групп и проективные пределы 75
локально компактные группы со счетной открытой базой. Ван
Данциг [3] сформулировал, однако, неверный результат. Фрей-
денталь [1] подчеркнул различие между непрерывными
гомоморфизмами и открытыми непрерывными гомоморфизмами.
Теорема E.22) появлялась у ван Кампена [1], Маркова [1] и Фрей-
денталя [1]. Первое утверждение теоремы E.25) получено
Фрейденталем [1], второе утверждение ее—Монтгомери и Цип-
пином [1]; наше доказательство следует доказательству последних.
Теоремы E.26) и E.27) впервые точно сформулированы
Фрейденталем [1], хотя Марков [1] был к ним достаточно близок.
Теорема E.29) является модификацией теоремы 12 из книги
Понтрягина [7]. Теорема E.31) взята из Бурбаки ([1], стр. 14).
Фрейденталь [1] доказал частный случай теоремы E.33) так же,
как теорему E.34). Теорема E.36) появилась у Бурбаки [1],
стр. 13.
Н. Я. Виленкин [14] подробно изучал топологические группы,
не удовлетворяющие аксиоме отделимости Г0, и, в частности,
факторгруппы 0/Ну где Я—незамкнутая нормальная
подгруппа в О.
§ 6. Произведения групп и проективные пределы
Основной метод конструирования топологических групп,
рассматривающийся в настоящем разделе,— образование
декартова произведения. Эта исключительно важная операция часто
дает возможность свести проблему, касающуюся сложной
топологической группы, к проблеме о более простой группе.
F.1) Определение. Пусть \0Ь: 1^1} — непустое семейство
топологических групп, и Р 0Ь — их прямое произведение B.3).
1б/
Группа Р 01 с тихоновской топологией произведения называется
прямым произведением топологических групп 0Ь.
Всегда, когда мы в дальнейшем употребляем термин «прямое
произведение топологических групп», мы имеем в виду группу
РО1 с тихоновской топологией. Следующая теорема показывает
16/
в известном смысле корректность определения.
F.2) Теорема. Прямое произведение Р 01 топологических групп
16/
Ои ьбЛ является топологической группой, а группа Р*С1 —
16/
плотной подгруппой этой группы.
Доказательство. Чтобы показать, что Р Оь—топологическая
16/
группа, достаточно проверить условия D.П) и D.1Н). Пусть,

76
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
например, (аь) и (Ьь)—два произвольных элемента группы Р 0И
16/
и А — окрестность их произведения (а,,) (&,,). Тогда, по
определению тихоновской топологии, существуют такие окрестности
V\ точек афь в С1У ь ^ /, что Р 6\ с: А и лишь конечное число из V\
1б/
отличны от С^ В каждой группе Сь найдутся окрестности У1 и
й^ь точек аь и Ьь соответственно такие, что У1\^1с6^1 и У1 =
= ^ = 0^ если ^ = 0^ Тогда У= Р Уь и Н7 = Р ^—окрест-
16/ 16/
ности точек (аь) и FЬ) и, очевидно, УУРаА. Условие D.1.11)
проверяется аналогичным образом. Следовательно, Р Сь—тополо-
16/
гическая группа.
Очевидно, Р*0Ь—подгруппа группы Р О,,. Для проверки того,
16/ 16/
что она плотна в Р Сь, покажем, что в любом непустом открытом
16/
множестве из Р Сь содержится хотя бы одна точка из Р*0Ь.
16/ 16/
Пусть Р 1/ь—произвольное множество из открытой базы в Р 0Ь,
16/ 16/
т. е. все 11ь—открыты в^и лишь для конечного числа
индексов иьф01у причем Р Ц% непусто. Определим точку \хь\ б Р Су,
16 / 16/
по такому правилу: х1^=е1, если (/1 = 01, и х—любая
фиксированная точка из 6\, если иьфСь. Тогда
(Х1)е(ьб/)П(Г/°1),[3
F.3) Теорема (ассоциативность прямого произведения). Пусть
{Сь\ I ^ /}—непустое семейство топологических групп, и {/а,}а,6Л—
разбиение множества I. Если для каждого Х^А А^= Р Си то
группа Р Сь топологически изоморфна группе Р А%.
16/ А,бЛ
Эта теорема почти очевидна, хотя записать ее точное
доказательство—весьма утомительная задача. Мы оставляем ее
осуществление заинтересовавшемуся читателю.
Как и следовало ожидать, специальные свойства групп Сь
отражаются на свойствах прямого произведения Р 0Ь. Мы сейчас
16/
докажем ряд таких утверждений. Чтобы не повторять каждый
раз одни и те же обозначения, условимся, что всюду в теоремах
F.4) — F.9) {0Ь: 1^1\ — некоторое непустое семейство
топологических групп, О— Р (?(,—их прямое произведение и е1—единица
16/
в группе С1уч ^ /-
F.4) Теорема. Группа С удовлетворяет аксиоме Т0 тогда и
только тогда, когда ей удовлетворяет каждый из сомножителей

$ 6. Произведения групп и проективные пределы
11
0^ Группа О связна тогда и только тогда, когда связен каждый
из сомножителей. Группа О компактна тогда и только тогда,
когда компактен каждый из сомножителей. Наконец, группа С
локально компактна тогда и только тогда, когда локально
компактен каждый из сомножителей и все сомножители, кроме,
может быть, конечного числа, компактны.
Доказательство. Групповая структура в этой теореме
несущественна—теорема прямо следует из соответствующих свойств
тихоновского произведения топологических пространств. []
F.5) Замечание. Также хорошо известно, что произведение
Р 0Ь вполне регулярно тогда и только тогда, когда вполне ре-
16/
гулярен каждый из сомножителей. Соответствующее утверждение
для нормальности даже в случае топологических групп неверно.
В теоремах (8.11) и (8.12) мы укажем способ построения
ненормальных прямых произведений нормальных групп.
F.6) Теорема. Группа О абелева тогда и только тогда, когда
все сомножители 0Ь абелевы.
Доказательство. Очевидно. []
Перейдем теперь к рассмотрению подгрупп и факторгрупп
группы О в связи с подгруппами и факторгруппами групп 6Ь.
F.7) Теорема. Пусть для каждого 1^1 Аь—некоторое под-
множество в 0Ь. Если Аь для каждого I есть подполугруппа,
подгруппа, нормальная подгруппа в 6Ь, то Р Аь является соответ-
1б/
ственно подполугруппой, подгруппой, нормальной
подгруппой в О.
Доказательство. Очевидно. []
F.8) Теорема. Пусть ^—любой непустой подкласс в I, а
отображение тс/. 0-+Р 0Ь определено формулой п^((x^)^е/) = (x^)^е^.
Тогда отображение яу (называемое проекцией) является
открытым непрерывным гомоморфизмом группы О на группу Р 01
с ядром, состоящим из таких (х^^О, что х1^е1 для всех ^€^.
Доказательство. Утверждение достаточно очевидно, и мы
оставляем его проверку читателю. []
F.9) Теорема. Для каждого 1^1 пусть Яь—подгруппа в 0Ь.
Рассмотрим два топологических пространства Р [011НУ) и
16/
/гОЛ/^Р ЯЛ и пусть отображение Ф первого на второе
задается формулой Ф [(х.Н,)] = (хь) Р Ну, = Р [хьН%]. Тогда Ф (так
16/ 16/

78
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
называемое естественное отображение первого пространства на
второе) является гомеоморфизмом. Если все подгруппы Нь нор-
мальны, то оба пространства—топологические группы, а Ф —
топологический изоморфизм между ними.
Доказательство. Очевидно, отображение Ф взаимно
однозначно и на все пространство. Рассмотрим произвольное
открытое множество в Р (Сь/Н^ вида Р {Ху,Нь: х^Ц^, где все {У,,
1б/ 16/
открыты в 0И 1^/, и лишь конечное число из них не
совпадает с Сь. Его образ относительно Ф есть / Р [я,//,,]: (хь) 6 Р 1/Д.
Ье/ 16/ /
Объединение в О = Р 0Ь всех таких множеств равно Р (ДЯ,,,—
16/ 16/
очевидно, открытое в О множество. Поэтому отображение Ф
открыто. Совершенно аналогично показывается, что и Ф"
открыто, и потому Ф — гомеоморфизм.
Предположим теперь, что Нь—нормальная подгруппа в 019
I ^/, и возьмем любые элементы (л^Я,,) и (уьНь) в Р (Оь/Н^. Тогда
Ф[(х1Н1)(уМь)] = Ф(х1у1Н1) = (х1у1) Р Нь = (хь) ?%•&) Р Яь =
16/ 16/ 16/
= Ф [(хьНь)]-Ф [{У\,Н1)\. Следовательно, Ф —взаимно однозначный
гомоморфизм, т. е. изоморфизм. []
F.10) Пусть в топологической группе X нам задана
совокупность подгрупп {#,,}16/. При каких условиях мы можем
утверждать, что группа X топологически изоморфна прямому
произведению групп Л^? Рассмотрим вначале некоторые
необходимые условия. Пусть 0= Р Оь и, для каждого 10€Л дь =
16/
— С1оХ Р {^}. Очевидно, каждая группа Сь является нормаль-
ной подгруппой в О и замкнута тогда и только тогда, когда
все 0Ь, 1=^10, удовлетворяют аксиоме Т0. Если 10 и
ц—различные индексы, то каждый элемент из 01о коммутирует с
каждым элементом из 0Ц. Далее, всякое произведение 01 Оь ...(л
является нормальной подгруппой в О; @Ь017... 61 ) П 0Ь =
= {(еь)}у если индекс ь отличен от индексов ц, ..., \,п\
объединение всех подгрупп 0101п...С1 плотно в О. Если
множество / конечно, скажем / = {1, 2, ..., т\, то 0^0102 ... Ст.
Далее, если / —{1, 2, ..., т) и если 0Ь есть окрестность
единицы (^) в д1 (в относительной топологии) для каждого /=1,
2, ..., т, то произведение иг02-.. .0т содержит некоторую
окрестность единицы (еь) в О.
Мы теперь можем попытаться дать ответ на поставленный
выше вопрос. В общем случае, однако, когда группа X содер-

$ 6. Произведения групп и Проективные пределы 7§
жит бесконечный набор подгрупп, даже удовлетворяющих такого
рода условиям, имеются серьезные трудности, и мы не знаем,
вообще говоря, можно ли представить X как полное прямое
произведение своих подгрупп. В случае же конечного числа
подгрупп на этот вопрос может быть дан вполне
удовлетворительный ответ. Он содержится в следующих двух теоремах.
F.11) Теорема. Пусть X — топологическая группа, и
Ыг, Л/2, ..., Nт—ее нормальные подгруппы такие, что
A) МгЫ2 ... #Л = Х;
(и) (Л^2 ... Л^)ПЛГ*+1 = М, Л=1, 2, ...,т-1;
(И1) если 5у- есть окрестность е в Nу (в относительной то-
пологий), / = 1, 2, . .., т, то 8г82 ... 5^ содержит
окрестность ев X.
Тогда группа X топологически изоморфна прямому
произведению
Доказательство. Из условий @ и (п) следует, что группа X
изоморфна прямому произведению кг хЛА2х ... хЛ/^: каждый
элемент х^Х может быть единственным образом записан в виде
произведения ух у2 ... ут, где у] ^ Л/у, / = 1,2, ..., т. Но
каждый элемент из N]- коммутирует с каждым элементом из N{г {}фк\
/=1,2, .. ., т\ к=\, 2, ..., т). Поэтому (у±у2 . .. ут) (гхг2.. .гт) =
Поэтому отображение {у1У у2, ..., ут)*-*
ь-^УхУг • • • Ут осуществляет изоморфизм группы Ыг X Ы2 X ... X Ыт
на группу X. Непрерывность его прямо следует из
непрерывности умножения в X: если у1У у2, .. ., ут все достаточно близки
к е, то и угу2 .. . ут близко к е. Непрерывность обратного
отображения о)) следует из (ш). []
F.12) Теорема. Пусть X—локально счетно компактная Т0-
группа, Ы19 ..., Ыт—ее локально компактные, ^-компактные
нормальные подгруппы, удовлетворяющие условиям (\) и (и)
предыдущей теоремы. Тогда группа X топологически изоморфна группе
ЫгхЫ2х . ..хЫт.
Доказательство. Отображение я|>, определенное в
доказательстве теоремы F.11), является непрерывным изоморфизмом группы
А^хА^х ... хМт на X. Группа ЫгхЫ2х . .. хЫт локально
компактна F.4) и а-компактна C.9). Из теоремы E.29) следует
поэтому открытость -ф. []
F.13) Определение. Пусть А — направленное множество
относительно частичного порядка < (будем также употреблять
обозначение а<р, если а<Р и аф{5). Пусть, далее, для каждого
а^А 0а—топологическая группа. Пусть, наконец, для каждой

80
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
пары а, р^Л такой, что а<|3, определен открытый
непрерывный гомоморфизм /Ра: Ор —> Оа, причем /^а^/ра о /<у(з пРи а < Р < Т-
Объект, состоящий из Л, групп Са и отображений /ра,
называется обратным спектром1). Рассмотрим группу Р Са = Сиее
подмножество, состоящее из таких (ха), что ха = {$ахр при а<E.
Это подмножество называется проективным пределом данного
обратного спектра.
F.14) Теорема. Проективный предел обратного спектра
групп FЛЗ) является подгруппой прямого произведения О. Если
все группы Оа являются Т^группами, то проективный предел
есть замкнутая подгруппа прямого произведения О.
Доказательство. Первое утверждение теоремы почти очевидно.
Проверим только второе. Пусть {ху)^0—элемент прямого
произведения, не принадлежащий проективному пределу. Значит,
для некоторой пары а, (З^Л,а<р, имеем хаФ^ах^. Поскольку
группа Оа удовлетворяет аксиоме 70, найдутся
непересекающиеся окрестности V и V точек ха и /ра^э в Са (всякая
Го-группа—хаусдорфова D.8)). Тогда множество всех таких
(уу) (Е О, что уа (Е 0 и ур €/Й 00» не пересекается с проективным
пределом, открыто и содержит (ху). []
Дополнительные теоремы и примеры
F.15) Другие топологии для произведений групп, (а) Пусть
{О,,: ь(~1}— непустое семейство топологических групп. Зададим
топологию в Р Оь открытой базой из множеств вида Р 1#\, где
16/ 16 /
каждое 1$\ открыто в Оь. Легко проверить, что
это—топологическая группа.
(Ь) Пусть {О,,: 1^1}—непустое семейство топологических
групп Ои еь—единицы в Оь и Р 01 = 0. Представим индексное
16/
множество / в виде объединения двух непустых
непересекающихся подмножеств 1Х и /2. Вводим в О топологию @,
зависящую от 1г и /2, открытой базой единицы, состоящей из
множеств вида Р {е^Х Р 6\, где каждое Иь—открытая окрестность
I 6 /4 I 6 /2 -
единицы е1 в О,,, и лишь для конечного числа индексов 1^12
возможно ЦьфО^ С топологией Ш группа Р 01 = 0 является
16/
топологической. Если все С1у 1^12, компактны, то О в
топологии ©, локально компактна и компактна, если и только если
группа Р О,, конечна. Обычная тихоновская топология совпа-
16 Л
1) В подлиннике—обратной системой отображений.— Прим. перев.

$ 6. Произведения групп и проективные пределы 81
дает с топологией @у если и только если группа Р Оь диск-
ретна в тихоновской топологии.
(с) (Браконье [1].) Пусть {О,)^/ — непустое семейство
топологических групп, и, для каждого I ^ /, Нь—нормальная подгруппа
в Оь. Группа # = Р Яи очевидно, является нормальной под-
к=/
группой в 0= Р Оь. Выделим в множестве / конечное подмно-
16/
жество Л, и пусть [/,, для каждого I ^ Л— окрестность единицы
в Яь, т. е. пересечение некоторого открытого в 01 множества
с Нь. Зададим топологию на О, приняв за открытую базу в е
совокупность всех множеств вида Р /7сх Р Нь. Из теоремы D.5)
1бЛ 1$Л
следует, что в этой топологии С—топологическая группа,
причем Я—ее открытая подгруппа.
F.16) Локальные прямые произведения (Браконье [I]I). Пусть
{(лКе/, {Я1}1е/, О и Я—такие же, как в примере F.15с).
Предположим дополнительно, что каждое Яь открыто в 01у и
обозначим через О0 подгруппу группы О, состоящую из всех тех (х,,),
для которых х1^Н1 возможно лишь для конечного множества
индексов из /.Рассматриваемая как подпространство тополо-
гизированной как в F.15с) группы С, группа
С0—топологическая, называемая локальным прямым произведением групп Сь
относительно открытых нормальных подгрупп Н1.
(а) Всегда {е}~ = Р {^}"", поэтому 00 удовлетворяет аксиоме
16/
Т0 тогда и только тогда, когда ей удовлетворяет каждая
группа 6Ь.
(Ь) Группа С0 компактна тогда и только тогда, когда
компактно каждое Оь и Н1ф01 для не более чем конечного
множества индексов I. В таком случае О0 = 0. [Если О0
компактна, то каждое 0и как непрерывный образ компакта,
компактно. Группа 00/Я компактна и дискретна и потому конечна.
Следовательно, С1 = Н1 для любого I, кроме, может быть,
конечного числа, и С0= Р 0^1
16/ ^
(с) Группа С0 локально компактна тогда и только тогда,
когда локально компактны все 0Ь и все Ни кроме, может быть,
конечного числа, компактны. [Это прямо следует из
теоремы F.4).]
(с!) Группа 00 дискретна тогда и только тогда, когда
дискретны все Оь и Н1 = {е1) для всех, кроме, может быть,
конечного числа, индексов ь. [Если группа С0 дискретна, то прямое
х) Эта конструкция — обильный источник полезных примеров. См.,
например, §§ 24 и 25.

82 Гл. 2. Элементы теории, топологических групп
произведение Р Нь должно быть дискретным. Отсюда и следует
наше утверждение.]
F.17) Примеры и контрпримеры, касающиеся группы /?.
(а) Пусть П1—произвольный ненулевой кардинал. Тогда
группа #т/1т топологически изоморфна группе Тт.
(Ь) Группа /?/<2 изоморфна /? и имеет слабейшую топологию
{0, ЛУФ}- [Второе утверждение следует из E.38A). Чтобы
доказать первое, рассмотрим какой-нибудь базис Хамеля В для
# над ф, содержащий число 1€С1- Очевидно, группа #
изоморфна Р* <2(&), где каждое ф(Ь) есть ф. Факторгруппа К/0,
ЬеВ
изоморфна Р* ф(Ь), и потому Р* ф(Ь). Обе группы в действи-
ЬеВС){\у ЬеВ
тельности изоморфны фс\]
(с) Рассмотрим группу /?2, интерпретируя ее как множество
пар (х, у) вещественных чисел с обычной топологией. Пусть
Н = {(х, 0)(Е^2: *€<2}- Тогда группа Я21Н~ топологически
изоморфна группам /? и (Я21НI(Н~/Я). Мы получаем, таким
образом, группу Я как непрерывный гомоморфный открытый образ
группы, не удовлетворяющей аксиоме Т0\ ядро гомоморфизма
изоморфно Я и имеет слабейшую топологию. Эта конструкция
может быть проведена для любой топологической группы О,
содержащей неплотную незамкнутую нормальную подгруппу Я.
(с!) (Картан и Дьедонне [1].) Пусть В—базис Хамеля для
/? над B и пусть В1У В2, ..., Вт — некоторое его разбиение,
т > 1. Для каждого /= 1,2, . .., т пусть А^.—множество всех
чисел вида г1х1 + г2х2+ . . . -\-г3х3, где все г/г€С1, а все хк^В].
Топологизируем каждое Ы] как подпространство группы 7?.
Система подгрупп Ы1У Ы2У ..., Ыт в /? удовлетворяет условиям
F.1 И) и F.ПИ). Поэтому группа 7? изоморфна прямому
произведению N = Ы1хЫ2х ... хЫт. Однако 7? не гомеоморфно N.
Заметим, что N имеет счетную открытую базу. [/? связно, в то
время как N нульмерно.]
(е) Рассмотрим группу Я2 и ее замкнутую подгруппу Я,
состоящую из всех элементов вида AУ Ы), 1^Я, где а^ЯУ
афО—некоторое фиксированное число. Если ср: Я2—>К2112 —
естественное отображение, то ф (Я) тогда и только тогда
является замкнутой подгруппой в В2/22, когда а рационально,
и ср (Я) является плотной собственной подгруппой в К2/%2У если
а иррационально. Далее, ср взаимно однозначно на Я тогда и
только тогда, когда а иррационально, и ср открыто тогда и
только тогда, когда а рационально. Тем не менее, Я, ср (Я) и
отображение ср не противоречат теореме E.29) дня
иррационального а.

$ 6. Произведения групп и проективные пределы 83
F.18) Пусть т > #0—некоторое кардинальное число.
Рассмотрим мультипликативную группу {—1, 1} с дискретной
топологией и прямое произведение 0 = {—1, 1}ш. Пусть
Я—подгруппа в О, состоящая из тех (хь), что хуф\ лишь для
счетного множества индексов. Тогда Я есть счетно компактная
не компактная подгруппа в О.
F.19) (Касуга [1].) Пусть О —некоторая группа, и 6г и б2 —
такие две топологии на С, что О относительно каждой из них
есть а-компактная локально компактная 70-группа. Если на
О есть хаусдорфова топология 63 слабее 6Х и б2, то б1=гб2.
Заметим, что мы а рпоп не требуем, чтобы относительно 63
группа О была топологической. [Рассмотрим произведение групп
ОхС, причем первая рассматривается с топологией 6Х, а
вторая—с топологией б2; эту топологию естественно обозначить
6хх62. Пусть А = {(х, х)€Сх6: х$О) —диагональ в 0x0.
Поскольку топология 63 хаусдорфова, множество Д замкнуто в
топологии 63х63, а поскольку топология 63 слабее бх и 62, то
Д замкнуто также и относительно топологии 61х62. Очевидно,
пространство 0x0 с топологией в1хв2 локально компактно и
а-компактно, и потому замкнутое в нем подмножество Д также
локально компактно и а-компактно. Отображение (х, х)\->х
осуществляет непрерывный изоморфизм Д на группу О,
рассматриваемую в любой из топологий 6Х и 62. По теореме E.29)
оно также открыто, т.е. осуществляет топологический
изоморфизм между Д и любой из двух топологических
групп—группы О с топологией 6г или C2. Следовательно, эти топологии
одинаковы.]
Отсюда легко получить такое следствие. Пусть
О—топологическая группа, вг—ее Г0-топология, и Я—подгруппа в О.
Предположим, что Я допускает другую топологию б2,
относительно которой она является а-компактной локально
компактной топологической Го-группой, причем тождественное
отображение группы Я с топологией б2 на группу Я с топологией бх
непрерывно. Тогда топология б2 единственна.
F.20) Полупрямые произведения. Пусть О и
Я—топологические группы и 0(§)Н — их полупрямое произведение B.6).
Предположим, что отображение (я, К) н-» хн (х) осуществляет
непрерывное отображение произведения ОхН на С; в частности,
таким образом, каждое хн есть гомеоморфизм О на себя. Тогда
полупрямое произведение 0(§)Я с топологией произведения
является топологической группой. Этот факт легко следует из
непрерывности умножения и перехода к обратному элементу в
группах О и Я.

84 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
F.21) Следующий результат относится к теореме F.12).
Пусть X—локально компактная ^-группа, а Л^, Л^2, ..., Ыт —
ее замкнутые нормальные подгруппы, удовлетворяющие
условиям F.1Н) и F.1Ш). Если группы Ы19 Ы2У ..., Ыгп компактно
порождены, то группа X топологически изоморфна произведению
ЫгхМ2х ... хЛ^. [Достаточно, конечно, рассмотреть случай
п = 2—общий случай сводится к нему стандартным
индуктивным рассуждением. Пусть Р — компактное подмножество,
порождающее Ы1. По теореме E.14), найдется компактно
порожденная открытая подгруппа Я в С, содержащая Р\ конечно, Ы1аН.
Как в F.11), группы ЫгхЫ2 и О естественно изоморфны; пусть
ф—этот изоморфизм: ^>(х, у)=ху для любого (х, у) (ЕЛ/^хЛЛ,.
Покажем, что г|) (Л^ X (М2 П Я)) = Я. Сразу видно, что ^(Ы1х
X (Ы2 П Я)) с Я. Более того, если Л (ЕЯ, то Н=^ху, где х^^и
у€М2. Поскольку также х^Н, то у^Н, так что Н = ху^Ы1х
Х(Л/г2ПЯ) = 'ф(Л^1х(Л^2ПЯ)). Поскольку подгруппа Я локально
компактна, а Ыг и УУ2ПЯ—компактны и локально компактны,
по теореме F.12) отображение г|) есть топологический
изоморфизм открытой подгруппы Ы1х(Ы2Г\Н) в ЫгхЫ2 на открытую
подгруппу Я в О. Согласно E.40а), я|) топологически изоморфно
отображает Ы1хЫ2 на С]
F.22) (А. Вейль [4], стр. 30, 109.) (а) Пусть С—Г0-группа,
Я—ее нормальная подгруппа и ср: О—*Н—непрерывный
гомоморфизм О на Я, при котором ср(х) = хдля любого х^Н. Тогда
подгруппа Я замкнута, группа О топологически изоморфна
группе Яхф"^), а группа ф (е) топологически изоморфна О/Я.
[Пусть Ь = (р(е). Очевидно, Ь—замкнутая нормальная
подгруппа в О. Но х=ц) (х) ф (хУгх^НЬ для любого х(ЕО, поскольку
Ф (ф (х"г)х) = (р (ф (лг1)) ф (х) = е. Следовательно, 0 = НЬ = ЬН.
Далее, ЯГI, = {е}, поскольку ф есть тождественное
отображение на Я. Если 1/х, /У2—произвольные окрестности единицы
в О, выберем симметричные окрестности У и ^ единицы, для
которых У2аих[\112, V?'аУ и ф(ИР)с#Г|У. Нетрудно
проверить, что тогда ^с:AI П Я) ((/2 П^). Теорема F.11) теперь
показывает, что О топологически изоморфна Ях^, а Ь
топологически изоморфна С/Н.]
(Ь) Пусть С—абелева Г0-группа, и Я—ее открытая делимая
подгруппа (А.5). Тогда группа О топологически изоморфна
группе НхО/Н. [По (А.7), тождественное отображение Я на
себя допускает продолжение до гомоморфизма ф всего О в Я.
Поскольку ф является тождеством на открытой подгруппе, оно
непрерывно. Теперь применяем (а).]
Замечания. Прямое произведение топологических групп
используется с самого начала изучения топологических групп.

$ 7. Свойства групп, относящиеся к связности
85
Как выяснится в §§ 9, 24, 25, произведения групп позволяют
пролить свет на строение локально компактных абелевых групп.
Понтрягин [4] существенно использовал счетные произведения,
а в [6], §§ 20—21,—специальные типы конечных и бесконечных
прямых произведений. Конструкция общего типа прямого
произведения топологических групп появилась у А. Вейля [4],
§ 4. Теоремы F.11) и F.12) взяты у Понтрягина [7], § 21.
Проективные пределы определены у А. Вейля [4], § 5, где
также можно найти замечания о возникновении этого понятия.
Пример F.17с1) исправляет просмотр Фрейденталя [1].
Локальные прямые произведения топологических групп
играют важную роль в конструкциях Браконье [1]. Они также
рассматривались Граевым [1] и исключительно интенсивно Ви-
ленкиным [7]. Дальнейшие ссылки на использование Вилен-
киным локальных прямых произведений приведены в
замечаниях к § 25.
§ 7. Свойства топологических групп, относящиеся к связности
В этом разделе мы перечислим некоторые элементарные
свойства топологических групп, относящиеся к связности или
несвязности группы, рассматриваемой как топологическое
пространство. Поскольку связность есть чисто топологическое
свойство, результаты этого раздела не имеют аналогов в
абстрактной теории алгебраических групп.
Начнем с трех теорем, в которых рассматривается
компонента единицы.
G.1) Теорема. Пусть О — топологическая группа, и
С—компонента ее единицы. Тогда С есть замкнутая нормальная
подгруппа в О.
Доказательство. Поскольку инверсия является
гомеоморфизмом, множество С связно и содержит е, так что С~х а С.
Значит, если а — любая точка из С, то также а~1^С.
Следовательно, множество аС связно и содержит е и потому аСаС.
Итак, С2 с: С, так* что С есть подгруппа в С. Если а^Оу то
аСа—также связное множество, содержащее е (х*--=>аха~х есть
гомеоморфизм на О), и потому 'аСа а С. Таким образом, С
есть нормальная подгруппа в О. Как и любая компонента в
топологическом пространстве, С замкнута. []
G.2) Теорема. Пусть О — топологическая группа и С—ком-
поиента ее единицы. Тогда для любого а ^ О мноо/сество аС = Са
является компонентой а.
Доказательство. Отображение х\—>ах есть гомеоморфизм, а
С—нормальная подгруппа. []

86
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
G.3) Теорема. Пусть О—топологическая группа и
С—компонента ее единицы. Тогда О/С является вполне несвязной хаус-
дорфовой группой.
Доказательство. Ввиду теорем G.2) и E.26), нам нужно
только показать, что компонента единицы С в О/С есть сама С.
Пусть {хС: х^Х\ — любое подмножество в О/С, содержащее С,
и {хС: х^Х)ФС. Мы покажем, что множество {хС: х$Х\
несвязно в О/С. Пусть ф: О—>С/С—естественное отображение,
и А — любое подмножество в 0. Легко проверить, что ф(ЛП
П(ХС)) = ф (А)Г\{хС: х$Х\. Множество С есть собственное
подмножество в ХС и потому ХС несвязно: ХС = A/ Г\(ХС)) II
[}(УГ\(ХС))9 где (*/П(ХС))П(Уп(ХС)) = 0, причем ни одно из
этих множеств непусто, а V и V—непустые открытые
множества в 0. Тогда
{хС: *€Х} = (<Р({/)П{*С: *€*}) У (ф (V) П \хС: х$Х\),
где ф (Ц) и ф (V) открыты в О/С, поскольку отображение ф
открыто. Для х^Х имеем хС = @(] (хС)) II(КП (хС)). Поскольку
хС связно, то либо хСаЦ Г{(ХС), либо хСаУП(ХС). Поэтому
V П (ХС) и V П (ХС) являются объединениями классов
смежности по С и потому имеют непересекающиеся образы
относительно ф. Итак, (<р({/) п {хС: х$Х}) П (ф (V) П {хС: х$Х}) = 0,
так что множество \хС: х^Х} несвязно.[]
Следующая теорема представляет собой простой, но
полезный факт.
G.4) Теорема. Пусть О—топологическая группа,
С—компонента ее единицы, и V—любая окрестность единицы. Тогда
со со
Са II \]п\ в частности, если группа О связна, то С~ Ц Vй.
/7=1 П=\
Доказательство. Пусть V—симметричная окрестность еди-
00
ницы, и Ус:{У. Тогда II Vй открыто и замкнуто по теореме
/7=1
со
E.7). Поскольку множество С связно, получаем С с: II V" с
я= 1
/1=1
Две следующие теоремы показывают, как можно строить
компактные открытые подгруппы в произвольной
топологической группе.
G.5) Теорема. Пусть О — топологическая группа, и
V—компактная окрестность *) ее единицы. Тогда в 0 содержится
компактная открыто-замкнутая подгруппа Н группы О.
) Напомним, что окрестность предполагается всегда открытой.

$ 7. Свойства групп, относящиеся к связности 87
Доказательство. Поскольку (/с{У, а окрестность V
компактна и открыта, то, применяя теоремы D.10) и D.6), можно
найти симметричную окрестность V единицы, для которой
ЦУаЦ. Тогда У = еУ а11Усг.1Г и потому У2а1]Уа11. По
индукции легко проверяется, что Уп^Уп'1У а11У а11 для любого
00
/1 = 3, 4, ... Полагаем теперь Н = II V72 и применяем E.7). []
/7=1
G.6) Теорема. Пусть О—компактная группа и V
—замкнутая окрестность ее единицы. Тогда V содержит
открыто-замкнутую нормальную подгруппу N, причем группа О/Л/- конечна.
Доказательство. По теореме G.5) окрестность 0 содержит
компактную открыто-замкнутую подгруппу Я. Положим М —
= П хНх'1. Очевидно, N есть замкнутая нормальная подгруппа
хеО
группы О, содержащаяся в V. По D.9) найдется окрестность
единицы е> для которой х~хУхс:Н для каждого х^О. Значит,
УахНх'1 для каждого х^0у так что УаЫ. Это показывает,
что подгруппа N открыта E.5). В силу открытости N, группа
0/Ы—дискретна E.21), и, поскольку группа 0 компактна,
0/Ы также компактна E.22). Следовательно, группа 0/Ы
конечна. []
Теоремы G.5) и G.6) показывают, что некоторые локально
компактные группы содержат произвольно малые компактные
открытые подгруппы1).
G.7) Теорема. Пусть О—вполне несвязная или нульмерная
локально компактная (компактная) группа. Тогда любая
окрестность единицы содержит компактную открытую (компактную
открытую нормальную) подгруппу.
Доказательство. Если О—вполне несвязная группа, то она
удовлетворяет аксиоме 7\ и потому хаусдорфова D.8).
Следовательно, группа О нульмерна по теореме C.5). Значит, любая
окрестность V единицы содержит открыто-замкнутую
окрестность, которая, очевидно, компактна, если компактно ее
замыкание Ц~. Применяем теперь теоремы G.5) и G.6). []
Теорема G.7) позволяет дать новое описание компонент
единицы в локально компактных группах.
G.8) Теорема. Пусть О—локально компактная группа, С —
компонента ее единицы. Тогда С есть пересечение всех открытых
подгрупп в О.
г) Мы говорим, что топологическая группа содержит произвольно малые
подмножества определенного типа, если каждая окрестность единицы содержит
такое подмножество.

88
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Доказательство. Всякая открытая подгруппа замкнута.
Поскольку она содержит единицу, она должна содержать и
компоненту связности С единицы. Поэтому С содержится в
пересечении всех открытых подгрупп группы С. Пусть теперь
х—любой элемент из СП С. Рассмотрим факторгруппу С/С,
которая вполне несвязна по теореме G.3) и локально компактна по
теореме E.22). Согласно G.7), найдется компактная открытая
подгруппа \иС: и € V) в С/С, не содержащая элемента хС из С/С.
Мы можем выбрать V окрестностью е в С. Тогда НС есть
открытая подгруппа в С, не содержащая х. []
G.9) Следствие. Следующие утверждения относительно
локально компактной группы С эквивалентны:
(О С связна;
(и) С не содержит собственных открытых подгрупп;
00
A11) [] Цп = С для любой окрестности V единицы.
/1=1
Доказательство. Утверждение с очевидностью следует из
теорем G.8) и G.4). ?
G.10) Теорема. Пусть С—локально компактная группа, и
С—компонента ее единицы. Если группа С/С компактно
порождена, то и сама группа С компактно порождена.
Доказательство. Поскольку компонента С замкнута в С, она
также локально компактна. Из теоремы G.4) сразу следует,
что любая локально компактная связная группа компактно
порождена. В частности, С компактно порождена; следовательно,
группа С компактно порождена по E.39л). []
G.11) Теорема. Пусть С—локально компактная нульмерная
группа, и Н—ее замкнутая подгруппа. Тогда группа С/И
нульмерна.
Доказательство. Пусть V — окрестность единицы в С. По
теореме G.7), в V содержится компактная открытая подгруппа Ь.
Множество {хН: х$Ц открыто в С/И по E.15) и замкнуто
в С/Н, поскольку является компактным подмножеством хаус-
дорфова пространства С/Н E.21). Значит, элемент Н в С/Н
имеет произвольно малые открыто-замкнутые окрестности.
В силу однородности С/Н, утверждение очевидно. []
G.12) Теорема. Пусть С—локально компактная группа, и
С—компонента ее единицы. Если /: С—>С—открытый
непрерывный гомоморфизм на Т0-группу С и С—компонента единицы
е в О, то [(С)~ =С.

$ 7. Свойства групп, относящиеся к связности
89
Доказательство. Поскольку множество /(С)" связно, имеем
/(С)"~с:С\ Очевидно, /(С)" есть замкнутая нормальная
подгруппа в 6, а Я = /_1(/(С)") — замкнутая нормальная подгруппа
в О, содержащая С. По теореме E.34), группа б/[(С)~
топологически изоморфна группе О/Н. По E.35), 0/# также
топологически изоморфна группе @/С)/(Н/С). Поскольку группа О/С
вполне несвязна G.3), хаусдорфова G.3), и локально
компактна E.22), она нульмерна C.5). Легко проверить, что Н/С есть
замкнутая нормальная подгруппа в О/С. Следовательно, по
G.11), группа @/С)/(Н/С) нульмерна и хаусдорфова, а потому
вполне несвязна. Значит, и группа б/[(С)~ вполне несвязна.
Как непрерывный образ связного множества С, множество
{л:/(С)~: х^С\ связно в 0/[ (С)~. Следовательно, {х/(С)~: х^С} =
= {!(С)-} и потому СаПС)~. ?
G.13) Следствие. Пусть О—локально компактная группа и
С—компонента ее единицы. Пусть, далее, /: О—>0—открытый
непрерывный гомоморфизм на Т0-группу О, а С—компонента
единицы е в О. Если 1~г(ё)<^С или Са[~1(е), то }(С) = С.
Доказательство. Если /_1(е)с:С или Сс/_1(в), то,
соответственно, }~1(е)-С равно либо С, либо/^), и потому в любом
случае является замкнутой подгруппой в О. Поскольку
Г1(/(С)) = /(в).С, имеем /(С)' = / ((Г1 (е)-С)') и потому [(С)'
открыто в б. Поэтому /(С) замкнуто в О, и из теоремы G.12)
вытекает, что [(С) —С. []
В § 10 (п. A0.14)) мы дадим пример, показывающий, что
условие теоремы G.13) необходимо. Приведем теперь еще один
результат о связности, относящийся к E.25).
G.14) Теорема. Пусть О—топологическая группа, и Я—ее
подгруппа. Если Я и О/Н связны, то и О связна.
Доказательство. Предположим, что О = 17 и V, где V и V —
непересекающиеся непустые открытые множества. Поскольку Я
связно, каждый класс смежности по Я либо есть подмножество
в Ц, либо подмножество в V. Поэтому О/И можно
представить как объединение двух непересекающихся непустых открытых
подмножеств: 0/Н = {хН: хНа11}{] {хН: хНаУ\ = {хН: х^11}(}
\}{хН\ х^У\. Это противоречит связности О/Н. []
Следующий факт относительно унитарных групп И(п) будет
полезен нам в дальнейшем.
G.15) Теорема. Для любого натурального п унитарная
группа Ц (п) линейно связна,

90
Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Доказательство. Как указывалось в D.25), группа \\(п)
локально евклидова, и потому, конечно, локально линейно связна.
Поскольку всякое связное, локально линейно связное
пространство линейно связно, нам нужно только проверить, что группа
И (/г) связна. Это мы делаем индукцией по п. Поскольку ЦA)
есть просто группа 7\ она связна.
Рассмотрим теперь группу П(п), п = 2, 3, ..., и ее
подгруппу, состоящую из всех матриц («/&)/, *=1» Для которых
ип = 1, и1к = 0 при & = 2, 3, ..., п и иу1 = 0 при / = 2, 3, ..., п.
Эта подгруппа, очевидно, топологически изоморфна группе
УХ(п—1), и мы даже сохраним для нее обозначение И(п—1) во
всем нижеследующем доказательстве. Пусть А = (а/*)/, и=\ и
Я = (&/*)/, к=1 — матрицы из II (л). Легко видеть, что В'1 А €и(п—1)
тогда и только тогда, когда ау1=6у1, /=1,2, ...,/г.
(Заметим, что из а, 6 6 ^Сп и ||а|| = ||*|| = <а, *>=1 следует а = &.)
Поэтому ЛП(гг—1) = 2Ш(п—1) тогда и только тогда, когда
а]\—Ъ]1 Для каждого / = 1, 2, ..., п. Значит, точки фактор-
пространства И(п)/ХХ(п—1) находятся во взаимно однозначном
соответствии с точками поверхности 5„ единичного шара в /С":
5Я = {* = (*!. •••,*»)€*": II л- II =(/2 I -^у 1*I/в = 4} "
Действительно, положим [(АЧ(п—1)) = (Яц, #21> ••» я,м)€5„
для любой матрицы А = (а^к=1. Отображение /, очевидно,
взаимно однозначно. Покажем, что оно непрерывно. Пусть,
действительно, г — произвольное положительное число и
(а1У ..., ап)€8п. Тогда
Г1{(Хц - • •> ха) $8п: 2 |ху-ау |" < е} =
= 1вХХ(п-\): В$Щп), 2 |6у1-ау|2<е|.
Обозначая ф естественное отображение группы И(п) на группу
Ц(л)/Ц(а1—1), мы после простых вычислений получаем, что
Ф^о/-1!^!, .-..-, хп)$8п: 2|*у-ау|«<е[
есть объединение всех таких V = (и/*)/. ь=1 € И (я), что
2 |^/1—а,|а<е. Но это, очевидно,— открытое подмножество
в II (я) и потому, по определению E.15) топологии на
И(п)/1\(п — 1), множество/_1 (хх, ..., х„) ^5П: 2 I*/—Я/ 12<8 (

$ 7. Свойства групп, относящиеся к связности
91
открыто в И(п)/I(п—1). Поэтому / непрерывно. Поскольку
пространство ХХ(п)/ХХ(п—1) компактно (по D.25а) и E.22)), а
5„ — хаусдорфово, отображение / есть гомеоморфизм.
Пространство 5„ связно. Действительно, оно является непрерывным
образом множества {х = (х1У ..., хп) 6 Кп: х ф 0} относительно
отображения х н-> -г^-, а {х € Кп: х ф 0}, очевидно, связно. Сле-
II *> ||
довательно, Щ/г)/11(п — 1) связно. Применяя теорему G.14), мы
получаем, что группа XI(п) связна, если XI (п—1) связна. Тем
самым индукция завершена. []
Дополнительные теоремы и примеры
G.16) (а) Пусть О—связная [локально связная] группа и
Н—ее подгруппа. Тогда О/Н связно [локально связно].
(Ь) (Шрейер [1]). Компонента единицы в нормальной
подгруппе сама является нормальной подгруппой. [Пусть
С—компонента единицы в нормальной подгруппе Н. Тогда для
любого х^О множество хСх~г связно, и хСх~1ахНх~1с:Н
в силу нормальности Н в О. Поэтому хСх~хс:С.]
G.17) Центр связной группы, (а) Всякая дискретная
нормальная подгруппа связной топологической группы содержится
в центре группы. [См. G.4) и E.371).]
(Ь) (Хофман [1]). Пусть О—связная Г0-группа и Н—ее
вполне несвязная нормальная подгруппа. Тогда Н~ содержится
в центре группы О. [Фиксируем элемент а^Н. Тогда
отображение х\—>хах~г переводит О непрерывно в Я. Образ группы О
связен, и потому содержит только одну точку. Поэтому
а = хах~1.]
Близкие, но гораздо менее тривиальные результаты такого
типа появятся в B6.10).
G.18) Нульмерность и полная несвязность, (а) (Эрдёш [1].)
В пространстве /2 с его обычной метрической топологией
рассмотрим множество Е всех точек (х1У х2У ...,*„, ...),
координаты которых вещественны и рациональны. Это, очевидно,
подгруппа аддитивной группы /2. Группа Е тогда вполне
несвязна. [В действительности для каждой пары различных
точек ху у^Е найдется открыто-замкнутое множество V такое,
что х^.1) и уЩ1)'^\ Однако Е не нульмерна. [Пусть V есть
любая из окрестностей нуля 0 = @, 0, ...,0) в Е такая, что
/ <*> \1/2
Н*|1=( 2 *2 ) <1 Для каждого х ^У. Пусть с1(у,В) =
= 1п{{||дг—у\\: х^В\ для каждых у^12 и подмножества Ва12.

92 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Рассмотрим множество А1 = {х1€<2- (х19 О, ..., О, ...)€!/}.
Очевидно, множество А1 непусто, открыто, ограничено и
содержит нуль. Следовательно, в Ах найдется точка а1У для которой
р{1) = (а1У 0 О, ...)€^ и 4(р«>, У)<е19 где
г,—фиксированное, хотя и произвольное положительное число. Пусть
А* = {Хъ€B: (аг, х2У О, ...,0, . ..)^У}. Очевидно, А2 непусто,
открыто, ограничено и содержит нуль. Поэтому найдется точка
а26^2> Для которой /|(а) = (а1, а2, 0, ..., О, ...) ^У и й(р{2\ У)<
<е2, где 82—фиксированное, хотя и произвольное
положительное число. Продолжая этот процесс по индукции, мы получим
последовательность {а„}^=1 рациональных чисел такую, что
р{п) = (а1У а2У ..., ап, О, 0, ...) 6 V для каждого п и й (р{п\ У) < гп.
Положим теперь а = (а19 а2, ..., ап9 ...)• Очевидно, что
00
2 а1^и а^У~ и что из е„—>0 следует а$У~ =У. Поэтому
V не замкнуто.]
(Ь) Для произвольной топологической гуппы С с
компонентой единицы С факторгруппа О/С не обязана быть нульмерной.
[Примером может служить группа Е из (а).]
(с) Непрерывный изоморфный образ ненульмерной группы
может быть нульмерным. [Группа Е из (а) может быть вложена
в ф^° с тихоновской топологией. Очевидно, группа ф^°
нульмерна и потому ЕаС}^0 также нульмерна. Топология на Е как
подпространства в ф^°> очевидно, строго слабее, чем ее
топология как подпространства в /2.]
(с!) Конечная группа с недискретной топологией,
относительно которой она является топологической группой, всегда
нульмерна и компактна, но не вполне несвязна. Существуют
компактные группы произвольно большой мощности с тем же
свойством.
G.19) Комментарий по поводу теоремы G.7). (а) Пусть О —
локально компактная, вполне несвязная группа, и предположим,
что равномерная структура <^@) эквивалентна равномерной
структуре <5%@). Тогда каждая окрестность единицы е
содержит компактную открытую нормальную подгруппу. Ввиду D.17)
этот результат обобщает теорему G.7). [Пусть V —
произвольная окрестность единицы е и Н—открытая компактная
подгруппа в О, содержащаяся в V. Пусть, далее, V—такая
окрестность единицы, что г%с V для каждого х^О D.14§). Тогда
Ус П хНх'1, так что Г) хНхт1 — компактная открытая нор-
хеО хаО
мальная подгруппа в О, содержащаяся в Н'.]
(Ь) Не все нульмерные локально компактные группы имеют
произвольно малые открытые нормальные подгруппы: они могут

$ 7. Свойства групп, относящиеся к связности 93
вообще не иметь компактных открытых нормальных подгрупп.
[Следующий пример взят из работы Монтгомери и Циппина [1],
стр. 57. Пусть О — любая группа, содержащая элемент афе\
рассмотрим прямое произведение Р СпУ где каждое 6п есть
пег
С. Запишем элементы этого произведения как х = х(п), где
х есть некоторая функция на 2 со значениями в О. Пусть,
далее, Я—подгруппа в Р 0пУ состоящая из всех тех дг, что
х(п) = е для каждого п^.п0€% (п0 зависит от х). Пусть,
наконец, Т — оператор на Я, определенный формулой (Тх)(п) =
=х(п+1). Рассмотрим множество 5 всех упорядоченных пар
(лг, яг), где х^Н и т^1. Если (лг, т), (у, п)€§> положим
(лг, т)(у, п) = (х(Тту), т + п),тде Т°х = х. Легко проверить,
что относительно этой операции 5—группа. (В
действительности 5 есть полупрямое произведение Я и 1 в смысле B.6).)
Единицей группы 5 служит (е> 0), где е(п) = п для каждого
п^Ъ. Для произвольного неотрицательного целого числа пг
пусть V\п — множество всех (лг, 0) в 5, для которых х(п) = е
при п^гп. Семейство всех множеств I)т удовлетворяет
условиям D.51) — D.51У) и потому определяет топологию на 5,
превращающую 5 в Т0-группу.
00
Каждое С/т топологически изоморфно Р Сп, где все Сп=С
п = т + \
имеют дискретную топологию. Следовательно, 5 локально
компактна, если группа О конечна. Если группа О нульмерна,
то и 5 нульмерна. Предположим, что N— некоторая открытая
нормальная подгруппа в 5. Тогда найдется окрестность V тУ
содержащаяся в N. Обозначим через у такую точку в Я, что
у(п) = е при пфт~\-\ и у(т + 1) = афе. Тогда (у, 0) ^ V т а N.
Поскольку группа N нормальна, все элементы (в, к) (у, 0) (в, к)~1 =
= (Тку,0) лежат в N. к^1. При к = т + 2, т + З, ...
окрестности (Тку, 0)-/70 попарно дизъюнктны. Следовательно,
направленность {{Ткуу 0)}ь=т+2 не имеет предельных точек. Поэтому
N некомпактна.]
(с) Условие локальной компактности в теореме G.7)
необходимо. Группа ф нульмерна, но не содержит ограниченных
открытых подгрупп. Тот же пример показывает, что условие
локальной компактности существенно для теорем G.8) и G.9).
G.20) (Хартман и Мицельский [1].) Всякая Г0-группа О
является замкнутой подгруппой некоторой линейно связной
локально линейно связной группы О. [Рассмотрим множество
С всех функций / на [0, 1) со значениями в О, для которых
существует последовательность 0 = а0 < а± < а2 < ... < ап = 1
такая, что / постоянна на каждом полуинтервале [ак, ак+1).

94 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Относительно операций /б" @ = / @ # (О и /@ = (/@)»
0^/<1, О есть, очевидно, группа. Функция, тождественно
равная е, служит единицей этой группы. Для е > 0 и
произвольной окрестности V единицы в О пусть О A/, е) есть
совокупность всех функций/ ^ О, для которых А, ({I ^ [0, 1): /(*)$У})<е.
Здесь X есть мера Лебега на [0, 1). Свойства D.51) — D.5у)
легко проверяются. Поэтому С—топологическая группа.
Постоянные функции образуют замкнутую подгруппу в С,
топологически изоморфную группе О. Если /(ЦО, ^^б и 0<а<1,по-
ложим йа (/) = /(/) при 0<^<а и На ({)=§({) приа</<1.
Тогда Н0=§, Ах = / и отображение а\—>ка непрерывно. Далее,
если /, 8 € 0 A/, е/2), то все ка € 0(У, г).]
G.21) (Ван Данциг [3].) Пусть О — топологическая группа,
и А — ее связное подмножество, содержащее единицу. Тогда
наименьшая подгруппа в О, содержащая Л, также связна.
[Если а^А, то множество Асг1 связно и содержит единицу.
Следовательно, и множество ЛЛ~Х= II Асгх связно. Аналогично,
аеА
со
связны множества (АА~Л)п и II (АА'1)".}
п= 1
Замечания. Специальные свойства связных групп отмечались
уже первыми авторами по топологическим группам: Шрейер [1]
доказал теорему G.1), а Лейа [1]—теорему G.4): Ван
Данциг [3] также доказал G.1). Первая формулировка теоремы G.7)
появилась у ван Данцига [2]; она была также доказана ван
Кампеном [1]. Наши доказательства теорем G.14) и G.15)
взяты у Шевалле [1], стр. 55—56.
§ 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости
В этом разделе мы покажем, что топология на
топологической группе может быть полностью описана с помощью
семейства левоинвариантных псевдометрик и что каждая
топологическая 70-группа вполне регулярна. Мы исследуем также
другие свойства отделимости для топологических групп.
(8.1) Определение. Метрика [или псевдометрика] Л на группе
О называется левоинвариантной, если А (ах, ау) = й(х, у) для
любых а, ху у^О. Если с1(ха> уа) = с1(х, у) для любых а, х, у^О,
то метрика А называется правоинвариантной. Если же
метрика & одновременно инвариантна слева и справа, то она
называется инвариантной, или двусторонне инвариантной. Анало-

$' 8. Иисориантные псевдометрики и аксиомы отделимости 95
гично, если Н—любая подгруппа группы С, то метрика [или
псевдометрика] й на С/Н называется левоинвариантной, если
й(ахН, ауН) = й(хНу уН) для любых ау ху у^О.
Наша первая теорема носит скорее технический характер,
и ее доказательство на первый взгляд не очевидно. Эта теорема,
однако, является ключевой для теорем метризации
топологической группы (8.3), (8.5), (8.6), и из нее прямо следует полная
регулярность топологической Г0-группы (8.4).
(8.2) Теорема. Пусть {Vк}к=\—последовательность
симметричных окрестностей единицы е топологической группы О такая,
00
что (/1+1 с Уь й = 1, 2, ... Пусть Н= Г) V к. Тогда сущест-
к=1
вует такая левоинвариантная псевдометрика о на О, что:
(I) а является равномерно непрерывной относительно левой
равномерной структуры на 0x0;
(и) а (ху у) = 0 тогда и только тогда, когда у~1х^Н\
(ш) о(ху у)^2~к+2у если у~хх^\]к;
(IV) 2~к^.в(ху у), если у~1х^Цк.
Если, дополнительно, х11 кх~1 = Цк для любых х^О и к = \у 2У ...,
то о также правоинвариантна и
(у) а(х~1у у~1)^а(ху у) для любых ху у^О.
Доказательство. Удобно переобозначить множества V к.
Положим У2~к=-ик при Л=1,2, ... Определим теперь множество
Уг для любого двоично рационального числа г, 0<г< 1,
следующим образом. Если
г = 2-'. + 2-'.+ ...+2-Ч 0</х</2< ... </„, A)
то пусть
Уг=У2_,,У2_/2...У2_;л. B)
Определим далее Уг = 0 для любого двоично рационального
числа г^1. Мы теперь покажем прежде всего, что
из г < 5 следует V\ с У8. C)
Мы можем предположить, что 5 < 1, поскольку импликация
очевидна при 5^1. Пусть г дается формулой A) и 5^2-т^ +
+ . .. +2~шр, 0 < т1 < т2 < .. . < тр. Существует
единственное целое число к такое, что /у^-/тгу при ] <к и /;, > пгк. Пусть
ДО7 — У _ , . . . У _ и . Тогда мы имеем
2 2

96 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
с=У%-Я1...Уш-т1У%-щ+1...У%-тр = У,.
Покажем теперь, что для любого г вида A) и для любого
положительного целого числа / имеем
УгУ,-«сКг + ,-«+,. D)
Поскольку D) очевидно при /¦ + 2~г+а^1, мы предположим, что
л + 2-' + 2< 1. Если />/„, то
УгУш-1 = У, + %-1, (б).
и D) снова очевидно. Если /^/„, пусть к— положительное
целое число, такое, что /^-1</^//г (считая, что /0 = 0). Пусть
г1 = 2 + 1—2~1ь— 2"^+1—...—2~'л и г2 = г + /"!. Тогда,
очевидно, г < г2 < г + 2~/ + 1. Применяя E) и C) к г2, получаем
У,Уш-1СУгУЛ-* = УГа+%-,с:Уг+ш-1+1+ш-1с:Уг + ш-<+,.
Этим D) доказано.
Определим теперь функцию ф(#) = т1{г: хб^Л на О- Оче-
видно, что ср (л:) = 0 тогда и только тогда, когда х^Н.
Наконец, мы определим функцию а на С х О по следующему правилу:
а(х$ #)=зир{|ф(гл:) —ф(г#)|: г$ С}.
Очевидно, а (я, #) = а (г/, л:) и а (л:, х) = О для любых я, ^0.
Легко проверить, что а (х, г) ^ а (я, #) + а (у, г) и что а (аде, ау) =
=в(х, у) при а, х, у(ЦО. Следовательно, а—левоинвариантная
псевдометрика на О.
Чтобы проверить (ш), предположим, что /—любое
положительное целое число и что и^У2-1, г€C. Если г^Уп то по D)
имеем га€Уг+2-*+а. Следовательно, <р(ги) ^ф(г) + 2~/+2.
Аналогично, если ги^Уп то г ^У^"!/с: Уг+2-/+2 и потому ф(г)<;
<ф(гы) + 2-' + 2. Значит, |ф(г) —ф(ги)|<2-/ + 2 при ибУ2-* и
г 6 С. Следовательно, а (а, #)^2~/ + 2 при а^1/2-/. Поскольку
псевдометрика а левоинвариантна, то мы получаем а (х, у)^
^2~/ + 2 при у~гх$У -1 = 1!^ Тем самым A11) установлено.

$ 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 97
Докажем теперь A). Предположим, что (х> у), (х19 уг) 6 СхС-
Пользуясь левоинвариантностыо псевдометрики о и
неравенством треугольника, получаем
| а (х, у) —о (х19 у1)\ = \о (х-гх, х?у) — о {у'гх19 у%) | =
= \а(х-11ху х^1у) — а(х-1у, ё) + о(е, у-1х1) — о(у-1х1Уу-1у1)\^:
<|а(^, х-1у) — о(х^1у1 е)\ + \о(е, у^) — а (угх19 Г^К
< | а (х?х, е)\ + \о(е, у гуг) | -1 о (х9 х±) \ + \ а (у, у,) |.
Отсюда и из A11) следует, что
\о(х, у) — а(х19 й)|<2"*+»,
если только х^х и у\гу лежат в Цк. Это и доказывает A).
Доказываем (IV). Пусть у~1х(^111=У2-1. Тогда <р \угх) ^2~1
и потому а (х, у) = о(у~хх, е) ^\у(еу~1х) — у (ее) \ = ^(у1х)^2~1.
Этим утверждение (IV) доказано. Утверждение (И) прямо
следует ИЗ A11) И (IV).
Наконец, предположим, что х11кх~1 = 1/-к при х^Си любом к.
Тогда хУгх~1 = Уг для любого двоично рационального числа г > О
и потому ц>(хух'1) = ц>(у) для любых х, у€.С. Таким образом,
для любых ау х, у€& имеем
о (хау уа) = зир {| ф (гха) — ф (гуа) |: г ^ 0} =
= зир{|ф(агх) — у(агу)\: г^С} =
= вир{\ц(гх) — <р(гу)\: г^0}=-о (х9 у)
и потому псевдометрика а правоинвариантна. Также при х,
у^О имеем
о(х-1,у-1) = о(е, у~1х) = о(уу х) = а(х, у). ?
(8.3) Теорема. Т0-группй О мепгризуема тогда и только тогда,
когда она имеет счетную открытую базу в еу причем метрика
может быть выбрана левоинвариантной.
Доказательство. Если О метризуема, то она, конечно, имеет
счетную открытую базу в е. Предположим, наоборот, что
{Кл}2и—счетная открытая база в е9 и докажем, что группа О
метризуема. Пусть 01 = У1 П^Г1- Если окрестности 1!19 ..., С//г-1
уже определены, пусть V к—такая симметричная окрестность
единицы, что 11кс:111(] ... П Ьк-1Г[Ук и 1!%с:11к_1. Такая
окрестность существует по теореме D.5). Семейство {11$}ь=1 удовлет-
00
воряет условиям теоремы (8.2) и имеем Н= П ^ = М по
теореме D.8). Пусть а—левоинвариантная псевдометрика, как
в (8.2), построенная по семейству {Ц к}к=1. В
действительности а есть настоящая метрика, т. е. а(хуу) = 0 тогда и
только тогда, когда х = у. Из (8.2Ш) и (8.2^) следует, что
4 Э. Хьюитт, К. Росс, т. I

98 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
{х$6: а(х, е)<2~к}с:1/кс:{хеО: о(х, у)^2~к+2\ для любого
целого положительного к. Отсюда прямо следует, что топология,
определенная от, совпадает с исходной топологией на О. []
(8.4) Теорема. Пусть О—топологическая группа,
а—некоторый ее элемент, и Р—замкнутое подмножество в О, не
содержащее а. Тогда существует непрерывная вещественная функция
Ц на 6 такая, что г|> (а) = 0 и ^(х)=1 для каждого х^Р.
Значит, всякая Т0-группа вполне регулярна.
Доказательство. Пусть V\—симметричная окрестность
единицы, для которой {а\]^) Г\Р = 0. Выберем окрестности )У2, Ц5, ...
единицы так, чтобы последовательность {1/^}^ удовлетворяла
условиям теоремы (8.2); такая последовательность существует
по теореме D.5). Пусть а—левоинвариантная псевдометрика,
построенная по последовательности {1^}~=1, как в (8.2). Для
х^О положим ^(х) = т'т{\, 2а(а, х)\. Отображение г|э
непрерывно по (8.21) и, очевидно, <ф(а) = 0. Если х^Р, то а'1х^Ц1
и потому а (а, х)^2 по (8.21У). Следовательно, г|)(л:) = 1 для
любого х^Р. ?
(8.5) Теорема. Локально счетно компактная группа О
допускает левоинвариантную метрику, совместимую с топологией,
тогда и только тогда, когда единица группы О есть
пересечение счетного семейства открытых множеств.
Доказательство. Если О допускает метрику, совместимую
с ее топологией, то, конечно, {е} есть пересечение счетного
00
семейства открытых множеств. Предположим, что \е}= П Vп,
где все Vп открыты в О. Пусть У1 = 1/1. Строим далее
последовательность {Ул}я"я по индукции, так, чтобы все У п были
окрестностями единицы со счетно компактными замыканиями,
и УпСгУд-хГИ/и для каждого п = 2, 3, ... Доказываем, что
{Уп}п^2 есть база в е. Пусть, действительно, ИР — любая
окрестность единицы е. Если включение УпаМ7 не выполняется ни
для какого п, то последовательность счетно компактных
множеств {У'я П ИР'}я=2 центрирована. Следовательно, множество
00
П (Уп П V?') непусто, что противоречит соотношению
п = 2
П (У;п1П = ( П У-)п1Р'с:( П */Л П1Г = МП1Г = 0.
Следовательно, О имеет в е счетную открытую базу, и потому
по (8.3) допускает левоинвариантную метрику, совместимую
с топологией. []

$ 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 99
(8.6) Теорема. Пусть О—компактная группа, такая, что
единица {е\ есть пересечение счетного семейства открытых
множеств. Тогда С допускает двусторонне инвариантную метрику,
совместимую с топологией на О.
Доказательство. По теореме (8.5) О допускает левоинва-
риантную метрику а, совместимую с топологией. Для любых
х, у^О положим
р(х, у) = $ир{в(хг, уг): г$.0).
Поскольку группа О компактна, метрика а ограничена, и
потому число р(х, у) конечно для любых х, у ^0. Прямой
проверкой убеждаемся, что р есть двусторонне инвариантная
метрика на О. Пусть дано произвольное 8. В силу D.9) найдется
такое б > 0, что
г~1{х^О: о(х, е) < 6}гс:{х^0: а(х,е)<г\
для каждого г^О. Таким образом, если х^О и о(х, в) < б, то
а(г'гхг9 е) = о (хг, ег) < е для всех г^О и потому р(х, е) <!в.
Значит, {х^О: а(х, е) < 8}с:{х^О: р(х,б)<б}. Отсюда и из
очевидного включения (х € О: р (х, е) < г) с: {х 6 О: о (х, е) < е}
следует, что топологии, определяемые метриками аир,
совпадают. ?
(8.7) Теорема. Пусть О есть а-компактная локально
компактная группа с единицей е. Тогда для любого счетного семейства
{{/й}я_1 окрестностей единицы е найдется компактная нормаль-
00
ная подгруппа N в О такая, что Л/с Л Vп и что группа С/М
/1=1
метризуема и имеет счетную базу.
со
Доказательство. Мы можем записать 0= [} Рп, где {Рп}%=1
п- 1
есть некоторая возрастающая последовательность компактных
подмножеств в О. Пусть У0—окрестность единицы е с
компактным замыканием У^. Используя D.5) и D.9), строим
последовательность {^}~в1 симметричных окрестностей единицы е
такую, что У\с:Уп^1{\11п и что хУпх~1аУп^1 для любого
*€^л(я=1, 2, ...). Как и в доказательстве D.7), имеем тогда
УпсУп-1 (л=1,2, ...). Пусть Ы== П Уп. Очевидно, Л/с П I!п
я =1 п—1
и, по теореме E.6) в применении к семейству {Уп\ л = О, 1,2, ...},
N есть замкнутая нормальная подгруппа в С. В силу Л/сУ^
она компактна.
Пусть <р: 0-^0/Ы—естественное отображение. Покажем
теперь, что семейство {ц>(Уп)}п^1 образует базу группы О/Л/
в точке N. Пусть {шЛ/: гю^УР) — произвольная окрестность N
4*

100 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
в О/N. Для некоторого п0 имеем УПосХРЫ. Действительно,
в противном случае семейство {У~ П (№°Л/у }^=1 компактных
подмножеств имело бы свойство конечного пересечения и потому
со
множество Г) (^П(^Л^)') было бы непустым. Но это невоз-
п- 1
можно, поскольку п {у- л (ГЛГ)') = ( П У^\ П (Г ЛГ)' = ( П Уя\ П
П(ГЛО' = #П(ГЛ/у = 0. В силу К„с1РЛГ, получаем %\у„)с
Так как группа О/Л/ имеет счетную базу в Ы, группа О/Л/
00
метризуема (8.3). В силу С/Ы = ц ц>{Рп), группа О/Ы а-ком-
п=\
пактна и потому линделефова. Как всякое метрическое
пространство со свойством Линделефа, группа О/Ы имеет счетную
базу. []
В то время как все Т0-группы вполне регулярны (8.4),
существует много не нормальных Т0-групп. Мы сейчас укажем
две конструкции, приводящие к таким группам. Первая из них
(теоремы (8.8) и (8.10)) весьма общая. Вторая (теорема (8.12)),
довольно специальная, показывает, что не нормальных групп
много. Наша первая конструкция, приведенная в (8.8), носит
черты сходства с хорошо известной конструкцией
стоун-чеховской компактификации вполне регулярного пространства.
(8.8) Теорема. Для каждого вполне регулярного пространства
X существует топологическая группа Р со следующими
свойствами:
{\) X есть замкнутое подпространство в Р\
(И) алгебраически Р есть свободная группа, порожденная Х\
A11) для любого непрерывного отображения ср: X—+0 в
топологическую группу О найдется непрерывный гомоморфизм
Ф: Р—> О, для которого
ф (#) = ф(х) для любого х^Х1).
Доказательство. Пусть §—такое семейство топологических
групп, что:
A) С^тах(Х, с) для каждой группы О^^,
B) различные члены семейства $ между собой
топологически неизоморфны, _
C) каждая топологическая группа Я, для которой Я^
<!тах (X, с), топологически изоморфна некоторому 0^%.
Пусть, далее, семейство {(О,,, Ф^Ке/ состоит из всех пар @1э <р0,
х) Р называется свободной топологической группой, порожденной X.

$ 8, Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 101
где 0^$ и ф,,: X—>01—непрерывное отображение. Если Н —
такая топологическая группа, что Я^тах(Х, с), а ср: X—*# —
непрерывное отображение, то найдутся такой индекс ь0 ^ / и
такой топологический изоморфизм т: 01о—*Н на группу Я, что
тоф10 = ф- В этом случае мы будем идентифицировать пару
(Я, ф) с парой @1о,ч\0).
Пусть О0= Р Сь и е—единица группы О0. Для любого х^Х
16/
пусть элемент V (х) E О0 определен формулой V (х)ь = ф1(х).
Функция V, как легко проверить, является гомеоморфизмом
пространства X на у(Х). [Заметим, что X может быть гомеоморфно
отображено в произведение вещественных прямых. Это может
быть сделано применением леммы 5 из книги Келли [2].]
Идентифицируем теперь X с V(X), т. е. X рассматривается как
подмножество группы С0, и пусть Р есть подгруппа в С0,
порожденная X.
Пусть /—любое положительное целое число. Для каждой
перестановки Р^©7, пусть ^//>(:Щ/)— матрица (иЛгI1>к==1 такая,
что и;к=1 при ] = Р{к) и и/к = 0 при ]фР(к). Очевидно,
отображение Р*—>0Р есть изоморфизм группы ©, в Ц(/).
Проверим теперь (и). Пусть х1'х\*...хгпп — любое
приведенное слово, образованное из элементов X. По теореме B.9) и
предыдущему абзацу, существует отображение А множества
(не последовательности!) \х1У ...,х/2} в Ц(/), где 1 = п + 1 или
п + 2, такое, что А (х^ А (х2)8г.. .Л (хп)гпфЕ\ здесь через Е
обозначена единичная матрица размера /х/. По теоремам G.15)
и C.6) найдется непрерывное отображение ф: X—*Ц(/), для
которого ф (хк) = А (хк) при любом к = 1у ..., п. Для некоторого
1о€^ пара (Н(/), ф) совпадает с @1о, ф1о). Следовательно,
(*?цф... хеппIо = А {хг)ь А (х2)е*... Л (хп)гп фЕ, так что х\*х**... *°» фе.
Иначе говоря, Р—свободная группа, порожденная X.
Аналогичное рассуждение доказывает A). Рассмотрим любой
элемент из Р Г) X'. Он может быть записан в виде х\^х\*... *„", где
п > 1 или &! = — 1, все8у = ±1 и г/ = г;+1 при x^ = x^+1. Применяя
теорему B.9) (в частности B.9Ш)) и изоморфизм ©, в Щ/),
указанный в предпоследнем абзаце A = п-\-\ или / = /г + 2), мы
получаем матрицы А (хг)9 А (х2), ..., А (хп) ^ Ц (/) такие, что
В = А (х^ А (х2)е*... А (хп)8п отлично от любого из А(хк).
Рассмотрим окрестность 33 элемента В в Щ/), такую, что 33~ Г) 33'
гомеоморфно сфере 5/з_1 D.25Ь), и такую, что все А (л^), ...
• .., А (хп) лежат в 83"'. Легко проверить, что множество
Щ/)ГK3' линейно связно. Поэтому можно применить теорему
C.6) и найти непрерывное отображение «ф: Х-^11(/) Л 33',
для которого ф (хк) == А (хк) при любом /г = 1, 2, ...,я. Пара
A1 (/), -ф) совпадает с некоторой парой @1о, ф1о). Окрестность

102 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
в Р элемента х\*х%*.. ,хгпп, состоящая из всех (*/,,) ^Р, для которых
у1о€23, конечно, не содержит точек из X. Следовательно,
множество Р[)Х' открыто, т. е. X замкнуто в р.
Доказательство утверждения (Ш) почти тривиально. Если
Ф—любое непрерывное отображение X в произвольную
топологическую группу Я, то образ ф (X) содержится в некоторой
подгруппе У в Я, такой, что ^^.таx(X, с). Поэтому пара
(/, Ф) совпадает с некоторой парой @1о, ф1о). Следовательно,
Ф есть просто проекция на 10-ю ось в Ра Р Ъ^ Отображение ф
16/
может быть, конечно, продолжено до непрерывного
гомоморфизма [все еще оставаясь проекцией] группы Р в ^ аН. []
Теория свободных топологических групп—достаточно
большая теория (см., например, Граев [4]), и мы не можем
изложить ее здесь всю. Упомянем, однако, еще следующий факт.
(8.9) Теорема. Пусть X—вполне регулярное пространство,
Р—топологическая группа, построенная в (8.8), а Р—любая
топологическая группа, такая, что:
(\) X есть подпространство в Р\
(и) наименьшая замкнутая подгруппа в Р, содержащая X,
есть сама Р\
(Ш) для любого непрерывного отображения ф: X—*0 в то-
пологическую группу существует непрерывный гомоморфизм
Ф: Р—* С, продолжающий ф:
ф(х)=у(х) для любых х^Х.
Тогда существует топологический изоморфизм т: Р^+Р, для
которого %(х)—х при х^Х.
Доказательство. Ввиду (8.8Ш) и A11), существуют
непрерывный гомоморфизм Ф: Р—>Р и непрерывный гомоморфизм
Ф: Р^»Р такие, что Ф(х) = Ф(х) =х для любого х^Х.
Композиция ФоФ есть непрерывный гомоморфизм Р в себя, который
тождествен на X. Ввиду (8.8П) ФоФ тождествен и на Р.
Аналогично, ФоФ есть гомоморфизм, тождественный на подгруппе
в Р, порожденной алгебраически X. Поскольку эта подгруппа
плотна в Р, а ФоФ непрерывно, мы видим, что отображение
ФоФ тождественно на Р. Поэтому Ф=Ф-1 и мы можем
положить т = Ф. []
(8.10) Теорема. Существуют не нормальные Т0-группы.
Доказательство. Рассмотрим любое не нормальное, вполне
регулярное пространство X. Поскольку X замкнуто в его сво-

$ 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 103
бодной топологической группе Р, а каждое замкнутое
подпространство нормального пространства нормально, Р не может
быть нормальным пространством. []
Покажем теперь, что не нормальны некоторые весьма просто
устроенные группы.
(8.11) Теорема. Если гп—любое несчетное кардинальное число,
то 2т—не нормальная вполне регулярная топологическая группа.
Доказательство. Поскольку группа 2т есть Т^-группа, она
вполне регулярна (8.4). Запишем ее в виде Р 2и где I = т и все
16/
2Ь суть 2. Чтобы показать ненормальность 2т, положим
А = {(х1)^2т: для любого пфО существует самое большее один
индекс I, для которого х% = п\,
В = {(л;,,) ^2т: для любого пф 1 существует самое большее один
индекс ц для которого Хъ = п\.
Если (хь)^Ау то имеем х1о=хн—п для некоторых /г62, д=^=0,
И10, ц€Л Ьо^Ч- Тогда {(уь)€2т: у1о=у11=п\—открытое
множество, содержащее (хь) и не пересекающееся с А. Поэтому
множество А замкнуто; аналогично, В замкнуто. Очевидно,
АГ\В = 0. Пусть Ц и V—открытые множества в 2т такие,
что АаИ и ВаУ\ Чтобы доказать ненормальность 2п\
достаточно теперь доказать, что Ц[)УФ0.
Пусть элемент (х\1))^2т определен по правилу х{^=-.0 для
любого 1^7. Поскольку (х^^Лсг/У, найдутся такие
различные индексы ц, ..., \т% ^ I, что
(*?>)€ {(*0 €2*4^ = 0 при й = 1, ....т^сЦ.
Пусть, далее, (х[2))^2т определен по правилу х[2) =к при I =1Л,
1^&<!т1 и х<12)=0 в противоположном случае. Поскольку
D2))(М <=:{/, найдутся такие индексы 1Ш1+ь •. •, 1та€Л попарно
различные и отличные от индексов ц, ..., 1т1, для которых
D2))€{(^)€2т:^=^ при Л = 1, ...,т1;
х1л = 0 при & = тх +1, ..., т2} с (/.
Продолжая таким способом, мы определим по индукции
последовательность {(х[л))}"в1 элементов в 2>, последовательность
{1/г}ь«1 индексов в I и строго возрастающую последовательность
целых чисел \тп\^г такие, что х[п)=к при 1=1Л, 1<6<т„_1
и х1п)=0 в остальных случаях и что
(*И€{(*1)€2^*1Л = * при 6 = 1, ..., т^ и
*1Л = 0 при й=тл.1 + 1| ...,тд}с(/.

104 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Определим теперь (уь)€%т следующим образом. Пусть уь=к,
если I =1А> к = 1, 2, ..., и уь = 1 в остальных случаях. Очевидно,
(уь)€В. Отсюда для некоторого конечного подмножества /в /,
мы имеем
{(*1)€2т: *1=01 при 1€/}с:У.
Очевидно, существует такое м0, что ^к^^ при к^тПо.
Наконец, определим (гь)^2ш по правилу:
г,, =6, если 1 = 1А и &<тЯо;
г,,=0, если 1=1Л и тЛо+ 1 <^<тЛо+г,
гь = 1 в остальных случаях.
Тогда (гО^К^)^'11: *,, = & при I € Ц и
(г0 6 {(*«,) € 2Ш: х%к = * при й = 1, ..., тПо и
*1Л = 0 при А=/пЛв+1, ..., тЯв+1}с[/.
Таким образом, Цс\УФ0. []
(8.12) Теорема, .Ясли произведение? О1Т0-групп Оь нормально,
16/
то все, кроме, быть может, счетного числа, группы 0^ счетно
компактны.
Доказательство. Предположим, что группы 01 не счетно
компактны при ^^^с:I и множество ^ несчетно. Тогда для
каждого I (Е ^ найдется счетное замкнутое дискретное
подпространство 21 в Оь. [Возьмем какое-нибудь счетное открытое
покрытие \01У Ц2,...\ группы 6Ь, не содержащее конечного
подпокрытия, и пусть хп € (<^1 II 1/а V • • • V Vп)' и2ь = \хх, х2,...}.]
Тогда Р 2ьхР {еь} есть замкнутое подмножество в Р Оь, гомео-
16/ = ^$^ 16/
морфное 2 . По теореме (8.11), оно не нормально. Следовательно,
и Р Оь не нормально. []
16/
Читатель, без сомнения, уже заметил, что теоремы (8.11)
и (8.12)—чисто топологические: никакой групповой структуры
здесь не требуется (теорема (8.12) справедлива для
произведений ^-пространств). Ввиду теорем (8.10) и (8.12) интересно
заметить, что нормальными являются группы из широкого
класса топологических групп.
(8.13) Теорема. Все локально компактные Т0-группы пара-
компактны и потому нормальны.
Доказательство. Пусть О—локально компактная Т0-группа,
и 0 — симметричная окрестность единицы в О с компактным
00
замыканием (/-. Положим Ь= I) Ип\ тогда множество Ь —
п-\

$ 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 105
открыто-замкнутая подгруппа в О, согласно E.7). Поскольку
11~с:112, группа Ь также ог-компактна и потому линделефова.
Пусть &—любое открытое покрытие группы С. Для каждого
класса смежности хЬ по Ь найдется счетное подсемейство
со
{Ухп11п=1 семейства 1^>, для которого хЬсиУ^. Для каждого
п = 1,2,... пусть Тп = П П (хЦ: х I 4д/Ц. Тогда Ж =
00
= и "Жп есть открытое а-локально конечное покрытие, вписан-
/2=1
ное в сУд. Поэтому О паракомпактно и потому нормально C.8).[]
Дополнительные теоремы и примеры
(8.14) Инвариантные псевдометрики для пространств классов
смежности, (а) Теорема (8.2) показывает, что топология
топологической группы может быть описана в терминах
левоинвариантных непрерывных псевдометрик: если 2 состоит
из всех непрерывных левоинвариантных псевдометрик на О, то
семейство всех множеств {х^О: в (х, е)<е}, где а пробегает 2,
а е—любые положительные вещественные числа, образует
базу в точке е топологии на С.
Если О— топологическая группа, и Н—ее подгруппа, то
топология на 0/Н может быть описана в терминах
непрерывных, но не обязательно инвариантных псевдометрик. Наша
конструкция следует конструкции Монтгомери и Циппина [1],
стр. 36. Пусть о — правоинвариантная псевдометрика на О.
Определим а* на 0/Н по формуле
о*(хНу уН) = 1пЦо(а, Ь): а^хН, Ъ^уН).
По данному е > 0 выберем а^хН, Ь, с^уН и й^гН так, чтобы
а (а, Ъ) < а* (хН, уН) + г и а (су д) < а* (уН, гН) + 8.
Поскольку йс^хЬ^гН, имеем
а* (хН, гН) < а (а, ЖгЧ>) < а (а, 6) + а F, йс^Ъ) =
= о{а,Ь) + в (с, й) < а* (хН, уН) + а* (уН, гН) + 2г.
Это доказывает неравенство треугольника; остающиеся аксиомы
псевдометрики очевидны. Пусть {хН\ х^Уу)— некоторая
окрестность элемента уН в 0/#, где V—окрестность единицы в О.
Если непрерывная правоинвариантная псевдометрика а и
положительное вещественное число 8 выбраны так, что \х^0\
о(х,е)<г\с:У, то \хН: а* (хН, уН) < г)а{хН\ х^Уу).
Непосредственно проверяется, что отображение а* непрерывно на
@/Н)х@/Н). Поэтому топология на 0/Н может быть описана
с помощью непрерывных псевдо метрик. Поэтому, как в теореме

106 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(8.4), всякое Г0-пространство классов смежности вполне
регулярно.
(Ь) Если О—метрическая группа, и Я—ее замкнутая
подгруппа, то тогда О/Н метризуемо. Пусть а—правоинвариант-
ная метрика на О, совместимая с топологией на О (8.3), и пусть
псевдометрика а* определена, как в (а). Тогда а* есть
метрика, и топология на О/Н совпадает с а*-топологией.
Действительно, для любого фиксированного у^О имеем
{хН: сг* (*Я, уН) <г}= {хН: а (*, у) < е}
для любого 8 > 0.
(с) В (а) и (Ь) псевдометрика а* не обязательно инвариантна.
Если Я—компактная подгруппа в О, то топология на О/Н
может быть описана в терминах лишь непрерывных левоинва-
риантных псевдо метрик. Чтобы в этом убедиться, мы заметим
сначала, что если в условиях теоремы (8.2) заменить
требование симметричности окрестности 1/к на условие 1/к\1с:ик для
любого к, то мы получим левоинвариантную псевдометрику
а, для которой (8.21) и (8.21У) выполняются и такую, что
в(х> #)^2~л+3 при У^х^Ьъ. [Незначительная модификация
доказательства (8.2).]
Пусть {хН: х^Уп)—семейство окрестностей элемента Я,
где Уп—окрестность единицы в О, /г = 1,2, ... Пусть, далее,
01 и 1^1—окрестности единицы такие, что 01аУ1У №1а01, й^
симметрична и Ш^'^аЬ' для любого к^Н D.9). По индукции
выбираем V'„ так, чтобы У\<^УРп_х, и находим симметричные
окрестности 1^„ единицы в О, для которых №пс:1/пГ\Уп и
ЪЯ7пЬг*<=.ип для любого к$Н. Тогда (ЧРп+1Н)*с:УРпН и
{^п+1Н)~хс:^пН для любого /г = 1, 2, ... Пусть теперь а есть
левоинвариантная псевдометрика, существование которой
гарантируется замечанием предыдущего абзаца (за V к берем №кН,
к = 1,2, ...)• Определим в*{хН, уН)=а (х9 у) для любых
хНу уН^О/Н. Легко проверить, что а* есть непрерывная
левоинвариантная псевдометрика на О/Н.
(й) Используя (с), мы докажем принадлежащий Кристенсену
[1] аналог теоремы (8.3). Пусть О—топологическая группа, и
Я—компактная замкнутая подгруппа. Пространство О/Н
метризуемо тогда и только тогда, когда оно имеет счетную открытую
базу в Я. В этом случае метрика может быть выбрана лево-
инвариантной. Действительно, пусть множество \хН\ х$Уп\
в (с) образует базу в Я. Заметим, что множества \хН: х€№п\,
построенные в (с), также образуют базу в Я. Псевдометрика
а* из (с) является тогда метрикой, поскольку П №пН = Н,

ф 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 107
и топология на О/Н совпадает с а*-топологией, поскольку
{хН: о*(хН, уН)<2~п\с:{хН: х$уЧРп}с1
а{хН: о*(хН, */#)<2-»+3}
при уН€0/Н и п = 1, 2, ...
(8.15) Примеры, касающиеся метризуемости, (а) Конструкция
в теореме (8.2) в применении к аддитивной группе
вещественных чисел #, с 1/п=У2-» =(— 2"", 2~п), приводит к метрике
о(х, у)=т\п(\х—у\, 1) для любых х, у^Я.
(Ь) (Какутани [1], ван Данциг [3]). Для любой
матрицы X = {я,*}/,*-! из группы ®2 (л, /С) пусть ||Х||
есть норма X, рассматриваемой как линейное
преобразование /г-мерного комплексного пространства на себя:
|Х||=тах
А=1
Легко тогда проверить, что ||Х + У||<||Х \\ + \\У ||, ||ХУ||<
^||XII-|| У || и || Е || = 1 E—единичная матрица размера лхл).
Функция а(Х, У) = 1о8{1 + 1|Х-1У—^Ц + ЦГ"^—Я||} есть
левоинвариантная метрика на @2 (л, К), совместимая с обычной
топологией на @2(#, /С). Однако группа ©2 (л, /() не допускает
двусторонне инвариантной метрики. (Это прямо следует
из теоремы D.24); см. ниже (8.18).)
(с) (Александер и" Коэн [1].) Пусть О—любая дискретная
группа с единицей е. Рассмотрим группу С^°, реализованную
как группа всех последовательностей х = (х1У х2, ...,х„, ...)
с хп^О. Для лг€С*° положим б (лг)=0, если х=е=(е, е, ...,е,...),
и д(х) = 1/л, еслихх= ... =хп_1 = еп хпФе, л=1,2, ... Далее,
для любых х,у€0**°> положим о(х,у) = 8(ху~1). Тогда а —
двусторонне инвариантная метрика на 0^°, совместимая с
топологией произведения 0#°. Пусть хи лг2, ..., хп9 ...
—фиксированная конечная или бесконечная последовательность
элементов из О**0, такая, что б (лгг) > б (х2) > ... > б (хп) > ...
Тогда для каждой последовательности {сс„^°=1 целых чисел
существует УтСх?1 х%*... х%ь. Множество всех таких пределов
образует замкнутую подгруппу в О^о. Всякая замкнутая
подгруппа Н в 2^° имеет такую форму. [Чтобы доказать последнее
утверждение, рассмотрим для каждого целого положительного
числа л множество всех у (Е# таких, что б(^)= 1/л. Пустьз>„ —
одно из таких уу что число упп— наименьшее положительное.
Если не существует элемента уп в Я, для которого &(у)=1/п,

108 Г л, 2. Элементы теории топологических групп
положим уп — е. Тогда подгруппа Н состоит из всех пределов
Нт у у?ш -. * у$к.
/г->со
Удаляя все те упУ которые равны е, мы получим желаемое
представление.]
(й) Существуют неметризуемые группы, для которых единица
является пересечением счетного числа открытых множеств.
Поэтому требование локальной счетной компактности, или
подобное ему, необходимо в теореме (8.5). [Например, см. D.22Ь)
или D.22A).]
(е) Любая бесконечная абелева группа О допускает
недискретную хаусдорфову топологию, относительно которой О
метризуема. (Достаточно объединить D.23.Ь) с (8.3).)
(8.16) (Джонс [1] и Хуланицкий [1].) Любая локально
компактная Г0-группа О мощности #х метризуема. [По теореме (8.5)
достаточно доказать, что некоторая точка в О является
пересечением счетного семейства открытых множеств. Предположим,
что это неверно: никакая точка из О не есть пересечение счетного
семейства открытых множеств. Введем в О полное
упорядочение:*^ \х19х2, ..., хау ...}, где а пробегает все порядковые числа,
меньшие чем й, первый несчетный ординал. Пусть 01 — непустое
открытое множество с компактным замыканием Щ и хг^11^.
Предположим теперь, что а—некоторый ординал, меньший йу
и что для всех р < а уже определены непустые открытые
множества (/р, для которых:
П У$Ф0 для любого у<а; A)
х^и$ при р<а; B)
{Урс^/р.!, если р—не предельный ординал и 1 < р < а. C)
По предположению, имеем П У^Ф\ха\. Если а не есть пре-
дельный ординал, пусть 1/а—любое непустое открытое
подмножество в О, для которого УаС[/а_!, Vа П ( П У^\Ф0 и
*а(Ё^а- Если а—предельный ординал, то П ^6= П ^8=7^0,
ъ 3<а 0<а
и мы в качестве 1!а выбираем непустое открытое множество
такое, что (/вП( П 1М Ф0 и ха & ^. Тогда Г) */« =
= {хг, х2, ..., ха, . ..}' = 0; но также П ИъФ0, по предпо-
а < Й
ложению компактности 1/^.]
(8.17) (Граев [4].) Пусть О есть Го-группа, допускающая
открытую базу в единице е, состоящую из таких множеств (/,

$ 8, Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 109
что х11[х~1 = 11 для каждого х 6 О. Тогда группа С топологически
изоморфна подгруппе прямого произведения топологических
групп, каждая из которых допускает двустороние инвариантную
метрику. [Конструкция метрики а в (8.2) может быть проведена
так, чтобы подгруппа Я была нормальной, и так, чтобы первая
окрестность 1)х содержалась в произвольно выбранной
окрестности единицы е\ напомним модификацию (8.2), указанную в
(8.14с). Определим метрику ан на группе С/Н по правилу
вн(аН, ЬН) = а(а, Ъ). Тогда ан—метрика на С/Я, превращающая
С/Н в метрическую группу (хотя ее топология может быть
отличной от фактортопологии из О/Я). Образуя прямое
произведение всех групп С/Н с их метрическими топологиями и
отображая С в это произведение естественным образом, получим
нужный результат.]
(8.18) Пусть С—любая Го-группа, обладающая счетной
открытой базой в единице е. Следующие условия на С
эквивалентны:
A) С допускает двустороние инвариантную метрику,
совместимую с топологией;
(и) равномерные структуры с5^@) и <УГ{С) эквивалентны;.
(III) существует счетная открытая база {/7„}^=1 в е такая,
что хОпх~1 = 1!п при /г = 1, 2, ... и всех х^С\
(IV) если {х^п^х—последовательность элементов из С с
пределом е и {уп)п=1 — любая последовательность элементов из О,
то последовательность {упхпУпХ)п=1 имеет предел е.
(8.19) Пусть С—Т0-группа с подгруппой Я такой, что Я и
С/Н имеют оба счетные плотные подмножества и счетные
открытые базы в каждой точке. Тогда группа С метризуема и имеет
счетную открытую базу. [По E.38е), группа С имеет счетную
открытую базу вен метризуема по теореме (8.3). По E.38!),
группа С имеет счетное плотное подмножество. Метрическое
пространство со счетным плотным подмножеством имеет счетную
открытую базу.]
(8.20) (а) Пусть О —компактная Г0-группа, и {(/я}^в1—любое
счетное семейство окрестностей единицы в С. Тогда существует
00
такая замкнутая нормальная подгруппа N в С, что Ыа П Vп
и 0/А/ допускает двустороние инвариантную метрику,
совместимую с топологией. [Это прямо следует из (8.7) и (8.6);" однако
мы приведем здесь независимое, очень интересное доказательство
Л. Грабаря (см. Понтрягин [7], § 20, пример 37, стр. 126). Для
любого п (п= 1, 2, ..,) пусть /„: 0—*[0, 1] —непрерывная функ-

НО Гл. 2. Элементы теории топологических групп
ция на О, для которой /„ (е) = 1 и /л A/^=0. Пусть / = 2 2"я/„;
отображение / также непрерывно на О, /(О)с:[0, 1], /(е)=1
и / ( П ^) = 0. Для любых а, Ь^О положим
р (а, Ь) = зир {| / (хау)—[ (хЬу) |: х, # 6 О}.
Тогда р есть двусторонне инвариантная псевдометрика на О.
Пусть N = {а^О: р(а, е) = 0\. Тогда N — замкнутая нормальная
со
подгруппа в О, содержащаяся в П V п. Для любых аЫ и ЬЫ
из О/Ы положим р*(аЫ, ЬЫ)~р(а, Ъ) и тем самым получим
двусторонне инвариантную метрику на О/Ы.
Приведенная конструкция может быть проведена для
произвольной Г0-группы. Однако в таком случае метрика р* на С/Ы
не будет порождать фактортопологию на О/Ы. Если группа О
компактна, то метрика р* всегда порождает фактортопологию
на 01 N. Пусть 8—любое положительное число. Поскольку
отображение / равномерно непрерывно на О D.16), то найдется
окрестность V единицы е такая, что | / (и)—/ (о) | < в при и~ху (Е V.
Пусть V? — окрестность единицы, для которой у'^уаУ при
всех у ^ О D.9). Тогда из а^УР следует р (а,*е) = р* (аЫ, #)<!е.
Следовательно, р*-топология на С/1Ч слабее, чем фактортопо-
логия на 01 N. Поскольку группа С/# компактна в фактортопо-
логии и хаусдорфова в р*-топологии, обе топологии совпадают.]
(Ь) Функция р из (а) может быть метрикой на О, не
совместимой с топологией на О. [Например, пусть С = @й(л, /С), и
выберем / так, чтобы / (Е) = 1, / (X) < 1 при X Ф Е и
/(®2(д,/С))сг[0, 1]. Тогда функция р, построенная по /как
в (а), не может быть совместимой с топологией на ©2 (/г, К),
поскольку ©2 (л, К) не допускает двусторонне инвариантных
метрик.]
(8.21) (X. Корсон, устное сообщение). Если X—вполне
регулярное пространство, то существует комплексное
топологическое линейное пространство Ь (В.5) такое, что X является
замкнутым подмножеством в Ь. [Пусть @(Х)—семейство всех
непрерывных комплекснозначных функций на X с поточечно
определенными сложением и скалярным умножением и топологией
поточечной сходимости; тогда направленность /а элементов в
© (X) сходится к / ^@ (X) тогда и только тогда, когда /а (х) —>/ (х)
для каждого х^Х. Определим таким же образом ©(©(X)):
пусть 1 = @(@(Х)). При х$Х пусть V(x)€^ определяется
формулой V (я) (/) = /(*). Тогда V—гомеоморфизм X на V(X). Чтобы
показать, что множество V(X) замкнуто, пусть <р $у(Х)~ П МХ)').

§ 5. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости 111
Тогда существует такая направленность ха, а € #, что V (ха) —* ф.
Для каждого а^Б пусть Ыа = \х^^Х: р >а}, а для любого
конечного множества РаХ такого, что /гПЛ/а_=0, пусть
}а,р€®(Х) выбрано так, что /а,ИЛ = ° и /а.^С^а) = 1. Тогда
/а, р есть направленность по {(а, Р):а^О и РП #а = 0}, (а, /^
>:(ао> ^о) тогда и только тогда, когда а^>а0 и Р^Р^ Легко
проверить, что /а§ Р—+ 0. Мы также имеем для любых а и Т7
Ф (/а> р) = Нт V (х3) (/а, /0 = Нт /а, ^ (*э) = 1.
Следовательно,
0 = Птг(д;а)@) = ф@)= Нт ф(/а/?)=1.
а (а, /?)
Это противоречие показывает, что V(X)~ Л Су(Х)') = 0; иначе
говоря, V(X) замкнуто.]
(8.22) (а) Теорема (8.8) может быть следующим образом
модифицирована. Если требовать выполнения свойства (Ш)
только для Г0-групп О, то свободная топологическая группа Р
может быть также выбрана удовлетворяющей аксиоме Т0.
[Повторение доказательства (8.8) дословно, с заменой слова
«топологическая группа» словами «70-группа».]
(Ь) (Какутани [5].) Можно указать многие вложения,
аналогичные описанным в теореме (8.8). Приведем два примера.
Пусть X—любое вполне регулярное пространство. Тогда
существует топологическая группа А такая, что:
A) X есть замкнутое подпространство в А\
(и) алгебраически А есть свободная абелева группа,
порожденная Х\
AИ) всякое непрерывное отображение X в топологическую
абелеву группу О может быть продолжено до непрерывного
гомоморфизма Л в О.
Существует также топологическая группа Е, такая, что
левые и правые равномерные структуры на Е эквивалентны и что:
(Г) X есть замкнутое подпространство в Е;
(И') алгебраически Е есть свободная группа, порожденная Х\
(Ш') каждое непрерывное отображение X в любую
топологическую группу С, левая и правая структуры которой
эквивалентны, может быть продолжено до непрерывного
гомоморфизма Е в О.
[Доказательства следуют доказательству теоремы (8.8). В абе-
левом случае нужно использовать только непрерывные
отображения X в Т для доказательства A) и (Н). В случае Е
достаточно указать, что все группы XI (п) имеют эквивалентные левые
и правые равномерные структуры.]

П2 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(8.23) (Граев [4].) (а) Пусть X— #юбое непустое вполне
регулярное пространство, и а|): Х-> О/— открытое непрерывное
отображение в топологическую группу О. Тогда продолжение гР
отображения г|) до гомоморфизма, переводящего свободную
топологическую группу р в О, является открытым
отображением. [Пусть У—окрестность единицы в Р и х^Х. Тогда (хУ) Г) X
открыто в X, и поэтому ^((хУ)ПХ) = 4х ((хУ) п X) открыто в С.
Следовательно., ^ (х'1)^((хУ)пХ)-=хУ (VП(х~1Х)) есть
окрестность единицы в С, и У (У^Ч* (V () (,г_1Х)). Отсюда следует,
что отображение Ч?" открыто.]
(Ь) Любая Г0-группа О есть факторгруппа Р/Н некоторой
свободной топологической групцы Р по ее замкнутой
нормальной подгруппе Я. [Рассмотрим тождественное отображение
группы О на себя и применим (а).]
(8.24) (Виленкин [2] и [6] и Граев [4].) Любая не Го-группа С.
есть факторгруппа некоторой Г0-группы по незамкнутой
нормальной подгруппе. [Пусть е—единица в О и е~ = {е\~.
Пусть, далее, А — вполне регулярное пространство с плотным
подмножеством О такие, что существует взаимно однозначное
соответствие со между А{\Б' и е~. Образуем произведение
Х = (С/е~)хА. В каждом классе смежности хе" в О выберем
точку, обозначая ее \\>(хе~) так, что ф (в~) = е. Пусть, далее,
ф: 0-+6/е~—естественный гомоморфизм. Тогда, очевидно,
цо^ (хе~)-^ хе~ для любых хе~~^0/е~. Определим отображение /
пространства X на группу С по правилу
{¦§{хе~~)ы(а), если а^А{\Ог,
1 К } \^(хе ), если а^Б.
Пусть р—свободная Г0-группа, порожденная X; см. (8.22а).
Поскольку Р есть свободная группа, порожденная X,
отображение / можно продолжить до гомоморфизма, также
записываемого/, группы Р на О. В силу фо/(хе~, а) =хе~ прил;е"~ ^ 0/е~,
отображение -фо/ является непрерывным и открытым
отображением X на 0/е~. По E.401) отображение / также непрерывно.
Более того,из E.40]) следует, что /открыто, если ^1(е') = (['1(е))'".
Теорема E.27) показывает тогда, что О есть факторгруппа
Го-группы Р по незамкнутой нормальной подгруппе \~Ч.
Из непрерывности / следует сразу включение /"х (^")з(/™1(^))~.
При а^В мы имеем [(е~у а)=е, так что {(е~, а): а$ 0}с/_1(^).
Поскольку В плотно в Л, отсюда следует
Г1(П-{(е-,а):аеА} = \(е-уа):аеОГс:(Г1(е)ГЛ
Замечания. Инвариантные метрики на группах впервые
рассматривались ван Данцигом [3]. Теоремы (8.2) и (8.3) принад-

$ 9. Структурная теория абелевых групп
113
лежат Какутани [1] и Биркгофу [1]; Биркгоф не указывал, что
его метрика левоинвариантна. Близкая конструкция, с
помощью которой также получается теорема (8.4), содержится у
А. Вейля [3], стр. 13, со ссылкой на Понтрягина. Теорема (8.7)
принадлежит Какутани и Кодаира [1]; наш вариант см. также
Монтгомери и Циппин [1], стр. 58.
Свободные топологические группы изучались многими
авторами. Концепция была предложена Марковым [2]; полное
изложение появилось в работе Маркова [4]. Марков доказал
теорему (8.8) весьма сложным путем; более простые конструкций
были даны Накаяма [1], Какутани [5] и Граевым [3]. Наш
вариант следует доказательству Какутани. Марков [3]
использовал свой метод, чтобы построить связную группу произвольной
мощности ^ с, все элементы которой имеют порядок 2. (См.
Граев [4], теорема 28, где есть более простое доказательство.)
Теоремы (8.11) и (8.12) принадлежат Стоуну [1].
Нормальность локально компактных 70-групп была нам указана
Е. А. Майклом.
Во всем дальнейшем тексте все топологические
группы будут предполагаться Г0-группами — и потому
вполне регулярными,— если явно не оговорено противное.
§ 9. Структурная теория компактных и локально компактных
абелевых групп
Главный результат этого раздела (теорема (9.8)) состоит
в том, что каждая локально компактная компактно
порожденная абелева группа топологически изоморфна произведению
некоторой компактной абелевой группы и конечного числа
экземпляров групп 7? и 2. Эта знаменитая теорема является
непрерывным аналогом структурной теоремы для конечно
порожденных абелевых групп. Дискретная абелева группа компактно
порождена, если и только если она конечно порождена; каждая
такая группа имеет вид 2,ахР, где а—неотрицательное целое
число и Р—конечная группа (А.27).
Теорема (9.1) представляет самостоятельный интерес; из нее
следует, например, что если х—любой элемент локально
компактной группы, то наименьшая замкнутая подгруппа,
содержащая х, либо компактна, либо топологически изоморфна 1.
В теореме (9.15) мы покажем, что все бесконечные
нульмерные компактные группы гомеоморфны произведениям
двухточечных пространств. Конец раздела представляет собой краткое
введение в теорию компактных топологических полугрупп.
(9Л) Теорема. Пусть Н—произвольная подгруппа аддитивной
группы К в ее относительной топологии, наследуемой из обычной

114 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
топологии на К* Пусть, далее /: Я->(/ — непрерывный
гомоморфизм группы Я в некоторую локально компактную группу О.
Тогда либо / является топологическим изоморфизмом группы Я
на /(Я), либо группа (/(Я))~ является компактной абелевой
подгруппой в О. Если / не есть топологический изоморфизм, то
для каждой окрестности V единицы е в О найдется полооюитель-
ное число [л^Я, для которого множество /([Я, /1 + |х) Г)Я)П1/
непусто для каждого Н^Н.
Доказательство. В первых трех пунктах доказательства (I,
II, III) мы предполагаем, что Н = Я или Я = 2.
(I) Предположим сперва, что существует такая окрестность
II единицы в О, что множество {1^ Я: /(/) ^ II) ограничено в Я:
если /@€ У> то |/|<а. *
Отображение / взаимно однозначно, поскольку в противном
случае множество }~1(е) было бы подгруппой в Я, отличной
от {0}; но такая подгруппа необходимо неограничена. Если
V—окрестность единицы в О, для которой Ус:II и У
компактно, то У ()[{Н) = Уг\[([—а, а] Л Я). Поскольку Я есть,
по предположению, 7? или 2, то множество [—а, а] Г) Я
компактно в Я; следовательно, и множество К"П/([—ос, а]пЯ)
компактно. Поэтому замыкание множества У[\((Н) в
относительной топологии /(Я) компактно. Таким образом, /(Я)
локально компактно. По теореме E.29) отображение / является
топологическим изоморфизмом.
(II) Предположим теперь, что отображение / не есть
топологический изоморфизм. Без потери общности мы можем
предположить, что 0 = ({(Н))-. Тогда, по теореме E.3), группа О
абелева. Рассмотрим произвольную точку а^Ни любое
непустое открытое подмножество ЛсО. Тогда существует такой
элемент ^^Н и такая симметричная окрестность V единицы е,
что 1AI1 с:А. Согласно (I), найдется элемент у^Я, для
которого V > |я| + |*| и /(у) 6 I/. Таким образом, /(» + /)=/@/(°)€
ё/ AI1'аА, так что множество [((а, оо)пЯ) плотно в С.
Пусть теперь У—любая симметричная окрестность единицы
в О с компактным замыканием У. Пусть, далее, а—любой
неотрицательный элемент из Я. Мы только что доказали, что
О ={((а, оо)пЯ)У. Поскольку замыкание У~ компактно, най-
т
дутся такие элементы 11У *а, ..., ^€(«» °°)Г)Я, что У~с II 1A1)У.
Пусть |х = тах(/1,/а, ..., ^я,). Если л:—произвольный элемент
из С, и тл = 1п{(/(^~)П[0, оо)), то, поскольку хУ" замкнуто,
мы имеем хх ^ Я и / (т^) $ л:У~, и потому / (т^.) ^ х[ (*у) У для
некоторого /=1,...,т. Таким образом, /(т^—/у) ^яУсяУ"".
Поскольку ^ > 0, имеем т^—^<0. Следовательно, хх < [г и

$ 9. Структурная теория абелевых групп
115
*€/([0,|1)П#)У-с:/([0, |1]П#)У-. Итак,
е = /([0,|х]ПЯ)К-.
Далее, множество [0, [г] П Я компактно, поскольку подгруппа Я
либо есть 7?, либо 2, и потому /([0, ц>]ПЯ) компактно. По
теореме D.4) и множество /([0, [г] Г) Я) У" компактно. Таким
образом, мы доказали компактность группы О.
(III) Последнее утверждение теоремы теперь также легко
проверить в случаях Н = Я и Я = 2. Для любой заданной
окрестности V единицы в О выберем симметричную окрестность У
единицы, такую, что У~с:{/ и У"—компакт. По (II), если Н^Н,
то существует число т (Е [0, |л) П Я, для которого / (— К) 6 / (т) У".
Поэтому Д^ + т)€(У")-1 = У-с:^.
(IV) Пусть теперь Я—любая подгруппа в /?. Если она
тривиальна, Я = {0}, то и теорема тривиальна. Если подгруппа
Я содержит наименьший положительный элемент, то она
топологически изоморфна 1 и потому для нее теорема уже доказана
(I) —(III). Если подгруппа Я нетривиальна и не содержит
наименьшего положительного элемента, то она, очевидно, плотна
в 7?. Если нам удастся продолжить непрерывный гомоморфизм /
до непрерывного гомоморфизма /: #->0, то мы сможем повторить
рассуждение (I) и (II), чтобы убедиться, что /—топологический
изоморфизм группы Я, либо что группа (/(Я))~ компактна.
Последнее утверждение также очевидно в этом случае: поскольку
отображение / непрерывно, мы получим /([А, А+|г])с:/([й, Н +
+[х)Г|Я)~, так что если открытое множество 0 пересекает
7 ([А, Н + \х)), то оно пересекает и /([Л, Н + \х) П Я).
Осталось продолжить непрерывно / на /?. Напомним, что
отображение / равномерно непрерывно E.40а). Пусть х^Яг\Н'
и {Н^п^г—любая последовательность элементов из Я такая,
что \\ткп = х. Тогда для любой окрестности V единицы в О
п->ао
существует положительное целое число т0, для которого
/ЧА/лШ^)*^» при т, гс>т0. Если V' компактно, то 1{Нт)^
€ ^7{кт ) Для любых т> т0, и существует предельная точка в
У~1(ЬтоУ направленности {/ (Нт)}т>то. Пусть эта предельная
точка есть [(х). Легко проверить, что ?(х) одна и та же для
последовательности {К}^, и для любой другой
последовательности \К\п=1 с пределом х. Более того, /—
непрерывный гомоморфизм 7? в О, согласующийся с / на Я. Детали
доказательства мы оставляем читателю. []
(9.2) Определение. Пусть О—топологическая группа. Если
О содержит плотную циклическую подгруппу, то группа О

116 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
называется монотетической1). Пусть т: /?—*0—непрерывный
гомоморфизм. Тогда т(/?) называется однопараметрической
подгруппой в О. Если О содержит плотную однопараметрическую
подгруппу, то группа О называется соленоидальной.
Теорема (9.1) показывает, что локально компактная моноте-
тическая [соленоидальная] группа топологически изоморфна
группе 1 \Щ или компактна. Детальный анализ структуры
компактной монотетической и компактной соленоидальной групп
появится в § 25.
Мы теперь изучим структуру локально компактной
компактно порожденной абелевой группы. Теоремы (9.3) — (9.7)
являются вспомогательными к основной теореме (9.8).
(9.3) Теорема. Пусть О—локально компактная компактно
порожденная абелева группа. Тогда группа О содержит
дискретную подгруппу N с конечным числом линейно независимых
образующих такую, что группа 0/Ы компактна.
Доказательство. Пусть V—симметричная окрестность еди-
00
ницы в О с компактным замыканием (/" и II Цп = 0 E.13).
Поскольку множество A7~J компактно по теореме D.4) и ОЦ =0,
найдется конечное подмножество \аг, ...,ат\ в О такое, что
т
(/2с(^/~Jс: [] аХ]. Пусть А — наименьшая подгруппа в О, со-
держащая {а1? ...уат). Очевидно, что 1!2с:А11у и потому АЦ2с:
аА21Г = А1Г. Тогда мы получаем {/3-(/2^/с=Л(/2с:Л/7, (/* =
00
= [/8[/сЛ1/С/с:Л[/ и т.д. Следовательно, 0= [] Цп = АЦ.
/1=1
Пусть Су-—наименьшая подгруппа в О, содержащая <2у, / =
= 1,2, ..., т. Мы имеем О =С^С^...С^Р', так что если все С^,
С%, • •., Сп компактны, то и группа О компактна, и мы можем
положить Ы = \е\. Если некоторое Су некомпактно, то по
теореме (9.1) группа С] является бесконечной циклической
дискретной подгруппой в 0.
Пусть Ъх — любое из а/у для которого \Ь?: п^1\ есть
дискретная бесконечная подгруппа в О. Определяем далее элементы
6а, Ь3, ... по индукции.. Предположим, что Ьх, 62, ..., Ьк уже
выбраны из элементов а1У а2, ..., ат так, что Ь±, Ь2, ...,Ьк
порождают дискретную подгруппу Ык в О и все Ь19 Ь2У ...,Ьк
линейно независимы: если Ь*1Ь*2 ... Ь*к = е, где все ау-—целые
числа, то аг = а2= .. . =ак = Ъ. Рассмотрим факторгруппу С/Ык.
Если она компактна, то наш процесс закончен, и мы полагаем
Ы = Ык. Если группа 0/Ык некомпактна, то для естественного
[) Или моногенной,

$ 9. Структурная теория абелевых групп
117
гомоморфизма ф: С—-*С/#Л имеем С/Ык = (р (А) ф(<7~) и, в силу
компактности Ф ([/""), множество ц>(А)~ не может быть
компактным. Очевидно, ф (А) = ф (Сг).. .ф (Ст). Если все <р (Су)"
компактны, то компактно также ф (Сх)" ... Ф (Ся)~ и замкнуто,
и потому ф (А)" с: ф (Сх)~ ... ф {Ст)~. Но множество ф (А)"
некомпактно, так что должно существовать такое /, что и ф(Су-)~
некомпактно. Поскольку 0/Ык локально компактно E.22), мы
получаем из теоремы (9.1), что ф(Су)—дискретная, бесконечная
циклическая подгруппа в С/Ык. Пусть Ьк+1 = а^. Очевидно,
никакая степень Ь#+1, пфО, не может быть равна элементу Ь^1 ...
... Ъакк, поскольку все классы смежности Ь%+1Ык различны.
Значит, Ъг, Ь2, ..., Ь#+1 линейно независимы. Пусть Ык+1— подгруппа
группы О, порожденная этими элементами. Если
V—окрестность единицы в О, для которой У[\Ык = {е}, и открытое
подмножество {оЫк. V^V} в 0/Ык пересекает \Ъ%^Ык: п$2\
только по Ык, то V Г\Мк+1 = {е\, так что Ык+г—дискретная
подгруппа в О.
Так как множество {аг, а2, ..., ат\ конечно, наш процесс
должен окончиться построением такой группы Ык, что группа
0/Ык компактна. []
(9.4) Теорема. Пусть О — локально компактная абелева группа,
имеющая дискретную подгруппу N с конечным числом образующих,
такую, что группа 0/Ы топологически изоморфна группе ТгхР0,
где г—некоторое неотрицательное целое число, а
Р0—некоторая конечная абелева группа. Тогда группа О топологически
изоморфна группе ТахЯьх1схР1, где а, Ь, с—неотрицательные
целые числа, а Рх—некоторая конечная абелева группа.
Доказательство. (I) Предположим сначала, что группа
О связна. Тогда факторгруппа О/Ы также связна, как
непрерывный образ связного пространства, и потому С/Ы имеет вид Тр.
Пусть ф: 0—+ТР—естественное отображение. Мы можем
рассматривать группу Тр как Кр\1р\ пусть \|>: Цр—+
^—соответствующее естественное отображение. Поскольку группы 1р и N
дискретны в #р и С соответственно, существуют окрестность
нуля V в Яр и окрестность V единицы в О такие, что г|э
взаимно однозначно на Ц, ф взаимно однозначно на У и ф(У) =
= 'ф((/). [Действительно, выберем симметричную
окрестность G0 нуля 0 в Кп и симметричную окрестность У0 единицы е
в О такие, что Щ[\2р={Ъ}\ УЩМ=\е\ и <р(У0)с ф({/„). Вы"
берем, далее, 1/с:(/0П ^"Мф^о)) и положим V = У0П Ф~* (Ф ({/))].
Без потери общности можно предположить, что 0 — ]х $кр:
IIх II < ос} для некоторого положительного числа а(|| ||
обозначает норму, описанную в § 1). Для х^Ц пусть Ф
(х)—единственный элемент в Ус:О, для которого ф(Ф(*)) = 1|>С*). Оче-

118 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
видно, что если дг, у и х+у принадлежат II, то Ф(х+у) =
= Ф(х)Ф(у) и Ф(— х)=Ф(х)-\
Продолжим теперь отображение Ф (сохраняя для
полученного отображения то же обозначение Ф) до отображения Яр в О
по следующему правилу. Для каждого х^Яр существуют целое
число п и элемент у€1? такие, что пу = х. Положим Ф(дг) =
= (Ф (у))п. Чтобы доказать, что отображение Ф по-прежнему
однозначно, предположим, что пх, п2—целые числа, для
которых ^1, у2 €1/ и п1у1=п2у2. Если /гх = 0 или п2 = О, то, конечно,
Ф (Я1.У1) = Ф {п2у2) = *. Если же ни одно из пг и п2 не есть О,
то — $11 для любого к = 0, ±1, ..., ±я2, и мы имеем Ф(уг)=
п2
= (ф (~-))Л'; аналогично Ф(у2)=(ф (тг))- Таким образом,
(•мГ-мз)"*=мг)г='Ф»-'
Несложно подобным образом проверить, что Ф—открытый
непрерывный гомоморфизм ^вС. Поскольку Ф (Яр) содержит
окрестность единицы в С и группа О связна, то Ф(Яр) = 0. [См.
теорему G.4).]
Поскольку ф о Ф(лг)=*|)(лг) при х € V и V порождает группу Яр,
мы имеем фоф = 1р. Отсюда следует, что ядро, скажем Я,
гомоморфизма Ф содержится в ядре 1р гомоморфизма *ф. Если
Н = \0}у то группа 0 топологически изоморфна Яр.
Предположим, что #=тЦо}. По теореме (А.26) мы можем выбрать базис
вц #2> • • •» еРв%р и положительные числа ^х, б?2, ..., йА, 1^&^р
так, чтобы элементы й^, й2еа, •••> <4#& были независимыми
образующими для Н. Поскольку ег, е2, ...,ер суть
независимые образующие для 1?, элементы е19 е2, ..., ер образуют базу
для Яр как векторного пространства над #. Значит, каждый
класс смежности у + Н содержит элемент х1е1 + х2е2 + ... +хрер9
где О^л^ < йг, ..., 0<л:^ < ^, а ял+1, ..., хр—произвольные
вещественные числа. Далее, различные элементы этого типа лежат
в различных классах смежности группы Яр по Я. Отсюда сразу
следует, что группа О топологически изоморфна группе
ТкхЯр~к1).
(II) Теперь пусть О—любая группа, удовлетворяющая
условиям теоремы. Без потери общности мы можем вместо С/Ы
рассматривать ТгхР0, где группа Р0 конечна. Пусть ф: 0—+С/Ы—
естественный гомоморфизм, и пусть я: ТгхР0—>ТГ—проекция.
Тогда я о ф есть открытый непрерывный гомоморфизм группы
*) Заметим, что шаг (I) настоящего доказательства проходит для любой
дискретной подгруппы N в О: подгруппа N не обязана иметь конечного числа
образующих.

$ Р. Структурная теория абелевых групп
119
О на Тг. Его ядро, скажем М, является конечным объединением
различных классов смежности: М = N II л^УУ у х2Ы II ... II х^.
Поскольку группа N замкнута E.10), каждое х]Ы также замкнуто
и не содержит единицы е. Следовательно, подгруппа М дискретна
в С и имеет конечное число образующих.
Рассмотрим теперь группу 0/М = Тг. Если г = 0, т. е. М = 0,
то группа О является дискретной с конечным числом
образующих, и по теореме (А.27) имеет форму 1схР1У где с—некоторое
неотрицательное целое, а Рг— конечная абелева группа.
Предположим, наконец, что 0/М = ТГ и г > 0. Поскольку
подгруппа М дискретна, отображение я о ср взаимно однозначно
на некоторой окрестности V единицы в О. Следовательно,
яоф—гомеоморфизм на I/, как всякое непрерывное и открытое
взаимно однозначное отображение. Так как группа Тг локально
связна, мы можем предположить, что окрестность Ц связна
и симметрична. Множество 1/п является непрерывным образом
связного произведения (/х(/х...х{/ (п раз) для п = 2,3, ...
со
Следовательно, Ц| 1)п связно и является открытой подгруппой
00
в О E.7). Поскольку множество (} Ип также замкнуто, оно
/1=1
есть связная компонента единицы в О; обозначим его С.
Поскольку группа Тг связна, она порождена окрестностью я о ф ((/).
Следовательно, 7г = я о ф(С) = я о ф(С) и ТГ = С/С()М E.32).
В силу связности С мы можем- применить рассуждение I
настоящего доказательства, чтобы показать топологическую изомор-
фность группы С группе Глх/?г~/г, где к — некоторое
неотрицательное целое число.
Поскольку я о ф (С) = я о ф (О), мы, очевидно, имеем О = СМ.
Пользуясь чисто алгебраическим вариантом первой теоремы об
изоморфизме B.1), мы можем утверждать, что группа О/С =
= С М/С алгебраически изоморфна группе М/М П С. (Поскольку
СМ/С и М/М Г) С дискретны, этот алгебраический изоморфизм
автоматически является гомеоморфизмом.) Следовательно, группа
О/С имеет конечное число образующих. По ,теореме (А.27)
группа 0/С топологически изоморфна 2схРи где
с—неотрицательное целое число, а группа Рг—конечная абелева группа.
Поскольку подгруппа С открыта и делима, F.22Ь) показывает,
что группа О топологически изоморфна группе Сх@/С) и
потому группе 2схР1хТкхНг~к. ?
Чтобы завершить описание структуры компактно
порожденной локально компактной абелевой группы, нам придется
воспользоваться одной теоремой, доказанной в гл. VI: см. B4.7).
Конечно, доказательство теоремы B4.7) не зависит от настоящего
раздела.

120 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(9.5) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа, и пусть
V—окрестность единицы в О. Существует такая замкнутая
подгруппа Я в О, что НаЦ, а факторгруппа О/Н
топологически изоморфна ТахР, где а—некоторое неотрицательное целое
число, а Р—конечная абелева группа.
Это и есть теорема B4.7).
(9.6) Теорема. Пусть О—локально компактная компактно
порожденная абелева группа. Каждая окрестность V единицы
в О содержит компактную подгруппу Н такую, что фактор-
группа О/Н топологически изоморфна группе ТахНьх1схР1,
где а, Ь, с—неотрицательные целые числа, а Рх—конечная
абелева группа.
Доказательство. По теореме (9.3) существует такая дискретная
подгруппа Л^в Сс конечным числом образующих, что
факторгруппа О/Ы компактна. Пусть ф: 0—+0/М—естественное
отображение. Найдем такую симметричную окрестность УУ единицы
в О с компактным замыканием, что №а1] и ИРЛ#={е}.
По теореме E.17), множество ф(й^) открыто в О/М.
Следовательно, из теоремы (9.5) вытекает, что существует замкнутая
подгруппа Йскр(№) группы О/Ы, для которой факторгруппа
@/Л/)/Я топологически изоморфна группе ТахР: здесь а — не.
отрицательное целое число, а Р—конечная абелева группа
Положим Яо^ф'1 (Я) и Я = Я0П1^. Очевидно, ф(Я0) = Я;
докажем теперь, что ф (Я) = Я. Конечно, <р (Н)аН; если х^Н,
то х = ф (до) для некоторого до € ЭД7. Поскольку ф (до) € Я, мы имеем
также до (Е Я0 и потому х = ф (до) € ф (Я0 П №) = <р (Я). Поскольку
отображение ф взаимно однозначно на ЙР~, а №~—компакт,
то ф—гомеоморфизм ИР~ на фA^~). В частности, ф есть
гомеоморфизм множества Я на ф(Я) = #. Вследствие компактности Я
само множество Я компактно. Покажем теперь, что Я есть
подгруппа в О. Если х, у^Н, то ху~г^Н0 и, для некоторого
/*€Я, ^(Н)--=^{ху1). Следовательно, ху~1Н-1^Ы и, конечно,
ху1г~1^НН'~1Н~1с:^31 так что ху~хН~х^е. Иначе говоря,
ху-х = Н€Н. •
Пусть *ф: О—>0/Н—естественное отображение. Чтобы
доказать утверждение нашей теоремы, достаточно по теореме (9.4)
показать, что я|>(Л0 является дискретной подгруппой в О/Н
и что @/Н)/^(Ы) топологически изоморфна группе ТахР, т. е.
группе @/Ы)/Н. (Заметим, что группа я|>(Л0 конечно порождена,
поскольку конечно порождена сама N.) Покажем сначала, что
Н0 = НЫ. Если Н€Нях€Му тоф(*А)-ф(А) 6ф(Я) = НихН^Н0.
Обратно, если х^Н0У то существует такой элемент Л в Я, что
ф(*) = ф(й); значит, х = хН~1Н^кн. По теореме E.34), мы

$ 9. Структурная теория абелевых групп
121
убеждаемся, что группа @/#)Л|)(ЛО топологически изоморфна
группе 0/ф(ф(Л^)) и, аналогично, группа (О/Щ/Н
топологически изоморфна группе О/ср (Н)=0/Н0. Поскольку ^-^(ЛО)^
= НЫ = Н0, группа @/Я)Д) (/V) топологически изоморфна группе
(от/й.
Наконец, 1|)(Л^) дискретна в О/Ы. Заметим сначала, что
Л^ПЯс:Мп№с:Мп1^3=={е}. Очевидно, Я' II \е\ — открытое
множество, содержащее Я, так что, по теореме D.10), существует
окрестность единицы У в С, для которой НУаМ' [} \е\. Таким
образом,
(ЯУ)П# = {е}. A)
Отсюда следует: ^>{У) Пф(Л/г)={Я}. Действительно, если юН^хН,
где V^У и х^Ы, то юН = х для некоторого А^Я и по A) имеем
ък = х = е. []
Прежде чем переходить к основной теореме, мы сформулируем
одну очевидную лемму.
(9.7) Лемма. Пусть О—топологическая абелева группа, Я—ее
подгруппа и О/Н= Ках2ьхР, где а и Ь—неотрицательные целые
числа, а Р—компактная абелева группа. Если ср: О—>0/Н—
естественное отображение, то каждая компактная подгруппа
в О содержится в ф ({0} х {0} хР).
Доказательство. Если Е—компактная подгруппа в О, то
фB?)—компактная подгруппа в О/Н. Следовательно, (р(Е)с:
а{0}х{0\хР, так что Ескр-1 (ф^сгф-1 ({0} х{0} хР). ?
(9.8) Теорема. Любая локально компактная компактно
порожденная абелева группа О топологически изоморфна группе
Ках2<ьхР, где а и Ъ—некоторые неотрицательные целые числа,
а Р—компактная абелева группа.
Доказательство. Применяем лемму Цорна вместе с
предшествующими теоремами.
По теореме (9.6) существует компактная подгруппа НаС
такая, что факторгруппа О/Н топологически изоморфна группе
КаХ%ьхР, где Р—некоторая компактная абелева группа. Здесь,
и в подобных ситуациях позже, мы будем рассматривать О/Н
как совпадающую с группой Нах2,ъхР\ мы также
идентифицируем группу Нах2,ь с подгруппой Ках1ьх{е'), а Р—с
подгруппой \0}х{0\хР(здесье'—единица в Р). Пусть ф: С—+С/Н—
естественное отображение, и М = ц)~г(Р)', по теореме E.24), М —
компакт. Ввиду теоремы (9.7), М является наибольшей
компактной подгруппой в О. По E.34), группа О/М топологически
изоморфна группе {Нах1ьхР)/Р и потому Яах1ь.

122 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Пусть 3—семейство всех замкнутых подгрупп Ь в О таких,
что 6 = ЬМ. Введем в 3 частичный порядок по правилу
Ьг<Ьъ при Ь^Ьъ.
Очевидно, сама группа О принадлежит семейству 39 так что 3
непусто. Предположим далее, что \Ьа)аеА—линейно
упорядоченное подмножество в 3?\ покажем, что \Ьа\ае а имеет верхнюю
грань в 3\ Пусть, действительно, Ь = Г[Ьа. Очевидно, Ь есть замк-
нутая подгруппа в О и ЬаЬа для любого а^А. Чтобы
показать, что Ь^Зу рассмотрим произвольное х^С. Мы направим
множество Л, полагая а>а', если и только если Ьа^Ьа'- Для
каждого а^Л имеем 6 = ЬаМ> и потому х = уата для
некоторого уа€^а и ша^М. Теперь {та: а^А} есть направленность
в М и содержит сходящуюся поднаправленность ^7, у ^ Е\ пусть
т0—ее предел. Обозначим через N функцию из Е в Л, которая
сопоставляет направленности ее поднаправленность (см. (ЗЛО)).
Иначе говоря, <7у = т^G) для у$Е. Рассмотрим любое а0^А.
Существует такое у0€Е, что ^(у)^^ при у^у0. Поэтому для
у>*у0 имеем
ХЦу1 = ХГПщУ) = Ум (у) € Ьщу) <= Ьао.
Следовательно, предел хгпо1 направленности х^1, у^Е9
принадлежит Ьао. В силу произвольности а0, имеем хт^1^ Г\Ьа—Ь.
а
Следовательно, х^хт^т^^ЬМ. Значит, 0 = ЬМ и Ь—верхняя
Грань ДЛЯ {Ьа\аеА.
По лемме Цорна существует максимальный элемент Ь0$3\
очевидно, С = Ь0М. Теперь мы покажем, что 10П М = {е}.
Предположим, что существует элемент г$Ь0Г\М и гФе. Пусть 0 —
окрестность единицы, и г^Ц. Будучи компактно порожденной,
группа О ог-компактна, и ее замкнутая подгруппа Ь0 также
а-компактна. По теореме E.33), группа Ь0/{Ь0 П М) топологически
изоморфна группе Ь0М/М = О/М и потому группе Ках1ь. В
частности, группа 10/A0пМ) компактно порождена. В силу
компактности Ь0ПМ> из теоремы E.39Ь) следует, что и Ь0 сама
компактно порождена. По (9.6) существует компактная подгруппа
Я0 в Ь01 для которой Я0с:10П^/, а факторгруппа Ь0/Н0
топологически изоморфна ^аох2^х/70, где группа Р0 компактна.
Пусть ф0: Ь0~+Ь0/Н0—естественное отображение, Ьх =
= Фв1(#в,х2*0 и Л10 = фо1(/7о). Очевидно ^е^, ЬгГ\М0 = Н9
и Ь0 = Ь1М0. По теореме (9.7), всякая компактная подгруппа
в 10 содержится в М0. В частности,
1ХПМ = 1Х[\{1Х[\М)^1Х[\М^Н^<

$ 9. Структурная теория абелевых групп
123
Таким образом, г не принадлежит Ьг[]М и, поскольку г^М7
мы видим, что г^Ь±. Другими словами Ь^Ц. По теореме E.24а),
группа М0 компактна и потому М0М — компактная подгруппа
в О. Следовательно, М0М = М, поскольку М содержит все
компактные подгруппы в С. Пользуясь этим, мы видим, что 0=
=Ь0М = Ь1М0М = Ь1М. Значит, Ьг принадлежит 3?\ кроме того,
ЬгфЬ0, поскольку ЬХфЬ0. Это противоречие показывает, что
Ь0ПМ = {е\.
По теореме E.33), мы видим, что Ь0 топологически изоморфна
01М и потому Ках1ь. Наконец, по теореме F.12) группа О
топологически изоморфна группе Ь0хМ и, следовательно,
группе Ках1ьхМ. []
Дадим теперь некоторые приложения теоремы (9.8).
(9.9) Определение. Пусть О—топологическая группа.
Элемент а называется компактным, если наименьшая замкнутая
подгруппа в С, содержащая а, компактна.
(9.10) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева группа.
Множество В всех компактных элементов в О образует
замкнутую подгруппу в 0.
Доказательство. Пусть Ма = {е, а, а~\ а2, а~2, . ..,аи,а~я, ...}""
для всех а^О. Поскольку МаЪаМаМь и М _х = Ма, теорема
D.4) показывает, что В есть подгруппа в О. Предположим теперь,
что х^В~. Существует открытая компактно порожденная
подгруппа Я в О, содержащая х E.14). Группа И топологически
изоморфна группе Ках1ьхР по теореме (9.8), где а и
Ь—неотрицательные целые числа, а Р—компактная абелева группа.
Мы можем рассматривать НаХ%ьхР как открытую подгруппу
в С. Если бы /^-координата точки х или 2&-координата точки х
были бы отличны от нуля, то существовала бы целая
окрестность точки л: в Я, и потому в О, не пересекающаяся с 5,
поскольку Яа и 1Ь не содержат компактных ненулевых
элементов. Следовательно, х^Р и потому х^В1). ?
Следующий технический результат полезен при
доказательстве некоторых следствий теоремы (9.8). Он также нам
потребуется в теореме B4.36).
(9.11) Теорема. Пусть Н—замкнутая подгруппа в Кс,
отличная от {0}. Найдутся такие векторы х19 ..., ха, у1У ..., уъ в Я,
1) В неабелевой локально компактной группе множество всех
компактных элементов может не быть группой и даже замкнутым множеством; см.
примеры (9.26с) и (9.264).

124 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
линейно независимые в #с, что Я есть в точности множество
векторов, записываемых в виде:
0) ВД+... +ъаха + ЩУг+ ••• +ЩУь> где аи ..., аа 6 К
и т19 ..., тъ^1. Таким образом, группа Я топологически
изоморфна группе Яах1ь и потому компактно порождена.
Доказательство. Доказательство ведется по индукции по
числу с. При с=1 теорема вполне элементарна. Пусть теперь
с^ 1, теорема доказана для %с, и На%с+1. Рассмотрим отдельно
два случая.
Случай I. Подгруппа Я дискретна. Пусть у0— вектор в Я,
для которого / = П^Уо Ц = гт11Г1 {|| «||: и € Я, ифО\. Очевидно, I > 0.
Пусть Ь=\ау0: а(^К}, а^Н[]Ь\ а—любое вещественное
число, а т—целое число, и \а—т|<Л/2. Тогда
I < || и—ту01|< || и—ау0 \\ + \\ ау0—ту0 || < || и—ау01| + //2,
так что
||я-ау0||>*/2. A)
Рассмотрим факторгруппу Яс+1/Ь и естественное отображение
ф: Яс+1 -> Нс+1/Ь. Очевидно, группа Яс+11^ топологически
изоморфна группе Ясу и ф есть линейное отображение. Ввиду A),
группа ф(Я) дискретна и потому замкнута в %с+г/Ь E.10).
По нашему индуктивному предположению существуют
векторы ц>(Уг), • ••^фСУь) в ф(#)> линейно независимые в Кс+1/Ь
и такие, что ф(Я) состоит из всех векторов вида
ГО1<Р (У г) + • • • + тъУ (Уь) (Щ € 2). B)
Очевидно, мы можем выбрать ук$Я. Найдем теперь для и^Н
такие тг, ...,ть€2,у что ^(и) = ^(т1у1+ ... +тьуь). Отсюда
следует и—т1у1—...—щУь = тоУо Для некоторого т0^2, или
и = т0у0+...+тьуь.
ъ
Если V0, V!, ..., \ь € Я и 2 ЧнУк = °> то также
& = 0
/ ь \ ь ь
о=ф( 2^д>* = 2 ^фо^) = 2 **ф1у*).
\6 = 0 / & = 0 /г=1
Следовательно, V1 = V2= ... =VЬ = 0 и, наконец, Vо = 0. Значит,
Уо> Ун •- -> Уь линейно независимы в Яс+1 и наша индукция
закончена.
Случай II. Подгруппа Я недискретна. В этом случае
построение должно проводиться другим способом. Мы покажем, что Я
содержит одномерное линейное подпространство из Яс+1. Пусть
{ип\п^1 — последовательность векторов в Яс+1 и {^л}л«1—
последовательность положительных вещественных чисел такие, что

$ 9. Структурная теория абелевых групп
125
Цйл||=1ДлЯ/1€# Для любого п и что НтЛ,л=0. Пусть х0€Кс+1-~
такой вектор, что некоторая подпоследовательность из {й„}~=1
сходится к х0. Пусть, наконец, а—любое вещественное число,
а 8—любое положительное вещественное число. Выберем
положительное целое т так, что А^О и \\х0 — ит|| <г^ттг^ и
целое р так, что |рЯ^—а|<А,/л^е. Тогда
|| ах0—р1тит || < || о*0—/Дл*01| +1| рХгпХ0—р1тит || =
= |а—р^Ц-1^ ||| *0 —М <е + (|а| + 8)-|^рр^ = 2е.
Поскольку рктат^Н и Я замкнуто, то ах0^Н и потому 1 =
Рассмотрим теперь факторгруппу Кс+1/Ь и естественное
отображение <р: #с+1 -+ Кс+1/Ь\ очевидно, отображение ф линейно,
и группа Кс+1/Ь топологически изоморфна группе Яс. По
теореме E.31) группа <р(#) топологически изоморфна группе Н/Ь
и, следовательно, локально компактна E.22) и замкнута в
Кс+1/Ь E.11). По индуктивной гипотезе существуют линейно
независимые векторы ф (л^), ..., ср (ха), ф (уг)у ..., <р (уь) в %с+1/Ь
такие, что ф(#) есть множество всех векторов вида
«1Ф(^1)+ • • • +авф(хв) + т1ф(^1)+ ... +Щ<Р(Уь)>
где ау^/? и тк^1. Мы можем, очевидно, предположить, что
векторы х] и ук лежат в Н.
а
Все векторы 2 а;Х;, а.-^К, лежат в Я. Действительно, если
/=1 У
а а
«ёЯи Ф(©)= 2 а/Р(*/)> то г>—-2 а.,х.-=а0х0 для некоторого
/=1 /=1
а0€# и потому 2а/^/ = ^—а0лг0^#. Доказательство того,
что Н состоит только из векторов в Нс+1 вида 2ау*/ + 2т#.У/г»
/ = 0 /г=1
ау€#, ^62, и чтолг0, лг^ ..., ха,у19уъ, ...,уь линейно
независимы в Нс+1, аналогично соответствующему доказательству
для случая (I). []
(9.12) Теорема. Пусть т—топологический изоморфизм группы
Яах1ьхР в группу #сх2ахЕ> где а, Ь, с, й—неотрицательные
целые числау а Р и Е—компактные подгруппы (не обязательно
абелевы). Тогда а^с и а-\-Ь^с-\-с11).
х) Неравенством а<^с и его доказательством мы обязаны Р. Ричардсону
(К. Ш. Шспагёзоп).

126 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Доказательство. Пусть ц: Яах1ь—* Яах1ьх{е) —
топологический изоморфизм. Тогда композиция тог) является
топологическим изоморфизмом группы Яах1ь в группу Ясх2,ахЕ.
Следовательно, мы можем в этом доказательстве не
рассматривать множитель Р и предположить, что область определения т
есть группа Яах1ь.
(I) Предположим, что а > с. Поскольку х(ЯахЩ)—связная
подгруппа в Ясх2ахЕ, мы имеем
х(Яах{0\)с:ЯсХ{0}хЕ.
Пусть т|: Яа -+ ^ах{0}— топологический изоморфизм группы Яа
на группу ЯаХ{0\ и пусть 0—проекция группы Ясх1с1хЕ на
группу ЯсхЕ. Тогда композиция т0 = 6отог) осуществляет
топологический изоморфизм группы Яа в ЯсхЕ.
Пусть л: ЯСХЕ -»- Яс—проекция. Тогда отображение г|)=я о т0
является непрерывным гомоморфизмом группы Яа в Яс. Легко
видеть, что в действительности отображение ^ является
линейным отображением, и, поскольку а > с, линейное
подпространство 5 = {х^Яа: ^(х) = 0\ отлично от {0}. Для х$Яа
обозначим 10(х) = (у, г), где у€Яс и г^Е. Очевидно, т0(л:) = @, г)
для каждого х^5; иначе говоря, мы получили включение
т0 E) с {0} х Е. Поскольку т0—топологический изоморфизм,
множество т0E) замкнуто в {0}х^ E.11). Поскольку Е
компактно, 5 также компактно. Но это противоречие, поскольку 5
является евклидовым пространством положительной размерности.
Следовательно, неравенство а^.с получено.
(II) Вернемся к отображению т: Яах1ь ->- Ясх1ахЕ. Пусть
Ф—проекция группы Ясх2.ахЕ на группу ЯсХ%а. Очевидно,
композиция фот есть непрерывный гомоморфизм группы Яах2ъ
в группу Ясх1а. Предположим, что фо т(л:) = 0, где х^Яах1ь.
Тогда х(х) € \0\хЕс:Ясх1ахЕ и потому т (х) является
компактным элементом в Ясх2ахЕ. Это означает, что элемент х
сам является компактным в Яах2ь, и потому лг = 0. Таким
образом, композиция фот есть взаимно однозначное
отображение и потому ф—взаимно однозначное отображение на х(ЯаХ%ь).
Поскольку группа Яах1ь локально компактна, х(Яах1ь)
замкнуто в Ясх1ахЕ (.5.11). Далее, из теоремы E.18) следует, что
уо% (Яах1ь) замкнуто в Ясх1а. Следовательно, цох(Яах1ъ)—
локально компактная группа, и тогда по теореме E.29)
фот есть топологический изоморфизм. Мы можем очевидно
рассматривать уох(Яах1ь) как замкнутую подгруппу в Яс+а.
По теореме (9.11), группа уох(ЯаХ%ь) содержит а + Ь векторов,
линейно независимых в Яс+а. Значит, а + Ь^с + Л. []
(9.13) Следствие. Предположим, что группы Яах1ьхР и
Ясх2.ахЕ топологически изоморфны, где а, Ь, с, й—некоторые

$ 9. Структурная теория абелевых групп
127
неотрицательные целые числа, а Р и Е—компактные группы.
Тогда а = су Ь = с1, а Р и Е топологически изоморфны.
Доказательство. Изоморфизм т должен переводить
компактные элементы в компактные элементы; следовательно, т({0}х
Х{0\хР) = {0\х\0\хЕ. По (9.12) имеем а = с и & = </. ?
Укажем теперь одно полезное следствие теоремы (9.8).
(9.14) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева группа,
а С—компонента единицы в С. Тогда группа С топологически
изоморфна группе КпхЕ, где п—некоторое неотрицательное
целое числоу а Е—компактная связная абелева группа. Число п
есть наибольшая возможная размерность подгруппы группы О,
топологически изоморфной группе Ка для неотрицательного
целого числа а. Если подгруппа Н в О компактно порождена и
открыта у то она топологически изоморфна Нпх2,ьхРу где
Ь—некоторое неотрицательное целое числОу ар—компактная абелева
группа.
Доказательство. Пусть Я—компактно порожденная
подгруппа в О. По теореме (9.8) группа Я топологически
изоморфна КаХ%ьхР для некоторых неотрицательных целых чисел а
и & и компактной абелевой группы Р. Подгруппа С компактно
порождена по теореме G.4) и связна, так что С топологически
изоморфна %пхЕ, где п — некоторое неотрицательное целое
число, а Е—компактная связная абелева группа. (Никакой
множитель 1Ъ не участвует в этой формуле, поскольку группа С
связна, а 2—нет.) Множество С определено как сумма всех
связных подмножеств в О, содержащих еу и потому существует
топологический изоморфизм, переводящий Яа в ЯпхЕ. Из
теоремы (9.12) мы получаем, что а^п.
Пусть Я теперь—любая открытая компактно порожденная
подгруппа в О. Пусть Я топологически изоморфна группе
Ясх1ахР, где с и д,— неотрицательные целые числа, а
Р—компактная абелева группа. Группа С является пересечением всех
открытых подгрупп в О G.8). Следовательно, группа С
содержится в топологически изоморфном образе группы ЯСХ Р
(который, очевидно, открыт в Я; следовательно, и его изоморфный
образ открыт в О). Значит, существует топологический
изоморфизм, переводящий Яп в ЯсхР, и потому теорема (9.12) влечет
за собой я^с. Поскольку мы можем в предыдущем рассуждении
считать а = с, получаем с = п. []
(9.15) Теорема. Пусть О—нульмерная, бесконечная,
компактная группа, ит — наименьшая мощность открытой базы в точке
е$6. Тогда группа О, рассматриваемая только как топологи-

128 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
ческое пространство, гомеоморфна пространству {О, 1}Ш, где
{О, 1} есть дискретное двухточечное пространство1).
Доказательство. Доказательство разобьем на несколько шагов.
(I) Пусть {/У,,},^/—открытая база в точке е, мощностью тп.
Используя теорему G.7), выберем компактную открытую
нормальную подгруппу Уьс:0 такую, что У1а:1/1 для каждого 1^/.
Вполне упорядочим семейство {У,,}^/, и перепишем его так:
{Уц ^2» •••» ^а> •¦•}» гДе а пробегает все ординалы, меньшие,
чем, скажем, первый ординал [х мощности т. (Заметим, что т
должно быть бесконечным.) Без потери общности, можно
предположить, что Уг~C. Для каждого ординала р, 1<р<м<,
пусть Ы$= П У а, и Ы1 = С. Ясно, что каждое Ы$ является ком-
пактной нормальной подгруппой в О. Зафиксируем некоторый
ординал Р<|х; рассмотрим произвольное подмножество Ха6у
которое является пересечением множеств вида а±У^ [) я2Ур2 [) ...
... 1!а5Ур3, где а^Ои р/<р(/ = 1, 2, ..., 5). Очевидно, Ы$Х=Х.
(II) Определим теперь специальные открыто-замкнутые
подмножества в О. Пусть В—множество всех ординалов р < [г, для
которых У$фМ$Ур. Оба множества Ур и Л/^Ур суть
открыто-замкнутые нормальные подгруппы в О. Факторгруппы МрУр/Ур
и О/МрУр компактны по теореме E.22) и дискретны по
теореме E.21) и потому конечны. Пусть &р}МрУр, ..., Ьр 'Р МрУр—
различные классы смежности группы С по Л/рУр, и пусть
(к )
°$У$у • • •» ав Р ^3—различные классы смежности группы Л/^Ур по
Ур. Для каждого целого числа /, / = 1, 2, ..., &р, положим
Значит, каждое Лр;) есть конечное объединение классов
смежности по Ур и каждое А$ пересекает любой класс смежности
по Л/'рУр по некоторому классу смежности по Ур. Очевидно, что
Лр
Л{РпЛ&° = 0, если }Ф1, и ЦЛ^С.
Покажем теперь, что если X есть непустое подмножество
в Си/=1,2, ..., ^р, то (Л^рХ)ПЛ{/)^0. Поскольку II Ь^МрУр^О,
существует такое Ь)Ц\ для которого¦ (Ы$Х) Г) (&р)Л/'рУр)^0.
Поскольку а^ лежит в ЛГрУр, то й^^рУр^б^Ц^рУр^Л^рй^Ур.
Таким образом, существуют элементы а1У а2 $ УУр, х $Х и у ^ Ур,
) Близкий результат — см. теорему B5.35) ниже.

$ 9. Структурная теория абелевых групп
129
для которых а1х = а2Ь^)а^)у. Следовательно, а^ахх = Ь^а^у.
Поскольку а^х^Ы^Х и Ь^а^у^А^, имеем (МрХ)П А$Ф0.
Пусть теперь р1э р2, ..., р5—произвольные различные
элементы из В\ мы можем предположить, что рх < Р2 < ... < Р5.
Покажем, что
^)пл(э/;)п...пл^)^0, A)
если 1</,<йР|(/=1, 2, ..., §). Согласно (I) Л^-Л/^Л^.
Рассуждение предшествующего абзаца показывает, что
= (Л/р, Л^1*) П А\\1)Ф0. Применяя (I) и еще раз рассуждение
предыдущего абзаца, получаем Л^П Л^П Л[/3з)-(^р3 (Л^П.Л^П
П Лр3з) Ф0. Теперь A) легко проверяется по индукции.
Чтобы завершить нашу конструкцию, требуется еще один
факт, именно: если х, у€ О и хФу, то найдутся такие $€В
и /, 1^/^&р, что Лр7) содержит одну и только одну точку
из х и у. Поскольку х~1уФе, существует а<|и,, для которого
х~хУ$Уа- Пусть р — наименьшее из всех таких а. Тогда х~*у (Е Л^р,
так что я-1*/^ А/^Ур и ху^У^. Следовательно, Ур 5 Л/^Ур, так
что Рб#- В обозначениях, использовавшихся выше, чтобы
определить множества Лр\ мы имели х, у ^ Ьр^рУр для некоторого
/, 1</<тр. Поскольку х~гу^ Ур, тох б^р^Ур и уб^ЦрУр»
где /=#=/. Следовательно, ЖЕ^р* и у€А$\ так что #^Лр\
(III) Для того чтобы .закончить доказательство, образуем
декартово произведение У = Р {1, 2, ..., &р}, где каждое конеч-
ное пространство {1, 2, ..., &р} снабжено дискретной
топологией. Определим отображение Ф: О—* У формулой Ф(*) = (/р)р€/ь
где /р — целое число такое, что л'^Лр*, для каждого р $ В.
Поскольку все множества Лр} открыто-замкнуты, отображение Ф
непрерывно, а поскольку множества Лр* разделяют точки О,
то оно взаимно однозначно. Следовательно, Ф—гомеоморфизм,
Ф@) —компакт и потому — замкнутое подпространство в У.
Ввиду A), множество Ф(С) плотно в У, т. е. Ф@) = У.
Конструкции в (I) и (II) показывают, что Б<лл. Поскольку О
и У гомеоморфны, также В = т, и В есть наименьшая
мощность открытой базы произвольной точки в У. Чтобы
показать, что У гомеоморфно {О, 1}Ш, запишем В как объединение
семейства попарно непересекающихся счетных бесконечных
множеств.
Доказательство будет завершено, когда мы покажем, что
счетное бесконечное декартово произведение X конечных
дискретных пространств гомеоморфно {0, 1}^°. Запишем это произве-
5 Э. Хьюитт, К. Росс, т. I

130 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
дение X как множество всех последовательностей х=(х0, х1У х2,...),
где хп^{0у 1, ..., ап—1}, а все ап—целые числа, большие
1(д = 0, 1, 2, ...). Для х^Х пусть
со
/=о
(ов+1)-(в1+1)-..(а/+1)
где Л-1^^-
яу—1
, , п/ , 1ч / , 1Ч . Легко убедиться, что ото
/=0 («о+О («1+1) ••• («/+*) '
бражение т непрерывно: если х, у^Х и х/ = у/ для / = 0, 1,
•1
то|тИ-г(^)|<Л.^1(ао+1)(а1+1ь (а/ + 1)
,/72,
Отображение т
также взаимно однозначно. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим х, у^Х и предположим,
и что хт > #а. Тогда
т(*)-тО0> Л
ЧТО ^/ = У/ ДЛЯ / = 0,
т—1
X
>
(«о+1).
(ат+\)
-1
X
1
а,
7Я + 1 + 1
А
(«о+1)
(«Ш + 1
.(«*+!) Г
1
Ь0(«*+2+1)
«т+1—1
>
1
Л/в + 1+1
>¦
(«/Я-Ы+1)КЛ+2+0
Л Г 1
(а0+1) ••• («/л + 1) [«/*+!+1
1
«Я1 + 1+1
^ 1_
9 27"
'/
>о.
Итак, отображение т является взаимно однозначным
отображением X в [0, 1] и потому гомеоморфизмом. Следовательно,
т(Х) есть компактное нульмерное подпространство в [0, 1] без
изолированных точек. В частности, т(Х) не содержит никакого
интервала, и существует такая точка ?$ A/3, 2/3), что ^т(Х).
Пусть А0 = {х€Х: т(*)</} и А1 = {х€Х: т(х)>1}\ тогда
множества А0 и Аг—дополнительные непустые
открыто-замкнутые подмножества в X и \%(х)—т(лг') |<2/3, если лг, х' (Е Л0
или лг, лг' ^Лг. Подобным же образом разбиваем А0 и Аг\
Л0 = Л00ы Л01> А1 = А10цА11, где все Л/у—открыто-замкнутые
множества в X и | т(лг) — х(х') |< (у) , если только х, х' 6 А{/.
Продолжая это рассуждение, предположим, что множества Лу,.-.^
уже определены для любых 1=1,
А и {11У 12У
*}¦
любая последовательность из нулей и единиц. Предположим
также, что {А^,..^ о, А^.,,1 \) есть разбиение множества
А
м«
на открыто-замкнутые подмножества и что |т(дг)

$ 9. Структурная теория абелевых групп
131
— т(л:') |<B/3)' при лг, х' ^А^... с1 для всех возможных
выборов 1У I. Тогда множество т (Л^-,... *Л) содержится в интервале
длины B/3)*, причем средняя треть этого интервала содержит
точку ^т(Х). Определим множества Аг^...^о как {х^А^..^^.
х{х)<1'} и Л^...^ как {^бЛ^.-лу *(•*)>''}• Тем самым
множества Л^-,...* определены для всех положительных целых
чисел & и последовательностей \1г, /2, . .., 1^} из нулей и единиц.
Теперь для произвольной бесконечной последовательности
из нулей и единиц 1 = A1У /2, /3» • • •» *«> • • •) определим Ф(/) =
= Л/1 П А^П • • • Для каждого / множество Ф(/) одноточечно,
поскольку*| т (дг) — т (*') | < B/3)* для любых х, х' € ^м,...^.
Множество всех точек Ф(/) есть X, поскольку для каждого
положительного целого числа к множества А^1я,..1к образуют
разбиение X. По той же причине отображение Ф взаимнооднозначно.
Наконец, чтобы показать непрерывность Ф, рассмотрим
произвольную точку лг = ф(/) $Х и ее окрестность Ц. Компактность
множества X гарантирует, что для некоторого положительного
целого числа к имеем Л^1...«лс:{/. Следовательно, если
/'—такая последовательность из нулей и единиц, что г1 = ь'1У *2 =
= /г» •••> Ч^Чу т° Ф(^) € Лц^...1/гс:(/. Таким образом, Ф есть
взаимно однозначное непрерывное отображение {0, 1}^° на X
и потому гомеоморфизм1). []
Сделаем несколько замечаний относительно компактных
топологических полугрупп. Топологическая полугруппа 5 есть
полугруппа, снабженная хаусдорфовой топологией, относительно
которой отображение (х, у)—*ху произведения 5x5 в 5
непрерывно. Если из гх=гу всегда следует х = у, то говорят, что
полугруппа 5 удовлетворяет левому закону сокращения; если из
хг = уг следует х = у, то полугруппа 5 удовлетворяет правому
закону сокращения. Элемент / в полугруппе 5, для которого
/2=/, называется идемпотентом.
Между топологическими группами и топологическими
полугруппами имеются большие различия. Одно из таких различий
х) Ценой небольшого усложнения рассуждений мы можем доказать, что
всякое вполне несвязное компактное метрическое пространство У без
изолированных точек гомеоморфно {0, 1} °. Легко видеть, что У может быть
разбито на конечное число открыто-замкнутых подмножеств Ви ..., Ва1,
каждое диаметром ^1. Далее, каждое В{ может быть разбито на конечное число
открыто-замкнутых множеств В[х, Я/а, ..., В{а^ (а2 — одно и то же
положительное число для всех 0> причем Вц имеет диаметр ^1/2, и т. д.
Рассуждения, подобные использовавшимся по отношению к отображению Ф,
показывают, что У гомеоморфно произведению счетного числа конечных дискретных
пространств. Затем, используя доказанную теорему, мы устанавливаем
гомеоморфность У и {0, 1}**°.
5*

132 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
состоит в том, что топологическая полугруппа не обязана быть
однородной. Например, пусть 5 = < О, 1, —у — , ... I. Определим
л;*/ = тах(х, у) в 5 и снабдим 5 топологией, наследуемой из
группы /?. Тогда 5—неоднородная компактная топологическая
полугруппа.
(9.16) Теорема. Компактная полугруппа 8, удовлетворяющая
левому и правому законам сокращения, является топологической
группой.
Доказательство. Предположим сначала, что для полугруппы 5
выполнено равенство
а5^5а^=5 для всех а ^8. A)
Зафиксируем элемент а0^8 и выберем такой элемент е^8у
что еа0=^а0. Тогда для любого а ^8 имеем а0х = а для
некоторого х^8 и потому еа=^еа0х=г-а0х = а. Таким образом, е есть
левая единица для 5. Существование левого обратного теперь
очевидно. Как хорошо известно, при этих условиях 5 есть
группа. Чтобы показать, что 5—топологическая группа, нужно
только проверить непрерывность перехода к обратному
элементу. Пусть V — любое открытое множество в 5; нужно
показать, что У^Ц открыто. Возьмем направленность хау а^И
в V, сходящуюся к х0(^8. Тогда х^^И', и поэтому, в силу
компактности V', существует поднаправленность х^1, $€;Е
такая, что \шх^=^уу где у^1)'. По непрерывности умно-
Р
жения х0у^=\\тх^1 = е. Значит, х^^у~г (-V. Следовательно,
Р
V замкнуто и V открыто.
Рассуждения предыдущего абзаца показывают, что теорема
будет доказана, если мы докажем A). Зафиксируем а ^8 и
рассмотрим произвольное непустое замкнутое подмножество А с 5,
для которого аАаА. (Например, 5 сама является таким
множеством.) Очевидно, ЛзаЛ:эаМ з... и все акА замкнуты.
Последовательность {ак}^=1 является направленностью в 5 и
к
содержит поднаправленность а а> а(^0, сходящуюся к элементу
у^8. Для х^А имеем ух = 1\таках. Для каждого
положительного целого числа к найдется индекс а0^Д такой, что из
а>а0 следует ка^к. Значит, аках^акА при а>а0. Следова-
со
тельно, ух^акА для всех к, т. е. ух^ П акА. Таким образом,
уЛс П акА. B)
к=\

# 9. Структурная теория абелевых групп
133
Рассмотрим теперь х (Е П акА. Тогда для каждого целого к>\
6=1
найдется элемент хк^А, для которого х = акхк. Существует
поднаправленность хк , $^Е направленности хка, сходящаяся
к элементу г^А. Тогда
х = \\\т)(а &хк )=(\\та Л (\\тхк ) = уг^уА.
Это и B) показывают, что
уА = П акА. C)
со
Полагая А равным 5 и затем аЗ в C), получаем уЗ= П ак8
к- 1
со
и уа8 = П ала$. Следовательно, уЗ-^уаЗ. Поскольку 5 уЦОВ-
к^У
летворяет левому закону сокращения, получаем 5-^5.
Равенство 5 = 5а доказывается аналогичным образом. []
(9.17) Лемма. Пусть 8—компактная полугруппа, и а ^8.
Тогда множество {а, а2, а:{, ...}" содержит замкнутую абелеву
00
группу С, именно, 0= Г1 {ак, ак+1у ...}".
6=1
Доказательство. Для каждого /г = 1, 2, ... положим Лл =
= {а*, ак+1, ...}. Система множеств {А/г} центрирована и потому
00
0= Г) Л&~ непусто. Легко проверить, что О замкнутая абелева
к— 1
полугруппа в 5. Следовательно, как показано в
доказательстве (9.16), достаточно установить равенство
' ув = 0 для всех у 6 О. A)
Предположим, что уО^О для некоторого у € С. Пусть
2(Е0П(у0)'; тогда ухфг для любого х ^ О. Следовательно, для
каждого х^О существуют окрестности ЦХ9 Ух и ^х точек у,
х и г соответственно в 5 такие, что Й^П {УХУХ) = 0. Поскольку
I) У^зО и О — компакт, то найдутся точки хг, ..., хп$С, для
хе о
которых и УХь^0. Пусть {/= п ^ , 1/= у \/^ и 1Р = П ^ .
6=1 л 6=1 /г 6=1 /г 6=1 к
Очевидно, множества (/, У и № открыты, #6^, г€^, ^=>0 и
ГЛ((/К) = 0. B)
Поскольку у$0> существует целое число ?>1 такое, что
а^^Ц, а поскольку г^С, существуют положительные целые

134 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Г!,га,гя, ..., для которых ц <г1<г2<... иаг' €№(/ = 1,2,3, ...)•
Направленность {а > }/1х име^т предельную точку и в 8,
которая необходимо принадлежит также О. Для некоторого к,
к=\у ..., и, мы получаем и^Ух и потому для некоторого
тут = 1,2у ..., также аГт~а^Ух . Далее, аГт = а^ат~A € /7У* с=
с:GУ. Поскольку аГ/71 принадлежит также 1^, получили
противоречие к B); следовательно, A) выполнено. []
(9.18) Теорема. Всякая компактная полугруппа содержит по
меньшей мере один идемпотент.
Доказательство. Это прямо следует из леммы (9.17).
(9.19) Определение. Непустое подмножество М полугруппы 5
называется левым идеалом [правым идеалом], если 8Ма
аМ [М8аМ\. Если множество М является одновременно левым
и правым идеалом, то оно называется (двусторонним) идеалом.
Полугруппа 5, не содержащая отличных от всего 5 идеалов,
называется простой. Полугруппа 5 называется вполне простой,
если она проста и удовлетворяет условиям:
A) если е и /—идемпотенты в 5 и е[ = [ = [е, то е = [;
(И) для любого х б 5 существуют идемпотенты е и / в 5,
для которых ех = х = х{1.
(9.20) Лемма. Компактная простая полугруппа 8 вполне
проста.
Доказательство. Проверим сначала утверждение (9.19И). Пусть
#^5. Поскольку полугруппа 5 проста, мы имеем 5 = 5x5.
Таким образом, х = ахЬ для некоторых а, Ь^8 и, очевидно,
х — акхЬк для любых & = 2, 3, ... По лемме (9.17), существует
идемпотент е в множестве {а, а2, ...}". Пусть Ьк<*, а^О, —
направленность в {а, а2, ...}, сходящаяся к е. Существует под-
направленность Ьк&> Р€^> направленности Ъка, сходящаяся
к некоторой точке Ь0^{ЬУЬ2У ...}". Тогда ехЬ0 = Итак^хЬк^ =х.
Следовательно, ех = е(ехЬ0) = ехЬ0=х. Аналогично, х[ = х для
некоторого идемпотента /^ {&, Ь2У ...}".
Предположим теперь, что е и / — идемпотенты в 5 такие,
что е/ = / = /е. Поскольку полугруппа 5 проста, существуют
элементы а и Ъ в 5, для которых е=а\Ъ. Положим у = еа{ и
г = [Ь. Тогда у?г = е и уег = е, и потому ук}гк = е для любого
й = 2, 3, ... Существует идемпотент @€ {у, у2> ...}" и
направленность укссу а^#, сходящаяся к нему. Далее, найдется под-
направленность г*Р, $(ЦЕ направленности гкау сходящаяся к
некоторой точке г0^{гу г2у .. .\~. Следовательно, §[г0 = е. По-

$ 9. Структурная теория абелевых групп
135
скольку у = еа[=^еа^е^е8еу а е8е есть замкнутая подполугруппа
в 5, то §€е8е. Следовательно, §е = §, так что §^§е = §§[г0 =
= §[г0 = е,т. е. е=е[0г0 = [г0. Поэтому [ = '[е = Нг0 = 1г0 = е. ?
(9.21) Теорема. Компактная полугруппа 8 содержит
наименьший двусторонний идеал К. Идеал К замкнут и вполне прост.
Доказательство. Пусть Е—множество всехгидемпотентов в 5;
по теореме (9.18) Е непусто. Пусть К = П 5е5. Если е1У ...,ет€Е,
то каждое множество 8ек8у й = 1, ..., т, содержит элемент
еге2 ...ет = е± {еге2... ек_г) ек (ек+1... ет) ет и потому семейство
{5в5: е^Е) замкнутых множеств центрировано. Следовательно,
К непусто. Легко проверить, что К есть двусторонний идеал в 5.
Пусть М—любой двусторонний идеал в 5 и х$М. Тогда
5л;5 есть замкнутый идеал и 8х8аМ. По теореме (9.18),
множество 5x5 содержит некоторый идемпотент е0. Отсюда следует,
что Кс:8е08с:М. Следовательно, К есть пересечение всех
двусторонних идеалов в 5 и потому является наименьшим
двусторонним идеалом в 5.
Если х^Ку то множество КхК есть замкнутый идеал
в 5 и КхК<^К. Поэтому КхК^К. Отсюда следует, что идеал К
прост. По лемме (9.20), К вполне прост. []
Наименьший двусторонний идеал полугруппы 5,
существование которого мы установили в теореме (9.21), называется
ядром (иногда ядром Сушкевича) полугруппы 5.
(9.22) Лемма. Вполне простая полугруппа 8 с единицей е
является группой.
Доказательство. Пусть х^5. Поскольку полугруппа 5 проста,
найдутся элементы а, Ь$5.такие, что ахЬ = е. Тогда Ьах и хЪа
являются идемпотентами. Согласно (9.191), получаем Ъах = е и
хЪа^е. Таким образом, элемент Ъа является обратным к х.
Следовательно, 5 есть группа. []
(9.23) Теорема. Простая компактная полугруппа 8 является
объединением попарно непересекающихся замкнутых подгрупп.
Доказательство. Пусть Е—множество всех идемпотентов в 5.
Сначала мы докажем, что если е и / принадлежат Еу то г5/
есть группа. Согласно (9.16), достаточно проверить законы
сокращения в е8[. Полугруппа е8е проста; действительно, если
еуе, ехе^е8еу то у = аехеЬ для некоторых а, 6^5 и потому
еуе = (еае) (ехе) (еЬе). Отсюда следует, что е8е проста. По теореме
(9.20), полугруппа е8е вполне проста. Очевидно, е является
единицей для е8е, и тогда по лемме (9.22) е8е есть группа.
Предположим теперь, что
(ег!)(ех{) = (ег!)(еу1),

136 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
где х, у, г €8. Пусть (ег^е)—обратный элемент к элементу
ег[е в еЗе. Тогда ех[ = (егре)-1 (ег[е) х} = (ег[е)-г (ег[е) у/ = ед/.
Правый закон сокращения для е8[ доказывается аналогичным
образом.
Поскольку полугруппа 5 вполне проста (9.20), мы имеем
8={){е8[: е,[€Е\
(см. (9.19П)). Покажем теперь, что множества семейства
\е8[: е, }€Е} являются попарно непересекающимися. Рассмотрим
группу е8[\ пусть е0 есть ее единица. Очевидно, е8^ае08е0.
Поэтому е[€е08е0, так что е08е0 = е} (е08е0)е} = еAе08е0е) {аеЗ}.
Итак,
е08е0 = е8[. A)
Предположим теперь, что О, Н${е8[: е,[€Е\ и имеют общую
точку а. Пусть её и ен суть единицы групп. С и Я
соответственно. Тогда е8а = а^=ена. Пусть Ь^О—такой элемент, что аЬ =
=ее. Тогда её=еёаЬ = енаЬ = ене^. Аналогично, ен = енеё, и поэтому
ен=её. Согласно A) имеем О = е88е^ = ен8еп = Я. []
(9.24) Следствие. Пусть 8—компактная полугруппа с ядром К.
Тогда К есть объединение попарно непересекающихся замкнутых
подгрупп.
Дополнительные теоремы и примеры
(9.25) Пусть Ь—подгруппа группы 7? с топологией, строго
более сильной, чем ее топология как подпространства группы
/?, относительно которой она является топологической группой.
Предпололшм, что Я0—некоторая топологическая группа и что
задан непрерывный гомоморфизм группы Я0 на Ь. Теорема (9.1)
не будет выполнена, если группу Я заменить группой Я0. Пусть
Нг — любой непрерывный гомоморфный образ подгруппы Ь с ее
обычной топологией. Тогда теорема (9.1) выполнена для Нг.
(Второе утверждение использует теорему E.40с).)
(9.26) О компактных элементах, (а) (Понтрягин [7], § 40,
пример 74.) Пусть (/-—локально компактная абелева группа,
С—компонента единицы в О, а В—подгруппа всех компактных
элементов в О. Тогда ВС является открытой подгруппой в С.
[Поскольку В и С—подгруппы [(9.10) и G.1)], ВС является,
очевидно, подгруппой в О. Пусть Я—любая компактно
порожденная открытая подгруппа в С; Я топологически изоморфна
Кпх2ьхР. Пусть т—топологический изоморфизм, переводящий
Кпх2ьхР на Я. Тогда т(Нп)т(Р) есть открытая подгруппа
в С, и потому %(Р) = В[)Н— наибольшая компактная подгруппа

§19. Структурная теория абелевых групп
137
в Я. Тогда и х(Нп)х(р)СВ открыто в О. Поскольку подгруппа
т(#я) связна, имеем: т(^)сС и потому х(Кп)х (Р)СВ = СВ.]
(Ь) Если О—локально компактная компактно порожденная
абелева группа, то подгруппа В всех ее компактных элементов
сама компактна; она является наибольшей компактной
подгруппой в О. Для произвольной локально компактной абелевой
группы, подгруппа В всех ее компактных элементов не обязана
быть компактной. [Первое утверждение прямо следует из
теоремы (9.8). Второе утверждение следует из того факта, что
существуют бесконечные периодические группы. Пример
получается, если любую такую группу снабдить дискретной
топологией. В качестве менее тривиального примера можно рассмотреть
любую из групп 0,а (см. A0.5) ниже),]
(с) (Э. Тома, письмо к авторам.) Рассмотрим дискретную
группу О, порожденную элементами а и Ь, для которых а2 =
=Ь* = е. Тогда а и Ь являются компактными элементами, а их
произведение аЪ—некомпактный элемент. Таким образом,
компактные элементы в О не образуют группы.
(й) Рассмотрим общую линейную группу ©2B,/С). Для
каждого п = 2, 3, ... пусть г„ = ехр [2шA//г)]. Стандартное
индуктивное рассуждение показывает, что
ч0 \] \Ъ 1
В частности, получаем
ч0 \) \0 1 /' \0 1
поскольку сумма всех корней фиксированной степени из единицы
равна нулю. Следовательно, элемент ( " 1 порождает конечную
подгруппу в ©2 B, К) и потому является компактным
элементом. Чтобы показать, что множество всех компактных
элементов в ©2B, К) незамкнуто, нужно только заметить, что
1 1\ / г„ 1\
0 1 ) = ^т ( п 1 ) не есть компактный элемент. Но это оче-
/1 IV /1 АЛ
видно, поскольку ( 1 / V л 1 ) для лю^ого ^= Ь 2, ...
(е) (Марков [1].) Топологическая абелева группа О
топологически изоморфна Кп для некоторого положительного целого
числа п тогда и только тогда, когда: A) Оф{е}\ B) О локально
компактна; C) О связна и D) О не содержит никаких
компактных подгрупп, кроме {е\. [Это прямо следует из теоремы
(9.14).]

138 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(I) (ван Кампен [1], стр. 460.) Пусть О —локально
компактная абелева группа, и С—компонента единицы в О. Если
факторгруппа О/С компактна, то О топологически изоморфна
КпХР для некоторого неотрицательного целого числа п и
компактной абелевой группы Р. [Согласно G.4), группа С компактно
порождена. По теореме E.39Ь), группа О компактно порождена
и, следовательно, по теореме (9.8), топологически изоморфна
группе Кпх1тхР, где Р—некоторая абелева компактная
группа. Если теперь С0 — компонента единицы в Р, то С
топологически изоморфна группе ЯпхС0. Поскольку Япх{0}хС0с:
с: Кп х {0} х Р с #пхЪтXР, из теоремы E.35) следует, что
группа (Яп х1тХ РI(Яп X {0} X Р) топологически изоморфна
(С/С)/(Р/С0). Таким образом, группа 1т топологически изоморфна
непрерывному образу компактной группы О/С и потому
компактна, что возможно лишь при т = 0.]
(9.27) Топологические полугруппы, (а) Группа С из (9.17)
является наибольшей подгруппой в {а, а2, ...}". (Вытекает из
равенства {а, а2, ...}- = {а, а2, ...} [) О.)
(Ь) Разбиение простой компактной полугруппы на подгруппы
(9.23) единственно.
(с) (Гельбаум, Калиш, Ольмстед [1].) В противоположность
группам, полугруппы не обязаны быть однородными. В
частности, следующая импликация может не выполняться:
Если I) открыто в 5 и х^8у то хИ открыто в 5. A)
Однако для произвольной коммутативной топологической
полугруппы «5 с единицей е мы можем найти более сильную
топологию, относительно которой 5 является топологической
полугруппой, удовлетворяющей условию A) и такой, что
окрестности единицы е одинаковы в обеих топологиях. [Примером
топологической полугруппы, не удовлетворяющей условию A),
является, например, [0, 1] с обычным умножением и топологией,
поскольку 0»[0, 1] = {0). Доказываем второе утверждение. Пусть
б—данная топология на 5 и %—ее открытая база в точке е.
Определим на 5 новую топологию 61У взяв за открытую базу
ЗВг в точке х65 систему, множеств \х1>: Ц^Щ. Конечно, мы
должны проверить, что ЗВ^ действительно является базой для
некоторой топологии. Для этого достаточно показать, что для
любых а(/, ЬУ€5В19 где V\У^Ч и с^а1){\ЪУ, найдется Г^%
такое, что с№ с: аО Л ЪУ. Имеем с = аи = 6у, где и 6 У и V € V.
По непрерывности отображения х—+их в точке е найдется
Ц1^(и, для которого и111с:11. Аналогично, юУ1аУ для
некоторого Уг^Ч. Выбирая такое № 6 % что ^ с: Ц1Г\У19 мы
убеждаемся, что с№ а {с1}г) П (сУг) = (аиЦ^ П фуУг) с (аУ) П (ЬУ).

$ 9. Структурная теория абелевых групп
139
Осталось проверить непрерывность умножения в новой
топологии. Пусть й, ^5и(/^1 Если V^41 и V2 с V, то аУЬУ =
= аЬУ2ааЫ1. Очевидно, топология 6Х на 5 удовлетворяет A).
Наконец, легко видеть, что топология вг сильнее, чем 6,
поскольку для любых 1^^би а^М из непрерывности отображения
х—>ах ъ точке е вытекает, что а\] а V? для некоторого II €.41.}
(9.28) Монотетические полугруппы. Топологическая
полугруппа 5 называется монотетической, если она содержит такой
элемент а, что полугруппа {а, а2, ...} плотна в 5. Только в
нижеследующих примерах мы будем называть а образующей
для 5.
(а) (Хьюитт [4].) Пусть 5—компактная монотетическая
полугруппа и а—ее образующая. Если С—замкнутая подгруппа
со
П {акуак+1> ...}" и е—единица в О, то выполнено одно из
&= 1
следующих условий:
A) 5 = 0, причем 5 есть компактная монотетическая группа;
(и) существует положительное целое число т, для которого
5 П С = {а, а2, ..., ат) и все точки а, а2, ..., ат изолированы в 5;
A11) 5пС' = {а, а2, ...} и все элементы а, а2, ...
изолированы в 5.
[По теореме (9.17) подгруппа О является замкнутым
множеством в 5; поэтому по теореме (9.16) О—топологическая
группа. Докажем теперь, что из ап^0 и р > п следует аР^О.
Пусть к— произвольное положительное целое число, и V есть
окрестность элемента аР. По непрерывности умножения
существует окрестность V элемента а", для которой УаР"п с V. Для
некоторого целого 1^к элемент а1 принадлежит V, поскольку
ап€{ак, ак+1у ...}". Тогда а1+Р~п^11 и 1 + р—п> к, так что
пересечение V П {ак, ак+1у ...} непусто. Таким образом,
а?€{ак, ак+1, ...}"; поскольку к произвольно, аР^О.
Последний абзац показывает, что выполняется одно из
следующих равенств:
СП{а, а\ ...} = {а> а2, ...}, A)
О Г) {а, а2, . ..} = {а"+1, ат+\ ...}, где т>1, B)
Ол{а, а2, ...} = 0. C)
Любой элемент из 5, не являющийся изолированной точкой,
должен лежать в каждом из множеств \ак, ак+19 ...}" и потому
в С. В частности, 5 П {а, а2, ...}' с: О, 5 П С = {а, а2, ...} П С и
все точки в 5 ПО' изолированы. Используя эти замечания, мы
получаем, что из A) вытекает A), из B) вытекает (И) и из C)
вытекает (ш).]

140 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
(Ь) Компактная монотетическая полугруппа 5 с двумя
различными образующими а и Ь является топологической группой.
[Предположим, что полугруппа 5 не является топологической
группой. Тогда а и Ъ являются изолированными точками по (а)
и потому а ^ {6, б2, ...} кЬа{а, я2, ...}. Следовательно, а = Ьт
и Ь-^=ап для некоторых целых чисел тип больших, чем еди-
00
ница. Таким образом, а = атп и а(^6= П {а!1, ак+1у ...}".
Итак, 5 = О и потому 5 есть топологическая группа.]
Замечания. В настоящее время трудно указать точную
принадлежность каждого из результатов (9.1) — (9.14). Теорема
(9.3) для связных локально компактных абелевых групп была
доказана Понтрягиным [3] и [4], ван Кампеном [1] и
Марковым [1]. Насколько нам известно, теорема (9.1) появилась
у А. Вейля [4], стр. ПО (в чуть более специальном виде). Тот
факт, что теорема (9.3) выполняется только для компактно
порожденных групп, а не для всех связных групп, был, по-
видимому, впервые отмечен А. Вейлем [4], стр. 112. Теорема
(9.5) была найдена ван Кампеном [1], стр. 458. Первая явная
формулировка теоремы (9.8), известная нам, находится у Вейля
[4], стр. 113, где доказательство ее приписывается ван Кам-
пену [1]. Другое доказательство теоремы (9.8), основанное на
теореме двойственности Понтрягина — ван Кампена, появилось
у А. Вейля [4], стр. 125. Теорема (9.14) для группы со счетной
открытой базой была найдена Понтрягиным [2] и [4]. Обобщение
ее появилось у ван Кампена [1], стр. 460.
Теорема (9.15) принадлежит Ивановскому и Кузьминову [1];
для коммутативной группы О см. Виленкин [17]. Приведенное
у нас доказательство основано на работе Хуланицкого [4].
Кузьминов доказал несколько отличающийся результат: всякая
компактная группа есть непрерывный образ некоторого
пространства {0, \}т. В этой связи см. теорему B5.35).
В теоремах (9.1)—(9.15) мы только слегка затронули широкий
круг вопросов, связанных со строением локально компактных
групп. По поводу неабелевых групп, в частности групп Ли,
мы отсылаем читателя к монографиям Монтгомери и Циппи-
на [1], Шевалле [1] и Понтрягина [7]. Локально компактные
группы изучаются детально в §§ 24—26 ниже. Даже для этого
случая имеется очень большая литература; некоторую
библиографию можно найти в замечаниях к § 25.
Теоремы (9.16) —(9.22) принадлежат Нумакура [1]. Опять
же мы приводим только самые простейшие сведения о структуре
топологических полугрупп. Полезный обзор всей этой области
можно найти у Уоллеса [1].

$ 10. Некоторые специальные группы
141
§ 10. Некоторые специальные локально компактные
абелевы группы
Опишем один класс локально компактных абелевых групп,
играющий особую роль в структурной теории локально
компактных абелевых групп, важный, и сам по себе. Чтобы
определить эти группы, нам понадобятся некоторые элементарные
факты о целых числах.
A0.1) Пусть а = (а0У а1э ..., а„, ..^—последовательность
целых чисел, каждое из которых больше единицы. Для
произвольного целого положительного числа М последовательным
делением получаем:
М = х0 + М0а0У где *0€{0, 1, ..., я0— 1} ^
и М0—неотрицательное целое число;
Мо^^ + Мд, где ^€{0, 1, ..., аг — \) I
и Мг—неотрицательное целое число;
М1 = х2 + М2а2, где *а€{0, 1, ...,а8 —1} 1
и М2— неотрицательное целое^число; | (*)
^-1=^ + % где *л€{0, 1, . ..,аА—1}
и Мк—неотрицательное целое число;
/
Последовательность {Мк\ строго убывает, пока ее элементы
остаются строго положительными и потому существует
наименьшее целое т такое, что Мт = 0; определяя М^—х^ мы во всех
случаях получаем 0фМт^1=хтУ и
М=х0 + х±а0 4- х2а0аг + ... + ^а^ ... ат _х. B)
Нетрудно убедиться, что всякое положительное целое число
может быть записано в точности единственным образом в виде
суммы формы B). Таким образом, мы имеем взаимно
однозначное соответствие между множеством всех неотрицательных
целых чисел и множеством всех последовательностей (х0, хг,
х2, ...,*,, ...) таких, что ^6{0, 1, ..., а/в1} для любого /=0,
1, 2, . .., причем только конечное число из х1 отлично от нуля.
Проведем то же построение для другого положительного
целого числа Ы:
М=у0 + Ы0а0У Ы0^=у1 + М1а1У М1=у2 + Ы2а2, ..., АГя.1=уя, C)
где все N; и у; удовлетворяют тем же условиям, что и в A).
Тогда
N =Уо + У^о + У2^о^1+ . • • +Упа*а1 • • . ап_г. D)

142 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Аналогично, для числа М-\-Ы получаем
М+Ы = г0 + Р„а0, Р^г. + Р^, Р,=г2 + Р2а2, ...,рр_1=гр,
E)
И
М + Ы = г0 + г1а0 + г%а0а1+ .. . +г^ах . . . ар_±. F)
Очевидно, зная числа х]- и у]у можно найти числа г;-. Выпишем
эту связь явным образом. Из A), C) и E) имеем М + N =
= *о + ^о^о = *о + У о + (М0 + Л^0) а0У и потому х0 + у0 =
= (Р0—М0—Ы0)а0 + г0 = {0а0 + г0. Очевидно, г0 есть наименьший
неотрицательный вычет х0 + у0 по модулю а0, и таким образом
число 10 = Р0—М0—Л/^ определено прямо по х0 и у0. Снова
используя A), C) и E), мы имеем Р0=г1 + Р1а1 = {0 + М0 + М0 =
= ^ + х1 + у1 + (М1 + Ы1)а1У и потому х1+у1 + {0=г1 + (Р1 —
— Мг—М-^) а1=г1-\-11а1. Значит, гг есть наименьший
неотрицательный вычет числа х1 + у1-\-{0 по модулю а1У и тем самым
определено число {1=Р1—-М1—Ы1 через х0У х1У у0 и уг.
Продолжаем построение, пользуясь индукцией; предположим,
что мы уже нашли х0+у0 = 10а0-\-г0У х1+у1 + {0 = {1а1 + г1, ...
..., хк~\-ук-\-1к_1~1как-^-гкУ где г;. есть наименьший
неотрицательный вычет числа -*:у.-|-#/ + ^/-1 по модулю а;- (] =0, 1, ..., к;
/_! = 0), а /;- = Ру— Л1у— Л/у (/ = 0, 1, ...,&). Тогда мы получаем
гА+1 + Рк+1ак+1 = Рк = 1к + АГ* + Ык = /Л + хЛ+1 + *//г+1 + (Л1Л+1 +
+ Мк+1) ак+1; значит, ^+1 +ук+1 + 1к= гк+1 + (Рл+1 — Мк+1 —
—Мк+1)ак+1=гк+1+{к+1ак+1. Поскольку гк+1€\0, 1, . ..,ал+1—1},
индукция завершена.
Итак, сложение в полугруппе неотрицательных целых чисел
может быть перенесено на множество последовательностей
(л:0, х1У х2У ...) [0^х„ < ап для всех п к хп~0 для достаточно
больших п] без ссылок на соответствие, указанное в B). Именно,
если (х0Ух1У х2У ..., хтУ 0, 0, ...) и (у0Уу1У у2У ...уупУ0у0у . ..)—
две такие последовательности, мы определим их сумму по
следующему правилу. Запишем х0-}Гу^ = 10а()-\-г^у где г06{0, 1, ...
..., а0—1} и 1ц—целое число. Далее, пусть х1 + у1 + 10 = 11а1+г1У
где гх ^{0, 1, ..., а±— 1} и 1г — целое число. Если числа г0,
г1У ..., гк_х и @У 11У ..., 1к_г уже определены, пусть хк + ук +
+ *к-1 = *как + гкУ где гк$]0у 1, ...,аЛ—1} и /Л—целое число.
Тем самым определены последовательности (^0, 11У /2, ...) и
(г0, ?!, г2, ...); заметим, что каждое 1к есть либо 0, либо 1.
Ясно, что наибольшее целое число р такое, что грФ0, есть
тах (т, п) или тах (т, п)+ 1. Положим теперь (х0, *х, х2, ..., *Л,
0, 0, ...) + {у0, уХу у29 •••, #«> 0, 0, . ..) = (г0, 2ГХ, *а, ..., 2,0,
0, ...).
Элементарный анализ только что приведенного определения
сложения показывает, что требование наличия лишь конечного

ф 10. Некоторые специальные группы
143
числа ненулевых элементов в каждой последовательности здесь
несущественно. Нетрудно также заметить, что определение можно
перенести на бесконечные в обе стороны последовательности
вида (..., х_п9 хг_п, ..., х_2, х_1У х0, х1У х2, ...), если только
хк = 0 при 1г^п0, где п0—число, зависящее от данной
последовательности. Дадим теперь формальное определение.
A0.2) Определение. Пусть а—некоторая произвольная, но
фиксированная двойная последовательность целых чисел,
больших 1:
(I = у . . . , а_п, а±^П) и2 _п, - • . , #_2» ^ — 1» ^0» ^1» ^2» * • • » 2» * * * /'
Рассмотрим декартово произведение Р {0, 1, 2, ..., ап„х\. Пусть
пег
йа — множество всех тех х = (хп) в этом произведении, для
которых хп = 0 при п^.п0, где число п0 зависит от х. Определим
теперь сумму х+у элементов х ку=(уп) в йа. Предположим,
ЧТО Хто ф 0 И Хп = 0 При П < /710 И ЧТО Упоф0 И #„ = 0 При /1 < П0.
Положим 2„ = 0 при /г<р0=пш1 (т0, /г0). Пусть хРо + уРо =
= *РоаРо+гРо> ГДО гРое{0, 1, ..., аРо —1|, а гРо— целое.
Продолжая этот процесс, предположим, что числа гРо, гРо+\9 ...9гк
и 1Ро, 1Ро+\ 1к уже определены. Тогда пусть хк+1 + ук+1 + 1к =
= <л+1«*+1 + гЛ+1, где 2А+1€{0, 1, .••.Д*+1—1}. а число ^Л+1 —
целое. Тем самым по индукции определена последовательность
я = Bл)€йа, К0Т0РУЮ мы и назовем суммой х+у элементов
х и у. Чтобы завершить определение сложения в йа, положим
И-\-х=х-\-Ъ=х для каждого дг(Е^а, где 0 есть
последовательность в &ау состоящая только из нулей. Подмножество в йа,
состоящее из всех дг, для которых хп = 0 для п < 0, будет
обозначаться ДЛ.
Множество йа с операцией сложения, определенной выше,
будет называться множеством а-адических чисел. Множество
Аа с той же операцией будет называться множеством
а-адических целых чисел. Если все элементы ап последовательности а
суть одно и то же г > 1, мы будем писать йг и Аг вместо йа
и Аа, и называть соответствующие объекты г-адическими числами
и г-адическими целыми числами соответственно. Когда мы
рассматриваем только множество Аа само по себе, обычно нет
необходимости рассматривать отрицательные индексы пу и
поэтому мы сохраняем за собой возможность записывать элементы
из Аа в виде х = (х0У х1У х2У ...), игнорируя члены ап при п < 0.
A0.3) Теорема. Относительно операции сложения,
определенной в A0.2), множество 0>а является абелевой группой,
содержащей Аа в качестве подгруппы. Группа Аа содержит подгруппу,
изоморфную группе 2.

144 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Доказательство. Очевидно, 0 + х=х для любого х 6 &а и
х + у ~у+х для любых х, у€&а- Найдем теперь обратный
элемент к элементу х^Иа, отличному от 0. Предположим, что
хт отлично от нуля, и хп=0 при п<т. Определим элементу
в Йа по следующему правилу: уп = 0 при п < т\ ут=ат—хт\
Уп=о>п~.хп—1 ПРИ я>т. Очевидно, х+у = Ъ.
Чтобы завершить доказательство того, что 0,а есть абелева
группа, нам нужно только проверить ассоциативность. Пусть
х, у, г—любые элементы из Йа , а т—наименьшее целое число,
для которого хт или упп или гт отлично от нуля. Тогда
очевидно, последовательности (х-\-у) + г и х-\-(у+г) в п-и члене
равны, и равны 0, для всех п < т. Рассмотрим теперь
множество 1>т всех элементов и€.0*а, таких, что ип = 0 при п < т,
причем только конечное число из ип отличны от нуля. По A0.1)
отображение и \-> ит -\- ит+1ат + ит+2атам+1 -{-... является
изоморфизмом Ът на некоторую аддитивную полугруппу
неотрицательных чисел. Следовательно, ассоциативный закон должен
выполняться и в 2/л, поскольку сложение целых чисел
ассоциативно. Вернемся теперь к произвольным дг, у и #.
Рассмотрим любой фиксированный индекс р^т и «проштрихованные»
элементы х*, у', г' такие, что х'п = хп при я^р и х'п = 0 при
п > р, а у' и г' определяются аналогично. Тогда (х'+у') + %' =
= х' ~\-{уг -\-г'), поскольку х', у' и г' принадлежат 2Л. В р-ы
члене последовательности {х' ~\-у') + г' и (х+у) + г, очевидно,
совпадают; аналогичное замечание применимо и к
последовательностям х' + (у' +г') и х + (у + г). Это доказывает
ассоциативный закон вйаи тем самым завершает доказательство того,
что йа есть абелева группа.
Из предыдущего с очевидностью вытекает, что Да есть
подгруппа в &а: если лг, у €&а и хп=уп = 0 при п < 0, то и
у последовательности х+у члены с отрицательными индексами
равны нулю; то же самое верно для последовательности—х.
Пусть и € Аа—такой элемент, что ип = 0 при п < 0, и0 = 1 и ип = 0
при п > 0. Тогда {0, #, 2#, ..., ки, ...}—подполугруппа в Да,
изоморфная аддитивной полугруппе неотрицательных целых
чисел, и потому Ад содержит подгруппу {0, ±#,± 2а, ..., ±ки, ...},
изоморфную 2,. [Конечно, каждый элемент из йа бесконечного
порядка порождает подгруппу, изоморфную группе 2.] []
Как и следовало ожидать, группы &а и Аа являются
топологическими группами относительно подходящим образом
выбранной топологии.
A0.4) Определение. Для каждого целого числа к пусть Л/,
есть множество всех таких лг(Е^а, что хп=0 для всех п </г.
Для различных элементов х, у€&а пусть а(дт, у) ^2"/л, где

$ 10. Некоторые специальные группы
145
т — наименьшее целое число, для которого хтФут. Наконец,
ДЛЯ ЛЮбоГО Х^&а ПуСТЬ О (ЛГ, X) =0.
A0.5) Теорема. Множества ..., Л_л, ..., Л_2, А_х, Л0, Лх
Л2, Л3, ..., Л/е, ... удовлетворяют условиям D.51) — D.5у).
Следовательноу они определяют топологию на 0>а по D.5)
относительно которой 0,а является топологической группой. В этой
топологии группа Иа хаусдорфова, локально компактна, о-компактна
и нульмерна. Множества Л/г являются компактными подгруппами
в Йа. (Заметим, что Л0=Аа.) Функция а является
инвариантной метрикой на йа, совместимой с топологией на 0,а-
-Доказательство. Очевидно, множества Л;, являются
подгруппами в йа, так что условия D.51), D.5Н) и D.5111) тривиально
выполняются. Поскольку группа йа абелева, условие D.51У)
также выполнено, а D.5у) очевидно. Конечно, 0 ^ Ак для любого к,
так что можно применить теорему D.5) и Иа есть
топологическая группа, в которой множества х-\-Ак образуют открытую
базу. (Заметим, что это—частный случай утверждения D.21а).)
00
Поскольку П Л;, ^{0}, группа Йя хаусдорфова D.8).
Если забыть об операции, множество Л/, можно рассматри-
со
вать как полное декартово произведение Р {0, 1, ..., ат—1}.
п—к
Для х^Ак и / > к множество х + А1 состоит из всех
элементов вида (..., 0, ..., 0{к_1)у хк, хк+1, ..., хь_х, гь, г1+1, ...)
в Йа, где гу —произвольный элемент из @, 1, . ..,ау-— 1) для
каждого / = /, / + 1, ... Это показывает, что относительная
топология на Ак как подпространстве в &а есть тихоновская
00
топология произведения на Р {0, 1, ..., ап—\\. Она компактна
п — к
и потому открытые подгруппы Ак компактны и замкнуты.
Следовательно, группа &а локально компактна и нульмерна.
Множество А всех таких лг^^а, что хп = 0 при /г>0,
конечно, является счетным. Из 0ьа = А+А0= I) (х + А0)
слейте л
дует теперь сг-компактность множества йа.
Остается проверить наше утверждение относительно
функции а. Очевидно, о(х, у)=в(у, х) и в(х,у)>0 при хфу.
Чтобы проверить равенство
о(х + г9.у + г) = о(х,у), A)
достаточно рассмотреть случай, когда хтфут и хп = уп для
всех п<т. Применяя A0.2), мы можем написать
Хщ ~Т~ ^т Г Ст — 1 ~"~ ^ггг^т \ ^ т " Ут Г *¦ т ~ Г ^ т — 1 Т== ^пг^гп Г ^т»

146 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
где ут, ^€{0, 1,..., ат— 1}, а 1т_г, 1т, Гт— некоторые целые
числа. Если ьт = &т, то мы имели бы хт = ут(тойат), что
невозможно. Следовательно, метрика о инвариантна.
Функция о удовлетворяет более сильному неравенству, чем
обычное неравенство треугольника:
в(х+у, 0Хтах{а(*, 0), о (у, 0)}. B)
Чтобы доказать его, рассмотрим произвольные, отличные от
0 элементы хну (если хотя бы один из них есть 0, то B)
тривиально), и пусть р и ц—наименьшие индексы, для
которых хрФ0 и учф0 соответственно. Если рфц, то
наименьший индекс, для которого элемент последовательности х+у
отличен от нуля, есть ппп(р, ^)> так что в этом случае
в(х+у, 0) = 2-т1п^^ = тахB-^, 2"«). Если же р = ?, то
наименьший индекс г, для которого элемент
последовательности х-\-у отличен от нуля, может не существовать или может
быть числом, большим или равным р. Таким образом, мы имеем
в(х+у, 0) = 0 или о(х+у, 0)=2'г<2-^. Тем самым B)
проверено. Из A) и B), конечно, следует и обычное
неравенство треугольника для а.
Наконец, чтобы показать, что метрика о совместима с
топологией на группе йа, нужно только заметить, что ЛЛ = {х 6 Йа: а (лг,
0)<2-*+1} для любого к$2. ?
A0.6) Замечание. Все группы Ак компактны и монотетичны.
Пусть а€Ак—такой элемент, что ип = 0 при пфк и ик=\.
Тогда, очевидно, множество {Ш}^ плотно в Ак. Множество
{1и\Т~-оо тем более плотно в Л*.
A0.7) Описанная процедура построения операции сложения
в йя, превращающая &а в абелеву группу, приводит к мысли
о возможности введения в 0>а естественного умножения, которое
можно было бы интерпретировать как обычное умножение
рациональных чисел для тех элементов из &а> которые имеют
лишь конечное число ненулевых элементов.
Несложно описать это умножение в Аа для произвольной
последовательности а=(а0, а19 а2, ...). В этом абзаце мы будем
записывать элементы в Аа как последовательности х =
= (х0У х19 х29 ...). Обозначим через а последовательность
A, 0, 0, . ..)€Д*. Для любых /, V $1 пусть (Ш){Ги)
обозначает (IV) и. Легко проверить, что мы получаем таким
образом умножение чисел в подмножестве {1а: 1€%\ в Аа. Таким
образом, отображение 1—+Ш является изоморфизмом
относительно обоих операций—сложения и умножения. Чтобы
определить ху для произвольных дг, у€&а, мы «обрежем» х и у.
Для каждого неотрицательного целого т пусть х{т) есть такой

^ 10. Некоторые специальные группы
147
элемент (л^т)) в Ая, что х(,?1) = хп при п^т и х(™> = 0 при
п> т. Аналогично определим у{т). Тогда х{т)у{т) уже
определено для каждого т = 0, 1, 2, ... Положим теперь ху =
= Нт х{т)уш). Можно доказать, что этот предел существует и
т->оо
определяет ассоциативную, коммутативную и дистрибутивную
операцию в Аа. Далее, отображение (лг, ^у) —^лг^у произведения
АахАа на Аа непрерывно. Таким образом, Аа есть
компактное топологическое кольцо1).
A0.8) Мы теперь рассмотрим проблему определения
естественного умножения в более широких группах йа. Здесь удобно
ограничиться рассмотрением случая, когда все ап равны: иначе
говоря, мы рассматриваем только группы &г для любого целого
г > 1. Как и в случае сложения в &а, мы определим
умножение в йг как продолжение обычного умножения. Рассмотрим
любое положительное рациональное число х, знаменатель
которого есть степень г:
х = х1г* + х1+1г*+1+...+хаг», A)
где /<!т, / и т—целые числа, а все х^ принадлежат
множеству {0, 1, ..., г—1}. Если мы еще потребуем, чтобы
хгФ0 и хтФ0, то такое представление единственно. Пусть
У = УзГ* + У*+1Г8+1+ . -. +Угг*
— другое рациональное число такого же типа; тогда
произведение ху имеет вид г1+8г1+* + г1+8+1г1+3+1 + .. . +гига.
(Заметим, что, возможно, г1+8 = 0.) Как и в A0.1), мы можем
вычислить числа 2} прямо по числам х^ и у, по следующему правилу.
Запишем х1у8 = ю1+8г + г1+8, где г1+8€{0, 1, ..., г— 1}, а V^+8—
некоторое целое число. Далее, пусть х1+1у8-\-х1у8+1 + ь1+8 =
= ^1+5+1'' + 2|+5 + 1, где г/+5+16{0, ..., г—\) и г;/+5+1
—некоторое целое. Продолжая предшествующее рассуждение по
индукции, мы видим, что произведение двух рациональных чисел
вида A) может быть вычислено прямо по числам х;- и у!. Это
и приводит нас к определению умножения &г.
A0.9) Определение. Пусть лг, у€&г- Если х = 0 или ^ = 0,
положим ху = 0. Если ни ху ни^у не есть 0, найдутся такие / и
5, что хь Ф 0 и хп = 0 при п < /, у8 Ф 0, и уп = 0 при п < 5.
Определим элемент г (Е йг по следующему правилу. При п < / + 5
полагаем гп = 0. Пусть х1у8 = ю1+8г + г1+8 ,гдег/+5е{0, 1, . ..,/•—!}
х) Топологическое кольцо А есть кольцо, снабженное топологией, такое,
что все три операции (сложение, инверсия относительно сложения,
умножение) непрерывны. Топологическое поле Р есть поле, являющееся топологическим
кольцом, для которого операция х—^л;-1 на /^{О}' есть гомеоморфизм.

148 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
и Щ+з — Целое. Если числа V^+3, V^+3+1^ . .., 0/ + 5+А-1 и
г1+3, г1+8+1, ..., г1+3+к_± уже определены, то пишем х1+ку3+
где ^м-^+лб {0, 1, .¦., г—1}, а V^+3.^_к—целое. Тем самым числа
г„ по индукции определены для всех п^1-\-$. Элемент г и
называем произведением ху.
A0.10) Теорема. Относительно сложения A0.2) и
умножения A0.9) &г есть коммутативное кольцо с единицей. Кольцо Йг
имеет делители нуля тогда и только тогда, когда г не есть
степень простого числа. Оно является полем г) тогда и только
тогда, когда г есть степень простого числа.
Доказательство. Ввиду теоремы A0.3), где мы доказали, что
&г есть абелева группа, для доказательства того, что 0,г есть
коммутативное кольцо, достаточно проверить тождества ху =
= ух9 х(уг) = (ху)г и х(у-\-г) = ху + хг(х9 у, #6ЙГ). Но
они очевидны, если в х, у, г только конечное число ненулевых
членов, поскольку в этом случае наше умножение совпадает
с обычным умножением неотрицательных рациональных чисел. Эти
равенства могут быть проверены и для произвольных элементов в
&г рассуждениями, аналогичными примененным в доказательстве
теоремы A0.3) при проверке закона ассоциативности; детали
мы предоставляем читателю. Элемент и б йг, для которого ип = б0/2
(дельта-символ Кронекера), очевидно, является
мультипликативной единицей в Йг.
Пусть г—положительное целое число, не являющееся
степенью простого числа; тогда г можно записать в виде
произведения аЪ9 где а и Ъ—целые числа, большие 1, и (а, 6)=12).
Тогда в кольце 0>г много делителей нуля. Приведем один
пример. Пусть хп = 0 при п < 0, х0 = а и уп = 0 при п < 0, у0 = Ь.
Пусть х19 у± и их выбраны так, что 0^я1<г, 0<^т<г, и±—
целое и х1Ь-\-у1а-\-\=и1г; такие х19 ух и иг можно найти,
поскольку (а, Ь)=1. Если х19 ..., хп9 у1У . .., уп и и19 ..., ип
уже выбраны, определим хп+19 уп + 1 и ипЛ.1 равенством хп+1Ь +
+ Уп+1аЛ-хпУ\Л- ••• +х1Уп-\-ип = ип + гг- Тем самым л: и у
определены по индукции, и, очевидно, ху = 0.
Пусть теперь р—простое число, и а—положительное целое
число. Чтобы доказать, что йра есть поле, нам нужно только
проверить, что любой ненулевой элемент х в Йра имеет
обратный у по отношению к умножению. Предположим, что хьФ0
и что хп = 0 при п < /.
г) Поле ^р обычно называется полем р-адических чисел.
2) Символ (а, Ъ)у как обычно, означает наибольший общий делитель
чисел а и Ь,

5 10. Некоторые специальные группы 149
Если (х19 р)=1, определим элемент у€&ра по следующему
правилу. При п< — 1 положим уп=-0. Пусть ^ —
(единственное) целое число такое, что у^ьх1^-Л+у0ра, гДе */-*€{1, 2, .. .
...,ра—1} нюц—неотрицательное целое. Предположим, что у_п
У-1+1, ¦.-, У-1+ь-1 и V** 01 > •••> ^-1 Уже определены.
Определим #./+Л как единственное целое, для которого
У-1+Л + У-1+Л-Л+1+ • • • +У-Л+* + 0А-1 = 0*Ра.
где */-/+&€ {О, 1, 2, ..., ра— 1}, а ^—неотрицательное целое
число. Тем самым элемент у определен для любого п^ — /.
Из определения A0.9) с очевидностью следует, что ху = и.
Пусть теперь (х1У р)> 1, так что хг = рН\у где (х\, р) = 1 и
1^Р<а. Пусть элемент *ио€.&ра определен по правилу шЛ=
= ра-$80п (п<^2) и пусть г^чюх. Тогда, очевидно, гп = 0 при
п < /. Имеем, далее, ра"^хь = рах\ = ^ра + ^, так что гь = 0 и
*! = */. Для вычисления г/+1 имеем ра~рл:/+1 + /г = ра~^+1 + Х/=:
= '/+1Ра + 2г+1- Отсюда следует, что г1+1^=0 и что (г/+1, р) = 1.
Следовательно, элемент я^Ц?05 удовлетворяет условию
предыдущего случая и поэтому допускает мультипликативный
обратный элемент я. Иначе говоря, мы имеем и = 2г~1 = х{%Ю2~1),
так что х также имеет мультипликативный обратный1). []
A0.11) Теорема. Отображение (лг, у)—> ху является
непрерывным отображением 0,гх&г на 0,г. Поэтому йг—локально
компактное кольцо. Если г = ра' есть степень простого числа р,
то отображение х—>х~х является гомеоморфизмом ^раП{0}'
на себя. Таким образом, йр«—локально компактное поле.
Доказательство. Пусть Ак—любая окрестность нуля,
определенная по A0.4). Пусть, далее, с и й—любые элементы из йг.
Если с =^ 0, то пусть 5—наименьшее целое число, для которого
с8Ф§; если с = 0, пусть з^О. Если йфО, пусть / —
наименьшее целое число, для которого йгФО\ если ^^0, то * = 0.
Пусть, наконец, / = тах(&—5, к — /, 5). Тогда, если х — с^А,
и у—с1^А1У то ху—сй = х(у—A)-\-(х—с)A€Ак. Тем самым
непрерывность отображения (лг, у)—+ху доказана.
Предположим теперь, что г = рау где р — простое число. Для
любого ненулевого элемента с^О>ра. пусть 5—наименьшее целое
число, для которого с8ФО. Пусть Л^—любая окрестность нуля,
как в A0.4), и &>|$|. Если (с8, р) = 1, то обратный элемент
а^С'1 имеет вид (..., 0, ..., 0, к_ЗУ й-8+г, ...), где й_8Ф0у
как было показано в доказательстве теоремы A0.10). Если
х—с^Ак+28, правило, приведенное в доказательстве A0.10) для
вычисления обратного элемента, показывает, что х—с~1^Акя
г) Последнее утверждение этой теоремы при а > 1 и его доказательство
были нам любезно указаны Дж. Мичеловым (Латез Мкпе1о\у).

150 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
Если (с$у ра) = р& и 1 <р <а, то, как и в доказательстве A0.10),
мы определяем <ш по правилу о>л = ра~р60л и пишем х = 1ЮС-
Элемент г имеет вид (..., 0, ..., 0, г3+1У г3+21 ...), где
^+1=^=0 и B*+1, Р) = 1- Пусть к—целое, большее чем |5+1|.
Предположим, что х—с €Лй+ш+1). Тогда чюх—юс^гих
Х^+2E+1)сЛН2(^+1). Предыдущий случай показывает, что
AЮХ) — (гюс) (ЕЛЛ. Следовательно, л:"—^ = ^ [(геи:) —
— (ешс)~1'\ 6^Л/2с:Л/г. Тем самым непрерывность инверсии
доказана. Поскольку (лг)~1 = лг, отображение х'1 —>х также
непрерывно. []
Группы Аа полезны при построении разного типа примеров
компактных связных групп.
A0.12) Определение. Рассмотрим локально компактную
абелеву группу Кх&а, записываемую аддитивно, где а =
= (а0, а1У а2, ...)—любая последовательность целых чисел,
каждое из которых больше 1. Пусть и=(ип) = Aу 0, 0, ..., 0, ...),
а В—подгруппа \(пу пи))^-^ в ЯхАа. Факторгруппу 2а =
= (#хДа)/5 мы называем а-адическим соленоидом.
A0.13) Теорема. Группа 2а является компактной связной абе-
левой группой у содержащей непрерывный гомоморфный образ
группы Я в качестве плотной подгруппы.
Доказательство. Легко проверить, что В есть бесконечная
циклическая дискретная подгруппа в /?хАя и потому замкнутая
подгруппа E.10). Таким образом, 2а есть Го-группа E.21) и
локально компактная группа. Поскольку группа КхАа абе-
лева, то и 2а абелева.
Пусть <р: КхАа—+ 2а — естественный гомоморфизм. Тогда
Ф(#Х{0}) = {A, 0) + 5: %€%} является подгруппой в 2а. Если
ЛёЯ и т—любое целое число, то (т|, ти) + В = (г\—ту 0) + В
лежит вф(#х{0}). Таким образом, имеем: {(т], ти) + В: ц^Н,
т ^ 2\ = ф (# х {0}); это равенство вместе с тем фактом, что
множество \ти: т^Ъ) плотно в Аа, показывают, что множество
ф(#Х{0}) плотно в 2а. Если лг = A, 0, 1, 0, 1, 0, ...), то
@, лг) + 5^ф (#х{0|), так что ф(#Х{0}) является собственной
подгруппой в 2а. Поскольку группа /?х{0} гомеоморфна
группе К, то ее непрерывный образ ф(#Х{0}) связен и его
замыкание 2а также связно.
Чтобы показать компактность 2в, применяем теорему (9.1).
Предположим, что непрерывный гомоморфизм, установленный
выше, группы /?х{0} в 2в-является топологическим
изоморфизмом. Тогда, по теореме E.11), группа ср (/? у Щ) является
замкнутой подгруппой в 2а. Это противоречит тому, что ф(/?х{0})
есть собственное плотное подмножество в 2а. Следовательно,

$ 10, Некоторые специальные группы
151
из теоремы (9.1) вытекает, что группа ср(#х{0}) = 2«
компактна. []
A0.14) Группы #хЛа и 2а показывают, что условия
следствия G.13) существенны. Поскольку группа Т*а связна, компонента
единицы в 2а есть вся группа Ба. Компонента единицы в /?хЛа,
очевидно, есть /?х{0}. Поскольку группа ф(^х{0}) есть
собственная подгруппа в 2а, заключение следствия G.13)
несправедливо для /?хЛа, 2а и отображения ср. Заметим, что ядро
гомоморфизма ср есть 5, но ни В не содержится в /?х{0}, ни
#х{0} не содержится в В. Поэтому условия следствия G.13)
нарушены в настоящем примере. Заметим, однако, что теорема
G.12) для настоящего примера выполнена.
Группа 2а может быть реализована совершенно конкретным
путем.
A0.15) Теорема. Рассмотрим множество [0, \)хАасо
следующей бинарной операцией +:
@ A,х) + (чУу)=а + ч-[Ъ + г]Ъх+у-[Ъ + г\]и);
а определяется, как в A0.12). Для каждого п—\, 2, ... положим
(II) <УЯ = {(&,*)€[<>, 1)ХАЛ: 0<^< 1 и х0 = ... =хп^ =о|
1IA, х)€[09 1)хА«: 1-~<1< 1 их0 = 1, хг= ... =^^ = 01=
Относительно операции + и окрестностей Цп, взятых в
качестве открытой базы в точке @, 0), множество [0, 1)хАл является
топологической группой, топологически изоморфной группе 2а.
^ Доказательство. Каждый класс смежности E, дг)+ 5 ^2а
содержит элемент (!•—[|], лг—[Я я). Другими словами, класс
(^, лг) + # содержит элемент из [0, 1)хАа. Предположим, что
элементы (|, х) и (ч, У) из [0, 1)хАа принадлежат к одному
и тому же классу смежности по В. Тогда (|—т|, х—у) = (п, пи)
для некоторого целого п. Отсюда следует, что п = 0, так что
(|, х) = (ц, у). Таким образом, каждый класс смежности
(^, х) + В содержит в точности один элемент из [0, 1)хАа, и мы
получаем, очевидно, взаимно однозначное отображение 2а на
[0, 1)хАа. Определение @ операции сложения в [0, 1)хАа,
очевидно, то же самое, что и ((!¦, х) + В) + ((ц, у) + В) = (Ъ + ч\,
х+у) + В,
Открытая база в элементе В в Еа может быть получена
в виде {ф((—8, +г)хАк)\ для 0<е<1 и к = 1, 2, ...; это
было указано в E.15). Следовательно, <ср (( , — )хЛя) >
является открытой базой в В. Множество 0, — ] хАп отобра-

152 Гл. 2. Элементы теории топологических групп
жается на (/«\ а множество (— — , 0]хЛ„ — на (/{?>. Таким
образом, [0, 1)хД« со структурой, определенной A) и (И), есть
копия группы 2а. ?
Дополнительные теоремы и примеры
A0.16) (а) Единственные собственные замкнутые подгруппы
в 0>р для простого числа р суть подгруппы Ак, определенные
в A0.4). Пусть а=(.. .а.!, а0, а1э ...)—бесконечная в обе
стороны последовательность целых чисел, в которой не все
элементы равны одному и тому же простому числу. Тогда ЙЛ содержит
компактную открытую подгруппу //, отличную от любой
подгруппы Л/с.
[Пусть Н—собственная замкнутая подгруппа в й^. Докажем
сначала, что если Н содержит элемент ху для которого хп = 0 при
п<к и хкфОу то АкаН. Достаточно доказать, что х
порождает плотную подгруппу в Ак. Рассмотрим произвольный
элемент у^Ак и его окрестность у + А19 где 1>к. Группа Ак1Аь
является конечной дискретной группой: она изоморфна
циклической группе 2(р1~к) при отображении х + А1\-^>хк+хк+1р + ...
. •. -\-х1^1р1~к. Отсюда видно, что х-\-Аь порождает всю группу
Ак1Аь. В частности, тх + А1=у-\-А1 для некоторого целого т,
и потому тх €у + Ас. Следовательно, {тх}т*—«> плотно в Ак
и АкаН. Поскольку Нф&р> существует наименьшее целое /,
для которого А^с:Н. Из сказанного следует сразу #с=Лу.
Рассмотрим теперь группу Йа, где аФ{..., р, р, р> ...) для
простого р. Предположим, что ак есть составное число для
некоторого целого к: ак = гз и г>1 и $>1—целые числа.
Рассмотрим элемент х, такой, что хк = г и хп = 0 при пфк,
и наименьшую замкнутую подгруппу Н в &а, содержащую лг.
3-1
Тогда Н= I! (]Х + Ак+1), так что Ак+1(^Н(^Ак. Предположим,
/=о ** **
наконец, что все ап просты. Выберем к так, что акФак+1. Числа
ак и ак+1 взаимно просты. Следовательно, существует целое т,
для которого 0^т<ак+1 и акт +1 = 0 (тос1аЛ+1). Возьмем
такой элемент лг, что хк=1, хк+1~т и #„ = 0 для всех
остальных л €2. Легко видеть, что акх^Ак+2. Следовательно, группа
Г в Лл/ЛА+2, порожденная х + Ак+2, содержит самое большее
ак элементов. Конечно, группа Ак1А^+2 сама имеет акак+г
элементов, и потому Г является собственной подгруппой в Л/г/Л/г+2.
ак~Л
Отсюда вытекает, что Н = [) (]'х + Ак+2) является компактной
/=о
открытой подгруппой вйаи собственной подгруппой в Ак. По-

$ 10. Некоторые специальные группы
153
скольку х^Н, но х^Ак+19 мы получаем, что НФА,/пп при
каком п.]
(Ь) Некоторые группы &а содержат собственные замкнутые
подгруппы, не являющиеся открытыми. [Например, определим
а по правилу ап — 2 при /г^1 и ап = 3 при я>2и элемент
х по правилу хп = 0 при п^О и хп = \ при п^ 1. Тогда {0, д:}
есть замкнутая подгруппа в 62а, поскольку х + х = 0.]
(с) Никакая подгруппа в 0,а не является компактно
порожденной, хотя каждый элемент в йд компактен; см.
определение (9.9).
Замечания. Конструкции групп йа и Да восходят по существу
к Хенселю [1], который явно построил 0,г и Дг. Более общая
конструкция, чем 0>а и Да, была дана Прюфером [1] в виде,
несколько отличающемся от приведенного в тексте. Фон
Нейман [1] привел конструкцию Прюфера к форме, близкой к
рассматривавшейся нами. Ван Данциг [4] изучал обобщения
конструкции Да и в работе [5] привел много фактов относительно
Аа для а = B, 3, 4, ...). В работе ван Данцига [1] содержится
определение группы 2а для а = (п, п, п, ...), а общее
определение 2« содержится в работе ван Данцига [6], стр. 419.

Глава 3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Гармонический анализ на локально компактных группах
есть изучение специальных функциональных пространств,
алгебр и мер, определенных на данной группе. Эти
пространства выделяются обычно условиями типа измеримости или
интегрируемости, и их изучение требует тонкой техники,
развитой в теории меры и теории интегрирования. Так,
фундаментальная теорема теории представлений локально компактных
групп (§ 22) целиком построена на изучении некоторого
пространства функций, интегрируемых с квадратом. Теория меры
и интегрирования поэтому играет жизненно важную роль
в нашей книге.
В современной литературе имеется много курсов теории
интегрирования, но ни один из них не подходит в точности
для наших целей. Сама по себе теория интегрирования не
является нашей темой, но мы должны быть уверены, что теоремы
из теории интегрирования, на которых основаны все
последующие рассуждения, остаются справедливыми и в очень общей
ситуации локально компактной группы. Нам придется поэтому
в нашей ситуации провести основные построения и доказать
теоремы теории интегрирования, необходимые для дальнейшего.
Мы надеемся также, что настоящая глава может оказаться
полезной студентам в качестве краткого введения в теорию
интегрирования.
Мы будем предполагать известными начальные сведения из
теории мер и теории интегрирования. За справками можно
обращаться, например, в книгам Сакса [1], главы I—III, и
Халмоша [2], главы I—V.
§11. Продолжение линейного функционала
и конструкция меры
В целях полноты напомним некоторые основные определения
и факты.
A1.1) Обозначения и терминология. Пусть У —непустое
множество. Непустое семейство 9* подмножеств в У называется

§11. Продолжение функционала и конструкция меры 155
кольцом (или кольцом множеств), если А{]В^^ и А(]ВГ^3
для любых Л, В^З. Если У <^&\ то кольцо & называется
алгеброй (или алгеброй множеств). Кольцо [алгебра] 3 назы-
вается о-кольцом [а-алгеброй], если {) Аи^оУ для любых
Ак€&, 6=1,2, ..., п.
Пусть У—топологическое пространство, б—семейство всех
его открытых подмножеств, а 9*—семейство его открытых
подмножеств вида {у^У: /Ч#) > 0}, где / — некоторая непрерывная
вещественнозначная функция на У. Наименьшая а-алгебра,
содержащая 6, называется семейством борелевских множеств,
а наименьшая <т-алгебра, содержащая^,—семейством бэровских
множеств в У. Заметим, что в случае нормального
пространства У семейство 3* состоит из тех открытых множеств,
которые являются счетными суммами замкнутых1).
Конечно-аддитивная мера \у, есть функция со значениями
в пополненном луче [0, оо], определенная на некотором кольце
3 подмножеств непустого множества У', для которой
0) ,1@) = 0;
(и) и ( [} Ак )= 2 ^(Ак) Для любых попарно не
пересечь 1 ¦¦/ к=\
кающихся А19 Л2, ..., Ап^^.
Если условие (Л) можно заменить более сильным:
,00 ч °°
AИ) |х( II Ак ) = 2 Iх (А к) для любых попарно не пересе-
\/г=1 / к=\
СО
кающихся Ак€о? с II Ак^3,
к=\
то (х называется счетно-аддитивной мерой или просто мерой.
Комплекснозначная функция [х, удовлетворяющая условиям A)
и A11), называется комплексной мерой, если ряд в условии A11)
сходится абсолютно.
Пусть на кольце еР подмножеств множества У зафиксирована
неотрицательная функция (х; подмножество АаУ называется
00
^-конечным, если А= II Ак, где Ак€3 и а(Ак) < оо.
к=\
Пусть 3—некоторое кольцо подмножеств в У. Функция /
на У со значениями в расширенной прямой [—оо, + <х>]
называется &-измеримой, если множество \х$У: /(*)>«}
принадлежит & для любого а^Я. Комплекснозначная функция / на У
3-измерима, если е^-измеримы ее вещественная и мнимая части.
х) Заметим, что приведенные определения борелевских и бэровских
множеств отличаются от соответствующих определений в книге Халмоша [2],
стр. 214—215. Эти определения приспособлены к нашей конструкции меры,
несколько отличающейся от конструкции Халмоша.

156 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
В случае, когда У—топологическое пространство и 3* есть
кольцо борелевских [или бэровских] его подмножеств, мы будем
говорить об измеримых по Борелю [по Бэру] функциях.
Пусть [х — мера на е/\ и /—любая функция на У со
значениями в [0, оо]. Тогда интеграл Лебега ^ / (х) Ар (х) Гили,
короче, ^ /ф.1 определяется как
*ир{%[т1{Пх): х^Ак)}р{А}): {А1У ..., Ая\
есть разбиение У я Ак^3?\.
Если функция / на У принимает значения в [—оо, +оо],
выделим ее положительную часть /+=тах (/, 0) и
отрицательную часть /-= —гшп(/, 0) и, если хотя бы один из интегралов
^ /"* с1\1 и ^ /"" й\1 конечен, полагаем \ Iйр—^ ?+ с1\1 — ^ /~ с1\1х).
у у у у у
Для комплекснозначной функции / на 7 полагаем
У У У
где / = /1 + ^/2» если оба интеграла ^Дф и \!ч^ существуют
у у
и конечны.
A1.2) Определение. Пусть X—произвольное топологическое
пространство. Обозначим К(Х) множество всех ограниченных
непрерывных комплекснозначных функций на X, К0(Х) —
множество всех непрерывных комплекснозначных функций / на X
таких, что для любого &>0 существует компакт РаХ
(зависящий от / и е), для которого |/(*)|<е для всех х^Р'.
Обозначим, далее, К00(Х) множество всех непрерывных
комплекснозначных функций / на X, для которых существует такой
(зависящий от /) компакт РаХ, что }(х)^0 при х^Р';
компакт Р при этом называется компактным носителем функции /.
Наконец, для любого /€©(^0 положим ||/||в = 5ир{|/(х)|: х^Х\.
х) Здесь и дальше, имея дело с расширенной прямой [ — оо, + оо], мы
обычным образом распространяем на «числа» —оо и + оо отношения и
операции из /?. Именно, / < + оо, если /^/? или / =— оо; —оо < /, если 1^Я
или /=+оо; /+оо = оо+/=оо, если 1^Я или /=оо; ( — оо)+оо и
оо+ (—оо) не определяются; /—оо = —оо + / = —оо, если /(^/? или / = —оо;
/•00 = 00-/ = оо, если /^# и / > 0; 0- оо = оо -0 = 0.(— оо) = (— оо)-0 = 0;
/•оо = оо-/ = —оо, если /^/? и / < 0; аналогичны формулы для /•(—оо);
оо-оо=(—оо)-(—оо) = оо и (оо)-(—оо) = (—оо)-(оо) = —оо.

$ //. Продолжение функционала и конструкция меры 157
A1.3) Замечания. Очевидно, относительно поточечных
операций (/ + е) (х) = / (х) +8(х), (а/) (х) = а (/ (*)), © (X) есть
комплексное нормированное линейное пространство, &0(Х)—
его линейное подпространство, и (&00(Х)— линейное
подпространство пространства &0(Х). Элементарно проверяется полнота
пространств К(Х) и ©0(^) относительно метрики,
индуцированной нормой || ||й; иначе говоря, ©(X) и $0(Х) суть
комплексные банаховы пространства. Пространство ($00(Х), легко
видеть,— плотное линейное подпространство в &0(Х). Заметим,
наконец, что даже для весьма «обычных» пространств
пространство ©0(Х) может быть тривиальным, т. е. состоять только из
нуля. Однако, если X — непустое локально компактное хаусдор-
фово пространство, то в ©0(Х) всегда есть ненулевые функции.
Если X — компакт, то (&0(Х) совпадает с ©(X). Как мы уже
видели, всегда ©о0 (Х)с©0 (Х)е©(Х). Если X —непустое
локально компактное, некомпактное хаусдорфово пространство,
то ©о (Х)ф(Е(Х). Равенство ©00 (X) = &0 {X) может выполняться
даже для локально компактного, некомпактного нормального
пространства X. Но если О — локально компактная,
некомпактная группа, то ^@)ф^{0) [см. A1.43е)].
A1.4) Определение. Пусть У—непустое множество и %{У) —
некоторое линейное пространство комплекснозначных функций,
определенных на У. Через %г(У) будем обозначать множество
всех вещественнозначных функций из $(К), а через %+ (У) —
множество всех неотрицательных функций из %г (У). В частности,
если X—топологическое пространство, то ®+0 (X) есть
множество всех неотрицательных непрерывных функций на X, каждая
из которых имеет компактный носитель в X. Там, где это не
может вызвать разночтений, мы будем, как правило, писать
$, $', Г вместо $ (У), $'(У), %+(У).
При изложении теории интегрирования мы постоянно будем
иметь дело с некоторым непустым локально компактным хаус-
дорфовым пространством X, линейным пространством ©0о (X)
и некоторым комплексным линейным оператором I на ©00(Х),
который мы будем предполагать неотрицательным: I ([)^0 для
всех [$Щ0(Х). Будем считать также всюду, чтобы избежать
недоразумений, что функционал / нетривиален, т. е. не равен
тождественно нулю. Эти обозначения сохраняются
во всей третьей главе.
A1.5) Теорема. Для любого / 6 ®оо (X) имеем \ I (/) | < / (| / |).
Доказательство. Пусть / (/) = р ехр (Ш), где 0 < р < оо,
0<9<2я, и пусть ехр( — 10)/ = & + *&, где &, §2 €©о0. Тогда
Р = ехр (-Й)/(/) = /(ехр (-№)/) = 7^) +//(&) = /(?!).
поскольку значение неотрицательного функционала I вещественно

158 Г л, 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
на любой функции из &00. Но §г < | §г |< | §х +1§21 = | / Iх) и
потому |/(ш=р=/(*1)</(Ш).а
A1.6) Теорема. Пусть А с= X—компактное подмножество.
Существует такое р^О, зависящее только от А, что |/(/)|^
^Р1|/11я для любого /€®оо такого, что /(Л') = 0.
Доказательство. Рассматриваем любое со $ &+0, для которого
ю(Л) = 1, и применяем теорему A1.5). []
Следующий результат относится к свойствам типа
непрерывности функционала /.
A1.7) Теорема. Пусть 2)с:6^—такое непустое подмножество,
что для' любых /х, /26Ф существует /3бФ такое, что /3^
<тш(/1, /2) и что т{{/(д:): /€©}== О для любого х^Х. Тогда
для любого е>0 можно найти такую функцию /е(:©, что
/е(х)<е для любого х^Х\ кроме того, т!{/(/): /€2)} = 0-
Доказательство. Зафиксируем е>0 и положим А/={х^Х:
}(х)^г} для каждого /^ф. Каждое из множеств А/—компакт,
и их пересечение по условию пусто. Следовательно, пусто
пересечение Л/4 П Л/я П •. • П Л/ для некоторого конечного набора
функций Д, /2, ..., /눩. Если /е^тш^!,/2, ...,/„), то
/8(х)<8 для любого х^Х. Чтобы показать, что т! {/(/):
/(Е3)} = 0, рассмотрим любое фиксированное ^фи функцию
й^Ф, для которой Н^тт(§, /е). Остается применить теорему
A1.6) к компакту {х^Х: §(х) > 0}~.[]
Для построения продолжения функционала нам потребуется
два специальных класса функций. Сейчас мы дадим их
определения и перечислим простейшие свойства.
A1.8) Определение. Функция / на X со значениями в [0, оо]
называется полунепрерывной снизу в точке х0^Х, если при
/ (х0) < оо для любого 8 > 0 существует окрестность 1} точки х0,
для которой [ (х)>}:(х0) — г при х^О, и если при /(х0) = оо для
любого положительного Л существует такая окрестность V точки
х0, что /(л;)> А при х^11. Функция / называется
полунепрерывной снизу, если она полунепрерывна снизу в каждой точке
х0^Х. Множество всех полунепрерывных снизу функций на X
обозначается в дальнейшем 9Л+.
A1.9) Определение. Функция / на X со значениями в [0, оо]
называется полунепрерывной сверху в точке х0^Х, если для
*) Для вещественнозначных функций /, определенных на произвольном
множестве У", отношение /^#, как обычно, означает, что !(х)<^ё(х) для
любого х^У. Аналогично, / Ф О означает, что функция / не равна
тождественно нулю, т. е. существует точка х^У такая, что / (х) ф 0.

$ //. Продолжение функционала и конструкция меры 159
любого е > 0 существует такая окрестность V точки х0У что
/ (х) ^ / (*о) + 8 ПРИ х^Ц. Функция / называется
полунепрерывной сверху, если она полунепрерывна сверху в любой точке
х0$Х. Множество таких функций на X обозначается ЭТ+.
Сформулируем без доказательств простейшие свойства
класса 9#+.
A1.10) Теорема. @ Если { €$Я+ и а>0, то а/€9Л+;
(и) если /х, /2, ...,/Л€Зй+, то гшп^, /2, ...,/^)€Ж+;
(Ш) если Фсг:>Ш:+ и 2) непусто, то зир {/: / 6 2)} € 9Л+;
(IV) если /*,/,, .... /Л€9Л+, то 2//€^+;
(V) если /€5Ш+, то / = 8ир{#: #€@&. ^</}-
Строим теперь наше первое продолжение функционала /.
A1.11) Определение. Для любого / € 5Ш+ положим / (/) =
= зир{/(§-): ^^©оо» #^/Ь [Заметим, что I (?) может равняться
+ оо.]
Следующие утверждения очевидны.
A1.12) Теорема. A) Если /€©оо» то /(Е$Ш+, и потому I (/) =
(и) если /,</2 и /х, /2€$Ш+,_то /(/х)</(/2);
A11) если /^9Л+ и а^О, /по I (а[) = а1 ({).
Сформулируем и докажем теперь одно свойство типа
непрерывности для /.
A1.13) Теорема. Пусть 2) с Ш+—такое непустое
подмножество, что для любых }1У /2(Е2) найдется такое / (Е2), 'мяо *
/>тах(/1э /2). Тогда 7(зир{/: /€®})=зир{7(/): /6^}. 5
частности, если /г, /2, ..., /Л, ... ^9Л+ и /х</2< ...</„<...,
то 7 ( Нт /„) = Нт I (/„).
/г ->¦ оо /г -> со
Доказательство. Пусть /о^зир {/: / € 2)}. В случае {/0} и 2)с@0{;
рассмотрим множество {/0—/: /€©}• К нему применима теорема
A1.7), и потому 0=1пШ (/0-/):/€Ф} = ш1{/(/о)-/(/):/€©} =
= /(/о)-зир{/(Л: /€©}.
В общем случае достаточно показать: / (/0) ^ зир {/ (/): / € 3)}.
Положим ©=={^€©+р: §•</ для некоторого /€2)}. По (П.Юу)
/0 = зир{зир[#6®оо: #<Я: /€2)} = 5ир{§-: §€©}, и для
любой функции ёо€©оо сй<1о имеем
Яо = пип{я0, /0} = 5ир{тт(#0, в): $€Щ.

160 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Поскольку {&-0}и{гпт(^0, §): ё€Щ<=-Що, можно применить
доказанное:
^Ы = зир{/(т1п(б-0,_г)): <?€©}<
<5ир{/(вг): йГ€®}=зир {/(/): /€©}•?
A1.14) Следствие. Если /х, /2е#с+, то /(^ + /2) = Г(^)+7(/я).
Доказательство. Очевидно, /г1+/а = зир {§!+§*' ё/ €®й» $/<//
при /=1, 2}. Остается применить A1.13) и использовать
аддитивность функционала/.[]
A1.15) Следствие. Имеем *) 7/2 /\ = 2 7(/) Эля любого
Доказательство. Для конечного 2) утверждение следует прямо
из A1.14), для бесконечного—доказывается с помощью A1.13).?
Теперь мы продолжим функционал / на все неотрицательные
функции, определенные на X.
A1.16) Определение. Пусть Н—любая функция на X со
значениями в [0, оо] (для краткости, такие функции в настоящем
рассуждении мы будем называть просто неотрицательными,
а множество всех таких функций обозначать $). Тогда
полагаем 7(А) = 1п{\Т(§): §^Ш+, 5">/г} (как и 7, 7 может
принимать значение оо).
A1.17) Теорема. @ Есл览Ш+, то 7(ё)=7(8)\
(п) если Нп й.26?У и К^К* то ~^ (^) ^^ (^У»
(Ш) если Л 6$ и 0<а<оо, то /(аЛ) = а7(й);
(IV) если Н1У йа€$, то 7(А1 + АК7(й1) + /(А,J).
Доказательство просто, и мы его опускаем.
х) Для непустого множества У и функции а, определенной на 7 со
значениями в [0, оо], сумма 2и а(у) определяется как верхняя грань сумм вида
уеУ
2.1 ос (у) по всем конечным "подмножествам У± с: К.
УСУг
2) Функционал /., вообще говоря, не аддитивен. Например, пусть Х = [0, 1]
1
и /(/)=\ 1(()(И. Если /г1 — характеристическая функция не измеримого по
. о
Лебегу множества Л с: [0, 1], к2 — характеристическая функция множества
[0, 1]ПЛ'> то 7(п1-\-п2)=1 < / </гх) —|-7 (й2). В некоторых случаях, конечно,
функционал / аддитивен на всем |Д.

$ //. Продолжение функционала и конструкция меры 161
A1.18) Теорема. Если {Нп)^г сг $ и Нг<Л2< .. .<ЯЛ<...,
то I ( Ит Нп) = Пт 7 (Ал).
/г -»- оо м ->¦ оо
Доказательство. Пусть /г = Ит Ал; очевидно, Н^Нп и потому
/г -> оо _
7(А)>7(АЛ) для любого л и, следовательно, 7(А)> Ит /(йя).
/г -*¦ оо
Докажем обратное неравенство. Если Ит 7(Нп) = оо, то все
Я -> оо
доказано. Пусть Ит 7(Лл) < оо. Зафиксируем любое 8>0
/2->00
и покажем, что /(А)^8+ Ит 7(Нп). Выберем для каждого п
П -> 00
такое ё„$Ш+, §„>Нп, что
/Ы<7(А„) + е2-», A)
и положим §^ = тах (^1( ..., §п). Если мы докажем для любого п
неравенство
/Ы<7(Ая) + е, B)
то, применяя теорему A1.13) к множеству {§'п)п=1 и используя
очевидное неравенство Н^Ит §п^Ш+, получаем
7(А)<7( Нт ^Л = Пт 7(^)< Ит G(Ал) + е) = е+ Нт7(А„),
\п -+ <х> / п -+ со п -+ со /г->оо
что и требовалось. Остается, таким образом, доказать B). Но
гя+1 = тах(гя, &+1) = ^+^+1-тт(^, #я+1),
откуда, используя линейность A1.12) и A1.14) функционала/
и соотношение A), получаем
/ (В'ш) = 7(ёд +7 (§ш) -7 (ш1п (й, &«)) <
<7ы+7(^+1)_7(^)<
<7Ы+7(Л,+1)-7(/д + е2-*-\ C)
Складывая неравенства C) при &=1, 2, ...,п—1, получаем
искомое неравенство B).[]
A1.19) Следствие. Если Нп€.%, п=1, 2, 3, ..., то I ( 2 А„ р^
<2 7(л„).
Вытекает непосредственно из A1.18).
6 Э» Хьюртт, К. Росо, т» }

162 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
A1.20) Определение. Для любого АаХ положим ь(Л) = / (%А),
где 1А, как обычно,— характеристическая функция множества Л.
A1.21) Теорема. Функция I является внешней мерой Кара-
теодори на 3>(Х). Иначе говоря,
(\) 0<Ч(Л)^оо для любого А а Х\
(и) ь(Л)<1(б), если А а В с= X;
(III) 1@) = О;
/со \ оо
(IV) I У Ап <2 ь(Ап), если Аи ..., Л„, ...€^(Х).
\л-1 / ,2=1
Доказательство. Утверждения A) и (Ш) очевидны; (и)
следует из A1.1711), а (IV) —из A1.19).?
A1.22) Теорема. Имеем 1(Л) = т{{1(G): (У открыто и /УзЛ}
Зля любого АаХ.
Доказательство. Утверждение очевидно при ь(Л) = оо.
Поэтому можно предположить, что ь(Л)<оо. Для любого е>0
найдется такое § (Е Ш+, что §"> 1А и 7(§")—8<ь(Л). Рассмотрим
множество (/={я€-Х: §(а:)>1—в}. Оно открыто в силу
полунепрерывности снизу §¦, причем V =э Л, 1_ ^> ^ и ^(Е2I+
(характеристическая функция любого открытого множества
всегда полунепрерывна снизу). Получаем 1(^) = 7Eг/)^
</(т^^)=т^'^<т=т^^+81- в силу пр°изволь-
ности 8 получаем требуемое неравенство в одну сторону; в
другую же оно очевидно. []
A1.23) Теорема. Для любого открытого 1/аХ имеем 1(Ц) =
=$ир{1(Р): Р— компакт и РаЦ\ = зир {I (V): У—открыто,
У~—компакт и У~с11).
Доказательство. Рассмотрим любое р<4(^):=/ (^)=зир {/ (/):
/ € Що> ! < Ы- Существует ( € @+0, для которого / < 1и и / (/)>р.
Для любого 0<а<1 положим Ра = {х^Х: / (х) >а}, Уа=
={х$Х: !(х)>а\ и У = {х$Х: [(х)>0\. Очевидно, Ус:и,
Т<Ьу<Ъ;Ъ /(/)<ьA0<1(^). По A1.18) и A1.20), р < / (/)<
<1 (V) =7/ Нт ^ Л = 7/Тцп ^г "\ =Нт 1(/7а) = Нт1(Ка), так что
\а ф 0 аУ \а|0 а/ а|0 а! О
1(^а)>Р и 1(^а)>Р Для достаточно малого а1).[\
A1.24) Теорема. Если А а Р аХ и Р—компакт, то ь (Л)<оо.
Доказательство. Существует функция /^@^0с:Я1+, для
которой />^. Тогда 1(Л)<1(Л<7(/) = /(/)<оо.П
х) Запись а | О означает, что а стремится к нулю монотонно?

§11. Продолжение функционала и конструкция меры 163
A1.25) Теорема. Пусть 41 — любое семейство попарно
непересекающихся открытых подмножеств в X. Тогда 1( II (Л =
= 2 1(^)- Далее> существует единственное замкнутое подмно-
жество ЕаХ такое, что 1(Е') = 0 и 1(Е(]С1)>09 если V
открыто в X и \][\ЕФ0\ множество Е при этом называется
носителем меры I и обозначается символом 5(ь).
Доказательство. Первое утверждение прямо следует из A1.15),
поскольку характеристическая функция любого открытого
множества принадлежит Шс+. Чтобы найти Е, обозначим V?
объединение всех открытых подмножеств в X, мера I которых равна
нулю. Следствие A1.15) показывает, что и 1(И?) = 0. Полагаем
Е = МР'. Если V открыто и Е[\1] Ф0, то I ((/) > 0 и потому
I (Е П Щ = I (Е П V) +1 (Г П Щ > ь (^/) > 0. Единственность Е
тривиальна. []
A1.26) Определение. Если АаХ и I (Л) = 0, то мы называем А
1-нулевым множеством в X. Если АГ\Р является 1-нулевым для
любого компакта Рс:Х, то А называется локально 1-нулевым
множеством в X. Семейство всех локально 1-нулевых
подмножеств X обозначаем^1). Будем говорить, что некоторое
свойство выполняется 1-почти всюду на Ху если оно выполняется
во всех точках X, кроме, быть может, точек некоторого 1-нуле-
вого множества. Аналогичный смысл вкладывается в
утверждение, что свойство выполняется на X локально 1-почти всюду.
Функция на X со значениями в К или в пополненной прямой
[—оо, оо], равная нулю ь-почти всюду [локально 1-почти
всюду], называется также 1-ну левой [локально ь-нулевой]
функцией. В тех случаях, когда возможность недоразумения
исключена, мы будем значок I в этих терминах опускать.
A1.27) Теорема. Для произвольной функции Н на X со
значениями в [0, оэ] имеем 1(Н) = 0 тогда и только тогда, когда
множество А = {х ^ X: Н(х)> 0} —нулевое. Если I (К) < оо, то
и множество В^{х^Х: Н(х) = оо\—нулевое. Наконец, если
{кп}п=1—такая последовательность неотрицательных функций
на X, что Пт7 (Нп) = 0, то существует подпоследовательность
П -> со
{Ьп}к~1> для которой Нт Нп (х) = 0 почти всюду на X.
г) Отметим, что СДГ1 замкнуто относительно счетных объединений и
перехода к произвольному подмножеству.
6*

164 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Доказательство. Очевидно, \А^\шпН. Поэтому, используя
П -> со
A1.18), имеем:
1(А) = 7(ЪА)^1 ( Пт пк)= Нш7(/гй)= Нтл7(А).
\л->со ) /г-^со п -> со
Если /(А) = 0, то отсюда ь(Л) = 0. Если же 1(Л) = 0, то
равенство I (Н) = 0 получаем тем же способом, исходя из неравенства
Л< Нт п\А.
П -> со
Пусть теперь /(А)<оо. Для любого 8>0 имеем 5в^еА,
так что 1E)=7(Ед)<7(еА) = е7(А)> откуда 1E) = 0.
Наконец, предположим, что Нт/(Ал) = 0. Тогда можно
п -> со
со
выбрать такую подпоследовательность \Нп }^=1, что 2 ^(^я )<<*>.
Используя A1.19), получаем /( 2 Ал )<оо. Следовательно, по
со
доказанному в предыдущем абзаце, 2 Ьп (х) < оо почти всюду
к=\ к
и потому Нт Ал =0 почти всюду. []
к -> со *
Сформулируем теперь классическое определение Каратеодори
измеримости подмножеств в X.
A1.28) Определение. Подмножество АаХ называется
^измеримым, если
(О 1E)>Ц5ПЛ) + 1EПЛ')
для любого подмножества 5с:Х. Семейство всех 1-измеримых
подмножеств в X обозначаем оЛ^ Функция на X называется
{.-измеримой, если она ©^-измерима. Как и раньше, мы будем
опускать символ I, если из контекста ясно, о какой мере
идет речь.
A1.29) Теорема. Семейство оМ^ есть в-алгебра подмножеств
в X, а функция I счетно аддитивна на оМ^.
Оба утверждения теоремы справедливы для любой внешней
меры Каратеодори. Доказательство можно найти например
у Халмоша [2], стр. 49—51, или у Сакса [1], гл. 2, §4.
A1.30) Теорема. Каждое борелевское множество в X измеримо
и каждое локально нулевое множество измеримо.
Доказательство. (I) Докажем сначала, что подмножество
ВаХ измеримо, если
1A/)>1A/П5) + 1((/ПВ') A)

§ //. Продолжение функционала и конструкция меры 165
для любого открытого УсХ, для которого 1((/)<оо. Пусть,
действительно, для В условие A) выполнено, и 5с=Х—любое
подмножество. Если 1E) = оо, то, конечно, 1E)>1EпВ) +
+ I E П В'). Если же I E) < оо, то для любого открытого V з5,
для которого 1((/)<оо, имеем 1((/)>1({/ПВ) + 1({/ПВ')>
>1EП5) + 1EП5/). Используя теперь A1.22), имеем
1E) = 1п!{1({/): V открыто и Ц^8\ >1 EГ) В) + 1 E П В').
Поэтому В измеримо.
(II) Докажем измеримость любого открытого множества V.
Пусть Ц открыто, I (II) < оо и пусть 8>0—любое. Используя
снова A1.22), выбираем открытое подмножество Н^ЦпУ так,
чтобы было
1(Я)<1A/пП + е/2. B)
Применяя A1.23), выбираем такое открытое 1Г, что №~с^У Г)!/ и
1(№) + е/2>1((/пУ). C)
Положим №0 = V (]Н П (№")'; тогда открытые множества №, й?0
не пересекаются. Поскольку V П УсИ^сЯ, из B) вытекает
11 (^о)—1 № П V') | < е/2 и, комбинируя с C), получаем 11 (№) +
+ 1(^оИ(УПУ) + 1A/ПУ/)I<в. Используя теперь A1.25),
ПРИХОДИМ К I ({/) > I (И? Ц №0) = I (Г) + I (И?0) > I (I/ П У) +
+ 1({УПУ')— 8. В силу произвольной малости е, получаем
необходимое неравенство I @)^1 (V П У) + ь (II П V')» т.е. У
измеримо. По A1.29) тогда и любое борелевское множество измеримо.
(III) Наконец, пусть множество АаХ локально нулевое,
множество V открыто и ь(/У)<оо. Для любого е>0
существует такой компакт Рс:Х, что Ра11 и I (Р) + г > I ({У) A1.23).
Тогда 1(и) = 1(Р) + 1(Ц [)Р') [V и Р измеримы], так что
I ((/ П Р') < 8. Следовательно, I({/ П Л)<1(? П А) +1(Ц П Р' П Л)<
<0 + 1(^/П/7,)<е, откуда 1A/пЛ) = 0 и 1A/ П Л) + 1A/ П Л') =
= 1(УПЛК1(У). П
A1.31) Теорема. Пусть АаХ — произвольное множество.
Следующие условия эквивалентны:
(\) множество А измеримо;
(и) 1A1)^1A1 [) А)+ ь (II Г\А') для любого открытого Цс^Х
такого, что I (II) < оо;
(III) множество А[\1) измеримо для любого открытого ЦаХ
такого, что I (Ц) < оо;
(IV) множество А Г) Р измеримо для любого компактного
РаХ.
Доказательство. Очевидно, из A) следует (IV). Пусть
выполнено (IV), пусть V открыто и 1({/)<оо. По A1.23), G = ^ и

166 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
II ( и Рп)\ где все рп компактны и I (ЛА) = 0. Следовательно,
( I) (РпГ\А)\[)(ЫпА) = ипА измеримо, так что из (IV)
следует (ш).
Импликация (ш)—>(п) очевидна, а импликация (и)=фA)
доказана в части I теоремы A1.30). []
A1.32) Теорема. Если А измеримо и 1(Л)<оо, то
ь (А) = зир {I (Р): Р—компакт и Ра А}.
Доказательство. По заданному 8 > 0 выберем сначала такое
открытое множество УЪЛ, что I (Уп Л') < е/4; затем, применяя
A1.23), выберем компакт ЕаУ, для которого 1A/П5')<8/2;
наконец, выберем открытое множество ИР такое, что VГ\ А'а№аУ
и 1A^)<е/2. Положим Р = Е[\\Р'\ очевидно, Р—компакт и
Ра А. Тогда I (А ПР') = ь ((А пЕ')[) (А пГ))<1(УпЛ + ^(Ю<
< е/2 + е/2 = 8 и, следовательно, 1(Р)>ь(А)—8. []
A1.33) Замечание. Только что доказанная теорема остается
в силе также для измеримых множеств Л, содержащихся в
счетном объединении множеств конечной меры; это доказывается
применением A1.18) и A1.32). Для произвольных же измеримых
множеств она, вообще говоря, не верна. Рассмотрим, например,
множество /?2, открытая база топологии в котором составлена
из множеств {(х0У у)\ а<у<Р}, х0 фиксировано. Другими
словами, мы рассматриваем пространство КахК, где Я^ — прямая
в дискретной топологии1); очевидно, К^хК—локально
компактная абелева группа. Пусть /€@оо(#*х#)- Тогда /({#}х
хН)фО лишь для конечного числа точек х^Ка* пусть для
т +*
х19 х2у ..., хт\ положим / (/)= 2 V Нх/> У)Ау, где интеграл
/=1-оо
понимается в смысле Римана. Замкнутая дискретная подгруппа
/?^х{0} обладает весьма любопытными свойствами. Легко
проверить, что для АаКах{0\ выполняется ь(А) = 0 для счетных
А и 1(Л) = оо для несчетных Л. Множество ^х{0} измеримо,
поскольку оно замкнуто, но в /^х{0| компактны только
конечные множества, и A1.32) для него выполняться не может.
Заметим также, что множество /?</Х{0}— локально нулевое,
но не нулевое.
Оказывается, отсутствие промежуточных между 0 и оо мер
характерно для локально нулевых множеств: каковы бы ни были
х) Если О — топологическая группа, то 6^ всегда обозначает ту же
группу, но взятую в дискретной топологии.

$ //. Продолжение функционала и конструкция меры 167
пространство X и функционал /, локально нулевое множество
АаХ имеет меру 0 или оо. Действительно, по A1.30),
множество Л измеримо. Если 1(Л)<оо, то ь (А) = $ир {I (Р):
Р—компакт и Ра А) (по теореме A1.32)). Следовательно, ь(Л) = 0.
Заметим также, что измеримое множество А является локально
нулевым тогда и только тогда, когда ь(р) = 0 для любого
компакта РаА.
A1.34) Определение. Пусть ^ — некоторая а-алгебра множеств
в X, содержащая все открытые множества, и пусть [х—конечно-
аддктивная мера на &. Если для любого открытого множества
УаХ выполнено [х (V) = зир {(х (Р): Р—компакт и РаУ\ и если
для любого А%:& выполнено \х(А) = т1{\1(У): У—открыто и
1/:эЛ}, то мера \1 называется регулярной.
Дословное повторение доказательства теоремы A1.32) с
заменой ь на [х показывает, что при А^аР и [х(Л)<оо имеем
^ (Л) = зир {|х (Р): Р—компакт и РаА}. В совокупности теоремы
A1.29), A1.22), A1.23), A1.30) показывают, что I — счетно
аддитивная регулярная мера на некоторой а-алгебре подмножеств X,
содержащей все открытые множества и множества 1-меры нуль.
Главная цель, которую мы преследовали, определяя по
функционалу / меру I,— получить представление / в виде
интеграла ^/Л. Сейчас мы и приступим к реализации этой
х
возможности.
A1.35) Лемма. Пусть Л, В—два непересекающихся
измеримых подмножества в Х> и а, Рб^ + . Тогда
Доказательство. Ввиду A1.171у) и A1.17Ш) достаточно
показать, что
7(схБл + РБв) > «Т1^) + рГсБв). A)
Случаи 1(Л) = оо, 1(Л) = 0, 1(В) = оо, 1(В) = 0, а = 0 и р = 0
тривиальны. Предполагаем поэтому, чтоб < ь (Л) <оо, 0 < I E)<
<оо, а> 0 и Р>0.
Предположим сначала, что А и В компактны. Тогда Л и В
можно заключить в непересекающиеся открытые множества /70
и У0, меру которых можно считать конечной. Ясно также, что
/(а|л + Р^л) конечно. Возьмем произвольное е>0 и выберем
по б такую функцию /(ЕЯЛ+, что [^а1Л-\-$1в и
/(/)</К*+Р6*) + в/3. B)

168 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Возьмем б, удовлетворяющее условию 0 < б < гшп < 3 !* .,
зиу ) ' а> Р Г • Поскольку функция / полунепрерывна снизу,
множества 1/1 = {хеХ: /(х)>сс—6} иУ1 = {х^Х: [(х)>$ — 6}
открыты. Положим Ц = (/,_[) Ц0 и У = У1(]У0. Тогда Лс(/с:(У0,
5с=1/сУ0, УП/7-0 и потому / >(а—б) §„ + (Р—б) §у.
Применяя A1.14), получаем
7(/)>7((а-_в)^+(Р-вI1г) = (а-б)/E^) +
+ (Р-«) / Цу)=ОЛ (Ц) + Р1 (У)-(б1 ((/) +
+ б1(У))>аЦЛ) + р1_E)-(б1A/0) +
+ б1(У0))>а7Aл) + р7"(Ы-|-^
Объединяя B) и C), получаем 7(а1л+ Р1В) >аГ(|л) + рГAв)—в
и, в силу произвольной малости е, искомое неравенство.
Наконец, пусть Л, Б — произвольные непересекающиеся
подмножества, и е > 0. По A1.32), найдутся такие компакты Ес: Л
и Т^сгВ, что оы (Е)> сы (Л)—8/2 и р1 (/?) > рь E)—е/2. Используя
уже доказанное неравенство для компактов Е, Р, получаем
= сх7"(У + р7г(Ы>а7(Ы + р7Aв)-е. ?
A1.36) Теорема. Пусть /—любая неотрицательная
измеримая функция на X. Тогда /(/) = ^/<й.
х
Доказательство. Пусть А^~{х^Х\ /(х) = оо}. Для любого
положительного целого п и /з = 1, 2, ..., я-2"—1 положим
\и = (^Х:27</(х)<Щ| и определим функцию Нп =
= Е ^Ч„+^«' Тогда
6=1
Й!<АЯ<...<АЯ<... и Нт йл (я) = / (х)
на X. Следовательно, /(/) = Пт I (Нп) A1.18) и $/Л= Нт ^ Ля А
по теореме об интеграле от предела возрастающей
последовательности неотрицательных функций. Наконец, по A1.35)

$ //. П родолжение функционала и конструкция меры 169
A1.37) Следствие [теорема о представлении Ф. Рисса]. Для
любого / ^ @ч!о имеем I (/) = ^ / <й.
х
A1.38) Замечание. В следствии A1.37) ничего не говорится
о единственности меры I, определяющей интегральное
представление функционала /. В действительности существуют
патологические случаи, когда две различные меры порождают один
и тот же интегральна ©00.
Можно, однако, указать условия, когда такая возможность
исключена. Именно, если меры \1> V, определенные на а-алгеб-
рах оЛу, и с#у соответственно, регулярны A1.34) и таковы, что
\1(Р) и у(Р) конечны для любого компакта РсX, то из ^ фф,=
= 5 Ф &* Для всех ф€®оо вытекает \1(А) = ч(А) для любого
х
А^оМ^[\оМч (заметим, что ^П^ содержит все борелевские
множества). Докажем вначале это для компакта Р. Пусть
{Vп\п=1—убывающая последовательность открытых окрестностей
компакта Р, Ра П <7„, Игл [х ((/„) = [г (Р) и \1ту(Цп) = у(р).
/2=1 /I ->- со Я -> со
Найдем для каждого п функцию ,фя€@2о> равную 1 на Р и О
вне [/л, фй(х)<1. Если фл = 1шп (-фх, ...,г|)„), то Нш ч>п = ЪР
выполняется ^х-почти всюду и V-почти всюду. Поэтому
X X \л-*«> / «->оо X
л-*°°х х
Итак, ^(Т7):^^) для любого компакта Р. Пусть теперь V
открыто. Тогда
[х F^) = зир {(л (,р): р—компакт и /?с[/} =
= зир(у(/7): ^—компакт и Ра1]\ = уA1).
Наконец, для произвольного А^оМ^[\Л^, имеем
|А(Л) = 1п1{|х((/): ^— открыто и (/эЛ} =
= 1п1 {V(С/): (/—открыто и 1?1эА\ = у(А). Ц
Установим некоторые полезные в дальнейшем свойства меры
носящие технический характер.
г) Пример можно найти у Халмоша [2], стр. 225.

170 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
A1.39) Теорема. Существует такое семейство & непустых
компактных подмножеств пространства X, что
(\) множества Р €оГ попарно не пересекаются;
(п) 1(/7П^/)>0, если V открыто, Р^1Г и Р[\Иф0\
(ш) если открытое множество V имеет конечную меру, то
V пересекается не более чем со счетным множеством элементов
Р^ОГ, и каждая точка х^Х имеет окрестность,
пересекающуюся не более чем со счетным множеством элементов Р^^\
(IV) множество N^={1} {Р^ИГ})'—локально нулевое.
Доказательство. Пустое семейство компактных подмножеств
тривиально удовлетворяет условиям @ и (и). Стандартное
рассуждение, основанное на лемме Цорна, показывает, что
существует максимальное семейство <1Г, удовлетворяющее A) и
(и)х). Свойство AЛ) прямо следует из (и).
Покажем сначала измеримость N. Пусть V — любое
открытое множество конечной меры, и Р1У Р2> ..., Рп, ...—все
элементы семейства <!Г, имеющие с V непустое пересечение. Тогда
1([/п^) + 1((/п^)-1((/п(Ли..^^и...Г) + 1(Уп(^и...
... II ^/,11 ...)) = 1(^)» поскольку V и Рх II ... []Рп [] ...
измеримы. Следовательно, N и Ы' измеримы.
Наконец, предположим, что N не является локально
нулевым. В силу измеримости Ы, найдется компакт ЕаЫ
положительной меры (последнее утверждение A1.33)). Рассмотрим
семейство % всех таких открытых множеств (/, что 1EП^) = 0.
Положим 5=11{^П^/: ^ 6^} = ^П ( II (/); тогда 1(Я) = 0,
поскольку в противном случае существовал бы компакт ОсВ,
для которого I (Д) > 0 и одновременно й содержится в
конечной сумме множеств ОГ\и> каждое меры нуль,— очевидное
противоречие. Итак, 1E) = 0. Пусть 8Б=Е Г\В'\ тогда I Eл) =
= I {Е) > 0 и, для любого открытого У, 8ЕГ\У = 8Е[){Е()У)Ф 0,
т. е. I Eл Г) V) = I (Е Г) V) > 0. Следовательно, мы можем к
семейству <!Г добавить элемент 5л, с сохранением A) и (И), что
невозможно в силу максимальности §гя []
Еще один полезный в дальнейшем факт.
A1.40) Теорема. Пусть /—неотрицательная измеримая
функция на X и ^/А<оо. Тогда существует такая функция /'
х
на X, что 0^/'^/, ^/'<Л = ^/Л и для любого а>0 множе-
х х
ство \х^Х: /' (х) > а} а-компактно.
г) Напомним, что объединение пустого семейства пусто, так что в случае
пустого |Г мы должны положить N = Х.

$ //. Продолжение функционала и конструкция меры 171
Доказательство. Для любых целых п ^ 1 и к > 1 положим
ЛЛ,„ = {*€Х: |г</(*)< Ш|; все АкчП измеримы и 1(АкшП)<
<оо. В силу A1.32), существуют с-компактные подмножества
Вк%п с АкщП, для которых I (Л*, „П 5*,я) = 0. Пусть /л =
( » ^
= тах| X "гЦ* «: / = 1>2> -'4- Легко виДеть> что
со
2^1(А*,»)<$&л«фл. A)
со
Пусть теперь /'=Пт/;. Поскольку Г /А= Пт ^ ^ I (ЛА> л),
/2-Х» ^ Л->СО ^_ |
неравенства A) и теорема об интегрировании монотонно
возрастающей последовательности показывают, что } /' дх= \ /А. Также
X X
легко видеть, что множество {х^Х: }'(х)>а\ совпадает с
\}\вк>п: ^>а> и потому а-компактно. []
A1.41) Следствие. Если функция [ {.-измерима и ^ |/|<й<оо,
х
то существует измеримая по Борелю функция /', равная / ь-почти
всюду.
Сформулируем и докажем одну элементарную теорему об
измеримых функциях, аналогичную теореме A1.31).
A1.42) Теорема. Для любой вещественно- или комплексно-
значной функции / на X следующие утверждения эквивалентны:
(I) / измерима;
(и) Цц измерима для любого открытого [/сХ, для которого
1(*/)<оо;
(Ш) Д/7 измерима для любого компакта РаХ\
(IV) /ф измерима для любой функции ф(Е@оо-
Доказательство. Импликация A) => (IV) очевидна. Доказываем
(IV) =Ф (И1). Пусть Рс:X — компакт. Тогда, как в A1.38),
существует последовательность {ф/2}я-1 функций из @оо> Для
которой %?= Нтфл почти всюду. Следовательно, /^=Пт/фл почти
п -+ со п -> со
всюду, так что функция Цр измерима. Аналогично доказывается
импликация (Ш)=Ф(и) (/?с/=Пт/^ почти всюду для подхо-
П -> СО "
дяще выбранной последовательности компактов \Рп\%=1). Остается
проверить (п)=ФA), при этом достаточно рассматривать только
неотрицательные функции /. Пусть а > 0. Для любого открытого

172 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
множества II а X конечной меры
\х$Х: [(х)>а\пи = {х€Х: /(*)&/(*)>«};
по предположению (и) это множество измеримо. По A1.31),
множество {х^Х: [(х)>а\ тогда тоже измеримо, и
следовательно, функция / измерима. []
Дополнительные теоремы и примеры
A1.43) Примеры, относящиеся к @0(Х) и @оо(Х). (а) Пусть
X — произвольное хаусдорфово пространство. Функция /^К(Х)
принадлежит @0(Х) тогда и только тогда, когда множество
{* € X: | / (х) | > а}" компактно для любого а > 0, и принадлежит
@00 (X) тогда и только тогда, когда множество {х (Е X: \ I (х) | > 0}"
компактно.
(Ь) Рассмотрим пространство С} рациональных чисел прямой /?
в естественной топологии. Пространство @(<2) весьма большое,
в то время как @0(Ф) тривиально. Если /(Е@(Ф) и }(а)Ф0у
то множество 1x^B'' \[{х) | > у! I {а) I } некомпактно, так что
(с) Пусть X—любое локально компактное хаусдорфово
пространство. Для любой точки а^Х и ее окрестности V с
компактным замыканием II~ в силу полной регулярности X
существует непрерывная функция /: X—>-[0, 1], для которой /(а)=1
и /((/') = 0, и потому !Ф0 и /€©оо(Х).
(й) Пусть X—линейно упорядоченное множество, мощность
которого равна первому несчетному порядковому числу &.
Относительно порядковой топологии (см. D.19а)), X—счетно
компактное, локально компактное, некомпактное, нормальное
пространство, на котором всякая, непрерывная комплекснознач-
ная функция ограничена. [Предположим, что / непрерывна и не
ограничена на X; тогда для любого целого п > 0 существует
ап$Х такое, что |/(ай)|>л. Поскольку & — наименьшее
несчетное порядковое число, существует элемент у^Х такой, что
V^ап, я = 1, 2, ... Значит, функция / не ограничена на
компакте {р(ЕХ: РО}, что невозможно.] Любое компактное
подмножество Р в X ограничено, т. е. существует такое а^Х, что
Р<адля любого р^. Далее, ©0(Х)-©0о(Х). [Пусть / €®0 (X).
Тогда для любого целого п > 0 существует ап$Х такое, что
|/(Р)|<1/д для всех Р>а„. Как и раньше, найдется элемент
V^X с у>а„ для любого /г = 1, 2, 3, . .. Если Р> V, то ) /(р) | <
< \1п для любого п> так что /(Р)=0. Поскольку множество
{Р6Х: Р^} компактно, /€@0о(Х).]

$ 11. Продолжение функционала и конструкция меры 173
(е) Пусть С—локально компактная, некомпактная группа.
Тогда (И00(О)Ф<&Л(О). [Пусть (/ — окрестность единицы е в О
с компактным замыканием [/~. Тогда семейство множеств
{х\]\ х$С\ есть открытое покрытие группы, не содержащее
конечных подпокрытий. (В противном случае группа О была бы
конечным объединением компактных множеств и потому
компактной.) Итак, существует бесконечное подмножество \х1У х2У ...
/г- 1
..., хп, ...} в О такое, что хп ^ I! хк\] для каждого п = 2, 3,...
Пусть теперь У—симметричная окрестность единицы и У2с:11.
Несложно проверить, что множества \хпУ}%=1 попарно не
пересекаются. Пусть /—такая функция из ©(С), что /@)с:[0, 1],
$(ё) = \ и /(У')=0. Пусть, далее, д—такая функция, что
00
ё(х)— 2 2~п1(хп1х) Для любого х^О. Легко тогда проверить,
что «г€4@) и^©оо@).]
A1.44) Значения непрерывных мер, (а) Пусть X—локально
компактное хаусдорфово пространство, и / — неотрицательный
линейный функционал на E00(Х), соответствующая которому
мера ь непрерывна, т.е. I ({*}) = 0 для каждого х^Х.
Предположим, что В есть 1-измеримое подмножество в X, для которого
I (В) = $ир {ь (Р): Р компактно и РаВ\,
и что а—любое число из отрезка [0, ьE)]. Тогда существует
сг-компактное подмножество Ее:В такое, что 1(Е)~ а.
[Покажем сначала, что для данных вещественных чисел
|5 и у, 0^р<у^1 (В), найдется компактное подмножество А с В
такое, "что Р < I (А) < у. Можно предположить, что у < I (В).
Пусть Р—компактное подмножество в В такое, что I (Р) > 7.
Поскольку I ({а:}) = 0 для каждого х ^ X, любая точка х € Р имеет
окрестность Ух с \>{У~^)<у—Р- В силу компактности Р, имеем
п
также Рс: II 1С , где х19 ...,хп$Р. Пусть к0—наименьшее
/5=1 *
целое число такое, что у < I ( Р Г) ( б Ухк ) ) • Тогда к0 > 2 и
Р<1(рпй'у0)<?-
Пусть теперь а—любое число такое, что 0 < а < ь (В). Пусть,
Далее, Лх — компактное подмножество в 5, для которого
у < ь (Аг) <а. Если непересекающиеся компактные
подмножества А1У ..., Ап„г в В уже выбраны, пусть Ля— компактное

174 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
цодмножество в В(](А1[} ... \}Ап^\ для которого
П-\ 72-1
«—~Е 1 И*) < I (Л«) < «-Е I (Л*).
00
Положим Е = II Ли; тогда 1E) = а.]
л=1
(Ь) Условия в (а), очевидно, выполняются для любого
открытого подмножества I) в X и также для каждого сг-конечного
1-измеримого подмножества в X. Заключение (а) не может
выполняться ни для какого локально нулевого ненулевого
множества (см. A1.33)).
A1.45) Меры на подпространствах. В продолжение этого
примера всюду X—некоторое локально компактное хаусдорфово
пространство, и X*—непустое замкнутое его подмножество.
Пусть /•—неотрицательный линейный функционал на®00(Х*)
и ь*—функция, определенная на множестве всех подмножеств
из Хф, как в A1.20). Мы покажем, как построить по /•
функционал на К00(Х), и вычислим соответствующую меру.
(а) Для функции / на X пусть /•— сужение / на X*.
Если Тё®оо(Х), то [• €&оо(Х*)- Обратно, любая функция
ё*€@оо(^ф) имеет вид /• для некоторого /^®00(Х). [Несложно
проверить, что /• €&00(Х®) при /(Е@оо(^)- Второе утверждение
эквивалентно такому: всякая функция й"(:@оо(-Х#) допускает
продолжение / на X, при котором /^®00(Х). Если X компактно,
то / существует по теореме продолжения Титце (Келли [2],
стр. 255). Если X некомпактно, обозначим X» одноточечную
компактификацию X, а символом оо — присоединенную точку.
Пусть, далее, Е — компактный носитель функции § в Х#. Тогда
Е компактно как подмножество X, и существует открытое
подмножество V в X такое, что ЕаЦ, а {/" само компактно.
Очевидно, что множество У = X® (] ([/' П X) {] {оо} замкнуто в Х«>.
Пусть /х—функция на V такая, что /х (#) = б" (я) при х$Хт и
^г(х) = 0 при х€(Ц'Г\Х) {] {оо}. Тогда функция ^ непрерывна
на У, и, по теореме Титце о продолжении, существует
непрерывная комплекснозначная функция /2 на Хоо такая, что /ч есть
продолжение /\. Искомая функция / есть сужение /^ на X.
Заметим, что если ^(Х*)с:[0, 1], то можно получить и
/(Х)с[0, 1]. 1
(Ь) Для любой функции / ё ®оо (X) пусть / (/) = /• (/•). Тогда /
есть, очевидно, неотрицательный линейный функционал на @00(Х).
Пусть I означает функцию множеств, определенную на всех
подмножествах множества X, построенную по I, как в A1.20).
Тогда для любого подмножества А аХ имеем 1(Л) = 1(ЛA Х#) =
= 1ф(ЛпХф). [Легко видеть, что 1(Х#') = 0 и, поскольку Х#

$ //. Продолжений функционала и конструкция меры 175
I-измеримо, равенство 1(Л) = 1(ЛпХ*) выполнено для любого
Лс=Х. Рассмотрим теперь открытое подмножество V в X. По
A1.11) и утверждению (а),
1([/)=зир {/(/): /€©?„(*)> /<Ы =
= зир {/•(/•): /€^0(Х), /<Ы<
= 1*((/ПХ#).
Чтобы показать, что 1((/)>1§((/ПХ§), рассмотрим любую
функцию #€@оо(**) такую, что я<^л**- Пусть/I—функция
на замкнутом множестве У = Х% II (V П X) такая, что й (х) = # (*)
при *6Х* и А(х) = 0 при х€1/'П'Х. Тогда й€@ооОО» и по (а),
найдется функция /6©оо(^)» Для которой /(Х)<=[0, 1], причем /
есть продолжение функции Н. Очевидно, /•=^и /<^. Поэтому
1({/)^/(/)=:/®(/в) = /#E') и, поскольку функция § произвольна,
также 1((/)>1*((/ПХф). Значит, 1([/) = 1*A/пХ#).
Наконец, пусть Л — произвольное подмножество в Х#. По
A1.22) и предшествующему имеем
1»(А) = Ы{1*{11ПХ*): I] открыто в X и С/пХ*:эЛ} =
= 1п1{1(G): (/ открыто в X и (/ПХ*=>Л} =
= ш1{1((/): (/ открыто в X и (/эу!| =
= 1D).
Это и завершает доказательство.]
Замечания. Теория интегрирования, как она рассматривается
в этом разделе, развивалась трудами многих авторов, и для
сколько-нибудь детального исторического обзора по этому
вопросу у нас просто нет места; мы упомянем только несколько
наиболее ярких работ. Следствие A1.37) в случае Х = [0, 1] и
интеграл Римана — Стилтьеса принадлежат, как известно,
Фредерику Риссу [1]. Просто поразительно видеть, как Рисе выбрал
правильный путь для представления ограниченного линейного
функционала на ©([0, 1]), в противоположность предшествующим
попыткам, на которые он ссылается (там же, стр. 974).
Основная идея продолжения функционала и таким образом
получение меры принадлежит П. Даниелю [1]. Конструкция
меры прямо по неотрицательному функционалу на @(Х) и
следствие A1.37) для компактного хаусдорфова пространства X
появились у фон Неймана [5]; насколько нам известно, он — первый,
кто применил эту технику и получил упомянутый результат.
Та же конструкция, более детализированная, появилась у Ка-
кутаии [3]. Заметим, что А. Вей ль [4], стр. 42, сформулировал
утверждение: «И у а йопс соггезропйапсе Ь^ип^Vо^ие еп!ге 1ез

176 Гл. 3, интегрирование на локально компактных пространствах
тезигез йе Кайоп е1 1ез ЬпсИоппеНез /(/)»*)» но не дал ему
никакого доказательства и не привел никакой конструкции.
Без сомнения, А. Вей ль обладал конструкцией, аналогичной
приведенной в настоящем разделе, хотя он оставил все это
читателю, ссылаясь только на рукопись [2] Бурбаки, которая
появилась в печатном виде через 11 лет после работы Вейля [4].
Аналогичная, хотя и не идентичная нашей, конструкция
функционалов I и I содержится в виде наброска в работе А. Кар-
тана [2]. В полном виде конструкция Картана изложена в
работе Эдвардса [1].
Счетно аддитивные или конечно-аддитивные меры, дающие
интегралы, представляющие данные линейные функционалы,
в различных абстрактных постановках рассматривались в
последние годы несколькими авторами. Одно из таких
исследований—статья Хьюитта [1], где также имеются ссылки на
литературу. [Теорема 2.17 из работы Хьюитта [1] неверна, как было
указано Гликсбергом: требуется дополнительная аксиома
отделимости для множеств из 5* функциями из ^.] Другое
исследование см. Люмис [3]. Все эти конструкции приводят по существу
к одному и тому же результату: выбор той или другой системы
аксиом и модификация процедуры кажется по большей части
делом вкуса. Счетная аддитивность, конечно, существенна для
применения наиболее мощных методов теории интегрирования,
именно теоремы Лебега о сходимости и теоремы Фубини. Это
детально обсуждается у Гликсберга [1].
Конструкции /, / и ь, приведенные в настоящем разделе,
близки (хотя и не совпадают с ними) к конструкциям Най-
марка [1], § 6. Мы также пользовались широко работой Бур-
баки [2]. Локально нулевые множества, по-видимому, впервые
введены Бурбаки [2], определения которого формально
отличаются, но по существу эквивалентны нашим.
§ 12. Пространства &р(Х) A<Р<°°)
На протяжении всего параграфа X, /, I, оЛ1У оН>1—те же, что
в § И. Элементарные свойства измеримых функций мы считаем
известными. См., например, Халмош [2], стр. 77—88 или Сакс [1],
гл. 1,§§ 7,8.
A2.1) Определение. Пусть р — положительное вещественное
число. Если / — веществениозначная (со значениями в [—оо, оо])
или комплекснозначная измеримая функция на X, для которой
!) «Стало быть имеется взаимно однозначное соответствие между мерами
Радона и функционалами / (/)».

$ П. Пространства %р (X) A<р<оо) 17?
г
^ |/р*А<оо, томы скажем, что [^&р(Ху ь); где недоразумение
х
исключено, будем писать просто 2^ вместо ^(Х, I). Норма
определяется формулой
о) 11/и„=Г51Л'л11/р
Для двух функций /, §€%р имеет место ||/—ё\\Р~0 тогда и
только тогда, когда 1{х)=§(х) почти всюду на X. Такие две
функции мы считаем идентичными в &р. Иначе говоря,
в действительности пространство %р состоит из классов
эквивалентности; тем не менее, мы часто будем говорить о функции
из &р, и контекст позволит каждый раз понять, идет ли речь
об отдельной функции или о классе функций, эквивалентных
данной.
Почти исключительно пространство 2_ рассматривается при
Р>!1.
Патологический характер локально нулевых функций, не
являющихся в то же время нулевыми (см. A1.33)), позволяет
нам несколько уточнить A2.1).
A2.2) Теорема. Пусть /—функция на X со значениями в К
или [—оо, сю], являющаяся локально нулевой, но ненулевой. Тогда
^|/|/,Д = оо, 1^р<оо. Следовательно, если /, §€&р и / (х) =
х
= §(х) локально почти всюду, то )\[—§\рA1 = 0. Таким обра-
х
зом, / и § равны почти всюду и определяют один и тот же
элемент в 2 .
Доказательство. Как указывалось в A1.33), I (Ы) = оо для
любого ненулевого локально нулевого множества N. Но для
некоторого а>0 имеем 1({х^Х: \((х) \р> а})=^=0 и потому
1({х€Х: | / (х) [р> а\) = оо и 5 | / |*Ж = оо. Далее, для любых /*,
г€2/?,имеем|/-ёг|^<(|/|+^|)^<[2тах(|/|, \§\)У<2р(\[\р+
+ 1&Ю- Следовательно, интеграл ^|/—§\рA\> конечен и потому
х
$1/-Я1'А = 0. ?
X
Очевидно, если } = § локально почти всюду и I' =§' локально
почти всюду, то / + /' =8 + 8' локально почти всюду. Тем
самым операция сложения переносится корректно в & . По той
же причине умножение на число а^К корректно определено в 2^.
Значит, 2^ можно рассматривать как комплексное линейное

178 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
пространство. Норма \\[\\р в &р обладает стандартными
свойствами (В.7), т. е. неотрицательна; равна нулю тогда и только
тогда, когда / = 0 (в смысле &„); удовлетворяет неравенству
треугольника \\! + ё\\р<:\\!\\р + \\ё\\р и, наконец, свойству ||а/||,=
Н а III / \\р Для любого а ё К. Заметим, что при р = 1 эти свойства
просто очевидны. Для детального изучения пространства &р нам
понадобятся некоторые более сильные неравенства типа ||/ + ё"||я^
^11/ \\р + II ё\\Р> и мы сейчас прервем изложение, чтобы вывести их.
На протяжении ближайших страниц (теоремы A2.3)—A2.6)),
будем считать, что фиксировано некоторое р, 1 < р < оо, а под р'
понимать такое число, что —I—7 = 1; в частности, 2' = 2.
р ' Р
A2.3) Лемма. Для любых неотрицательных вещественных
чисел а и Ъ имеем
A) йЬг
аР ЬР'
Р + Р' '
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
ар = Ьр'.
Доказательство. Степенная функция ир~г на полупрямой
1
и^О строго возрастает и непрерывна, как и ее обращение и?-1.
Элементарные соображения, касающиеся площадей под кривой,
показывают, что
а Ъ _1__
аЬ< ^иР-Ыи + ^р-1^ =а- + ^_ ?
о о Р Р
за исключением случая Ь^а**'1, т. е. ар = Ър'. В последнем
случае, очевидно, имеет место равенство. []
A2.4) Теорема (неравенство Гельдера). Для любых /62^ и
§ ^ 2Р' имеем (§ ^ 2Х; в действительности
(О
$/#ж <5|/#|л»
(п) 1\18№<\\1\\р\\8\\р>-
В (I) равенство имеет место тогда и только тогда, когда
функция 5§п [/ (х)# (х)] постоянна почти всюду на множестве \х^Х:
/ (х)§(х) ф6\. В (и) равенство имеет место тогда и только
тогда, когда найдутся неотрицательные целые А и В, не равные
одновременно нулю, такие, что А\[ (х)\р = В\§(х) \р' почти всюду.

§ 12. Пространства &Р(Х) A<р<оо)
179
Поэтому
(ш)
$/*л
< II/Ш11Рм
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция
$§п[[(х)§(х)] постоянна почти всюду на множестве, на котором
}§фО и А\}(х)\р = В\§(х)\*>' почти всюду1).
Доказательство. Неравенство A) имеет место для любой
функции к$%1'
$Лж|<$|Л|Л. A)
X I X
Оно доказывается точно так же, как было доказано A1.5). Пусть
Е = {х(ЕX: Н(х)Ф0\. Если 5§пк(х) = ехр Aа), а^Я почти всюду
на Е, то
^ /к& = ^ ехр (га) \к\йь = ехр (га) ^ | к\ 6х,
так что в A) имеет равенство. Предположим, наоборот, что в A)
имеет место равенство, т. е. что ехр (ф) ^ кйъ = \ \к\дх для не-
X X
которого Рб#- Пусть ехр(ф)А = ф = ф1 + 1ф2, где фх и ф2 суть
некоторые вещественнозначные функции. Тогда ] у Ль = \ угA1-{-
X X
+ ^Ф2Л=5[(Р1+сР2]1/2^,такчто 5фхЛ<5 |Ф1|^<^[ф1+фЯ1/2Л-
XX XXX
= } ФхЛ. Отсюда следует, что Фх(х)^0 почти всюду и ф2(х) = 0
х
почти всюду. Следовательно, фх (х) — | фх (х) \ = \ к (х) | почти всюду
и к(х)=ехр(—ф)\к(х)\ почти всюду.
Перейдем теперь к (и). Если / или § равны нулю почти
всюду, то в (п) тривиальным образом имеет место равенство.
В противном случае, как показывает A2.3),
!/(*)*(*)! ^ 1 1/(*)Г
1 \Щ{Х)\Р'
\М\\Р\\Ш\\р'^Р || /||? ^Р' ||
*Н#
B)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
11*НЯ/(*Iр=Ш21г(*)Г.
*) Неравенство (ш) называется неравенством Гельдера; иногда и (И)
называется неравенством Гельдера. При р = р' = 2 неравенство (Ш) также
называется неравенством Коши (также Буняковского или Коши— Буняковского).

180 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Интегрируя B) по X, получаем (и); остается заметить, что при
нарушении C) на множестве положительной меры в (И)
получается строгое неравенство. []
A2.5) Следствие. Пусть (±, ..., [п—неотрицательные
функции из 21э а аг, ..., ап—такие положительные числа, что
«! + «,+ ... +ал= 1. Тогда /?/?' • • • Гпп €»1 и
X
Доказательство. Прямая индукция по п с
использованием A2.4). 0
A2.6) Теорема (неравенство Минковского). Для любых /,
ё$%р, 1<р<оо,
0) \\! + 8\\р<\\ПР + Ы\Р,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
найдутся такие неотрицательные числа А и В, не равные нулю
одновременно, что А{ = В@.
Доказательство. Как и в A2.2), имеем \! + §\р<2р(|/ \р+\§\р),
так что /+#€2^. Применяя A2.4), имеем
X X
<$1Л1/+^-1л+$|#||/-иг1л<
<11/]
1\!+ёК1)р'^
Ф' +
+ 11*1
5|/+^|(Р-1)Р'Л11/р' = (||/||р + |1^||р)||/+^Г1. A)
Отсюда следует A).
Условие, сформулированное для наличия равенства в A),
очевидным образом достаточно. Предположим обратное, т. е. что
в A) имеет место равенство. Тогда вA)оба неравенства также
переходят в равенства. Из второго из них и условия A2.411)
получаем
А'\Пх)\' = В'\Пх)+ё(х))г
И
А"\8(х)\г = В"\[(х)+§(х)\г B)
почти всюду, где А', В', А", В"—неотрицательные числа, и
(Л'2 + Я'2)(Л + Я)>0. Если /+я = 0, или / = 0, или ^ = 0

§ 12. Пространства %р (X) A<р<оо) 181
в 2Я, то А[ = В§. В противном случае из B) следует, что
\8(Х)\ = У\КХ)\ = Ь\[(х) + §(х)\ почти всюду, где у, б > 0.
Поскольку первое неравенство в A) есть равенство, то
\Цх)+е{х)\ = \Г(х)\ + \8(х)\ = A+у)\Цх)\
почти всюду на множестве Е = {х^Х: /(х)+§(х)ФО\. Имеем
поэтому
1+в&
/(*)
1+^=1+1т§1 D)
почти всюду на Е, так что §(х) = у{(х) почти всюду на Е.
Следовательно, &{х) = у[(х) почти всюду. []
A2.7) Теорема. Пусть /, ё^. Тогда Щ + еЦг^ЦНк + Ши
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
существует такая положительная измеримая функция р на X,
что § (х) = р (х) / (х) почти всюду на множестве, где ?(х)@(х)Ф0.
Доказательство. Неравенство очевидно:
5|/ + *|Ж<$|ЛЛ+$18Г|Л.. A)
X XX
Равенство в A) получается тогда и только тогда, когда
!/(*)+2(*I = 1/(*)| + 1*(*I B)
почти всюду на X. При [(х)§(х) = 0 равенство B) не является
ограничением. В случае же }(х)§(х)Ф0 равенство B)
эквивалентно условию, что число р {х) = Я !°\ вещественно и
положительно. []
A2.8) Теорема. Для любого р, 1 ^р < оо, все пространства %р
суть комплексные банаховы пространства, причем &2
относительно внутреннего умножения
@ </- ^Ч^А1)
X
является комплексным гильбертовым пространством.
Доказательство. Теоремы A2.6) и A2.7) показывают, что
11/Ц^ является нормой для 2^ (см. (В.7)). Чтобы проверить
полноту %р в этой норме, рассмотрим произвольную
последовательность целых чисел п± < п2 < ... < пк < ... такую, что
*) Горизонтальная черта над символом функции [числа] всюду в этом
разделе означает переход к комплексно сопряженной функции [числу], кроме
A9.2) и далее, где символами с черточкой записываются некоторые
специальные функции.

182 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
42111/"*+1-/«Ля=а<0°- пусть «г* = 1/»,| + 1/»1-/„,| + ..-
•••+1/«*+1—/»*|. й = 1, 2, ... Из A2.7) и A2.6) получаем
Пусть #= Нт §к. Применяя теорему о монотонной сходимости,
к -> со
находим
$*'*<[||/»,||,+а]'.
X
00
Отсюда следует, что ряды 1щ{х) + 2 (/лл+1(*)—/лА(*)) сходятся
к некоторому комплексному числу, скажем /(л:), для почти
всех х^Х. Поэтому Нт /„ (х) = {(х) почти всюду. Для любого
к-> оо *
е>0 выберем / настолько большим, что ||/да—/«. || ^ <С е при
т^п1 и к^1. Тогда по лемме Фату об интегрировании
последовательностей неотрицательных функций
5|/-/-1"л=51!е1/»*-/«1,'л<!!е51/»*-/»1''л^!
X Х&->оо Л -> оо X
при т^пь. Следовательно, /6^ и Нт ||/—/„11^ = 0.
/г->оо
Остается доказать, что &2— комплексное гильбертово
пространство. Но для этого достаточно проверить непосредственно
аксиомы внутреннего умножения для </,§•> = ^ /§"Л (В.39). []
х
Понятия и результаты, содержащиеся в A2.1) и A2.3) — A2.8),
применимы к пространствам 2^, построенным на любом
пространстве с мерой; лишь теорема A2.2) относится к специального
типа мере, определенной в § 11. Сейчас мы укажем некоторые
другие результаты относительно этой меры.
A2.9) Определение. Пусть X, /, I, <Л\—те же, что в § 11,
т
и ©—класс функций вида 2аДл. на X, где все ау. суть комп-
лексные числа, а все множества А] измеримы и имеют конечную
меру. Другими словами, © есть класс комплекснозначных
измеримых функций на X, принимающих лишь конечное число
значений и равных нулю вне некоторого множества конечной меры.
A2.10) Теорема. Для любого р, 1^р<оо, линейное
пространство @00 плотно в 2 , а @00 плотно в %гр.

$ 12. Пространства %Р(Х) A<р<оо)
183
Доказательство. Мы проведем доказательство только первого
утверждения теоремы; второе доказывается аналогично.
Поскольку 0</(|/|я) = $ |/|М1 для любой функции / ^ ®00
X
A1.36), включение &00а%р очевидно. Прежде чем доказывать
плотность @00 в 2 , докажем, что в &р плотно множество @
ступенчатых функций [конечно, © является линейным
подпространством в й^]1). Рассмотрим любую неотрицательную
вещественную функцию /6^. Для каждого положительного целого п
и каждого А = 1, 2, ..., п2п—1 определим множество АклП =
п2п — 1
= 1х$Х: А</(*)<*±-Н и функцию ал= ]Г ^^^. Тогда
1 6=1
(?„€©, а!<а2< .. .<0П< ... и Нт ал = / всюду на X.
/г -> со
Далее,
Поскольку B/)^€&1» можно применить теорему Лебега о
мажорированной сходимости и получить Нт ^ |/—ал|^1 = ^ Нт |/—ал|*Й1=0,
откуда с очевидностью следует Нт ||/ — а„ 11^ = 0.
Л-> СО
Наконец, поскольку любую функцию [€&р можно
представить в виде / = /!—!2 + Шз—/4)> гДе все /1Э /2, /3> /^й,
неотрицательны и вещественны, имеем Пт||/ — ап \\р = 0 для любой
функции /€Й^, так что © плотно в &р.
Переходим к доказательству плотности ®00 в &р9 для этого
достаточно показать, что для любых е>0 и измеримого
множества ЛсХ, 0<ь(Л)<оо, найдется функция /(Е®™, ДЛЯ
которой }|/— \А\р<к<ъ. Но это прямо следует из A1.32).
X
Действительно, выберем компакт Р и открытое множество \]
так, чтобы РсАаЦ и ьA1 [)Р') <г. Осталось выбрать любую
функцию /€©оо с 1(Р) = 1, /(*/') = 0 и /(Х)с[0, 1]. Очевидно
$|/-^|^л<1(г/пл<е. ?
х
В связи с теоремой A2.10) заметим, что норма ||/|| может,
конечно, быть нулевой и у ненулевой функции / из ©00.
Плотными в 2^ являются именно классы эквивалентности,
содержащие элементы из ®по.
*) Это утверждение справедливо в действительности для %р над любым
пространством с мерой.

184 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Определим теперь «существенно ограниченные» измеримые
функции. Это определение мотивируется теоремой A2.2) и
несколько отличается от классического.
A2.11) Определение. Пусть 93?;—пространство всех
ограниченных комплекснозначных измеримых функций на X. Пусть,
как обычно, || / На = зыр {|/ (х) |: х^Х} для любого / ^ ЭД^ и пусть
9?!—пространство всех локально нулевых функций из ЭДД. Ясно,
что 5Ш,, является банаховым пространством относительно нормы
||/||я и поточечных линейных операций, а 9?ь является
замкнутым линейным подпространством в Ш^. Определим пространство
&«> =2<» (X, оЖх) как факторпространство ЗЛ"|уЭ11. Пространство &«*
можно рассматривать как пространство всех ограниченных
комплекснозначных^ функций на X, в котором две функции считаются
одинаковыми, если они отличаются лишь на локально нулевом
множестве. Норма функции / ^ 2» в 2оо определяется как
ш1{||/—/'||а: /'(Е^ь}; мы будем ее записывать Ц/Ц».
Легко показать, что ||/ у» = \пЦа€ /?: а>0 и множество
{х^Х: |/(#)|> а} локально нулевое}. Более того, эта нижняя
грань достигается, т. е. существует такое р > 0, что множество
{х^Х: |/(х) | > Р} — локально нулевое, а для любого у, О^у < р,
множество^ \х ^ X: | / (х) | > у} локально нулевым не является.
A2.12) Теорема. Пространство 2» является банаховым.
Доказательство. Единственное, что требует доказательства,—
полнота 2оо. Но всякое факторпространство банахова
пространства по замкнутому линейному подпространству полно
(В.17). ?
Докажем теперь одну теорему, которая нам потребуется при
изучении сопряженных пространств к 2 , 1^р<оо.
Как и ранее, для любого 1 < р < оо через р' обозначено
единственное положительное число, такое, что 1/р + 1/р' = 1;
пусть, кроме того, Г = оо и оо' = 1.
A2.13) Теорема. Для любого /€%,, 1<Р<°°, имеем
0) Ш, = зир{|5ГфА|: Ф^оо, |М|р'<1Ь
х
Аналогичное утверждение справедливо для 2^ и (&г00.
Доказательство. Отдельно рассмотрим случаи 1 < р < сю, р= 1
и р = оо.
(I) Итак, пусть 1<р<оо. Из неравенства Гельдера A2.4)
для любого /(Е^ следует, что правая сторона равенства A)
не превышает левой части. Чтобы доказать равенство, мы
можем, очевидно, ограничиться рассмотрением случая ||/||/,>0.

5 12. Пространства %Р(Х) A<р<оо)
185
Пусть сначала к = ||/ \\}ГР \I \р~гЧпI- ТогДа> очевидно, к$%Р'
( напомним, что р' =
р~\
к\\р> = 1. Далее, $ /^ &>
х
= II / \\У 5 /1 /1"38П/Л = II / ИГ $ 1/МН1/11,- Наконец, исполь-
X X
зуя A2.10), выберем такую функцию фх 6 6ч>о> что||А—Ф1 Ир" < 211/11 *
где 8 — произвольное положительное число, меньшее 2||/||я.
Тогда ||| ф1 ||р—11 = | || Ф1 ||р—||Л||рЧ^11ф1—Л||р- < 2ТГ7П^ • ПУСТЬ
Ф =,|#п и Фг; заметим, что Ц Фх ||Р'> 0. Тогда ||ф||р,= 1; приме-
II Т1 ПР'
няя неравенство Гельдера, получаем
$М1-Ш,|=К/фЛ-$/ал|<
X X X
<1т1,1|Ф-л||р'<и/11,A|ф-Ф1||р'+1|ф1-л1и=
= ||/1Ц|11ф1||Р—1| + ||ф1-М1Р')<е-
(II) Предположим, что р=1. Для любых /€&1 и Я^й*, мы,
очевидно, имеем
5/л л
<Н/1Н1Л|
A)
Рассмотрим любую функцию ф€@0о- Пусть Р—ее компактный
носитель, и для любого а>0 пусть Еа = {х(:Х: |ф(х)|^а).
Выберем ©а € ©оо_таку чтобы (да{Еа) = 1, соа (Е'а/2)=0 и соа (X) с: [0, 1].
ПуСТЬ фа = (зеПф)@а.
Тогда, очевидно, -фа € @оо и || 'Фа ||а> ^ 1 Для любого а. Нетрудно
проверить, что
Нш $ф-фаЛ =5191^1 = 11911!.
а->0х ^
B)
Рассмотрим теперь произвольную функцию /(Е^, и пусть нам
задано произвольно малое положительное число е. По теореме
A2.10), найдется ф€@00, для которого || ср—/||1<-д-. Если а
достаточно мало, из A), B) и элементарных неравенств для
нормы получаем
1/Н1-5 /^лкптичмиНиФНх-Ы" *
+
\ фг|)аЛ— \ /фа &,
+
2е
<|+Цф-/|иИа|и<е!

186 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
(III) Предположим, наконец, что р = оо. Случай ||/||» = 0
тривиален; считаем поэтому, что * ||/ || «, ^=0. Пусть р—любое
число, для которого 0<р< ||/|| о,. Тогда из A2.11) и A1.26)
вытекает существование такого множества А €>А, что 0 < I (Л)<оо
и 1/С*I>Р Для любого х^А. Пусть # = ^8§п7^4- ТогДа
8€&и IIёГII х = 1 и
1^л^гш!|/|А>р- C)
X А
Поскольку выбором ф€@оо число \\§— ф||! может быть сделано
произвольно малым, простое вычисление позволяет из C) и A)
получить A) для р = оо.
Доказательство для &гр аналогично, и мы его опускаем. []
Докажем теперь частичное обращение теоремы A2.13), также
полезное при исследовании сопряженных пространств к %р.
A2.14) Теорема. Пусть р^\—любое вещественное число.
Если для измеримой функции / на X со значениями в [О, оо]
имеем
(\) вир Д 1рЛ: Р компактно и Р а Х\ = оо х),
то
.<11=оо.
(И) зир /К/фЛ|: <р€@&. ||ф11р'<4
Чх )
При р = оо равенство (И) справедливо для любой измеримой
функции на X со значениями в [0, оо], не принадлежащей &«,
(здесь р' = 1).
Доказательство. Предположим, что 1 <!р < оо и что @
выполнено. Пусть нам задано произвольное положительное число р
и компакт Р с X, для которого ^ [р 6х > р*\ Положим /л=
р
= тт(/:, п) для любого /г=1, 2, ...; тогда Нт $ /?Л=5 /*Ж>Р*>.
п -+ <х> р р
Выберем л0 так, чтобы } (^йь > Р^7. Поскольку I (Р) < оо, имеем
р
ТПоЪг€&р и, очевидно, \\?п0Ы\р>$' Вследствие A2.13) найдется
функция ф€ ©оо» ||ф11р'^1 такая, что
$№рЛ
> р. Более
г) Это условие выполнено, например, если } &%р и / равно 0 вне
некоторого множества, являющегося счетным объединением множеств конечной
меры. Оно не выполнено для ^, если N— локально нулевое, хотя ^дг может
не принадлежать &р.

$ 12. Пространства &, (X) (Кр<оо) 187
того,
$/|."ф|Л>К/ЯвфЛ
>Р-
Поскольку |ф|6@о0 и |||ф||1р'^ 1» утверждение (и) доказано.
Предположим теперь, что функция / неотрицательна и
измерима и что /^йос. Для любого р > 0, как следует из A1.33),
существует такой компакт Р> что ь({х^Р: [ (х) > 2{$}) > 0.
Положим /0 = тт(/, 2Р)^; очевидно^ €»• и ||/0||„ = 20. По A2.13)
найдется функция ф ^ ©00, для которой || ф || г ^ 1 и
Тогда
$/оФ^1
>Р-
$ /1 ф | бх > К и ф &
>р. п
A2.15) Обсуждение. Наша следующая цель — показать, что
сопряженное к 2 , 1^р<оо, пространство (В.21) может быть
идентифицировано с 2Р'. Неравенство Гельдера A2.4Ш) и его
тривиальный аналог A2.131) для йх и 8» показывают, что любой
элемент §^&р^ определяет ограниченный линейный функционал
на 2у.
(I) /~$&А = Ф,(/).
X
Теорема A2.13) показывает в частном случае, что ||Ф^||(см.
(В.8)) совпадает с ||б"||Р'. Мы хотим показать, что каждый
ограниченный линейный функционал на &р имеет вид Ф^. для
подходяще выбранного §€:&р>, 1^р<оо. Чтобы это сделать,
нам потребуется еще один результат, известный как теорема
Лебега—Радона — Никодима, который и сам по себе
представляет чрезвычайный интерес.
A2.16) Предположим, что 7, ц оМ^ и Жу,—те же, что в § И.
Рассмотрим другой неотрицательный линейный функционал «/
на @00 (X) и проведем для него те же построения, что и для
функционала 7, т. е. построим его продолжения /и /и
внешнюю меру Каратеодори ^ (%А)9 которую мы теперь будем
записывать г) (Л). Один из способов построить функционал / по
/ — выбрать неотрицательную 1-измеримую функцию ^, для
которой 81Р€%1 (X, 0 для любого компакта Р с X. Назовем такую
функцию § весовой функцией. Мы тогда можем определить
^ (ф) = ^ ф^г^ дЛя любого ф€@оо- Покажем, что это описание У
эквивалентно некоторым соотношениям между / и У и I и т).

188 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
A2.17) Теорема (Лебега—Радона — Никодима). Пусть I, У, I
и т] те же, что в A2.16), и пусть оМи оМ^, е)У\, ^—классы
множеств, определенные для I и г), как в A1.28) и A1.26). Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(I) существует такая весовая функция § на X, что ^ (у) =
= \ Ф^Л для любой функции Ф € ©оо>
х
00
(и) пусть множество АаХ имеет вид А= (] Ап, где каж-
дое Ап 1-измеримо и ^-измеримо, причем ь (Ап) < оо, г) (Ап) < оо.
Тогда т) (А) = ] §Аь9 где § есть некоторая весовая функция, зави-
А
сящая только от ц и ь;
(Ш) если /—любая ц-измеримая функция на X со
значениями в К или [—сю, оо], для которой ^ |/| йт) < оо, то сущест-
х
вует такая ь-измеримая функция /' на X, что |/'|^|/|» !~Г
'ц-почти всюду и \ ? с1ц=\ Г§^- Здесь §—снова некоторая весо-
X X
вая функция, зависящая только от г) и у\
(IV) Л^сЛ^;
(у) для любых ф (Е ©оо и 8 > 0 существует положительное
число б, для которого из я|N©оо> О^'Ф^Ф» и I СФ) < ^ следует
^№) < е.
Доказательство. Начнем с доказательства импликации
A)=^(п). Предположим сначала, что Р есть компактное
подмножество в X. Используя A1.22), находим открытые
множества I]п и компактное множество Е, для которых
/?с...с(/в+1с1/вс ...с^сЕ,
Нт *>{У^ = ь(Р) и Нт т| (!/„) = л (^)- Для любого п=\, 2, ...
/г-> оо п-^ср
пусть функция Ф„(Ебоо выбрана так, что Ф„(/7)=1» Фл(^л) = 0
и ф„ (X) с [0, 1]. Тогда Нт фл (х) = ^(х) т]-почти всюду, а функ-
ции ф„ мажорируются функцией ^, принадлежащей ^(Х, г)).
Далее, Нт ср„ (х) § (х) = ^(х) ^ (я) 1-почти всюду, а функции
Ф,^г мажорируются функцией ^(^(Х, I). Следовательно, мы
можем применить (|) и теорему Лебега о мажорированной
сходимости, чтобы получить
Ч (Л = 5^*1= 11т $ФиЙТ1 = Нт 5ф„гЛ = 5^Л:=5^л- (!)
х я-*00 х /г->со х х ^

$ 12. Пространства &р(Х) A<р<оо)
189
Пусть теперь А= [) АпУ где все Ап 1-измеримы и г!-изме-
римы и 1(Л„)<оо, ц(Ап)<оо. По A1.32) получаем Л =
= ( У Рп)[)М9 где все Рп компактны, и I (Ы) = ц(Ы) = 0. Мы
можем, очевидно, предположить, что Рпс:Рп+1, п=\, 2, ...
00
Обозначая И= [] Рп и используя A), мы видим, что
п— 1
т|(Л) = ч(Я)=Нт ц{Рп)=\\т $ гЛ = 5 *& = $* Л. B)
Это и завершает доказательство импликации A)=^(п).
Покажем теперь, что из (и) следует (ш). Мы можем,
очевидно, ограничиться рассмотрением случая /^0. Применяя
A1.40) к / и мере т], найдем /'. Для любого положительного
\ &
целого п и к= 1, 2, ..., п2п— 1 пусть Л/г, „ = <х(Е^ от;^/' (*) <
< —г^~ >. Все множества Акл „, конечно, 1-измеримы и
^-измеримы, и являются объединением счетного семейства множеств
конечной I- и т]-меры. По (и) имеем
п2п-\
к=\ Ак,п
п2п-\
8 Ль. C)
Я2я-1 к
Функции V ^п\а. монотонно возрастают к /', и поэтому
к=\
из C) следует, что ^ /йт1= } /' Лц = 5 /'#Л. Поэтому (Ш) вы-
полнено.
Покажем, что из (Ш) следует (IV). Пусть Л—множество,
являющееся локально 1-нулевым: 1(А(]Р) = 0 для любого
компактного множества РаХ. Для любого такого Р найдется
последовательность Цг з {У2 з ... гэ (/л з ... Г) А Г) Р открытых
множеств, для которых (/" компактно и ь ((/л) < 1//г. Пусть
00
^ = п (/„; очевидно, ЯзЛГ)/7 и ь(Е) = 0. Функция 1ип 1-из-
мерима и \\ (IIп) ^г)((/^) < оо. По условию A11), найдется
неотрицательная функция /л^^, 1-измеримая, для которой г) ([/„) =
1=13 !п8^- Функции /;§• мажорируются функцией 1^,
х

190 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
принадлежащей 2Х(Х, I), и потому, по теореме Лебега о
мажорированной сходимости, получаем
0= ^ Пт 1пё^^ Пт ^ ['п§A1= Пт г) (Цп).
Поэтому Пт г\ (Vп) = 0и, следовательно, ц (А Г) Р) = 0. Это пока-
зывает, что Л^Л/^ и (\у) установлено.
Докажем теперь, что из (IV) вытекает (у). Пусть,
действительно, (у) не выполнено. Тогда найдутся такие ср0€®оо и
положительное число е0, что для любого п=1, 2, ... существует
функция -фяб^оэ Для которой 0<-фя<ф0, 1(^п)<2'п и
П^п)>4- Пусть Ал = зир{-фя, г|)я+1, ...,*фл+/, ...}, л=1, 2, ...,
2>*
А = 2 5*.%л<2'2"" и
й=л X
и й= Нт йя. Тогда ^ йяА < $
8о ^ 3 Фл^'П^ 3 ^л^Л» п=19 2, ... Поскольку Ая^ф0, теорема
X X
Лебега о мажорированной сходимости дает нам
^ Ндх= Пт ^ Нпс11 = 0
X п->а> х
и
}АЛг)=Нт )НпAц^е0> 0. E)
D)
Из D), A1.27), E) и A1.32) следует существование компактного
множества Е с: {х ^Х: к (х) > 0}, для которого г] E) > 0 и
1(Е) = 0. Тогда множество Е принадлежит оЛР,,, но не
принадлежит о^Тр. Таким образом, (IV) не выполнено.
Остается доказать, что из (у) вытекает A). Это
доказательство мы разобьем на несколько шагов. Предположим сначала,
что /<:/ и что У](Х)<оо. Для любой функции ф6@оо
неравенство Коши A2.4Ш) дает нам
5<р<*т||<л(хI/а Г5гф12^1 1/2<т](хI/2 Г5|ф12^1 1/2.
Эти неравенства показывают, что отображение фн->^фйт)
х
является линейным функционалом на @о0, непрерывным
относительно нормы || ф || 2 в &ЦХ* 0- По A2.10), множество &00 плотно
в 25 (X, ь), поэтому указанное отображение можно продолжить
единственным образом до ограниченного линейного (вещественно-

^ 12. Пространства &р (X) A <р<оо) 191
значного) функционала Ф на &5(Х, О (В. 11). По (В.45I),
существует функция й"^25(Х, 0, для которой Ф(!) = \ [§^
х
для любой функции /€^(Х, I). Для Фб^оо мы> таким
образом, имеем
$ФйгЛ = Ф(ср) = $ ср йх\.
X X
Для ф^©оо неравенство 0^/^/ дает нам
0^ } Фё"Л < ^ фбA .
х х
Из этих неравенств легко заключить, что 0^§-(х) ^ 1 для любого
х^Х, за исключением некоторого 1-нулевого множества. Мы
можем, таким образом, предположить, что 0^§-(х)^1 для
всех х^Х. В частности, ^*^€^(Х, ь) для всех компактных
подмножеств ^ в X. Это доказывает A) для (очень
специального) случая /^/ и т](Х)<оо.
Теперь предположим, что «/<!/, но т1(Х) = оо. Пусть <!Г —
семейство компактных подмножеств, построенное для меры ь,
как в A1.39). Для каждого Р ^<1Г пусть 1Г и ^Р—линейные
функционалы на К00, определенные по формулам
/^(<р) = $<рЛ и У/7(ф) = $ф^л. Фб^оо-
р р
Покажем, что /г^/г при Р ^^. Как и в первом абзаце
доказательства, существует мажорированная последовательность
{фл}я=1 ФУНКЦИЙ ИЗ 6+0, ДЛЯ КОТОрОЙ \'№уп(х) = %р(х) 1-ПОЧТИ
всюду и г|-почти всюду. Следовательно, если я|э^@;[, то
Р X /г->сох
^ Нт ^ фяфдх = ^ %Р^6х = //г('ф).
/г->оох х
Пусть 1^ и у\г—меры, соответствующие функционалам 1Р и ^г.
Если 1|M©^0 и *Ф^1» то ^г№) = \ ^с1у\^:'ц(Р). Следовательно,
р
х) Поскольку (В.45) применяется здесь к комплексным гильбертовым
пространствам, требуется некоторое пояснение. Распространим Ф до
комплексного линейного функционала Фс на €2 (X, I) (В.38). Затем применим (В.45),
чтобы получить функцию # ^ #2 (^> 0> Для которой Фс ([)=[}$ йу при
х
! ^ #г (^> 0- Легко видеть, что функция # должна быть веществен позначно й-

192 Г л, 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
по A1.11), 'Цр(Х) конечно. Поэтому к функционалам 3? и 1Ь
применим уже рассмотренный случай. Для каждого Р^оГ мы
находим такую функцию др^&ЦХ, 1Г)> что 0^§>(л;)^1 всюду
на X, и для любой функции ф6@0о
р р
Мы можем, очевидно, предположить, что @Р(х) = 0 при х^Р\
Определим функцию #= 2^. Таким образом, § (х) = §г(х)
при х$Р (Р€Ю> и §(х) = 0 при х€A1 {^е^})'- Легко видеть,
функция ё* 1-измерима. Действительно, пусть А = {х ^ X: §(х) >а},
где а;>0. Тогда множество Л Л/7 — {х^Х: §р(х) > а} 1-измеримо
для каждого Т^^, и Л= II (А Г)/7). Если {/—любое открытое
множество конечной положительной ь-меры, то V Г) Т7 =7^= 0 лишь
для счетного количества РаОР, скажем, Р1У Р2, ... A1.39 Ш).
Следовательно,
1A/ПЛ) + 1([/пЛ') =
= 1({/п(^1(Лп^))+1({/п(лМЛп/7/г))') = 1({/).
По A1.31), множество А 1-измеримо. Очевидно, что ё^б^^О
для любого компактного подмножества ЕаХ.
Пусть теперь ф—любая функция из б00, а Е—ее
компактный носитель в X. Из A1.39111) прямо следует, что множество Е
имеет непустое пересечение лишь со счетным множеством
элементов семейства |Г, скажем, Ь1,Р2у • ••>/7л, • ••'» пусть N =
= (и{Р€$*})'• Как указывалось в A1.39), множество N локально
1-нулевое, и, поскольку /^/, оно является и локально т]-ну-
левым. Поэтому
/(ф)= 5 <рйц = ] ф^т)= ^ Ф^П + $ фйт) =
X Е во ЫПЕ
II Рп
00 оо
Л = 1 к- /1 = 1 /? У
Таким образом, мы доказали A) в предположении /^/.
Рассмотрим, наконец, общий случай. Для любого
положительного целого п пусть 1п = т\п(п1, 1), где гшп(/г/, «/) есть
дцнейный функционал на ©др, определенный в (В.34). Мы сна-

$ 12. Пространства %р (X) A </?<оо) 193
чала покажем, что /(<р)= Пт ^п(ц>) для любого Фё^оо1). Таким
П~У 00
образом мы утверждаем, что для произвольного а>0
т!{п/(ф) + /(ф—ф): ^е®й и 1><Ф}>/(Ф)—а, F)
если л достаточно велико. Мы переформулируем F) так:
п/(г|))>/(г)))-а, G)
если 0<г|;^ф, я|)^®+0, а п достаточно велико. При </(ф)<а
неравенство G) не является ограничением. При 7(ф)>а мы
используем (у), чтобы установить существование такого б > О,
что приО^-ф^ф, г|э € ®оо» и ^ СФ) ^ а име^т место / (тр) > б. Для
любого целого я > —^~~а , легко видеть, из / (г)))—а^ О
вытекает /г/(г|;) > /(ф)—а^/A|))—а. Поэтому G) и, следовательно,
F) установлены.
Очевидно, /я^/г/ для любого я= 1, 2, ... Поэтому мы можем
как в уже рассмотренном случае найти 1-измеримые
функции §п такие, что 0^^п^д и ^п(Ч>) = ) Чёп^ь для всех
х
ф€@оо- Поскольку ^^/з^..., последовательность функций
ёи &<г> • • • ые убывает (игнорируем, как обычно, локально 1-иу-
левые множества), и потому
, / (ф) = Нт ]п (ф) = ^ ф Г Ит цЛ дх
при ф€©оо- Полагаем %-- Нт §п (локально 1-почти всюду),—
П -> 00
и доказательство завершено. []
Следующая теорема представляет собой первое применение
теоремы Лебега — Радона — Никодима.
A2.18) Теорема. Для любого р, 1^р<оо, сопряженное про-
странство к 8 =# (X, ь) есть 2Р,, в том смысле, что для
каждого ограниченного линейного функционала Ф на йр найдется
функция б^Яр/, для которой
(О Ф(Л=5/йГЛ для любой /€2Я
м || Ф || = ||йГ||р-- {Напомним, что всюду Г = оо.)
Доказательство. Начнем с пространства 2р. Пусть Ч' — любой
неотрицательный ограниченный линейный функционал на 2р.
Поскольку ©о0 есть (вещественное линейное) подпространство
г) Читатель заметит, что (у) используется в доказательстве, только чтобы
установить последнее равенство.
' Э. Хыоитт, К. Росс, т. 1

194 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
в &р, мы можем рассматривать Ч' как линейный функционал
на &00, неотрицательный на (&%0: тем самым в необходимых
случаях теорему A2.17) можно применить к функционалу Т и
первоначальному функционалу /, в терминах которого
пространство %р(Х, ь) было определено. Рассмотрим любую функцию
ф(Е@оо- Тогда, если 0^г|)^ср и 'фб^оо» МЫ имеем
Т(Ю<||Т||
5^А
1/Р
< II ^ IIII ф III'
1/Р'
^ 1|ЗЙ1
Чр
Отсюда следует, что функционалы Ч? и / удовлетворяют
условию A2.17.У), и потому, по теореме A2.17), существует 1-изме-
римая функция §^0 на X, для которой й&?€&1.(^>0 Для
любого компактного множества РаХ, причем
ХУ (Ц>)=\ Ц>§й1 ДЛЯ ЛЮбоЙ фуНКЦИИ ф(Е@оо-
A)
При <р€@оо и Цф|1/>^1 также имеем
$Фглк5!ч>1гл<11^11-
! х I х
Если Р—компактное подмножество в X, то
'$<1**к$|ф|яА<||ЧГ||-
Р I Р
По теореме A2.14), следовательно, получаем ё^б&р'» а по
A2.13), ||^||р'<||^||. Пусть а = зир{||^||р': Т7—компактно
и РаХ\. Пусть, далее, Р1аР2с:..
.аРпс:...—последовательность компактных множеств, для которой Нт \\§1Г \\р. = а9
00
и пусть #= I) ^„. Функция #—локально почти всюду ну-
/1=1
левая на Л'. Если бы это было не так, то существовало бы
компактное подмножество Есй', для которого I (Е) > 0 и
8{х)>0 при х €Е A1.33). Тогда мы имели бы )§р'A1>0, и
- - Е
Рп[]Е компактно для любого /1=1,2, ... В силу Нт } ^'дх = аР'
П-> со р
п
мы бы тогда получили
5 8р' л = 5 §р' А + [$р' Л > ор'
для достаточно большого п, что невозможно. Переопределяя §
нулем на /У, мы получаем поэтому функцию § в 2у, для кото-

5 12. Пространства %р(Х) (Кр<оо) 195
рой выполнено равенство A). По теореме A2.13) тогда ||Ч'|| =
НЫк- Поскольку множество Щ0 плотно в &гр A2.10),
представление A) выполнено для любого /(Е&р.
Произвольный ограниченный линейный функционал Ф на %гр,
используя (В.37), мы можем представить в виде Х\Г1 — ЧУ2У где
оба функционала ХУ1 и ХР2 неотрицательны. Если & и #2 выбраны,
как выше для хУг и Ч'2 соответственно, мы, очевидно, получим
A), где § = ^1—^2» Для (вещественных) функционалов на &гр.
Представление A) и теорема A2.13) показывают, что ||ф|| = ||§-||р,.
Рассмотрим теперь произвольный ограниченный линейный
функционал Ф на комплексном банаховом пространстве &р.
Для любого [ €%р имеем Ф (}) = Ф1 (/) + *Ф2 (/), где и Фх (/) и
Ф2(/) вещественны. Легко видеть, что Фу (/ + П==Ф/(/) + Ф/(У')
и Ф, (а/) = аФ, (/) для любых /, /' € 2», а € Я и / = 1, 2; Ф, (/) =
= -Фх 07); наконец, зир{|Фу(Я|: II Л1,<Ц<ЦФЦ. /=1,2.
Следовательно, рассматриваемый на (вещественном) линейном
пространстве 2^ функционал Фх есть ограниченный линейный
функционал и, по предыдущему, допускает представление
ф1(ф)=^Ф^г^1 при ср(Е2р. Аналогично, функционал Фх допу-
х
екает интегральное представление на (вещественном)
подпространстве в % , состоящем из всех функций п|;>, ур^&р:
следовательно, Ф-, (гф)= з *фй А, где Н^2грг. Таким образом, при
/ = Ф + гф€2^ мы имеем
Ф G) = Фх (/) + *Ф. (У) = Фх (/)-/Фх (V) =
= Фх (Ф) + Фх (**)-« [-Фх (Ф) + Фх (*"<р)] =
X
Поскольку # и й принадлежат й^, функция §—Иг
принадлежит 2Р', и потому A) установлено. Финальное применение
теоремы A2.13) показывает, что \\§— гА||Р' = ||Ф||. ?
Замечания. В этом разделе мы по необходимости несколько
отошли от классической трактовки пространств 2^, которая
может быть найдена, например, у Харди, Литтлвуда и Пойа [1]
и Данфорда и Шварца [1]. Такой отход диктуется, естественно,
возможным наличием локально нулевых, ненулевых множеств;
теоремы A2.2), A2.11), A2.12), A2.14), A2.17) и A2.18)
отличаются от соответствующих классических теорем. Очень полезная
теорема A2.10), очевидно, не имеет аналога для пространстве ,
определенных для абстрактных пространств с мерой.
Лемма A2.3) принадлежит Юнгу [1], а доказательство
A2.6)—Ф. Риссу [3], стр. 45. Теоремы A2.13) и A2.14) взяты
7*

196 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
из Бурбаки [2], гл. 4, § 6, № 4, замечание 2). Классический
случай теорем A2.13) и A2.14) принадлежит Ф. Риссу [2].
Теорема A2.17) жизненно важна для гармонического анализа.
Для прямой к и лебеговой меры ь она доказана Лебегом [1];
для интервала в Яп и любых функций множеств—Радоном [1];
для абстрактных пространств с мерой — Никодимом [1]. Наша
трактовка основана на Бурбаки [3], гл. 5, §5, № 5, теорема 2. При
р> 1 теорема A2.18) есть перенесение на наш случай
классического результата Ф. Рисса [2], стр. 475. При р = 1
классический случай теоремы A2.18) принадлежит Штейнхаузу [1].
§ 13. Интегрирование на произведениях пространств
A3.1) Обсуждение. На протяжении разделов A3.1)—A3.14)
X и У—произвольные непустые локально компактные хаусдор-
фовы пространства, а/и/ — произвольные неотрицательные
ненулевые линейные функционалы на@00(Х) и @00 (У) соответственно.
Для функционалов I \\ ] мы строим продолжения /,/,«/ и У и
соответствующие внешние меры I и т]. Семейства множеств <Ли
оЛРь и сЖ^ оЛГп определяются, как в §11. Заметим, что &41У
Мы будем рассматривать произведение пространств ХхУ и
функционалы, меры и интегрирование на ХхУ, определенные
в терминах /, / и I, т]. Пусть /—функция на ХхУ со
значениями в К или в [—оо, оо] такая, что для некоторого х0$Х
функция у Л/ (х0У у) принадлежит (&00(У). Значение^ / (ср) мы
будем записывать ^у(I(x0,у))\ выражения /*(/(*, */<>))> ЛЛ/Ч*> Уо))>
~3у (/ (*о> У))> Тх (/ (х0У у)) и Ту (/ {х0У у)) определяются аналогично.
Для функций / на X и § на У пусть [§ означает функцию
(#, у) н-^ / (х) § (у), определенную на ХхУ (области значений
функций / и § будут всегда такими, чтобы определение имело
смысл).
A3.2) Теорема. Для любой функции } €&00(ХхУ) имеем
'у{Пх,у))$Ь0о(Х) и 1х(Г(*>У))е®оАУ)>
причем
(О 1хЬГу(!(х>У))] = *у[1ЛПх>УШ
Функционалу определенный равенством A), является
неотрицательным, ненулевым линейным функционалом на @00(ХхК).
Доказательство. Мы можем предположить, что функция /
вещественнозначна. Для /€@50(ХхК) существуют, очевидно,
открытые множества Цс:Х п УсУ с компактными замыканиями

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 197
Ц~ и У' такие, что [(х,у) = 0 при (х, у) € (V хУ)'. [Достаточно
рассмотреть проекции множества {(х, у) (~ХхУ:~/ (х, у)фО\ на
X и У.] Открытое подмножество ^УхУ в ХхУ, очевидно,
является локально компактным хаусдорфовым пространством в
своей относительной топологии. Рассмотрим пространство $ всех
т
функций к на II хУ вида 2 Ф/Фу где ф1' '"' Ф«^^оо(^) и
%, ..., фЛ€@о0(Ю- Ясно, что $ есть подалгебра в @5({/хУ)>
разделяющая точки: если (и1У V-!), [и2,у2)^1]хУ и и1фи2У то
найдутся такие функции ср, -ф, что ф (их) = 1, ф («2) = 0 и \р (ух) = 1.
По теореме Стоуна—Вейерштрасса, множество $ равномерно
плотно в %{И хУI). Функция /, суженная на ИхУ, принадлежит,
очевидно, &ъфхУ). Следовательно, она может быть равномерно
аппроксимирована на V хУ функциями из %{11XV). Мы продол-
т
жим функции 2 фуфу из <@, полагая фу (*) = () при х^Х{\11'
/=1
и фу (#) = 0 при у € V" П V (/ = 1, ..., т). Тогда для любого 8 > О
существуют функции фх, ..., Ф^ (Е@о0(^0> равные нулю вне [/,
и функции \\>1У ..., ут 6 ^о (У)» равные нулю вне У, для которых
I т I
/ (*, У)— 2 Ф/(*)Ф/(У)\<ъ Для всех (*, у) еХхУ. A)
I /=1 I
По теореме A1.6) существуют такие положительные числа а и
р, что |/(ф)|<а||ф||я при Ф6@00(Х) и ф(С/-') = 0 и | / (ф) |<
<РИФ II» при Ф€бво(П и ф(У-') = 0.
*) Существует несколько форм теоремы Стоуна — Вейерштрасса. Приведем
некоторые формулировки. Множество § функций на множестве X
называется разделяющим точки, если для любых х, у ^ X, я Ф у существует
функция / ^ ^, для которой / (х) Ф / (у).
(а) Для любого компактного хаусдорфова пространства X любая подалгебра
алгебры EГ (X), разделяющая точки, не равная нулю тождественно ни в
какой точке X, равномерно плотна в ($/ (X).
(Ь) Для любого компактного хаусдорфова пространства X, любая
подалгебра в 6 (X), разделяющая точки, не равная нулю тождественно ни в
какой точке X и замкнутая относительно операции комплексного
сопряжения, равномерно плотна в § (X).
(с) Для любого локально компактного хаусдорфова пространства X любая
подалгебра в ©о (X), разделяющая точки и не равная тождественно нулю
ни в какой точке X, равномерно плотна в К5(Х).
(с!) Для любого локально компактного хаусдорфова пространства X любая
подалгебра в Й0 (X), разделяющая точки, не равная тождественно нулю ни
в какой точке X и замкнутая относительно операции комплексного
сопряжения, равномерно плотна в E0 (X).
Доказательство (а) можно найти, например, у Келли [2], стр. 320—321.
Утверждение (с) доказывается аналогично. Утверждения (Ь) и (с!) являются
прямыми следствиями (а) и (с) соответственно,

198 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Зафиксируем теперь х^Х. Функция
т
1(х,У)—2 ф/(*)Фу(#),
/ = 1
определенная для у^У, очевидно, принадлежит &Г00(У) и равна
нулю на Уз!/"'. Следовательно, из A) вытекает
^у([(x,у))-I^V^(x)^(%)
1 = 1
<ре.
B)
Оценка B) не зависит от выбора х^Х. Поэтому функция
Лу{1(х,у)) является равномерным пределом по X функций
т
2 3 СФ/) Ф/6©оо(^)» каждая из которых исчезает на {/'гэ!/-'.
Отсюда следует, что Зу{1{х>у)) принадлежит %<>(Х) и исчезает
на У\ Из B) мы получаем также, что
и«м/(*.у))]-.2/(9/Н(г)
/ = 1
< сфе.
C)
В точности то же рассуждение показывает, что и 1х([(х, у))>
как функция у, принадлежит (^0(У), исчезает на V и
ММ/(*. </))]-2/(фу)^,)
7 = 1
< Рае.
D)
Поскольку е произвольно, а числа аир фиксированы, как
только фиксирована функция /, из C) и D) следует A).
Линейность и неотрицательность функционала, определенного в A),
очевидны. Если 1(у)ф0 и У (чр)фО, то 1Х [/у (ср (х)^(у))] =
-7(ф)/(*)^0. ?
A3.3) Определение, Линейный функционал, определенный
в A3.21), называется произведением функционалов / и / и
записывается /х/. Внешняя мера на Р(ХхУ), определенная, как
в § 11, по функционалу /х/, называется произведением мер I
и г] и обозначается ьх\1.
A3.4) Теорема. Для любой функции §^Ш+ (ХхУ) имеем
Ту(ё(х,у))€Ш+(Х) и7Лг(*.У))€9Ю+(П. и
(О Ix^(ё)^IxУу(е(x9у))] = ^у^^x(8(x9у))].
Доказательство. Пусть 11—множество всех функций
1€&оо(ХхУ) таких, что 0</<§*. Как показано в A3.2),
каждая функция ^у([(x^у)) принадлежит @+0(Х). По (П.10.у), мы

§ 13. Интегрирование на произведениях пространств 199
имеем ё" = зир{/: /6Щ. Следовательно, для каждой
фиксированной точки х0^Х получаем §(х0, у) = &ир{1 (х0, у): /€Щ для
любого у^У. Каждая функция } (х0, у) принадлежит ®0+о00> и
из теоремы A1.13) вытекает, что ^у(ё(x0, */)) = $ир {</у(/(*0, у)):
[€Щ. Поскольку это справедливо для каждой точки х0^Х, из
A1.10111) вытекает, что 1у(е(х, у)), как функция х,
принадлежит 5Ш+ (X). Рассуждения для 1х(м(х, у))—те же самые.
Используя A1.11), A3.3) и A1.13) дважды, получаем
7x7B) = зир{/х/(/): /€Щ =
= 8ир{/х[/у(/(х>У))]:"/би}=_
= 1Х [зир иу (/ (х, у)): / € Н}] = 1Х Уу (ё (х, у))].
Равенство ГхТ(§) = 7у [7Х (§ (х, у))] доказывается
аналогично. []
A3.5) Следствие. Если к—любая функция на ХхУ со
значениями в [0, оо], то
(!) Ш>) > тах {Тх [1у (к(х, у))]9 7у [1Х (к (х, у))]}.
Доказательство. Если §^Ш+ (ХхУ) и §^ку то
73^7 (ё) = 7, [7, & (^, 4/))] =1у [7Х (ё (Ху у))].
Монотонность функционалов 7 и У по A1.17Н) влечет за собой,
что
7Л7у(8(х*У))]>Ъ[7у(Ь(х,У))].
Остается взять нижнюю грань по всем §. ?
Для функции вида ?(х)§(у) мы можем несколько улучшить
теорему A3.5).
A3.6) Теорема. Пусть / и &—произвольные функции,
определенные на X и У соответственно, со значениями в [0, оо]. Тогда
за исключением того случая, когда одно из чисел I (/), ^ (§)есть
оо, а другое есть 0.
Доказательство. Единственное, что нужно доказать, ввиду
A3.5), есть неравенство /х/(/^)^/(/) У (§). Причем
единственный случай, который нужно проверить, есть / (/) < оо, Т(§) < оо.
Пусть р и у—любые вещественные числа, большие, чем Т([) и

200 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
^ (§) соответственно. Тогда найдутся такие функции /' 6?Ш+ (X)
и я'€Ж+G), что /</', ^<^', /"(/')< р и 7B') <?• Функция
/'§¦', очевидно, принадлежит Я№+ (ХхУ) (напомним, что 0-оо =0)
и поэтому $у>1(П&(8')]^Л^([Чх)ёЧУ))]=Т^(ГЮ>
^Ix^ {[§). Этим A) доказано. [] ,л--У
Мы теперь поставим проблему вычисления интеграла по^от-
ношению к мере 1ХГ) посредством интегралов по отношению к
мерам I И Т].
A3.7) Теорема. Пусть А а'ХхУ. Если множество А является
IXЛ'нулевым, то множество Ах = {у ^У: (х, у)^А\ является
ц-нулевым для \,-почти всех х^Х, а множество Ау—{х^Х:
(х, у)(ьА} является ь-нулевым для ц-почти всех у(~Уг).
Доказательство. Рассматриваем только Ах. Если 1ХТ)(Л) = 0,
то,_ по следствию A3.5), 0 = Ix^ AА) >~1 х УУ (ёл (*> У))] =
= 1х(г\(Ах))^0. Теорема A1.27) тогда показывает, что ц{Ах)
исчезает для 1-почти всех х^Х. []
A3.8) Теорема (теорема Фубини). Пусть }€%г (ХхУ, 1ХЦ).
Тогда функция ((х, у) как функция переменного х принадлежит
2Х(Х, ь) для ц-почти всех у^У, а функция [(х, у) как функция
переменного у принадлежит 2Х (У, ц) для 1-почти всехх^Х. Далее,
функция переменного х, определенная формулой х-^\^( (х,у)с1г\(у),
у
где интеграл существует, и равная нулю в остальных точках,
принадлежит 22 (X, ьJ); аналогично для \ I (х, у)й\, (х). Наконец,
х
мы имеем
A) 5 1(х,у)й1Хц(х,у) = ^!(х,у)Aг)(у)A1(х)==
= ^[(х,у)с11(х)с1ч(у)*).
XXV XV
УХ
х) Множества Ах и Ау называются сечениями множества Л.
2) На протяжении этой книги функция х—> \ / (х, у)Дц(у) будет опре-
V
делена всюду на X по этому условию; аналогично для у—>- \ / (х, у)й\,(х).
X
3) Здесь и далее в этой книге мы используем символ \ ... д. как своего
рода скобки. Например, правая часть в A) должна интерпретироваться как
5 К/(*,у)Л(*)|Л)(у).

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 201
Доказательство. Рассмотрим сначала фиксированную ьхт]-
измеримую функцию /, для которой ^ |/|^1ХТ)<оо. Без по-
XXV
тери общности мы можем предположить, что функция /
неотрицательна. Покажем, что функция х~^[(хуу) ь-измерима для
г]-почти всех у. По A1.40), найдется функция /', определенная
наХхГ, такая, что $ /' (х, у)с1ьхц(ху у) = $ !{хуу)^хц (х,у),
XXV ХХУ
Г < /, а множество {(х, у)€ХхУ: /' (х, у) > а\ а-компактно для
каждого а>0. Поэтому /=/' + Л, где функция Н неотрицательна
на 1x7 и исчезает всюду, кроме множества N Iхг|-меры 0.
Пусть Р — множество тех у € У, для которых I \х$Х: (хуу) ^Ы\=0.
По A3.7), мы имеем ц(Р')=0. Далее, если ^Риа>0, имеем
{хеХ: [(хуу)>сс}= )
= {х$Х: Г(х,у)>а\[}{х$Х: (х,у)<~Ы \ A)
и Н{х, у) >а—}'(х, у)). )
Первое множество в правой 4асти равенства A) а-компактно, а
второе множество 1-нулевое, так что их объединение 1-измеримо.
Аналогично, функция у—>/(*, у) ^-измерима для 1-почти всех х.
Далее, по A2.10), найдется последовательность срх, ср2, ... с
С ®;0(ХхУ) такая, что Нш $ 11{х> У) — ФЛ*» у) \^ ХЦ {х, у)=
/г->соХху
= 0. Из A3.5) и A1.36) мы получаем
Ит 1Х I 5 I / (х> У) — <Рп (*> У) I с1Ч (У)
Я -> 00
= 0, B)
где мы заменяем \\!(х,у) — ф„ (х, у) \ йг\ (у) нулем, если этот
интеграл не определен, т. е. если функция 1(х, у) — уп(х, у) не
является т]-измеримой. По A1.27), найдется
подпоследовательность этой последовательности функций (которую будем снова
обозначать срх, <р2, ...), такая, что
Нт \\1(х, у) — уп(х, у)\йч\(у)=0 1-почти всюду на X. C)
Поскольку )^п{ху У)^Ц(у)="^у(^п(х^ У)) (используем A1.36))
У
принадлежит &ы{Х) как функция переменного х A3.2), из C)
мы получаем, что функция ^ / (х, у) йц (у) 1-измерима как предел

202 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
1-почти всюду функций из @50(Х). Из B) теперь следует, что
Ит 5 К / (*. У)Лц {У)~ $ Ф„ (х, у)йх\ (у) | Л (х) = 0 D)
п-> оо х | у у
и потому функция х—+] /(х, у)Лц{у) принадлежит 2Х(Х, ь). На-
у
конец, учитывая A3.3), получаем
5 / (х, у) Л X г] (х, у)— $ $ / (х, у) йх\ (у) дх (х)
ХХУ XV
<
< 5 \Нх>У) — 9п{х,у)\A1Х1\(х,у) +
XXV
+ Я 5 / (*,у) йц (у) — 5 ф„ (*, г/) йх\ (у) дх (х).
Х\У У |
Отсюда следует первое равенство в A). Остающиеся равенства
очевидны.
Чтобы завершить доказательство, достаточно заметить, что
если §(ху у) =/ (ху у) 1ХТ1-почти всюду, то для 1-почти всех х
равенство }(ху у) =ё(х> У) справедливо для т]-почти всех у, и
для г|-почти всех у равенство }(х, у)=§(х, у) верно для 1-почти
всех х. Это прямо следует из A3.7). []
A3.9) Теорема. Пусть /—функция на ХхУ со значениями
в [0, оо], 1ХТ]-измеримая и исчезающая 1Хг\-почти всюду вне
00
множества [} Ап, где каждое Ап 1ХЦ-измеримо и \>Хц(Ап) < оо.
/2=1
Тогда функция х\—>[ {х, у) является 1-измеримой дляц-почти всех
у ^У', а функция у—*)[(х,у) А\> (х) является ц-измеримой; анало-
х
гично для функций г/н->/ (х, у) и хь-> \ /(я, у)Aц(у). Далее,
у
A) 5 ?(х,у)A1Хч(х>у) = Ц{(х,у)Aц(у)A1(х) =
хху ху
= $$/(*. у)й1(х)Aц{у).
УХ
Доказательство. Мы, очевидно, можем предположить, что
А,аА2с: ...аАпа ... Пусть /я=тт(л,^п) (л = 1, 2, ...).
Тогда ясно, что /х </2<.. .</„^..., Нт /я = / 1ХТ1-почти
П -> 00
всюду, и 1п ^2Х '(ХхУ, 1ХТ]) для любого А1 = 1, 2, ... Пусть
Р—множество тех у^У, для которых Нт [п (х, у) = / (х, у)
/г -> оо
1-почти всюду и для которых функция хь>^ (л:, у) 1-измерима

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 203
(/1=1, 2, ...)• По A3.7) и A3.8), получаем ц(Р') = 0. Очевидно,
функция хн-> Нш }п(х, у)=[(х,у) 1-измерима для у^Р. Ана-
П -> 00
логично, каждая функция у\-» ^ /„ (х, у)с1ь (х) т]-измерима и при-
надлежит 21 (У, ц). По теореме о хмонотонной сходимости получаем
3 /(х, у)й\. (х) = '\\т ] [п (х, у) их, (х) при у^Р. Заметим также,
X л ~> °° X
что функции у>->\ [п (х,у) 6х (х) монотонно возрастают по п (у ^ Р).
X
Объединяя эти замечания с теоремой A3.8), получаем
5 /(х, у)дххг[{х, у)= Нт $ М^йО^ХЛ^. </) =
- Нт $ $ Ы^ #) Л (*) 4т| (у) =
ХхУ "^«ХХК
я-> со у ^
= 5 Пт 1[„{х,у)&(х)с1г\(у) =
у П -+ СО %
= \\!{х,у)A\.(х)Аг\(у).
УХ
Доказательство для ^ / (х, у) Лц (у) дх (х) — то же самое. []
XV
A3.10) Теорема. Пусть / — 1Хг\-измеримая функция на ХхУ
со значениями в К или в [—оо, оо], исчезающая ьхц-почти всюду
00
вне некоторого множества {] АпУ где каждое Ап является 1ХЦ-
п-\
измеримым и ьхц (Ап) < оо. Тогда все три интеграла
A) $ / (х, у)й1Хг\(х9у), 55/ (*, у) йх\ {у) дх (х),
ХхУ XV
55/(*.у)л(*)Л)(у)
УХ
конечны и равны между собой тогда и только тогда, когда хотя
бы один из интегралов
(") 5 \ИХ>У) Иьхт](х, у), Ц\[(х,у)\с1у)(у)й1(х),
ХхУ ХУ
УХ
конечен.
5$|/(*'0)|<м*)<м@)
Доказательство. Мы можем представить / в виде /х—/2+
+ /(/:, — /4)> гДе 0^/у^1/1 Для любого /=1, 2, 3, 4. Иытегра п

204 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
) I / (*> У) I Ль Xт] (х, у) конечен тогда и только тогда, когда
ХхУ
каждый из интегралов ^ | /у (х, у) \ йьхц (х, у) конечен, / =
ХхУ
— 1, 2, 3, 4; аналогично для кратных интегралов. Таким
образом, утверждение следует непосредственно из A3.9). []
A3.11) Теорема. Пусть АаХ и ВаУ и предположим, что
1(А) = 0У а В есть объединение возрастающей
последовательности В19 В2, . . ., Вп, ... (не обязательно г\-измеримых) множеств
конечной ц-меры. Тогда 1Хг](Лх5)=0. Если В—любое
множество, а А—локально {.-нулевое множество, то произведение А х В—
локально 1Хг\-нулевое. Подобное утверждение остается в силе,
если поменять местами А и В.
Доказательство. По A3.6), имеем Ix^ Aахв ) = 1х1 (Ъа%вп)==
= I (%А) ^Цвп) = 1 (^)г1(^п) =0- Таким образом, по A1.18) имеем
1Хц{АхВ)=ТхТAАхВ) - Нгп ПГТ(Ъахв)=0.
п -> со
Предположим, что множество А — локально 1-нулевое, а В—
произвольное множество. Если Р—любой компакт в ХхУ, то
Р содержится в множестве БхЕ, где Б—некоторое компактное
подмножество в X, а Е—компактное подмножество в У. Тогда
(АхВ)[)Ра(А{}0)х{В(]Е) и ., хл ((Л Л О) Х(В П Е)) -0 по
доказанному выше. []
A3.12) Теорема. Пусть / €&1 (Я, 1) и 8€%1 0^ г\)- Тогда
функция (х, у) н-» / (х) ,§" (у) (записываем ее [§), принадлеоюит 2Х (X х У,
1Хг]) и \ ! {х) ё (у)A1Хг\{х, у) =\ [ (х) аь(х) \§{у)Лц(у).
ХхУ XV
Доказательство. Ввиду A3.6) и A1.36), нам нужно только
проверить IX ^-измеримость функции /§\ Пользуясь A2.10),
выберем последовательность <рх, ср2, ..., ср„, ... функций из @00 (X)
и последовательность %, а|J, ... ,я])л, ... функций из @0о00 та"
кие, что Пт || /—ф„ (^ = 0 и Нт \\§— *фл ||х =0. Элементарные
п -+ оо /г-> со
свойства оператора 1x1 вместе с теоремами A3.6) и A1.36)
дают
7х7(| ??г- сР,г-ф„ |) < 7х7(| ^_/ф„ | +1 /^- Ф„ф„ |) <
= 7(|/|O(|^-г|),г|) + 7(|/-Ф„|O(|^|) =
= Н/1|11к-ФЛ1 + 11/-Фв1И1*»111-

$ 13. Интегрирование На произведениях пространств 208
Поскольку последовательность {|| -фЛ \\х\п=г ограничена, последнее
выражение стремится к 0 при п —*оо. Следовательно, по A1.27),
некоторая подпоследовательность из ||/?-фА|}п=1 сходится
к 0 1ХГ|-почти всюду на ХхУ. Поскольку все ц)п\рп
принадлежат @00(ХхК), функция /§• является 1Хт|-измеримой. []
A3.13) Теорема. Пусть множества АаХ и Вс:У измеримый
а-конечны. Тогда Ах В является I х ц-измеримым, иьхг[(АхВ) =
= 1(Л)Т,(В).
Доказательство. Пусть А1У Л2, . . .—монотонно возрастающая
последовательность измеримых подмножеств в X конечной ь-меры,
со
таких, что [) ЛИ=Л; аналогично для Вг, 52, ... Тогда, согласно
A3.12), Ъа»хвп = ЪапЪвп^х{ХхУ, IX л) и ьХц(АпхВп) =
=1(Ап(,ц(Вп). Остается перейти к пределу при п—*оо. []
Аналогичный теореме A3.13) результат имеет место для
произвольных множеств А и В, если только произведение ь(АI(В)
не имеет вида О-оо или оо-0.
A3.14) Теорема. Пусть АаХ и ВаУ— произвольные
множества такие, что 1(А)ц(В) не имеет вида О-оо или оо-0. Тогда
1ХГ](ЛХЯ) = 1(Л)Г)E).
Доказательство. По A3.6) имеем
1Хч(АхВ) = Т^(ЪАхв)==1(ЪАI(Ъв) = 1(А)ч(В). ?
A3.15) Теперь будем строить теорию интегрирования на
произвольных произведениях компактных хаусдорфовых
пространств. Во всей остающейся части параграфа через {Ху\ует
будет обозначаться произвольное непустое семейство непустых
компактных хаусдорфовых пространств, а через X —
произведение Р Ху. Для любого у 6 Г пусть 1У обозначает произвольный
уег
неотрицательный линейный функционал на &(ХУ), для которого
/7A)=1. Мы также будем рассматривать некоторый линейный
функционал / на ® (X). Для всех этих функционалов 7, 1у, 7, 1У>,,
и ьу—те же, что в § И.
Для произвольных Уо€Г и функции §• на ХУо> рассмотрим
функцию @оку на произведении X (напомним, что пУо есть
проекция, переводящая точку (ху)^Х в хУо). Очевидно, если
8€&(ХУо), то @опУо€(&(Х). Всюду дальше мы будем обозначать
§опУо просто через §•, если этим не создается двусмысленности.
Итак, рассмотрим произвольную функцию /б@(Х). Выберем
некоторый элемент у0€Г и точку ау^Ху для любого уфу0.
Обозначим через а' точку (ау) ^ Р Ху. Функция хУоь->[ ((а', хУо)),

206 Гл. 3. Интегрирование на Локально КдмпактнЪ/х пространствах
очевидно, непрерывна на ХУо. Применяя функционал 1Уо к этой
функции, мы получим некоторую комплекснбзначную функцию
на Р ХУо. Ее значение на а' записывается 1у0 [?{&')]. Удобно
V Ф У о
определить 1Уо [/] па всем X, считая, что 1Уо [/ (а)] ^= 1Уо [[ (а')\
при а^Х и а' = (ау)УфУо. Иначе говоря, 1Уо[[(ау\ не зависит от
7о-й координаты а. Наконец, мы для краткости будем
записывать итерацию 1У1 [1Уг [. . .[1У [/]•••]]] как 1у1,...,у (/)>
аналогично понимаются выражения ТУи ..., у (/) и 1Уи ..., у (/).
Подобного рода условия и обозначения мы рассматриваем и
по отношению к интегрированию. Рассмотрим любую функцию
Н на X со значениями в К или [—оо, оо]. Выберем элемент
7о€Г и точку ау^Ху для каждого уфу0. Обозначим а' точку
(ау) ^ Р Х7. Предположим, что функция хУо*-^к((а', хУо))
УФУо
принадлежит 21(Х-Уо). Тогда, интегрируя эту функцию по мере
1Уо, мы получим комплекснозначную функцию, определенную
для некоторых [или всех] а'. Ее значения на а' записываются
^ к((а'у хУо)) АУо (хУо) или, короче, ^ й ЛУо. Как и в случае
X X
То 7о
функционала, определяем \ к й1Уо на (а', аУо)^ Р Ху как
х тег
^ к ((а'у хУо))A1Уо(хУо) для любого яУо€Х7о.
X
То
A3.16) Теорема. Для любых /<Еб(Х) ^ То€Г функция 1Уо([)
принадлежит 6(Х). Далее, если у1У ..., уя—различные элементы
из Г, а {я^ ..., пр\—любая перестановка символов {1, ...,/?}, то
(О /V, Тр(/) = Ч, %(^)'
Доказательство. Пусть §—пространство всех функций на X
т п
вида Л= 2 П Ф/ *> гДе каждое ф, л принадлежит @(Хб.), а
/= 1/г=1 ' я
б1э ..., 6„—различные элементы из Г. Пусть 7б Г. Тогда
1У (к) ^ <<р. Действительно, если у=8ко для некоторого 60= 1,..., я,
то
т.п.
1У {Н) = /бйо (Л) = 2 ( П Фу, Л /вЛо (Ф/, к.),
\кфк0 У
а если у отлично от всех б/г, то
/7(А)-А.

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 207
Эти выражения для 1У{Н) показывают, что 1У(Н) принадлежит $.
Отсюда также следует, что обе части равенства A) вполне
определены и принадлежат <§, если /6<&.
Рассмотрим произвольную функцию /ё®(Х) и некоторое
е > 0. Функциональное пространство $ является подалгеброй
алгебры ©(X), замкнутой относительно комплексного
сопряжения, разделяющей точки X и содержащей единицу. Теорема
Стоуна — Вейерштрасса гарантирует нам поэтому существование
такого й€<Й> что
1|/-Л||в<е.
Для любого у0 (Е Г тогда, очевидно, || /То(/)—1у0(Щ\а<&- Поскольку
/Го(Я)^§, мы видим, что 1Уо([) есть равномерный предел по X
функций из .§, и потому 1Уо({) 6@(Х). Следовательно, обе части
равенства A) определены для /^@(Х) и обе представляют
функции из @(Х).
Фиксируя все координаты хуу кроме хУ1, ..., ху , мы можем
рассматривать функцию [ как (непрерывную) функцию на
ХГ1Х...хХу . Тогда из A3.2) следует, что обе стороны @
равны. []
A3.17) Определение. Для конечного подмножества А^!^, ...
..., ур\ из Г и функции /(Е©(Х) пусть /д(/) есть функция из
®(Х), определенная равенством A3.161).
A3.18) Теорема. Пусть {к}—множество всех конечных
подмножеств из Г, направленное по включению. Тогда для каждого
/(:®(Х) направленность /д(/:) функций из ©(X) сходится
равномерно к некоторой постоянной функции^ которую мы обозначим
1A). Функционал I яа@(Х) линеен и неотрицателен, и /A)=1.
Доказательство. Пусть дано произвольное в > 0. Как
указано в доказательстве A3.16), существует такая функция
т п
Л= 2 П Ф/, *€$ (Фу,* €©(Хб.), где бх, ..., 6,,—различные
элементы из Г), что ||/—А||я<е. Пусть Д0 = {б1, ..., 6п\. Если
А з А0, то
т п
/4№ = ДЧ(Фм)=Ч(Л). A)
\ _ 1 /г— 1
Таким образом, все функции /д(Л), А :э А0 являются
постоянными, со значением /д0(Л). Кроме того,
II /а (Л — /а (Л) ||а < е Для любого А. B)
Из A) и B) мы получаем
II и {!) — и, (А) ||в < 8 Для любого А з А0.

208 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Поскольку функция /д0(Л) постоянна и ее значение можно
рассматривать как зависящее только от е (как только Л = Л8
выбрано), элементарное рассуждение показывает, что /д (/)
сходится равномерно к постоянной функции. Линейность и
неотрицательность функционала / следует прямо из линейности и
неотрицательности каждого /д. []
В остающейся части параграфа через / обозначим линейный
функционал на (&{Х), определенный в теореме A3.18).
A3.19) Следствие. Пусть 1 = ^2 ... [т, где /^©(Ха.) и
^1> •••> &т—различные элементы из Г. Тогда
т
/(/)=П/б.(/у).
A3.20) Теорема. Пусть § = §1ёш • • • ёт> где ё/€$&+(Х6/) и
$1* • ••> бда—различные элементы из Г. Тогда
_ т_
@ /(г)=П/в,(йГ/).
Доказательство. Заметим сначала, что если все множества
А19 ..., Ат непусты и лежат в [0, оо], то
т
Цзир{а: а 6 А,} = зир {с^а, ... ая: а^А}). A)
Мы опускаем доказательство A), поскольку оно элементарно;
справедливость A) зависит от нашего условия 0-оо = 0.
Поскольку Я/ = зир{//: /у€©+(*ву) и /><§,-} A1.10.у),
равенство A) даег нам
8 = тШш ¦¦¦ !т- //€©+№0 и /,<§>, 1=1, .... т\.
Применяя A1.13), A3.19), еще раз A) и A1.11), получаем
Ш = зир{/(/1/2 ... /я): Г,€Ъ+(Х6/) и //<*,} =
= 5ир| П 1ь^1): Ь<Е®+ №,.) и /><§)} =
т т _
== Дзир{/ву(/у): /у€е+(^) « //<^НШбу(^). 0
A3.21) Теорема. Пусть А= Р Ау—подмноэюество в Х = Р Ху
у е Г V € Г
такое, что каждое Ау ^-измеримо и что Ау = Ху для всех, кроме,

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 209
может быть, конечного числа индексов у€Г. Тогда множество А
I-измеримо и
теГ
(в действительности это—конечное произведение).
Доказательство. Пусть Д—некоторое конечное подмножество
из Г, содержащее {у€Г: Л7=^Х7}, и пусть Д>2.
Докажем сначала @ в том случае, когда каждое Л7либо
открыто, либо замкнуто. Пусть А, = {б ^ А: Лб не открыто}. Доказываем
@ индукцией по Ас. Если А, = 0, то каждое 1Л ^Ш+ (Хб),
поскольку А6 открыто, и потому
\беД б/ беД ч 6/ бел
по A3.20). Предположим теперь, что A) справедливо и что А
является 1-измеримым при Ас < п. Пусть Ас = п> п^\. Выберем
б0^Ас. Записывая А0 = Ап{б0}/ и У = Р Ху, мы видим, что
геГПА'
*ввх Р А6хУ=(Аб9х Р А6хУH(А'бох Р А6хУ). A)
беД0 \ беА0 /V бе Д0 /
Индуктивное предположение, примененное к Х6ох Р А^хУ и к
бб Д0
Лб0Х Р А6хУ, дает нам ь-измеримость А = А$оХ Р А^хУ и, в
б € Д0 б € Д0
силу конечности I, используя A) и индуктивное
предположение, получаем
П ьб(Лб)-1(Л) + 1бо(Лб0) П ЧШ
б 6 Д0 б € Д0
И
1(Л) = [1-1бо(Лб0)] П 1б04б)= П Ч(АЛ).
б б Д0 б 6 Д
Тем самым @ доказано в случае, когда каждое А6 либо открыто,
либо замкнуто.
Рассмотрим теперь общий случай. Предположим, что
1ао(Лбо) = 0 для некоторого 60^А- Тогда для любого е >0
существует такое открытое множество (/бо :э Лбо, для которого
Ч(^0<8- Следовательно, 1(Л)<1/^/6ох Р °ХУ) = 16 ((/бо)<е.
V V Ф б0 /
Предположим наконец, что 1б(Лб)>0 для всех б$А и что
А = т. Пусть а—произвольное число, 0 < а < 1. Тогда найдутся
открытые множества (/$ и компактные множества Р$ такие, что

210 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Р6сА6аУ6 и ^а1б(^б)<16(Лб)<—^ 1в(^в). Тогда
у а
01(/4)<а1/ Р ^/бХ Р Х7А = П 7^Ч(и6)<
< Лч{А6)< II ^1в(^в) =
бед беА^а
=41G р*х р *гУ<^И). B)
В силу произвольности а получаем 1(Л)= Ц ь6(^б)-
6бА
Неравенства B) также показывают, что множество А является
объединением а-компактного множества и множества 1-меры
нуль, если все ьб (^4б) положительны. Следовательно, само А
является 1-измеримым. []
A3.22) Теорема. Пусть Ау—подмножество в Ху для каждого
у€Г. Если все Ауу кроме счетного числа, равны Ху, и все Ау
являются 1У-измеримыми, то множество Р Ау является ь-измери-
мым9 и I ( Р Л.Л = 11 1у(Ау)г). Если ь7(Л7)< 1 для несчетного
\уеГ ) тег
множества индексов у, то \> ( Р Л7^ = 02).
Чтет )
Доказательство. Первое утверждение прямо следует из A3.21)
и из счетной аддитивности меры I. Чтобы доказать второе,
заметим, что существует такое число а < 1, что 1У(АУ) < а для
бесконечного множества индексов у, и потому найдутся открытые
множества Цу в этих Ху, такие, что АуаОу и 17([/7)<а.
Следовательно, I / Р Л7\<а", /2=1,2, 3, ..., так что I ( Р АЛ=0.П
\76Г ) \,УбГ )
Докажем теперь аналог теоремы A3.8) для бесконечных
произведений. Нам потребуются, однако, некоторые
предварительные сведения.
A3.23) Пусть Х= Р Ху я {Ге}еев—некоторое разбиение Г.
?еГ
Если для каждого 0^9 мы положим Уе — Р Хр, то
пространнее
ство X гомеоморфно произведению У= Р Уе. Действительно,
в€в
*) Это произведение определяется как 'т1 {ь (Аг) ... 1у (Ау ): {уь ...
..., уп\ есть конечное подмножество в Г}.
2) Если I (А ) — 1 и А Ф X для несчетного множества индексов у, то
множество Р А не обязано быть измеримым; см. A6.131).
тег у

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 2 И
па
отображение т: Х~~*У> определенное формулой т((х7)) = (г/е),
где ув = (Ху)у&г 9 является, очевидно, гомеоморфизмом. Для
каждого 0^6 пусть ^^—функционал на ®(Уо), образованный,
как в A3.18), по функционалам {1у\у&г , и пусть
./—функционал на ©(К), образованный, как в A3.18), по функционалам /0.
Пусть, наконец, т]е — мера на Ко, порожденная, как в § 11,
функционалом «/0. Если/—функционал на ©(X), образованный,
как в A3.18), по функционалам {/7}76г, то естественно
ожидать, что по существу функционалы / и </ должны быть
одинаковыми. Следующая теорема показывает, что это действительно
верно.
A3.24) Теорема. Пусть {Г0}ее0> Уе> У* т> ^е и 1 — те же, что
и в A3.23). Тогда
(I) /(/) = / (/от) для любого / 6 © (X).
Доказательство. Поскольку т—гомеоморфизм, ясно, что
/€@(^) тогда и только тогда, когда /от-1 ёК(У). Также
нетрудно понять, что отображение /н->У(/от-1) является
неотрицательным (и потому непрерывным) линейным функционалом
на ®(Х).
Пусть $с:(&(Х)—то же, что в доказательстве A3.16).
Поскольку <§ плотно в равномерной топологии на ®(Х), достаточно
установить A) лишь для функций из §. Далее, поскольку
функционалы / и / линейны, достаточно проверить A) лишь для функций
п
вида й = Цф*, где каждое фА принадлежит К(Хб;), б1? ..., Ьп —
различные элементы из Г.
Пусть Д0 = {в1» ..., б„}ив0 = {еев: АоПГе^0}; очевидно,
в0 конечно. Для любого 9 ^ в0 полагаем Д0 = А0 П Ге и о|)в = II Фъ
6^Ае
мы можем рассматривать фе как функцию на Ув= Р Ху. На-
теге
конец, заметим, что функция -ф= Д о|H, определенная на У,
ве 0О
совпадает с Лот. При Э^в0 получаем «/0 Сф0) = («/0)д ( Ц <рЛ =
°\>бАе )
— П ^6к (У&)• Следовательно,
^(Нот-^)=^№)=^в^ И %) = Д<Го(Ь)=11 II п,ы=
= П Ч(ф*) = /д.(Пф*)=/(Л).П

212 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
При дальнейшем изучении X, К, / и / из A3.23) мы будем
отождествлять пространства X и У и функционалы / и ^.
Теорема A3.24) показывает, что это оправдано.
Теперь мы сформулируем и докажем аналог теоремы A3.16)
для пространства &р.
A3.25) Теорема. Пусть 1^р<оо. Для любых [€&р(Х) и
Уо € Г функция ^ / бйТо определена и является комплекснозначной
х„
ГО
для 1-почти всех (ху)^Х. Там, где она не определена, положим
\ /^17о = 0- Так определенная функция ^ /<йТо принадлежит
8,(Х) и
(О
5 /А*
<ш,-
Более того, если у19 ...,7«—различные элементы из Г, а
{/2!, ..., /г,Л}—любая перестановка индексов {1, ..., т}, /по также
(н) $ ... 5 /лУ1... аУл= 5 ... $ №чпх-&уПт>
ХУт ХУг ХУПт ХУП1
причем равенство выполняется 1-почти всюду на X.
Доказательство. Поскольку I (X) = 1, имеем 2^ (X) сйх (X).
Пусть в = {1,2}, ^^{уоЬ Г2 = ГЛ{7о}'; тогда в обозначениях
A3.23) У1= Х7о, ^1 = IУокч1 = ^Vо. ПоA3.24)имеемХ=Х7охУ2и
/ = /7ох/2. По A3.3) тогда получаем I = 1Уохг]2.
Применим теперь теорему Фубини A3.8). Получаем / ((ху)) =
=1(ху0> (ху)ует2)=}(хУоу у2), где у2^У2. Как функция
переменного хУоУ / (хУо, у2) принадлежит 2х(ХТо) для любого у2€ А2, где
А2аУ2 и тJ (Л2) = 0. Поэтому можем записать ^ [ (хУо, у2) с1ьУо (хУо)
х
и получить некоторое комплексное число для любого у2 ^ Л2.
Условия A3.15) существования ^ /Й17о показывают, что ^ /Л7о
х х
То То
определено для (хУо, у2) ^ХУохА2. По A3.14), это множество
имеет 1-меру нуль. Таким образом, первое утверждение нашей
теоремы доказано.
Функция ^ |/(#7о, у2)\р^Чо(хУо) также определена всюду
х
Го
на X по тому же правилу.

$ 13. Интегрирование на произведениях пространбтв 213
Неравенство Гельдера A2.4Ш) при р > 1 и очевидная оценка
при р -.= 1 дают нам
1//>'-! Я
} /Л*1
7о
5 Ш'Л?.
7о
/ \ 7о
= 5 Ш'АТ..
A)
Го
Соотношения A) справедливы ь-почти всюду на X.
Функции ^ ЫЧо и 3 \!\Р(^Чо принадлежат ^(Х), как
х х
Го 7о
показывают A3.8) и A3.12) (вспомним определение этих
функций в A3.15)). Используя A), A3.12) и A3.8), получаем
515/А*Г*<$ $1/1'Л*Л=
X X
I То
=5 51/1^^.^=51/1"^.
хх
к2х.
B)
Извлекая корни р-й степени, получаем
5 /А*
То
1/1
C)
Тем самым A) проверено, и доказано, что ^ } ^у0 6 &Р(Х).
7о
Обе части равенства (и) корректно определены и являются
комплексными числами 1-почти всюду, поскольку на каждом
шаге соответствующий интеграл принадлежит 2Х(Х), как мы
только что показали. Разобьем теперь Г на Г^^, ..->ут\
и Г2 = Г1ПГ. Для любого фиксированного у2^У2, Для которого
интеграл ^ / (у1У у2)йц{у^) существует и конечен, мы можем
применить A3.8) и получить (и). Теорема A3.8) показывает
также, что множество таких у2 заполняет все 72, кроме
множества т]2-меры 0. Тем самым A3.11) завершает доказательство
00- П
A3.26). Определение. Для любого конечного подмножества
^ = {Уи ->Ут\ в Г и для любой функции /еб®1(Х) обозначим
^/ функцию, определенную в A3.25 II).
А

214 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Сформулируем и докажем теперь аналог теоремы A3.8) для
бесконечных произведений.
A3.27) Теорема. Пусть {Л}—множество всех конечных
подмножеств в Г, направленное по включению, и пусть [ ^2р(Х),
1 <р < оо. Тогда
игл
А
{/Ч/А
= 0.
Доказательство. Для любого е>0 выберем §€(&(Х) так, что
II/—й*1|/?<8/3 A2.10). По A3.18) найдется конечное
подмножество Д0II Г, для которого || / (#) — /д (ё*) На < 8/3 Для любого
Д=эД0. Повторным применением A3.251) можно показать, что
^ / — ^ ё\\ < 8/3 для любого конечного подмножества А.
., А А \\р
Используя неравенства Минковского A2.6) и A2.7), получаем
при АзА0
$'-$/А|<И/-$*| + ||$*-$*А
+
5#а—5/А
<
<!+||/л(|Л-/B)|1,+|Кял-(^
II *
<Т+11/аЫ-/(^I1« + 11^-/111<
дх
<
2е
<у + \\ё-!\\Р < е.
[Неравенство ||#—/||1<||#—/||я следует из неравенства Гель-
дера.Щ
Теорема A3.27) показывает, что интеграл \ } & есть предел
х
по метрике &р функций $ /, [^2р(Х). Если множество Г счетно
А
бесконечно, то этот результат можно существенно уточнить:
функции ^/ сходятся 1-почти всюду к ^/Л. Чтобы это дока-
А X
зать, нам потребуется следующая лемма.

$ 13. Интегрирование на произведениях пространств 215
A3.28) Лемма. Предположим, что Г = {1,2, ...}; для любого
положительного целого п пусть Ап = {1, 2, ..., п}. При / (Е2Х {X)
« 8>0 положим А& = {х€Х: зир Л/ \
л>1 1|\д*1
П(*)
}>.}.
Тогда
A) б1(Л6)<$ |/|Л.
Доказательство. Пусть
Вп
х^Х: зир
к > п
и Сп = ВпГ\В'п+и п = 1,2, ... Тогда {(?„}"=,! есть разбиение Лб
на измеримые множества (теорема A3.25) показывает, что все
функции ^ / ь-измеримы). Следовательно, чтобы доказать A),
достаточно с помощью счетной аддитивности показать, что
&(СЯ)<$ |/|Д, A)
/г = 1, 2, ... Чтобы применить A3.24), положим в={1,2},
Г1 = АЛ и Г2 = ГПА;. Тогда Уг= Р Ху и Г2= Р Х7. При/г>я
функция з / не зависит от координат х1У ..., хА и поэтому
5/з не зависит от координат х19 . . ., #„. Следовательно,
1с не зависит от координат хг,...,хп и, эквивалентно,
?с (^1, у2) не зависит от координаты уг. Используя этот факт
вместе с A3.8) и A3.24), получаем
сп х уг у,
у. у. к, Учд„ / у2 |д„
Вспоминая, что г1х(Ух) = 1 и что С„с:)х^.Х: \( § !)(х)
\ 1\дя )
Л>б1(С„).
с„ у,у, "|а ¦
Этим A) доказано. Ц
>б\,

216 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
A3.29) Теорема. Пусть Г и Д„ — те же, что в A3.28). Тогда
для /€#1(^0 имеем
(\) Нт \ /=^/Л 1-почти всюду.
Доказательство. Определим г (х) при х^Х формулой
г (х) = Нт
|р->оо
зир
д5/)(*)-ПЛ(*)
т> п^р
Пусть нам заданы произвольные б > 0 и е > 0. По теореме
A2.10), найдется функция §€&(Х)9 для которой ||/—§\\1<г/2у
и тогда, как показано в доказательстве A3.16), найдется Н ё<§,
для которой |1 §—Н \\и < 8/2 и ^ А= ^ Н 6х для всех достаточно
больших п. Очевидно, ||/—Л ||г < е; обозначая через 1|)
функцию /—/г, получаем
г(х)= Нт
р-*со
зир
<2зир /
5 *)(*)-П *)<*>
5 Л*)
т, /г ^ р
<
л = 1,2,
Из этого неравенства следует, что
х^Х: г(х)>2&\с:1х€Х: зир Л/' 5 -фЛ(л:)|\ >б1
Применяя A3.28) к функции я|э, мы поэтому имеем
бьЦх^Х: г(^)>2б})<^|ф|А = ||яЦ11<в.
х
В силу произвольности 8, 1(\х€Х: г(х) > 26}) = 0 и в силу
произвольности б получаем г(х) = 0 1-почти всюду.
Следовательно, предел Нт \ / существует 1-почти всюду. По лемме
„+оо к -
Фату и теореме A3.27) тогда
А = 0.
5| Нт 5 / —$/л|л<Нт$ $ /—5/Л
Следовательно, Нт ^ ! = ) 1^1 1-почти всюду A1.27). ?

§14. Комплексные меры
217
Замечания. Исторический очерк, касающийся теорем Фу-
бини, см. в работах Сакса [1], гл. 3, §8, и Бурбаки [3], стр.
380—382. В теоремах A3.1) — A3.14) мы придерживались
частично трактовки Бурбаки [3], гл. 5, §8, и частично—Наймарка [1],
§ 6, № 18. Исторический обзор, касающийся теорем A3.15) —
A3.29), см. Данфорд и Шварц [1], стр. 256.
§ 14. Комплексные меры
На протяжении этого параграфа X есть всегда произвольное
непустое локально компактное хаусдорфово пространство. Где
не может быть двусмысленности, мы будем писать 6 вместо @(Х);
аналогично для @0, @00 и т. д. Мы будем иметь дело с
сопряженным пространством @$ к @0. Иначе говоря, мы
рассматриваем комплекснозначные линейные функционалы Ф на 60 такие,
что' |Ф(/)|^Р||Ли Для любого /(Е@0> где р—постоянная,
зависящая от Ф. Как отмечалось в (В.8), существует такое
наименьшее неотрицательное число р, для которого это неравенство
справедливо; оно равно зир{|Ф(/)|: ||Л1«^1> /€@оЬ
записывается ||Ф|| и называется нормой функционала Ф.
Поскольку @00 есть плотное линейное подпространство в 60,
каждый линейный функционал Ф$®о> очевидно, вполне
определен своими значениями на ®00. Таким образом, мы можем
пытаться перенести технику и результаты §§ 11—13 на
настоящий случай. Правда, нужно отметить два важных различия.
Во-первых, функционалы Ф из @^ могут принимать
произвольные комплексные значения на функциях из 6^". Это кажущееся
усложнение устраняется вторым различием,—что функционалы
из ©о ограничены, в то время как неотрицательные
функционалы на @00 могут быть и неограниченными.
A4.1) Теорема. Пусть I—неотрицательный линейный
функционал на @00, а мера ь построена по I, как в §11. Функционал
I ограничен тогда и только тогда, когда 1(Х)<оо, при этом
||/||=1(Х).
Доказательство. Поскольку I (Х)=5ир {/ (/): 0^/^1, /6@ооЬ
легко проверить, что функционал / неограничен при 1(Х)~°°-
Поскольку | / (/) | ^ / (|/1) A1.5), также ясно, что функционал /
ограничен при ь(Х)<оо. То же самое неравенство показывает,
ЧТО ||/|| = 1(Х). ?
A4.2) Замечание. Из теоремы A4.1) с очевидностью вытекает,
что каждый неотрицательный линейный функционал на ©
ограничен, если пространство X компактно. Если X не счетно
компактно, то [оно содержит замкнутое, бесконечное, дискретное
подмножество А. Каждое компактное подмножество в X

218 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
пересекается с Л по конечному множеству. При / $©00, поэтому
сумма 2 / (л:) имеет только конечное число ненулевых членов и
хеЛ
функционал /(/)=-- 2 / (*) является неотрицательным, неограни-
хе А
ченным линейным функционалом на ©оо1).
Покажем теперь, как представляются функционалы из ($о
через интегралы по отношению к ограниченным комплексным
мерам.
A4.3) Теорема. Пусть Ф—функционал из 6*. Тогда
существуют такие неотрицательные [ограниченные] линейные
функционалы 11У /2, /3» Л в @о> что
A) Ф = /1-/1+г(/1-/4).
Функционалы 11У 12 и /8> Л могут быть выбраны так, что
гшп A1У 12) = т'тA3, /4) = 02). При этих дополнительных
ограничениях представление (\) единственно.
Доказательство. Предположим, что
Ф(/) = /х (/)-М/)-И [Ы/)-/Д/)] (О
для любых /€@о- Но тогда то же самое справедливо для всех
/€@0, как показано в (В.38). Следовательно, мы можем
ограничиться рассмотрением функций из ©^ или &г0. Пусть Ф =
= Ф1 + /Ф2, где Фг и Ф2—вещественнозначные, аддитивные и
(вещественно) однородные функционалы. Тогда, очевидно, они
ограничены. Сузим теперь Фу на пространство &5,/=1, 2.
Пространство &0 можно рассматривать как векторное
пространство над #, причем | /1 € ©о» если / ё ©5- Если / € ©о» ё" 6 ^ и
1*1 </. то ||*||«<||/||., и потому|ФД*)|<||Ф||.||П|ц.
Следовательно, @||, Фх и Ф2 удовлетворяют условиям теоремы (В.37).
Поэтому существуют единственные неотрицательные
ограниченные линейные функционалы 119 /2 на @5, для которых Фх = 1г—/2
и тш^, /а)=0#1 аналогично, Ф2 = /3—^4- ?
A4.4) Теорема. Пусть Ф—функционал из &%. Существует
такая комплексная мера [X, определенная на некоторой а-алгебре
сЛр, содержащей все борелевские множества в X, что
(О Ф (/) =: 3 / (х) Ф {х) для любой функции / € ©о-
х
г) Нам неизвестна приемлемая характеристика локально компактных ха-
усдорфовых пространств, для которых ®оо (^) допускает неограниченные
неотрицательные линейные функционалы.
2) Определение гшп (/, /) см. (В.34).

$ 14. Комплексные меры
219
Доказательство. Для неотрицательных ограниченных
функционалов /• из A4.3) строим меры 1у, как в § 11, / = 1, 2, 3, 4.
Согласно (Г 1.36),
//(Л = $/А/ ПРИ /№ A)
х
и, по определению интеграла, также при всех / б ©о- Поскольку
функционал /у. ограничен, 1у(Х) конечно и 0=Оу (А) ^1у. (X)
для любого А а X. Пусть теперь ц, = ц — ь2 + *Aз— Ч)- Очевидно,
(х(Л) есть некоторое комплексное число для любого Аа X, и.
4
1^(^I^ 2 1/(А)- На а-алгебре ^^^цП^цП^цП®^ мера
/=1
[х, очевидно, счетно аддитивна. Представление A) теперь
следует из A4.30 и определения интеграла ^/ф. []
х
Найдем теперь неотрицательный линейный функционал ^9
мажорирующий |Ф(ф)| для любого фё@о в том смысле, что
'(|ф|)>|Ф(ф)|.
A4.5) Теорема. Пусть Ф—любой функционал из &%. Для
каждого ф ^ @^ пусть
(О |Ф|(ф)=зир{|ФA|))|: гК@о, |*|<ф}-
Тогда функционал \ Ф \ может быть продолжен до
неотрицательного линейного функционала из 6; и является наименьшей
неотрицательной мажорантой для Ф.
Доказательство. Предположим, что 1—любая неотрицательная
мажоранта для Ф в 6?. Тогда, если ф€@о> "Фб^о и | *ф | ^^ Ф,
то «/(ф)^^ (('Ф!) ХФ('Ф) |. Следовательно, чтобы показать,
что | Ф | есть наименьшая неотрицательная мажоранта для Ф в @2,
нам нужно только доказать, что |Ф| есть ограниченный
линейный функционал.
Прежде всего |Ф| (ф)<||Ф|Н1 Ф Ни Для всех ф€©о: если
Ж<Ф, то ||ф||в<||ф||в и |Ф(Ф)|<||Ф|Н + ||.<||Ф|1-||ф11«.
Это показывает, что |Ф|(ф) есть неотрицательное вещественное
число для любого фё®{ и также что |Ф| есть ограниченный
функционал. Столь же очевидно, что | Ф | (окр) =а|Ф | (ф), если а
есть неотрицательное вещественное число и ф(Е@о-
Пусть теперь фх, ф2—любые функции из © +. Для любого
е > 0 пусть я|)у.—такие функции из 60, что | я|)у | <! фу и | Ф (фу) | +
-|- е/2 > | Ф | (ф.), / = 1,2. Пусть, далее, Ф (\\>) - ехр (Ш | Ф (%) |,
0<6у<2я и 7 = ехр(Ц92—вг)). Тогда
|ф|(ф1) + |Ф|(ф.Х|Ф(*1I + |Ф(*вI + е=»
-1тФ(Ф1) + Ф».)Ц-е«|Ф(Т»1 + *|I + в<|Ф|(ф1 + Ф1) + в.

220 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Таким образом, получаем | Ф | (фх) + | Ф | (ф2) < | Ф | (фх + ф2)•
Чтобы доказать обратное неравенство, предположим, что я|;^@0
и |Ф|<ф1 + Фа. Пусть р1==тш(ф1> |-ф|)иря = |ф|—рх.
Нетрудно убедиться, что рг + ра == | т|з |, ру < сру и ру- € ©2", / = 1,2.
Положим теперь ^/ = ру 5§п*ф, / = 1, 2. Тогда г|)у. ^ 60, | я|>у | = ру<л°,-
и % + 1Ф2 = 'Ф- Следовательно, мы получаем
I ф (^101 = I ф (^1 + ^2) КI ф №1) I +1 ф (^2) К! ф | (Фх) 4-1 ф I (фЛ-
Поэтому функционал | Ф | аддитивен на ©;}". Продолжим теперь | Ф |
обычным путем (В.38) до комплексного линейного функционала
на ©0, ?
A4.6) Теорема. Пусть Ф—любой элемент из Щ. Пусть,
далее, [х—комплексная мера, соответствующая Ф, а
||х|—неотрицательная мера, соответствующая |Ф|. Тогда [|х| (X) = ||Ф||.
Доказательство. Напомним сначала, что | |х | (X) = $ир {| Ф | (ф):
ф€@?, ||ф||а<1}. Если ф-€©0 и ||ф||«<1» то |Ф(ф)|<
<1ф|(|ф|)<М(*). Следовательно, ||Ф||<|[х| (X). С другой
стороны, при ф^®0+ и ||ф||я^1 для любого е>0 существует
такая функция я|)(=@0, что |ф|^ф и |Ф(Ф).| + е > |Ф|(ф).
Отсюда следует, что || Ф ||^ ||х | (X). []
A4.7) Теорема. Пусть Ф—любой элемент из @^, а р, и |р,|—
меры, соответствующие Ф и |Ф|. Тогда
@
5 / Ф- < $ I / \Л I М* I пРи / € ®о
х
Это следует прямо из A4.51).
A4.8) Определение. Если / и 1 — неотрицательные линейные
функционалы на @0, а I и г]—представляющие их меры, то мы
будем через пипA, г]) обозначать меру, соответствующую
ппп(/, «/). Если 7^«/, то мы пишем 1^т].
Предположим, что /, /, I и г] выбраны, как выше. Тогда,
нетрудно видеть, следующие утверждения эквивалентны:
/<</, A)
1(Л)^т](Л) для любого подмножества Аа X, B)
I (Т7)^ Л (^) Для любого компактного подмножества Рсг. X. C)
A4.9) Определение. Обозначим через М(Х) множество всех
комплексных мер р,, получаемых, как в A4.4), по линейным
функционалам Ф из ©*(Х). Для любой меры \.1^М(Х)
определяем норму || р, || меры \1 как ||х|(Х).

$ 14. Комплексные меры
221
A4.10) Теорема. Отображение Фн->[х, определенное в A4.4),
взаимно однозначно, линейно, сохраняет норму, сохраняет
порядок1) и отображает Щ(Х) на М(Х).
Доказательство. Отображение Фн>(а, легко видеть, сохраняет
порядок и является отображением «на»; оно сохраняет норму
по A4.6), и взаимно однозначно по формуле A4.41). Нам остается
показать, что оно линейно.
Пусть Ч'—любой другой элемент из @^, а V—соответствующая
ему мера; пусть а—любое комплексное число. Если т] — мера,
соответствующая функционалу аФ + 1Р, то мы должны показать,
что т] = а|1 + \? (отсюда и будет следовать линейность
отображения Фь-»(х). Пусть а = ах — а2-\-1(а3—а4), где ау^0, /=1, 2,
3, 4. Тогда
Ф = /1-/. + *(/.-Л). Т^-У. + Ц/,-/,), A)
и
аФ + ^ = 11-Ь2 + 1(Ь3-Ь,), B)
где функционалы I;, /у- и Ьу выбраны, как в A4.3). Обозначим
меры, соответствующие /у., ]у и 2,у., через |ху-, V,- и т)у.
соответственно, /=1,2,3,4. Подставляя тождества A) в B) и
приравнивая вещественные части, получаем
а^1г + а212 + ос4/3 + а3/4 + ^1 + ^2 =
= а211 + а112-\-а313 + аА1^ + ]2 + Ь1.
Из A1.38) следует, что меры
«1^1 + а2Aа + а4^3 + 0^4 + ^1 + ТJ C)
и
«2^1 + а1Н-Я + ^З^З + «#4 + ^2 + % D)
совпадают на всех борелевских множествах. Для любых
конечных мер I и ь0, построенных, как в § 11, по неотрицательным
линейным функционалам на Щ0, и любого множества Аа X
легко проверяется тождество
т{{ь([/): О открыто и (/зЛ} +
+ 1п!{10((/): [/ открыто и УзЛ}^
= т1{1([/) + 10(г/): I/ открытой (/зЛ}. E)
Оно выводится из A1.21Н) и того тривиального факта, что если
множества V и V открыты, V зЛ и V зЛ, то и множество V Г) V
также открыто и /УП^зЛ. Поскольку меры C) и D)
согласуются на борелевских множествах, E) вместе с A1.22) доказы-
х) Т. е. Ф является неотрицательным функционалом тогда и только тогда,
когда неотрицательна соответствующая ему мера \1.

222 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
вают, что внешние меры C) и D) согласуются на любых
подмножествах в X. Это означает, что
похожие рассуждения показывают, что мнимые части выражений
а\х-}-у я У] равны. Следовательно, а\л-\-\^=у\. []
Мы теперь приведем несколько элементарных фактов
относительно множества М(Х).
A4.11) Теорема. Пусть Ф и Ч?—функционалы из ©*, а [х и
V—соответствующие им меры в М(Х). Тогда
([) \а\х \= \а\ | \11 при а^К
и
(II) |[^|<Ы + 1Ч
Далее, если ||х|<^|, то каждое {V {-измеримое множество
является | [х {-измеримым, т. е.
(III) о^| С оМ\ц\.
Доказательство. Из A4.51) мы имеем |<хФ| = |а|-|Ф| для
любого а^/С; отсюда следует, что \а\1 \ = \ а\-\ (л, |.
При /€©о и ^€©0» Ж^/ мы имеем
|Ф(Ф) + У(*)|<|Ф(Ф)| + |^A|))|<|Ф|(|ф|) +
+ |У|(|ф|)<|Ф|(/) + |У|(/).
Следовательно, |Ф + ^ | (/) <|Ф| A) + \Ч I (/) и потому |Ф+Т|<
^|Ф | + |^1- Это эквивалентно утверждению (и).
Предположим, наконец, что | \11 ^ | V | и что множество А
| V |-измеримо. Тогда А = В[)Ы, где множество В а-компактно,
N—^[-измеримо, и | V| (Л/') = 0. Следовательно, |^х| (Л/) = 0 и
N | (х |-измеримо. Поэтому множество А | [х [-измеримо. []
A4.12) Теорема. Пусть Ф—любой элемент из @Ц, а [х и |[х| —
как в A4.4) и A4.6) соответственно. Тогда существует такая
\\1 {-измеримая функция §, что:
@ ¦1йГ(^).| = ! для любого х^Х\
О!) ф(/) = $/м*(*)*Ы(*) при 1е&о.
X
Доказательство. Рассмотрим неотрицательные функционалы
1и /2, 13, /4 из A4.3), неотрицательный функционал |Ф| из
A4.5) и меры ц, 12, ц, 14 и |(х|, соответствующие этим
функционалам. Пусть, далее, Фх и Ф2—те же, что в доказательстве A4.3).
Докажем сначала, что /у<|Ф|, /=1, 2,3,4. Рассмотрим 1Х

$ 14. Комплексные меры
223
и |Ф|. При фб^оо мы имеем
|Ф|(ср) = 5ир{|Ф(г|))|: яК©0, К|<ф} =
= 5ир{|Ф1(ар) + 1Ф2(^)|: Ф€®о. Ж<ф}>
>5ир{Ф1(я|)): ф€®о, 0<ф<ф} = Л(ф).
(Последнее равенство есть как раз определение функционала
/1-тах(Ф1, 0): см. A4.3) и (В.34)). Далее, 1^^—Ф^
Следовательно, при ф^бо" имеем
/1(ф) = зир{Ф1(Ф): Ф€®2\ 0<'ф<ф}-Ф1(ф)-
= 8ир{Ф1(ф—ф): 'ФбКо, 0<я|)<ф} =
= 8ир{Ф1(сэ): ©€©о, —Ф<со<0}<
^зирЦФ^Ф)!: Ф€®о. Ж<ф} <|Ф I (ф)-
Аналогичные рассуждения показывают, что /3<!|Ф| и /4^|Ф|.
При доказательстве теоремы Лебега—Радона — Никодима
A2.17) было показано следующее: из неравенства /у ^ | Ф | следует
существование | \х |-измеримой весовой функции §*у- такой, что
0^#у(х)^1 для любого х^Х и что
М<Р) = 5 <№/* I И> I при Фб^о- (О
Таким образом, мы получаем
Ф(ф) = $ф[вГ1—8* + Нё*— е*)]*\\ь\ ПРИ Ф€®о- B)
х
Пустьд=§г—Ц2+1 (ёв—&)• Очевидно, B) тогда эквивалентно (и).
Остается показать, что \§(х)\ = \ |[х|-почти всюду.
Предположим, что \§(х)\>1 на (измеримом) множестве Р
положительной ||х|-меры. Мы можем предположить, что Р компактно,
поскольку мера ||г| конечна для любых подмножеств в X A4.6).
Найдется такая последовательность Фх ^ ф2 ^ • • • ^ флЖ • ¦
функций из (^0, что фя(Х)с[0, 1], ц)п(Р)==1 при п=1, 2, ... и
Пт \ ФЛс? | ^х | = | (х | (Т7). Рассмотрим теперь функцию 5§п^. Оче-
Л->0О %
видно, эта функция принадлежит 2Х (X, | (л |), и потому по A2.10)
найдется последовательность функций я^, \р2, ..., 1|)л, ... в 600,
для которой Нш \\^п — Чпд\с1 ||г|=0. Пусть (ол=ф/1т1П (ттт , 0
(по нашему соглашению -у > 0 • Очевидно, ып€&0о и |<*>л|^1-
Поскольку |з§п#(*)| есть либо 0, либо 1, элементарные сооб-

224 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
ражения показывают, что \<оп(х) — 5§п § (х) | ^ | \Ъп (х)—з§п^(х)|
для любого х^Х. Следовательно, Нт )\ып — 5§п^| с1\ ц | = 0.
П^оо х
Первоначальное определение функционала |Ф| в A4.51) и B)
показывают, что
$ ЧУ* М = I Ф I (Ф«) > I ф (Ф»©«) | = К Ф»©!.^ 1I11
X | X
Также
C)
+
5фа^ы—5 Ф»1гМ1и-1
5 ф«1йгИ1м-|—5 5/Н^мы
+
< 11 Ф/^ 11 оо 5 | 0) л — 5§ П §• | ^ | (X | +
X
+11*11.
5 ф^ I
м
и I С/7)
D)
Поскольку функция \§\ ограничена, из D) мы получаем, что
Нт ^ Ф„юя§й| |х| = ^/.-|^|й|[г |. Переходя к пределу в обеих
"-*00 х х
частях неравенства C), мы получаем неравенство \^\{Р)^
>К 1Р\§\A\11 \\ = $Ър\8\Л\ М- В силу |#(*)|> 1 при *€Л это
IX I X
последнее неравенство невозможно. Таким образом,
|§-(х)|^1 |[х|-почти всюду. E)
Наконец, предположим, что \§(х)\ < 1 на компакте р таком,
что | \х | (Р) > 0. Выберем последовательность срх ^ ф2 >=...
. ..^<рл^... функций из E^0 такую, что Нш Ф„ = 1я, где Е —
п -> оо
некоторое | \1 |-измеримое множество, содержащее Р, для которого
\р.\(ЕпР') = 0. Тогда Нт | Ф | (Фя) = Нт $ фяй 11* | = 11^ | (Т7). Ис-
пользуя определение функционала |Ф| в A4.51), выберем
функции ф„€©00 ТаК» ЧТ0 1+йКФй И | Ф (Фя) I + 1/^ > I Ф I (Фя)» П^
= 1,2,... Используя B) и E) и очевидные интегральные

$ 14. Комплексные меры
225
неравенства, получаем
|Ф(*»)| = |$*я8й||а||<$ |*»1 кИ1|*1<
|х I х
<$Ы*1М<$ф»*Ы- F)
X X
Переходя к пределу при л->оо в неравенстве F), находим
\ц\(Р)=Ит 5|^И||х|. G)
п->со х
Теорема Лебега о мажорированной сходимости и тот факт, что
\ё(х)\<1 на Р, дают нам
<$(Нтф,Л|вг|<*1Н = 5|*ИЫ =
X \я->оо / Е
Ч^И^КЫС7)- (8)
Р
Неравенства G) и (8), очевидно, противоречат друг другу. Таким
образом, |#(*)| = 1 Аля 1М"П0ЧТИ всех х- Заменяя § функцией,
равной ей |[л|-почти всюду, получаем A), []
A4.13) Теорема. Пусть А—любое подмножество в X. Тогда
| [I | (А) = 0 тогда и только тогда, когда ц (А) == ц (А) = ц (А) =
=14(Л) = 0. Подмножество в X тогда и только тогда \р
^измеримо, когда оно ь^измеримо при /= 1, 2, 3, 4, причем для ||л|-из-
меримого множества А имеем
(!) |г(Л) = $^|^|.
А
Далее, функция / на X со значениями в К или в [—оо, оо]
принадлежат &Х(Х, \\1\) тогда и только тогда, когда она
принадлежит 2Х(Х, 1у) при /= 1, 2, 3, 4, и тогда
(и) $/^ = 5/^||х|.
X X
Доказательство. Как показано в доказательстве A4.12), мы
имеем /у<|Ф|, /=1,2,3,4, и отсюда прямо вытекает, что
1у<||л|. Следовательно, если А — | \1 |-измеримое множество, то,
по A4.11Ш), множество А 1у-измеримо для любого / = 1, 2, 3, 4.
Функционал /х + /2 + ^з + Л» как легко видеть, является неот-
8 Э. Хьюитт, К. Росс, т. I

226 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
рицательной мажорантой для Ф и, по A4.5), | Ф |< /1+/2+^з+^4»
так что |р.|^1х + 1а + 1з + 14- Далее, если множество А является
^-измеримым для каждого /=1, 2, 3, 4, то оно, очевидно, ьг+
+ 12 + 1з + 14-измеРИМ0> и из A4.1Н11) вытекает, что оно
(^-измеримо.
Рассмотрим некоторую функцию / на X со значениями в К
или в [—сю, оо]. Как и в предыдущем абзаце, имеем, что
/^$Х(Х, ||л|) тогда и только тогда, когда /^ЙХ(Х, 1у) для
каждого / = 1, 2, 3, 4. Линейные функционалы /н-»^/ф, [и /н->
X
*->3/йй||а| на ЙХ(Х, ||х|), очевидно, ограничены в норме 2Х.
х
Согласно A4.1211), они совпадают на @0, плотном в 2Х(Х, |[*|)
по A2.10). Отсюда следует, что эти функционалы совпадают
и на всем 2Х(Х, ||л|). Следовательно, утверждение (и) доказано;
A) есть специальный случай (и). []
Наконец, мы можем характеризовать меру |{х| через меру (г.
A4.14) Теорема. Пусть множество А ||л {-измеримо. Тогда
( т
@ | IX | (^4) = зир < ]2 | (л (^"у) |: {Е1У ...,.Ет) есть разбиение
множества А на \\х\-измеримые подмножества?.
Доказательство. Пусть {Ег, ..., Еп\—как в A); тогда
т т т т
Следовательно, ||л|(Л) не меньше, чем правая часть в A).
Чтобы доказать обратное неравенство, возьмем произволь-
т
ное е > 0. Согласно A2.10), найдется функция А= 2аДя такая,
что все Еу суть попарно дизъюнктные | \ь (-измеримые
подмножества в X и \\Н—— Ы||х|<8. Мы можем предположить, что
X
множества {ЯуЦЕ* образуют разбиение множества А. Пусть
Ру=ауП11П Г-]—г, 1] (напомним снова, что -0->1)» и пусть
т
Н0 = 2 Р/$я. Элементарные соображения показывают, что
/=1 '
0 8
<
н-^
и |ру |< 1. ¦ В частности, ^Н^— 1а \Л||1 | <оо.

$ 14. Комплексные меры
227
Следовательно,
| \1 | (А)—В = $ 1АЛ | II |-8 < I $ НоёA | |1
I т
2рЛц.^М
/=1
/ = 1
В силу произвольности е доказательство завершено. []
A4.15) Следствие. Пусть Е—любое | (г {-измеримое
подмножество в X. Тогда следующие условия эквивалентны:
(I) |Н(Д) = 0;
(II) \1 (А) = 0 для любого \ \1 {-измеримого подмножества АаЕ;
(III) р(р) = 0 для любого компактного подмножества РаЕ.
Это следует прямо из A4.14).
Теперь мы изучим @2 (X) для дискретных пространств
(которые тривиальным образом локально компактны).
A4.16) Теорема. Пусть X—дискретное пространство, а I —
произвольный неотрицательный линейный функционал на ©00.
Тогда найдется такая неотрицательная вещественнозначная
функция хю, определенная на X, что:
(О /(/)= 2 /(*)«>(*) при /<Е©оо
хеХ
(где сумма в действительности конечна). Обратно, каоюдая
неотрицательная вещественнозначная функция хю на X
определяет некоторый неотрицательный линейный функционал на @00
по формуле (\). Пусть Ф—ограниченный комплексный линейный
функционал на ©0. Тогда существует комплекснозначная
функция хю, определенная на X, для которой
(и) 2М*)|<оо»)
хеХ
(Ш) Ф(/)= 2/(*М*) при /€«..
хеХ
Обратно, каждая функция хю^1г(Х) определяет некоторый
функционал из 6Ц по формуле (ш).
Доказательство. Для каждого х^Х пусть б^—функция на X,
определенная следующим образом: 8х(у)=1 при у = х и 8х(у)=0
при */=^=л:. Определяем иу равенством и)(х) = 1 (&х), х^Х. Тогда
функция хю удовлетворяет условию A). Обратное предложение
очевидно.
*) Т. е. ш^1х{Х)\ см. определение в § 1.
8*

228 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Пусть Ф—ненулевой ограниченный комплексный линейный
функционал на @0, 6^—как выше {х^Х), и пусть гю(х)^Ф(8х)
для каждого х^Х. Если утверждение A1) несправедливо, мы
можем найти последовательность х1У ..., хп элементов из X та-
п п
кую, что 2 М*л)|>11ф11- Тогда для функции /0= 2 Щх\.Щх^ЬХи
п п
мы имели бы Ф(/0)= 2 8§по;(*Л)до(*Л) = 2 \^(хк)\ > ||ф|1 и
&=1 к-\
|| /0 ||и = 1, что невозможно. Следовательно, 2 Iт (х) I ^ IIФII < °°>
хьХ
и (И) доказано.
По линейности утверждение (Ш) справедливо для всех / 6®оо-
Рассмотрим произвольную функцию /6®о> /=7^0> и
произвольное 8 > 0. Выберем такую функцию /0 из @00, что ||/—/0Ц«<
<^1СТ" Тогда
ф(Л-2/М^М|<|ф(/)-ф(/оI+|ф(/о)-
хеХ I I
- 2 М*)а>(дО| + | 2 Ш*>{х)- 2 /(*)«>(*)|<
<1|ф|Н1/-/.Н.+о+||/-/,||« 2 |»М1<в.
ДГ€Х
Доказательство последнего утверждения теоремы просто, и
мы его опускаем. []
Сейчас докажем две теоремы, касающиеся одного
специального класса мер из М(Х).
A4.17) Теорема. Пусть I—неотрицательный линейный
функционал на @00, а I—соответствующая ему мера в смысле §11.
Предположим далее, что хю есть произвольная функция из 2Х (X, I) и
@ ф(/) = $/о;л п/ш 7еев.
Тогда Ф есть функционал из б^. Пусть \ь—комплексная мера,
соответствующая функционалу Ф, /са/с в A4.4), а Е—множество
{х^Х: хю{х)Ф0). Подмножество АаХ является \\ь\-измеримым
тогда и только тогда, когда множество А[\Е I-измеримо. Для
таких множеств мы имеем
(и) \1(А)= ) хюдх
и
(Ш) ||1|(Л)= 5 \и>\<Ь.
АГ\Е

$ 14. Комплексные меры
229
В частности, \\Ф\\ = \\ш\\г и, если I (Л) = 0, то [х (Л) = | |л| (Л)=0.
Далее, для любого /^21(Х, |[х|) также /^^^(Х, I),
(IV) 5/й|г = 5/шЛ,
(V) $/й|ц| = 5/|а;|Л.
Доказательство. Нетрудно видеть, что Ф есть функционал из
©* и что || Ф || ^|| ^Ц!. Чтобы доказать (и), предположим
сначала, что функция ш неотрицательна, причем докажем (и)
сначала для открытых множеств Ц. Согласно A1.11), мы имеем
|г((/)=8ир/$/и;Л: /<^, /€«?.}' A)
так что (х((У)^^Л. Множество Еу очевидно, является
счетах
ным объединением 1-измеримых множеств конечной 1-меры.
Следовательно, множество иг\Е может быть записано в виде
( II Рп)()Ыу где 1(#) = 0 и {Рп}п=1—возрастающая последова-
тельность компактных множеств. Выберем такие функции
/яббЬ,что/в(/7») = 1. /в(У') = 0и/я(Х)с[0, 1]. Тогда ^<^,
п=1,2, ..., и Пт 1пхю^^ихю 1-почти всюду. Следовательно,
П -> СО
используя A), получаем
Я_> оо х хП-+со ц ц^Е
Таким образом, утверждение (И) выполнено для всех открытых
множеств. Простое вычисление показывает, что тогда (и)
выполнено и для всех множеств в сг-алгебре борелевских множеств.
Покажем теперь, что
если ЛсгХ, ЛП^€4 и ь(АпЕ)=0, то А^сМ» и |г(Л)=0. B)
Заметим, что множество Е имеет вид Л01|УУ0, где В0 есть
некоторое борелевское множество, Ы^^оМ^ и 1(М0) = 0. Также
найдется борелевское множество В такое, что Аг\ЕаВ и ь(Б)^=0.
Тогда АсВ[)В'0 и \1(В()В'0)= $ шЛ= $ адЛ = 0. Сле-
(лив;)Пя вПя
довательно, Л^с/^ и }х(Л) = 0.
Предположим теперь, что Л — произвольное множество, для
которого АпЕ^сЖь Тогда А()Е = ОиЫ, где I)—некоторое

230 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
борелевское множество, и 1(#) = 0, Согласно B), N^о/И^ и
Лп^'^^ц, так что А-=0[)Ыи(Аг\Е,)^сЛ11.
Предположим, наконец, что А^&Яц. Пусть В и С—такие
борелевские множества, что \1(В) = \1(А) = \1(С) и ВсгЛсгС.
Тогда
5 юЛ = |1(СпЯ') = 0
и, в силу ^(л;)>0 при х^Е, теорема A1.27) дает нам, что
С П В' П Е является 1-нулевым множеством. Таким образом,
множество А Г) Е = (В П Е) II (А П В' П Е) 1-измеримо.
Предположим теперь, что \л(А)Ф ) юА для некоторого
АГ)Е
А ^оМ^. Поскольку
\Х(А) + \1(А')^=\1(Х)=}1Ю<11= ] 1Юй1+ 5 ДОЙ1,
X АГ\Е А'()Е
то либо
\1{А)< 5 шЛ, C)
либо
I* (Л#) < $ ш<Ь; D)
мы можем предположить, что справедливо C). Выберем такое
открытое множество (УзЛ, что }х(G)< ^ юйь. Тогда [л({/)<
< ^ ау<й<! ^ шЛ, что невозможно. Это завершает
доказало^ ^(^Е
тельство утверждения A1) в случае до^О.
Для произвольного ^^21(Х, \) пусть хю = щ—Щ + Цщ—^О»
где все хю1- принадлежат 2Х+ (X, I) и тт^, йу2)==тт(ау3> ^4)=0-
Для /€©<) и любого /= 1, 2, 3, 4 определяем Фу(/) = 5/шу^1-
х
Элементарное вычисление показывает, что тт(Ф1, Ф3)=
=тт(Ф3, Ф4) = 01), и потому из A4.3) следует, что Ф^Ф!—
—Ф2-И(Ф3—Ф4) есть единственное представление A4.3). Пусть
/?</> = {х^Х: ХЮ; (х) > 0}; тогда \х; (А) = ] хв)/6х для любого мно-
А
жества А такого, что А(]Е^ 1-измеримо, / = 1, 2, 3, 4. Но при
А с:X множество А(]Е 1-измеримо тогда и только тогда, когда
*) Эти минимумы являются минимумами неотрицательных линейных
функционалов, определенных, как в (В.34).

$ 14. Комплексные меры
231
1-измеримы для каждого / = 1, 2, 3, 4 множества Аг\Е^К
поскольку Е = Е{1)[) Е{2) и Е{3) [) Еи). Отсюда следует, что
множество А П Е ь-измеримо тогда и только тогда, когда | [х |-измеримо
множество Л, и в этом случае
\1(А)^\11(А)-112(А) + 1[113(А)-11,(А)]= $ а;А.
АПЕ
Докажем теперь (IV). Пусть © состоит из всех функций а,
т
имеющих вид 2 аЛл,, где а.-^/С, а Л,—I и [-измеримые множе-
ства, / = 1, 2, 3, 4. В силу (п) утверждение (IV) очевидно
выполняется для <7^@. Предположим теперь, что /^2^(Х, \\1\) и
оу^О. Тогда, как показано в доказательстве теоремы A2.10),
найдется возрастающая последовательность {вп}%~!
неотрицательных функций из ©, для которой Нт вп — { всюду на X.
П -* СО
Используя теорему Лебега о монотонной сходимости, получаем
$/ф,= Нт ^алф= Нт $ впхиA1 = ] [оуЛ;
X л-^оох п-+ со Е Е
соотношение (IV) для произвольного /^2г(Х, ||л|) и ^^^(Х, 0
теперь доказывается, если записать / и ш в виде сумм функций
из &2"(Х, |[х|) и 2^"(Х, I) соответственно и применить уже
рассмотренный случай.
Докажем теперь (Ш); достаточно доказать, что |Ф|(/)=
= \$\хю\й\, для /€@о> поскольку тогда A1) может быть приме-
х
нено к мере ||х|. Функционал, определенный правилом/н-» ^ ЛШМ1
х
на @0, очевидно, является неотрицательным линейным
функционалом на ©0, и является неотрицательной мажорантой для Ф:
|Ф(Ш = "
зать, что
$/о>А ^ $ |/||а>|Л. Тогда по A4.5) достаточно дока-
$/ИА<|Ф|(/) E)
для любого / б ©2*. Пусть {(оп\п^1—последовательность функций из
@00 такая, что |<ол|<1 для любого п9 и Нт \ |<о„—$§гш|й||д,| = 0.
[Такая последовательность строится точно так же, как в
доказательстве A4.12) по функции з&п#.] при /€@о мы имеем
5 ®я/<*|1— $ $8*10^ < II / II» 5 I «„ —З^ПШ | Л | |Х |,

232 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
так что Нт ^ со,,/" й\х = 5 5§п и*/ ^.и = 5 / Iш I ^1¦'» последнее равен-
" -* °° х х ' х
ство следует из (IV), поскольку 5§пау/ ^2Х (X, ||х|). Из A4.51)
следует теперь, что |Ф| (/)^ ^ /|до|Л. Тем самым доказано E)
х
И ПОТОМУ A11).
Утверждение (V) следует из (IV) и из того факта, что
|Ф|(/) = 3/|до|йь для любого /б@0. Наконец, заметим, что
х
|| Ф || = | ,ы | (X) = $ | ш | ^ = || ш ||х, в силу A4.6) и AЗД
X
A4.18) Если^^2х(Х, ь), а мера \1 определена, как в A4.171),
то полагаем й\1 = юс11, имея в виду, что A4.171) — A4. 17у)
справедливы ДЛЯ |Л И ||Л|.
Пусть V — некоторая комплексная мера, как в A4.4), и
ш^2х(Х, |-V|). Согласно A4.12), найдется такая |V|-измеримая
функция & на X, что йч={гд,\ч\. Если \х—такая мера, что
й\1 = щс1\у\9 как в A4.17), то ^ /й|1 = ^ (мйу при /6@о> и мы
х х
можем записать д,\ь = тд,ч. В этих условиях справедлива
теорема, аналогичная теореме A4.17).
A4.19) Теорема. Пусть I—неотрицательный линейный
функционал на @00, а I — соответствующая ему мера, как в § 11.
Пусть, далее, |х—комплексная мера, построенная в A4.4),
обладающая тем свойством, что \ р, | (Р) = 0 для любых компактных
подмножеств РаХ, имеющих ь-меру 0. Тогда существует боре-
левски измеримая функция ш^21(Х, 0, для которой д^ = хя)дх.
Доказательство. Пусть А—любое локально ь-нулевое
множество A1.26). Рассмотрим произвольное компактное
подмножество РаХ. Тогда 1(А(]Р) = 0, и потому найдется борелев-
ское множество/:, для которого АпРаЕ и ь(Е) = 0 (Е может
быть выбрано счетным пересечением открытых множеств).
Используя A1.32), мы видим, что | (л, | (^5*) = 0 и потому
||х|(Л П^^О. Поэтому множество А является локально
^-нулевым (заметим, что |(х|(Л)=0, если множество А локально
| [х [-нулевое, поскольку мера ||л| конечна на всех подмножествах
в X). Поэтому мы имеем сЛ^Сс^ц! и, применяя A2.7), можем
утверждать существование такой неотрицательной ^измеримой
функции до0, что до0&?€&!(Х, О Для любого компактного
подмножества РаХ, и такой, что
5/^1^1 = 5/^0^ Для всех /6@оо. (!)
х х

§14. Комплексные меры
233
Хотя функция щ не обязана принадлежать #Х(Х, ь), мы можем
найти такую функцию ^([^(Х, I), что равенство A)
выполнено, если щ заменить на щ. Легко видеть, что существует
последовательность {^/„}~в1 открытых множеств в X такая, что (/„
компактно, 1/^ с: I)п+1 для любого п= 1, 2, ..., и Нш | \1\A!п) =
П -V 00
= ||л|(Х). Для каждого п выберем такую функцию г^б^оо» что
*„(!/«) = !. 1(Уш) = 0 и фя(Х)с[0, 1]. Обозначим и С/Л
через .Б и положим а;1 = |^о;о- Очевидно, {ф,,}^— возрастающая
последовательность функций, Пт ф„ = %Е всюду, и | [л | (Е') = 0.
Далее, для /€@о из A) следует, что
X X /г~>оо х
= Пт ^ г|)„ /ш0Л - $ ЦЕщ дх = $ /х^ Л. B)
/г-*оо х х х
Конечно, равенства B) справедливы для любых /6®о- Более
того, ] а^ Л = Нт } я|уе>0 йь = Нт ^ фл ^ | |х | = | |т | (Е) < оо, так что
х л ->» со х /г -> со х
^(^(Х, ь). По A1.41) мы можем предположить, что функция
а^ борелевски измерима.
Пусть §—| |ш |-измеримая функция, для |ш, определенного
в A4.12); тогда
$/ф = 5&*1|Ч при /€©0. C)
х х
Согласно A1.41), мы можем предположить, что функция §
борелевски измерима. Поскольку равенства B) справедливы для
/€®о» мы можем применить A4.171У) к функции [§^^г (X, | |х |);
тогда
5/4* = 51е<Ц^\= \!е®1 ^ при I€®о-
XX X
Остается положить до-—^м^. []
A4.20) Определение. Пусть (х и I—функции множеств,
определенные на некотором подсемействе семейства 9*(Х),
удовлетворяющие условиям теоремы A4.19). Мера \1 называется
абсолютно непрерывной по отношению к мере I. [Мы так же
определим абсолютную непрерывность для мер I и т] типа,
рассматривавшегося в A2.17), называя г\ абсолютно непрерывной
по отношению к ц если выполнены условия A2.171) — A2.17у).
Ясно, что второе определение согласуется с первым.]

234 Г л, 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
Определим теперь и изучим свойства мер, которые в
некотором смысле противоположны абсолютной непрерывности.
A4.21) Определение. Пусть / — неотрицательный линейный
функционал на @00, а I—соответствующая ему мера, как в § 11.
Пусть, далее, ц — комплексная мера, построенная в A4.4), и
предположим, что существует такое борелевское множество
ВаХ, что ь(Я) = 0 и ||г|(В') = 0 (назовем меру ||х|
сконцентрированной на В)\ тогда мы говорим, что мера \х сингулярна
по отношению к I.
A4.22) Теорема. Пусть I и I—те же, что в A4.21), а \1 —
любая комплексная мера, построенная, как в A4.4). Тогда
найдутся такие комплексные меры \1г и \12, как в A4.4), что:
(О 1*а=|*1+|*|;
(и) мера [лх абсолютно непрерывна по отношению к ц
(III) мера \12 сингулярна по отношению к I. ¦ Если V! и VI —
любые другие комплексные меры (как в A4.14)), обладающие
свойствами (г)—(Ш), то 11г = ч1 и (ы2=^2. Наконец,
(IV) ЫНМ + Ы И || A11 = 1111! ||+ || 11,11.
Доказательство. Пусть Ф—комплексный линейный
функционал на ©0, посредством которого была определена мера [х, и
пусть |Ф|—как в A4.5). Очевидно, что |Ф|^/ + |Ф| и что
(неотрицательная) мера, соответствующая функционалу / + |Ф|,
есть I + | (л |. Нетрудно видеть, что | \1 \ (Р) = 0, если множество Р
компактно и (ь + 1 М) (И = 0- Применяя A4.19) к \1, мы
получаем поэтому комплекснозначную борелевски измеримую
функцию 10^2г{Х, 1 + | \1 |), ДЛЯ КОТОРОЙ
5/^=5^йA+|[х|)=5^й1+5/шй|^| A)
XX XX
для любых / 6 ©о- Пусть Е = \х € X: хю (х) Ф 0}. Множество Е —
борелевское, и, согласно A4.17),
|г(Л)= .$ и;А+ $ ой||*1 B)
И
|ц|(Л) = |ц|(Лп1г)= 5 МА+ 5 М«*||1| C)
АЛЯ ЛпЕ
для любых подмножеств Аа X таких, что множество АГ\Е
A + |[х|)-измеримо. Пусть С=\х^Х: |ш(*)|>1} и В={х^Х:

$ 14. Комплексные меры
235
|о;(я)| = 1}. Тогда из равенства C) мы получаем
1ЖС)=$ИА + $|о>|<1||1|,
с с
так что ||х|(С) = 0 и 1(С)=0. Следовательно, мы можем
предположить, что | хю (х) |< 1 для любого х € X. Полагая в C) А = Б,
получаем
\р\(В) = 1(В) + \[1№,
так что
1(В)=0. D)
Пусть теперь Фх и Ф2—такие функционалы из ©*, что
Фх (/)- 5 /бв^А + $ 11в*»й\И|, Ф2(/) = 5 /Ь^ ||11 E)
XX X
для любых функций /€@о> а М*1 и И-я—соответствующие
комплексные меры. Из A), D) и E) следует, что Ф=ФХ + Ф2 и
[а = [х1 + |л2. По A4.17111) получаем, далее, что \\12\(В') = 0\ это
равенство и равенство D) показывают, что мера |х2 сингулярна
по отношению к мере I. Предположим, что/7—компакт и I (Р) = 0.
Полагая А=Р в C), мы получаем
\р№= 5 |»|а+ 5 |»м||1|=
Таким образом, 0 = ^A —|до|) д(|[1| == ^ A—\хю\ )<2|(л| и, сле-
р ' /'ля'
довательно, ||х| (/''ПЯ') =0, поскольку |ш|<1 на ^ПЯ'.
Применяя A4.17Ш), получаем
Ы(Р) = $ ИА+ $ |ю|а||*| = 0.
Таким образом, мера \1Х абсолютно непрерывна по отношению к ь.
Наконец, пусть \± и у2—такие, как в условиях теоремы.
Тогда [хх—V1 = V2—\12. Далее, если Р — любой компакт, и
1G0 = 0, ТО \У2-112\(Р) = \111~У1\(Р)^\111\(Р) + \У1\(Р) = 0.
Таким образом, мера V,,—щ абсолютно непрерывна по
отношению к I. С другой стороны, если | Vа|(^В') = ||18|(С') = 0, где
1(Я)=|(С)=0, то ^в-^|(Б'ПС')<^2|(В') + |(х2|(С,)-0 и
1(#11С) = 0. Следовательно, мера V2—ца одновременно
сингулярна и абсолютно непрерывна по отношению к I и потому
есть 0. Свойство (IV) следует из E), A) и A4.17). Ц

236 Гл. 3. Интегрирование на Локально кдмпакпХных Пространствах
A4.23) Замечания. Пусть Ф^@ч!» а [х— мера,
соответствующая Ф, как в A4.4). Теорема Лебега о мажорированной
сходимости справедлива для интегрирования по отношению к |х.
Более точно, если / есть ||х (-почти всюду предел
последовательности {/„}«=! | |х 1-измеримых функций на X и если
существует функция $€&! (X, | |д,|) такая, что | /п (х) | <; 5 (х) для
||х|-почти всех х^Ху то существует предел \\т ^/„ф,и он ра-
п -*¦ ее х
веп^/^}г. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим функцию §,
х
определенную, как в A4.12). Тогда последовательность {| [п§ | }^=1
функций мажорируется 5, Нт/л# = /# и, по обычной теореме
П -> 00
о мажорированной сходимости, вместе с теоремой A4.13П),
имеем
х X /7-*сох Я->оох.
Рассмотрим теперь произведение мер [XXV в случае
комплексных мер (х и V.
Пусть X и V—локально компактные хаусдорфовы
пространства. Предположим, что функционалы I к ^ ограничены,
неотрицательны и линейны на E00 (X) и 600 (К) соответственно
и что ь и т]—их меры. Тогда функционал Ix^ ограничен,
неотрицателен и линеен на @00 (ХхУ) и может быть единственным
образом продолжен до неотрицательного (и потому
ограниченного) линейного функционала на ©0(ХхК).
Пусть Ф и V принадлежат @?(Х) и &ЦУ) соответственно, и
4
пусть (х и V—соответствующие им меры. Пусть Ф = 2аД/И
1=1
4
^Г== 2 РЛ—разложения функционалов Ф и 4я, данные в A4.3).
к— 1
4 4
Определим тогда функционал Фх'Т'как 2 2ауРл^/Х^л;функ-
ционал ФхЧ?1 принадлежит, таким образом, ^(ХхК). Если (ху
и ук—меры, соответствующие /у- и Зк соответственно (/, & = 1,
2,3,4), то, как легко видеть, мерой, соответствующей Фх?,
4 4
является 2 2 ^/Ра^/Х^, и мы можем определить [XXV именно
/= 1 /е= 1
как эту меру.
A4.24) Теорема. Пусть (х, V и (XXV— как в A4.23). Тогда
(О ||АХV | =1|х |х| V |.

$ 14. Комплексные меры
237
Доказательство. Пусть §г и §2—измеримые функции на X и
У соответственно, такие, что 1^1 = 1, |^2|=1,
$/Ф = 5/&^||*| при /€<М*)
X X
и
$/л = $/й*м при /€бо(к)
(см. A4.12)). По A1.41) мы можем предположить, что функции
&. и ё*2 борелевски измеримы. Покажем сначала, что
ФхУ(/)= 5 /(^. У)л(*)«г.(у)^11*Iх|V|(х, у) A)
хху
для любых /€@0(ХхУ). Достаточно проверить равенство A)
для всех функций / вида [(х, у) = ф (^)'ф(г/), где ф(=@0(Х) и
Ф^^оОО» поскольку линейные комбинации функций такого
типа образуют равномерно плотное подмножество в @0(ХхК).
(См. доказательство теоремы A3.2).) Применяя A3.12)'дважды
к функции /, получаем
5 1(х,у)81 (х) й -(У) <* IМ X | V | (х, у) =
XXV
ХХУ
X У X У
= 2 2 ауР*4ф^у1*^л =
/= 1 /г= 1 X У
4 4 /•
= 2 2 «Л 3 Ф(*)Ф(у)ФуХУЛ(*,#) =
/=1Л=1 ХХУ
= 2 2«уМ/Х/А(/) = Фх^(/).
/= 1 &= 1
Ввиду A), мы можем применить A4.17у) и убедиться, что
|ФхУ|(/)= 5 Т(х9у)\ег(х)еш(у)\лЫ^\(х9у)^\Ф\х\^\(П
XXV
для любых ^60(ХхК). Следовательно, |ФхЧ?'| = |Ф|х|Чг| и
Докажем теперь для комплексных мер теорему Фубини A3.8).
A4.25) Теорема. Пусть }х, V и [XXV—как в A4.23), и /
принадлежит 21(ХхК, ([XXVI). Тогда функция !(х,у) как функ-

238 Гл. 3. Интегрирование на локально компактных пространствах
ция переменного х принадлежит 2Х(Х, \\л\) для \у {-почти всех
У$У, так что интеграл \ \ (х, у) й[х (х) существует для | V \-поч-
х
ти всех у^У. Доопределим этот интеграл нулем там, где он не
существует; функция переменного у, определенная правилом
у*->\1 {х, у)Л\л(х), принадлежит %1(У,\у\). Аналогичные заме-
х
чания применимы к функции }(х, у) как функции переменного у
и функции х*-> \ [(х, у) (IV (у). Наконец,
у
XXV XV УХ
Доказательство. Пусть 8±и§2— борелевски измеримые
функции, использовавшиеся в доказательстве теоремы A4.24).
Функция (х, у)*->[(ху у) §1 (х) §2 (у) принадлежит, очевидно, 2Х (Хх У,
||гXV|) = 21(XxУ, | |л | х | -V |) A4.24). Все утверждения
настоящей теоремы, за исключением последнего, следуют сразу из
A3.8). Согласно A4.24.1) [для [€60 (ХхУ)] и A4.171у), мы имеем
5 /^^xxV- 5 !(х,у)81(х)е%(у)<Цр\х\'»\(х>у)-
XXV XXV
Следовательно, по A3.8) также
5 !Лрхч=11!(х,у)81(х)е%(уL\ч\(у)а\]1\{х) =
XXV XV
= $ \1(х,у)й*(у)др(х).
XV
Остающееся равенство A) проверяется аналогично. []
Замечания. Содержание этого параграфа хорошо известно
многим, занимающимся функциональным анализом; например,
утверждения, относящиеся к A4.6) и A4.12), можно найти
в работе Рудина [2], стр. 228, и Коэна [1], стр. 193.
Достаточно любопытно, однако, что трактовки этих вопросов,
аналогичной нашей, в печати не появлялось. Некоторые из
результатов опубликованы Хьюиттом [3]. Комплексные меры также
определялись у Бурбаки [4], гл. 6, § 2, № 8, хотя
трактовались с совсем другой точки зрения.

Глава 4
ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Инвариантные функционалы, меры и интегралы играют в
высшей степени важную роль в изучении представлений локально
компактных групп и изучении детальной структуры локально
компактных абелевых групп. Они также образуют функциональные
алгебры и функциональные пространства, которые изучаются
в гармоническом анализе. Теория инвариантных функционалов
представляет собой предмет настолько большой, что мы не
можем изложить его со всей полнотой. В § 15 мы построим
интеграл Хаара, который очень существен для всей нашей
последующей работы. В § 16 мы приводим некоторые интересные
факты, хотя и технического характера, о мере Хаара, а в §§ 17—18
исследуем некоторые интересные смежные вопросы.
§ 15. Интеграл Хаара
Начнем с определений.
A5.1) Определение. Пусть /: 0—+Е — произвольное
отображение группы С в непустое множество Е. Левый сдвиг в/
отображения / на элемент а ^ 0 определяется по формуле а\ (х) = / (ах).
Аналогично определяется правый сдвиг \а формулой }а (х) = / (ха).
Наконец, через /А обозначим отображение, определенное
формулой /*(*) = /(я-1).
A5.2) Определение. С?—произвольная группа, а $—такое
множество функций на О, что для любых /€$ и а^О имеем
также л/(:$[/<*€$]• Пусть/ — любая функция множеств на $,
такая, что / Ц) = /(/)[/(/а) = / (/)] для любых /€$ я а€<3.
Тогда функция / называется левоинвариантной или
инвариантной относительно левых сдвигов [соответственно, правоин-
вариантной или инвариантной относительно правых сдвигов].
Если функция / одновременно инвариантна слева и справа,
то мы называем ее двусторонне инвариантной. Предположим,

240
Гл. 4. Инвариантные функционалы
что из / € $ следует /А € г?- Если /(/) = / (/*) для каждого / (Е $>
то функция / называется инверсионно инвариантной или
инвариантной относительно инверсии.
Конечно, каждое функциональное пространство $
описанного в A5.2) типа допускает функцию, которая является дву-
сторонне инвариантной и инверсионно инвариантной: именно,
постоянную функцию. Этот тривиальный пример для нас,
конечно, не интересен. Мы будем на протяжении всей настоящей
главы иметь дело с конструкциями и описаниями ненулевых
линейных функционалов на различных функциональных
пространствах, инвариантных относительно левых и правых сдвигов или
инверсии.
Существует тесная связь между специального вида
линейными функционалами и мерами; для случая @00 и ©0 это было
указано в главе 3. Часто, когда инвариантный функционал
может быть представлен интегралом по отношению к некоторой
мере, соответствующая мера, как и функционал, будет
обладать некоторыми инвариантными свойствами. Поэтому мы
сейчас дадим формальное определение инвариантности мер.
A5.3) Определение. Пусть О—группа, а Л— некоторое
семейство ее подмножеств. Для произвольного непустого
множества Е пусть X: Л-^Е—некоторая функция. Предположим,
что из А $Л и а^О вытекает аА^Л [Аа€Л]. Если X(хА) = X(А)
для любых А^Л и х^О [Х(Ах) = Х(А) для любых А^Л и
х^О], то отображение X называется лево инвариантным [право-
инвариантным]. Предположим, что из А^Л вытекает А^г^Л.
Если Х(А~1) = Х(А) для любого А $Л, то отображение X
называется инверсионно инвариантным.
Первым и наиболее важным функциональным пространством,
на котором мы будем изучать инвариантные функционалы,
является пространство @00, построенное на некоторой локально
компактной группе О. Как и в гл. 3, мы будем обычно
писать @00 вместо ©00 (О) и т. д., если это не может вызвать
двусмысленности.
Сделаем сначала простое наблюдение относительно
пространства ©0.
A5.4) Теорема. Пусть О—произвольная топологическая
группа, а /—любая функция из ©0(^)- Тогда для любого е>0
найдется такая окрестность V единицы е ^ О, что | / (х)—/ (у) | < е
для всех х, у^О таких, что лг1 у^У [отображение / равномерно
непрерывно слева]. Аналогично, найдется окрестность]/единицы е
такая, что \[(х)—/(у) | < е для всех х, у^О таких, чтоух~х (ЕV
[функция I равномерно непрерывна справа].

$ 15. Интеграл Хаара
241
Доказательство. Утверждение прямо следует из D.15), если
в качестве Н взять аддитивную группу комплексных чисел. []
Сформулируем теперь фундаментальную теорему об
инвариантных функционалах. На этой теореме основан весь наш
дальнейший анализ.
A5.5) Теорема. Пусть О—произвольная локально компактная
группа. Тогда существует такой функционал I на @+0, что:
(\) I ([) вещественно и положительно при /=^0;
(") /(/ + *) = /(/) + / (ё) для любых /, е $ ©+,;
(«0 /(а/)=а/(/) при а>0 и /€©?0;
(IV) 1(аП = Ш) для любых /^©+0 и а^О. Далее, если ^ —
любой неотрицательный функционал на @^0, удовлетворяющий
условиям (\)—(IV) и не равный нулю тождественно, то «/ =с1 для
некоторого положительного числа с.
A5.6) Замечания. Прежде чем перейти к доказательству,
сделаем несколько замечаний. Функционал /, описанный в A5.5),
нельзя назвать линейным, поскольку область его определения
Щ0 не является линейным пространством. Однако свойства (и)
и (Ш) настолько близки к линейности, насколько это вообще
возможно для @^0. Мы назовем функционал / левым
интегралом Хаара на @^0. Ясно, что на Щ0 можно аналогично построить
правый интеграл Хаара и что он также будет единственным с
точностью до умножения на константу.
Доказательство теоремы A5.5). Доказательство, как и можно
ожидать, требует целого ряда отдельных шагов.
(I) Рассмотрим произвольную пару функций /, ф^6{0, Ф=^=0;
будем пытаться получить оценку величины функции / по
отношению к функции ф. Рассмотрим все конечные
последовательности {$!, 52, ..., 5^} элементов из О и все
последовательности \сг, с2, ..., ст\ положительных чисел, такие, что /^
т
< 2 <7*.Ф:
/=1 }
т
I (*) ^ 2 6/Ф (8/х) Для любого х^О. A)
/'= 1
Определим выражение (/: ф) как нижнюю грань всех сумм
т
2 с.-, для которых справедливо неравенство A). Заметим сна-
/=1
т
чала, что такие суммы 2 с/ существуют. Действительно, пусть
/=1
Р—компактный носитель функции / в О; положим а=||/||а.
Пусть, далее, а—некоторая точка из С, V — окрестность еди-

242
Гл. 4, Инвариантные функционалы
ницы в О, а (х—положительное число, такие, что ф(*)^[а для
любых х^аЦ. В силу компактности множества Т7, найдется
конечное число множеств ух11', у211', ..., ут1] > покрывающих Р.
Легко видеть, что /(а:)<^ — ф(#*//~1л;) Для любых х € О. Таким
/ = 1 ^
образом, число (/: ф) существует и не превосходит ^^. Заметим
И*
т
далее, что если неравенство A) выполнено, то ||/||и< 2 <у||ф||в,
так что
1^<(/:ф)<!!!11Ш!-. B)
||ф||« и т/ ^ V '
Укажем теперь три очевидных свойства числа (/: ф):
(а!- ф) = (/: вф)=(/-ф) Для любого а^О; C)
(а/: ф) = а(/!: ф) для любого а^О; D)
(/! + /¦= ф)<(/г ф) + (/«: Ф) Для любых /х, /,6®во. E)
Кроме того,
(/:¦)<(/: Ф)(Ф:Ф) F)
для любых ненулевых функций ф, ф^^оо- Чтобы проверить F),
т
нужно только заметить, что если /(#)^ 2 С/Ч>(8/Х) Для любого
п
х^О и ф(у) ^ 2 ^*Ф($кУ) Для любого у ^О, то /(я)^
/г= 1
т п т п
^ 2 с/ 2 ^аФ(**5/*) = 2 2 МаФ(^5/*) Для любого х^ О. Та-
/=1 УА=1 У /=1А=1 У
ким образом,
т п / т \ / п \
(М>)<2 2^Ц2*, ( 2 4Д
Выберем теперь раз навсегда некоторую ненулевую
функцию /о€®оо и положим:
для ненулевых функций ф ^ <Е^0. Тогда /ф @) = 0, поскольку
@:ф)=^0, и для ?Ф0 из F) вытекает, что
^</Ф (/)<(/: /о). (8)

$ 15. Интеграл Хаара
243
По C), D) и E) соответственно также получаем:
/Ф(а/) = /ф(/) при а $0 и /€«Ь; (9)
/Ф(а/) = а/ф(Л ПРИ сс>0 и /€@Ь; A0)
/ф(/1+/2)</ф(/1) + /ф(/2) при /х,/26^о; (И)
МЛ)</Ф(/.). если /1./.€вЬ и /х</2. A2)
Идея доказательства состоит теперь в рассмотрении всех
функционалов /ф, где функция ф исчезает вне некоторой
окрестности /Уф единицы е. Тогда, если <УФ «убывает», можно будет
показать, что /ф сходится к некоторому предельному
функционалу /, который и обладает свойствами A) — (IV).
Единственность функционала / будет прямо следовать из построения.
Чтобы выполнить эту программу, нам потребуются две
технические леммы.
(II) Пусть /1Э . .., /л—ненулевые функции из @+0, а б и А —
произвольные положительные числа. Тогда найдется такая
окрестность единицы (У, что
т / т \
2Уф(//)</ф^2^//)+6 A3)
при Фб@оо> Ф^О, ф((/') = 0 и 0<Яу<Д (/=1, 2, ..., т).
Чтобы доказать (II), рассмотрим общий компактный
носитель Е функций /х, ..., /от и любую окрестность V единицы е
с компактным замыканием У". Выберем функцию ё®?о> Для
которой §(ЕУ~) = 1 и й-@)с[0, 1]. Пусть Л1 = Аттах{||/1||и, ...
•••» II/лНа!» а 8—любое произвольное число, не
превосходящее М. Функции /х, ...,/л» и ^ равномерно непрерывны слева,
как указывалось в A5.4). Следовательно, найдется
симметричная окрестность V единицы е в О, для которой [/сУ,
1//М-//МКШ ПРИ в-^€«/. /=1.2, ...,т A4)
1*(*)-*(*I<ш при в"^€1/. A5)
Пусть теперь ф€®оо> Ф^О и ф ((/') = О, а Ях, А,2, ..., А,,Л
выбраны так, что 0^Яу-^А, /=1, 2, ..., т. Рассмотримфунк-
т
цию Ф= 2 ^/!/ + гё и определим функции Л1Э Н2У ..., й,Л
правилом
(У/(х)
АуМ^рЙТ ПРИ *6*'
( 0 при #$Я.

244
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Очевидно, Ф€@оо> Л/Ф = ^//:у для любого /=1» 2» •¦•» т> и
т
2/1у<1. Если 8~хх^11, то, по A4) и A5), имеем
/=1
|ф(в)-ФМ1<2ММ8И/М1+81г(*ЬгМК
< тД
Е лт^;
4МтА ' 4М 2уИ
A6)
Очевидно, ||Ф||д< 2 ^/1|//|1я + 8<Л! + е< 2М. Покажем теперь,
что
|Ау(8)_Ау(х)|<± при 8-гх^Ц9 /=1,2, ...,
т.
A7)
Действительно, если # и $ принадлежат также ЕУ~, то по A4)
и A6) мы имеем
I ^/// E) ^/// (*) I
Ф E) Ф (*)
Ф E) Ф (X)
<
:^{\1у(8)Ф(х)-}/(8)Ф(8)\ + \!/(8)Ф(8)-!1(х)Ф(8)\\<
<
82 ^1|//Ни2ЛМ Ч ||й4МтД/ ^ е2 \ Дт 2АМ 4Л4/ш\/ т *
Если х^^У" и 8~хх^11, то 5^-Б, поскольку в противном
случае мы имели бы х = 88-1х^Е11с2Е\/-. Если з^ЕУ" и 8х^(],
то х^Я, поскольку в противном случае $=хлг15€/;1^~1с.ЕУ".
Следовательно, если хотя бы одна из двух точек л: и 5 не
принадлежит 2?У~, то левая сторона неравенства A7) равна нулю.
п
Оценим теперь величину (Ф: ф). Если Ф(*)< 2 ску (зкх)
&= 1
для любого х^0у то, поскольку ср ({/') = 0, мы имеем также для
фиксированного х^О
ФМ< 2'СлФEА^)э
Л=1
A8)
где суммирование идет по тем индексам ку для которых х^8кх V.
Из A7) и A8) мы получаем
Ф (х) к] (х) < X саФ (8кх) Ь, («а1) +

$ 18. Интеграл Хаара
245
и, следовательно,
п
V/ (X) = Ф (X) к; (X) <^Ск [Л, E,-1) + ^1 ф (V)
к=1 "- -]
для любого х^О. Отсюда следует, что
п
(У/ф)<Х^к№)+^-1-
Суммируя по всем / = 1, 2, ..., т и вспоминая, что
2 йу^ 1, получаем
га / п \
2(У/ф)<A+е)( 2<* Ь
п
Поскольку 2 ск может быть взято сколь угодно близким к
(Ф: ф), также
т
2 (У/ Ф)<A+е)(Ф: Ф).
Деля на (/0: ф), получаем
т
2/Ф(ВД<A+е)/,(Ф). A9)
/ = 1
Применяя A0), A1), определение функции Ф и (8) к A9),
получаем, наконец,
.2 Уф(/;) <A +в) [/ф^2 У/) + 8/ф(*)]<
/ т \ т
</Ф 2 V/)+е 2я/ф^-мA +е)Лр(*)<
/фB М;) + еА 2 (//: /.) + еA+в)($: /0).
Эти неравенства показывают, что A3) выполняется для сколь
угодно малых е, и потому (II) доказано1).
х) Дальнейшее доказательство можно вести двумя путями. Один, более
короткий, использующий теорему Тихонова, и тем самым аксиому выбора,
требует отдельного доказательства единственности; набросок такого
доказательства дан в A5.25). Второй путь, которым мы идем, хотя и более
длинный, чисто конструктивен и позволяет включить доказательство
единственности в общую схему.

246
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Вторая наша лемма такова.
(III) Пусть / €@<и>> /=И=0» е > 0, а окрестность V единицы в С
такова, что | / (х) —}(у) | < е при х> у^О и у'^^Ц. Пусть
функция / равна 0 вне компактного множества ЕаО. Пусть,
наконец, §"(Е@оо> 8=7^® и #(^') = 0- Тогда для любого а>е
найдутся элементы {19 /2, ..., 1т^Е~г и неотрицательные числа
т
с1У с2У . ..,с/л, для которых 2^/>0 и
/=1
1(х)—%С/8(*уХ)
/=1
!а для любого х^О. B0)
Чтобы доказать (III), заметим сначала, что
и(х)-в]8(8-1х)^Г^)8^-1х)<и(х) + в]е{8-1х) B1)
для любых 5, х^О [если «-Ъсб^Л то|/(в)—/(#)|<е; если
5_1л;^^, то §{зх) = 0]. Выберем теперь т] > 0 настолько малым,
что (/: §А) г] < а—е. Пусть V—такая окрестность единицы е в О
с компактным замыканием, что |#(и)—й"(^)|<8 Для любых
и, V^^ с ш)~х$А1 (заметим, что мы используем равномерную
непрерывность справа функции §¦). Поскольку функция /=0
вне компакта Е, найдутся такие элементы ях, 52, ...у8т^Еу
т
что II 5уУзйз{^^0: / (х)Ф0\. По C.1) найдутся тогда функции
К* К* • • • > Л« е ®оо» Для которых Ну (E,1/)') = 0, / = 1, 2, ..., т
т
и 2 Л/ (я) = 1, если / (х) Ф 0. Тогда
B2)
для любых 5, х^О и /== 1, 2, ..., т [если 5715==(§71л:)E"'1х)^Уг,
то ^(з-1*)—#($71;01 <Ч; если 5^5уУ, то АуE) = 0]. Суммируя
B2) по всем /=1, 2, ..., га и используя B1), получаем
т
Рассмотрим теперь любую функцию ¦ф€@оо> "ФФ0. Используя
(9), A0), A1) и A2), получаем из последнего неравенства, что
|У(*)-е]/*B*)-л/* (/)</* [Д *(V1*)*//] <
<[/(*) + е]/ф&А) + лМ/). B3)

$ 15. Интеграл Хаара
247
Далее, из G) и F) вытекает, что —у-^<(/:#А)=:-—->гДе
Р < а. Таким образом, деля B3) на 1^(§А) и используя A0),
получаем
/(*)-р</+
Ш8^Н
</(*) + ?. B4)
Теперь применим (II), полагая б = а—р, А = (/0: §к) ||§ \\и (см. (8),
К-
М*!1*)
/А и /у = Лу/:. Пусть 47—найденная по (II) окрестность.
Если наша функция гр равна нулю вне й?, то, учитывая A0) и
A1), имеем:
:а—р. B5)
Объединяя B4) и B5), получаем B0), где ^^ = 5^1 и
/=1, 2, ...,т. B6)
УУ)
(IV) Завершаем доказательство существования левого
интеграла Хаара. Для каждой окрестности Ц единицы в О выберем
функцию Ф = Ф{/ в @+0 такую, что ф^О и ф([/') = 0. Для так
выбранных функций Фх^ф^ и Ф2 = ф^а полагаем Фх<_ф2, если
1/1з)(/а; множество {ф} тогда направлено отношением <;.
Покажем, что Нт/Ф(/) существует для любой функции /б@оо- Мы
ф
можем предположить, что /=^=0. Согласно (II) этот предельный
функционал /, если существует, удовлетворяет (п). Он,
очевидно, удовлетворяет также A), A11) и (IV), ввиду (8), A0) и (9)
соответственно. Чтобы доказать существование предела,
достаточно, очевидно, показать, что для любого 8 > 0 найдется такая
функция ф0, что |/ф1(/) —Лр.(/)|<8 при Фх^Фо и ф2>ф0.
Пусть сначала II0—любая окрестность единицы в О с
компактным замыканием, а со—функция из Щ0, принимающая
значение 1 всюду на компактном множестве Р = \х^О: / (х) +
+ /о(^)=И=0}"^- Пусть, далее, 0<в<1 и
8
Т[1 + (ю:/в)][1+(/:/оИ"
Пусть V—такая окрестность единицы в С, что 1/с:(/0, |/(х) —
— Цу)\< Т/2 ПРИ У~1х € V и |/0 (х)-[0 (у) | < 7/2 при у^х^Ц.
Выберем ненулевую функцию ё"€@оо> Для которой §"((/') = 0, и

248
Гл. 4. Инвариантные функционалы
положим а = у. Применяя (III), находим элементы 1г> ...
..., 1т^{{х^О\ 1(х)Ф^\-)-1 и неотрицательные числа с19 с2У ...
..., стУ для которых
т I
I (х)—2с/б'(*/*) ^7 Для любого х^О.
И функция /, и все функции {.§ равны 0 вне Р, так что
т I
!(х)— 2 с/8(*/х) ^7е0(*) Для любого х60. B7)
Для каждого <р€@оо это последнее неравенство дает нам
/ф(/)-/ф(.| су^|<7/фИ<Т(®: /.)• B8)
[Просто переписываем B7) как два неравенства и применяем
A2), A1) и (8).] Применим теперь (II). Каждое с- дается фор-
мулой B6), и, поскольку /*//</, мы имеем су-<—у-^т <(/:?*).
Из (II) мы получаем существование такой окрестности V
единицы в О, что при Фб@оо> у(У)=0 иф^О имеем
Лр ^ 2 С; 1.ё) — /Ф (ё) (^ 2 <У
>)
<т-
B9)
Объединяя B8) и B9) и полагая с=2с/(с>0)> получаем
/=1
|/ф(/)-с/ф(г)|<тП+(«>: /.)]¦
C0)
Повторим теперь те же рассуждения по отношению к «базовой»
функции /0, и заметим, что /ф (/0) = 1. Мы найдем тем самым такую
окрестность У0 единицы в О и такое число й>0, что
11-Л/ф (?) К Т [! + (©: !о)] C1)
для ненулевых функций ф€@оо таких, что ц(У0) = 0. Объединяя
C0) и C1), получим
/фШ-
<Т[1 + (о): /о)] 1 +
C2)
если Ф^^о» Ф^О и ф(У 11^) = 0. Из неравенства C2) сразу
следует, что
4A-?[1 + («: Ш</ф(/) + Т[1 + (со: Ш

$ 15. Интеграл Хаара
249
так что ~+ 1< 1_у[Ф1+((о; /^]<2[1 + (/: /о)]- Эта оценка вместе
с C2) дает нам
|М/)—5"|<?[!+(«»: /о)]2[1+(/: /„)] = |-.
Таким образом, если <рх и фа—любые функции из @^0, ц>^^^г
Фу(У'и^) = 0, / = 1, 2, то
Как выше объяснялось, тем самым доказано существование
предела Нт/Ф(/) для любой функции /6@оо> и потому левый
ф
интеграл Хаара существует.
(V) Осталось только показать, что любые два интеграла
Хаара на @+0 отличаются лишь постоянным множителем. Пусть
^—любой другой неотрицательный функционал на б^,,
удовлетворяющий (п) — (IV), такой, что У (/х) =^=0 для некоторого
/1€@оо- Для любой функции /€@оо /=й=0» мы имеем тогда
т
/^ 2 с/8,1 при подходящем выборе чисел с^ и элементов 5у-^0.
Следовательно, ^ (/х) ^( 2 с/ )^ (/) и потому 1 (/) положительно
для любой ненулевой функции / из @+0. Для любой функции
/хб^оо и ненулевой функции ёГ € ©оо предположим, что /х<
т / т \
< .2 <у 8/#. ТогДа * (/1)<( 2 СА 1 (ё)> так что
&*)>тй. C3)
Применим теперь (III). Для произвольного е>0 и
ненулевой функции /€@оо найдутся такие фиксированная функция
о&б^Зо и окрестность V единицы в О, что выполнено следующее
свойство. Если @—любая неотрицательная функция из @^0,
равная 0 вне (/, то для некоторых точек /1Э ...,(ввОи
неотрицательных чисел си .--,ст имеем
т
I (х) <есо (х) + 2 с# (Щ C4)
/=1
/ (х) + ш (х) > 2 с/§ (/,.*) C5)

250
Гл. 4. Инвариантные функционалы
для каждого х^О. Из C4) сразу следует, что
т
(/:*)< в (<»:$)+2 <у- C6)
/ = 1
Применяя функционал 1 к обоим частям неравенства C5),
получаем
Используя C6) и F), мы имеем
/(/) + 8/(«>)>[1-в|^§](/:йг)/(г)>[1-8(<о:/)](/:вг)У(8г).
C7)
Пусть /х—любая ненулевая функция из Щ0. Разделим
неравенства C7) на ^ (/х) и применим C3). Тогда
Перейдем к пределу в C8) по §•, а затем при е—>0. Получим
Меняя местами функции /х и /, получим также
для любой функции /б^оо» О
A5.7) Замечание. Существует единственное продолжение
функционала / на @^0 до некоторого комплексного линейного
функционала на комплексном линейном пространстве @00; это —
частный случай теоремы (В.38). Продолжение будет необходимо
левоинвариантным. Мы сохраним для него то же обозначение
/ и будем называть его левым интегралом Хаара на @00 или на О.
A5.8) Замечания. Используем теперь конструкцию § 11, чтобы
сопоставить с нашим левым интегралом Хаара некоторую
функцию множеств; обозначим эту функцию через А,. Таким образом,
X есть определенная на множестве всех подмножеств в О
функция со значениями в [0, сю], и является мерой на а-алгебре
оМ% Х-измеримых подмножеств в С. Любое открытое множество
принадлежит <М%. Функция X обладает также следующими
свойствами:

$ 15. Интеграл Хаара
251
(О О <Х(Ц) для любого непустого открытого множества 1/\
(и) Я({/)<оо для некоторого открытого множества Ц;
A11) Х(аВ)=Х(В) для любых В ад и а^О (функция лево-
инвариантна в смысле A5.3)).
Чтобы доказать A), используем A5.51) и определение к(Ц)
в A1.11) и A1.20). Для данного х^О существует функция
ф€@2о> Для которой ф(л:) = 1 и ф<^. Следовательно, Х(Ц)^
7^ I (ф) > 0- Функция X обладает, как и все функции множеств ь,
построенные в § И, свойством (И): Х(А) конечно, если А
компактно. Свойство A5.51У) дает нам A11): поскольку /(в/) = /(/)
для любой функции /€@оо и Ф^'Ф тогда и только тогда, когда
аФ^а1!5 Для любых функций ф, ф на О со значениями в [0, оо],
определения A1.11) и A1.16) показывают, что 1{аН)=^1(Н) для
любой точки а € О и любой неотрицательной вещественнознач-
ной функции К на О. Поэтому X (В) = 7(%в) == Т(а-1(ЪВ)) = 7{1аВ) =
= Я(а5). Мера Ху построенная по левому интегралу Хаара на Щ0,
будет называться левой мерой Хаара на О.
Мера X на &#а, дает нам интеграл } [АХ, определенный для
о
любых неотрицательных Я-измеримых функций / на О, и
приводит к функциональным пространствам &р(С,Х), 1^/?^оо;
сама функция X дает функциональное пространство 2^@, X).
Левоинвариантность функции X показывает сразу, что ^ а[ АХ=
а
= ^ / АХ для любых / € #1 (С Ц, что <а[, в#> = </, §¦>, если
1 8€%АС *), и что ||в/||, = ||/||, при /€»,@Д). 1<Р<сх)
(см. также теорему B0.1)).
Где не может быть неоднозначности, мы часто будем писать
5 / (х) их вместо ^ а[ АХ, ] [ (у) Ау и т. д. Таким образом, их, Ау, ...
о с о
всегда будет указывать интегрирование по отношению к левой
мере Хаара на С. Тождество $ а[ АХ = $ / АХ получает тогда форму
о о
\^[(х)Ах=] [(ах)Ах. Мы будем называть ^ [АХ левым интегра-
о о о
лом Хаара функции [, если он определен. Эта терминология
оправдывается тождеством / (/) = ^ [АХ, имеющим место для лю-
с
бых неотрицательных Я-измеримых функций / на С (см. A1.36)).
Ввиду теоремы A5.5), можно было ожидать, что левая мера
Хаара, как и левый интеграл Хаара на ©+0, является
единственной* с точностью до мультипликативной константы. Это
оказывается верным при некоторых ограничениях на область

252 Гл. 4* Инвариантные функционалы
определения мер. Точный результат таков. Пусть 33—семейство
всех борелевских множеств в О, а [х — любая мера на 33
такая, что:
(IV) |х(/7)<оо для любого компактного Р\
(у) [г([/)>0 для некоторого открытого множества V;
(VI) |х(аВ) = (х(В) для любых В^ЗЗ и а^О;
(VII) мера \х регулярна в смысле A1.34).
Тогда, если X—любая левая мера Хаара, описанная выше, то
существует положительное число с такое, что \1(В)=^сХ(В) для
любого В $.33.
Чтобы доказать этот факт, построим функционал / по [х
очевидным путем: «/(ф) = ]фф при ф ^®^0. Легко проверить, что
а
функционал «/ обладает всеми свойствами A5.51) — A5.5^).
Следовательно, из единственности интеграла Хаара вытекает, что
У = с/, где / — произвольный интеграл Хаара, а с—некоторое
положительное число. Из A1.38) мы и получаем \1(В)=сХ(В)
для каждого В^ЗЗ.
A5.9) Теорема. Пусть О—локально компактная группа с левой
мерой Хаара X. Тогда X (О) конечно тогда и только тогда, когда
группа О компактна [если О компактна, то мы всегда нормируем
левую меру Хаара требованием X (О) = 1].
Доказательство. Если группа С компактна, то 1^© = @00.
Поэтому 1A) существует и является положительным
вещественным числом. Поскольку /A) = А,@), то А, (О) конечно. Если
же группа О некомпактна, то пусть V—любая окрестность ее
единицы с компактным замыканием. Тогда никакое конечное
семейство множеств х^О, х21/, ..., хтЦ не может покрывать О,
поскольку в противном случае группа О была бы суммой
конечного числа компактных множеств и потому компактной.
Таким образом, мы можем выбрать бесконечную последователь-
п
ность точек {х1У х2, ..., хп9 ...} в О такую, что хп+1% и хр
для любого положительного целого п. Если У—симметричная
окрестность единицы, и У2с(/, то множества хгУ, х2Уу ..., хпУ,...
п
попарно дизъюнктны, и потому ХF)^ 2 М-^/О = пк(У) для
/ = 1
любого положительного целого числа п. Отсюда следует, что
Х@) = + оо. П
A5.10) Правый интеграл Хаара и правая мера Хаара.
Конструкции и рассуждения, использованные в A5.5) и A5.6)—A5.9),
очевидно симметричны по отношению к правым и левым сдвигам
функций на группе О. Следовательно, мы можем утверждать

$ 15. Интеграл Хаара
253
без дальнейших рассмотрений, что существует функционал /'
на (§4 со свойствами A5.51) — A5.5111) и /'(/а) = /' (/) для всех
/€@оо и а^б* Функционал /' может быть продолжен на @00,
как в A5.7), и /' единствен с точностью до мультипликативной
константы. Существует также правая мера Хаара А/ на О,
обладающая свойствами A5.81) — A5.811) и
Я' (Ва)=^%' (В) для любых а^О и ВаС.
Мы увидим в A5.15), что правый интеграл Хаара можно
получить из левого интеграла Хаара.
Вводим сейчас одну важную функцию.
A5.11) Теорема. Пусть О—локально компактная группа,
а I—левый интеграл Хаара на @00. При /6@оо /=^=0 и х^О,
пусть А (х) = * * ^. Тогда функция А зависит только от ху
но не от I и /. Функция А непрерывна и положительна на О и
удовлетворяет функциональному уравнению
(\) А(ху) = А(х)А(у) для любых ху у^О.
Доказательство. Рассмотрим функционал ^x на (^0,
определенный равенством Зх (/) = / ([х-*)- Очевидно, ^x есть левый
интеграл Хаара на @00, и потому по A5.5) существует для
каждого х^О положительное число А (х) такое, что ^x(^):=
= / (/*-») = А (х) I (/) для всех / €@оо- Поэтому обозначение А (л:)
оправдано. Из A5.5) ясно, что А не зависит от выбора /.
Мы также имеем для любых х> у, и^ О,
(/*-0*-« («0 = /*-* ("У'1) = / («ЧГ1*) = / (и (*#)-1) = /<**>- (")•
Следовательно,
Утверждение A) доказано.
Остается доказать непрерывность функции А. Поскольку
А—гомоморфизм группы О в мультипликативную группу
положительных вещественных чисел, нам нужно только показать
непрерывность его в единице е E.40а). Пусть {]—любая
окрестность единицы в О с компактным замыканием [/~, а ] —
любая ненулевая функция из @^0. Пусть, далее, со—такая
функция из @2о> что о>({5^0: /($) > 0}~ 1/") = 1, б—некоторое
положительное число, а V—такая окрестность единицы, что Ус: {У
и|/(ы) — /(^)|<77> ПРИ и~1г} € V- Тогда из х^У следует
'(со)
/И
|/EХ-1)—/E)|<-5-^- @ E) ДЛЯ ЛЮ6ЫХ 5^С И ПОТОМу

254
Гл. 4. Инвариантные функционалы
I / (/х-0 — / (/) | ^ е/ (/). Таким образом,
|Д(*) —1 |<е при х$У. []
A5.12) Замечание. Функция Д называется модулярной
функцией локально компактной группы О. Если Д = 1 на О, то
группа О называется унимодулярной (заметим, что Д=1 тогда
и только тогда, когда класс левых интегралов Хаара совпадает
с классом правых интегралов Хаара). Очевидно, что каждая
локально компактная абелева группа унимодулярна.
A5.13) Теорема. Всякая компактная группа унимодулярна1).
Первое доказательство. Множество Д (О) является компактной
подгруппой мультипликативной группы @, оо). Очевидно,
{1} является единственной такой подгруппой в @, оо), так что
Д@) = {1}, т. е. Д(х) = 1 для любого х$6. ?
Второе доказательство. Стоит, пожалуй, заметить, что
настоящая теорема может быть доказана без использования
модулярных функций. Пусть /—нормированный левый интеграл Хаара
на @. При /€@ и х^О положим /' (х) = 1 ((Х})А). Равномерная
непрерывность функции / показывает, что /' ^©. Положим
теперь </(/) = /(/'). Очевидно, что функционал / обладает
свойствами A5.51) — A5.5111) и что /A) = 1.
Докажем, что функционал / левоинвариантен: ^ (аП = ^ (П-
Мы имеем („/)' М=/(Ш))А)='((«/)*)=/' (ах) = а(П (*).
Таким образом, ^ и)=1 (а(П)=1 (Н=*(П- Поскольку /A)=
=/A)=1, мы получаем У = / по свойству единственности
функционала /.
Чтобы доказать правоинвариантность функционала </,
заметим сначала, что (^)А(у)^!а(У'1)==!(У~1^)===!((^'1У)~1) =
=аМ!А)(У)- Значит,
(!а)А = а-т. A)
Аналогично
(аПк = AА)а->. B)
Тогда (/,)' (х) =¦/ [(« = /[((,/).)А] = / [г1у)А)] = / [(х[)'] =
= /' (х). Следовательно, 1 (/а) = / ((?аУ) = ^ (/') = ^ (/)• Поскольку
/ = /, второе доказательство закончено. []
A5.14) Теорема. Пусть I—некоторый левый интеграл Хаара.
Для каждого / ^ @00 имеем /(/) = /( /А -д~ ).
х) См. также A9.28).

$ 15. Интеграл Хаара
255
Доказательство. Пусть /(/) = /(/±-д-) . В силу очевидного
равенства Аа-1 = А(а~1) А, используя A5.13.2), получаем
' и)=/ [(*/)* 4-] - / [</*).-. |] = Ц^ / [(/*>.-.1] =
= А(а-1)/ [(/А)а-. д^] =Д(а-1)Д(а)/(/А-1) = /(/).
Иначе говоря, У есть левоинвариантный функционал. Очевидно,
функционал «/ также удовлетворяет условиям A5.51) — A5.5ш)
(заметим, что /-т- €®оо» если /€@о0> и есть НУЛЬ> только если
/—нуль]. Единственность левого интеграла Хаара показывает,
что /=с/, где с—некоторое положительное число.
Остается показать, что с=\. Возьмем произвольное в>0 и
окрестность V единицы в О такую, что т-у-т— 1 < е для любого
[| А (X) I
напомним, что функция А непрерывна, и что Д (^)=дтт •
Пусть §•—ненулевая функция из ®^0, такая, что § = §* и
#({/') = 0. Тогда |#(*)—#(х)щ|<е#(*) для каждого х^О,
и потому \1(§)—/ (ё~т ) М^8^ (§)- Таким образом, |1—с|^е,
так что с=\. Следовательно, /(/) = / [!А-т) для любой
функции ?€&00. \]
Покажем теперь, что правый интеграл Хаара можно
построить по левому интегралу Хаара.
A5.15) Теорема. Пусть О—локально компактная группа, и
I — левый интеграл Хаара на пространстве @00. Положим
/х (/) = / (/А) и ^2 ф = / ([ \ для каждой функции / ^ 600.
Тогда ^1 и 72—правые интегралы Хаара на О, и более того,
Доказательство. По A5.14) мы имеем для любой функции
А (/) = / (/А) = / ((/А)А т) = 7 0 т) = '» №
поэтому У1 = У2. Очевидно, функционал ^1 удовлетворяет
условиям A5.51)—A5.5ш). Чтобы проверить его инвариантность
справа, используем A5.13.1):
'х Aа) = I ((/«)*) = / (в~1 (!А)) = I (/*) = А (/)• О

256
Гл. 4. Инвариантные функционалы
A5.16) Следствие. Пусть О—локально компактная группа,
а I—левый интеграл Хаара на @00. Группа О унимодулярна
тогда и только тогда, когда функционал I инверсионно
инвариантен.
Доказательство. Предположим, что / Ц) = 1 (/А) = ^1 (/) для
каждой функции /€@оо- Согласно A5.15), функционал /
инвариантен справа, т. е. группа О унимодулярна. Если
функционал / инвариантен справа, то Л= 1, и, снова по A5.15), !([*) =
=/(/!)=/(/)• и
A5.17) Примеры интегралов и мер Хаара. (а) Пусть
О—конечная группа, 0 = г. Тогда, очевидно, функционал /(/) =
= — V / (х) является нормированным левым и правым интег-
ралом Хаара для пространства всех комплекснозначных
функций на О. Соответствующая_мера на подмножествах группы О
дается формулой Я(Л) = —А.
(Ъ) Пусть О—любая дискретная бесконечная группа. Тогда
@^0 состоит из всех неотрицательных функций на О, равных
нулю вне некоторого конечного множества. Пусть
б—функция, для которой б (в) = 1 и 6(х) = 0 при хфе. Тогда
любая ненулевая функция /^©^ единственным образом запи-
т т
сывается в виде /= 2 а,-п-^ = 2 а/бя-1 [/ (а/):=а/у /=1,2,..., /я,
и /(х) = 0 во всех остальных случаях]. Таким образом, всякий
интеграл Хаара / на @00 имеет вид
/Ш=(/|а/)/(б).
Группа О, очевидно, унимодулярна. Удобно, имея дело с
бесконечными дискретными группами, считать /F) = 1, и мы будем
это предполагать всегда в дальнейшем. Мера Я,
соответствующая функционалу /, счетно аддитивна на любых подмножествах
группы О: X(А) = Л, если множество А конечно, и Х(А) = оо,
если множество А бесконечно.
Если группа С локально компактна, но недискретна, то
Х(А) = 0 для всех счетных подмножеств АаО. Достаточно
доказать, что Х(\е\)=0. Очевидно, ММ) = ММ) ДЛЯ любого
х ^ О. Пусть 0—открытое множество^ в О, для которого
0<А,((/)<оо. Поскольку V бесконечно, при Х(\е\)Ф0 мы
имели бы А,((/) = оо.

$ 15. Интеграл Хаара
257
(с) Рассмотрим аддитивную группу /?. Интегралом Хаара
+ 00
на пространстве й00 является функционал / (/) = ^ 1(х)йх —
обычный интеграл Римана, причем в действительности
интегрирование происходит лишь по конечному интервалу. Мера,
соответствующая функционалу /, есть обычная мера Лебега на /?.
Для интегралов Хаара на @0о(#) нет единой, удобной во всех
случаях, нормировки. Часто оказывается удобным в последую-
+ 00
щем использовать нормировку —^= I [(х)йх.
— 00
(с1) Рассмотрим компактную мультипликативную группу Т.
Здесь нормированный интеграл Хаара есть у-\ ?(ехр(И))(И
о
для любых /б ©(Г), гДе снова интегрирование есть обычное
интегрирование в смысле Римана по интервалу [0, 2я].
Соответствующая мера есть с коэффициентом -~- м!ера Лебега на
[О, 2я].
(е) Пусть О—любая топологическая группа, обладающая
следующими тремя свойствами. Во-первых, как топологическое
пространство, группа О является открытым подмножеством
некоторого вещественного евклидова пространства #л. Для х =
=(*!, ..., хп) и у = (у19 ..., уп) из О произведение ху есть, таким
образом, функция Р (х1У ..., хпУ у19 ..., уп), отображающая
Ох Ос/?2" на Ос%п. Наше второе предположение состоит в том,
что все частные производные
дР/ дР/
существуют и непрерывны на 0x0; /\ й=1, ...,я (Р1 суть
соответствующие проекции функции Р). Для каждого а^О
пусть оа [бя]—преобразование группы на себя, определенное
формулами оа(х)=ах [Ьа(х) = ха] для любого х^О. Иначе
говоря, са и 8а суть левый и правый сдвиги на элемент а. Третье
свойство состоит в том, что якобиан каждого из преобразований
аа и 8а постоянен; иначе говоря, он зависит лишь от а1).
х) Эти условия выполняются, например, если все Р] имеют вид
п
Р/ (*1, •*.., хп, Уъ ..., Уп)= 2 ск1 *кУ1 + 4/,
где вещественные числа с^у и й^ не зависят от х и у.
9 Э. Хьюитт, К. Росс, т. I

258
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Обозначим якобиан преобразования т символом 3 (т). Для
любого а^О определим 8 (а) как \^(оа)^\ и Б (а) как |У(ба)|.
Поскольку оа о вь = оаь, мы, используя известное тождество
для якобианов ^ (вао вь) = ^{ва)^(вь), получаем 8(аЬ)=8(а)8(Ь)
для любых а, Ь^О. Аналогично, 8аЬ = 8ь о 8а и потому Э(аЬ) =
=0(аH(Ь). Пусть е—единица в группе О. Тогда ое и 8е —
тождественные преобразования на О, так что 8(е) = Е)(е) = 1.
Отсюда следует, что 5 и И суть непрерывные гомоморфизмы
группы О в мультипликативную группу @, оо).
Строим левый и правый интегралы Хаара на @00 с помощью
функций 5 и И соответственно вместе с интегрированием по
Риману в Кп. Для данной непрерывной комплекснозначной
функции ф, определенной на О и равной 0 вне некоторого
компактного множества, пусть ^ ф (х) их означает обычный я-мер-
о
ный интеграл Римана от ф. Мы утверждаем, что функционал
О
есть левый интеграл Хаара на @00 и что функционал
о
есть правый интеграл Хаара на @00. Чтобы доказать эти
утверждения, используем известную формулу преобразования кратных
интегралов. В применении к группе О и преобразованию оа эта
формула имеет вид
5 ф (X) AХ = $ (ф О аа) (У) | / (<Уа) (У) | Лу.
%<С) °
Здесь ф есть, скажем, любая функция из @00. При ч = а-*?-§-
мы получаем
= I "-1 ' И ЗЩ йХ = I «'-Я ° °«) (У) (8оаа)(у)8 <а> йУ -
о о
о
Поскольку/5, очевидно, удовлетворяет условиям A5.51)—A5.5Ш),
мы и получаем, что 18 есть левый интеграл Хаара.
Доказательство того, что 1а есть правый интеграл Хаара,
практически то же, и мы его опускаем.

$ 15. Интеграл Хаара
259
Интересно вычислить модулярную функцию для группы О
в этом случае. Мы имеем
1з (Л»-0 = 11 о 6в-1 (Х)-Щ) Ах =
а
-ровв.,овв(,)(Т^Д(аLУ =
3 /Ш5(.у) 5(а) а^ 5 (а) И/;
с
Следовательно, модулярная функция А для группы О есть 0/5.
(I) Применим сначала (е) к мультипликативной группе /? П {0}'
ненулевых вещественных чисел. Преобразование х\—>ах имеет
своим якобианом число а, и потому интеграл Хаара имеет вид
— 00
где для каждого / €@0о (^ П {0}') интеграл в действительности
распространяется на множество [—р, —а] II [а, Р] для
некоторых вещественных чисел аир, 0 <а < р. Аналогично, интеграл
Хаара для функций на мультипликативной группе всех
ненулевых комплексных чисел есть
+ 00 + СО
— СО — 00
(§) Применим теперь (е) к группе О всех матриц
(о О
с вещественными х, у^К и хфО. Для удобства мы будем
записывать элементы группы О парами (х, у) с умножением
(х, у)(и, ь) = (хи, хю + у). Топологизируем группу О как
подмножество в /?2. Тогда О, очевидно, есть топологическая группа,
удовлетворяющая условию (е). Для (а, Ь) ^ С преобразование
а(а% Ъ) имеет вид а(а> Ъ) (х, у) = {ах, ау + Ь)> а якобиан его равен а2.
Таким образом, левый интеграл Хаара на @0о@) есть
+ СР +00
9*

260
Гл. 4. Инвариантные функционалы
где интеграл для каждого данного / в действительности
распространяется на ограниченное замкнутое подмножество в /?2,
не пересекающее прямую {(*, у)€:Я2: х = 0\.
Преобразование 6(в, Ь) на О имеет вид б(д> Ь) (х, у) = {ах, Ьх+у);
его якобиан равен а. Поэтому
+ 00+00
11 №"*>
есть правый интеграл Хаара на @00@).
Эта группа представляет собой один из простейших
примеров локально компактной группы, для которой правый и левый
интегралы Хаара существенно различны. Модулярная функция
в данном случае есть \(х, У)=§^^==-щ-
(Ь) Рассмотрим теперь группу ©2B, /?). Для любого А =
11 12 |€®2B, Я) простые вычисления показывают, что
кй21 а22)
3 Фа) = <! Фа) == (а1 Аг—а12а21J = {йе1 АJ. Поэтому правый и
левый интегралы Хаара идентичны и равны
+ 00 +00 +00 +00
1111/ \2 ь*'>^^^1*"Л'22^ 21 2
г) *) Л <) 1*11*22— *12*21^
-00 —00 — 00 —00
A) Пусть 019 02, ..., От—локально компактные группы,
а /у—левые интегралы Хаара на 0]- для каждого / = 1, 2, ..., т.
Произведение функционалов 1Х х 12 X ... X 1т является левым
интегралом Хаара на С1х02Х... хОт. Это прямо следует из
A3.3) и A3.2).
{]) Пусть {Оу\ует—произвольное непустое семейство
компактных групп; пусть 1у—нормированный интеграл Хаара на
Оу для каждого у^Т (т. е. /тA) = 1), пусть, наконец,
/—функционал на @( Р От), определенный в A3.18). Тогда / есть нор-
теГ
мированный интеграл Хаара на Р 07.
7€Г
(к) Опишем теперь нормированную меру Хаара X на
группах Да A0.2). Обозначения сохраним из A0.2). Топологически,
00
Аа есть тихоновское произведение Р {О, 1, ..., ак—1}, где
каждый множитель представляет собой конечное дискретное про*
странство. Конечное пространство {О, 1, ..., ак—1} допускает
меру Хк такую, что ^(Л)==— для всех Л с: {О, 1, ..., ак—1}.

$ 15. Интеграл Хаара
261
Мера Хаара на Аа есть произведение мер Х0, Хг, ..., Хк, ..., как
оно определялось в A3.15) — A3.22I).
[Для данных подмножеств Ак из {0, 1, . . ., ак—\\ для
каждого к = 0, 1, ..., т, ... пусть С(Л0, А19 • .., Ап) есть
множество всех х^Аа таких, что каждое хк принадлежит Ак,
к = 0, 1, ..., п. При п = 0, 1, ... пусть а{п)—такой элемент
из Аа, что икп) = Ьп /г, к = 0у 1, ... Вычислим Х[ Р Ак) . Рас-
смотрим сначала множество С ({0}0) = {х^Аа: х0 = 0}. Поскольку
а0~\
Д« = II F#@) + С({0}0)) и только что выписанные сдвиги попарно
6 = 0
дизъюнктны, из инвариантности X вытекает, что Х(С({0}0)) = —.
Множество С(Л0) есть объединение Л0 попарно дизъюнктных
сдвигов С ({0}0). Следовательно, Х(С(Л0)) = —. Аналогично, су-
ществует ях попарно дизъюнктных сдвигов множества С (Л0, {0}х)
с суммой С(Л0), так что Х(С(А0У А^^П —. Конечная индук-
к=0аЬ
п =
ция показывает, что А, (С (Л0, Лх, ..., Ап)) = XI — , /г — 2, 3, ...
Счетная аддитивность X дает нам
х(? Ак)=ПтК(С(А0,Аи .... Л„)) = П^.
Характеристические функции множеств С(Л0, Лх, ..., Л„)
образуют линейное подпространство в @(Аа), плотное в @(Аа) (это
следует из теоремы Стоуна—Вейерштрасса A3.2), поскольку
произведение двух характеристических функций снова имеет
тот же вид, *и характеристические функции разделяют точки
в Да). Из предшествующего и A3.22) вытекает, что I йХ согла-
а«
суется с 5/А, где ь — произведение мер А,0, Х1У ..., Хп, ... для
функций / из некоторого плотного подпространства в (&(Да).
Следовательно, X есть произведение мер.]
A) Используя (к), легко вычислить меру Хаара X на 52я.
Нормируем X требованием А,(Аа) = 1. Для каждого к ^2 пусть
*) Любопытно, что мера Хаара на Да идентична с мерой Хаара на
со
Р {0, 1, ...,ак—1} с топологией и групповой операцией из тихоновского
произведения конечных групп порядка акч См. (]) зыще,

262
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Хн есть мера на {0, 1, ...,аА—1}, определенная в (к). Для
каждого п$2 пусть \1п означает произведение всех этих Хк на
пространстве Р {О, 1, ..., ак—1}; это пространство гомеоморфно
к=п
множеству Л„, определенному в A0.4). Если А—^-измеримое
подмножество в Л„, и п < 0, то к(А)=апап+1 ... а^1\1п (А).
Для произвольного Х-измеримого подмножества Лсйа мы,
конечно, имеем Я(Л)= Нт апап+1 ... а_1\1п(А Г)Л„).
A5.18) Теперь изучим относительно инвариантные
функционалы на факторпространствах. На протяжении A5.18) — A5.24)
будем всюду предполагать, что О—локально компактная группа,
а Я—ее замкнутая подгруппа. Для любой данной функции г|)
на 0/Н и данного а^О пусть ая|)—функция на 0/Н,
определенная формулой а^(хН) = ^)(ахН). Пространство 0/Н локально
компактно E.22) и хаусдорфово E.21), так что функциональное
пространство @00@/Я) нетривиально, если НфО. Наша цель
состоит в нахождении ненулевых функционалов ^ на ©00 (С/Я)
таких, что:
A) 0 < / (\\>) < оо для любого г|э 6 Щ0 @/Н))
(и) ^ (^^ + ^2)=-^ (^1) + ^ (^2) Для любых %, т$>2€®о0 @/Н);
A11) 1 (а\р) = а/ (г|)) для любых а^/Си я))(;@00 (О/Я);
0У) 1 (а^) = % (а) ^ 0Ф) Для любых а^О и я|)^600 (О/Я).
При а^О число %(а) определено по (IV) и не должно
зависеть от г|э. Такой функционал / называется относительно
инвариантным.
Пусть ^ — как выше. Как в части (V) доказательства A5.5),
легко проверить, что «/ (я))) > О для любой ненулевой функции
^€©00@/Н); свойство (IV) гарантирует нам это\ Поскольку
вьФ = ь(а,Ф) ПРИ а> Ь€0> функция х удовлетворяет
функциональному уравнению:
(V) х (аЬ) = %(а)% Ф) Для любых ауЬ€Су причем % (О) с @, со).
Менее тривиален факт, что функция % непрерывна. Чтобы
доказать это, нам потребуется одна лемма.
A5.19) Лемма. Пусть *ф—непрерывная комплекснозначная
функция на 0/Н такая, что для любого б > О найдется ком-
пактное подмножество {хН: х^Р\, вне которого функция \\\>\ не
превосходит б. Тогда для каждого г у-0 существует
симметричная окрестность V единицы в О такая, что\^(хН)—'ф(уЯ)|<8
при ху у^О и ух~г^У.
Доказательство. Эта лемма и ее доказательство аналогичны,
хотя и не идентичны, теореме D.15). Рассмотрим произвольное

# 15. Интеграл Хаара
263
е>0 и выберем {гН\ г^Р) как компактное подмножество, для
которого |г|э(хюН) | <-|- при тН^{гН\ г^Р). Для каждого х^Р
найдется такая окрестность IIх единицы в С, что из
уН€\гН: г^11хх} следует \^(уН) —^)(хН) \ < у. Пусть, далее,
1^.—симметричная окрестность единицы в О, для которой У\ с: {У^.
Конечное число открытых множеств {гН: г^Ухх\ покрывает
компактное множество {гН: г^Р\:
т
{гН: г<ЕР}<=и1{гН:г$УХкхк\
т
для некоторых х1У ..., хт^Р. Пусть У = П УХи.
к = \ к
Рассмотрим теперь любые х, у^О, для которых
ух"х^У. Если хН^{гН: г^Р\у то х^УХ}хкН для некоторого
& = 1, ..., т. Следовательно, у = ух~1х ^ УУХ хкН е V ХкхкН и
уН^{гН: ^^УХкхк}- Очевидно, хЯ также принадлежит
{гЯ: г€(/*л*л}, и потому
| ар (г///)—^ (х//) I ^ | ^ (^///)—^ (а:л//) ! +1 ^ (л;л//)_я1> (х//) | < е. ;
Аналогично, если уН^{гН: г^Р\у то \^>{уН)—$(хН)\ < е. Если
ни уНу ни хН не принадлежат {гН: г^Р}, то \^{уН)—я|)(хЯ)|^
<\^(уЩ\ + \^(хЩ\<е. ?
A5.20) Теорема. Пусть функционал 1 на ($00 (О/Я)
относительно ^инвариантен. Тогда функция %, определенная в A5.181У),
непрерывна.
Доказательство. Пусть ф—ненулевая функция из (^о (О/Я)
1&1\хН: х^Р\ — компактный ее носитель. Согласно E.24Ь), мы
можем предположить, что множество Р компактно. Пусть V —
произвольная окрестность единицы в О с компактным
замыканием (/-. Тогда множество \ихН: и^Ц^, х^Р} компактно
в О/Ну поскольку Ц~Р компактно в О. Пусть, наконец, со —
такая функция из Щ0(О/Н), что а>({ихН: и^Ц-, х^Р}) = 1.
Для любого е > 0, используя A5.19), выберем симметричную
окрестность У единицы в О, для которой Ус(/ и
\№Н)-*(хЩ\<г'7Щ
для любых у(Е^ и х^О. Тогда
|г|)(ул;Я)—У(хН)\^г-^-а>(хН) для любых хН^О/Н, и$У;

264
Гл. 4. Инвариантные функционалы
применяя </ к последнему неравенству, получаем |х(^)«/('Ф)—^СФ)|^
^8/(я|)) для любого V^V. Отсюда следует непрерывность %
в точке е, и так как X есть гомоморфизм группы О на некоторую
топологическую группу,— непрерывность % в любой точке. []
Теперь мы установим взаимосвязь между функцией % и
модулярными функциями групп О и Я. Докажем сначала
следующую теорему.
A5.21) Теорема. Пусть Ь—левый интеграл Хаара на @00(Я).
Тогда соответствие /»—>/', заданное формулой
определяет линейное отображение @00 (О) на @00 (О/Я) (в
выражении Ь (д/) функция х1 рассматривается как сужение х[ на Я).
Доказательство. Пусть ^%0@)\ тогда / равна 0 вне
некоторого компакта Р с О. Если мы сузим функцию х} на Я,
то, легко видеть, получившаяся функция непрерывна на Я и
равна 0 вне компактного множества (х~1Р)Г\Н. Таким образом,
Ь(х[) определено для каждого х^О и /€@оо'(С)- Далее, при
Не Я имеем М*й/)=Мл(*/))==М*/)- Поэтому функция Ь(х})у
определенная для любых х^О, постоянна на классах
смежности хЯ, и мы можем определить / на О/Н равенством @.
Равномерная непрерывность функции / гарантирует непрерывность
/' на О/Н. Мы опускаем детали соответствующего рассуждения,
уже привычного читателю. Кроме того, /' равна 0 вне
компактного множества {хН: х^Р) а О/Н. Поэтому A) определяет
отображение ©00(О) на @00@/Я). Очевидно, что при этом
(/! + /.)'=Я + /;. (*/)'=«/' (<*€/С). что /'>0 при />0, и,
наконец, что /'=0 тогда и только тогда, когда / = 0 (для /^0).
В частности, отображение /»-ч>/' линейно.
Пусть теперь 1|э—произвольная функция из @00 (О/Я).
Предположим, что функция 1|) равна 0 вне компактного множества
{хН: х^Р\. Согласно E.24Ь), мы можем предположить, что
само РаО компактно. Пусть ^—такая функция из @о0@), что
ё (Р) = 1. Пусть Ц=:{х € О: § (х)>0\ Я. Тогда, очевидно, & (иН)>0
тогда и только тогда, когда и^Ц (напомним, что Ь—строго
положительный функционал). Пусть <р: С—+С/Н—естественное
отображение, а Ф—функция на О, определенная правилом
ч(Х) = (т^т^0(»){х) при ё{х)ф0'
( 0 при §(х) = 0.
Очевидно, Чг^©00@) [функция Т непрерывна в силу того, что
Ч? = ,8 г|) о ф на открытом множестве У, Ч; = 0 на открытом

$ 15. Интеграл Хаара
265
множестве (РН)' и 0 = Ц [} (РН)']. Для х^Ы мы имеем
хтр{у) = хеШт длялюбого у^н%
и потому Ь(ххР) = ^(хН). Если х^Ц, то, конечно, Ь{ххР)=0 =
= 1|) (хЯ). Таким образом, г|) (хЯ) = 4?' (хЯ) для любого хЯ ^ 0/Н.
Следовательно, отображение /н-»/' переводит @0о(^) на
©оо (С/Я). П
A5.22) Теорема. Пусть «/—относительно инвариантный
функционал на @00@/Я), как в A5.18), а функция %—та же, что
в A5. Шу). Пусть, наконец, Д и б суть модулярные функции
групп О и Я соответственно. Тогда
(}) ^(^)=_1_2 Зля любого Н^Н1),
Доказательство. Пусть Ь—левый интеграл Хаара на @00 (Я)
и пусть отображение /н-»/' задано формулой A5.2П). Для
/6©оо(О) положим /С(/)==/ (/'). Для любых х, 5^0 очевидно,
что (,/)' (хЯ) = I. (, (,/)) = I (,,/) = /' (зхН). Значит, ТС (,/) =
= ^ (з(П) = %(8)^ (П=%(8)К([)- Это говорит нам, что К
является «относительно инвариантным» (в обычном смысле), строго
положительным линейным функционалом на @00(О).
Рассмотрим функционал / (/) =/С(%/) на @оо(б). Мы имеем:
X E) / (/) = X («) А" Ы) = /С (, (х/)) = К (х («) X Ш =
= х (*) К (хШ=х (*)/(,/)
для любых /^©00(О) и 5^0, Поскольку функционал /,
очевидно, линеен, отсюда следует, что I есть левый интеграл Хаара
на @00 @). Поэтому
У(Л=*(Я = /(х-7)а). A)
Возьмем теперь любое Л^Я и рассмотрим функцию //>-!.
При х^О мы имеем
(Ы-*)' (хН) -Ь{х (//>-«)) = ^ ((,/)*-) = б (А) I (*/) = б (к) Г (хН).
Значит,
/((/*-0')=в (Л)/(/'). B)
*) Таким образом, если существует относительно инвариантный
функционал У, гомоморфизм А/б группы Н в мультипликативную группу @, оо)
допускает продолжение до некоторого непрерывного гомоморфизма группы
О в @, оо).
2) Здесь х означает функцию 1/х; ее не следует путать с обратной
функцией.

266
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Мы также имеем
Х-1 (х)! (хН-1) =%(Н-1) г1 (хН-*)/ (хН-*),
так что
I (х-1 (/»-)) =х (Л) / ((хЬ-.) = х М Д (Л) / (х-1/)- C)
Применяя B), A) и C), а затем еще раз A), находим
Следовательно, равенство A) проверено. []
A5.23) Замечание. Предположим, что Я—замкнутая
нормальная подгруппа в О, так что 0/Н—локально компактная
группа В качестве ^ возьмем левый интеграл Хаара на
@00(О/Я). Поскольку (аН)(хН)=ахН для всех а, х^О, мы
получаем {ан)'$ = с$ для любой функции о|) на 0/Н. Поэтому
функционал / удовлетворяет условиям A5.181)—A5.181У) с
1(а) = \ для любого а^О. Из A5.22) мы получаем, что 6 (Л) =
= Д(А) при А^Я, где А и б—модулярные функции для О и Я
соответственно.
Обратное к A5.22) утверждение также справедливо.
A5.24) Теорема. Пусть А и б—модулярные функции для О и
Я соответственно, и предположим, что существует непрерывный
гомоморфизм %: О—*@, оо) такой, что
® *м=ш пРи н^н-
Тогда существует функционал ^ на ©00 @/Н), удовлетворяющий
условиям A5.181)—A5.18Ш) и A5.181У) относительно данного
гомоморфизма %.
Доказательство. Пусть / и I суть левые интегралы Хаара
на О и Я соответственно, и для любой функции / €@00 (О)
функция /' определена по A5.211). Определим функционал К на
©оо (О) правилом
/С(/) = /(Х-1/)- A)
Мы покажем, что функционал К можно рассматривать как
некоторый функционал «/ на ©00(О/Я). Поскольку отображение
/»—>/' линейно и на A5.21), достаточно показать, что из /'=0
следует /((/)=(). [Мы тогда определим / (/') = /((/).]
Предположим, что Ь(х[)=0 для любого х^О. Согласно A5.14),
мы тогда имеем Ь У)Ат =0 для каждого х^О.
Рассмотрим любую функцию § ^ @+0 (О), для которой §' (хН) = 1 при

$ 1В. Интеграл Хаара
267
*6{#(:<3: !(у)фО}~; таким образом,
^(х§)=и если }(х)Ф0. B)
Используем обозначения 1х[Ьу], чтобы указать, что функционал
I [Ь] применяется к функциям от х^О[у^Н]. Тогда
о = /(г1г-о) = /,[х-1МгМ^((*/)А|)] =
= *х [х~Ч*)§М^,(/(^_1)^)] •
Применяя теорему Фубини1), получаем
1у [т1х {§ {х) х~1{х)! {ху)]}= °- C)
Согласно A5.11),
/(гг7,-)=Ай)/(«»^/) = |§/(г»^).
Подставляя в C) и используя A), находим
Ьу[1Л8(ху)%-Чх)[(х))]=0.
Снова применяя теорему Фубини A3.2), получаем
и^и)%-1(*)/(*)]=о. D)
Ввиду B), из D) следует, что I (%~1[)=0. Иначе говоря,
/С(/)=0. Таким образом, / (/') = /( (/) определяет непулевой
функционал на @0оF/#), удовлетворяющий условиям A5.181) —
A5.181И). Далее,
=/(^в/)=х(а)/A/)=х(а)/(/,)'
и, таким образом, функционал 1 относительно инвариантен на
@00@/Я), с данным гомоморфизмом % в качестве гомоморфизма,
фигурирующего в A5.181у). []
Дополнительные теоремы и примеры
A5.25) Мы дадим здесь набросок доказательства
существования интеграла Хаара, использующего шаги I и II из A5.5)
и теорему Тихонова. [Для каждой функции /€@2о, 1Ф0> пусть
^Поскольку /^Коо(^) и #(:©оо (О), функция (х, у)\->%-1(х)§(х)Х
X ПХУ~1) ХТ~\ пРинаДлежит Еоо(^ХЯ). Таким образом, нам нужна только
простейшая форма теоремы Фубини A3.2), чтобы получить C).

288
Гл. 4. Инвариантные функционалы
^ = \ТГЧ)' (?:1о)\ и ^=Р^/> гДе / пробегает все ненулевые
элементы в &%0. Для ненулевого Ф(Е©оо функционал /ф можно
рассматривать как точку (х^^Х, где х/ = /ф(/). Пусть
семейство % состоит из всех окрестностей единицы в О. Для
каждого 1/(^41 выберем в точности одну функцию ф^^@^0, для
которой ср^/((У') = 0. Множество 41 направим по включению,
т. е. V > V при V с: V. Тогда /<г , V ^41 есть направленность
в компактном пространстве X. Следовательно, существуют под-
направленность 1$, $€Е, направленности /ф и такое 7^Х,
что Пт/в = /. Тогда / есть интеграл Хаара; линейность его
следует из шага II в A5.5).]
A5.26) Интегралы Хаара и автоморфизмы группы О (Бра-
конье [1]). Пусть О—локально компактная группа, а
т—топологический автоморфизм группы О на себя; иначе говоря, т
является автоморфизмом и гомеоморфизмом. Пусть, далее, / —
некоторый левый интеграл Хаара на @00. Отображение /»—>¦/от
является, очевидно, взаимно однозначным линейным
преобразованием @00 на себя, сохраняющим неотрицательность и норму
|| / \\и. Линейный функционал 1Х (/) = /(|от) тогда, очевидно,
удовлетворяет условиям A5.51)—A5.5ш). При а^О мы имеем
(а{) от = т-1(а)(/от), как легко проверить. Следовательно, /т (<*/) =
= / (т-1(а) (/ о т)), и так как / есть левый интеграл Хаара, то
^т(в/) = /т(/:). Значит, /т — также левый интеграл Хаара и, по
единственности левого интеграла Хаара A5.5), существует
положительное число А(т) такое, что 1% (/) = А (т) / (/) для всех
/ ^@00. Если нам даны %х и т2, то легко видеть, что А (тг о т2) =
= Д(т1)Д(та). Значит, отображение тн» А (т) есть гомоморфизм
группы всех преобразований т в мультипликативную группу
(О, оо). Функцию х*->А(х) из A5.11) можно найти,
рассматривая внутренние автоморфизмы р^: у\-+хух~1. Именно,
А (р^) в наших настоящих обозначениях есть то же, что А (л:)
в обозначениях теоремы A5.11) *).
Аналогично, если ^ есть правый интеграл Хаара на @00,
мы определим /х (/) = /(/о т) и обнаружим, что ^т([а) =
= ^Ш° *)=/((/ от)т-1(в,) = ;(/ от)=Л(/), так что Л (/) =
= б(т)У(/), где 6(т)>0 и 6(т1от,) = б(т1N(т1).
A5.27) Комментарии о правых интегралах Хаара. (а) Пусть
О—локально компактная группа, /—правый интеграл Хаара
на @00 и А — модулярная функция на О. Тогда отображения
/" I—>«/ (/А) и /»—>/(/А) тождественны и являются левыми инте-
1) Факты относительно А (т) см. в B6.21).

$ 15. Интеграл Хаара
269
гралами Хаара на E00. [Это следует из A5.15). Для данного
левого интеграла Хаара /функционал /•—^М/тг) является
правым интегралом Хаара. Значит, мы можем записать ^ ([) =
= / (/^") и */(/д) = / (^А4:)==/^- Более того' всилу A5-15)
имеем /(/*) = / (/а|) =/((/Д)А)=/^д)^.) =/(/) =/(ДЛ.]
(Ь) Пусть О, А и У —как в (а). Тогда ] (а[) = А (а) ] (/) для
любой функции /б ©оо и любого а^О. Действительно, ^ (/) =
= У (/-д") ' где ^ есть некотоРЬ1й интеграл Хаара. Значит,
^(в/) = /(о/4-)=/(А(«)в(/:1г)==
= А (а)/(/¦!)= А («)/(/).
A5.28) Еще примеры интегралов Хаара. (а) Конструкция из
A5.17И) может быть обобщена на ©2 (я, /?). Для любого
Л^@2(/г, /?) имеем / (бл) = / (сгл) = (с1е1 А)п; это проверяется
элементарным вычислением. Таким образом, группа ©2 (л, 7?)
унимодулярна, и интеграл Хаара на @00(@2(я, /?)) имеет вид
с!е1(Х) |«
причем интеграл в любом случае распространяется на
некоторое компактное подмножество в /?л, не пересекающееся с
множеством {(#1:1, ..., хпп): с1е1(Х) = 0}.
(Ь) Рассмотрим группу О всех треугольных матриц типа
/Хц Х12 Х13 . . . Х1п\
0 #22 Х2В • ¦ • %2п
0 0 л:3з • • • %зп
0 0 0 ... х„
таких, что х/к^Н (\^] ^к^п) и х1гх12 ... хппФ§. Очевидно,
группу О можно рассматривать как открытое подмножество в
п(п+ 1)
пространстве # 2 и считать, что она удовлетворяет
условиям A5.17е). Левый интеграл Хаара на й00(О) есть интеграл
\ ... \ [ (х119 х12, ••¦, ^ЙМ) ¦; ^ „_! гйх11ах-
^Х„
. я и-1 I "~11""2 • • • пп-
I Лц#22

270
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Правый интеграл Хаара на @00 (О) есть интеграл
СО 00
\ . . . \ / (Х11У ЛГ12, . . . , Хпп) ¦ ^ - гцХцО^^ . . . иХпп.
и *> X] 1X22 • • • -^/1Я
-со —со
(х у \
(с) Пусть О — группа матриц вида! _ 1 ) [-^ > У€.К> хфО]
с топологией открытого подмножества в /?2. Для произвольного
(а Ь \
А=[ п _! ] мы имеем ^ (оА)=а2 и ^ (б^) = 1. [Используем х и
у как параметры, чтобы описать группу О.] Поэтому
и "и**
— 00 — СО
есть левый интеграл Хаара на @00@), а
00 00
5 $ / (х, у) Лх с1у
— со — со
есть правый интеграл Хаара на 60о(<3). Модулярная функция
в данном случае есть Л(л;, у)^1/х2.
(А) Рассмотрим группу ненулевых кватернионов. Опишем
кватернионы неформально как множество всех линейных
комбинаций л: + /уН-/г + Лш, где х, у, г и т—произвольные
вещественные числа, а кватернионные единицы 1, —1, /, —/, У, —У,
к, —к образуют группу: 1 здесь тождество, (—1)а=1, 12=/*=
=к2 =—1, (/=—/? = й, УЛ?= —А?У=/, Ы = —1к=].
Произведение двух кватернионов вычисляется по обычным законам
умножения в произвольной алгебре над полем, с учетом
таблицы перемножения кватернионных единиц, приведенной выше.
Таким образом,
{х + 1у+& + Щ{х' + 1у' +]г' + Ш) =
= (хх'—уу' — гг'—&№')-{-1 (ху' + ух' -{-гю'—ш') +
-\-](хг' —уш' + гх' + щ') + к (ш' + У*'—гу' + ®х').
Кватернион 1-(-/О+УО + ^О является единицей относительно
этой операции, а кватернион 0 + /0+У0 + АЮ — нулем для нее.
Ненулевые кватернионы образуют (неабелеву) группу
относительно так введенного умножения. [Обратным к элементу
х + 1у+/г + кы) является —(х—{у—]г—кхю), где а = х2-\-у2-{-
-\-г2-\-хю2.] Обозначим эту группу О. Мы можем, очевидно,
рассматривать группу О топологизироваиной из /?4 без начала

$ 15. Интеграл Хаара
271
(О, О, О, 0) и, с этой относительной топологией, О—локально
компактная группа. Левый и правый интегралы Хаара на
©оо (О) совпадают и имеют вид
— СО —СО —СО —СО
A5.29) Интегралы Хаара для полупрямых произведений. Пусть
О и Я—-локально компактные группы, а /и—>тл — гомоморфизм
группы Я в группу автоморфизмов группы О. Предположим,
далее, что отображение (х, к)—*%н(х) является непрерывным
отображением группы СхН на О. Тогда полупрямое
произведение 0(з)Я, с тихоновской топологией, является локально
компактной группой [см. B.6) и F.20)].
(а) Пусть ^ и К—правые интегралы Хаара для групп С и
Я соответственно. Тогда произведение функционалов ^xК
является правым интегралом Хаара для 0(з)Я. [Пусть /^
€@оо@(§)#). Тогда, по теореме Фубини A3.2), имеем
1*К [!(Хоно)] - Кн Ух ([ {ххн (х0), ААо))] -
= Кн Ух (/ (х, НН0))] = ]х [Кн (! (х, АА0))] =
= М*Л/(*.*))] = 'х/сш
(Ь) Вычислим левые интегралы Хаара для полупрямого
произведения 0(з)Я. Хотя в этом и нет прямой необходимости,
для нас удобно использовать правые интегралы Хаара / и К
из (а). Пусть А0 и Ая—модулярные функции для групп С и Я
соответственно. При фиксированном Н^Н функционал ^ ($охн)
на @оо (О) имеет вид ^ ([охп) = б (А) / (/); при этом, б (/^/ц) =
= б(А1N(А2), б(А)>0 и б непрерывно на Я. [Все эти свойства
б, за исключением непрерывности, прямо следуют из A5.26).
Чтобы проверить непрерывность, достаточно рассмотреть ее
лишь в единице е' в Я. Пусть V—любая окрестность единицы
е^О с 'компактным замыканием [/", а /—любая ненулевая
функция из Щ0@)- Пусть, далее А = \у^0: /(#)>0}~, а
^б^ооС^)—такая функция, что со (Л[/~)= 1. Для
произвольного е>0 найдем такую окрестность (/0с(/ единицы е> что
\Т(")-№)\<*7$ ПРИ и-Н>€1/о-
Пусть, наконец, {/х—произвольная симметричная окрестность
еу и\а/70. Для каждого х ^ А совместная непрерывность в
хе, (х) = х дает нам существование симметричных окрестностей
Ух и 47х единиц е' и е соответственно, таких, что №ха11х и
^н(у)ехУг при Н^УХ и у$х№х.

272 Гл. 4. Инвариантные функционалы
Если хг]РХ19 ..., хтЛРх —некоторое конечное покрытие множе-
т
ства А, положим V = П Ух.. Если к$ V и у $ Ау то у1^ (у) ^ ^/0,
и потому |/(у)—/отЛ (у)\ < е-~у. Следовательно,
1/(</)->тА(</)|<е-Щ-со(</)
при /г^К и у^О. Применяя функционал 3 к этому
неравенству, получаем
|/(/)-6 (Л) У (/)|<в/(/) при А€У.]
Мы теперь имеем
* X К [(х.. а.)/] = #Л [/, (/ (^0тЛо (х), Н0Н))] =
= ^[^(/(^М))в(Ав)А0(Хв)]1) =
= б (Лв) А0(*в)/х[Кп (/(*, М))] =
= 8(к0)Ао(x0)Ан(к0)^xК(п^
Таким образом, модулярная функция для полупрямого
произведения С®Я есть А(х9 к) — 8(к)Ан(к)А0(х). Примечание к
A5.27а) дает нам левые интегралы Хаара на &00@(§)Н). Все
они имеют вид [^—>^xК([8АнАо).
I' х у\
(с) Группа матриц I п - ], рассматривавшаяся в A5.17§),
есть полупрямое произведение мультипликативной группы
(—оо, 0) II @, сю) [которую мы берем за Я] и аддитивной группы /?
[которую мы берем за С]. Для любых вещественных хфО и у
пусть гх{у)=ху. Тогда (у, х) (у\ х') = (у + ху'у хх')9 что соот-
(х у\ (х' у'
ветствует в точности произведению матриц I п . ] и I п .
со со
Применяя A5.171) и (Ь), мы снова получаем \ \ **' | ихйу
— 00 — СО
как правый интеграл Хаара для этой группы. Так же нетрудно
видеть, что б (х) = -р-г, и это дает нам по (Ь) другую проверку
со со
того, что \ \ 2 у' ихйу есть левый интеграл Хаара нашей
— со — со
группы.
*) Здесь мы используем тождества ((Хоф) о тЛо) (х) = ц>(х0т:Па (х)) и ^ (аЦ>) —
Е=Д(а)/(ф) [см. A5.27Ь)].

$ 15. Интеграл Хаара
273
(й) Пусть Н—любая локально компактная группа с
модулярной функцией Ая, и 0 = Н. При Н^Н и х^К пусть хн(х)=
=Ан(к)х. Конечно, мы определили таким образом полупрямое
произведение групп 7? и Н. Чтобы вычислить б, запишем
00 00
— со — оо
Тогда (Ь) дает модулярную функцию для Я(§)#: д ЛН(Н) • 1 = 1.
Следовательно, всякая локально компактная группардопускает
полупрямое произведение с 7?, являющееся унимодулярным.
A5.30) Относительно инвариантные интегралы, (а) Простой
пример относительно инвариантного, но не инвариантного
интеграла, можно построить так. Рассмотрим аддитивную группу
/?2 и ее замкнутую подгруппу Н = {(х, 0): х^К}. Пусть а—лю-
СО 00
бое ненулевое вещественное число. Тогда \ \ ехр(ау)}(х,у)йхс1у
— 00 — СО
определяет, как в A5.24), относительно инвариантный интеграл
на ©00 G?2///), для которого множитель пропорциональности %
из A5.181У) есть %(х, #) = ехр(—ау). [Нужно только заметить,
что группа 7?2 абелева, так что А/б=1 на Я, и что % есть
непрерывный гомоморфизм группы %2 на @, оо), причем %(Н) = \.]
(Ь) Рассмотрим специальную линейную группу ©8B, /?) и
ее подгруппу <<р, состоящую из всех матриц I п . ) с х, у^Я
и хф§. Группа ©2B, /?) унимодулярна, как показывают
A5.17Н) и A5.23). На ©0о(©2B, К)/$) не существует
относительно инвариантных функционалов в смысле A5.18).
(X у \ !
[Модулярная функция б группы $ имеет вид 61 п _х 1 = —,
как показывает A5.28с). Если бы был какой-нибудь
относительно инвариантный функционал на ®0о(©2B, Ю/Ь)> то
существовала бы непрерывная положительная функция % на ©2 B,7?),
для которой %(ХУ) = %(Х)х(У) при X, У 6©ВB, Я) и Х(Х) =
= ^Ы==Г7^т ПРИ X €<§ A5.22). Очевидно, достаточно показать,
что единственная положительная функция % на ©2B, /?), для
которой %(ХУ) = %(Х)%(У), есть постоянная функция 1. На
подгруппе всех матриц! 0 - I определим %( ] = }(х). Тогда
A °\
{(х+у)=1(х){(у). Аналогично, если мы определим § (у)=%[ . 1,

274
Гл. 4. Инвариантные функционалы
то получим §(х-\-у)=8(х)§(у). На подгруппе всех матриц вида
/2 0 \ /2 0 \
\0 г*1 / 0ПРеДелим До г-у.)^Н^' Поскольку
(г 0 Л/1 х\ /1 г*х\/'г 0 \ Г г гх \
\0 г-*)\0 1;\0 1 ДО г-1] \0 г"*; '
мы получаем Н(г)} (х) = ( (г2х)к(г), так что }(х) = }(г2х) для
любого вещественного я и произвольного вещественного гфО.
Следовательно, функция [(х) постоянна при х>0и, в силу
[B) = [AJ, мы получаем /(л;) = 1 при х>0. Поскольку
/(—х) — тт^ и /@) = 1, получаем /=1. Аналогично, мы видим,
что^=1 [замечаем, что^ ^(^ °) = (' ^ °г.)
о^—Ьс=\ и &=т^.О, то
'а Ь\ ( 1 0\/1 Ь\/ 1 О
чс ^У = \(^—1N~х 1Д0 1Д(а—1N-1 1
и потому х! 1 )= 1- Если аа!—6с = 1 и Ь-=0, то а =^= 0, й-^а'1 и
а 0 \ / 0 а\/0 —1
с а'ЧЛ—а-1 с)\\ О
Если
/аО \
так что %( ^ 1=1. Следовательно, %=1. Таким образом,
группа ©2B, /?) не допускает непостоянных гомоморфизмов в
мультипликативную группу @, оо).]
Замечания. Инвариантное интегрирование на том или другом
специальном классе групп известно давно и широко
используется. Детальное исчисление инвариантных интегралов на
©©(л) было дано Гурвицем [1] в 1897 г. Шур и Фробениус в
1900—1920 гг. часто использовали средние над конечными
группами; точные ссылки—см. замечания у Г. Вейля [3]. Шур
в [1] вычислил и широко использовал инвариантные интегралы
на ©О (я) и О (п). Г. Вейль в [1] вычислил инвариантные
интегралы для И(п)у © (/г), унитарной подгруппы симплектической
группы, и [более или менее явно] некоторых других
компактных групп Ли. Г. Вейль и Петер в [1] показали
существование инвариантного интеграла на любой компактной
группе Ли,

$ 18. Интеграл Хаара
275
Решающий шаг в построении новейшего гармонического
анализа был проделан Хааром [3] в 1933 г. Он доказал прямо
существование [но не единственность] левой меры Хаара на
любой локально компактной группе со счетной открытой базой.
Его конструкция была переформулирована в терминах
линейных функционалов и распространена на произвольные
локально компактные группы А. Вейлем [1], [2] и [4], стр. 43—48.
Какутани [2] указал, что и конструкция Хаара может быть
распространена на любые локально компактные группы.
Теорема A5.5) именно в этой формулировке принадлежит А. Вейлю.
Доказательство, которое мы привели, принадлежит А. Кар-
тану [1].
Для произвольной компактной группы О фон Нейман [5]
доказал существование и единственность интеграла Хаара как
и свойства его двусторонней инвариантности и инверсионной
инвариантности. В [6] фон Нейман доказал единственность
левой меры Хаара для локально компактной группы С со счетной
открытой базой; специальный случай был также установлен
Секефальви-Надем [1]. А. Вейль [4], стр. 47—48, доказал
единственность левого интеграла Хаара для любой локально
компактной группы. Обобщение было получено Райковым [2]; см.
также Ауберт [1]. Все эти доказательства единственности
проводились отдельно, после того как аксиома выбора уже была'
использована при доказательстве существования. Преимущество
доказательства Картана состоит как раз в том, что
единственность и существование доказываются одновременно.
Теорема A5.9) принадлежит А. Вейлю [4], стр. 48; фон
Нейман [3] указал, что Я (О) конечна для компактной группы О.
Интересно заметить, что Г. Вейль [1], часть 1, § 5,
рассматривая вопрос о существовании инвариантной меры полной
меры 1 на группе ©й(/г, /?), пришел к выводу, что
существование такой меры сомнительно, из-за некомпактности группы
©2 (я, 7?).
Теорема A5.11) появилась у фон Неймана [6], и
приписывалась фон Нейманом Хаару. Теорема A5.13) принадлежит фон
Нейману [5], а теорема A5.14)—А. Вейлю [4], стр. 49—50.
Пример A5.17§) очень популярен; насколько мы знаем, впервые
он был вычислен фон Нейманом [6]. Другие примеры из A5.17)
также широко известны. Довольно трудно, к тому же
малоинтересно, пытаться проследить их историю.
Явное вычисление интеграла Хаара для групп типа ©2 (п, /?),
@2(/г, /С), Ц (/г) и €>(я), которые не заданы как открытые
подмножества некоторого евклидова пространства /?* [в последнем
случае простой процесс A5.17е) неприменим], требует
предварительной параметризации групп. Вычисление, все еще в
абстрактной форме, дано для произвольных групп Ли Шевалле [1],

276
Гл. 4. Инвариантные функционалы
стр. 243—247. Интеграл Хаара для 11 (п) и других компактных
классических групп описан Г. Вейлем [3], стр. 267—271, 296,
305. Описание интеграла Хаара для XX (п) для симплектической
унитарной группы и &(п) было дано также Тояма [1].
Блестящее описание роли инвариантного интегрирования появилось
у Вей л я [3], стр. 255—266.
Все теоремы A5.18) — A5.24) взяты из книги А. Вейля [4],
стр. 52—55; см. также А. Вейль [1].
Упомянем также некоторые дальнейшие результаты, которые
читатель, интересующийся инвариантными мерами, мог бы
пожелать посмотреть. А. Д. Александров [1] набросал конструкцию
и свойства конечно аддитивного аналога меры Хаара для групп,
не обязательно являющихся локально компактными, а лишь'
локально ограниченными. [Топологическая группа О локально
ограничена, если существует такая окрестность V ее единицы,
что для любой окрестности V единицы найдется конечное мно-
п 1
жество {х1У ..., хп\с:6у для которого II хкУс: V. Окстоби [1]
к — 1 _]
провел тщательное изучение существования и необычных свойств
счетно аддитивных инвариантных борелевских мер на полных
метрических группах. Дэвис [1] характеризовал меру Хаара
как произведение в смысле теории мер /г-мерных мер Лебега,
меры Хаара на некоторой компактной группе и «счетных» мер
на некотором дискретном множестве. Люмис [1] изучал
инвариантные меры в равномерных структурах. Розен [1] и Шварц [2]
изучали инвариантные средние на 6E) для компактной
полугруппы 8.
§ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара
В этом разделе изложена замечательная теорема Какутани
и Окстоби о продолжениях меры Хаара и также некоторые
факты относительно неизмеримых множеств.
A6.1) Пусть О — любая бесконечная компактная метрическая
группа. Пусть X—нормированная мера Хаара на С, а о! —
а-алгебра Я-измеримых подмножеств в О. Согласно D.26) мы
имеем О^с. Поскольку группа О содержит некоторое счетное
плотное подмножество Б и каждый элемент из О есть предел
последовательности элементов из 2), то 6= с. На протяжении
A6.1) — A6.11) ОД ис! будут пониматься, как сказано выше.
Мы часто будем пользоваться обозначением Ее> где 8 есть
либо 1, либо ', понимая под Ее соответственно Е или Е'.
Известно, что не существует счетно аддитивной меры,
определенной для любых подмножеств в О, согласованной с X на Л

$ 16. Дальнейшие сведения й мере Кайра
т
и инвариантной, скажем, относительно левых сдвигов.
[Обсуждение этого вопроса см. A6.13).] Тем не менее, функцию А
можно продолжить на гораздо большее пространство с мерой.
A8.2) Определение. Пусть X— любое множество, 3"—любая
а-алгебра подмножеств в X, а \х — любая мера на 3". Тогда
характером пространства с мерой (X, <&, (х) называется
наименьшее кардинальное число т такое, что существует
подсемейство Ас2оУу Л = т такое, что для каждых 5^с^ и е>0
найдется множество А^Л с [хEДЛ)<е. Любое такое
подсемейство ЛаЗ* будет называться базисом для (X, #\ \х).
Заметим сначала, что пространство с мерой (О, оМ, X) имеет
характер #0. Существует счетная открытая база топологии
на О; пусть Л состоит из конечных объединений множеств из
этой счетной открытой базы. Если М^о/11 и г > О, то
существуют компакт Р и открытое множество V такие, что РаМаЦ
и А,({/л/7') <8- Поскольку Р есть компакт, то найдется такое
множество А ^Л, чтоРаАаЦ. Тогда, очевидно,А (М Д А) < е.
В силу Л=80 пространство (О, оА1, А) имеет характер $0. [Легко
видеть, что пространство (О, &€, А) не может иметь конечного
характера.]
Для данного множества X и двух пространств с мерой
(X, оЛ1У \1Х) и (X, сЛ2, |л2) скажем, что второе является про-
должением первого, если е^зе/^ и |л2 (А) = \хг (А) для любого
А $<Лг.
Докажем теперь следующее утверждение.
A6.3) Теорема. Существует продолжение (О, е#\ А,*)
пространства с мерой (О, о/И% А) такое, что характер (О, с//*, А,*)
есть 2е, причем мера X* инвариантна относительно левых
сдвигов, правых сдвигов и инверсии.
Доказательство этой теоремы длинное, и мы разобьем его
на последовательность лемм. Желая избежать использования
континуум-гипотезы (хотя мы постоянно будем пользоваться
полным упорядочением и трансфинитной индукцией), сначала
расширим (О, ©#, X) до пространства с мерой (О, <**+, АЛ) такого,
что каждое множество АаО с А < с принадлежит с/^ и имеет
А+-меру нуль. Мы затем продолжим (О, с^1", АЛ) до желаемого
пространства с мерой (О, о#% А*).
Пусть 2: состоит из преобразований х\-^ах, х*—>ха и
XV->х'1 группы О на себя (а^О). Чтобы проверить, что мера
инвариантна относительно сдвигов левого и правого и
инверсии, достаточно проверить, что из измеримости М вытекает
измеримость каждого х(М) при т^& и что меры М и %(М)
равны.

278 Гл. 4. ИнвариангЛные функционалы
A6.4) Лемма. Пространство с мерой (О, аё, X) может быть
продолжено до пространства с мерой (О, оМ^, АД) так, что
каждое множество А а: О с А < с принадлежит с#+ и имеет №-меру
нуль. Более того, АД инвариантна относительно сдвигов и
инверсий, а пространство (О, оМ^, Я+) полно; иначе говоря, если
Ы^<Л\ ХЦМ) = 0 и Л^сгЛ^, то Ы^оЛ^.
Доказательство. Пусть 3*—семейство подмножеств Р в О,
таких, что Р < с. Неизвестно, верно ли включение РсюМ-,
хотя из континуум-гипотезы это включение с очевидностью
вытекает, поскольку оМ содержит все счетные множества. В
любом случае, если Р^{\оМ, то К(Р) = 01). Мы также имеем
из Р19 Р2, ...,Я„, ...€$* следует (} Рп^^. A)
/2=1
Действительно, теорема Кенига [см. Хаусдорф [1], стр. 35]
утверждает, что если {т?}т€г и {Пу}76г— множества
кардинальных чисел такие, что ту < Щ для каждого у ^Г, то 2 ту <
_ ТбГ
< Пти* Следовательно, в силу Рп<с для каждого п имеем
уеГ
тт
и Л|<11с = с. Таким образом, и Рп^^.
/2=1 П=[ П~\
Пусть оМ^ состоит из всех подмножеств М^ в О таких, что
симметрическая разность М*/\М принадлежит 5* для
некоторого М^оМ. Другими словами, множество лежит в с//'1" тогда
и только тогда, когда оно имеет вид (М Г) А') II В, где М^оЖ
и А, В ^Зъ. Проверим сначала, что оМ^ есть а-алгебра. Если
М* €оМ* и М^ДМ^Р, щеМ^аЖ, то (М*)'Д М! = 7И+ Д М ^9>,
г) Если Р^оЛ и Я(Р) > 0, то Р содержит некоторое несчетное
компактное множество. Каждое компактное подмножество РаО является объединением
счетного множества С и совершенного множества /V пусть С есть множество
всех х^Р таких, что множество V[)Р счетно для некоторой окрестности
V точки х. Все непустые совершенные подмножества компактного метрического
пространства имеют мощность с. Это вытекает из того факта, что каждое непустое
совершенное множество Р0 содержит гомеоморфный образ пространства {0, 1} °;
такое подмножество в Р0 может быть построено тривиальной модификацией
конструкции из D.26). Множество .Ро играет роль окрестности V', и каждое
Ц; 1 выбирается диаметра не более 1/т. Тогда для любой последов а тел ь-
00
ности {1т\т=-1 из нулей и единиц множество Г\ Цу , состоит в точности
1 т=1 !х'"!т
из одной точки х- : у и эта точка принадлежит Р0. Множество, состоя-
щее из всех точек х- л- , гомеоморфио пространству {0, I}**0.

§ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара
279
так что (М*)' €оЛ*. Аналогично, если {М1\%а1с:сЖ* и М1/\Мп €5*,
то ( II м1)а( [) Мп)а [} (М\&Мп)$Р по A). Поэтому
/г=1
При М* $<Л* и УИ+ДЛ4^5\ М(:<^» полагаем
Я+(ЛГ+) = Я(ЛГ).
Если МД М^^ и Л1+Д М2€5\ где Мг и Л12 лежат в <М, то
(Мх Д^с^ ДМ+I1(М2 ДМ^)еЛ так что Х(МХ ДЛГ2) = 0
и Я(Л41) = Х(Л12). Следовательно, функция АЛ корректно
определена на с-алгебре о/Я^. Чтобы доказать, что функция АД
счетно аддитивна, предположим, что {Л4л}~=1 есть
последовательность попарно дизъюнктных множеств в оМ^ и что М\ АМп€$>,
где Л1Я6<^. Пусть ^-Л^ и $л = Л!япГп ЛгЛ, л = 2, 3 ...
Тогда {B„}~=1 есть последовательность попарно дизъюнкт-
ных множеств в е^, МЪ/\(Зпс: [) (МйД^)б-?1) и
Л=1
(ЦЛ11) д( у сЛ€5\ Поэтому
\/г=1 / \л=1 / л=1 л=1
и мы доказали, что АЛ есть мера на е#*\
Докажем теперь, что пространство (О, &№, АЛ) полно.
Предположим, что N €&€*, ХЦЫ) = 0 я Ы^Ы. Тогда N ДЛГ^
для некоторого УИ^^ такого, что %(М) = 0. Следовательно,
ЫХ(\М$<ЛУ К{Ы1(]М) = 0 и ^Д(^П^)сЛ/ДМ^, так что
Наконец, мы проверим, что мера АД является инвариантной
относительно сдвигов и инверсий на М^. Очевидно, из Р^
следует т(Р)^5* для любого х^%. Таким образом, если
Л*+€<^> М*АМ$Р и ЛГ€*«, то т(Л1+)Дт(Л1) =
х) Чтобы проверить это включение, предположим, что х^<2п и лг^уИ*^;
тогда х^МПУ так что х^М\/^Мп. Предположим, что х^М\ и х(^С}п.
Если л:^МЛ, то ясно, что х ^ М^ДМд, В противном случае мы бы имели
х^Мк для некоторого к < п. Поскольку х^М^ и м|п^« = 0, также
*^(Л/ф' и потому х$М\&Мк.

280
Гл. 4. Инвариантные функционалы
= т (Л4+Д Л4) € ^*. Следовательно,
т(Л1+)€в«+ и А,(т(ЛГ+))=Х(т(Л1)) = Я,(Л[)=Я(ЛГ+)
для любого т^ 2.
A6.5) Лемма. Множество О содержит в точности с различ
ных компактных подмножеств мощности с. Пусть сос означает
наименьший ординал мощности с, а {/V 1^а<сос}—любое
полное упорядочение всех компактных подмножеств в О
мощности с. Тогда для каждого М* ^оМ^ такого, что ХЦМ*) > 0,
и для каждого ординала р < сос найдется ординал а, для
которого а>р а РааМ'К
Доказательство. Каждое открытое множество в О есть
объединение множеств из счетной открытой базы, и потому число
компактных подмножеств в О, имеющих мощность с, не
превосходит с. В следующем абзаце мы увидим, что группа О
содержит в точности с компактных множеств Р с Р = с.
Чтобы доказать лемму, достаточно показать, что каждое
М+€<^ с АЛ(УИ"**)>0 содержит с компактных множеств
мощности с. Пусть М^аЛ обладает тем свойством, что М^ДМ^З*-
Тогда А(М)>0 и М+ДМ<с. Таким образом, достаточно
доказать, что М содержит с попарно дизъюнктных компактных
подмножеств, каждое мощности с, потому что тогда с из этих
компактных множеств необходимо дизъюнктны с М*ДМ и
потому содержатся . в М*. Множество М содержит несчетное
компактное множество и потому содержит непустое
совершенное множество. Как показано в доказательстве теоремы A6.4),
это множество содержит подмножество, гомеоморфное
пространству {0, 1}^°. Это же пространство, очевидно, гомеоморфно
{0, 1}#<>х{0, 1}*>= 1!{{0, 1\я»х{х\: *€{0, 1}*°}; но это
последнее есть компакт, являющийся объединением с попарно
дизъюнктных компактных подмножеств, каждое мощности с. []
A6.6) Определение. Для каждого АаО определим внешнюю
№-меру |х(Л) множества А как:
1гй{№(М*): М* €<Ж* и АаМЦ.
Подмножество А с: С называется абсолютно инвариантным [по
отношению к А+ и %], если т(Л)ДЛ^с^+ и А* (т(Л)ДЛ) = 0
для каждого т^&.
Легко проверить, что семейство всех абсолютно
инвариантных подмножеств в О является а-алгеброй подмножеств в О
[напомним, что пространство (О, оМ^ , А+ ) — полное].

$ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара
281
A6.7) Лемма. Существует такое семейство {Хх}ч±к
подмножеств Ху в С, что
(О Я=с;
(И) множества Ху, г^И попарно дизъюнктны;
(ш) (х (Х^ = 1 при ^Ы;
(IV) объединение II Ху абсолютно инвариантно для любого
VбNо
подмножества Ы0аН.
Доказательство. Пусть {Ра: 1 <1а < сос} — как в A6.5),
а {та: 1^а<ос}—любое полное упорядочение & порядкового
типа (ос. Для каждого х^О и ординала а < сос пусть Са(х) —
множество таких точек из С, которые можно записать в виде
%1\ о ... о Тдя (л:), где 1 ^р^^а, а гк есть либо 1, либо —1,
6 = 1, ..., л и д = 1, 2, 3, ... Очевидно, х^Са(л:) и длях^О
и 1 <; р ^ а < сос мы имеем тр (Са (х)) = Са (я). Далее, Са (#) ^
^тах (а, И0)<сг) и потому Са(х) €<***•
Мы теперь покажем, что существует двойная
трансфинитная последовательность {х%: 1^р^а<сос} элементов из О
такая, что
х%$Ра при 1<р<а<©с; A)
{Са(х%): 1^р^а<0с} попарно дизъюнктны. B)
Если мы условимся считать, что (у, б) < (а, Р), если у < а или
если у= а и 8<6 [лексикографическое упорядочение], то
{(а, Р): 1 ^р^а < сос} — вполне упорядоченное множество.
Определим последовательность {х$: 1 < р ^ а < сос} с помощью
трансфинитной индукции. Пусть х\—произвольная точка из Рг.
Предположим, что 1^Р^а<сос и что точка х1 уже определена
для всех пар (у, б) < (а, Р), 1<^б<;у. Рассмотрим
объединение й(ос, Р) множеств Са(х1), _когда (у^ б) пробегает_все пары
(у, б) < (а,_Р). Тогда В (а, Р)< (аJ тах (а, Я0) = тах (а, #0) < с
Поскольку ра = с, множество Ра П (О (ос, Р))' непусто. Пусть х% —
произвольная точка из РаГ\{0(а, р))'. Тогда Са(х^) не
пересекается ни с одним из Су(х1)у (у, б) < (а, Р). В противном
случае мы имели бы
тЦо ... от;-(^)=т^о...отЙD),
где Р/г^а, бу^у^а, гк есть 1 или —1, и т);. есть 1 или —1,
х) Если а — некоторый ординал, мы будем записывать а мощность
множества ординалов {р: 1^Р<^а}.

282
Гл. 4. Инвариантные функционалы
6=1, ..., п и / = 1, ..., т. Следовательно,
*Р=*ввл° ••• °С°^° ••• °^яD)€СаD)с:Л(а, Р),
ил /л
что противоречит выбору Хр.
Пусть теперь Ы = {у: V есть ординал и 1 О < сос} и пусть
Хч=(){Са(х%): ^а<юс}; г^И. C)
Свойство A) очевидно, а свойство (п) следует непосредственно
из B). Чтобы доказать свойство (ш), предположим, что \х (Ху) < 1
для некоторого ^Ы. Тогда существует такое множество
Л1+ е^^¦,чтоXVс:Л1^• и№ (Л1+) < 1. Следовательно, лемма A6.5)
применима к множеству (М+)' и потому существует ординал
а, V<а<(ос, для которого раа(М*)'. Это невозможно,
поскольку Ху^Ра по A) и х% ^Са(x^)с:XVс:Л1^¦ по C). Тем самым
утверждение A11) доказано.
Чтобы доказать утверждение (IV), достаточно показать, что
т7 (II Ху) Д ( II Ху) имеет мощность меньше с для любых
уеЫ0 V6Nо
7 < сос и М0с:]М. Поскольку
VеNо
есть дизъюнктное объединение по B), и поскольку ту(Са(х%)) =
= Са (х%) при а ^ у, мы имеем
М и *ЛЛ( и ху)си{са(^)ит?(са(^)):убМвл<а<т}.
УбЫ0 VеN0
__ = D)
8 силу Са (х%) Ц т7(Са (*")) < тах (ос, #0) при V<а и в силу
{(а, V): ^Ыо, V^а<'у}^GJ правая сторона соотношения D)
имеет мощность не выше тах (у, Я0) (уJ = тах(у, Н0) < с. []
Следующая чисто теоретико-множественная лемма является
специальным случаем леммы Тарского [1].
A6.8) Лемма. Пусть Ц = ^\— произвольное множество
мощности с. Тогда найдется такое семейство {Ме}еев различных
подмножеств в ]М, для которого:
A) 1 = 2-,
(и) множество П Нел непусто для любой последовательно-
п-\ п
сти {0^}^! различных элементов из в и любой
последовательности {е„}~=1 с гп = 1 или ', п = 1, 2, ...
Доказательство. Достаточно доказать лемму для некоторого
фиксированного множества N такого, что N = 0. Пусть в—се-

$ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара
283
мейство всех подмножеств множества [0, 1); очевидно, в = 2с.
Для каждого 0^в пусть Я@) = 0(Л[1, 2HF+1)'); здесь
0+1={# + 1: х^в}. Мы получаем:
из 0Х, Э2ев и 0^02 следует В(Ъ1)[\В(Ъ%)'Ф0. A)
Действительно, если х €&!(]%, т0 х^В(в1)Г\В(в2У9 а если
*<ЕМе;, то х+1$в(е1)пв(в2у.
Пусть %—семейство всех счетных подмножеств из [0, 2),
а N—семейство всех счетных подмножеств из Й\ Тогда % = N = с.
Для каждого 0^6 определим %§ как семейство всех счетных
подмножеств в 5@)с: [0, 2), а Ые—как семейство всех счетных
подмножеств в ^П(ё'е)'- Тогда, очевидно, получаем %$<=.%
и Ыес:Ы при 0^6.
Пусть {0Л}^! и {ел}~=1—данные последовательности, описанные
в утверждении (и). Берем любой элемент 0О(Е® с 00^0^ Для
любого /1 = 1, 2, ... и выберем число е0 равным 1 или 'так,
что г0Фг1. Пусть / — множество всех неотрицательных целых
чисел 1% для которых е; = 1, а 3 — множество тех
неотрицательных целых чисел*/, для которых еу. = '. Тогда / и 3—дизъюнктные
непустые множества, объединение которых есть {0, 1, 2, ..+
[Причина для присоединения [0О состоит в желании иметь оба
множества / и 1 непустыми.] Для каждых 1^1 и ^^^ имеем
$.ф$/у и потому В @у) П В @/)' Ф 0 по A). Для каждой такой
пары (I, /N/х/ выберем элемент х^^В @у) П 6@/)'. Для ]^1
пусть Су = {ху: 1^1} и у = {С/. ^^^\^ Тогда, очевидно, Су^#
и ^И. 1При 1^1 и ^€^ имеем также х^^Вфу) и потому
СусБ(ву). Следовательно, каждое С/ принадлежит #е. и потому
у(||Ые.. Иначе говоря,
V*: п м*' B)
/ 6 о ]
Похожим образом, при 1^1 и 1^3 имеем х(^В(^() и потому
С; ф 5ь@/). Следовательно, С;-^<ёв. ни для какого / (= 1 и потому
ус:#П (#е.)'. Отсюда следует, что т^Ые. и, в силу
произвольности /, следует также V € П N '. Отсюда и из B) получаем
/г=1 "
Из условия (И) следует, что все элементы в N различны. []
Мы теперь в состоянии сформулировать нашу самую важную
лемму, которая задает семейство^{Яе}е€е из 2е подмножеств
в С, удовлетворяющих некоторым специальным свойствам. Позд-

284
Гл. 4. Инвариантные функционалы
нее, в процессе построения, мы узнаем, что множества Ео все
А,*-измеримы, и что №(Ев1 Д^е2) = 1/2 при Э1=7^02. Из этих
свойств вытекает прямо, что характер пространства (О, е#\ А,*)
есть 2е.
A6.9) Лемма. Существует такое семейство {/?е}еев различ'
ных подмножеств в О, что
A) в-2е;
оо е
(и) Г) Ееп абсолютно инвариантно для любой последователь-
п=\ п
ности \®п\%=1 [не обязательно различных] элементов из © и
любой последовательности {е„}~=1, где еп есть либо 1, либо ',
/1=1, 2, ...;
A11) [х (Г) Евп) = 1 для любой последовательности {вп\п=1
различных элементов из в и любой последовательности {е,,}"^, где
гп есть либо 1, либо ', л= 1, 2, ...
Доказательство. Пусть {Х^еы — семейство подмножеств из О,
построенное в A6.7), а {Ые}эев — семейство подмножеств в 14,
построенное в A6.8). Для 0^6 определим Е$ как II {Х^ ^N9}.
Множества Е§ все различны, поскольку множества Ху попарно
дизъюнктны. Свойство A) совпадает со свойством A6.81).
Каждое множество Е$ абсолютно инвариантно по A6.71у).
Свойство (и) следует из этого и из того факта, что семейство
абсолютно ^инвариантных подмножеств в О всегда является
а-алгеброй.
ос
Чтобы Рдоказать A11), выберем сначала любое V0 ^ П МЦ*
A6.811). По определению, имеем Е$= 1){ХГ, ^Ые} и, поскольку
множества {Х^еы попарно дизъюнктны A6.7и), то также имеем
2?е=> ^{Ху,: V^Nе^ Значит, Е%^ 1){Ху: ^N1}, если 8 есть либо 1,
либо '. Следовательно,
п е\п^ п (и{Хч^^>\)=>и 1хх^$ пЩп\=>хУо.
п=\ п п=\ п \ п=\ п)
(со е \
П Е^ \ = 1. []
A6.10) Пусть {^е}9ео—семейство подмножеств в С,
построенное в A6.9). Рассмотрим семейство <В всех подмножеств
ЕаО, имеющих вид
0) Я =11^ ^((Д^П^ ... вя), где
я-положительное целое число, {0!, ..., 0Л}—некоторое конечное
подмножество рви для каждой последовательности {ег, .,., гп} с гк*= \

$ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара
285
или е/г = ', /г=1, 2, ..., д, Л481 ... е есть элемент из о/Ф. Здесь
{} , 1 означает объединение по 2п различным последова-
тельностям {е2, ..., гп\ с 8^=1 или е/г = '. Аналогично,
2г 1 обозначает сумму по всем различным последователь-
ностям {е1э ..., гп\ [п—фиксировано].
A6.11) Лемма. Семейство $ является алгеброй множеств в О
и о/Фа<§. Пусть
A) ^(Е) = ~Цгг гп^Шк ... гп), гдеЕ имеет видA6.Ш).
Тогда функция X* корректно определена и конечно аддитивна
на <§, причем Я* (М*) = А,1" (М*) для каждого М^^оФ. Наконец,
если Е$<8 и т€&, то г(Е)€<$ и Х*(х(Е)) = №(Е).
Доказательство. Сначала заметим, что если множество Е
имеет вид
Е="{« .Жо.^)п< •¦••«)• A)
а \®п+1у •••»9|я} — конечное подмножество в ©, не пересекаю
щееся с {0!, ..., 8Я}, то
*="{*> .^((Д^H <•••-)•
где 7И! 8 определено как М1 .8 для любых последователь-
ностей {г1У ..., гт\, с еу = 1 или '. Более того,
^Ек,...>е„}х+(<-0=^Е{81 .у* <<.....).
Эти наблюдения показывают, что где бы в настоящем
доказательстве мы ни встретили два множества Е и Р из <§, мы
можем предположить, что Е имеет вид A), а Р—вид
р=щ* Ж5.^)п<--'»)- B)
Иначе говоря, множества {0!, ..., 0п\ в A) и B) одни и те же.
Если Е $4> имеет вид A), то
Е'="{* .^(Сп.^П (<....„)')€*•
Далее, если Е и Р имеют вид A) и B) соответственно, то
* I- И {е, „} ((Л, *3) П (<....„ Ц <-.еп)) €*•

286
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Следовательно, $ есть алгебра подмножеств в О. Очевидно
при этом, что (Л^а<§.
Предположим, что Е имеет вид A) и B), т.е. Е = Р. Чтобы
доказать, что функция X* корректно определена на <§, нам
нужно только показать, что
Ь+(<...вл) = Ь+(ЛС.вп) C)
для любых последовательностей {г1У ...,еЛ}. По A) и B) мы
видим, что
Й4)п<...е„=(кП1^)п<..Е,
Следовательно,
(<...«„ Л Л1Л...в„)с=(д^*у. D)
Поскольку [х ( П Ее*] = 1 A6.9Ш), каждое А,1"-измеримое под-
множество в ( П Ее*) имеет Я-меру нуль. Поэтому из D) сле-
\/г=1 V
дует C).
Мы теперь покажем, что функция X* конечно аддитивна
на <$\ Предположим, что Е и /"—дизъюнктные множества вида
A) и B). Тогда (п Е%*\ ПМ^.^П М%..Лп = 0, так что
к и в предыдущем абзаце, отсюда
п п \к=\ V
следует К*(М11ш.ЛпГ1М%..Лп) = 0. Тогда
и потому из A) сразу получаем X* (ЕIIР) = X* (Е) + X* (Т7). Тот
факт, что Л,*(М+)-=А,+ (Л1-+) для любого М* €&$*, очевиден.
Наконец, пусть 5 имеет форму A), ит^Х. Тогда
Если мы положим
<*>~и{* ..}(тD21^)Пт(^-в-))
)ЛОЖИМ
*•-"< Ж5»*'0пт(м:'-,»))'

$ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара 287
ТО получим
т(^)Л^с:и{е1,...,Еп}(г(йП1^)л(АП1^)).
Каждый член этого объединения принадлежит о/$ и имеет
АЛмеру нуль по A6.9п). Таким образом, х(Е)ДЕо^&^сЗ
и, очевидно, Е0€<{)' Следовательно, т{Е)€4> [напомним, что
пространство (О, ®*+, А,*) полно]; наконец, используя A6.4),
получаем:
X* (х(Е)) = X* (Е0) = 12{е> 8„}Х* <т <<•••«„)) =
Доказательство теоремы A6.3). Пусть <^*—сг-алгебра
подмножеств в О, порожденная семейством <§. Чтобы показать,
что X* может быть продолжена до некоторой [счетно
аддитивной] меры на е#% достаточно доказать, что если {Ер)™=х есть
убывающая последовательность множеств в <В и Х*(Ер)^а'>0
для некоторого положительного числа а и р=1, 2, ..., то
со
П Яя=т^ 0- [См. Халмош[2], § 13, теорема 1; из вышеупомянутого
свойства прямо следует, что X* есть мера на алгебре <§ в смысле
Халмоша.] Наблюдения из первого абзаца доказательства
A6.11) показывают, что мы, не теряя общности, можем
предположить существование последовательности {0л}лв1 различных
элементов из в, строго возрастающей последовательности
{Пр}^ положительных целых чисел и элементов Мег...е из ^
для каждой последовательности {ех, ..., гп } таких, что
п<....„ У
^=и<* *.Л{№})пмг'---\)- A)
Если в A) заменить каждое множество М\Л 8 на множество
П М11т..ъ , равенство не нарушится [напомним, что {Ер}™^—
ц-1 пЧ
убывающая последовательность множеств]. Следовательно, мы
можем также предположить, что
М\%* сМ^.,.8 B)
при р=1, 2, ... и любой последовательности {е^ . ..,е„ }.
По предположению, №(Ер) = — У\. ^(М1 ,.е )>а для
2 р^\е*> -"еп„\ "р

288 Гл. 4. Инвариантные функционалы
каждого р и потому
Ь\М1<!»...г%)>а C)
для некоторой последовательности \г[р\ ..., е(пр)\. Существует
такая последовательность {би ..., бЛ1} с бА. ^-1 или ', для
которой множество
2г = {д: г#> = 6к для всех й = 1, 2, ..., лх}
положительных целых чисел бесконечно. Если уже определены
{бх, ..., 8п _х} и бесконечное множество 2,р_г положительных
чисел, мы выбираем {8п _1+1, ..., 8Пр\ таким образом, чтобы
2р = {д€2р_г: ?>р и г%> = 8к для всех к = пр_г + 1, ..., пр\
было бесконечным. Для р=1, 2, ... найдется такое ц^р, что
1\<--*пр)=1\Кг.^)>х\мкч)--->%)>а>о> D)
причем первое неравенство следует из B), а вторс)е — из C).
Поскольку /Мб, б 1°° —убывающая последовательность мно-
жеств, мы имеем
\Р=1 ПР/
(°° б . \ °° 4-
П Еок ) = 1 множество П М\г б пересекается
к=\ к) р=\ пР
с П е1* Итак,
„о,Е'зд(Со>'«)пУи1-в>)=
и мы показали, что функция X* может быть продолжена до
меры, которую мы также будем обозначать А,*, на сЛ*.
Мы покажем теперь, что пространство (О, е#% Я*) имеет
характер 2е.
Пусть {^е}оев—то же, что в A6.9). Из A6.1 И) получаем
Ь*(Дв1П5ва)=1/4 и потому Ь*(Дв1 Д Яв1)= 1/2 ПРИ °1> еа€в
и ^^бз. Предположим, что Ла<М* есть базис для (О, е#\ Я*).
Тогда для каждого 0^6 существует такой элемент Л0(^, что
Ь*(ЯеДЛе)<1/4. Если 01=^ва и А0. = Л02, то 1/2 = А,*Eв1ДЯ0я)<
^^СЕе.Д^о.) -|- А*(Ло2 Д^о2)< 1/2, что невозможно. Поэтому

$ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара 289
множество {Ле: 0 6®} состоит из различных элементов, и
семейство Л имеет мощность 2е.
Остается доказать, что из М* ^оЛ* вытекает т(Л/Г*)^е#*
и Х*(х(М*)) = к*(М*) для любого т$%. Пусть семейство 33
состоит из тех множеств В^оЛ*, что т(В)^# и^*(т(й)) =
= Х*(В) для каждого т^&. В силу <§аЗЗ из теоремы A6.11)
и теоремы 2 § 6 из книги Халмоша [2] следует, что 33 = оМ*>
если семейство 33 образует монотонный класс, другими
словами, если 33 замкнуто относительно образования сумм
возрастающих последовательностей множеств и пересечения
убывающих последовательностей множеств. Если {В„}~=1—убывающая
последовательность множеств в 33 и т^&, то т ( II Вп ) =
( 0 Вп)) = к*( и х(Вп))= Игл Х*(т(В„)) =
\я=1 // \/г=1 / п -+ оо
= Нт Я*(В„)=Я»( О вД
оо оо
так что II Вп^33. Аналогично, П Вп^33у если {В,г}~=1 есть
П—\ /2=1
убывающая последовательность множеств в 33. \\
Дополнительные теоремы и примеры
A6.12) Характер пространства с мерой и размерность
пространства й2. Пусть (X, (М, (х) — пространство с мерой такое,
что |щ (X) = 1. Пусть, далее, Ь — размерность пространства
22(Х, с!#, (х)х) [мы будем в настоящем разделе писать й2 вместо
&2(Х, с#, \ь)] и пусть т—характер пространства (X, оМ, рь)
в смысле A6.2). Если Ь конечно, то гп = 2ь. Если Ь бесконечно,
то ш = Ь.
[Предположим сначала, что \х принимает только конечное
число значений; пусть ах — наименьшее положительное значе-
х) Пространство #2 (X, оМ, |ы) определяется, как обычно — как
нормированное линейное пространство всех ^-измеримых комплекснозначных
функций ? на X таких, что ||/||2=\ | ! \2 й\ь < оо; см. в § 12 частный случай.
х
Относительно внутреннего произведения </, #>== \ {§^[1 $?2№ оЛ?» И) является
X
гильбертовым пространством.
10 Э. Хьюитт, К. Росс, т. \

290
Гл. 4. Инвариантные функционалы
ние |х. Если Е±—множество в оМ такое, что [г^)—с^, то для
каждого А^сЖ, А с: Ех имеем \1(А)=а1 или [х(Л) = 0. Пусть
а2—наименьшее положительное значение, принимаемое мерой |х
на подмножествах из Е[, если такие значения есть. Заметим,
что а2^ах. Выбирая Е2сЕ[ так, чтобы \1(Е2)=а21 мы
продолжаем этот процесс, что дает нам разбиение
пространства X на множества Ег, ..., Еп1 причем \х(Ек)=ак и каждое
подмножество А с= ЕкУ А^оМ<, имеет либо меру акУ либо 0
F = 1,2, ...,п). Тогда легко видеть, что {^[^ есть
ортогональный базис в Йа, так что пространство 22 имеет
размерность п. Также легко видеть, что характер пространства с
мерой (X, с#, |х) есть 2". Действительно, множества 0 и
все объединения 5^11 ... [}Ек для непустых подмножеств
{&!, ..., кД из {1, 2, ..., п\ образуют базис, и никакой базис
не имеет меньшего числа элементов. Таким образом, т = 2* = 2Л
в этом случае.
Предположим, далее, что мера \1 принимает бесконечно много
значений. Тогда существует некоторое бесконечное семейство
{Лп}яв1 с оЖ попарно непересекающихся подмножеств
положительной меры,— это показывается элементарным
рассуждением, детали которого мы опускаем. Функции %А (/1 = 1, 2, ...)
принадлежат 22 и, конечно, ортогональны, так что Ь
бесконечно1).
Остается показать, что т = Ь, если Ь бесконечно. Пусть
р—наименьшее кардинальное число плотного подмножества в 22;
легко видеть, что Ь = ^. Пусть Л—базис для (X, сЖу (х) мощ-
т
ности т. Функции вида 2 (а/+Ф/Iл*. (а/> Р/ € Ф> М1 € °Щ
плотны в 22 и каждая функция %в может быть
аппроксимирована сколь угодно точно в метрике 22 функцией \А с А^А,
поскольку ||^л—7-в\\2 = \х(А Д ВI/з. Отсюда следует, что
тп^:р = Ь. Чтобы показать, что тп^Ь, выберем такое плотное
подмножество ^с22, что $ = Ь. Для любых М ^оЛ и
положительного целого числа п найдется функция /6$ такая, что
II/—%м\и<1/п- Для каждых / и п, для которых существуе
М^оМ, удовлетворяющее последнему неравенству, выберем
одно такое М; пусть Л—семейство всех так выбранных
множеств М. Очевидно, <//^#0Ь = Ь. Далее, для данного М^о/Я
и данного положительного целого числа п найдутся / ^$ такая,
что ||/—Ъм\\2 < \\п и А^Л такое, что \\[—1А\\2<1/п.
Следовательно, используя неравенство Минковского A2.6), получаем
х) Для любого кардинального числа п > 0 найдется компактная группа О
с мерой Хаара Я такая, что A1т($2F, Х}) = \\. См. B4.16),

§ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара 291
1г(ЛДМI/2 = ||^_^||2<||^-/||2 + ||/-^1|2<2//г. Иначе
говоря, Л есть базис для (X, ©*, [х).]
A6.13) Неизмеримые множества, (а) Любая недискретная
локально компактная группа О содержит подмножество Е9
неизмеримое относительно каждой инвариантной относительно
левых сдвигов меры |х, являющейся продолжением левой меры
Хаара X.
[Пусть V — окрестность единицы в О такая, что А,([/)<оо,
а У—симметричная окрестность единицы, и У2, с V. Пусть,
далее, Э—любое счетно бесконечное подмножество в У, а Я —
подгруппа группы О, порожденная Б. Очевидно, Я счетна.
Обозначим множество различных правых классов смежности
по Я через {Нха}а$А\ пусть Л0 = {а^А: (Нха) [\У ф 0). Для
каждого а^Л0 выберем ровно один элемент уа€(Нха)(\У и
определим Е как множество {г/а: а^Л0}. Предположим, что
множество Е [х-измеримо. Поскольку множество Н [\У2 счетно
бесконечно, множество [} {хЕ: х^Н(]У2} = (Н(]У2) Е является
дизъюнктной суммой счетно бесконечного числа левых сдвигов
множества Е. Отсюда следует, что (Н Г\У2) Е должно иметь
либо [х-меру 0, либо [х-меру оо. Поскольку X (V) > 0 и X (V) < оо,
это утверждение окажется противоречивым, если мы
установим следующее включение:
У ^{Н[\У2)Еа Ц.
Если у^У, то У^Нха = Нуа для некоторого а(=Л0; значит,
о = куа для некоторого /г^Я. Поскольку Н^юу^^УУ'1 аУ2,
имеем У = Нуа^(НпУ2)Е. Включения (Н ПУ2) ЕаУ2ЕаУ2Ус:и
очевидны.]
Ь) Пусть О—группа, Я—ее подгруппа [не обязательно
нормальная], такая, что левое пространство классов смежности
со
0/Н—счетно бесконечное: 0= II апН, где все множества апН
попарно дизъюнктны. Предположим, что существует левоин-
вариантная мера \1 на алгебре Л подмножеств в О такая, что
со
Н$А и ц@) = 1. Если ц(Я) = 0, то ц@) = 2 ц(а„Я) =
/г=1
со оо
= 2 |л(/^) = 0. Если [х (Я) > 0, то р (О) = 2 |* (#) = оо. Следо-
вательно, невозможно, чтобы Я принадлежало Л. В частности,
если группа О компактна, а А,—нормированная мера Хаара
на С, то Я не может быть ^-измеримым и не существует лево-
инвариантного продолжения меры Хаара, относительно
которого множество Я измеримо.
Ю*

292
Гл. 4. Инвариантные функцидналы
(с) Пусть О—бесконечная абелева группа. Тогда О
содержит подгруппу Н такую, что 0/Н счетно бесконечна.
[Случай I: О есть периодическая группа. Поскольку О есть
слабое прямое произведение счетного числа примарных групп
(А.З), достаточно доказать наше утверждение в случае, когда
группа О р-примарна для некоторого простого р. По (А.24)
группа О .содержит подгруппу В такую, что О/В—делимая и
изоморфна слабому прямому произведению циклических групп.
Если В = 0, то наше утверждение, очевидно, выполнено. Если
ВфО, то О/В есть слабое прямое произведение экземпляров
группы 2(р°°) (А. 14). Ясно, что группа О/В допускает
подгруппу У* такую, что @/В)/,/ счетно бесконечна, и потому
счетно бесконечна группа 0.
Случай II: О не есть периодическая группа. Пусть элемент
а^О имеет бесконечный порядок, а Ь—группа {а12}^-^. Пусть,
далее, М—такая подгруппа в О, что М[)Ь = {е\, и М
максимальна по отношению к этому свойству. Тогда ЬМ—подгруппа
в О, и группа 0/(ЬМ) периодична. Если С/(ЬМ) счетна, то О/М
счетно бесконечна. Если С/(ЬМ) несчетна, то мы пришли к
случаю I.]
(й) Всякая бесконечная компактная абелева группа
содержит подгруппу Я, неизмеримую относительно любой
инвариантной относительно сдвигов меры, являющейся продолжением
меры Хаара. [Просто применяем (Ь) и (с).]
(е) Всякая бесконечная компактная метрическая группа
содержит с попарно дизъюнктных подмножеств, неизмеримых
по отношению к мере Хаара. [Рассмотрим с множеств Ху,
построенных в A6.7), и пусть [х—функция множеств из A6.6),
а X—функция множеств, определенная по интегралу Хаара, как
в A1.20). По A1.22), A6.6) получаем, очевидно, что А, (XV) ^ [х (Ху)
для каждого V. По A6.7) имеем также А,(Х^ = 1 для каждого V.
Если XV,, А,-измеримо, то мы имели бы X (Хг) ^ X (Х^о) = 0 для
КаЖДОГО V^V0.]
(Г) Относительно простые неизмеримые множества могут быть
построены с использованием больших произведений пространств.
Пусть Г—несчетное множество индексов, и для каждого у€Г
пусть Су—бесконечная компактная группа. Пусть, далее, Ху—
нормированная мера Хаара на Оу, а X—нормированная мера
Хаара на 0= Р Оу. Тогда X есть произведение мер в смысле
A3.18) и A5.17]). Для каждого у^Г пусть Ау есть собственное
^-измеримое подмножество в Оу, для которого Ху (Ау) = 1. Тогда
множество А= ? Ау неизмеримо. [Предположим, что оно из-
убГ
меримо. Пусть Р—некоторое компактное подмножество в А
и для каждого у^Г пусть Еу—проекция Р в Оу. Тогда Еу
есть компактное подмножество в Ауу и Ху(Еу)< 1. Таким об-

$ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара
293
разом, К( Р Е^=0 A3.22) и, поскольку Р с Р Еу, имеем
Чтег V тег
Х(Р) = 0. Значит, Х(Л) = 0 по A1.32).
Бэровские множества в О определены в A1.1). Согласно
A9.305) ниже [который доказывается, конечно, без ссылки на
настоящий раздел], существует бэровское множество 5, для
которого В з А и Х(В)=Х(А) = 0. Поскольку группа С
нормальна, бэровские множества в С суть множества наименьшей
а-алгебры подмножеств в С, содержащей все открытые
множества, являющиеся объединениями счетного числа замкнутых
множеств. Рассмотрим теперь подмножества ОсС, для
которых найдется счетное подмножество Т0с:Т такое, что
из (#7NА (Уу)€С и Ху = уу при у^Тв следует (уу)€.В.
Это семейство множеств является а-алгеброй, содержащей
все открытые подмножества из О, являющиеся объединением
счетного семейства замкнутых подмножеств, поскольку такое
множество одновременно является счетным объединением
базисных открытых множеств. Следовательно, найдется счетное
подмножество Г0 с: Г такое, что
из (ху)$В, (уу)€б и ху = уу при у6Г0 следует {уу)$В.
Отсюда и из включения А а В следует Вз Р Аух Р Оу.
Из теоремы A3.22) теперь вытекает, что Х(В) = 1, что
невозможно.]
A6.14) Локально нулевые множества. Всякая недискретная
локально компактная топологическая группа О, не являющаяся
сг-компактной, содержит локально Я-нулевое подмножество,
не являющееся ^-нулевым; сравните с A1.33). [По E.7), группа
С содержит открыто-замкнутую а-компактную подгруппу Я.
Очевидно, факторпространство О/Я несчетно. Выберем по
единственному элементу из каждого левого класса смежности
по Я и обозначим через А множество так выбранных
элементов. Множество А локально Я-нулевое, поскольку все
компактные подмножества в А конечны и потому имеют Х-меруО.
Покажем теперь, что Х(А) = оо. Если {]—любое открытое
множество, содержащее Л, то А((хЯ)Г)^/)>0 для любого
левого класса смежности хН по Я. Поскольку группа С/Я
несчетна, отсюда и следует Я((/) = оо A1.25). Следовательно,
по A1.22) получаем 1(А) = оо.]
Замечания. Теорема A6.3) Какутани иОкстоби [1] показывает,
что мера Хаара, вообще говоря, не дает нам полной информации

294
Гл. 4. Инвариантные функционалы
относительно инвариантного интегрирования на компактных
метрических группах. Эта теорема открывает двери для
возможного развития гармонического анализа; мы вернемся к этим
вопросам в подходящем месте в последующем.
Существует много других важных и интересных фактов
относительно инвариантных мер. Некоторые из них
рассматриваются в §§ 17 и 18. В этих параграфах мы будем иметь дело
с ситуацией, которую можно было бы назвать
«конечно-аддитивной». В §§ 15 и 16 мы рассматривали только
счетно-аддитивные инвариантные меры, которые до сих пор являются
наиболее важными инвариантными мерами для гармонического
анализа в его современной форме. В этих параграфах мы никоим
образом не исчерпали известные полезные факты относительно
инвариантных мер х). Недостаток места не дает нам возможности
продолжить рассмотрения.
Несколько тем заслуживают по меньшей мере упоминания
ввиду важности их применений. Первая из них есть обращение
Вейля конструкции меры Хаара, построенное Вейлем [4],
стр. 157—163. Немного более сильная версия появилась у Хал-
моша [2], стр. 258—268. Основная идея проста. Как показано
в B0.17) ниже, каждое борелевское множество А конечной
положительной меры в локально компактной группе О обладает
тем свойством, что множество А (А~1) содержит окрестность
единицы. Пусть теперь С — группа без топологии, но с лево-
инвариантной мерой на левоинвариантном а-кольце Л
подмножеств О такая, что отображение (х, у)ь->(х> ху) группы ОхО
на себя сохраняет измеримость для произведения мер [д,Х[л2),
и такая, что каждое А^Л а-конечно по отношению к {а. Пусть
также для любого х ^ 0, х Ф е> существует А ^ Л с 0 < [х (Л) < оо
и \л({хА) Д А) > 0. Тогда, рассматривая систему множеств
\х^0: \1({хА) Д А) < е} как открытую базу в точке е,
получаем топологию на О, относительно которой О является
топологической группой. Существует локально компактная группа
00, в которой О является плотной подгруппой и в которой
мера Хаара тесно связана с {х. За деталями мы отсылаем
читателя к Халмошу, там же. Для групп, в которых а-кольцо Л
является а-алгеброй специального вида, этот результат сильно
улучшен Макки [3]. Детали достаточно технические, и мы не
будем их здесь воспроизводить.
х) Выбор тем для §§ 16—18 диктовался частично нашими личными
вкусами.
2) Поскольку группа О не обязана быть локально компактной, а мера ус
не обязана быть построенной, как в § 11, мы не можем определить [1Х\л
с помощью конструкции § 13. Мы должны использовать абстрактную
конструкцию, которую можно найти, например, у Халмоша [2], гл. 7.

$ 17, Инвариантные средние для ограниченных функций 295
Существует обширная литература по вопросам поведения
Х(АВ) для подмножеств Л и В локально компактной группы.
Смотрите, например, Кемперман [1],*Кнезер [1], Макбит [1].
Изолированные, но интересные теоремы о мере Хаара появились
у Швирчковского [1] и [2] и Урбаника [1].
§17. Инвариантные средние, определенные
для всех ограниченных функций
Как уже указывалось в определении A5.2), при
рассмотрении понятия инвариантности линейного функционала,
определенного на пространстве вещественных или комплексных
функций на группе, мы не обязаны ограничиваться случаем локально
компактной группы О и интегралов Хаара на ©00(О). В этом
параграфе мы рассмотрим интересную [и только частично
решенную до сих пор] проблему нахождения групп, на
которых существует инвариантное среднее, определенное для всех
ограниченных функций на группе.
Многие из наших предыдущих определений, данных для
групп, также имеют смысл для полугрупп. Например, если 5
есть полугруппа, а ^5, а /—функция на 5 со значением в
любом непустом множестве, то обозначениям в/ и /а можно
придать в точности тот же смысл, что в определении A5.1). В
случаях, когда определения переносятся дословно с групп на
полугруппы, мы обычно не будем выписывать определение для
полугрупп в деталях. Многие теоремы настоящего параграфа
могут формулироваться и доказываться для полугрупп в
точности так же, как для групп. Мы укажем такое обобщение,
где оно возможно.
Переходим к точным определениям.
A7.1) Определение. Пусть X—любое непустое множество.
Пусть, далее, 35 (X) — множество всех ограниченных комплексно-
значных функций на X, 93Г(Х) и 99+ (X) определяются, как
в A1.4). Наконец, для /633 (X)'пусть ||/ ||„ = зир{|/: (х)\: х$Х\.
Очевидно, 83 (X) и 33Г(Х) являются соответственно
комплексным и вещественным линейными пространствами относительно
поточечного сложения и скалярного умножения. Относительно
нормы ||Ли ЗЗСЭД И 23Г(Х) являются, очевидно, комплексным
и вещественным банаховыми пространствами соответственно.
A7.2) Определение. Пусть X — любое непустое множество,
а $—вещественное линейное подпространство в 93Г(Х).
Среднее М на % есть вещественный линейный функционал на $-,
обладающий тем свойством, что

296
Гл. 4. Инвариантные функционалы
(г) ш1{/ (л:): х ^Х} < М (/)<зир{/ (х): х^Х\ для любого
Заметим, что, если М есть вещественный линейный
функционал на ^ и ^ содержит постоянные функции, то свойство (О
имеет место тогда и только тогда, когда
М(/)>0 при /€$ и />0 A)
и
Л*A) = 1. B)
A7.3) Определение. Пусть 5—полугруппа, а $ — линейное
подпространство в 33гE) такое, что из х^8 и /€$ следует
л:/ € $ [/* € гУ] • Лево-[право-] инвариантное среднее М на $ есть
такое среднее, что М (*/) = М (/) [М AХ) = М (/)] для любых / ^ $
и х^5. Среднее М, удовлетворяющее условию М (*/) = М (/*) =
=Л1 (/) для любых / (= ^ и х ^ 5, называется двусторонне
инвариантным средним или просто инвариантным средним1).
A7.4) Теорема. Пусть 8—полугруппа, а $—линейное
подпространство в 33г E) такое, что изх^8 и / € $ следует х[ ^$.
Пусть, далее, ^1 состоит из всех функций /г^$ вада
для некоторых [19 ..., [„^ а^, .. ., ап^8. Тогда левоинвари-
антное среднее на % существует тогда и только тогда, когда
(\) зир {Н (х): х ^ 5} ^ 0 для любого к ^ .©/.
Предположим, далее, что из х^8 и /€$ следует /*€$•
Пусть $ состоит из всех функций Н^% вида
п т
для некоторых [19 ..., /„, §19 ..., §т € $ и аг, ... ,ап,Ъх, ..., &Л € 8.
Тогда двусторонне инвариантное среднее на ^ существует
тогда и только тогда, когда.
(и) $ир{к(х): х^8}^0 для любого к^$.
Доказательство. Мы докажем второе утверждение;
доказательство первого в точности то же самое. Если М—двусторонне
инвариантное среднее на $, то М(к) = 0 для каждого /*€:•$ и
потому
зир{й(х): х€8\^М(к) = 0.
х) Заметим тесную связь A7.3) с определением A5.2).

$ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 297
Предположим теперь, что (и) выполнено. Очевидно, (о есть
линейное подпространство в %. Для каждого И^йг) положим
М0(к) = 0.
Тогда, очевидно,
лИ0(А)==0<зир{А(*): *€5}
при й€$- Полагая р (/) = 8ир{/(я): х^5} для любого /€$ и
применяя (В. 13), мы видим, что М0 может быть продолжено до
линейного функционала М на $, причем так, что
М(/)<зир {/(*): х$8\
при /€$• Кроме того,
—Л1(/) = Л1(—/)<зир {—/(*): *€$} = —ш! {/(*): *€<5}
и потому
т! {/(*): ^65}<М(/).
Наконец, если а ^8 и /€$> то /—а! и /—1а принадлежат ,<р,
так что М(Г)=Ми) = МAа). П
A7.5) Теорема. Пусть 8—любая коммутативная полугруппа.
Тогда существует инвариантное среднее М на 33г E). [В на-
стности, каждое линейное подпространство ^ в 33г E) такое,
что х1 €$ при х^8 и /(;$, имеет инвариантное среднее.]
Доказательство. Пусть /х, ..., /л—элементы из 23Г(Х), а19 ...
..., ап — элементы из 5, и пусть
к=\1 к ^
Ввиду A7.4), достаточно доказать, что зир{й(л:): л:^5}^0.
Предположим, наоборот, что для некоторого 8 > 0 имеем
зир{Л(*): х€8} = — е. A)
Пусть р — любое положительное целое число. Пусть Л состоит
из всех функций X с областью определения {1, ..., п\ и областью
значений из {1, ...,р}; очевидно, Л содержит в точности рп
элементов. Пусть отображение т: Л—^5 определено формулой
т(к) =а^а)а%{2) ... а%(т. Для фиксированного к, к = \,2, ..., п,
мы хотим оценить сумму
21/*(т(Ь))-Ыа*т(Ь))]. B)

2%
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Легко видеть, что все члены в сумме B) сокращаются, за
исключением, возможно, тех //?(т(Х)), для которых Я(й) = 1, и
тех 1/г{акт(к)), для которых Х(к) = р. Число таких членов равно
2рп~х. Следовательно,
2 [/* (т (Ц)-[к (а*т (Я))] ^-гр-11| 1к \\а.
Применяя A), получаем
-ер»>2А(т(А,)) = 2 2 [/*(т(*))-/*(акт(к))] =
= 2 2 [/*(*(*))-/*(<***(*))]>
п
>— 2 2р»-М = — 2лр»-М,
где Л = тах{ ||/л||я: к—\9 ...,д}. Следовательно, ер^2яЛ.
Поскольку р может быть выбрано произвольно, получаем
противоречие. Следовательно, A) не может выполняться, и потому
существует инвариантное среднее на 23гE). []
Теперь сформулируем элементарную, но полезную теорему.
A7.6) Теорема. Пусть 5—полугруппа, а %—линейное
подпространство в 33г E). Предположим, что <$~ есть семейство
подполугрупп в 5, для которого:
(\) для любых Т19 Т2^^ существует Т3^^ с Т3=)Т1[)Т2\
(И) [){Т: ГбсГ} = 5.
Для каждого Т ^<$~ пусть $Т—линейное пространство всех
функций из % с областью определения, суженной на Т. Если
х1 € $ пРи * € 5 и / € $ и если существует левоинвариантное
среднее на каждом $Т, то существует левоинвариантное среднее
и на $. Если также /*6$ пРи х^8 и [€$ и если существует
двусторонне инвариантное среднее на каждом %Т> то существует
двусторонне инвариантное среднее и на §г.
Доказательство. Мы докажем первое утверждение;
доказательство второго аналогично. Пусть /х, ...,/„^; ах, ..., ап $5
п
и рассмотрим Л= 2" Г/л~а7*1- Для некоторого Т0€<^~ имеем
а1У ..., ап^Т0. По теореме A7.4), примененной к §то, видим,
что $ир{к(х): х$То\^0. Тогда, очевидно, зир {/*(*): х^5}>0.
По A7.4) снова видим, что существует левоинвариантное
среднее на $. [] .
Предположим, что 5 есть топологическая полугруппа, т. е.
полугруппа, являющаяся топологическим пространством, в
котором отображение (х9 у)у->ху непрерывно на 5x5. Тогда б/ E)

§ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 299
очевидно инвариантное относительно сдвигов линейное
подпространство в 33гE), так что A7.4) — A7.6) справедливы для
8 = ^E).
Сформулируем теперь три следствия теоремы A7.6).
A7.7) Следствие. Пусть 8—полугруппа. Существует [лево-,
право-, двусторонне] инвариантное среднее на 35гE), если
существует [лево-, право-, двусторонне] инвариантное среднее на
23Г(Т) для каждой конечно-порожденной подполугруппы Т в 8.
A7.8) Следствие. Пусть С—группа. Существует двусторонне
инвариантное среднее на 35г@), если существует двусторонне
инвариантное среднее на 53г(#) для любой конечно-порожденной
подгруппы Н в О1).
A7.9) Следствие. Пусть О—группа такая, что каждое
конечное подмножество в О порождает конечную группу. Тогда 93г (О)
допускает двусторонне инвариантное среднее.
Следствие A7.9) прямо вытекает из того факта, что для
конечной группы Н пространство 23г(#) допускает двусторонне
инвариантное среднее, именно, интеграл Хаара.
A7.10) Теорема. Пусть 8—полугруппа, и предположим, что
существуют лево- и правоинвариантные средние на$$г(8). Тогда
существует и двусторонне инвариантное среднее на 23гE).
Доказательство. Пусть М и М9 — лево- и правоинвариантные
средние соответственно на 93гE). Для /:^93гE) и #(^5 пусть
/' (х) = М' (х[); очевидно, //^93гE). Положим теперь
М0(Г) = М(Г).
Поскольку отображение />—э-/1' линейно на 33' E), мы видим,
что и М0 линейно. Более того, М0A)=1 и Мо(/)>0при ^>0.
Для а, х € 5 имеем («/)' (х) = М' Ш)) = М' (ах?) = V (ах) = а(Г) (х).
Следовательно, М0 (аП = М (Ц)') = М ЦП) = М (/') = Мп {?). При
а, х б 5 получаем (/«)' (х) = М' (хО = М' (СД) = М' (х[) = /' (х).
Отсюда следует
Следовательно, М0 есть двусторонне инвариантное среднее на
Я'E). ?
A7.11) Теорема. Пусть О—группа и предположим, что
существует левоинвариантное среднее М на 93г@). Тогда
существует и двусторонне инвариантное среднее на 93г@).
]) Мы опускаем здесь результат для лево-и правоинвариантньтх средних,
ввиду A7.11) [см.].

300
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Доказательство. Как в определении A5.1), пусть/А означает
функцию на О, для которой /А (х) = ^(х-1). Для } €?ВГ(С) пусть
М' A) = М(/А). Тогда М' есть правоинвариантное среднее на
85г@); остается применить A7.10). []
A7.12) Теорема. Пусть О—группа, а И—ее подгруппа. Если
ЪТ (С) допускает двусторонне инвариантное среднее М, то его
допускает и 23Г(Я).
Доказательство. Для каждого правого смежного класса Нх
по Я пусть х(Нх)— произвольный, но фиксированный элемент
из Нх. Каждый элемент х ^ О тогда единственным образом
представим в виде х = Нхх(Нх), где НХ^Н. При /(=23Г(Я) и х$6
полагаем
Очевидно, /ь-»/' есть линейное отображение 33Г(Я) в 23г@).
Для /^$ВГ(#) пусть М0(?)=М (/'); очевидно, отображение М0
линейно, М0(\) = 1, М0(?)^0 при /^0. Докажем, что М0 лево-
инвариантно на 35г (Я). Для я ^ О и а ^ Я мы имеем ах = аНхх (Нх)
и также ах = кахх(Нах) = Нахх(Нх). Поэтому аНх = Нах и для
любого [€%Г(Н)
(Л)' (*) = а! (Ьх)=Т №*)=! (Кх) = Г (**) = «(/)' (*)•
Тем самым
м0 (Л) - м ((.по = м и?')) = м (Г) = м0 (/).
Поскольку М0 есть левоинвариантное среднее на 33Г(Я),
теорема A7.11) показывает, что существует и двусторонне
инвариантное среднее на 33Г(Я). П
A7.13) Следствие. Пусть О—группа. Тогда?8г(С) допускает
двусторонне инвариантное среднее тогда и только тогда, когда
23Г(Я) допускает двусторонне инвариантное среднее для любой
конечно-по рожденной подгруппы Я в О.
Доказательство. Это прямо следует из теорем A7.8) и A7.12). []
A7.14) Теорема. Пусть О—группа, а Я—ее нормальная
подгруппа. Тогда 23г (С) допускает инвариантное среднее тогда и
только тогда, когда и 93Г(Я) и 33Г@/Я) допускают
инвариантные средние1).
Доказательство. Предположим, что М есть инвариантное
среднее на 95г (О). Согласно A7.12), 93Г(Я) допускает
инвариантное среднее. Пусть ср: О—* О/Я—естественное отображение. Для
}€$5ГF/Н) пусть М0(/) = М(/оф). Легко показать, что М0 ли-
х) Отметим аналогию между этой теоремой и теоремами E.25) и G.14),

$ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 301
нейно на 33Г@/Я), что ЛГ0A)=1 и что Л1о(/)>0 при ^>0.
Для I 6 85г (О/Н) и а:, у $ О мы видим, что ((*„/) о ф) (у) = \ (хуН) =
= ^оф)(?) и потому
А*оЫ) = Л1(иЛоф) = М(Л/оф)) = А1(/оф) = Л10(/).
Аналогично, М0 правоинвариантно на 93Г@/Я).
Предположим далее, что М и М'— инвариантные средние на
23Г(Я) и 23Г@/Я) соответственно. При /^93''(О) и х^О пусть
[(х)=М(х(); здесь область определения х} сужена на Я.
Докажем сначала, что если х и у принадлежат одному и тому
же классу смежности по Я, то 7 (*) = /(*/)• Мы предполагаем,
таким образом, что х = ук0, где Н0^Н. При Л^Я имеем ^(Я) =
= / (дЛ) = ^ (#й0й) = Ло у) (Л). Следовательно, /(*) = м (*/) =
= М (Лп (у^)) = М (у/1) = [ (у). Поскольку отображение 7
постоянно на классах смежности по Я, мы можем определить функцию /'
на О/Я правилом ['(хН)= 7(х). Наконец, полагаем М0([) =
= М'({') для }€$$гF). Линейность отображения М0, равенство
Л40A)=1 и неотрицательность М0 очевидны. При а, х^О и
I € 23г (О) получаем
(аТУ (хН) = М(Х (аП) = М (ЙХП = /' (ахН) = аН(П (хН),
откуда следует, что
м0(лп = м'(иу) = м'(п = м0(п.
Таким образом, М0 левоинвариантно, и по A7.11) 33г@)
допускает двустороннее инвариантное среднее. []
A7.15) Теорема. Пусть 8— полугруппа, и $1 состоит из
всех Л^23гE) вида
п
для }1У ...,/„ 6 23г E) и аХ1 ..., ап ^ 5. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(г) существует левоинвариантное среднее М на 93гE);
(и) !п1{||1-А||в: *€«,} = 1.
Если 8 удовлетворяет левому закону сокращения [из ху = хг
вытекает у = г], то (\) и (и) эквивалентны (ш):
A11) равномерное замыкание <?, не совпадает с$5г(8).
Доказательство. Предположим, что A) выполнено. Тогда по
A7.4) имеем $ир\Н(х): х^8}^0 для каждого Н^^. Отсюда
следует, что || 1—Н\\и^\ для каждого Н^^о1у и потому
1п!{||1—А||а: &6^Д>1. В силу ||1|!„=1 поручаем
справедливость (и).

302
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Предположим теперь, что т1{||1—Н\\и: Аб^} = 1- Тогда
по (В. 15) найдется линейный функционал М на 23гE), для
которого М(\) = 1, ||М||=1 и М(Н) = 0 для любого Л^^.
Напомним, что || М || -зир {| М (!) |: ||/ ||я= 1 и / ^23гE)}.
Поскольку М(^) = 0, М инвариантен слева. Чтобы показать,
что М есть среднее, нам нужно только проверить, что из/^0
вытекает М(/)^0. Предположим, что /^0 и М (/) < 0. Если
*=ш«-л то 1^1|и<и/11н и |м(^)|=цли-м(/)>||/||а>
^Ий'Ца- Отсюда следует || М || > 1, в противоречие с выбором М.
Следовательно, М есть левоинвариантное среднее на 23гE).
Очевидно, из (И) вытекает (ш). Предположим, наконец, что
(НО справедливо и 5 удовлетворяет левому закону сокращения.
Выберем функцию /0 ^33г E) Л {$Т)'. По (В. 15) найдется
ограниченный линейный функционал Ь на 93гE), для которого
Ь([0) = 1 и Ь($г) = 0- По (В.37) он имеет вид Ь+—/,_, где
Ь+=тах(Ь, 0), причем \Ь+ и /,_— неотрицательные линейные
функционалы. Заметим, что, по определению,
М/) = 31Ч> {*-&): 0<йГ</} A)
для неотрицательных /. Докажем теперь, что функционал Ь+
левоинвариантен; мы уже видели, что Ь(х1) — Ь(П для каждого
I в силу /,($,) = 0. Предположим, что /^0 и х^5. Тогда из
^^/ вытекает д^<^/. Более того, если й^^/, то Н = х§ для
некоторого й"^23гE) такого, что 0^^^/. [Чтобы убедиться
в этом, заметим, что каждое у^х8 имеет вид хз, где 5
единственно по левому закону сокращения. Пусть тогда @(у) = Н(8)
при у = хз и §(у)^0 при у €$П (х8)'.] Из A) следует, что
^+ СеЛ Ф^+ (/)• Поскольку каждая функция в 33гE) есть
разность двух неотрицательных функций, имеем Ь+(х[) = Ь+([)
для любой функции /^25гE). Поскольку оба функционала 1и
1,+левоинвариантны, то левоинвариантен и функционал /,_.
Имеем либо Ь+ (/0) ^= 0, либо Ь_ (/0) =?^= 0; пусть, например, Ь+ (/^0) =^0.
В силу |М/о)|<МШиЧ1и*М1) имеем М*)>0.
Полагая М (/) = + ;у , получаем левоинвариантное среднее на
33ГE).П
Докажем теперь, что для некоторых групп С, 23г@) не
допускает левоинвариантных средних.
A7.16) Теорема, Пусть О — группа, содержащая свободную
подгруппу с двумя образующими. Тогда на 33г(О) нет
левоинвариантных средних.
Доказательство. Ввиду A7.11) и A7.12), достаточно показать,
что 33г (Т7) не допускает левоинвариантных средних, где Р—
свободная группа с двумя образующими а и Ь. Каждый
элемент Р имеет единственное представление в виде приведенного

§ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 303
слова B.8). Пусть А — множество элементов из Р,
начинающихся с а или а'1 в его записи как приведенного слова, и
пусть [(х) = 1 при х^А и /(л;) = 0 при х^А. Согласно A7.4),
достаточно показать, что функция
Н = (ьа-*! — аЬ-*а (да-*/)) + ((— /) —*-»«-* ( —/))
обладает свойством зир \Н(х): х ^Р\ < 0.
Мы имеем
Н (х) = !(Ьа-1х) + ^(Ь-1а-1х)—[ (ах) — [ (х)
при х^Р. Для любого х^Р либо х, либо ах принадлежит А.
Следовательно, А(я)^—1,за исключением, возможно, случая,
когда Ьа~гх или Ь~1а~1х принадлежит Л. Если имеет место одна
из этих ситуаций, то х должно иметь вид аЬ~1агу или аЪагуу где
в = ± 1, а слово аеу—приведенное. В любом из этих случаев и
х9 и ал; принадлежат Л, вто время как только один из элементов
Ьа,-1х и Ь~1а~1х принадлежит Л. Таким образом, в любом из
этих случаев Н (х) = — 1. Следовательно, зир {Н (х): х ^ Р\ ^— 1. []
Дополнительные теоремы и примеры
A7.17) (Робисон [1].) Теорема A7.4) может быть обобщена
следующим образом. Пусть X — любое непустое множество, $ —
любое линейное подпространство в ЭЗГ(Х), содержащее
некоторую функцию [ф0, а Ж—любое семейство линейных
преобразований из $ в ^. Необходимое и достаточное условие
того, чтобы существовал линейный неотрицательный функционал
М на $, удовлетворяющий условиям:
A) М(Т[) = М(!) Аля любых Т^<Г и /€&
и
(И) ш! {/(*): х€Х}<А1(/)<8ир{/(х): *€*}>
состоит в том, что для каждого конечного множества пар
(/а» 71*)» /*€$• 7,л€^(* = 1э . ..,л) мы имеем:
(л \
A7.18) Инвариантные средние на 33г E). (а) Пусть 5 и Т —
полугруппы, а ф — гомоморфизм 5 на Т. Если существует лево-
[двусторонне] инвариантное среднее на ЯЗГE), то существует
также лево- [двусторонне] инвариантное среднее на $ВГ(Т).
[Если М—среднее на 23гE) и/€23г(Г), определим М0(/) = М (/оср)
и покажем, что М0 обладает желаемыми свойствами.]

304
Гл. 4, ИнварианМные функционалы
(Ь) Пусть 5 и Т— полугруппы, а М и М'— лево-
[двусторонне] инвариантные средние на ЙЗГE) и 33г (Г) соответственно.
Тогда 23гEх7") также допускает лево- и двусторонне
инвариантное среднее1). [Действительно, для любого /^ЗЗг15хТ]
пусть
где М8 [М]~\ показывает, что переменной является 5^5[^Г].
Очевидно, отображение М0 корректно определено, линейно и
неотрицательно. Кроме того, Л/0A)^1. Предположим, что М
и М' левоинвариантны. Тогда, если (а, Ь)^8хТ, используя
левоинвариантность М', а затем левоинвариантность М,
получаем
М0((а9ь)П=Мл(МЦ!(аз9 Ы)))=М,(МЦП8, *))) = А«о(/).]
(с) Пусть {5,Iе/— семейство полугрупп, каждая из которых
имеет единицу еи и пусть 5 = Р*5Ь. Если каждое семейство
16/
33гE1) допускает лево- [двусторонне] инвариантное среднее, то
его допускает и 33гE). [Каждое 5Ь можно рассматривать как
подполугруппу в 5 естественным образом. Действительно,
каждому л:^51о соответствует элемент 5^5, где
( х, если I =10,
( еь, если I =т^=10.
Согласно (Ь) все конечные произведения Р 51, обладают тем
свойством, что 33г( Р 5Ь) допускают инвариантное среднее.
1€/0
Если в качестве <#" рассмотреть семейство всех таких Р 51?
1€/0
то теорема A7.6) показывает, что 93г E) допускает инвариантное
среднее.]
(й) Результат (с) перестает быть справедливым, если мы
заменим Р*51 на Р5и Даже для групп аналогичное утверждение
16/ 16/
перестает быть верным.
[Пусть Р—свободная группа, порожденная элементами а и
Ъ с единицей е, и пусть -р0 = р(] {е\*. Рассмотрим некоторое
приведенное слово х = х*? х\2. .. хгпп в р0; каждоехк есть либо а,
либо Ъ, а каждое гк есть 1, либо — 1. Согласно B.9), найдется
х) Определение прямого произведения семейства полугрупп в точности
совпадает с определением для групп B.3). Если мы выберем по
фиксированному элементу из каждой полугруппы семейства [единицу, если такая там
есть], то слабое прямое произведение полугрупп также может быть
определено по аналогии с B.3).

$ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 305
целое число / и элементы Ра и Рь из группы перестановок
©, такие, что композиция Рх\оРх22о... оР°« отлична от
тождества. Определим теперь Ох = (^>1, ах=Ра и ЬХ = РЬ, и,
проделав это для каждого х^Р0, положим 0= Р Ох. В силу ко-
хеР0
нечности каждого 0Ху 83г (О*) допускают двусторонне
инвариантные средние для каждого х^Р0. Элементы (ах) и (Ьх)
в С порождают свободную группу, т. е. группа О содержит
свободную группу с двумя образующими. Поэтому по A7.16)
33г(О) не допускает левоинвариантных средних. Заметим,
что имеется аналогия между этим результатом и теоремой
(8.8)].
(е) Пусть 5 —любая полугруппа; 33гE) может допускать,
а может и не допускать инвариантных средних. Пусть, далее,
5*=5и{0}, где50 = 05 = 0для каждого5^5*. Тогда аЗгE*)
допускает двусторонне инвариантное среднее. [Для /^33гE*)
достаточно положить М (/) = / @).]
(I) (Дэй [5].) Ввиду (е) представляет интерес следующий
результат. Пусть 5 — полугруппа, и М — левоинвариантное
среднее на 23гE). Предположим, что Т есть подполугруппа
в 5 такая, что М (%т) > 0, где ^г, как обычно, —
характеристическая функция для Т. Тогда 33Г(Г) допускает
левоинвариантное среднее. [Для любого / ^33г (Т) пусть /' ^33г E)
определено равенством ['(х) = [(х) при х<~Т, и }'(х) = 0 при
х^Т. Положим М0 (/) = м *' | . Тогда М0 есть среднее на
$}Г(Т). Чтобы показать левоинвариантность М0, пусть х^Т,
/бЗЭг(Г); рассмотрим элемент # = (*/)' — х (/')• Легко видеть,
что § = §1е> гДе Е = \у$8'- У^Т и ху^Т). Для каждого 5^5
можно легко заметить, что самое большее один из элементов
\хк8\ь=1 может принадлежать Е. Следовательно, для любого
положительного целого п имеем
п
2 хк (%е) (8) ^ 1 Для любого 5^5.
& = 1
Таким образом, пМ (%Е) = м[ 2 хи AБ) )<М A) < оо, так что
М (Ы = 0. Далее, \М(в)\ = \ МШ I < А* (II8 Ш = 0 и потому
М(§) = 0. Мы показали таким образом, что М ((*/)') =М (*(/'))
для любых х^Т и /$33Г(Г). Отсюда прямо вытекает
левоинвариантность М0.]
A7.19) Инвариантные средние для 33г@). (а) Двусторонне
инвариантное среднее для 33г (О) в A7.11) может быть выбрано
инверсионно инвариантным. [Пусть М—любое двусторонне

306
Гл. 4. Инвариантные функционалы
инвариантное среднее; для любого /€23г@) положим М0 (/) =
= 1/2 [М(/) + М (/*)].]
(Ь) Пусть О — группа, порожденная элементами а и Ь и
имеющая единственное соотношение а2 = Ь2 = е. Тогда а~1 = а,
Ъ~Х = Ъ и 0 = {е, а, аб, айа, ..., 6, Ьа, баб, ...}. Берем группу Я,
состоящую из всех элементов четной длины, т. е. Н = {е, аЪу
аЪаЪу ..., Ьа, ЬаЬа, ...}. Тогда Я—бесконечная циклическая
нормальная подгруппа в С и О/Я состоит из двух элементов.
Таким образом, 23г (Я) и 23Г@/Я) допускают инвариантное
среднее. Согласно A7.14), 33г@) также допускает
инвариантное среднее.
Существуют левоинвариантные средние на Э3г@), не
являющиеся правоинвариантными средними. [Пусть Л состоит из всех
элементов в О, оканчивающихся на а; иначе говоря, Л =
= {а,Ьа,аЬа, ЬаЬа, ...}. При р <ц пусть А{р>я)—множество
элементов х€ Л, длина которых не меньше р, но не больше ц.
Рассмотрим произвольный элемент у^О длины т и элемент х^А
длины />т. Тогда ух также принадлежит Л и является либо
элементом длины /—т, либо элементом длины / + /л. Таким
образом, если р и ц удовлетворяют неравенствам т<р и
р + 2/п<<7, то у-1А{р+т>д-т) с Л^'^, так что уА^& содержит
множество Л(р+т' <7'"т). Значит, если /б33г@) и мы рассмотрим
сумму 2 [/(#)—/(*д)], то видим, что все, кроме самое
больше Л*"'*»
шее 4т членов, сокращаются. Следовательно,
2 [/(*)-/&*)]< 4т ||/||в. A)
/г
Рассмотрим Я= 2 \!н—ук!^ ГДе /х» •••» !п€®г(С)
и Уп • • •» У» 6 О- Мы утверждаем, что
т!{А(х): х6^}<0. B)
Предположим, что 1п1{й(д;): х^Л} = а>0. Пусть
т0—максимум длин элементов у1% ...,уп и В = тгх {\\[1 \\и9 ..., ||/л||я}.
Выберем р и ц так, чтобы т0<р и р + 2т0 < ?, и применим A).
Тогда получаем
а(«7-р + 1)< 2 2 [/*(*)-/*(&*)] =
= 2 2 1Ы*)-/* (&*)]<
^ 2 4/гс0В = 4/ш0В.
*=1

§ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 307
Поскольку ц—р может быть выбрано произвольно большим,
получаем противоречие. Таким образом, B) выполнено.
Функция \А — (%А)а, очевидно, равна 1 на множестве А.
Следовательно, по B), она не принадлежит равномерному
п
замыканию множества всех функций вида Н= 2'17*—ук№-
к—\
Рассуждения, аналогичные использовавшимся при
доказательстве импликации A7.15Ш) => A7.150, показывают, что
существует левоинвариантное среднее М на 33г@) такое, что
М((ЪА) — (^л)а)=й=0. Такое среднее, конечно, не правоинвари-
антно.]
(с) Пусть О —некомпактная локально компактная
топологическая группа, а М—среднее для 33г(О). Тогда М(/) = 0
для любых функций /, произвольно малых вне компактных
множеств.
[Как в A5.9), существуют открытое множество V в О и
последовательность *!, ..., хп, ... в С, такие, что V" компактно,
а {^У}?-1—последовательность попарно дизъюнктных множеств.
п п
Тогда 2 Ъхьу= 2 „-1(Ы<1 Для каждого /г, так что
6=1 * к = 1 хк
пМ (Ъу)^М A). Поэтому МAу) = 0. Предположим теперь, что
\/:(л:I<8 Для каждого х^Р\ где Р—некоторый компакт.
т
Но для некоторых уг, *..,ут€С имеем ц уУ^эР. Таким
т
образом, |Л<11Л1« 2 Ц.^ + е и потому |ЛГ (/) |<А!(е) = е.]
A7.20) Инвариантные средние для 93г(/?). (а) Пусть
М—инвариантное среднее для ЗЗ7* (/?). Предположим, что существуют
пределы Ит /(/) и Ит /(*). Тогда число ЛГ(/) лежит между
I -> со I -> — со
этими двумя пределами. В частности, если они равны, то М([)
совпадает с общим пределом.
ГПусть §•(*)= Нт /(*) при х>0 и §(х)= Нт /"@ при х<0.
1_ ^ -> со /_^.—со
Тогда Нт (§^)—/(/))= Нт (^(/)—/(/)) = 0 и потому из
/-»- со / -э- —со
A7.19с) вытекает, что Л4(^—/) = 0. Поскольку М([) = М({т),
очевидно, что М(/) лежит между Нт /"(?) и Нт /(/)•!
/ -> оо ?_». -со ^
(Ь) ТеоремыA7.5) и A7.4)показывают, что $ир{к(х): х^Я}^0
п
для любого Н= 2 [/А—а^],где/,гб^г(^)иаАе^Д=1, ...,я.
/г=1
Модифицируя доказательство A7.5), можно доказать, что
зиР {к(х): х>Л^}>0 для любого положительного Гчисла УУ.
[Мы можем предположить, что каждое ак положительно:

308
Гл. 4. Инвариантные функционалы
заменим в противном случае разность />,—а^и на (—ак!ь) —
— -ак{—аки). Пусть, далее, р—любое положительное целое
число, а Л состоит из всех функций X с областью определения
{1, ...,д} и областью значений, содержащейся в {1, ...,р}.
Пусть, наконец, отображение т: Л -> [ТУ, оо) определено форму-
лой %(к)==:Ы-{- 2 ^(к)ак- Предположим, что зир \Н(х): х^Щ =
/г=1
= а < 0. Используя это, получаем
аРп>чЕ 2[/*(т(Л))-/*(а* + т(Щ>
Я, 6 Л 6=1
>2-2р»-1тах{||/1||а, ...,ЦШ =
= -2п/>»-1тах{||М|в, ...,||Ш-
В силу произвольности р неравенство а<0 невозможно.]
(с) Существует инвариантное среднее М для $8ГG?) такое,
что М ([)— Нт /@, если только этот предел существует.
^ -> со
[Пусть $0 состоит из всех тех функций к€$$г(К)> которые
имеют вид
6=1
где §, ^, ...,/„ €83|,(/?)э о^, ...,ая€# и Нт 8Г@ = 0. Оче-
видно, ,©0 есть линейное подпространство в 33г(#). Пусть й —
как в A); выберем N настолько большим, что
1гй|<!/, при *>ЛГ. B)
Посредством (Ь) получаем
8ир|Д[/Л@-/*(а* + 0]: *>#}>0. C)
Объединяя A), B) и C), получаем \вир{Н{1): *>#}>—х/2-
Таким образом, ||й—(-1-1)||и^1/а Для каждого к€$о- Как в
A7.15), существует среднее УкГ на 23г(/?), для которого М(ф0) = 0.
Тогда, очевидно, М инвариантно. Также, если Нт /(/) = а, то
/—а 6Йо» так что М Ц) = М (/—а) + АГ (а) = а.]
(и)-Часть (с) остается справедливой, если /? заменить на
любую аддитивную подполугруппу 5 группы /?, обладающую
тем свойством, что из х(|5 вытекает |я|€$. В частности, она

$ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 309
верна, если в качестве 5 взять 1, С \х^Н: х^Ы\, \х^1\
х^Щ или \х^С1'- х^Ы\, где N^0. [Повторение доказательств
из (Ь) и (с) (дословное) и использование 5 вместо /?.]
A7.21) Единственность средних (Дэй [5], § 7). Если
С—конечная группа, тривиально, что 33г (С) допускает единственное
инвариантное среднее. Мы покажем в (с), что для бесконечных
абелевых групп 33Г(С) всегда допускает более чем одно
инвариантное среднее.
(а) Пусть С—группа, такая, что 33г (О) допускает
инвариантное среднее, и предположим, что Н есть нормальная
подгруппа в О такая, что 33г(#) допускает более чем одно лево-
инвариантное среднее. Тогда 33г@) также допускает более
чем одно левоинвариантное среднее. [Согласно A7.14) и A7.11),
23г@/#) допускает инвариантное среднее М'. Пусть Мг и
М2 — различные левоинвариантные средние на 93Г(Я); строим
М^ и Ж@2)по Мг и М\ М2 и М' соответственно, точно так же,
как в последнем абзаце в доказательстве A7.14),
используя обозначения этого раздела со всеми очевидными
модификациями. Покажем, что М^ФМ^\ Выберем §^ЪГ(Н)
так, чтобы Мг (§) Ф М2 (§•). Запишем различные элементы из
С/Н как {хаН)а^А, где все ха—фиксированные элементы из С.
Значит, каждый элемент у ^ О может быть единственным образом
записан в виде хаН са^Л иН^Н; определим функцию / ^ 93г (О)
правилом {(у)=2(Н). Для каждого а^А имеем /х (ха) =
=Мг Ы) = М, ($) и /а(^а)=ЛГ2(г).Следовательно,/1(хвЯ)=А11(йг)
и Г2 (ХаЮ = М2 (§•) для каждого а^А. Отсюда следует М$> ([) =
(Ь) Предположим, что группа О представлена в виде
00
II 0„, где \0п\п=,1—строго возрастающая последовательность
/1=1
конечных подгрупп в О. Тогда §3Г@) допускает более одного
левоинвариантного среднего. [Пусть кп обозначает число
элементов в 0„, п=1,2, ... Переходя, если необходимо, к
подпоследовательности, можем считать, что кп>3кп_1 при п =
=2,3, ... Для любой /693Г(°) ПУСТЬ Р(И=Нт г- X ?(*)•
Пусть 31—замкнутое линейное подпространство в 23г@),
состоящее из всех функций /, для которых
Нт П^-Х /(*)]= 0.
Л-*со [КпХ€Оп \
Рассмотрим функцию /^95Г(С) и элемент а^О. Тогда а^Сгп
для некоторого т. Очевидно, имеем аОп — Оп при /г^т, и

310
Гл. 4. Инвариантные функционалы
потому
при п^т. Следовательно, подпространство 31 содержит все
линейные комбинации функции вида а[—/\
Определим функцию /0 на О правилом /0(л:)=:1, если
х^о^ (<з3пе;I1... и(о2п+1Г\о;п)и... и м*)=° в остальных
случаях. Поскольку
отображение /0 не принадлежит 31. Заметим также, что
Пусть Мф = 0 при /^31. Нетрудно показать, что
5пр{-р(-Г-П)-М(!): ^§1} = _р(_/0)<|
и
М{р(Г + {0)-Мф: 1$Щ=р{К)>ъ.
Теоремы (В. 12) и (В. 13) показывают, что для каждого
вещественного числа а такого, что 1/з^а^а/з> найдется такой
линейный функционал Ма на 23г@), что: Ма(Щ = 0; Ма(}0) = а;
Ма(П^Р(П Для каждого ?€$ВГ@). Поскольку — р(— /)<
<Ма(/)<р(/) для каждого [€™@)9 отсюда следует, что
МаA)=1 и что Ма неотрицателен. Поскольку Ма(Т) = 0 для
каждого /^ 31, функционал Ма также левоинвариантен.
Следовательно, 23г@) допускает по меньшей мере с различных лево-
инвариантных средних.]
(с) Пусть О—бесконечная абелева группа. Тогда 93г (С)
допускает более одного инвариантного среднего. [Если О
содержит элемент бесконечного порядка, то О содержит подгруппу
Ну изоморфную группе 2. Согласно A7.20с) и A7.20с1)
существуют различные инвариантные средние на 95г(^); такие средние
М± и М2 можно выбрать так, чтобы М1([)= Пт /(/г) и М2({)^
Л-> СО
= Пт Д— л), если только эти пределы существуют. Применим
теперь (а). Если же все элементы О конечного порядка, то
существует строго возрастающая последовательность {Я„^в1
00
конечных подгрупп в 0, Остается положить #= II Нп и при*
менить (Ь) и (а).]

$ 17. Инвариантные средние для ограниченных функций 311
A7,22) Инвариантные конечно-аддитивные меры, (а) Пусть
О—любая группа, для которой 23г@) допускает инвариантное
среднее М [которое, ввиду A7.11), может быть выбрано
двусторонне инвариантным]. Для любого подмножества АаО
определим ч(А) = М(Е>А). Тогда V—конечно-аддитивная двусторонне
инвариантная мера.
(Ь) Для любого подмножества А с: К пусть V (А) = М(%Л)>
где М есть инвариантное среднее для 33г(^), как в A7.20с).
Тогда V есть конечно-аддитивная функция множеств,
удовлетворяющая условиям:
A) 0йО(Л)<1 для любого АаК\
(и) у(Л)=1, если [а, оо)сгЛ для некоторого а^Я\
(Ш) V(Л) = 0, если Л—ограниченное сверху множество;
(IV) у(А+а) = у(А) для любых АаЯ иа^.
(с) (Извлечение из книги фон Неймана [2].) Пусть
О—локально компактная группа, для которой 23г@) допускает
[двусторонне] инвариантное среднее М. Пусть X—левая мера Хаара
на О. Тогда существует конечно-аддитивная функция множеств
(х, определенная на любых подмножествах группы О,
удовлетворяющая условиям:
@ 0<(л(Л)<оо для любого Л с О;
(и) [х(хЛ) = [х(Л) для любых х^О и АаО;
A11) \1(А) = Х(А) для любого измеримого по Хаару
подмножества А с: О.
Значит, мы получаем лшечяо-аддитивную меру, определенную
на любых подмножествах группы О, инвариантную относительно
левых сдвигов и согласующуюся с А, на измеримых
подмножествах в О.
[Доказательство разбивается на два шага.
(I) Существует конечно-аддитивная функция множеств V,
определенная на любых подмножествах группы С,
удовлетворяющая условиям A) и (ШI).
Это утверждение зависит от аксиомы выбора. Пусть оМ —
семейство всех измеримых по Хаару подмножеств в О. Поскольку
теорема тривиальна, когда оМ состоит из всех подмножеств
группы О, предположим, что оМ отлично от ^@), семейства
всех подмножеств в О. Рассмотрим полное упорядочение всех
подмножеств группы О, занумеровав первыми множества
семейства <М. Тем самым семейство 9* (О) записано в виде
А19 Л2, ..., Лв а^А,
х) Другое доказательство этого факта см. Биркгоф [2], стр. 258—260.

№
Рл. 4. Инвариантные функционалы
где А [скажем] — наименьший ординал, соответствующий
кардиналу 2°, а Аа^оЛ при а<Г; здесь Г < А. Наша цель —так
определить функцию V, что если а19 ..., ат, Ь19 ...,
Ъп—положительные вещественные числа, а ах, ..., атУ рх, ...,
рл—ординалы, и ау. < А, рл < А, то
т п т п
из 2 а$А < 2 Ък\А следует Е«^D,)< 2МИр>
A)
Условие A) дает нам конечную аддитивность функции V;
действительно, если Л Г) 5 = 0, то 1л + ^в = 1Аив. Для любого
ос<Г пусть V(Аа|)=X(Аа). Проверим A) в случае ау < Г и
Ра < Г, / = 1, ..., т, й= 1, ..., я. Интегрируя левое
неравенство из A) по отношению к Я, получаем
т т
2^D.)= 2о/(Л„) =
/=1 ' /=1 '
= 5 [I аД»а (хIл(*)<$ [2 Ьк\ч (А <й(*) = 2 Ьку(Ан).
Распространим теперь определение функции V по
трансфинитной индукции. Пусть V(Ла) уже определено для всех а < ц
так, что A) выполнено, и Г^т)<А. Если
п п
Ы\ 2 Ьку(А^):^Ьк1А^1Лг]У все РЛ<т|| = + оо,
/г=1 К &=1
мы полагаем V (Лл)=+00- Нетрудно тогда проверить A) для
всех ординалов ау и р^, не превосходящих т). Предположим
теперь, что 1п1 < Д) Ьку (АЭд): 2 &*БлЭл > ^ все р* < г) > < оо.
Тогда существуют такие положительные вещественные числа
йу и Ьк и ординалы ау. и рл, меньшие т], что
т п
%<*&«.+Ьц<Ъ1ЬЛА,к; B)
2МИр*)<«>. C)
Положим V(Л)ч = ^п^< 2 М(^Р/г)—2 ^(Ла/): B) и C) вы-
и=1 /=1
полнены?. Чтобы показать справедливость A) для всех орди-

$ 17. Инвариантные средни* для ограниченных функций 313
налов а, а^т], достаточно рассмотреть следующие два случая:
т п
2яд*а,+&!,< 5>*^3. D)
/л' я'
2а/^а;.<2адлр;+^. E)
Если D) справедливо, то, очевидно,
т п
/ = 1 /г= 1
Предположим, наконец, что E) выполнено. Рассмотрим любые
#/> Ьь> а] и Р/г> Для которых справедливы B) и C). Складывая
B) и E) и применяя A) и индуктивную гипотезу, получаем
т т' п п'
2 «/> (ла/) + 2 *,ч (Лад < 2 V (Ан) + 2 ^ (лр,).
Взяв нижнюю грань по всем ау-, &А, ау. и рА, удовлетворяющим
B) и C), получаем
т' п'
2 «л (А в.) < V (лч)+ 2 ^ (лр,).
Этим завершено доказательство существования V.
(II) Используем теперь меру V из (I) и среднее М для
построения конечно-аддитивной меры |х, удовлетворяющей
условиям A) — A11). Для любого подмножества А группы О
определим функцию Л на О формулой А (х) = у(хА). Функция А
неотрицательна, но может быть неограниченной и может также
принимать значение + °°- Пусть теперь \х (А) = ИтМ (пип(Л, /г)).
Условия A) и A11) очевидны. Чтобы показать аддитивность \х,
рассмотрим дизъюнктные подмножества А к В группы О. Тогда,
очевидно, А[}В = А-{-В. Неравенства
тт(А + В, п)<тт(Л, п) + тгп(В, п)^т\п(А+В, 2п)
показывают, что
р(А[)В)=\\т(т\п(А+В, п)) =
П -->¦ оо
= Нт М(тт(А, п))+ПтМ(т'т(В, я)) = [х(Л) + М#)-
Л->0О П-+Ж

314
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Чтобы проверить (и), рассмотримте и А с О. Но хА = {А)Х
и потому
\1(хА)=1\тМ(тт(хА, п)) = \\п\М (т\п((А)х, п)) =
= НтМ((тт(Л, п))х) = Ит М (тт(Л, п)) = \1(А).]
Замечания. Теория инвариантных средних на 33@) была
основана фон Нейманом [2], который установил [для групп]
главные результаты настоящего параграфа. Инвариантные
средние вызывали особый интерес математиков в последние годы,
и удивительно большое число авторов по этому предмету
публиковали уже ранее публиковавшиеся другими результаты.
Мы не будем прилагать особых усилий, чтобы указать на все
эти повторения.
Теорема A7.4) принадлежит Диксмье [1]. Теорема A7.5)
для групп появилась у фон Неймана [2], а для полугрупп —
у Дэя [2]. Наше доказательство этой теоремы взято из
Диксмье [1]. Дэй доказал теоремы A7.6), A7.7) и A7.9) [4], так же
как A7.11) в слегка измененной форме [4], лемма 7. Теорема
A7.12) без доказательства была объявлена Дэем [3]; первое
опубликованное доказательство принадлежит Фолнеру [3]. Для
левоинвариантных средних теорема A7.14) была доказана фон
Нейманом [2], а для инвариантных средних Дэем [4],
теорема 6. Теоремы, аналогичные A7.15), появлялись у Дэя [4], Фол-
нера [4] и Райми [1]. Теорема A7.16) принадлежит фон
Нейману [2].
Читателю, желающему продолжить изучение вопросов этого
рода, следует обратиться к работе Дэя [5], где дан полезный
обзор; к работам Фолнера [3] и Кестена [1], где указаны
другие условия существования инвариантных средних; к работе
Лорентца [1] и Лутара [1], где рассмотрены вопросы
единственности; и к работам Сильвермана [1] — [3].
§18. Инвариантные средние на почти
периодических функциях
В § 17 мы получили инвариантные средние на
пространствах 35@) и @@) в случаях, когда применима теорема Хана —
Банаха. В настоящем параграфе мы докажем существование
инвариантных средних в других функциональных классах,
используя рассуждения компактности. Это вполне естественно,
поскольку компактность и полное упорядочение—два из
наиболее мощных средств, используемых при доказательствах суще-

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 315
ствования в анализе. Как мы покажем в томе 2, некоторые из
результатов, изложенных здесь, могут быть получены с
применением конструкции меры Хаара на компактных группах,
другие—нет, но в любом случае кажется имеющим смысл дать
вполне элементарную конструкцию, что мы сейчас и сделаем.
Начнем с описания класса почти периодических функций на
группе О. Для произвольной комплексной функции / на О и
элемента а^О пусть Оа[—такая функция на 0x0 = 02, что
& а /(*. У) = 1(хау).
A8.1) Теорема, Пусть О—группа, а /—функция из 33@).
Обозначим ~ замыкание в равномерной топологии на 93@).
Следующие свойства / эквивалентны:
(О {/а: сг^О}"—компакт в 58@);
(и) \а[: а 60}"— компакт в 33@);
AИ) \ь[а: а, Ь ^0}~— компакт в 33@);
(IV) {Эа1: а ^ 0}~— компакт в 33 (О2).
Доказательство. Пространство 33@) относительно метрики
II/—#11 я является полным метрическим пространством;
подмножество ЬД в 33@) поэтому компактно тогда и только тогда,
когда оно замкнуто и вполне ограничено, и Щ имеет
компактное замыкание тогда и только тогда, когда оно вполне
ограничено, см. C.7). Следовательно, нам нужно только доказать
эквивалентность полной ограниченности для множеств {[а: а^О),
{«/: я6О}, {ь[а: а, 6^0}, {Ц,/: а$0).
ИмПЛИКаЦИИ (ш)=»-A), (Ш)=Ф-(Н), AУ)=^A) И AУ)=*-(П)
очевидны. Остается доказать импликации A)=^-AУ), (Н)=>-(IV),
@=^(ш) и (п)=ф*(ш).
Предположим, что множество \[а: а^0\ вполне ограничено.
Для данного е > 0 существует конечное подмножество \аи а2,...
..., ат) с О такое, что {/в.}/1.1 является е/4-сетью в
множестве {1а: а^О}1). Для каждого / = 1, 2, ..., т пусть Ау = {а^О:
\\1а—/а.||в<8/4}. Рассмотрим семейство всех множеств
(А1а;1)[)(А1аъ1)П...П{А1та^), где /у6{1. 2, ...,/п} при
у = 1, 2, ..., т. Выпишем все непустые множества этого
семейства в последовательность В19 В2, ..., Вп и выберем по точке
п
Ьк^Вк в каждом ВкУ й=1, 2, ..., п. Очевидно, что II Вк = 0.
Рассмотрим любое с^О; пусть Вко—то из множеств Вк>
которое содержит точку с : с(^Вко. Пусть (х, у) — произвольная точка
в О2; выберем такой номер /0(/0=1» 2, ...,/п), что у^Ау.
[) Определение а-сети см. в C.7).

316
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Тогда
I / (хсу)-1 (хЬкау) | < | / (хсу)-{ (хса;о) | +
+1 / (хсаЛ) — / (хЬкоаЛ) | +1 / (хЬк(аи)—/ (хЬк^) | <
<НА,-/., 11*+II/-.-/*,«,. Н.+11/в/-М1. A)
Уо /о "-о /о /о
Первое и третье слагаемые правой части неравенств A) меньше,
чем е/4, поскольку у^А;о. Второе слагаемое не превосходит
е/2, поскольку и с и Ько принадлежат А^аг1 для некоторого
//о. В силу произвольности точки (ху у), функции Д,^, А,/,...
..., ЭЬп1 образуют е-сеть в {Д,/: с ^ О}. Поэтому (IV) выполнено.
Доказательство импликации A1) =>¦ (IV) очень похоже на только
что приведенное. Не выписывая его поэтому, мы можем
утверждать эквивалентность утверждений A), (и) и (IV).
Предположим, наконец, что справедливо A). Тогда
выполнено и (и). Пусть {/д.1^=1 и {Ьк})%=1—е/2-сети в множествах
{/«• а^О} и {ь[: Ь^О} соответственно. Тогда для любых х, а,
Ь ^ О имеем
| / (Ьха)-1 {Ькха;)\ < | / (Ьха)-! фкха) | +1 / (М0-/ (М»у) | < е
для некоторых к и /. Иначе говоря, {ьА/в.}^г, 2-1 есть е-сеть
в У.: а, 6 60}. ?
A8.2) Определение. Пусть О— некоторая группа. Функция
/€23@), удовлетворяющая одному [и потому всем] из условий
A8.И)—A8.1^), называется почти периодической. Множество
всех почти периодических функций на О обозначается 91@).
Если группа О—топологическая, то множество всех
непрерывных функций из 91@) обозначается 81,@).
A8.3) Теорема. Пусть О—группа. Тогда:
([) всякая постоянная функция принадлежит 91@);
(и) если /6 91 (О), то также Ке/, 1т/, /б91@);
(III) если, /, #еад> то /+^ВД и &€«(<?);
(IV) если[{1\^\ ••• €®(С) и 11т ||/ы—/|| в = 0, то /6^1;
(V) если /е91 (О) а а, НО, /л(Гв7, /а, */аеЭД.
Аналогичные утверждения справедливы для 91,@).
Доказательство. Утверждения (О, (и) и (V) очевидны. Чтобы
доказать (ш), рассмотрим сначала функцию /+5*. Пусть 8 > 0 —
любое положительное число; пусть, далее, {/Л.}^г—любая
е/4-сеть для {/в: а € О}, а {^ }^=1—любая е/4-сеть для {§ъ\ Ь ^ О}.
Пусть, наконец, Лу = {аеО: ||/в—/в ]|в< е/4 (/ = 1,2, . ..,т) и

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 317
Вк = {Ь$а\ \\ць—йл||в<е/4}(й = 1, 2, ..., /г). Выпишем
непустые Ау(]Вк в виде последовательности С19 С2, ..., Ср и выберем
по точке с1^С1 (/ = 1, 2, ...,/?). Тогда, как легко видеть,
{(/+^}?=1 есть е-сеть для {(!+§)с: с^0\. Чтобы показать,
что /^681 (О), предположим, что ||/||в>0 и Ц#||в>0, и
построим 4||^Цц"сеть для ^«: а€с1 и П7Ц7~СеТЬ В ^: Ь€°}'
Тогда, как и выше, множества С1 и точки с1^С1 дают е-сеть
Аля {A8)€: с$0}.
Чтобы доказать (\у), заметим, что если {/<а'2>, ...,/(аАг)} есть
8/3-сеть для {/<«>: а 6 0} и || /-/<»> || й < е/3, то {[^ ..., /.'} есть
е-сеть для {/а: а 6 0}. О
Покажем теперь, что $1@) допускает единственное строго
положительное двусторонне инвариантное среднее. Докажем
сперва одну комбинаторную лемму [в несколько большей
общности, чем нам в действительности нужно].
A8.4) Лемма. Пусть Р и ф—непустые множества. Пусть,
далее, р—функция, отображающая Р в семейство всех непустых
подмножеств множества С}. Предположим, наконец, что
для любого конечного подмножества Р^Р и что либо Р
конечно, либо р(р) конечно для каждого р^Р. Тогда существует
взаимно однозначное отображение а: Р—*ф, для которого
а(Р) 6Р (р) для каждого р^Р.
Доказательство. Пусть множество Р конечно, Р = п.
Проводим индуктивное рассуждение. При п=\ лемма тривиальна.
При я>1 можно рассмотреть отдельно два случая.
Предположим сначала, что левая сторона неравенства A) больше, чем
Рх, для любого Ргс:Р с 0 < Рг < п. Выберем некоторый
элемент р0^Р и обозначим о (ро) любой элемент из р(/?0). Тогда
Р[]{роУ и отображение рн->р(/?) Л {от (р0)}' удовлетворяют
индуктивному предположению, поскольку Р [)\роу = п—1.
Следовательно, отображение а в этом случае может быть
построено.
Предположим теперь, что существует подмножество Р0аР
такое, что 0 < Р0 < п и 11 р (р) = Р0. Тогда Р0 удовлетворяет
реР0
индуктивному предположению, и потому от можно определить
на Р0 как некоторое взаимно однозначное отображение с
°(р) б 9{р) для любого р ^ Р0. Заметим также, что а (Р0)= II р(р).
_ реР0
Рассмотрим теперь множество Р П Р'0. Если бы существовало

318
Гл. 4. Инвариантные функционалы
подмножество Р2 с Р П Р'0 такое, что и {р(р)(]о (Р0)': /?€ Р^_ <
<Р2, то мы бы имели Ц р (р) = (а (Р0) I) У Р(р)) = Л>+
реЯв^а реР2
+ 11 Р(р)По(Р0)' < РоИР*. Иначе говоря, неравенство A) для
/>еРя
Ро\}Р2 не выполнялось бы. Следовательно, мы можем
применить индуктивную гипотезу к Р{\Р^ и отображению р* {р)=
= Р (Р) П а (Ро)' и определить функцию а на РГ)/^.
Случай бесконечного Р и конечных р(р) рассматривается с
помощью рассуждений компактности. С дискретной топологией
каждое р(р) компактно, и потому компактно тихоновское
произведение Х= Р р(р). Для любого конечного непустого под-
реР
множества РаР пусть Нр—множество всех (др)^Х таких,
что все цр различны для р^Р. Как в первом случае,
множество Нр непусто. Оно также замкнуто. Поскольку Нр1[] •••
...()Нрпс:Нг1и..мрп, пересечение П{Нр: Р—конечное
подмножество в Р) непусто. Выберем любую точку (д^) в этом
пересечении и положим а(р) = др для каждого /?€Р. Очевидно,
это отображение обладает всеми требуемыми свойствами. []
Лемма A8.4) может быть использована для установления
следующего полезного факта о метрических пространствах.
A8.5) Лемма. Пусть X—метрическое пространство с
метрикой й, а {хг, х2, ..., хп\—такая г-сеть в X, г > О, что
число п элементов сети является наименьшим возможным для
данного е. Пусть У—любое подмножество в X такое, что для
каждого х^Х существует некоторое у ^У с д,(х, у) < е. Тогда
существуют взаимно однозначное отображение а: {х1У х2, ...
..., хп\—+У и последовательность {гг, г2> ..., гп\ элементов
из X такие, что с!(хк, гк) < 8 и Л (гк, а (хк)) < е, к=\, ..., п,
Доказательство. Для каждого к=\, 2, ..., п пусть р(хк) =
= {у^У:й{хк,г)<г и й(у, г)<г для некоторого г^Х\.
Заметим, что все хг, ..-9хп различны. Рассмотрим
произвольное непустое подмножество {яд, ..., х\^ из \х19 ..., хп\ и
запишем остальные элементы [если такие существуют] #/г+1> • • • >[*/„•
Докажем, что
р(хи)Ц...и р(х1г)^г. A)
Если множество р (х!г) II ... II р (х,г) бесконечно, то доказывать
нечего. Предположим поэтому, что оно конечно: пусть р (Ху) [)...
..•ир(*1г) = {У1> У%* •••>#Л> гДе все У1 различны. Образуем
множество А = {у19у2, ...,у3, */г+1, ...9х/п\. Некоторые у1
могут быть равны Ху в Л, но в любом случае А^8-\~п—г.

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 319
Множество А является е-сетью. Действительно, если г^Х и
Л (г, х/р)^е при /7 = г +1, ..., п, то й(г, х/р)<г для
некоторого р=1, 2, ..., г. Существует также такой элемент у^К,
что й(г, у)<е и, по определению р, имеем #€Р(*/Р); иначе
говоря, у = у1лпя некоторого /=1,2, ..., 5. В силу выбора л,
получаем 5 +я—г>Л>я, так что 5>л Тем самым A)
установлено.
Применим теперь A8.4), полагая Р = \х19 ..., хп\ и С1=У1).\]
С помощью леммы A8.5) легко построить инвариантное
среднее на 31@).
A8.6) Теорема. Пусть О—группа, /€§1@) и е—некоторое
положительное число. Пусть, далее, {Д,/, ..., А*,/} и {&ьхи • • •
..., Вь /}—г-сети в {Д^: й^О}, обе имеющие наименьшую
мощность п среди всех е-сетей. Тогда
(О
тДЖ/Ч-Е^у
й= 1
<2е.
Доказательство. Применяем лемму A8.5) к е-сетям {А^/} и
{А^} и метрическому пространству {Д*/: а^С}. Можем таким
образом найти элементы с1э с2, ..., сп^0 и взаимно
однозначное отображение а множества {1, 2, ..., п\ на себя такие, что
И*Ч/-%/||и<е. ||А^-^а(/Л<8 <*":1' 2' ••- »)•
Поэтому
1!^-^<т(,/!|и<2е (*=1.2, ...,п). A)
Складывая неравенства A) по всем & от единицы до п, деля
на /г и используя элементарные свойства нормы, получаем A),
учитывая, что отображение а переводит множество {1, 2, ..., п\
на себя.Ц
A8.7) Теорема. Пусть О, /, г и {Д*/,
что в A8.6). Тогда
,, йа 1) — те же,
(О
!Х/<«*>-тЕа^
<2е.
к = \ к-.
Доказательство. Пусть и, V—произвольные элементы из О.
Тогда {Оиа^у •-., Аш„гЛ есть 8-сеть в {Д,/: а^О}. Действи-
х) Заметим, что только элементарная часть леммы A8.4) использована в
этом доказательстве: теорема Тихонова здесь не нужна.

320
Гл. 4. Инвариантные функционалы
тельно, для данного а^О имеем \\Ои-*ао-*[—А^/||а < е для
некоторого й=1,2, ..., я и потому ||Я^—Аш^^е. Для
{А*л/} и {Оьк?\ с Ьк = иакю вычислим функцию в A8.61) в точке
(е, е)€С2. Это и дает A).[]
A8.8) Теорема. Пусть О—группа. Существует такой
комплексный линейный функционал М на §Г@), что
(I) м{ь!а)=М(!) для любых [€$1(<3) и а,Ь$О;
(II) М (?) > 0, если / € %+ (О) и / =#= 0;
(III) МA)=11).
Доказательство. Пусть /6$@) и 8—некоторое
положительное число. Рассмотрим множество Ее всех комплексных чисел
г таких, что для некоторой последовательности \сх, ...,ср)
элементов из О справедливо неравенство
р
4.^
1=1
<е.
A)
Теорема A8.7) показывает, что это множество непусто.
Предположим, что ги г2^Ег. Иначе говоря, что
X ! (хс/У)
/= 1
я
г2— ~Х !№$)
4 к= 1
<8 При (X, у)€02
<е при (х, у)€<32.
Положим х = е и у^=йк в B), сложим по всем к = 1> 2,
и разделим на ц\ получим
B)
C)
*1— X ^
"о *т1 /
/ М*)
<е.
Полагая у = е и дг = су в C), аналогично получаем
И Ч
Р<7
/=1*=1
<8.
Следовательно, имеем
\г1-г2\<2г.
D)
х) Функционал Л4 на $ХГ @) является, таким образом, двусторонне
инвариантным средним в смысле A7.3). Мы могли бы, конечно, определить его
сперва на ЭД/ (О) и затем продолжить по (В.38), но не видим в этом никаких
преимуществ.

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 321
Легко видеть, что при г$Ег
М<|Ш1. + в.
Пусть Рг—замыкание [в обычной топологии комплексной
плоскости] множества Ег. Поскольку Р&1П • • • Г\Рет ^Рт\п(е1 гт),
из компактности следует непустота множества Г) /V Нера-
8> О
венство D) показывает, что оно содержит в точности одну
точку. Обозначим это число М (/). Поскольку Ргс^Ег> для любых
8, г' таких, что 0<е<8', число М (/) является единственной
точкой, принадлежащей всем Ее. Таким образом, мы получаем:
М (I) есть единственное комплексное число такое, что
для каждого 8 > 0 найдется последовательность
{а1э ..., ап) элементов группы, для которой
л*(/>~2я.А/
А = 1
<е.
E)
Очевидно, что М (а/) = аМ (/) для любой функции /€$@)
и любого комплексного числа а, что М (ь}а) = М (/) для любых
а, Ь^О и что Л1A)=1.
Докажем теперь, что М ([+§) = М (/) + М (§) для любых
/»Яё91(С). По данному 8>0 с помощью E) строим
последовательности {а1У ..., ат\ и \Ь19 ..., Ьп\ элементов из О такие,
что
М
(П-ЩОа/
/= 1
м (е)-4 Е Оькё
А = 1
<
<т-
F)
G)
Простые вычисления, отправляющиеся от F) и G)
соответственно, показывают, что
и — 1 / = 1
1
тп
/е = 1 /
т
^ °«М
<^
<
Складывая (8) и (9), получаем
п т
(8)
(9)
к=\\ .
<е.
11 Э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

322 Гл. 4. Инвариантные функционалы
Поскольку е произвольно, E) показывает, что М (/) -}- М (§) =
Установим теперь (и). Очевидно, что М (/)^0 при /(Е§1+ (О)-
Предположим, что / <Е $+ (О) и что / F) > 0 для некоторого
6€С Пусть {Д,,/, ..., А*,/} есть -ф--сеть в {ВД а б О}.
Тогда для любых х, у, а^О имеем
/ (ход) +...+/ (хапу) > тах [/ (хахг/), ..., / (*аяу)] >
>1№у)-
ГФ)
Полагая у = е и а = х'1Ь9 получаем
/ (х<к) +•••+/ (хап) > -^Г" Для любого х € О.
Следовательно, имеем Л4 (/в1+ ... +?ап) = пМ([) >-Чр-,
поскольку функционал М линеен и неотрицателен на §1+@).[]
A8.9) Теорема. Линейный функционал М, построенный в
A8.8), единственным образом определен свойствами A8.81) —
A8.8Ш). Именно, предположим, что О — топологическая группа
и что М'—комплексный линейный функционал на 31Д6) такой,
что
(и) м'(а!) = м' (!) для любых а€ О, / € 81С(С);
или
(У М'аа) = М'Ц) для любых а € С /€51,@);
(п) М'(/)>0 для любого !$Щ{0)\
(Ш) М'A)=1.
Тогда ЛГ(/) = Л1(/) Зля любой функции 1^ШС@).
Доказательство. Поскольку функционалы М к М' линейны
на 91,, (О), нам нужно только доказать равенство М' (/) = М (/)
при /еЩ@). По A8.8.5) имеем
п
-г<М([)-±%[(хаку)<г A)
/г = 1
для всех х9 у аО, где е—произвольное положительное число
и аи ..., ап — подходящие элементы из О. Если функционал
М' удовлетворяет неравенству Aг), полагаем х = е в A) и
получаем
п
-г<Мф-^^акКг. B)

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 323
Применяя М' к B), получаем
п
-8<М(/)-1Х^(/)<е-
А = 1
Следовательно, М'([) = М({) при /^91с@). Случай, когда
выполнено Aг), рассматривается аналогично. []
В некоторых случаях среднее значение М на $1С(С) имеет
особенно простую форму. Начнем с одной общей теоремы.
A8.10) Теорема. Пусть О—локально компактная группа с
левой мерой Хаара X. Предположим, далее, что существует
последовательность {Нп}п=х подмножеств в О такая, что
0 <X(Нп) < оо для каждого п, и пусть для каждого х^О
Ит ^^)П^)=0.
Тогда для любой функции / € ^ F) имеем
A1) М (/) =^ щ^ § ! (х) с1х.
Доказательство, Докажем сначала, что для /ё@@) и Ь^О
имеем
}™л1^§(ьГ(х)Ч{х))<Ь = 0. A)
/г-со н^
Очевидно,
5 ъ!{х)йх— \ 1{х)йх\ = \ $ 1(х)Aх—\ 1{х)йх\^
Нп "п I \ЬНп Ип I
< 5 \!(х)\ах^\\[\\а[^(Фнп)(]Нп) +
(ЪНп)*Нп
+ Ч#»П №)')]. B)
Но
х (Нп п (Вд')=я (б-1 (я, п (ьнпу))=я (F-^) п я;). C)
Подставляя C) в B), деля результат на Х(Нп) и применяя A),
получаем A).
Используем теперь A) для получения (и). Достаточно,
очевидно, доказать (и) для /^ Щ (О). Для такого / пусть
р«) = ^„Щ7IПх)Aх-
11н

324
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Очевидно, р(/+г)^Р(/)+РЙ) и Р(а?) = ар(?) для
неотрицательного числа а. Согласно теореме Хана — Банаха (В. 13),
существует линейный функционал М0 на Щ(С) такой, что
_р(_/)<М0(/)<р(/) для любой /€3^@). D)
Согласно A), имеем р(&/—/) = — р(—ь[-{-[) = 0 для любой
функции ^Щ@) и любого элемента Ь^О. Отсюда и из D)
следует М0([) = М0(Ь[). Также ясно, что функционал М0
неотрицателен и МA)=1. Из A8.9) получаем М0 (/) = М (/) для
любой функции }(^Щ{0). Теперь, если бы существовала
функция 1€Щ(С), для которой
— р(— Л = ^ц^) р (*)<**<
Л -> со ^
<^«1/(х)^=р(Л'
я*
то из теоремы (В. 12) вытекло бы существование двух
различных функционалов М0 и М1У удовлетворяющих одновременно D).
Они были бы оба тогда равны функционалу
МягШс@)—противоречие. Следовательно, предел в (и) существует и само (и)
доказано. []
Множества Ях, Я3, ..., Я„, ..., для которых справедливо
A8.10 и), не обязаны существовать. Однако, если группа
локально компактна, с-компактна и абелева, то они
существуют всегда. Мы дадим их конструкцию в последовательности
лемм.
A8.11) Лемма. Пусть О—локально компактная группа с
левой мерой Хаара X, а А—^-измеримое подмножество в О такое,
что 0<Я(Л)<оо. Пусть х^О. Положим А0 = А и Ап =
=А[}хА[) ... [)хпА, я=1, 2, 3, ... Тогда
(|) ЯС^О^ (п = 0,1,2,...).
Доказательство. Положим Вп = АпП Л^_х (п= 1, 2, ...). Для
каждого л = 2, 3, 4, ... имеем
#Я = *МП(Л 11л;Л II ... 1и*-М)' сл:МпИу... []хп'1АУ==
= х(хп'1А[](А[)хАи ... 1Цсл"М)/) = а:Вя.1.
Следовательно,
Х(Л)>Я(В1)>ЯE2)>...>ЯEЛ)>... A)

§ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 325
Также ясно, что
Ь{хАп[\ А'п) Ь(Вп+1) т
%(Ап) -Х(А) + Х (В,) + ... + Я, (Вп) ^
(/г=1,2г3, ...). Если Ь(Вп+1) = 0, то из B) прямо следует A).
Если же ЦЯ„+1)>0, то из B) и A) следует:
Ь(хАпПА'п)^ Ь(Вя+1) ^ 1(Вп) 1
Я (Ап) ^ (п+ 1) X (Вп) ^ (п+ 1) % (Вп) п +1
[заметим, что Х{Вп) <<»].[]
A8.12) Лемма. Пусть О—локально компактная абелевагруппа
с мерой Хаара X. Пусть V и V—окрестности единицы е в О
с компактными замыканиями, а г—положительное число. Тогда
найдется открытое подмножество На О с компактным
замыканием у для которого Ус:И и
I1' Ц#) <8*
Доказательство. Поскольку множество V"!/" компактно
D.4), найдутся элементы 11У ..., 1Г $0 такие, что У{Ус:У~/У~с:
г
с II 1уУ. Для каждого /г=1,2, ... положим №п = [) {/?* #* • •.
/=1
...^У}, суммирование распространяется на все
упорядоченные последовательности (ах, а2, ..., аг) неотрицательных целых
чисел, такие, что ау^/г (/=1,2, ...,г). Очевидно, что
ГД/сД^. A)
Рассмотрим теперь любое /=1,2, ..., г. Имеем ИРП= II *?/Л,
а,=о 7
где Л= у {^...^/-^^...^У: 0<<х*</г, *=1, ..., г,
кф]}. Очевидно 0<Я(Л)<оо; A8.11) показывает, что
\(ГД) <^Г+7 <»=1.2,...). B)
Используя A) и B), получаем следующие оценки:
¦цг,юпга^х(Са^)П1|г;)
< "'"' '—^<
Л*((Ууя)П1Уп; ^, 1 _ г
^ 1* %№„) ^ 2-^ + 1 ~"п +
г
X AГ„) -** 1м п + 1
/=1 /=1

326 Гл. 4. Инвариантные функционалы
Поскольку г фиксировано, получаем A), полагая Я = №„ с
любым п > г/г—1. []
A8.13) Лемма. Пусть группа О локально компактна,
^-компактна и абелева. Тогда существует последовательность \Нп\п=.1
подмножеств вт0 со следующими свойствами:
(I) каждое Нп открыто и Нп компактно;
(II) Нхс:Н2с:...с:Нпс:...;
(ш) 5 Яя = б;
/г=1
(IV) Нт я^хНп) ПНп) = о 5ля каждого х^О.
п -*• со Я (//я)
Доказательство. Пусть {/^[^и—возрастающая
последовательность компактных подмножеств в О такая, что е$Р± и
со
у рп = 0. Пусть, далее, \7—любая окрестность единицы е
/2=1
с компактным замыканием, и Цп = рп№ (я=1, 2, 3, ...).
Определим множества Нп по индукции. Используя A8.12), находим
открытое множество Я± с компактным замыканием такое, что
Я^гэ^ и
М(вдпя0 .1
Пусть множества Н19 Я2, ..., ЯЛв1 уже определены.
Используя снова A8.12), находим открытое множество Нп с
компактным замыканием такое, что #л*:э Нп_г\]1!п и
Х((НпЦп)ПНп) ^ 1
Я (Я„) ^ я •
Тем самым последовательность {Нп\п^1 определена. Свойства
со
A), A1) и A11) очевидны. Поскольку II {/^Ои^с^с.с
л=1
сГ/яс:..., мы можем выбрать для каждого х^О
положительное целое число м0 так, чтобы было х^Цп при п^п0. Для
всех таких /г имеем
%({хНп)[\Нп) Х((НпЦп)ПНп) ^ 1_
ЧНп) ^ ЦНп) ^ V
Отсюда следует свойство (IV). []
A8.14) Теорема. Пусть группа С локально компактна, в-ком-
пактна и абелева. Существует возрастающая последователь-

$ 18. Инвариантные дребние на почти периодических функциях 327
ностъ {#„}л-1 открытых подмножеств в О с компактными
замыканиями такая, что
для любой функции [^Шс@).
Доказательство. Последовательность {#„}~-1 строим, как
в A8.13), и применяем A8.10). ?
Дополнительные теоремы и примеры
A8.15) Применение теорем A8.10) и A8.14). (а) Рассмотрим
аддитивную группу #. Для каждой функции !€%С(Ю имеем
+т
М(/)= Нт ±§Пх)ах =
т ь
а -Г
где а и Ъ—произвольные вещественные^числа. [Рассматриваем
субаддитивный функционал [р(/) = Нт ^г \ ?(х)Лх и рассуж-
даем, как в A8.10); аналогичное рассмотрение для второго и
третьего равенств.]
(Ь) Рассмотрим аддитивную группу 2. Для каждой функции
1^Щ1) имеем
т ш
МA)= 11ш 2^рТ Е /(/)= Пга БГ^йЕ/0)-
/ = -т
[См. A8.10).]
(с) Пусть группа С компактна. Для любой функции / ^ 31с (С)
имеем М([) = 1 (/), где /—интеграл Хаара на &@)*). Это с
очевидностью следует из A5.5) и A8.9).
(A) Пусть О и О—локально компактные группы с левыми
мерами Хаара 1 и 10 соответственно. Предположим, что
{#Лл=1 и {Яй}п-1—последовательности подмножеств в О и б
соответственно, удовлетворяющие A8.101). Тогда для каждых
*) В томе 2 мы докажем, что 6 ((?) = 31^ (С?) для любой компактной группы (/.
Этот факт, хотя и интересный, в наших ближайших рассуждениях несуществен.

328 Гл. 4. Инвариантные функционалы
(х> у) € О X б имеем
Нш
*ХМ(*. У)(НпХНп)П(НпхНп)')
Х(Нп)Х0(Нп)
= 0.
(е) Рассмотрим топологическую группу вида С0хКаХ%ъ, где
О0—компактная группа, а а и Ь—неотрицательные целые. Для
каждого п= 1, 2, ... пусть Нп—множество всех (х, уг, ..., уа,
г19 ..., гъ)еаохКах2ь таких, что #У6Я> 1#/|<я, гк^1,
\гк\^п (/ = 1» • • •» а*> 6 = 1, ...,&), и л:— произвольный элемент
из О0. Тогда для / ^Шс@0хНах2ъ) имеем
М(/) = 11тB/г)-аB/г + 1)~ь 5 /ИЛИ,
л
где Я—подходящая нормированная мера Хаара на 00хКах2ь.
[Применяем (с!) и A8.10).]
A8.16) Различные другие средние (извлечение из Маака [2]).
(а) Пусть 5—произвольная полугруппа. Для любой функции
/^23E) и элемента а^8 пусть Д^/ —функция на 5х5=--52
такая, что Ва\ (х, у) = / (хау). Для любого положительного 8
определим Ее как множество всех комплексных чисел 2, для
которых
'~г;?Л'
<е для некоторой последовательности
\ах, а2, ..., ат\ элементов из 5. Если г1э г2 ^ Ег, то | гг — г21 < 2г.
Если все множества Ее непусты, то пересечение П^е состоит
е>0
из единственного комплексного числа, которое мы обозначим
М (/). [Предположим, что
¦ЦКщу)
/=1
< 8 И
^2—-X /(*М
к=\
<е
для всех (х, у)^82. Положим х^=а^Ък и у = Ьь* в первом
неравенстве, просуммируем по всем /', к, к' и разделим на тп2.
Тогда получим
1 - - ^ / (а^Ь^арк*)
т2п2
/, /', К к*
<8.
Это же соотношение с заменой г1 на г2 получается из второго
неравенства выше, если положить х = а^ и у = арь>. Дальнейшие
рассуждения следуют доказательству A8.8).]
(Ь) Пусть /683E) и МA) существует. Тогда М(а/) = аМ(/)
для любого а (= К и М (/) = М (а/) = М (/ь) = М (а/ь) для любых
а,Ъ^8. Если /бЗЗ+E) и М (/) существует, то Л1(/)>0. Если

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 329
|1/(я)—/Ив—*О ПРИ п~+ °° и М (/{/2)) существует для каждого я,
то число М (/) также существует и равно пределу Нт М (/ы).
П ->¦ 00
Если М(/) и М(§) существуют оба, то М ([+§) = М (}) + М (§).
[Все утверждения, кроме последнего, тривиальны. Приведем
набросок доказательства последнего. Если
г—-^Шкщ-у) \<
/=1
м—^Ле&ЬмУ)
6=1
<
для
каждого (х, у)€32, то
I (Щ-ЬьУ)
<
п-ш^в^М
1*ь
<-§*• Отсюда
Мы
так что мно-
также имеем
А*(/ + 2)-(г + о>)|<-§-,так
следует, что (г + ау)—— ^ (Т +§) (ха/>#)
I /. к I
жество ^8 непусто для функции [+§.
|М(/)-г|<|, 1^^)-да1<Т и
что |М(/) + М(^)-М (/+§)|< е.]
(с) Нулевой элемент или ш/ль полугруппы 5 есть такой
элемент 0^5, что 0-х = л;-0 = 0 для всех х^8. Если полугруппа 5
содержит нуль, то М (/) существует и равно /@) для любой
функции /^33E). Функционал /ь—>/@) есть единственное
инвариантное среднее на 33E). См. также A7.18е).
(й) Пусть полугруппа 5—бесконечная полугруппа с
сокращениями: из ах = ау вытекает х = у и из ха = уа вытекает х = у
для любых х, у, а(^8. Если /(=33E) и \х^8: |/(*)|>е}
конечно для любого е > 0, то М (/) существует и равно нулю.
[Ввиду (Ь) достаточно показать, что М (|/л) = 0 для каждого
Ь ^8. Еслиах, а2, .. .,ат—различные элементы из 5, ах, у—любые
элементы из 5, то равенство хауу = Ь может выполняться не более
чем для одного индекса /, /=1, 2, ..., т. Поэтому
/=1
<— для любого (х, у)€82.]
т
(е) Пусть О — локально компактная некомпактная
топологическая группа, для которой равномерные структуры &\ (О) и
еУг(С) эквивалентны. Пусть /—функция из 33 (О) такая, что
множество \х^О: |/(#)|>е}~ компактно для любого 8 > 0.
Тогда М (/) существует и равно нулю. [Мы покажем, что
существует такая окрестность 1^ единицы е в О, что М (^)
существует и равно нулю. Заметим также, что 0$^/<^ и М(§) = 0
дает нам М(}) = 0. Эти факты вместе с (Ь) достаточны, чтобы
доказать (е). Пусть V и М7— такие окрестности единицы в О,
что замыкание V" компактно, № симметрична D.6), а х№2х~гс:У
для любого х^С [D.14§) и D.51)] .Определим последовательность

330
Гл. 4. Инвариантные функционалы
{я/}/11 элементов из О по индукции. Пусть ах произвольно. Если
а1у а2У ...,а„^1 уже определены, выберем любой элементу,
не принадлежащий (ахУ) II (а2У) II ... II (ап_У). Рассмотрим теперь
п
функцию/* = 2 А* (?г)-Ее значение на каждом элементе (х>у) € О2
есть либо 1, либо 0. Действительно, если ха/у ^ И? и хаку ^ 1#\ где
/>й, то (хаку)-1(ш/У)=у-1а11а/у €№2, ак1а/^у^у~1с:У, так что
а/€а?У. Отсюда следует, что^/4^&; поэтому / = к. Следовательно,
=^иМ(^) = 0.]
Пусть О—локально компактная некомпактная
топологическая группа, и пусть существует непрерывный гомоморфизм т
группы О на некоторую некомпактную абелеву группу Я. Если
/ ^ 35 (О) и множества {х ^ О: | / (х) | > г}" компактны для любого
е>0, то М([) существует и равно нулю1). [Достаточно
доказать, что М(%р) = 0 для любого непустого компактного
подмножества РаО. Пусть а1=е. Поскольку РР'1—компакт, х(РР^1)—
также компакт в Я и, поскольку группа Я абелева, имеем
хрр-гх~1\=х(рр-1). Следовательно, [} хРр-Ъ^Фв;
п
\х^О
')
хеО
пустьа2 ^ У хРР~1х~1. Если а1У ..., ап_г уже определены,
убеждали
/г-1
емся, что
/г-1
II /^ II хРР^1х~1\акФО, и выбираем ап^ОГ\
= 1 \*€С /
*2Ж<Ы
к=.\
= — для каж-
П( У ( II хРР-*х-х\ак . Тогда
^к=1\х$а ) )
дого /1=1, 2, ...]2).
(I) Пусть С—некоторая группа, а Я—ее нормальная
подгруппа такая, что факторгруппа О/Н бесконечна. Тогда
МAн) = 0, Если элементы аи а2, ..., ап принадлежат
различным классам смежности по Я, то
«=1 1«
(§) Пусть С — некоторая группа, а Я—ее бесконечная
нормальная подгруппа. Пусть, далее, В—подмножество в О такое,
что мощность В П (хЩ не превосходит некоторого целого поло-
х) Это свойство выполнено, если группа О не унимодулярна [используем
модулярную функцию Д из A5.11)], и также для некоторых унимодулярных
групп, таких, как ®#(п, К) [используем функцию Ль-¦> бе! Л].
2) Мы не знаем, справедлив ли результат A8.1бе) для любых локально
компактных групп О и всех /^53 (О) таких, что множество {х^О: | / (х) | > е}-
компактно для каждого е > 0. Этот вопрос открыт даже для /^КоF).

$ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 331
жительного р. Тогда М AВ) = 0. Если а1У а2, ..., ап—различные
II п II
элементы из Я, то Ц-^ Ва AВ)\\ <^.]
|| /г=1 к ||а Л
(Ь) Пусть О—бесконечная абелева группа. Существует
такая функция / ^23+@), что }{х)>0 для любых х^О и^УИ(/)=0.
[Согласно A6.13с), группа 0 содержит подгруппу Н такую,
что факторгруппа О/Н счетно бесконечна. Пусть А19 А29 ...
..., Ап9 ...—различные классы смежности по Я. Тогда М Aл„)=
=М(%н) = 0, как показывают (Ь) и (/). Осталось положить
00
/= 2 %~п1а и применить (Ь) еще раз1).]
/г = 1 п
A8.17) са-функции (Кейнер [1] и Маак [2]). (а) Опишем
теперь один класс функций в 33E), где 5—произвольная
полугруппа, на котором средние значения, определенные в4 A8.16а),
существуют. Предположим, что для^любого е > 0 существуют
подмножества А19 А29 ..., Ап иЕ в 5 со следующими свойствами:
Е = ЗП(А11}...[)АЯУ; A)
М(ЪЕ) = 0; B)
если а9 Ь^8 и множество Ва%ь = {(а9 Ь)} [) {(хау9 хЪу):
х> У€§\ имеет непустое пересечение с некоторым
АкхАк9 то |/(г)—/(ш)|<е для каждого
(г9и>)еВашЬП(Е'хЕ').
C)
Тогда функция / называется ы-фунщией. Мы докажем, что
М (/) [в смысле A8.16)] существует для каждой со-функции /.
Используем последовательность лемм.
(Ь) Пусть /—со-функция; пусть А19 Л2, ..., Ап и Е—как
в (а), для данного е = 0; предположим, что п—наименьшее
возможное д^я этого 8. Пусть х, у—любые фиксированные
элементы из 5. Тогда существует такая перестановка т чисел
{1, 2, ..., п}9 что АкП(хАХ(к)У)Ф0 при /?=1, 2, ..., п..
[Подобно A8.7), этот результат опирается на A8.4). Для каждого
*=1,2, . ..9 п пусть Вк=хАкуир(к)={1:А;пВкФ09 1</<я}.
Для данного множества \к19 к29 ..., &;}, где 1 ^&х < &2<...
• • • < кг ^ п9 пусть \]19 /2, ..., ]6\ обозначает множество
х) Эта конструкция показывает, что для функционала М нет аналога
теоремы Лебега о мажорированной сходимости. Действительно, пусть
ЛЯ = 1л +«"+1л ' Т0ГДа Й1Т1 Л«=1» Л1<^2< ...<ЛЛ< ..., М (\)=1 И
1 » П ->• со
Л1 (/гл) = 0 для каждого я=1, 2, 3, ...

332
Гл. 4. Инвариантные функционалы
Р(*1I1 ... 11РFГ), где 1</1</а <...</*< л. Очевидно, что
Вкх\}...иВкгаА;1{\...\}А^иЕ.
Положим теперь С1 = {г ^ 5: хгу ^ Л^} для каждого /=1,2, ..., 5
и пусть Р = \г^8: хгу^Е). Очевидно, имеем МAР) = М(хAЕ)у)=0
и потому М(&)Еир,) = 0- Запишем множества Л/г, отличные от
Аку? ...,АкУ как Ак 9 ..., Акп, и рассмотрим семейство
С±П{Е[}Р); ..., СЖП(Е1}Р): Акг+ХП(Е[)РУ, ...
.... лЛяп(яи/у, яия.
Нетрудно видеть, что это семейство множеств удовлетворяет A)
и C), и потому 8~\-п—г^/г, з^г. Таким образом, можно
применить A8.4) и получить (Ъ).]
(с) Пусть /—со-функция; пусть Лх, Л2, ..., Ап и Л — как в (а),
для данного е>0; предположим, что п—наименьшее
возможное для этого е. Для каждого б > 0 существует положительное
целое Ы, а в каждом множестве Ак существуют элементы
¦ЧЬ, 1> ик, 2»
• • 9 Ук% N такие, что
N
41Х ды
/ = 1
Пусть ад = 1п1
<б (й = 1,2, ...,п).
D)
/=1 '
: {ах, ...9аЛ— конечная
последовательность элементов из 5 / для каждого &=1, 2, ...,я.
Поскольку п—наименьшее возможное, все аА положительны.
Пусть а= 1/2 тт (ах, ..., ап). Выберем элементы и1У ..., иь в 5
так, чтобы
•1Х(Ы
< аб. Для каждого к = 1, 2, ..., л
найдутся элементы хк и ук в 3 такие, что
ь
/=1
и одновременно
ь
Т2 ^ (ххк^гУкУ) < аб ПРИ (*. У) € 52.
E)
F)
/=1
Пусть Л/"—наименьшее целое, для которого Ы^аЬ. В силу E),
по меньшей мере N элементов х^у^ ..., хкиьук принадлежат Ак\

$ 13. Инвариантные средние на почти периодических функциях 333
возьмем N этих элементов в качестве у;,}1, юк^2, ..., Vк^ м.
Ввиду F) получаем D).
(А) Пусть /—(о-функция на 5. Тогда М (/) существует.
Точнее, для каждого 8 > О существуют элементы щ, щ, ..., тт ^5
такие, что
т
/= 1 / = 1
<8.
G)
[Пусть 8 — некоторое положительное число, а Лх, А2, ..., Ап,
Е—те же, что в (а), с заменой 8 на 8/3 и с наименьшим
возможным значением для /г. Пусть б = ^тггтг ; выберем N и
элементы 1^э 1 (к = 1, 2, ..., п\ 1= 1, 2, ..., Л/), как в (с), для этого
значения б. Пусть х, у—произвольные элементы из 5, т—как
в (Ь), и пусть ск—некоторый элемент из Ак[)(хА%{к)У)
(Л=1, 2, ...,п).
Проводим следующие оценки:
Мп
2 / К г) — ^Ц / (*»*, а) I =
/г,/
1
:я/У
/г,/
2(/(°м)—1№%(к).1У))
к, I
<;эт-Х1/К/)-/(**)! +
/г,/
+ж21/(с*)-/(^(*).^1==21+2«
А,/
Поскольку уЙ1 г ^ Аи> си € ^а» C) показывает, что
2Х < е/3.
(8)
(9)
Чтобы оценить Е2, рассмотрим значения к и / такие, что
х^(к),1У^Е. Имеем ск = х8у, где 5^ЛТ(^, и снова C)
показывает, что
^\^ск)-!(хох{к),1у)\<^
A0)
суммирование идет по к, I таким, что хоць^м^Е. Пусть 2"-
сумма по тем к, /, что хух^),1У^.Е. Тогда в силу D)
^\!(ск)-Г(хаик)ш1у)К^пМб^\\!\\и =
8
3"'
(И)
Объединяя A1), A0), (9) и (8), получаем G), где ш;- равны Vк^^.']

334 Гл. 4. ЙнвариангИные функцйонйЛы
Замечания. Литература по почти периодическим функциям
огромна: обзор ее см. Маак [1], стр. 222—235. Лемма A8.4)
принадлежит Халмошу и Вогану [1]; наше изложение не
столь ярко, как их. Конструкции функционала М и
доказательство его единственности A8.6) — A8.9) взяты у Маака [1],
стр. 31—42. Теоремы A8.10) — A8.14) основаны на работе
Любарского [1] и одной неопубликованной рукописи А. Бер-
линга и Хьюитта. Подобные результаты см. также: Кавада [1]
и Штрубль [1]. Однопараметрические семейства множеств,
напоминающие множества {Я„}~=1 из A8.13), использовались Каль-
дероном [1] при доказательстве эргодических теорем.

Глава 5
СВЕРТКИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
В настоящей главе мы начинаем изучение собственно
гармонического анализа. Основная операция в гармоническом
анализе—свертка] в § 19 мы дадим весьма общее определение
свертки и исследуем с достаточной тщательностью основные
свойства сверток мер. В § 20 мы изучим явные формулы для
сверток мер и функций. В § 21 рассмотрим некоторые факты
о представлениях групп и алгебр. В § 22 мы доказываем
существование неприводимых представлений локально
компактных групп.
Главная цель настоящей главы—доказательство теоремы
Гельфанда—Райкова B2.12): эта теорема является одной из
наиболее важных во всей книге и, в частности, потребуется
в следующей главе в теории локально компактных абелевых
групп. Было бы совершенно естественным отложить подробное
обсуждение сверток до того, как мы изучим представления
топологических групп и теорию локально компактных абелевых
групп. Однако мы предпочитаем трактовать представления
локально компактных групп в терминах алгебры 21@, А,).
Чтобы определить умножение в 21@, А,) (которое является
сверткой), нам нужно общее определение свертки.
Обсуждение сверток в настоящей главе лишь
предварительное: несколько последующих глав будет посвящено
целиком детальному изучению различных алгебр свертки.
§19. Введение в теорию сверток
Как обычно, начинаем с определения.
A9.1) Определение. Пусть 5—полугруппа, не обязательно
топологическая, а $—линейное пространство вещественно-
или комплекснозначных функций на 5. Мы всюду
предполагаем, что пространство $ левоинвариантно: х{ €$ ПРИ /€$
и х^5. Для любого линейного функционала М7 определенного

336
Гл. 5. Свертки и представления групп
на $, и для_ любой функции /^$ определим функцию Щ на 5
формулой М[ (х) = М (х[) для каждого х ^8. Предположим
далее, что линейный функционал М таков, что М[ ^$ для
каждого /^$. Для любого другого линейного функционала Ь на $
единственным образом определен функционал, значения
которого на элементе /^$ есть Ь(М[) = (ЬоМ) /. Этот функционал
называется сверткой функционалов Ь и М и записывается ЫМ.
Для правоинвариантного пространства функций ^, линейного
функционала Ь на $ и /6$ определяем I/ как функцию
Ц(х) = Ь{1х).
A9.2) Теорема. A) Свертка Ь*М есть линейный функционал
на %\
(п) Зля любого [вещественного или комплексного] числа а
имеют место равенства а(Ь*М) = (аЬ)*М = Ь*(аМ);
(III) если свертки Ь*М и Ь*Ы существуют, то существует
Ь * (М + Ы) и Ь * (М + Щ=Ь * М + Ь * ДО; аналогично (М + #) * 1=
(IV) еа/ш I,, Л/, Л/"—линейные функционалы на %, а М и N
переводят $ в себя, то Ь* (М *'Ы) = (Ь* М) * N.
Доказательство. Утверждения A), (п) и A11) являются
прямыми следствиями определения A9.1); мы опускаем их
доказательства. Чтобы доказать (IV), заметим сначала, что свертка
(/,#714) *Ы, очевидно, существует. Для любых х> у ^8 имеем
Я(ХП (У) =_М (у (х[)) = Л^ (ху[) = М[(ху) = А^}) (у)»). Поэтому
N (*/)_= *(#/). Отсюда _получаем (М*Ы)Нх) = {М*М)(хТ) =
^М(Ы {Х!)) = М (Х(Ы{)) = М (#/) (х). Иначе говоря, М * Ы=М о N.
Это показывает, что свертка Ь*{М*Ы) существует, и мы можем
записать Ь*(М*Ы) = Ьо (М*Ы) = Ьо (Мо Щ = {Ь о Ж) о 77 =
= A*М)*М. ?
A9.3) Определение. Пусть $—то же, что в A9.1), а I —
линейное пространство вещественных или комплексных [в
соответствии с тем, вещественно или комплексно Щ линейных
функционалов на $ таких, что свертка Ь*М существует и
является элементом Ь для любых Ьу М^Ь. Тогда Ь называется
алгеброй свертки с операцией * в качестве умножения и сло-
*) Собственно, мы должны были бы писать (Ь * М)-\~(Ь * Ы); но мы
рассматриваем свертку как умножение специального вида и используем
универсальное условие ах-\-Ьу — {ах)-\-(Ьу) в любом кольце.
2) Ассоциативность полугруппы 5 нужна только для доказательства
равенства у(х!) = ху1.

$ 19. Введение в теорию сверток
337
жением, определяемым обычным образом. Из A9.2) прямо
следует, что Ь есть ассоциативная алгебра над вещественным или
комплексным полем.
Алгебры свертки встречаются и в анализе, и в алгебре.
Многие интенсивно изучаются; другие, равно интересные и,
возможно, столь же важные, едва замечены. Приведем сначала
один пример.
A9.4) /х-алгебра полугруппы. Пусть 5—любая полугруппа,
а %—линейное пространство 93E) всех ограниченных комп-
лекснозначных функций на 5. Для каждого а ^8 пусть Еа —
линейный функционал Еа (/) = /(а). Тогда, как легко видеть,
Еа[ = Га и Еа*Еь(П = Еа(П) = Гъ(а) = [(аЬ) = ЕаЬ(П. Таким
образом, множество линейных функционалов Еа образует полугруппу
относительно свертки, изоморфную полугруппе 5. Образуем
п
множество всех комплексных линейных комбинаций 2 ак^а »
к-=\ к
получаем алгебру, содержащую изоморфный образ полугруппы 5
в качестве мультипликативной подполугруппы. Можно сделать
еще один шаг и рассмотреть все линейные функционалы
00 00 ,
2 ъкЕа такие, что а/е^0, 2 ак\ < °° и аи аг> • • •> ап> • • • —
к=\ к к=1
различные элементы в 5. [Нулевой функционал должен
рассматриваться, разумеется, отдельно.] По очевидным
причинам мы называем построенную алгебру ^-алгеброй
полугруппы 8 и обозначаем ее [хотя это и не вполне аккуратно] /хE).
со
Ясно, что каждое 2 ак^а есть ограниченный линейный функ-
к=\ к
/ оо \ со
ционал на 93E): 2 акЕа )(/) = 2 аиНак)- Очевидно [полагая
\*=1 к) к=\
1Ю = Щпак], что
2 «А
к=\ к
¦¦ 2 \ак\- Чтобы проверить, что
к=\
1г{8) действительно есть алгебра свертки, и тем самым
оправдать название «^-алгебра», проведем вычисление следующим
со
образом. Для любой функции /(=23E), для А= 2 акЕа 6^E)
к = \ к
со со
и В= 2 Р^ €М$) имеем 5/= 2 РЛ —функцию из 35E) и,
1=1 1 1 = 1 1
следовательно,
/--=1
A)

338
Гл. 5. Свертки и представления групп
Поскольку
2|аА|[2|Р|||/(аЛ)|1<И1111В||||/||в, B)
мы можем переупорядочить левую сторону неравенства B) и
правую сторону неравенства A) любым способом, не изменяя
их значений. Пусть \х±, х2, ..., хп, ...} — [конечное или
счетное] множество всех различных произведений акЬг. Тогда
2 Г 2 <
«=1 \а#г»п
(Л*5)(/)=2 Г 2 а*Р,
/(*»)•
Чтобы проверить Л*5^/1E), нам нужно показать, что
2 I 2 а*Рг
я=1
акЬГхп
<оо.
Поскольку
2 2Ы1Р*1 = 1МН11я||<оо,
к= 1 / = 1
эта сумма может быть произвольным образом переупорядочена.
Для любой пары положительных чисел (&, /) имеем акЬ1 = хп
для в точности одного п. Следовательно,
21 2 а*Р,|.< 2 2 КМ=2 2|а*!1Р«1 = ||Л||||В||.
л=1
а.Ь,-
к I
п—\а.Ь,= х„ к~\1 — \
Таким образом, А*В^11(8) и || А *В ||<|| А \\\\ В ||.
Различные другие примеры алгебр свертки
вспомогательного характера приводятся в A9.23) — A9.24).
Рассмотрим теперь наиболее важную алгебру свертки из
тех, которые будут изучаться в этой книге, именно, алгебру
всех ограниченных линейных функционалов на @0@), где О —
локально компактная группа/' На протяжении пунктов A9.5) —
A9.28) включительно О всюду обозначает некоторую локально
компактную группу. Символ &я@) A^р^оо) всюду будет
обозначать банахово пространство 2^@, А,), где А,—некоторая
фиксированная, но произвольная левая мера Хаара'на группе С.
A9.5) Лемма. Пусть /€@0 (О) и ^6©о (О). Тогда 1/€@о(Ф
и У^0@).
Доказательство. Проведем доказательство лишь для Ц.
Если Ь = Ъ или / = 0, лемма тривиальна: О(/) = 0 и Ь@) = 0.
Прежде всего, очевидно, что ^€%@) и /^@р@) для

§ 19, Ёведенйе в теорию сверток
339
любых /€@о(^) и *€0» Пусть е—любое положительное
число; выберем окрестность V единицы в О такую, что
Ц(и)—/(»)|<е/||Щ для любых и, V ^0 таких, что м*1^.
Это может быть сделано по теореме A5.4) [поскольку /
равномерно непрерывна справа]. Тогда, если х, у^О таковы, что
*У~Х€*\ имеем || х{—у}\\и < г/\\Ц\ и потому |1/ (х)—Ц (у) |< 8.
Тем самым Ц непрерывна [и даже равномерно непрерывна
справа]. _
Чтобы показать, что функция \Ц\ произвольно мала вне
подходяще выбранного компактного множества, запишем /
сначала в виде / = /х—/2 + '(/з—/*)» гДе все // принадлежат
©о (О)- Тогда мы можем предположить, что и / аЩ{0) и /=^=0,
поскольку I, является, конечно, линейным оператором. Пусть
{х—комплексная мера, представляющая Ь, как в A4.4), а
|[г|—неотрицательная мера, определенная в A4.6). Тогда, как
отмечалось в A4.6), |{х|(С) конечно. Пусть 8—произвольное
положительное число. Согласно A1.23), найдется компактное
подмножество Е с О такое, что ||х| (Е')< е/B||/||ц). Кроме
того, существует и компактное подмножество Р с: О такое,
что |/B)| <е/B||х|@)) для любого г^Р'. Имеем, таким образом,
Ш(х)\^\ьи)\^\ци)==^ш^\(у)==
а
= $/(*0)<*||х|ДО + $ Цху)й\р\(у). A)
Е Е'
Очевидно, что
\ шLЫ@)<11ШМ(Я')<т. ;B)
Е'
Также, если /(<м/)^е/B|[х|@)), получаем ху^Р> а если, кроме
того, у^Е, тох^Р(у1) аР(Е-1).Поэтому9еслих^(Р(Е-1))\то
^!Ш^\(у)<\\1\(Е)-^т^, C)
Е
Объединяя C) и B) с A) и замечая, что множество Р(Е~~1)
компактно [D.2) и D.4)], мы и получаем Ц€&0@). П
A9.6) Теорема. Сопряженное пространство &ЦС) является
алгеброй свертки в смысле определения A9.3). Относительно
нормы \\Ь\\ оно является банаховой алгеброй в смысле (С.1).
Функционалы Еа, определенные равенствами Еа({) = [(а) при
/€@о@)> удовлетворяют соотношениям
A) Еа* Еь = ЕаЪ для любых а, Ь^О.

«340 Гл. 5. Свертки и представления груШ
Функционал Ее является единицей в ©^@):
A1) ЕехЬ=:ЬхЕе = Ь для любого Ь^&0@).
Алгебра ®* (С) коммутативна тогда и только тогда, когда
группа О абелева.
Доказательство. Чтобы показать, что ©2 (С) есть алгебра
свертки, нам нужно только показать, что Ь*М есть
ограниченный линейный функционал на @0(О), если таковы
функционалы Ь и М (см. A9.5)). Пусть \х и V—комплексные меры,
представляющие функционалы Ь ы М соответственно, как
в A4.4). Применяя A4.7), получаем | М (/) | = К /Ж? I < $ | / \й\ V |.
\о \ о
Следовательно, для каждого х^О имеем
\мпх)\ = \ми)\<1\Лл\у\<\\!\\и\^\@) = \\Па\\м\\.
о
Отсюда следует, что \\М[ ||и<||/ \\а\\М ||, и это неравенство,
в свою очередь, позволяет утверждать, что
|1.х.Ж(/I = |1(Б/Ж||1||||7Й/||п<||1||||Ж||||/||и. A)
Отношение A), очевидно, показывает, что Ь*М есть
ограниченный линейный функционал на @0 (С) и что
||1.Л1||<||/.||||Л1||. B)
По '(В.22), пространство ©о (С) полно в метрике \\Ь—М\\.
Отсюда и из B) следует, что ©о(О) —банахова алгебра. |?
Очевидно, что функционалы Еа принадлежат &*0(О) и что
. |Яв||=1 для любого а^О. Чтобы проверить A), запишем:
(Еа * Еь) (!) = Еа (ЁЬП = Еа (}„) = }ь (а) = / (аЬ) = ЕаЬ (/).
Чтобы проверить (п), заметим, что Ее} (х) = Ее (х[) = / (хе) =
= 1(х). Иначе говоря, Ее} = { и потому (Ь*Ее)({) = Ь([). Также
имеем
(Ее * Ц (/) = Ее (Ц) = Ц (е) = Ь (е1) = !(/).
Тем самым (И) доказано.
Если группа О неабелева, то A) показывает, что алгебра
©о (О) некоммутативна. Чтобы показать обратное,
предположим, что группа О абелева и что Ь и М — некоторые
элементы из К* (О). Пусть \1 и V—меры1), представляющие Ь
х) Там, где это гие может вызвать недоразумений, мы употребляем
термин «мера» вместо термина «комплексная мера, построенная в A4.4)».

§ 1§. Введение в теорию шрШИ
341
и М соответственно. Пусть, далее, /€®0(^)- Функция (х, #)|~>
*—>}(ху) непрерывна [и ограничена] на 0x0 и потому
принадлежит 2Х (ОхО, | (хх V |). Следовательно, по A4.25), имеем
Ь * М A) = ^ [ (ху) Лу (у) ^(х)^^ [ (ху) ^ (х) йу (у) =
ов ос
= $ $ / (Ух) ар (х) Лу (у) = м*ь (/). о C)
СО
A9.7) Замечание. Теорема Фубини играет существенную
роль при доказательстве A9.6.3) и потому — при
доказательстве коммутативности алгебры ©2 (О) для коммутативной
группы С. В ситуациях, когда теорема Фубини неприменима,
алгебры свертки могут быть некоммутативными, даже если
соответствующая группа или полугруппа коммутативна A9.24).
A9.8) Определение. Для любых Ь, М^^(С) пусть \х и V—
комплексные меры, представляющие Ь и М соответственно,
как в A4.4). Через ц,^ обозначаем комплексную меру,
представляющую Ь*М, как A4.4). Мы называем \1*\ сверткой
мер (х и V.
Проведем теперь некоторые вычисления, связанные с (л, V,
и \х*у.
A9.9) Теорема. Пусть Ь, М, \л и V—те же, что в A9.8).
Тогда
Доказательство. Пусть <р€@о> /€@о и |/1^Ф- Дважды
используя A4.7), имеем
\Ь^М(П\-\^!(ху)с1у(у)с11х(х)\^1\1!(ху)ау(у)
\о о \ о \о
<Ц\1Ш4Ы(у)*\рН*)<
со
<^Ч>(ху)ф\(у)A\11\(х) = \Ь\*\М\((р).
а | [X | (X) :
со
Таким образом, по A4.51) имеем \Ь*М | (ф)^|Ь|#| М | (ср), так
ЧТО | |1Х «- Л^ | ^^ I М- I ^ | 'у? | • О
A9.10) Теорема. Предположим, что Ь и М—функционалы
из ©о(О), а [I и V—комплексные меры, их представляющие.
Пусть, далее, т обозначает отображение (х,у)ь-^>ху группы
ОхО на О. Если функция [ на О равна 0 почти всюду для
| ц | * | V |, то функция /от равна 0 почти всюду на ОхО для

342
Гл. В. Свертки и представления групп
||хXV|. Поэтомуу если /€#1.@, 11*1*14)» то функция /от
определена \[XXV[-почти всюду на 0x0. Более того,
функция /от принадлежит ^(ОхО, |^гхV|), причем
A) $/ф*г= $ (/от)й(х X V=^ !{ху)^{у)A\л(х) =
и охо оо
-\[1{ху)й\х(х)^(у).
00
Доказательство. Пусть Р—компактное подмножество в О.
Тогда множество х(Р) замкнуто, поскольку т непрерывно,
и потому ||л|х^-измеримо. Пусть 8—любое положительное
число. По A1.22) существует такое открытое множество Ц,
что РаЦ и ||г|*^|A/)<|[х|*^|(/7) + е. Выберем функцию
/€@?о@) так, чтобы было /(^=1, /(*/') = О и /(О) с [О, 1].
Тогда
$ 1готй\р\х\у\ = 11ыху)Ф\Ш\Р\(х)<
0X0 00
^11нху)ФШ)а\р\(х)=\ц*\мцп=1гA\р\.\у\^
0 0 О
о
Поэтому получаем
$ |,о«и*|ц|х|у|<||11»М(^) О)
для компактных множеств Ра О. Отсюда прямо следует, что
неравенство A) выполнено для любого а-компактного
подмножества в О. Рассмотрим теперь некоторое | [л | * | V [-нулевое
множество А а О. Пусть I)—счетное пересечение открытых
множеств в О, такое, что АаБ и ||л|*М(/7) = 0. Мы
докажем, что \Ло% является ||л|X|V[-нулевой функцией, если
покажем, что ^>от=:^т-1<Д) является |{х|х IV |-нулевой функцией.
Поскольку множество т~хф)—борелевское и потому |н»|х^|-
измеримое, достаточно показать, что |[х | X | V | (^) = 0 для
любого компактного подмножества Е а {(х, у)€СхО: ху^И).
Очевидно, множество %(Е) а й компактно и |д^&мя)°т.
Следовательно, по A) имеем
||*|ХМ(Д) = $ ЫИХМ< 5 Ет(Е)ОТA||1|Х^|<
0x0 0X0
=^ 11* I * I ^ 1(^ (^)) ^ I н^ I * I ^ I (^»=о.

# 19. Введение в теорию сверток
343
Следовательно, функции ^оти^от являются | [х| XIV
[-нулевыми. Поэтому, если А есть | |ы | * | V [-нулевое множество в О,
то т~*(Л) есть | |ы |X| V |-нулевое множество в ОхО. Отсюда
прямо следует первое утверждение теоремы. '
Рассмотрим, далее, любое | (х | * | V [-измеримое подмножество
В а О. Тогда В = Р[) А, где Р[)А = 0у Р а-компактно, а
множество А | \х | * | V |-нулевое. Тогда функция |# о т = 1Л о т + \>р о т
||1|хМ-измерима и
5 Евотй||1|х^|<|^|»^|(В)
охо
п
Поэтому, если /€^@, |ц|*М) имеет вид 23 а?Лвк Для 1^1*
й = 1
*^|-измеримых множеств Вк и положительных чисел ал, то
/отб2х(ОхО, |[х|х|г|) и
5 /0ТЙ||1|Х^|<$^||Х|Х|У|. B)
охо о
Рассмотрим, наконец, произвольную неотрицательную
функцию /6#1@, ||а|*М); мы можем предположить, что она веще-
ственнозначна. Для любых положительных целых пик пусть
п2п-\
АкщП=[хЪО: ^<1(х)<^~\. Пусть, далее, /„= ^ &%Ак п-
Тогда /х</2 <...</„<... </ и Игл /„(*) = /(*) Для
любого х^О. Аналогично, [10т<[2от<...</„от<...
и Нт /ло т(а:, #) = /от(х, у) при (х, у) ^0x0. Поскольку каж-
Л -> со
дая функция /„от |(х |х^|-измерима, то функция /от также
| }х (XIV(-измерима. Теорема о монотонной сходимости и
неравенство B) показывают теперь, что
^ ^ о т^ | [л | х | V | = Нт ^ /лО^Мх1Ч<
** " охо
<Нт ^||х|»М = ^||1|#М. C)
с?хо «-*°°охо
Из предыдущего ясно, что / о т^&х @x0, | М-1XIЛ? I)* если
/€^@, |[х|*|VI). Для /^^(О, |н»|*|Ч) обозначим Ц/^
интеграл 5 |/|^|^|*^|; из A9.9) с очевидностью следует, что
<НЛ1х. D)

344
Гл. 5. Свертки и представления групп
Более того, используя C), мы видим, что
I ^ (/от)ф,XV < ^ 1/оТИ1М'1х1Л71=:
Iохо I охо
= 5 Шо^ЫхМ^/ИМ'МЧШ!!. E)
0x0 О
Рассмотрим теперь линейные функционалы [н»]/ф*г и
о
/н-> ^ (/ о т)ф^XV на 2г@, ] |г|*^[). Эти функционалы совпа-
охо
дают на @0@), поскольку } /ф,^ = /,*А1 (}) = Ь о М (/)=
о
= \\ I(ху)(IV(у) ф(х) = ^ /от(^^xXV, и они ограничены по
D) и E). Согласно A2.10) и (В. 11), эти функционалы
совпадают на всей алгебре йх (С, | \х |*| VI). Тем самым доказано
первое неравенство в A). Остальные равенства прямо следуют
из A4.25). ?
A9.11) Теорема. Пусть Ь, М, \1, V и т—те же, что в A9.10).
Тогда для каждого | [х|#|ч\-измеримого множества А множество
х~г(А) | \1 XV {-измеримо, причем
(\) \1 * V (А) = \1 X V (Т~ Х (Л)) = 5 V (Х-1 А) й\1 (х) =
о
= 5|1(Лг1)^(уI).
о
Доказательство прямо следует из A9.10).П
A9.12) Пусть Ж (О) есть множество всех комплексных мер ц,
полученных, как в A4.4), по линейным функционалам Ь^ ©о(С)-
По A4.10) отображение Ьъ-^\у, алгебры @*@) на Ж (О) взаимно
однозначно, линейно, сохраняет норму и сохраняет порядок.
Мы определили {XXV [где Ьи->[х и ЛIн^V] в A9.8) так, что
отображение сохраняет свертку. При дальнейшем изучении
алгебры @о@) мы заменим ее эквивалентной алгеброй М(О)
и будем формулировать обычно наши результаты лишь в
терминах М@). Где это удобно, мы будем пользоваться тем
фактом, что алгебра М@) является конкретным представителем
х) В последнем выражении мы считаем, что [1(Ау~г) существует для
^|-почти всех у и что \х, (Ау-1) V-измерима как функция переменного у
[скажем, пусть [х(Л^/-1) = 0, если она не определена]. Аналогичные
соображения применимы к у(х~1А),

§ 19. Введение в теорию свёрток
345
алгебры @*@), так ч™ мы можем использовать теорему
Хана—Банаха и другие методы функционального анализа.
Слово «замкнутый» в отношении алгебры Ж (О) означает
«замкнутый в топологии, определенной метрикой |||х—г||».
Опишем теперь и охарактеризуем, насколько это возможно,
важнейшие подмножества в Ж (О).
A9.13) Определение. Мера |х€Ж@) называется чисто
разрывной, если существует такое счетное подмножество ЕаО,
что |[х|B:') = 0. Мера [х называется непрерывной, если \л({х}) = 0
для каждого х^О. Непрерывная мера |х называется
сингулярной, если мера \1 сингулярна по отношению к левой мере
Хаара X в смысле A4.21). Мера |х называется абсолютно
непрерывной, если она абсолютно непрерывна по отношению
к левой мере Хаара Я в смысле A4.20). Обозначим множества
соответствующих мер в Ж (О) через Ма (О), Мс (О), М8 (О), Ма (О).
A9.14) Лемма. Пусть А — подмножество в О, измеримое для
всех | [х |, \1 6 Ж (О). Тогда множество У А = {|х € Ж (О): | |х | (А) = 0}
является замкнутым линейным подпространством в Ж (О).
Доказательство. Для |х, V ^ У А имеем | |х (А) + V (А) | ^
<||х|(Л) + М(Л) = 0 A4.11Н), так что у> + ч$УА\ далее,
| а\1 | (А) = | а 11 ^ | (Л) = 0 при а € К и \1 € УА A4.1П).[Поэтому У А—
линейное подпространство в Ж (С). Если|хй^ УА (п= 1,2, 3, ...),
(х^Ж(О) и Пт || |хл—[л || = 0, то для каждого борелевского
П -> СО
подмножества В с: А имеем
||1(Я)| = |МЯ)-ИД)| =
= I (|*«—И-> (В) | < | |хя—I* I (В) < || ^я-|г ||.
Следовательно, [х (Б) = 0 и потому |[х|(Л) = 0 A4.15). Ц
A9.15) Теорема. Для любого а^О пусть га—такая мера,
что еа(Р) = %р(а) для всех Раб. Все подмножества в О г
^измеримы, и га есть мера в М@)> соответствующая
функционалу Еа$&о@) [см. A9.6)]. Для последовательности {а„}^=1
00
комплексных чисел такой, что 2 1ал|< °°> и последователь-
/1=1
поста {ап)п^\ различных точек из О мера
со
(О 2 ««ейп»)
П-\
) Определение этой меры очевидно; см. также A9.4).

348 Гл. 5. СвергНки и ПредсгНавЛёНиЛ групп
отвечает функционалу ^^пЕап^&1@). Имеем далее
л=1
00 2 <ад
л=1
ап
= 2КК
л=1
ап
№
2«»<
п=1
ап
= 2К1
л=1
5се жерь/ вида @ принадлежат Ма@), и всякая ненулевая мера
в Ма{0) имеет единственное представление в виде A), в котором
все ап—ненулевые [сумма может быть конечной]. Множество
Ма{0) является замкнутой подалгеброй в М(С). Равенство
в Ма@) = М@) имеет место тогда и только тогда, когда
группа О дискретна.
Доказательство. Первые два утверждения очевидны после
некоторого размышления; мы опускаем их доказательства.
00
Чтобы доказать (и), возьмем |л= 2 апгап- Ясно, что при ЕаО
имеем 1^(Е) = У\апУ причем сумма берется по всем таким д,
что ап^Е. Согласно A4.14), имеем | ц, | (^) = зир ч 2 1М^/I:
{Е19 ...>Ет) есть разбиение Яг^21ая1» пРичем сумма снова
распространяется на все такие п, что ап^Е. Следовательно,
00
||х|^ 2 \ап\гап- Теорема A4.14) показывает, что \\ь\ есть на-
я=1
именьшая неотрицательная мажоранта для ц, и потому |(х|^
со
^ 2 1а«18а • Равенство (Ш) прямо следует из (и) и
Определи
ления || [л ||.
Очевидно также, что всякая мера вида A) принадлежит
Ма@). Обратно, при р€Ма@) пусть Е = \аиа2,а3,...}—
такое множество [все ап различны], что \\1\(Е') = 0. Для
каждого |[х(-измеримого множества ХаО имеем
11(Х) = 1Х(ХПЕ) + 11(ХПЕ') = 11(ХПЕ)= 2 МЫ-
апеХ
Следовательно, [х= 2 М{аи})св » что мы и хотели показать.
а„е Е
N
При \а19 а2, ...9а„}сЕ имеем 2 ЫКОКИ^НЫК °°>
п—\

$ 19. Введение в теорию сверток
347
так что 2 |м>({яп})| < оо. Очевидно, что представление (О
единственно, если все ап различны, а все ап отличны от нуля.
Чтобы показать, что алгебра Ма@) замкнута относительно
нормы, рассмотрим {м,п}~=1—последовательность элементов из
Ма (О) и меру [г (= М (О) такие, что Нт г|Г|х—щ || = 0. Пусть Еп —
счетное множество, для которого ||хпг|(^) = 0 (п = 1, 2, 3, ...)
00
и Е = [} Еп. Для компактного подмножества ХаЕ' имеем
я = 1
|ц(Х)\ = |р(Х)-1хя(Х)\ = |(ц-ц,„) (X)|'<||г-р„|(Х)<|||1-ц„ |
для каждого п. Следовательно, \х(Х) = 0 и потому |ц|B7') = 0
по A4.15).
Теперь покажем, что Ма(С) есть подалгебра в М@).
Очевидно, что МаF) есть линейное подпространство
В МF). ЕСЛИ \1, V, (И„, V» ^ Л1(С), (!„»-> |Х И Vпь->V9 ТО,
ОЧеВИДНО, ОМ'/г*^ —^*^!!<1|^*^ —М'«*Л;11 + 11М'/г*^ —М'*Л71|<
<11М1К—Ч1 + НИК—М1 A9.6.2), так что ^^„ь-^^.
При
00 00
2 а„еа„ 6 Ма (О) и 3 Рие6т 6 Л, (О),
простые вычисления, основанные на тождестве га*гъ = гаЬ,
показывают, что
/со \/°° \ оооо
Множество всех различных апЬт счетно, и потому алгебра
Ма(С) замкнута относительно свертки.
Предположим, что группа О дискретна. Теорема A4.16)
сразу показывает, что всякий функционал в ®*0F) имеет вид
оо оо
2 апЕап с 2 \ап\ < оо: поэтому Ма@) = М@), если группа О
дискретна. Если О недискретна, пусть т—любая
неотрицательная ненулевая функция из ^(С), а мера \х из М@) такова,
что ф, = йу<#1, как в A4.17). Согласно A5.17Ь), имеем Х(А) = 0
для любого счетного множества ЛсО и потому \х (А)= Г шдХ = Ъ
А
для счетного А. Поскольку мера [х—ненулевая, в этом случае
A9.16) Теорема. Множество Мс@) является замкнутым
двусторонним идеалом в алгебре М{0).

348
Гл. 5. Свертки и представления групп
Доказательство. Согласно A9.13), Мс(О) совпадаете П У{Х},
хеО
которое по A9.14) есть пересечение замкнутых линейных
подпространств. Отсюда следует, что и МсF) есть замкнутое
линейное подпространство в N1@). Для любых \1^МС(С) и
V^М@) и а^О A9.1 И) дает
II« V ({а}) = ^\х ({ау1}) (IV (у) = О,
о
V * |л ({а}) =[\1 ({х^а}) (IV (х) = 0.
в
Поэтому Мс@) есть двусторонний идеал в М@). \}
A9.17) Лемма. Для любого подмножества АаО и любого
х^О имеем
(I) 1(Ах) = А(х)ЦА).
В частности, если множество А Х-нулевое [локально Х-нулевое],
то и Ах является Х-ну левым [локально Х-нулевым].
Доказательство. Рассмотрим сначала случай открытого
множества V'. Если !^Щ0(О) и /<^, то, очевидно, /*-!<
<(Ых-г = 1их- Из A5.11) и A1.11) следует, что Д(*)й,A/)<
^Х((/х). Заменяя х на х~х и {] на Ох, получаем также
А (х-1) А, F0с) ^ А, (^/) и (поскольку А (х) А (х~г)= 1) равенство A)
для открытых множеств. Для любого множества АаО имеем
АаЦ тогда и только тогда, когда АхаШх, так что @ следует
для произвольных подмножеств группы О из A1.22).
Предположим, что множество А локально Я-нулевое. Если
Р—компактное подмножество в Ах, то Рх*1—компактное
подмножество в А, так что %(Рх~г) = 0. Поэтому Х(Р) =
=А(х)'К(Рх~1) = 0; поскольку множество Ах Я-измеримо, оно
локально Я-нулевое. []
A9.18) Теорема. Множество Ма@) является замкнутым
двусторонним идеалом в алгебре М(С). Отображение /и—>хю,
переводящее Ма@) в 2Х @)-2х (О, Я) из A4.17) и A4.19),
является сохраняющим норму линейным' изоморфизмом алгебры
Ма@) на%ЛС).
Доказательство. Элемент [х ^М(О) принадлежит Ма@) тогда
и только тогда, когда |[л| (/?) = () для любого компактного
множества Р, для которого Х(р) = 0. Лемма A9.14) показывает,
что Ма@) есть замкнутое линейное подпространство в М(О).
Пусть \л^,Ма@) и у^М@). Если Р—компактное
подмножество, для которого Х(Р) = 0, то Х(ру~1) = 0 для каждого у^О
A9.17) и потому | [г| (Ру*1) = 0 для каждого у ^ О. Используя

$ 19. Введение в теорию сверток 349
A9.9) и A9.11), получаем
1^|(^)<|Н*М(/Ч = 5 \р\(Гу-1)с1\ч\{у) = 0,
а
так что ^^*V ^Ма@). Мы, очевидно, имеем | [х| {х~1Р) = 0 для
каждого х^О и потому
\у*1х\(Р)^\у\х\11\(Р)=^\1х\р-1Р)с1\у\(х) = 0.
а
Следовательно, V*|ы ^ Ма@); таким образом, Ма@) есть
двусторонний идеал в МF).
Для [л^Ма@) теорема A4.19) показывает, что существует
функция ^^2Х (О) такая, что й[г=дойЯ. Отображение Ма@)
в #х@), полученное таким образом, очевидно, линейно.
Теорема A4.17) показывает, что оно есть на и сохраняет норму;
оно также взаимно однозначно. []
A9.19) Теорема. Множество М3@) есть замкнутое линейное
подпространство в N1@).
Доказательство. Пусть |х, V ^ М8 (О). Тогда \1 + у непрерывна,
и для любых борелевских множеств В и С с А, (В) =Х(С) = 0
и | (л | (В7) - | V | (С) - 0 имеем | ц, + VI (В' П С) < | \1 | E') +
-|—|-V| (С) = 0. Поэтому {хН-V $М8 (О), и ЖЛО) есть линейное
подпространство. Пусть \л19 |х2, ...,[х„, ... ^ Ж5 (С), А, E [) С) = 0
и Нт || |г—цл|| = 0. Пусть Вп — такое борелевское множе-
Л -Э- 00
00
ство, что А,(В„) = 0 и |[л„|(#я) = 0. Пусть 5= II В„; тогда
/г=1
А(В) = 0. Если Т7—компактное подмножество в 5', то
для любого я, так что |л (Т7) = 0. Следовательно, |[л|E') = 0;
поскольку мера (л, очевидно, непрерывна, то ]х^М$@). []
A9.20) Теорема, Яа/ш группа О недаскретна, то как
линейное пространство М (О) разлагается в прямую сумму:
(О м@) = МАО)®мло)®ма(о.
Записывая меру \1^М@) в виде ц = Ич<+ (** + !*«» имеем
(") Ы=1^1 + Ы + 1^1>
и, в частности,
(Ш) |Ы| = 1Ы1 + И^Н + 1|И.1|.

350
Гл. 5. Свертки и представления групп
Если группа О дискретна, то М'F) = МA(С) = Ма(С) и
Доказательство. Предположим, что группа О недискретна.
Равенство @ утверждает, что любая мера |и^Ж@) может
быть записана в виде суммы мер из Ма(С), М3@) и Ма@)
и что такое представление единственно. Для данной меры
\1^М@) множество {х^С: ^({х^ФО}, очевидно, конечно или
счетно. Если оно пусто, пусть ^ = 0. Если оно непусто,
занумеруем его любым способом: {а1У
я2> Яз> •••}> где все ап
00
различны. Пусть тогда ц^= 2 1* AаЛ) 8вя- Очевидно, \1а€Ма(С)
и \1С = \1—\1а есть непрерывная мера. Применим теперь
теорему A4.22) к мере \хс и левой мере Хаара X. Получаем \1С =
^з + Ро гДе М^бМя@) и \1а^Ма@); это представление
единственно и 1^1 = 1^1 + 1^1- Равенство 1МНМ + 1М легк°
проверить: мы опускаем его доказательство. Тем самым (и) и
A11) доказаны.
Если 11 = \1'а + \1с, где \1^Ма@) и р'с€Ме@), то \ла—\1а =
=(Лс—\1сУ так что 0 = |ш^—\1'а = \1с—[V Следовательно,
разложение [а = Ит* + М^ + Ич* единственно, и (г) доказано.
' Последнее утверждение теоремы следует из A5.17Ь), A4.16)
и A9.13). []
A9.21) Замечание. Подпространство МаF) является
подалгеброй в Ж (О); Мс@) и Ма@) суть двусторонние идеалы
в М@). Однако М3@) не есть, вообще 'говоря, подалгебра
в М(С) [см. A9.26)]. Если группа С недискретна, то МсF) =
= МАО) © Ма@).
Дополнительные теоремы и примеры
A9.22) (а) Мы допустили некоторый произвол в
определении A9.1). Возьмем за % теперь правоинвариантное линейное
пространство функций на 5 и определим М/ как функцию, значение
которой в точке х^5 есть М([х). Если М_ переводит"$ в себя,
а Ь есть линейный функционал на $, определим Ь^М как
функционал Ь о М_. Тогда N (!х) (у) = N ((/*)„) = N ([ух) = Щ (ух) =
= (М[)х(у)- Таким образом, N(/*) = {Щ)х для каждого #^5.
Также
(М УЫ) I (х) = (М V Ы) ([х) = М (ЛГО = М ((Щ)х) = (МоЛ^)/ (х).
Таким образом, Ь V (М V #) = Ь о (М V Ы) = Ь о (М оЫ) =
= AуМ)уЛ1. Это означает, что операция V, как и операция *,

$ 19. Ёведение в теорию сверток
351
ассоциативна. Ясно, что всякая теорема о свертке * дает нам
соответствующую теорему о V.
(Ь) Пусть $ = 23E) и Еа, а б 5—те же, что в A9.4). Тогда
Еа! = а! и (ЕъЧЕа) [ == Н°Ь) == ЕаЬ[. Таким образом, отображение
са—>Еа есть антиизоморфизм полугруппы 5 на полугруппу
относительно операции V линейных функционалов на 23E).
Именно в этом некоторое преимущество свертки * перед V,
хотя, как мы видели в (а), рассмотрение V вполне возможно.
(с) Мы можем применить операцию V к сопряженному
пространству @!!@) [отождествленному, как обычно, с УН (О)], где
О—некоторая локально компактная группа. Лемма A9.5)
показывает, что Л1/^<К0(С) для любых 1, М^Щ@). Поэтому
Для [л, \'€Л(С) и /6^@, ||1|УМ) имеем
^М|АVV=.^5/^)ЛV(у)ф(*). (и
О 0 0
Для | [х | V | V 1-измеримого множества А имеем
(^ (Л) = $ V (Ах-*) ф, (х) = $ \1 {у-1 А) (IV (у),
о о
A9.23) Другие примеры алгебр свертки. Выбор алгебр ®0(^)
и @^@) в A9.5) и далее не случаен. Соображения доступности,
удобства аналитического аппарата и даже личные вкусы
оказывали влияние на выбор функциональных пространств и
пространств линейных функционалов, в которых изучались
свертки. Некоторые естественные кандидаты, однако, имеют
серьезные дефекты, как показывают следующие примеры.
(а) Пусть О—некомпактная локально компактная
недискретная группа со счетной открытой базой окрестностей единицы.
Как в A5.9), выберем счетное бесконечное множество \х19
х2> •••> #7*1^0 и окрестность У единицы такие, что У~
компактно и {Ухп) л (Ухт) = 0 при тфп. Пусть
{^^—убывающая последовательность окрестностей единицы такая, что
со
УхаУ и П Уп = {е}- Пусть, далее, /—такая функция из ©(С),
что /@)с:[0, 1], /(*я) = 1 (п=1,2, ...) и /((яУ1^»))=°
II {хп\ замкнуто и О—нормальное топологическое простран-
ство . Пусть, наконец, Ь—такой функционал из @*@), что
Ь(у) = Нт <р(хп), если только этот предел существует [ПрИМе-

352 Гл. 3. Свертки и представления групп
няем (В. 14)]. Если у ^У и у$Ут9 то у} (хп) = 0 для любого п> т.
Следовательно, /,(/) = 1_и ^A,/) = 0 для любых #бУп{е}\
Иначе говоря, функция /,/ разрывна и ®*@) не является
алгеброй свертки в нашем смысле.
(Ь) (Предложено Буком [1]). Пусть О—любая локально
компактная группа, а ^га@)[й1а@)] — линейное пространство
всех равномерно непрерывных справа [слева] ограниченных ком-
плекснозначных функций на О. Пусть &и@)=&га@) Г) ®ш((*)-
Относительно равномерной нормы || / ||а эти пространства являются
банаховыми [замкнутыми подпространствами в@@)]. Для любых
^€©/•«@) и 8>0 существует такая окрестность V единицы в,
что |ср(ия) — ф(ш;)|<е для каждого х^С, если только и^г=
== (ия)^*) ^ V. При М ^ ®*«@), следовательно, имеем
А1ф€@гЛ6), и потому 1*М^;„@) при Ь, М€®*ги(в). Иначе
говоря, @*м@) есть алгебра свертки в смысле A9.3).
Аналогично, ЬуМ (см. A9.22а)) принадлежит ©2,@) для любых
Ь, М С®?и@). Обе эти алгебры являются в высшей степени
подходящими объектами для изучения. Их изучение
представляет серьезные трудности, однако, поскольку их строение
весьма сложно. До сих пор неизвестен аналог теоремы A4.4)
для алгебры ©га@), представляющей линейные функционалы
в @о@) как интегралы по отношению к некоторой счетно
аддитивной комплексной мере. Кажется сомнительным, однако,
чтобы все функционалы из @*м@) могли быть представлены
как интегралы по отношению к /сояеадо-аддитивным мерам.
(с) Вероятно, еще менее удобной для изучения является
алгебра свертки 23* E) над полугруппой 5 без топологии
(пространство 33 E) определено в A7.1) и превращается в банахово
пространство равномерной нормой, взятой из A7.1)). Очевидно,
Мц> и Жф принадлежат 33E), если ф€33E) и М 6 25* E).
Поэтому 33* E) есть алгебра свертки относительно и *, и V-
Известно, что всякий функционал /,^33* E) может быть
представлен в виде интеграла: Ь (ф) = С <р (х) ф (х)у где |х—некоторая
5
конечно-аддитивная комплексная мера, определенная на всех
подмножествах полугруппы 5. Однако ни в одном
нетривиальном случае анализ алгебры 33* E) пока не проведен. Даже для
группы Ъ сложность и богатство структуры алгебры 33* B)
таковы, что детальное изучение ее кажется очень трудным.
[Теорема представления для 33* E) проста: пусть \л(А) = Ь(%А)
для каждого Аа8.]
A9.24) (а) Алгебры 6^@), 33* E) из A9.23) не обязаны быть
коммутативными даже для коммутативных С и 5.
Рассмотрим 6*и@); рассуждения для 33* E) аналогичны. Предположим,

§ 19. Введение в теорию сверток
353
что алгебра @гц (С) содержит левоинвариантное [а/ ^ 31 при / б 31
и а^О] замкнутое линейное подпространство 31, 1^51, и что 31
допускает два различных ограниченных линейных
функционала #1 иМ2со свойствами #у (а/) = #у (/) и #уA) = 1, /= 1, 2.
Продолжим, согласно (В. 14), функционалы N ]- до функционалов
(ограниченных и линейных) Му на ®гд@). Если теперь Л^(/)=^=
^^М/) для некоторого /^31, то Мх * М2 (/) = М1 о М2 (/) =
= М1A)М2(П = М,ф и Л1,#М1(/) = ЛГ1(/)^А1Я(/), так что
алгебра $*и (О) некоммутативна.
(Ь) Пусть 0 = К. В алгебре &а(К) рассмотрим
подпространство 31, состоящее из всех ф, для которых пределы Л^х(ф) =
= Нт ф(л:) и Ы2((р) = Нт ф(х) существуют. Очевидно, МгфЫ2У
Ы/ инвариантно и Л^уA) = 1. Следовательно, и @«(Я) и 58 (#)
некоммутативны.
(с) Пусть О—бесконечная абелева группа. Тогда по A7.21с)
и (а) алгебра 35* (О) некоммутативна.
A9.25) Измеримость по отношению к |р|, ^|, |м-^| и
1НЧЧ- (а) Пусть С—некоторая локально компактная группа.
Возможно существование такого подмножества АаО, которое
измеримо по отношению к мерам ||л| и |г|, где |х, у^М(С),
и в то же время неизмеримо по отношению к ]|г*г| или
||х|*^|. [В качестве простого примера рассмотрим группу
(/ = /?, обычную меру Лебега X на 7? и меру \1 такую, что
ф = ^1_х> 1]Л. Элементарные вычисления, использующие A9.И),
показывают, что ф*[г = /Л, где / (я) = шах B—\х\, 0) для
любого х^К'у заметим, что достаточно проверить равенство
1 1 а
\ \ !(-<», а](х + у) йхЛу = С }(х)йх для любого аб#. Если А —
-1 -1 -оо
любое подмножество отрезка [1, 2], неизмеримое по Лебегу,
то множество А \\л[-измеримо, поскольку |[г|(Л) = 0, но не
|[х*^-измеримо и не |(л|*|[г|-измеримо, как показывает A4.17).
Заметим, что |ц,| = |л и ||л#|1| = ||х|*||л| = |1*|Л'.]
(Ь) Подмножество группы О может быть | |х «• V [-измеримым и
в то же время не ||х|*|у|-измеримым. [Рассмотрим группу Т
с нормированной мерой Хаара X, описанной в A5.17A). Пусть
меры \1 и V определены равенствами й\л (х) — х дХ (х) и с!у(х) =
= х~гдХ(х). Тогда для каждого целого п имеем
^ хпй[1 * V (х) = С С (ху)п ф (х) (IV (у) =\хп+1дХ (х) Г у71-1 аХ (у) =
т т т т т
= ^У гхр(Цп+1){)сИ§ ехрA(п-1HЛ = 0.
о о
•2 Э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

354
Гл. 5. Свертки и представления групп
Поскольку множество & всех линейных комбинаций
функций хп, п = О, +1, ±2,..., плотно в 6 (Т)х), получаем \х * V = 0.
Из A4.17) мы видим, что |[г| = ^|=Я, а из A9.1 И) — что
Х#Х = X. Следовательно, каждое подмножество группы Т
||д,*^|-измеримо, в то время как A6.13A) показывает
существование ^-неизмеримых подгрупп в Т.]
(с) Предположение в A9.11), что множество А является
| (х | * | V |-измеримым, необходимо для того, чтобы получить
| (XXV [-измеримость множества т_1(Л). [Пусть 0 = 7\ а |1 и
V—меры, описанные в (Ь). Пусть Н—подгруппа в Т такая,
что факторгруппа Т/Н счетно бесконечна A6.13с). Тогда
подгруппа Н | (л * V [-измерима, поскольку |щ* V = 0. Теорема B.2)
показывает, что группа (Г х ТI%~%(Н) изоморфна Т/Н. Поэтому
к т~1(Я) применимо A6.13Ь), и %~Х{Н) неизмеримо по
отношению к мере Хаара на ТхТ. Если X—нормированная мера
Хаара на 7\ то ХхХ есть нормированная мера Хаара на ТхТ
A5.17]). По A4.24) и (Ь) выше, |[^^XV| = ||г|x|V| = ^x^. Иначе
говоря, т_1(#) не |^xXV|-измеримо.]
A9.26) Свойства алгебры М8{0). (а) Пусть О — недискретная
локально компактная группа. Тогда алгебра М3@)
нетривиальна. Именно, любое непустое открытое множество в О
содержит компакт, являющийся носителем меры \1^М3@) с
(а@) = 1. [Пусть сначала группа О метризуема, т.е. {е} есть
пересечение счетной системы открытых множеств (8.5). Пусть
V—любая окрестность единицы е. С помощью конструкции из
D.26) можно построить компакт Ра11, гомеоморфный {0, 1}*%
для которого Х(р) = 0. Нормированная мера Хаара на {0, 1}*§,
порождает меру на Р и, по A1.45), меру |х на О, непрерывную
и сингулярную. В случае неметризуемой группы О по E.14) и
(8.7) в любой окрестности единицы можно найти бесконечную
компактную подгруппу N с к(Ы) = 0. Снова с помощью A1.45)
по нормированной мере Хаара на N можно построить требуемую
непрерывную сингулярную меру |х на О. Инвариантность меры
Хаара на 0 показывает, что вместо окрестностей единицы можно
рассматривать любые непустые открытые множества в С]
(Ь) Подпространство М8 @) с М (О) может не быть
подалгеброй в М (О). [Пусть 0{ и 02—бесконечные компактные
группы, Хг и Х2 — нормированные меры Хаара на Ог и 02
соответственно, и 0 = 61х02. Обозначим ву единичный элемент в Оу-.
Если /б® (С), то функция *!-»/(*, е2) принадлежит ©(Ох) и
г) Группа Т компактна и % есть подалгебра в 6G), замкнутая
относительно комплексного сопряжения и разделяющая точки группы Т. См. сноску
к A3.2). Это — частный случай явления, наблюдающегося в любых компактных
группах. Случай абелевой группы см. в B3.20). Случай неабелевой группы
рассматривается в томе 2, B7.39).

$ 19. Введение в теорию сверток
355
соответствие />—>\ /(х, е2)с1Х1(х) определяет элемент из @*@).
Пусть Ях— мера из МF) такая, что ][AХ1 = \ /(*> е2)дХг(х)
о ог
для /^©@); аналогично выберем меру Х1^М(С) так, что
]^1 = ] [(еи у)с!12(у). Тогда, как легко видеть, меры Х\ и
о ог
Х\ принадлежат М8 (О), причем Х\*Х\ = Х\*Х\ = X, где
X—нормированная мера Хаара на О.]
A9.27). Пусть \ь—мера из МF). Предположим, что для
каждого компактного подмножества РаО, для которого Х(р) = 0,
хотя бы одна из функций х\->\1(хр) или х*—>\1(Рх) непрерывна
в единице е. Тогда мера \1 абсолютно непрерывна. [Если
функция х\-^>\х(хР) непрерывна в е, то непрерывна и функция
х\->\ь (х~1Р). Пусть V—такая окрестность единицы, чтоX ({У)<оо;
выберем элемент V^Ма@) так, что (Ьч = \идХ. По A9.18),
|[х|*^ и \*\\ь\ принадлежат МаF). По A9.11) имеем
0 = ч*\11\(Р) = 1111\(х-*Р)ау(х) =
о
= 5 | ус | (х~гР) их > 5 | \1 {х-гР) | Ах.
V Ь
Поскольку | \1 (х~1Р) | неотрицательно, имеем \1 (х~1Р) = О для
Я-почти всех х^Ц] поэтому \1(е~1Р) = \1(р) = 0. Аналогичное
рассуждение можно провести и для функции х\->[х (Рх).]
A9.28) (а) (Браконье [1].) Используя A9.17), можно
обобщить утверждения A5.12) и A5.13). Всякая локально
компактная группа О, имеющая эквивалентные левую и правую
равномерные структуры, унимодулярна. [Предположим, что О не
унимодулярна и что ее левая и правая равномерные структуры
эквивалентны. Пусть V—такая окрестность единицы, что
А,(G)<оо. По D.14§) найдется окрестность V единицы такая,
что хУх-гс:1! для любого х^О. Выберем х0^О так, что
А (х-1) X (V) > X (Ц). Тогда х0Ух? с[/и! (х0Ух«х) = А (х-1) X (х0У) =
=А (х?) X (V) >Х ([/).]
(Ь) Обращение (а) неверно, как показывают группы ©2 (я, /?).
По A5.28а) эти группы унимодулярны; по D.24) их левые и
правые равномерные структуры не эквивалентны.
A9.29) Свертки неограниченных функционалов, (а) Пусть О —
локально компактная группа; пусть Ь и М—неотрицательные
линейные функционалы на ©00 (С) такие, что мера, соответст-
12*

356 Гл. 5. Свертки и представления групп
вующая М, имеет компактный носитель Е A1.25); пусть меры \х
и V соответствуют функционалам ^ и М соответственно в смысле
§11. Иначе говоря, у^М+(С), а мера \л произвольна. Лемма
A9.5) показывает, что функция Л4/, определенная формулой
о
для /€@ооF) непрерывна; заметим, что она равна 0 вне
компактного множества Р = \и^О: /(и)Ф0}~ Е~х и неотрицательна
для неотрицательной функции /. Поэтому отображение
/»-»ММ/)==$$^)<Му)ф(*)
О Е
есть неотрицательный [и, очевидно, линейный] функционал на
линейном пространстве @00@). Будем обозначать его Ь*М, а
через \1*ч обозначим меру, соответствующую Ь*М в смысле
§11. Таким образом, Ь*М существует для любых
неотрицательных линейных функционалов Ь и М на @0о@)» если мера,
соответствующая функционалу М, имеет компактный носитель.
(Ь) Рассмотрим левый интеграл Хаара / на ©Оо@) и
функционал М, описанный в (а). Пусть Еу V и Р [определенный
для /6@оо(^)] —те же> что в (а)- Пусть X, как обычно,— мера
Хаара, соответствующая /, и пусть их обозначаетдХ(х). Тогда
1*М = с1, где с=] А(у-1)^(у). Легко видеть, что М(а{) =
Е I-
= а (ЩУ* следовательно,
/ * М (аП = / (а (Щ)) = ЦМП=1*М (/).
По A5.5), следовательно, существует такое неотрицательное
число с, что 1*М = с1. Чтобы оценить с> заметим, что
1*М(П = Ц[(ху)с1ч(у)ах =
О Е
= \\!{ху)<1ч{у)<1х.
Р Е
Следовательно, можно применить A3.8), и мы получаем
Е Р
= 5 \1\ху)йх^(у) =
Е О
= $/(/)Д(ЗГ1)<Му).1
е ^

$ 19. Введение в теорию сверток
357
(с) Пусть (а, V и [х*т—те же, что в (а); предположим,
далее, что носитель меры |х ог-компактен. Пусть
/—произвольная функция из 5^ (О, (х^), а т—определенное в A9.10).
Тогда ^ /й|х * V = $ (/ о т) Л\1 X V - $ ^ / (ху) й\ (у) й\х (х) =
С ОХО ОЕ
= ) \ [ (ху) й\1 (х) (IV (у). [Доказательство проводится повторе-
е о
нием с необходимыми заменами доказательства A9.10). Важное
отличие имеет место только при доказательстве равенства
|^^XV(т"(^))=0 [обозначения те же,что в доказательстве A9.10).]
Здесь необходимо напомнить, что носитель меры [XXV 0-ком-
пактен, так что т_1ф) является (xXV-нулевым, если каждое
компактное подмножество из т~1@) является ^xXV-нулевым].
(с1) Пусть [х, V и [х*г—те же, что в (а); предположим снова,
что носитель меры \1 а-компактен. Пусть Л—произвольное
|х ^-измеримое подмножество в О. Тогда
^^*V(А)= $ (ЪАОТ)й\1Х V=^V((ЛГМ)п5)ф(x) =
охо о
^\\ь{Ау-*)йч{у).
Е
[При |х*^(Л)<оо утверждение есть частный случай (с).
Элементарные рассуждения с использованием теоремы о
монотонной сходимости позволяют проверить утверждение для
произвольного Л.]
(е) Пусть С—локально компактная, а-компактная группа,
Н—ее компактная подгруппа, а V—любая ненулевая мера из
М+ (О), носитель которой содержится в Н. Пусть, наконец,
%—левая мера Хаара на О. Тогда для любого ^-измеримого
множества АаО имеем Х(А)=^щ) V((х"гА){]Н)йх. [Следует
прямо из (и), (Ь) и очевидного факта, что Д(г/")=1 для
каждого у€Н.]
A9.30) Бэровские множества и мера Хаара (Какутани и
Кодаира [1]; доказательство следует Халмошу [2], стр. 273—279).
Определение бэровских множеств см. (ИЛ). Всюду в этом
пункте X есть некоторая фиксированная левая мера Хаара на
рассматриваемой группе О.
(а) Пусть группа О — компактно порожденная, локально
компактная группа, а I]—открытое подмножество в С такое,
что 0<А,([/)<оо. Тогда в V содержится множество О такое,
что:
@ В—бэровское множество;

358
Гл. 5. Свертки и представления групп
(И) Я,(С/п1>') = 0;
A11) существует компактная нормальная подгруппа ЫаО
такая, что IIN = \х € О: !(х)>0} для некоторого / б @г (О) и что
Я(С/Л^)=ЯA/).
[Определим по индукции последовательность компактных
множеств 7^, имеющих вид \х^О: !(х) = 0\ для некоторого
/^@г@), и последовательность окрестностей Улединицы етаких,
что Х(Рп)-\-\/п>ХA1); множества Рп-Уп являются
компактными подмножествами в V, и Рп+1^Рп'Уп Для каждого п=1,
2, ... Теоремы D.10) и A1.23) вместе с очевидными свойствами
непрерывных вещественнозначных функций показывают, что
такое построение возможно.
По (8.7) найдется компактная нормальная подгруппа ЫаО
со
такая, что Л[с П У„, а факторгруппа О/Ы имеет счетную базу
открытых множеств; таким образом, группа О/Ы метризуема.
во
Пусть <р: С-+С/Ы—естественное отображение, и ^= II рп.
л=1
Как легко видеть, В^ИИ и, очевидно, A) и (и) выполнены
для Э.
Заметим теперь, что <р({7) открыто в О/Ы E.17). Поскольку
О/Ы есть метрическое пространство, существует функция
8€&@/Ы) такая, что $(хЫ)>0 при хЫ€<рA!) и §(хЫ) = 0
при яДО^ф ((/'). Функция §"оф непрерывна на О и положительна
в точности на 11Ы.
Пусть теперь V—нормированная мера Хаара на компактной
группе N. По A1.45) и A9.29е) получаем, что
0 - % (I/ П й') = 5 V ((х-1 ({/ П &)) [\ЩЛх^
о
> 5 V((x-1(^п^'))^)N)(^x. A)
Если *€(^Л0П#', то
(х~1(^ПО'))П^ = (х-1^)П^^0,
как легко видеть, и потому подынтегральное выражение
г((гх([/ПО'))П^) в A) положительно на A/Л0П О'. Из A1.27)
следует, что Х(A7Ы)(]О') = 0. Поскольку йаЦаЦЫ, мы
доказали, что X ((///)= Л ([/). Таким образом, (Ш) установлено.]
(Ь) Пусть С—как в (а), и А—любое Я-измеримое
подмножество в О. Тогда существуют такие бэровские множества С
и О, что ЮаАаС и Х(С[)О') = 0. [Предположим сначала, что
Я(Л)<оо. Пусть \Цп\п=1—убывающая последовательность
открытых множеств такая, что Ип^А и НтА,({Ул) = Л,(Л).
Л-* СО

§ 19. Введение в теорию сверток
йт
Используя (а), выберем для каждого п множество Уп вида
{х^О: /(#)>0} для некоторого / ^&(О) так, что УЛг)(/л и
Я A^) = Я ({/„). Пусть С= П Уп- Очевидно, С есть бэровское мно-
жество, Х(С[)А') = 0 и СзЛ. Пусть {И^„}~=1—убывающая
последовательность открытых множеств такая, что И^зС Л Л' и
Ит Х(№п) = 0; пусть Уп—открытое бэровское множество, со-
Л->-СО
держащее И?д такое, что Ь(Уп)=к(№„)\ пусть, наконец, У=
со
= П Уп и 0 = С[)У. Тогда Б есть бэровское множество, а
л=1
соотношения ОсгЛсС и Я(СП0') = 0 очевидны.
Предположим теперь, что А—любое Я-измеримое
подмножество в О. Будучи компактно порожденной, группа О а-ком-
со
пактнаипотомуЛ = II Ап> где {Л^}^—некоторая возрастающая
/г=1
последовательность Я-измеримых множеств конечной Я-меры.
Для каждого п выберем бэровские множества Вп и Сп так,
00
чтобы было Ипс:Апс:Сп и Я(СЛП^П) = 0. Полагаем 0= у Вл
5 Сп]
*=1 ^
и с =
(с) Пусть О—произвольная локально компактная группа,
а А—любое Я-измеримое подмножество в О. Тогда существуют
бэровские множества С и Б такие, что ОаАаС и множество
Сп/3' является локально Я-нулевым. [Пусть Я—компактно
порожденная открытая подгруппа в О E.14) и пусть {хН: х ^ 0}«—
семейство всех различных левых классов смежности группы О
по Я. Мы получим левую меру Хаара на Я, сужая меру Я на
подмножества в Я; каждый класс смежности хН является при
этом копией Я и в смысле топологии и в смысле меры. Таким
образом, для каждого х можно, используя (Ь), выбрать
бэровские множества Ьх и Сх так, что Охс1А(](хН)с:Схс:хН и
Х(Сх(]О'х) = 0. Положим /)= II йх я С = I) Сх. Ясно, что мно-
хеС хеО
жество С П В9 локально Я-нулевое; по построению, множества
С и О—бэровские.]
Замечания. Понятие свертки [французский термин ргойиИ
йе сотрозШоп, немецкий—РаИипд, английский—сопооЫШп]
употребляется и в анализе, и в алгебре. Свертка
зш((п+1/2) (/-*)) ,
2зт1/2(/-х) "

Збб Гл. 5. Свертки и представления групп
была указана в мемуаре Дирихле [1]. Первоначальное
доказательство Вейерштрасса [1] его знаменитой аппроксимационной
теоремы использовало свертку
— 00
Для /€@(#) предел этого выражения при б|0 есть /(х)\
сходимость здесь—равномерная сходимость на компактных
множествах; это же выражение, очевидно, является равномерным
пределом полиномов на каждом компактном подмножестве в 7?.
Доказательство Вейерштрасса аппроксимационной теоремы
сохраняет свою привлекательность, несмотря на то, что с тех
пор было дано много других.
Интегрирование по частям и дифференцирование
определяются в терминах сверток: см., например, Зигмунд [1], том II,
стр. 200—214. В цитированной книге Зигмунда явно
прослеживается центральная роль, которую свертки играют в
классическом гармоническом анализе. Свертки функции
ограниченного изменения на /? [эквивалентно, свертки комплексных
борелевских мер на /?] обсуждались Бохнером [1], §§ 18—21.
Алгебраическая точка зрения в отношении сверток |мер на-/7?
была продемонстрирована в статьях Винера и Питта [1] и
Берлинга [1]. Гельфанд в [1] указал, что 2Х G?) и М(Я) суть
банаховы алгебры, и начал изучение их структуры,
продолжающееся до сегодняшнего дня.
Стоит указать также, что уравнение Винера—Хопфа
00
\К{х—у)у(у)с1у = ч)(х)
о
представляет собой свертку на аддитивной полугруппе [0, оо).
Очень подробный обзор результатов об этом уравнении см.
Крейн [1]. Свертки на [0, оо) рассматривались также Вольтерра
и Пересом [1].
Свертки используются уже многие годы в алгебре и
теории чисел. Для конечной группы О классическая групповая
алгебра [над К] состоит из всех «формальных комплексных
линейных комбинаций» 2а** с покоординатным сложением,
хеО
скалярным умножением и произведением

$ 20. Свертки функций и мер
361
Ясно, что эта алгебра изоморфна М@) [и, очевидно, также
21@)]. Групповая алгебра конечной группы О является
важным инструментом в изучении представлений группы О, как
мы убедимся в § 22, для случая локально компактной группы О.
Историю этой техники см. в замечаниях к гл. III книги
Г. Вейля [3]. Свертки функций на полугруппах, не
являющихся группами, также имеют уже долгую историю. Доблебский
фон Штернек [1] выписал и использовал в теории чисел свертки
функций на {1, 2, 3, ...} относительно умножения. На много
лет позже Лемер [1] использовал те же формулы, а также
формулы сверток, основанные на другой полугрупповой операции
на {1, 2, 3, ...}. ^-алгебры различных полугрупп изучались
также Мунном [1] и Хьюиттом и Цуккерманом [2] — [4].
Решающий шаг в объединении алгебраической и
аналитической линии в развитии теории сверток был сделан Г. Вейлем.
В [2] он определил свертку двух непрерывных почти
периодических функций на % и использовал эту операцию вместе
с теорией интегральных уравнений при установлении основных
фактов о непрерывных почти периодических функциях на #.
Г. Вейль и Петер в [1] определили свертку двух непрерывных
функций на компактной группе Ли О и использовали в точности
ту же технику, что и в работе Г. Вейля [2] при изучении
представлений О. В [4] фон Нейман использовал свертки Г. Вейля
почти периодических функций при построении теории почти
периодических функций на произвольной группе.
Свертки мер в @о@), указанные в A9.6) — A9.12),
определены в несколько другой форме А. Вейлем [4], стр. 57—58;
определение, почти идентичное нашему для @о@), появилось
у А. Картана [2]. Общее определение свертки A9.1) — A9.3)
принадлежит Хьюитту и Цуккерману [2] и [3]. Независимо
несколько отличающаяся формулировка была предложена Буком
[1] и [2].
Конструкция в A9.4) принадлежит Хьюитту и Цуккерману
[4]. Понятия, введенные в A9.13), восходят к Витали и Лебегу
для вещественной прямой: см., например, Лебег [1].
Применимость их к нашему случаю хорошо известна. Теоремы A9.16)—
A9.20) были объявлены в работе Хьюитта [5], стр. 141.
§ 20. Свертки функций и мер
В этом параграфе дается ряд определений и формул,
касающихся сверток. Они представляют интерес сами по себе, но
также существенны при изучении представлений локально
компактных групп. Всюду в этом параграфе О означает некоторую
локально компактную группу.
Начинаем с нескольких технических теорем B0.1) — B0.4).

362
Гл. 5. Свертки и представления групп
B0.1) Теорема. Пусть {—неотрицательная Х-измеримая фу
акция на О и а$C. Тогда а\ и \а Х-измеримы, причем
а а
и
(п) $/вЛ = Д(а-1)$/Л,
о о
Если / есть функция из 2^ (О), то также а[ 6^ (О) и /а 6&1 (О)
и (\) и (и) справедливы для /.
Доказательство. Пусть функция / неотрицательна и Я-изме-
рима, и пусть \а(п)\п^1—возрастающая последовательность
^-измеримых функций, каждая из которых принимает лишь конечное
число значений, такая, что Нт а(п) (х) = / (х) всюду на О. Оче-
П ->¦ со
видно, тогда Нт аа(п)(х) = а[(х) для каждого х^О и потому
Нт $васп)<»,= $в/<й,, Нт \о(п)йХ = $ /Л. Поскольку $ва(п>Л==
п-» со а § п-*ъ с 0 %а
= \ о(п) йХ для каждого я, утверждение A) справедливо. Ввиду
а
A9.17), имеем ^ а^г)Л = А(а~1) ^ о{п) АХ для каждого д. Формула
с а
(и) вытекает из этого равенства, как в доказательстве A).
Для доказательства последнего утверждения заметим
сначала, что если 1(х)=^{*(х) Я-почти всюду, то а[ (х) = а§(х) и
?а(х) = ёа(хУ ^-почти всюду. Представим теперь функцию / как
/х—?2 + Ц?з—/4)> где все ?;€&];{О), и применим предыдущий
случай к этим функциям. []
B0.2) Теорема. Пусть /—некоторая неотрицательная Х-из-
меримая функция на О. Тогда функция /А также Х-измерима,
(!) ^*<1Х = ^\йХ
(Н) ^/Л = [/АтЛ-
Если / (Е 2Х (О), то /А -д- € % (О), (и) выполнено и\\1 ^ = I /А -4-
Доказательство. Рассмотрим сначала Я-нулевое множество Л.
Мы докажем, что тогда и множество Л"—^-нулевое. Для
каждого лг = 1, 2, ... пусть Д^^х^О: -^- < Д(*)< п\.
Достаточно доказать, что множество А~1Г\Оп является ^-нулевым

§ 20. Свертки функций и мёр
363
для каждого п. Выберем е>0 и такое открытое множество V,
содержащее Л, что Я (Ц) < е/п. Очевидно, множество {/^ПД,
открыто и А~1()Опс:Ь'~1[\Вп. Рассмотрим теперь любую
функцию /€@о+о(С), для которой /<&/-* л V Тогда /А<^с/л/>л и
из A5.14) следует, что
< яЯ ({/ П Г>л)< п% ({/)< е.
В силу произвольности / получаем Я((/"~1П1>п)^е и потому
Я(Л~1ПО„)^8. В силу произвольности 8, Я(ЛП^„) = 0,
т. е. множество А~г[\Оп—Я-нулевое.
Рассмотрим теперь Я-измеримое множество Еу для которого
к(Е) < оо. Тогда Е есть объединение борелевского множества В
и Я-нулевого множества Л. Поскольку В—такжеборелевское,
а А—Я-нулевое, то множество Е~1 = В~1[)Л Я-измеримо.
Наконец, рассмотрим произвольное Я-измеримое множество С.
Если Р—компакт, то Р Л С Я-измеримо. По уже доказанному,
и р [) С~х Я-измеримо. Поскольку Р произвольно, из A1.31)
следует Я-измеримость С. Поскольку С Я-измеримо, если
Я-измеримо С, то отсюда прямо следует Я-измеримость /А для
Я-измеримого /.
Докажем теперь (и). Для функции /€@оо@) из теорем
A5.14) и следствия A1.37) вытекает, что \/Л= \/А-д-Л.
о о
Предположим, что §€Ш+@), т.е. @ есть неотрицательная
полунепрерывная снизу функция на О. Тогда по A1.11)
$«гЛ = 8ир/$/А: /€6Ь(С) и /<^ =
= зирЯ/А^Л: /€б&@) и /<*|<$*А-^Л. A)
Заменяя § на §А-г- в A), получаем
!*Атл<К*Ат)Атл=1*л-
Таким образом, получаем \ §"^Я = \ §
А4-<&-
д
о

364
Гл. 5. Свертки и представления групп
Пусть теперь /— произвольная неотрицательная Я-измери-
мая функция на О. Тогда по A1.36) и A1.16) имеем
о \о
и, заменяя / на [А-г в этом неравенстве, также
с? о
Остающиеся утверждения теоремы прямо следуют из (И). ?
B0.3) Замечание. Из теоремы B0.2) не следует, что/* (Е2Х (О),
если /€&1@); см. B0.29 а).
B0.4) Теорема. Пусть / € %р (О) для некоторого р> 1 ^ р < оо.
Для каждого е > 0 найдется такая окрестность V единицы е
в О, что
@ II*/—*/ \\р < в ^ля любых з9 {$C с 8^~1 ^ ^/.
Значит отображение х*-> х} группы О в %Р(С) равномерно
непрерывно справа. Для каждого фиксированного 1^0 и
каждого б >0 существует такая окрестность V единицы е, что
(И) II/,-/* II, < в при 8&У.
Иначе говоря, отображение ^н>/Л группы С в %р F) непрерывно.
Доказательство. Пусть функция ср€©оо@) такова, что ||/ —
— ф|| <е/3 A2.10). Пусть, далее, Р—такое компактное
множество, что ф(/7/) = 0, и пусть №—симметричная
окрестность е с компактным замыканием Ч7~. Пусть, наконец, V —
такая окрестность единицы е, что 1/с:\^ и что из аЪ'^-^Ц
вытекает | ф(а) — ф ф) | < ~Х(^Р)-^р A5.4). Если зГ1^, то
по B0.1) имеем
5 |ф (з*)—Ф ('*) I рAх= 11Ф E*-1*)—ф (х) \р йх=:
о о
5 |фEГ1х) — <р(х)\Рс1х<(е/3)Р;
мр

$ 20. Свертки функций и Мер
365
значит, || ,<р—4ф||/,<8/3. Используя B0.1), A2.6) и A2.7),
получаем
1Ь/-Л,<11^-л>1Ш*ф-*ф1Ш*ф-</11,=
= 2||/-ф||, + ||,Ф-,Ф||/,< 2-! + ! = е.
Тем самым A) доказано.
Чтобы доказать (и), выберем функцию фСЕ^оо (С) так, что
II "Ф—!\\Р< -|"^(^I/р- Пусть 47—симметричная окрестность
единицы е с компактным замыканием 47", причем 47а\х^С:
А(л:)<2^}. Пусть, наконец, Е — такой компакт, чтоя|)(^/) = 0,
а V—такая симметричная окрестность единицы е в О, что
Уа47 и изЬ-га^У вытекает |фF)—ф(а)|<(е/4)Я(,БИ7)-1/рД(<I/р.
Тогда, если з = 1ю, где а 6^, из B0.1) получаем
II Ф,-Ф* II, =II *„-Ф, ||,= а ГхI/р II Ъ-*И,=
= А (Г аI/р Г ^ | я|) (да)-ф (х) \рЛх\1/Р < -I .
Как выше, отсюда следует
I /.-/* \\Р=и 1*-и \\Р<\\ л,-фл н,+и ч^-ф* и,+и ч>*-/*11,=
= А(о-1I/"А(Г1Н/р||/_ф||я + ||фЛ_^||^+Д(Г1)^||1|)-/||;,<
<2~+| + Т = 6- 0
Теперь—наше основное определение:
B0.5) Определение. Пусть ^^М@) и V(ЕЛIа(^), а функция
/€^@), как в A9.18), такова, что йч = [Aк. По A9.18) также
[г#^Л1аF) и ^|А€Л1а@). Пусть [А*/ и /#ц, соответственно
обозначают функции в 2Х(С) такие, что й(\1*у) = (\1*1)с1Х и
й^#[д,) = (/#[х)йА,. Если также \1^Ма@), так что *2|л=^бЕА, для
некоторой ё'ё&ЛО), то мы запишем /*§" функцию из 2Х@)
такую, что ^(г#|л) = (/##)^й. Мы называем (х*/, /*(х и /*б"
свертками.
Мы хотим получить явные представления для [л*/, /#[х и
/*§•, определенных в B0.5), и также обобщить определения
этих функций на классы функций, отличные от ЙХ(С).
Начинаем с двух лемм, которые не представляют самостоятельного
интереса, но совершенно необходимы.
B0.6) Лемма. Пусть X и У—локально компактные хаусдор-
фовы пространства. Пусть ь и т]—меры на X и У
соответственно, построенные в § 11. Предположим, что % есть
непрерывная функция из ХхУ в X такая, что:

Мб Гл. 8. Свертки и представления групп
([) для каждого 1-нулевого борелевского множества ВаХ и
каждого у^У множество ^у^в = {х^Х: т(х, у)^В\ является
ь-нулевым.
Тогда /от есть ьхц-измеримая функция на ХхУ для
каждой ь-измеримой функции } на X.
Доказательство. (I) Покажем сначала, что для 1-нулевого
подмножества Ес:X множество т"^) 1ХТ)-измеримо.
Существует борелевское подмножество ВаХ [в
действительности Об-множество] такое, что Ес:В и I (В) = 0. Рассмотрим
любое компактное подмножество Р в ХхУ и обозначим
множество х~1(В) через В0. Заметим, что множество
В0—борелевское в ХхУ и потому 1Хт)-измеримое, поскольку функция т
непрерывна, а В — борелевское множество. [Семейство
подмножеств А в X таких, что множество т (А) — борелевское,
очевидно, есть а-алгебра, содержащая все открытые множества.]
По теореме Фубини в ее формулировке A3.9) имеем
1ХГ\(Р(]В0)= 5 1рПвАх* У)й1ХЦ(Х, у) =
ХХУ
-5 \Ьг\Во(х> У)с11(х)ак](у). A)
У X
Для каждого у^У множество Л^в является 1-нулевым по A).
Поскольку 1рпве(х> У)^Ъи В{ХУАля любого (х, у)^ХхУ, из
A) следует, что
1ХГ)ОРЛЯ0)<И^ „*(*)*(*)*! ДО =
У X
У
Поскольку 1ХТ]—полная мера и %~1(Е)с:В0, мы доказали, что
Р[)х"х(Е) есть 1Хт]-нулевое множество для любого
компактного РаХхУ. Следовательно, множествоVт-1 (Е) является
1ХТ]-локально нулевым и потому 1Хт]-измеримым по A1.30).
(II) Покажем теперь, что для 1-измеримого подмножества
ЕаХ, 1(Е)<оо, множество %~~1(Е) 1ХТ)-измеримо.
Существует борелевское подмножество В с: X [в
действительности /^-множество] такое, что В с Е и ь(В) = 1(Е).
Поэтому Е = В и Л, где 1(Л) = 0. Тогда т-1E) = т-1(В)иг-1(Л)
есть I х ц-измеримое множество вследствие (I) и того факта,
что множество %~1(В) — борелевское и потому 1ХТ)-измеримое
для любого борелевского множества ВаХ.
(III) Покажем теперь, что для любого 1-измеримого
множества Е а X множество т^) IX^-измеримо.

§20. Свертки функций и мер
367
Пусть Р—любой компакт в X X К. Поскольку функция т
непрерывна, множество С = т(Р) компактно в X. По (II)
множество т (СГ\Е) I х т)-измеримо, поскольку I (СП^)<ь (С)<со.
Очевидное равенство т (Е) П ^ = т" (С П 5) П ^ показывает,
что множество х"г(Е)(]Р 1ХТ)-измеРим0- Это справедливо для
любого компактного подмножества Р с: ХхУ и потому
множество х(Е) 1ХТ]-измеримо по A1.31).
(IV) Наконец, рассмотрим произвольную 1-измеримую
функцию / на X. Если В—борелевское множество комплексных
чисел, то 1{В) является 1-измеримым подмножеством в X и
по III множество х^1([-1(В)) 1Хг)-измеримо в ХхУ. Поскольку
х'1(! (Е))^^ о х)^1(В), а В—произвольное борелевское
множество, мы получаем IX ^-измеримость функции [от. []
B0.7) Следствие. Пусть О—любая локально компактная
группа, X—левая мера Хаара на О, а г\—мера на О,
построенная в § И. Пусть, наконец, /—любая Х-измеримая функция
на О. Тогда следующие функции все Ххц-измеримы на ОхО:
(х, У)^>1{ху), (х, у)^^1(Ху1), (х, у)*->1{х-гу),
A) (х, у)*-+}(ух), (х, у)^^1{у-1х), (х, у)у-^1{ух-1),
(х, у)^->[(уху-1), (х, у)*->[(х), (х, у)ь-^[(х-1);
(И) (х, у)*->[(у), (х, у)^/^-1).
Доказательство. Мы проверим два случая из A), оставляя
остальные читателю. Функция (х, у) н-> / (ху~х) имеет вид /от,
где х(х, у)=ху~1 для (х, у)$СхС. Для любого подмножества
В с: О и у ^ О имеем
{х$С: х(х, у)еВ}=Ву,
поэтому предположение B0.61) следует из A9.17).
Следовательно, функция (х, #)*->/ (ху'1) Я,хт]-измерима по B0.6).
Если т имеет вид х(х, у) = х~1 для (х, у) ^ОхО, то
\х$0: х(х, у)€В} = В-1
для каждого у^О, и предположение B0.61) следует в этом
случае из B0.2). Следовательно, функция (х, у)^->}(х~1) Хху\-
измерима снова по B0.6).
Мы опускаем простую проверку утверждений из (п). []
Докажем теперь общую теорему, лежащую в основе
интегрирования сверток. Она также в достаточной мере техническая.
B0.8) Теорема. Предположим, что 1^/?^оо. Пусть
функция? Х-измерима на О, а отображение т: ОхО—*С есть либо
(х, у)*-*х~1у, либо (х, у)\-^ух"г. Пусть функция Ф | ^-измерима
на 0} причем либо: (а) т)^ М@), либо: (Ь) т|—неотрицательная

368
Гл. 5. Свертки и представления групп
мера из § 11, а функция Ф равна 0 вне некоторого о-компакт-
ного подмножества. Наконец, пусть существует
положительное число у, для которого
0) Ц\^{у)Ф(х)!ох(х9 у)\ауЛ\г\\х<Ы\р'У
с о
для каждого Фб^оо (ОI)- Если 1^/?<оо и функция / равна О
вне некоторого а-компактного множества 5, то интеграл
(и) $ Ф (х) / о х (х, у) Л| (л:) = А (у)
о
существует и конечен для %-почти всех у$0\ И принадлежит
&р@)\ \\Н\\р^у. Если /7 = оо и /€2» @), то интеграл в (и)
существует и конечен для локально %-почти всех у$0\ й^2«, (О);
ЦА||-<Т-
Доказательство. (I) Наш первый шаг—показать, что
функция Н из (и) существует и Я-измерима. Если ц^М@), то
возьмем в качестве § борелевски измеримую функцию такую,
что с1г\={гс1\ц\ и |#|=1 A4.12). Существует сг-компактное
подмножество И с: О такое, что |т||0') = О. Следовательно,
мы можем заменить § на §1-0; иначе говоря, мы можем
предположить, что функция Ф равна 0 вне некоторого сг-компакт-
ного множества. Если г) есть неотрицательная мера, то
положим §(х) = \ для каждого х^О. В этом случае мы
предполагаем, что Ф равна 0 вне некоторого а-компактного множества.
Таким образом, в любом случае мы имеем йт!=#й|г)|, и ёФ
есть | ц (-измеримая функция, равная 0, вне некоторого
а-компактного множества Е.
Пусть я|)—функция из @00@); тогда 1|) равна 0 вне
некоторого компактного множества А$. Предшествующее и B0.7)
показывают, что
(х, у)>-+<1>(у)?ох(х, у)'Ф(х)е(х)
есть |г)|х ^-измеримая функция на ОхО, равная 0 вне
ст-компактного множества. ЕхА^< Соответственно, мы можем
применить A3.10) и получить
55ФШ°*(*> У)Ф(х)8(х)<*У<1\1\Нх) =
а а
= Ц^(у)[ох(х,у)Ф(х)ё(х)<1\ч\(х)Aу. A)
до
х) Напомним наше условие, что Г=оо и ор'=1; см. A2.12).

$ 20. Свертки функций и мер
369
По A3.10), A3.8) и A) интеграл
5фШот(*. у)Ф(х)8(х)A\ч1\(х) =
о
= Ъ(уIТох(х,у)Ф(х)8(х)A\1\\(х) B)
а
существует, конечен для Я-почти всех у^О и определяет
функцию в 21@); также функция
У^*Ч> (У) $ / о т (*, у) Ф (х)§ (х) а| т| | (х)
с
Я-измерима. Для у^О полагаем
Ь{у) = \1ох{хуу)Ф{х)ё{х)A\ч\{х), C)
о
если интеграл существует и Н(у) = 0 в противном случае, как
указано в сноске к стр. 200. Предыдущее показывает, что
функция г|)/1 Я-измерима для любой функции (ф€©оо(^) и по
теореме A1.42) сама функция к Я-измерима.
(II) Покажем теперь, что к€%р@) при 1^/?<оо и что
функция / равна 0 вне а-компактного множества 5. Пусть
В = 8ЕУ если х(х, у)=х~1у и В = Е8 при х(ху у)=^ух~1;
очевидно, множество В сг-компактно. Следовательно,
существует последовательность {г|?/г}~=1 в @^0(О) такая, что ^в = Нтг|)Л
Я-почти всюду и г|)Л (О) с [0, 1] для каждого я. В силу B)
получаем, что
Н(у) = ПтЪп(уIТох(х,у)Ф(х)8{х)й\1\\(х)
Я-* со 0
существует и конечно для Я-почти всех у^В. Заметим теперь,
что Н(у) = 0 для каждого у^В'. Действительно, если к(у)Ф0,
то /от(л:, у)Ф(х)§(х) отлично от 0 для некоторого х^О,
Поэтому х^Е и либо х"гу, либо ух принадлежат 5 в
зависимости от выбора т. В любом случае у^В. Поскольку
множество В сг-компактно, имеем
^ \к(у)\Р <1у = &ир {\\к(у)\рйу\ Р компактно, Р а о\ .
По A) и A) получаем
\ь{у)^{у)Лу
Ыр>Ч
для любого ^6^00@) и, по теоремам A2.14) и A2.13), к^2 (О)
и||Л||,<т-

370
Гл. 5. Свертки и представления групп
(III) Наконец, рассмотрим случай, когда р = оо и /€&оо@).
Пусть N—множество всех у ^ О, для которых интеграл
]/от (л:, у) Ф (х) § (х) й | ц \ (х) не существует в смысле конечного
о
числа. Предположим, что существует компакт Р такой, что
Ч#ПЛ>0. Выберем Ц€^0(О) так, что ^(Р) = \Ц, Тогда
интегралы в B) не существуют в смысле конечных чисел для
этого г|) и у€М[)Р, что противоречит нашим предположениям.
Следовательно, множество N локально Я-нулевое, и C)
выполнено локально А,-почти всюду.
Если {у€6- \Ь(у)\>у\ не является локально Я-нулевым,
то множество {у^О: |Л(#)|>Р} не является локально
^-нулевым и для некоторого р > у. Поэтому {у € О: | Н (у) | > Р}
содержит компактное множество Р с к(Р)>0. Выберем открытое
множество I] так, что Р с V и X ([/ Г) Р') < -—^Х(Р)9 и
выберем Ч>6@ов(С) так' что гИ/7):==1' *(У') = 0и 1|)(О)с[0, 1].
Тогда, по @ и A3.10) имеем
1|ф]|1Т=т$ \Ъ(у)\Aу<уЬ(Щ = уЧП+уЬ(ипп<
V
<уХ(Р) + ф-у)Х(Р)^Х(Р)^^\^(у)Н(у)\с1у^
с
<^\?ох(х>У>>ф(х)>У(У)\с1Ы(х)Aу=:
00
= Ц\Ц(у)Ф(х){ог(х, у)\йуА\ч\{х).
о о
Это противоречит A). []
С помощью B0.8) мы можем теперь явно выписать
функции [г*/, /#|х и /*§", определенные в B0.5).
B0.9) Теорема. Для мер \л ^ М (О) и у^Ма (С) таких, что
(IV = / йХ для / ^&! (О), ижеж
A) |1*/ (#) = 5 !(у~гх)A^ (у) для Х-почти всех х^Оу
о
(и) /*{х (х) = ^ А(у1)[(ху^1)A\1(у) для Х-почти всех х^С.
о
Доказательство. Для любой функции 1|>(:@оо@) A9.10)
показывает, что
$1^1*** = $ \^{ху)!(у)йуй\1(х).
о оо

§ 20. Свертки функций и Мёр 371
Используя B0.1), имеем
5 ¦ (ху) Т(у)Aу=1х № (У)х^[ (У)] Лу = $ * (У) / (хг*у) Лу
0 0 О
для любого х^О. Таким образом,
$яМ|А^=$$фШ С**/) <^ц (*)• (!)
с ос
Применим теперь B0.8) с р = 1. Заметим, что функция /
равна нулю вне некоторого а-компактного множества, в
действительности— вне некоторой открытой а-компактной
подгруппы. Пусть %(х,у) = х-1у, Ф=1, Т1 = [х и 7НМНМ1.
Для любой функции ^^®оо(С) имеем
И|*(у)^(^1«')|^й1»11(х)<||+11-51и-*/мн м=
=н+||.илииии^и+н.мм^и. B)
Следовательно, по B0.8), функция Н(у) = \ [ (ху) с1\1 (х) при-
надлежит 2Х(С). Более того, используя A), B) и A3.8),
получаем
$#Л = $$яКу)/(*-^)Ф(*)Ф =
О 0 0
=5 5 ф (у) / (*~ V) 4у ф (*)=5 ¦ ф * V=$ #. * / л
ос? ос
дляЦГвсех +€®оо(С). Теорема A2.13) показывает, что
|| |х*/—А-1]д = 0, откуда и следует A).
Для проверки (п) пусть т(*, у)=ух~1, Ф = Д-1, г) = |ы и
У= II ^||-|| Ц ||. Тогда для любого ^б^ооСО) имеем
11\*{у)Ь-Чх)Т{ухг1)\AуA\11\(х) =
00
О О
о с
= $||*11»||/(у)|^й||*|(х)=||Ч'||.||пи1||*||=
Далее рассуждаем, как выше. [|

372
Гл. 5. Свертки и представления групп
B0.10) Теорема. Для любых /, §^^1@) имеем:
A) 1*&(х) = [Цу)ц[у-гх)йу,
в
(И) 1*ё{х) = $ / (ху)8(У~\Aу,
о
О») Г»е(х) = 1ь(у-1I(ху-1)8(уLу.
в
(IV) /•*(*) = $ АОг'ШзГ1)^*)^;
О
каждое равенство справедливо для Х-почти всех х^О.
Доказательство. Равенства A) и A11) прямо следуют из B0.9)
и определения /#§\ Чтобы доказать (п), пишем
$Ш*0г1*)^=5 !{у)ёк{х~ху)<1у =
о а
= 5 *-* и/ (у) ^А (^)] ^=5! ш ё (у1) Ау*
о о
Чтобы доказать (IV), запишем
§^)Н*у-1)8(У)<1у = §-щ1А(УХ-1)8(У)<1у =
о о
= М^1)^[ц^!А{у)8х(У)]х^У = ^(У~1)}(У-1)8(УХ)ЛУ-
о о
Можно было бы получить A1)—(IV) из A) только применением
B0.1) и B0.2).
B0.11) Замечание. Свертки функций и сдвигов связаны
следующими равенствами, в которых / и § суть ^-измеримые
функции, а а и х—элементы группы О:
0) и)*8(х) = 1*8(<*х)=а(Т*8)(х),
(И) /*Ы(*)=/*#(*я) = (/*$)*(*).
№ Aа)*8(х)=&(а-1)?*(а8)(х)-
Каждое из этих равенств означает, что если один из
интегралов существует и конечен, то существуют и конечны все
другие. Эти равенства следуют прямо из B0.1).
Формулы сверток B0.91) и B0.9Н) для (г 6 Л* (О) и ?€%г(С)
могут быть распространены на /^Й^(О) A<р^оо).
Следующие две теоремы показывают, как это сделать. [См. также т. 2,
Добавление к т. 1.]

§ 20. Свертки функций и мер
373
B0.12) Теорема. Пусть /—функция на О, принадлежащая
%р(С) A</?<оо), и \1—мера из М(С). Тогда интеграл
0) 1Т(у-гх)A1*>(у) = р*1(х)
а
существует и конечен для каждого х^ОлЛГ, где N является
Х-ну левым, если 1^р<оо, и является локально Х-нулевым, если
р = оо. Определяя \х*[ (х) = 0, если оно не определено по (г),
получаем функцию из &Р(С), для которой
(И) Н(*»Л1„<1Ы1-1Ш1„-
Доказательство. Применяем лемму B0.8). Если р конечно,
то функция / равна 0 вне некоторого а-компактного
множества. Пусть %{х, у)=х~1у, Ф=1, т] = (х и 7 = 111^11 "II/II я- Если
'Фб^ооСО)» то, по неравенству Гельдера,
\\[(х-1у)Ъ(у)\Лу<\\х->!\\РШР> = \\!\\Р\т\р>.
о
Поэтому
о о
<ПЛ1ЛЧ>11^Ы(*) = 114>Ы1ПиЫ1.
в
Теперь теорема следует из B0.8). []
Для сверток /*|х с /6^@) наши результаты менее
элегантны, чем для [л*/. Это отличие является следствием
различия между левой и правой мерами Хаара.
B0.13) Теорема. Пусть [х.^Ж(О), и предположим, что
\ А (у)' г/р'с11 [х | (у) конечно, где 1 < р ^ оо и р' = ~— Г = ос,
о
оо' = 1 и — = 0 . Пусть, наконец, / ^ %р (О). Тогда интеграл
(I) $ А (Г1)/(^"^Ф (У) = /•!*(*)
о
существует и конечен для каждого х^C()М', где мнооюество N
является Х-нулевым при 1 ^ р < оо и локально Х-ну левым при
р = оо. Соотношение (\) определяет функцию из %рF), для ко-
торой
00 11/*М1,<ШЛд@)'1/р'**1Н@)-
о

374
Гл. 6. Свертки и представления групп
Доказательство. Чтобы применить B0.8), пусть т (х, у)=ух~1,
Ф^Д-1, ц = [1 я 7 = 11/II/Л д (У)~1/р'Л\\*>\ (у). Рассмотрим любую
а
функцию ^б^оо (О)- По неравенству Гельдера A2.4п) и
теореме B0.1) имеем
о
Следовательно,
^\^(у)^1(хI(ух^)\йУа\11\(х)^:
о о
о
=Ыр'\\Пр^(х)-1/р'^\(х). и
а
B0.14) Следствие. Пусть /6^@) и #€&Л0)A </7<°°)-
Интеграл
A) 1*8(х) = ^[{ху)§(у~1)с1у = 11(у)8(у-1х)Aу
а о
существует и конечен для каждого x^^(]N\ где множество N
является Х-нулевым при р < оо и локально Х-нулевым при р = оо.
Функция (*§ принадлежит &р@) и
(П) 11/»*1|,<|1Ш1*11,.
Если }€%РF) " &.~1/р'§€%1F)> то интеграл
(Ш) /•*(*) = $Д($Г1)/(*ЗГ1)*(у)<*У =
в
= и(ху)ё(у-1Lу = 1 !(у)ё(У~1х)с1у
О О
существует и конечен для каждого х^О Л#', где N—такое же>
как выше. Функция /*§* принадлежит &р@) и
(™)\\!*§\\Р<\\н\Р\\ь-1/р,ё\\1-
Доказательство. Утверждение для /6^@) и §€ &р@) прямо
следует из B0.12).
Для /6^@) и &-1/р'ё€%1{0) применим B0.8). [Заметим,
что если ^б&Лб), то мы можем просто применить B0.13)
с й\1=§A1.] Пусть т(лг, у)=ух~1, Ф^^А-1^, ц = Х и у =
= ||/||^||А/р'^||1. Заметим, что Ф есть ^-измеримая функция,
равная 0 вне некоторого а-компактного множества. Вычис-

$ 20. Свертки функций и мер
375
ления, подобные проведенным в B0.13), показывают, что
\1\Ъ(у)/±-1(х)§(х)Г(ух-1)\с1уах^\Ш\Р>\\Г\\Р\\Ь-ир'ё\\1
а о
при Ч>€$оо(С).а
Теоремы B0.12) и B0.13) естественно приводят к следующему
результату, выражающему свойство непрерывности
отображений /ь->[х*/ и /ь->/#}х при /€2^@).
B0.15) Теорема. Пусть [^р@), 1</?<оо, и
&—положительное число. Существует такая окрестность I) единицы е в О,
что:
для любой меры [х € М+ (С) такой, что (х (О) = 1 ^ (х (С/') = 0.
Существует также такая окрестность V единицы е, что
(») ||/<Ф-/|1,<в
для любой меры \1^М+@) такой, что \1@) = 1 и |ш (У) = 0.
Доказательство. По B0.12) имеем |х#/ ^2^@). Пусть
V—окрестность единицы е в О такая, что И*/-*/—/||/,<е/2 при у^Ц
B0.4). Тогда, если 1]>(Е®оо(С) и |х(^/') = 0» функция (х, у)*-+
•—Ч/ЧУ"*)—/(*)!• 1Ф(*)| удовлетворяет условиям теоремы A3.10).
Поэтому
$||**/(*)-/(*)||Ф(*)|<1*=
^(Х)\йхг
^\и(У'^)^{у)-и(х)^(У)
О I V V
< ИI Ну1*)-! (*) | Ф (у) \*(х)\<ы=
о и
= \\\1 (У-1*)-? (*) | Ц> (х) | Л: ф (у) <
<$|1*-'/-ЛШ11^(у)<т1!Ф11,'-
с/
Теорема A2.13) дает нам Ц^*/—/||я<е.
Чтобы доказать A1), предположим, что V—такая
окрестность единицы е в С, что \\\\\р\ А (у1) — 11 < е/2 при у ^У и
А(У*I|^-«-/!1я<е/2 при у^. Тогда, если |х€Л+(С),
М,(О) = 1 и |г(У')=0, то
||/У1-Уд(Г^)ф(у)к^||/||я|1-А(Г^|^(у)<|. A)

376
Гл. 5. Свертки и представления групп
Для 1|) (=@00 (О) имеем
$\Т*11(х)-Aь(у-*)Aр(у))Г(х)
1|) (X) | АХ =
= Я 5 (/ (*Гг)-1 (х))А (У") Ф (^ 11 * (*) I ^ <
е I V I
< И I / (*У'1)-Т (х) I А (У'1) Ф (У) IФ (*) I <** =
V С
<
1|Ф|1я^||/^1-/|1И(У)^(У)<т11*1^-
Из теоремы A2.13) следует, что
Объединяя A) и B), получаем (и). []
^ 2 *
B)
B0.16) Теорема. Пусть р—вещественное число, 1 < р < оо,
ар'^-—-. Если /б 2^@) а б"А €^/@), /яо интеграл
(О \1{ху)§{у-1)Aу^!^ё{х)
о
существует для каждого х^О и определяет функцию из &0@).
Если /(:&х@) и §^&оо@)у то интеграл (\) существует для
каждого х^О и определяет функцию в ©^(СI). Если /^2^@)
и ёк^г{0)у то интеграл A) существует для каждого х^О и
определяет функцию из ©^(ОI).
Доказательство. Предположим сначала, что /^2^@) и
§А €2у (С), 1 < р < оо. Согласно неравенству Гельдера A2.4п),
имеем
51 / ш § (у-1) I йу < у ь и ^А н^=и / и, и §А \\р>
с
для каждого х^О. Значит, /*§"(*) существует и конечно для
каждого х^О и имеем ||/*б"||й<||/ \\Р\\ёА \\Р" Применяя
неравенство Гельдера еще раз, получаем
|/*яE)-/*я@К11,/-*Л1,11^11,-
!) Определения <&ш@) и ©Г9@) см. в A9.23Б),

§ 20. Свертки функций и Мёр
37?
для любых з, 1^0. Из B0.41) следует, что функция /*§•
равномерно непрерывна справа. Если }(Е') = 0 и §(р') = 0, где
Е и У7—подмножества в О, то / *§((ЕР)')=0. Значит, если / и §
равны 0 вне компактных подмножеств в О, то /г*^6©оо(^)-
В противном случае пусть \}п\п=1 и {§п\п=1 суть
последовательности функций в 600 (С) такие, что Ит||/Л—/||я = 0 и
Нт ||^_ёгАЦ о A2.10). Тогда
||/»*г« — /*$||«<1|/»*&.— !п*8\\и + \\!п*8—!»ё\\и<
<Шг\\8*-еЧг+У«-Пг\\8Чр~
Следовательно,
Я -* со
и /*§" соответственно принадлежит ©0(О).
Если /6^@) и г €2* (О), то интеграл $ / (ху)§(у1)с1у9
а
очевидно, существует1) и конечен для каждого х^О. При
5, 1^0 имеем:
1/*г(*)-/»г@К$|/(^)-/(^)|1г(г1)|^<
<Н«/-*/1ШН-
Согласно B0.41), функция /*§* равномерно непрерывна справа.
Если /62^@) и ^^^(О), то из B0.1) получаем:
!*8(х) = \1{ху)§{у-1)с1у=1!(у)8(у-1х)Aу =
о о
= $/(*-« (8*))Л.
Как в предыдущем абзаце, видим, что |/*&(з)—/*§"@ |
произвольно мало, если 8~г1 лежит в достаточно малой окрестности
единицы. Поэтому отображение /*# равномерно непрерывно
слева. []
B0.17) Следствие. Пусть А и В—Х-измеримые подмножества
в О такие, что 0<Я(Л)<оо и 0 < %{В~г) < оо. Функ-
ция х\-^гк{А[\(хВ~1)) принадлежит @^@) и не равна нулю.
х) Заметим, что для ^#то (О) имеем ^А (=%„((}) и || $А ||«. = || ЙГ Ц». Это
следует из того, что Х(Г) — 0 тогда и только тогда, когда Л^-1) —0 для
компактных подмножеств В с: О [используем B0.2)].

378 Гл. 8. Свертки и представления групп
Множество АВ содержит непустое открытое подмножество,
а множество А (Л-1) содержит окрестность единицы.
Доказательство. Функции |л, и 1в = Ъв-1 обе принадлежат
%р@) при 1</?<оо. Применяя B0.16) с р = р' = 2, скажем,
находим, что ^л *ёд €@о(C). Значение 1л*^в(*) совпадает
с Х(А П(хВ-1)). Также ясно, что ?Л*Ь = ° ПРИ х^(АВ)'.
Наконец, используя A3.9), имеем
5 1а * Ъв (х) их = 5$ 1А (ху) Б*-! {у) йуйх =
О 0 0
= 1\Ьл(ху)<ЬсЬв->(У)<1у =
о о
= ЦА)\Ь(у-1)Ъв-1(у)с1у = к(А)Ь(В)>0.
о
Следовательно, %а*Ъв положительна на множестве положи»
тельной Я-меры и поэтому положительна на некотором открытом
подмножестве в АВ. Поскольку Я(Л_1)=\ -т-^>0, легко видеть,
А
что А содержит компактное множество Е такое, что К (Е) и
Я (Е') положительны. Имеем также ^* 1л-1 (е) = ^(Е)> 0, так что
Е (Е'1) и А (А) содержат окрестности единицы. []
Утверждение в B0.17) может не выполняться при ^(Л)~оо.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим группу 0 = ]?*/^ и
множество А = {0} X Ка- Тогда множество А—локально-нулевое
ненулевое Я-измеримое подмножество в О, так что А,(Л) = оо.
Однако множество АА~1 = А не содержит никакой окрестности
точки (б, 0).
Могут быть получены и другие результаты в направлении
B0.14) и B0.16).
B0.18) Теорема. Пусть р и <7—вещественные числа, \<р< оо,
1<<7<оо и 1+1 >1; пусть г = р+^рд9 так что \ + \ —
=1. Пусть, наконец, / и #—%-измеримые функции ^на О
такие, что!^р{0),ё^д@), ёА€%д(С) и Ця11*=1|*А|1*. Тогда
для %-почти всех х^О интеграл
@ !*ё{х) = \}{ху)8(у-г)<1у
о
существует и конечен. Функция /*# принадлежит %гFI),
и имеет место неравенство:
(И) 11/»г11г<11ЛИ1г|1,.
г) Заметим, что всегда г > 1.

$ 20. Свертки функций и мер
379
Доказательство. Функции / и § равны 0 вне некоторых
G-компактных множеств. Тогда
1\!Шё(у^)\ау =
о
= 5 (I / С^) 1^Iёг(^/-1) ИI/г1 / (^) !г-р/г Iйг С^/-1) |1-^^. A)
Согласно B0.14), функция */«-»|/ (ХУ)\Р\§(У~1) I* принадлежит
2Х@) для ^-почти всех х^О. Для всех таких л; применим A2.5)
к правой части A) сп = 3, а1 = 1/г, а2 = 1 —1/<7 и а3 = 1— 1/р.
Это нам дает
$1/(*у)*йг1)|#<
д-1 р-1
B)
поскольку П— у)(тзт)==Р и М—^Д-Ау1==^.
Следовательно, 1*&(х) существует и конечно для А,-почти всех х^О,
Покажем теперь, что функция /*^ действительно Я-измерима.
Мы можем, как обычно, предположить, что обе функции
неотрицательны. Тогда существует возрастающая
последовательность \!п\п=1 неотрицательных функций такая, что Нт /я (х) = / (х)
для любого х^О, а каждое /„ есть конечная линейная
комбинация характеристических функций Я-измеримых множеств
конечной меры. Аналогично, § есть предел возрастающей
последовательности \§п}п=1 таких функций. Каждая из функций
}п*ёп принадлежит ©^@) по B0.16). Теорема о монотонной
сходимости дает / *§ (х) = Нт ?п *§п (х) для любого х € О, так что
П-+ СО
функция /*^ Я-измерима.
Перепишем теперь B) в виде
Aо\!(ху)8(Г1)\^Г
<
<11Л|Г' "-Ш?"" 1I\!Ш\"\д(у-1)\"ау. C)
Легко проверить, что предположения теоремы A3.9) выполнены
для функции (х, у)•->11(х, у)\Р\§{у'1)\"; см. B0.7). Поэтому

380
Гл. 5. Свертки и представления групп
имеем
И|/(^I|,1г(»I^^=
о о
= Ц\!(ху)\рах\е{у-1)\чау=
О С
= ^(у-1)\\П\рР\§(у-1)\^у-\\!\\рР\\8\\1- D)
о
Равенства D) показывают, что мы можем проинтегрировать
обе части неравенства C) по х над группой О и получить
неравенства
1\[*8(х)Ых^и1\[(ху)§(у-*)\с1у\с1х^
а о\о )
<н/С я нвгнГ р •
Извлекая корень г-й степени из обеих частей, получаем
\\1*ё\\г<\\ПРи\\гЪ
B0.19) Краткая сводка формул для сверток. Для удобства
записи соотношений, включающих свертки, введем некоторые
сокращенные обозначения. Если ЭД есть множество функций
на О, то через 31А обозначим множество {/А: /^ 21}. Если
91 и 33—множества функций на С, то 31*33 обозначает
множество {/*§: /691» #6ЯЗ}- Если Ъ и ^—подмножества из
Ж (О), то 0*Е, /)#31 и 31*/) определяются аналогично.
Объединим B0.12), B0.14) и B0.16) следующим образом:
A) М (О) *%р (О) ей, (С) при 1<р<оо;
(и) 21@)*й/?@)сй/?@) при 1<р<оо;
(М1) й^(е)»(й^(°))А<ео@) при1</7<оо;
(IV) %ЛС)*К@)^®га(СУ,
{У)^@)^г@))Ас:%я{0).
Доказательство B0.18) показывает, что предположение || йГ ||^=
==|1^А1|^ не применялось при доказательстве включения
/*ё"б2г@). Ввиду этого, имеем также:
(VI) &,@)*№,(а)п@,@))*]с:Яг(а) при |+1>1 И
1 + 1-1=1.
Р Я г
Как мы видели в B0.13) и B0.14), нельзя, вообще говоря,
утверждать, что 2, (С) * М @) = &р (С) и $р (О)* Й^О) сгй^ (О).

# 20. Свертки функций и мер
381
Однако, если группа О унимодулярна, это верно. Более того,
в этом случае A11) и (VI) могут быть записаны в виде
&р(С)*Ър,(О)с:Ъ0(О) и йя@)#2^(С)с2Ле)[у + |-|=1].
Включения (IV), (V) и (и) при 1^/?<оо в действительности
являются равенствами. См. том 2, C2.45).
B0.20) Обсуждение. Алгебра М@) допускает операцию
сопряжения, см. теоремы B1.6) и (С.27), которая очень полезна
при установлении свойств алгебр М(О) и ^(О). Чтобы
понять, какой должна быть эта операция, рассмотрим
отображение /|—>|ы*/ алгебры 22@) в себя для фиксированной меры
\х^М@). Пусть Гц/^!!*/. Тогда, как показывает B0.12),
Тц есть ограниченный линейный оператор, || Гц, II ^11 И-II»
переводящий 22 (О) в 22@). Как и любой ограниченный линейный
оператор на банаховом пространстве, Т^ допускает операцию
сопряжения (Т^У^Т^ [см. (В.53)]. Поскольку 22 (О)
—гильбертово пространство A2.8), имеем для любых /, ^22@)
т. е.
5 [х*/{хI*Щс1х= $ /(х) ТЦе(х)ах,
или
5 / (х) т;§{х) <&= 5 $ / {у-гх) ар (у)ё(х) ах.
а а
Используя A3.10) и B0.1), что допустимо [хотя в данном
случае наше рассуждение носит чисто эвристический характер,
и наша задача—угадать форму оператора 7^], имеем
5 5 / (у-Ъ) ф (у)$(*)<&=$$/ (У~гх)§ (х) ахф, (у) =
о о
5 \!{х)ё{ух)аха\ь{у)^
о о
\!{х)\§{ух)а\1{у)ах =
а а о о
= \!{х)\ё{ух)а\х{у)ах.
о о
Комбинируя эти вычисления, видим, что оператор 7^ должен
быть преобразованием 22@) в себя таким, что
(I) Т»ё{х) = \ё{ух)а^{у).

382
Гл. 5. Свертки и представления групп
Мы покажем, что в действительности Т# есть операция свертки;
иначе говоря, Т^,& — 1*>~*8 для некоторой меры ^Г € М(О).
Переходим теперь к формальному определению, которое удобно
формулировать в терминах линейных функционалов.
B0.21) Определение. Для любого Ь^&ЦО) пусть V есть
функционал на &0@)> определенный формулой V (ф) =Ь(у±).
B0.22) Теорема. Функционал V обладает следующими свой-
ствами [для любых Ь, М^^*0@)]:
(\) V ограничен и линеен на @0@);
(и) (аЬ + $Му =аГ +$М~ при а, р€#;
(Ш) Ь~~=Ь;
(IV) (Ь*МУ = М~*Ь~\
(V) |1Г| = |^Г;
(VI) ||^|| = ||^||.
Доказательство. Утверждения A), (и), A11) и (VI) совсем
просты, и мы опускаем их доказательства. Чтобы доказать (IV),
возьмем меры |х и V из М@), представляющие Ь и М
соответственно. Тогда для любого ф^К0(С) имеем:
(Ь * ЛГ)~ (<р) = $ $ фа (ху) (IV (у) Л\1 (х) =
о в
= 11^(у-1х-1)^(у)A11(х) = 11ц>(у-1х'1)с11х(х)с1у(у) 0)
О в 00
[последнее равенство следует из A4.25)]. Из B0.21) легко
получаем
V (г))) = 5 1|)± (х) ф, (х) = 5 ф (л:-1) ф (х) при ф €@о (О)-
Таким образом,
М~*Г (ф) = $ {Ь~ (уФ))А ^ (у) = $ /Г („-'Ф) А> (у):
= 1^(У1х^)йМх)^(у). B)
с о
Равенство (IV) следует прямо из A) и B).
Докажем теперь (V). Согласно A4.5) и B0.21), если ф ^О^(О),
то
|^"|(ф) = зир{|/.(фА)|: ^€©„@), Ц>|<ф}-

§ 20. Свертки функции и мер
383
Если функция ^(^(О) такова, что | 'ф I ^^ Ф» т0 1^1 = 1^1^
<ФА, и потому | Ь СФА) К | Ь | (фА) = | Ь Г (ф) [заметим, что
Ф неотрицательна, и число |/,|(ф±) также неотрицательно].
Следовательно, |/ГК|1|~ на К+(С). Таким образом,
так что |1|~=|/Г| на ©о* (О); отсюда следует, что |/,|~ = |/,~|
и на 6в@). П
Если ^ 6 ®о (О) и мера [х ^ М (О) представляет I, то мы будем
записывать меру, представляющую 1Г, через (х~.
B0.23) Теорема. Пусть Ь€&1@) и \*>—мера из Ж (О),
представляющая Ь. Тогда:
([) подмножество А с: С ||х~ \-измеримо тогда и только
тогда, когда \\х\-измеримо множество А, и в этом случае
р~(А)=]ЦА=*)и ||г-|И) = 1|*1М);
(II) функция / принадлежит 2Х(С, ||х |) тогда и только
тогда, когда /А принадлежит ^@, ||х|), и в зтсш случае
(III) для каждого /^2^@), 1^р^оо, ижеел*
|Г */(*) = $/(ух) Л|г(#),
G
причем интеграл конечен при х ^ О Г) ЛГ, где множество N—Я-ш/-
левое, если 1 ^р < оо, и локально Х-ну левое, если р = оо, и
представляет функцию из 2^@);
(IV) если \1^Ма (О), так что й\л =#йХ с некоторым §€%1 (О),
то также |л~ ^Ма@) и ф"'=8,А-д-Л1).
Доказательство. Чтобы доказать A), рассмотрим сначала
произвольное открытое подмножество VаО. Легко видеть,
что существует возрастающая последовательность |ф„}^=1
функций из @+0@) такая, что Нт Фй = ^» гДе АсЦ и ||л~|({/ П Л') = 0.
Л -* СО
Аналогично, существует возрастающая последовательность
{ФЛл-1 функций из Щ0@) такая, что ^п\^п = 1в, где ВсУ
/г -> со
и ||л|([/"П5,) = 0. Для каждого п=1, 2,... пусть сол =
= тах(фл,,фА); тогда Игл ©„ = ^1A "'[-почти всюду иНтю* = 5с/-*
\\1\-почти всюду. По теореме о мажорированной сходимости
*) Через #~ обозначена функция ^А—-.

384
Г л, 3. Свертки и представления групй
A4.23) получаем
1А~((/) = Нт ^юлф,~=Нт ^ю*ф =
= Нт ^ со* ф, ==(!((/-1).
Аддитивность мер [д, и [х~ показывает, что ^ (Е) = [1(Е~1) лля
любого замкнутого подмножества ЕаО. Из A4.15) получаем,
что ||г|E~1) = 0 при ||а'~ |(Я) = 0. Любое \р~ (-измеримое
множество А может быть записано в виде А = ( [) рЛ II В, где
{Рп}п=1—возрастающая последовательность компактных
множеств, а В—множество |^~|-меры 0, не пересекающееся
00
с II рп. Тогда
/1=1
|х~(Л) = Шп|Г (/?„)= Пт11^-1) + (АE-1) =
:»*((лу1/7*1)ив"'1)=|г(Л)"
Следовательно, множество Л- \\х (-измеримо, и A) выполнено.
Если |[х (-измеримо множество Л, то, используя равенства
(А~1)~1 = А и [х = |л, получаем, что множество Л )|х~ [-измеримо.
Чтобы доказать (иI), рассмотрим сначала функцию
т
<*= 2 «/&!/» A)
где ау^/С и А]^<М\^~\. Используя A), имеем
5 т ТП г»
ойр~ = 2 «/!*"' D/) = 2 сма ИГ1)= 3 аА Ф-
Если / €&!((?, ||*~|)» то существует последовательность
функций {ал}д=1, каждый элемент которой имеет вид A), такая,
что Пт ап(у)=/(у) и \аг (у)\<* |<га (#)|<.. -<|/(у)| для любого
П~> СО
у€б2)- Мажорированная сходимость дает
Пт ^ впй\1~ = } /фЛ;
х) Соотношение A1) очевидно при }^(&о@): оно сводится к определению
меры ц~. Как и теорема A9.10), однако, (и) не вполне очевидно для тех
широких классов функций, для которых сформулирована теорема.
2) Записываем / = /1—/2 + *(/з—/4) с вещественными /у и пип (/1э /2) =
= гшп (/3, /4) = 0- Затем применяем конструкцию A1.36) к каждому /у.

$ 20. Свертки функций и мер
385
по предыдущему
о о
Далее,
$|стяИ||1"| = $|ая[а|^Г=$|а^М|ц|.
о о с
По теореме о монотонной сходимости функция Пт|<т^|= |/А|
принадлежит 21@, )|х|), так что по теореме о
мажорированной сходимости
Нт ^ о* ф= з !А ф.
л->оо 0 а
Поэтому (и) справедливо при /б2х@, ||х~1)- Если /А ^
(ЕЙ^О, |(л|), то / = /** принадлежит 2х@, |и<~|)> поскольку
[х = [г. Таким образом, (И) доказано.
Утверждение A11) следует прямо из (и) и B0.12).
Чтобы доказать (IV), используем A4.17). Как обычно,
функцию § выберем борелевски измеримой. Для любой функции
€/1®о((?) имеем
О О в
О О
По A4.17) это и доказывает (IV). []
Удобно выписать сейчас некоторые дальнейшие
алгебраические свойства алгебр М@) и Ма@).
B0.24) Теорема. Следующие условия эквивалентны:
(\) группа О абелева;
(и) алгебра М@) коммутативна;
A11) существует такая коммутативная ^-подполугруппа
АаМ@), что для любого непустого открытого подмножества
VаО найдется мера \1 ^ Л+, для которой (х (V) = 1 и \1 (V) ^О1).
Доказательство. Эквивалентность A) и A1) следует из A9.6).
Очевидно, что из (и) следует A11).
Предположим теперь, что группа С неабелева, т. е. асфса
для некоторых а, с^д. Элементарные соображения
непрерывности показывают, что существует симметричная окрестность V
х) Например, подмножеством А может быть алгебра Ма (О).
13 э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

386
Гл. 5. Свертки и представления групп
единицы е такая, что
(УсаУ)П(УаУс) = 0. A)
Пусть А—любая «-подполугруппа алгебры М{0) такая, что
для любого непустого открытого подмножества ОаС найдется
мера \1^А + , для которой [г([/)=1 и \1A1')=0. Выберем
окрестность Уг единицы так, что У^аУ. Выберем, далее,
у$А+ так, что V (с~ 11/1) = 1 и V ((с~1У1)') = 0. Обозначим 5^)
носитель меры V A1.25). Очевидно, 5^)сс~1У; пусть
Ь—любой элемент из 8(у)~1с:Ус. Найдем теперь симметричную
окрестность №$е такую, что №с:У и а~1№ас:У. Наконец,
выберем 11$А+ так, что |х(№а&) = 1 и |х ((№аЬ)') = 0.
Покажем, что \1*у(аУ)фу*\1(аУ); это будет
противоречить (Ш) и покажет тем самым, что из (Ш) следует A).
По A9.11) имеем
(х * V (аУ) = $ V (х~гаУ) ф (л;) =
а
= $ \(х~1аУ)й\к(х).
Если х^УРаЬ, то х€№аЬ = аа~1№аЬс:аУЬ, так что Ь~1^х~1аУ.
Другими словами, открытое множество х~хаУ пересекает 5^),
так что ч(х~гаУ) > 0. Следовательно, [д,^(аУ)>0. Мы
закончим доказательство, если покажем, что ух\1(аУ) = 0. Имеем
у*\л(аУ)~ \ \1(х^1аУ)^(х). Если х^схУ, то х~х^Ус и
(х~хаУ) П (№аЬ)<=.<УсаУ) П (УаУс) - 0 по A). Следовательно,
\1(х~1аУ) = 0 для любых х^с~хУ и V^^^(аV) = 0. []
Если группа О дискретна, то алгебра Ма (О) совпадает
с Ж (О) и потому имеет единицу, именно, меру &е. Если группа
О иедискретна, то алгебры Ма{0) и Мс@) обе не имеют
даже односторонних единиц. Верно даже несколько более
сильное утверждение.
B0.25) Теорема. Предположим, что группа О недискретна.
Тогда не существует такой меры \1^МС@)У что |х-^=^ для
любой меры V ^ Ма (С?), и не существует такой меры [х' ^ Мс (О),
что V * |х' = V для любой меры V ^ Ма (С).
Доказательство. Предположим, что \1^МС@) и что |хх^=^
для каждого V ^ Ма (О). Поскольку ]|л|
такая окрестность V единицы е, что | |х |
метричная окрестность единицы, У2с:(/ и Я(У)<оо; тогда
^1г €®1 (О)• Соотношение B0.91) показывает, что для А,-почти
(\е}) = 0, то существует
({/) < 1. Пусть У—сим-

$ 20. Свертки функций и мер
387
всех х ^V
1 = Ъу(х) = \1*Ъу(х) = $ %у {у-Ч)ф,(у) =
с
= $6у(Г^)Ф(У)<?Ьй|^|(у)<1.
г/ г/
Это противоречие доказывает первое утверждение. Второе
доказывается аналогично, отправляясь от B0.9Н). ?
Алгебра Ма (О), однако, всегда содержит аппроксимативную
единицу, как мы сейчас докажем.
B0.26) Определение. Пусть 5—топологическая полугруппа.
Направленность {ха\аел элементов в 5 называется
аппроксимативной единицей для 5, если у = 1\тхау~\\туха для каждого
а а
B0.27). Теорема. Алгебра Ма (О) содержит аппроксимативную
единицу.
Доказательство. Пусть %—семейство окрестностей
единицы е\ рассмотрим % как направленное множество обычным
образом: 1/^У, если II сУ. Для каждого V ^41 выберем меру
\*>ц€:Щ (О) так, что риA1) = 1 и (%((/') = 0. Тогда
направленность {\1и}иеп является аппроксимативной единицей для Ма (О)
в смысле B0.26): применяем B0.15) к 2Х(С), очевидно,
изоморфному Ма@). П
B0.28) Теорема. Замкнутое линейное подпространство
АаМа (О) является левым [правым] идеалом в Ма (О) тогда
и только тогда,когда из\1^А и х^О следуетех*\1 ^ А [\*>*ех ^ А].
Другими словами, если Й есть подпространство в 2, (О),
соответствующее А, то из /€$ и х^О следует х[ 681[/*(Е 31]2).
Доказательство. Пусть А—замкнутый левый идеал в Ма(С),
а {^а) — аппроксимативная единица для МаF). Тогда при \л^А
и х^О имеем
гх # \1 == Нт гх * (га * (л) = Пт (ех * Vа) * \1 ^ А,
а а
поскольку каждое гx*Vа принадлежит Ма (С) A9.18), а
А—замкнутый левый идеал.
Предположим, наоборот, что из \х^А и х^О следует
е**[л^Л. Пусть у^Ма@) и {х0^Л. Если каждый ограничен-
х) Заметим, что из ^ц — [йХ и *^6 следует йгх * [х^-^/сМ, и ^[х*8^==
=:м*-1)/,-»л.
13*

388 Гл. 5. Свертки и представления групп
ный линейный функционал Ф на Ма (О), для которого Ф (А) = О,
также удовлетворяет условию ф^#[д,0) = 0, то по теореме
Хана—Банаха (В.15) V*^x0^Л. Пусть Ф—как выше. По A2.18)
найдется функция ^б2а,(С) такая, что
ФЫ = ^Ф при |1€Л1в@).
с
Тогда
Ф (V*\10) = $ §&* \10 = 55 §¦ (*у) ф0 (у) йу (л:) =
со
8=15 Шг^мм^м^У
с? [се
йу (л:) =
= 5 Ф(е*»|Л,0)Ж?(х) = 0,
G
поскольку гх*р,0€А при лг^О и Ф(А) = 0. []
Дополнительные теоремы и примеры
B0.29) Меры обратных множеств, (а) Пусть О — локально
компактная не унимодулярная группа. Тогда существует такое
открытое подмножество ТУаС, что А,(И7)<оо и Х(]Х?-1) = оо.
[Пусть а^О и А (а) ^2. Если V — такая симметричная
окрестность единицы в в О, что Ц2с:<х^0: -^ < А (х) <2>,то,
как легко видеть, множества а11, а2{7, ..., ап1)', ... попарно
дизъюнктны. Поскольку группа недискретна, найдутся
симметричные окрестности ЧУк единицы е такие, что Х(№к).^2~к
и ИРйс1/ F=1,2, ...). Пусть {/г^^—возрастающая
последовательность целых чисел такая, что 2~*/г+ ^А,(И?;.) для
каждого к. Если х€апь]Рк, то х^а*ш для некоторого хю^^к
и А(л;-1)=А(ш-1)А(а)^>2^>Я(^)-1. Положим теперь
1Г= У а"*1РА. Тогда Х(Щ= 2 М^*) < 1 и Х(^-») =
*=1 6=1
= ^ХЛ = 2 I А(х-1)Лс = оо.1
"Л
(Ь) Простой, но интересный частный случай (а) дает группа О,
описанная в A5.17). Пусть Г = {(*, у) ^0: х<1 и|у|<1}.
Как отмечалось в A5.17§), имеем
ев

$ 20. Свертки функций и мер 389
Модулярная функция А (я, у) равна \х\ *, как указывалось
в A5.17§). Следовательно, по B0.2),
со 1 со 1
О ' -1 1-1
Иначе, У~* = {(х,у)€0: 0<х<1, \у\<х) и
1 X 1
Я(Г-») = \ \ ±-йус1х = ^Лх = оо.
0 -х 0
B0.30) Замечания к теореме B0.4). (а) Отображение ху-~>х}
группы О в 2^@) равномерно непрерывно слева для любой
функции ?€%р@) тогда и только тогда, когда группа О имеет
эквивалентные равномерные структуры A^р<оо).
[Предположим, что группа О имеет неэквивалентные равномерные
структуры. По D.14§) существует окрестность V единицы е такая,
что для любой данной окрестности У единицы найдется элемент
х^О, для которого хУх ф V. Выберем за ИР любую
симметричную окрестность единицы с №*2(=[/ и Я,(ЦР)<оо.
Рассмотрим теперь любую окрестность У единицы. Пусть
х 6 О обладает тем свойством, что хУх~* ф {У, и выберем
произвольную точку г^(хУх)Г\и'- Легко видеть, что множества
х~гхУР и х~гЧ7 дизъюнктны. Следовательно,
\\,-ч&*)-л*)\\Р=(я-т)чр,
и притом (гх)х = х~1гх^У. Поскольку окрестность У
произвольна, отображение л;н->х(%ч?) не является равномерно
непрерывным слева.]
(Ь) Отображение х*->?х группы О в 2^@) равномерно
непрерывно слева для любой 1€%Р(С) тогда и только тогда,
когда группа С унимодулярна. [Предположим, что О унимоду-
лярна. По B0.2) /^€2^@). Для данного е > 0, используя
B0.4), выбираем окрестность V единицы так, что \\3([А) —
— (!А) \\Р < е при $*-* € I/. Тогда из х~*у € I/ следует |[ {х—[у \\р=
= II (Гх-Гу)* II, = II *-«(/*)-,-(/*) К, < в.
Предположим, далее, что группа С не унимодулярна. Пусть
(У—симметричная окрестность единицы с компактным
замыканием V . Пусть х1 = е; если точка д:„_1 уже выбрана,
выберем хп из ( II #АС/ ] . Симметричную окрестность Н^ единицы
е выбираем так, что 1Г;сС/ и Х(№г)<2~ш. Если окрестность
Ч^л-1 уже выбрана, пусть ЦРЛ—такая симметричная
окрестность единицы, что ЧР1аЧРп„х и %(№п) <2~п. Наконец, пусть

390
Гл. 5. Свертки и представления групп
00
117= II хп№п. Очевидно, 1ф€%рF). Докажем теперь, что ото-
п— 1
бражение х\-»(Бг)* не равномерно непрерывно слева.
Рассмотрим симметричную окрестность V единицы е такую, что
УаУР^ и выберем положительное целое число т так, что
2г"т < к(У). Тогда пересечение УпЧ^т-1 должно быть
непустым; пусть V—какой-нибудь его элемент. Покажем, что хт\№'ту
дизъюнктно с И?. Если, наоборот, х„№ ту (]хп№пФ 0 для
некоторого п, то х-гхт^Ш' „У'^^а^сЦ и потому п = т. Значит,
»6^т^» = ^тС^я-1—противоречие. Поскольку х„№ „раУРь
и Хт^гпО дизъюнктно с №, получаем || E^)—(Ъъг)т,-*\\р>0. Для
любого у ^ О имеем
II &*)у - Ыуо-г |1, = Д ОТ1I" \\ (^)-Bг)«.- II,- (О
Поскольку группа О не унимодулярна, правая часть
равенства A) может быть сделана произвольно большой. В силу
(У^1)~1У:='и^У отсюда следует, что отображение х\->Aш)х не
может быть равномерно непрерывным слева.]
(с) Предположим, что группа О унимодулярна.
Отображение х\—>[х группы О в 2^@) равномерно непрерывно справа
для всех /€%@) тогда и только тогда, когда группа О имеет
эквивалентные равномерные структуры A^р<оо). [Если О
имеет эквивалентные равномерные структуры, то (Ь)
показывает, что отображение ху->$х равномерно непрерывно слева
[и, следовательно, справа]. Если равномерные структуры на О
неэквивалентны, выберем V и №, как в (а). Для любой
окрестности V единицы е выберем х и г так, что г^(хУх~1) Г) V.
Тогда || (б^Ь-.,-.-^)*-' II, = B* (ЮУ/р и х~* (дг**-1)-* =
=г-х-ггх$у.]
B0.31) Обращение теоремы A9.27). (а) Пусть \л—мера в Ма@)
и А—любое борелевское множество в О. Тогда функция
ху->]ь(хА) равномерно непрерывна справа на О, а функция
х*->\х(Ах) равномерно непрерывна слева на О. [По A9.18)
имеем й\л = \дХ с /€^@) и по A4.17)
а
О А
Таким образом, | \х (хА)—\1 (уА) |<$ | х!—у! \ дХ < ||,/—у[ ||1в
Применим теперь B0.41). Чтобы проверить утверждение о функ-

$ 20. Свертки функций и мер
391
ции х*->\л(Ах), заметим, что ц(Лх) = [х~ (лгМ-1), и
используем B0.231V).]
(Ь) Пусть \1^М{0) и предположим, что для любого
компактного подмножества Д такого, что Х(Р) = 0, функция
ху->\х(хр) [функция хь->|х(Рх)] непрерывна в точке е. Тогда
для любого борелевского множества А функция ху->\л(хА)
[х*->\л{Ах)] равномерно непрерывна справа [слева] на О.
[Применяем A9.27) и (а).]
B0.32) Свертки, использующие правую меру Хаара. (а)
Выбор при построении теории сверток в качестве основы именно
левой меры Хаара чисто случаен. Левая мера Хаара может
быть заменена всюду правой мерой без всякой потери
общности. Некоторые формулы выглядят при этом по-новому, но это
различие—чисто формальное. Для данной левой меры Хаара
А, на О пусть У ($) = \ фА Л = \ ф-д-Л, для любой функции г|)
о о
на О, для которой интегралы имеют смысл [см. A5.15) и B0.2)].
Равенство (^>а)А = «-» (фА) показывает, что функционал Л пра-
воинвариантен. Сузим теперь функционал 1 на К0о(C) и
построим меру р для У, используя процесс § 11. Для
произвольного открытого подмножества 1/а О имеем
= 51цЛ/аЛ: /€©о+о@), /<6с/-Д =
= 5ир|$я<Л: я€бЬ(С), я<бЛ = Цг/).
Аналогичные рассуждения показывают, что р(А~1) = Х(А) для
любого АаО. Из B0.2) получаем с^р = ^ и р(Л) = \ -д-^ для
А
любого А € оМ9. Отсюда следует \ / ф = \ /А дХ = \ / --г- дХ для
о о о
любого /б2х@, р). Таким образом, У(/) = ^/ф, если только
о
одна из сторон конечна. В течение всего B0.32),
X—некоторая фиксированная левая мера Хаара, а р только что
определено. В B0.32), но нигде больше, \\}\\р означает норму
функции / в 2^@, р).
(Ь) Для каждого р, 1^р^оо отображение /»—>/А
переводит &р@9Х) на 2,@, р) [и 2,@^) на 8Я(СД)]. Это
отображение линейно, сохраняет норму, сохраняет вещественность
и сохраняет порядок. Отображение /ь—>/Д обладает всеми этими

92 Гл. 5. Свертки и представления групп
свойствами при р = 1, но теряет их при 1<р^оо, если
группа С не унимодулярна.
(с) Легко видеть, что р(Л)=0 тогда и только тогда, когда
X (А) = 0, для любого Л с: О. Следовательно, любая мера V ^ Ма (О)
обладает тем свойством, что *Ь? = /ф для некоторого / ^2Х (С, р)
[см. A4.19) и A9.13)]. Поскольку Ма (О) есть двусторонний
идеал в М@), мы можем определить [х*/, /*|1 и /*§• для
г г г
|л^Ж@) и /, #€®1(С, р) по аналогии с B0.5). Функции [х#/,
г
/*[х и /*§¦ могут быть записаны в виде интегралов, включаю-
г г
щих р вместо X и, конечно, функции из 2Х (О, р). Для р-почти
всех л: (= О имеем:
0) и * / (*) = $ / (у*1*)А (у) Ф (у);
(II) /*И*) = 5/С**/")^ (</)*>
(III) /*г(^) = $/(^)г(»)Ф(») =
= $/DГ1)#@*)Ф(У) =
-!/(!/)е(г^)А(г/)Ф(г/)-
а
Заметим, что свертка [х#/ обладает тем свойством, что
г
(}х*/)ф = (|ы*/)-д-Л = }х * (/-д-1 Л; иначе говоря, (я*/ =
= А (Н'*(/:"д"))' аналогично Для / * I1 и /*/?• [Это можно
проверить, сопоставляя A) — (Ш) с.B0.9) и B0.10).]
(й) Укажем следующие аналоги теорем B0.12) и B0.13).
Предположим, что /^2^@, р) A ^р^оо) и что \ь€М@). Тогда
интеграл в (и) определяет некоторую функцию из 2^@, р) и
II / П1 \\Р < II ЩР\\ (а II- Если интеграл ^ А (//)х/р' ^ | |ы | (г/) = ос коне-
г о
чен, то интеграл в A) определяет некоторую функцию из
2,@, р) и Ц|1*/||,<а||/||/>...
(е) Теорема B0.16) имеет следующий аналог. Предположим,
что 1 <р<оо. Если /А^2>@,р) и §"(;2>'@, Р)> то интегралы
в (Ш) определяют функцию, из 60(С) и || /*#||я<|| /А \\р \\ё\\р*-

$ 20. Свертки функций и мер
393
Если /А€®1@>р) и ^ 6^ (О, р)=2а)((/, %)у то (ш) определяет
(фуНКЦИЮ ИЗ ®ги(С) И \\ / * # ||« < || ?А \\г \\ 8 II». ЕСЛИ [^2^@, р)
г
'и ^^^(О, р), то (Ш) определяет функцию из ©/й(С) и
Г
(!) Наконец, укажем аналог B0.18). Пусть р, #, г—те же,
что в B0.18). Пусть, далее,/е^@,р)п2^@,р)и^б2<7(°^)-
Пусть, наконец, || / \\р = || /4 \\р. Тогда интегралы в (Ш)
определяют некоторую функцию из 2Г@, р) и || /*#||г <|| ЛЫ1#Н<г
г
B0.33) Если группа О не компактна, то ни 2Х @)*2«> (О),
ни 5«»@)*2*@) не содержится в @0(О).
B0.34) Предположение в B0.13), что $ А {у)'х/р' й \\а \ (у)
а
конечен, весьма существенно. Для не унимодулярной группы
Си 1 < р < оо можно найти такие меры \1^Ма (О) и функцию
7€«<(С), что/»|1$2р*(С). . !
[Выберем а^О так, что Р=Д(яг1)^2. Пусть V и
У—симметричные окрестности единицы е такие, что Ц2с:<х ^О:
Гга{]. Заметим, что множества
Для каждого й = 1, 2, ...
выберем симметричные окрестности V?'и единицы такие, что
А,(И?ЛУ<2""* и И^сУ. Пусть \щ^г—возрастающая
последовательность положительных целых чисел такая, что
Определим, далее, У7 как у ап^к- ТогДа Ч^Н 2Ч^*Х
к=\ к=\
со
^ 2 2~*=1. Определим меру |х ^ Ма (О) отношением ф = ^Л.
к= 1
00
Наконец, определим А как II апь11ак и / как Д-^л-*- Чтобы
й=1
показать, что /^2^,@), используем B0.21) и A9.17):
оо
^/яЛ = ^ ^-'^ = ^л Л = ЦЛ) < 5> (а"*С/а*) =
0 0 О к~х
оо оо
= 5>"(«)*Ч*/)<Ч#) 51 D-)* = ^) < °°-
й=1 *=1 ч '
^- < А (дс)< р |, Ц(/)<оо и 7»,
{а*{/}*!_,«, попарно дизъюнктны.

394
Гл. 5. Свертки и представления групп
Осталось показать, что функция /*(х не принадлежит 2Р'@).
Поскольку АЛ II а'кУ] = оо, достаточно доказать, что из
включения х^а~кУ вытекает /#[г(#)>1. Имеем
/•|гМ = $А(у-1)/(ед-1)ф(у) =
о
С
= 5 Д (у'У'А (х-*У"> 1А (ух~Ч и (у) йу.
о
Если у€ап*ЧРк, то у$ЧР и ух"х^^^/акс1ап^ак^А.
Поскольку у-^де^яГЧ имеем А.^) >-^-А(а)л*>рЛА, и
поскольку, х~х^Уаку также А (лг1) >-трД (а^^Р"*.
Следовательно, для любого х^а~кУ
/ * (х (а:) > 5 А (г/-1I/"' А (д:-1I^ Лу >
>(РЯ*I/Р'(Р""*I/Р^(^*)>1-]
B9.35) Еще один подход к %Р@)*М@). Вместо
сужения (х^Ж(С), при котором мы определили /*}х для /^2^@)
A <р^оо), как это было сделано в B0.13), мы можем
изменить определение свертки. Для любых /€ 2^@) и \х^М@)
пусть
!П^(х)=\А(уГ1/р!(ху-1)а[1(у),
О
если только этот интеграл существует1). Тогда /П|л(я)
существует для ^-почти всех х^О и определяет функцию из 2^@),
для которой || / ? \1 \\р < || / A^ || \11|. При р = 1 имеем / ? \1 = / * \1.
[ПрименяемB0.8) с х(х, #) = */дг\ Ф = Д-'/р, т^^ и 7=|1 ЛЫ1М1-
Для любой функции 'Фё&ооСО) имеем
5 \\^(У)А(хГ1/р!(ух-1)\с1ус1\11\(х)<:
со
<5|ЖИ1/*- \\рА(хГг/Рс1\11\(х) =
О
= 5пФ11Р.д(х),/|'11/11яд^г,/^||»1м=И11/''1т1,1^11-1
х) Эта формула, с заменой р на р\ появилась у Годемана [1], стр. И;
формула Годемана эквивалентна нашей лишь при р = 2.

§ 20. Свертки функции и мер
39Й
B0.36) Инвариантные меры в Ж (О), (а) Пусть О —
компактная группа, а X—нормированная мера Хаара на О. Тогда для
любой меры \1 ^М(О) и любого борелевского множества АаО
имеем Хх\х(А) = \1*Х(А) = [1(С)Х(А). Таким образом, Хх\1 =
= \1*Х=:\1(С)к и А, порождает одномерный двусторонний идеал
в М@).
(Ь) Чтобы получить все одномерные одно- и двусторонние
идеалы в М@), нам понадобится следующая лемма.
Предположим, что §—Х-измеримая функция на некоторой локально
компактной группе О и что для любого а из некоторого
плотного подмножества ИаО имеет место §(х)—§(ах) для локально
Я-почти всех х^С- Тогда существует константа р такая, что
@(х) = $ для локально /ипочти всех х^О. [Можно
предположить, что функция § вещественнозначна. Если она не является
постоянной локально ^-почти всюду, то существует
вещественное число а такое, что множества {х^О: §(х)>а\ и {х^О:
§{х)<а\ не локально Я-нулевые. Следовательно, существуют
компактные множества Е и Р, для которых Еа\х^О: §(х) > а},
Рс{х€0: ё(х)<а\, Х(Е)>0, Х(Р)>0. Тогда Х(Р~1)>0 и по
B0.17) существует а^й, для которого X (Е Г\ (а~1Р)) > 0. Если
х ^Е Г) (а-1/7), то @(х) > а и §(ах) < а; получили противоречие.]
(с) Пусть О—локально компактная группа. Мера \х^М@)
порождает одномерный левый идеал, если ^(х = а|л для любой
меры у^М@)у где а^/С зависит, конечно, от V. Аналогично,
мера \1 порождает одномерный правый идеал, если [г*^ = а|А
для любой меры V^Л1((^), см. (С.1).
Предположим, что существует ненулевая мера (х^Ж(О),
порождающая либо одномерный левый идеал, либо одномерный
правый идеал. Тогда группа О компактна, \1 порождает
одномерный двусторонний идеал и й\х = $%йХ> где р — ненулевое
комплексное число, а%—ограниченная непрерывная ненулевая
комплексная функция на О такая, что % (ху) = % (х) % (у) для
любых х, у^О.
[Предположим, что (д, порождает одномерный левый идеал.
Тогда еа*[х = 5С(а~1)И' Для любого а^О. Следовательно,
аЫр = %(а~1)) Ыр Для /€@о(С). Поскольку \ьф0, также
о о
ХФО. Поскольку ||8а*[1|| = |Х(а-1)|||(г|К||еЛ||[х ||-|| (х ||, то х
ограничена. Поскольку еа*е6#(г = евЬ#|х, также %(а)-%(Ь) =
^Х(аЬ). Непрерывность функции % следует прямо из
равномерной непрерывности справа функции /€@<>@). Пусть теперь
щ — мера из М@) такая, что A\^1 = %'Л[л. Легко видеть, что
а1 A^1 = ^ I Aу,х для любой функции /6@о@) и также что
о о

396 Гл. 5. Свергйки а представлений ёрупй
^фО [см. A4.17)]. Из A4.5) получаем ^ /й | [хх | = ^ а}с1 \ [хх | для
о а
любой функции /^К0(О) и, конечно, мера 1^1 — ненулевая.
Следовательно, 1^1 — неотрицательная инвариантная
регулярная мера и ||^1|@)<°°. Значит, группа О компактна A5.9),
и й|[а1| = гйА>> где г — положительное число. Существует боре-
левски измеримая функция #, |#| = 1, такая, что ф1=б"й|(г1|.
Поэтому д,\х, = г&%дХ\ следовательно, 8(х)=ё(ах) для ^-почти
всех х, где а—любой фиксированный элемент из О. Согласно
(Ь), функцию § можно выбрать постоянной, @(х) = ехр (/0), и мы
получаем й\1 = $%йХ с р = /*ехр(/Э).
Из B0.221 у) прямо следует, что мера [л~ порождает
одномерный правый идеал. Поскольку ф~ = Р%^А,, по B0.231У)
меры (х и [л~ порождают один и тот же одномерный идеал,
который, следовательно, двусторонен.
Предположим теперь, что мера [я порождает одномерный
правый идеал. Тогда \л~ порождает одномерный левый идеал
и мы можем использовать уже разобранный случай.]
B0.37) Операция сопряжения из B0.21) может быть
определена во многих алгебрах свертки, отличных от М@) и ^(О)
для локально компактной группы О. Не претендуя на полноту,
укажем пространства @Л^) Для любой локально
компактной группы О и 33* (О) для любой группы О. Если ф€@ц@),
то ср± также принадлежит @а(С); если ф€^@)> то и Фа €33(С).
Поэтому отображение фн->1,(фА) определено для любого
ограниченного линейного функционала и является опять
ограниченным линейным функционалом. Не играет роли, что важное
соотношение B0.221У) может не выполняться в @^@) и 33* (О).
Пусть § есть или @„@) или 58@). Пусть, далее, $ содержит
двусторонне инвариантное подпространство 31, для которого
16Я, /А€21 при !^% Т€% при /^31, и пусть 31 допускает
два различных двусторонне инвариантных ограниченных
линейных функционала Ыг и М2, для которых Ы1A) = Ы2A)=\.
Продолжим #х и Ы2 до функционалов Мх и М2 соответственно
в $*. Тогда для /6 31 имеем Л«1*Мя(/) = А1,ф [как в A9.24а)],
так что (М1 * М2у (/) == М2~ (/). С другой стороны, при
/6Я и хбб имеем Л*Г (Л) = МЛС/)*) = АМО^)*-0 = А*Г (/).
Следовательно, М2~ яМ^ (/)=--М2~ A)^ (/) = МХ (/). Поскольку
М± отлично от М2 на 31, получаем (Мг*М2)~ ФМ2 *М1 .
Специфические примеры, иллюстрирующие это явление, могут
быть построены как в A9.24Ь) и A9.24с).
Замечания. Большинство из утверждений B0.1)—B0.19)
является копиями или слегка измененными вариантами соот-

<!>' 21.\ Введение в теорию представлений 397
ветствующих утверждений в книге А. Вейля [4]. Второе
утверждение из B0.4) принадлежит Гельфанду и Райкову [2]. Свертки
мер и функций в 2х(С), обсуждавшиеся в B0.5)—B0.9),
появились у А. Вейля [4] только неявно. Формула B0.911)
появилась у Годемана [1], стр. 13, для }^Щ0@). Мы не можем
указать точно первого явного упоминания утверждения B0.91).
Вендель [1] использовал его. Форма утверждения B0.91) и
B0.9п) очевидна, хотя, как мы видели, требуется довольно
сложное доказательство. Теорема B0.10) принадлежит А. Вей-
лю [4], стр. 60. Формула B0.ЮН) и ее аналог, формула (ш)
в B0.32с), уже давно использовались как определение
умножения в ^(С) или 21(Оу р): см., например, Г. Вейль и Петер
[1], Гельфанд и Райков [1], Сегал [1] и Гельфанд и Райков [2].
Следствие B0.14) появилось у А. Вейля [4], стр. 60, а также
у Сегала [1]. Теорема B0.16), а также B0.17) и B0.18)
принадлежат А. Вейлю [4], стр. 61, 65—66.
Операция сопряжения, изучавшаяся в B0.20)—B0.23), была
введена очень давно. Для непрерывных функций на компактных
группах Ли она появилась у Г. Вейля и Петера [1]. Формула
§~=-д-§"А для §^^{0) появилась у Гельфанда и Райкова [2]
и у Сегала [2]. Операция сопряжения [хн-^[х~ для мер в М@)
появилась у Шрейдера [1] и существенно использовалась в
работе Шрейдера [2].
Теорема B0.25) в случае двусторонней единицы и Ма@)
принадлежит Сегалу. Теорема B0.27) появилась у Люмиса [2],
стр. 159, теорема 31Е. Более общее утверждение доказал
Сегал [2], лемма 1.1. Аппроксимативные единицы в М(С)
рассматривались давно: см. Хельсон [1], стр. 84.
§ 21. Введение в теорию представлений
Важнейшим инструментом в современном анализе является
изучение тополого-алгебраических объектов некоторого класса
посредством рассмотрения их непрерывных гомоморфизмов в
наиболее простые объекты этого класса. Так, ограниченные
линейные функционалы на банаховом пространстве Е,
являющиеся непрерывными гомоморфизмами линейного пространства Е
в одномерное банахово пространство, образуют очень важный
объект. Точно так же непрерывные гомоморфизмы
коммутативных банаховых алгебр в поле К жизненно необходимы при
изучении структуры таких алгебр. Это явление продолжает
иметь место и при изучении локально компактных групп О,
алгебр М(С) на них и их подалгебр. Подходящим выбором
групп и алгебр, которые должны служить образами при
гомоморфизмах, мы можем получить много информации о структуре

39В Гл. 5. Свертки и представления групп
самих групп О и алгебр М(С) на них. Начинаем с вполне
элементарных определений и фактов.
B1.1) Определение. Пусть 5—некоторая полугруппа, с
топологией или без топологии. Пусть, далее, Е—линейное
пространство над произвольным полем Р'. Представлением V
полугруппы 8 в Е называется гомоморфизм х\-^Ух полугруппы 5
в полугруппу всех операторов на Е (В.2). Для каждого #65,
таким образом, Ух есть оператор на Е, причем Уху = УхУу для
любых х,у^8. Линейное пространство Е называется
пространством представления V. Подпространство Ех пространства Е
называется инвариантным относительно представления У, если
УХ(Е1) аЕ1 для любого х^8.
Первая очевидная специализация—для представлений групп.
B1.2) Теорема. Пусть У—представление группы О в Е, как
в B1.1). Тогда Е есть прямая сумма инвариантных
подпространств Е0 и Ег таких, что:
(\) Ух(Ео) = {0\ для любого х^О;
(и) УвA) = 1 для любого ^^Е^
(Ш) УхУх-г(Ь) = Ух-Ух(Ъ) = Ь для любых Ъ$Е1 и х^О.
Если Е—топологическое линейное пространство, и
Vе—непрерывный оператор, то подпространства Е0 и Ег замкнуты.
Доказательство. Пусть Е0 = {%€Е: УД = 0} и Е1 = {^^Е:
УД = |}. Поскольку УхУе = УеУх = Ух для каждого х^О, ясно,
что Ух(Ео) = {0\ для каждого х^О. Свойства (п) и A11)
следуют прямо из определения Ех. Также очевидно, что Е0 П Ег = {0}.
Для ^ ^ Е имеем
Ъ = (Ъ-УА)+УА, УеA-УА)=У&-УА=о, Уе<УА)=УА-
Таким образом, Е есть прямая сумма Е0О)Ег. Непосредственно
видно, что Е0 и Ег инвариантны относительно V, и замкнуты,
если Уе непрерывно. []
B1.3). Замечание. Теорема B1.2) показывает, что при
изучении представлений групп мы, не теряя общности, можем
считать Уе тождественным оператором на Е: Уе — 1. Всюду в
дальнейшем мы под «представлением группы У» понимаем такое
представление, что Уе = 1. Ситуация кардинально меняется при
рассмотрении полугрупп 5, не являющихся группами:
представления У, для которых Ух==0 для некоторого х ^5, играют
жизненно важную роль при изучении многих важных и
интересных проблем. См., например, Хьюитт и Цуккерман [3]—[5].
B1.4) Определение. Пусть А — алгебра над полем Р, а Е —
линейное пространство над тем же полем. Представление Т

$ 21* Введение в теорию представлений
399
алгебры А в Е есть гомоморфизм ян->ТХ в алгебру операторов
на Е (В.2). Для каждого х^А, таким образом, Тх есть
оператор на Е, причем ТХ+У = ТХ + ТУ, Тху = ТхТу и Тах^аТх для
любых х, у^А и а^Р- Линейное пространство Е называется
пространством представления Т. Подпространство Е1аЕ
называется инвариантным относительно представления Т, если
Тх(Е1)аЕ1 для любого х^А.
B1.5) Замечания, (а) Пусть А — алгебра с
мультипликативной единицей и> а Т—представление алгебры А в смысле
определения B1.4). Тогда Е распадается в прямую сумму
подпространств Е0 и Ег таких, что Тх(Е0) = {0} для каждого х^А и
Ти1 = 1 для каждого 1^Ег. Если Е—топологическое линейное
пространство, а Ти—непрерывный оператор, то подпространства
Е0 и Ег замкнуты. Этот факт доказывается теми же
рассуждениями, что и B1.2). Всюду в дальнейшем мы считаем Ти = 19
если Т есть представление алгебры с единицей.
(Ь) Предположим, что Т есть представление алгебры А [или
полугруппы 5] непрерывными операторами на топологическом
линейном пространстве Е. Если подпространство Егс:Е
инвариантно относительно 7\ то и его замыкание Е{ инвариантно
относительно Т.
Алгебры Ж (О), Ма(С), Мс@) и Ма@), определенные в
A9.13), допускают1) (каждая) операцию сопряжения \и-»[л~,
описанную в B0.21)—B0.23). Эта операция теснейшим образом
связана с представлениями группы О унитарными операторами
на гильбертовых пространствах и является важным
инструментом исследования этих алгебр. Многие факты относительно
операции ~ могут быть без всяких дополнительных усилий
получены для произвольных алгебр над /С, допускающих
операцию сопряжения. Мы сейчас определим и исследуем такие
алгебры. [Термин «алгебра» означает: «алгебра над полем /С».]
B1.6) Определение. Пусть А—некоторая алгебра, ихь->л;~ —
такое отображение алгебры А на себя, что:
@ (х + у)~ = х~+у~;
(и) (ах)~ = ах~у
О») (ху)~=у~х~;
(IV) X =Х
для любых ху у^А и а^/О Тогда А называется алгеброй с
операцией сопряжения или ~-алгеброй. Если А — нормированная
[(С.1)] алгебра и
(у) ||х~|| = ||х|| для любого х^Ау
г) Для локально компактной группы О

400
Гл. 5. Свертки и представления групп
то А называется нормированной ~-алгеброй г). Банахова алгебра,
являющаяся нормированной — -алгеброй, называется банаховой
~-алгеброй. Элемент х(^Л, для которого х = х~, называется
эрмитовым. На протяжении всей этой главы, если
нормированная алгебра содержит единицу и, то ||и||=1.
B1.7) Замечания. Пусть А — некоторая —'-алгебра. Если А
содержит единицу и> то и = и~; действительно, и~=ии~ и
потому и = и~~ = (ии~)~ ~ии~. Каждый элемент х^А
единственным образом может быть записан в виде х1-{-1х2У где элементы
хх и х2 эрмитовы. Именно, х = х-~—\-1х~х . Каждый элемент
вида х~х всегда эрмитов. Если алгебра А содержит единицу,
а элемент х имеет обратный, то (х~)_1 существует и равен
(х~гУ. Если х имеет квазиобратный у (С.5), то элемент у~
квазиобратен к х~.
Наше представление о —-алгебрах исходит из того факта,
что каждая подалгебра алгебры М@) [где О — локально
компактная абелева группа], содержащая вместе с любым
элементом |х также элемент ц,~, является нормированной
—-алгеброй.
Некоторые специальные представления —-алгебр играют
для нас важнейшую роль.
B1.8) Определение. Пусть А — некоторая —-алгебра, а Т —
ее представление ограниченными операторами на гильбертовом
пространстве Я. Предположим, что Тх~ = ТХ для любого х^ А
(Тх есть сопряженный оператор к оператору Тх в смысле
(В.53)). Тогда представление Т называется — -представлением.
Пусть Т и 7" — представления алгебры А ограниченными
операторами на гильбертовых пространствах Я и Я'
соответственно. Предположим, что существует линейная изометрия
Н^: Я—> Я' между пространствами Я и Я' такая, что УРТ^'1 =
= Т'Х для любого х^А. Тогда представления Ги Г
называются эквивалентными. Эквивалентность двух представлений V
и V полугруппы 5 ограниченными операторами на Я и Я'
соответственно определяется аналогично.
B1.9) Теорема. Пусть Т есть — -представление ~-алгебры А
в смысле B1.8). Если линейное подпространство Нха Я
инвариантно относительно 7\ то и его ортогональное дополнение Н^
также инвариантно относительно Т.
х) В литературе чаще употребляется символ *, чем ~. Ыащ выбор
обусловлен тем, что символ * занят для обозначения свертки,

$ 21. Введение в теорию представлений
401
Доказательство. Для любых Ъ^Н}-, 1^Нг и х^А имеем
<ТА> С> = <Е, 770 = <6. тх- С> = о.
Таким образом, 7^5- ортогонально любому 1,^Н1 и потому
принадлежит Я^. []
B1.10) Следствие. Пусть А—некоторая ~-алгебра, а Т— ее
~-представление [ограниченными] операторами на гильбертовом
пространстве Я. Тогда Я есть прямая сумма замкнутых
инвариантных ортогональных подпространств N и Нх, причем
Тх(Ы) = {0\ для всех х^А, а для каждого ненулевого 1^Н1
найдется такое х^А, что Тх1-ф0.
Доказательство. Пусть М = {^^Н: Тх\ = 0 для любого х^ Л}.
Очевидно, N есть инвариантное линейное подпространство в Я.
По B1.9) ортогональное к нему подпространство Ы^ также
инвариантно. Остается положить Н1 = Ы1-. []
B1.11) Теорема. Пусть 0—некоторая группа, а V—ее
представление унитарными операторами на гильбертовом
пространстве Я. Если подпространство Н1а Я инвариантно
относительно V, то и Н^ инвариантно относительно V.
Доказательство. В силу унитарности Ух имеем V* ^У^1, и
Ух1 = Ух-1> поскольку У—представление. []
Основная наша цель в изучении ^-представлений ~-алгебр
заключается в разложении их на «элементарные» компоненты.
Первый шаг на этом пути таков.
B1.12) Определение. Представление Т алгебры А
операторами на топологическом линейном пространстве Е называется
циклическим, если существует такой вектор 1^Е, что
линейное подпространство {Тх%: х^А\ плотно в Е. Представление У
полугруппы 5 операторами на Е называется циклическим, если
существует такой вектор Ъ,€,Е, что наименьшее линейное
подпространство, содержащее {Ух\: х^8), плотно в Е. В обоих
случаях вектор | называется циклическим вектором.
B1.13) Теорема. Пусть Т—некоторое ~-представление
~-алгебры А операторами на гильбертовом пространстве Я. Тогда
Я есть прямая сумма подпространств N и {Ну\у<=г, которые
замкнуты, попарно ортогональны и инвариантны. При этом
Тх(Ы) — {0\ для всех х^А, а сужение Т на Ну является
циклическим для каждого у ^ Г. Для каждого ненулевого ^ ^ Ну
существует элемент х^А, для которого ТХ^Ф О. Если \уесть
проекция | на Ну, то Тх% = ^Тх%у.

402
Гл. 5. Свертки и представления групп
Доказательство. Выберем Ыу как в доказательстве B1.10).
Если ЛД = {0}, то представление Т тривиально, т. е. Тх = 0
для каждого х^А. В случае Ы^Ф{0\ введем в множество
ненулевых элементов из М1 полное упорядочение:
Ь1» Ъ2> • • •> Ьл> • • •> ёб> • • •> (А)
где б пробегает все ординалы, меньшие некоторого ординала А.
Определим Нг как замыкание в Я линейного подпространства
{^г + Т^: а ^ /С, х$А}. Нетрудно проверить, что это
подпространство инвариантно относительно Т. Покажем, что
множество {Тх%г: х^А} плотно в Нг. Пусть, действительно, вектор
С€#1 ортогонален всем Тх1^х^А. Для любых у, г ^ А ка^К
имеем:
Поскольку ^^Н19 также Ту1>^Н1 и, поскольку множество
{(х^х + Т^: ос^/С, г^А\ плотно в Ях, имеем Ту^ = 0 для
каждого у$А. Но тогда в силу Б €#-4 имеем ^ = 0. Поэтому
множество {Тх\{: х$А\ плотно в Я1? так что представление 7\
суженное на Ни является циклическим с циклическим вектором^.
Если Н1 = Ы1, наше построение закончено. Если Яхс Ы1-,
но Н1ФЫ1, возьмем первый вектор ^6з в A), для которого
1б2 €Н±. Образуем подпространство {а\^ + ТХ%62- а € ^, * 6 А)~ =
= Н2. По B1.9) подпространство Я/-ПМ1 инвариантно
относительно Т, так что Я2— инвариантное подпространство
относительно 7\ содержащееся в Я^П^-1. Как и в предыдущем
абзаце, представление Г, рассматриваемое на Я2, является
циклическим с циклическим вектором |вя. Продолжим далее
построение по трансфинитной индукции. Предположим, что
подпространства Н1У Я2, ..., Я7, ... в Я и элементы 5в7 в Л/-1
уже определены для всех ординалов у, меньших у0, так, что
все Ну попарно ортогональны, содержатся в М1 и имеют вид
№бу + ТхЬбу' <*€#, *€Л}~, 1=бх<б2< ... <б7<... Если
в Л/-1- нет ненулевого вектора, ортогонального всем Я7, у<у0>
построение окончено. В противном случае выберем в A)
первый такой вектор и рассмотрим подпространство Я7о = {а|б7 +
+ ТхЬь : а^/С, х €А}~. Тем самым определено семейство
{Ну\уег, причем в качестве Г может быть взято подмножество
множества всех ординалов, меньших А. Поскольку в УУ1 нет
ненулевого вектора, ортогонального каждому Я7,
пространство Я распадается в прямую сумму подпространства N и
подпространств Ну (согласно (В.63)).
Последнее утверждение следует из ограниченности каждого
оператора Тх; мы опускаем доказательство. []

§ 21. Введение в теорию представлений 403
B1.14) Теорема. Пусть О—некоторая группа, аУ—ее
представление унитарными операторами на гильбертовом
пространстве Н. ТогдаНесть прямая суммаподпространств {#7}у6г,
замкнутых, попарно ортогональных и инвариантных
относительно V. Представление V, суженное на Пу, является
циклическим для каждого у€Г.
Доказательство аналогично доказательству предшествующей
теоремы и даже несколько проще; мы его опускаем.
B1.15) Обсуждение. Предположим, что Л — некоторая
^-алгебра, Т— ее ^-представление операторами на Я, а 2- — вектор
из Н. Функция хь-+ <Г^, %> = р(х), очевидно, является
линейным функционалом на Л, причем р(х~х) = <ТХ~Х%, ?•> =
= <7^, Тх1->^0 для любого х^А. Функционалы такого типа
заслуживают отдельного изучения. Оказывается, они обладают
многими полезными свойствами и тесно связаны с циклическими
представлениями ~-алгебр.
B1.16) Определение. Пусть Л — некоторая ~-алгебра.
Линейный функционал р на Л (рассматриваемом как комплексное
линейное пространство) называется положительным
функционалом, если р(х~х)^0 для любого х^А.
B1.17) Теорема. Пусть р—некоторый положительный
функционал на ~-алгебре Л. Тогда:
(I) Р{У~Х)=Р(Х~У)
и
(II) \р(У~х)\^р(Х~хУ'*р(у-уУ>ш
для любых х, у ^ Л.
Доказательство. По B1.16) и B1.6) для любого а^К имеем
0<Р({х + ау)~ (х + ау)) =
= р(х~х + ау~х + ах~у + \а\2у~у) =
=р (х~х) + ар (у~х) + ар(х~у) + \а\2Р (У~У)- A)
Поскольку р(х~х) и р(у~у) неотрицательны, число ар(у~х) +
+ ар(х~у) вещественно. Полагая а=1 в A), получаем тогда
1тр(у~х) + 1тр (х~у) = 0, а полагая а=1 в A), получаем
Кер(#~л:) = Кер (х~у). Тем самым A) доказано.
Перепишем A) в виде
0^р(х~х) + 2Ке[ар(х~у)] + \а\*р(у~у). B)
Если р {х~у) = 0, то из @ следует (и). Если р (х"у) ф О, пол ожим
р(х~х)
а = — ' :
Р(х У)

404 Гл. 5. Свертки и представления групп
в B). Тогда
р (х~х) | р (х~у) |2 < р (х~х)* р (у~у). C)
Если р(х"х) положительно, то из C) следует (и). Если р(у~у)
положительно, то, повторяя рассуждение с перестановкой х и у,
получаем опять (и). Если, наконец, р (х~х) = р (у"у) = 0, то, как
показывает B), Ке (ар (х~у)) ^ 0 для любого а^К. Но это,
в силу предположения р(х~у)=^0, невозможно, так что (и)
установлено. []
B1.18) Теорема. Пусть А—некоторая ~-алгебра, а Аи—ал-
гебра, полученная из А присоединением единицы и, как в (С.З);
элементы (х, а) алгебры Аи будем записывать в виде аи + х.
Для любого аи~\-х^Аи пусть (аи + х)~ = аи + х~. Тогда Аи есть
~-алгебра. Положительный функционал р на А можно
продолжить до положительного функционала р^ на Аи тогда и толь-
ко тогда, когда:
A) р(х~)=р(х)
и
(и) \р(х)\*^.ар(х~х)
для любого х^А, где а есть некоторое положительное число, не
зависящее от х. Если (и) справедливо, то р^(и) можно выбрать
равным любому числу, не меньшему а.
Доказательство. Если /?+ существует, то A) следует из B1.171),
если положить у = и и заметить, что и~=и. Полагая у = и
в B1.17П), получаем
| р+ (и~х) | = | р (х) |< р (дГ *)''• р+ (иу<\
так что и (и) выполнено, причем а = р^(и).
Если A) и (п) справедливы, возьмем произвольное
неотрицательное число Ь такое, что | р (х) \2^Ьр (х~х) для любого х € А.
Определим р^ формулой
р+ (аи + х) = аЬ + р (х).
Тогда
р*((аи + х)~ (аи-{-х)) = р1(\а\2и + ах + ах~ + х~х) =
= \а\2Ь + ар (х) + ар(х~) + р(х~х) =
= | а \2Ь + 2 Ке (ар (х~)) + р (х~х) >
>|се|2Ь—2\*\\р(х)\ + р(х~х)^*
> | а \2Ь—21 а | Ь1'шр (х~х)Ч* + р (х~х) =
= (|а|61/._р(х-^I/.)»>0.

$ 21. Введение в теорию представлений
405
Поскольку /?1" является, очевидно, линейным функционалом на
Аа, доказательство закончено. []
Замечателен факт, что все положительные функционалы на
^-алгебрах широкого класса автоматически непрерывны.
B1.19) Теорема. Пусть А—некоторая банахова ~ -алгебра
с единицей и. Тогда всякий положительный функционал р на А
удовлетворяет соотношению
(\) \р (х)\^р (и) ||х|| для любого х^А.
Доказательство. Биномиальные ряды
|о(-1)*0B)а* A)
абсолютно сходятся для любых а^К, |а|^1, причем суммой
является ехр A/2Ъо§(\—ос)), где —я<1тЬо§A—а)^я при
аф\; при а=1 сумма есть 0. Для любого х^А такого, что
|| х || ^ 1, и любого п = 1, 2, 3, ... положим
</„="+ 21(-1)АA2)^.
Ясно, что Нт || уп—У/»||=0, и, поскольку пространство А
т, п ->• оо
полно, найдется такое у^А, что Нт уп=у. Положим теперь
П -+ 00
сп = {-\У±Х'к){п-к) («=1,2,3,...)-
По теореме Мертенса [Апостол [1], стр. 376], имеем
00
1 + 2 спап= 1—а,
если а^К и |а|^1. Рассматривая только вещественные а,
видим, что сг = —1 и сп = 0 для /г = 2, 3, ... Из доказательства
теоремы Мертенса извлекается
Нт у% = Пт ( и + 2 ск%к )= ц—х-
/г-> оо /г-»- оо \ к-1 /
Поскольку Пт у\ = у2, получаем у2 = и—х. Пусть теперь эле-
п -> оо
мент х эрмитов; тогда и элементу эрмитов, у2 = у~у = и — хи
0<р(у~у) = р(и)—р(х).
Таким образом, р(х) вещественно, и
р(х)^р(и).

406 Рл. 5*. Свертки и представлений групп
Аналогично,
— р(х) = р(— х)^р(и),
так что A) выполнено для эрмитовых элементов х (напомним,
что функционал р однороден). Для произвольного х^А
элемент х~ х эрмитов, так что
р(х~х)^р(и)\\х~х\\^р(и)\\х№.
По B1.17П) с у = и получаем
\р{х)\*<^р(и)р(х~х).
Объединяя два последних неравенства, получаем A). []
B1.20) Следствие. Пусть А—банахова ~-алгебра с единицей
и, а р—положительный функционал на ней. Тогда
р—ограниченный линейный функционал и ||р|| = р(и). Если А—произвольная
банахова ~-алгебра и р—положительный ненулевой функционал
на ней, для которого выполнены B1.181) и B1.18Н), то р—огра-
(\п(х) I2
ниченный функционал. Пусть М (р) = зир <' , I' : х ^ А, р (х~х) Ф
у р \х х)
=^=0>. Тогда \\р\\^М (р), а если А имеет единицу и, то
М (р) = \\р ||. Далее, если р и ц—два положительных функционала,
для которых выполнены B1.Ш)иB1.18п), то М(р-\-ц)^М[р)-\-
Доказательство. Первое утверждение прямо следует из
B1.19) и равенства ||м|| = 1 B1.6). Пусть теперь А —
произвольная банахова ~-алгебра, и B1.181) и B1.18Н) выполнены.
Теорема 21.18 показывает, что р можно продолжить до
положительного линейного функционала р* на Аи. Число М (р)
есть наименьшее среди всех, которыми может быть р^(и),—это
следует из B1.18). Поскольку ||р+|| = р+(и), функционал р
должен быть ограниченным на Аа Аи и, поскольку норма не
может возрасти при переходе к подпространству, ||р||^р*(ы) =
~М(р). Если алгебра А содержит единицу и, неравенство
М(/?)<р(и) = ||р|| следует из B1.1711). Как показано в B1.18),
М(р + д) есть наименьшее среди всех возможных значений
(Р + Ч)Чи) Аля положительных продолжений р + д на Аи.
Поскольку М (р)-\-М (я) = {р\ + Я^) (и) есть °ДН0 из таких значений
для р + <7, мы и получаем М (р + д)^М (р)+М (?). ?
'B1.21) Следствие. Пусть А—некоторая банахова ~ -алгебра,
ар — положительный функционал на ней, удовлетворяющий B1.180
и B1.1811). Определим М(р), как в B1.20). Тогда
A) р (х~х) < М (р) Нт || (х~х)п \\1'п
для любого х^А.

§ 21. Введение в теорию представлений
407
Доказательство. Ввиду B1.18) можно, не теряя общности,
считать, что алгебра А содержит единицу и и что М(р) = р(и).
Повторное применение B1.17П) дает
IР (х) | <р (иI/2р(х~ху/2 < р (иI/2*1/4/? {{х~х)*уи < ...
. ..<р(аI/2+1/4+--- + »/2>((х"'хJЛ"I/2Л.
Из B1.19) получаем
р ((*~*JИ-1I/2Я < Р ("){/2П || (х~х)*п-г || 1/2\
так что
|р (дс) |<р(и) [| (дс-*)^-11||/2«.
Следовательно,
р(х~х)^р(и)\\(х~хУ\\1»п;
применяя (С.4), получаем, наконец
р (х~х) <р (а) Ит || (хГх)п \\1/» =р (и) Нт |] (*~*)я Ц1/». []
Я -> 00 /2 -> 00
Следствие B1.20) имеет важные применения.
B1.22) Теорема. Любое ~-представление Т произвольной
банаховой ~ -алгебры А ограниченными операторами на
гильбертовом пространстве Н является непрерывным
отображением А в пространство ограниченных операторов на Я,
рассматриваемое с топологией нормы. Именно,
A) ||7^||<|И| для любого х^А.
Доказательство. Для любого %$.Н пусть р—такая функция
на Л, что р(х) = <Тх%у §>. Очевидно, функция р линейна, и
Р(х~х) = <тх~л, 1> = <Тх~тл* 1>=<ТЛ тл>>о.
Таким образом, р—положительный функционал. Далее,
р(х~) = <Тх-Ь, Ь = Л, ТХЬ> = <ТЛ> 6>=7М
и
IР (х) |«=| <гже, е> I2 < || та II2 III И*=р (х-х) || б II2-
Функционал р удовлетворяет, таким образом, B1.181) и
B1.1811), так что ЛГ(р)<|||[|2. По B1.20) р—ограниченный
линейный функционал, по норме не превосходящий ||?||г, и
\\ТА\\> = <Тх-х1, 1> = Р (*'*)< М1II *~* II <
<ИШ1*~*11<Ша)И2.
Извлекая корень, получаем A). []

408
Гл. 5. Свертки и представления групп
Исследуем теперь связи между положительными
функционалами на ~-алгебре А и ^-представлениями ее, уже
отмеченные в B1.15).
B1.23) Теорема. Пусть Т и Т'—два циклических
^-представления ~-алгебры А операторами на гильбертовых
пространствах Н и IV соответственно, с циклическими векторами
^ и С'. Если равны положительные функционалы р(х) = (Тх1„ ^>
и р' (х) = <Т'х1>'у С'>, то представления Т и Т' эквивалентны.
Доказательство. Для любых ху у^А имеем
Р (У~х) = <7Х Ту& = р' (у-х) = <ГЖ', Тр>.
Поэтому отображение И?, определяемое формулой ИР (Тх^) =
= Т'Л,'9 есть линейное, сохраняющее внутреннее произведение,
отображение {Тх& х^А) на {Т&': х ^ А\. Поскольку эти
последние множества плотны в Я и Я' соответственно, то
отображение ЦР продолжается до линейной изометрии между Я и Я'.
Для любых х> у^А тогда
тху-*ту?^т^
утху-*т'1' = г*? = гхту?.
Таким образом, ЧРТХУ7~1 = Т'Х на плотном подпространстве
{Т'уЪ': у € А) в Я' и потому имеет место на всем Я'. Это и
есть эквивалентность Г и 7" вымысле B1.8). []
B1.24) Теорема. Пусть А—некоторая банахова ~-алгебра,
а р—такой положительный функционал на ней, что
A) р(Х~)=р(х)
и
(и) \р(х)\*^ар(х~х) (а>0)
для любого х(^А. Тогда существует циклическое
^-представление Т алгебры А операторами на гильбертовом пространстве Н
с циклическим вектором ^ такое, что
A11) р(х) = <Тх%, &> для любого х^А.
1 Доказательство. Положим Аг = А, если алгебра А содержит
единицу, и А1 = Аа в противном случае. По B1.18) существует
положительный функционал рг на А1У согласующийся с р на А.
Мы^сейчас построим представление Т алгебры А1У
удовлетворяющее AИ) для любого х ^ Аг. Рассмотрим вначале множество
В = {х^А1: рг (х~х) = 0\. Для любых у €.Аг и х^В имеем
р1(ух)^=0у поскольку, в силу B1.1711),

$ 21. Введение в теорию представлений
409
Если х1У х2(^В, то
Р1 A*1+*.Г (*!+*!)) =
= рг (х^хг)+рг (х;хх)+рг (х^х2)+р (х;х2) = о
и, при а^/С и х^Ву р1((ах)~ах) = \а\2р1(х~х) = 0. Если у^Аг
и х^В, то рг{(ух)~ух) = рг((х~у~у)х) = 0. Далее, В замкнуто
в А19 поскольку рх непрерывно B1.19). Таким образом, В —
замкнутый левый идеал в Аг.
Образуем пространство Ах/В (см. (В.2)), обозначая его
элементы х + В, у + В> ••• через ^, г), ... Если хг—х2^В и
Уг—Уъ^В, то
Рг {УгХ^—Рг (*/а~*2) =рх №(хг—Хш)) + рг ((уг—уъ)~Х2) =
= 0 + р1(х;{у1—уш)) = 0.
Следовательно, функция ({-, г\)*—>р1 (у~х) корректно
определена на Аг/В; будем писать <|, ц> = р1 (у~х) для х^% и г/^т).
Очевидно,
<1, Т1>=.<4, 1>, A)
<а&, п>=«<5. Ч>. C)
<&, &>>0, если ^0, D)
для любых ^, т)^Л1/5 и а^/С- Таким образом, Лх/5 —
пространство с внутренним произведением (вообще говоря, не
полное). Для любого х^Ах пусть Тх—такой оператор на Аг/В,
что Т'х(у + В) = ху-\-В\ поскольку В есть левый идеал, такой
оператор определен. Очевидно, соответствие х\->Т'х есть
представление алгебры Аг. Покажем ограниченность каждого Тх.
Зафиксируем для этого у^Аг и рассмотрим функцию цх на А1У
определенную для х^Аг формулой д1(х) = р1(у~ ху). Очевидно,
^ есть положительный функционал на Аг и д1(и) = р1(у~у)
(как обычно, и—единица алгебры Аг). По B1.19) имеем
\яЛх)\<*Р1(У~У)\\х\\ Для любого -х€А1:
Мы можем теперь вычислить
<Т'хг\, Т'хт\> = <ху + В, ху + В> = рг((хуУ (ху)) = -
- цх (х~х) < рг {у"у) || х~х || < рг {у"у) || х ||2 - <т), ц> || х ||2.
Таким образом, Тх—ограниченный оператор на пространстве
Аг1В с внутренним произведением и
га<|иц.
E)

410 Гл. б. Свертки и представления групп
Кроме того, имеем
<Т'Х% Ь=*<Т'х(у + В), г + В>=Р1(г~(ху))^
= Рг((х~г)~У) = <У + В> х~г + В> = <ч\у Тх-&. F)
Наконец, пусть Я—пополнение пространства А1/В.
Каждый оператор Т'х допускает единственное продолжение на Я;
обозначим его Тх—также ограниченный оператор. Легко видеть,
что соответствие х*->Тх есть представление Аг ограниченными
операторами на Я, и равенство F), сохраняющееся при
переходе к Я и Тр показывает, что это — ^-представление.
Неравенство |)^|Х1|^1| для любого х^Ах следует из E) (см.
также теорему B1.22)).
Остается показать, что представление х*->Тх> суженное
на Л, циклично. Пусть 1 = и-{-В. Тогда
{Т'х(и + В): хеА1\ = {х + В: хЬАг} = Аг1В.
По определению Я, следовательно, С—циклический вектор для
представления х*->Тх алгебры Ах. Более того, <ТХ1„ & =
= р1(ц~х) = р(х) для любого х ^ А. Тем самым в случае АХ = А
доказательство закончено. Если алгебра А не содержит
единицы, т. е. Аг = Ли, изменим определение Я. Пусть Нг =
= {Ъ€Н: ТхЬ = 0 для любого х$А), Н2 = Н± и С = Ь + С«, где
^У^Яу, /=1, 2. Тогда для любого х^А имеем
р (х) - <7Х ^> = <7^1 + Т,С,. Ь + О =
поскольку Т^а^Яа по B1.9). Легко проверить, что линейное
подпространство {а^2-\-Тх12: а^/С, #€Л[ плотно в Я2,
поскольку ||о«1 + ГЛ-611|<||а(С1 + С1) + ^Й1 + С.)-(Ь + 6,I1
для любого Е = Б1 + 81€#, а Л1/В = {аС + 71жС: а-€К, *€^}
плотно в Я. Предположим, что элемент т]2€Я2 ортогонален
всем 7у;2, х$А. Тогда
0 = <Ч„ ^-(аи+2,С1> = <71ут|1, а^2 + Г^2>
для любых у, г$А и а€/0 Следовательно 7^т)а = 0 для любого
#(:Л, так что тJ = 0 и {Тх%2: х^А\ плотно в Я2. Заменяя
в утверждении теоремы Я и ^ на Я2 и ^2 соответственно, мы
и заканчиваем доказательство. []
B1.25) Теорема. Пусть А—некоторая ~-алгебра, Т—ее
циклическое ~-представление операторами на ненулевом
гильбертовом пространстве Я и ^—циклический вектор. Пусть
р—положительный функционал на Л, определенный формулой
р(х) = <ГХ С>. Тогда Л1(р) = <Б, С>.

$ 21. Введение в теорию представлений
411
Доказательство. Поскольку Я=^={0}, найдется такой
элемент х€. А, что Тх^^0. Для любого такого х
IР (*) I2 _ 1 <ТХЪ 1> I2 ^ 11 г*С II2 IIСII2 _ ^ ^
Р(*~*) ~ <т\^, тхх> ^ ||г^11а ^ *"'
Из определения в B1.20) числа М(р) следует, что М (р)<
^<2» 2>. Обратное неравенство получаем в силу цикличности
представления: если выбрать элемент х^А так, чтобы
\\ТХ^—2|| было достаточно малым, то и \<ТХ1,У 2>—-<2> ^>|^
^||Г*2—Е||"Ц 21| мало, и, в силу элементарных соображений
I <Т I 1> I2 I! С II4
непрерывности, ц/ еп2 произвольно близко к * ' =
= <Е* О. ?
Читателю, желающему изучить спектральную теорему,
рекомендуется предварительно прочитать (С.36) — (С.42), поскольку
в B1.30) необходима теорема (С.42), в то же время для
чтения пунктов (С.36) — (С.42) нужны некоторые предшествующие
теоремы § 21.
По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, нам
особенно важны представления групп, полугрупп и алгебр, не
допускающих собственных замкнутых инвариантных
подпространств.
B1.26) Определение. Пусть {М\ — непустое множество
непрерывных линейных операторов на топологическом линейном
пространстве Е. Если {0} и Е суть единственные замкнутые
подпространства в Е, инвариантные относительно всех М, то \М)
называется неприводимым. В противном случае множество {М\
приводимо, и мы говорим, что любое замкнутое собственное
инвариантное относительно всех М подмножество Р<^Е
приводит {М\. Представление Т алгебры А называется
неприводимым, если неприводимо множество операторов {Тх}хел\
аналогично определяется неприводимость представления V
полугруппы 5.
Следующий факт важен при исследовании понятия
неприводимости.
B1.27) Теорема. Пусть Т—некоторое ~-представление
~-алгебры А операторами на гильбертовом пространстве Я,
ЬаН—замкнутое линейное подпространство в Н и Р: Н—>Ь —
соответствующая проекция. Тогда Ь приводит Т тогда и
только тогда, когда
A) РТХ = ТХР для любого х$А.
Доказательство. Если Ь инвариантно относительно Т, х$А
и |€#, то Р1$Ь, ТХР1$Ь и потому РТХР% = ТХР%. Таким

412
Гл. 5. Свертки и представления групп
образом,
ТХР = РТХР. A)
Применяя операцию сопряжения, получаем
рт;=рт;р
РТХ~ = РТХ~Р B)
для любого х^А. Заменяя х на х~ в B), находим
РТХ = РТХР;
последнее равенство вместе с A) дает A).
Обратно, если A) выполнено, ^^Ь и х^А, то Р(ТХ1) =
= ТХ(Р%) = ТХ%У так что ТХ\^Ь. Значит, Ь инвариантно
относительно Т. ?
B1.28) Теорема. Пусть У—представление группы О
унитарными операторами на гильбертовом пространстве Н.
Пусть, далее, Ь—замкнутое линейное подпространство в Я,
и Р: Н—*Ь—соответствующая проекция. Подпространство Ь
тогда и только тогда приводит V, когда
A) РУХ = УХР для любого х^О.
Доказательство. Поскольку Ух =УХ-1У достаточно повторить
рассуждения из B1.27). []
B1.29) Замечания. Ясно, что всякое представление
полугруппы или алгебры операторами на одномерном комплексном
линейном пространстве неприводимо. Любое одномерное
представление алгебры А можно рассматривать как
мультипликативный линейный функционал на Л в смысле (С. 12).
Одномерные представления полугруппы О можно рассматривать как
комплексные функции % на 5, для которых
(О %(ху) = %{х)%(у) Для любых ху у$8.
Нам пригодятся в дальнейшем обе эти интерпретации.
B1.30) Теорема. Пусть Т — некоторое ~ -представление
~-алгебры А операторами на гильбертовом пространстве Н,
отличное от нулевого представления. Следующие условия
эквивалентны;
@ Т неприводимо;
(и) каждый ненулевой вектор в Н является циклическим
для Т;
A11) со всеми ТХУ х$А9 коммутируют лишь те ограниченные
операторы, которые имеют вид а/ (а^/С),

$ 21. Введение в теорию представлений
413
Свойства (г) — A11) эквивалентны также для каждого
унитарного представления V группы О.
Доказательство. Проведем доказательство только для А
и Г; для О и V оно проводится вполне аналогично. Пусть A*)
выполнено, и Ы = {%€Н: Тх% = 0 для любого х^А\. Тогда
множество N замкнуто и инвариантно относительно Т, так
что либо N = {0}, либо Ы=Н. Последнее равенство возможно
лишь для нулевого представления Г, так что УУ = {0}. Далее,
если 1^Н и %Ф0, то подпространство Н1 = {ТХ& х^А\
инвариантно относительно 7\ и Н1Ф{0\. Поскольку тогда и #~
инвариантно, то Н^=Н. Поэтому из A) следует (И). Если A)
не выполнено, и Нг — собственное замкнутое инвариантное
подпространство в Я, то ни один вектор из Ях не может
быть циклическим для Т в Я. Значит, A) и (и) эквивалентны.
Рассмотрим теперь A) и A11). Если A) не выполнено, и Н1—
собственное замкнутое инвариантное подпространство в Я, то
оператор Р проектирования на Н1 коммутирует со всеми ТХ9
х$А, по B1.27), но не имеет, очевидно, формы а/, так что
A11) также не выполнено; мы доказали, таким образом,
импликацию (ш)=>A). Пусть, наконец, A) выполнено, и В —
ненулевой эрмитов оператор на Я, коммутирующий со всеми Тх.
Пусть {Рг: ^€:Н) — семейство проекций на Я для оператора В,
построенное по спектральной теореме (С.42). Согласно (С.42П),
каждое Рг коммутирует со всеми Тх, и потому либо Рг = 0,
либо Р* = / B1.27). По (С.421) существует вещественное
число @ такое, что Рг^0 при I < 10 и Р4 = / при 1>@.
(С.42.у) показывает поэтому, что В = 101. Если теперь
В—любой ограниченный оператор, коммутирующий со всеми Тх, то
ТХВ~ = (ВТХ~)~ =(ТХ~В)~ =В~ТХ для любого х$А. Представ-
ляя В в виде —~ \-г—^—> видим, что В есть линейная
комбинация эрмитовых операторов, коммутирующих со всеми Тх9
так что В=а1 для некоторого а. []
Мы теперь собираемся показать, что любое ненулевое
^-представление банаховой ~-алгебры А порождает
некоторое неприводимое Представление. Для этого мы введем
сначала частичный порядок во множество всех положительных
функционалов на ~-алгебре.
B1.31) Определение. Пусть А — некоторая ~~алгебра, а р
и ^—положительные функционалы на А. Если существует
такое а^/С, что функционал ар — ц пс^ложителен, то мы
пишем р><7 [или ^<р].
Заметим, что ос в B1.31) всегда можно выбрать
положительным: если <7(лГл:) = 0 для каждого х^А, пусть а = 1; если
<7(*о*о)>0 для некоторого хр^Л, то & положительно по

414
Гл. 5. Свертки и представления групп
неравенству д (ХоХ0)^ар (ХоХ0). Легко показать, что символ <
действительно приводит к частичному упорядочению (р<р; из
р<<7 и <7<г следует р<г) и что 0<р.
B1.32) Теорема. Пусть А—некоторая банахова ~-алгебра
и р—положительный функционал на А, удовлетворяющий
условиям B1.241) и B1.2411). Пусть, далее, хь^>Тх, Н и %—теме,
что в B1.24). Пусть, наконец, д—положительный функционал
на А, удовлетворяющий условиям B1.241) и B1.24П), для
которого д<р. Тогда существует положительно определенный
эрмитов оператор В на Н, коммутирующий со всеми Тх (х^А),
такой, что
A) <7(#) = <Я7У;, Ъ> для любого х^А.
Обратно, если В есть положительно определенный эрмитов
оператор, коммутирующий со всеми Тх, то \\) определяет
положительный функционал д на А, удовлетворяющий условиям B1.241)
и B1.2411), для которого д<р.
Доказательство. Удобно сначала доказать обратное
утверждение. По (С.35) существует единственный положительно
определенный эрмитов оператор С на Н такой, что С2 = В;
оператор С коммутирует со всеми операторами из 33 (Я),
коммутирующими с В, и потому С коммутирует со всеми Тх.
Пусть я(х) = <ВТхЫ>. Тогда
ц (х) |2 = \<ВТХЪ, 1У |2 = \<ССТХ1, $> |2 = \<Тха, С^>|2 <
< \\тха II2 ц а и2=<тхсъ, тха> \\ а ц2=
= <ВТХЛЛ> \П ||2 = Я(х~х)\\(Х ||2.
Следовательно функционал д удовлетворяет условию B1.24Н)
с а = ||С^||2. Свойство B1.241), линейность и положительность ц
очевидны. Так же ясно, что функционал ар — д положителен
при а^|| В || [в смысле нормы, определенной в (Б.8)].
Прямое утверждение настоящей теоремы более интересно
и доказывается сложнее. Предположим, что д —
положительный функционал на Л, удовлетворяющий условиям B1.241)
и B1.2411), для которого <7<р. Тогда существует такое
положительное а, что
О^д (х~х)^ар (х~х) для любого х^А. A)
Пусть Н- = {ТХ^: х^А\. Тогда Н' есть плотное линейное
подпространство в Н B1.24). Для любых, х, у^А пусть
Ф(ТЛ,ТуО = д(у~х). B)
Функция Ф действительно определена корректно на Н'хН*.

$ 21. Введение в теорию представлений
415
Если ТхЪ = ТХхЪ и Ту1 = ТУ1Ъ, то Г*-*,е = 7^,-^ = 0, так что
Р((Х—Хг)~ (Х—Х1))=р((у—У1)~ (У—Уг)) = 0.
Значит, по A) и B1.17П) имеем
\д(У~х)—д(у;хг)\^\ч((у~—у~1)х)\ + \д(у;(х—х1))\^
< Ц (Х'ХУ* Ц ((у-Уг)~(У-Уг)Уи+
+ ц ({х- хх)~ (Х—Х^УЬ <7 {у'хУгУ' = 0.
Очевидно, Ф есть билинейный функционал на Н'хН' (В.4).
Далее,
|Ф(Т& Ту1) \ = \ч(у~х) |<ц{х~ху.я(у~уУ><
< ар [х'хуи р {у~уу/. = а || Т& || || Ту11|.
Значит, Ф непрерывен и может быть единственным
образом продолжен до билинейного функционала на НхН. Как
отмечалось в (В.60), существует такой ограниченный
оператор В на Я, что
Ф(Ъ,ц) = <ВЪ, г)> для любых 6, ц^Н. C)
При этом для любых х, у^А имеем
<ВТЛ, Ту1> = Я (у~х) =7@) = <ВТ^,ТХ& = <Т& ВТу1>.
Поэтому оператор В эрмитов. Аналогично, имеем <57^, Тх&> =
= <7(л;~л;)^0, так что В—положительно определенный
оператор. Для любых х, у у г^А имеем
<ВТхТ^Т& = ц(г~ху)
и
<ТХВТУЪ ТЛ>^<ВТу1у Тх~А> = д((х~г)~ у) = Ч(г-ху).
Поскольку Н' плотно в Ну получаем <ВТХ%, ц> = <ТхВ%, т]> для
любых 1у т]^Я. Тем самым доказано, что В коммутирует
с каждым Тх.
Из B) и C) получаем
ц (у~х) = <ВТХЪ, ТуЪ> = <ВТу-хЪ С> при ху у 6 А. D)
Остается показать, что выполнено A) [факт, требующий
доказательства, лишь если алгебра А не имеет единицы].
Рассмотрим для этого функционал <у+ на Л, определенный формулой
ЯЦх) = <ВТх^& при *еЛ. E)
Как показано выше, функционал ^ положителен и
удовлетворяет условиям B1.241) и B1.24П). Поэтому найдутся такие
гильбертово пространство #1 и циклическое
^-представление х\->81 алгебры А операторами на № с циклическим

416
Гл. 5. Свертки и представления групп
вектором ^", что
яЧх) = <8&Л*> при х$А. F)
Аналогично, функционал ц может быть записан в виде
где ян-»5++—циклическое ^-представление А операторами на
гильбертовом пространстве Я*1* с циклическим Еектором ^.
Определим линейную изометрию I) между Я+ и Я++ следующим
образом: и 8'^ =5^1' для любого х^А. Отображение 0 есть
линейное, сохраняющее норму и внутреннее произведение,
отображение плотного в Я* подпространства на плотное в #++
подпространство, как показывают D) — F). Легко проверить,
что отображение V может быть продолжено до линейной изо-
метрии между Я* и #++. Из 'определения V следует, что
^E+E+С+)) = 5++(^/5+С+) для любых *, у$А\ поскольку
множество {8%^: у€А\ плотно в Я1*, имеем 1181& =8^1!%* для
любых х € А и |+ ^ Я1".
Для любого х^Л имеем
<^, $№*> = <8?~1Л?, ?Ъ = <1/5+-С+. ?+|> =
Отсюда следует, что Ц^ =&*, так что для любого х^А
Я (х) = <5^, С+> - <$!№. Ц?> =Ф8к\ У?> =
Это и есть A). []
B1.33) Теорема. Пусть А — некоторая банахова ~-алгебра,
и Ан — множество всех эрмитовых элементов в А. Тогда Ан есть
вещественное банахово пространство. Обозначим Р множество
всех положительных функционалов р на А, таких, что
(О р(*~)=Р(*)
и
(И) |р(х) |< р. (я**I''
для любого х^А. Каждый элемент из Я, суженный на Ан,
является вещественным ограниченным линейным функционалом
на АНу по норме не превосходящим 1. Рассматриваемое как
подмножество в. А1, Р есть выпуклое множество, компактное в
слабой ^-топологии на А*н (В.24).
Доказательство. Условие (И) совпадает с условием М (р)^1
(р=^0). Из B1.20) следует поэтому, что каждое р^Р есть

$ 21. Введение в теорию представлений
417
ограниченный линейный функционал на Л с нормой, не
превосходящей 1. Легко проверить, что Ан — вещественное
линейное подпространство, замкнутое в А. Поэтому
Ан—вещественное банахово пространство. Рассмотрим произвольный элемент
Р^Р. По A) р принимает на Ан вещественные значения, и,
очевидно, линейно. Норма р не может возрасти при переходе
к подпространству Лл, так что ||р||^1 на Ан.
Если нам дан вещественный линейный функционал / на Ан,
для которого | / (х) |^/ (х~ху/г = { (х2У!\ мы можем пытаться
выяснить условия, при которых / есть сужение на Ан
некоторого функционала из Р. Каждый элемент из А может
быть представлен единственным образом в виде х-\-1у с ху у ^ Ап
B1.7). Поэтому единственное возможное линейное
продолжение / должно иметь вид р (х-\-гу) = / (х) + 1[(у). Очевидно, р
есть комплексный линейный функционал на Л. Если р^Р, то
для ху у^Ап имеем
IР (х + 1у) |2 <Р ((х—1у) (х+ гу)) = р (х*+у* + г (ху—ух))
или, эквивалентно,
1Чх) + Щу)<:П^) + 1(У2) + 1(Цху-ух)).
Подобным образом должно быть
/2 (х) + /2 (У) < / (*2) + / (У2) +1 (I (ух-ху)),
и поэтому неравенство
/2 (х) + !Чу) + \! (I (ху-ух)) | < / (х*) +1 {у*) A)
является необходимым условием для того, чтобы функционал /
из А\ был сужением на Ан элемента из Р. Обратно, если
A) выполнено для /, то р есть положительный функционал на
Л, удовлетворяющий A) и (и). Поэтому ||/||^1 для любого
/<ЕЛ2, удовлетворяющего A). Следовательно, множество Р,
рассматриваемое как подмножество в А%, есть подмножество
единичного шара в Л^, определенное условием A). Как всякое
такое множество, Р очевидно замкнуто в слабой ^-топологии
и потому компактно (В.25). Наконец, A) и (и) эквивалентны
существованию положительного продолжения р+ на Ля, для
которого р+(а)^1. Это и показывает выпуклость Р. []
B1.34) Теорема. Пусть Л, Ан и Р — те же, что в B1.33).
Ненулевой элемент р ^ Р является крайней точкой Р тогда
и только тогда, когда М(р) = \ и представление х*->Тх
алгебры Л, построенное в B1.24), не приводимо.
Доказательство. Очевидно, что 0 является крайней
точкой в Р. Если р $Р и 0<М(р)<и то р^М{р)A^~ \ +
14 Э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

418
Гл. 5. Свертка и представления групп
+ A — М(р))-Оу так что р не является крайней точкой в Р.
Предположим, что р ^ Р, рфО и что представление х*->Тх
алгебры Л, построенное в B1.24), приводимо, т. е.
существует замкнутое линейное подпространство Нгс:Н,
инвариантное относительно всех Тх и {0}=^ НгФ Н. Пусть Н2 = Н11. По
B1.9) Я2 также инвариантно относительно всех Тх.
Представим ^ из B1.24111) в виде 1г + ^ где Б/€#/ (/=1»2). Легко
видеть, что ^1=7^0, ?2^0 и что
р (х) = <т& &=<тхь+тхъ» ъ+и> -
= <ТЛи Ь> + <Т&%, Ъ> = рг (Х)+Р2 (*),
причем функционалы рг и р2 оба принадлежат Р. Мы
утверждаем, что ргф0 и р2ф0 и что не существует вещественной
константы к такой, что р* — крг. Поскольку представление Т —
циклическое, найдется элемент х € А, для которого || Тх%>—^ || <
<||Ь||. Значит,
I Рг (*)-<&, Ь> | = | <ТАг> С1>-<Ь. Б1> I =
= |<гхс-С1, Ь>| <И^С-Ь II• II ^ II < <С1, Ь>.
Поэтому ргФ0. Аналогично показывается, что и р2ф0.
Предположим теперь, что р^ — кр^ где х—некоторое [необходимо
положительное] число. Выберем положительное б так, что
6< *НЫ1' A)
и элемент а^А так, что \\Та^—и < б. Тогда
\<ТЛи &1> — <Сх, Ь>\ = \<ТаЬ ^>-<С1, &>|<
<1|7'.5-С1||-!1С1||<в||С1||.
и поэтому
к^л-^Жх^-б ий- B)
Аналогичные вычисления показывают, что
к^сонк^х с»>—<Сх, ок цт'.с—СхН-к, и < б ни. (з>
Из A) получаем
ьПЛ<*Ш\2-ь\Ы)- D)
Объединяя B), C) и D), получаем
\<ТЛЛ*>\<к\<ТЛ1ЛЛ
т. е. приходим к противоречию.

$ 21. Введение в теорию представлений
419
Наконец, пусть ^^Р/(/_-Л, 2) и < = ^. По B1.25)
имеем
М(р) = <Ь Б> = <Сх, 0 + <С2, ^2> = Л1(^1) + Л1(ря),
так что
Р = Р1+Р*=*Ч1+A— 0^2-
Следовательно, р не есть крайняя точка Р.
Обратно, предположим, что М (/?)= 1 и что представление Т
неприводимо. Пусть р не является крайней точкой Р. Тогда
р = /р1 + A — 1)р2, где 0<*<1, М^ХЬ Л4(р2)<1, р^Л-
Неравенство Л4 (р)^Ш (/?г) + A— /) М (р2) показывает, что
тогда М (/7Х) = М (р2) = 1. Поскольку у р —/>! = (-у-)ра» мы
видим, что /?>/?! и по B1.32) существует положительно
определенный эрмитов оператор В на Я такой, что
р1(х) = <ВТхЬ& для любого л; $А9
причем В коммутирует со всеми Тх. Значит, по B1.30) В = а1
для некоторого неотрицательного а и потому р1 = ар.
Поскольку М (р2) = М (р) = 1, имеем рх = /?,— пришли к противоречию.]]
B1.35) Теорема. Пусть А — некоторая банахова ~-алгебра,
р — любой функционал из Р, \хг, ..., хт) — конечное подмножество
в А, а г — произвольное положительное число. Тогда существуют
ненулевые крайние точки р17 ..., рп в Р и положительные
п
числа 1г, ..., 1п такие, что 2 ^^1 и
н=\
@ I Р (*/) — УгРг (*/) + 12р2 (*у) + . . . + 1прп (Ху)) | < 8
(/=1, ..., т).
Доказательство. Утверждение прямо следует из теоремы
Крейна — Мильмана (В.30). Действительно, выпуклые
комбинации крайних точек в Р плотны в слабой «-топологии
Р как подмножества в А\. Этим A) установлено для
эрмитовых элементов хг, ...,хт в А. Поскольку каждый элемент
х^А имеет вид у-\-ьг с у> г^Ан, утверждение A) верно и для
произвольных х1У ..., хт^А. []
B1.36) Следствие. Пусть А — банахова ~-алгебра и для
некоторого х^А существует функционал р (= Р, для которого р (х)Ф0.
Тогда в Р есть крайняя точка ц такая, что д(х)^=0.
Утверждение прямо следует из B1.35).
Приводим теперь основную теорему о представлениях
~-алгебр.
.14*

420
Гл. 5. Свертки и представления групп
B1.37) Теорема. Пусть А— некоторая банахова ~ -алгебра и
х^А. Следующие условия эквивалентны:
@ существует такой функционал р^Р, что р1(х)ф0\^
(и) существует такой функционал р2^Р, что р2(х~х) > 0;
(III) существует такое ~-представление Т алгебры Л, что
(IV) существует такое неприводимое ~-представление 8
алгебры Л, что 8хф0.
Доказательство. Неравенство \р1(х)\2^.р1(х'шх) показывает,
что из A) следует (и). Если (И) выполнено, то по B1.36)
существует крайняя точка д^Р, такая, что д(х~х)>0.
По B1.34), ^-представление 5 алгебры Л, для которого
д(х)==<8х1>9 ^>, неприводимо. Поскольку д(х~х) =||5*^||2 > 0,
имеем 5^^0. Поэтому (IV) выполнено. Ясно, что из (IV)
следует (ш).
Наконец, чтобы доказать импликацию (ш)=>@ рассмотрим
^-представление Т алгебры Л операторами на Я, для
которого ТхФ0. Если <Тх1, |> = (Гдля любого 1^Н, то по (В.58)
было бы Тх = 0—противоречие. Выбирая^в качестве рг функцию
рг(у) = <Ту1У %> для некоторого^ такого, что рг (х) Ф0 и || 11| = 1,
получаем A). []
Дополнительные теоремы и примеры
B1.38) Следующие примеры показывают необходимость
предположений теорем B1Л8) и B1.19).
(а) Пусть X — непустое компактное хаусдорфово
пространство и Л = @(Х). Снабдим Л обычными линейными операциями
и тривиальным умножением /•§• = () для любых /, §^А. Пусть,
далее, /~ = / для любого /€^?и ||/|| = тах{| [ (х) |: х^Х\. Тогда
Л является^ банаховой ~-алгеброй без единицы, и каждый
линейный функционал на Л положителен.^Зафиксируем
некоторое а^А и рассмотрим функционал р([) = [(а) для любого
/^ Л. Тогда р — непрерывный положительный линейный
функционал, || р || = 1 и р(Г) = Р(П Для любого /^ Л. Однако ни
для какого вещественного и неравенство \р(() \2^кр({~ -})
не выполняется, так что функционал р не продолжаем на Аа.
Если д = 1р> то д—также непрерывный положительный
функционал нормы 1, причем д (/~) может не равняться д{1).
Если множество Х^бесконечно, то Л допускает разрывные
линейные функционалы. [Пусть^ЗЗ — базис Хамеля в @(Х) над
К такой, что Ц/Ц^! при / ^33; определим функционал д0 на
33 так, чтобы он не был ограниченным, и продолжим его на
©(X).] Следовательно, алгебра Л—банахова ~-алгебра,
допускающая разрывные положительные функционалы.
(Ь) Пусть X — локально компактное хаусдорфово
пространство и пусть &00(Х) допускает неограниченный неотрицатель-

$ 21. Введение в теорию представлений
421
ный линейный функционал /. Такой функционал существует,
например, если X не является счетно компактным; см.
A4.2). На Л = @00(Х) определим поточечно линейные
операции и умножение. Для любого /(^Л пусть [~ = [ и \\[\\=
= тах{|/(х)|: х^Х}. Тогда Л — неполная нормированная
~-алгебра без единицы, а / — разрывный положительный
функционал на Л. Кроме того, неравенство / (|Л)^и/ (?~1У/г не
выполняется ни для какого вещественного и.
п
(с) Пусть Л состоит из всех полиномов / (г) = 2 аьгк> 2 € К*
с комплексными коэффициентами. Определим в Л
поточечно линейные операции и умножение и положим
Г (*)=2«*г*. ||/|| = тах{|К0|: 0<*<1}.
Заметим, что /"/(/) = |/(*)|а для любых / ^ Л и?€#. Очевидно,
Л — неполная нормированная ~-алгебра с единицей. Определим
функционалы р, ц для любого 1^А равенствами р({) = 1A) и
^(/) = /B). Тогда, очевидно, /7—непрерывный положительный
функционал на Л, а ^—разрывный положительный функционал
на Л. Существование такого функционала ц показывает, что
B1.19) может не иметь места для неполной алгебры Л.
(й) (Годеман [2].) Пусть О—недискретная локально
компактная группа. Рассмотрим ©Оо@) как подалгебру в ^(О), а
последнюю в свою очередь идентифицируем с Ма{0).
Определяем, таким образом, для любых /, ё^^0о@)
!*§(х) = 1!(у)ё(у-1х)йу, Г(^)=ш^рГ)' ИИ/И'=1|/|Л-
а а
Тогда ©оо (О)—плотная подалгебра в ^(О) [тот факт, что
?*86@оо (О) для любых /, ^€©оо (С), был получен в
доказательстве теоремы B0.16)]. Отображение
есть неограниченный положительный функционал на @0о@).
Он удовлетворяет условию /?(/~) = р(/), но не удовлетворяет
условию |р(/)|2<кр (Г*!)- Заметим, что р(Г */) = ||/ ||*.
B1,39) Если Л — банахова ~-алгебра и р — положительный
функционал на Л, удовлетворяющий условиям B1.181) и B1.1811),
то ||р\\^М (р) < оо по B1.20). Изучим теперь это неравенство.
(а) Предположим, что Л—банахова ~-алгебра и что для
любых х$А и е>0 существует такое ю^Ау что ||о||<1 и
||я—1ж|| <в. Еоли р — положительный ненулевой функционал

422
Гл. 5. Свертка и представления групп
на Л, удовлетворяющий B1.181) и B1.18П), то ||р|| = А1(/?).
[Пусть х—фиксированный ненулевой элемент из Л и пусть
е > 0. Выберем такое у € Л, что ||а||<1 и \\х—ая||<——-^ .
Тогда
\\р(х)\*-\р&х)\*\^\р(х)*-р&х)*\ =
= \р(х) + р&х)\-\р (х)—р(то) |<
<1М1 {N1 + 11**11} \\Р\\\\х-Щ<Чр\\ЧхП*-™\\<*>
и, следовательно, по B1.1711),
\р(х)\*<\р(ух)\* + е^р(х~х)-р№~) + г^
<р(х~х)\\р\\\№~\\ + *<р(х~х)\\р\\ + г.
В силу произвольности е, получаем \р(х)\2*^.р(х~х) \\р\\.
Следовательно, М (р)^\\р\\>]
(Ь) [Пусть Л — множество всех ограниченных комплексно-
значных функций /, определенных и аналитических на
открытом единичном диске О = {г ^ К: I г | < 1}, для которых / @) = 0.
Превратим Л в алгебру, определяя поточечно линейные
операции и умножение, и для любых [^А и г^В полагая
1(г) = 1(г) и НЛ1 = 8иР{ |/(г)|: г^й}. Тогда Л —банахова
—'-алгебра без единицы. Для данного г], 0<т)<1, существует
положительный [функционал р, удовлетворяющий условиям
B1.181), B1.18И), ||р||<т1 и М(р)>1. [Выберем сначала
неотрицательную непрерывную функцию хю на [0, 1] такую, что
\^тA)(И=^\ и ш([г), 1]) = 0. Тогда ^ 1хюA)й1^л\. Определим для
о о
любого /^Л функционал р равенством
Очевидно,
скольку
о
р — линейный функционал, положительный, по-
р(г/)=5г(о/(о^(ол=5|/@1виол>о.
о 6
Условие B1.181) очевидно выполнено, а B1.18Н) следует из
неравенств
I/></)!* =
\Ц1)у»A)сИ
$|/(*)И0М<
< ^ Г (') / @ «> С)« а = хр (ГП,

$ 21. Введение в теорию представлений 423
где и^тах {хюA): 0<^^1}. Лемма Шварца для аналитических
функций показывает, что из [^А и ||/||<1 следует |/@1^'»
0^^^1, и потому
1 1
1р(/)к!|/('Iи<)й<1^(р<1.
о о
Значит, || р || <!г].
Пусть к—функция на [0, 1], определенная условиями AA)=\
при / >0 и о!@) = 0. Для каждого л =1,2, ... определим
/я(г) = 1 —A—г)я. Тогда при ^6[0,1] имеем Нт !п{1)^й{1).
П -V 00
По лемме Лебега о мажорированной сходимости
1 1
•) п -> оо ^ /г -> оо
И
1 = Г а, (/) <и = нт Г /;(/) ;я (/) ш (/) ^ = Цт р (/;/„).
« п -> оо «* /г -> оо
Следовательно,
B1.40) (а) Каждое конечномерное ^-представление 7"~-ал-
гебры А [унитарное представление V группы О] есть прямая
сумма конечного числа неприводимых ^-представлений
[унитарных представлений]. Если первоначальное представление
есть непрерывное отображение А [или О] в алгебру всех
операторов на пространстве представления, то непрерывны и
прямые слагаемые. [Дадим набросок доказательства для
представления Т алгебры А\ доказательство для V и О — аналогичное.
Пусть Н — пространство представления размерности п.
Утверждение тривиально справедливо при п = 1. Пусть оно доказано
для всех Т и II при сПт(#)<п. Если представление Т
приводимо, пусть Н1У 0<ё1т(Я1)<п — инвариантное
подпространство. Тогда и пространство Н^ инвариантно B1.9) и
О < сПт (Я^) < п. По индуктивному предположению,
представление Т есть прямая сумма неприводимых компонент на Нг и
Н^ и потому также на Н. Непрерывность неприводимых
компонент непрерывного представления Т очевидна.]
(Ь) Конечномерное представление, даже непрерывное в
смысле (а), не обязано быть прямой суммой неприводимых

424
Гл. В. Свертки и представления групп
представлений. Простой пример дается представлением V
'О 2Ч
аддитивной группы К операторами на /С2. [Подпространство
#1={(^> 0): 1€К\ в К2 инвариантно, так что V приводимо.
Ортогональное подпространство #^ = {@, I): ^^К\ не
инвариантно, и Н19 как легко показать, есть единственное
одномерное подпространство в К2, инвариантное относительно V.
Значит, V не есть прямая сумма неприводимых представлений.]
(;:>
(с) Рассмотрим алгебру §1 всех матриц! ], где а, р ^/С,
и пусть ('*)=( 1 V Тогда Щ есть ~-алгебра, и
тождество а/ \0 а)
венное отображение 31 на себя приводимо, но не распадается
в прямую сумму неприводимых представлений [аргументы—
те же, что в (Ь)].
(д.) Единственность неприводимых компонент представления
V из (а) будет обсуждаться в т. 2, B7.30); см. также [B7.44),
B7.56).
Замечания. Теория представлений групп и алгебр
развивается уже давно; см., например, замечания к книге Вейля [3].
Определение ~-алгебры принадлежит Гельфанду и Наймарку [1],
и большая часть из настоящего параграфа взята из работы [2]
Гельфанда и Наймарка. Положительные функционалы на Ма@)
впервые появились у Гельфанда и Райкова [2], на ~-алгебрах
у Гельфанда и Наймарка [1]. Циклические представления
~-алгебр с единицей определены Гельфандом и Наймарком [1],
для групп —Годеманом [1]. Теорема B1.11) принадлежит Годе-
ману [1]. Теорема B1.18) также принадлежит Годеману [2];
теоремы B1.19), B1.20) и B1.22) [в случае алгебры с единицей]
принадлежат Гельфанду и Наймарку [2]. Насколько мы знаем,
функция М(р), определенная в B1.20), нова, как и ее
применения в B1.34) и B1.39). При написании настоящего параграфа
мы обнаружили, что требуется известная осторожность при
переходе от случая алгебры с единицей к общему случаю.
Теорема B1.23) принадлежит Гельфанду и Наймарку [2]; ее
аналог для циклических унитарных представлений групп
принадлежит Годеману [1]. Сегал [2] получил главную теорему
настоящего параграфа для замкнутых относительно нормы
~-алгебр операторов на гильбертовых пространствах [С*-ал-
гебр]. См. также Райков [4]. Часть доказательства теоремы
B1.32) взята у Рикарта [1].

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 425
Основная теорема настоящего параграфа—теорема B1.37) —
принадлежит Гельфанду и Райкову [2] для банаховых ~-алгебр
с единицей, и Сегалу [2] для С*-алгебр. Оба доказательства,
и, конечно, также наше, опираются на теорему Крейна—
Мильмана.
§ 22. Унитарные представления локально
компактных групп
В этом параграфе мы изучаем связи между представлениями
локально компактной группы О и представлениями различных
подалгебр алгебры МF). Кульминацией параграфа является
знаменитая теорема Гельфанда—Райкова B2.12),
устанавливающая существование широкого класса неприводимых
непрерывных унитарных представлений группы С.
B2.1) Обозначения. На протяжении B2.1) —B2.21) всюду
О — произвольная локально компактная группа,
Е—произвольное рефлексивное комплексное банахово пространство, а Е~ —
линейное пространство всех ограниченных сопряженно-линейных
функционалов на Е. Значение со^.Е~ на ^^Е записывается
<со, 5>. Как указано в (В.52), каждый функционал из Е~ ~
имеет вид юь-><со, !•> для некоторого фиксированного %€Е.
Поэтому, идентифицируя Г~ с 5, имеем <^, (о> = <со, ^> дЛЯ
любых Ъ,^Е и (й€Е~. За исключением теоремы BМ8), под Н
понимается гильбертово пространство, которое может быть
произвольным или специальным, в зависимости от контекста.
Мы идентифицируем обычным образом Н~ с Я, записывая, как
всегда, <Х, !;> внутреннее произведение элементов ^ и | в Н.
В некотором смысле удобно при рассмотрении представлений
группы О рассматривать ее представления операторами на Е~
вместо операторов на Е. Поскольку мы будем иметь дело лишь
с рефлексивными банаховыми пространствами, это есть просто
соображения удобства, ничего более. Если Е—гильбертово
пространство, то различие вообще исчезает.
B2.2) Определение. Представление V группы О
ограниченными операторами на Е~ называется слабо борелевски
измеримым [слабо %-измеримым, ...], если функция дп—><1^ю, ?>
борелевски измерима [Я-измерима, ...] для любых ы^Е" и %€Е.
Если функция х*-><Ух(йу !;> непрерывна для любых со(=^ЕГ и
^^Еу то представление V называется слабо непрерывным. Если
отображение х\->Ухсо непрерывно как отображение группы О
в банахово пространство Е~ для каждого со€Я~, то
представление V называется сильно непрерывным.

426
Гл. 5. Свертки и представления групп
Покажем теперь, как получить представления алгебры М@)
и ее' подалгебр специального вида по представлениям
группы О.
B2.3) Теоргма. Пусть А — подалгебра алгебры Ж (С), а V—
представление группы О ограниченными операторами на Е~
такое, что ;
(О представление V слабо \\1\-измеримо и слабо |[г|*^|-мз-
меримо для любых \1> ч$.А\
(и) а = зир {||У*||: х^О) конечно.
Тогда для любого \1^А существует единственный оператор Та на
Е~ такой, что
(III) <7>, Б> = $<У*«>, Е>фМ при ®€Е~ и Ъ$Е.
о
Отображение |и-->7,|г есть представление А ограниченными
операторами на Е~, для которого
(IV) || ^ || < а ||[г || при [Х<ЕЛ.
Доказательство. Интеграл в A11), очевидно, существует и
есть некоторое комплексное число для любых со^Е~ и \^Е.
Для фиксированного со^/}~ рассмотрим отображение
5*-*$<1^<о, 5>ф(х) A)
пространства Е в /О Оно, очевидно, сопряженно-линейно, и
в силу
5 <Ух<о, 1> Л\1 (х)
\*ир{\\Ух\\: *€0}|НН1БИЫ1 B)
ограничено. Следовательно, существует такой элемент в Е~,
обозначим его Г^со, что
<7>,-Е>=$<У*<». 1>й\ь(х)
для любого %^Е. Линейность <со, ^> по о> и линейность ^ ... й\л
с
показывают сразу, что отображение соь-^Г^со является
линейным отображением Е~ в себя для каждого фиксированного \\,.
Неравенство (IV) следует прямо из B). Ясно также, что
Тц+у = Та + Ту, и Таа = аТа Для любых [х, V (= Л и а^К.

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 427
Покажем, наконец, что Тц,^-)? = Т11Ту. Используя A9.10),
имеем
<Тр » V®! Ъ> = И <Уху«>> ?> ^ (^ ^ (*) =
=И<кЛ(о' е>л(йфм=
= 5<7>, ул>фм=
а
B2.4) Замечание. Если еа^Л для некоторого а^О, то
Г8а = Уа. В частности, Тее=Уе=1 [см. B1.3)], так что Т
подчинено соглашению B1.5) о представлениях алгебр с единицей.
Мы можем теперь построить сопряженный оператор к Т^,
естественно являющийся оператором на Е.
B2.5) Теорема. Пусть А и V—те же, что в B2.3). Для
каждого х^О пусть Цх—оператор Ух-ч действующий на Е.
Отображение х*—>их есть представление группы О,
удовлетворяющее условиям B2.Зи) и B2.31) для алгебры А~ = {|х~ : [х^А}.
Пусть 8 — представление алгебры Л~, построенное по 0
процессом B2.3). Иначе говоря, пусть
(I) <5ц-Ч, со>- ^ <иЛ> ю>Ф~ (х) при р^А.
с
Равенство
(II) (Т^=3*~
имеет место для каждого \1^А. Если Е — гильбертово
пространство, так что Е = Е~ = Я, если |х~ ^ А при \х^Аи если все
операторы Ух унитарны*), то 5^ = 7^ и соответственно Т есть
~-представление ~-алгебры А.
Доказательство. Очевидно,что V есть представление группы С.
Поскольку <их1, со> = <Уд;-1Со, ^>, B0.230 показывает, что B2.31)
х) В этом вычислении существенно наше предположение рефлексивности
пространства Е. Иначе Ух нельзя было бы рассматривать как оператор на Е;
см. (В.52).
2) В этом случае условие B2.Зп) выполнено автоматически: ЦУ^Ц —1
для каждого х.

428
Г Л. 5. Свертки и представления групп
выполнено для любых [х~, V~€:Л~. Поскольку || (/^11 = 11 У*-11|,
соотношение B2.Зп) справедливо для того же значения а.
Замечая снова, что <^, со>= <со, |>, мы преобразуем A)
следующим образом для произвольного (х^Л:
«о, 5^ 5. > = <5ц~|, ®> = 5 <их1> <*> № (*) =
а
= $ <со, Ух-г1> ОуГ{х) = 5 <^-»о, ЬйуГ (х) = <Г1Хсо, &>.
о о
Тем самым (п) доказано.
Если Е = Е~ =Н, а представление Ух унитарно, то Ух-1 = УХ
и потому 7^ = 5^. Равенство (И) дает поэтому 7,1=7^-, т. е.
Т есть ^-представление. []
B2.6) Теорема. Пусть А—^-подалгебра в Ж (С),
У—представление группы О унитарными операторами на гильбертовом
пространстве Я, удовлетворяющее условию B2.31), и пусть Т—
~-представление алгебры А, построенное в B2.3). Тогда каждое
замкнутое подпространство в Я, инвариантное относительно У,
инвариантно относительно Т. Справедливо частичное обращение
этого, именно: пусть У — слабо непрерывное унитарное
представление группы О и пусть алгебра А обладает тем свойством, что
для каждого непустого открытого подмножества V а О найдется
неотрицательная мера \х^А такая, что |хF0 = 1 и |г((/') = 0.
Тогда каждое замкнутое подпространство в Я, инвариантное
относительно 7\ инвариантно также относительно У.
Доказательство. Пусть Н1—замкнутое подпространство в Я,
инвариантное относительно каждого Ух> и пусть Р—оператор
проектирования на Нг; значит, РУХ = УХР для любого х^Опо
B1.28). Тогда для любых \х^А и |, ц^Н имеем
<Т»РЪ, ц> = 5 <УХРЪ, ц> й\1 (*)= $ <РУХЪ, Ч> а\1 (х) =
а о
о
=<Т&Рч> = <РТгЪ,1\>.
Значит, Т^Р^РТ^ и, согласно B1.27), Нх инвариантно
относительно любого Тр,.
Чтобы доказать второе утверждение теоремы, рассмотрим
подпространство Н1У инвариантное относительно 7\ и
проектирующий оператор Р на Нг. Тогда для любых §, т)^Я и р€А

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 429
имеем
а
= <Т»РЪ, 1\> = \<УХР1, л>ф(*). A)
о
Рассмотрим ограниченную непрерывную функцию / (х) =
=<РУА>Ч> — <УХРЪ,Ч>. Если / (а) ФО и [скажем], Ке/(я)>0,
то Ке/(л;)^C>0 для любого х из некоторой окрестности V
элемента а. Выбирая [л ^ А так, что [А ^ 0, [д, ((У) = 1 и (х ((У') = О,
получаем
$ /(*) й|1 (*) = $ Ке/(*)й|1 (*) + *$ 1т/(х)ф (*)^= О
а и ц
в противоречие к равенству A). Следовательно, РУХ = УХР
для любого х^О; иначе говоря, Нг инвариантно
относительно У.П
Теорема B2.3) не дает нам полного описания
представлений алгебры М(С) и ее подалгебр. В действительности, если
О иедискретна, алгебра М@) допускает ^-представления, не
имеющие формы B2.3ш) [см. B3.28а)]. Однако для одного очень
узкого класса подалгебр А в М@) все ^-представления А
получаются из представлений группы С, как в B2.3).
B2.7) Теорема. Пусть А—банахова ^-подалгебра в М(С)
обладающая следующими свойствами:
(I) из \1^А и а^О следует 8а#[х ^ А;
(и) каждый элемент сопряженного пространства Л* к А
имеет вид \х>*-^>\ Нй\л, где Н есть некоторая ограниченная функ-
о
ция на О такая, что Н%в борелевски измерима для любого а-
компактного подмножества В с: С.
Пусть (хн->ТМ,—~ -представление алгебры А ограниченными
операторами на гильбертовом пространстве Н такое, что для
каждого 1ф0 в Н существует мера \1 ^ А, для которой Т^1 Ф 0.
Тогда существует представление V группы О унитарными
операторами на Н такое, что выполнено условие B2.31) и что
A11) <Г^, г)> - 5 <У& Ц> ф. (х) при \1 € А и & Ч 6 #.
а
Доказательство. (I) Предположим сначала, что
представление Т — циклическое с циклическим вектором \$.Н\ линейное
подпространство Н'=*{ТуЦ: \1^А\ в Н плотно в Я. Рассмотрим

430 Гл. 5. Свертки и представления грцйп
отображение
Т^ь-^Тг^цЪу ' (!)
переводящее Я' в Я', для фиксированного х^О. Убедимся,
что отображение A) определено корректно; иначе говоря, если
ТцЪ = ТУЪ, то ТВх*и1----Тех*у,1. Используя тот факт, что (гхУ =
= еА-1 B0.23) и очевидные свойства представления Г, видим,
что
Следовательно, A) действительно определяет [однозначное]
отображение Я' в себя. Определим оператор Ух на Я'
формулой
^(Г|г|) = Твж.д6. C)
Как в B), видим, что
<ухт& гхт &> = <?& 7\б>.
Для данного Т^^Я', ТЕ «^ также принадлежит Я' и
У^в *|гЮ = 7\^- Поскольку отображение Ух линейное, оно
является линейной изометрией Я' на себя (В.42). Равенства
Уе = 1 и У^ = У^ [для любых х, у ^ С] очевидны. Как
указывалось в (В.59), каждое Ух допускает единственное продолжение У х
на Я, являющееся унитарным оператором на Я. Легко
проверить, что Уе — 1 и что УхУу = Уху\ таким образом, У есть
унитарное представление группы О.
Как и все ^-представления банаховых ~-алгебр,
представление Т ограничено B1.22) и ЦГ^Ц^Ц^Ц. Следовательно, для
любого т]^Я отображение
И^<7^, Ц>
есть ограниченный линейный функционал на А. Пусть Н—
функция, как в (и), и
<Тц1у т|> = $ Л (у) ф (у) для любых \1 € А. D)
о
Согласно A9.10), имеем
< УХТ^ т|> = <Г8х,^, л> = $ Л (//) Л (е**ц) (у) - 5 Я (**/) ф (у). E)
G Г/

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 431
Пусть \1 и V —любые меры из Ж (О). Пусть В и С—такие
а-компактные подмножества в О, что | \11 (В') = | -V | (С) = 0.
Тогда |[1|хМ((ВхС)')=0. Поскольку ВхСа\(ху у) $0x0:
ху ^ ВС}у мы видим, что
Н(ху)=к{хуIвс{ху)
для |[х|х| V|-почти всех (х9 у) б ОхО. Поскольку функция к\вс
борелевски измерима по предположению (и), функция [х,у)у->
\-^>к(ху) принадлежит йх (| (х|х| V|). По A3.8) функция
х^ $ к (ху) Лу (у) = <УХТ& т|>
о
| A |-измерима для любой меры \1^М@). Поскольку векторы
Т>Л(у€А) плотны в Я, функция х\—><УХ\, л) ||х|-измерима для
любой меры |1^Ж@); значит, B2.31) выполнено.
Проверим теперь A11). Зафиксируем у^А. Для каждого
\1^А, очевидно, к ^2Х (||л|* | VI). Поэтому мы можем применить
A9.10) и E), получая
5 <УХТУ%, т)> Ф (х) - $ $ Л (*</) ^ (у) Л|л (х) =
О 0G
= \к(г) ф*у (г) - <7^Б, Ч> = <^^, Т1>.
о
Тем самым A11) доказано в случае % = ТУ% для некоторого у^А.
Но такие векторы плотны в Я, так что (ш) выполнено для
любых С, т) 6^-
(II) Предположим теперь, что представление Т—не
циклическое. Применим теорему B1.13) к Г. Подпространство N
из B1.13) тривиально, и поэтому Я есть прямая сумма
замкнутых инвариантных циклических подпространств Я7. Пусть
Т$} обозначает оператор 7^, суженный на Я7. По (I)
существует унитарное представление У(у) группы О операторами на
Ну такое, что
<ППу, лт>= 5 <у(?%> V 4* (*> F)
о
при \х ^ Л и любых |7, т|7 б Ят. Каждый вектор ^ ^Я имеет
единственное представление ^ = 2 ^7> гДе &у€Я?> причем только
счетное число 57 отлично от нуля, ряд сходится по норме в Я и
IIIII2 = 2 НЫ12-ПУСТЬ ух — такой оператор на Я,что ^=2X2^-
Легко видеть, что х\~^Ух есть унитарное представление

432
Гл. 5. Свертки и представления групп
группы О, слабо |[х |-измеримое для любой меры (Л^УИ(О), для
которого (Ш) выполнено. []
Изучим теперь непрерывность представлений V группы О.
B2.8). Теорема. Пусть V—слабо Х-измеримое представление
группы О ограниченными операторами на Е~, для которого
условие B2.311) выполнено, и предположим, что функция х*-> <Ухы, !•>
непрерывна в точке е для любых ы^Е* и Ь,^Е. Тогда
представление V сильно непрерывно. В действительности для као/сдого
р (^Е~ и в > О существует такая окрестность V единицы е, что
(О II ^хР—Уу9 II < 8 пРи х> У € О таких, что у~гх€ {У,
так что отображение х\—>Ухр равномерно непрерывно слева.
В частностиу всякое слабо непрерывное представление V,
удовлетворяющее B2.ЗН), сильно непрерывно.
Доказательство. Пусть Т — представление алгебры Ма{0),
построенное по представлению I/, как в B2.3). Покажем
сначала, что из р ^Е~ следует о (= {Т^р: |х $ Ма {0)\". Предположим,
что р(^Е~ и р^Тцр: \х^Ма@)}~. Как в (В. 15), найдется
элемент 1€Е такой, что
<?>, Е> = 0 для любого 1х€Ма{0) A)
<Р, Е> = 1 B)
[напомним, что пространство Е рефлексивно]. Из B) и
непрерывности <Ухр, ^> в точке е получаем существование такой
окрестности 1^ элементам, что %(№) < оо и ^е-<Ухр9 %> >1/2 для
любого х^М7. Пусть V—такая мера из Ма@), что Л^ = \^дХ
[%№ есть характеристическая функция множества ЦР].
Применяя B2.ЗШ), получаем
Ке<7>, ^> -Ке $ <Ухр, 1>йх=1 Ке<Ухр, ^>с1х> ~Х(Щ.
Это противоречит A).
Рассмотрим теперь произвольные х^О, р€Е~, 1(Е^ и
\1€Ма{С). Согласно B2.3Ш) и A9.10),
<7\*иР, Ь = 5 <У«Р, Ъ> A&х* И- (*0 = $ <УхуР> 1> Ф (У) =
о а
= $ <ууР, у;^>фы-<гдр, ул> = <ухт}#, 1>.
с
Значит,
|<У,7>-7>, 1>\^\<(Тгх^-Ту)9, 1У\К
<а||р||-НШе**|1-|1||, C)

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 433
где число а—то же, что в B2.Зи). Далее, если й\х, = 1дХ и
( 6-ЛС), то, как показывает B0.90, Л{гх^\л)=х-х1дХ. Из B0.41)
получаем существование окрестности О единицы е такой, что
«II Р Ц-11 вж»1*-ц||<в/Bа) D)
для любого х^1/. Объединяя C) и D), получаем
ЦУЛ>-7>||<е/Bа) E)
для любого х^Ц. Как уже показано, существует мера |х ^Ма (О)
такая, что
A+а)||р-7>||<е/Bа). F)
Если х ^[/, где окрестность I/ выбрана по только что
указанной мере и, из E) и F) следует
||УяР-р||<||Уяр-УжГйР|| +
+ 11^ЛР-^Р|| + 11^Р-рЦ<(а+1I|Р-^Р|1 + 8/Bа)<8/а.
Наконец, если х, у^О и у~гх^1]', то
||^р-ПР||<11М|-||^-^Р-РИ<е.а
B2.9) Замечание. Легко видеть, ввиду B2.8), что
представление V группы О, удовлетворяющее B2.ЗИ), сильно
непрерывно тогда и только тогда, когда оно слабо непрерывно.
Следовательно, мы будем писать просто «непрерывно» вместо
«сильно непрерывно» и «слабо непрерывно», если мы имеем
в виду такие V.
B2.10) Теорема. Пусть Т—~-представление алгебры Ма@)
операторами на гильбертовом пространстве Я такое, что для
любого \€.Н, ?=т^=0 найдется мера \1^Ма@), для которой
Ту%ф0. Тогда существует непрерывное унитарное
представление V группы О операторами на Я, для которого выполнено
условие B2.7Ш). Представление V выделяется условием B2.7Ш)
среди всех непрерывных унитарных представлений.
Доказательство. (I) Для того чтобы применить B2.7) в этом
доказательстве, нам потребуется следующий факт. Пусть К—
вещественно- или комплекснозначная ^-измеримая функция
на О. Тогда существует Х-измеримая функция Ы на С такая,
что Н = Н' локально Я-почти всюду, и Н'^в борелевски измерима
для любого а-компактного множества ВаО.
Мы можем предположить, что функция К неотрицательна.
Согласно E.7), группа О содержит открыто замкнутую о-ком-
пактную подгруппу Я. Пусть {хаН\аеА—множество различных
классов смежности по подгруппе Я и пусть ка = 1г%х #. Для

434
Гл. 5. Свертки и представления групп
любого фиксированного а^ А имеем хаН = II Рп, где {/^[^и —
возрастающая последовательность компактных множеств. Для
каждого п имеем: ппп(/га, п)Ъ>Рп^1@) и потому, согласно
A1.41), тт(йа, пIрп = §п Я-почти всюду для некоторой боре-
левски измеримой функции §п\ предел Ит§п(х) существует и
равен На(х) Х-почти всюду. Пусть к'а=( Пт §\ 1Х н для любого
\ п -> оо / а
а^А.
Далее, для любого х^О положим Ь! (х) = к'а (х), еслих^хаН.
Если множество В сг-компактно, то можно выбрать не более чем
счетное число различных элементов а1У а2, ..., апУ ... в А так,
00 °°
что В с: и ха Н. По предыдущему, функция К 2 \х н боре-
я=1 п л= 1 ап
левски измерима и потому функция Н'^в борелевски измерима.
(II) По B0.231У) Ма@) есть —подалгебра в М(в). По A9.18)
она есть замкнутый двусторонний идеал в М(С). По A2.18)
всякий ограниченный линейный функционал на Ма (О) имеет
вид
[г |-> $ А (у) ф (у) = $ й (у) I (у) йуУ
с о
где /1^2оо(С), а /—такая функция из %1(СI что с/[х^/сй.
Согласно (I), мы можем предположить, что функция Н^в
борелевски измерима для любого а-компактного множества ВаО.
Таким образом, Ма (О) удовлетворяет предположениям
теоремы B2.7). Пусть V—унитарное представление группы О,
построенное по B2.7), для которого выполнено условие B2.7Ш).
Мы сейчас покажем, что представление V непрерывно.
Рассмотрим сначала случай, когда оно циклическое с циклическим
вектором %. Для каждого \1^Ма@) с /(^(О), как выше, и
х$0, из B1.22) и B0.Ш) получаем
1| ^7^-^11 = 11^.^-^ || <
< II е* *!*-{* II • IIС || = II ^/-Л|1-II С ||.
По B0.41) последнее выражение произвольно мало для х из
достаточно малой окрестности элемента е. Поскольку векторы
Т^ плотны в Я, получаем
\\УЛ-П<* (!)
для любого х^И, где V — некоторая окрестность единицы,
зависящая от \ и е.
В случае произвольного Т обратимся к конструкции из
части II теоремы B2.7). При 1^Н имеем \\УХ% — ^||2 =

$ 22. Унитарные представления Локально компактных групп 435
= 2 Н^&у-&у|1а- Отсюда, очевидно, вытекает A) для про-
извольного представления Т. Для любого у^О имеем
\\УуЛ-УуП = \\УА-Ы,
так что отображение г*->Уг%— равномерно непрерывное слева
отображение группы С в метрическое пространство Н.
Предположим, что У{1) и УB)—непрерывные унитарные
представления группы О, и
5 <У?Ъ> Л> / (*) их = 5 <У?Ъ, г)> / (х) их
с о
для любого /€&х(С). Рассуждения, использовавшиеся в B2.6),
показывают, что <Ух}%, Ч> = <Ух}%> Л> для любых |, г\ ^Н и х^О.
Поэтому У1х) = У(х) для любого х^О. []
Чтобы сформулировать главную теорему, нам понадобится
еще одно утверждение.
B2.11) Теорема. Пусть \1^М@) и Ф(ЕЙ2@); пусть Т^ц =
= (х*ф. Каждое отображение Т^ есть ограниченный оператор
на гильбертовом пространстве 22@), а отображение \и—>Т ц
является точным1) ~ -представлением алгебры М@J).
Доказательство. Линейность Тц на 22 (О) очевидна по B0.121),
а ограниченность его и условие || Т^ || ^ || \11| следуют из B0.12П).
При ф б #о (С) П йх (О) имеем
((а* V)жф = [х*^#ф)
по A9.21У). Поэтому 7^* у (ф) = 71ц(^ф) для любой функции
Фб22@)п21@). Поскольку ©00@)с2а@)ПЙ1@),
подпространство 2а (С) Г) йх (О) плотно в 22 @) [см. A2.10)]. Следовательно,
Ту, * V = ^ Ту. Чтобы показать, что Т^^О при \1ф0,
рассмотрим такую функцию /€®оо(С), чт0 3 !Ас1\1ф0. Неравенство
о
1,1»ш-1**/(*)|<1и-» (/*)-*-« (/а)||«Ы1
и равномерная непрерывность справа функции /А D.15)
показывают, что [х * / непрерывна и [х * / (в) = } [А с1\1. Таким образом,
а
г) В смысле Ту, ф 0 при \1 ^ 0.
2) Мы называем его регулярным представлением алгебры М@).
Отображение ан->Те группы О в группу операторов на #2 F) называется
регулярным представлением группы О. Для любого 1^%2F) имеем Те /=а_1/: см.
B0.12).

436 Гл. 5. Свертки и представления групп
число ||(л*/||| = ^ ||г*/|й^ положительно; значит, 7^/ есть не-
а
пулевой элемент в йя@).
Остается показать, что Т есть —--представление. Согласно
B0.23Ш), для любых ф, *Ф€®оо (С) имеем
<Ф, 7\х~^> = $ Ф М 5 Ф(У*) Ф (У) Лх •=*
о а
= 5 5 Ф (*) -ф(ух) ^л: ф (у) =
о с
а о
Оба применения теоремы Фубини здесь законны, поскольку ф
и г|) принадлежат &00@). Поскольку @0о(С) плотно в 22(С),
A) выполнено для любых ф, 1|)^22@) и, таким образом,
B2.12) Теорема [Гельфанда — Райкова]. Пусть О —
произвольная локально компактная группа. Для каждого элемента
а^Оу афе существует непрерывное неприводимое унитарное
представление V группы О такое, что Уаф1х).
Доказательство. Пусть V—симметричная окрестность
единицы е такая, что Я,((/) <оо и а^Ц2. Пусть, далее, мера (х из
Ма(С) такова, что ф = |с/йЯ [напомним, что \и есть
характеристическая функция множества (/]. Формула B0.91)
показывает сразу, что й(еа*|л) = 5а1/^. Поскольку а(^02, имеем
||8а*[х—|л|| = ||Еа1/ — 1г/||1 = 2А,((/), так что еа*\1ф\х. Согласно
B2.11) поэтому Т& *у.ФТ^ где Т—регулярное представление
алгебры М@)> суженное на ~-алгебру Ма@). Применяя
теорему B1.37) к Ма(С) и 7\ находим неприводимое
-^-представление, скажем, 5, алгебры Ма@), для которого
8еа^цф811,. A)
Теорема B2.10) показывает, что существует непрерывное
унитарное представление V группы О, для которого
<5^, Ч>=$<^Л, Ч><И*) B)
о
х) Это последнее утверждение мы будем кратко выражать так: группа О
допускает достаточно много представлений описанного вида; аналогично для
других гомоморфизмов группы О.

$ 22. Унитарные представления Локально компактных групп 43?
для любых V^Ма(^) и любых^, т) в пространстве
представления Я представлений 5 и У. Из A) и B) находим
5 <УХЪ, Л> Л\1 (X) ф \ <УХЪ, Т)> <&а * (А (X) C)
о а
для некоторых векторов ^, ц€.Н. Теорема A9.10) показывает,
что
$ <УЛ, Л> Лга *УХх) = $ <УахЪ, Ц> ^ (*) = 5 <УаУЛ> Л> Ф (х).
При Уа = 1 C) не выполнялось бы. По B2.6) представление
неприводимо: любое замкнутое подпространство в Я,
инвариантное относительно V, инвариантно относительно
неприводимого представления 5 и потому есть либо {0}, либо Я. []
Для компактных групп теорема B2.12) становится особенно
прозрачной, как показывает следующая теорема.
B2.13) Теорема. Любое неприводимое непрерывное
представление У компактной группы О унитарными операторами на
гильбертовом пространстве Я конечномерно.
Доказательство. Пусть I, г], ^Я; рассмотрим интеграл
} <УХ%>9 т]> < Ух^ ^> их. Фиксируя Е, получаем функцию, линейную
о
по ^ и сопряженно-линейную по т|. Далее,
иухьч><ухы>(ь
^ШМЫ! 11611-
Следовательно, по (В.60) существует ограниченный оператор В%
на Я, для которого
<Я;Б, 1\>=[<У&, ЧХУАЛХЬС.
О
Покажем теперь, что В% коммутирует со всяким оператором
Ууу У €0- Левоинвариантность интеграла Хаара показывает,
что
<Я6УУЕ, Ч>^\<Ух1,ч><УА,УуЪ>Aх =
о
= 1<Уу-*А, Уу-гЧ><Уу-*А,Ъ><1х =
о
= $<1^, Уу-ч\ХУхЬЬ>Aх =
о
= <В1Ъ, Уу-*1\> = <УуВ&г\>,

ш
Гл. 8. Свертки и представления групп
и потому В^у = УуВ^, Согласно B1.30), оператор В% кратен
оператору /: В* = а (С)/. Поэтому
о
и, в частности,
1\<УА> ?>|М* = а(№112 A)
а
для любых 2;, 1(^Н. Меняя местами ^ и | в A) и используя
B0.21) [группа О, будучи компактной, унимодулярна], получаем
а о
G G
Следовательно, существует константа с такая, что аE)=с||^||2
для любого ^Я. Полагая в A) 1 = 1, и ||^|| = 1, находим
1\<УА>Ь\2с1х = аA)\\1\\*^с\\и* = с.
а
Константа с положительна, поскольку непрерывная функция
XV->\ <УХ%> ^>|2 имеет значение 1 в е.
Пусть теперь Ф^ ..., $й—ортонормированная система
векторов в Я; применим A) с % = #к и | = -в,1(Л=1, ..., я).
Получаем
$1<^А. *1>11^ = а(^)И1||« = с B)
С?
Суммируя равенства B) по к, используя ортонормирован-
ность системы {У^}^ и применяя неравенство Бесселя,
получаем
™=2 $|<УЛ.*1> !¦<**=$ 2 |<^А.*1>|1^<$11*11|1^=1.
Следовательно, размерность пространства Н не
превосходит 1/с. ?
B2.14) Следствие. Всякая компактная группа допускает
достаточно много неприводимых непрерывных представлений
унитарными матрицами.

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 439
Доказательство. Объединяем B2.12) и B2.13) и
идентифицируем группу унитарных преобразований Кп с ее конкретным
представителем II (я) [выбирая любой ортонормированный базис
в к*], и
B2.15) Определение. Пусть 5—любая полугруппа. Комп-
лекснозначная функция % па 5, для которой
%(ХУ) = %(Х)%(У) Для любых х, у$8,
называется мультипликативной функцией на 8. Если функция %,
кроме того, ограничена и не равна тождественно нулю, то
она называется полухарактером полугруппы 5. Полухарактер
группы называется характером.
B2.16) Замечания, (а) Мультипликативная функция всегда
является гомоморфизмом полугруппы 5 в мультипликативную
полугруппу /С. Полухарактер есть гомоморфизм полугруппы 5
в мультипликативную полугруппу 0 = {х^Ку |г|^ 1},
нетождественно равный нулю. Характер группы С есть гомоморфизм
группы О в группу Т.
(Ъ) Пусть У—одномерное унитарное представление
группы О. Тогда пространство представления Н представления У
имеет вид {а^, а^К\, где ||||| = 1. Определяя %(х) равенством
Ух% = %(х)%, мы, очевидно, получаем некоторый характер
группы О. Обратно, каждый характер % группы О определяет
некоторое одномерное унитарное представление группы О, так
что имеется взаимно однозначное соответствие между всеми
одномерными унитарными представлениями и всеми
характерами. Ясно, что представление У непрерывно тогда и только
тогда, когда непрерывен соответствующий характер. Таким
образом, мы можем идентифицировать одномерные
представления группы с характерами этой группы.
B2.17) Теорема. Всякая локально-компактная абелева
группа О допускает достаточно много непрерывных характеров.
Доказательство. Ввиду B2.12) и B2.16Ъ) нам нужно только
доказать, что любое неприводимое унитарное представление У
группы О одномерно. Пусть а—любой элемент из С. Тогда
унитарный оператор У а коммутирует со всеми операторами У х.
Теорема B1.30) показывает, что Уа кратно оператору /: Уа =
~%(аI Для любого а^О. Значит, всякое подпространство
пространства представления И инвариантно относительно У,
так что пространство Я одномерно. []
Непрерывность характеров следует из ^-измеримости. В
действительности можно доказать даже много больше.

440
Гл. 5. Свертки и представления групп
B2.18) Теорема. Пусть С—локально компактная группа,
а X—ее левая мера Хаара. Пусть, далее, Н—топологическая
группа, либо о-компактная, либо содержащая счетное плотное
подмножество [Н не обязана быть локально компактной]. Пусть,
наконец т: О—>Н такой гомоморфизм, что для некоторого
^-измеримого множества А а:. С, 0 < К (А) < оо, подмножество
т((У (]х@)){]А Х-измеримо для любого открытого
подмножества V а Н. Тогда гомоморфизм х непрерывен.
Доказательство. Пусть 1^0 и V? суть симметричные
окрестности единицы в Н и ^2 с №0. Предположения относительно Н
позволяют утверждать существование счетного подмножества
со
{Уг> •• -1 Упу •••} в Н такого, что II №уп = Н. Имеем
00
II (х~1(№уп)(}А) = А, так что существует по меньшей мере
одно значение п такое, что 0 < Я(тA^^) п Л) < оо. По
B0.17), существует окрестность V единицы в О такая, что
V с:(х-*№уп)[\А)(х-1№уп)[\А)-*. При х^У имеем х = аЬ~1,
где х(а)=щуп и х(Ь)=гю2уп и где щ, йУ2^№. Следовательно,
т(х)^х(а)хфУ1 = щщ1^^2 а 1^0. Поэтому гомоморфизм т
непрерывен вен потому непрерывен на всей группе О E.40а). []
B2.19) Следствие. Пусть О—локально компактная группа,
а т: О—> ©^(я, К)—некоторый гомоморфизм,', пусть х (х) =
= (а^(х)O /^1. Предположим, что существует К-измеримое
множество А с: О, для которого 0 < X (А) < оо" и всякая функция
x\->а^к(x) %-измерима на А. Тогда гомоморфизм х непрерывен.
В частности, всякая мультипликативная комплексная функция
на О, ^-измеримая на таком множестве А, непрерывна.
Доказательство. Легко показать, что множество {х^А:
(^•/г (*))/, б=г 6 Щ ^-измеримо для любого открытого
подмножества ц с ©2 (п, К)- Остается применить B2.18). []
Дополнительные теоремы и примеры
B2.20) Непрерывные унитарные представления, (а) Пусть
О—локально компактная группа, а V—ее представление
унитарными операторами на гильбертовом пространстве П. Тогда
следующие условия на У эквивалентны:
A) представление У сильно непрерывно;
(И) представление V слабо непрерывно;
(III) отображение х*-*>Ух% группы О в Н равномерно
непрерывно слева для любого Ъ>^Н\
(IV) отображение х*-*Ух% группы О в И непрерывно в
точке е для любого ^^Н\

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 441
(у) функция х\-~»<Ухц, 6> равномерно непрерывна слева
для любых 6, Ц^Н\
(VI) функция х\-><Ух%, 6> непрерывна в точке е для
любого 1$н.
[Эквивалентность A) и A1) отмечалась в B2.9). Отбрасывая
тривиальные импликации, видим, что достаточно доказать, что
(IV) => A11) И (У1)=>(У).
Равенство
\\УЛ-Уу1\\ = \\Уу-гЛ-Ъ\\
показывает, что (IV) =»> (Ш). Предположим теперь, что (VI)
выполнено. Тогда для любых |, г\^Н и х, у^.0 имеем
\\УхЧ-Уу1\\\* = <УхГ\, ^Л>-<^Т|, УХЦ>-
— <Ухч\, ^„т|> + <^„Т1, Ууч\> =
= 2<Т1, л> —2Ке<К„ть Ухч\> < 21 <ч, ч>—<У„Т1, УХЦ>\ =
= 2\<У,1\, 1\> — <Ух-*у1\, Ц>
и, следовательно,
<УЛ Ъ>-<Уут\, 6>|*<||^т|-1/ут|||»||6||»<
<2||^||Ч^Г,, 1\>-<Ух-*у1\, Т|>|.
Последнее неравенство и (VI) дают нам (V).]
(Ь) Пусть О—локально компактная группа, а V — ее
представление унитарными операторами на сепарабельном
гильбертовом пространстве Я. Тогда следующие условия эквивалентны:
A) представление V непрерывно;
(и) функция х*-><Ухцу 6> ^-измерима для любых т|, б€#*>
(ш) отображение х*->Ух\ группы С в Я А,-измеримо для
любого 1^Н; иначе говоря, прообраз любого открытого
множества в Я Я-измерим.
[Очевидно, что из A) следует (и). Для любых^, ^Я имеем
{хеО: ||^Е_С||»<6} =
= {х$0: 2Яе<Ух%, ^> ><6, 6> + <^, ^>-б};
таким образом из (и) вытекает A11). Предположим теперь, что
A11) выполнено. Чтобы доказать A), достаточно по (а)
показать, что отображение хъ^>Ух% непрерывно в е, где ^Я и
%Ф0. Для любого е>0 пусть А = {х^О: \\УхЪ — Ъ\\<е/2\.
Очевидно, множество А Я-измеримо и симметрично. Если
х,у$А, то
\\Уху1-П<\\УхуЪ-УЛ\\ + \\УЛ-И = 11*^6-6 II+ 11^,6-6 ||<е,
так что А2а{х^О: \\УХЪ>— 6||<б}. Остается доказать, что
множество А2 содержит некоторую окрестность единицы е.

442
Гл. 5. Свертки и представления групп
Поскольку пространство Я сепарабелыюе и метрическое,
подмножество {Ух1: х^0\ в Н также сепарабельно. Значит,
существует последовательность {#„[„=1 элементов в О такая, что
множество {]/х1\п^1 плотно в \УХ1: х^О}. Если у^О, то
для некоторого положительного к имеем [| Ух |—У||| =
= 111—^д:-1^!!^8/^ и потому у^хкА. Другими словами,
00
С^= 11 хпА. Следовательно, множество Л содержит компактное
/2=1
подмножество Р положительной меры. Согласно B0.17),
множество Р(Р^1) содержит окрестность единицы.]
(с) (Э. Тома [Е. ТЬота]; устное сообщение.) Пусть
О—недискретная локально компактная группа. Тогда О допускает
циклическое слабо Я-измеримое унитарное представление, не
являющееся непрерывным. [Пусть /2F) — гильбертово пространство
всех функций I на О таких, что 2 \ (*) |а < °° с поточечными
линейными операциями и внутренним произведением <?•, т]> =:
= 2 ^МлС*)- Оно, конечно, совпадает с пространством
хеО
22@^), где Оа—группа О, рассматриваемая с дискретной
топологией. Пусть б^/2@)—такая функция, что б (в) = 1 и 6(л;) = 0
при хфе. Для любого х^ О пусть Ух—такой оператор на /2@),
что Ух1 (у) = |(х~1у). Очевидно, отображение х*-*Ух есть
циклическое унитарное представление группы О с циклическим
вектором б; УХЬ есть функция на О, значение которой в точке л;
равно 1 и 0 во всех остальных точках. Линейные комбинации
таких функций плотны в /2@). Для функций ^, ц^12@) пусть
А и В — счетные множества, вне которых 1, т) равны 0. Если
<УА> ЦУфО.тох^В (Л~х),гдеВ (Л)—счетное множество;
представление У слабо Я-измеримо. В силу недискретности группы О,
D.26) показывает, что множество {х^О: <УХ%9 ЦУфО} открыто
тогда и только тогда, когда оно пусто. Поэтому функция
х*-><Ух%9 цУ непрерывна тогда и только тогда, когда она
тождественно равна нулю. Следовательно, У не является слабо
непрерывным представлением.]
(с1) Представление \и—>Т^У построенное в B2.3), может быть
тождественно равным нулю: Т^ может быть нулевым
оператором для любой меры \1^А. [Например, рассмотрим алгебру
МсF) для недискретной группы О и применим B2.3) к Мс@)
и представлению У, построенному в (с).]
B2.21) Определение регулярного представления Т алгебры
М@)у данное в B2.11), ни в какой мере не является
произвольным. Другие представления не обладают всей
совокупностью свойств, которые мы считаем естественными для регуляр-

$ 23. Унитарные представления локально компактных групп 443
ного представления. Например, весьма простое представление
можно построить, полагая З^ф^фя-р, для любых \1^М@) и
Ф^22@). Но для него не выполняется уже равенство 5^^ =
= 5^. Можно пытаться исправить положение, полагая
5р,ф = ф#|г~. Но тогда соответствие фк-^З^ф^фя-рГ может не
быть отображением 22@) в 22@) B0.34). В любом случае
соотношение 5а[г = а5м, выполняется не для всех \х^М@) и
Существует, конечно, еще одно естественное
^-представление 5 алгебры МF): используем правую меру Хаара р
вместо X и 22@, р) — в качестве пространства представления.
В обозначениях B0.32) для этого представления имеем З^ф =
= Ф#|л~ при ф^82@, р). Представление 5 эквивалентно пред-
г
ставлению Г, данному в B2.11). Связующая изометрия И?
между 22 (О, X) и 22@, р) есть 1Р(ф) = <рА B0.32Ь).
B2.22) Группы, не допускающие конечномерных унитарных
представлений. Пусть О—любая топологическая группа. Нас
интересуют те элементы в О, которые могут быть отделены
от е непрерывными конечномерными неприводимыми
унитарными представлениями.
Обозначим С0 множество всех элементов в О, которые не
могут быть отделены от е такими представлениями; таким
образом, х^С0 тогда и только тогда, когда Ух = 1 для любого
непрерывного конечномерного унитарного неприводимого
представления У группы С.
(а) Если Ухф1 для некоторого непрерывного
конечномерного унитарного представления V, тох^С0. [Согласно B1.40а),
представление У есть прямая сумма неприводимых
представлений У{1\ ..., У{т\ каждое из которых, очевидно, непрерывно.
Тогда для некоторого /=1, ..., /га должно быть УХ}'}Ф1.]
(Ь) Подмножество О0 с: О есть замкнутая нормальная
подгруппа. [Это прямо следует из равенства
00= (]{х^О: Ух=---1 и У есть непрерывное конечномерное
унитарное представление О}.]
(с) Если Н—нормальная замкнутая подгруппа в О,
факторгруппа С/Н по которой компактна, то О0 с И. [Пусть у$.С[\Н'.
Согласно B2.14), существует непрерывное конечномерное
неприводимое унитарное представление У группы С/Н такое,
что Уун7ьУ'н = 1. Для любого х^С определим Ух = У'хн'> получим
непрерывное конечномерное неприводимое унитарное
представление У группы О, для которого У ф1. Значит, У$дг\С'0
и С0 с Я.]"

444
Гл. 5. Свертки и представления групп
(А) Для дискретной свободной группы О имеем 00 = {е}. [По
D.21е) Пересечение всех нормальных подгрупп конечного
индекса равно в точности \е\. Поэтому, в силу (с), О0 = \е}.]
(е)"Для дальнейших примеров нам нужна одна лемма (фон
Нейман и Вигнер [1]). Пусть А^\Х(п). Предположим, что для
каждого т=1, 2, ... существуют целочисленное кратное кт
числа т и невырожденная матрица Вт такие, что А т=,ВтАВ^.
Тогда А = 1. [Пусть х19 ...,*„—собственные значения
матрицы Л. Для любого т матрица Ак* имеет собственными
числами х\т, ..., хкптУ а матрица ВтАВ^—числа х19 ..., хп.
Поэтому х*т, ...,хкпт является перестановкой чисел хи ..., хп.
Зафиксируем теперь некоторое Лу, /=1, ..., п. Поскольку
\кт\т=1—бесконечная последовательность и {хк\ X/2, ...}с:
а\х19 ..., хп}9 то х*т=хЬ для некоторых кт \Ск1 с к1<Скт.
Таким^образом, хк'п~к1=1 и х] есть корень из единицы.
Выберем теперь т0 так, что х™° = 1 для каждого / = 1, ..., т.
Тогда х\т0 = 1 для любого / =--1, ..., п и, поскольку х\т0у ..., х%пй
есть перестановка из \хх, ..., хп\, мы видим, что все
собственные числа матрицы А равны 1. Следовательно, А = 1.]
(!) (фон Нейман и Вигнер [1].) Пусть О—произвольная
топологическая группа. Рассмотрим фиксированный элемент х^ О.
Если для любого т—\, 2, ... существует целочисленное
кратное кт числа т и элемент ут^О такие, что хкт = утху^-у то
х^О0. [Пусть V—непрерывное конечномерное неприводимое
унитарное представление группы О; мы можем предположить,
что пространство представления есть Кп. Пусть, далее, А = УХ
и Вт = Уу . Применяя (е), получаем Ух = 1.]
(х У\
(§) Пусть О—группа матриц вида! - 1, где х и
у—рациональные числа, и хфО; снабдим О41 дискретной топологией.
Тогда О0 состоит из всех матриц вида ( - ). [Для удобства
(х у\
типографии обозначим матрицу ( 1 ) через (х, у). Для
произвольного вещественного числа а пусть %а((х> у)) =
= .ехргBша1о§|л:|) и ф((л;, у)) =-щ = вр\ х. Тогда и %а и -ф —
непрерывные характеры группы О, т. е. одномерные
унитарные ее представления. Для любой матрицы (х, у)^0, для
которой \х\Ф\, существует число а^Т? с %«((*» У)) =
= ехр Bша 1о^ | х |) ф 1. Далее, для каждого (—1, у)^0 имеем
ф((—1, у)) = — 1. Следовательно, О0с{A, у) $ О: у€<2\. Для

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 445
любых матрицы A, у)^0 и положительного целого т имеют
место равенства (т, 0)A, у)(т, 0)"х = A, ту) = A, у)т.
Полагая кт = т, из (!) получаем A, у)^С0. Значит, {A, у)^0:
У$B\с:00.]
Если О—указанная выше группа с ее относительной
топологией как подгруппы в ©2B, 7?), те же вычисления
показывают, что О0 = {A, у): у€B\- Также, если О—группа матриц вида
(х у\ Г/1 у\ \
I п .1с вещественными х и у и хфО, то С0 = ([ . ): у € # г ,
где О рассматривается с ее обычной топологией или с
дискретной топологией.
(Ь) Пусть О—специальная линейная группа ©2B, К) с ее
обычной топологией или с дискретной топологией. Тогда О0 = О;
таким образом, группа О не допускает нетривиальных
конечномерных унитарных представлений. [Очевидно, нужно
рассмотреть лишь случай дискретной группы О. Рассмотрим элемент
1 а\
^0, где а—некоторое комплексное число. Тогда для
О V
любого положительного целого т имеем
т 0\/! ах/т Оу*Л т»а\ = /1 а
0 ^ДО 1А0 ^ "ЛО 1 Г\0 1
т"
1 а
Полагая кт = т2 и применяя (!), находим, что (_ .)$60.
Поскольку 00—нормальная подгруппа в О и
'1 0\_/0 —1\/1 ~а\(° -1
/1 0\
то ( « )€О0 для любого а^К. Рассмотрим теперь
произвольна Ь\
ную матрицу ( , в О. Если сфО, то
а Ь\ /1 \/1 0\/1
с й) \о 1 )\с 1До 1
€<Зв,
а если с = 0, то йфО и
'а Ь\ Г—Ь а\/0 — 1
ч0 й)\— й О/VI О
Следовательно, 0Я = 0.]
еоа.

446 Гл. 5. Свертки и представления групп
(\) Группы, не допускающие нетривиальных конечномерных
унитарных представлений, могут быть также найдены
следующими рассуждениями, вполне аналогичными рассуждению (?)
выше.
Пусть О — группа [без топологии], а Я—бесконечная
подгруппа в О, обладающая следующими свойствами:
(I) существует лишь конечное число клгесов сопряженно-
ти \е\, Ях, ..., Нт в Я по отношению к внутренним
автоморфизмам группы О;
(и) для любого Яу наименьшая нормальная подгруппа в Я,
содержащая Яу, есть Я;
(ш) наименьшая нормальная подгруппа в О, содержащая Я,
есть Я.
Тогда 0 не допускает нетривиальных гомоморфизмов в
компактную группу.
[Пусть О — компактная группа, а ср: О—>0 — некоторый
гомоморфизм. Докажем сначала: (I) Если ф (Яу) П № ф 0 для
любой окрестности Х7 единицы е, то ф (Яу) = {е}. Действительно,
для любой окрестности О единицы е существует окрестность
Й7 единицы е такая, что 1-гХ71с:0 для любого ?€ С D.9). Если
й1э Н2^Н/У то 1~гкх1 = к2 для некоторого 1^0. Значит, если
ф(/1х) (^ №, то ф(й2) = ф@"Ф (кг) Ф@ € &. Следовательно,
ф(Яу)с:/7, и, в силу произвольности окрестности О, (I)
доказано.
(II) Если ф(Яу) ={е| для некоторого /, то из (п) и (ш)
вытекает ф (О) = {е\.
(III) Если Ц)(Н^Ф{е\ ни при каком /=1, 2, ..., т, то из
(I) следует, что ф (Я П {в}') П № = 0 для некоторой
окрестности № единицы е. Отображение ф, следовательно, взаимно
однозначно на Я, и ф(Я)—дискретная подгруппа в 6. Поскольку
группа Я бесконечна, а группа 5 компактна, это невозможно.
Следовательно, рассматриваемый случай невозможен.]
B2.23) Некоторые специальные представления, (а) Пусть О —
компактная группа, а х\—>Ух—непрерывное ее представление
ограниченными операторами на гильбертовом пространстве Я.
Тогда существует внутреннее произведение С?» *]> на Я, по
отношению к которому: все операторы' Ух унитарны;
отображение х*->Ух есть непрерывное представление; Я есть
гильбертово пространство. Из B2.8) и теоремы Банаха—Штейнхауза
(В.20) имеем $ир{||КА||: х$,0)<оо> Пусть <С, Ф есть исход-

# 22. Унитарные представления локально компактных групп 447
ное внутреннее произведение на //. Для любых 2, ц^Н \\
а, х ^ О имеем
<\<УЛ~УаЪ У,Ч>| + |<№ ^т,-1/вт!>|<
< II ^-^||-11^411 +II и 11-11^-1/^11.
Применяя B2.81) к предшествующему, видим, что отображение
ху-><Ух^9 Т/дгт]> непрерывно на О: заметим, что отображение
ЛГ1—> || У^т] || есть непрерывная функция на О.
Следовательно, мы можем положить
о
где ^ ... Л$ означает интегрирование по нормированной мере
о
Хаара на О. Получаем таким образом комплексное число для
каждой пары B;, ц) ^НхН. Очевидно, что для функции <^, г)>
выполнены условия (В.391) — (В.39Ш). Поскольку <УД, 1Л^>
положительно для любых з^С и ^Ну 1,ФО, выполнено также
(В.391У). Для любого х^О имеем
«УЛ. ух1®> = 1<у,ул, У,ухц>а* =
о
о
= 1[<ул,у,г\>]хах=
о
= 1<ул> ^,л>л=<с, л».
а
поскольку интеграл Хаара на О правоинвариантен. Также
К*Х л»-«Х л»1 =
о I
< $11^-^1111^4 II*-
о
Теорема B2.8) показывает теперь, что представление х*->Ух
непрерывно по отношению к внутреннему произведению <^,т)>.
Остается показать полноту Н в метрике, индуцированной
внутренним произведением <&, г)>. Обозначим |||^||| число

448 Гл. 5. Свертки и представления групп
<^Х> Ър1/2- Если {Ъп\п=1 — любая последовательность Коши, то
существует ее подпоследовательность \1>п^ь=1> для которой,
применяя A2.4), имеем
$р.ц-^ц+1цл=
1С
= 111Ц-Ц+1|||<2
Суммируя неравенства по А =1,2, ..
о монотонной сходимости, получаем
1/2
2 11^
6=1
«к—уЛпк+1Ц
и применяя теорему
Ж? < 1.
Теорема A1.27) показывает, что сумма 2 И^л,—УЛп,
ь— 1 К к + 1
к=1
конечна для Я-почти всех 5^0. Таким образом, для некоторого
а^О последовательность {Уа%>пк\к=1 есть последовательность
Коши векторов относительно первоначальной нормы для Н
и потому имеет предел, скажем, ^. Поскольку оператор Уа-х
ограничен, получаем, что ^ имеет предел Уа-^ = &- Тогда
Нт
|Ц-Б'|
11т
5<1/лц-п, клц-п>^Г<
О -I
<Пт [зир{||У,||: 5 €0}.|Щ-С ||] = 0.
Как обычно, получаем отсюда Нт \\\^п—С'||1 = 0.]
(Ь) Пусть п—-положительное целое число, а 91—подгруппа
линейной группы ©й(я,/С), компактная в ее относительной
топологии как подпространства в К71*. Тогда существует такая
матрица Т€Ш(п,.К), что все матрицы Т~1МТ при М^?1
унитарны. [Выберем базис е1э . :.,в„ в Кп и для каждого
УИ = (/72,^O, /$;=16 21 обозначим М' линейный оператор на Кп, для
п
которого М'(ек)= 2 т/ке/(к= 1, ..., я). Отображение УИн-^/И',
/=1
очевидно, осуществляет представление 91 операторами на /С",
удовлетворяющее предположениям (а). Значит, существует
внутреннее произведение <(лг, уУ для /С", такое, что <^7И'лг,
М'У^ = ^.г, У^ для любого М^31 и любых хуу€Кп. Пусть

$ 22. Унитарные представления локально компактных групп 449
Л» •••»/«—ортонормированный базис для Кп по отношению
к внутреннему произведению 4&,уУ- Пусть Г=(^)^=1—
такая матрица, что /к= 2 /у/гву F=1,2, ..., я). Тогда все мат-
/ = 1
рицы Т~гМТ унитарны.]
(с) (Вейль [4], стр. 82.) Пусть О —любая группа [не
обязательно топологическая], а т: 0-+©2(д, К) — некоторый
гомоморфизм; пусть % (х) = (а,]к (х)I к=1. Предположим, что все
функции а/к ограничены на О. Тогда существует матрица Т ^ ©2 (/г, К)
такая, что все матрицы Т~хх(х)Т унитарны. [Легко видеть,
что замыкание образа т@) в ®&(п>К) является ограниченным
замкнутым подмножеством в Кп* и потому компактной
подгруппой в @2(м, /С). Применяем теперь (Ъ).]
(й) Пусть О—любая группа, а х*->Ух—конечномерное
представление ее операторами на К" такое, что функции
х*-><Ухуу УхуУ все ограничены на О для любого у ^/(Л Тогда
существует такое внутреннее произведение <^у, %у на Кп, что
все операторы Ух унитарны по отношению к нему. [Это — просто
переформулировка утверждения (с).]
Замечания. Первая статья, насколько мы знаем, в которой
явно изучаются бесконечномерные унитарные представления
групп, есть работа Вигнера [1], в которой были вычислены
неприводимые бесконечномерные унитарные представления
неоднородной группы Лоренца. Регулярное представление
Уа [Уа{ = га*/] группы О операторами в @@) неявно появилось
у Вейля и Петера [1] для компактной группы Ли С и
операторами в &2 (О)—у Вейля [4], гл. 5. Первое изучение
бесконечномерных унитарных представлений общих локально
компактных групп содержится в фундаментальной статье Гельфанда
и Райкова [2]; см. также Гельфанд и Райков [3]. Представления
группы О операторами на банаховых пространствах были введены
Сегалом [3]. Далее они изучались Люмисом [2], § 32, и Шига
[1] для компактных групп.
Теорема B2.3) для унитарных представлений алгебры М (О)
принадлежит Годеману [1], а для банахова пространства
представлений алгебры МаФ)—Люмису [2], теорема 32В. Для
А = Ма@) теорема B2.7) появилась у Люмиса [2], теорема 32,
у Наймарка [1], § 29, теорема 1. Тот факт, что из слабой
непрерывности для унитарных представлений следует сильная
непрерывность, по-видимому, впервые был замечен Годеманом
[1], стр. 14, сноска 12. Аналогичный теореме B2.8) результат
для компактных групп появился у Шига [1]. Насколько мы
знаем, теорема B2.8) нова для рассматриваемых групп и
представлений. Теорема B2.10) основана на теореме 1 из книги
Наймарка [1] § 29.
15 Э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

450
Гл. 5. Свертка и представления групп
Основа для B2.11) появилась у Вейля [4], стр. 59;
остальное тесно связано с наблюдениями Годемана [1]:
Теорема B2.12) принадлежит, как указывалось, Гельфанду
и Райкову. Приведенное здесь доказательство близко к
доказательству Сегала [2]. Годеман [1] опубликовал
доказательство, очень похожее на первоначальное, как и некоторые
другие авторы. В общей аранжировке нашего доказательства,
хотя не в деталях, мы следовали Наймарку [1], § 29. Стоит
упомянуть сразу, что все доказательства теоремы B2.8)
основаны на теореме Крейна—Мильмана (В.30) и, следователь»
но, в конце концов на идеях компактности. Этим теорема
B2,12) напоминает многие наиболее известные факты
анализа.
Теорема Гельфанда—Райкова дает основу для построения
теории унитарных представлений локально компактных
некомпактных неабелевых групп, развивающейся с 1947 г. Эта теория,
однако, выходит за рамки нашей работы.
Теорема B2.13) была доказана для компактных групп О со
счетной открытой базой А. Гуревич [1]. В действительности
она доказала больше: всякое непрерывное унитарное
представление такой группы есть прямая сумма неприводимых
конечномерных унитарных представлений. Мы докажем это для
любых компактных групп О в томе 2, B7.44). Кусис [1] и
Иахбин [1] также опубликовали доказательство B2.13);
доказательство в тексте принадлежит Нахбину.
Следствие B2.14) принадлежит Вейлю и Петеру [1] для
компактных групп Ли и ван Кампену [1] для любых
компактных групп. [Ван Кампен указал, что всякая непрерывная
функция на компактной группе почти периодична [см. A8.2)]
и применил теорему фон Неймана [4] к почти периодическим
функциям и неприводимым конечномерным унитарным
представлениям.] Понтрягин [5] также опубликовал доказательство
теоремы B2.14) для компактных групп со счетной открытой
базой.
Характеры групп известны и изучались уже давно. Историю
вопроса см. в замечаниях к §§ 23—25. Полухарактеры
полугрупп были введены лишь недавно: независимо Шварцем [1]
и Хьюиттом и Цуккерманом [3]. Теорема B2.17) доказана
фон Нейманом [4] для локально компактных абелевых групп
со счетной открытой базой, Александером [1] для дискретных
абелевых групп и ван Кампеном [1] для любых локально
компактных абелевых групп. Доказательство ее, основанное на
теории банаховых алгебр [постулирующее существование меры
Хаара], было дано Гельфандом и Райковым [1].
Теорема B2.18) обобщает утверждение B2.19),
принадлежащее Вейлю [4], стр. 79—80.

§ 22. Унитарные представления локально компактных групп 451
Кстати о B2.22): интересно заметить, что локально
компактные группы, допускающие достаточно много конечномерных
непрерывных унитарных представлений, являются весьма
специальными. Если такая группа связна, то она имеет вид КпхС0,
где п—некоторое неотрицательное целое число, а группа О0
компактна. Этот интересный результат был указан Фрейден-
талем [2] для групп со счетной открытой базой. Общий случай
см. Вейль [4], стр. 142—146. Существует много несвязных
некомпактных групп, допускающих достаточно много
конечномерных непрерывных унитарных представлений: см. B2.22A),
например. Интересно было бы распространить теорему Фрей-
денталя по крайней мере на некоторые классы несвязных
групп.
15*

Глава 6
ХАРАКТЕРЫ И ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Эта глава посвящена вопросу, который можно назвать
изучением «тонкой структуры» локально компактных абелевых
групп. Мы получим теперь исключительно детальную
информацию о строении таких групп. Основной инструмент в нашей
программе есть группа характеров, которая определяется и
изучается в § 23. Группа характеров в высшей степени важна,
ввиду теоремы двойственности Понтрягина—ван Кампена1);
последняя формулируется, доказывается и используется в §24.
В § 25 мы применяем теорему двойственности к изучению
большого числа специальных локально компактных абелевых групп,
а в § 26—к некоторым проблемам структурной теории и
анализа.
§ 23. Группа характеров локально компактной
абелевой группы
B3.1) Определение. Пусть 0—некоторая группа, не
обязательно абелева или топологическая. Пусть %г и %2—ее
характеры. Произведение %г%2 характеров определяется как обычное
поточечное произведение: ъьМ^Ъ МъМ-
B3.2) Теорема. Множество всех характеров группы О является
абелевой группой, единицей которой слуоюит функция 1, и
I'1 ^ОС-
Теорема очевидна.
B3.3) Определение. Пусть О—топологическая группа. Группа
всех ее непрерывных характеров называется группой
характеров группы О. Группы характеров мы будем обозначать
символами X, Г, 3, ...
х) С многих точек зрения ее более естественно называть теоремой
Понтрягина.—Прим. ред.

$ 23. Группа характеров абелевой группы
453
Очевидно, всякая топологическая группа имеет по меньшей
мере один непрерывный характер, именно, 1. Некоторые
некоммутативные локально компактные группы не допускают
других характеров B2.22Н). Мы увидим в настоящем параграфе
всю полезность группы характеров локально компактной
абелевой группы; начинаем с общей теоремы.
B3.4) Теорема. Пусть О—локально компактная (не
обязательно абелева) группа, а А—замкнутая подалгебра в МF)
со следующими свойствами:
(\) всякий линейный ограниченный функционал на А имеет
вид [хь->^/*ф, где Н—некоторая ограниченная функция на О
о
такая, что функция ЩЕ борелевски измерима для любого с-кон-
пактного подмножества ЕаС;
(и) если а^О и \х^А, то га*\1$А и \х*га^А.
Пусть т—мультипликативный линейный функционал на А1).
Тогда найдется непрерывный характер % группы О, для
которого
(Ш) т (}х) = \ х Ф для любой меры (х ^ А.
6
Если %—любой непрерывный характер группы С, то отображение
(IV) (хн-^.^ф2)
с
есть мультипликативный линейный функционал на М@).
Доказательство. Пусть |х, V—такие меры в Л, что т([х)=^0,
т^)=7^=0, и пусть а—любой элемент из О. Тогда
т(8а*[х*г)=т(8й*^)т^) = т(г)т(8а*[г) =
= т (V * га * д) = т (V * га) т (ц).
Поэтому
т (га * [и)_т (у *ед) .
Т (ц) Т (V) '
полагая \1 = у, получаем т(еа* V) = т(V#еа) и потому
г(га*11)_т(8а*у)
Т (II) Т (V)
х) Напомним, что мультипликативный линейный функционал не
тождественно равен нулю (С. 12).
2) Наш выбор % вместо % в этом интеграле и в A11) произволен. Формулы
инверсии, данные в томе 2, используют % вместо %: мы предпочли сначала
использовать %.

454
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Пусть %—такая функция, что %(а) = Т\е" 1*Р) для любого \х
такого, что т((х)=^0, и для любого а^О. Если т(г) = 0, то
т(еь*^ = 0 Для любого Ь^О. Чтобы убедиться в этом, выберем
меРУ Iх 6 ^ так, что т([х) = 1; тогда
т (гь * V) = т (|х) т (еь * V) — т ((.I * гъ * V) =
= т (|х#8&)т^) = 0.
Следовательно, х(а)т(л0 = т(8в-1*л0 для любых V^А и а^О,
и для любых ау Ь (^6 при том же выборе [х
Х(й*) = т(8(аб)-1*[г) =
- Т (8^1 * 8а-> * \1) = X F) X («) = X (а) X (*) -
Поскольку т является ограниченным линейным функционалом
(С21),
|х(а)|<||т||||8в_1^||<||т||.1-Ц^Ц,
так что функция % ограничена. Поскольку х(е)=1, х есть
характер группы С.
Докажем теперь непрерывность %. По предположению A),
т([л) = ^Аф, для каждого [х^Л, где функция Н—как в A).
о
Выберем \1^А так, что т(|х) = 1, и пусть Е—а-компактное
подмножество в О с |[х|E/) = 0. Для любого борелевского
множества ЛсС и любого х^О имеем 8*-1*|[л|(Л) = ||л|(#Л),
так что гх-г * | \х | ((лг1^)') = гх-г * | \1 \ (х'1 (Е')) = 1111 (Е') = 0.
Поэтому для каждого х^Оу
X (х) = $ Н (у) (кх-1 * |х (у) = 5 Б*-ю (у) Л (у) *5,-1 * [х (у) =
= 5 1х~гЕ (Х~гу) Н (Х-гу) ф, (у) = $ %Е (у) Н (Х^у) Л\1 (у).
О О
Пусть теперь Р—компактное подмножество в О такое, что
Х(Р)>0. Функция %р-1еН борелевски измерима на О по
предположению A). Функция
(х, у) ¦-» ЪР (х) ЪЕ (у) Ьр-хе (х' гу) Н (х- 1у) A)
поэтому борелевски измерима иг ОхО и равно 0 вне а-компактно-
го множества РхЕ. Оценка
И Ь(х) и {у) 1^е(х-1у)\Н(х-^у)\а\|д | (у) ах^
со
<1|Л||.1||*1|Л.(/?)<оо

$ 23. Группа характеров абелевой группы
455
теперь очевидна. Теорема A3.10) дает нам, что функция A)
принадлежит 2Х (С х О, ^хЫ)» а из О3-8) вытекает, что функция
х*-*[Ь (х) Ь (у) Ър-*б (х~гу) *> (х"гУ) *Р (У) =
о
= Ь (х) 5 и (у) И (х~'у) </|1 (у) = 1р (х) х (х)
о
^-измерима на О [заметим, что Ър(х)Ъе(у)Ър-*е(х~1у) = Ър(х)Ъе(у)
для любых (х, у)€<ЗхС]. Иначе говоря, функция % Я-измерима
на Р и по B2.19) непрерывна на С.
Чтобы установить (Ш), рассмотрим меру [г2^Л, для
которой т(|х2) = 1, и любую меру (л^Л. Пусть Ег и Е2—такие
а-компактные подмножества в О, что ||гу|(/?у) = 0 (/ = 1,2).
Тогда | [111*11*2 1 ((^1 ^2)/)=0| множество ЕХЕ2 является
а-компактным, и потому
Т ([Хх) = Т (^) Т (\12) = Т (A! * (Хя) = ^ Л (И) Й|11 * Л\12 (и) =
а
= ) 1е,е2 (и) Н (и) фх * \12 (г/) =
о
= 5 5 ^Е2 (ХУ) Н (Ху) ф2 (у) <4|Л1 (*) =
- $ $ Ь-*е,ел (У) А (ху) ф2 (у) фх (а:) -
о о
= 5 $ Б*-»*, е2 (*/) Л (ху) фя (у) ^ (х).
Для любого л:^^х имеем х~1Е1Е2^>х~1хЕ2=Е2. Следовательно,
последний интеграл равен
5 5 Ъе2 (у) Н (ху) й\12 (у) 4ч (х) = ^ % (х-1) йу.г (х) = $ х(*) </|ч (х).
Ег0 Ех О
В силу произвольности меры [х2 утверждение A11) доказано.
Докажем, наконец, (IV). Поскольку отображение %
непрерывно и |я|=1, % принадлежит 2Х (О, ||х|*| VI) для любых р,
у^М@). Из теоремы A9.10) вытекает, что
5 X (И) Ф * V (И) = $ $ % (Ху) й\1 (X) (IV (у) =
о ос
= 55 ъ(х)г(у) Ф (х) а> (у)=^ да^1 (х) 5 хбо"^ (у).
00 0 0
В силу ^ хМ^веМ = Х(е)=:^ отображение (IV) не равно тожде-
о

456 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
ственно нулю на М@), поэтому оно является
мультипликативным [очевидно, линейным] функционалом. []
B3.5) Замечание. Если группа О недискретна, то М@)
допускает по меньшей мере один мультипликативный линейный
функционал, не имеющий вида B3.41У). См. B3.28а).
B3.6) Теорема. Пусть О—локально компактная группа.
Пусть, далее, А—подалгебра алгебры М@) такая, что для
каждого непустого открытого множества ЦаО найдется такая
мера \1^А+, что |х((/)=1 и }х ([/') = (). Тогда, если % и
^—различные непрерывные характеры группы О, то
мультипликативные линейные функционалы р,н>\%A\1 и [л н-> \ г)) ф различны на
о о
алгебре А.
Доказательство. Пусть а^О таково, что %{а)ф^(а).
Предположим также, что Ке%(а) > Кея))(а). Тогда существуют такие
окрестность V точки а и положительное число а, что Ке%(х) —
— Еег|)(л:)^а для любого х^.1). Пусть, наконец, \1—такая
мера из А + , что |я((/)=1 и ц,(^/') = 0. Тогда, очевидно,
Ке^%Ф — Ке ^г|)с/|х^а. Аналогичные рассуждения применимы
о о
к случаям Ке%(#) < Кег|)(а) и 1т%(а)Ф\т^(а). []
B3.7) Следствие. Пусть О—локально компактная группа.
Каждый мультипликативный линейный функционал на Ма (О)
имеет вид
о
где х—непрерывный характер группы О. Обратно, каждое такое
отображение является мультипликативным линейным
функционалом на МаF)> причем различные непрерывные характеры
группы О определяют различные мультипликативные линейные
функционалы по формуле (I).
Доказательство. Утверждение прямо следует из A2.18) и
части I доказательства B2.10), показывающей, что Ма@)
удовлетворяет условиям теоремы B3.4), вместе с B3.6). []
Группа характеров локально компактной группы О полезна
при изучении структуры группы О только в случае, когда
элементы группы О коммутируют друг с другом. Более точно
это можно выразить следующим образом.
B3.8) Теорема. Пусть О—локально компактная группа.
Пусть, далее, С0—группа, порожденная всеми элементами вида

$ 23. Группа характеров абелевой группы
457
аЬа"^, где ауЬ^О1). Тогда С0является нормальной подгруппой
в О. Положим
А = \х^О: %(х)=\ для любого непрерывного характера % в О}.
Тогда С~^ = А. Группы характеров групп О и О/А изоморфны
друг другу при отображении х^^Х^ г$е X—непрерывный
характер группы С, и %1(хА)=%(х) для любого х^О. Если
Ненормальная подгруппа в С, то группа О/Н абелева тогда и
только тогда, когда #=)С0. Если подгруппа Н замкнута, а О/Н
абелева, то Н^эА и группа О/Н топологически изоморфна группе
@/А)/(Н/А).
Доказательство. Если х^О и с^С0, то хсх~1 = (хсх~1с~1)с€
€С0С0 = С0, так что С0—нормальная подгруппа в О.
Согласно E.3), группа Со" является замкнутой нормальной
подгруппой в О.
Предположим, что Н—нормальная подгруппа в О. Если
группа О/Н абелева, то для любых а, Ь^О имеем аНЪН =
= ЬНаН и потому а^Ь*1 аЬ (=#. Следовательно, С0аН. Обратно,
если С0с=#, то для любых а, Ь^О имеем яг1^-1 аЬ$С0с:Н и
потому аНЬН = ЬНаН. Таким образом, группа О/Н абелева.
Если х—непрерывный характер группы С, то х_10)— И0Р"
мальная замкнутая подгруппа в С. Как пересечение
замкнутых нормальных подгрупп, подгруппа Л —также замкнутая
нормальная подгруппа. Очевидно, все элементы вида аЪа'Ч-)
принадлежат А. Следовательно, СоГсгЛ, поскольку
Со"—наименьшая замкнутая подгруппа, содержащая эти элементы.
Предположим теперь, что"СоФА и х^Лп(Со")'. Группа С/Со
абелева; она локально компактна и хаусдорфова по E.22)
и E.21). По B2.17) найдется непрерывный характер %1 группы
О/Со", такой, что %1(хСо)Ф1. Если ср: С—>С/Со — естественное
отображение, то %г о ср — непрерывный характер группы С и
Х7 о ф {х)Ф 1, т. е. х^А. Это противоречие показывает, что
Со = Л. Последнее утверждение теоремы следует из E.35).
Наконец, для каждого непрерывного характера % группы С
пусть Хх—такая функция на С/Л, что %1(хА) = %(х). Если
хА = уА, то у1 х^Ау так что %(у~1х) = %(у~1)%(х)=1. Поэтому
отображение %1 определено на О/А корректно.
Легко"проверить, что XI — характер группы О/А. Если V? — любое открытое
подмножество в ГТ, то хГ1 (Ю = {хА $0/А: %г(хА)€№\ =
= \хА ^ О/А: х (х) 6 ^} — образ открытого Множества х-1 (Ю
относительно естественного отображения" ср: С—>С/А.
Поскольку отображение ср открыто E.17), %г есть непрерывный
характер группы О/А. Если г|)—некоторый непрерывный
характер группы О/А, то я]) о ср есть непрерывный характер
1) С0 называется коммутаторной подгруппой в О.

458
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
группы О, и г|)~ (^оф^. Следовательно, отображение х»—> XI
есть изоморфизм группы характеров группы О на группу
характеров группы 01 А. []
Теорема B3.8) показывает, что при изучении группы
характеров мы ничего не теряем, рассматривая лишь абелевы группы.
Последующий анализ излагается поэтому в терминах абелевых
групп. На протяжении B3.9)—B3.16) О всегда означает
некоторую локально компактную абелеву группу, а X — ее группу
характеров.
B3.9) Определение. Для любого \1^М@) пусть [х — ком-
плекснозначная функция на X, для которой
(О Мх) = 5хФ-
о
Эта функция называется преобразованием Фурье—Стилтьеса
меры |х. Если \ь€Л1а{С), так что с1\1 = [AХ для некоторой
функции /6^@), мы пишем / вместо \х и говорим о
преобразовании Фурье функции /\ Для произвольного подмножества
АаМ(О) символ Л обозначает множество {|х: \1^А\ функций на
X; аналогично, 3) обозначает множество {/: / ^©} при ©сгй^ (О).
B3.10) Теорема. Имеют место следующие соотношения:
0)
(И)
(Ш)
(IV)
(V)
(VI)
(ц + \)" = ц- +
(ар,)" = ац
([X * V)" = [XV
0О~ = ц
Мх) = Х(а)
5ир{1Мх)|: х
V при
при
при
при
при
€Х}<||
И, V€М@)¦,
а^К и \1€М@);
ц, ч$М@);
,и€Ж@);
а^О и хбХ;
[х|| при 1», ^М (О).
Все эти соотношения являются простыми следствиями
определения. Мы опускаем их проверку.
B3.11) Теорема. Пусть \1—произвольная ненулевая мера из
Ма@). Найдется такой элемент %(;Х, что \1(%)ф0.
Доказательство. Согласно B2.11) и B1.37), существует
неприводимое ^-представление 5 алгебры Ма@), для которого
оператор 5^,—ненулевой. Алгебра МаF) коммутативна [A9.6),
см. также B0.24)]. Следовательно, каждый оператор 5Г при
V 6 Ма (С) коммутирует с любым другим оператором 5^, (х ^ Ма (О),
и потому, в силу B1.30), Зу кратен тождественному оператору
8у = т{чI. Очевидно, отображение т, определенное таким
образом, является мультипликативным линейным функционалом на

$ 23. Группа характеров абелевой группы
459
алгебре Ма@) и т(|л)^0. Ссылаясь на B3.7), заключаем, что
т ([г) = ^ 5С ^М- Аля некоторого %^Х. []
о
B3.12) Замечание. Аналог B3.11) имеет место также для
М @): если [л ^ М (О) и (х ф О, то |г Ф 0. Доказательство, однако,
довольно сложно, и мы его отложим до второго тома, C1.5).
Определим теперь топологию на X.
B3.13) Теорема. Для }1У ..., /я бЗДС), е > 0 и ъ 6Х пусть
д(/1э ••> /«; е; Хо) есть множество {х^Х: |/у(х)—/у(Хв) К е,
/ = 1, ..., т}. Систему множеств А (/1Э ..., /л; е; Хо) возьмем за
базу открытых множеств в X. Относительно так определеннойх)
топологии на X множество X является локально компактным
хаусдорфовым пространством.
Доказательство. Согласно B3.7), X может быть
отождествлено со структурным пространством коммутативной банаховой
алгебры Ма(С) (С.23). Д-топология для нее есть просто гель-
фандовская топология для этого структурного пространства,
и потому локально компактна и хаусдорфова (С. 26). []
B3.14) Теорема. Пусть /—произвольная функция из 2Х (О)
и е—любое положительное число. Найдется такая окрестность V
единицы группы О, зависящая только от / и е, что: если х0У
*€б и хо, Х^Х, причем} (%о)=1, х^Цх0 и х$А (/, *0/; е/3; х0)>
то
0) 1х(*)—Хо(*о)|<е.
Б частности, отображение (х, %)*->% (х) группы О х X в группу Т
непрерывно выданной топологии для О и А-топологии для X.
Доказательство. Пусть V—такая окрестность единицы в О,
что ||^—*/||1<е/3 при 8^1^Ц B0.41). Для произвольных Хо>
Х^Х и х0, х^О, таких, что /(х0) = 1, мы имеем
\х(х)-Хо(Хо)\-\%(х)-%о(ХоI(%о)\<\х(х)-%(х)!(%)\ +
+ |хМ?Ы-х(^о)/(хI+1х(^)/(х)-ь(^о)/(хоI==
= |1-?(хI+1(,/)^(х)-и/)л(х)| + 1и/)л(х)-и/)ЧХо)|. A)
Последнее равенство справедливо по B3.ЮШ) и B3.10у), если
заметить, что (Х/)Л= (е*-**/) (ИХ. Из B3. КМ) следует также,
что
\ыг (%)-иг (%)\<\\4-Ха1\\г- B)
') Мы будем называть ее условно Д-топологией на X.

460 Гл. 6. [Характеры и теория двойственности
Итак, если (ху х) 6(*/*о)х(Д (/, *./; е/3; Хо))> то из A) и B) мы
получаем \%(х)—Хо(*о)|< е. Ц
ч23.15) Теорема. Для любого компактного подмножества Ра О
иЛ любого е>0 пусть Р (Р, е) есть множество {%^Х: \%(х)—1|<е
при х^Р\. Если систему множеств Р (Р, г) взять за открытую
базу в точке 1 группы X, то X—топологическая группа D.5).
Р-топология совпадает с ^-топологией из B3.13), и потому X
относительно этой топологии является локально компактной
абелевой группой.
Доказательство. Проверяем условия D.51)—D.51у), замечая
сначала, что D.5И) и D.51у) тривиальны для множеств Р(Р>х).
Если |х(*)— 1|<е/2 и | ф (*) — 11 < е/2, то |х(*Ж*) — И<
<1х(*Ж*) —Ф(*)| + 1*(*)—4<е> так что Р(Ле/2)Р(Л
8/2)сР(Де/2); тем самым D.51) проверено. Если хбР(^>е)»
то тах{|х(#)—11: х^Р\ = а и а<е, поскольку % непрерывна,
а Р—компакт. Легко видеть, что %Р (Р, 8—а)сР(Ле). Таким
образом, D.5Ш) проверено, и тем самым мы показали, что
X—топологическая группа относительно Р-топологии. Для
данных Р (Р, е) и Р (Р0, 80) имеем
Р(^^тт(8,80))сР(Л8)ПР(^б0),
так что D.5у) проверено, и множества Р (Ру г) образуют базу
в точке 1 группы X.
Докажем теперь, что А- и Р-топологии совпадают.
Поскольку ХоД (/и • • •, 1т\ е; 1) = А (%0 /х, . . ., %0}т\ е; Хо), А°ста-
точно показать, что каждое Р (Ру г) содержит некоторое
Д(/1> •••'/^5 б; 1) и наоборот. Предположим, что
Р—компактное подмножество в С и что 8 положительно. Для любой
функции /^^(О) такой, что ^ [йХ = }A)= 1, выбираем окрестность
а
{] единицы е> как в B3.14). Поскольку Р компактно, найдется
конечное число окрестностей Их, покрывающих Р\ пусть хи ...
п
. . ., хп^Р и [) 1/хк=>Р.Предположим теперь, что хбА (/> хх[,
/2=1
*2/> • • •» х /; &/3; 1). Для любого х^Р имеемх^Цхкмя
некоторого й = 1, 2, ..., я и^Д(/, х }; е/3; 1). Применяя B3.14) и
полагая Хо = 1> получаем \%{х)—1|<е; иначе говоря, х^Р(Р9е).
Наконец, пусть А(/1э ..., \т\ б; 1) — любое; мы можем
предположить, что ни одна из функций /у не нулевая. Пусть,
наконец, Р—такое компактное подмножество в С, что
31//!<&< -4 ПРИ /=1, .... т.

$ 23. Группа характеров абелееой группы 461
Пусть е =-2 ппп (-|^|-, ..., -р^") • Тогда при х€Р(Л е):
1//(х)-/уAI = 1]/д^—^//^к
I о о I
Таким образом, 1>(Р, е) содержится в А^, /2, . ..,/л; б; 1). []
Начиная с этого момента, мы всегда будем рассматривать
группу X топологизированной либо Р-, либо Д-топологией.
B3.16) Следствие. Пусть Р—компактное подмножество в О,
для которого %(Р)>0, а а—любое положительное число,
меньшее 1. Окрестность Р (Р, а) имеет тогда компактное
замыкание в X.
Доказательство. Рассмотрим функцию 8=%>?€%1F)- Если
Х€Р(Л «), то
|ё(х)-вгО)|
и потому
^ Х^ л—^ 5 ^ | < °^ (^) = аё (!).
|^(х)|>A-а)^A).
Поскольку #6©о(Х) (С.26), множество \%^Х: 1#(хI^
^A—а)#A)} компактно. Поэтому и замыкание множества
Р (Р, а) компактно. Ц
B3.17) Теорема. Если группа С компактна, то группа X
дискретна; если группа О дискретна, то X компактна.
Доказательство. Пусть А—подгруппа группы Т\
предположим, что \г—1|<]/3 для любого г^А. Тогда, как легко
видеть, Л={1}. Таким образец, если группа О компактна, то
множество Рк(С, 1/3) = {1} является окрестностью характера 1
в X, так что группа X дискретна. Если же, наоборот, группа О
дискретна, то алгебра Ма{0) имеет единицу, так что по (С.25)
группа X с А-топологией компактна. []
Наша цель — вычислить группы характеров многих локально
компактных абелевых групп и доказать важнейшую теорему
двойственности B4.8). Установим сначала несколько простых
предварительных утверждений.
B3.18). Теорема. Пусть 01У ..., 0т—локально
компактные абелевы группы, с группами характеров Хх, ..., Хт

462 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
соответственно. Для каждого (%х, ..., %т) ^ РХУ пусть
[%1> •••! Хт] обозначает функцию
(Х1У ...,Хт)\-> XI (*1> Х2 (*.) • - - Хт (Хт),
т
определенную на Р О у. Тогда отображение (%х, ..., %т)*->
•—**[%1» •••> 5и]> которое мы обозначим 9, осуществляет топо-
т
логический изоморфизм группы Р Ху яа группу характеров
т
группы Р О,1).
Доказательство. Очевидно, что каждая функция [%х, ..., %т]
т
является непрерывным характером группы Р О ¦ и что отобра-
/=1
т
жение Э есть изоморфизм группы Р X,- в группу характеров
/=1
т
группы Р Оу. Если я|)—любой непрерывный характер группы
т
Р О.-, то для каждого (х1, ..., х,л) мы получаем
/=1
Ф(*1» '••» **) =
== Т (*1> ^2» * • • > ет) "ф (^1> -^2» ^3> • • • » ет) • • •'Ф (#1» ^2> • • • > *ЧЯ-1» ^/Я/
[где бу-—единица в группе Су]. Если мы определим характер
Ху. на Оу правилом зС/(*/) = Ф(е1» •••» */-!' */> */+!> •••» *«)> то>
как легко видеть, Х/^Ху и ^=[%1У ..., ^и]. Таким образом,
т
изоморфизм 0 переводит группу Р Ху на группу характеров
т
группы Р О:.
Если Р^Р, е) — окрестность единицы в группе характеров
т
группы Р О у и если Р/ обозначает проекцию множества Р
на Оу, то
еA.р(^ ^))сР(Лв)- A)
г) Мы будем сокращенно записывать это утверждение словами, что группа
т т
характеров произведения Р Оу есть произведение Р Ху групп характеров.

$ 23. Группа характеров абелевой группы
463
Если Р(/*\-, е) — окрестность единицы в X, для каждого / и
т
Р= Р (Р/[){е/\), то для б = т1п(е1, ..., ет) получаем
Р(Ле)с9(в?Р(^,е/)у B)
Соотношения A) и B) показывают, что 0—гомеоморфизм. []
Укажем теперь один тривиальный, но полезный факт.
B3.19) Лемма. Пусть О—компактная группа, не обязательно
абелева, а %—ее непрерывный характер. Тогда
A) §х(хHх = 0,
а
если только % Ф 1, причем при % = 1 этот интеграл равен 1.
Доказательство. Для каждого а^О имеем
§Х(х) с1х = ^%(ах) Лх=х (а) §%(х)их. A)
а о о
Если %(а)Ф1, то соотношение A) может быть выполнено
. только при \%(х)Aх = 0. ?
о
B3.20) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа,
а Г—подгруппа ее группы характеров X такая, что для
каждого афе в Г найдется такой характер х, что х(а)ф\. Тогда
Г совпадает с X,
Доказательство. Пусть &—линейное пространство всех коми-
т
лекснозначных функций на О вида 2 а/Х/> гДе а1> •••> ат все
принадлежат /С, а %г, ..., Хю все принадлежат Г. Поскольку
Г есть подгруппа группы X, то & есть подалгебра алгебры
6(С), замкнутая относительно операции комплексного
сопряжения. Для любых а, Ь^О найдется такой характер %(^ Г,
что %(аЬ~г)ф\, т.е. %(а)Ф%(Ь). Значит, 2 разделяет точки
группы О. По теореме Стоуна—Вейерштрасса, & равномерно
плотно в ©(О). Предположим теперь, что существует
непрерывный характер я|) группы О такой, что "ф^Г. Тогда, оче-
т
видно, найдется функция 2аД/€& с
т
23 а Д/
/=1
<1,
и

464
Гл. 6, Характеры и теория двойственности
причем все %у можно выбрать различными. Учитывая B3.19),
получаем
Л 5. I2
п т Г» т — П —
= ] фф &.- 2 а, \ Х/Ф Л- 2 а/ ^ Х/Ф ^ +
т т _ л — т
/=1/г=1 ^ /=1
и
Это противоречие и доказывает теорему. []
Теорема B3.20) полезна при построении групп характеров
компактных абелевых групп.
B3.21) Теорема. Пусть {О^е/—непустое семейство
компактных абелевых групп, а Хь—группа характеров группы 01
для каждого 1^7. Для произвольного элемента (%,,)€ Р*ХЬ пусть
16/
[%\]—такая функция на Р 61У что [хь! ((^)) = II Хь (хь) [только
16/ 16/
конечное число членов в произведении отлично от 1]. Все
непрерывные характеры группы Р01 имеют вид [%,,], а группа харак-
16/
теров группы Р 6Ь топологически изоморфна группе Р* Хь с диск-
16/ 16/
ретной топологией.
Доказательство. Множество всех характеров [%(] является,
очевидно, подгруппой группы характеров группы Р 01У разде-
16/
ляющей точки Р О,,. С помощью теоремы B3.20) легко
провесе/
рить, что характеры [%,,] суть все непрерывные
характеры группы Р Оь, а из B3.17) вытекает, что группа харак-
16/
теров группы Р Оь дискретна. Очевидно, умножение характе-
16/
ров соответствует умножению в группе Р*ХЬ. П
16 /
Теорема B3.21) имеет почти очевидное дополнение.
B3.22) Теорема. Пусть {О,,: 1^} — произвольное непустое
семейство дискретных абелевых групп, а Хь — [компактная]
группа характеров группы 01 для каждого 1^7. Для каждого
(хЛ€ Р X,, пусть [%,,]—такая функция на Р*019 что [&] ((*!,)) =
16/ 16/
^ТТ^1^1) [только конечное число членов в этом произведении
16/
отлично от 1]. Каждая функция [%,,] является характером

$ 23. Группа характеров абелевой группы
465
группы Р* Оь и все характеры группы Р* Оь имеют вид [%,,].
16/ 1С/
Если группа Р* 01 снабоюена дискретной топологией, то отобра-
16/
жение (%ь) \—> [%,,] осуществляет топологический изоморфизм
группы Р Хь яа [компактную] группу характеров группы Р* Сь.
16/ ' 16 /
Доказательство. То, что все функции [%,,] являются
характерами группы Р* 0Ь, тривиально. Для каждого фиксирован-
16/
ного %^1 пусть 0^0) — подгруппа в Р*0Ь, состоящая из всех
16/
таких (хь), что х1 = е1 при \,фк. Любой характер группы
Р* 6Ь является характером подгруппы 0^; обозначим %к су-
16/
жение на 0^ характера %. Тогда, очевидно, %=[%1,].
Отображение (%ь) к—> [^] осуществляет изоморфизм группы Р Хь на
16/
группу характеров группы Р* О,,. Стандартное рассуждение
16/
показывает, что это отображение непрерывно. Поскольку
рассматриваемые группы компактны, отображение есть
гомеоморфизм. []
Идентифицируем теперь группу характеров с некоторой
факторгруппой.
B3.23) Определение. Пусть О—локально компактная абелева
группа, и X—ее группа характеров. Для произвольного
непустого подмножества Я в О пусть А (X, Я) — подмножество
в X, состоящее из всех таких %, что %(Н) = {1\. Множество
А(Х, Я) называется аннулятором множества Я в X.
B3.24) Замечания, (а) Если множество Я—то же, что
в B3.23), а Нг — наименьшая замкнутая подгруппа в О,
содержащая Я, то, очевидно, А(Х, Я) = А(Х, Нг).'
(Ь) Очевидно, А(Х, 1е\) = Х. Из B2.17) следует, что
А(Х, Н)ФХ при Нф{е), Яз{е}.
(с) Очевидно, А(Х, Я)—подгруппа в X. Чтобы проверить
ее замкнутость в X, рассмотрим любое %0(^А(Х, Я) и такой
элемент а^Я, что %0(а)Ф\. Тогда Р-окрестность %0Р({а},
\%0(а)—11) элемента %0 содержится в А(Х, Я)', так что
подгруппа А(Х, Я) Р-замкнута.
(й) Пусть Я—компактная подгруппа в О. Тогда, как легко
видеть, Р(Я, ]/*3)=А(Х, Я), так что подгруппа А(Х, Я)
открыта.
(е) Если Я—замкнутая подгруппа в С, не являющаяся
локально нулевой, то А(Х, Я) компактна. Это следует прямо
из B3.16) и (с).

466
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
B3.25) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева
группа с группой характеров X, а Я—замкнутая подгруппа в О.
Пусть, далее, Г—группа характеров [локально компактной абе-
левой] группы 0/Н. Группа Г топологически изоморфна группе
А (X, Я). Точнее, если ср: О—>0/Н—естественное отображение
х*—>хН, то отображение фн->я|эо ср =р (я|)) осуществляет
топологический изоморфизм Г на А(Х, Я).
Доказательство. Поскольку ср — непрерывный гомоморфизм и
ср~1({Я}) = Я, то, конечно, я])оср^А(Х, Я) для каждого фб^*.
В силу ('Фх'фз) о ф == (% о ф) (я1J о ф) отображение р есть
гомоморфизм. Характер %1€А(Х, щ постоянен на всех классах
смежности хН, и потому функция я]^ на О/Н определена
формулой ^ (хН) = XI (х) корректно; она, очевидно, является
характером группы О/Я. Нетрудно видеть, что функция %
непрерывна на О/Н: для любого е > 0 найдется такая
окрестность {] единицы е в О, что \%1(х)—1|<8 при х^Ц.
Множество {хН: х^Ц\ является окрестностью единичного
элемента Я в О/Н E.15), причем \^ (хН) — 11 < е. Поэтому
отображение •ф1 непрерывно в точке Я и потому непрерывно на всей
группе О/Н E.40а). В силу 5СХ = ^ о ср мы доказали, что р есть
отображение группы Г на А(Х, Я). Очевидно, что 1]) о ф = 1
только если о|)=1, так что р — изоморфизм.
Наконец, покажем, что р есть гомеоморфизм. Для
произвольного компактного подмножества РаО множество \хН^О/Н:
х^Р\— компакт вгО/Я. Более того, каждый компакт в О/Н
имеет эту форму E.24Ь). Для любого е > 0 имеем
р({гКГ: \Ъ(хН) — 1|<е при х$Р}) =
= {х€А(Х,#): |х(д)_1|<е при х$Р}.
Таким образом, р отображает открытую базу в точке 1 в У
на открытую базу в точке 1 в А(Х, Я), и потому является
гомеоморфизмом. []
B3.26) Следствие. Пусть О—локально компактная абелева
группа, X—ее группа характеров, а Я—замкнутая подгруппа
в О. Для любого а ^ О Г) Я' найдется такой характер % ^ А (X, Я),
что 1(а)ф\.
Доказательство. Пусть Г и р—те же, что в B3.25).
Согласно B2.17), найдется характер г|)(=Г, для которого \р(аН)Ф\.
Тогда р(ф)€А(Х, Я) и р (ф) (а) = ф (аН) Ф 1. П
B3.27) Некоторые примеры групп характеров. Мы теперь
укажем 6 элементарных, но очень важных примеров групп
характеров. В § 25 мы приведем дальнейшие примеры.
(а) Рассмотрим группу Т. Тождественное отображение
ехр(г7)|—»ехр (И) @^/<2я), очевидно, является непрерывным

$ 23. Группа характеров абелевой группы
467
характером группы Т и само разделяет точки Т. Его
целочисленные степени, т. е. функции 1, ехр(#), ехр(—И), ехрB^),
ехр(—2И), ..., ехр(ш7), ехр(— ш7), ... (/1 = 0, 1, 2, 3, ...)
суть все непрерывные характеры группы Т B3.20).
Относительно умножения эти функции образуют группу, изоморфную
аддитивной группе 2. Можно, таким образом, сказать, что
группа характеров группы Т есть [дискретная] группа 2.
(Ь) Рассмотрим группу 1. Характер % группы 2, очевидно,
определяется числом %A), поскольку %(п) = %A)п (п^Ъ) и
ХA) может быть выбрано в Т произвольно. Пусть %а есть
такой характер группы 2, что %аA)=а. Отображение ан->%а*
очевидно, осуществляет изоморфизм группы Т на группу
характеров группы 1\ легко убедиться, что это отображение
непрерывно: если |а—1| достаточно мало, то \а/—1| произвольно
мало для конечного числа заранее заданных целых чисел /.
Следовательно, отображение является гомеоморфизмом, и
мы можем сказать, что группа характеров группы Ъ есть
группа Т.
(с) Пусть /77—целое число, большее 1, и 2(т) — конечная
циклическая группа, записываемая {0, 1, ..., т—1} с
операцией сложения по модулю т. Отображение &н->ехр (—-) есть
характер группы 2(т), разделяющий точки. Как в (а), мы
видим, что каждый характер группы 1(т) имеет вид
к\-»ехр (—^—) » где I—некоторое фиксированное целое число,
такое, что 0^/^т—1. Поэтому группа характеров группы
2(гп) изоморфна самой группе 2(т).
(A) Пусть группа О — конечная [дискретная] абелева группа;
согласно (А.27) она изоморфна произведению Ъ (тх) х2 (т2) х ...
...х2(/775), где тг, т2, ..., т3—некоторые целые числа, все
большие 1, являющиеся степенями простых чисел. Из (с) и B3.18)
следует, что группа характеров группы С изоморфна самой
группе О. Каждый характер имеет при этом вид
г^1 | | к$1,
(к1У ..., /г5I->ехр ]2т{^+... +
где 0</у</777 (/=1, 2, ..., 5).
(е) Рассмотрим аддитивную группу Я. Для любого
фиксированного у^к функция хI—*ехр (ш/) = % (х) является
непрерывным характером группы /?. Мы покажем, что и любой
непрерывный характер группы 7? имеет такой вид. Пусть,
действительно, А = {х^к'. %(х)=Ц. Тогда А — замкнутая
подгруппа в ^ и, как легко видеть, либо А--=К, либо Л = {0},
либо А = {кЬ: к ^ 2} для некоторого положительного числа Ъ ^к-
Если А = К, то х=1, так что %(х) = ехр Aх0)=%0(х).

4&8 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Предположим, что Л = {0}. Тогда %([0, 1])—связное
компактное подмножество в Т, содержащее единицу: таким
образом, это—либо дуга, либо одноточечное множество {1}. По
предположению, %([0, 1]) неодноточечно, и потому найдется
такое #ё:@, 1], что %(а) --=ехр ( — ] , т—неотрицательное целое
число. Тогда %(та) = 1,— в противоречие с нашим
предположением1).
Осталось предположить, что А = {кЬ: к^1\, где Ь —
некоторое положительное число. Поскольку
1-Х(»)-хB4)-х(т)'
и 0<-|<6, то хD-)=—!¦ в СИЛУ X (тJ = й(у) = — 1
мы должны иметь % (^Л = ехр (^ и или % (-^) =ехр (—^ И .
Переходя, если нужно, к характеру %> можем считать, что
^ ( _ I = ехр ( ~ м . Это—последняя остающаяся возможность
для любого непрерывного характера х- Предположим, что мы
уже доказали, что
(Ь\ Bт\
дл^ некоторого положительного целого к. Тогда мы должны
иметь
*(
2к+г) — ехР ^2^+1
ИЛИ
Х1рп) = ехр1^+я/
Предположим, что имеет место второе равенство. Тогда
X ( ~оь~+1» Ш )есть компактное связное множество в Г и должно
содержать либо +1, либо.—1. Поэтому для некоторого а^ (р-^, р)
либо х (а) = + 1» либо х (а) = — 1 • В любом случае х Bа) = 1
и 2а<р^у^6. Это противоречит выбору Ь как наименьшего
г) Можно также рассуждать следующим образом. Множество % (Я) есть
связная подгруппа Т и потому либо совпадает с Т9 либо тривиальна. Если
Л = {0|, то отображение % взаимно однозначно, так что х(/?) = 7". По E.29)
отображение % открыто и потому должно быть гомеоморфизмом, что, конечно,
невозможно.

$ 23. Группа Характеров абелевой группы
469
положительного числа такого, что %(х) = \. Значит, %(^^) =
= ехр (^Т~ч • ТепеРь очевидно, что % {гЬ)=ехр Bш>) для любого
двоично рационального числа г. По непрерывности, %(хЬ) =
= ехр Bтх) для любого вещественного числа х\ эквивалентно,
X(х) = ехр [ьх (^-)) = Х2я/б (*) х).
Легко видеть, что отображение у*—>%у есть изоморфизм,
так что группа К изоморфна своей собственной группе
характеров. Легко видеть, что обычная топология на /? согласуется
с Р-топологией на группе характеров %у, т. е. отображение
У*~*Ху есть топологический изоморфизм группы Я на ее группу
характеров.
(I) Группа характеров группы Нп(п = 2, 3, ...)
топологически изоморфна #п. Каждый непрерывный характер группы Кп
имеет вид
(х19 ..., хп) ь-> ехр (/ (х&±+ ... +хпуп))
для некоторого (у1У ..., уп)€Нп. Это прямо следует из (е)
и B3.18).
Дополнительные теоремы и примеры
B3.28) Комментарии к теореме B3.4). (а) Пусть О — любая
недискретная локально компактная группа, не обязательно
абелева. Для каждого |х^УИ@) пусть т (ц<) = 2^ ({*})• Легко
видеть, что т есть мультипликативный линейный функционал
на М@) и что т([х~) = т([д,) для каждого (х^Ж(О). Значит,
отображение |хн->г([г) есть одномерное ~-представление
алгебры М (О). Если бы т([г) было представимо в виде B3.4 IV) или
даже в виде B2.3 ш) для некоторого борелевски измеримого
представления группы О, то существовал бы непрерывный
характер х группы О, для которого
$хФ=2и({*})
для любого [г ^ М (О): непрерывность % следует из B2.19). Значит,
X должен быть отличен от 0, в то время как ^ ^йр = 0 для каждой
а
. непрерывной меры [г. Это, очевидно, невозможно, так что т не
имеет представления ^ %ф.
с?
х) Группа /? имеет много [2е, если быть точным] разрывных характеров.
См. B5.6).

470
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
(Ь) Пусть О и т(р,) — те же, что в (а), и о([г) = [г@) для
каждого [А^Ж(О). Тогда а—также мультипликативный
линейный функционал на М(С) [мультипликативность легко
показывается с использованием A9.11)]. Функционалы т и о равны
на Ма@)9 но различны на Мс@).
(с) Пусть х—любой характер группы О, разрывный или
непрерывный. Пусть, далее, %х (\1)= 2 хМ Iх ({*})• Тогда тх—
мультипликативный линейный функционал на УН (О),
равный 0 на Мс(C). Функционал т из (а) есть т^ в настоящей
конструкции.
(<1) Пусть х—любой непрерывный характер группы О, и
азс((х) = ^ х^- Тогда а%—мультипликативный линейный функ-
о
ционал на Ж(О). Функционал а из (Ь) есть аг
B3.29) Аннулятор А(Х, //). (а) Пусть О—локально
компактная абелева группа, X—ее группа характеров, а
Н—замкнутая подгруппа в О. Если Н одновременно открыта, то
подгруппа А(Х, Н) компактна. Обратное справедливо, но требует
теоремы двойственности B4.8). [Группа О/Н дискретна по E.21),
и потому ее группа характеров компактна B3.17). Теорема B3.25)
показывает, что и группа А(Х, Н) компактна.]
(Ь) Пусть О и X—те же, что в (а). Если Нг и
Н2—замкнутые подгруппы в О и #3—наименьшая замкнутая подгруппа,
содержащая Ях и Я2, то А(Х, Нх) Л А(Х, Я2) = А(Х, Я3).
Заметим, что Н3 не обязана совпадать с НхНг\ см. последний
абзац доказательства D.4).
B3.30) Продолжение характеров с плотных подгрупп. Пусть
О—топологическая группа [не обязательно абелева], а Н—ее
плотная подгруппа. Каждый непрерывный характер группы Н
может быть единственным образом продолжен до непрерывной
функции на О, и это продолжение является [непрерывным]
характером группы О. [Чтобы убедиться в этом, заметим
сначала, что всякий характер Н равномерно непрерывен
одновременно относительно левой и правой равномерных структур на Н.
Как и все равномерно непрерывные функции, он может быть
непрерывно продолжен на О. Легко проверить, что
продолжение непрерывной функции обязано быть характером.]
B3.31) Некоторые гомоморфизмы и автоморфизмы, (а)
Единственные непрерывные автоморфизмы группы Т на себя суть
тождественное отображение ехр (И)*—>ехр (И) и сопряженное
отображение ехр (И)\->ехр {—И). [Очевидно, любой непрерыв

$ 23. Группа характеров абедрвой группы
471
ный автоморфизм группы Т должен быть взаимно однозначным
непрерывным характером. Остается применить B3.27а).]
(Ь) Пусть ф — непрерывный гомоморфизм группы Т в себя.
Если <р(Т)Ф{\\, то фG) = Г и группа Г/ср-ЧШ)
топологически изоморфна Т. [Это прямо следует из B3.27а) и E.27).]
(с) Непрерывные гомоморфизмы т группы # в себя имеют
вид т(х) = ах для некоторого а^#. [Пусть а = тA);
вычисляем %(г) для рационального г и используем непрерывность.]
B3.32) Группы, не допускающие нетривиальных непрерывных
характеров, (а) (Хьюитт иЦуккерман [1],Смит
[1].)ПустьЕ—произвольное топологическое линейное пространство над 7? (В.5).
Пусть, далее, %—непрерывный характер Е, причем Е
рассматривается как топологическая абелева группа относительно
сложения. Тогда найдется такой линейный непрерывный функционал /
на Е (В.2), что
A) %(х)=ехр[2м{(х)]
для любого х^Е. Обратно, каждая функция A) является
непрерывным характером группы Е1).
[Выберем уравновешенную окрестность V нуля в Е (В.5),
такую, что \%(х)—1|<2 для любого х^Ц, т. е. %(х)Ф—1
при х^Ц. Для любого х^Ц существует единственное
вещественное число /0(л:), для которого —1/2 </0 (х) < 1/2 и %(х) =
— ехр [2ш'/о (х).] Продолжим теперь /0 на все Е: если х^Е,
ах^О и а^=0, положим
/М = ^о(°^)- (!)
Если мы покажем, что / определено корректно, то тем самым
будет показано, что / согласуется с /0 на /У. Пусть,
действительно, х—любой ненулевой элемент из Е и предположим, что
а0х, а^^Ц. Подгруппа {ал:: а^К} является замкнутым
топологическим образом группы К в Е, Характер % непрерывен
на этой подгруппе, и по B3.27е) существует единственное р ^ 7?,
для которого %(ах) = ехр [2шоф] для любого а^К.
Следовательно, а0р = /^ (а0х) + п0 для некоторого п0^2. Если п0=^0, то
1 х
|а0р|>г/2. Следовательно, а0#=г—- принадлежит V и
МЙ5/ —*' ^т0 пР0ТИВ0Речие показывает, что п0~0.
Аналогично, а1$ = }0(а1х) и потому |3 = — /0 (сс0х) = — ^(а^х).
Следовало а1
тельно, отображение / определено корректно, и
% (х) - ехр [2яф] = ехр [2ш7 (х)]. B)
1) Теорему, в которой обсуждается аналогичная ситуация для локально
компактной абелевой группы, см. B4.43) ниже.

472
Гл. 6, Характеры и теория двойственности
Чтобы проверить однородность отображения /, рассмотрим
произвольное ненулевое вещественное число C и произвольный
ненулевой элемент х^Е [случаи р = 0 и х = 0 тривиальны].
Найдется ненулевое число а ^ /?, для которого ах ^ {] и а$х ^ V'.
Согласно A) имеем
Р/(^)=Р^/о(аР^=^о(аР^)==/(Р^
Нетрудно также показать, что отображение / непрерывно
в точке 0. Пусть, действительно, е—такое, что 0 < 8 < 1/2,
а V — окрестность нуля в Е> причемVа11 и \%(х) — 11 < 2зт (яг)
при х$У- Для любого х^У получаем
| % (х) — 11 = 2 зш (я | / (х) |)< 2 зт (яе),
откуда следует |/(х)|<е.
Наконец, покажем, что отображение / аддитивно. Для любых
х, у(-Е равенство B) показывает, что ${х-\-у) — / (х)—/ (у)
есть целое число. Если УР — окрестность нуля, такая, что |/(х)|,
1 !(У)\ и \ИХ + У)\ все меньше, чем 1/3 для любых х, у(=1^,
то, очевидно, /(х-\-у) = [(#) + /(у) для любых х, у^УР. Для
произвольных ху у^Е найдем ненулевое вещественное число а
такое, что ах, ау и а(х-\-у) принадлежат И?. Тогда }(х + у) =
Обратное тривиально: любой непрерывный линейный
функционал { автоматически определяет некоторый непрерывный
характер группы Е по формуле A).]
(Ь) Пусть X—локально компактное хаусдорфово
пространство, а/ иIопределены, как в§11. Предположим, чтоО<1(Х)<оо
и что I ({;<;})= 0 для каждого х^Х. Пусть 5№(Х, ь) [мы будем
его в дальнейшем записывать просто 9К] есть множество всех
1-измеримых вещественнозначных функций на X, причем две
функции из 931: считаются одинаковыми, если они совпадают
1-почти всюду. Определим метрику р(/, @) формулой
(И) Р(Л*) = $тш=гТА-
X
С ^топологией, индуцированной метрикой р, множество
Заявляется топологическим линейным пространством, не
допускающим ненулевых непрерывных линейных функционалов1).
Следовательно, как топологическая абелева группа пространство 5Ш:
не допускает непрерывных характеров, кроме 1.
Пространство 971 полно относительно метрики р. [Функция ср(/) ^1/A-\-1)
) Это свойство Ш нам указал Виктор Кли [У1с1ог Ь. Юее].

$ 23. Группа характеров абелевой группы 473
возрастает на [0, оо), так что для любых а, р^^ получаем
1«+Р| ^ Ы + 1Р1 ^ М , 1Р1
1 + |а + р| ^1 + |а| + |р| ^1+|ар 1+1РГ
Неравенство треугольника р (/, К) ^ р (/, §) + р(§, Н) следует
отсюда непосредственно. Остальные аксиомы метрики очевидны.
Ясно, что р(/ + й, # + А)==р(/, ё) Для любых /, §, Н^Ш.
Наконец, легко проверить, что р(а/, 0) ^тах (|а|, 1)р (/, 0) для
любых а^В. и /$$Ш. Поэтому для любых а, а0^Я и /, /0€9К
имеем
Р (а/, ав/в) < Р (а/, а/0) + Р (а/0, а0/0) <
<тах(|а|, 1)р (/-/0, 0) + Р ((а-а0)/0, 0).
Теорема о мажорированной сходимости показывает, что
Пт р ((а—а0) /0, 0) = 0; отсюда получаем непрерывность функции
(а, /)н->а/. Ясно также, что отображение (/, §)*-^{-\-§
непрерывно на ЗЗЁхЗЛ. Следовательно, Шс есть топологическое
линейное пространство.
Поскольку I равна 0 в точках, мы можем разбить X на
1-измеримые множества Лх, ..., Ат произвольно малой
положительной меры, скажем, I (Лу) < е A1.44). Пусть
/—произвольная функция из ЯК и ё] = т!^А. (/=1» 2, ..., т). Тогда
1 тл
очевидно, что р(§у, 0) < 8 и / = — V ё>. Если Ф—непрерывный
линейный функционал на Ш, то число Ф (к) произвольно мало
при достаточно малом р(/г, 0). В силу неравенства |Ф (/) |^
<шах(|ФЫ|, |ФЫ|, ..., \Ф(§т)\) получаем Ф(/) = 0.
Полнота пространства 931 доказывается рассуждениями,
подобными применявшимся в A2.8); детали мы предоставим
читателю.]
(с) Пусть р—такое число, что 0<р<1. Пусть, далее,
X—локально компактное хаусдорфово пространство, а / и
I—функционал и мера на X, как в § 11. Определим %ГР{Х, I)
как в A2.1); в дальнейшем будем обозначать его просто &р.
Для любого 8 > 0 пусть Ц& = \^2р: ||/||^<е}. Выбирая систему
множеств (/8 за открытую базу в нуле, мы превращаем %р
в полно метризуемое топологическое линейное пространство
над Я. [Докажем сначала, что
НГ+8\\рОТ~\\\Т\1р + Шр) при /,я€Я,. C)
Если I—неотрицательное число, то

474
Г л, 6. Характеры и теория двойственности
Это легко показать, рассматривая функцию ф (^)= 1 + ^р—(\-\-1)р>
для которой ф @) = 0 и ср' (I) > 0 при I > 0. Следовательно,
\1(х)+ё(х)\^<\!(х)\Р + \§(х)\ру
если только функции / и§ конечны, и
II/+* II? < II/112+11Л D)
Функция я|) (/) = A + *1/р) A +/)~1/р имеет в точности одно
минимальное значение на [0, оо), именно, при /=1, и грA) = 21-1/^.
Отсюда следует
[||/||?+1к11й1/р<2'/р-'[||/ия+ку,
что вместе с D) дает нам C).
Легко видеть из C), что %р есть топологическое линейное
пространство. Поскольку &р имеет счетную открытую базу
в 0, из теоремы (8.3) вытекает, что оно допускает
инвариантную метрику а, совместимую с описанной выше топологией;
в действительности такой метрикой является ||/—§\\%.
Доказательство полноты $р относительно этой метрики близко
к доказательству теоремы A2.8), и мы его опускаем].
(и) (Дэй [1], доказательство следует Робертсону [1].) Пусть
р, X, I, &р—те же, что в (с), и предположим далее, что
I ({*}) = 0 для каждого х^Х. Тогда &р не допускает ненулевых
непрерывных линейных функционалов, и потому &р как
аддитивная группа не допускает непрерывных характеров, за
исключением 1. [Пусть Ф — ненулевой линейный функционал
на &р; мы покажем, что он разрывен. Существует такое /€2р,
что Ф(/)=1. Пусть //—функционал <рнт> ^ ф|/|*Л на @00(Х),
х
а I/—мера, соответствующая функционалу 1р как в § 11. Из
теоремы A4.7) следует, что 1у(X) = ||/)[?<оо и что 1/({х}) = 0
для любого х^Х. Согласно A1.44), существует а-компактное
подмножество ЕаХ такое, что \ |/|рЛ = у \'/|РА. Положим
е х
8г=Пв и К = ЦЕ,. Тогда [\й1у><Ь=[\ Н^<Ь = \^\ /|'А и
XX X
Ф(г1 + У = ФЫ + Ф(У=1. Если ФЫ>1/2, пусть ^ = 2^;
в противном случае пусть /1 = 2й1. Тогда Ф(/\)^1 и ||/1||/,=
= 2||й'1||^ = 21-1/р||^||^. Продолжая этот процесс, находим
последовательность /1Э /2, ..., /п, ... функций из &р, такую, что
Ф (/»)>! и Ш\р = $1-1/р)Я\М\\Р. Поскольку 0<р<1, эта
последовательность сходится: Пт || /„ ||^ = 0 и Ф необходимо
разрывен.]

$ 23. Группа характеров абелевой группы
475
B3.33) Группы характеров локальных прямых произведений
(Браконье [1]). Рассмотрим семейство {О^е/ локально
компактных абелевых групп, и для каждого \,^1 пусть
Ну,—компактная открытая подгруппа в Сь. Обозначим через О локальное
прямое произведение групп Оь относительно открытых
подгрупп Ну,. Тогда Н = РН1—компактная открытая подгруппа в О.
16/
Пусть Хь и X—группы характеров групп 61 и О
соответственно. Отождествим Сь с подгруппой в О, состоящей из всех
(хь) таких, что х^ — ву, при кфь. Для любого %6Х
сужение %\Оь есть непрерывный характер группы Оь; будем
записывать его XI- Пусть т(х) = (х!,)€ Р Х^ Очевидно, т есть гомо-
16/
морфизм группы X в Р Хь. Посмотрим теперь на сужение
X | Я. Эта функция является непрерывным характером группы Я,
и, согласно B3.21), ^(#^ = {1} для всех, кроме, может^быть,
конечного числа индексов I. Иначе говоря, Х1€А(ХЬ, Нь) для
всех, кроме конечного числа индексов I, так что т(х)
принадлежит локальному прямому произведению групп ^
относительно компактных открытых подгрупп А(Х1э Я,,). 'Обозначим
эту последнюю группу символом Г.
Пусть теперь (хО — любой элемент из Г. Мы строим х€Х
так, чтобы было т(х) = (ъ)> следующим образом. Для каждого
(*,,)€ О пусть 5С((*1)) = ГГ5С1(*1)- Только конечное число мно-
жителей в этом произведении отличны от 1, поскольку ^(Н^ф
ф{\\ лишь для конечного числа индексов I и х1^Н1 лишь для
конечного числа индексов I. Очевидно, х есть характер
группьГгО и, как легко видеть, х непрерывен. Поскольку
т(х) = (х1,), мы показали, что т отображает X на Г.
Покажем теперь, что т есть топологический изоморфизм.
Несложно показать, что т—алгебраический изоморфизме
Достаточно поэтому показать, что т есть топологический изоморфизм
компактной открытой подгруппы А(Х, Я)с=Х на некоторую
компактную открытую подгруппу в Г. Очевидно, т(А(Х, Я)) =
= Р А(ХЬ, Я,,), и стандартное рассуждение показывает непре-
рывность т на А(Х, Я).
Все сказанное выше может быть выражено следующим
образом. Группа характеров группы О топологически изоморфна
локальному прямому произведению групп характеров групп Оь
относительно аннуляторов подгрупп Я,,.
B3.34) Другие группы гомоморфизмов, (а) Пусть О и Я —
топологические группы с единицами е и / соответственно;
предположим, что группа Я абелева. Пусть Нот ((?,
Н)—множество всех непрерывных гомоморфизмов группы О в Я. Для

476
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
сг, х ^ Нот (О, Я) пусть ах есть отображение х\—>а (х) х(х).
Относительно этого умножения Нот (О, Я) есть абелева
группа, единичным элементом которой служит отображение
х\—>/, а т — отображение *1-->т(%)-1 = т(я~1). [Отображение
от тривиальным образом является гомоморфизмом группы О
в Я, очевидно, непрерывным. Аксиомы группы проверяются
непосредственно.]
(Ь) Для компактного подмножества РаО и окрестности I]
элемента / в Я пусть Р(Р, 11) = {а €Нот (О, Я): аОР)<=[/}.
Семейство всех таких множеств удовлетворяет условиям
D.51)—D.5у) и потому определяет топологию, относительно
которой Нот (О, Я) является топологической абелевой
группой. [Каждое из свойств D.51)—D.5у) проверяется
непосредственно. Например, чтобы установить D.5Ш), возьмем
произвольный элемент х$Р(Р, II). Тогда х(Р)—компактное
подмножество в I). Согласно D.10), найдется окрестность У
элемента /, для которой х(Р)Уа11. Если в$Р(Р, V) и х$Р,
то (та) (х) = х(х)а (х) € т (Р)Ус= Ц, и потому т (Р (Р, У))аР(Р, Ц).
Поскольку Я есть 7\-пространство, и точки группы О
являются компактными множествами, то Нот (О, Я) есть также
^-пространство).!
(с) Пусть 01? 02, ..., От—топологические группы, а
Я—топологическая абелева группа. Тогда найдется топологический
изоморфизм, переводящий Нотг(Сх х ... X От, Я) на Нот(Ох, Я) х
X ... хНот (ОтУ Я). [Доказательство легко извлекается с
необходимыми заменами из доказательства B3.18).]
(й) Пусть О—топологическая группа, а Н19 Я2, ..., Нт —
топологические абелевьГгруппы. Тогда существует
топологический изоморфизм, переводящий Нот (О, Нгх ... хНт) на
Нот (О, Нг)х ... хНот@, Нт). [Для любых т^Нот(С, Нхх
X ... хНт) их^О имеем т(х) = (%1 (х), ..., хт(л:)), где х!(х) €Яу.
Легко видеть, отображение х\—>х}(х) есть элемент из Нот (С, Яу).
Обозначим 9 только что определенное отображение тк-»
ь->(тх, ..., хт). Легко проверить, что 6 осуществляет
изоморфизм Нот (О, Нг х ... XНт) на Нот (С, Я,) X ... X Нот (О, Нт).
Пусть Р—компактное подмножество в С, а V]—окрестности
единиц в группахЯу, /— 1, 2, ...,т. Тогда 0(Р(/7, Т^Х... хУт)) =
=Р(Р1У Ух)х ... хР(Р9 Ут), так что отображение 0 есть
гомеоморфизм.]
Замечания. Слово «характер» использовалось многими
авторами в несколько другом смысле, чем тот, который мы ему
придали в B2.15); мы рассмотрим другие определения в томе 2,
§27. Для абелевых групп различие исчезает; в этом смысле можно
сказать, что характеры конечных абелевых групп были изобре-

$ 23. Группа характеров абелевой группы
477
тены Фробениусом [1]. Идея превращения характеров
некоторой группы в группу, как в B3.2), принадлежит Понтрягину
[1]; теория характеров была разработана детально в книге
Поитрягина [4]. Некоторые другие авторы в начале 30-х годов
также вычисляли группы характеров. Явные вычисления
характеров и зачатки современной теории гармонического
анализа на компактных абелевых группах появились у Винера и
Пэли [1], [2]. Хаар [1] получил очень тонкие результаты
о характерах счетной дискретной абелевой группы О.
Он по существу определил группу характеров X группы О,
идентифицируя ее с отрезком [0, 1] относительно нового
умножения, но не рассматривал на О ни топологии, ни меры
(Хаара!). Он нашел также отношение ортогональности B3.191)
и равенство Парсеваля, см. том 2, B7.41) и.B8.43). Хаар [2]
также нашел интересное обобщение своих результатов на
некоторые неабелевы счетные группы. Результаты Хаара [1] были
упрощены и обобщены Секефальви-Надем [2], хотя все еще без
распознавания роли группы характеров. Фрейденталь [4]
указал, что работа Хаара может быть интерпретирована в
терминах теории Понтрягина.
Теорема B3.4) для алгебры Ма (О) для абелевой группы О
принадлежит Гельфанду и Райкову [1] (хотя и с лишними
предположениями). Наши доказательства очень похожи на их.
Теорема B3.6) для алгебры Ма@) [группа О—абелева], также
принадлежит Гельфанду и Райкову [1].
Все теоремы B3.9)—B3.13) являются приложениями гель-
фандовской теории банаховых алгебр [Приложение С] к
алгебрам Ж (О) и ^ (О). Теорема B3.13) явно появилась у Гельфан-
да и Райкова [1]. Р-топология из теоремы B3.15) была изобретена
Понтрягиным: в работе [4] для счетных дискретных и
компактных метрических абелевых групп, а в [6], § 30—для
произвольных локально компактных абелевых групп со счетной
базой. Ван Кампен [1] использовал структурную теорию для
топологизации групп характеров; его топология по существу
совпадает с понтрягинской. Определение для произвольной
локально компактной абелевой группы принадлежит А. Вейлю
[4], § 27, стр. 114. Специальный случай теоремы B3.15) был
известен Гельфанду и Райкогу [1]. Первое доказательство
теоремы B3.15) было дано Иосида и Ивамура [1]. Теоремы
B3.17), B3.18), B3.21), B3.22) и B3.25) принадлежат в той
или другой форме Понтрягину [4] и [6], Ван Кампену [1] и
А. Вейлю [4]. Лемма B3.19) восходит к Г. Вейлю и Петеру [1];
лемма B3.20) принадлежит Хыоитту [2]. Историю теоремы
B3.27) невозможно проследить. Начиная с 1920 г.,
по-видимому, каждый уже знал эти факты', и почти каждый их
доказывал.

478
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Результат B3.32а) был объявлен без доказательства Вилен-
киным [13]. Необходимые и достаточные условия для
существования достаточно многих или отсутствия непрерывных
характеров на топологической абелевой группе были даны
Фолнером [1], [2]. Аналогичные условия появились у Котлара
и Рикабарра [1]. Сравнительно мало внимания уделялось
вычислению групп характеров топологических абелевых групп,
не являющихся локально компактными. Конечно, известны
дуальные пространства огромного числа топологических
линейных пространств, и потому группы характеров их аддитивных
групп также известны B3.32а). Другие вычисления см. Вилен-
кин [9]. Дальнейшие комментарии по этому поводу можно
найти в замечаниях к §§ 24 и 25.
§ 24. Теорема двойственности
Используя структурную теорию §9, теорему B2.17) и факты
относительно групп характеров, изложенные в § 23, мы
докажем здесь знаменитую теорему Понтрягина—ван Кампена,
утверждающую, грубо говоря, что группа характеров группы
характеров есть исходная группа. Сейчас мы сформулируем
это утверждение точнее.
На протяжении всего параграфа О—некоторая локально
компактная абелева группа, а X—ее группа характеров.
B4.1) Определение. Для любого х^ О пусть л/—такая
функция на X, что х'(%) = %(х) для каждого %€Х, и пусть
отображение т задано равенством х(х)=х'. Пусть, далее, 2 — группа
характеров группы X. Мы называем группу 3 вторичной группой
характеров группы О. Эти обозначения будут фиксированы на
протяжении п.п. B4.1)—B4.8).
Теорема двойственности утверждает, что отображение т
осуществляет топологический изоморфизм группы О на группу 8.
Мы докажем это утверждение в несколько этапов.
B4.2) Теорема. Отображение т есть непрерывный изоморфизм
группы О в Н.
Доказательство. Пусть %, -ф ^ X и х ^ О. Тогда х' {у\\) = у${х) =
= X (х) Ф (х) = х' (%)х' (Ф) по определению умножения в X.
Значит, каждое х' есть характер группы X. Характер х' на X
непрерывен, так как \х' (у)—х (\р)\ <е при хФ" ^Р ({х\, е).
Теорема B2.17) показывает, что для любых двух различных
элементов х и у группы О существует характер Хо^Х, для
которого Хо(*)=^=Хо(#); следовательно, х'Фу'. Наконец, при

§ 24. Теорема двойственности
479
х,у$0 и х€Х имеем (ху)' (%) =%(х)%(у) = хг {у) у' {%). Значит,
т есть изоморфизм группы О в 2.
Покажем теперь непрерывность изоморфизма т; согласно
E.40а) достаточно доказать непрерывность его в точке е.
Пусть Г—любое компактное подмножество в X и
е—некоторое положительное число. Выберем произвольную окрестность
V единицы е в О с компактным замыканием [/" и рассмотрим
окрестность Р(^У-,е) единицы 1 в X. Поскольку Г компактно,
конечное число множеств %г Р(^/~, е/2), ..., %т РД^~, е/2)
покрывает Г. Выберем У как такую окрестность единицы е в С, что
УаЦ и \%/(х)—\\<г/2 для любой точки х^У и любого
/ = 1,...,/п. Относительно Р-топологии для 2 множество
{/€2- |/(х)— Ч<8 ПРИ 5С€Г} есть порождающая окрестность
единицы. Если х^Уа.0 и %€Г, то |х/(*)—11 < е/2 для
каждого / и \%;-(х) — %(я)|<е/2 для некоторого /. Следовательно,
| % (х)— 11 < 8, т. е. | х' (%)— 11 < е для каждого % € Г, и
отображение т непрерывно. []
Докажем теперь теорему двойственности в одном важном
частном случае.
B4.3) Теорема. Пусть О—топологическая абелееа группа,
которая либо компактна, либо дискретна. Тогда отображение т
из B4.1) является топологическим изоморфизмом О на группу 8.
Доказательство. Предположим сначала, что группа С
дискретна. Тогда группа X компактна B3.17), а группа т@)
непрерывных характеров группы X разделяет точки X.
Теорема B3.20) показывает, что т@) = 2. Поскольку группы О
и 2 дискретны, то т—топологический изоморфизм.
Предположим теперь, что группа О компактна. Тогда
группа X дискретна, а 2 компактна B3.17). Поскольку
отображение т непрерывно и взаимно однозначно, группа т@)
гомеоморфна группе О и, в силу компактности группы О, т@)
есть замкнутая подгруппа в 2. Предположим, что х@)ФЕ\
тогда, как показывает теорема B3.26), существует
непрерывный характер, скажем, 1|), группы 2, для которого 'ф(т(С)) = {1}
и 11)=^= 1. В силу дискретности X, из предыдущего абзаца
вытекает, что каждый непрерывный характер группы 2
порождается некоторым элементом из X. В частности, существует
такое %о€Х, что я|?(со) = со(х0) для любого @^2. Мы нашли,
таким образом, что \р(х')=х' (%0) = %0 (х) = 1 для каждого х € С.
В то же время ^ф\. Это противоречие показывает, что
т@) = В. й
Для доказательства теоремы двойственности для
произвольной локально компактной абелевой группы мы должны
установить (9.5), чтобы можно было сослаться на (9.8). Для этой
цели нам понадобятся следующие три технические леммы.

480
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
B4.4) Лемма. Пусть О—локально компактная абелева группа,
Н—ее замкнутая подгруппа, а -ф—непрерывный характер
группы Н. Тогда, если подгруппа Н компактна или открыта, то
существует непрерывный характер % группы О, совпадающий с 1|э
на Я1).
Доказательство. Предположим сначала, что подгруппа Н
компактна. Тогда продолжаемые непрерывные характеры
группы Н образуют подгруппу группы характеров группы Н,
разделяющую точки Н B2.17). Следовательно, все
непрерывные характеры группы И продолжаемы B3.20J).
Предположим теперь, что подгруппа Н открыта. Характер
я|) продолжаем в характер группы О по (А.7), и, поскольку
отображение ф непрерывно на Н, продолжение обязано быть
непрерывным на О E.40а). []
B4.5) Лемма. Пусть О—локально компактная абелева группа,
и Н—ее открытая подгруппа. Пусть, далее, X—группа
характеров группы О и Г—группа характеров группы Н.
Отображение % \—> х |Н = о (%) является открытым непрерывным
гомоморфизмом X на Г с ядром А(Х, Я). Поэтому группа Г
топологически изоморфна группе Х/А(Х, Я).
Доказательство. Отображение а (%) является просто сужением
отображения %. Из определения умножения в X прямо
следует, что а есть гомоморфизм группы X в Г, причем лемма
B4.4) показывает, что а(Х) = Т. Если Е—любое компактное
подмножество в Я, то о^1{%^Т: \%(х)—1 [ < е при х^Е\ =
= Р(Е, е). В силу компактности Е отображение а непрерывно.
Выберем такое компактное подмножество ЕаН, что
Х(Е)>0, и обозначим через РХ(^, 1/2) множество {%€Х:
\%(х) — \\<1/2 при х^Е}, а через Рг(Е, 1/2)—множество
{х^Х*: \%(х)—1|<1/2 при х^Е\. Из теоремы B3.16) мы знаем,
что Рх(^, 1/2) имеет компактное замыкание в X. Пусть Хх
и Х\—подгруппы в X и Г соответственно, порожденные
множествами РхСЕ, 1/2) и Рг(^, 1/2). Очевидное равенство
а(Рх(Е, 1/2)) = Рг(Я, 1/2) показывает, что а(Х1) = Г1.
Поскольку Хх а-компактно, из теоремы E.29) следует, что а есть
открытое отображение Хх на Гх. Поскольку Хх и Гх —
открытые подгруппы в X и Г соответственно, мы получаем, что о
есть открытый гомоморфизм X на Г. []
х) Коротко это утверждение мы будем записывать так: любой
непрерывный характер подгруппы Я продолоюаем на О. Лемма справедлива для
любого Я, как мы докажем ниже B4.12).
2) Собственно говоря, настоящая лемма нужна нам только для открытых
подгрупп Я; но доказательство ее для компактных подгрупп настолько
удачно, что мы включили и его.

§24, Теорема двойственности
481
B4.6) Лемма. Пусть О—дискретная абелева группа, а
Р(/7, е) — произвольная окрестность единицы в группе
характеров X группы О. Тогда существует [такая подгруппа Нс:6
с конечным числом образующих, что А(Х, Н)аР(Р, е).
Доказательство. Лемма тривиальна: поскольку группа О
дискретна, множество Р конечно; пусть тогда Н—наименьшая
подгруппа в О, содержащая Р. []
B4.7) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа, а
V—любая окрестность единицы е в О. Существует такая
замкнутая подгруппа Н в О, что НаЦ, а группа 0/Н
топологически изоморфна ТахР, где а есть некоторое
неотрицательное целое число, а Р—некоторая конечная группа.
Доказательство. Рассмотрим [дискретную] группу
характеров X группы О и пусть 2 — любая подгруппа группы X с
конечным числом образующих. По (А.27), группа 2 изоморфна
группе вида 1ахР, где а—некоторое неотрицательное целое
число, а группа Р конечна. По B3.18), B3.27Ь) и B3.27A),
группа характеров группы 2 топологически изоморфна ТахР.
Согласно B4.3), отображение т, определенное в B4.1), есть
топологический изоморфизм группы О на группу характеров
группы X. По B4.5) группа характеров группы 2, т. е. ТахР,
топологически изоморфна группе т(С)/А(т(С), 2). По B4.6)
окрестность т (/У)" элемента %(е) в т@) содержит подгруппу
вида А (т (О), 2).[]
Только что доказанная теорема есть в точности давно
обещанная теорема (9.5). Читатель может убедиться, что при
доказательстве B4.7) мы нигде не пользовались ни самой
теоремой (9.5), ни какими-либо ее следствиями, так что наши
рассуждения порочного круга не образуют. Просто мы отложили
доказательство этой теоремы, поскольку оно требует некоторых
сведений о характерах, до более удобного места.
Теперь мы можем доказать теорему двойственности в полной
общности.
B4.8) Теорема. Пусть С—любая локально компактная абелева
группа, пусть X—ее группа характеров, и пусть Е—группа
характеров группы X. Отображение г из B4.1) является
топологическим изоморфизмом группы О на группу В.
Доказательство. (I) Предположим сначала, что группа О
компактно порождена. С помощью структурной теоремы (9.8)
убеждаемся, что в этом случае группа О топологически
изоморфна группе вида Ках2,ьхР, где а и Ь—некоторые
неотрицательные целые числа, а группа р—компактная абелева.
Вторичная группа характеров группы Я может быть
идентифицирована с /?. Действительно, согласно B3.27е), каждый
16 э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

482
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
непрерывный характер группы /? имеет вид х«->ехр Aху) = %у (х)
для некоторого у^к, и отображение %у*-^у осуществляет
топологический изоморфизм группы характеров группы /? на
саму группу #. Следовательно, каждая функция из вторичной
группы характеров группы /? имеет вид %у*->ехр Aау) для
некоторого вещественного числа а. Это и есть как раз
функция а', действующая на группе характеров группы /?. Значит,
для группы 7? функция т из B4.1) отображает /? на вторичную
группу характеров группы /?. Согласно B4.3), группы 2 и Р
также обладают этим свойством. Теорема B3.18) показывает,
что функция т, определенная на Ках2ьхР, отображает эту
группу на ее вторичную группу характеров. В силу
непрерывности т и а-компактности группы О отображение х есть
топологический изоморфизм О на ее вторичную группу
характеров E.29).
(II) Предположим теперь, что С—любая локально
компактная абелева группа и что отображение т определено на О, как
в B4.1). Пусть Я—компактно порожденная открытая
подгруппа в О; мы можем предположить, что подгруппа Я содержит
любое фиксированное компактное подмножество группы О E.14).
Обозначим Г группу характеров группы Я. Для любого х^Н,
очевидно, т (х) (= А C, А (X, Я)). Предположим, что / ^
€АB, А(Х, Я)). Если х и Ъ принадлежат X и %\Н^%0\Н,
то I (%) = / (%0). Согласно B4.5), каждый характер *ф^Г имеет
вид х| Н для некоторого х€Х. Следовательно, если мы поставим
в соответствие каждому характеру *ф ^ Г число / (х), где х | Н=ур,
получим вполне определенный характер /0 группы Г.
Непрерывность его следует из того факта, что отображение %ъ->%\Н
открыто B4.5). По (I) мы видим, что Т(%)=%(х) Для некоторого
х^Н и любого х^Х- Значит, отображение т отображает
подгруппу Я на подгруппу А B, А(Х, Я))с2. В силу открытости
подгруппы Я, группа О/Н дискретна E.21). Как группа
характеров группы О/Я B3.25), группа А (X, Я) поэтому компактна
B3.17). Аннулятор компактной подгруппы всегда открыт
B3.24с1), и потому т(Я)=АB, А(Х, Я)) есть открытая
подгруппа в 2. По E.29) т есть топологический изоморфизм на Я
и по E.40а)—топологический изоморфизм группы О на т@).
(III) Чтобы завершить доказательство, нам [остается
проверить, что т отображает С на 2. Именно, докажем, что для
каждого /б 2 найдется подгруппа Я, как в (II), для которой
/^т(Я). Пусть Р(,Р, е)—такая окрестность единицы в X,
что |/(х) — 1|<КЗ для каждого %€Р(Р, е). Пусть V—любая
симметричная окрестность единицы е в Ос компактным
замыканием, и пусть Нг—подгруппа в О, порожденная I). Тогда
группа Ях открыта и компактно порождена E.13). Пусть !*! —
группа характеров группы С/Н1У а р—топологический изомор-

$ 24, Теорема двойственности
483
физм группы Гх на А(Х, Ях), определенный в B3.25). Поскольку
группа 6/Нг дискретна, она содержит подгруппу С с конечным
числом образующих ^Я^ *2#,, ...» хтН19 такую, что А(ГХ, С)а
ар'1(Р(р, е)пА(Х, Нг)) B4.6). Пусть теперь Я—открытая
компактно порожденная подгруппа в О, содержащая II" и все
х„ ...,хт E.14). Если х^А(Х, Я), то %(Н,) = \\\ и х(дсу) = 1.
Следовательно, х^А(Х, Я,) и р-1(х)_€А(Г1, С). Таким образом,
ЗС€Р(^е), и потому \П%) — 1\<УЗ. Значит, |^(х)_1|<|/'3
для любого х^А(Х, Я)еХ, откуда следует /(х) = 1 для
каждого х^А(Х, Я). Таким образом, отображение /
принадлежит А B, А(Х, Н)) = х(Н). [}
B4.9) Комментарий. Теорема B4.8) позволяет нам
идентифицировать группу О с ее вторичной групп.ой характеров,
хотя с принципиальной точки зрения эти два объекта, конечно,
совершенно различны. Для данной локально компактной абе-
левой группы О с группой характеров X рассмотрим
отображение группы ОхХ в 7\ определенное формулой
(О (*. Х)-*Х(*)-
Тогда каждый непрерывный характер группы О или X
получается фиксированием % или х. Для любой замкнутой подгруппы
Гс:Х обозначим через Л (О, Г) множество {х^О: 5с(я)=1 при
хег\.
Выведем теперь из B4.8) некоторые следствия.
B4.10) Теорема. Пусть Я—замкнутая подгруппа в О. Тогда
Н = АF, А(Х, Я)).
Доказательство. Очевидно, что На А (О, А(Х, Я)). Если х^ Я,
то по B3.26) существует такой элемент %(=А(Х, щ^ что
%(х)ф\. Поэтому х$А@, А(Х, Я)).[]
B4.11) Теорема. Пусть Я—замкнутая подгруппа группы О.
Группа характеров группы Я топологически изоморфна группе
Х/А(Х, Я), причем каждый непрерывный характер группы Я
имеет вид х\—>%(х) для некоторого %^Х. Два характера %г и
%2 из X определяют один и тот же характер подгруппы Н тогда
и только тогда, когда %1%^1^А(Х, Я).
Доказательство. Поскольку О есть группа характеров
группы X, и Н = АF, А(Х, Я)), то, как показывает теорема B3.25),
Я есть группа характеров группы Х/А(Х, Я). Следовательно,
каждый непрерывный характер группы Х/А(Х, Я) имеет вид
ХА(Х, Н)\->%(х) для некоторого х^И. По B4.8) тогда каждый
непрерывный характер группы Я имеет вид х*-^%(х) для
некоторого %€Х. Последнее утверждение теоремы очевидно. ?
16*

484 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
B4.12) Следствие. Пусть Н—замкнутая подгруппа группы О.
Каждый непрерывный характер г|) группы Н допускает
продолжение % на О, являющееся непрерывным характером группы О.
Если а $6 П #', то % может быть определен так, чтобы %(а)^\.
Доказательство. Существование некоторого продолжения %
прямо следует из B4.11). Если %(а)=^1, то доказательство
завершено. Если %(а) = \у возьмем непрерывный характер а|)
группы 0/Н такой, что ^(аН)Ф\ B2.17); пусть ср: 0^6/Н —
естественное отображение. Остается рассмотреть характер
ЗС(Ф°ф)-П
B4.13) Теорема B4.8) говорит нам, что любое
топологическое или алгебраическое свойство локально компактной абе-
левой группы О может быть описано в терминах
топологических или алгебраических свойств ее группы характеров X,
поскольку X определяет О и как группу, и как топологическое
пространство. Таким образом, изучение компактных абелевых
групп сводится к изучению алгебраической структуры абелевых
групп без топологии: область исследований, далекая от
завершения в настоящее время. [См., например, Фукс [1]]. Исследуем
теперь некоторые важнейшие из этих дуальных свойств групп О
и X.
B4.14) Теорема. Для любых О и X имеет место равенство
ад-ИХI).
Доказательство. Если группа О конечна, теорема тривиальна.
Предположим поэтому, что обе группы О и X бесконечны и
потому № бесконечно. Пусть 33—такая открытая база для С,
что 33 = \о@). Поскольку система {V $33: V" компактно} также
является открытой базой для О, мы можем предположить, что
(/~ компактно для любого V$33. Пусть 35—множество всех
функций на О вида шах {1их, ^2, ..., 1ит} при Ц19 Г/2, ..., Цт $ 33;
конечно, 93 = й) (О). Пусть теперь Р—любое компактное
подмножество в О, а УР—любое открытое подмножество в О такое,
что Т^гэ/7. Поскольку И? является объединением множеств из 33,
существует конечное число множеств [/х, II2, ..., IIт из 33,
таких, что Ра{/1II G2 [} ... II Vта^. Значит, |р<тах {!</,, 1/у2,...
..., \и }<^\г. Поскольку выбором множества V? меру %(№()Р')
можно сделать сколь угодно малой, || |/?—^г||х также можно
сделать произвольно малым, выбором некоторого й^ЗЗ.
Рассуждения, аналогичные использовавшемуся при доказательстве
теоремы A2.10), показывают, что множество всех функций вида
(Гг + 18^ %рг + . . . + (Гп + 18 п) Ьп 0 )
1) Определение веса № см. во введении к § 3, стр. 22.

§ 24. Теорема двойственности
485
[где рг, ..., рп — компакты, агр ..., г/2, 5Х, .. ., 8п —
рациональнее числа] плотно в ^1@). Следовательно, множество 5) всех
функций вида
(гг +18,) 81 + • • • + (гп + **п) ёп B)
[где йГ,, . ..,#„€®. а г1» •• •' г«> 5и •••> 5п рациональны], также
плотно в ^(О). Значит, й2 (С) содержит плотное подмножество
мощности Ш (С).
Рассмотрим теперь семейство Л всех подмножеств в X
являющихся конечными пересечениями множеств вида
{%€Х: |?(я)_(г-И0|<*}
[где г и 5—рациональные числа, I—положительное
рациональное число, и /<:©]. Заметим, что все множества из Л открыты
в А-топологии. Семейство Л имеет мощность, не превосходящую
35 = №((}), и является открытой базой для топологии в X,
относительно которой все функции /(/€ 35) непрерывны.
Множество функций 2) равномерно плотно в 2Х (С), поскольку 2) плотно
в $?! (О) и ИфИя^ИфЩсм. B3.101У)]. Следовательно, все
8(В€%\F)) непрерывны в топологии, определенной
семейством Л. Поскольку А-топология является слабейшей топологией
на X, относительно которой все 'функции §• непрерывны B3.13),
Л- и А-топологии совпадают и
п>(Х)<^"<©=й>(С).
Из теоремы B4.8) теперь следует, что №@) <;&) (X). []
B4.15) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа. Тогда
A) »(С) = (»т(й2@))=^.
5 частности, группа О метризуема тогда и только тогда, когда
ее группа характеров является счетной [дискретной] группой.
Доказательство. Для дискретного пространства X имеем
Ю(Х) = Х. Поэтому из B4.14) вытекает й>(С) = Х. Пусть % —
т
множество всех функций 2аД/» гдеау^/С и 5С/6Х. Очевидно,
Ж является подалгеброй алгебры ©(О), замкнутой относительно
комплексного сопряжения и разделяющей точки группы О
[см. B2.17)]. Поэтому алгебра & равномерно плотна в ©(С) и
потому плотна в 22@) A2.10). Поскольку X является орто-
нормированным множеством в &/(С) B3.19), X является орто-
нормированным базисом в 28@) (В.47). Тем самым сПтE?3 (С))=Х.

486 Гл. б. Характеры и теория двойственности
Последнее утверждение теоремы следует из известного факта,
что компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда
и только тогда, когда имеет счетную открытую базу.[]
B4.16) Замечание. Поскольку дискретные абелевы группы,
очевидно, могут иметь любую мощность, то, как следует из
B4Л5) и B4.8), любую ненулевую размерность сНтB2(С))
могут иметь пространства 22@) для компактных абелевых
групп О.
Перейдем к свойствам типа связности для групп О и X.
B4.17) Теорема. Пусть В—замкнутая подгруппа в X,
состоящая из всех компактных элементов [см. (9.10)], и пусть
С—компонента единицы в О [см. G.10)]. Тогда В = А(Х, С) и С =
= Л@, В).
Доказательство. (I) Предположим, что существует
компактная подгруппа Гс=Х такая, что Тф{\). Из B3.24Ь), B3.24A)
и B4.8) получаем, что Л (О, Т)фО и что Л (О, Г)—открытая
подгруппа в О. Следовательно, группа О несвязна.
(II) Предположим, что группа О вполне несвязна, и пусть
X—любой непрерывный характер группы О. Пусть V—окрест,
ность единицы в О такая, что \%(х)—1|<]/*3 для каждого
х^Ц. По G.7) окрестность (/-содержит некоторую компактную
открытую подгруппу Я. Очевидно, %(Н) = \\\, т. е. х^А(Х, Я).
Поскольку подгруппа Н открыта, из B3.24е) вытекает, что
подгруппа А(Х, Н) компактна. Следовательно, %€В, т. е.
В = Х.
(III) Вернемся теперь к общему случаю. Локально
компактная абелева группа О/С вполне несвязна по G.3). По (II) группа
характеров группы О/С содержит только компактные элементы.
Поскольку группа характеров группы О/С топологически изо-
морфна А(Х, С) B3.25), мы получаем А(Х, С)с=В.
Чтобы доказать обратное включение, рассуждаем следующим
образом. Локально компактная абелева группа С связна, и
по (I) ее группа характеров не содержит нетривиальных
компактных подгрупп. Группа характеров группы С топологически
изоморфна Х/А(Х, С) B4.11). Пусть теперь %^В и %^А(Х, С).
Тогда существует компактная подгруппа ТсгХ, образ которой
относительно естественного гомоморфизма X на Х/А (X С) есть
нетривиальная компактная подгруппа в Х/А(Х, С). Полученное
противоречие показывает, что %^А(Х, С) и потому Вс:А(Х, С).
Применяя B4.10), получаем С = Л (О, А(Х, С)) = А(Оу В).[]
B4Л8) Следствие. Следующие свойства группы 0 эквивалентны:
(\) группа О нульмерна;

$ 24. Теорема двойственности
487
(И) каждый элемент из X принадлежит некоторой
компактной подгруппе в X;
A11) группа О содержит компактную открытую нульмерную
подгруппу Я.
Доказательство. Эквивалентность A) и (и) следует прямо из
B4.17) и C.5). Эквивалентность утверждений A) и A11) следует
из G.7).?
B4.19) Следствие. Группа О связна тогда и только тогда,
когда X не содержит отличных от {1} компактных подгрупп.
Доказательство. По B4.17), С = А@, В); но А (О, В) = 0 тогда
и только тогда, когда В = {1}.[]
B4.20) Следствие. Пусть О — компактная абелева группа, а
С—компонента ее единицы. Пусть, далее, Ф—периодическая
часть1) группы X. Тогда Ф = А(Х, С) и С = А@, Ф).
Группа Ф изоморфна [дискретной] группе характеров группы О/С.
Доказательство. Оба равенства являются перефразировкой
теоремы B4.17) для компактной группы О, поскольку элемент
дискретной группы принадлежит компактной подгруппе тогда
и только тогда, когда он имеет конечный порядок. Последнее
утверждение следует из B3.25). ?
Любопытное следствие утверждения B4.18) состоит в
следующем.
B4.21) Теорема. Пусть О— периодическая группа. Тогда и
группа С, и группа X нульмерны2).
Доказательство. Пусть Н—открытая компактно
порожденная подгруппа группы О. Из (9.8) следует, что подгруппа Н
компактна. Пусть, далее, Г—группа характеров группы Я.
Если ф^Г, то "ф(Я) есть компактная периодическая подгруппа
вГи потому является конечной циклической группой. Таким
образом, я]) принадлежит компактной подгруппе в Г, и Я
нульмерна по B4.18). Следовательно, и О нульмерна, поскольку Я
открыта в О. Так как всякий элемент из 0, очевидно,
принадлежит компактной подгруппе в О, из теоремы B4.18) вытекает
нульмерность X. П
Мы получаем новые отношения между С и X, рассматривая
гомоморфизмы /„, ?п(х)=хп, и подгруппы 0(п) = 1п{0) и 0(П) =
= &(е) [см. (А.2)].
B4.22) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева группа,
X—ее группа характеров, и п—произвольное положительное
!) См. (А.4).
2) См. также B5.9).

488 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
целое число. Тогда
A) А(Х, 0<»>) = Х,в)
и
(и) А(х, еы)=х<»>-.
Доказательство. Пусть %—характер из А (X, С(л)). Для любого
х^О имеем хп^О{п) и потому %(хп) = %" (х) = 1. Таким образом,
Х€Х(я). Если, наоборот, х^Хы, то х(/2) Ы = X (хЛ) = 1 для
каждого х б О, так что %^А(Х, 0{/г)). Тем самым A) доказано.
Чтобы доказать (и), рассматриваем О как группу
характеров группы X; тогда из A) вытекает А (О, Х{п)) = 6{п)у а
утверждения B4.10) и замечание B3.24а) дают нам
Х<*>-=А(Х, А (О, Х<»>-))=А(Х, А (О, Х«»>))=А(Х, 0(я)).
Этим (п) доказано. [}
B4.23) Теорема. Если группа 0 делима, то X—группа без
кручения. Если X—группа без кручения, то группа 0(п) плотна
в О для каждого п= 1, 2, 3, ... Если группа О дискретна или
компактна, то О делима тогда и только тогда, когда X—группа
без кручения1).
Доказательство. Если группа О—делимая, то 0{п) = 0 для
каждого д и из B4.221) вытекает Хы = {1}. Значит, группа X
не имеет кручения.
Предположим теперь, что X—группа без кручения. Тогда,
как показывает B4.22И), А (О, Х(и)) = 0 = С(П)~\ Если группа С
дискретна, то 0{п) тривиально замкнута. Если группа О
компактна, то 0{п) есть непрерывный образ компактного
пространства и потому компактна и замкнута. Таким образом, в обоих
случаях 0 = 0{п) для каждого п и группа О—делимая. []
Еще одно следствие теоремы B4.22) таково.
B4.24) Теорема. Пусть ^—наибольшая делимая подгруппа
в О2), С—компонента единицы е в О, а Ф—периодическая
подгруппа группы X. Тогда
A) Сс/)сО-с П 0{п)- = Л(С, Ф).
/г=1
Если группа О компактна, то 0{п)^0{п)-, и все включения в (\)
суть равенства3).
х) Существует не являющаяся делимой группа (?, для которой группа
характеров X есть группа без кручения; см. B4.44).
2) См. (А.6).
3) Если группа О некомпактна, то, как показывают примеры, каждое
включение в A) может быть собственным. См. B4.44).

$ 24. Теорема двойственности
489
Доказательство. Докажем сначала, что
П &п)-=А@, Ф).
/2=1
По B4.22И) имеем Л (О, Х(я)) = С(й)- и потому
Л@, Ф) = л(е, 0 х(л))= п-л (о, х(л)) = п о{п)~.
V л=1 / /г=1 л=1
со
В силу делимости группы О, имеем Лет П С{п). Переходя
/2=1
к замыканиям, получаем
ОаО-с:( П 0<«Л~с: П @(я)-)'.
\л=1 / л=1
Тем самым A) доказано, за исключением включения СаБ.
Чтобы доказать С с:. О, удобно сначала рассмотреть случай,
когда О, а потому и С, компактна. В этом случае группа
характеров группы С дискретна и не имеет кручения B4.19),
так что С—делимая группа B4.23). Поэтому СаЭ, Согласно
B4.20), имеем С = Л(С, Ф) и по предыдущему
СсЯсЛ@,Ф) = С.
Таким образом A) установлено, и все включения становятся
равенствами, если группа С компактна.
Теперь нетрудно показать, что СаИ для любой группы О.
Согласно (9.14), группа С топологически изоморфна группе
вида КпхР, где Р— некоторая компактная связная абелева
группа, а п—неотрицательное целое число. Группа
Р—делимая, как уже доказывалось, и потому группа С—делимая.
Тем самым доказано и включение С с: И. []
Для удобства мы соберем некоторые из указанных
результатов в одну формулировку.
B4.25) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа.
Следующие свойства эквивалентны:
A) О — связная;
(п) X—без кручения;
A11) О—делимая.
Нульмерность также может быть описана похожим образом.
B4.26) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа.
Следующие условия эквивалентны:
@ С—нульмерная;
(и) X—периодическая;
("О %{С)—конечная подгруппа в Т для любого %(ЕХ,

490 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Доказательство. Следствие B4.18) показывает, что
утверждения A) и (и) эквивалентны. Эквивалентность утверждений
(и) и (Ш) очевидна. []
Теорема B4.26) допускает интересное обобщение:
размерность компактной абелевой группы равна свободному рангу
ее группы характеров. Мы сначала сформулируем и докажем
один вспомогательный результат.
B4.27) Теорема. Пусть О—дискретная абелева группа без
кручения ранга а. Тогда группа характеров'* X группы О,
рассматриваемая как топологическое пространство, содержит
подмножество, гомеоморфное @, 1)а.
Доказательство. Пусть \хь: 1^1}—максимальное независимое
подмножество в О [мощности а] (А. 12). Пусть, далее,
Н—[свободная] подгруппа группы О, порожденная элементами хь.
Очевидно, характер группы Я может принимать произвольные
значения на х1. В частности, для любого фиксированного
элемента {(^ с г из @, 1)а найдется в точности один характер %о
на Н такой, что %0 (хь) = ехр BпНь) при 1^7. Пусть у^С —
любой элемент. Тогда уп=х°*х%*... хаь для некоторых
ненулевых целых чисел п и а7- и ц, ..., \>к^1. Поскольку группа
О—без кручения, элемент у вполне определяет элементы
хн, ..., хь и отношения —, ..., ^. Положим теперь %(у) =
= ехр 2ш Г — /1х + ... + ^ /,, ] . Функция % корректно
определена на О и является продолжением функции %0. Чтобы
проверить ее мультипликативность, рассмотрим любые уп =
= х11...х*ь и гл =**...** [некоторые из а;- и Ъ^ могут быть
нулями]. Тогда (уг)тп = х™а*+пЬ*.. .х^а^п *, и потому ^{уг)~
X (У) %(г). Каждая
= ехр [2ш (ТШ±ЛЬ( + ... +пщ±И^A
^ I \ тп ь1 ' ' тп 1
функция %, определенная таким образом, является
характером ггруппы О. Получаем отображение /: (О, 1)п—»Х:
элемент ({ь) из @, 1)а переходит в характер % группы О,
построенной выше. Очевидно, отображение [ взаимно однозначно.
Стандартное рассуждение показывает непрерывность отображений
/ и г1- и
B4.28) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа иХ —
ее группа характеров. Тогда размерность группы О C.11) равна
свободному рангу г0(Х)'х).
*) Здесь нам нужно условиться, что г0(Х)=-оо, если г0 (X) бесконечно.

$ 24. Теорема двойственности
491
Доказательство. Пусть я—неотрицательное целое число,
а %—конечное открытое покрытие группы С, в которое нельзя
вписать замкнутого конечного покрытия кратности меньше
я +1. Иначе говоря, предположим, что (Нт (О) ^ я. Для каждого
х^О существует такая окрестность Ух единицы е, что хУх
содержится в некотором Ц €41. Конечное число множеств хУх
покрывает группу О; пусть, например, 0=х1 Ух [] ... \ЗХвУх •
Положим У = УХ Г) ... П Ух .По B4.7) найдется замкнутая
подгруппа НаУ, для которой факторгруппа О/Н топологически
изоморфна ТахР, где Р— конечная абелева группа, а
а—неотрицательное целое число. Группа характеров группы О/Н
тогда топологически изоморфна 2,ахР, и топологически
изоморфна А (X, Н) по B3.25); следовательно, г0 (X) ^ г0 (А (X, Я))>
^а. Будем теперь считать известным, что <Ит(ТахР) = а1)\
тогда и (Нт(С/#)=а. Конструкция множества У показывает,
что если у ^ О, то класс смежности уН содержится в
некотором V €%. Поскольку множество уН компактно, существует
такая окрестность №у единицы е в О, что уН№у содержится
в некотором 1/^41 D.10). Выберем элементы у1У ..., ур из О
р
так, что II уи№у = 0. Пусть с%°—семейство подмножеств
в О/Я вида {гН: г^у^у )\ очевидно, Ж"—конечное открытое
покрытие группы О/Н. Теперь предположим, что (Нт (О/Я) < я.
Тогда существует покрытие {{хН: хаРг\, ..., {хН: х^Ря\\
группы О/Н (такое, что все Р1аО компактны), вписанное в ^,
кратности меньше я4-1. Легко видеть, что {НР1У ..., НРЧ)
есть замкнутое покрытие группы О, вписанное в 41, кратности
меньше я 4-1. Это противоречие показывает, что сЛт (О/Я) ^ я.
Поскольку мы уже доказали, что г0 (Х)^ а = <Ит (О/Н),
получаем г0(Х)>(Пт(О).
При доказательстве обратного неравенства г0 (X) ^ (Нт @)
мы можем предположить, что г0 (X) > 0. Рассмотрим любое целое
положительное число &^г0(Х), и пусть %1э
...,%*—независимые элементы X бесконечного порядка; из %аг%а2...%** = 1,
ау^2, следует а1 = а2= .. . = ак = 0. Пусть Г—подгруппа в X,
порожденная элементами ^1% ..., %к, а 2—подгруппа в X такая,
что 2пГ = {1} и 2 максимальна по отношению к этому
свойству. Пусть "ф^Х и для некоторой степени я отображение г|)"
принадлежит 2. Если 1|)(^2, то найдутся такая степень я|)от
и элемент ^2, что фя*| = х?1 • • • 5С&*> гДе не все числа а/ СУТЬ
а) Это — хорошо известная теорема теории размерности. Также хорошо
известно, что ее доказательство отнюдь не просто. См., например, П. С.
Александров [1], гл. 5.

492 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
нули. Тогда Утп%п = %1а1 ... х%ак, и \|)/1/72^^2. Следовательно,
паг = ... = пак = О, — получили противоречие. Следовательно,
г|)^2 при я|э,г€2, т. е. группа Х/2—без кручения. Классы
смежности з^х2, ..., ^2 образуют, очевидно, максимальное
независимое множество в группе Х/2. По B4.27) получаем,
что группа характеров группы Х/2 содержит гомеоморфный
образ множества @, 1)к; очевидно, @, \)к содержит
гомеоморфный образ [0, 1]*. Поскольку группа характеров группы Х/2
топологически изоморфна А (О, 2), мы доказали, что группа О
содержит замкнутое подпространство, гомеоморфное [0, 1]*.
В силу сИт([0, 1]Л)=/г, доказано также, что г0(ХХ(Нт(О). ?
Утверждения B4.18) — B4.26) основаны на главном
результате B4.17) [и, конечно, на B4.8)]. Сейчас мы найдем совсем
другое применение теореме B4.17)—докажем, что всякая
локально компактная группа имеет прямые множители вида
Яа (а = 0, 1, ...)> и вычислим наибольшее возможное
значение а в терминах структуры О.
B4.29) Теорема. Пусть О — произвольная локально
компактная абелева группа, пусть X—ее группа характеров, и пусть С
и К соответственно—компоненты единиц в О и X. Пусть п —
неотрицательное целое число и Е—такая компактная связная
абелева группа, что существует топологический изоморфизм о
группы ЯпхЕ на С, как в (9.14). Пусть т—неотрицательное
целое число и Р—компактная связная абелева группа такая,
что существует топологический изоморфизм т группы НтхЕ на
группу К. Тогда:
(г) группа О топологически изоморфна группе Кп X
X А (О, т (/?«));
(и) группа X топологически изоморфна группе Ят X
X А(X, а («»));
(Ш) т = п;
(IV) п есть наибольшее такое а, что или группа О, или
группа X содержит топологически изоморфный образ группы Ка.
Доказательство. Пусть В и В — замкнутые подгруппы в С
и X соответственно, состоящие из всех компактных элементов
(9.10). Согласно B4.17) и B4.8):
В=А(Х,С), К = А(Х, В), В = А@,К), С = Л(С,В). A)
Поскольку т—топологический изоморфизм, подгруппа тG?ЛЛ)
локально компактна в топологии, наследуемой из X, и потому
замкнута E.11). Следовательно, Вп х(Кт) = {1}. По (9.26а),
подгруппа ВС в О открыта [и замкнута]. По A),
ВС = А (О, К) С с: А (О, т (#«)) С.

$ 24. Теорема двойственности
493
Следовательно, Л (О, х(Кт)) С есть открыто-замкнутая
подгруппа в С. Если бы эта группа не совпадала с С, то
существовал бы такой характер х^Х, что %=1 на Л@,т(/?/л))
и на С, в кто же время % не равен единице тождественно
B3.26). По B4.10) мы имели бы тогда
Х<ЕА(Х, А (О, %(К»)))ПА(Х, С) = т(Д»)пВ = {1},
что противоречит нашему предположению. Поэтому
Л (О, т (/?«)) С = О. B)
Имеем: С = а (Е)а(Яп)\ поскольку группа Е компактна,
группа а(Е) компактна и потому о(Е)с:В. Таким образом,
о(Е)аА (О, К)<=Л@, т(#'л)), и из B) следует
Л (О, т (/?*)) а (/?»)= О. C)
Те же рассуждения показывают, что
А(Х,а(#я))т(#»)==Х.
Таким образом, если х^ А (С, А (X, о (/?»))) = а (#л) и л:^
б Л (С, т(Ят))у то х = е. Иначе говоря,
А (О, т(Я*)) Па (/?») = {*}. D)
Поскольку группа а (#и) компактно порождена, теорема F.21)
показывает, что С топологически изоморфна а (%п) х Л (С, т (%т)).
Тем самым A) доказано; A) и B4.8) вместе дают (и).
По B4.11) группа характеров группы а (Кп) топологически
изоморфна Х/А(Х, а (/?")) и по (и) эта группа топологически
изоморфна Кт. Отсюда прямо следует A11), поскольку группа
характеров группы &п топологически изоморфна Яп B3.27!).
Чтобы доказать (IV), предположим, что О содержит
топологически изоморфный образ группы Ца. Теорема (9.14)
показывает, что тогда а^.п. []
B4.30) Теорема. Любая локально компактная абелева группа О
топологически изоморфна группе %пх60, где О0—некоторая
локально компактная абелева группа, содержащая компактную
открытую подгруппу. В качестве О0 может быть взята
группа А (С, т(Кп)) из B4.29). Если группа О топологически
изоморфна также произведению ЯтхОг и Ог содержит
компактную открытую подгруппу, то т=п.
Доказательство. Пусть О0—группа Л (О, т(Я12)) из B4.29).
Пусть, далее, Н—компактно порожденная открытая подгруппа
в О0. По (9.8), группа Н топологически изоморфна группе
вида %ах2ьхР> где Р—некоторая компактная группа. Если
а^1, то %пхО0 содержала бы топологически изоморфный
образ группы Нп+ау что противоречит B4.291у). Поэтому а = 0.

494 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Поскольку группа Ъь дискретна, Р — открыта в ^х/7 и ее
топологически изоморфный образ открыт в Я и потому в 00.
^Докажем теперь второе утверждение. Пусть С0 и Сх —
компоненты единиц в 00 и 0г соответственно. Тогда, очевидно,
и С0, и Сг компактны, а компонента единицы е в О
топологически изоморфна и с %пхС0, и с КпхСг. Из следствия (9.13)
получаем п = т. []
Приведем еще одно применение теоремы B4.8). Оно нам
понадобится при классификации компактных монотетических
групп B5.11) —B5.17).
B4.31) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа,
а X—ее группа характеров. Пусть, далее, т—ненулевой
кардинал. Следующие условия эквивалентны:
A) ОГ\{е\' содержит подмножество А мощности т такое,
что наименьшая подгруппа Н, содержащая А, плотна в 0;
(п) существует такое индексное множество I мощности ш
и такой изоморфизм т: X—¦> Р 7\о, что ль(х(Х))Ф \1\ для
16/
любой проекции щ, причем функции л,, о г все различны для
различных индексов 1^1.
Доказательство. Предположим, что A) справедливо. Всякий
непрерывный характер на О определяется его значениями на Я,
а эти последние, в свою очередь, определяются его
значениями на А. Для любого %(;Х пусть т(%) есть элемент (%(а))ае л
из Р Т(а). Очевидно, т есть изоморфизм группы X на т(Х).
ае А
Поскольку афе при а^А> существует для каждого а^А
такой характер %^Х, что %(а)ф1 B2.17). Таким образом,
проекция группы т(Х) на а-ю ось содержит отличное от 1 число
для каждого а^А. Если афЪ, то существует характер %^Х,
для которого %(а)Ф%(Ь). Таким образом, (и) справедливо.
Предположим, наоборот, что (И) выполнено. Для каждого
1^/ отображение х*—*я1 ° т(х) есть нетривиальный характер
группы X и, по B4.8), найдется точка аь^0, для которой
% (а,,) = щ о х (%) для каждого %^Х. Из (И) вытекает, что а^Фа^,
если 1ф\,', и что ни одно из аь не совпадает с е. Если
подгруппа, порожденная {дь}.1е/, не плотна в О, то существовал
бы элемент ^^Х такой, что ^1 и ^Ю^! Для каждого I.
Таким образом, тсь о х (а|э) = 1 для каждого I и т (я|э) = 1. Это
противоречит предположению, что т—изоморфизм. []
B4.32) Следствие. Компактная абелева группа монотетична
тогда и только тогда, когда ее группа характеров изоморфна
подгруппе группы Тах).
х) Напомним, что Та есть группа Т, рассматриваемая с дискретной
топологией.

$ 24. Теорема двойственности
495
Доказательство. За исключением тривиального случая О = \е\,
это утверждение есть теорема B4.31) в частном случае т= 1. []
В различных разделах гармонического анализа важную роль
играют непрерывные гомоморфизмы в аддитивную группу /?.
Они также могут быть изучены на основе теоремы B4.17).
B4.33) Определение. Пусть О—некоторая группа.
Гомоморфизм группы О в аддитивную группу 7? называется веществен-
ным характером группы О. Сумма вещественных характеров
определяется поточечным образом, и относительно так
определенной операции они образуют вещественную группу
характеров группы О.
B4.34) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева
группа, а В—замкнутая подгруппа ее компактных элементов.
Для любых х, у^О существует такой непрерывный
вещественный характер [ группы О, что }(х)ф[(у) тогда и только
тогда, когда ху'г^В. Таким образом, группа О допускает
достаточно много непрерывных вещественных характеров, если
и только если В = \е).
Доказательство. Поскольку группа Я имеет только одну
компактную подгруппу [именно, тривиальную], ясно, что
/(Б)=0 для любого непрерывного вещественного характера /.
Таким образом, [(х)Ф[(у) дает нам ху~1(^В.
Изучим теперь факторгруппу О/В. По B4.17), имеем
В = А@, К), где К—компонента единицы 1 в группе
характеров X группы О и потому О/В топологически изоморфна группе
характеров связной группы К. По B4.19) группа О/В не
содержит компактных элементов, за исключением единицы.
Наше доказательство будет завершено, если мы покажем,
что существует достаточно много непрерывных вещественных
характеров на любой локально компактной абелевой группе О
такой, что В — {е). Пусть х—элемент из О, отличный от е,
а Я—компактно порожденная открытая подгруппа в О,
содержащая х. По (9.8) подгруппа Я топологически изоморфна
КаХ%ь, где а и Ь—неотрицательные целые числа и хотя бы
одно из них положительно, и существует вещественный
непрерывный характер /0 группы Я, для которого [0(х)Ф0. Если
мы продолжим /0 любым образом до вещественного^характера [
на О [см. (А.7)], то полученный характер / будет непрерывным
на О, поскольку он непрерывен на открытой подгруппе Я. []
B4.35) Следствие. Следующие условия для локально
компактной абелевой группы О эквивалентны:
A) группа О допускает достаточно много непрерывных
вещественных характеров;

496
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
(и) группа характеров группы О связна;
A11) группа О топологически изоморфна произведению %пхР,
где п—некоторое неотрицательное целое число, а
Р—дискретная абелева группа без кручения.
Доказательство. Эквивалентность @ и (и) прямо следует из
B4.19) и B4.34). Эквивалентность A) и A11) следует из B4.30)
или B4.34). П
B4.36) Теорема. Пусть С—локально компактная абелева
группа, Нг—ее замкнутая подгруппа, а /2—непрерывный
вещественный характер на Нг. Тогда существует непрерывный
вещественный характер / группы О, совпадающий с /х на Н±.
Доказательство. (I) предположим сначала, что 0 = %с, где
с—положительное целое число. Согласно (9.11), группа Нг
топологически изоморфна произведению ЯаХ^ь для некоторых
неотрицательных целых а и Ь. Пусть х19 ..., ха, у1У ... >уь ^ Яс—
образующие группы Нг в том смысле, что каждый вектор из Нг
единственным образом записывается в виде
«!*!+•.. +а,аха + тлу1+... +тьуъ,
где а1} ..., аа€# и т1У ..., тъ^1. Непрерывный
вещественный характер /х на Н1 принимает произвольные вещественные
значения на х1У ..., ха, у1У ..., уь и ими вполне определен:
/1 («Л + • - - +««** + тгуг + ...+ тьуъ) -
= «1/1 (*1) + • • • +аа?1 (Ха)+Щ!1 (Уг) + • ' • +Щ?! (Уь)-
Согласно (9.11), система векторов х19 ..., ха, у1У ..., уь
линейно независима в /?*, и мы можем продолжить ее до базиса
в #с. Следовательно, характер /х может быть продолжен до
вещественного линейного функционала / на Яс\ конечно, / будет
также непрерывным вещественным характером на Це.
(II) Предположим далее, что С = /?'х/\ где
с—неотрицательное целое число, а Р—компактная абелева группа. Пусть
Ф—проекция группы Я'х^на Яс. По E.18) группа ф(Ях)
замкнута в Кс. Определим отображение /2 на <р (Ях) по правилу
!*(х) = Ш*> *)) ПРИ С*» *)€#1.
Функция [2 корректно определена в силу /х (({0} хР) Г\Н1) = {0}
и является, очевидно, вещественным характером. Предположим,
что она не непрерывна. Тогда /2 разрывна и в точке 0^ЯС;
следовательно, существует такое е>0 и последовательность
{С**. ^)}"=1 т°чек в Н1 такая, что Пт хп = 0 и | /х ((лг„, гп)) | > е
п -> со
для любого п—\, 2, ... Существует поднаправленность г§
последовательности \гп}п^\у сходящаяся к некоторому элементу

$ 24. Теорема двойственности
497
г$Р. Тогда Иш (*э, гэ) = @,г), /Х (@, г))-0 и | /х ((лтр, *э)) | >е
Р
для каждого |3, что противоречит непрерывности /1# Итак, /а
непрерывно. Согласно (I), характер /2 может быть продолжен до
непрерывного вещественного характера [3 на 7?с. Полагая / =
= /3 о ф, получаем непрерывный вещественный характер на О,
продолжающий /х.
(III) Предположим, наконец, что группы О и Ях
произвольны. Пусть #2—некоторая компактно порожденная
открытая подгруппа в О. Тогда Я2 топологически изоморфна
произведению Яах2>ьхР (9.8), и в силу дискретности 2Ь группа О
содержит открытую подгруппу Я3, топологически изоморфную
КахР. Применяя (II), видим, что отображение /^(Я^Яд)
может быть продолжено до непрерывного вещественного
характера /3 на #8- На открытой подгруппе Н^Н^О пусть
?4 {КЮ = /з {Ю + Л. (Ю- Нетрудно убедиться, что /4 определено
корректно и является непрерывным вещественным характером
на Н3Н1У продолжающим /\. Поскольку группа /? делима,
отображение /4 может быть продолжено до вещественного
характера / на О (А.7), а поскольку отображение 1\Н3Н1 непрерывно,
продолженное отображение / также непрерывно. []
B4.37) Определение. Пусть 01 и 02—локально компактные
абелевы группы с группами характеров Хх и Х2 соответственно.
Пусть'7,рф: Ох—*02—непрерывный гомоморфизм. Для каждого
%2€Х2 определим функцию ф~ формулой ф~ (%2) = %2°Ч>- Тогда,
очевидно, ф~ (х2)^Хх, т. е. <р~ отображает Х2 в Хг. Мы
называем это отображение сопряженным к ф.
B4.38) Теорема. Сопряженное отображение ф~ есть
непрерывный гомоморфизм группы Х2 в группу Хг с ядром А(Х2,
Ф@,».
Доказательство. Для любых %2, ^ ^Х2 и х1$01 имеем
(Х2%) о Ф (х)=%* (Ф (*)) ^2 (Ф (х)) = ъ ° Ф М-*2 ° Ф (*),так что ф~—
гомоморфизм. Для компактного Р1с:01 множество (р(Р1)с02
компактно, причем ф~ (Р2(Ф (Рг), г))аР1 (Р1У в), так что
гомоморфизм ф~ непрерывен. Ясно, что ф~(%2) = 1 тогда и только
тогда, когда уи2{у)=\ для любого убф^). []
B4.39) Теорема. Пусть Нг—замкнутая подгруппа в Ох. Тогда
Ф^-1(А(Х1, Я1)ПФ"(Х1)) = А(Х1Э Ф(Я1)).
Доказательство. Если %2(л:2) = 1 для каждого х2€ч>(Нг), то
Х2 о ф (Ях) = {1[, так что ср~ (Хз) <Е А (Хх, Ях). Если %2 € Ф^1 (А (Хх,
Нг)Пч~(Х%)), то ф-(х,)(//х) = {1}. так что Хг (Ф (Я,)) = {!}. Ц

498 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
B4.40) Теорема. Предположим, что ф есть открытый
непрерывный гомоморфизм группы 01 в 02. Тогда ф~ есть открытый
непрерывный гомоморфизм группы Х2 на А(Х1? ф(г2)).
Доказательство. Согласно E.40A), ф^) есть замкнутая
подгруппа в С2. Ядро сопряженного гомоморфизма ф~ есть тогда
А(Х2, Ф ((?!)). Пусть р0: Х2/А(Х2, ср@1))—^Х1 определено
формулой [р0(х2А (Х2, ф (Ох)))] (хг) =%2оц>(хг) для каждого х1€в1.
Поскольку отображение ф открыто, группа ф^) топологически
изоморфна группе 61/ч>~1(е2), и потому р0 есть топологический
изоморфизм, описанный в B3.25). Иначе говоря, р0 отображает
группу характеров группы ф(Ох) [и потому группы 01/<р(е2)]
на А(Х1, Ф~1(^2))- Если а: Х2—+ Х2/А(Х2,
ф(Ох))—естественное отображение, то ф~=р0оа. Поскольку отображение а
открыто, а р0 есть гомеоморфизм, то ф~ также открыто. []
B4.41) Приведем теперь без доказательства некоторые
дальнейшие свойства сопряженных гомоморфизмов.
(а) Гомоморфизм ф удовлетворяет условию ф~~ = ф. Это
прямо следует из B4.8).
(Ь) Гомоморфизм <р~ взаимно однозначен тогда и только
тогда, когда группа ф@]) плотна в 02, а группа ф~ (Х2) плотна
в Хх тогда и только тогда, когда ф взаимно однозначно.
(с) Гомоморфизм ф~ является топологическим изоморфизмом
группы Х2 на Хх тогда и только тогда, когда ф есть
топологический изоморфизм 01 на 02.
(с!) Пусть отображение [п: О—> О задается формулой хъ->хп.
Тогда сопряженный гомоморфизм /~ осуществляет
отображение %»—>%л группы X в себя.
Дополнительные теоремы и примеры
B4.42) Пусть #0 и Н—замкнутые подгруппы в С. Тогда
Н П #0 = \е\ тогда и только тогда, когда X = (А (X, Я) -А (X, Я0))".
[Используя B3.29Ь) и B4.10), убеждаемся, что
Л (О, (А(Х, #)А(Х, #в))-) =
= А@У А(Х, Я))ПЛ@, А(Х, Я0)) = ЯПЯ0,
откуда и следует утверждение.]
B4.43) Вещественные характеры (Диксмье, [2]). Пусть О —
локально компактная абелева группа, а X—ее группа
характеров. Пусть, далее, /—непрерывный вещественный характер
группы О. Тогда отображение
A) #1->ехр [*7(х)]
является, очевидно, элементом из X. Каждый элемент из X
имеет вид A) тогда и только тогда, когда X является объеди-

$ 24. Теорема двойственности
499
нением своих однопараметрических подгрупп. [Пусть ф: К—>Х—
непрерывный гомоморфизм, а ф~—сопряженный гомоморфизм
группы О в группу характеров ^ группы 7?. Для любого х 6 О»
Ф~ (х) есть вещественное число, такое, что ф {I) (х) =
= ехр [/ф~ (х)(\ для любого вещественного I [заметим, что <р (/)
есть элемент из X]. Значит, если ^Х и;[ принадлежит
некоторой однопараметрической подгруппе группы X, то % имеет
вид (I). С другой стороны, если / есть непрерывный
вещественный характер группы О, то характеры х^->ехр [И[ (х)] (I ^К)
образуют однопараметрическую подгруппу в X.]
B4.44) Примеры, касающиеся B4.23) и B4.24). (а) (Фрей-
денталь; см. Хартман и Рыль-Нарджевский [1].) Существуют
неделимые локально компактные абелевы группы, группы
характеров которых не имеют кручения. [Пусть т—любой
бесконечный кардинал, а О—подгруппа в Тп\ состоящая из всех
таких (Ху), что Ху,Ф±\ лишь для конечного числа индексов I.
Пусть далее Н—подгруппа в О, состоящая из всех (Ху)
таких, что х1ф\ лишь для конечного числа индексов I. Легко
проверить, что 0(Л) = Я, если п четно, и 0{п) = С, если п нечетно.
Для конечного множества Л индексов I пусть ЦА—множество
всех таких (л^), что х1= 1 при I ^Л и *1 = ± 1 при 1^Л. Систему
всех (/л объявляем открытой базой единицы A,,). Подгруппа (/Л,
очевидно, топологически изоморфна группе {—1, 1}ш и потому
компактна. Таким образом, группа О локально компактна, и
Н—ее плотная подгруппа. Если %—непрерывный характер
на О конечного порядка /е, то \1} = %@{2к)) = %(Н)=%@).
Поэтому группа X не имеет кручения, а О, очевидно, неделима.]
(Ь) Группа О, описанная в части (а), очевидно, нульмерна,
так что компонента С единицы Aь) состоит только из единицы.
Наибольшая делимая подгруппа в О есть Я. Таким образом,
для этой группы мы имеем СФО = НфН~ = 0.
со
(с) Собственное включение С"с A 0{п) имеет место во мно-
гих дискретных абелевых группах. [Пусть О—множество всех
последовательностей (п\ т2, т3, ..., тк, ...), где п^2, тк€
€{0, 1, 2, ..., к—1} и лишь конечное число членов
отличны от нуля. Определим произведение двух таких
последовательностей формулой
(/г; /я2> т39 ...)(л'; т'» т'3, ...) =
=и +«' + Ё [^пт^]; т*+т* (той 2)>
.... тк + т'к(тойк), ... ).

500
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Легко видеть, что С — абелева группа. Также ясно, что из (я;
00
т2, т3, ..., тк, ....)€ С{к) следует тк = 0. Следовательно, П 0{к)
содержит только элементы вида (п; О, 0, ...). Поскольку
@; 0, ..., 0и.1)э 1ш, 0(,+1), ...)»* = (л; 0, 0, ...),
00
мы видим, что П 0{к) состоит в точности из подгруппы {(п\ О,
О, ...): п€2}. Эта группа—приведенная (А.5), и потому й =
= Д-Н@;0, 0. •••)}^= П 0<*>.]
/г=1
(й) Компонента единицы локально компактной группы всегда
делима1), как показано в B4.24). Для неабелевых групп, даже
локально компактных, это может быть не так. [Группа ©2B, Я)
связна. Действительно, с очевидностью связны ее подгруппы
Ко и' Х^К\ П \\у 1): У^КГ Но любая матрица ( Л$
^62B, Я) с ЬфО представима в виде
С МФ ОС Ой ")•
Значит, ©2 B, /?) связна, поскольку компонента единицы Е
является замкнутой нормальной подгруппой. В то же время
уравнение
х */\2 /а 0\
2 ю/ Л° т/
не разрешимо ни для какого отрицательного а^=—1.]
(е) Другой пример, иллюстрирующий (й), дается группой
©2B, Д). [подгруппы" |Г* °): *>0,г>0,убд|и|^ ^):
#>0, г > О, г/б/? ?, очевидно, связны. Если
с:)
6 ©2B,/?) и 6^0, то
1 0\ /л/| «.„ ьч / 1 0^
(а Ь\ ( 1 и\Ш-Ьс Ь\( [ и\
г) Определение делимости группы для неабелевых групп в точности то
же, что и для абелевых (А.5).

$ 24. Теорема двойственности 501
Значит, если ай—Ьс > 0, матрица (а \ должна принадлежать
компоненте © единицы Е\ иначе говоря, ©з{Л ^©2 B, Я):
с!е1Л>0}. Это включение в действительности является
равенством, поскольку в противном случае подгруппа 6 совпадала бы
с ф# B,^), что противоречит тому факту, что непрерывное
отображение А н-» ее! А переводит Ш B, /?) на (— со, 0) I) @,оо). В то же
время ни для каких ненулевых вещественных чисел аир,
а=т^р, по меньшей мере одно из которых отрицательно, не
существует матрицы (^ ^] такой, что (* -у =^ ^. ^
B4.45) Компонента единицы как прямой множитель (Браконье
[1]). (а) Пусть С — локально компактная абелева группа. Если
компонента С ее единицы е открыта, то группа О
топологически изоморфна Сх@/С). [По B4.24) компонента С делима.
Остается применить F.22Ь).]
(Ь) Если С — локально связная группа, то она
топологически изоморфна группе Сх (О/С). [Действительно, С содержит
окрестность единицы е, и потому из E.5) следует, что С
открыта. Применим теперь (а).]
B4.46) Сервантные х) подгруппы, (а) (Хартман и Хуланиц-
ций [1].) Пусть О — локально компактная абелева группа, Я—
ее замкнутая подгруппа, а X и Г—группы характеров групп О
и Я соответственно. Если каждый характер %1 ^ Г допускает
продолжение %2бХ того же порядка, что %19 то говорим, что
подгруппа обладает свойством (Я). Подгруппа Я обладает
свойством (Я) тогда и только тогда, когда ее аннулятор А (X, Я)
является сервантной подгруппой в X. [Предположим, что Я
обладает свойством (Я), что ^^Хи что %?€А(Х, Я). Тогда %1
как элемент из Г имеет конечный порядок а, причем а делит п.
Пусть %2—продолжение характера %г | Яна X, имеющее порядок а.
Тогда (зшС1)л = Х1 и Х2Х1^А(Х, Я). Значит, подгруппа А(X, Я)
сервантна в X.
Если подгруппа А(Х, Я) сервантна, %о€^ и порядок %0
равен /г, определим %х как произвольное продолжение %0 такое,
что ^б:X. Характер %? принадлежит А(Х, Я). Поскольку
подгруппа А (X, Я) сервантна, существует элемент %2 ^ А(Х, Я),
для которого Ха=Х?- Тогда Х2Х1 есть продолжение характера
Хо такое, что (шгУг=1.]
(Ь) Пусть С—дискретная абелева группа, а Я—сервантная
подгруппа в О такая, что факторгруппа О/Н делима. Тогда
) В другой терминологии — чистые подгруппы.

502
Гл. 6, Характеры и теория двойственности
А(Х, Н) есть сервантная подгруппа в X. [Пусть
%0—характер подгруппы Н порядка п<оо. Покажем, что характер %0
можно продолжить в характер группы О того же порядка я.
Тем самым мы покажем сервантность подгруппы А(Х,/У),
согласно (а). Поскольку группа С/Н делима, каждый элемент
х^О может быть записан в виде х = куп для некоторых Н^Н
и у^О. Положим %(х) = 10Aг). Чтобы проверить корректность
определения %, предположим, что Нгу^ = Н2у^. Тогда Н^1 =
= (у2У11)п> и> в силу сервантности Я, найдется элемент Н3 ^Я,
для которого Н^^кф^1. Таким образом, I = %0(к3)п = %0(Н%) =
= Хо(Л1)Хо(Аа)- Иначе говоря, Хо(Ах) = Хо {К)> и отображение
Хо определено корректно. Чтобы доказать, что % есть
характер группы О, рассмотрим произвольные элементы х±
и х2 из 0 и положим */== й/!/? (/== 1» 2). Тогда х1х2 = Н1Н2(у1у2)п
и, как выше, х(^1)=Хо(М1) = Хв(Л1)Хв(Л.) = х(^)х(^)-]
(с) (Браконье [1].) Замыкание сервантной подгруппы не
обязано быть сервантной подгруппой. [Пусть/—любое
бесконечное индексное множество. Для каждого I ^ I пусть 01 =2 D),
которое записываем в виде {0, 1, 2, 3} со сложением по модулю 4.
Для любого 1(^1 пусть //ь = ]0, 2}. Топологизируем произведе-
дение 0= Р 6\, как в F.15с). Таким образом, порождающая
16/
окрестность единицы имеет вид
^л = {*€<3- #,,^{0,2} для каждого I и ^ = 0 при 1^Л},
где Л—конечное подмножество в I. Легко видеть, что
группа О локально компактна, абелева и нульмерна. Пусть 00—
подгруппа, состоящая из всех х^О таких, что множество
\1>^1: #1=7^=0} конечно. Очевидно, подгруппа О0 сервантна в С:
если у^О и уп^00, то найдется элемент г^00 такой, что
гп = уп. Замыкание 0~ подгруппы 00 состоит из всех х^О
таких, что {ь^1: *1=1 или 3} конечно. Эта подгруппа несер-
вантна: выберем х так, что ^^{0, 2} для каждого 1^7 и
множество \ь^1: х1 = 2\ бесконечно. Если г/,, = 1 для каждого I
такого, что х1 = 2, и уь = 0 для остальных ц то у2=х, и не
существует элемента г^О^, для которого г* = х.]
B4.47) (Какутани [4].) Пусть О —бесконечная дискретная
абелева группа с [компактной] группой характеров X.
Теорема B4.15) показывает, что №(Х)=0. Мощность группы X есть
тогда 2°. [Поскольку элементы из X суть _комплекснозначные
функции на О, очевидно, что Х^.(К)° = са = 2°. Доказываем
обратное неравенство. Если мощность группы О счетна, то
нужное неравенство Х^с = 2(? в силу компактности X прямо

$ 24. Теорема двойственности
503
вытекает из D.26). Предположим поэтому, что С> #0. Пусть
0 = {дг±, х2, ..., ха, . . .} — какое-нибудь полное упорядочение
группы С, а пробегает все ординалы, меньшие наименьшего
ординала мощности О, и хг =е. Для каждого а > 1 пусть Яа
означает группу, порожденную множеством \х^^О: Р<а}. Пусть
А состоит из всех тех элементов ха€б, для которых ха^На.
Тогда А порождает всю группу О. Действительно, если А0 есть
подгруппа, порожденная множеством Л, и А0ФО, то
существует наименьший элемент хао в О Г) А'0. Ясно, что а0 > 1 и хао^А.
Следовательно, хао = х$[...х"*, где р.<а0. Поскольку все х$
принадлежат Л0, элемент хао также принадлежит Л0, что
противоречит его выбору. В силу О > #0 отсюда следует Л = 0.
Будем теперь строить характер % группы О с помощью
трансфинитной индукции. Пусть ^ (лгх) = 1 и предположим, что
%(х$) уже определено для всех р < а. Если ха^ А, т. е. ха^На,
то %(ха) определено значениями \%(х$): р < а\. Предположим,
что Ха^А. Если никакая степень ха не лежит в#а, то мы можем
выбрать значение % (ха) в Т произвольно. Если некоторая степень
элемента ха принадлежит На и гп — наименьшее положительное
целое число такое, что х% €На, то мы можем взять за %(ха) любой
корень т-й степени из %(х%). Описанная процедура всегда
определяет некоторый характер группы, и, более того, для
каждого ха(ЦА возможны по меньшей мере два различных
выбора значения %(ха). Следовательно, группа О допускает
минимум 2А различных характеров, т. е. Х^2^=20.]
B8.48) (Хьюитт и Стромберг [1].) Пусть О—локально
компактная абелева группа, а X—ее группа характеров. Пусть,
далее, а—наименьшая мощность открытой базы в точке е в О,
а 6—наименьшая мощность семейства компактных подмножеств
в X, объединение которого есть все X. Тогда а = Ь. [Пусть Т* —
открытая база в е такая, что любой элемент V^°Р имеет
компактное замыкание. Множества Р (V", 1/2)", где У^^, суть
компактные подмножества в X B3.16) и, очевидно, их объединение
есть все X. Следовательно, а > 6. Если 6 = 1, то также а = 1 B3.17).
Если 6=^=1, то Ь бесконечно. Предположим поэтому, что 6^#0
и что А = {к%: Х^А\ есть произвольное семейство компактных
подмножеств в X такое, что II АХ = Х и Л=Ъ. Очевидно, су-
ЯеЛ
ществуют такие открытые множества Т\г> А^,, что все множества Г^
компактны. Пусть 33—семейство всех конечных объединений
множеств Т%1 II ... II Тг . Множества {х ^ О: | % (х)— 1 | < 1 /п для
каждого %€В\, где В^«®, образуют базу окрестностей
единицы е в С? мощности 6. Действительно, для любой окрестности

504
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
V единицы в С из теоремы B4.8) вытекает существование
компактного подмножества ФаХ и положительного целого числа п
таких, что \х^О: \%(х) — 1 | < 1/п для каждого %^Ф\с:У. Но
существует содержащее Ф множество В^^; это и доказывает
неравенство а^Ь.]
B4.49) Замечание к теореме B4.30). Мы можем получить
часть теоремы B4.30) прямо из (9.8), без ссылки на теорему
двойственности. Пусть Н—компактно порожденная открытая
подгруппа в О. Согласно (9.8), подгруппа Н может
рассматриваться как Ятх2рхР, где Р—некоторая компактная абелева
группа, а т и р — неотрицательные целые числа. Подгруппа
ЯтхРаН, очевидно, открыта в О. Поскольку группа Ят делима,
проектирующее отображение ЯтхР на Ят может быть
продолжено до гомоморфизма группы О на Ят (А.7). Этот гомоморфизм
непрерывен на О, поскольку он непрерывен на ЯтхР E.40а).
По F.22а), группа О топологически изоморфна группе Ят X F/Ят).
Естественное отображение О на С/Ят открыто E.17), так что
образ ЯтхР открыт в 0/Ят. Иначе говоря, (ЯтхРIЯт открыто
в 0/Ят. Поскольку группа (ЯтхРIЯт топологически
изоморфна Р, мы и доказали, что 0/Ят содержит некоторую
компактную открытую подгруппу.
Замечания. Теорема двойственности B4.8) принадлежит
Л. С. Понтрягину и Э. Р. ван Кампену; имеется вклад и
других авторов в эту теорию, как указано ниже. Теорема B4.7)
принадлежит ван Кампену [1], стр. 458. Теорема B4.3) для
группы О, имеющей счетную открытую базу, намечена Понтря-
гиным в [1], объявлена в книге Понтрягина [3] и доказана им
в [4]. Александер [1] доказал ее для произвольной дискретной
абелевой группы; Александер и Циппин [1] упростили
доказательство. Теорема B4.8) была впервые доказана ван Кампеном [1].
Топология ван Кампена на X формально отличается от понтря-
гинской, но в действительности та же. Наше доказательство
теоремы B4.8) в основном следует доказательству ван
Кампена; мы также руководствовались книгой Понтрягина [7], гл. 6.
А. В ей ль [4], §28, стр. 116—125 дал другое доказательство этой
теоремы. Райков [объявлено в [1], полное доказательство в[3]]
и Картан и Годеман [1] дали короткое и совсем новое
доказательство теоремы B4.8), основанное на теории преобразований
Фурье. Мы предпочли привести здесь «классическое» структурно-
теоретическое доказательство теоремы B4.8) по нескольким
причинам. Во-первых, нам нужна теорема (9.8) и для других целей;
теорема (9.8) не является следствием B4.8); наоборот, (9.8)
является ключевым моментом в нашем доказательстве теоремы
B4.8). Во-вторых B4Л0) и B3.25), которые нужны для различ-

$ 24. Теорема двойственности
505
ных целей, также не являются следствиями теоремы B4.8).
В-третьих, как нам кажется, классическое доказательство B4.8)
более впечатляюще, чем доказательство, основанное на
преобразованиях Фурье.
Теоремы B3.25), B4.10) и B4.11) для счетных дискретных
групп доказаны Понтрягиным [4]; ван Кампен [1] доказал их
для локально компактных абелевых групп.
Теорема B4.14) принадлежит Какутани [4] для компактной
группы О, а в общем случае Понтрягину [7], § 40, теорема 57.
Наше доказательство—новое. Теорема B4.17) и доказательство
ее здесь взяты у Понтрягина [7], § 40, пример 73, стр. 282.
Части теорем B4.18), B4.25) и B4.26) в различных формах
доказывались Понтрягиным [4] и ван Кампеном [1]. Теорема
B4.21) [но не наше доказательство] взята у Браконье [1],
стр. 51. Различные варианты B4.23) и B4.24) принадлежат
Капланскому [1], стр. 55 (без доказательств), Хартману и Рыль-
Нарджевскому [1] и Браконье [1]. В B4.23) мы исправляем
одну ошибку у Халмоша [1].
Теорема B4.28) принадлежит Понтрягину [4] для групп со
счетной открытой базой и ван Кампену [1] для произвольной
группы О. Наше доказательство теорем B4.28) и B4.27) взято
из книги Понтрягина [7], § 38, теорема 47, стр. 263. Интересно
отметить, что, как доказали Архангельский [1] и Пасынков [1],
все стандартные определения размерности эквивалентны для
локально компактных групп.
Теорема B4.29) принадлежит Понтрягину [7], § 40, пример
74, стр. 283. Ее прямое следствие B4.30) принадлежит ван
Кампену [1], стр. 461; доказательство также появилось у Вей-
ля [4], § 29, стр. 125.
Вещественные характеры, как они здесь определены в B4.33),
изучались многими авторами. Следствие B4.35) принадлежит
Макки [2], а B4.36)—Диксмье [2] [наше доказательство B4.36)
отлично от доказательства Диксмье]. Ж. Рисе [1], [2]
написал две заметки о вещественных характерах и существенно
опирался на теорию вещественных характеров в своей теории
распределения на локально компактных абелевых группах [3].
Вещественные характеры некоторых полугрупп рассматривались
Девинатцем и Нуссбаумом [1]. Диксмье [2] также
характеризовал [несколько другим способом, чем это сделано в B4.43)]
локально компактные абелевы группы, на которых каждый
непрерывный характер имеет вид ехр (**/), где / — некоторый
непрерывный вещественный характер.
Определение B4.37) принадлежит Фрейденталю [3].
Сопряженное отображение использовалось многими авторами, в
частности А. Вейлем [4], § 28, стр. 117, Аизаи и Какутани [1],
Браконье [1]. Теорема B4.40) принадлежит Браконье [1].

506 Г л, 6». Характеры и теория двойственности
Тысячи страниц в научных журналах посвящены изучению
структуры локально компактных абелевых групп, характеров
всех сортов на группах и обобщению теоремы двойственности.
Мы упомянем несколько наиболее интересных результатов и
работ, не затронутых в основном тексте.
Понтрягин [7], § 38, теорема 48, стр. 264 характеризовал
компактные локально связные абелевы группы О в терминах
алгебраических свойств группы характеров группы О. Один
частный случай его теоремы состоит в следующем. Компактная
абелева группа О связна и локально связна тогда и только
тогда, когда всякое конечное подмножество в дуальной ей
группе X содержится в некоторой сервантной подгруппе в X,
имеющей конечное число образующих. Если X имеет счетную
открытую базу, а О связна и локально связна, то группа О
линейно связна и имеет вид КпхТт9 где п—некоторое
неотрицательное целое число и т^#0; это также доказано в книге
Понтрягина [4], стр. 380. Диксмье [2] построил несчетную
группу X, для которой О связна и локально связна, но не линейно
связна.
Виленкин [4], [7], [8], [13] провел большое число
вычислений групп характеров как для локально компактных, так и для
не локально компактных абелевых групп. Престон [1] показал,
что непрерывные гомоморфизмы двумерных локально компактных
абелевых групп в некоторые специальные группы, отличные от
Ту могут давать теоремы типа B4.8), хотя группы
«характеров» будут совсем другими, чем те, которые рассматривались
в основном тексте.
Известное внимание также уделялось обобщениям теоремы
B4.8) на топологические абелевы группы, не являющиеся
локально компактными. Например, см. работы Исивата [1],
Каплана [1], [2], Лептина [1] — [4], Шенеборна[[1] — [3], Смита [1].
§ 25. Специальные структурные теоремы
Начнем с построения групп характеров некоторых
специальных групп [B5.1)—B5.7)]. Для этого очень полезными
окажутся теоремы двойственности B4.8) и теоремы B4.10) и B4.11).
B5.1) а-адические числа. Рассмотрим аддитивную группу йа
всех а-адических чисел, построенную в A0.2)—A0.5). Мы
покажем, что группа характеров группы йа топологически
изоморфна & А, где а* = а_п для каждого п^Ъ. В частности, для
любого целого г > 1 группа характеров группы йг есть сама Ц..
Рассмотрим сначала непрерывный характер х группы &а>
отличный от характера 1. Тогда для некоторого целого / мы

$ 25. Специальные структдрные теоремы
507
имеем \%(х)—11 <]/~3 для каждого х^Аг. Поскольку Л, есть
подгруппа в йа, из B3.17) следует, что %(Л/) = {1}. Рассмотрим
теперь все целые числа /, отрицательные или неотрицательные,
для которых х(Л/) = {1}. Поскольку %Ф 1, существует
наименьшее целое, обладающее этим свойством; оно может быть
отрицательным или не быть отрицательным; в любом случае мы его
будем обозначать отрицательным индексом. Другими словами,
%(Ат) = \Ц тогда и только тогда, когда га>—&. A)
Для п$2 пусть и{п)—такой элемент из й«, что и{{? = Ьпр{р ^2).
По A) мы имеем %(й<Л>) = 1 при п^—к. Заметим, что характер
% на Л-*»! определен его значением на и{~к~г\ поскольку
множество {и{-к~г\ 2и{~к~%\ .. .\ плотно в Л_д,_±. Следовательно,
хС^"*)^ 1. Для каждого п $2 пусть %п—единственное число
из [0,1)» для которого %(и{'п)) = ехр [2т%п]. Тогда Лп = 0 при
п*^к. Поскольку а*и(-п) =а_пи{~п) = и{~п+1\ мы получаема*Хп=
=.*,„_! (тод 1), т. е.
(*пК = К-1+Уп B)
для некоторого целого уп. Кроме того, уп = апХп—^и-1^Ял^й<
<йп куп = а%Хп—К-г>—Ь>п-г > — 1, так что 0<г/„<я* — 1.
Таким образом, мы определили элемент у=(уп) из Й А такой,
что уп—0 при п^к и ук+1фО: поскольку 0<А^+1<1 и
а*+1^2, равенство B) показывает, что 0Фаь+\\+1 = 4 +
ш^Ук+1 = У*+1- Элементарные вычисления, использующие B),
показывают, далее, что
*-= II 4 /' 4 C)
при п=к-\-\у к+ 2, ... Вычислим %(х) при дг^йЛ. Если
лг^Л-д;, то %(х) = \. В противном случае существует такое
целое т <— к, что х = хти{т) + хт+1и{т+1)+... + х_к_1и{~к~1) + г>
где все яу—целые и #€Л_/г. Следовательно,
Х(лг)-ехр [2п1(хтХ_т + хт+1Х_т_1+ ... +х_*-Л+1)]. D)
Соотношения C) и D) показывают, что характер % определен
последовательностью (уп)€:& а- Если %—тривиальный
характер, пусть у = 0 и кп = 0 для любого п ^2. Тогда 1 = 1 (а{~п)) =
= ехр[2п1Хп], и соотношение B) выполнено для любого п^2.
Покажем теперь, как получить произвольный непрерывный
характер группы йя по элементу у$& А. Рассмотрим сначала
нуль у = 0 т & к. Положим Хп=0 для каждого п^2 и заме-
а
тим, что B) выполнено. Мы тогда требуем, чтобы %(и{~п})~

508 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
= ехр [2яйл] выполнялось для каждого п (=2; другими словами,
%~1. Рассмотрим, далее, любой элементу €®аА, отличный от 0.
Пусть к— наименьшее целое такое, что уь+ЛфО. Определим
последовательность {^п}п=к+\ по C) и для п<!& положим %п = §.
Легко видеть, что соотношение B) выполнено для любого
целого п, если числа Хп определены таким образом. Для х^А_к
пусть %(х) = 1, а для х^^аП (Л.*)' определим %(х)
соотношением D). Чтобы показать, что тем самым определен
непрерывный характер % группы ЙЛ, достаточно доказать
мультипликативность отображения %: его непрерывность будет тогда
следовать из того факта, что % тождественно равно 1 на
окрестности Л_* нуля 0."'Пусть х, г^^а- Если х или г принадлежит
Л_/г, то, как легко проверить,
%{х+г)=%{хI{г)\ E)
детали доказательства мы опускаем. Предположим, далее, что
хп=гп = 0 при п < /, Хг + г^О и что К —к. Пусть х + 2 =
=<Ю=(г0п) и ^_1==0. Очевидно, ^„ = 0 при п<1 и
хп-\-гп^\-1п_х — 1пап-\-тп при п^1\ каждое 1П при этом есть
либо 0, либо 1. Из этого и из B) следует
= (^Л-/+^+Л-/-т+ •.. +«;-*-Ла+1) +
и, поскольку 11у_1 + 11+1у_1_-1 + ... +/_й_1уА+1 есть целое число,
из D) следует справедливость E).
Таким образом, мы сопоставили каждому элементу у€& л
непрерывный характер ^ группы &а . Покажем, что отображение
У—*Ъ является топологическим изоморфизмом группы & Ана
группу характеров группы ^а. Для данного % из группы
характеров группы 0,а строим элемент у€& д и
последовательность {Я,„["__«,, удовлетворяющие условию B). Характер %у,
построенный для этого у> согласуется с ^ на всех и{п), и
потому % = Ху- Отображение у*-^%у поэтому переводит & & на
группу характеров группы 0,а- Пусть у и г—ненулевые
элементы из & а и пусть"*чю-=у-\-2. Пусть, далее, /—наименьшее
а
такое целое число, что У1+1 + г1+1Ф0. Пусть, наконец, {А/л}я~-ов»
\\1п\п^^оо и ^„^„оо суть последовательности, построенные, как
выше, по у, г и до соответственно. Чтобы доказать равенство %у%х—
^Х^нам нужно только проверить равенство %у(и{~п))%г(и{~п)) =
=7*Лй(~л)) Для любого п^1. При п^1 это очевидно.

$ 25. Специальные структурные теоремы
509
При п>1 имеем уп + гп + 1п_х ^1па^-\-хюп, причем ^^ = 0 и
каждое 1п есть либо 0, либо 1. Далее, имеем
Чп=К + 1*>п—1п ПРИ п==1> ' + *> ••• F)
Условие F) тривиально при п = 1; для последующих имеем
_*„ + о>Л+1 __(К + Уп — *п)+(Уп + 1+гп +1+^—^+1^+1) _
ап+\ ап+\
*п-\-Уп + \ | Цп-^г^п + 1 / Л | .. /
"~ А I а 1п + 1 —Л'п + 1\Гп + 1 *л + 1-
ап+\ ап+\
При п^1 условие F) показывает, что
Ъ, («с-»)) = ехр [2ш (*,„ + |хя- *„)] =
= ехр [2яйя] ехр [2ш>,/|. 1 = Ху (и<~п)) %х (и<~п)).
Легко видеть, что отображение уу->%у взаимно однозначно.
Чтобы закончить рассуждение, мы должны только показать,
что отображение уу->%у есть гомеоморфизм. Чтобы избежать
недоразумений, будем обозначать окрестности нуля 0 в й 4,
а
имеющие вид Ат A0.4), через Л^\ Заметим сначала, что
{Ь'У € Л^+,} = {ХУ:ХУ (Л,„) = {Ш G)
прит^2. Пусть Т?(Р, е) — окрестность единицы 1 в группе
характеров группы йа. Поскольку Р—компактное
подмножество в группе 0>а, то оно принадлежит одному из множеств Ат.
В силу G), мы имеем тогда
\Ъу:у€А{^+1\с:{%у:\%у(х)—1\<г для всех-.г€ЛЛ} =
= Р(ЛЖ, 8)СР(Л 8).
Таким образом, отображение у*->%у непрерывно; из E.29)
вытекает теперь, что оно есть гомеоморфизм.
Полезно иметь явную формулу для характеров группы 0,а-
ЕСЛИ у ^ О, А И X ^ &а , ТО
™-«?[™(±А1к*^))\ (8)
Это проверяется объединением формул D) и C). Для данных х
и у суммы в (8) в 'действительности конечны. Действительно,

510
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
если х/ = 0 при / < т и у1 = О при / <! &, то
У, (ж) -е*р [Ц |_' ,.( |' ^^У)], (9)
где пустые суммы следует считать равными 0.
B5.2) а-адические целые числа. Рассмотрим аддитивную
группу Аа всех а-адических целых чисел, где а=(а0,а{, ...).
Мы найдем ее группу характеров с помощью теоремы B4.11).
Продолжим а до произвольной бесконечной в обе стороны
последовательности (..., а_х, а0, а1У ...), такой, что ап^2
при п^1 [например, мы можем положить ап = 2 при д<0].
По B4.11) и B5.1) всякий непрерывный характер ^группы Да
имеет вид %у \Аа для некоторого элемента у€& ±.
Определим #^А#, полагая «„ = 1 при п = 0 и ип = 0 при
д^7, /г=й0. Всякий непрерывный характер % на Аа
определен его значением на и, поскольку и—образующий элемент
плотной подгруппы в Аа. Отсюда следует, что [дискретная!]
группа характеров группы Аа изоморфна подгруппе \%м{и):
у^О, ±] в Т. Для любого )!(Й А соотношение (8) из B5.1)
показывает, что
^(й) = ехр[2т(Ео-^^-)], A)
причем суммы здесь конечны для каждого у. Таким образом,
\%у(и): У€& а} состоит из всех чисел вида ехр 2ш ( 1 .
Мы обозначаем эту группу 1 (а00); очевидно, она есть обобщение
группы 2(р°°), определенной в § 1.
Рассмотрим число ^ = еxр\2п^(— —) в 2(а00). Мы
можем предположить, что 0^/ < а^.. .аг Тогда / можно
единственным образом записать в виде
1 = у0ага2.. .аг + у-.га2.. .аг+ ... +г/-^А + !/-г.
где каждое целое */у. удовлетворяет неравенству 0^#у. <а_у.
Если мы положим у;- = 0 при /^{—г, —г+1, ..., 0}, то A)
переходит в
Ху
(я)-ехр 2ш^Ха0/~%^р
2™ ^ 2- а0ах...аг )
= *.

$ 25. Специальные струшурныё теоремы
511
Используя это и B5.1.9), видим, что характер %г группы Аа,
соответствующий I в ^(а00), определяется формулой
ъ (х) = ехр
= ехр
|_ \/г=0 \5=я
\
л-2
2т ( ^ хп( X 1/-А+1 • • • Я/1-1 +0-Я+1 +
\/г=0 \5 = 0
+ у !Ы_
= ехр
= ехр
при х ^Аа-
2т { ^ адА . •. ап-х ( X
\дг=0
У-л
5=0
а0аг ... а$
2к11
ао#1 ... аг
(х0 + а0хх + ... +а0а± ... аг^хг)
= 1
х0 + а0хг+ . . . +а0ах. . .аг_, *г
B)
B5.3) а-адические соленоиды. Пусть Еа — а-адический
соленоид, описанный в A0.12). По A0.13) группа 2а компактна.
Группа характеров группы КхАа есть /^х2(а°°), где 1 (а00)
определена выше в B5.2). Непрерывные характеры группы
/?хАа суть функции
(|, л:) —>ехр
2т [а\
I
а0а± ...ап
(*о + Д0*1+-
...+а0ах ...ая_1*л))]. A)
где а ^ #, а /—целое число и 0</< а0аг ... ап. По определению
группы Еа в A0.12) и теореме B3.25) непрерывные характеры
группы 2а можно отождествить с функциями A), равными 1 на
A, и). Нетрудно проверить, что допустимыми значениями для а
являются такие, что а-| есть целое число при
некоторой^ ... йп
ром выборе п и /. Поэтому а должно быть рациональным
чистя г, т
лом вида . Более того, если а имеет вид , то,
а0аг ...ап м а0аг ...ап*
для некоторого целого /, 0 <! / < а0аг ... ап, число а-\- т
целое, и A) можно записать в виде
E, х)\-»ехр [2ш (а1—а(х0-\-а0х^-\- .
а0ах
+ а0аЛ . .. а„_л))]:
-ехр [2таЦ — (х0 + а0х1+ .. . +а0аг.. мп^хп))]. B)

612 Гл. ё. Характеры и гйеория двойственности
Таким образом, для данного рационального числа а = -
т
а0аг ...ап
отображение B) определяет непрерывный характер группы 2а,
причем различные значения а дают различные характеры.
Следовательно, имеем топологический изоморфизм группы
характеров группы 2а на [дискретную] аддитивную группу всех
рациональных чисел вида .
г ^ а0ах ...ап
Из теоремы B4.8) вытекает, что группы 2а и Иь
топологически изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны
аддитивные группы
( т
I а0аг ... ап
п = 0, 1, ...; т ^2 > ,
и
{кьгЫ: * = о,1,...; тег}.
B5.4) Дискретная аддитивная группа ф. Группа характеров
дискретной аддитивной группы ф рациональных чисел
топологически изоморфна группе 1>а для любого а такого, что ф
совпадает [или изоморфна] с множеством < — : /г = 0, 1, ...;
теА. Это следует из B4.8) и B5.3).
В частности, если а = B, 3, 4, ...), то 2а есть группа
характеров группы ф, поскольку (^=1^: л = 0, 1, ...; /п^2>.
В этом случае B5.3.2) [с точностью до изменения обозначений],
дает
F, *)*-*ехр [2т^(Ь-(х0 + 21хг+ ... +(п-\Iхп-%))У A)
Рассмотрим фиксированный элемент (^, лг) + ^€2а. По B4.9)
мы видим, что характер % группы ф, соответствующий этому
элементу, есть
х(^) = ехр[2ш^-^о + 2!^+...+(/г-1)!^.Л)]. B)
Заметим, в частности, что %A) = ехр [2ш'|].
B5.5) Следующая характеристика группы характеров группы
($ также впечатляюща. Пусть %—характер группы ф. При
любом п= 1,2, ..., пусть ап = %A/п\). Имеем
^=%Ьп-)=х(Йш)-<*» (^
при я=1, 2, ... Обратно, соотношение A) позволяет построить
некоторый характер группы С}: если {осй}^в1—такая последова-

$ 25. Специальные структурные теоремы
513
тельность в Г, что A) выполнено, то функция % на ()
X (|-) = <. B)
определена однозначно и является характером группы ф; мы
опускаем детали доказательства. Для любого п=^2, 3, ... пусть
/„—такое отображение группы Т на себя, что }п(а)-^ап. Тогда
характеры группы <2 можно отождествить с
последовательностями (а19 а2, ..., а„, ...)^Г^<> такими, что !п(о(,п)=ап_1 при
л = 2,3, ... Группа характеров группы B при этом оказывается
изоморфной некоторому проективному пределу [см. F.13)].
Именно, рассмотрим направленное множество {1,2, ...} и при т<Сп
непрерывный гомоморфизм §пт: Т—>Г, определенный формулой
§Пт{а) = аП1/т1- Согласно E.29), гомоморфизм цпт открыт. [Ясно,
что можно было определить ёпы-1) как (п и вычислить §пт как
некоторую итерацию]. Группа характеров группы ф изоморфна
проективному пределу обратного спектра {1, 2, ...}, Т{п), ёпт,
и Р-топология на группе характеров группы ф согласуется,
легко видеть, с тихоновской топологией на проективном пределе.
B5.6) Дискретная группа вещественных чисел. Чтобы найти
группу характеров группы На, рассмотрим любой базис Ха-
меля Н ъ Я над полем рациональных чисел. Тогда каждое
х € 7? имеет одно и только одно представление в виде [конечной]
п
суммы х--—- 2 а/Ак (ак€С1> й/г€#). Поэтому группа /? алгебраи-
/е=1
чески изоморфна группе фс*. Рассматривая группы B и (Iе*
как дискретные группы, вычисляем по теореме B3.22) группу
характеров группы ()с*. Перенося эти вычисления назад
на На, видим, что группа характеров группы К^
топологически изоморфна Bа)с, где а = B, 3, 4, ...). Можно
описать характеры % группы %а и более непосредственно:
значения характера % на элементах группы Я—произвольные
числа, по модулю равные единице. Числа 5с(уМ , XI "е"^)» •••
у У^( —/м , ... для любого Н^Н определяются в
соответствии с B5.4) или B5.5). Всего существует сс = 2е различных
разрывных характеров группы 7?.
B5.7) Дискретная группа Та* Чтобы вычислить группу
характеров группы Та, рассмотрим ее как факторгруппу Нс1И,
и найдем все характеры % группы Ка, для которых ч{7.)-={\)
B3.25). Выбираем, как в B5.6), базис Хамеля Я в /? над
полем () так, чтобы он содержал единицу, и строим характеры %
группы Ка процессом из B5.6). Именно, числа %(Н) для /г^Я,
17 Э Хьюитт, К. Росс, т. I

514
Гл. 6, Характеры и теория двойственности
Нф\ выбираем в Т произвольно; числа % (гН) при /"^^, Н(~Н
выбираем согласно B5.6). Числа %(—) {п = 2,3, ...)
определяются условиямих^J- 1 и х((^гГ)|)"'1 = х(|]-) ("^2>3> •••)•
Следовательно, группа характеров группы Та топологически
изоморфна группе Bа)с X 01У где а -^B, 3, 4, ...), а Ох —
компактная группа, являющаяся проективным пределом
последовательности копий группы Т с «первым» элементом {1}. Заметим,
что С± есть группа характеров дискретной группы 0/1.
Группу Ох можно описать многими способами. Например,
группа СЦЪ изоморфна Р* Ъ(р™), где Р — множество всех про-
стых чисел (А. 14). Согласно B5.2) и B4.8), группа характеров
группы I (р00) есть А Согласно B3.22), группа
характеров группы СЦ1 топологически изоморфна группе Р А так
реР
что 01= Р Ар.
реР у
Наконец, группа <2/2 изоморфна группе 1(а™) с а =
— B, 3, 4, ...) и потому Ох топологически изоморфна Аа.
Дадим теперь классификацию произвольных компактных
абелевых групп без кручения и компактных абелевых
периодических групп.
B5.8) Теорема. Компактная абелева группа О не имеет
кручения тогда и только тогда, когда она топологически
изоморфна произведению Bа)тх Р Дпр, где Р — множество всех про-
реР р
стых чисел, т, и2, и3, ..., п^, ...-—произвольные
кардинальные числа и а = B, 3, 4, ...).
Доказательство. По B4.23), группа О не имеет кручения тогда
и только тогда, когда ее группа характеров делима. Но всякая
делимая группа имеет вид Р* Н1, где каждый сомножитель есть
либо ф, либо 2(р°°) для некоторого простого р и, конечно,
все такие группы делимы. Остается применить B5.4), B5.2)
и B3.22). ?
B5.9) Теорема. Компактная абелева периодическая группа
топологически изоморфна группе
(О ?2(ЬЬ)9
1€/
где лишь конечное число положительных чисел Ь1 различны, а I —
некоторое непустое множество индексов.
Доказательство. Пусть 0{п)^=\х ^0: хп = е\ (л = 2, 3, 4, ...).
со
Каждое 0Ы является замкнутой подгруппой в С и [] 0{п) = 0.
/1=1

$ 25. Специальные структурные теоремы
515
Как указывалось в E.28), некоторые из 0{п) имеют непустую
внутренность и потому открыты. Для такого С(л) группа С/С(п)
дискретна и компактна и потому конечна. Положим а = С/Сш.
Тогда хап = е для любого х^О. Иначе говоря, порядки всех
элементов из С ограничены. То же самое справедливо и для
дискретной группы характеров X группы О. По (А.25), группа X
изоморфна Р* 2 фъ), где все Ьх ограничены. Осталось сослаться
на B3.27с)'и B3.22). ?
B5.10) Следствие. Пусть О—компактная абелева группа,
не имеющая вида B5.Ш). Тогда каждая окрестность единицы е
в О содержит элемент бесконечного порядка.
Доказательство. Пусть V—любая окрестность единицы е.
Тогда ее замыкание V" компактно, каждая подгруппа 0(я)
00
имеет пустую внутренность, и, по E.28), II @{п) ПУ~)$У'.[]
/1=1
Перейдем к детальному анализу структуры монотетических
групп.
B5.11) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева
группа, X — ее группа характеров. Пусть 8—мноо/сество всех
элементов а^С, для которых Ма = {ап: п^Ъ)~ — О1). Тогда
8 = {х$0: ъ(х)Ф1 для всех Х€Х, %ФЦ.
Группа монотетична тогда и только тогда, когда 8Ф0.
Доказательство. Предположим, что МафО. Тогда по B4.12)
существует характер %о€Х, для которого ^(а)~\ и%0=т=1.
Обратно, если Ма = 0, то характер, для которого %(а) = 1,
должен быть тривиальным. Последнее утверждение очевидно. []
B5.12) Теорема. Существует наибольшая компактная моно-
тетическая группа 00 в том смысле, что любая компактная
монотетическая группа является непрерывным гомоморфным об-
разом группы 00. Далее, каждый непрерывный гомоморфный образ
группы С0 является компактной монотетической группой*
Доказательство. Пусть 00 — группа характеров группы Та$
описанная в B5.7). Если группа О монотетична и компактна
и X — ее группа характеров, то, по B4.32), группу X можно
рассматривать как подгруппу в Та. По B4.11) О топологически
изоморфна группе 00/А @0, X). []
B5.13) Теорема. Дискретная абелева группа О изоморфна
подгруппе в Т4 тогда и только тогда, 'когда р-ранги г^(С)
1) Мы называем элементы множества 5 образующими группы 0.
17*

516
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
группы О равны 0 или 1 для каждого простого /?, а свободный
ранг г0(С) группы О меньше или равен с (А. 12).
Доказательство. Если ранги группы О такие, как указано
в теореме, вложим О в делимую группу Е такую, что г (Е) =
=гр(в) для всех /? = 0, 2, 3, 5, 7, И, ... (А.16). По (А.14)
группа Е изоморфна произведению
(}г0(Е)*х Р* B(р°°)УЕ)).
реР
Мы уже знаем, что группа Та изоморфна произведению
<2С*Х Р* 2(р°°).
реР
Поскольку г0(Я)^с и гр(Е)^\ для каждого простого р,
группа Е и потому О изоморфны подгруппам группы Та.
Очевидно, что гр(О) = 0 или гр@) = \ и г0(О)<с для любой
подгруппы О в Та. []
B5.14) Теорема. Компактная связная абелева группа О мо-
нотетична тогда и только тогда, когда Ш (О) ^ с.
Доказательство. По B4.15) имеем ш@) —X. Поскольку
группа О связна, группа X не имеет кручения B4.25). Поэтому
гр(Х) — 0 для каждого простого р. Если Х<л', то, очевидно,
г0(Х)^с. Если г0(Х)^с, то по B5.13) группа X изоморфна
некоторой подгруппе вТаи потому Х^с. Наконец, по B5.13) и
B4.32) группа О монотетична тогда и только тогда, когда
/•о(Х)<с ?
B5.15) Следствие. Группа Тш монотетична тогда и только
тогда, когда т^с.
Доказательство. Утверждение прямо следует из B5.14) и
того факта, что Ш (Гт) = тах (т, #0).
Действительно, в случае т<!с можно прямо указать
элемент из Тп\ степени которого плотны в Т1П. Представим Тш как
группу всех функций (Ху) на множестве I = {^\ таком, что / = т,
со значениями в Т и рассмотрим базис Хамеля Н в 7? над
ф, для которого 1 € Я.-Рассмотрим, наконец, взаимно
однозначное отображение я|): I —> Н Г) {1У и положим аь = ехр [2ягф (ь)]
для каждого 1^7. Поскольку каждый непрерывный характер
группы Рп представим в виде
(хО^ГХ2—<*
с {4, ..., 1Л}е/ и пи ..., пк&2, только характер 1
отображает (аь) на 1. Из B5.11) вытекает таким образом, что (аО-^
образующая для Тш. Р

$ 25. Специальные структурные теоремы
517
Для последовательности দ-¦¦-¦ (а0, #,, . ••) целых чисел,
больших, чем 1, группа Дя есть бесконечная нульмерная
компактная монотетическая группа [см. A0.5) и A0.6)]. Мы покажем, что
это — единственная обладающая указанными свойствами группа.
B5.16) Теорема. Пусть О—бесконечная топологическая группа.
Следующие условия эквивалентны:
(\) группа О — нульмерная компактная монотетическая
группа;
(и) группа О топологически изоморфна некоторой группе Аа\
(ш) группа О топологически изоморфна прямому
произведению Р Лр, где Р—множество всех простых чисел, а каждое Ар
реР И
есть либо {е}, либо 2{ргр) [гр—некоторое положительное
целое], либо Ар.
Доказательство. Утверждения A0.5) и A0.6) позволяют
вывести @ из (и).
Предположим, что О—нульмерная компактная
монотетическая группа; будем доказывать утверждение A11). Согласно
B4.26) и B4.32), группа характеров X группы О может
рассматриваться как периодическая подгруппа в 7^. Следовательно,
всякий р-примарный прямой сомножитель Х^ группы X (А.З)
является подгруппой группы 2 (р°°). Поскольку все собственные
подгруппы в 2>{р™) являются конечными циклическими
группами порядка, равного степени числа р, то Х= Р* В , где
реР
каждый сомножитель Вр есть либо \е\, либо 2 (ргр), либо 2(р°°).
Теорема B3.22) показывает, таким образом, что 0= Р А , где
реР
каждый сомножитель Ар есть либо {<?}, либо 2(ргя), либо Д
Наконец, рассмотрим прямое произведение Р А0, как оно
реР л
описано в A11). Пусть, далее, Рх = {р ^Р: Ар = Ар\ и Р2 = \р ^Р:
Ар = 2(ргр) для некоторого гр^1\. Легко видеть, что
существует последовательность а = (а0> аг, а2, .. .) простых целых чисел,
содержащая бесконечно много чисел р для каждого р^Р19
в точности гр чисел р для каждого р^Р2 и не содержащая
никаких других р. Для того чтобы доказать топологическую
изоморфность групп Да и Р Ар1 достаточно показать, что группа
реР
2 (а°°) изоморфна группе Р*В„ где каждое В^ есть либо \е\,
реР
либо 2(ргр)у ляб(Р12(р*) соответственно тому, есть ли Ар группа
\е\у 2{ргр) или Др. Поскольку 1 (а")—периодическая группа,
мы можем применить утверждение (А.З). Если р€^и т0
элементы в 1 (а ) ^порядка, равного степени /?, суть в точности

518
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
числа вида ехр
РеЯя, Т(
вида ехр
2ш-^- , т.е. образуют группу 2(р°°). Если
р^Р2, то_ элементы порядка, равного степени р, суть числа
-^И , где п^гр, т. е. образуют группу 2(ргр).
Если р^РгЦР2, то ни один элемент из 2 (а°°) не имеет своим
порядком степень р. Следовательно, группа 2 (а°°) изоморфна
Р* В,. ?
реР
B5.17) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа, а
С—компонента ее единицы. Группа О монотетична тогда
и только тогда, когда Ю (С) ^ с, а группа О/С есть [компактная
абелева] группа вида Да.
Доказательство. Если группа О монотетична, то, очевидно,
№ (О) = X <си группа О/С монотетична. По G.3) и C.5), группа
О/С нульмерна. Следовательно, она имеет вид Аа по B5.16).
Обратно, предположим, что условия на О и О/С выполнены.
Очевидно, свободный ранг г0 (X) группы X не превышает
Х^ш(С)<с. Группа характеров группы О/С является
периодической частью Ф группы X [см. B4.20)], и поскольку
О/С имеет вид Р Ар B5.16), либо г/?(Ф)==0, либо гр(Ф) = \ для
реР
каждого р. Поскольку гр(Ф)=гр(Х) для каждого простого /?,
B5.13) и B4.32) показывают монотетичность группы О. []
Опишем теперь компактные солеиоидальные группы,
определенные в (9.2).
B5.18) Теорема. Пусть О—компактная абелева группа, а
X—ее группа характеров. Следующие условия эквивалентны*
@ группа О соленоидальна;
(И) группа О связна и Ш@)^с;
(III) группа X изоморфна подгруппе группы Ка;
(IV) группа X без кручения и Х^с;
(у) группа X без кручения и г0'(Х)^сх).
Доказательство. Предположим, что A) выполнено. Пусть
Ф—непрерывный гомоморфизм группы 7? на плотную подгруппу
группы О. Любой характер ^^Хгвполне определен своими
значениями на ф(/?) и%оф есть непрерывный 'характер
на Я для каждого %^Х. Если %г и %2 — различные характеры
на ф(/?), то очевидно, что %х о ф и %2 о ф—различные
характеры на К. Отображение %»—>%° Ф осуществляет, следовательно,
изоморфизм группы X в группу характеров группы /?, т. е. в /?
B3,27е), так что A11) выполнено.
г) Как в B5.13), г0 (X) означает свободный~ранг~ группы X.

$ 25. Специальные структурные теоремы 519
Предположим теперь, что A11) выполнено и что г: Х—~уКа —
некоторый изоморфизм. Для каждого а^Я отображение
%у->ехр [/сбт(%)] является характером группы X и, по B4.8),
существует единственная точка ф(аNб» для которой
ехр Gост(%)] =х(Ф (а)) Для кажДОГО %(ЕХ. Легко видеть, что ф
есть непрерывный гомоморфизм группы Я в О, именно,
сопряженный гомоморфизм к гомоморфизму т. Если ф (Я) не плотно
в О, то существовал бы характеру €Х такой, что %0 (ср (/?)) = {1}
и %0ф1. Поскольку т—изоморфизм, имеем т(%0L^0 и потому
ехр [7а0т (%0)] Ф 1 для некоторого а0^#. Это противоречие
доказывает A).
Поскольку группа /?4 изоморфна группе фс*, эквивалентность
условий A11), (IV) и (V) прямо следует из (А. 16) и (А. 14).
Эквивалентность условий A1) и (IV) следует из B4.15) и B4.25). \\
Теорема A0.13) показывает, что а-адические соленоиды,
определенные в A0.12), суть соленоидальные группы.
Следующий результат аналогичен теореме B5.12).
B5.19) Теорема. Группа Bа)с, где а = B, 3, 4, ...), является
наибольшей компактной соленоидальной группой: топологическая
группа О является компактной соленоидальной группой тогда
и только тогда, когда О есть непрерывный гомоморфный образ
группы Bа)с.
Доказательство. Утверждение прямо следует из B5.18) и
B4.11), поскольку группа характеров группы ЯЛ топологически
изоморфна группе (Еа)сB5.6). []
B5.20) Теорема. Локально компактная абелева группа связна
тогда и только тогда, когда наименьшая замкнутая подгруппа Н
в Оу содержащая все однопараметрические подгруппы, совпадает с О.
Доказательство. Пусть С—компонента единицы е в О. Тогда С
содержит все однопараметрические подгруппы в О и потому
СзЯ. Так что С = 0, если Я = С.
Обратно, предположим, что группа О связна. По (9.14) О
топологически изоморфна КпхР, где Р—некоторая компактная
связная абелева группа. Если подгруппа, порожденная одно-
параметрическими подгруппами в Р, плотна в Р, то то же самое,
очевидно, верно и для КпхР. Таким образом, мы можем
предположить, что группа О компактна и связна. Пусть X — ее группа
характеров. Предположим теперь, что НфО. Тогда найдется
такой характер %0^Х, что %0(Н) = \1\ и %0ф1. В силу
связности группы С характер %0 имеет бесконечный порядок B4.25),
и найдется такой вещественный характер т группы X, что
%(%о)Ф® B4.34). Далее, для каждого а^К отображение
%н->ехр [1ах (%)] является характером группы X и потому
Х(Ф (а))=ехр [7ат(х)], где ф: /?--*С— некоторый непрерывный

520
Гл. 6. Характеры и пХеория двойственндспШ
гомоморфизм. При х^Хо получаем %0 (<р (а)) = ехр [/ат(%0)] и,
поскольку % (х0)=7^0, найдется число а0^К такое, что %0 (ф (а0))^1.
В то же время ср(/?) — однопараметрическая подгруппа в 0 —
получили противоречие. []
Дадим теперь полное описание алгебраической структуры
компактной абелевой группы. Нам потребуется для этого одна
лемма, интересная и сама по себе.
B5.21) Теорема. Пусть Я—компактная абелева группа,
являющаяся сервантной подгруппой в некоторой абелевой группе О.
Тогда Я алгебраически является сомножителем в С: группа С
изоморфна Нх@/Н).
Доказательство. Мы подчеркиваем, что прямое произведение
Нх@/Н) мы рассматриваем не топологическое: группа О вообще
может не иметь никакой топологии. Пусть А — подмножество
в О, содержащее в точности по одному элементу из каждого
класса смежности хН. Легко доказать, что С допускает Я как
прямой сомножитель тогда и только тогда, когда А можно
выбрать подгруппой в Я. Действительно, если Л есть подгруппа
в О, то НА = 0 и Н(]А^=\е}у так что можно применить B.4).
Обратное очевидно. __
Для только что описанного А пусть а = Л; рассмотрим
компактную группу Я\ которую мы будем записывать Р Яы,
аеЛ
где каждый сомножитель Н{а) равен Я. При (ха)^На пусть
Ф((ха)) есть множество {ах*1: а^А\. Легко видеть, что Ф ((яд))
содержит по одному элементу из каждого класса смежности хН
и что всякое множество, содержащее по одному элементу из
каждого класса смежности хН, может быть получено из
некоторого фиксированного А как некоторое Ф{(ха)). Далее, для
такой подгруппы О0аО, что ЯсО0сО, пусть 4я (О0) есть
множество всех (ха)^На таких, что Ф((ха))Г\С0 есть подгруппа
в С0. Как указано выше, множество Ф" (О0) непусто тогда
и только тогда, когда Я есть прямой сомножитель в О0.
Для данных а, Ь^А и (ха)^Нй рассмотрим (ах*1) (Ьх^1). Этот
элемент принадлежит некоторому классу смежности сН, где
с ^ А определяется элементами а и Ь. Таким образом, (ха) ^ Ч (О0)
тогда и только тогда, когда {ах~х) (Ьх^1) =сх~х для любых
ау Ь^А(]О0. Это условие эквивалентно условию хахъх^х ^аЬс~х.
Следовательно, *Р (С0) является замкнутой подгруппой в Нл.
Пусть {Оь}^/—семейство всех подгрупп в О таких, что
На01с:0 и группа 01/Н конечно порождена. Очевидно, что
0= I) 0Ь и что для любого {ц, . . ., 1„}с:/ найдется такой индекс
1 е/,' что 01й=>011[}...ца1 . Также имеем гГ (С) = п V @,).
П 16/
По (А.27) и (А.22) подгруппа Я является прямым сомножите-

$ 25. Специальные структурные теоремы
521
лем каждой группы Сь; иначе говоря, ЧГ(О1)=^0 для каждого
ь$1. Отсюда прямо получаем, что Г) Ч? {О\,)Ф0, поскольку
19.1
группа На компактна. Следовательно, Т (О) непусто, и Н есть
прямой сомножитель в СО
B5.22) Теорема. Пусть О—компактная нульмерная абелева
группа. Тогда алгебраически группа О изоморфна произведению
(О Р [Д> Р 2(/')],
где Р есть множество всех простых чисел, ар—произвольное
кардинальное число [возможно, равное 0], 1р—произвольное
множество индексов [возможно, пустое] и все гь суть положительные
целые числа. Всякая группа вида (\) [топологически] изоморфна
компактной абелевой группе.
Доказательство. Пусть X, как обычно,—группа характеров
группы О. Тогда X является периодической группой и,
следовательно, слабым прямым произведением своих р-примарных
компонент Х^ (А.З). Согласно B3.21) и B4.8), группа О
топологически изоморфна полному прямому произведению Р Нр,
реР
где Нр—группа характеров группы Хр. Мы можем,
следовательно, ограничиться рассмотрением случая, когда группа X
сама является /7-примарной для некоторого простого р. Согласно
(А.24), группа X тогда содержит подгруппу В такую, что:
В изоморфна слабому прямому произведению
Р*2(/Л); A)
В сервантна в X; B)
Х/В делима. C)
Рассмотрим теперь подгруппу А (О, В) в О. Поскольку B) и C)
выполнены, из B4.46Ь) следует, что подгруппа А (О, В)
сервантна в О, а поскольку А (О, В)—компактная группа, B5.21)
показывает, что она является прямым сомножителем в группе О,
поэтому О алгебраически, хотя, вообще говоря, не топологически,
изоморфна произведению А (О, В)х(С/А (О, В)). Группа А (О, В)
топологически изоморфна группе характеров группы Х/В. Ввиду
C) и предположения р-примарыости группы X, факторгруппа
Х/В есть слабое прямое произведение 2(р~)ар* (А. 14). Ее группа
характеров есть поэтому полное прямое произведение А я. Группа
01А (О, В) топологически изоморфна группе характеров группы
А(Х, А (О, В))=В. Ввиду A) группа О/А (О, В) топологически
изоморфна Р 2Г(/Л). Следовательно, группа О алгебраически
имеет вид A).

522
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Последнее утверждение тривиально: рассматривая Ар с
обычной топологией и 2(/Л) с дискретной топологией, мы видим,
что каждая группа A) является компактной. []
B5.23) Теорема. Пусть О — связная компактная абелева группа
и )х>(С)=т. Тогда О алгебраически изоморфна произведению
(О <32т*Х Р* 1(р~)ъР*>
реР
где Р—множество всех простых чисел, а каждый кардинал Ьр
конечен или равен 2гр для некоторого бесконечного кардинала
е/7<ш.
Доказательство. Поскольку группа О связна и компактна,
ее группа характеров не имеет кручения, а сама группа О
делима B4.25). Из теоремы (А. 14) вытекает поэтому, что группа О
изоморфна слабому прямому произведению
С«*Х Р2(р")ьр*. A)
реР
Мы должны показать, что п и Ьр—такие, как описано в
формулировке теоремы.
Начнем с нахождения Ьр для фиксированного простого
числа р. Рассмотрим группу Х/Х(^, где Х{р) = {%р: %^Х\ (А.2).
Все элементы этой группы, кроме единицы, имеют своим
порядком число р [заметим, что р—простое]. Следовательно, Х/Х(^
есть слабое прямое произведение 2(р)е/>*, где гр—некоторый
кардинал [возможно, нуль] (А.25) [полагаем ея = 0 тогда
и только тогда, когда X = Х(^]. Поскольку группа 2 (рУр *_имеет
мощность рсру если гр < #0, и ер, если гр^80, то е/7^Х=т.
По B4.22) имеем 0{р) = А (О, Х(^), и потому группа 0{р)
топологически изоморфна группе характеров группы Х/Х(^.
Поскольку число р—простое, 6(р) есть в точности подгруппа всех
элементов порядка 1 и р. Группа характеров группы 2 (р)У* есть
2(р)ер, и потому в О существует в точности ргр элементов
порядка 1 и р. В группе A), очевидно, существует рьр элементов
порядка 1 или р, если Ьр конечно, и Ьр таких элементов, если
Ьр бесконечно. Следовательно, Ьр = гр, если Ьр конечно, и Ьр~
= рер = 2еру если Ьр бесконечно.
Покажем теперь, что кардинал и в A) должен быть равен 2т.
Пусть^30—максимальное независимое подмножество в X (А. 10);
т. е. В~0 = г0(Х). Пусть, далее, В1 — наименьшая подгруппа в X,
содержащая В0. Тогда В.,—свободная абелева группа,
изоморфная 2Г°(Х)'". Для любого %6Х, %ф\, найдутся ненулевые
целые числа /?., тп т2, ..., т3 и элементы г]),, я|J, . ..,г|^(=В0
такие, что у^1 = ^1^!^ ... г|/5"з. Если мы сопоставим характеру %

$ '26. Специальные структурные теоремы 623
конечные последовательности (а^, ..., чр3) элементов из В0 и
(т1 т*\
( — , ...,—*- ненулевых рациональных чисел, то у ими един-
ственным образом определено; это справедливо в силу того,
что группа X не имеет кручения. Следовательно, № @) = т = Х =
= тах (#0, г0 (X)). Группа характеров группы Вх есть ГГ°(Х).
Стандартные вычисления показывают, что свободный ранг
группы ТГ°(Х) равен с/'о(Х) = B^о)го(Х)=2^^о(Х) ^2тах (**<>' /,о(Х})==2т.
Поскольку Вх есть подгруппа в X, группа характеров Тг°(Х)
группы Вг топологически изоморфна О/А (О, В^. Следовательно,
п = г0(С)>г0(О/Л(С, В1)) = 2». Поскольку 5 = 2™ B4.27), мы
должны иметь п^2ш. []
B5.24) Теорема. Пусть т—бесконечное кардинальное число,
а Ь2, Ь3> Ьб, Ь7, 6П, ...—кардинальные числа, удовлетворяющие
ограничениям B5.23). Тогда существует компактная связная абе-
лева группа 0 веса тл, алгебраически изоморфная группе B5.231).
Доказательство. Пусть р—произвольное простое число, а Ьр—
аддитивная группа всех рациональных чисел вида т/п, где
т—произвольное целое число, а п — ненулевое целое число,
взаимно простое с р1). Пусть 1р = Ър, если Ьр конечно, и ср = гр,
если Ьр бесконечно и потому равно 2е/7. Пусть, далее,
X—дискретная группа ( Р* Ьср* )хBт*. Если Ьр—[возрастающая]
\рер )
последовательность всех целых чисел, больших, 1, взаимно
простых с р, и а -- -~BУ 3, 4, .. .), то группа характеров, скажем
С, группы X топологически изоморфна/' Р 2С/Лх2а1. Поскольку
Х = ш, мы имеем го(С) = Х = т, и из теоремы B4.25) вытекает
связность группы О. Очевидно, мы имеем тогда г0(С)^СГ=2от.
Поскольку (} делима, ее группа характеров 2а не имеет
кручения B4.23), и потому 2'" = с« = B?) =тах (#0, г0B™))-
= г0Bа)<>о@). Поскольку группа О делима B4.25), она
является слабым прямым произведением экземпляров групп (?
и 2(р°°) для простых р, причем число экземпляров группы ($
в точности равно г0@) = 2т. Как и в доказательстве B5.23),
чтобы убедиться, что разложение группы О содержит Ьр
экземпляров группы 2(р°°), нам нужно только показать, что группа
Х/Х(^> изоморфна 1(р)ср*. Если ^ — простое, отличное от р, то
ЦР)=Ьду как легко видеть, и, конечно, (}(р) = С1. Следовательно,
группа Х/Х(^ изоморфна группе (Ьр1Ь^)ср *'. Пусть п взаимно
г) Использованная здесь конструкция принадлежит Пирсу (К. 5. Р1егсе)
устное сообщение.

524 Гл. 6. Характеры и теория двойственное ты
просто с р, ?а целое т—любое. Существует единственное
к ^{0, 1, ..., р — 1} такое, что т—пк кратно р. Значит, каждый
класс смежности группы Ьр по Ьрр) содержит одно такое к
и группа Ьр/Ь^ изоморфна 1{р). Следовательно, группа Х/Х(р)
изоморфна.группе 2 (/?) V*. []
Теоремы B5.22) — B5.24) можно объединить, чтобы дать
полную характеристику алгебраической структуры компактных
абелевых групп, в следующую теорему.
B5.25) Теорема. Пусть Р—множество всех простых чисел.
Для любого р^Р пусть ар—произвольное кардинальное число,
возможно, равное 0; I р—произвольное множество индексов,
возможно, пустое', гь—произвольное положительное целое число для
каждого К^1р. Пусть, далее, п— некоторый кардинал такой,
что либо п = 0, либо п = 2ш для некоторого бесконечного
кардинала нт. Пусть, наконец, Ьр— некоторый кардинал, не
превосходящий и, либо конечный, либо имеющий вид 2е/> для
некоторого бесконечного кардинала е^^ш. Тогда всякая компактная
абелева группа алгебраически изоморфна группе
A) Р [А>хР2(/1)]х Р* 2(р")ьр* хB«*.
Р^р ье1р Р*р
Обратно, каждая группа (I) алгебраически изоморфна
некоторой компактной абелевой группе.
Доказательство. Пусть О— компактная абелева группа. Тогда
компонента С ее единицы е является наибольшей делимой
подгруппой в О B4.24) и потому является алгебраически прямым
сомножителем в О (А.8). Таким образом, группа О изоморфна
@/С)хС. Поскольку С есть связная компактная группа, она
изоморфна группе B5.231). Поскольку О/С нульмерна [G.3),
E.22) и C.5)], то она изоморфна группе B5.221). Поэтому О
изоморфна группе A). Обратно, любая группа вида @
изоморфна прямому произведению двух компактных групп, как
показывают B5.22) и B5.24).?
Дополнительные теоремы и примеры
B5.26) Характеры группы С}, (а) Если группа ф снабжена
топологией как подпространство в /?, то всякий непрерывный
характер группы ф имеет вид г н-> ехр (иу) для некоторого у ^ /?.
[С помощью B3.30) каждый непрерывный характер группы С}
может быть продолжен непрерывно па 7?.]
(Ь) Пусть Еа — группа характеров группы ф, как в B5.4),
и а = B, 3, 4, ...). Группа Еа топологически изоморфна топо-

$ 25. Специальные структурные теоремы 625
логической группе [0,1)хАЛ, описанной в A0.15). Пусть
подгруппа Я в [0, 1)хА« состоит из всех тех элементов (^, л:),
для которых либо хп^=0 не более чем для конечного числа
индексов /г, либо хпФп-\-\ не более чем для конечного числа
индексов п. [Я есть плотная подгруппа <р(/?х{0}), описанная
в доказательстве A0.13)]. Тогда Я состоит из тех и только тех
элементов в 2а, которым соответствуют непрерывные
[относительно топологии, наследуемой из к] характеры группы (^].
[Доказательство стоящего в скобках замечания просто, и мы
его опускаем. Предположим, что (§, х)^[09 1)хА« и что хп = 0.
при п^п0. Пусть х—характер группы B, соответствующий
элементу (|, х)у и пусть * = !¦ — (х0-\-2\хх-\- .. • +д0!л:я0-1).
Используя B5.4.2), находим, что % (г) = ехр [2ш7г] для каждого ^^^,
откуда и следует непрерывность %. Поскольку непрерывные
характеры образуют группу, каждый элемент в Я отвечает
некоторому непрерывному характеру.
Рассмотрим теперь непрерывный характер % группы ф такой,
что %(г) = ехр [2пНг] для каждого г^(), где I есть некоторое
неотрицательное вещественное число. Тогда для некоторых
значений ^ в [0, 1) и некоторой последовательности {х0У х1У ..., хПо-г\
целых чисел с 0 ^ху^/4-1 имеем { = %—(х0-\~2\ хх+... +п01хПо-1).
Если положить х;- = 0 при /^я0, то характер %,
соответствующий элементу (§, лг), удовлетворяет требуемому соотношению
%(/*) = ехр [2лИг] при г(=<2. Поскольку Я есть группа, каждый
непрерывный характер группы ф соответствует некоторому
элементу в Я.]
(с) (Халмош [1].) Группа характеров 2а группы B
алгебраически изоморфна аддитивной группе 7? [а = B, 3, 4, .. .)]•
[Согласно B4.23), группа Еа делима и не имеет кручения. По
теореме (А. 14) она алгебраически изоморфна слабому прямому
произведению некоторого числа копий группы <?. Поскольку
мощность Еа равна с, нужно именно с копий. С другой стороны,
группа /? имеет тот же вид; поэтому группы 2« и /? изоморфны.
С помощью этого изоморфизма в группу 7\? можно ввести
топологию, превращающую ее в компактную абелеву группу.]
(ё) Группа характеров 2« группы ф связна, но не является
объединением своих однопараметрических подгрупп. [Каждый
вещественный характер группы ф имеет вид г\—>1г для
некоторого 1аК. Если бы 2а была объединением однопараметриче«
ских подгрупп, то, по B4.43), каждый характер группы ф имел
бы вид гь->ехр [#г], 1^Н. Но это, конечно, неверно; см.,
например, (Ь).]
(е) Существует такой характер % группы /?, что число %(х)
имеет бесконечный порядок в Т для каждого хфО. Такой
характер % обязательно разрывен; см. B3.27е). [Пусть Я—базис
Хамеля для ^ над () и я(=Я. Пусть т—некоторое взаимно

526 Гл. в. Характеры и теория двойственности
однозначное отображение множества // на Н{\{п\'. Пусть,
далее, %—характер группы Я такой, что %(гк) = ехр (ьгх (к)) при
к^Н и г(^С1. Число а^Т имеет конечный порядок тогда и
только тогда, когда а^ехрBш'5) для некоторого з^Ф-
Предположим, что х^Я и %{х) = ехр Bш'5). Записывая я = /-1/11+-..
• • • -I- г,Лл» где Ну € II и г у € <2, имеем ехр [I (Гу% (к±) + . . . +
-\ гшт(кгп) — 2я$)] —1. Таким образом, для некоторого целого к
получаем гх% (кх) -|- . . . -|- гтх (кт) — я B5 -|- 2к) = 0. Следовательно,
гг= . . . =гт и потому х — 0.]
B5.27) Образующие монотетических групп (Халмош и Самель-
сон [1]). (а) Пусть О — компактная связная абелева группа
счетного веса №(О) = #0, и пусть 5—множество всех ее
образующих B5.11). Тогда множество «5 Я-измеримо и ЯE) = 1. [Пусть
X—группа характеров группы О. В силу ш(О) = #0 группа X
счетно бесконечна: Х = {1, %и %2, %ЗУ ..., %п, ...}. Положим
Нп = {^€С; Хп(х)—Ц- Тогда Нп есть замкнутая подгруппа в О,
причем, в силу связности С, факторгруппа 0/Нп бесконечна.
Следовательно, Х(Нп) = 0 и потому X ( Г) Н'п) = \. Из B5.11) вы-
оо
текает, что 5= П Н'п.]
/1=1
(Ь) Условие го(С) = #0 в (а) существенно: множество 5 может
не быть ^-измеримым для произвольной компактной связной
монотетической группы. [Рассмотрим любую группу Тт с 1?0<
<т^с; воспользуемся ее описанием из B5.15). Из B5.11)
легко вывести, что элемент (аь) из Т'тогда и только тогда
принадлежит 5, когда аь=ехр [2я/7с], где все числа 11 различны,
а множество]/,; 1^ ^}1){Н рационально независимо. С помощью
A6.131) убеждаемся, что Х(р) — 0 для любого компактного
подмножества Р а 5, поскольку 5 с: {(х^: хьФ —1 при I ^/}.
Предположим теперь, что в 5' существует компактное
подмножество Р с А, (/")>(). Рассуждения, примененные в A6.131) и
A9.30Ь), показывают существование такого Я-измеримого
подмножества й а Р с А,ф)>0, для которого
выполнено.следующее свойство: существует счетное подмножество 2с/ такое,
что из (х^^Оу (уь)€Тт_п хь = у1 при 1^2 вытекает (#ь) € О.
Пусть я2 есть определенная в F.8) проекция. Тогда множество
я2ф) имеет в Р ГA) меру, равную А, (О). Значит, я2 (И) содер-
162
жит некоторую образующую (а1Iеъ из Р Та) [см. (а)], которую
1е2
можно продолжить до образующей (аьIе/ в Тт. Следовательно,
Эф 8'у что противоречит выбору Э.]
(с) Группа 2(рг) имеет рг—р1 образующих, поскольку
конгруэнция ах = Ь (той рг) имеет решение х для каждого Ь

,? 25. Специальные структурные теоремы
527
отличный от
тогда и только тогда, когда а и рг> а потому аир, взаимно
просты. Таким образом, мера множества образующих группы
2(рг) равна 1 — 1//?. Рассмотрим, далее, группу Д^. Из A0.16а)
следует, что множество 5 образующих группы А^ есть Л^. Мера
Лх в А^ равна 1/р (см. A5.17к)], так что ЯE) = 1 —1//7.
Рассмотрим теперь произвольную нульмерную компактную моно-
тетическую группу, записывая ее Р Ару где каждый сомножитель
Ар описан в B5.16). По B3.21) каждый непрерывный характер
группы Р Ар, отличный от тривиального, имеет вид (хр)\—>
р&р
*-*%рЛхр)---гР1(Хр)* где {р19 ..., рь} — некоторое непустое
подмножество множества простых чисел, для которых АрФ{е) и
все 1р% суть непрерывные характеры групп Ар,> отличные от 1.
Пусть 5^—множество всех образующих группы Ару а
50—множество образующих группы РА. Из B5.11) и предшествую-
реР
щих двух предложений ясно, что 50 с: Р 5 С другой стороны,
рея у
если (х ) ^ Р 8ру а %—непрерывный характер группы Р Ар,
р реР реР
т° X ((*/>)) = ехР [2ш'("^+ ••• + ~^\1 >гДекаж-
дое а1 взаимно просто с р] [см. B3.27с) и B5.2.2)]. Поскольку
простые р] все различны, /егко видеть, что %((хр))Ф\. Таким
образом, 50= Р 8Р, и потому ^E0)= ХТ ( 1 )» причем про-
реР р еР\ Р I
изведение берется по всем таким простым /?, что АрФ{г). Поскольку
2^ ~ = оо, мы можем выбрать Ар так, что А,E0) есть любое
реР Р
число в интервале [0, 1).
B5.28) Еще о Аа и X{а™), (а) Пусть а = (а0У а1У а2У ...) —
произвольная последовательность целых чисел, больших 1.
Пусть, далее, Рг — [возможно, пустое] множество всех простых
чисел р таких, что для каждой степени рп найдется такое &,
что рп\а0а1 ... ак. Пусть, наконец, Р2—[возможно, пустое]
множество всех простых чисел, не принадлежащих Рг и
делящих некоторое число а0ах ... ак. Для р^Р2 пусть гр —
наибольшая степень числа р такая, что ргр \ а0аг ... ак для
некоторого к. Тогда группа Аа топологически изоморфна группе
Р А;Х Р 2,{ргр). В то же время группа 2 (а00) изоморфна
реР1 р€Р2
группе Р* 2(/?°°)х Р* %(рГр)' [Доказательство—такое же, как в
Р^Рх РвР2
теореме B5.16).]

528 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
(Ь) Пусть а = (а0, аи а2, ...) и Ь = (Ь0, Ь1У Ь2У
...)—произвольные последовательности целых чисел, больших чем 1.
Следующие условия эквивалентны:
(I) Аа и Л*, топологически изоморфны;
(II) Аа и Аь алгебраически изоморфны;
(III) 1 (а00) и 1 Fе0) изоморфны;
(IV) I (а00) -2 Fе0);
(у) для каждой степени простого рг, рг делит некоторое
а0а± ... ак тогда и только тогда, когда оно делит некоторое
Ь0Ьг ...Ьь.
[По теореме двойственности B4.8), A) и A11) эквивалентны.
Очевидно, что из-A) вытекает (п) и что из (IV) вытекает A11).
Легко проверить, что из A11) вытекает (V) и что (IV) и (V)
эквивалентны. Достаточно, таким образом, показать, что из (И)
вытекает A11). Доказываем от противного. Если группы 1 (а00)
и Ъ (й00) не изоморфны, то, для некоторого простого /?, /7-примар-
ные сомножители групп 1 (а00) и 2(&°°) различны.
Следовательно, соответствующие сомножители групп Аа и Аь различны.
Если Х(рг) — сомножитель группы Аа, а А 2(р8) или {е} —
соответствующий сомножитель в Аь, 5 < г, то Аа содержит
элемент порядка рг, а Аь не содержит таких. Если же А есть
сомножитель группы Аа, а {^} — соответствующий сомножитель
в А,, то А^$Аа и А{ЬР) = АЬ.]
B5.29) (Браконье [1], стр. 41.) Пусть С — локальная
компактная абелева группа такая, что каждый элемент из С,
отличный от е, имеет порядок /?, где р — некоторое фиксированное
простое число. Тогда О топологически изоморфна группе
(!) 2{рГх2{рУ«у
где тп и тт—произвольные кардиналы, 2>(р)т рассматривается
с ее обычной топологией, а 2(р)п*—с дискретной топологией.
Обратно, всякая группа вида A) является локально
компактной абелевой группой и каждый элемент в ней, за
исключением единицы, имеет порядок р. [По B4.30) группа О содержит
компактную открытую подгруппу Я. По B5.9) Я топологически
изоморфна группе 2(/?)тдля некоторого кардинала т. Для
любых'х^Я и взаимно простого с р целого числа к найдется
такой элемент у^Ну что ук = х. Следовательно, подгруппа Я
сервантна в О и алгебраически является прямым сомножителем
группы С B5.21). Легко видеть, что Я, будучи открытой,
является также топологическим прямым сомножителем группы О
F.22а). Поскольку С/Н дискретна и абелева и все ее элементы,
за исключением единицы, имеют один и тот же порядок /?, то она
изоморфна группе %(р)п* для некоторого кардинала п (А.25).]

$ 25. Специальные структурные теоремы
529
B5.30) Замечания о прямых сомножителях, (а) Пусть X —
дискретная абелева группа, а У— подгруппа в X такая, что
факторгруппа Х/У изоморфна 2Л * для некоторого ненулевого
кардинала а. Тогда У есть прямой сомножитель группы X:
группа X изоморфна произведению Ух (Х/У). [Поскольку
факторгруппа Х/У без кручения, подгруппа У, очевидно, сер-
вантна в X. Остается применить (А.22).]
(Ь) Пусть О—компактная абелева группа, а Я—ее
замкнутая подгруппа такая, что факторгруппа С/Яне имеет кручения.
Тогда Я является топологическим прямым сомножителем
группы С: группа О топологически изоморфна Нх(С/Н). [Пусть
X — группа характеров группы О. Тогда А(Х, Я), будучи
изоморфной группе характеров группы О/Я,%'делима B4.23)
и потому является прямым сомножителем в Х:|хруппа X
изоморфна А(Х, [Я)хВ, где В — подгруппа в X (А.8).
Следовательно, группа В изоморфна Х/А(Х, Я), так что В изоморфна
группе характеров группы Я. Таким образом,Ч? топологически
изоморфна @/Я)хЯ.]
(с) Пусть О—локально компактная абелева группа без
кручения, а С—компонента ее единицы. Тогда С является
топологическим прямым сомножителем в О. [Предположим
сначала, что О содержит компактную открытую подгруппу Я.
Согласно G.8), С является подгруппой в Я и также компактна.
По B5.8) Я топологически изоморфна группе 2„х Р А)Х и С
Р<зР
топологически изоморфна 2™« Поэтому С есть топологический
прямой сомножитель в Я, и существует непрерывный
гомоморфизм я: Н—+С, сужение которого на С является тождеством.
Поскольку группа С делима B4.25), гомоморфизм я допускает
продолжение я' на С, являющееся гомоморфизмом С на С и,
конечно, тождественное на С (А.7). Поскольку гомоморфизм я
непрерывен на открытой подгруппе Я, гомоморфизм я'
непрерывен на всей группе О. По F.22а) С является
топологическим прямым сомножителем в О.
Переходим к общему!случаю. Пользуясь теоремой B4.30),
представим группу О в виде #пхОи где 03 содержит
компактную открытую подгруппу [и, очевидно, не имеет кручения].
Пусть С, — компонента единицы в Ог. Тогда группа О
топологически изоморфна КпхС1х@1/С-1) и, как легко видеть, ЦпхС1
является компонентой единицы в КпхС1х@1/С^).]
B5.31) Подгруппы 7° как прямые множители. Идея,
использованная при доказательстве теоремы B5.21), может быть
употреблена также, чтобы доказать, что подгруппы ТЛ являются
топологическими прямыми сомножителями локально компактных
абелевых групп.

530
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
(а) Пусть О — компактная абелева группа, а—ненулевой
кардинал, и группа О содержит подгруппу Я, топологически
изоморфную ТЛ. Тогда Я замкнута, а группа О топологически
изоморфна группе Нх(С/Н). Коротко эту ситуацию мы можем
описать так: подгруппы Та являются прямыми сомножителями.
[Поскольку компактные подмножества замкнуты в хаусдорфо-
вых пространствах, Я является замкнутой подгруппой в О.
Пусть X и Г—группы характеров групп О и Я соответственно.
Тогда Г изоморфна Х/А (X, Я) и также группе 2а* . Согласно
B5.30а) группа А(Х, Я) является прямым сомножителем в X:
группа X изоморфна группе А(Х, Я)хХ/А(Х, Я) и потому
группе А (X, Я) х Г. Если мы рассмотрим группу С как группу
характеров группы X и используем B3.18) и B3.25), то мы и
получим, что О топологически изоморфна @/Н)хН.]
(Ь) Пусть О — локально компактная абелева группа,
содержащая подгруппу Я, топологически изоморфную Та для
некоторого ненулевого кардинала а. Тогда Я является
топологическим прямым сомножителем в О. [По B4.30) группа О
топологически изоморфна КпхС0, где О0—некоторая локально
компактная абелева группа, содержащая компактную открытую
подгруппу Р. По (а) подгруппа Я является прямым
множителем в Р\ таким образом, существует непрерывный
гомоморфизм я: Р—>Н, сужение которого на Я является
тождественным. Поскольку подгруппа Я делима, гомоморфизм я допускает
продолжение я' на О0, являющееся гомоморфизмом и
тождественное на Я. Поскольку я' непрерывно на открытой подгруппе Ру
оно непрерывно на О0. По F.22а), группа О0 топологически
изоморфна Ях(О0/Я), и, следовательно, группа О топологически
изоморфна группе ЯхF0/Н)хКп.]
(с) Теорема B5.21) приводит к гипотезе, что всякая локально
компактная группа с компактной открытой подгруппой есть
прямое произведение компактной группы и дискретной группы.
Но это опровергается группой 0>р для произвольного
простого р. Всякая компактная подгруппа в &р является группой
вида Ак для некоторого целого к A0.16а), но ни одно из Ак не
является сервантной подгруппой в й^, тем более прямым
сомножителем.
B5.32) Минимальные делимые расширения. В (А.15) и (А.16)
будет доказано, что каждая абелева группа О может быть
вложена в некоторую минимальную делимую группу Е и что группа
Е единственна с точностью до изоморфизма, оставляющего
элементы О неподвижными. Иначе говоря, Е является
единственной настолько, насколько это возможно. Мы исследуем
здесь некоторые из минимальных делимых расширений и
естественную топологию для них.

$ 25. Специальные структурные теоремы 531
(а) Пусть О — топологическая абелева группа, а
^--минимальное делимое расширение группы С. Пусть 41 — открытая
база единицы е в группе О. Возьмем то же семейство % в
качестве открытой базы единицы е для группы Е. Как
указывалось в D.18Ь), Е будет топологической группой, содержащей О
в качестве открытой подгруппы.
(Ь) Минимальное делимое расширение группы Д^ есть Й^,
и для конечного кардинала п минимальное делимое расширение
группы Др есть йр1. Топология, описанная в (а), совпадает с
обычной топологией для йр1, если Д^ и Др взяты в их обычной
топологии. [Множество &р является полем A0.11)
характеристики 0 и потому делимо. Следовательно, Йр1 является делимой
группой, содержащей Др\ Для каждого (х1} х2, ..., хп) = х€&р
существует неотрицательное целое к такое, что ркх ^Д^1).
Следовательно, группа Й^/Др не имеет кручения. Поэтому и
Ир не имеет кручения, а (А. 17) показывает, что 0% есть
минимальное делимое расширение группы Д{$. Замечание о
топологии йр очевидно.]
(с) Прямой аналог (Ь) для бесконечного кардинала и не
проходит. Группа йр1 в этом случае является, конечно, делимой
надгруппой для Ар\ но она слишком велика. Рассмотрим Йр
как группу всех й^-значных функций (хь) на множестве /
таком, что 7 = и. Пусть ар—функция о на й^, определенная
в A0.4). Для (*,,)€ &р ПУСТЬ УрЦх^^ыР^р^ °): 1€/}. Тогда
минимальное делимое расширение группы Ар1 есть подгруппа
в Йр, состоящая из всех (я,,), для которых ур ((х^) конечно.
Обозначим эту группу символом йр" . Заметим, что йр' =•---- {] Л}),
к =-. - оо
где Ак определяются, как в A0.4). [Легко видеть, что йр есть
делимое расширение группы Др и что рк(х1)^Апру если (*,,)$ йр'
и к—подходяще выбранное неотрицательное целое число. Затем
рассуждаем, как в (Ь).]
(й) Рассмотрим любую группу Р Др> , где Р — множество
реР
всех простых чисел, а п2, п3, п5» Щ> •••—произвольные
кардиналы2). Минимальное делимое расширение Е группы Р Др>
реР
есть некоторая подгруппа группы Р йр*>, которую можно
реР
г) Мы вынуждены использовать аддитивную запись операции в &р,
поскольку аддитивно записывалась операция в &р.
2) Здесь имеется в виду, что Ар----{е}; это—достаточно естественное и
удобное соглашение.

532 Гл. 6. Характеры а теория двойственности
описать следующим образом. Запишем образующий элемент
этой группы в виде (яа, хЗУ *6," *7, ...), гДе хр€&1р. Наша
группа Е есть множество всех (л;2, х.щ11 хб, ...) таких, что все,
кроме, может быть, конечного числа, элементы хр принадлежат
АХрР. Предположим, что ^р топологизирована, как в (а), где
АХрР снабжена своей обычной топологией, и Е топологизирована,
как в (а). Тогда Е есть локальное прямое произведение групп
йр? относительно открытых подгрупп Ар*7 F.16). [Легко видеть,
что Е/ Р АрХр есть периодическая группа. Действительно, если
(*а> *а> *ы • ..)€^. ^€Дрр при р>р0 и V/7(л:/?)<2/г при р = 2,
3,5, ..., /70, то B-3-5 ... р0)к(х2, х3, х5, ...) принадлежит
Р Арр. Нужно показать, что группа Е делима. Этот факт
опирается на одно простое свойство полей 0,р. Пусть у = (^)/1_оо—
ненулевой элемент из Йя, утфО и у1 = 0 при / < т\ значит,
°р (У^ 0) = 2~от. Тогда для каждого простого ^^Р имеем
ор(—у,о)=ар(у,0) и о^ — у, 0) = 2~т + 1. Рассмотрим
произвольный элемент (х2, хя, хЬ1 .. .) ^Е и предположим, что хр^АрР
при р > р0. Для каждого простого ц уравнение (х2, хП1 *Р>, .. .)--
= (ЯУъ, ЧУп, ЯУь, •. -) имеет решение, для которого чр(ур) = чр(хр)
при рфц и V<7(^/<7)V^(xG). Таким образом, получаем ур(^Архр
для каждого р > тах(р0, <7). В силу произвольности простого у
группа Е делима.]
(е) Рассмотрим две последовательности кардиналов и2, п3,
пб, п7, ... и п2, и3, п5, тт7, ..., как в (й). Образуем группы
Р Ар*р и Р Арр и их минимальные делимые расширения Е и Е
реР реР _
соответственно. Предположим, что Е и Е топологически
изоморфны. Тогда пр = 1\р для каждого простого р. [Подгруппа
{(О, ..., О, хр, О, ...): Хр^О^р) в Е состоит в точности из всех
таких х^Е, что Нт ркх = 0. Следовательно, если Е и Е топо-
/г->оо
логически изоморфны, то топологически изоморфны и группы
&1р и &рр. Пусть т: 0$р->0%р — соответствующий
топологический изоморфизм. Рассмотрим эти группы как линейные
пространства над полем 0,р. Легко видеть, что отображение т
линейно. Если \\р конечно, то \\р есть размерность 0,прр как
линейного пространства над 0>р и потому \\р = \\р, если либо \\ру
либо у\р конечно. Если оба кардинала \\р и п^ бесконечны,

$ 25. Специальные структурные теоремы 533
рассмотрим любую компактную открытую подгруппу Ра&рР. Эта
подгруппа является конечным объединением классов смежности
группы, топологически изоморфной Архр. Группа [характеров
группы ДрЯ изоморфна 1(р™)пр и, по B4.15), Хо (Агр1р) =
11*
--¦ г1(р™) р = пр. Следовательно, \1)(Е)==пр, и мы получаем снова
и,,-ту]
B5.33) Структура делимых групп без кручения (следуя
Макки [1]). (а) Пусть С—локально компактная делимая абе-
лева группа без кручения. Тогда она топологически изоморфна
группе
A) Ф X^X^^»xЕ^
где :р — конечный кардинал; ц и х—произвольные кардиналы1);
а = B, 3, 4, 5, ...); группы фг* топологизированы дискретно;
и Е — минимальное делимое расширение группы Р ДрЯ,
порея
строенное в B5.32A). Обратно, каждая группа вида A) локально
компактна, делима, без кручения и абелева. [По B5.30с) группа С
топологически изоморфна группе
^хс.ха^ A)
где Сг — компактная связная группа без кручения, а, 02—
факторгруппа группы О по компоненте ее единицы е. По^B5.8)
Сх топологически изоморфна ^ Для некоторого кардинала с).
Остается рассмотреть нульмерную [см. G.3) и C.5)] группу 02.
Легко видеть, что группа 02 также делима и без кручения.
Пусть Н — ее компактная открытая подгруппа G.7). Если
Н = {е\у то группа 02 дискретна и топологически изоморфна
группе фг# для некоторого кардинала х (А. 14). Если Нф\е\,
то Н бесконечна, нульмерна, компактна и без кручения и
потому обязана иметь вид Р Апрр B5.8). Пересечение Е0 всех
делимых подгрупп в 02, содержащих Я, снова является
делимой подгруппой в 02. Это следует из того факта, что группа 02
без кручения. Ясно, что не существует делимой подгруппы
такой, что НаОфЕ0. Таким образом, Е0 есть минимальное
делимое расширение группы Н и потому изоморфно как группа
группе Е, построенной в B5.32A). Поскольку подгруппа Н
открыта в С2, она открыта в Е0У и потому Е0 топологически
х) Нулевой показатель у группы по-прежнему означает тривиальную
группу {е}.

534 Гл. 6. Характеры и гйеория двойственности
изоморфна группе Е из B5.32с1). Подгруппа Е0 открыта в 02
и делима, поэтому она является прямым сомножителем для 02
F.22Ъ): группа 02 топологически изоморфна группе
@%/Е0)хЕ0, B)
а группа С2/Е0 дискретна, делима и без кручения. Согласно
(А. 14), группа О2/Е0 изоморфна группе BГ* для некоторого
кардинала т. Объединяя A) и B), получаем A). Обратное
тривиально.]
(Ь) Две группы С = Л» х2&Х <2* * хЕ и ё = #>х Дх<2<* ХЁ
вида A) топологически изоморфны тогда и только тогда, когда
Р = :Р> Я = Ч» х = х и пР = Пр1) ПРИ /? = 2, 3, 5, 7, ... [Удобно
изучить какую-нибудь одну группу и показать, что числа р, ц, х
и пр определяются в терминах структуры группы С; поэтому
они должны сохраняться при топологических изоморфизмах.
Число р есть наибольшее из таких /г, что группа О содержит
топологически изоморфный образ #п (9.41). Подгруппа &* Х^]а
является компонентой С единицы е в С, а ^ есть подгруппа
В0 компактных элементов в С. Поскольку ^ есть свободный
ранг группы характеров ф** группы 2«> то и ^ определено
однозначно.
Очевидно, что каждый элемент из Е лежит в некоторой
компактной подгруппе. Следовательно, группа характеров Г
группы Е нульмерна B4.18). Группа характеров X группы О
топологически изоморфна К* х(}** Х^ахТ>
Рассуждая так же, как в случае кардинала I) выше, мы
увидим, что х также определено однозначно. Очевидно, группа В
компактных элементов в С есть ^^ХЕ. Таким образом,группа Е
топологически изоморфна группе В/Вй и потому определена
однозначно с точностью до топологического изоморфизма.
Единственность чисел п2, п3, пб, ..., определяющих Еу была
доказана в B5.32е).]
B5,34) Группы, топологически изоморфные своим группам
характеров. Если локально компактная абелева группа
топологически изоморфна своей группе характеров, то мы будем
говорить, что она самодвойственна. Группа ОхХ для произвольной
группы О тривиальным образом самодвойственна. Если Ох и 02
самодвойственны, то самодвойственна и группа 01х02.
(а) Примеры самодвойственных групп, которые мы уже
встречали ранее:
') Мы обозначаем В минимальное делимое расширение группы Р А"/**
реР р

$ 25. Специальные структурные теоремы
535
A) конечная абелева группа B3.27A);
(и) # B3.27е);
A11) Йа, где а = {ак)ь==_00 таково, что ак = а_~к лля каждого
к$2 BЬЛ),
(Ь) Дальнейшие примеры самодвойственных групп можно
найти, исходя из B3.33). Пусть / — некоторое индексное
множество. Для каждого 1^7 пусть 6Ь—локально компактная
самодвойственная абелева группа, и X — ее группа характеров.
Предположим также, что существует топологический
изоморфизм ть: 01—+ХЬ и компактная открытая подгруппа Н1с:01
такие, что т1(Я1)=А(Х1, Ну). Тогда Ну,топологически изоморфна
группе характеров группы 0К\НХ B3.25). Образуем теперь
локальное прямое произведение О групп С1 относительно
компактных открытых подгрупп #ь, Из B3.33) следует, что и О
самодвойственна.
(с) Для компактной абелевой группы Я с группой
характеров Г группа ЯхГ является тривиальным примером
группы, удовлетворяющей требованиям (Ь). Другой пример —
группа 2,(р2г), записываемая {0, 1, 2, ..., р2Г—1}, с подгруппой
{О, ргу 2рг, ..., (рг—\)рг\ [р — простое, а г — положительное
целое]. Еще один пример дает нам любая из групп &г с ее
компактной открытой подгруппой Дг, где г — целое число, большее 1.
(с!) Все предыдущие примеры лишь иллюстрируют понятие
самодвойствениости. Никакая полная классификация этих групп
авторам не известна.
B5.35) Еще о произведениях двухточечных множеств [следуя
Виленкину [17]]. Следующий результат относится к теореме
(9.15). Пусть С — компактная абелева группа. Для некоторого
кардинала т существует непрерывное отображение {О, 1}пх на
О; в качестве тп может быть взят кардинал тах [#0, г (X)], где
X — группа характеров группы О. [Разобьем доказательство на
два шага.
(I). Если У—компактное метрическое пространство, то
существует непрерывное отображение пространства {0, 1}**<> на У.
Этот факт „и его доказательство подобны содержанию сноски
на стр. 131. Пространство У является объединением замкнутых
множеств Вг,...уВах с непустыми внутренностями, каждое
диаметра меньше 1. Каждое В; является объединением
конечного числа непустых замкнутых подмножеств Вп, 5/2, ..., В{а^
\а2 — одно и то же положительное число для всех Г], причем
каждое В{]- диаметра <У2. Продолжая таким же образом,
получим последовательность \ап\™^х положительных целых чисел
и непустых подмножеств В/)/о...,- в У таких, что каждое
В1х1 1т имеет диаметр меньше 2~'л+1, Я^,-,.. .//д + 1 является под-

536
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
множеством в ВЦг.. ш1т и ц {ВЫг.я ,,я: 1 < 1к < ак, к = 1, ..., т\=У
для каждого т. Для каждой последовательности 1 = A1, 12У...)
с 1 ^/Л^аА, к = 1, 2, . . ., определим Ф(/) как единственную
00
точку П ^/1/2--//Л- Тогда Ф — непрерывное отображение
т= 1
00
Р {1, ...,ат) на У. Последние два абзаца доказательства
т—\
со
(9.15) показывают гомеоморфность пространств Р {1, ..., ат)
и {0, 1}*\
(II) Пусть 0 — компактная абелева группа. Дискретная
группа X может быть вложена в делимую группу Г того же
ранга, что X [см. (А. 15) и (А. 16)]. По (А. 14) группа Г изоморфна
группе
где Р — множество всех простых чисел. Группа характеров Я
группы Г топологически изоморфна группе B>а)г°{Х)Х Р (Ар)гР<х\
как показывают B3.22), B5.4) и B5.2). По B4.11) "группа
характеров О группы X топологически изоморфна группе Н/А (Я, X);
таким образом, О есть непрерывный образ Я. Достаточно
поэтому доказать, что Я есть непрерывный образ группы {О, 1}ш,
где т=тах[я0, г(Х)].
Группа Ел компактна по A0.13) и, очевидно, имеет счетную
открытую базу в единице е по A0.15). Таким образом, по (8.3)
группа 2Я метризуема и по (I) является непрерывным образом
{О, 1}***. Поэтому A>аУо{Х) является непрерывным образом
{О, 1}тах[И0, г0(Х)] Каждая группа Ар гомеоморфна {0,1,...
..., р— 1}*Ч как показано в A0.5); {0, 1, ..., р—1/Ко, в свою
очередь, гомеоморфно {О, 1}*Ч как показано в (9.15).
Следовательно, Р (ЛУр(Х) гомеоморфно {О, 1}П, где п = тах[#0,
г2(Х) + г3(Х)+...], и потому Я есть непрерывный
образ {0, 1 }т. Заметим, что г (X) = г0 (Х)+г2 (X) + г3 (X) + ... ввиду
(А.12) и (А.11).]
B5.36) Единственность Т в теореме двойственности (следуя
Понтрягину [7], пример 72). Выбор Т как группы значений
для характеров на локально компактных абелевых группах
достаточно естествен по многим причинам: характеры являются
одномерными унитарными представлениями; характеры
являются обобщениями знаменитых функций ехр (гх) \-^> ехр Aпх) на Т
и хн->ехр (ьху) на /?; комплекснозначные функции являются
хорошо известными объектами и, следовательно, предпочти-

$ 25. Специальные структурные теоремы
537
тельиы с точки зрения техники и понятий обычного анализа.
Но верно даже большее. Именно, никакая другая локально
компактная абелева группа не приведет нас к теореме типа
B4.8). Действительно, пусть Я—локально компактная абелева
группа, и предположим, что Нот (Нот (Г, Я), Я) топологически
изоморфна Т. [Обозначения — как в B3.34).] Предполагаем,
таким образом, много меньше, чем утверждает полная теорема
двойственности. Но уже при этом Н=Т.
[Пусть т—любой элемент из НотG\ Я), не переводящий Т
в единицу / из Я; конечно, такое т существует. Ядро т есть
некоторая собственная замкнутая подгруппа в Г и потому
конечно. Следовательно, %(Т) топологически изоморфна Т E.39]).
Пусть Н1 — связная компонента / в Я, а Е — наибольшая
компактная подгруппа в Н± [см. (9.14)]. Поскольку группа т(Г)
компактна и связна, то, очевидно, %(Т)с:Е. Согласно B5.31а),
группа т(Г) является прямым сомножителем в Е\ группа Е
топологически изоморфна %(Т)хЕ19 где Ех—замкнутая подгруппа
в Е. Если а ^ Нош (Г, Я), то, очевидно, а (Т) а Е. Таким
образом, заменяя топологические изоморфизмы равенствами и
используя B3.34A), имеем
Нот (Г, Я) = Нот G\ х (Т) хЕг) =
= Нот (Г, г (Т)) х Нот (Г, Ег). A)
Применяя B3.34с) к A), получаем
Нот (Нот G\ Я), Я) = Нот (Нот G\ г (Г)) х Нот G\ Ег), Я) =
= Нот (Нот G\ т (Г)), Я) х Нот (Нот G\ ^), Я). B)
Поскольку группа т(Г) топологически изоморфна Г, то группа
Нот (Г, т (Т)) топологически изоморфна дискретной группе
характеров 2, группы Т. Теперь элементарная проверка
показывает, что группа Нот B, Я) топологически изоморфна Я. Из
B) и нашей гипотезы, следовательно, получаем
Т = ЯхНот(Нот(Т, Ег),Н). C)
Очевидно, сомножитель Я в C) есть связная подгруппа в Т.
Следовательно, либо Я = {/} — очевидный абсурд, — либо Я = 7\
что мы и желали доказать.]
Замечания. Насколько мы знаем, теорема B5.1) нова.
Результат B5.2) формулируется у Абе [1]; он, конечно, лишь
слегка обобщает известный факт, что группа характеров группы
А^ есть 2 (р00). Этот факт впервые был опубликован Круллем [1],
а затем публиковался много раз.
Как было отмечено в замечаниях к § 10, группа 2а для
общей последовательности а = (а01 а1У а29 ...) была построена

538 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
ван Данцигом [6]. Тот факт, что 2а есть группа характеров
группы (}а при а=B9 3, 4, ...), был указан Абе [1] и Анзаи и
Какутани [1]. Наши вычисления в B5.4) кажутся более явными,
чем их. Браконье [1], стр. 19, также упоминал группу
характеров С1а, но при описании ее как соленоида ссылался на ван
Данцига [1], где была построена только группа 2(й1 Пш п% />#)
[которая не является группой характеров группы ^а]. Другие
авторы, изучавшие в этот период группу характеров^группы С1ау
не упоминали, что она есть 2B13,4,...) [см-> например, Халмош
[1] и Макки [1]). Конструкция' в B5.5) появилась частично
у фон Неймана [4], стр. 477.
Конструкция базиса Хамеля для 7? над <2 принадлежит, как
и следовало ожидать, Хамелю [1]. Вычисление всех характеров
группы Я^, данное в B5.6), появилось у Маака [1], § 23,
предложение 4, стр. 89—90. Мы не нашли упоминания B5.7), хотя
его содержание должно было быть хорошо известно.
Теорема B5.8) есть усиленная форма теоремы Браконье из
[1], стр. 17, следствие; B5.9) и B5.10) были в виде замечания
указаны Рудином [1], лемма 3.
Монотетические группы были введены ван Данцигом [1] и
изучались затем Халмошем иСамельсоном [1], Эккманом [1], Анзаи
и Какутани [1]. Многие из утверждений B5.11) —B5.17) взяты
из этих источников. Теорема B5.13) была нам любезно
сообщена в устной форме Р. А. Бомоном и Р. С. Пирсом [К. А. Веаи-
топ1, К. 5. Р1егсе]. Импликация A) =>(и) в B5.16) принадлежит
ван Данцигу [6]; остальная часть теоремы B5.16), кажется,
нова. По существу теоремы B5.18) и B5.19) принадлежат
Анзаи и Какутани [1]. Теорема B5.20) была сформулирована
Макки [2].
Большое число авторов внесло свой вклад в утверждения
B5.21) — B5.25), и часто одно и то же утверждение встречалось
у разных авторов. Проблема классификации алгебраической
структуры компактных абелевых групп была поставлена
Халмошем [1]. Некоторые неполные результаты были получены
Капланским [1] стр. 55—56; см. также Балцержик [1]. Теорема
B5.21), которая является ключевой для B5.25), принадлежит
Лосю [1] и [2]. Теоремы B5.22), B5.23) и B5.25), кроме
последнего предложения, принадлежат Харрисону [1] и Хула-
ницкому [2] и [3]. Фукс [2] также опубликовал большинство
из этих результатов. Фукс [2] дал упрощенную версию
конструкции Хуланицкого. Наконец, теорема B5.23) была сообщена
нам устно в мае 1959 г. Какутани, как один из
неопубликованных результатов С. Какутани и Т. Накаяма. Насколько нам
известно, теорема B5.24) нова.
Материал, изложенный в тексте, есть только часть, хотя,
как мы надеемся, важнейшая часть из того, что известно

$ 26. Различные следствия теоремы двойственности 539
о структуре различного класса локально компактных абелевых
групп. Читатель, который хотел бы продолжить изучение'^ма-
териала этого раздела далее, должен изучить работу Браконье
[1], глава 2. Имеется также огромное число статей Виленкина,
неровных по качеству, которые также следует изучить.
Например, Виленкин [1], [3], [5], [7], [10] —[12], [15], [16].
§ 26. Различные следствия теоремы двойственности
В этом разделе мы изложим несколько конструкций и
теорем, основанных в том или ином смысле на теореме
двойственности B4.8). Начнем с изучения групп автоморфизмов, которое
в основе своей не зависит от B4.8), но наиболее интересные
следствия которого [среди тех, которые даны здесь] зависят:
см. B6.10).
B6.1) Определение. Пусть О — топологическая группа, а
©(О) — множество всех топологических автоморфизмов группы О
на себя, т. е. отображений одновременно являющихся
автоморфизмами и гомеоморфизмами. При сг, т^©@) пусть а о
т—обычная композиция отображений а и т: а ог(х) = а (х(х)) для
каждого х^О. Пусть I — тождественное отображение на С: ь(х)=х
для каждого х^С. Пусть Г — обычная инверсия: т (х)
есть [единственный] элемент у ^6 такой, что %(у)=х1).
B6.2) Очевидно, что @ (С) есть группа относительно
описанных в B6.1) операций. Действительно, ©(С) есть подгруппа
группы всех взаимно однозначных отображений группы О на
себя, которая р ссматривалась в B.8с).
B6.3) Определение. Пусть О и @@) —те же, что в B6.1).
Для компактного подмножества Ра О и окрестности /У
единицы в в О пусть ^В(Р^Ц)—множество всех таких~т^©@), что
%{х)а1!х и %{х)^11х для каждого х^Р.
Мы сейчас покажем, что для локально компактной группы
множества 33 (Р, V) удовлетворяют условиям D.51) — D.5у) и
потому определяют на @@) топологию, относительно которой
©(С) есть топологическая группа.
B6.4) Лемма. Пусть Р—компактное подмножество в С, а I] —
окрестность единицы е в С. Тогда для каждого %€.$5(Р, V)
найдется окрестность V единицы е [зависящая от Р,\] и т] такая,
что У%(х)а Vх для любого х^Р.
*) Читатель должен заметить, что %-*(х) не обязано совпадать с г (х-1).
Символы х и т-1 имеют совершенно разный смысл.

540
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Доказательство. Пусть г|) (х) = х (х) х'1 для любого х ^ О. Тогда
а|) — непрерывное отображение С в С. Множество а]) (Р)
компактно, и имеем х(х)х~1^11 для каждого х^Р. Согласно D.10),
найдется окрестность У единицы е такая, что У\р(Р)с: II.
Значит, У-ф (а:) с: V для любого х ^ Р, так что Ух (х) х'1 с V и Ух (х) с
с {/*. ?
B6.5) Теорема. Пусть О—локально компактная группа. Тогда
семейство {33 (Р, II)} описанных в B6.3) множеств, где Р
пробегает все компактные подмножества в О, а V—все окрестности
единицы е в О, удовлетворяет аксиомам D.51) — D.5у) и по D.5)
определяет на © (О) топологию, относительно которой @ (О) ^стъ
топологическая группа.
Доказательство. Проверяем D.51). Рассмотрим произвольную
окрестность 35 (Р, II) единицы I. Пусть У—окрестность единицы^
в О такая, что У2а II и У" компактно. Для любых х^Р и
а, т^ 33 (У~РУ У) имеем
а (г (х)) х'1 = а(х (х)) х (х) х(х)х~1€в (т (х)) х (х) У,
и х (х) ^УРс: У~Р. Следовательно, о (х (х))х(х)~1 ^У и
а(х(х))х-1^У2с: V.
Аналогично,
(а о т)-1 (*) х-1 == т-1 (о (х)) (от* (х))-^-1 (х) лг1
лежит в II для каждого х^Р. Поскольку множество У~гР
компактно D.4), аксиома D.51) проверена.
Поскольку 33 (Р, и) = 0В(Р, II)), аксиома D.5П) очевидна.
Проверяем теперь D.5Ш). Для "данных компакта Ра С,
окрестности II единицы е в О и фиксированного т^33(/7, II) пусть
V—такая окрестность единицы в О, что Ух(х)а 11хпУх-1(х)с: V'х
для каждого х^Р [см. B6.4) выше]. Пусть, далее, У7—такая
окрестность единицы, что х(№)а V. Тогда имеет место включение
%о%(Р[}т-*(Р), ГпУ)с=33(Л Щ. A)
Действительно, если а —любой автоморфизм из 33(/711 х~х (Р)у
V? Л V), а х ^ Т7—-любой элемент, то а (х) =ш, где ш^ И?, и потому
хов(х)=х(ю)х (х) € Ух (х) с: (/*. B)
Поскольку т (х) ^т" (Т7), получаем также
о о т-* (*) € V* (х)с 1/х. C)
Из B) и C) следует A),

$ 26. Различные следствия теоремы двойственности 541
Аксиома D.51У) проста: включение
т о 33 (х-* (Р), т ((/)) от-1с5В(Л Ц)
очевидно. Аксиома D.5у) также очевидна.
Остается показать, что ©(О) есть 7\,-группа. Если т не есть
тождественный автоморфизм I, то найдется такой элемент а ^ О,
что т(а)Фа. Поскольку О есть 7\-группа D.8), то найдется
такая окрестность II единицы в О, что т (а) ^ На. Тогда 33 ({а}, V)
содержит I, но не содержит т. Следовательно, группа ©(О)
является Т^-группой. []
B6.6) Группа ©(О) не обязана быть локально компактной
для локально компактной группы О. Даже если группа О
компактна и абелева, ©@) может все же не быть локально
компактной: см. B6.18к). Следующие две теоремы представляют
самостоятельный интерес, но для наших целей они служат просто
леммами к теореме B6.10).
B6.7) Теорема. Пусть О — топологическая группа, а Я—
локально компактная нормальная подгруппа в О. Для 8^0
обозначим через р3 внутренний автоморфизм х^—^зхз группы О на
себя. Отобрао/сение
A) 5ь-^р,|Я
является непрерывным гомоморфизмом группы О в ©(Я).
Доказательство. Очевидно, что A) есть гомоморфизм группы О
в ©(Я). Согласно E.40а), достаточно проверить непрерывность
A) в единице е. Итак, пусть Р — любое компактное
подмножество в Я, а V — любая окрестность единицы е в 0. Пусть V
есть окрестность единицы вСиУ2с[/. Поскольку Р компактно
в Я, оно очевидно компактно в О. Используя D.9), выберем
симметричную окрестность № единицы вСсй^сУ и х№х~1с: V
для каждого х^Р. Мы утверждаем, что функция р3\П
принадлежит $В(Р,11[)Н) для каждого 5^1^. Действительно, если
5^1^ И X ^ Т7, ТО
р5 (х) х-1 = EХ8'1) х-1 = 5 (хз^х'1) е ИРКс У2а /У, A)
и, очевидно, (8Х8'1) х'1 ^Н. Поскольку 5 ^ №, мы также имеем
р-1 (х) х-1 - р5-1 (х) х-1 $ V П Я. B)
Вычисления A) и B) показывают, что р^ |Я(=ЯЗ (Р, V П Я). Ц
B6.8) Теорема. Пусть О — нульмерная локально компактная
группа. Тогда группа @ (О) также нульмерна; при этом
открытую базу е % образуют открытые подгруппы.

542
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
Доказательство. Пусть Я —любая компактная открытая
подгруппа в С, а Р—компактное множество в С, и Р^Н. Если
а, т^ 33G% Я) и х^Р, то для некоторого Н^ Я имеем %'1(х)=Нх
и потому а о т (х) = а (Их) = а (И) о (х) ^ НННх = Нх. Аналогично,
(о о т~1)~1(х) = то о~1(х) ^Нх. Следовательно, а о т-1 (^33(/\ Я)
и 33G^, Я) есть открытая подгруппа в ©(О).
Обратно, если группа С нульмерна, Р компактно в О, а (/
есть окрестность единицы е в О, то существует компактная
открытая подгруппа Я такая, что На V G.7). Поэтому
33 (Р (] Я, Я) с 33 G% (У), так что открытые подгруппы образуют
базу в I. ?
Следующий результат также полезен для B6.10) и имеет
значительную важность сам по себе.
B6.9) Теорема. Пусть О—локально компактная абелева
группа и X—ее группа характеров. Для каждого т ^ © (О) пусть т~ —
сопряженный гомоморфизм, определенный в B4.37): т~ (%)(х) =
= Х(х(х)) для любых %^Х и х^О. Тогда отображение
является топологическим антиизоморфизмом группы ©(О) на
группу ©(X).
Доказательство. Как указывалось в B4.41с), всегда т~ ^© (X).
Поскольку непрерывные характеры группы О разделяют
точки О, то из тхФт2 следует %1Ф%1. Если а(^©(Х), то,
рассматривая О как группу характеров группы X, видим, что
<т~ € ©(О) и, по B4.41а), (оГ)~ = а. Поэтому A) отображает ©(О)
на ©(X) взаимно однозначно.
Для любых а, т^©@), %^Х и х^О имеем
(<* ° ТГ (х) (*) = х(<т ° т (*)) = х (а (т (*))) =
= а~ (х) (т (*)) = (т~ °<П (х) (*).
Поэтому A) есть антиизоморфизм.
Остается показать, что A) есть гомеоморфизм. Согласно
B4.8), множества {х^О: \%(х) — 1|<е для любого %^Ф\
образуют открытую базу в единице е группы О, когда Ф пробегает
все компактные подмножества в X, а 8 пробегает все
положительные вещественные числа. Таким образом, образующая
окрестность для I в ©(С) может быть описана как
Щ/7, Ф, е)Нте©@): \%(^(х)х^)-1\<г и
\х(%-1(х)х'1) — 1\ <е для любых х^Р и %^Ф). A)
Здесь Р—компакт в О, Ф—компакт в X, а е—положительное
вещественное число. Мы также имеем
X(т (х) х-*)=х{х (х)) х(*-1) = т~ (%)(х) х (х) = (т~ (Х)Х~х) (*)

$ 26. Различные следствия теоремы двойственности 543
и аналогично
X (т"Ч*)
я)-(Ю-Чх)Х"'Последовательно, 21 (Т7, Ф, е)~ есть множество в точности того
же типа, что $1(Р, Ф, е), но в группе ©(X). Поэтому A) есть
гомеоморфизм. []
С помощью доказанных фактов мы можем теперь получить
один интересный результат о центрах связных групп.
B6.10) Теорема. Пусть О—связная группа, а Н—ее локально
компактная нормальная подгруппа. Предположим, что группа Н
либо нульмерна, либо абелева, и обладает тем свойством, что
каждый ее элемент лежит в некото рой ^компактной подгруппе
в Н. Тогда группа Н содержится в центре группы О1).
Доказательство. Если Н нульмерна, то и группа ©(Я)
нульмерна B6.8). Если группа Н абелева и каждый элемент ее
лежит в некоторой компактной подгруппе в Я, то группа
характеров Г группы Н нульмерна B4.18), так что и @ (Г)
нульмерна. По B6.9) группа ©(Я) также нульмерна. По B6.7)
отображение 5 н-» р^ | Я группы О в © (Я) непрерывно. Поскольку
группа О связна, каждое р^ должно быть тождеством на Я;
таким образом, $Х8~1 = х для любых х^Н и 5^0, т.е. Я
содержится в центре группы О. []
Перейдем теперь к другой конструкции, использующей
подмножества группы характеров локально компактной абеле-
вой группы О для того, чтобы вложить гомоморфные образы О
в некоторую компактную абелеву группу.
B6.11) Определение. Пусть О — локально компактная абелева
группа, X — ее группа характеров, а Г—непустое
подмножество в X. Определим отображение Фг: О—* Р Т(%) [каждое
Т(%) есть копия Т] следующим образом: для каждого х^О
пусть Фг (х) = (х (*)) € Р 7\х). Совсем легко показать, что Фг
хег
есть непрерывный гомоморфизм и что Фг взаимно однозначно
тогда и только тогда, когда Г разделяет точки группы О.
Положим теперь ЬГС = (ФГ(О))" [замыкание в Р 7\х)~|. Такие
Ь хеГ ^
группы Ьг0 называются воровскими компактификациями 2)
группы О. Группу ЬхО будем обозначать ЬС.
B6.12) Теорема. Группа характеров группы ЬГ0
топологически изоморфна подгруппе Ъа группы Х^, порожденной Г; в част-
1) Аналогичные, но много более простые факты о центре связной группы
см. G.17).
2) Или компактификациями Бора.

544 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
постау группа характеров группы ЬО топологически изоморфна
группе Ха. Таким образом, ЪуО топологически изоморфна
[компактной] группе характеров группы 2^, а ЬО топологически
изоморфна группе характеров группы Ха.
Доказательство. Пусть, для любого % ^ Г, ях: Р Т{%) -^ Т{х) —
хеГ
естественная проекция. Равенство пх(Ф-р(х)) = %(х) для каждого
х^О тавтологично, но тем не менее полезно. Проекции кг
являются непрерывными характерами группы Р 7\х), а суженные
хег
на ЬГ0, являются, конечно, непрерывными характерами
группы Ьг0. Они также разделяют точки ЬгО и, тогда по B3.20),
группа характеров группы ЬтО состоит из всех функций
ЛХ1 п%2 - • • п^т> гДе аи •••» ат СУТЬ целые числа. Очевидно,
пх1п%! ••• пут=1 на ЬгО тогда и только тогда, когда
У?\Ъг • • • Х^т== 1 на С. Поэтому группа характеров группы ЬТ0
топологически изоморфна 2^. Остающиеся утверждения
относительно ЬГ0 и ЬО следуют немедленно из предыдущего и B4.8).[]
Вот еще одна характеристика боровской компактификации.
B6.13) Теорема. Пусть О и X—те же, что в B6.11). Пусть,
далее, Н—компактная абелева группа, а Г—ее [дискретная]
группа характеров. Следующие утверждения эквивалентны:
(\) существует непрерывный гомоморфизм ф группы О на
плотную подгруппу в Н\
(и) группа И топологически изоморфна боровской
компактификации группы С;
A11) группа Г топологически изоморфна подгруппе группы Ха.
Доказательство. Если A) выполнено, то сопряженный
гомоморфизм ср~ из B4.37) является изоморфизмом группы Г в X
B4.41Ь); поэтому (ш) выполнено. Если A11) справедливо, а
т: Г—>Х^—изоморфизм, то т является непрерывным
изоморфизмом также в X. Следовательно, т~ — непрерывный
гомоморфизм группы характеров группы X на плотную подгруппу
группы характеров группы Г. Согласно B4.8), A) тогда также
справедливо.
Импликация (и)=ф*A) тривиальна. Пусть A) справедливо.
Возьмем в качестве Г группу всех характеров %°Ф группы О
с 5С^Г. Поскольку группы Н и ЬгО имеют изоморфные группы
характеров, они сами топологически изоморфны. []
С помощью конструкции ЬО мы можем доказать следующие
три аппроксимационные теоремы.
B6.14) Теорема. Пусть О—бесконечная локально компактная
абелева группа; пусть %г, %2, ..., %т—элементы ее группы

§ 26. Различные следствий теоремы двойственности 548
характеров X; пусть, наконец, е—положительное вещественное
число. Тогда существует такой элемент х^О, хфе, что
\%/(х) — 1|<е для каждого /=1, 2, ..., т. Дуальным образом,
если хг, х2, ..., хт суть элементы группы О, а г—произвольное
положительное число, то найдется характер %(ЕХ, %Ф 1, для
которого \ % (ху)— 11 < е для каждого / = 1, 2, ..., т.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, если
группа С недискретна: существует окрестность V единицы е такая,
что \%/(х)— 1|<е для любых /=1, ..., т и х^Ц; конечно,
(/не есть \е).
Предположим теперь, что группа О дискретна и что
утверждение несправедливо. Обозначим Ф изоморфизм Фх из B6.11).
Тогда Ф (О) есть дискретная подгруппа в ЬО, поскольку
окрестностями элемента Ф(е) в топологии группы Ф@)
являются множества {Ф (х): х^О и \%у(х)—1 |<е при /=1,2, ..., т).
Поскольку все дискретные подгруппы в ЬО замкнуты E.10),
отсюда следует Ф@) = ЬС, так что группа ЬО есть бесконечная
дискретная компактная группа. Но это, очевидно, невозможно.
Второе утверждение следует из первого и B4.8). []
B6.15) Теорема. Пусть О и X—те же, что в B6.11),
а Г = 2—любая подгруппа в X. Пусть, далее, /—любой характер
группы 2>а, а %1У %2, ..., %,Л—произвольные элементы в 2. Пусть,
наконец, е-—произвольное положительное число. Тогда найдется
элемент х^О, для которого
0) \Т(%,)-Ъ(х)\<* (/=1, 2,..., тУ).
Доказательство. Рассмотрим компактную группу Ь%0. Как
следует из доказательства B6.12), всякий непрерывный
характер группы Ь%0 имеет вид A%)%б2*->1%0 для некоторого
фиксированного 5Со€2. Теорема B4.8) показывает, что каждый
характер / группы 1>а имеет вид /(%) = ^ для некоторого
фиксированного элемента ^%)^Ь^О. Поскольку группа Ь%0
замкнута в тихоновской топологии Ф2 (О), утверждение A)
доказано. []
B6.16) Следствие. Пусть О—локально компактная абелева
группа. Тогда любой характер я|) группы О является поточечным
пределом непрерывных характеров в том смысле, что для каждого
8 > 0 и любого конечного подмножества {хг, х2, ..., хт) ^ О
существует непрерывный характер % группы О, для которого
1х(*/)-Ф(*/)|<е (/=1. 2, ..., т).
х) Это утверждение является абстрактной формой аппроксимационной
теоремы Кронекера. Применения ее см. в B6.19).
18 э. Хьюитт, К. Росс, т. 1

546 Гл. 6\ Характеры и теория двойственности
Доказательство. Рассмотрим X как группу О из B6.15), а
О — как группу 2, и применим B6.15). []
Многие классические теоремы теории эквираспределенных
последовательностей могут быть сведены в некоторую общую
теорему, относящуюся к мере Хаара на компактных группах.
Поэтому кажется уместным привести эту общую теорему;
некоторые ее применения появятся в B6.20).
B6.17) Теорема. Пусть О—локально компактная, с-компакт*
ная абелева группа с мерой Хаара X, и
{Н„}%=!—последовательность множеств, как в A8.14), такая, что Нт . ш С/*&
Нп
есть среднее значение функции / для любой непрерывной почти
периодической функции [ на О. Пусть, далее, Я—любая
компактная абелева группа, а ср—непрерывный гомоморфизм ее на
некоторую плотную подгруппу в И. Пусть, наконец,
\л—нормированная мера Хаара на Н. Тогда для каждого § 6 ® (Я) функция
§ о ф почти периодична и
(>) $«Г^=Нтц^(гоФ)Л.
Н Ип
Далее, если V есть открытое подмножество в Я, для которого
|х((/) = (х ([/"), то
A1) ^^^^^{(ЬОФ)^.
Доказательство. Для любой вещественнозначной
ограниченной Я-измеримой функции к на О пусть ю(А) = Ит -л-ттгт \ кдХ
— ЦМп) л
и со(Л)= Нт ^-я . \ Нйк; для произвольной комплекснознач-
ной ограниченной Х-измеримой функции к положим со (к) —
= 1шг^п{У1 если этот предел существует. Пусть % —
непрерывный характер группы Я, отличный от 1. Тогда
композиция х°Ф есть непрерывный характер группы О и, поскольку
ф(О) плотно в Я, характер х°Ф отличен от 1. Как прямо
следует из A8.2), характер %оф почти периодичен. Если М
есть среднее значение для $1С@), построенное в A8.8), то, как
легко показать, М(%о ф)=0. Отсюда и из A8.14) мы получаем

$ 26. Различные следствия теоремы двойственности 547
<«>(хоФ) = 0- Но, по лемме B3.19), ^%ф = 0. Другими словами,
и
\ X ^ = <*> (х ° Ф)
я
для любого непрерывного характера % на Я, отличного от Г,
это равенство выполняется также}!и при %=1, поскольку
1ф,= 1 =(оA о ф). Поскольку ^ и со, очевидно, линейны и
н н
потому перестановочны с равномерными пределами
последовательностей, мы получаем
5гФ=<*>(г°ф)
н
для любой комплекснозначной функции § на Я, являющейся
равномерным пределом последовательности линейных
комбинаций непрерывных характеров группы Я. Теорема Стоуна—Вей-
ерштрасса показывает, что таким образом мы получаем любую
непрерывную функцию на Я. Тем самым A) доказано. Поскольку
каждая функция § в @(Я) является равномерным пределом
последовательности линейных комбинаций непрерывных
характеров, то же самое "справедливо для функций ^оф, так что
функция §оц) почти периодична A8.3).
Чтобы доказать (и), рассмотрим последовательности {/Лл=1
и \ёп\п=1 функций в @+(Я) такие, что /я</=я+1, &,+!<&..
=|ы ([/"). Существование таких последовательностей функций
следует из регулярности меры Хаара. Очевидно, что
© (/я ° ф)<©(^Оф)<@(^ О ф)~<С0 {%и- Оф)<@(^О ф).
Переходя к пределу при д->оо в этих неравенствах и
используя A), находим
Ц, ((/)< со (%и оф)<о(^оф)<© &г °ф) < A (!/"").
Поскольку, по предположению, |х (Л/) = ^х (Л/—), отсюда и
следует A1). []
Дополнительные теоремы и примеры
B6.18) Примеры групп автоморфизмов, (а) Группа 2
допускает в точности два автоморфизма: I и отображение #ь->—х.
Группа @B) поэтому, очевидно,— дискретная двухэлементная
группа.
18*

548
Гл. 6. Характеры и теория двойственности
(Ь) Группа ©(Г) содержит в точности два элемента: I и
2н>г B3.31а). Группа © G) есть дискретная двухэлементная
группа. [Это также следует из (а) и B6.9).]
(с) Нетрудно показать, что каждый автоморфизм т^©(#)
имеет вид х(х) = ах для некоторого ненулевого вещественного
числа а. Также нетрудно видеть, что топология на ©(/?) есть
топология на (—оо, 0I1@, оо), наследуемая из пространства /?.
Поэтому группа © (/?) топологически изоморфна
мультипликативной труппе всех ненулевых вещественных чисел.
(и) Пусть г>1—целое число, являющееся степенью
простого числа. Группа автоморфизмов группы © (йг) топологически
изоморфна мультипликативной группе всех ненулевых г-ади-
ческих чисел с ее относительной топологией как
подпространства в йг. Это доказывается рассуждениями, похожими на
указанные в (с).
(е) Группа автоморфизмов группы ©(Д^), где
р—произвольное простое целое, топологически изоморфна мультипликативной
подгруппе кольца А^, состоящего из всех х = (х0У х1У х2, ...) ^Ар
таких, что х0Ф0; эта подгруппа рассматривается в ее
относительной топологии как подпространства в А^. [Рассмотрим
любое х^Ар такое, что хоФ0, и определим хх формулой
хх(у) = х'0 для каждого ео^^р. Легко видеть, что %х €®(&р).
Возьмем любой элемент т в ©(А^), и обозначим через и элемент
A, 0, 0, .. .)^А^. Поскольку кратные элемента и плотны в А^,
то же справедливо для х(и). Поэтому х(и)=х, где х0Ф0,
откуда следует "т^т*. Следовательно, отображение хь->т*
является изоморфизмом^на всю группу ©(А^); легко теперь
убедиться, что 5В(А^, А/г) = {хх: х^и + Ак\ при &>1.]
(!) Если О—конечно порожденная дискретная группа, то
группа ©(О) дискретна. [Если Р порождает О, то 23 (Т7, {е})={ь}.]
(§) Пусть т—положительное целое число. Тогда группа
автоморфизмов ©B^) изоморфна дискретной группе всех
целочисленных матриц Л типа тхт> для которых &е1А = \ или
—1. Для такой матрицы А ~(а/к)Ук=1 соответствующий
автоморфизм х группы 2т дается формулой
/« "* \
х(к19 ..., кт)=\ 2 V*/» • > 2 Ь/1т/ I A)
[Единственное неочевидное место здесь — равенство с!е1 Л = ±1.
Матрица Л отвечает элементу х*1 и &е{А и йе{ А~г —
ненулевые целые числа, а (йе[ А) (йеЛ Л) = с1е1 АА~1 = йеа = 1.
Группа <&Bт) дискретна по (!),]
(Ь) Теорема B6.9) показывает, что группа автоморфизмов
группы Тт топологически изоморфна группе @Bда), описанной
в (§). Конкретно, если т^©^) и Л = (ауЧ;)^=1—соответст-

^ 26. Различные следствия теоремы двойственности 549
вующая матрица, то
Т B1, . . . , 2/л; — ^гх 22 • • • 2т » • • • » *1 гг • • • гт /» 1^/
для (г^ ..., гт)€Тт. По теореме B6.9) все элементы из©(Гл)
имеют вид B). [Пусть х~ (г19 ..., 2,Л) = К, ..., хют). Тогда шу
есть значение на элементе F^, 62/, ..., 8т^^2т характера
группы 2т, определенного по т~ (гг, ..., гт)\ эквивалентно, щ
есть значение на т F1у, 62/, ..., бл/) = (а1у, а2/, ..., а^у)
характера группы 2я1, определенного элементом (гг, ..., гл).
Следовательно, Ш] = г*1/... 2^«*/.]
A) Группа автоморфизмов группы Кт топологически
изоморфна группе ®2(#,/я) для любого целого положительного т.
Это можно показать, как в (§); топология на @(^/я), легко
видеть, совпадает с топологией на ®2(/?, т).
(]) Ситуация радикально меняется, если мы рассматриваем
дискретную группу 2т* для бесконечного кардинала т.
Очевидно, что 2т* содержит максимальное независимое множество В
мощности т и что каждый элемент из 2ОТ* может быть
единственным образом записан в виде к1Ъ1-\- ... -\-к8Ь8, где к^Ъ и
Ъ]^В [по очевидным причинам мы записываем группу 2т*
аддитивно]. Элемент т^©B,п*) поэтому вполне определен его'зна-
чениями на В, а об этих последних можно только сказать, что
т (В) есть другое максимальное независимое множество в 2т*,
через которое любой элемент 2,п* единственным образом
выражается. Очевидно, окрестности 93({Ь1У ..., Ът), 0) образуют
открытую базу в точке I группы @ Bт*), и каждое 33 ({Ьи ..., 6т}, 0)
является открытой [и потому замкнутой] подгруппой в @Bт*).
Если бы группа @Bт*) была локально компактной, то
некоторое 33 ({&!, . ..,6Л|, 0) было бы компактным. Пусть &да+1—
любой элемент из В, отличный от Ь1У ..., Ьт. Если бы 33({&!, ...
..., &я}, 0) было компактом, то мы бы могли выбрать тA), ..., %(п)
из %({Ь19 ..., и, 0) так, что 5 т<*>»({6я+1}, О^ЗЗ^, ...
..., 6^}, 0). Для автоморфизма а в у т(АK3({6л+1}, 0) элемент
а (^+1) являлся бы одним из элементов тA) (Ьт+1), ..., т(п) Fл+1).
Существует, однако, элемент а^33({&1, ...уЬт\, 0) такой, что
аФт+г) лежит вне любого заранее заданного множества
мощности менее т. Следовательно, 33A6!, ..., Ьт\, 0) некомпактно
и ©B,п*) не локально компактна.
(к) Для любого бесконечного кардинала т группа
автоморфизмов компактной абелевой группы Тт не является локально
компактной. [Это прямо следует из (]) и B6.9).]

550 Гл. 6. Характеры и теория двойственности
B6.19) Аппроксимационные теоремы (Хьюитт и Цуккер-
ман [1]). Используя B6.15) и B6.16), вместе с вычислениями
характеров, приведенными в § 25, мы можем уточнить
формулировки аппроксимационных теорем Кронекера и получить
некоторые новые аппроксимационные теоремы. Следующие
примеры, хотя и не исчерпывают, но адекватно иллюстрируют
метод.
(а) Пусть а и Ь—положительные целые числа; пусть, далее,
&х, й2, ..., Нь — вещественные числа, линейно независимые над ф,
ъ г
а 1\> = У\ -^-тИъ (/н=1| 2, ..., а), где все /—целые, а т—по-
ложительные целые. Пусть, наконец, %19 ..., |ь—числа из
полуинтервала [0, 1), лгA), ..., х(Ь) —элементы из Ая[а=B, 3, 4,
5, ...)] и 8—некоторое положительное число. Тогда
существует вещественное I, для которого
@
Л/-|Е^г(^-^-2!^-...
(к) - ^
_(т/§%-1)!**} .к-Л\
< е (той 1)
при / = 1, 2, ..., а1). [Здесь мы используем B6.16), где в
качестве группы О взята группа #. Вычисляя произвольный
характер группы К по B5.6) и B5.4), получаем (О.р ~
(Ь) Одна из форм классической аппроксимационной теоремы
Кронекера получается из (а), если положить ть = А, [/= 1, ..., а
и а = Ь] и ха)=...=х{Ь) = 0:
A1) |й/-5у|<е (тосП) (/ = 1, 2 а),
где %и ..., 1а—произвольные вещественные числа, а кг, ..., На—
рационально независимые вещественные числа.
(с) Пусть Н19 А2, ..., Нь — вещественные числа такие, что
1, йг, й2, ..., Нь линейно независимы над ф, и Н0= 1. Пусть, далее,
т1/==5]1 -^—уК (/=1, 2, ..., а), где все /—целые, а всеГга —
положительные целые. Пусть а = B, 3, 4, 5, ...), а дг@), лгA), .. .
..., х{Ь) суть элементы из Аа; пусть %19 |2, ..., %ь—числа
из [0, 1), и 10 = 0; пусть, наконец, 8—положительное вещест-
*) Для вещественного числа а выражение |а| <е (тосГ1) означает, что
а — к\ < е для некоторого целого к.

$ 26. Различные следствия теоремы двойственности §51
венное число. Тогда найдется такое целое я, что
(Ш)
-(т^-^х^^Х^в (тоA1)
для каждого / = 1, 2, ..., а. [Здесь мы используем B6.16) и
B5.7). Выражение {...} в A11) получено по значению
произвольного характера группы Т, вычисленному в ехр [2ш'т)у] и г)у-/г
по значению некоторого непрерывного характера группы Т в
ехр[2шг)у.].]
(А) Можно получить другой вариант аппроксимационной
теоремы Кронекера, полагая т)/ = А/ [/=!» •••» а и Д = Ь] и лг@)=
= ...=л:(&) = 0 в (с). Получаем, таким образом
(IV) |/1у./г-^|<8 (шос11) (/ = 1, 2, ..., а)
для некоторого целого п, где %19 ..., ^Л—произвольные
вещественные числа, а числа Н1% ..., йа таковы, что 1, кг, ..., На
линейно независимы над ф-
(е) Пусть Ь{» = (Р1У), ..., р</>) (у = 1, 2, ..., т) —такие
элементы из #», чтойA>, ..., Ь{»\ A, О,1..., 0(в)), @, 1,0,..., 0(я)), ...
..., @, 0, ..., 0, 1(л)) линейно независимы над ф в векторном
пространстве Яп. Пусть а1У ..., ат—любые вещественные числа,
а 8—положительное число. Тогда существует такой элемент
(к19 /г2, ..., кп)€2п, что
(V)
«/- 2 *|РР
/ = 1
< 8 (той 1) (/=1,2,..., т).
[Применяем B6.16) к Тп и G^)". Чтобы получить характер
группы G^)*, рассмотрим (Та)п как (%а)п/1п и найдем
характер я|э группы (Ка)п такой, что -ф F(^) = ехр [2шау] для каждого
] = 1, ..., т и я|) Bй) == 1. Чтобы получить характеры группы 71",
используем B3.18).]
(I) Пусть Е—топологическое линейное пространство над #,
/г» /2> •••>//» — непрерывные линейные функционалы на ^,
линейно независимые над ф, ах, ..., ат — вещественные числа
и е—положительное число. Существует такой вектор х^Е, что
(VI) /о,—!/(х)]<г (тос!1) (/ = 1, 2, ..., т).
[Используем B6.15), где в качестве абелевой группы О взято
пространство Е. В качестве группы 2 берем группу всех
характеров *1-»ехр[2ш7(*)] при !$Е*. Если /х, /2, ...,/^ суть
элементы из Е*9 независимые над ф, то некоторый линейный
функциональна Е* обладает тем свойством, что ^ (/у) = ау.

552 Гл. 6. Характеры и Шеория двойственнбстй
Поэтому ехр [2шт7 (/Д| = ехр [2шау]; (VI) следует теперь
непосредственно из B6.15).]
(§) Пусть лгA), лгB), ..., х{а)—независимые элементы группы
А^ [где р — любое простое число]:
а
из 2 т>/Х{Л = 0 и т^Ъ следует тх^= ... =та = 0.
/ = 1
Пусть а1У а2, ..., аа— вещественные числа, и пусть дано е > 0.
Существуют такие положительные целые / и я, что
(VII)
п~х .</)
к
«у-'Е^
/г=0 у
<е (тос11) (/ = 1,2, ...,а).
[р-адические целые числа х{1\ х{2\ ..., х{а) порождают
свободную подгруппу в Д^, и потому характер группы Ар может
принимать произвольные значения абсолютной величины 1 на
ха\ ..., х{а\ Непрерывные характеры группы А^ даны в B5.2.2).
Комбинируя эти наблюдения с B6.16), мы и получаем (VII).]
(Ь) Если г|)—любой характер группы ф, а гх, г2, ..., тт суть
произвольные элементы из ф, то существует непрерывный
характер х группы С1 такой, что % (/у) = -ф (Гу) для каждого /=1, ...
. . ., т. [Хотя это утверждение и является достаточно сильной
аппроксимационной теоремой, оно в действительности вполне
элементарно и не зависит ни от B6.15), ни от B6.16). Пусть
а = B, 3, 4, ...) и пусть (^, х)—элемент из группы 2а =
= [0, 1) хАа, соответствующий характеру -ф, как в B5.4). Пусть
п—положительное целое число такое, что я!/*у—целое для
каждого /=1, .-., т. Пусть, наконец, 1 = \ — (х0-{-2\х1-\- ...
... +(п— \)\хп-2)\ согласно B5.4.2), ^>(г;) = ехр [2тг;4].
Определим теперь характер % формулой % (г) = ехр \2тг1] для
любого г €($']
B6.20) Примеры эквираспределений. Теорема B6.17)
допускает много приложений. Ниже приведены только несколько
примеров.
(а) Пусть Н—компактная монотетическая группа, а
множество \хп\^-.оо плотно в Я. Пусть, далее, I) — любое открытое
подмножество в Н такое, что [х (^/) = |х ((/"), где
\л—нормированная мера Хаара на Н. Тогда
(!) р(Щ= Нш 2^гт Ё 1и(х0 =
т-«-«»+»/=_,яг.
1 т
1 ^ 1 Ь
т^*> /-.„ т->¦<*> /=_от

$ 26. Различные следствия теоремы двойственности 553
[Первое равенство прямо следует из B6.17), если положить
0=2, ц)(п)=хп и Нт = {—т, — т+1, ..., О, ..., т— 1, т).
Доказательства остальных равенств аналогичны; см. A8.15Ь).]
(Ь) Пусть Н—компактная соленоидальная группа, и ср —
непрерывный гомоморфизм группы 7? на некоторую плотную
подгруппу в Н. Пусть \х и [/ — те же, что в (а). Тогда
т
(И) {г(г/)= Нт ^ С Ы<Р (<))* =
-Т
Т Ъ
Л.
[Доказательство аналогично доказательству утверждения (а);
используем A8.15а).]
(с) Пусть ах, ..., ат—иррациональные вещественные числа.
Пусть Ц — открытое подмножество в Тт такое, что [х([/) =
= [х ([/"), где [г — нормированная мера Хаара на Тт. Для
каждого положительного целого п пусть А (п)—число различных
т-ок (кг, ...,кт) целых чисел таких, что \к\^п для
каждого /= 1, ..., т и (ехр ^ша^], ..., ехр [2таткт]) лежит в V.
Тогда
Г [Отображение (к19 ..., кт) н-> (ехр рш'а^], ..., ехр [2п1аткт])
является [непрерывным] гомоморфизмом группы 1т на плотную
подгруппу группы Тт. Пусть Нп—множество всех га-ок
(к19 ...,кт) целых чисел таких, что \к/\^п для каждого
/=1, ...,т. Поскольку последовательность \Нп}^1
удовлетворяет условию A8.101), то из B6.17) следует (ш).]
(с1) Пусть а19 ...,ат, II, и |х—как в (с). Предположим,
далее, что множество {а1У ..., ат, 1} линейно независимо над ф.
Для любого положительного целого п пусть В (п)—число таких
целых к, что \к\^.п и (ехр рш'о^б], ..., ехр [2татк]) лежит
в Ц. Тогда
(IV) Пт^ = а([/).
[Множество {(ехр ^шс^б], . . ., ехр [2татк])\ к ^2} является
плотной подгруппой в Тт ввиду B6.19A). Применяем теперь (а).]
B6.21) Модулярная функция для <&F) (Браконье [1], стр. 75
и 76). Пусть С — любая локально компактная группа и X—мера
Хаара на ней. Модулярная функция тн->Д(т), определенная

554
Гл. 6, Характеры и теория двойственности
в A5.26), является непрерывным гомоморфизмом группы ©(О)
в мультипликативную группу @, оо). [Ввиду A5.26) нам нужно
доказать только непрерывность. Пусть /6©<н>@) такова, что
Г^=1, и пусть Р—компактное подмножество в О такое,
о
что /(Р') = 0. Пусть V—фиксированная окрестность единицы е
с компактным замыканием. Для любого е>0 пусть Ц—такая
окрестность единицы е, что ЦаУ и |/(#)—/(г)|<е при
уг~г ^ V A5.4). Пусть теперь т — любой автоморфизм из
»({/-/?,*/). Тогда х^(Р)^\]^Р и |/(т(х))—/ (х) |< е при
х^Ц'Р. Следовательно,
Д(т)-1| = |А(т)-1|^Л =
О
5 /(т(*))<&—^(*)Же |< ^ !/(*(*)) —/(*)!<**<
< ^ гах = гХ(Ц-Р)^гХ(У-р).]
Замечания. Определение B6.3) и теоремы B6.5) [с
некоторыми изменениями, необходимыми для того, чтобы показать
открытость $5(Р, II)], B6.8) и B6.9) взяты из книги Браконье [1],
гл. IV. Теорема B6.10) обобщает одну теорему Ивасавы [2],
теорема 4, стр. 515. ГруппьГавтоморфизмов изучались ранее
Абе [1], но с топологией, отличной от определенной в B6.3).
Подробное изучение^групп гомеоморфизмов локально
компактных хаусдорфовых пространств было проведено Аренсом [1].
Результаты, относящиеся к B6.10), см. Хофман [1].
Отметим также следующую интересную и, по-видимому,
трудную теорему Ивасава [2]. Пусть О — компактная группа, а
&@)—группа всех внутренних автоморфизмов группы О.
Тогда ЩС) является компактной нормальной подгруппой в @@),
а группа @@)/&@) нульмерна. т^*—1
Конструкции и результаты из B6.11) —B6.13) принадлежат
Анзаи и>'Какутани [1]. Теорема B6.14), по-видимому, нова;
B6.15) и B6.16) взяты из работы Хьюитта и Цуккермана [1].
Теорема B6.17), по-видимому, нова,

Приложение А
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
В этом приложении излагаются те факты алгебраической
теории абелевых групп, на которые мы опираемся при изучении
структуры локально компактных абелевых групп (§ 9) и
построении теории двойственности для них (§§ 23—2о). Более
подробное изложение этих вопросов можно найти, например,
в книгах Капланского [1] и, очень подробное,—Фукса [I]1).
Как правило, мы используем мультипликативные
обозначения, делая исключение лишь для групп 2, B, /?, 1(п) и
некоторых линейных пространств; эти исключения каждый раз
оговариваются. В дальнейшем всюду символ О обозначает
некоторую абелеву группу и слово группа—только абелеву группу.
(АЛ) Определение. Если каждый элемент группы О имеет
конечный порядок, то О называется периодической группой,
или группой кручения. Если в группе С нет элементов
конечного порядка, за исключением единицы, О называется группой
без кручения. Периодическая группа называется р-примарной
(р—простое число), если порядок любого ее элемента есть
степень р. Периодическая группа имеет ограниченный порядок,
если порядки ее элементов ограничены некоторым
положительным целым числом.
(А.2) Определение. Зададим гомоморфизм /„: С—+0 группы О
формулой }п (§•) = §п. Обозначим 0{п) = /„ (С) = 1т /„ и 0Ы =
= /^ = Кег/я.
Докажем вначале элементарную, но весьма полезную
теорему о разложении периодической группы.
(А.З) Теорема. Всякая периодическая группа О распадается
в слабое прямое произведение своих р-примарных подгрупп2).
х) Также Понтрягин [7], Курош [\]. — Прим. ред.
2) Т. е. подгрупп, являющихся р-примарными группами. — Прим. ред

556
Приложение А
Доказательство. Пусть 0р—множество элементов в группе О,
порядки которых являются степенями р. Очевидно, Ор—р-при-
марная подгруппа в О. Для доказательства изоморфизма
О « Р* С где произведение берется по всем простым р, вос-
реР
пользуемся критерием B.5).
Вначале проверим выполнение условия B.51), т. е. покажем,
что О совпадает с подгруппой, порожденной всеми группами Ор.
Действительно, пусть элемент х^О имеет порядок п, и п=
= РГ1РГ2 • • • рГ/г> где все р1У р2, ..., рк — различные простые.
Элемент хп/, где П: = п1рг\1, имеет порядок р7 и потому принад-
у
лежит Ср.. В силу взаимной простоты чисел л1э п2, ..., пк
существуют такие целые ах, а2, ..., ак, что ахпг + а2п2 + ... + аАяЛ = 1.
Но тогда х = хг = (хп*)а* (хп*)а*... {хпь)аь е СЛСЛ . •. Ор •
Проверим условие B.5Н). Именно, покажем, что
пересечение Ор с подгруппой, порожденной всеми Ор, при р' Фр,
состоит только из единицы. Действительно, пусть х^Ор и х =
=хх ... хк, где х1 ^ Ор , ру.^= р для любого /. Порядок элемента х
есть степень р, а порядок элемента л^ ... хк — число вида
рГ1р2* • • • рГк 9 где г19 ..., гк—целые числа. Это возможно лишь
при х = е. []
(А.4) Теорема. Любая группа О содержит единственную
со
максимальную периодическую подгруппу, именно, Р = II 0{п).
л=1
[Подгруппа Р называется периодической частью группы С] При
этом О/Р—группа без кручения.
Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, так
как множество всех элементов конечного порядка в О является
подгруппой. Докажем второе утверждение. Пусть (хР)п=хпР=Р.
Тогда хп€Р и хпт = е для некоторого т, откуда х^Р и хР = Р. []
Выделим теперь очень важный, хотя и весьма специальный,
класс абелевых групп.
(А.5) Определение, Группа С называется делимой, если
0{п) = О для любого п = 1, 2, 3, ..., т. е. уравнение хп = а имеет
хотя бы одно решение в С для любых а^О и целого я^1.
Если в группе О единственной делимой подгруппой1)
является {е\, то О называется приведенной группой.
Прямое и слабое прямое произведения групп делимы тогда
и только тогда, когда делимы все множители; гомоморфные
х) Естественно, под делимой подгруппой понимается подгруппа,
являющаяся делимой группой.

Аёелевы групш
667
образы делимых групп делимы, делимыми являются группы ф
и 2(р°°). Ниже (в (А. 14)) мы покажем, что группами этих типов
и исчерпываются все делимые группы: любая делимая группа
распадается в слабое прямое произведение групп B и 2(р°°),
взятых в нужном количестве.
(А.6) Теорема. Любая группа содержит единственную
максимальную делимую подгруппу.
Доказательство. Пусть И—наименьшая подгруппа,
содержащая все делимые подгруппы. Если х^И, то х = хг...хк,
где х]^В], / = 1, ...,/>, и все В]—делимые подгруппы в О.
Каково бы ни было целое положительное п^ 1, в Лу, /= 1 ... к,
найдется такое у-р что #7 = */. Но тогда (уг ... ук)п = хг.. .хк = х,
так что В—делимая подгруппа, очевидно, максимальная. []
Следующая теорема находит много важных применений в
теории топологических групп.
(А.7) Теорема. Пусть Н—подгруппа группы О и пусть
В—делимая группа, тогда любой гомоморфизм ср: Н—+В может
быть продолжен до гомоморфизма я}?: С—>В.
Доказательство. По лемме Цорна [или трансфинитной
индукции] достаточно показать возможность продолжения
гомоморфизма ф на подгруппу
Н0 = {хпк:к^Н и п^1),
где х—произвольный фиксированный элемент, не
принадлежащий Н. Если хп^Н ни при каком п^2, то достаточно
положить я|? (хпН) = ф (к) для любого хпк ^Н0, и продолжение
построено. Если же для некоторых п ^ 2 имеем хп ^ Я, то,
обозначив к наименьшее такое п и зафиксировав любое решение г
уравнения гк = у(хк), положим ^(хпк) = гпу(к). []
(А.8) Теорема. Пусть Н—делимая подгруппа в группе О, и
А—такая подгруппа, что Н[\А~{е}. Тогда существует такая
подгруппа Л0зЛ, что НпА0 = {е\ и НА0 = С [и тогда С
изоморфна прямому произведению НхА0]. В частности, всякая
делимая подгруппа абелевой группы является ее прямым
сомножителем.
Доказательство. Так как Н П А = {е\, то любой элемент
х^НА однозначно представим в виде х^ка, где/г^Я и а^А.
Легко видеть, отображение х = ка\—>(к,а) осуществляет
изоморфизм между группами НА и Н х А. Рассмотрим проекцию ф:
НА—у И, заданную формулой х = ка н-> (к,а)*->к. Очевидно,
Ф | Н—тождественное отображение, и А = Кег <р. По предыдущей
теореме, гомоморфизм.ф в силу делимости Н можно продолжить
до гомоморфизма -ф: 0—+Н, причем, очевидно, АаКег\\) = А0 и

558
Приложение А
г|; о я|з = я]), поскольку г|)(С)=Я иг|)|Я = ф|Я—тождественное
отображение. Докажем, что Н X А0ж О. Действительно,
Н[)А0 = {е\ и, с другой стороны, для любого х^О имеем х =
= '^(х)[^(х~1)х]9 где ^(х)^Н, а ^[^(х)х] = ^(х'1)'^(х) = е,
т. е. Ц(х-1)х€Л0. []
Прежде чем закончить изучение делимых групп, определим
и изучим понятие ранга. Следующий простой факт полезен для
этой цели.
(А.9) Теорема. Если все элементы (кроме е) группы О имеют
один и тот же простой порядок р, то О допускает структуру
линейного пространства над полем вычетов той р.
Доказательство теоремы вполне элементарно, и мы его не
приводим, ограничиваясь лишь непосредственной конструкцией.
В [аддитивно записываемую] циклическую группу 2(р) =
= {О, 1, ...,р — 1} простого порядка р естественно вводится
операция умножения тойр; относительно обеих операций
1 (р) — поле. Определим теперь произведение кх элементов к ^2 (р)
и х^О как ^-кратную сумму х-\-х-\-... -{-х [в О операцию
записываем также аддитивно].
Заметим, что необходимость ограничения на порядки
элементов группы возникает при доказательствах равенств
[(а + Ъ) той р] х = ах + Ьх,
[(аЬ) той р] х = а (Ьх)
при а, Ь 62 (р) и х б С
(АЛО) Определение. Конечную систему {х1у ..., хк\ элементов
группы О будем называть независимой, если она не содержит
элемента е и если из х\хх1г... хП/г = е следует х?[х= ... =х?к =е
к к
[все П]—целые]. Бесконечную систему Ь элементов из О будем
называть независимой, если все ее конечные подсистемы
независимы1). Наконец, базисом группы О мы будем называть любую
независимую систему ее элементов, порождающую всю группу О.
Следующая довольно громоздкая теорема позволит нам
ввести различные понятия рангов.
(А.11) Теорема. Пусть О — любая группа и пусть
семейство Л состоит из всех таких независимых подмножеств ЬаО,
что элементы Ь или имеют бесконечный порядок, или порядок,
равный степени некоторого простого числа, причем Ь
максимальны относительно этих свойств. Аналогично, семейство Л0
[соответственно Лр, где р пробегает множество всех простых чисел Р],
[) К независимым системам удобно причислять также пустую систему.

Абелевы группы
559
состоит из всех независимых множеств Ь, элементы которых
имеют бесконечный порядок [порядок, равный степени р], мак-
симальных относительно этих свойств. Тогда: (I) каждое
семейство Л, Л0, Лр непусто] (II) любое Ь^Л представимо в виде
1 = Ь^[}{{] Ьр)^ где Ь0€Л0, Ьр^Ар\ (III) любые два множества
реР
одного и того же семейства имеют одинаковую мощность.
Доказательство. (I) Непустота семейств Л, Л0, Лр легко
устанавливается с использованием леммы Цорна, поскольку
пустое множество, по нашему соглашению, независимо.
(II) Рассмотрим множество Ь^Л. Выделим из него
множество Ь0 элементов бесконечного порядка, и, для каждого
простого р,—множества Ь элементов порядка, равного степени р.
Очевидно, Ь = Ь0[}( II Ьр), и каждое из Ь0, Ьр независимо.
Остается доказать максимальность Ь0 и Ьр для любого
простого р. Пусть Ь0 — не максимальное, т. е. существует такой
элементами бесконечного порядка, что Ь0[){а\ — независимое
множество. Но, легко видеть, тогда и 1,1) {а} — независимое
множество, что противоречит выбору Ь^Л. Чуть менее
тривиально доказательство максимальности Ьр. Пусть элемент а^О
имеет порядок рк, а множество Ьр\] {а} независимо. Если
множество Ь[}{а) зависимо, то ап808^р = е1 где 0 < п < рЛ, з0 есть
произведение степеней элементов из Ь0у 5^—произведение
степеней элементов из Ьр, а 1р — произведение степеней элементов
из II Ьд. Существует такое взаимно простое с р число ту что
ЯФР
1™ = е. Тогда апт8™8™^=е, причем аптФе. Поскольку Ьр{]{а)
независимо, то з0 Ф е. Но 8%р1 = (апт8™8™)р1 = е для некоторого
целого /, что противоречит независимости Ь0.
(III) Учитывая (II), достаточно доказать утверждение (III)
для Л0 и всех Лр,— для Л оно будет следовать автоматически.
Разобьем доказательство на три этапа. Сначала докажем
утверждения для всех Ару затем,— в случае группы без кручения —
для А0 и, наконец, для А0 в общем случае.
1. Пусть р — некоторое простое. Для простоты—без
ограничения общности—будем считать, что [на этот раз аддитивно
записываемая] группа О р-примарна. Согласно
предложению (А.9), подгруппа 0{) = {х^О : рх = 0} является
линейным пространством над полем 2(р). Из теории линейных
пространств хорошо известно, что любые два базиса в линейном
пространстве имеют одинаковую мощность. Воспользуемся
этим фактом. Пусть Ь есть некоторое максимальное
независимое множество в С. Обозначим р1х порядок элемента х 6 О
и положим Ь — {р*х-1х:х€Ц. Очевидно, ЬаС{р), и Ь линейно
независимо в С(р). Остается показать, таким образом, максималь-

560
Приложение А
ность Ьс:0(р)у т. е. что Ь является базисом Х) линейного
пространства 0(р). Итак, предположим, что Ь не максимально, т. е.
что а^О{р)(](Су и что Ь[) {а} линейно независимо. Поскольку
^ максимально в О, множество Ь\}{а) не является
независимым, и потому для некоторых целых п1У п2У ..., пкУ п имеем
па = п1х1 + п2х2+... + пкхкУ A)
где 0 < п < р и ху. ^ ^, / = 1, 2, ..., к. Тогда
0 = рпа = /шл + р/г2х2 + ... + рпкхкУ B)
и потому рп,;Х; = 0 для каждого /, так что рп1^т]р */, где
ту—некоторые целые. Подставляя в равенство A), получаем
па=т1р1хг1х1+ ... -\-ткр1хк~1хк.
Поскольку пафО, получили противоречие с линейной
независимостью множества Ь[]{а\ в 6{р).
2. Докажем равномощность всех множеств из Л0 в
случае , когда О—группа без крученая. Вернемся к
мультипликативным обозначениям. Предположим вначале, что в С есть
конечное максимальное независимое подмножество Ь = \х19 . . .
..., хк\. Пусть С' = \у1У ..., уг\—любое другое конечное
максимальное независимое подмножество. Покажем, что к^гу—
тем самым, в силу произвольности выбора этих подмножеств,
и к--=г. Из максимальности Ь следует, что у1 = х%*. ..х'ьк,
причем п ф 0. Поскольку в О нет элементов конечного порядка,
не все ту.^0; пусть, например, тгФ0. Тогда нетрудно
показать, что {у1У х2У ..., хк) также—максимальная независимая
система. Если г ^2, продолжаем рассуждение дальше: у[ —
= У$1Х82\ . .х1кУ где по крайней мере одно из 52, ..., зк отлично
от нуля. Пусть, например, 82Ф0. Тогда \у1У у2У хЗУ ..., хк} —
максимальное множество. Продолжая процесс дальше, мы
остановимся, когда у нас кончатся элементы х или у. Если к < гу
то мы получим в конце концов максимальное независимое
множество {у1У у2У ..., ук\у являющееся собственным
подмножеством независимого подмножества \у1У ..., уг\у что невозможно.
Завершим доказательство утверждения (III) для группы без
кручения, показав, что в случае любого бесконечного Ь^Л0
имеем Ь^О. Очевидно, Г^б. Чтобы доказать обратное
неравенство, построим взаимно однозначное отображение группы О
в слабое прямое произведение Р* С1Х, BХ=С1, ^ экземпляров
х<=Ь
*) Легко проверить, что в 0{р) понятия базиса линейного пространства
над 2 (р) и базиса группы 0(р) совпадают. — Прим. ред.

Абелевы группы
561
группы рациональных чисел ф. Пусть г^О— любое. Тогда
гп = х?1.. .хьк, х1У х2У ..., хк $ЬУ пФ О, причем числа пг/пу
п2/пу ..., пк/п определены однозначно1) элементом г. Положим
тогда ф(г) = E*),61.€ Р* <Э*> ГДе в*/ = лу//1 при /= 1, ..., й и
5^ = 0 при хфх19 х2У ..., я^. Если г =7^=^, то ф(г)^=ф(ш).
Действительно, если гл = ^[1.. .*%*, шт = х™х.. .41* и т//т = п//п
для всех /=1, ...,&, то г/вя = до'ял, откуда 2 = и;, поскольку
в О нет элементов конечного порядка. Итак, ф — взаимно
однозначно, и поэтому О^Г-#0 = 1.
3. Пусть теперь О—любая группа и пусть Р—ее
периодическая часть [теорема (А.4)]. Пусть, далее, Ь^Л0.
Покажем, что Ь==\хР : х^Ь)—максимальное независимое множество
в группе без кручения О/Р0. Тогда из доказанного в
предыдущем пункте следует, что мощность Ъ [и потому Ц определена
однозначно. Итак, допустим, что система Ь зависима, т. е.
№)"*№)"*... (хкР)п* = Р
для некоторых целых п1У п2У ..., пк и х1У х2У ..., хк^Ь. Но
тогда х.. .х^ь^Р и потому для некоторого целого т^\ имеем
(х.. .Хьк)т = е, так что, в силу независимости множества Ьу
хрт=:еу /=1, ..., /г, и потому Пу — 0 для всех / = 1, ...,/г.
Независимость множества Ь доказана. Если Ь не максимально,
то существует такой элемент а^О бесконечного порядка, что
Ь II {аР\ независимо. Однако, для некоторых целых пу т1У ..., т8У
имеем ап = х™1... х?*, пфОу так что (ар)п = (ххР)т^... (х3Р)т*,
что противоречит выбору а. []
(А.12) Определение. Мощности множеств из систем Лу <Л0У
Лру введенных в теореме (А. 11), назовем рангом, свободным
рангом [или рангом по модулю кручения] и р-рангом
соответственно, и обозначим г (О), г0(О), гр@).
(А. 13) Теорема. Пусть Р—периодическая часть группы О.
Тогда г0(в) = г0(О/Р) = г (О/Р) и гр@) = гр(Р) для любого
простого р.
Доказательство. Равенства гр (О) = гр (Р) и г0 (О/Р) = г (О/Р)
следуют прямо из определения рангов. Равенство г0@) = г (О/Р)
установлено в п. 3 доказательства теоремы (А.11). []
Докажем теперь основную структурную теорему о делимых
группах.
а) По существу, однозначность можно не использовать, рассматривая
многозначные отображения.

562 Пралооюение А
(А. 14) Теорема. Любая делимая группа О разлагается в
слабое прямое произведение
<2МО*х Р* B(р»)гр1°)*)
реР
групп, изоморфных @ и 2>(р™) [здесь Р—множество всех
простых чисел].
Доказательство. Пусть'/7—периодическая часть группы О.
Очевидно, Р, как и вся О, делима. По теореме (А.8) группа О
изоморфна прямому произведению РхН, так что НжС/Р.
Займемся вначале группой Я, используя для нее
аддитивную запись, поскольку собираемся применять теорию линейных
пространств. Так как 0/Р—группа без кручения, то и Я —
группа без кручения, а поскольку Я—гомоморфный образ
делимой группы, то и Я—делимая группа. Мы покажем, что Я—
линейное пространство над полем B и потому изоморфно слабому
произведению ф"»* — Р*() п0экземпляров поля ф, где
п0—мощность базиса в Я. Действительно, группа Я делима, так что
для любого х^Н и любого целого положительного п
существует элемент у^Н, для которого пу = х, причем этот элемент
единствен, так как в Я нет элементов конечного порядка: из
пуг = пу2 следовало бы п(у1—у2) = 0 и Ух=у2- Обозначим
поэтому найденный элемент у через — х. Теперь уже ясно, как
определяется гх для любого рационального /*$(). Аксиомы
линейного пространства над полем проверяются автоматически.
Как обычно в теории линейных пространств, получаем, что
Я^ф1'0*, где гт0—мощность базиса линейного пространства Я.
Перейдем к сомножителю Р. Согласно теореме (А.З),
делимая периодическая группа Р изоморфна слабому произведению
Р* 0ру где Ор—[делимая] р-примарная йодгруппа в Р. Зафик-
реР
сируем р и рассмотрим некоторое семейство {Л^е/ подгрупп
группы 0р таких, что А1& 2 (р™) и:
если хгх2...хк = еу где х1^А1. и все 1у- различны,
то Х; = е для всех /=1, 2, ..., к. A)
Тогда, в силу критерия B.5), наименьшая подгруппа в Ор,
содержащая все Аи изоморфна слабому прямому произведению
подгрупп 2(/?°°). Обозначим через Л множество всех таких
семейств подгрупп в Ср. Легко доказать [применяя лемму
Цориа] что существует максимальное семейство {В,,}че/ в Л.
Если В — наименьшая подгруппа, содержащая все Ви то б —
слабое прямое произведение трупп 2 (р00). В силу делимости В,
согласно теореме (А.8), существует такая подгруппа С, что
В(]С = {е} и ВС = Ор, причем, в силу делимости Ср, С — также

Абелевы групйы
563
делима. Используя последнее свойство, построим
последовательность х19 х2У х3, ... в С такую, что х$ = е, хр = хх и т. д.
Рассмотрим подгруппу В0У порожденную элементами {*„}"=!, и
отображение Луь-^ехр -^ этой подгруппы в комплексную
плоскость. Это отображение, очевидно, продолжается до
изоморфизма В0 на 2(рсс) и поэтому {В0\ II {В1\1е] ^Л. Это
противоречие показывает, что В = Ор.
Итак, мы доказали, что группа О изоморфна группе
д»о*х р*[2(р°°)У]
реР
для некоторых кардиналов п и \\р. Но ранг по модулю
кручения и р-ранги этой последней группы суть и0 и \\р
соответственно; таким образом, ц0 = г0(С) и пр = гр@) для любого
р^р. и
При изучении многих вопросов теории локально компактных
абелевых групп полезно уметь вкладывать любую абелеву
группу О в некоторую делимую группу Е, причем
минимальным образом в том смысле, что ни в какую собственную
делимую подгруппу группы Е группа С не вкладывается. Мы будем
тогда называть группу Е минимальным делимым расширением
группы О.
(А. 15) Теорема. Всякая группа О имеет минимальное делимое
расширение.
Доказательство. Покажем вначале, что группу С можно
вложить в некоторую делимую группу, а затем покажем, как
по любому вложению построить минимальное.
Пусть т = 0 и для любого х^О пусть Ъх—бесконечная
циклическая группа 2. Рассмотрим слабое прямое произведение
2*п* __ р* %х и определим отображение <р группы 2Ш* в О фор-
хеХ
мулой
ф ((*,))=П А
хеб
причем произведение определено, поскольку для любого (кх)
оно в действительности конечно. Очевидно, <р — гомоморфизм
на всю группу С, так что группа С изоморфна факторгруппе
2,п*/#, где Л/г = ф-1(е). Вложим 2ш*/# в 0,Ш*1М. Последняя
группа делима, поскольку является гомоморфным образом
делимой группы фш*. Итак, изоморфный образ О содержится в
делимой группе 50 = ^Ш*/^V.
Пусть Н—делимая подгруппа в Е0=H, максимальная по
отношению к свойству С[]Н = {е}. По (А.8) существует такая

664
Приложение А
подгруппа ЕаЕОУ чтобаЕ, Е[)Н={е\ и ЕН=Е0. Значит, Е есть
прямой сомножитель в Е0 и потому есть делимая группа.
Докажем, что Е — минимальное делимое расширение группы С.
Предположим противное,— что существует делимая собственная
подгруппа БаЕ, содержащая О. Снова применяя (А.8), находим
делимую подгруппу Н0 в Е с Н0Ф{е\у ОП0 = Е и О[)Н0 = {е\.
Тогда подгруппа НН0 собственно содержит Н и изоморфна
#Х#0, причем (НН0) П 0=={е\. Значит, НН0—делимая подгруппа
в Е0У содержащая Н и не пересекающаяся с С, что
противоречит максимальности Н.{\
(А.16) Теорема. Пусть О—группа, и Е — ее минимальное
делимое расширение. Тогда г0^Е) = г0(О) и гр@) = гр(Е) для
любого простого р. Если Ех—другое минимальное делимое
расширение группы О, то существует изоморфное отображение ср
группы Е на Е19 тождественное на О.
Доказательство. Очевидно, что г0 (О)^г0(Е) и гр@)^гр(Е)
для любого простого р. Рассмотрим любой элемент Ь0
семейства <А0, построенного по группе С. Тогда Ь0 принадлежит
семейству Л0у построенному по Е. Действительно, пусть
Н—группа, порожденная Ь0У пусть элемент а^Е имеет
бесконечный порядок и ап^Ну /1=1, 2, ... Существует подгруппа
С10с:Еу содержащая а и изоморфная полю рациональных чисел С}
[это прямо следует из приведенного в (А. 14) разложения Е].
Тогда ф0пО = {е}, поскольку в противном случае некоторая
целочисленная степень аг элемента а принадлежала бы О и
Ь^[]{аг\ оказалось бы независимым множеством в О,
содержащим только элементы бесконечного порядка. По (А.8) найдется
делимая подгруппа БаЕ, содержащая О, с ОГ\B0 = {е\ и
ОС10 = Е, что противоречит минимальности Е. Следовательно,
Ь0 принадлежит семейству <А0 для Е и потому г0(Е)^г0(С).
Аналогично можно показать, что гр(Е)^.гр(С) для любого
простого р.
Пусть теперь Ег—любое другое минимальное делимое
расширение группы О. По (А.7) тождественное отображение
группы О на себя можно продолжить до гомоморфизма ср: Е—>ЕХ
в силу делимости Ег. Тогда группа ф^с:^! содержит О и
делима, следовательно, <р(Е) = Е1 по минимальности Ех.
Предположим, что гомоморфизм ф не взаимно однозначен, т. е. что
ф-1 (е) Ф {е}. Поскольку ф-1 (ё) Л О = {е\у найдется такой элемент
я€ф_1(е)> афеу что из ап^О следует ап = е. Как и в
предыдущем абзаце, тогда существует делимая подгруппа Ву
содержащая. О с а^Иу что снова противоречит минимальности Е. \\
(А. 17) Теорема. Пусть О—группа, Е—ее минимальное дели-
мое расширение. Тогда Е/О — периодическая группа. Если О

АбеАевы группы
565
вложима в делимую группу без кручения О и при этом группа
О/О периодична, то В—минимальное делимое расширение
группы О.
Доказательство. Рассмотрим подгруппу Е0^{х^Е: хп^0
для некоторого положительного целого я}. Конечно, Е0=H я
Е0/0—периодическая группа. Остается показать, что на самом
деле Е = Е0. Действительно, группа Е0 делима, так как для
любых целого положительного к и х^Е0 имеем хп^О для
некоторого п и гк = х для некоторого г^шЕ. Следовательно,
гкп=хп€б, т. е. г^Е0, Равенство Е = Е0 следует теперь из
минимальности Е.
Рассматриваем второе утверждение теоремы. Пусть
О—делимая группа без кручения, 1H—делимая группа, 0аО0с:О и
О/О—периодическая группа. В силу периодичности О/О для
любого а^Е> существует такое я, что ап^0. Но уравнение
хп = ап разрешимо и в Д>, откуда (ха~х)п = е и, в силу
отсутствия в О элементов конечного порядка, х = а. []
(А.18) Замечание. Подгруппа Н группы О, порожденная
некоторым независимым множеством элементов, является
слабым прямым произведением циклических групп, образующие
которых суть элементы данного множества. Доказательство
этого факта элементарно.
При изучении структуры компактной абелевой группы нам
потребуется следующее теоретико-групповое понятие, которое
мы затем изучим.
(А.19) Определение. Подгруппа Н группы О называется
чистой или сервантной [в С], если для любого Н^Н из
разрешимости уравнения хп = к в О следует его разрешимость в Н
для любого целого положительного я.
Очевидно, тривиальная подгруппа \е) и сама группа О
являются сервантными; сервантными также являются прямые
сомножители.
(А.20) Теорема. Пусть О—группа, Н—ее подгруппа.
Следующие утверждения эквивалентны:
(\) Н сервантна в О;
(И) Я(Я, = ЯП0(Л) для любого я-2, 3, ...;
(ш) /-1(Я)=ЯО(я) для любого я —2, 3, ...,
где, как в (А.2), /д = *«, /я: 0~->С, 0<»> = 1т/в; 0(я) = Кег/я.
Доказательство. Включение Н{п)аН(]0{п) выполнено для
любой подгруппы Н. Легко видеть, сервантность Н в О
эквивалентна включению НШ=)Н П 0(л), так что @ и (и)
эквивалентны.

566
Приложение А
Докажем, что из A) следует A11). Включение /~х (Я)зЯО(„)
выполнено для любой подгруппы Я. Если же Я сервантна и
^^!пх(Н), то хп^Н и хп = уп для некоторого у^Н. Поэтому
и у~1х^О(пЬ откуда х^=у(у~1х) ^НО{пУ Докажем, наконец,
что из (ш) следует A). Пусть ^(ЩаНО^у и хп^Н9 тогда
х^ку, где к^Н и уп = е. Следовательно, кп = хп и потому Я
сервантна в 0.[]
(А.21) Теорема. Пусть Я — сервантная подгруппа группы О.
В каждом классе смежности по Я содержится элемент уу
порядок которого в Н равен порядку элемента уН в 0/Н.
Доказательство. Если класс смежности имеет бесконечный
порядок в 0/Н, то и все содержащиеся в нем элементы имеют
бесконечный порядок. Пусть теперь класс смежности хН имеет
порядок п. Тогдал^Я и в Я содержится элемент к с кп = хп.
Положим у=хк~1. Тогда у^хН и уп = е. Если бы порядок
элемента у был меньше п, то и класс уН имел бы порядок
меньше п. Значит, порядки у и хН равны. []
(А.22) Теорема. Если факторгруппа О/Н по сервантной
подгруппе Я изоморфна слабому прямому произведению
циклических групп, то Я выделяется прямым сомножителем в С,
т.е. О ж Нх@/Н).
Доказательство. Выберем в каждом циклическом
сомножителе группы 0/Н образующую хаН. Согласно теореме (А.21)
можно предположить, что порядки элементов ха равны порядкам
элементов хаН в 0/Н. Пусть М—подгруппа О, порожденная
всеми ха. Покажем, что ЫН = 0 и М()Н = {е}, откуда, по B.4),
будет следовать изоморфизм СжЫхН, причем, очевидно,
ЫжО/Н.
Рассмотрим любое у ^ С. Тогда уН — (ха1Н)п*... (ха}Н)пк Для
некоторых целых п1У ..., пк и индексов а19 ..., акУ и потому
и = хп*.. .х"ьН для некоторого к^Н. Следовательно, у^МН и
МН = 0. Пусть теперь к^МпН. Тогда к = х™*.. .х™* и,
следовательно, {ХахН)т*.. .(ХазЩт* = Н. Последнее же, в силу выбора
классов ха.Н, возможно, лишь если все ту- кратны
порядкам ха.Н и потому порядкам ха.. Итак, *™/ = е для всех / и
к = е.П '
Теорема (А.24) ниже представляет другой
теоретико-групповой факт, требующийся для анализа компактных абелевых групп.
Вначале сформулируем и докажем одно вспомогательное
утверждение.

Абелевы группы
567
(А.23) Лемма. Если р-примарная группа О не делима, то
она содержит нетривиальную циклическую подгруппу, сервант-
ную в О.
Доказательство. (I) Предположим вначале, что для каждого
элемента х^О порядка р и для каждого целого
положительного к существует такое у^О, что ур = х. Докажем, что тогда
О—делима. Пусть § $ О, ц—любое простое, отличное от /?, и р1 —
порядок элемента §. Покажем разрешимость в О уравнения
у4=§. Действительно, для некоторых целых а и Ъ имеем
1=ар1-\-Ьд, так что §^= (§р1)а(§ь)^ = (§ь)^, что и требовалось.
Докажем теперь ^разрешимость уравнения ур = § для любого
8^0- Обозначим рк порядок элемента § и проведем индукцию
по к. Для к = 1 утверждение содержится в исходном
предположении о группе О. Пусть утверждение доказано для всех
элементов группы О порядка ^ к— 1, и пусть порядок § равен рк.
Так как порядок элемента §р ~1 равен р, то существует у (= О,
для которого #р =§р ~\ Тогда {урё~)р " =е и, по индуктивному
предположению, ур§"г ^гр для некоторого г. Но тогда § = (уг~1)р,
что и требовалось. Последний шаг очевиден: из разрешимости
уравнения хГ = § для любого простого г следует его
разрешимость и для любого целого г.
(II) Строим теперь нужную подгруппу. Найдем, пользуясь
тем, что утверждение (I) ложно, такой элемент § порядка р
и такое положительное целое к, что уравнение у? ~ =§
разрешимо в О, а гР =§—не разрешимо. Покажем, что подгруппа А/\
порожденная любым решением^ первого уравнения,— искомая,
т. е. сервантная. Действительно, пусть хют = уг, где т и I —
целые, и 0 < I < рк. Докажем существование такого целого с,
что (ус)т = у*. Пусть 1 = ир1, где и взаимно просто с р и 1<к—1.
Покажем, что р1+1 не делит т. В самом деле, если оно делит,
т. е. уир =ы)Р +1гдля некоторого целого г, то существуют такие
а и Ъ, что \=аи-\~Ър, откуда получаем
§ = уРк~Х = у^Рк~Х уЪр* = у^рк-г = {уир1 ур*-1'1 =
= (хаР1+1г)аРк~1~1 = (хюаг)Рк,
в противоречие с предположением о неразрешимости уравнения
гР =д. Следовательно, общий наибольший делитель чисел т й
рк есть р1\ где /'<!/. Как обычно, ищем целые с и А, для
которых 1 = ир1 = ст-\-Aрк, и получаем •шт = у'1 = устур й = {ус)т. ?
Далее нам потребуется следующее понятие: подмножество Ь
группы О называется сервантно независимым [или чисто
независимым], если оно независимо, а порожденная^им подгруппа
сервантна в О. Стандартное рассуждение с применением леммы

568
Приложение А
Цорна показывает, что любое сервантно независимое множество
содержится в некотором максимальном сервантно независимом
множестве.
(А.24) Теорема. Пусть О— р-примарная группа. Тогда О
содержит такую подгруппу Ву что
(г) В изоморфна слабому прямому произведению циклических
групп;
(и) В сервантна в О;
A11) факторгруппа О/В делима.
Доказательство. Пусть Ь—некоторое максимальное сервантно
независимое множество в О. Если Ь—пустое множество, то
группа 0 делима, как показывает лемма (А.23), и достаточно
положить В = {е\. Если же Ь непусто, обозначим В
порожденную им подгруппу. По определению сервантной независимости,
В сервантна в О и, очевидно, есть слабое прямое
произведение циклических групп. Докажем делимость О /В. Допустим
противное; тогда по лемме (А. 23) группа О/В содержит
нетривиальную циклическую подгруппу, сервантную в О/В. Пусть,
например, образующей этой подгруппы является х0В. Сервант-
ность подгруппы В в О позволяет [теорема (А.21)] выбрать х0
так, что порядок х0 в О равен порядку х0В в О/В. Ясно, что
Ь[)\х0\— независимое в О множество. Доказав его сервантность,
получим искомое противоречие с максимальностью Ь. Любой
элемент группы, порожденной Ь(}{х0}, имеет вид Ьх"у гдей^В.
Пусть Ьх% = уту где т — некоторое положительное целое, а у ^ О.
Тогда х%В=утВ. В силу сёрвантности подгруппы, порожденной
элементом х0В в О/Б, существует такое целое &, что (х0В)п = (х^В)т
и потому (х\В)т=утВ. Получаем, что элемент (х1у~1)т=х^пу~т
принадлежит В. Пользуясь еще раз сервантностью В в О,
находим Ь0^В, для которого (х*у~1)т=Ь%'. Тогда ут¦ = {х\Ъ^г)т.[]
Теперь изучим строение групп ограниченного порядка.
(А.25) Теорема. Каждая группа О ограниченного порядка
изоморфна слабому прямому произведению ?*2 {р[1) цикличе-
ских групп, где имеется лишь конечное число различных р1У и
то же для /\. Обратно, всякое такое произведение есть группа
ограниченного порядка.
Доказательство. Используя теорему (А.З), представляем О
в виде слабого прямого произведения /7-примарных групп.
В каждой такой подгруппе по теореме (А.24) можно выделить
сервантную подгруппу Вру факторгруппа по которой делима.
Но единственная делимая группа ограниченного
порядка—тривиальная группа [теорема (А. 14)], так что Вр = Ору причем Вр

АбелевЫ группы
§69
изоморфна по (А.24) слабому прямому произведению
циклических групп. Остальные утверждения теоремы очевидны1). []
Если группа О порождается некоторым конечным множеством,
то она называется конечно порожденной. Используя
следующую теорему [важную и саму по себе], мы докажем затем
фундаментальную теорему (А.27), классифицирующую все
конечно порожденные2) группы.
(А.26) Теорема. Пусть п — некоторое положительное целое,
и Н — нетривиальная подгруппа группы Ъп. Тогда существуют
такой базис {х±, ...,дгй} [см. (АЛО)] в 1п и такая
последовательность {&!, ...,кг\ положительных целых чисел, чтог^п и
0) {К*и • • •» кгхг} — базис в Я3),
(п) к] делит к/+1 для любого /=1, ..., г—1.
Доказательство. Число п—мощность любого базиса в 2п. Если
л = 1, то 1п—циклическая группа, и теорема очевидна. Пусть
теорема доказана для п—1. Для любого й^йи любого
базиса \у19 ...,Уп\ в Ъп можем написать разложение к = 11у1 +
+ • • • -\-1пУп- Обозначим кх наименьшее положительное целое
такое, что для некоторого ненулевого Н0^Н и некоторого базиса
{У\у • • •» Уп\ в Хп число кг является одним из /у- в
соответствующем разложении. Таким образом,
где т2У ...,тп—некоторые целые, очевидно, не меньшие кл.
Покажем, что кг делит все т] при \ = 2, ...уп. Если
т;. = а;-к1-\-Ь;., где 0^йу. < &, то
Ьо = Ь1х1+Ь1у1+ ... +Ь„уп9
где х1=у1 + а2у2 + ... + апУп- Нетрудно показать, что
{*1> Уы •••» Уп) — базис для 2Л, так что из минимальности кх
следует сразу, что все Ь1—нули. Заметим также, что Н0 = к1х1.
Пусть теперь О—подгруппа в 2п, порожденная множеством
\У2> • - ->Уп\- Тогда О изоморфна Iй. Если Оп# = {0}, то
Н = {1к1х1: I €%} и теорема, очевидно, справедлива для Н. В
противном случае наше индуктивное предположение позволяет
построить базис {дг2,..., хп\ в С и последовательность {к2У... ,кг\
такие, что {к2х2У ...,кгхг\ есть базис для СПЯ и
ку делит ку+1 для всех / = 2, ...,г — 1.
Легко убедиться, что {хх, ...,хп\ — базис для 2п.
*) Этот вывод теоремы (А.25) из (А.24) был нам указан Р. С. Пирсом.
2) Напомним, что речь идет лишь об абелевых группах.
3) Напомним, что для группы 2 и ее производных, в частности 2,п,
сохраняются аддитивные обозначения.

570
Приложение А
Предположим, что Л^Я, и пусть Н = 11х1+... +1пхп. Если
11=81к1 + с9 где 0<с<^, то
А—5 А = схх + 12х2 + ... + 1пхп
и из минимальности кг следует, что с = 0. Поэтому к—5ХА0^
^ОПЯ, так что к—81к0 = 82к2х2 + .. - + згкгхг и Н = 81к1х1+...
... +5г&глгг. Поскольку {кхх19 ..., ^глгг}—независимое
множество, A) доказано.
Остается проверить, что кх делит к2. Пусть к2 = акх + Ь9 где
0<Ь<Ах. Тогда {хх + ах29 х29 ..., хп}—базис для 2", и
к1х1 + к2х2 = к1 (хг + ах2) + Ьх2. Минимальность кг показывает,
что 6 = 0. []
(А.27) Теорема. Любая конечно порожденная группа О
изоморфна прямому произведению конечного числа циклических
групп, каждая из которых либо бесконечна, либо имеет
порядком степень простого числа.
Доказательство. Пусть \у19 ...,*/„}—множество,
порождающее О, и пусть для любого (т1У ..., тп)€%п
п
Ф((т1э ...,тв)) = Ц^У.
Тогда ф —гомоморфизм 1п на О, причем 6&2п/Н, где Я = Кегф.
Если Я = {0}, то О изоморфно 1п. В противном случае теорема
(А.26) показывает, что существуют такие базис \х19 ..., хп\
в 2п и последовательность положительных целых \к19 . ..,&г},
что \кхх19 ..., кГхг\—базис для Я. Отображение <ф: Ъп—+Ъ (кг) X
X... X 2 (кг)х2п~г9 определяемое формулой ф(тА+-. .+/плл:п)=
= (тх (той ^), ..., тг (тойкг)у тг+1, ..., т„), есть гомоморфизм
2" на 2(кг)Х ... х2{кг)х2п~г с ядром Я. Поэтому О
изоморфно 2(кг)х ... х2(кг)х2п~г. Наконец, по теореме (А.25),
каждое^ (йг)—произведение циклических групп, порядки которых—
степени простых чисел. []

Приложение В
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Здесь мы изложим набросок теории топологических линейных
пространств. Поскольку в настоящее время существует
множество превосходных книг на эту тему, мы в большинстве случаев
ограничиваемся вместо доказательств ссылкой на одну из них.
Однако, мы предпочли дать доказательство теоремы Крейна —
Мильмана, имея в виду ее важность для теории представлений,
поскольку, к тому же, не могли дать ссылку на достаточно
простое ее доказательство.
(ВЛ) Определение. Пусть Р — поле, а Е — абелева группа,
записываемая аддитивно. Предположим, что для любых а^Р
и х^Е определен элемент ал:, называемый произведением
элементов аил:, так, что выполнены аксиомы:
(О а(х + у) = ах + ау;
(и) (а + р) х = ал: + Р*;
(Ш) а($х) = сфх]
(IV) 1-Х = Х
для любых а, р^/7 и х^у^Е. Тогда Е называется линейным
(или векторным) пространством над полем Р\ элементы поля р
называются скалярами, а само Р—полем скаляров или
скалярным полем. Символ 0 обозначает теперь одновременно нулевой
элемент группы Е и нуль поля Р. Если Р = Я или Р = К, то
линейное пространство называется соответственно вещественным
или комплексным.
Всегда, если поле скаляров не упоминается, мы подразумеваем
поле комплексных чисел, идет ли речь о «линейном пространстве»,
«банаховом пространстве», «гильбертовом пространстве», или
«пространстве линейных функционалов».
(В.2) Определение. Пусть Е — линейное пространство над
полем Р. Любое подмножество .Б0с: Е, которое само по себе
относительно тех же операций является линейным
пространством над Р, называется линейным подпространством простран-

572
Приложение В
ства Е. Поскольку всякое линейное подпространство Е0 в Е
является в то же время подгруппой группы Е, можно
рассмотреть факторгруппу Е/Е0. Если х и х' принадлежат одному и
тому же классу смежности по Е0, то и произведения ах и ах'
для любого а^Р принадлежат одному и тому же классу
смежности. Поэтому для элементов факторгруппы можно определить
умножение на элементы поля Р: а (хЕ0) = (ах) Е0 (где для любых
А с Е и а^Р через а А обозначено множество {ах: х^А}). Легко
видеть, Е/Е0 превращается таким образом также в линейное
пространство над Р; оно называется факторпространством Е
по Е0.
Пусть Е—вещественное или комплексное линейное
пространство. Элемент агхг-\-... -\-атхт называется выпуклой комби-
нацией элементов хг, ..., хт ^ Е, если ах -\-... + ат = 1 и все
а,- €# неотрицательны. Подмножество Аа Е называется
выпуклым, если любая выпуклая комбинация элементов из Л снова
принадлежит Л.
Прямая сумма линейных пространств Еи 1^7, определяется,
как прямое произведение Р Еь групп Еь, причем умножение
на скаляры вводится покоординатно. Для конечного семейства
линейных пространств Еь прямая сумма также обозначается
Для любых двух линейных пространств Е и Е' над одним
и тем же полем Р отображение Т: Е—>Е' называется
аддитивным, если Т (х + у) = Т (х) + Т (у) для любых х, у ^Е, и
однородным, если Т (ах) = аТ (х) для любых а^Р и х^Е.
Отображение Т, одновременно аддитивное и однородное, называется
линейным. Таким образом, отображение Т линейно тогда и только
тогда, когда Т (ах -\-у) = аТ (х) + Т (у) для любых а € Р и х, у ^ Е.
Пусть теперь Е и'Г — комплексные линейные пространства.
Аддитивное отображение Т: Е—*Е' называется
сопряженно-линейным, если Т (ах) = аТ (х) для любых а$К и х^Е. Термин
«линейное преобразование» для нас—синоним термина
«линейное отображение», а «оператор»—термина «линейное отображение
линейного пространства в себя».
Линейное или сопряженно-линейное ^отображение линейного
пространства Е в его поле скаляров [которое, естественно,
можно рассматривать как линейное пространство над ним
самим], называется соответственно линейным или
сопряженно-линейным функционалом на Е. Подчеркнем, что линейные
функционалы для нас всегда принимают значение в поле скаляров
линейного пространства.
х) Последнее, естественно,—только для отображений пространств над
полем К.

Топологические линейные пространства
573
(8.3) Теорема. Пусть Е — комплексное линейное пространство,
и Ь\ Е—+К — линейный функционал на Е. Пусть, далее, ^(х)^
= Ке Ь (х) и Ь2 (х) = 1т Ь (х) для любого х^Е, так что Ь (х) =
= Ь1(х)-\-1Ь2(х), и функционалы Ьг, Ь2 вещественны. Тогда
(\) Ьу(х + у) = Ь/(х) + Ьу(у) для любых х,у^Е, / = 1,2;
(И) Ьу(ах) = аЪ]- (х) для любых х^Е, а^К, / — 1,2;
(Ш) Ь2 (х) = — Ьг (ьх) для любого х^Е.
Доказательство. Свойства A) и (И) прямо следуют из адди"
тивности и однородности функционала Ь, а A11) следует из
тождества Ь1AХ) + 1Ь2AХ)=1Ь(Х) = И.1(Х) — Ь2(Х). и
(8.4) Определение. Рассмотрим декартово произведение ЕхЕ'
двух комплексных линейных пространств Е и Е'. Билинейный
функционал Ь есть функционал на ЕхЕ', линейный по первому
аргументу и сопряженно-линейный по второму. Иными словами,
Ь(ах + у, х') = а1 (х, х') + Ь(у, х')
и
Ь (х, ах' + у') = с& {х, х') + Ь {х, у')
для любых х,у^Е, х',у'^Е' и а^/С.
(8.5) Определение. Пусть Е — вещественное или комплексное
линейное пространство, являющееся одновременно
топологическим Г0-пространством. Е называется топологическим линейным
пространством, если отображения (х, у)—>-х-\-у топологического
пространства ЕхЕ на 5 и (а, х)—>ах топологического
пространства РхЕ на Е непрерывны (напомним, что Р = К илиР = К,
и Р поэтому обладает топологией). Топологическое линейное
пространство над Я или К называется локально выпуклым, если
топология на Е допускает открытую базу в точке 0, состоящую
из выпуклых множеств.
Окрестность нуля {] в топологическом линейном
пространстве Е над 7? или К называется уравновешенной1), еслиа{Ус= I)
для любого а^Р такого, что |а|<!1.
Теорема (8.4) применима к любому топологическому
линейному пространству, поскольку последнее относительно
сложения—топологическая группа. Следовательно, топологическое
линейное пространство всегда вполне регулярно.
(8.6) Теорема. В любом топологическом линейном
пространстве над /? или К семейство уравновешенных окрестностей нуля
образует открытую базу окрестностей нуля.
[) Также закругленной или звездной. — Прим. перев.

574
Приложение В
Доказательство. Пусть I) — любая открытая окрестность нуля
в Е. По непрерывности умножения, существуют такие
окрестность нуля 1^в5и число е > 0, что из | а | < в следует а№с: I].
Пусть У=[){а№: |а|<е[. Тогда 0$У, Ус: V и У
уравновешена. []
(8.7) Определение. Пусть Е — линейное пространство над 7?
или К- Нормой на Е называется такая вещественнозначная
функция || ||: Е—>% на Е, что:
A) ||х||>0, если хфО;
(И) ||ая|| = |а|-||*|| для всех х^Е и а^Р;
A11) ||* + 0||<||*|| + |М| для всех х,у$Е.
Линейное пространство с фиксированной на нем нормой
называется нормированным линейным пространством. Свойство A11)
называется неравенством треугольника. Множество {х^Е:
||я||^1} называется единичным шаром в Е.
Пусть Е—нормированное линейное пространство. Положим
^ (*»*/) = II*—#11 Для любых х,у€Е. Легко видеть, что
й—метрика на Е. Относительно индуцированной этой метрикой
топологии, Е—топологическое линейное локально выпуклое
пространство. Эта топология называется топологией нормы на Еу
или топологией сходимости по норме.
Поля К и # допускают естественную норму ||а|| = |а|, в
частности, || 11| = 1.
(8.8) Определение. Пусть Т: Е—*Е'— линейное
преобразование нормированного линейного пространства Е в
нормированное линейное пространство Е', причем оба пространства
одновременно вещественны или комплексны. Преобразование Т
называется ограниченным, если существует такое положительное
число А, что ЦГ(л:)|КА\\х\\ для всех х$Е. Нижняя грань
всех таких чисел А называется нормой преобразования Т и
обозначается || ГЦ.
Если Е'—скалярное поле, т. е. # или К> то мы говорим
соответственно об ограниченном линейном функционале Т.
(8.9) Теорема. Для любого ограниченного линейного
преобразования Т: Е—*Е' нормированного линейного пространства Е
в нормированное линейное пространство Е' всегда
кгИ-зирЦГМН: НЕ, ||*||«1| =
= зир{И1Ш: хеЕ, ^о}.
(В. 10) Теорема. Линейное преобразование Т одного
нормированного линейного пространства в другое ограничено тогда и

Топологические линейные пространства §75
только тогда, когда оно непрерывно в топологии сходимости по
норме.
Теоремы (В.9) и (В. 10) почти очевидны, и мы опускаем их
доказательства.
¦(В.11) Теорема. Пусть Е — (вещественное или комплексное
нормированное) линейное пространство, а В—плотное в нем
линейное подпространство. Любой ограниченный линейный
функционал Ь на В может быть продолжен до линейного функционала
1,0 на всем Е, причем продолжение единственно и ||/,0|| = ||Ц[.
Доказательство. Если х^Е и Пт \\хп—#|| = 0, где все хп
принадлежат Б, то {1(х/2)}~==1—последовательность Коши в 7?
или К и потому имеет предел а. Нетрудно показать, что,
полагая Ь0(х) = а, получаем функционал, очевидно, линейный, и
11^11=11^11- ?
Сформулируем теперь основную часть теоремы Хана—Банаха
для вещественных линейных пространстви некоторые ее следствия.
(В. 12) Теорема. Пусть Н—линейное подпространство
вещественного линейного пространства Е и р: Е—+Я — вещественно-
значная функция на Е, удовлетворяющая условиям:
(\) р (ах) = ар (х) для любого а^О и любого х^Н\
(\\) р(х + у)^р(х)-\-р(у) для любых х,у^Е.
Пусть, далее, Ь: Н—^7?—линейный функционал на Н, такой,
что Ь(х)^р (х) для любого х^Н. Пусть, наконец, х0^Е, х0^Н
и Н0—линейное подпространство в Е, порожденное множеством
х0[)Н. Тогда
зир{— р(— Л—*0)—Ь(Н): Н^Щ^'тЦр (Н + х0)—Ь(Н): Н^Н)
и для любого а0^Я. такого, что $ир {— р (—Н—х0)—Ь (Н): Н^Н}^.
<!ос0<лп!{/? (Н + х0)—Ь(Н): Н^П}, существует линейное
продолжение Ь0: Н0—>7? функционала Ь на подпространство Н0, для
которого Ь0(х0) = а0 и Ь0(х)^р(х) для любого х^Н0.
(8.13) Теорема. Пусть Е, Н, р и Ь—как в теореме (В. 12).
Тогда функционал Ь можно продолжить до линейного
функционала Ь: Е —>К таким образом, что Ь(х)^.р (х) для любого х^Е.
(8.14) Теорема. Пусть Е — вещественное или комплексное
нормированное линейное пространство, и Н—любое его
подпространство. Тогда всякий ограниченный линейный функционал Ь на
Н может быть продолжен до линейного функционала Ь на Е
так, что норма Ь на И равна норме Ь на Е.

576
Приложение В
(В. 15) Следствие. Пусть Я—линейное подпространство
вещественного или комплексного нормированного линейного
пространства Е. Для любого х^Е, не принадлежащего замыканию Я",
существует такой линейный функционал Ь на Е, что Ь (Я) = {0},
Ь(х) = 1 и ||/, || = 1/й, где й = М{\\х—Н\\: Н^Н).
Под теоремой Хана — Банаха мы подразумеваем любое из
только что сформулированных четырех утверждений (В. 12) —
(В. 15).
Доказательство теоремы (В. 13) можно найти, например,
в работах Дэй [6], стр. 9; Данфорд и Шварц [1], стр. 74; Хил-
леи Филлипс [1], стр. 29; Кёте [1],стр. 193; Мунро [1], стр. 56;
Наймарк [1], теорема 1.1.9. Теорема (В. 14) и следствие (В. 15)
содержатся, например, у Данфорда и Шварца [1] или Хиллеи
Филлипса [1].
(В. 16) Определение. Полное (относительно метрики,
индуцированной нормой) нормированное линейное пространство
называется банаховым пространством, вещественным или
комплексным в зависимости от того, каким было линейное пространство.
(В.17) Теорема. Предположим, что Е—вещественное или ком-
плексное банахово пространство и Я—его замкнутое линейное
подпространство. Положим
||* + #|| = 1п!{|Ы|: у(ьх + Н\
для любого х-\-Н ^Е/Н. Относительно этой нормы и определен-
ныхв (В.2) линейных операций факторпространство Е/Н является
банаховым пространством.
Доказательство. Очевидно, ||я + #||^0. Если ||я + Я||=0,
то существует такая последовательность {Н^^ в Я, что
Шп ||* + йл|| = 0. Поскольку Я замкнуто и Нгп ||я— (— Ая)|| = 0,
п ->со п ->а>
то х принадлежит Я, и х + Н = Н, так что условие (В.71)
выполнено. Соотношения ||а# + #И = 1а111* + //|| и ||* + # + #||^
<||л: + Я|| + ||у + Я|| для любого скаляра а и любых х,у^Е
проверяются непосредственно.
Чтобы показать полноту Е/Н, рассмотрим произвольную
последовательность Коши {хп-\-Н)п=1 классов смежности в Е/Н;
тогда Пт \\хт—хп + Н\\ = 0. Переходя, если нужно, к подпоследо-
т-+ со
п ->- со
вательности, можно считать, что ||л:,л—хп-\-Н\\ < 2~п при т^п.
Следовательно, для любого /г^1 существует такой элемент
К^Н, что||*я+1—хя + Ая||<2-». Пусть уп = хп + Нп_1 + ... +кг.
Тогда {уп}п=1—последовательность Коши в Е, поскольку, при

Топологические линейные пространства
577
т^п, имеем
\\Ут—Уп\\ =
т-1 т-1
= 112 [**+!-**+л*] II < 2 II **«-**+М<
к-п к-п
т-1
< 2 2~"< 2-"+1.
к—п
В силу полноты 5, существует у ^Е, для которого Нт \\уп—у\\=0.
Используя равенство хп + Н = уп + Н, получаем
Нт||(у + Я)-(д:в + Я)|| = Нт||(у + Я)-(уя + Я)||<
п-><я п -*¦ со
<Нт|| */-*/„ || = 0.
Таким образом, # + # = 1™ (хп + Н) и Я/# полно. []
/г-»- со
Теперь мы подходим к теореме Банаха—Штейнхауза.
Предварительно нам потребуются некоторые сведения о категориях
множеств.
(В.18) Определение. Пусть X — топологическое пространство.
Подмножество Аа X называется нигде не плотным в X, если
внутренность замыкания А пуста. Подмножество Аа X имеет
первую категорию, если А есть счетное объединение нигде не
плотных подмножеств в X. Множество в X, не являющееся
множеством первой категории, называется множеством второй
категории в X.
(В. 19) Теорема. Пусть X—полное метрическое пространство,
локально счетно компактное регулярное пространство, или
локально компактное хаусдорфово пространство. Тогда X имеет
в самом себе вторую категорию, т. е. не может быть
представлено как счетная сумма своих нигде не плотных
подмножеств.
Первое утверждение близко к доказанному в книге Келли
[2] [стр. 267]. Остальные—см. теорему E.28) выше.
(В.20) Теорема Банаха — Штейнхауза. Пусть Е и
Е'—банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем. Пусть
Щ—множество ограниченных линейных преобразований Е в Е'.
Если множество А точек х, для которых зир {|| Т (х) ||: Т 6 Щ < °°>
имеет вторую категорию в Е, то множество {\\Т \\: Т ^Щ
ограничено. Другими словами, существует такая константа |3, что
\\Т(х)\\^ф\\х\\ для любых х^Е и Т €%,.
19 з. Хьюитт, К. Росс, т. 1

578
Приложение В
Доказательство. Обозначим Ат множество всех таких х^А,
что зир{||Г (*)||: ТеЩ<пгу т=1, 2, ... Для каждого Т €&
множество {л;€2?: \\Т (х)\\^т\ замкнуто в силу непрерывности
отображения х\—>\\ Т (х) ||. Следовательно, множество Ат =
— П {х^Е: \\Т (х)\\^С.т\ замкнуто. Поскольку множество
Теп
со
А = [} Ат имеет вторую категорию в Е, хотя бы одно из Ат,
скажем, Лто, имеет непустую внутренность, т. е. существуют
#о€^т0 И 8 > О, ДЛЯ КОТОрЫХ
{уеЕ: \\у—*0||<е}с=Лто.
Для любого ненулевого элемента х^Е элемент -^т—тгХ + х0
принадлежит множеству {у^Е: \\у—х0\\<г} и потому
Т ( ом8 ц * + *о) \\^то Для любого 7^31. Следовательно,
211*1
\Т(х)\\ =
<
и потому || Т |
8
2»*»
8
2Ц*И
8
^ 4т0
211*1
<
Т
-х-
+ \\Т(-хь)\
[2т0],
для любого Г 6 21- ?
(В.21) Определение. Пусть Е — вещественное или
комплексное линейное топологическое пространство. Обозначим Е*
множество всех непрерывных линейных функционалов на Е.
Относительно операций (Ь + М) (х) = Ь(х) + М (х), (аЬ) (х)=аЬ(х) для
любых х^Еу Ь, М ^Е* и скаляра ос, Е*—линейное
пространство, называемое сопряженным пространством к Е.
(В.22) Теорема. Пусть Е—вещественное или комплексное
линейное нормированное пространство, и Е*—сопряженное про-
странство. Относительно нормы, определенной в (В.8), Е есть
банахово пространство.
Доказательство. То, что Е*— линейное нормированное
пространство, проверяется непосредственно. Докажем только его
полноту. Пусть {Ьп\п-1 — последовательность Коши в Е*.
Поскольку \Ьп(х)—Ьт(х)\^\\х\\\\Ьп — Ьт\\ для любого х^Е,
{Ьп(х)}п^1—также последовательность Коши в поле
соответственно вещественных или комплексных чисел, а потому имеет

Топологические линейные пространства
579
предел Ь(х) = Нт Ьп(х). Тогда
\аЬ(х) + 1(у)-Ь(ах + у)\<:
^\аЬ(х)-аЬЛх)\ + \Ь(У)-^(У)\ + \^г(ах + у)-Ь(ах + уI
откуда Ь(ах + у) = аЬ(х) + Ь(у) для любых х, у^Е и а^#
[или а^К]- Поэтому Ь—линейный функционал.
Пусть теперь \\Ьп—Ьт\\ <е для всех я, т^Ы. Для любого
х^Е имеем
11 (х)-Ьп (х)\^\Ь (х)-Ьт (х)\ + \ 1т (*)-!„ (х) | <
<|1(*)-М*)| + в|И1-
Переходя к пределу при т—^оо, получаем \Ь(х)—^(л:)|^
<[е||л;|| для любого х^Е. Отсюда следует ограниченность Ь,
а следовательно, непрерывность Ь, и Нт \\Ь—Ьп\\ = 0. []
(8.23) Пусть Е—вещественное или комплексное линейное
нормированное пространство, а х'—ограниченный линейный
функционал на Е*у определенный как
A) х'(Ь) = Ь(х) для любого Ь^Е*.
Очевидно, х' €Е** = (Е*)*У ||я'|| = ||я|[. Отображение х\-^>х',
таким образом, — сохраняющее норму линейное отображение Е
в Е**. Пространство Е называется рефлексивным, если это
отображение есть на [для этого Е должно быть полным].
Помимо топологии сходимости по норме, можно
рассматривать и другие топологии на линейном нормированном
пространстве. Укажем две из них.
(8.24) Определения. Пусть Е—линейное нормированное
пространство. Для каждых х^Е, конечного множества]^, ...
..., Ьп\с:Е* и е > 0 положим
A) V (х\ Ьг, ..., Ьп\ г) =
= {у$Е: \Ьк(у)-Ьк{х)\<г) й=1, 2, ..., л}.
Множества Ц (х\ Ь19 ..., Ьп\ е) образуют базу некоторой
топологии на Е. Эта топология называется слабой топологией. Можно
показать, что она—слабейшая из всех топологий на Е,
относительно которых все Ь^Е* непрерывны.
Рассмотрим сопряженное пространство Е*. Для каждых
1€Е*9 конечного множества {х1У ...,хп}с:Е и &>0 положим
(и) 1/^;*!, ..., хп;г) =
= {М$Е*: \М(хк)—Ь(хк)\<г, й=1, 2, ..., п\.
Эти множества образуют открытую базу некоторой
топологии на Е*, называемой слабой ^-топологией на Е*. Это — сла-
19*

580
Приложение В
бейшая топология на Е*, относительно которой непрерывны все
Слабая и слабая ^-топологии на Е совпадают, если
Е—рефлексивное пространство.
(В.25) Теорема [Алаоглу]. Пусть Е—вещественное или
комплексное линейное нормированное пространство. Тогда единичный
шар 5* = {Ь ^ Е*: \\ Ь || ^ 1} в Е* компактен в слабой ^-топологии.
Доказательство. Для каждого х^Е обозначим 1Х множество
тех скаляров а, для которых |а|<:||л;||х). Далее, для каждого
Ь^8* обозначим х(Ь) элемент в Р 1Х такой, что \х(Ь))х = Ь{х).
хеЕ
Легко проверяется, что т—гомеоморфизм 5* в Р 1Х. По тео-
хеЕ
реме Тихонова, Р 1Х компактно, так что достаточно доказать
хеЕ
замкнутость тE*) в Р 1Х.
хеЕ
Пусть Aх)^хC*)'с: Р 1Х. Чтобы показать, что (^)€^E*),
хеЕ
достаточно проверить, что XV->1Х есть ограниченный
линейный функционал на Е, поскольку его норма, очевидно, не
превышает 1. Фиксируем х, у^Е; для любого г > 0
существует такой функционал Ь (= 5*, что 11Х—Ь (х) | < 8,
\1у—Ь(У)\<ъ*\*х+у—Ь(х + у)\<г. Но тогда \{х + {у—{х+у\<
< Зе, и гомоморфизм Х(->^ аддитивен. Его однородность
проверяется аналогично. []
Переходим теперь к теореме Крейна—Мильмана. Для ее
формулировки нам потребуются некоторые новые факты и
понятия.
(В.26) Лемма. Пусть Е—вещественное локально выпуклое
линейное топологическое пространство, СаЕ—замкнутое
выпуклое его подмножество, и г^ЕпС. Тогда существует такой
непрерывный вещественный линейный функционал Ь0 на Е, что
(I) ш1{М*): х$С\>Ь0(г).
Доказательство. Поскольку условие A) эквивалентно условию
М{Ь0(х): *€С—*}>М0) = 0,
мы можем предположить, что г = 0. Выберем такую выпуклую
окрестность I? нуля, что (/"ПС= 0, и положим V = V П (—0),
Пусть, далее, с—любая точка из С. Тогда С0=У~ + (—С)-\-с,
1) Для вещественного Е множество Iх представляет собой замкнутый
интервал в /?, для комплексного — замкнутый диск в /С. В обоих случаях
1Х—компакт.

Топологические линейные пространства 581
как нетрудно проверить, — выпуклое множество, и 0^Ус:С0,
с>$ Со1). Если х €Еу то —х€С0 для достаточно большого а$К.
Пусть
р(х) = ш1{а€Д: ее > О, ^*€С0|. A)
Очевидно, функционал р: Е—+К положительно однороден
в смысле (В. 121). С другой стороны, если ~х^С0 и -5-у€С0,
а, Р > 0, то
и ^тж(х + У)> как выпуклая комбинация элементов —х к -^у
выпуклого множества С0, принадлежит С0, откуда р(д:+^/)^
^р(х) + р(г/), и условие (В.12Н) теоремы Хана—Банаха также
выполнено. Заметим, что р(с)^\.
Положим теперь Н = {ас: а (=7?} и рассмотрим линейный
функционал ^ на Я, определенный равенством Ь(ох) = а. Если
а>0, то Ь(ас) = а^ар (с) = р(ас)\ если же'а<0, то Ь(ас) =
= а<0<р(ас), так что всегда Ь(х)^р(х) при х^Я. По
теореме Хана — Банаха (В. 13), существует продолжение Ь0: Е—*7?
функционала Ь, причем Ь0(х)^р(х) для всех х^Е. Остается
проверить выполнение условия A) и непрерывность Ь0.
Для любых х^У" и у^С имеем х—у + с^С0, так что
р(х—*/ + с)< 1, и потому Ь0(х—2/ + с)< 1. Но Ь0(с) = 1, и
функционал Ь линеен, так что Ь0(х—#)<0 и Ь0(х)^Ь0(у), откуда
зир \Ь0(х): х $ V} < М {Ь0 (у): у € С} < Ь0 (с) = 1. B)
С другой стороны, существует такое положительное 6(^#, что
8с $У. Но тогда Ь0(8с) = 8 и потому $ир \Ь0(х): х$У~}>0, т. е.
М\Ь0(у): у^С) > 0 = 10@),— условие A) проверено.
Достаточно по теореме E.40а) проверить непрерывность
функционала Ь0 в нуле. Пусть, действительно, 8 > 0—любое.
Покажем, что из х^гУ следует |^(а:)| <«. Действительно, если
х^гУ, то — х^У и по B) имеем Ь0(х) = гЬ0 Г — х) <е.
Поскольку У = —V, то также —Ь0(х)^.е, и потому |10(л:)|^8. []
(В.27) Определение. Пусть С—выпуклое подмножество
вещественного линейного пространства Е. Выпуклое
подмножество Вс:С называется крайним подмножеством множества С,
•) Заметим, что замыкание в Е выпуклого множества выпукло.

582
Приложение В
если из х, у^С, осх + A—а)у^В для некоторого а, 0<а< 1,
следует х, у^В. Одноточечное крайнее подмножество также
называется крайней точкой множества С1).
(8.28) Замечания. Для любого выпуклого подмножества С
вещественного линейного пространства Е пересечение любого
семейства крайних подмножеств — крайнее. Отношение быть
крайним множеством транзитивно: если Л —крайнее
подмножество В, а В — крайнее подмножество С, то Л есть крайнее
подмножество С. Доказательства тривиальны, и мы их не
приводим.
(8.29) Лемма.- Пусть С—компактное выпуклое подмножество
вещественного топологического линейного пространства Е; Ь:
Е—> /?—непрерывный линейный функционал на Е и пусть C =
— тт{Ь(х)\ х^С}. Тогда множество 8 = {х^С: Ь(х) =
$\—непустое компактное крайнее подмножество в С.
Доказательство. Очевидно, что 5 компактно, выпукло и
непусто. Если ху у(^С, ах + A—а)у ^5 и, скажем х^5, т. е.
Ь (х) > р, то Ь (ах + A — а)у) = аЬ(х) + (\—а) Е (у) > сф +
+ A—а)Ь(у)^а$-\-(\—а)р = C, т. е. получим явное
противоречие. Ц
(8.30) Теорема [Крейн—Мильмаи]. Пусть С—компактное
выпуклое подмножество вещественного локально выпуклого
топологического линейного пространства Е. Если В—множество всех
выпуклых комбинаций крайних точек множества С, то В" = С.
Доказательство2). Уже то, что С имеет крайние точки, само
по себе—нетривиальный факт. Он будет следовать из части
(I) доказательства, поскольку С является для самого себя
крайним подмножеством.
(I) Докажем, что всякое непустое замкнутое крайнее
подмножество Л в С содержит хотя бы одну крайнюю точку
множества С. Пусть Л— семейство всех непустых замкнутых
подмножеств множества Л, являющихся крайними
подмножествами С. Семейство Л непусто, поскольку А^Л. Пусть 53—
некоторое непустое подсемейство семейства Л, линейно
упорядоченное по включению. Поскольку С—компакт,
пересечение (]{В: В^Щ непусто и, по замечанию (В.28), само является
г) Очевидно, одноточечное подмножество—крайнее тогда и только тогда,
когда оно не является внутренней точкой. никакого сегмента с концами,
принадлежащими множеству С. Например, каждая точка единичной
окружности, ограничивающей диск {(л:, у): х2-\-у2^ 1}, является его крайней
точкой.— Прим. ред.
2) Взято из Келли [1].

Топологические линейные пространства
58Й
крайним подмножеством в С и потому принадлежит А. Тем
самым мы находимся в условиях леммы Цорна и можем
утверждать существование минимального элемента В0 в системе А.
Если В0 содержит более одной точки, то выберем две, пусть
у, г^В0. Применяя лемму (В.26) [так, что множеством С из
леммы служит одноточечное множество \у\, а точкой г—точка г],
находим линейный непрерывный функционал Ь на Е, для
которого Ь(г)<Ь{у). Если $ — тт{Ь(х): х^В0\у то \х^В0:
Ь(х) = $\ [по лемме (В.29)] — непустое крайнее множество в В,
а потому и в С, и по замечанию (В.28), не содержащее у.
Это противоречит минимальности В0. Следовательно, В0
одноточечно.
(II) Пусть В—множество всех выпуклых комбинаций
крайних точек множества С. Тогда В"—компактное выпуклое
подмножество в С. Допустим, что В~~ФС\ пусть, например,
х0 6 (В"~У П С. По лемме (В.26), существует линейный
непрерывный функционал Ь: Е—>#, для которого тт{Ь(х): х^В~}>
>Ь(х0). Пусть р = тт {!(*): х^С). Тогда {х^С: 1(х) = р}
есть непустое замкнутое крайнее подмножество в С, не
пересекающееся с В". В силу доказанного в (I), множество {х^С:
Ь(х) = $\ содержит крайнюю точку множества С, что, конечно,
невозможно. []
Мы рассмотрим теперь вопросы представления линейных
функционалов на некоторых функциональных пространствах
в виде разности неотрицательных линейных функционалов. Это
можно сделать в гораздо более общей форме, чем это сделано
здесь, но ценой технического усложнения. См., например,
Бурбаки [2], стр. 26—52, или Биркгоф [2], стр. 328—342.
(В.31) Определения. Пусть V—непустое множество, и $ —
некоторое вещественное линейное пространство вещественно-
значных функций на У [с поточечными линейными операциями],
такое, что из /6$ следует 1/16$ [тогда из /, #6$ следует
также тах(/, §)=-^(!+ё + \1—8\)€% и тт(/, #) =
==2"(/+ё"—I/—#1N$]- Символом $+ мы обозначаем множество
всех неотрицательных функций из $. Линейный функционал Ь
на $ называется неотрицательным, если Ьф^О для всех
/6$+, и называется строго положительным, если /,(/)> 0 для
всех /6$+, кроме / = 0. Наконец, линейный функционал Ь на $
называется относительно ограниченным1), если множество
г) Если ^ —нормированное линейное пространство, причем из /, #6Я*»
|&|<|/| следует Ц#||<||/||, то любой ограниченный линейный
функционал на ^ относительно ограничен.

5в4
Приложение В
\Ь(§): §€г$\ 1ё"|^/} ограничено [как подмножество /?] для
любого /€$+.
В утверждениях (В.32) — (В.37) множества V и $
удовлетворяют условиям (В.31).
(8.32) Лемма. Пусть Ь—вещественнозначная функция на %+,
для которой
(\) Ь((-\-§)=Ь(}) + Ь(§) для всех /, §€$+ [Ь аддитивна];
(И) Ь(а}) = аЬ([) для всех /(Е$+, а^О [Ь неотрицательно
однородна].
Тогда Ь единственным образом может быть продолжена до
линейного функционала Ъ: $—>% на $.
Доказательство. Поскольку / = I — о » любая функ-
ция из $ представима в виде разности функций из $+. Если
/ допускает два таких представления, скажем / = /х — /2 = /з—/4»
/,€$+, /-1,2,3,4, то по A) Ь^-Ь(М=Ь(П)-Ь(П), и мы
можем определить однозначно Ь ф = Ь([1)—Ь([2). Очевидно,
построенный функционал является продолжением Ь. Линейность
его проверяется автоматически. []
(8.33) Лемма. Всякий неотрицательный линейный
функционал на $ относительно ограничен.
Доказательство. Если /6$+, &€$ и |ё"|^/> то /—§^® и
! + §>0у откуда Щ) — Ь (§)>0 и Ь(}) + Ь(§)>0, так что
\ив)\<цп- и
Линейное пространство $* всех относительно ограниченных
[вещественных] линейных функционалов на $* допускает
частичное упорядочение: Ь^М, если и только если Ь—М—
неотрицательный линейный функционал.
(8.34) Теорема. Относительно введенного только что
частичного порядка ^, $*—решетка. Иначе говоря, в % для любых
двух элементов Ь, М ^ $* существует наибольшая нижняя грань
пппA, М) элементов Ь и М и наименьшая верхняя грань
тах(Ьу М). При этом для любого /€^ имеем:
(I) тахA, М)(П=^{Це) + М(!-8): 8$%+> ё<!\
и
(Н) ттA,М)(П = М{1.(ё) + М(Г-8): ёе%+, 8<!\-
Доказательство. Если /€$*, Г^'Ь и />М, то для любого
8$%\ 8<[ имеем Ь(ё) + М (/-^ < / {&) + ! (!-8) = 1 (/), так
что /(/)>5ир {/.&) +/И (/-^): ^<Е$+, «Г</} = Л (/) [заметим,
что число /х (/) определено для любой функции /6$+, в силу

Топологические линейные пространства
585
относительной ограниченности Ь и М]. Поэтому наименьшая
верхняя грань 1и М, если существует, ^/х. Этому
утверждению будет придан точный смысл, если доказать возможность
продолжения 1г до линейного функционала на всем %.
Покажем для этого, что функция /х неотрицательно однородна и
аддитивна на $+. Поскольку Ь(а§)=:аЬ(§) и М (ад) = аМ (§)
для любых а^% и §*6гУ, прямо получаем /х (а#) = а^ (#) при
$€§г+ и а>0.
Для доказательства аддитивности 1± выберем по /х, /26^+
для любого е>0 такие §и §2€%+, что §)</>, / = 1, 2, и
^(«/) + Л«(/>—в>) + |->/1(/>). Тогда
Следовательно,
Чтобы доказать обратное неравенство, выберем такое §€$+>
что $</! + /. и Ц8) + М(!1 + и-е) + *> 1%(П + М- Пусть
§1 = тт(§,[1) и 8ш = 8—&- ТогДа 0<#1</!. 0<^2</2,
^1+^2 =8 и потому
= I (§1) + М (/!-&) -|-1 (ё2) + М (/,-&) + е <
Итак, аддитивность функционала 1г доказана. По теореме (В.32)
функцию 1г можно продолжить до линейного функционала на
всем $; ясно, что этот функционал и есть наименьшая верхняя
грань Ь я М. В силу относительной ограниченности
функционалов ЬйМи леммы (В.32) функционал шах (/,, М) — Ь
относительно ограничен; но тогда и шах (Ь, М) относительно ограничен.
Равенство (И) следует из тождества пппB,, М) =
=— тах(— Ьу —М). ?
(В.35) Теорема. Пространство ^*—полная решетка. Иначе
говоря, если ЗВ = {Ьу)у^Т—любое ограниченное сверху [снизу']
подмножество в $*, то 33 имеет наименьшую верхнюю
[наибольшую нижнюю] грань.
Доказательство. Предположим, что Ьу^М для всех 7бГ.
Для каждого /бгР пусть I (() = $ир\тах(Ьуи .. .у Ьугп)([):
{Уп • • •» Ут\ <= Г}. Легко проверить, что функция / аддитивна
и неотрицательно однородна на $+ и потому может быть
продолжена до линейного функционала /0 на $ (В.32). Также
прямо проверяется, что /0—наименьшая линейная мажоранта
для всех ^г Поскольку функционал 10—^?0 неотрицателен

586
Приложение В
для любого 7о^Г, то он относительно ограничен, а потому и
10=A0—ЬУо)-{-Ьуо относительно ограничен.
Случай множества ЗЭ = {^\уеГу ограниченного снизу,
сводится к разобранному переходом к множеству ЗУ = {—Ьу}у^г- П
(8.36) Теорема. Линейный функционал на $ тогда и только
тогда представим в виде разности двух неотрицательных
линейных функционалов, когда он относительно ограничен.
Доказательство. Если линейный функционал есть разность
двух неотрицательных линейных функционалов, то он
относительно ограничен по лемме (В.33). Обратно, пусть линейный
функционал Ь на % относительно ограничен. Положим 1г=
=тах(Ь,0) и 12 = 1г—Ь. Оба функционала 1г и /2
неотрицательны и линейны на $, и Ь = 1г—/2. ?
(8.37) Теорема. Пусть Ь—относительно ограниченный
линейный функционал на %. Тогда существуют единственные такие
неотрицательные функционалы 1г и 12 на $, что Ь = 1г—/2 и
ттA1У /2) = 0. Именно, 11 = тах(Ь, 0) и 12 = — ттA, 0).
Доказательство. Пусть Ъ^]х — /2, где 3х,
/2—неотрицательные линейные функционалы на %, и пусть /6$+- Тогда
0<тш(/1, Л)(/) = 1Ш{/1(/-г) + Л(г): *€8г+. *</} =
= А(/)-зир {!,&): г€Г. *</Н
= ^1(п-таx(^у 0)ф.
Следовательно, имеем: гп1п(/1, ^2) = ^1—тахA, 0)^0, откуда
тш^, ^2)— 0 тогда и только тогда, когда ^1 = таx(^, 0).
Доказанное только что вместе с теоремой (В.36) показывает,
что Ь = 1г—12, где /1 = тах(Ь, 0) и тт(/1} /2) =0. Поскольку
— Ь = 12—11У имеем /а = тах(— Ь, 0) = -ттA, 0). Ц
Последний результат в этом направлении касается
функционалов на комплексных линейных пространствах.
(8.38) Теорема. Пусть У—непустое множество, и
$г—некоторое комплексное линейное пространство комплекснозначных
функций на У. Пусть $г и $+ — подмножества вещественнозначных
и вещественнозначных неотрицательных функций в %
соответственно. Пусть, далее, % замкнуто относительно перехода
к комплексно-сопряженной функции, т. е. из I ^% следует !€.%,
и пусть каждая, функция из *$г может быть представлена в виде
разности двух функций из $+. Пусть, наконец, Ф: %+—-*/С —

Топологические линейные пространства 587
комплекснозначная функция на /С, для которой
0) Ф(/1 + /,) = Ф(/1) + Ф(/.) для всех [и [2$%+;
(И) Ф(а/) = аФ(/) для всех /б^+ и а>0
[Ф неотрицательно однородна]. Тогда функция Ф единственным
образом продолжается до комплексного линейного
функционала на %.
Доказательство. Как и в лемме (В.32), функция Ф
единственным образом продолжается до функции Фг на $г,
аддитивной и неотрицательно однородной. Для любого /^^ имеем
Ке/^уОР+Лб^ и 1т/- -^ (/—7) € $• Следовательно, /
единственным образом представима в виде / =/1 + 1/2, гДе /и ^ёг?7*-
Естественный—и единственный—путь линейного продолжения
Фг на $ ясен: Ф(/) = Фг(/1) + ^Фг(/2)- Прямая проверка
показывает аддитивность и комплексную однородность построенной
функции. []
Приведем теперь набросок теории внутренних произведений1)
и гильбертовых пространств. Определения по большей части
приводятся лишь с целью указания обозначений. Теоремы,
которые можно найти у Халмоша [3], приводятся без
доказательств.
(8.39) Определение. Пусть Е— комплексное линейное
пространство, и предположим, что на ЕхЕ задана
комплекснозначная функция [значения которой на элементе (ху у) мы
будем записывать <#, у>], для которой
@ <Сх + у, г> = <л;, г> + <#, г> для любых х, у, г^Е\
(и) <ах, уУ = а<х, уУ для любых х, у^Е, а^К;
(ш) <х, уУ = <г/, ху для любых х,у^Е\
(IV) <х, #>>0, если хфО.
Тогда функция (х, 2/)»~><Х у> называется внутренним
произведением, а Е—пространством с внутренним произведением.
(8.40) Замечание. Всякое пространство с внутренним
произведением допускает естественную норму: || я || = ]/<*, ху. Этот
факт нетривиален; например, доказательство неравенства
треугольника для этой нормы основывается на неравенстве
Коши — Буняковского—Шварца |<я, уу | ^ \\х\\ \\у || [см. Хал-
мош [3], стр. 16].
х) Чаще применяется термин «скалярное произведение».— Прим. ред.

588
Приложение В
(8.41) Теорема. Если Е—пространство с внутренним
произведением, то
(I) <^у> = |||х + у||._|||х_у]|. + ^||х + ^||._
—ГIIх—*У II2 для любых ху у ^Е.
Доказывается прямым вычислением.
(8.42) Определение. Линейное отображение Г: Е—+Е' одного
нормированного линейного пространства на другое называется
линейной изометрией, если оно сохраняет норму, т. е. || Т (х) ||=|| х ||
для любого х^Е; аналогично можно говорить о сопряженно-
линейной изометрии.
(8.43) Теорема. Любая линейная изометрия Т: Е—+Е' одного
пространства с внутренним произведением на другое сохраняет
внутреннее произведение: <Г(х), Т(у)У = <х> уУ для любых
х,у€Е.
Выводится прямо из теоремы (В.41).
Для наших целей наиболее важным оказывается класс
пространств с внутренним произведением; полных относительно
метрики, индуцированной естественной нормой.
(8.44) Определение. Пространство с внутренним
произведением, являющееся банаховым относительно нормы [|#|| = <Х х>1/2
называется гильбертовым пространством.
Как правило, мы будем обозначать гильбертовы
пространства Я, Я' и т. д. и, как и в основном тексте [гл. бив
других местах], обозначать элементы абстрактного гильбертова
пространства 5, г], со, ...
(8.45) Теорема [Ф. Рисе]. Пусть Я—гильбертово
пространство. Для любого ограниченного линейного функционала Ь на
Я существует единственное такое т]€Я, что Ь (%) = <%, цУ для
любого ^6 Я. Аналогично, для любого сопряженно-линейного
функционала М на Я найдется единственное со^Я такое, что
МA) = <<*>> 1> для любого |(ЕЯ.
(8.46) Следствие. Отображение Ь*->ч}у определенное в теореме
Ф. Рисса (В.45), есть сопряженно-линейная изометрия
пространства Я* на Я.
Доказательство см. у Халмоша [3], стр. 31.
(8.47) Определение. Пусть Я—гильбертово пространство.
Два элемента ^уЦ^Н называются ортогональными, если <|, т]> = 0,

Топологические линейные пространства 689
и два множества Л, В с Н называются ортогональными, если
<%>1\> = 0 для любых 1€А, г\^В. Записывать ортогональность
элементов и множеств мы будем значком _]_: ?;_|_т], А _]_ Б.
Через А1- мы будем обозначать множество {1€Н: <%,ц> = 0
для любого т] ^ Л}.
Подмножество Л мы будем называть ортогональным, если
все его элементы попарно ортогональны: 1А_Ц для любых
I, т]€Л, ^ =^= г). Если, дополнительно, <|, |>=1 для любого
^Л, то Л называем ортонормированным. Ортонормированным
базисом пространства Н мы называем максимальное ортонор-
мированное подмножество в #.
(8.48) Теорема. Пусть М—некоторое замкнутое
подпространство гильбертова пространства Н. Тогда М1—также
замкнутое подпространство Я, причем М-1 ортогонально М, М-1А-=М
и Н = М®М+-.
Доказательство см.: Халмош [3], стр. 29.
Следующая теорема служит основанием для определения
размерности пространства. Доказательство ее см.: Халмош [3],
стр. 29.
(8.49) Теорема. Пусть Я—любое гильбертово пространство.
Тогда Я имеет хотя бы один ортонормированный базис, и любые
два таких базиса имеют одинаковую мощность.
(8.50) Определение. Размерностью гильбертова
пространства называется мощность любого ее ортонормированного
базиса.
Рассмотрим теперь сопряженные операторы. Степень
общности, нужная нам в § 22, достигается рассмотрением для
произвольного комплексного нормированного линейного
пространства Е специального пространства Е~ функционалов на Е,
такого, что на ЕхЕ~ можно определить функцию, очень
похожую по своим свойствам на внутреннее произведение1). В
согласии с обозначениями гл. 5 мы будем обозначать элементы
пространства %, т), со, ..., и, имея дело с оператором Т на Е,
записывать значение Т (I) как Т§.
(8.51) Определение. Пусть Е—комплексное нормированное
линейное пространство. Через Е~ обозначим множество всех
сопряженно-линейных функционалов на Е. Эти функционалы
относительно поточечного сложения и умножения на комплекс-
х) Приведенная трактовка сопряженных операторов предложена нам в
разговоре Н. Ароишайном [Ы. Агопз2а]п].

590
Приложение В
ное число образуют нормированное линейное пространство.
Определим теперь операцию Е~хЕ—у К формулой (со, ^)н->
н->соE) = <со, 1У1) для любых со^,Е~, %(ЦЕ.
(8.52) Замечания. Отображение (со, |)|-»<со, |> обладает
многими свойствами внутреннего произведения. Так, для любых
со, сох, со2^г~; |, %1У 12$Е, а^К имеем:
<сог + со2, 6> = <©1, 5> + <оJ, ^>;
<асо, ?-> = а<а>, ^>;
<со, 1г + 12> = <@, |!> + <о), 12>]
<со, а^> = а<со, ^>;
|<<о,Б>|<1И1Ш-
Поскольку Е и ^Г, вообще говоря, различны, мы не можем
здесь определить <|, !¦>.
Между Е~ и Е* можно определить следующим образом
взаимно-однозначное соответствие. Если со^.Е~ и ЬA)=ауA)==
= <<*>,1У, то Ь^Е*. Обратно, если Ь^Е* и соB;) = Ц^), то
со^.Е~. Используя это соответствие, можно ввести в Е~
структуру комплексного банахова пространства. Если Е
рефлексивно, т. е. Е = Е**У то всякий элемент из Е~~ определяется
некоторым элементом ц^Е. Иначе говоря, для каждого ц^Е
функционал со н-> <со, г)> на Е~ принадлежит Е~~, и любой
элемент Е~~ представим таким образом. Более того, это —
взаимно-однозначное, линейное, сохраняющее норму, отображение Е
на Е~~.
Рассмотрим гильбертово пространство Я. Мы можем
отождествить Я и Я*, как показывает теорема (В.46). Легко видеть,
что и Я и Я~ можно отождествить: каждый ограниченный
сопряженно-линейный функционал на Я имеет вид ||—*<т|, |>
для некоторого ц^Н [теорема (В.45); здесь <т), |> обозначает
внутреннее произведение в Я].
(8.53) Определение. Пусть Е—комплексное нормированное
линейное пространство и Т: Е—>Е—ограниченный оператор2)
на Е. Для любого со^,Е~ отображение ^I—><со, Т^>
принадлежит Е~\ мы обозначим это отображение Т~со:
A) <о, П> = <Г~со, %>
г) Удобное мнемоническое правило: «сначала функционал».
2) Напомним, что «оператор на Е» означает «линейное преобразование,
переводящее Е в себя».

Топологические линейные пространства
591
для любых со^.Е~ и 1^Е. Построенное отображение Т~:
Е~—*Е~ называется сопряженным к Т~ оператором.
Легко показать, что Т~ — ограниченное линейное
преобразование, т. е. Т~ — ограниченный оператор на Е~.
(8.54) Обсуждение. Для любого оператора Т на Е~ мы
указанным способом можем определить сопряженный
оператор Т~ на Е~"~. Если Е—рефлексивное банахово пространство,
Е~~ можно отождествить с Еу как отмечалось в (В.52), и
считать, что оператор Т~ определен на Е. В этом случае, если
элемент в Е~~, соответствующий элементу !¦ €Е, обозначить |°,
то равенство @ из (В.53) принимает вид:
<Ъ0,Тв» = <Т-Ъ°,<о>
при %°€Е~~ и со ^ Е~. Отождествляя Е~~ с Е> получаем
<Гсо, ?>-<со, Т~Ъ>
при I ^Е и со^^~.
В случае гильбертова пространства введенное выше
понятие сопряженного оператора совпадает с обычным.
(8.55) Теорема. Пусть Я—гильбертово пространство. Если
Т и V — ограниченные операторы на Я и а(^К, пго:
(О II У || = || Г ||;
(И) Г~~=7;_
A11) (аТУ = аГ~;
(IV) (г + г/г-г- + 1/-;
(V) (тцу = и~т\
Доказательство см.: Халмош [3], стр. 39.
(8.56) Определения. Пусть Я—гильбертово пространство
и Т — ограниченный оператор на Я. Если Т = Т~, то
оператор Т называется эрмитовым. Легко показать, что оператор
эрмитов тогда и только тогда, когда число <7^, !¦>
вещественно для любого 1^Н. Если 7Т~=71Т, то оператор Т
называется нормальным. Если Т — линейная изометрия Я на Я,
то Т называется унитарным. Ограниченный оператор Т на Я
положительно определен, если <Т1>1>^0 для любого ^ Я.
В частности, всякий положительно определенный оператор
эрмитов.
Пусть М — замкнутое линейное подпространство в Я.
Каждый элемент 1^Н однозначно представим в виде 5 = ^1 +|а»
где %г€М и |26^х [теорема (В.48)]. Отображение Р:Н—+М,

592
Приложение В
задаваемое равенством Р(&=11у называется проекцией Н
на М.
Для гильбертова пространства Я через 33(Я) обозначаем
линейное пространство всех ограниченных операторов на Я,
(8.57) Теорема. Отображение Р:Н—>Н гильбертова
пространства Я в себя тогда и только тогда является проекцией,
когда Р—эрмитов идемпотентный [Р2=Р] оператор. В этом
случае Р есть проекция на множество М = {1^Н:Р1 = 1\ и
|| Р || = 1, если только МФ{0\.
Доказательство см.: Халмош [3], § 26.
(8.58) Теорема. Для любого ограниченного оператора Т на
гильбертовом пространстве Я следующие утверждения
эквивалентны:
(О Г = 0;
(И) <Т%, т]> = 0 для любых Е-, Ц^Н;
О») <П, ^> = 0 для любых 1$Н.
Доказательство см.: Халмош [3], § 22.
(8.59) Теорема. Пусть Я'— плотное подпространство гиль-
бертова пространства Я. Если Т—линейная изометрия Я' на
плотное подпространство пространства Я, то Т единственным
образом продолжается до унитарного оператора Т на Я.
Теорема доказывается аналогично теореме (В. 11), и мы
доказательство не воспроизводим.
(8.60) Теорема. Пусть Я—гильбертово пространство, и Ь —
ограниченный билинейный функционал на НхН, т. е. для
некоторого положительного А имеем \ Ь (|, ц) | ^ А || 51| || ЛII для всех
%> у\^Н. Тогда существует единственный ограниченный
оператор Т: Н—+Н, для которого
Ь(^г,) = <7Ъл>
для любых |, т| ^ Я.
Доказательство см.: Халмош [3], § 22.
Рассмотрим теперь прямые суммы гильбертовых пространств
и прямые суммы операторов.
(8.61) Определение. Пусть \Ну}уег—произвольное семейство
гильбертовых пространств. Определим их прямую сумму
Н= ф Ну как аддитивную подгруппу аддитивной группы Р Я7,
7€Г У*Т

Топологические линейные пространства
593
состоящую из всех AУ) € Р Я7, для которых 2 1|&И12<°°'
Уможение на скаляр в Я определим покоординатно, а
внутреннее произведение—формулой
(О <(&,)> 0Ъ)>= 2<6т. V-
•уеГ
Тогда Я—гильбертово пространство. Элементы его часто
записываются 2 &у вместо (|7).
7ег
(8.62) Определение. Пусть \Ну}уег— семейство гильбертовых
пространств, и 77для каждого у $Г—ограниченный оператор на
Ну, причем зир {|| Ту\\: у€Г}<оо. Определим прямую сумму 2 Ту
тег
операторов Ту как оператор Т на Я, определенный
равенством
(О Т((Ь)) = (ТЧAУ)).
Несложно проверяется, что так определенный оператор Т
ограничен, причем || Т ||=зир{|| Ту\\: у(ЕГ}.
(8.63) Теорема. Пусть Я—гильбертово пространство,
а \Ну}уег — такое семейство его подпространств, что НуаН^
при уфЬ и П Я^ = {0}. Тогда Я изометрично ф Ну.
7еГ 7€Г
Доказательство. Пусть Я0 состоит из тех AУ) ^ 0 Ну, для
которых %У$НУ для всех у^Г и %УФ0 не более чем для
конечного множества элементов Г. Тогда Я0 — плотное линейное
подпространство в ф Ну. Для AУ) ^ Я определим т((!-?)) =
уеТ
= 2 Ъу Легко проверить, что т: Я0—>-Я— линейное отображе-
уеГ
ние. Если (<цу)^Н0, то
<*(№*)). *(Ы)>=/2 ?7> 2 чт\ =
V € Г у б Г /
=2 <1т»*1т> = <(&»)' Ы>-
7€Г
Таким образом, т—линейная изометрия Я0 на т(Я0). Чтобы
увидеть, что т(Я0) плотно в Я, предположим, что 2 € # и
<5»&> = 0 для всех ^т(Я0). Тогда 1>^Н^ для любого у(Е Г
И потому ^ = 0. В силу произвольности %, ^{Нц) плотно в Я,

594
Приложение Б
Стандартное рассуждение показывает теперь, что т
единственным способом продолжается до линейной изометрии ф Н~^
те г
на Я. []
На самом деле нам требуется еще два утверждения,
относящихся к этому кругу вопросов. Однако удобнее
сформулировать их и доказать в приложении С, после изложения
элементарной теории банаховых алгебр. Речь идет о
спектральных теоремах (С.40) — (С.42) и теореме (С.35), о том, что из
положительно определенного оператора на гильбертовом
пространстве можно извлечь квадратный корень, причем в
классе положительно определенных операторов такой корень
единствен.

Приложение С
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБР
В этом приложении мы дадим набросок элементарной
теории банаховых алгебр, именно, той части теории, которая нам
нужна для изучения алгебры М@) и ее подалгебр. Обзор
примерно такого же объема появился в книге Люмиса [2].
Гораздо более детальное изложение содержится у Наймарка [1]
и Риккарта [1]. Мы приводим доказательство спектральной
теоремы, поскольку оно достаточно просто проводится с
помощью техники, необходимой нам также и для других целей.
(С.1) Определение. Пусть А—линейное пространство над
полем/1, и пусть в А введена операция умножения (х, у)*-+ху,
относительно которой А — полугруппа, причем
(О х(у + г)=ху + хг;
(и) (х + у)г = хг + уг;
(Ш) (ах) у = х (ау) = а (ху)
для любых х, у, г б А и а^Р. Тогда А называется алгеброй
над Р; А при этом называется алгеброй с единицей, если она
содержит мультипликативную единицу ифО, и коммутативной
алгеброй, если коммутативна операция умнржения. Как обычно,
в случае поля # или К мы говорим о вещественной или
комплексной алгебре соответственно, и, как всегда, если для
некоторой алгебры не указано поле, то подразумевается комплексная
алгебра.
Алгебра А над полем Р называется банаховой, или
нормированной алгеброй, если А—банахово пространство и
Оу) 1И1К1И1М1
для любых х, у^Р- Если алгебра А имеет единицу и, то мы
требуем обычно также, чтобы
(V) || «||=1.

596
Приложение С
Линейное подпространство 1аА называется левым идеалом,
если А1а1, т. е. гх^1 для любых г^А, х^1. Аналогично,
/ называется правым идеалом, если 1Аа1, и двусторонним
идеалом, если / — одновременно правый и левый идеал. Идеал /
называется собственным, если 1фА. Алгебра, не содержащая
нетривиальных [т. е. =^={0}] собственных двусторонних идеалов,
называется простой. Конечно, в коммутативной алгебре
различие между левыми, правыми и двусторонними идеалами исчезает,
и мы говорим просто об идеалах.
Отображение т: Л—>Б одной алгебры в другую называется
гомоморфизмом, если оно линейно и мультипликативно
[последнее означает, что т (ху) = т (х) х {у) для любых х, у^А].
(С.2) Теорема. Пусть А—нормированная алгебра,
I—замкнутый двусторонний идеал в А и А/1 — нормированное линейное
факторпространство [теорема (В. 17)]. Для х + 1, у-\-1^А/1
положим (х + /) (у + I) = ху + /. Тогда относительно этого
умножения А/1 — нормированная алгебра. Если А—банахова алгебра,
то и А/1 — банахова, а если А имеет единицу ифО, ||и||=1,
то и + 1 — единица в А/1 и \\и-\-1\\ = \.
Доказательство. Корректность определения умножения в А/1
и выполнение условий (С. 1) A) — A11) проверяются
непосредственно, так что А/1 — алгебра. Согласно теореме (В. 17), А/1 —
нормированное линейное пространство, полное, если полным
было А.
Проверим теперь (С.Ну). Пусть (х+1), (у + 1)^А/1иг>0.
Тогда для некоторых V, гю^1 имеем ||#-М|| ||# + Н1 <
< ||# + / || ||# + /|| + е. Поскольку ьу-\-ш-\-ш$1, имеем:
\\ху + 1\\<\\ху + ъу + ххю + угю\\ = \\(x + V)(у + ^V)\\^^
<\\x + V\\\\у + ю\\<\\x + I\\\\у + I\\ + в.
Следовательно, ||л# + /||^||я + /||-||# + /||, что и требовалось.
Проверим, наконец, (С. 1у). Пусть и — единица в А и ||и|| = 1.
Тогда, очевидно, || и +11| < 1; более того, \\ и + 1 || = || (и +1J || <
<||а + /||2, так что ||и + /||>1, откуда ||а + /|| = 1. ?
Покажем, что каждая алгебра вкладывается в алгебру с
единицей.
(С.З) Теорема. Пусть А — алгебра. Обозначим Аи декартово
произведение АхК и определим
(\) а(х, Х)=:(ах, аХ);
(п) (х,%) + (у,\1) = (х + у,Х + ]1У9 .
A11) (X, Х)(у, \1) = (ху+Х\1 + Ьу, А|г)
для любых (х, X), (у, \\)^Аи и а^К. Тогда Аи—алгебра с
единицей, причем {(х, 0): х^А} — ее подалгебра, изоморфная алгебре А.

Введение в теорию нормированных алгебр
59?
Если А—нормированная [банахова] алгебра, то относительно
нормы
(IV) ||(*,Л)|| = |И + |Я.|
и Аа—нормированная [банахова] алгебра.
Доказательство. Проверка всех утверждений несложна.
Например, неравенство
\\{*А){у, V) 11 = 11 {ху + хр + Ху,Ър) || = || ху + хр + %у || +
+ Ы<Н*У 11 + 11*1* И + 11^ 11 + 1*1*1 <
<1И1М1+1Ч1Ы1+1М1И+1М1Н =
= AИ + 1Ч)AЫ1 + Ы)Н1(*Д)Ж^I1
устанавливает для алгебры Аи условие (С.Пу). []
Выведем некоторые свойства нормированных алгебр.
(С.4) Теорема. Пусть А—нормированная алгебра. Тогда для
любого х^А существует предел Ит\\хп\\1/пу причем
П -* 00
(О Нт||х»||1/Л = 1п!{||х"||1/в:л = 1,2, ...}
(и) Нт||х»||1/'!<||х||.
П -*¦ 00
Доказательство. Пусть а = т! {|| хп \\1/п: п = \,2, ...}; очевидно,
а^Нт \\хп \\1/п. По данному е>0 выберем такое положительное
/г->оо
целое т, что ||л:т||1/т < а + е. Для любого целого п пусть
п = апт + Ьп, где 0<6Л < т. Тогда ||хя||^||яда||а»||я||\ и потому
|| х" ||«» < || я* \\ап/п || х \\ь*'п < (а + е)тап/п || х р1\
Поскольку Нт ^»= 1 и Нт — = 0, получаем Ит ||*л||1/л^а + е
и, следовательно, Нт || л:" ||1/лг = ос. Неравенство (и) очевидно,
п -> со
поскольку ||хп||<||а:||л для любого п. []
Для алгебр без единицы важную роль играет понятие
квазиобратного элемента.
(С.5) Определение. Пусть А — алгебра и х^А. Элементу ^А
называется левым квазиобратным1) [правым квазиобратным]
к элементу х, если х + у—ух = 0 [х-\-у—ху = 0]. Если у одно-
х) Для того, что мы называем квазиобратным элементом, существует по
меньшей мере три различных термина; мы следуем здесь Риккарту и Наймарку,
а не Люмису и Хилле—Филлипсу.

598
Приложение С
временно—и левый квазиобратный к ху и правый квазиобратный
к х, то у называется квазиобратным к х.
Предположим, что алгебра А имеет единицу и. Тогда
элемент у квазиобратен к х тогда и только тогда, когда элемент
х—и имеет обратный [по умножению] элемент у — и; элемент
и—х имеет обратный г тогда и только тогда, когда и — г
квазиобратен к х. Таким образом, в алгебрах с единицей
квазиобратимость выражается в терминах обратимости и ничего
нового дать не может, а в алгебрах без единицы заменяет
обратимость.
Пусть А—произвольная алгебра. Если элемент х имеет
и левый квазиобратный у, и правый квазиобратный г, то у=г.
Следовательно, квазиобратный элемент единствен.
(С.6) Теорема. Пусть А—банахова алгебра и х^А. Если
Нт ||*л||1/л< 19 то х имеет квазиобратный элемент у, причем
00
A) У = - 2 ХК
/г=1
оо
Доказательство. Поскольку Нт ||ял||1/я < 1, ряд 2 ||ял|| схо-
/г->-со к— 1
дится. Рассмотрим последовательность \уп}п=1, ГДе Уп ~
п
2 хк, я = 1, 2, ... Она фундаментальна, поскольку
й=1
10«—0|» 11= 2 .
]\к=т+\
^ 2 ||**||» а РЯД 2 11**11 СХОДИТСЯ.
к=т+\ к=\.
Алгебра А банахова, и потому существует \шуп = у. Очевидно,
/г-уоо
для любого п. Переходя в этом равенстве к пределу при п—*оо,
получаем ху = ух = х + */, т. е. х-\-у—ух = х + у—ху = 0. []
(С.7) Следствие. Пусть А—банахова алгебра с единицей и.
Если х^А и Нт || (и —х)п\\^п < 1, то х существует и
Л->00
00
A) *-» = «+2 (и— х)к.
к~\
(С.8) Следствие. Пусть А—банахова алгебра, х^ А и \\х\\ < 1.
Тогда х имеет квазиобратный элемент у, причем

Введение в теорию нормированных алгебр
599
Доказательство. Существование квазиобратного элемента
следует из (С.4Н) и (С.6). Поскольку тогда х + у—ху = 0, имеем
|Ы| = 1|*0-*К||*|1Ы1 + 1М1 и \\х\\ = \\ху-у\\^\\у\\ +
+1И1М1- и
(С.9) Теорема. Пусть А—банахова алгебра, х,у^А, у
обладает квазиобратным у' и ||л:|| < , , .. , . . Тогда:
(I) х-\-у обладает квазиобратным элементом г,
и
11*11A1 Л1 + 1J
(и) IIг—и' ||< »*|Щ|У п-пг
Далее, множество Е = {у^А: у обладает квазиобратным у'}
открыто в А, причем отображение у*-^у'—гомеоморфизм Е на
себя.
Доказательство. Согласно (С.8) из || х—у'х ||< || х || +1| у' \\ \\х\\ =
= || х || A +1| у' ||) < 1 следует существование квазиобратного
элемента V к (л:—у'х). Тогда—ш/' + */'+а—левый квазиобратный
элемент к х-\-у:
(X + у) + (-Vу'+у'+V)-(-Vу'+у' + V)(X + у) =
= (У + У'—УгУ)—^(У + У,—У'у) + [(^--У^) + ^---^(х-~-угх)]==0.
Аналогично, для х—ху' существует квазиобратный ш, и —*/'&> +
+ у' + йУ—правый квазиобратный для х + у. Следовательно,
г = — ъу'Л-у'Л-ъ—квазиобратный к х-\~у.
Неравенство (и) получается использованием неравенства из
(С.8):
||г-^|| = ||-^ + ^ + У-уП1<|к1| + |1^Ч1<11Ч1A+11УЧ1)<
< \\х-у'х\\ ,! ^„ „, ,п ^ 11*11 A + 11 у'IIJ
* — У *1| (\ \\\11'\\\<Г " " \1Т\\У II г
\-\\Х-у'х\\\1-Г\\У \\)^ 1ЧИA + НЛ1Г
Утверждения A) и A1) доказаны.
Предположим теперь, что у^Е,п рассмотрим любой элемент
V^А, для которого Цр—у|1< 1 + ||^ц • По {\) аля V = (ю—у) -\-у
существует квазиобратный, так что Е открыто. Очевидно,
отображение у\—>у' взаимно однозначно и совпадает с обратным
к себе. Если у $Е и ||р—у ||< .. ,.. , то по (и)
| 0-^11A + 1
1-0 + НЛ1)
у'\\У
V У |1^ 1/1 I I! ,,' II \ II,. «11 '¦ \1>
\»~У\\ '
Если || V—#|| достаточно мало, то и правая часть A) мала, т. е.
отображение у*-*у' непрерывно. []

600
Приложение С
(С. 10) Следствие. Пусть А—банахова алгебра с единицей и.
Множество В0 = {у^А: у~г существует) открыто, и
отображение у^—э-у'1 есть гомеоморфизм Е0 на Е0.
Доказательство. Утверждение прямо следует из теоремы (С.9)
и тождества у-1 = и.— (и—у)', где у€Е0у а штрих означает
переход к квазиобратному элементу. []
(СП) Теорема [Гельфанд—Мазур]. Пусть А—банахова
алгебра с единицей и, в которой всякий ненулевой элемент"имеет
обратный. Тогда А = {Хи: Х^К\ и потому алгебра А*может
быть отождествлена с Д\
Доказательство. Пусть х^А и х—ХифО для любого Я^/С.
Тогда (х—Хи)~х существует для любого X ^ К. Рассмотрим
какой-нибудь линейный ограниченный функционал Ь: А—>/С
на А такой, что Ь(х~г) = 1, и положим § (X) = Ь ((х—Хи));
очевидно, Я @) = 1. Покажем, что §—целая функция. Поскольку
(х—Хи) (х—Х0и) = (х—Х0и) (х—Хи), имеем (х—Хи) (х—Х0и)~1=
= (х—Х0и)(х—Хи)'1 для любых X, Х0^1(. Следовательно,
(х—Хи)~1 — (х—Х0и)~1=(х—Хи)-1(х—Х0и)-1[(х—Х0и) — (х—Хи)] =
= (х—Хи) (х—Х0и)"г (Х—Х0),
и потому
= Ь((х—ЫУ1(х—%0и)'1). A)
Отображение Х\-+х—Хи, очевидно, непрерывно. Согласно
теореме (С. 10), отображение Х\->(х—Хи)~1 также непрерывно, как
и отображение Х*—>(х—Хи)(х—Х0и)~г. Поскольку
Ь—ограниченный функционал,
Ит Ь{{х—Хи)'г{х—А,0и)-*) = !,((*—Х0и)~*). B)
Отношения A) и B) показывают, что функция § имеет в точке
Х0 производную, и потому §—целая функция.
Если ХфО, то (х—Хи)^1=Х(~—и) \ Используя
непрерывность отображения уь-+у~г, получаем Нт (у — и) =
= (—и) и потому
Ит (*—Лл)-1=-Нт- (—аг*ц-*)==0
(пределы здесь рассматриваются относительно топологии,
индуцированной нормой на А). Снова используя ограниченность Ь,

Введение в теорию нормированных алгебр 601
получаем:
Нт ё(Ь)= Нт Ь({х—ки)'1) = 09 C)
и !->«» |Х|->оо
и функция §—ограниченная. По теореме Лиувилля целая
ограниченная функция постоянна. Но это
невозможно—соотношения C) и ц @) = 1 несовместимы. []
(С.12) Определение. Пусть А — алгебра над К. Ненулевой1)
линейный функционал т: А—^/Сна А называется
мультипликативным, если х (ху) = т(х) т(у) для любых х, у€А. Другими
словами, т: А —+К—мультипликативный функционал, еслит —
ненулевой гомоморфизм алгебры А на алгебру /О
Следующая теорема применима, в частности, к
мультипликативным линейным функционалам, играющим фундаментальную
роль в теории коммутативных банаховых алгебр.
(С. 13) Теорема. Пусть А — произвольная алгебра над полем
Р и х: А-^В—гомоморфизм ее на нетривиальную простую
алгебру В над тем же полем. Тогда т~1@)—максимальный
собственный двусторонний идеал в А. С другой стороны, если М —
некоторый максимальный собственный двусторонний идеал в А,
то А/М— простая алгебра, а естественная проекция п: А—>¦
—> А/М—гомоморфизм.
Доказательство несложно, и мы его не приводим.
Изучение мультипликативных линейных функционалов на
банаховых алгебрах может быть сведено к изучению таких
функционалов на банаховых алгебрах с единицей, как
показывает следующая теорема.
(С. 14) Теорема. Пусть А—банахова алгебра. Вложим ее, как
в теореме (С.З), в банахову алгебру Аи с единицей и
отождествим А с множеством {(х, 0): х^А}. Всякий мультипликативный
линейный функционал х на А единственным образом продолжается
до мультипликативного линейного функционала хп на Аи. С
другой стороны, сужение на А любого мультипликативного
линейного функционала на Аи есть снова мультипликативный
линейный функционал, кроме функционала х^, определенного формулой
*«((*Д))=ь.
Доказательство. Если хи—мультипликативный линейный
функционал, продолжающий т, то хи ((х, 0)) = т (х) для всех
х^А и ти(@, 1)) = 1, поскольку @, 1) —единица в Аи.
Следовательно, хи ((х, А,)) = хи ((х, 0) + @, А,)) = х (х) + X для всех (х, X) (Е Аи,
и единственность хи очевидна. Существование продолжения
) Это ограничение оказывается весьма удобным; см., например, (С. 17).

602
Приложение С
также прямо следует отсюда в силу мультипликативности и
линейности функции, определенной равенством хи ((х, X)) = т (х) + %.
Остальные утверждения теоремы столь же просты, и их
доказательство мы опускаем. []
(С.15) Определение. Пусть А—любая алгебра. Левый идеал
/сА называется регулярным левым идеалом, если существует
такой элемент у^А, что
(х + 1)& + 1)=ху + 1 = х + 1
для всех х^А. Элемент V при этом мы будем называть правой
единицей относительно I. Аналогично определяются регулярные
правые идеалы. Двусторонний идеал 1аА регулярен, если А/1
имеет единицу ь-\-1:
их+/ = XV + / = х +1
для всех х^А.
Очевидно, каждый левый [правый, двусторонний] идеал
в алгебре с единицей регулярен.
(С. 16) Теорема. Всякий собственный регулярный левый идеал
в произвольной алгебре А содержится в некотором максимальном
собственном левом идеале, который также регулярен. Если
А—банахова алгебра, то всякий ее максимальный собственный
регулярный левый идеал замкнут. Аналогичные утверждения
справедливы также для правых и двусторонних идеалов.
Доказательство. Пусть V—некоторая правая единица
относительно /; тогда, очевидно, V^I. Обозначим 3 семейство всех
таких левых идеалов ^, что Iс:^ и V^^. Если
2сЗ—некоторое линейно упорядоченное подсемейство, то [}^: /^2}^Э.
По лемме Цорна, 3 содержит максимальный элемент
^0—максимальный собственный левый идеал, содержащий /,
относительно которого V есть правая единица.
Пусть теперь А—банахова алгебра, /—ее максимальный
регулярный собственный левый идеал ии — правая единица
относительно /. Несложно проверить, что /~—также левый идеал
в А, причем V—правая единица относительно I". Значит, и
/" — регулярный левый идеал. Очевидно, 1а1~. Предположим,
что 1ф1~. Тогда, в силу максимальности /, Л=/~, т. е. /
плотно в А. Тогда в открытом множестве {г^Л: ||г[|<1}
существует такое г0, что V—г0^1. По следствию (С.8),
элемент г0 имеет квазиобратный г'0, т. е. г0 + г'0—г'0г0~0. Тогда
V^{V—г0)—г'0{V—г0)+г0V—г'0.

Введение в теорию нормированных алгебр
603
Очевидно, V—г0^1 и г'0(о—г0)^/; также г^—гг0^1, поскольку
г'о + 1 = г'(Р + 1. Следовательно, V^1 и потому 1 = А, что
противоречит предположению, что /—собственный идеал.
Соответствующие утверждения для правых и двусторонних
идеалов доказываются вполне аналогично. []
Из теоремы (С. 13) следует, что ядро мультипликативного
линейного функционала на коммутативной банаховой алгебре
есть максимальный собственный регулярный идеал. Докажем
теперь обратное утверждение.
(С. 17) Теорема. Для любой коммутативной банаховой алгебры
А всякий максимальный собственный регулярный идеал МаА
есть ядро единственного мультипликативного линейного
функционала % на А.
Доказательство. Согласно (С. 16), идеал М замкнут. По (С.2)
А/М есть банахова алгебра, причем простая, так как идеал М
максимален (С. 13). Поскольку М есть регулярный идеал, А/М
обладает единицей ю-\-М. Наконец, алгебра А/М коммутативна,
поскольку коммутативна алгебра Л. Из всех этих свойств
следует, что любой ненулевой элемент в А/М имеет обратный,
так что, по теореме (С. 11), А/М-={ко + М\ Х^К}-
Следовательно, для каждого х ^ А существует единственное комплексное
х(х) такое, что x^x(x)V + М. Легко проверить, что
т—мультипликативный линейный функционал на А, что М = т~1@) и
что т этими условиями определяется однозначно. []
Определим теперь спектр элемента в алгебре и затем (С.20)
свяжем это понятие с мультипликативными линейными
функционалами.
(С. 18) Определение. Пусть А — алгебра с единицей и и пусть
х^А. Спектр элемента х^А есть множество всех тех А,^/С,
для которых не существует (х—Хи). Очевидно, ненулевое
Х^К принадлежит спектру элемента тогда и только тогда,
когда не существует (х/Х—и). Поэтому определение спектра
можно распространить на алгебры без единицы.
Пусть А — алгебра без единицы. Спектром элемента х^А
называется множество всех Х^К таких, что либо Х = 0, либо
х/Х не имеет квазиобратного элемента.
Следующая теорема показывает, почему в алгебре без
единицы мы включаем нуль в спектр любого элемента.
(С. 19) Теорема. Пусть А—алгебра без единицы, и пусть
Ап—алгебра, определенная в теореме (С.З). Тогда спектры
элементов х в А и (х, 0) в Аи совпадают.
Доказательство. Следует прямо из определений. Заметим,
что элемент (х, 0) не имеет обратного в Аи. []

604
Приложение С
(С.20) Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра
и х^А. Если алгебра А имеет единицу, то X принадлежит
спектру элемента х тогда и только тогда, когда х(х)=Х
для некоторого мультипликативного линейного функционала х
на А. Если А не имеет единицы, то оюе утверждение
справедливо для любого ненулевого X.
Доказательство. Пусть алгебра А имеет единицу и и пусть
х ^ А и Х^К- Если X принадлежит спектру элемента х, то
(х—Хи)'1 не существует. Следовательно, {(х—Хи)г: г^А} —
собственный идеал, содержащий х—Хи. По (С. 16) этот идеал
содержится в некотором максимальном собственном идеале М,
который по (С. 17) является ядром мультипликативного
линейного функционала т. Поскольку х(х—Хи)=0, получаем
х(х) = Хх(и) = Х. Обратно, если (л:—Хи) существует, то
х(х—Хи)Ф0 для любого мультипликативного линейного
функционала т, так как в противном случае х((х—Хи)(х—Хи)~г) =
= 0 = т(а). Следовательно, х(х)фХ.
Случай алгебры без единицы сводится к разобранному
с помощью теорем (С. 14) и (С. 19). []
(С.21) Теорема. Пусть А—банахова алгебра. Любой
мультипликативный линейный функционал х на А ограничен, и
[|т||^1. Если А имеет единицу и и ||и|) = 1, то ||т|| = 1.
Доказательство. Пусть х^ А, т(#) = аи |а|>||л:|[. Поскольку
|| я/а || < 1, элемент х/а имеет квазиобратный у (С.8).
Следовательно, х/а + у—ху/а = 0, х (х/а) -|- т (у) — т (х/а) х (у) = 0 и
потому \-\-х(у)— х(у) = 0. Это очевидное противоречие и
доказывает, что ||т||"^ 1.
Если А имеет единицу и и ||и|| =1, то ||т||^1, поскольку
т(а) = 1. ?
(С.22) Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра.
Тогда спектр любого элемента х^А непуст и компактен.
Доказательство. Ввиду (С. 19) и (С.З), можно предположить,
что А имеет единицу и. Если X принадлежит спектру х, то
и—х/Х не имеет обратного элемента. По (С.7) получаем тогда
> Ит
{и-[и-т)У
1/п>\.
Таким образом, |А,|^||*|| и спектр элемента х есть
подмножество компакта {Х^К: |Л,|^||х[|}. Поскольку множество
{у^А: у~г существует} открыто [теорема (С. 10)], а
отображение Х\—>(х—Хи) непрерывно, множество {Х^ К: (х—Хи)'1
существует} также открыто. Спектр элемента х поэтому
замкнут и ограничен, следовательно, компактен. Рассуждение, ана-

Введение в теорию нормированных алгебр
605
логичное использованному в доказательстве теоремы (С. 11),
показывает, что (х—Ал)-1 существует не для всех К. Поэтому
спектр элемента х непуст. []
Пусть X—локально компактное хаусдорфово пространство.
Алгебра @0(Х) [все операции поточечные] с нормой ||/||й =
= тах{| [ (х) |: х^Х\—коммутативная банахова алгебра. Ее
строение исключительно просто, и попытки осмыслить для
алгебры М(Х) и ее подалгебр факты, очевидные для @0(^)>
составляют существенную часть усилий работающих в области
функционального анализа. Алгебра &0(Х) обладает единицей
тогда и только тогда, когда X компактно; спектр элемента
/^©0(Х) есть множество /(X) [плюс {0}, если X не компактно];
каждый мультипликативный линейный функционал на &0(Х)
имеет вид />—>/(/?) для некоторого р^Х [теорема (С.29)]; все
замкнутые идеалы в &0(Х) легко идентифицируются
[теорема (С.30)]. Оказывается, коммутативные банаховы алгебры из
весьма широкого класса алгебраически (не обязательно с
сохранением нормы) изоморфны подалгебрам некоторых алгебр &0(Х).
Чтобы это установить, нам потребуется еще одно определение.
(С.23) Определение. Пусть А — коммутативная банахова
алгебра. Множество X всех мультипликативных линейных
функционалов на А называется структурным пространством для
А1). Для каждого х^А преобразование Фурье х элемента х
определяется условием
A) Х(%)=Х(Х)
для всех т^Х; очевидно, х—функция на X. Гельфандовская
топология на X есть слабейшая топология на X, относительно
которой все функции х непрерывны. Если противоположное не
оговаривается, предполагается, что X рассматривается с этой
топологией. Семейство функций 1с на X обозначается А.
В оставшейся части приложения С, если рассматривается
нормированная алгебра с единицей и, то, не оговаривая особо,
считаем, что || и || = 1.
(С.24) Теорема [Гельфанд]. Пусть А—коммутативная
банахова алгебра и пусть х^А. Тогда
(О |Й|в = 8Щ>{|т(*)|: т<ЕХ}=Нт||*»Г».
Л->со
х) Многие авторы называют X пространством максимальных идеалов
алгебры А; причина этого—указанное в теореме (С. 17) соответствие между
мультипликативными линейными функционалами на А и максимальными
идеалами.

606
Приложение С
Доказательство. Для простоты будем в доказательстве вместо
||*||в писать просто [|*||. Пусть Аи— как в теореме (С.З), и
Хи — структурное пространство для Аи. По теореме (С. 14)
единственный «новый» функционал в Хи есть тю, для которого
г,» ((л:, Х)) = %. Но Тоо ((х, 0)) = 0 для всех х^А и потому
зир {) т (х) |: т€-Х} = зир{|т((л:, 0))|: г^Ха\ для всех х^А.
Следовательно, мы можем предположить, что сама алгебра А
имеет единицу и. Предполагаем также, что хфО, поскольку
для х = 0 утверждение очевидно.
По теореме (С.21) ||т|| = 1, так что
\г(х)\» = \т(х»)\^\\х\\\\х»\\ = \\х»\\
для всех х^Х и я = 1, 2, ... Поэтому |т(х)|^Пт ||л;п||1/л и
|[х||<Пт||л;"|Г<||х||. """ A)
Л->00
Доказываем теперь обратное неравенство. Именно,
доказываем, что для любого Х^К из |А,|<1/||#|| следует
Рассмотрим сначала Х^К такое, что |Л| < 1/|[я||^1/||я||.
Тогда || Лд: ||^1 и по теореме (С.7) существует (и—Хх)'1, причем
00
(и—%х)~1 = и + 2 (Ал)*; B)
сходимость ряда здесь понимается относительно топологии
сходимости по норме на Л. Если Х^К и 0 < |Я| < 1/||я||, то
11Д | >' | т (я) | для всех т € X, так что, по теореме (С.20),
существуют (х—ти) и (и—Хх)'1. Пусть Ь—некоторый
элемент сопряженного пространства А* нормированного
линейного пространства А. Для Х^К и |А,|<1/||я|| положим
@(Х) = Ь [[и—Хх)). Рассуждения, аналогичные
использованным при доказательстве теоремы (С. 11), показывают, что
функция § аналитична в открытом круге 0=}Х€К'- \Х\ < . ~ > ;
I И % II ;
не будем воспроизводить это доказательство. Непрерывность §
и равенство B) показывают, что
со
для всех X таких, что \Х\ < 1/||*||^ 1/||*||. Таким образом,
00
ряды Ь(и)+ ^ХкЬ(хк) — ряды Тейлора для функции §. По-
/г=1

Введение в теорию нормированных алгебр 607
скольку эта функция аналитична в круге В, ряды 2 ХкЬ(хк)
сходятся абсолютно во всем круге И, т. е. для \Х\ < 1/|[х\\,
а не только для IX | < Т,—гг . Отсюда мы получаем, что
II х II
Нт| !.(*,***) |=0 C)
к-+со
для всех Х^К таких, что |Я,| < 1/[| х\\, и всех Ь^ Л*,— главную
цель всех наших предшествующих рассуждений.
Используем теперь теорему Банаха — Штейнхауза (В.20).
Возьмем любое Х^К, \Х\< , ^„ , и для любого целого
положили
тельного п и Ь^А* положим
Ти(Ь) = Ь(№).
Очевидно, Тп—функционал на Л*, совпадающий с
функционалом (Хпхп)', определенным в (В.23). Поэтому
II Г» 11 = 11*"*" II D)
для всех п. Из C) следует, что зир {||7\A)||: /1 = 1, 2, . ..} =
= зир {| Ь (Хпхп) |: п = 1, 2, ...} < с» для каждого Ь ^ Л*. Из
теоремы Банаха—Штейнхауза следует, таким образом,
существование такого Р > 0, что || У„ |[ < Р для всех п. Используя D),
получаем ||Ал*л||^Р и потому ||ял||1/л ^Р1/Л/|Я| для всех п.
Следовательно Нт ||*л||1/л ^ 1/(^1, если только |М<1/||*||. П
(С.25) Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра.
Тогда [в гельфандовской топологии] X—компактное хаусдорфово
пространство, ху—>х—алгебраический гомоморфизм алгебры А
на подалгебру А алгебры ©(X), и \\х\\а^\\х\\для всех х^А.
Алгебра А разделяет точкиг) пространства X и содержит все
константы. Отображение х\-->х является изоморфизмом тогда
и только тогда, когда Нт ||*я||1/л >0 для всех хфО.
П -*- 00
Доказательство. Нетрудно проверить, что следующие
множества образуют открытую базу гельфандовской топологии наХ:
^ЛеЫ = {*€*: 1*(т)—*(то)| <8 ПРИ *€?},
где р—некоторое конечное подмножество в Л, т0(^Х и е —
некоторое положительное число. Следовательно, X можно
рассматривать как подпространство произведения V == Р {А,^/С:
хеА
1) См. стр. 197.

608 Приложение С
\Х\^\\х\\\, причем элемент т^Х идентифицируется с элементом
(х (х)) = (х (х)) ^У. Чтобы доказать замкнутость
подпространства X в У, рассмотрим произвольный элемент (^)^Х".
Несложно проверяется, что х\->1х—мультипликативное и
линейное отображение [ср. с доказательством теоремы (В.25)].
Кроме того, *я=1, поскольку х(и) = \ для всех х^Х. Таким
образом, х\->1х есть ненулевой функционал и потому
принадлежит X. Итак, X гомеоморфно замкнутому подпространству
компактного пространства и потому само компактно.
Остальные утверждения теоремы проверяются автоматически.
Например, отображение х*->х есть изоморфизм тогда и только
тогда, когда #=^=0 при хфО, т. е. тогда и только тогда, когда
||х||я>0 при хфО. По теореме Гельфанда (С.24) последнее
условие эквивалентно условию Нт ||д:Л||1/Л>0 при хфО. []
(С.26) Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра,
Аи—алгебра, определенная в (С.З), X и Хи—структурные
пространства для А и Аи соответственно. Тогда Хи=Х [) {х^}
[см. (С. 14)], X—локально компактное хаусдорфово пространство,
Хи—его одноточечная компактификация и А а @0(Х).
Доказательство. Как указывалось в предыдущей теореме,
база окрестностей точки т(=Х состоит из множеств
{//7,в(т) = {т'е*: |т'_(*)—т(*)|<е при х^Р),
где Ра А конечно и > > 0. Обозначим хи для любого т^Х
единственное [теорема (С. 14)] продолжение х на Аи. Пусть
Ри^И** 0) € Аи- Х^Р\- Если |т(я)|<е для всех х^Р, то
Уга, в Ы = {Ги € Ха: т' € Цр. 8 (т)} У {т.},
в противном случае
Таким образом, окрестности в X относительно открыты в Хи.
Аналогичные рассуждения показывают, что подмножества в X,
относительно открытые в Хи, открыты в гельфандовской
топологии. Другими словами, гельфандовская топология на X
совпадает с топологией на X, порожденной топологией Хд.
Поскольку {г,»} замкнуто, X открыто в компактном хаусдор-
фовом пространстве Хи и потому локально компактно.
Рассмотрим любые элементы х ^ А и в > 0. Пусть Ри = {(х, 0)};
тогда
Ури. в (*») = {т.} [} {тя б Хи: | ха {{х, 0)) —т. ((х, 0)) < е} -
= Ыи{ги^Хи: |т(*)|<е|}.

Введение в теорию нормированных алгебр
609
Это означает, что ||л:|| произвольно мало в окрестности т*,,
т. е. \\х\\ произвольно мало вне компактных подмножеств в X
и потому х^60(Х). П
(С.27) Рассмотрим теперь некоторые банаховы ~-алгебры
[определения см. в B1.6)]. Напомним, что в нормированной
~-алгебре постулируется тождество
@ 11*11 = 11*" II
для всех х € А. Нам требуется еще одно дополнительное свойство,
которое выполняется не во всякой нормированной ~-алгебре:
(И) ||хх-|Ы|*||».
Следующая теорема очень важна.
(С.28) Теорема [Гельфанд—Наймарк]. Пусть А —
коммутативная банахова ~-алгебра, удовлетворяющая условию (С.27Н),
и пусть X — структурное пространство алгебры А. Тогда
отображение ху-^х осуществляет сохраняющий норму
изоморфизм алгебры А на алгебру @0(Х). Кроме того, имеем (х)~ ~х
для любого х^А.
Доказательство. Это упрощение доказательства, приведенного
в оригинальном английском издании, любезно предоставлено
нам Фредом Тоэлем [Ргес! ТЬое1е].
(I) Докажем сначала, что т(х) вещественно для любого
т^Х, х^А, если х = х~. Предположим, действительно, что
%(х)=а + Ы. Для произвольных у^Ау ||#||<1 и
вещественного числа I имеем
\*(У)\*\ч(х) + П\2 = \т(ху + 1(у)\*^\\т\\2\\ху + Иу\\*
и
II щ+ну II2 = II (ху + ну) (ху+ИуУ Ц -1| (ху+ну) (ху~—иу~) \\ =
= \\х*уу~ +1*уу~ \\<\\уу~ \\{\\х\\* + 1*) =
= 1|у||2(||^112 + ^)<||^112 + <2,
так что
\%(у)\2\т(х) + И\2К\\т\\2{\\х\\2 + Р). A)
Верхняя грань левой части A), когда у пробегает все у^А
с ||#||<1, в точности равна ||т||21 т (х) + И\2, и потому
\х(х) + И\2^\\х\\2 + Р.
Поскольку \х(х) + Н\2 = \а + 1Ь + И\2 = а2 + Ь2 + 2Ы + ^9 имеем
20 Э. Хьюитт, К. Роса, т. 1

610
Приложение С
также а2-\-Ь2 + 2Ы + 12 ^\\х\\2-\-12 и потому
а2+&2 + 2^<||л;||2. B)
Поскольку B) выполняется для произвольного вещественного /,
должно быть 6 = 0.
(II) Любое х^А запишем в виде
X = 2 г * 2/ === -^1 "г *#2>
где х1==д:Г и х2 = х2. Тогда т(х) = т(д:1) + /т(х2) и т(лГ) =
= *((Х1 + 1х2)~±=:%(х1 — гх2) = х(х1)~п(х2) = х(х). Другими
словами, (х~У —х для любого х^А. Значит, А есть подалгебра
в @0(Х)> разделяющая точки в X и замкнутая относительно
комплексного сопряжения. По теореме Стоуна — Вейерштрасса
[см. (и), сноска на стр. 197] алгебра А тогда плотна в
равномерной топологии на @0(Х).
Покажем теперь, что ||*||я = ||*|| для любого х 6 А. Из (С.21)
с очевидностью вытекает, что ||* ||й < || х ||. Предположим
сначала, что х = х~. Тогда \\х21| = || хх~ || = || х||2 и ||х21|1/2 = \\ х ||.
Аналогично, имеем || х4\\ч* = || х21| и потому || х4 Ц1/* = || х2 Ц1/* = || х ||.
С помощью конечной индукции тогда и || х2" Ц1'?72 = ||*|| для
любого п. Применяя (С.24), получаем ||х||а = Пт \\хп \\1/п =
П -*¦ 00
= Нт || ^2"|Г/2" = ||^||. Рассмотрим теперь любое х^А. Ясно,
что (хх~)~ = #лГ. Поэтому
1И1* = Н**-11 = 11^" 1!.НГ*ЮЧ1«НГ**11« = 111*1,11. = 11*112.
Поскольку отображение ху->х сохраняет норму, а алгебра А
полна, то и Л полна. Следовательно, А замкнута в 60 (X) и
потому А =@0(Х). ?
Теорема (С.28) позволяет дать простое описание банаховых
алгебр @0(Х) на локально компактных хаусдорфовых
пространствах в терминах поведения нормы и операции сопряжения.
Закончим анализ таких алгебр описанием их замкнутых идеалов
и мультипликативных "функционалов на этих алгебрах.
(С.29) Обсуждение. Пус ь V — локально компактное хаус-
дорфово пространство. Пусть т/?(/)=/(р) для любых р ^ У и
/€@0(К). Отображение тру очевидно, представляет собой
мультипликативный линейный функционал на @0 (V). Из теорем (С. 13)
и (С.16) следует, что его ядро т~} @) =={/ ^60 (V): [(р) = 0\
является максимальным собственным регулярным замкнутым

Введение в теорию нормированных алгебр
611
идеалом в &0(У). Мы покажем, что этими идеалами и
исчерпываются все максимальные собственные замкнутые идеалы
в &0(У) и что {т * р^У\ есть структурное пространство
алгебры 60(К).
(С.ЗО) Теорема. Пусть У—локально компактное хаусдор-
фово пространство и 3—собственный замкнутый идеал в 60(У).
Тогда существует единственное замкнутое подмножество Е аУ
такое, что
(О 3 = {/6®»(П: /(Я) = 0}.
Обратно, всякое множество вида (\) есть замкнутый идеал
Доказательство. Пусть Е = {р^У: /(р)=0 для любого/^3}
и ЗЛ^={/€®о(У): /0Е) = О}'» ясно, что Е замкнуто в У и что
Пусть Р с: У П Е' — некоторый компакт. Для каждого л:^^
найдется функция /^3 такая, что }х(х)фО. Тогда функция
кх = [х[х принадлежит 3 и кх(х)>0. Значит, для любого х^Р
существует окрестность I)х точки х с кх(у)>0 приу^их.
п
Выберем точки %, ..., хп^Р так, что II Vх з Р, и пусть
к-1 к
п
Н=^]НХ . Тогда й^З и к(у)>0 для любого у ^Р.
Пусть 9г = {ф€©ооОО:{</€^: ф(^/)^О}~П^ = 0}.
Рассмотрим некоторое ср^ЭТ; пусть Р = {у ^У: ^р(у)фО\~. Предыдущий
абзац показывает, что существует функция А^З с к (у) > О
при у€Р. Пусть е(у) = 2Ш. при #6^ и §(у) = 0 при у^Я
Легко усмотреть, что §€%о(У) и что Ф = ^^3. Мы
показали, таким образом, что 9с с: 3. Стандартное рассуждение
теперь позволяет установить, что Ш равномерно плотно в 9ЛЯ.
[Действительно, если ф^931б и 8 > 0, то множество Р0 = {у$У:
|ф(//)|^е} компактно и не пересекается с Е. Пусть/—такая
функция из 6+0 (Г), что !(Р0) = 1, /(У)с:[0, 1] и \у$У:
I (у)ф0\- п Е = 0. Тогда /чр^ЭД и ||/ф —Ф||я< 2&.] Поскольку
3 и 9Лд замкнуты, отсюда следует 3 = 9ЛЯ.
Единственность множества Е и то, что каждое Шв есть
замкнутый идеал, очевидны. []
(С.31) Следствие. Пусть У — локально компактное хаусдор-
фово пространство. Положим $ЛР = {/ ^@0 (У):/ (р) = 0} для
любого р^У. Тогда каждое Шр—максимальный собственный
замкнутый идеал в банаховой алгебре 6,, (У), и таким образом
исчерпываются все максимальные собственные замкнутые идеаг*
20*

612
Приложение С
в й0(^)- Каждый собственный замкнутый идеал 3 есть
пересечение максимальных собственных замкнутых идеалов.
Последнее утверждение следует из тождества ЯЛЯ= П Шр.
р € Е
(С.32) Следствие. Пусть У—локально компактное хаусдор-
фово пространство. Тогда структурное пространство X алгебры
&0(У) идентично с {тр: р^У\, а отображение
р*-*>хр—гомеоморфизм У на X.
Доказательство. Мы уже видели, что \хр: р ^У\аХ. Поскольку
любой максимальный замкнутый идеал в $0(У) имеет вид
Ж/? = Тр1@), получаем \тр: р^У\ = Х [теорема (С. 17)].
Докажем гомеоморфность отображения /?1—»ту, очевидно,
оно взаимно однозначно. По определению открытая база
пространства X состоит из множеств
*/*.в(т*)Нтя€Л: 1МЛ—М/)|<е Для любого /е$} =
= {хр$Х\ \!(р)—[(д)\<& для любого {$%},
где т^Х, $с:&0(У) — конечное множество, и е > 0. Но образ
открытого множества \р^.У: \[(р) — I (я) \ < е для любого /€$}>
содержащего р, лежит в (/&, е(^) [точнее, совпадает с (/&, е(т^)].
Следовательно, отображение р^>тр непрерывно.
Рассмотрим обратное отображение тн-»р. Пусть
{]—окрестность точки я в У. Выберем такую функцию /€@о00> что
\(ц) = 1 и Ц11') ^О1). Тогда образ открытого множества {/{/}? г (т^),
содержащего хд, лежит в II, т. е. отображение %р\->р также
непрерывно. []
Теоремы (С.28), (С.34) и A1.37) находят неожиданное
применение при доказательстве спектральной теоремы для
[ограниченных] эрмитовых операторов на гильбертовом пространстве
(С.42). Всюду ниже под Я понимается произвольное
гильбертово пространство. Вспомогательные обозначения и
терминология— как в определении (В.53) и теореме (В.57); через /
обозначен тождественный оператор на Я.
(С.ЗЗ) Лемма. Пусть Н—гильбертово пространство и А —
нормальный оператор из 2В (Я). В 23 (Я) существует А тогда и
только тогда, когда найдется положительное вещественное число
а такое, что || Л2-Ц >а||.^ || для всех 1^Н.
Доказательство. Если А существует, достаточно положить
а = || А Ц". Пусть, наоборот, наше условие выполнено.
Поскольку <А%, АЪ> = <А~АЪ,1> = <АА~Ъ,Ь> = <А~Ь9 А~%>9 мы
*) Всякое локально бикомпактное хаусдорфово пространство вполне
регулярно (Келли [1], стр. 198), так что указанная функция / всегда
существует.

Введение в теорию нормированных алгебр
613
имеем || А11| = || А~1 || >а\\ Ц\ для всех 1^Н. Следовательно,
операторы Л и Л^ взаимно однозначны. Если 1^Н таково, что
<А%, & = 0 для всех 1^Н, то <Х, Л~С> = 0 для всех 1^А, так
что Л~2; = 0 и потому ^ = 0. Следовательно, А (Н) — плотное
подпространство в Я. Если Л|л1->т|, то || ^л — ^да || ^оь-11| Л^я —
— Л^||, так что {^„}пв1—последовательность Коши в Я, и
потому ^„ь-^^ для некоторого С6Я; по непрерывности Л, А^^ц.
Тем самым доказано, что А(Н) = Н. В силу взаимной
однозначности Л, оператор Л существует, причем Л~х линеен,
ограничен и его норма не превосходит а-1. []
(С.34) Теорема. Пусть А—эрмитов оператор в алгебре 33 (Я).
Тогда спектр оператора А веществен. Если, кроме того,
оператор А положительно определен, то его спектр
неотрицателен.
Доказательство. Если Х^К невещественно, то
\Ь-ЩЦ2 = \<А1-Х1, Ъ>-<1, АЪ-К>\^
^\\А1-ХШ1\\ + \\П\\Л1-Ч\\=2\\А1-Х1\\\\1\{
для всех 5€Я. По теореме (С.33) существует (Л—XI)'1, и X
тогда не принадлежит спектру Л. Первое утверждение
доказано.
Если оператор Л положительно определен и X вещественно
и отрицательно, то
\\(А-МI\\* = <АЬ-ХЪ, АЬ-ХЬ> =
= <А1, А1>-2Х<А1, |> + Л«<б, Ъ»Х*\\1\\\
Снова по теореме (С. 33) отсюда следует существование
(А-Х1)-КП
(С.35) Теорема. Пусть А — положительно определенный
оператор на гильбертовом пространстве Я. Тогда на Я существует
единственный положительно определенный оператор В, для
которого В2 = А. При этом оператор Т из 33 (Я) коммутирует
с А тогда и только тогда, когда он коммутирует с В.
Доказательство. (I) Пусть 31— наименьшая замкнутая
относительно нормы подалгебра в 33 (Я), содержащая Л, / и все
операторы (Л— XI)'1, существующие в 33(Я), Х^К- Легко пока
зать, что 31 — коммутативная банахова ~-алгебра с единицей,
удовлетворяющая условиям теоремы (С.28). Каждое т в
структурном пространстве X алгебры 31 вполне определяется числом
т(Л). Согласно теоремам (С.20) и (С.34), все числа т(Л)
вещественны и неотрицательны. Поэтому мы можем отождествить X

614
Приложение С
с некоторым компактным подмножеством луча [0, оо) [теорема
(С.22)]. Мы записываем А(х)=х для всех х^Х. По теореме
(С.28) алгебра 81 может быть отождествлена с ©(XI).
Пусть я|)(#) = я1/* для любого х^Х, и пусть
{'Фя}^—последовательность полиномов от х с вещественными коэффициентами
такая, что Пт тах{|(фя(д:)—я|э(л;)|: х^Х\ = 0. Снова по тео-
п-+ со
реме (С.28) в алгебре Щ существуют такие операторы С, Си
С2, ... что а|) = С и 'ф/1=Сл. Каждый оператор Сп есть полином
от оператора А с вещественными коэффициентами и потому
эрмитов. Следовательно, и оператор С эрмитов, как предел
относительно топологии нормы эрмитовых операторов Сп.
Пусть В = С2', как квадрат эрмитова оператора, оператор
В положительно определен. Очевидно, В2 = А.
По построению оператор В является пределом полиномов
от Л, и потому каждый оператор в 93 (Я), коммутирующий с А,
коммутирует и с В.
(И) Докажем теперь единственность оператора В. Пусть
В\ = А и В0 — положительно определенный оператор. По (I),
существуют такие положительно определенные операторы С и
С0, что С2 = В и С\ = В0. Поскольку В0А = В30 = АВ0У оператор В0
коммутирует с В. Пусть ^Яи г\=^(В—В0)\%. Тогда
II Ст| ||а + || С0т) ||» = <СЧ Л> + <Оп, т|> = <(В + Я0)ть Л> =
= <(В + В0)(В-В0)Ъ, т|> =
= <EЯ—5?)|, т|> = <0, т]>^0.
Следовательно, Ст| = С011 = 0, Вц = С2г\ = 0 и В0г) = 0. Наконец,
\\(В-В0П\\*=<(В-В0)Ч, 6> =
= <(Я-Я0)т], ^> = <0, ^> = 0,
так что Я| = В05. ?
Спектральная теорема, как мы увидим, в действительности
есть теорема об ^-представлениях алгебр @0 (X)
ограниченными операторами на Я. Чтобы изучить эти представления,
мы используем некоторые свойства ^-представлений,
установленные в §2.1. В двух, нижеследующих теоремах мы найдем
все ^-представления алгебры 60 (X) в терминах специальных
мер на X.
г) Из теоремы Стоуна —Вейерштрасса [см. сноску на стр. 197] вытекает:
если Я не принадлежит спектру Л, то функция х\—>(х— А,)-1 на X есть
равномерный предел на X полиномов от х. Переводя это утверждение опять
в алгебру 31, мы видим, что каждый оператор (А—XI)-1 в 53 (Я) есть предел
по норме полиномов от оператора А.

Введение в теорию нормированных алгебр
615
(С.36) Теорема. Пусть X — локально компактное хаусдорфово
пространство и Т — циклическое ~-представление ©0(Х)
операторами на гильбертовом пространстве Я. Тогда найдутся такие
неотрицательная мера \, на X, как в § 11, и линейная изометрия
И? пространства Н на %2(Х, ь), что
A) ГГД-1 (I) = П для всех %$ 22 (X, 0 и / € ®0 (X).
Иначе говоря, Т эквивалентно умножению на [ в 22(Х, ь).
Доказательство. Пусть ^ — циклический вектор в Н нормы 1,
и пусть р(/) = <Г/ С, С> Для любого /€@0(Х). Функционал /7,
очевидно, линеен и положителен и для него выполнены B1.181)
и B1.1811), поскольку он возник из ~-представления. Далее,
функционал р ограничен, поскольку @0(Х) есть банахова
^--алгебра B1.20): \р (!) |<а || / ||я для любого /6@0(Х). Для
любого [€Щ(Х) существует §-^6^ (X) с @2 =§-§ = }, так что
Р(П = Р(8~8)'^®- Это означает, что функционал р
неотрицателен в смысле A1.4), и потому найдется мера ь, как в § 11,
для которой
РA) = <Т& С>=$/Л для всех /€®во(Х). A)
• х
Легко видеть, что для каждого компакта РаХ выполнено
I (р) <а; следовательно, I (X) < а < сю. Значит, отображение
/н->\ I(к непрерывно в топологии нормы на @0(Х); поскольку
х
функционал р также непрерывен в этой топологии, равенство A)
должно иметь место на всей алгебре &0(Х). Рассмотрим
отображение И? множества {Т^: [^^0(Х)\ на &0(Х)У задаваемое
соответствием Т^*—>/ для каждой функции /$@0(Х). Легко
видеть, что И? есть линейная изометрия пространства {Т^:
/ё@0(Х)} [которое по предположени , есть плотное линейное
подпространство в Н] на (И0(Х), рассматриваемое как
подпространство в 82(Х, ь). Поскольку @0 (X) плотно в 22(Х, I)
A2.10), из (В.59) следует, что отображение Ш можно
продолжить до линейной изометрии всего Н на 22(Х, I). Для каждого
§€&0 (X) имеем
поэтому
Т^е^ТуТ^-Т,^ при /<Е@о(Х)
и, наконец,
Поскольку ©0(Х) плотно в 22(Х, I), отсюда и следует (!).[]

616
Приложение С
(С. 37) Теорема. Пусть X— локально компактное хаусдорфово
пространство и пусть Т—некоторое ~-представление алгебры
@0 (X) операторами на гильбертовом пространстве Н такое, что
для любого ненулевого 1^Н найдется функция [^^0(Х), для
которой Т/1Ф0. Тогда представление Т эквивалентно
следующему представлению 5 специального типа. Существует локально
компактное хаусдорфово пространство У, являющееся суммой
попарно дизъюнктныхгомеоморфныхобразовту(Х) пространствах,
в котором подмножество открыто тогда и только тогда, когда
открыты его пересечения с каждым т7(Х). На У существует
неотрицательная [возможно, бесконечная] мера ц как в § 11. По-
ложим для каждого /^@0(Х) р/ равным такой функции из ©(К),
что р/(т7(л;)) = / (х). Тогда оператор 8у на &2(У, ь) задается
равенством 8/1 = (р}I для каждого 1€&2(У, ь).
Доказательство. Пусть N и \Ну\ует построены по
представлению Т алгебры &0(Х), как в B1.13). Из наших
предположений вытекает немедленно, что N = {0}. Пусть для любых
Т€Г и [€&о(Х) через ТЛ7 обозначено сужение Т/\НУ, а через
Ту — представление /•—>Гд 7 алгебры @0(Х) операторами на Нт
Поскольку представление Ту циклично, из (С.36) вытекает
существование конечной неотрицательной меры 4 на X, как
в § 11, такой, что Ту эквивалентно умножению в 22(Х, 17);
пусть №у есть линейная изометрия Я6 на #2(Х, 0, для которой
выполняется (С.361).
Поскольку N = {0}, гильбертово пространство Н разложимо
в прямую сумму ©#7. Образуем следующим образом
соответствующую конкретную реализацию прямой суммы ®&2(Х, ц>).
у СГ
Для каждого у$Г рассмотрим такой гомоморфизм т
пространства X на т7(Х), что пространства т7(Х) для различных у
попарно дизъюнктны. Обозначим через У объединение всех
т-у(Х) и будем считать множество АаУ открытым тогда и
только тогда, когда пересечение А П т7 (X) открыто для каждого
у€Г. Ясно, что У относительно этой топологии есть локально
компактное хаусдорфово пространство, в котором каждое т7(Х)
открыто и замкнуто. Для каждого 1|)(Е@оо(^) обозначим через
я|)? сужение ^ на т7 (X) и положим / (г|?) == ^ 3 №у ° ху) &Ч-
тег х
Нетрудно заметить, что / есть неотрицательный линейный
функционал на @00 (У) в смысле § И и что соответствующая мера I
на У есть в естественном смысле сумма мер 1У. Для каждого
%€%2(У, ь) обозначим через 1У функцию, равную I на т7(Х)
и нулю в не т7(Х). Пространство всех 1У может быть
идентифицировано как гильбертово пространство с 22(Х, 1У), и мы можем
[опять в некотором естественном смысле] рассматривать 22(У,1)
как прямую сумму пространств #2(Х, ь7). Каждый элемент ц

Введение в теорию нормированных алгебр 617
исходного пространства Н имеет единственное представление
в виде 2 Чу с Чу€Ну. Полагаем ^ (л)= 2 ^ (%)» где мы
7€Г убГ
рассматриваем 22(Х, 1-у) как прямое слагаемое в 22(У, I). Ясно,
что 1^ является линейной изометрией между Н и #2(К, 0. Для
любого 1€%2(У, О имеем
\уег ) у€Г
так что
1>€Г
Применяя И? к обеим частям этого равенства, получаем
76Г
Поскольку И%ГА уПРу1 AУ) = (/ о т) ^ при 7 6 Г, имеем
76Г
откуда и следует утверждение теоремы. []
(С.38) Замечание. Можно рассматривать и случай Л^{0}
с помощью следующего малообещающего построения. В X или
в дизъюнктную сумму У некоторого числа экземпляров X можно
ввести меру [х так, что N может быть идентифицировано
с 22(У, \х). Тогда, очевидно, сужение Т на N будет
эквивалентным умножению в й2 (К, \х) на функцию 0.
(С.39) Обсуждение. С помощью конкретной реализации
представления /н^Т;, данной в теореме (С.37), можно описать
операторы Т/ как «интегралы» некоторых проектирований.
Сохраним обозначения из (С.37). Поскольку Я и 22 (У> I)
связаны между собой линейной изометрией, относительно
которой Ту и умножение на р/ эквивалентны, мы можем без потери
общности рассматривать $2(У, 0 и умножение на р/;
абстрактная формулировка появится в (С.40) ниже.
Для каждого подмножества АаХ пусть рА = II ту(А).
тег
Пусть & — семейство всех множеств в К, имеющих вид р^ для
некоторого борелевского множества Е в X. Для каждого рЕ €<?
характеристическая функция 1рЕ является ограниченной и боре-
левски измеримой на Уу так что ^р^б&гО'э О Аля любого
^€®2(^1 0- Отображение
1^1,е1-=МеЦ) A)

618
Приложение С
есть, очевидно, идемпотентный эрмитов оператор на 22(У, I);
иначе говоря, МЕ есть проекция, именно, проекция на
подпространство всех ^622(У, 0, равных нулю вне рЕ1). Из A)
следуют равенства:
М
Еги ... иЕпи...
2м,
для любой дизъюнктной системы ^±, ..., Еп%
множеств в X;
ЧЬ^Бъ ••• 'г*Ек=МЕхП...ПЕк
B)
борелевских
C)
МБхМЕ2 ... МЕк = МЕ
для любой системы Еь ..., Ек борелевских множеств в X;
МХ = 1У D)
где / есть тождественный оператор;
М0 = О, E)
где 0 есть нулевой оператор.
Рассмотрим теперь любое /^@0(Х) и любое в > 0.
Существует такое разбиение Е1У ..., Ет пространства X на борелев-
ские множества, что | / (х) — / (х') | < г при ху х' ^ Е^. Пусть
а^—такое комплексное число, что \[(х)—ау|<е при х^Е^
Тогда для каждого Сб22(К, ь) имеем
Яр/,Н?лч>
<к
<
вир
1=1 '
:у$У
$|С|»Д;
^ у
или, эквивалентно,
1|5^-(|^Лц)у2<8||С||2
F)
Неравенство F) есть абстрактная формулировка
спектральной теоремы. Именно, существует отображение Е н-> МЕ
семейства борелевских множеств в X в семейство всех проекций на
&2(^» 0» удовлетворяющее равенствам B) — E), такое, что
х) Отображение 2'—^ блС можно, конечно, определить для любого 1-изме-
римого множества Л. Для наших целей, однако, достаточно рассматривать
лишь множества рЕ.

Введение в теорию нормированных алгебр
619
представление 5у сколь угодно близко к некоторой линейной
комбинации проекций МЕ в смысле F).
Проекции МЕ обладают еще одним важным свойством. Пусть
В—любой ограниченный оператор на 22(У, I), коммутирующий
со всеми 5/. Тогда В коммутирует и со всеми МЕ. Чтобы
доказать это, рассмотрим любые элементы I и ц из 22 (Уу I).
Поскольку <5/ВС, г]> = <55Д, ц> = <8/1>,В~,цУ, имеем
Докажем, что
$(р/)(БОт1Л-5(р/)и5^г1)Л. G)
$ (ВО Л * = 5 Ъ(В~ч)йь (8)
рЯ рЯ
для любого борелевского множества ЕаХ. Тем самым мы
покажем, что <^МЕВ^, г|> = <Л^, В^г)У для любых I и г|, и потому
МЕВ = ВМЕ. Пусть Ф = EС)'л—^(^л). Тогда Фб^У, 0 и
5 (р/)фЛ=0 /7м
к
для любого /^60(Х), и нужно доказать, что
$срЛ = 0 (8')
ря
для любого борелевского множества ЕаХ. Предположим, что
|фЛ = а^0 для некоторого борелевского ЕаХ. Функция ф
рЕ
равна нулю вне объединения счетного подсемейства множеств
ту(Х): для удобства запишем это подсемейство как {хп (Х)}^.
00
Поскольку 2 \ |ф|Л<°°» существует положительное
я=:1 тп(Х)
00
целое т, для которого 2^ ^ | ф | дх < ^ . Для каждого
л=т+1 т^ (X)
целого я= 1, ..., т найдутся компактные подмножества РпаЕ
и открытые множества Vпа>Е такие, что \ |ф|Л< ^ .
т т
Пусть Ц= П <УЙ и Р~-= [] Рп\ выберем ц ^ 600 (Я) П°Д условием

620
Приложение С
*(Л = 1, 8(У') = 0 и 8(Х)<=[0, 1]. Тогда
2 3 1ф|л<"г
<
(9)
я=т+1 Т„(Х)
и для любого п = 1, ..., т
$ (РЙГ—1ря)фЛ < 5 |ф|Л<
*„<*>
Vе7 л ^>
2т
Из соотношений (9) и A0) вытекает, что
(Ю)
$(р#— Уф^
<|<х|.
Поскольку } фА=а, отсюда получаем ^(р^)фЛ#0, в про-
рЕ У
тиворечие с G').
(С.40) Теорема. Пусть X—локально компактное хаусдорфово
пространство и пусть {—+Т/—любое ~-представление алгебры
@0 (X) операторами на гильбертовом пространстве Н. Тогда
существует такое отображение Е*—>РЕ семейства борелевских
множеств ЕаХ на семейство проекций в Н, что
00
A) РЕ%иЕяи...иЕпи... = 2 Рвп* если множества Ег, Е2, ...
п— 1
..., Еп, ... попарно дизъюнктны;
(И) Ре^е^РехРе>\
A11) проекции РЕ коммутируют со всеми ограниченными
операторами В, коммутирующими с каждым Т;.
Далее, если {Ег, ..., Ет\ есть разбиение X на борелевские
множества такое, что \\{х)— }(х')\<е при х, х' ^Е/ и
I/(*)—«/!< в при х^Е/(} = 1у 2, ..., т)} то
(IV)
Т^-Я^РА
/=1 ' *,
<*1Ш1

Введение в теорию нормированных алгебр
621
для любого С^Я. Наконец, для любых ?,, Ц^Н отображение
Еь—><РЕ^, г)> = и,* „(Е) есть комплексная мера на X в смысле
§ И и
(V) <7% т|>=-$/Фы|
х
для любого / € ©о (^0-
(С.41) Теорема. Пусть 21—любая коммутативная алгебра
ограниченных операторов на гильбертовом пространстве Н
такая, что А ""€21 при А ^21, замкнутая в топологии
сходимости по норме в пространстве всех ограниченных
операторов на Я. Пусть X—структурное пространство алгебры 21,
а А—преобразование Фурье оператора А ^ 21; значит, {А: А б 21} =
=60(Х). Тогда все утверждения теоремы (С.40) остаются
справедливыми при замене Т; всюду на А, а отображения /«—»Г/—на
отображение Лн-»Л. Соотношение (С.4СНу) переходит в
следующее. Пусть Е±1 ..., 2?от—л/обог разбиение X на борелевские
множества такое, что \ А (х) — А (х') | < г при х, х' ^Е^ и
|Л(л;)—осу|<е при ^^^(/=1, 2, ..., т). Тогда
(IV)
лс—2 «ад
<в[Ш
для любого I ^ Я. Соотношение (С.40у) переходит в
(V) <Л^, л> = 5 Дфс>ч.
х
Хотя мы и продвинулись весьма далеко, стоит все же
сформулировать и классическую форму спектральной теоремы об
ограниченных эрмитовых операторах.
(С.42) Теорема. Пусть В—эрмитов оператор на
гильбертовом пространстве Я. Существует такое однопараметрическое
семейство проекций \Рг: (<^К\ на Я, что
@ РгРа^Ра, если и</;
(и) каждое Рг коммутирует с любым оператором,
коммутирующим о В\
(III) Нт||Р,_вЕ — Р,Б||=0 (Эля любого 1^Н\
е | 0
(IV) существуют такие вещественные числа а и Ь, а < &,
что Р, = 0 л/?и /<а а Л = ^ яри *>&;

622
Приложение С
(V) для каждого 1$Н и для каждого подразделения
я=^о<*1 <-.-<1т=Ь отрезка [а. Ь] такого, что шах {\^^—1;-^:] =
= 1, ..., т) <е, имеем
П1
/=1 ' ' ' *
<«I! СI
(VI) <В^, т]> = ^/й<РД;> Л) Зля л/обь/л: С, Л€#, причем
а
интеграл понимается в смысле Римана—Стилтьеса.
Доказательство. Пусть Щ—наименьшая замкнутая в смысле
нормы подалгебра в 33 (Я), содержащая операторы В и /.
Рассуждая, как в доказательстве (С.35), убеждаемся, что
структурное пространство X алгебры 81 можно отождествить с
некоторым компактным подмножеством в /?, где В(х)=х для
каждого х^Х. Выбираем вещественные числа а и Ь так, что
а<пипХ и 6>тахХ. Пусть Р, = Р[о(/,пХ, где оператор
проекции Ря определен в (С.39) и (С.40). Все утверждения
теоремы теперь следуют из (С.41). []
(С.43) Замечание. Можно было бы также привести
классическую спектральную теорему для ограниченного нормального
оператора на Я; но и формулировка и доказательство очевидны
после всего проделанного.

БИБЛИОГРАФИЯ
А б е М. .{АЬе Мако1о):
[1] ОЬег Аи1опюгрЫзтеп с!ег 1ока1-котрак1еп аЬе1зсЬеп Сгирреп, Ргос.
1тр. Асао1. Токуо 16, 1940, 59—62.
Александер Дж. (А1ехапс1ег Латез XV.):
[1] Оп (Не спагас1егз о! сНзсге1е аЬеПап §гоирз, Апп. о\ Ма1п. B) 35,
1934, 389—395.
Александер Дж., Коэн Л. В. (А!ехапс1ег Латез XV., СоНеп Ьеоп XV.:
[1] А с1аззШсатюп о! 1Ье пото1о§у ^гоирз о! сотрас! зрасез, Апп. о!
Ма(Ь. B) 33, 1932, 538—566.
Александер Дж., Циппин Л. (А1ехапс!ег Латез XV., 21ррт Ьео):
[1] 01'зсге1е аЬеПап &гоирз апс! Ше1г спагас*ег ёгоиР5» ^пп- °^ Ма1п. B)
36, A935) 71—85.
А л е к с а н д р о в-А. Д.:
[1] О группах с инвариантной мерой, ДАН СССР 34 A942) 5—9.
Александров П. С:
[1] Комбинаторная топология, Гостехиздат, М., 1947.
Александров П. С, X о п ф. X. (А1екзапс1гоу Р. 5., Нор[ Н.)г
[1] Торо1о§1е I. ОгипсИеЬгеп с!ег АШпетаИзсЬеп Х^ззепзсЬаПеп, Вс1. ХЬУ.
5рпп§ег, ВегПп, 1935.
Анзаи X., Какутани Ш. (Апга! ЖгохасЗа, Каки1ат ЗЫгио):
[1] ВоЬг сотрасМПсаИопз о! а 1оса!1у сотрас! аЬеНап §гоир I, II, Ргос.
Г тр. Аса о1. Токуо 19, 1943, 476—480, 533—539.
Апостол Т. М. (Ароз1о1 Тот М.):
[1] МаШетаИса! апа1уз1з, Кеас1т§, Мазз.: АёсНзоп-^езку РиЫ. Со.
1пс, 1957.
Арене Р. Ф. (Агепз Шспаго1 Р.):
[1] Торо1о^ез 1ог ЬотеотогрЫзт §гоирз, Атег. Л. Ма1п. 68 A946),
593—610.
Архангельский А. В.:
[1] О совпадении размерностей тй О и сНт О для локально
бикомпактных групп, ДАН СССР 132 A960), 980—981.
Ауберт К. (АиЬег!, К. Е.):
[1] Сопуех \6еа\з т огс!егес! §гоир а!§еЬгаз апс1 1Ье иш'яиепезз о! 1Не
Нааг теазиге. Ма1Ь. Зсап<1. 6 A958), 181—188.
Балцержик С. (Ва1сеггук 5.):
[1] Оп а1#еЬга1'саIу сотрас* §гоирз о! I. Кар1апзку, Рипо!. МаШ. 44
A957), 91— 93.
Б ё р л и н г А. (ВеигНщ? Агпе):
[1] 5иг !ез 1п1ё§га1ез с!е Роип'ег аЬзо1итеп! сопуег§еп!ез е{ 1еиг аррИсаПоп
а ипе 1гап51огта1юп пэпс1юппе11е, 1\Попс1е 5капс1тау15ка Ма1етаИ-
кегкоп^г., НеЫп^огз, 1938, 345—366.

624
Библиография
Биркгоф Г. (Вй-кНоГ! ОаггеИ):
[1] А по!е оп 1оро1о§1са1 дгоирз, СотрозШо МаШ. 3 A936), 427—430.
[2] Теория структур, М., ИЛ, 1952.
Бохнер С. (ВосЬпег 5а1отоп):
[1] Лекции об интегралах Фурье. С добавлением автора о монотонных
функциях, интегралах Стилтьеса и гармоническом анализе, М.,
Физматгиз, 1962.
Браконье Ж. (Вгасопшег ^ап):
[1] 5иг 1ез ^гоирез 1оро1о^иез 1оса1етеп1 сотрасхз, .1. МаШ. Ригез
Арр1. 27 A948), 1—85.
Бук Р. К. (Виск К. Сге^Моп):
[1] СепегаНгес! &гоир а1деЬгаз, Ргос. Ыа1. Асаа\ 5с1. 115.А. 36 A950),
747—749.
[2] Орега1ог а1^еЬгаз апс! с1иа1 зрасез, Ргос. Атег. МаШ. Зое. 3 A952),
681—687.
Бурбаки Н. (ВоигЬак1 №со1аз):
[1] Е1ётеп1з сЗе таШётаИдие III, Ргегтёге рагИе. Ьез зггисШгез Гоп-
Aатеп1а1ез бе Гапа1узе, Ыуге III, Торо1о§1е §ёпёга!е, Спар. III,
Огоирез 1оро1о§1циез (ТЬеопе ё1ётепЫге), АсШаШёз 5а. е! 1пс1.
916, Негтапп & Сле, Р., 1942.
[2] Общая топология. Топологические группы, числа и связанные с ними
группы и пространства, М., «Наука», 1969.
[3] Интегрирование. Меры, интегрирование мер, М., «Наука», 1967.
[4] Интегрирование. Векторное интегрирование, мера Хаара, свертка
и представления, М., «Наука», 1969.
Бэр Р. (Ваег КешЬо1C):
[1] 2иг Торо1о§!е бет Сгирреп, 3. Кете Ап?е\у. МаШ. 160 A929), 208—
226.
Бэр Р., Л ев и Ф. (Ваег КетЬоЫ, ЬеУ1 РпеснчсЬ):
[1] 5{е1^е РипкИопеп т (оро1о§15сЬеп Каитеп, МаШ. 2. 34 A932),
110—130.
Варден Б. ван дер (Шаегс1еп Ваг1е1 I.. уап бет):
[1] А1^еЬга, ТеП I., 4 АиП., ОгипсИеЬгеп бет МаШетаМзсЬеп иЧз-
зепзсЬаНеп, Вс1. XXXIII, Зрпп&ег, ВегПп-С6Шп§еп-Не1с1е1Ьег2,
1955.
Вейерщтрасс К. (\\^е1егз1газз Каг1):
[1] ОЬег (Не апа1уШсЬе Оагз1е11ЬагкеИ; зо^епапп!ег \уП1кйгНсЬег РипкИо-
пеп гееИег Аг§итеп1е, Зйгип^зЬег, Ргеизз. Акас1. V-* . 1885, 633—640,
789—906. Также МаШ. \Уегке; В4. III, рр. 1—3/.
В ей ль А. (\УеП Апбтё):
[1] Ьа тезиге туапапхе Aапз 1ез езрасез с!е ^гоирез е{ 1ез езрасез Ьото-
§ёпез, Епзе^петеп* МаШ. 35 A936), 241.
[2] Биг 1ез §гоирез ЬроЬ^иез ех 1ез ^гоирез тезигёз, С. К. Асас!. За.
Рапз 202 A936), 1147—1149.
[3] Зиг 1ез езрасез а з!гис1иге ипПогте ех зиг 1а городе §ёпёга1е,
АсШаШёз 5а. ех 1пA. 551, Негтапп & Се, Рапз, 1938.
[4] Интегрирование в топологических группах и его применение, М.,
ИЛ, 1950.
Вей ль Г. (Шеу! Негтапп); .
[1] ТЬеопе с1ег ОагзхеНищ* копИпшегНспег Ьа1Ъ-еЫасЬег Сгирреп битс\\
Нпеаге ТгапзГогтахюпеп I, II, III, ЫасМга^ МаШ. 2. 23 A925),
271—309; 24 A926), 328—376, 377—395, 789—791. Также 5е1ес1а
Негтапп АУеу1, рр. 262—366. ВикЬаизег, Вазе1, 1956.
[2] 1п1е#га1&1е1сЬип§еп ипс! [азгрепосЬзсЬе РипкИопеп, МаШ. Апп. 97
A927) 338—356. Также Зе1ес1а Негтапп АУеу1, 1956, рр. 367—386,
В1"гкЬаизег, ВазеЬ
[3] Классические группы, их инварианты и представления, М., ИЛ,
1947.

Библиография
625
В ей ль Г., Петер Ф. (\Уеу1 Негтапп, Ре1ег Р.):
[1] 01е УоИзипсП^кеЛ с!ег рптШуеп Вагз1е11ип^еп етег ^езсЫоззепеп
копИпшегПспеп Сшрре, Ма1п. Апп. 97 A927), 737—755. Также
5е1ес1а Негтапп №еу1, 1956, рр. 387—404, В1гкпаизег, Вазе1.
В ендель Дж. (Шепс1е1 Латез С):
[1] ЬеН сепхгаПгегз апс! 15отогрЫзтз о! §гоир а1§еЬгаз, РасШс. .1. Ма1п.
2 A952), 251—261.
В иг н ер Е. (Шщпег Еи&епе Р.):
[1] Оп ипИагу гергезепЫюпз о! 1пе тпото^епеоиз Ьогеп1г §гоир, Апп.
о! МаШ. B) 40 A939), 149—204.
— см. Нейман
В и л ен ки н Н. Я.:
[I] Прямые разложения топологических групп I, II, III, исправления,
Матем. сборник 19 F1) A946), 85—154, 311—340; 22 F4) A948),
191—192; 29 G1) A951), 519—528.
[2] К теории общих топологических групп, ДАН СССР 58 A947),
1573—1575.
[3] К теории слабо сепарабельных групп, Матем. сборник 22 F4) A948),
135—177.
[4] Волокнистые абелевы топологические группы и их теория
характеров, Матем. сборник, 24 F6) A949), 189—226.
[5] О классификации сепарабельных и косепарабельных топологических
абелевых групп, Матем. сборник 27 F9) A950), 85—102.
[6] К теории общих некоммутативных топологических групп, ДАН СССР
71 A950), 1013—1015.
[7] Теория топологических групп II, Прямые произведения, Прямые
суммы групп ранга 1, Локально бикомпактные абелевы группы,
Волокнистые и слабо сепарабельные группы, УМН 5, вып. 4 C8)
A950), 19—74.
[8] Прямые и обратные спектры топологических групп и их
теория характеров, Известия АН СССР, серия матем. 15 A951), 503—
532.
[9] Прямые операции над топологическими группами, Матем. сборник
29 G1) A951), 371—402.
[10] К классификации нульмерных локально компактных периодических
абелевых групп без элементов конечного порядка, Матем. сборник
28 G(Г МВД1), 503—536.
[II] О существовании локально компактных групп с заданными ульмов-
скими факторами, Матем. сборник 29 G1) A951), 13—30.
[12] Об изоморфизме локально компактных нульмерных абелевых групп
с изоморфными факторами, Матем. сборник 29 G1), A951), 31—
62.
[13] Теория характеров топологических абелевых групп с заданной
ограниченностью, Известия АН СССР, серия матем. 15 A951),
439—462.
[14] Обобщенные нормальные делители топологических групп и их
приложения к комбинаторной топологии, Труды Московского матем.
общества 3 A954), 15—88.
[15] К классификации нульмерных локально компактных абелевых групп
со всюду плотным множеством элементов конечного порядка, Матем.
сборник 34 G6) A954), 55—80.
[16] Об одном классе локально компактных нульмерных топологических
групп, Матем. сборник 40 (82) A956), 479—496.
[17] О диадичности группового пространства бикомпактных групп,
УМН 13, вып. 6 (84) A958), 79—80.
Винер Н., Питт X. Р. (\У1епег ЫогЬег! ап<1 РШ Н. К.):
[1] Оп аЬзо1и1е1у сопуег^еп! Роипег — 5ие1Цез {гапзГогтз. Бике Ма1п. Л.
4 A938), 420—436.
21 э. Хьюитт, К, Росс, т. 1

626
Библиография
Винер Н., Пэли Р. (\\Пепег ЫогЬег!, Ра1еу Н. Е.А.С.):
[1] Апа1уИс ргорегИез о! Ше спагас!егз о\ тПпйе АЬеПап §гоирз,
УегпапсПип&еп ёез 1п1егпа1. МаШ. Коп^г., 2йпс11, 1932. 2ипсп и.
Ье1р2^: Оге11 РйззН; Во1. II, р. 95.
[2] Спагас*егз о! АЬеНап егоирз, Ргос. Ыа*. Асас1. Зек 11.5.А. 19 A933),
253—257.
Воган X. (Уаи^Ьап, НегЬег! Е.) См. Халмош
Вольтерра В., Перес Ж. (УоИегга УКо, Рёгёз ,1о5ерп):
[1] Ьесопз зиг 1а сотрозШоп е1 1ез !опс1юпз решпйаЫез, ОаигЫег-
УШагз & Сле, Р., 1924.
Гельбаум Б., Калиш Г., Ольмстед Дж. (Се1Ьаит В., КаНзсп
О. К., 01тз*ес1 ^. М. Н.):
[1] Оп Ше етЬе<1сИп& о1 *оро1о§1са1 зегш&гоирз агк! т1е§га1 скшатз,
Ргос. Атег. МаШ. 5ос. 2 A951), 807—821.
Гельф анд И. М.:
[1] ОЬег аЬзоЫ копуег§еп*е гп&опотегпзспе КеШеп ипа1 1п1е&га1е,
Матем. сборник 9 E1) A941), 51—66.
Гельфанд И. М., Наймарк М. А.:
[1] О включении нормированного кольца в кольцо операторов в
гильбертовом пространстве, Матем. сборник 12 E4) A943), 197—217.
[2] Нормированные кольца с инволюцией и их представления, Известия
АН СССР, Матем. серия 12 A948), 445—480.
Г ельф анд И. М., Райков Д. А.:
Г1] К теории характеров коммутативных топологических групп, ДАН СССР
28 A940), 195—198.
[2] Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных
групп, Матем. сборник 13 E5) A943), 301—316.
[3] Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных
групп, ДАН СССР 42 A944), 199—201.
Г ли кс (ер г И. (СШскзЪег^ 1гут&):
[1] Тпе гергезеп1а1юп о! 1ипс1юпа1з Ьу т1;е§га15, Эике МаШ. Л. 19
A952), 253—261.
Годеман Р. (СЫетеп! Кодег):
[1] Ьез {опсИопз ее 1уре розШ! е1 1а Шёопе о!ез ^гоирез, Тгапз. Атег.
МаШ. 5ос. 63 A948), 1—84.
[2] $иг 1а Шёопе ёез гергёзеп1а!юп$ итЫгез, Апп. о! МаШ. B) 53
A951), 68—124.
— См. Картан А.
Граев М. И.:
[1] К теории полных прямых произведений групп, Матем. сборник 17
E9) A945), 85—104.
[2] Свободные топологические группы, Известия АН СССР, Матем.
серия 12 A948), 279—324.
[3] О свободных произведениях топологических групп, Известия АН
СССР, Матем. серия 14 A950), 343—354.
[4] Теория топологических групп I. Нормы и метрики на группах
Полные группы. Свободные топологические группы, УМН 5, вып. 2.
C6) A950), 3—56.
Г у р в и ц. А. (НипуНг АAоИ):
[1] ОЬег (Не Еггеи&ип§ ёег 1пуапап*еп ёигеп 1п1е§га1юп, №спг. к. Оез.
ОбШп&еп, таШ.-рпуз. К1. 1897, 71—90. Также МаШетаИзспе
№егке, Во\ И, В1гкпаизег, Вазе1, 1933, 546—564.
Гуревич А. А.:
[1] Унитарное представление в гильбертовом пространстве компактной
топологической группы, Матем. сборник 13 E5) A943), 79—86.
Даниель П. Ж. (ЭашеП Р. Л.):
[1] А §епега1 1огт о! т1е§га1, Апп. о* МаШ. B) 19 A917—1918),
279—294.

Библиография
627
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. (Оип!огA №1зоп, 5сЬ\уагЬ ^соЬ Т.):
[1] Линейные операторы. Общая теория., М., ИЛ, 1962.
Данциг Д. вап (ОапЫ§ В. уап):
[I] ОЬег 1оро1о^15сп Ьото&епе КопИпиа, Рипа\ Ма1Ь. 15 A930), 102—125.
[2] 51исПеп оуег 1оро1о^1зспе А1&еЪга, 01ззег1а1:юп, Атз1егс1ат, 1931.
[3] 2иг 1оро1о§18сЬеп А1§еЬга, I, Котр1еШегип§з1Ьеопе, Ма1п. Апп.
107 A932), 587—626.
[4] 2иг 1оро1о§18сЬеп А1§еЬга, II, АЪз1гак1е ^-ааЧзспе Шщ*е, СотрозШо
Ма1п. 2 A935), 201—223.
[5] ЫотЪгез итуегзе1з ои у!-асНдиез ауес ипе т!:гос1ис1юп 8иг Га1дёЬге
1оро1о^ие, Апп. 5а. Есо1е Ыогт. 5ир. C) 53 A936), 275—307.
[6] 2иг 1оро1о^18спеп А1#еЬга, III, Вгои\уегзспе ипо1 Сап{огзспе Огирреп,
СотрозШо МаШ. 3 A936), 408—426.
ДевинатцА., Нуссбаум А., феутаЬ А., ЫиззЪаит А. Е.):
[1] Реа1 сЬагас(егз о! сегЫп зегсп-^гоирз т1\\ аррПсаНопз, Эике МаШ.
3. 28, A961), 221—237.
Джонс Ф. ^опез Р. Виг1оп):
[1] Оп 1пе Пгз! сошйаЫШу ахют !ог 1оса11у сотрас! НаизсЬгК зрасез,
Со11од. Ма*Ь. 7 A959), 33—34.
Диксмье Ж. (Э1хт1ег ^ас^иез):
[1] Ьез тоуеппез туапап1ез с!ап5 1ез зегт-^гоирез е! 1еигз аррНсаНопз,
Ас(а 5с1. Ма1п. Зге^еа1 12, ЬеороЫо Ре]ег е! Ргеёепсо Г^езг ЬХХ
аппоз паНз <1е<Нса1из, Рагз А, 1950, 213—227.
[2] (Зие^иез ргорпё(ёз Aез ^гоирез аЪёПепз 1оса1етеп1 сотрас!з, Ви11.
5а. МаШ. 81 A957), 38—48.
Дирихле П. (ОшсЫе* Р. О. Ь.):
[1] 5иг 1а сопуег^епсе Aез зёпез {п^опотё1^иез ^и^ зегуеп! а герге-
зеп1ег ипе 1опс1юп агЫ1га1ге еп!ге Aез ПтИез с!оппёез, .1. Кете
Ап^ечу. Ма*п. 4 A829), 157—169.
Доблебский фон Штернек (ОаиЫеЬзку уоп 51егпеск К.):
[1] АМеПищ* гаЫеп^еогеИзсЬег Ке1а1юпеп тН НШе е1пез тепгсПтеп-
зюпа1еп 5уз1етез уоп ОШегрипк1еп, Мопа1зЬ. Ма1Ь. 5 A894),
255—266.
Дьедоине Ж. ф1ес1оппё ^ап):
[1] 5иг 1ез ГопсИопз сопИпиез питё^иез йеПшез Aапз ип ргойиИ Aе
(ких езрасез сотрас!з, С. К. Асас1. 5сь Рапз 205 A937), 593—
595
[2] гМез Aе 1ёга1оро1о^е I, Кеу. 5сь 77 A939), 39—40.
— См. Картан А.
Дэви с Г. (ОаУ15 Наггу Р.):
[1] А по*е оп Нааг теазиге, Ргос. Атег. Ма1Ь. 5ос. 6 A955), 318—321.
Д э й М. (Эау МаЫоп М.):
[1] ТЬе зрасез I/ тИа 0 < р < 1, Ви11. Атег. МаШ. 5ос. 46A940),
816—823.
[2] Ег^осНс 1пеогетз 1ог АЬеПап зегш-^гоирз, Тгапз. Атег. Ма1Ь. 5ос.
51 A942), 399-412.
[3] АтепаЫе &гоирз, РгеПттагу герог!, Ви11. Атег. МаШ. 5ос. 56 A950),
46.
[4] Меапз Гог Ше Ъоипс1ес1 гипсИопз апс! ег&осПсИу о1 1Ье Ьоипс1ес1 гер-
гезепЫюпз оГ зегш-дгоирз, Тгапз. Атег. Ма1п, Зое. 69 A950),
276—291.
[5] АтепаЫе зегш&гоирз, 1Шпо15 3. Ма1Ь. 1 П957), 509—544,
[6] Нормированные линейные пространства, М, ИЛ, 1961.
Зигмунд А. Bу&типс1, Ап*от):
[1] Тп§[опотеЫс зепез, 2пс1 ЕсШюп, 2 Уо1з, СатЬпс^е 11туег8Иу Ргезз,
СатЬгМ&е, 1959. Русский перевод 1-го издания: Зигмунд А.,
Тригонометрические ряды, М., сМир», 1965.
а*

628
Библиография
Ивамура Т. см. Иосида К.
Ивановский Л. И.:
[1] Об одной гипотезе П. С. Александрова, ДАН СССР 123 A958),
785—786.
Ивасава К. A\уазач#а Кепк1сЫ):
[1] Е1Ш§е ЗаЧге йЬег Гге!е Огирреп, Ргос. 1тр. Асас1. Токуо 19 A943),
272—274.
[2] Оп зоте {урез оГ 1оро1о^1са1 ^гоирз, Апп. о! МаШ. B) 50 A949),
507—558.
Иосида К., Ивамура Т. (Уоз1Aа Кбзаки, 1\уатига Тигапе):
[1] Е^ШVа1епсе о! 1ъго к)ро1о§1ез о! аЬеПап &гоирз, Ргос. 1тр. Асас1.
Токуо 20 A944), 451—453.
Исбе л л AзЬе11):
[1] \]пИотт зрасез, Атег. МаШ. 5ос. A964).
И с и в а т а Т. (Ы\уа1;а Такез1):
[1] ЭиаШу о! {оро1о^ка1 ^гоирз, 5сь Кер. Токуо Кусмки Оа^аки, 5ес1.
А. 5 A955), 82—87.
К а в а д а Ю. (Ка\уас1а Уик1уоз1):
[1] ОЬег Aеп МШе1\хгег4 с1ег теВЬагеп ^азхрепосНзспеп Рипкхюпеп аи!етег
Сгирре, Ргос. 1тр. Асас!. Токуо 19 A943), 264—266.
Какутани Ш. (Какиташ ЗЫгио):
[1] ОЬег (Не Ме*пза{юп с!ег 1оро1о§13сЬеп Огирреп, Ргос. 1тр. Асаа1.
Токуо 12 (Ю36), 82—84.
[2] Оп Ше ип^^иепе55 о! Нааг'з теазиге, Ргос. 1тр. АсаA. Токуо 14
A938), 27—31.
[3] Сопсге1е гергезепЫюп о! аЬз^гас!: (М)-зрасез, Апп. о! МаШ. B) 42
A941), 994—1024.
[4] Оп сагсНпа1 питЬегз ге1а1ес! тИ\ а сотрас! аЬеНап §гоир, Ргос. 1тр.
Асад. Токуо 19 A943), 366—372.
[5] Ргее 1оро1о&1са1 ^гоирз апс1 тПпИе сНгес!; ргоAис! 1оро1о^1са1 ^гойрз,
Ргос. Гтр. Асас1. Токуо 20 A944), 595—598.
Какутани Ш., Кодаира К. (Какиташ ЗЫгио, КосЫга КишЫко):
[1] ОЬег ёаз НаагзсЬе Ма8 т ёег 1ока1 Ыкотрак1еп Сгирре, Ргос.
1тр. АсаA. Токуо 20 A944), 444—450.
Какутани Ш., О к сто б и Дж. (Каки!аш ЗЫгио, ОхШЪу *1оЬп С):
[1] Соп$1гисКоп о! а поп-зерагаЫе гпуапап! ех1епзюп о! Ше ^еЬе5^ие
теазиге зрасе, Апп. о! МаШ. B) 52 A950), 580—590.
— см. Анзаи X.
Калишсм. Гельбаум
Кальдерон А. (СаЫегбп А1Ьег1о Р.):
[1] А §епега1 ег^осНс Шеогет, Апп. о! МаШ. B) 58 A953), 182—
191.
К а м п е н Е. ван (Катреп Е. К. Уап):
[1] ЬосаИу Ысотрас! АЬеПап ^гоирз апс! Ше1г сЬагастег §гоирз, Апп.
оГ МаШ. B) 36 A935), 448—463.
К а п л а и С. (Кар1ап 5атие1>:
. [1] Ех1епзюпз о! Ше Роп\т]афп йиаШу. I, 1пПпИе ргоAис!з, Оике МаШ.
5. 15 A948), 649—658.
[2] Ех1епзюпз о! Ше Ропф^т (ЗиаШу. II, 01гес1 апс! туегзе зеяиеп-
сез, Бике МаШ. ^ 17 A950), 419—435.
Капланский И. (Кар1апзку 1гуш&):
[1] Бесконечные абелевы групцы> М., «Мир», 1974.
К а р т а н А. (Сайап Непп):
[1] 5иг 1а тезиге Aе Нааг, С. Д. Асас1. Зи. РаНз 211 A940), 759—
762.
[2] 5иг 1ез 1опс1етеп15 Aе 1а Шопе <1и ро*егШе1? Би11, $ос. МаШ.
Ггапсе 69 A941), 71—96,

Библиография 629
Карта н А., Годеман Р. (Саг^ап Непп, Ко&ег ОоAетеп1:):
[1] ТЬёопе с1е 1а сшаЩё е{ апа1узе пагтот^ие с!ап8 1ез ^гоирз аЬеПапз
1оса1етеп1 сотрас!з. Апп. 5с1. Ёсо1е Ыогт. 5ир. C) 64, 79—99,
A947).
К а р т а н А., Дьедонне Ж. (Саг1ап Непп', 01*еисЬппс Деап):
[1] Ыо1ез йе 1ёга1оро1о^е III, Кеу. Зек 77 A939), 413—414.
К а р т а н Э. (Саг1ап, ЕПе):
[1] Геометрия групп Ли и симметрические пространства, ИЛ., М., 1949,
240—292.
К асу г а Т. (Кази^а ТаказЫ):
[1] Оп 1:Ье 1зотогрЫзт о! 1оро1о^са1 §гоирз, Ргос. ^рап Аса<1. 29
A953), 435—438.
К ей н ер X. (Кетег Ногз1):
[1] УегаН^ететегхе газгрепосПзспе РипкИопеп аиГ На1Ь^гирреп. АгсН.
МахЬ. 8 A957), 129—134.
Келли Дж. Л. (Ке11еу «1оЬп Ь.):
[1] г4о!е оп а 1пеогет о! Кгет апс! МИтап, <1. Озака 1пз1. о! 5сь апс!
ТесЬ. 3 A951), 1—2.
[2] Общая топология, М., «Наука», 1968.
Кемперман Дж. (Кетрегтап *1. Н. В.):
[1] Оп зтаП 8итзе1з т ап аЬеНап §гоир, Ас1а МахЬ. 103 A969), 63—
88.
Кертеш А., Шель Т. (Кеггёзг А., 5ге1е Т.):
[1] Оп 1пе ех1з1епсе о! поп-сИзсгеге 1оро1о^ез т шПшЧе аЬеНап ^гоирз,
РиЫ. МахЬ. БеЬгесеп 3 A.953), 187—189.
К е стен X. (Кезхеп Наггу):
[1] Ри11 ВапасЬ теап уа1иез оп соипхаЫе &гоирз, МахЬ. 5сапа\ 7 A959),
146—156.
Кете Г. (КбШе ОоШпеа1):
[1] Торо1о^1*5спе Ппеаге Наите I, ОгипсИепгеп ёег МахЬетаИзспеп Ш1з-
зепзЬаГхеп, ВA. 107, Зрпп&ег, ВегНп, ОоШп^еп, Не1с1е1Ьег&, 1960.
Кнезер М. (Кпезег Магхт):
[1] 5иттептеп§еп т 1ока1котракхеп аЪе1зсЬеп Сшрреп, МахЬ. 2. 66
A956), 88—110.
К о д а и р а *К. ел. К а к у т а н и Ш.
Котлар М., Рикабарра Р. (Сох1аг М., ШсаЪагга К.):
[1] Оп хпе ех1з1епсе о? сЬагасхегз т хоро1о&1са1 &гоирз, Атег. .1. МахЬ.
76 A954), 375-388.
Коэн Л. см. Александер Дж.
К о э н П. (СоЬеп Раи1 ^.):
[1] Оп а соп]ес!иге о! ЬЛШешюс! апс! Ыетрохепх теазигез, Атег. ^.
МахЬ. 82 A960), 191—212.
Крейн М. Г.:
[1] Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от
разности аргументов, УМН 13, вып. 5 (83) A958), 3—120.
Кристенсен Л. (Кпзхепзеп ЬеИ):
[1] 1пуапапх техпез т созех зрасез, МахЬ. 5сапA. 6 A958), 33—36.
К р у л л ь В. (Кги11 Шо1!^ап&):
[1] ОЬег зерагаЫе, тзЬезопскге котракхе зерагаЫе Огирреп, 3. Кете
Ап^е\у. МахЬ. 184 A942), 19—48.
Кузьминов В.:
[1] О гипотезе П. С. Александрова в теории топологических групп, ДАН
СССР 125 A959), 727—729.
Курош А. Г.:
[1] Теория групп, изд. 2-е, Гостехиздат, М., 1953.
К у с и с П. (Кооз1з Раи1):
[1] Ап 1гге<1ис1Ые ишхагу гергезепхахюп о! а сотрас* §гоир 1з НпНе
A1аш1опа1, Ргос. Атег. МахЬ. Зое. 8 A957), 712—716,

630 Библиография
Лебег Г. (ЬеЬез&ие, Непп):
[1] Интегрирование и отыскание примитивных функций, М.—Л., ГТТИ,
1934.
Л ев и Ф. см. Б эр Р.
Л ей а Ф. (Ье]а Р.):
[1] 5иг 1а погюп с!и &гоире аЬзтгаИ 1оро1о^1аие. Рипс1. МагЬ. 9 A927),
37—44.
Лемер Д. (ЬеЬтег Т>. Н.):
[1] АгНЬтеНс оГ скшЫе зепез, Тгапз. Атег. Ма*Ь. 5ос. 33 A931),
945—957.
Лептин.Х. (ЬерИп Ногзх):
[1] ОЬег ете Юаззе Ппеаг котракгег аЬе1зсЬег Сгирреп I, II, АЬЬ.
МаШ. Зет. Иглу. НатЬиг^ 19 A954), 23—40; A955), 221—243.
[2] АЬе1зсЬе Сгирреп гшг котрак1еп сЬагакгег&гирреп ипс! ПиаНШзгЬео-
пе ^ечлпззег Нпеаг 1оро1о§15сЬег аЬе1зсЬег Сгирреп, АЬЬ. Ма1Ь. Зет.
Ш1У. НатЬиг^. 19 A955), 244—263.
[3] 2иг ОиаШаЫЬеопе ргоз'екхлуег ЫтИез аЬеГзсЬег Сгирреп, АЬЬ.
МахЬ. Зет. Ш1у. НатЬиг^ 19 A955), 264—268.
[4] Ветегкищ* ги етет Захг уоп 5. Кар1ап, АгсЬ. МахЬ. 6 A955),
139—144.
Литтлвуд Дж. см. Хард и Г. X.
Лоренц Г. (Ьогепхг С. С):
[1] А сопхпЬихюп к) хЬе 1Ьеогу о! сПуег&епх зепиепсез, Асха МахЬ. 80
A948), 167—190.
Лось Дж. A,03 ,1.):
[1] АЬеПап ^гоирз Шах аге сНгесх зиттап^з о! еуегу аЬеПап ^гоир \уЫсЬ
сопхатз хЬет аз а риге зиЬ&гоир, Ви11. Асас1. Ро1оп. 5с1. Зёг. 5сь
МахЬ. Азхг. РЬуз. 4 A956), 73.
[2] АЬеПап &гоирз 1Ьат. аге сНгесх зиттап^з о! еуегу аЬеИап &гоир
\уЬкЬ сопхатз хЬет аз риге зиЬ&гоирз, Рипа\ МахЬ. 44 A957),
84—90.
Л у т а р И. (ЬихЬаг 1пс1аг 5.):
[1] ^п^^иепезз о! хЬе туапапх теап оп ап АЬеНап зегш&гоир, ПНшиз
Л. МаШ. 3 A959), 28—44.
Любарский Г. Я.:
[1] Об интегрировании в среднем почти периодических функций на
топологических группах, УМН 3, вып. 3 B5), A948), 195—201.
Л ю м и с Л. (Ьоогшз Ьупп Н.):
[1] Нааг теазиге т ипИогт зхгисхигез, Бике МахЬ. ,1. 16 A949), 193—
208.
[2] Введение в абстрактный гармонический анализ, М., ИЛ, 1956.
[3] Ыпеаг гипсхюпа1з апс! сопх'епх, Атег. ,1. МахЬ. 76 A954), 168—
182
М а а к В. (Маак АУПЬе1т):
[1] Разхрепош'зсЬе Рипкхюпеп. ОптсПеЬгеп (кг МахЬетаШсЬеп \У1ззеп-
зсЬаКеп, Во1. ЬХ1. ВегНп — СоШп^еп — Не1<^е1Ьег^: Зрпп^ег, 1950.
[2] 1пхе§га1пп'ххе1\уегхе уоп Рипкхюпеп аи? Сгирреп ипс! На1Ь^гирреп.
3. Кете Ап^е\у. МахЬ. 190 A952), 34—48. Т;"Т^
Макбит А. (МасВеахЬ А. М.):
[1] Оп хЬе теазиге о! ргос!исх зехз т а хоро1о§1са1 &гоир, Л. Ьопс1оп МахЬ.
Зое. 35 A960), 403—407.
Макки Г. (Маскеу Сеог^е АУ.):
[1] А гетагк оп 1оса11у сотрасх АЬеПап §гоирз, Ви11. Атег. ^МахЬ. 5ос.
52 A946), 940—944.
[2] ТЬе Ьар1асе хгапз1огт юг 1оса11у сотрасх АЬеПап §гоирз, Ргос. Ыах.
Асао\ За. ША 34 A948), 156—162.
[3] Воге1 зхгисхигез т §гоирз тА хпе1г силаЬ, Тгапз, Атег. МахЬ, Зое.
85 A957), 134—165,

Библиография
631
Марков А. А.:
[1] ОЬег еп<Шсп-(Птеп5Юпа1е УеИоггашпе, Апп. оГ МаШ. B) 36 A935),
464—506.
[2] О свободных топологических группах, ДАН СССР 31 A941), 299—
301.
[3] О существовании периодических связных топологических групп,
Известия АН СССР, Матем. серия, 8 A944), 225—232.
[4] О свободных топологических группах, Известия АН СССР, Матем.
серия 9 A945), 3—64.
Мицельский Я. ел. Хартман С.
Монтгомери Д., Циппин Л. (Моп^отегу Беапе, 21ррт Ьео):
[1] Торо1о&1са1 гтапзГоппаШп &гоирз. 1п{егзс1епсе Тгас1з т Риге апс!
АррПес! МаШета^сз 1, Ые^ Уогк, N. У.: 1п1ег5с1епсе РиЪПзпегз,
1пс 1955
Мунн В. (Мипп \У. В.):
[1] Оп зетщгоир а^еЬгаз, Ргос. СатЬпё&е РпПоз. 5ос. 51 A955), 1—
15.
Мунро М. (Мипгое М. Е.):
[1] 1п1госшс1юп 1о теазиге апс! т1е&га1юп. СатЪтШе, Мазз: АйсНзоп-
Шез1еу РиЫ. Со. 1953.
Наймарк М. А.:
[1] Нормированные кольца, Гостехиздат, М., 1956.
— см. Гельфанд И. М.
Накаяма Т. (Иакауата Та^аз1):
[1] Ыо1е оп {гее {оро1о§1са1 ^гоирз, Ргос. 1тр. Асао1. Токуо 19 A943),
471—475.
Н а х б и н Л. (ЫаспЫп ЬеороЫо):
[1] Оп Ше Пш1е сИтепзюпаШу о! еуегу 1ггес1ис1Ые герге5еп1аИоп о! а
сотрас! &гоир, Ргос. Атег. МаШ. 5ос. 12 A961), 11—12.
Нейман Дж. фон (Ыеитапп Лопп уоп):
[1] 2иг РгьНегзспеп Тпеопе Aег Ыеакп 2аЫеп, Ас1а ЬШ. 5ск Зге^еа* 2
A926), 193—227.
[2] 2иг аПеетешеп Тпеопе ёез МаВез, Рип<1. МаШ. 13 A929), 73—116.
[3] 0\е ЕшШЬгип^ апа1у1лзспег Рагате1ег т 1оро1о§1зспег Ошрреп, Апп.
о! МаШ. B) 34 A933), 170—190.
[4] А1тоз1 репосле ГипсИопз т а &гоир I, Тгапз. Атег. МаШ. 5ос.
36 A934), 445—492.
[5] 2ит Наагзспеп МаВ т 1оро1о§15спеп Огирреп, СотрозШо МаШ.
1 A934), 106—114.
[6] Тпе ип^^иепезз о! Нааг'з теазиге, Матем. сборник, 1 D3) A936),
721—734.
Нейман Дж. фон, Витнер Е. (Ыешпапп ЛоЬп уоп, АУ^пег Еи&епеР.):
[1] М1шта11у а1тоз{ репсхНс &гоирз, Апп. о! МаШ. BL1A940), 746—
750.
Н^икодим О. (№ко(гут ОНоп М.):
[1] 5иг ипе §ёпёгаИза1юп с!ез т1ё§га1ез Aе М. Л. Нас1оп, Рип<1. МаШ.
15 A930), 131—179.
Нумакура К. (Ыитакига Ка1зшш):
[1] Оп Ысотрас* зепп&гоирз, МаШ. 3. Окауата 1Му. 1 A952), 99—108.
Нуссбаум А. см. Девинатц А.
О к с т о б и Дж. (ОхЬЬу Лопп С):
[1] 1пуапап1 теазигез т §гоирз \уЫсп аге по! 1оса11у сотрас1, Тгапз.
Атег. МаШ. 5ос. 60 A946), 215—237.
См. Какутани Ш.
Ольмстед Дж. см. Гельбаум Б.
Пасынков Б.:
[1] О совпадении различных определений размерности для локально
бикомпактных групп, ДАН СССР 132 A960), 1035—1037.

632
Библиография
Перес Ж. см. Вольтерра В.
Петер Ф. см. Вейль Г.
Питт X. см. Винер Н.
П о й а Г. см. Харди Г.
П о нтр я г и н Л. С:
[1] Бег аИ^етеше ОиаНШззаЬ Шг аЬ&езсЫоззепеМеп^еп, УегЪагкИип^еп
Aез 1п1егпа*. МаШ. Коп&г. 2йпсп, 1932; 2йпсп и. Т^е'пргщ: Оге11
РйззН, В± II, рр. 195—197.
[2] 5иг 1ез ^гоирез 1оро1о^иез сотрас1з е! 1е ст(]шёте ргоЫёте Aе
М. НПЪег!, С. Н. АсасЬ 5а. Рапз 198 A934), 238—240.
[3] 5иг 1ез ^гоирез аЬёПепз сопИпиз, С. К. Асас1. За. Рапз 198 A934),
328-330.
[4] ТЬе Шеогу о! 1оро1о^са1 сотти{аИуе егоирз, Апп. о! МаШ. B)
35 A934), 361—388.
[5] Линейные представления компактных топологических групп, Матем.
сборник 1 D3) A936), 267—271.
[6] Непрерывные группы, М., 1938.
[7] Непрерывные группы, изд. второе, Гостехиздат, М., 1954.
Престон Г. (Ргез1оп СегаЫ С):
[1] Оп 1оса11у сотрасх Ыа11у сНзсоппес1ес1 АЬеПап §гоирз апс! Шек
сЬагаскг &гоирз, РасШс Л. МаШ. 6 A956), 121—134.
П р ю ф е р X. (РпИег Нетг):
[1] КТеие Ве&гйпс1ип§ <1ег а^еЪЫзспеп 2аЫепШеопе, МаШ. Апп. 94
A925), 198—243.
Пэли Р. см. Винер Н.
Радон И. (Кас1оп Лопапп):
[1] Тпеопе ила* Ап^епCип&еп Aег аЬзоЫ аоМШуеп Меп^еп1ипк{юпеп,
ЗИгип^зЪег. таШ.-паШгшзз. Ю. Акас!. \\Пзз. Ш1еп 122,АЫ. Па A913),
1295—1438.
Райков Д. А.:
[1] Обобщенный закон двойственности для коммутативных групп с
инвариантной мерой, ДАН СССР 30 A941), 589—591.
[2] Новое доказательство единственности меры Хаара, ДАН СССР
34 A942), 211—212.
[3] Гармонический анализ на коммутативных группах и теория
характеров, Труды МИ АН СССР 14 A945).
[4] К теории нормированных колец с инволюцией, ДАН СССР 54 A946),
387—390.
Райков, см. Гельфанд
Райми Рв (КаМ Ка1рЬ А.):
[1] Оп а Шеогет о! Е. р01пег, МаШ. Зсапо!. 6 A958), 47—49.
РикабарраР. см Котлар М.
Рикарт Ч. (Шскагх Спаг1е$ Е.):
[1] <3епега1 Шеогу о! ВапасЬ а1§еЪгаз, Рппсехоп, N. .1.; Э. Уап Ыоз^гапй
Со., 1960.
Рисе Ж. A^135 ^ап): - .
[1] КергёзепШюпз сопНпиез Aез ^гоирез {орокэ^иез аЬёПепз с!ап5 1е
§гоире аёаЧШ Aез потЬгез гёе1з, С. К. Асаа\ Зсь Рапз 224 A947),
987—988.
[2] Зиг 1ез гергёзепЫюпз гёеНез ёез ^гоирез 1оро1о§1диез аЬёПепз,
С. К. Асаа\ За. Рапз 224 A947), 1095—1097.
[3] Е1ётеп18 (Зе са1си1 AШёгеп11е1 е! Шёопе Aез сИзхпЪихюпз зиг 1ез
дгоирез аЬёПепз 1оса1етеп1 сотрасгз, Ас!а МаШ. 89 A953), 45—
105.
Рисе Ф. (Шезг Ргёйёпс):
[1] Зиг 1ез орёгаИопз ГопсхюппеНез Ппёа1гез, С. К. АсаA. За. Рапз
149 A909), 974—977.

Библиография
633
[2] 1МегзисЬип&еп йЬег Зуз^егпе Ые&пегЪагег РипкИопеп, МаШ. Апп.
69 A910), 449—497.
[3] Ьез 5уз1ётез с1^иа1лоп5 Нпёа1гез а ипе тПпйё сГтсоппиез, Ра-
пз: ОаихЫег-УШагз & Се, 1913.
Робертсон В. (КоЬег1зоп \Уепс!у):
[1] ТЬез1з, СатЪпс^е ТЛшуегзНу 1954.
Робисон Г. (НоЫзоп Оегзоп В.):
[1] 1пуапап1 ш1е&га1з оуег а с1азз о! ВапасЬ зрасез, РасШс Л. МаШ. 4,
A954) 123—150.
Розен В. (Козеп, МУПНат С):
[1] Оп 1пуапап1 теапз оуег сотрас1 зепи^гоирз. Ргос. Атег. МаШ. Зое.
7 A956), 1076—1082.
Р у д и н У. (НисНп АУаИег):
[1] 1пс1ерепс1еп1: рег!ес! зе1з т &гоирз, МкЫдап МаШ. Л. 5 A958), 159—161.
[2] Меазиге а1§еЬгаз оп аЬеПап ^гоирз, ВиИ. Атег. МаШ. Зое. 65A959),
227—247.
Рыль-Нардзевский. см. Хартман С.
Сакс С. (Закз 5{ашз1ачу):
[1] Теория интеграла, М., ИЛ,
Самельсон X. см. Халмош П.
Сегал И. Eе§а1 1гуш§ Е.):
[1] ТЬе §гоир х\щ о! а 1оса11у сотрас! &гоир I, Ргос. №1;. Асас1. 5а.
1Л.З.А. 27 A941), 348—352.
[2] 1ггес1ис1Ые гергезепЫюпз о! орегак»г а1&еЪгаз, ВиИ. Атег. МаШ.
5ос. 53 A947), 73—88.
[3] ТЬе §гоир а1^еЪга о! а 1оса11у сотрас! &гоир, Тгапз. Атег. МаШ.
5ос. 61 A947), 69—105.
Секефальви-Надь Б. (Зя.-Ыа&у Вё1а):
[1] 5иг 1а тезиге туапап!е с1апз с1ез ^гоирез 1оро1о^яиез, С. К. Асас1.
5с1. Рапз 202 A936), 1248—1250.
[2] 2иг ТЬеопе с!ег СЬагак1еге АЬе1зсЬег Сгирреп, МаШ. Апп. 114A937),
373—384.
Сильверман Р. (ЗПуегтап КоЬег! Л.):
[1] 1пуапап1; Ппеаг ШпсИопз, Тгапз. Атег. МаШ. 5ос. 81 A956), 411—
424.
[2] Меапз оп зетщгоирз апс! Ше НаЬп—ВапасЬ ех1епз1оп ргорег1у, Тгапз.
Атег. МаШ. 5ос. 83 A956), 222—237.
[3] 1пуапап1 теапз апо1 сопез шШ уес1ог т1;епог5, Тгапз. Атег. МаШ.
5ос. 88 A958), 75—79.
См и т М. (ЗгшШ Мапаппе РгешкШсЬ):
[1] ТЬе Роп1па^1п AиаШу Шеогет т Ипеаг зрасез, Апп. о! МаШ. B)
56 A952), 248—253.
С тоун А. E1опе А. Н.):
[1] РагакотрасШезз апс1 ргоДис! зрасез, ВиИ. Атег. МаШ. Зое. 54 A948).
977—982.
СтромбергК. Р. см. ХьюиттЭ.
Тарский А. (Тагзк1 АИгеа1):
[1] 1с1еа1е ш уо11з1ап(%еп Меп&епкбгрегп I, Рипё. МаШ. 32 A939),
45-63.
Тояма X. (Тбуата Шгаки):
[1] Оп Нааг теазиге о! зоте &гоирз, Ргос. Ларап Асао*. 24 A948),
13—16.
Уоллес А. (ШаПасе А. ^.):
[1] ТЬе з1гистиге о! 1оро1о&1*са1 зегт&гоирз, ВиИ. Атег. МаШ. Зое.
61 A955), 95—112.
Урбаник К. (Ш>атк К.):
[1] Оп Ше 1зотогрЫзт о! Нааг теазигез, Рипа\ МаШ. 46 A959), 277—
284.

634
Библиография
Филлипс Р. см. ХиллеЭ.
Фолнер Е. (Р01пег ЕгНп§):
[1] ОепегаПгаНоп о! а Шеогет о! Во^оПойЬо!! 1о {оро1о^1са. АЬеИап
&гоирз ш[\\ ап аррепсПх оп Вапасп теап уа1иез т поп-АЬеПап егоирз,
МаШ. 5сапо\2 A954), 5—18.
[2] Йоте оп а ^епегаПгаНоп о! а Шеогет оГ Во#оПойЪоГг, МаШ. Зсапс!.
2 A954), 224—226.
[3] Оп ^гоирз тПл !и11 ВапасЬ теап уа1ие, МаШ. 5сапа\ 3A955), 243—
254.
[4] Йоге оп ^гоирз ч?ИЪ апс1 чуИНои* !и11 ВапасЬ теап уа1ие, МаШ.
Зсап<1. 5 A957), 5—11.
Фрейденталь X. (Ргеис1епШа1 Напз):
[1] Ет^е ЗаЧге йЬег торо1о^зспе Огирреп, Апп. о! МаШ. B) 37 A936),
46—56.
[2] Торо1о^1зспе Огирреп т'й §епй**епс1 У1е1еп газтрегюсНзспеп РипИюпеп,
Апп. о? МаШ. BK7 A936), 57—77.
[3] ЕптлуюИип^еп уоп Каитеп ипс! Шгеп Огирреп, СотрозШо МаШ.
4 A937), 145-234.
[4] В1е Наагзспеп ОгШо^опа1зуз1:ете уоп Огиррепспагакхегеп 1т ЫсМе
с!ег Ропт^'а^тзспеп ОиаПШзШеопе, СотрозШо МаШ. 5 A938),
354-356.
Фробениус Г. (РгоЪепшз О.):
[1] ОЬег Сгиррепспагактеге. ЗНгип&зЬег. Ргеизз. Акас!. ААПзз., рЬуз.—таШ,
К1. 1896, 985—1021.
Фукс Л. (РисЬз Ь.):
[1] АЬеИап ^гоирз, Вибарез*: РиЪНзгпп^ Ноизе о! Ше Нип&апап Аса-
с!ету о! 5с1епсез 1958. Рег&атоп Ргезз, Ьопёоп, 1960.
[2] Оп сЬагас1ег ^гоирз от сН$сгег.е АЬеИап #гоирз, Ас1а МаШ. Аса<1.
За. Нип^аг. 10 A959) 133—140.
X а а р А. (Нааг АИгёй):
[1] ОЬег ипеп(Шспе котти1аИуе Огирреп, МаШ. 2. 33 A931), 129—
159.
[2] ОЬег сНе ОгиррепсЬагак1еге ^ешззег ипепсШспеп Огирреп, АсШ ЬШ.
8а. Зге^ес! 5 A932) 172—186.
[3] Оег МаВЪе|*гШ т ёег Тпеопе с!ег коп1шшегПспеп Огирреп, Апп.
о! МаШ. B) 34 A933) 147—169.
Халмош П. (На1тоз Раи1 К.):
[1] Соттеп! оп Ше геа1 Ппе, Ви11. Атег. Ма1Ь. Зое. 50 A944), 877—
878.
[2] Теория меры, М., ИЛ, 1953.
[3] 1п1гос1ис1юп то НПЪегт зрасе апA Ше Шеогу о! зресгга1 тиШрНсИу,
Ые^у Уогк, N. У.: СЬе1зеа РиЫ. Со., 1951.
Халмош П., Воган Г. Е. (На1тоз Раи1 К., Уаи^пап НегЪегг Е.):
[1] ТЬе тагпаде ргоЫет, Атег. Л. МаШ. 72, A950), 214—215.
Халмош П., Самельсон X. (На1тоз Раи1 К., Зате1зоп Напз):
[1] Оп топоШеИс &гоирз, Ргос. Ыаг. Асас1. Зек И. 3. А. 28 A942),
254—258.
X а мель Г. (Нате1 Оеог&):
[1] Ете Ваз13 а11ег 2аЫеп ипс! (Не ипзгеИ^еп Ьозип^еп с!ег Рипктю-
па^екпип^: Т(х+у) = Цх) + Цу), МаШ. Апп. 60 A905), 459-
462.
Харди Г., Литтлвуд Дж.., П о йа Г. (Нагс1у О. Н., ЫШежхх!
Л. Е., Р61уа О.):
[1] Неравенства, М., ИЛ, 1948.
Харрисон Д. (Нагпзоп Э. К.):
[1] ШПпИе аЬеИап ^гоирз апо! 1юто1о&1са1 теШоAз, Апп. о! МаШ. B)
69 A959), 366—391.

Библиографий,
635
Хартман С, Хуланицкий А., (Наггтап 5., Ни1ашсЫ А.):
[1] Ьез зоиз-^гоирез ригз е* 1еигз с!иа1з, Рипё. МаШ. 45 A957), 71 —
Хартман С, Мицельский Я. (Найтап 5., Муае1зку Лап):
[1] Оп Ше 1тЬеAс11п§ о! 1оро1о^1са1 §гоирз т(о соппес!еA 1оро1о&1са1
^гоирз, Со11с^. МаШ. 5 A958), 167—169.
Хартман С, Рыль-Нардзевский К. (Наг1тап 5., Ку11-Ыагс1ге)У-
зк1 С):
[1] 2иг Тпеопе с!ег 1ока1-котрак1еп аЬеЬспеп Ошрреп, СоПол. Ма1Ь. 4,
A957), 157-188.
X а у с до р ф Ф. (НаизсюгН РеПх):
[1] Теория множеств. М. —Л., ОНТИ, 1933.
Хельсон X. (Не1зоп Непгу):
[1] Оп Ше 1Aеа1 з!гис1иге о! &гоир а1§еЬга5, Агк. Ма{. 2 A952),
83—86.
Хенсель К. (Непзе1 Киг1):
[1] 2аЫепШеопе, ВегНп и. Ье1р21&: О. Л. СбзспепзсЬе Уег1а§зпап<11ип2,
1913.
Хилле Э. и Филлипс Р. (НШе Етаг апё РЫШрз Ка1рп 5.):
[1] Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ, 1962.
Холл М. (На11 МагзпаП Лг.):
[1] А 1оро1о§у !ог и*ее §гоирз ап<3 ге1а!её ^гоирз, Апп. оГ МаШ. B) 52
A950), 127—139.
Хопф X. см. Александров П. С.
Хофман К. (Ногтапп Каг1 Нетпсп):
[1] Ете Ветегкип^ йЬег сИе гепхга1еп Шгег&гирреп \п гизаттеппап^еп-
с1еп 1оро1о§15сЬеп Сгирреп, Агсп. МаШ. 9 A958), 33—38.
Хуланицкий А. (Ни1ашск1 А.):
[1] Оп 1оса11у сотрас! 1оро1о§1са1 §гоирз о! ро\уег оГ сопИтшт, Рип<1
МаШ. 44 A957), 156—158.
[2] А1§еЬга1с спагас1епга1юп о! аЬеНап (Иу151Ые §гоирз чуЫсп аёгш! сот-
рас! 1оро1оё1ез, Рипа\ МаШ. 44 A957), 192—197.
[3] А1^еЬгак зггисШге о! сотрас! аЬеНап §гоирз, Ви11. АсааЧ Ро1оп.
5с1., 5ег. За. МаШ. Аз!г. Рпуз. 6 A958), 71—73.
[4] Оп Ше 1оро1о^1са1 зхгисШге о! 0-(Нт'еп$юпа1 1оро1о^1са1 2гоирз, Рипё.
МаШ. 46 A959), 317—320.
См. Хартман С.
Хьюитт Э. (Не\уИ1 ЕсЫп):
[1] 1п1е§га1 гергезепШюп о! сегхат Ппеаг !ипс11опа1з, Агк. Мах. 2 A952),
269—282.
[2] Ыпеаг {ипсхюпа1з оп а1тозх регюалс Гипсхюпз, Тгапз. Атег. МаШ.
5ос. 74 A953), 303—322.
[3] Кетагкз оп Ше туегзюп о! Роипег-5Ие1Цез хгапзкэгтз, Апп. о! МаШ.
B) 57 A953), 458—474.
[4] Сотрасх топоШеНс зегш^гоирз, Оике МаШ. Л. 23 A956), 447—
457.
[5] А зигуеу о! аЪзхгас! пагтошс апа1уз1з, 5оте азресх о* апа1уз15 апо!
ргоЪаЬШху, 105—168. Зигуеуз т АррНео1 МаШетахкз, Уо1. 4, Ые\к
Уогк, 1958.
Хьюитт Э., Стромберг К. (НешИх Ес1\ут, 5хготЬег§ Каг1 К.):
[1] А гетагк оп Роипег—5х1е1х]'ез хгапзГогтз, Ап. Асаск ВгазИ. Сл. 34
A962), 175—180.
Хьюитт Э., Цуккерман Г. (НелуШ ЕсМп, 2искегтап НегЬегх 5.):
[1] А §гоир-ШеогеИс теШоё т аррпттахюп Шеогу, Апп. о! МаШ. B)
52 A950), 557—567.
[2] Оп сопуо1и1юп а1§еЬгаз, Ргос. 1пхегп. Соп§. МаШетаИаапз, Сат-
Ьпс1&е, Мазз., 1950. Атег. МаШ. 5ос, РгоуЫепсе, К. Л., Уо1. I,
1952, 455.

636
Й иблиография
[3] Р'тНе (Итеп5юпа1 сопуо1итюп а^еЬгаз, Ас1а МаШ. 93 A955),
67—119.
[4] ТЬе /х-а^еЬга оГ а сотти!а!1Уе 5егш§гоир, Тгапз. Атег. МаШ. 5ос.
83 A956), 70—97.
[5] ТЬе 1ггес1ис1Ые гергезепШюпз о! а $егш§гоир геЫес! 1о Ше зуттек-
пс &гоир, Н1то1*з Л. МаШ. 1 A957) 188—213.
Ц и п п и н Л. см. Алекса и дер и Монтгомери
Цуккерман Г. см. X ь ю и т т
Шварц Дж. см. Данфорд Н.
Шварц Ш. Eсп\уаг2: 51еГап):
[1] Теория характеров коммутативных полугрупп, СгеспозЬуак МаШ.
3. 4 G9) A954), 219—247.
[2] О существовании инвариантных мер на некоторых типах
бикомпактных полугрупп, СгеспозЬуак МаШ. 3. 7 (82) A957), 165—
182.
Шверчковский С. (Зшегсгкпузк! 5.):
[1] Меазигез еяшуа1еп1 1о Ше Нааг теазиге, Ргос. С1аз^очу МаШ. Аззос.
4 A960), 157—162.
[2] ЛасоЫапз !ог теазигез т созе! зрасез, Ргос. С1аз&о\у МаШ. Аззос.
4 A960), 208—212.
Шевалле К. (СпеуаНеу С1аис1е):
[1] Теория групп Ли, М., ИЛ, 1948
Шель Т. см. К ер те ш А.
Шенеборн X. (ЗспбпеЬогп Нешг):
[1] ОЬег 1лпеагк>гтептос1и1п ипепсШспеп Кап^ез. I. Рптаге, котрак!е
ЬтеагГогтептосМп. II. ЭДсМагсЫтесНзсп рег!ек1 Ье\уег1е1е, орега-
1оггес1иг1ег1е ЫпеагГогтептос1и1п, Л. Кете Ап^е\у. МаШ. 189 A952),
168—185, 193—203.
[2] ОЬег ^е^ззе Торо1о§геп т АЬеЬсЬеп Сгирреп I, II, Ма1п. 2. 59
П954), 455—473; 60 A954) 17—30.
[3] ОЬег с1еп 2изаттеппап2 гтзсЬеп ОиаНШз- ипс! УоИз^апсИ^кеИзе^еп-
зсЬа!1еп Ье1 &ечУ155еп 1оро1о&1зспеп АЬе!зсЬеп Сгирреп, МаШ. 2. 65
A956), 429—441.
Ш и г а К. EЫ§а К6]'1):
[1] КергезепЫюпз о! а сотрас! §гоир оп а Вапасп зрасе, Л. МаШ. 5ос.
Ларап 7 A955), 224—248.
Ш р е й дер Ю. А.:
[1] Строение максимальных идеалов в кольцах вполне аддитивных мер,
ДАН СССР 63 A948), 359—361.
[2] Строение максимальных идеалов в кольцах мер со сверткой, Матем.
сборник 27 F9) A950), 297—318.
Ш р е й е р О. (Зспге1ег ОНо):
[I] АЫгак1е коп^пшегНспе Сгирреп, АЬИ. МаШ. Зет. 1Лту. НатЬигд
4 A925), 15—32.
Штейнхауз X. C1етпаиз Ни&о):
[1] АоМШуе ипс! з1еИ&е' Рипк1юпа1орега1юпеп, МаШ. Ъ. 5 A919), 186—
221.
Штрубль Р. (ЗтгиЫе Кагтопс! А.):
[1] А1тоз1 репосНс {ипсИопз оп 1оса11у сотрас* &гоирз, Ргос. Ыах. Асас1.
Зс1. V. 5. А. 39 A953), 122-126.
Шур И. (Зспиг 15531):
[1] №ие Ап\уепс1ип&еп с!ег 1п1е§га1гесппищ* аи! РгоЫете с!ег Тпуапап-
{епШеопе. I, II, III, ЗИгип^Ъег. Ргеизз. АкааЧ Ш155., Рпуз.-МаШ.
К1. 1924, 189—208, 297—321, 346—355.
Эдварде Р. (ЕсЬуага'з КоЪег* Е.):
[1] А Шеогу о! Кадоп теазигез оп 1оса11у сотрас! зрасе5, Ас1а МаШ.
89 A953), 133—164.

Библиографий.
637
Э к м а и н Б. (Есктапп Вепо):
[1] ОЬег топо*пеШспе Сгирреп, Соттегй. Ма!п. Не1у. 16 A943—1944),
249-263.
Эрдёш П. (ЕкЗоз Раи1):
[1] ТЬе сПтепзюп о1 1Ье га!юпа1 рот1з т НПЬег* зрасе, Апп. о! МаШ.
B) 41 A940), 734—736.
Юнг В. (Уоип§ XV. Н.):
[1] Оп с1аззез о! зиттаЫе ГипсИопз апс! Ье1г Роипег зепез, Ргос. Коу.
5ос. Ьопёоп, 5ег. А87 A912), 225—229.
Книги по абстрактному гармоническому анализу
(и смежным вопросам), вышедшие после 1963 г.
Бурбаки Н.,' Спектральная теория, М., «Мир», 1972.
Диксмье Ж-, С*-алгебры и их представления, М., «Наука», 1974.
Гишарде А. (<3шспагс1е1 А.), Апа1узе Ьагтошдие сотти1аИуе, Р., 1968.
Хартман С. (Наг1тап 3.), Шз1ер с!о апаПзу пагтошсгпеу, \Уагзга^а,
1969.
Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., «Наука», 1972.
Рудин У., Функциональный анализ, М., «Мир», 1975.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
91гF) (непрерывные почти
периодические функции) 316
31 @) (почти периодические функции)
316
А (С, Г) 483
Аи 596
А(Х, Н) (аннулятор) 465
ЬО (компактификация Бора) 543
ЬгО 543
83 (Н) (ограниченные операторы) 592
33 (X) (ограниченные функции) 295
с 12
®(Х), ©0(Х), ©оо (X) 156
0в/ 315
<1е1 А (детерминант) 19
сНт X (размерность) 29
Ь (X) 22
Л (модулярная функция) 253
А(/ь ..../.; в; хв) 459
Да (а-адические целые числа) 143
Аг (/"-адические целые числа) 143
Ьху (символ Кронекера) 14
е (единица группы) 15
Еа[Еа№ = /(«)] 337
ехр 13
ехр (А) 49
ъа 345
Оа (дискретно топологизированная
группа) 166
®8 (я, Р) (невырожденные матрицы
над Р) 19
0(«)[ = {^:л:^С}] 555
О<»>1 = {*€0:*»=*}] 555
С, 556
Нот (С, Я) 565
/ (единичный оператор) 398, 612
/ (неотрицательный линейный
функционал на ©00) 157
7 158
7 159
/д 207
/*, 7*, 7Х 196
1(^)[ = /~(и)] 162
/С (комплексные числа) 13
Кп Н
€,, 8, (*•¦•) 177
«И0) [ = ^(°^I 338
/,(Х) 14
«со, Йоо (X, в4у 184
А, (левая мера Хаара) 250
Л^ (подгруппа в &а) 144
с^ [ = о#х1 276
<^ A-измеримые множества) 164
ЯЙ+ (полунепрерывные снизу
функции) 158
т(Л) (кратность) 29
М@) 344
М+, М$ 345
Ма, МС9 Мл, М3 345
тах (*., М), Ш1П (I, М) 584
ГШП (I, Г|) 220
Ш1 (я, Т7) (матрицы над Т7) 19
¦М (р) 406
Л(Х) 220
с)\р1 (локально 1-нулевые множества)
163

Указатель обозначений
639
5К+ (полунепрерывные сверху
функции) 159
в (О/Н) (фактортопология) 56
О (п) (ортогональная группа) 19
&а (а-адические числа) 143
Йг (г-адические числа) 143
' [~&
178, 184
X) 12
Р (Т7, е) 460
& (X) (все подмножества в
(} (рациональные числа) 13
Н (вещественная прямая) 13
Яп 14
г @) (ранг группы) 561
г о (О) (свободный ранг группы) 561
гр (О) (ранг по модулю р группы) 561
рй (внутренний автоморфизм) 15
© 182
© @) (топологические автоморфизмы)
539
8&п [зщпит] 13
5@ (носитель меры I) 163
©8 (я, Р) (специальная линейная
группа) 19
о?1@)у о^гF) (равномерные
структуры) 38
5л-1 (сфера в Яп) 14
©„ (симметрическая группа) 21
©О (п) (специальная ортогональная
группа) 20
©II (я) (специальная унитарная груп#
па) 20
2а (а-адический соленоид) 150
Т [ = {ехрBга*):0<*< 1}] 13
1г А (след матрицы А) 19
и (единица алгебры) 595
И (я) (унитарная группа) 19
85 (Р, */) 539
№ (X) (вес топологического
пространства) 22
X (структурное пространство) 605
X (группа характеров) 453
7. (целые числа) 13
1 (т) (циклическая группа из т
элементов) 16
2 (а00) 511
2(р«) 13
\х (характеристическая функция
множества) 13
«Ф 15
0 (пустое множество) 12
Ь * М (свертка) 336
/*&> /*Ц» (и*/ 365
р,*г 341
[.^М 583
1^т] 220
К8, /^0 156
рЪ-ц (положительные функционалы)
413
А ДБ (симметрическая разность) 12
/ о ^г (композиция) 13
С(§)# (полупрямое произведение) 19
Я10Е2 (прямая сумма) 572
А±В, СХл 589
А // 596
О/ Я (левые классы смежности) 15
Р | А (сужение функции) 13
|| а || (норма в Кп) 14
\\1\\р 177
II / На (равномерная норма) 156, 295
II Щоо 184
11 Т || 574
11*11574
||*|| [=гУ<хух> ]587
II |11| 220
¦ || Ф || 217
| |х| 220
|Ф | 219
<а, Ь> (внутреннее произведение в Кп)
14
</, ё> (в &) 181
<х, уУ (внутреннее произведение) 587
<а>, 6> 590
А (мощность множества) 12
А (комплексно сопряженная к А
матрица) 19
А 605
/"(преобразование Фурье) 458
х (преобразование Фурье) 605
(I 458
А1- (ортогональное дополнение) 589

640
Указатель обозначений
А~ (замыкание) 22
А' (дополнение) 12
А9 (внутренность) 22
Е~ 589
§~ (сопряжение) 383
Ь~ (сопряжение) 382
Т~ (сопряжение) 590
х~ 399
ц~ (сопряжение) 383
<р~ (сопряженный гомоморфизм) 497
А* 19
Е* (сопряженное пространство) 578
й 583
/А [/АМ = /(*)] 239
Га 1Ш = !(*«)] 239
а! 1а!(х) = !(ах)] 239
у [!/(*) = *.(/*)] 336
Щ 1Щ(х) = мш 336
*А (транспонированная матрица) 19
О"
°> «о 12
Опг* 17
Хт 13
Р С,, Р*0, 17
16/ 1 16/ 1
Р X, 13
(хЛ (элемент из Р X ) 13
16/
ЛЯ, Л-1, аВ, 5а, Л" 15
Я (прямая сумма) 593
593
тег
2 Г
76Г г
2 I 593
шаЧ 239
:$М*"
251
5
/ 213
л
ь-» 13
[а, Ь], [а, оо).
а 14
14

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абе (АЬе, М.) 537, 554
Александер (А1ехапс1ег, Л. \\^.) 107,
450, 504
Александров А. Д. 276
Александров П. С. 7, 69, 481
Анзаи (Агшп, Н.) 505, 537, 554
Арене (Агепз, К. Р.) 554
Ароншайн (Атопвга']п9 N1.) 589
Архангельский А. В. 505
Ауберт (АиЪей. К. Е.) 275
Гельбаум (Ое1Ьаит, В.) 138
Гельфанд И. М. 5, 7, 360, 397, 424,
425, 449, 450, 477, 600, 605, 609
Гликсберг (ОНскзЬег^, I.) 135
Годеман (Ск>Aетеп1:, К.) 309, 397,
421, 424, 449, 450, 504
Грабарь Л. 109
Граев М. И. 69, 74, 85, 108, 112, ИЗ
Гурвиц (НипуЦг, А.) 274
Гуревич А. А. 450
Балцержик (Вакеггук, 5) 538
Берлинг (ВеигНп& А.) 334, 360
Бернштейн С. Н. 7
Биркгоф (В1гкЬоН, С.) 113, 583
Бомон (Веаитоп!, К. А.) 538
Бохнер (ВосЬпег, 5.) 11, 360
Браконье (Вгасопшег, Л.) 81, 85,
268, 355, 475, 501, 502, 505, 528,
537, 538, 554
Бук (Виск, К. С.) 352, 361
Бурбаки (ВоигЬак1, Ы.) 51, 68, 75,
175, 176, 196, 217, 583
Бэр (Ваег, К.) 51, 74
Варден ван дер (\\^аегс1еп, В. Ь. уап
<1ег) 9, 11, 14
Вейерштрасс (\\^е1ег$1га55, К.) 197, 360
Вейль (МУеП, А.) 7, 8, 11, 51, 52, 84,
85, 113, 140, 175, 275, 294, 397,
424, 449, 450, 477, 504, 505
Вейль (Шеу1, Н.) 274, 276, 294, 361,
397, 449, 450, 451, 477
Вендель (№епс1е1, Л. С.) 397
Вигнер (Ш^пег, Е. Р.) 44, 444, 449
Виленкин Н. Я. 75, 85, 112, 140» 478,
506, 538
Винер (\У1епег, Ы.) 360, 477
Витали (УКаН, О.) 361
Воган (Уаи^пап, Н. Е.) 334
Вольтерра (УоИегга, V.) 360
Даниэль (ЭашеН, Р. Л.) 175
Данфорд (Оип!ого\ N0 195, 576
Данциг ван (ОапЫ^, О. уап) 51, 74,
75, 94, 107, 112, 153, 537
Девинатц (ОеутаЬ, А.) 505
Джонс (Лопез, Р. В.) 108
Диксмье @\хт1ет, Л.) 314, 498, 505.
506
Дирихле (ОтсЫе*, Р. О. Ь.) 360
Доблебский фаиЫеЪзку уоп 51ег
песк, К.) 361
Дьедонне (Э1еиAоппё, Л.) 22, 82
Дэвис (Оау13, Н. Р.) 276
Дэй (Эау, М. М.) 305, 309, 314, 474,
576
Зигмунд Bу§типA, А.) 11, 360
Ивамура Aчуатига, Т.) 477
Ивановский Л. Н. 140
Ивасава A\уазачуа, К.) 44, 554
Иосида (УозЫа, К.) 477
Исивата Aзпуа1а, Т.) 506
Кавада (Ка\уас1а, У.) 334
Какутани (Каки1аш, 5.) 107, 111,
113, 175, 275, 276, 294, 357, 502,
505, 537, 554

642
Именной указатель
Калиш (КаНзсЬ, О. К.) 138
Кальдерон (СаЫегоп, А. Р.) 334
Кампен ван (Катреп, Е. К. уап) 9,
51, 52, 74, 75, 94, 138, 140, 450,
477, 504, 505
Каплан (Кар1ап, 5.) 506
Капланский (Кар1апзку, I.) 505, 538,
Картан (Саг1ап, А.) 7, 176, 361, 504
Картан (Саг1ап, Ё.) 51
Касуга (Кази^а, Т.) 83
Кейнер (Кешег, Н.) 331
Келли (КеИеу, Л. Ь.) 9, И, 22, 27,
29, 38
Кемперман (Кетрегтап, Л. Н. В.) 295
Кертеш (Кейёзг, А.) 46
Кестен (Кез1еп, Н.) 314
Кете (Кб1Ье, О.) 576
Кли (Юее, V. Ь.) 472
Кнезер (Кпезег, М.) 295
Кодаира (КосЫга, К.) ИЗ, 357
Колмогоров А. Н. 5
Корсон (Согзоп, Н. Н.) ПО
Котлар (СоШг, М.) 478
Коэн (Сопеп, Р. Л.) 107
Крейн М. Г. 5, 7, 360, 425, 450, 587
Кристенсен (Кпз1епзеп, Ь.) 106
Кронекер (Кгопескег, 5.) 14, 46
Крулль (Кги11, Ш.) 537
Кузьмы нов В. И. 140
Курош А. Г. 14, 44, 555
КуСИС (К00515, Р.) 450
Лебег (ЬеЬез^ие, Н.) 196, 361
Леви (ЬеУ1, Р.) 74
Лейа (Ье]а, Р.) 51, 94
Лемер (ЬеЬтег, Э. Н.) 361
Лептин (ЬерИп, Н.) 506
Литтлвуд (ЫШежюо1, Л. Е.) 195
Лоренц (Ьогеп1г, О. О.) 314
Лось A,08, Л.) 538
Лутар (Шпаг, I. 5.) 314
Любарский Г. Я. 334
Люмис (Ьоогшз, Ь. Н.) 9, 51, 176, 276,
397, 449, 595
Маак (Маак, №.) 328, 331, 333, 334,
537
Майкл (АИсЬае!, Е. А.) 112
Макбит (МасВеа1Ь, А. М.) 295
Макки (Маскеу, С. Ш.) 294, 505, 533,
537
Мальцев А. И. 5, 7
Марков А. А. 51, 74, 75, 113, 137, 140
Меньшов Д. Е. 7
Мильман Д. П. 425, 450, 582
Мицельский (Мус1е1зк1, Л.) 93
Мичелов (Мкпе1очу, Л.) 149
Монтгомери (Мопг&отегу, Б.) 51, 75,
93, 105, 113, 140
Мунн (Мипп, Ш. Б.) 361
Мунро (Мипгое, М. Е.) 576
Наймарк М. А. 5, 7, 9, 176, 217, 424,
450, 576, 595, 597, 609
Накаяма (Ыакауата, Т.) 113, 538
Нахбин (ЫасЬЫп, Ь.) 450
Нейман (Ыеитапп, Л. уоп) 44, 51, 153,
175, 275, 314, 361, 444, 450, 537
Никодим (Ы1коо,ут, О. М.) 196
Нумакура (Иитакига, К.) 140
Нуссбаум (ШззЪаит, А. Е.) 505
Окстоби (Ох1оЬу, Л. С.) 276, 294
Ольмстед @1тзЫ, Л. М. Н.) 138
Пасынков Б. А. 505
Перес (Рёгёз, Л.) 360
Петер (Ре1ег, Р.) 274, 361, 397, 449,
450, 477
Пирс (Р1егсе, К. 5.) 523, 538
Питт (Р1«, Н. К.) 360
Пойа (Р61уа, О.) 195
Понтрягин Л. С. 5, 7, 9, 51, 75, 85,
109, ИЗ, 136, 140, 450, 477, 504,
505, 506, 555
Престон (Ргез1оп, О. С.) 506
Прюфер (РгМег, Н.) 153
Пэли (Ра1еу, К. Е. А. С.) 477
Радон (НаAоп, Л.) 196
Райков Д. А. 275, 397, 424, 425, 449,
450, 477, 504
Райми (Наши, К. А.) 314
Рикабарра (ШсаЪагга, К.) 478
Рикарт (Шскаг*, С. Е.) 424, 595, 597
Рисе (Шзз, Л.) 505
Рисе (Шезг, Р.) 175, 195, 196, 588
Ричардсон (Шспагдзоп, К. Ш.) 125
Робертсон (НоЬег1зоп, Ш.) 474
Робисон (КоЫзоп, О. В.) 303
Розен (Козеп, Ш.) 276
Рудин (КисНп, Ш.) 238, 537
Рыль-Нардзевски (Ку11-Ыагс1ге\^5к1, С.)
498, 505
Сакс Eакз, 5.) 154, 164, 217, 176
Самельсон Eате1зоп, Н.) 526, 537
Сегал Eе§а1, I. Е.) 397, 424, 425, 449,
450

Именной указатель
643
Секефальви-Надь Eх.-Ыа§у, В.) 275,
477
Сильверман (ЗПуегтап, К. Л.) 314
Смит (ЗтИЬ, М. Р.) 506
Стоун E1опе, А. Н.) 113
Стромберг E1готЪег&, К. Е.) 502
Тарский (ТагзЫ, А.) 282
Тома (ТЬота, Е.) 135, 442
Тоэль (Тое1, Р.) 609
Тояма (Тбуата, Н.) 276
Уоллес (\\^а11асе, А. Э.) 40
Урбаник AМ>атк, К.) 295
Урысон П. С. 7, 23
Филлипс (РЫШрз, 8.) 576, 597
Фолнер (Р01пег, Е.) 314, 478
Фомин С. В. 6
Фрейденталь (Ргеи<1еп1Ьа1, Н.) 72,
74, 75, 85, 451, 477, 505
Фробениус (РгоЪепшз, О.) 274, 477
Фукс (РисЬз, Ь.) 538, 555
Хаар (Нааг, А.) 11, 51, 275, 294, 477
Халмош (На1тоз, Р. К.) 9, 154, 155,
164, 169, 176, 505, 525, 526, 537, 587
Хамель (Нате1, О.) 538
Харди (Нагс1у, О. Н.) 195
Харрисон (Нагпзоп, Б. К.) 538
Хартман (Найтап, 5.) 93, 498, 501,
505
Хельсон (Не1зоп, Н.) 397
Хенсель (Непзе!, К.) 153
Хилле (НШе, Е.) 576, 597
Холл (На11, М.) 44
Хопф (НорГ, Н.) 69, 360
Хофман (НоГтапп, К- Н.) 91, 554
Хуланицкий (Ни1ап1ск1, А.) 108, 140,
501, 538
Хьюитт (Неши, Е.) 5, 7, 8, 10, 139,
176, 238, 334, 361, 450, 477, 503,
550, 554
Циипин B1рр1п, Ь.) 51, 75, 93, 105,
ИЗ, 140, 504
Чебышев П. Л. 7
Шварц Eс1шаг*2, Л. Т.) 195, 217, 576
Шварц (Зспчуагг,, 5.) 276, 450
Шверчковский Eшегс2ко№зк1, 5.) 295
Шевалле (СЬеуаПеу, С.) 94, 140, 275
Шель Eге1е, Т.) 46
Шенеборн (ЗсЬопеЬогп, Н.) 506
Шига (ЗЬща, К.) 449
Шилов Г. Е. 6
Шмидт (ЗсптЫ*, Р. К.) 8
Шрейдер Ю. А. 397
Шрейер EсЬге1ег, О.) 51, 91, 94, 397
Штрубль E1гиЫе, К. А.) 334
Шур (ЗсЬиг, I.) 275
Эдварде (Е<1\уагс15, К. Е.) 176
Экманн (Есктапп, В.) 538
Эрдеш (Егдбз, Р.) 91
Юнг (Уоип& Ш. Н.) И, 195

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа (см, также группа)
, недискретные топологии 46
Абсолютно инвариантное
подмножество 280
— непрерывная мера 233, 345
Автоморфизм внутренний 15
— топологический 539
Автоморфизмов группа 539—542
, модулярная функция на ней 554'
не локально компактная 549
, подгруппа внутренних
автоморфизмов 554
, примеры 547
Аддитивное отображение 572
а-адические целые числа (см, также
Да) 143
— числа (см, также О,а) 143
г-адические целые числа (см. также
Дг) 143
— числа (см, также &г) 143
а-адический соленоид 150
Алаоглу теорема 580
Алгебра 595
— банахова 400
—, вложенная в алгебру с единицей 595
— множеств 155
— нормированная 400
— с операцией сопряжения 399
— свертки 336
некоммутативная 352—353
/хE) 337
#*E) 352
ЩО). ®*ги@) 352
— ®;(°K39
— ЩО) 316
, единственность инвариантных
средних 322
, существование инвариантных
средних 320
— М@) 345
коммутативная 385
, одномерные идеалы 393—394
Алгебра свертки, операция
сопряжения 383
- Ма (О) 345
, изоморфизм 5] 348
аппроксимативная единица
387
, характеризация идеалов в ней
387
о-алгебра множеств 155
—алгебра 399
Аннулятор 465
Аппроксимативная единица 387
Базис группы 558
— ортонормированный 589
— пространства с мерой 277
Банаха — Штейнхауза теорема 577
Банахова алгебра 595
алгебра 399
Банахово пространство 576
рефлексивное 579
со слабой топологией 579
^-топологией 579
Бесконечность, терминология 156
Билинейный функционал 573
ограниченный 592
Более сильная топология 22
— слабая топология 22
Бора компактификация 543
Борелевское множество 155
Буняковского неравенство 179
Бэра теорема о категориях 63, 577
Бэровские множества 155
и мера Хаара 357
Вейерштрасса аппроксимационная
теореме 360
Вейля топология 294
Весовая функция 187
Вещественная алгебра 595
— группа характеров 495

Предметный указатель
645
Вещественная матрица 19
Вещественное линейное пространство
571
— /г-мерное пространство 14
Вещественные характеры 495—498
Винера — Хопфа уравнение 360
Внешняя мера Каратеодори 162
Внутреннее произведение 587
в /С» 14
Внутренний автоморфизм 15
топологический 554
Вписанное покрытие 27
Вполне несвязная группа, малые
подгруппы 87
— несвязное пространство 25
— ограниченное метрическое
пространство 26
— простая полугруппа 134
— регулярное пространство 22
Вторая категория 577
— теорема об изоморфизме 16, 67
Вторичная группа характеров 478
Выпуклая комбинация 572
Выпуклое множество 572
в упорядоченной группе 42
Гельфанда теорема 605
— топология 605
Гельфанда — Мазура теорема 600
Гельфанда — Наймарка теорема 609
Гельфанда — Райкова теорема 436
Герглотца — Бохнера теорема 11
Гёльдера неравенство 178
Гильбертово пространство 588
, прямая сумма 592
, размерность 589
Гомоморфизм алгебр 596
— сопряженный 497
Группа (см. также топологическая
группа)
— без кручения 555
— делимая 556
— конечная циклическая 16
— конечно-порожденная 569
— линейная 19
— ограниченного порядка 555
— перестановок 20
— периодическая 555
— приведенная 556
-г р-примарная 555
— свободная 20
— симметрическая 20
— упорядоченная 41
— ®Я (п9 Р) 19
, левоинвариантные метрики 107
, локальная евклидовость 49, 50
, мера Хаара 260, 269
Группа &(л) 19
, компактность 48
, локальная евклидовость 49, 50
— С (рациональных чисел) 13
, группа характеров 512, 524
— Я (вещественных чисел) 13
, группа автоморфизмов 548
, — характеров 467
, инвариантные средние на
группе ЗГс (/?) 327
, ®г (/?) 307
, как открытый непрерывный
гомоморфный образ вполне
несвязной группы 73
, компактные связные
топологии 525
, мера Хаара 256
, непрерывные гомоморфизмы 473
, топологии 45
— Я» 14, 137
» группа автоморфизмов 549
, замкнутые подполугруппы 123
— @€ (я, Р) 19
, гомоморфизм в (со, 0) 273
, локальная евклидовость 49, 50
, не имеет конечномерных
унитарных представлений 445
, неэквивалентность
равномерных структур 48
— ©О (п) 20
, компактность 48
, локальная евклидовость 49,- 50
- ©и (я) 20
, компактность 48
, локальная евклидовость 49, 50
— Т 13
, группа автоморфизмов 548
,— характеров 466
, мера Хаара 257
, непрерывные автоморфизмы 470
— П (п) 19
, компактность 45
, линейная связность 89
, локальная евклидовость 49, 50
— 1 (целых чисел) 13
, инвариантные средние на Щ2)
327
, группа характеров 466
, недискретные топологии 45
— Да, 143, 527—528
, группа характеров 511, 512
, мера Хаара 260, 261
— Ая 143
, группа автоморфизмов 548
, минимальное делимое
расширение 531
— &а 143
• группа характеров 506

646
Предметный указатель
Группа 0,а , замкнутые подгруппы
152
, мера Хаара 260
— ^^ 143
у группа автоморфизмов 548
,— характеров 506
Двойственная группа (см. также
группа характеров) 453
Двойственности теорема 481
, единственность группы Т 536
Двусторонне инвариантная
псевдометрика 94
— инвариантное среднее (см. также
инвариантное среднее) 295
— инвариантный функционал 239
Двусторонний идеал в алгебре 596
— ¦ полугруппе 134
Декартово произведение множеств 13
Делимая (полная) группа 556, 562
без кручения 431
, вложения в нее 563—564
Дискретная группа 40
, компактность группы
характеров 461
, мера Хаара 256
Длина приведенного слова 20
Дополнение множества 12
Достаточно много 436
представлений 436
характеров 439
Единица аппроксимативная 387
— относительно / 602
Единичный шар 547
Единственность Т в теореме
двойственности 536
Естественное отображение 15
Идеал в алгебре 596
регулярный 602
левый 602
собственный 596
полугруппе 131, 134
Идемпотент 131
Измеримая функция 156, 164
по Борелю 156
__ Бэру 156
Измеримое множество 164
1-измеримая функция 164
1-измеримое множество 164
Изометрия линейная 588
— сопряженно-линейная 588
Инвариантная псевдометрика 94
— конечно-аддитивная мера 311—314
Инвариантное среднее 296
для 91 (О) 320—321 -
*ВГ (О) 305
тг (Я) 307
58'' E) 303
— —, его единственность 309
Инвариантный линейный функционал
239
— функционал 239
Инверсионно-инвариантный
функционал 240
Инверсия 15
Интеграл Лебега 156
— Хаара 251
Какутани — Окстоби продолжение
меры Хаара 277
Каратеодори внешняя мера 162
Квадратный корень из положительно
определенного оператора 613
Квазиобратный 598
— левый 597
— правый 597
Кватернионы, их группа характеров
270
Кёнига теорема 278
Классы сопряженности 16
Кольцо множеств 155
о-кольцо множеств 155
Коммутативная алгебра 595
Коммутаторная подгруппа 457
Компактификация Бора 543
Компактно порожденная группа 55
Компактное пространство (=би
компактное пространство) 24
а-компактное пространство 24
, произведение таких 27
Компактные группы 32
, алгебраическая структура абе-
левых групп 520—524
без кручения 514
, дискретность их групп
характеров 461
, малые подгруппы 85—86
периодические 514
— элементы 123, 136
Компактный носитель меры 163
функции 156
Комплексная алгебра 595
Комплексное линейное пространство
571
— я-мерное пространство 14
Комплексно-сопряженная матрица 19
Комплексные меры 155
, произведение 236
, теорема Фубини 237
Композиция функций 13

Предметный указатель
647
Компонента 25
— единицы как прямой сомножитель
501
в топологической группе 85—88
Конечно-аддитивная мера 155
инвариантная 311—314
— порожденная группа 569, 570
Конечного пересечения свойство
(центрированность) 12
а-конечное множество 155
Конечномерные представления,
прямая сумма неприводимых 423
Конечные циклические группы 17
ог-конечные функции множеств 155
Конфинальное подмножество 12
Кососимметрическая матрица 19
Косоэрмитова матрица 19
Крайнее подмножество
^экстремальное подмножество) 581
Крайняя точка (=экстремальная
точка) 582
Кратность семейства множеств 29
Крейна — Мильмана теорема 582
, ее применение 419
Кронекера аппроксимационные
теоремы 544, 550—551
— б-функция (символ Кронекера) 14
Лебега интеграл 156
— теорема о мажорированной
сходимости 236
Лебега — Радона — Никодима
теорема 188
Левая единица относительно / 602
— мера Хаара (см. также Хаара мера)
251
— равномерная структура 38
Левоинвариантные псевдометрики 94
— средние 296
— функционалы 239
Левый закон сокращения 131
— идеал в алгебре 596
регулярный 602
полугруппе 134
— интеграл Хаара (см. также Хаара
интеграл) 251
—квазиобратный 597
— сдвиг 15
функции 239
Линделефа свойство 24
Линейная группа 19, 48—50
, топология 41
— изометрия 588
Линейно связное пространство 25
Линейное отображение
(преобразование) 572
ограниченное 574
Линейное отображение ограниченное
норма 574
— подпространство 572
— пространство 571, 572
банахово 576
гильбертово 588
нормированное 574
локально выпуклое 573
, прямая сумма 572
с внутренним произведением
587
, сопряженное к нему 578
топологическое 573
Линейный функционал 572
9 бесконечное произведение 207
двусторонне инвариантный 239
инверсионно инвариантный 240
левоинвариантный 239
мультипликативный 601
, неограниченный на #00 217
неотрицательный 583
,—¦ на ©оо 157
, норма 574
ограниченный 574
относительно ограниченный 583
положительный 403
строго 583
, произведение 198, 207
Локально выпуклое пространство 578
— евклидово пространство 27
— компактное пространство 24
— о-компактное пространство 24
— конечное семейство 27
— линейно связное пространство 25
— нулевая функция 163
— нулевое множество 163
не нулевое множество 166, 293
— 1-нулевое множество 163
— ограниченная группа 276
— почти всюду 163
— 1-почти всюду 163
— связная компактная абелева
группа 506
— связное пространство 25
— счетно компактное пространство 24
Локальное прямое произведение 81
, группа характеров 565
, самодвойственное 535
Мажорированная сходимость 236
Максимальных идеалов пространство
(структурное пространство) 605
Матриц группа (см. также линейная
группа) 19
, различные типы 19
Мера 155
— абсолютно непрерывная 233

648
Предметный указатель
Мера инвариантная
конечно-аддитивная 311—314
— инверсионно инвариантная 240
— Каратеодори внешняя 162
— левоинвариантная 240
— рюпрерывная 345
—, носитель 163
— регулярная 187
—, свертка мер 341
— сингулярная 234, 345
— сконцентрированная на множестве
234
— Хаара (см. также Хаара мера) 251
— чисто разрывная 345
я-мерное пространство 14
хаусдорфово компактное 29
Метризуемость топологической
группы 97
Метрика инвариантная 94
Минимальные делимые расширения
530, 563
Минковского неравенство 180
Модулярная функция 254
на замкнутой нормальной
подгруппе 266
<&(в) 554
Моногенная (—монотетическая)
группа 116
— полугруппа 139
Монотетическая (=моногенная) группа
115, 494, 505—507
, образующие 139, 515, 526
наибольшая 515
— полугруппа 139
Мощность множества 12
Мультипликативная функция 439
Мультипликативный линейный
функционал 601
Направленное множество 28
Направленность (=сеть) 28
Недискретные топологии на абелевых
группах 46
2 27
Независимое подмножество 558
Неизмеримые множества 291
Неотрицательный линейный
функционал 583
на ($оо 157
Непрерывная мера 173, 345
Непрерывные представления 433
унитарные 440
Неприводимое множество операторов
411
Неприводимые представления 411
Нигде не плотное множество 577
Норма 574
Норма в Кп 14
и (X) 14
€п(Х, I) 177
— линейного отображения 574
— равномерная 156, 295
Нормальная топологическая группа 32
Нормальность локально компактной
группы 104
Нормальный оператор 591
, существование обратного 612
Нормированная алгебра 595
алгебра 400
Нормированное линейное
пространство 574
в слабой топологии 579
^-топологии 579
рефлексивное 579
Носитель меры 163
— функции 156
Нулевая функция 163
1-нулевая функция 163
Нулевое множество 163
1-нулевое множество 163
Нульмерная группа, ее малые
подгруппы 87
Нульмерное пространство 25
Нуль полугруппы 329
Образующая моиотетической группы
139, 515, 526
Обратная система множеств (обратный
спектр) 80 '
Общая линейная группа (см. также
®Я(л, Р)) 19
Ограниченного порядка группа 555
Ограниченное преобразование 574
Ограниченный линейный
функционал 574
Однопараметрическая подгруппа 116
Однородное отображение 572
Однородность пространства 22
— факторпространства 58
Окрестность (всегда открытая) 22
Оператор 572
— нормальный 591
— положительно определенный 591
— проектирования 591
— сопряженный 590
—, сумма 593
— унитарный 591
— эрмитов 591
Ортогональная группа (см. также «О
(п)) 19
специальная (см. также ©О (п))
19
— матрица 19

Предметный указатель
649
Ортогональное множество 589
Ортогональные элементы 589
Ортонормировашюе множество 589
Ортонормированный базис 589
Основная теорема об абелевых
группах 570
Открыто-замкнутые подгруппы 53—54
Относительно ограниченный линейный
функционал 583
9 примеры 273
Отображение 12
— инверсии 12
Паракомпактность 27
— локально компактной группы 104
Первая категория 577
— теорема об изоморфизме 11, 66
Перестановки 20
Перестановок группа 20
Периодическая группа 555
компактная, характеризация
514
— часть группы 556
Подгруппа коммутаторная 457
— нормальная 32
— однопараметрическая 116
— открыто-замкнутая 53—54
— сервантная (=чистая) 501
— собственная 15
Поднаправленность 28
Покрытие 12
Поле скаляров (= скалярное поле) 571
Полная (=делимая) группа 556
— регулярность группы 98
— решетка (=структура) 585
Полное пространство с мерой 278
Положительно определенный
оператор 591
, корень квадратный из него
613
, неотрицательность его
спектра 613
Положительный функционал 403
продолжаемый 404
непродолжаемый 420
Полугруппа 15
— с сокращениями 329
— топологическая 131, 298
Полунепрерывная функция 158
Полупрямое произведение групп 19
топологических 83, 84
, мера Хаара 271
Полухарактер 439
Понтрягина теорема двойственности
481
Почти всюду 163
1-почти всюду 163
Правая единица относительно идеала
602
— мера Хаара 253
— равномерная структура 38
Правоинвариантная псевдометрика 94
Правоинвариантное отображение 240
Правоинвариантный функционал 239
Правый закон сокращения 131
— идеал в ^алгебре 596
регулярный 602
полугруппе 134
— интеграл Хаара 253
— квазиобратный 597
— сдвиг 15
функции 239
Предельная точка направленности 28
Представление алгебры 399
с единицей 399
— группы 398
—, его инвариантное подпространство
398
— непрерывное 433
— неприводимое 411
— полугруппы 398
— приводимое 411
— регулярное 435
— сильно непрерывное 425
— слабо измеримое 425
непрерывное 425
— циклическое 401
—, эквивалентное другому 400
—представление 400
Преобразование 12
— ограниченное 574
, его норма 574
— Фурье 605, 458
— Фурье;— Стилтьеса 458
Приведенная группа 556
Приведенное слово 20
Приводимое множество операторов 411
— преставление 411
Приводимость 411
Примарная группа 555
Продолжаемость характеров 484
вещественных 496
Продолжаемые линейные
функционалы 404
Продолжение меры Хаара 277
— пространства с мерой 277—278
Проективный предел 80
Проектирования (проекции) оператор
591
Произведение групп 17, 19
9 группа характеров 461—464
— комплексных мер 236
— мер 198
— множеств 13
— топологических групп 75

650
Предметный указатель
Произведение функционалов 198, 207
— характеров 452
Простая алгебра 596
— полугруппа 134
Пространства топологические 24, 25
Пространство максимальных идеалов
(структурное пространство) 6055
— л-мерное вещественное 14
— представления 399
— с внутренним произведением 587
— с мерой 277
, базис 277
полное 278
, расширение 278
, характер 277
Прямая сумма гильбертовых
пространств 572
линейных пространств 592
Прямое произведение групп 17
, его группа характеров 461—
464
локальное 81
слабое 17
топологических групп 75
Псевдометрика инвариантная 94
Пустое множество 12
Равномерная близость 37
— норма 156, 295
— структура 38
, примеры 47—48
, эквивалентность 38
Равномерно непрерывное отображение
38
Радона — Никодима теорема 188
Разбиение единицы 22
— множества (разложение множества)
12
Разделяющее точки семейство
функций 197
Размерность 29
— гильбертова пространства 589
Ранг группы 561
Регулярная мера 167
Регулярное представление 435
— топологическое пространство 22
Регулярный идеал 602
левый 602
Рефлексивное пространство 579
Рисса теорема о представлении 169
гильбертовых
пространств 588
Самодвойственные группы 534
Свертка 336
—, ассоциативность 336
Свертка, использующая правую меру
Хаара 391
— мер 341—344
— неограниченных функционалов 355
— функций и мер 341, 370—379
Свободная группа 20
абелева 20
топологическая 110
Свободный ранг (ранг по модулю
кручения) 561
Связное пространство 25
Связные группы 88, 487, 489, 496, 519
, центр в них 91, 543
Сдвиг 15
— функции 239
, его непрерывность 364, 389
Сервантная (=чистая) подгруппа 501,
565
Сервантно независимое множество
(=чисто независимое множество) 567
Сеть 26
8-сеть 26
Сечение 200
Сильно непрерывное представление 425
Символ Кронекера 14
Симметрическая матрица 19
— разность 12
Симметрическая группа 20
Симметричное множество 35
Сконцентрированная на множестве
мера 234
Слабая топология 579
— *-топология 579
Слабо борелевски измеримое
представление 425
— Я-измеримое представление 425
— непрерывное представление 425
Слабое прямое произведение 17
След матрицы 19
Слово 20
— приведенное 20
, его длина 20
Смежности классы 15
Собственная подгруппа 15
Собственный идеал 596
Сингулярная мера 234, 345
Скалярное поле (=поле скаляров)
571
Соленоидальная группа 116, 518—519
, а-адическая 150
наибольшая 519
Сомножитель 17
Соответствие 12
Сопряженно-линейный функционал 572
Сопряженное пространство 578
Сопряженность элементов 16
Сопряженный гомоморфизм 497
Спектр 603

Предметный указатель
651
Спектр обратный (обратная система
множеств) 80
Спектральная теорема 617—622
для эрмитовых операторов 622
Специальная группа линейная (см.
также @# (/г, Г)) 19
ортогональная (см. также
©&(л)) 19
унитарная (см. также ©И (п)) 19
Среднее (см. также инвариантное
среднее) 295
Стоуна — Вейерштрасса теорема 197,
360
Строго положительный линейный
функционал 583
Структура (—решетка) 584
Структурная теорема для локально
компактных компактно
порожденных абелевых групп 121
Структурное пространство
(пространство максимальных идеалов) 605
Сужение функции 13
Сумма операторов 592
— пространств гильбертовых 592]
линейных 572
Сушкевича ядро 135
Существенно ограниченные
функции 184
Сходимость направленности 28
Счетно аддитивная мера 155
— компактное пространство 24
Счетное множество 12
Топологическая группа 32
, вещественные характеры 495
, группа автоморфизмов 539—542
,— гомоморфизмов 565
дискретная 40
компактно порожденная 55
монотети ческа я (моногенная)
115
, независимость аксиом 43
нормальная 32
самодвойственная 534
соленоидальная 116
унимодулярная 254
— — упорядоченная 41
— полугруппа 131, 298
Топологический автоморфизм 268, 539
— изоморфизм 62
Топологическое кольцо 147
— линейное пространство 573
, допускающее единственный
функционал 472
локально выпуклое 573
— поле 147
Топология более слабая 22
Топология вейлевская 294
— гельфандовская 605
— нормы (сходимости по норме) 574
— слабая 579
*-579
Р-топология 460
А-топология 459
Точное представление 435
Транзитивное семейство
отображений 20
Транспонированная матрица 19
Треугольника неравенство 574
Унимодулярная группа 254
, ее компактность 254
, эквивалентность равномерных
структур на ней 355
Унитарная группа (см. также II (п)) 19
специальная (см. также ©II (п))
19
— матрица 19
Унитарные представления 440
, отсутствие конечномерных 443
Унитарный оператор 591
Упорядоченная группа 40
Уравновешенная окрестность 573
Факторгруппа 15, 57
—, группа характеров 466
Факторпространство 15, 572
—, однородность 58
—, топология 57
Фубини теорема 200—203
для комплексных мер 237—238
Функционал билинейный 573
— линейный 572
— мультипликативный линейный 601
— неотрицательный 583
— относительно ограниченный 583
— положительный 403
— сопряженно-линейный 572
— строго положительный 583
Функция з^пшп [з^п] 13
со-функция 331
Фурье преобразование 458, 605
Фурье — Стилтьеса преобразование 458
Хаара интеграл (левый) (см. также
Хаара мера) 251
правый 253
, примеры 256, 269
• существование и
единственность 240—250
— мера (левая) 251
и бэровские множества 457

652
Предметный указатель
Харра мера, единственность 250
, правая 253
— —, продолжение 277
, примеры 256, 269
Хеиа — Банаха теорема 557, 558
Характер вещественный 495
Характеристическая функция 13
Характеров группа 453
и структурное пространство
алгебры Ма 456—458
группы Т 466—467
Та 513
I 467
г(а°°) 511—512
слабого прямого произведения
464
-, топологически изоморфная
самой группе 534
Хаусдорфа — Юнга теорема 11
Центрированная система (= со
свойством конечного пересечения) 12
Циклические группы конечные 17
Циклический вектор 401
Циклическое представление 401
Чистая подгруппа (=сервантная) 565,
501
Чисто (= сервантио) независимое
множество 567
— разрывная мера 345
Шар единичный 574
Эквивалентность представлений 400
— равномерных структур 38
Эквираспределения 432, 437
Экспонента матрицы 49
Экстремальные (= крайние) множества
582
— точки 582
Эрмитов оператор 591
, спектральная теорема 621
— —, теорема о вещественности
спектра 612
— элемент 400
Эрмитова матрица 19
Ядро полугруппы 135
Ядро Сушкевича 135

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода 5
Предисловие к русскому изданию 7
Из введения авторов 8
Глава 1. Введение 11
§ 1. Обозначения и терминология 12
§ 2. Теория групп 14
§ 3. Топология 22
Глава 2. Элементы теории топологических групп 31
§ 4. Основные определения и факты 31
§ 5. Подгруппы и факторгруппы 52
§¦6. Произведения групп и проективные пределы 75
§ 7. Свойства топологических групп, относящиеся к связности 85
§ 8. Инвариантные псевдометрики и аксиомы отделимости ... 94
§ 9. Структурная теория компактных и локально компактных
абелевых групп 113
§ 10. Некоторые специальные локально компактные абелевы
группы 141
Глава 3. Интегрирование на локально компактных пространствах 154
§ 11. Продолжение линейного функционала и конструкция меры 154
§ 12. Пространства %р(Х) A<р<оо) 176
§ 13. Интегрирование на произведениях пространств 196
§ 14. Комплексные меры 217
Глава 4. Инвариантные функционалы 239
§ 15. Интеграл Хаара 239
§ 16. Дальнейшие сведения о мере Хаара 276
§ 17. Инвариантные средние, определенные для всех ограниченных
функций 295
§ 18. Инвариантные средние на почти периодических функциях 314
Глава 5. Свертки и представления групп 335
§ 19. Введение в теорию сверток .,,,,»•*.., 335

654
Оглавление
§ 20. Свертки функций и мер 361
§ 21. Введение в теорию представлений 397
§ 22. Унитарные представления локально компактных групп . . . 425
Глава 6. Характеры и теория двойственности локально компактных
абелевых групп 452
§ 23. Группа характеров локально компактной абелевой группы 452
§ 24. Теорема двойственности 478
§ 25. Специальные структурные теоремы 506
§ 26. Различные следствия теоремы двойственности 539
Приложение А: Абелевы группы 555
Приложение В: Топологические линейные пространства 571
Приложение С: Введение в теорию нормированных алгебр .... 595
Библиография 623
Указатель обозначений 638
Именной указатель 641
Предметный указатель " 644

Э. Хьюитт, /С. Росс
АБСТРАКТНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Том I
М., 1975 г., 656 стр.
Редактор И. М. Овчинникова
Технический редактор В. Д. Элькинд
Корректор Л. Н. Боровина
Сдано в набор 12/У 1975 г.
Подписано к печати 17/Х1 1975 г.
Бумага бОхЭО1/^ Физ. печ. л. 41. Условн.
печ. л. 41. Уч.-изд. л. 41,65 Тираж 9000 экз.
Цена книги 3 р. 21 к. Заказ № 3031
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии издательства
«Наука», Москва, Г-99, Шубинский пер., 10.