М. М. Постников
ТЕОРЕМА
ФЕРМА

М. М. Постников
ГЕОРЕМА ФЕРМА
Введение в теорию
алгебраических
чисел
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1 978

517.1
П63
УДК 511.52
АННОТАЦИЯ
Книга является введением в теорию алгебраиче-
алгебраических чисел. Основные понятия и идеи этой теории
изложены в ней в связи с теоремой Ферма. Чита-
Читатель должен видеть, что их появление не случайно,
а диктуется логикой решения конкретной задачи.
Одна из целей книги — убедить читателя в глубине
и сложности проблематики, связанной с теоремой
Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее
элементарного доказательства.
Изложение в книге ведется концентрически, с
тем чтобы читатель, даже с минимальной подготов-
подготовкой (например, школьник), мог усвоить основные
идеи.
Книга предназначена школьникам старших
классов (в ее первых главах), студентам, учителям
и всем любителям математики. Она может быть ин-
интересна и более квалифицированным читателям, ко-
которые хотят познакомиться с теорией алгебраических
чисел в ее классическом аспекте.
Михаил Михайлович Постников
ТЕОРЕМА ФЕРМА
0
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
М., 1978 г., 128 стр.
Редакторы В Л. Попов, В. В. Донченко
Технический редактор Е. В. Морозова Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ № 11184
Сдано в набор 27.07.77. Подписано к печати 2.01.78. Бумага 84ХЮ87з2 тип. № 3.
Физ. печ. Л. 4. Условн. печ, л. 6,72. Уч.-изд. л. 6,03, Тираж 50 000 экз.
Цена книги 20 коп. Заказ № 702.
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы
117071. Москва. В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжнсй
торговли., 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
^ 20203—018 „г „о © Главная редакция
П .л/лп: ,о 75-78 физико-математической литературы
053@2)-78 издательства «Наука», 1978

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
История теоремы Ферма . 7
Ферма и его работы по теории чисел. — Теорема Ферма. —
Премия Вольфскеля и «ферматисты».. — Замечание Грюнерта.—
Эйлер, Ламе, Куммер. — Теоремы Куммера. — Теорема Ванди-
вера. — Первый случай теоремы Ферма. — Жермен, Лежандр,
Вендт. —- Первый случай теоремы Ферма после Куммера.
§ 1. Теорема Жермен 18
Предварительные замечания. — Лемма о произведении п-х сте-
степеней. — Формулы Абеля.. — Сравнения. — Доказательство теоремы
Жермен, — Следствия.
§ 2. Теорема Ферма для показателя 4 27
Случай показателя 2. — Доказательство теоремы Ферма для
показателя 4.
§ 3. Теорема Ферма для показателя 3 31
Лемма Эйлера. —• Вывод теоремы Ферма для показателя 3
из леммы Эйлера.,
§ 4. Арифметика кольца D3 34
Эйлерово «доказательство» леммы. — Обсуждение.— Кольцо Ог
и поле /Сз. — Норма. — Единицы колец. — Простые элементы. —•
Разложение на простые множители. —• Арифметика в кольцах. —•
Кольца главных идеалов. — Евклидовы кольца. — Алгоритм деле-
деления в кольце D3* — Доказательство леммы Эйлера.
Приложение. Об арифметике многочленов . ♦ . . 49
f Неприводимые многочлены. -—* Неприводимые многочлены и мно-
многочлены меньшей степени.
§ 5. Поле Ki и кольцо Di 50
Неприводимость многочлена деления круга. — Поле К^. —
Норма. — Кольцо 1)^. —Число К и его свойства.
§ 6. Единицы кольца Di 60
Корни из единицы, содержащиеся в кольце Zfy — Веществен-
Вещественные единицы — Лемма Куммерав
1* а

§ 7. Первый случай теоремы Ферма . , 66
Вспомогательное утверждение. — Вывод первого случая тео-
теоремы Ферма из Вспомогательного утверждения. •*• Доказательство
Вспомогательного утверждения в случае, когда в кольце £>/
выполнена основная теорема арифметики.
§ 8. Теория дивизоров 73
Свободные коммутативные моноиды. — Кольца, допускающие
теорию дивизоров. — Дивизоры в кольцах с однозначным разложе-
разложением на множители. — Классы дивизоров. — Регулярные простые
числа. — Доказательство Вспомогательного утверждения для регу-
регулярных простых чисел.,
§ 9. Второй случай теоремы Ферма 79
Предварительные замечания. — Доказательство теоремы Фер-
Ферма для регулярных показателей,
§ 10. Теория идеалов 86
Примеры идеалов. — Идея Дедекинда. — Моноид идеалов. -*
Кольца, аддитивная группа которых является решеткой. — Кольца,
алгебраически вкладываемые в поле С. — Конечность числа
классов идеалов. — Целозамкнутые кольца. — Свойства идеалов. —
Идеалы как дивизоры. — Необходимость условия целозамкнутости.
Приложение. Норма идеала 103
Сравнения по модулю идеала. — Сравнение по взаимно про-
простым модулям. — Идеалы, порожденные двумя элементами. —
Норма идеала. — Индекс. — Пересечение идеалов. — Мультиплика-
Мультипликативность нормы,— Норма главного идеала. — Критерий простоты
идеала.
§11. Целые алгебраические числа .,110
Поле алгебраических чисел в кольцо целых алгебраических
чисел. — Поля конечной степени. — След. — Целозамкнутость коль-
кольца Dj. —Дивизоры в произвольных полях алгебраических чисел.
§ 12. Регулярные простые числа 119
Первообразные корни. — Первый и второй множители числа
классов. — Редукция ко второму множителю& — Числа Бернулли.—
Критерий регулярности Куммера*

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория алгебраических чисел является одним из
красивейших созданий математики XIX зека, Основ-
Основные ее идеи легли в основу современной общей алгеб-
алгебры и тем самым оказали стимулирующее влияние па
развитие всей математики. В последнее время наблю-
наблюдается и обратный процесс: конструкции и методы
современной абстрактной математики интенсивно
вторгаются в прежде запретную для них область тео-
теории чисел, быстро меняющей поэтому свое лицо. Это
новейшее развитие теории вполне удовлетворительно
отражено в литературе, в том числе и учебной: доста-
достаточно назвать две недавно переведенные у нас книги
Вейля и Ленга. Более классическое направление на-
нашло отражение в книге 3. И. Боревича и И. Р. Шафа-
ревича «Теория чисел», в 1972 г. вышедшей вторым
изданием. Однако книга Боревича и Шафаревича
представляет собой обстоятельный (можно сказать
даже — энциклопедический) учебник, предназначен-
предназначенный, в первую очередь, для студентов и аспирантов,
специализирующихся по теории алгебраических чи-
чисел. Поэтому эта книга для первоначального ознаком-
ознакомления с основными идеями и положениями теории
малопригодна. К тому же она требует от читателя до-
достаточно солидной математической подготовки.
Как ни странно, но на русском языке отсутствуют
книги, предназначенные для не очень искушенного
читателя, желающего лишь познакомиться с главней-
главнейшими идеями теории алгебраических чисел. Заполнить
в определенной мере этот пробел имеет целью пред-
предлагаемая небольшая книжка. Она посвящена не всей
теории алгебраических чисел, а только одному ее раз-
разделу— теории делимости целых алгебраических

чисел. Однако читатель, изучивший ее, сможет уже уве-
увереннее ориентироваться и в более трудных вопросах.
При последовательном чтении книги читатель бу-
будет встречаться со все более и более сложным мате-
материалом. Однако книга составлена так, что на каж-
каждом этапе сообщается некоторый в достаточной сте-
степени законченный комплекс сведений. Таким образом,
даже читатель со слабой математической подготовкой
(например, школьник) узнает достаточно много, что-
чтобы иметь стимул для дальнейшей работы.
Эта «сверхзадача» определила несколько необыч-
необычный план изложения, устремленный к тому, чтобы,
во-первых, на каждом шагу получилось нечто закон-
законченное, а, во-вторых, было ясно, что нужно делать
дальше.
Исторически теория делимости целых алгебраиче-
алгебраических чисел была создана в связи с теоремой Ферма.
Поскольку эта мотивация теории сохраняет всю свою
силу и сегодня, мы имеем уникальную возможность
объединить концептуальный подход с историческим.
Изложение начинается с теоремы Ферма, и теория по-
постепенно развертывается с единственной, формально,
целью — доказать эту теорему. Очень быстро это де-
делается для некоего класса простых показателей, а
все дальнейшее преподносится как постепенная рас-
расшифровка этого класса и представление его в удобной
алгоритмической форме. К сожалению, заключитель-
заключительные этапы этой расшифровки пришлось изложить без
доказательства в обзорном порядке.
Ввиду учебно-элементарного характера книги ли-
литературных ссылок в ней, как правило, нет. Однако
любой компетентный читатель поймет, сколь многим
автор обязан книге Боревича и Шафаревича, особен-
особенно в части, непосредственно касающейся теоремы
Ферма. Что же касается общей теории (существова-
(существование теории дивизоров и конечность групп классов),
она излагается «в классическом духе» по Дедекинду
и Гурвицу.
Автор признателен Д. К. Фадееву, с исключитель-
исключительным вниманием прочитавшему рукопись книги и сде-
сделавшему много замечаний, способствовавших улуч-
улучшению текста. В частности, по его совету был пол*
ностью переработан § 6,

История теоремы Ферма
В XVII веке жил один из величайших математи-
математиков Пьер Ферма A608—1665). Он заложил основы
аналитической геометрии (одновременно то же сделал
Декарт) и нашел общий метод разыскания максиму-
максимумов и минимумов (впоследствии развившийся в исчис-
исчисление бесконечно малых). Однако более всего изве-
известны результаты Ферма в области теории чисел.
Свои теоретико-числовые результаты Ферма не
публиковал. Они известны из его писем, а также из
бумаг, оставшихся после его смерти. Как правило, до-
доказательства Ферма до нас не дошли. Эти доказатель-
доказательства были восстановлены последующими математи-
математиками, в основном Эйлером.
Некоторые свои утверждения Ферма сопровождал
пометкой, что он не располагает удовлетворительным
их доказательством. Впоследствии выяснилось, что
часть этих утверждений была ошибочна. Например,
Ферма ошибался, утверждая, что все числа вида
22"+ 1 простые; уже при п = 5, как показал Эйлер,
получается составное число.
Однако во всех случаях, когда Ферма определенно
утверждал, что он доказал то или иное утверждение,
впоследствии удавалось это утверждение доказать.
Замечательным исключением является так назы-
называемая «Большая теорема Ферма» (она же «Великая»
или «Последняя»), утверждающая, что не существует
отличных от нуля целых чисел х, у и z, для которых
имеет место равенство

где п > 2. (Общеизвестно, что при п = 2 такие числа
существуют, например, 3, 4, 5.)
В бумагах Ферма было найдено доказательство
этой теоремы при п = 4 (любопытно, что это единст-
единственное полное доказательство теоретико-числового ре-
результата, сохранившееся от Ферма). Относительно же
общего случая любого п > 2 Ферма лишь написал
(на полях «Арифметики» Диофанта), что он нашел
«поистине замечательное доказательство» этого
факта, но «поля слишком малы, чтобы его уме-
уместить».
Несмотря на усилия многих математиков (в «Ис-
«Истории теории чисел» Диксона прореферировано более
трехсот (!) работ на эту тему), это доказательство
найдено не было, и можно сомневаться, существовало
ли оно вообще.
Более того, как мы увидим ниже, кроме показа-
показателя 4, нет ни одного показателя п, для которого тео-
теорему Ферма удалось бы доказать элементарными
средствами.
Этим объясняется, почему в настоящее время все
специалисты твердо уверены в невозможности дока-
доказать теорему Ферма элементарными методами.
В 1908 г. немецкий любитель математики Вольф-
скель завещал 100 000 марок тому, кто докажет тео-
теорему Ферма. Немедленно сотни и тысячи людей, дви-
движимых одним лишь стремлением к наживе, стали
бомбардировать научные общества и журналы свои-
своими рукописями, якобы содержащими доказательство
теоремы Ферма. Только в Гёттингенское математиче-
математическое общество за первые три года после объявления
завещания Вольфскеля пришло более тысячи (!) ре-
решений.
Рассказывают, что то ли в Гёттинген, то ли в нашу
Академию наук однажды поступила следующая теле-
телеграмма: «Решил проблему Ферма двт икс степени эн
плюс игрек степени эн не равно зет степени эн тчк
доказательство двт переносим игрек степени эн пра-
правую часть тчк подробности письмом тчк». Неизвестно,
так это или не так, но эта история хорошо отражает
как ажиотаж, возникший вокруг теоремы Ферма, так
и уровень предлагаемых «доказательств».

. В период инфляции после первой мировой войны
премия Вольфскеля обесценилась, и ныне «фермати-
сты» (так называют математики лиц, пытающихся
явно с негодными средствами атаковать теорему Фер-
Ферма) ни на какое финансовое вознаграждение рассчи-
рассчитывать не могут. Поток «ферматистских доказа-
доказательств» после этого, естественно, сильно ослаб, но,
к сожалению, не прекратился. В научные математи-
математические центры постоянно продолжает течь струйка
писем, авторы которых мечтают во что бы то ни стало
прославиться, хотя и не имеют на это никаких объек-
объективных оснований. Часто они с негодованием заяв-
заявляют, что гонятся вовсе не за личной славой, а хотят
прославить свою страну и принести пользу науке. На
самом же деле это в лучшем случае — печальное за-
заблуждение.
Значение теоремы Ферма для математики в том,
что при попытках ее доказательства были, как мы
увидим, выкованы новые мощные средства, привед-
приведшие к созданию обширного отдела математики — так
называемой «теории алгебраических чисел». Тот
факт, что до сих пор теорема Ферма не доказана, по-
видимому, означает необходимость в еще более мощ-
мощных и утонченных методах. Элементарное же дока-
доказательство теоремы Ферма (или, более общо, доказа-
доказательство, не вводящее новых идей и остающееся в
рамках уже известных методов), хотя и закроет проб-
проблему, но большого значения для математики иметь
заведомо не будет.
Следует со всей решительностью предостеречь чи-
читателя от попытки искать элементарное доказатель-
доказательство теоремы Ферма. Можно быть уверенным, что это
будет лишь ненужная потеря труда и времени. Во
всяком случае, ни издательство, ни автор этой книги
ни в какую переписку по поводу теоремы Ферма всту*
пать не будут.
Одна из целей настоящей книги — показать, с ка-
какими трудными и глубокими вопросами теории чисел
соприкасается теорема Ферма, и тем самым обескура-
обескуражить каждого, кто подумывал взяться за эту теорему
и пополнить ряды ферматистов (раз вступившие на
эту стезю уже, как правило, недоступны никаким до-
доводам).

Быть может, стоит в связи с этим заметить, что пытаться
«вслепую» искать контрпример к теореме Ферма также безна-
безнадежно. Еще в 1856 г. Грюнерт заметил, что натуральные числа
х, */, г, удовлетворяющие соотношению
хп + уп = zn
(если такие числа существуют), должны удовлетворять неравен*
ствам
х > п, y>nt z> п.
Действительно, пусть z = х + а, где а > 1. Тогда
хп + уп*=хп + пхп-1а+ ... + пхап~1 + ап
и потому уп > пхп-^а > пхп. Аналогично доказывается, что
хп > пуп~*. Следовательно,
(УПТ > ппхп<п-» > пппп~1 {уп~1)П~\
т. е. у2п~1 > п271*1 и, значит, у > п. По симметрии, х > п и по-
потому z > п. Щ ').
К настоящему времени теорема Ферма доказана для всех
показателей п < 100000 (см. ниже). Поэтому в опровергающем
ее примере мы должны были бы иметь дело с числами, превос-
превосходящими КM00000.
Как уже говорилось, элементарного доказатель-
доказательства теоремы Ферма нет ни для одного показателя
п Ф 4. Даже в случае п == 3, который был рассмот-
рассмотрен Эйлером в 1768 г., оказались необходимыми со-
соображения, использующие числа вида
0) a + bV11^
где а, Ъ — целые числа. Такого рода методы были
полностью чужды Ферма, и он их заведомо использо-
использовать не мог.
Собственно говоря, доказательство Эйлера было
дефектным, поскольку он без всякого обоснования
перенес на числа вида A) рассуждения, эксплуати-
эксплуатировавшиеся до него лишь в области целых чисел.
Например, он пользовался для чисел A) простейши-
простейшими фактами теории делимости, никак это не оправ-
оправдывая.
Первым, кто построил арифметику чисел A) и,
тем самым, подвел под рассуждения Эйлера надеж-
надежный фундамент, был, по-видимому, Гаусс.
!) Знаком ■ мы отмечаем конец доказательства.
10

Доказательство теоремы Ферма для случая п = 5
предложили в 1825 г. почти одновременно Лежен Ди-
Дирихле и Лежандр. Свое доказательство Дирихле
опубликовал в 1828 г. Оно было очень сложным.
В 1912 г. его упростил Племель.
Для следующего простого показателя п *= 7 тео-
теорема Ферма была доказана лишь в 1839 г. Ламе. До-
Доказательство Ламе было почти сразу же существенно
усовершенствовано и упрощено Лебегом.
В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти
доказательство теоремы Ферма для всех простых по-
показателей п ^ 3. Метод Ламе представлял собой
весьма далекое развитие идей Эйлера и основывался
на арифметических свойствах чисел вида
B) Oo + fliC+ ... +ап-£"\
где а0, а\9 ..., ал~2~~целые числа, а
— первообразный корень n-й степени из 1.
Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуж-
рассуждениях Ламе серьезный пробел, заключающийся в
том, что Ламе без доказательства предполагал, что
числа вида B), подобно обыкновенным целым числам,
единственным образом разлагаются в произредение
простых (далее неразложимых) чисел. Ламе был вы*
нужден признать свою ошибку.
Пока во Франции происходили эти события, а
Германии молодой математик Куммер упорно зани-
занимался теоремой Ферма. Сперва он полагал, что ему
удалось найти полное доказательство этой теоремы,
и в 1843 г. он представил Дирихле соответствующий
мемуар. Доказательство также использовало числа
вида B), и, подобно Ламе, Куммер предполагал, что
эти числа единственным образом разлагаются на про-
простые множители. Дирихле немедленно указал Кумме-
ру, что этот факт требует доказательства, и Куммер
забрал свой манускрипт обратно.
Вскоре Куммер уже знал, что теорема о единст-
единственности разложения на простые множители для
.чисел вида B) неверна и искать ее доказательство
11

бессмысленно. В этой ситуации он нашел замечатель-
замечательный выход, который прославил его и породил целый
ряд разделов современной алгебры. Этот выход со-
состоял в том, что Куммер добавил к числам B)* еще
некие новые, несуществующие числа, которые он на-
назвал «идеальными» и для которых свойство единствен-
единственности разложения на простые множители восстанав-
восстанавливается.
Например, легко можно показать (сделайте это!), что в об-
области чисел вида
C) а + Ъ V11^,
где а и Ь — целые числа, число 21 двумя различными способами
разлагается в произведение простых множителей:
21 =3-7 = A +
Хотя числа вида C) и не являются числами вида B) ни при
каком п (для чисел B) аналогичный пример возможен только
при п ^23), но идея Куммера к ним применима. Таким обра-
образом, следует добавить к числам C) некие идеальные числа Л, В,
С, D и считать, что
З^ЛЯ, 7 = CD, 1+2У^(Г=ЛС, 1 - 2 V11^ == ££>•
Ясно, что тогда единственность разложения числа 21 на простые
(уже идеальные) множители будет восстановлена.
Конечно, «идеальность» новых чисел привела к
своим трудностям, но с ними оказалось легче сла-
сладить. Уже в 1847 году Куммер опубликовал статью,
в которой он доказал теорему Ферма для всех про-
простых показателей п = /, удовлетворяющих неким
условиям (А) и (В). В это время он думал (как дока-
доказывает его письмо к Лиувиллю), что эти условия вы-
выполнены для всех простых чисел, но вскоре он при-
пришел к заключению, что, по-видимому, имеются исклю-
исключения (например, число 37). Рассуждения Куммера
были упрощены в 1894 г. Гильбертом.
Конечно, этот результат Куммера заставлял же-
желать большего, поскольку он не давал пока ни одного
конкретного простого показателя /, для которого спра-
справедлива теорема Ферма. Тем не менее, это было за-
замечательное продвижение, и в этой книге мы его под-
подробно обсудим и докажем.
Весьма искусным, тонким и очень трудным анали-
анализом арифметики чисел B) Куммер к 1851 году добил-
добился серьезных усовершенствований своих результатов
12

1847 года. Ему удалось доказать, что условие (В)
вытекает из условия (А) (это — так называемая «лем-
«лемма Куммера»; см. ниже § 6) и потому излишне. Он
существенно упростил условие (А) и придал ему лег-
легко проверяемую форму. Это условие в первоначаль-
первоначальной формулировке состояло в требовании, чтобы про-
простое число / не делило некоторого трудно определяе-
определяемого числа h. Куммер разложил число h на два мно-
множителя:
h = hxh2\
нашел явные (хотя и довольно сложные) формулы
для h\ и Л2; показал, что число h тогда и только тогда
делится на /, когда на / делится число h\ (так назы-
называемый первый множитель), и, основываясь на этом,
весьма изящными теоретико-числовыми рассуждения-
рассуждениями доказал, что условие (А) выполнено тогда и только
тогда, когда простое число / не делит числителей пер-
первых / — 3 членов ряда, состоящего из так называемых
чисел Бернулли (в их несократимом представлении).
Такие простые числа Куммер назвал регулярными.
Числа Бернулли — это рациональные числа
Si = -g-, ^^W 5з'=0, ...,
которые могут быть вполне автоматически вычислены
друг за другом по очень простым правилам (см.§ 12).
Поэтому условие Куммера проверяется для каждого /
без особого труда.
В частности, оказывается, что среди простых чисел
/"< 100 нерегулярны только числа 37, 59 и 67.
Это было замечательным завершением исследова-
исследований 1847 г., но, к сожалению, доказательства этих
результатов слишком сложны, чтобы их можно было
здесь изложить. Мы лишь постараемся в § 12 хотя бы
показать, почему в условии регулярности возникают
числа Бернулли.
Куммер всю жизнь думал, что регулярных чисел
бесконечно много, и эту уверенность разделяли с ним
многие математики. Однако до сих пор этот факт не
доказан.
Более того, в 1915 году Иенсен очень просто дока-
доказал, что напротив, имеется бесконечно много нерегу*
лярных простых чисел,
13

После 1851 г. Куммер обратился к исследованию
нерегулярных простых чисел и пытался доказать для
них теорему Ферма. В очень трудной работе 1858 года
он доказал теорему Ферма для некоторого класса не-
нерегулярных простых показателей, включающего по-
показатели 37, 59 и 67. Тем самым теорема Ферма ока-
оказалась доказанной для всех простых показателей I <
< 100. Правда, позднее (в первой четверти XX века)
Мертенс и Вандивер обнаружили в рассуждениях
Куммера неточности, но они оказались вполне испра-
исправимыми.
Специальное, более простое, доказательство тео-
теоремы Ферма для показателя / = 37 в 1893 г. дал Ми-
риманов.
Около 1850 г. Французская академия наук учре-
учредила награду в 3 тыс. франков за доказательство тео-
теоремы Ферма. Присуждение несколько раз отклады-
откладывалось, пока, наконец, в 1857 г. премия не была при-
присуждена Куммеру (который, кстати сказать, даже не
был вначале среди претендентов).
После Куммера серьезных сдвигов в доказатель-
доказательстве теоремы Ферма не произошло до 1929 года, ког-
когда Вандивер доказал, что теорема Ферма справедлива
для простого показателя I, если
1) второй множитель h^ числа h не делится на /;
2) числители I — 3 чисел Бернулли
не делятся на /3.
Проверка условия 2) для современных ЭВМ труда
не составляет. Что же касается условия 1), то до сих
пор неизвестно ни одного простого числа U для кото-
которого оно не выполнено, хотя были проверены все про-
простые числа /< 100 000. Для этих чисел условие 2)
теоремы Вандивера тоже оказалось выполненным.
Таким образом, теорема Ферма справедлива для всех
простых показателей I < 100 000.
Уже Эйлеру было известно, что при исследовании
уравнения
D) х1 + У1 = г\ I простое
14

необходимо различать случай, когда ни одно из чи-
чисел х, у, z не делится на /, от случая, когда хотя бы
одно из этих чисел делится на /.
Допуская определенную небрежность речи, приня-
принято называть утверждение, что уравнение D) не мо-
может быть удовлетворено не делящимися на I числами,
первым случаем теоремы Ферма, а утверж-
утверждение, что уравнение B) не может быть удовлетворе-
удовлетворено числами, одно из которых делится на /,— вторы м
случаем теоремы Ферма.
Оказывается, что, в отличие от общего случая тео-
теоремы Ферма, ее первый случай допускает для многих
I элементарное доказательство. Подход к этому дока-
доказательству был нащупан еще в начале XIX века из-
известной Софи Жермен A776—1831), первой женщи-
женщиной-математиком нового времени. В частности, она
доказала, что для простого числа I справедлив первый
случай теоремы Ферма, если число 2/ + 1 также явля-
является простым числом.
Однако надежды, которые возбудила Жермен, не
оправдались, и на предложенном ей пути найти пол-
полное доказательство хотя бы первого случая теоремы
Ферма не удалось.
Жермен не опубликовала своих результатов, а со-
сообщила их в письме известному французскому мате-
математику Лежандру. В 1823 г. Лежандр выпустил в свет
обширный мемуар по теореме Ферма, в котором он
изложил теоремы Жермен и вывел из них ряд след-
следствий. В частности, он показал, что первый случай
теоремы Ферма справедлив для простого показателя /,
если хотя бы одно из пяти чисел
4/+1, 8/+1, 10/+1, 14/+1, 16/+ 1
является простым числом. Тем самым первый случаи
теоремы Ферма оказался доказанным для всех про-
простых показателей <197. Для показателя 197 теорема
Лежандра ответа не дает.
После Лежандра многие математики пытались
улучшить его результаты..По-видимому, окончатель-
окончательную (далее существенно не улучшаемую элементар-
элементарными методами) теорему получил в 1893 г. немецкий
математик Вендт.
15

Для любого т ^ I Вендт ввел некое целое число
Dm и, используя общую технику Жермен, показал,
что первый случай теоремы Ферма справедлив для
простого показателя /, если существует такое m^l,
что
1) число p — 2ml-\-\ является простым числом,
не делящим числа Dm;
2) число 12тп — 1 не делится на р.
Число Dm допускает три равносильных определения: 4
а) 2>т-(-1)т'П tO+S'J-!],
где t_cosJl + /s!n21;
б) Dm является определителем матрицы
BГ)
2т
m - 1
ill)
(l:) С?)
2m
2m
2m-\
в) Z>w представляет собой так называемый результант много-
многочленов дг2т — 1 и (* + 1Jт — 1.
Отметим, что, несмотря на усилия не одного де-
десятка математиков, среди которых были чрезвычайно
остроумные и изобретательные люди, не удалось най-
найти никаких других элементарных и вместе с тем до-
достаточно общих подходов к доказательству теоремы
Ферма или хотя бы ее первого случая. (Впрочем, общ-
общность результатов Жермен до сих пор до конца не
выяснена. Например, неизвестно, существует ли бес-
бесконечное число простых показателей /, к которым они
применимы.)
Неэлементарные методы к первому случаю теоре-
теоремы Ферма привлек Куммер. В упоминавшейся выше
16

работе 1858 г. он доказал, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для простого показателя I, если на
I не делится числитель хотя бы одного из двух чисел
Бернулли Bis и Bis-
В 1905 г. Мириманов обобщил этот результат, по-
показав, что достаточно, чтобы I не делило числителя
хотя бы одного из четырех чисел Бернулли В;_3, Bz-5,
В1-7 и Bi-g. Это покрывает все / < 257.
Используя метод Мириманова, Виферих в 1909 г.
доказал, что первый случай теоремы Ферма справед-
справедлив для всех простых показателей /, для которых
2'-i — 1 не делится на I2. Этот результат произвел
сенсацию. О его силе можно судить, например, по то-
тому, что для простых чисел ^ 200 183 он не дает от-
ответа только для двух чисел 1093 и 3511.
Доказательство Вифериха было впоследствии
упрощено Миримановым и Фробениусом, которые
также показали, что в условии Вифериха основание 2
можно заменить основанием 3 (так что первый слу-
случай теоремы Ферма оказывается справедливым для
любого простого показателя /, для которого хотя бы
одно из чисел 21~1 — 1 или З^1 — 1 не делится на I2).
В 1912 г. Фуртвенглер, обратившись к очень силь-
сильным средствам (к так называемому закону взаим-
взаимности Эйзенштейна), доказал критерии Вифе-
Вифериха и Мириманова — Фробениуса буквально в не-
несколько строк. Эта работа послужила началом целой
серии исследований, авторы которых, опираясь на са-
самые новейшие достижения теории чисел (например,
так называемую теорию полей классов), смог-
смогли к 1941 году доказать, что в критерии Вифериха
основание 2 можно заменить произвольным простым
числом р ^ 43. Это позволило проверить, что первый
случай теоремы Ферма справедлив для всех показа-
показателей I < 253 747 889.
В 1934 г. Вандивер доказал, что для простого по-
показателя I справедлив первый случай теоремы Ферма,
если второй множитель h2 не делится на I. Эта тео-
теорема интересна тем, что, как уже говорилось, до сих
пор неизвестно ни одного простого показателя /, кото-
который бы этому условию не удовлетворял. Однако тот
факт, что / не делит h2, проверен пока только для
/< 100 000.
17

§ 1. Теорема Жермен
Как же можно подойти к доказательству теоремы
Ферма?
В первую очередь, здесь следует заметить, что если
тройка (x,y,z) целых чисел удовлетворяет уравнению
0) xn + yn = zn
(случай п = 2 мы пока не исключаем), то ему будет
удовлетворять и любая тройка вида (кх, hy, %z), где
К — произвольное целое число. Обратно, если тройка
(кх, Ху, Xz) является решением уравнения A), то
решением будет и тройка (л;, у, г). Поэтому, чтобы
найти все решения уравнения A) (состоящие из от-
отличных от нуля чисел), достаточно найти решения
(х, у, z), для которых числа л;, у, z взаимно просты
(не имеют общего множителя,отличного от единицы),
а чтобы доказать, что уравнение A) неразрешимо в
целых числах, достаточно привести к противоречию
предположение о существовании решения (х, у, z),
состоящего из взаимно простых чисел.
Более того, ясно, что если в каком-нибудь решении
(л;, г/, z) уравнения A) два из чисел л;, j/, z имеют
общий множитель % ф ±1, то третье число также бу-
будет делиться на К. Поэтому мы можем ограничиться
лишь решениями, состоящими из попарно взаимно
простых чисел. Такие решения мы будем называть
примитивными.
Далее, ясно, что если теорема Ферма верна для
показателя п, то она автоматически верна и для лю-
любого показателя an, кратного м, потому что, если
уравнение
хап _j_ уап _ гап
имеет целочисленное решение (я, у, z), то уравнение
A) будет иметь целочисленное решение (ха, уа, za).
Поэтому теорему Ферма достаточно доказать для
п=4 (это сделал, как было уже сказано, сам Ферма)
и для п = U где / — произвольное простое число ^3.
Фундаментальную роль во всех рассуждениях, свя«
занных с теоремой Ферма, играет следующая очевид-
очевидная лемма:
18

Лемма. Пусть a, b и с — такие натуральные (це-
(целые положительные) числа, что
1) имеет место равенство
аЪ = сп\
2) числа а и b взаимно просты.
Тогда существуют такие натуральные числа хи у,
что
Короче говоря, если произведение двух взаимно
простых натуральных чисел является п-й степенью, то
каждый из сомножителей также будет п-й степенью.
Если п нечетно, то эта лемма справедлива, очевид-
очевидно, для любых отличных от нуля целых (положитель-
(положительных или отрицательных) чисел a, b и с.
Приведем для полноты доказательство леммы. Пусть
я *= р\1 ... p]s, Ь = qli ... qlt
— разложения чисел а и Ь в произведение простых чисел. Здесь
A?i ^ 1, ..., k6 ^ 1 и ри ..., р$ — различные простые числа.
Аналогично, U ^ 1, ..., U ^ 1 и qu ..., qt — различные про-
простые числа. При этом, так как числа а и Ъу по условию, взаимно
просты, то ни одно из чисел ри ..., р8 не равно ни одному из
чисел <7i, . • •, Qt. Следовательно, формула
B) cn = pkii ...Pkssq[i ...qh
дает разложение чисел сп = аЬ в произведение степеней различ-
различных простых чисел. Но известно (это так называемая основ-
основная теорема арифметики), что разложение натураль-
натурального числа в произведение степеней различных простых чисел
единственно (с точностью до порядка множителей). Поэтому
разложение B) должно совпадать с разложением, которое полу-
получается, когда мы возьмем разложение числа с и возведем его
в п-ю степень. Это доказывает, что все показатели ku ..., ks,
lu • • -, Ц делятся на п. Поэтому и а, и Ь является п-й сте*
пенью.
Мы привели это доказательство (безусловно, известное чита-
читателю) в основном для того, чтобы подчеркнуть роль, которую
играет в нем основная теорема арифметики.
Для любого примитивного решения (лг, у, г) урав-
уравнения
C) xl + yl = zl, I простое
19

число zl будет произведением целых чисел
х + у
где
k\ (I - i
— так называемые биномиальные коэффици-
коэффициенты (часто обозначаемые также символом С)).
Из равенства D) следует, что любой общий про-
простой делитель р чисел а и Ь делит число
и потому, если р ф /, то и число у. Но если р делит а
и г/, то р делит а: = a — у, что невозможно, ибо, по
условию, числа х и у взаимно просты. Если теперь z
не делится на /, то / не делит zl = ab, а значит, ни а,
ни Ь. Таким образом, в этом случае числа а и Ъ вза-
взаимно просты и потому, согласно лемме (в которой
положено с = z и п = /), существуют такие целые чис-
числа и и v, что
Заметив теперь, что уравнение C) может быть
переписано в виде
и, следовательно, что числа я, у, —^ играют в нем
вполне симметричные роли, мы получим, что анало-
аналогичные формулы должны иметь место для тройки
(у, —2, х) и для тройки (—z, х, у). Этим доказано,
что для любых взаимно простых и не делящихся на I
целых чисел ху у, г, удовлетворяющих уравнению
х1 -\- У1 — z\ I — нечетное простое число,
20

существуют такие пары целых чисел (ut v), (uu v{)
и (u2t v2), состоящие из взаимно простых чисел, что
E)
I ___ I
z — x
Эти формулы известны как формулы Абеля,
хотя их знала еще Жермен, а опубликованы они
впервые были Лежандром.
Аналогичные (но более сложные) формулы могут
быть выведены и в случае, когда одно из чисел х, у,
z делится на I. Однако за полтораста лет интенсив-
интенсивных исследований эти формулы никакой реальной
пользы не принесли, и поэтому мы их выписывать
здесь не будем.
Исследование теоретико-числовых проблем, связанных с де-
делимостью чисел, существенно облегчается удобными обозначе-
обозначениями, предложенными Гауссом.
Пусть п — произвольное натуральное число. Согласно Гауссу,
целые числа а и Ь называются сравнимыми по модулю п% если
их разность а — Ъ делится на п. В этом случае пишут
а==& mod п.
Ясно, что отношение сравнимости является отношением экви-
эквивалентности, и потому множество Z всех целых чисел распа-
распадается на классы сравнимых между собой чисел. Множество
всех этих классов мы будем обозначать символом Z/n.
Сравнения, подобно равенствам, можно складывать и умно-
умножать. Их можно также сокращать на общий множитель, если
только этот множитель взаимно прост с п. На языке современ-
современной алгебры это означает, что множество Z/n всех классов
сравнимых чисел является кольцом (ассоциативным, коммутатив-
коммутативным и обладающим единицей), причем классы, состоящие из чи-
чисел, взаимно простых с п, не являются в этом кольце делителями
нуля.
Более того, легко видеть, что эти классы в кольце Z/n даже
обратимы, т. е. для любого числа а, взаимно простого с п, суще-
существует такое число b («обратное по модулю п для а»), что ,
(б) ab нз I mod п.
Действительно, так как числа awn взаимно просты, то по из-
известной теореме элементарной теории чисел (которую, кстати
сказать, мы докажем в § 4), существуют такие целые числа х
и у, что _
пх + ау=* 1.
31

Но ясно, что это равенство в точности равносильно сравнению
F) с Ь = у.
В частности, мы видим, что если п = /, где / — простое чис-
число, то все отличные от нуля элементы кольца Z// обратимы, т. е.
это кольцо является полем.
Иными словами, множество Z*/l всех отличных от нуля
элементов кольца Z/1 является группой по умножению.
С другой стороны, ясно, что любое число сравнимо по мо-
модулю / с одним и только одним из чисел
G) 0, 1,2, ..., /-1,
откуда следует, что поле Z/t содержит / элементов, а группа
Z*/l содержит / — 1 элементов, т. е. порядок этой группы равен
/ — 1.
Но из элементарной теории групп известно, что, возведя
любой элемент конечной группы в степень, равную порядку
группы, мы получим единицу группы. Применительно к группе
Z*/l это означает, что
(8) a1 s=I mod/
для любого целого числа о, не делящегося на /. Это утвержде-
утверждение называется малой теоремой Ферма.
Умножив сравнение (8) на о, мы получим сравнение
(9) а1 =з a mod /.
Ясно, что это сравнение выполнено и при а гз О mod /. Таким
образом, сравнение (9) имеет место для любых целых чисел а.
Это — малая теорема Ферма в формулировке Эй-
Эйлера.
На более алгебраическом языке сравнение (9) означает, что
каждый элемент поля Z/1 является корнем многочлена х1 — х.
Доказать сравнение (9)' можно, и не обращаясь к теории
групп, например, следующим образом.
Из того, что простое число / делит Л и при 0 < k < / не
делит k\(l — k)\, следует, что все биномиальные коэффициенты
- k\ {I - k)\ '
делятся на /. Поэтому
(*j + x2I s= x\ + x\ mod /
для любых (целых) Xi и х*
Очевидной индукцией отсюда вытекает аналогичная формула
для любого числа слагаемых:
A0) (*! + *2+ •••+ *я)' — *1+ *2+ ••• +^^mod/.
Положив в этой Формуле Х\ — .,, == хп == 1, мы и полу-.
чим (9) (при а = л), §1
22

Теперь мы можем непосредственно приступить к
изложению исследований Жермен.
Пусть (л:, у, г)—примитивное решение уравнения
C), состоящее из чисел, не делящихся на /. Рассмот-
Рассмотрим произвольное простое число р, сравнимое с еди-
единицей по модулю /, т. е. имеющее вид
где т — некоторое целое число. Предположим, что
ни одно из чисел х, у, z не делится на р. Поскольку
х ф О mod р, существует такое целое число х\ что
хх' ss I mod р.
Умножив на (х'I равенство C) и перейдя к сравне-
сравнениям, мы получим, что 1 + {ух'I = (zA:')zmodp, т. е.
что
1 -j-a'^'
где а = ух', Ъ = zxr не делятся на р.
Целое число | мы будем называть 1-й степенью по
модулю pt если существует такое число а Ф 0 mod p,
что
Кроме того, две 1-е степени £ и ц мы будем называть
соседними по модулю р, если
I — Ti ss ± I mod p.
В этой терминологии доказанное выше сравнение
означает, что, если ни одно из чисел х, у. z не делит-
делится на р, то существуют соседние 1-е степени по мо-
модулю р.
Предположим теперь, что одно (и, в силу прими-
примитивности, только одно) из чисел х, j/, z делится на р.
Для определенности будем считать, что на р делится
число z. Тогда одно (и только одно) из фигурирую-
фигурирующих в формуле Абеля z = uv (см. E)) взаимно про-
простых чисел и и v будет делиться на р.
Пусть на р делится v. Тогда и на р не делится, и
потому существует такое число и\ что
ш' = 1 mod p.
23

С другой стороны, из формул Абеля E) следует, что
2z = ul + u\ + ul2.
Поэтому
и1 + и[ = (— и2у mod p
и, значит,
1 + (щи'I = (— и2и'I mod p.
Таким образом, если r/^Omodp, то также суще-
существуют соседние 1-е степени по модулю р.
Пусть, наконец, на р делится и. Тогда в соотноше-
соотношении D) (где, напомним, Ъ — v\ а = и1) все слагаемые
правой части, кроме последнего ( » i ) у1 = lyl~~]»
будут делиться на р, и, следовательно, будет иметь
место сравнение
vl 5S lyl~l mod p.
Но по тем же формулам Абеля
у = г-и\,
т. е.
£/г==(— щI mod p.
Следовательно,
и потому
Z = (tw[y mod/?,
где и[ — такое число, что
u\"lu\^ I modp
(ясно, что мь а значит, и Ц"" не делится на р). "*
Этим доказано, что при uz==0modp число I яв~
яяется 1-й степенью по модулю р.
Тем самым доказана следующая теорема:
Теорема Софи Жермен. Пусть для простого
числа / ^ 3 существует такое целое число ш, что
1) число р = 2ml -\- 1 является простым числом;
2) среди 1-х степеней по модулю р нет соседних;
3) число I не является 1-й степенью по модулю р.
Тогда для показателя I справедлив первый случай
теоремы Ферма.
24

Для проверки в конкретных ситуациях условий 2)
к 3) этой теоремы полезно иметь в виду, что любая
1-я степень \ по модулю р = 2ml -f- 1 удовлетворяет
сравнению
A1) l2mz==lmodp.
Действительно, если g==azmodp, где а ФОтойр,
то по малой теореме Ферма
£2т £-5 a2mt = ap-l es
Задача. Докажите, что и обратно, любое решение £ срав-
сравнения A1) является 1-й степенью по модулю р.
Легко видеть, что для любого простого числа р
существует только два не сравнимых числа |, удов-
удовлетворяющих сравнению
I2 == 1 mod p,
а именно, числа 1 и —1 = р — 1 mod p.
Тот факт, что числа 1 и р — 1 удовлетворяют этому сравне-
сравнению, очевиден, а то, что других корней это сравнение не имеет,
проще всего доказывается ссылкой на теорему алгебры о том,
что в произвольном поле многочлен степени п не может иметь
более п корней. (Можно также воспользоваться тем, что число
£2__ 1 = (£__ 1)(| + 1) тогда и только тогда делится на простое
число ру когда | — 1 или I + 1 делятся на р.)
Так как числа 1 и р—1 не являются, очевидно,
соседними /-ми степенями по модулю р = 2/+1,
этим доказано, что при т = 1 условие 2) теоремы
Жермен автоматически выполнено.
Поскольку число I2— 1 = (/+ 1) (/— 1) не может
делиться на простое число 2/+1 > / + 1, то при т=1
условие 3) также выполнено.
Таким образом, если показатель I (являющийся
простым нечетным числом) обладает тем свойством,
что число 21 + 1 также является простым числом, то
для I справедлив первый случай теоремы Ферма,
Как уже было сказано на стр. 15, это следствие
выведено самой Жермен. Многие авторы именно его
называют теоремой Жермен.
Аналогичным образом из общей теоремы Жермен
может быть выведена сформулированная на стр. 15
теорема Лежандра.
Мы сделаем это только для m = 2, поскольку с увеличением
m рассуждения стремительно усложняются.
25

Пусть при т = 2 условие 1) теоремы Жермен выполнено,
т. е. число р = 4/ + t является простым числом.
Проверим, что условие 2) этой теоремы также будет выпол-
выполнено. Согласно сделанному выше замечанию, для этого доста-
достаточно доказать, что среди корней сравнения
A2) g4s==
нет соседних.
Так как g4 — 1 = (g2 + 1) (£2 — 0» то корнями сравнения A2)
будут корни сравнения
|2 == 1 mod р
и сравнения
g2 2= — 1 mod p.
Первое сравнение имеет, как мы знаем, корни 1 и —l=s=p — 1.
Что же касается второго сравнения, то a priori возможны два
случая: либо оно не имеет корней, либо обладает точно двумя
корнями go и —go = р —- go-
В первом случае сравнение A2) имеет корни 1 и р—1, за-
заведомо не соседние. Таким образом, условие 2) теоремы Жермен
в этом случае выполнено.
Во втором случае (кстати сказать, как можно без труда по-
показать, единственно на самом деле реализующемся) сравнение
A2) имеет четыре корня
1 p-I, g0* P-Io.
Соседними два из этих корней могут быть только при go = ±2
или при go = ±(р— 1)/2 = ±21. Если go = ±2, то 22 + 1 = 5
делится на р = 4/+1. что при / > 1 невозможно. Аналогично,
если go == ±2/, то B/J +1 = D/ + 1)/— (/— 1) делится на
р —4/+1, т.е. /—1 делится на 4/+1, что при / > 1 также
невозможно. Следовательно, условие 2) теоремы Жермен выпол-
выполнено и в этом случае.
Обратимся теперь к условию 3). Если оно не выполнено, то
I4 == 1 mod р. Но поскольку при р = 4/ + 1 имеет место сравне-
сравнение 4/ = —1 mod р, а потому и сравнение D/L еэ 1 mod p, от-
отсюда следует, что
44 s== I mod p,
т.е. что 44 — 1 =±255 =3-5-17 делится на р. Так как мы уже
знаем, что р Ф- 5, это возможно только при р = 17. Но уравне-
уравнение 17 —4/+1 имеет непростое решение / = 4, и потому этот
случай также невозможен. Следовательно, условие 3) должно
быть выполнено. И '
Теорема Вендта (см. стр. 16) также сводится к
теореме Жермен. Следует лишь доказать, что если
простое число р = 2ml + 1 не делит число Вендта Dm,
то условие 2) теоремы Жермен выполнено.
Это доказательство мы оставляем читателю в ка-
качестве несложного упражнения.
26

§ 2. Теорема Ферма для показателя 4
Случай п = 4 — это единственный случай теоремы
Ферма, допускающий вполне элементарное доказа-
доказательство. Как мы уже говорили, это доказательство
было придумано еще самим Ферма. Оно использует
формулы общего решения уравнения
A) x2 + y2 = z2,
которые были известны еще индусам. Мы начнем с
того, что докажем эти формулы.
Как мы знаем, достаточно искать примитивные
решения уравнения A). Ясно, что если (ху у, г) —ре-
—решение, то (у, х, z) также будет решением. С другой
стороны, для любого решения (х, у, г) хотя бы одно
из чисел х или у четно. Действительно, если х и у не-
нечетны, то х2 + у2 имеет вид 4k -f- 2 и потому не может
быть равно квадрату г2 никакого целого числа (ибо
каждый квадрат г2 имеет либо вид 4k либо вид 4k -\-[
[-(-1). Кроме того, очевидно, что вместе с решением
(х, у, г) и (±х, ±у, ±z) также будет решением.
Из этих замечаний непосредственно следует, что
нам достаточно найти лишь состоящие из положи-
положительных чисел примитивные решения (#, у, z) урав-
уравнения A), для которых число х четно.
Лемма. Для любых взаимно простых положи-
положительных целых чисел m и n<Z m разной четности фор*
мулы
х = 2пгп,
B) у = т2-п2,
доставляют состоящее из положительных целых чи-
чисел примитивное решение уравнения A) с четным хт
Обратно, любое состоящее из положительных чисел
примитивное решение (ху у, г) уравнения A), для
которого х четно, выражается формулами B), где m
и п <l m — взаимно простые числа разной четности.
Доказательство. Тождество
BшпJ + (т2 - п2J = (tri2 + п2J
показывает, что числа B) (очевидно, положительные)'
составляют решение, для которого х четно. Если эти
27

числа имеют общий множитель К ^ 2, то К будет де-
делить и числа
2т2 = (т2 + п2) + (т2 - п\
Значит, % = 2, ибо, по условию, тип взаимно про-
просты. Но если К = 2, то число у = т2 — п2 четно, и,
следовательно, числа т2 и п2 одновременно либо чет-
четны, либо нечетны, что невозможно, ибо по условию
числа тип имеют разную четность. Это доказывает,
что решение B) примитивно.
Обратно, путь (л:, j/, г)—произвольное состоящее
из положительных чисел примитивное решение с чет-
четным х = 2а. Так как числа у и z нечетны, то числа
г-{- у и z — у четны. Пусть
z + у = 26, z — y = 2cy
где числа бис, очевидно, положительны.
Каждый общий делитель К чисел Ь и с делит 2=
= Н^и j/=5 — с. Поэтому X = ±1, так что числа
b и с взаимно просты. С другой стороны,
4a2 = x2 = 22-f/2 = 4&c,
т. е.
а2 = be.
Следовательно, согласно лемме из § 1 (примененной
к случаю я = 2), существуют такие (очевидно, взаим-
взаимно простые и разной четности) положительные числа
тип, что
Ь — т2, с = п2.
Тогда а2 — т2п2, т. е. а = шп и
х = 2а = 2mnt y = b — c = m2 — n2f
z — b-\-c — m2 + n2.
Для завершения доказательства остается заметить,
что п < т. Ц
Теперь мы можем перейти к доказательству тео-
теоремы Ферма при п = 4. Мы докажем даже более
общее утверждение:
Предложение 1. Уравнение
C) JC4 + ^«=2?
не (шеег решений в целых отличных от нуля числах.
28

Доказательство. Предположим, что решение
уравнения C) в целых отличных от нуля числах су-
существует. Ясно, что, не теряя общности, мы можем
считать, что оно состоит из попарно взаимно простых
положительных чисел. Так как в любом множестве
натуральных чисел существует наименьшее число, то
среди всех таких решений существует решение (а:, у,
г) с наименьшим г. Рассмотрим это решение более
внимательно.
Так же, как для решений уравнения A), немед-
немедленно доказывается, что одно из чисел х и у должно
быть четным. Мы будем предполагать, что четно чис-
число х. Ясно, что это предположение общности не огра-
ограничивает.
Так как
(*2J+ (/)* = г2
и так как числа х2, у2, z положительны и взаимно
просты, а число х2 четно, то, согласно лемме, суще-
существуют такие взаимно простые числа т и п <С т раз-
разной четности, что
х2 — 2тп,
у2 = т2 — п\
z~trp + /г2.
Если m — 2k и я = 2/+1» то
что невозможно, ибо, как выше мы уже отмечали,
любой нечетный квадрат должен иметь вид 4/г+1.
Следовательно, число т нечетно, а число п четно.
Пусть п = 2q. Тогда х2 = Amq и потому
™? = (irJ'
Поскольку числа т и q взаимно просты, отсюда выте-
вытекает, что
m = z2 a = i2
где Z] и t — некоторые целые (очевидно, взаимно про-
простые) положительные числа.
29

В частности, мы видим, что
т. е. что
Так как числа t и хх взаимно просты, к этому равен-
равенству снова применима доказанная выше лемма. Сле-
Следовательно, существуют такие положительные взаим-
но простые числа а и Ь < а различной четности, что
, т. е. t2 = ab,
y2 = a2_b2f j
z\ = а2 + b2. l
Так как а и b взаимно просты, из первого равен-
равенства вытекает (по лемме из § 1), что существуют
целые числа %\ и iju для которых
а = х% Ъ = у\.
Поэтому третье равенство может быть переписано \
следующим образом: '
Это означает, что числа х\, Уи %\ составляют (очевид-
(очевидно, примитивное) решение уравнения C), состоящее
из положительных чисел. Поэтому в силу выбора ре-
решения (л:, г/, г) должно иметь место неравенство
а потому и неравенство
т. е. абсурдное неравенство
^2 + п2.
Таким образом, предположение о существовании
у уравнения C) целочисленных решений приводит к
противоречию. Следовательно, это уравнение не имеет
решений в целых отличных от нуля числах. ■
30

§ 3. Теорема Ферма для показателя 3
Как уже говорилось, теорема Ферма при 1 = 3
впервые была доказана Эйлером в 1768 году. Мы вос-
воспроизведем сейчас это доказательство Эйлера.
Эйлер основывается на следующей лемме.
Лемма. Если взаимно простые целые числа а и
Ъ обладают тем свойством, что число а2 + ЗЬ2 являет-
является кубом целого числа, то существуют такие целые
числа sat, что
а = s (s2 - ЪР\ 6 = 3/ (s2 -12).
Покажем сначала, как из этой леммы вытекает
теорема Ферма.
Предположим, что при 1 = 3 теорема Ферма не-
неверна, т. е. что существуют такие целые отличные от
нуля числа х, у и 2, что
A) x3 + ys = z\
Как мы знаем, числа х, у и z мы можем считать
попарно взаимно простыми. Поэтому, в частности,
только одно из них может быть четным. С другой сто-
стороны, ясно, что все три числа нечетными быть не мо-
могут (сумма или разность двух нечетных чисел четна).
Следовательно, одно и только одно из чисел х, у, z
четно.
Без ограничения общности мы можем считать,
что четно число х. Действительно, если четно у, то
достаточно переименовать а: и у, а если четно 2, то
достаточно переименовать х u z я изменить знаки
(ибо (—z)* + y*= (—a:K).
Среди всех троек (х, у, z) целых чисел, удов-
удовлетворяющих уравнению A) и таких, что х четно, мы
выберем тройку, для которой \х\ имеет наименьшее
возможное значение. Такая «минимальная» тройка
существует, ибо в любом непустом множестве целых
положительных чисел существует наименьшее число.
Так как у и z нечетны, то числа
целые. Так как
B) z = p + ?, y = p — q,
81

то одно из чисел р и q четно, а другое нечетно. Кроме
того, эти числа, очевидно, взаимно просты.
Согласно A) и B)
Полагая здесь х = 2и, мы получим, что
C) ^=4(<
Так как р и q — числа разной четкости, то число
q2 + Зр2 нечетно. Поэтому из C) следует, что q де-
делится на 4 (и, значит, q четно, а р нечетно).
Согласно доказанной в § 1 лемме, произведение
двух взаимно простых чисел тогда и только тогда
является кубом, когда каждое из них является кубом.
С другой стороны, числа д/4 и q2 + Зр2 тогда и только
тогда взаимно просты, когда взаимно просты числа
q и Зр2 = (#2 + Зр2)—<72, что имеет место (в силу
взаимной простоты чисел р и q) тогда и только тогда,
когда q не делится на 3. Поэтому, если мы предполо-
предположим, что q не делится на 3, то из C) будет следовать,
что числа «7/4 и?2 + Зр2 являются кубами.
Но, согласно лемме, если q2-\-3p2— куб, то
q = s (S2 _ g/2), р = 3/ (s2 - t\
где s и t — некоторые целые числа. Так как р нечетно,
то из равенства p = 3f(s2— t2) следует, что t нечет^
но, a s четно. Кроме того, так как р и q взаимно про-
просты, то t и s также взаимно просты.
Так как число q/4 — куб, то число 2^ = 8-(//4—*
также куб. Это доказывает, что число
2s (s2 - 9/2) = 2s (s - 30 (s + 30
тоже является кубом.
Числа 2s, s — 3t и s*+3£ взаимно просты. Дей-
Действительно, если 2s и s ± 3£ имеют общий простой
множитель X, то %Ф*2, ибо число s ± 3/ нечетно.
Следовательно, X делит s и ±3* = (s± 3£) — s. Но,
так как t n s взаимно просты, это возможно только
при К = 3. Аналогично, если числа s + 3f и s — 3£
имеют общий простой множитель К то, во-первых,
X ф 2, ибо оба эти числа нечетны, а, во-зторых, числа
32

2s=(s + 3/)-f-(s — 3/) и 6t = (s'-f3t)—'(s — 3t) де-
делятся на Я, что опять возможно только при I = 3.
Таким образом, в обоих случаях число s, а, значит, и
число q делится, вопреки предположению, на К — 3.
Так как произведение взаимно простых чисел 25,
s — 3/ и s + 3/ является кубом, то, следовательно, ку-
кубом будет и каждое из них. Это означает, что суще-
существуют такие целые числа хи У\ и zu что
и, следовательно,
*? + */? = 4
Таким образом, исходя из тройки (х, у, г), мы по-
получили новую тройку (хи Уи 2i), также удовлетво-
удовлетворяющую уравнению A) и обладающую тем свойст-
свойством, что ее первое число Xi четно.
Так как г* = 2q(q2 + З/r), то ltfK-Ц^-, атак
как q = s(s2 — 9/2), то |sK|</|. Следовательно,
и потому |#i|<|#|, что противоречит свойству мини-
минимальности тройки (л:, у, z). Полученное противоречие
доказывает, что число q должно делиться на 3, т. е.
должно иметь место равенство
где г — некоторое целое число (делящееся на 4). Тог-
Тогда (см. C))
D) и* = | г (9г2 + 3/72) = | г (Зг2 + А
Если целые числа -^-г и Зг2 + р2 имеют общий
простой множитель Я, то %Ф 3, так как в про-
противном случае число р делится на 3 и, значит, не
взаимно просто с q. Но если К Ф, 3, то Л делит г
2 М, М. Постников 33

и р2 = Cr2 -^ P21) — 3r2, а значит, 9 и р, что невозмож-
невозможно. Следовательно, числа -j-r и Зг2 + Р2 взаимно
просты.
Поэтому из D) следует, что оба эти числа являют-
являются кубами и потому, согласно лемме (примененной к
числу р2 + 3г2), имеют место равенства
E) р = s (s2 — 9/2), г = 3/ (s2 —1%
где s и t — некоторые (очевидно, взаимно простые)
целые числа. При этом ясно, что число t четно (ибо г
четно), а число s, следовательно, нечетно.
Кроме того, мы видим, что (целое) число
является кубом.
Так как числа s и t взаимно просты и имеют раз-
разную четность, то числа 2/, s +J и s — / попарно
взаимно просты. Поэтому каждое из них является ку-
кубом, так что существуют такие целые числа Х\, У\ и
zu что
Но тогда
т. е. UiKUI.
Таким образом, и в этом случае мы приходим в
противоречие с минимальностью тройки (#, у, z). Ш
§ 4. Арифметика кольца 1>з
Итак, для завершения доказательства теоремы
Ферма при/ = 3 нам осталось лишь доказать сфор-
сформулированную выше лемму,
34

Эйлер доказывает эту лемму, замечая, что г)
а2 + Ш = (а + Ъ У=3") (а - Ъ У=3").
Потом он пишет, что, поскольку левая часть является
по условию кубом, то и оба множителя правой части
должны быть кубами. В частности,
а + Ъ У ^3~ = (s + t У ^ЗГK»
где 5 и t — некоторые целые числа. Возводя в куб, мы
получаем, что
а + Ъ У^3" = s3 — 9st2 + Cs2/ — З/3) У^З"
и, следовательно, что
а = s3 — 9s/2 = s (s2 — 9/2),
Нельзя не отдать должное остроумию и смелости
Эйлера, бесстрашно перешедшего от целых чисел к
числам вида а + Ъ У—3 . Но, конечно, чтобы сделать
его доказательство безупречным, надо предваритель-
предварительно построить арифметику таких чисел. В частности,
поскольку утверждение о произведениях, являющихся
кубами, существенно зависит, как мы знаем, от основ-
основной теоремы арифметики, нужно для чисел вида
a-\-h^j—3 доказать аналог этой теоремы (мы не
говорим уже о том, что требует доказательства «вза-
«взаимная простота» чисел а + Ь У—3 и а — Ъ У—3 ).
Однако оказывается, что для чисел видаа + Ьл/—3
основная теорема арифметики неверна: единственно-
единственности разложения на «простые» (далее неразложимые)
множители нет. Например,
4 = 2 • 2 = A + Уz=3") A — У :=F)
и, вместе с тем, числа 2 и 1 ± У—3 неразложимы.
Доказательство. Имеем
(а + Ь Л^З") (с + d Л^З ) = ас - 3bd + (ad + be) л/^Ъ.
*) Здесь и далее под V—3 понимается корень уравнения
з = 0, лежащий в верхней полуплоскости.
2* 36

Поэтому, если
2 = (а + Ь л/=з)(c + d У^
то
( ас — ЗЫ = 2
t
Можно непосредственно доказать, что эти уравнения не
имеют решений в целых числах, но лучше поступить по-другому,
заметив, что они не меняются при одновременном изменении зна-
знака у 6 и d. Поэтому
2 = (а - Ь V11^) {с - d У""^)
и значит,
2 • 2 = (а + Ь У ^З") (а - Ъ Y11!) -{c + d У=з) {с - d V11^),
т. е.
A) 4 = (а2 + ЗЬ2) (с2 + 3d2).
Аналогично, если
1 + V=3 = (а + Ь Y11^) (c + d У=^3),
то
1 _ У-з = (а - Ь У-3 ) (с - d У-3),
и потому мы снова получаем уравнение A).
Поскольку в этом уравнении участвуют только натуральные
числа, то либо один из множителей правой части равен 4, а Дру-
Другой 1, т. е., скажем,
а2 + ЗЪ2 = 4,
с2 + 3d2 = 1,
либо оба они равны 2, т. е.
а2 + ЗЪ2 = 2,
с2 + 3d2 = 2
Но ясно, что уравнение вида а2 + ЗЬ2 = 2 не имеет решения в
целых числах. Поэтому второй случай невозможен. Что же ка-
касается первого, то уравнение
а2 + ЗЬ2 = 4
удовлетворяется только при а = гЬ1, Ь==±1 и а = ± 2, £> = О,
а уравнение
с2 + 3J2 = 1
— только при с = ±1, d = 0.
Это доказывает неразложимость как числа 2, так и чисел
1 ± V-3 . В
Тем не менее, рассуждение Эйлера можно сласти,
если чуть глубже вникнуть в предмет,
36

Поставим вопрос, закономерно ли у Эйлера поя-
появились числа вида а + Ь ^/—3 , или это было случай-
случайным эффектом, обязанным изобретательности Эйлера?
Если вообще прибегать к каким-нибудь нецелым
числам, то в первую очередь следует, конечно, при-
привлечь числа, участвующие в разложении левой части
уравнения Ферма на линейные множители. Такое раз-
разложение имеет вид
где £ и £—комплексные числа, являющиеся вместе с
1 корнями уравнения
B) ж3=1.
Это соображение подсказывает, что естественной об-
областью, в которой следует рассматривать уравнение
Ферма при / = 3, являются числа вида
C) а + ЬЬ + сЪ
где а, 6 и с — целые числа.
Но легко видеть, что вместе с числом £ корнем
уравнения B) будет и число £2, ибо
(£2K = (£3J=12=1.
Поэтому £2 = £, и, значит, число C) мы можем за-
записывать в виде
C0 а + 6£ + с£2.
Более того, число £ (вместе с числом £ = £2) яв-
является корнем уравнения
откуда следует, что
D) £2 = -1-£.
Поэтому любое число вида C') имеет вид
E) А + ££,
где А = а — с, В — Ь — с.
Итак, мы видим, что нам следует ввести в рас-
рассмотрение множество всех чисел вида E), где А и
37

В— произвольные целые числа. Это множество мы
будем обозначать символом D3.
Ясно, что сумма и разность чисел из Dq является
числом из />з. Более того, произведение любых двух
чисел из Въ также будет числом из D3> поскольку
появляющийся после перемножения член с £2 мы мо«
жем преобразовать с помощью соотношения D). (Та*
ким образом, (А + BZ>) (A{ rh.BiS) = (ААХ — ВВх)-\~
(AB BABB)£)
( ))
На языке современной алгебры все это означает,
что D3 является кольцом (числовым).
Для удобства вычислений целесообразно рассмат-
рассматривать также числа вида E) с произвольными рацио-
рациональными А и В. Множество таких чисел мы обозна-
обозначим через Къ-
Ясно, что сумма, разность и произведение чисел из
Къ также будет числом из /Сз. Однако теперь и част-
частное любых двух чисел из Къ будет числом из /С3.
Действительно, любое число вида . , Л , где, конеч^
но, А + В£ Ф 0, мы можем преобразовать следующим
образом (в элементарной алгебре это называется
«освобождением знаменателя от иррациональности»):
Dj = (С + DQ (Л + В1) = (C + DZ)(A + B?) =
А + Ы (А + BQ (А + Bl) Л2 + АВ (£ + £) +
__ С А + DAt + CBt? + РВУ _
~ А2 - АВ + В2 ~
_ CA + DB — CB DA — CB
Все это означает, что /Сз является полем. Оно на-
называется 2>-круговым полем (это название возникло
из-за тесной связи корней уравнения B) с задачей
деления круга на 3 части). Числа из Dz называются,
естественно, целыми числами поля /С3; соответственно
этому, ZK называется кольцом целых чисел поля Кз-
Оно содержит все обычные целые числа (они полу-
получаются при В = 0).
Заметим, что запись числа из D3 (или из Кг) в
форме E) единственна. Действительно, если
38

и ВФ Ви то
ь— в- в, *
что невозможно, ибо £ не является вещественным и,
тем более, рациональным числом. Следовательно, В —
= Вг и потому А = А\. Щ
Выше при вычислении частного в Кг мы фактиче-
фактически ввели для любого числа
число
Это неотрицательное рациональное число (целое,
когда а£/K) называется нормой числа а. Оно рав-
равно нулю только при а — 0.
Замечательное свойство нормы состоит в том, что
норма произведения равна произведению норм:
F) N(ap) = Na'Np, а, ре/Сз-
Действительно,
В раскрытом виде соотношение F) имеет вид
(ААХ - BBiJ - (АД, - ВВх) (АВх + ВАХ - ВВХ) +
+ (ЛЯ, + ВА{ - BSjJ = (Л2 - АВ + В2) [А] - А{В{ + В*)
Оно является простейшим примером алгебраических тождеств,
возникающих из соотношений вида F) для других полей алге-
алгебраических чисел.
Числа из /Сз (и /K) можно записать в более явной
форме, заметив, что квадратное уравнение
имеет корни
Любой из этих корней можно принять за £. Для опре-
определенности мы положим
39

Тогда
Таким образом, получается, что числа из Кг имеют
вид а-\- b^J—З , где а и Ь — рациональные числа, а
числа из D3 (целые числа из Кз) — вид
G)
L
где р и q— целые числа одинаковой четности.
В частности, при р и q четных мы получаем числа
Эйлера
а + Ъ л]^Ъ.
Таким образом, ограничение только такими числа-
числами с общей точки зрения ничем не оправдано, и по-
поэтому можно надеяться, что при переходе к более
естественно возникающим числам G) все наши труд-
трудности исчезнут. Оказывается, что это и на самом де-
деле так.
Чтобы избежать кустарности в исследовании этой
проблематики, целесообразно ввести простейшие
основные понятия арифметики в кольцах. Хотя сейчас
нам нужно только кольцо D3, а в дальнейшем понадо-
понадобятся лишь его непосредственные обобщения D/, Z^3,
мы дадим определения этих понятий в их естествен-
естественной общности. Читатель, безразличный к эстетическим
сторонам теории и не желающий вникать в абстракт-
абстрактные определения, может пока игнорировать несколько
следующих строк и во всем дальнейшем понимать
под D кольцо D3.
Мы будем считать известным понятие кольца (ком-
(коммутативного, ассоциативного и с единицей 1). Напом-
Напомним, что такое кольцо называется целым кольцом
(традиционное название — «область целостности»),
если оно не имеет делителей нуля, т. е. произведение
любых его двух отличных от нуля элементов отлично
от нуля. В дальнейшем под кольцом мы будем всегда
иметь в виду целое кольцо.
Основное свойство целых колец, которым мы бу-
будем постоянно пользоваться, состоит в том, что в них
40

(и только в них) справедливо правило сокращения,
т. е. из равенства ар = ау, где а ф О, следует, что
Элемент е кольца D называется единицей (или
обратимым элементом; последний термин использует-
используется теперь все чаще, а употребление термина «едини-
«единица» постепенно сходит на нет), если существует та-
такой элемент е е Д что
Ясно, что произведение и частное двух единиц
также является единицей.
Пример 1. Кольцо Z целых чисел имеет две
единицы +1 и —1.
Пример 2. Элемент ееД называется корнем
из единицы степени п, если
еп=1.
Ясно, что каждый корень из единицы (содержащийся
в D) будет единицей кольца D (для которой е =
Пример 3. Найдем единицы кольца ZK. Оказы-
Оказывается, что число ае/K тогда и только тогда являет-
является единицей, когда Na = 1.
Действительно, если аст = 1, то
АЛ* ■ Na~l = N (аа-1) == N1 = 1,
и потому Л^а = 1. Обратно, если Л^а = 1, т. е. аа = 1,
то а является единицей (с а~1 = а). Ц
Так как для числа а = А + Bt> норма Л7а выра-
выражается формулой
то Na = 1 тогда и только тогда, когда либо В = 0 и
А = ±1, либо В = ±1и BЛ — ВJ=1, т. е. А =
=,S=±1 или А = О, В = ±1. Таким образом, коль-
кольцо D3 имеет шесть единиц:
Все они являются корнями из единицы степени 6. При
41

этом каждая единица является степенью единицы
1 -г £ = 2
(первообразного корня из единицы степени 6). Именно,
A + £J = £. О+ £)'«-1,
Пусть D* — множество D\{0} всех отличных от
нуля элементов кольца D.
Два элемента а, рей* называются ассоциирован-
ассоциированными (обозначение а~р), если существует такая
единица е, что р = еа. Очевидно, что отношение ассо-
ассоциированности является отношением эквивалентности
и потому множество D* распадается на классы ассо-
ассоциированных элементов.
Пусть D' a D* — множество всех отличных от ну-
нуля элементов кольца D, не являющихся единицами.
Элемент aGfl' называется разложимым, если су-
существуют такие элементы р, у е D\ что а = ру. Не-
Неразложимый элемент абЬ' называется также про-
простым элементом.
Функция аь-Н|а||, определенная на D* и прини-
принимающая значения в множестве N целых положитель-
положительных чисел, называется псевдонормой, если из того,
что aGD* делится на peD* (т. е. а = Py» гДе Yе
gD), следует, что ||а||>||р||.
Если y — единица, то р = ау1, где у1 еД и по-
потому ||р||^||а||. Следовательно, если элементы а и р
ассоциированы, то \\a\\ = ||р||. Если обратное тоже вер-
верно, т.е. если ||а||>||р||, когда а делится на р, но ча-
частное у не является единицей, то псевдонорма назы-
называется строгой.
Примером строгой псевдонормы является, очевид*
но, норма в 1>з-
Предложение 1. Если в кольце D существует
строгая псевдонорма, то любой элемент aeD' раз-
разлагается в произведение простых элементов^ т. е.
(8) (х = щщ • • • ft£,
где яь пг, .,,, пь, — простые элементы.
42

Доказательство. Значения псевдонормы на
элементах aefi' являются целыми положительными
числами. Поэтому среди них существует наименьшее.
Пусть ро — это наименьшее значение. Ясно, что любой
элемент абВ', для которого ||а||=/7о, будет про-
простым. Поэтому разложение (8) для него имеет место
(с k = 1 и Л1 = а). Пусть теперь р > р0 и пусть су«
ществование разложения (8) доказано для всех эле-
элементов aeD'c ||a|| < р. Рассмотрим произвольный
элемент а е D\ для которого ||а|| = р. Если а прост,
то доказывать нечего. Пусть а = ОС1ОС2, где ось a2^D\
Тогда Haill < ||а|| =ри ||a2ll < II a II = р. Поэтому для
элементов ai и a2 существуют разложения (8). Пере*
множив их, мы и получим разложение элемента а.
Тем самым предложение 1 по индукции полностью
доказано. Щ
Вообще говоря, разложение (8) не единственно.
Например, можно менять порядок простых множите-
множителей и заменять их на ассоциированные (с тем, конеч-
конечно, чтобы произведение всех дополнительных множи-
множителей-единиц было равно 1). Назовем два разложе-
разложения , ,
а = я, ...я и а==я, ... яя
1 Г IS
элемента аЕЙ'в произведение простых множителей
ассоциированными, если г = s и, после возможной
перенумерации, элемент я* для каждого t=* 1, ..., г
ассоциирован с элементом щ. Если любой элемент
aefl' разлагается в произведение простых элемен-
элементов и если каждые два таких разложения ассоцииро-
ассоциированы, то говорят, что в кольце D выполнена основная
теорема арифметики, или (допуская определенную
неточность) что D является кольцом с однозначным
разложением на множители.
В таком кольце имеют смысл все основные поня-
понятия теории делимости целых чисел, и их свойства ана*
логичны свойствам, известным из элементарной ариф-
арифметики.
Например, по аналогии с натуральными числами
назовем элементы кольца D взаимно простыми, если
у них нет общих простых множителей. Тогда то же
рассуждение, что и для натуральных чисел (см. лем-
лемму в § 1) покажет, что если в кольце D выполнена
43

основная теорема арифметики, то взаимно простые
элементы а и р являются с точностью до единиц п-ми
степенями, когда п-й степенью является их произведем
ние ар.
Элемент бе/)* называется наибольшим общим
делителем элементов а,ре D*, если он делит эти
элементы и делится на любой другой общий делитель
элементов аир. Ясно, что наибольший общий дели-
делитель однозначно определен с точностью до ассоции-
ассоциированности. Однако, вообще говоря, для элементов
произвольного кольца он может и не существовать.
В кольце же с однозначным разложением на множи-
множители наибольший общий делитель существует, оче*
видно, для любых элементов аир. Чтобы его найти,
следует разложить эти элементы в произведение про-
простых множителей и отобрать в обоих разложениях
одинаковые (ассоциированные) множители. Если та-
таких множителей нет (т. е. элементы аир взаимно
просты), — в частности, так будет, если хотя бы один
из элементов аир является единицей, — то наиболь-
наибольшим общим делителем является элемент 1 (а также
произвольная единица).
Из основной теоремы арифметики непосредствен-
непосредственно вытекает также следующее утверждение:
(*) Если простой элемент п делит произведение
ар, то он делит либо а, либо р.
Легко видеть, что и обратно, если в кольце D лю-
любой элемент а е D' разлагается в произведение про-
простых элементов (например, если в D есть строгая
псевдонорма) и если D обладает свойством (*), то в
D имеет место основная теорема арифметики.
Действительно, если
f f
где Jtj, ..., Ttr, JCj, ..., ns — простые элементы, то Jti делит про-
произведение Jij ... ns. Поэтому я4 делит хотя бы один из сомножи-
сомножителей (это получается из (*) посредством очевидной индукции).
Мы можем считать, что Jii делит яlf т. е. что п{ =51;^, где, по-
поскольку элемент п{ также прост, элемент ei является единицей.
Сократив на пи мы получим, таким образом, что п2 ... пг =*
= 8^ ,.. ns. Аналогично доказывается, что п% (после соответ-
44

ствующеи перенумерации) делит зт2 и (после сокращения я2) что
я3 делит я.3 и т. д. После г шагов мы получим, во-первых, что
г ^Г s, а во-вгорых, что при г < s имеет место равенство вида
1 = е, ... *Уг+\ * • • *V
Поскольку это равенство невозможно (элементы яг+1, ..., ns
единицами, по условию, не являются), этим доказано, что r = s
и что для любого 1=1, ,.., г элемент nt ассоциирован с эле-
элементом я*. Щ
Известно (мы покажем это ниже), что в кольце
целых чисел наибольший общий делитель d любых
двух чисел а и Ъ может быть представлен в виде
(9) ах + by = d9
где х и у — целые числа (т. е., иначе говоря, уравне-
уравнение (9) всегда имеет решение в целых числах). Ока-
Оказывается, что аналогичное свойство для произвольных
колеи не вытекает из основной теоремы арифметики.
Поэтому приходится вводить еще один класс колец.
Кольцо D называется кольцом главных идеалов
(происхождение этого названия станет ясным в § 11),
если для любых элементов а, р е D*
а) существует их наибольший общий делитель б;
б) можно найти такие элементы х, у е Д что
ах + $у = б.
Легко видеть, что любое кольцо главных идеалов
обладает свойством (*).
Действительно, если я не делит а, то я и а взаимно просты,
и потому существуют такие элементы х, у е Д что ах + пу = 1.
Умножив это равенство на р, мы получим, что
Оба слагаемых справа делятся на п. Поэтому на я делится и
элемент р. Щ
Говорят, что в кольце D с псевдонормой имеет ме-
место алгоритм деления с остатком (такое кольцо назы-
называется также евклидовым кольцом), если для любых
элементов ajGD* существуют такие элементы y и Р>
что a = Py + Р> причем либо р = 0, либо ||р|| < ||р||.
Интересно, что в евклидовом кольце псевдонорма
обязательно является строгой. Действительно, если
а = Py и 1Ы1 = ||рЦ, то, разделив с остатком р на а,
45

мы получим равенство вида
Р = аб + р,
где 6еД и либо р = 0, либо НрН < Ца||. Но р =
= РA—уд), и потому при р Ф 0 имеет место нера-
неравенство ||р||^||р|| = ||а||. Следовательно, р = 0 и по-
потому р = (Py)S, т. е. у8 = 1. В
С другой стороны, любое евклидово кольцо явля-
является кольцом главных идеалов (и, следовательно, об-
обладает свойством (*)). Действительно, для любых
элементов a, pGD* в множестве всех отличных от
нуля элементов вида
(Ю) <х* + Р#, х, ye=D,
существуют элементы с наименьшей псевдонормой.
Пусть 8 = са0 + Р#о — один из таких элементов. Все
будет доказано, если мы покажем, что б является наи-
наибольшим общим делителем элементов а и р. Но ясно,
что 8 делится на любой общий делитель элементов
аир. Поэтому нужно только доказать, что б делит
аир. Докажем, что 8 делит а (для р доказательство
аналогично).
Пусть а = бу + р, где либо р = 0, либо ||р|| < ||б|Ь
Тогда
р = а — 6Y = а — (ах0 + Р*/о) v = а A — хоу) + Р (— уоу),
так что р также имеет вид A0). Следовательно, не-
неравенство ||р||<||б|| невозможно, и, значит, р = 0. ■
Сопоставляя все доказанное, мы видим, что спра-
справедливо следующее предложение:
Предложение 2. Любое евклидово кольцо яв-
является кольцом главных идеалов, в котором выпол-
выполнена основная теорема арифметики.
Заметим, что существуют кольца, в которых выполнена
основная теорема арифметики, но которые не допускают алго-
алгоритма деления с остатком (ни по отношению ни к какой псевдо-
псевдонорме) .
Таким кольцом является, например, кольцо всех чисел вида
где а и Ь — целые числа одинаковой четности, но доказать это
не так-то просто.
46

Как мы уже говорили, чтобы подвести прочную
базу под доказательство Эйлера, достаточно доказать,
что в кольце D3 выполнена основная теорема арифме-
арифметики. Согласно предложению 2 для этого достаточно
доказать следующее предложение:
Предложение 3. По отношению к норме в
кольце D3 имеет место алгоритм деления с остатком.
Доказательство. Нужно доказать, что для
любых элементов а и р=/=0 кольца D3 существуют
такие элементы у и р, что а = Py ~Ь Р и Np < jV|3.
Лемма. Для любого числа | е Къ существует та-
такое число у ^ D3, что
Предложение 3 из этой леммы следует непосред-
непосредственно. Действительно, применив лемму к числу
g = — и положив р = а — pv» мы немедленно полу-
получим, что а = Py ~Ь Р и чт0
Таким образом, нам нужно лишь доказать лемму.
Доказательство леммы. Пусть
и пусть а и 6 — такие целые числа, что
Тогда для числа
мы получаем
N (| - у) = (А - аJ — (А — а)(В-Ь) + (В- bf <
Следствие. В кольце D3 выполнена основная
теорема арифметики.
47

Существование двух разложений
этому не противоречит, так как в О3 числа 2 и 1 + V—3 ассоци-
ассоциированы (число g принадлежит D3 и является в D$
единицей).
Теперь для завершения доказательства Эйлера
осталось лишь заполнить в нем два незначительных
пробела.
Во-первых, надо доказать, что для взаимно про-
простых целых чисел а и Ъ элементы а + Ь V—3 и
а — &V—3 кольца D$ также взаимно просты. Но это
легко. Действительно, если эти элементы делятся на
элемент у е D3, то на у будут делиться и элементы
2а = (а + Ъ V11^) + (а - b V11^).
26 V11^ = (а + b V11^) — (a — b V11^)-
Перейдя к нормам, мы получаем, что число Ny будет
делить числа ЛгBа) = 4а2 и Ny = 1262. Поскольку чи-
числа а и b по условию взаимно просты, отсюда следует,
что (целое положительное) число Ny делит число 4.
Если ЛЛу = 4, то Л/Г-~) = 1, т.е. y = 2е, где е —
единица. Таким образом, в этом случае с точностью
до ассоциированности имеется единственное решение
у = 2. Но это решение нам не годится, потому что
число а + b V—3 тогда и только тогда делится в D3
на 2, когда оба числа а и b делятся на 2.
Случай Ny == 2 вообще невозможен, ибо уравне-
уравнение х2-— ху + У2 = 2 не имеет целочисленных ре-
решений.
Таким образом, обязательно Л^=1, т.е. у яв-
является единицей. Следовательно, элементы а + Ъ V—3
и а — Ьл/—3 взаимно просты. В
Второй пробел, которого не было у Эйлера, но ко-
который возник, когда мы перешли к кольцу Dz, состоит
в том, что в равенстве
A1) a + b^/^3=(s + t^^Sf
числа s и t могут, вообще говоря, оказаться нецелыми,
48

поскольку, как мы знаем, числа из D3 имеют вид
U^) \ ,
где р и q — целые числа одинаковой четности.
Чтобы преодолеть эту трудность, мы заметим, что
если число A2) записать в форме Л-f 5£, то будут
иметь место равенства
р = 2Л — В, q = В.
Поэтому числа р и q тогда и только тогда четны (и,
значит, число A2) имеет нужный нам видя + ^У—3,
где s и t целые), когда четно число 5. Но формулы
(Л + ВО £ = - В + (А-В) £, (Л + В£)£2 = (В - А)-Л^
показывают, что хотя бы у одного из трех ассоцииро-
ассоциированных чисел Л + В£, (Л + В£)£, (Л + В£)£2 коэффи-
коэффициент при £ четен. Следовательно, умножив в равен-
равенстве (И) число s + /y~-3 на £ или на £2 (отчего ра-
равенство, очевидно, не нарушится), мы всегда сможем
добиться, чтобы числа s и t стали целыми.
Тем самым лемма Эйлера полностью доказана, и
вместе с ней наконец-то доказана и теорема Ферма
для показателя 3. ■
Приложение. Об арифметике многочленов
Пусть К — произвольное поле и К[х) — кольцо
многочленов от одной переменной над полем К (т. е.
с коэффициентами из К). Из элементарной алгебры
известно, что для многочленов имеет место алгоритм
деления с остатком (с псевдонормой — степенью мно-
многочлена). Следовательно, в кольце К[х] выполнена
основная теорема арифметики.
При этом единицами кольца К[х] являются, оче-
очевидно, лишь многочлены нулевой степени, т.е. отлич-
отличные от нуля элементы поля /С.
Простые элементы кольца К[х] называются, обык-
обыкновенно, неприводимыми многочленами. Таким обра-
образом, можно сказать, что любой многочлен разлагает*
ся в произведение неприводимых многочленов и с
49

точностью до постоянных множителей это разложение
единственно.
Более того, являясь евклидовым кольцом, кольцо
К[х] является также кольцом главных идеалов. По-
Поэтому, в частности, для любых взаимно простых мно-
многочленов f(x) и g(x) существуют такие многочлены
и(х) и v(x), что
f(x)u(x) + g{x)v(x)=l.
Следовательно, ни при одном значении х многочлены
f(x) и g(x) не могут одновременно обращаться в
нуль. Этим доказано, что многочлены, имеющие об-
общий корень, не взаимно просты.
Поскольку неприводимый многочлен взаимно прост
с каждым многочленом меньшей степени, отсюда, в
частности, вытекает, что никакой корень неприводи-
неприводимого многочлена не может быть корнем многочлена
меньшей степени.
§ 5. Поле К\ и кольцо Д
Единственный известный к настоящему времени
общий метод доказательства теоремы Ферма для лю-
любых простых / ^ 3 (к сожалению, увенчивающийся
успехом не для всех I) восходит, как уже говорилось,
к Куммеру и основывается на дальнейшем развитии и
обобщении идей Эйлера. Естественно, что основную
роль в нем играет некое поле Ки аналогичное полю
/С3. Поэтому мы начнем с описания и изучения этого
поля.
Рассмотрим многочлен
или, лучше, многочлен
B) <р(х) = *'-1+х'-2+ ... +х+19
получающийся из многочлена A) делением на х—1.
Корни многочлена A) выражаются формулой
C) cos^t ^t
где £ = 0, 1, ..., /—1. На плоскости комплексных
чисел эти корни изображаются вершинами правиль-
50

ного /-угольника, вписанного в единичную окруж-
окружность. На этом основании многочлен A), а также
многочлен B) называется многочленом деления круга
на I частей.
Замечательный факт (оправдывающий переход от
многочлена A) к многочлену B)) состоит в том, что
многочлен B) неприводим (над полем Q рациональ-
рациональных чисел).
Доказательство этого утверждения мы проведем в
ряд этапов.
1. Ясно, что достаточно доказать неприводимость
многочлена
получающегося из многочлена B) подстановкой
х = у+\.
2. Как мы уже отмечали, все биномиальные коэф-
коэффициенты
делятся на I.
3. Предположим, что многочлен р(у) приводим,
т.е. что существуют такие многочлены а (у) и Ь(у)
с рациональными коэффициентами, имеющие положи-
положительные степени (и, значит, не являющиеся единица-
единицами кольца многочленов Q[y]), что р(у) = а (у) Ь(у).
Вообще говоря, многочлены а (у) и Ь(у) определены
только с точностью до ассоциированности (каждый из
этих многочленов можно умножить на произвольное
отличное от нуля рациональное число, одновременно
разделив другой многочлен на то же число). Поль-
Пользуясь этим, мы можем сделать все коэффициенты,
скажем, многочлена а (у) взаимно простыми (в сово-
совокупности) целыми числами, а его старший коэффи-
коэффициент положительным. Это однозначно определит
многочлен а (у), а потому и многочлен Ь(у).
4. Приведя коэффициенты многочлена Ь{у) к
общему знаменателю, мы можем записать этот
51

многочлен в виде
где bo, bu ♦ .., bs и Л7 > О— целые числа, причем ни
один простой делитель числа N не делит всех чисел
Ьо, Ьь ..., bs. По условию
а (у) = аоуг + а{уг"] + ... + ап
где ао, #ь ..., tfr — целые взаимно простые в совокуп-
совокупности числа и г = 1—I—s. Поэтому для коэффици-
коэффициентов ( k) многочлена р(у) будут иметь место ра*
венства
С)-'-
N '
obi + .
N
N
N
(условно считается, что п\ = 0 при I > г и Ъj = 0 при
j>s). Это, в частности, показывает, что все числа
F) ao&fc + £i&*-i + ... +Moi ^ = 0, 1, —, / — Ь
делятся на N.
5. Предполагая, что W > 1, рассмотрим произволь-
произвольный простой делитель р числа N. Так как коэффи-
коэффициенты а0, •••» «г по условию взаимно просты, среди
них существуют коэффициенты, не делящиеся на р.
Пусть аи — первый такой коэффициент (так что либо
/0 = 0, либо все коэффициенты aQ, ..., а{ _х делятся
на р). Аналогично, так как, по условию, р не делит
всех коэффициентов Ьо, ..., bs, то существует коэф-
коэффициент 6/0, не делящийся на р и такой, что при /о^ 1
все коэффициенты 60, ..., 6/0_j делятся на р.
Рассмотрим теперь число F) при k = i0 + /о. Это
число содержит слагаемое atbi9 не делящееся на р.
62

Все же остальные слагаемые (имеющие вид a(bj, где
либо i < i'o, либо /</о)э очевидно, делятся на р. По-
Поэтому рассматривавшееся число не делится на р, а
значит, и на N.
Поскольку это противоречит результату этапа 4,
тем самым доказано, что N = 1, т. е. что все коэффи-
коэффициенты многочлена Ь(у) (при наложенных условиях
на многочлен а (у)) являются взаимно простыми в
совокупности целыми числами,
В частности, числа F) являются коэффициентами
( k J многочлена р (у).
6. Так как все коэффициенты многочлена а (у) (и,
по доказанному, многочлена Ь(у)) являются взаимно
простыми целыми числами, то среди них существуют
коэффициенты, не делящиеся на простое число /.
Пусть а. — обладающий этим свойством коэффи-
коэффициент многочлена а (у) с наибольшим номером, а
6/а— аналогичный коэффициент многочлена Ь(у).
Поскольку arbs = /, то либо io < г, либо /0 < s.
Пусть, для определенности, i0 < г, так что ar = zfc L а
&s = ± 1. Тогда число ( . , ) будет коэффициентом
многочлена р(у), и, значит, для него будет иметь ме-
место формула
Но все члены этой формулы, кроме первого члена
atbs = ± а^о, делятся на / (потому что на / делятся
числа 0l+it...i #Г)> а член а/о65 на / не делится.
Поэтому и вся сумма ({,s) на / не делится, что
противоречит этапу 2. '
Таким образом, предположив, что многочлен р(у)
приводим, мы пришли к противоречию. Следователь-
Следовательно, этот многочлен неприводим. Ш
Заметим, что по ходу дела мы фактически доказали две
общие теоремы, первая из которых утверждает разложимость
приводимого над Q многочлена с целыми коэффициентами на
множители с целыми коэффициентами (эта теорема известна как
лемма Гаусса), а вторая утверждает неприводимость (над
Q) многочлена с целыми коэффициентами, если его старший
53

коэффициент не делится на некоторое простое число /, все осталь*
ные коэффициенты делятся на /, но свободный член не делится
на I2 (это так называемый критерий Эйзенштейна).
Пусть теперь £ — произвольный фиксированный ко-
корень многочлена B). Для определенности можно счи-
считать, что
£ = cos — + i sin —,
но на самом деле этот выбор не имеет никакого зна^
чения (при I простом!) и в дальнейшем не исполь-
используется.
Более того, явные выражения C) корней много-
многочленов A) и B) нам по существу также не нужны.
Достаточно знать, что £ представляет собой комплекс-
комплексное число, удовлетворяющее соотношению
G) е*-1 — — 1 — с — ... -il-\
равносильному утверждению, что £ является корнем
многочлена B). Только этим его свойством мы и бу-
будем пользоваться.
По аналогии со случаем I = 3 мы введем в рас-
рассмотрение множество Ki всевозможных чисел вида
(8) а = а0 + а&+ ... +*-£-*,
где а0, аи ..., Щ-2 — произвольные рациональные
числа.
Легко видеть, что представление каждого числа
а е Ki в виде (8) единственно.
Действительно, если это не так, то будет иметь ме-
место равенство вида
где не все числа а0, fli, . •., Щ-2 отличны от нуля.
Другими словами, число £ будет корнем некоторого
многочлена с рациональными коэффициентами степе-
степени, меньшей /-— 1, что невозможно, ибо многочлен B)
неприводим.
Так как, согласно G), имеет место равенство
то любой элемент а ^ Ki может быть (очевидно, единственным
54

образом) представлен в виде
где blf b2, ..., bi-i — рациональные числа (целые, если числа
do, ..., Ш-2 были целыми).
Такое представление иногда бывает полезно.
Ясно, что сумма двух чисел вида (8) снова будет
числом вида (8). То же самое верно, конечно, и по
отношению к произведению, поскольку появляющиеся
после перемножения высокие (с показателями, боль-
большими, чем / — 2) степени числа £ можно выразить
через более низкие степени с помощью соотношения
G). Это означает, что Кг представляет собой кольцо.
Более того, оказывается, что Кг является полем, т. е.
что частное любых двух чисел вида (8) снова пред-
представляет собой число того же вида.
Действительно, равенство (8) означает, что число
a^Ki является значением /(£) при х = £ многочлена
(отличного от нуля при а =7^=0). Поскольку степень
этого многочлена меньше степени /—1 многочлена
деления круга ф(а:), а последний многочлен неприво-
неприводим, то многочлены f(x) и ср(х) взаимно просты. По-
Поэтому существуют такие многочлены и(х) и v(x), что
Полагая здесь х = ^ и учитывая, что ф(£) = 0, мы
получаем, что
/(О «@ = 1,
т. е. что
Таким образом, в кольце Ki каждый элемент
обратим. Следовательно, Ki является полем. ■
Обратим внимание, что при / = 3 мы тот факт, что
Ki является полем, доказывали на основе совсем дру-
других соображений. Для того чтобы перенести эти со-
соображения на случай любого /, нам понадобятся не-
некоторые предварительные рассмотрения.
Корень £ является лишь одним из /— 1 корней
(9) £<» = £, 5С2), £<з>, ..., j</-i>
55

многочлена B). Оказывается, что все эти корни очень
просто выражаются через корень £.
Действительно, вместе с £ уравнению х1 = 1 удо-
удовлетворяют, очевидно, и все числа вида £*, где k—-
произвольное целое число, причем ^ = ^2 тогда и
только тогда, когда k\ s k2moAl. Это показывает, что
при соответствующей нумерации корней (9) будут
иметь место равенства
A0) £<О = £, go = l\ ^ = £3, ..., Е*'-1» = S'-1-
В частности, мы видим, что все корни (9) принадле*
жат полю Ki.
Поэтому, если в выражение (8) вместо £ = £W
подставить произвольный корень £<*), k=l, 2, ...
..., /— 1, то снова получится число из поля Ки Мы
обозначим это число символом аD Таким образом,
по определению,
Рассмотрим теперь произведение
Это произведение является многочленом от Ql\ ...
• • •, ^-1)» коэффициенты которого представляют собой
многочлены от а0, аи ..., Лг-2 с целыми коэффициен-
коэффициентами. Любая перестановка чисел Ql\ ..., Е^*) вызы*
вает такую же перестановку чисел all\ ..., a^^ и,
следовательно, не меняет Л^а. Это означает, что Na
представляет собой симметрический много-
многочлен от Q{\ ..., Ql~lh Но известно (см., например,
книгу В. Г. Болтянского, Н. Я. В и л е н к и н а,
Симметрия в алгебре, «Наука», М., 1967), что любой
симметрический многочлен F является многочленом
G (ai, ..., oi-i) от так называемых элементарных
симметрических многочленов ai, ..., Oi-u
причем коэффициенты многочлена G выражаются че-
через коэффициенты многочлена F посредством дей-
действий сложения, вычитания и умножения, т. е. в на«
шем случае (при F = Afa) по-прежнему являются
многочленами от а0, #ь •••> Щ-2 с целыми коэффици-
коэффициентами. Эти элементарные симметрические многочлены
56

имеют вид
и, согласно формулам Вьета, примененным к многое-
члену B), равны (—l)fe. Этим доказано, что число
представляет собой многочлен от до, ^ь .. •, Щ-2 с це-
целыми коэффициентами и потому является рациональ-
рациональным числом (целым, когда все числа по, аи ..., аг_2
целые).
Изложенное рассуждение имеет общий характер и дословно
применимо не только к Na, но и к произвольному симметриче-
симметрическому многочлену отаA), ..., а(/-1) с целыми коэффициентами, на-
например, к коэффициентам многочлена
Таким образом, мы, в частности, видим, что для любого элемента
а = а0 + а^ 4- . • • + a/_2£/~2 <= Kt коэффициенты многочлена
(х — а^О ... (х — а(/~^) являются рациональными числами (це-
(целыми, если все числа aQ, av ..., аг_2 целые).
Рациональное число Na называется нормой эле-
элемента a^Ki. Оно обладает следующими свойствами:
1) Na^Oy причем Na = 0 тогда и только тогда,
когда а = 0;
2) для любых чисел a, p e Ki имеет место равен-
равенство
A1) N(a$) = Na'Nfc
3) если число a^Ki рационально (т.е. а1 = ...
... = at-2 = 0 и, значит, а = а0), то
Эти свойства очевидны (ср. со случаем / = 3), за исключе-
исключением, возможно, неравенства Na, ^ 0, для доказательства кото-
которого надо вспомнить, что числа (9) (являясь невещественными
корнями уравнения с вещественными коэффициентами) попарно
комплексно сопряжены. (Например, можно считать, что £('-&) =
== £W; см. формулу A0).) Поэтому числа а<!>, ..., а^-1) также
57

попарно комплексно сопряжены (скажем, а<?-*5 = a{h)) и, значит,
Na ^ 0 (при указанной нумерации корней имеет место формула
Na = | а{ |2 ... | а^ |2. где s = —^—).
С помощью нормы доказательство того, что Ki яв-
является полем, сводится, как и при / = 3, к тривиаль-
тривиальной выкладке:
a cW*...^-» Na ^A/"
Число (8) поля Ki называется целым, если все ко-
коэффициенты aOf #ь •-., #/-2 являются целыми рацио-
рациональными числами (принадлежат кольцу Z). Как
уже отмечалось, норма Na целого числа а является
(неотрицательным) целым рациональным числом. Все
целые числа поля Ki составляют, очевидно, кольцо.
Мы будем обозначать это кольцо символом DL.
Так же, как и в случае I = 3, число а£Д тогда
и только тогда является единицей кольца Du когда
Na= 1.
Действительно, если асг = 1, то Na-Nar1 = 1 и
потому Na— 1. Обратно, если Na= 1, то aa = 1,
где a-!=a<?) ... a(/-J). ■
Отсюда (и из A1)) следует, что функция a^Wa
является (на DJ) строгой псевдонормой. Поэтому (см.
§ 4, предложение 1) в кольце Dt любой не являю-
являющийся единицей элемент разлагается в произведение
простых элементов.
Однако, как показывают примеры, кольцо Db во*
обще говоря, не является кольцом с однозначным раз-
разложением на множители.
Например, можно показать, что кольцо D23 не будет кольцом
с однозначным разложением на множители. Напротив, в коль-
кольцах Di с / < 23 разложение на множители однозначно.
Задача. Изучите кольцо D$. Найдите его единицы. Пока-
Покажите, что кольцо D5 евклидово и потому является кольцом с од-
однозначным разложением на множители.
Аналогичное исследование колец Di при 5 < / < 23 является
уже очень трудной задачей-
Так как числа £A) = £, £<2) = £2, ..., £(/-1) = S'-1 яв-
являются корнями многочлена B), то
58

Полагая здесь л:=1, мы получим, что
A2) / = A-0A-0... A-С').
т. е. что 1 — №{) ... М1-1*, где Л=1 — £. Это озна-
означает, что
A3) NX = l, Л=1--£.
Отсюда следует, что число X = 1 — £ является про-
простым элементом кольца DL. Действительно, если А =
== ар, то 1 = Nk — Na-N$ и потому либо iVa = 1,
либо yvp = 1. В
Кроме того, если целое рациональное число а де-
делится в кольце Dt на Я, то оно делится и на I. Дей-
Действительно, переходя в равенстве а = %а к нормам,
мы получим, что а!-1 = t'Na, где Na— целое рацио-
рациональное число. Таким образом, / делит al~\ а значит,
и а. Ш
Роль £ может играть любой корень £<*> = £ft. По-
Поэтому аналог равенства A3) справедлив для лю-
любого k:
[ Другое доказательство:
лг A - £*) = П 0 - С**) = П (! ~ «') - ^ 0 ~ S) = Л
5=»1 5=1
ибо числа k, 2k, ..., (/—1)& с точностью до порядка и слагае-
слагаемых, кратных /, совпадают с числами 1, 2, ..., /— 1. Щ
Но
Л A С) где 8,= i+g+ ... +^-J,
откуда следует, что
tf A-£*)== tf(l-О-М*
т.е. что l=l-Nsh. Следовательно, ^8^=1, так что
число ел является единицей и, значит, число 1 — £А,
й=1, ..., /—1, ассоциировано с числом Л=1 — ^.
В силу A2), это означает, что в кольце Dt имеет
место равенство
A4) 1^гК1-\
где е — некоторая единица,
69

Таким образом, с точностью до ассоциированности
число / в кольце Dt является /—-1-й степенью про-
простого элемента К = 1 — £.
Для дальнейшего полезно иметь в виду, что любой
элемент а ^ Dt может быть, очевидно, записан в виде
линейной комбинации степеней элемента X:
A5) а = Ьо + Ь{%+ ... +6,-2^-2.
Перенося на случай кольца Di обозначения Гаусса
(см. § 1), будем писать а = ртос!Я, где а, peD/,
если разность а — р делится на X. Так же как и для
целых рациональных чисел, эти сравнения в отноше-
отношении действий сложения и умножения ведут себя, как
обыкновенные равенства (их можно складывать, пере-
перемножать и, в частности, возводить в степень с нату-
натуральным показателем).
Из формулы A5) немедленно вытекает теперь, что
для любого а^ Di существует такое целое рациональ-
рациональное число &о, что
A6)
§ 6, Единицы кольца Д
Доказательство Куммера основывается на доволь-
довольно тонком изучении структуры группы единиц кольца
D[. Нам понадобится четыре утверждения об этой
группе, три из которых мы докажем, а четвертое, к
сожалению, будем вынуждены оставить без доказа-
доказательства.
В первую очередь, мы найдем все элементы коль-
кольца D[t являющиеся корнями из единицы. Примером
такого элемента служит число £, являющееся, по
построению, корнем из единицы степени /. Другой
пример доставляет нам число —£, являющееся, оче-
очевидно, корнем из единицы степени 21. Всевозможные
степени числа —£ (имеющие, как легко показать, вид
±£а, где а = 0, 1, ..., /—-I) также являются корня-
корнями из единицы степени 2/ (и, очевидно, исчерпывают
все такие корни). Оказывается, что это все корни из
единицы, содержащиеся в кольце Dt.
60

Предложение 1. Любой корень из единицы,
содержащийся в кольце А, является корнем степени
21 и, значит, может быть представлен в виде
Доказательство. Нам надо показать, что
если в кольце Di имеет место равенство ая=1 с це-
целым положительным показателем N, причем aNl ф I
ни для одного положительного N\ < N, то N делит 2/,
т. е. не делится ни на /2, ни на 4, ни на произвольное
простое число р ф I.
Пусть N = 12п. Рассмотрим число р = ап. Как
мы знаем (см. формулу A6) § 5), существует такое
целое рациональное число bOi что
Это означает, что $ = Ь0 + 'ку, где Vе А- Но тогда
по уже известному нам свойству биномиальных коэф-
коэффициентов р/ S3 blQ + (KyI mod /, и потому (см. формулу
(И) § 5)
р* ее Cq mod /,
где со = &о-
С другой стороны, ясно, что рг Ф 1, но (р/)*= 1,
т.е. р* является отличным от 1 корнем степени / из
единицы. Но все такие корни содержатся, по построе-
построению, в Di и имеют вид £а, где 0 < а ^ /— 1. Этим до-
доказано, что р' = Z? при некотором а, 0<а^/—1.
Таким образом, мы видим, что в кольце D1 имеет
место сравнение вида
Ee see с0 mod/,
где 0 < а ^ /— 1 и co^Z. Но это невозможно, так
La — с
как элемент вида -^—^— не может принадлежать Dt,
Следовательно, равенство jV «= 12п невозможно, т. е,
N не делится на I2.
Пусть УУ = An или N = рп, где р — простое не*
четное число, отличное от I. Снова рассмотрим число
Р = an. Ясно, что р = ± i при УУ = 4/г, т. е. р2 = — 1,
и рр = 1 при N = рп. В обоих случаях
рр е~= 1 mod /?,
61

т. е.
A) pps_S_S2_ ;.;
где р = 2 при N = 4n.
Представим число р в виде
Тогда по известному свойству полиномиальных коэф-
коэффициентов
р"^йГ?" + ^2"+ ... +bUf-l)p mod р,
т.е. (мы применяем здесь теорему Эйлера)
Но ясно, что при любом простом р ^ 2, отличном от /,
числа Epi £2р, • • • > £(z"I)p с точностью до порядка совпа-
совпадают с числами £, £2, ..., £z-1, откуда, ввиду сравне-
сравнения A) (и единственности разложения элементов
кольца Dt по степеням £, £2, ..., ^~1), вытекает, что
ЬХ==Ь2^= ... ^=bi-x = — 1 mod p.
Следовательно,
P^-£-£2- ... -Б' mod a
т. е.
P^ 1 mod p.
Это означает, что элемент р может быть представ-
представлен в виде р = 1 + РкУ, гДе k^\ и у £ А не делится
на р. Отсюда, пользуясь формулой бинома Ньютона и
учитывая, что 2k + 1 ^ k + 2 при Л ^ 1, мы немед-
немедленно получаем, что
Если теперь р > 2 (т. е. мы имеем дело со случаем
= рп), то рр = 1 и, следовательно,
т. е. y ^ 0 mod /7, что противоречит выбору у. Таким
образом, предположение, что Af делится на р, приво-
приводит к противоречию.
Если же р = 2 (т. е. мы имеем дело со случаем
Л/ = 4п), то рр =—! и, следовательно,
0^2 + 2fe+1v mod 2*+2, т. е. 2% — 1 mod 2fe+1,
62

что явно невозможно. Таким образом, N не может де-
делиться и на 4. В
Замечание. В формулировке предложения 1 слова «в коль-
кольце Di» можно заменить словами «в поле Ki», ибо можно пока-
показать, что любой корень из единицы, содержащийся в поле Ки
автоматически будет принадлежать кольцу Dt (см. ниже § 12).
В дальнейшем это замечание использоваться не будет.
Каждый корень из единицы asD/ обладает, оче-
очевидно, тем свойством, что |а^|=1 для любого
А = 1, ..., Z — 1 (ибо (о№J1=\). Оказывается, что
верно и обратное.
Предложение 2. Если для элемента абД
имеют место равенства
B) |а<«|=1. k=l, ..., /-1,
то а является корнем из единицы.
Доказательство. Пусть Ах — множество всех
элементов аЕД, удовлетворяющих условию B).
Для произвольного элемента a^Ai рассмотрим
многочлен
C) (х - а<'>) ...(* — Ф~Ъ) = х1~1 + с,**-2 + ... + ct-v
корнем которого является число а = а^1*. Ясно, что
абсолютная величина \ch\ каждого коэффициента с*,
k=l, ..., /—1, этого многочлена не превосходит
соответствующего коэффициента многочлена
т. е. не превосходит ( k Л .
Но в § 5 было показано (для любого аеД),
что многочлен C) имеет целые коэффициенты. По-
Поскольку целых чисел ck, удовлетворяющих неравен-
неравенствам
существует (при данном /) только конечное число,
этим доказано, что множество многочленов вида C)
(для всевозможных а е А{) конечно. Так как конеч-
конечное число многочленов данной степени имеет только
конечное число корней и так как любой элемент
63

a <= At является корнем соответствующего многочлена
C), отсюда вытекает, что множество Л/ конечно.
С другой стороны, ясно, что если а е А1у то ап е At
для каждого neZ. Поэтому, ввиду конечности Л*,
для любого аеЛ/ существуют такие различные по*
казатели тип, что am = an. Но тогда an~m = 1,
т. е. а является корнем из единицы. Ш
Несмотря на то, что все корни многочлена B) из
§ 5 являются комплексными (невещественными) чис-
числами, в поле Ki (и в кольце Dt) имеется достаточно
много вещественных чисел.
В частности, оказывается, что единицами вида ±1?
и вещественными единицами исчерпываются, по суще*
ству, все единицы кольца Д.
Предложение 3. Любая единица кольца DL
имеет вид
где бо — вещественная единица.
Доказательство. Пусть
■— произвольная единица кольца Д. Так как £ =
= ^~1 = £z-1, то комплексно сопряженное число
лежит в Di и является, очевидно, единицей. Поэтому
единицей будет и число
Эта единица обладает, очевидно, тем свойством, что
Более того, для любого k = 1, ..., /—1 число
также является единицей, причем
Поэтому ||а№)-|= 1 для любого k =± 1, 2, ..., /— I.
64

Следовательно, согласно предложению 2, число \х
является корнем из единицы. Поскольку, согласно
предложению 1, любой корень из единицы имеет вид
± £с, тем самым доказано, что существует такое це-
целое число с ^ 0, что
е = ± £се.
Согласно сказанному в конце § 5, существует та*
кое целое рациональное число Ьо, что
е == b0 mod Я.
При этом, так как А == 0 mod А, то также
e = 60niod А.
Поэтому, если
то
Ь0=Е=-— Ьо mod Я,
ибо £ 2=51 mod Я. Следовательно,
260=0modA,
т.е. 2Ьо делится на Я. Но мы знаем (см. § 5), что если
целое рациональное число делится в кольце DL на А,
то оно делится и на /. Следовательно, 2Ь0у а значит,
и Ьо делится на /. В частности, Ьо делится на Я и, зна-
значит, е делится на Я, что невозможно (ибо Л^е = 1 не
делится на N1 = 1).
Полученное противоречие показывает, что
Мы положим
ео = £"~5Се, где s = —=—•.
Тогда
в = £%, где а = sc>
причем (напомним, что g = g)
ёо = Г"е = Г5ев = f+1) °г = S(/"e) °е = Гвев = е0. ■
Для исследования первого случая теоремы Ферма
методом Эйлера — Куммера, к которому мы перейдем
в следующем параграфе, нам достаточно предложе-
3 М. М, Постников , 65

ния 3. Однако для более трудного второго случая нам
будет нужно еще одно свойство единиц кольца Д,
имеющее место, когда простое число / регулярно (см.
стр. 13). Это свойство выражается так называемой
«леммой Куммера», которая дает достаточные уело-
вия того, чтобы некоторая единица кольца Di была
1-й степенью другой единицы.
Лемма Куммера. Если простое число I регу-
регулярно, то каждая единица е кольца Dh для которой
существует такое целое рациональное число е, что
&==е mod /, *
является 1-й степенью некоторой другой единицы
Мы не будем даже пытаться доказывать эту лем-
лемму. Формально ее утверждение можно включить в
определение регулярного числа (именно так перво-
первоначально и поступил Куммер),
§ 7. Первый случай теоремы Ферма
Чтобы выпукло показать трудности» возникающие
при попытках доказать теорему Ферма,, мы разобьем
доказательство Куммера первого случая теоремы
Ферма (для регулярных показателей) на два этапа.
В этом параграфе мы выведем теорему из некоего
вспомогательного утверждения, а в следующих пара-
параграфах обсудим пути его доказательства.
Вспомогательное утверждение. Если
0) xl + yl = zl, />3,
где х, у, z — взаимно простые целые рациональные чи-
числа, не делящиеся на простое число /, то в кольце Di
имеет место равенство
B) х + £у = еа19
где а ^ Diy а г — единица кольца Db
Ввиду этого утверждения, чтобы в первом случае
теоремы Ферма прийти к противоречию, достаточно
показать, что равенство B) в кольце DL возможна
(при выполнении равенства A\) только тогда, когда
€6

хотя бы одно из чисел х, у и z делится на L При этом
мы можехМ считать, что / ^ 5, поскольку при / = 3
теорема Ферма нами уже доказана.
Как мы знаем (см. § 1),
C) (*i+ ••• +*«)/ss*i+ ••• +<
для любых Хи ••., хп.
Л е хМ м а. Если
где х, у — целые рациональные числа, а е Dt и е —*
единица кольца Dh то при 1^5 либо х или у делятся
на /, либо х 2=5 у mod /.
Доказательство. Пусть
где &о» Ьи ..., Ь/_2 — целые рациональные числа (см.
§ 5, формула A5)). Тогда, согласно форхмуле C)х
al^bl + b\%l+ ... + Ь\-.£,Н1~* mod I,
откуда, ввиду формулы A4) § 5, вытекает, что
а1 £5= Ъ\ mod /.
Следовательно, ввиду малой теоремы Фе|)ма,
а'55= 60 mod/.
Согласно предложению 4 § 6, единица е Ихмеет вид
где 8о — вещественная единица. Следовательно, по*
лагая
мы получим, что
т. е9 что
£~с (^ + %у) 55= т] mod /.
Заметим теперь, что если a ss= p mod/, т. е. а =
*== Р + ^Y» гДе Y е А» то а = р + % гДе V е А» и п0"
3* 67

тому а = р mod l. В частности,
£~а(л;+ £#) = *} mod/.
Но число rj вещественно (tq == т]), а £ = £~т. Следо-
Следовательно,
и, значит,
т. е.
*£"• + ^в"' ~ *Г " - У11~а = 0 mod f.
Обозначя символом (&) неотрицательный остаток
от деления целого числа k на / (вычет числа k),
мы можем это соотношение переписать в следую-
следующем виде:
D) *£<«> + уР*-" — х^~а) — */£A-fl>« 0 mod /„
Ясно, что число ao + «i£+ .".. + az_2^~2 кольца D^
тогда и только тогда делится на /, когда все его коэф-
коэффициенты дО| 0ь •••> ^г-2 делятся на /. Поэтому, если
показатели в D) все различны и отличны от I—1, то
сравнение (.4) возможно только тогда, когда, числа х
и у делятся на /. Таким образом, в этом случае все
доказано.
Пусть среди показателей в D) имеется число /—1*
Это возможно тогда и только тогда, когда
<а> = 0, 1,2,/— 1,
и соответственно
<а-1> = /-1, 0, 1, 1-2,
<-а>= 0, 1-\, 1-2, 1,
<1-а>= 1, 0, 1-Х, 2.
Так как, по условию, / ^ 5, то в каждом из этих четы-
четырех случаев только один из показателей в D) равен
I— 1. Член с этим показателем мы должны преобра-*
зовать по формуле
68

После такого преобразования этот член заменится
суммой одночленов Ь Ё> ..., V с коэффициентами
±х или ±у. Так как число / — 1 этих одночленов не
меньше четырех (ибо /^5), то при приведении по-
подобных членов хотя бы один из них не сократится с
остальными тремя членами левой части сравнения
D). (Например, если {—а) = I— 1, то заведомо оста-
останется слагаемое #£.) Поскольку в результате приведе-
приведения подобных членов в левой части сравнения D) по-
получается число кольца Dt, записанное в нормальной
форме а0 + 0i5 + ... + az_2?-2, коэффициент при этом
оставшемся одночлене должен делиться на /.
Таким образом, и в этом случае либо х, либо у де-
делится на /.
Пусть все показатели в D) меньше /— 1, но пусть
среди них есть равные. Поскольку равенства (а) =
= (а— 1) и (—а) = A — а), очевидно, вообще не-
невозможны (соседние числа не могут давать при деле-
делении на / одинаковых остатков), нам следует рассмо-
рассмотреть только четыре случая
т. е. случаи
а 2= — a mod /, а =1 — a mod /,
а — 1 S5 1 — amod /, а — 1 г= — a mod /.
В первом случае 2а = 0mod/, т. е. 2а=А1, где
Л —целое число (очевидно, четное). Поэтому
4- 1)/
и, следовательно, (а— 1) = /— 1, что, по условию, не-
невозможно. -1
Аналогично, во втором случае 2а =; 2 mod /, т. е.
2а = 2 + Л/, где А — целое (очевидно, четное) число.
Поэтому
и, следовательно, мы снова получаем невозможное
равенство (— а) — / — 1.
69

В третьем же и четвертом случаях 2а = 1 mod l%
т.е. 2а = l-f-Л/, где А — целое число (очевидно, не-
нечетное).
Поэтому
а— 2 -t- 2 *
и, следовательно, \а) =—^—, а значит,
Aа) = <а) = .
Таким образом, в этих случаях сравнение D) приоб-
приобретает вид
/+1 1-Х
E) (х-у)Ъ 2 +(y-*)S 2 =0mod/.
Поскольку левая часть сравнения E) имеет нор-
нормальный вид (показатели -—— и ~ различны и
меньше числа /—1), из него следует, что х — у де-
делится на /, т. е. что
х = у mod/.
Тем самым лемма полностью доказана. И
Из этой леммы и Вспомогательного утверждения
вытекает, что если
F) xl + yl = zl,
где числа х, у, z взаимно просты и не делятся на I, то
xz===ymodl. Но вместе с равенством F) имеет место
и равенство
l l 1
Поэтому то же рассуждение показывает, что л; =
= — z mod /.
Следовательно,
х + у — zze=3x mod /.
С другой стороны, из равенства F) в силу малой
теоремы Ферма вытекает, что
2 = #-]- у modi.
70

Следовательно,
Зл; = 0 mod /,
что невозможно, поскольку / > 3, а х не делится на /.
Итак, предположив, что для не делящихся на Z
взаимно простых чисел х, у, z имеет место соотноше-
соотношение F), мы, используя Вспомогательное утверждение,
получили противоречие.
Тем самым доказано, что первый случай теоремы
Ферма имеет место для всех /, для которых верно
Вспомогательное утверждение.
Поскольку
равенство
G) xl + yl = zl
может быть переписано в следующем виде:
(8) (х + у)(х + 1у) ... (х + £<-'*/) = zK
Если
А) все множители в левой части равенства (8)
взаимно просты;
Б) в кольце А справедлива основная теорема
арифметики,
то каждый из множителей в (8) с точностью до ассо-
ассоциированности будет 1-я степенью (ибо, согласно (8),
их произведение является 1-я степенью). Другими сло«
вами, в кольце Dt найдется такой элемент а и такая
единица е, что, скажем,
Этим доказано Вспомогательное утверждение из
§ 7, с точностью, конечно, до двух больших «если».
Впрочем, первое «если» легко доказывается':
Предложение 1. Если целые рациональные чи«
ела х и у взаимно просты, а их сумма х-\- у не делит*
ся на I, то все числа
(9) х + у, x + ty, ..., x + t*~ly
попарно взаимно просты {в кольце DL).
71

Доказательство. Пусть в Dt существует про-
простой множитель л, делящий два из чисел (9), ска-
скажем, числа х-\-1>тУ и х + ЬпУ> гДе 0 ^ m, n^l— 1
и т^«.
Так как
- Гт (* + Г</) + (* + £пг0 = (i - Гт) *,
Гт С* + Су) - Гт (* + Су) = (i - Гт) г/
и так как 1 — t,n~m ~ 1 — £ (см. § 5), то я делит числа
A-Е)* и A-£)*/•
Так как целые числа х и у взаимно просты, суще-
существуют такие целые числа а и Ь, что ха-\-уЬ === 1. По-
Поэтому я делит число
а значит, и число / ~ A — £)*~1.
Поскольку число л; делит число 1 — £, оно делит
и число 1 — tm ~ 1 — £• Поэтому п делит и число
Но, по условию, числа I и х -\-у взаимно просты.
Поэтому существуют такие числа и и v, что
Это показывает, что я делит 1.
Полученное противоречие доказывает, что любые
два из чисел (9) взаимно просты. Щ
Предложение 1 немедленно обеспечивает выполне-
выполнение условия А), так как в равенстве A) числа х и у,
по условию, взаимно просты, а число г, в силу малой
теоремы Ферма сравнимое по модулю / с числом х-\-у,
не делится по условию на /.
Что же касается условия Б), то, как мы знаем, оно
выполнено только для некоторых /. Следовательно,
мы пока вынуждены ограничиться только этими /.
Резюмируя, мы видим, что метод Эйлера пока по-
позволил нам доказать теорему Ферма в следующей
форме:
Теорема 1. Пусть / ^ 3 — такое простое число,
что в кольце Di справедлива основная теорема ариф*
72

метки. Тогда если для целых рациональных чисел
х, у, z имеет место равенство
то хотя бы одно из этих чисел делится на U
Можно показать (см. § 12), что условиям этой тео-
теоремы удовлетворяют простые числа
(Ю) 1 = 3, 5, 7, И, 13, 17, 19.
В пределах первой сотни других простых чисел, удо-
удовлетворяющих условиям теоремы 1, нет.
Подчеркнем, однако, что проверка того, что для
чисел A0) в кольце Dx справедлива основная теорема
арифметики, является при / > 5 совсем не простой
задачей. Таким образом, утверждать, что для чисел
A0) нами доказан первый случай теоремы Ферма, мы,
собственно говоря, права пока не имеем.
§ 8. Теория дивизоров
Как же дело обстоит с Вспомогательным утвер-
утверждением, когда разложение на простые множители в
кольце D\ не однозначно? Оказывается, что его все же
можно доказать и в этом случае (по крайней мере,
для некоторых /). Идея, принадлежащая Куммеру, со-
состоит, как уже говорилось, в том, чтобы восстановить
в D\ однозначность разложения на простые множи-
множители, добавив некоторые новые «идеальные» числа.
Эта мысль Куммера преобразовала всю теорию алге-
алгебраических чисел и в руках Дедекинда, Кронекера и
Золотарева привела к созданию совершенно новых
концепций, оказавших глубокое влияние на все от-
отделы современной математики.
Идеальные числа Куммера называются теперь «ди-
«дивизорами». Абстрактно» ситуацию с ними можно опи-
описать следующим образом.
Предположим, что нам задано некоторое множе-
множество 2), в котором определено коммутативное и ассо-
циатив'ное умножение, обладающее единицей (в аб^
страктной алгебре такие множества называются ком-
коммутативными моноидами). Элементы моноида 3) мы
73

будем обозначать малыми готическими буквами,
В частности, единицу моноида 3) мы будем обозна-
обозначать символом е.
Говорят, что элемент а е2D делит элемент cg2),
если существует такой элемент Ь е S), что с = аЬ. Эле-
Элемент J) ф г называется простым, если он делится толь-
только на себя и на единицу е. Моноид Ф называется сво*
бодным (коммутативным) моноидом (или моноидом
с однозначным разложением на простые множители),
если каждый элемент ug® может быть представлен
в виде произведения простых элементов
и такое разложение с точностью до порядка множите-
множителей единственно (при г = 0 произведение считается
равным е). Таким образом, в свободном моноиде нет
никаких обратимых элементов («единиц»), кроме «на-
«настоящей» единицы е.
Примером свободного моноида является множество
N натуральных чисел по отношению к умножению.
В свободном моноиде для любых элементов суще-
существует, очевидно, единственный наибольший общий
делитель и единственное наименьшее общее кратное.
Если наибольший- общий делитель равен е, то элемен-
элементы называются взаимно простыми.
Ясно, что в произвольном свободном моноиде со-
хранякУ^ся известные свойства делимости в свободном
моноиде натуральных чисел. Например, если аЬ де-
делится на с и а взаимно просто ее, то Ь делится на
с. Если а и Ь взаимно просты и аЬ = хп9 то существуют
такие элементы cti и Ьь что а = а? и b = bj\ и т. д.
Для произвольного кольца D множество D* всех
его отличных от нуля элементов является, очевидно,
моноидом (приведите пример -кольца, для которого
этот моноид свободен). Предположим, что задано не-
некоторое отображение этого моноида в свободный мо-
моноид 3). Обозначая образ элемента aGfl* симво-
символом (а), мы потребуем, чтобы для любых элементов
a,pGD* было выполнено равенство
т.е. чтобы отображение аь-^(а) было гомоморфизмом
74

моноидов. Тогда, если а делится на р в D, то (а)
будет делиться на (р) в 3), Мы потребуем, чтобы
было верно и обратное:
Аксиома 1. Элемент a^D* тогда и только
тогда делится на элемент C е Z)*, когда элемент
(а)Е2) делится на элемент (р)Е&
В частности, отсюда следует, что (а) = (Р) тогда
и только тогда, когда элементы а и р ассоциированы.
Единицы е кольца D характеризуются поэтому равен-
равенством (е) = е.
Если элемент ct делит элемент (а), то мы будем
говорить, что а делит а. Совокупность всех элементов
аей*, делящихся на элемент а^З), плюс элемент
OeD (который мы, таким образом, по определению,
считаем делящимся на любой элемент сей)), мы
обозначим символом [а]. Естественно потребовать, что-
чтобы сумма и разность элементов кольца D, делящихся
на элемент а е 3), также делилась на а.
Аксиома 2. Если а, Р е [а], то. а ± р е [а].
Наконец, потребуем, чтобы в 3) пе было «лишних»
элементов, т. е. чтобы любые два элемента из S) отли-
отличались по их свойствам делимости по отношению
к элементам кольца D.
Аксиома 3. Если [а] = [Ь], то а = Ь.
Если для кольца D задан свободный коммутатив-
коммутативный моноид 3) и гомоморфизм а^ (а), удовлетво-
удовлетворяющий аксиомам 1—3, то говорят, что в D задана
теория дивизоров. Элементы моноида 3) называются
при этом дивизорами, а дивизоры вида (а), где
аЕД-главными дивизорами. Единица е моноида
3) называется единичным дивизором.
• Заметим, что в этом определении ни существова-
существование, ни единственность теории дивизоров не предпо-
предполагается. Впрочем, можно без труда доказать, что в
некотором естественном смысле теория дивизоров для
данного кольца D может существовать только одна.
Этот факт нам не понадобится, и мы его доказывать
не будем (см. 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич,
Теория чисел, М., 1972, гл. III, § 2, п. 2).
Напротив, 'существование теории дивизоров накла-*
дывает на кольцо D очень сильные ограничения.
75

В общем виде мы этим вопросом заниматься не бу«
дем, поскольку это увело бы нас далеко в сторону.
Легко видеть, однако, что кольцо D, в котором вы-
выполнена основная теорема арифметики, обладает тео-
теорией дивизоров, причем в этой теории все дивизоры
будут главными.
Действительно, пусть й) — множество классов ас-
ассоциированных элементов множества D* (см. § 4).
Обозначая класс, содержащий элемент а, символом
(а) и пояагая (а)(р) = (ар), мы, как непосредствен-
непосредственно проверяется, корректно определим в множестве 3)
умножение, относительно которого оно будет свобод-
свободным коммутативным моноидом. Отображение а»—^ (а)
будет при этом гомоморфизмом, удовлетворяющим
аксиомам 1—3. При этом дивизор (а) будет прост
тогда и только тогда, когда прост элемент а. Н
Обратно, если для кольца D существует теория ди-
дивизоров, в которой все дивизоры главные, то в D вы-
выполнена основная теорема арифметики.
Действительно, достаточно заметить, что в таком
кольце дивизор (я) прост тогда и только тогда, когда
прост элемент я (если я = лазтг, то (л) = (щ) (яг), а
если (п) = (п\) (яг), то л ассоциирован с произведе-
произведением яхзтг; обратим внимание, что здесь существенно
использовано предположение, что все дивизоры глав-
главные), и потому разложение каждого дивизора (а) в
произведение простых дивизоров даст разложение
элемента а в произведение простых элементов, при-
причем с точностью до ассоциированности это разложе-
разложение будет единственно. ■
Таким образом, чем больше неглавных дивизоров,
тем дальше свойства делимости элементов кольца D
(обладающего теорией дивизоров) отличаются от
стандартных свойств делимости натуральных чисел.
Чтобы придать этому высказыванию точный смысл,
назовем два дивизора а и Ь эквивалентными (обозна-
(обозначение а ~ Ь), если они отличаются только на главные
дивизоры, т.е. существуют такие элементы а,рЕЙ*,
что
Ясно, что это отношение действительно являет-
является отношением эквивалентности (оно рефлексивно,
76

симметрично и транзитивно), и потому моноид 3) рас-
распадается на классы {а} эквивалентных между собой
дивизоров. Очевидно, далее, что формула {а} {Ц = {ab}
корректно определяет умножение классов дивизоров.
Это умножение ассоциативно и коммутативно, так что
относительно него множество Ж всех классов дивизо-
дивизоров является моноидом. Этот моноид (точнее, число
его элементов) и измеряет отклонение арифметики в
D от арифметики натуральных чисел.
Заметим, что любой главный дивизор эквивален-
эквивалентен, очевидно, единичному дивизору, т. е. его класс
является единицей моноида Ж, Верно и обратное:
если а ~ е, т.е. (а)а = (|3), то, согласно аксиоме 1,
существует такой элемент у, что ау = Р, и, значит,
(а) (у) = (Р), т.е. а= (у). Таким образом, дивизор
тогда и только тогда эквивалентен единичному диви-
дивизору, когда он является главным дивизором:
а ~ г<=>а = (а).
В случае, когда моноид Ж конечен, число его эле-
элементов, т.е. число классов дивизоров кольца Д мы
будем обозначать символом А. Согласно доказанному
выше, в кольце D тогда и только тогда выполнена
основная теорема арифметики, когда моноид Ж со-
состоит только из одного элемента, т. е. число h опреде-
определено и равно 1. i
Мы наложим на рассматриваемую теорию дивизо-
дивизоров следующие две дополнительные аксиомы;
Аксиома 4. Моноид Ж является (абелевой)
группой, т. е. каждый его элемент обратим.
Аксиома 5. В группе Ж нет элементов поряд-
порядка I.
В последней аксиоме, как и всюду у нас, под /
понимается данное фиксированное простое число.
Из аксиом 4 и 5 вытекает, что если а1 ~ Ъ1, то
а ~ Ъ. Действительно, эквивалентность а1 ~ Ь1 озна-
означает, что для классов имеет место равенство {а}1 =*
= {Ь}\ т. е. (поскольку Ж — группа) равенство
({а} {Ь}) = {е}. Но так как в группе Ж нет эле-
элементов порядка /, последнее равенство возможно
77

только тогда, когда {а} {Ц 1 = {е}, т. е. когда М = {Ь}
и, значит, а~Ъ. Ш
Заметим, что если группа Ж конечна, то аксиома
5 равносильна требованию, чтобы простое число I не
делило числа классов h (порядка группы
Вернемся теперь к теореме Ферма.
Будем называть простое число I регулярным, если
кольцо Di обладает теорией дивизоров, удовлетворяю-
удовлетворяющей аксиомам 4—5. Обратим внимание, что в аксиоме
5 фигурирует то же число I, что и в конструкции коль-
кольца /)/.
Предложение 1. Для каждого регулярного
простого числа I Вспомогательное утверждение из § 7
верно.
Доказательство. Если
*' + */W,
то
(х + у) (x + ly)... {x + V"'y) = zK
Перейдем в этом равенстве к дивизорам. Легко
видеть, что доказательство предложения 1 из § 7 до-
дословно сохранится, если под я понимать не простой
элемент, а простой дивизор. Следовательно, все глав^
ные дивизоры вида (х + £,тУ)> 0 ^.т^.1— 1, попар-
попарно взаимно просты. Поэтому из того, что произведе-
произведение этих дивизоров является 1-й степенью (оно равно
дивизору (zI), следует, что каждый из них будет 1-й
степенью. Таким образом, в частности, существует та-
такой дивизор аЕ2), что
(х+ &) = **. .
Это равенство означает, что а1 ~ е, откуда, как
мы знаем, следует, что а ~ е, т. е. что а== (а) для не-
некоторого элемента keD/. Таким образом,
= (а'),
и потому числа х + Zy и а1 ассоциированы, т. е. суще-
существует такая единица е е Di, что
Тем самым, согласно § 7, для регулярных простых
чисел доказан первый случай теоремы Ферма:
78

Теорема. Если простое число I ^3 регулярно, то
равенство
для целых рациональных чисел х> у и z возможно
только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел де-
делится на L
Конечно, эту теорему следует дополнить исследо-
исследованием, какие простые числа регулярны и как про
данное простое число узнать, регулярно оно или нет.
Без этого теорема 3 никакой реальной ценности, есте-
естественно, не имеет. Но мы пока отложим выяснение
этого вопроса и займемся вторым случаем теоремы
Ферма.
§ 9. Второй случай теоремы Ферма
В этом параграфе мы докажем, что для регуляр-
регулярных простых показателей I справедлив и второй слу-
случай теоремы Ферма, т. е. что равенство
A) xl + Vl = zl
невозможно и тогда, когда одно из (не равных нулю)
чисел х, у, г делится на I.
Поскольку числа х, у, z предполагаются попарно
взаимно простыми, только одно из них может делить-
делиться на /. Мы будем предполагать, что на / делится чи~
ело z, что общности не ограничивает, поскольку если
на / делится, например, у, то достаточно равенство
A) переписать в виде
Пусть z = lhz0, где z0 не делится на /,ча k^ 1.
скольку в кольце Di имеет место равенство
где 8о — некоторая единица (см. § 5, формула A4)),
мы можем переписать равенство A) в следующем
виде (обозначив Zq снова через z и положив m =,
Ц1\))
B) xl+tjl = eklmzl,
где е — единица. Здесь числа х, у, z взаимно просты
73

с /, а значит (рассматриваемые как элементы кольца
Di), и с %.
Мы докажем, что равенство типа B) .невозможно
даже тогда, когда под х, у, z мы будем понимать про-
произвольные числа кольца А, взаимно простые с К (и
потому не равные нулю). Другими словами, мы дока-
докажем, что второй случай теоремы Ферма (для регуляр-
регулярных /) справедлив и в кольце Д.
Заметим, что первый случай теоремы Ферма (и значит, пол-
полная теорема Ферма) также справедлив в кольце Di. Для дока-
доказательства достаточно несколько усложнить рассуждения преды-
предыдущих двух параграфов.
В отличие от первого случая, мы не можем дока-
доказать второй случай только для целых рациональных
чисел: необходимо доказывать более сильное утверж-
утверждение, относящееся к числам из А. (Такого рода си-
ситуация типична для индуктивных доказательств; ча-
часто индукция проходит только тогда, когда мы в до-
достаточной мере усилим доказываемое утверждение.)
В доказательстве мы будем существенно пользо-
пользоваться тем, что главный дивизор I = (А,), где К = 1—£,
является простым дивизором. Мы докажем этот факт
позже (в приложении к § 10), а пока, чтобы не пре-
прерывать изложения, примем его без доказательства.
Число а кольца Д мы назовем полупервичным (у
нас нет здесь возможности объяснить происхождение
этого термина), если, во-первых, оно не делится на I
(т.е. на К) и, во-вторых, существует такое целое ра-
рациональное число Ьо (автоматически отличное от ну-
нуля), что разность а — Ьо делится на I2 (т.е. а =
bd2)
)
Другими словами, число а полупервично, если в
его разложении A5) из § 5 число Ьо не делится на /,
a &i = 0.
Легко видеть, что для любого числа а е Dj, не де~
лящегося на I, существует такое целое рациональное
число а, что произведение £аа полупервично.
Действительно, согласно формуле A5) § 5,
а=&0 + b{k mod I2,
где, по условию, Ьоф Omod/. Пусть а0 — такое целое
рациональное число, что aobo = 1 mod /, и пусть а =.
№

Так как
£в = A — Я)а= 1 - аХ mod A2,
то
а60) Л mod
Но, по построению, Ь\ — ab0 = Ь\ A — ао6о) делится
на /, а, значит, и на X.
Следовательно, £аа = &о mod Л2. И
Поскольку tf = 1, равенство B) не меняется при
умножении чисел х, у и z на любые степени числа £.
Поэтому, без ограничения общности, мы можем счи-
считать, что все числа х, у и z в равенстве B) полупер-
полупервичны. Заметим, что при этой редукции показатель m
не меняется.
После этих предварительных замечаний мы можем
непосредственно перейти к доказательству невозмож-
невозможности равенства типа B).
Предполагая, что равенства типа B) существуют,
выберем среди них то, у которого показатель m наи-
наименьший (а числа х, у, z полупервичны и, напомним,
взаимно просты с I). Чтобы не вводить новых обо-
обозначений, будем считать, что этим равенством яв-
является B).
Заметим, что теперь m уже не имеет, вообще го-
говоря, вида k(l—1). Однако, тем не менее, справед-
справедлива следующая лемма:
Лемма 1. Показатель m больше единицы:
т> 1.
Доказательство. Перепишем равенство B)f
разложив левую часть на множители.:
C) (х + у) (х + Ъу) ... (х + t*-4j) = гК^гК
Так как дивизор I = (X) прост, то хотя бы один из
множителей слева должен делиться на I. Но так как
все эти множители сравнимы друг с другом по "моду*
лю I (ибо (х + Z?y) — (х + Ъъу) = 1а{\ — £*-«)у делит-
делится на Х=1—£), то на I делится каждый из них,
В частности, на I делится х-\-у.
Поскольку числа х и у полупервичны, существует
такое целое рациональное число а, что
81

(число х + у не полупервично, потому что оно делится
на А,). Это сравнение показывает, что целое рацио-
рациональное число а делится на h Но тогда оно делится
на /, т. е. на А/. Значит, оно заведомо делится на А,2,
а потому на К2 делится и число х + у.
Таким образом, в равенстве C) все множители
слева делятся на К, а первый из них делится даже на
Л2. Следовательно, левая часть этого равенства делит-
делится на kl+l. Поэтому на А/+1 делится и правая часть.
Так как z взаимно просто с А,, это возможно только
тогда, когда т > 1. В
Произведенное исследование делимости на К мно-
множителей левой части равенства C) можно уточнить:
Лемма 2. Числа
D)
делясь на А,, не делятся на АЛ Число
х + у
делится на Jj(m-1h-lj но не делится на Я^т~1)+2.
Доказательство. Достаточно, очевидно, дока-
доказать, что ни одно из чисел D) не делится на К2. Пусть,
например, число х + £ку делится на К2. Тогда на К2
будет делиться число
а значит, и число 1 — £ft, что невозможно, ибо, как мы
знаем, число 1—£* ассоциировано с К = 1—£. ■
Пусть теперь m — наибольший общий делитель
главных дивизоров (х) и {у). Так как х и у не делят-
делятся на I = (Я), то и m не делится на I. Поэтому, согла-
согласно лемме 2, дивизоры вида (х + фу), кфО, делятся
на Im, а дивизор (х + у) — даже на Iz(m-1)+1ra. Пусть
E) (* + E*0) = lmcft> *=1, ... ,1-1.
Согласно лемме 2, ни один из дивизоров Со, Сь . • •, U-i
не делится на I.
Лемма 3. Дивизоры Со, Ci, «*,, U-\ попарно вза*.
имно просты,
82

Доказательство. Пусть, например, дивизоры
d и ел, 0 ^.i <. k z^. I — 1, имеют общий делитель р.
Тогда числа х + £г# и x^-tpy делятся на Imp и потому
числа
(х + ?у) V-(x + ?у) tk = С'.A - ¥"') х,
также делятся на Imp. Поскольку множитель
£г'A — £*-*) ассоциирован с Я = 1 — £, отсюда следует,
что числа хиу делятся на тр, что противоречит опре-
определению наибольшего общего делителя. Ш
Перейдя в C) к дивизорам и подставив их выра-
выражения E), мы получим (после сокращения на 11т)
равенство
где 3 = (z). Поскольку дивизоры Со, Сь • .., и попарно
взаимно просты, это равенство возможно только то-
тогда, когда эти дивизоры являются /-ми степенями, т. е.
имеют вид
F) с, = а|, / = 0, 1,..., /-1,
где di — некоторые дивизоры (очевидно, не делящие-
делящиеся на I).
Лемма 4. Дивизоры <to, cti, ..., a/_i эквивалентны
(принадлежат одному классу).
Доказательство. Подставив в E) выражения
F), мы получим, что
Перемножив эти равенства «крест накрест» и сокра-
сократив на ml, мы получим соотношения
G) (х + у)ai = (x + ?у)(Г-'ооУ. k = l,...9l-l,
означающие, что а{~Aт~~1аоУ. Так как число / регу-
регулярно, то отсюда следует, что а^^^1т"а0. Но дивизор
1 = (Я) главный и потому 1т-1ао^ао. Таким образом,
Ч^^о Для любого k=l, ..., / — 1. Ш
83

Согласно лемме 4, существуют такие числа
aki Pa <= Dh что
(8) (аЛ)Оо = (Р*)аЛ, ft = l, ..., /-1.
Так как дивизоры а*, Г= 0, 1, *.., /—1, не делятся
на 1 = (Я), то без ограничения общности можно счи-
считать, что числа аи и |3& не делятся на К.
Умножив равенства G) на (аи^иI и воспользовав-
воспользовавшись соотношением (8), мы получим следующее соот-
соотношение между главными дивизорами:
Но равенство главных дивизоров равносильно равен-
равенству соответствующих чисел с точностью до множи-
множителя, являющегося единицей. Следовательно,
(9) (х + ?у)кНт-% = & + у)гА>
где £& — некоторая единица кольца Di. Это равенство
нам понадобится только при £ = 1,2.
Лемма 5. В кольце Di существуют такие числа
#ь Р» гь не делящиеся на К (а значит, отличные от
нуля), и такие единицы ео и е, что
A0) х\ + г4 = гХПт-пг\.
Доказательство. Покажем, что равенство
A0) имеет место при
°°— 8,A+ С) ' °~ 8,A+»
(ясно, что число 1 + £ является единицей).
Так как
то, умножив это равенство на АДт~'> и воспользовав-
воспользовавшись соотношением (9) при k—\,2, мы,получим, что
Сократив это равенство на х-\-у и умножив
(PiWV'O +СГ1» мы и получим A0). ■
84

Теперь мы уже без особого труда можем прийти
к противоречию.
Как мы знаем, для числа Х\ существует такое це-
целое рациональное число Ьо (не делящееся-на X, а зна-
значит, и на /), что число х{— Ьо делится на X. Но тогда
число (xi—-b0I делится на X1 и потому делится на
I ~ kl~l. Так как, с другой стороны,
(х{ — &оу=*{ — bl0 mod /,
этим доказано, что
x\ = amodlf
где а = b[.
Аналогично показывается, что существует такое
целое рациональное число Ь, не делящееся на X, что
• р' = Ъ mod /.
С другой стороны, так как 1(т—1)^/>/—1
'(см. лемму 1), то правая часть соотношения A0) де-
делится на / ~ Х1~1. Следбвательно, на / делится и левая
часть. Другими словами,
а + ео6 гз 0 mod /.
Но, поскольку b не делится на /, существует такое це-
целое число Ь\ что ЬЬГ = 1 mod /. Поэтому
е0 =е= b'be0 s= — Ъ'а mod /,
Этим доказано, что единица ео удовлетворяет усло-
условиям леммы Куммера из § 6. Следовательно, она яв*
ляется /-й степенью некоторой другой единицы rj:
80 = Г]/.
Таким образом, в кольце А существуют такие (от-
(отличные от нуля) числа jci, r/i = т)р и ги не делящиеся
на Х7 и такая единица е, что
. Мы видим, что, отправляясь от равенства B) с
показателем т, мы пришли к такому же равенству с
меньшим показателем т—1. Поскольку это невоз-
невозможно (показатель т был выбр&н наименьшим воз-
возможным), тем самым доказано, что равенство B) не-
невозможно. ■
85

Резюмируя, мы видим, чт теорема Ферма нами
доказана для всех регулярных простых показателей:
Теорема. Если простое число I ^ 3 регулярно,
то ни для каких отличных от нуля целых рациональ-
рациональных чисел х, у, z равенство
невозможно.
Теперь нам остается только исследовать, какие
простые числа регулярны, а какие нет, т.е. исследо-
исследовать объем понятия регулярного простого числа. .
• Оказывается, что в наше определение регулярного
простого числа входят требования, которые выполне-
выполнены для любого простого / и которые, следовательно,
можно исключить. Именно, оказывается, что каждое
кольцо Di допускает теорию дивизоров, в которой вы-
выполнена аксиома 4 из § 8.
Это утверждение является частным случаем общей
теоремы, относящейся к кольцам целых элементов
произвольного поля алгебраических чисел (см. конец
§ 11). Впервые эта общая теорема была доказана Де-
декиндом (тогда как утверждение о кольце D\—Кум-
мером) и впоследствии неоднократно передоказыва-
передоказывалась многими авторами. Мы докажем эту теорему,
следуя идеям Дедекинда.
§ 10. Теория идеалов
Пусть D — произвольное кольцо. Непустое подмно-
подмножество А кольца D называется его идеалом (термин
предложен Дедекиндом из-за связи с идеальными
числами Куммера), если
1) а±рЕЛ для любых элементов а, ре Л;
2) оф е А для любых элементов абД рей
Примером идеала является так называемый нуле*
вой идеал, состоящий только из нуля 0 кольца D*
В дальнейшем все идеалы предполагаются ненуле*
выми.
Примером ненулевого идеала является само коль-
кольцо D.
Этот идеал называется единичным. Иногда мы бу--
дем его обозначать символом A).

Последний пример может быть обобщен. Пусть
«ей — произвольный отличный от нуля элемент
кольца D. Ясно, что все элементы кольца D, делящие-
делящиеся на а, составляют идеал. Этот идеал обозначается
символом (а) и называется главным идеалом, порож-
порожденным элементом а. При а = 1 (а также при а, яв-
являющемся произвольной единицей) мы, очевидно, по-
получаем единичный идеал.
Ясно, что пересечение любого семейства идеалов
такоюе является идеалом. Поэтому для любого множе-
множества XczD существует наименьший идеал, содержа-
содержащий это множество (им является пересечение всех
идеалов, содержащих X). Этот идеал обозначается
символом (X) и называется идеалом, порожденным
множеством X.
Легко видеть, что идеал (X) состоит из всех эле-
элементов вида aigi-f- ... + ап|п> где аи .... anED и
1и • *. > In e X (докажите!).
Если X состоит из конечного числа элементов
gi, ..., gn, то идеал (X) обозначается символом (|i,...
..., gn). В частности, при п=\ мы получаем глав-
главный идеал (gi).
Кольцо D называется кольцом главных идеалов,
если в нем любой идеал главный. Поскольку утверж-
утверждение, что (а, Р) = (б), в точности равносильно то-
тому, что б является наибольшим общим делителем эле-
элементов а, р и имеет вид ах0 + р#0> мы видим, что в
случае, когда любой идеал порождается двумя эле-
элементами (или хотя бы конечным числом элементов),
это понятие кольца главных идеалов совпадает с по-
понятием, введенным в § 4.
В случае, когда кольцо D допускает теорию диви-
дивизоров, понятие главного идеала может быть обобще-
обобщено иным способом. Именно, согласно аксиоме 2 из
§ 8, для любого дивизора а множество [а] всех эле-
элементов кольца D (включая нуль), делящихся на а,
обладает свойством I) идеалов. Свойство 2) для него
также, очевидно, выполнено. Следовательно, [а] явля-
является идеалом.
Таким образом, соответствие а*—> [а] переводит ди-
дивизоры в идеалы и обладает, очевидно, тем свойством,
что -для любого главного дивизора (а) соответствую-
87

щий идеал [(а)] — это в точности введенный выше
главный идеал (а). Это оправдывает обозначение
одним и тем же символом главного дивизора и соот-
соответствующего главного идеала; при достаточной вни-
внимательности это привести к недоразумениям не мо-
может.
Согласно аксиоме 3 из § 8, отображение с—>[а]
моноида дивизоров в множество идеалов инъективно,
т. е. различные дивизоры оно переводит в различные
идеалы. Это, казалось бы, позволяет отождествить
дивизоры с идеалами и, в частности, строить .теорию
дивизоров, исходя, из идеалов. В этом и состоит идея
Дедекинда. С его точки зрения, дивизоры и идеалы—■
это одно и то же.
Однако оказалось, что существуют кольца, допу«
екающие теорию дивизоров, но в которых есть идеа-»
лы, не имеющие вида [а] (примером является кольцо
многочленов от двух переменных и в нем идеал всех
многочленов без свободного члена). Таким образам,
в этих кольцах «слишком много» идеалов. С другой
стороны, имеются кольца, моноид главных идеалов
которых не погружается в свободный моноид. В таких
кольцах теория дивизоров вообще невозможна.
Поэтому в настоящее время принято строго раз-
различать идеалы и дивизоры.
Программа Дедекинда удалась только потому, что
в кольцах целых алгебраических чисел идеалы обра-
образуют свободный моноид и в этих кольцах нет «лиш-
«лишних» идеалов.
Проводя в-жизнь идею Дедекинда, следует, конеч-
конечно, начать с определения умножения идеалов.
Пусть А и В—два идеала произвольного (пока)
кольца D. Рассмотрим множество X всех элементов
вида аC, где абД реВ. Это множество, вообще го-
говоря, идеалом не является. Мы примем за произведем
ние АВ идеалов А и В идеал, порожденный множе-
множеством X. Согласно сказанному выше, идеал АВ со^
стоит из всевозможных элементов вида ctiPi+ ...
... +anpn, где ai, ..., апеД Рь ..., рп^В.
Ясно, что это умножение ассоциативно, коммута-
коммутативно и обладает единицей (ею .служит идеал A) =
= D). Таким образом, относительно этого умножения
88

множество Id(D) всех {ненулевых) идеалов кольца D
является моноидом.
Легко видеть, что главный идеал, порожденный
произведением элементов кольца D, является произве-
произведением соответствующих главных идеалов:
A) (ар) =
Это означает, что отображение а»—>(а) моноида D*
в моноид \&{D) представляет собой гомоморфизм.
Если кольцо D допускает теорию дивизоров, то
инъективное отображение а*—>[а] будет обладать тем
свойством, что [a][b]czjab] для любых дивизоров а и Ь.
Однако утверждать, что оно будет гомоморфизмом
моноида 3) в моноид Id(D), т. е. что для любых диви-
дивизоров а и Ь будет иметь равенство [a][b] = [ab], вообще
говоря, нельзя. Это равенство заведомо выполнено
только тогда, когда а и Ь — главные дивизоры.
Из формулы A) следует, что если элемент а де-
делит элемент у, то идеал (а) делит идеал (у). Обрат-
Обратное также верно: если (а) делит (у), то а делит у.
Действительно, ясно, что любой идеал вида (а) В со-
состоит из всех элементов вида ар, где PgB. Поэтому,
если (а)В= (у), то apO5=Y> гДе Ро^В, т. е. у де-
делится на а. Ш
Таким образом, для отображения ось->(а) выпол-
выполнена аксиома 1 теории дивизоров.
Полезно также иметь в виду, что если (у) A = (y)B,
то А = В (возможность сокращения на главный
идеал). Действительно, равенство (у)А = (у)В озна-
означает, что любой элемент вида уа> ссеЛ, имеет вид
YP, рЕВ, и обратно. Сокращая на у, мы получаем,
что любой элемент аеЛ лежит в В и обратно. В
По построению АВаА. Таким образом, если
идеал С делится на идеал Л, то С а А. (Обратите
внимание, что делящий идеал «больше» делимого
идеала.)
Обратное, во всяком случае, верно, когда идеал А
главный, т. е. если Ccz(a), то существует такой идеал
В, что С= (а)В. Действительно, включение Сс(а)'
означает, что любой элемент у е С имеет вид сф? где
PgD. Пусть В — множество всех таких элементов
PgD, что ap e С. Непосредственно проверяется, чтб
В — идеал и что (а) В = С. Ш
8$

Чтобы пойти дальше, необходимо наложить на D
определенные условия. Мы не будем пытаться искать
минимально необходимые условия, а наложим на D
условия, позволяющие наиболее быстро прийти к це-
цели, и вместе с тем не исключающие колец Di, которые,
собственно говоря, нам только и нужны.
В первую очередь мы потребуем, чтобы в D суще-
существовало п таких элементов
С0ь С02> • • •» ®п
(где п — некоторое натуральное число), что любой
элемент aGD однозначно представляется в виде
B) а = а{®х + а2а>2 + ... + ап<ьп,
где а\, п2, ..., ап—целые рациональные числа. На
языке теории групп это свойство означает, что адди-
аддитивная группа кольца D является решеткой (свобод-
(свободной абелевой группой) ранга п с базисом соь сог, ...
..., соп. Кольцо Di обладает этим свойством при
П = /— 1, И COi = 1, С02 = £, . . . , СОп = V'2-
В теории групп доказывается, что любая подгруп-
подгруппа А решетки D ранга п является решеткой ранга
Изложим для полноты доказательство этого утверждения.
Пусть Ah, & = 1, ..., п + i, — подгруппа группы Л, со-
состоящая из элементов B), для которых «i = ... = a/t_i = 0.
(Таким образом, Л4 = А и An+i = 0.) Ясно, что для любого
k = 1, ..., п множество всех коэффициентов аь, элементов из Ak
составляет идеал (возможно, нулевой) в кольце целых чисел Z.
Но в этом кольце все идеалы главные (ибо имеет место алго-
алгоритм деления с остатком), и поэтому существует коэффициент
al£\ порождающий этот идеал (случай а{^ = 0 здесь не исклю-
исключается). Пусть |а — произвольный элемент группы Ak с этим
коэффициентом (если at$ = 0, то мы положим %k = 0).
Покажем, что элементы £i, ..., \п порождают группу Л,
т. е. что любой элемент а е Л имеет вид
C) a = 6,6i+ .-• +Ьп1п-
где bi, ..., Ьп — целые рациональные числа.
Поскольку An+i = 0, то для элементов из Ап+\ формула C)
имеет место. Рассуждая по индукции, предположим, что для не-
некоторого k ^ п уже доказано, что любой элемент из Ak+\ имеет
вид C) (с bi = ... = bk = 0), и покажем, что тогда любой эле«
мент as,Ah также имеет вид C) (с Ь± =..., = bh~i = О).-
Ясно, что этим все будет доказано,
90

Пусть
По построению коэффициент ah делится наа^0) (если а$ = 0, то
пк = О для всех элементов а£4), т.е. существует такое целое
число bhi что ak = а(^0)^^. Тогда а — Ь&и е Aft+i и потому
bk+\%k+\ + ••• + bnln. Следовательно, а = bk\k +
+ + ^^
Вообще говоря, среди элементов gb ..., |п могут быть
равные нулю. Перенумеровав (если нужно) эти элементы, мы
можем считать, что gi ф О, ..., |г =И= 0 и |r+i = 0, ..,, |п = 0.
Соответствующим образом перенумеровав элементы базиса
Wi, ..., ©п, мы при этом можем считать, что для любого
& = 1, ..., п по-прежнему ^еЛ^, т.е. что в выражении эле-
элемента |л через базис coi, ..., ©п коэффициенты при coi, .,., coa-i
равны нулю. Но теперь, кроме того, мы мол^ем утверждать, что
при k = 1, втту г коэффициент «^элемента §&. отличен от нуля,
ибо, по построению, а^ = 0 только при ^k = 0.
Отсюда следует, что элементы gi, ..., gr независимы, т. е.
равенство aigi + ... + ar\r = 0, где аи ..., аг — целые рацио-
рациональные числа, имеет место только при cti = 0, ..., аг = 0. Дей-
Действительно, в противном случае будет существовать отличное от
нуля число а% с наименьшим /, и тогда в разложении элемента
Gigi +... + tfrgr = 0 по базису ©i, ..., ©я коэффициентом при
со г будет отличное от нуля число ataf\ что невозможно.
Этим доказано, что любой элемент а €Е Л однозначно выра-
выражается через gi, ..., gr, т. е. что Л является решеткой с базисом
£i, ..., £г (и, следовательно, ранга г). Щ
Далее, известно, что ранг п решетки не зависит
от выбора базиса и равен максимальному числу не-
независимых элементов решетки.
Действительно, элементы базиса по определению независимы,
а любые п + 1 элементов зависимы (ибо любая система п одно-
однородных линейных уравнений с n-\- \ неизвестными с целыми
коэффициентами имеет нетривиальное решение, состоящее из це-
целых чисел).
Заметим, что, в отличие от классического случая линейных
пространств, не любые п независимых элементов решетки состав-
составляют ее базис. Для этого необходимо и достаточно, чтобы опре-
определитель, составленный из коэффициентов разложений этих эле-
элементов по элементам базиса, был равен ±1 (см. приложение
к этому параграфу).
Кроме того, из теории групп известно также, что
для любой подрешетки А ранга п факторгруппа D/A
конечна.
91

Действительно, при г = п мы имеем в А базис
вида
где ajO)^=O, ..., а^0)^0, откуда непосредственно следует, что
элементы вида
где
составляют полную систему смежных классов группы D по под-
подгруппе А. Следовательно, D/A является конечной группой по-
рядка |а<°>4°>...40)|.
Отсюда следует, что существует только конечное
число подгрупп группы Z), содержащих подгруппу А.
Действительно, при естественном гомоморфизме D -*• DjA та-
такие подгруппы взаимно однозначно соответствуют всевозможным
подгруппам группы DjA, а этих подгрупп конечное число.
Все эти утверждения применимы к произвольному
идеалу А кольца D, поскольку, по определению, идеал
является, в частности, подгруппой аддитивной группы
кольца. Таким образом, во-первых, мы видим, что
любой идеал А является решеткой, .
Во-вторых, так как для любого элемента аЕД
элементы асоь ..., асоп идеала Л, очевидно, незави-
независимы, то ранг любого идеала кольца D (рассматри-
(рассматриваемого как решетка) равен пу т. е. идеал А обладает
базисом из п элементов.
Эти элементы, очевидно, порождают идеал Л, так
что любой идеал А кольца D порождается конечным
числом элементов, т.е. имеет вид Л=(аь ..., аш)э
где аь «.., ameD (вообще говоря, число m может
быть и меньше ранга п).
В-третьих, мы видим, что, поскольку любой дели-
делитель идеала А является подгруппой, содержащей Л,
для любого идеала кольца D существует только ко-
конечное число различных содержащих его идеалов и,
в частностиt только конечное число различных дели-
92

телей. Очевидной индукцией отсюда немедленно вы*
текает, что любой идеал кольца D разлагается в про-
произведение простых идеалов (далее неразложимых).
Кроме того, мы можем теперь доказать, что в не-
некоторых случаях сокращение равенств идеалов воз-
возможно и на не главный идеал. Для этого нам потре-
потребуется следующая лемма (в которой под «числами»
можно понимать элементы произвольного колыша):
Лемма 1. Пусть
[Pll ••• Pl/2 II
ft ft
Pttl • • • Pntl ||
—произвольная матрица и р — некоторое число. Если
существуют такие числа gb ..,, gn, хотя бы одно из
которых отлично от нуля, что имеют место равенства
Р%\ = PllSl + • • • + Pl/iS«i
E)
Pin = P/illl + . . . + P/mSnt
то число р является корнем уравнения
F) xn + fllXn-l+ _ +р„ = 0,
коэффициенты рь ..., рп которого выражаются через
элементы матрицы D) посредством действий сложе-
сложения, вычитания и умножения.
С помощью этой леммы легко доказывается, что
для любых идеалов А и В из равенства
АВ==А
следует, что В = A).
Действительно, пусть gi, ...., gn — базис идеала А.
Тогда любой элемент идеала АВ может быть, как
легко видеть, представлен в виде gi|3i+ ... +|прл,гдо
Рь ..., Рп е В. Поскольку АВ = В, отсюда следует,
что для £ь ..., In имеют место равенства вида
Si =SiPn + •' * + irtPirt»
т. е. равенства D) с р=1. Поэтому число р=1
является корнем уравнения вида F), т. е., другими
словами, имеет место равенство 1 =>—Pi— .•• —ри,
93

где |3ь ..., рп выражаются через элементы р^- идеала
В посредством действий сложения, вычитания и
умножения и, следовательно, принадлежат этому
идеалу. Но тогда и 1еВ, т. е. В= A). И
Сама же лемма 1 непосредственно вытекает из простейших
фактов линейной алгебры. Действительно, равенства E) озна-
означают, что (|i, ..., ^п)¥={0, ... 0) является решением системы
линейных однородных уравнений
Но из линейной алгебры известно, что если система п линейных
однородных уравнений от п неизвестных имеет решение Ф @, ...
,.., 0), то ее определитель равен нулю.
Следовательно,"
Рп — р ... $т
=0.
Prci •• • Рпп — Р
Раскрыв этот определитель, мы и получим для р уравнение
вида F). ■
Чтобы пойти дальше, мы еще больше сузим класс
рассматриваемых колец. Именно, мы потребуем, что-
чтобы для кольца D существовало п его инъективных
отображений cn->a(i), i= 1, „,.,«, в поле комплекс-
комплексных чисел С, сохраняющих сложение и умножение
(т. е. являющихся мономорфизмами) и таких, что для
любого aGD элементарные симметрические много-
многочлены от aSx\ ..., a(n> являются целыми рациональ-
рациональными числами (иными словами, требуется, чтобы мно-
многочлен (х — аA)) ... (х — а<эт>) имел целые коэффи-
коэффициенты).
Для кольца Di такие отображения были построены
в §5.
Для произвольного D мы введем норму Na эле-
элемента a^D формулой
Эта норма является целым рациональным числом,
но, вообще говоря, уже не 'обязательно неотрицатель-
неотрицательным (хотя по-прежнему Na = 0 тогда и только-тогда,
когда а = 0). Как и в случае кольца Du для любых
элементов a, p ^ D имеет место равенство
94

(ибо, по условию, (ар)<*)=а<г">рю для любого i=\t ..•
..., п). Кроме того,
для любого рационального а.
Удобно (хотя совсем необязательно) «вложить» кольцо D
в поле С посредством отображения ai—>а^\ т. е. считать, что
D cz С и а*1) = а для любого а е ZX (Заметим, что в случае
кольца Di дело обстоит Ихменно так.)
Считая кольцо D вложенным в поле С, мы можем
определить поле отношений К кольца D просто как
наименьшее подполе поля С, содержащее кольцо О,
D
или, иначе, как множество всех чисел из С вида —,
где а, р е D и а ф 0, избегая, тем самым, простой, но
несколько кропотливой абстрактной процедуры по-
строения этого поля для кольца D, не вложенного в С.
В случае кольца Di для любого /= 1, ..., /г, где
п = I— 1, было выполнено включение a(i) e D. Теперь
это, вообще говоря, не так. Однако легко видеть, что
аB) ... a<n> e D для любого аеД т. е. что Ма де-
делится на а в D. Действительно, по условию число
а = а@ удовлетворяет уравнению вида
с целыми коэффициентами, причем Na=(—\)псп.
Поэтому
а а х ' а
Известным уже нам рассуждением (см. § 5) отсю-
отсюда выводится, что любой элемент £ = — поля К мо-
(X
жет быть (очевидно, единственным образом) записан
в виде
G) g = ЛГхСО! + . . , + Xn(S)ny
где хи •••> хп — рациональные числа (и, конечно,
каждое число | такого вида лежит в К).
95

Лемма 2. Существует такое натуральное число
T—T(D), зависящее только от кольца D, что для
каждого^ элемента g е К найдется такой элемент а е
^ D и такое натуральное число s < Г,
Доказательство. Выбрав в D базис ©ь ...
..,, о)п, мы примем за Т произвольное натуральное
число, удовлетворяющее неравенствам
где Q — некоторое натуральное число.
Ясно, что для любого элемента G) поля К и лю-
любого натурального i можно подобрать такой элемент
&i e Dy что для элемента
(8) /£ —ai = #i©i+ ... +Уп®п
будут выполнены неравенства
0<lyil<l, ..., 0<|уп|<1.
Разобьем полуинтервал [0, 1) на Q полуинтерва-
полуинтервалов вида
Каждая координата у\, ..., уп числа (8) лежит в
одном из этих интервалов. Поэтому существует всего
Qn возможностей распределения этих координат по
полуинтервалам (9). Следовательно, если мы рас-
рассмотрим числа (8) для всех i от 0 до Qn (т. е. всего
Qn + 1 чисел), то по крайней мере два числа будут
давать одну и ту же комбинацию распределения ко-
координат по полуинтервалам (9). Разность этих чисел
имеет вид sg — а, где seN, a аЕЙ/, а ее коорди-
координаты удовлетворяют неравенствам
\yi\<-Q, ••> \yn\<-Q-
Поэтому
96

и, значит,
Для завершениям доказательства остается заметить,
что натуральное число s, являясь разностью двух на-
натуральных чисел, не превосходящих Qn, также не пре-
превосходит Qn и, следовательно, меньше Т.Ш
По аналогии с дивизорами назовем два идеала А
и В эквивалентными, если существуют такие главные
идеалы (а) и (р), что
Ясно, что множество всех идеалов распадается на
классы эквивалентных идеалов.
Предложение 1. Для любого кольца D, удов-
удовлетворяющего перечисленным выше условиям, число
классов идеалов конечно.
Доказательство. Пусть А — произвольный
идеал.
Среди отличных от нуля чисел идеала А суще-
существует число ао, для которого натуральное число
\Nao\ имеет наименьшее возможное значение, так что
для любого отличного от нуля элемента абА
Пусть аеЛ Применив лемму 2 к элементу
мы найдем натуральное число $<Г и элемент
удовлетворяющие соотношению
i-»)!<••
т. е. соотношению
Поскольку sa— уао^А, это неравенство возмож-
возможно только при sa = уосо- Этим доказано, что ао делит
элемент sa, а значит, и элемент Sa, где S = Л.
4 М, М„ Постников 97

Таким образом, для любого элемента а е А суще-
существует такой элемент peD, что
A0) aop = Sa.
Пусть В — множество всех таких р (при всевоз-
всевозможных а ^ Л). Ясно, что если рь [32 е В, то Pi ± р2 ^ В
(если a0Pi = «Sc^ и a0p2 = Sa2, где ab a2 e Л, то
ao (Pi ± p2) = S {a{ dz a2), где a{ ± a2 e Л). Кроме того,
если aop = Sa, то a0 (py) = S (ay) для любого у ^ D,
и, следовательно, pv ^ В (ибо ay e Л). Этим дока-
доказано, что В представляет собой идеал.
Равенство A0) означает теперь, что
т. е. что идеал В эквивалентен идеалу Л.
Кроме того, так как ао^Л, то (S) (ao)cz(ao)B,
т. е. (S) си В.
Но мы уже знаем, что число идеалов, содержащих
данный фиксированный идеал (в нашем случае —
идеал (S)), конечно. Таким образом, каждый идеал Л
эквивалентен идеалу В, принадлежащему некоторому
конечному множеству идеалов.
Следовательно, число классов идеалов конечно. Ш
Пусть снова Л — произвольный (ненулевой) идеал
кольца D. Попробуем доказать, что некоторая его
степень Лт, т ^ 0, является главным идеалом.
Так как число неэквивалентных идеалов конечно,
должны существовать такие два числа р > 0 и q > 0,
что Л^ ~ Л^+з. По определению, это означает, что су-
существуют такие элементы a, p e D*, что
A1) (а)Лр
Пусть |ь ..., £п — базис идеала Лр. Тогда любой
элемент идеала Ap+qczAp может быть представлен .в
виде a\li + ... J-anlnf где аь ..., an —целые рацио-
рациональные числа, а значит, любой элемент идеала
(Р)Лр+з — в виде P(ai§i+' ... +Яп§п). В частности,
такое представление будут иметь элементы agi, ..«
+ Таким образом, полагая
98

мы видим, что справедливы равенства вида
pel = anh + «..
где ciij, I, /= 1, ..., я, — целые рациональные числа*
Применив к этим равенствам лемму 1, мы получим,
что число р является корнем некоторого алгебраиче-
алгебраического уравнения /z-й степени
A2) хп + агх^ + ... +яя = 0
с целыми коэффициентами ai, ...,an и равным еди-
единице старшим коэффициентом.
Назовем кольцо D целозамкнутым, если любой
элемент р его поля отношений К, удовлетворяющий
уравнению вида A2), принадлежит D.
Таким образом, если D целозамкнуто, Top = -geZ)>
т. е. р делит а.
Поэтому равенство A1) мы можем сократить на
Р и записать в следующем виде:
Пусть теперь Уь •••> Тя — базис идеала Aq. Так
как yilj^Ap+q = (p)Apt где/, /= 1, .. .,п, то при любом
/= 1, ..., п для числа
имеют место равенства вида
откуда, как и выше, следует, что р* является корнем
некоторого уравнения вида A2) и, значит (в силу
целозамкнутости кольца D), лежит в D. Это означает,
что у* делится на р.
Следовательно, на р делятся все числа идеала A<i.
Сокращая их на р, мы, очевидно, получим некоторый
новый идеал В (с базисом pi, ..., рп). По построению,
4* 99

'(p)B = Ач и, значит,
Но мы знаем, что в моноиде идеалов возможно
сокращение равенств на главный идеал. Следова-
Следовательно,
откуда, как мы знаем, следует, что В = A). Поэтому
Тем самым нами доказано следующее предложе-
предложение:
Предложение 2. Если кольцо D, удовлетво*
ряющее перечисленным выше условиям, кроме того$
еще целозамкнуто, то некоторая степень любого идеа-
идеала является главным идеалом. В
Следствие. Для любого идеала А существует
такой идеал А\ что произведение АА' является глав*
ным идеалом.
Действительно, достаточно положить А'=*АЯ~1*
Отсюда непосредственно вытекает ряд важных
выводов.
Например, теперь легко показать, что закон сокра*
щения справедлив для любых идеалов, т.е.если СА=.
= СВ, то А = В. Действительно, пусть С— такой
идеал, что С'С=(у). Тогда (у)А = С'(СА) =
= С'(СВ) = (у)В, и, следовательно, А = В. Ш
Далее, если С си А, то А делит С, т. е. существует
такой идеал В, что С = АВ. Действительно, если Сс
с А, то СА' czAA' для любого идеала А\ Если, в "ча-
"частности, идеал АА' главный, то, как мы выше уже
доказали, существует такой идеал В, что СА' = А А'В.
Сокращая на А\ мы и получим, что С = АВ. И
В частности, отсюда Следует, что любой простой
идеал Р максимален, т. е. если A id Р, то А = A).
Наконец, легко видеть, что элемент aGfl тогда а
только тогда делится на идеал А (т. е. на А делится
идеал (а)), когда аеЛ. Действительно, если (а)
делится на Л, то (а) сЛ и потому аеА Обратно,
если аеЛ, то (а) с=Л и,, следовательно, по доказан-
доказанному, Да) делится па А. Ш
100

Последнее утверждение в точности означает, что
для моноида идеалов (с отображением а.—^ (а)) вы-
выполнена аксиома 3 теории дивизоров (см. § 8). Аксио-
Аксиома 2 также, очевидно, выполнена (если аир делятся
на Л, тоаеЛ, реЛ и потому а ± Р е Л, т. е. а ± р
делится на Л). Выполнение аксиомы 1 мы выше уже
отмечали.
Таким образом, для того чтобы показать, что мо-
моноид идеалов Id(D) вместе с отображением а ь-> (а)
составляет теорию дивизоров для кольца D, осталось
лишь показать, что этот моноид свободен, т. е. что
разложение любого идеала в произведение простых
идеалов единственно (с точностью до порядка множи-
множителей).
Но это теперь также совсем просто.
Сначала докажем, что для любых двух^идеалов А
а В существует их наибольший общий делитель, т. е.
идеал, который делит А и В и который делится на
любой идеал, делящий идеалы А и В. Легко видеть,
что таким идеалом будет идеал (AUB), порожден-
порожденный теоретико-множественным объединением идеалов
А я В. Действительно, ясно, что A cz (A U В) и Sen
с= (Л U В), т. е.(Л U В) делит А и В. Если же С делит
А и В, т. е. С id А и С id В, то С id A \J В и потому
Сэ(ЛиВ), т, е. С делит (A (J В).
Мы будем идеал (A U В) обозначать символом
{А, В).
Эта конструкция показывает, в частности, что лю-
любой идеал А =» (оц, ..., ал) является наибольшим об-
общим делителем главных идеалов (ai), ..., (ал).
Легко видеть, далее, что для любых трех идеалов
А, В и С справедливо равенство
(Д В)С = (АС9 ВС)
(дистрибутивность наибольшего общего делителя по
отношению к умножению).
Теперь мы уже можем непосредственно доказать
однозначность разложения идеалов в произведение
простых идеалов. Для этого, очевидно, достаточно
доказать, что если простой идеал Р делит произведе-
произведение АВУ номе делит идеал Л, то он делит идеал В
(ср. со свойством (*) в § 4). Но если Р не делит Л,
т0 (Л, Р) фР а потому (Л, Р) = A) (ибо Р — про-
101

стой, а значит, максимальный идеал). Следова-
Следовательно,
В = A) В = (Л, Р)В = {АВ, РВ),
и так как Р делит АВ и РВ, то Р делит В. Ш
Таким образом, нами доказано, что в кольце D
идеалы (ненулевые) обладают всеми свойствами, ко-
которые мы требуем от дивизоров. Это означает, что
справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Если
а) аддитивная группа кольца D является решеткой
конечного ранга п;
б) существуют пмономорфизмов a^->aW> 1=1, ..♦
..., я, кольца D в поле С, обладающих тем свой-
свойством, что для любого aGD все элементарные сим-
симметрические многочлены от aSl\ ..., а<п> являются це-
целыми рациональными числами-,
в) кольцо D целозамкнуто,
то это кольцо допускает теорию дивизоров.
В этой теории дивизорами являются ненулевые
идеалы кольца D, а соответствие а>—>(а) относит
каждому элементу аЕЙ* порожденный им главный
идеал.
При этом моноид классов дивизоров {идеалов)
является конечной (абелевой) группой.
Последнее утверждение является простой перефор-
переформулировкой предложения 1 и следствия из предложе-
предложения 2. Оно означает, что идеалы кольца D удовлетво-
удовлетворяют не только аксиомам 1—3 из § 8, но также и
аксиоме 4 (усиленной требованием конечности группы
Ж классов дивизоров).
Так как кольцо Д тривиальным образом обладает
свойствами а) и б), то, если мы докажем, что оно
обладает и свойством в), от требований, которые мы
в § 8 наложили на регулярные простые числа, оста-
останется только аксиома 5. При этом, пользуясь конеч-
конечностью группы Ж, мы эту аксиому сможем сформули-
сформулировать в ослабленной форме, требуя лишь, чтобы
число / не делило порядка h группы Ж. Все это, ко-
конечно, будет большим сдвигом в направлении эффек-
эффективной характеризации регулярных простых чисел.
102

Мы докажем целозамкнутость кольца D в следую-
следующем параграфе, а пока лишь заметим, что условие в)
целозамкнутости отличается от условий а) и б) (во-
(вообще говоря, не необходимых для существования в
кольце D теории дивизоров) тем, что оно абсолютно
необходимо. Другими словами, в нецелозамкнутом
кольце D теории дивизоров существовать не может.
о
Действительно, если элемент £=— поля отноше-
ний К кольца Д обладающего теорией дивизоров, не
лежит в D, то существует простой дивизор р, делящий
а в большей степени, чем р, т. е. такой, что если р
делится на $k и не делится на pft+1, то а делится на
yk+K Поэтому, если %п + а^1 + ... + ап = 0, где
аъ ..., ап — целые числа, т. е. если
р= — а$п~ха — ... —апап,
то |3П делится на р/гп+1 (ибо kn + 1 < (п — s) k + 5 (k-\-1)
для любого 5=1, ..., п) и потому на yhn+1 делится
каждый одночлен вида pn~sas. Следовательно, р де-
делится на J}*, где i> k + ~> т. е., вопреки предположен
нию, делится по крайней мере на J)fe+I. 9
Таким образом, единственного условия теоремы lf
которое трудно проверить для кольца D/, избежать
нельзя.
Приложение. Норма идеала
В этом приложении мы установим некоторые до-
дополнительные свойства идеалов в кольцах, удовлетво-
удовлетворяющих условиям теоремы § 10. Поскольку, согласно
этой теореме, идеалы интерпретируются как дивизо-
дивизоры, мы соответственно этому будем теперь обозначать
идеалы строчными готическими буквами.
Под D мы всегда будехМ понимать произвольное
кольцо, удовлетворяющее условиям торемы § 10. Рас-
Рассматриваемое как идеал (дивизор), оно обозначается
знаком A) или знаком е.
Пусть a — идеал кольца D и пусть a,pEfl. Мы
будем писать а = р mod a и говорить, что а сравни*
мо с р по модулю а, если элемент а — |3 делится на
идеал а. Эти сравнения обладают всеми стандарт-*
103

ными свойствами равенств (их можно складывать,
перемножать и т. д., только сокращение обоих членов
сравнения на общий множитель не всегда допустимо;
для этого нужно, чтобы этот множитель был взаимно
прост с а).
Следующее предложение известно в элементарной
теории чисел как «китайская теорема об остатках»:)
Предложение 1. Для любых попарно взаимно
простых идеалов
A) аь ..., а5
и любых элементов
кольца D существует такой элемент ^gD, что
I = as mod as.
Доказательство. Пусть bh /=1, ,,., s,
—-произведение всех идеалов A), за исключением иде-
идеала а,-. Ясно, что идеалы Ьь Ь2, ..., bs взаимно
просты, т. е.
B) (Ь„ Ьа, .... bs) = (l).
Равенство B) означает, что существуют такие
менты
что
C) Pl
По построению каждый идеал аь /=1, ,.., s, делит
все идеалы Ь/? / =# f, а, значит, делит все элементы C;-,
/ ф i. Поэтому из равенства C) следует, что
Pt = I modci;, /= 1, •.., 5,
Положим
Так как Р/ ^ 0 mod at- при / Фг, а Pi ^ I mod ah то
l^q^moda^, /=1, ,.,, п. Ш
104

Предложение 2. Для любых идеалов а и Ь
ществует такой элемент у е 1), что
Доказательство. Пусть
аЬ = # ... pk/; kL>l,..., ks>\9
где pi, ..., ps — различные простые идеалы. Тогда
- - а = ^ ... #,
где
0<h<ku ..., 0</5</г5.
Так как р^ар1/ и ^i+1^|)J' (если ^+1 = pfJ,
то, сократив на р\*, мы получим невозможное ра-
равенство Pi = t; при /£==0 мы, естественно, полагаем
р\г == е), то существует такой элемент а{ €= Д что
а. <=р[* и а£ ffe|)^+1, т. е. такой, что c^sOm
Поэтому элемент у е D, для которого
Y = a.mod^+1, /=1, ..., s ~
(такой элемент существует в силу предложения 1),
будет обладать тем свойством, что
и
Y#0mod^'+1, /=1, ..., s.
Но тогда ясно, что
(ab, у) = р[1 ... р1/ = а. ■
Следствие. Любой идеала кольца D порождается
двумя элементами:
а = (а, р).
Доказательство. Согласно предложению 2 § 10,
существуют такой элемент aeD и такой идеал Ь,
ЧТо ab = (a). Согласно предложению 2, существует
?акой элемент реД что (ab, р) = а. В
105

Поскольку а — р делится на а тогда и только тог-
тогда, когда а — р е а, то классы элементов, сравнимых
между собой по модулю идеала а, являются не чем
иным, как смежными классами решетки D по ее под-
решетке а (элементами факторгруппы D/a). В основ-
'ном тексте было показано, что число этих классов ко-
конечно. Это число обозначается символом Na и назы-
называется нормой идеала а.
Оказывается, что норма Na произвольного идеала
а делится на а. Действительно, пусть
D) аь ..., aN, N = Na,
— полная система представителей смежных классов
кольца D по идеалу а. (Это означает, что любой эле-
элемент кольца D сравним с одним и только одним из
элементов D).) Ясно, что элементы
D0 а, + 1, ..., aiV+l
также будут составлять полную систему представите-
представителей - (если а% + 1 = ctj + 1 mod а, то аг- = а, mod а и,
значит, i = /; если а—1 s= a* mod а, то а = сц + 1
mod а). Это означает, что каждый из элементов D')
сравним по модулю а с одним и только одним из эле-
элементов D). Поэтому сумма всех элементов D') будет
Сравнима с суммой всех элементов D), т. е. разность
этих сумм будет делиться на а. Но ясно, что эта раз-
разность равна N = Na. Ш
Переход от одного базиса идеала (или, более
общо, произвольной решетки-) к другому описывается
некоторой целочисленной матрицей. Поскольку воз-
возможен обратный переход, эта матрица обратима. Но
легко видеть, что определитель обратимой целочис-
целочисленной матрицы необходимо равен ±1. Таким обра-
образом, матрица перехода от одного базиса идеала к
другому имеет определитель ±1.
Если Ь си а, то базис идеала Ь также выражается
через базис идеала а посредством некоторой целочис-
целочисленной матрицы. Ясно (ср. случай линейных прост-
пространств), что при изменении базисов эта матрица умно-
умножается (справа или слева) на соответствующие мат-*
рицы перехода. Поэтому абсолютная величина ее
определителя при этом не меняется. Это означает, что
108

эта абсолютная величина не зависит от выбора бази-
базисов и определяется, исключительно идеалами а и 5.
Мы будем обозначать ее символом [а : Ь].
Из того, что определитель произведения матриц
равен произведению определителей сомножителей, не-
непосредственно вытекает, что если с с= Ь а а, то
E) [а:с] = [а:Ь].[Ь:с].
Как мы видели выше, для произвольной подрешет-
ки А ранга п решетки D и произвольного базиса ре-
шетки D существует базис подрешетки Л, связанный
с базисом решетки D треугольной матрицей с отлич-
отличными от нуля диагональными элементами af\ ..., а'%К
При этом абсолютная величина \af] ... а{^\ произведе-
произведения этих элементов равна порядку факторгруппы D/A.
В случае, когда решеткой D является идеал а,
а под решеткой А — идеал Ь, произведение а{® ... а®\
представляя собой, в силу треугольности матрицы пе-
перехода, ее определитель, совпадает (с точностью до
знака) с введенным выше числом [а:Ь]. Таким обра-
образом, мы получаем следующую инвариантную харак-
характеристику этого числа: для любых идеалов а иЪскх
число [а: Ь] равно порядку факторгруппы а/Ь (здесь,
конечно, имеется в виду, что идеалы а и Ъ рассматри-
рассматриваются как решетки). В соответствии с общей терми-
терминологией теории групп мы будем поэтому называть
число [а : Ь] индексом идеала Ь в идеале а.
В частности, [A) :а}=Мх для любого идеала а.
Пусть теперь идеалы а и Ь произвольны. Сравнив
/определения, мы немедленно обнаружим, что их наи-
наибольший общий делитель (а, Ь) = (а U Ь) является
не чем иным, как известной из теории групп суммой
а + Ь подгрупп а и b решетки D=(l). Но в теории
групп доказывается, что для любых подгрупп а и Ь
произвольной группы имеет место изоморфизм
(а + Ь)/а«Ь/(аПЬ).
Действительно, каждый смежный класс р + (а (] Ь), ре 6,
из Ь/(а П Ь) однозначно определяет смежный класс р + а из (а п*
+ Ь)/а. Ясно, что это отображение гомоморфно. При этом, если
Р -f. а = 0, т. е. Р е а, то р е а П Ь, т. е. р + (а Л Ь) = 0. Поскольку
любой элемент из а + Ь имеет вид а -f p, где аеа, реЬ, и,
значит, любой смежный класс из (а + Ь)/а — вид (а + р) + а =а
107

s= p + <*> это доказывает, что отображение Р + (а Г) Ь) i—> р + а
является изоморфизмом.
В силу этого изоморфизма, для любых идеалов а
И Ь имеет место равенство
F) . ' [(о, Ь):а] = [Ь
Интересно, что фигурирующий в этом равенстве
идеал а П Ь имеет четкий мультипликативный смысл:
в моноиде идеалов он является наименьшим общим
кратным идеалов а и Ь; Действительно, ар|Ьсга и
aflbczb, т.е. аГ)Ь делится и на а и на к Если же с
делится на аи на 6, т.е. сса и ссб, то ccctf]b,
и потому с делится на а П Ь.
Поскольку каждый идеал единственным образом
разлагается в произведение простых идеалов, то же
рассуждение, что и для натуральных чисел, показы-
показывает, что произведение <хЪ любых идеалов а и Ь равно
произведению их наибольшего общего делителя на их
наименьшее общее кратное:
G) ab = (a, Ь).(аПЬ).
Теперь без труда можно доказать, что для любых
идеалов а и Ь индекс [а: аЬ] не зависит от а и равен
норме Nb идеала Ь:
Действительно, согласно предложению 4, суще-
существует такой элемент у^Д что (аЬ, у) == а. Следо-
Следовательно (см. формулу G)),
а (аЬ П (Y)) = № (у)) (аЬ П (у)) = аЬ (Y),
откуда, сокращая на а, мы находим, что аЬ (] (у) ==6(y).
Поэтому (см. формулу F))
[(Y): Ь (Y)] = [(Y): № П (y))I = [(<*, у): аЬ] = [а: аЬ].
Но очевидно (из интерпретации индекса как опреде-
определителя), что [(y) : Ь (y)] = [A): Ь] = Nb. Поэтому
№ = [ь\сА]. Ш
Предложение 3. (Мультипликативность нормы.)
Для любых идеалов а и Ь имеет место равенство
108

Доказательство. Согласно формуле 'E) (при«
мененной к идеалам аЬ, а и A)),
т. е.
N (аЬ) = Na - Nb.
Следствие. Если норма Ny идеала р является
простым числом, то идеал р представляет собой про-
простой идеал.
Доказательство. Достаточно заметить, что
Na = 1 тогда и только тогда, когда а = A). И
Обратим внимание, что обратное утверждение ме-
места не имеет: легко строятся (сделайте это!) примеры
простых идеалов р, норма которых является состав*
ным числом.
Задача. Докажите, что норма простого идеала обязатель*
но является степенью простого числа.
Предложение 4. Для любого элемента а е D*
имеет место равенство
Доказательство. Для простоты мы докажем
это предложение при дополнительном предположении,
что все числа а^, ..., а<п> различны.
Пусть о)ь ..., о)п — базис кольца D и, значит,
аоь ..., ао)п — базис идеала (а). Пусть, далее,
о©! = апщ + ... + а1яюп>
(8)
Тогда норма Лг(а)=[A) : (а)] равна абсолютной
личине определителя
#н ... а\п
(9)
ап\ • • • апп
С другой стороны, исключая из равенств (8) чисч
ла о)ь ..., о)я, мы получим (ср. в основном тексте до«
казательство леммы 1) уравнение
i — а ... ащ
(Ю)
109

которому удовлетворяет число а = aSl\ Применив к
(8) отображение а-~^а(г">, мы немедленно убедимся,
чтр все числа о№\ i= 1, ..., п, также удовлетворяют
уравнению A0). Поскольку степень уравнения A0)
равна п, других корней у него нет. Следовательно,
произведение аA> ... а(п> является свободным членом
этого уравнения, т. е. определителем (9). И
Следствие. Если число Na простое, то главный
идеал (а) является простым идеалом.
Так как, согласно формуле A3) § 5, в кольце DL
имеет место равенство
NK = U Я = 1 —£
(и все числа )Sl\ ..., №~1\ очевидно, различны), то
мы получаем, в частности, что в кольце Dt главный
идеал I = (К) является простым идеалом. Этим за-
заполнен пробел в рассуждениях § 9, если мы, конечно,
покажем, что к кольцу DL наша общая теория при-
менима.
Как мы уже знаем, для этого нужно лишь пока-
показать, что кольцо Dt целозамкнуто.
§11. Целые алгебраические числа
Мы уже неоднократно встречали уравнения вида
A) хп + а{хп-1+ ... +ап = 0,
где аи ..., а-п — целые рациональные числа. Корни
таких уравнений называются целыми алгебраически-
алгебраическими числами.
Просто же алгебраическими числами (подразуме-
(подразумевается, необязательно целыми) называются корни
уравнений более общего вида
B) аох« + а{хп-1+ ... +ап = 0,
где также а0. аи ..., #п — целые рациональные числа.
Ясно, что класс алгебраических чисел не изменит-
изменится, если в уравнении B) считать коэффициенты по,
аи #.., ап произвольными рациональными числами.
Это означает, что алгебраические числа, как мы
их определили, являются ни чем иным, как чис-
ПО

лами, алгебраическими над полем Q (см., например,
М. М. Постников, Теория Галуа, Физматгиз, М.,
1963, стр. 11).
Заметим, что аналогичное расширение класса урав«
нений A) приводит к уравнениям B).
Разлагая левую часть уравнения B) на множи-
множители и отбирая множитель, корнем которого является
число а, мы получим, что любое алгебраическое чис-
число является корнем некоторого неприводимого мно*
гочлена с рациональными коэффициентами. Без огра-
ничения общности можно считать, что старший коэф-
коэффициент этого многочлена равен 1.
Пусть а является целым числом, т. е. .корнем урав-
уравнения A). По лемме Гаусса (см. § 4) левая часть
уравнения A) разлагается в произведение неприводи-
неприводимых (над полем Q) многочленов с целыми коэффи-
циентами. Тяк как старшие коэффициенты этих мно-
многочленов равны 4=1 (их произведение равно 1), то,
следовательно, неприводимый многочлен h(x), корнем
которого является целое алгебраическое число а и
старший коэффициент которого равен 1, имеет целые
коэффициенты.
Умножив уравнение B) на ао~\ мы можем перепи*
сать его в виде
Таким образом, для у — а$х мы имеем уравнение ви-
вида A). Этим доказано, что любое .алгебраическое чис*
ло g может быть представлено в виде
а
где а — целое алгебраическое, а а — целое рациональ-
рациональное числа.
Можно показать, что сумма, разность, произведе-
произведение и частное двух алгебраических чисел являются
алгебраическими числами, т. е., иными словами, что
все алгебраические числа образуют поле. Концепту-
Концептуальное («в современном духе») доказательство этого
факта можно найти, например, в упомянутой выше
III

«Теории Галуа» на стр. 24. Здесь мы приведем более
непосредственное доказательство, требующее зато не-
некоторых вычислений.
Пусть аир — алгебраические числа. По определе-
определению, число а является корнем некоторого уравнения
вида B). Пусть
C) at = a, a2, ..., ап
— все корни этого уравнения. Аналогично, пусть
D) Pi = Р, Рг> • • •» Рт
— все корни уравнения
которому удовлетворяет число р (степень т этого
уравнения, вообще говоря, отлична от степени п урав-
уравнения, которому удовлетворяет число а).
Рассмотрим многочлен
степени тп. Его коэффициенты являются многочлена-
многочленами с целыми коэффициентами от корней C) и D),
очевидно, симметрическими, т. е. не меняющимися
при любой перестановке этих корней. Поэтому они
являются многочленами от соответствующих элемен-
элементарных симметрических многочленов и, следователь-
следовательно, согласно формулам'Вьета, — многочленами (с це-
целыми коэффициентахми) от ,
01 ат ]h_ bjn_
а0 ' •'•' а0 ' bo ' ••'' bo '
Это доказывает, что все коэффициенты многочлена F
являются рациональными числами. Значит, все его
корни a*Pj и, в частности, корень ap = aiPi являются
алгебраическими числами.
Этим наше утверждение доказано в отношении
произведения ар. Для суммы, разности и частного
доказательство аналогично. В
Это доказательство устанавливает также и другой
факт, для нас очень важный. Именно, при а0 =.
= Ьо = 1 мы вадим, что все коэффициенты многочле-
многочлена F (старший коэффициент которого по построению
112

равен единице) будут целыми числами. Ясно, что это
заключение сохранится и по отношению к сумме и
разности (но не по отношению к частному!). Этим
доказано, что сумма, разность и произведение двух
целых алгебраических чисел являются целыми алге-
алгебраическими числами, т. е. что все целые алгебраиче-
алгебраические числа составляют кольцо.
Однако арифметика этого кольца малоинтересна.
Например, в нем совсем нет неразложимых (простых)
элементов. Действительно, любое целое алгебраиеское
число а может быть разложено, например, по фор-
формуле
а = Va Va
'(легко видеть, что Va также является целым алгеб-
алгебраическим числом). Поэтому класс всех целых алгеб-
алгебраических чисел следует как-то ограничить.
Подполе К поля комплексных чисел называется
полем конечной степени, если как линейное простран-
пространство над полем Q оно имеет конечную размерность
(которая называется степенью поля К).
Заметим, что в общей алгебре поля конечной степени назы-
называются «конечными расширениями» поля Q.
Легко видеть, что каждый элемент поля конечной
степени является алгебраическим числом. Действи-
Действительно, если степень поля равна п, то для любого его
элемента £ элементы -1, g, ..., gn линейно зависимы
(ибо их п+1 штук), и, значит, имеет место равен-
равенство
с рациональными коэффициентами. ■
На этом основании поля конечной степени назы-
называются также полями алгебраических чисел, хотя
этот термин несколько двусмыслен, не предусматри-
предусматривая обязательно конечность степени.
Подробному исследованию взаимоотношений между конеч-
конечными и алгебраическими расширениями посвящена гл. I указан-
указанной выше «Теории Галуа»,
Пусть К — произвольное поле алгебраических чи-
чисел (конечной степени). Ясно, что его подмножество
113

А состоящее из всех целых чисел поля К, является
кольцом. Это кольцо называется кольцом целых чи-
чисел поля К. Арифметика таких колец и составляет со-
содержание теории целых алгебраических чисел.
Так как (см. выше) любой элемент ge/C имеет
вид £~~> где а — целое алгебраическое число (и,
значит, — элемент кольца D), а а — целое рациональ-
рациональное число (и, значит, — тоже элемент Z)), то К являет-
является полем отношений кольца D.
Поскольку кольцо D состоит, по определению, из.
всех целых чисел поля /С, этим доказано, что кольцо
D целозамкнуто.
Вернемся теперь к /-круговому полю Ki и его под*
кольцу Dt. Поле Ki является, конечно, полем конеч-
конечной степени (равной /—1), и потому к нему приме-
применимо все сказанное выше. В частности, его кольцо
целых чисел D целозамкнуто. Поэтому для доказа-
доказательства целозамкнутости кольца Dt достаточно дока-
доказать, что D = Dh
Доказательство включения Did D. До«
статочно заметить, что любой элемент aefl/ являет-
является корнем многочлена
E) f{x) = (x-aM) ... (*-а<'-«)
с целыми рациональными" коэффициентами, старший
коэффициент которого равен 1. Ш
Другое доказательство. Пусть а е Di, т. е.
где ао, аи ..,. cii-2 — целые рациональные числа. Умножая это
равенство последовательно на 1, £, ..., £>1~2 и используя соотно-
соотношение Q-1 = —1—... — £z~2> мы получим систему равенств
at
коэффициентами аУ\ it j = 0, 1, ..,, / — 2, которых являются
целые рациональные числа.
114

Но тогда, согласно лемме 1 § 10, число а будет корнем
уравнения вида
где Аи ...» Ai-i — целые рациональные числа. Поэтому ае/Х Щ
Этот метод составления уравнения, которому удовлетво-
удовлетворяет а. требует вычислений только с рациональными числами.
Многочлен E), конечно, определен для любого
элемента -а е Кь Его свободный член совпадает с
нормой Na числа а. Другой интересный коэффи-
коэффициент— это коэффициент при х1*2. Взятый с обрат-
обратным знаком, он называется следом элемента а и обо-
обозначается символом Тг а. Согласно первой формуле
Вьета,
Отсюда следует, что след обладает свойством ли-
линейности, т. е.
для любых чисел а, |Зе/0 и любого рационального
числа geQ.
Изучим более внимательно многочлен E). В сле-
следующих ниже леммах
F) a = flo + aiE+ .- +a,-2£z~2
— произвольное число поля Ki.
Лемма 1. Если многочлен g(x) с рациональны-
рациональными коэффициентами обладает тем свойством, что
g(a,W) = 0 хотя бы для одного i = 1, ..., / — 1, го
g(aw) = 0 для всех /=1, ..., /—1.
Доказательство. Пусть
а(х) = ао + а[х+ ... +Я/-2**"-
Тогда a = a (g) и вообще а(/) = а (£ш), / = 1, ..., / — 1.
Рассмотрим многочлен
F{x) = g{a(x)).
По условию
115

хотя бы для одного i = 1,..., I— 1. Это означает, что f
многочлен F(x) имеет общий корень с неприводимым
многочленом
<р (*) = *'-*+ **-*+ ... +1.
Следовательно, F(x) делится на этот многочлен и по-»
Z7 (<*>) 0 ^) О
, ()
тому Z7 (£<*>) = 0, т. е. g{a^) = О для любого I = 1, ..,
,,.,/-!.■
Лемма 2. Существует такое целое число q, что
где f(x)—многочлен E), a h(x)—неприводимый
многочлен над полем Q со старшим коэффициентом
1, корнем которого является алгебраическое число а.
Доказательство. Так как /(а) = 0, то f(x)
целится на h(x). Пусть f(x) делится на h(x)<i, но не
Делится на h(x)Q+l, и пусть
Если g(x) Ф const, то хотя бы один из корней a(f),
t=h ..., /—1, многочлена f(x) обращает g(x) в
нуль. Но тогда по лемме 1
= 0 для любого /=1, ..., /—1
и, в частности, g- (a) = g (aA>) = 0. Таким образом,
многочлен ~g(x) имеет общий корень с неприводи-
неприводимым многочленом h(x) и, значит, делится на h(x)<
Поэтому многочлен fix) делится на h(x)Q+l. Получен-
ное противоречие доказывает, что g(x) = const, т. е.
что f(x) = h(x)Q (ибо старшие коэффициенты много-
многочленов f(x) nh(x) равны 1). Ш
Лемма 3. Если а является целым алгебраиче^
ским числом, то все коэффициенты многочлена f(x)
представляют собой целые рациональные числа.
Доказательство. Как мы знаем, неприводи-
неприводимый (над Q) многочлен h(x), корнем которого являет-
является a и старший коэффициент которого равен 1, имеет
целые коэффициенты. Поэтому многочлен f(x)=h(x)v
также имеет целые коэффициенты. Ш
Следствие. След Tr a любого целого алгебраи-
алгебраического числа a^Ki является целым рациональным
числом.
116

Полезно заметить, что изложенные соображения имеют весь-
весьма общий характер.
Пусть 8 — произвольное целое алгебраическое число. Пусть
оно является корнем неприводимого уравнения степени п. Тогда
можно показать (ср. § 5), что совокупность К всех чисел вида
где а0, аи .... «n-i — произвольные рациональные числа, явля*
ется полем (очевидно, степени п). Оно обозначается символом
Q (8). Все предыдущие рассуждения, относящиеся к полю Ки
остаются в силе и для любого поля Q (8) (если, конечно, заме-
заменить / — 1 на п и £ на 8). В частности, след любого це-
целого алгебраического числа из Q (8) будет целым рациональным
числом.
Аналогом кольца Di будет кольцо Z [G] всех чисел вида G)
с целыми а0, аи ..., ап-и Доказательство, что все эти числа
являются целыми алгебраическими числами, т. е. что имеет место
включение Z [8] cz D, где D — кольцо целых чисел поля
К = Q (8), также, как легко видеть, полностью сохранится (в
обоих вариантах).
Эти замечания особо интересны потому, что любое поле ко*
нечной степени имеет вид Q (8) (см., например, «Теория Галуа»,
гл. I, п. 7).
Теперь мы уже'можем доказать обратное вклю-
включение.
Доказательство включения DtzDD. На*
до доказать, что если элемент F) поля Ki является
целым алгебраическим числом, то все его коэффи-
коэффициенты а0, аи • .., Щ-2 будут целыми рациональными
числами.
С этой целью вычислим сначала след Тг а чис*
ла а (который, согласно следствию из леммы 2, яв*
ляется целым рациональным числом).
Если а = £*, где k = 1, ...,./— 1, то числа аA>, ..,
..., а^) будут с точностью до порядка совпадать с
числами £A>, ..., Q1-1) (см. § 5, формула A0)), и, зна-
значит, будет иметь место равенство
Тг£* = -!, k=lt ..., /-1
(ибо по формуле.Вьета сумма корней £
многочлена xl~l-\-xl~2-\- ... +1 равна —1) Если же
k = 09 то Тг£* = /— 1.
Отсюда, в силу линейности следа, вытекает, что
след числа F) выражается формулой
Тг а = (/ — 1) а0 — а\ — ... — а/-2«
117

Аналогичным способом вычисляется, что для лю-
любого k = О, ..., 1 — 2
Поскольку trha — £а является вместе с а целым
алгебраическим числом (принадлежит кольцу D),
этим доказано, что все числа lak, k = О, .,,, / — 2,
являются целыми рациональными числами.
Следовательно, la бДи потому
(8) /а = Ьо + Ь,К + ... + bt-2V-\ Я = I - £,
где &о, &ь •••» ^-2— целые числа (см. § 5, формула
A5)).
Для завершения доказательства достаточно те-*
перь показать, что все коэффициенты bOi bu ..., 6г_2
делятся на /. Условно полагая Ь-\ = 0, проведем
индукцию по k от k = —1 до k = / — 2.
Пусть для некоторого k9 0 ^ k < / — 2, уже дока-
доказано, что все коэффициенты bs с 5 < k делятся на /.
Тогда в (8) все члены, кроме члена Ьк№, будут де-
делиться на Xfe+1 (ибо / ~ 11-\ см. § 5, формула A4)).
Следовательно, и член bk№ будет делиться на ЛЛ+!,
т. е. целое рациональное число Ьи будет делиться на К.
Значит, число bk делится и на /. ■
Заметим, что это доказательство существенно
использует специфику поля Ki. He удивительно по-
поэтому, что аналог равенства Db = D в произвольном
поле алгебраических чисел QF), вообще говоря, не-
неверен, т. е. существуют поля Q@), в которых имеют-
имеются целые числа
с нецелыми коэффициентами а0, аи ..., an-w
Рассмотрим, например, поле Q (V— 3). Из данного в § 4
описания поля Кз следует, что поле Q (V— 3 ) совпадает с по-
полем /(з, и потому его целые числа имеют вид
2
где а и Ь — целые рациональные числа одинаковой четности.
Однако можно без особого труда доказать (попы-
(попытайтесь!), что для любого поля К конечной степени п
аддитивная группа его кольца D ' целых -элементов
113

является решеткой ранга п, т.е. существуют такие
целые числа соь ..., соП) что любое целое число aeD
единственным образом представляется в виде
... +ап(оП9
где аи ..., ап — целые числа. (Принято говорить, что
соь ..., con составляют фундаментальный базис по-
поля /С.)
Например, при К = Q (V— 3) фундаментальный базис со
стоит из чисел
1 4- aJ — з
' ~ 2 '
Факт наличия фундаментального базиса означает,
что кольцо Z) обладает свойством а) из теоремы 1
§ 10. Как мы уже отмечали, оно автоматически обла-
обладает свойством в). Кроме того, нетрудно видеть (это
мы фактически выше уже доказали), что оно обла-
обладает и свойством б). Поэтому кольцо целых чисел
произвольного поля алгебраических чисел обладает
теорией дивизоров, причем соответствующая группа
классов дивизоров конечна.
Это утверждение является фундаментом всей тео-
теории алгебраических чисел.
§ 12. Регулярные простые числа
Итак, мы доказали, что определение регулярного
простого числа можно существенно упростить. Окон-
Окончательное определение состоит в том, что простое чис-
число I регулярно, если оно не делит числа h классов
идеалов кольца D\.
В связи с этим определением, в первую очередь,
возникает задача о вычислении числа h. Хотелось бы
иметь для этого числа явную формулу. Оказывается,
что такая формула существует, но доказательство ее
далеко выходит за рамки этой книги. Поэтому мы при-
приведем ее без доказательства.
В отличие от всего предыдущего, теперь необхо-
необходимо точно фиксировать выбор корня £ многочлена
деления круга (ср. § 5). Мы будем считать, что
2п
jsin —*
119

Отличные от нуля классы
A) {!}, {2}, ..., {/-1}
целых рациональных чисел по простому модулю /
образуют, как мы знаем (см. § 1), группу по умноже-
умножению Z*/7 порядка /— 1.
Лемма 1. Группа Z*/l является циклической
группой.
Доказательство. Пусть m — наименьшее об-
общее кратное порядков всех элементов группы Z*/Z.
Тогда
B) Wm={l}
для любого {а} <= Z*/t и m является наименьшим
числом, обладающим этим свойством. Поэтому m ^
</—1, ибо {а}*-1 = {1} для всех {aJsZ*// "(по
скольку /— 1 — порядок группы Z*//).
Рассмотрим теперь множество Z// всех классов
по модулю /. Это множество является полем, мульти-
мультипликативной группой которого служит группа Z*/l.
Равенство B) означает, что уравнение хш — 1 имеет
в этом поле /—Л различных корней A). Поскольку
степень этого уравнения равна т, это возможно толь-
только при rn^l— 1.
Таким образом, m = /— 1, откуда непосредственно
вытекает (проведите подробно соответствующее рас-
рассуждение), что в Z*// существует элемент порядка
/— 1. Но это и означает, что группа Z*// циклична. Щ
Числа g, класс {g} которых является образующей
группы 2*11, называются первообразными корнями по
модулю I. Они характеризуются тем, что наименьшее
положительное т, для которого gm = 1 mod /, равно
/—1.
Например, при / = 5 первообразным корнем явля-
является число 2, а при 1 = 7 — число 3.
Действительно,
= 1 mod5, 2I^2mod5, 22 = 4mod5,
' , 31=mod7, 32H
120

Мы раз и нввсегда выберем и зафиксируем неко«
торый первообразный корень g по- модулю /. Для
любого k ^ О мы символом gk обозначим число из
ряда 1, 2, ..., /—1, обладающее тем свойством, что
gk^gkmodly 6 = 0,1, ..., /-2
(наименьший положительный вычет числа gh). По-
Поскольку g — первообразный корень, все числа go= 1,
gu ..., gi-2 различны.
Далее, мы положим
п 2я , . . 2.ТТ
0 = COS -7 г + l sin 1 Г
где
о— g .
Утверждение 1. Число h\ является целым по*
ложительным числом.
Например, пусть / = 5. Тогда
G (х) = 1 + 2х + 4*2 + З*3
и потому
G (G) = 1 + 2/ + 4/2 + З/3 = - 3 - /,
G (G3) = 1 - 2/ + 4/2 - З/3 = - 3 + и
Следовательно,
Аналогично, если / = 7, то
G (x) = 1 + Зх + 2Ж2 + бх3 + 4л4 + 5jA
Легкое вычисление дает, что
|GF)G(G3)G(e5)l=196.

Поэтому
h - ш
Задача 1. Для произвольной числовой последовательности
xQJ xp ..., #2(s-l) обозначим символом H(xQ,xlt ..., #2(s-i)) 0ПРе"
делитель матрицы (л:^), /, / = 0,1, ..., s — I, где х(. = х£+.. До-
Докажите, что
Задача 2. Докажите, что hi = 1 при / < 23 и uj == 3 при
/ = 23. Докажите также, что hi == 37 при / = 37.
Можно показать (это частный случай трудной
теоремы Дирихле об единицах произвольного
поля алгебраических чисел), что в кольце Dt суще-
существует s — 1 таких единиц
(йазываемых основными единицами), что каждая еди-
единица е однозначно представляется в виде
где а, аи ♦.., as-\ — целые числа, причем 0 ^ а < 21.
В качестве корней Qh\ k=\, ..., /—1, многочле-
многочлена деления круга, определяющих отображения а*--"
\r-xxW (см. § 5), мы, как всегда, примем числа t,k.
В силу нашего выбора корня £, тогда для любого
a^Ki будут иметь место соотношения
Для набора ei, ..., es_i основных единиц мы обо-
обозначим через Ro абсолютную величину определителя
1п|е{1)| ... \n\e[s~[)\
]n|p(l) I In 1 e(s~x) I
ln|8s-l| ••• In|6s-1 I
Можно показать (это нетрудно), что число Ro не за-
зависит от выбора основных единиц и определяется по«
этому только полем Кь (Вместо числа /?0 обычно рас-
рассматривается число R = 2s-lR0'f это — так называемый
регулятор поля Кь)
122

Мы положим
S-1 5-1
Утверждение 2. Число h2 является целым по-
положительным числом.
Например, при / = 5, т. е. при 5 = 2, в формуле
для h2 имеется лишь один множитель
1
£ е2/ in 11 - igi | = in i l -11 - in 11 -11,
отвечающий значению k = 1 (напомним, что в рас-
рассматриваемом случае 0 = f, a go = 1, g\ = 2). По-
Поэтому
где число 1 + £ является единицей (ибо #(!+£) =
= NA -?)N(l -?)-1 = 1; см. § 5).
Так как в рассматриваемом случае 5 —1 = 1, то
система основных единиц состоит только из одной
единицы еь Поэтому, во-первых, Rq = I In | e{ \ \ и, во-
вторых, 1 + £ = (— g)^ef, где а и Ь — целые числа. Но
тогда 11 + £ | = \е{ \ь, и потому
in 11 + £ |
'2 =
In | е, |
Таким образом, при / = 5 число h2 действительно
является-целым положительным числом.
Утверждение 3. Число классов дивизоров h
, кольца Ki равно произведению чисел
h — h{h2.
Это и, есть явная формула для вычисления числа 1г.
Однако, если ее первый множитель h\ вычисляется со-
совершенно автоматически, то о втором множителе Л2,
в котором участвует регулятор /?о, этого сказать
нельзя. Дело в том, что не существует практичного
способа (алгоритма) вычисления основных единиц,
пригодного для всех колец Ki- Имеющиеся «теорети-
«теоретические» алгоритмы сводятся по существу к перебору
и, как правило, даже для не очень больших / требуют
123

колоссального объема вычислений (справиться с ко-»
торым могут только самые мощные ЭВМ). Поэтому
особый интерес представляет следующее (очень труд-
трудно доказываемое) утверждение Куммера:
Утверждение 4. Число h тогда и только тогда
делится на /, когда на I делится число h\.
Поэтому для испытания данного простого числа I
на регулярность достаточно вычислить число h\. На-
Например, согласно задаче 2 (см. выше), мы можем те-
теперь утверждать, что простое число 37 не регулярно,
а все числа / ^ 23 регулярны.
Вычисление числа hu хотя и вполне автоматичен
ское, в достаточной степени утомительно (читатель,
решивший задачу 2, смог в этом убедиться сам). По-
Поэтому целесообразно спросить себя, а нельзя ли
узнать, делится ли h\ на /, не вычисляя /ii? Ответ
оказывается утвердительным. Именно, используя тот
факт, что фигурирующие в формуле для числа hy зна-
значения G(Qh) многочлена G(x) являются целыми чис-
числами (/— 1)-кругОВОГО ПОЛЯ Kl-l (ПОЛЯ Km ПрИ Ш Нв
простом определяются аналогично полю Ki), можно
без особого труда доказать, что h\ тогда и только
тогда делится на I (т. е. / не является регулярным
простым числом), когда хотя бы при одном k =
= 1,3, ..., / — 4 целое рациональное число G (gk)
делится на I2 (при этом предполагается, что перво-
первообразный корень g выбран так, чтобы имело место
сравнение gl~l = 1 mod l2; это всегда можно сделать,
варьируя g в его классе {g}). Читатель уже обладает
по существу всеми нужными для доказательства этогр
утверждения знаниями и при известной изобретатель*
ности и настойчивости может его сам доказать. Мы
же ограничимся тем, что переформулируем это усло-
условие в более удобном виде.
По определению, для любого / = 0, 1, ..., / — 2
gj 53 gf mod /.
Значит, существуют такие целые числа а^ что
gj^g1' + la 7mod /2.
124

Возведя это сравнение в степень k-\-\, где k-
= 1,3, ..., I — 4, мы получим сравнение
gk+i = gi(k+i) + (& + 1) g4at mod /2,
откуда вытекает, что
- gk+x = gnk+i) + (fe + l) g/* (g. - g/) mod l\
т. е. что
mod /2.
Следовательно,
2 gft+i я (fe + 1) Ё £ g/* - fe E g/<*+Wmod P.
Ho
/-o g
ибо по условию g/~1^lmod/2, a g^+i •— 1
при й + 1 ^ I — &• Кроме того, по определению
1-2 1-Х
Е
п-1
(числа g, 5ь •• •> ^/^2 с точностью до порядка совпа-
совпадают с числам? 1, 2, ..., I— 1). Обозначая последнюю
сумму через S^+i (/), мы получаем, следовательно,
сравнение Sk+i (/) = (k + 1) G (g"ft) mod P. Поэтому
сравнение G (gk) = 0 mod /2 равносильно сравнению
S(/HdZ2
A+1()
Таким образом, число / тогда и только тогда нере-
нерегулярно, когда существует такое &= 1, 3, ♦.,, / — 4,
что Sh+i (l) делится на /2.
Иными словами, число I тогда и только тогда ре~
гулярно, когда для любого k = 2, 4, ..., / — 3 число
Sk(D=lk + 2k+ ... +(/-1)*
не делится на I2.
125

Удобно ввести в рассмотрение более общие суммы
Легкой индукцией без труда доказывается, что числа
Sh(m) являются значениями при х = т некоторого
многочлена Sk(x) степени k с рациональными коэф-
коэффициентами, старшим коэффициентом у+Т и сво"
бодным членом, равным нулю.
Например, v
*^l W — 2 — 2 2
„ м _ (х-\)хBх-1) _ 1 з _ 1 Г2 , 1 у
°2 W — g — 3 2 ' 6 '
•S3 (а:) = ^ =='4"л: " ^ "Г"^^-
Пусть
C)
Оказывается, что числа бь В2, ... не зависят от &.
Они называются числами Бернулли.
Любопытно, что впервые эти числа Бернулли ввел,
решая одну задачу из астрономии!
Дело здесь в том, что бесконечная последовательность В\у
В2, В3, ... чисел Бернулли появляется при разложении некоторых
простых функций в степенные ряды. Например, можно показать,
что
Именно этот ряд и появился' у Бернулли в его астрономических
исследованиях.
Тот факт, что в ряду для ctg* участвуют только
числа Бернулли с четными индексами,не случаен, ибо,
как можно легко показать, все числа Бернулли с не-
нечетными индексами (кроме числа В\) равны нулю:
^2&+i = 0 при k > 0.
Что же касается чисел Бернулли В^к с четными
индексами, то, они обладают целым рядом замеча-
126

тельных свойств. Например, через них выражаются
значения знаменитой ^-функции Римана при целых
четных аргументах;
Первые числа Бернулли имеют вид:
В 5 В
691 п 1 П 3617
2 730' ^14 — 6 * аК— 510"
43 867 174 611
^18~~ 798 ' ^20— ззо ♦
Числители этих чисел довольно быстро растут. На-
Например,
D 2 577 867 858 367
#34 = g .
Пусть
5* =
Qk
— несократимая запись числа Bk.
Можно б^з особого труда доказать (это частный
случай так называемой теоремы Штаудта), что
при т< I—1 знаменатель Qm числа Вт не делится
на /.
Но, согласно формуле C), для любого k^l имеет
место равенство
(
m=0
т. е. равенство
Поэтому при k < /— 1 число, стоящее в правой части
в скобках, является целым числом.
127

Переходя к сравнениям по модулю I2 и сокращая
на k -f- 1, мы получаем отсюда, что
Следовательно, Sk(l) Ф 0mod l2 тогда и только тогда,
когда Рк Ф 0 mod /. Этим доказана
Теорема Кум мер а. Простое число I тогда и
только тогда регулярно, когда оно не делит числите*
лей чисел Бернулли В2у Вь В6, ..., В/_3.
Например (см. выше значения чисел Бернулли)»
числитель Р2 = Г не делится на 5;
числители Р2= I и Р$ = —1 не делятся на 7;
числители Р2 = 1, Р4 = —1. Яб = 1 и Р& = —1 не
делятся на 11;
числители Р2=1, Ра = —1, /5в=1, Р* = —1 и
Piq = 5 не делятся на 13;
числители Р2=1. •••> Р10 = 5, Р\2 = —691 и
Р14 = 7 не делятся на 17;
числители Рг = 1, ..., Рн = 7 и Лб = —3617 не
делятся на 19;
числители Р2=1, ..., Pie = —3617, Р18 = 43 867
и Р2о = —174 611 не делятся на 23.
Следовательно, все эти показатели регулярны.
Иными словами, для показателей 5, 7, 11, ,13, 17, 19
и 23 теорема Ферма справедлива.
Заметим, что только теперь мы получили в отно-
отношении хотя бы некоторых показателей / окончатель-
окончательный ответ. Какой большой путь нам пришлось для
этого пройти!
Аналогичное вычисление выявляет, что среди чи-
чисел первой сотни не регулярны только числа 37, 59 и
67 (между прочим, при / = 67 число h\ равно 853 513 =,
= 67-12739). Как уже говорилось, специальным рас-
рассуждением Куммер доказал теорему Ферма и для
этих чисел.
Упомянутая в § 1 теорема Йенсена легко вытекает
из теоремы Куммера и некоторых элементарных
свойств чисел Бернулли* -

Цена 20 коп.