НАУКА-МАС САМ
н ч н
Е КАЯ ТЕ РЕМА
1
О
т
93

л V-
6-
"г
.д
V ^
ь-~ ЬС * ' .,„
Л
1 и
Ферма
1608—1655

ПОПУЛЯРНАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ ПРОФ. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА
А. Я. ХИНЧИН
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА
ФЕРМА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
онти
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1934 ЛЕНИНГРАД

Т 23-6-4
Редакция Р. Н. Бончковского. Оформление С. Л. Дыман.
Корректура В. И. Сидоровой. Выпускающий Д. А. Липсе.
Сдано в производство 31/III 1934. Подписано к печати 20/У1 1934 г.
Листов 3*/4. Тираж 5000. Формат 82хП01/з2- Печ. знаков в листе 38400.
Заказ № 390. ГТТИ № 57. Уполномоченный Главлита В-77295.
1б-я типография треста «Полиграфкнига». Москва, Трехпрудный пер., д. 9.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Интерес к Великой теореме Ферма в нашем обществе растет
с каждым годом; об этом свидетельствуют многочисленные за-
запросы и попытки доказательств, получаемые нашими научными
обществами и учреждениями. Между тем на русском языке не
существует сколько-нибудь доступной литературы по этому во-
вопросу, да и в странах Европы дело обстоит в этом отношении
немногим лучше. Поэтому я охотно согласился на любезное пред-
предложение научного отдела Государственного издательства на-
написать небольшую книжку, которая всем интересующимся
могла бы дать необходимые справки, касающиеся проблемы
Ферма, ее истории и современного состояния, а также по воз-
возможности осветить ее со стороны принципиальной и методо-
методологической.
Чтение этой книжки (за исключением дополнения) доступно
каждому, кто знает элементарную арифметику.
А. Хитин.
Москва, 16 июля 1925 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие 5
1. Постановка задачи 7
2. Указания на метод 9
3. Формулы индусов 10
4. Доказательство Великой теоремы Ферма для случая п = 4 . . 12
5. Другие простые случаи 15
6. Результаты Куммера 22
7. Краткий обзор других важнейших результатов 24
8. Новый английский метод в аддитивной теории чисел 27
9. Заключение 33
Дополнение. Подробное изложение исследований Куммера . . 34
1. Необходимые сведения из общей теории алгебраических
областей 35
2. Необходимые сведения из теории круговых областей . . 38
3. Доказательство основной теоремы Куммера 41

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Предложение, которое обычно называют Великой теоремой
Ферма, родилось около середины XVII столетия; и во всей по-
последующей истории математической мысли вряд ли можно найти
другую задачу, которая в такой степени привлекала бы к себе
научные, усилия на протяжении столетий, как задача доказа-
доказательства этой теоремы,—задача, не разрешенная и по настоя-
настоящее время.
В то время, в XVII столетии, не было организованных
научных обществ и не было научных журналов. Научное
общение осуществлялось, главным образом, путем переписки.
Отдельные гиганты математической мысли писали друг другу о
своих достижениях и надеждах, писали редко и не спеша, по-
потому что общий темп жизни был медленным и потому что почта
тоже не спешила и ответа приходилось дожидаться долго. С
другой стороны, и ученых было мало, так что каждый из них
мог по пальцам пересчитать тех, кому интересно было бы узнать
о его работах. Всем этим объясняется то, что от многих матема-
математических истин, открытых в то время, до нас дошли одни форму-
формулировки; доказательств история часто не сохраняла, и их при-
приходилось восстанавливать заново. В особенности это относится
к предложениям теории чисел. В сущности этой науки тогда
еще не существовало; по крайней мере не было попыток соеди-
соединить ее достижения в одно систематическое здание, и современ-
современники были склонны видеть в проблемах арифметики отдельные
занятные, часто забавные, способные доставить изощренному
уму тонкое наслаждение задачи; поэтому понятно, что в реше-
решении этих задач создалось соревнование, принимавшее характер
спорта. Один писал другому: «Я умею решить такую-то задачу,
умеешь ли ты ее решить?» А другой отвечал: «Нет, я ее решить не
могу, и ты, очевидно, гениальный человек; но зато я знаю решение
такой-то другой задачи; что ты можешь сказать о ней?» и т. д.
Ферма, Френикль, Декарт, Паскаль и другие часто и много
переписывались между собою именно в этом роде; поэтому
вполне понятно, что в большинстве случаев до нас от этой

переклички гигантов дошли одни названия их достижений; пути
остались скрытыми. И если в большинстве случаев потомки,
владевшие более сильными методами, сумели восстановить по-
потерянные историей доказательства, то по крайней мере в одном
случае — в случае Великой теоремы Ферма — им этого сделать
не удалось.
Вот краткая история рождения этой задачи.
Пьер Ферма (Р1егге Регта!), бесспорно наиболее выдаю-
выдающийся французский математик XVII столетия, обычно по спра-
справедливости почитается отцом современной теории чисел; пер-
вые достижения этой науки возникли при попытках решения
целого ряда задач, им поставленных.
В 1670 г. сын Пьера Ферма издал книгу александрийского
математика Диофанта, причем были перепечатаны также и при-
примечания Пьера Ферма, оставленные им на полях одного из
экземпляров этого сочинения. Одно из этих примечаний и содер-
содержит предложение, получившее наименование Великой теоремы
Ферма. Вот его смысл:
Если п означает какое угодно целое положительное число,
большее, нежели 2, то уравнению
хп + у" = зГ A)
не могут удовлетворять никакие три целых положительных
числа х, у, г.
К этому Ферма прибавляет:
Я нашел удивительное доказательство этого предложения,
но поля книги слишком узки, чтобы оно могло на них поме-
поместиться.
Таким образом доказательство, которым обладал сам Ферми,
осталось необнародованным. С тех пор прошло почти триста
лет, и мы еще не имеем ни доказательства, ни опровержения Ве-
Великой теоремы Ферма; и это несмотря на то, что, как уже ска-
сказано, задаче этой непрерывно посвящали и продолжают посвя-
посвящать свое внимание многие крупные ученые и еще большее
количество неспециалистов, которых соблазняет простота фор-
формулировки проблемы.
Вопрос о том, имел ли действительно Ферма строгое доказа-
доказательство своего предложения или же он заблуждался (в искрен-
искренности его, повидимому, сомневаться не приходится), — этот
вопрос, хотя он и часто обсуждается.в литературе, очевидно,
может иметь только историческое значение, почему мы здесь и
не станем на нем останавливаться.
8

2. УКАЗАНИЯ НА МЕТОД.
Если бы удалось в научных трудах или записках самого
Ферма отыскать хоть какие-нибудь указания на тот метод, ка-
каким он мог пользоваться при доказательстве своей теоремы, то
это имело бы, разумеется, большое научное значение. К сожа-
сожалению, определенных указаний на этот счет обнаружить нигде
не удалось. Но косвенные намеки все же могли быть отысканы,
м мы должны уделить им некоторое внимание.
Ферма вообще почти никогда не говорит о тех методах, ка-
какими он пользовался при своих исследованиях. Тем более цен-
ценным является одно его письмо к Каркави, в котором Ферма весь-
весьма подробно останавливается на одном замечательном способе
математического рассуждения — способе, который, по его сло-
словам, позволил ему доказать много важных арифметических пред-
предложений и которым, кстати сказать, и после Ферма охотно поль-
пользовались выдающиеся исследователи. Этот способ Ферма назы-
называет методом «бесконечного спуска» (с1е$сеп1:е шйше). Вот в чем
он состоит: чтобы доказать, что какое-нибудь уравнение не мо-
может быть решено в целых положительных числах, показывают^
что если бы оно удовлетворялось какими-нибудь целыми положи-
тельными числами, то оно должно было бы удовлетворяться кро-
кроме этих чисел еще и другими, и притом существенно меньшими.
Если это удастся доказать для какого-нибудь уравнения, то
мы можем считать доказанным, что это уравнение не имеет ни-
никаких целых положительных решений. В самом деле, если бы
оно удовлетворялось какой-нибудь системой таких чисел, то
оно, по доказанному, должно было бы удовлетворяться систе-
системой чисел меньших; а тогда, снова по доказанному, оно должно
было бы удовлетворяться системой ч]исел еще меньших и т. д.
Это рассуждение мы могли бы повторять сколько угодно раз
и получали бы все новые системы решений, и притом все меньп
шие и меньшие; это же приводит нас к явной нелепости, ибо
не может существовать безграничного ряда все меньших и мень-
меньших целых положительных чисел. Следовательно, уравнение
не может вовсе иметь целых решений.
Ферма перечисляет целый ряд уравнений, невозможность
Которых ему удалось доказать именно методом бесконечного
спуска. Среди них имеется уравнение.
х3 + у3 = г3,
представляющее собою частный случай уравнения A) (при п ==3).
кожем ли мы считать вероятным, что и Великую теорему свою
9

Ферми доказывал методом спуска? Во всяком случае следует
отметить, что многие предложения, высказанные Ферма без
доказательства и доказанные позднее его последователями,
были доказаны именно этим способом. Этот же прием дал воз-
возможность доказать и некоторые простейшие частные случаи
Великой теоремы, на чем мы несколько подробнее остановимся
ниже; кстати, мы будем иметь случай подробно проследить кон-
конкретное применение метода бесконечного спуска.
3. ФОРМУЛЫ ИНДУСОВ.
В формулировке Великой теоремы Ферма число п непремен,
НО должно быть больше, чем 2. И в самом деле, уже всякому
ученику средней школы хорошо известно, что уравнение
= г2 B).
может быть разрешено в целых положительных числах (напри
мер: х =3, у =4, 2=5). На основании теоремы Пифагора этп
приводится к тому общеизвестному факту, что существуют пря
моугольные треугольники, все три стороны которых выражаются
целыми числами.
Не ограничиваясь этим, мы поставим себе целью найти все
решения уравнения B), т. е. все тройки чисел, которые, как
тройка 3, 4, 5, удовлетворяют этому уравнению.
Решение этой задачи уже в глубокой древности было изве
стно индусам.
Прежде всего заметим, что числа х, у и г можно считать
попарно не имеющими общих делителей. В самом деле, если
бы какие-нибудь два из них, например х и у, имели какого
нибудь общего делителя /\>1, то, как показывает уравнение
B), и г должно было бы делится на г, так что все уравнение мож
но было бы сократить на г2. Поэтому можно предполагать, что
числа X, у и г с самого начала попарно не имеют общих
делителей.
Далее, нетрудно заметить, что из чисел х и у одно непремен|
но должно быть четным, а другое нечетным.
В самом деле, если бы они оба были четными, то это значило
бы, что у них есть общий делитель 2, — случай, который мы ис
ключили. Если же оба были бы нечетны, например
х = 2к+ 1, у = 21+ 1,
то мы имели бы:
г*^х* + у* = 4 (Л» + к + Р + I) + 2, C)
10

откуда видно, что г2, а, следовательно, и г есть четное число,
г = 2т,
например, откуда г2 = 4т2, т. е. х2 должно делиться на 4; но
равенство C) ясно показывает, что г2 при делении на 4 дает в
остатке 2. Таким образом предположение, что числа х и у оба
нечетны, приводит нас к противоречию, и мы можем считать
доказанным, что из двух чисел х и у одно должно быть четным,
а другое нечетным. Заметим, что в таком случае г2, равное
х2-|-у2, есть число обязательно нечетное, а следовательно, и
г должно быть нечетным числом.
Пусть, для определенности, х четно, так что мы можем по-
положить
х = 2ц.
Написав уравнение B) в виде
Х2 ^ 22 _ у2 = (г + у) B — у),
мы замечаем, что оба множителя правой части суть числа чет-
четные, а следовательно,
г +у , г — у
суть числа целые. Мы получаем:
откуда
& = и2.
Но „легко видеть, что числа а и 6 не могут иметь общих дели-
делителей. В самом деле, если бы оба они делились на какое-нибудь
число г, то сумма и разность их, т. е. числа г и у, также должны
были бы делиться на это число г, мы же предположили с самого
начала, что эти числа не имеют общих делителей. Итак, числа
а и Ъ не имеют общих делителей, и произведение их есть квад-
квадрат, некоторого целого числа. Но в таком случае, как известно,
каждое из них в отдельности есть квадрат некоторого целого
числа, и мы можем напиоать:
а = т2, Ь = п2;
при этом числа тип, очевидно, также не могут иметь общих
делителей. Отсюда
г = а + Ь = т2 + п2, у±=а —
и2 =*ь т2п2

и далее
и = тп, х = 2/лп.
Мы пришли к такому выводу: если числа х, у, г попарно не
имеют общих делителей и удовлетворяют уравнению B), то они
обязательно выражаются формулами:
х = 2/лп,
я2,
D)
где тип суть два целых числа, не имеющих общих делителей.
Легко теперь убедиться, что и обратно, если числа х, у, г
имеют выражения D), где т и п — какие угодно целые числа,
то х, у, г удовлетворяют уравнению B). Это мы можем прямо
проверить, подставляя выражения D) в это уравнение.
Таким образом все решения уравнения B) (не имеющие по-
попарно общих делителей) найдутся по формуламD), и обратно—
для любых значений тип формулы D) дают нам тройку чисел,
удовлетворяющих уравнению B). В этом смысле говорят, что
формулы D) представляют собою полное решение уравнения B).
Это обстоятельство в древнюю эпоху было известно индусам,
вследствие чего мы и будем называть формулы D) формулами
индусов. В частности, полагая/п=2, и = 1, мы получаем извест-
известное решение уравнения B): х = 4, у — 3> г = 5.
Формулы индусов представляют очень большую ценность.
Прежде всего они показьцтют, что в случае п=2 уравнение
Ферма A) имеет бесчисленное множество решений. Но этим их
значение не исчерпывается: как мы сейчас увидим* они,с успе-
успехом могут быть применены к доказательству одного частного
случая Великой теоремы Ферма.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ДЛЯ СЛУЧАЯ П = 4
Убедимся теперь, что уравнение A) при п = 4, т. е. уравнение
X4 + У4 — 24,
не может быть решено в целых положительных числах. Так как
четвертая степень всякого целого числа есть вместе с тем квад-
квадрат некоторого целого числа, то наше предположение будет дока-
доказано, если мы докажем,.что более общее уравнение
Х4 + у4 - гг E)
12

неразрешимо в целых положительных числах. Постараемся до-
доказать это, пользуясь методом бесконечного спуска.
Итак допустим, что уравнению E) удовлетворяет тройка
целых положительных чисел х, у и г. На том же основании, как
в предыдущем параграфе, мы имеем право допустить, что эти
числа попарно не имеют общих делителей. Соотношение E) мы
можем представить в виде:
(х2J + (у2J = г2;
это показывает, что числа х2, у2 и г удовлетворяют уравнению
B), а следовательно, Должны, как доказано в предыдущем па-
параграфе, выражаться по формулам индусов D):
х2 = 2тп,
у2=./Я2 —Л2,
где т и л— два числа, не имеющие общих делителей. Теперь мы
утверждаем, что число т — нечетное, а л — четное. В самом деле,
если бы они были оба четные или оба нечетные, то у и г оба дол-
должны были бы быть четными, что противоречит нашему предпо-
предположению. Поэтому остается показать невозможность того слу-
случая, когда т четно, а л нечетно. Итак, допустим, что
= 2к, п = +
Тогда
^ 4(/с2 — /2 — /) —
это показывает, что у2 при делении на 4 дает в остатке 3; значит,
у2у а следовательно и у, число нечетное, и мы можем положить
у=2з+\у откуда
это же показывает, что у2 при делении на 4 дает в остатке еди-
единицу. Мы, таким образом, приходим к противоречию, которое
показывает, что наше предположение недопустимо. Поэтому
мы можем считать доказанным, что число т должно быть нечет-
нечетным, а л— четным, и мы можем положить
л = 2л'.
Так как х число четное, х=2и, то
х2 = 4 и2 ==■- 2тп = 4тл',
откуда
тп' = и2
13

Но числа т и п'не могут иметь общих делителей, а значит, ка-
каждое из них в отдельности должно быть квадратом целого числа,
и мы можем положить
= а2, п' = Ь2, п = 2Ь2;
подставляя же выражения, найденные нами для /лип, в выра-
выражение для у2, находим:
откуда
у2 + Bй2J = (а2J.
Числа шип, т. е. а2 и 2Ь2, как мы знаем, не имеют общих
делителей. Значит, и из трех чисел
у, 2Ъ\ а2
никакие два не могут иметь общих делителей, ибо тогда, как
показывает последнее уравнение, и третье должно было бы на
него делиться. С другой стороны, последнее уравнение показы-
показывает, что эти три числа удовлетворяют уравнению B). На ос-
основании предыдущего параграфа мы заключаем, что эти три
числа должны выражаться по формулам индусов D):
F)
2Ь2 =
где # и Н — целые числа, не имеющие общего делителя. Поэтому
второе из этих уравнений,
показывает, что из чисел § и Н каждое есть квадрат некоторого
целого числа, т. е. мы можем положить
подставляя эти выражения в последнее из уравнений (б), мы
получаем:
Р4 + ?4 - а2. G)
Уравнение G) имеет такой же вид, как уравнение E), и числа
р и ^ также не могут иметь общих делителей.
Но так как
г = ш2 + п2,
то число а обязательно меньше, чем г. Таким образом мы дока-
доказали следующее: если уравнение E) удовлетворяется тремя це-
14

лыми положительными числами без общих делителей, то оно
непременно должно удовлетворяться еще другой тройкой та-
таких же чисел, причем последнее число второй тройки меньше
соответствующего числа первой тройки.
Это же есть как раз то, что нам нужно для применения метода
бесконечного спуска, потому что из существования второй
тройки решений на основании доказанного будет следовать
существование третьей и т. д. Таким образом, если бы уравнение
E) имело хсть одну тройку решений, то оно должно было бы
иметь таких троек бесчисленное множество, бесконечный ряд, и
в этом ряду последнее из трех чисел от тройки к тройке станови-
становилось бы все меньше и меньше, оставаясь целым и положитель-
положительным, что создает очевидную нелепость. Отсюда следует, что
уравнение E); а следовательно, и уравнение
х4 + у4 = г4,
не может удовлетворяться никакой тройкой целых положитель-
положительных чисел. Тем самым доказан частный случай Великой теоре-
теоремы Ферми, когда п=4.
Приведенное нами доказательство принадлежит Эйлеру.
б. ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ.
Доказанное нами в предыдущем параграфе предложение
имеет значение не только частного случая. Оно легко позволяет
значительно ограничить задачу полного доказательства Вели-
Великой теоремы.
В самом деле, мы теперь легко можем показать, что нам в
дальнейшем достаточно рассматривать уравнения вида
= г\ (8)
где число р — абсолютно простое, т, е. не имеющее других дели-
делителей, кроме единицы и4самого себя. Действительно, если бы
уравнение
п 1 л)п уп
удовлетворялось целыми х, у, г при каком-нибудь п^>2, то п
должно было бы делиться либо на 4, либо на какое-нибудь не-
нечетное абсолютно простое число р. Но в первом случае, пола-
полагая п=4/с, мы могли бы написать соотношение A)в виде:
невозможность которого мы доказали в предыдущем параграфе.
15

Во втором же случае, полагая п=р1, мы приводим уравнение
A) к виду:
А {У У =
Если бы нам удалось показать, что уравнение (8) не допу-
допускает решения в целых числах, то последнее соотношение также
было бы невозможно, а стало быть и уравнение A)не могло бы
допускать целых решений.
Итак, для полного доказательства Великой теоремы Ферма
остается показать, что уравнение (8) ни при каком абсолютно
простом нечетном числе р не может иметь целых положительных
решений. Здесь мы должны сделать одно важное замечание, ко-
которым нам придется пользоваться ниже. Мы до сих пор говорили
всегда о неразрешимости уравнения A) в целых положительных
числах х, у-и г; легко видеть, что этот вопрос совершенно рав-
равносилен вопросу о разрешимости уравнения A)в каких угодно
отличных от нуля целых числах. Это представляется самооче-
самоочевидным в случае, когда число п четное. Если же п нечетно, то
допустим,-что уравнение A) удовлетворяется тройкой отличных
от нуля чисел х, у, г; если все три числа отрицательны, мы из-
изменим знаки всех трех и тем самым убедимся, что уравнение A)
имеет и положительную тройку решений; если же из чисел х, у, г
два имеют один знак, а третье — противоположный, то прежде
всего ясно, что этим третьим числом не может быть г; пусть, для
определенности, это будет х, так что числа у к г имеют один и
тот же знак, противоположный знаку числа х; помня, что п не-
нечетно, мы можем представить уравнение A) в виде:
хп + (- г)п = (- уУ\
где числа х, —г и —у имеют один и тот жь знак; таким образом
мы приходим к тому, что уравнение A) имеет положительную
тройку решений.
Итак, если уравнение A) для какого-нибудь п удовлетворя-
удовлетворяется тремя целыми, отличными от нуля числами, то оно при том
же п имеет и целые положительные решения. Мы поэтому в
дальнейшем можем не делать никакого различия между этими
двумя постановками задачи.
Естественно, что усилия ближайших последователей Ферма
были направлены на доказательство неразрешимости в целых
числах уравнения (8) для простейших значений числа р, т. е.
р=3,5,7,... Пытались применять к этим уравнениям метод
бесконечного спуска и ряд других элементарных приемов. Для
отдельных значений р эти попытки привели к хорошим резуль-
16

татам; так, Эйлер доказал теорему для р = 3 (его доказательство
позднее было улучшено Лежандром). Лежандр и Дирихле до-
доказали теорему для р = 5, Ламэ и Лебег — для р=7.
Однако общего доказательства теоремы Ферма на этом пути
получить не удалось; не удалось доказать ее и для более или ме-
менее обширных групп показателей, вследствие чего эти про-
простейшие приемы постепенно были математиками оставлены и
заменены другими, более сильными, которые привели ко многим
интересным результатам, краткий обзор которых мы приве-
приведем в дальнейшем.
Сейчас же мы перейдем к доказательству, данному Эйлером
для случая р = 3, и изложим его во всей подробности; оно не
только покажет нам еще один пример применения метода бес-
бесконечного спуска, но вместе с тем, что гораздо важнее, даст нам
первое указание на ту роль, какую играют так называемые ал-
алгебраические числа в вопросах, связанных с теоремой Фермд.
Нам надлежит показать, что уравнение
не может иметь решений в целых числах; при этом мы можем
теперь учитывать возможность отрицательных решений ввиду
нечетности показателя.
Допустим, что существует тройка целых, отличных от нуля
чисел, удовлетворяющих уравнению (9); прежде всего мы можем
так Же, как в предыдущем параграфе, считать эти числа х, у и г
попарно не имеющими общих делителей.
Для большей ясности мы разобьем последующее рассужде-
рассуждение на отдельные этапы.
1. Числа х и у не могут быть оба четными, так как мы предпо-
предположили их не имеющими общих делителей. Отсюда легко сле-
следует, что мы вправе считать одно их них четным, а другое не-
нечетным; в самом деле, если бы они оба были нечетными, то, как
показывает уравнение. (9), г было .бы числом четным, и мы бы
могли заставить его играть роль прежнего у, переписав уравне-
уравнение (9) в виде:
х3 + (- г? = (- уK
2. Итак, будем считать х четным а у— нечетным; уравнение
(9) показывает, что г в таком случае нечетно, и следовательно,
числа
г
2 Теорема Ферма

и
п
4
целые. Так как 2 = р+# и у—р— #, то из чисел р и # одно
должно быть четным, а другое нечетным. Мы получаем:
у3 = 2<?3 + 6р2# = 2#(#2 + Зр2).
Таким образом, при наших предположениях, выражение
2#(</2+Зр2) также должно быть кубом целого числа; при этом,
очевидно, мы можем считать/? и # целыми числами, не имеющими
общих делителей; более того, соотношение
х3 = 2?(?2 + 3р2) A0)
показывает нам, что числа х, # и р мы можем считать положи-
положительными, не ограничивая этим общности задачи; относительно р
это ясно само собою; хи}, как показывает соотношение A0),
имеют одинаковые знаки; если бы они были отрицательными, мы
могли бы, изменив знаки чисел х, у и г (благодаря чему*/, как
показывает его выражение, также только переменило бы знак),
сделать числа хи } положительными.
3. Мы уже заметили выше, что число х— четное; полагая
х =2а, получаем:
но так как числа дир — разной четности, то </2 + Зр2 есть число
нечетное; следовательно, написанное равенство требует, чтобы
делилось на 4.
4. Таким образом произведение чисел -^ д и </2 + Зр2 должно
быть кубом целого числа; если сомножители не имеют общих
делителей, то отсюда следует, что каждый из них в отдельности
должен быть кубом некоторого целого числа. Посмотрим же,
могут ли эти сомножители, или, что то же, могут ли числа ц и
</2 + Зр2 иметь общие делители. Если такой делитель есть, то
вместе с числом ц на него будет делиться и </2, а следовательно,
и разность
а так как р и </, по доказанному, общих делителей не имеют, то
этим делителем может быть только число 3.
18

5. Мы должны будем во всем дальнейшем резко различать
два случая: если д не делится на три, то числа </ и </2 ^-Зр2 не
й й
могут иметь общих делителей; это — первый случай.
Если же </ делится на три, то </24-Зр2, очевидно, также де-
делится на три, и притом число три, как мы видели, есть наи-
наибольший общий делитель этих двух чисел; это — второй случай.
6. Первый случай. Если ц не делится на три и, следова-
следовательно, числа -т</и</2 + Зр2 не имеют общих делителей, то,
как мЫ уже видели, каждое из них должно быть кубом неко-
некоторого целого числа.
Теперь мы вступаем в область так называемых целых алге-
алгебраических чисел. Заметим, что
р !/з) (? -р /зг
числа вида а-}-&]/—3, где а и Ь—обыкновенные целые числа,
и представляют собою тот частный случай целых алгебраиче-
алгебраических чисел, с которым нам здесь придется иметь дело. Для
этих чисел можно построить всю арифметику так же, как мы
ее строим для наших обыкновенных целых чисел. Определения
делимости, делителя, кратного, абсолютно простого числа и т. д.
остаются теми же, как в обычной арифметике. Сохраняется и
большая часть ее предложений; в частности, если произведе-
произведение двух чисел этого нового вида равно кубу некоторого числа
того же вида и если сомножители не имеют общих делителей,
то каждый из них в отдельности будет кубом некоторого ал-
алгебраического числа того же вида.
Произведение чисел
и
есть, как мы показали, куб некоторого обыкновенного целого
числа; но всякое обыкновенное целое число а принадлежит
классу наших новых целых чисел, ибо может быть представлено
в виде а+0-|/—3. Можно показать (мы не будем входить в
эти подробности), что числа # «3- р ]/ — Зи </ — р]/' — Зне могут
иметь общих делителей того же вида. Таким образом каждое
из этих чисел должно быть кубом некоторого числа, и нетрудно
2* 19

убедиться, что эти новые числа должны отличаться друг от
друга только знаком при |/":—3; в самом деле, полагая
, (П)
мы непосредственно убеждаемся, что число д—р)/—3 должно
быть кубом числа / — а]/— 3.
Отсюда мы находим:
+ Зр2 = (д + р /=3) (д-р /=3) - (/2 +
кроме того, раскрывая соотношение A1), мы получаем:
= 312и — Зи3 = Зи(B — и2).
7. Так как р — число нечетное, то последняя формула по-
показывает нам, что и должно быть числом нечетным, а / — чет-
четным.
Так как, далее, число ^</, а следовательно, и число 2д,
должно быть кубом целого числа, то выражение
21A* — 9а2) = 21A + 3и)A— Зи)
также должно быть кубом целого числа.
Три множителя 2/, / +3и и /—Зи этого произведения попарно
не могут иметь общих делителей, в чем легко убедиться, замечая,
что число I — четное и не может делиться на три, так как тогда
и д делилось бы на три, в противоречие с нашим предположе-
предположением. Отсюда следует, что каждый из этих множителей в отдель-
отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая
+ Зи = /3,
21 =
мы, очевидно, получаем:
таким образом числа /, § и Н также удовлетворяют уравнению
(9); легко подсчитать, что эти новые числа по абсолютному зна-
значению меньше чисел х, у, г первоначальной тройки. Мы поэтому
находимся в условиях применимости принципа бесконечного
спуска и можем считать предложение доказанным.
20

8 Второй случай легко приводит нас к аналогичному за-
заключению. Пусть ^ делится на три; положим #=3г; г, подобно
ц, должно быть четным числом и не может иметь общих дели-
делителей с р; так как
9
должно быть кубом целого числа и так как числа -гг и Зг2 + р2,
как легко убедиться, не могут иметь общих делителей, то каж-
каждое из этих чисел в отдельности есть куб некоторого целого
числа.
9. Из того, что Зг2+р2 есть куб целого числа, мы, так же
как в первом случае, заключаем, что
= 1A* — 9а2),
*
причем на этот раз, как легко видеть, I Должно быть нечетным,
а и — четным числом. •
Последняя формула показывает, что г делится на три.
9
10. Из того, что -гГ должно быть кубом целого числа, мы,
8
помножая это число на = и помня, что г делится на три, нахо-
находим, что и
должно быть кубом целого числа. А так как множители 2и,
а этого произведения, очевидно, попарно -не могут
р у
иметь общих делителей, то каждый из них в отдельности должен
быть кубом целого числа. Полагая
2а =
I + и -
I — и = Л3,
находим:
/3 + Л3 =
таким образом мы и во втором случае приходим к существова-
существованию новой тройки чисел, удовлетворяющих исходному уравне-
21

нию (9), и эти новые числа опять, как легко проверить, по аб-
абсолютной величине меньше первоначальных.
Таким образом мы во всех случаях приходим к возможности
применять принцип бесконечного спуска и, следовательно,
можем считать наше предложение окончательно доказанным.
*
6. РЕЗУЛЬТАТЫ КУММЕРА.
Как мы уже указывали, тот путь, которым мы шли в послед-
последних параграфах, позволил доказать теорему Ферма еще для
нескольких частных случаев; но результатов сколько-нибудь
Общих на этом пути получить не удалось. Это заставило мате-
математиков искать других путей — идейно более сложных и техни-
технически более громоздких, лишь бы ими удалось получить ре-
результаты более общего характера.
Из всех достижений, полученных на этих путях, безусловно
наиболее значительными являются результаты немецкого уче-
ученого Куммера, найденные им около середины прошлого столе-
столетия. Методы Куммера в особенности замечательны тем, что с
помощью их удалось не только значительно продвинуть вперед
разрешение загадки, оставленной нам гением Ферма, но и соз-
создать новую, стройную и цельную ветвь современной арифме-
арифметики— теорию алгебраических чисел.
Разумеется, эта -заслуга Куммера должна стоять на первом
плане, ибо мы не должны забывать, что Великая теорема Ферма,
несмотря на весь интерес, который она к себе вызывала и про-
продолжает вызывать, все же является проблемой частного харак-
характера, то или иное решение которой само по себе вряд ли могло
бы значительно расширить горизонт научной мысли в ее сов-
современном состоянии.
Здесь мы не имеем возможности сколько-нибудь подробно
остановиться на работах Куммера и должны ограничиться са-
самыми краткими указаниями и перечислением результатов. В
дополнении основные идеи работ Куммера изложены более
подробно, и к нему мы отсылаем читателя, желающего глубже
проникнуть в этот интересный круг мыслей.
В своих работах Куммер исходил из разложения суммы
хр-\-ур на множители:
хр + ур = (х + у) (х + осу) (х + а2у) ... (х + оТ1?), A2)
где а есть комплексное число, удовлетворяющее уравнению
22

Это разложение хорошо известно из алгебры. Такая постановка
вопроса сейчас же выводит нас из круга обыкновенных целых
чисел и заставляет вступить в область чисел, подобных тем>
с какими нам пришлось иметь дело в последнем параграфе;
это прежде всего число а и его различные степени, затем — раз-
различные комбинации, получаемые сложением и вычитанием этих
степеней; все эти числа, подобно числам вида
а + Ь У^
с которыми мы встречались выше, называются алгебраическими
целыми числами; вообще целым алгебраическим числом назы-
называется всякое число х, удовлетворяющее уравнению вида:
а^'1 + а2хп~2 + ... + ап_гх + аЛ = О,
где аг, а2, ... , ам
суть какие-нибудь обыкновенные целые числа.
Целые алгебраические числа делятся на области; внутри
каждой области (с одной из таких областей мы имели дело в
предыдущем параграфе) имеют место законы делимости и раз-
разложения чисел на множители, во многом напоминающие
(а часто и прямо повторяющие) аналогичные законы для обыкно-
обыкновенных целых чисел; но в одном пункте имеется замечательное
различие: именно, всякое обыкновенное целое число, как мы
знаем, может быть разложено на абсолютно простые множители
единственным образом; алгебраическое же целое число, вообще
говоря, несколькими различными способами может быть разло-
разложено на простые множители. Это обстоятельство делает теорию
делимости для алгебраических чисел гораздо более сложной,
чем для чисел обыкновенных; именно оно и послужило глав-
главным препятствием на пути к доказательству теоремы Ферма. Но
вместе с тем это'же обстоятельство дало повод Куммеру положить
основание для стройной теории делимости алгебраических чи-
чисел— теории, составляющей в настоящее время одно из самых
прекрасных созданий математической науки.
В формуле A2) сумма хр + ур представлена в виде произве-
произведения множителей очень простого типа, в которых число а и
его степени встречаются в качестве коэфициентов; это, естест-
естественно, наводит на мысль, что следует и самые числа х, у и г
искать не в области одних только обыкновенных целых чисел,
а в гораздо более широкой области алгебраических целых чи-
чисел, связанных с числом а; на первый взгляд кажется, что
23

Задача этим усложняется; в самом деле, ведь Ферма хотел пока-
показать невозможность своего уравнения только для обыкновенных
целых чисел; мы же, следуя Куммеру, хотим показать сверх того,
что оно не может выполняться еще и для целой области алгебраи-
алгебраических чисел. Но интуиция Куммера повела его по верному
пути: кажущееся усложнение проблемы сторицею окупилось
тем обилием новых идей и методов, с которыми мысль встрети-
встретилась, как только задача была поставлена в той области, с кото-
которой она предметно по сущности своей была связана. Мы теперь
приведем основной результат Куммера, причем формулируем
его только для обыкновенных целых чисел.
Куммер доказал, что уравнение (8) не допускает решения
в целых, отличных от нуля числах, для целого ряда простых
чисел р, в том числе для всех простых чисел, меньших, нежели
100, т. е. кроме р = 3, 5, 7 (что было известно раньше), для
р=И, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Это, разумеется, представляет собою огромный шаг вперед;
и не только потому, что значительно расширилась область пока-
показателей, для которых доказана теорема Ферма, но главным обра-
образом потому, что был, наконец, найден общий метод, позволяю-
позволяющий рассматривать зараз целые обширные группы показате-
показателей, вместо того чтобы строить доказательство для каждого
показателя в отдельности, как это делалось в предшествующих
работах.
По господствующему в- настоящее время среди представите-
представителей науки мнению, полного решения проблемы Ферма следует
вероятнее всего ожидать от систематического дальнейшего раз-
развития тех идей, основание которым было положено работами
Куммера.
7. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ ВАЖНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ.
Мы теперь должны остановиться на одной группе попыток
доказательства теоремыФерма—попыток, приведших к довольно
замечательным результатам и основанных на весьма простом
замечании, которое еще в 1823 г. было высказано Лежандром
и широко использовано последующими математиками вплоть
до наших дней.
Перенося влево все члены уравнения (8) и замечая, что р —
число нечетное и что знаки чисел х, у и г находятся в нашем
распоряжении, мы можем формулировать утверждение Ферми
24

следующим образом: не существует трех целых, отличных от
нуля чисел х, у и г, для которых
гр = 0.
Очевидно (и в этом и состоит замечание Лежандра), что для
того, чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что для неко-
некоторого подходяще выбранного числа к выражение
хр + ур + гр A3)
не может делиться на /с, каковы бы ни были целые, отличные от
нуля числа х, у и г.
В самом деле, так как нуль делится на любое число, то тем
самым будет показано, что число A3) не может обращаться в
нуль. Таким образом вместо изучения величины числа A3) мы
обращаемся к изучению вопроса о его делимости на те или иные
числа; а это, разумеется, сейчас же дает нам ряд новых способов
для исследования вопроса.
За число к (выбором которого мы можем, понятно, распоря-
распоряжаться как нам угодно) в большинстве случаев принимался
показатель р. Реже, но зато с более значительным успехом,
выбирались абсолютно простые числа, дающие единицу в остат-
остатке при делении на р (т. е. имеющие вид ир+1); пользовались с
успехом и простыми числами вида 2ир+1.
Характерным для всех этих попыток является то, что при
этом приходится отказаться от рассмотрения таких возможных
решений уравнения (8), в которых одно из трех чисел (х, у, г)
может делиться на р. Таким образом, если вообще что-нибудь
удается доказать, то полученный результат всегда гласит так:
Уравнение (8) при данном значении числа р не может иметь
таких целых положительных решений х, у, г, в которых ни одна
из этих трех чисел не делится на р. Однако с этим ограничением
теорему можно считать доказанной для очень многих значений
р. В недавней сводке работ по этому вопросу Диксон показы*
вает, что за исключением числа р = 6857 этот случай (т. е. от-
отсутствие решений, не делящихся на р) доказан для всех простых
чисел р, не превышающих 7000.
Что касается возможных решений, в которых одно из чисел
х, у, г может делиться на р, по этому вопросу известно то, что
дают работы Куммера, рассмотренные в предыдущем параграфе.
Было замечено, что, принимая за к абсолютно простое число
вида 2пр + 1, довольно часто удается показать, что выражение
25

A3) может делиться на к только в том случае, если по крайней
мере одно из трех чисел х, у и г делится на к; это обстоятельство
в свое время дало надежду притти к доказательству теоремы
Ферма следующим путем: показать, что для всякого абсолютно
простого числа р найдется среди чисел вида
к = 2пр + 1
бесчисленное множество абсолютно простых чисел, обладающих
только что указанным свойством [т. е. таких, что выражение A3)
может делиться на к не иначе, как при условии, что одно из
трех чисел х, у и г делится на к]. Если бы это удалось показать,
то отсюда теорема Ферма следовала бы в нескольких словах; в
самом деле, если бы уравнению (8) удовлетворяла какая-нибудь
тройка чисел х, у и 2, то, так как нуль делится на любое число,
отсюда вытекало бы, что для любого из чисел к упомянутого
бесконечного множества выражение A3), составленное для вы-
выбранной тройки, должно было бы делиться на к; а это в свою
очередь на основании того, что мы предцоложили доказанным,
сейчас же приводит нас к тому, что по меньшей мере одно из
чисел х, у и г должно иметь бесконечное множество различных
абсолютно простых делителей, что, очевидно, нелепо.
Однако на этом пути не только не удалось доказать теоремы
Ферма, но, более того, удалось убедиться, что путь этот в отно-
отношении к данной цели является безнадежным. Именно Диксон
доказал следующую интересную теорему, которую мы приводим
ввиду того интереса, который она возбудила среди математиков,
работающих над проблемой Ферма (хотя значение теоремы
Диксона для этой проблемы — чисто отрицательное): каково бы
ни было абсолютно простое число р, для всякого достаточно боль-
большого абсолютно простого числа к найдутся три числа х, у, г,
не делящихся на к, и таких, что выражение A3) делит-
делится на к.
Очевидно, что теорема Диксона обнаруживает безнадеж-
безнадежность намеченного нами пути, ибо из нее следует, что чисел /с,
о которых мы выше упоминали, для каждого р может существо-
существовать лишь конечное число (если они вообще существуют). •
Наконец следует еще указать на интересные работы Вифе-
риха и Мириманова, обратившие на себя большое внимание
простотою своих результатов. Виферих доказал следующее:
Для того чтобы, уравнение (8) могло быть решено в целых
числах х, у, г, не делящихся на р, нужно, чтобы число
делилось без остатка на р2.
26

Так как не было известно простых чисел, удовлетворяющих
этому условию, то были основания предполагать, что таких
чисел нет вовсе. Проф. Граве во втором издании своего «Элемен-
«Элементарного курса теории чисел» A913 г., стр. 315) сообщил, что
ему известно, что таких чисел не существует; однако соответст-
соответствующее доказательство, насколько мне известно, обнародовано
не было. Но в том же 1913 г. Мейсснер нашел абсолютно простое
число, именно р = 1093, для которого условие Вифериха факти-
фактически- выполняется.
Мириманов доказал, между прочим, что в условиях теоремы
Вифериха не только1 2Р — 2, но и число
должно делиться на р2.
Те исследования, о которых мы сообщали в настоящем па-
параграфе, почти все проведены совершенно элементарными мето-
методами, но ни в одном из них не применяется «метод бесконечного
спуска». Поэтому естественно возникает вопрос о том, насколько
методы тех или других из числа этих исследований могут ока-
оказаться родственными тому пути, которым шел сам Ферма в
своем доказательстве.
Существует мнение, что Ферма мог найти свое доказательство
на пути, не очень далеком от указанного ряда исследований.
Может быть, его гению удалось каким-либо искусным приемом
сразу достигнуть того, к чему в первую очередь стремятся совре-
современные математики: доказать, что уравнение (8) не может удовле-
удовлетворяться целыми числами, не делящимися на р. Допускают,
что если это так, то вторую часть теоремы, т. е. невозможность
уравнения (8) в предположении, что одно из чисел х, у, г делится
на р, Ферма мог доказать именно методом спуска (повидимому,
этот случай проблемы наиболее приспособлен для применения
метода спуска).
Допускают, однако, и то, что доказательство Ферма (если
только оно не содержало ошибки) могло быть построено на
совершенно других основаниях; может быть, не напрасно сам
автор в других случаях сдержанный в своих оценках, назвал
его «удивительным доказательством».
8. НОВЫЙ АНГЛИЙСКИЙ МЕТОД В АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ.
Все исследования, о которых мы до сих пор говорили (вклю-
(включая и работы Куммера), пользовались методами элементарными
в том смысле, что для решения арифметических задач привлека-
27

лись только арифметические и алгебраические средства. Между
тем современная теория чисел, вообще говоря, для доказатель-
доказательства своих предложений широко пользуется средствами ана-
анализа: теорией пределов, бесконечных рядов и произведений,
теорией функций и вообще всем тем арсеналом орудий, который
дается изучением непрерывного изменения величин. И вот,
в применении к интересующей нас задаче, нам не известно в
литературе ни одной попытки подхода, которая опиралась бы
на тот или иной аналитический путь. Как это объяснить?
Великая теорема Ферма принадлежит к числу предложений
так называемой аддитивной теории чисел. Так называется ветвь
арифметики, изучающая законы, по которым числа могут быть
составлены из слагаемых того или иного вида, в противополож-
противоположность мультипликативной теории, занимающейся изучением
того, как числа составлены из множителей.
И вот, если теория чисел по справедливости считается одной
из труднейших ветвей математики, если о ней часто говорят,
что она, несмотря на древнее свое происхождение, еще не нашла
своего метода, —то все это в особенности верно по отношению к
аддитивной теории. Здесь в сущности до самого последнего вре-
времени не было ничего, что могло бы объединить между собою от-
отдельные разрозненные достижения этой науки, да и самых до-
достижений этих было очень немного (проблема Ферма предста-
представляет собою далеко не единственную простую задачу этой обла-
области, до сих пор сопротивляющуюся всем попыткам решения).
В частности, попытки применения средств анализа к сколько-
нибудь глубоким задачам этой области до сих пор почти никогда
не приводили к цели.
Однако существует один очень старый, принадлежащий еще
Эйлеру, аналитический метод, позволяющий найти по крайней
мере первый аналитический подход ко всякой почти задаче адди-
аддитивной теории чисел. Мы в нескольких словах изложим сущ-
сущность этого метода на примере проблемы Ферма, причем мы пред-
предполагаем у читателя знакомство с основными понятиями теории
степенных рядов.
Рассмотрим бесконечный ряд
- х1Р + х?+ ... +хпР+ ... , A4).
где х — комплексное переменное, а р — то самое абсолютно про-
простое число, которое встречается в уравнении (8); известно, что
ряд этот будет сходиться, коль скоро | х | < 1, и сумма его будет,
следовательно, некоторой функцией комплексного переменного
28

х, которую мы обозначим через / (х). Известно, что функция
[/(х)]2 также будет разлагаться в степенной ряд и что этот новый
степенной ряд
п
мы получим, если ряд A4) помножим на самого себя так, как
в алгебре перемножаются многочлены. Так как при перемноже-
перемножении различных степеней переменного х показатели складывают-
складываются, то ясно, что коэфициент ап последнего ряда будет предста-
представлять собою число, показывающее, сколькими различными спо-
способами число п может быть представлено в виде
р
к
где к и / — целые положительные числа.
Чтобы доказать теорему Ферма, достаточно поэтому уста-
установить, что ап обращаегся в нуль всякий раз, как число п
имеет вид т9, где т — целое.
С другой стороны, теория функций комплексного перемен-
переменного дает нам средства выражать коэфициенты степенного ряда
через значения функции, им представляемой; таким образом
проблема сводится к изучению свойств функции /(х); к сожа-
сожалению, функция эта является весьма сложной; правда, путем
ряда преобразований удается свести проблему к изучению дру-
других функций, с которыми специалисты по аналитической теории
чисел гораздо лучше знакомы; но решение проблемы требует
детального знания таких тонких свойств этих функций, какое
совершенно недоступно современному состоянию науки, и, по
всей вероятности, может быть добыто только постепенными сис-
систематическими усилиями ряда поколений. И надо сказать, что
метод Эйлера, соблазнительный на первый взгляд, каждый раз,
когда его пытались применять к конкретным задачам, приводил
к неодолимым трудностям; вследствие этого он, как безнадеж:
ный, был уже давно почти совсем оставлен математиками, зани-
занимавшимися аддитивной теорией чисел.
И вот совсем недавно, уже после мировой войны, метод этот
внезапно был воскрешен и, подкрепленный всем арсеналом
современных знаний в области математического анализа, с но-
новыми силами и новой", юношеской свежестью дал ряд неожидан-
неожиданных и блестящих результатов, и притом отчасти в подходе к
проблемам, к которым, несмотря на их значительную давность,,
до тех пор решительно никаких подходов не существовало и ко-
которые, стало быть, находились в положении более печальном,
29

чем проблема Ферма. Так обстояло дело, нацример, с так назы-
называемой первой проблемой Гольдбаха: доказать, что всякое чет-
четное число кроме двух может быть представлено как сумма двух
абсолютно простых чисел. Доказательства этой теоремы (кстати
сказать, по возрасту немного уступающей теореме Ферма) мы
не имеем до сих пор; но уже после первых работ в новом на-
направлении определенно чувствуется, что данная задача, к ко-
которой раньше мы не знали никаких подходов, наконец схва-
схвачена крепким, могучим и многообещающим методом.
Творцы нового метода — английские математики Харди и
Литтльвуд и молодой индус Рамануйян (недавно безвременно
скончавшийся). Сущность и сила нового метода заключается
в том, что он дает способ изучения функций, определяемых сте-
степенными рядами [функция /(х) в нашем примере], в областях,
близких к кругу сходимости ряда, т. е. там, где поведение
функции наиболее сложно.
О значении нового метода читатель может судить по словам
одного из наиболее выдающихся современных работников тео-
теории чисел, проф. Ландау, который заканчивает свой реферат
об этом методе такой фразой: «Я счастлив, что мне удалось до-
дожить до того времени, когда аддитивная теория чисел обрела
себе метод».
Я счел полезным сообщить читателю об этом новом методе,
хотя в направлении теоремы Ферма этот метод до сих пор не-
дал еще ничего. Даст ли он что-нибудь в будущем? Трудно сколь-
сколько-нибудь уверенно ответить на этот вопрос, но необходимо
учитывать, что большинство проблем, решенных этим методом
до сих пор, ставилось так, что требовалось доказать возмож-
возможность представления того или иного числа в виде суммы сла-
слагаемых определенного вида. В теореме Ферма речь идет напро-
напротив, о невозможности некоторого представления. Этот «отри-
«отрицательный» характер проблемы делает ее значительно более труд-
трудной» для нового метода; но в принципе подход к ней средствами
нового метода возможен и, несомненно, в ближайшее время
будет испробован.
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Задача, которую гений Ферма поставил грядущим поколе-
поколениям, остается, таким образом, нерешенной.
Для всякого, кто интересуется теоремой Ферма не с одной
только спортивной стороны, должен возникнуть основной во-
вопрос: какое место занимает эта теорема в ряду актуальных
математических задач современности, и какое место займет она
30

в сокровищнице наших знаний, если когда-нибудь будет до-
доказана?
Мы уже указывали (да это и непосредственно ясно), что за-
задача доказательства теоремы Ферма сама по себе есть весьма
частная проблема аддитивной» теории чисел. Но если так, то
стоит ли она тех усилий, которые на нее тратятся, стоит ли
того усиленного внимания, какое уделяют ей математики вот
уже почти три столетия?
Вспомним, что Куммер, пытаясь доказать Великую теорему,
положил основание одному из самых стройных и законченных
зданий современной арифметики.
Случайно ли обязаны мы возникновением этого здания теоре-
теореме Ферма? Есть некоторые основания полагать, что это не слу-
случайно. Размышляя о Великой теореме Ферма, математический
ум неизменно чувствует себя в кругу самых острых и сущест-
существенных соотношений и закономерностей, какие только знает
арифметика. Откуда является это чувство, чем оно обосновано
и что оно нам может обещать, о чем свидетельствовать?
Основу арифметики составляют арифметические действия,
или операции. Первую ступень этих действий образует сложе-
сложение (обратное действие — вычитание), вторую — умножение
(обратное — деление), третью — возведение в степень (обратные
действия — извлечение корня и логарифмирование). Законы этих
операций и соотношения между ними составляют в сущности
задачу арифметики. И вот история арифметики обнаружила
факт чрезвычайной важности: в то время как понятия, возни-
возникающие из действий, одной и той же ступени, оказываются свя-
связанными между собою весьма простыми законами и обнаруже-
обнаружение этих законов не вызывает никаких затруднений, — в то же
самое время связь между операциями различных ступеней и
между понятиями, возникающими из этих операций, оказы-
оказывается часто столь трудно поддающейся обнаружению, что ум
чувствует себя перед лицом неразрешимой проблемы. Кажется,
что понятия, например, аддитивной и мультипликативной тео-
теории чисел столь далеки друг от друга, как будто бы они были
взяты из двух научных дисциплин, не имеющих между собою
ничего общего. И часто приходится для доказательства той или
иной закономерности прибегать к анализу — области, глубоко
чужеродной арифметике, — как к связующему звену, чтобы сое-
соединить понятия, возникшие из общего лона целого числа, но
упорно не желающие признавать своего родства, не желающие
иметь ничего общего друг с другом. Так, задача о том, содержит
ли всякая арифметическая прогрессия бесконечное множество
31

абсолютно простых чисел, — эта задача, в своей постановке до-
доступная каждому школьнику, до сих пор не получила чисто ариф-
арифметического решения и могла быть решена только с помощью
методов анализа, выходящих далеко за пределы арифметики;
и трудность, присущая этой задаче, коренится, как знает каж-
каждый, кто над ней думал, именно в том, что здесь требуется найти
закономерность, связывающую аддитивное понятие арифмети-
арифметической прогрессии с чисто мультипликативным понятием аб-
абсолютно простого числа. Совершенно то же самое можно ска-
сказать и о вышеприведенной проблеме Гольдбаха, представляю-
представляющей собою типичную аддитивно-мультипликативную задачу.
То, что мы констатировали сейчас для понятий, связанных
с операциями первой и второй ступени, дает себя чувствовать
в еще большей степени, когда мы пытаемся связать между со-
собою две ступени несоседние — первую и третью.
Мы не можем долго останавливаться на примерах, но до-
достаточно упомянуть в этом ряду задач хотя бы знаменитую
проблему Варинга, чисто арифметического решения которой
мы тоже до сих пор не имеем (и лучшее решение которой, между
прочим, получено Харди и Литтльвудом с помощью их нового
метода).
Почти всегда бывало так, что те трудности, на какие мы
сейчас указывали, оказывались сопряженными со значитель-
значительностью (иногда не бросающейся в глаза) и чрезвычайной пло-
плодотворностью проблемы. Решение задачи об арифметической
прогрессии, найденное Дирихле, помимо своего предметного
значения является теперь классическим по своему методу, обо-
обогатившему науку целым рядом новых открытий. Решение про-
проблемы Варинга Харди и Литтльвудом (не первое по времени,
но лучшее по точности результата) совпало с созданием метода,
обещающего стать одним из самых сильных в теории чисел.
Наконец, здесь следует упомянуть и формулу бинома, откры-
открытую Ньютоном и всем хорошо известную, которая ведь пред-
представляет собою одну из простейших связей между действиями
первой и третьей ступени и значение которой для арифметики
хорошо известно и, по всей вероятности, еще далеко не исчер-
исчерпано. Можно было бы указать еще ряд других примеров.
Но вернемся к Великой теореме Ферма. Что.мы в ней уви-
увидим с нашей новой точки зрения? Одну из самых простых, есте-
естественных, непосредственно приходящих в голову задач о свя-
связи операций первой и третьей ступени! В самом деле, если мы
задумаемся над этой связью, сможем ли мы придумать сразу
вопрос более простой, чем этот: может ли сумма одинаковых
32 ' •

степеней двух чисел равняться такой же степени некоторого
третьего числа? А это ведь и есть проблема Ферма.
Мы теперь склонны понять и простить ей ее трудность. Но
вместе с тем мы понимаем и то чувство высокой значительности,
которое охватывает всякого ученого, стремящегося проникнуть
в загадку Великой теоремы, ибо он стэит перед лицом самых
основ арифметики, перед лицом тех величайших законов, ко-
которыми управляется мир чисел и на которых основано все на-
наше знание об этом мире.

ДОПОЛНЕНИЕ.
ПОДРОБНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИИ КУММЕРА.
В настоящем дополнении мы имеем в виду подробно изло-
изложить основную работу Куммера, содержащую доказательство
теоремы Ферма для всех регулярных простых показателей, — ра-
работу, справедливо почитающуюся самым значительным из все-
всего, что до сих пор сделано в направлении к доказательству Ве-
Великой теоремы. Это изложение представляется нам не лишним
по той причине, что мы не знаем не только в русской, но и в
иностранной литературе такого изложения этого безусловна
классического произведения, которое было бы доступно чита-
читателю, хотя бы даже знакомому с элементами теории алгебраи-
алгебраических областей, но не являющемуся искушенным специали-
специалистом в этой ветви арифметики. Работа самого Куммера, помимо
того, что она доступна только такому специалисту, содержит
еще ряд неточностей и пробелов, заполнить которые может
только хороший знаток; прекрасное изложение Гильберта
в его известном «ВепсМ...» помещено в самом конце и для своего
усвоения требует предварительного изучения всей огромной
работы, написанной сжато и также с расчетом на знатока; на-
наконец, имеющее претензию на популярность изложение Бахма-
на в его недавно вышедшей книге, специально посвященной
теореме Ферма, настолько недоброкачественно в отношении
логической отчетливости и строгости, что даже знатока может
поставить втупик. Пусть чигатель судит, в какой мере приво-
приводимое ниже изложение является удовлетворительным.
Мы в этом дополнении должны предполагать читателя имею-,
щим некоторое арифметическое образование. Вполне ясным
все последующее будет для читателя, знакомого хотя бы с
элементами теории идеалов; на случай, если читатель этой тео-
теории не знает, мы в первом параграфе собрали все необходимые
определения и теоремы (следовательно, читатель, знакомый с
теорией идеалов, может этот первый параграф пропустить);
формально читатель найдет здесь все необходимое; по существу
34

Же, конечно, невозможно таким образом усвоить теорию, о
которой не знаешь ничего, и мы хотели бы, чтобы в таком слу-
случае этот первый параграф послужил для читателя стимулом к
изучению хотя бы элементов этой теории.
Наконец, совершенно необходимым минимумом для пони-
понимания последующего является знакомство с обычным универ-
университетским курсом теории чисел в объеме примерно учебника
Д. Ф. Егорова.
Второй параграф содержит специальные сведения из теории
простых круговых областей; в третьем помещено доказатель-
доказательство теоремы Куммера.
1. Необходимые сведения из общей теории алгебраических
областей.
1. Число х называется алгебраическим, если оно удовле-
удовлетворяет уравнению.
а0 + агх + а2х2 -\ \- апхп = 0 A5),.
где все а — обыкновенные целые числа; алгебраическое число х
называется целым, если в уравнении A5) ап=\; целые алге-
алгебраические числа мы будем обозначать малыми латинскими и
греческими буквами. В отличие от алгебраических иррацио-
иррациональных чисел обыкновенные целые числа называются целыми
рациональными.
Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических
чисел также суть целые алгебраические числа.
2. Если х есть алгебраическое число, то совокупность чи-
чисел вида
где все а и C—целые рациональные числа, называются областьюг
определяемой числом х, и обозначается через К (х); все рацио-
рациональные числа принадлежат всякой алгебраической области;
сумма, разнссть, произведение и частное двух чисел*) какой-
либо области также принадлежат этой области.
3. Если число х таково, что числа х и — оба целые, то оно
называется единицей данной области; область рациональных чи-
*) В случае частного надо, конечно, чтобы делитель был отличен
от нуля.
3* 35

сел содержит только две единицы: -[-1 и—1; алгебраическая
область, вообще говоря, содержит бесконечное множество еди-
единиц; произведение и частное двух единиц есть всегда единица.
4. Делимость целых чисел данной области определяется
совершенно так же, как для целых рациональных чисел. Два
числа, делящиеся друг на друга, называются ассоциированными6.
их отношение есть, конечно, единица области; условимся на-
называть целое число простым или абсолютно простым, если оно
в данной области не имеет других делителей, кроме единиц и
ассоциированных чисел, и само не есть единица; каждое число
имеет лишь конечное число простых делителей (если не разли-
различать ассоциированных чисел); каждое число разлагается на
произведение простых множителей, но, как мы уже знаем, во-
вообще говоря, не единственным образом, даже при том условии,
если мы не будем различать между собою ассоциированных чи-
чисел; в этом лежит главная трудность арифметической теории
алгебраических чисел, и для преодоления ее, для того чтобы
вернуть алгебраическим числам их однозначную разложимость,
и создана Куммером та теория идеалов, к изложению основ ко-
которой мы сейчас переходим.
5. Пусть х— целое число некоторой области. Обозначим
через (х) совокупность всех целых чисел данной области, деля-
делящихся на х; очевидно, что совокупность (х) однозначно опреде-
определяет собою число х, из которого она возникла (если не различать
чисел ассоциированных); совокупность эта обладает, очевидно,
следующими важными свойствами:
1°. Сумма и разность любых двух чисел этой совокупности
также принадлежат ей.
2°. Вместе с числом у этой совокупности принадлежит и
всякое число данной области, делящееся на у.
Допустим теперь, наоборот, что нам дана некоторая сово-
совокупность / целых чисел данной области, про которую известно
только, что она обладает свойствами 1°и 2°; можем ли мы, обратно,
утверждать, что все числа совокупности / делятся на одно и
то же число х и все числа, делящиеся на х, входят в эту сово-
совокупность? В области рациональных чисел — можем; в алгеб-
алгебраической области, вообще говоря, нет; и в этом лежит при-
причина отсутствия однозначной разложимости.
Условимся теперь называть идеалом всякую совокупность
/ целых чисел данной области, обладающую свойствами Г и 2°;
в частности, совокупность (х) чисел, делящихся на число х,
есть, как мы видели, идеал; такой идеал мы будем называть
главным идеалом; в области, где все идеалы главные (например
36

в области рациональных чисел), существует однозначность раз-
разложения чисел на простые множители.
Идеалы мы вообще будем обозначать большими латинскими
буквами; иногда мы будем обозначать через (х) главный идеал,
определяемый числом х.
6. Если число х делится на число у, то все числа идеала (х)
принадлежат к идеалу (у), как это непосредственно очевидно;
мы будем в этом случае говорить, что идеал (х) делится на идеал
(У)-
Это сейчас же позволяет нам обобщить понятие делимости
и на случай не главных идеалов; мы скажем, что идеал / делит-
делится на идеал /', если все числа первого входят и в последний;
если идеал (х) делится на идеал /, то мы будем также говорить,
что число х делится на идеал /; очевидно, эта делимость равно-
равносильна тому, что число х входит в состав идеала /.
Идеалы можно перемножать между собою. Какой идеал мы
будем называть произведением двух данных идеалов, —на этом
мы здесь останавливаться не будем. Важно то, что если идеал /
делится на идеал К, то всегда найдется такой идеал Ь, что
этот факт, который в обычной арифметике есть определение
делимости, в теории идеалов является теоремой (ибо здесь де-
делимость, как мы видели, определяется существенно иным путем).
Наибольшим общим делителем двух идеалов называется
такой их общий делитель, который делится на всякий другой
их общий делитель.
7. Совокупность всех целых чисел данной области, очевидно,
есть идеал"; этот идеал мы будем обозначать через 1 и называть
основным идеалом данной области. Он играет в теории делимо-
делимости роль единицы, ибо на него делится всякий другой идеал, в
силу принятого нами определения делимости. Идеал Р, отлич-
отличный от 1 и не имеющий других делителей кроме Р и 1, мы будем
называть простым или абсолютно простым идеалом.
Основная теорема теории идеалов состоит в том, что всякий
идеал может быть единственным образом представлен в виде
произведения простых идеалов. В частности, всякий главный
идеал, иначе говоря, всякое целое число области единствен-
единственным образом разлагается на произведение простых идеалов.
Таким образом в известном смысле алгебраическим числам
присуща, при этом расширенном их понимании, однозначность
разложения на простые множители.
37

8. Два идеала 1г и /2 данной области называются эквива-
эквивалентными,
если в данной области существуют два таких целых числа ах и
а2, что
два идеала, в отдельности эквивалентных третьему, эквива-
эквивалентны между собою; это позволяет объединить все идеалы,
эквивалентные между собою, в один класс. Все главные идеалы,
очевидно, составляют один класс; этот класс называется глав-
главным классом, и легко убедиться, что и, обратно, этот класс
содержит только главные идеалы. В областях, где числа одно-
однозначно разлагаются на простые множители, — все идеалы глав-
главные, и существует только один класс —главный; в общем случае
число классов всегда конечно, и в.этом одно из самых важных
предложений теории идеалов. Соотношения эквивалентности
/1
обладают многими свойствами равенств; так, их можно почлен-
почленно перемножать, а следовательно, в частности можно возводить
в одну и ту же степень обе части такого соотношения.
Далее, весьма важную роль в теории идеалов играет число
классов данной области, которое, как мы уже заметили, всегда
конечно и которое мы будем обозначать через Н. Отметим одно
важное предложение, связанное с этим числом: для любого идеа-
идеала идеал Iй есть главный идеал.
9. Сравнение
по модулю, который есть идеал, означает, что разность а — C
или, что то же, идеал (а — C) делится на идеал /; сравнения по
идеальному модулю подчиняются всем тем законам, какие имеют
место для обычных сравнений.
2. Необходимые сведения из теории круговых областей.
Мы должны теперь сообщить некоторые сведения из теории
алгебраических областей одного специального типа, называе-
называемых круговыми областями.
1. Пусть р — нечетное (рациональное) абсолютно простое
вдело, и а — один из комплексных корней уравнения

алгебраическая область К (а) называется круговой областью
(в связи с той ролью, какую играет число а в геометрической
задаче деления круга на равные части). Число а есть единица
этой области, так как а и а —а2^1 суть числа целые.
2. Можно показать, что всякое целое число области К (а)
может быть представлено как многочлен, расположенный по
степеням а, с целыми рациональными коэфициентами; ясно,
что, обратно, всякий такой многочлен представляет собою це-
целое число области К
3. Положим
Л = 1 — а;
из п. 2 ясно, что всякое целое число {3 области К (а) может быть
представлено в виде:-
Р = а
где все а — целые рациональные числа.
4. Мы будем в дальнейшем обозначать через е (а) различные
единицы области К (а).
Теорема. Если § есть целое положительное число, не деля-
делящееся на р, то число
1 —а9
есть единица области К (а).
В самом деле, прежде всего написанное число — целое, так
как числитель даже алгебраически делится на знаменатель.
Далее, находя такое целое положительное число /с, чтобы
ёк=1 (той.р),
мы получаем §к — 1р = 1 (/ — целое рациональное), и
здесь снова числитель алгебраически делится на знаменатель,
и следовательно теорема доказана.
5. Приведем без доказательства следующее предложение:
Всякая единицам (а) области К (а) может быть представлена
в виде:
а) = а5е(а),
где 5 — целое рациональное число, а г (а) — действительная еди-
единица области К (а).
39

6. Приведем также без доказательства следующее предло-
предложение:
Если некоторая единица е(а) области К" (а) по модулю р
сравнима с каким-нибудь целым рациональным числом, то она
может быть представлена в виде:
е(а) = [е1(а)У,
где ег{сь) есть некоторая другая единица области К (а) *).
7. Из тождественного относительно х соотношения
х
^- = {х — а} {х — а2} ...{
мы, заставляя х стремиться к единице, получаем в пределе:
1 —а1 — а 1 —а
или на основании теоремы п. 4 настоящего параграфа
переходя к идеалам, мы получаем:
где через Ь обозначен главный идеал (Л); можно показать, что
этот идеал абсолютно простой. Всякое целое рациональное
число, делящееся на идеал Ь, должно быть кратным р.
8. Назовем полу первичным **) такое целое число области
К (а), которое, во-первых, не делится на идеал Ь и, во-вторых,
сравнимо с некоторым рациональным целым числом (также,
разумеется, не делящимся на /,) по модулю /А
Теорема. Всякое целое число области К (а), не делящееся
на Ь, можно сделать полупервичным, умножая его на некото-
некоторую целую положительную степень числа а.
*) Это предложение имеет место только для регулярных чисел р (оп-
(определение см. ниже); но чмы только с такими и будем иметь дело в
дальнейшем.
**) Этот термин, звучащий непонятно в нашем конспективном изло-
изложении, мы сохранили, чтобы не расходиться с обычной терминологией.
40

В самом деле, обозначая данное число через |3, мы имеем н
основании п. 3 настоящего параграфа:
C^а + ахХ (той. Ь2),
где а и аг — целые рациональные числа, не делящиеся на Ь;
обозначая через к целое положительное число, будем иметь:
{а1 — ка} А (той Ь2);
выбирая же /с, что всегда возможно, так, чтобы было '
ак^й1 (той. р),
мы будем иметь:
(так как р делится на Ь2), чем теорема и доказана.
9. Обозначим через к число классов (п. 8 предыдущего па-
параграфа) области К (ос). Простое число р называется регуляр-
регулярным, если к не делится на р. Куммеру принадлежит доказа-
доказательство следующего признака, позволяющего для каждого
данного простого числа р решить вопрос о том, будет ли оно
регулярным или нет.
Для того чтобы данное нечетное, абсолютно простое (рацио-
(рациональное) число р было регулярным, необходимо и достаточно,
чтобы ни одно из первых ^-к— чисел Бернулли
не делилось на р.
Мы упомянули об этом признаке лишь для того, чтобы по-
показать, что задача о регулярности данного простого числа р
может быть всегда практически решена.
В дальнейшем мы нигде на этот признак опираться не будем,
так что читатель, незнакомый с числами Бернулли, может спо-
спокойно забыть о нем.
3. Доказательство основной теоремы Куммера.
Мы теперь допустим, что абсолютно простое число/? — регу-
регулярное и что р>7 (случаи р = 3 и р = 5, как мы знаем, исчер-
41

пывающе решены элементарными способами). В этих предпо-
предположениях требуется доказать, что уравнение
хр + ур + гр = О A6)
не может быть решено в целых рациональных, отличных от ну-
нуля числах. Напишем это уравнение в виде:
хр + ур = (— г)р
и представим левую часть его в виде:
хр + ур = (х + у) (х + <ху) (х + а*у)... (х + а'-'
где а — первообразный корень уравнения
т. е. первообразный *) корень из единицы степени /?;тем самым
мы вступаем в область алгебраических чисел К (а); как мы уже
заметили выше, это обстоятельство наводит нас на мысль, что
область К (а) является естественной областью интересующей
нас проблемы; и действительно, в доказательстве Куммера
является основною эта идея расширения той области, в какой
мы ставим задачу. Итак, нашей целью будет показать, что урав-
уравнение A6) не имеет решений в целых, отличных от нуля, числах
области К (ос).
Положим А = 1 —аи обозначим через Ь главный абсолютно
простой идеал (Л) нашей области. Мы должны с самого начала
различать два случая, требующих совершенно раздельного
рассмотрения.
Первый случай. Допустим, что уравнение (8) удовлетворяет-
удовлетворяется тремя целыми числами х, у, г области К (а), ни одно из ко-
которых не делится на Ь. Так как все три числа входят в это
уравнение только в степени р и так как ар=1, то уравнение
останется в силе, если мы каждое из трех чисел х, у, г помножим
на любую степень числа а; это обстоятельство, в связи с п. &
предыдущего параграфа, позволяет нам с самого начала счи-
считать все три числа х, у и г числами полупервичными.
Напишем уравнение A6) в виде:
(х + У)(х + ау) (х + о?у)... (х + аГ-у) = (- г)р
и обозначим через Б идеал, являющийся наибольшим общим,
делителем чисел х и у. Если какие-нибудь два из множителей
*) Так как число р простое, то первообразным является всякий
комплексный корень.
42

левой части, например х+&туи х+ап у, делятся на какой-ни-
какой-нибудь простой идеал Р, то и выражения
ш — <*п)х и (схт-
должны на него делиться, а так как
и так как
1—а
на основани п. 4 предыдущего параграфа есть единица обла-
области, то и число 1 —а должно делиться на Р, если только Б не
делится на Р; но идеал
простой, и следовательно (в случае, если Л не делится на Р)
р - и
следовательно, число г должно было бы делиться на Ь> что
противно нашему предположению.
Итак, полагая
и условившись во всем дальнейшем число, заключенное в круг-
круглые скобки, понимать как главный идеал, мы будем иметь:
где идеалы /0, /1?..., Iр_г попарно взаимно простые. Отсюда сле-
следует прежде всего, что г делится на В и что потому последнее ра-
равенство мы можем сократить на В9. Из того, что при этом останет*
ся, следует, что каждый из идеалов 1к в отдельности должен пред-
представлять собою р-ю степень некоторого идеала; мы получаем:
ТР
и соотношения
(х *
принимают вид:
43

из этих соотношении мы получаем:
(* + аку)Л, = (х + а>-*у)Л (* = 0, 1, -, Р - 2), A8)
а это показывает, что все идеалы Л принадлежат одному классу
A9)
с другой стороны, обозначая через к число классов области
К (а), мы, как известно, имеем:
У^Д^^О, 1, ..., /7 — 2); B0)
число р, по условию, регулярно, т. е. Н не делится на р; следо-
следовательно, найдутся такие целые числа и и V, что
ир + уН= 1:
возводя соотношения A9) в степень и, а соотношения B0) в
степень у и перемножая результаты, находим, что
т. е. все идеалы ^к—одного класса.
Итак, для каждого к (к = 0,1,..., р — 2) найдутся два таких
целых числа области К (а), ак и CЛ, что
при этом, очевидно, мы можем предположить, что числа ак и $к
не делятся одновременно ни на какой главный идеал (ибо в про-
противном случае мы могли бы сократить равенство); в частности
они не будут оба делиться на идеал Ь; но тогда, очевидно, не
может случиться и так, чтобы одно из этих чисел делилось на Ь,
ибо тогда, как показывает последнее равенство, и один из идеа-
идеалов ]к должен был бы делиться на Ь, а тогда на основании A7) и
г делилось бы на Ь, что противоречит нашему предположению;
итак, мы вправе предполагать, что ни одно из чисел аА, $к не
делится на I.
В силу соотношений A8) последние равенства дают нам:
эти равенства содержат только главные идеалы; переходя от
идеалов к числам (что символически выполняется опусканием
скобок, а там, где этого нельзя сделать, —заменой круглых ско-
44

бок фигурными), мы должны в одной из частей присоединить в
качестве множителя некоторую (неизвестную нам) единицу
области. Поэтому на основании п. 5 предыдущего параграфа
мы получаем (обозначая через еА—действительные единицы
области и через ек—целые рациональные числа):
1Л-Г а У( Р/л — а 5а- |Л-|-сл, /г а, ( ас = и, 1 • •.., 2/ — 1 к 1^1/
Эти соотношения послужат отправным пунктом наших даль-
дальнейших рассуждений; теперь же заметим, что на основании п. 3
предыдущего параграфа *мы можем числа ак и CА> входящие
в какое-либо из последних соотношений, представить в
виде:
= К + Ж,
где ак и Ьк —целые рациональные числа, не делящиеся на Ь, а
Ак и Вк—целые числа области К (а).
Отсюда
ь>
где Мк и ЛГА снова суть некоторые целые числа области
так как (К)=Ь и (р)=Ьр~1, то из этих равенств следует:
V),
V);
так как Ьк не делится на р, то найдется такое целое рациональ
ное число ск, что ,"
Ь{к = а„(той. р),
т. е.
А = в* + Щ-Р,
где ик—целое рациональное число; отсюда
Ыс{ = а1(тоЛ. р%
и следовательно, подавно
поэтому соотношения B2) дают нам:
= а*(той. -1Г). B3)

Вернемся теперь к соотношениям B1); на основании п. 8
предыдущего параграфа мы можем найти такое целое рациональ-
рациональное число #, чтобы число
<было полу первичным: полагая гА—# = #*, мы будем иметь:
потому можем переписать соотношения B1) в виде:
{х + <х*у} ^ = а\Т<(Л: = О, 1,...,р -2);
рассматривая же эти соотношения как сравнения по модулю
// и пользуясь сравнениями B3), мы находим:
<х*у} =а'*е47^(тос1. !/)(* = О, 1,..., /7 — 2).
Эти сравнения останутся справедливыми, если в обеих частях
мы всюду заменим а через сг1; в самом деле, каждое из написан-
написанных сравнений имеет тот смысл, что разность левой и правой
его частей делится на Лр, но при указанной замене Лр переходит
в —Л?; измененная разность, следовательно, должна делиться
на —Лр, а следовательно, и на /Л Обозначая через х', у', у',
те числа, в которые соответственно переходят х, у и у при ука-
указанной замене, и замечая, что ек и ск при этом не изменяются,
мы находим новую группу сравнений:
' + а~*У' \ = аХт'сЕ (той. Ьр)
перемножая, наконец, крест-накрест соответствующие друг дру-
другу сравнения обеих групп, получаем:
{х + о}у) у = о?ч {хг + оГку'} у (той. Ц)
= (Э, 1 Р —2). B4)
Так как числа х, у и у — полупервичные, то мы можем пред-
представить их в виде:
х = т + Л2/?,
у=п+ Л25,
46

где числа т> я, и I — целые, рациональные и не делящиеся на Ь-,
а /?, 5 и Т — некоторые целые числа нашей области; так как при
замене а на а число Л~2 переходит в а~2 Л, а/л, я и I
остаются без перемены, то мы получаем отсюда:
у'
• (той. Ц). B5)
Внося это в сравнения B4), мы найдем:
(/с - 0, 1, ..., р—2),
или, по сокращении и раскрытии скобок:.
* т + Л = а2%п + а2^*п (той. Ь2)(/с = 0, 1,..., р — 2).
Заметим теперь, что из соотношения
а= 1—Л
следует, для любого целого положительного (рационального)
числа XV:
а^=1__и;Л (той. Ь%)\
пользуясь этим и замечая, что числа 2#—к мы можем счи-
считать положительными, получаем из нашей группы сравнений:
ш+ {1 — /сЛ} п={1—2&Х}ш+ {1—2&Х + ЛЛ} я(то<1.
(А = 0, 1,...,р —2),
или, по сокращении:
—2). B6)
Так как в эти сравнения входят только рациональные це-
целые числа, то мы можем их прямо писать в виде сравнений по
модулю р:
%к{т + п) = кп(той. р) (й='О, 1,-.,р —2). B7)
Л
Дале^, из сравнений B5) следует, что
B8)
47

Определим числа (целые рациональные) г и 5 из сравнений:
(той. р);
тогда сравнения B7) дадут* нам:
ек{г + 8} ~кз(тоA. р)(к = 09 1, ..., р-2), B9)
а сравнение B8) приводится к виду:
аУг + а^-15 = 1 (той
замечая же, что
находим отсюда:
г + $= 1(тос1. ^),
а значит и (той. р), так как все числа, входящие в это сравне-
сравнение,— целые рациональные. Вставляя этот результат в группу
B9), находим окончательно:
—2),
т. е. приходим к тому весьма важному результату, что числа #
пропорциональны своим номерам. На этом основана вся остаю-
остающаяся часть рассуждения.
На основании последней группы сравнений мы можем теперь
переписать сравнения B4) в виде:
{х + а.ку } ч'=о?к$ { х' + аГ*у' } у (той. Ьр)(к = 0,1, ...,р — 2).
Мы воспользуемся только четырьмя первыми
(* = 0, 1, 2, 3)
из этих сравнений, которые напишутся так:
'х + ч'у — 7х'—-ТУ' =
у'х + у'ау — уа2У —^-у = О
0 , (той. V).
48

Мы пришли, таким образом, к системе четырех линейных
сравнений с четырьмя неизвестными х, у, х', у', которые заведомо
удовлетворяются значениями этих неизвестных, не делящимися
на модуль. Так как все сравнения однородны, то отсюда следует,
что определитель системы должен делиться на Ьр; а это сейчас же
приводит нас к соотношению:
1
1
1
1
1
а
1 1
а*
а
з
а<
а*
а
25-1
а
а1
48 —
68-3
О (той.//).
Этот определитель легко вычислить так: вычитая сначала
из второй строки первую, из третьей — вторую и из четвертой —
третью, мы приведем его к определителю третьего порядка;
вынося затем что можно за скобки и произведя еще раз такую
же операцию, только на этот раз со столбцами, мы легко при-
приведем последнее сравнение к виду:
{ 1 —а} { 1
а
2§
а28'1} {
а
} { 1 —а25-1} {а-а25
— а28-1} =О(той. Ьр).
C0)
Теперь мы почти у целл, ибо невозможность полученного
сравнения^ доказать очень легко. Прежде всего мы должны
убедиться, что ни один из множителей левой части не может
равняться нулю; ?*ак как а — первообразный корень уравнения
ар=1, то это было бы возможно только в том случае, если
выполняется одно из следующих трех сравнений:
5=0
5=1
25=1
• (той. р).
Но в случае первого из них мы имели бы:
у = п = /5 = 0 (той. Ь)у
что противоречит нашему предположению; в случае второго мы
имели бы в силу вышеуказанного соотношения г+ 5:ее 1 (той. Ь):
г = 0(той.Ь),
откуда
4 Теорема Ферма
49

что снова неверно. Наконец,, в случае третьего сравнения,
сопоставляя соотношения
=1 \
=1 \ , .
, , (той.
= 1 ) У
мы нашли бы г = $, а следовательно 1г = ($, т = п, х = у
(той. Ь); нов наше исходное уравнение х, у и г входят совер-
совершенно равноправно; поэтому: либо мы имеем
. Ь), C1)
либо (меняя в случае надобности обозначения у и г) мы можем
утверждать, что и третья из наших гипотез отпадает.
Но соотношения C1) сейчас же приводят к противоречию,,
так как из них в силу самого исходного уравнения A6) следует^
что
или, так как р ^> 3,
х = 0(тос1.1,),
что противоречит нашему предположению.
Итак, мы можем считать доказанным, что ни один из множи-
множителей левой части сравнения C0) не обращается в нуль. Теперь
мы покажем, что ни один из этих множителей не можё*г делиться
на Ь2; в самом деле, каждый из этих множителей имеет вид:.
где и и V—целые рациональные числа, причем, согласно дока-
доказанному, разность и — V не делится на р; допустим для опреде-
определенности, что и<^У, тогда наш множитель можно представить
в виде:
1 —а
откуда и видно, что частное от деления этого множителя на Л
есть единица нашей области (см. п. 4 предыдущего параграфа)
и, следовательно, не может еще раз делиться на Л; а это и озна-
означает, что взятый нами множитель делится на Ь, но не делится
на 1А
Из доказанного следует, что левая часть сравнения (Зй)
делится на Ь6, но не делится ни на какую более высокую сте-
50

пень идеала Ь; а так как по условию р^>6, то сравнение C0*
приводит к противоречию, что мы и хотели доказать.
Второй случай. Пусть теперь одно из чисел х, у, г делится
на идеал Ь; пусть для определенности это будет число г; на том
же основании, как и в элементарных случаях, мы можем допус-
допустить, что числа х, у, г попарно не имеют общих числовых дели-
делителей и что, следовательно, ни х, ни у не делятся на А, или, что
то же, на Ь. Представим число г в виде
г = А^\
где [х — целое положительное число, а г'— целое число нашей об-
области, не делящееся на А; наше исходное уравнение прини-
принимает вид:
Рассмотрим более общее уравнение
где е (а) — произвольная единица нашей области, и покажем,,
что и это более общее уравнение цп при каком целом положи-
положительном [л не может удовлетворяться целыми, отличными от
нуля, числами области К (^); тем самым и подавно будет дока-
доказано наше более узкое утверждение.
Представим последнее уравнение в виде:
{ х + у } { х + ау } ... { х + а*-1? } = ф)А^2'р; C2)
по меньшей мере один из множителей левой части должен делить-
делиться на'А, так как Ь=(К) есть простой идеал. Но так как каждая
из двух разностей
{а*— а'} х = о! { 1 — а*~г'} х /
делится на 1 —а—А, то вместе с одним, каким-нибудь из множи-
множителей должен делиться на А и всякий другой; итак, каждый
множитель левой части уравнения C2) должен делиться на А..
Если мы теперь будем предполагать числа х и у полупервич-
полупервичными ( на что мы имеем право по той же причине, как и в первом
случае), то
= а(то<1 Ь2),
51

где а — целое рациональное число; мы доказали, что х + у делит-
делится на Ь\ последнее сравнение показывает, что и а делится на Ь,
а стало быть, и на р (п. 7 предыдущего параграфа); а так как
(р) = Ьр—{9 то в таком случае последнее сравнение показывает,
что х + у делится на /А
Итак, все множители левой части уравнения C2) делятся на
Л, а первый из этих множителей делится даже на Л2; отсюда
прежде всего следует, что все произведение делится на Л^-1, а
это показывает, что [х необходимо должно быть больше единицы.
Далее, легко убедиться, что ни один из множителей, кроме
первого, не может делиться на Л2; в самом деле, если бы ворбще
какие-нибудь два из этих множителей делились на Л2; то, как
показывают соотношения C3), числа
и
а* {1—а'"*}у
а! {1—а*"'} х
также должны были бы делиться на А2; а так как х и у на Ь не
делятся и Ь есть простой идеал, то числа
а
1— а
должны были бы делиться на А, что невозможно, так как эти
числа суть единицы области К (а) (см. п. 4 предыдущего пара-
параграфа).
Таким образом мы приходим к следующему заключению:
[х должно быть больше единицы; все множители левой части
уравнения C2), кроме первого, делятся на А, но не делятся на
А2; первый множитель, следовательно, должен делиться на
\р(и-1) + 1 и не может делиться ни на какую более высокую
степень числа А.
Принимая все это во внимание, мы совершенно тем же путем,
как в первом случае, обозначая через В идеал, служащий наи-
наибольшим общим делителем чисел х и у, придем к соотношениям:
(х + У) =
Л ~\~ ОС у) = Ь> I ,1у [К
52

где У0,Ух)- --^р-1 суть идеалы, не делящиеся на Ь. Перемножая
последнее из этих равенств крест-накрест с каждым из пред-
предшествующих, мы находим:
+ у) Л, = 1^-4+1 (х + а'-'
(к=\, 2 р — 2),
откуда
так как Ь — главный идеал.
Сопоставляя же эти соотношения с соотношениями
и пользуясь регулярностью числа р, мы, так же как в ь^рвом
случае, покажем, что
ЛЛ==0> 1,..-,р— 2),
т. е что
гДе <хЛ и $к — некоторые целые ^исла области К (ос), которые мы,
очевидно, можем считать не делящимися на Ь. Возводя равен-
равенства последней группы в степень р и помножая каждое из них
крест-накрест с соответствующим равенством предшествующей
группы, мы по сокращении найдем:
где положено у == х-\-а.р-1у; переходя от идеалов к числам,
получаем:
Из этих уравнений первые три дают нам:
х + «Йу - ^(а)Т< - О,

Условие совместности этих уравнений приводится к виду:
я
К •*
'<*-
= 0;,
раскрывая определитель и полагая
мы находим:
C4(
где е(а)и ^'(а)суть некоторые новые единицы области [при выводе
придется сократить все соотношение на Л и пользоваться тем,
что т=1^- есть единица области К (а)].
Пусть теперь разложения чисел *е1 и та по степеням X
(см. п. 3 предыдущего параграфа) начинаются т&К:
где целые рациональные числа а и Ь, очевидно, не делятся,,на
X; тогда
и так как [х^> 1, то уравнение C4) дает нам:
C5)
так как Ь не делится на Л и, следовательно, на р, то найдется
такое целое рациональное число с, что
Ьс = а (той. р),
откуда легко находим:
а, следовательно, и подавно (той. /.р); сопоставляя это сравнение
со сравнением C5), находим:
54

а значит, и подавно (той. р); на основании п. 6 предыдущего
параграфа отсюда следует, что
где е" (а) — некоторая новая единица той же области. Полагая
т2е"(а)==Т2, мы можем поэтому переписать уравнение C4) в
виде
это же есть уравнение совершенно такого же вида, как исход-
исходное уравнение C2), с той только разницей, что число [л за-
заменилось числом [х—1.
Если [х — 1 все еще больше единицы, мы можем таким же
путем понизить это число еще на единицу и т. д., покуда не
придем куравнениЪ, в котором [л=1; так как невозможности
такого уравнения уже показана, то мы приходим к противоречию,
показывающему, что и второй случай является невозможным.
Таким образом полностью доказана теорема Куммера, а стало
быть, и Великая теорема Ферма для всех регулярных показа-
показателей.
Здесь, разумеется, возникает вопрос о том, какие простые
числа будут регулярными и какдо" нет; для индивидуального
простого числа р этот вопрос мож^т быть легко решен с помощью
признака, указанного в п. & предыдущего параграфа; но нам
сейчас естественно спрашивать о другом: много ли регулярных
простых чисел, суще^вуют ли нерегулярные и как много их?
К сожалению, никаких общих результатов по этому вопросу
мы не знаем. Непосредственные вычисления показывают, что
среди просгйх чисел, не превышающих 100, регулярными
являются, все, за исключением трех, именно чисел 37, 59 и 67;
но и для этих трех показателей Куммеру удалось доказать
теорему Ферма в специальном, сложном исследовании, которого
мы здесь касаться не можем. Таким образом теорема Ферма
в настоящее время является доказанной для всех показате-
показателей, не превышающих 100, как об этом и было упомянуто выше.
55

ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
В СКОРОМ ВРЕМЕНИ ВЫЙДЕТ ИЗ ПЕЧАТИ
СБОРНИК
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ
под редакцией
С. Е. АРШОНА, Р. Н. БОНЧКОВСКОГО и И. И. ЧИСТЯКОВА.
Сборники будут выходить ежемесячно.
Сборники рассчитаны на преподавателей и учащихся сред-
средней школы и техникумов, на инженерно-технических работни-
работников, интересующихся математикой и на любителей математики
Сборники будут содержать статьи и заметки по вопросам
элементарной и отчасти высшей математики и ее преподава
нйя, отделы задач и упражнений для учащихся, текущей
жизни, библиографии и т. д.