/
Автор: Постников М.М.
Теги: алгебра математика теория чисел естественные науки алгебраическая теория чисел
Год: 1982
Текст
Введение
в теорию
алгебраических
чисел
М. М. Постников
Введение
в теорию
алгебраических
чисел
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
22.14
П 63
УДК 512
Постников М. М.
П 63 Введение в теорию алгебраических чисел.—*
М.: Наука, 1982. — 240 с. — 40 к.
Книга является введением в теорию алгебраических чисел. Ос¬
новные понятия и идеи этой теории изложены в ней в связи с тео¬
ремой Ферма. Читатель должен видеть, что их появление не слу¬
чайно и диктуется логикой решения конкретной задачи.
Книга предназначена школьникам старших классов (в ее пер¬
вых главах), студентам, учителям и всем любителям математики*
Она может быть интересна и более квалифицированным читателям»
которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее
классическом аспекте.
1702030000— 040
П” 053(02)-82 71'82
ББК 22.14
512
1702030000-040
053(02)-82
п
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы* .1982
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие, . . . . . • • 6
История теоремы Ферма 11
Ферма и его работы по теории чисел.—Теорема Ферма. — Пре¬
мия Вольфскеля и «ферматисты».— Замечание Грюнерта.— Эйлер,
Ламе, Куммер.—Теоремы Куммера. —Теорема Вандивера. — Пер¬
вый случай теоремы Ферма.— Жермен, Лежандр, Вендт. — Первый
случай теоремы Ферма после Куммера.
§ 1. Теорема Жермен 21
Предварительные замечания.—Лемма о произведении п-х
степеней.—Формулы ІАбеля.—Сравнения.—Доказательство тео¬
ремы Жермен.—Следствия.
§ 2. Теорема Ферма для показателя 4 30
Случай показателя 2.—Доказательство теоремы Ферма для
показателя 4. •
§ 3. ТеорСхма Ферма для показателя 3 . 34
Лемма Эйлера. —Вывод теоремы Ферма для показателя 3
из леммы Эйлера.
§ 4. Арифметика кольца D3 38
Эйлерово «доказательство» леммы.—Обсуждение.—Кольцо Dj
и поле Къ — Норма. —Целые кольца.— Единицы колец. —Простые
элементы.—Разложение на простые множители. — Арифметика
в кольцах. —Кольца главных идеалов.-Евклидовы кольца.—Алго¬
ритм деления в кольце D3. —Доказательство леммы Эйлера.
Приложение. Об арифметике многочленов .... 53
Неприводимые многочлены. —Неприводимые многочлены и
многочлены меньшей степени.
§ 5. Поле Кі и кольцо Dl . 54
Неприводимость многочлена деления круга. — Поле К[.— Его
автоморфизмы. — Существование первообразных корней. — Нор¬
ма.— Кольцо Dp — Сравнения в кольце Dp—Число К и его свой¬
ства. ч ’
§ 6. Единицы кольца Dt 71
Корни из единицы, содержащиеся в кольце Dp— Веществен¬
ные единицы.—Замечание о первообразном корне g.— Формулы
1* ■ 3
обращения Фурье для сравнений по модулю I.— Базис кольца
по модулю Z.— Куммеровы числа. — Вспомогательные тожде¬
ства.— Специальные единицы. — Условие К.—Лемма 'Куммера.
§ 7. Первый случай теоремы Ферма 89
Вспомогательное утверждение. — Вывод первого случая тео¬
ремы Ферма из Вспомогательного утверждения.—Доказательство
Вспомогательного утверждения в случае, когда в кольце вы¬
полнена основная теорема арифметики. — Теорема Ламе.
§ 8. Теория дивизоров 95
Свободные коммутативные моноиды. — Кольца, допускающие
теорию дивизоров. — Дивизоры в кольцах с однозначным разло¬
жением на множители. —Классы дивизоров. — Регулярные про¬
стые числа. —Доказательство Вспомогательного утверждения для
регулярных простых чисел. .
§ 9. Второй случай теоремы Ферма 101
Предварительные замечания. —Доказательство теоремы Фер¬
ма для регулярных показателей.
§ 10. Теория идеалов 108
Примеры идеалов. —Идея Дедекинда.— Моноид идеалов.—
Кольца, аддитивная группа которых является решеткой. — Кольца,
алгебраически вкладываемые в поле С. — Конечность числа клас¬
сов идеалов. — Целозамкнутые кольца. — Свойства идеалов. —Иде¬
алы как дивизоры. —Необходимость условия целозамкнутости.
§ 11. Целые алгебраические числа 124
Поле алгебраических чисел и кольцо целых алгебраических
чисел. — Поля конечной степени. — След.— Целозамкнутость коль¬
ца D^.—Дивизоры в произвольных полях алгебраических чп-
сел^ — Окончательное определение регулярных простых чисел.
§ 12. Куммеровы простые числа 133
Куммеровы числа п произведение h\h2.— Предварительная
формулировка критерия Куммера. —Числа и многочлены Бер¬
нулли.—Окончательная формулировка критерия Куммера. — При¬
меры.—Вещественные элементы кольца [)[.—Отображение L.—
Формула для 2L. — Отображение X.—Доказательство усло¬
вия К. — Теорема Куммера.
§ 13. Свойства дивизоров 160
Вводные замечания.— Сравнения по модулю дивизора. — До¬
полнение дивизора до -главного дивизора. — Норма дивизора.—
Мультипликативность нормы.— Обобщенная лемма Гаусса. —Нор¬
мальные кольца. — Норма дивизора в нормальном кольце. — Свой¬
ства простых дивизоров нормальных колец. —Разложение про¬
стых чисел в произведение дивизоров кольца Dp
§ 14. g-функция поля Кі и ее вычет при s = l 176
^-Функция, .Римана.-^-функция Дедекинда. — Функция
Е(s).— Пространство RDp— Преобразование области Г^. —Ин¬
теграл I (s).— Сравнение ряда Е (s) с интегралом / (s). — Обобще¬
ние.— Вычисление вычета ^-функции Дедекинда поля Лр
4
§ 15. Формула Эйлера и £-ряды Дирихле 202
Формула Эйлера. —Проблема сходимости. —Преобразование
формулы Эйлера, —Характеры и L-ряды Дирихле. —Функция
L(l, х) при Х7=Хо- — Формула для чисел L(1, %). —Преобразова¬
ние этой формулы. — Теорема о неравенстве чисел L (1, х) ну¬
лю.— Окончательные формулы для чисел L (1, х).— Доказатель¬
ство формулы Куммера.
ДОБАВЛЕНИЕ. Теорема Дирихле о простых числах в ариф¬
метических прогрессиях 220
Идея доказательства. — Характеры по произвольному мо¬
дулю.—Число характеров, —Редукция теоремы Дирихле к во¬
просу о числах L(l,x)- — Ряды Дирихле и их области сходи¬
мости.— Аналитическое продолжение функции Римана.— Функ¬
ция P (s). — Завершение доказательства теоремы Дирихле.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основе этой книги лежит моя книжка «Теорема
Ферма»1), замысел которой следующим образом был
описан в предисловии к ней:
«Теория алгебраических чисел является одним из
красивейших созданий математики XIX века. Основ¬
ные ее идеи легли в основу современной общей
алгебры и тем самым оказали стимулирующее влия¬
ние на развитие всей математики. В последнее время
наблюдается и обратный процесс: конструкции и мето¬
ды современной абстрактной математики интенсивно
вторгаются в прежде запретную для них область тео¬
рии чисел, быстро меняющей поэтому свое лицо. Это
новейшее развитие теории вполне удовлетворительно
отражено в литературе, в том числе и учебной: доста¬
точно назвать две недавно переведенные у нас книги
Вейля и Ленга. Более классическое направление на¬
шло отражение в книге 3. И. Боревича и И. Р. Ша¬
фаревича «Теория чисел», в 1972 г. вышедшей вторым
изданием. Однако книга Боревича и Шафаревича
представляет собой обстоятельный (можно сказать
даже энциклопедический) учебник, предназначенный
в первую очередь для студентов и аспирантов, спе¬
циализирующихся по теории алгебраических чисел.
Поэтому эта книга для цервоначального ознакомле¬
ния с основными идеями и положениями теории мало¬
пригодна. К тому же она требует от читателя доста¬
точно солидной математической подготовки.
Как ни странно, но на русском языке отсутствуют
книги, предназначенные для не очень искушенного
’) Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию
алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. В дальнейшем эта кни¬
га обозначается ТФ. ’
6
читателя, желающего лишь познакомиться с главней¬
шими идеями теории алгебраических чисел. Запол¬
нить в определенной мере этот пробел имеет целью
предлагаемая небольшая книжка. Она посвящена не
всей теории алгебраических чисел, а только одному
ее разделу — теории делимости целых алгебраических
чисел. Однако читатель, изучивший ее, сможет уже
увереннее ориентироваться и в более трудных вопро¬
сах.
При последовательном чтении книги читатель бу¬
дет встречаться со все более и более сложным мате¬
риалом. Однако книга составлена так, что на каждом
этапе сообщается некоторый в достаточной степени
законченный комплекс сведений. Таким образом,
даже читатель со слабой математической подготовкой
(например, школьник) узнает достаточно много, что¬
бы иметь стимул для дальнейшей работы.
Эта «сверхзадача» определила несколько необыч¬
ный цлан изложения, устремленный к тому, чтобы,
во-первых, на каждом шагу получилось нечто закон¬
ченное, а во-вторых, было ясно, что нужно делать
дальше. .
Исторически теория делимости целых алгебраиче¬
ских чисел была создана в связи с теоремой Фер¬
ма. Поскольку эта мотивация теории сохраняет всю
свою силу и сегодня, мы имеем уникальную возмож¬
ность объединить концептуальный подход с истори¬
ческим. Изложение начинается с теоремы Ферма, и
теория постепенно развертывается с единственной,
формально, целью — доказать эту теорему. Очень
быстро это делается для некоего класса простых по¬
казателей, а все дальнейшее преподносится как посте¬
пенная расшифровка этого класса и представление
его в удобной алгоритмической форме. К сожалению,
заключительные этапы этой расшифровки пришлось
изложить без доказательства в обзорном порядке.»
Основное отличие настоящей книги от ТФ состоит;
в том, что она содержит подробное изложение всех
этапов упомянутой расшифровки.
Поскольку ТФ была в основном ориентирована на
изложение элементов теории делимости целых алге¬
браических чисел, в ней отсутствовал не относящийся
к теории делимости наиболее трудный момент кум-
меровского доказательства теоремы Ферма—так
7
называемая лемма Куммера. По существу отсутство¬
вал и использующий числа Бернулли критерий Кум¬
мера, только и позволяющий указывать конкретные по¬
казатели, для которых справедлива теорема Ферма.
Теперь этот пробел заполнен, так что лежащая перед
читателем книга содержит полное доказательство тео¬
ремы Ферма для регулярных показателей. Это по¬
требовало включения довольно обширного нового ма¬
териала, что и вызвало изменение названия.
В доказательстве леммы Куммера можно четко
отделить арифметические аспекты от аналитических.
Именно, можно чисто арифметически и достаточно
просто доказать эту лемму для некоторого класса про¬
стых чисел, которые в этой книге называются «кум-
меровыми», после чего остается лишь доказать иден¬
тичность куммеровых и регулярных чисел. Только
последнее требует аналитических средств.
Настоящая книга фактически подразделяется на
четыре части. Первая (§§ !—4) часть вполне-элемен¬
тарна й доступна, скажем, школьникам. В ней доказы¬
ваются теорема Жермен и теорема Ферма для показа¬
телей 4 и 3. Общетеоретическое значение здесь имеет
только обсуждение в § 4 простейших понятий арифме¬
тики в произвольных целых кольцах. Эта часть полно¬
стью перенесена из ТФ лишь с незначительными, чисто
редакционными изменениями.
Вторая часть (§§ 5—9) хотя и несколько труднее,
но в основном также вполне доступна школьнику и, во
всяком случае, не требует от читателя никаких позна¬
ний, существенно выходящих за рамки школьной ма¬
тематики. В ней исследуется кольцо Di целых чисел
поля деления круга на I частей, излагается понятие
дивизора, вводится понятие куммеровых и регулярных
чисел и на этой основе доказывается теорема Ферма
для любого показателя, являющегося одновременно и
куммеровым, и регулярным числом. Без доказатель¬
ства здесь остается только тот фундаментальный факт,
что кольцо Di допускает теорию дивизоров (а также
некое условие К, нужное для доказательства леммы
Куммера в § 6). По сравнению с ТФ теперь подробнее
обсуждено кольцо Di в § 5 и существенно расширен
§ 6, посвященный его единицам.
В третью часть (§§ 10—1-3) из ТФ почти без изме¬
нений перешли §§ 10 и 11. Бывшее приложение к § 10
ô
пополнилось новыми материалом, связанным с зако¬
нами разложения простых чисел в кольце Di и пре¬
вратилось в § 13. Практически заново написан § 12.
Основная задача этой части — исследовать объем по¬
нятий регулярных и куммеровых чисел.
В §§ 10, 11 показывается, что кольцо Di допускает
теорию дивизоров п тем самым что регулярные числа
суть в точности простые числа Z, не делящие число Л
классов дивизоров кольца Di. В новом § 12, посвящен¬
ном куммеровым числам, устанавливается, что число I
тогда и только тогда куммерово, когда оно не делит
произведение h\ h2 некоторого числа йі, определенного
в этом параграфе, и числа h2i введенного и частично
изученного в § 6. Здесь же доказывается критерий
Куммера регулярности (= куммеровости) простого
числа /, основывающийся на числах Бернулли, а так¬
же для любого I проверяется условие К, использован¬
ное в § 6. Здесь требования к читателю уже более су¬
ровые, хотя изложение и построено так, что, приняв
несколько фактов на веру, внимательный и трудолю¬
бивый читатель сможет все понять даже при недоста¬
точной подготовке.
В силу результатов третьей части для доказатель¬
ства совпадения регулярных и куммеровых чисел и,
тем самым, для завершения доказательства основной
теоремы Куммера остается лишь доказать равенство
h = h\ h2 (формулу Куммера для числа классов). Эго
делается в целиком новой четвертой части (§§ 14, 15)
на основе довольно сложного аналитического аппара¬
та (теории ^-функций и L-рядов), включающего в
себя, в частности, вычисление некоторого многомер¬
ного несобственного интеграла. Поэтому здесь у чита¬
теля предполагается достаточная аналитическая под¬
готовка.
Основным источником при написании §§ 12, 14 и 15
мне послужила книга Г. Эдвардса «Последняя теоре¬
ма Ферма» 1 ).
В Добавлении доказывается знаменитая теорема
Дирихле о простых числах в арифметической прогрес¬
сии. Хотя эта теорема и не имеет отношения к теореме
Ферма, но она немедленно доказывается (по крайней
л) Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое
введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: 'Мир, 1980.
мере, в случае, когда разность прогрессии является
простым числом) с помощью результатов § 14. Основ¬
ная трудность, преодолению которой, главным обра¬
зом, и посвящено это Добавление, состоит в перенесе¬
нии на случай произвольной разности некоего техниче¬
ского утверждения об Л-рядах, доказанного в § 14 для
простых чисел. К сожалению, это делается на основе
довольно сложной техники теории функций, но другие
пути доказательства, по-видимому, еще сложнее.
Такихм образом, настоящая книга фактически охва¬
тывает все главнейшие разделы классической теории
алгебраических чисел — теорию дивизоров и . идеалов
(которая по существу только и обсуждалась в ТФ),
теорию единиц (фундаментальная теорема Дирихле
об единицах доказывается на основе конструкций, яв¬
ляющихся непосредствениьіхм развитием соображений
из § 12) и теорию ^-функций и L-рядов. Несмотря на
это, я льщу себя надеждой, что (за исключением пос¬
ледних параграфов) мне удалось сохранить первона¬
чальный элементарный характер книги.
М. М. Постников
История теоремы Ферма
В XVII веке жил один из величайших математи¬
ков Пьер Ферма (1601 —1665). Он заложил основы
аналитической геометрии (одновременно то же сделал
Декарт) и нашел общий метод разыскания максиму¬
мов и минимумов (впоследствии развившийся в исчис¬
ление бесконечно малых). Однако более всего извест¬
ны результаты Ферма в области теории чисел.
Свои теоретико-числовые результаты Ферма не пуб¬
ликовал. Они известны из его писем, а также из бу¬
маг, оставшихся после его смерти. Как правило, дока¬
зательства Ферма до нас не дошли. Эти доказатель¬
ства были восстановлены последующими математи¬
ками, в основном Эйлером.
Некоторые свои утверждения Ферма сопровождал
пометкой, что он не располагает удовлетворительным
их доказательством. Впоследствии выяснилось, что
часть этих утверждений была ошибочна. Например,
Ферма ошибался, утверждая, что все числа вида
22 + 1 простые; уже при п = 5, как показал Эйлер,
получается составное число.
Однако во всех случаях, когда Ферма определенно
утверждал, что он доказал то или иное предложение,
впоследствии удавалось это предложение доказать.
Замечательным исключением является так назы¬
ваемая «Большая теорема Ферма» (она же «Великая»
или «Последняя»), утверждающая, что не существует
отличных от нуля целых чисел х, у и z, для которых
хп + уп = zn,
где п•> 2. (Общеизвестно, что при п — 2 такие числа
существуют, например, 3, 4, 5.)
. 11
В бумагах Ферма было найдено доказательство
этой теоремы при п = 4 (любопытно, что это единст¬
венное полное доказательство теоретико-числового ре¬
зультата, сохранившееся от Ферма). Относительно же
общего случая любого п > 2 Ферма лишь написал
(на полях «Арифметики» Диофанта), что он нашел
«поистине замечательное доказательство» этого фак¬
та, но «поля слишком малы, чтобы его уместить».
Несмотря на усилия многих математиков (в «Ис¬
тории теории чисел» Диксона прореферировано более
трехсот (!) работ на эту тему), это доказательство
найдено не было, и можно сомневаться, существовало
ли оно вообще.
Более того, кроме показателя 4, нет ни одного по¬
казателя п, для которого теорему Ферма удалось бы
доказать элементарными средствами.
Этим объясняется, почему в настоящее время все
специалисты твердо уверены в невозможности дока¬
зать теорему Ферма элементарными методами.
В 1908 г. немецкий любитель математики Вольф-
скель завещал 100 000 марок тому, кто докажет тео¬
рему Ферма. Немедленно сотни и тысячи людей, дви¬
жимых одним лишь стремлением к наживе, стали
бомбардировать научные общества и журналы своими
рукописями, якобы содержащими доказательство тео¬
ремы Ферма. Только в Гёттингенское математическое
общество за первые три года после объявления заве¬
щания Вольфскеля пришло более тысячи (!) решений.
Рассказывают, что то ли в Гёттинген, то ли в нашу
Академию наук однажды поступила следующая теле¬
грамма: «Решил проблему Ферма двт икс степени эн
плюс игрек степени эн не равно зет степени эн тчк
доказательство двт переносим игрек степени эн пра¬
вую часть тчк подробности письмом тчк». Неизвестно,
так это или не так, но эта история хорошо отражает
как ажиотаж, возникший вокруг теоремы Ферма, так
и уровень предлагаемых «доказательств».
В период инфляции после первой мировой войны
премия Вольфскеля обесценилась, и ныне «фермати-
сты» (так называют математики лиц, пытающихся
явно с негодными средствами атаковать теорему Фер¬
ма) ни на какое финансовое вознаграждение рассчи¬
тывать не могут. Поток «ферматистских доказа-
12
тельств» после этого, естественно, сильно ослаб, но,
к сожалению, не прекратился. В научные математи¬
ческие центры постоянно продолжает течь струйка
писем, авторы которых мечтают во что бы то ни стало
прославиться, хотя и не имеют на это никаких объек¬
тивных оснований. Часто они с негодованием заяв¬
ляют, что гонятся вовсе не за личной славой, а хотят
прославить свою страну и принести пользу науке. На
самом же деле это в лучшем случае — печальное за¬
блуждение.
Значение теоремы Ферма для математики в том,
что при попытках ее доказательства были, как мы
увидим, выкованы новые мощные средства, приведшие
к созданию обширного отдела математики — так назы¬
ваемой «теории алгебраических чисел». Тот факт, что
до сих пор теорема Ферма не доказана, по-видимому,
означает необходимость в еще более мощных и утон¬
ченных методах. Элементарное же доказательство
теоремы Ферма (или, более общо, доказательство, не
вводящее новых идей и остающееся в рамках уже из¬
вестных методов), хотя и закроет проблему, но боль¬
шого значения для математики иметь заведомо не бу¬
дет.
Следует со всей решительностью предостеречь чи¬
тателя от попыток искать элементарное доказатель¬
ство теоремы Ферма. Можно быть уверенным, что это
будет лишь ненужная потеря труда и времени.
Одна из целей настоящей книги — показать, с ка¬
кими трудными и глубокими вопросами теории чисел
соприкасается теорема Ферма, и тем самым обескура¬
жить каждого, кто подумывал взяться за эту теорему
и пополнить ряды ферматистов (раз вступившие на
эту стезю уже, как правило, недоступны никаким до¬
водам).
Быть может, стоит в связи с этим заметить, что пытаться
«вслепую» искать контрпример к теореме Ферма также безна¬
дежно. Еще в 1856 т. Грюйерт замятия, что натуральные числа
х, У> 2, удовлетворяющие соотношеніе
Хп + уп = zn
(если такие числа существуют), должны удовлетворять неравен¬
ствам ‘ '
X > П, у > П, 2> п.
Действительно, пусть z = х 4- а, где а 1. Тогда
+ у11 = хп\ пхп~[а + ... + пхап~1 + ал,
13
и потому уп > пхп-1а > пхп~1. Аналогично доказывается, что
хп > пуп~х. Следовательно,
(уп)п > ппхп ’"-1» > rtV1 (у"-1)"-1,
т. е. у2п~1 > гЛ'”1 и, значит, у > п. По симметрии х >* п, и по¬
тому z > п. 53 ’).
К настоящему времени теорема Ферма доказана для всех
показателей п < 100 000 (см. ниже). Поэтому в опровергающем
ее примере мы должны были бы иметь дело с числами, превосхо¬
дящими Ю500 000.
Как уже говорилось, элементарного доказательства
теоремы Ферма нет ни для одного показателя п =# 4.
Даже в случае п = 3, который был рассмотрен Эйле¬
ром в 1768 г., оказались необходимыми соображения,
использующие числа вида
(1) а b 'у/—3 ,
где a, b — целые числа. Такого рода методы были пол¬
ностью чужды Ферма, и он их заведомо использовать
не мог.
Собственно говоря, доказательство Эйлера было
дефектным, поскольку он без всякого обоснования
перенес на числа вида (1) рассуждения, эксплуатиро¬
вавшиеся до него лишь в области целых чисел. Напри¬
мер, он пользовался для чисел (1) простейшими фак¬
тами теории делимости, никак это не оправдывая.
Первым, кто построил арифметику чисел (1) и, тем
самым, подвел под рассуждения Эйлера надежный
фундамент, был, по-видимому, Гаусс.
Доказательство теоремы Ферма для случая п = 5
предложили в 1825 г. почти одновременно Лежен Ди¬
рихле и Лежандр. Свое доказательство Дирихле опуб¬
ликовал в 1828 г. Оно было очень сложным. В 1912 г.
его упростил Племель.
Для следующего простого показателя п — 7 тео¬
рема Ферма была доказана лишь в 1839 г. Ламе. До¬
казательство Ламе было почти сразу же существенно
усовершенствовано и упрощено Лебегом.
В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти
доказательство теоремы Ферма для всех простых по¬
казателей п 3. Метод Ламе представлял собой весь-
’) Знаком И мы отмечаем конец доказательства.
14
ма далекое развитие идей Эйлера и основывался на
арифметических свойствах чисел вида
(2) Ло + Лі£+ ••• + 2,
где «о, û'i, .. ап-2 — целые числа, а
. 2л ... 2л
I = cos h і sin —
ъ п 1 il
— первообразный корень /г-й степени из 1.
Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассужде¬
ниях Ламе серьезный пробел, заключающийся в том,
что Ламе без доказательства предполагал, что числа
вида (2), подобно обыкновенным целым числам, един¬
ственным образом .разлагаются в произведение про¬
стых (далее нёразложимых) чисел. Ламе был вынуж¬
ден признать свою ошибку.
Пока во Франции происходили эти события, в Гер¬
мании молодой математик Куммер упорно занимался
теоремой Ферма. Сперва он полагал, что ему удалось
найти полное доказательство этой теоремы, и в 1843 г.
он представил Дирихле соответствующий мемуар. До¬
казательство также использовало числа вида (2), и, по¬
добно Ламе, Куммер предполагал, что эти числа един¬
ственным образом разлагаются на простые множи¬
тели. Дирихле указал, что этот факт требует доказа¬
тельства, и Куммер забрал свой манускрипт обратно.
Впрочем, Эдвардс в упомянутой на стр. 9 книге ут¬
верждает, что вся эта история является весьма позд¬
ней легендой (появившейся только в 1910 г. в лекции
Гензеля). По мнению Эдвардса, центр интересов Кум¬
мера лежал в так называемых «высших законах вза¬
имности», а теорему Ферма он расценивал лишь как
«любопытную диковинку из теории чисел».
Как бы то ни было, но уже в 1844 г. Куммер знал,
что теорема о единственности разложения на простые
множители для чисел вида (2) неверна и искать ее до¬
казательство бессмысленно. В этой ситуации он нашел
замечательный выход, который прославил его и поро¬
дил целый ряд разделов современной алгебры. Этот
выход состоял в том, что Куммер добавил к числам
(2) еще некие новые, несуществующие числа, кото¬
рые он назвал «идеальными» и для которых свойство
15
единственности разложения на простые множители
восстанавливается.
Например, легко можно показать (сделайте это!), что в об¬
ласти чисел вида
(3) а 4- b 5,
где а и b — целые числа, число 21 двумя различными способами
разлагается в произведение простых множителей:
21=3-7 = (1 + 2 д/—”б) ( 1 -2 Ѵ^5).
Хотя числа вида (3) п не являются числами вида (2) ни при
каком п (для чисел (2) аналогичный пример возможен только
при п 23), но идея Куммера к ним применима. Таким образом,
с.ітпдѵет добавить к числам (3) некие идеальные числа А, В, С, D
и считать, что
3 = АВ, 7 = CD, 1+2 = AC, 1-2 V^5 = BD.
Ясно, что тогда единственность разложения числа 21 на простые
(уже идеальные) множители будет восстановлена.
Конечно, «идеальность» новых чисел привела к
своим трудностям, но с ними оказалось легче сладить.
Уже в 1847 г. Куммер опубликовал статью, в которой
он доказал теорему Ферма для всех простых показате¬
лей п = /, удовлетворяющих неким условиям (А) и
(В). В это время он думал (как доказывает его
письмо к Лиувиллю), что эти условия выполнены для
всех простых чисел, но вскоре он пришел к заключе¬
нию, что, по-видимому, имеются исключения (напри¬
мер, число 37). Рассуждения Куммера были упрощены
в 1894 г. Гильбертом. ■■
Конечно, этот результат Куммера заставлял - же¬
лать большего, поскольку он не давал пока ни одного
конкретного простого показателя /, для которого спра¬
ведлива теорема Ферма. Тем не менее, это было заме¬
чательное продвижение, и в этой книге мы его подроб¬
но обсудим и докажем.
Весьма искусным, тонким и очень трудным анали¬
зом арифметики чисел (2) Куммер к 1851 г. добился
серьезных усовершенствований своих результатов
1847 года. Ему удалось доказать, что условие (В) вы¬
текает из условия (А) (это — так называемая «лемма
Куммера»; см. ниже § 6) и потому излишне. Он суще¬
ственно упростил условие (А) и придал ему легко про¬
веряемую форму. Это условие в первоначальной фор-
мѵлировке состояло в требовании, чтобы простое чис-
16
ло I не.делило некоторого трудно определяемого числа
h. Куммер разложил число h на два множителя:
А =
нашел явные (хотя и довольно сложные) формулы
для h\ и /г2; показал, *jto число h тогда и только тогда
делится на Z, когда на I делится число h\ (так назы¬
ваемый первый множитель), и, основываясь на этом,
весьма изящными теоретико-числовыми рассуждения¬
ми доказал, что условие (А) выполнено тогда и только
^огда, когда простое число I не делит числителей пер¬
вых I — 3 членов ряда, состоящего из так называемых
чисел Бернулли (в их несократимом представлении).
Такие простые числа Куммер назвал регулярными.
Числа Бернулли—это рациональные числа
Вз = о
которые могут быть вполне автоматически вычислены
друг за другом по очень простым правилам (см. § 12).
Поэтому условие Куммера проверяется для каждого I
без особого труда.
В частности, оказывается, что среди простых чисел
I < 100 нерегулярны только числа 37, 59 и 67.
Это было замечательным завершением исследова¬
ний 1847 г., но, к сожалению, доказательства этих ре¬
зультатов отнюдь не элементарны. Мы все же изло¬
жим их здесь,, ;чтобы иметь полную картину.
Куммер всю жизнь думал, что регулярных чисел
бесконечно много, и эту уверенность разделяли с ним
многие математики. Однако до сих пор этот факт не
доказан.
Более того, в 1915 г. Йенсен очень просто доказал,
что напротив, имеется бесконечно много нерегулярных
простых чисел.
После 1851 г. Куммер обратился к исследованию
нерегулярных простых чисел и пытался доказать для
них теорему Ферма. В очень трудной работе 1858 года
он доказал теорему Ферма для некоторого класса не¬
регулярных простых показателей, включающего пока¬
затели 37, 59 и 67. Тем самым теорема* Ферма оказа¬
лась доказанной для всех простых показателей I <
< 100. Правда, позднее (в первой четверти XX века)
Мертенс и Вандивер обнаружили в рассуждениях
* 17
Куммера неточности, но они оказались вполне испра¬
вимыми.
Специальное, более простое, доказательство тео¬
ремы Ферма для показателя I = 37 в 1893 г. дал Ми-
риманов.
Около 1850 г. Французская академия наук учре¬
дила награду в 3 тыс. франков за доказательство тео¬
ремы Ферма. Присуждение несколько раз откладыва¬
лось, пока, наконец, в 1857 г. премия не была прису¬
ждена Куммеру (который, кстати сказать, даже не
был вначале среди претендентов).
После Куммера серьезных сдвигов в доказатель¬
стве теоремы Ферма не произошло до 1929 г., когда
Вандивер доказал, что теорема Ферма справедлива
для простого показателя I, если
1) второй множитель /г2 числа h не делится на 1\
2) числители I — 3 чисел Бернулли
Ё21, B4I, Вяці-З)
не делятся на I3.
Проверка условия 2) для современных ЭВМ труда
не составляет. Что же касается условия 1), то до сих
пор неизвестно ни одного простого числа /, для кото¬
рого оно не выполнено, хотя были проверены все про¬
стые числа I < 100 000. Для этих чисел условие 2)
теоремы Вандивера тоже оказалось выполненным.
Таким образом, теорема Ферма справедлива для всех
простых показателей I < 100 000.
Уже Эйлеру было известно, что при исследовании
уравнения
(4) xl-}-yl = zl, I простое ^3,
необходимо различать случай, когда ни одно из чи¬
сел X, у, z не делится на /, от случая, когда хотя бы
одно из этих чисел делится на /.
Допуская определенную небрежность речи, приня¬
то называть утверждение, что уравнение (4) не может
быть удовлетворено не делящимися на I числами,
первым случаем теоремы Ферма, а утвер¬
ждение, что уравнение (2) не может быть удовлетво¬
рено числами, одно из которых делится на /, — вто¬
рым случаем теоремы Ферма.
18
Оказывается, что, в отличие от общего случая тео¬
ремы Ферма, ее первый случай допускает для многих
I элементарное доказательство. Подход, к этому дока¬
зательству был нащупан еще в начале XIX века из¬
вестной Софн Жермен (1776—1831), первой женщи¬
ной-математиком нового времени. В частности, она до¬
казала, что для простого числа I справедлив первый
случай теоремы Ферма, если число 2/ + 1 также яв¬
ляется простым числом.
Однако надежды, которые возбудила Жермен, не
оправдались, и на предложенном ей пути найти пол¬
ное доказательство хотя бы первого случая теоремы
Ферма не удалось.
Жермен не опубликовала своих результатов, а со¬
общила их в письме известному французскому мате¬
матику Лежандру. В 1823 г. Лежандр выпустил в свет
обширный мемуар по теореме Ферма, в котором он из¬
ложил теоремы Жермен и вывел из них ряд следствий.
В частности, он показал, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для простого показателя I, если
хотя бы одно из пяти чисел
4/+1, 8/4-1, Ю/4-1, 14/4-1, 16/+1
является простым числом. Тем самым первый случай
теоремы Ферма оказался доказанным для всех про¬
стых показателей < 197. Для показателя 197 теорема
Лежандра ответа не дает.
После Лежандра многие математики пытались
улучшить его результаты. По-видимому, окончатель¬
ную (далее существенно не улучшаемую элементар¬
ными методами) теорему получил в 1893 г. немецкий
математик Вендт.
Для любого m 1 Вендт ввел некое целое число
Dm и, используя общую технику Жермен, показал, что
первый случай теоремы Ферма справедлив для про¬
стого показателя /, если существует такое m 1, что
1 ) число р = 2ml 4- 1 является простым числом,
не делящим числа Dm;
2) число 12пг — 1 не делится на р.
Число Dm допускает три равносильных определения:
2/71--1 '
а) Dm = (-l)m П 1(1 + Ё/)2Я’-Ц,
J=1 >
О I • • ЗТ
где £ = cas Н sin —;
tn tn ’
13
6) Dm является определителем матрицы
/2т\ Л 2т \ / 2т \
\ 1 ) \ 2 / ” \2т — 1J \ 2т )
/2/и\ (%,п\ / 2т \ / 2т \
k2/k3/”A2fnJ I 1 J
/2т\ /2т\ / 2т X / 2т \
\2т) \ 1 J ’ " \2т — 2/ \2т — 1J
в) Drn представляет собой так называемый результант мно¬
гочленов х2гп — 1 и (X + 1 )2т — 1. •
Отметим, что, несмотря на усилия не одного десят¬
ка математиков, среди которых были чрезвычайно
остроумные и изобретательные люди, не удалось найти
никаких других элементарных и вместе с тем доста¬
точно общих подходов к доказательству теоремы Фер¬
ма или хотя бы ее первого случая. (Впрочем, общ¬
ность результатов Жермен до сих пор до конца не вы¬
яснена. Например, неизвестно, существует ли беско¬
нечное число простых показателей /, к которым они
применимы.)
Неэлементарные методы к первому случаю теоре¬
мы Ферма привлек Куммер. В упоминавшейся выше
работе 1858 г. он доказал, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для простого показателя I, если на
I не делится числитель хотя бы одного из двух чисел
Бернулли Ві-з и Ві-$.
В 1905 г. Мириманов обобщил этот, результат, по¬
казав, что достаточно, чтобы I не делило числителя
хотя бы одного из четырех чисел Бернулли В^3, Ві_$,
Ві-7 и Bi-g. Это покрывает все / < 257.
Используя метод Мириманова, Виферих в 1909 г.
доказал, что первый случай теоремы Ферма справед¬
лив для всех простых показателей I, для которых
21-1 — 1 не делится на I2. Этот результат произвел сен¬
сацию. О его силе можно судить, например, по тому,
что для простых чисел ^200 183 он не дает ответа
только для двух чисел 1093 и 3511.
Доказательство Внфериха было впоследствии упро¬
щено Миримановым и Фробениусом, которые также
показали, что в условии Внфериха основание 2 можно
заменить основанием 3 (так что первый случай тео¬
ремы Ферма оказывается справедливым для любого
20
простого показателя Z, для которого хотя бы одно из
чисел 2/~1 — 1 или 3/-1 — 1 не делится на /2).
В 1912 г. Фуртвенглер, обратившись к очень силь¬
ным средствам (к так называемому закону вза¬
имности Эйзенштейна), доказал критерии Ви-
фериха и Мириманова — Фробениуса буквально в не¬
сколько строк. Эта работа послужила началом целой
серии исследований,,авторы которых, опираясь на са¬
мые новейшие достижения теории чисел (например,
так называемую теорию полей классов),
смогли к 1941 г. доказать, что в критерии Вифериха
основание 2 можно заменить произвольным простым
числом р 43. Это позволило проверить, что первый
^случай теоремы Ферма справедлив для всех показа¬
телей / < 6- ІО9.
В 1934 г. Вандивер доказал, что для простого по¬
казателя I справедлив первый случай теоремы Ферма,
если второй множитель h2 не делится на /.Эта тео¬
рема интересна тем, что, как уже говорилось, до сих
пор неизвестно ни одного простого показателя /, кото¬
рый бы этому условию не удовлетворял. Однако тот
факт, что / не делит h2, проверен пока только для
/< 100 000.
§ 1. Теорема Жермен
Как же можно подойти к доказательству теоремы
Ферма?
В первую очередь, здесь следует заметить, что если
тройка (х, у, г) целых чисел удовлетворяет уравнению
(1) xn + yn = zn
(случай п = 2 мы пока не исключаем), то ему будет
удовлетворять и любая тройка вида (Àx, Ку, Kz), где
К — произвольное целое число. Обратно, если тройка
(Хх, Ку, Kz) является решением уравнения (1), то
решением будет и тройка (х, у, z). Поэтому, чтобы
найти все решения уравнения (1) (состоящие из отлич¬
ных от нуля чисел), достаточно найти решения (х, у,
z), для которых числа х, у, z взаимно просты (не
имеют общего множителя, отличного от единицы), а
чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в це¬
лых числах, достаточно привести к противоречию пред-
21
положение о существовании решения (х, у, z), состоя¬
щего из взаимно простых чисел.
Более того, ясно, что если в каком-нибудь решении
(х, У у z) уравнения (1) два из чисел х, у, z имеют об¬
щий множитель X #= ±1, то третье число также будет
делиться на Â. Поэтому мы можем ограничиться лишь
решениями, состоящими из попарно взаимно простых
чисел. Такие решения мы будем называть примитив¬
ными.
Далее, ясно, что если теорема Ферма верна для по¬
казателя п, то она автоматически верна и для любого
показателя ап, кратного /г, потому что, если уравнение
uan + vatl = wan
имеет целочисленное решение (u, v, w), то уравнение
(1) будет иметь целочисленное решение (иа, va, wa).
Поэтому теорему Ферма достаточно доказать для
п = 4 (это сделал, как было уже сказано, сам Ферма)
и для п = /, где I — произвольное простое число ^3.
Фундаментальную роль во всех рассуждениях, свя¬
занных с теоремой Ферма, играет следующая очевид¬
ная лемма:
Лемма. Пусть a, b и с — такие натуральные (це¬
лые положительные) числа, что
1) имеет место равенство
ab = cn;
2) числа а и b взаимно просты. .
Тогда существуют такие натуральные числа х и у,
что
а = хп, b = у*.
Короче говоря, если произведение двух взаимно
простых натуральных чисел является п-й степенью, то
каждый из сомножителей также будет п-й степенью.
Если п нечетно, то эта лемма справедлива для лю¬
бых отличных от нуля целых (положительных или от¬
рицательных) чисел a, b и с.
Приведем для полноты доказательство леммы. Пусть
a = p^...pkss, Ь = . q\l
— разложения чисел а и b в произведение простых чисел. Здесь
1, •.., ks 1 и рь ..., ps — различные простые числа. Ана-
22
логично l\ 1, ..., It 1 и <7і, ..., qt — различные простые чис¬
ла. При этом, так как числа а и b по условию взаимно просты,
то ни одно из чисел рь ..., ps не равно ни одному из чисел
<7ь . • •, Яь Следовательно, формула
д fe. k„ l. i,
с =Pi ... Pssq\ ... qf
разложение числа сп = ab' в произведение степеней различ-
простых чисел. Но известію (это так называемая основ -
теорема арифметики), что разложение натурального
(2)
дает
ных
пая
числа в произведение степеней различных простых чисел един¬
ственно (с точностью до порядка множителей). Поэтому разло¬
жение (2) должно совпадать с разложением, которое получается,
когда мы возьмем разложение числа с и возведем его в n-ю сте¬
пень. Это доказывает, что все показатели ..., /ь ..., It
делятся на п. Поэтому и а, и b являются n-й степенью. В
Мы привели это доказательство (безусловно, известное чита¬
телю) в основном для того, чтобы подчеркнуть роль, которую
играет в нем основная теорема арифметики.
Для любого примитивного решения (х, у, z) урав¬
нения
(3) xz + yz = zz, I простое ^3,
число zl будет произведением ab целых чисел
а = х + у
(4) I, — Х'1 + У1 — — У,у> + У1 =
'х + у а
=az-‘ — (* )a'-2z/+ ... +(— )az-ft-1!/ft+ ...
где
li
\k) му-k)i
— так называемые биномиальные коэффи-
ц и е и т ы (часто обозначаемые также символом С?).
Из равенства (4) следует, что любой общий про¬
стой делитель р чисел а и b делит число
и потому, если р I, и число у. Но если р делит а
и у, то р делит X = а у, что невозможно, ибо, по
условию, числа х и у взаимно просты. Если теперь z
23
не делится на /, то I не делит zl = ab, а значит, ни а,
ни Ь. Таким образом, в этом случае числа а и b взаим¬
но просты и потому, согласно лемме (в которой сле¬
дует положить с = z и п = I), существуют такие це¬
лые числа и и ü, что
• I X1 + ч1 I
х + у = и9 7-^— =v, z = uv.
ѵ X + у ’
Заметив теперь, что уравнение (3) может быть пе¬
реписано в виде
X1 + //' + (- •?)' = О
и, следовательно, что числа х, у, —z играют в нем
вполне симметричные роли, мы получим, что аналогич¬
ные формулы должны иметь место для тройки (у, —2,
х) и для тройки (—z, X, у). Этим доказано следующее
предложение:
Предложение 1. Для любых попарно взаимно
простых и не делящихся на I целых чисел х, у, z, удо¬
влетворяющих уравнению (3), существуют такие пары
целых чисел (щ и), (щ, Uj) и (uz, у2), состоящие из
взаимно простых чисел, что
х + у = и1, х +у' —V1, z = uv,
zl — и1
(5) 2 — у = и\, -z--J = ѵ[, х = щѵѵ
z — x = ul2, z_x = v2, y = u2v2.
Формулы (5) известны как формулы Абеля,
хотя их знала еще Жермен, а опубликованы они были
впервые Лежандром.
Аналогичные (но более сложные) формулы могут
быть выведены и в случае, когда одно из чисел х, у,
2 делится на /. Однако за полтораста лет интенсив¬
ных исследований эти формулы никакой реальной
пользы не принесли, и поэтому мы их выписывать
здесь не будем.
Исследование теоретико-числовых проблем, связанных с дели¬
мостью чисел, существенно облегчается удобными обозначениями,
предложенными Гауссом.
Пусть п— произвольное натуральное число. Согласно Гауссу,
целые числа а и-b называются сравнимыми по модулю п, если
их разность а — b делится на п. В этом случае пишут
а = b mod n.
24
Ясно, что отношение сравнимости является отношением эк¬
вивалентности, и потому множество Z всех целых чисел распа¬
дается на классы сравнимых между собой чисел. Ліножество
всех этих классов мы будем обозначать символом Z/n.
Сравнения, подобно равенствам, можно складывать и умно¬
жать. Их можно также сокращать на общий множитель, если
только этот множитель взаимно прост с п. На языке современной
алгебры это означает, что множество Z//z всех классов сравни¬
мых чисел является кольцом (ассоциативным, коммутативным и
обладающим единицей), причем классы, состоящие из чисел, вза¬
имно простых с п, не являются в этом кольце делителями нуля.
Более того, легко видеть, что эти классы в кольце Z/n даже
эбратнмы, т. е. для любого числа а, взаимно простого с и, суще¬
ствует такое число b («обратное по модулю п для а»), что
(6) a&=imodn.
»
Действительно, так как числа а и п взаимно просты, то по извест¬
ной теореме элементарной теории чисел (которую, кстати ска¬
зать, мы докажеіМ в § 4), существуют такие целые числа х и у,
что
пх + ау — 1.
Но ясно, что это равенство в точности равносильно сравнению (6)
с b = у.
В частности, мы видим, что если п — I, где I — простое число,
то все отличные от нуля элементы кольца Z/Z обратимы, т. е.
это кольцо является полем.
Иными словами множество (Z/1)* всех отличных от нуля
элементов кольца Z/1 является группой по умножению.
С другой стороны, ясно, что любое число сравнимо по мо¬
дулю I с одним и только одним из чисел
(7) 0, 1, 2, 1,
откуда следует, что поле Z/Z содержит I элементов, а группа
(Z/l)* содержит I—1 элементов, т. е. порядок этой группы ра¬
вен I — 1.
Но из элементарной теории групп известно, что, возведя лю¬
бой элемент конечной группы в степень, равную порядку группы,
мы получим единицу группы. Применительно к группе (Z//)* это
означает, что
(8) а1~{ = 1 mod I
для любого целого числа а, не делящегося на I. Это утверждение
называется малой теоремой Ферма.
Умножив сравнение (8) на а, мы получим сравнение
(9) а1 = a mod I.
Ясно, что это сравнение выполнено и при а = 0.mod /. Таким об¬
разом, сравнение (9) имеет место для любых целых чисел а.
Это — малая теорема Ферма в формулировке Эй¬
лера. .
На более алгебраическом языке сравнение (9) означает, что
каждый элемент поля Z/1 является корнем многочлена Х1 — Х.
25 .
Доказать сравнение (9) можно, и не обращаясь к теории
Групп, например, следующим образом.
т Из того, что простое число I делит Z! и при 0 < k < I не
делит k\(l — £)!, следует, что все биномиальные коэффициенты
(-г) = -м77^-мГ. 0<А</,
\k J Æl (Z — /е)І '
делятся на Z. Поэтому
(Х1 + х2)1 = х\ + х2 m°d
для любых (целых) и х2. .
Очевидной индукцией отсюда вытекает аналогичная формула
для любого числа слагаемых:
(10) (х1 + х2+ ... + х„)г SS + х2 + ...x'mod/.
Положив в этой формуле Хі = ... =хп = 1, мы и получим
(9) (при а = п). Ѳ
Более общим образом мы можем рассмотреть произвольный
многочлен
а (X) = aQXn + a[Xtl 1 + ... 4“ ап
с целыми коэффициентами. Тогда, согласно формуле (10),
а (X)1 s (a0An)z + (а1Л”-1)/ + ... + aln mod I,
а, согласію формуле (9),
ао = aQ, а{ = alt ...,а‘п = ап mod I.
Поэтому
a(X)z = aüÀnZ + a1X(n-I)Z+ ... +a„mod/,
т. e.
(11) a (X)1 = a (X1) mod l.
Этой формулой (называемой иногда формулой Шенемана)
мы часто будехм пользоваться.
Теперь мы можем непосредственно приступить к
изложению исследований Жермен.
Пусть (х, у, z} — примитивное решение уравнения
(3), состоящее из чисел, не делящихся на L Рассмот¬
рим произвольное простое число р, сравнимое с едини¬
цей по модулю /, т. е. имеющее вид
р = 2ml -f- 1,
где т — некоторое целое число. Предположим, что ни
одно из чисел х, у, z не делится на р. Поскольку
X 0 mod р, существует такое целое число х', что
хх'.= 1 mod р.
26
Умножив на (х'У равенство (3) и перейдя к сравне¬
ниям, мы получим, что 1 + (ух')1 = (zx')/niod Р, т. €-
что
1 -у а1 = Ь1 mod /?,
где а = ух', b = zx[ не делятся на р.
Целое число g мы будем называть l-й степенью по
модулю р. если существует такое число а О mod р9
что
Ѣ = а1 mod р.
Кроме того, две /-е степени £ и г) мы будем называть
соседними по модулю р, если
£ — т] = ± 1 mod/?.
В этой терминологии доказанное выше сравнение
означает, что, если ни одно из чисел х, у, z не делится
на р, то существуют соседние l-е степени по модулю р.
Предположим теперь, что одно (и, в силу прими¬
тивности, только одно) из чисел х, у, z делится на р.
Для. определенности будем считать, что на р делится
число z. Тогда одно (и только одно) из фигурирую¬
щих в формуле Абеля z = иѵ (см. (5)) взаимно про¬
стых чисел и и V будет делиться на р.
Пусть на р делится ѵ. Тогда и на р не делится, и
потому существует такое число и', что
ии' = 1 mod р.
С другой стороны, из формул Абеля (5) следует, что
2z — ul + и{ + ^.
Поэтому
и1 + и\ = (— и^1 mod р
и, значит,
1 + (ищ')1 = (—- и2и')1 mod /?.
Таким образом, если ѵ делится на р, то также су¬
ществуют соседние l-е степени по модулю р.
Пусть, наконец, на р делится и. Тогда в соотноше¬
нии (’4) (где, напомним, Ь = ѵ1, а = и1) все слагаемые
правой части, кроме последнего ( z 2. і ) У*”1
27
будут делиться на р, и, следовательно, будет иметь
место сравнение
V1 = lyl”x mod р.
Но по тем же формулам Абеля
yr=z — и{,
т. е.
у = (— urf mod р.
Следовательно,
V1 = I (— щ)1 (/“1} mod р
и потому
I = (уи{)1 mod р,
где и{ — такое число, что
и^щ = 1 mod р
(ясно, что Ui, а значит, и и\~х не делится на р).
Этим доказано, что при и = 0 mod р число I яв¬
ляется l-й степенью по модулю р.
Тем самым доказана следующая теорема:
Теорема Софи Жермен. Пусть для простого
числа I 3 существует такое целое число т, что
1) число р = 2пгІ-\- 1 является простым числом;
2) среди l-х степеней по модулю р нет соседних;
3) число I не является l-й степенью по модулю р.
Тогда для показателя I справедлив первый случай
теоремы Ферма, /
Для проверки в конкретных ситуациях условий 2)
и 3) этой теоремы полезно иметь в виду, что любая
l-я степень £ по модулю р = 2пгІ + 1 удовлетворяет
сравнению
(12) g2^=lmodp.
Действительно, если g = a1 mod р, где а Ф 0 mod р,
то по малой теореме Ферма
g2m = a2m/ = ар~[ = 1 mod р. ш
Задача. Докажите, что и, обратно, любое решение g
сравнения (12) является l-и степенью по модулю р.
(У к а з а н и е. Воспользуйтесь понятием первообразного кор¬
ня по модулю р; см. ниже стр. 60.)
28
Легко видеть, что для любого простого числа р
существует только два несравнимых числа*g, удовле¬
творяющих сравнению
Ѣ2 = 1 mod р,
а именно, числа 1 и —1 = р — 1 mod р.
Тот факт, что числа 1 и р— 1 удовлетворяют этому сравне¬
нию, очевиден, а то, что других корней это сравнение не имс'чт,
проще всего доказывается ссылкой на теорему алгебры о том,
что в произвольном поле многочлен степени п не может иметь
более п корней. (Можно также воспользоваться тем, что число
£2 — 1 = (£ — 1 ) (£ + 1 ) тогда и только тогда делится на простое
число »р, когда g — 1 или g 4- Г делятся на р.)
Так как числа 1 и р — 1 не являются, очевидно,
соседними /-ми степенями по модулю р = 21 + 1, этим
доказано, что при т = 1 условие 2) теоремы Жермен
автоматически выполнено.
Поскольку число I2 — 1 = (/ + 1) (/ — 1) не может
делиться на простое число 21 + 1 > I + 1, то при т —
= 1 условие 3) также выполнено.
Таким образом, если показатель I (являющийся
простым нечетным числом) обладает тем свойством,
что число 21 4- 1 также является простым числом, то
для I справедлив первый случай теоремы Ферма.
Как уже было сказано на стр. 19, это следствие вы¬
ведено самой Жермен. Многие авторы именно его на¬
зывают теоремой Жермен.
Аналогичным образом из обшей теоремы Жермен
может быть выведена сформулированная на стр. 19
теорема Лежандра.
Мы сделаем это только для m = 2, поскольку с увеличением
tn рассуждения стремительно усложняются.
Пусть при m = 2 условие 1) теоремы Жермен выполнено,
т. е. число р = 4/ + 1 является простым числом.
Проверим, что условие 2) этой теоремы также будет выпол¬
нено. Согласно сделанному выше замечанию для этого доста¬
точно доказать, что среди корней сравнения
(13) g4 = 1 mod р
нет соседних.
Так как £4 — 1 = (£2 + 1) Œ2 — 1), то корнями сравнения (13)
будут корни сравнения
Н2== 1 mod р
и сравнения
£2 s= — 1 L~od р.
29
Первое сравнение имеет, как мы зпаем, корни 1 к —1 s
es р— 1. Что же касается второго сравнения, то а priori воз¬
можны два случая: либо оно не имеет корней, либо обладает
точно двумя корнями 5а и —go s Р — £о.
В первом случае сравнение (13) имеет корни 1 и р—1, за¬
ведомо не соседние. Таким образом, условие 2) теоремы Жермен
в этом случае выполнено. ■ .
Во вторОхМ случае (кстати сказать, как можно без труда по¬
казать, единственно, на самом деле, реализующемся) сравне¬
ние (13) имеет четыре корня
1, Р — 1, U Р — §0.
Соседними два из этих корней могут быть только при go = ±2
или при go = ±(р— 1 )/2 = ± 2/. Если go = ± 2, то 22 + 1 = 5’
делится на р = что при I >* 1 невозможно. Аналогично,
если go = ±2Z, то (2Z)2 + 1 — (4Z + 1) I—(I—1) делится на
p = 4Z4-l, т. е. Z—1 делится на 4Z + 1, что при Z >> 1 также
невозможно. Следовательно, условие 2) теоремы Жермен выпол¬
нено и в этом случае.
Обратимся теперь к условию 3). Если оно не выполнено, то
Z4 = 1 mod р. Но поскольку при р = 4Z + 1 имеет место сравне¬
ние 4Z = —1 mod р, а потому и сравнение (4Z)4 = 1 mod р, от¬
сюда следует, что
44 1 mod р,
т. е. что 44— 1 = 255 = 3-5-17 делится па р. Так как мы уже
знаем, что р =Н= 5, это возможно только при р — 17. Но уравне¬
ние 17 = 4Z + 1 имеет непростое решение Z = 4, и потому этот
случай также невозможен. Следовательно, условие 3) должна
быть выполнено. @
Теорема Вендта (см. стр. 19) также сводится к тео¬
реме Жермен. Следует лишь доказать, что если про¬
стое число р = 2тІ + 1 не делит число Вендта £>/и, то
условие 2) теоремы Жермен выполнено.
Это доказательство мы оставляем читателю в ка-.
честве несложного упражнения.
§ 2. Теорема Ферма для показателя 4
Случай п = 4 — это единственный случай теоремы
Ферма, допускающий вполне элементарное доказа¬
тельство. Как мы уже говорили, это доказательство
было придумано еще самим Ферма. Оно использует
формулы общего решения уравнения
(1) x2 + z/2 = z2,
которые были известны еще индусам. Мы начнем с
того, что докажем эти формулы.
Как мы знаем, достаточно .искать примитивные ре¬
шения уравнения (1). Ясно, что если (х, у, z) — реше-
30
пие, то (у, х, z) также будет решением. С другой сто¬
роны, для любого решения (х, у, z) хотя бы одно из
чисел X или у четно. Действительно, если х и у не¬
четны, то х2 + у2 имеет вид 4/г + 2 и потому не может
быть равно квадрату z2 никакого целого числа (ибо
каждый квадрат z2 имеет либо вид 4& либо вид 4Æ 4¬
4-1). Кроме того, очевидно, что вместе с решением
(х, у, z) и (±х, ±у, ±z) также будут решениями.
Из этих замечаний непосредственно следует, что
нам достаточно найти лишь состоящие из положитель¬
ных чисел примитивные решения (х, у, z) уравнения
(1) , для которых число х четно.
1 Лемма. Для любых взаимно простых положи¬
тельных целых чисел m и п < пг разной четности фор¬
мулы
X = 2/7Z/Z,
(2) у = пг2 — п2,
z = пг2 4- п2
доставляют состоящее из положительных целых чисел
примитивное решение уравнения (1) с четным х. Об¬
ратно, любое состоящее из положительных чисел при¬
митивное решение (х, у, z) уравнения (1), для кото¬
рого X четно, выражается формулами (2), где m и
/г < /п — взаимно простые числа разной четности.
Доказательство. Тождество
(2/пп)2 4“ (m2 — ft2)2 = (m2 4- n2)2
показывает, что числа (2) (очевидно, положительные)
составляют решение, для которого х четно. Если эти
числа имеют общий множитель À 2, то À будет де¬
лить и числа
2т2 = (пг2 4- п2) 4- (^2 — /г2),
2п2 — (пг2 4- п2) — (m2 — п2).
Значит, À = 2, ибо, по условию, m и п взаимно про¬
сты. Но если à = 2, то число у = пг2 — п2 четно, и,
следовательно, числа m2 и п2 одновременно либо чет¬
ны, либо нечетны, что невозможно, ибо по условию
числа m и п имеют разную четность. Это доказывает,
что решение (2) примитивно.
Обратно, путь (х, у, z) — произвольное состоя¬
щее из положительных чисел примитивное решение
31
с четным X = 2а. Так как числа у и z нечетны, то
числа z у и z — у четны. Пусть
z + z/ = 2&, z — у = 2с,
где числа b и с, очевидно, положительны.
Каждый общий делитель X чисел & и с делит z =
= b с и у = b — с. Поэтому X = ±1, так что числа
b и с взаимно просты. С другой стороны.
4а2 = x2 = z2 — у2 = 4Ьс,
т. е.
а2 = Ьс.
Следовательно, согласно лемме из § 1 (примененной
к случаю п = 2), существуют такие (очевидно, взаим¬
но простые и разной четности) положительные числа
тип, что
Ь — т2, с — п2.
Тогда а2 = т2п2, т. е. а = тп и
X = 2а = 2тп, у = Ь — с = т2 — п2,
z = b + с = т2 + п2.
Для завершения доказательства остается заметить,
что п <Z т. и
Теперь мы можем перейти к доказательству тео¬
ремы Ферма при п = 4. Мы докажем даже более об¬
щее утверждение:
Предложение 1. Уравнение
(3) х4 + //4 = 22
не имеет решений в целых отличных от нуля числах:
. Доказательство. Предположим, что решение
уравнения (3) в целых отличных от нуля числах суще¬
ствует. Ясно, что, не теряя общности, мы можем счи¬
тать, что оно состоит из попарно взаимно простых по¬
ложительных чисел. Так как в любом множестве нату¬
ральных чисел существует наименьшее число, то среди
всех таких решений существует решение (х, у, z) с
наименьшим z. Рассмотрим это решение более внима¬
тельно.
Так же, как для решений уравнения (1), немед¬
ленно доказывается, что одно из чисел х и у должно
32
быть четным. Мы будем предполагать, что четно чис¬
ло X. Ясно, что это предположение общности не огра¬
ничивает.
Так как
(x2)2 + (ÿ2)2 = Z2
и так как числа х2, у2, z положительны и взаимно про¬
сты, а число X2 четно, то, согласно лемме, существуют
такие взаимно простые числа т и п < т разной чет¬
ности, что
X2 = 2/пп,
у2 = т2 — п2,
, z = т2 + п2.
Если т = 2k и п — 21 4- 1, то
y2 = 4Çk2 — l2-l- 1)4-3,
что невозможно, ибо, как выше мы уже отмечали, лю¬
бой нечетный квадрат должен иметь вид 4k 4- 1- Сле¬
довательно, число т нечетно, а число п четно.
Пусть п = 2q. Тогда х2 = 4mq и потому
^=(Я-
Поскольку числа т и q взаимно просты, отсюда выте¬
кает, что
m = z2v q = t2,
где Zi и t — некоторые целые (очевидно, взаимно rtpo-
стые) положительные числа.
В частности, мы видим, что
і/2 = (^)2-(2/2)2,
т. е. что
(2t2)2 + y2 = {zX)2.
Так как числа t и Z\ взаимно просты, к этому равен¬
ству снова применима доказанная выше лемма. Сле¬
довательно, существуют такие положительные взаим¬
но простые числа а и b < а различной четности, что
2t2 = 2ab, т. е. i2 = ab,
у2 —а2 — Ь2,
z2 = а2 4- Ь2.
2 М. М. Постников
S3
Так как а и b взаимно просты, из первого равен¬
ства вытекает (по лемме из § 1), что существуют це¬
лые числа хі и ÿi, для которых
а = xj, b = у2.
Поэтому третье равенство может быть переписано сле¬
дующим образом:
Это означает, что числа xh у\, z\ составляют (очевид¬
но, примитивное) решение уравнения (3), состоящее из
положительных чисел. Следовательно, в силу выбора
решения (х, у, z) должно иметь место неравенство
Z^Z,
а потому и неравенство
Z\ Z,
т. е. абсурдное неравенство
т т2 + п2.
Таким образом, предположение о существовании у
уравнения (3) целочисленных решений приводит к
противоречию. Следовательно,, это уравнение не имеет
решений в целых отличных от нуля числах, а
§ 3. Теорема Ферма для показателя 3
Как уже говорилось, теорема Ферма при I = 3
впервые была доказана Эйлером в 1768 г. Мы вос¬
произведем сейчас это доказательство Эйлера.
Эйлер основывается на следующей лемме:
Лемм а. Если- взаимно простые целые числа а и
b обладают тем свойством, что число, а2 + 3£2 являет¬
ся кубом целого числа, то существуют такие целые
числа sut, что
а = s (s2 - 9/2), b = 3/ (s2 -12).
Покажем сначала, как из этой леммы вытекает
теорема Ферма.
Предположим, что при I = 3 теорема Ферма не¬
верна, т. е. что существуют такие целые отличные от
куля числа X, у и z, что
( 1 ) х3 + у3 = z3.
Как мы знаем, числа х, у и z мы можем считать
попарно взаимно простыми. Поэтому, в частности,
только одно из них может быть четным. С другой сто¬
роны, ясно, что все три числа нечетными быть не мо¬
гут (сумма или разность двух нечетных чисел четна).
Следовательно, одно и только одно из чисел х, у, z
четко.
Без ограничения общности мы можем считать, что
четно число х. Действительно, если четно у, то доста¬
точно переименовать х и у, а если четно z, то доста¬
точно переименовать х и z и изменить знаки (ибо
(—г)3 + № = (—х)3).
Среди всех троек (х, у, z) целых чисел, удовле¬
творяющих уравнению (1) и таких, что х четно, мы
выберем тройку, для которой |х| имеет наименьшее
возможное значение. Такая «минимальная» тройка су¬
ществует, ибо в любом непустом множестве целых по¬
ложительных чисел существует наименьшее число.
Так как у и z нечетны, то числа
целые. Так как '
(2) z = p + q, у = р — q,
то одно из чисел р и q четно, а другое нечетно. Кроме
того, эти числа, очевидно, взаимно просты.
Согласно (1) и (2) *
х3 = z3 — і/ = (р + qf — (р — q)3 =
= Qp2q + 2q3 = 2q (q2 + 3p2)
Полагая здесь x = 2«, мы получим, что
(3) (^ + зр2).
Так как р и q — числа разной четности, то число q2 +
+ Зр2 нечетно. Поэтому из (3) следует, что q делится
на 4 (и, значит, q четно, а р нечетно).
Согласно доказанной в § 1 лемме, произведение
двух взаимно простых чисел тогда и только тогда яв¬
ляется кубом, когда каждое из них является кубом.
С другой стороны, числа ç/4 и q2 + Зр2 тогда и только
тогда взаимно просты, когда взаимно просты числа q
2* 35
и Зр2 = (?2 + Зр2) —р2, что имеет место (в силу вза¬
имной простоты чисел р и q) тогда и только тогда,
когда q не делится на 3. Поэтому, если мы предполо¬
жим, что q не делится на 3, то из (3) будет следовать,
что числа ç/4 и q2 + Зр2 являются кубами.
Но, согласно лемме, если р2 + 3р2 — куб, то
q = s (s2 - 9/2), р = 3t (s2 — /2),
где sut — некоторые целые числа. Так как р нечетно,
то из равенства р = 3/(s2 — /2) следует, что t нечетно,
a s четно. Кроме того, так как р и q взаимно просты,
то t и s также взаимно просты.
Так как число ^/4 — куб, то число 2ç = 8-ç/4 —
также куб. Это доказывает, что число
2s (s2 - 9/2) = 2s (s - 3/) (s + 3/)
тоже является кубом.
Числа 2s, s — 3/ и s + 3/ взаимно просты. Действи¬
тельно, если 2s и s zb 3f имеют общий простой множи¬
тель À, то X =/= 2, ибо число s ± St нечетно. Следова¬
тельно, X делит s и zb3/ = (s ± St) — s. Но, так как
t и s взаимно просты, это возможно только при À = 3.
Аналогично, если числа s + St и s — St имеют общий
простой множитель X, то, во-первых, À =/= 2, ибо оба
эти числа нечетны, а, во-вторых, числа 2s — (s +
-J- St) -f- (s — St) и 6/ = (s -f- St) — (s — St) делятся
на À, что опять возможно только при X = 3. Таким об¬
разом, в обоих случаях число s, а значит, и число q де¬
лятся, вопреки предположению, на X = 3.
Так как произведение взаимно простых чисел 2s,
s — St и s + St является кубом, то, следовательно, ку¬
бом будет и каждое из них. Это означает, что суще¬
ствуют такие целые числа хь уі и что
= 2s,
z/3 = -(s + 3/),
zj = s — 3/,
и, следовательно,
*î + */î = 4
Таким образом, исходя из тройки (х, у, z), мы по¬
лучили новую тройку (%і, уі, Zi), также удовлетворяю-
36
щую уравнению (1) и обладающую тем свойством, что
ее первое число хі четно.
Так как х3 = 2q (q2 + Зр2), то | q | < -Ц-k а так
как q = s(s2— 9/2), то | s |^| q |. Следовательно,
|*?| = 2| s I < I X3 I
и потому |xi I < |х|, что противоречит свойству мини¬
мальности тройки (х, у\ z). Полученное противоречие
доказывает, что число q должно делиться на 3, т. е.
должно иметь место равенство
q = Зг,
где г — некоторое целое число (делящееся на 4), а по¬
тому (см. (3)) и равенство
(4) иЗ = |г(9г2 + 3р2) = |г(3г2 + р2)ф
Если целые числа -|-г и Зг2 + р2 имеют общий
простой множитель X, то X =/= 3, так как в противном
случае число р делится на 3 и, значит, не взаимно
просто с q. Но если X =/= 3, то X делит г и р2 = (Зг2 -J-
+ р2) — Зг2, а значит, q и р, что невозможно. Следо¬
вательно, числа г и Зг2 + р2 взаимно просты.
Поэтому из (4) следует, что оба эти числа являют¬
ся кубами и потому, согласно лемме (примененной к
числу Зг2 + р2), имеют место равенства
(5) р = s (s2 - 9/2), г = 3/ (s2 - /2),
где s и t — некоторые (очевидно, взаимно простые)
целые числа. При этом ясно, что число t четно (ибо
г четно), а число s, следовательно, нечетно.
Кроме того, мы видим, что (целое) число
= = 2/(s2-/2) = 2/(s+ 0(s-/)
является кубом.
Так как числа s и t взаимно просты и имеют раз¬
ную четность, то числа 2t, s + t и s — t попарно взаим-
37
но просты. Поэтому каждое из них является кубом,
так что существуют такие целые числа у\ и z'i, что
Но тогда
и
г* * = 2/,
z/3 = s -- /,
z3 = s + /.
х? + у\ =
Ѵѵ^ = 2|/|<4|г| = |иі <2ИІ<|х3 |,
т. е. IX, J < I л: |.
Таким образом, и в этом случае мы приходим в
противоречие с минимальностью тройки (х, /у, г). По¬
этому уравнение х3 + У3 = z3 решений иметь не мо¬
жет. s
ѵ § 4. Арифметика кольца &з
Итак, для завершения доказательства теоремы
Ферма при I = 3 нам осталось лишь доказать сфор¬
мулированную выше лемму.
Эйлер доказывает эту лемму, замечая, что J)
а2 + ЗЬ2 = (а + b Ѵ=чГ) (« - b
Потом он пишет, что, поскольку левая часть является
по условию кубом, то и оба множителя правой части
должны быть кубами. В частности,
и b "\/—3 = (s 1 л/—3 )3,
где s и t — некоторые целые числа. Возводя в куб, мы
получаем, что
а + b = s2 - 9s/2 + (3s2/ - З/3) ^^3
и, следовательно, что
а — s3 — 9s/2 = s (s2 9/2),
b = 3s2/ — З/3 = 3/ (s2 — /2). н
9 Здесь и далее под V — 3 понимается корень уравнения
*2 + 3 = О, лежащий в верхнёй полуплоскости.
38
Нельзя не отдать должное остроумию и смелости
Эйлера, бесстрашно перешедшего от целых чисел к
числам вида a-\-b —3 . Но, конечно, чтобы сделать
его доказательство безупречным, надо предварительно
построить арифметику таких чисел. В частности, по¬
скольку утверждение о произведениях, являющихся
кубами, существенно зависит, как мы знаем, от основ¬
ной теоремы арифметики, нужно для чисел вида a -f-
+ 6V—3 доказать аналог этой теоремы (мы не гово¬
рим уже о том, что требует доказательства «взаимная
простота» чисел а+&Ѵ“3 и п-6д/“3).
Однако оказывается, что для чисел вида а-\-Ь 7-3
основная теорема арифметики неверна', единственно¬
сти разложения на «простые» (далее неразложимые)
множители нет. Например,
4 = 2 • 2 = (1 + (1 “
и, вместе с тем, числа 2 и 1 ± V—3 неразложимы.
Доказательство. Имеем
(a-f-^V— 3 ) (с + d 7- З) = ас - 3bd + (ad 4- be) у/— 3.
Поэтому, если
2 = (я -|- b 'у/— 3 ) (с 4“ d'у — 3 ),
то
J ас — 3bd = 2,
( ad 4- be — 0.
/Ложно непосредственно доказать, что эти уравнения не тле¬
ют решений в целых числах, но лучше поступить по-другому, за¬
метив, что они не меняются при одновременном изменении знака
у b и d. Поэтому
2 = (а - b -уГ-Ъ) (с — d
и, значит,
2 • 2 = (а + b (а - b V^T) • (с + d ) (с — d ў—T),
т. e.
(1) 4 = (a2 4- 3Z>2) (c2 4- 3d2).
Аналогично, если
1 + = (a + b V^T) (c + d V^T),
то
1 _ д/СТз = (a - b V^3) (c - d V^3 ),
и потому мы снова получаем уравнение (1).
ЗЭ
Поскольку в этом уравнении участвуют только натуральные
числа, то либо один из множителей правой части равен 4, а
другой 1, т. е., скажем,
а2 + ЗЬ2 = 4,
с2 + 3d2 = 1,
либо оба они равны 2, т. е.
а2 + 362 = 2,
с2 + 3d2 = 2.
Но ясно, что уравнение вида а2 + ЗЬ2 = 2 не имеет решения
в целых числах. Поэтому второй случай невозможен. Что же
касается первого, то уравнение
а2 + ЗЬ2 = 4
удовлетворяется только при а =± 1, 6 =± 1 и а=±2, b = О,
а уравнение
с2 + 3d2 = 1
— только при с = ± 1, d = 0.
Это доказывает неразложимость как числа 2, так и чисел
1 ± и
Тем не менее рассуждение Эйлера можно спасти,
если чуть глубже вникнуть в предмет. *
Поставим вопрос, закономерно ли у Эйлера появи¬
лись числа вида а + b 'у/—3 , или это было случайным
эффектом, обязанным изобретательности Эйлера?
Если вообще прибегать к каким-нибудь нецелым
числам, то в первую очередь следует, конечно, при¬
влечь числа, участвующие в разложении левой части
уравнения Ферма на линейные множители. Такое раз¬
ложение имеет вид
x3 + y3 = (x + y)(x + ^j)(x + îy)t
где Ç и £—комплексные числа, являющиеся вместе
с 1 корнями уравнения
(2) X3 = 1.
Это соображение подсказывает, что естественной об¬
ластью, в которой следует рассматривать уравнение
Ферма при I = 3, являются числа вида
(3) а + bt, + et
где a, b и с — целые числа. .
40
Но легко видеть, что .вместе с числом £ корнем
уравнения (2) будет и число Ç2, ибо
(?2)3=(е3)2=12=1.
Поэтому £2 = Ç, и, значит, число (3) мы можем запи¬
сывать в виде
(З') а + бС + ^2.
Более того, число £ (вместе с числом £ = £2) яв¬
ляется корнем уравнения
^?р=х2 + х2+1=0,
откуда следует, что
(4) £2 = -1-£.
Поэтому любое число вида (З') имеет вид
(5) А + В^
где А = а — с, В = b — с.
Итак, мы видим, что нам следует ввести в рассмо¬
трение множество всех чисел вида (5), где А и В —
произвольные целые числа. Это множество мы будем
обозначать символом £>3.
Ясно, что сумма и разность чисел из £>3 является
числом из D3. Более того, произведение любых двух
чисел из £>3 также будет числом из £>3, поскольку
появляющийся после перемножения член с £2 мы мо¬
жем преобразовать с помощью соотношения (4). (Та¬
ким образом, (Л + В£) (Лі + Ві£) = (ААі — ВВі) +
4- (ABi + ВА\- BBJÇ.)
На языке современной алгебры все это означает,
что £>3 является кольцом (числовым).
Для удобства вычислений целесообразно рассма¬
тривать также числа вида (5) с произвольными ра¬
циональными А и В. Множество таких чисел мы обо¬
значим через К3.
Ясно, что сумма, разность и произведение чисел из
Кз также будет числом из /<3. Однако теперь и част¬
ное любых двух чисел из Кз будет^ числом из Æ3.
Действительно, любое число вида , где, конеч¬
но, А + В£ Ф 0, мы можем преобразовать следующим
41
образом (в элементарной алгебре это называется
«освобождением знаменателя от иррациональности»):
С + ы, = + (A + BZ) == (С + Dg) (А + в;2) =
А + Bg (Л + Bg) (А + Bg) Л2 + ЛВ (g + g) + B2gg
CA + ZMg + CBg2 + DBg3 _
— Л2 - AB + B2
_ CA + DB - CB I DA - CB
~ A2 —AB A-В2 “Г Л2 —ЛВ 4-B2
Все это означает, что Кз является полем. Оно на¬
зывается 3-круговым полем (это название возникло
из-за тесной связи корней уравнения (2) с задачей
деления круга на 3 части). Числа из Z)3 называются,
естественно, целыми числами поля Кз\ соответственно
этому, £)3 называется кольцом целых чисел поля /<3.
Оно содержит все обычные целые числа (они полу¬
чаются при В = 0).
Заметим, что запись числа из D3 (или из Кз) в
форме (5) единственна. Действительно, если
X + Bg = /l1 + B1g
и В Вь то
с. А — /1|
В — ’
что невозможно, ибо g не является вещественным и,
тем более, рациональным числом. Следовательно, В —
= Ві и потому А = Ai. В
Выше при вычислении частного в Кз мы фактиче¬
ски ввели для любого числа
а = Л + В^Кз
число
Na = <й = Лг - Л В + № = + •
Это неотрицательное рациональное число (целое, ког«
да czG Z)3) называется нормой числа а. Оно равно
нулю только при а = 0.
Замечательное свойство нормы состоит в том, что
норма произведения равна произведению норм-.
(6) N (ар) = Na ■ Аф, а, р 6=
42
Действительно,
N (аР) = ар • ар = ар • ар = аа • PP = Na • Лф. И
В раскрытом виде соотношение (6) имеет вид
(АЛХ - ВВ,)2 - (ДД! — ВВ,) (АВ, + ВА, - ВВХ) +
+ + ВД, — BBtf = (д2 - АВ + В2) (д2 - А1В1 + В2)
Оно является простейшим примером алгебраических тождеств,
возникающих из соотношений вида (6) для других полей алге¬
браических чисел.
ЧислаЛиз Я3 (и D3) можно записать в более явной
форме, заметив, что квадратное уравнение
х2 + X + 1 = О
имеет корни
2
Любой из этих корней можно принять за £. Для опре¬
деленности мы положим
Тогда
А + ВІ=і2й-в>+в-^~г .
Таким образом, получается, что числа из Кз имеют
вид а + b д/-3, где а и b — рациональные числа, а
числа из £>з (целые числа из Кз) — вид
(7) р + ?Ѵ=3.,
где р и q— целые числа одинаковой четности.
В частности, при р и q четных мы получаем числа
Эйлера
а b д/— 3.
Таким образом, ограничение только такими чис¬
лами с общей точки зрения ничем не оправдано, и по¬
этому можно надеяться, что при переходе к более
естественно возникающим числам (7) все наши труд¬
ности исчезнут. Оказывается, что это и на самом деле
так.
43
Чтобы избежать кустарности в исследовании этой
проблематики, целесообразно ввести простейшие ос¬
новные понятия арифметики в кольцах. Хотя сейчас
нам нужно только ,кольцо £>з, а в дальнейшем понадо¬
бятся лишь его непосредственные обобщения Di, I 3,
мы дадим определения этих понятий в их естественной
общности. Читатель, безразличный к эстетическим сто¬
ронам теории и не желающий вникать в абстрактные
определения, может пока игнорировать несколько сле¬
дующих строк и во всем дальнейшем понимать под D
кольцо D3.
Мы будем считать известным понятие кольца (ком¬
мутативного, ассоциативного и с единицей 1). Напом¬
ним, что такое кольцо называется целым кольцом
(традиционное название — «область целостности»), ес¬
ли оно не имеет делителей нуля, т. е. произведение
любых его двух отличных от нуля элементов отлично
от нуля. В дальнейшем под кольцом мы будем всегда
иметь в виду целое кольцо.
Каждое целое число a œ Z мы будем отождест¬
влять с элементом а-1, где 1—единичный элемент
кольца D. Тем самым кольцо целых рациональных чи¬
сел Z окажется подкольцом кольца D.
Основное свойство целых колец, которым мы бу¬
дем постоянію пользоваться, состоит в том, что в них
(и только в них) справедливо правило сокращения,
т. е. из равенства сф = ау, где а 0, следует, что
Р = V-
Элемент е кольца D называется единицей (или об¬
ратимым элементом; последний термин используется
теперь все чаще, а употребление термина «единица»
постепенно сходит на нет), если существует такой эле¬
мент 8”1 Œ D, ЧТО
88”1 = 1.
Ясно, что произведение и частное двух единиц так¬
же является единицей. .
П р и м ер 1. Кольцо Z целых рациональных чисел
имеет две единицы +1 и —1. . .
Пример 2. Элемёнт 8 <= D называется корнем из
единицы степени п, если
в"=1
44
(первообразным, если, ет =7^= 1 при 0 < т < и). Ясно,
что каждый корень из единицы (содержащийся в D)
будет единицей кольца D (для которой е-1 =
П р и мер 3. Найдем единицы кольца D3. С этой
целью мы заметим сначала, что число a œ D3 тогда и
только тогда является единицей, когда Na = 1.
Действительно, если аа-1 = 1, то
Л/а- 7Ѵа-І=;Ѵ(аа“1) = Л/1 = 1,
и потому Na = 1. Обратно, если Na = 1, т. е. аа = 1,
то а является единицей (с а-1 = а). й
Так как для числа а = A -J- норма Na выра¬
жается формулой
№-^-лв+в»=(!!-|-й;,+звг.
1 4
то Na = 1 тогда и только тогда, когда либо В = 0 и
А = ±1, либо В = ±1 и (2/4 — В)2 = 1, т. е. А =
= В = ±1 или /4 = 0, В = ±1. Таким образом,
кольцо D3 имеет шесть единиц'.
+ 1, +£, 1+£=^2,
-1, -Ç, -1-Ç = Ç2.
Все они являются корнями из единицы степени 6. При
этом каждая единица является степенью единицы
1 + î=li£l
(первообразного корня из единицы степени 6). Именно,
О 4-Ç)1 = 1 4- (1+£)2 = £, (1 +£)3 = -1,
(1 4-£)4 = — 1 — (1+£)5 = -£, (1+£)б=1.
Пусть £)*—множество £>\{0} всех отличных от
нуля элементов кольца D.
Два элемента а, 0 Œ £)* называются ассоциирован¬
ными (обозначение а ~ 0), если существует такая
единица е, что 0 — еа. Очевидно, что отношение ассо¬
циированности является отношением эквивалентности
и потому множество £)* распадается на классы ассо¬
циированных элементов. ,
Пусть D' œ D* — множество всех отличных от нуля
элементов кольца D, не являющихся единицами.
45
Элемент а œ D' называется разложимым, если су¬
ществуют такие элементы р, у œ D', что а = ру. Не¬
разложимый элемент a œ D' называется также про¬
стым элементом, ■
Функция at—> ||a||, определенная на Z)* и прини¬
мающая значения в множестве N целых положитель¬
ных чисел, называется псевдонормой, если из того, что
a <= D* делится на р œ D* (т. е. a = ру, где у œ Z)),
следует, что ||а|| НРН-
Если у-^ единица, то р = ау-1, где у1 œ D, и по¬
тому ПРИ ||а||. Следовательно, если элементы а и р
ассоциированы, то ||а|| = ||р||. Если обратное тоже
верно, т. е. если ||а|| > НРН, когда а делится на р, но
частное у не является единицей, то псевдонорма назы¬
вается строгой.
Примером строгой псевдонормы является, очевидно,
норма в £>3.
Предложение b Если в кольце D существует
строгая псевдонорма, то любой элемент a Œ £)' разла¬
гается в произведение простых элементов, т. е.
(8) a = 2x^2 • • • я*,
где лі, л2, ..., ла — простые элементы.
Доказательство. Значения псевдонормы на
элементах a œ D' являются целыми положительными
числами. Поэтому среди них существует наименьшее.
Пусть ро — это наименьшее значение. Ясно, что любой
элемент a Œ £>', для которого ||a|| = pQ, будет про¬
стым. Поэтому разложение (8) для него имеет место
(с k = 1 и лі = a). Пусть теперь р > р0 и пусть су¬
ществование разложения (8) доказано для всех эле¬
ментов a <= D' с ||а|| < р. Рассмотрим произвольный
элемент a œ D', для которого ||а|| = р. Если а прост,
то доказывать нечего. Пусть a = аіаг, где аь аг œ D'.
Тогда ||аі|| < ||а|| = р и ЦагІІ < ||а|| = р. Поэтому
для элементов аі и аг существуют разложения (8).
Перемножив их, мы и получим разложение элемента а.
Тем самым предложение 1 по индукции полностью до¬
казано. G
Вообще говоря, разложение (8) не единственно.
Например, можно менять порядок простых множите¬
лей и заменять их на ассоциированные (с тем, конеч-
46
но, чтобы произведение всех дополнительных множи¬
телей-единиц было равно 1). Назовем два разложения
а = TTj ... и а = л' ... л'
элемента а <= D' в произведение простых множителей
ассоциированными, если г = s и, после возможной, пе¬
ренумерации, элемент л' для каждого і = 1, г
ассоциирован с элементом л/. Если любой элемент
а œ D' разлагается в произведение простых элемен¬
тов и если каждые два таких разложения ассоцииро¬
ваны, то говорят, что в кольце D выполнена основная
теорема арифметики, или (допуская определенную не¬
точность) что D является кольцом с однозначным раз¬
ложением на множители,
В таком кольце имеют смысл все основные понятия
теории делимости целых чисел, и их свойства анало¬
гичны свойствам, известным из элементарной арифме¬
тики.
Например, по аналогии с натуральными числами
назовем элементы кольца D взаимно простыми, если
у них нет общих простых множителей. Тогда то же
рассуждение, что и для натуральных чисел (см. лемму
в § 1) покажет, что если в кольце D выполнена основ¬
ная теорема арифметики, то взаимно простые элемен¬
ты а и р являются с точностью до единиц п-ми степе¬
нями, когда п-й степенью является их произведе¬
ние ар.
Элемент ô œ D* называется наибольшим общим де¬
лителем элементов а, р œ D*, если он делит эти эле¬
менты и делится на любой другой общий делитель эле¬
ментов аир. Ясно, что наибольший общий делитель
однозначно определен с точностью до ассоциирован¬
ности. Однако, вообще говоря, для элементов произ¬
вольного кольца он может и не существовать. В коль¬
че же с однозначным разложением на множители
наибольший общий делитель существует, очевидно,
для любых элементов аир. Чтобы его найти, следует
разложить эти элементы в произведение простых мно¬
жителей и отобрать в обоих разложениях одинаковые
(ассоциированные) множители. Если таких множите¬
лей нет (т. е. элементы аир взаимно просты), — в
частности, так будет, если хотя бы один из элементов
о: и р является единицей, — то наибольшим общим
47
делителем является элемент 1 (а также произвольная
единица).
Из основной теоремы арифметики непосредственно
вытекает также следующее утверждение:
(-::•) Если простой элемент л делит произведение
сф, то он делит либо а, либо р.
Легко видеть, что и обратно, если в кольце D лю¬
бой элемент а Œ £)' разлагается в произведение про¬
стых элементов (например, если в D есть строгая псев¬
донорма) и если D обладает свойством («•), то в D
имеет место основная теорема арифметики.
Действительно, если
. лг = зт£ ... л',
где Лр ..., лл, л{, ..., л' — простые элементы, то Лі делит
произведение л { ... л'. Поэтому Лі делит хотя бы один из сомно¬
жителей (это получается из (*) посредством очевидной индук¬
ции). Мы можем считать, что Лі делит л{, т. е. что Л|=л1е1,
где, поскольку элемент л{ также прост, элемент бі является еди¬
ницей. Сократив на лі, мы получим, таким образом, что л2 ...
... яг = ... л'. Аналогично доказывается, что л2 (после со¬
ответствующей перенумерации) делит л£ и (после сокращения л2)
что лз делит л£ и т. д. После г шагов мы получим, во-первых,
что г s, а во-вторых, что при г < s имеет место равенство
1 = еі • • • ernr4-1 • • • л'.
Поскольку это равенство невозможно (элементы л'+1, ..., л'
единицами, по условию, не являются), этим доказано, что г = s
и что для любого і= 1, ..., г элемент л < ассоциирован с эле¬
ментом Л/. ®
Известно (мы покажем это ниже), что в кольце
целых чисел наибольший общий делитель d любых
двух чисел а и b может быть представлен в виде
(9) ax-\-by = d,
где X и у — целые числа (т. е., иначе говоря, уравне¬
ние (9) всегда имеет решение в целых числах). Ока¬
зывается, что аналогичное свойство для произвольных
колец не вытекает из основной теоремы арифметики.
Поэтому приходится вводить еще один класс колец.
Кольцо D называется кольцом главных идеалов
(происхождение этого названия станет ясным в § 11),
если для любых элементов a, P œ D*
48
а) существует их наибольший общий делитель б;
б) можно найти такие элементы х, y^D, что
ах + pz/ = б.
Легко видеть, что любое кольцо главных идеалов
обладает свойством (*).
Действительно, если л не делит а, то л и а взаимно просты,
и потому существуют такие элементы х, у D, что ах + пу =
= 1. Умножив это равенство на р, мы получим, что
Р = (ар) X + л (//р).
Оба слагаемых справа делятся на л. Поэтому на л делится и
элемент р. Э
Говорят, что в кольце D с псевдонормой имеет ме¬
сто алгоритм деления с остатком (такое кольцо назы¬
вается также евклидовым кольцом), если для любых
элементов a, P œ D* существуют такие элементы у и р,
что а = Ру + Р, причем либо р = 0, либо ||р|| < ||р||.
Интересно, что в евклидовом кольце псевдонорма
обязательно является строгой. Действительно, если
а = Ру и ||а|| = ПРИ, то, разделив с остатком р на а,
мы получим ^равенство вида
р = aô + Р,
где б œ D, и либо р = 0, либо ||р|| < ||а||. Но р =
= Р(1 —уб), и потому при рУ=0 имеет место нера¬
венство ПрП ПРИ = ||а||. Следовательно, р = 0 и по¬
тому р = (Ру) б, т. е. уб = 1. а
С другой стороны, любое евклидово кольцо являет¬
ся кольцом главных идеалов (и, следовательно, обла¬
дает свойством (*))• Действительно, для любых эле¬
ментов a, P œ D* в множестве всех отличных от нуля
элементов вида
(Ю) ctx + Рі/, X, y^D,
существуют элементы с наименьшей псевдонормой.
Пусть б = ах0 + Р*/о — один из таких элементов. Все
будет доказано, если мы покажем, что б является наи¬
большим общим делителем элементов a и р. Но ясно,
что б делится на любой общий делитель элементов
a и р..Поэтому нужно только доказать, что б делит
аир. Докажем, что б делит a (для р доказательство
аналогично).
4S
Пусть а = бу + р, где либо р — 0, либо ||р|| < ||б||.
Тогда
р = а—-бу = а — (ах0 + р//0) у = а (1 — хоу) + р (— yQy),
так как р также имеет вид (10). Следовательно, нера¬
венство ІІрІІ < ||б|| невозможно, и, значит, р = 0. g
Сопоставляя все доказанное, мы видим, что спра¬
ведливо следующее предложение:
Предложение 2. Любое евклидово кольцо яв¬
ляется кольцом главных идеалов, в котором выпол¬
нена основная теорема арифметики.
Заметим, что существуют кольца, в которых выполнена
основная теорема арифметики, но которые ие допускают алго¬
ритма деления с остатком (ни по отношению ни к какой псевдо¬
норме).
Таким кольцом является, например, кольцо всех чисел вида
•а + 6 V—Ю
2 ’
где а л b — целые числа одинаковой четности, но доказать это
не так-то просто.
Как мы уже говорили, чтобы подвести прочную
базу под доказательство Эйлера, достаточно доказать,
что в кольце Z)3 выполнена основная теорема арифме¬
тики. Согласно предложению 2 для этого достаточно
доказать следующее предложение:
Предложение 3. По отношению к норме в
кольце D3 имеет место алгоритм деления с остатком.
Доказательство. Нужно доказать, что для лю¬
бых элементов а и р У= 0 кольца D3 существуют такие
элементы у и р, что а = Ру + р и Np < Nfi.
Лемма. Для любого числа % Œ /<3 существует та¬
кое число у œ £>3, что
Af(Ê-Y)<4.
Предложение 3 из этой леммы следует непосред¬
ственно. Действительно, применив лемму к числу
£ = и положив р = а — Ру, мы немедленно полу¬
чим, что а = Ру + р и ч о
JVp = AT(a —ру) = Л(₽. —у)<-|-7Ѵр<2Ѵр. в
Такіш образом, нам нужно лишь доказать лемму.
50
Доказательство леммы. Пусть
Ё = д + ве,
и пусть а и b — такие целые числа, что
Тогда для числа
у=а + ^еО3
мы получаем *»
N (е - у) = (Л — а)2-(А-а)(В — Ь) + (В-Ь)2 <
^ІЛ-ар + ІЛ-аІ-ІВ-бІ + ІВ-др^
+ 2’2 'О-4’ ®
Следствие. В кольце D3 выполнена основная
теорема арифметики.
Существование двух разложений
4 = 2-2 = (1 + Ѵ=73’)(1 — Л/=73)
этому не противоречит, так как в £)3 числа 2 и 1 + дЛ—З ас-
1 4- а]— 3
соцпированы (число принадлежит D3 и является
в D3 единицей).
Теперь для завершения доказательства Эйлера
осталось лишь заполнить в нем два незначительных
пробела.
Во-первых, надо доказать, что в условиях леммы
Эйлера элементы а + & и a—-b'xj—-3 кольца
Dz взаимно просты. Для этого сначала покажем, что
число а не делится на 3. Действительно, в противном
случае на 3 будет делиться число а2 + 362, которое,
являясь кубом, будет делиться поэтому на 27. Следо¬
вательно, положив а = Заі и а2 + 3&2 = 27N, мы по¬
лучим, что 9a?+3û2 = 27/V и, значит, что &2=3(3;Ѵ—-а?)-
Таким образом, число &2, а потому и число b будут
делиться на 3, что противоречит взаимной простоте
чисел а и Ь. г
Если теперь элементы а + b л/—3 и а — b —3 де¬
лятся на элемент у Œ £)3, то на у делятся и элементы
2а = (а + b ^/— З) + (а — b з),
2Ь ^/^3 = (а + b — (a —b Ѵ^З),
Ы
откуда, перейдя .к..нормам, ..мы немедленно получим,
что число Л’Ѵ делит числа N (2а) = 4а2 и Ы(2Ьа/—Ъ)=
= 12£>2, т. е. делит их наибольший общий делитель.
Поскольку же числа а и b взаимно просты и число а
не делится на 3, этот наибольший общий делитель ра¬
вен 4 и, значит, для нормы УѴу элемента у имеется
только три возможности: УѴу = 4, Ny = 2 и Ny = 1.
Если Ny = 4, то N (~) = 1, т. е. у = 2е, где е —
единица. Таким образом, в этом случае с точностью
до ассоциированности имеется единственное решение
у = 2. Но это решение нам не годится, потому что чис¬
ло п + тогда и только тогда делится в D3 на
2, когда оба числа а и b делятся на 2.
Случай Ny = 2 вообще невозможен, ибо уравнение
х2— ху + у2 = 2 не имеет целочисленных решений.
Таким образом, обязательно Ny = 1, т. е. у являет¬
ся единицей. Следовательно, элементы а-\-Ь а/—3 и
а—•Ь'хІ—З взаимно просты, s
Второй пробел, которого не было у Эйлера, но ко¬
торый возник, когда мы перешли к кольцу £>3, состоит
в том, что в равенстве
(11) a H- b 'xj— 3 = (s д/— з)
числа s и t могут, вообще говоря, оказаться нецелыми,
поскольку, как мы знаем, числа из D3 имеют вид
где р и q— целые числа одинаковой четности.
Чтобы преодолеть эту трудность, мы заметим, что
если число (12) записать в форме А + то будут
иметь место равенства
р = 2А — В, q = B.
Поэтому числа р и q тогда и только тогда четны (и,
значит, число (12) имеет нужный нам вид $ + / aJ—S,
где s и t целые), когда четно число В. Но формулы
(Л + Bÿ Z = - В + (А - В) Ç, (Л + В$ £2 = (В—Л)— Л g
показывают, что хотя бы у одного из трех ассоцииро-
52
ванных чисел А + BÇ, (Л + B£)t, (Л + BÇ)Ç2 коэффи¬
циент при £ четен. Следовательно, умножив в равен¬
стве (И) число s + /д/~3 на t или на Ç2 (отчего ра¬
венство, очевидно, не нарушится), мы всегда сможем
добиться, чтобы числа s и t стали целыми.
Тем самым лемма Эйлера полностью доказана, и
вместе с ней наконец-то доказана и теорема Ферма
для показателя 3.
П р и л о ж е н и е. Об арифметике многочленов
Пусть4 К — произвольное поле и /<[Х] — кольцо
многочленов от одной переменной над полем К (т. е.
с коэффициентами из /<). Из элементарной алгебры
известно, что для многочленов имеет место алгоритм
деления с остатком (с псевдонормой — степенью мно¬
гочлена). Следовательно, в кольце 7([Х] выполнена
основная теорема арифметики.
При этом единицами кольца 7<[Х] являются, оче¬
видно, лишь многочлены нулевой степени, т. е. отлич¬
ные от нуля элементы поля /С
Простые элементы кольца /<[Х] называются обык¬
новенно неприводимыми многочленами. Таким обра¬
зом, можно сказать, что любой многочлен разлагает¬
ся в произведение неприводимых многочленов и с точ¬
ностью до постоянных множителей это разложение
единственно.
Более того, являясь евклидовым кольцом, кольцо
является также кольцом главных идеалов. По¬
этому, в частности, для любых взаимно простых много¬
членов f(X) и g (А") существуют такие многочлены
и(Х) и ü(X), что
î (Х)и(Х) + g(X) v(X) = 1.
Следовательно, ни при одном значении X многочлены
f(X) и g(X) не могут одновременно обращаться в нуль.
Этим доказано, что'многочлены, имеющие общий ко¬
рень, не взаимно просты.
Поскольку неприводимый многочлен взаимно прост
с каждым многочленом меньшей степени, отсюда, в
частности, вытекает, что никакой корень неприводи¬
мого многочлена не может быть корнем многочлена
меньшей степени.
53
§ 5. Поле Ki и кольцо Dt
Единственный известный к настоящему времени об¬
щий метод доказательства теоремы Ферма для любых
простых / ^ 3 (к сожалению, увенчивающийся успе¬
хом не для всех /) восходит, как уже говорилось, к
Куммеру и основывается на дальнейшем развитии и
обобщении идей Эйлера. Естественно, что основную
роль в нем играет некое поле Кі, аналогичное полю К$.
Поэтому мы начнем с описания и изучения этого поля.
Рассмотрим многочлен
(I) Х1-1
(3)
или, лучше, многочлен
(2) ф(Х) = Г-1 + ^/-2+ ... +А'+ 1,
получающийся из многочлена (1) делением на X—1.
Корни многочлена (1) выражаются формулой
COS — I sin -y—,
где k = 0, 1, ..., I — 1. На плоскости комплексных
чисел эти корни изображаются вершинами правиль¬
ного /-угольника, вписанного в единичную окружность.
На этом основании многочлен (1), а также многочлен
(2), называется многочленом деления круга на I ча¬
стей.
Следующее предложение объясняет, почему много¬
члену (1) мы пре/ -считаем многочлен ф(Х).
Предложение 1. Многочлен ф(Х) неприводим,
(над полем Q рациональных чисел).
. Мы предпошлем доказательству этого предложения
две леммы.
Для любого многочлена
F (X) = а$Хп + а{Хп 1 + ... + ап
с целыми коэффициентами мы будем символом [F]
обозначать наибольший общий делитель его коэффи¬
циентов: ■
[Е] = НОД(а0, ап).
54
Лемма 1 (л е м м а Г ау с с а). Для любых двух
многочленов с целыми коэффициентами
F(X) = a0Xn + aiXn~l+ ... +ап
и
G (X) = bQXm + М"1-1 + ... + bm
имеет место равенство '
[FG] = [F] •[<?]•
Доказательство. Достаточно для любого
простого числа р доказать, что если [F] делится на ра,
но не делится на pa+l, а [G] делится на рь, но не де¬
лится на pb+l, р [FG] делится на ра+ь, но не делится
на ра+ь+\ Мы сначала докажем это утверждение при
а = 0 и b = 0, т. е. докажем, что если простое число р
не делит чисел Г/7] и [G], то оно не делит и число
[^]- .
Если р не делит [F], то существуют коэффициенты
ai многочлена Е[Х], не делящиеся на р.
Пусть аі0 — обладающий этим свойством коэффи¬
циент с наименьшим индексом, т. е. такой, что коэффи¬
циент а/оне делится на р, но (при Zo > 0) все коэффи¬
циенты а0, . .., 1 делятся на р. Аналогично, если р
не делит [G], то существует такой не делящийся на р
коэффициент 6/0 многочлена G(X), что (при /о > 0)
все коэффициенты 60, ..., &/0-і делятся на р.
По правилу умножения многочленов коэффициент
многочлена
FG = cor+m + c1%n+,n"I+ ... +с„Чга
выражаются формулой
ck = aobk + афІг_х + ... +akb^ k = 0, 1, n + ni
(мы условно считаем, что ai = 0 при і>п и 6/ = 0
при / > tri). При k = і0 + /о эта формула содержит
Слагаемое aLJ)j0, не делящееся на р, а все остальные
слагаемые аф/ будут делиться на р (ибо либо і <
либо / < jo). Поэтому коэффициент Сі0+/, не делится
на р и, значит, [FG] также не делится на р.
Пусть теперь а и b произвольны. Рассмотрим мно¬
гочлены — F и -V G. По условию числа
р Р°
65
не делятся на р. Следовательно, по доказанному число
^[ГО|=[^ѴС]
также не делится на р. Таким образом, число [fG],
делясь на ра+ь, не делится, на ра+ь+\ и
Следствие. Если многочлен Н(Х) с целыми ко¬
эффициентами приводим над полем Q, то существуют
такие многочлены F(X) и G(X) положительных степе¬
ней с целыми коэффициентами, что
(4) ' =
Доказательство. По условию разложение (4)
имеет место для многочленов F(X) и G(X) с рацио¬
нальными коэффициентами. Умножив эти многочлены
на наименьший общий знаменатель их коэффициентов,
мы из разложения (4) получим разложение вида
= Л Q0GJX),
где d — некоторое целое положительное число, а
Fi(X) и Gi(X) —такие многочлены с целыми коэффи¬
циентами, что [Fi] = 1 и [GJ = 1. Но тогда по лем¬
ме 1
d-[H] = [d-H] = [Fl]-[Gï] = lt
что возможно только при d = 1. и
Это следствие также часто называется леммой
Гаусса.
Лемма 2 (к р и т е р и й Э й з ен штейн а). Если
существует такое простое число р, что в многочлене
(5) Я(Х) = с0%лг + с,^-1+ ... +сд,
с целыми коэффициентами-.
i) коэффициент Со не делится на р\
ii) все коэффициенты с\, ..., cn делятся на р\
iii) коэффициент cn не делится на р2,
то многочлен H (X) неприводим (над полем Q).
Доказательство. Пусть, вопреки утвержде¬
нию,
H (X) = F (X) G (X),
где
F(X) = a0X +а,Г'-1+ ... +а„,
G(X)==&orn + &irn-’+ ... +èra
56
^—некоторые- многочлены положительных степеней.
При этом, согласно доказанному выше следствию,-мы,
без ограничения общности, можем все коэффициенты
многочленов F(X) и G(X) считать целыми числами.
Пусть іо и /о — наибольшие индексы такие, что ко¬
эффициенты аі0 и &/о не делятся на р. Так как Со =
= aobo и потому ни а0, ни &о не делятся на р, то такие
индексы существуют. При этом, так как cn = anbm де¬
лится на р, то либо іо <. и, либо /0 < т, а так как cN
не делится на р2, то либо іо = п, либо /0 = т.
Пусть для определенности /0 = т, и потому і0 < я.
Тогда в формуле
Сіо+т 4" ^«о+l^/n-l 4" •• • 4” ЯпЬт—п + іо
для коэффициента с^т первое слагаемое а,і.Ьт не бу¬
дет делиться1'на р, а все остальные слагаемые будут
(ибо по условию все коэффициенты сц при і > f0 де¬
лятся на р). Следовательно, вопреки предположению,
коэффициент С/о+т многочлена Н(Х) не делится на
р. Е9 '
Доказательство предложения I. Сделав
в многочлене ф(Х) замену X = Y 4- I, мы получим
многочлен
ф(г+і)-
= у.-,+... +(,!,),
приводимый или неприводимый одновременно с много¬
членом ф(Х). Но, согласно свойству делимости бино¬
миальных коэффициентов (см. стр. 26), все коэффи¬
циенты многочлена ф ( У 4“ I ) делятся на простое число
/, а свободный член
на /2 не делится. Следовательно, по критерию Эйзен¬
штейна многочлен ф(У 4- I), а значит и многочлен
ф(Х), неприводим.’и
Пусть теперь Ç — произвольный фиксированный ко¬
рень многочлена (2). Для определенности можно счи¬
тать, что
(6) £ = cos —4-Z sm-p, •
67
но на самом деле этот выбор не имеет никакого зна¬
чения (при I простом!) и в дальнейшем не исполь¬
зуется. Достаточно знать, что t представляет собой
комплексное число, удовлетворяющее соотношению
(7) ... -^-2,
равносильному утверждению, что Ç является корнем
многочлена (2). Только этим его свойством мы и бу¬
дем пользоваться.
По аналогии со случаем I — 3 мы введем в рас¬
смотрение множество Кі всевозможных чисел вида
(8) а = aQ -|т + ••• +^/-2?z-2,
где 0O, ai, ..., 0/—2 — произвольные рациональные
числа.
Легко видеть, что представление каждого числа
a Œ Кі в виде (8) единственно.
Действительно, если это не так, то будет иметь ме¬
сто равенство вида
ûo + fli£+ ••• + — О»
где не все числа 0О, 0і, ..., 0/-2 отличны от нуля. Дру¬
гими словами, число £ будет корнем некоторого много¬
члена с рациональными коэффициентами степени,
меньшей I— 1, что невозможно, ибо многочлен (2) не¬
приводим.
Так как, согласно (7), имеет место равенство
1 = -£-£2
то любой элемент a œ Кі может быть (очевидно, единственным
образом) представлен в виде
(9) a = b^ + b2^+ ...
где blf b2, ..., Ьі-! — рациональные числа (целые, если числа
а0, ..., аі-2 были целыми).
Такое представление иногда бывает полезно.
Для записи числа (8) удобно ввести в рассмотре¬
ние многочлен
a(X) = a0 + M4- ... +at_2Xl~2.
Тогда формула (8) приобретет вид
(1°) а = а(£).
58
В таком же виде можно, конечно, записать и формулу (9).
Отличие будет состоять в том, что многочлен а(Х) будет тогда
иметь степень I— 1, а его свободный член будет равен нулю (т. е.
будет иметь место равенство а(0) = 0).
Вообще, для любого многочлена а(Х) с рациональ¬
ными коэффициентами число a(Ç) принадлежат Кі,
ибо любую степень числа Ç с k I — 1 можно пред¬
ставить в виде (8), воспользовавшись несколько раз
соотношением (7). При этом равенство
(П) а (£) = &(£)
имеет место тогда и только тогда, когда многочлен
Ь(Х) —а(Х) делится на многочлен ф(Х), т. е. когда
(12) &(Х) = а(Х) + Ф(Х)^(Х),
где F(X]—некоторый многочлен. Действительно, ра¬
венство (11) означает, что многочлен b (ХУ—а(Х)
имеет корень Ç и потому не взаимно прост с многочле¬
ном ср (JŸ). Но в.силу неприводимости многочлена ф(Х)
это возможно только тогда, когда Ь(Х) —а(Х) де¬
лится на ср(Х). s
Заметим, что, как непосредственно следует из лем¬
мы Гаусса, если в соотношении (12) коэффициенты
многочленов а(Х) и Ь(Х) целые, то коэффициенты
многочлена F(X) также целые, я
Теперь ясно, что сумма и произведение любых двух
чисел из Кі также лежит в /С (если а = а(І) и Р =
= &(£), то сс + Р = с(£) и сеР = rf(£), где соответст¬
венно с(Х) = а(Х) + &(Х) н d(X) = a(X)b(X)), т. е.
что Кі является кольцом. Более того, легко видеть, что
Кі является полем, т. е. для любого .отличного от нуля
элемента а œ Кі число оН также лежит в Кі. Действи¬
тельно, так как сс У=0, то в представлении а = a(Ç)
многочлен а(Х) не делится на многочлен ф(Х), и, зна¬
чит (поскольку многочлен ф(Х) неприводим), суще¬
ствуют такие многочлены и(Х) и ѵ(Х), что ■
а (Х)п(ЛЛ) + Ф (*ЫХ) = 1.
Полагая здесь X = Ç и учитывая равенство ф(£) = 0,
мы немедленно получим, что
а~х = u(Q<^K. s
Обратим внимание, что при I = 3 мы тот факт, что
Кі является полем, доказывали на основе совсем дру¬
59
гих соображений. Для того чтобы перенести эти сооб¬
ражения на случай любого Z, нам понадобятся некото¬
рые предварительные рассмотрения.
Корень Ç является лишь одним из Z — 1 различных
корней
(13) £(1>=£, £3>, V1-"
многочлена (2). Оказывается, что все эти корни очень
просто выражаются через корень Ç.
Действительно, вместе с Ç уравнению х1 = 1 удо¬
влетворяют, очевидно, и все числа вида Ç*, где k —
произвольное целое число, причем t>k' = tk2 тогда и
только тогда, когда k\ s /e2modZ. Это показывает, что
при соответствующей нумерации корней (13) будут
иметь место равенства
(14) £» = £, ^) = ^, ç(3) = ç3> =
В частности, мы видим, что все корни (13) принадле¬
жат полю Кі.
Часто бывает удобна другая нумерация корней
(13) многочлена <р(Х). Чтобы ввести эту нумерацию,
мы напомним, что, согласно малой теореме Ферма, для
любого целого числа g имеет место сравнение gl~l =
= 1 mod Z. Если же gk Ф 1 mod I при 1 k Г— 2,
то число g называется первообразным корнем по мо¬
дулю Z. В этом случае числа gk, 0 k I— 2, опре¬
деленные условиями 0 < gk < Z и gk = gk mod Z, все
различны и потому совпадают с числами 1, ..., Z — 1,
но в другом порядке. Поэтому для любого фиксиро¬
ванного превообразного корня g числа
£(,) = ^’= £*’(=£),
15) Ç(2) = Çg, = Çg,
являются корнями (13) многочлена ср(Х).
Для каждого числа а = a(Ç) еК/ мы положим
аа = п(^).
Легко видеть, что это определение корректно, т. е. не
зависит от выбора многочлена а(Х) (но, конечно, за¬
висит от выбора первообразного корня g). Действи¬
ем
тельно; любой другой многочлен &(Х), для которого
6(Ç) =.а имеет вид (12), и потому b\^s) = а(^), так
как ф(^) = 0. ®
Пользуясь отображением о мы можем формулы
(15) записать и в следующем виде:
(16) = £2) = оъ, ^-п = а^.
Ясно, что отображение о: Кі~+ Кі биективно. Кроме
того, оно сумму переводит в сумму, а произведение —
в произведение, т. е. является автоморфизмом поля Кі.
При этом (Z— 1)-кратная композиция о/-1 этого авто¬
морфизма является тождественным авто¬
морфизмом (оставляющим все элементы поля Кі
на месте. В соответствии с общепринятой практикой
мы будем этот факт записывать формулой
= 1.
Заметим, что I — 1 автоморфизмов
(17) * о°=1, о, о2, о1~2
поля Кі различны (ибо различны I—1 корней (16))«
Задача. Покажите, что любой автоморфизм поля Кі яв¬
ляется одним из автоморфизмов (17).
Пусть пг = . Тогда (gm)2 = g1-' = 1 mod lf
и потому g"1 = —1 mod l. Следовательно,
= Ç и, значит,
(18) опга = а
для любого a Œ Кі. Поэтому
ат-на = а/<а дЛЯ любого & = 0, 1, ..., т— 1.
Кроме того, мы видим, что
(19) I а р = а • о'"а,
откуда, в частности, следует, что если |а| = 1, то
|о*а| = 1 для любого k = 1, I— 1. Действи¬
тельно, ‘ ,
I Q*a I2 = о,га • =
= (?(а- а;па) = о/?(|а|2)==а/г(1)г= 1. е
61
Поскольку числа Ç, aÇ,..., oz~2Ç с точностью до по¬
рядка совпадают с числами Ç, £2, ..., Е/-1, мы вместо
(9) можем писать
(20) сс = с0^ + с1о^ + ••• + cz_2cfz~2^,
где Со, Ci, С/-2 — те же коэффициенты &0, йі, ...
..., bi-2, но в другом порядке. Это представление чи¬
сел a Œ Кі также, конечно, единственно.
Ясно, что автоморфизм о (а потому и все автомор¬
физмы (17)) оставляет на месте каждое рациональное
число, т. е. оа = а для любого а œ Q. Обратно, если
оа = а, а Œ Кі, то в формуле (20) должны иметь ме¬
сто равенства
Со = Ci = ... = С/_2«
Поэтому
а = Со(? + ^+ ••• +о/-2ь) =
=М£(1, + с(2)+ ... +c(Z-l))=-co<=z,
ибо по формулам Вьета сумма £(1) 4- £(2) + ... + Ç(z“1}
корней многочлена (2) равна взятому с обратным зна¬
ком коэффициенту при Х1~2, т. е. равна —1.
Таким образом, оа = а тогда и только тогда, ког¬
да а s Q. @
Для любого многочлена
а(Я) = а0 + я1*+ ... + апХп
и любого элемента a œ Кі мы положим
(21) а(о)а = а0а +^іаа+ ••• + апопа.
В этих обозначениях формулу (20) мы можем запи¬
сать в следующем виде: •
(22) • а = с(о)£,
где с(Х) = с0 + с1(Х)+ ... +с/_2Г-2.
В то время как запись (22) (или, что равносильно, за¬
пись (20)) является лишь иной формой записи (9), аналогичное
преобразование записи (8) невозможно.
Определенное формулой (21) отображение а (о):
Кі-^Кі (вообще говоря, не биективное) обладает, оче¬
видно, тем свойством, что
а (о) (а + р) = а (о) а + а (а) Р, P G Кь
62
т. e. по отношению к сложению оно является гомомор¬
физмом. Если ceeZ, то, как нетрудно видеть,
(23) a(o)a = a(I)a, aeZ,
откуда, в частности, следует, что равенство а (о) (сф) =
— а (о) а- а (о) 0 может иметь место для всех а, р е Кі
только тогда, когда а(1) =0 или 1, так что, вообще
говоря, отображение а (о) гомоморфизмом по отноше¬
нию к умножению не является.
Вместе с тем автоматическая проверка показывает,
что
(а (а) + b (о)) а = а (а) а + b (о) а,
(а (о) b (а)) а = а (о) (Ь (а) а)
для любых многочленов а(Х), Ь(Х) и любого элемента
а Œ Кі. Кроме того, легко видеть, что Ь(<у) = а(а)
тогда и только тогда, когда многочлен Ь(Х)—а(Х)
делится на Х1~х — 1, т. е. когда
(24) b(X) — a(X) = (Xl~l — l)F(X).
Действительно, если соотношение (24) выполнено, то
ввиду тождества а/_1 = 1 для любого элемента а Œ Кі
будет иметь место равенство
(Ь (о) — а (о)) а — 1) (F (а) а) = 0.
Обратно, пусть b (а) а = а (о) а для любого a Œ Кі.
Разделив с остатком многочлен Ь(Х) —а(Х) на мно¬
гочлен X1-1 — 1, т. е. найдя такие многочлены F(X) и
г(Х), что ■
b (X) - а (X) = (Г”1 - 1) F (X) + г (X),
где степень многочлена г(Х) не превосходит I — 2, мы
для любого a Œ Кі получим, что
г (о) а = (Ь (а) — а (о) — (oz-1 — 1) F (о)) а =
= b (о) а — а (а) а = 0.
В частности, r(o)Ç = 0, что в силу единственности
представления (22) возможно только при г(Х) =.
= 0. s .
Отсюда, в частности, следует, что а(о)= b (а) тогда и толь¬
ко тогда, когда а(а)£ = b(о)ь. t •
Внимательный читатель должен заметить во всем
сказанном выше существенный пробел, состоящий в
63
том, что факт существования первообразного корня g
требует доказательства. Мы проведем это доказатель¬
ство, пользуясь простейшими понятиями и теоремами
теории групп. Чтобы получить «прямое» доказатель¬
ство, достаточно все рассуждения провести не в общем
теоретико-групповом виде, а применительно к конкрет¬
ной группе (Til)*.
Известно, что если элемент а группы имеет порядок in, то
для любого k, взаимно простого с пі, элемент ak также имеет
порядок т. Действительно, поскольку (ak)m = akm = (am)k = 1,
порядок т' элемента ak делит т. Пусть т = m't, где t ^.1.
Так как т и k взаимно просты, то t и k также взаимно просты,
и потому существуют такие целые числа и и ѵ, что tu + kv — 1
и, значит, т' = m'tu 4- trikv — mu + m'kv. Следовательно,
ат' = (ат)«((аЛ)ту=1>
и, значит, т делит т'. Таким образом, т' = т. И
Отсюда следует, что если а и b — элементы абелевой груп¬
пы А взаимно простых порядков m и п, то их произведение ab
имеет порядок пгп. Действительно, так как (ab),nn = amnbmn =
= (am)n- (bn)m = 1, то порядок г элемента ab делит тп. Если
г =/= тп, то г делит либо т'п, либо тп', где т' и п' — некоторые
собственные делители чисел т и п соответственно. В первом слу¬
чае (ап),л'= am'nbm'n = (ab)m'n — 1, *гго невозможно, ибо по до¬
казанному порядок элемента ап равен т, а во втором случае,
аналогично (Ьт)п' = 1, что также невозможно. Следовательно,
г = тп. В «
Напомним, что экспонентой конечной абелевой группы А на¬
зывается наибольший из порядков ее элементов. Таким образом,
если — экспонента группы Д, то существует элемент а0^А
порядка т0 и порядок т любого элемента a œ А не превосхо¬
дит mQ. Легко видеть, что на самом деле порядок т делит экспо¬
ненту т0. Действительно, если пг не делит mQ, то существует та¬
кое простое число р и такой показатель г 1, что рг делит т,
но не делит niQ: Пусть mQ = р3т{, где 0 s < г, а т{ не де¬
лится на р. Тогда элемент ат р имеет порядок рг, а элемент
ар — порядок т\, взаимно простой с рг. Поэтому по доказан¬
. г s .
пому выше элемент атІр а% имеет порядок ргтх, что невоз¬
можно, так как рГпі\ > psni\ = ш0. Я
В частности, этим доказано, что
(25) ат = 1 для любого элемента a Œ А.
Если группа А циклична (т. е. исчерпывается степенями не¬
которого элемента а — ее образующей), то ее экспонента т0
совпадает, очевидно, с ее порядком п. Обратно, если т0 = п, то
степени элемента а порядка т0 исчерпывают всю группу (их т0
различных), и потому эта группа- циклична. Поскольку всегда
піо и, мы получаем, таким образом, что если т0 п, то груп¬
па А циклична. Ѳ
Но именно это неравенство имеет место, если А является
группой всех отличных от нуля элементов произвольного конеч-
54
ного поля. Действительно, равенство (25) в этоім случае утверж¬
дает, что все элементы группы А, т. е. все отличные от нуля
элементы поля, являются корнями многочлена Хм* — 1, который
таким образом, имеет по меньшей мере mQ корней. Поскольку же
число корней уравнения над произвольным полем не может пре’
вышать его степени, то п т0. .
Тем самым доказано, что группа по умножению всех отлич¬
ных от нуля элементов конечного поля циклична. Э
Таким образом, в частности, циклической группой является
группа (ZjlY.
Поскольку утверждение, что число g является первообразным
корнем по модулю I в точности равносильно утверждению, что
класс этого числа по модулю I служит образующей группы
(Z/l)*, существование первообразных корней по модулю I тем
самым полностью доказано. ®
Подставив в (8) вместо Ç = £(1) произвольный ко¬
рень Qk\ k = 1, ..., I — 1, многочлена <p(X), мы полу¬
чим некоторое число
а(« = а(^)) = а0 + а1^+ ... + а,_2 (^>/-2.
также лежащее в поле Кі. (Например, если £(ft) —
= ^sk=(jkt> — см. формулы (15) и (16), — то a(ft)
есть не что иное, как oka. Однако мы не будем сейчас
связывать себя определенной нумерацией корней
Предложение 2. Для любого аеКі число
Wa = a(1)a<5) ...
лежит в поле Q (является рациональным числом).
Докажем предварительно следующую общую
лемму.
Лемма. 3. Пусть 0і, ..., — корни некоторого
многочлена Ф(Х) с целыми рациональными коэффи¬
циентами, и пусть р (X) — произвольный многочлен с
рациональными коэффициентами. Тогда число
(26) p(pû ... р(₽„)
является рациональным числом.
Если старший коэффициент многочлена Ф (X) ра¬
вен единице, а все коэффициенты многочлена р(Х) яв¬
ляются целыми числами, то произведение (26) также
Является целым числом.
Доказательство. Рассмотрим многочлен
(27) F(Xlt .... Хп) = р(Хх) ... р(Хп)
от п переменных Хі, ..., Хп. Он, очевидно, не меняет¬
ся при любой перестановке этих переменных, т. е.
3 М, М. Постников ’ 65
является симметрическим многочленом от Х\, ..., Хп-
Но известно (см., например, книгу: Болтян¬
ский В. Г., Виленкиц Н. Я. Симметрия в алгеб¬
ре.— М.: Наука, 1967), что любой симметрический
многочлен F(X[, ..., Хп) может быть представлен в
виде многочлена от так называемых элементарных
симметрических многочленов
<h = Xi + ... +%„,
<28> :::::::::
(тп = Хх ... ХП9
т. е., иными словами, существует такой многочлен
б(Уі, Уп) (кстати сказать, единственный), что
имеет место тождество
(29) F(Xb ..., %J = G(ob ..., orn).
При этом коэффициенты многочлена С(Уі, ..., Уп)
выражаются посредством действий сложения, вычита¬
ния и умножения через коэффициенты многочлена
F(Xi, ..., Хп) и, значит, — в нашем случае — через
коэффициенты многочлена р(Х), т. е. являются ра¬
циональными числами (целыми, если коэффициенты
многочлена р(Х) были целыми числами).
С другой стороны, согласно так называемым фор¬
мулам Вьет а, значения
Р„)-Р,+ +₽,.
<•’=■>«(? 0»)=0. ■■■0.
симметрических многочленов (28) при Хі = Рі,
,Хп = р„, где рі, ..., рп — корни многочлена
Ф(Х) = а0Х'г + а1Хп"1+ ... +ап,
выражаются формулами
о(0) = _±1> . ст(0) = (—1
1 п CLq
Поэтому после подстановки Xi = Pi, ..., Хп = рл мы
из (29) получим равенство
F(P„ .... W = G(-^. .... (-1)"-^),
доказывающее, очевидно, лемму. ■
66
Ясно, что утверждение этой леммы останется верным, если
произведение (26) мы заменим произвольным симметрическим
многочленом от р(рі), ..., р(₽«)-
Доказательство предложения 2. Доста*
точно применить лемму 3 к многочлену р(Х) = а(Х)'
и корням ÇW, многочлена ф(Х). н
Согласно сделанному выше замечанию утверждение предло¬
жения 2 останется справедливым, если произведение Na мы за¬
меним любым симметрическим многочленом от а(1), ..., а(1~1\
скажем, элементарным. В силу формул Вьета это доказывает, что
для любого элемента а = а0 + + ... +az-2Çz"2 е Кі коэф¬
фициенты многочлена (х— а^1)) ... (х— а(/-1)) являются ра¬
циональными числами (целыми, если все числа aQ, air ... t а/_2
целые).
Рациональное число Na называется нормой эле¬
мента a Œ Кі. Оно обладает следующими свойствами:
1 ) Na 0, причем Na = 0 тогда и только тогда,
когда а = 0;
2) для любых чисел а, 0 Œ Кі имеет место равен¬
ство
(30) N(a$ = Na- N&
3) если число a <= Кі рационально (т. е. а\ = ...
... = = 0 и, значит, а = а0), то
Na = alQ~x.
Эти свойства очевидны (ср. со случаем I = 3), за исключе¬
нием, возможно, неравенства Na 0, для доказательства кото¬
рого надо вспомнить, что числа (13) (являясь невещественными
корнями уравнения с вещественными коэффициентами) попарно
комплексно сопряжены. (Например, можно считать, что £(Z”ft) =
= çtë).) Поэтому числа а(1), ..., a(Z“"!) также попарно комплексно
сопряжены (скажем, a(Z~ft) = a(ft)) и, значит, Na 0 (при ука¬
занной нумерации корней имеет место формула Мх=| [2 ...
... I а<т) I2, где m = —1 ).
С помощью нормы доказательство того, что Кі яв¬
ляется полем, сводится к тривиальной выкладке:
P Р<х<2>а<3> ... Ра<2>а<3> ... а^ __ „
і!;.; а а^а*2* ... Na
аналогичной соответствующей выкладке при I = 3.
Число (8) поля Кі называется целым, если все ко¬
эффициенты Яо, аі, ..., являются целыми рацио¬
нальными числами (принадлежат кольцу Z). Как уже
3* 67
отмечалось, норма Na целого числа а является (неот¬
рицательным) целым рациональным числом. Все це¬
лые числа поля Кі составляют, очевидно, кольцо. Мы
будем обозначать это кольцо символом Di.
Число поля Кі, представленное в виде (22), тогда
и только тогда принадлежит кольцу Di, когда все ко¬
эффициенты многочлена с(Х) являются целыми чис¬
лами. Кроме того, для любого многочлена а(Х) с це¬
лыми коэффициентами отображение а (о) переводит
Di в Di и потому может рассматриваться как отобра¬
жение кольца Di в себя.
Оно,.вообще говоря, не биективно и является гомо¬
морфизмом только по отношению к сложению. Однако
в частном случае, когда а(Х) =Xk, каждое отобра¬
жение вида ak, т. е. каждый автоморфизм (17), рас¬
сматриваемое как отображение Di-^-Di, представляет
собой автоморфизм кольца Dt.
Так же, как и в случае I = 3, число а е Di тогда
и только тогда является единицей кольца Di, когда
Na =1. .
Действительно, если аа-1 = 1, то Na-Na-1 = 1 и
потому Na = 1. Обратно, если Na = 1, то аа-1 = 1,
где а-1 = а(2) ... в
Отсюда (и из (30)) следует, что функция ось->Na
является (на DÎ ) строгой псевдонормой. Поэтому (см.
§ 4, предложение 1) в кольце Di любой не являющий¬
ся единицей элемент разлагается в произведение про¬
стых элементов.
Однако, как показывают примеры, кольцо Di, во¬
обще говоря, не является кольцом с однозначным раз¬
ложением на множители.
Например, можно показать, что кольцо Раз не будет кольцом
с однозначным разложением на множители. Напротив, в кольцах
Di с / < 23 разложение на множители однозначно.
Задача. Изучите кольцо Ds. Найдите его единицы. Пока¬
жите, что кольцо Ds евклидово и потому является кольцом с
однозначным разложением на множители.
Аналогичное исследование колец Di при 5 < I < 23 явля¬
ется уже очень трудной задачей.
Перенося на случай кольца Di обозначения Гаусса
(см. § 1), мы будем писать
(31) a = pmody,
где а, р, у е Dt, если разность а — р делится в кольце
68
Di на у. Так же как и для целых рациональных чисел,
эти сравнения в отношении действий сложения и умно¬
жения ведут себя как обыкновенные равенства (их
можно складывать, перемножать, и, в частности, воз¬
водить в степень с натуральным показателем).
Особо интересен случай, когда в сравнении (31)
число у является целым рациональным числом t œ Z.
Пусть —
а = а0 + аі£ + ••• + аі-2^1~27
Р = Ьо + + ... +&z~2?z“2-
Предложение^. Сравнение а = Р mod t имеет
место тогда и только тогда, когда ai = bi mod t для
любого і = 0, 1, ..., I — 2.
Доказательство. Сравнение а = р mod t озна¬
чает, что. а — р = /6, где ô = dQ + di + ... + dz-2^z-2—*
некоторый элемент кольца Di. С другой стороны, в си¬
лу единственности представления чисел из Di в виде
(8) равенство а — P = fô равносильно равенствам
«о — bo = tdo, а\ — = id\ ..., Я/_2 — 6/_2 = tdi_2,
т, е. сравнениям а0 = bQ mod t, ах = b\ mod t, .. «
. « -, ai-2 = bi-2 mod t. в »
В частности, мы видим, что число а = aQ +
+ aÆ + • • • + тогда и только тогда делится в
кольце Di на целое рациональное число t, когда коэф*
фициенты аОі аі, ..., а/__2 делятся на t (в кольце Z)„
Предложение 4. Для любого числа a œ Di су*
ществует такое целое рациональное число cQ^Z, что
(32) а1 = Со mod /.
Доказательство. Пусть а = a(Ç). Тогда по
формуле Шенемана (см. формулу (11) § 1)
az = a (£z) mod I
и, значит, а1 = a(l)mod Z. es
В дальнейшем важную роль будет играть число
Л=1-£.
Предложение 5. Число % является простым
элементом кольца Di. Его норма равна Г.
(33) NK = l.
69
Его (/—1)-я степень ассоциирована с числом I,
т. е. существует такая единица е œ Dt, что
(34) Z = 8ÂZ-1.
Кроме того, для любого числа a g= Di существует та¬
кое целое рациональное число &0, что
(35) a^&0modX.
Наконец, если целое рациональное число а ^2 де¬
лится (в кольце Di) на X, то оно делится (в кольце Z)
на I.
Доказательство. Так как числа Ç, Ç2, ...,
являются корнями многочлена ср (X), то
ф(Х) = (Х-£)(Х-£2).
и потому
(36) z=(i-ç)(i-S2)... (i-S'-1),
ибо <р ( 1 ) = I. Но так как Ç* = k = 1, ..., I — 1,
(см. формулу (14)), и 1—£ = À, то 1—Ç* =
Это доказывает, что I = À(1)%<2) ... т. е. что I =
= NX.
Если теперь % = сф, то Nh = Na‘N$, т. е.
Na-Nfi = I. Поэтому либо Na = 1, либо AZp = 1, т. е.
одно из чисел аир является единицей. Следовательно,
число X неразложимо в кольце Di (является простым
элементом).
Кроме того, если а = Àa, где а^.Т и а <= Di, то,
переходя к нормам, мы получим, что al~l = l-Na и,
следовательно, что а делится на I.
Поскольку автоморфизм ан—>a(ft) переводит Х =
= 1 — £ в Х<*> = 1 — £<*> =! — £*, числа К и %<*>
имеют одну и ту же норму. Значит, ЛЦ1 —t,k) = I.
Другое доказательство:
Z-1 і~\
N (1 - = JJ (1 - Çsft) = JJ (1 - = N (1 - Ç) = l,
5—1 S= 1
ибо числа k, 2k, ..., (Z—1)£ с точностью до порядка и слагае¬
мых, кратных Z, совпадают с числами 1, 2, ...» I— 1.
Но
1-£* = (!-СК,
70
где
eft —1 + £+ ... +£*"’,
и потому
ЛГ(1-е) = ЛГ(1-?)Л’(еД
Следовательно, Nek = 1, и, значит, е* является едини¬
цей. Этим доказано, что для любого k = 1, .... I — 1
число 1 — t,k ассоциировано с числом 1 — Ç = Л. По-
этбму (34) вытекает из (36).
Пусть, наконец, а = а(£) — произвольный элемент
кольца Di. Так как Ç = 1 —Л, то а = &(Л), где Ь(Х) =.
— а ( 1 — X), и потому ,
а = b (0) mod Л.
Этим все утверждения предложения 5 доказаны, а
Обратим внимание, что, как мы показали при дока¬
зательстве последнего утверждения предложения 5,
любой элемент а е Di допускает представление вида
а =. b (X), т. е. вида
(37) а = &о + Ь\Х + ... -f-
§ 6. Единицы кольца Рд
Мы изложим в этом параграфе простейшие сведе¬
ния о единицах кольца £>/, использующиеся в дока¬
зательстве Куммера теоремы Ферма для регулярных
простых чисел.
Во второй половине параграфа на число I будут
наложены некоторые дополнительные условия.
В §§ 13—15 будет показано, что на самом деле эти ус¬
ловия равносильны условию регулярности.
В первую очередь мы найдем все элементы кольца
Di, являющиеся корнями из единицы. Примером
такого элемента служит число Ç, являющееся, по по¬
строению, корнем из единицы степени I. Другой при¬
мер доставляет нам число —Ç, являющееся, очевид¬
но, корнем из единицы степени 21. Всевозможные сте¬
пени числа —Ç (имеющие, как легко показать, вид
±Çe, где а = 0, 1, ;.., I— 1) также являются кор¬
нями из единицы степени 21 (и, очевидно, исчерпывают
все такие корни). Оказывается, что это все корни из
единицы, содержащиеся в кольце Dt.
71
Предложение 1. Любой корень из единицы,
содержащийся в кольце Di, является корнем степени
21 и, значит, может быть представлен в виде
(1) ±£а, а = 0, 1, .... I —1.
Доказательство. Нам надо показать, что
если в кольце Di имеет место равенство aN = 1 с це¬
лым положительным показателем N, причем aNi =# 1
ни для одного положительного Ni < N, то N делит 21,
т. е. не делится ни на /2, ни на 4, ни на одно простое
число р I.
Пусть N — 12п. Рассмотрим число 0 = а”. Как мы
знаем (см. предложение 4 § 5), существует такое це¬
лое рациональное число Со, что
0г = с0 mod I.
С другой стороны, ясно, что =И= 1, но (0Z)Z = 1, т. е.
0Z является отличным от 1 корнем степени I из еди¬
ницы. Но все такие корни содержатся, по построению,
в Di и имеют вид где 0 < а I — 1. Этим дока¬
зано, что 0Z = при некотором а, 0 < а I— 1.
Таким образом, мы видим, что в кольце D1 имеет
место сравнение вида
t,a = c0 mod I,
где 0 <. а I— 1 и cogZ, означающее, что число
— с0 делится на I в кольце Di. Поскольку в силу
предложения 3 § 5 это невозможно, то, следовательно,
N не делится на /2.
Пусть N = 4п или N = рп, где р — простое нечет¬
ное число, отличное от I. Снова рассмотрим число 0 =
= а". Ясно, что 0 — ±і при N = 4п, т. е. 02 ..= —1, и
0° — 1 при N .= рп. В обоих случаях
0Р = 1 mod р,
где р — 2 при N = 4п.
С другой стороны, согласно формуле (11) § 1 (при¬
мененной к 1 = р и а(Х) = Ь(Х)), если 0 = &(£), то
0Р = 6(Çp) mod р. Следовательно, ,
b (£р) = 1 mod р.
Но поскольку р 0 mod I, существует такой показа¬
тель k, что р = gk mod I, где g, как и в § 5, фиксиро¬
ванный первообразный корень по модулю I. Это ознэ'
72:
чает, что £р = £eft=oft£, и потому b(^p) = okb (Ç) ==»,
= crftp. Тем самым доказано, что
о*р = 1 mod р,
т. é., что о*р — 1 = ра, где а е= Di. Но тогда р — 1 =
= о_*(о*р — 1) = o“ft(pa) = p(o~ka) и, следова¬
тельно,
Р= 1 mod р.
Это означает, что элемент р может быть представ¬
лен в виде р = 1 + где k 1 и у е Di не делится
на р. Отсюда, пользуясь формулой бинома Ньютона и
учитывая, что 2k + 1 :> k + 2 при k 1, мы немед¬
ленно получаем,что
Рр = 1 + pft+1y mod pfe+2.
Если теперь р > 2 (т. е. мы имеем дело со случаем
N = рп), то р₽ = 1 и, следовательно,
р4+1у = 0 mod рк+2,
т. е. у = 0 mod р, что противоречит выбору у. Таким
образом, предположение, что N делится на р, приво¬
дит к противоречию.
Если же р = 2 (т. е. мы имеем дело со случаем
N = 4п), то рр = —1 и, следовательно,
0 = 2 + 2ft+1y mod 2fc+2, т. е. 2fty s 1 mod 2ft+1,
что явно невозможно. Таким образом, N не может де¬
литься и на 4. а
Замечание. В формулировке предложения 1 слова
«в кольце D/» можно заменить словами «в поле ибо можно
показать, что любой корень из единицы, содержащийся в поле Кі,
автоматически будет принадлежать кольцу Di (см. ниже § 12).
В дальнейшем это замечание использоваться не будет. '
Каждый корень из единицы a ЕЙ/ обладает, оче¬
видно, тем свойством, что |а| = 1. Оказывается, что
верно и обратное:
Предложение 2. Если для числа a <= Di имеет
место равенство
(2) la |=1,
то а является корнем из единицы.
Доказательство. Пусть At — множество всех
чисел a е Р/, удовлетворяющих условию (2).
73
Для произвольного числа à Е Л/ рассмотрим мно¬
гочлен
(3) (Х-а<*>) ... (Х-а<'-’)) =
= Г-'Ч-С1Г-Ч- ... +с/_ь
корнем которого является число а = а(1). Ясно, что
абсолютная величина |с*| каждого коэффициента Ck,
k = 1, ..., I — 1, этого многочлена не превосходит со¬
ответствующего коэффициента многочлена
(4) (Х4-|<х<»|) ... (Х + |а«-»|).
С другой стороны, как было показано в § 5, из (2)
вытекает, что = 1 для любого k = 1, ..., I — 1.
Следовательно, многочлен (4) имеет вид (Х +
Этим доказано, что
(5) А = 1, .... Z-1.
Но (см. § 5) мы знаем, что для любого числа a œ Di
многочлен (3) имеет целые коэффициенты. Поскольку
целых чисел Ck, удовлетворяющих неравенствам (5)
существует (при данном Z) только конечное число,
этим доказано, что множество многочленов вида (3)
(для всевозможных a œ Ai) конечно. Так как конеч¬
ное число многочленов данной степени имеет только
конечное число корней и так как любой элемент a Œ
œ Ai является корнем соответствующего многочлена
(3), отсюда вытекает, что множество Аі конечно.
С другой стороны, ясно, что если a Œ А/, то ап Œ
œ Аі для каждого /îeZ. Поэтому, ввиду конечности
А/, для любого a g А/ существуют такие различные
показатели тип, что ат = ап. Но тогда ап~т = 1,
т. е. a является корнем из единицы, s
Несмотря на то, что все корни многочлена (2) из
§ 5 являются комплексными (невещественными) чис¬
лами, в поле Кі (и в кольце Dt) имеется достаточно
много вещественных чисел.
В частности, оказывается, что единицами вида
и вещественными единицами исчерпываются, по суще¬
ству, все единицы кольца
74
, Предложение 3. Любая единица кольца Di
имеет вид
S ео>
где ео — вещественная единица.
Доказательство. Пусть
е = ао + яі£+ ••• +«/-2?/“2
— произвольная единица кольца Di. Так как £ =
= Ç-1 = £/-1, то комплексно сопряженное число
ё = а0 + а& + ... + 2
лежит в Dt и является, очевидно, единицей. Поэтому
единицей будет и число
Эта единица обладает, очевидно, тем свойством,
что |ц| = 1. Следовательно, согласно предложению 2,
она является корнем из единицы. Поскольку, согласно
предложению 1, любой корень из единицы имеет вид
±£с, тем самым доказано, что существует такое целое
число с > О, что
ё = ±£се.
Согласно предложению 5 § 5 существует такое це¬
лое рациональное число Ьо, что
е = Ьо mod X.
При этом, так как % = 0 mod X, то также
ës&omodÀ.
Поэтому, если
то
Ьо= — &0rnodX,
ибо £ = 1 mod X. Следовательно,
2&0 0 mod Л,
т. е. 2&0 делится на X. Но мы знаем (предложение 5
§ 5), что если целое рациональное число делится в
кольце Di на X, то оно. делится и на I. Следовательно,
2&0, а значит^ и Ьо делится на I. В частности, &0 делится
на X и, значит, е делится на X, что невозможно (ибо
Ne = 1 не делится на NX = Г).
76
Полученное противоречие показывает, что ё = £се.
Мы положим ■
с.—777 С I — 1
е0 = £ е, где т = ——.
Тогда
8 = £а8о, где а = тс,
причем (напомним, что £ = ъ”1)
80 = = Ç(w+1) Се = rwce = 8о,
так что единица е0 вещественна, в
Для исследования первого случая теоремы Ферма
методом Эйлера — Куммера, к которому мы перейдем
в следующем параграфе, нам достаточно предложе¬
ния 3. Однако для более трудного второго случая нам
понадобятся также еще критерий того, что некоторая
единица 8 кольца Di является Z-й степенью rf другой
единицыт]. '
Согласно предложению 4 § 5, для того чтобы еди¬
ница е была Z-й степенью некоторой другой единицы,
необходимо, чтобы г = е mod I для некоторого целого
eeZ.
Является ли это условие достаточным? Мы дадим
ответ на этот вопрос лишь в некоторых частных слу¬
чаях, вполне достаточных, однако, для нашил целей.
Мы будем постоянно пользоваться отображением о:
Di—^Di, построенным в § 5. Напомним, что это ото¬
бражение зависит от выбора некоторого первообраз¬
ного корня g по модулю I и на Ç действует по формуле
= Zë- Нам будет удобно выбор этого корня не¬
сколько специализировать. ,
По малой теореме Ферма g1-1 = 1 mod Z, т. е.
g1-1 = 1 + al, где a œ Z. Оказывается, что сущест¬
вует первообразный коренъ g по модулю Z, для кото¬
рого число а не делится на Z, т. е. такой, что
(6) g1"1 Ф 1 mod Z2.
Действительно, пусть g — произвольный первооб¬
разный корень по модулю Z, и пусть gl~x = 1 + al.
Если а не делится на Z, то g удовлетворяет условию
(6), Пусть а делится на I. Рассмотрим число g^l,
76
также являющееся первообразным корнем по мо¬
дулю I. По формуле бинома Ньютона
(g + 0z~* — gl~l + (l — l)gl~2l^
= gl~' — g‘~2l = 1 4-1 (a — gl~2) mod /2.
Поскольку a — gl~2 не делится, очевидно, на I, ко¬
рень g + I удовлетворяет условию (6). в
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что
первообразный корень g удовлетворяет условию (6).
Заметим, что если (6) выполнено, то gm + 1 й8
0mod /2, где, как всегда,/» = . Действительно,
gl~l — 1 = (gm + 1) (gm — 1) , и потому, если gl~x — 1
не делится на I2, то gm + 1 также не делится на I2. в
Введем в рассмотрение многочлен
®(Л-)=1+A4-^2+ ... +х1-2,
аналогичный многочлену деления круга
ф(Х)=1+* + Х2+ ... +г->.
(Предупреждение: многочлен ы(Х) не является непри¬
водимым многочленом деления круга на t— 1 частей.)
Имеет место формула
(7) ®(gft)=14-gft4- ... =
{ —ImodZ, если & s 0 mod / — 1,
О mod/, если . k 0 mod /—1.
Действительно, если k = 0 mod / — 1, то gfe s 1 mod /,
и потому
® = 1 + gk 4- (gfe)2 4- ... 4- (gk)l~2
= I — 1 = — 1 mod I.
Если же fc^èOmod/—1, то gk — l^Omcd/, и по¬
тому сравнение
(gk - 1) (1 4- (g6)2 4- .. - 4- (gV-2)
^g(Z-,)ft-l=0mod/
можно сократить иа gk — 1. в
77
Пусть теперь х0, хь ...» xz_2 и у0, уь ..., у 1-2 —
произвольные целые числа. Предположим, что либо
Z-2
(8) у к = £ glkXj = х0 + gkXi + .., + g('-2) ftxz_2 mod/
/ = 0
для любого k = 0, 1,..., I — 2, либо
1—2
(9) Xj --- — £ g~,kyk =
Л=0 .
= — (Уо + g~‘yi + ••• + g~(l~2)yi-z) mod I
для любого / == 0,1, I — 2, где g~l обозначает
число g‘~2 (обладающее тем свойством, что ggl~2 =
= 1 mod I).
Лемма 1. Если выполнено (8), то выполнено (9),
и наоборот.
Доказательство. Согласно формуле (7)
Z—2 I — 2 I —2 1—2
£ g~ikyk^lL T. g(r-l}kxr=^a>(gr-i)xr^—xJmodl
1: =0 г=0 г=0
И
1—2 1 — 2 1—2 1—2
£ g,kXj = — £ £ g{k~r},yf = — £ © (gk~r) yr =
1=0 j-Or-O r=0
= ÿfemod/. в
Аналогичные формулы имеют место и для квадрата
g2 первообразного корня g. Действительно, легко ви¬
деть, что
т-1
(7') 2 ^/=1+^+ ... =
{tn mod I, если k s 0 mod m,
0 mod l, если k 0 mod m,
где, как всегда, m — —g—. В самом деле, так как
©(Х) = (1+^)(1+Х2+ ... +Я2(т-1)),
то
œte*) = (H-gft)(l + g2*+ + g2
Следовательно, если k 0 mod m и потому gk + 1
0 mod I и k Ф 0 mod I — 1, то 1 + g2k +.,.
• •. + g2^m-^ = о mod I. Если же k = 0 mod m, то
gïk = 1 mod / и 1 g2k + ... 4- g2(m-1,ft s m mod l, в
7a
Пусть теперь х0, ...» хт-і и у0, ..., Ут-і — произ¬
вольные целые числа, и пусть либо
т—1
(8') Ук=Т, g2'kxfmodl
/=о
для любого k = 0, ..., т — 1, либо
т-1
(9') Xj » — 2 2 8~2ikHk mod I
й=0
для любого j = 0, ..., т — 1.
Лемма 2. Если выполнено (8'), то выполнено
(9'), и наоборот.
Доказательство. Согласно формуле (7')
т-1 т—1 т-1
-2Z ё-ЩУк^-2^ S ё^~іПХг^
А=0 г«0
== — 2тХ] = х} mod I
и
т-1 т-1 т—1
£ g2ik*i = — 2 Ê S g2 {k~r} 'Уг =
j=0 j-0 r-0
— 2myk yk mod l. й
Следствие. Если
X g2/% = 0modZ
/-о
для всех k = О, 1, ..., m — 1, то x, s 0 mod l для всех
j = 0, 1,..., m— 1. я
Вернемся тепёрь к кольцу Di.
Пусть
1-2
Zk = <û(gk<!)t,= '£gik<llZ, k = Ü, 1, 1 — 2,
■
т. e. пусть
£о = £ + <т£+ •••
/1/n £i = £ + ga£+ ... +g'-2a'-2C,
£/-2 = Ç + g'-4+ +g(Z-2)V"2g.
79
Легко видеть, что
(11) cr^sg-^ftmodZ
для любого Æ = 0, 1, I — 2. Действительно,
1—2 1 — 1 . 1-1
a S g'k<^ = E £<'-’> Wg-g-* Е glk<^ =
/=»0 / = 1 j«=l
- g~k ( E g'w, + g«~i} k«l~^ - <t°Û
\/-0 /
S g~kt,k mod /,
ибо = 1 mod I и о'-1 = о0. s
Предложение 4. Для любого а e Di суще¬
ствуют такие однозначно определенные по модулю I
целые числа ао, аі,..., Ф-2, что
(12) а = < + а^ + •- + az_2tz_2modL
Доказательство. Пусть
а = сог; + Ciorg 4- ... +Q_2a'-2g
(см. формулу (20) § 5). Тогда, если имеет место (12),
то
1-2 1—2 1—21—2
E Cj&t, = Е оаСй = Е Е akg'Wt, mod I,
M Л-0/-0
и потому
Г-2
(13) с. = E ai<glk mod I,
fe=0
Следовательно, согласно лемме 1,
Z-2
(14) ak = — Е сig~,k mod I.
j-Û
Таким образом, числа ао, «і, .... fiz-2 — если они су¬
ществуют— однозначно определены по модулю I фор¬
мулами (14).
Для доказательства их существования достаточно
проверить, что числа (14) удовлетворяют соотношению
(12). Но это ясно, поскольку, согласно лемме 1, из
(14) следует (13), и потому
1-2 1-2 1-2 1-2
а = En c/o'ç = E £ Okg1^^ в= Е aktk mod I. 0
/-0 /-0А-0 fc-0
£0
Другое доказательство (использующее простейшие
факты линейной алгебры). Множество классов чисел кольца D/
по модулю I является I—1-мерным линейным пространством над
полем Z/Z с базисом, состоящим из классов чисел Ç, oÇ, ...
..., oz“2t. Утверждение леммы 1 состоит в том, что классы чи¬
сел £о, £і, ..., t.i-2 также составляют базис. Поэтому для дока¬
зательства этой леммы достаточна показать, что- определитель ли¬
нейных выражений (10) отличен от нуля (в поле Z//). Но это
действительно так, поскольку этот определитель представляет со¬
бой определитель Вандермонда различных (по модулю /) чисел
1, g, . • •, g1-2. И
Следствие. Если хотя бы для одного k = 0,
1, ..., I — 2 имеет место сравнение
arQk = 0 mod Z, где a^Z,
то а = 0 mod /. а
Как и в § 5, мы для каждого k = 0, 1, ..., I — 2
введем в рассмотрение число gk, удовлетворяющее не¬
равенствам 0 < gk < I и такое, что
gk gk mod I.
Заметим, что, вообще говоря, g\ Ф g, поскольку мы не
предполагаем, что 0 < g < I. Вместе с тем, конечно,
go = 1- .
Числа g0, gi, . -., g 1-2 совпадают с точностью до по¬
рядка с числами 1,2,...,/ — І и
Л = £4
Мы положим
S(X)=l+giX+ ... + gz-2-Х7-2-
Таким образом, ;
&(X)^</>(gX) mod/
и, значит,
S(X)(gX- l) = X‘~l — 1 mod/,
ибо ©(X) (X — 1) = Х'-‘ — 1 и g'-1 s 1 mod /. Иными
словами, ...
(15) S(X)(gX-І) = Хг->-1+/ф(Х),
где ip(X)—некоторый многочлен (как легко видеть,
без свободного члена, т. е. такой, что ■ф(О) = 0).
81
В ясном виде многочлен ф(Л’) выражается формулой
ф (X) = £ ~ Sl-k хі-к
Л-1
(условно полагаем, что gi-t — 1). Однако это выражение нам не
понадобится.
Легко видеть, что
(16) ip(gz-2) 0 mod Z.
Действительно, по определению
/ф (X) = а (X) (gx -1) - (Х'-> -1)
и, следовательно,
- i)-[te'-2)1-’ -1].
Так как
(gz-2)z-’- 1=(1 +а/)г~2_ і=(/-2)а/=—2aZmodZ2,
где al = gl~i — l, отсюда вытекает (после сокраще¬
ния на /), что
ф (gl~2) = S (gl~2) а + 2а mod I.
Но, согласно формуле (7),
а(яі-2) = Ш(§і-і) = _ J тосі/ф
Поэтому
ф (gz-2) = а mod I.
Поскольку, согласно условию (6), число а не делится
на Z, это доказывает (16). к
Заметим, что условие (6) далее мы нигде использовать не
будем. Оно нам нужно только для доказательства соотноше¬
ния (16).
Числа ф (gk) при k <. I — 2 = 2т — 1 вполне мо¬
гут делиться на I. Впрочем, нас будут интересовать
только нечетные показатели k = 1, 3, ..., 2т — 3. Мы
назовем число I куммеровым, если числа ф(я),
Ф (g3), •••> Ф (g2m-3) не делятся на Z, или, что в силу
(16) равносильно, если произведение .
U7) Ф (g) Ф (g3) . • • Ф (g2"*-3) Ф (g2'"-1)
не делится на /.
82
Подставив в многочлены ф(Х) и <3(Х) : вместо X
оператор о, мы получим отображения ф(ст),3(ст):
Di^-Di. Поскольку ст'-1 = 1, из формулы (15) сле¬
дует, что
(18) а(ст)(яст-1) = /ф(ст).
Пусть
<р'(Х)=1+2Х+ ... +(/-1)Г-2
—производная многочлена деления круга ф(Х). Так
как числа go = 1, gi, ..., gt-2 с точностью до порядка
совпадают с числами 1,2,..., I — 1, то
Ху'(Х) = Х + 2Х2+ ... +(/-1)Г-‘ =
= X + ëïXe'+ ...
Но по определению = и, значит,
С + gÆSi + ... + gi-itSl~2 =
— (1 + glV + ••• +gz-2ffi-2)s = S((r)Ç.
Этим доказано, что
' а(а): = £ф'(£).
С другой стороны, дифференцируя тождество
(Х-1)ф(Х) = Л-'-1,
мы получим тождество
ф(Х) + (Х-1)ф'(Х) = /Х'-‘,
откуда следует, что (Ç—1)фЛ(£)==^/-І> т. е. что
(19) £<P'(O = J^T-
Таким образом,
(20)
Применив ст'”, где, как всегда, т = 1 , и учиты¬
вая (см. формулу (18) § 5), что amZ — Ç = £-*, мы
получим отсюда соотношение
ст”’а (ст) $=.
4 ъ £ ‘-1 1-5
83
Следовательно,
(21) -î4ç- = T^(a)t
и, значит, (см. формулу (18))',
(22) (g<T - 1) = a”W) g.
Теперь мы уже можем вернуться к исследованию
единиц кольца Di.
Так как каждое число вида имеет вид для
некоторого а (а именно, для a = gk), то число 1 —
— ассоциировано с числом 1 — Ç — К. Поэтому
для любых целых чисел «і, ..., пт, для которых
п = Иі+ ... 4-nm>0,
и любого а = О, 1,... ,1 — 1 число
(23) ± g0 (1 - ... (1 -
лежит в Di и ассоциировано с числом V. В частности,
если п = 0, то число (23) является единицей.
Единицы вида (23) мы будем называть специаль¬
ными единицами кольца Di. Ясно, что они образуют
подгруппу группы всех единиц.
Предложение 5. Если число I куммерово, то
любая специальная единица е, для которой сущест¬
вует такое целое число с, что е = с mod /, является 1-й
степенью некоторой, тоже специальной, единицы т).
Доказательство. По определению е = е(£),
где
в (X)=± ха (і — хг«)п'... (і — xS""1
и
П\ 4- ... + пт — 0.
Так как е s с mod I, то существуют такие много¬
члены F} (X) и Г2(Х), что
е (X) = с + ZF1 (X) + ср (X) Г2 (X).
Дифференцируя это тождество и деля на е(Х) (т. е.
вычисляя логарифмическую производную), мы полу-
84
чим (после умножения на X) тождество
„ „ ■ SxX^ gmXe™
7Î1 ... flm —
1 - 1 — x8m
_ IXF{ (X) + Хф' (X) F2 (X) + X<p (X) F2 (X)
— e(X)
Положим здесь X = Поскольку
tSk i
a = a
i-£gft
k = 1, .... m,
мы; перейдя к сравнениям по модулю I и вводя мно¬
гочлен
Е (X) = Пі (gX) + n2 (gX)2 + ... + nm (gX)m,
получим соотношение
a - £(ст) (-,40 B £<₽' (g). mod I.
Пусть
= b + Ла, где b е Z, а е D;
(см. формулу (35) § 5). Тогда (см. формулы (19) и
(20)) - __
£ф' (0 • + Аа> = ь - а1 =
= 6S (а) Ç — а/ = &S (ст) t, mod t,
так что
а — Е(ст)( 40 = bQ(ст)ÇmodI.
Применив к этому сравнению оператор go—Іи учтя,
что (go—l)a= (g—l)a, мы в силу формул (22) и
(18) получим сравнение
(g — 1) a — £ (ст) ст’"ф (ст) g аа (ст) g «s 0 mod I,
т. e. сравнение
(24) - ст":ф (ст) £ (ст) Ç ^ ( 1 — g) a mod I.
85
Положив (1—g)a = d и применив crw+ft, мы мо¬
жем это сравнение переписать в следующем виде:
ф (ст) Е (ст) CTft£ sa d mod I,
где k = 0, 1,..., I — 2.
Отсюда непосредственно вытекает, что для произ¬
вольного элемента .
а = ао£ + аі<т£+ ... + at^~% = а (а) g .
кольца Di имеет место сравнение
i|)(ff)£(o)<xs=a(l)dmod I.
В частности,
■ф (ст) Е (ст) g* = a (gk) d mod Z,
где Zk — числа, заданные формулами (10), и значит
(см. формулы (7)), '
ф (ст) Е (ст) = 0 mod Z при k 0.
Но из формул (11) следует, что
?(ff)?ês?(g'-ft)Cft modZ
для любого многочлена ç(X). Применительно к много¬
члену ç(X) = ф(Х)Е(Х) мы, следовательно, получаем,
что
Ф (g-fc) £ (g-ft) Ik = 0 mod Z,
и, значит (см. следствие из предложения 4), что •
ф (g~k) Е (g~k) = 0 mod Z
для любого k = 1,..., Z — 2.
Конечно, в этом сравнении g~k можно заменить на
Положив j — I — 1 — k, мы поэтому получим
сравнение
■ф (gO Е (g1) = 0 mod Z,
имеющее место для любого / = 1, ..., Z — 2.
Но так как число Z по условию куммерово, то
ф(§/) ф 0 mod Z при j = 1, 3, ..., Z— 2. Поэтому
Е (g1) = 0 mod Z
при j = 1, 3,..., Z — 2, т. е.
т-1
S Uk+ig2lk ^Omod/ '
fe=0 !
86
при / —1; 2, ..., т или, что, очевиднб,' равносильно,
при / = 0; 1,..., т— 1.
Применяя следствие из леммы 2, мы получаем от¬
сюда, что для любого k = 1, 2, ..., tn имеет место
сравнение n* s= Omod /, т. е. что все числа
Яі— z > • • • » Ят — I
целые. Значит, Е (X) = 0 mod I, и потому
Е (ст) £ = 0 mod I,
откуда в силу формулы (24) следует, что (1 —g) а s
ss 0 mod /. Поэтому а = 0 mod I, что возможно только
при а = 0.
Построив по числам яі> .... Ят специальную еди¬
ницу
^±(1-^)’* ... (І-ст^/Ч
мы и получим теперь, что t]z = е. в
Чтобы перейти от специальных единиц к произволь¬
ным, мы потребуем выполнения следующего условия:
К. Факторгруппа группы единиц кольца Di по под¬
группе специальных единиц является конечной группой.
Это условие означает, что существует конечное мно¬
жество единиц еі, ..., ert, обладающих тем свойством,
что любая единица е кольца Di единственным образом
представляется в виде ел], где і = 1, л, а q — спе¬
циальная единица. Число п этих «особых» единиц, т. е.
порядок факторгруппы группы единиц по подгруппе
специальных единиц мы будем обозначать символом/і2
и будем называть (по причинам, которые выяснятся
ниже в своем месте) вторым множителем.
Поскольку при возведении любого элемента группы
в степень, равную порядку группы, получается еди¬
ница группы, для любой единицы г кольца Di единица
ehi специальна.
Из теории групп известно (это так называемая
теорема Коши), что в каждой конечной группе G
для любого простого делителя I ее порядка сущест¬
вует элемент порядка I. Для случая абелевой группы
G (только этот случай нам и нужен) эта теорема без
труда доказывается индукцией по порядку п груп¬
пы G.
87
Действительно, пусть х — произвольный (отличный от еди¬
ницы) элемент группы G, и пусть иг — его порядок. Если I де¬
лит т, то доказывать нечего (элементом порядка I будет эле¬
мент хт/1). Пусть / не делит ш. Рассмотрим факторгруппу G'
группы G по циклической подгруппе Gx порядка т, порожденной
элементом х. Порядок п' этой факторгруппы равен п/т и по¬
тому делится на /.
По предположению индукции в группе 6' существует эле¬
мент у' порядка I. Пусть у eG — произвольный элемент из смеж¬
ного класса у'. Тогда у1 <= GXi и потому (ут)1 = (у1)т = 1. По¬
этому остается лишь доказать, что ут 1. Так как I не делит
т, то существуют такие целые числа а и Ь, что Іа + mb = 1.
Следовательно, у = у1аутЪ и, значит, если ут = 1, то у = уіа G
œ Gx, что невозможно. Поэтому ут Ф 1. Е
Отсюда вытекает следующее важное предложение:
Предложение 6. Если число I куммерово и вы¬
полнено условие К, то h2 0 mod Z.
Доказательство. Если /z2s0modZ, то, со¬
гласно теореме Коши, в факторгруппе группы единиц
по подгруппе специальных единиц существует элемент
порядка Z, и, значит, в группе единиц существует не¬
специальная единица е, для которой единица г1 спе¬
циальна. Являясь Z-й степенью, единица г1 сравнима
по модулю I с некоторым числом ce Z. Поэтому в
силу предложения 5 в кольце Di существует такая спе¬
циальная единица т>, что г1 = л7. Таким образом,
(етр1)* = 1, т. е. erp1 = Za Для некоторого а. Следо¬
вательно, вопреки предположению, единица е = £ûr|
специальна. Полученное противоречие доказывает, что
/г2 Ф 0 mod Z. о
Теперь мы уже можем доказать наш основной ре¬
зультат. . -
Предл ожение 7 (лемма Куммер а). Если
число I куммерово и выполнено условие К, то любая
единица е œ Di, сравнимая по модулю I с целым ра¬
циональным числом, является l-й степенью некоторой
единицы.
Доказательство. Как было выше замечено,
единица еЙ2 специальна. Кроме того, она, очевидно,
сравнима по модулю Z с некоторым целым рациональ¬
ным числом (если е = cmodZ, то еЙ2 = c^modZ). По¬
этому, согласно предложению 5, в кольце Di сущест¬
вует такая специальная единица т], что
ей2 _
88
Согласно предложению 6 числа h2 и / взаимно про¬
сты. Поэтому существуют такие целые числа и и ѵ, что
h2u + Іѵ =, 1. Но тогда
е = = (т]ие0/,
и предложение 7 доказано, н
§ 7. Первый случай теоремы Ферма
Чтобы выпукло показать трудности, возникающие
при попытках доказать теорему Ферма, мы разобьем
доказательство Куммера первого случая теоремы Фер¬
ма для регулярных показателей на два этапа. В этом
параграфе мы выведем теорему из некоего вспомога¬
тельного утверждения, а в следующих параграфах об¬
судим пути его доказательства.
Вспомогательное утверждение. Если
(1) xl + yl = zl, Z>3,
где х, у, z — взаимно простые целые рациональные чи¬
сла, не делящиеся на простое число I, то в кольце Di
имеет место равенство
(2) ‘ X + ty = eaz,
где a œ Di, аг — единица кольца D/.
Ввиду этого утверждения, чтобы в первом случае
теоремы Ферма прийти к противоречию, достаточно
показать, что равенство (2) в кольце Di возможно
(при выполнении равенства (1)) только тогда, когда
хотя бы одно из чисел х, у и z делится на /. При этом
мы можем считать, что I 5, поскольку при I = 3
теорема Ферма нами уже доказана.
Лемма. Если для целых рациональных чисел х
и у имеет место равенство (2), где a^Di, а е — еди¬
ница кольца Di, то при I 5 либо х или у делятся на I,
либох = утоіі.
Доказательство. Согласно предложению 4 §5
существует такое целое рациональное число Ьо, что
а1 bQ mod I,
а согласно предложению 4 § 6, единица е имеет вид
8 = 5%,
89
где е0 — вещественная единица. Следовательно,
полагая
т] = Ьоео,
мы получим, что
X + t,y S Сат) mod /,
т. е. что
(3) (х + = П mod I,
где т] — вещественное число.
Заметим теперь, что если а = р mod /, т. е. а =
= Р + /у, _где у е Di, то а = P -j- /у, где у е £>/, и по¬
тому а = р mod I. В частности,
£-а (х + t,y) в і) mod I.
Но ï] = т], a £ = £-1. Следовательно,
Ça (х + £-1ÿ) = П mod/,
и, значит,
+£-1y) = Ca(* + £y)mod/,
т. е.
4“ + ^a~'-xra-ÿSl"a = 0mod/.
Обозначая символом (k) неотрицательный остаток
от деления целого числа k на I (вычет числа А), мы
можем это соотношение переписать в следующем виде:
(4) x£<fl> + ^(а“ъ — х£«-а> — у^а} 0 mod /.
Но, согласно предложению 3 § 5, число Ло +
+ ÆiÇ + ... + кольца Di тогда и только тогда
делится на /, когда все его коэффициенты а0, ...
..., аі_2 делятся на Z. Поэтому, если показатели в (4)
все различны и отличны от I— 1, то сравнение (4)
возможно только тогда, когда числа х и у делятся на I.
Таким образом, в этом случае все доказано.
Пусть среди показателей в (4) имеется число / — 1.
Это возможно тогда и только тогда, когда
<а> = 0, 1, 2, /-1,
90
и соответственно
<а—1> = Z—1, о, 1, Z — 2,
<-а) = О, Z — 1, Z — 2, 1,
(1-67)= 1, о, Z—1, 2.
Так как, по условию, I 5, то в каждом из этих четы¬
рех случаев только один из показателей в (4) равен
і— 1. Член с этим показателем мы должны преобра¬
зовать по формуле
£z-’ = -l-£- ... -S*"2.
После такого преобразования этот член заменится
суммой одночленов 1, Ç,..., Çz~2 с коэффициентами ±х
или ±ÿ. Так как число I— 1 этих одночленов не мень¬
ше четырех (ибо Z 5), то при приведении подобных
членов хотя бы один из них не сократится с осталь¬
ными тремя членами левой части сравнения (4). (На¬
пример, если (—а) = Z—1, то заведомо останется
слагаемое xÇ.) Поскольку в результате приведения по¬
добных членов в левой части сравнения (4) получает¬
ся число кольца А, записанное в нормальной форме
До + 01Ç + ... + ûz_2Çz“2, коэффициент при этом остав¬
шемся одночлене должен делиться на Z.
Таким образом, и в этом случае либо х, либо у де¬
лится на Z.
Пусть все показатели в (4) меньше Z — 1, но пусть
среди них есть равные. Поскольку равенства (а) =
= (а— 1) и (—а) = (1 — а), очевидно, вообще не¬
возможны (соседние числа не могут давать при деле¬
нии на Z одинаковых остатков), нам следует рассмо¬
треть только четыре случая
<а) = <— а), = а),
(а— 1) —(1 — ci), {а—!') = {—а),
т. е. случаи
а = — a mod I, а = 1 — a mod I,
а — 1^1 — a mod I, а — 1 = — a mod I.
В первом случае 2а = 0 mod I, т. е. 2а — АІ, где
А —целое число (очевидно, четное). Поэтому
а- 1 = (/-!) + (4-1)/
91
и, следовательно, {а—1) = I—1, что, по условию,
невозможно.
Аналогично, во втором случае 2а = 2 mod I, т. е.
2а = 2 + АІ, где А —целое (очевидно, четное) число.
Поэтому
-а = (/-1)-(4+
иг следовательно, мы снова получаем невозможное
равенство (—а) = I— 1.
В третьем же и четвертом случаях 2а = 1 mod I,
т. е. 2а = 1 +Л/, где А — целое число (очевидно, не¬
четное) .
Поэтому
Ч~ 1 I А — 1 ,
а = -у- + ——I
> \ I 4- 1
и,, следовательно, \а) — ——> а значит,
<а_1> = <_с>==_ц±
и
= =
Таким образом, в этих случаях сравнение (4) приоб¬
ретает вид
/-1
(5) (х — y)t, 2 +(у —x)Ç 2 = 0modL
Поскольку левая часть сравнения (5) имеет нор-
„ , ' 1+1 /—1
мальныи вид (показатели —— и —— различны и
меньше числа I—1), из него следует, что х — у де¬
лится на I, т. е. что
xssÿmod/.
, Тем самым лемма полностью доказана, ’н
Из этой леммы и Вспомогательного утверждения
вытекает, что если
(6) х' + ^г'
где числа х, у, г взаимно просты и не делятся на Z, то
x = r/mod/, Но вместе с равенством (6) имеет место
и равенство . .
* X1 + (— z)1 = (— Z/У.
92
Поэтому то же рассуждение показывает, что х s
= —г mod I.
Следовательно,
х + у — z = Зх mod I.
С другой стороны, из равенства (6) в силу малой
теоремы Ферма вытекает, что
z = x + у mod/.
Следовательно,
Зх s 0 mod /,
что невозможно, поскольку / > 3, а х не делится на /.
Итак, предположив, что для не делящихся на I
взаимно простых чисел х, у, z имеет место соотноше¬
ние (6), мы, используя Вспомогательное утверждение,
получили противоречие.
Тем самым доказано, что первый случай теоремы
Ферма имеет место для всех I, для которых верно
Вспомогательное утверждение.
Поскольку
X1 + У1 = (х + у) (х -Hÿ) . . . (х + ^~ху},
равенство
(7) =
может быть переписано в следующем виде:
(8) (х 4- у)(х + £ÿ) ... (х + 1y) = zî.
Если " * •'
А) все множители в левой части равенства (8)
взаимно просты,
Б) в кольце Di справедлива основная теорема
арифметики,
то каждый из множителей в (8) с точностью до ассо¬
циированности будет Z-й степенью (ибо, согласно (8),
их произведение является Z-й степенью). В частности,
для первого множителя в кольце Di найдется такой
элемент а и такая единица е, что
' x + Çy = eaz. •
Этим доказано Вспомогательное утверждение с точ¬
ностью, конечно, до двух больших «если». Впрочем,
первое «если» легко доказывается:
93
Предложение 1. Если целые рациональные
числа X и у взаимно просты, а их сумма х'+ у не де¬
лится на I, то все числа
(9) X + у, X + , X + ху '
попарно взаимно просты (в кольце Di).
Доказательство. Пусть 0 т, п^І—1 и
т Ф п. Достаточно, очевидно, показать, что в кольце
Di существуют такие элементы а, р, что
(10) (x + gmï/)a + (x + Çni/)P=l.
Так как числа х, у по условию взаимно просты, то су¬
ществуют такие целые числа а и &, что ха + yb = 1,
Аналогично, так как взаимно просты числа I и х + у,
то существуют такие целые числа и и ѵ, что Іи + (х +
+ ў)ц = 1. Кроме того, поскольку 1 — tn~m ~ 1 —£ и
1 —~ 1 —Ç, существуют такие единицы е, т] œ Di,
что Е ( 1 — — 1 — Ç и т] ( 1 — Ç) = в ( 1 — Ѣт)» а по¬
скольку I ~ (1 —Ç)^1, существует такое число у œ Di,
чтоу(1 —£)=/. .
Непосредственная подстановка в соотношение (10)
теперь показывает, что это соотношение выполнено
при
а = о — (гплі + иуе) (?""та —
P = (ог/Tj + «Ye) (а. — £~тЬ). 0
Предложение 1 немедленно обеспечивает выполне¬
ние условия А), так как в равенстве (1) числа х и у,
по условию, взаимно просты, а число х, в силу малой
теоремы Ферма сравнимое по модулю I с числом х +
+ у, не делится по условию на Z.
Что же касается условия Б), то, как мы знаем, оно
выполнено только для некоторых Z. Следовательно, мы
пока вынуждены ограничиться только этими Z.
Резюмируя, мы видим, что метод Эйлера покатъ
зволил нам доказать теорему Ферма в следующей
форме:
Теорема 1. Пусть 1^3 — такое простое число,
что в кольце Di справедлива основная теорема ариф*
94
метики. Тогда если для целых рациональных чисел
X, у, z. имеет место равенство
xl + yl = zl,
то хотя бы одно из этих чисел делится на I.
Можно показать, что условиям этой теоремы удо¬
влетворяют простые числа
(11) - / = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
В пределах первой сотни других простых чисел, удо¬
влетворяющих условиям теоремы 1, нет.
Подчеркнем, однако, что проверка того, что для чи¬
сел (11) в кольце Di справедлива основная теорема
арифметики, является при I > 5 совсем не простой за¬
дачей. Таким образом, утверждать, что для чисел (Щ
нами доказан первый случай теоремы Ферма, мы, соб¬
ственно говоря, права пока не имеем.
§ 8. Теория дивизоров
Как же дело обстоит с Вспомогательным утвер¬
ждением, когда разложение на простые множители в
кольце Di не однозначно? Оказывается, что его все же
можно доказать и в этом случае (по крайней мере,
для некоторых /). Идея, принадлежащая Куммеру, со¬
стоит, как уже говорилось, в том, чтобы восстановить
в Di однозначность разложения на простые множи¬
тели, добавив некоторые новые «идеальные» числа.
Эта мысль Куммера преобразовала всю теорию алгеб¬
раических чисел и в руках Дедекинда, Кронекера и
Золотарева привела к созданию совершенно новых
концепций, оказавших глубокое влияние на все отделы
современной математики.
Идеальные числа Куммера называются теперь
«дивизорами». Абстрактно, ситуацию с ними можно
описать следующим образом.
Предположим, что нам задано некоторое множе¬
ство 3), в котором определено коммутативное и ассо¬
циативное умножение, обладающее единицей (в аб¬
страктной алгебре такие множества называются ком¬
мутативными моноидами). Элементы моноида 3) мы
будем обозначать малыми готическими буквами.
* 95
В частности, единицу моноида Я) мы будем обозна«
чать символом е.
Говорят, что элемент а Œ Я) делит элемент с Œ S5,
если существует такой элемент b Œ Я), что с = ab. Эле¬
мент b #= е называется простым, если он делится толь¬
ко на себя и на единицу е. Моноид Я) называется сво¬
бодным (коммутативным) моноидом (или моноидом
с однозначным разложением на простые множители),
если каждый элемент a œ Я) может быть представлен
в виде произведения простых элементов
а = р! ... рг, г>0,
и такое разложение с точностью до порядка множите¬
лей единственно (при г = 0 произведение считается
равным е). Таким образом, в свободном моноиде нет
никаких обратимых элементов («единиц»), кроме «на¬
стоящей» единицы е.
Примером свободного моноида является множество
N натуральных чисел по отношению к умножению.
В свободном моноиде для любых элементов суще¬
ствует, очевидно, единственный наибольший общий
делитель и единственное наименьшее общее кратное.
Если наибольший общий делитель равен е, то эле¬
менты называются взаимно простыми.
Ясно, что в произвольном свободном моноиде со¬
храняются известные свойства делимости в свободном
моноиде натуральных чисел. Например, если ab де¬
лится на с и а взаимно просто с с, то b делится на
с. Если а и b взаимно просты и ab = сп, то существуют
такие элементы аі и Ьь что а = сі? и Ь = Ь?, и т. д.
Для произвольного кольца D множество D* всех
его отличных от нуля элементов является, очевидно,
моноидом. Предположим, что задано некоторое ото¬
бражение этого моноида в свободный моноид Я). Обо¬
значая образ элемента а œ D* символом (а), мы по¬
требуем, чтобы для любых элементов а, 0 £)* было
выполнено равенство
(ар) = (а) (₽),
т. е. чтобы отображение аь-> (а) было гомоморфизмом
моноидов. Тогда, если а делится на 0 в D, то (а) бу¬
дет делиться на (0) в S). Мы потребуем, чтобы было
верно и обратное;
96
Аксиома 1. Элемент ueD* тогда и только
тогда делится на элемент р œ £)*, когда элемент (a) €=
œ ЗЬ делится на элемент (P) œ 3).
В частности, отсюда следует, что (а) — (Р) тогда
и только тогда, когда элементы а и р ассоциированы.
Единицы 8 кольца D характеризуются поэтому равен¬
ством (е) = е. -
Если элемент а делит элемент (а), то мы будем
говорить, что а делит а. Совокупность всех элементов
a œ D*, делящихся на элемент а œ 3), плюс элемент
О œ D (который мы, таким образом, по определению,
считаем делящимся на любой элемент ае®), мы
обозначим символом [а]. Естественно потребовать,
чтобы сумма и разность элементов кольца D, делящих¬
ся на элемент a g также делилась на а.
А к с и ома 2. Если а, р е [а], то а ± р Œ [а].
Наконец, потребуем, чтобы в 3) не было «лишних»
элементов, т. е. чтобы любые два элемента из 3) от¬
личались по их свойствам делимости по отношению
к элементам кольца D. .
Аксиома 3. Если [а] = [Ь], то а = b и для лю¬
бого а множество [а] содержит отличные от нуля эле¬
менты. ’
Если для кольца D задан свободный коммутатив¬
ный моноид 3) и гомоморфизм ан->(а), удовлетво¬
ряющий аксиомам 1—3, то говорят, что в D задана
теория дивизоров. Элементы моноида 3) называются
при этом дивизорами, а дивизоры вида (а), где а Œ
œ D, — главными дивизорами. Единица е моноида 3)
называется единичным дивизором. .
Заметим, что в этом определении ни существова¬
ние, ни единственность теории дивизоров не предпола¬
гаются. Впрочем, можно без труда доказать, что в не¬
котором естественном смысле теория дивизоров для
любого кольца D может существовать только одна.
Этот факт нам не понадобится, и мы его доказывать
не будем (см. Б о р е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р.
Теория чисел. — М.: Наука, 1972, гл. III, § 2, п. 2).
Напротив, существование теории дивизоров накла¬
дывает на кольцо D очень сильные ограничения. В об¬
щем виде мы этим вопросом заниматься не будем, по¬
скольку это увело бы нас далеко в сторону.
4 М. М. Постников
97
Легко видеть, что каждое кольцо D, в котором вы¬
полнена основная теорема арифметики, обладает тео¬
рией дивизоров, причем в этой теории все дивизоры
будут главными.
Действительно, пусть 3) — множество классов ас¬
социированных элементов множества (см. §4). Обо¬
значая класс, содержащий элемент символом (а)
и полагая (а) (Р) = (ар), мы, как непосредственно
проверяется, корректно определим в множестве
умножение, относительно которого оно будет свобод¬
ным коммутативным моноидом. Отображение аь-> (а)
будет при этом гомоморфизмом, удовлетворяющим
аксиомам 1—3. При этом дивизор (а) будет прост
тогда и только тогда, когда прост элемент а. и
Обратно, если для кольца D существует теория ди¬
визоров, в которой все дивизоры главные, то в D вы¬
полнена основная теорема арифметики.
Действительно, достаточно заметить, что в таком
кольце дивизор (л) прост тогда и только тогда, когда
прост элемент л (если л = ЛіЛг, то (л) = (лі) (л2), а
если (л) = (лі)(л2), то л ассоциирован с произведе¬
нием ліл2; обратим внимание, что здесь существенно
использовано предположение, что все дивизоры глав¬
ные), и потому разложение каждого дивизора (а) в
произведение простых дивизоров даст разложение эле¬
мента а в произведение простых элементов, причем
с точностью до ассоциированности это разложение бу¬
дет единственно, ’н
Таким образом, чем больше неглавных дивизоров,
тем дальше свойства делимости элементов кольца D
(обладающего теорией дивизоров) отличаются от
стандартных свойств делимости натуральных чисел.
Чтобы придать этому высказыванию точный смысл,
назовем два дивизора а и Ь эквивалентными (обозна¬
чение а ~ Ь), если они отличаются только на главные
дивизоры, т. е. существуют такие элементы а, р е D*,
что
(а)а = (Р)Ь.
Ясно, что это отношение действительно является
отношением эквивалентности (оно рефлексивно, сим¬
метрично и транзитивно), и потому моноид S) распа¬
дается на классы {а} эквивалентных между собой ди-
98
визоров.' Очевидно, далее, • то формула {а}{Ь} = {аЬ}
корректно определяет умножение классов дивизоров.
Это умножение ассоциативно и коммутативно, так что
относительно него множество Ў& всех классов дивизо¬
ров является моноидом. Более того легко видеть, что
моноид Ў6 является (абелевой) группой, т. е. любой
его элемент обратим. Действительно, согласно ак¬
сиоме 3 для любого дивизора а существует элемент
а ф 0, делящийся на а, т. е. такой, что (а) = аЬ, где
Ь~ некоторый дивизор. Это означает, что аЬ = е, т. е.
что {Ь} — {а}-1 в Ж ѳ
Группа Зв называется группой классов дивизоров
кольца D. Она (точнее, число ее элементов) и изме¬
ряет отклонение арифметики в D от арифметики нату¬
ральных чисел.
Заметим, что любой главный дивизор эквивалентен,
очевидно, единичному дивизору, т. е. его класс яв¬
ляется единицей группы Ж Верно и обратное: если
а ~ е, т. е. (а) а — (Р), то, согласно аксиоме 1, суще¬
ствует такой элемент у, что ау = Р и, значит,
(а) (у) = (р), т. е. а = (у). Таким образом, дивизор
тогда и только тогда эквивалентен единичному диви¬
зору, когда он является главным дивизором'.
а ~ е<=>а = (а).
В случае, когда группа конечна, число ее эле¬
ментов, т. е. число классов дивизоров кольца D, мы
будем обозначать символом h. Согласно доказанному
выше в кольце D тогда и только тогда выполнена ос¬
новная теорема арифметики, когда группа #ё состоит
только из одного элемента, т. е. h определено и равно 1.
Мы наложим на рассматриваемую теорию дивизо¬
ров следующую дополнительную аксиому:
Аксиома Р. В группе Зв нет элементов поряд¬
ка /.
В аксиоме Р, как и всюду у нас, под I понимается
данное фиксированное простое число.
Из аксиомы Р вытекает, что если ci1 ~ V, то а
Действительно, эквивалентность az ~ V означает, что
для классов имеет место равенство {a}l= {b}z, т. е.
(поскольку Зв— группа) равенство ({а}{Ь}“1)/= {е}.
Но так как в группе Зв нет элементов порядка I, по¬
следнее равенство возможно только тогда, когда
4* 99
{et} {Ь}—1 == {e}, т. e. когда {a} = {Ь} и, значит,
a ~ Ь. о
Заметим, что если группа 36 конечна, то аксиома Р,
равносильна требованию, чтобы простое число I не де¬
лило числа классов h (порядка группы 3@).
Вернемся теперь к теореме Ферма.
Будем называть простое число I регулярным, если
кольцо Di обладает теорией дивизоров, удовлетворяю¬
щей аксиоме Р. Обратим внимание, что в аксиоме Р
фигурирует то же число I, что и в конструкции коль¬
ца Di. .
Предложение 1. Для каждого регулярного
простого числа I Вспомогательное утверждение из § 7
верно.
Доказательство. Если х1 + у1 = г1, то
(х 4- у) (х + Ш... (х + £ Ху) = z •
Перейдем в этом равенстве к дивизорам. Из фор¬
мулы (10) § 7 непосредственно вытекает, что все глав¬
ные дивизоры (х + Çmÿ), 0 пг I — 1, попарно вза¬
имно просты. Поэтому из того, что произведение этих
дивизоров является Z-й степенью (оно равно дивизору
(z)z), следует, что каждый из них будет Z-й степенью.
Таким образом, в частности, существует такой диви¬
зор a е Sb, что
(х + ІУ) = а-1.
Это равенство означает, что az ~ е, откуда, как йы
знаем, следует, что a ~ е, т. е. что a = (a) для неко¬
торого элемента a e Di. Таким образом,
(х-Ш) = (<*'),
и потому числа х + Çy и az ассоциированы, т. е. суще¬
ствует такая единица e œ Di, что
х + &/ = ваг. н
Тем самым, согласно § 7, для регулярных простых
чисел доказан первый случай теоремы Ферма:
Теорема 1. Если простое число 1^3 регулярно,
то равенство
xl + yl=zl .
100
для .целых рациональных чисел х, у и z возможно
только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел де¬
лится на I,
Конечно, эту теорему следует дополнить исследова¬
нием, какие простые числа регулярны и как про дан¬
ное простое число узнать, регулярно оно или нет. Без
этого теорема 1 никакой реальной ценности, естест¬
венно, не имеет. Но мы пока отложим выяснение этого
вопроса и займемся вторым случаем теоремы Ферма.
§ 9. Второй случай теоремы Ферма
В этом параграфе мы покажем, что если простое
число I не только регулярно, но еще и куммерово, и
если, кроме того, для него выполнено условие К из § 6,
то для I справедлив и второй случай теоремы Ферма,
т. е. равенство
(1) • xl + yl = zl
невозможно и тогда, когда одно из (не равных нулю)
чисел X, у, z делится на /. ’ ‘
Поскольку числа х,_ у, z предполагаются попарно
взаимно простыми, только одно из них может делиться
на /. Мы будем предполагать, что на I делится число z,
что общности не ограничивает, посколькў если на / де¬
лится, например, у, то достаточно равенство (1) пере¬
писать в виде
? + (-2)Z = (-ÿ)Z.
Пусть z = lkz0, где zQ не делится на /, a k 1. По¬
скольку в кольце Di имеет место равенство
•• / = Coxz-1, Л=1 — g,
где е0 — некоторая единица (см. формулу (34) § 5),
мы можем переписать равенство (1) в следующем виде
(обозначив Zo снова через z и положив m — k(l — 1)):
(2) xl + yl = EKlmzl,
где 8 — единица. Здесь числа х, у, z взаимно просты
с /, а значит (рассматриваемые как элементы кольца
Di) и с Л.
Мы докажем, что равенство типа (2) невозможно
даже тогда, когда под х, у, z мы будем понимать про¬
извольные числа кольца Di, взаимно простые с À
101
(и потому не равные нулю). Другими словами, мы до-*
кажем, что второй случай теоремы Ферма (для рас¬
сматриваемых /) справедлив и в кольце Di.
Заметим, что первый слў^ай теоремы Ферма (и значит, пол¬
ная теорема Ферма) также справедлив в кольце Di. Для дока¬
зательства достаточно несколько усложнить рассуждения преды¬
дущих двух параграфов.
В отличие от первого случая, мы не можем дока¬
зать второй случай только для. целых рациональных
чисел: необходимо доказывать более сильное утверж¬
дение, относящееся к числам из Di. (Такого рода си¬
туация типична для индуктивных доказательств; часто
индукция проходит только тогда, когда мы в достаточ¬
ной мере усилим доказываемое утверждение.)
В доказательстве мы будем существенно пользо¬
ваться тем, что главный дивизор I = (X), где К =1 —
— Ç, является простым дивизором. Мы докажем этот
факт позже (в § 13), а пока, чтобы не прерывать из¬
ложения, примем его без доказательства.
Число, а кольца Di мы назовем полупервичным (у
нас нет здесь возможности объяснить происхождение
этого термина), если, во-первых, оно не делится на I
(т. е. на X), и, во-вторых, существует такое целое ра¬
циональное число &о (автоматически отличное от ну¬
ля), что разность а — bQ делится на I2 (т. е. а =
= b0moà№).
Другими словами, число а полупервично, если в
его разложении (37) из § 5 число Ьо не делится на Z,
а Ь\ = 0.
Легко видеть, что для любого числа a œ Di, не де¬
лящегося на I, существует такое целое рациональное
число а, что произведение полу первично.
Действительно, согласно формуле (37) § 5,
а = bQ + &1Х mod X2,
где, по условию, bQ 0 mod I. Пусть а0 — такое целое
рациональное число, что aQbo '= 1 mod /, и пусть а =
= ^о&Ь
Так как
= (1 - Л)а = 1 - al mod X2,
то
в (1 - аХ) (&о + bQ + (&і аЬо) Л mod Л2.
102
Но, по построению, &i — ab$ = &і (1 — яо&о) делится
Hà 7, а, значит, и на X.
Следовательно, £аа &0 mod X2. s
Поскольку = 1, равенство (2) не меняется при
умножении чисел х, у и z на любые степени числа
Поэтому, без ограничения общности, мы можем счи¬
тать, что все числа х, у и z в равенстве (2) полупер¬
вичны. Заметим, что при этой редукции показатель in
не меняется.
После этих предварительных замечаний мы можем
непосредственно перейти к доказательству невозмож¬
ности равенства типа (2).
Предполагая, что равенства типа (2) существуют,
выберем среди них то, у которого показатель m наи¬
меньший (а числа х, у, z полупервичны и, напомним,
взаимно просты с Z). Чтобы не вводить новых обозна¬
чений, будем считать, что этим равенством являет¬
ся (2).
Заметим, что теперь m уже не имеет, вообще го¬
воря, вида k(l— 1). Однако, тем не менее, справед¬
лива следующая лемма:
Лемма 1. Показатель m больше единицы:
ш> 1.
Доказательство. Перепишем равенство (2),
разложив левую часть на множители:
(3) (х + ÿ) (х + &/)... (х + = eXZmzz.
Так как дивизор I = (X) прост, то хотя бы один из
множителей слева должен делиться на I. Но так как
все эти множители сравнимы друг с другом по модулю
X (ибо (х + £ау) — (х+ £*//) = £а(1— tb~a)y Делится
на X = 1 —£), то на I делится каждый из них. В част¬
ности, на I делится х + у. '
Поскольку числа х и у полупервичны, существует
такое целое рациональное число а, что
х + z/ = amodÂ2
(число х + у не полупервично, потому что оно делится
на X). Это сравнение показывает, что целое рацио¬
нальное число а делится на X. Но тогда оно делится
на Z, т. е. на V”1. Значит, оно заведомо делится на %2,
а потому на À2 делится и число х-\-у.
10 3
Таким образом, в равенстве (3) все множители сле¬
ва делятся на X, а первый из них делится даже на X2.
Следовательно, левая часть этого равенства делится
на Л/+1. Поэтому на Ѵ+1 делится и правая часть. Так
как г взаимно просто с X, это возможно только тогда,
когда т > 1. @
Произведенное исследование делимости на % мно¬
жителей левой части равенства (3) можно уточнить:
Лемма 2. Числа
(4) х + £у, ..., X + 'у,
делясь на X, не делятся на X2. Число
X + У
делится на но не делится наМ”1-^*2.
Доказательство. Достаточно, очевидно, дока¬
зать, что ни одно из чисел (4) не делится на À2. Пусть,
например, число х + t,ky делится на X2. Тогда на À2
будет делиться число
(1 — £fe) у = (х + у) — (х + ?у),
а значит, и число 1 —что невозможно, ибо, как мы
знаем, число 1 — Zk ассоциировано с X = 1 — £. в
Дальнейшие рассуждения повторяют (с соответ¬
ствующими усложнениями) доказательство Вспомога¬
тельного утверждения из § 8.
Пусть m — наибольший общий делитель главных
дивизоров (х) и (у). Так как х и у не делятся на I =
= (X), то и m не делится на I. Поэтому, согласно лем
ме 2, дивизоры вида (х+ £*ÿ), k ф 0, делятся на Im,
а дивизор (х + у) — даже на Iz(w~1)+1m. Пусть
'(х + !/) = 1''“-»+'пкс,
(х + Ѣку)= k = 1, ..., I — 1.
Согласно лемме 2 ни один из дивизоров с0, Сі, ..., О-і
не делится на I.
Лемма 3. Дивизоры Со, Сі, .... Cz—і попарно вза¬
имно просты.
Доказательство. Пусть, например, дивизоры
с,- и сА, 0 і < k I—1, имеют общий делитель р.
104
Тогда числа х Ц- Qy и х ’+ ѢкУ делятся на Imp, и потому
числа
(х 4- Су) С - (х + Су) С = Ï (1 — X,
- (х + Су) + (х + Су)=(1 - С~1) у
также делятся на Imp. Поскольку множитель Ç‘(l —
— ÇA-‘) ассоциирован с À ~ 1 — £, отсюда следует, что
числа X и у делятся на шр, что противоречит опреде¬
лению наибольшего общего делителя, в
Эта лемма является аналогом предложения 1 § 7.
Перейдя в (3) к дивизорам и подставив их выра¬
жения (5), мы получим (после сокращения на І,т) ра¬
венство
m'coCj ... ct = 's,
где а = (z). Поскольку дивизоры с0, Сі, ..., ti попарно
взаимно просты, это равенство возможно только тогда,
когда эти дивизоры являются /-ми степенями, т. е.
имеют вид
(6) с/ = 4 і=о, і,.... Z—1,
где ai — некоторые дивизоры (очевидно, не делящиеся
на I).
Лемма 4. Если число I регулярно, то дивизоры
До, (h, .... а.і-1 эквивалентны.
Доказательство. Подставив в (5) выражения
(6) , мы получим, что
' ' (x + ÿ) = t'(m-1)+,m^>
(x + ^) = Im4, й=1 /-1.
Перемножив эти равенства «крест накрест» и сокра¬
тив на ml, мы получим соотношения
(7) (x + z/)ai = (x + ^)(lm-1«0)Z, k=\,..., l-l,
означающие, что al ~ (lm“\i0)z. Так как число I регу¬
лярно, то отсюда следует, что а* ~ 1т-1а.о. Но дивизор
I = (£) главный и потому I”‘_1a0 ~ ао. Таким образом,
ük ~ ао для любого k = 1,..., I — 1/ и
Согласно лемме 4, существуют такие числа aft,
s Di, что
(8) (aÉ)a0 = (₽A)as, k=l, . ,.,l— 1.
105
Так как дивизоры а/, і = 0, 1, ..., I — 1,не делятся на
I = (À), то без ограничения общности можно считать,
что числа ak и 0* не делятся на X.
Умножив равенства (7) на и воспользовав¬
шись соотношением (8), мы получим следующее соот¬
ношение между главными дивизорами:
(Х + у) (dk)1 = (х + (кт & = 1, .Z — 1.
Но равенство главных дивизоров равносильно равен¬
ству соответствующих чисел с точностью до множи¬
теля, являющегося единицей. Следовательно,
(9) (х + t,ky) к1(т = (х + у) ek ah,
где ел — некоторая единица кольца Di. Это равенство
(являющееся аналогом Вспомогательного утвержде¬
ния из § 7) нам понадобится только при k = 1,2.
Лемма 5. В кольце Di существуют такие числа
Хі, ₽, не делящиеся на À (а значит, отличные от
нуля), и такие единицы е0 и е, что
(10) xî + еор' =eÀZ(m"1)2b
Доказательство. Покажем, что равенство ( 10)
имеет место при
Хі = а^з, P = а2Рь Z] == РіР2,
е — 62 е — £
0 et (1 4- g) ’ Е— еДІ + Ç)
(ясно, что число 1 + £ является единицей).
Так как
(х + &/) (1 + Ç) — (х + g2#) = (х + у) Ç,
то, умножив это равенство на М<т~г> и воспользовав¬
шись соотношением (9) при k = 1,2, мы получим, что
(* + у) (j;) 81 (1 + о - (х + #)(-§-) е2 =
Сократив это равенство на х + у и умножив на
(₽1РгГ8Г1(1+£)“*, мы и получим (10). в
Теперь мы уже без особого труда можем прийти
к противоречию.
106
Согласно предложению 4 § 5 существуют такие це¬
лые рациональные числа а и &, что
х\ а mod Z и ‘ = b mod Z.
При этом числа а и b не делятся, очевидно, на Z.
С другой стороны, так как 1(т—1)^Z>Z—1
(см. лемму 1), то правая часть соотношения (10) де¬
лится на Z ~ Следовательно, на Z делится и левая
часть хі + е0(У = а + е0 b mod Z. Поэтому
а + е0& = 0 mod Z.
Но, поскольку b не делится на Z, существует такое це¬
лое число что bb' = 1 mod Z. Следовательно,
е0 = &'&е0 = — b'a mod Z.
Этим доказано, что единица ео удовлетворяет усло¬
виям предложения 7 § 6. Следовательно, если число Z
куммерово и выполнено условие К из § 6, то в кольце
Di существует такая единица г|, что она является Z-й
степенью некоторой другой единицы ц:
Таким образом, в кольце Di существуют такие (от¬
личные от нуля) числа Хі, у\ = и не делящиеся
на À, и такая единица 8, что
; J I Л
Х1 + У\ = 8Л Z\.
Мы видим, что, отправляясь от равенства (2) с по¬
казателем т, мы пришли к такому же равенству с
меньшим показателем т—1. Поскольку это невоз¬
можно (показатель т был выбран наименьшим воз¬
можным), тем самым доказано, что для рассматри¬
ваемых Z равенство (2) невозможно.
Резюмируя, мы видим, что теорема Ферма нами до¬
казана в следующей формулировке:
Теорема 1. Если простое число 1^3 регулярно,
куммерово и для него выполнено условие К из § 6, то
ни для каких отличных от нуля рациональных чисел х,
у, z равенство
• xl + yl^=zl
невозможно.
Теперь нам остается только исследовать^ какие про¬
стые числа удовлетворяют условиям этой теоремы.
107
Оказывается, что в наше определение регулярного
простого числа входят требования, которые выполнены
для любого простого I и которые, следовательно, мож¬
но исключить. Именно, оказывается, что каждое коль¬
цо Di допускает теорию дивизоров с конечной груп¬
пой Ў6 классов дивизоров, .
Это утверждение является частным случаем общей
теоремы, относящейся к кольцам целых элементов про¬
извольного поля алгебраических чисел (см., конец
§11). Впервые эта общая теорема была доказана Де¬
декиндом (тогда как утверждение о кольце Di — Кум¬
мером) и впоследствии неоднократно передоказыва-
лась многими авторами. Мы докажем эту теорему, еле*
дуя идеям Дедекинда.
§ 10. Теория идеалов
Пусть D — произвольное кольцо. Непустое подмно¬
жество А кольца D называется его идеалом (термин
предложен Дедекиндом из-за связи с идеальными чис¬
лами Куммера), если
1) с4±реЛ. для любых элементов а,
2) ар Œ А для любых элементов ае Л, р Œ D.
Примером идеала является так называемый нуле¬
вой идеал, состоящий только из нуля 0 кольца D.
В дальнейшем все идеалы предполагаются ненуле¬
выми.
Примером ненулевого идеала является само коль¬
цо D,
Этот идеал называется единичным. Мы будем обо¬
значать его символом- (1).
Последний пример может быть обобщен. Пусть a œ
œ D — произвольный отличный от нуля элемент коль¬
ца D, Ясно, что все элементы кольца D, делящиеся на
а, составляют идеал. Этот идеал обозначается симво¬
лом (а) и называется главным идеалом, порожденным
элементом а. При а = 1 (а также при а, являющемся
произвольной единицей) мы, очевидно, получаем еди¬
ничный идеал.
Ясно, что пересечение любого семейства идеалов
также является идеалом. Поэтому для любого множе¬
ства X cz D существует наименьший идеал, содержа¬
щий это множество (им является пересечение всех
идеалов, содержащих X). Этот идеал обозначается
103
символом (X) и называется идеалом, порожденным
множеством X.
Легко видеть, что идеал (X) состоит из всех эле¬
ментов вида аі5і + ... + где аь ..., ап Œ D и
5ь • • • ,5« X (докажите!).
Если X состоит из конечного числа элементов
5і,... , 5«, то идеал (X) обозначается символом (5і,. • •
..., 5п). В частности, при п = 1 и 5і = £ мы полу¬
чаем главный идеал (5).
Кольцо D называется кольцом главных идеалов,
если в нем любой идеал главный. Поскольку утверж¬
дение, что (а, Р) = (ô), в точности равносильно тому,
что ô является наибольшим общим делителем элемен¬
тов а, Р и имеет вид ах0 + РУо, мы видим, что в слу¬
чае, когда любой идеал порождается двумя элемен¬
тами (или хотя бы конечным числом элементов), это
понятие кольца главных идеалов совпадает с поня¬
тием, введенным в § 4.
В случае, когда кольцо D допускает теорию диви¬
зоров, понятие главного идеала может быть обобщено
иным способом. Именно, согласно аксиоме 2 из § 8,
для любого дивизора а множество [а] всех элементов
кольца D (включая нуль), делящихся на а, обладает
свойством 1) идеалов. Свойство 2) для него также,
очевидно, выполнено. Следовательно, [а] является
идеалом (согласно аксиоме 3 — ненулевым).
Таким образом, соответствие аь—> [а] переводит ди¬
визоры в идеалы и обладает, очевидно, тем свойством,
что для любого главного дивизора (а) соответствую¬
щий идеал [(a)]—это в точности введенный выше
главный идеал (а). Это оправдывает обозначение од¬
ним и тем же символом главного дивизора и соответ¬
ствующего главного идеала; при достаточной вни¬
мательности это привести к недоразумениям не
может.
Согласно аксиоме 3 из § 8, отображение аь->[а]
моноида дивизоров в множество идеалов инъективно,
т. е. различные дивизоры оно переводит в различные
идеалы. Это, казалось бы, позволяет отождествить ди¬
визоры с идеалами и, в частности, строить теорию
дивизоров, исходя из идеалов. В этом и состоит идея
Дедекинда. С его точки зрения, дивизоры и идеалы —
это одно и то же<
109
' Однако оказалось, что существуют' кольца, допу¬
скающие теорию дивизоров, но в которых есть идеалы,
не имеющие вида [а] (примером является кольцо
многочленов от двух переменных и в нем идеал всех
многочленов без свободного члена). Таким образом,
в этих кольцах «слишком много» идеалов. С другой
стороны, имеются кольца, моноид главных идеалов
которых не погружается в свободный моноид. В таких
кольцах теория дивизоров вообще невозможна.
Поэтому в настоящее время принято строго разли¬
чать идеалы и дивизоры.
Программа Дедекинда удалась только потому, что
в кольцах целых алгебраических чисел идеалы обра¬
зуют свободный моноид и в этих кольцах нет «лиш¬
них» идеалов.
• Проводя в жизнь идею Дедекинда, следует, конеч¬
но, начать с определения умножения идеалов.
Пусть А и В—два идеала произвольного (пока)
кольца D. Рассмотрим множество X всех элементов
вида аР, где аеА, р Œ В. Это множество, вообще го¬
воря, идеалом не является. ЛІы примем за произведе¬
ние АВ идеалов А и В идеал, порожденный множе¬
ством X. Согласно сказанному выше, идеал АВ со¬
стоит из всевозможных элементов вида ссіРі + ...
... -р ослР/z, где ai, ..., ссдЕЛ, Рі, ..., Рл Œ В.
Ясно, что это умножение ассоциативно, коммута¬
тивно и обладает единицей (ею служит идеал (1) =
= D). Таким образом, относительно этого умножения
множество Id(jD) всех (ненулевых') идеалов кольца D
является моноидом.
Очевидно, что главный идеал, порожденный произ¬
ведением элементов кольца Z), является произведением
соответствующих главных идеалов:
(1) (а₽) = (а)(₽).
Это означает, что отображение а>—> (а) моноида D*
в моноид Id (В) представляет собой гомоморфизм.
Из формулы (1) следует, что если элемент а делит
элемент у, то идеал (а) делит идеал (у). Обратное
также верно: если (а) делит (у), то а делит у. Дей¬
ствительно, любой идеал вида (а) В состоит из эле¬
ментов вида ар, где ре В. Поэтому, если (а)В = (у),
то аро = у, где ро еВ, т. е. у делится на а. ш
ПО
Таким образом, для отображения ан> (а) выпол¬
нена аксиома 1 теории дивизоров.
Полезно также иметь в виду, что если (у)Д = (у) В,
то А = В (возможность сокращения на главный
идеал). Действительно, равенство (у)Д = (у)В озна¬
чает, что любой элемент вида уа, а еЛ, имеет вид
уР, P Œ В, и обратно. Сокращая на у, мы получаем,
что любой элемент а œ А лежит в В и обратно, г
По построению АВ cz А. Таким образом, если идеал
С делится на идеал Д, то С cz А. (Обратите внимание,
что делящий идеал «больше» делимого идеала.)
Обратное, во всяком случае, верно, когда идеал А
главный, т. е. если С cz (а), то существует такой идеал
В, что С= (а)В. Действительно, включение С cz (а)
означает, что любой элемент у е С имеет вид оф, где
р œ D. Пусть В — множество всех таких элементов
р œ В, что оф œ С. Непосредственно проверяется, что
В — идеал и что (а)В = С. а
Чтобы пойти дальше, необходимо наложить на D
определенные условия. Мы не будем пытаться искать
минимально необходимые условия, а наложим на D
условия, позволяющие наиболее быстро прийти к цели,
и вместе с тем не исключающие колец Di, которые,
собственно говоря, нам только и нужны.
В первую очередь мы потребуем, чтобы в D суще¬
ствовало п таких элементов
©1, ©2, • • •>
(где п — некоторое натуральное число), что любой эле¬
мент a œ D однозначно представляется в виде
(2) а = Яі©і + я2©2 + ... + ап©п,
где а2, • • • ,, ап — целые рациональные числа. На
языке теории групп это свойство означает, что адди¬
тивная группа кольца D является решеткой (свобод¬
ной абелевой группой) ранга п с базисом ©ь ©2, ...
..., ©п. Кольцо Di обладает этим свойством при п —
= I — 1, и ©і = 1, ©2 = Ç, ..., ©и = Q~2-
В теории групп доказывается, что любая подгруппа
А рещетки D ранга п является решеткой ранга г ^ п.
Изложим для полноты доказательство этого утверждения.
.. Пусть Лл, k = 1,..., 1,—подгруппа группы Л, состоя¬
щая из элементов (2), для которых Оі = .. . = afe-i= 0. (Таким
* Ш
образом, Ai == А и Ап+і'~ 0.) Ясно, что для любого k — 1, ...
..., и множество всех коэффициентов о& элементов из Ak со¬
ставляет идеал (возможно, нулевой) в кольце целых чисел Z.
Но в этом кольце все идеалы главные (ибо имеет место алго¬
ритм деления с остатком), и поэтому существует коэффициент
порождающий этот идеал (случай = 0 здесь не исклю¬
чается). Пусть 5л— произвольный элемент группы Ak с этим
коэффициентом (если 0^ = 0, то мы положим 5* = 0)-
Покажем, что элементы 5ь ..., 5* порождают группу А,
т. е. что любой элемент a œ А имеет вид
(3) ... +Ы/ь
где Ьі, ..., bn — целые рациональные числа.
Поскольку Дд+і = 0, то для элементов из Л/Н-і формула (3)
имеет место. Рассуждая по индукции, предположим, что для не¬
которого k п уже доказано, что любой элемент из A k+1 имеет
вид (3) (с Ьі = ... = bk = 0), и покажем, что тогда любой
элемент а-еЛ* также имеет вид (3) (с Ь\ == ... = Ьк-\ = 0).
Ясно, что этим все будет доказано.
Пусть
а = аЛ+ ••• +аА-
По построению коэффициент ак делится на (если а<ь =
то ak = 0 для всех элементов йеЛ/;), т. е.. существует такое
целое число Ь*, что ak — a^bk. Тогда а — b^k^Ak+i и по¬
тому a — bk^k = bk+itk+i + ... Следовательно, а =
= + bk+i&i + i + ... + bn%n-
Вообще говоря, среди элементов |і, ..., могут быть рав¬
ные нулю. Перенумеровав (если нужно) эти элементы, мы можем
считать, что gi =й= 0, ..., =/= 0 н 5г+і = 0, ..., 5* = 0. Соот¬
ветствующим образом перенумеровав элементы базиса соі ...,
мы при этом можем считать, что для любого k — 1, ..., п
по-прежнему œ Ak, т. е. что в выражении элемента 5* через
базис <оі, ..., (Ол коэффициенты при (оь ..., со*—і равны нулю.
Но теперь, кроме того, мы можем утверждать, что при k = 1, ...
..., г коэффициент элемента &£ отличен от нуля, ибо, по
построению, = 0 только при = 0.
Отсюда следует, что элементы 5і, ..., независимы, т. е.
равенство Яі5і+.... +аг|г = 0, где аь ..., аг — целые рацио¬
нальные числа, имеет место только при ai = 0, ...» аг = 0. Дей¬
ствительно, в противном случае будет существовать отличное от
нуля число аі с наименьшим і, и тогда в разложении элемента
0151+ ... + аг%г = 0 по базису ...» коэффициентом при
со/ будет отличное от нуля число что невозможно.
Этим доказано, что любой элемент а œ А однозначно выра¬
жается через 5і, ...» 5г, т. е. что А является решеткой с базисом
5ь ...» 5г (и, следовательно, ранга г). Я
Далее, известно, что ранг п решетки не зависит от
выбора базиса и равен максимальному числу незави¬
симых элементов решетки. . '
112
. Действительно, элементы базиса по определению независимы,
а любые и+J элементов зависимы (ибо любая система п одно¬
родных линейных уравнений с п + 1 неизвестными с целыми ко¬
эффициентами имеет нетривиальное решение, состоящее из це¬
лых чисел).
Заметим, что, в отличие от классического случая линейных
пространств, не любые п независимых элементов решетки со¬
ставляют ее базис. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
определитель, составленный из коэффициентов разложений этих
элементов по элементам базиса, был равен ± 1.
Кроме того, из теории групп известно также, что
для любой подрешетки А ранга п факторгруппа D/A
конечна.
Действительно, при г = п мы имеем в А базис gi, ..., g„
вида
gj = + «ѴЧ + ••• +а\П~1}®п;
Ê2 = û2°)(ù2 + • • • + а21
‘
где Ф 0, ..., 0, откуда непосредственно следует,
что элементы вида '
Ц]©і + а2©2 + . ... + 0n©n,
где
о < < I < |, 0 < а.2 < I 4°) |, ... ; 0 < ап < | а™ |,
составляют полную систему представителей смежных классов
группы D по подгруппе А. Следовательно, D/А является конеч¬
ной группой порядка | ... а^ |. Я*
Отсюда следует, что существует только конечное
число подгрупп группы D, содержащих подгруппу А.
Действительно, при естественном ‘гомоморфизме D-+D/A
такие подгруппы взаимно однозначно соответствуют всевозмож¬
ным подгруппам группы DjA, а этих подгрупп конечное число.
Все эти утверждения применимы к произвольному
идеалу А кольца D, поскольку, по определению, идеал
является, в частности, подгруппой аддитивной группы
кольца. Таким образом, во-первых, мы видим, что лю¬
бой идеал А является решеткой. .
Во-вторых, так как для любого элемента a œ А.
элементы оссоі, ..., аып идеала А, очевидйо, незави¬
симы, то ранг любого идеала кольца D (рассматри-
ИЗ
ваемого как решетка) равен п, т. е. идеал А обладает
базисом из п элементов. ‘
Эти элементы, очевидно, порождают идеал Л, так
что любой идеал А кольца D порождается конечным
числом элементов, т. е. имеет вид А = (аь ..., аД
где аі, am^D (вообще говоря, число пг может
быть и меньше ранга п).
В-третьих, мы видим, что, поскольку любой дели¬
тель идеала А является подгруппой, содержащей Л,
для любого идеала кольца D существует только конеч¬
ное число различных содержащих его идеалов и, в
частности, только конечное число различных делите¬
лей. Очевидной индукцией отсюда немедленно выте¬
кает, что любой идеал кольца D разлагается в произ¬
ведение простых идеалов (далее неразложимых).
Кроме того, мы можем теперь доказать, что в неко¬
торых случаях сокращение равенств идеалов возмож¬
но и на не главный идеал. Для этого нам потребуется
следующая лемма (в которой под «числами» можно
понимать элементы произвольного кольца):
Лемма 1. Пусть
(4) |₽Н •.••ЛІ
Il Р/21 ••• Рппіі
— произвольная матрица up — некоторое число. Если
существуют такие числа ..., хотя бы одно из
которых отлично от нуля, что имеют место равенства
Р*1 — P1Æ1 + ••• + Р1;Л/и
(5) . .
PÊrt == Рп1£1 + • • • “Ь Pnnên>
то число р является корнем уравнения
(6) Г + р^-’ч- ... +Р„ = 0,
коэффициенты Рь ..., рл которого выражаются через
элементы матрицы (4) посредством действий сложе¬
ния, вычитания и умножения.
С помощью этой леммы легко доказывается, что
для любых идеалов А и В из равенства
АВ —А
следует, что В = (1) .
114
. Действительно, пусть gb...., %п — базис идеала А^
Тогда любой элемент идеала АВ может быть, как
легко видеть, представлен в виде . + gn₽n, где
₽і, ..., pn œ В. Поскольку АВ = В, отсюда следует,
что для gi, ..., gn имеют место равенства вида
• = ёіРи + • • • + ÊnPin,
Рі/ В,
Sn = êlPnl H" • • • 4~ ënPnn,
t. e. равенства (4) c p ■ == 1. Поэтому число p = 1 яв¬
ляется корнем уравнения вида (6), т. е., другими сло¬
вами, имеет место равенство 1 = —Рі — ... — рп, где
рі, ..., рп выражаются через элементы Рі/ идеала В
посредством действий сложения, вычитания и умно¬
жения и, следовательно, принадлежат этому идеалу.
Но тогда и 1еВ,т. е.В= (1). s
Сама же лемма 1 непосредственно вытекает из простейших
фактов линейной алгебры. Действительно, .равенства (5) озна¬
чают, что (gi, ..., g«) =/= (О, ..., 0) является решением системы
линейных однородных уравнений
(Pu — Р) ёі + ••• + Pin5n=0,
Рпіоі + ••• + (РпП — P) І>П = 0.
Но из линейной алгебры известно, что если система п линейных
однородных уравнений от п неизвестных имеет решение =/= (0, ...
..., 0), то ее определитель равен нулю.
Следовательно,
Р11 - Р • ■
• Pin
Рш ••
• Pnn. P
Раскрыв определитель, мы и получим для р уравнение вида (6). S3
Чтобы пойти дальше, мы еще больше сузим класс
рассматриваемых колец. Именно, мы потребуем, что¬
бы для кольца D существовало п его инъективных ото¬
бражений а ь-і = 1, ..., п, в поле комплексных
чисел .С, сохраняющих сложение и умножение (т. е.
являющихся мономорфизмами) и таких, что для лю¬
бого a œ D элементарные симметрические многочлены
от а(І), ..., а(п) являются целыми рациональными чис¬
лами (иными словами, требуется, чтобы многочлен
(х — а(1)) ...(% — а(п)) имел целые коэффициенты).
Для кольца Di такие отображения были построены
в § 5. <
115
Для произвольного D мы введем норму Na эле¬
мента а D формулой
Na = aw ... а(Л).
Эта норма является целым рациональным числом,
но, вообще говоря, уже не обязательно неотрицатель¬
ным (хотя по-прежнему Na — 0 тогда и только тогда,
когда а — 0). Как и в случае кольца £>/, для любых
элементов а, P g= D имеет место равенство
ДГ(ар) = Мх. АГР
(ибо по условию (аР)(/) = a^pw для любого і = 1,...
..., п). Кроме того,
Na — an
для любого рационального а.
Удобно (хотя совсем не обязательно) «вложить» кольцо D
в поле С посредством отображения a і—> a(1), т. е. считать, что
D az С и а(1) = а для любого a œ D. (Заметим, что в случае
кольца Di дело обстоит именно так.)
Считая кольцо D вложенным в поле С, мы можем
определить поле отношений К кольца D просто как
наименьшее подполе поля С, содержащее кольцо Z),
или, иначе, как множество всех чисел из. С вида —,
a
где a, P е D и а #= 0, избегая, тем самым, простой, но
несколько кропотливой абстрактной процедуры по¬
строения этого поля для кольца D, не вложенного в'С.
В случае кольца Di для любого і = 1, ..., п, где
п = I — 1, было выполнено включение a(,) е D. Теперь
это, вообще говоря, не так. Однако легко видеть, что
а(2) ... a(n) g= D для любого ае О, т. е. что Wa де¬
лится на а в D. Действительно, по условию число а —
== а(І) удовлетворяет уравнению вида
a"4-c1an-I+ ... +с„_іа + сге = 0
с целыми коэффициентами, причем Na = (— 1)"сп. По¬
этому
Na _ <-, .ун-1 <*"+ ... +с„_1Д
a a ' 1 ' a =
= (- 1)"+1 (a""1 + Ci an~2 + ... + cn_!) e= D. а
116
Известным уже нам рассуждением (см. § 5) от¬
сюда выводится, что любой элемент § поля К мо¬
жет быть (очевидно, единственным образом) записан
в виде
(7) %> — Хі©і + ... 4-xfl(ùnf
где оэі, ..., On — базис кольца D, а Xi, iS,, хп— ра¬
циональные числа (и, конечно, каждое число § такого
вида лежит в /().
Лемма 2. Существует такое натуральное число
T = T(D), зависящее только от кольца D, что для
каждого элемента £ найдется такой элемент a Œ
eD и такое натуральное число s < Т, что ,
N (sg — а) < 1.
Доказательство. Выбрав в D базис ©і, ...
..., О/г, мы примем за Т произвольное натуральное
число, удовлетворяющее неравенствам
T>Q"> П(|«П+ +KI).
і = 1
где Q — некоторое натуральное число.
Ясно, что для любого элемента (7) поля К и лю¬
бого натурального і можно подобрать такой элемент
ai Œ jD, что для элемента
(8) ïè> — Щ = У\®\ + ... + Уп^п
будут выполнены неравенства
0<Ы< 1, .... < 1.
Разобьем полуинтервал [0, 1) на Q полуинтервалов
вида
») [£■ -ЧгУ і = °
Каждая координата уі уп числа (8) лежит в од¬
ном из этих интервалов. Поэтому существует всего Q"
возможностей распределения этих координат по полу¬
интервалам (9). Следовательно, если мы рассмотрим
числа (8) для всех і от 0 до Qn (т. е. всего Qn + 1 чи¬
сел) , то по крайней мере два числа будут давать одну
и ту же комбинацию распределения координат по по¬
луинтервалам (9). Разность этих чисел имеет вид
117
s| — а, где se N, a a e Di, a ее координаты удовле¬
творяют неравенствам
lz/il<-q. • • •> I Уп I < -Q-
Поэтому
|«-о)'“|<|(|4,,|+ ... + M'I), /=1 п,
и, значит,
1 п
|У($|-а)|<4гП (К1+ ... +Ю)<1.
Для завершения доказательства остается заметить,
что натуральное число s, являясь разностью двух на¬
туральных чисел, не превосходящих Q", также не пре¬
восходит Qn и, следовательно, меньше Т. в .
По аналогии с дивизорами назовем два идеала А
и В эквивалентными, если существуют такие главные
идеалы (а) и (Р), что
(а)Л = (₽)В.
Ясно, что множество всех идеалов распадается на
классы эквивалентных идеалов.
Предложение 1. Для любого кольца D, удо¬
влетворяющего перечисленным выше условиям, число
классов идеалов конечно.
Доказательство. Пусть А—произвольный
идеал.
Среди отличных от нуля чисел идеала Л сущест¬
вует число сс0, для которого натуральное число |Мао|
имеет наименьшее возможное значение, так что
I Ма01 < |Ма I
для любого отличного от нуля элемента ас.4.
Пусть аеЛ Применив лемму 2 к элементу
ао
мы найдем натуральное число s < Т и элемент у eD,
удовлетворяющие соотношению
ivG;-v)i<i.
118
т. e. соотношению
I N (sa — ya0) | < | тѴа01.
Поскольку sa — уао Œ А, это неравенство возмож¬
но только при sa = уао. Этим доказано, что ао делит
элемент sa, а значит, и элемент Sa, где S = ТІ.
Таким образом, для любого элемента a е А суще¬
ствует такой элемент р œ D, что
(10) ОоР = Sa.
Пусть В — множество всех таких р (при всевоз¬
можных аеА). Ясно, что если Рі, р2 е В, то рі ±
± р2 Œ В (если аоРі = Sai и аоР2 = Sa2, где аі, аг е
еЛ, то а0(Рі ± Рг) = S(ai ± а2), где аі±а2е/І).
Кроме того, если аоР = Sa, то ао(ру) = S(ay) для
любого у œ D, и, следовательно, ру е В (ибо ау е
еЛ). Этим доказано, что В представляет собой
идеал.
Равенство (10) означает теперь, что
(оо)В = (5)Я,
т. е. что идеал В эквивалентен идеалу А.
Кроме того, так как ао^Д, то (S) (ао) с: (а0)В,
т. e. (S) <= В.
Но мы уже знаем, что число идеалов, содержащих
данный фиксированный идеал (в нашем случае —
идеал (S)), конечно. Таким.образом, каждый идеал А
эквивалентен идеалу В, принадлежащему некоторому
конечному множеству идеалов.
Следовательно, число классов идеалов конечно, н
Пусть снова А — произвольный (ненулевой) идеал
кольца D. Попробуем доказать, что некоторая его сте¬
пень А4, q^Q, является главным идеалом.
Так как число неэквивалентных идеалов конечно,
должны существовать такие два числа р > 0 и q > 0,
что Ар ~ Ар+<>. По определению, это означает, что су¬
ществуют такие элементы a, P €= D*, что .*
(11) (а) Ар = (р) AP+q.
Пусть |і, ..., %п — базис идеала Ар. Тогда любой
элемент идеала Ар+р а: Ар может быть представлен в
виде aigi + ап£п, где at, .... ап — целые рацио¬
нальные числа, а значит, любой элемент идеала
119
(P) Ap-u — в виде p (ajgi '4- . • • Ч- В частности,
такое представление будут иметь элементы а£і, ...
..., а£п е (а)Лр = (Р)Др+‘7. Таким образом, полагая
< р=Т^Л
мы видим, что справедливы равенства вида
PÊ1 =Яц£1 + • • • +
Р?я = Gnlêl + . . • + Яппіп*
где ац, i, j = 1, ..., и,— целые рациональные числа.
Применив к этим равенствам лемму 1, мы получим,
что число р является корнем некоторого алгебраиче¬
ского уравнения n-й степени
(12) ХпaYXn !+ . . . +#п = 0
с целыми коэффициентами , ап и равным еди¬
нице старшим коэффициентом.
Назовем кольцо D целозамкнутым, если любой эле¬
мент р его поля отношений /(, удовлетворяющий урав¬
нению вида (12), принадлежит D.
Таким образом, если D целозамкнуто, то р = ~ œ D,
т. е. р делит а.
Поэтому равенство (11) мы можем сократить на
Р и записать в следующем виде:
(р)Лр = ДР4Л
Пусть теперь уі,..., — базис идеала Aq. Так как
Yigj œ Ap+q = (р) Ар, где i, j = 1, ..., п, то при любом
і=1, п для числа
Рі
II
p
имеют место равенства вида
РЛ1 = flîfêi + • • • +
p.Ê = <№,. + ... +a(i)£ ,
Г|“П «1=1 ‘ 1 ««=«’
откуда, как и выше, следует, что р,- является корнем
некоторого уравнения вида (12) и, значит (в силу це¬
лозамкнутости кольца D), лежит в D. Это означает,
что уі делится на р.
120
Следовательно, на р делятся все числа идеала Aq.
Сокращая их на р, мы, очевидно, получим некоторый
новый идеал В (с базисом рі, ..., р«). По построению
(р) В = Aq и, значит,
(р)Лр = Лр^ = (р)ЛрВ.
Но мы знаем, что в моноиде идеалов возможно со¬
кращение равенств на главный идеал. Следовательно,
откуда, как мы знаем, следует, что В = (1). Поэтому
^ = (Р).
Тем самым нами доказано следующее предложе¬
ние: .
П р е.д л о ж е н и е 2. Если кольцо D, удовлетворяю¬
щее перечисленным выше условиям, кроме того, еще
целозамкнуто, то некоторая степень любого идеала яв¬
ляется главным идеалом, s
Следствие. Для любого идеала А существует
такой идеал А', что произведение АА7 является глав¬
ным идеалом.
Действительно, достаточно положить А7 •== Aq-\ а
Отсюда непосредственно вытекает ряд важных вы¬
водов.
Например, теперь легко показать, что закон сокра¬
щения справедлив для любых идеалов, т. е. если СА =
= СВ, то А = В. Действительно, пусть С7 — такой
идеал, что С7 С — (у). Тогда (у)Л = С'(СА) =
== С'(СВ) =;(у)В, и, следовательно, А = В. а
Далее, если С с А, то А делит С, т. е. существует
такой идеал В, что С = АВ. Действительно, если С cz
cz А, то CA7 cz АА7 для любого идеала Л'. Если, в ча¬
стности, идеал АА7 главный, то, как мы выше уже до¬
казали, существует такой идеал В, что СА7 = А А7 В.
Сокращая на А7, мы и получим, что С = АВ. и
В частности, отсюда следует, что любой простой
идеал Р максимален, т. е. если А zd Р, то А — (1).
Наконец, легко видеть, что элемент a œ £) тогда и
только тогда делится на идеал А (т. е. на А делится
идеал (а)), когда а А. Действительно, если (а) де¬
лится на Л, то (а) cz А и потому а е А. Обратно, если
a œ А, то (а) czX и, следовательно, по доказанному,
(а) делится на А. ѳ
121
Последнее утверждение в точности означает, что
для моноида идеалов (с отображением аь-> (а)) вы¬
полнена аксиома 3 теории дивизоров (см. § 8). Аксио¬
ма 2 также, очевидно, выполнена (если аир делятся
на А, то а с А, р е А и потому а ± р (= А, т. е. а ± р
делится на А). Выполнение аксиомы 1 мы выше уже
отмечали.
Таким образом, для того чтобы показать, что мо¬
ноид идеалов Id (В) вместе с отображением аь-> (а)
составляет теорию, дивизоров для кольца D, осталось
лишь показать, что этот моноид свободен, т. е. что
разложение любого идеала в произведение простых
идеалов единственно (с точностью до порядка множи¬
телей). ’
Но это теперь также совсем просто.
Сначала докажем, что для любых двух идеалов А
и В существует их наибольший общий делитель, т. е.
идеал, который делит А и В и который делится на лю¬
бой идеал, делящий идеалы А и В. Легко видеть, что
таким идеалом будет идеал (A (J В), порожденный тео¬
ретико-множественным объединением идеалов А и В.
Действительно, ясно, что A cz (A U В) и Вс (А[|В),
т. е. (A U В) делит А и В. Если же С делит А и В, т. е.
CzdA и СсВ, то СсэА IJS и потому Сгэ(Аі)В),
т. е. С делит (A U В).
Мы будем идеал (A U В) обозначать символом
(А, В).
Эта конструкция показывает, в частности, что лю¬
бой идеал А = (аі, ..., аь) является наибольшим об¬
щим делителем главных идеалов (аі), ..., (а*).
Легко видеть, далее, что для любых трех идеалов
А, В и С справедливо равенство
(А, В)С = (АС, ВС)
(дистрибутивность наибольшего общего делителя по
отношению к умножению).
Действительно, если А — (аі,..., ар), В = (рь ...
..., PJ, то (А, В) = (аі, ..., ар, Pi,..., Р^), и потому
(А, В) С = (аіу, ..., ару, РіТ» ..., Р/р), где у пробе¬
гает идеал С (или какое-нибудь множество, поро¬
ждающее этот идеал). Аналогично, АС = (аіу, .
..., ару), ВС = (Pit, ..., Р/р), и потому
(А, В) С = (АС, ВС). в
122
Теперь мы уже можем непосредственно доказать
однозначность разложения идеалов в произведение
простых идеалов. Для этого, очевидно, достаточно до¬
казать, что если простой идеал Р делит произведение
АВ, но не делит идеал А, то он делит идеал В (ср. со
свойством (*) в § 4). Но если Р не делит Л, то (А
Р) =/= Р и потому (А, Р) = (1) (ибо Р — простой, а
значит, максимальный идеал). Следовательно,
В = (1)В = (Д, Р)В = (АВ, PB),
и так как Р делит АВ и PB, то Р делит В. в
Таким образом, нами доказано, что в кольце D
идеалы (ненулевые) обладают всеми свойствами, ко¬
торые мы требуем от дивизоров. Это означает, что
справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Если
а) аддитивная группа кольца D является решеткой
конечного ранга п;
б) существуют п мономорфизмов à *--> а(0, і= 1,...
..., п, кольца D в поле С, обладающих тем свойством,
что для любого а (= D все элементарные симметриче¬
ские многочлены от а(1), ..., a(rt) являются целыми ра¬
циональными числами;
. в) кольцо D целозамкнуто,
то это кольцо допускает теорию дивизоров,
В этой теории дивизорами являются ненулевые
идеалы кольца D, а соответствие ан->(а) относит
каждому элементу а е Z)* порожденный им главный
идеал.
При этом группа классов дивизоров (идеалов) ко¬
нечна.
Последнее утверждение является простой перефор¬
мулировкой предложения 1 и следствия из предложе¬
ния 2. '
Так как кольцо Di тривиальным образом обладает
свойствами а) и б), то, если мы докажем, что оно об¬
ладает и свойством в), от требований, которые мы в
§ 8 наложили на регулярные простые числа, останется
только аксиома Р. При этом, пользуясь конечностью
группы Ўё, мы эту аксиому сможем сформулировать
в ослабленной форме, требуя лишь, чтобы число I не
делило порядка h группы Зв, Все это, конечно, будет
большим сдвигом в направлении эффективной харак¬
теризации регулярных простых чисел.
123
Мыдокажем целозамкнутость кольца Di в следую*
щем параграфе, а пока лишь заметим, что условие в)
целозамкнутости отличается от условий а) и б) (во¬
обще говоря, не необходимых для существования в
кольце D теории дивизоров) тем, что оно абсолютно
необходимо. Другими словами, в нецелозамкнутом
кольце D теории дивизоров существовать не может.
Действительно, если элемент £ = -“* поля отноше¬
ний К кольца £>, обладающего теорией дивизоров, не
лежит в Z), то существует простой дивизор ÿ, делящий
а в большей степени, чем р, т. е. такой, что если р
делится на yk и не делится на то а делится на
Поэтому, если + ап = 0, где
ai,..., ап —целые числа, т. е. если
Рл =— (flip” !а+ ... +^Р а + ... + пЛап),
то Р" делится на (ибо kn + 1 (п — s)k -f-’
+ $ (й + 1) для любого s = 1, ..., п и потому на
^fen+ï делится каждый одночлен вида p,z-sas). Следова¬
тельно, р делится на где />& + — , т. е., вопреки
предположению, делится по крайней мере на pfe+1. в
Таким образом, единственного условия теоремы 1,
которое для кольца Dt трудно проверить, избежать
нельзя.
§ 11. Целые алгебраические числа
Мы уже неоднократно встречали уравнения вида
(1) хп + аіхп-1 +...+«„ = о,
где ai,, ап — целые рациональные числа. Корни та¬
ких уравнений называются целыми алгебраическими
числами. .
Просто же алгебраическими числами (подразуме¬
вается, необязательно целыми) называются корни ура¬
внений более общего вида
(2) а0Хп + U[Xn 1 + ... + ап = О,
где также а0, аі, ..., ап — целые рациональные числа.
124 '
Ясно, что класс алгебраических чисел не изменится,
если в уравнении (2) считать коэффициенты а0, Яь • • •
..., ап произвольными рациональными числами. Это
означает, что алгебраические числа, как мы их опре¬
делили, являются ни чем иным, как числами, алгеб¬
раическими над полем Q (см., например, Постни¬
ков М. М. Теория Галуа. — М.: Физматгиз, 1963,
стр. 11).
Заметим, что аналогичное расширение класса урав¬
нений (1) приводит к уравнениям (2).
Разлагая левую часть уравнения (2) на множи¬
тели и отбирая множитель, корнем которого является
число а, мы получим, что любое алгебраическое число
является корнем некоторого неприводимого многочле¬
на с рациональными коэффициентами. Без ограничен
ния общности можно считать, что старший коэффи¬
циент этого многочлена равен 1.
Пусть а является целым числом, т. е. корнем урав¬
нения (1). По лемме Гаусса (см. § 4) левая часть ура¬
внения (1) разлагается в произведение неприводимых
(над полем Q) многочленов с целыми коэффициен¬
тами. Так как старшие коэффициенты этих многочле¬
нов равны ±1 (их произведение равно 1), то, следо¬
вательно, неприводимый многочлен /г(Х), корнем
которого является целое алгебраическое число а и
старший коэффициент которого равен 1, имеет целые
коэффициенты.
В частности, отсюда следует, что целое алгебраи¬
ческое число тогда и только тогда рационально, когда
оно лежит в Действительно, многочлен h(X) для
такого числа имеет степень 1. а
Умножив уравнение (2) на ag-1, мы можем пере¬
писать его в виде
(cûÀ)" + a1(a0X)n-,+ ... +апаГ1 = 0.
Таким образом, для У = üqX мы имеем уравнение ви¬
да (1). Этим доказано, что любое алгебраическое чис¬
ло g может быть представлено в виде •
где а — целое алгебраическое, а а — целое рациональ¬
ное числа.
125
Можно показать, что сумма, разность, произведе¬
ние и частное двух алгебраических чисел являются
алгебраическими числами, т. е., иными словами, что
все алгебраические числа образуют поле. Концепту¬
альное («в современном духе») доказательство этого
факта можно найти, например, в упомянутой выше
«Теории Галуа» на стр. 24. Здесь мы приведем более
непосредственное доказательство, требующее зато не¬
которых вычислений.
Пусть аир — алгебраические числа. По определе¬
нию, число а является корнем некоторого уравнения
вида (2). Пусть
(3) «і = а, а2, ...» а„
— все корни этого уравнения. Аналогично, пусть
(4) ₽1=₽, ₽2, .... 0т
— все корни уравнения
Ь0Хт + Ь1Хт-,+ ... +6т = 0,
которому удовлетворяет число р (степень m этого
уравнения, вообще говоря, отлична от степени п урав¬
нения, которому удовлетворяет число а).
Рассмотрим многочлен
п tn
ЛХ)=ПП(*-<хА)
степени тп. Его коэффициенты являются многочле¬
нами с целыми коэффициентами от корней (3) и (4),
очевидно, симметрическими, т. е. не меняющимися
при любой перестановке этих корней. Поэтому они яв¬
ляются многочленами от соответствующих элементар¬
ных симметрических многочленов и, следовательно, со¬
гласно формулам Вьета, — многочленами (с целыми
коэффициентами) от
Дг bï Ьт .
Gq ’ * * ’ CIq * bû ’ ’ bo
Это доказывает, что все коэффициенты многочлена F
являются рациональными числами. Значит, все его
корни а/Р/ и, в частности, корень аР = аірі являются
алгебраическими числами. .¬
Этим наше утверждение доказано в отношении
произведения ар. Для суммы, разности и частного до¬
казательство аналогично. Б ' " ”
126
Это доказательство устанавливает также и другой
факт, для нас очень важный. Именно, при ао = Ь$ =
= 1 мы видим, что все коэффициенты многочлена F
(старший коэффициент которого по построению равен
единице) будут целыми числами. Ясно, что это заклю¬
чение сохранится и по отношению к сумме и разности
(но не по отношению к частному!). Этим доказано, что
сумма, разность и произведение двух целых алгебраи¬
ческих чисел являются целыми алгебраическими чис¬
лами, т. е. что все целые алгебраические числа состав¬
ляют кольцо.
Однако арифметика этого кольца малоинтересна.
Например, в нем совсем нет неразложимых (простых)
элементов. Действительно, любое целое алгебраиче¬
ское число а может быть разложено, например, по
формуле
а = д/а Ѵа
(легко видеть, что д/а также является целым алгеб¬
раическим числом). Поэтому класс всех целых алгеб¬
раических чисел следует как-то ограничить.
Подполе К поля комплексных чисел называется по¬
лем конечной степени, если как линейное пространство
над полем Q оно имеет конечную размерность (кото¬
рая называется степенью поля Л).
Заметим, что в общей алгебре поля конечной степени на¬
зываются «конечными расширениями» поля Q.
Легко видеть, что каждый элемент поля конечной
степени является алгебраическим числом. Действи¬
тельно, если степень поля равна /г, то для любого его
элемента g элементы 1, g, ..., g" линейно зависимы
(ибо их п + 1 штук), и, значит, имеет место равенство
с^п + с 1 + • • • + сп = О
с рациональными коэффициентами, п
На этом основании поля конечной степени назы¬
ваются также полями алгебраических чисел, хотя этот
термин несколько двусмыслен, поскольку он не преду¬
сматривает обязательно конечность степени.
Подробному исследованию взаимоотношений между конеч*
ными и алгебраическими расширениями посвящена гл. 1 указан¬
ной выше «Теории Галуа».
127
Пусть К — произвольное поле алгебраических чи¬
сел (конечной степени). Ясно, что его подмножество
Dt состоящее из всех целых чисел поля /С, является
кольцом. Это кольцо называется кольцом целых чисел
поля К. Арифметика таких колец и составляет содер¬
жание теории целых алгебраических чисел. .
Так как (см. выше) любой элемент g €= К имеет
вид g = —, где а — целое алгебраическое число (и,
значит, — элемент кольца £>), а а — целое рациональ¬
ное число (и, значит, — тоже элемент Z)), то К являет¬
ся полем отношений кольца D.
По определению (см. стр. 120) кольцо D целозамк¬
нуто, если оно содержит все целые алгебраические
числа, содержащиеся в его поле отношений К. Если D
является кольцом целых чисел некоторого поля К ал¬
гебраических чисел (которое, следовательно, является
его полем отношений), то дело обстоит именно так.
Следовательно, кольцо D целых чисел произвольного
поля алгебраических чисел К целозамкнуто.
Вернемся теперь к /-круговому полю Кі и его под¬
кольцу Di. Поле Кі является, конечно, полем конечной
степени (равной /—1), и потому к нему применимо
все сказанное выше. В частности, его кольцо целых
чисел D целозамкнуто. Поэтому для доказательства
целозамкнутости кольца Di достаточно доказать, что
D = Di.
Доказательство включения DtcziD. До¬
статочно заметить, что любой элемент a œ Dt является
корнем многочлена
(5) • f (X) = (А - а(1)) ... (X - а<^))
с целыми рациональными коэффициентами, старший
коэффициент которого равен 1. а
Многочлен (5) определен, конечно, для любого эле¬
мента a Œ Кі. Его свободный член совпадает с нормой
Na числа а. Другой, интересный коэффициент — это
коэффициент при Х1~2. Взятый с обратным знаком, он
называется следом элемента а и обозначается симво¬
лом Тг а. Согласно первой формуле Вьета,
Тга = а(1)+ •••
128
Отсюда следует, что след обладает свойством
л и нейности, т. е.
Tr (a-j-Р) = Тг а-г Тгр, Тг(аа) = аТга
для любых чисел а, р е Кл и любого рационального
числа as Q.
Изучим более внимательно многочлен (5). В сле¬
дующих ниже леммах
(6). a = ao + ai£+ ••• +az-i£'-2 = a(£)
— произвольное ЧИСЛО ПОЛЯ
Лемма 1. Если многочлен g(X) с рациональными
коэффициентами обладает тем свойством, что g (a(;)) =
= 0 хотя бы для одного і = 1, ..., I— 1, то
g(a(i)) = 0 для всех і=\, .... 1—1.
Доказательство. Рассмотрим многочлен
F(X) = g(a(X)).
По условию
= = g («"’) = О
хотя бы для одного і = 1,..., I — 1. Это означает, что
многочлен F(X) имеет общий корень с неприводимым
многочленом
■ ф(Х) = Х,-1 + Хг-24- ... +1.
Следовательно, F(X) делится на этот многочлен и по¬
тому Flgiï) = 0, т. е. g(a(i)) = 0, для любого і =. 1, ...
— 1. a
Другое доказательство. Пусть 1 іо, і^І—1, и
пусть X — автоморфизм поля Кі, являющийся композицией авто¬
морфизма, обратного к автоморфизму ai—и автоморфизма
ai—&a(0. Тогда т(а<г»)) = а<(>, и потому g(a(,)) = xg(a(>»)) для лю¬
бого многочлена g (А). Следовательно, если g(a<‘o0 = O, то
g(a“>)=0. ■ ■
Лемма 2. Существует такое целое число q, что
f{X) = h(X)4t
где f(X)—многочлен (5), a h(X)—неприводимый
многочлен над полем Q со старшим коэффициентом
Г, корнем которого является алгебраическое число а.
Доказательство. Так как f(a) — 0, то f(X)
делится на h(X). Пусть f(X\ делится на Іі^Х)4, но не
5 М. М. Постников 129
делится на h (Х)9+1, п пусть
f(X) = g(X),h(X)q.
Если g(X) =£ const, то хотя бы один из корней сс(0,
і = 1, I—1, многочлена f(X) обращает g(X) в
нуль. Но тогда по лемме 1
£(а<й) = 0 для любого /=1, 1—1
л, в частности, g(a) = g(a(1)) = 0. Таким образом,
многочлен g(X) имеет общий корень с неприводимым
многочленом h(X) и, значит, делится на Л(Х). Поэтому
многочлен f(X) делится на h(X)q+'. Полученное про¬
тиворечие доказывает, что g(X) = const, т. е. что
f(X) = h(X)q (ибо старшие коэффициенты многочле¬
нов f(X) и h(X) равны 1). в
Лемма 3. Если а является целым алгебраиче¬
ским числом, то все коэффициенты многочлена f(X)
представляют собой целые рациональные числа.
Доказательство. Как мы знаем, неприводи¬
мый (над Q) многочлен h (X), корнем которого являет¬
ся а и старший коэффициент которого равен 1, имеет
целые коэффициенты. Поэтому многочлен f(X) =
= h(X)q также имеет целые коэффициенты, в
С л е дствие. След Тг а любого целого алгебраи¬
ческого числа Кі является целым рациональным
числом.
Полезно заметить, что изложенные соображения имеют весь¬
ма общий характер.
Пусть Ѳ—'произвольное целое алгебраическое число.- Пусть,
оно является корнем неприводимого уравнения степени п. Тогда
можно показать (ср. § 5), что совокупность К всех чисел вида
(7) а0 + ИіѲ 4- ••• +я/і-іѲп~1,
где Ио, ûi, • • •, ап-і — произвольные рациональные числа, явля¬
ется полем (очевидно, степени /г). Оно обозначается символом
Q(0). Все предыдущие рассуждения, относящйеся к полю К/,
остаются в силе и для любого поля Q(Ô) (если, конечно, заменить
I — 1 на п и £ на Ѳ). В частности, след любого целого алгебраиче¬
ского числа из Q (Ѳ) будет целым рациональным числом.
Аналогом кольца Di будет кольцо Z [Ѳ] всех чисел вида (7)
с целыми ао, 0і, ..., Очевидно, что все эти числа являются
целыми алгебраическими числами, т. е. что имеет место включе¬
ние Z [Ѳ] cz D, где D — кольцо целых чисел поля К = Q (Ѳ).
Эти замечания особо интересны потому, что любое поле
конечной степени имеет вид Q (Ѳ) (см., например, «Теория
Галуа», гл. I, п. 7).
130
Теперь мы уже можем доказать обратное включе¬
ние.
Доказательство включения Di^dD. На¬
до доказать, что если элемент (6) поля Кі является
целым алгебраическим числом, то все его коэффи¬
циенты а0, а\, ..., аі-2 будут целыми рациональными
числами.
С этой целью вычислим сначала след Тг а числа а
(который, согласно следствию из леммы 2, является
целым рациональным числом).
Если а = Ç*, где k = 1, ..., I — 1, то числа а(1), ...
..., а(/-1) будут с точностью до порядка совпадать с
числами Ç(1), . ., (см/§ 5) и, значит, будет иметь
место равенство
ТгѴ = -Ь >=і 7-1
(ибо по формуле Вьета сумма корней £(1> + . ;. +
многочлена Х‘~' + Х‘~2 + ... +1 равна —1). Если же
k = 0, то Тг = I — 1.
Отсюда, в силу линейности следа, вытекает, что
след числа (6) выражается формулой
Тга = (/—1)а0 —«1 — ••• — «/-г-
Аналогичным способом вычисляется, что для лю¬
бого k = 0, — 2
Тг(Г*а-£а) — lak.
Поскольку £“*а — Ça является вместе с а целым алге¬
браическим числом (принадлежит кольцу D), этим до¬
казано, что все числа Іа^ k = 0, ..., I — 2, являются
целыми рациональными числами.
Следовательно, la е= Di и потому
(8) Іа = “H “Ь == 1 — Ç,
где &о, &і, ..., &/-2 — целые числа (см. формулу (15)
§5).
,т Для завершения доказательства достаточно теперь
доказать, что все коэффициенты &о, •••> ^/-2 де¬
лятся на I. Условно полагая &-і = 0,. проведем индук¬
цию по k от k = —1 до k = I — 2.
Пусть для некоторого k, 0 k < I — 2, уже дока¬
зано, что все коэффициенты bs с s < k делятся на I.
5*
131
Тогда в (8) все члены, кроме члена bk№, будут делить¬
ся на Х*+1 (ибо I Х,_1, см. формулу (14) § 5). Сле¬
довательно, и член bk№ будет делиться на Х*+І, т. е.
целое рациональное число bk делиться на X.
Значит, число bk делится и на I. а
Заметим, что это доказательство существенно ис¬
пользует специфику поля Кі. Не удивительно поэтому,
что аналог равенства Di = D в произвольном поле ал¬
гебраических чисел Q(0), вообще говоря, неверен, т. е.
существуют поля Q(0), в которых имеются целые
числа
ao + oi0+ ••• +«п-іѲ” 1
с нецелыми коэффициентами а0, аі, ...» ап-ь
Рассмотрим, например, поле Q (V- 3 )• Из данного в § 4
описания поля Кз следует, что поле Q (Ѵ—3 ) совпадают с по¬
лем Кз, и потому его целые числа имеют вид
а + Ь
2 '
где а в b — целые рациональные числа одинаковой четности.
Однако можно без особого труда доказать (попы¬
тайтесь!), что для любого поля К конечной степени п
аддитивная группа его кольца D целых элементов яв¬
ляется решеткой ранга гі, т. е. существуют такие целые
числа ©1, ..., ©„, что любое целое число a œ D един¬
ственным образом представляется в виде
Ц]®1 + • •. + 0«®«»
где аі, ..., ап — целые числа. (Принято говорить, что
©1, ..., го» составляют фундаментальный базис по¬
ля Æ.)
Например, при /< = Q(V—3 ) фундаментальный базис со-
1 + V- 3
стопт из чисел 1, .
Факт наличия фундаментального базиса означает,
что кольцо D обладает свойством а) из теоремы 1 § 10.
Как мы уже отмечали, оно автоматически обладает
свойством в). Кроме того, нетрудно видеть (это мы
фактически выше уже доказали), что оно обладает и
свойством б). Поэтому кольцо целых чисел произволь¬
ного поля алгебраических чисел обладает теорией ди¬
132
визоров, причем соответствующая группа классов ди¬
визоров конечна.
Это утверждение является фундаментом всей тео¬
рии алгебраических чисел.
Доказательство равенства D = Di завершает дока¬
зательство того, что простое число I тогда и только
тогда регулярно, когда оно не делит числа h классов
дивизоров кольца Di.
§ 12. Куммеровы простые числа
Наша дальнейшая цель будет состоять в доказа¬
тельстве того, что регулярные числа совпадают с кум-
меровыми. Эта теорема очень трудна и ее доказатель¬
ство разбивается на две части: алгебро-арифметиче¬
скую и аналитическую. В этом параграфе мы займемся
более простой — первой частью. Окончательно же мы
завершим доказательство теоремы только в § 15.
Ліы рассмотрим также вопрос об объеме понятия
регулярного (скрывающегося пока под псевдонимом
куммерова) простого числа и найдем простой крите¬
рий, позволяющий для любого простого числа I авто¬
матическими вычислениями проверить регулярно оно
или нет. Кроме того, мы докажем, что условие К из § 6
выполнено на самом деле для всех простых чисел /, и
потому в теореме 3 § 9 о нем можно не упоминать.
Пусть Ѳ — произвольный первообразный корень из
единицы степени I — 1 = 2/п, например
ѲЗТ I • • зт
==cos_+lsln_.
Особое значение для нас будут иметь степени
(1) Ѳ, Ѳ3, ..., Ѳ2"'-1
числа Ѳ с нечетными показателями. Ясно, что Ѳ'" = —1,
и потому 0(2ft+1)m = —1 для любого k. Это означает,
что числа (1) являются корнями многочлена X”’4-1.
а так как их m и все они различны, то никаких других
корней этот многочлен не имеет. Этим доказано, что
(2) (X —Ѳ)(Х-Ѳ3) ... (Х-02т-’) = Хп’4-1.
Отсюда следует, что любой симметрический много¬
член от Ѳ, Ѳ3, і . •, Ѳ2/п-1 с целыми коэффициентами
133
является целым рациональным числом (лежит в Z).
В частности, это верно для числа
Г(а) = а(Ѳ)а(Ѳ3) ... а(Ѳ2т~'),
где а = а(Х) — произвольный многочлен с целыми ко¬
эффициентами.
Пусть теперь, как всегда, g — фиксированный пер¬
вообразный корень по модулю Z, Удовлетворяющий ус¬
ловию (6) § 6 (и, следовательно, такой, что gm + 1 Ф
ф. О mod Z).
Предложение 1. Для любого многочлена а (X)
с коэффициентами из Z имеет место сравнение
W (а) = a (g) a (g3) ... a (g2,n~x) mod I.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
< а(Х1)а(Х2)...а(Хот) = Р(0і, ..., ©,„),
где <7і,..., Gm — элементарные симметрические много¬
члены от Xi, Х2, ..., Хщ, а F— некоторый многочлен.
Согласно (2) (и формулам Вьета) значения о)6), ...
..многочленов ai, ...., отпри Хі — Ѳ, Х2 = Ѳ3, ...
:.., Xm = Ѳ2"1-1 все равны нулю, кроме последнего
а*®', которое равно (—1)"!. Поэтому
- W(a) = F(0, .... О, (-1)"1).
С другой стороны,
a (g) a (g3) ... a (g2"*-1) = F (g^, ..., о^),
где g\s\ .... —’значения симметрических многочле¬
нов 01, . . . , Gm при Х1 = g, X2 = g3, Xm = g2m~*.
Но числа g, g3, ..., g2m~ 1 и, с точностью до сравнимо¬
сти, только эти числа являются корнями сравнения
Хт + 1 ss 0 mod I. Поэтому (по тем же формулам
Вьета)
0(8> = О, ..., о, о<8) = (_l)'”modZ.
Следовательно,
F (g\s\ ..., 0j«>) s F (0, ..., 0, (— l)m) mod Z.
Это доказывает предложение 1. ■
134
Мы применим это предложение к многочлену ф(Х),
определенному (см. формулу (15) § 6) формулой
(3) 0(Х)(£Х-1) = Х'-'-1+/ф(Х),
где
а(Х) = і + Я1х+ ... +я,-2^-2.
Следствие. Число I тогда и только тогда кум¬
мерово (см. § 6), когда, оно не делит числа
IF(ф) = ф(Ѳ)ф(Ѳ3) ... ф(Ѳ2т-1).
Доказательство. По определению число I
куммерово, если оно не делит число ф (g) ф (g3)...
• •• Ф(^2т_1)- Но согласно предложению 1 последнее
число сравнимо по модулю I с числом №(ф). ■
Удобно, впрочем, перейти от многочлена ф к более
простому многочлену 8.
Поскольку == 1, из формулы (3) следует, что
3(Oft)(g0*- 1) = /ф(Ѳ*)
для любого k — 1,3,..., 2m — 1. Поэтому
/"ЧГ(ф) = ІГ(а).П,
где
п=(гѳ-і)(^ѳ3-і)... (ge2r*-D.
Но, положив в (2) X = g~l, мы после умножения на
gm получим,что
n = i+gm.
Этим доказано, что
(4) /тІГ(ф) = ІГ(а)(1+§"‘).
По условию (см. выше) делящееся на/ число l-J-gf,n
не делится на I2. Поэтому из (4) следует, во-первых,
что целое число W (3) делится на lm~l и, во-вторых, что
число I тогда и только тогда куммерово, когда это чис¬
ло не делится на І'п.
Так как для любого / = 0, 1 m — 1 имеет ме¬
сто сравнение ,
gm+i + gf = gm+l + g! = gL (gm + 0 = 0 mod I
и так как 0 < gm+i < I и 0 < g, < I, то gm+! + g,- = I.
В частности, это доказывает, что для любого j = О,
1, І разность gj — gm+j нечетна.
135
С другой стороны, для любого k = 1, 3,.... 2т — Ï
®(Ѳй) = Д1 g fl*1 = Z* (gjQki + gm+iQk (",+/>) =
' т-1
= 2} (gj gm+jï^t
ибо Ѳт = — 1. Поэтому
т-1
3(Ѳ*) = 2 Ѳ*' + 2а/г(Ѳ),
J=o
где Ofe (X) — некоторый многочлен с целыми коэффи*
циентами.
Поскольку ( 1 4* Ѳ* + ... + (1 — Ѳ*) = 1 —
— Ѳ*т = 2, отсюда следует, что
(1 -ѳ‘)а(ѳ*)=2М0),
где bk(X) = 1 + (1 — Хк)а/і(Х) —также многочлен
с целыми коэффициентами. Перемножив эти соотно¬
шения и учтя, что, согласно (2) ,
(1 -Ѳ)(1 - Ѳ3) ... (1 — 02m-1)=lm + 1 =2,
после сокращения на 2 получим, что
Г(а) = 2'"-1В(Ѳ),
В(Х) —некоторый многочлен с целыми коэффи-
мы
(5)
где
циентами.
Поскольку многочлен В(Х) имеет целые коэффи¬
циенты, число В(Ѳ) является целым алгебраическим
числом (ибо число Ѳ — целое). С другой стороны, со¬
гласно формуле (5) оно рационально. Следовательно,
В(Ѳ) представляет собой целое рациональное число
(лежит в Z). Этим доказано, что число №(8) делится
на 2т-1.
Так как I > 2, то число №(3), делясь на 2"*-’ и
Z'”-1, делится и на (2/) т~1. Это означает, что число
(6) Л1=-1^Ж
является целым рациональным числом. Оно называет¬
ся первым множителем.
Согласно сказанному выше число I тогда и только
ѵогда куммерово, когда первый множитель h\ не де¬
лится на I, s
136
Рассмотрим теперь произведение Л1Л2, где Л2— вто¬
рой множитель, введенный в § 6. Согласно предложе¬
нию 6 § 6, если число I куммерово (и потому не делит
Лі), то h2 не делится на I. Следовательно, h\h2 не де¬
лится на I. Обратно, пусть h\h2 не делится на I. Тогда
h\ не делится на Z, и потому число Z куммерово. Этим
доказано следующее предложение:
Предложение 2. Число I тогда и только тогда
куммерово, когда оно не делит произведение h\h2.
Эта характеристика куммеровых чисел вполне ана¬
логична характеристике регулярных чисел из § 11,
только роль числа h играет произведение Л1/12. По¬
этому для доказательства совпадения куммеровых и
регулярных простых чисел достаточно доказать, что
h = h\h2. Доказательство этого равенства (известного
как формула Куммера для числа клас¬
сов) составит предмет трех следующих параграфов.
Пока же мы обратимся к исследованию объема поня¬
тия куммерова числа и установим так называемый
критерий Куммера регулярности (на са-»
мом деле куммеровости) простого числа Z. Это дока¬
зательство никак не связано со всем предыдущим и
опирается исключительно на первоначальное (см. § 6)
определение куммерового числа Z как числа, не деля¬
щего ни одно из чисел
(7) l|>(g), 1|>(£3), .... i|5(g2m~3).
(Напомним — см. формулу (І6) § 6, — что при нашем
выборе первообразного корня g число ф (g2'72-1)
і== Ф (g1-1) на Z не делится.)
Поскольку g1 s g mod Z, вместо чисел (7) мы мо¬
жем рассматривать сравнимые с ними по модулю Z
числа
(8) Ш ^(g3'), • • -, i|)(g(2"*-3),)<
С другой стороны, так как gl~' = 1 + al, то gU-w =
=. ( 1 + aZ)z = 1 mod Z2, откуда следует, что, положив
в тождестве (3) X = gkl, мы получим сравнение
fà(gkl)(gkl+ï— \) = lty(gkt)fàoàl2.
Поскольку gkl+x = gk+ï 1 mod I при k = 1, 3, . < f
..., 2m — 3, тем самым доказано, что число I тогда и
137
только тогда не делит ни одного из чисел (8) (и, зна¬
чит, ни одного из чисел (7)), когда ни одно из чисел
(9) ®(gl), ®(g31),
не делится на I2. ’и
Так как g = gl mod /, то gs = gls mod l для любого
5 = 0, 1, .. ., I — 2, T. e.
gs = gsl + las,
где as — некоторые целые числа. Поэтому для любого
k = 1, 3, ..., 2m — 3
^+1 = (gst + Ч)/!+І = gs (/г+1> ' + (*:+ O lasgskl =
= gs (Л+1) l _]_ 1 ) (gs _ gslj gskl =
= (& + l\gsgskl — kgs 1 mod I2.
Просуммировав no s от 0 до I — 2, мы получим отсюда
сравнение
Z-2 1—2 1—2
E + 1) E gsgskl — k E £s(ft+l)/modz2,
• $-0 s=0 s=0
t. e. сравнение
Z-2 Z-2
E gft+i = (k + 1) a (gkl) -k'Z gs .<*+*)1 mod P.
* s«0 s=«0
Но (см. выше) ; ’
1-2 .
(1 _g(/e+l)Z) y gS(k+l)l= 1 _g(/-l)(A'+l)/=.
= 1 — (g(Z-1)Z)ft+l^0mod/2,
a так как 1 — gW)i = i — g-fe+>=0=Omodl, то
1-2
^gS(fe+i)z = 0mod/2.
s=0
Поэтому •
1-2
£gft+i = (é + l)a(g*9mod/2.
s=0
С другой стороны, так как числа g0, g\, ■ • •, gi-2 с точ¬
ностью до порядка совпадают с числами 1,2, ...
.... / — 1, то, введя обозначение
(10) s„(a)=ln + 2re+ —1)”,
138
получим, что
X8Ï«-SHI(I).
Тем самым, доказано, что
(k+ l)S(/') = SÆ+1(Z)modZ2
для любого k = 1,3, 2/п — 1.
Так как k-j- 1 ^OmodZ, отсюда следует, что чис¬
ло I куммерово тогда и только тогда, когда ни одно из
чисел
(И) s2(z), s4(Z),..., S2rn_2(Z)
не делится на I2, а
Этот критерий можно переформулировать в более
удобном виде с помощью так называемых чисел
Бернулли.
Лемма 1. Для любого многочлена f(X) сущест¬
вует единственный многочлен g(X) той же степени,
удовлетворяющий соотношению
х+1
X
Коэффициенты . этого многочлена рациональны,
если рациональны коэффициенты многочлена f(X).
Доказательство. Пусть
Х+1 И
X
Ясно, что уп представляет собой многочлен степени п
от X со старшим коэффициентом, равным единице. По¬
этому для любого многочлена f(X) — аоХп + ... от X
степени п разность f (X) —' аоуп будет многочленом сте¬
пени п—1. Посредством очевидной индукции отсюда
выводится, что многочлен f(X) единственным образом
представляется в виде линейной комбинации
f(X) — аоуп + аіуп_ 14- ... + апУс
многочленов ÿn, уп-\, ■ ■ •, Уо- Поэтому
; а'+і
f(X)= J g{t)dt,
X
139
где
g(X) — айХп-ра\Хл 1 4- «»і Ц-ап. В
Следствие. Для любого п 0 существует един¬
ственный многочлен Вп(Х), удовлетворяющий соотно¬
шению
х+\
(12) J Bn(t)dt = X\
X
Коэффициенты этого многочлена являются рациональ¬
ными числами. ■
Свободный член Вп = Вп(0) многочлена Вп(Х) на¬
зывается п-м числом Бернулли.
Продифференцировав соотношение (12), мы полу¬
чим равенство
(13) Вя(Х+1)-Вп(Х) = пГ"1,
которое можно переписать в виде
Z+1
X
означающем, что многочлен
(14) ^Bn(X)-nBn_dX)
является многочленом g{X), отвечающим в силу лем¬
мы 1 многочлену f(X), тождественно равному нулю.
В силу единственности отсюда следует, что многочлен
(14) также тождественно равен нулю. Таким образом,
■^ГВп(Х) = пВп_,(Х)
и, значит,
X
Bn(X) = n^Bn^(t)dl + Bn.
о
' Это соотношение позволяет последовательно выра¬
зить все многочлены Вп(Х\ через числа Бернулли.
140
Действительно, непосредственно очевидно, что Во = 1,
Поэтому
X
В{(Х)=1 ^l-dt + B^X + By
о
X
В2 (Х) = 2 J (і + Bùdi + В2 = Х2 + 2BtX + В2,
о
X
В3(Х) = 3 J(/2 + 2B1/ + B2)d/ + B3 =
о
= X3 + ЗВ1Х2 + ЗВ2Х + Ва
и, вообще,
(15)
вп(Х)=хп + пв1хп~1+ ... + (;)вйГ-Ч ...+Вп.
Действительно, если (15) имеет место для Вп-і(Х), то
B„W = nJ(/n"1 + (n-l)Bi^"2+ ...
О
... 4-('1j1)b/i’a’1+ ... Ч-В^Л + В^
=г+ив^п 1 + ...+( £ )вкхп~к+,...+ в^х+вп,
ибо
X
Îj.n—k — \ JJ 1 -ytl—k
t di=n_k_[X
ü
и
т=Ът(”;‘)=(П- -
С другой стороны, ПОЛОЖИВ В (13) X = О, МЫ по¬
лучим, что при .и > 1 имеет место равенство
(16) В„(1) = В„(0),
т. е. равенство
l+nBj-f- ... + (£)Дк+ ••• + пВп-і + Вп = Вп.
141
Следовательно (мы заменяем п—1 на гі),
(17) B„=-ïq7T(l+(n+l)B,+ ...
Эта рекуррентная формула позволяет последовательно
вычислить числа Вп, а значит, и многочлены Вп(Х).
Легко видеть, что все числа Бернулли с нечетными
индексами, большими единицы, равны нулю-.
В2&+і — 0 пРи 0.
Действительно, делая замену т = 1 — і, мы немед¬
ленно получаем, что
Х+1 -X 1-Х
Ç Вп(1 — t)dt = — В„(т)</т= Вп(т)гіт =
X 1-Х ‘ -X
х+і
• =(_Zf = (-lfr! = (-l)n j Bn(t)dt,
X
откуда вытекает, что
b„Û-x) = (-1)bb„w.
Поэтому
А(і)^Ы)пв„(0), ■ ;
U, значит (см. формулу. (16) ), если, и > 1 нечетно, то
вп = В„(0) = 0/и
Что же касается числа В\, то, как непосредственно
вытекает из формулы (17) при п = 1,
В| = -1.
Задача. Докажите, что знаки чисел Бернулли с четными
индексами чередуются, т. е.
ВгпВгп+г < 0 при п > 1
Чтобы связать многочлены Вп(Х) с суммами степе¬
ней Sn(a), мы, положив в (13) последовательно X = О,
1, .... а — 1, сложим получившиеся формулы. Тогда,
очевидно, получится формула
• Вп (а) — Вп (0) = nS„_, (а), -
142
т. e. формула
Вп (a) = nSn_i(a) + Bn.
Тем самым мы получаем выражение
S?-.(a) =
суммы Зл_1(а) в виде многочлена от а степени п со
свободным членом, равным нулю.
Заметим, что хотя коэффициенты многочленов
Вп(Х) —Вп являются, вообще говоря, дробными чис¬
лами, но при любом целом X = а их значения пред¬
ставляют собой целые числа (и даже делящиеся на п).
Интересующие нас числа (11) мы можем теперь
(имея в виду, что 2т — 1 = I — 2) переписать в сле¬
дующем виде:
Вз (Z) — вэ в5 (/) - в5 В/-2 (/) - Ві-2
3 ’ 5 ’ • • • ’ I - 2 •
Впрочем, знаменатели 3, 5Ѵ .., I — 2 этих чисел мож¬
но откинуть, поскольку ошГне делятся на Z. Таким об¬
разом, нам достаточно рассмотреть числа
(18) B3(Z)-B3, В5 (Z) — В5, ..., Bz_2(Z)-Bz_2.
Число I куммерово тогда и только тогда, когда ни одно
из этих чисел не делится на I2.
Рассмотрим теперь все простые делители знамена¬
телей чисел Бернулли Bf, В2, ..., Вп_і. Согласно фор¬
муле (17) при добавлении к числам Ві,В2, ...» Вп-\
числа Вп к этим делителям могут добавиться лишь
простые делители числа и + 1, ни один из которых при
п + 1 < I не равен Z. По индукции этим доказано, что
знаменатели чисел Бернулли
(19) Вь В2, В4, ..., В/_3
не делятся на Z. н
Поэтому, умножив числа (18) на произведение зна¬
менателей чисел (19), мы не изменим характера дели¬
мости этих чисел на Z.
Но так как эти и только эти числа Бернулли участ¬
вуют в коэффициентах многочленов Bk(X) — Bk, k^.
— 2, то после этого умножения числа (18) будут
значениями прйЛ' = I некоторых многочленов с целыми
143
коэффициентами (и без свободных членов). Поэтому
тогда и только тогда ни одно из них не будет делиться
на /2, когда в каждом из этих многочленов коэффициент
при X не будет делиться на I. Поскольку, согласно фор¬
муле (15), этот коэффициент равен числу kBk-i, где
k = 3, 5, ..., I — 2, умноженному на знаменатели всех
чисел (19), т. е. с точностью до множителей, не деля¬
щихся на /, равен числителю числа Вц-і, этим дока¬
зано следующее окончательное предложение:
Предложение 3 (критерий Куммера).
Простое число I тогда и только тогда куммерово, когда
числители m — 1 чисел Бернулли
(20) В2, Ві, В/-3 = ^2 (m-i)
не делятся на I. ‘н
Первые шесть чисел Бернулли с четными индек¬
сами сравнительно невелики и без труда вычисляются
по формуле (16) :
~ б" ’ = “"зо" ’ = "42* ’
R —__L R — 5 R - 691
30’ “10 66’ °12 2730'.
Отсюда сразу же следует, что простые числа 5, 7, 11 и
13 являются куммеровыми.
Для больших индексов числа Бернулли имеют вид
О_7 D _ 3617 о _ 43867
£>14 g > £>16 510 • £>І8 798 .
D _ 174 611 д _ 854 513 D _ 236 364091
-° — 330 ’ В22 138 ’ °24 2730 ’
,О11 г. 8553103 D 23 749461029
(Zi) U26 — g , b28 — g™ .
d _ 8 615841 276005 o _ 7 709321 041 217
°30~ 14 322 ’ "32 5 10
D 2 577 867 858 367
■ B3i — g
и вычисление их уже довольно тяжко. '
Поверив в правильность таблицы (21), мы можем
уже без особого труда проверить, что все простые чис¬
ла <37 куммеровы, а число 37 не куммерово (ибо чис¬
литель 7 709 321 041 217 числа В22 делится на 37).
144
Впрочем, эту проверку можно довольно просто осу¬
ществить, и не пользуясь таблицей (21). Действитель¬
но, для любого данного I мы можем ввести в рассмо¬
трение целые числа Ьп, удовлетворяющие сравнениям
1=1 Рп mod If
где Рп и Qn — числитель и знаменатель числа Бернул¬
ли Вп. Ясно, что число I тогда и только тогда не делит
числителей чисел (20), когда оно не делит чисел
Ь2, Ьі, ..., &z_3
Для последних чисел рекуррентные соотношения (17)
заменяются соответствующими сравнениями
(22) -(п+1)&„=1+(м+1)&1+ ...
••• + (Пt1 ) bk + ••• + (ni!)6rt-imodZ’
из которых их можно легко последовательно вычис¬
лять. При этом в сравнениях (22) можно априори счи¬
тать, что &з == &5= ... = 0. Кроме того, легко видеть,
что Ь\ = tn mod I, и потому 1 -j- (я + 1)&і = т —(k —
— l)mod I для любого четного п = 2k. Тем самым мы
получаем следующее окончательное правило:
Правило. Чтобы узнать, является ли данное про¬
стое число I куммеровым, надо последовательно опре¬
делить из сравнений
— 3b2 = m mod I,
— Sb^m — I 10Z>2 mod /,
* « « « • Ï 1
-(2é+l)&2ft^/n-(Â:-l) + (2ft+1)z>2 +
-(/-2)ô^3 = 2 + (Z“2)&2 + (Z72)&4+ ...
••• + ( JZ^&z-smodZ
целые числа b2, bit bi-s из ряда 0, 1, .... I—1.
145
Число I тогда и только тогда будет куммеровым, когда
ни одно из этих чисел не равно нулю.
Например, при / = 5 имеется лишь одно сравнение
— 362s=2 mod 5,
которое имеет решение 62 ss 1. Следовательно, число 5
куммерово.
’ При / — 7 имеется два сравнения
— 3 mod 7,
— 5&4 ss 2 + 10Z>2 mod 7,
которые имеют решение 62 s 6 и Ьз = 3. Таким обра¬
зом, число 7 также куммерово.
При I — 11 следует рассмотреть четыре сравнения
— 3&2==5 mod.ll,
— 564 ss 4 + 1062 mod 11,
— 7ù6 = 3 + 21^2+ 35Й4 mod 11,
— 9&8s= 2 + 3662 + 12604 + 84Й6 mod 11.
Решая последовательно эти сравнения, мы получаем
- 362 ^5=>й2 = 2,
- 564 4 + Mfr, =s 24 ss 2 =*► &4 s= 4,
-7^3 + 21&2 + 3564 =s3 - b2 + 2&4s9 =^ô6s=5,
- 9ô8 = 2 + 3662 + 126&4 + 8466 =
s2 + 362 + 5&4-46ç^8=î>68 = 4.
Следовательно, число 11 куммерово.
Для больших I целесообразно предварительно вы¬
числить (по модулю I) биномиальные коэффициенты,
выписывая треугольник Паскаля и откидывая на каж¬
дом шагу. слагаемые, кратные L Например, при Л= 37
мы получим треугольник, изображенный на следую-
щей-.етранице, в котором жирным шрифтом выделена
нужные нам коэффициенты (по типографским сообра¬
жениям от этого треугольника отсечены углы).
Кроме того, полезно заранее для любого а —
= —(2k + 1) найти число а', обладающее тем свой-
146
1
3 3
1
1
4
6
4
1
1
5
10 10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35 35
21
7
1
1
8
28
19
33
19
28
8
1
1
9
36
10
15 15
10
36
9
1
1 10
8
9
25
30
25
9
8
10 1
1 11
18
17
34
18 18
34
17
18
11 1
12 29
35
14
15
•36
15
14
35
29 12
1 13 4 27 12 29 14 14 29 12 27 4 13 1
1 14 17 31 2 4 6 28 6 4 2 31 17 14 1
1 15 31 11 33 6 10 34 34 10 6 33 И 31 15 1
1 16 9 5 7 2 16 7 31 7 16 2 7 5 9 16 1
1
17
25 14
12
9
18 23
1 . 1 23 18 9 12 14 25 17 1
1
18
5 2 26
21
27
4
24 2 24 4 27 21 26 2 5 18 1
1
19
23
7 28
10
И
31 28
. 26 26 28 31 11 10 28 7 23 19 1
1
20
5
30 35 1
21
5
22
17 15 17 22 5 21 1 35 30 5 20 1
1 21
25
35
28 36
22
26
27. 2
32 • 32 2 27 26 22 36 28 35 25 21 1
1 22
9
23
26 27 21
11
16
29
34 27 34 29 16 11 21 27 26 23 9 22
23 31
32
12
16 И
32
27
8 26
27 27 26 8 27 32 11 16 12 32 31 23
'1 24 17 26 7 28 ; 27 к 6, 2% 35 34 13 11 13 34 35 22 6 27 28 7 26 17 24 I
1 25 4 6 33 35 18 33 28 • 20 ‘ 32 10 24 24 10 32 20 28 33 18 35 33 6 4 25 1
1 26 29 10 2 31 16 14 24 И 15 5 34 1І 34 5 .15 11 24 14 16 31 2 10 29 26 1
1 27 18 2 12 33 10 30 1 35 26 20 2 8 8 2 20 26 35 1 30 10 33 12 2 18 27 I
1 28 8 20 14 8 6 3 31 36 24 9 22 10 16 10 22 9 24 36 31 3 6 8 14 20 8 28 1
1 29 36 28 34 22 14 9 34 30 23 33 31 32 26 26 32 31 33 23 30 34 9 14 22 34 28 36 29 I
30 28 27 25 19 36 23 6 27 16 19 27 26 21 15 21 26 27 19 16 27 6 23 36 19 25 27 28 30
31 21 18 15 7 18 22 29 33 6 35 9 16 10 36 36 10 16 9 35 6 33 29 22 18 7 15 18 21 ;31
15 2 33 22 25 3 14 25 2 4 7 25 26 9 35 9 26 25 7 4 2 25 14 3 25 22 33 2 15
£ 10 17 35 18 10 28 17 2 27 6 11 32 14 35 7 7 35 14 32 11 6 27 2 17 28 10 18 35 17 1п
*4 0
ством, что аа' = 1 mod I. Так, например, при I = 37
имеем
а
—3
-5
—7
-9
-11
-13
-15
— 17
-19
. а'
12
-15
— 16
4
10
-20
-5
13
-2
а
—21
-23
-25
-27
—29
—31
-33
-35
af
7
8
-3
-11
14
-6
-9
19
После этого вычисления идут автоматически. Ска¬
жем, при I = 37 получаем:
й2=12- 18 =-6,
bt = — 15(17-6- 10)= 16,
b& = — 16(16-6-21 + 16 - 35) = 15,
08 = 4(15-6-36+ 16- 15 +15 - 10) = 16,
&I0= 10(14-6- 18+ 16-34+ 15- 18+ 16- 17) = 4,
^12— • • •
= 17,
&14= -
= —5,
&16 = • • •
= -15,
&18^ • • •
= —6,
^20= • • •
s 15,
&22 = • • •
= 15,
^24 = • • •
= 17,
^26 = • • •
= 12,
^28 = • • •
= —8,
&30 s • • •
s2
и, наконец,
&32=-9(3-6- 10+ 16-35+ 15- 10+ 16-17 +
+ 4-27+ 17 11 -5- 14- 15-7-6-35+ 15-32 +
+ 15-6 + 17-2 + 12-28-8- 18 + 2 - 17) = 0mod37.
Следовательно, число 37 не куммерово (вычислять Ьм
нам уже не надо).
Недостаток этого способа состоит в том, что для
каждого I все вычисления необходимо проделывать за¬
ново.
148
В основной теореме 3 § 9 мы предполагали, помимо
всего прочего, что простое число / обладает тем свой*
ством, что кольцо Di удовлетворяет условию К из § 6.
Рассмотрим теперь вопрос, нужно ли на самом деле
это условие для справедливости теоремы.
Для этого нам необходимо предварительно более
внимательно изучить вещественные элементы коль¬
ца Di.
Примером таких элементов служат числа
•»11 = <и|о = + <&
• ••••«в»»
î)m-l = <T"‘-'î)0 = + G"-1?.
Предложение 4. Любое вещественное число
P Di единственным образом представляется в виде
Р = Mû + Ml + ... + 6,n-l»lm-b ~
где • • •, — целые рациональные числа, т. в.
в виде
Р = b (ст) 1]О,
еде b (X) — многочлен с целыми рациональными коэф¬
фициентами степени, не большей m — 1.
Доказательство. Пусть
р = а(а) g,
где а(Х) — многочлен с целыми рациональными коэф¬
фициентами степени, не большей I — 2 = 2т — 1. По*
ложим
а(Х) = &(Х) + с(Х)Хм,
где &(Х) и с(Х)—многочлены степени, не большей
т — 1. Тогда
P = b (a) Ç, + с (ст) CT,ng = (b (ст) + с (ст) стт) g
и
Р = сттр = с (ст) g + b (ст) стт£ = (с (ст) + b (ст) стт) g.
Следовательно, из равенства р = 0 вытекает равен¬
ство ;
b (X) + с (X) Хт = с (X) + b (X) Х'\
149
откуда следует, что
Ь(Х) = с(Х).
Таким образом,
P = &(a)(l+aw)S = &(a)fê44) = &(a)îlo. в
Удобно считать, что элементы т)/ = сг^о опреде¬
лены для любых /. Конечно, т]/ = т)*, если (и только
если) / = k mod tn.
Предложение 5. Коэффициенты bOi b\, ...
..., bm-2 произвольного вещественного элемента
(23) Р = Мо + М1 + ••• + &т-1Пт-1
кольца Di выражаются формулами
(24) /&А = (ш-2)р +
+,(4t+i — 2) ар + ... +(Пл+,п-і — 2)а'"-'р.
Докажем предварительно, что
(25) ПоП/ + ПіПл-і + •.. + Нт-іПт-і+/ =
(1 — 2, если /'ssO mod tn,
( —2, если j^éOmodm.1
Так как т]о — I + £"’> то По = £2 — £-2 + 2 = па + 2,
где а —такое число, что ga = 2-mod Л Поэтому
Л? = <нЙ = По+1 + 2, ni = Па+2 + 2, . •.
• •••’ С-і^а+я,-! +2
и, значит,
ПІ+ ••• +C-1 = (na + nû+i+ ••• +n0+m_1)4-2/M.
Но ЯСНО, ЧТО В сумму Па + Па+1 + . . . + Па+т-1 КЭЖДОе
число П/, І = 0, .... ш— 1, входит, точно один раз, так
что эта сумма равна
"По + П1 4“ ... + Пт-1 = + О? + ••• +tfZ“1Ç = —1.
Таким образом,
ПІ+ ... +п$,_, = -1+2/№(-2.
Аналогично, если /^feOmod/n и потому П/ = £в/ +
4-СЧ где / — 1, то
ПоП/ = (С + Г‘) (?й/ + Гг/) =
- ^+1 + Г9"1 + Ф~1.+ Г *'+1 = По + п>,
150
где d и b —дакие показатели, что
ёа = ёі + 1 mod I,
gb=gj— Imod/.
Поэтому = = + ДЛЯ ЛЮбоГО
k = Q, 1, . . tn — 1, и, значит,
'По'Л/ + ••• + Tk-lTlrn-l+/ = ('t)a+11a+l + ••• +'4a+m-l)+
+ Ob + 116+1+ ••• +ib+m-i) = — 1 — 1 = — 2. a
Доказательство предложения 5. Приме¬
нив к равенству (23) последовательно отображения о,
о2,..., о"1-1, мы получим для коэффициентов b0, bit...
..., b,п-і уравнения
Р = 601І0 + ^lUl + ••• +
а₽ = М1 + М2+ ••• +&т-1Пт»
(26)
am-1P — &0ІІИ1-1 + ^Plm + • • • + Ап-і’Пгт-З»
Чтобы решить эти уравнения, мы умножим их соот¬
ветственно на T]*, т]*-ы, • • • > i]*+m-i> где k — 0, 1, ...
..., tn — 1, и сложим. Тогда в силу формул (25) мы
для любого k = 0, 1, ..., tn— 1 получим равенство
ЛлР + 11^+10$ + • • • + 1b+m-l®m-1P =
. , . .==lbk — 2 (Ьа + bl + - . - +Z>m-f)>
С другой стороны, сложив уравнения (26), мы немед¬
ленно получим,что
Р + оР+ ... +о'«-*р =
— (^о + &1+ + &Z/1 —1)(тІ0 + 111 + •••+'П»1-1) =
= ~(^о + ^1+ ••• +6щ_1).
Поэтому
/6А = Т)Ар + T)fe-+ 1СТР + • • • + TU+m-lor’"“lP ~
— 2(P + <jP+ ... + 0"’-^) =
= (ПА-2)р+.(Ші-2)аР+ ... +(ік+т-і-2)п'”-'Р
для любого k = 0, 1, .... m — 1. в
Для исследования условия К из § 6 нам понадо¬
бится, кроме того, еще одна общая конструкция.
161
Для любого отличного от нуля элемента а кольца
Di (или поля Кі), мы положим
Z.a = (ln|a|, 1п| оа |, ..., In J от-1а |) е R"'.
Таким образом, L будет представлять собой некоторое
отображение множества D*i = Di\0 в пространство
R"1 вещественных векторов-строк (хі, ..., хт). Ясно,
что умножение элементов из D} это отображение пере¬
водит в сложение векторов из Rm, т. е.
(27) L(a0) = La + Lp
для любых элементов а, 0 е DJ.
Предложен неб. Векторы
(28) £, = £.(1 -ag), .... Lm = L(\—vmQ
составляют базис пространства Rm, так что, в частно¬
сти, любой вектор La, . ае DJ, единственным образом
через них линейно выражается:
(29) La = Ад (а) L\ + ... + xm (а) Lm,
где Хі (а),..., х,п (а) — некоторые вещественные числа.
Доказательство. Поскольку <т'(1—о*£) =
= 1 — а/+Л£, векторы L\, ..., Lm являются строками
определителя asS^>
ln|l-oU 1п|1-<ш
(30) 1п|1-оЧ1, Inll-o3?!,
.,1п| l-o"tl
. ,1п| 1 _ I
in] 1 — I, In I 1 — <J'n+1g|, ..., ln| 1 — a2'»-i£|
и доказываемое утверждение равносильно тому, что
этот определитель отличен от нуля.
Но, так как = Ç = и | oft£|= 1, то
In 11 —- o"‘+ftÇ I = ln 11 -оѴІ =
=ln -11 = lnl1 -<Л1.
откуда следует, что определитель (30) является так
называемым антициркулянтом, т. е. определителем
вида •
«1
а2 .
ап
(31)
а3 .
• • ап
О1
ап
«1.
• - вп-2
Æ/ï-l
152
Но известно, что любой антициркулянт (31) является с
точностью до знака произведением п чисел вида
(32) ап + tfipfe+ ... + an_2P(n 2)*+Яп-іР(п
k = 0, 1, ..., и — 1,
где р — первообразный корень из единицы степени п.
Доказательство. Переставим в определителе (31 ) пер
вую строку с последней, вторую строку с предпоследней и т. д.
умножится на (—1)т). В результате получится так называемый
циркулянт с матрицей
(33)
b\ Ь2 ... Ьц—і Ьц
Ьц bi .,. bfi—2 bn—\
b2 b3 ... bn bl
где bi = art, b2 = ah ..., btt = ал_ь Таким образом, достаточно
доказать, что определитель матрицы (33) равен произведению
п чисел вида
(34) &і + М*+ + 6np("-1)ft, 6 = 0, 1,
Но, умножив матрицу (33) на матрицу-столбец
(35)
мы получим столбец
(36)
£ = 0, 1, п-1, |
p(n-l) k
+ ... +Z>«P(n-I)ft
&n + M+ ... +*n-ip("“1)A
&2 + ô3pft+ ... +
С другой стороны, ясно, что
61 + b2pk +... + 6np<n-1} к = 1. (ft, + 62pft+• • • + 6»p('t"1) k),r
6n+ 61Pft + . . . + к = pft (б, + 62pft+ . . . + 6np(n-1) *),
+ =P(a-1)ft(61 + 62p4...’ ' * ’ І
153
Следовательно, столбец (36) является произведением столб¬
ца (35) на число (34). .
Это означает, что произведение матрицы (33) на матрицу Р
со столбцами (35) равно произведению матрицы Р на диагональ¬
ную матрицу А с диагональными элементами (34). (На языке
линейной алгебры матрица Р трансформирует матрицу (33)
в диагональную матрицу А, т. е. столбцы матрицы Р являются
собственными векторами матрицы (33), принадлежащими соб¬
ственным значениям (34)). Переходя к определителям и сокра¬
щая на определитель матрицы Р (который, являясь определите¬
лем Вандермонда различных чисел Г, р, р2, ..., р"“1, отличен от
нуля), мы получим, что определитель матрицы (33) равен опре¬
делителю матрицы А, т. е. равен произведению чисел (34). И
Для определителя (30) числа (32) имеют вид
ln|l-(A| + pftln|l-atl+ ...
... 4-p('n-1)fc In 11 —
где р — первообразный корень из единицы степени
tn = Z ~ 1 . Так как р = Ѳ2, где Ѳ — первообразный
корень из единицы степени 2т = Г— 1 и ln|1 —
— <jmÇ| =1п|1—I =1п|1 —£|, то мы получаем,
следовательно, что определитель (30) равен произве¬
дению m чисел
(37) сА — In I 1 — Ç I + Ѳ "k In I 1—ert I + ...
... +02(m-1)fcln|l-a"‘-,gl= '
= É 02/fcln| l /г = 0, 1, .... tn-I.
/=o
Поэтому доказательство предложения 4 сводится к до¬
казательству ТОГО, ЧТО ЧИСЛЯ Со, С1> • • • , Gn-1 отличны
от нуля.
Число со легко вычисляется. Так как 11 —=.
= 11 — I > то
Со = In 11 — Ç I + In I 1 — ag I + ... + In 11 — om *51 =
= ln|(l-Ç)(l-oO =
= l|n|(l-O(l-o£) ... .
... (1 - ^Л) (1 - (1 - - G - ==
= | Ini A7(l — 01-
154
Поскольку 2V(1 — £) = Z, этим доказано, что
(38) с0 = 4-1п/.
Таким образом, действительно Cq 0.
Тем самым все сводится к доказательству следую¬
щей леммы:
Лемма 2. Числа , ст_\ отличны от нуля.
Мы докажем эту лемму позже (в § 15). я
Заметим, что поскольку определитель (30) являет¬
ся антициркулянтом, все его столбцы состоят из од¬
них и тех же чисел. Поэтому сумма элементов каждого
столбца равна сумме элементов первого столбца. Но
эта сумма равна по определению с0. Ввиду формулы
(38) это доказывает, что
(39) А1 + £2+ ... +Lm = 4ln/-£-
где Е — вектор (1, 1, ..., 1).
Формула (39) по существу является лишь перево¬
дом формулы (38) на язык векторов. Однако формулу
(38) можно записать на языке векторов и другим спо¬
собом, допускающим важное обобщение. Действитель¬
но, поскольку определитель (30) симметричен, сумма
элементов каждой его строки также равна со. Поэтому,
обозначая для любого вектора X = (хі,..., xm) е R'”
через SX сумму его компонент:
2 X = Хд 4- ... + хт,
мы можем: формулу (38) записать в следующем виде:
(40) 2£г=у1п/, і=1,2, ..., ш.
Обобщением этой формулы является тождество
(41) S£a = ~lnAfa,
имеющее место для любого элемента a œ Di. Доказа¬
тельство этого тождества повторяет доказательство
формулы (38) : так как om+ka — o*a, то
:г’ ^a = |a•cra• ... •ош”1а|2,
155
потому
у In Ata = In I а • ста • ..." • о'”~,а | =
= In I а I -J- In I sa I ~t~ • •• + In I o'" *aJ = S La. В
’ Для любого элемента а еД коэффициенты
А?і(сс), ..., хт(а) разложения (29) составляют некото¬
рый вектор
X(a) = (xj(а), хт(а))гR"1.
Тем самым возникает отображение X: Dï-+Rm, по¬
добно отображению L переводящее умножение в DÎ в
сложение в Rm, т. е. такое, что
X(a₽) = X(a) + X(p)
для любых элементов a, реД/. (Отображения L и
X отличаются друг от друга на линейное преобразова¬
ние пространства R"1 с определителем (30).)
Легко видеть, что для каждого элемента aeDÎ
справедлива формула
(42) SX(a) = log^a.
Действительно, ясно, что S является линейным функ¬
ционалом, т. е. S(Xi + Х2) = SXi + SX2 и S(cX) =
= cSX для любых векторов Xi, Х2, X е R'" и любого
числа с е R. Поэтому (см. формулы (40) и (41))
ylnATa = SLa=x1(a)SLi4- ... 4- хт(а)SLm =
; • = (Х1 (а) + ... 4- хт (а)) • У In I = S X (а) • у In I,
и, следовательно,
SX(a) = 4^- = logztfa. и
Предложение 7. Число аей/ тогда и только
тогда является:
і) единицей, когда SX (а) = 0;
■,.і іі) корнем из единицы, когда Х(а) = 0;
ііі) специальной единицей, когда SX(a) = 0 и век¬
тор Х(а) целочислен (все его компоненты являются
целыми числами), - ' • :
156
Доказательство. Мы знаем (см. стр. 68), что
число а œ D*i тогда и только тогда является единицей,
когда Na = 1. В силу (42) это доказывает і).
Аналогично Х(а) = 0 тогда и только тогда, когда
I<j/a] = 1 для всех / = О, 1, ..., т — 1, т. е. — в дру¬
гих обозначениях — когда | ос<*>| = 1 для всех k =
== 1, ..., I— 1. Поэтому іі) следует из предложения 2
§ 6 (и сделанного в § 5 замечания).
Если для числа а<=£)? все числа хх (а) — пі, ...
.... хт(а) = пт целые, то мы можем образовать
число
(43) e = (l-a£)n‘ ... (l-<T°t)>
Ясно, что Х(а) =Х(е)', т. е. Х(а8-1)’= 0, и потому
(утверждение іі) и предложение 1 § 6) а = ± £ае. Об¬
ратно, если а = ±£°е, где в имеет вид (43), то X (а) =
= Х(е) = (ni, ..., Пщ). Это вместе с і) доказывает
ііі). я
Множество (решетку) всех целочисленных векто¬
ров из Rm будем обозначать символом Zm.
Для любого вектора X = (хі,..., хт) е R”, поло¬
жим
IlX || = max ( |xj I I xm I).
Предложение 8. В кольце Di имеется лишь ко¬
нечное число вещественных чисел р, для которых
||Л’(Р)|| const.
До к а з а те л ьств о. Если ||Х(р) || const, то
Il L0 ||< const •• max ( Ц Lx || || Lm || ),
т. е. Il L0II const, и потому
I I const для любого k = 0,1, ..., m — 1.
Следовательно, согласно формуле (24),
I lbk К const • max(| t]é — 21, ..., | ш+т-і — 2 I),
т; e. I lbk I < const, и потому | bk | const для любого
k = 0,1, .m.
Это доказывает предложение 8, поскольку неравен¬
ству I b I const удовлетворяет лишь конечное число
целых чисел Ь. в
С л е д с т в и е. В кольце Di имеется лишь конечное
число единиц е, для которых ||Х(е)|| const.
157
Доказательство. Согласно предложению 3
§ 6 имеет место равенство е = Çaeo, где ео — вещест¬
венная единица. При этом Х(е) = Х(ео). Поэтому чис¬
ло всех единиц е с ||Х (е) || const равно умноженному
па 2/ числу всех вещественных единиц ео с ||Х(ео) II
const, а, согласно предложению 8, последнее число
конечно, а
Теперь мы можем доказать основное предложение
этого раздела: . , . .
Предложение 9. В кольце Di существует т.а-
кое конечное множество {еі, ..., e,t} единиц, что лю¬
бая единица seDi представляется в виде е,т), где
т) — специальная единица.
Доказательство. Пусть Х(е) — (%і, .... xm),
и пусть ni, ..., nm — такие целые числа, что
1*1 «ll^Tj", • • • > I *m— 1 «m-ll^y
И
«m =—(«1+ ••• + «m-l)- •
Тогда определена специальная единица
n = (l-G£)ni ... (1 -
и для единицы ет]-1 имеют место неравенства
Ixi^î]"1) І = І*і — «іКу.
I 1 (еЛ ') I — I 1 «m—11^2’
I *йі (®Л 91 = 1 *zn «m I =
= l(*l + ••• +*m-l) — («1+ ••• +«m-l)l^
=С1*1—«11+ ••• + I Xm-1 —
Для завершения доказательства осталось заметить,
что, согласно следствию из предложения 8, в кольце
Di существует лишь конечное число единиц еі, ..., еп,
удовлетворяющих неравенствам
І*і(еі)|<у, ІХ/и-і^Ку, |хт(е<)|<^~.;и
158
Выбрасывая, если нужно, лишние единицы, мы мо¬
жем считать, что множество {еі, ..., ert} минимально,
т. е., что для представления единиц кольца Di в виде
ezï) необходимы все единицы еі, ..., еп. Но тогда легко
видеть, что для любой единицы е е Di представление
е = ед] единственно, т. е. индекс і однозначно опреде¬
лен единицей е. Действительно, если, например, еіТ)і =
=. C2Î12, где т| 1 и т)2 — некоторые специальные единицы,
то 62 = eiT)', где ц' = 'Пі'ПГ1— специальная единица,
и потому любое представление вида в = е2ц мы можем
заменить представлением вида е = еі (tj't)) . Значит,
без единицы е2 мы можем обойтись, что противоречит
минимальности множества {еі, ..., еп}.
Тем самым доказано, что условие К из § 6 выпол¬
нено для любого простого числа I и потому в теореме 1
§ 9 (и в предложении 7 § 6) его можно не упоминать.
Таким; образом, из трех условий, наложенных в
теореме 1 § 9 на число I (регулярность, куммеровость
и условие К) у нас остались только первые два. Как
выше уже было сказано, эти условия на самом деле
равносильны (ибо h = йіЛ2). Поэтому в силу предло¬
жения 3 мы можем эту теорему сформулировать в сле¬
дующем окончательном виде:
Теорема Куммера. Теорема Ферма справед¬
лива для простого числа I, если это число не делит
числителей чисел Бернулли
Ба, •. •, В is. ■
Выше мы проверили условия этой теоремы для I =
= 5, 7, 11. Поэтому при I ^11 теорема Ферма верна.
При I — 37 эти условия не выполнены, и потому на
вопрос, верна ли при I = 37 теорема Ферма, теорема
Куммера ответа не дает.
Аналогичная — по существу автоматическая — про¬
верка выявляет, что, кроме известного уже нам числа
37, среди простых чисел первой сотни нерегулярны ( =
нёкуммеровы) еще только два числа 59 и 67 (стоит за¬
метить, что, например, при "I = 67 число йі равно
853 513 = 67« 12 739, так что здесь мы имеем дело с
очень большими числами). Как было сказано на
стр. 17, уже сам Куммер специальным рассужде¬
нием’доказал теорему Ферма и при 1 = 37, 59, 67.
159
К настоящему же времени найдены все нерегулярные
простые числа 100 000, и для них также проверена
справедливость теоремы Ферма.
Следует, однако, подчеркнуть, что теорема Кум¬
мера у нас на самом деле пока еще не доказана. Что¬
бы ее доказательство было полным, нужно доказать
формулу h = h\ha для числа классов идеалов кольца
Di (и также использованную выше лемму 2 о числах
Ci-, ..., Ст-1). Мы сделаем это в следующих парагра¬
фах. Только после этого теорему Куммера мы сможем
считать доказанной.
§ 13. Свойства дивизоров
Доказательство формулы Куммера h = hih2, в це¬
лом чисто аналитическое, опирается все же на некото¬
рые арифметические факты о дивизорах в кольце Di.
Мы изложим их в этом параграфе.
Пусть сначала D — произвольное кольцо, допу¬
скающее теорию дивизоров (удовлетворяющую аксио¬
мам 1—3 из § 8).
Для упрощения формул мы, как правило, будем в
обозначении главных дивизоров опускать скобки, т. е.
вместо (а) = а будем писать просто а = а. Необхо¬
димо четко понимать условный характер этой записи:
так, в частности, иза = аир = а следует только, что
а ~ р. Утверждение, что а делится на а, будет, как
и выше, означать, что (а) делится на а. Поскольку а
делится на р тогда и только тогда, когда (а) делится
на (Р), это терминологическое упрощение к недоразу¬
мениям привести не должно.
В соответствии с этим соглашением дивизор (cq,...
,.., as) будет теперь наибольшим общим делителем
элементов ai, .... а*. Если этот дивизор равен е,
то элементы ai,..., a* называются взаимно простыми
(в кольце D). Это имеет место тогда и только тогда,
когда существуют такие числа рі, ..., р/> g D, что
(1) Рі«і+ ... +РАаЛ=1.
Таким образом, это определение взаимной простоты
сильнее того, которым мы пользовались в § 4 (но
совпадает с ним в случае евклидовых колец, на кото¬
рые по существу и был ориентирован § 4)-.
160
Заметим, что числа at, ,,,, ak^ZczD тогда и
только тогда взаимно просты в этом смысле (в D),
когда они взаимно просты в обычном смысле (в Z).
Действительно, если эти числа взаимно просты в Z,
то равенство (1) (с осі = at, = а*), как из¬
вестно, выполнено (с Рі, .... P^eZ). Если же числа
Оі, .... ak не взаимно просты в Z1 и потому имеют
общий делитель d> 1, то равенство (1) невозможно
ни при каких рі, ..., P*е=D, поскольку его левая
часть будет делиться на d. я
Пусть а — дивизор кольца D, и пусть а, р œ D. Мы
будем писать
a = pmod а
и говорить, что а сравнимо с р по модулю а, если эле¬
мент а — р делится на дивизор а. Эти сравнения обла¬
дают всеми стандартными свойствами равенств (их
можно складывать, перемножать и т. д.; только сокра¬
щение обоих членов сравнения на общий множитель не
всегда допустимо; для этого нужно, чтобы этот мно¬
житель был взаимно прост с а).
Следующее предложение в элементарной теории
чисел известно как «китайская теорема об остатках»:
Предложение 1. Для любых попарно взаимно
простых дивизоров ai,..., as и любых элементов ai,...
..., as кольца Р существует такой элемент g Œ £>, что
gsaj mod ab
g ss о$ mod (ts.
Доказательство. Пусть b,-, i = 1, .,., s, —1
произведение всех дивизоров ai, ..., as, за исключе¬
нием дивизора a,-. Ясно, что дивизоры hi, .... взаим¬
но просты, и, значит, существуют такие элементы
рі, ..., ps, делящиеся соответственно на дивизоры
Ьі, l>s, что
(2) Р1 + Р2+ ... +PS=1.
По построению каждый дивизор а, делит все дивизоры
Ь/, / т6 і, а значит, делит и все элементы р/, / #= і. По¬
этому из равенства (2) вытекает, что p(-^lmoda».
Следовательно, элемент
g = aiPi+ ... + «А
6 М. М. Постников
161
обладает тем свойством, что '
^ = azpz = atmod az
для любого і — 1, ..., s. в
Согласно аксиоме 3 § 8 для любого дивизора а су¬
ществует такой элемент у œ D, что у = ас, где с — не¬
который дивизор. Оказывается, что дивизор с можно
всегда выбрать так, чтобы он был взаимно прост с лю¬
бым наперед заданным дивизором Ь.
.Предложение 2. Для любых двух дивизоров
а и Ь существует такой элемент у œ £>*, что у = ас, где
(Ь, с) = е, т. е. такой, что
(аЬ, у) = а.
Доказательство. Пусть Ѵі, . • •, Vs— все про¬
стые дивизоры, на которые делится дивизор аЬ, и пусть
—наивысшая степень дивизора Ѵь на которую де¬
лится дивизор а (случай ai = 0 не исключается). Для
любого і — 1, ..., s выберем произвольный элемент
ai Œ £)*, делящийся на но не делящийся на
(элемент ai существует — им будет каждый элемент
идеала [pzz], не принадлежащий идеалу [pzi+1]). Со¬
гласно предложению 1 существует такой элемент у е=
œ D*, что
у = а. mod
для любого і = 1, ..., s* Так как а/ делится на то
у делится на ... — а, т. е. у = ас.
Ясно, нто ни один из дивизоров Ѵь ..., Vs не может
делить дивизор с, так как, если V/ делит с, то у делится
на и, значит, ai делится на что невозмож¬
но. С другой стороны, каждый простой дивизор, деля¬
щий дивизор Ь, делит дивизор аЬ и потому является од¬
ним из дивизоров pi, ..., Vs. Следовательно, дивизоры
Ь и с не имеют ліи одного общего простого делителя,
т. е. (Ь, с) = е. ■
Для колец D, удовлетворяющих условиям теоремы 4 § 10
(для которых, следовательно, дивизоры могут быть отождествле¬
ны с идеалами), из предложения 2 вытекает, что любой идеал А
кольца D порождается двумя элементами;
А=т=(а, Р).
162
Действительно, согласно предложению 2 §.10, существуют такой
идеал В и такой элемент а, что АВ = а, a согласно предложе¬
нию 2, существует такой элемент р, что (ЛВ, Р) = А. И
Поскольку отношение «быть сравнимым по модулю
дивизора а» является, очевидно, отношением эквива¬
лентности, кольцо D разбивается на непересекающиеся
классы сравнимых друг с другом по модулю дивизора
а элементов. Ясно, что эти классы являются не чем
иным, как смежными классами кольца D (рассматри¬
ваемого как группа по сложению) по его идеалу [а]
(рассматриваемого как подгруппа группы D).
В дополнение к аксиомам 1—3 § 8, определяющим
теорию дивизоров, мы потребуем теперь выполнения
еще следующей аксиомы:
.Аксиома N. Для любого дивизора а кольца D
множество всех классов элементов этого кольца, срав¬
нимых друг с другом по модулю а, конечно.
В кольце D, удовлетворяющем условиям теоремы 4
§ 10, каждый идеал А имеет ранг п, и потому фактор¬
группа D/А, т. е. множество смежных классов D по А,
конечна (см. стр. 113). При А = [а] мы получаем,
следовательно, что аксиома N выполнена в каждом
кольце, удовлетворяющем условиям теоремы 1 § 10
(а, значит, в частности, и в кольце Di).
Число классов кольца D по модулю а обозначается
символом Na и называется нормой дивизора а.
Аксиома N означает, что в кольце D существует
N = Na элементов аі, ..., адг, обладающих тем свой¬
ством, что любой элемент кольца D сравним по мо¬
дулю а с одним и только одним из этих элементов. Го¬
ворят, что элементы ..., составляют полную си¬
стему представителей классов кольца D по модулю а.
П р е д л о ж е и и е 3 (мультипликативность
нормы). Для любых двух дивизоров а и b кольца D
имеет место равенство .
^(аЬ) = Ла- Nb.
Доказательство. Пусть. • у — такой элемент
кольца D, что
у — ас и (Ь,. с) = е
6*
163
(см. предложение 2). Пусть, далее,
аь ... ан, N = Na,
и
Рм, М = №Ь,
— полные системы представителей смежных классов
кольца D по модулю дивизоров а и b соответственно.
Для доказательства предложения 3 достаточно дока¬
зать, что NM элементов
(3) а{ + р/у, і = 1 N, j= 1, .... М,
составляют полную систему представителей смежных
классов кольца D по модулю дивизора аЬ, т. е. что:
а) никакие два элемента вида (3) не сравнимы по
модулю дивизора ab;
б) любой элемент а œ D сравним по модулю диви¬
зора аЬ с одним (и, согласно а), только с одним) эле¬
ментом вида (2).
Но если
аі + Р/Y = аі’ + P/'Y mod
то, тем более,
+ PfY s* а«' + P/'Y mod tt.
Поскольку y s 0 mod а, отсюда следует, что а, s=
= аг mod а и, значит, і = і'. Кроме того,
P/Y а P/zY mod ofc,
т. e. (P, — Py,) y = abiH, где m — некоторый дивизор, и
потому
(ру — ру,) ас = абш.
Следовательно,
(Py-Pr)c = bm.
Поскольку (Ь, с) = е, отсюда следует, что р, — Ру< s
ss 0 mod b и, значит, / = Это доказывает а).
Пусть теперь а е Л По условию существует такой
элемент ou, что a s ai mod а. Снова применяя предло¬
жение 2, найдем такой элемент 0^0 mod с, что
(Ô, саЬ) = с,
164
т.е. такой, что Ô = tb', где (Ь, аЬ)" = е. Так как элемент
Ça — ai) ô делится на дивизор acb — (у) b, то он делится
и па элементу, т. е.
(a-af)ô
С другой стороны, так как дивизоры с и b взаимно
просты с дивизором Ь, то элемент Ô также взаимно
прост с дивизором Ь, откуда следует, что все элементы
(4) ôp„ .... 0рЛІ
несравнимы друг с другом по модулю Ь. Действитель*
но, если Ô₽i s SP/ mod b, то элемент ô (Р< — Р/) делится
на Ь, и, значит (поскольку элемент ô взаимно проси
с Ь), элемент р,-— Р/ делится на Ь, что возможно толь*
ко при і = /. Поскольку число элементов (4) равно М,
этим доказано, что они также составляют полную си¬
стему представителей смежных классов кольца D по
модулю дивизора Ь.
Поэтому, в частности, существует такой индекс
что _ _
- mod b.
Но тогда
yôp< s (а — at) ô mod (у) b,
т. е.
yôP; = (a — aj ô mod abc.
Полагая
A = a — aL — P/у,
мы получим отсюда, что
Aô = О mod abc,
т. e. что. дивизор (A )cb делится на дивизор abc. Поэто¬
му дивизор (A) b делится на дивизор ab, а так как по
условию (b, ab) = е, то на дивизор ab делится и эле¬
мент А. Таким образом, A s Omodab, т. е.
a = a/ + P/Y mod ab.
Это доказывает б). s • ’
Другое доказательство предложения 3 дано в ТФ на
стр. 106—109, . -
16S
Пусть аддитивная группа кольца D является ре¬
шеткой ранга п с базисом ©і, .... ©л. „
Так как элемент
a = a1O1+ ... +an®„
кольца D тогда и только тогда делится на целое ра¬
циональное число Z, когда все коэффициенты
«1, ..., ап делятся на а, то, заставив каждый коэффи¬
циент ai, ..., ап пробегать полную систему представи¬
телей смежных классов кольца Z по модулю |а| (на¬
пример, систему 0, 1, ..., |а] — 1), мы получим пол¬
ную систему представителей смежных классов кольца
D по модулю главного дивизора (а). .
Этим доказано, что если a = (а), то Na = |a|". ■
Задача. Докажите, что для любого главного дивизора (а)
кольца D имеет место равенство
(5) AT(a) = |Wa|.
Обобщая обозначение, введенное в § 5, мы для лю¬
бого многочлена
Г(Х) = аДт + а1Г‘-,+ ... + am
с коэффициентами из кольца D будем символом [F]
обозначать дивизор, являющийся наибольшим общим
делителем его коэффициентов:
[F] = (a0, а1( ..., а,д).
Предложение 4 (лемма Гаусса для
кольца D). Для любых двух многочленов F(X) и
G (X) имеет место равенство
(6)
Доказательству этого предложения мы предпошлем
две леммы. '
■ Лем м а 1. Если простой дивизор у не делит ни ди¬
визор [F], ни дивизор [G], то он не делит и дивизор
[fcy.
Доказательство (ср. с доказательством лем¬
мы 1 § 5). Пусть
F (X) = aaXm + а,*'”-1 + ... + ami
G(J) = p0r + pir-14- ... +р„,
F(X)G(X) = YoXm+n4-Y1Xra+n-1+ ... + Ym+n,
166
и, следовательно,
Y* =ao₽fe + аЛ-і + ... +аД, k = 0, 1, ..., т + п,
где мы условно считаем, что а; = 0 при і > in и 0/ =
= 0 при / > п. .
Так как р не делит [F], то существуют индексы
і > О, для которых at не делится на р. Пусть іо — наи¬
меньший из этих индексов, так что коэффициент
не делится на у, а (при і0 > 0) коэффициентыа0) 04,..?
.. .,at.o_r на у делятся. Аналогично, пусть /о — наимень¬
ший из всех индексов, для которых р, не делится на р.
Тогда
. Y/0+/0 = “Л + • • • = <Ч₽/о mod J),
ибо в невыписанных слагаемых а,Р/ либо і < іо, либо
/ < /о. Но, поскольку дивизор р прост, число аІ0Р;о не
делится на у. Таким образом, коэффициент у/э+/о, а,
значит, и дивизор [FG], на р не делится, и
Лемма 2. Для любого многочлена F с коэффи¬
циентами из D и любого простого дивизора р кольца D
существует такой элемент g поля отношений К, что все
коэффициенты многочлена %F лежат в D, а дивизор
[gF] не делится на у.
Доказател ьство. Пусть дивизор [F] делится на
р°, но не делится на ро+І. Поскольку при а = 0 утвер¬
ждение леммы 2 очевидно, мы без ограничения общно¬
сти можем считать, что а > 0.
Пусть a — произвольное, отличное от нуля число,
делящееся на р°, и пусть a = p°a. Согласно предложе¬
нию 2 существует такой элемент р е D, что р = ab,
где (Ь, у) = е. Мы положим g = -|-.
Рассмотрим произвольный коэффициент а* много¬
члена F(X). По условию a*=))a+Ofta*, где ак 0 и
(à*; р) = е: Поэтому число Pa* = ap°.bpa,!a* делится
на число а = ар0. Следовательно, каждый коэффи¬
циент многочлена ѢД лежит в D.
Кроме того, мы видим, что ga* = рвА|>а*, где
(Ьа*. р) = е. Поскольку существует индекс k, для ко¬
торого ак = 0 (в противном случае дивизор [F] де¬
лился бы на р°+1), это доказывает, что наибольший
общий делитель [gF] коэффициентов ga* не делится
на р. ■
167
Доказательство предложения 4. пусть
у — произвольный простой дивизор кольца D, и пусть
j[F] делится на ра, но не на У’+’, а [G] делится на р&,
но не на уг’+1. Нам нужно доказать, что [FG] делится
на р“+6, но не на ра+ь+1.
Согласно лемме 2 в поле К существуют такие эле¬
менты g, т) е К, что все коэффициенты многочленов £F
и ï)G лежат в D, но дивизоры [£F] и [tjG] не делятся
на р. При этом (см. доказательство леммы 2)
' 0 ô
Е = —, т) = —,
= а ’ 1 у ’
где
Р = аЬ, а = ар“, ô = cï>, у = срь,
причем (Р, р) = е и (Ь, р) = е. Кроме, того, так как
ау (gt]FG) = ₽ô (FG), то (ау) [gï)EG] — (Pô) [FG], и, значит,
acpa+6[gî]FG] = ac6c [FG],
T. e.
pa+ft [£t]FG] = Pc [FG].
Поскольку (Pc, p) = e, этим доказано, что дивизор
[FG] делится на ра+6. С другой стороны, согласно лем¬
ме 1, дивизор [£r]FG] не делится на р, и потому диви¬
зор [FG] не делится на р°+6+1. н
Ясно, что аналог формулы (6) справедлив и для
любого (конечного) числа многочлена.
Предположим теперь, что кольцо D удовлетворяет
условиям теоремы 1 § 10, так что, в частности, задано
п его мономорфизмов аі->а(,,), і = 1, ..., п, в поле С
комплексных чисел, т. е. п изоморфизмов на некоторые
подкольца D& поля С. Кольцо D (и его поле отноше¬
ний К) называется нормальным, если эти подкольца
совпадают:
/Я= ... =яЧ
Если (см. § 10) мы отождествим а с а(І), т. e. D
с D<1\ то это условие будет равносильно требованию,
чтобы для любого і = 1, ..., п и любого а e D имело
место включение а(,) e D. Это показывает, в частно¬
сти, что кольцо Di нормально.
Положив о,а = а(‘\ і = 1, ..., п, мы получим не¬
которые автоморфизмы о,: £>—>£) кольца D. (Мы
168
предполагаем 'произведенным отождествление а=а(1);
в противном случае следует рассмотреть отображе*.
ния о»,-: аь-где BœD — такой элемент, что
}
Задача. Покажите, что:
1) Автоморфизмы оі, ..., ая составляют группу (по отноше¬
нию к композиции).
2) Любой автоморфизм кольца D является одним из авто¬
морфизмов ал-
Группа всех автоморфизмов нормального кольца D (или,
что равносильно, его поля отношений Z<) называется группой
Галуа кольца D (или поля /().
Группа Галуа кольца Di является циклической группой
порядка I—1 с образующей а: а(£)н->а(£е). См. задачу на
стр. 61.
Согласно теореме 1 § 10 дивизорами кольца D мож¬
но считать его идеалы. В более педантичной формули¬
ровке это означает, что соответствие си—■> [а] между
дивизорами и идеалами (см. § 8) для кольца Z), удо¬
влетворяющего условиям теоремы 1 §_ 10, биективно.
В частности, это соответствие биективно для любого
нормального кольца D,
Пусть теперь а — произвольный дивизор нормаль¬
ного кольца D и [а] —соответствующий идеал. Ясно,
что для любого і = 1, ..., /г, множество [а](/), состоя¬
щее из всех элементов вида = cw, где czœ [а],
является идеалом кольца D и потому имеет вид [а(0]
для некоторого однозначно определенного дивизора
Тем самым мы получаем п отображений
ан-> a(Z), і = 1, ..., п,
моноида дивизоров 3) на себя. Очевидно, что каждое
из этих отображений является автоморфизмом, т. е.
(аЬ)(0 = а(06и)
для любых двух дивизоров а, Ь и любого і = 1, ..., и.
По определению идеал [а(/)] является образом
идеала [а] при автоморфизме о;-. Поэтому автомор¬
физм ві индуцирует биективное отображение множе¬
ства смежных классов кольца D по идеалу [а] на мно¬
жество смежных классов кольца D по идеалу
В частности, эти множества имеют одно и то же число
элементов. Этим доказано, что
(7) • Nb{i} = Nb для любого і = 1, п.
169
По построению аиг= а,'но равенство а(0 •== а воз¬
можно и при і > Г.
Задача. Покажите, что если среди дивизоров а(1\ ..., а(Л)
имеется е различных, то е делит п и каждый из этих е различ¬
ных дивизоров встречается в ряду дивизоров а(1\ ...., а(п> ровно
/'== — . раз. (Указание. Совокупность всех а/, для которых
а(/) = а, является подгруппой группы Галуа кольца D.)
Для каждого многочлена F(X) с коэффициентами
из D мы будем символом F^(X) обозначать много¬
член, получающийся в результате применения авто¬
морфизма 0і ко всем коэффициентам многочлена F(X) .
Очевидно; что
[F(t)] = [F](t) • для любого Z= 1,
Поэтому, согласно предложению 4, имеет место равен¬
ство
[рjü) t ф
Но ясно, что для каждого коэффициента а многочлена
F коэффициенты многочлена представляет
собой симметрические многочлены от а(1\ ..., а(п). По¬
скольку элементарные симметрические многочлены от
а(1), ..., а(п) являются по условию целыми числами,
отсюда следует, что коэффициенты многочлена
/7(0 '.. f'(n) лежат в Z. Поэтому их наибольший общий
делитель ... Лп>] представляет собой некоторое
целое рациональное число ae 'Z (т. е., точнее, являет¬
ся главным . дивизором вида (а)). Это число одно¬
значно определено с точностью до ассоциированности,
т. е. — в данном случае — с точностью до знака. Этим
доказано, что для любого дивизора a = [F] кольца D
существует такое однозначно определенное положи¬
тельное целое число а, что
(а) = а(І)... a<n>.
Перейдя в этом равенстве к нормам и учтя, что
а > 0, мы в силу предложения 3 и формулы (7) полу¬
чим, что
an = (Na)n,
и, следовательно, что а = Na. Этим доказано следую¬
щее предложение: ■ ;
170
Предложение 5, Для любого дивизора а нор¬
мального кольца D имеет место равенство
(8) Мі = а(І)... а*'”. и
Предложение 4 объясняет выбор термина «норма»
для числа Na. Ясно также, что формула (5) немед¬
ленно вытекает из формулы (8). Таким образом, для
нормальных колец формулу (5) мы можем считать до¬
казанной.
В частности, мы видим, что формула (5) справед¬
лива для любого элемента а е Ьі. При этом, так как
Na 0 в кольце А, то мы окончательно получаем, что
для любого элемента аЕ £>; имеет место формула
(9) N(a) — Na.
Из формулы (8) следует также, что целое рацио¬
нальное число Na делится в кольце D на дивизор а.
Впрочем, этот факт можно легко установить и не¬
посредственно, и причем для любого (не обязательно
нормального) кольца D, удовлетворяющего лишь ак¬
сиоме N.
Действительно, пусть
(10) аь ...,a,v, N = Na,
— полная система представителей смежных классов
кольца D по а. Ясно, что элементы
(10х) а, 4- 1, ..., aN + 1
также будут составлять полную систему представите¬
лей (если а,- + 1 s а/ 4- 1 mod а, то s aj mod а и,
значит, і = /; если а — 1 а, mod а, то а s а,- 4¬
4-1 mod а). Это означает, что каждый из элементов
(10х) сравним по модулю а с одним и только одним из
элементов (10). Поэтому сумма всех элементов (10х)
будет сравнима с суммой всех элементов (10), т. е.
разность этих сумм будет делиться на а. Но ясно, что
эта разность равна N = Na. ■
Пусть теперь у — произвольный простой дивизор
кольца D.
Предложение 6. Справедливы следующие ут¬
верждения:
1. Существует одно и только одно простое число
р е Z, делящееся на дивизор р.
171
2. Для нормы Ny дивизора р имеет место равенство
№р = рг, '
где f — некоторое целое число, удовлетворяющее не¬
равенствам 1 f п.
3. Для любого элемента а е £> имеет место сравне¬
ние
(11) a^samodp.
4. Число Ny является наименьшим положительным
числом, обладающим свойством (11) (по отношению
ко всем элементам аеО).
Доказательство. 1. В кольце Z существуют
отличные от нуля числа, делящиеся на дивизор р (та-
кпм числом будет, например, норма Ny дивизора у).
Поэтому (в виду простоты дивизора р) в Z существуют
и простые числа, дёлящиеся на р. Два простых числа
р и q дивизор р делить не может, так как числа р и q
взаимно просты (в Z, а потому и в D). Следователь¬
но, простое число р, делящееся на р, единственно.
2. Если р = pa, то Nf-Na = Np = рп, и потому
Ny =. pf, где 1 f п.
3. Так как дивизор р прост, то прост и идеал [р]«
Следовательно, этот идеал максимален, откуда непо¬
средственно вытекает, что факторкольцо D/[p] не имеет
нетривиальных идеалов. Поэтому любой отличный от
нуля элемент этого факторкольца обратим (в против¬
ном случае он порождал бы нетривиальный идеал) и,
значит, факторкольцо £>/[р] является полем. Следова¬
тельно (см. стр. 65), его отличные от нуля элементы
составляют циклическую группу порядка Ny— 1. По¬
скольку при возведении любого элемента конечной
группы в степень, равную порядку группы, получается
единица группы, этим доказано, что
= J moc[p
для любого элемента a М5 О mod р кольца D. Умно¬
жив это сравнение на а, мы и получим сравнение (11),
которое при a = 0modp справедливо автоматически.
4. Поскольку группа отличных от нуля элементов
поля £>/[р] циклична, в ней существует элемент поряд¬
ка Ур— 1. Поэтому в кольце D существует элемент а,
для которого число Nÿ является наименьшим положи¬
тельным числом, обладающим свойством (11). s
172 ' '
Утверждение 3 этого предложения является обобщением на
любые простые идеалы малой теоремы Ферма. Его доказательство
повторяет доказательство теоремы Ферма (см стр. 25).
Предусмотренное утверждением 2 число f назы¬
вается степенью простого дивизора р.
Предложение 7. Любое простое число р е Z;
является в кольце D произведением не более чем п про¬
стых дивизоров (среди которых могут быть и совпа¬
дающие).
Доказательство. Если р = рі ... то рп =
—Np=Npx... . pfk, и потому fi+ ... =:
= п. Поскольку fi 1, ..., fk 1, это возможно
только при k п. и
Пусть теперь D = Dt.
Следствие. В кольце Dt главный дивизор 1 =
=. (Л), где К = 1 — Ç, является простым дивизором.
Доказательство. Мы знаем (см. § 5), что I
~ Х/_1, т. е. что I = І/_1. Поэтому, если дивизор I был
бы не простым, то число I было бы произведением бо¬
лее чем I— 1 простых идеалов, что, согласно предло¬
жению 7, невозможно (напомним, что п — 1 — 1 для
кольца Di), о
Этим свойством мы пользовались в § 9 (см,
стр. 102).
Покажем теперь, что в кольце Dt никакое простое
число р I не делится на квадрат простого дивизора.
Действительно, пусть 'существует простое число
р 1\ делящееся на квадрат простого дивизора р. Рас¬
смотрим произвольное число а = a(Ç) е Dt, делящее¬
ся на р, но не делящееся на р2. Так как а(Х)р =.
a(Xp)moâ р (см. формулу (11) § 1), то
apt~ * = а (£)р1 * = а (&р1 ’) mod р,
а так как р1~1 '= 1 mod /, то £р/ и потому a(çp/ ')=
== а(£) = а. Следовательно,
ар1 1 = а mod р,
и потому
ар/ 1 mod))2.
173
■■ ■ :■ Dl-l 6 ■ .. '
Ho p'"4 2 », значит, a делится на a2, a поэтому
и на p2. Следовательно,
' a = apl ' = 0 mod p2,
что противоречит выбору a. Полученное противоречие
показывает, что простого числа р ф I, делящегося на
р2, существовать не может, в
Таким образом, в кольце Di для любого простого
числа р ф I имеет место равенство вида
(12) р = р1...ре,
где Рі ... Ре различные простые дивизоры, а е
^/—1.
Пусть теперь р = Рі и Wp = рі. Возведя равенство
(12) в степень f, мы получим, что
Np = p{... pt
Но, с другой стороны, согласно предложению 5,
• ïVp = p(1)...p<z-1).
Поскольку разложение любого числа в произведение
простых дивизоров единственно, отсюда следует, что
каждый из дивизоров Рі... ре ровно /раз встречается
среди дивизоров р(1),..., p(z-1> так, что, в частности,
fe = 1—1. Кроме того, так как Wp<° = pf для любого
і = 1,..., I — 1, то Л^Рй = pf для любого k = 1,..., е.
Этим доказано следующее предложение:
Предложение 8. Любое простое число р ф I
имеет в кольце Dt разложение вида
P = ₽!... Ре,
где Рі, .... Ре — различные простые дивизоры. Число е
этих дивизоров делит число I — 1. Все дивизоры рь ...
»... ре имеют одну и ту же степень f, равную 1~ 1 .
Степень f произвольного простого дивизора р I
кольца Di делит I— 1. Если дивизор р делит простое
число р, ТО'. . .
а) число р делят дивизоры р(1), ..., p(Z-1) и только
эти дивизоры', л .
474
б) степень каждого дивизора , р(г~Ч равна f,
и среди них имеется е — -j— различных дивизоров.
Мы видим, в частности, что степень f простых диви¬
зоров, делящих простое число р, зависит только от
числа р.
Предложение 9. Имеет место равенство
f = fb
где fi — наименьший положительный показатель, для
которого ■
р' = 1 mod/.
Доказательство. Если a = a(t;)<=Di, то
a" = a (çp) mod р,
и потому
aph = a mod р.
Но, если pf, = lmod/, то gpf* = £. Следовательно*
apfl ssa modp, и, значит,
apfl = amodp,
где у — произвольный простой дивизор, делящий (в
кольце Di) простое число р. Так как это верно для лю¬
бого a œ Di, то, согласно утверждению 4 предложения
6, должно иметь место неравенство
т. е. неравенство fi f.
С другой стороны, согласно утверждению 3 того же
предложения 6, для любого элемента ае О( имеет ме¬
сто сравнение
а‘ѵ* а а mod р
и,, в частности,
S^HsÇmodp.
Если Aty 1 mod /, то ф Ç и, значит, £ :~
:<ѵ 1 — Ç = Л. Поэтому XsOmodp, что невозможно,
так как дивизор 1 = (À) прост и отличен от у. Таким
175
образом, /Ѵу = 1 mod /, что в силу минимально¬
сти числа fi возможно только при f f{.
Следовательно, f = fi, и
Таким образом, ' вид разложения простого числа р е D в
произведение простых дивизоров кольца Dt (т. е. число этих прос¬
тых дивизоров и их степени) зависит только от класса числа р
по модулю I. На этом основании поле Кі называется полем клас¬
сов (подразумевается по модулю Z). Оно является простейшим
примером полей, изучаемых в так называемой теории поле й
классов.
§ ,14. g-функция поля Кі и ее вычет s = 1
В этом и следующем параграфах мы будем предпо¬
лагать известными простейшие факты о бесконечных
рядах и многомерных интегралах.
В теории чисел большую роль играет функция
оо
<')
/1“1
называемая ^-функцией Римана (хотя ее ввел еще Эй¬
лер). Вообще говоря, аргумент s этой функции следует
считать комплексным числом, но для наших целей
вполне достаточно ограничиться рассмотрением веще¬
ственных s.
Из простейших признаков сходимости бесконеч¬
ных, рядов с положительными членами (например, из
так называемого интегрального признака сходимости:
для невозрастающей неотрицательной функции f(x)
оо
ряд £f(n) сходится, если интеграл (х) dx сходится)
1
непосредственно вытекает, что при s > 1 ряд (1)’ схо¬
дится. Таким образом, формула (1) определяет функ¬
цию t, (s) при S > 1.
При s = 1 ряд (1) расходится (он является извест¬
ным гармоническим рядом). В соответствии с
этим оказывается, что при s 11 (т. е. при $ -* 1 и $ > 1)
функция £ (s) стремится к оо. Чтобы оценить скорость
этого стремления, следует рассмотреть предельное по¬
ведение при s 4 1 функции (s— !)£($).
Предложение 1. Имеет место равенство
lim(s— !)£(«) = 1.
176
Доказательство. Проще всего это утвержде¬
ние можно доказать, заметив, что по теореме о сред¬
нем
п+1
I f du 1
(п+ l)s J IF
n
Поэтому (при s > 1)
Ç(s) — 1 = (,г + 1)* = ъ(s),
. n«l 1 n=l
T. e.
oo oo
1 f I ,i 1 s
T=T= J TF<^S) <1 + J 1 + 72ГГ = Т^Г’
1 1
Следовательно,
l<(s-l)£(s)<s,
что доказывает предложение 1. в
Для любой функции f(s), определенной при s > 1
и такой, что lim f (s) = оо, предел
s4-l
lim (s — 1) f (s)
s 4* 1
(когда он существует) мы будем называть вычетом
этой функции при s = 1.
Таким образом, предложение 1 утверждает, что вы¬
чет функции £(s) при s = 1 равен 1.
Обобщением Ç-функции Римана является так назы¬
ваемая ^-функция Дедекинда Ѣк(з) произвольного по¬
ля К алгебраических чисел, определяющаяся фор¬
мулой
И =
в
где суммирование распространено на все дивизоры а
кольца D целых элементов поля К. (При К = Q и
Л = Z мы получаем, очевидно, функцию Римана
Ç(s).) В интересующем нас случае поля К = Кі функ¬
цию Дедекинда (s) мы будем обозначать символом
Ms). '
Заметим, что поскольку ряд (2) состоит из положи¬
тельных чисел, порядок расположения его членов при
177
условии, что ряд сходится, значения не имеет (ибо при
любой перестановке членов сходящегося ряда положи¬
тельных чисел его сумма не меняется).
Предложение 2. Ряд (2) сходится при s > 1.
Мы докажем (при К = Кі) это предложение в сле¬
дующем параграфе.
Аналогично ряду (1) ряд (2) при s = 1, как мы
увидим, расходится и limgK(s) = oo. Поэтому уместен
S Ÿ 1
вопрос о вычете lim (s — l)Ç/< (s) функции Çk(s) при
S 1
s = 1. Для вычисления этого вычета целесообразно
разбить ряд (2) (при К = Кі) на h рядов вида
(3) («)= X (JVa)s ’
aeC
где С—произвольный класс дивизоров, а суммирова¬
ние в (3) распространено на все дивизоры класса С.
Эти ряды сходятся как части сходящегося ряда t,i(s)
с положительными членами.
П р е д ложе н и е 3. Существует такое число х,
что
lim (s — l)£r(s) = x
S 'ÿ' 1
для любого класса С дивизоров кольца Di.
Другими словами, для любого С вычет функции
$ (s) при s = 1 определен и не зависит от С.
Доказательство этого предложения и будет основ¬
ной целью этого параграфа.
Следствие. Вычет функции £/(s) при s = 1 ра¬
вен Лх:
(4) lim (s — 1 ) Çj (s) = Лх. ■
sfl
Эта формула служит ключом для явного вычисления
числа классов h.
Конечно, чтобы можно было использовать фор¬
мулу (4), надо предварительно вычислить число х. Со¬
гласно предложению 3 для этого достаточно вычис¬
лить, скажем, предел
lim (s — l)çf(s),
s 11
17a
где Е — класс главных 'дивизоров (единица группы
Ўё). Рассмотрим поэтому функцию
(5) h (s) = J} (Tva)*’
ûe=£
повнимательнее.
Суммирование в (5) распространено на всевозмож¬
ные главные дивизоры а, г. е дивизоры (идеалы) вида
(а), ае Di. Выбрав в каждом таком идеале по пред¬
ставителю и учтя (см. формулу (9) § 13), что УѴ(а) =
= Na, мы можем переписать (5) в следующем виде:
(6)
X (Mx)s ’
а
где штрих у знака суммы означает, что суммирование
производится по полному набору попарно не ассоции¬
рованных чисел из Di (напомним, что (а) = (0) тог¬
да и только тогда, когда а ~ 0).
Чтобы вычислить (или хотя бы оценить) сумму. (6),
хотелось бы явным образом выбрать в Di какой-ни¬
будь полный набор попарно не ассоциированных чи¬
сел. Однако это удается сделать лишь частично.
Л е м м а 1. Для любых вещественных чисел у\, .. ,
..., ут существует единственная система целых чисел
Пі, nm, обладающих тем свойством, что
/гі + «2 . • • • + = О
и такая, что
X, 4- ... + х.„
(7) 0<хг -т~- <1, і — 1, ...,/и — 1,
еде Хі = Пі + у{.
• Заметим, что при і = т мы никаких условий не на¬
кладываем. - :
Доказательство. Если числа ni, ..., пт суще¬
ствуют, то •
+ ... +лт У[ + •••+Ут
т т *
179
Поэтому
+ у> —
Уі + ... + уот j
m
и, значит,
(8) „, = -[^-»1+^+^],
i = 1, 1,
І — 1, . . ., /71—1.
Это доказывает единственность чисел ni, ..., пт-і, a
потому и числа пт — —(«і + ... + nm-i).
Для доказательства существования этих чисел до¬
статочно заметить, что числа nit..., пт-і, задаваемые
формулой (8), вместе с числом пт = —(ni + ...
... + «m-і) обладают, очевидно, всеми требуемыми
свойствами, s
Как мы знаем, в кольце Di существует h2 таких еди¬
ниц 8і, .... ен , что любая единица е кольца Di един¬
ственным образом представляется в виде
(9) 8 = ± (1 - <т£)П‘ . . . ( 1 - оЧ)'1'” 81,
где О а < 1, 1i h2, а піг ..., пт — такие це¬
лые числа, что «i + ... + пт = 0. При этом
X (е) = (пь ...-, пт) + X (в,),
где Х(е)—вектор Х(а) (см. § 12) при а = в.
Пусть aeDr и 1 i h2. Рассмотрим вектор
(Уъ • ••, Ут) — Х(ъі)-\- X (а) = Х(е.іа). Применив к
этому вектору лемму 1 и получив тем самым целочис¬
ленный вектор (пі, ..., пт), построим по формуле (9)
некоторую единицу 8 (с произвольным а). Тогда ком¬
поненты xt, ..... Хт вектора Х(еа) будут удовлетво¬
рять условиям (7). При этом для любого a^Dî при
выбранном І, 1 і Аг, единица 8 будет однозначно
определена с точностью до множителя вида ±£“, т. е.
с точностью до 21 различных вариантов. Меняя і, мы
увеличим число этих вариантов в h2 раз.
Обозначив через Г множество всех чисел aeD/*
для которых компоненты хі=хі(а), .... xm = jcm(:a)
вектора А (ос) удовлетворяют условиям (7), мы полу¬
чаем, следовательно, что любое число из D\ ассо~
циированно ровно с 2lh2 числами из Г.
180
’ Поэтому, если в (6)'’ мы распространим суммирова¬
ние на все числа из Г, то каждое слагаемое повторится
2lh2 раз. Таким образом,
(Ю)
где'
S(s)= X "ййаў'
аеГ
Тем самым задача сведена к вычислению вычета функ¬
ции В (s) при s = 1. (Ясно, что ряд В (s) сходится в
точности при тех же s, при которых сходится ряд gf (s).)
Выше мы видели, что в вычислении вычета функ¬
ции Римана £(s) решающую роль играл интеграл
являющийся «континуальным аналогом» ряда Ç(s).
Вычисление вычета функции 8 (s) производится тем
же методом с помощью многомерного интеграла 7(s),
являющегося континуальным аналогом ряда В (s).
Чтобы определить этот интеграл, нужно в первую
очередь описать его область интегрирования, которая
является континуальным аналогом «области суммиро¬
вания» Г ряда 8 (s).
Каждое число
a = aiog+ ...
кольца Di однозначно определяет целочисленный век¬
тор
а = (я1( ..., а/_і).
Имея это в виду, мы рассмотрим пространство Rz-1,
точками которого являются I—1-членные последова¬
тельности и = (ui, , Uz-i) вещественных чисел.
Чтобы подчеркнуть его связь с кольцом £>/, мы будем
обозначать это пространство символом RD/. Множе¬
ство целочисленных точек из RD/, т. е. точек и =»,
=: («ь * • •, для которых все числа «і, ... f Ui^
181
являются целыми рациональными числами (принадле¬
жат Z), мы будем обозначать через ZD/ илиР/. По¬
следнее обозначение оправдывается тем, что отображе¬
ние а а является, очевидно, биективным отобра¬
жением Di на Di.
Для любой точки и = («1,..., м>-і) е RDi мы сим¬
волом и обозначим комплексное число
£ = г/і<т£-|- ... +м/_і<т/-1^.
Ясно, что на подмножестве ZDi отображение
является биективным отображением на Ьі, обратным
к отображению а н—> а. На всем же RD/ оно, очевидно,
не биективно (при I > 3).
Отображение иі—>и является линейным отображением веще¬
ственного (Z— 1)-мерного пространства RZ)/ на поле комплексных
чисел С, рассматрираемое как вещественное двумерное простран¬
ство. Поэтому ядро этого отображения имеет размерность I — 3.
Мы положим
= ••• + -
&2 = Ml®2? + • • • +
= ... +«Z-1<T2Z-3S
(так что іі = | = м) и
Nu — І/Вг • • - Ê/-1-
Если и е ZDi, то = (это имеет смысл, по¬
скольку Di при и е ZDz). Поэтому числа можно
условно обозначать череэ аА-1£ и для любого и е RD/.
Так как <?'"£ = £ (где, как всегда, т— 1 ), то
ё/П+1 == 51> •••> £/—1 == ê/П»
и, значит,
АГ« = 1Ё&...£ИР.
Таким образом, Nu является вещественнозначной
функцией на RD/. При этом
• Na = Na для любого а е D/.
182
Как мы знаем, Na является многочленом от коэффициентов
а 1, ..., û/-i разложения а = + ... + Функция Nu
представляет собой тот же многочлен, в котором сц, ..., cz/-j
заменены на щ, ..., м/_ь „
Если «G ZDi, то, как’мы знаем, Nu = 0 только
при и = (0, ..., 0). Однако при I > 3 в RD/ есть точ¬
ки м =/= (0,..., 0), для которых Nu О..
При Nu 0 формула
£И = (1п|^|, ..., 1п||„ I)
определяет вектор Lu пространства ROT. При этом
La = La для любого a s D*i,
где La — вектор, построенный в § 13.
Разложив вектор Lu по базису Li = L(1 — о£), ...
.... Lm = L(1 — omÇ) пространства R'" (см. предло¬
жение 6 § 12), т. е., найдя такие числа (ы), ...
..., хт(и) е R, что
Ап Х\ (н) Lt -|~ ... Хм (u) Lnit.
мы положим
X(«) = (*!(«), .... х„,(м)).
Тем самым мы получим отображение X: и>—>Х(и) е
е Rm, где Nu =/= 0, связанное с отображением X: Di~+-
-> R"1 из § 12 формулой -
X (а) — X (а) для любого а е £>/.
Мы обозначим через Гр множество всех точек и s
e RDi, для которых Nu 1 и координаты хі =
= Xi(u), .... Хщ — Хт(и\ вектора Х(и) удовлетво¬
ряют условиям (7). Это множество и является нужным
нам континуальным аналогом множества Г. Если обо¬
значить через Г множество всех точек вида а, аеГ,
то, очевидно, будет иметь место равенство Г = ГрПД*
На первый взгляд кажется, что множество Гр
устроено безнадежно сложно. Однако это первое впе¬
чатление обманчиво, и на самом деле строение множе¬
ства Гр может быть легко описано. Для этого только
нужно перейти от координат wi, .... W/_i к другим
183
более удобным координатам (т. е., другими словами,
делать замену переменных).
Сразу же приходит на ум преобразование
£l = Ui<T£+ ...
(J j) І2 = И2ст2? + • • • + «z-iOZÇ,
ëz-i =MiOz-1g+ ... 4-W/-io2Z-3?,
вводящее вместо координат и{, ..., координаты
ïjj, ..., Ê/-i. Определитель
G? •
.. a'"1?
(12)
Л ..
.. àzÇ
az-‘t-.
.. a2'"3?
этого преобразования является (ввиду соотношения
о'-1 =, 1) антициркулянтом с последней строкой
..., о2/-3£) = (Ç, oÇ, .... oz-2Ç). Поэтому (см.
§ 13) с точностью до знака этот определитель равен
произведению I — 1 чисел ,
₽; = g + 0zag+ ... +Ѳ('-2)/ог-2?, / = 0, 1. .... 1 — 2,
где Ѳ — первообразный корень из единицы степени
I — 1 = 2т. Поскольку при j = 0 имеет место ра¬
венство 0 = £-J-+.'••+д/_2£ =—1> мы полу¬
чаем, следовательно, что определитель (12) равен
±0102 ... 0Z-2-
По формуле умножения определителей квадрат
(0і. . . 0/_2)2 определителя (12) равен определителю
ьг-і,і ••• b 1-1,1-1
с элементами
/г = 1 й=1
Г=1
Если j — l = mmoàl — 1, то al-*g = ç = g_’, и потому
£ • ст/_‘£= 1. Если же/— i^é /nmodZ — 1, то
= aa£, где а—такое число, что ga = gi~l-ï~1 mod/.
184
7-1 7-1 .
Так как У, ог+°£ = У, </£ = — 1, этим доказано, что;
г=1 л=і
_(/—1, если І~i = mmodl— 1,
. li I — 1, если j — i tn mod I — 1.
Эти формулы означают, что определитель (13) яв¬
ляется циркулянтом с первой строкой (—1, ..., —1,
I—1, —1, .... —1) и, значит, равен произведению
/ — 1 чисел вида
(-і) + (-і)ѳ/ + ... -н-і)ѳ(т"1)/ + (/-і)ѳт/-і-
+ (—1)Ѳ(т+1)/+ ... + (—1)Ѳ(/-2)/ =
= ІѲтІ - (1 + Ѳ7 + ... + Ѳ(2-2)/)
>
где, как и выше, Ѳ — первообразный корень из еди¬
ницы степени / — s —2т, а j = 0,1, ..., I — 2. По¬
скольку Ѳ'п =.—1, то
/—1, если j = 0modZ— 1,
О, если j^Omod/—1
и, следовательно, эти множители равны либо ІВтІ
(когда /^feOmod/—1), либо ІѲті—(/—1) = 1 —
— (I— 1) — 1 (когда j = 0 mod I — 1). Поэтому опре¬
' 1-2 " ■
делитель (13) равен Ц lQml — ± ll~2. Таким образом,
• (0! ...₽/-2)2 = ±Zz-2.
Этим, во-первых, Доказано, что определитель (12)
отличен от нуля и, во-вторых, что он равен
±-7 Ц ,
Ь1 Ь1-2
где &/ = у0у, т. е.
1—2
(U) (,,=4£o‘Vt.-l(t-Ho4+ ... +o"-='V-'ù
/=1, .... 1 — 2.
Заметим, что по доказанному все числа Ь\,..., Ьі-2 от¬
личны от нуля. Q
1 + Ѳ'+ ... -|-Ѳ(,-2>' = {
185
Таким образом, мы видим, что преобразование (11)'
невырождено и потому описывает переход от одной си¬
стемы . аффинных, координат к другой. Определитель
обратного преобразования (&, ..., &-і)(“ь ...
..., щ-і) равен ±&і... b 1-2. '
Однако координаты gi, .... £/-і имеют тот недоста¬
ток, что они комплексны. Если же мы хотим оставать¬
ся только в вещественной области, мы должны от этих
координат перейти к их вещественным _и мнимым ча¬
стям. Поскольку gm+i = &-1 = %т (см. выше),
то нам достаточно ограничиться координатами £і =
— Х1 + Іуі, . . . , Іт = Хт -f- Іут.
Таким образом, от вещественных координат иь ...
..., Ui-i мы переходим к вещественным же координа¬
там
ѵ ; + „ ?1+^Z-1
■*1 2 > • • •, g »
Уі 2і » • • •> Ут — 2і :
Определитель перехода от координат gi, ..., к ко¬
ординатам хі, , хіп, Уь ..., Ут равен <
2
2
J
2
2
1
2
2
_ 1
(- 2/)"1
2/
1
21 •••
1
, 2/
2/
1
2/
1_
2/
Поэтому определитель перехода от координат хь ...
..., хт, Уі, ..., Ут к координатам ui, .. ., Щ-у равен,.
±(2/)w61 ... b\_2 = ±2тітВ,
где В = Ьі... bi-2-
186
’ Обычно молчаливо предполагают координаты , ui—i
прямоугольными. .Можно считать, что хь хт, уь ..., ут яв¬
ляются не новыми (уже, вообще говоря, не прямоугольными) ко¬
ординатами той же точки, что и координаты иь ..., п/-і,
а координатами в той же системе прямоугольных координат неко¬
торой другой точки. Другими словами, формулы, выража¬
ющие координаты хь ..., ут через координаты иь м/-ь мы
можем интерпретировать как формулы, задающие некоторое а ф -
финнов преобразование евклидова пространства RD/,
т. е., наглядно говоря, некоторое «перекашивание» этого про¬
странства (переводящее произвольные кубы в косые параллеле¬
пипеды).
В координатах хі, ..., Уь ..., Ут область Гр
определяется, во-первых, неравенством
(15) « + »!)■■■ (4 + ^)>1'
и, во-вторых, тем, что координаты zi, ..., zm вектора
(4 In I X* + УІ |, .... у In I Х*т + ,/т |) G R"‘
в базисе L\, ..., Lm удовлетворяют неравенствам
(16) 21+ +Zm <1,
і= 1, ..in — 1
(см. усЛо&ий (7)).' ' " ...
Круговая симметрия этих условий подсказывает пе¬
реход к полярным координатам п, ..., гт, <рь .."., фт.
По определению
хг = г, со8фь Уі = Гі sin фь /=!,..., /и,
причем Гі 0 и О ф,- < 2л. В этих координатах не¬
равенство (15) приобретает вид гу2...гт 1. В не¬
равенствах же (16) числа zit ..., zm будут теперь ко¬
ординатами вектора (Inn, ..., Іпгт)еРи в базисе
/.], . . . , Lm.
Преобразование координат (хь ..., xm, yit ...
..., Ут) -*■ (и, ..., Гт, фі, ..., Фт) нелинейно. Яко¬
биан обратного преобразования (п, .. •, гт, фі, ...
• . . , фт) -*■ (*1, . . . , Хт, фь . . •, фт) равен, КЭК НетруД-
110 видеть, п, . ..л-Гт. •
Вид вектора (Inn, •••, In гІп) подсказывает, что
вместо координат п, ..., гт целесообразно ввести ко¬
ординаты
(17) == ІП Г[, ..., Ут = гт,
187
(а координаты <pm можно оставить прежними)'.
Тогда в неравенствах (16) числа Zi, ..., zm будут ко¬
ординатами вектора (çi, .... qm) в базисе L\, ..., Lm,
а неравенство (15) приобретет вид
(18) Я\ + • • • + Ят > О-
Якобиан преобразования (17) равен, очевидно, (п ...
... Гт)~х- Поэтому якобиан сквозного преобразования
(<7ь ..., qm, фі, ...., <p„t) -> (xi, ..., xm, yi, ym) бу¬
дет равен (ri... rm)2 — e2(<?'+ ••• ‘
Координаты qi .... qm мы можем считать, подобно коорди¬
натам л, ..., гт, полярными координатами, а преобразование (17)
представлять себе как логарифмическое изменение масштабов по
каждой из полярных осей.
Тот факт, что в описании области Гр участвуют
координаты Zi, , zm, подсказывает мысль перейти к
этим координатам. По построению они связаны с коор¬
динатами <7і,.... qm формулами
^ = ln|l — aÇ|*2i+ ••• +ln| 1 —amg|-zw,
(19) ^2 = 1пІ1 — o8Sl-Zi+. ... +ln| 1 —
çw=ln| 1-<T«»Ç|.ZI+ ... 4-Inl 1 - О2"»-1? І • z„t.
Определитель этого преобразования, как мы знаем
(см. § 12), равен -у In/«С, где С — произведение чи¬
сел ci,..., Ст-і, определенных формулой (37) § 12 (со¬
гласно лемме 2 § 12, которая у нас, правда, еще не до¬
казана, С отлично от нуля).-
Кроме того, мы знаем (см. формулу (39) § 12), что
суммы элементов каждого столбца определителя пре¬
образования (19) равны InI. Это означает, что для
суммы qi + ... + Ят имеет место равенство
(20) ^4- ... -}-qm = — InZ • (zi + ... 4-z,„).
Следовательно, в координатах zi, .... zm, фі, ...» фт
область Гр описывается неравенствами Zj .
• • - .-h zm >0 и (16), - ’ ‘ - ; ’
188
Здесь напрашиваются координаты
/ _ 21 + • • • + Zm
I1 Z. 1 .
(21) у _ ~ Z1+ ... +Zm
* lm-1 — 2/п-1 ~ — »
i = Z\ + ... +zm.
Определитель этого преобразования равен единице.
В координатах Л, ..., Фі, ..., ф™ область
Гк задается неравенствами
0</j < 1, ...» 0</т_і<1, />0,
т. е. представляет собой произведение (в том же смыс¬
ле, как квадрат является произведением двух отрез¬
ков, а куб — трех) т—1 единичных полуинтервалов
О ti < 1, полупрямой t > 0 и т полуинтервалов
О фх- < 2л. Мы видим, таким образом, что в этих
координатах область Гр представляет собой не что
иное, как «бесконечный брус», основанием которого яв¬
ляется параллелепипед размерности I — 2 = 2/п—1.
Впрочем, поскольку фЬ ..., фш являются, по построению, уг¬
ловыми координатами, лучше интерпретировать координаты
/і, ...» /m-і» / как соответствующие полярные радиусы. Тогда
rR будет представлять собой произведение т — 1 кругов, каж¬
дый из которых на плоскости с полярными координатами /х-, ф/,
і = 1, ..., т—1, задается неравенством //•< 1, и полной пло¬
скости с полярными координатами /, фт.
При переходе от координат /ь ..., /от-і, /, Фі, ..., Фт к
координатам Çi, ..., qm> фі, ..., фт происходит лишь аффинное
перекашивание по первым т координатам. При переходе к коор¬
динатам и, ..., гот, фі, ..., фот происходит логарифмическое из¬
менение масштаба по первым т координатным осям. Затем для
любого / = ’1, ..., т полярные координаты г/, ф/ преобразуются
в прямоугольные координаты х/, уі, и, наконец, в результате еще
одного аффинного перекашивания получается исходная область
rR в координатах «і, Н/-і. •
Полученное описание области Гр позволяет немед¬
ленно.вычислить интеграл 1
/($) = $7^7’ du = dut ... dui^i,
rR
являющийся континуальным аналогом ряда E(s). Дей-
ствительноі при переходе от «і, ..., М/-і к х1г ..., хт,
189
Уі, ..., Ут' подынтегральная■■ ф'уйкцйя (Nu)~s примет,
очевидно, вид
-(4+і4У ’
а так как (по правилу замены переменных в много¬
мерных интегралах) она должна быть еще умножена
на якобиан обратного преобразования (хі, ..., хт,
Уі, • ■ •, Ут) («і, .... п>-1) и так как этот якобиан
является просто определителем ±<2тітВ этого преоб¬
разования; то
пт:т в f dxi ■ ... dxm diji ■.. dym
Затем, при переходе от координат хі,..., хт, Уі,...
..., ут к координатам qi, ..., qm, фі, ...., Фт, подынте¬
гральная функция примет вид e~2s(',‘++<7'п\а умно¬
женная на якобиан е2 ^і+ +<7"^ обратного преобразо¬
вания^— вид e-2(s-1>(’і+ ••• +чт)' фак как эта функция
не зависит от координат фі, ..., фт, то по этим коор¬
динатам можно произвести интегрирование, что даст
нам множитель (2л)т. Таким образом,
I ($) = ± 22,пітлтВ J е-2 <s-‘) - +^) . -, è dqm,
д < . •
где Д — область пространства переменных q\, ..., q,n,
выделяемая неравенствами (18) и (16) (в которых
Zi, ...;, zm — координаты, связанные с координатами
çi, ..., qm соотношениями (19) ). ■
Наконец, в координатах Л, ..., tm-\, t (в которых
область Д является брусом 0 t\ < 1, .... О
tm-i < L t 0) подынтегральная функция приоб¬
ретет (см. формулу (20) ) вид 1пЬ* и . умножит¬
ся на якобиан yln/-C преобразования (/і, ...
. . . , tm-\, t) (<7ь . . - , qin) • Производя ПО ti tm-i
интегрирования (что даст множители, равные едини¬
це) , мы, следовательно, получим, что •
I (s) = ± 22т~1ітлт In7 • ВС J 1п
190
Участвующий здесь несобственный интеграл '
со
о
при s > 1 существует (сходится) и равен
оо
— .V. Ç р—Т Я у 1 ’
fn/.(s- 1) J е H/.(S - 1) *
О
Кроме того,.ясно, что /(s) >0 при любом s, при кото¬
ром /(s) существует.
Этим доказано, что при s > 1 интеграл I (s) схо¬
дится и выражается формулой
I (s) = 22m~lnm .ІВІ.ІСІ.^,
где В — произведение чисел Ьі,..., bi-2, определенных
формулой (14), а С — произведение чисел cj,...,
определенных формулой (37) § 12. ■
Поэтому
(22) ’ Ііш (s - 1) I (s) = 22"‘~1л"‘ | В | • | С |.
* 1 ‘ 1 •
Чтобы сравнить теперь интеграл I (s) с рядом S (s),
мы разобьем область rR на области F^, n = 0, 1, ...,
отнеся к точки и е Гр, для которых
2Л (/-м < д^ О
Таким образом, в частности, область Г£> состоит из
всёх точек и е Гр, для которых
1<^<2Z-'. .
В координатах /(, ..., tm-i, t, q>i, ..., <pm область Г(р\ onpe«
делается (как подобласть области Гр) неравенствами
П < 77 ÎT7 Г < « + 1
(/- l)log2z ' ' .
и, следовательно, представляет собой параллелепипед, отрезан¬
ный от бруса TR. Таким образом, разложение области Гр
в объединение областей можно представлять себе как раз¬
ложение прямоугольного бесконечного бруса TR в объединение
параллелепипедов Г^.
191
Так как для любого п область ограничена, то
множество Г<“> точек из с целочисленными
координатами конечно. Поэтому конечно и множество
Г(я) элементов аеГ, для которых аеГрп), находя*
щееся в биективном соответствии с множеством
ЛІы положим
4(s)= J "(ТТйг’ Sn(s)— £
г<«) а е Г<">
К
Интеграл In(s) является обыкновенным (собствен¬
ным), интегралом, а сумма Sn(s) конечна. Поэтому
функции In (s) и S„(s) от « определены при любом s.
Поскольку интеграл /(«) и ряд E(s) ври s > 1 схо¬
дятся (и являются соответственно интегралом от поло¬
жительной функции и рядом с положительными чле¬
нами), то при « > 1 имеют место разложения в сходя¬
щиеся ряды
I (s) = ІО (s) + Il (s) + ... +/«(s)+ ...
S(s) = Sa(s) + E1(s)+ ... +S„(s) + ....
Заметим, что утверждение о сходимости интеграла
/(s) выше было доказано, а утверждение о сходимости
ряда 3(s) опирается на еще не доказанное предложе¬
ние 2. .
Мы осуществим сравнение функций /(s) и S(s),
сравнив для любого п функции In(s) и Sn(s).
При умножении вектора и = (іц, ..., щ_і) на про¬
извольное вещественное число с > 0 число g ==
= «jot; + .., + «z-ioz-1£> а значит, и все числа gi = g,
62 = erg, .... li-i = о1~2ѣ также умножаются на с. От¬
сюда следует, во-первых, что функция и і—> Nu являет¬
ся положительно однородной функцией степени I — 1,
т. е. M(cw) = cz-1Nu для любого с > 0, и, во-вторых
что L(cu) = Lu + In с-Е, Е = (1, .... 1).
2
Поскольку £ = -toy(Zq+ ... +£т)(см. формулу
(39) § 12), отсюда вытекает, что для любого і = 1, ...
.. •, m имеют место равенства
xi (си) = xi (и) + d, где d = .
192
Но ясно, что при преобразовании х, ь-> х, 4- d числа
х,+ ... +хт
Хз ■
т
не меняются. Поэтому, если и е Гк, то си е Tr, если,
конечно, N (си) 1. Таким образом, если « е Tr и
cl~lNu 1, то си <= Tr.
В частности, еслииеГ^, то 2-"(Z-1Wu^ 1 и,
значит, 2“"и е TR и, более того, 2~пи œ rR\ Обратно,
если 2-n«<=rR), то автоматически 2n<z~1W(2-'!u) zj» 1
и, значит, и Таким образом,
иеГр"1 тогда и только тогда, когда 2~пи^Т'к>.
В наглядных обозначениях
r(Rn> = 2'T(R0>.
Отсюда, между прочим, следует, что
/„(s) = 2-rt<z-1>(s-1>/0 (s).
Однако этот факт нам не понадобится.
Как известно, любая ограниченная область евкли¬
дова пространства с кусочно-гладкой границей имеет
объем («кубируема») или, другими словами, граница
такой области имеет объем, равный нулю. Ключевым
пунктом в доказательстве этой теоремы является ут¬
верждение о том, что для произвольного ъ-кубильяжа
пространства (разбиения его на непересекающиеся
кубы с ребрами длины в) число кубов этого кубилья-
жа, пересекающих границу области, не превосходи?
const-8”(лг-1), где N — размерность пространства. (Дей¬
ствительно, тогда объем всех этих кубов не превосхо¬
дит const • -е77 = const-б и потому стремится к
нулю, когда 8-> 0.)
Эта теорема применима, в частности, к области
Гр0, которая, как мы знаем, получается гладкими пре¬
образованиями координат из некоторого параллелепи¬
педа и потому имеет кусочно-гладкую границу.
Рассмотрим кубильяж Q пространства RjDz, состоя¬
щий из единичных' кубов с центрами в целочисленных
точках. (Каждый такой куб Q однозначно определяет¬
ся своим центром а = (ai, ..., aZ-i) и состоит из всех
7 М. М. Постников
193
точек и = [th,. • • > ui-i), Для которых | щ— а{ Ку, ...
..I zz/_i — «/-il )-При гомотетии и этот
кубильяж переходит в 2-"-кубильяж 2~п@, состоящий
из кубов 2-"Q:
Согласно сказанному выше-число, кубов кубильяжа
2~'І<2’, пересекающих границу области Гр* = 2-пГ(р), не
превосходит const • 2-'!(г-2) и, следовательно, число ку¬
бов кубильяжа Q, пересекающих границу области Г^*,
не превосходит const • 2-'!(Z-2>.
Для любого куба Q кубильяжа мы положим
Л?(«)= J T/Sf’ S"(s)= S GvSF*
QAT^ ae=QAr<n)
Ясно, что
/n(s)= S A? (s). S„(s)= E 3,?(s),
Qe(? - Qetf
причем, поскольку In (5) = 0 и Sn (s) —О, если Q А Г(^:)=
= 0, число отличных от нуля слагаемых в обоих
суммах конечно, и потому эти суммы имеют смысл.
Следовательно,
|/„(s)-S„(s)|< X I/2 (s)-s,? (s)I =
=E11 (s) - s? (s) I + En I (s) - s,? (s) I,
где сумма ^распространена на все кубы Q, целиком
лежащие в области /о0, а сумма £ П—на кубы Q, пе¬
ресекающие границу области І{£\
Оценка суммы 211 труда не представляет. Действи¬
тельно, ясно,, что функция: (s) равна либо нулю
(когда центр а куба Q не лежит в Г(^), либо (Na)~3
(когда a Œ Г^). В обоих случаях
0 (s) ПРИ !•
Аналогично
а 1Q. ( \ С du ■ 1 1
np,t s>1-
194
Поэтому
I/J
при 3^1
и, значит,
(23) |.7„ (s) — Bn (s) I const • -^г при s > 1,
поскольку число слагаемых в этой сумме не превос¬
ходит, как мы знаем, const• <2,пи-2'і.
Заметим, что эта оценка имеет место не только при
s > 1, но и при s=l.
Оценка суммы более деликатна.
Пусть а — центр куба Q с Г.^. Тогда
(24)
oQ (<Л 1 ( _du_
п w — (Na)s ~ J (Na)s ’
Q
и потому
(Na)*;
Но
Г dïn -NtT
SJ (Nu)s ~
J d In Nu:
I
где I — прямолинейный отрезок, соединяющий в кубе
Q его центр а с точкой и. При этом, так как
Nu 2п11~" ’
в кубе Q с Г(£), то
1 s-2(/-1)s 22</-ч)+1
s-max-W<-(W“<—jvT- ПРИ
7*
195
С другой стороны, в силу однородности функции Nu,
имеет место равенство
d In Nu = J d In Nu,
1 2-Ц
где 2~nI — отрезок в кубе 2_"Q (а значит, и в обла¬
сти Г^), соединяющий точку 2~па с точкой 2~пи. По¬
скольку длина отрезка 2~пІ не превосходит, очевидно,
const-2-п, отсюда следует, что
d In Nu
I
const • 2 n,
где константа очевидным образом выражается через
верхнюю грань частных производных функций In Nu
в (ограниченной!) области Гр*. Так как Na ^2("+1)<z~1),
то 2~n^2(Na) :l~l и, следовательно,
J d In Nu
I
const —.
Этим доказано, что для любого куба Q с имеет ме¬
сто оценка j
I In (s) — Sn (s) I const —:—î—j— при 1 s 2,
(/Va)1+~
где a — центр куба Q. Поэтому
(25) £ ' 1In (s) — E« (s) I < const У î—p-,
a (Na)+t~l
правая сумма распространена на все целочислен¬
ные точки a Œ Г(л), обладающие тем свойством, что со¬
ответствующий куб Q целиком содержится в Г^. Яс¬
но, что неравенство только усилится, если мы распро¬
страним суммирование вообще на все целочисленные
точки a Œ Г(Л). Поскольку тогда эта сумма будет по
определению равна Sn (1 + /2. і ) ’ этим доказано, что
при 1 s 2 имеет место оценка
у1 |/п (s) — En (s) j ^const • Зп ^1 +т4т)-
196
Следовательно, при 1 s sg: 2
14 (s) — (s) I < const • + const • S„ ( 1 + y^T
и, значит, при 1 < s 2
|/(s) — B(s) К const •—Ц-+ const • S (1 + z 2 j~)»
1 ~~2
T. e.
11 (s) — S (s) I =C const.
(Заметим, что в этой оценке мы пользуемся еще недо¬
казанной сходимостью ряда S (s) при s > 1.) Полу*
ченное неравенство означает, что
I (s) — const H (s) I (s) + const при 1 <s^2.
Умножив эти неравенства на s — 1 и перейдя к пре¬
делу, мы немедленно получим, что функции /(s) и
S (s) имеют при з =. 1 одинаковые вычеты:
lim(s — 1)S (s) = lim(s — l)/(s).
S Ÿ 1 s 1
Учитывая формулу (22), мы видим, что тем самым
нами доказано следующее предложение:
Предложение 4. Вычет функции В (s) при
s = 1 равен
22m-1irm| ВI • IСI,
где
В = Ь[ ... bi_2, C = ch ..., cm_i
и
j=l 1 — 2,
/4=0
Cf==£ ѳшіп|і-<М r=i, •••> tn— i
ft=0 ■
(.0 — первообразный корень из единицы степени
l — l=2m).
197
(26)
Следствие. Вычет ѵ. функции %f(s) при s = 1.
выражается формулой
п2/п—2 m
х = ТГ-|ВІ-|С|. а
Очевидно, что в оценке (25) можно не предпола¬
гать, что точки а являются центрами кубов Q. Все, по¬
нятно, полностью сохранится, если эти точки произ¬
вольно выбрать в этих кубах. То же самое верно и для
всех остальных оценок. Поэтому, если в каждом кубе
Q кубильяжа выбрано по точке üq и введена в рас¬
смотрение функция
<27> *ад= Z w-
aQsrR Q)
где суммирование распространено на все кубы из Q,
для которых üq Е Гр, то при условии, что ряд (27).
при з>1 сходится, будет иметь место равенство
Пт (s — l)S(s) = lim:(s — 1) /(s),
s Ÿ 1 s Ÿ 1
Более .того, рассмотрим вместо кубильяжа Q про¬
извольный кубильяж (2* пространства RD.i .на _кубы .со
стороной с > 0. Тогда в .равенстве (24) нужно будет
правую часть разделить на объем сг-1 этих кубов:
1 Ç du
(S)~ J (Na)s ‘
Q
Поэтому все дальнейшие оценки вплоть до оценки
(25) будут иметь место не для разности | /„ (s) —
— En (s) |, а для разности ( (s) — c/-1Sn-(s) |. Это дока¬
зывает, что для функции (27), .построенной .по ку-
бильяжу Q (и произвольно выбранным точкам Cq œ Q)
имеет место равенство
(28) lim(s — l)S(s)=-jrrlini'(s - 1)I (s).
1 C 1
Дальнейшее 'Обобщение -состоит ;в .том, что ;в каж¬
дом кубе Q кубильяжа выбирается не одна, a ne¬
ws
сколько точек а$, а$, число' ѵ которых одно- и
то же
для всех кубов, и рассматривается функция^
(29)
(=!„(()<= г Q)
Q R
' =S,,)(3)'+ .
.. +3(%>
где
- (s)- Е
<j(O e Г V Q '
4
— функция (27), построенная для точек а{£. По¬
скольку для каждой функции S(f)(s) имеет место со¬
отношение (28), то, суммируя по і, мы получаем, что
вычет функции И (s) при s = 1 выражается формулой
lim(s — l)H(s) = —777j-lim(s — l)/(s) =
S i c oi
= -7^ •22^1л/п|В]«|С|.
(Конечно, здесь также предполагается, что ряд (29)
при s > 1 сходится.)
Эту общую формулу мы применим к вычислению
вычета функции
(30) S(c)(s)= J] (Ma)* =
аеГПІС1
где суммирование распространено на все числа a œ Г,
делящиеся на данный дивизор с (т. е. принадлежащие
идеалу [с]).
Справа в формуле (30) символом с обозначено под¬
множество пространства RD/,. состоящее из всех векто¬
ров вида а, где ex Œ [с]. Ясно, что это множество яв¬
ляется группой по сложению.
Пусть Qo — куб в пространстве RD/, определяемый
неравенствами
' — -g<Ui<C — у, і = 1, ..I — S,
где с = №, и пусть ф(с) — кубильяж, состоящий из
трансляций куба Q па всевозможные целочисленные
19$
векторы кратные с, т. е. такие, что все их координаты
делятся на с. .
Поскольку целые числа, делящиеся на с, делятся
и на с, группа с инвариантна относительно трансляций
на векторы, кратные с. Поэтому для любого целочис¬
ленного вектора а е куб а + Qo, получающийся
из куба Qo трансляцией на вектор а, и, в частности,
любой куб Q кубильяжа Q’(c) содержит столько же
точек из группы с, сколько и куб Qo. (За¬
метим, что на границе куба Qo вообще нет точек из с).
Это показывает, что функция В(С) (s) представляет со¬
бой функцию (29), построенную для кубильяжа 0(c)
и точек а^, afg. Поэтому (если, конечно, ряд (30)
при s > 1 сходится)
lira (s — 1) 3(e) (s) = ■—• 22от- I В I. I СI,
(УѴс) 1
где V — число точек множества с П Qo-
Впрочем, число V легко вычисляется. Действитель¬
но, так как для любого целочисленного вектора а Œ
Е ZD/ куб а + Qo содержит столько же (т. е. ѵ) то¬
чек группы с, сколько и куб Qo, то каждый смежный
класс а + с группы ZDi = Di по подгруппе с также
имеет в кубе Q ровно ѵ точек. Число же всех смежных
классов группы Di по подгруппе с равно числу смеж¬
ных классов группы Di по подгруппе [с] (ибо соответ¬
ствие аь-»а является изоморфным отображением Di
на Di и [с] на с), и значит, равно норме Nt дивизора с.
Следовательно, общее число всех точек из ZZ)/ (т. е.
всех целочисленных точек из RZ)/), содержащихся в
кубе Qo, равно vNt. С другой стороны, это число
равно объему с1~х = (7Ѵс)/_1 куба Qo. Следовательно,
ѵ= (АГс)'-2.
Этим доказано, что для любого дивизора с кольца
Di вычет функции S(c)(s) при s = 1 выражается фор¬
мулой
(31) Hm(s-l)S(t)(s)=2 Nc'- -IBI-ICI,
отличаясь, таким образом, от вычета функции S(s)
лишь множителем (АГс)-1.
200
Этот ^результат можно было бы предугадать, поскольку вычет
функции S(C) (s) в определенном смысле характеризует долю чи¬
сел, делящихся на дивизор с, среди всех чисел кольца £>/, а эта
доля как раз и равна (УѴс)”1.
Теперь мы уже без труда можем доказать предло¬
жение 3.
Доказательство предложения 3. Пусть
с — произвольный дивизор класса С”1, обратного к
классу С. Тогда для любого дивизора ае С дивизор
ас будет главным дивизором, делящимся на дивизор с.
Обратно, для любого главного дивизора, делящегося
на дивизор с, т. е. имеющего вид ас, дивизор а принад¬
лежит классу С. Поэтому мы можем считать, что в
формуле (3) суммирование производится по всем глав¬
ным дивизорам, делящимся на дивизор с. Конечно (ср.
формулу (6)), вместо того чтобы суммировать по глав¬
ным дивизорам, мы можем суммировать по всем по¬
парно не ассоциированным числам из Д?, делящимся
на С, или (ср. выше переход от формулы (6) к формуле
(10)) по всем числам из Г, делящимся на с, отчего
сумма только увеличится в 2lh2 раз. Кроме того, по¬
скольку 7V (ас) = А/а-А/с, то от замены слагаемых вида
(A^a)”s на слагаемые вида (Na)~s, где а = ас, вся
сумма умножится на Поэтому, чтобы остался
прежний результат, полученную сумму (являющуюся,
очевидно, как раз суммой S(C) (s)) нужно умножить на
(Arc)s. Этим доказано, что
(32) ^(s) = -^pS(c)(s).
Так как мы считаем (опираясь на предложение 2)',
что при s > 1 ряд (s) сходится, то из формулы (32),
во-первых, следует, что при s > 1 сходится ряд Е(С) (s).
Во-вторых, умножая формулу (32) на s— 1, переходя
к пределу при s | 1 и применяя формулу (31) (пол¬
ностью обоснованную предыдущим заключением), мы
для вычета функции £;с (s) при s = 1 получим (по¬
скольку Ne при s I 1) формулу
201
Для завершения доказательства, предложения 3 оста¬
лось сравнить эту формулу с формулой (26). ѳ
Подчернем, что мы не только доказали предложе¬
ние 3, ио нашли явную формулу (26) для числа %.
Конечно, справедливость всех наших выводов опи¬
рается на предложение 2, которое остается пока не до¬
казанным. Мы докажем его в следующем параграфе.
§ 15; Формула Эйлера и £-ряды Дирихле
Рассмотрим бесконечное произведение
«). II " 'і
' » 1 (ЛфГ
распространенное на все простые дивизоры у кольца
Di. Так как
(2) - f = 1 + + • • . + + • • • »
(W '
то (мы пока игнорируем вопросы сходимости) произ¬
ведение (1) равно сумме всевозможных выражений
вида
где Ѵь .... Ça — произвольные простые дивизоры коль¬
ца Dt, а п\, ..., пц — целые положительные числа. Пог
скольку любой дивизор а кольца D} единственным об¬
разом представляется в видеф"1 .. этим доказано,
что произведение (1) равно сумме ,
(4) Ç/(s) = ^ (М»)6' •
а
Таким образом, для тех s, для которых сходятся и ряд
£/(s), и произведение (1) , имеет место равенство
(5) ^(5) = П -Ц—•
* 1 (W
Это рассуждение годится для кольца целых чисел
D любого поля алгебраических чисел. В частности, при
202 .
D = 2 мы получаем равенство
(6) ?ы=П—У-
р 1
Эта формула принадлежит Эйлеру. Более общую фор¬
мулу (5) также обычно называют формулой Эйлера.
Формула (6) допускает и другое обобщение. Пусть f(n) —
такая функция на Z (со значениями в С), что
(7) f (пт) = f (п) f (т)
для любых п, m.G'Z (в теории чисел такие функции называются
вполне мультипликативными). Тогда то же рассуждение, что и
выше, докажет справедливость формулы
<»> и, :
п=1 Р 1
(конечно, опять в предположении, что ряд слева и произведение
справа сходятся).
Обсудим теперь проблему сходимости.
Известная теорема анализа утверждает, что беско¬
нечное произведение вида JI ( 1-4-wn), где < 1,
абсолютно сходится, если сходится бесконечный ряд
У \ ип\. Поскольку произведение (.1) абсолютно.сходит¬
ся тогда ш -только тогда, когда сходится произведение
ПО
мы видим, что произведение (1) абсолютно .сходится,
если сходится ряд
(9) £ Tv)F*
Для каждого простого р ^= '1 /(здесь и только здесь
мы используем специфику кольца А) ряд (9) содер*
, , 1 - .1 г I — 1
жит е ^1—1 членов вида г» где [ = ,
УЧ -Р е
а е — число .простых .дивизоров, на которые число >р
разлагается в кольце іѲ/. Поэтому «ряд і(9,) мажори¬
203
руется рядом
а значит, и рядом
п=1
Поскольку последний ряд при s > 1 сходится, то
произведение (1) при s > 1 абсолютно сходится.
Теперь мы уже можем доказать предложение 2 § 14,
т. е. доказать, что при s > 1 ряд (4) сходится и тем
самым заполнить пробел в рассуждениях § 14.
Доказательство предложения 2 § 14.
Ясно, что если в формуле (5) мы справа ограничимся
произведением, распространенным на произвольное ко¬
нечное число простых дивизоров, то слева получится
часть ряда (4), в которой участвуют те и только те
слагаемые (Afa)”s, для которых дивизор а делится
лишь на данные простые идеалы. Эта часть (также
являющаяся бесконечным рядом) представляет собой
произведение конечного числа рядов вида (2). Так как
все ряды (2) при s > 1 сходятся (ибо 1), то рас¬
сматриваемая часть ряда (4) также сходится.
С другой стороны, очевидно, что любая частичная
(конечная) сумма ряда (4) является частичной сум¬
мой некоторой такой части (а именно, части, отвечаю¬
щей всем простым дивизорам V, делящим дивизоры а,
участвующие в данной сумме). Этим доказано, что лю¬
бая частичная сумма ряда (4) не превосходит произ¬
ведения некоторого конечного числа членов произведе¬
ния (1), а потому (поскольку произведение (1) абсо¬
лютно сходится) не превосходит и этого произ¬
ведения. •
Таким образом, частичные суммы ряда (4) ограни¬
чены и, значит, этот ряд сходится, s
Это рассуждение показывает также, что сумма
Çz(s) ряда (4) не больше произведения (1). Но выше
мы видели, что для любого конечного множества чле¬
нов произведения (1) в ряде (4) найдется часть, рав¬
ная их произведению. Поэтому сумма ряда (4) не
меньше предела такого рода произведений, т. е. не
меньше бесконечного произведения (1).
204
Этим доказано следующее предложение:
Предложение 1. Для любого s > 1 имеет ме¬
сто равенство
(Ю) ш=П—Ч—-
ѵ 1 —
где произведение справа абсолютно сходится, s
Из этого предложения вытекает, в частности, что
(П) lim£z(s)=/=0.
S Ў 1
Действительно, каждый член произведения (10) при
s > 1 больше единицы и, значит, £/(s) 1 при s >
> 1. J
Ввиду предложений 7 и 8 § 13 мы можем формулу
(10) переписать в виде
(>-т)г-м=П('-7г)“.
где f— наименьший показатель, для которого
pf = 1 mod Z,
/- 1
а е =—j—.
Пусть, как всегда, Ѳ — первообразный корень из
единицы степени I— 1. Тогда 0е будет первообразным
корнем из единицы степени f и, значит, будет иметі?
место формула
f-i
1-ХГ = П(1-Ѳ/е^)-
/=0
В частности,
и потому -
р^=і /=0
Пусть, далее, так же .как всегда, g — произволь¬
ный, но фиксированный, первообразный корень по
205
модулю I, и пусть psg“mod/, где
Тогда gai 1 mod I, и потому af ав 0 mod Z — 1. С дру¬
гой стороны, очевидно, что наименьшее число f > 1,
I — 1
удовлетворяющее этому сравнению, равно ——, где
d — наибольший общий делитель чисел а и I—1.
Поэтому для любого простого р^=1 показатель е
равен наибольшему общему делителю чисел а и I—1,
где а — такое число, что р — ga mod I.
Следовательно, если г пробегает I — 1 чисел от О
до I — 2, то остатки от' деления произведения га на
I — 1 будут повторяться ровно е раз, а чтобы полу¬
чить все остатки по одному разу, достаточно г изме¬
нять от 0 до f —- 1. Кроме того, ясно, что все эти остат¬
ки будут делиться на е и, значит, будут иметь вид je,
где / = 0,..., f — 1.
Этим доказано, что для любого простого числа
р = ga mod I имеет место равенство
7=0 г=0
где , '
Хг(р) = ѳ™
Следовательно,
Z“2 ✓
г=0 р^І
где. внутреннее произведение распространено на все
простые числа р =^= I.
Полагая
(12) £(s, = S>1,
P
мы это равенство можем переписать в следующем
виде: j
(13) (1 — & (s) = L (s, %t) ... L(s, X/_2).
При этом мы можем считать, что в формуле (12)'
произведение .распространено на все простые числа р,
положив, по определению, %(/) = 0, Это произведение
206 '
абсолютно сходится (при s > 1), потому что сходится
произведение
ПО-^Г-
р
Для каждого г — 0* >.., I — 2 мы определим функ¬
цию (я) при любом п g= Z формулой
( 0, если п = 0 mod /,
Xr(n) = j: если rassgamod/<
Ясно, что
%г(шп) = Хг (п) Хг (т) для* любых п и т,
т. е. каждая функция %г вполне мультипликативна.
Кроме того, %г(1) = Г и
уг (/г) = yr (т), если п = tn mod /.
Обладающие этими свойствами функции у;. Z->jQ
называются характерами по модулю І. Таким образом,
для любого г=0, /—2 функция ^является ха¬
рактером по модулю I.
Легко, впрочем, видеть, что верно и обратное, тг е. любой
характер % по модулю I имеет вид для некоторого г. Дей¬
ствительно, если п = ga mod /, то %(n) = %(g)a. При этом, так как
g1-1 = 1 mod /, то x(g)1-1 — X(l-) = 1, и потому %(g)= Ѳг при
некотором г. ;
Ввиду того, что характер % вполне мультипликати¬
вен, к бесконечному произведению (12) применима
формула (8) (обе части которой при s > 1 абсолютно
сходятся, если |f(n)| = 1 для всех /г). Поэтому ,
(И) =
/1=1
для любого характера % по модулю I.
Ряд (14) называется L-рядом Дирихле для харак¬
тера X, а его сумма L(s, %) называется L-функцией Ди¬
рихле. Областью определения L-функции L(s, %) мы
будем считать множество всех s, для которых L-ряд
Дирихле (14)' сходится (хотя бы и не абсолютно); Та¬
ким образом, эта область вполне может быть больше
полуоси s > L ;
207
Заметим, что разложение (12) функции L (s, Хг) в
бесконечное произведение доказано нами только при
s > 1, и потому утверждать, что оно имеет место для
всех s из области определения этой функции, у нас нет
никаких оснований. (Тогда как разложение (14) функ¬
ции L(s, х) в бесконечный ряд справедливо, по опре¬
делению, во всей этой области).
Ясно, что %о(«)= 1 для всех п = 0mod/. Такой
характер называется главным характером. Сравнение
формулы (12) (при % = хо) с формулой (6) показы¬
вает, что соответствующая L-функция Дирихле L(s, хо)
отличается от ^-функции Римана £(s) только множи¬
телем (1 —:
L(s, %o) = £(s)(l — yr) •
Отсюда следует, что областью определения функ¬
ции L(s, %о) является полуось s > 1. Действительно,
при s 1 ряд £($) мажорирует расходящийся гармо¬
нический ряд ““ и потому сам расходится.
Кроме того, основную формулу (13) мы можем те¬
перь, сократив на (1 —, переписать в следую¬
щем виде:
(15) (s) = £ (5) L (s, ъ) ... L (s, xz_2).
Найдем теперь область определения L-функцни
L(s,x) при х#=Хо.
Поскольку при s = 0 ряд (14) заведомо расхо¬
дится (его общий член не стремится к нулю), эта об¬
ласть содержится в полуоси s > 0. Покажем, что она
совпадает с этой полуосью. (
Рассмотрим сумму
S(n) = x(D+ ... +Х(п).
Пусть, как и выше, п = ga mod I (мы предполагаем,
что п ф 0 mod Z). Ясно, что когда п пробегает все чис¬
ла от 1 до I—1, показатель а пробегает все числа от
208
О до I — 2. Поэтому (при % = %г, где г =/= 0)
(16) s(0=s(/-i) = 2 ѳаг= !-er -=0-
а=0
(Заметим, что S(l)=l при х = %о.) Следовательно,
S(/ + n) = S(Z) + x(/+ 1)+ ... +х(/ + «) =
= 0 + х(1)+ ... +x(n) = S(«),
и, значит,
S(n) = S (т), если п = tn mod Z.
В частности, отсюда следует, что функция S(n) огра¬
ничена, т. е.
I S(n) |.^ const
для всех ne Z.
С другой стороны, x(«) = S (n)—S(n—1), и по¬
тому для любого N > 1 имеет место равенство
N N
ЕХ («) V s (п) - S (п -
ns £-і ns
п=\ п=1
N N
Ÿ S(n) _ Ÿ S(n-l) _
Zu • ns Zu tls
n=l n=l
w-1
n=l
ибо S(0) = 0. Так как -|S(AQ | const, то при s > 0
первое слагаемое справа стремится к нулю:
5 (У) п
0, когда N -> оо.
Что же касается второго слагаемого, то при s > 0 оно
мажорируется частичной суммой сходящегося ряда
оо
const-£ (4---WÏP-)
П=1
и потому само является частичной суммой абсолютно
сходящегося ряда .
X ( лг — («+ l)s ) •
П=1
8 М. М. Постников 20Э
Этим доказано, что .для любого неглавного, характера'
% #= Хо ряд Дирихле
ns
n=l
сходится при s > 0. Следовательно, при х "=# Хо функ¬
ция L(s, х) определена и Непрерывна {даже диффе¬
ренцируема) для,всех s > 0.
В частности, . ,
оо
limlfs, x) = L(l, х)= У -2ф-, Х¥=Хо,
где ряд справа условно сходится.
Умножив теперь формулу (15) на s— 1, перейдя к
пределу при s | 1 и учтя, что, согласно предложению 1
§ 14,
lim(s—l)t(s)= 1,
1
мы немедленно получим следующее предложение:
Предложение 2. Вычет функции (•$) при
s = 1 выражается формулой
(17) lim(s— l)Çz(s) = L(l, Xi) ••• 1(1, X/-2). ■
Чтобы вычислить числа L(l, %i), ..., L(l, %/_2) в
явном виде, мы введем в рассмотрение ряд
(18) 2 + 4-+ ... +4+ ....
который сходится при . |z|^l и z=/=l к функции
—In (1 — z) (точнее, к аналитической ветви этой функ¬
ции, мнимая часть которой находится в npeaenàx от
л Л \
—2- Д° -2 Л
Этот факт проще всего доказывается тем же методом (при¬
надлежащим, кстати сказать, Абелю), которым выше была до¬
казана сходимость L-рядов с X Ф Хо при s > 0.
Пусть
2 2^
5(П)=2 + 22+ ... +2« = Д—I
и, значит,
• ■ W)l < -
а
210
при-І ^КІ и 11 — z е, где & > 0. Так как
N N-1
y^£W + yS(rt)p._iy
Z-/ n Tl L-à \n n+l)
П-l Roi
и так как ряд
ÈG-drr)
n«l
сходится, отсюда уже известным нам рассуждением выводится,
что ряд (18) при | z | 1 и I 1 —z I 8 равномерно сходится.
Поскольку 8 > 0 произвольно, этим доказано, что при | z | 1
и z =/» 1 ряд (18) сходится к непрерывной функции.
С другой стороны, классическая формула Маклорена, приме¬
ненная к функции —In (1 —z), показывает, что в круге | z | < 1
ряд (18) сходится к этой функции. Поскольку функция —In (1—*
— z) непрерывна при | z | 1 и z^= 1, этим все доказано.
Теперь, в отличие от всего предыдущего, нам необ¬
ходимо точно фиксировать число £. Мы будем считать,
что
- 2л ... 2л
£ = COS — + I sin —.
Тогда для любого k = 1, ..., I — 1 комплексное число
—1п(1 — £*) будет иметь вещественной частью число
Фь
In 2 sin , а мнимой частью —
-ln| =
число
Ф*
2
Я где Фл = -^7— (см. рисунок). Что же
• 2л » *
ZAOB = <fk, £ОАВ^£ОВА=П -ф-*-
2»
8*
211
касается ряда (18), то при z = Ç, Ç2,..., он будет
сходиться, так что будут иметь место равенства
00 rk
£4 ln(l — Çft), k=l, 2, Z-l.
n=l
Пусть теперь
4=42г'ш k=\, 2;..., z~i,
/-I
где X — фиксированный неглавный характер. Тогда
S Ê 5^л‘-,г-=
/г«»1 /-1 п-1
Z-1
У £(«-/)* =
/г-1
=т£ -£%(/)
п-1 4 /-1
-Ё^ = М1.Х).
п-1
ибо
I—1, если n^/modZ,
— 1, если n^i mod I,
и (см. формулу (16))
Ё Х(/)= О
/-1
(перестановка порядка суммирования, несмотря на ус¬
ловную сходимость рассматриваемых рядов, как легко
видеть, законна). Тем самым доказано, что
b(l,X) = -E<Mn(l-Çft), х=И=хо.
Таким образом, для L(l, %) получено конечное выра¬
жение, не использующее бесконечных процессов. Даль-
212 .
нейшие преобразования этой формулы уже будут чи¬
сто алгебраическими.
Пусть k = gr mod I. Тогда Ç* = or£ и потому, поло¬
жив ar = dk, т. e. положив
Z —1
ar = 7-^(ar$)-/%(/), r = 0, 1 I — 2,
/-1 -
мы получим для L(l, %) формулу
1-2
Mb X) = — £arln(l — </£)
r=0
(когда k меняется от 1 до Z— 1, показатель г пробе¬
гает в некотором порядке числа от 0 до I — 2).
Учитывая, что для любого /, 1 Z— 1, суще¬
ствует единственное s, О 5 I — 2, для которого
gs ss —j mod Z, и, значит, = asÇ, а также что —1 s
в gm mod Z, где, как всегда, т = мы видим, что
Z-1 Z-2 1—2
= Е Г'х (/) = Е 0^ ♦ X (— gs) = X (gm) Е * X (gs),
/—1 s=û s=»0
T. e. что
1—2
(19)
Условно можно считать (предполагая, что а не дей¬
ствует на %(/)), что аг = ога0 для любого г. Поэтому,
согласно формуле (19),
1-2
Іаг = /стга0 = X (g)"1 Е ог*+г£ • X (g)s =
, Z-2
= X (g)m X (gYr E • X (gŸ = X (g)~r
/=0
Следовательно^ ar = x(Éf)”rûo и значит,
Z-2
X)= — «o Ex(g)~rln(l — arê).
r=o
213
Если Х = Х/> /=/=0, то х(^) = Ѳ/. Этим доказано^
что '
£ (1 — X/) = — «о È Ѳ“" In (1.— </$)>
r=0
где (см. формулу (19))
1 z“2
s-0
(так как %(g) = Ѳ7, то %(g)m = (Ѳ'п)7 = (—I)7). Но,
сравнив это выражение для aQ с формулой (14) § 14, "
мы немедленно обнаружим, что aQ = (—1)7&/. Таким
образом,
(20) L(l, Х/) = (-1)Ж S Ѳ-'г1п(1 -</&
r«0
где b, — число, определенное формулой (14) § 14.
Предложение 3. Числа
.... L(l, Xz-2)
отличны от нуля.
Доказательство. Так как функция L(s, %),
X #= Хо> в точке s = 1 дифференцируема, то при
L(l, х) = 0 предел
lim£bX = L,(l) %)
5->1 51
существует и конечен. Поэтому существует и конечен
предел
Но L (s, х) = L (s, х), причем, если х = Хп где 1^
г I — 2, то X = %2m-r- Следовательно, если г Ф пг,
то существует и конечен предел
I1™ = I (1 > Xr) I2 ’ £г.
214
где L(s) = L(^,%t) L(s,x/_2), a Lr — произведение
всех чисел £(1,%/) при j^=r, 2tn — r. Поскольку, со¬
гласно формуле (15), ' .
limÇz(s) = lim(s— 1) • lim(s— 1) £ (s) • lîm
отсюда следует (в силу предложения 1-§ 14), что
lim h (s) = О,
sf I
что противоречит формуле (11). Этим доказано, что
(1, Хг) #= 0 при г =# т.
Осталось рассмотреть случай г = т. Здесь мы вос¬
пользуемся формулой (20). Согласно этой формуле
1-2
Xm)=<-l)m+1^ S (—l)rln(l - orc),
• r=0
где #= 0. Поэтому L(l,%m) = 0 тогда и только тог¬
да, когда
1—2
Z(-l)rln(l-o^) = 0,
r«=0
т. e. когда
Z* In (1 - <т2^) = "s In (1 - a2*+'£).
d=0 b=0
Потенцируя это соотношение, мы получим тожде¬
ство вида
т-1 т-1
П (1 - <Т2^) = П (1 - а2»+>£) + 2Nni,
Я = 0 6 = 0
где N — некоторое целое число. При N Ф 0 из этого то¬
ждества следует, что число л является алгебраическим
числом, что, как известно (см., например, Постни¬
ков М. М. Теория Галуа.—М.: Физматгиз, 1963,
215
с. 205—211) , неверно. Поэтому N.= О и, значит,
т-1 т-1
П(1-аЧ)= П (l-a2t+lÇ).
а=0 Ь=0
Поскольку при воздействии а левая часть этого тожде¬
ства переходит в правую, элемент
т-1 т-1
А = п (1 - a2ûO = П (1 - а26+1с)
а=0 Ь=0 .
кольца Di обладает тем свойством, что оА = А. По¬
этому он лежит в Z (см. § 5). Но, с другой стороны,
т-1 т-1 1—2
л2 = П (1 - а2аС) П (1 - а26+1С) = П (1 - *4) =
а=0 Z?=0 kaQ
=2Ѵ (1-С) = /,
что при целом А невозможно. Полученное противоре¬
чие показывает, что L(l, %т) =И= 0. Е
На первый взгляд кажется, что доказательство предложе¬
ния 3 излишне осложнено и что — на основе той же идеи — это
предложение может быть доказано следующим более „простым
рассуждением, не требующим специального рассмотрения случая
г = т:
Если L (1, Хг) = 0, и, значит, предел
.. L(s-Xr) .
1ÏÏ1, -7=т--1 М
существует и конечен, то предел
L (s, Xi) ••• L (st 9)
lim L (s) = lim (s — 1) g (s) lim- v 17--o =
sf 1 1 5^1 s^i s A
1 — 2
= £/(l, %r) JJl (1,
/=1
І^г
также существует и конечен. Но в предыдущем параграфе мы
видели, что этот предел бесконечен (ибо вычетlim (s — 1) £. (s)=
1
= Лх существует и конечен). Следовательно, L(l,Xr)=/=0 для
всех г.
Однако это рассуждение содержит в себе порочный круг,
поскольку в доказательстве равенства lim (s — 1) £. (s) = h% мы
$4" 1
существенно пользовались леммой 2 § 12, которая у нас пока
еще не доказана и которую мы ниже выведем как раз из пред¬
ложения 3.
216
Если j = 2k четно, то для любого г = 0,...» т — 1
слагаемые
(21) Ѳ~1г In (1 - (7г0 и 0-/<m+r)ln(l-am+rg)
формулы (20) после сокращения на 0~/г будут комп¬
лексно сопряжены (ибо = Q~2km = 1 и ст'п+г£ =
= пг£). Поэтому их сумма будет равна
2Ѳ"/Г Re In (1 - orc) = 20"/r In 1 1 - |
и, значит, будет иметь место формула
/-2 т — 1
S В-21' In ( 1 - оЧ) = 2 Z Ѳ-!« in I 1 - пЧ I = 2П»,
г=0 /=0
где Ck, 1 k т — 1, — числа, определенные форму¬
лой (37) § 12. Поскольку, как легко видеть, с* = cm-k,
этим доказано, что
(22)
і(1, Х2) = — 2Ь2ст_і,
^(1> Х<) 2/>4Cwj_2,
7-(1, Х2т—2) 2&2/п—2^1-
Доказательство леммы 2 § 12. Согласно
предложению 3 из формул (22) вытекает, что с* #= 0
при k = 1,.... т — 1. s
Это рассуждение порочного круга не содержит, поскольку
все, что мы делали в этом параграфе, никак не опиралось на ма¬
териал § 12. Вообще, из материала всех предыдущих парагра¬
фов мы в этом параграфе пока воспользовались только предло¬
жениями 7 и 8 § 13, описывающими разложения простых чисел
из Z в произведение простых дивизоров кольца Di (а также
предложением 1 § 14).
Пусть теперь j = 2k + 1. В этом случае слагаемые
(21) (после сокращения на Ѳ~ік) будут иметь одинако¬
вые .мнимые части и противоположные по знаку веще¬
ственные. Поэтому в формулу (20) можно вместо
1п(1 — ог£) подставить
Im In (1—</£) = * (-у —т-^).
’ r = 0, 1, .... 1-2.
217
Это доказывает, что
1—2 '
Д(1. ъ.+,)=»»+1Еѳ-“«’' (£-^) —
r=û
Z-2
=-4-6»« Е^’и+”'.
r-0
ибо
1—2
£ = в.
r-Û *
Вводя снова многочлен
1—2
r=Û
(см. § 6) и учитывая, что Ѳ“(2Л4-1) = 02(w“ft)“i, мы окон¬
чательно получаем, что *
(23) L ( 1, Х2*+1) = - -у- А/е+іа (Ѳ2 ‘),
k = 0, ..tn — 1.
Теперь осталось собрать плоды нашего тяжкого
труда. Подставив выражения (22) и (23) в формулу
.( 17), мы получим равенство
lim (s — 1) t,i (s) = (— j^\m . (—2)”1"1 bt ... bl_2ci ...
...cm-ia(0)a(Ѳ3)... а(ѳг-2) = -m ^n- вс• w(a).
Переходя к модулям и учитывая, что согласно фор¬
муле (4) § 14 вычет lim(s —l)£z(s) равен Лх, мы в
S Ÿ 1
силу формулы (6) § 12 получаем отсюда формулу;
Но, согласно формуле (26) § 14,
Ах =
22т-2пт
ІІІ2
•I В|.| С|. й.
218
Приравнивая эти два выражения и сокращая общие
множители, мы и получаем нужную нам формулу для
числа классов
й = йіЛ2,
которая, таким образом, выскакивает из всех наших
вычислений как чертик из шкатулки.
Этим доказано совпадение куммеровых и регуляр¬
ных чисел и тем самым, наконец-то, полностью дока¬
зана теорема Куммера.
ДОБАВЛЕНИЕ
Теорема Дирихле о простых числах
в арифметических прогрессиях
Теорию L-рядов сам Дирихле создал для доказа¬
тельства следующей теоремы:
Теорема Дирихле. В любой арифметической
прогрессии
(1) 6, а + &, 2а + па + .
для которой числа а и b взаимно просты, содержится
бесконечно много простых чисел.
Хотя эта теорема никак не связана с теоремой Фер¬
ма, мы все же изложим здесь ее доказательство, по¬
скольку все, что для него нужно, мы фактически уже
знаем (по крайней мере в случае, когда а является
простым числом /), и было бы грешно этими знаниями
не воспользоваться.
Идея Дирихле состоит в том, чтобы рассмотреть
ряд
Й Ху.
распространенный на все простые числа вида (1), и
доказать, что этот ряд расходится. Поскольку тогда
число простых чисел вида (1) заведомо бесконечно,
этим все будет доказано.
Для реализации этой идеи нам нужно перенести на
случай произвольного модуля а понятие характера,
введенное в § 15 для случая простого модуля I.
Для каждого целого а > 1 характером по модулю
а называется не равная тождественно нулю, вполне
мультипликативная (т. е. такая, что 7Атп) =
220
= Для любых тип) функция %: Z->C,
обладающая тем свойством, что
(3) Х(^) = Х(^), если п = т mod а,
и x(n) = 0» если п и а не взаимно просты.
Из условия полной мультипликативности следует,
что х(1) = х(1 * 1) = Х(1) *Х(1)> т. е. что либо %(1) =
= 1, либо %(1) — 0. С другой стороны, если %(1) = 0,
то х(п) = 1) = х(п) • %(1) = 0 для любого п, а по
условию % не обращается тождественно в нуль. По¬
этому
х(і)=і
для любого характера %.
Класс числа п по модулю а тогда и только тогда
обратим в кольце ï/a (т. е. существует такое число ü,
что пѵ = 1 mod а), когда число п взаимно просто с
числом а (ибо пѵ = 1 mod а тогда и только тогда,
когда существует такое число и, что au + пѵ = 1). По¬
этому порядок мультипликативной группы (Z/a)* об¬
ратимых элементов кольца ï/a равен числу ф(а) чле¬
нов ряда 1,2, ..., а — 1, взаимна простых с числом а.
Следовательно,
Пф(а) = 1 mo(j а
для любого числа /г, взаимно простого с числом а.
Это утверждение называется теоремой Эйлера.
Ясно, ЧТО ф(р) = р—1 для любого простого р. Поэтому
для простых а теорема Эйлера сводится к малой теореме Ферма.
Из теоремы Эйлера следует, что
ïW’mi=x(<î’m)=%(1)=i
для любого характера %. Мы видим, таким образом,
что значения %(п) произвольного характера % по мо¬
дулю а на числах п, взаимно простых с а, являются
корнями степени ф(а) из единицы.
В частности,
|%(и)|=1,
и, значит, %(п)=Н=0 для любого характера % и любого
числа п, взаимно простого с числом а.
’Характер %0, для которого Хо(л) = 1 при любом п,
взаимно простом с а, называется гЛавным.
Для любого характера % мы рассмотрим сумму
п
221
(4) Ex(rt) = {
п V.
распространенную на полную систему представителей
по модулю а, т. е. на все попарно не сравнимые друг
с другом по модулю а числа іг (или, что равносильно,
только на те из. этих чисел, которые взаимно про¬
сты с а).
Оказывается, что
Ф (а), если характер % главный,
О в противном случае.
Действительно, при % = %0 это равенство очевидно
(имеется ровно ф(а) отличных от нуля слагаемых и
каждое из них равно единице). Если же % #= %о, то, по
определению, существует такое т, взаимно простое с а
(и значит, такое, что %(т) =/= 0), что %(т) ф 1. Но,
так как т взаимно просто с а, то при п, пробегающем
полную систему представителей по модулю а, произве¬
дение тп также будет пробегать такую систему. По*
этому будет иметь место равенство
У X («) = £ X (пт) = % (т) £ % (п)
п п
при х(т) #= 0, 1, возможное только тогда, когда
У, % (п) = 0. в
п
Теперь легко видеть, что для любого неглавного
характера % ряд
п-1
сходится при всех s > 0 (и потому определяет непре¬
рывную и дифференцируемую при $ > 0 функцию).
Действительно (ср. с доказательством аналогич¬
ного утверждения для случая а = р в § 15), пусть
. 5(га) = %(1)+ ... + %(«),
где п произвольно. Из второй формулы (4) немедлен¬
но следует, что функция S периодична с периодом а,
т. е.
5 (п + а) = S (п)
для любого п. Поэтому эта функция ограничена и, сле¬
довательно, ряд
S 5 (^ — ■(« + i)s )
222
N-1
при $ > 0 сходится. Поскольку же
N .. .
E^)=^>+2sw(jr_
п«=1 П=1
значит,
n=l
сходится и ряд
со
Ex («) _
Произведение %і%2 двух характеров %і и %2 (по од¬
ному и тому же модулю а) определяется формулой
Хі%2:
Легко видеть, что это произведение также является
характером по модулю а и что все характеры обра¬
зуют по отношению к этому умножению группу, еди¬
ницей которой служит главный характер %0.
Каждый характер определяется значениями, кото¬
рые он принимает на ср (а) попарно не сравнимых чис¬
лах взаимно простых с а. Поскольку эти значения, яв¬
ляясь корнями степени ср (а) из единицы, могут быть
выбраны только ср (а) способами, число всех характе¬
ров по модулю а конечно.
Поэтому.для любого п имеет смысл сумма
Zx(«).
распространенная на все характеры % по модулю а.
Оказывается, что
( ф (а), если п = 1 mod а,
(5) У г (п) = 1
\ / X 7 t О в противном случае,
гдеф(а)—число всех характеров по модулю а.
Действительно, при п = 1 mod а это равенство оче¬
видно (имеется ф(а) слагаемых, каждое из которых
равно единице). Чтобы рассмотреть случай пФ
1 mod а, нам понадобится следующая лемма, дока¬
зательство которой мы пока, — чтобы не прерывать
изложения, — отложим: ’
Лемма 1. Для любого числа п, взаимно простого с
а и такого, что п^\ mod а, существует характер по
модулю а, обладающий тем свойством, что 1.
223
Так как характёры по модулю а образуют группу,
то, когда % пробегает все характеры, произведение
также пробегает все характеры. Следовательно,
Е х («) = Е (хіх) (п)=xi (n) Е % («),
XX X
что при %і (га) =/= 0, 1 возможно только, когда 2 Х(«) =
= 0. В силу леммы 1 это доказывает формулу (5) при
п Ф- 1 mod а в случае, когда га взаимно просто с а. (Ср.
с доказательством формулы (4)).
Для завершения доказательства остается заметить,
что при л, не взаимно простом с а, формула (5)..оче¬
видна (все слагаемые равны нулю и потому их сумма
также равна нулю), s
Теперь легко можно показать, что фигурирующее в
формуле (5) число ф (а) всех характеров по модулю а
равно числу ф (а) всех классов по модулю а чисел, вза¬
имно простых с а:
ф(а) = ф(а).
Действительно, вычисляя двумя способами сумму
Ех(«).
п,Х
распространенную на все характеры по модулю а и на
полную систему представителей классов чисел по мо¬
дулю а, мы получим, что
Е X (п) = Е Е X («) = Ф (а) (в силу соотношений (4))
П. X X а -
Е X (») = Е Е X («) = ф («) (в силу соотношений (5)).
П. X » X
Следовательно, ф (а) == ф (а). s
Что же касается леммы 1, то при а = 1 простом и
нечетном эта лемма нам уже известна: если g — перво¬
образный корень по нечетному простому модулю I, то
характер %і, определенный (при га, не делящихся на /)
формулой %і(га) = Ѳг, где Ѳ — первообразный корень
из единицы степени'/— 1 = ф(/), a r — такой показа¬
тель, что га = gr mod /, обладает, очевидно, тем свой¬
ством, что Хі(«) =#1, когда га 1 mod/.
224
Оказывается, что та же конструкция годится и при
а = Is (если только />2). Нужно только доказать,
что для любого числа п, взаимно простого с Is (т. е. не
делящегося на Z), существует такой показатель г, что
п = gr mod Is. Действительно, тогда формула
z . ( Ѳг, если п взаимно просто с Is и п = grmod/5,
X1W=<{ Л /S
t 0, если п не взаимно просто с I ,
будет, как легко видеть, определять характер по
модулю Is, обладающий тем свойством, что %і (п) =# 1
для любого числа п 1 mod Is.
Итак, нам нужно при а = Is (и Z > 2) доказать
лишь существование показателя г. Мы сделаем это в
предположении (когда это только и верно), что перво¬
образный корень g удовлетворяет условию (6) § 6. Со¬
гласно этому условию
g/-i = 1+6/,
где число b не делится на I. Поэтому для любого
t 0 будет иметь место равенство
gd-i) i' = (i+w/ =
= 1 + /' • bl + • (bl)1 + ... = 1 + cV+i,
где
■ c = & + -^=1.62/+...=6mod/
не делится на Z. В частности, мы видим, что
(6) 1 mod Is при t + 1 < s.
Утверждение о существовании для любого п, вза¬
имно простого с Is, показателя г означает, что мульти¬
пликативная группа (Z/ls)* обратимых элементов
кольца Z/Is является циклической группой, образую¬
щей которой служит класс первообразного корня g.
Поэтому для доказательства этого утверждения до¬
статочно доказать, что порядок класса числа g равен
порядку ф(/5) группы (Z//*)*, т. е. что если г — наи¬
225
меньшее положительное число, для которого имеет
место сравнение
(7) grr=lmodZ\
то г = ç(Zs). Но поскольку порядок любого элемента
группы делит порядок группы (равный в нашем случае
Ф (/*)), из этого сравнения следует, что г делит ф(/5)-
С другой стороны, так как из (7) следует, что gr =
=== 1 mod Z, и так как g — первообразный корень по мо¬
дулю Z, то г делится на Z — 1. Таким образом, г делит
ç(Zs) и делится на Z—1.
Вычислим теперь число ç(Zs). По определению оно
равно числу членов ряда 0, 1, ..., Is — 1, взаимно про¬
стых с Is, т. е. не делящихся на Z. Но каждый член этого
ряда, делящийся на Z, имеет вид lq, где q.— член ряда
О, 1, ..., Zs-1 — 1. Поэтому число этих членов равно
Zs-1, а, значит, число членов ряда 0, 1, ..., Is— 1, не
делящихся на Z, равно Is — ZS“1 = ZS-1(Z—1). Таким
образом,
Ф(г)=/*-'а-і).
(Заметим, что эта формула верна и при Z = 2, когда
опа приобретает вид ф(25) = 2s-1.)
Тем самым доказано, что показатель г делит
ls~](l—1) и делится на Z—1. Значит, он имеет вид
r = Z/(Z—l), где 1.
Но если t < s—1, то, согласно формуле (6),
gr Ф 1 mod Zs,
что противоречит сравнению (7). Следовательно, / =
= s — 1, и потому r — ls-x{l—1) = q)(Zs)< s
Тем самым при a = Zs, s^l, Z ^2, лемма пол¬
ностью доказана.
Заметим, что характер мы нашли один и тот же для всех
чисел п 1 mod /. Ниже мы увидим, что для других значений а
это сделать невозможно (потому что группа (z/a)* является
циклической группой только тогда, когда а = Is и />2).
При а = 2s лемма содержательна только ври s >
> 1 (при s = 1 чисел п, взаимно простых с а и таких,
что п 1 mod а, попросту, нет).
226
Пусть s > 1. Легко видеть, что формула
f 1, если п = 1 mod 4,
П ( — 1, если n = 3mod4
определяет характер %і по модулю а = 23, обладаю¬
щий тем свойством, что %(«)=/= 1 при п = 3mod 4.
Таким образом, нам осталось подобрать характер
Хі лишь для чисел п == 1 mod 4. Классы таких чисел п
по модулю а «== 2s интересны только при s > 2 и они,
очевидно, составляют подгруппу группы (Z/23)*,
« <Р (2s) ns-2
имеющую половинный порядок ■ -- -- = 2 .
Оказывается, что эта подгруппа циклично и ее об¬
разующей служит класс числа 5.
Чтобы доказать это, достаточно, как мы знаем, до¬
казать, что класс числа 5 по модулю 2s имеет поря¬
док 2s-2. С этой целью заметим, что для любого г О
имеет место сравнение
52r=i -J-2г+2 mod 2г+3.
Действительно, при г = 0 это верно (имеет место даже
равенство 5 = 1 + 4), а если это верно для г— 1, т. е.
если 52Г-1 = 1 + 2r+I + 2r+2N, то
52Г = (52Г~1)2 = (1 + 2г+1 + 2г+2Лг)2 =
= 1 + 2 • 2-+1 + 2Г+3 (V + 2r~1 + 2r+iN + 2г+1№)
Поэтому, в частности, 52S~3 s 1 + 2smod 2s и, зна¬
чит,- 52S-3 1 mod 2s, тогда как 52S-2^ 1 + 2s mod 2s+1
и, следовательно, 52ï-2 s 1 mod 2 s. Таким образом,
порядок класса .числа 5 по модулю 2s на самом деле
2 5—2 _
* • В
Таким образом, для каждого числа п=\ mod 4
существует такой показатель г, что п = 5rmod23. Если
же n s 3 mod 4, то —п s 1 mod 4, и потому существует
такой показатель г, что п = —5r mod 2s.
Теперь легко видеть, что, положив
%і(га) = Ѳг, •
где с—такой показатель, что
’ п=5г mod 2sі если п s 1 mod 4
221
и
п = —5r mod 2s, если п = 3 mod 4,
а g — первообразный корень из единицы степени 2s”2,
мы получим характер по модулю 2s, обладающий тем
свойством, что %і (п) #= 1, если nsl mod 4 и п Ф
1 mod 2s.
Тем самым лемма 1 доказана для любого а = Is.
При а Ф Is группа классов по модулю а чисел, вза¬
имно простых с а, не будет, вообще говоря, цикличе¬
ской группой, и потому единого характера хь пригод¬
ного для всех п 1 mod а, найти мы не сможем (этот
феномен возник у нас уже при а = 2s, $>1). Нам
придется поэтому подбирать для каждого п свой ха¬
рактер Для этого мы воспользуемся следующей об¬
щей конструкцией.
Пусть d — произвольный делитель числа а, и пусть
X* — произвольный характер по модулю d. Так как из
п = т mod а вытекает, что п = т mod d, то функция
X* обладает свойством (3) характеров по модулю а.
Тем не менее характером по модулю а она, вообще го¬
воря, не будет, поскольку могут существовать числа,
взаимно простые с d, но не с а, и на этих числах функ¬
ция X* будет отлична от нуля. Чтобы исправить это, до¬
статочно умножить X* на главный характер хо по мо¬
дулю а. Ясно, что получающаяся функция х = Х*Хо
уже будет характером по модую а.
По построению, для любого числа п, взаимно про¬
стого с а, имеет место равенство х(л) = х*(п)> так что,
в частности, x(n) =^= 1, если x*(n) 1- Таким обра¬
зом, для доказательства леммы 1 в случае а Ф Is нам
достаточно для любого числа п, взаимно простого с а,
и такого, что п 1 mod а, подобрать такой делитель d
числа а и такой характер х* по модулю d, что х*(Л) =/=
=Н= 1. Для существования характера х* необходимо,
чтобы было выполнено условие п Ф 1 mod d, а если d
является степенью Is некоторого простого числа /, то,
согласно доказанному выше, это условие и достаточно.
Следовательно, все будет доказано, если мы покажем,
что для любого числа п, взаимно простого с а, и такого,
что п ф 1 mod а, существует такой делитель числа а,
являющийся степенью Is некоторого простого числа I,
что п 1 mod Is. Иначе говоря, нам нужно показать,
что если п = 1 mod Is для любого числа вида Is, деля-
228
щего число а, то п= Imoda. В свою очередь это ут¬
верждение выводится очевидной индукцией из того,
что если п = 1 mod а и п = 1 mod &, где а и b —два
взаимно простых числа, то п = 1 mod ab. Но это по¬
следнее утверждение очевидно, поскольку из равенств
п = 1 + Аа и п = 1 + ВЬ вытекает, что Аа = ВЪ и,
значит, (ввиду взаимной простоты чисел а и 6), что
А = СЬ, В = Са для некоторого С. Следовательно,
п = 1 + С ab = 1 mod ab. @
Тем самым лемма 1 полностью доказана.
Вернемся теперь к ряду (2). Тот факт, что число р
принадлежит арифметической прогрессии (1), в точно¬
сти равносилен тому, что р = b mod а, а значит, тому,
что
ср = 1 mod а,
где с — такое число, что cb = 1 mod а (такое число с
существует, так как по условию числа а и b взаимно
просты). Поскольку, согласно соотношениям (5),
Г ф(а)> если ер =1 mod а,
À»X(ep) I g если £р=0=іто(іа>
отсюда следует, что ряд (2) мы можем переписать в
виде
(8)
Р X
где суммирование распространено уже на все простые
числа р.
Рассуждая от противного, предположим, что ряд
(2), а значит, и ряд (8) сходятся. Тогда, меняя поря¬
док суммирования (и отбрасывая множитель ф(а)-1),
мы получим ряд
о»
X Р . р Х*Хо Р
Предположим, мы доказали, что для любого не¬
главного характера X =/= Хо ряд
(10).
р
229
где суммирование распространено на все простые чис¬
ла, сходится. Тогда из формулы (9) будет следовать,
что ряд (2) сходится тогда и только тогда, когда схо¬
дится ряд
а» £т-
р
/
Но еще Эйлер доказал, что ряд (11) расходится. По¬
этому ряд (2) расходится, и, значит, арифметическая
прогрессия (1) содержит бесконечно много простых чи¬
сел.
Таким образом, для доказательства теоремы Ди¬
рихле нам нужно только доказать сходимость рядов
(10) и расходимость ряда (11).
Последнее утверждение доказывается легко. Дей¬
ствительно, из формулы Эйлера (формула (6) § 15) и
того факта, что ряд (18) § 15 сходится к функции
—1п(1—z), следует, что при любом s> 1 имеет ме¬
сто равенство
(12) 1пг;(*) = Х(^ + ^+ ... + ^г+ ...)-
=£ £ 7тп'=£'5т+££
Р П-1 р р п-2
Но так как при п^2
со
то ряд -^3-мажорируется рядом
П-2
1 у» 1 1 1 1
Р2”
Р
и, значит, ряд
<13) ££т>
р П-2
230
— рядом
S p2S n2s — £(2Д
P n
Следовательно, при s > y ряд (13) сходится.
В частности, этот ряд сходится при s = 1. Поэтому,
если бы ряд (11) сходился, то из формулы (12) выте¬
кало бы, что функция In £($) имеет при s 1 конечный
предел. Поскольку это явно не так (ибо £(s) со при
s ф 1), ряд (11), следовательно, расходится.
Аналогичное рассуждение можно применить и для
доказательства сходимости рядов (10). Действитель¬
но, по обобщенной формуле Эйлера (формула (8)
§ 15)
lnL(s, х) = — £1п(1 — :*уг)= .
р
_ V V х(р)" _ у1 х(р) . V V х №
~ L L пР™ ~ L Ps.rLL пр™ •
р n—1 p p n=>2
Для второго ряда справа модули его членов со¬
ставляют уже знакомый нам ряд (13). Поэтому этот
ряд при s > (и, значит, при s = 1) абсолютно схо¬
дится. Следовательно, ряд (10) тогда и только тогда
сходится, когда существует конечный предел
lim In L (s, %). Но так как при х Хо функция L (s, х),
sÿ 1
как было замечено выше, непрерывна при s > 0, этот
предел равен In L(l,x). Поэтому ряд (10) сходится
тогда и только тогда, когда L(l, х) ¥= 0.
Таким образом, все сводится к доказательству сле¬
дующего предложения (представляющего собой клю¬
чевой пункт рассуждения Дирихле, подобно тому как
его частный случай при а = I — предложение 3
§ 15 —был ключевым пунктом в выводе формулы
Куммера для числа классов идеалов кольца целых чи¬
сел поля деления круга):
Предложение 1. Для любого неглавного ха¬
рактера % =/= Хо
L(1,X)¥=O.
231
Поскольку при а = I простом этот факт нам уже
известен, тем самым теорема Дирихле нами доказана
для любой арифметической прогрессии с простой раз¬
ностью а = /.
Чтобы доказать предложение 1, в общем случае
нам понадобятся некоторые простейшие сведения о ря¬
дах вида
<14>
n=l
где ап — произвольные (вообще говоря, комплексные)'
числа. Такие ряды называются рядами Дирихле, а чис¬
ла ап — их коэффициентами.
Хотя нам эти ряды будут нужны только для веще¬
ственных значений s, но для лучшего понимания их
аналитического поведения целесообразно считать s
произвольным комплексным числом.
Лемма 2. Если ряд (14) сходится при s = s0, то
он равномерно сходится в замкнутой угловой области,
определяемой неравенством вида
(15) |arg(s — s0)KV <-f-.
Доказательство. Мы воспользуемся уже из¬
вестным нам преобразованием Абеля. Пусть
m
Ат==і~^
— частичные суммы ряда (11) в точке s = s0 и
А = Ііш Ат
т->оо
для любых N и М > N будет
— его сумма. Тогда
иметь место равенство
м м
, ns nSa ' ns~s°
n=H n=N
M
n«=W -
м
= 2^ ~ * ns-s0 =
n=N
М
n=N
232
Л., — А А.. А
м У-l I
Ms~s° ns~s<> *
Лі-l /1
+ £ (л„-л)(^-
1
(л + l)s-so
Пусть е > 0. Так как Ат—> А, то существует такое N,
что I Ап — А I < е при n~^N —1. Поэтому для любого
М> N будет иметь место оценка
м
V1 Лд
ns
n-N
М-1
1
(п + l)J"So
С другой стороны, полагая s = <r + i7, «о = °ь + г’А) и
замечая, что условие (15) равносильно неравенствам
о>о0, |/ — А)К(<7 — °o)tgY> '
мы для любого s из области (15) получим, что
1 1
ns~Sl> (п.+ іу-3а
du
us+l
n
I S — So I 5 x(a-a0)+l =
n+1
= (l+tgY)(-^
1
(n + l)0-0»
поскольку
IД — I < I g - PO I + I < - fo I < J . t
a — a0 a — a0 \ т s y*
Следовательно,
M Af-l
Xv- <2e + e(i 4-tgy) X („р-р» — (rt + i)0-go) =
n^N я=У ‘
= 2e + 8(l + tgY)(^^--^^)<
(2 + 1 e = const • s.
• V №-а“ J
Это' доказывает лемму 2. fâ
233
Следствие 1. Если ряд (11) сходится при s =
= а0 + it0, то он сходится при любом s = а + it с а>
> по и, его сумма является функцией, аналитической
в полуплоскости п > а0. s
• При этом каждая производная этой функции яв¬
ляется суммой ряда Дирихле, полученного почленным
дифференцированием ряда (14).
Следствие 2. Существует такое вещественное
число вс (случаи ос =—оо и ос,— +оо не исклю¬
чаются), что при о > вс ряд (И) сходится, а при
о < ос расходится, я
Число Ос называется абсциссой сходимости ряда
(11). Согласно следствию 1 сумма ряда (11) является
функцией, аналитической в полуплоскости о > ос.
Пусть
S(n) = ai4-O2+ ... 4-а». '
Лемма 3. Если |S(n) | const, то ряд (11) схо¬
дится при Re s > 0, т. е. его абсцисса сходимости не
положительна:
<тс^0.
Доказательство. Так как
М М-1
V ап S(M) S(N-V) , 1 \
zL ns ~ Ms Ns' "T" ° W l ns (n + l)s ) •
n=N n~N
то для любого s = o-\-it c <r> 0
Af
y Д" <- lSW [ |S(AT-1)I .
Ci ns "" ма • № "r
'п=Н 1 -
. Al - 1
+ 1±L y I S(n) if4- - 1 —
const • (2 + -Ш) . ->Ѳ при JV-*OO. El
Применим эту лемму к ряду
С1 — 2s"l)^ =
00 00 00 00
= А __2\ у J у _L_ у 2 у (-D
V 2s ) Cl IIs Z-J ns Cl (2n)s Cl ns
n»l n«l n=»l
234
Для этого ряда
( 1, если п нечетно,
S(«) = { А
(. О, если п четно.
Следовательно, согласно лемме 3, этот ряд сходится
при а > 0.
Обозначая сумму этого ряда через Л (s), мы опре¬
делим функцию Ç.(s) для всех s =/= 1 из полуплоскости
о > 0 формулой
Тем самым функцию Ç (s) мы аналитически rfp о -
должили на всю полуплоскость о > 0. Эта функ¬
ция аналитична во всех точках этой полуплоскости» за
исключением точки s = 1, где она имеет простой по¬
люс с вычетом h
Функция L(s, %о) для главного характера хо по мо¬
дулю а связана с функцией £.(s) формулой
Д P Î а
Р Ріа
= £(«) • JJ (1 — уг).
Ріа
где знак П означает произведение, распространен-
р
ное на все простые числа р, знак Ц — произведение,
РІа
распространенное на все простые числа р, не делящие
числа а; а знак Ц — напротив, произведение, распро-
р|а
страненное на все простые делители р числа а. По¬
этому, подобно функции £(s), функция L(s, хо) также
аналитически продолжается на полуплоскость о > 0
без точки s = 1. При s = 1 эта функция имеет про¬
стой полюс с вычетом ’
. lim(s— l)L(s, Хо) = ТТ С1 — 7Г)-
«-> 1 „ I „
235
П і(і.х)
Введем теперь в рассмотрение функцию
^(я) = ПЛ(«> х)>
X
где произведение распространено на все характеры %
по модулю а. Согласно сказанному выше эта функция
аналитична в полуплоскости о > 0 за возможным ис¬
ключением точки s = 1. Точнее, если ни одно из чисел
L(l, х), % #= Хо, не равно нулю, то P(s) оо при 1,
так что точка s = 1 будет особой точкой (полюсом)
функции P(s). Если же существует такой характер
X* #= Хо, что L(l, X*) =0 и, значит (см. § 15),
1іт
• S->1 S-1
то предел
lim P (s) =
S->1
= lim(s—l)L(s, %,) • lim -
S"*1 Z¥=Xo.Z*
существует и конечен. Поэтому функцию P(s) можно
доопределить при s = 1, чтобы получилась функция,
не имеющая при а > 0 особых точек: Следовательно,
предложение 1 равносильно утверждению, что в полу¬
плоскости о>0 функция P(s) имеет хотя бы одну
особую точку, В этой форме мы и будем это предло¬
жение доказывать. -
Рассмотрим с этой целью функцию Q(s) = InP(s).
Так как
lnP(s)-£lnZ.(S, Х) = £ 2 £ ^-=
X X Р л-1
=Z £л(р")=
n=l p %
= ф(«) X ~пр^ = 11
' n=l
где штрих у знака суммы обозначает, что суммиро¬
вание распространено на все простые числа р, для
которых рп а= 1 mod а, а
(■<tl , если п имеет вид pk и pk s 1 mod а.
qn = > п
(.0 во всех остальных случаях,
236
то функция Q(s) является суммой ряда Дирихле
оо
(16) q(s) = £^.
п-1
с вещественными и неотрицательными коэффициен¬
тами. Найдем абсциссу сходимости этого ряда.
Сохранив в формуле
оо
Q (s) = <р (а) X npns
п=1
лишь слагаемые с п = <р(а), мы получим неравенство
<17> -ІГ'
где суммирование распространено на все простые чис¬
ла р, для которых
рФ(а) = 1 mo(j af
т. е., согласно теореме Эйлера, на все простые числа,
не делящие а. Поэтому из неравенства (17) следует,
что ряд (16) заведомо расходится для тех s, для кото¬
рых расходится ряд
О») Z-^ÏT-
р
При этом суммирование в ряде (18) можно считать
распространенным на все простые числа, поскольку до¬
бавление конечного числа членов, соответствующие:
простым делителям числа а, не влияет на сходимость н
расходимость ряда.
Поскольку ряд (18) при ср (a) s = 1, как мы знаем,
расходится, этим доказано, что абсцисса сходимо¬
сти Ос ряда Дирихле (16) положительна-.
ас> О
/ 1 \
(она не меньше числа ■ (-у).
237
Поскольку
(19)
Qn (s)
ni
ряд Дирихле для Р($) можно получить формальной
подстановкой в ряд (19) ряда (16). Так как все ко¬
эффициенты ряда (16) вещественны и неотрицательны,
то коэффициенты ряда Дирихле для P(s) также бу¬
дут вещественны и неотрицательны. Кроме того, этот
ряд будет мажорировать ряд (13) для Q(s), й, зна¬
чит, его абсцисса сходимости будет не меньше абсцис¬
сы сходимости вс ряда (16) и потому также будет по¬
ложительна.
Теперь предложение 1 вытекает из следующей об¬
щей леммы:
Лемма 3. Пустъ ос — абсцисса сходимости ряда
Дирихле (14) с неотрицательными вещественными ко¬
эффициентами, и пустъ при о > ос функция f(s) яв¬
ляется суммой этого ряда. Тогда точка вещественной
оси s = Ос является особой точкой функции f(s).
Доказательство. Пусть точка s = ос не яв¬
ляется особой точкой функции f(s). Это означает, что
существуют такие вещественные числа s0 > и Si <
< Ос, что ряд Тейлора функции f(s) в точке $0 схо¬
дится при s = Si, т. е. имеет место равенство
й=0
где
Иными словами,
Л=0 П“1 <
238
Поскольку все члены этого ряда по условию неотри¬
цательны, в нем может быть изменен порядок сумми¬
рования. Следовательно,
fW = BËT(’-J‘ =
Л=1 Л=0
оо оо
Еап (Aso-sd In n —_ V* ап
П*> Z-j ns, ’
n—1 n—1
что невозможно, ибо при < ос ряд (14) расхо¬
дится. s
Согласно этой лемме, примененной к функции P(s),
положительное число ос будет особой точкой этой
функции. Как было сказано выше, это доказывает
предложение 1.
Михаил Михайлович Постников
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Редакторы В. Л. Попов» Ф. И. Кизнер
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректор ЛГ. Л. Медведская
' ИБ № 12012
Сдано в набор 17.06.81. Подписано к печати 10.03.82.
Т-00394. Формат 84ХЮ8*/з2. Бумага тип. № 1. Лите¬
ратурная гарнитура. Высокая печать. Условн, печ. л.
12,6. Уч.-изд. л. 12,14. Тираж 150 000 экз. Заказ № 1186.
• Цена 40 коп. '
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соко¬
ловой Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29,
40 коп