M.M. ПОСТНИКОВ
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
ТОПОЛОГИИ
основы
теории
гомотопий
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 4

22.152
П63
УДК 513.83
Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии.
Основы теории гомотетий. — М.: Наука. Главная редакция физико-
математической литературы, 1984.—416 с.
Книга содержит подробное изложение теории* гомотопий. Особое
внимание в ней уделено разъяснению и происхождению основных
понятий. Содержит обширный материал, в монографической и учеб-
учебной литературе до сих пор не излагавшийся.
Для студентов 3—5 курсов и аспирантов математических отделе-
отделений университетов. Может служить основой спецкурсов п спецсеми-
спецсеминаров.
Рецензент:
кандидат физико-математических наук Д. Б. Фукс
Михаил Михайлович Постников
ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ
Редактор Ф. И. Кизяер
Технический редактор С. #• Шкляр Корректор И. Я• Кришталь
ИБ № 12212
Сднпо и набор 19.01.81. Подписано к печати 07.08.84. Формат 84хЮ8'/«>.
Бумагакиижио-журнальная Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л.
21.84. Усл. кр.-отт. 21,84. Уч-изд. л. 22,45. Тираж 9 500 экз. Злкаэ № 2620.
Цена 1р. 70 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва B-7I, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Перпля Обрлзцопая типография имоин А. А. Жданова Союзполмг|>;1фпрома
при Государственном комитете СССР го делам издательств, полиграфии и
книжной торгоплн, 113054 Москва, Валовая, 2S
Отпечатано во 2-й типографии изд-ва «Наука»,
1-М(Ю9 Москнз, Шубииский пер., 10. Зак. 013
© Издательство «Наука».
,-, 1702040000—134 _„ „. Главная редакция
И ,,.„ /пп. ал 'О—84 фнвико-матсматической
05d@2)—04 литературы, 198 4

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
ЛЕКЦИЯ 0 13
Задачи распространения и ретракции.— Задачи поднятия
и сечения.— Предмет и метод алгебраической топологии.—
Пример: теорема о барабане и теорема Брауера о непод-
неподвижной точке.— Пример: комплекснаи проективная плос-
плоскость и отображение Хопфа.— Редукция задачи распрост-
распространении к задаче ретракции.— Векторные поля на сфе-
сферах.— Гомотопии, пары Борсука и эффективность метода
алгебраической токологии.— Гомотопическая категория.
ДОПОЛНЕНИЕ 29
Основные понятия общей топологии.— Экспоненциальный
закон для множеств отображений.—Экспоненциальный
закон для пространств отображений.
ЛЕКЦИЯ 1 38
Гомотопии и пути.— Корасслоения и пары Борсука.—
Амальгамы.— Амальгамы и коипдуцированные корасслое-
корасслоения.— Цилиндр отображения.— Характеризация корас-
корасслоений и пар Борсука.— Произведение пар Борсука.—
Расслоения.— Коамальгамы и индуцированные расслое-
расслоения.— Коцилиндр отображения и аксиома о накрывающем
пути.— Расслоения пространств отображений.
ДОПОЛНЕНИЕ 61
Аксиома о мягком распространении накрывающей гомо-
гомотопии.— Мягкие отображения.— Две леммы о мягких
отображениях.— Лемма о покрытиях пространства X X /.—
Теорема Дольда.— Локально тривиальные расслоения.
ЛЕКЦИЯ 2 81
Гомотопические эквивалентности.— Редукция произволь-
произвольного отображения к корасслоению.— Деформационные
ретракты.— Стягиваемые пространства и конусы.— Отно-
Относительные гомотопии и строгие деформационные ретрак-
ретракты.— Гомотопическая инвариантность операции приклеи-
приклеивания.— Окрестностные деформационные ретракты и пары
Борсука.—Строгие деформационные ретракты и гомото-
1*

4 СОДЕРЖАНИЕ
пические вквивалентности.— Еще две аксиомы, характе-
характеризующие расслоения (аксиома о распространении на-
накрывающего отображения и аксиома о распространении
накрывающей гомотопии).— Прообраз пары Борсука.—
Редукция произвольного отображения к расслоению.
ДОПОЛНЕНИЕ 103
Категория ТОРд..— Гомотопин, корасслоения и расслое-
расслоения категории тОРд0.— Гомотопические расслоения.—
Гомотопические эквивалентности в сравнении с послой-
послойными гомотопическими эквивалентностями.— Коллапси-
рующие отображения.— Теорема Дольда о послойных
гомотопических эквивалентностях.— Индуцированные го-
гомотопические расслоения.— Расслоения, индуцированные
гомотопными отображениями.— Отображения, являющие-
являющиеся гомотопическими эквнвалентностямн на слоях.
ЛЕКЦИЯ 3 127
Гомотопически инвариантные функторы.— Функтор щ.—
Представимые функторы.— Группы категории.— Ы-груп-
пы, Н-моноиды и Н-унитоиды (Н-простраиства).—Ко-
группы категории.— Категория ТОР1.— Категория
1'ГОР].— Н-когруппы, Н-комоиоиды и Н-коуиитоиды.—
Надстройки.— Приведенные надстройки.— Пространства
петель.— СопряженностьфункторовЗ' и Q.— Топологичес-
Топологический моноид муровских петель.— Пространство петель
является Н-группой.
ДОПОЛНЕНИЕ 156
Н-моноиды, являющиеся Н-группами.—Левые и правые
сдвиги в 11-моноидах.
ЛЕКЦИЯ 4 169
Экспоненциальный закон для пунктированных отображе-
отображений.— Расслоения и корасслоения категории ТОР".—
Лемма о приклеивании вибриссы.— Цилиндры и коци-
линдры в категории ТОР-.— Стягиваемые пунктирован-
пунктированные пространства.— Приведенные конусы.— Серровские
расслоения.—Пунктированные гомотопические эквива-
эквивалентности.— Отображение игнорирования отмеченных
точек.— Фундаментальная группа пунктированного про-
пространства-.—Действие группы n-iY па множестве [Х.К]'.—
Пунктированные Н-пространства.— Н-пространства с
настоящими единицами.— Кослон и относительные гомео-
гомеоморфизмы.— Кослои по стягиваемым подпространствам.—
Заключительные замечания о надстройках и пространствах
петель.
ДОПОЛНЕНИЕ ......... 186
Лемма о произведении эпиоморфизмов.— Смеш гомотопи-
гомотопических классов.— Ассоциативность смеш-умножения хаус-
дорфовых локально компактных пространств.— Гомотопи-
Гомотопическая ассоциативность смеш-умножепия гладко пункти-
пунктированных пространств.— Инвариант cat X.— Нильпотент-
Нильпотентность группы [X, К]'.— Абелевость группы [L, К]'.—
Группы [SnX, Q">V]\

СОДЕРЖАНИЕ 5
ЛЕКЦИЯ 5 203
Гомоюгшческие группы.— Альтернативное определение
гомотопических групп.— Индуктивное определение гомо-
гомотопических групп.—Действие группы П\К на группах
ппХ. — Абелевы пространства.— Абелевость гомотопичес-
гомотопических групп при п^2.—Ансамбль гомотопических групп.—
Гомотопические группы абелевых пространств.— Асферич-
Асферичные пространства.— Гомотопическая последовательность
расслоения.— Алгебраические свойства точных последо-
иательностей.— Гомотопические группы накрьшающих
пространств.— Расслоение Хопфа.— Фупкторнальиость го-
гомотопической последовательности расслоения,— Аксиома-
Аксиоматическое описание гомотопических групп.
ДОПОЛНЕНИЕ 22-!
Точные последовательности пунктированных прост-
пространств.— Короткие точные последовательности Н-групп.—
Короткие точные последовательности tH-когрупп.— Го-
Гомотопические слои пунктированных отображений.— Точ-
Точная последовательность Пуппе.— Удлиненная последова-
последовательность Пуппе классифицированного расслоения.—
Конусы отображений и коточные последовательности
Пуппе.
ЛЕКЦИЯ б • -. . . 249
Задача поднятия для накрытий.— Накрытия и подгруппы
фундаментальной группы.— Автоморфизмы накрытий.—
Вполне разрывные действия групп.— Фундаментальная
группа букета окружностей.— Единственность умноже-
умножения в группе nxX.— Универсальные накрытия.— Фунда-
Фундаментальные группы топологических групп и их фактор-
пространств.
ДОПОЛНЕНИЕ 270
Пределы диаграмм над произвольной категорией.—Пре-
категорией.—Пределы диаграмм над категорией групп.— Их копредстав-
ления.— Структура свободного произведения групп.—
Теорема Зейферта —ван Кампена.— Следствия теоремы
Зейферта—ван Кампена.— Графы.— Деревья.— Вычис-
Вычисление фундаментальной группы графа.
ЛЕКЦИЯ 7 298
Гладкие отображения и гладкие гомотопии.— Теорема
Сарда.— Группа nnS" при т<п.— Фундаментальная груп-
группа пространства S"/Q,— Степень гладкого отображения.—
Гомотопическая инвариантность степени.— Степень гомо-
гомотопического класса.— Инъективность отображения deg.
ДОПОЛНЕНИЕ 321
Простейшие следствия того, что л„5" Ф 0.— Распрост-
Распространение отображений в сферы.— Теорема Борсука о не-
неограниченной компоненте.— Топологическая инвариант-
инвариантность размерности кубируемых множеств.— Множества,
не рассекающие сферу.— Теорема об инвариантности об-
. ласти.—Топологическая инвариантность размерности
многообразий.

СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 8 З.ЧО
Точные П-иоелсдовагелыюсти.— Категория пунктирован-
пунктированных пар ТОР>,— О i иоентелыше гомотопические группы.—
Лемма о пяти гомоморфизмах.
ДОПОЛНЕНИЕ 347
Гомотопическая последовательность тройки.— Гомотопи-
Гомотопические группы триад.— Инвариантность гомотопических
групп при деформационных ретракциях.—Гомотопичес-
ретракциях.—Гомотопическая последовательность 4-ады.
ЛЕКЦИЯ 9 357
Слабые расслоения.— Аддициоиная лемма.— Основная
лемма.— Накрывающие гомотопии для слабых расслое-
расслоений.— Доказательство теоремы Дольда—Тома.— Лемма
Джеймса.
ДОПОЛНЕНИЕ 372
Аксиома о накрытии замедленных гомотопии.— Аксиома
о сверхмягком распространении накрывающей гомото-
гомотопии.—Теорема Дольда для гомотопических расслоений.
ЛЕКЦИЯ Ю 384
Надстроечный гомоморфизм и надстроечная последователь-
последовательность.— Универсальный моноид пунктированного про-
пространства.— Фильтрация универсального моноида.— Слу-
Случай гладко пунктированного пространства.— Меридиан-
Меридианное отображение. — Теорема Джеймса и преобразо-
преобразование надстроечной последовательности.— Муропский ва-
вариант серровского расслоения.— Доказательство теоремы
Джеймса.
ДОПОЛНЕНИЕ 400
Телескопная нормализация фильтраций.— Гомотопическая
эквивалентность гомотопических пределов.— Теорема
Милнора.— Гомотопическая правильность фильтраций
Борсука.
Литература 412
Предметный указатель 414

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является систематическим учебни-
учебником по теории гомотопий в той—неожиданно обширной —
се части, которая может быть построена без привлечения
гомологических методов.
Как известно, преподавание и изучение алгебраической
топологии чрезвычайно осложнены тем, что теория гомо-
гомологии и когомологий, занимающая в этой науке централь-
центральное место (что, кстати сказать, справедливо и для сов-
современного этапа ее развития — при соответствующем,
более общем, понимании гомологии и когомологий), стро-
строится в высшей степени громоздко, требуя для своего
аккуратного изложения целых книг. Прежде чем достичь
хотя бы простейших приложений, студент должен пересечь
обширную пустыню абстрактных конструкций, роль и зна-
значение которых для него долгое время остаются непонят-
непонятными и неизвестными и которые он вынужден изучать
лишь из доверия к преподавателю. Авторами учебников
по алгебраической топологии было проявлено много изоб-
изобретательности, чтобы облегчить студентам эту дорогу,
но существенных результатов они не добились. Между
тем существует очень простои и элегантный способ пост-
построения теории гомологии, укладывающийся в одиу-две
лекции. Идея его состоит в том, чтобы определять группы
цепей клеточных пространств как относительные гомото-
гомотопические группы остовов и на этой основе строить группы
гомологии и когомологий. Конечно, это требует доста-
достаточно продвинутой теории гомотопий, которую приходит-
приходится поэтому предварительно излагать. В целом этот путь,
быть может, болей труден: вместо пересечения ровной,
хотя и скучной, пустыни приходится преодолевать крутые
склоны и глубокие ущелья горной страны. Но эта стра-
страна не безжизненна, и при вступлении в нее перед путни-
путником почти немедленно открываются красивые виды, по-

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
буждающие его двигаться дальше. Безусловно, этот путь
имеет и свои недостатки, главнейшим из которых является
создание у студента ложной перспективы о значении
элементарно-гомотопических (= не использующих теорию
гомологии) методов и недооценка им мощи и эффективности
методов теории гомологии. Другое возражение против этого
пути состоит в том, что без теории гомологии доказательства
ряда ключевых теорем существенно осложняются и делаются
неоправданно трудными. Однако следует гиметь в виду,
что Гвнутреннюю нетривиальность теории обойти никогда
нельзя,"и если удается вытащить клюв, то увязает хвост.
Вместе "с тем изучение впоследствии гомологических до-
доказательств тех же теорем и их сравнение с элементарно-
гомотопическими "доказательствами со всей силой позво-
позволяет ^подчеркнуть мощь теории гомологии и без труда
скорректировать сложившееся вначале ложное впечатление.
Таким образом, достоинства предлагаемого пути сущест-
существенно перевешивают недостатки.
W Конкретное построение теории гомологии на базе тео-
теории гомотопий будет осуществлено в следующих выпусках
этих «Лекций».
Эта книга выросла из конспекта специального курса,
который я неоднократно читал студентам и аспирантам
механико-математического факультета МГУ. Каждая лек-
лекция в книге получилась из записи реальной устной лекции,
хотя и значительно переработанной. '**Щ
Из-за острейшего дефицита времени при чтении спе-
специального курса значительно чаще, чем в обязательном
курсе, приходится ограничиваться лишь идеей доказа-
доказательств, оставляя подробное их проведение слушателям.
Вспомогательные утверждения из других отделов матема-
математики достаточно лишь формулировать со ссылками на ли-
литературу, а иллюстрирующие общую теорию примеры лишь
описывать, также предоставляя их подробный разбор
слушателям. При переносе же устной лекции на бумагу
сохранять эти особенности нет необходимости и, более
того, все доказательства стоит производить подробно, раз-
разбор примеров осуществлять до конца, а «посторонние»
леммы доказывать. Этим объясняется неожиданно боль-
большой объем некоторых лекций в книге. ""Ч!
Материал, по тем или иным причинам не излагавшийся
на лекциях, вынесен в дополнения. (Таким образом, рас-
распределение материала по лекциям и дополнениям в основ-

ПРЕДИСЛОВИЕ ''
пом диктовалось запросами спецкурса и лишь очень мало
связано с его внутренней математической ценностью и
значительностью. Тем не менее при первом чтении книги
рекомендуется сначала, пропускать дополнения и возвра-
возвращаться к ним по мере надобности.)
Лекция 0 имеет вводный характер и посвящена в
основном разъяснению на примерах предмета и метода
алгебраической топологии. В Дополнении к ней излага-
излагается экспоненциальный закон для пространств отображений.
Лекции 1 и 2 посвящены корасслоениям, расслоениям
и смежным вопросам. В Дополнениях к этим лекциям
излагаются теоремы Дольда о расслоениях. (Двойственные
теоремы не упоминаются. Их формулирование и доказа-
доказательство оставляются читателю.)
В лекции 3 излагаются общие методы построения го-
мотопически инвариантных функторов, обосновывается
необходимость перехода к пунктированным пространствам,
вводятся ко-Н-пространства и Н-пространства, надстрой-
надстройки и пространства петель. В Дополнении доказывается,
что любой связный Н-моноид является Н-группой.
Лекция 4 содержит общее обсуждение категории пунк-
пунктированных пространств и ее взаимоотношений с катего-
категорией пространств без отмеченных точек. В связи с пос-
последним вопросом вводится фундаментальная группа.
В Дополнении изучается смеш-умножение топологических
пространств и гомотопических классов, вводится инвари-
инвариант cat Люстерника—Шнирельмана и рассматриваются
условия, обеспечивающие нильпотентность или абелевость
групп гомотопических классов.
В лекции 5 излагается обычный материал об абсолют-
абсолютных гомотопических группах, а в Дополнении строятся
точные последовательности Пупне.
Лекция 6 посвящена накрытиям вообще и методам
вычисления фундаментальных групп в частности. В Допол-
Дополнении после изложения необходимого алгебраическо-
алгебраического материала доказывается теорема Зейферта—ван Кам-
пеиа.
В лекции 7 вводится понятие степени и вычисляются
группы nmS" при т^п. В Дополнении излагаются
стандартные геометрические следствия нестягиваемости
сферы (теорема Борсука о неограниченной компоненте,
топологическая инвариантность размерности, характери-
зация множеств, не рассекающих сферу, теорема об
инвариантности области).

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
В лекции 8 мы, возвращаясь к общей теории гомото-
гомотопических групп, вводим относительные гомотопические
группы. В Дополнении доказывается точность гомотопи-
гомотопических последовательностей троек и триад.
В следующей лекции 9 излагается принадлежащая
Дольду и Тому теория квазирасслоений (называемых в
книге слабыми расслоениями). В Дополнении доказыва-
доказывается теорема Дольда о гомотопических расслоениях.
Лекция 10 посвящена теореме Джеймса о надстроечной
последовательности. В Дополнении доказьшаются известные
общие теоремы о гомотопических свойствах фильтраций.
На этом кончается первая часть курса, посвященная
общим понятиям теории гомотопий и гомотопическим груп-
группам. Только эта часть курса вошла в настоящую книгу.
Следующие лекции (составляющие отдельную книгу
«Теория гомотопий клеточных пространств», планируемую
к выходу в свет в 1985 г.) в основном концентрируются
вокруг понятия клеточного пространства.
В лекции 11 вводится и изучается категория клеточных
пространств. Более хлопотно доказываемые свойства кле-
клеточных пространств (локальная стягиваемость и параком-
паракомпактность) вынесены в Дополнение.
В лекции 12 на основе обычной техники гладкой ап-
аппроксимации доказывается «-связность пар (X, X") и тео-
теорема о клеточной аппроксимации. В качестве приложения до-
доказывается теорема Фрейденталя с обычными следствиями.
В заключение рассматриваются свойства антнподальных ото-
отображений. В Дополнении после изложения основных поня-
понятий теории симплициальных пространств теорема об ап-
аппроксимации доказывается веесимплициальном варианте.
В лекции 13 категория клеточных пространств срав-
сравнивается с категорией всех пространств (теорема о том,
что любое топологическое пространство слабо гомотопи-
чески эквивалентно клеточному пространству). Здесь же
доказывается теорема Уайтхеда о гомотопических эквива-
лентностях. Дополнение к этой лекции посвящено георе-
георемам представимости (Брауна, Адамса и Хеллера).
На этом общая теория клеточных пространств временно
прерывается и со следующей лекции мы обращаемся к
теории гомотопических операций.
В лекции 14 излагаются общие теоремы о гомотопи-
гомотопических операциях (вытекающие из представимости гомо-
гомотопических групп), характеризуются аддитивные операции
и вводится умножение Уайтхеда. В лекции 15 обсуждается

ПРЕДИСЛОВИЕ Ц
обобщенное умножение Уайтхеда и доказываются его ал-
алгебраические свойства (косокоммутативность, билиней-
билинейность и тождество Якоби). В Дополнении к лекции 15
доказывается теорема Хилтона—Милнора о гомотопичес-
гомотопических группах букетов надстроек.
Геометрические свойства умножения Уайтхеда обсуж-
обсуждаются в лекции 16. Там же вводится инвариант Хопфа и
его обобщения по Уайтхеду. Методом Уайтхеда вычисля-
вычисляется инвариант Хопфа конструкции Хопфа и, в частности,
инвариант Хопфа отображений Хопфа. В Дополнении
вводятся и изучаются инварианты 'Хопфа, обобщенные
по Хилтону. В частности, обсуждается левый дистрибу-
дистрибутивный закон для композиционного умножения.
В лекции 17 мы, возвращаясь в последний раз к клеточ-
клеточным пространствам, доказываем теорему Блейкерса и Масси о
вырезании для триад и на ее основе—теорему Фрейдеи-
таля для любых связных пространств.
В лекции 18 доказывается «трудная часть теоремы
Фрейденталя» и вычисляются группы nn+iS" и я„+25". В
вычислении последней группы ключевую роль играет тот
факт, что элемент TiBoir),,+i группы л„+25" отличен от нуля.
«Современное» доказательство этого факта основывается
на теории когомологических операций. Поскольку этот
путь нам пока недоступен, мы вынуждены изложить пря-
прямое геометрическое доказательство, предложенное в свое
время Дж. У. Уайтхедом.
Материал заключительной лекции 19 концентрируется
вокруг вопроса о влиянии на гомотопические группы пп
приклеивания клеток. При п—\ мы получаем известное
описание образующих и соотношений фундаментальных
групп клеточных пространств, что, в частности, позволяет
доказать для этих пространств теорему Зенферта—ван
Кампена в ее классической формулировке. При п > I
вводятся убивающие пространства, строятся пространства
Эйленберга—Маклейна и вычисляется группа пп(Х",Х"~х)
(па этой основе и будет в следующем семестре построена
теория гомологии). В Дополнении к этой лекции вкратце
рассматриваются трехмерные многообразия и их фунда-
фундаментальные группы.
Хотя алгебраическая топология развилась в основ-
основном на глазах нашего поколения, в ее истории уже не-
мяло темных мест. Это ставит авторов учебников по то-
топологии перед рядом трудно разрешимых задач, например

12 предисловии:
при составлении библиографии, которая в идеале должна
быть аннотированным путеводителем студента но лаби-
лабиринту журнальной литературы. Без предварительного
выяснения всех приоритетов, влияний и заимствований
любая такая библиография будет содержать массу исто-
исторических ошибок и создаст повод для дискуссий, обвине-
обвинений и обид. Простое же перечисление всех известных
автору статей (или лишь статей, им использованных), для
учебных целей почти бесполезное, наверняка ввиду неиз-
неизбежной случайности их выбора даст тот же результат.
Очень труден также вопрос об авторстве тех или иных
теорем; даже само понятие «автор теоремы» не имеет чет-
четкой экспликации (скажите, например, кто автор теоремы о
том, что группа [К, X] гомотопических классов отобра-
отображений «.-мерного клеточного пространства К в (п—1)-связ-
ное пространство X изоморфна группе когомологий
И" (К; ппХ): Хопф, впервые описавший группу \К, X],
но в других терминах и только для случая, когда X — Sn,
Уитни, привлекший когомологий, или Уайтхед, введший
клеточные пространства и мимоходом заметивший, что
формулировка Уитни годится для любых клеточных
пространств?).
Рохлин и Фукс в своем известном учебнике [10] раз-
разрубают гордиев узел этих проблем одним махом: теоремы
они оставляют безымянными, а в библиографии ограни-
ограничиваются некомментированным списком книг и статей,
содержащих дополнительную информацию, на которую в
тексте имеются ссылки.
В этих «Лекциях» принято другое решение: дается пол-
полная и комментированная библиография, но только книг
и—за немногими исключениями—только на русском
языке, как наиболее доступных, а традиционные имена
теорем трактуются как простые, удобные для ссылок яр-
ярлыки, не связанные обязательно с авторством (которое
поэтому в бесспорных случаях специально указывается).
М. М. Постников

ЛЕКЦИЯ О
Задачи распространения и ретракции.— Задачи поднятия
и сечения.— Предмет и метод алгебраической топологии.—
Пример: теорема о барабане и теорема Брауера о непод-
неподвижной точке.— Пример: комплексная проективная пло-
плоскость и отображение Хопфа.— Редукция задачи распро-
распространения к задаче ретракции.— Векторные поля на
сферах.— Гомотопии, пары Борсука н эффективность
метода алгебраической топологии.— Гомотопическая кате-
категория.
В этой вводной лекции мы объясним, что такое алге-
алгебраическая топология и как она применяется к решению
конкретных геометрических задач.
Пусть X, Y—топологические пространства, Л—под-
Л—подпространство пространства X, a/: A—+Y и/: X—-Y —
непрерывные отображения. Напомним, что отображение /
называется ограничением отображения / на А, а отобра-
отображение /—распространением (или продолжением) отобра-
отображения /с Л на X, если /(а)—/(а)для любой точки а ?А.
Ограничение / отображения / на А обозначается симво-
символом /| Л. Равенство /=я/|Л равносильно равенству f—foi,
где i: A—+X— вложение (ограничение тождественного ото-
отображения id: X—+X).
В задаче распространенная даны X, Л, У и /
и требуется узнать, существует ли f. Эта задача изобра-
изображается диаграммой
A)
где пунктирная стрелка обозначает отображение, существо-
существование которого следует доказать, а диаграмма предпола-
предполагается коммутативной (эти соглашения мы сохраним на
протяжении;чвсего курса).
Интересный частный случай задачи распространения
возникает при У-/1 и fen id:

14 ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И РЕТРАКЦИИ
B)
Решение г этой задачи называется ретрагирующим ото-
отображением (или просто ретракцией). Когда оно сущест-
существует, подпространство А называется ретрактом прост-
пространства X. Как правило, для обозначения ретрагирующего
отображения употребляется буква г. Легко видеть, что
ретрагирующее отображение всегда является эпиоморфиз-
мом (надъективным отображением, обладающим тем свой-
свойством, что подмножество в А тогда и только тогда открыто,
когда его полный прообраз в X открыт).
Из типографских соображений (для экономии бумаги)
мы будем диаграмму B) записывать в виде
Обобщение задачи распространения возникает, когда
в диаграмме A) А считается произвольным пространством,
a i—произвольным отображением. В этом случае отобра-
отображение / мы будем называть распространением отображе-
отображения / по отношению к отображению i. Решение ана-
аналогичным образом обобщенной задачи B) мы будем назы-
называть ретракцией отображения i, а отображение /: А —* X,
для которого существует ретракция г: X—>А, —ретраги-
руемым отображением. Впрочем, это обобщение, по
существу, ничего нового не дает, поскольку, как легко
видеть, любое ретрагируемое отображение i: A — >¦ X яв-
является монеоморфиэмом (гомеоморфизмом на свой образ)
и потому может рассматриваться как вложение А в X.
Значение ретракций для задачи A) состоит в том, что
пара (X, А) (отображение i: Л —>- X) тогда и только
тогда обладает тем свойством, что распространение
существует для произвольного пространства Y и произ-
произвольного отображения f: A—+Y, когда подпространство А
является ретрактом пространства X (отображение i pern-
рагируемо). Действительно, __если ретракция г: Х—+А
существует, то отображение f — f о г будет, очевидно, рас-
распространением отображения /, и, обратно, если отображе-
отображение f: X —*¦ Y существует для любого отображения /: А -+ Y

ЗАДАЧИ ПОДНЯТИЯ И CE'IEHHfl 15
1! любого пространства У, то, в частности, оно существует
при Y=aA, f=siuA и является в этом случае искомой рет-
ретракцией г. П
Известный из общей теории категорий «трюк обраще-
обращения стрелок» переводит задачу A) в двойственную задачу
По традиции в этой задаче принято пространствах, A, Y
обозначать через Е, В, X, отображение i—через р, а диа-
диаграмму писать в «перевернутом» виде:
C)
Задачу C) называют задачей поднятия, а отображение
/—поднятием отображения f на Е. Говорят также, что
отображение /' накрывает отображение /.
Задаче B) двойственна задача
D)
решение которой называется сечением отображения р. Как
правило, для обозначения сечепия употребляется буква s.
Отображение р является ретракцией любого своего сече-
сечения (и, наоборот, любое ретрагируемое отображение яв-
является сечением своей ретракции). Поэтому, в частности,
каждое отображение, для которого существует сечение,
является эпиоморфизмом, а любое его сечение—монеомор-
физмом.
Для данного отображения р: Е—*В задача подня-
поднятия C) тогда и только тогда разрешима для произволь-

16 ПРЕДМЕТ И МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ
ного пространства X и произвольного отображения
/: X —* В, когда отображение р обладает сечением s: B—+E.
Действительно, если s существует, то отображение/—so /
накрывает отображение f, и, обратно, если отображение
/: X —уЕ существует для любого отображения f: X—+B
и любого пространства X, то, в частности, оно сущест-
существует при Х=*В, / = 1с1л, и является в этом случае иско-
искомым сечением s. П
Полезно иметь в виду, что задачи C) и D) (так же
как обобщенные задачи A) и B)) имеют смысл в произ-
произвольной категории.
Алгебраическую топологию можно в первом
приближении определить как.науку, занимающуюся реше-
решением задачи A), (а также задач B), C) и D)) в категории
ТОР топологических пространств и непрерывных отобра-
отображений Поскольку задача A) появляется в математике
практически всюду (достаточно заметить, что любую тео-
теорему существования можно рассматривать как утвержде-
утверждение о разрешимости в соответствующей категории некоторой
задачи A)) и поскольку большинство математических
объектов наделено структурой топологического простран-
пространства, это объясняет, почему алгебраическая топология
играет в современной математике одну из ключевых ролей.
Очень часто возникают конкретные задачи, не имеющие
вида A), но более или менее легко сводящиеся к задаче A).
Общие методы и принципы такого рода сведения также
обычно включаются в алгебраическую топологию.
Пусть на категории ТОР (или на некоторой достаточно
широкой ее подкатегории) задан функтор П, принимаю-
принимающий значения в некоторой категории А. Применив функ-
функтор П к диаграмме A), мы получим диаграмму
E)
являющуюся записью задачи об отыскании в категории А
морфизма ф, удовлетворяющего соотношению Щ*«<роЩ.
Каждое решение задачи A) дает нам решение фгкП/
задачи E), так что разрешимость задачи E) является
необходимым условием разрешимости задачи A). Следо-

ПРЕДМЕТ И МЕТОД АЛГЕБРАМ ЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ 17
вательно, если задача E) не имеет решения, то задача A)
тем более неразрешима.
Можно сказать, что вся алгебраическая топология
сводится к применению этого простого соображения. Сле-
Следует только для каждой конкретной задачи целесообразно
выбрать категорию А и функтор П. Конечно, чтобы пере-
переход от задачи A) к задаче E) имел практический смысл,
нужно выбрать категорию А, состоящую из более простых
объектов, чем топологические пространства. В принципе
наиболее простые математические объекты рассматри-
рассматриваются в алгебре. Поэтому в качестве категории А обычно
выбирается одна из «алгебраических» (изучаемых в алгебре)
категорий и, тем самым, геометрическая задача A) заме-
заменяется алгебраической задачей E) (которая называется
обычно производной алгебраической задачей). Это объясняет
эпитет «алгебраическая» в названии алгебраической топо-
топологии.
Для задачи C) производная алгебраическая задача
имеет, естественно, вид
Само собой разумеется, что для широкого применения
описанного метода необходим достаточно большой запас
функторов П. Поэтому первейшей технической задачей
алгебраической топологии является построение и изучение
этих функторов. С течением времени, по мере того, как
в науку входили все более трудные задачи A) и C), при-
приходилось строить все более и более сложные функторы II,
и к настоящему времени алгебраическая топология безу-
безусловно держит рекорд по сложности используемых г» ней
конкретных алгебраических объектов.
Поскольку утвердительное решение задачи E), вообще
говоря, ничего не говорит о существовании решения зада-
задачи A), метод алгебраической топологии в принципе может
давать только «отрицательные» ответы. Это не является
его недостатком, а скорее является достоинством, так как
именно теоремы о несуществовании решений, как правило,
наиболее трудны и интересны. Впрочем, иногда (не осо-
особенно часто) удается доказать, что разрешимость произ-

18 ТЕОРЕМА О 15АРАГ.Л11Е II ТГОГ'ШЛ liPAVJ-I'A
водной алгебраической задачи не только необходима, но
и достаточна для разрешимости исходной задачи. Такого
рода результаты также включаются в алгебраическую
топологию.
Проиллюстрируем эти общие замечания на простом,
но эффектном примере.
Пусть Е"—шар |лг|^1 в пространстве R", a 5" —
ограничивающая его (п—1)-мерная сфера |jr| = l. В свое
время мы покажем, что на категории ТОР существует
такой функтор П, принимающий значения в категории абе-
левых групп, что П?п—0 и П5"~1=/=0. С помощью этого
функтора немедленно показывается, что сфера S'' не
является ретрактом шара Е", т. е. что задача
решения не имеет. Действительно, производная алгебраи-
алгебраическая задача
при ИЕп=>0 и П5"~1#0 очевидным образом неразрешима»
Тот факт, что окружность S1 не является ретрактом
круга Е2, является теоретическим объяснением, почему
на окружность можно натянуть пленку, т. е. сделать бара-
барабан. Поэтому доказанная теорема называется иногда тео-
теоремой о барабане.
Легким следствием теоремы о барабане является тео-
теорема Брауера о неподвижной точке, утверж-
утверждающая, что для любого непрерывного отобраоюения
f: E" —> Е" существует хотя бы одна неподвижная точка
(т. е. такая точка х?Е", что f(x)=»x). Действительно,
если Цх)Фх, то определена прямая, проходящая через
точки х и f(x). Пусть г(х)—та из двух точек пере-
пересечения этой прямой со сферой S"~\ которая не отделена
от точки х точкой f(x). Если 1(х)Фх для всех точек
х?Е", то эта конструкция определяет непрерывное ото-
отображение г: E"—+Sa~1, являющееся, очевидно, ретраги-
рующим отображением (г (х) = х, если х 6 S"'1). I Ьэскольку
существование такого отображения противоречит теореме
о барабане, неравенство / (х) Ф х для всех точек х б ?"
выполненным, быть не может. П
Теорема Брауера (и ее обобщения) являются в анализе
источником неисчислимых теорем существования решений
самых разнообразных уравнений (поскольку любое урав-
уравнение можно записать в виде f(x) — x).

КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И ОТОБРАЖЕНИЕ ХОПФА 19
Другой интересный пример мы получим, рассмотрев
комплексную проективную плоскость СР*, точками кото-
которой являются классы {г^.г^.г^ пропорциональных троек
(гп, z,, z2)€C3 комплексных чисел, отличных от тройки
0 = @, 0, 0) (и топология которой является фактортопо-
логней топологии пространства С3\0), Точки плоскости СР*,
для которых z2 = 0, составляют «несобственную прямую»,
естественным образом отождествляющуюся с комплексной
проективной прямой, состоящей из классов [zo:z,] пропор-
пропорциональных пар (z0, z^gC'XO. В следующем семестре мы
построим контравариантный функтор Н* из
категории ТОР в категорию (Z/2)-ALG* градуированных
ялгебр над полем Z/2 вычетов по модулю 2 и вычислим
его значение на пространствах СР1 и СРа. (Напомним, что
ллгебра А называется градуированной алгеброй,
если она разложена в прямую сумму линеалов А", причем
АпАтсАа+т для любых п и т;формула dega = n озна-
означает при этом, что а?А".) В силу контравариантиости
функтора Я* после применения его к диаграмме B) (при
Х*=СР* и А — СР1) получается диаграмма
н* (о
Я • (СРа) ^ZT. Я* (СР1) ^Э м-
Оказывается, что алгебра Я* (СР1) содержит единственный
нетривиальный элемент Tt (так что Т1 = 0), а алгебра
Н*фРг) порождается как линейное пространство двумя
линейно независимыми элементами Т2 и Т\ (так что Tj=0);
при этом deg Г, = deg 7\, = 2. Кроме того, так как гомо-
гомоморфизмы ф и Я* (i), являясь морфизмами категории (Z/2)-
ALG*, сохраняют градуировку, TOfpTj=3aTa wH*(t)T.z =
-¦='bTit где a, b?Z/2. Но Я*(г) о ф = id и потому а~--Ь~\.
Следовательно, 7§=»(ф711J==ф(Г1а) = 0, что невозможно,
ибо 7^1^=0 в Н*(СР"). Полученное противоречие доказы-
доказывает, что СРа не ретрагируемо на СР1.
Заметим, что в этом рассуждении мы существенно ис-
использовали мультипликативную структуру алгебры Н*(Х).
Пусть Е*—единичный шар пространства С*, состоящий
нз точек (z0, zt), для которых [z0 |24-|Zi !а< 1. Формула
h: (z0, zx) к^ [Z(): z,: 1 — |zo|a—|z?|s]
определяет — очевидно, эпиоморфное — отображение
h: E*— >-СР2, так что плоскость С/52 оказывается фактор-

20 КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И ОТОБРАЖЕНИЕ ХОПФА
пространством шара Е*. На внутренности |20|a+|2t |a < 1
шара Ev отображение h является гомеоморфизмом на
СРа\СЯ\ а на его граничной сфере 53: 12012 -+-1 г, |2 = 1 —
непрерывным отображением (z0, zx) t—> [z(): zj на СР1.
Поскольку комплексная проективная прямая СР1 естест-
естественным образом отождествляется со сферой Римана С+
(точке [z0: гхj отвечает комплексное число z — zjzx или —
при г,=0—символ оо) и, значит, со сферой Sa, послед-
последнее отображение—оно называется отображением Хопфа —
мы можем считать отображением S'1 —> S2. Обозначать
отображение Хопфа мы будем символом 4.
Группа S1 комплексных чисел вида е1ь действует на
сфере S3 по формуле ei0(z0, z1) = (e'°z0, e'%), и орбитами
этого действия являются большие круги сферы S3, пред-
представляющие собой прообразы точек сферы Sa при отобра-
отображении Л (так что это отображение индуцирует гомеомор-
гомеоморфизм S3/Sl&S*).
Таким образом, мы можем сказать, что комплексная
проективная плоскость СРа получается из шара ?d стяги-
стягиванием в точки некоего семейства больших кругов его
граничной сферы S8 (подобно тому как вещественное про-
проективное пространство RP" получается из шара Еп отож-
отождествлением пар антиподальных точек его граничной
сферы S"-1).
Предположим, что отображение Хопфа может быть
распространено на Е*. Это предположение означает, что
существует отображение g: E*—+CPl, удовлетворяющее
соотношению ?f|.?» = A\s*. Но тогда формула г =go Л~1
будет корректно определять непрерывное отображение
г: СРа—¦СР1, тождественное на СР1, т. е. являющееся
ретракцией. Поскольку такого отображения существовать
не может, этим доказано, что отображение Хопфа Л: S8 —+¦ S8
не распространяется на Е*.
Связь между неретрагируемостыо СРа на СР1 и нерас-
пространимостыо отображения Хопфа имеет вполне общий
характер.
В ситуации диаграммы A), т. е. для пары (X, А)
и непрерывного отображения f: А —»¦ Y, мы можем рас-
рассмотреть пространство X U / У, являющееся факторпро-
странством дизъюнктного объединения X U Y по минималь-
минимальному отношению эквивалентности, в котором a~f (а) для
любой точки а?/1. Об этом пространстве говорят, что
оно получено приклеиванием пространства X к простран-

ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ЗАДАЧА РЕТРАКЦИИ 21
ству У посредством отображения /. Эта терминология
находит свое оправдание в том, что ограничение на Y
отображения факторизации Х[}У— *X\}fY является, как
легко видеть, гомеоморфизмом, так что пространство У
можно в силу этого гомеоморфизма считать подпростран-
подпространством пространства Х\] fY. Аналогично, подпространство
Х\Лдакже можно считать подпространством пространства
Х[)/У, и тогда будет иметь место равенство
Х[},У=*(Х\Л)[}У.
Пространство X\JfY обладает тем свойством (называемым
свойством коуниверсальности), что для любого
топологического пространства Z и любой коммутативной диа-
диаграммы вида
i
А-*Х
П i U
yz
где / и g—непрерывные отображения, a i—вложение,
отображение g: X[)fY-^Z, совпадающее на Х\А с <§">
а на У с /, непрерывно (и обладает тем свойством, что
диаграмма
коммутативна). В частности, если отображение / является
вложением, а отображение g на Х\А— биективным ото-
отображением на Х\У, то отображение g будет биективным
непрерывным отображением и, следовательно, будет гомео-
гомеоморфизмом, если пространство Х[),У компактно, а про-
пространство Z хаусдорфово. Поскольку пространство X\)fY
заведомо компактно, когда компактны пространства X и У,
эти условия выполнены при Х=»Я4, Л = 53, К = СР1,
Z»CPa и /в»т?. Таким образом, мы можем считать, что
комплексная проективная плоскость СРа получается в ре-
результате приклеивания к сфере S* шара Е4 посредством
отображения Хопфа:

22 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ ИЛ СФЕРАХ
Если в диаграмме A) существует отображение /: X—> У,
то по свойству коуниверсальности (примененному к ото-
отображению g—f) существует отображение g: X\J/Y —>-У>
тождественное на У, т. е. являющееся ретракцией. Обратно,
если существует ретракция г: X\]fY—>• У, то композиция
с этой ретракцией ограничения на X отображения факто-
факторизации X [} У —> X U / У будет отображением X —> У,
являющимся распространением отображения /. Этим дока-
доказано следующее предложение.
Предложение 1. В диаграмме A) распространение f
отображения f: А —»¦ У существует тогда и только тогда,
когда пространство X и f Y ретрагируется на простран-
пространство У. ?
Тем самым общая задача распространения A) редуци-
редуцируется к своему частному случаю B). Эта редукция часто
бывает полезна.
Приведем теперь пример задачи поднятия C) (или,
точнее, ее частного случая D)).
Векторным полем на сфере S" называется непрерывное
отображение, сопоставляющее каждой точке x?S" неко-
некоторый вектор v(x), касающийся сферы в этой точке.
Поскольку вектор V, касающийся сферы S" в точке х,
характеризуется условием (х, г>)«=0, векторные поля на 5"
можно рассматривать как непрерывные отображения
v: S"—* RB+1, удовлетворяющие соотношению (х, v (дг))=О,
x€Sn. Нас особо будут интересовать поля, состоящие из
векторов единичной длины, и такие их наборы, что в каж-
каждой точке их векторы ортогональны. Другими словами,
нас будут интересовать наборы vit ..., <о„ таких отобра-
отображений vt: S"—+Sn, i =* 1, ..., т, что в любой точке х € S"
имеют место равенства (х, v{(x))=*0 и (Vi(x), Vj(x))=O,
i, /==1, ..., т. Такие наборы мы будем называть полями
т-реперов (или, короче, т-полями) на сфере S". Конечно,
здесь предполагается, что'Ог^т^/г.
Если n = 2k—1, то сферу S" мы можем трактовать
как единичную сферу комплексного пространства Cft, и
тогда формула v(x) = ix, где i — V—\, будет, очевидно,
определять на Sn\ некоторое 1-поле. При п = 4/г—1 сфе-
сфера '$" является единичной сферой кватернионного про-
пространства Н* и формулы Vi (x) — ix, v.,(x) — jx, v,,(x)--kx
определяют на Sn некоторое 3-поле. Аналогичным обра-
лом, с помощью так налыв.чемых алгебр Клиффорда,

(iiiKTOPt-IblE ПОЛЯ UA СФЕРАХ %
Частными случаями которых являются алгебры С и Н, на
сфере S" можно, как показали Радон и Гурвиц, построить
Bа-\-8Ь—1)-поле, где а и b—такие целые числа, что
0<!а<;3 и 2"+4Ь является наивысшей степенью двойки,
на которую делится число /г-j-l. Возникает вопрос, яв-
является ли этот результат точным или же существуют
такие п, что на сфере S" можно построить m-иоле при
ш^2а4-8й. Например, при и = 5 метод Радона —Гурвица
дает нам на сфере Sb- лишь 1-поле. Существует ли па этой
сфере 2-поле?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны перефор-
переформулировать его в виде одной из задач A)—D). С этой
целью мы введем в рассмотрение множество Vn+ltm+l всех
(п-\-\)-репе ров пространства RB+1, т. е. (m-f-1/-членных
ортонормированных семейств (vt, ..., vm+1) векторов этого
пространства. Поскольку (m-j- 1)-реперы естественным обра-
образом отождествляются с (m -j-1) X (п -+-1 )-матрицами, столбцы
которых ортонормированы, множество Vn+i% m+x оказы-
оказывается подмножеством топологического пространства
R(m + 1, п+1) всех (m-f l)x(n+ 1)-матриц, и потому
само является топологическим пространством (па самом
деле даже гладким многообразием). Ясно, что, сопоставив
каждой точке (vu .... tfm+1)€ VB+i, ш+1 вектор vm+t € S",
мы получим непрерывное отображение
(б) р: Vn+Um+i-+S».
Если теперь \vit ..., vm}—произвольное m-поле на S",
то формула s(x) = (v1(x), .... vm(x), x), x 6 S", будет
определять ¦ сечение s: Sn—>¦ Vn+ij m+1 отображения /; и,
обратно, любое сечение этого отображения будет задавать
некоторое m-поле. Тем самым вопрос о существовании на
сфере S" поля m-реперов переформулируется в виде вопроса
о существовании для отображения F) хотя бы одного
сечения.
Соответствующая производная алгебраическая задача
(получающаяся применением функтора Н*) имеет вид
G)
где, как оказывается, H*(Sn) является градуированной ал-
алгеброй над 2/2 с одной образующей о степени п, подчи-
подчиненной соотношению аа = 0. Что же касается алгебры
/7*(Vn+lim+1), то, как можно показать, в этой алгебре

24 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НЛ С*ЁРАХ
все элементы степени < п равны нулю и имеется един-
единственный отличный от нуля элемент а степени п, являю-
являющийся образом элемента а при отображении Я* (р). Поэтому
отображение <р: Я* (Vn+it m+i) —»-Я* (Sn), замыкающее диа-
диаграмму G), должно определяться формулой
( сг, если \ — а,
*®-U велика,
Поскольку это отображение является, очевидно, гомомор-
гомоморфизмом алгебр, мы никакого противоречия не получаем.
Это означает, что для рассматриваемой задачи функтор
Я* оказался слишком слабым, чтобы дать определенный
ответ.
Однако, как мы покажем в следующем семестре,
функтор Я* принимает на самом деле значения в кате-
категории градуированных Z/2-алгебр, являющихся одновре-
одновременно модулями над некоторой замечательной алгеброй,
называемой алгеброй Стинрода. Поэтому отображение q>
в диаграмме G) должно быть не только гомоморфизмом
алгебр, но и гомоморфизмом модулей, т. е. должно быть
перестановочно с действиями элементов алгебры Стинрода.
Алгебра Стинрода устроена довольно сложно, но нам
сейчас достаточно знать, что для любого /л^1 в ней
имеется элемент, обозначаемый символом Sqm, под дей-
действием которого степени всех элементов алгебры Я* (X)
повышаются на т. Поскольку в алгебре И* (S") нет нену-
ненулевых элементов степени фп, отсюда следует, что Sqwor = 0
для любого /njsl. Вместе с тем оказывается (весьма
нетривиальный факт!), что если m = 2ft является наивыс-
наивысшей степенью двойки, делящей число я-Mi то в алгебре
Я* (Vn+i< m+1) имеет место соотношение Sqma#0. Поэтому
при т ='2ft указанное выше отображение <р не может быть
гомоморфизмом модулей (потому, что тогда имело бы место
равенство Sq'"a — Sq'"q> (cr) = <р (SqMor) = <р @) = 0). Этим до-
доказано, что поля 21{-реперов на сфере S" не существует.
В частности, на сфере & нет 2-поля.
Если мы, как и выше, представим It в виде а-\-ЬЬ,
где 0 jgcC а^. 3, то равенство 2/г = 2а-\-8Ь будет иметь место
только при b = 0. Поэтому при /; > 0 доказанный резуль-
результат (известный, кстати сказать, как теорема Стинрода
и У аи тх еда) дает на поставленный выше вопрос лишь
частичный ответ. Полный ответ (утверждающий точность

ГОМОТОПИИ, ПАРЫ БОРСУКА И ЭФФЕКТИВНОСТЬ 25
оценки Радона—Гурвица) был получен лет двадцать тому
назад Адамсом, использовавшим очень мощный функ-
тор КО (который мы также изучим в следующем году).
Мы видим, что решение той или иной конкретной за-
задачи 1 методом алгебраической топологии естественным
образом разбивается на два этапа. На первом этапе дан-
данная 1"задача (переформулируется в виде одной из задач
A)—D), а на втором этапе изучается соответствующая
производная алгебраическая задача. Основная трудность
состоит здесь в выборе подходящего алгебраического функ-
функтора, который, с одной стороны, должен быть эффективно
вычислим Г(хотя бы только для участвующих в задаче
пространств) и с другой—должен принимать значения
в категории структурно достаточно богатых объектов,
чтобы дать определенный ответ.
Рассмотренные примеры характерны для алгебро-топо-
логических проблем также и в том отношении, что эти
проблемы, как правило, нетривиальны и интересны уже
для самых простых (с точки зрения общей топологии)
пространств—сфер, шаров, их 'конечных объединений
(так называемых «полиэдров») "и т. п. Поэтому, хотя ос-
основные задачи алгебраической топологии мы сформулиро-
сформулировали без всяких априорных условий на фигурирующие
в них пространства, но на практике мы без колебаний
будем налагать на эти пространства любые общетополо-
общетопологические ограничения типа, скажем, аксиом отделимости
или тех или иных условий локальной простоты, которые
по той или иной причине будут нам удобны. Освобожде-
Освобождение от этих условий будет лежать вне рамок нашего
изложения. * *Ф,
Однако даже самые простые топологические простран-
пространства имеют мощность континуума, а эффективно вычисли-
вычислимые алгебраические ^объекты конечны 'или счетны. Это
означает, что при переходе от задачи A) к задаче E)
происходит колоссальная потеря информации. Только по-
поэтому, собственно говоря, метод алгебраической топологии
и оказывается применимым к конкретным геометрическим
задачам. Но, спрашивается, почему при этом не теряется
существенная информация, т. е. почему алгебраическая
топология успешно проскальзывает между Сциллой невы-
невычислимой информативности и Харибдой вычислимой неин-
неинформативности? Ответ на этот вопрос оказывается очень
интересным.

26 гомотопии, пары ворсука и эффективность
Определение 1. Пусть X и У—топологические прост-
пространства. Гомотетией из X в У называется произвольное
непрерывное отображение
(8) F: Хх/^У,
где/ = [0, 1]—единичный отрезок.
Любая гомотопия (8) по формуле
т. е. по формуле ft^FoOf, Ot~^tt~^\, где at: X —>
—*Хх/—отображение х>-+(х, t), определяет семейство
непрерывных отображений
(9) ft: Х^У,
Такое семейство также называется гомотопией из X в У.
Таким образом, семейство отображений ft: X—+Y тогда
и только тогда является гомотопией, когда отображение
F: 'XX / —»- Y, определенное формулой F (x, t) — ft (x),
x?Xt Os^^^l, непрерывно. В этом случае) говорят
также, что отображения ft непрерывно зависят от t.
О гомотопии (8) (и (9)) говорят, что она связывает
отображение f0: X—*Y с отображением Д: X—*Y.
Отображения /, g; X—«-'У называются гомотопными,
если существует гомотопия F: Xxl—>-У, связывающая
отображение f с отображением g (т. е. такая, что f — f0
и g = fi). В этом случае пишут F: f ~ g плп просто / ~ g.
Наглядно, гомотопность двух отображений означает,
что одно из них можно непрерывно продеформировать
в другое.
Вопрос о гомотопности отображений f, g: X—+Y рав-
равносилен, очевидно, задаче распространения на X х / отобра-
отображения h: (XxO)U (Хх 1)-—»-У, заданного формулой
( ' 0"UW если *-1.
Тем самым теория гомотопии (изучающая отноше-
отношение гомотопности отображений) включается в алгебраи-
алгебраическую топологию.
Легко видеть, что на множестве ТОР (X, У) всех не-
непрерывных отображений X—+Y отношение гомотопности
является отношением, эквивалентности. Действительно,
во-первых, F: f~f, где F(x, t)=af(x) для любых х$Х
и / ? /. Во-вторых, если F: f~g, то G: g~f, где G(x, I) —

ГОМОТОПИЙ, ПАРЫ БОРСУКЛ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ 27
= F(x, 1 — t), x?X, t?I. Наконец, если F: f~g и
G: g~h, то И: f~h, где
(F(x, 2t), если 0<*<1/2,
(*' )=я\ G(x, 2/ —1), если 1/2<*<1. у
Поэтому все непрерывные отображения X— *У разби
ваются на классы гомотопных друг другу отображений.
Эти классы называются гомотопическими классами отоб-
отображений из X в У.
Множество всех гомотопических классов отображении
из X в У обозначается символом [X, У], а класс, содер-
содержащий данное отображение /: X—>-У,— символом [/].
Переход к гомотопическим классам все существенно
эффективизирует, поскольку для «разумных» пространств
X и У множество [X, У] оказывается, как правило, ко-
конечным, или счетным.
Определение 2. Говорят, что отображение i: А —* X
является корасслоением или что оно удовлетворяет акси-
аксиоме о распространении гомотопий (аксиоме РГ) если для
любого пространства У, любой гомотопий ft: A —> У и
любого отображения f: X —*¦ У, удовлетворяющего соот-
соотношению /oi_==f0, существует такая гомотопия/t: Х--*-У,
что /0 = / и ft°i—ft Для любого /?/:
A0)
Пара (X, Л), состоящая из пространства X н его
подпространства А, называется парой Борсука, если
аксиоме РГ удовлетворяет вложение t: A~->X.
В частности, для любой нары Борсука (X, А) отсюда
следует, что если отображения /, g: A- -> К гомотопны
и f распространимо на X, то g также распространимо
на X. Иными словами, для пары Борсука (X, А) свойство
отображения/: A—+Y бытьраспространимым на Xзависит
только от его гомотопического класса [/]. Это значит, что
в задаче A) мы можем вместо отображений рассматривать их
гомотопические классы, что, согласно сказанному выше, пе-
переводит нас из мира континуальных мощностеивмир счетных
множеств, для адекватного исследования которого сред-

28 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ
ствамн алгебры очевидных препятствий нет. Это объясняет,
почему для пар Борсука метод алгебраической топологии
позволяет эффективно решать задачу A). В случае же,
когда (X, А) не является парой Борсука, этот метод не
работает. К счастью, все реально встречающиеся на прак-
практике задачи A) либо обладают тем свойством, что для
них пары (X, А) являются парами Борсука, либо три-
тривиально сводятся к таким задачам.
Можно сказать, что естественным объектом изучения
алгебраической топологии являются не столько непрерыв-
непрерывные отображения, сколько их гомотопические классы.
В этом смысле алгебраическая топология практически
полностью поглощается теорией гомотопий.
Таким образом, хотя между алгебраической топологией
и теорией гомотопий, вообще говоря, знак равенства ста-
ставить нельзя, но фактически они переплетаются настолько
тесно, что становятся неотличимыми друг от друга.
Легко видеть, что отношение гомотопности согласо-
согласовано с композицией отображений, т. е. если f ~g, где
f, g: X —*¦ Y, то /о/г ~ gok и hof ~ hog для любых не-
непрерывных отображений /г: Z—+X и h: Y—+Z. Действи-
Действительно, если отображения fug связаны гомотопией
/,: X—+Y, то отображения fok и gok будут связаны
гомотопией ftok: Z—>Y, а отображения hof и hog — гомо-
гомотопией hoft: X—»-Z. ?
Отсюда следует, что формула
[?]°Ш = [?°/], /: X—7, g: Y-.Z
корректно определяет композицию гомотопических клас-
классов. Ясно, что но отношению к этой композиции сово-
совокупность всех топологических пространств и всех гомото-
гомотопических классов их непрерывных отображений является
категорией. Эта категория называется гомотопической ка-
категорией и обозначается символом [ТОР] (или Но-ТОР).
Она и является естественной областью действия алгебраи-
алгебраической топологии.
Для произвольной категории А и любых ее объектов
А, В символом А (Л, В) обозначается множество всех
морфизмов А — + В. В этих обозначениях
[X, У]-[ТОР](Х, Y)
для любых топологических пространств X и У.

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ 29
Переход от категории ТОР к категории [ТОР] может
быть без труда аксиоматизирован.
Категорию А мы будем называть категорией с гомото-
пиями, если для любых ее объектов А, В в множестве
А (Л, В) выделены некоторые семейства {ft, t?l\ морфиз-
мов ft: A-*В, называемые гомотетиями, причем выпол-
выполнены следующие аксиомы:
1°. Каждое семейство {ft: А —*В}, для которого /", = /0
для всех / ? /, является гомотопией.
2°. Для любой гомотопии {ft: А—+В} семейство
\fi-t- А—*В} является гомотопией.
3°. Для любых гомотопии ¦(/,: Л—* В} и {gt: A~-*B\,
обладающих тем свойством, что /1=sg"o» семейство
\ht: A—*-В), определяемое формулой
fu, если 0<*<1/2,
и,м. если 1/2<*<1,
является гомотопией.
4°. Для любой гомотопии \ft: A —> В} и любых мор-
физмов /г: С—*А и h: B—>-С семейства {ftok: C—*B\ и
{/i0o/f: A—+C) являются гомотопиями.
В такой категории определены гомотопические классы
и осуществим переход к соответствующей гомотопической
категории Но-А = [А].
Мы не будем систематически заниматься этой абстракт-
абстрактной чепухой1), но иметь ее в виду нам будет часто полезно.
ДОПОЛНЕНИЕ
Основные понятия общей топологии.— Экспоненциальный
закон для множеств отображений.— Экспоненциальный
закон для пространств отображений.
Перечислим основные понятия общей топологии, кото-
которые мы предполагаем известными (см.,например, [1]или [8J).
Топологии и топологические пространства. Открытые
и замкнутые множества. Окрестности. Базы и предбазы.
Локальные базы (фундаментальные системы окрестностей).
Аксиомы счетности (первая и вторая; условие сепара-
сепарабельности).
*) «Абстрактная чепуха» (general nonsense)—это не ругательство,
а термин, предложенный Н. Стииродом, для обозначения общекате-
горпых конструкций.

30 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
Непрерывные отображения. Открытые отображения.
Монеоморфизмы, эпиоморфизмы и гомеоморфизмы.
Подпространства. Факторпространства и фактортоно-
логии. Прямые произведения и прямые суммы (дизъюнкт-
(дизъюнктные объединения) топологических пространств.
Аксиомы отделимости: хаусдорфовы, регулярные и нор-
нормальные пространства.
Покрытия (открытые). Вписанность покрытий. Компакт-
Компактные ( = бикомпактные), локально компактные и параком-
пактные пространства.
Нам понадобятся лишь самые простые свойства этих
понятий. В частности, мы будем считать известным, что
биективное непрерывное отображение компактного про-
пространства на хаусдорфово пространство является гомео-
гомеоморфизмом и что любое хаусдорфово локально компактное
пространство регулярно.
Мы будем также считать известным, что для любого
нормального пространства X и любого его замкнутого
подпространства А каждое непрерывное отображение
А —>¦ IR" может быть распространено на все X. Это утвер-
утверждение называется теоремой Титце (несмотря па то,
что впервые оно было доказано Урысоном).
Частный случай теоремы Титце (необходимый, впрочем,
для ее доказательства) утверждает, что для двух замкну-
замкнутых непересекающихся подпространств А и В нормального
пространства X существует непрерывная функция
(р: X—>¦/, равная нулю на А и единице на В. Этот част-
частный случай называется леммой Урысона, а лю-
любая такая функция <р называется функцией Урысона
для А и В.
Другие менее известные (или более специальные) обще-
общетопологические результаты мы напомним, когда они нам
понадобятся.
Исключением является так называемый экспоненциаль-
экспоненциальный закон, который нам будет удобно изложить немед-
немедленно.
Пусть X и В — произвольные топологические простран-
пространства. Хотя существует довольно много способов тоиоло-
гизации множества ГОР (X, В) всех непрерывных отобра-
отображений X —> В, но мы будем использовать только компактно
открытую топологию этого множества (называемую также
топологией компактной сходимости). В этой топологии
множество тогда и только тогда открыто, когда оно яв-

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ МНОЖЕСТВ 31
ляется объединением конечных пересечений множеств
W(K, U), каждое из которых задается компактным мно-
множеством КсХ, открытым множеством UcB и состоит
из всех отображений f: X—>?, для которых f(K)cU.
(В терминологии теории топологических пространств мно-
множества W(K, U) составляют предбазу компактно откры-
открытой топологии.)
Множество ТОР (X, В), снабженное компактно откры-
открытой топологией, мы будем обозначать символом Вх. Это
обозначение оправдывается тем, что в случае, когда X
является дискретным пространством, состоящим из п точек
Хц ..., х„, пространство Вх естественно гомеоморфно
пространству Вх . ,.хВ — Вп посредством гомеоморфизма
Вх—*Вп, задаваемого соответствием
(Другим оправданием этого обозначения является доказы-
доказываемый ниже экспоненциальный закон (Bx)Y = BXxY.)
Для любых трех пространств X, Y и В и любого не-
непрерывного отображения f: XxY—+B формула
-f(*. У)'
определяет некоторое отображение
пространства Y в пространство Вх, называемое отобра-
отображением, ассоциированным с f. Оказывается, что в ком-
компактно открытой топологии отображение Qf непрерывно.
Чтобы это доказать, достаточно, очевидно, показать, что для
любого компактного множества F(cX и любого открытого
множества UezB прообраз {Qf^WiK, U) множества
W(K, U)czBx открыт в У, т. е. что каждая его точка
//„ является его внутренней точкой. Но так как @f)(//0)€
eWiK, U), т. е. \(Of)(yo)]KaU, то f(x, tjp)?U для
любой точки х?К, т. е. Kxy^af'1 {U). С другой стороны,
множество f~r,(U) открыто в XxY и потому является
объединением множеств вида GxH («прямоугольников»),
где G открыто в X, а Я открыто в К. В силу компакт-
компактности множества К (а, значит, и множества Кху0) су-
существует конечная система
и .... GmxHm

32 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ МНОЖЕСТВ
этих прямоугольников, покрывающая множество КХ.у0.
Тогда открытое подмножество Hs=*Ht n .¦.. Г\Нт простран-
пространства Y будет содержать точку у0 и каждая его точка у
будет обладать тем свойством, что Kxycf~l(U), и, зна-
значит, {Qf){y)€.W(K, U). Иными словами, Я будет окрест-
окрестностью точки у0 в Y, содержащейся в множестве
ф^)~хЖ{К, U), и, значит, точка уй будет внутренней
точкой последнего множества. ?
Таким образом, соответствие 0: f>—>0f представляет
собой отображение
0: ТОР(ХхГ, В)-> ТОР (К, В*)
множества TOP(XxF, В) в множество ТОР G, 5х). Это
отображение называется отображением ассоциирования.
Равенство Qf=*Og, где f, g: XxY—*-B, означает, что
f (xty)=*[(ef)(y)]x = [(eg)(y)]x=>g(x, у) для любых точек
x(zX, y?Y, т. е. что /=•?. Следовательно, отображение
ассоциирования инъективно.
Чтобы выяснить, когда отображение 0 биективно, мы
введем в рассмотрение отображение
со: ,
определяемое формулой
<о(х, f)-f(x), x?X, f: X-+B,
и называемое отображением вычисления.
Оказывается, что отображение ассоциирования 0:
ТОР(Хх^, В)-*TOP(Y, Вх)"тогда и только тогда би-
биективно для любого пространства Y, когда отображение
вычисления lm XxBx—+B непрерывно.! ДрИствятельпо,
если отображение со непрерывно, то для любого отобра-
жения""#: Yt—*BX отображение / = ©o(idX|'): XXY—+B
(т. е. отображение (х, у)*-*<й\{х, g(y))=*lg(y)]x) будет
непрерывно, т. е. будет лежать в TOP(XxF, В), и, оче-
очевидно, будет обладать тем^ свойством, что Qf — g. Следо-
Следовательно, если отображение со непрерывно, то отображение
0 надъективно, и, значит, биективно (ибо, как выше уже
было замечено, это отображение всегда инъективно).
Обратно, если отображение 0 биективно при любом Y и,
в частности, при 7 = Вх, то непрерывное отображение
A/=0-1(idNTOP(XxBi', В) будет для любой точки
(х, f)€XxBx удовлетворять соотношению
СО' (X, /) - [0 ((п'ГПХх) .m f (X) -Ю (JC, f)

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ МНОЖЕСТВ 33
и, значит, будет совпадать с «к Поэтому отображение со
непрерывно. ?
С другой стороны, легко показывается, что если про-
пространство X локально компактно и хаусдорфово, то для
любого пространства В отображение вычисления со непре-
непрерывно. Действительно, пусть (хй, ftl)?XxBx, и пусть
U — произвольная окрестность точки <а(хп, fo) — fa(xl>)
в пространстве В. Так как отображение /0: X—> В непре-
непрерывно, а пространство X локально компактно и хаусдор-
хаусдорфово (и потому регулярно), то в X существует такая
окрестность V точки х0 с компактным замыканием V, что
ft(V)cU. Поэтому в Вх определено открытое множество
7f (V, U), содержащее точку f0, а в ХхВх—открытое
множество W = VxW (V, U), содержащее точку (а;0, f0).
При этом для любой точки (х, f)?W имеет место вклю-
включение
показывающее, что e>(W)czU. Итак, для каждой точки
(*о> fo)€^x?* и любой окрестности U точки (о(х0, fo)?B
существует такая окрестность W точки (х„, f0), что
(a(W)cU. Следовательно, отображение га непрерывно. ?
Таким образом, если пространство X локально ком-
компактно и хаусдорфово, то для любых пространств Y и В
отображение ассоциирования
в: 7OP(XxY, Я)-*ТОРG, Вх)
биективно.
Это утверждение называется экспоненциальным
законом для множеств отображений. Довольно
сильные условия, налагаемые в нем на пространство X
(кстати сказать, очень близкие к необходимым), являются
частным проявлением общей дефектности категории ТОР
в отношении прямого произведения. Общий способ избав-
избавления от такого рода условий (с которыми мы в даль-
дальнейшем столкнемся и в других ситуациях) состоит в
переходе к категории, объектами которой являются топо-
топологические пространства, а морфизмами—такие отображе-
отображения f: X—+Y топологических пространств (называемые
тонными отображениями), что для любого компактного
пространства К и любого непрерывного отображения
ф: К —> X составное отображение /оф: /С—> Y непрерывно,
пли, что, по существу, равносильно, к категории, мор-
2 М. М. Постников

34 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ
физмами которой являются непрерывные отображения,
а объектами—такие топологические пространства X (на-
(называемые каонными пространствами), что множество
СаХ тогда и только тогда замкнуто, когда для любого
компактного пространства К и любого непрерывного ото-
отображения ф: К—+Х его прообраз ф-1С замкнут в /<".
Однако в этом курсе мы не будем гнаться за формальным
совершенством теории и предпочтем остаться в более при-
привычной категории ТОР.
В связи с экспоненциальным законом естественно воз-
возникает также вопрос о справедливости его для про-
пространств отображений, т. е. о том, будет ли ото-
отображение ассоциирования гомеоморфизмом пространства
fixxY иа (или хотя бы в) пространство (BX)Y. Ответ ока-
оказывается, вообще говоря, утвердительным только для
хаусдорфовых пространств X и У. Хотя этот факт нам
будет нужен лишь ограниченно, мы все же для полноты
картины докажем его здесь в полной общности,
В первую очередь мы покажем, что если пространство
У хаусдорфово, то для любых пространств X и В отобра-
отображение ассоциирования
0:
непрерывно. Действительно, по определению каждое от-
открытое множество в (BX)Y является объединением конеч-
конечных пересечений множеств вида W {L, V), где L—ком-
L—компактное подмножество в У, а V—открытое подмножество
в Вх. Поэтому достаточно показать, что для любого
множества вида W (L, V) его прообраз при отображении 0
открыт в ВХхг. Пусть f€W{L,V)ny€ L. Так как / (у) е V
и так как множество V в свою очередь является объеди-
объединением конечных пересечений множеств вида 9f (/(,, V,),
где К{—компактные множества в X, a Ut—открытые
множества в 5, то в X существуют такие компактные
множества К\, ..., К%у, а в В—такие открытые множе-
множества VI, ..., Vf., что /(«/)€ У у с V, где
Но тогда, поскольку отображение f: У—»-Вх непрерывно,
в Y найдется такая окрестность Gv точки у, что f(Qv)aVy.
При этом, так как пространство L, будучи хаусдорфовым
(как подпространство хаусдорфова пространства У) и ком-

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ 35
пактным, регулярно, то в h существует такая окрест-
окрестность Ну точки y?L, что HyCGyftL.
Выберем теперь в L такую конечную систему точек
Ни •••» Ут> что окрестности НУо ..., Нит покрывают L
(такая система существует в силу компактности L). Так
как
и
Vyi=T{K\, U[)[\...[\W(Kb, UfH),
где для краткости положено
для любого 1=з 1, ..., т и любого /»¦ 1, ..., п{, то
fd7f(Hy., 7f{Klh U1,)), *-1, .... m, /-1, .... п
(множества Я^., будучи замкнутыми подмножествами ком-
компактного множества L, компактны) и, значит, f^W, где
т "I _
С другой стороны, если g?W, т. е. если
для любого i«"l, ..., m, то
и, значит, g?W{L, V). Следовательно, W'<z.W(L, V).
Этим доказано, что любая точка f?W(L, V) имеет в 5^(L, V)
окрестность вида W и, значит, множество 9f (L, V) яв-
является объединением множеств вида W, т. е. конечных
пересечений множеств вида W (L, W{K, U)), где К—ком-
К—компактное множество в X, a U—открытое множество в В.
Поэтому нам достаточно доказать, что в BXXY открыт
полный прообраз при отображении 0 каждого множества
вида W(L, Ж(КУ и)). Но это очевидно, поскольку, как
непосредственно следует из определения отображения О,
этим прообразом является множество W{Kx.L, U). D
2*

36 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ
Таким образом, при хаусдорфовом У (и любых X и В)
отображение 0 является непрерывным (и, как мы знаем,
инъективиым) отображением пространства BXxY в прост-
пространство (Вху. Покажем, что если хаусдорфово также
пространство X, то отображение 0 является открытым
(и, следовательно, гомеоморфным) отображением на
1тв = в(Вхху). Ясно, что для этого достаточно доказать,
что для любого компактного множества М из XxY и
любого открытого множества U из В множество QW (M, U)
открыто в Im0, т. е. что любая его точка gu*=*Qfu, где
fo(zW(M, U), является его внутренней точкой. Пусть К
и L—проекции множества М соответственно в X и У.
Так как отображение /0: XxY—+B непрерывно, а про-
пространства К и L, будучи компактными и хаусдорфовыми,
регулярны (даже нормальны), то для любой точки г =
= (х, у)?М, где х?К, y€L, существуют такие окрест-
окрестности Vz и W'z точек х я у в соответственно простран-
пространствах К и L, что /0 (V2xWz)czU и, значит, (#„ V,)WzcU,
т. е.
g^T{Vt, 7f{Wt,V))
(так как множества Vz и Wz, будучи замкнутыми под-
подмножествами компактных пространств, компактны, то
символ W(VZ, W(WZ, U)) имеет смысл). С другой сто-
стороны, так как множество М компактно, то в нем су-
существует такая конечная система точек zit ..., zn, что мно-
множества
z ,VZnxWZn
покрывают М. Множество
П Т(У,{, W{WZl, U))
открыто в Im0 и, по только что сказанному, содержит
отображение gp.
Пусть g = Qf—произвольное отображение из W. Так
как gJiW(Vz, W(W,, 10)_для любого f—1, .... п, то
(gVz.)Wz.<=U, т.е. f(VZ{xWZl)cU, и, значит,

ЭКШОНППЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ 37
т. е. f$W(Mt U). Этим доказано, что WcQW(K, U), и,
значит, что точка g0 является внутренней точкой множе-
множества ImO. ?
Комбинируя полученные результаты с экспоненциаль-
экспоненциальным законом, мы получаем, что если
а) пространство X хаусдорфово и локально компактно,
б) пространство Y хаусдорфово,
то для любого пространства В отображение ассоцииро-
ассоциирования
6: BX*Y-+(BX)Y
является гомеоморфизмом.
Это утверждение известно как экспоненциаль-
экспоненциальный закон для пространств отображений.

ЛЕКЦИЯ I
Гомотопии и пути.— Корасслоения и пары Борсука.—
Амальгамы.— Амальгамы и коиндуцированные корас-
корасслоения.— Цилиндр отображения.— Характеризация ко-
корасслоений и пар Борсука.— Произведение пар Бор-
сука.— Расслоения.— Коамальгамы и индуцированные
расслоения.— Коцилиндр отображения и аксиома о на-
накрывающем пути,— Расслоения пространств отображений.
Напомним, что путем в топологическом пространстве X
называется произвольное непрерывное отображение и:
1—>Х. Точка и @) называется началом пути, а точка и A) —
его концом. Говорят также, что точки «@) и ыA) соеди-
соединены путем и.
Все пути пространства X составляют топологическое
пространство X1.
Топологическое пространство X называется связным
(или—точнее—линейно связным), если любые две его точки
могут быть соединены путем. Каждое пространство X яв-
является объединением максимальных связных подмножеств,
называемых его компонентами.
Обозначив символом pt топологическое пространство,
состоящее из одной точки, мы можем каждый путь 1—+Х
рассматривать как отображение ptx/—*Х, т. е. как гомо-
топию из pt в X. В соответствии с этим компоненты про-
пространства X являются не чем иным, как гомотопическими
классами отображений pt—»-Х.
С другой стороны, ясно, что экспоненциальный закон
(для множеств отображений) позволяет, наоборот, любую
гомотопию интерпретировать как некоторый путь, по-
поскольку отображение, ассоциированное с произвольной
гомотопией F: XxI-^-Y, является не чем иным, как
путем / —»¦ Yx в пространстве отображений Yx.
К сожалению, эта изящная и наглядная интерпрета-
интерпретация гомотопии вполне адекватна только для локально
компактных и хаусдорфовых пространств X. Для произ-
произвольных же пространств X не кажд.ый путь в Yx будет
гомотопией из X в Y. Поэтому, в частности, только для
локально компактных и хаусдорфовых пространств X го-
гомотопические классы отображений из X в У можно отож-
отождествлять с компонентами пространства Yx. В общем же

гомотопии и пути 39
случае, каждая такая компонента может состоять из не-
нескольких гомотопических классов.
Более удовлетворительный результат получится, когда
мы применим экспоненциальный закон, переставив пред-
предварительно X и /. Тогда отображение, ассоциированное
с произвольной гомотопией F: Хх/~+К (которое мы
позволим себе обозначать той же буквой F), будет зада-
задаваться формулой
(F(x))(t)-F(x,t), x(=X,t?l,
и будет представлять собой непрерывное отображение
X —>¦ Y'. Поскольку пространство / (играющее здесь роль
пространства X из формулировки экспоненциального за-
закона) заведомо локально компактно и хаусдорфово, мы
видим, следовательно, что для любых пространств X и Y
гомотопии XxI—>-Y из X в Y находятся в естественном
биективном соответствии с непрерывными отображениями
X— +Y'. Поэтому отображения X—+Y1 мы также будем
называть гомотопиями из X в Y.
Как при этой интерпретации гомотопии получаются
отображения Д, и fit ими связанные? Чтобы ответить на
этот вопрос, мы заметим, что для любых пространств X
и В, любого отображения f: X —*¦ В и любой точки .v0 ? X
формула
определяет некоторое отображение
со,,: Вх — В
(срез по хЛ отображения вычисления со). Хотя отображе-
отображение ю, вообще говоря, разрывно, отображение а>Хо для
любой точки хо?Х непрерывно, так как для каждого
открытого множества UcB его прообразом (oj,1 G при ото-
отображении со^ является открытое множество W({xn}, U)
(в любом топологическом пространстве все одноточечные
подмножества компактны).
В частности, непрерывны отображения
©0: В'—+В, <ох: В'—>В
пространства путей, сопоставляющие каждому пути соот-
соответственно его начальную и конечную точки.
Теперь ясно, что (мы заменяем В на У) для каждой
гомотопии F: X—*Y! композиции <оо о F: X—*-Y и щ о F:
X - г Y' являются отображениями, связанными этой гомо-
гомотопной.

40 КОРАССЛОЕНИЯ И ПАРЫ БОРСУКЛ
Поэтому, например, аксиома о распространении гомо-
топии может быть записана в виде диаграммы
0)
значительно более наглядной и удобной, чем диаграмма
A0) лекции 0.
Лемма 1. Каждое корасслоение I: А —»- X является инъ-
ективным отображением, а если его образ i( А) замкнут
в X, то и монеоморфизмом.
Доказательство. Пусть
— факторпространство произведения Ах/, получающееся
стягиванием подпространства АхО в точку. (Простран-
(Пространство СА называется конусом над А; мы вернемся к нему
в следующей лекции.) Пусть, далее, а0—образ подпро-
подпространства А хО в С А (вершина конуса), и пусть /: А—+СА—
монеоморфизм, индуцированный отображением а*—>(а, 1),
а?А. Отображение факторизации Axf—+CA мы можем
рассматривать как гомотопию из А в СА, связывающую
постоянное отображение const^ А—у С А, а*—*-а0, с ото-
отображением /. Следовательно, так как const,, = const* о i,
где const*—отображение Х—+СА, х\-*-а0, то, согласно
аксиоме РГ, существует такое отображение g: Х-^-СА,
что goi = j. Но отображение / инъективно. Поэтому ото-
отображение i также инъективно. Кроме того, iP^g'1 (jP) D iA
для любого подмножества РаА. Поэтому, если iA замк-
замкнуто, то для любого замкнутого подмножества РсА мно-
множество iP замкнуто (поскольку в силу непрерывности
отображения g и монеоморфности отображения / множе-
множество g~1(jP) замкнуто). Следовательно, в этом случае
отображение i является монеоморфизмом. р
Согласно этой лемме корасслоения с замкнутыми об-
образами по существу являются парами Борсука. Тем не
менее в рассмотрениях общего характера предпочтитель-
предпочтительнее доказывать теоремы о корасслоениях, чем о парах
Борсука, хотя бы потому, что, как мы увидим, понятие
корасслоения допускает полезную и очень важную дуа-
лизацию.

АМАЛЬГАМЫ 41
Согласно общему предложению 1 лекции 0 аксиома
о распространении гомотопий может быть сформулирована
как требование о существовании некоей ретракции. Соот-
Соответствующая конструкция вполне элементарна, но, имея
в виду ее впоследствии дуализировать, мы изложим ее сей-
сейчас в общекатегорных терминах, что позволит нам, в
частности, заново доказать предложение 1 лекции 0.
Пусть А—произвольная категория, и пусть iA: C-* А
и iB: С—*В—два морфизма этой категории с одной и
той же областью определения С.
Прямым конусом над парой (iA, iB) называется каж-
каждая пара (jA, jB) морфизмов jA: A—*D, jB: B—+D, удо-
удовлетворяющая соотношению jA о iA = jB o iBt т. е. такая,
что диаграмма
() М ,в !>л
вЛэ
коммутативна. Морфизмом конуса (}л: A—+D, /я: B—+D)
в конус ()'А: A—+D', \'ц. B—+D') называется такой мор-
физм ср: D—+D', что jAoq> = j'A и /воф = /г, т.е. что
имеет место коммутативная диаграмма
В
D'
Ясно, что все прямые конусы (над данной парой (iA, iB))
и все их морфизмы составляют категорию CON(iA, iH).
Инициальный объект этой категории, т. е. такой конус
(jA: A—>-D, /B: B—>-D), что для любого другого конуса
(iл, /Ь) над (iA, iB) в категории СОЫAЛ, iB) существует
единственный морфизм (jA, /в)—>-(j'A, jB), называется
'л 1в
амальгамой диаграммы А-^-С—>-В или, допуская опре-
определенную неточность, амальгамой объектов А и В с амаль-
амальгамируемым объектом С. Иногда амальгамой называют
сам объект D. Диаграмма B), в которой D является амаль-
амальгамой, называется коуниверсальным (или декартовым)
квадратом.

42 АМАЛЬГАМЫ И КОИНДУЦЙРОВАЙНЫЙ КОРАССЛОЕНИЯ
Поскольку в любой категории инициальный объект
(когда он существует), с точностью до канонического изо-
изоморфизма определен единственным образом, то же самое
верно и для амальгам.
Легко видеть, что в категории ТОР амальгама суще-
ствует для любой диаграммы Л«—С—¦»¦?. Пространст-
Пространством D для нее будет факторпространство дизъюнктного
объединения А Ц В по минимальному отношению эквива-
эквивалентности, в котором а ~ Ь, если существует такое с €• С,
что iA(c) = a и iB(c) = b, а отображениями jA: A—*D и
}в: В—*D—отображения, индуцированные вложениями
А —> А Ц В и В —* A Ц В. Действительно, по построению
U ° 1а = /в ° 'в. и Для любого конуса ()'Л, \'в) 6 CON (iA, iB)
отображения ai->/^,(a), bt-+j'B(b) индуцируют (очевидно,
единственное) отображение <р: D—*D', для которого \'А =
= Ф°/л и /в»фо/д. ?
В случае, когда С=>А(]В, а отображения 1А и 1В яв-
являются вложениями, амальгамой D является объеди-
объединение A U В. Это объясняет происхождение термина
«амальгама».
Для диаграммы X*— А—>• У, где i—вложение, амаль-
амальгамой будет построенное в лекции 0 пространство X[)fY.
Допуская определенную вольность, мы будем использо-
использовать обозначение X [) f Y для амальгамы диаграммы
Х«— A—+Y и в случае произвольного отображения I.
Соответствующие отображения X—*X\}fY тл У —*-X[)fY
(являющиеся ограничениями отображения факторизации
X U Y —»¦ X U f Y) мы будем обозначать символами /# и if.
Вместе с отображениями i w. f они составляют коунивер-
сальный квадрат
C)
Об отображении if говорят, что оно коиндуцировано ото-
отображением i посредством отображения /. Если отображе-
отображение i инъективно, то отображение if будет монеоморфнз-
мом на замкнутое подпространство. В этом случае мы,
отождествив точки // и if (у), будем считать У замкнутым
подпространством пространства X[jfY (что согласуется

АМАЛЬГАМЫ И КОИНДУЦИРОБАИНЫЕ КОРАССЛОЕНИЯ 43
с соглашениями из лекции 0, касающимися случая, когда i
является вложением).
Предложение 1 лекции 0, т. е. утверждение, что рас-
распространение f: X—t-Y отображения f: A—*-Y no отно-
отношению к отображению i: A—+X существует тогда и
только тогда, когда коиндуцированное отображение if:
Y — *-X\i fY ретрагируемо, остается верным и для любого
отображения i. Действительно, если отображение lj рет-
ретрагируемо и г. Х[}fY—+Y—соответствующая ретракция,
то композиция / = го/# будет, очевидно, удовлетворять
соотношению f о i=>f. Обратно, если f существует, то пара
(id: Y—»-У, f: X—+Y) будет прямым конусом над (I, f),
и потому будет существовать морфизм г: X\}fY—+Y
амальгамы X U / Y в этот конус. Но тогда г о if = id, так
что морфизм г будет ретрактом отображения if. \j
Таким образом, задача распространения отображе-
отображения f равносильна задаче о существовании ретракции ко-
индуцированного отображения it. Однако это—по суще-
существу общекатегорное—утверждение было бы для нас фак-
фактически бесполезным, если бы при переходе от i к if мы
выходили из класса корасслоении. Иа самом же деле в
этом отношении все обстоит благополучно, т. е. отобра-
отображение и: Y —* X[)fY, коиндуцированное корасслоением
i: А—уХ, также является корасслоением. Действительно,
из любой диаграммы вида
мы, компонируя ее вертикальные стрелки с вертикальными
стрелками диаграммы C), получим диаграмму
для которой гомотопия F по условию существует. Вместе
с G гомотопна F образует, очевидно, конус (F, G) над

44 ЦИЛИНДР ОТОБРАЖЕНИЯ
парой (/, f). Поэтому существует морфизм G: X\JfY-^Z'
конуса (f#, if) в конус (F, G), который и будет гомото-
пией, замыкающей диаграмму D). Таким образом, для лю-
любой диаграммы вида D) существует замыкающая гомото-
пия G и, значит, отображение i, является корасслоением. ?
Наглядно это доказательство изображается простран-
пространственной диаграммой
E)
рассмотрение которой делает доказательство совершенно
очевидным.
Определение 1. Цилиндром Cyl (/) непрерывного ото-
отображения i: А—*Хназывается амальгама (Л х/) U,• X диа-
диаграммы
Эта амальгама получается приклеиванием пространства
Ау.1 к пространству X по отображению (а, 0)i—»¦ i(а).
Для нее имеет место коуниверсальный квадрат
F) «•!
отображение (ао){ которого является монеоморфизмом
(обратим внимание, что мы «транспонировали» квадрат C),
что, конечно, ничему не мешает). Мы будем считать, что
пространство X вложено в цилиндр Cyl (i) посредством
монеоморфизма (ао){.
Для любой точки (a, t)?AxI точку i# (a, *)?Cyl(i)
мы будем обозначать символом [a, t]. Таким образом,
каждая точка из Cyl (г) либо имеет вид [a, t], a?A,
t?l, либо является точкой х из X. При этом [a,0] = i(a)
для любой точки а?А.

ХЛРАКТЕРИЗАЦИЯ КОРАССЛОЕНИЙ И ПАР БОРСУКА 45
В силу коуниверсальности, формулы
j[a,t] = (ia, t), (a,t)?AxI,
j(x) = (x,0), x?X,
корректно определяют непрерывное отображение
/: Cyl(/)-*Xx/.
В важнейшем частном случае, когда АсХ я i является
вложением, отображение /, как легко видеть, представ-
представляет собой инъективное отображение на подпространство
Л — (ХхО)и(Лх/) произведения Хх/. Вообще говоря,
оно монеоморфизмом не является. Однако если А замк-
замкнуто в X, то j представляет собой монеоморфизм, так
что в этом случае мы, считая / вложением, можем цилиндр
Cyl(t) отождествить с подпространством А пространства
X х I. Действительно, по определению множество CcrCyl(i)
замкнуто, если замкнуты его прообразы в X и в Axl.
В случае, когда АаХ, это равносильно тому, что пере-
пересечения /СП (ХхО) и jCC\(AxI) замкнуты соответственно
в ХхО и Ах/. Но поскольку ХхО замкнуто в Хх/,
то пересечение /Сп(ХхО) тогда и только тогда замкнуто
в ХхО, когда оно замкнуто в Хх/. Аналогично, если А
замкнуто в X, то Axl замкнуто в Хх/, и, значит, пере-
пересечение /СП(Ах/) тогда и только тогда замкнуто в Axl,
когда оно замкнуто в Хх/. Следовательно, если А замк-
замкнуто, то для любого замкнутого в Cyl(i) множества С
множество
¦ /С = (/Сп(ХхО))и(/Сп(Лх/))
замкнуто'в Хх/, а, значит, и в А = (ХхО) и (Axl). П
Пары (X, А) с замкнутыми Л называются замкнутыми.
Предложение 1. Отображение i: A—+X тогда и
только тогда является корасслоением, когда отображение
/: Cyl (i) —>¦ X х I ретрагируемо.
Доказательство: Гомотопия F: Axl—+Y и рас-
распространение J: X—»¦ У на X ее начального отображения
f0 = Foa0 задают отображение
принимающее одинаковые значения в точках (а, 0) и i(a),
а^А. Поэтому отображение F[\f индуцирует некоторое
отображение g: Cyl (t) —* Y, обладающее тем свойством, что
g[a, l]--=F(a, t) и g(x)=~f(x) для любых точек [a, t] и

46 ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОРАССЛОЕНИЙ И ПАР ВОРСУКА
х из Cyl (i). (Пара (F, f) является конусом над (сг0, /) и
g является не чем иным, как морфизмом конуса (i'# ,(а0),)
в конус (F, f), предусмотренным свойством коуниверсаль-
ности амальгамы Су1(/).) Поэтому, если ретракция г:
Xx/—+Cyl(t) существует, то отображение F = gor.
Xxl —+Y будет гомотопией с начальным отображением /
(ибо это отображение удовлетворяет соотношению Foj = g,
и потому F (x, 0) = (Foj)(x) = g(x) = f(x) для любой точки
х ? X), являющейся распространением (по _отношению
к отображению i) гомотопии F (ибо F (la, t)=*(Foj)[a, t]=
—S[a% t] = F(a, t) для любой точки (a, t)?AxI). Таким
образом, если отображение / ретрагируемо, то отображе-
отображение i является корасслоением.
Обратно, отображение i# можно рассматривать как
гомотопию из Л в Cyl (i) с начальным отображением,
являющимися ограничением (по отношению к I) отобра-
отображения (а,,),; поэтому, если отображение I: A —*-Х является
корасслоением, то существует отображение г: Хх/—+
—vCyl(f), удовлетворяющее соотношениям г(х, 0) = х и
г (la, t) = [a, t], т. е. являющееся ретракцией отображе-
отображения /. п
Следствие. Замкнутая пара (X, А) тогда и только
тогда является парой Борсука, когда подпространство
Л=»(ХхО)и(Лх/) является ретрактом пространства
Xxl. р
Стрём показал, что предположение о замкнутости под-
подпространства А в этом следствии иа самом деле излишне.
Однако в соответствии с нашей общей установкой мы
будем это утверждение игнорировать, поскольку оно реле-
релевантно только для нехаусдорфовых пространств X, так
как если для пары (X, А) пространство X хаусдорфово,
а подпространство A=*(XxQ)\J(AxI) является ретрак-
ретрактом пространства Xxl, то пара (X, А) замкнута.
Действительно, композиция /or ретрагирующего отображе-
отображения г: Хх1—>-А и вложения /: Л—+Хх/ представляет
собой непрерывное отображение Xxl—+Xx/, множест-
множеством неподвижных точек которого является А. В силу ха-
хаусдорфовости пространства Xxl отсюда следует, что Л
замкнуто в Xxl. Но тогда замкнут (в X) и его проо-
прообраз А при непрерывном отображении at: x\-^(x, 1). ?
Заметим, кстати, что для замкнутой пары Борсука
(X, А) подпространство А даже функционально выделяемо,

XAPAKtЙРИЗАцМя КОРАССЛОЕНИЙ И ПАР ВОРСУКА hi
т. е. существует такая непрерывная функция q>: X—>/,
что ср(а) = О тогда и только тогда, когда а ? А. Действи-
Действительно, пусть г: Хх I—> Л — ретрагиругощее отображение^
и пусть р(х, *)—проекция в / точки г(х+г), (х, t)?XxI.
Рассмотрим функцию <р: X—>¦/, определенную формулой
y(x) = mu.x(t—р(л;, t)), x?X,
/6/
В силу доказываемой ниже леммы 2 функция <р непре-
непрерывна на X. Если а?А, то р(а, t) = t для любого /?/
и потому ср(а) = О. Обратно, если ф(я) = 0, т. е. р(а, t)^t
при Всех t (ЦТ, то, в частности, р(а, /) > 0 при t > 0 и,
значит, г (at t)?AxI. Поскольку подпространство А
(а потому и подпространство Axl) по условию замкнуто,
отсюда следует, что
(в, 0) = г(а, О) = Ишг(а, t)?AxI
i-*0
и, значит, а б А. п
Лемма 2. Для любого компактного пространства С,
произвольного топологического пространства X и любой не-
непрерывной функции \\г. ХхС— >R функция ф: X •* R,
определенная формулой
Ф (л;) =в max \\> (х, с), х?Х,
ас
непрерывна на X.
Доказательство. Из компактности пространства С
следует, во-первых, что для любой точки х ? X максимум
достигается, т. е. существует (вообще говоря, не единст-
единственная) такая точка сх?С, что <р(х) = \р(х, сх). Во-вто-
Во-вторых, функция \р равностепенно непрерывна по х в каждой
точке пространства X, т. е. для любой б > 0 и любой
точки хо?Х существует такая окрестность i/cX точки
х0, что |\\>(х, с)—\\>(х0, с)} < б для любых точек x&U и
С. Поэтому, если x?U и ф(#)>ф(л:0), то
(*)—Ф (*0) I = Ф (*)—ф (х0) < ф (х, сх)—\р (х0, сх) =
= hl'(^, cx)—у(х„ сх)\<г,
а если ф (л;) ^ ф (х0), то
ф (Л') —ф (Хо) | = ф (Хо) — ф (X) < 1E (Хо, СХо)—\\> (Хо, CXJ =
Таким образом, | ф (л;)—ф (х0) \ < б для любой точки х ? U,
т. е. функция ф непрерывна. \~]

48 ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПАР ВОРСУКА
Произведением (X, А)х(У, В) пар (X, А) и (У, В)
называется пара (XxY, XxB(j AxY).
Предложение 2 (теорема Стрёма). Произведение
(Z, C) =
замкнутых пар Борсука (X, А) и (Y, В) является зам-
замкнутой парой Борсука.
Доказательство. Согласно следствию из предло-
предложения 1 подпространства А = ХхО[) Axl и B = YxO[)
[)Вх1 являются ретрактами пространств Хх/ и Yxl
соответственно. Пусть г: Хх/—*¦ A us: Yxl—+B—соот-
Yxl—+B—соответствующие ретракции, и пусть
r(x, t) = G(x, t), 9(x, t)), (x, t)
s (У, t) = (s (y, t), о {у, t)), (y,t)$YxI,
где r(x, t)?X, is (у, l)?Y и р(л;, t), а (у, t)?_I, причем
p(x, t) = 0, если r(x, t)^A и а (у, t) = 0, если s(y,
Как и выше, мы положим
^—р(л;, t)), x$X,
и аналогично
*p(y) = max(t—а (у, t)), y$Y.
Пусть, далее,
Р(х,У, t) =
_f 0, если /<тт(фD у (у)),
~\ t— тт(ф(л;), 1]з(</)), если f
и
~R(x, У, t) = (F{x, min(tf, ij)((/))), s{y,
Если R(x,y,t)^C=XxBuAxY, ro7(y, min(t, <p(x)
r{x,min(t, ^p(y)))^A и, значит, о(у, min(f, ср(л:))) = О,
р(л;, min(*, \p(y))) = O. Поэтому min(^, ф(#))<oj)(у) и
rain(/, t>(y))^<:p(x), т. е. i<min((p(i), i|'(j/)), и, значит,
P(x, У, t) = 0. Следовательно, формула
R (x, У, t) = (R (x, y,t),P (x, y, t)), (x, y,t)?ZxI,
определяет некоторое отображение
R:

РАССЛОЕНИЯ 43
При этом, если (я, у, /)?С, т. е. либо / = 0, либо у? В
(и, значит, ^(у) = 0), либо х?А (и, значит, ij>(#) = 0),
то Р(х, у, t) = t и #(*, у, t) = Xr{x, 0),1(у, 0)) = (x, у),
т. е. R(x, у, t) = (x, у, t). Следовательно, отображение
R является ретракцией, и потому пара (Z, С)—парой
Борсука. ?
Следствие 1. Для любой замкнутой пары Борсука
(X, А) и любого п > 0 пара (X, А)'1 является парой
Борсука.
Доказательство. Очевидная индукция. ?
Следствие 2. Для любой замкнутой пары Борсука
(X, А) и любого топологического пространства Y пара
(XxY, AxY) является замкнутой парой Борсука.
Доказательство. Это—частный случай предло-
предложения 2, получающийся при В — 0. Впрочем, это след-
следствие непосредственно вытекает и прямо из следствия
предложения 1, поскольку для каждого ретрагирующего
отображения г: Xх/ —> А отображение rxid: Xх/X^ —>
- * AxY будет ретрагирующим отображением простран-
пространства XxIxY = XxYxI на подпространство AxY -¦=
(Хх^хО)и(АхГх/) ЛхГ. ?
Ясно, что композиция двух корасслоений является ко-
корасслоением, так что, в частности, если XzzAzdB и пары
(X, А) и (А, В) являются парами Борсука, то пара (X, В)
также будет парой Борсука.
Применив это утверждение к парам (XxY, XxB) и
(ХхВ, Ах В) а воспользовавшись следствием 2, мы не-
немедленно получим
Следствие 3. Для любых двух замкнутых пар Бор-
Борсука (X, А) и (У, В) пара (XxY, Ax В) также является
замкнутой парой Борсука. ?
Согласно общекатегорному принципу двойственно-
двойственности для понятия корасслоения должно существовать
двойственное понятие, получающееся «обращением всех
стрелок».
Определение 2. Отображение р: Е—+В называется
расслоением (в смысле Гуревича), если для любого про-
пространства X, любой гомотопии f{. X—>¦ В и любого отоб-
отображения /, удовлетворяющего соотношению p°f = f0, суще-
существует такая гомотопия ft: X—*Е, что fo = f и p°?t — ft
для любого t ? Y.

бб РАССЛОЕНИЙ
Таким образом, 6fббpaжeниe p; E—+B является р
слоением, если из того, что начальное отображение /0:
X —> 5 некоторой гомотопии /у. X—* В может быть под-
поднято на Е, следует, что на Е можно поднять каждое
отображение ft, Причем поднятия Jt можно выбрать так,
чтобы они составляли гомотетию.
Это требование называется аксиомой о накрывающей
гомотопии (короче, аксиомой НГ).
Наглядно, аксиома о накрывающей гомотопии изобра-
изображается диаграммой
G)
.двойственной диаграмме A).
В частности, мы видим, что если отображения \f, g:
Х—+В гомотопны и f может быть поднято на Е, то g
>также может быть поднято на Е, так что для расслое-
расслоений свойство отображения f: X—+B допускать подъем
ша Е зависит только от его гомотопического класса [/].
Таким образом, и в задаче поднятия (задача C) лекции 0)
мы можем перейти в гомотопическую категорию.
Это объясняет, почему в алгебраической топологии
задача поднятия рассматривается только для расслоений.
(Впрочем, как мы увидим в лекции 3, серьезным ограни-
ограничением это не является.)
Лемма 3. Если отображение р: ?—»-5 является рас-
расслоением, то для любого пути и: I—*-В и любой точки
е?Е, такой, что р(е) = и@), существует путь v: /—»¦?,
начинающийся в точке е и накрывающий путь и (т. е.
такой, что pov=su).
Доказательство. Определим гомотопию ut'. I—*В
формулой
Ut(s)mmU(t8), S, t?l.
Так как и0 (s) =¦ и @) = р (е) для всех s?/. то роОе = и0,
где 0е: si—>е—постоянный путь в точке е. Поэтому су-
существует такая гомотопия vt: I—+E, что povt = ut для
всех t? Y (и уо = О€). В частности, pov1~u1. Поскольку
tij(O) = e и ыг=аы, это доказывает лемму (с и*=*и,). ?
Следствие. Для любого расслоения р: Е-^-В (с не-
непустым Е) множество р(Е) является объединением ком-

КОАМЛЛЬГЛМЫ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ 51
понент пространства В. В частности, если пространство
В связно, то р является надъективным отображением.
Доказательство. Пусть Ь?р(Е), и пусть и:
1—+В—произвольный путь, начинающийся в Ь. Нам
нужно доказать, что мANр (Е). Пусть /7(е) = &, и пусть
v: I —+B—путь, накрывающий путь и и начинающийся в е.
Тогда p(v(l)) = u(l) и, следовательно, и(\)?р(Е). г\
Последнее утверждение этого следствия двойственно
к первому утверждению леммы 1. Дуализация второго
утверждения леммы 1 (вопрос об эпиоморфности расслое-
расслоений) мало интересна, и мы ей заниматься не будем. Мож
но, например, показать, что расслоение Е—+В будет эпио-
морфным отображением в случае, когда пространство В
связно и локально связно, но обсуждение вопроса, может
ли это условие на В считаться двойственным условию за-
замкнутости подпространства iA из леммы 1, увело бы нас
слишком далеко в сторону. Что какие-то условия на В
необходимы, показывает пример тождественного отображе-
отображения множества рациональных чисел в дискретной топо-
топологии на него же в обычной топологии. Не будучи эпио-
морфизмом, это отображение, как показывает легкая про-
проверка, является расслоением.
Пусть А—произвольная категория, и пусть рА: А—*-С
и рв: В—*С—два морфизма этой категории с одной и
том же областью значений. Обратным конусом над парой
(рА, рв) называется пара (qA, qB) морфизмов qA: D—+A
и qB:D—*B удовлетворяющая соотношению Ра°Яа~РвоAв>
т. е. такая,, что диаграмма
D
(8) М \'а
В-+С
Рв
коммутативна. Морфизмом конуса [q'A: D'—*A, q'B: D'—*B)
в конус (qA: D—+A, qB: D—+B) называется такой мор-
фпзм <р: D' —*D категории А, что qAoq> = q'A и qBoq> = q'B,
г. е. такой, что имеет место коммутативная диаграмма
D'
|
\
D
Ясно, что все обратные конусы (над данной парой. {рм рв))

52 КОАМАЛЬГАМЫ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ
и все их морфизмы составляют категорию CON(pA, pB).
Терминальный объект этой категории, т. е. такой конус
(qA: D—+A, qB: D—+B), что для любого другого конуса
(q'A, q'B) над (рА, рв) в категории CON (pA, рв) существует
единственный морфизм (q'A, q3) —* (qA, qB), называется
коамальгамои диаграммы Л—>-С*—В или,—допуская опре-
определенную неточность,— коамальгамои объектов А и В над
объектом С. Иногда коамальгамои называют сам объект D.
Диаграмма (8), в которой D является коамальгамои, на-
называется универсальным (или кодекартовым) квадратом.
Поскольку в любой категории терминальный объект
(когда он существует) с точностью до канонического изо-
изоморфизма определен единственным образом, то же самое
верно и для коамальгам.
Легко видеть, что в категории ТОР коамальгама суще-
ра рв
ствует для любой диаграммы А—> С«— В. Пространством
D для нее будет подмножество прямого произведения
Ах В, состоящее из таких точек (а, Ь)?АхВ, что рА(а)=
— РвФ), а отображениями qA: D—+A и qn\ D—+B —
ограничения естественных проекций АхВ —>¦ А и АхВ—*
—+В. Действительно, по построению Ра°Ча~Рв°Яв и Для
любого конуса (q'A: D' —* A, q'e' D' —* В) формула ф(х)==
= (Ч'а(х)> Ч'в(х))> x^D', определяет (очевидно, единствен-
единственное) отображение ф: D'—*D, для которого q'A = qA°y и
<7в = <7в°Ф- П
В случае, когда Ac.Cv.BcC, а отображения рА и рв явля-
являются вложениями, коамальгама D естественным образом отож-
отождествляется с пересечением А 0. В подпространств А и В.
С каждой задачей поднятия
мы свяжем коамальгаму диаграммы
Эту коамальгаму мы будем обозначать символом E[\fX,
а проекции ЕС\/ X—* X и Ef\fX—+ Е—символами pfu f#.
Таким образом, ЕП/Х является подпространством пря-
прямого произведения ЕхХ, состоящим из точек (е, х), для

КОАМАЛЬГАМЫ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ 53
которых p(e) = f(x), а отображения pt и /* действуют по
формулам (е, х)*-+х и (е, x)t-*e. Вместе с отображениями
/ и р эти отображения составляют универсальный квадрат
РЛ , 1Р
X -UB
Об отображении р/. ЕГ\/Х —*X говорят, что оно инду-
индуцировано отображением р: Е—*-В посредством отображе-
отображения /: Х—+В.
Естественно, что отображение pf обладает свойствами,
двойственными свойствам коиндуцированного отображе-
отображения if. Именно, отображение f: Х—+Е, накрывающее
отображение /: X—+В, существует тогда и только
тогда, когда индуцированное отображение pf. E О^Х—*
-+ X обладает сечением. Действительно, если для отобра-
отображения^/ существует сечение s: X —>• Е n t X, то компо-
композиция / = /#os будет, очевидно, удовлетворять соотноше-
соотношению pof — f. Обратно, если отображение / существует, то
пара (id: X—*X, f: X—*E) будет обратным конусом над
(/, р), и потому будет существовать морфизм s: X—+E[\fX
этого конуса в конус (pf, f#). В частности, будет иметь
место равенство pfos = id, так что морфизм s будет сече-
сечением отображения pf. jj
Таким образом, задача поднятия отображения f рав-
равносильна задаче о существовании сечения индуцированного
отображения pf. При этом в отношении применимости
метода алгебраической топологии мы ничего не теряем,
поскольку если отображение р: Е—+В было расслоением,
то для любого отображения f: X—*B индуцированное
отображение pf: E 0 f X также будет расслоением. Для
доказательства достаточно рассмотреть диаграмму
1
двойственную диаграмме E). D

54 КОЦИЛИНДР И АКСИОМА О НАКРЫВАЮЩЕМ ПУТИ
Отображения pf и f* обладают определенными свойст-
свойствами естественности (функториалыгасти). Например, если
/=»id, то пространство E()fX=*E П id В естественно ото-
отождествляется с Е, а отображения /* и р}—с отображе-
отображениями id и р соответственно. Аналогично, для любого
отображения g: Y—+X пространство (E()fX) 0gY есте-
естественным образом отождествляется с пространством Е П f.gY,
а отображения f* о g* и (рД,—с отображениями (f о g)#
и Pf.g соответственно. Таким образом, по модулю указан-
указанных отождествлений
(fog)*~f*og*t Pbt
Конечно, аналогичные функториальные тождества имеют
место и для отображений if и /#.
Замечание о терминологии. Конструкция про-
пространства ? П /X может рассматриваться как обобщение
конструкции прямого произведения. Поэтому в английском
языке это пространство (а также соответствующее расслое-
расслоение pf: E[\fX—*X) называется fibre product. Русская
калька «расслоенное произведение» является бесспорным
солецизмом, отнюдь не украшающим русскую математиче-
математическую терминологию. Встречающееся же подчас употребле-
употребление этого термина в общекатегорной ситуации уже совер-
совершенно бессмысленно и представляет собой явную порчу
языка.
Следует Также предостеречь от употребления несиммет-
несимметричного термина «индуцированное отображение» (индуци-
(индуцированный морфизм) вне рамок задачи поднятия и —ана-
—аналогичным образом—термина «коиндуцированный морфизм»
вне рамок задачи распространения.
Дуализируем теперь понятие цилиндра отображения.
Определение 3. Коцилиндром Cocyl (p) непрерывного
отображения р: Е—+В называется коамальгама В1ГЕ
диаграммы
По определению эта коамальгама является подпространст-
подпространством прямого произведения В{хЕ, состоящим из таких пар
(и, е), где ш (-+В, а е?Е; что гг-(О)=*/>(<?}.-Для--нее

КоЦЙЛЙНДР Й АКСИОМА О НАКРЫВАЮЩИМ ПУТИ 5$
имеет место универсальный квадрат
"Г
Cocyl (p)-+E
(9) | [
где /'»„(«» е)=*ы и at (и, е) = е. Кроме того, формула
определяет, очевидно, непрерывное отображение
?: ?' —> Cocyl (р).
Предложение 3. Отображение р: Е—>-В тогда
и только тогда является расслоением, когда для отобра-
отображения q: Е1—* Cocyl (p) существует сечение s: Cocyl(p)—*Er.
Доказательству этого предложения мы предпошлем
несколько замечаний, имеющих и самостоятельный интерес.
Задание диаграммы G) без пунктирной стрелки равно-
равносильно, очевидно, заданию коммутативной диаграммы
в которой та же буква F использована для обозначения!
отображения X —*¦ Вг, ассоциированного с гомотопией
F: Хх!—>-В. Коммутативность диаграммы A0) означает,
что пара (F, f) составляет обратный конус над парой
(м0, р). Соответствующий морфизм (F, /) —»- (р^, ю*) пред-
представляет собой отображение ср: X —»- Cocyl (p), действующее
по формуле x\-*{fx, Fx).
С другой стороны, имея диаграмму A0), мы можем
в коцилиндре Cocyl (f) с ХхЕ1 отображения f выделить
подпространство, состоящее из таких пар {х, v), x?X,
v. I—+E,J(x)=*v@), что F(x)=*pov.
Мы будем обозначать это подпространство символом
Cocyl (F, f) и будем называть его коцилиндром пары (F, /).
Нго проекцию (д:, v)\->x на пространство X мы будем
обозначать символом qx. Как показывает непосредственная

Г.6 коцилиндр и Аксиома о накрывающим пути
проверка, имеет место коммутативная диаграмма
Cocyl(F, /1 —Я'
"xl I"
X—>Cocyl(p)
ф
верхняя горизонтальная стрелка которой представляет собой
проекцию (х, и)»—>v.
При этом легко видеть, что для диаграммы A0) тогда
и только тогда существует накрывающая гомотопия
F: Хх/—>?, когда проекция qx:_Cocyl(F, f)—*X обла-
обладает сечением sx: X—* Cocyl (F, f). Действительно, фор-
формула
s* (*)-(*. Fx), x?X,
устанавливает биективное соответствие между сечениями $х
и гомотопиями F, интерпретированными как отображения
Х-+Е1. П
Теперь предложение 3 делается почти очевидным.
Доказательство предложения 3. Если сече-
сечение s: Cocyl (p)—*E' существует, то для любой диаграммы
A0) формула
(x, (so<p)(*))f x?X,
будет определять некоторое сечение sx: X—>-Cocyl(F, f)
отображения qx. Поэтому для диаграммы A0) будет суще-
существовать накрывающая гомотопия F: Xxl—*¦?. Следова-
Следовательно, отображение р: Е —+ В является расслоением.
Обратно, пусть отображение р: Е—+В является рас-
расслоением и, значит, для любой диаграммы A0) соответ-
соответствующее отображение qx обладает сечением sx. В частности,
это будет _так для диаграммы (9) при Х = Сосу\(р)
и F — pa,,, f = w*. Но ясно, что проекция
Cocyl (рШо, <at)~+E',
((в, и), v)t->v,
является гомеоморфизмом (ибо е = и@) и u=*pov) и при
этом гомеоморфизме сечениям Cocyl (/?)—-> Cocyl (рШо, со*)
проекции ((е, и), v)y-*(e, и) отвечают сечения Cocyl (р) —*Е1
отображения q: vt—>(v@), pov). П
Утверждение, что отображение s является сечением
отображения q, означает, что s(e, и) представляет собой

РАССЛОЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ 57
путь в Е, накрывающий данный путь и в В и начинаю-
начинающийся в данной точке е?Е, проектирующейся в начало
пути и. Факт существования такого пути составляет со-
содержание леммы 2. Новым является утверждение, что,
во-первых, этот выбор можно осуществить непрерывным
(по и и е) способом, а во-вторых, что возможность такого
выбора не только необходима, но и достаточна для того,
чтобы отображение р было расслоением.
Требование существования сечения s называется обычно
аксиомой о накрывающем пути (короче—аксиомой НП).
Для произвольного пространства У каждое непрерыв-
непрерывное отображение I: A—+X определяет по формуле
lr(f)-foi, f:X-+Y
некоторое отображение
iY: ТОР(Х, К) — TOP (A, Y).
Так как отображение i непрерывно, то для любого ком-
компактного множества К с А множество i/CcX также ком-
компактно. Поэтому в ТОР(Х, Y) для любого открытого
множества U с Y определено множество ff(iK, V), являю-
являющееся, очевидно, прообразом при отображении iY множества
W4K, V). Это показывает, что в компактно открытой
топологии отображение iY непрерывно, т. е. является
отображением iY: YX—*YA топологических пространств.
Если i: A—+X—вложение, то iY{f) является не чем
иным, как ограничением отображения f: X—+A на А.
Поэтому отображение iY мы будем в этом случае называть
отображением ограничения.
Предложение 4. Если пространство X локально
компактно''и хаусдорфово, его подпространство А замк-
замкнуто и пара (X, А) является парой Борсука, то для лю-
любого пространства Y отображение ограничения
является расслоением.
Доказательство. Надо показать, что для любой
диаграммы вида
A1)

58 РАССЛОЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ
существует замыкающее отображение F. Но поскольку
пространство X (и, конечно, в силу замкнутости, подпро-
подпространство А) локально компактно и хаусдорфово, к гори-
горизонтальным отображениям этой диаграммы применим экс-
экспоненциальный закон, т. е. эти отображения ассоциированы
с некоторыми отображениями g: ZxX—*Y и G: ZxA—*Yl
(мы разрешаем себе удобным для нас образом переставлять
в прямых произведениях множители), составляющими,
очевидно, диаграмму
/Г
У*' * > Y
Поскольку в условиях предложения 4 пара (ZxX, ZxA)
является парой Борсука (см. следствие 2 предложения 2),
для последней диаграммы существует замыкающее отобра-
отображение G. Ассоциированное с ним отображение Zxl—+ Yx
и будет, очевидно, отображением F, замыкающим диа-
диаграмму A1). D
Пример. При X — I и А «{1} множество А = (/ х 0) и
U A X /), представляющее собой объединение нижней и пра-
правой сторон квадрата Хх/«=/х/, очевидным образом
является ретрактом этого квадрата (ретрагирующим
отображением является, например, проек-
проектирование с центром в точке @, 2); см.
рис. 1). Поскольку в этом случае про-
пространство YA естественно отождествляется
с пространством Y и поскольку отображе-
отображение ограничения iY переходит при этом
в отображение о^: Y1 —> У, мы в, силу
предложения 4 получаем отсюда (обозначив
Y через X), что для каждого пространства
X отображение
«i-. Х'-+Х
Рис 1
¦ ' является расслоением.
Заметим теперь, что для любого расслоения р: Е—+В
и любого подпространства Ас В отображение

РАССЛОЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ 53
яслтпся расслоением, поскольку это отображение естест-
естественным образом отождествляется с расслоением рь инду-
индуцированным расслоением р посредством отображения вло-
вложения I: A-* В.
Чтобы применить это общее замечание к расслоению щ,
мы для любого подпространства АсХ введем в рассмотрение
подпространство X* (А) пространства X1, состоящее из всех
путей, кончающихся в А. Это подпространство в точности
совпадает с прообразом юг1 (А) подпространства А при
отображении toj. Обозначив ограничение отображения с^
на X1 (А) снова через <alt мы получим, следовательно, что
для любой пары (X, А) отображение
«,: Х1(А)-+А
является расслоением.
Последнее утверждение полезно обобщить. Для этого,
снова возвращаясь к ситуации, к которой относится пред-
предложение 4, предположим, что нам заданы произвольные
семейства {А^\ и {Y^} подпространств пространств Л и У
с индексами из одного и того же множества М. Пусть
[УА]м.—подпространство пространства YA, состоящее из
таких отображений /: A—+Y, что f(Av)c:YVt для любого
ц?М, a [Yx]u—его прообраз при отображении ограни-
ограничения iY (лежащий в пространстве У*). Обозначая огра-
ограничение отображения iY на [У-*]м снова через iY, мы
получим, следовательно, что в условиях пред-
предложения 4 для любых семейств {Лй} и {У„)
отображение
является расслоением.
Пример. Пусть Xs=I n Авт{0, 1}.
Легко видеть, что в этом случае условия
предложения 4 выполнены (доказательство рИс. 2.
того, что пара (/, {0, 1}) является парой
Борсука, т.е. что квадрат /х/ ретрагируется на три его
стороны /х0и{0, 1}х/=/х0и0х/и 1х/, иллюстри-
иллюстрируется на рис. 2). Считая, что множество индексов М
состоит только из одного элемента ц, и полагая А^в=,{0},
1'„*{^, где у0—некоторая точка пространства У, мы
можем, очевидно, отождествить пространство [Уд]и с ком-
компонентой пространства У, содержащей точку у0, а прост-
пространство [У*]м—с подпространством всех путей простран-
пространства У, начинающихся в точке у0. Заменяя снова У на X

60 РАССЛОЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ОТОБРАЖЕНИИ
(а «/„ на лг0), и обозначая символом Р(Х, х.о) множество
всех путей пространства X, начинающихся в точке хо?Х,
мы получаем, следовательно, что для любого связного про-
пространства X и любой его точки х0 отображение
о^: Р(Х, х9)—>-Х, о^: М(->мA),
является расслоением. При этом для каждой диаграммы
вида
накрывающая гомотопия F может быть определена формулой
T(x) (Д-.) > если 0< t ^s
—2), если ij-?</<l.
Это расслоение называется серровским расслоением
пространства путей.
Более общим образом мы можем рассмотреть прост-
пространство Р(Х, А), состоящее из путей, начинающихся
в АсХ, или его подпространство Р(Х, А, В), состоящее
из путей, кончающихся в ВсХ. В обоих случаях ото-
отображения
<ог: Р(Х, А)-+Х, cox: P(X, А, В)-*В
являются расслоениями.
Заметим в заключение, что условия предложения 4
не только достаточны, но и необходимы. Точнее, если
пространство X локально компактно и хаусдорфово, пара
(X, А) замкнута и для каждого пространства Y отобра-
отображение ограничения YX—+YA является расслоением, то
пара (X, А) будет парой Борсука. Однако на практике
этим фактом пользоваться не приходится, и мы его поэтому
доказывать не будем.

ДОПОЛНЕНИЕ
Аксиома о мягком распространении накрывающей гомо-
топии.— Мягкие отображения.— Две леммы о мягких
отображениях.—Лемма о покрытиях пространства XXI.—
Теорема Дольда.— Локально тривиальные расслоения.
По определению отображение р: Е —>¦ В является рас-
расслоением, если оно удовлетворяет аксиоме о накрывающей
гомотопии, которая выражается диаграммой
(I)
Пусть теперь АсХ, и пусть накрывающая гомотопия F
уже построена на AxIczXxI. Можно ли ее распростра-
распространить до накрывающей гомотопии на всем Xxlf
Вместе с данным отображением /: Х-+Е (рассматри-
паемым как отображение ХхО—*Е) данная гомотопия
Лх/—>? составляет некоторое отображение А—>-Е, где
Л = (ХхО) U (Ах I), которое мы по-прежнему обозначим
через / и которое замыкает коммутативную диаграмму
B)
где сг0—вложение. Наш вопрос сводится теперь к сле-
следующему вопросу: существует ли непрерывное отображение
/•': Xxl —>¦ Е, обозначенное на этой диаграмме пунктирной
стрелкой?
Конечно, здесь предполагается, что отображение
Г: Л —»- Е непрерывно (достаточным условием чего является
замкнутость подпространства А).
Удивительно, что требования, чтобы отображение
р: Е—>-В было расслоением, достаточно, чтобы при не
слишком ограничительных условиях на_пару (X, А) ответ
па вопрос о существовании гомотопии F оказался утвер-
утвердительным для любых J и F. Например, как мы покажем

62 АКСИОМА О МЯГКОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ
в следующей лекции, для этого достаточно, чтобы пара
(X, А) была замкнутой парой Борсука.
Сейчас же мы рассмотрим достаточные условия не-
сколько_иного плана, связывающие существование гомо-
топии F с возможностью распространения гомотопии
AY.I—+E хотя бы на некоторую окрестность подпрост-
подпространства А.
Подмножество U пространства X называется функцио-
функциональной окрестностью (или ободком) подмножества Л, если
Ac U и существует такая непрерывная функция <р: X—»- /,
что q>U = O, ф|х\у = 1. Каждая функциональная окрест-
окрестность является (не обязательно открытой) окрестностью
замыкания А множества Л, а если пространство X нор-
нормально, то в силу леммы Урысона (см. Дополнение к лек-
лекции 0) любая окрестность U множества А является функ-
функциональной окрестностью хМиожества А.
Подчеркнем, что мы не требуем того, чтобы функцио-
функциональная окрестность была открытым множеством. Поэтому
любое подмножество, содержащее функциональную окрест-
окрестность U множества А, также будет функциональной окрест-
окрестностью множества А.
Заметим, что для любой непрерывной функции ср: X—+I
и каждого to?l, ta=/=0, множество V**<p~l([0, ta]) с U
является функциональной окрестностью множества А =
= Ф @). (Действительно, функция
непрерывна и обладает тем свойством, что i|j=mO на А
и \р в 1 вне V.) Поскольку функциональная окрестность V
замкнута, отсюда, в частности, следует, Что любая функ-
функциональная окрестность U содержит замкнутую функ-
функциональную окрестность.
Если для подпространства А из диаграммы B) нам
задана некоторая его функциональная окрестность U, то
мы можем рассмотреть диаграмму
C)

АКСИОМА О МЯГКОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ 63
где А' =*(?/хО)и(Ах/),а f = Лл<.й-й!* и F'~F\Ux[..
Отображение F' из этой диаграммы является не чем иным,.
как накрывающей гомотопией, представляющей собой рас-
распространение Hat/ данной гомотопии Л ></-—>?.
Определение 1. Мы будем говорить, что отображение
р: Е—+В удовлетворяет аксиоме о мягком распростране-
распространении накрывающей _гомотопии (короче, аксиоме МРНГ),,
если отображение F существует для каждой диаграммы B),.
для которой можно найти такую функциональную окрест-
окрестность U подпространства Л, что для соответствующей;
диаграммы C) существует отображение F'.
Ясно, что функциональную окрестность U мы можем;
здесь всегда предполагать замкнутой.
Предложение I. Отображение р: Е—+В тогда
и только тогда удовлетворяет аксиоме о мягком распрост-
распространении накрывающей гомотопии, когда оно удовлетворяет
аксиоме о накрывающей гомотопии, т. е. является рас-
расслоением.
Доказательство. Поскольку при Л=*0 аксиома
МРНГ переходит в аксиому НГ (достаточно положить,
U — 0), в доказательстве нуждается лишь утверждение,,
что любое расслоение удовлетворяет аксиоме МРНГ. Иными,
словами, нам нужно показать, что для диаграммы B)
существует гомотопия F, если отображение р: Е—у В яв-
является расслоением и найдется такая замкнутая функ-
функциональная окрестность U подпространства А, что для
соответствующей диаграммы C) существует гомотопия F'.
Пусть <р: X—+I—такая непрерывная функция, что
Ф = 0 на А и ф=»1 вне U, и пусть
G(x, t)-F(x, min(l. 1— cp(x)-M)), (*, t)?XxI,
fjx), если <p(*)=l,
F'(x, 1-ф(х)), если x?U
(отображение g:X—+E определено корректно; оно непре-
непрерывно, поскольку множества U и Ф~1A) замкнуты). Авто-
Автоматическая проверка показывает, что диаграмма
s
X?/

64 МЯГКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
коммутативна. Поскольку отображение р: Е—+В является
по условию расслоением, для этой диаграммы существует
замыкающая гомотопия G: Хх/—<-?. Тогда формула
-в, п [ 7'(х, t), если x?U и 0<*<1 —<р(*),
{ ' )=а\ G(x, t—l+<p(x)), если 1—ф (*)</< 1,
будет корректно определять гомотопию F: Xxl—+E,
замыкающую диаграмму B). ?
Пусть А с U с X. Сечение s: А—>-Е отображения
g: E—*X над А называется продолжаемым на U, если
существует такое сечение s: U —+E отображения g над
U, что s |л = s.
По аналогии с аксиомой МРНГ мы будем говорить,
что отображение g: Е—*-Х удовлетворяет аксиоме о мяг-
мягком распространении сечений (короче, аксиоме МРС), если
для любого подпространства А с X каждое сечение s: A—*Е
отображения g над А, продолжаемое на некоторую функ-
функциональную окрестность U подпространства Л, продол-
продолжаемо на все X.
Отображения, удовлетворяющие аксиоме МРС, мы для
краткости будем называть мягкими отображениями.
Применив аксиому МРС к А — 0, мы получим, в част-
частности, что любое мягкое отображение обладает сечением.
В силу предложения 3 лекции 1 отсюда следует, что
если для отображения р: Е—*-В естественное отобра-
отображение
g: ?'-*Cocyl(/?), v^(pov, o@))
мягко, то отображение р: Е—*-В является расслоением.
Обратное утверждение также верно, т. е. для любого
расслоения р: Е —> В отображение ц: Е1—> Cocyl (/?) мягко.
Действительно, для любого подмножества Л с Cocyl (p)
имеет место коммутативная диаграмма
отображение F которой сопоставляет произвольной точке
((«, е), t) произведения ЛхЛ где t?f, u?B', е?Е и

ДЙЁ ЛЕММЫ О МЯГКИХ ОТОБРАкёнЙЯХ 65
а@)=»е, точку u{t)<zB. При этЬЙ затЛыкаю'щее отображе-
отображение F: А х / —•-.?,рассматриваемое в силу экспоненциаль-
экспоненциального закона,к!ак отображение .Л—> Е1, будет не чем иным,
как сечением отображения д над Л, Поэтому аксиома МРС
для отображения q является следствием аксиомы МРНГ
для отображения р. , , ., ..,.»
Это Объясняет наШ интерес к мягким отображениям.
Теория этих отображений была построена Дольдом. Мы
изложим сейчас его бсновйые результаты.
Лемма /.. Для любого мягкого отображения q: E—+X
и любого открытого множества U с X, дополнение к ко-
которому функционально выделяемо, отображение
также мягко.
Доказательство. Пусть A <z U, и пусть s—такое
сечение отображения qu над А, что, .существуют такая
непрерывная функция (р: U —>-./, такое открытое множе-
множество V с U и такое сечение si V —+Е-отображения ^ над
V, что ф«"( на Л, ф=«1 вне U и 7f^«=s. Нам нужно
доказать^ что существует такое сечение s* отображения qv
на всем U, что 8*|^=ш8. При этом без ограничения общно-
общности мы можей, очевидно, считать, что А = ц>~1@) и
По услбвию существует такая непрерывная функция
со: X-;-*¦/, что UmmX\m~1(\). ДляТ любого п>2 мы по-
положим
Ясно, что и„<=и„п, Uncz,U и Wnof/. Поэтому, в част-
частности,, для каждого п ^ 2 сечение s определено на Wп.
Оказывается, что при любом «>,2 существует такое
сечение sn: X--+E отображения q, что:
а) если х?Цп, то sn+i(x)*msn (x);
6
)fi$Wnh,T6,sn(x\=*s(x). .. , г.,ч,
Действительно; непосредственная проверка показывает,
что формул^
С min(l, max'@, 1—6A—ф(х))A-ус
если x^V, т. е. б<оэ(х)<С I,
1, если л;^(/, т. е. ©(л)»«1,
М. М. Посткиков

66
ДВЕ ЛЕММЫ О МЯГКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
определяет такую непрерывную функцию ty: X—+I, что
X\i|T*(l)-t/\<p-»(l)-V и Wtсф-^О). Следовательно,
открытое (не только в U, но и в X) множество V является
в X функциональной'окрестностью множества Wt. Поэтому
ввиду мягкости отображения q существует его сечение s,,
совпадающее на W2 с сечением s. Тем самым существо-
существование сечения sn при п=«2 полностью доказано (при л «2
условие а) бессодержательно).
Рассуждая по индукции, предположим теперь, что для
некоторого л ^ 2 сечение sn, удовлетворяющее условиям
а) и б), уже построено. Легко видеть, что существуют
такие числовые функции ап, р„: /—»¦/, что
для всех
если t
если t
Например, можно положить
( п+1.
«-(О-
я+2
«+3— 2
rt+2
я—1
Р. (О-
tt+
rt+3
я»+5я+2— 2
при
при
при —
при
при
rt+1
1,
rt+1
При 1:
Пусть Тп—подмножество множества U, состоящее из
точек х?Х, для которых <о (х) < Р„ (ф (х)). По условию,
если ф (х) ^ —, то Р„ (ф (х)) < ^-j, и потому, если, кро-
кроме того, х?Т„, то
, т. е.
f Это
доказывает, что Tn<=Un+i[jVn. Поскольку же Un+i0
~" —Wn и sn*us на Wn, отсюда следует, что" формула
\ sn(x), если х€?/„+ъ т. е. оо(л;)< —,
I s(x), если x?Vn, т. е. ф(#)< —,

две леммы о мягки* отображения* б"?
корректно определяет на Тп некоторое сечение tn: Tn—* H
отображения q.
С другой стороны, формула
С 0, если со (х) ^ а„ (ф (х)),
A»^ *<\ если ап (Ф (*));<<о (*) < f,n (q> (.v)),
1, если Р„(ф (*))<»(*)
или со(л;)=«1 (т. е. #(??/),
определяет такую непрерывную функцию ф„: X—+I, что
<р„ = 1 вне Т„ и Ф„ = 0 на множестве Х„ всех точек x?U,
для которых со (х) < а„(ф(#)). Следовательно, Т„ является
функциональной окрестностью множества Хп в X, а так
как сечение ?„ определено на Тп, то в силу мягкости
отображения q существует его сечение sn+1: X—+E, сов-
совпадающее на Х„ с сечением ^„.
Если #??/„, т. е. со(л;)<^-, то со(*)<ап(ф(дг)) и,
значит, дгб^п- Так как, кроме того, x^Un+i, то, следо-
следовательно, sn+1 (х) =* ^„ (я) = sn (х). Аналогично, если х ? Wn+i
и, значит, ф (х) < ^-j, со (x)< ^ф^ • то @ (х) < ап (ф (х))>
т. е. х?Х„. Так как, кроме того, x?Vn, то, следова-
следовательно, 8п+1(л)-^(л:) = Г(л:).
Тем самым существование сечений sn доказано для
вгех п~^ 2.
Ясно, что
и и„=и.
/„
Поэтому в силу условия а) формула
$•(*) — *„(*), если дг€?/я,
корректно определяет на U некоторое сечение s*: U—>-Е
отображения q (или, что равносильно, отображения qv).
Кроме того, так как ЛсУ„для любого п^2, то для каж-
каждой точки х € Л существует такое п, что л; ? 0„, и поэтому
s* (х) = sn (дг) — 1{х) = s (дг), х?А.
Следовательно, s'l^ess. fj
В силу леммы 1, если отображение q: Е—*Х мягко,
то для любого открытого покрытия {Ua\ пространства X
псе отображения qnmmqUa: ^~1(t/ee)—•• Ua также мягки.
з*

68 ДВЕ ЛЕММЫ О МЯГКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
Оказывается, что при весьма слабых общетополохических
условиях на покрытие {(/„} верно и обратное, т. е. «ото-
«отображение q мягко, если все отображения qa мягки.
Пусть X—произвольное топологическое пространство.
Семейство \ц>л\ непрерывных функций^: X—+I на-
называется локально конечным, если для любой точки х ? X
существует ее окрестность UczX, в которой только конеч-
конечное число функций фа отлично от нуля. Локально конеч-
конечное семейство \ц>а\ функций называется разбиением еди-
единицы, если для любой точки х?Х имеет место равенство
(в силу условия локальной конечности эта сумма имеет
смысл). Разбиение единицы {фа} называется подчиненным
открытому покрытию \Ua\ (с тем же множеством индек-
индексов), если ф<х = 0 вне Ua для любого ос. (Заметим, что
в литературе встречается другое, более ограничительное
определение, в котором требуется, чтобы в Ua содержа-
содержалось не только множество, ,где Фа#0, но и его замыка-
замыкание.) Открытое покрытие {Ра} называется нумерируемым,
"если существует подчиненное ему разбиение единицы \ц>а\.
Замечание 1. Легко видеть, что хаусдорфово про-
пространство тогда и только тогда паракомпактно, когда каж-
каждое его открытое покрытие нумерируемо. .Поэтому условие
нумерируемости покрытий является одним из вариантов
условия паракомпактности.
Очевидно, что для любого непрерывного отображения
/: У—>Х и любого открытого покрытия \Ua\ простран-
пространства X множества f~x{Ua) составляют открытое покрытие
пространства У. При этом, если покрытие \Ua\ было ну-
нумерируемо, то покрытие -}/ (Ua)} также будет нумери-
нумерируемым. Действительно, ясно, что для разбиения единицы
{фа}, подчиненного покрытию \Ua\, функции фио/: Y —+1
будут составлять разбиение единицы, подчиненное покры-
покрытию \ri(ua)}. a " '
Покрытие \f~l(Ua)} мы будем называть прообразом
покрытия \Ua} при отображении /.
Лемма 2. Если для ' отображения q: E —+ X сущест-
существует такое нумерируемое покрытие {Ua\ пространства X,
что все отображения
мягки, то отображение qi E—+X также мягко.

ДВЕ ЛЕММЫ О МЯГКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 69
Доказательство. Пусть А а. X и «0: А—+Е—такое
сечение отображения ц над А, ято существует такая не-
непрерывная функция <р: X —>-/, такое открытое множество
Vz>A и такое сечение s0: V—> ? отображения q «ад V,
что ф = 0 на А, ф«=1 вне V и s"oU = so-
Рассмотрим произвольное разбиение единицы {<ра, а? А},
подчиненное покрытию {{/«}. Предполагая, что символ О
не содержится в множестве индексов А, мы положим
Ясно, что семейство {%}, где E,6 А и {0}, является раз-
разбиением единицы. В силу локальной конечности семейства
|т|зр} для любого подмножества BcA(J|0} определена де-
ирерывная функция
06 В
принимающая значения в /. Пусть
Ясно, что AcVB, если 0?В, и А[)Ув<ж0, если 0$В.
Кроме того, АсУ{0)аУ.
Рассмотрим теперь множество 5 всех .пар вида (В, s),
где В—произвольное додмножество из Аи{0}., содержа-
содержащее элемент 0, a s—такое сечение над Ув» что s\Aaas0.
Поскольку ({0}, si|-v#0J-€S, множество 5 не пусто.
Введем в множество S частн-чное упорядочение, считая,
что (В, s)<;(B\ s'), (если ВсВ' (и, значит, VBc:Vs') и
s'(х) ш* s (х)\ если фв'(^)*"фв(^) (т. е. -фр (х) — 0 для лю-
любого 0?В'\В).
Пусть К—.произвольная дець в S. Положиэ
г- и в,
(В. «>ек
мы для любого открытого множества WczVr обозначим
через Tw подмножество множества Г, состоящее из всех
индексов Р € Г, для которых функция -фэ отлична от луля
хотя бы в одной точке из W. Пусть \w}—семейство всех
открытых множеств WcVr, для которых множество Гг
конечно. В силу локальной конечности разбиения едини-
единицы \ipp\ семейство \W\ покрывает множество Vr-
Для каждого множества W?{W\ мы рассмотрим под-
подмножество /Сг цепи К, состоящее из таких пар (В, s), что

70 ДВЕ ЛЕММЫ О МЯГКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
Г™,сВ. В силу конечности множества Г^, для любой пары
(В, s)?K существует такая пара (В', s')?Kw, что (В, s)^
<(В\ в').
Если (В, s)?Kw, то W<=VB, а если (В, s), (В', s')€Kw,
то s-as' на W. Поэтому формула
где s—произвольное сечение отображения </, для которого
существует такое множество индексов ВсГ и такое откры-
открытое множество W ? {W}, содержащее точку х, что (В, s) ? Kw,
корректно определяет на Vr сечение t: Vv—>¦¦? отображе-
отображения q, обладающее, очевидно, тем свойством, что (Г, t)?S.
Если (В, s)?K, то по построению ВсГ. Пусть х —
такая точка из Vb, что t|?v (x) =¦ 0 для всех у € Г\В. Выбрав
произвольную окрестность W точки х, принадлежащую
семейству \W\, рассмотрим в Kw произвольный элемент
(В', s')^(B, s). Так как ib(x)=»0 при у€В'\В, то
s (х) = s' (х). Но по построению s (л;)«t (x). Следовательно,
Этим доказано, что (В, s) ^ (Г, t) для любого элемента
(В, s)?K, т. е. что элемент (Г, /) является верхней гранью
цепи К.
Таким образом, в частично упорядоченном множестве 5
любая цепь обладает верхней гранью. Поэтому в силу
леммы Цорна множество S обладает максимальным эле-
элементом (В, s).
Пусть B4fcAu{0}, и пусть ос?А\В. Формула
определяет на множестве 1/а"=Я\'фа1@) непрерывную
функцию ip: Va.—+I, обладающую, очевидно, тем свойством,
что Уа\1|зA)с:1/в. В частности, мы видим, что на мно-
множестве iVvl3"^) определено сечение s. Поскольку же
это множество является, по определению, функциональной
окрестностью множества 1|;@), мы получаем, таким обра-
образом, что сечение s |^,—»@) отображения qva : q~l (Va) -¦>¦ Va\
\г|зA) удовлетворяет условиям аксиомы МРС. Но ясно,
что Vac:Ua, и потому qva*=<Ha\q-i{vay Так как отобра-
отображение qa по условию мягко, то, следовательно, согласно
лемме 1, отображение qva также мягко. Поэтому для се-
сечения s(ф-i(о) существует такое сечение s': Va--+E ото-
отображения qVa над Va, что s' **s на iir1 @).

ЛЕММА О ПОКРЫТИЯХ1 ПРОСТРАНСТВА XXI 71
Пусть теперь Г»Ви{ос}. Положив для любой точки
Нх)я"\ s''(x), если фв(лг)>Ы*),
мы, очевидно, получим такое сечение t: Vv—+E отобра-
отображения q над Vr, что (Г, t)?S и (В, я) < (Г, /). Поскольку
это противоречит максимальности элемента A3, s), тем са-
самым доказано, что В = А и {О} и, следовательно, что Vb "¦ Х-
Таким образом, сечение s определено на всем X и сов-
совпадает на Л с сечением s0. Следовательно, отображение q
МЯГКО. Q
Чтобы применить полученные результаты к расслое-
расслоениям, нам понадобится следующая техническая лемма,
полезная и в других вопросах.
Лемма 3. Для каждого нумерируемого накрытия
\Ua, а ? А} пространства Xxl можно найти нумери-
руемое покрытие {Vp, |3 ? В} пространства X, обладающее
тем свойством, что для любого р ? В существует такое
положительное число ер > 0, что для любого отрезка Jal
длины ^8Р найдется такое ос?А, что V^xJczUa.
Докажем предварительно следующую классическую
лемму.
Лемма Лебега. Для произвольного покрытия {Ua\
компактного метрического пространства X существует
такое положительное число е > 0, что любое подмноже-
подмножество КсХ диаметра, меньшего чем г, содержится в не-
некотором элементе покрытия {Ua}.
Доказательство. Если такого числа с не суще-
существует, то для любого п > 0 в X найдется подмножество
Кп диаметра, меньшего чем 1/п, не содержащееся ни в одном
элементе покрытия {Ua\. Пусть хп(-Кп- Поскольку про-
пространство X по условию компактно, существует точка
г0 ? X, любая окрестность которой содержит бесконечно
много точек хп. Пусть хо^иа„, и пусть d—расстояние
от х0 до Х\иа,. Если п > 2/d и р(дг0, xn)<d/2, то для
любой точки х?Кп имеет место неравенство
показывающее, что, вопреки предположению, Кпсиа„.
Полученное противоречие доказывает лемму, q

72 ЛЕММА О ПОКРЫТИЯХ ПРОСТРАНСТВА XXI
Верхняя грань чисел в называется послом Л'еЬега
покрытия \Ua\.
Теперь мы уже можем доказать лемму 3.
Доказательство леммы 3. По условию сущест-
существует разбиение единицы {фа}, подчийённое покрытию Ша},
т. е. такое, что Х\ф„1 @) с Ua для любого а ? А. Чтобы
не вводить новых букв*, мы предположим, что Х\ф^1@) = Ua.
Ясно, что это Предположение общности1 не ограничивает.
Пусть В—множество всех конечных последователь-
последовательностей Элементов множества А. Таким образом, каждый
элемент Р?В имеет вид (cd1( ...,ar), где г>0. Длину г
последовательности р мы обЬзначим символом |Р|.
Каждому элементу р*»^, ..., осг)?В мы сопоставим
непрерывную функцию %: Х—*1, определенную формулой
min *Р <*( (*> *& где 7'га 7+Т ' 7ТТ ¦
Пусть t^piiXX^p1 @). Ясйо, что x^Vfi тогда' й только
тогда', когда фа.ф0 на1 (i}x/, для каждого г = Г, ..., г.
В частности, мы видим, что Vpx/;cf/a/, t=*l,...,r.
Поскольку любой сгрёзок / с / длины меньшей чем
—J-J содержится в одном из отрезков /,-, / == J, ..., г,
отсюда след'уёт, чЧ-О при еэетпгпгп семейство {Vpj- обла-
обладает свойством, утверждаемым леммой 3. Поэтому для
доказательства леммы 3 нам нужно только показать, что
семейство {V$\ является нумерируемым покрытием прост-
пространства X.
По определению топологии прямого произведения каж-
каждая точка (*, t)?Xxf обладает «прямоугольной» окрест-
окрестностью Ux;*xVx t> содержащейся в некотором элементе
покрытие \иа\. Йдёсь U'Xt t—некоторая окрестность точки
х?Х в X; aVXi t—некоторая окрестность точки t?l в /.
Для любой точки х?Х все окрестности вида V^ t соста(й-
ляют открытое покрытие отрезка /. Пусть г—такое целое
число, что длина ~~ соответствующих отрезков 1{,
i'al, ..., г, не превосходит числа Лебега этого покрытия.
Тогда каждое множество вида {x}xlt,i=l,...,r, будет со-
содержаться в некоторой окрестности и х t x VXt u а потому и
в некотором элементе Uaw, покрытия \иа\. Следовательно,

ЛЕММА О ПОКРЫТИЯХ ПРОСТРАНСТВА Xxl 73
на {х\х/(, и, значит, x^V^ou где р@)=
-= К" а<г0)). Этим доказано, что семейство {Vp,
X
является покрытием пространства X.
Чтобы не вводить новых обозначений, мы можем счи-
считать, что окрестности Ux>txVXtt обладают также и тем
свойством, что каждая из них пересекается лишь с ко-
конечным числом элементов покрытия \Ua), Тогда, выбрав
для каждой точки х?Х из покрытия \VX< t\ отрезка /
(являющегося компактным пространством) конечное под-
подпокрытие {Vx, t Vx, tn) и положив
мы получим такую окрестность V точки х в простран-
пространстве X, что Ua n (U х /) ф 0 только для конечного числа
индексов а?А. Следовательно, в последовательностях
Р€В, для которых U (}У$Ф 0, может участвовать лишь
конечное число различных индексов а^А и, значит, для
любого г > О таких последовательностей с | р | < г будет
лишь конечное число. Поэтому формула
будет определять на X некоторую непрерывную неотри-
неотрицательную функцию%г: X —<¦ R (при г=1 мы, по опреде-
определению, считаем, Xt=a0).
Пусть
х) = max @, % (х)—гК (х)), где г _ | р |, р е В.
Я сно,г что % (л;) ¦¦ 0, если % (х) => 0. Поэтому последова-
последовательностей р jz В с | Р | < г, для которых % =^= 0 на U,
также существует липгь конечное число.
Выбрав теперь для точки х ? X последовательность
Ро € В с л; € Vp,, длина | ро | -= г0 которой имеет наимень-
наименьшее возможное значение, рассмотрим произвольное число
г > г0, для которого %„ (*)> — . Тогда гХг (х) > 1, и
поэтому гЯ,г > 1 в некоторой окрестности точки х (кото-
(которую мы можем считать совпадающей с окрестностью U,
построенной выше). Следовательно, для любого |3 с IPI^r
в окрестности U будет иметь место равенство ^«0.
Поэтому % Ф 0 на 0 только для конечного числа после-
последовательностей Р € В. Тем самым доказано, что семейство

74 ЛЕММА О ПОКРЫТИЯХ ПРОСТРЛНСТПЛ Ху,1
{¦фр} локально конечно, и потому формула
*(*)- 2 ty(x), х?Х,
рев
корректно определяет на X некоторую непрерывную функ-
функцию ijj: X—>-К.
Так как по условию длина г0 в» | р01 последователь-
последовательности ро, для которой х ? Vp0, т. е. i(>p0 (я) ^ 0, имеет
наименьшее возможное значение, то % (*)"¦() при | |3 | < г0,
и, значит, А,Го (*)«0. Поэтому ^„(^"«г^Д^тбО и, следо-
следовательно, ty(x) фО.
Этим доказано, что функции 1|зрЛ|э определены всюду
на X. Поскольку они, очевидно, составляют разбиение
единицы, подчиненное покрытию \Уц\, лемма 3 тем самым
полностью доказана. ?
Следствие 1. Для каждого нумерируемого покрытия
Wa, a€A} пространства В можно найти нумерируемое
покрытие \V$, P€B} пространства В!, обладающее тем
свойством, что для любого E ? В существует такое поло-
положительное число ер > 0, что для произвольного отрезка
J с / длины <!ер найдется такое а=а(р, У)^А, что
и (У) с ил для каждого пути и ? Ур.
Доказательство. Достаточно применить лемму 3
к нумерируемому покрытию пространства B'xl, являю-
являющемуся прообразом покрытия \0а} при отображении
вычисления
со: В!х1-+Х, (и, t)i-+u(t). П
Используя введенные в Дополнении к лекции 0 обо-
обозначения для базисных множеств компактно открытой
топологии, мы можем утверждаемое в этом следствии
свойство множеств Vp записать в виде формулы
где пересечение берется по всем отрезкам Ус/ длины Ор
Пусть теперь щ—такое целое число, что лрер > 1,
и пусть /э> ,—отрезок Г^ , -J-1, где f—1,2 «р.
1 р Р J
Тогда Vp с Гр, где

ЛЕММА О ПОКРЫТИЯХ ПРОСТРАНСТВА XX/ 75
Множества Wp открыты в пространстве В1 и составляют
нумерируемое покрытие этого пространства (разбиение
единицы, подчиненное покрытию {Vp|, будет, очевидно,
подчинено и покрытию {W^}). Обозначив их снова через
Vp, мы получим
Следствие 2. Для каждого нумеруемого покрытия
{Ua, a?A} пространства В можно найти нумерируемое
покрытие {Ур, Р?В} пространства Вг, обладающее тем
свойством, что для любого индекса Р из В существуют
такие индексы о^—еаЛР), ...,а„ =«ав (Р) из А, что и ig V*
тогда и только тогда, когда и (/р, <) с Uai (р> для каждого
*~1 «р. П
Здесь удобно ввести в рассмотрение части путей n ? Vp
на отрезках /р> „ т. е. пути и(, 1**1, ..., пр, определяе-
определяемые (с учетом необходимого преобразования параметра)
формулой
Ввиду включения и GР; ;) с i/a-vpi мы можем путь «J
рассматривать как путь в ?/Я/(р). Следовательно, сопоста-
сопоставив пути и? Vp последовательность (%, ..., м„ ) путей мл
мы получим (как легко видеть гомеоморфное) отобра-
отображение множества Fp на подмножество произведения
^ ^ (р1)» состоящее из таких последователь-
ностей (М(, ..., и ), u.^UL (p), чтом,@) — м,_4A) для лю-
бого f > 1. В дальнейшем, чтобы не вводить лишних обо-
обозначений, мы будем отождествлять пути и?Уэ с соответ-
соответствующими последовательностями (и^,..., и„ ).
р
Рассмотрим теперь произвольное отображениер: Е—+В,
его коцилиндр'Сосу! (р) с ?хЯ' и отображение q: El —+
-»-Сосу1(р), «i—>(w@), рои). По-прежнему предполагая
заданным нумерируемое покрытие {Ua,a^A} простран-
пространства В, обозначим через W& прообразы прн естественной
проекции рш„: СосуГ(р) —> В1, (и, е) i—> и, предусмотренных
следствием 2 леммы 3 множеств Vp. Согласно описанным
выше""отождествлениям'точками','каждого множества W$
мы можем считать наборы вида (е, Mt, ...,и„ ), где и(,
t=«I, ..., пр,—такие пути в ?/а,(р), что и/^—м,.,A)
при f> 1, а е—такая точка из Е (а на самом деле—из

76 ТЕОРЕМА ДОЛЬДА
p~l (Ua,;(й)), что 1^@) «^(е). Являясь !П»ообра'зом нумери1-
руемогб покрытий при непрерывном- отображеяии',1 семей-
семейство \W$, P€B} представляет собой нумерируеное покры-
покрытие пространства Cocyl(p)'.
Для каждого р ? В мы введем в рассмотрение отобра-
отображение
Здесь пути v ? <7~1 (W&) <= Е" также удобно разбить на
части,' т. е. каждый такой путь отождествить с последо-
последовательностью (ylt ..., vn ) путей
o,(t)mmv(t+i~l)
Ч nts I
rltifc'fc'oVifeky, как легко виДетЧ», «/Ч^РГЧрУ
р»: Er—fB/—отображение' и^+рьй, последовательность
(у^, ..., vn ) путей в Е тогда и только тогда отвёчйе?
пути v€q-l(W$, когда оДО)—ю,-_1A) при /> 1 и каж-
каждый путь V;, 1=яш1, ...,«р, является путем в Р (i/a,(p)).
Отображение fa будет при этом определяться формулой
#е(^, .... vn(t)«.(^@), pox]lt ..., ро й„р).
Соответственно этому каждое сечение s: Wp —»¦ g1 (p)
отображения q$ мы можем отождествить с последова-
последовательностью (st, ..., sn) непрерывных отображений
s,: Wp—*E', обладающих следующими свойствами:
а) для любой точки (e,u)^W^ путь vt=msl(e,a) яв-
является Путем В р'1 (Ua,(fD)',
в) если m-*(Mj|j ..., ил V то paVi^Uj для кажд^ого
в) »1(.0)«в и »,-@)e»(J1 A) при t> 1.
Вттрочем,- отображения s{ удобнее интерпретировать
как гомотопии W^y.! —аЕ, или, точнее,— в силу усло-
условия а)—как гомотопии №р X/—>¦/Г1 (?/<»,), где а,— а{ ф).
Пртг этом условия б) и в) будут равносильны коммута-
коммутативности диаграмм
D)

ТЕОРЕМА ДОЛЬДА 77
где гомотопия у{: WgX l-*+ Ua.. определена формулой
е, и), t) — м,@» если « —(«! мПр),
а р; представляет собой отображение p^f. pr~1(Ua^-*Uial,
индуцированное отображением р. (Под отображением
s,_1oa1 при »шж1 здесь, естественно,, подразумевается
проекция со*: (е, и)*—>е.)
Лемма 4. Если все отображения ph i =¦ 1, ..., %,
удовлетворяют аксиоме МРНГ, то отображение qg мягко.
Доказательство. Пусть AczUcWp, причем
множество U является функциональной окрестностью
множества А (в JFP), и пусть s: и —+ q'1 (W$)—произ-
(W$)—произвольное сечение отображения <7р над U, т. е. последова-
последовательность гомотопий st: U у. I—+p'1 (Uа.}), для которых
коммутативнвг диаграммы
и
Мы должны доказать, что существует сечение s отобра-
отображения % над всем множеством W&, совпадающее на А
с сечением я, т. е. что существуют гомотопий s,: Wp x /—¦
~*-P~l(Uat), f=»l. ••-. «р. для которых диаграммы D)
коммутативны и которые на Ах.1 совпадают с гомото-
гомотопными st. ¦
Пусть ф—такая непрерывная функция, что ф«0 на
Л Иф-1 вне U, и пусть
Тогда
А с С/„ с ... с i/,+i с U, с ... <zU1clU,
причем каждое множество (//, I < tip, будет функциональ-
функциональной окрестностью множества Ul+i, а множество U—функ-
U—функциональной окрестностью множества Up
Мы будем строить гомотопий s, индукцией по 1% для
проведения которой дополннтельно потребуем, чтобы для

78 ТЕОРЕМА ДОЛЬДА
каждого !el, ..., tif имело место равенство
s/| u,x /eSi | Vix i',
иными словами, каждую диаграмму D) мы заменим диа-
диаграммой
E) а} «/ ft f-1 ПЪ,
где t/,- = (WpX0)u(i/; х/), a i|),—отображение, опредет
ленное формулой
ч „ f s,_x((e, u), /), если.. /_0,
u)t) <
(при г =« 1 вместо s/_1((e, ц), <) надо писать в).
Но диаграмма E) имеет вид диаграммы B) с X=*WP,
AaaiU;, f=»i|)/, F=*fp; и p=spj. Так как в соответствую-
щей диаграмме C) (с U = 11 ,_t при i > 1) замыкающее
отображение /•" очевидным образом существует (им будет
ограничение на (/(_t x / гомотопии s,), то в силу акси-
аксиомы МРНГ гомотопия Si в диаграмме E) также сущест-
существует. Тем самым гомотопии s, шаг за шагом построены
для всех 1 = 1, ...,яр. D
Теперь мы можем доказать основную теорему Дольда.
Теорема 1. Если для отображения р: Е—+В сущест-
существует такое нумерцруемое покрытие \Ua\ пространства В,
что каждое отображение .... = . :¦
является расслоением, то отображение р: Е—-В также
будет расслоением.
Доказательство. Согласно предложению 2 рас-
расслоения ра удовлетворяют аксиоме МРНГ, и потому,
согласно лемме 4, все отображения q$4. q^iW^)—> W$
мягки, где, напомним, W^ — подмножество пространства
Cocyl (p), являющееся прообразом1'при проекции (и, ё)у—>и
Подмножества У^ с В' из следствия. 2 леммы 3. Но, как
уже было замечено выше,' семейство ё

ЛОКАЛЬНО ТРИВИАЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 79
рнруемым покрытием пространства Сосу1(/>). Поэтому,
согласно лемме 2, отображение q: Е' —* Cocyl (p) мягко,
и, значит, отображение р является расслоением. ?
Важное применение теорема Дольда находит к так
называемым локально тривиальным расслоениям.
Если в диаграмме
В
пространство Е является произведением ВхУ прост-
пространства В на некоторое пространство У (и, значит, отобра-
отображение J: Х—*Е задается формулой 7"(*)в(М*)» М*))>
где ft: Х—+В, ft\ X—+Y), ар: Е—+В представляет
собой проекцию (b, y)y-*b, b?B, у?У> то гомотопия F
очевидным образом существует (и задается формулой
F(x, t)*=*(F(x, t), /g(#))). Следовательно, для любых про-
пространств В и У проекция В х Y —»¦ В является расслоением.
Два отображения р: Е—+В и р'\ Е' —+В мы назовем
изоморфными, если существует такой гомеоморфизм
Е—+Е', что диаграмма
коммутативна. Ясно, что отображение, изоморфное рас-
расслоению, само будет расслоением. Поэтому, в частности,
расслоением будет каждое отображение р: Е—*В изо-
изоморфное проекции ВхУ—-В прямого произведения.
Такие расслоения называются тривиальными расслоениями.
Соответственно этому отображение р: Е—*-В назы-
называется локально тривиальным расслоением., если сущест-
существует такое открытое покрытие {Ua\ пространства В, что
все отображения ра: р'1 (Ua) —> 1)а являются тривиаль-
тривиальными расслоениями.

80 ЛОКАЛЬНО ТРИВИАЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Эта терминология наводит свое оправдание в том,
что, как непосредственно вытекает из теоремы 1, если
пространство В паракомгюктно, то каждое локально
тривиальное расслоение на самом деле является расслоением.
Замечание 2. Дольд предпочитает вариант опреде-
определения, в котором покрытие {Va\ предполагается нумери-
руемым. Тогда оговорка о паракомпактности простран-
пространства В становится ненужной.
Замечание 3. Следует иметь в виду, что в мате-
математике термин «расслоение» используется во многих раз-
различных смыслах, иногда почти не кореллнрующих друг
с другом. Поэтому, собственно говоря, всегда необходимо
уточнение, какой смысл этого термина имеется в виду.
В этих лекциях под «расслоением», если явно не огово-
оговорено противное, всегда будет пониматься расслоение
в смысле определения 3 лекции 1 (т. е. в смысле Гуревича).
Замечание 4. Одним из наиболее важных классов
расслоений являются так называемые расслоения в смысле
Стинрова, называемые также расслоениями со структур-
структурной группой или косыми произведениями (по-англнйски
fibre bundle). К их числу принадлежат известные из диф-
дифференциальной геометрии векторные расслоения н много-
многочисленные расслоения, строящиеся с их помощью (скажем,
расслоения на сферы). Все расслоения в смысле Стинрода,
по определению, локально тривиальны и потому (если
их база В паракомпактна) являются расслоениями в смысле
Гуревича.
Все это Дает нам неисчерпаемый запас примеров кон-
конкретных расслоений.

ЛЕКЦИЯ 2
Гомотопические эквивалентности.—Редукция произволь-
произвольного отображения к корасслоению,—Деформационное
ретракты.— Стягиваемые пространства и конусы.—От-
конусы.—Относительные гомотопии и строгие деформационные
ретракты.— Гомотбпическая инвариантность операции
приклеивания.—Окрестностные деформационные ретрак-
ретракты и пары Борсука.— Строгие деформационные ретракты
и гомотопические эквивалентности.— Еще две аксиомы,
характеризующие расслоения (аксиома о распростране-
распространении накрывающего отображения и аксиома о распрост-
распространении накрывающей гомотолни).— Прообраз пары
Борсука.—Редукция произвольного отображения к рас-
расслоению.
Определение 1. Непрерывное отображение f: X—*Y
называется гомотопической эквивалентностью, если (его
гомотопический класс [Л является изомррфизмрм гомото-
гомотопической категории [ТОР]. Это равносильно тому, что
существует такое непрерывное отображение g: Y—>-Х
(называемое обратной гомотопической эквивалентностью),
что
A) f°g~i&y и gof~[&x.
Поскольку [g] есть не что иное, как Щ~1, и поскольку
в любой категории морфизм, обратный изоморфизму, опре-
определен единственным образом, обратная гомотопическая
эквивалентность с точностью до гомотопии определена един-
единственным образом:
Пространства, изоморфные в категории [ТОР], т. е.
связанные гомотопической эквивалентностью, называются
гомотопически эквивалентными. О гомотопически экви-
эквивалентных пространствах говорят также, что они имеют
один и тот же гомотопический тип.
Аналогично, два непрерывных отображения f: X—+Y
и /': Х'-»У называются гомотопически эквивалентными,
если они изоморфны в категории морфизмов категории
[ТОР], т. е. если существуют такие гомотопические экви-
эквивалентности q>: X—*Х' и i|;: Y—+Y', что диаграмма
X Л К
х'Ду

82 РЕДУКЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ К КОРАССЛОЕНИЮ
гомотопически коммутативна (коммутативна в категории
[ТОР]), т. е. обладает тем свойством, что т|з о / ~ /' о ф.
Замечательный факт, оправдывающий с новой{и неожи-
неожиданной стороны наш интерес к расслоениям и корасслое-
корасслоениям, указывается в следующей теореме.
Теорема /. Любое непрерывное отображение гомото-
гомотопически эквивалентно как расслоению, так и корасслоению.
Таким образом, в теории гомотопий мы без потери
общности можем все отображения считать при желании
расслоениями или корасслоениями!
Доказательство теоремы 1 основывается на введенных
в лекции 1 понятиях цилиндра и коцилиндра {отображе-
{отображения. Впрочем, по чисто техническим причинам (а если
правду сказать, то в основном по традиции) здесь удобны
«обращенные» цилиндры н коцилиндры, получающиеся
при замене t на 1—t. Кроме того, нам будет здесь удобно
обозначать отображение, для которого строится цилиндр
и коцилиндр, символом /: X—+Y, что освободит буквы i
и р для других целей.
Таким образом, обращенным цилиндром отображения
f: X—+Y называется амальгама {Xх/) U г У диаграммы
Xxl-^-X—+Y, получающаяся приклеиванием прямого
произведения Xxl к пространству У посредством отобра-
отображения (х, l)>-»7(*)» т.е. факторпространство дизъюнкт-
дизъюнктного объединения (XxI)\}Y по минимальному отношению
эквивалентности, в котором (х, \)~f(x) для любой точки
х ? X. Мы будем обозначать обращенный цилиндр тем же
символом Cyl (/), что и прямой цилиндр из лекции 1.
Для обращенного цилиндра коуниверсальный квадрат
F) лекции 1 имеет (после транспонирования) вид
X -L Y
B)
Для любой точки (х, t)?XxI ее образ при отобра-
отображении f# мы будем обозначать символом [х, t]. Ясно,
что [jtj,, ^«[л:,, *2] тогда и только тогда, когда либо
лг1в-лга и tf*tt, либо rfj —rft—1 и /(*i) = /(*g).
Коиндуцированное отображение (а^ мы для упроще-
упрощения формул будем обозначать символом /. Кроме того, мы
введем в рассмотрение отображение i**f# о а0: Х—»-Су1 (/),

РЕДУКЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ К КОРАССЛОЕНИЮ 83
г. е. отображение х*-*[х, 0]. Очевидно, что оба отобра-
отображения i и j являются монеоморфизмами.
Как правило, точки х ? X и у € У мы будем отож-
отождествлять с точками 1х и }у соответственно, т. е. будем
считать отображения / и / вложениями. Таким образом,
в силу этого соглашения X <=. Cyl (f)nYcz Cyl (/).
Каждая точка г ? Cyl (/) имеет либо вид [х, /1, х € X,
/?/, либо является некоторой точкой y^Y. При этом
\х, 1] = /(х) для любой точки х?Х.
Лемма 1. Отображение i является корасслоением
(и, следовательно, пара (Cyl (f), X)—парой Борсука).
Доказательство. Формула
([х, tx + t—x], 0), если .<т+/.—т>0,
(Xf _tx_t + x)t если ^т + ^—т<0,
где [я, ^j^Cyl {f), а т? /, вместе с формулой
корректно определяет ретрагирующее отображение
7: Су1(/)х/->(Су!(/)хО)и(Хх/).
Поскольку X, очевидно, замкнуто в Cyl(f), это доказы-
доказывает лемму 1 (см. предложение 1 лекции 1). ?
Определим отображение
C) г: Су! (/)-- Y
формулами
/•([*,/])-[*, 1], [дс,/]€Су1(Л.
¦ г (у)-у, уе^сСуНЛ.
Лемма 2. Отображение г представляет собой гомо-
гомотопическую эквивалентность.
Доказательство. Пусть, как и выше, /: У—+
> Cyl (f)—вложение. Ясно, что г о / == id. С другой сто-
роны, Я: |'or~ id, где гомотопия
Я: Cyl(/)X/-Cyl(/)
определена формулами
Я ([^, *], т) -[^, xt + 1 -т], [л, t] € Cyl (f),
^ : Н(у,х)~у, у ?Y с Cyl (ft. D
Следствие. Любое непрерывное отображение f: X—* Y
еомптопицескц эквивалентно корасслоению i; X—+Cyl(/|.

84 ДЕФОРМАЦИОННЫЕ РЕТРЛКТЫ
До к а зат е л ь с т в Oi Достаточно заметить, что / (х) —
=*[х, 1}=>г[х, 0]=»(г о i)(x) для любой точки х?Х, Г. е1.
что диаграмма
коммутативна. П
Это следствие доказывает теорему 1- в отношении ко-
корасслоений.
Гомотопическая эквивалентность г обладает тем свой-
свойством", что г о/¦»*id и, значит, является ретракцией.
Этот тип ретракций заслуживает отдельного названия.
Пусть А с X и i: А—+Х—вложение.
Определение 2. Отображение г: X—*А называется
деформационной ретракцией, если г о t**idA ю i о г *¦*• id^.
Подпространство А, для которого существует деформа-
деформационная ретракция Х—+А, называется деформационным
ретрактом пространства X. Гомотопия X х I —*¦ X, свя-
связывающая отображения i о г и idXi называется ретраги-
рующей деформацией.
Говорят, что пространство X деформируемо в подпро-
подпространство А, если существует такая гомотопия ft: X —> X,
что /o=°id и ft(X) с А, т. е. если существует такое
отображение ср: X—>Л, что t о ф ~ id^. Легко видеть,
что подпространство А тогда и только тогда является
деформационным ретрактом пространства X, когда оно
является ретрактом пространства X и пространство X
дефдрмируется в подпространство А. Действительно, если
г: X—t-A—ретракция и <р: X—>¦ А—такое отображение,
что i о ф ~ id, то i о г ~ I о г о i о фш* i о ф ~ id, и, значит,
г является деформационной ретракцией. D
Каждая деформационная ретракция г: Х—+А является,
конечно, гомотопической эквивалентностью. Обратной
гомотопической эквивалентностью будет в этом случае
вложение i: A—*X. Обратно, если вложение i: A—*X
является гомотопической эквивалентностью, то в случае,
когда пара (X, А) является парой Борсука, подпростран-
подпространство А будет деформационным ретрактом простран-
пространства X. Действительно, пусть /: X—¦*¦ А—гомотопическая

ДЕФОРМАЦИОННЫЕ РЕТРАКТЫ 85
эквивалентность, обратная к вложению i: А—+Х. По оп-
определению отображение /1 А == / о i гомотопно тождествен-
тождественному отображению idA. Поэтому отображение / гомотопно1
отображению г: Х—+А, для которого г\А**к\А, т. е. яв-
являющемуся ретракцией X—>¦ А. Поскольку ior~io]~
~ idjf, эта ретракция является деформационной. ?
Интересно, что к деформационным ретракциям и соот-
соответствующим вложениям сводится произвольная гомотопи-
гомотопическая эквивалентность. Именно, оказывается, что для
любой гомотопической эквивалентности f: X — * Y сущест-
существует такое пространство Z, содержащее оба пространства
X и Y в качестве деформационных ретракто'в, что /=»го/,
где i: X—+Z—вложение, а г: Z—*Y—деформационная
ретракция. Более того, за это пространство Z можно
принять (обращенный) Ци'лин'Др Cyl (/) отображения /.
Все это непосредственно вытекает из следующего предло-
предложения.
Предложение /. Отображение f: Х—+Уг тогда и тблько
тогда является гомотопической эквивалентностью> когда
пространство X является деформационным ретра'ктдм
цилиндра Cyl (/).
Доказательство. Если X—Деформационный рет-
ракт, то вложение t; X—¦- Cyl (/) является гомотопической
эквивалентностью. Та'ким образом, в разложений / = г о i
оба отображения i й г являются гомотопическими экви-
валентностями. Поэтйму гомотойической эквивалентностью
будет и отображение /\
Обратно, пусть отображение /: X—+Y является гомо-
гомотопической эквивалентностью, и пусть g: К—*Х—обрат-
К—*Х—обратная гомотопическая эквивалентность. Нам следует пост-
построить ретрагирующёе отображение р: Cyl (/)-+Хи гомо-
топию К: Cyl(/)x/—+Cyl (/), связывающую тождествен-
тождественное отображение id: Cyl (/) —+ Cyl (f) с отображением
i op: Cyl (/)—*• Cyl (f). Мы составим гомотопию К из че-
четырех последовательно выполняемых гомотопий. Сначала
мы на отрезке [0, 1/4] выполним гомотопию D). Это
означает, что при 0<т<1/4 гомотопия К будет опре-
определяться формулами
К фе, t], т) -[*,* + 4т—4т*], [х, t] e Cyl (f),
В результате из отббражейия id: Cyl (/) -^* Cyl (/) мы по-
получим отображение / о г. Cyf (f) —*¦ Cyl (/>, принимающее
значения в V.

86 ДЕФОРМАЦИОННЫЕ РЕТРАКТЫ
На следующем отрезке [1/4, 1/2] мы примем за гомо-
гомотопию К композицию отображения /or и гомотопии
G: Yy.1 —+ Y, связывающей тождественное отображение
id: Y —>Y с отображением fog: Y—+Y, т.е., точнее,
гомотопию
/ о Go (гхid): Cyl(/)x/ —Cyl(/),
связывающую отображение /ore отображением jofogor,
и подвергнутую линейному преобразованию параметра.
Таким образом, гомотопия К при т€[1/4, 1/2] будет
определяться формулами
К ([*, t], т) - jG (f (х), 4т-1), [х, t] <= Cyl (f),
/С(</, т)-/<?(</, 4т-1). y^Y
Отображение jofogor точку [я, ^] ? Cyl (/) перево-
переводит вточку f(g(f(x)))^[g(f{x)), 1], а точку у?Су\ф —
в точку f(g(y))-*[g(y), 1]- Поэтому формулы ([х, /], т)н^.
>-*[g(f(x)), 1—т] и (t/, r)h->(,?(«/), 1—т) будут корректно
определять гомотопию этого отображения в отображение
[х, t]\—*-g(f(x)), y>-*g(y). Мы и примем эту гомотопию
за гомотопию К на отрезке [1/2, 3/4]. Учитывая сдвиг
параметра, мы получаем, следовательно, что гомотопия К
определяется при т?[1/2, 3/4] формулами
), 3-4т], [x,t]<:Cyl(f),
3-4T], y€YczCyl(f).
При т»иЗ/4 мы фактически получаем отображение в X.
Поэтому на точках [х, t] к нему можно применить гомото-
гомотопию F: Xxf —* X, связывающую отображение gof: X—+X
с тождественным отображением id: X—+X. Эту гомотопию
мы и примем за гомотопию К на отрезке [3/4, 1]. При
этом, чтобы при tsal не возник разрыв, нужно параметр
умножить на 1—t. Кроме того, надо учесть сдвиг области
изменения параметра. Тем самым при т?[3/4, 1] 'мы по-
получаем для гомотопии Л' формулы
К([х, t], x) = iF(x, A_0Dт-3)), [ж,
Получающаяся гомотопия К: Oyl (f) х I —+ Cyl (f) свя-
связывает тождественное отображение id: Cyl (f) —*• Cyl (f)
9 отображением top: Cyl(/)'—iCyl(f), где р--отображе*

СТЯГИ6АЕМЫЁ ПРОСТРАНСТВА И КОНУСЫ 87
ние Су1(/)—*Х, определенное формулами
p[[x,t]-F(x.l—t) [x
(в силу соотношения F (х,[0) >mg (f (х)) отображение р опре-
определено корректно).
Для завершения доказательства предложения 1 оста-
осталось заметить, что так как р[х, 0]eF(x, 1)яял;, то
р of — id. П
Особо интересен случай, когда пространство У состоит
только из одной точки. Такое пространство мы будем
обозначать символом pt, а (единственное) отображение
X—*pt—символом constjf (или просто const).
Определение 3. Пространство X называется стяги-
стягиваемым, если отображение const^ является гомотопической
эк вива л ентностью.
Так как обратная гомотопическая эквивалентность
g: pt—+ Х задается точкой xB=ag(pt) пространства X, а
const я о g ma idpt ago constjr «¦ const*,,, где const*,: X —*¦ X —
постоянное отображение xt—>xB, то пространство X стя-
стягиваемо, если существует такая точка хо?Х, что
constXo ~ idx. Говорят, что пространство X стягивается
к точке х0.
Любопытно, что стягиваемое пространство стягивается
к любой своей точке. Действительно, если л;0, xt^X и
const*0~id, то const*, ~const*0 о constX] =« const*,, ~ id. D
Гомотопия, связывающая отображение idx с отображе-
отображением const*o, называется стягиванием пространства X.
Примером стягиваемого пространства является п-мер-
пый шар Е" (и, в частности, отрезок /¦=[(), 1]) и, вообще,
любое выпуклое—или хотя бы звездное относительно не-
некоторой своей точки—тело.
Цилиндр отображения const^ называется конусом над
пространством X. Возможны два конуса: прямой и обра-
обращенный. Первый получается из произведения X х I стяги-
стягиванием в точку подпространства ХхО, а второй стягиванием
в точку подпространства X х 1. Мы, как правило, будем
рассматривать обращенный конус и будем обозначать его
символом СХ. Таким образом, по определению
Образ точки (х, t)?Xx.I при отображении факторизации
Хх1--+СХ мы будем обозначать символом [х, t]c или

8Й СТЯГИВАЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА И КОНУСЫ
просто [*, t]. В частности, все символы вида [х, 1} обозна-
обозначают одну-единственную точку конуса СХ, т зависящую
от х. Эта точка обозначается символом рл и называется
вершиной конуса СХ.
Соответствие [*, t]*-*[x, x + t—xt], т€Л задает гомо-
топию из СХ в СХ, связывающую тождественнее отобра-
отображение с постоянным отображением [х, t]*->/?„. Это озна-
означает, что конус СХ стягивается к своей вершине (и, зна-
значит, к любой точке).
Каждое непрерывное отображение/: X—+Y определяет
по формуле
(Cf)[x,t]-\f(x),t], xSXtt?r,
непрерывное отображение Cf: CX—+CY, и ясно, что соот-
соответствия Хн->СХ, /н->С/ составляют функтор из ТОР
в ТОР.
Если tt, ггф\, то [xt, M = [xa, ta] тогда и только
тогда, когда хх — хг и tl = t2. В частности, мы видим, что
соответствие х <—> [х, 0] определяет монеоморфное отображе-
отображение X —* СХ. Подпространство конуса СХ, состоящее из
точек вида [х, 0], х ? X, называется основанием конуса.
Обычно посредством монеоморфизма х*-+ [х, 0] оно отожде-
отождествляется с X. Согласнр лемме 1 пара (СХ, X) является
парой Борсука, а согласно предложению 1 пространство X
тогда и только тогда стягиваемо, когда X является
деформационным ретрактом конуса СХ.
Отображение f: X-*Y называется гомотопным нулю,
если оно гомотопно постоянному отображению const^:
X—+Y, *i-->«/o. где у0бУ, т.е. если существует такая
гомотопия F: XxI—*Y, чт,о F(x,0)m*x и f(^,l)-y0
ддц любой точки х?Х. Поскольку такого рода гомотопии
находятся в естествецном биективном соответствии с ото-
отображениями J: СХ—+Х,_ совпадающими на X с отобра-
отображением / (отображению f отвечает гомотопия, являющаяся
композицией _отображення факторизации Хх1—*СХ и
отображения7), мы получаем, что отображение f: X —+Y
тогда и только тогда гомотопно нулю, когда оно может
быть распространено на СХ:

ОТНОСИ!ЕЛЬЙЫЁ ГОМОТОПИИ И СТРОГИЕ РЕТРАКТЫ 89
Очевидна также, что пространство Y тогда и только
тогда спЫгиваемо, когда для каждого пространства X
любое отображение Х—*У гомотопно нулю.
Деформационная ретракция C) обладает еще и тем
свойством, что для соответствующей гомотопии D) имеет
место равенство Н(у,х)=ву для любой точки у?У и лю-
любого t?l. Здесь также стоит ввести соответствующую
общую терминологию.
Определение 4. Гомотопия /(: X—+Y называется
неподвижной (или связанной) на подпространстве А с X,
если /<(а)=»/0(д) Для любой точки а$А и любого t^I.
Гомотопия, неподвижная на А, называется также гомо-
топией относительно А.
Конечно, гомотопией, неподвижной на А, могут быть
связаны только отображения /, g: X—+Y, совпадающие
на А, т. е. такие, что ^ l^gl^. Совпадающие на А отображет
пин называются (cMeahdo) гомотопными относительно А
А
(обозначение / ~ grel А или f ~ g, если они связаны не'под-
вижной на А гомотопией. Это отношение является от-
отношением эквивалентности и соответствующие классы
|У] rel А называются гомотопическими классами относи-
относительно А.
Все совпадающие на А отображения X—+Y составляют
подпространство <Yx,vfj> пространства Yx, состоящее из
распространений на X некоторого фиксированного отобра-
отображения f0: A—+Y. При этом гомотопии относительно А
можно рассматривать как пути этого подпространства.
Обратное верно, вообще говоря, только если пространство X
хаусдорфово иг локально компактно, и тогда классы
[/] rel А яйляются не чем иным, как компонентами под-
подпространства <ух, /0>. _
Определение о. Дёформационййя р'етрайцйя г: Х~~i- A
называе^я строгой (или сильной), если i о г ~ Mrel А.
Если такая ретракция существует, то подпространство А
называется строгим деформационным ретрактом прост-
пространства X. В Этом случае Mil будем писать Х^Л.
Предложение 2. Если пара (X, А) является замкну-
замкнутой парой Барсука; то каждой деформационная ретрак-
ретракция г: Х—*А является строгой деформационной ретрак-
ретракцией, ,,.,„...,,,
Для доказательства этого предложения нам понадо-
понадобится следующая лемма.

90 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИИ И СТРОГИЕ РЕТРАКТЫ
Лемма 3. Для любой замкнутой пары Борсука пара
(Xxl, ХА), где XA — (XxQ)U(AxI)[)(Xxl), также яв-
является парой Борсука.
Мы докажем эту лемму ниже, а пока воспользуемся
ею для доказательства предложения 2.
Доказательство предложения 2. Пусть
I: А—+Х—вложение и F: Хх/—+Х—свободная гомото-
пия, связывающая отображение i о г: X—>Хс тождествен-
тождественным отображением id#. Так как, согласно лемме 3, пара
(Xxl, ХА) является парой Борсука, то существует гомо-
топия из Xxl в X, начальным отображением которой
является гомотетия F и которая при каждом т € / за-
задается на ХА формулой
(F((ior)x, т), если f-tO,
F(x, H-(l— t)r), если х?А, 0<#<1,
X, еСЛИ tam\.
Концевое отображение Ft этой гомотопии и будет гомо-
топией Xxl—>Хге1Л, связывающей id с tor. q
Следствие 1. Для замкнутой пары Борсука (X, А)
подпространство А тогда и только тогда является стро-
строгим деформационным ретрактом пространства X, когда
вложение i: А —> X является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью. ?
Следствие 2. Замкнутая пара (X, А) тогда и
только тогда является парой Борсука, когда простран-
пространство Ая=(Хх0)[)(Ах1) является строгим деформацион-
деформационным ретрактом пространства Xxl.
Доказательство. Если Хх1%А, то пара (X, Л)
является парой Борсука в силу следствия из предложе-
предложения 1 лекции 1. Обратно, так как произведение Xxl,
очевидно, деформируется в подпространство ХхО и, зна-
значит, в подпространство А, то в случае, когда существует
ретракция г: Xxl—>¦ А (т. е. в силу того же следствия
из предложения 1 лекции 1, когда пара (X, А) является
парой Борсука), эта ретракция будет деформационной
ретракцией и, значит, в силу предложения 2 (применен-
(примененного к паре (Xxl, A))—строгой деформационной ретрак-
ретракцией. (Впрочем, можно обойтись и без каких-либо ссылок,
если заметить, что^ положив r(x, t)<m(r(x, t), p(x, t)),
где х 6 X, t?l и г (х, t)? X, р (х, t) g /, мы можем опре-
определить ретрагирующую деформацию gf: Xxl — XI

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИКЛЕИВАНИЯ 91
явной формулой
gx(x, 0-Й*. A-х)/), A—т)р(*.
Действительно, ясно, что g0=mior, ft— id и gt(*, 0 =
Пусть (X, А)—замкнутая пара Борсука, Г: Axl- >
>- К—произвольная гомотопия и /: A—+Y, a*-*F(a, 0) —
начальное отображение гомотопии F. Так как AxIcXxI,
то определено пространство (Xxl)[) fY. Сравним его
с пространством XU/Y.
Рассмотрим с этой целью пространство А и pY.
Так как AxIcAcXxl и(Хх1)%А, то пространство
Л U p Y содержится в пространстве (Хх I) U p Y и является
ого строгим деформационным ретрактом. С другой сто-
стороны, так как (Ах 1)Г\Аш*Ах0 и F(а, 0)=/(а), а?А,
то пространство A\J FY естественным образом отожде-
отождествляется с пространством XU/Y. Этим доказано, что
пространство X U / Y гомотопшески эквивалентно прост-
пространству (XxI)UpY.
Аналогичное утверждение имеет место, конечно, и для
концевого отображения g: А—«-У, a*—*-F(a, 1), гомо-
гомотопии F. Следовательно, если замкнутая пара (X, А)
является парой Борсука, то для любых двух гомотопных
отображений f: X—>-Yug: X —>¦ Yпространства XU/Y
n X[} g У'гомотопически эквивалентны.
В этом смысле операция склеивания пространств гомо-
гомотопически инвариантна.
Заметим, что в процессе доказательства нами факти-
фактически построена некоторая гомотопия lt\ X\\Y —*X\JfY,
начальное отображение /„ которой есть отображение
факторизации q: X\\Y —-> X[)/Y и которая обладает тем
свойством, что ее ограничение lt\A на А, рассматриваемое
как гомотопия из Л в К, является не чем иным, как
гомотопией a>—*-F(a, t), связывающей отображение / с ото-
отображением g. При этом отображение
индуцированное отображением /, (т. е. такое, что /г =
ipo<7', где q'—отображение факторизации XU^—*
'X\jgY), является гомотопической эквивалентностью.

92 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИКЛеИВАНИЯ
Из этого замечания легко следует, что для любой
замкнутой пары Барсука (X, А) и любого отображения
f: А —>¦? каждая гомотопическая эквивалентность п:
Y—*Z распространяется до некоторой гомотопической
эквивалентности
A: X\l,Y-+XuhofZ.
Действительно, ясно, что отображение h: X\jfY—>¦
—>-Xu fio/Z> совпадающее на У с .отображением h и тож-
тождественное на X, однозначна определено и непрерывно.
Поэтому нужно лишь доказать, что оно является гомо-
гомотопической эквивалентностью.
Рассмотрим с этой целью обратную гомотопическую
эквивалентность g: Z—>-Y и ее распространение
тождественное на X. Так как g°hof~f, то по доказанному
.существует гомотопическая эквивалентность
<р:
В диаграмме
XUY )duA
вертикальные стредк,и которой являются отображениями
факторизации, оба квадрата коммутативны по построению,
а правый треугольник гомотопически коммутативен по
только что сделанному замечанию. Поэтому
cpogo/i ~ qo (id U (goh)).
Но легвд видеть, что формула
qo(id U sit), если 0 < t < 1/2,
kt" I kt-io(id U (goh)), если 1/2 </ < 1,
где st: Y~ +Y—гомотопия, связывающая тождественное
отображение пространства Y с отображением goh, a lt:
Х[}У —>¦ Х- U/У—гомотопия, связывающая отображение q
с отображением фо<7", корректно определяет гомотопию
kt: X(JK—*X[)/Y, связывающую отображение q с ото-

ОКРЁСТНОСТНЫЕ РЕТРАКТЫ И ПлрЫ БОРСУКА 93
бражением
(9o<7*)o(id U (goh)) *mq>o
и согласованную с проекцией q, т. е. имеющую вид Л,1~
^='ktoq, где Ъг: X\JfY—>-X\JfY. При этом
Таким образом, cpogoft ~ id, где ср—гомотопическая экви-
эквивалентность.
Применив то же самое рассуждение не к f и А, а к
/ю/ и g, мы получим, что tyohog ~ id, где К—некоторое
отображение, а \р—гомотопическая эквивалентность.
Но, если ф'—гомотопическая эквивалентность, обрат-
обратная к гомотопической эквивалентности ф, то goh ~ ф', и,
значит, gohocp ~фоф' ~ id. Следовательно,
и потому (Лоф)о^ ~ id.
Этим доказано, что g является гомотопической экви-
эквивалентностью (с обратной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью ho(f). Поэтому гомотопической эквивалентностью
будет и отображение К. ?
Заметим, что лемма 3 у нас пока еще не доказана.
Ее доказательство основывается на одном, интересном и
самом до себе, предложении, дающем локальную характе-
характеристику замкнутых пар Борсука.
Определение 6. Подпространство А токологического
пространства X называется окрестностным строгим дефор-
деформационным ретрактом (сокращенно ОСДР), если оно
является строгим деформационным ретрактом некоторого
открытого множества 0=>А, т. е. если существует такая
неподвижная на А гомотопия gt: U—*U, что go(x)=*x
и 8i(x)?A Для любой точки x?U.
Лналогично, подпространство А называется ОСДР'оле
в слабом смысле, если существует такая нецодвижная
на А гомотопия gt: U —>-Х, что go(x)=*x и gl{x)^.A
для каждой точки х ? U.
ОСДР (в сильном или слабом смысле) называется
функционально выделяемым (сокращенно ФОСДР), если
существует такая непрерывная функция ф: X —>¦ I, что
А-ф->@) и ХХ^Ч!

94 ОКРЕСТНОСТНЫЕ РЕТРАКТЫ И ПАРЫ ВОРСУКА
Лемма 4. Подпространство AezX тогда и только
тогда является ФОСДР'оле в слабом смысле, когда суще-
существует такая непрерывная функция ip: X —>- / и такая
неподвижная на А гомотопия G: Хх1—+Х, что А =
= \\Г1(О), G(x, 0)=»* и G(x, t)?A при q(x)<t.
Доказательство. Если функция ij> и гомотопия G
существуют, то ограничение гомотопии G на U х /, где
U =mX\y~1(l), cp = i|\ будет неподвижной на Л=»ф~1@)
гомотопией из U в X, обладающей тем свойством, что
gt)(x)'=x и g1(x)^A для каждой точки x?l/.
Обратно, пусть существует такая функция ср: X—> /,
что А = ц>~1@), и такая неподвижная на А гомотопия
gt: U-+X, где U = X\y-l(l), что ga(x)~x и gx(x)^A
для каждой точки x^U. Тогда Лss»ip-1 @), где л\>{х) =
= minBcp(x), 1), и формула
G( Л=»' Х' °СЛИ Ф(Х)^^
' I g% (х), если rp (x)<t,
где
т (ф^—1.еслиО<ф(*)<*<2ф(*),
[ 1, если t > 2ф (х),
корректно определяет такую гомотопию G: X х / —¦ X,
что G(x, 0)=»л: и б(л:, f)€^ при а|)(лг) <t. \j
Предложение 3 (локальная характеристика замкну-
замкнутых |пар Борсука). Замкнутая пара (X, А) тогда и
только тогда является парой Борсука, когда подпрост-
подпространство А представляет собой ФОСДР в слабом смысле.
Доказательство. Пусть (X, А)—замкнутая пара
Борсука, и пусть г: Xxl—+ А—произвольная ретракция,
где, как всегда, Л-»(ХхО)и(Лх/). Пусть, как и выше,
г(х, /)-(г(*. 0. Р(х, 0), где7(*. 0€Х, р(х, t)?l.
Как было показано на стр. 47, для функции t(*) =
= max(?—р(х, t)) имеет место равенство 1р@)=аЛ.
Кроме того, если ¦ф(лг) <1 ^, то р{х, t)>Q, и потому
г (х, t) ? А. Таким образом, функция \\i и гомотопия G =
= г удовлетворяют условиям леммы 4, и потому А явля-
является ФОСДР'ом в слабом смысле.
Обратно, если А представляет собой ФОСДР в слабом
смысле, то, согласно лемме 4, существует такая иепре-

ОКРЕСТНОСТНЫЕ РЕТРАКТЫ И ПАРЫ ВОРСУКА
95
рывная функция i|>: X—+/, что л\)-1@)>шА, и такая не-
неподвижная на А гомотопия G: Хх/—»-Х, что G(x, 0) =
¦-¦ х и G(x, t)?A при ф(лг)<)?. Тогда формула
(((, 0,),
если
если
А, и потому пара
будет определять ретракцию г: Хх1
(X, А) будет парой Борсука. п
Пример. Пусть /: X—+ Y—произвольное отобра-
отображение и Cyl (f)—его обращенный цилиндр. Ясно, что
формулы
(f[x, т]-т, Ф(«/)«— 1, лг^Х, тб/, у?У,
определяют непрерывную функцию ср: Cyl (/) —> /, для
которой ф^)-»^ и ф~1A) = К, а формула
gt([x, т])-[л;,A-/)т], ^Х,т, <€Л
определяет гомотопию gt: U—>-Cy\(f), t/==Cyl (f)\Y,
для которой ?„[#, т] — [л:, т] и & [#, т]=-[лг, 0]<=Х. Это
показывает, что подпространство X цилиндра Cyl (/)
является ФОСДР'ом в слабом смысле и, следовательно,
пара (Cyl (/), X) — парой Борсука. Тем самым мы заново
доказали лемму 1.
Теперь мы уже можем доказать и лемму 3.
Доказательство леммы 3. Так как пара (X, А)
является замкнутой парой Борсука, то, согласно предло-
предложению 3, существуют такая
непрерывная функция ф:Х—>/
и такая • гомотопия gt:
U-+XrelA, где U =
= Х\ф-*A), что ф-^О) —А
и go(¦*)=»¦*> g/M""^ Для лю-
любой точки х ^ 0. Но тогда, как
показывает непосредственная
проверка, непрерывная функ-
функция ip: Хх/—>/, определен-
определенная формулой
i|i(jc, т) = 2 minBф (х), т, 1—т), Рис. 3.
(х, i)€Xx/,
обладает тем свойством, что i|)~I@)-eXil, а гомотопия
ht: V—»Хх/, где V-iXx/Xil?"^!)—множество точек
(х, т)€Хх/, для которых либо т^г1/», либо ф(л:)<1/4.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
определенная (см. рйс. 3) формулой
(х, тA—t)), если
ht{x,
если ф(л;Х2т<т1пBф(дг), 1),
(g(x, t), (т—2у(х)) t-\-x),
если ф(х) < т <ггн'пBф (х), V2),
, t), т), если 2ф(л:)«^т^1—2ф(л:),
, 0. т + Bф(дг)+т-1H,
если тахA—2ф(л;), V
если maxBA—ф(д;)),
^гт^Й — ф(лг),
), если 2—ф
— тем свойствои, что И^(х, T)'=»(i, •ij, ^(л:, т)^Х^ для
любой точки (х, т)?Хх/ й А((^, т) — (лгл,т),для любой
точки (лг, т)€ Х^. Таким образом, Хд является ФОСДР'ом
в слябом смысле, и потому пара (Хх/, ХА) — парой
Борсука. ?
Вернемся теперь к отображению /: X—+Y и его ци-
ЛИндру Cyl (/). Поскольку, как уже было замечено, гомо-
топия D) является грмотопйей относительно У, мы ви^йм,
что для любого отображения f: X—+Y пространство Y
является строгим деформационным рётрактом цилиндра
СуИД, . . ., ......
Чтб тке^ касается пространства X, то, согласно пред-
предложению 1;%для того чтобы оно было строгим деформа-
деформационным рётрактом цилиндра Cyl (/), во всякой случае
необходимо, чтобы" отображение /: X—>Y былб гомото-
гомотопической эквивалентностью. Довдльно йеожидайно, —
если мы вспомним, что построенная при доказательстве
предложения 1 ретрагирующая деформация заведомо не
является гомотопией относительно X,—оказывается, что
это необходимое условие также и достаточно.
Предложение 4. Отображение f: X —- Y тогда и
ШЛЬЛо тогда представляет собой гомоШопичеЬкуНо жви-
еЮЛёНтнбсть, Когда пространство X Является строгим
деформационным оетрактом цилиндра Cyl (/).

АКСИОМЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ РАССЛОЕНИЯ 97
Доказательство. Это предложение непосредст-
непосредственно вытекает из предложений 1, 2 и леммы 1. ?
Следствие. Пространство X тогда и только тогда
стягиваемо, когда оно является строгим деформационным
ретрактом конуса СХ. ?
Понятие строгой деформационной ретракции позволяет
также дать новую характеризацию отображений, являю-
являющихся расслоениями.
Мы будем говорить, что отображение р: Е—>-В удов-
удовлетворяет аксиоме о распространении накрывающего ото'
брожения (короче, аксиоме РНО), если для любой пары
(X, А), в которой подпространство А функционально
выделяемо и является строгим деформационным ретрактом
пространства X, для каждой коммутативной диаграммы
вида
(П) J f/ L (i—вложение)
существует отображение /.
Поскольку подпространство Х = ХхО произведения
X х /, очевидно, функционально выделяемо и является
ею строгим деформационным ретрактом, каждое отобра-
отображение р: -Е—+В, удовлетворяющее аксиоме о распростра-
распространении накрывающего отображения, является расслоением.
Обратное- утверждение также справедливо, т. е. любое
расслоение удовлетворяет аксиоме о распространении
накрывающего отображения. Действительно, пусть в диа-
диаграмме E) отображение р: Е—>-В является расслоением,
а подпространство А пространства X функционально выде-
выделяемо и представляет собой строгий деформационный
ретракт пространства X. Пусть, далее, г: X—*¦ А—стро-
А—строган деформационная ретракция, Н: Хх1—*Х—неподвиж-
Хх1—*Х—неподвижная на А гомотопия, связывающая отображение ior: X-*
уХ с тождественным отображением id: X—+Х, и ср:
Х-~>/—такая непрерывная функция, что ф~1@) = Л.
Тогда ясно, что формула
если
[х, если / >ф(лг) или х? А,
М. М. Постников

98 АКСИОМЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ РАССЛОЕНИЯ
корректно определяет некоторое непрерывное отображение
Н: Хх1-~>-Х, также являющееся неподвижной на А
гомотопией, связывающей отображение hr с тождествен-
тождественным отображением id. При этом, если мы аналогичным
образом «возбудим» отображение сг0, т. е. рассмотрим отобра-
отображение сг0: Х-+Хх/, определенное формулой
то будет иметь место равенство 7/ocr0B=id (тогда как
= ior). Вместе с тем ffe«=a0 на Л, т.е. €г„о? = айо*.
Рассмотрим теперь диаграмму
Согласно только что сказанному эта диаграмма коммута-
коммутативна.
Компонируя соответствующие отображения, мы можем
объединить центральный и правый квадраты этой диа-
диаграммы в одну (также коммутативную) диаграмму
где G=foH. Поскольку отображение р: Е—+В явля-
является по условию расслоением,_для этой диаграммы сущест-
существует накрывающая гомотопия G: Xxl—+E,_vl тогда непо-
непосредственно проверяется, что отображение / = Со(т0 замы-
замыкает диаграмму E). ?
Полученный результат имеет важное следствие, касаю-
касающееся задачи о распространении накрываю-
накрывающей гомотопии:
F)

АКСИОМЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ РАССЛОЕНИЯ 99
где АаХ и Ama(XxO)[}(Axf) (см. диаграмму B) из
Дополнения к лекции 1).
Мы будем говорить, что отображение />:?—> В удов-
удовлетворяет аксиоме о распространении накрывающей гомо-
топии (короче, аксиоме РНГ), если для любой диаграммы
F), в которой (X, А) является замкнутой парой Борсука,
существует накрывающая гомотопия JF.
При Ля0 аксиома РНГ переходит в аксиому НГ,
так что любое отображение, удовлетворяющее аксиоме о
распространении накрывающей гомотопии, является рас-
расслоением.
Оказывается, что и, обратно, любое расслоение удов-
удовлетворяет аксиоме о распространении накрывающей гомо-
гомотопии. Поскольку расслоения удовлетворяют аксиоме РНО,
для доказательства этого утверждения достаточно пока-
показать, что из аксиомы РНО следует аксиома РНГ, т. е.
что для любой замкнутой пары Борсука (X, А) диаграм-
диаграмма F) является частным случаем диаграммы E), или,
иными словами, что подпространство А пространства X х /
является его строгим деформационным ретрактом и функ-
функционально выделяемо. Первое свойство обеспечивается
доказанным выше следствием из предложения 4, а для
доказательства второго достаточно показать, что для функ-
функционального выделяемого подпространства АаХ подпро-
подпространство AcXxI также функционально выделяемо (ибо,
как было замечено в конце лекции 1, для любой замкну-
замкнутой пары Борсука (X, А) подпространство А функцио-
функционально выделяемо). Но если ср: X—+I—такая непрерыв-
непрерывная функция, что Л=зф~х@), то функция ip: XxI—>/,
определенная формулой ty(x, t) = mm(t, ф(лг)), (х, t) g
?Хх/, будет обладать тем свойством, что А = \[Г1@). q
Объединив полученный результат с другими дока-
доказанными выше характеризациями расслоений, мы получим
следующую окончательную теорему.
Теорема 2. Для произвольного отображения р: Е—+В
следующие аксиомы равносильны:
НГ. О накрывающей гомотопии.
НП. О накрывающем пути.
МРНГ. О мягком распространении накрывающей гомо-
гомотопии.
РНГ. О распространении накрывающей гомотопии.
РНО. О распространении накрывающего отображе-
отображения. ?
4*

100 ПРООБРАЗ ПАРЫ БОРСУКА
Таким образом, расслоения могут быть охарактеризо-
охарактеризованы каждой из этих аксиом.
Следствие. Пусть в диаграмме
(р—расслоение)
гомотопия F неподвижна на замкнутом подпространств
АсХ. Тогда, если пара (X, А) является парой Барсука,
то гомотопию F можно выбрать также неподвижной
на А.
Доказательство. Условие неподвижности гомо-
топии F на А задает эту гомотопию на Л. Следовательно,
мы находимся в условиях применимости аксиомы о рас-
распространении накрывающей гомотопии. П
Из этого следствии вытекает важное предложение,
касающееся прообразов пар Борсука.
Предложение 5. Для любого расслоения р: Е—>В
и любого замкнутого подпространства AczB, обладаю-
обладающего тем свойством, что пара (В, А) является па-
парой Борсука, пара (Е, р~1 А) также будет парой
Борсука.
Доказательство. Согласно предложению 3 и лем-
лемме 4 существует такая непрерывная функция ib: В—>-/,
что гр @) = ^4, и такая неподвижная на А гомотопия
gt: B-+B, что g0 = idB и gt(x)?A при t > -ф(дс). Гомото-
Гомотопия p°gt: E—"^ неподвижна на р'1 А, и ее начальное
отображение p°go^=p накрывается отображением idj?.
Поэтому, согласно следствию 1, существует такая непод-
неподвижная на р~1А гомотопия ht: Е —>- Е, что ho=k\B nhfo p=
~ Р ° 8t Для любого t ? /. Рассмотрим на Е функцию
Мр = \рор; E—+I и гомотопию gt: E—+E, определенную
формулой
gt(x) = hx(x), где T = min(/', ~p(x)), х?Е.
Ясно, что ^(OJes/rM, i,(*)=»* и ~gt(x)€p-lA при
t>ty(x). Поэтому пара (Е, р~1А) является парой Бор-
Борсука. ?

РЕДУКЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ К РАССЛОЕНИЮ Ю1
Вернемся теперь к теореме 1 (которую, напомним, мы
пока доказали только для корасслоений).
Обращенным коцилиндром отображения/: X—>¦ Y яв-
является по определению коамальгама диаграммы У—'+
>¦ У ч—X, т. е. подмножество произведения YrxX, состоя-
состоящее из таких точек (и, х), и: I —+Y, х?Х, что u(l)~f(x).
Мы будем обозначать этот коцилиндр прежним символом
СосуГ(/).
В обозначениях лекции 1 для обращенного коцилиндра
имеет место коммутативная диаграмма
«1*
«1
Cocyl (/)—Х
f Л ^ |/
Отображение со*: (и, х)у-*х мы для упрощения формул
будем обозначать символом г. Кроме того, мы введем
в рассмотрение отображение р = со0о/Ш1: Cocyl (/) —»¦ Y,
действующее по формуле (и, х)>-*-и@).
Лемма 5. Отображение р: Cocyl(f)—+Y является
расслоением.
Доказательство. Пусть Cocyl (p)—коцилиндр
(необращенный) отображения р и q: Cocyl (/)'—>¦ Cocyl (p) —
отображение wi—>(p о w, w@)), w: I—>Cocyl(/). Согласно
предложению З лекции 1 для доказательства леммы 5 нам
достаточно построить такое отображение s: Cocyl (p)—>
--* Cocyl (f)r, что g о s =з id. Экспоненциальный закон позво-
позволяет мам рассматривать отображение s как отображение
Cocyl (p)x/ ¦1->- Cocyl (/), т. е. (мы еще раз пользуемся этим
законом) как пару отображений a: Cocyl (р) х / X / —»¦ У,
Ь: Cocyl (p)xI—>-X, связанных для любых точек с ? Cocyl (p),
I ? / соотношением
а(с, t, 1)ЧФ(С 0).
В этой интерпретации тождество gos = id равносильно,
как легко видеть, тождествам
о@-а(с, U 0), и(х) = а(с, 0, т), jc—&(c, 0),
которые должны иметь место для любых чисел t, т_?/
и любой точки c=a(v, c)^Cocyl(p), где v: I—+Y, с —
(м, д:)^Сосу1(/), т. е. для любой точки х?Х к любых
путей v: I—> Y и и: 1—+Y, связанных соотношениями

102 РЕДУКЦИЯ ОТОЁРАЖЕНИЯ К РАССЛОЕНИЮ
Допуская естественную вольность, мы будем тройку (v, и, х)
обозначать прежним символом с.
Отображение Ь мы определим формулой
Ь (С, t)<mX, С-(О, Ы, Л:)бС0Су1(р) Hfg/.
Тогда отображение а будет удовлетворять соотношениям
v(t)-ma(c, U 0), ы(т)-а(с, 0, t), а (с, t, l) = /(x)
для любых точек с = (у, и, л:) ? Cocyl (p) и (t, т)?/х/.
Но ясно, что этим соотношениям удовлетворяет отобра-
отображение a: Cocyl (р) х / X / —*¦ У, определенное формулой
а(с, t, т)-(соф)(<, т), с —(о, м, х) € Cocyl (/>), <,т€/,
где ф, как и выше,— ретрагирующее отображение / х /—»•
—*(/х0)и@х/), для которого фAх/) = A, 0), ас—ото-
ас—отображение (/ х 0) и @ х /) —»¦ У, определяемое формулами
((I, 0)-вA), с@, т)-н(т), U т€/.
(Вопрос: почему отображение а непрерывно?)
Тем самым лемма 5 полностью доказана. ?
Для каждой точки у 6 У символом 0у мы будем обо-
обозначать постоянный путь в точке у, задаваемый формулой
Qyify^y Для любой точки t?l.
В частности, для каждой точки х?Х символ 0,,^, обо-
обозначает постоянный путь в точке f(x)?Y. Поскольку
0Мл,A) = /(х), пара @/U), x) лежит в Cocyl (/). Обозна-
Обозначив эту пару символом i(x), мы, следовательно, получим
(очевидно, непрерывное) отображение
I: X-+ Cocyl (/).
С отображением г: Cocyl (/)—>¦ X, (и, x)t->x, отображе-
отображение i связано формулой г о i = id. Следовательно, i яв-
является монеоморфизмом, и потому, отождествив каждую
точку х?Х с точкой i(x), мы вложим X в Cocyl(/). При
этом подпространство X окажется ретрактом пространства
Cocyl (/) с ретрагирующим отображением г.
Лемма 6. Ретракт X является строгим деформа-
деформационным ретрактом пространства Cocyl (/), так что,
в частности, отображение i представляет собой гомото-
гомотопическую эквивалентность.
Доказательство. Формула
Я((н, х), t)**(vit х), (и, х)еCocyl(/), t?l,

КАТЕГОРИЯ ТОРВо ЮЗ
где vt—путь /—+Y, определенный формулой
(очевидно, удовлетворяющий условию vt(\) = f{x)), задает
гомотопию Я: Cocyl (/) X / —>¦ Cocyl (/), неподвижную на X
и связывающую отображение i о г: (и, х) >—»@^ U), x) с тож-
тождественным отображением id: (и, х)*->(и, х). D
Следствие 1. Любое непрерывное отобраоюение f: X—>Y
гомотопически эквивалентно расслоению р: Cocyl (/)—* У.
Доказательство. Достаточно заметить, что /(х) =
^ °/- <*) @) — Р (°/ <*). х) — (Р ° 0 (•*) Для любой точки х ? X,
т. е. что диаграмма
Cocyl W
коммутативна (/ = рог). П
Тем самым теорема 1 доказана и в отношении рас-
расслоений.
ДОПОЛНЕНИЕ
Категория ТОРд0.— Гомотопии, корасслоения и рас-
расслоения категории ТОРд0.—Гомотопические расслое-
расслоения.— Гомотопические эквивалентности в сравнении с
послойными гомотопическими эквивалентностями.— Кол-
лапсирующие отображения.—Теорема Дольда о послой-
послойных гомотопических эквивалентностях.— Индуцирован-
Индуцированные гомотопические расслоения.— Расслоения, индуциро-
индуцированные гомотопными отображениями.— Отображения,
являющиеся гомотопическими эквивалентностями на
слоях.
Введенное ad hoc в конце Дополнения к лекции 1
понятие изоморфизма отображений р: Е—+В и р': Е' —*В
может быть включено в общекатегорные рамки, что при-
приводит к существенному и очень важному обобщению всех
наших рассмотрений.
Пусть А—произвольная категория и Во—некоторый
ее фиксированный объект. Объект X категории А, рас-
рассматриваемый вместе с некоторым морфизмом пх: Х—*Вй,
называется объектом над Во. Морфизм лх называется при
проекцией объекта X.

104 КАТЕГОРИЯ ТОРВо
При другой—равносильной—точке зрения объектами
над Во считаются сами отображения пх.
Для любых двух объектов X и Y над Во морфизмом
над Вй объекта X в объект Y называется произвольный
морфизм /: X—+ Y категории А, для которого диаграмма
коммутативна. Ясно, что все объекты над Во и все их
морфизмы над Во составляют категорию. Мы будем эту
категорию обозначать символом АВо.
В частности, для любого топологического пространст-
пространства Ва определена категория ТОРВо, изоморфизмы которой
и являются изоморфизмами отображений, введенными
в Дополнении к лекции 1.
В случае, когда пространство Во состоит только из
одной точки (является термкнальным объектом категории
ТОР), категория ТОР- естественным образом отождест-
отождествляется с категорией ТОР. Таким образом, ТОРв0 обоб-
обобщает ТОР. Это обобщение вполне содержательно, поскольку
в произвольной категории ТОРДо возможна столь же про-
продвинутая теория гомотопий, как и в категории ТОР.
Однако по понятным причинам мы не будем здесь
подробно развивать теорию гомотопий в категориях ТОРВо,
а ограничимся лишь самыми начальными ее понятиями
и результатами. Для нас эта теория будет иметь лишь
вспомогательное значение, как одно из орудий более
углубленного изучения категории ТОР.
Замечание о терминологии. Для топологи-
топологического пространства X над Во прообраз ях1 ф) произволь-
произвольной точки b?B0 при проекции пх: Х~-^-Во называется
обычно слоем этого пространства над точкой Ь. Для любых
двух пространств X и Y над Во непрерывное отображение
/: X--+Y тогда и только тогда является отображением
над Во, когда для каждой точки Ь ? В оно переводит слой
л^-ф) в слой пу1ф). Поэтому отображения над Во назы-
называются также послойными отображениями.
Гомотопий в категории ТОРДо вводятся совершенно
естественным образом.

. ГОМОТОПИИ, КОРАССЛОЕНИЯ М РАССЛОЕНИЯ |0Г)
Пусть X и У—топологические пространства над В„
(объекты категории ТОРДо). Отображения /, g: X—+Y
над Вд (морфизмы категории ТОРВо) называются гомотоп-
гомотопными в ТОРЛо (или над 50), а также послойно гомотоп-
гомотопными, если существует такая гомотопия /,: X—»-К, что
/„ = /, fx—g и для любого t?l отображение ft: X—+Y
является отображением над Во. О гомотопии ft говорят,
что она является гомотопией над Во (или послойной гомо-
топией), связывающей отображения fug. Отношение
гомотопности над Ва обозначается символом / ~ g.
Во
Ясно, что послойные гомотопии удовлетворяют общим
аксиомам 1°—4° из лекции 0, поэтому, в частности, отно-
отношение гомотопности над Во является отношением эквива-
эквивалентности. Соответствующие классы эквивалентности назы-
называются гомотопическими классами над Во (или послойно
гомотопическими классами). Класс, содержащий отобра-
отображение /, обозначается символом [/]Яо.
Так как формула
[?]во°[/к=[?0/к
корректно определяет композицию любых гомотопических
классов над 50, то тем самым возникает категория
|'ТОРВо], объектами которой являются пространства над Во,
а мор^измами—гомотопические классы над 50.
Замечание 1. Категорию [TOPBJ следует отличать
от категории [ТОР]Во. Эти категории связаны очевидным
функтором
A) [ТОРао]-[ТОР]Во,
тождественным на объектах, но, вообще говоря, не инъек-
тивным и не надъективным на морфизмах. См. ниже
стр. 111.
Морфизм /: X—t-Y категории ТОРВо называется гомо-
гомотопической эквивалентностью над Во (или послойной гомо-
гомотопической эквивалентностью), если существует такой мор-
фпзм g: Y —> X, что g о f ~ id и / о g ~ id, т. е. если его
Во В,
гомотопический класс над Во является изоморфизмом кате-
категории [ТОРА].
Каждое подпространство А пространства л над Во
автоматически является пространством над 50 (с проек-
проекцией пА = пх\А), а вложение i: A—+X—отображением
над Во. В случае, когда существует такое отображение
г: Х—+А над Ва, что rots id, подпространство А назы-

106 ГОМОТОПИИ, КОРАССЛОЕНИЙ И РАССЛОЕНИЯ
вается ретрактом над 50 (или послойным ретрактом)
пространства X (а отображение г-~ ретракцией над Во или
послойной ретракцией). Если, кроме того, i о г <-' id, то
ретракт А называется деформационным ретрактом над Ва,
а если io r ~ idrelA (т. е. если отображения tor и id
связаны гомотопией над 50, неподвижной на А), то—стро-
то—строгим деформационным ретрактом над Во.
Для любого пространства X над Во произведение Хх/
мы будем считать пространством над Во с проекцией
(х, t)y-*nx(x). Тогда гомотоиии над Во будут не чем иным,
как отображениями над Ва вида X х / —> У.
Отображения X—+ У7, соответствующие по экспонен-
экспоненциальному закону таким гомотопиям, будут, очевидно,
характеризоваться тем, что они переводят X в подпро-
подпространство Ygo пространства Y', состоящее из таких путей
и: /~*"У, что Пу о и = const. Положив яко и—0П(и), мы
получим проекцию я: Y'B<>—+Ва, по отношению к которой
эти отображения будут отображениями над Во. Таким
образом, гомотопии над Во мы можем также интерпретиро-
интерпретировать как отображения над Во вида X—+ У'в0-
Отображение t: А —> X над Во называется корасслое-
корасслоением над Во, если для каждой диаграммы вида
А '' х
\,Г 0)° ^ у-
¦ОЯ *~*
все отображения которой являются отображениями над Во
существует над 50 замыкающее отображение F.
Для любого отображения /: X—+Y над Ва его цилиндр
Cyl (/) является пространстюм над Во относительно проек-
проекции [х, t]i—>nx(x), yy-*nY(y), и, как легко видеть, лем-
леммы Г и 2 лекции 2 останутся при этом справедливыми
и над 50, т. е. отображение i: X —>¦ Cyl (/) будет корас-
корасслоением над Ва, а отображение г: Cyl (/) —> Y—гомото-
Y—гомотопической эквивалентностью над Ва (и даже строгой дефор-
деформационной ретракцией над Во).
Останется в силе и предложение 1 лекции 2, а также
лемма 4 лекции 2 (в которой, естественно, от пары (X, А)
нужно требовать, чтобы она была парой Борсука над Во,
т. е. чтобы вложение t: А —> X было корасслоением над 50).

ГОМОТОПИИ, КОРАССЛОЕНИЯ И РАССЛОЕНИЯ 107
11оэтому предложение 5 лекции 2 также останется в силе.
В частности, для любой гомотопической эквивалентности
/: X—t-Y над Во подпространство X цилиндра Су1(/)
будет его строгим деформационным ретрактом над Ва.
Двойственным образом, отображение р: Е—+В над Во
называется расслоением над Во, если для каждой диа-
диаграммы вида
Х- Т
или, что равносильно, диаграммы вида
все отображения которой являются отображениями над Ва,
существует над В„ замыкающее отображение F (накрываю-
(накрывающая гомотопия над 50).
Коцилиндром над Во отображения р: Е—+В над Во
называется подпространство Сосу1Во(р)сСосу1(р), состоя-
состоящее из таких пар (и, е), и: I—>-5, е?.Е, и@)»р(е), что
«€#в„> т- е- пв ° "«const. Оно является пространством
над Ва с проекцией (и, е)у-*ла(р(е)). Ясно, что отобра-
отображение q: Е'—i-Cocyl(p), u>—>(pou, u@)), переюдит Е'в<1
в Сосу1Яо (р) и потому индуцирует" отображение
которое мы также будем обозначать через q. Очевидно,
что это отображение является отображением над Во.
Просмотрев теперь заново доказательство предложе-
предложения 3 лекции 1, мы немедленно убедимся, что оно пол-
полностью сохраняется и для расслоений над Во, так что
отображение р: Е—+В над Во тогда и только тогда
будет расслоением над Ва, когда для отображения
q: Ego—t-CocylBo(p) существует сечение Сосу1Яо(р)—>-ЕгВо
(.чвтоматически являющееся отображением над Во).
Касающиеся расслоений результаты лекции 2 также
переносятся в категорию ТОРВо.

108 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ РАССЛОЕНИЯ
Обращенным коцилиндром над Ваотображения/: X~*-Y
над Во называется подпространство коцилиндра Сосу1(/),
состоящее из таких пар (и, х), и: I—*Y, x?X, u(\)=f(x),
что u?Yj)o. Оно обозначается символом Сосу1„о(/) и яв-
является пространством над Во с проекцией (и, x)t->nx(f(x)),
а отображение
р: Сосу150(/)-+У, (и, х)у^и@)
является отображением нчд Ва. Более того, отображение р
будет расслоением над Во. Доказательство состоит в дослов-
дословном повторении доказательства леммы 5 лекции 2.
Аналогично, лемма 6 лекции 2 также сохраняется
в категории ТОРВо, т. е. для отображений
г: Сосу1ао(/)—>-Х, (и, х)^-х,
х),
имеют место соотношения
В частности, отображение i является гомотопической
эквивалентностью над Во.
Поскольку f=spoi, мы видим, следовательно, что любое
отображение /: X—*Y над Во разлагается в композицию
гомотопической эквивалентности i над Во а расслоения р
над 50.
Применение этих пенятий и результатов к категории
ТОР основывается на том очевидном замечании, что любое
отображение р: Е—>-В мы можем рассматривать как
отображение над В, считая пространства Е и В про-
пространствами над В с проекциями пБ=яр и ял=«1с1:
Тогда утверждение, что отображение s: B—+E являете?»
сечением отображения р, будет равносильно утверждению,
что оно является отображением над В.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ РАССЛОЕНИЯ 109
Аналогично, в любой диаграмме вида
B)
X*l
мы можем пространства X и Xxl считать пространствами
над В с проекциями nx~pof = Foa0n nxy.i — F соот-
соответственно. Тогда отображения сг0 и / будут отображе-
отображениями над В, так что над категорией ТОРД будет иметь
место диаграмма
C)
и, значит, условие, что отображение р: Е—*-В является
расслоением, будет равносильно тому, что для любой диа-
диаграммы C) над В, т. е. для любого пространства X над В,
для которого на произведении Xxl задана такая структура
пространства над В (т. е. задана проекция nxxi'- Xxl —+B),
что вложение сг0 х X—)-X х / является отображением над В,
и для любого отображения /: Х—*Е над В, существует
отображение/7: Хх1—+Е над В, замыкающее эту диа-
диаграмму, т. е. такое, что F ooa=f.
Эта переформулировка не совсем бессодержательна,
поскольку она допускает немедленное обобщение.
Определение 1. Говорят, что отображение р: Е—>-В
является гомотопическим расслоением (или расслоением
в смысле Дольда), если для любой диаграммы вида C)
(состоящей из отображений над В) существует такое ото-
отображение F: Хх1—+Е (над В), что Foa0~~f, т. е.,
иначе говоря, если для каждой диаграммы вида B)
существует такое отображение F: Xxl—> ?, что ее верх-
верхний треугольник гомотопически коммутативен над В (тогда
как нижний треугольник по-прежнему коммутативен).
Другими словами, отображение р: Е—*В является гомо-
гомотопическим расслоением, если в условиях аксиомы РГ

по
ГОМОТОПЖ ТСКИЕ РАССЛОЕНИЯ
накрывающая гомотопия начинается, вообще говоря, не
с данного отображения Х—>-Е, а с отображения, которое
над В ему гомотопно.
Любое расслоение является, конечно, гомотопическим
расслоением, но, как показывают простейшие примеры
(прямой угол ? = /х{0}и {0}х/ на плоскости RxIRnero
проекция р: (х, у)у-*-х на отрезок ?=*/), обратное неверно.
Сейчас нам будет удобно несколько сместить акценты
и считать объектами категории ТОРВ сами отображения
р: Е-+В.
Лемма 1. Любое отображение р: Е—*В, гомотопи-
чески эквивалентное над В гомотопическому расслоению
р': Е'—у В, также будет гомотопическим расслоением.
Иначе говоря, свойство быть гомотопическим расслое-
расслоением инвариантно по отношению к послойным гомотопи-
гомотопическим жвивалентностям.
Доказательство. По условию существуют такие
отображения /: ?—>•?", g: E'—+E над В, что fog~id
в
и g о f ~ id. Они позволяют каждую диаграмму вида B)
в
дополнить до коммутативной диаграммы
X*/-
Поскольку отображение р' является гомотопическим рас-
расслоением, для составной диаграммы
существует замыкающее отображение F': Хх I —* Е', для
которого р' о F' =F и F' о сг0 ~ / о /. Но тогда отображе-
_ _ в
ние F = goF': Xx/_—*Е будет удовлетворять соотноше-
соотношениям р о F — p о g о Fr =ap' о F' =*F nF oo0 ~ go fof о ~Jt
в в
т. е. будет замыкать диаграмму C) в [ТОРВ]. q

, ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ЭКВИВЛЛР.НТИОСТИ Ш
Замечание 2. Соотношение / о g~ id в доказатель-
в
ств'е Леммы 1 не используется.
Замечание 3. Гомотопическое расслоение Gx{0})(j
U({0}x/)—> / послойно гомотопически эквивалентно тож-
тождественному расслоению / —> /. Это показывает, что для
расслоений аналог леммы 1 неверен.
Справедливость леммы 1 для гомотопических расслое-
расслоений и является для нас raison d'etre этого понятия.
Важные обстоятельства, касающиеся гомотопических
(а потому и обыкновенных) расслоений, выявляются в свя:!И
с вопросами о надъективности на морфизмах функтора A)
к(при ?„ = ?).
Для любых двух объектов р'\ Е'—+В и р: Е—+В
категории TOPS утверждение, что этот функтор надъек-
тивен для морфизмов из р' в р, означает, что для любой
.гомотопически коммутативной диаграммы вида
¦отображение :/ гомотопно отображению g: E' —*-Е над В,
т. е. отображению, для которого диаграмма
коммутативна. Оказывается, что это заведомо так, если
отображение р: Е —>¦ В является расслоением (хотя бы
гомотопическим). Действительно, в этом случае в диа-
диаграмме

112 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
где F—гомотопия, связывающая отображения pof ар',
существует накрывающая гомотопия /•', для которой
F о а0 ~ /, и потому отображение g = F о а± будет гомо-
топно отображению / \ибо F о at ~ F octJ и будет Обла-
Обладать тем свойством, что р о g = р о F о ох = F о 0Х в р'. rj
Отсюда, в частности, следует, что если гомотопическое
расслоение р: Е—>¦ В обладает сечением е категории [ТОР],
то оно будет обладать сечением и в категории ТОР, т. е.,
иными словами, если существует такое отображение t: В—>Е,
что р о t ~ id, то существует и такое отображение s: B—+E,
что pos = id (достаточно применить доказанное утвержде-
утверждение к случаю, когда Е' — В, p'=id и f — t). о
Следующая лемма выражает существенно более глубо-
глубокий факт.
Лемма 2. Если отображение р: Е—>В является го-
гомотопическим расслоением, то для любого отображения
f: E—+E над В, гомотопного (в ТОР) тождественному
отображению id?, существует над В такое отображение
g: E—+E, что fog~id.
в
Доказательство. По условию существует гомото-
гомотопия F: ExI—>-Е, связывающая отображение / с отобра-
отображением id. Поскольку р о f = р, гомотопия pof; ExI —+B
будет связывать отображение р с самим собой. Поэтому
диаграмма
будет коммутативна, и, следовательно, для нее будет су-
существовать гомотопия F: Ех1—+Е, накрывающая гомо-
топию р о F и такая, что Focr0~ id. Так как ввиду ра-
_ в _
венства р о F о ai=>р о F о а^ = р отображение gW' о аг:
Е—+Е является отображением над В, то лемма 4 будет
доказана, если мы покажем, что для этого отображения
имеет место соотношение
f о g~id.
в

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Ш
С этой целью мы введем в рассмотрение гомотопию
Я: Ех1—*Е, определенную формулой
(foF)(x, 1 — 40, если 0<jf<l/4,
hi л-Л'"^^- ^ — 1), если 1/4^^^1/2, „
( ' ]~\ f(x), если l/2</<3/4, X^L'
\F(x,4t—3), еслиЗ/4</<1,
где G: Ex I —*E—гомотопия над В, связывающая отобра-
отображение F о а0 с отображением id?. Гомотопия Я связывает
отображение fog с отображением id?, но не является
гомотопией над В, поскольку
((poF)(x, I — At), если 0</<1/4,
(р о Я) (л-, t) = \ р (х), если 1/4 < t < 3/4,
Цро^)(д:, 4/—3), если 3/4</<1,
тогда как для гомотопии над В равенство (р о Я) (х, t) ---
=р(х) должно иметь место для всех точек (х, t)$Exf.
Чтобы исправить дело, мы рассмотрим отображение
Ф: Exlxl —>В, определенное формулой
Ф(х, t, т) =
\{poF)(x, 1— 4/A— т)), если 0</<а(т),
р(х), если а(т)<;<Р(т),
{(p°F)(x, 1 — 4A — /)A— т)), если |3(т)</<1,
где х С Е, 0 < t, т < 1 и
1 1 \ а, ч /1 3—4т
Непосредственная проверка показывает, что отображение
Ф непрерывно и что
ф (*, /, 0) = (р о Я), (х, 0. (*, 0 € Я х /,
т. е. что имеет место коммутативная диаграмма

[\ц гомотопические эквй6Хлён1!'МоС1'м
Поэтому существует отображение Ф: Exlxl—*-Е, накры-
накрывающее отображение Ф и такое, что Н ~ Ф о <г0.
в
Поскольку, как легко видеть, для любой точки х?Е
и любых /, т ? / имеют место равенства
Ф(*, О, х) = Ф(х, t, 1)=-Ф(л:( 1,-т)~/>(*),
из того, что Ф накрывает Ф, следует, что соответствия
(х, х)^Ф(х, О, х), (х, ()^Ф(х, t, 1), (х, т)*->Ф(л:, 1, т)
определяют гомотопии над В, композиция которых связы-
связывает отображение <р0: xt—>Ф{х, 0, 0) = (Фоаи)(х, 0) с ото-
отображением фх: х>-з-Ф(х, 1, 0)=(Фоа0)(^, 1). Таким обра-
образом, Ф0~ф1.
в
С другой стороны, если ?: Exlxl—*Е—гомотопия
над В, связывающая Н с Фоа0, то гомотопия (х, t)i—>
t->~V(x, 0, т) будет гомотопией над В, связывающей ото-
отображение ху-^Н(х, 0) = (/og)(x) с отображением ху—>
*-*^(х, 0, \) = ф(х, 0, О) = фо(л:), а гомотопия (х, т)>->
i->y?(x, I, x) будет гомотопией над В, связывающей ото-
отображение хь-»Я (х, 1) ex с отображением лп—>?(#, 1,1)=
=Ф(л:, 1,0)-%^). _ .
Таким образом, fog~% и ids — tp,;.
в в
Следовательно,
и лемма 2 доказана. ?
Непосредственным следствием леммы 2 является еле-
дующее предложение, утверждающее, что послойное ото-
отображение расслоений (хотя бы гомотопических), является
гомотопической эквивалентностью.
Предложение I. Для любых гомотопических расслое-
расслоений р': Е' —+В и р: Е-+В каждое отображение {: ?',—>- Е
над В, являющееся гомотопической эквивалентностью,
будет гомотопической эквивалентностью над В.
Доказательство. По условию существует такое
непрерывное отображение /': Е—>?", что /о/' ~ id и
/'o/~id. При этом мы можем считать (заменив, если
нужно, отображение f гомотопным отображением), что /'
является отображением над В. Тогда отображение /о/':

КОЛЛАПСИРУЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЦГ>
Е—> Е будет удовлетворять всем условиям леммы 2 и,
значит, будет существовать такое отображение f: E—+E
над В, что (fof')of ~ id. Следовательно, положив g=f'of",
в
мы получим такое отображение g: E—*E' над В, что
fog ~ id.
л
Поскольку отображение g также является гомотопи-
гомотопической эквивалентностью, к нему применимо то же по-
построение. Следовательно, над В существует такое отобра-
отображение h: E'—+E, что go/i~id. Но тогда
в
и потому gof ~ id.
в
Таким образом, / является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью над В с обратной эквивалентностью g. п
Следствие 1. Любое гомотопическое расслоение р'\
Е'—*В послойно гомотопически эквивалентно обыкновен-
обыкновенному расслоению.
Доказательство. Согласно следствию леммы 6
лекции 2 отображение р' разлагается в композицию pol
гомотопической эквивалентности i: E'—>Е и расслоения
р: Е—*В, где Е—коцилиндр Cocyl(p') отображения р'.
Поскольку равенство p'<=>pot означает, что гомотопиче-
гомотопическая эквивалентность I является отображением над В
гомотопического расслоения р'\ Е'—>В в расслоение
р: Е—>-В (рассматриваемых как объекты категории ТОРЛ),
к ней применимо предложение 1. Следовательно, эта гомо-
гомотопическая эквивалентность будет гомотопической эквива-
эквивалентностью над В. ?
Другое важное применение предложения 1 относится
к отображениям р: Е—+В, являющимся, как отображе-
отображения над В, гомотопическими эквивалентностями над В.
Для таких отображений обратная эквивалентность i: В —> Е,
являясь отображением над В, автоматически будет сече-
сечением отображения р и, значит, монеоморфизмом. Вложив
посредством этого монеоморфнзма В в Е, мы получим из р
деформационную ретракцию над В. В этом смысле каж-
каждое отображение р: Е—*В, являющееся гомотопической
эквивалентностью над В, будет и деформационной ре-
ретракцией над В.

116 КОЛЛАПСИ РУЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Отображения р: Е—>-В, являющиеся гомотопическими
эквивалентностямп над В, мы будем называть коллапси-
рующими отображениями. Согласно сказанному они пред-
представляют собой такие деформационные ретракции р: Е —>¦ В,
что при гомотетии, связывающей отображения id и top,
каждая точка х ? Е движется к точке р(х)?В по мно-
множеству р~1(р(х)).
Замечание 4. Понятие коллапсирующего отобра-
отображения двойственно понятию строгой деформационной ре-
ретракции.
По определению каждое отображение р: Е—+В пред-
представляет собой морфизм категории ТОРл самого этого ото-
отображения, рассматриваемого как объект категории TOPfi
в объект id: В—>В. Поэтому коллапсирующее отображе-
отображение р: Е—+В гомотопически эквивалентно над В рас-
расслоению id. Значит, в силу леммы 1 оно является гомо-
гомотопическим расслоением. Кроме того, оно, конечно, будет
и гомотопической эквивалентностью.
Обратно, пусть р: Е—+В—гомотопическое расслоение,
являющееся гомотопической эквивалентностью. Поскольку
это отображение является также отображением над В
гомотопических расслоений (его самого в расслоение id),
к нему применимо предложение 1, согласно которому оно
будет гомотопической эквивалентностью над В, т. е. кол-
лапсирующим отображением.
Тем самым доказано, что отображение р: Е—>- В тогда
и только тогда является коллапсирующим, когда оно яв-
является гомотопическим расслоением и одновременно гомо-
гомотопической эквивалентностью.
Далее, легко видеть, что любое коллапсирующее ото-
отображение р: Е—>¦ В мягко (удовлетворяет аксиоме МРС
из Дополнения к лекции 1). Действительно, если U —
функциональная окрестность в В подмножества Ас:В и
s: U—уЕ—произвольное сечение отображения р над U,
то (в не ограничивающем общности предположении, что
окрестность U замкнута) формула
F (s (*). Ф (*»• если х$и>
i(x), если ф(#)=*1,
где i: В—»¦ Е—сечение отображения р, являющееся обрат-
обратной гомотопической эквивалентностью над В, F—гомо-
топия Ех1—+Е над В, связывающая отображение top
с отображением id, а ф—такая функция В-+1, что ф=*0

ТЕОРЕМА ДОЛЬДА Ц7
на А и ф = 1 вне V, корректно определяет сечение s: В—+Е
отображения р, совпадающее на А с сечением s. ?
Теперь мы можем доказать важную теорему Дольда,
утверждающую локальный характер понятия послойной
гомотопической эквивалентности.
Пусть р'\ Е' —>¦ В и р: Е—>-В—произвольные отобра-
отображения (объекты категории ТОРВ), и пусть /: Е'—+Е—
отображение над В из р' в р:
Пусть, далее, {?/„, agA} — нумерируемое покрытие про-
пространства В, и пусть {V'a\ и {Va}—его прообразы при
отображениях р' и р соответственно (являющиеся, как мы
знаем, нумерируемыми покрытиями соответственно про-
пространств Е' и Е).
Тогда для любого <х?А отображение / будет индуци-
индуцировать некоторое отображение
/а- "а * Y ai
замыкающее коммутативную диаграмму
Ра = Р |„;,
т. е. являющееся отображением над Ua.
Если / является послойной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью (над В), то fa также, очевидно, будут послойными
гомотопическими эквивалентностями (над Ua): обратные
эквивалентности ga: Va—+Va будут при этом индуциро-
индуцироваться обратной эквивалентностью g: Е—+Е'. Оказывается,
что обратное утверждение также верно.
Теорема 1. Если для любого <х?А отображение fa:
V'a—>-Va является послойной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, то отображение /: Е' —> Е также будет послойной
гомотопической эквивалентностью.

118 ТЕОРЕМА ДОЛЬДА
Доказательство. Как было замечено в начале
этого Дополнения, отображение / над В разлагается в ком-
композицию гомотопической эквивалентности I: Е' —*-Cocy1a(/)
над В и расслоения /: Сосу1в (/)—»¦? над В:
f: E'Лсосу1 a{f)-LE
(мы обозначаем расслоение символом f, поскольку преж-
прежний символ р у нас сейчас занят). Аналогичное разложение
допускает, конечно, и каждое отображение fa. При этом
коцилиндр Сосу1уа(/) естественным образом отождест-
отождествляется с прообразом множества Ua при проекции
Cocyla(f)—>-В, (х, и)*-*р(х), а отображение Ja—с огра-
ограничением отображения J на этом прообразе.
Так как по условию отображения }а являются гомо-
гомотопическими эквивалентностями, то отображения /а также
будут гомотопическими эквивалентностями и потому, яв-
являясь расслоениями, будут коллапсирующими, а значит,
и мягкими отображениями. Поскольку покрытие {Va\ ну-
мерируемо и V'a «я/й1 (^а) Для каждого а ? А, отсюда в силу
леммы 2 Дополнения к лекции 1 следует, что отображе-
отображение f также мягко и потому обладает сечением f': E—>¦
—*-Сосу1ч(/), автоматически являющимся отображением
над В. Поэтому отображение ?*=/о/', где /—гомотопи-
/—гомотопическая эквивалентность CocylR(f)—+E', обратная к экви-
эквивалентности {, будет отображением над В, удовлетворяю-
удовлетворяющим соотношению
fog^fohjoj' ~ fop «id.
в
Кроме того, отображение g будет каждое множество Va
переводить в множество V'a и, значит, будет индуцировать
некоторое отображение ga: Va—>-V'a, удовлетворяющее,
очевидно, соотношению fa°ga~ id и потому являющееся
ОС
гомотопической эквивалентностью над 5, обратной к го-
гомотопической эквивалентности fa: V'a~->Va.
Мы видим, следовательно, что отображение g удовлет-
удовлетворяет тем л<е условиям, что и отображение / (с переста-
перестановкой Е и ?"). Поэтому, по уже доказанному, сущест-

ЙИДуЦИРОбАИНЫЁ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ РЛССЛОПНИЯ 1Ш
Byef такое отображение h: E'—+E, что go/i~id. Но тогда
в
h~ f°g°h~f, и, значит, gof~id.
в в в
Таким образом, fog ~ id и gof ~ id, так что / является
в в
гомотопической эквивалентностью над 5. D
Из лекции 1 мы знаем, что для любого расслоения
р: Е—>В и любого непрерывного отображения /: Х—+В
индуцированное отображение
р,: E(f)-+X,
где для упрощения формул через Е (/) обозначена коамаль-
гама EftfX, также является расслоением. Легко видеть,
что это утверждение остается в силе и для гомотопиче-
гомотопических расслоений, т. е. для любого гомотопического рас-
расслоения р: Е—+В отображение pf: E(f)—+X также яв-
является гомотопическим расслоением. Действительно, рас-
рассуждая, как и в лекции 1, рассмотрим произвольную диа-
диаграмму вида
Поскольку р: Е—>-Вявляется гомотопическим расслоением,
существует такое отображение Я: Zxl—>Е, что роН =
—foG и Ноо0~ f#o g над В. Равенство poH — foG озна-
означает, что пара (Я, G) представляет собой обратный конус
над парой (р, f). Поэтому существует единственное ото-
отображение G: Zxl —+ E(f), для которого J#oG = H и
pfoG = G. Аналогично, если ht: Z—> Е—гомотопия над В,
связывающая отображения Яоа0 и f#°g, то для любого
1?1 будет иметь место равенство poht=*foGoo0, показы-
показывающее, что пара (ht, Goo0) является обратным конусом
над парой (р, /). Поэтому существует единственное ото-
отображение ht: Z—*E(f), для которого f#oht = ht и pfoht—
= Goo0. Отображения ht составляют гомотопию (почему?)»

120 РАССЛОЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
из Z в E(f). Так как /#оЛ0=*Л0=#0осг0 = /#оОосг0 и
/j/o/i0=Go/i0==/?/,oGocr0, то в силу единственности /I0=Gocr0.
Аналогично, так как f#oh1 = h1 = f#og и
—PfOg, то hx = g. Наконец, поскольку pft 0
— pfoliu, гомотопия /^_является гомотопией над X. Таким
образом, pfoG = G и Gaau~g над X, как и требуется. ?
Сравним теперь расслоение р/. E{f)—+ X с расслое-
расслоением pg: E(g)—>-X, где g—отображение Х—+В, гомо-
гомотопное отображению /.
С этой целью мы предварительно рассмотрим произ-
произвольное гомотопическое расслоение р: Е—+Вох1 с базой
вида Вох1. Пусть Е0 = р~1(В0х0) и р0: Ел—*В0—огра-
Ел—*В0—ограничение отображения р на ?0 (мы отождествляем В0х0
с До). Пусть, далее, /„: Еа—+Е—вложение.
Мы будем считать Ео и Е пространствами над В„ с про-
проекциями р0 и ргл„ор соответственно. Тогда /0 будет, оче-
очевидно, отображением над Во.
Лемма 3. Отображение i0 является гомотопической
эквивалентностью над Во.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
м
отображение F которой определено формулой
F (е, 0-F, тA —0). если р(е)~(Ь,х),
е?Е, Ь?В0, т, t?l.
Поскольку отображение р является по условию гомотопи-
гомотопическим расслоением, для этой диаграммы существует на-
накрывающая (poF = F) гомотопия F: ExI —*Е, обладающая
тем свойством, что id~/''ocr0 над Вох1, а значит, и над 50.
При этом ясно, что гомотопия F является гомотопией
над Во, так что Foa^^Fo^ над Во. Следовательно,
id—FoCj над 50. Но, так как poFoa1=aFoa1:__e*—»-(b, 0),
если р(е) = (Ь, т),то (Foa1)(E)czE0 и, значит,
где г: ?'—»¦?'„—некоторое отображение над 50.

РАССЛОЕНИЯ, ИНДУЦИРОВЛННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯМИ 121
Таким образом, мы построили такое отображение г:
Е—<¦?¦„, что i0or~id над Во. Поэтому для завершения
доказательства леммы осталось лишь показать, что ro/0~id
над 50.
Поскольку гомотопия, связывающая отображения idB
и FoG0, является гомотопией над Вох/, она индуцирует
некоторую гомотопию из Ед в Ео над Во, связывающую
отображение id?0 с отображением (Focr0H: f0—уЕ0, инду-
индуцированным отображением Foa^. С другой стороны, если
е ? ?¦„, т. е. р (е) >= (Ь, 0), то по построению F (e, i) = (b, 0)
и, значит, (poF)(e, t) = (b,J)), т.е. Р(е, t)?Eu для любого
t?l. Поэтому гомотопия F также индуцирует некоторую
гомотопию из ?0 в ?¦„ над 50, связывающую отображение
(Focr0H с отображением (Foa^^: ?0 ¦—> ?0, индуцированным
отображением Foax. Следовательно, id~(Foo1)l> над 50.
Но тот факт, что отображение (Focr,,),, индуцировано
отображением Focr1( означает, что имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
'Г 1'
1
Следовательно, t0o(Focr1H = (Foff)i)of0 = /0orot0, и потому
(fWiH = ro/0. Значит, rot'0~id над Во. П
Замечание 5. Ясно, что аналогичное утверждение
верно и для вложения ix: Ех—+Е, где Е1 = р~1{Вах 1).
Мы применим лемму 3 к гомотопическому расслоению
р^ E(F)—>-XxI, индуцированному посредством некото-
некоторой гомотопии F: Хх1—+В из гомотопического расслоения
р: Е—>-В. Если F связывает отображение /: Х—*В с ото-
отображением g: X—+B, то, как непосредственно вытекает
из функториального свойства коамальгам, расслоение (pF)a:
E(FH—>-X для расслоения pF совпадает с расслоением^:
E(f)—<-Х (так что, в частности, Е (F)o = E (/)), а расслое-
расслоение (pF)i. E {F\ —+ X совпадает с расслоением pg: E (g)—+X.
Таким образом, согласно лемме 3 имеют место гомотопи-
гомотопические эквивалентности над X
Следовательно, гомотопические расслоения pf: E(g)—*X
и ре: E(g)—*X гомотопически эквивалентны над X.

122 РАССЛОЕНИЯ. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
Этим доказано следующее предложение.
Предложение 2. Гомотопические расслоения р}:
E{f)—+X и pg. E(g) —>X, индуцированные из гомотопиче-
гомотопического расслоения р: Е—*В гомотопными отображениями
f, g: X—+B, послойно гомотопически эквивалентны. О
Послойная гомотопическая эквивалентность, связываю-
связывающая расслоения pf и pg, однозначно с точностью до по-
послойной гомотопии определяется гомотопией F, связываю-
связывающей отображения fug. Мы будем обозначать ее симво-
символом p(F).
По определению индуцированного расслоения для каж-
каждого F отображения /: Х—+В определено отображение
/#: E{f)—+E, для которого диаграмма
х -Lb
коммутативна. При этом ясно, что для любой гомото-
гомотопии F: Хх1—+В, связывающей отображение / с отобра-
отображением g, ограничения (/="#H = F# о t0 и (F#)i=*F#\o it
отображения F#: E(F)]—*E на соответственно подпрост-
подпространствах E(FH = E'j(f)fa[E(F1) = E(g) совпадают с ото-
отображениями /# и g#, так что диаграмма
коммутативна. Для гомотопической эквивалентности р (F)
отсюда следует, что диаграмма
гомотопически коммутативна.
(Утверждение о гомотопической коммутативности яв-
является наилучшим возможным, поскольку отображение
p(F) определено с точноггыо до гомотопии.)

РАССЛОЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ.1 ОТОБРАЖЕНИЯМИ 123
Пусть теперь fi Bt—>-B—гомотопическая эквивалент-
эквивалентность с обратной гомотопической эквивалентностью g:
В—*-Bit и пусть G: fix/—»-В—такая гомотопия, что G:
id~fog. Поскольку, как мы знаем (см. лекцию 1),
id* e id и (/og)#=a/#og#, для композиции /# о g# ото-
отображений /#: ?•(/)—*¦? и #*: Е (/ о g) —> Е (/) имеет мес-
место гомотопически коммутативная диаграмма
означающая, что в диаграмме
композиция стрелок верхней строчки гомотопна тождест-
тождественному отображению. Значит, /# о g# ~ p(G), где р (G)—
гомотопическая эквивалентность, обратная к эквивалент-
эквивалентности p(G), а потому и p(G) of#og# ~p(G) о p(G) ~ id.
Этим доказано, что существуют такие отображения ср:
E(f)—+E{fog) и ij): E—+E{f) (а именно, отображения
ср = р (G) о /# и t|; я= ?# о ^ (G)), что ф о g# ~ id и /# о i|?~id.
Применив это утверждение к расслоению /?/: Е (/) —> В^
и к отображению go f (также по условию гомотопному
тождественному отображению), мы, в частности, получим,
что существует такое отображение а^: E(f)—+E(f о g), что
g* о ij)f ~ id. Но тогда i|)i ~(ipo ?#) о i|;,, = (р о (g# о tpi)-—^ф
и, значит, g* о ф ~ id. Таким образом, g-# является го-
гомотопической эквивалентностью с обратной гомотопической
эквивалентностью ф.
Поскольку f* о g*op(G)~ id, отсюда следует, что ото-
отображение /# также является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью (с обратной гомотопической эквивалентностью
S*op(G)).

124 РАССЛОЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
Тем самым доказано
Следствие /. Если в диаграмме
РА , I"
вх -+в
отображение f является гомотопической эквишлентностью,
то отображение f# также будет гомотопической эквива-
эквивалентностью. П
Другой интересный случай возникает, когда отображе-
отображение / гомотопно постоянному отображению.
Следствие 2. Если отображение /: X—> В гомотопно
постоянному отображению const: Х—+В, л->60, то для
любого гомотопического расслоения р: Е'—> В индуцирован-
индуцированное расслоение р{: E(f)—>-X послойно гомотопически экви-
эквивалентно тривиальному расслоению со слоем F = p~1(b).
Доказательство. По определению пространство
? (const) состоит из пар (х, е)^ХхЕ, для которых р{е)=
= const (#) = &„, и, значит, является произведением XxF.
Отображение же pCOnst'- E (const) —»¦ X, (х, е) н-»• х, будет,
следовательно, проекцией XxF—*X. О
Пространство В называется полулокально стягиваемым,
если любая его точка обладает такой окрестностью U,
что вложение U —+B гомотопно постоянному отображению.
Расслоение р: Е—+В называется гомотопически локально
тривиальным, если любая точка пространства В обладает
такой окрестностью V, что расслоение ри: p~%(U)—+U
послойно гомотопически эквивалентно тривиальному рас-
расслоению UxF—>-U (где F, вообще говоря, зависит от ?/).
Следствие 3. Если пространство В полулокально
стягиваемо, то любое гомотопическое расслоение р: Е—>-В
гомотопически локально тривиально. ?
Индуцированные расслоения обладают свойством функ-
ториальности и по отношению к послойным отображениям,
т. е. для каждого непрерывного отображения /: Х—+В
любое послойное отображение h: E—>?" индуцирует (по
формуле hj (х, е) = (х, h (e))) некоторое послойное отобра-
отображение h/. E(f)—+E'(f), причем /iw —id, hf,g = hfahg и,
аналогично, id_^ = id, (ho k)f=hf о kf. Кроме того, для
любой гомотопии F: XxI—*B, связывающей отображе-
отображение / с отображением g, ограничения (hFH=hF о i0 и
A1рI=11ро ix отображения hr на соответственно подпро-
подпространствах E(F)u = E(f) и E(F1) = E(g) совпадают с ото-

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НА СЛОЯХ 125
бражениями hf и hg, так что диаграмма
Е'ф ^E'(F)^
коммутативна. Поэтому диаграмма
ht\
¦*
гомотопически коммутативна.
В частном случае, когда g представляет собой посто-
постоянное отображение const: Х—>-В, х*-»й0, и, значит, рас-
расслоения pg: E(g)—>-X и pg: E'(g)—>-X имеют соответст-
соответственно вид XxF—>¦ X и XxF'—>-X, отображение hg за-
задается соответствием (х, у)>—> (х, h(y)), y?F, и потому
будет послойной гомотопической эквивалентностью, если
гомотопической эквивалентностью является отображение
hba: F—>¦ F', индуцированное отображением h. Но тогда
послойной гомотопической эквивалентностью будет, ко-
конечно, и отображение hf.
Мы сформулируем этот результат в виде отдельного
следствия.
Следствие 4. Если отображение f:X—+B гомотопно
постоянному отображению const: X—+B, xt-^b^mo для
любого послойного отображения h: E—>?' гомотопического
расслоения р: Е—*В в гомотопическое расслоение р'\ Е'—+В,
обладающего тем свойством, что отображение Иь,: р~1(Ь<?)—+
—+Р'~1Фо) является гомотопической эквивалентностью,
отображение
hf. ?(/) — ?'(/)
индуцированных расслоений будет послойной гомотопичес-
гомотопической эквивалентностью. ?
Пространство В называется нумерируемо полулокально
стягиваемым, если существует такое его нумерируемое по-
покрытие \Ua\, что для любого а вложение Ua-~+B гомо-
гомотопно постоянному отображению.
Говорят, что послойное отображение h: E—>?' гомо-
гомотопического расслоения р: Е —*¦ В в гомотопическое рас-
расслоение р'\ Е'—>-В является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью на слоях, если для любой точки Ъ ? В отображение
hb: p~\b)—*p''^(b) представляет собой гомотопическую экви-
эквивалентность. Ясно, что любая послойная гомотопическая

126 гомотопические эквивалентности на слоях
эквивалентность будет гомотопической эквивалентностью
на слоях. Для нумерируемо полулокально стягиваемого
пространства В верно и обратное:
Предложение 3. Если пространство В нумерируемо
полулокально стягиваемо, то любое послойное отображе-
отображение h: Е—> В' гомотопического расслоения р: Е—>-В в
гомотопическое расслоение р'\ Е'—*-В, являющееся гомо-
гомотопической эквивалентностью на слоях, будет послойной
гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Пусть {Ua,}—такоенумерируемое
покрытие пространства В, что для любого а вложение
Ua,—>-B гомотопно постоянному отображению. Тогда со-
согласно следствию 4 каждое отображение
будет послойной гомотопической эквивалентностью (на-
(напомним, что для любого множества UczB расслоение
pv=p\p-i(U): p-i(U)—+U совпадает с расслоением pt:
Е (i) —»¦ U, индуцированным вложением i:U~* В). Поэтому,
согласно теореме 1, отображение h: E—+E' также будет
послойной гомотопической эквивалентностью. ?
Замечание 6. Для любой точки Ьо ? В пространство
р~1 ф0) является коамальгамой Е (/), соответствующей ото-
отображению /: pt—«-B, переводящему точку pt в точку
Ьо ? В. С другой стороны, каждый путь и: I —> В про-
пространства В мы можем рассматривать как гомотопию,
связывающую отображения pt—>-B, соответствующие точкам
Ьо = и @) и bt = и A). Поэтому для отображений h0: p-1(^o) ~*
-*¦ р'~1Фо) и V: P~lФд —*¦ Р'~*(h) имеет место гомотоп и-
чески коммутативная диаграмма
1 ч
4b
горизонтальные стрелки которой являются гомотопичес-
гомотопическими эквивалентностями. Значит, отображение Нь, тогда и
только тогда представляет собой гомотопическую эквива-
эквивалентность, когда гомотопической эквивалентностью яв-
является отображение hw Следовательно, отображение п:
?—»¦?" тогда и только тогда является гомотопической
эквивалентностью на слоях, когда в каждой компоненте
связности пространства В существует такая точка Ь, что
отображение пь: р~%Ф)-^>-р'~1ф) представляет собой го-
гомотопическую эквивалентность.

ЛЕКЦИЯ 3
Гомотопически инвариантные функторы.— Функтор щ.—
Представимые функторы.— Группы категории.— Н-груп-
пы, Н-моноиды и Н-унитоиды (Н-пространсгва).— Ко-
группы категории.— Категория ТОР'.— Категория
[ТОР'].— Н-когруппы, Н-комоноиды н Н-коунитоиды.—
Надстройки.— Приведенные надстройки.— Пространства
петель.— Сопряженность функторов S' jiQ. Топологичес-
Топологический моноид муровских петель.— Пространство петель
является Н-группой.
Как было объяснено в вводной лекции 0, главной за-
задачей алгебраической топологии является построение и
изучение различных алгебраических функторов П, опре-
определенных на категории ТОР, с целью последующего при-
применения их к переработке геометрических задач в произ-
производные алгебраические задачи. Однако нам нужны не
любые функторы. Поскольку мы имеем в виду рассмат-
рассматривать лишь геометрические задачи, постановка которых
инвариантна по отношению к переходу к гомотопным ото-
отображениям (по разъясненным в лекции 0 «мощностным»
аргументам только такие задачи могут рассчитывать на
эффективное решение средствами алгебры), естественно
ограничиваться гомотопическими инвариантными функ-
функторами П, обладающими тем свойством, что Uf = Ug,
когда f ~g, т. е., иными словами, являющимися компо-
композицией функтора факторизации ТОР—»¦ [ТОР] и некоторого
функтора П, заданного на гомотопической категории [ТОР].
(Вообще, более последовательно было бы покинуть кате-
категорию ТОР и окончательно перейти в категорию [ТОР],
по по чисто психологическим причинам мы предпочитаем
оставаться в более привычной реальности категории ТОР.)
Поэтому мы сосредоточим наше внимание на методах по-
построения лишь гомотопически инвариантных функторов.
Простейший пример гомотопически инвариантного функ-
функтора мы получим, рассмотрев для любого топологического
пространства X множество я„Х всех его компонент. Так
как для каждого непрерывного отображения f: X—+Y
компонента [f(x)] пространства Y, содержащая точ-
точку f(x), зависит, очевидно, лишь от компоненты [х]

128 ПРЕДСТЛПИМЫЕ ФУНКТОРЫ
пространства X, содержащей точку х, то соответствие
корректно определяет некоторое отображение множеств
л,/: я„Х—+я0К, и ясно, что тем самым мы получаем
функтор
я0: TOP-* ENS
из категории ТОР в категорию множеств ENS, очевидным
образом гомотопически инвариантный.
Соответствующий функтор [ТОР]—+ ENS также обо-
обозначается символом я„.
Как мы уже отметили в лекции 1, компоненты про-
пространства X естественным образом отождествляются с
гомотопическими классами отображений pt —>¦ X, где pt—
топологическое пространство, состоящее из одной точки.
Следовательно, n0X = [pt, X] и соответственно этому яо|У]
представляет собой не что иное, как отображение /«:
[pt, X]—»-[pt, У], определенное формулой [*]i—*[f ° x], где
х: pt~+X~.
Эта интерпретация функтора я0 допускает весьма да-
далекое обобщение на любые категории А. Именно, произ-
произвольно выбрав в категории А некоторый объект К, мы
можем построить функтор /<« из А в ENS, сопоставляющий
любому объекту X из А множество
всех морфизмов f(--»-X, а любому морфизму f:X—>-Y
из А отображение
К* (ГУ- К
(обозначаемое также символом /к или f»), определенное
формулой
К» (/)(«) -/оо, а: К-+Х.
Аналогично, положив для любого объекта X из А
н сопоставив каждому морфизму /: X —* Y из А отобра-
отображение
К* if): K*{Y)^K

ПРЕДСТАВИМЫЕ ФУНКТОРЫ 129
(обозначаемое также символом /• или fK), определенное
формулой
tf* (Л (Р)e P ° f Для любого морфизма р: Y—*/(,
мы получим контравариантный функтор К*
из А в ENS (т. е. функтор из двойственной категории Аор
в ENS).
Получаемые этой конструкцией функторы называются
представимыми. Об объекте К говорят, что он представ-
представляет функтор К.« (или функтор К.*).
Применительно к гомотопической категории этот об-
общий прием позволяет по каждому топологическому про-
пространству /( построить два гомотопически инвариантных
функтора
/С»: TOP-*ENS, К*: TOP°p^ENS,
представимых этим пространством (как функторы на
[ТОР]). По определению
A) КЛХ) = [К,Х], К*(Х) = [Х,К]
для любого топологического пространства X и
/оч h(a) = [foa], a:K^X,
{) Л(Р)-[Р°/], Р: У —К,
для любого непрерывного отображения /: X—*Y.
При # = pt мы получаем функтор я0.
В некоторых случаях при специальном выборе прост-
пространства К в множестве [К, X] или [X, К.\ удается ввести
алгебраическую структуру (группы, кольца и т. п.) так,
чтобы получился функтор в соответствующую алгебраи-
алгебраическую категорию. О таких функторах также говорят, что
они представлены пространством К.
Оказывается, многие гомотопически инвариантные функ-
функторы алгебраической топологии (в том числе почти все
контравариантные функторы) представимы. (Частично это
объясняется теоремой Брауна о представимос-
представимости, которую мы докажем в следующем семестре.) Поэтому
на первых порах разумно ограничиться изучением лишь
представимых функторов, определенных формулами A) и B).
Имеется очевидный случай, когда множество /С* (X) =
=[Х, К] обладает естественной (по X) структурой группы:
это—случай, когда К представляет собой топологическую
группу. Действительно, для любой топологической груи-
5 М. М. Постников

130 ГРУППЫ КАТЕГОРИИ
пы К и любого топологического пространства X множе-
множество ТОР(X, К) всех непрерывных отображений Х—+К
очевидным образом является группой относительно опе-
операции умножения (/, g)^*-fg, определенной формулой
C) (fg)(x) = f(x)g(x), x?X, f,g:X-+K.
Единицей этой группы служит постоянное отображение
const,,: X—«-/С в единицу е группы К, а элемент /-1, об-
обратный к элементу f: X—*K, определяется формулой
D) f-i(x) = f(x)-i
(не путать f'1 с обратным отображением!). Если {ft\:
/о — Аи {gt\: ga~gx, то \ftgt\: fogo~figi и, значит,
формула [/] [g] — [fg] корректно определяет в множестве
[X, К] умножение, по отношению к которому это множе-
множество является группой. При этом для любого непрерыв-
непрерывного отображения ф: X —> Y отображение ф*: [Y, К]—>-[Х, К],
[fji—»[ф о /], будет, очевидно, гомоморфизмом.
Эта конструкция для наших целей безусловно слишком
узка (что явствует, например, из того, что она дает слиш-
слишком много—групповую структуру на множестве ТОР(Х, К),
совершенно нам ненужную), но она послужит нам отправ-
отправной точкой для более широких обобщений. Для этого нужно
осмыслить понятие группы с общих позиций теории кате-
категорий.
Умножение в группе К является не чем иным, как
некоторым отображением
E) т: КхК—>-К, (х, у)^ху,
прямого произведения КхК в К, а операция хь-^г1
перехода к обратному элементу—некоторым отображением
ц: К-* К.
При этом тот факт, что элемент eg К является единицей
группы К, означает, что для постоянного отображения
const,,: К—>-К, х>-*е, которое нам удобно обозначить сим-
символом е, составные отображения
idxe m
К '¦/Сх/С—-К, xi-*(x,
К *"КхК~^К> хI—»• (е, х) i-^-ex,

ГРУППЫ КАТЕГОРИИ j.'jj
представляют собой тождественные отображения, т. е. что
диаграммы
/\
F)
коммутативны. (Здесь символом ах|3, где а: Х-* А и р:
X —> В, мы обозначаем отображение X —> Л х В, опреде-
определенное формулой (ахР)(л;) = (а(л;), Р (х)). В случае, когда
а: X—*А и Р: F—*В, этот же символ будет у нас обо-
обозначать отгбражение XxY—>ЛхВ, определенное форму-
формулой (axP)(*, у) — (а(х), р (</)). Таким образом, при Х = К
возникает двусмысленность. Однако при известной вни-
внимательности она к недоразумениям не приводит.)
Аналогично, ассоциативность умножения E) означает
коммутативность (т о (idxm)—m о (mxid)) диаграммы
G) mXidj
"х
а тождества хх~1=е, х~1х — е—коммутативность диаграмм
К*К
/\
(8)
Пусть теперь А—произвольная категория. Напомним,
что (прямым) произведением объектов А и В категории А
называется такой объект С, рассматриваемый вместе с
двумя морфизмами ргл: С—*¦ А, ргл: С—*В, что для лю-
любого объекта Х?А и любых морфизмов а; Х—+А, р:
X —»- В существует единственный морфизм у: X —> С обла-
обладающий тем свойством, что рглоу = а и ргдоу = р.
Объект С, если он существует, с точностью до канони-
канонического изоморфизма единствен. Он обозначается символом
Ах В, а морфизм у—символом ахр.
Аналогичным образом определяется произведение лю-
любого (в том числе и пустого!) семейства объектов катего-
категории А. При этом произведением пустого семейства объектов
5*

132 ГРУППЫ КАТЕГОРИИ
будет объект 0, обладающий тем свойством, что для лю-
любого объекта А ? А существует один и только один мор-
физм А—+0. Такой объект называется терминальным
объектом категории А. (Этот термин у нас уже встречался
в лекции 1 в связи с понятием коамальгамы.)
Категория А называется финитно мультипликативно
замкнутой (короче—фм-замкнутой), если для любого
конечного семейства ее-объектов- существует их произве-
произведение. В частности, фм-замкнутая категория обладает тер-
терминальным объектом.
Морфизм А—>-В фм-замкнутой категории называется
постоянным, если он пропускается через терминальный
объект, т. е. является составным морфизмом вида А—»¦
—*0—-В.
Примерами фм-замкнутых категорий могут служить кате-
категории ENS, TOP, [ТОР] и GROUPS. В каждой из этих кате-
категорий произведениями являются обыкновенные прямые
произведения множеств, топологических пространств или
групп, а терминальными объектами — одноэлементные мно-
множества, пространства или группы. Постоянными морфиз-
мами этих категорий являются постоянные отображения
(для категории групп—тривиальные гомоморфизмы).
Теперь ясно, что понятие группы может быть перене-
перенесено в произвольную фм-замкнутую категорию А. Именно,
объект К такой категории естественно называть группой
категории А (или А-группой), если для него заданы
какие морфизмы т: КXК —<¦ К, ц: К—*К, f: К—*К, что:
а) морфизм е постоянен;
б) диаграммы F), G) и (8) коммутативны.
Группы категории множеств ENS—это обыкновенные
абстрактные группы, группы категории ТОР—это топо-
топологические группы (а, скажем, группы категории DIFF
гладких многообразий—это группы Ли).
Вопрос: каковы группы категории GROUPS? Ср. с
леммой 3 из Дополнения к лекции 4.
Очевидно, что аналогичную «категоризацию» допускают
и другие алгебраические структуры. Например, моноидом
категории А (или А-моноидом), где А—произвольная фм-
замкнутая категория, называется объект К категории А,
для которого заданы такой морфизм т: КхК—^К и та-
такой постоянный морфизм е: К—*К, что диаграммы F) и
G) коммутативны.
В интересующих нас ситуациях условие ассоциатив-
ассоциативности (коммутативность диаграммы G)) будет, как ни стран-

ГРУППЫ КАТЕГОРИИ 133
но, часто излишне. К сожалению, для соответствующей
алгебраической структуры (умножения с единицей) до сих
пор нет общепринятого названия. Мы множество, в ко-
котором задано умножение с единицей, будем называть уни-
унитоидом и соответственно этому для любой фм-замкнутой
категории А будем называть унитоидом категории А (или
А-унитоидом) ее объект К, для которого задан такой
морфизм т: КхК—*К и такой постоянный морфизм ее
К —*¦ К, что диаграммы F) коммутативны.
Формула C) в категорных обозначениях имеет вид
fg = mo(fxg), f,g:X->I<t
а формула D)—вид
Г1-!* о/, f: Х-^К.
Эти формулы имеют смысл для любой А-группы К и лю-
любого объекта Х?А и, как автоматически проверяется,
задают в множестве А(Х, К) всех морфизмов Х—>-К
структуру группы. Единицей этой группы служит по-
постоянный морфизм X—->-/(, являющийся композицией
произвольного морфизма а: X—»-/Си морфизма е: К—*К
(и не зависящий, очевидно, от выбора морфизма а). Три-
Тривиальная проверка показывает при этом, что для любого
морфизма f:X—*Y категории А отображение /•: pi—*.(Jo/
из A (Y, К) в А(Х, К) является гомоморфизмом групп и
что соответствия Х\-^*-А(Х, К), /•—*•/* задают функтор
из категории А в категорию групп, т. е., иными словами,
что структура группы в А(Х, К) естественна по X.
Обратно, предположим, что для некоторого объекта К
категории А все множества А(Х, К), Х?А, снабжены
естественной по X структурой группы. Тогда, в частно-
частности, группой будет множество А(КхК, К) всех морфиз-
морфизмов КхК—+К. По определению, эта группа содержит
два морфизма рг^ КхК—+К и рг2: К.ХК—+К. Произве-
Произведение этих морфизмов (как элементов группы А(КхК, К))
мы обозначим через т. Аналогично, множество А(К, К)
также является группой. Мы примем за е единицу этой
группы, а за [г—элемент, обратный к элементу \й:К—+К.
Равенства ide = eid = id в группе А (К, К) в точности
равносильны коммутативности диаграмм F), а равенства
id[x = [xid = e—коммутативности диаграмм (8). Что же
касается диаграммы G), то ее коммутативность
равносильна соотношению ргг(р1ург8)=(рг,-рга)-рГз

1,34 Н-ГРУППЫ, Н-МОНОИДЫ И Н-УНИТОИДЫ
для элементов рг,, рг2, рг„: КхКхК—*К группы
А(КхКхК> К). Кроме того, из того, что отображе-
отображение f* для любого морфизма /: X—»-У категории А
является гомоморфизмом группы A (Y, К) в группу
А(Х, К) и потому переводит единицу первой группы в
единицу второй группы, немедленно следует, что для лю-
любого морфизма f: K—>-K имеет место равенство e = eof.
В частности, это равенство имеет место для каждого
постоянного морфизма /:/(—> К (существующего в силу
непустоты группы А @, /<)), что возможно только тогда,
когда сам морфизм в постоянен. Таким образом, мор-
физмы т, (а и е удовлетворяют всем условиям определе-
определения А-группы, так что по отношению к ним объект К
является группой категории А. Наконец, как показывает
очевидная автоматическая проверка, структура группы в
каждом множестве А (X, К), определяемая формулами
C) и D), совпадает с заданной.
Этим доказано, что множества А (X, К) тогда и толь-
только тогда обладают естественной по X структурой группы,
когда объект К является группой категории А.
Ясно, что аналогичное утверждение справедливо и по
отношению к моноидам и унитоидам.
Применительно к категории [ТОР] мы получаем, в
частности, что множества [X, К] тогда и только тогда
обладают естественной по X структурой группы, моноида
или унитоида, когда топологическое пространство К явля-
является группой, моноидом или унитоидом категории [ТОР].
Для групп категории [ТОР] морфизмы т, (а и е явля-
являются по определению гомотопическими классами непре-
непрерывных отображений. Однако на практике оказывается
удобно вместо этих классов рассматривать некоторые их
представители (выбирая, конечно, в классе е постоянное
отображение const,,, где е—некоторая точка). Таким
образом, мы приходим к концепции топологического про-
пространства К, для которого заданы такие непрерывные
отображения
т: КХК-+К, |х: К-+ К
и такая точка е?К, что диаграммы F), G) и (8)
(с е = const,,) гомотопически коммутативны. Такого рода
топологическое пространство мы будем называть Н-группой
(естественный термин «гомотопическая группа», к сожа-
сожалению, занят).

Н-ГРУППЫ, Н-МОНОИДЫ И Н-УНИТОИДЫ 135
Аналогично определяются Н-моноиды и Н-унитоиды.
Впрочем, Н-унитоиды в топологии принято называть
Yi-пространствами. Несмотря на бесцветность этого тер-
термина (утвердившегося только из-за отсутствия в алгебре
хорошего названия для множеств с умножением, облада-
обладающим единицей), мы, чтобы не порывать с традицией,
также будем им пользоваться.
Для любых двух элементов х, у произвольного Н-про-
Н-пространства К элемент т(х, у) обозначается обычно сим-
символом ху и называется произведением этих элементов.
Аналогично (в случае, когда К является Н-группой),
элемент ц,(х) обозначается символом х~1 и называется
элементом, обратным (или—более распространенно—гомо-
топически обратным) к элементу х. Элемент е называется
гомотопической единицей.
Согласно полученному выше общему утверждению для
каждого Н-пространства К и любого топологического про-
пространства X множество [X, К] обладает естественной
по X структурой унитоида (структурой моноида, если
К является Н-моноидом, и структурой группы, если
К является Н-группой). При этом умножение в [X, К]
определяется формулой
[ЛИ»И, f, g: X-+K,
где h—отображение Х—*К, определенное формулой C),
т, е. формулой
h{x)~f(x)g(x), x?X.
Единицей -этого умножения является гомотопический
класс [const,.] постоянного отображения const,: Х-^К,
а операция [П|-^-[/]~1 задается (в случае, когда К является
Н-группой) формулой [Д]™^]. где f'1' x*-^*-f(x)~l для
любой точки х б X.
Ясно, что, заменив отображение т (а в случае Н-
группы и отображение ц) произвольным гомотопным ему
отображением, а элемент е—произвольным элементом,
лежащим в той же компоненте связности, мы из данного
Н-пространства (Н-моноида или Н-группы) снова получим
Н-пространство (Н-моноид или Н-группу). Это Н-про-
странство (Н-моноид или Н-группа) называется эквива-
эквивалентным исходному Н-пространству (Н-моноиду или
Н-группе). Иными словами, два Н-пространства (Н-мо-
(Н-моноида нли Н-группы) эквивалентны, если они определяют

136 Н-ГРУППЫ, Н-МОПОИДЫ И И-УНИТОИДЫ
один и тот же унитоид (соответственно один и тот же
моноид или одну и ту же группу) категории [ТОР].
С точки зрения общей алгебры морфизмами Н-прост-
ранств (Н-моноидов и Н-групп) следует называть непре-
непрерывные отображения f: K—+L, для которых коммута-
коммутативны диаграммы
(9) «1 , Ь «1 , 1*
а также—в случае Н-групп—диаграмма
Мы будем такого рода отображения называть алгебраиче-
алгебраическими морфизмами.
Однако, поскольку Н-пространства являются для нас
лишь представителями унитоидов категории [ТОР], зна-
значительно больший интерес для нас будут иметь отобра-
отображения /: K—-L, для которых диаграммы (9) и A0) лишь
гомотопически коммутативны. Такие отображения мы бу-
будем называть гомотопическими морфизмами.
Замечание 1. В случае, когда К и L являются
Н-группами, непрерывное отображение /: К ~* L будет
их гомотопическим морфизмом, если для пего гомотопи-
гомотопически коммутативна лишь первая диаграмма (9). Дейст-
Действительно, перейдя в гомотопическую категорию [ТОР],
мы можем это утверждение переформулировать как
утверждение о том, что отображение групп категории
[ТОР], сохраняющее умножение, переводит единицу в
единицу и обратные элементы в обратные. Для групп
категории ENS это—известное утверждение с тривиаль-
тривиальным доказательством (так как е* = е, то f(eJ = f(e), и
потому f (e)==f(ey f(e)~1=f (e) fie)'1 —е; так как хх~х — е,
то f(x)f(x~1) = f(e) = e, и благодаря этому f(x)'1 —
= f(x)~1f(x)f(x~1) = f(x~1)). Но, переформулировав это
доказательство на языке диаграмм, мы немедленно обна-
обнаружим, что оно сохраняет силу в произвольной категории,
а значит, и в категории [ТОР].
Ясно, что все Н-пространства (Н-моноиды или Н
группы) и все их гомотопические (или только алгебраи-
алгебраические) морфизмы составляют категорию. При этом, со-

КОГРУППЫ КАТЕГОРИИ 137
гласно замечанию 1, категория Н-групп и их гомотопи-
гомотопических морфизмов будет полной подкатегорией Н-монои-
дов или Н-пространств,
Замечание 2. Категория Н-групп и их алгебраи-
алгебраических морфизмов не является полной подкатегорией со-
соответствующей категории Н-моноидов или Н-пространств.
Гомотопические морфизмы, являющиеся гомотопиче-
гомотопическими эквивалентностями, мы будем называть гомотопи-
гомотопическими изоморфизмами.
Замечание 3. Гомотопические изоморфизмы не
являются изоморфизмами никакой категории.
Эквивалентности Н-пространств—это их гомотопиче-
гомотопические изоморфизмы, являющиеся тождественными отобра-
отображениями.
Если /: К—>¦L—гомотопическая эквивалентность
Н-пространства К с произвольным пространством L, то
в L можно, очевидно, ввести структуру Н-пространства,
по отношению к которой отображение / будет гомотопи-
гомотопическим изоморфизмом. С точностью до эквивалентности
эта структура единственна.
При этом ясно, что Н-пространство, гомотопически
изоморфное Н-моноиду или Н-группе, само будет Н-мо-
ноидом или соответственно Н-группой.
Рассмотрим теперь двойственную ситуацию.
Пусть снова А—произвольная категория. Объект С
категории А, рассматриваемой вместе с двумя морфиз-
мами тА: А—*С, тд: В —<-С, называется суммой (или
копроизведением) объектов А и В, если для любого
объекта X ? А и любых морфизмов а: А —>- X, |5: В —* X су-
существует единственный морфизм у: С—у X, обладающий
тем свойством, что yoin/4=a, yoinB = p\ Объект С, если
он существует, с точностью до канонического изомор-
изоморфизма единствен. Он обозначается символом А[}В, а
морфизм у—символом a Up.
Аналогичным образом определяется сумма любого
(в том числе и пустого!) семейства объектов категории А.
При этом суммой пустого семейства объектов будет
объект 0', обладающий тем свойством, что для любого
объекта А ? А существует один и только один морфизм
О' —>¦ А. Такой объект называется инициальным объектом
категории А.
Категория А называется финитно аддитивно замкну-
замкнутой (короче, фа-замкнутой), если для любого конечного

138 КОГРУППЫ КАТЕГОРИИ
семейства ее объектов существует их сумма. В частно-
частности, фа-замкнутая категория обладает инициальным
объектом.
Морфизм А—* В фа-замкнутой категории называется
копостоянным, если он пропускается через инициальный
объект, т. е. является составным морфизмом вида
Примерами фа-замкнутых категорий служат все те же
категории ENS, TOP, [ТОР] и GROUPS. Суммой объек-
объектов в первых трех категориях является их дизъюнктное
объединение, а в последней—их свободное произведение.
Инициальным объектом категорий ENS, TOP и [ТОР]
является пустое множество 0 (пустое пространство), а
инициальным объектом категории GROUPS—тривиальная
группа (являющаяся одновременно и терминальным
объектом). Единственными копостоянными морфизмами
категорий ENS, TOP и [ТОР] являются «отображения»
вида 0 —+Х, а в категории GROUPS копостоянные мор-
физмы совпадают с постоянными (т. е. являются три-
тривиальными гомоморфизмами).
Объект К произвольной фа-замкнутой категории А
называется когруппой категории А (короче, А.-когруппой),
если для него заданы такие морфизмы т: К—>-К\\К
ц: К-^К, е: К-^К, что:
а) морфизм е копостоянен;
б) коммутативны диаграммы
/Си/Г КмК
A1)
¦К К
к —т~*кик
02) «1 м... Ь
A3)
двойственные диаграммам F), G), (8) соответственно.

КОГРУППЫ КАТЕГОРИИ 139
Если заданы только морфизмы т и е, а коммута-
коммутативны только диаграммы A1), то объект К называется
коунитоидом категории А (или А-коунитоидом). Коуни-
тоид категории, для которого коммутативна также диа-
диаграмма A2), называется комоноидом категории А (или
А-комоноидом).
Для любой А-когруппы К и любого объекта
формула
A4)
определяет в множестве А (К, X) всех морфизмов К—*Х
операцию сложения, нулем которой служит—как непо-
непосредственно вытекает из коммутативности диаграмм A1)—
копостоянное отображение К—+Х вида ров, где р—про-
р—произвольный морфизм К—>Х (легко видеть, что морфизм
\\ о е не зависит от выбора морфизма E). Из коммутатив-
коммутативности диаграммы A2) следует ассоциативность сложения
A4), а из коммутативности диаграммы A3),—что элемент
-^>f = fo\x противоположен элементу f относительно сло-
сложения (Н). Таким образом, по отношению к операции
A4) множество А (К, X) является группой, причем, как
легко видеть, эта структура группы естественна по X.
Обратно, пусть для объекта К категории А все мно-
множества А (К, X), X ? А, снабжены естественной по X
структурой (аддитивной) группы. Тогда в группе
А(К, КUК) будет определен элемент т—сумма морфиз-
морфизмов int и in8, а в группе А (К, К)—нулевой элемент е и
элемент \л, противоположный элементу id. Более или ме-
менее автоматическая проверка показывает, что для этих
морфизмов диаграммы A1), A2) и A3) коммутативны и
что операция A4) в множестве А (К, X) совпадает с за-
заданным в А(К, X) сложением. Кроме того, из свойства
естественности вытекает, что морфизм е копостоянеи.
Таким образом, в полной двойственности к ситуации для
групп А(Х, К) мы получаем, что множества А(К, X)
тогда и только тогда обладают естественной по X
структурой группы, когда объект К является когруппой
категории А.
Ясно, что аналогичное утверждение справедливо и по
отношению к комоноидам и коунитоидам.
Для интересующего нас в первую очередь случая
категорий ТОР и [ТОР] полученные результаты имеют
катастрофический характер. Действительно, так.как ко-

140 КАТЕГОРИЯ TOP-
постоянное отображение К —* X в категории ТОР сущест-
существует только при К — 0, то в категориях ТОР и [ТОР]
непустых когрупп не существует, и потому ни для одного
непустого К в множествах ТОР (К, X) и [ТОР] (К, Х) =
=[К, X] нельзя ввести естественной по X структуры
группы!
Для исправления ситуации можно предложить не-
несколько различных способов. Простейший—и, по-види-
по-видимому, наиболее важный—основывается на следующем
определении.
Определение I. Пунктированным пространством
называется пара (X, х0), состоящая из топологического
пространства X и некоторой его точки х0 (называемой
отмеченной точкой пунктированного пространства). Очень
часто отмеченная точка лишь подразумевается и пункти-
пунктированное пространство обозначается просто через X.
Часто также отмеченная точка обозначается символом
pt (или *), одним и тем же для всех пространств.
Пунктированным отображением /: (X, хо)~>(У, ув)
пунктированного пространства (X, х0) в пунктированное
пространство (У, «/„) называется такое непрерывное отоб-
отображение X—+Y, что f{xa) — ya.
Ясно, что пунктированные пространства и их пунк-
пунктированные отображения составляют категорию. Мы будем
обозначать эту категорию символом ТОР'. Она связана
с категорией ТОР функтором игнорирования отмеченных
точек
ТОР* — ТОР,
переводящим (X, х0) в X.
В категории ТОР' существует произведение любого
семейства объектов: им будет их произведение как топо-
топологических пространств, в котором отмечена точка, каж-
каждая координата которой является отмеченной точкой соот-
соответствующего множителя. В частности, для двух множи-
множителей
(X, xo)x(Y, yo) = (XxY, (x0, у,)).
Терминальным объектом категории ТОР' является одно-
одноточечное пунктированное пространство ({pt}, pt).
Таким образом, с точностью до отмеченных точек
произведения и терминальные объекты категории ТОР'
те же, что и в категории ТОР.
Иначе дело обстоит с суммами и инициальными
объектами (что и является raison d'etre категории ТОР').

КАТЕГОРИЯ TOP* 141
Определение 2. Букетной суммой (или, короче,
букетом) семейства пунктированных пространств Ха на-
называется факторпространство их дизъюнктного объедине-
объединения, получающееся отождествлением отмеченных точек.
За отмеченную точку букета принимается образ отмечен-
отмеченных точек слагаемых.
Букет пространств Ха обозначается символом УХа.
Для обозначения букета конечного семейства пунктиро-
пунктированных пространств употребляется также запись
Букет XjVXiV • • ¦ \/Х„ естественно гомеоморфен коорди-
координатному кресту произведения ХххХ2х ... хХ„, состоя-
состоящему из точек, все координаты которых, кроме, быть
может, одной, являются отмеченными точками. Например,
для двух слагаемых
Точку (х, у0) букета XV У мы будем обозначать также
символом хи а точку (х0, у)—символом </,,.
Каждое семейство пунктированных отображений
fa.'- Xa,—yZ очевидным образом определяет пунктирован-
пунктированное отображение
обладающее тем свойством, что foina = fa Для любого а,
где
ina: Xa-
na:
— канонические вложения. Так как последнее свойство,
очевидно, единственным образом характеризует отобра-
отображение f, то, следовательно, букетная сумма является
суммой в категории ТОР'.
Для конечного семейства Д ,..., fn отображений fa отоб-
отображение V/a обозначается также символом /\\Л • • V/,,-
В частности, для двух отображений f: X---Z и g:Y--*Z
определено отображение f\/g: X\/Y—>-Z, действующее
по формулам
Любое семейство отображений /a: Xa—*Ya естествен-
естественным образом определяет также отображение VXa —>-VZa,
которое мы будем обозначать тем же символом Vfa (или
соответственно Д V ¦ • • Vfn)-

142 КАТЕГОРИЯ TOP'
Заметим, что отображение V/ : VXa—«-Z (отображе-
(отображение V/a: VXa —+vya) является ограничением отображе-
отображения П/ : ИХ —+Z (отображения Ща: ПХа—*tlYa).
Инициальные объекты категории ТОР* совпадают с
терминальными объектами ({pt}, pt) и, значит, копостоян-
ные отображения—с постоянными.
Обратим внимание, что, как и в категории групп, в
категории ТОР' для любых двух объектов X, У имеется
единственное постоянное (оно же копостоянное)
отображение const: X—*Y.
По аналогии с категорией ТОР* можно ввести катего-
категорию ENS' пунктированных множеств, объектами которой
являются множества с отмеченной в них точкой, а мор-
физмами—отображения, переводящие отмеченные точки
в отмеченные. Удобно, впрочем, считать эту категорию
полной подкатегорией категории ТОР', рассматривая каж-
каждое множество как топологическое пространство с диск-
дискретной топологией.
На языке алгебры пунктированное множество пред-
представляет собой не что иное, как множество с единствен-
единственной нульарной операцией. Таким образом, структура
пунктированного множества является слабейшей из всех
возможных алгебраических структур. К сожалению, во
многих ситуациях на нужных нам множествах нет ника-
никакой другой структуры, и приходится ограничиваться тем,
что есть.
Например, функтор я0 на категории ТОР' естествен-
естественным образом является функтором со значениями в ENS'
(отмечается компонента, содержащая отмеченную точку),
но в общем случае в множества я„Х никакой более бо-
богатой алгебраической структуры ввести нельзя.
Введя категорию ТОР', мы должны теперь построить
соответствующую гомотопическую категорию [ТОР*]. Для
этого нам следует определить для пунктированных отоб-
отображений понятие гомотопии. Мы это сделаем самым
естественным образом, принимая за гомотопию пункти-
пунктированных отображений (X, xB)—*(Y, y0) (или, короче,
пунктированную гомотопию) произвольную гомотопию /(:
X—>-Y, обладающую тем свойством, что для любого ??/
отображение ft является пунктированным отображением
X —> Y, т. е. удовлетворяет соотношению ft (х0) = у0. Иначе
говоря, пунктированные гомотопии—это в точности го-
гомотопии rel \хо\.

КАТЕГОРИЯ ГТОР'] 143
В интерпретации гомотопий как отображений F;
Xxl—+Y условие ft(x0) = y0 означает, что F(ха, 0=f/o
для всех t ? /, т. е. что F (х0 х /) = у„. В связи с этим в
категории ТОР* вместо пространства Xxl целесообразно
рассматривать пространство
Хх/=»Хх//хох/,
получающееся из произведения Xxl стягиванием отрезка
*ох/ в точку. Это пространство естественным образом
пунктировано—его отмеченной точкой является образ
отрезка хох/, и гомотопий пунктированных отображения
являются не чем иным, как пунктированным отображе-
отображением Xxl—*Y.
Иногда (очень редко) нам придется рассматривать
обычные гомотопий пунктированных отображений, не
удовлетворяющие условию ft(xa) = yo- Такие гомотопий
мы будем называть свободными.
Для гомотопических классов [f] rel \x0} пунктирован-
пунктированных отображений мы будем употреблять более вырази-
выразительное обозначение [f]', а множество всех гомотопиче-
гомотопических классов [/]' пунктированных отображений /: (X, хо)~¦*¦
—>(У, «/„) мы будем обозначать либо символом [(X, х0),
(Y, Уо)]> либо символом [X, Y]'. Отношение пунктиро-
пунктированной гомотопности мы будем иногда обозначать символом
~. Таким образом, формулы f~g, /~grel{x0} и \f]'*=[g]'
означают одно и то же.
Ясно, что гомотопический класс композиции пункти-
пунктированных отображений зависит только от гомотопиче-
гомотопических классов этих отображений, что позволяет опреде-
определить композицию классов [f]\ по отношению к кото-
которой совокупность всех пунктированных пространств и
всех гомотопических классов их пунктированных отобра-
отображений является категорией. Мы будем эту категорию
обозначать символом [ТОР]' (или символом [ТОР']).
Для любых пунктированных гомотопий ft: X—+Z и
gt: Y—+Z отображения ftxgt и их ограничения ft\/gt
составляют, очевидно, гомотопий. Поэтому произведения
(суммы) пунктированных пространств в категории ТОР*
будут произведениями (суммами) и в категории [ТОР]'.
То же самое, конечно, верно и по отношению к ини-
инициальным ( = терминальным) объектам. Что же касается
постоянных (= копостоянных) морфизмов категории
[ТОР]', то ими будут гомотопические классы постоянных
отображений. Поэтому в категории [ТОР]', как и в ка-

144 Н-КОГРУППЫ, Н-КОМОНОИДЫ И Н-КОУНИТОИДЫ
тегории ТОР*, для любых двух объектов X и Y сущест-
существует один и только один постоянный ( = копостояниый)
морфизм X—-Y.
Таким образом, мы видим, что формальных препятствий
к существованию в категории [ТОР]* когрупп, комоноидов
и коунитоидов нет. Впрочем, как и в аналогичной ситуа-
ситуации для [ТОР]-групн, мы предпочтем вместо гомотопиче-
гомотопических классов т, ц и е рассматривать их произвольные
представители. Тем самым мы приходим к следующим
определениям.
Пунктированное пространство (К, е) называется Н-коу-
нитоидом (или, более традиционно, ко-Н-просгпранством),
если для него задано такое пунктированное отображение
т: /C — /CV/C,
что диаграммы A1) (в которых К LJ К заменено на К V К,
а е представляет собой постоянное отображение const/
К—*К) гомотопически коммутативны (конечно, пункти-
рованно), т. е. если по отношению к гомотопическим классам
[т]' и [е]' пространство К является [ТОР]'-коунитоидом.
Если, кроме того, гомотопически коммутативна диаграмма
A2), то Н-коунитоид К называется Н-комоноидом, а если
задано отображение ц.: К —*К, для которого гомотопически
коммутативны диаграммы A3), то Н-комоноид называется
Н-когруппой.
Отображение т называется коумножением, а отмеченная
точка е—гомотопической коединицей.
Морфизмы Н-коунитоидов, Н-комоноидов и Н-когрупп
определяются очевидным образом. Как и в случае Н-про-
странств, они могут быть алгебраическими или более об-
общими—гомотопическими.
Два Н-коунитоида (два Н-комоноида или две Н-ко-
группы) называются эквивалентными, если как пунктиро-
пунктированные пространства они совпадают, а их коумножения
(а в случае когрупп и отображения ц.) пунктированно
гомотопны, т. е. если они определяют один и тот же коу-
нитоид (один и тот же комоноид или одну и ту же ко-
группу) категории [ТОР]'.
Согласно полученным выше общекатегорным результатам
для каждой Н-когруппы (каждого Н-комоноида или Н-коу-
Н-коунитоида) К и любого пунктированного пространства X
множество [К, X] обладает естественной по X структурой
группы (моноида или унитоида).

НАДСТРОЙКИ
145
Конечно, чтобы все это приобрело содержательный
смысл, нам нужно иметь достаточно большой запас при-
примеров конкретных Н-когрупп. Мы сейчас изложим один
способ их построения, хотя и не самый общий, но доста-
достаточный для наших целей.
Пусть X—произвольное (непунктированное) топологи-
топологическое пространство.
Определение 3. Надстройкой SX над пространством X
называется факторпространство произведения X х / по отно-
отношению эквивалентности, в котором (xlt tx) ~ (лг2, ^2) тогда
и только тогда, когда либох1 =
---*„, /j = /2, либо *! = *,, = О,
либо t1 = /2 = 1. Таким образом,
отображение факторизации
XxI—+SX является гомеомор-
гомеоморфизмом на подпространстве
Хх@, 1) и отображает каж-
каждое из подпространств ХхО и
X х 1 в одну точку (свою для Рис. 4.
к аждого подпространства — см.
рис. 4). Точку po?SX, являющуюся образом подпро-
подпространства ХхО, мы будем называть южным полюсом над-
надстройки SX, а точку pt?SX, являющуюся образом под-
подпространства Хх 1—ее северным полюсом. Образы отрезков
хх/ мы будем называть меридианами надстройки, а образ
подпространства Хх1/2 — ее экватором. Экватор естест-
естественным образом гомеоморфен пространству X, и мы, • как
правило, будем отождествлять его с этим пространством.
Точку надстройки SX, являющуюся образом точки
(х, t)?XxI, мы будем обозначать символом [х, t]s или
просто [х, t]. Таким образом,
[х, 0] ==/>„, [х, 1J ===== /7Х для любой точки х?Х,
а при 0 < tu tt < 1 равенство [xi, Л] = [^8. ^] имеет место
тогда и только тогда, когда x1=xi и t1 = L.
Ясно, что соответствие [х, t]c>—*-[x, t]s индуцирует
гомеоморфизм пространства СХ/Х на пространство SX.
Таким образом, можно считать, что SX=*CX/X.
В случае, когда X является единичной сферой S"~l
пространства R", надстройка SSn~l посредством-гомеомор-
посредством-гомеоморфизма
A5) [х, t] >-*(— cos nt, sin nix), x^S"'1, t?l,

146 НАДСТРОЙКИ
естественным образом отождествляется с единичной сферой
5" пространства R"+1=»RxR". При этом полюсы, мери-
меридианы и экватор приобретают обычный элементарно-гео-
элементарно-геометрический смысл.
В частности, S1 = SS°.
Таким образом, хотя сфера S" несвязна, ее надстройка
S1 связна. Вообще, надстройка SX над любым простран-
пространством X связна, поскольку лю-
любая ее точка соединяется отрез-
отрезком меридиана с каждым полю-
полюсом.
KPo°Pt Для любого непрерывного
отображения /: X—+ Y соответ-
соответствие
Рис. 5. ' р. ~ , ~ <
определяет непрерывное отображение Sf: SX—>SY, и ясно,
что соответствия Xi—>SX, /1—*¦ S/ составляют некоторый
функтор
S: ТОР — ТОР.
Мы будем называть этот функтор функтором надстройки.
При стягивании в надстройке SX экватора X в точку
возникает пространство SX/X, гомеоморфное, очевидно,
букету SX V SX двух экземпляров надстройки SX, полу-
получающемуся отождествлением, скажем, южного полюса
одного экземпляра с северным полюсом другого (см. рис. 5).
(Гомеоморфизм SX/X —•¦ SX \/ SX индуцируется, например,
отображением
т: SX—*SX\/SX,
определенным формулой
[х, 2t]u если 0</<1/2,
[х, It—1]„, если 1/2<*<1,
где х 6 X, t? /.)
Отображение A6) является, по определению, неким
коумножением в пространстве SX, и, как мы ниже пока-
покажем, если произвольным образом выбрать в SX отмеченную
точку, то по отношению к этому коумножению надстройка
SX будет И-когруппой.
Тем самым мы получаем большой запас разнообразных
Н-когрупп.

ПРИВЕДЕННЫЕ НАДСТРОЙКИ 147
Однако внимательный анализ изложенной конструкции
выявляет в ней определенные шероховатости, связанные
с тем, что хотя ввиду связности пространства SX выбор
в нем отмеченной точки никакого реального значения не
имеет, но для функториальности всей конструкции этот
выбор следует осуществить неким «естественным» образом.
К сожалению, у нас есть два естественных кандидата на
роль отмеченной точки—северный полюс и южный полюс,
выбор между которыми вносит неприятный элемент про-
произвола. (Это, в частности, отразилось в том, что хотя,
согласно общей теории, при построении букета SX V SX
мы должны для обоих экземпляров пространства SX вы-
выбирать одну и ту же отмеченную точку, но выше мы для
симметрии выбрали в одном экземпляре северный полюс р0,
а другом—южный полюс рх.) Более того, так как на самом
деле мы имеем в виду работать в категории ТОР*, то ис-
исходное пространство X мы также должны считать пункти-
пунктированным, и тогда, чтобы его отождествление х\-*[х, 1/2]
с экватором надстройки SX было отождествлением в ка-
категории ТОР', нужно за отмеченную точку надстройки SX
выбирать точку [х0, 1/2], где х0—отмеченная точка про-
пространства X.
Определение 4. Приведенной надстройкой S'X над
пунктированным пространством X называется факторпро-
странство произведения Хх/, получающееся стягиванием
подпространства Xpt =• (X х 0) у (х0 х /) U (X X 1) в точку:
S*X=-Xx//Xpt
(которая и принимается за отмеченную точку приведенной
надстройки). Иначе говоря,
S'X=*SX/Sx0,
где Sx0—меридиан, проходящий через точку х0.
Вместо S'X мы будем писать также S(X, x0).
Точки приведенной надстройки мы будем обозначать
прежними символами [х, t] или, когда нужно, [х, t]s. Таким
образом, теперь [xv /i] = [#2> ^2] тогда и только тогда,
когда либо xl=»xi и tj^ — tz, nw6ox1<=x2 = pt или ^=»0, 1,
/2 = 0, 1 (и тогда IX, /х] = [л:а, /g]=*pt).
Соответствие лп—>[х, 1/2] по-прежнему будет вклады-
вкладывать X в S'X, но теперь это уже будет пунктированным
отображением. Считая, что X с S'X, мы отождествим тем
самым точку х„ с отмеченной точкой надстройки S'X.

148 ПРИВЕДЕННЫЕ НАДСТРОЙКИ
Аналогично, соответствие [х, t]—+[f(x), t] для любого
пунктированного отображения f: X—>-Y будет определять
пунктированное отображение S'f: S'X—*S'Y, и соответ-
соответствия Х>—>S'X, f>—*-S'f будут составлять некоторый
функтор
S': ТОР' -* ТОР*.
Мы будем называть этот функтор функтором приведенной
надстройки.
Наконец, та же формула A6) даст нам коумножение
т: S'X—* S'X V S'X, относительно которого пространство
S'X также является, как мы покажем ниже, И-когруппой
(с коёдиницей х0).
Таким образом, переход к приведенной надстройке
снимает все отмеченные выше трудности и вместе с тем
ничего, по существу, не портит. Это, впрочем, не должно
удивлять, поскольку, как мы докажем в следующей лек-
лекции, пространства SX и S'X при весьма широких обще-
общетопологических условиях гомотопически эквивалентны.
Замечание-4. Более того, при чуть более стесни-
стеснительных условиях пространства SX и S'X даже гомео-
морфны. Мы не будем исследовать этот вопрос в полной
общности и ограничимся тем, что докажем, что для любого
м>0 приведенная надстройка S'5" над (п—1)-мерной
сферой S"'1 гомеоморфна п-мерной сфере S"=*SS"~1.
Действительно, отождествив пространство R." с произ-
произведением RxR", а пространство R"+1 с произведением
RxR^xR, гомеоморфизм d: S'Sn~1—*Sn можно задать,
например, формулой
A7) d[(x, х), *]- ' , ______
l—2t + 2tx, 2tx, 2Vt(l—2t)(l—x)),
если .0<г< 1/2,
2* —1+2A-0*,
^ если 1/2</<1,
где х2 +1 х |* — 1, х € R, х 6 R" и t? I (каждый меридиан
надстройки этот гомеоморфизм отображает на окружность
сферы S", высекаемую гиперплоскостью пространства R"+1,
проходящей через точки (х, х, 0) и so™(l, 0, 0) парал-
параллельно оси хп+1). П

ПРОСТРАНСТВА ПЕТЕЛЬ 149
Концептуальное преимущество приведенной надстройки
проявляется также в том, что она допускает двойственную
конструкцию.
Пусть (X, х0)—произвольное пунктированное прост-
пространство.
Определение 5. Путь и: I —*Х пунктированного про-
пространства (X, *„) называется петлей, если и @) = и A) =* *„.
Множество всех петель пространства (X, ха), будучи под-
подмножеством топологического пространства X', является
топологическим пространством. Мы будем обозначать его
символом ?i(X, х0) или просто QX.
Пространство QX мы будем считать пунктированным
пространством, принимая за его отмеченную точку посто-
постоянную петлю 0^: 1—>Х, t*-*x9.
Каждое пунктированное отображение f: X—*Y опре-
определяет по формуле
пунктированное отображение Qf: QX—+QV, и ясно, что
соответствия Xl—»-?2Х, /1—*-Q/ составляют функтор
й: ТОР* — ТОР".
Мы будем называть этот функтор функтором петель.
Мы введем в QX умножение, определив произведение uv
двух петель и, v?QX формулой
( «B0, если 0<*<1/2,
A8) (uv)(t)~\
Ясно, что это определение корректно и получающееся
отображение (и, v)i-+uv произведения QXx&X в прост-
пространство QX непрерывно.
Ниже мы покажем, что по отношению к этому умно-
умножению пространство QX является Н-группой. Единицей
(гомотопической) этой Н-группы служит постоянная
петля 0х, а отображение tn—tu'1 задается формулой
Ht) (\t)
H) ()
Заметим, что flX = QX0, где Хо—компонента простран-
пространства X, содержащая отмеченную точку. Поэтому, рассмат-
рассматривая пространство QX, мы пространство X будем, как
правило, считать связным.
В общей теории категорий два функтора F: C—+D
и G: D—»-С называются сопряженными (точнее, функтор F
называется сопряженным слева с функтором б, а функтор G

150 сопряженность функторов s-иа
называется сопряженным справа с функтором F), если для
любых объектов X ? С, Y ? D задано естественное (по X
и У) биективное отображение
cp:D(FX, К)ДС(Х, GY)
(называемое изоморфизмом сопряжения).
Пример. При C = ENS, D = GROUPS функтор
GROUPS—¦¦ ENS игнорирования групповой структуры
сопряжен справа с функтором ENS —»¦ GROUPS, сопостав-
сопоставляющим произвольному множеству X свободную группу
с множеством X свободных образующих.
Сопряженные функторы обладают целым рядом важных
свойств, но нам сейчас они интересны лишь в связи с тео-
теорией групп н когрупп.
Пусть функтор F обладает тем свойством, что для
любого объекта X ? С объект FX является когруппой ка-
категории D и, значит, для любого объекта Y ? D множество
D(FX, Y) является когруппой. Тогда группой будет
и множество С(Х, GY), причем групповая структура на
этом множестве будет естественна по X (и, конечно, по Y,
но это нам в данный момент безразлично). Следовательно,
объект GY$C будет группой категории С. Поскольку это
рассуждение полностью обратимо, этим доказано, что функ-
функтор F тогда и только тогда принимает значения в ка-
категории D-когрупп, когда функтор G принимает значения
в категории С-групп.
Вернемся теперь в категорию ТОР*.
Предложение 1. Функтор S': ТОР'—* ТОР' сопря-
сопряжен слева с функтором п: ТОР'—•* ТОР*.
Доказательство. Скомпонировав произвольное
пунктированное отображение /: S'X—*X с отображением
факторизации X х / —>¦ S'X и перейдя к ассоциированному
отображению, мы получим отображение <р/: X —»¦ Y1, в явном
виде определяющееся формулой
(ф/)(*)(')-/([*. <]). *ех, о<*<1.
Поскольку по условию f([x, 0]) = /([*, 1])=>дг0 отображе-
отображение ф/ является на самом деле отображением в ?2Х, так
что соответствие /и-*ф/ дает нам некоторое (очевидно,
естественное по X и У") отображение
«р: TOP'(S'X, У) —ТОР'(Х, ОУ),
и непосредственная проверка показывает, что это отобра-
отображение биективно. ?

МОНОИД МУРОВСКИХ ПЕТЕЛЬ 151
Функтор Т: ТОР'—+ ТОР' называется гомошопически
инвариантным, если для любой (пунктированной) гомо-
топии ft: X—+Y отображения Т(ft): ТХ —*TY составляют
гомотопию из ТХ в TY (автоматически пунктированную).
Для такого функтора соответствие [/]* к-* [Tf]' корректно
определено и вместе с соответствием Х*-*ТХ составляет
функтор [ТОР*] —* [ТОР'], который называется гомотопи-
зацией функтора Т и обозначается обычно тем же симво-
символом Т.
Примерами гомотопических функторов являются, как
легко видеть, функторы S' и Q. Их гомотопизации мы
также будем называть функтором надстройки и функто-
функтором петель (из [ТОР*] в [ТОР']).
Замечание 5. Для гомотопического класса а = [/]'(Е
6[Х, У]' гомотопический класс 5'а»[5У]' обозначается
также символом Еа.
Ясно, что изоморфизм сопряжения для функторов S'
и Q гомотопии переводит в гомотопии. Поэтому функторы S'
и Q из [ТОР'] в [ТОР'] также сопряжены.
Следовательно, утверждение, что приведенная над-
надстройка S'X является Н-когруппой, равносильно утверж-
утверждению, что пространство петель ИХ представляет собой
Н-группу. Значит, в доказательстве нуждается только
одно из них.
Определение 6. Муровской петлей пунктированного
пространства (X, х0) называется такое непрерывное ото-
отображение
и: [0, а]-*Х
отрезка [0, а], где а^О, в пространство X, что м@) =
= и(а) —х,.
Число а называется длиной муровской петли и.
Муровские петли длины 1—это обыкновенные петли
пространства X (т. е. петли в смысле определения 5).
Аналогично, муровским путем длины а^О топологи-
топологического пространства X называется произвольное отобра-
отображение и: [0, а]—уХ. Точка м@) называется началом
пути и, а точка и(а)—его концом.
Для каждого муровского пути и: [0, а]—*Х формула
и* (t)=>u(at) определяет обыкновенный путь и* простран-
пространства X, и сопоставив пути и пару (ы#, а), мы получим
отображение множества всех муровских путей простран-
пространства X в произведение X7xR+, где R+ — полуось всех

152 моноид муровских петель
неотрицательных вещественных чисел. Ясно, что это ото-
отображение инъективно. Считая его вложением, мы введем
в множество QMX муровских петель топологию подпрост-
подпространства произведения X7xR+. Очевидно, что простран-
пространство QX будет тогда подпространством пространства QMX,
а отображение и>-*и*—ретракцией ?1MX—+QX.
Более того, легко видеть, что эта ретракция является
строгой деформационной ретракцией и, значит, гомото-
гомотопической эквивалентностью. Соответствующую ретрагирую-
щую деформацию fx: UMX—*QMX, O^x^l, можно
получить, сопоставив каждой муровской петле и: [0,а] —*Х
муровскую петлю fxu длины а-ft—та, задаваемую фор-
формулой
( u(ta), если й<1 н(
_ ! х0, если а^1 и а^/^а + т—та,
[ " (а+т-та) ' еСЛИ а>1>
где 0<lrf<a-f-T—ах. О
Пусть и и у—два муровских пути длин соответственно
а и Ь, обладающих тем свойством, что конец и (а) пути и
совпадает с началом у@) пути v. Тогда формула
и (t), если 0^
v(t—а), если a^
определяет муровский путь uv длины а-\-Ъ, называемый
произведением путей и и v.
В частности, произведение uv определено для любых
двух муровских петель и, v?uMX, причем соответствую-
соответствующее отображение
A9)
(и, v)>-+uv,
как легко видеть, непрерывно. Кроме того, ясно, что оно
ассоциативно и петля const: [0, 0] —* X (которую мы будем
обозначать также символом е) является его единицей. Это
означает, что относительно умножения A9) пространство
QMX является топологическим моноидом.

ПРОСТРАНСТВО ПЕТЕЛЬ ЯВЛЯЕТСЯ Н-ГРУППОЙ 153
С другой стороны, формула
тх(и, о
если
если
Ч (а + 6)-(а-6)т V
если
еСЛИ
2 (а+6)
(где а и b—длины муровских путей и и v) определяет —
как непосредственно проверяется—гомотопию mx: QMXx
хQMX —+ QX, связывающую отображение m0: (и, v) i—*-u#v#
с отображением пц: (и, v)>-+(uv)#. Следовательно, ото-
отображение mi—*• м# является гомотопическим морфизмом
и, значит, будучи гомотопической эквивалентностью, и гомо-
гомотопическим изоморфизмом.
Этим доказано, что пространство с умножением QX
гомотопически изоморфно топологическому моноиду QA1X.
Следовательно, пространство QX является Н-моноидом
(и поэтому пространство S'X—Н-комоноидом).
Поскольку е* =0Ха, постоянная петля 0Хв является
гомотопической единицей Н-моноида QX (а отмеченная
точка приведенной надстройки S'X—ее гомотопической
коединицей). ¦
Замечание 6. Конечно, последние утверждения легко
доказываются и непосредственно. Гомотопия из ИХ х ИХ х
xQX в ИХ, связывающая отображения (и, v, w)>—>(uv)w
п (и, v, w)>-+u(vw), может быть определена формулой
а»)]@-
если
v{4t—T—l), если
если
где u,-v, w?QX, а гомотопии из QX в QX, связывающие
отображения и у->иОх<1 и ut-+OXou с тождественным

154 ПРОСТРАНСТВО ПЕТЕЛЬ ЯВЛЯЕТСЯ Н-ГРУППОЙ
отображением,— формулами
, если 0 <; t ^ —^
если —g— ^ t ^ 1,
если
, если -
1-х
7+т
где
Аналогичный («сопряженный») вид имеют соответствую-
соответствующие гомотопии для пространства S'X.
Условно построенные гомотопии изображены на рис. 6
и 7.
Предложение 2. Пространство QX является Н-груп-
пой (а пространство 5'Х, следовательно, Н-когруппой).
Рис. 8.
Доказательство. В свете всего сказанного выше
нам нужно только доказать, что отображения ын-^ыы
и ын-*.«-!« гомотопны постоянному отображенню QX—¦
—*QX. Для отображения и*~*ии~1 соответствующая

н-моноиды, являющиеся: н-группами
[омотопия определяется формулой
Г uBt), если 0<*<Цр,
[Ми)](ОН и A-х), если Lzl<^t^Lpt u$QX,
| иB-2?), если i±Z<f<l,
(см. рис. 8), а для отображения ый->m-1m получается из
этой гомотопии заменой и на ы (и ы на и). ?
Ясно, что Н-группой будет и топологический моноид
ОМХ муровских петель.
ДОПОЛНЕНИЕ
Н-моноиды, являющиеся Н-группами.—Левые и правые
сдвиги в Н-моноидах.
В алгебре мы привыкли к тому, что структура моноида
существенно слабее структуры группы, что выражается
в существовании разнообразнейших моноидов, не являю-
являющихся группами. Оказывается, что в категории [ТОР]
дело обстоит совсем по-другому, и при весьма слабых
общетопологических предположениях каждый связный
П-моноид является Н-группой. Здесь условие связности
имеет своей целью исключить моноиды, рассматриваемые
и алгебре. Однако того же самого можно добиться и при
менее ограничительных условиях.
Чтобы сформулировать эти условия, мы вспомним, что
для любого Н-моноида К множество п0К его компонент
естественным образом является моноидом, причем для
Н-группы К этот моноид будет группой. Таким образом,
для того чтобы Н-моноид К был Н-группой, необходимо,
чтобы моноид nJK был группой. Оказывается, что при
соответствующих общетопологических ограничениях необ-
необходимое условие также и достаточно. Именно, справед-
справедливо следующее предложение.
Предложение 1. Любой нумерируемо полулокально
стягиваемый Н-моноид К, для которого моноид яД пред-
представляет собой группу, является Н-группой.
Это предложение утверждает, таким образом, что для
П-моноида К существует непрерывное отображение ц:

156 ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ СДВИГИ В Н-МОНОИДАХ
К—*К, х*-+х~\, для которого диаграммы
К*К к*к
А /\
A) Мхи/ \т }*хн/ \ж е = const
гомотопически коммутативны. При этом легко видеть, что
отображение ц этими условиями характеризуется одно-
однозначно (конечно, с точностью до гомотопии). Действи-
Действительно, согласно замечанию 1 лекции 3, тождественное
отображение К—*К должно переводить одно отображе-
отображение ц в другое. ?
Мы предпошлем доказательству предложения 1 не-
несколько общих замечаний.
Для любой фиксированной точки а?К мы введем
в рассмотрение левый сдвиг La на а и правый сдвиг Ra
на а, являющиеся отображениями К—+/С, определенными
соответственно формулами
Lax as ax, Rax = xa, x?K.
Тот факт, что точка е является гомотопической единицей,
означает, что отображения Le и Re гомотопны тождест-
тождественному отображению id. Кроме того, из гомотопической
ассоциативности умножения в К следует, что для любых
двух точек а, Ь$К отображения LaoLb и Ra°Rb гомо-
гомотопны соответственно отображениям Lab и Rba.
Каждый путь и: I—+K, соединяющий точку а с точ-
точкой Ь, определяет по формуле t>-+Lttlt) (по формуле
t\—*-Ra(t)) гомотопию, связывающую отображение Lo (отоб-
(отображение /?„) с отображением Lb (с отображением Rb).
С другой стороны, если для Н-моноида К множество п0К
является группой, то для любого элемента а € К сущест-
существует такой элемент а' € К, что для каждой точки х € К
точки а' (ах) и а(а'х) (или, что равносильно, точки (а'а)х
и (аа')х) лежат в той же компоненте, что и точка х, т. е.
могут быть соединены с этой точкой некоторым путем.
В частности, точки (а'а)е и (аа')е, а значит, и точки а'а
и аа' лежат в той же компоненте, что и точка е. Поэтому
отображения La,a: x\-+(a'a)x и Laa.: х>-+(аа')х гомо-
гомотопны отображению Le, а значит, и тождественному отоб-
отображению id. Аналогично показывается, что отображения

ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ СДВИГИ В Н-МОНОИДАХ 157
R,,'« и Ra<r также гомотопны тождественному отображе-
отображению id. Поскольку Laa,~LaoLa, и La,a~La.oLa (и ана-
аналогично Raa-~ Ra-°Ra и Ra.a ~ Ra°Ra-)> этим доказана
следующая лемма.
Лемма 1. Если для И-моноида К множество п0К
является группой, то для любого элемента а?К отобра-
отображения La и Ra являются гомотопическими эквивалент-
ностями. ?
Обратно, пусть для Н-моноида К, скажем, отображения
1,а являются гомотопическими эквивалентностями. Тогда
отображение /: КхК—*КхК, определенное формулой
1(а, х) = (а, ах), а,
и являющееся, очевидно, по отношению к проекции рг^
КхК—*К, (а, х)\—>а, отображением над К, будет гомо-
гомотопической эквивалентностью на слоях. Следовательно,
если Н-моноид К нумерируемо полулокально стягиваем,
то, согласно предложению 3 Дополнения к лекции 2,
отображение / будет послойной гомотопической эквива-
эквивалентностью.
Пусть /': КхК—>-КхК—обратная послойная гомотопи-
гомотопическая эквивалентность. Так как р^о/ирГп то для любой
точки (а, х) ? Кх К будет иметь место равенство /' (а, х) —
¦-¦ (a, i(a, х)), где К: КхК—^К—такое отображение, что
отображения
(а, х)у*% (а, ах) и (а, х) н-» а% (а, х), (а, х) 6 К X К,
из КхК в К гомотопны проекции (а, х)>—>х. Положив
х — е и \i}(a) — %(a,e), мы получим, в частности, отобра-
отображение (а': К—*-К, для которого отображение а н-> щи1 (а)
гомотопно отображению constj.: K—+K, ан>е, т. е. для ко-
которого гомотопически коммутативна первая из диаграмм A).
Аналогично доказывается, что если гомотопическими
эквивалентностями являются отображения Ra, a?K, то
существует отображение цг: К—*К, для которого гомото-
гомотопически коммутативна вторая диаграмма A).
Но если существуют как отображения ц,', так и отоб-
отображения jxr, то отображение цг: х *-*¦ цг (х) будет гомотопно
отображению х н-*¦ цг (х) x\il (х), а отображение ц/: х ь-> \il (x)
будет гомотопно отображению х*—>цг (х)х\л1(х). Поэтому
в силу гомотопической ассоциативности умножения в Н-мо-
ноиде К, отображения fir и \il оказываются гомотопными.
Следовательно, мы можем считать, что |д,г = |дЛ
Тем самым доказана следующая лемма.

15ft ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ СДВИГИ В Н-МОНОИДАХ
Лемма 2. Если для любого элемента а?К нумерируе-
мо полулокально стягиваемого Н-моноида К отображе-
отображения La и Ra являются гомотопическими эквивалентнос-
тями, то И-моноид К будет Н-группой. g
Доказательство предложения 1 немедленно получается
при сопоставлении лемм 1 и 2.
Замечание 1. В силу леммы 1 условие леммы 2
не только достаточно, но и необходимо, т. е. нумерируемо
полулокально стягиваемый Н-моноид К тогда и только
тогда является Н-группой, когда для любого элемента
а^К отображения La и Ra являются гомотопическими
эквивалентностями.

ЛЕКЦИЯ 4
Экспоненциальный закон для пунктированных отобра-
отображений.— Расслоения и корасслоения категории ТОР'.—
Лемма о приклеивании вибриссы.— Цилиндры и коци-
линдры в категории ТОР*.— Стягиваемые пуиктирован-
иые пространства.—Приведенные коиусы.— Серровскне
расслоения.— Пунктированные гомотопические эквива-
эквивалентности.— Отображение игнорирования отмеченных
точек.— Фундаментальная группа пунктированного
пространства.— Действие группы ntf на множестве
[X, Y\'.— Пунктированные Н-пространства.— Н-прост-
Н-пространства с настоящими единицами.— Кослои и относитель-
относительные гомеоморфизмы.— Кослои по стягиваемым подпрост-
подпространствам.— Заключительные замечания о надстройках и
пространствах петель.
Введение в рассмотрение пунктированных пространств
заставляет поставить вопрос о цене, которую приходится
за это платить, т. е. вопрос о том, насколько видоизме-
видоизменяются и усложняются конструкции и результаты пре-
предыдущих лекций при переходе к пунктированным про-
пространствам.
К счастью, оказывается, что в большинстве случаев этот
переход осуществляется практически безболезненно.
Например, поскольку для любых пунктированных про-
пространств (X, ха) и (Y, уй) множество ТОР'((Х, ха), (Y, ув))
лежит в ТОР (X, Y), оно автоматически снабжается инду-
индуцированной топологией. Получающееся топологическое
пространство' обозначается символом (Y, «/o)(X'*o)- Оно
естественным образом пунктировано: его отмеченной точ-
точкой служит постоянное отображение const: X—+У. Ког-
Когда невозможны недоразумения, мы будем пространство
(У, «/0)(х>*»> обозначать прежним символом Ух.
Однако ситуация с экспоненциальным законом для
категории ТОР' оказывается более сложной, поскольку
отображение в/: У—+БХ, ассоциированное с пунктиро-
пунктированным отображением /: (ХхУ, (x0, yQ))—*(B, b0), не
будет, вообще говоря, отображением в (В, &„)<*• *•> (для
этого нужно, чтобы f(x0, y) = bb для любой точки у? Y,
т. е. чтобы f(xoxY) = bv). Более того, даже при выпол-
выполнении последнего требования отображение б/ не будет,
вообще говоря, пунктированным отображением (Y, Уъ)*—*

160 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН
>-*-E, &„)<*¦ *•> (для этого нужно, чтобы f(x, yo) = bo для
любой точки х?Х, т. е. чтобы f (Xxyo) = bo). Это пока-
показывает, что роль пространства ХхУ в экспоненциальном
законе для пунктированных отображений должно играть
факторпространство
(X, х0) A (Y, ув) = Хх Y/(X х ул) и (*, х Y),
получающееся из произведения XxY стягиванием в одну
точку координатного креста
(X, х„) V (У, У,) = (X х у0) U (*, X Y)
(которая и считается отмеченной точкой этого пространства).
Определение 1. Пространство (X, х0) Л (У> Уо) назы-
называется слешем (или смеш-произведением) пунктированных
пространств (X, х0) и (Y, у0).
Для обозначения смеш-произведения вместо знака Л
употребляется также знак (g) (Рохлин и Фукс [10]).
Вместо (X, х0) Л (У, Уо) часто пишут просто X Л У (или
Х®У)
®)
Образ точки (х, у)?ХхУ в пространстве X Л У обоз-
обозначается символом х Л У- В этих обозначениях отмечен-
отмеченной точкой пространства X /\Y является точка х0 Л Уа-
Аналогичным образом определяется смеш-произведение
Хх Л • • • Л ^п любого числа пунктированных пространств
Хг, ..., X . Им будет факторпространство произведения
X^..-ХХ,,, в котором отождествлены все точки, хотя
бы одна координата которых является отмеченной точкой
соответствующего множителя.
Во избежание недоразумений, подчеркнем, что смеш-
произведение не является в категории ТОР* произведением
в смысле общей теории категорий (им будет, как мы уже
знаем, прямое произведение
(X, хо)х(У, у,) = (ХхУ, (х„ у9))).
Стоит также иметь в виду, что свойством ассоциатив-
ассоциативности смеш-умножение, вообще говоря, не обладает, т. е.
существуют такие пунктированные пространства X, Y и
Z, что пространства (X /\Y) /\Z и ХД^Л^ не гомео-
морфны. (Примером могут служить пространства X = Q,
y = Q и Z = Z, где Q—множество рациональных чисел
в обычной топологии.) Вопрос об ассоциативности
смеш-умножения мы рассмотрим в Дополнении к этой
лекции.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН 1Q1
Вместе с тем смеш-умножение очевидным образом ком-
коммутативно, т. е. для любых пунктированных пространств
X и У пространства X [\У и Y/\X естественно гомео-
морфны.
Отождествив окружность S1 с пространством //{0, 1},
получающимся отождествлением концевых точек отрезка /,
мы немедленно получим, что для любого пунктированного
пространства (X, хв) смет S1 А X совпадает с надстрой-
надстройкой S'X.
Пунктированные отображения f: (XxY, (x0, yo))~¦*¦
-+(В, Ьо), для которых ассоциированное отображение Qf
представляет собой отображение (Y, уо)—+(В, Ь„)<х>*»>,
т. е. для которых f((Xxy<l)[)(x<lxY)) = b0, находятся,
очевидно, в естественном биективном соответствии с пунк-
пунктированными отображениями J: X Л У —* В (соответствие
осуществляется компонированием отображений J с отоб-
отображением факторизации XxY—*Xf\Y)- Это позво-
позволяет вложить множество ТОР' (X Л У, В) в множество
TOP'(XxY, B)cTOP(XxY, В) и тем самым считать,
что отображение 0 определено ria TOP' (X Л Y, В). Таким
образом, отображение ассоциирования 9 теперь оказы-
оказывается отображением
A) ТОР'(ХЛ^, В)-*ТОР'(Г, Вх).
Ясно, что оно по-прежнему всегда (для любых X, У, В)
инъективно, а биективно тогда и только тогда, когда биек-
биективно соответствующее отображение ТОР(ХхУ\ В)—*¦
-»-ТОР(У, Вх) для категории ТОР. В частности, отобра-
отображение A) биективно, если пространство X локально ком-
компактно и хаусдорфово. Если же, кроме того, хаусдорфово
и пространство Y, то рассматриваемое как отображение
BX*Y —+'(BX)Y, оно является гомеоморфизмом.
Этот экспоненциаль'н'ый за'кон для пунк-
пунктированных отображений, в отличие от обычного
экспоненциального закона, непосредственно не применим
к пунктированным гомотопиям, которые представляют
собой отображения вида Xх / —*-У, а не X f\ I —+Y
(заметим, что пространство Хд/ даже не имеет смысла,
поскольку отрезок / не пунктирован). Поэтому гомотоггии
требуют отдельного параллельного обсуждения.
Как было сказано в лекции 1, каждая (свободная)
гомотоПия Хх/~-*-У допускает две интерпретации—как
путь в пространстве Yx или как отображение X—+Y1
6 М. М. Постников

162 РАССЛОЕНИЯ И КОРАССЛОЕНИЯ КАТЕГОРИИ ТОР-
в пространство путей У7. Ясно, что первая интерпретация
сохраняется и для пунктированных гомотопий—каждая
пунктированная гомотопия Хх/ —+Y естественным обра-
образом отождествляется с некоторым путем в пространстве
(У, УВУХ-Х'К но как и для непунктированного случая эта
интерпретация адекватна только при сильных ограниче-
ограничениях на пространство X (например, если это пространство
хаусдорфово и локально компактно).
Чтобы перенести на случай пунктированных гомотопий
вторую (формально более важную) интерпретацию, мы
для любого пунктированного пространства (Y, у„) раз
навсегда условимся считать пространство путей Y1 пунк-
пунктированным пространством, принимая за его отмеченную
точку постоянный путь О,/о: / —+ Y, t\-+ ув, в точке у„.
Тогда пунктированные гомотопий X х /—»¦ Y будут естест-
естественным образом отождествляться с пунктированными отоб-
отображениями (X, хв) —+ (У7, 0уа).
В частности, поскольку все отображения ®t: Yf—+Y
будут теперь, очевидно, пунктированы, отсюда следует,
что запись свойства распространения гомотопий в виде
диаграммы A) лекции 1 останется справедливой и для
пунктированных отображений.
Понятия корасслоения и расслоения переносятся на
случай категории ТОР' очевидным образом: нужно только
в соответствующих диаграммах предполагать все отобра-
отображения пунктированными. При этом, как было только что
замечено, оба варианта определения корасслоения (один,
использующий интерпретацию гомотопий как отображений
Хх/—+К, а другой—как отображений X—+Y1) по-преж-
по-прежнему равносильны друг другу. Характеризация расслое-
расслоений с помощью аксиомы о накрывающем пути также,
конечно, дословно переносится в категорию ТОР*.
Тем не менее переход к пунктированным отображениям
по-разному отражается на корасслоениях и расслоениях.
Так как распространение пунктированного отображения
автоматически является пунктированным отображением,
то пунктированное отображение I: (А, а„)—+ (Х, д:0),
являющееся корасслоением (как отображение i: А—+Х
категории ТОР), будет корасслоением и в категории ТОР".
В'частности, взяв произвольную пару Борсука (X, А) кате-
категории ТОР и произвольным образом выбрав в А отмеченную
точку, мы получим пару Борсука категории ТОР*.

ЛЕММА О ПРИКЛЕИВАНИИ ВИБРИССЫ 163
Напротив, из того, что отображение р: Е—+В явля-
является расслоением категории ТОР, еще не следует, что
пунктированное отображение р: (Е, ео)—>-(В, bt) будет
расслоением категории ТОР*, поскольку гомотопия 7:
X х /—•¦?, накрывающая пунктированную гомотопию F:
X х / —> В, может и не быть пунктированной.
Чтобы хотя бы частично поправить дело, мы введем
следующее определение.
Определение 2. Точка х„ топологического простран-
пространства X называется невырожденной, если она замкнута
в X и пара (X, х0) является парой Борсука, т. е.— что
в силу предложения 3 лекции 2 равносильно—если одно-
одноточечное множество \хо\ является ФОСДР'ом в слабом
смысле. Пунктированное пространство (X, *„) называется
гладко пунктированным, если его отмеченная точка х0
певырождена.
Из следствия теоремы 2 лекции 2 непосредственно
вытекает, что если пунктированное отображение р:
(В, <?„)¦—>¦ E, Ьо) является в категории ТОР расслоением,
то в категории ТОР' аксиома о накрывающей гомотопии
будет выполняться для любого гладко пунктированного
пространства (X, х0). Допуская вольность речи, можно,
таким образом, сказать, что по отношению к гладко
пунктированным пространствам любое расслоение катего-
категории ТОР является расслоением и категории ТОР'.
Это совсем немало, поскольку, как мы в свое время
увидим, практически все реально встречающиеся пункти-
пунктированные пространства гладко пунктированы.
Замечание 1. Пунктированное отображение, являю-
являющееся (ко)-расслоением категории ТОР', априори может и
не быть (ко)-расслоением категории ТОР. Однако на прак-
практике такого рода патологические ситуации не встречаются.
В связи с понятием гладко пунктированного простран-
пространства полезно иметь в виду следующую простую лемму.
Лемма 1. Любое топологическое пространство X
гомотопически эквивалентно топологическому простран-
пространству X', обладающему невырожденной точкой х'а. При этом
можно считать, что пространство X содержится в про-
пространстве X' и является его строгим деформационным
ретрактом. Более того, пространство X' можно выбрать
так,, чтобы в нем существовал путь, соединяющий х'а
с любой наперед заданной точкой х„ ? X.
6*

164 ЦИЛИНДРЫ И КОЦИЛИНДРЫ В КАТЕГОРИИ ТОР-
Доказательство. Отметив в отрезке / точку 1,
а в пространстве X данную точку х„, построим букет
Х'*=Х\/ I. Каждая точка из X' является либо точкой х
из X, либо числом т?/, причем х9 = 1. Ясно, что ХсХ'
является строгим деформационным ретрактом простран-
пространства X' (соответствующая гомотопия fx; X'cX', непод-
неподвижная на X, переводит каждую точку т^/сХ' в точку
t + (\ — t)x?l). Пусть х'о—точка О^/сХ'. Положив
Ф(лг) = 1 и ф(т)««т, мы получим на X' непрерывную функ-
функцию ф: X'—i-I, для которой ф @) — W и qrl(l) = X,
а положив gt(x) — (l—t)x, мы получим такую гомото-
пию gt: U-^X', где ?/=Х'\ Х«=[0, 1), что ?0(т) = т
и gl(t) = x'o для любого x?U. Следовательно, точка х'о
невырождена. ?
Говорят, что пространство X' получено из простран-
пространства приклеиванием вибриссы.
Таким образом, приклеивание вибриссы, практически
не изменяя пространство X, превращает его в простран-
пространство с невырожденной отмеченной точкой.
Чтобы получить в категории ТОР' амальгамы и ко-
амальгамы, достаточно [построить для соответствующих
диаграмм их амальгамы и коамальгамы в категории ТОР
и затем естественным образом отметить в ннх точки
(в амальгаме диаграммы Л«—С,—* В отмеченной точкой
будет образ отмеченной точки пространства С, а в ко-
амальгаме диаграммы А—>-С*—В—отмеченная точка пря-
прямого произведения Ах В). Таким образом, с точностью
до отмеченных точек амальгамы и коамальгамы в кате-
категории ТОР' те же, что и в категории ТОР.
В частности, если игнорировать отмеченные точки,
то коцилиндром пунктированного отображения /: X—>Y
будет его коцилиндр как непунктированного отображения.
Вместе с тем для цилиндра соответствующее утверж-
утверждение неверно, так как в его конструкции простран-
пространство Xxl заменяется пространством Xxl, и значит,
цилиндр Cyl- (/) пунктированного отображения /: X—-Y
получается из его цилиндра Cyl (/) как непунктированного
отображения стягиванием отрезка хвх1 в точку:
СуГ(/)«Cyl (/)/(*„х/).
В литературе цилиндр СуГ(/) обычно называется при-
приведенным цилиндром отображения / (а цилиндр Cyl (f)
соответственно этому—неприведенным).

СТЯГИВАЕМЫЕ ПУНКТИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 165
Несмотря на эту модификацию, осуществляемая с по-
помощью цилиндров редукция задачи распространения к за-
задаче ретракции полностью сохраняется и для пунктиро-
пунктированных отображений. Сохраняется, конечно, и осуществ-
осуществляемая с помощью коцилиндров редукция задачи подня-
поднятия к задаче сечения.
Пунктированное пространство (X, х0) называется стя-
стягиваемым (обозначение X^pt), если постоянное отобра-
отображение const: X—>-Х, х>-*-х0, пунктированно гомотопно
тождественному отображению id: X—*X, xt—*-x, т. е.
если точка х0 является строгим деформационным ретрак-
том пространства X.
Из предложения 2 лекции 2 непосредственно следует,
что гладко пунктированное пространство (X, х0) тогда
и только тогда стягиваемо, когда стягиваемо непункти-
рованное пространство X. Соответствующая пунктирован-
пунктированная гомотопия Хх1—*Х называется стягиванием.
Это означает, что свойство стягиваемости, по существу,
безразлично к тому, в какой категории (ТОР или ТОР")
мы работаем.
Приведенный (обращенный) цилиндр отображения const
называется приведенным конусом над пространством X и
обозначается символом С'Х. Таким^образом, С'Х=*СХ/Сха.
Точки конуса С'Х мы будем" обозначать прежними
символами [х, t], как и раньше отождествляя точки [х, 1]
и х, т. е. отождествляя пространство X с основанием
конуса С'Х. В частности, в соответствии с этим вложе-
вложением, отмеченной точкой конуса С'Х будет точка хЛ?Х.
Ясно, что S'X=C'X/X.
Каждое пунктированное отображение f: X—+Y опре-
определяет по формуле
(С7) [*,*]-[/(*), ']. *?Х, *€/,
пунктированное отображение C'f: CX—+CY, и ясно, что
соответствия Хь-»>С'Х, f*-*-C f составляют функтор из
ТОР* в ТОР'
Конус С'Х, очевидно, стягиваем (как пунктированное
пространство), и пространство X тогда и только тогда
стягиваемо, когда оно является ретрактом конуса С'Х.
Более того, оказывается, что—как и для непунктиро-
ванных пространств—слова «является ретрактом» можно
здесь заменить словами «является строгим деформационным

166
ПРИВЕДЕННЫЕ КОНУСЫ
ретрактом». Действительно, любую ретракцию г: СХ—+Х
мы можем рассматривать как ретракцию СХ—>-Х, и легко
видеть, что ретрагирующая деформация F, построенная по
этой ретракции описанным в лекции 2 способом, будет
при соблюдении очевидных предосторожностей неподвижна
на Сх0 и, значит, будет ^индуцировать ретрагирующую
деформацию конуса С X. (В явном виде ретрагирующую
деформацию F можно задать, например, формулой
М'Ьта]'1^]'0]'
если 2s<*<1, 1/4<s<1/3,
\Г\Х' T=T2s"|' T=2sT
если 2в<*<1, 0<s<l/4,
если 1/2
г 2(<-s)|
если 0<
2(l~s~0
2/3, //2<s<l — t,
если l/2<^<2/3, 1—
lX' 1 — 2* J •
если 1/2<г < 2/3,
если 2/3<*<1, 1/3<s<1/2,
[jc, 10—9 (t + 2s—2s/)],
если 2/3<*<1, l/2<s<2/3,
г <+2s-2-l
I ' 2s-1 J'
если 2—2s<*<1, 2/3<s< 1,
[дг, О], если 0<^<2/3, /<s<B—1)/2,
которая определяет эту деформацию на квадрате (t, s) от-
отдельно на каждой из десяти его частей, изображенных
на рис. 9.)
Пунктированное отображение f: X—+Y называется
гомотопным нулю, если оно пунктировано гомотопно по-

СЕРРОВСКИЕ РАССЛОЕНИЯ
167
стоянному отображению. Так же как и в случае непунк-
тированных пространств, отображение f: X—+Y тогда и
только тогда гомотопно нулю, когда оно может быть
распространено на С'Х:
*
Кроме того, пунктированное пространство Y тогда и только
тогда стягиваемо, когда для каждого пунктированного
иространстэа X любое пунктированное отображение X—> К
гомотопно нулю.
В отличие от случая категории ТОР, понятие конуса
в категории ТОР" может быть дуализировано. Соответст-
Соответствующим двойственным объектом является уже знакомое
нам по лекции 1 пространство РХ = Р(Х, ха) всех путей
пространства X, начинающихся в отмеченной точке ха
(формально здесь удобнее было бы либо перейти к пря-
прямому конусу либо считать, что РХ состоит из путей,
кончающихся в точке х„; из-за того, что за С'Х мы
принимаем обращенный конус, ниже в формулах вместо t
появляется 1—t).
Мы будем считать РХ пунктированным пространством,
принимая за его отмеченную точку постоянный путь
О : / *->хл.

168 СЕРРОВСКИЕ РАССЛОЕНИЯ
Подобно конусу С'Х пространство РХ стягиваемо
(соответствующее стягивание задается соответствием
м>-*мт, и?РХ, т<=/, где их—путь, определенный фор-
формулой и, @ - а (A —т) f), * € /) •
Ясно, что любое пунктированное отображение /: X —*¦ У
определяет по формуле,
непрерывное пунктированное отображение Pf: PX—+PY,
и соответствия Х>-*РХ, f>—*-Pf составляют функтор из
ТОР* в ТОР*.
Легко видеть, что подобно функторам S* и Q функторы
С и Р сопряжены, т. е. для любых пунктированных
пространств X и У имеет место естественное (по X и У)
биективное отображение
ТОР'(С'Х, У) А ТОР* (X, PY)
(каждому отображению /: С'Х —* Y отвечает отображение
g: X—t-PY, определенное формулой g(x)(t)*mf[x, 1—t],
х?Х, t?l). Однако, в отличие от случая функторов
S* и Q, переход к гомотопической категории [ТОР"] имеет
для функторов С п Р мало смысла, поскольку для лю-
любых пунктированных пространств X и У множества
[С'Х, У]' и ГХ, PY]' являются ввиду стягиваемости
пространств С'Х и PY одноэлементными множествами.
Если пространство X стягиваемо, то каждое стяги-
стягивание Хх/—>-Х, интерпретированное как отображение
X—>-Х1, будет (после замены t на 1—t) отображением
в РХ, обладающим тем свойством, что его композиция
с серровским расслоениемg^: PX—*-X, и>-*и(\), является
тождественным отображением \АХ, т. е. будет сечением
расслоения щ. Обратно, ясно, что любое сечение Х—+*РХ
расслоения щ, рассматриваемое как отображение^ в 'X7,
будет пунктированной гомотопией, связывающей отобра-
отображение constj с отображением idjj-, т. е. после замены t
на 1 — t будет стягиванием пространства X. Таким обра-
образом, пространство X тогда и только тогда стягиваемо,
когда серровское расслоение щ: РХ—+Х обладает сечением
s: X—+PX. (Можно показать, что это сечение обладает,
кроме того, тем свойством, что id ~ s о р, причем соот-
соответствующую гомотопию ft: PX—+PX можно выбрать
так, чтобы для любого /?/ имело место равенство
poft=ap. В введенной в Дополнении к лекции 2 терми-

ПУНКТИРОВАННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 16<>
пологий это означает, что пространство X тогда и только
тогда стягиваемо, когда серровское расслоение щ: РХ—+Х
коллапсируемо. Это уточнение двойственно утверждению
для конусов, получающемуся заменой ретрактов строгими
деформационными ретрактами, и доказывается двойствен-
двойственным образом.)
Теперь ясно, что пунктированное отображение
/: X—+Y тогда и только тогда гомотопно нулю, когда
оно может быть поднято в PY:
Замечание о терминологии. Дж. У. Уайтхед
[19] предостерегает от употребления для пространства РХ
термина коконус. Хотя мы не видим в этом термине осо-
особого криминала, но от его использования мы все же воз-
воздержимся. (Быть может, пространство РХ следует назы-
называть «нусом»?)
Пунктированное отображение /: X—+Y называется
пунктированной гомотопической эквивалентностью (или
гомотопической эквивалентностью категории ТОР"), если
существует такое пунктированное отображение g: Y—+X
(обратная пунктированная гомотопическая эквивалент-
эквивалентность), что f о g ~ id и g о f ~ id.
Конечно, любая пунктированная гомотопическая экви-
эквивалентность будет и обычной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью (гомотопической эквивалентностью категории ТОР).
Для гладко пунктированных пространств обратное также
верно:
Предложение 1. Если пунктированные простран-
пространства (X, х0) и (Y, у0) гладко пунктированы, то каждое
пунктированное отображение f: (X, ха)~+(Y, yB), являю-
являющееся гомотопической эквивалентностью категории ТОР,
будет и пунктированной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью.
Таким образом, кажущийся двусмысленным термин
«пунктированная гомотопическая эквивалентность» на са-
самом деле таковым не является (по крайней мере для
гладко пунктированных пространств).

170 ПУНКТИРОВАННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Замечание 2. Если пространство (X', х\) получено
из пространства (X, х0) приклеиванием вибриссы, то
в случае, когда пространство (X, х0) гладко пунктиро-
пунктировано, деформационная ретракция Х'—+Х будет в силу
предложения 1 пунктированной гомотопической эквива-
эквивалентностью. Таким [образом, 'как |и следовало ожидать,
приклеивание вибриссы к гладко пунктированному прост-
пространству не изменяет его пунктированного гомотопичес-
гомотопического типа. (Напротив, легко видеть, что если пространство
(X, х„) не гладко пунктировано, то пространство (X', х'о)
не может быть ему пунктированно гомотопически эквива-
эквивалентно).
Доказательству предложения 1 мы (предпошлем две
леммы.
Лемма 2. Если пунктированное пространство (X, х0)
гладко пунктировано, то для любого пунктированного
пространства (У, у^каждое отображение f: X—+Y, для
которого точка /(#„)лежит в той же компоненте про-
пространства Y, что и точка у„, гомотопно некоторому
пунктированному отображению (X, хо)—>-к(У, у0).
Доказательство. По условию точку f (х„) можно
соединить некоторым путем и: I—+Y с точкой «/„. Этот
путь мы можем рассматривать как гомотопию отображе-
отображения /|{*0}. Поэтому, согласно аксиоме о распространении
гомотопии (применимой по условию к паре (X, *„)), суще-
существует такая гомотопия ft: X—+Y, что ff(x0) — u(t) для
любого t?l. Поскольку ^(х„)ш>иA)шву9, отображение/j
является пунктированным отображением (X, xo)—+(Y, y0),
гомотопным отображению /. G
Лемма 3. Если пунктированное пространство (X, х0)
гладко пунктировано, то для любого пунктированного
отображения f: (X, х0)—>-(Х, х9), свободно гомотопного
тождественному отображению id, существует такое
пунктированное отображение /': (X, хо)—>-(Х, х„), что
f of ~id.
Доказательство. Пусть F: Xх/ —> X—свободная
гомотопия, связывающая отображение / с тождественным
отображением id. Поскольку пара (X, х0) является парой
Борсука, существует такая гомотопия f't: X—»-Х, что
fi-«id и fi(Xf))¦¦ F(*о. 0 Для любого t?l. Тогда формула
( /!-«(/(*)). если 0<*<1/2,
G(*. O-j p(x,2t—l), если

ПУНКТИРОВАННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 171
определяет гомотопию G: Хх!—> •Х, связывающую отоб-
отображение f of, где /'«=»/i, с отображением id. Поскольку
пара (Хх/, хвх1) также является парой Борсука, суще-
существует такая гомотопия Ф: (X х /) X / —> X с начальным
отображением G, что
F(x0, 1—2^A — т)), если 0<*<1/2
F(xt, 1—2A— t)(l— т)), если 1/2<*<1.
Тогда отображения
(х, т)ь-»Ф(х,0, т), (дс, 0»-*Ф(*. М),
(*, т)н-»Ф(д;, 1, 1—т)
будут пунктированными гомотопиями, последовательно
снизывающими отображение f of: х*-*ф(х, 0, 0) с отобра-
отображением id: Xh-*<t>(x, 1,0). П
Замечание 3. Лемма 3 и предложение 2 лекции 2
являются частными случаями некоего общего утверждения
двойственного лемме 2 из Дополнения к лекции 2.
Доказательство предложения 1. Пусть
g: Y—f X—гомотопическая эквивалентность, обратная
к гомотопической эквивалентности /: X ^-* Y. Тогда отоб-
отображение g о f: X —>У гомотопно тождественному отобра-
отображению id, откуда следует, что точка g(y0)mt(go /)(#„)
лежит в той же компоненте*пространства X, что и точка х„.
Поэтому, согласно лемме 1, отображение g гомотопно не-
некоторому пунктированному отображению (К, 0o)i—»(Х, х„).
Следовательно, без ограничения общности мы можем
предполагать отображение g "пунктированным.
Но тогда гомотопное тождественному отображению
отображение gof: X—*-Y также пунктировано, и потому,
согласно лемме 2, существует такое пунктированное ото-
отображение ht=*(gof)': X-^-X, что ho (gof) ~ id. Этим
доказано, что существует такое пунктированное отобра-
отображение g: Y—+X (а именно, отображение g^kog), что
go /~ id.
Отображение g, конечно, также является гомотопи-
гомотопической эквивалентностью (обратной к гомотопической
эквивалентности /). Следовательно, по тем же соображе-
соображениям для него в свою ^очередь существует такое пункти-
пунктированное отображение /: X—+Y, что / о g~ id. Но тогда

172 ИГНОРИРОВАНИЕ ОТМЕЧЕННЫХ ТОЧЕК
f~fogof~f и, значит, fog~\&. Поэтому / является
пунктированной гомотопической эквивалентностью (a g—
обратной пунктированной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью). \j
Предложение 1 наводит на мысль, что отношение
пунктированной гомотопности должно совпадать с отно-
отношением обычной гомотопности (хотя бы для гладко
пунктированных пространств), т. е. что отображение
B) [Х,УТ-+[Х,П
возникающее при игнорировании отмеченных точек, биек-
биективно. Однако это п|р^е]дположение ложно и си-
ситуация здесь на самом деле более сложная.
Действительно, для того чтобы отображение f: X—*Y
было гомотопно пунктированному отображению (X, х9) —>
"-+¦ (У» У»)' в0 всяком случае необходимо, чтобы отобра-
отображение я0/: п0Х—+я0У переводило компоненту простран-
пространства X, содержащую точку х0, в компоненту простран-
пространства К,1 содержащую точку уй. Это означает, что образ
отображения B) заведомо содержится в подмножестве
[X, Y]o множества [X, Y], состоящем из гомотопических
классов отображений X —>• К, удовлетворяющих послед-
последнему условию. Поскольку при несвязном Y подмножество
[X, К], непременно является собственным подмножеством
множества [X, У], мы видим, следовательно, что даже
для надъективности отображения B) необходимо предпо-
предполагать пространство "К связным. Для несвязного же про-
пространства Y вопрос о надъективности может стоять лишь
по отношению к отображению
C) [X,Y]--+[X,Yl,
индуцированному отображением B) (и, заметим, при
связном Y совпадающему с отображением B)).
Но ответ на этот вопрос в точности дается леммой 1.
Таким образом, согласно этой лемме, если пространство X
гладко пунктировано, то для любого пунктированного
пространства Y отображение C) надъективно.
В частности, если пунктированное пространство X
гладко пунктировано, а пунктированное пространство Y
связно, то отображение B) надъективно.
Вопрос об инъективности отображения B) (или, что
то же самое, отображения C)) требует некоторых приго*

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 17,3
топлений, потому что даже для самых «гладких» прост-
пространств отображение B) может быть не инъективным,
и исследование вопроса о строении прообразов элементов
множества [X, Y] при этом отображении является содер-
содержательной геометрической задачей.
Определение 3. Петли и, a?QX пунктированного
пространства (X, х0) называются гомотопными, если
они гомотопны относительно двухэлементного множества
{О, 1} с /. Множество [/, X]rel{0, 1} всех классов [и]
гомотопных петель обозначается символом я, (X, х0) (или
просто ntX). Если множество J%(X, х0) состоит только
из одного элемента, т. е. если любые две петли прост-
пространства X гомотопны, то пунктированное пространство X
называется односвязным.
В силу экспоненциального закона гомотопии из /
в X ге! {О, 1} отождествляются с путями пространства QX,
и тем самым множество щХ отождествляется с множест-
множеством nnQX всех компонент этого пространства:'
Но так'как Kj/Cs-fpt, К], то для каждого Н-прост-
ранства {каждого И-моноида или каждой Н-груп-
пы) К умножение переносится "в его фактормножество
nj( и относительно этого умножения множество п0К яв-
является унитоидом (соответственно моноидом или
группой).
Применительно к Ki—QX'mu получаем, следовательно,
что формула
D) MW-N
корректно определяет в щХ умножение, по отношению
к'которому это множество является группой.
Группа пгХ называется фундаментальной группой
пунктированного пространства X.
Единицей этой группы служит гомотопический гкласс
fOj(J постоянной петли 0^: 1—+Х, ti-*x0, а элементом а,
обратным к элементу а=»[м], является гомотопический
класс а обратной петли ы"': t*-*u(\ — t).
Каждое пунктированное отображение f: (X, x9) ^+
—+(?< У о) определяет по формуле f,: [u]>-+[f о и] отобра-
жение!/«: л^Х\-*п^У, являющееся гомоморфизмом, и ясно,
что соответствия Х*-*щХ, />->/¦ составляют функтор из

174 ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ Я,У
категории ТОР' в категорию GROUPS. Иначе говоря,
умножение D) естественно по X.
Замечание 4." Интересно, что, как мы покажем
в лекции 6, умножение D), а также инверсное умножение
[ы] [i>] =s [ш] являются единственными естественными по X
групповыми умножениями, которые можно определить
в множестве щХ.
Напомним, что действием группы П на объекте А не-
некоторой категории А называется произвольный гомомор-
гомоморфизм R: П—*Aut A, ?•—>/??, этой группы в группу Aut A
автоморфизмов объекта А. Если А является множеством
(вообще говоря, снабженным дополнительной структурой),
то образ элемента а ? А при автоморфизме R%, ? ? П, обо-
обозначается обычно символом ?а. Возникающее отображение
ПхЛ—-А, (?,a)t-*.ga,
также называется действием. Чтобы отображение Пх А—+ А
было действием, необходимо и достаточно, чтобы для
любых элементов ?, т|€П, а?А имело место равенство
и чтобы для любого элемента ??П отображение аь->?а»
а? А, было морфизмом объекта А на себя. При A»=ENS
последнее условие выполнено автоматически, а, например,
при A = AB-GROUPS оно означает, что для любых эле-
элементов а, р ? А должно быть выполнено равенство
Примером действия является действие (|, а)>—
группы П на себе посредством внутренних автоморфизмов.
Орбитой действия ПхЛ—* А, определенной элемен-
элементом а ? А, называется множество На всех элементов вида
?а, ?€П. Орбиты являются классами эквивалентности по
отношению эквивалентности, в котором а~Р, если Р = |а
для некоторого ? ? П. Соответствующее фактормножество
обозначается символом А/В. Подчеркнем, что, вообще
говоря, оно не наследует структуру объекта Л. Напри-
Например, если А—группа, то A/U будет, вообще говоря, лишь
пунктированным множеством (отмеченной точкой которого
является орбита единицы, являющаяся, кстати сказать,
одноэлементным множеством).
Мы применим эти общие определения к случаю, когда
группой П является фундаментальная группа ntY, а мно-

ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ JiiV 175
жсством А—множество [X, У]" = [(Х, x0), (У, «/„)] гомо-
гомотопических классов отображений гладко пунктированного
пространства (X, х0) в пространство (У, у0).
Пусть | = [ы]?л1У и а = [/Т€[Х, У]'. Поскольку про-
пространство (X, х0) гладко пунктировано, существует такая
гомотопия ft: X—>-Y, что f9*af и ft(x0) = u(l—t) для
любого t?l (см. выше доказательство леммы 1). Пусть
[t)J=>[u] и [?]"==[/]', и пусть gt: X—>Y—такая гомото-
гомотопия, что ?„=*? и gt(x0)='V(l—t) для любого /?/. Эта
гомотопия вместе с гомотопией ft и гомотопией wx:
I —* Yrel {0, 1}, связывающей ис», определяет по формуле
(ft(x), если т —О,
ht(x, т)«= \ wx(\—t), если х = х0,
[gt(x), если т—1,
некоторую гомотопию hx: Xpt —<¦ Y, где в соответствии
с введенными в лекции 2 обозначениями Xpt = (Xx0)U
U(xoxI)\J(Xx 1). Так как отображение/i0 является огра-
ограничением на Xpt гомотопии rel {д:0}, связывающей отобра-
отображения / и g, и так как, согласно лемме 3 лекции 2, пара
(Хх/, Xpt) является парой Борсука, то _гомотопия ht
распространяется до некоторой гомотопии ht: Xxl—*-Y.
Концевое отображение hi этой гомотопии будет гомото-
гомотопией rel \ха\, связывающей отображения /х и glt Этим
доказано, что класс [Д]' отображения /х зависит только
от классов | = [ы] и а =«[/]*, а не от их представителей
и и /\ Поэтому, обозначив его через \а, мы корректно
определим некоторое отображение (?, a)t->^a из njFx
х[Х, У]* в [X, У]', являющееся, как показывает авто-
автоматическая проверка, действием группы яхУ на множе-
множестве [X, У]\
Построенное действие мы будем называть канониче-
каноническим действием группы лхУ на множестве [X, У]".
Предложение 2. Орбиты канонического действия
Я1УХ[Х, У]'-.[Х, У]*
в точности совпадают с прообразами при отображении
B) гомотопических классов из [X, У].
Доказательство. По определению, если «=•[/]' и
Ejaef/j]*, то /~/1. Обратно, если /~/1 и /t: X—«-У —
гомотопия, связывающая / с flt то [/J'= [«][/]', где
и: I—+Y—петля t^fi_t(x0). П

176 ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ л,У
Предложение 2 означает, что имеет место равенство
E) [X, Y]9-[X, Yy/bY,
где [X, YJ/jiiY—фактормножество множества [X, У]' по
действию группы л^У. В частности, мы видим, что если
пространство У связно и односвязно, то [X, Y]tm[X, Y]'.
Замечание 5. Если Ха и Ур—компоненты про-
пространств X и У соответственно, то множество [X, У] естест-
естественным образом представляется в виде дизъюнктного объ-
объединения множеств [Ха, Ур]. Аналогично, если Ха„ и
Ур„—компоненты пространств X и У, содержащие отме-
отмеченные точки, то множество [X, У]' является дизъюнктным
объединением множества [Ха„ Ур„]" и множеств [Ха, Ур]
при (а, $)ф(а0, р0). При этом на последних множествах
отображение B) является тождественным отображением
(в частности, группа яхУ действует на них тождественно),
так что интерес представляет лишь отображение
Поскольку группа пгУ естественным образом отождест-
отождествляется с группой ЯхУро, мы видим, следовательно, что
все сюдится к случаю связных пространств X и У. Именно,
умея вычислять множества \Х, У]' для связных пункти-
пунктированных пространств X иУ, мы будем знать для тех
же пространств множества [X, Y], а потому будем знать
эти множества (вместе с множествами [X, У]') и для лю-
любых пространств X и У. Это объясняет, почему в теории
гомотопий ограничение связными пространствами обычно
считается вполне достаточным и общности, по существу,
не уменьшающим. Когда же на практике возникает необ-
необходимость в применении результатов теории гомотопий
к несвязным пространствам, они без труда нужным обра-
образом видоизменяются.
Аналогично, хотя главный геометрический интерес
имеет, конечно, теория гомотопий в категории ТОР, а пере-
переход в категорию ТОР" вызван лишь жесткой алгебраиче-
алгебраической необходимостью, но в свете всего вышесказанного мы
отныне можем сосредоточить все внимание на категории
ТОР", держа «в уме» возможное игнорирование отмечен-
отмеченных точек.
Замечание 6. Для любого пунктированного прост-
пространства X и любой гладко пунктированной (т. е. имеющей
невырожденную коединицу) Н-когруппы К каноническое
действие группы лхХ является действием на множестве

ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ я,У 177
элементов группы [К, X]'. Оказывается, что это действие
согласовано со структурой группы на [К, X]', т. е. для
любого элемента ? = [ы] группы яхХ отображение ан-*.|а,
а ? [К, X]', является автоморфизмом группы [К, X]'. Дейст-
Действительно, пусть /: К—+Х, g: К—* X—произвольные пунк-
пунктированные отображения, а а =¦[/]' и (}**=[#]'— их гомото-
гомотопические классы. По определению |а — [ft]' и !P = [gi]\
где fi и gt—концевые отображения таких гомотопий /,,
gt: K-+X, что fo = /\ go = g и ft{e)=~gt{e)*=u{\ — l),
где е—коединица Н-когруппы К. Но тогда отображения
ft+8t*=mo(ft\/gt):K-+X, 0<^<l,
будут, очевидно, составлять гомотопию, связывающую ото-
отображение f+g^molfs/g) с отображением/j+fi'x—moO:iVft)
и удовлетворяющую соотношению (/t + fif*)(e)™u(*—О-
Поскольку, по определению, [/ + g]'"«a + P ^[fi^Si]' —
^ga + gp, этим доказано, что ga-f|p = §(a-|-|5). Следова-
Следовательно, отображение ан-*.^а является автоморфизмом. D
Замечание 7. Конструкция канонического действия
группы щУ на множестве [X, Y] допускает небольшое
обобщение, которое часто бывает полезно.
Пусть в топологическом пространстве Y выбраны две
точки у9 и yit лежащие в одной и той же компоненте
связности. Отметив точку у0, мы получим пунктированное
пространство (Y, у0), а отметив точку уг—пунктированное
пространство (Y, j/x). В соответствии с этим для любого
пунктированного пространства (X, ха) будут определены
два множества пунктированных гомотопических классов
[(X, *.). (У, </»)] и [(X, *,), (Y, У1)].
Пусть теперь и: I—*Y—произвольный путь в Y, со-
соединяющий точку у0 с точкой у1ш Если пространство {X, х0)
гладко пунктировано, то для любого отображения /:
(X, хо)—+(У, ух) существует такая свободная гомотопия
ft: X—*Y, что/0 = / и Ы*о)"=«A — t) (и, значит, fx (x,)=*
-Уо> т- е. fi- (X, х0)—>(К, г/0)). Рассуждения, лишь три-
тривиально отличающиеся от использованных выше, показы-
показывают теперь, что класс [/х]' ^ [(X, л;0), (Y, «/„)] зависит лишь
от класса [/]'6[(Х, х0), (Y, уг)] (и от класса [u]rel{0, 1}
пути и) и что возникающее отображение
F) [(X, *,), (Y, й)] — [(X, х.), (Y, у0)]

178 ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ Я,У
является биективным отображением множества [(X, х0),
(У, м,)] на множество [(X, xe), (Y, уа)].
Перенося на этот случай введенные выше обозначения,
мы будем класс [Д] обозначать символом ?а, где а = [Л'
и g-[и]pel {0, if.
Если путь и соединяет^, точку у0 с точкой ylt a путь
v—точку j/i с точкой yt, то_ формула A8) лекции 3 будет
корректно определять их произведение uv, являющееся
путем, соединяющим точку у0 с точкой у%, и ясно, что
класс rel {0, 1} пути uv зависит только от классов |
и т| путей и к v. Этот класс называется произведением
классов ? и к] и обозначается символом &п.
Если теперь а?[(Х, #„), (К, «/„)], то, как показывает
автоматическая проверка, будет иметь место равенство
(&)Б()
(&Ч)(Ч)
В случае, когда (X, х0) является Н-когруппой (или
хотя бы Н-коунитоидом), то] же самое рассуждение, что
и выше, показывает, что отображение F) является изо-
изоморфизмом групп (унитоидов).
Подчеркнем, что отображение F) зависит от пути и
(или, точнее, от его класса ?¦=[«]rel {0, i})t и При замене
пути и другим (не гомотопным ему) путем может изме-
измениться.
3 а м е ч а н"и"е 8. Описанная ситуация допускает эле-
элегантную общеалгебраическую трактовку.
Напомним, что группоидом называется категория, все
морфизмы которой являются изоморфизмами. Для любой
категории А ансамблем (или локальной системой) объек-
объектов категории А над группоидом П называется произволь-
произвольный функтор из П в А. Таким образом, ансамбль /? сопо-
сопоставляет каждому объекту х б П некоторый объект Rx g A
и каждому морфизму §: х—>у—морфизм /?6: Rx—*Ry
(автоматически являющийся изоморфизмом), причем Rir\ —
=Я|оЯп и /?ld = id.
Примером группоида может служить фундаментальный
группоид UY произвольного топологического простран-
пространства У, объектами которого являются точки простран-
пространства Y, а морфизмами—гомотопические классы rel {0, 1}
путей и: I—>-К. В этом группоиде отношение ?: у—>-х
означает, что пути класса ? соединяют точку х с точкой у,
а композицией морфизмов г\ н % является произведение ?т)
классов I и т).
Ансамбли над группоидом ПУ называются ансамблями
(локальными системами) над пространством Y.

ПУНКТИРОВАННЫЕ Н-ПРОСТРАНСТВА 179
В этой терминологии утверждения замечания 7 озна-
означают, что для любого гладко пунктированного простран-
пространства (X, х„) и любого топологического пространства Y
множества /?у = [(Х, х0), (Yy у)] вместе с отображениями
R{: ан-».§а составляют ансамбль множеств над прост-
пространством Y, являющийся ансамблем групп (унитоидов),
когда пространство (X, х0) представляет собой Н-ко-
грцппу (Ы-коунитоид).
Для любого группоида П и любого его объекта у0 мно-
множество П(г/0, у0) всех морфизмов ?: уй—+у0 является груп-
группой, и для любого ансамбля R множеств над П эта группа
действует на множестве Ry<l. Для случая П=»ПУ группа
1J (//о, «/j) является не чем иным, как фундаментальной
группой nt(Y, г/А а ее действие на множестве /?„„ =
\(Х, х„), (Y, уо)\—каноническим действием из предло-
предложения 2.
Переход в категориюУГОР" требует, конечно, соответ-
соответствующего видоизменения в понятиях Н-групп, Н-монои-
дов и Н-унитоидов. Теперь каждый Н-унитоид К (и, в
частности, каждый Н-моноид и каждую Н-групиу) мы
должны считать пунктированным пространством с отме-
отмеченной точкой и соответственно этому предполагать ум-
умножение т: КхК—>-К пунктированным отображением
(что равносильно равенству е2 = е), а гомотопии, связы-
связывающие отображения х*->хе и лл—*ех с тождественным
отображением,— пунктированными гомотопиями. Кроме
того, для Н-моноидов и Н-групп диаграммы G) и (8)
лекции 3 должны быть теперь коммутативны с точностью
до пунктированной гомотопил. Тогда для любого пункти-
пунктированного пространства (X, х0) множество [X, К]' будет
унптоидом (соответственно моноидом или группой) с еди-
единицей [0г]\
Согласно предложению 2, если пространство (X, хп)
гладко пунктировано, то на множестве [X, К]' действует
группа пхК. Оказывается, что это действие тривиально,
т.е. ?а = а для любых элементов а = [/]'?[Х, К]' и g =
l/OCitj/e. Действительно, так как по условию отобра-
отображение ху-*хе, х?К, пунктированно гомотопно постоянному
отображению, то отображение / пунктированно гомотопно
отображению g: x*->f(x)e, а петля и гомотопна петле
v. /^_».ы(/)e> т.е. a = [g]' и S = [i>]. С другой стороны,
формула
) f{x)u{\-t)

180 Н-ПРОСТРАНОТВА С НАСТОЯЩИМИ ЕДИНИЦАМИ
определяет гомотопиго gt: Х—+К, для которой ga=trl=g
и, следовательно, gt(xB)=au(\ — t). Следовательно, la =
Так как каждый Н-унитоид (И-моноид или Н-группа)
категории ТОР' является, конечно, Н-унитоидом (соот-
(соответственно Н-моноидом или Н-группой) категории ТОР,
то множество \Х, К] свободных гомотопических классов
отображений X —> К также будет унитоидом (соответст-
(соответственно моноидом или группой), а естественное отображе-
отображение [X, HJ—*[X, К] будет гомоморфизмом. Поскольку
же, согласно только что доказанному, это отображение
биективно (если пространство X гладко пунктировано),
мы окончательно получаем, что для любого гладко пунк-
пунктированного пространства X и любого пунктированного
Н-унитоида (любого Н-моноида, любой Ц-группы) К уни-
тоиды (соответственно моноиды и группы) [X, К\ и [X, К]
естественно изоморфны.
Утверждение, что'точка е ? К является гомотопической
единицей Н-пространства К означает, что ограничение
т \kvk умножения т: КхК -* Я"на букете K\jK=(Kхе)М
V(exK) гомотопно отображению схлопывания VeidVid:
К\/К~+К, переводящему" точки *,=¦(#, е) и хм=*(е, #)
этого букета в точку дг^/С, а утверждение, что точка е
является настоящей (строгой) единицей, означает, что
m|/<v/c = V. Поэтому, если точка е невырождена и, зна-
значит, согласно предложению 3 лекции 1, пара *(КхК,
К\/Ю=а(К, е)* является парой Борсука, то умножение
т: КхК—>-К с гомотопической единицей е гомотопно
умножению т'\ КхК—+К< для которого эта единица яв-
является настоящей единицей.
При этом, если по отношению к умножению т про-
пространство К было Н-моноидом, т. е. если отображения
mo(mxid) и mo(ldxm) нзКхКхКпК были гомотопны,
то пунктированные отображения m'o(m'xfd) и m'o(idxmf)
также будут гомотопны (свободно). Но ввиду невырож-
невырожденности отмеченной точки пространства КхКхК (дока-
(доказываемой двукратным применением леммы 3 лекции 1)
к этому пространству применимо утверждение о совпаде-
совпадении множеств ["Я, К]' и [X, К]. Поэтому пунктированные
отображения т'о(т'хЫ) н m'o(fdxm') будут гомотопны
и пунктированно. Таким образом, относительно умноже-
умножения т' пространство К будет пунктированным Н-моноидом.

КОСЛОИ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ 18|
Наконец, если Н-пространство К было Н-группой, то
по аналогичным соображениям отображение ц будет гомо-
гомотопно пунктированному отображению ц": (К, б)—»-(К, е),
и для этого отображения диаграммы (8) лекции 3, в кото-
которых т и ii заменены на т' и ц', будут пунктированно
гомотопны, т. е. пунктированный Н-моноид К с умноже-
умножением т' будет пунктированной Н-группой.
Этим доказано, что каждое ^{-пространство (Н-моноид
или Н-группа), гомотопическая единица которого невырож-
невырождена, эквивалентно пунктированному ^-пространству
(Я-моноиду, Н-группе) с настоящей единицей.
Без предположения о невырожденности единицы можно
лишь утверждать, что Н-пространство К гомотопически
изоморфно пунктированному Н-пространству К' с настоя-
настоящей единицей. Для доказательства достаточно приклеить
к КТвибриссу и применить предыдущее утверждение.
Мы видим, следовательно, что при переходе от кате-
категории ТОР к категории ТОР' мы в отношении функто-
функторов К* ничего не теряем (и ничего не приобретаем), по-
поскольку запас Н-пространств К в обеих категориях прак-
практически один и тот же, и каждый из них]* дает одни и
те же алгебраические объекты К*\(Х).
Кроме вопроса""^ связи между категориями пунктиро-
пунктированных и непунктированных пространств, у нас от пре-
предыдущей лекции остался еще один маленький должок —
гомотопическая эквивалентность приведенной])! неприве-
денной надстроек. Хотя сам по себе последний вопрос
довольно элементарен, мы воспользуемся случаем, чтобы
изложить в связи с ним некоторые результаты общего
характера, имеющие и самостоятельный интерес.
Для любой пары (X, А) пространство XIА называется
ее кослоем. Например, кослоем пары (XxY, X\/Y) яв-
является смеш-произведение Я Л У, а кослоем пары (СХ, X) —
надстройка SX.
Заметим, что кослой XIА произвольной пары (X, А)
естественным образом является пунктированным прост-
пространством, отмеченной точкой которого является образ
подпространства А при отображении факторизации Х—*Х/А.
Непрерывное отображение (р: X —>¦ Y называется отоб-
отображением (X, А) —* (У, В) пары (X, А) в пару (У, В), если
Ф(Л)с5. Композиция отображений пар (X, А)-*(У, В)
и (У, \В) —*¦ (Z, С) является, очевидно, отображением
(X, А) —- (Z, Q. Поэтому пары и их отображения состав-

182 кослои и относительные гомеоморфизмы
ляют категорию. Мы будем обозначать эту категорию сим-
символом ТОР8.
Ясно, что любое отображение пар ср: (X, А) —> (F, В)
индуцирует пунктированное отображение ф': X/A-+Y/B
их кослоев, причем соответствия (X, А)>-*Х/А, ф>—».ф'
составляют функтор из категории ТОР2 в категорию ТОР'.
Отображение пар /: (X, A)—*(Y, В) называется отно-
относительным гомеоморфизмом, если как отображение X —> Y
оно является эпиоморфизмом на f(X), инъективно (н, зна-
значит, гомеоморфно) отображающим Х\А на Y\B. Без
труда проверяется, что отображение Х/А~+ У/5, инду-
индуцированное относительным гомеоморфизмом (X, А)—>-
—»-(К, В), представляет собой гомеоморфизм.
Для любой пары (X, А) и любого надъективного отобра-
отображения g: A —> В отображение факторизации
f: (X, A)-+{X\JgB, В)
является, очевидно, надъективным относительным гомео-
гомеоморфизмом. Легко видеть, что верно и обратное.
Лемма 4. Для любого надъективного относительного
гомеоморфизма /: (X, А) —> (У, В) пространство Y гомео-
гомеоморфно пространству X[jgB, где g**f\A.
Д о к[а з а т'е^ь с т в о. Рассмотрим диаграмму
где /: В —*¦ Y—вложение, tp—отображение факториза-
факторизации, a f—отображение, совпадающее на X\A**q>(X\A)
с отображением /, а на В—с отображением L Так как
эта диаграмма, очевидно, коммутативна, то в силу эпио-
морфности отображения ф отображение /непрерывно. Кроме
того, оно, очевидно, биективно, и для обратного отобра-
отображения имеет место соотношение Ф = /~1о(/и')- Н° надъек-
тивный относительный гомеоморфизм f является, по опре-
определению, эпиоморфным отображением, откуда непосред-
непосредственно следует, что отображение f[\i также эпиоморфно.
Следовательно, в силу непрерывности отображения ф ото-
отображение f непрерывно, [и, значит, отображение f яв-
является гомеоморфизмом. D

КОСЛОИ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ 183
Относительные гомеоморфизмы нам в основном инте-
интересны из-за следующего их свойства.
Лемма 5. Если пара (X, А) является парой Борсука,
то для любого относительного гомеоморфизма <р: (X, А) —>
> (Y, В) пара (Y, В) также будет парой Борсука.
Доказательство. Утверждение, что пара (У, В)
является парой Борсука означает, что для каждой диа-
диаграммы вида
G) Jr\ ?/ у (/—вложение)
существует замыкающая гомотопия F. Но, надставив эту
диаграмму диаграммой
b
мы получим аналогичную диаграмму
b-Ly
(/—вложение)
для пары (X, А), для которой гомотопия G по условию
существует. Так как отображение ср вне А инъективно,
то формула
(8}a"\G{x), если у^В и у-<р(х),
корректно определяет некоторое отображение F: X—*Z',
удовлетворяющее соотношению G — Focp и потому, в силу
эпиоморфности отображения <р, непрерывное. Для завер-
завершения доказательства остается заметить, что отображе-
отображение F замыкает, очевидно, диаграмму G). D
Следствие 1. Кослой Х/А произвольной пары Бор-
Борсука (X, А) является гладко пунктированным простран-
пространством. D

184 КОСЛОИ ПО СТЯГИВАЕМЫМ ПОДПРОСТРАНСТВАМ
Следствие 2. Для любых гладко пунктированных
пространств X и Y пространство
XAY-XxY/X\/Y, X\/Ym.(Xxy,)[}ixtxY),
также гладко пунктировано.
Доказательство. Согласно предложению 2 лек-
лекции 1 пара {XxY, X\/Y)b*(X, xJx(Y, yt) является па-
парой Борсука. ?
Следствие 3. Для любого гладко пунктированного
пространства X пара (С'Х, X) является парой Борсука.
Доказательство. Отображение отождествления
(Xxl, Xpt)~*(С'Х, X) является относительным гомео-
гомеоморфизмом, а пара (Xxl, Xfi)—парой Борсука (см. лем-
лемму 3 лекции 2). D
Докажем теперь следующую важную лемму.
Лемма 6. Если для пары Борсука (X, А) подпрост-
подпространство А стягиваемо, то факторотображение
1: Х-+Х/А
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Пусть ft: А—>¦ А—гомотопия,
связывающая тождественное отображение id*: A—*A
с постоянным отображением constao: A —> А. Поскольку
пара (X, А) является парой Борсука, существует такая
гомотопия ft: X —> X, что f0 = idy и ft о i = i о ft для любого
i € /, где i: A —>¦ X—вложение. В частности, /, о i=ioconst=
= const, т.е. /1|i4== const. Поэтому отображение ft инду-
индуцирует некоторое отображение h: X/A —»- X, для которого
h о | = fv Следовательно, id ~ h о |. Аналогично, по-
поскольку ft(a)?A для любого а6Л и любого t?l, гомо-
гомотопия ft индуцирует гомотопию gt: X/A—+X/A, для кото-
которой gj = id и gt = toh. Следовательно, id ~ h о ф, и, зна-
значит, % и h являются взаимно обратными гомотопическими
эквивалентностями. D
Применим полученные общие результаты к надстройке
SX и *ее меридиану Sx0. Если пространство X гладко
пунктировано, и потому в силу леммы 3 лекции пара
(Xxl, Xpt), где Xpt = (Xx0)[j(xtxI)\J(Xxl), является
парой Борсука, то, согласно лемме 5, пара (SX, Sx0)
с кослоем S'X = SX/Sx0 также будет парой Борсука (отоб-
(отображение факторизации (Xxl, Xpi)—*(SX, Sxt) является

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [85
относительным гомеоморфизмом). Следовательно, поскольку
меридиан Sx0, будучи гомеоморфен отрезку /, стягиваем,
для любого гладко пунктированного пространства X отоб-
отображение факторизации SX—+S'X является гомотопиче-
гомотопической эквивалентностью.
Кроме того, применив к паре {Ху.1, Xpt) следствие I
леммы 5, мы получаем, что если пространство X гладко
пунктировано, то его приведенная надстройка S'X также
гладко пунктирована.
Аналогичное утверждение справедливо и для простран-
пространства петель, т. е. для любого гладко пунктированного про-
пространства (X, х0) пространство петель (QX, 0 ) также
гладко пунктировано. Действительно, если ф: Х—*1 —
такая непрерывная функция, что ф~1(О)=={дсо}, то формула
Ф (и) = max ф (и (тг)), 0^т^1,
будет определять непрерывную функцию ф: QX—<¦/, для
которой Ф^)—{0*,Ь При этом множество t/=QX\(p~x(l)
естественным образом отождествляется с пространством
W, где U = Х\у~1A), и потому для любой гомотопии
gt: U —* X rel {xo\ формула
будет корректно определять некоторую гомотопию gf: 0 —*¦
- +ЯХ. Кроме того, если go(x) = x и gt(x)=>x0 для любой
точки x?U, то g0(и) = и и gr1(«) = 0JCo для любого пути
и ?V. D
Ясно, что это рассуждение сохраняется и для прост-
пространства QMX муровских петель.
ДОПОЛНЕНИЕ
Лемма о произведении эпиоморфизмов. — Смеш гомотопи-
гомотопических классов.— Ассоциативность смеш-умножения хаус-
дорфовых локально компактных пространств.— Гомотопи-
Гомотопическая ассоциативность смеш-умножения гладко пункти-
пунктированных пространств.— Инвариант cat X.— Нильпотент-
Нильпотентность группы [X, К]'.— Абелевость группы [L, К]'.—
Группы [S"X, Q»Y)\
В этом Дополнении мы рассмотрим два не связанных
между собой вопроса: вопрос о свойствах смеш-умножения
и вопрос об условиях, обеспечивающих нильпотентность
или абелевость группы [X, К]'.

186 ЛЕММА О ПРОИЗВЕДЕНИИ ЭПИОМОРФИЗМОВ
Ключом к свойствам смеш-умножения является сле-
следующая лемма, которая будет нам нужна и во многих
других вопросах.
Лемма 1. Если пространство Y хаусдорфово и ло-
локально компактно, то для любого эпиоморфизма \: Р —* X
отображение
Sxid: PxY-^XxY, (p, у)^A(р), у),
также является эпиоморфизмом.
Доказательство. Введя в рассмотрение фактор-
пространство XxY пространства Р х Y по отношению экви-
эквивалентности, в котором (/?,, yi)~{pi, y2) тогда и только
тогда, когда g (pt) — \ (р2) и//! = г/г, мы представим отобра-
отображение i х id в виде композиции отображения факториза-
факторизации k: PxY—>- XxY и некоторого непрерывного биектив-
биективного отображения i: XxY—>-XxY:
Отображение ?xid тогда и только тогда является эпио-
эпиоморфизмом, когда отображение i представляет собой гомео-
гомеоморфизм.
Имея это в виду, мы рассмотрим отображение Q(k):
Р —¦*¦ (X х Y)Y, ассоциированное с отображением k. По опре-
определению [6 (k) p] (y)**k(p, у) для любых точек p€.P,y?Y,
и, значит, б (k) pt = 9 (k) p% тогда и только тогда, когда
5() 5() Поэтому в диаграмме
существует замыкающее отображение х\\ X —*-\XxY)y.
Оно непрерывно, поскольку отображение 9 (k) непрерывно,
а отображение ? является эпиоморфизмом. Так как про-

СМЕШ ГОМОТОПИЧЕСКИХ КЛАССОВ 187
странство Y хаусдорфово и локально компактно, и, зна-
значит, отображение ассоциирования б биективно, то суще-
существует такое отображение /: X х Y —»¦ X х Y, что б/ = т|, а так
как т) о|=«б(Л), то / о (gx id) ek. Поэтому (io /)o(?xid) =
/o? = ?xid, (и потому io/ = id, так как отображение
? х id надъективно. Следовательно, отображение / является
гомеоморфизмом (с обратным гомеоморфизмом /), а отобра-
отображение ?xid—эпиоморфизмом.
Замечание 1. Хаусдорфовость и локальная ком-
компактность пространства Y в лемме 1 нам была нужна
только для того, чтобы обеспечить биективность отобра-
отображения 6. Поэтому, если для пространств X и Y верен
экспоненциальный закон, т. е. если для каждого,простран-
каждого,пространства В отображение ассоциирования
В: Вх*у—
биективно, то для любого эпиоморфизма ?: P —>¦ X отобра-
отображение gхid: PxY—>-XxY также является эпиомор-
эпиоморфизмом.
Следствие. Если пространства X и Y хаусдорфовы
и локально компактны, то для любых эпиоморфизмов |:
Р —*ШХ и ц: Q —>¦ Y отображение
1ху\: PxQ — XxY, (p, q)^(l(p), rift)),
также является эпиоморфизмом.'
Доказательство. Достаточно, заметив, что ?xti =
= (gx id) о (id XT)), учесть, что композиция двух эпиомор-
эпиоморфизмов является эпиоморфизмом. D
Ясно, что для любых пунктированных пространств
Л, В, X, Y и любых пунктированных отображений /: А—*¦
—> X, g: B—>Y формула а Д bt-+ f (a) A f (b), a?A,b?B,
корректно определяет пунктированное отображение
/Л g: AAB-^XAY,
причем соответствия (X, Y) ¦—»• X Л Y, (/, g) i—*¦ f Л g со-
составляют двуместный функтор из ТОР' в ТОР', ковариант-
пый по обоим аргументам.
Предложение 1. Для любых гомотопий ft: A—*X и
gt: B—+Y отображения ft Agt' A AB—+ X /\Y также
составляют гомотопию.

188 СМЕШ ГОМОТОПИЧЕСКИХ КЛАССОВ
Доказательство. Нужно показать, что отображе-
отображение
Я: (A/\B)xI-^XAY, (ajA*. О «• ft («) A 8t (b),
непрерывно. Но если /': АхВ—*А А В и /: ХхУ—*
—+Х/\У—канонические отображения факторизации, то
имеет место коммутативная диаграмма
отображение Н которой определено формулой Н ((a, b), t) =
~ (/* (а)> 8t (Р)) и потому непрерывно. Следовательно, отоб-
отображение Я о (/ х id) = / о Я непрерывно, а так как, согласно
лемме 1, отображение /xid является эпиоморфизмом, то
непрерывно и отображение Я. D
Из предложения 1 непосредственно следует, что для
любых гомотопических классов
«-[Я*€[Л, Х]\ f: A-+X,
формула
«ЛР-[/Ля]'
корректно определяет гомотопический класс
который называется смш-произведением классов аир.
Очевидно, что соответствия (X, Y)*~> Л" Л У» (а» Р) •—*•
и-*алРсоставляют двуместный функтор из[ТОР']в [ТОР*]
(гомотопизацию функтора Л из ТОР' в ТОР'). В частно-
частности, это означает, что для любых пространств А, X, X',
В, Y, У и любых гомотопических классов а?[А, X]',
0 ? [В, Y]', ? ? [X, Х']\ ц ? [У, Y']' имеет место равенство
Ясно, что для любых трех пунктированных пространств
X, У и Z соответствия
*, Л z*-*{х Л z)i. Уп /\г*-*(у Лг)п
определяют канонический гомеоморфизм
(X Л Y) Л Z -*(Х Л Z) V (К Л 2),

СМЕШ ГОМОТОПИЧЕСКИХ КЛАССОВ 189
обладающий свойством естественности, т. е. такой, что для
любых отображений /: А —>¦ X, g: 5J—->-У, h\ С—+Z имеет
место коммутативная диаграмма
(А V В) А С ~ (А А С) V (В А С)
(/V«)jAh;j j (Mft)V(gAft)
(X V К) Л Z - (X Л Z) V (У Л|2).|
Пространства (X V У) Л 2 и (Л Л.2) V (У Л Z) мы будем
в дальнейшем всегда отождествлять посредством этого
гомеоморфизма.
В частности, это позволяет нам для любой Н-когруппы
Л' с коумножением т: /(—»¦/( V К и любого пунктирован-
пунктированного пространства С трактовать отображение т A id как
отображение К А С —^ (/С д С) V (К А С) и автоматиче-
автоматическая, хотя и несколько утомительная, проверка показы-
показывает, что по отношению к этому отображению простран-
пространство К АС является Н-когруппой.
Следовательно, для любых элементов а, р ? [К, X]' и
у ^ [С, Zy будет определен элемент а Л7 + Р Ау€[К Л С,
X A Z]. С другой стороны, в группе [К, X]' будет опре-
определен элемент а + р, а потому в группе [К А С, X Л Z]' —
элемент (а + Р) Л у- Непосредственное вычисление, исполь-
использующее определения, показывает, что эти элементы сов-
совпадают:
Аналогичным образом доказывается, что для любого пунк-
пунктированного пространства А и любой Н-когруппы Lmc ко-
умножением- т пространство AAL является Н-когруппой
с коумножением id Л гп, а для любых элементов а ? [А, X]'
и р, v€[?, *T имеет место равенство
В этом смысле смет-умножение гомотопических классов
дистрибутивно относительно сложения.
Как уже было замечено в лекции 4, операция смеш-
умножения пространств коммутативна, т. е. формула
х А У*-* У /\х определяет канонический гомеоморфизм
X /\Y—+Y /\ Х- Отождествив посредством этого гомеомор-
гомеоморфизма пространства X АУ и КЛ^(а также посредством
аналогичного гомеоморфизма а А Ь>-+Ь А о пространства
А Л В и В А А), мы для любых элементов а 6 [А, X]',
Р ^ [В, У]" можем считать гомотопический класс Р Л «

190 АССОЦИАТИВНОСТЬ СМЕШ-УМНОЖЕНИЯ
элементом множества [А А В, X A Y]'. Ясно, что тогда
этот класс совпадет с классом а Л р. В [этом смысле
смеш-умножение гомотопических классов коммутативно.
Аналогично, если для пространств X, Y, Z отображение
A) (X^Y)^Z-^XA{Y AZ), (хАу)Лг^хЛ(уЛг),
является гомеоморфизмом (или хотя бы гомотопической
эквивалентностью) и если аналогичным свойством обладают
пространства А, В, С, то после соответствующих отожде-
отождествлений для любых элементов а?[Л, X]', Р?[5, Y]' и
у 6 \С, Z]' будет иметь место равенство (аЛР)Лу==аД
Л (р Л у)- В этом смысле смай-умножение гомотопических
классов ассоциативно.
Для каких же пространств X, Y, Z отображение A)
является гомеоморфизмом? Для ответа на этот вопрос мы
сначала сравним пространство {X /\ Y) /\ Z с простран-
пространством X Л Y Л Z.
По определению пространство X Л Y является фактор-
пространством X х Y/X V Y пространства X х Y, прост-
пространство (X Л Y) Л Z — факторпространством (X /\У)х
xZ/(X Л Y) V Z пространства (X Л Y)xZ и пространство
X Л Y Л Z — факторпространством X х Y x Z/X V V" V Z
пространства XxYxZ. Пусть
/:
— соответствующие отображения факторизации, и пусть
g: XAYAZ->(XAY)AZ
— отображение х А У A z|-* (* Л #) Л z, индуцированное
гомеоморфизмом
I": XxFxZ^(Xxr)xZ, (х, у, «).-».((*, г/), г).
Тогда имеет место коммутативная диаграмма
B)
XxУxzЛ(Xx7)xZ
| /xid
(XAZ)xZ

АССОЦИАТИВНОСТЬ СМЕШ-УМНОЖЕНИЯ 191
из которой следует, что отображение g о /' непрерывно.
Так как отображение /' является эпиоморфизмом, то,
следовательно, отображение ? непрерывно.
Наша цель состоит в том, чтобы найти условия, при
выполнении которых отображение g является гомеомор-
гомеоморфизмом. Ясно, что это отображение биективно. Поэтому
все сводится к вопросу о непрерывности обратного отобра-
отображения 5. В силу коммутативности диаграммы B) непре-
непрерывно (и даже эпиоморфно^ отображение I'1 о \" о (у х id).
Поскольку отображение /' является эпиоморфизмом, от-
отсюда следует, что отображение Ъ,~1 непрерывно тогда и
только тогда, когда отображение / х id эпиоморфно, для
чего в силу леммы 1 достаточно, чтобы пространство Z
было хаусдорфово и локально компактно. Тем самым нами
доказано следующее предложение.
Предложение 2. Если пространство Z локально ком-
компактно и хаусдорфово, то для любых пространств X uY
каноническое отображение
XAYAZ-^(XAY)/\Z, х Л У Л г^(х А у) А г,
является гомеоморфизмом. ?
Ясно, что аналог предложения 1 имеет место для кано-
канонического отображения
X AY AZ-+XAV /\Z), х/\ у/\г^х А (у Л г),
т. е. это отображение гомеоморфно, если пространство X
локально компактно и хаусдорфово.
Следствие I. Если пространства X и Z локально
компактны и хаусдорфовы, то для любого пространства Y
каноническое, отображение
(XAY)/\Z-+XA(Y AZ), (х Л У) А г~ х А (у Л г),
является гомеоморфизмом. ?
Таким образом, .для локально компактных и хаусдор-
фовых пространств Л и Z все три пространства (X Л Y) /\ Z,
X A (Y A Z) и X Л Y Л Z канонически гомеоморфны и
потому могут быть друг с другом отождествлены. В этом
смысле смет-умножение пространств ассоциативно.
Следствие 2. Если пространство Y локально ком-
компактно и хаусдорфово, то \для любого пространства X
канонические отображения
S- (XAY)^ S'X'A'Y, [х Л У, *] н* Где, /] Л У,
S'XAY -^S'(XaY), [x,t]Ay*-[x/\y,t],
являются взаимно обратными гомеоморфизмами.

192 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ АССОЦИАТИВНОСТЬ СМЕШ-УМНОЖЕНИЯ
Аналогично, если пространство X локально компактно
и хаусдорфово, то для любого пространства Y обратными
друг другу гомеоморфизмами будут канонические отобра-
отображения
S'(XAY)^XA S'Y, [х Л У, t]^x А [у, f],
XAS-Y-^S-(XAY), xA[y, Ц^[хАУ, t].
Доказательств"©. Достаточно вспомнить, что
S'X = S1 Л X. ?
Считая эти гомеоморфизмы отождествлениями, мы полу-
получаем, что для любых гомотопических классов а?[Л, X]',
Рё[fl, Y]', у?[С, Z]' имеет место тождество
C) ^(
(См. замечание 5 лекции 3.)
К сожалению, в теории гомотопий мы не можем огра-
ограничиться предложением 2, поскольку многие естественно
возникающие в этой теории пространства (например, про-
пространства путей) не локально компактны. Поэтому мы
вынуждены искать другие менее ограничительные условия,
обеспечивающие ассоциативность смеш-умножения (хотя
бы с точностью до гомотопической эквивалентности).
Предложение 3. Для любых гладко пунктированных
пространств X, Y, Z каноническое биективное отобра-
отображение
g: X Л У Л Z-*(X AY)AZ, xAyA *•-•«(* Л у) Л г,
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Согласно следствию 2 леммы 5
лекции 4 пространство X Л У гладко пунктировано, т. е.
(лемма 4 и предложение 3 лекции 2) существует такая
функция ф: X AY —+I, что cp^) =•».*:„ Л //о» и такая го-
мотопия gt: X AY-^X АУ, что #0=-1сГи g(xAy) =
— хй А У о при t > ф (х Л У)- При этом гомотопия gt инду-
индуцируется некоторой обладающей аналогичными свойствами
гомотопией gt: ХхУ—>ХхУ, т.е. для любого t? I имеет
место коммутативная диаграмма
X хУ-^Х х У
l U
ХАУ--+ХАУ

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ АССОЦИАТИВНОСТЬ СМЕШ-УМНОЖЕНИЯ 193
где, как и выше, /-:. XxY-^+X Д У—отображение факто-
факторизации (аналогичное утверждение справедливо, конечно,
и для функции ф, но оно нам не понадобится).
Легко видеть, что формулы
ht(xAyAz) *=j'(gt(x, у), г),
Ы ((х А У) А г)—gt (x А У) А г,
где /': XxYxZ—*X А Y A Z—отображение факториза-
факторизации, корректно определяют гомотопии
ht: XAYAZ-*X AYAZ,ht: (XAY) AZ^(XAY)AZ,
для которых имеет место коммутативная диаграмма
\ l
XAY AZX(XAY)AZ_
и которые обладают тем свойством, что /to«*id, fto = id.
Пусть
т!-!-1»^: (XAY)AZ-^XAYAZ.
Предполагая, что отображение г\ непрерывно и учитывая
соотношение ц^^о^'1, мы немедленно получим, что
е oTj—/ii^/i0 = id, т)о g — Л^ -—• Ло =- id,
т. е. что ^ и т] являются взаимно обратными гомотопиче-
скими""эквивалентностями.
Таким образом, для завершения доказательства пред-
предложения 3 нам осталось лишь доказать непрерывность
отображения г\.
С этой целью мы рассмотрим коммутативную диаграмму
XxY xz'-Z(X
'"! , l'AId
XAY AZ-L{XAY)AZ
где /, /' и /"'—отображения факторизации, и ее ограни-
ограничение на замкнутом^подпространстве А явф~1A) Д Z про-
пространства (X А У) A Z, т. е. диаграмму
1'\В'\ \VAW\A'
В JlL+A
М. М. Постников

194 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ АССОЦИАТИВНОСТЬ СМЕШ-УМНОЖЕНИЯ
где Л'-(/ЛМгМ, 5«5"М и В'«*(/')-* В. Отображе-
Отображения ]'\в> и /'"| последней диаграммы, являясь ограни-
ограничением эпиоморфизмов, сами представляют собой эпиомор-
физмы. Что же касается отображения (§' Л 1&)\аг, то оно,
очевидно, будет гсмеоморфимом. Поэтому замыкающее
отображение | |в этой диаграммы является эпиоморфизмом,
т. е., будучи, кроме того, биективным непрерывным отоб-
отображением,— гомеоморфизмом. Этим доказано, что отобра-
отображение |~1 на замкнутом множестве А непрерывно. По-
Поэтому на А непрерывно и отображение т^/ц о g.
г7
у(Л0\ф()(л)Л
I\Z. По условию gi(U)=*x0Ay<> и, значит, по непрерыв-
непрерывности, g1(U) = x0Ay0 (точка х0АУ<и будучи невырожден-
невырожденной, замкнута). Следовательно, hi(B)<**(xo/\yo)f\zo, и
потому ¦ц(В)='Х№/\у0/\г0, т. е. tj |л=а const. Значит, ото-
отображение т] непрерывно и на В. Поскольку A U В =
= (Xf\Y)f\Z, этим непрерывность отображения т] пол-
полностью доказана, [н
Следствие 1. Для любых гладко пунктированных
пространств X и Y отображение
[хЛУ, t]*-*[x, t]Ay,
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Рассматриваемое отображение
является композицией отображения
S-(XAY)-^XAYAS1, [xAy, t}*+хАу/\#*и,
являющегося в силу предложения 2 (и отождествлений
S-(XAY) = SlA(XAY) = (XAY)ASl) гомеоморфизмом, и
отображения
XAYAS^S'XAY, хАУАеши^[х, (\Ау,
являющегося в силу предложения 3 (и отождествлений
XAYAS1 = SlAXAY, S'AK^S'X) гомотопической экви-
эквивалентностью. ?
Замечание 2. Подчеркнем, что отображение [х, t]A
Ау>-~*-[хАУ, t], вообще говоря, не является непрерывным
отображением.
Ясно, что аналог предложения 3 справедлив и для
пространства ХД(^Л^). т. е. (в предположении, что
пространства X, Y, Z гладко пунктированы) каноническое
отображение

ИНВАРИАНТ cat* 195
является гомотопической эквивалентностью. Следовательно,
для гладко пунктированных пространств X, Y и Z про-
пространства (X/\Y)/\Z и X/\{Y /\Z.) гомотопически экви-
эквивалентны (хотя канонической гомотопической эквивалент-
эквивалентности между ними, вообще говоря, не существует).
Замечание 3. Из полученных результатов немедленно
вытекает, что свойство ассоциативности смеш-умножения
гомотопических классов справедливо для любых гладко
пунктированных пространств. То же самое верно и по
отношению к тождествам C).
Перейдем теперь к исследованию алгебраической струк-
структуры групп [X, К]'.
Пусть X—произвольное пунктированное пространство
с отмеченной точкой *„.
Определение /. Говорят, что catX<n, если
где /lj,..., An—такие множества, что для любого ?=»
= 1, ..., п существует гомотопия/</": Х—+ X, обладающая
тем свойством, что /i*' = id и ^'(А^^х^
Если не существует ни одного п, для которого cat Х<я,
то пишут catX=oo. В противном случае наименьшее п,
для которого catX<n+l, обозначается через catX.
Замечание 4. В литературе имеется много различ-
различных вариантов определения 1. В самом первом варианте,
предложенном Люстерником и Шнирельманом, требовалось
лишь, чтобы для любого 6=1,..., п вложение Ak—*X
было гомотопно постоянному отображению. Однако в
«разумных» ситуациях все эти варианты равносильны.
Например, для связного пространства X определение
.Люстерника и Шнирельмана перейдет в определение 1,
если дополнительно потребовать, чтобы все пары (X, Ak)
были замкнутыми парами Борсука.
Замечание 5. Кроме того, начиная с Люстерника
и Шнирельмана и кончая самым последним временем,
символом cat X обозначалось число, на единицу большее.
Ясно, что если catX < оо, то пространство X связно,
a cat X в0 тогда и только тогда, когда пространство
X стягиваемо.
Пусть XI—подпространство пространства X" ~
- X х... X X, состоящее из точек, у которых не менее
п раз
7*

196 ИНВАРИАНТ eat X
п—k координат равны х0. Например, Х1**{(х№, ..., хп)\,
XfXVVX и XJJ-X".
л раз
Особое значение будет иметь для нас подпространство
XZ-i. Ясно, что
(X", Хпп^) = (Х, *„)»,
так что, в частности (см. следствие 1 из предложения 2
лекции 1), если точка х№ невырождена, то пара (Хп, Х^)
является парой Борсука.
Полезно также иметь в виду, что
где, как всегда, ргА: Xй—>-Х—проекция на /г-й сомно-
сомножитель.
Говорят, что отображение /: Х-—* У стягиваемо на
подпространство BczY, если существует такая гомотопия
/,: X-+Y, что/„-/ иМХ)сВ.
Лемма 2. Неравенство cat X < п имеет место тогда
и только тогда, когда диагональное отображение
D) Д#> = Д: Х-+Х", х^(х х),
стягиваемо на X^t.
Доказательство. Пусть catX<«, и пусть ffu.
Х—+Х, й=1,..., п,—такие гомотопии, что /{,*>eaid и
/<*> (Ak) = х0, где Аг U ... U Ап — X. Тогда формула
будет, очевидно, определять такую гомотопию ft: X-+X",
что /,-Д и /Л^сХ^.
Обратно, пусть существует такая гомотопия /(: X—* X",
что /„«Л и /i(A')cXj_,. Тогда для гомотопии /((*>вргАо
o/f: X—>-Х, й« 1, ..., п, будут иметь место соотношения
/«,*> —id и №(Ак) = х0, где Л —(ЛА))(*о)- Но так как
ХЯ-1 = РГГ1 (*о) U ... U рг,?1 (дс0). то X- Ах U ... U Ап. Сле-
Следовательно, cat X < п. ?
Следствие 1. Неравенство cat X < 2 имеет место
тогда и только тогда, когда пространство X является
Н-коунитоидом.
Доказательство. По определению пространство
X является Н-коунитоидом, если существует такое ото-
отображение т: Х—>-Х\/ХсХхХ, что оба отображения
prxo/n, pi-jO/n: X—«-Х гомотопны тождественному отобра-
отображению. Соответствующие гомотопии составляют, очевидно,

НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ ГРУППЫ [X, Kb 197
гомотопию из X в ХхХ, связывающую отображение т,
рассматриваемое как отображение X—*-ХхХ, с диаго-
диагональным отображением Д: X—*-ХхХ. Это показывает,
что отображение т существует тогда и только тогда,
когда отображение Л стягиваемо на Х1*°*Х\/Х. ?
В частности, catS'X<2 для любого пространства X
(причем catS'Xel, если catX>0). Впрочем, это не-
непосредственно вытекает и из определения (поскольку про-
пространство S'X является объединением двух конусов, а
каждый конус стягиваем).
Кроме того, мы видим, что каждый Н-коунитоид
является связным пространством.
Вычисление catX (при catX^2) является, вообще
говоря, довольно трудной задачей.
Следствие 2 (теорем а Б асе и). Для любых про-
пространств X и Y имеет место неравенство
Доказательство. Если ft\ Х—*Х"—такая го-
мотопия, что /„ = Дх* и f1 (X)cX%_u a gt: Y-—fYm—такая
гомотопия, что goa=A^l) и g!(Y)cY^i, то формула
М*. y)-(ft(x), АЗК*)
определяет такую гомотопию из XxY в XnxXmxYmx
xYn~(XxY)n+m, что А,-Д«ЗВ#> и fti^xFjcX^x
xXmxY™_1xY"c{XxY)"Xm-i- Следовательно, если
catX<« и cat7<m, то t(X^)
Напомним, что коммутатором элементов х, у группы
G называется элемент
[х, yl^xyx-iy-1.
Более общим образом можно определить коммутатор
(точнее, правосторонний коммутатор) [хг, ..., х„] любых
и элементов xv ..., х„ группы G индуктивной формулой
[*!, ..., Xn\™*l[Xlt . . ., Х„„1\, Хп\,
При /г=1 удобно считать, что [jf!]^ для любого эле-
элемента х1 ^ G.
Если коммутатор любых п элементов группы G равен
единице е этой группы, то пишут nil G < п. Группа G
называется нильпотентной, если существует такое п,
что nil (?< п. Наименьшее п, для которого nil G < п-\-1

198 нильпотентность группы [х. кЪ
обозначается символом nil G. Если группа G не ниль-
потентна, то пишут nilG — oo.
Замечание 6. Имеется много равносильных опре-
определений числа nil G. Мы выбрали наиболее нам удобное.
Ясно, что nil G = 0 тогда и только тогда, когда
G»{e}, и nilG=l тогда и только тогда, когда группа
G абелева.
Вместо коммутаторов удобно рассматривать соответ-
соответствующие коммутаторные отображения
Ф„: G»-+G,
определенные формулами
Ясно, что nil G < п тогда и только тогда, когда ф„ = const.
Очевидно, что [е, х]=>[х, е] = х для каждого элемента
x?G, т. е. Фа^ус"const. Тривиальной индукцией отсюда
следует, что ф„ ап = const для любого п ^ 1.
Все это, конечно, переносится на любые Н-группы К,
причем коммутаторные отображения фп: Кп—*К опреде-
определяются теми же формулами E) (лишь формулу для ф
нужно ввиду отсутствия ассоциативности писать со скоб-
скобками: ф: (х, y)i—>((xy)x~1)y~1)). При этом, если единица
Н-группы К невырождена, то
Фп /c« ^ const для любого п~^\.
Действительно, при п=1 и при н = 2 это очевидно (и
верно без предположения невырожденности единицы).
Осуществим индуктивный переход от п к п +1. полагая
для упрощения формул ф„ \к„ = ф,',.
Так как (/С", /CJj_i) = (A^, ё)п, а пара (/С, е) является
по условию парой Борсука, то пара (К", Kn-i) также
будет парой Борсука. Поэтому, если ц/п ~ const, то су-
существует такая гомотопия /(: /("—>¦/(, что /0 = ф„ и
hiKn-d^e. Следовательно, отображение фп+1 = фоAAх
Хфп) = фо(!с1х/о) будет гомотопно отображению 9o(idx
x/j, а, значит, отображение ф^+1—отображению фоAс1х
хЩкпч. Но так как /Сй+1 — (/Сх/C',l_i)U(сх/С"), то
(idxh)(KZ+1)c(Kxe)\j(exK)'=K\/K, и потому
фоAс!х /j) J^n+i = (ф |л-ук)о@<1 X /,) \Kn+i).
Следовательно, ср^,.,., ~ const, ибо ф|/<у/< ~ const. П

НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ ГРУППЫ [X, К]' 199
Предложение 4. Для любой связной Н-группы К с
невырожденной единицей е и любого пунктированного про-
апранства X имеет место неравенство
F) nil[X, JCKcatX.
В частности, если catX<oo, то группа [X, К] ниль-
патентна.
Доказательство. Для произвольных отображений
gk: X—>-K, й=»1, ..., п, коммутатор их гомотопических
классов задается, очевидно, отображением
Ввиду того, что Н-группа К связна, мы, согласно общим
результатам лекции 4, без ограничения общности можем
считать отображения gh пунктированными. Но тогда
отображение gt х ... х gK будет переводить X?_j в Кп-ъ
и, значит, будет иметь i есто коммутативная диаграмма
вида
Х« g'*-xg", К"
вертикальные стрелки которой являются вложениями.
Поэтому, если cat X < п, т. е. если отображение Д гомо-
гомотопно отображению вида ix°f, гДе /: X—>¦ Х^и то отоб-
отображение G) будет гомотопно отображению
Ф«°(й X • • •
и, значит (поскольку <р„ ~ const), будет гомотопно посто-
постоянному отображению, т. е. его гомотопический класс, бу-
будет единицей группы [X, К]. Таким образом, если cat X < п,
то nil [X, К] < п, что равносильно неравенству F). п
Замечание 7. Неравенство F) содержательно только
при catX<oo. Поэтому [X, К] можно в нем заменить
па [X, /С]* и в этой форме оно будет верно и для не-
пшзиых Н-групп К.
Следствие. Для любой Н-группы К и любого Н-ки-
унитоида L группа [L, К]' абелева. П
Последний результат может быть обобщен и одновре-
одновременно дуализирован.
Пусть L—произвольный Н-коунитоид, а К—произволь-
К—произвольное Н-пространство (Н-унитоид). Тогда в множестве [L, К]'

200 АБЕЛЕВОСТЬ ГРУППЫ [/., /<]•
будут определены две структуры унитоида—одна, возни-
возникающая из-за того, что L является Н-коунитоидом, а
вторая—из-за того, что К является Н-унитоидом.
Предложение 5. Для любого Н-коунитоида L и лю-
любого Н-унитоида К указанные две структуры унитоида
на множестве [L, К] совпадают.
Этот унитоид является абелевым (коммутативным)
моноидом.
В частности, если К является Н-когруппой или L
является Н-группой, то [L, К\' будет абелевой группой.
Согласно общим определениям лекции 3 понятие уни-
унитоида имеет смысл над произвольной фм-категорией С.
В частности, поскольку категория унитоидов представляет
собой фм-категорию (произведением GtxGt унитоидов Gt
и Ga является их прямое произведение как множеств с
покомпонентной операцией умножения: (а1( aa)(Plt p8) =
— (аА, а«Р»)), можно говорить об унитоидах категории
унитоидов. По определению унитоид G (операцию в ко-
котором мы будем теперь записывать аддитивно и соответ-
соответственно этому называть его единицу нулем) является
унитоидом категории унитоидов, если задан гомоморфизм
унитоидов
(8) GXG-+G,
т. е. такое умножение (а, р)н-»-ар, что
(9) a1p1+aipI-(ce1 + a.)(Pi+P,)
для любых элементов о^, а„ Р^, Ра€<3, причем элемент
0 g G является по отношению к этому умножению едини-
единицей, т. е. 0a«=a0 = a для любого элемента agG.
Лемма 3. Каждый унитоид G категории унитоидов
является абелевым моноидом. Для любых элементов
а, р € G имеет место равенство
a + p —op.
Доказательство. Имеем
Аналогично,
a + p — Oa + pO —@ + P)(a + 0) —Pa.
Наконец,
ар -f- у =s аC -[- 0у я-

АБЕЛЕВОСТЬ ГРУППЫ IL, Kb 201
Доказательство предложения. 5. Согласно
лемме 3 достаточно доказать, что унитоид G=s[L, К]' (с
операцией, индуцированной коумножением тх: L—+L\JL)
является унитоидом категории унитоидов (с операцией
(8), индуцированной умножением т: КхК—+К), т. е.
что для любых элементов о^, р\, а2, |%?(/ имеет место
равенство (9) (тождества 0а = а0=а имеют место по
определению). Но для любых двух пунктированных отоб-
отображений f, g: L-^K отображение fxg: L—>/(></( опре-
определяется формулой
и отображение f\/g: L\fL—*K—формулой
(x), если г«=дг,,
(мы отождествляем L\/L с (Lxe)U(exL) и обозначаем
(x, e) через хь а (е, х) через лгП). Поэтому для любых
четырех пунктированных отображений flt glt /a, ^s:
L—+K отображение Л —(Дх^У^Х^»): L\jL~^KxK
задается формулой
М*). ftW). если г = л:„
^W. ftW). если z-x,|t
а отображение Л' = (/1V/:a)x(gi1Vg',)—формулой
/tfiW. AW), если 2-х,,
¦"^(M*). ftW). если 2-х,,.
Мы видим, таким образом, что Л=«Л'.
С другой стороны, по определению
[Я*
и потому, если с^ —|Д]\ Pi»[ft]', о,«И*, Pi
то
Поскольку Л ¦¦ Л', этим доказано, что a1p14-alp,=
-(«i + a.)(Pi + P.). D
Следствие 1. Для любых двух пунктированных про-
пространств X и Y группа [S'X, QY]' абелева.

202 ГРУППЫ [S"X, Q«Vl-
Поскольку функтор S' действует из категории ТОР"
в ту же категорию ТОР", его можно неограниченно ите-
итерировать. Мы положим
(так что S*X-S'X).
Аналогично определяются итерации функтора петель
при
При этом ввиду сопряженности функторов S' и Q,
для любых пунктированных пространств X, Y и любых
чисел n^O, m^sO имеют место равенства
[X, D»+»K]"-[S1X, D"+"-1K]'-...
К]*.
Следствие 2. При n + m^l множество [SnX, QmY]'
обладает естественной (по X и Y) структурой группы.
При п-\-т^2 эта группа абелева. ?

ЛЕКЦИЯ 5
Гомотопические группы.— Альтернативное определение
гомотопических групп.— Индуктивное определение гомо-
гомотопических групп.— Действие группы плХ на группах
п„Х.— Абелевы пространства.— Абелевость гомотопиче-
гомотопических групп при га 3:2.— Ансамбль гомотопических
групп.— Гомотопические группы абелевых пространств.—
Асферичные пространства.— Гомотопическая последова-
последовательность расслоения.—Алгебраические свойства точных
последовательностей.— Гомотопические группы накры-
накрывающих пространств.— Расслоение Хопфа.— Функтори-
альность гомотопической последовательности расслое-
расслоения.— Аксиоматическое описание гомотопических групп.
Простейшей конкретной Н-когруппой безусловно
является надстройка S'S"'1 над единичной (п— 1)-мерной
(п. > 0) сферой S" (в которой отмечена, скажем, точка
so = (—1,0, ..., 0)). Поскольку эта надстройка гомеоморф-
на n-мерной сфере S" (см. замечание 4 лекции 3), мы по-
получаем, следовательно, что для любого пунктированного
пространства (X, х„) множество
A) [(«".«.), (X,xo)]-[s»,xy
является группой.
Определение /. Группа A) обозначается^символом
пп (X, х0) (или просто п„Х) и называется п-мерной (или
п-й) гомотопической группой пространства X.
Конечно, коумножение в 5" аависит от выбора гомео-
гомеоморфизма S'S"'1—«-54. Поэтому, чтобы фиксировать это
коумножение (а значит, и структуру группы в п„Х), нужно
раз навсегда фиксировать этот гомеоморфизм (хотя бы
о точностью до гомотопии).
Мы выберем за гомеоморфизм S'5" —<¦ 5" гомеомор-
гомеоморфизм d, определенный формулой A5) лекции 3. В даль-
дальнейшем мы всегда будем предполагать, что при «> 0
сфера Sn отождествлена с надстройкой S'5" посредством
этого гомеоморфизма и в соответствии с этим точку
(I \x, t] g 5", х ? S"~\ t € /, будем обозначать просто [х, t].
Заметим, что [s0, ?]=««s0 для любого t(-I.
При пвтО мы получаем не группу, а лишь пунктиро-
пунктированное множество [S0, X]* (отмеченной точкой которого
является гомотопический класс постоянного отображения

204 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
const: S°—*Х). Ясно, что [5°, X]'«[pt, X], т. е. что
множеством [5°, X]' является введенное в лекции 3 мно-
множество п0Х компонент пространства X (что, кстати,
объясняет обозначение п0Х для этого множества).
Хотя множество я0Х, вообще говоря, группой не яв-
является, мы все же будем позволять себе без оговорок гово-
говорить о гомотопических группах п„Х для всех п^гО.
Операцию в группе ппХ, «^ 1, мы будем обозначать
знаком + и называть сложением (за возможным исключе-
исключением группы щХ; см. ниже). В связи с этим тот факт,
что группа состоит только из одного элемента, мы будем
записывать формулой п„Х = 0 (даже при п=»0 или п=1).
Если элементы аир группы ппХ заданы отображе-
отображениями a: (Sn, s0)—«-(X, х0) и b: (Sn, so)—*(X, х„), то их
сумма а + Р будет задаваться отображением c=*(aV&)om:
(Sn, so)—>-(X, хЛ), где т—коумножение S" —*5"VS",
определенное формулой A6) лекции 3 (при X^S"'1).
В явном виде отображение с задается формулой
ja[x,2t], если 0<*<1/2,
(/) с\х, Г]-^ fr[jpi 2t—l], если 1/2</<1,
где в соответствии со сказанным выше [х, t] обозначает
d[x, t], x€S"~l, t$I.
Согласно общей теории функторов вида [К, X]' каждое
пунктированное отображение /: X—>¦? определяет по
формуле
Мя]* = [/°«]\ а: E», «„) — (X, х0),
гомоморфизм /»: п„Х—-*nnY, обозначаемый также симво-
символом nj (или fn), причем соответствия X*->ппХ, f*-*"f*
представляют собой функтор из категории ТОР* в кате-
категорию групп GROUPS:
пп: TOP*— GROUPS
(при п«»0—в категорию ENS* пунктированных множеств).
Мы будем называть этот функтор функтором п-мерных
гомотопических групп.
В частности, вложение Х0—*Х компоненты Хо точки х„
индуцирует гомоморфизм л„Х0 —* ппХ. Ясно, что при п > 0
этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Таким образом, в теории гомотопических групп мы без
потерн^общности можем (при п > 0) ограничиться лишь
связными пространствами X,

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 205
Конечно, при построении группы п„Х сферу 5" можно
заменить любым пространством, ей гомеоморфным (т. е. —
в общепринятой терминологии—любой топологической
сферой S"). Следует только раз навсегда фиксировать опре-
определенный гомеоморфизм Sn—>-Sn.
Замечание 1. Естественно, что гомеоморфизмы
S" —»¦ S" достаточно задавать лишь с точностью до гомо-
топии. В лекции 12 мы покажем, что существует лишь
два различных гомотопических класса таких гомеоморфиз-
гомеоморфизмов, которые можно отождествить с ориентациями сферы
S". Следовательно, если пунктированная топологическая
сфера S" ориентирована, то каждое пунктированное ото-
отображение S"—+X единственным образом определяет неко-
некоторый элемент группы п„Х. Поэтому элементы группы ппХ
можно определять—что и делалось полсотни лет тому
назад—как гомотопические классы пунктированных ото-
отображений в пространство X всевозможных ориентирован-
ориентированных сфер размерности п. Однако это концептуально более
сложное определение не имеет, как показал опыт, ника-
никаких реальных преимуществ и в настоящее время им никто
не пользуется.
Пусть ?"—единичный п-мерный шар, состоящий из
точек х € R"» Для которых | х | ^ 1. Границей этого шара
(при п > 0) служит (и.— 1)-мерная сфера 5", а фактор-
пространство jE'VS" гомеоморфно сфере 5". Поэтому,
выбрав определенный гомеоморфизм En/Sn~1—*-Stt, мы
можем элементами группы п„Х считать гомотопические
классы отображений E"/S"~1—*X. (Как всегда, имеется
в виду, чтов факторпространстве EVS"'1 отмечена точка,
являющаяся образом сферы S" при каноническом ото-
отображении отождествления E"~-*-E''/S'<~1). Но компониро-
вание с отображением факторизации En—*-E"lSn~1 уста-
устанавливает, как легко видеть, биективное соответствие
между пунктированными отображениями E"/S"~x —* X и
отображениями (?", S")—»-(л, х0). Поскольку это соот-
соответствие, очевидно, переводит пунктированные гомотопии
в гомотопии пар (т. е. в данном случае гомотопии отно-
относительно 5"), мы получаем, следовательно, что элемен-
элементами группы ппХ=>пп(Х, х0) можно считать гомотопи-
гомотопические классы отображений (ЕЛ, S")—*(Х, х0):
Это отождествление гомотопических классов отобра-
отображений (?", S")—*(Х, х„) с элементами группы ппХ за'

206 АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
висит, естественно, от выбора гомеоморфизма En/Sn~1 —>• S",
или, что равносильно, относительного гомеоморфизма
C) Хы: (?", S"-l)->E;', s0).
и на уровне отображений задается соответствием а \-у}
где о: E", so)—>-(X, х0). Мы раз навсегда условимся при-
принимать за гомеоморфизм C) относительный гомеоморфизм,
определенный (в силу отождествления R"+) = RxlR") фор-
формулой
Вместо единичного шара можно, конечно, взять гомео-
морфный ему единичный куб /", состоящий из точек
t^(tt, ... , tlt) пространства R", для которых О^С/,^1
при любом i=l, ... , п. Обозначив границу этого куба
символом /", мы получаем, таким образом, что элементы
группы ппХ можно интерпретировать как гомотопические
классы rel/" отображений а: (/", /")—+(Х, х0), т. е. та-
таких функций
a: {tx .... t,)^a{tu ..., tn) 6 X
переменных tl, ..., t,,€l, что a(tu ..., tn) = x0, если
хотя бы один из аргументов tu ... , tn равен нулю или
единице.
Здесь, конечно, также нужно фиксировать определен-
определенный относительный гомеоморфизм
D) Х = Х„: (/", /") —(S", в0)-
При п = 1 мы определим этот гомеоморфизм формулой
A-4/, 2^2* A-20),
если 0< г"< 1/2,
если
(ср. с формулой A7) лекции 3 прил; = — 1 и х отсутствую-
отсутствующем), а при п > 1, отождествляя куб /" с произведением
/х/",—формулой
Операция сложения B), перенесенная с помощью отно-
относительного гомеоморфизма D) на отображения а: (/", /")—•+

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 207
- (X, дг0), будет, как легко видеть, вадаваться формулой
( аB/. *) если 0</<1/2,
(о) (« + *>». «-(fcl2fJlfl)f если 1/2<*<1
(при и—I аргумент f отсутствует). Таким образом, при
я >¦ 1 мы приходим к альтернативному определению группы
япХ, в котором полностью устранено какое-либо воспоми-
воспоминание о сферах. В этом определении элементами группы я„Х
являются гомотопические классы rel /" отображений а:
(/", /")—к(Х, хв), а сложение индуцируется операцией
сложения отображений, задаваемой формулой E).
Это определение группы п„Х на практике наиболее
удобно, и поэтому оно обычно считается основным. Ко-
Конечно, при этом нужно заново проверять для ппХ аксиомы
группы.
В частности, при п = 1 мы, сравнивая определения,
получаем, что группа пгХ совпадает с введенной в лекции 4
фундаментальной группой (которая ие зря была обозна-
обозначена там символом щХ). Единственное различие состоит
в том, что в лекции 4 операция в группе лгХ была на-
названа умножением. Таким образом, для группы л,гХ мы
имеем две конкурирующие системы обозначений—адди-
обозначений—аддитивную и мультипликативную. Мы будем считать их со-
совершенно равноправными и в каждом конкретном случае
будем пользоваться той, которая удобнее. (В некоторых
случаях мы даже разрешим себе пользоваться обоими
обозначениями в одной и той же формуле!)
Замечание 2. Аналогично может быть определена
сумма любого числа отображений (/", /*)—*¦ (X, хл). На-
Например, сумма a + b+с трех отображений а, /;, с: (/", /") —*•
-*{Х, хл) определяется формулой
( a(St, t), если 0 < / < 1/3,
(a + b + c)(t, t)=\ 6C*— 1, t), если 1/3;<*<2/3,
[c{3t—2, t), если 2/3</<1.
Конечно, отображение a-f-Ь+с отлично от отображения
(а + Ь)-\-с (и от отображения a + (fe-f с)), но гомотопно ему
относительно /".
Для каждого отображения а: (/",/")—*[(Х, дс0) мы будем
символом —а обозначать отображение (/», /") —> (X, дс0),
определенное формулой
t)~a(l-t, t), (/, ^е/х/"-1-/".

208 ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ясно, что в группе я„Х гомотрпическне классы ото-
отображений аи —а определяют взаимно противоположные
элементы.
В соответствующих ситуациях введённые обозначения
мы будем естественным образом сокращать. Например,
вместо а + (—^) + с мы будем писать просто а—й+с.
(Заметим, что отображение а—Ь-\-с определяется, таким
образом, формулой
(aCt,t), если 0<f<l/3,
(a—b+c)(t, t)**\ bB—3/, t), если l/3<f<2/3,
[c{St—2, /), если 2/3<*<1,
где {t,
Последнее определение групп япХ наводит на мысль
рассмотреть пространство Q"X всех отображений (/", /*)—>¦
—* (X, х0) (снабженное топологией подпространства про-
пространства л/п). Относительно операции E) это простран-
пространство является Н-пространством (даже Н-группой). Гомото-
Гомотопической единицей (которую лучше теперь называть гомо-
гомотопическим нулем) этого пространства является постоян-
постоянное отображение ln—>-X, t<—*-x0. При /1*1 оно совпадает
с пространством QX.
В силу экспоненциального закона гомотопии относи-
относительно /" являются не чем иным, как путями простран-
пространства Q"X. Следовательно, группу ппХ мы можем отожде-
отождествить с группой
Х
(ср. с аналогичной формулой для группы щХ в лекции 4).
При п > 1 каждое отображение a: (t, t)*-*-a(t, t) отож-
отождествляется с путем t\~*a# (t) пространства йп~хХ, где
a* (t)—точка t*-*a(t, t) этого пространства. Таким обра-
образом, при п > 1 имеет место равенство
F) Q«X«?2(fi"-1X)
(если положить 0°Х«-Х, то при п=ш\ формула F) пре-
превратится в уже известное нам равенство Q1XQX
Поэтому
ппХ =» яо?2»Х = лой (й"-^) =» njQn-lX
и, вообще, как показывает очевидная индукция,
G) ппХшшп^"-"Х
для любого k«и0, 1, ... , п.

ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ я,Х НА ГРУППАХ ЛПХ 209
Формулу G) при /г=1 можно, как и было первона-
первоначально сделано Гуревичем, положить в основу еще одного,
индуктивного, определения групп ппХ. Оно имеет то пре-
преимущество, что не требует проверки аксиом группы (при
условии, что для группы пгХ эти аксиомы уже проверены).
Замечание о терминологии. В литературе
можно найти ряд специальных названий для отображений
E", so)—*(X, #р) и (/", /")—*(Х, х0); например, Рохлин
и Фукс (см. [10]) придерживаются старинной традиции
называть отображения {Sn, s0) —* (X, х0) сфероидами про-
пространства X. По аналогии отображения (/", /") —* (X, х0)
можно было бы называть кубоидами пространства X, а
имея в виду формулу F), п-мерными (или п-кратными)
петлями этого пространства. Мы не будем отдавать пред-
предпочтения ни одному из этих терминов.
Согласно замечанию 6 лекции 4 при п > 0 группа щХ
действует на группе ппХ, т. е. определено такое отобра-
отображение
/о\ ntXxnnX—+япХ,
к> F, «)•-•"&х,
что:
а) для каждого элемента Ъ.^щХ отображение Щ:
а*~>%х, а?я„Х, является автоморфизмом группы я„л,
т. е. оно биективно и для любых элементов а, |3 € я,Д
имеет место равенство
б) отображение R: ?i—»./?j является гомоморфизмом
группы п^Х' в группу Aut %tX автоморфизмов группы
пгХ, т. е.
для любых элементов 5, Л € щХ, а?яиХ.
При этом, сравнив определения, мы немедленно полу-
получим, что отображения а: (/", /")—-(X, х0) и Ь: (/", /")—>¦
—*(Х, х0) тогда и только тогда задают элементы а и |а
группы п„Х, когда существует такое отображение F:
1п+1—*Х куба /n+1 — /'tx/ в пространство X, что
(9) F(t,O)-a(t), F(t,\)-b(t)
для любой точки t? 1п и
A0) F(t, t)-mu(l—t) для любой точки *<=/"
и любого t € Л

216
действие группы я,* на группах я„*
где и: I—->¦ X—петля, задающая элемент ? группы ntX.
При желании, можно принять это за определение дей-
действия (8), но тогда утверждения а) и б) будут нуждаться
в доказательстве (которое, впрочем, осуществляется вполне
автоматически).
Иногда, когда нужно подчеркнуть зависимость R oi
п, мы вместо /?s будем писать /?("\
Очевидно, что для любого пунктированного отсбраже
ния f: X —+Y и любых элементов а ? ппХ и \ ? я^Х имеет
место равенство
где в применении к \а и ос символ /, означает гомомор-
гомоморфизм nj: п„Х —»• я„У, а в применении к 5—гомоморфизм
nj: щХ—+п-,у (свойство функториальиости
действия R: ntX—•> AutnnX). На техническом языке
теории групп с операторами это свойство означает, что
гомоморфизм /**"Я„/: я„Х—+я„У является щХ-гомомор-
физмом по отношению к действию пхХ —¦* AutnnV, инду-
индуцированному гомоморфизмом f^smnj: ntX—*пЛУ (т. е.—
в другой термионологии—является л,/-гомоморфизмом).
При я=«1 условия (9) и A0) означают, что при двух
возможных движениях по сторонам квадрата /* от точки
@, 0) к точке A, 1) мы в одном случае пробегаем путь
аи*, а в другом—путь u~lb
ь (м)
Поэтому, скомпонировав отображение F с кусочно линей-
линейным отображением
квадрата /2 на себя, отображающим отрезки Ох/ и 1х/
в соответственно точки @, 0) и A, 1), а отрезки /х0 и
/xli переламывая их посередине, на соответственно ло-
ломанью 0 х / U / X 1 и / х 0 и 1 X /, мы получим отображе-

ЛБЕЛЕВЫ ПРОСТРАНСТВА 211
ние квадрата /*=»=/х/ в пространство X, являющееся
гомотопией из / в X относительно /»{0, 1}, связываю-
связывающей путь аи'1 с путем и~гЬ. Это означает, что, перейдя
в группе пхХ к мультипликативной записи и обозначив
элемент \а, чтобы отличить его от произведения, сим-
символом ?(ос), мы будем иметь равенство аЪ,*1**^'1 ¦%,(&).
Тем самым доказано, что
(И) |(а) = |а|-1 для любых элементов а, Ъ,?пхХ,
г е. что автоморфизм /?|и: а к->?(а) является внутрен-
внутренним автоморфизмом группы лхХ, определенным элемен-
элементом ?.
Определение 2. Пространство X называется гомото-
пически простым в размерности п, если группа щХ три-
тривиально действует на группе я„Х, т. е. если §ос = а для
любых элементов Ебл^Х, а?я„Х. Пространство, гомото-
нически простое во всех размерностях, называется абе-
М'вЫМ.
Как было замечено в лекции 4, фундаментальная группа
произвольного Н-цространства тривиально действует на
группе гомотопических классов отображений в это про-
пространство любого пунктированного пространства. В част-
частности, это означает, что любое Yi-пространство абелево.
Впрочем, этот факт легко доказывается и непосред-
непосредственно, поскольку для каждого Н-пространства X с на-
настоящей единицей (что, как мы знаем из лекции 4, общности
но существу не ограничивает) формула
F(t,t)-a(t)u(l — t); t?l\ t?l,
определяет для любых элементов a?Q"X, u?QX отобра-
отображение F: /"+1—'X, удовлетворяющее условиям (9) и A0)
с Ь — а.
Конечно, класс абелевых пространств шире класса
Н-иространств. Например, ясно, что любое односвязное
пространство абелево. В своем месте мы приведем примеры
ч пеодносвязных абелевых пространств, не являющихся
Н-пространствами.
Согласно формуле A1) пространство X тогда и только
тогда гомотопически просто в размерности 1, когда группа
л,Х абелева.
В частности, для любого абелева пространства (и, зна-
значит, для любого Н-пространства) X группа щХ абелева,

212
АБЕЛЕВОСТЬ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
Что же касается групп л„Х при м> I, то для них
имеет место следующее замечательное предложение.
Предложение 1. При п > 1 гомотопическая группа
ппХ произвольного пунктированного пространства X абе-
лева.
Таким образом, при п > 1 мы можем считать, что функ-
функтор я„ принимает значения в категории AB-GROUPS
абелевых групп.
Поскольку 8п**8*8п~* при я>1, предложение 1
является частным случаем следствия 2 предложения 2 из
Дополнения к лекции 4. Мы все же заново докажем здесь
это предложение (и даже дадим ему два доказательства).
Первое доказательство. В силу формулы G)
(при^»» 2) предложение 1 достаточно доказать для груп-
группы щХ.
Пусть а: (/¦, 'Р)-*(Х, *,), Ь: (/«, 7а)-* (X, *,), и
пусть с—отображение (/*, /•)—+(Х, х„), получающееся
из отображения а + b «прибавлением по второй координате»
постоянного отображения. Схематически отображение с
может быть изображено рисунком
A2)
а алгебраически оно задается формулами
( a Bt, 2s), если 0<*,s<l/2,
c(t, s)-m\ bBt— 1, 2s) если 0<s<1/2<*<1,
( x0, если 1/2<s< 1.
Произведем над этим отображением деформацию (гомото-
пию относительно /•), схематически изображаемую ри-
рисунком

АБЕЛЕВОСТЬ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
а алгебраически задающуюся формулами
213
a Bt, 2s), если 0<*,s<l/2,
bBt— 1, 2s—т), если -2-<*<l, y^s^-g—,
У хп в остальных случаях.
В результате мы получим отображение, схематически
изображаемое рисунком
Проделав затем над этим отображением сначала дефор-
деформацию
а затем деформацию
мы получим отображение
13)

214 АНСАМБЛЬ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
Для завершения доказательства остается заметить, что
отображения A2) и A3) гомотопны относительно /2 соот-
соответственно отображениям а-\-Ь и Ь-\-а. ?
Второе доказательство. Согласно формуле G)
(при /г™ 1)
а группа п1пп~1Х, являясь фундаментальной группой Н
пространства Qn~1X = Q(Q"~2X), абелева. П
Абелева аддитивная группа, в которой действует мульти-
мультипликативная группа П, называется П-модулем. Таким
образом, мы можем сказать, что при п~^2 группа ппХ
является пгХ-модулем.
В случае, когда данное пространство X не пунктиро-
пунктировано, приходится рассматривать группы я„(Х, х) для всех
точек х ? X одновременно, не давая ни одной из них
никакого преимущества. При этом, в соответствии с заме-
замечанием 5 лекции 4, любой путь и € X' будет определять
некоторый изоморфизм ы# группы я„(Х, «A)) на группу
я„(Х, ы@)), зависящий только от гомотопического класса
?=-[u]rel -|0, 1} пути и. В случае, когда ы@) = ы A)авхо,
т. е. когда путь и является петлей, это уже известный
нам автоморфизм /??": cci-»-?a, ccgnB(X, x0). При«@)^=
Фи{\) он строится точно так же (с помощью отображе-
отображений F, удовлетворяющих условиям (9) и A0)), и мьГсохра-
ним для него то же обозначение /?V" (или просто /?|).
При этом, согласно замечанию 6 лекции 4, соответст-
соответствия дсI—>лп(Х, х), \>-*Ri будут составлять ансамбль
групп над пространством X.
Допуская определенную вольность, мы будем этот
ансамбль обозначать символом {я„ (X, я)}.
Определение 3. Ансамбль {я„(Х, х)} называется
ансамблем п-мерных гомотопических групп топологического
пространства X.
При п > 1 он является ансамблем абелевых групп.
Каждый морфизм ?: у—>-х произвольного группоида П
определяет по формуле
js r, еп (у, у),
некоторый изоморфизм R$:П(у, у)—+Т1 (х, х) группыП(у, у)
морфизмов у—*у на группу П(х, х) морфизмов х-^-х,
причем соответствия a;i—»>П(д:, х), ?i—*>/?5 составляют
ансамбль групп над Ц. Оказывается, что, в случае, когда

ансамбль гомотопических групп 216
группоид П является фундаментальным группоидом ПХ
топологического пространства X, этот ансамбль совпа-
совпадает с ансамблем {^(Х, х)) фундаментальных групп,
т. с. /??«=/?|1). Действительно, при у = х (= хв) это в точ-
точности утверждение, выражаемое формулой A1), доказа-
доказательство которой полностью сохраняется и при уфх. П
С другой стороны, легко видеть, что для любого ансамбля
множеств (или групп) R над группоидом П каждый изо-
изоморфизм R%. Ry—>-Rx, ?: у—+х, является R^-иэоморфиз-
мом (по отношению к естественным действиям групп 11(у, у)
и П(х, х) на множествах Ry и Rx), т. е. для любых эле-
элементов ot.?Ry и ц?Т1(у, у) имеет место равенство
Действительно, так как, по определению, туя -= /?л<ж, то
последнее равенство равносильно формуле
С другой стороны,
Для ансамбля {пп (X, х)\ отсюда (и из равенства
/?? = Rg>) следует, что для любых точек х0, хх ^ X, любых
элементов у\^,пг(Х, хг), <х?пп(Х, хх) и любого класса %
путей, соединяющих точку х0 с точкой xt, имеет место
равенство
A4) ' R
т. е. что для каждого п~^ 1 изоморфизм Rf>: п„(Х, xt)—>
- - пп (X, х„) является R^-изоморфизмом.
Если пространство X связно, то для любых двух то-
точек х0, хх € X в группоиде ПХ существует хотя бы один
морфизм \\ Jfj—*xB. Поэтому, как непосредственно следует
из формулы A4), если при некотором выборе отмеченной
точки х0 6 X связное пространство X оказалось гомото-
гомотопически простым в некоторой размерности я^1, то оно
будет гомотопически простым в размерности п и при любом
другом выборе этой точки. Связное пространство X, обла-
обладающее этим свойством, называется, естественно, гомото-
гомотопически простым в размерности п (а пространство, гомо-

216 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ЛБПЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ
топически простое во всех размерностях,— абелевым про-
пространством).
Согласно предложению 2 лекции 4 для каждого гомо-
топически простого в размерности п связного пространства X
при любом выборе отмеченной точки хо?Х отображение
игнорирования отмеченных точек
я„(Х, *„) —[S-, X]
биективно. Перенося групповую структуру из я„(Х, х„)
в [S", X], мы тем самым определим множество [5я, X],
п^1, как группу (необходимо абелеву даже при я=1).
Эта группа называется п-мерной гомотопической группой
гомотопически простого пространства X и обозначается
прежним символом я„Х.
Подчеркнем, что, в отличие от случая пунктированных
пространств, группа п„Х определена только для связ-
связных и гомотопически простых в размерности п (например,
односвязных) пространств X. При этом на подкатегории
категории ТОР, состоящей из таких пространств, соответст-
соответствие я„: Х\—>ппХ является, очевидно, функтором.
Ясно, что для каждого ансамбля R иад связным про-
пространством X все объекты Rx изоморфны между собой.
В частности, мы видим, что если пространство X связно,
то для любого п~^\ все группы я„(Х, х), х?Х, изо-
изоморфны между собой.
Это означает, что для связного не пунктирован-
пунктированного пространства X мы также можем говорить о его
гомотопической группе я„Х, но только как об абстрактной
группе (заданной с точностью до изоморфизма). Поэтому,
в частности, для связных пространств имеет смысл усло-
условие п„ХттО (означающее, что при одном, а следовательно,
и при любом выборе отмеченной точки х0 имеет место
равенство я„(Х, хо)»О).
Определение 4* Пунктированное (или непунктиро-
ванное, но связное) пространство X называется асферич-
асферичным в размерности п, если я„Х««0. Пространство, асфе-
асферичное во всех размерностях <^я, называется п-связным.
Таким образом, пунктированные пространства, асфе-
асферичные в размерности 0 (или, что то же самое, 0-связ-
ные),— это не что иное, как связные пространства, а асфе-
асферичные в размерности 1 — не что иное, как односвязные
пространства. Пространства же 1-связные—это простран-
пространства связные и односвязные.

ЛСФЕРИЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 217
Ясно, что пространство X тогда и только тогда
1-связно, когда для любых точек х0, х^^Х в группои-
группоиде ПХ существует единственный морфизм .v0—>х±.
Примером пространства, асферичного во всех размер-
размерностях (т. е. оо-связного), является одноточечное простран-
пространство pt. Поэтому асферичным во всех размерностях про-
пространством будет и любое пространство, гомотопически
эквивалентное пространству pt, т. е. любое стягиваемое
пространство. Обратное, вообще говоря, верно только при
некоторых дополнительных предположениях общетопологи-
общетопологического характера.
По определению отображение Eя, sB) —> (X, х0) задает
нулевой элемент группы я„Х, если оно пунктированно
гомотопно нулю (постоянному отображению). Но поскольку
группа лхХ действует на группе ппХ автоморфизмами,
л^Х-орбита нуля состоит только из нуля. Поэтому в силу
предложения 2 лекции 4 отображение Eя, s0)—»-(X, д;0)
будет задавать нулевой элемент группы я„Х и тогда, когда
оно свободно гомотопно нулю.
Поскольку для связного пространства X каждое ото-
отображение 5я—>-Х гомотопно некоторому пунктированному
отображению E", «„)-->-(Х, д;0), отсюда, в частности, сле-
следует, что связное пространство X тогда и только тогда
асферично в размерности п, когда каждое отображение
S" —+ X произвольной п-мерной сферы S" в пространство X
гомотопно нулю.
Как мы знаем (см. лекцию 1), гомотопность нулю ото-
отображения X —>¦ Y равносильна его распространимости на
конус СХ. С другой стороны, соответствие [х, t]\-*tx,
t?l, x^S", определяет, очевидно неподвижный на 5",
гомеоморфизм прямого конуса CSn с единичным шаром En+l.
Поэтому пространство X тогда и только тогда асфе-
асферично в размерности п, когда любое отображение f: 5я—+ X
может быть распространено на Еп+1:
Этим простым критерием асферичности мы будем в даль-
дальнейшем постоянно пользоваться.

218
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Пусть р: (Е, ей)-~+(В,Ь0)—произвольное пунктирован-
пунктированное расслоение и F = p~1(bB)—его слой. Ввиду разложе-
разложения /"+1 = /"х/ каждое отображение a: (/n+1, /n+1)—*
—+{В, Ьа) мы можем считать гомотопией ил I" в В, свя-
связывающей постоянное отображение const: I"—*B, t--+b0,
с самим собой и (при п~^\) неподвижной на /Ч Поскольку
постоянное отображение /"¦—>б накрывается постоянным
отображением /"—*Е, из аксиомы РНГ поэтому следует,
что существует гомотопия ф: 1пх1--*Е, накрывающая
гомотопию а и (при п~^\) неподвижная на /". В частно-
частности, (роф)(?, \)=*a(t, 1) = Ь0 для любой точки t?l",
т. е. ф (t, \)?F. Следовательно,
положив b(t) = t[>{t, I), t?I", мы
получим некоторое отображение
Ь: 1п—<¦ F, переводящее (при п~^\)
границу /" куба I" в точку ev?F,
т. е. являющееся отображением
(/", [")—*(F,ea). Условно переход от
а к b изображен на рис. 10.
Пусть теперь а'—другое отобра-
отображение (/я+1, /п+1)—* (B,bQ), и пусть
Ь'—отображение (!"¦, In)—^(F, eB),
получающееся из а' описанной кон-
конструкцией (с помощью накрывающей
гомотопии ф'). Тогда легко видеть,
что если « ~ a'rel/"+\ то Ь~
~ b' rel /". Действительно, отождест-
отождествив куб ln+l с произведением /"х
X /, т. е. обозначив его точки сим-
символами (t, t), где t?l", t?l, мы
можем каждую гомотопию Я: /"+1х
х1—*В относительно /я+1, связы-
связывающую отображения а и а', интерпретировать в виде
гомотопии /"+1х/—*5 и иным способом, принимая за
параметр деформации аргумент t. Тогда гомотопия Н будет
связывать постоянное отображение /rt+1—* В с самим собой,
будет неподвижна на /nx/c/n+1, а на /nx0c/n+1
и /nx lc/n+1 будет—после отождествления /лх0 и /"х 1
с /"—совпадать соответственно с отображениями а и а',
интерпретированными как гомотопии. Поэтому, согласно
аксиоме РНГ, существует гомотопия Я из /"х/ в Е, на-
Рис. 10.

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 219
крывающая гомотопию Н и на /пх0 и /пх1 совпадаю-
совпадающая соответственно с гомотопиями ср и ф'. Концевое ото-
отображение этой гомотопии, рассматриваемое как отображе-
отображение в F, и будет, очевидно, гомотопией из I" в F отно-
относительно /", связывающей отображение Ь с отображе-
отображением Ь'. П
Доказанное утверждение означает, что хотя еоотпетст-
пне а>—*Ь строится с определенным произволом, но гомо-
гомотопический (rel /") класс р1 ? я,,/*1 отображения b однозначно
определяется гомотопическим (rel/1) классом а?л,Н1В
отображения о, так что мы получаем некоторое вполне
определенное отображение аи-> р1 группы я„+1б в группу
n,tF. Непосредственно очевидно (поскольку отображения а
мы складываем «по первой координате», а поднимаем в Е
«но последней координате»), что при п~^\ отображение
а и-*¦ р является гомоморфизмом.
Мы будем обозначать этот гомоморфизм символом дп
или просто д.
Вместе с гомоморфизмами t«: nnF —* ппЕ и р„: паЕ —* п„В
гомоморфизм д: пп+1В—*nnF позволяет написать беско-
бесконечную налево последовательность абелевых групп
A5) .. . — ла+1В-+ nnF-> ппЕ-+ппВ~-+... ,
кончающуюся тремя, вообще говоря, неабелевымн груп-
группами и тремя пунктированными множествами:
<? _, i". _, />. D <i „ и с р* D
Эта последовательность называется гомотопической после-
последовательностью расслоения р: Е—*В.
Гомоморфизмы д связывают воедино «очевидные» от-
отрезки nnF —-* ппЕ —>¦ ппВ последовательности A5). На этом
основании они называются связывающими гомоморфизмами.
Конечная или бесконечная последовательность
A6) ... — Л — В-+С-* D-+...,
связанных гомоморфизмами групп (или, более общо, пункти-
пунктированных множеств) называется точной в члене В, если
ядро «выходящего» гомоморфизма В—*С (прообраз отме-
отмеченной точки в случае, когда С является лишь пункти-
пунктированным множеством) совпадает с образом «входящего»
гомоморфизма А —¦* В (который, следовательно, обязательно
должен быть инвариантной подгруппой, т. е.— в старой
терминологии — нормальным делителем). Последователь-

220 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ность называется точной, если она точна в каждом члене
(за исключением крайних членов, когда они существуют).
Предложение 2. Гомотопическая полседовательность
A5) произвольного пунктированного расслоения р: Е—> В
является точной последовательностью.
Доказательство. Докажем точность последова-
последовательности A5) во всех ее членах по очереди.
Точность в члене п„Е. Так как top = const, то
/„ор,«=0 и, следовательно, Im/„сКег/?,. Обратно, вклю-
включение а ? Кег р, означает, что для отображения а: (/", /")—*
—>-(Е, е0), задающего элемент а, существует такая непод-
неподвижная на /" гомотопня G: 1пх1—+В, что
G(t, 0)-=(роа)(*) и G(t, 1) = 6О для любой точки t?l".
Согласно аксиоме JPHF эта гомотопия может быть накрыта
такой гомотопией G: I"xf~*E, также неподвижной на/",
что G(t, O)ea(tf) для любой точки t?ln. Отображение
Ь: (/", /")—> (?, е0), t>-+G(t, 1), задает тот же элемент a
группы nnF, что и отображение а, но обладает тем свойст-
свойством, что b(t)dF для любой точки *?/", и потому рас-
рассматриваемое как отображение в F задает такой элемент fi
группы nnF, что /,р = а. Следовательно, Кегр»с1пн».
Точность в члене nnF. По определению каждый
элемент a? Im да nnF задается отображением а: (/", /")—>¦
—>-(F, е0), _для которого существует неподвижная на /"
гомотопня а: /пх/—>Е, связывающая постоянное ото-
отображение In—*E, t>-*eu, с отображением а, рассматри-
рассматриваемым как отображение в Е (при этом a—df>, где
P€"n+ji5—гомотопический класс отображения Ь*=роа:
(/"+1, /ч+1)—>(В, Ьв)). Следовательно, t»a — 0, т. е. Imdc
с Кег i,. Обратно, включение a ? Кег i» с nnF означает, что
существует такая неподвижная на /" гомотопия о: /вх
Xl—*E, что a (t, 0)=eo,t? I", и отображение tf •—*a(t, 1),
рассматриваемое как отображение в F, задает элемент а.
Тогда отображение b «= р о а будет отображением (/"+\
/п+1)—_E, Ьо), для гомотопического класса fi?nn+1B
которого имеет место равенство 5E= а. Следовательно,
Кег i, dm д.
Точность в члене пп+1В. По определению эле-
элемент a? Imp^cnn+1B задается отображением a**poa:
(fn+1, /n+1)—(fi, 6,), где a: (In+\ In+1)-+(E, e0). По-

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 221
этому классу da,?nnF будет принадлежать постоянное
отображение t>-*a(t, I), t?l", и, значит, этот класс
будет равен нулю. Следовательно, 1тр^аКегд. Обратно,
включение а^?,етдсп„+1В означает, что для отображе-
отображения а: (/в+1, /п+1)—>-(В, Ьо) класса а существует такое
накрывающее отображение a: In+1—> ?, что a(t, 0)==e0
для любой точки t(iln, а отображение ctt: t*->a(t, 1),
??/", рассматриваемое как отображение в F, гомотопно
относительно /" постоянному отображению. Тогда отобра-
отображение Ь: 1пх1—*Е, определенное формулой
a(t, M), если
(ioG)(t, 2t—l), если Vi<f<l.
где G: InxI-^*F—неподвижная на /" гомотопия, связы-
связывающая отображение ах с постоянным отображением
/" —* F, tt~*en, будет, очевидно, отображением (/n+1, /га+1)---+
—*(Е, е„) и, значит, будет задавать некоторый элемент р
группы п„+1Е. По определению образ р„р этого элемента
при гомоморфизме р»: пп+1Е—>-пп+1В будет задаваться
отображением р оЬ. Но ясно, что
i (t, 2t), если Os^s^Vaf
т. е. — с точностью до транспозиции первой и последней
координаты—отображение р о Ь является суммой (в смысле
формулы E)) отображения а и постоянного отображения.
Поэтому отображение р о Ъ будет задавать тот же эле-
элемент а группы пп+1В, что и отображение а. Это озна-
означает, что р,Р-а, Следовательно, Кет да Imp*. П
Разъясним алгебраическне следствия свойства точности
гомотопической последовательности.
Утверждение, что гомоморфизм С—>?> из точной после-
последовательности A6) является мономорфизмом (т. е. что
имеет место равенство Ker(C—>-D)eO), равносильно ввиду
точности этой последовательности в члене С утверждению,
что предыдущий гомоморфизм В—>-С является нулевым
(т. е. что имеет место равенство Im(fi—*С) = 0). Ана-
Аналогично, утверждение, что гомоморфизм А—*В является
эпиморфизмом (Im(/4—*B)=*B) равносильно ввиду точно-
точности последовательности A2) в члене В равенству

222 ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Кег (В —* С) «= В, т. е. утверждению, что пулевым является
следующий гомоморфизм В—*С. Схематически:
эпи нуль моно
Таким образом, в точной последовательности групп каж-
каждому мономорфизму предшествует через стрелку эпимор-
эпиморфизм, и, наоборот, за каждым эпиморфизмом следует
через стрелку мономорфизм.
Аналогично, равенство нулю какого-нибудь члена точ-
точной последовательности равносильно тому, что предшест-
предшествующий (через стрелку) гомоморфизм является эпимор-
эпиморфизмом, а последующий—мономорфизмом:
чин моно
В частности, утверждение, что гомоморфизм А—+В яв-
является мономорфизмом (эпиморфизмом), равносильно
утверждению, что последовательность 0 —+ Л¦—+¦ В (после-
(последовательность A—*B—hO) точна. Следовательно, утверж-
утверждение, что гомоморфизм А —> В является изоморфизмом,
равносильно утверждению о точности последовательности
О —Л —В —0.
Особого внимания заслуживают последовательности
вида
называемые короткими последовательностями. Утвержде-
Утверждение о точности короткой последовательности равносильно
утверждению, что группа В является расширением груп-
группы А посредством группы С.
Другой интересный случай возникает, когда в последо-
последовательности A6) каждая третья группа равна нулю. Обо-
Обозначив для удобства формулировки последовательность A6)
через
A7) ... —>-Сп+1—* Л„—>-Вп—+С„—*- Л„_,—* ...,
мы можем утверждать, что в точной последовательности
A7) все гомоморфизмы Ап—уВ„ тогда и только тогда
являются изоморфизмами, когда все группы Сп равны нулю.
Более общим образом, в последовательности A7) группы Са
тогда и только тогда равны нулю при всех п^.г (при
всех п > г), когда гомоморфизмы Ап —* Вп при п < г (при
п > г) являются изоморфизмами, а гомоморфизм А г —> Вг
является эпиморфизмом (мономорфизмом).

ГРУППЫ НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВ 223
Надъективное отображение р: X —* X называется накры-
тырм, если пространство X связно и каждая точка про-
пространства X (также, очевидно, связного) обладает такой
окрестностью U, что множество р'1 (U) является дизъюнкт-
дизъюнктным объединением открытых множеств, каждое из кото-
которых отображение р гомеоморфно отображает на V. Послед-
Последнее условие, очевидно, означает, что отображение
Ри'- Р~1(^)—*^у индуцированное отображением />, изо-
изоморфно (как объект категории ТОР^) проекции прямого
произведения UxF—^U, где F—некоторое дискретное
пространство. Таким образом, накрытия—это в точности
локально тривиальные расслоения Х—+Х с дискретными
слоями (и связным пространством X). Поэтому, если про-
пространство X паракомпактно, то любое накрытие Х—+Х
является расслоением. (См. Дополнение к лекции 1.)
Замечание 3. С помощью доказываемых в следую-
следующей лекции свойств накрытий можно легко показать, что
последнее утверждение справедливо и без предположения
о паракомпактности пространства X. Однако в силу наших
общих установок это обстоятельство мы будем игнори-
игнорировать.
В частности, мы видим, что если пространство X пара-
компактно, то для любого пунктированного накрытия
р: (X, хо)—+(Х, хй) имеет место точная гомотопическая
последовательность
• ¦ ¦ —* nnF —+ ппХ -Л л„Х —* «„_!? —>...—+ щХ —>
(в силу связности л0Х = л0Х = 0). Но так как слой F
дискретен, то п/*0 при п > 0, откуда немедленно выте-
вытекает, что при п > 1 накрытие р: Х—+Х индуцирует изо-
изоморфизм
р,: ппХ—* л„Х
гомотопических групп.
Таким образом, при переходе к накрывающему прост-
пространству X высшие гомотопические группы я„Х, л>1,
остаются прежними.
Пример 1. Окружность S1 накрывается прямой R
(если точками окружности считать комплексные числа г
к |z| = 1, то иакрытне R—+S1 можно задать формулой

224 РАССЛОЕНИЕ ХОПФА
ti—be1*). Следовательно, n,S'eitBR для любого п> 1. Но
так как прямая R стягиваема, то n,,RaO для всех п^О.
Этим доказано, что
A8) jinS* = O для любого п>1.
Пример 2. Сопоставив каждой точке единичной
сферы Sm, m^l, пространства Rm+1 проходящее через
нее одномерное подпространство (точку m-мерного проек-
проективного пространства RP") мы, очевидно, получим иакры-
тие 5"" —+ RP"'. Следовательно,
A9) nnSm at nJlP* для любых п> 1 и /п>1.
Последний пример может быть комплексифицирован.
Пусть 5*m+1—единичная сфера т +1-мерного комп-
комплексного пространства Сл+1 (задаваемая уравнением
|zo|"+ > • • +lzm|*e ")> аСЯ"*—комплексное m-мерноепро-
m-мерноепроективное пространство (множество всех одномерных под-
подпространств пространства Cm+1 или, что то же самое,
множество всех классов (z0: г1 : ... : zm) пропорциональ-
пропорциональных (т + 1)-ок (z0, Zj, ..., гт) ФФ,0, ..., 0)). Сопоставив
каждой точке (zB, zt zm)?S*m+1 проходящее через
нее одномерное подпространство, т. е. класс (z^.z^.... :гт),
мы получим некоторое отображение
A: si*" —C/>", (zo,Zi, ...,zJ-J.(z0:z1:...:zw).
Пусть Ui—открытое множество в СРт, состоящее из
всех точек (zo:zl:... :2Л), для которых г^О, и пусть
/~1?/1-—его прообраз в сфере SM+1 (состоящий из точек
(zo,zlt ..., zm)€Sia>+1, для которых г,=?ьО). Тогда легко
видеть, что формула
корректно Определяет отображение ^xf//—+A~1(//, яв-
являющееся! гомеоморфизмом, переводящим проекцию
S1xUl—* Ui в отображение 4~lUt—+U{, индуцирован-
индуцированное отображением Л, Это доказывает, что отображение Л
является локально тривиальным расслоением. Оно назы-
называется расслоением (или отображением) Хопфа. Его
слоем является окружность S1.
Поскольку nnS1«0 при /г> 1, из точности гомотопи-
гомотопической последовательности расслоения Хопфа иепосредст-

ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 225
веино следует, что для любого п^З гомоморфизм
B0) A,: naS^l-^naCPm,
индуцированный расслоением Л, является изоморфизмом.
При /п=1 комплексная проективная прямая СР1
гомеоморфна сфере 5* (сфере Римана). Поэтому
в этом случае расслоение Хопфа имеет вид
Л: S<>-*S«
(и задается формулой (zit za)t-»-~-; см. лекцию 0], а
изоморфизм B0) превращается в изоморфизм
B1) 4.: пя&-+пп$*, п>3,
обычно называемый изоморфизмом Хопфа.
В частности, мы видим, что группа n8S* изоморфна
группе ntS3.
Заметим, что изоморфизм B1) задается соответствием
/к-^о/, где /: S"-+S8, а Л: S8—*S8—отображение
Хопфа. При п=яЗ это означает, что элементу ia = [id]
группы naSa отвечает в группе я,5* гомотопический класс
[?] отображения Хопфа.
Кроме свойства точности, гомотопическая последова-
последовательность расслоения обладает также свойством
функториальности по отношению к отображениям
расслоения р: Е—*В в произвольное другое расслоение
pt: Et—tBi,- т. е. таким отображениям /: E—+Eit что
для некоторого (очевидно, однозначно определенного)
отображения B—+Bi (которое мы также будем обозна-
обозначать через /) имеет место коммутивная диаграмма
ELEi
B-^Bi
Если расслоения р и pt пунктированы, то отображение
f: E—+E-1 (а потому и отображение f: B—+ Bt) также
предполагается пунктированным. В этом случае отобра-
отображение / индуцирует некоторое отображение F —*-Р± слоев
расслоений р и р< (которое мы будем обозначать все тем
же символом /). Поэтому каждое отображение f: E—*-Et
8 М. М. Постников

226 АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
пунктированных расслоений порождает диаграмму
B2) ' "Z ПУ в - Jf ~* % ~* Л — "'
строками которой являются гомотопические последова-
последовательности расслоений р и рг, а вертикальные стрелки
индуцированы отображениями /. Свойство функториаль-
ности состоит в том, что эта диаграмма коммутативна,
т. е. что ее вертикальные стрелки составляют гомомор-
гомоморфизм верхней строчки в нижнюю. Для доказательства
достаточно заметить, что после применения отображения
/ все конструкции, относящиеся к гомотопической после-
последовательности расслоения р: Е—+В, переходят в соответ-
соответствующие конструкции для гомотопической последова-
последовательности расслоения рг: Е^~*Вг. П
Введя в рассмотрение категорию пунктированных рас-
расслоений и категорию точных последовательностей, мы
можем сказать, что соответствие, относящее расслоению
его гомотопическую последовательность, представляет со-
собой функтор из первой категории во вторую.
Обратим внимание, что коммутативность всех квадра-
квадратов диаграммы B2), кроме квадратов, содержащих гомо-
гомоморфизмы д, является следствием того, что соответст-
соответствие яп: X —>-п„Х представляет собой функтор, а комму-
коммутативность каждого квадрата
nn+iB Ля,/
означает, что гомоморфизм д: nn+iB-^-nnF представляет
собой естественное преобразование (морфизм) функтора
nn+i ° Р в функтор л„ о ф, где Р и (р—функторы из кате-
категории пунктированных расслоений в категорию ТОР',
сопоставляющие каждому расслоению р: Е—у В соответ-
соответственно его базу В и его слой F.
Предположим теперь, что для любого п^О на кате-
категории ТОР* задан некоторый гомотопически инвариант-
инвариантный функтор я*, принимающий значения при п ^ 2
в категории AB-GROUPS, при n«el в категории GROUPS
и при иве0 в категории ENS", а на категории пунктиро-
пунктированных расслоений—некоторое естественное преобразо-

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ 227
ваиие д функтора nft+1 о |3 в функтор я? о ф. Тогда для
любого расслоения р: Е—+В мы можем написать после-
доиательность
B3) ...—яй+1вЛяй^1#^яйВ-*...
аналогичную последовательности A5).
Будем говорить, что {nj}, д} представляет собой систе-
систему аксиоматически заданных гомотопических групп, если
Г (аксиома точности). Для любого пунктиро-
пунктированного расслоения р: Е —> В последовательность B3)
точна.
2° (аксиома размерности). Для одноточечного
пространства pt при любом я^ 1 имеет место равенство
3° (начальное условие). Для любого пунктиро-
пунктированного пространства X множество яЦХ находится
в естественном (—функториальном) биективном соот-
соответствии с пунктированным множеством я„Х компонент
пространства X.
(Основания называть аксиому 2° аксиомой размерности
мы обсудим в следующем семестре.)
В силу гомотопической инвариантности функторов л?
и:$ аксиомы размерности следует, что я,1Х = 0 при п^1
для любого стягиваемого пространства X. В частности,
я;;(ЯХ) = 0, где РХ, как всегда,— пространство путей
пространства X, начинающихся в отмеченной точке ха,
Поэтому, применив аксиому точности к серровскому рас-
расслоению РХ—*-Х, мы получим, что для любых аксиома-
аксиоматически заданных гомотопических групп nf, имеет место
изоморфизм
Ср. с формулой G) при & = л—1.
Отсюда индукцией по п (начальный шаг которой обес-
обеспечен начальным условием 3°) немедленно вытекает, что
для любого nJJsO имеется естественное (по X) биектив-
ное отображение п%Х—+ппХ. При этом из замечания 4
лекции 4 непосредственно следует, что при п— 1 это отобра-
отображение является либо изоморфизмом, либо антиизоморфиз-
антиизоморфизмом (биективным отображением, меняющим порядок множи-
множителей на противоположный), откуда посредством той же
8*

228 ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВ
индукции вытекает, что это отображение будет изоморфиз-
изоморфизмом и при любом п^2 (так как при п ^ 2 группа л„Х абе-
лева, то каждый антиизоморфизм л,*Х—^я„Х является изо-
изоморфизмом). Таким образом, мы видим, что аксиомы 1°, 2° и
начальное условие 3° однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма (или при п я 1 с точностью до антиизоморфизма)
характеризуют гомотопические группы л„.
Использованное в доказательстве этого утверждения
замечание 4 лекции 4 мы докажем в следующей лекции.
ДОПОЛНЕНИЕ
Точные последовательности пунктированных прост-
пространств,— Короткие точные последовательности Н-грунп.—
Короткие коточные последовательности Н-когрупп.—
Гомотопические слои пунктированных отображений.—
Точная последовательность Пуппе.— Удлиненная после-
последовательность Пуппе классифицированного расслое-
расслоения.— Конусы отображений и коточиые последователь-
последовательности Пуппе.
Прием, посредством которого в произвольной катего-
категории определяются группы, может быть применен и к точ-
точным последовательностям. Для определенности мы огра-
ограничимся категорией [ТОР"], хотя почти все автоматически
переносится—с очевидными и само собой разумеющимися
изменениями—на произвольные категории.
Определение 1. Последовательность
A) ... > ¦"„_!¦ > Ап *¦¦"/»+! >...
пунктированных пространств и их отображений назы-
называется точной в члене Ап, если для любого пунктирован-
пунктированного пространства X последовательность пунктированных
множеств
B) ...-
точна в члене [X, Ап]'. Последовательность A) назы-
называется точной, если она точна в каждом члене (кроме,
конечно, крайних членов, если они есть).
Пример. Пунктированное отображение р: (Е, еЛ)—>-
—»-(В, 60) называется квазирасслоением, если для любой

КОРОТКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Н-ГРУПП 229
диаграммы
C) а0 а/ р G о 0^=» COnst,
над категорией ТОР", в которой концевое отображение
G о ofj гомотопии G является постоянным отображением,
существует накрывающая гомотопия G: Xxl—*E. (На-
(Напомним, что о0: хi—>(х, 0) и сгх: х*~*(х, 1).) Так как факт
существования гомотопии G означает, что р о g ~ const,
а факт существования гомотопии G означает, что g~i of,
где i—вложение F—<-E, F^p'1^), a /—концевое ото-
отображение G о аг гомотопии G, рассматриваемое как ото-
отображение X—+F, то отображение р: Е—+В тогда и
только тогда является квазирасслоением, когда трехчлен-
трехчленная последовательность
точна в члене Е.
Заметим, что любое (пунктированное) расслоение яв-
является, конечно, квазирасслоением.
Отображением последовательности A) в аналогичную
последовательность \Вп\ называется такая последователь-
последовательность {fn\ пунктированных отображений /„: Ап —* Вп, что
для любого п диаграмма
"¦п *" Аг + i
D) /в| [fn+i
коммутативна. Отображение {/„} называется гомотопиче-
гомотопической эквивалентностью, если все отображения fn явля-
являются пунктированными гомотопическими эквивалентно-
етями. Ясно, что последовательность пунктированных
пространств, гомотопически эквивалентная точной после-
последовательности, также является точной последователь-
последовательностью.
Особое значение имеют точные последовательности
пространств, кончающиеся одноточечным пространством
1>1 (или начинающиеся с такого пространства).

230 КОРОТКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Н-ГРУПП
Легко видеть, что последовательность
E) ..,.^?_^5-*pt
тогда и только тогда точна в члене В, когда существует
такое отображение s: В—+Е, что р о s ~ id (сечение
отображения р в категории [ТОР*]). Действительно, точ-
точность последовательности E) в члене В означает, что
для любого пространства X отображение рх: [X, Е]' —->¦
—>[Х, В]', [f]'*-*[fop]', f: X-^-E, надъективно. В част-
частности, оно надъективно при Х = В, и, значит, сущест-
существует такое отображение s: В—+Е, что Рл[s]" = [id]", т. е.
s о р ~ id. Обратно, если такое отображение s существует,
то px[s о g]' — [#]" для любого отображения g: X—у В. ?
Замечание 1. Если отображение р: Е —* В яв-
является расслоением (хотя бы гомотопическим), то это
условие равносильно существованию такого отображения
s: В—*-Е (сечения отображения р в категории ТОР'),
что /? о s = id. См. Дополнение к лекции 2, где, правда,
этот факт доказан для непунктированных расслоений.
По аналогии со случаем групп последовательности
пространств, имеющие вид
F) pt-+F-^F-^B-+pt,
называются короткими последовательностями.
Замечание 2. Ниже мы покажем (см. замечание 4),
что в случае, когда в последовательности F) отображе-
отображение р является расслоением, а отображение i—вложе-
i—вложением его слоя, эта последовательность тогда и только
тогда точна, когда она точна в члене В, т. е. (см. заме-
замечание 1) когда для расслоения р существует сечение s.
В частности, мы видим, что для любых пунктирован-
пунктированных пространств F и В имеет место короткая точная
последовательность
G) pt-^F-ZFx вЛв-^pt,
где inF: a*-*{a, b0) и prn: (a, b)*-*b, a?F,b?B. (Конечно,
точность этой последовательности легко доказывается и
непосредственно.)
Короткую последовательность F), члены F, Е, В
которой являются Н-группами, а отображения i и р —
морфизмами (гомотопическими) Н-групп, мы будем назы-
называть последовательностью Н-групп. Для любой точной

КОРОТКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Н-ГРУПП 231
последовательности Н-групп и любого пунктированного
пространства X последовательность
(8) l_[X,F]i5.[X, Е]^[Х,В]-+1
является обычной короткой точной последовательностью
групп.
Короткая точная последовательность групп
(9) 1_^Л?Ля~*1
называется расщепляющейся последовательностью, если
гомоморфизм р: Е-—+В обладает (в категории групп)
сечением s: В—> ?. Это сечение называется расщепляю-
расщепляющим гомоморфизмом, а группа Е называется полупря-
полупрямым произведением групп F и В. Примером расщепляю-
расщепляющейся последовательности является последовательность
расщепляющим гомоморфизмом которой является гомо-
гомоморфизм тл: Ь н-» A, о), Ь&В. Для любой расщепляющейся
последовательности групп (9) формула в (a, b) = i(a)-s(&),
(a, b)?FxB, определяет биективное отображение ,0:
FxB—+E. Действительно, пусть t и q—отображения
Е —* Е, определенные формулами t (x) = (s о р) (х)~г и
c/(x)=x-t(x), хеЕ. Тогда (р о q) (х) = р (х) ¦ (р о t) (х)=
¦¦- p(x)-(poso p)(x)~1=p(x)-p{x)~1=\, и потому в силу
точности существует такой элемент r(x)&F, что i{r(x))=
-q(x). Рассмотрим отображение rxp: E—>-FxB, опре-
определенное формулой (гхр){х) = (г(х), р(х)), х?В. По опре-
определению @ о (г Xр)) (х) = 0 (г (х), р(х)) == (ior)(x)-{sop)(x)~
~q(x)^t(x)~1='XAnH любого элемента х ? Е. Кроме того,
(р о 0) (а, Ь)ш»{ро i) (a) ¦(pos)(b)—l-b = b, и потому
»((гов)(а, 6))-(</ов) (а, 6)-0(а, 6).(^оО) (а, 6) «
= 0 (a, b).(s о р о Q) (a, 6)-! (a)-s (b)-s F) = i (о)
для любого элемента (a, b)?FxB. Значит, (г о 0)(а, 6) = а
и, следовательно, ((гхр) о 0)(а, 6) = (а, 6). Таким обра-
образом, в и гх/7 являются взаимно обратными биективными
отображениями. ?
Если группы F, Е и В абелевы, то отображения 0
и гхр являются гомоморфизмами и, следовательно, изо-
изоморфизмами. Таким образом (мы переходим к аддитивной
записи и несколько меняем обозначения), в любой рас-

232 КОРОТКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Н-ГРУПП
щепляющейся последовательности абелевых групп
группа С изоморфна прямой сумме AQ)B групп А и В.
Соответствующими инъекциями А—+С и В--+С будут
при этом гомоморфизмы i и s, а проекциями С—>-Ви
С—>- А—гомоморфизмы риг1) (причем последний гомомор-
гомоморфизм будет определяться из соотношения i(r(x))=
=x—s(p(x)), x?C).
Аналогичным образом, короткая точная последова-
последовательность Н-групп F) называется расщепляющейся, если
существует такой морфизм Н-групп s: В—<•?, что р о s^—id.
В этом случае каждая последовательность (8) будет рас-
расщепляющейся последовательностью групп с расщепляю-
расщепляющим гомоморфизмом sx: [X, В] —* [X, Е]. Для любых
Н-групп F и В последовательность G) является расщепляю-
расщепляющейся короткой точной последовательностью Н-групп (от-
(относительно умножения в FxB, определяемого обычным
покоординатным образом). При этом для любой расщепляю-
расщепляющейся короткой точной последовательности Н-групп F)
пространство Е гомотопически эквивалентно произведе-
произведению FxB. Действительно (мы фактически повторяем
изложенное выше теоретико-групповое рассуждение), если
t и q—такие отображения Е—+Е, что |7]' = [s о р]'1 и
[</]'= [id]*-[f\- в группе [Е,Е}\ то р„[ч]'-[Р °'я]' =
=[Р]''[Р ° п'-[Р]'-[Р ° s ° РГ-'-М'-И1'1- 1 в группе
[Е, В]', и потому существует такое отображение г: E—+F,
что iB [г]' ¦» [<?]". т.е. [i о г]* =»[</]'. Следовательно, для
отображения 0: FxB—*E, заданного формулой 0=
=mo(ixs), где ixs: FxB—^ExE, a m: ЕхЕ—+Е —
умножение в Е, т. е. являющегося по отношению к т
произведением отображений i о piy F х В —* Е и s о ргл:
FxB—+E, в группе [Е, Е]' будет иметь место равенство
[0 о (г х р)]' фо (/ х s) о (г х р)]'=[/я о ((i о г) X (s о р))]'=
С другой стороны, так как отображение р является гомо-
гомотопическим морфизмом Н-групп, т. е. р о т ~т'о (рхр),
*) Следуя Стинроду и Эйленбергу [11], мы называем для абеле-
абелевых групп Alt ..., А„ инъекциями естественные мономорфизмы
iticc: А<х—>•© Afl и проекциями естественные эпиморфизмы рг«:
р
ф Др—>-Ла; напомним, что pri

КОРОТКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.Н-КОГРУПП 233
где т': ВхВ—*В—умножение в В, то в группе [FxB,
В\' будет иметь равенство
|р о Q]' = [р о т o(iхs)]' = [т' о((р о i)x(po s))]' =
- [Р ° t ° РГр]' • [Р ° S о рГд]' - [Const]" • [рга]' - [рг„]\
и, значит, в группе [FxB, E]'—равенство
iFXB [г о 0]* - [i о Г о 0]' - [</ о 0]- = ([id]* • [/]") о [в]* =
= [в]*.[<ов]'= [0]'.[s о р о в]'-
= [в]' ¦ [S о рГд]' -. [t о рГ/,]' » 1>х„ [Pr;,J\
Поскольку гомоморфизм iVxb является по условию моно-
мономорфизмом, этим доказано, что [г о 0]' =» [pi>]' в группе
[F X В, F]'. Следовательно, [(г X /?) о в]* - [(г х 0) х {р о в)]'=
=[pr/jXpra]'"-[id]" в группе [FxB, FxB]'. Таким обра-
зом, 0o(rXjt?)~id и (г х/?) о 0^ id, т. е. 0 и гхр —
взаимно обратные гомотопические эквивалентности. D
Если Н-группы F, Е и В абелевы (т. е. каждая точ-
точная последовательность (8) состоит из абелевых групп),
то гомотопические эквивалентности 0 и гХр будут, как
показывает автоматическое вычисление, морфизмами Н-
групп, так что в этом случае Н-группа Е гомотопичвски
изоморфна Ы-группе FxB.
Все эти результаты немедленно дуализируются.
Определение 2. Последовательность
пунктированных пространств и их отображений называется
поточной « члене А„, если для любого пунктированного
пространства X последовательность пунктированных мно-
множеств
точна в члене [Ап, X]'. Последовательность называется
котонной, если она коточна в каждом члене (кроме, ко-
конечно, крайних членов, если они есть).
Ясно, что последовательность, гомотопически изоморф-
изоморфная коточной последовательности, коточна. Примером ко-
точной последовательности является трехчленная последо-
последовательность
A0) Л-^Х— у XI А,

234 КОРОТКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Н-КОГРУПП
где i: А—+Х—произвольное корасслоение (рассматривае-
(рассматриваемое как вложение), а /: X—>¦ Х/А—отображение факто-
факторизации.
Последовательность
тогда и только тогда коточна в члене А, когда сущест-
существует такое отображение г: X—>-А, что roi~id (в слу-
случае, когда отображение i является корасслоением,—такое,
что г о i ==id), а короткая последовательность вида
где i—корасслоение, а /—отображение факторизации
тогда и только тогда коточна, когда она коточна в чле-
члене А, т. е. когда Х-^Л.
Последовательность, состоящая из Н-когрупп и их мор-
физмов (гомотопических), называется последовательностью
Н-когрупп. Короткая точная последовательность Н-когрупп
называется ко расщепляющейся, если существует такой мор-
физм Н-когрупп г: Х—+А, что г о i ~ id. Для любой ко-
расщепляющейся короткой коточной последовательности
Н-когрупп пространство X гомотопически эквивалентно
букету А\/В, причем гомотопической эквивалентностью
X—*А\/В будет копроизведение (по отношению к коум-
ножению в X) отображений \пА о г и тв о /, где шл:
А—»А\/В и тл: В—>-А\/В—канонические вложения.
Доказательства всех этих утверждений получаются
очевидной дуализацией доказательств соответствующих
утверждений для точных последовательностей, и мы оста-
оставим их читателю.
Перейдем теперь от этих общих—по существу чисто
теоретико-категорных—рассмотрений к более содержатель-
содержательным конструкциям.
Пусть р: (Е, ео)—*(В, Ьо)—произвольное пунктирован-
пунктированное отображение (нам сейчас удобно несколько отойти от
стандартных обозначений), и пусть Сосу] (р)—его обращен-
обращенный коцилиндр. Напомним (см. лекцию 2), что точками
коцилиндра Cocyl(p) являются пары (и, е), где и: I-+B
и е?Е, причем и(\) = р(е), и что формула q(u,e) = u(Q)
определяет некоторое расслоение q: Cocyl (p) — *• В.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СЛОИ ОТОБРАЖЕНИЙ
235
Определение 3. Слой расслоения q: Cocyl (/>)—* В
называется гомотопическим слоем отображения р и обо-
обозначается символом F(p).
Ясно, что соответствие pt-*F(p) является функтором.
Легко видеть, что если отображение р: Е —* В является
пунктированным гомотопическим расслоением, та его
гомотопический слой F (р) пунктированно гомотопически
эквивалентен его обыкновенному слою F = p~l(ba). Дейст-
Действительно, ясно, что вложение i: ?—>-CocyI (/?), е*~>(е,0р(й)),
переводит слой F в слой F(p) и потому индуцирует не-
некоторое отображение ;: F—+F(p). В соответствующей
коммутативной диаграмме
отображение /, являясь гомотопической эквивалентностью
и одновременно отображением над В (относительно про-
проекций р и q), будет, согласно предложению 1 из Допол-
Дополнения к лекции 2 (в его варианте для категории ТОР'),
послойной гомотопической эквивалентностью и, значит,
отображение / будет гомотопической эквивалентностью. D
Поскольку диаграмма A1) коммутативна и ее верти-
вертикальные стрелки являются пунктированными гомотопи-
гомотопическими эквивалентностями, верхняя строка этой диаграммы
гомотопически изоморфна ее нижней точной строке и,
значит, является точной последовательностью. Этим до-
доказано, что любое гомотопическое расслоение является
квазирасслоением.
Весьма неожиданный результат!
В общем случае произвольного пунктированного ото-
отображения р: Е-+В мы можем рассмотреть отображение рг:
F(p)—*-E, являющееся ограничением проекции (и, е)*~*е.
Это отображение обладает тем свойством, что диаграмма
CoeyUpt

236 ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ
пунктированно гомотопически коммутативна, и, значит,
верхняя строчка этой диаграммы гомотопически изоморф-
изоморфна ее нижней точной строчке и потому также является
точной последовательностью. Этим доказано, что для лю-
любого пунктированного отображения р: Е—+В имеет мес-
место трехчленная точная последовательность
A2) F (/>)-*? Л Я.
Итерируя эту конструкцию и полагая pn=*(pn-i)i,
ро*=р, мы получим бесконечную влево точную последо-
последовательность
A3) ...-
пунктированных пространств, члены F (рп), п ^ 0, которой
называются итерированными гомотопическими слоями
пунктированного отображения р.
Далее, сравнив определения, мы немедленно получим,
что отображение pt: F(p)—+E индуцировано серровским
расслоением о^: РВ—+В посредством отображения р (т. е.
в обозначениях, введенных в лекции 1, является отобра-
отображением ((о^р). Следовательно, отображение рх: F(p)—*E
является расслоением. Поэтому расслоениями будут и все
отображения р„, «^1, из последовательности A3).
Применив к последовательности A3) функтор Q, мы
получим последовательность
A4) ...->1^
С другой стороны, легко видеть, что пространство QB
гомотопически эквивалентно пространству F(pj), про-
пространство ?1Е—пространству F(pt), пространство
QF (p) — QF (р0)—пространству Е(р3) и, вообще, прост-
пространство QF (рп)—пространству F(pn+n) (удобно условно
считать, что F(p_1) = E, F (/?_„) = В). Действительно, по-
поскольку отображение pn+i, n ^ 0, является расслоением,
его гомотопический слой F (pn+i) гомотопически эквива-
эквивалентен его обыкновенному слою Fn+i. Но так как точ-
точками пространства F (рп) являются пары (v, e), где
vePF(pn-i)' e^FiPn-t) и т>A)«-р„(е), а отображение
рп+1 является ограничением проекции (у, е)*-*е, то слой
Fn+i состоит из точек вида (v, ев), где ев—отмеченная

ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ 237
точка, a v€.QF(pn_t), и потому гомеоморфен простран-
пространству QF(pn_t). О
Чтобы записать гомотопические эквивалентности /„:
QF(pn_a)—+F(pn), n^\, в явном виде, мы заметим, что
при п~^\ каждая точка e^F(pn_t) в свою очередь имеет
вид (и,Ь), где u?PF(ptt_a), b?F{pn_t) и и{\)^рп_^Ь),
причем рп(е)=*Ь. Поэтому точками пространства F(pn)
можно считать пары (v, и), где v?PF(pn_t), u?PF(pn_3),
ы A) = /?„_! (f A))» и тогда отображение /„ будет опреде-
определяться формулой /„(и) = @, и) (а отображение/7n+i—фор-
отображение/7n+i—формулой pn+1(v, и)-(и, оA))).
Естественно ожидать, что гомотопические эквивалент-
эквивалентности /„ будут составлять гомотопический изоморфизм
последовательности A4) в последовательность A3) без по-
последних трех членов, т. е. что соответствующие квадраты
будут гомотопически коммутативны. Однако это не так,
и мы здесь сталкиваемся с одним из тех редких случаев,
когда, казалось бы, совершенно естественные построения
приводят к некоммутативным диаграммам.
Чтобы достичь коммутативности, нужно каждую гомо-
гомотопическую эквивалентность /„ с нечетным номером п
скомпонировать с гомотопической эквивалентностью
QF(pn_3)—>-QF(рп_3), и*-*-и~х, где, как всегда, и:
tt—*-u(\—t), t&I. В соответствии с этим мы определим
гомотопические эквивалентности
формулой
(О, w), если п. нечетно,
(О, и), если п четно,
Эти гомотопические эквивалентности уже составляют гомо-
гомотопический изоморфизм, т. е. диаграмма
'lF (ft) V'iF (^ Л F(Pl) Л F (p) Л ? Л В
гомотопически коммутативна. Действительно, каждую
петлю w?QF(pn_t) отображение pn+tokn+i переводит в

238 ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ
точку (ш8, 0), где е-=(—1)"+1, а отображение kn о &/>„_!—
в точку @, (р„_1 о ш)~е) = @, /?„_! о ш~е). Поэтому гомото-
пия (w,x)t-*'(vw,x,Uw.x), (ву, t)€QF(/?,,_z)x/, где пути
Vw,x(-PF(pn_3), Uw,x(-PF(pn-3) определены формулами
(ясно, что эти пути удовлетворяют соотношению «„,, тA)=
в ^n-i^tf. t(l))» связывает первое отображение со вто-
вторым. D
Применив теперь к диаграмме A5) функтор Q, мы по-
получим гомотопически коммутативную диаграмму, верти-
вертикальные стрелки которой также являются гомотопически-
гомотопическими эквивалентностями. Поскольку нижняя строчка этой
диаграммы совпадает с верхней строчкой диаграммы A5),
их можно сшить в одну трехстрочную гомотопически ком-
коммутативную диаграмму.
Итерируя это построение, мы получим бесконечную
влево и вверх гомотопически коммутативную диаграмму,
все вертикальные стрелки которой являются гомотопичес-
гомотопическими эквивалентностями, нижняя строчка представляет
собой последовательность A3), а каждая следующая строч-
строчка получается из предыдущей применением функтора Й и
сдвигом на три члена влево.
Эта диаграмма изображена на стр. 239, где к ней до-
добавлены отображения qi = ptoki, Qqu Й3^, ..., сшиваю-
сшивающие «концевые» трехчленные последовательности каждой
строчки в единую последовательность
A6) ... ^^^
Определение 4. Последовательность A6) пунктиро-
пунктированных пространств называется последовательностью Пуп-
пе (или резольвентой) отображения р: Е-—*В.
Эта последовательность SJ-периодична в том смысле,
что под воздействием функтора й она как целое сдвига-
сдвигается на три члена влево, и потому каждые ее три после-
последовательные члена после применения этого функтора пе-
переходят в следующие три члена.
Ясно, что композиции вертикальных стрелок диаграм-
диаграммы на стр. 239 составляют гомотопический изоморфизм
последовательности Пуппе на последовательность A3) ите-
итерированных гомотопических слоев отображения р. Следо-
Следовательно, последовательность Пуппе является точной

ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ
239

f
240 ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУЛПЕ
последовательностью, т. е. для любого /пунктированного
пространства X имеет место точная последовательность
A7)
... ~*[Х, №+*В]'-+[Х, Q"FJ^[X, Д»?]-— [X, О»Я]"-* ...
При этом, согласно результатам Дополнения к лекции 4,
все члены последовательности A7) являются абелевыми
группами (а связывающие их отображения — гомоморфиз-
гомоморфизмами), кроме последних шести
...— [X, QFJ-+ [X, Q?]#— [X, Q5]--> [X, f ]•—
из которых первые три являются группами, а последние
три—пунктированными множествами.
В частном случае, когда отображение р: Е—у В явля-
является расслоением (хотя бы гомотопическим), гомотопичес-
гомотопический слой F (/?) в последовательности Пуппе можно заме-
заменить обыкновенным слоем F расслоения р (одновременно
заменяя, конечно, отображение рх вложением i: F—*Е,
а отображение qt—соответствующим отображением q:
Q.B—+F). Получающаяся последовательность
A8) ...4 ^
называется последовательностью Пуппе расслоения р. Она,
конечно, также точна.
Замечание 3. Отображение^: Q.B—+F из последо-
последовательности A8) зависит от выбора сечения s: Cocyl (p) —+E'
из аксиомы НП и сопоставляет петле u?QB конец пути
s (е0, и), начинающегося в точке е0 € F и накрывающего
эту петлю:
Поэтому утверждение о точности последовательности
A8) в члене F (являющееся основным камнем преткно-
преткновения при попытке прямого—не использующего предло-
предложения 1 из Дополнения к лекции 2—доказательства
точности этой последовательности) сводится к утвержде-
утверждению, что отображение Е1 —<-?', определенное формулой
v >-*¦ s (v @), р о v), v? E!, может быть связано с тождест-
тождественным отображением такой гомотопией /(: Е1—+Е', что
для любого пути v?El путь poftv(zBr не зависит от t.

ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ 241
Для читателя будет очень^хорошим упражнением попы-
попытаться доказать последнее утверждение и вывести из него
точность последовательности A8) в члене F.
Замечание 4. Если для отображения р: Е—+В
существует сечение s: B—+E, то отображение Qs: QB —+QE
будет сечением отображения Qp: QE—>-QB, откуда непо-
непосредственно вытекает, что для любого пространства X
гомоморфизм [X, НЕ]' -%-[Х, QB]' является эпиморфизмом.
Поэтому последовательность A7) рассыпается в короткие
точные последовательности
О -* [X, Q»F (р)]' -*¦ [X, №Е]' -* [X, Q»B]' -* 0, и > О,
и, значит, последовательность A6)—в короткие точные
последовательности
pt—*Q»F(p)-+QnE—+QnB±-.>0, n^tO.
В частности, мы видим, что если в последовательности F)
отображение р является расслоением, обладающим сече-
сечением (а отображение i—вложением его слоя), то эта по-
последовательность точна. (См. выше замечание 2.)
Пользуясь сопряженностью между функторами Q и S",
последовательность A7) можно переписать также в сле-
следующем виде:
...—• [Sn+1X, Д]'—[S»X, F]'-+[S»X, EY-+[S*X, В\'-*...
A9)
Частным случаем последовательности A9) (получающемся
при X = S°) является гомотопическая последовательность
расслоения р: Е—+В.
Замечание 5. Аналог последовательности A9) (по-
(получающийся заменой F на F (/?)) имеет место, конечно, для
любого отображения р: Е—>- В; в частности,— при ЕаВ—
для вложения Е—+В. При этом легко видеть, что в по-
последнем случае пространство F (р) является не чем иным,
как пространством Р (В, pt, E) путей пространства 5, начи-
начинающихся в отмеченной точке и кончающихся в подпро-
подпространстве Е.
Мы будем называть пунктированное расслоение р:
Е —> В классифицированным t если оно индуцировано (по-
(посредством некоторого отображения ф: В—>-Во, называемого
классифицирующим отображением) расслоением р0: E0—>-BQ

242 УДЛИНЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ
•со стягиваемым пространством Ео, т. е. если существует
универсальный квадрат
B0)
в котором отображение /?0 является расслоением, а про-
пространство Ео стягиваемо.
Для классифицированных расслоений р: Е—+В можно
указать простое необходимое и достаточное условие раз-
разрешимости произвольной задачи поднятия
B1)
Предложение 1. Если расслоение р: Е~-*В в задаче
B1) классифицировано и еслиу: В—+Во—классифицирую-
В—+Во—классифицирующее отображение, то накрывающее отображение f: Х—+Е
существует тогда и только тогда, когда отображение
Ф о /: X —* Во гомотопно нулю.
Доказательство. Диаграммы B0) и B1) можно
сшить в одну диаграмму
Если отображение / существует, то ф о / = р0 о ф# о J. По-
поскольку пространство .Ео стягиваемо, то ф* о /= 1<Ьф#о/~
~ const о ф* о / =5 const, и потому ра о ф# о / ~ const. Сле-
Следовательно, фо/~const. (Заметим, что универсальность
квадрата B0) мы в этом рассуждении не использовали.)
Обратно, пусть фо/~ const. Так как постоянное ото-
отображение накрываемо, то в силу аксиомы НГ (применен-
(примененной к расслоению рп) существует отображение g: X—+Eo,
накрывающее отображение ф о /, т. е. такое, что пара (/, g)
представляет собой конус над парой (ф, р„). Следователь-
Следовательно, ввиду универсальности квадрата B0) существует мор-

УДЛИНЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПУППЕ 243
физм /: X —+Е этой пары в пару (р, (р#). Этот морфнзм
и будет отображением, накрывающим отображение /. ?
Замечание 6. В последнем рассуждении стягивае-
стягиваемость пространства Еомы не использовали. Следовательно,
если расслоение р: Е —>- В индуцировано из некоторого рас-
расслоения р0: Е0—*В0 посредством отображения ср: В—*В0,
то для любой диаграммы B1), в которой отображение f
обладает тем свойством, что фо/~ const, существует
накрывающее отображение f.
Это простое достаточное условие разрешимости задачи
поднятия бывает полезно удивительно часто.
Существование отображения / равносильно тому, что
элемент [/] пунктированного множества [X, В]' принадле-
принадлежит образу Imp, отображения р«: [X, Е]' —+ [X, В]', а
условие фо/~const—тому, что этот элемент принадле-
принадлежит ядру Кегф, отображения ф«: [X, В~\'—*[Х, Во]'. Сле-
Следовательно, утверждение предложения 1 равносильно ра-
равенству 1тр.= Кегф„ т. е. утверждению о точности
последовательности
или, иными словами, о точности последовательности
Таким образом, мы видим, что без потери точности
последовательность Пуппе классифицированного расслое-
расслоения р: Е—+В может быть удлинена справа на один член.
Получающаяся точная последовательность
B2) ... — Q»F?-i.Q'»??4Q'»B^Q''-1F->...
называется удлиненной последовательностью Пуппе клас-
классифицированного расслоения.
Следует иметь в^виду, что для точности последова-
последовательности B2) классифицированность расслоения р лишь
достаточна, но не необходима. Например, согласно заме-
замечанию 4 эта последовательность останется точной, если
в универсальном квадрате B0) условие стягиваемости
пространства ?ф заменить более слабым условием, чтобы
отображение роф: Е—*Вй было гомотопно нулю.

244 КОНУСЫ И КОТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим теперь двойственную ситуацию
Пусть i: A—+X—произвольное пунктированное ото-
отображение, СуГ (t)—его обращенный приведенный цилиндр
и /: Л —+ Cy\'(i)—корасслоение ai-*[a, 0], а?А,
Определение 5. Кослой
B3) C'(i) = Cy\'(i)/jA
корасслоения / называется (приведенным) конусом отобра-
отображения I. Он получается из конуса С А над пространством
А приклеиванием к нему пространства X посредством
отображения [а, \]>—>ia.
В частности, если АсХ и i является вложением, то
C'(i)=*CA[)X
(см. рис. 11).
Если, кроме того, пара (X, А) является парой Борсука
(т. е. отображение i представляет собой корасслоение),
то конус С (i) пунктированно гомото-
пически эквивалентен кослою XIА па-
пары (X, А), поскольку этот кослой
естественно гомеоморфеи кослою
C'(i)/CA, который, согласно лемме 6
лекции 4,^гомотопически эквивалентен
пространству С (i) (условия этой лем-
с. „. мы выполнены, так как конус С А стя-
РисТй. гиваем, а пара (С* (i), С А) относитель-
относительно гомеоморфна паре Борсука (X, А)
и потому также является парой Борсука). ?
Заменив в коточной последовательности A0) кослой
XIА на конус С" (i), мы получим последовательность
B4) А -^ X Л С (i),
где ft—естественное вложение (являющееся, очевидно, ко-
корасслоением). Последовательность B4) коточна, будучи
гомотопически изоморфна коточной последовательности
л— -суг(о — с (''¦)¦
Положив in = ('n-i)i' i0 = i, мы получим поэтому беско-
бесконечную вправо коточную последовательность
\?О) г\—>¦ Л —•¦ О (I) —>¦ l> {li) —>- ...

КОНУСЫ И КОТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 245
все отображения которой являются корасслоениями, кроме,
возможно, первого. Члены С (in) этой последовательности
называются итерированными конусами отображения i.
Очевидно, что конус С (it) гомотопически эквивалентен
надстройке S'A (являющейся кослоем C'(i)/X = CA \}XjX
корасслоения iy), конус С (i%) гомотопически эквивалентен
надстройке S'X (являющейся кослоем корасслоения ta) и,
вообще, конус С (in) гомотопически эквивалентен надстройке
S'C(in_t) над конусом С (?„_8) (удобно условно считать,
что C'(i_t)=>A, C'ii^^X).
По определению каждая точка конуса С (in), n^l,
либо имеет вид [х, /], где х ? С" (?„_а), t k. Л либо является
точкой из С (in-i), которая имеет вид [a, t], где а?С (in_8),
t?l. Иными словами, С(in)=C'C(in_2)\jC'C(;„_,).
Отображение in+i конуса С{in)=C'C (in_2)\iC'C{in_9)
в конус C'(»n_i)=«C'C'(t(,_1)UC'C'(i;i-2) является на
С'С (tn_a) тождественным отображением, а на С'С (tre_g)
представляет собой вложение в основание С ((„_/) =
=С'С* (in_8) U C'C'(in_4) конуса C'C'(«re-i)- Таким образом,
in+i[x, t]=»[x, t], x?C'{in_t), t?l,
in+t[a, t] = [[a, t], 0], a €C-(«¦„-,), f €/¦
Гомотопическая же эквивалентность /„: C'(in)— >5'C'(in_4)
•гочки [jc, ^]€C"C*(t 2) переводит в отмеченную точку
pt, а точки [a, t]?C'C (in_i)—в точки надстройки
S'C (in_8)i обозначаемые тем же символом [а, /]. Мы опре-
определим гомотопическую эквивалентность kn: C'(in)—+
-»S'C'(in_s), считая, что точки [х, t] ? С'С' (»'„_,) она
по-прежнему, переводит в точку pt, а на точках
| я, /] € С'С (?„_8), а?С (in_8). t € f, определяется формулой
( [a, I — t], если п нечетно,
К ([а, /])
Гогда легко видеть, что диаграмма
Лс-(/1)Лс-(д-...-с-(О -- C(tn+i)-+...
*'! s-* I*' *»l s-in-i lk*+i
S-(A)^S'X-+ ... -.S-C-(«„.,) — УС*(*„_,)—...
гомотопически коммутативна. Действительно, каждую
точку из С"(/„) вида [a, t], a^C'{ln^), t?f, отображе-

246
КОНУСЫ И КОТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ние <S"i,,_1o^n переводит в зависимости от четности п либо
в точку [(„_ia, 1 — t], либо в точку [/„.ju, t], а отображение
kn+1oin+2—в отмеченную точку pt. Наоборот, каждую точку
из С' (in) вида [х, /], х ? С" (i,,_2), t ? /, отображение S'i^iok^
переводит в точку pt, а отображение ^n+1otn+2—либо в
точку [in+2x, t], либо в точку [in+ix, 1—t]. Таким образом,
(при п^4)
[a, l—t] или [с, t],
„ , если aGCC-(*„_,),
{S tn-iokn)[a,
если а е С"С ((„_,),
i)[jf.
:, ^] или [x, 1 — /],
если x ?C'C («„_«),
, *], 0] или [[х, 1-/], 0],
если дс 6 (ГС* ('„-,)¦
При п^4 формулы лишь упрощаются. Например, при
«¦=1 отображения S"t0o?1jB«S'io&1 и А;ао18 из C'fi^^
= СХиСЛ (см. рис. 12) в S'C* (L0-
= S'X задаются формулами
fei) [a, /]=.[(a, l — t]
(k,oit)[a,
Положив
ft [в. <] = 1
ft[*. Пв1
, l-t + xt],
, xt],
[a, t]?CA,
[x,
[a, t]?CA,
[x, t]?CX,
Пространство С A%)
РИС. 12.
мы, очевидно, получим гомотопию
gx: C'(ij)—*-SX, связывающую отобра-
отображение S'iokt с отображением k2oia. При
п > 1 гомотопия gx строится, но существу, так же. п
Отсюда следует, что, не нарушая коточности, мы
можем в последовательности B5) заменить часть, начи-

КОНУСЫ И КОТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 247
кающуюся с члена С (ij), результатом применения к по-
последовательности B5) функтора 5*. Итерируя это по-
построение, мы получим бесконечную вправо S'-периодическую
коточную последовательность
B6) A-Lx\c(i)~+SlA-> ...
...->S«A -I S»X -I1 S"C (i) -'...,
где k = k1oi2. Эта последовательность называется котон-
котонной последовательностью Пуппе (или корезольвентой) ото-
отображения i: A—+X.
В случае, когда отображение i также является корас-
корасслоением (вложением, соответствующим паре Борсука
(X, А)), последовательность B6) гомотопически изоморфна
коточной последовательности
B7) A-^X-L\
где jt X—+X/A—отображение факторизации. Последова-
Последовательность B7) называется коточной последовательностью
Пуппе пары Борсука (X, А) (или корасслоения i: A—*X).
По определению коточность последовательности B7)
означает, что для любого пунктированного пространства
Y имеет место точная последовательность
B8) ...-+[S»(X/i4), YJ-+[S"X, YY-+[S*A, Y]"-*...,
все члены которой являются абелевыми группами, кроме
последних шести:
YY-+[X, Y]--+[A, Y]\
из которых первые три являются группами, а последние
три — пунктированными множествами.
Если пара Борсука (X, А) классифицирована, т. е.
X = A U Хо, где пространство Хо стягиваемо, а пара
(Х„, Ло), Л0=*Х0П.<4, является парой Борсука, то коточ-
иая последовательность Пуппе может быть с сохранением
коточности удлинена на один член влево:

248 КОНУСЫ И КОТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где ф: Ао -+• А—вложение (это же останется верным,
если условие стягиваемости пространства Хо заменить
более слабым условием, чтобы вложение to<p0: А„ —* X
было гомотопно нулю).
В теории функторов, двойственных функторам гомото-
гомотопических групп (этими функторами мы займемся в сле-
следующем семестре) коточные последовательности Пуппе
играют ту же роль, что и точные последовательности
Пуппе (точнее, их частные случаи—гомотопические по-
последовательности расслоений) в теории гомотопических
групп.

лекция в
Задача поднятия для накрытий.— Накрытия и подгруппы
фундаментальной группы.— Автоморфизмы накрытий.-—
Вполне разрывные действия групп.— Фундаментальная
группа букета окружностей.— Единственность умпож::-
ния в группе Я]Х.— Универсальные накрытия.— Фунда-
Фундаментальные группы топологических групп и их фактор-
пространств.
В этой лекции мы, пользуясь отождествлением на-
накрытий с расслоениями, имеющими дискретные слои,
изложим основные свойства накрывающих пространств
и на этой основе получим практичные методы вычисления
фундаментальных групп. «Прямые» методы, не связанные
с накрытиями, будут изложены в Дополнении.
Замечательное свойство накрытий (определяющее успех
их применения в конкретных вычислениях) состоит в том,
что для них оказывается возможным (при весьма широ-
широких общетопологических предположениях) указать необ-
необходимое и достаточное условие разрешимости произвольной
задачи поднятия
A) ?/
Мы будем рассматривать эту задачу в категории ТОР',
т. е. предполагая накрытие р и данное отображение /
пунктированными отображениями и требуя, чтобы иско
мое отображение / также было пунктированным. В силу
этого предположения мы можем, следуя общему методу
алгебраической топологии, описанному в лекции 0, при-
применить к диаграмме A) функтор ях. Необходимым усло-
условием разрешимости соответствующей алгебраической задачи

250 ЗАДАЧА ПОДНЯТИЯ ДЛЯ НАКРЫТИЙ
является включение
B) Im^clmp»,
поскольку если ср существует, то 1т/* = 1т (р„оф) =
=/:>,» Aт <р)с 1т/?*. Поэтому включение B) необходимо
для разрешимости задачи A).
Вопрос о достаточности этого условия уже не подве-
подведомствен алгебраическим методам и должен решаться
прямым геометрическим построением. При этом, конечно,
мы без ограничения общности можем считать пунктиро-
пунктированное пространство У связным.
В первую очередь мы заметим, что Элл связного про-
пространства Y накрывающее отображение }, когда оно сущест-
существует, единственно. Действительно, пусть f—другое
накрывающее отображение, и пусть В—подмножество
пространства Y, состоящее из всех точек b?Y, для ко-
которых J(b)=J(b). Это подмножество содержит отмеченную
точку и потому Pie пусто. Пусть /;?У и x = f(b). По усло-
условию существует такая окрестность U точки х, что мно-
множество р~ги является дизъюнктным объединением откры-
открытых множеств Va, каждое из которых отображение р
гомеоморфно отображает на U. Если b?B, _то пусть
О — то из этих множеств, которое содержит точку f (b) = f(b).
Тогда множество /-1 (U) л J~x (О) открыто в Y, содержит
точку b и содержится в В. Следовательно, множество В
открыто в Y. Если b(fcB и, значит, f{b)=?f(b), то точки
f{b) и ~f(b) принадлежат двум различным из множеств
0а, скажем, Ux и Ьг. Тогда множество J~1@1)nf~1(U2)
открыто в Y, содержит точку b и содержится в Y\B.
Следовательно, множество В замкнуто. Являясь непустым,
открытым и замкнутым подмножеством связного про-
пространства Y, оно совпадает со всем Y. Поэтому / = /. П
Отсюда следует, что отображения ~f, g: Y —»• X гомо-
гомотопны, если гомотопны отображения f = po},g = pog. Дей-
Действительно, по аксиоме НГ гомотопия G, связывающая
отображения fag, может быть накрыта гомотопией,
G, связывающей отображение /с некоторым отображением,
накрывающим отображение g и потому совпадающим
с отображением g. п
При этом, если гомотопия G неподвижна на некотором
подпространстве BcY, то для любой точки b?B путь

ЗАДАЧА ПОДНЯТИЯ ДЛЯ НАКРЫТИЙ 251
, /) будет лежать в слое над точкой Ь и потому
в силу дискретности этого слоя будет постоянным отобра-
отображением, т. е. гомотопия G также будет неподвижна на Б.
Следовательно, в частности, отображения } и g будут
совпадать на В. Таким образом, для того чтобы доказать,
что отображения J, g: Y —»¦ Я совпадают на подпро-
подпространстве BaY, достаточно доказать, что отображения
pof, pog: Y —»- X совпадают на В и гомотопны относи-
относительно В.
Этот способ доказательства совпадения на В отобра-
отображений Y —<- X часто бывает полезен.
Напомним теперь (см. [9]), что пространство Y назы-
называется локально (линейно) связным, если любая компо-
компонента каждого его открытого множества является откры-
открытым множеством (или, что равносильно, каждая окрестность
ого произвольной точки содержит связную окрестность).
Лемма 1. Для любого связного и локально связного
пунктированного пространства Y серровское расслоение
coi: PY-+Y, ин-*.иA),
является эпиоморфизмом.
Доказательство. Поскольку пространство Y связ-
связно, отображение щ надъективно. Поэтому нам нужно
только доказать, что каждое множество VczY, полный
прообраз юг1]/ которого открыт в PY, открыто в К. Но
по определению топологии в PY открытость множества
wf'F означает, что оно является объединением конечных
пересечений множеств вида W(K, U)[\PY, где, напомним,
К—компактное ( = замкнутое) подмножество отрезка /,
U—открытое подмножество пространства Y, aff(K, U) —
множество всех путей и: I—*Y, обладающих тем свой-
свойством, что u(K)^U. Следовательно, для любого пути
«„бсо!^ существуют такие компактные подмножества
/С,, ..., Кпс1 и такие открытые подмножества Uit ...
.... Unc=Y, что «„С^оСЮ-ЧЛ где
При этом, перенумеровав, если нужно, множества
Ки ..., К„, мы можем считать, что для некоторого
/» = 0, 1, ..., п (случаи /я = 0 и т = п не исключаются)
1 € /С* П . -. П /С« и

252
ЗАДАЧА ПОДНЯТИЯ ДЛЯ НАКРЫТИЙ
Тогда ©i(Mo)!=«oA)€t/ir)... nUm, и потому в Y су-
существует такая связная окрестность Vo точки yo=a>1{uQ),
что Vo — t/iD ... r\Um.
Поскольку окрестность Уо открыта (а множество К =
U • • • U Кп замкнуто), существует такая точка
to< 1 отрезка /,4tou0([^0,1])cV0>
а поскольку окрестность v0 связ-
связна, для любой точки y?V0, су-
существует путь v, целиком лежа-
лежащий в Vo и соединяющий точки
«о(^о) и у (см. рис. 13). Тогда путь
u = u'ov, где и'в — путь tt-*-u0 (tot),
t? I, будет обладать тем свой-
свойством, что u{Ki)c:Ui для любо-
любого i = 1, ..., п (при i > m это
очевидно, ибо м (Л',) = м0 (/(/)> а
при I <! т вытекает из того, что
Рис. 13. К{ =. (^ п [0, /„]) и (/С- n [tn, 1J), при-
причем и (/(,-П[0, ^cMo^ct/, и
[/0, V\)c:v(Y)czWoc:Ut), т. е. будет лежать в
XV. Поэтому у—щ{и)?У, Этим доказано, что
т. е. что точка yo = <ui(u)€V является внутрен-
внутренней точкой множества V. Поскольку ы„—произвольный
путь H3cofxV и, следовательно, у0—произвольная точка
из V, лемма 1 тем самым полностью доказана. ?
Теперь у нас все готово для доказательства следую-
следующей основной теоремы.
Теорема 1. Если пространство Y связно и локально
связно, то отображение J в диаграмме A) существует
тогда и только тогда, когда имеет место включение B).
Доказательство. Поскольку необходимость этого
условия уже доказана выше, нам остается доказать лишь
его достаточность.
С этой целью мы заметим, что поскольку пространство
PY стягиваемо, отображение [ощ: PY —»- X гомотопно
постоянному отображению (соответствующая гомотопия
получается компонированием с отображением /осйх дефор-
деформации и*—*-щ, 0 <: t <: 1, пространства PY, где
ut:tt-*u(tx), Os^Tsgll), и потому для него существует
накрывающее отображение g: PY —>¦ X. По тем же сообра-
соображениям (примененным к серровскому расслоению
cujiPX—>¦ X) для отображения g также существует на-
накрывающее отображение g:PY—>-PX, в явном виде за-

ЗАДАЧА ПОДНЯТИЯ ДЛЯ НАКРЫТИЙ
253
дающееся формулой g(u): ti—>g(ut), u?PY, 0
и потому удовлетворяющее соотношению piog — fi, где
fr- PY^-PX и р,\ РХ-+РХ—отображения ин-»./ои,
и €PYt к а*+роа, а ?Р% (ибо (piog) (и) (t) = p{g(и) {t))-
= /> (g («*)) = /К («t))=/(«@) =•//(«) (О Для любого пути
u?PY). Таким образом, мы имеем коммутативную диа-
диаграмму
Оказывается, что отображение g сохраняет слои расслое-
расслоений сох: PY —+ Y и coj: РХ—>-Х, т.е. для любых путей
и, v?PY, удовлетворяющих соотношению WjM—co^,
т. е. соотношению мA)»иA), пути gu, gv?PX, удовлет-
удовлетворяют соотношению <Mlu)-<*a>i(gt>), т. е. соотношению
(gu)(\)ma(gv)(\). Действительно, если «A) = оA), то
определена петля uv^^QY, а значит, и петля ^(ыи)^
g ИХ, гомотопический класс которой принадлежит под-
подгруппе Im/, группы ntX, а потому в силу условия B) —
и подгруппе Imp». Это означает, что в пространстве X
существует такая петля а?ЙХ, что петля рга?пХ гомо-
гомотопна rel{0, 1} петле /Д«и"х) =»?"• (/у")^
И ПОТОМУ ПуТЬ U' =pjgU=spOgU — ПуТИ V' J
= р, (a-gv)=*p о (a-gv). Следовательно, пути gu _и a-
совпадают на {0, 1}. В частности, (gu)(\)*m(a-gv)(l)
1
кото-
По-
По(^)().
Отсюда следует, что формула
?(*)-(«и)A). если 1/ = ыA), где y?Y, u?PY,
корректно определяет отображение /: Y—+X, для
рого foffljeffl^g'ssg, и потому р о J 0©! /
скольку отображение сох надъективно, отсюда вытекает,
что pof=/, т. е. что отображение f замыкает диаграмму A).

264 НАКРЫТИЯ И ПОДГРУППЫ
Тем самым теорема 1 полностью доказана. ?
Следствие. Если пунктированное пространство Y
связно, локально связно и односвязно, то для каждого
пунктированного накрытия р: X—+Х любое пунктиро-
пунктированное отображение f: Y—>-Х единственным образом
накрывается некоторым пунктированным отображением
?: Y-+X. П
Фигурирующая в теореме 1 подгруппа Imp, группы
яхХ состоит из гомотопических классов тех петель про-
пространства X, которые накрываются петлями простран-
пространства X. Поскольку, согласно сделанным выше замечаниям,
гомотопность петель пространства X равносильна гомо-
гомотопности их проекций в X и, значит, гомоморфизм
р»: KjX—t-njX является мономорфизмом (что, впрочем,
непосредственно вытекает также—в силу точности гомо-
гомотопической последовательности накрытия р: X—«-Х—из
дискретности его слоя), отсюда следует, что подгруппа
Imp. группы п±Х изоморфна группе я1Х.
Пунктированные накрытия р: (X, х0)—»-(Х, х0) дан-
данного пунктированного пространства X составляют кате-
категорию COV* X (являющуюся полной подкатегорией кате-
категории ТОР'я), морфизмами которой являются их отобра-
отображения над X, т. е. такие пунктированные отображения
ср: Xj—>-X2, что диаграмма
коммутативна.
Предложение 1. Если пространство X локально
связно, то для накрытий pt: %1—*Х и ра: X*,—*-X мор-
физм <р: Xi —>¦ X, существует тогда и трлько тогда, когда
1тр1в с Imp,,.
Доказательство. Морфизм ср является поднятием
отображения pt по отношению к отображению р2. Поэтому
предложение 1 является частным случаем теоремы 1.

НАКРЫТИЯ И ПОДГРУППЫ 255
(Заметим, что пространство Xf тогда и только тогда ло-
локально связно, когда локально связно пространство X.) ?
В силу следствия из теоремы 1, если морфизм ф
существует, то только один. Отсюда и из предложе-
предложения 1 немедленно вытекает следующее следствие.
Следствие. Пунктированные накрытия рх: X,—»-Х
и р2: Х2—* X связного и локально связного пространства X
тогда и только тогда изоморфны, когда
Im р1в = Im р2,. D
В случае, когда морфизм ср существует, мы будем
писать Рх~^Рг- Отношение ^ является отношением по-
порядка на классах изоморфных накрытий, и для локально
'•вязного пространства X соответствие
р и-> Im p,
является антиизоморфным вложением множества всех
классов изоморфных накрытий этого пространства в упо-
упорядоченное по включению множество всех подгрупп
группы яхХ. В этом смысле подгруппы Im р, группы пгХ
классифицируют накрытия р: X—*Х.
Ясно, что для любого элемента ?6niX и любой точки
х ? F конец \х пути, начинающегося в точке х и накры-
накрывающего произвольную петлю класса I, зависит только
от ? и л: и что тем самым мы получаем некоторое действие
группы щХ на слое F накрытия р: X—<-Х. Ясно также,
что это действие транзитивно (орбитой любой точки
является весь слой F) и что стационарной подгруппой
точки xo?F является подгруппа Imp,.
В частности, отсюда вытекает, что соответствие
?i—>Ъ,х0 определяет биективное отображение фактор-
фактормножества
Сокег р» = njX/Im p,
на слой F.
Накрытие р: X—<-Х называется конечнолистным, если
его слой F конечен, и в этом случае мощность слоя назы-
называется числом листов накрытия р: X—>-Х.
Из существования биективного отображения Сокег p,-*F
непосредственно вытекает, что накрытие р: Х—+Х тогда
и только тогда конечнолистно, когда индекс Card (Coker p«)
подгруппы Imp, в группе щХ конечен, и в этом случае
число листов накрытия р: Х—*Х равно этому индексу.

256 АВТОМОРФИЗМЫ НАКРЫТИЙ
Утверждение, что число листов накрытия р: Х~>-Х рав-
равно 1, равносильно утверждению, что это накрытие является
биективным и, следовательно, гомеоморфным отображением
X—t-X. Называя гомеоморфизмы X —*Х тривиальными
накрытиями, мы получаем, следовательно, что накрытие
р: X—> X тогда и только тогда тривиально, когда
Impt = ntX, т.е. когда отображение р9: щЯ-^-щХ яв-
является изоморфизмом.
Это, по-видимому, единственный случай, когда простое
гомотопическое условие обеспечивает гомеоморфность ото-
отображения.
Гомеоморфное (вообще говоря, не сохраняющее отме-
отмеченную точку!) отображение ср: X—>-Х называется авто-
автоморфизмом (или скольжением) накрытия р: Х—+Х, если
оно является его изоморфизмом на себя как объекта
категории COVX, т. е. если диаграмма
коммутативна. Каждый такой автоморфизм можно рас-
рассматривать как поднятие отображения р, и потому в силу
теоремы единственности поднятий два автоморфизма совпа-
совпадают, если они одинаково действуют на отмеченной точке
х0 ? X (напомним, что пространство X, по определению,
связно). Следовательно, формула ср i—»¦ ф (л:0) задает инъек-
тивное отображение группы Aut X = Aut (p: X —> X) авто-
автоморфизмов накрытия р: Х—*Х в его слой F = p~1(x0).
Впрочем, удобнее рассматривать отображение фн»
и-> ф (#„), являющееся композицией биективного отобра-
отображения фн-^ф" и отображения ф(—*ф(л:0).
Накрытие р: X—*Х называется транзитивным, если
это инъективиое отображение биективно, т. е. если группа
Aut X транзитивно действует на слое F.
Компонируя отображение ср i—>-ф~х (х0) с биективным
отображением F—>Coker/?«, обратным к построенному
выше отображению Coker p, —> F, мы получим некоторое

АВТОМОРФИЗМЫ НАКРЫТИЙ 257
инъективное отображение
a: AutX—cCokerp,,.
Автоморфизму ф это отображение сопоставляет смежный
класс по подгруппе Imp, элемента группы я,Х, задавае-
задаваемого петлей пространства X, являющейся образом при
отображении р пути пространства X, соединяющего точку
х„ с точкой ф(х0).
Ясно, что накрытие р: Х—+Х тогда и только тогда
транзитивно, когда отображение а биективно.
Пусть N(lmpt)—нормализатор подгруппы Imp», т. е.
наибольшая подгруппа группы rtjX, в которой подгруппа
Imp, инвариантна (является нормальным делителем).
Тогда определена факторгруппа
называемая группой Вейля накрытия р: Х—+Х. Как мно-
множество она является подмножеством множества Coker/v
Предложение 2. Отображение а является моно-
морфным отображением группы автоморфизмов Aut X
в группу Вейля
C) a: AutX-+Weyl (X).
Доказательство. Утверждение, что а отображает
группу Aut X в группу Weyl (X), равносильно утвержде-
утверждению, что для любого автоморфизма ф ? Aut X и любого
пути и, соединяющего в X точку х0 с точкой ф(л:0), гомо-
гомотопический класс [р о и] петли и ==р о и ?QX лежит в нор-
нормализаторе N(\mpt) подгруппы Imp,, т. е. что для любой
петли и?Й(Х, л;0) петля uvu~1^.i2X, где и = роу, также
имеет вид рош, где w?U(X, x0). Но «ш~1 = роо»1, где
w1 = uvti~1 — петля в точке ф(*0)- Следовательно, uvu~l —
" (р ° ф) ° ((Р~Х ° wi)*s'P ° w< г^е ш = фош!—петля
в точке х0, что и требуется.
Пусть теперь ф, i|)?AutX, и пусть и, v—пути в X,
соединяющие точку ха с соответственно точками ф(л:0) и
ty(x9). Тогда путь u~w, где ш = фоу, будет соединять
точку ха с точкой (ф о ф) (л;,,) и для него будет иметь место
равенство
р о iiw =» (р о и) (р о да) шш (р о и) (р о у).
' М. М. Постников

258 АВТОМОРФИЗМЫ НЛКРЫТИИ
Поэтому а (ф о ф) = а (ф) a (i|>), т. е. отображение а является
гомоморфизмом (а потому—в силу инъективности—и мо-
мономорфизмом). П
Накрытие р: X —>• X называется регулярным накрытием
(или накрытием Галуа), если подгруппа Imp, является
инвариантной подгруппой группы щХ, т. е. если Weyl (X) =
= Coker p,.
Следствие. Любое транзитивное накрытие р: X —> X
регулярно.
Доказательство. Для транзитивного накрытия
а (Aut X) = Coker pt, а, согласно предложению 2,
a (Aut X) с Weyl X. В то же время Weyl X с Coker р,.
Поэтому Coker p, = Weyl (X). О
Предложение 3. Если пространство X локально
связно, то, обратно, любое регулярное накрытие тран-
зитивно.
Доказательство. Достаточно, очевидно, показать,
что если пространство X локально связно, то мономор-
мономорфизм C) является изоморфизмом, т. е. что для любой
петли и ? QX пространства X, гомотопический класс [и]
которой принадлежит нормализатору N(lmp,) подгруппы
Im р„ существует такой автоморфизм ф б Aut X, что точка
ф(л;0) является концом пути и: I—+X, накрывающего
петлю и и начинающегося в точке х0. Но так как в ком-
коммутативной диаграмме
-#
ЯАХ> Xi)^ni(X> x0)
р*\ и# \р.
щ(Х, х0)—*щ(Х, х0)
где х1=*и{\), горизонтальные стрелки являются изомор-
изоморфизмами, то
/V4 (X, х0) - (р, о ц#) ях (X, Xj) - (м# о р,) щ (X, Xj) —
и потому, согласно следствию из предложения 1, суще-
существует изоморфизм <р накрытия (X, х9)—>-(Х, х0) на накры-
накрытие (X, Xj)—»(X, х„). Этот изоморфизм и будет автомор-
автоморфизмом (p?AutX, для которого ф (?„) = «(!). П

ВПОЛНЕ РАЗРЫВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП 289
Действие группы G на топологическом пространстве X
называется вполне разрывным, если для каждой точки
х ? X существует такая ее окрестность О, что gx0 flgtU шеф
для любых двух различных элементов glt g1, 6 G, т. е.,
что, очевидно, равносильно, если Ur\gU=<f) для любого
элемента g=?e группы G. Ясно, что все орбиты Gx вполне
разрывного действия дискретны и оно является действием
без неподвижных точек (т. е. при g=/=e каждое преобра-
преобразование x*-+gx не имеет неподвижных точек). Ясно также,
что каждая конечная группа, действующая без неподвижных
точек на хаусдорфовом пространстве, действует вполне
разрывно.
Предложение 4. Для любого накрытия р: X—+Х
группа Aut X вполне разрывно действует на простран-
пространстве X. Если накрытие р: X —<¦ X транзитивно, то
пространство X/Aut X орбит этой группы гомеоморфно
пространству X.
Обратно, для любого связного пространства X, на ко-
котором вполне разрывно действует некоторая группа G,
естественное отображение р: X —> X/G является тран-
транзитивным накрытием, группа Aut X автоморфизмов
которого естественно изоморфна группе G.
Короче говоря, транзитивно накрывающие простран-
пространства—это в точности пространства, в которых вполне
разрывно действует некоторая группа.
Доказательство. Пусть х?Х, и пусть U—такая
окрестность точки х=*р(х), что множество p~1{U) яв-
является дизъюнктным объединением открытых множеств Оs,
каждое из которых накрытие р гомеоморфно отображает
па U. Пусть, кроме того, 00—то из множеств 0h кото-
которое содержит точку х. Ясно, что произвольный автомор-
автоморфизм cp^AutX переводит окрестность 0а точки х, в то
из множеств 01, которое содержит точку <р(л:). Поэтому,
если (p#id, то #оПф#о— ф- Это доказывает первое ут-
утверждение предложения 3.
Поскольку орбиты группы Aut X лежат в слоях накры-
накрытия р: Х—+Х, это накрытие индуцирует непрерывное
отображение X/AutX-'-^-X, являющееся, как нетрудно
ни деть, эпиоморфизмом. Если расслоение р транзитивно,
то отображение р, очевидно, инъективно и, значит, пред-
)*

260 ВПОЛНЕ РАЗРЫВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП
ставляет собой гомеоморфизм. Это доказывает второе
утверждение.
Пусть теперь X—связное пространство, на котором
вполне разрывно действует группа G, и пусть р: Х~*
—•*¦ X/G—естественный эпиоморфизм x»->Gx. Пусть х ? Х=
= X/G, х^.р-1{х), и пусть U = p(O), где 0—такая
окрестность точки х, что OngU**<fi для любого элемента
g-фе группы G. Ясно, что p-1(U) является дизъюнктным
объединением всевозможных открытых множеств вида gO,
g$G, причем на каждом из этих множеств отображение р
эпиоморфно. Кроме того, если p(gx1) = p(gxi), т.е. если
существует такой элемент h$G, что gx1=h(gx2), то
gU (]hgU**ф и, значит, g^hg, т. е. h = e, и потому
gxt=igxa. Следовательно, отображение р на gU инъективно
и потому, будучи эпиоморфизмом, является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом. Таким образом, отображение р: X—> X представляет
собой накрытие.
Наконец, так как p(gx)=*p(x) для любой точки х?Х
и любого элемента g?G, то группа G содержится в группе
Aut X (мы отождествляем элементы группы G с произво-
производимыми ими преобразованиями). Так как группа G тран-
зитивно действует на каждом слое (являющемся—напом-
(являющемся—напомним—орбитой), то для любого автоморфизма cp^AutX
и любой точки х0 ? X существует такой элемент g группы G,
что q>{xo) = gxo. Поскольку отображение фь-*ф(л;0), как
мы знаем, инъективно, отсюда следует, что cp — g. Следо-
Следовательно, G — AutX. D
Следствие. Если пространство X является прост-
пространством орбит X/G некоторой группы G, вполне раз-
разрывно действующей на односвязном пространстве X, то
D) ntX да G.
Доказательство. Рассмотрим транзитивное накры-
накрытие р: Х~*X = X/G. В силу односвязности пространства X.
для этого накрытия имеет место равенство Imp,««О, т. е.
равенство Сокег/^я-лД. Поэтому G*=AutX« Coker р«=
-«!*. G
Это следствие доставляет нам мощный способ вычисле-
вычисления фундаментальных групп.

ВПОЛНЕ РАЗРЫВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП 261
Пример. Формула
где а—образующая бесконечной циклической группы Fu
определяет вполне разрывное действие этой группы на
пространстве R. Соответствующие орбиты являются не чем
иным, как смежными классами аддитивной группы IR по
подгруппе Z целых чисел (изоморфной группе Ft) и, зна-
значит, пространство орбит R/Ft—факторгруппой IR/Z, т. е.
окружностью S1. Поскольку пространство IR, будучи стя-
стягиваемо, односвязно, этим доказано, что
E) n^-F,,
пли, в аддитивной записи, n,S1 = Z.
Легко видеть, что при изоморфизме E) элементу i = [id]1,
id: (S1, sn)—>-(S\ s0), группы ях51 соответствует образую-
образующая а группы Ft. Это означает, что элемент ц является
образующей бесконечной циклической группы JtjS1, т. е.—
в аддитивной записи—что любой элемент группы п^1
единственным образом представляется в виде ти где
n?Z.
Тем самым каждой петле (S1, s0) —•+ (S1, s0) поставлено
в соответствие некоторое целое число п ? Z, зависящее
только от гомотопического класса этой петли. Наглядно
оно является не чем иным, как числом оборотов
этой петли. Это число можно аналитически выразить из-
известным интегралом и на этой основе получить прямое
доказательство равенства E). (См. ниже лекцию 7.)
Замечание 1. Важно иметь в виду, что изомор-
изоморфизм D) обладает свойством естественности, т. е. для
любых групп G и Я, вполне разрывно действующих на
односвязных пространствах X и Y, любого гомоморфизма
<р: G—+H и любого непрерывного отображения /: X—*Y,
обладающего тем свойством, что J(gx)-*q>(g)f(x), x?X,
g^G, и потому индуцирующего непрерывное отображение
/: X—+Y, X**XlG, Y=*Y/H, имеет место коммутативная
диаграмма
11наче говоря, изоморфизмы G « ntX n ff« ntY перево-
переводят гомоморфизм ф в гомоморфизм /«.

262 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА БУКЕТА ОКРУЖНОСТЕЙ
Это замечание позволяет нам вычислять не только
фундаментальные группы, но и их гомоморфизмы, инду-
индуцированные непрерывными отображениями.
Пример. Пусть /—антиподальное отображение
St—^S1, задаваемое формулой f(x)** — x. Легко видеть,
что при отождествлении 51-»R/Z1 это отображение ин-
индуцируется отображением J: R—+R, действующим по
формуле f(x)~*x + 1/a, x?R. Так как а}(х)*ш}(ах), где
а: х<>-*х+ 1, то соответствующий гомоморфизм q>: Ft—*Fl
является тождественным отображением. Этим доказано,
что антиподальное отображение S1 —* S1 индуцирует
тождественное отображение id: я^^1-—> JtjS1 фундамен-
фундаментальной группы окружности S1.
Этот пример нам пригодится в лекции 13.
В качестве более сложного примера на применение
следствия из предложения 4 мы вычислим фундаменталь-
фундаментальную группу n^^VS1) букета S1\/S1 двух окружностей
(«восьмерки»).
При каждом целом г > О отметим на окружности
плоскости IR2 радиуса г с центром @, 0) точки, являю-
являющиеся вершинами правильного 4 • Зг~1-угольника, так, чтобы
среди этих точек оказалась точка (г, 0). Назовем эти
точки вершинами ранга г > 0. Точку @, 0) мы будем счи-
считать вершиной ранга 0. Вершину @, 0) мы соединим
прямолинейными отрезками со всеми четырьмя вершинами
ранга 1 и каждую вершину ранга г>0—с тремя бли-
ближайшими к ней вершинами ранга г + 1 (см. рис. 14).
Объединение всех построенных отрезков мы обозначим
через Т, а пересечение Т с кругом радиуса г и центром
@, 0)—через Тг. Очевидно, Тт стягивается к Тг_г,
откуда по индукции непосредственно вытекает, что Тг
стягиваемо. Поскольку любое компактное подмножество
плоскости содержится в круге достаточно большого ра-
радиуса, то произвольное отображение S1 ~>-Т является
отображением в некоторое пространство Тг и потому —
в силу стягиваемости этого пространства—гомотопно по-
постоянному отображению. Этим доказано, что пространство
Т односвязно. (Фактически пространство Т стягиваемо;
см. предложение 4 из дополнения к этой лекции.)
Вершины пространства Т удобно описываются с По-
Помощью свободной группы F2 с двумя образующими а и р.
По определению элементами этой группы являются груп-

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА БУКЕТА ОКРУЖНОСТЕЙ 2(>'{
новые слова вида
где а1( bj, ..
показатели аг
ал
&n?Z, причем предполагается, что
ап и bit ..., bn_± отличны от нуля.
Умножение этих слов состоит в их приписывании друг
Рис. 14.
к другу с последующим, когда требуется, приведением
«подобных членов». (Из-за этого приведения проверка
ассоциативности умножения несколько затруднена; см.
Дополнение к этой лекции.) Единицей группы Fz является
пустое слово 0.
Вершине @, 0) мы поставим в соответствие пустое
слово 0, а четырем вершинам ранга 1 слова a, fi, а,
ft'1 (в любом порядке). Далее построение продолжается
по индукции: если вершинам ранга г уже поставлены в
соответствие элементы группы Fa, то трем вершинам ранга
г-1-1, ближайшим к вершине ранга г, которой соответ-
соответствует слово а, мы сопоставляем (в любом порядке) те
три из четырех слов ота, aft, aa'1, ф~1, в которых не-
неосуществимо приведение подобных членов (например, если
слово а кончается на р* в положительной степени, то мы

264 ЕДИНСТВЕННОСТЬ УМНОЖЕНИЯ В ГРУППЕ л,X
берем слова ста, аа~\ аC; см. рис. 15). Очевидно, что
таким образом устанавливается взаимно однозначное
соответствие между вершинами пространства Т и эле-
элементами группы Fs, причем вершина, которой отвечает
элемент а?/\ соединена отрезками с вершинами, отве-
отвечающими элементам ста, а|3, ста, стР и только с этими
вершинами.
Определим также действие группы F2 в Т, считая,
что элемент x$F3 переводит вершину, отвечающую эле-
элементу o$F2, в вершину, отвечающую элементу тст, и ли-
линейно отображает каждый отрезок, соединяющий две
вершины, на отрезок, соединяющий их образы. Ясно,
что это — вполне разрывное действие. Фундаментальной
областью этого действия, т. е. множеством представителей
его орбит, является объединение двух отрезков, соеди-
соединяющих точку @, 0) с вершинами аир, отвечающими
словам аир, причем сами вершины а и Р эквивалентны
точке @, 0). Это означает, что пространством орбит Т/Рг
является букет S'VS1 двух окружностей, получающийся
отождествлением точек аире точкой @, 0).
Поскольку пространство 7\ как мы видели, односвязно,
этим доказано, что
F) n^^VS1)-/7,.
Легко видеть при этом, что в изоморфизме F) элементам
аир соответствуют элементы i' и i" группы n1(S1V$1),
являющиеся гомотопическими классами канонических
вложений
i': S1<-*S1VS1,x>-*-xl,H i": S1i->
Таким образом, группа n1(S1\/S1) является свободной
группой с двумя образующими i' и Г.
Аналогичным образом можно доказать, что фунда-
фундаментальная группа букета п окружностей является
свободной группой с п образующими, но мы предпочтем
доказать это другим методом в Дополнении к этой лекции.
Основываясь на формуле F) (и на ее аналоге при
п=»3) можно, в частности, доказать сделанное в замеча-
замечании 2 лекции 4 утверждение (и тем самым завершить
доказательство категоричности аксиом для гомотопических
групп из предыдущей лекции).
Предложение 5. Умножение ([и], \р\) >—*¦ [uv] и ин-
инверсное умножение ([и], \v])i—>[vu] являются единствен-

ЕДИНСТВЕННОСТЬ УМНОЖПНИЯ В ГРУППЕ л,X 265
иыми естественными по X умножениями в множестве
HtX = [S\ XJ.
Для любой группы G каждый элемент s (а, р) = ад'Р6'...
... аалр''" группы Fs определяет отображение s: GxG —+G,
переводящее элемент (g, h) $GxG и элемент s(g, /i) =
-.-.gOifi'ii ... ganhhn группы G. Например, при G—-F2 в группе G
определены элементы s (a, 0) =<ха<' ¦ ¦ ¦ '"« и " s @, р) =
. :[-у>,+ . • -|-ьп< а при 0 = /\,, где Fg—свободная группа
с тремя образующими а, C, у, в группе G определены
элементы s (s(a, P), у) и s(a, s(P, у)).
Ключом к предложению 5 является следующая комби-
комбинаторная лемма:
Лемма 2. Если слово s(a, $)?F2 удовлетворяет соот-
соотношениям
G) s(a, 0) = a, s@, P)-p
(8) s(s(afp),v)-s(a, s(P,Y)),
то либо s(a, p) = ap, либо s(a, P) = pa.
Доказательство. Условие s(a, 0) = a означает,
что ax + • • • -1-a,, = 1, а условие s@, p) = P—что Ьг -\-...
... -}- 6и = 1. Следовательно, и > 1, причем, если п = 1,
то ах=1, Ьх = \ (т. е. s(a, P) = aP), а если и = 2 и а,==0,
Ь2 = 0, то a2 = l, bj = l (т. е. s(a, Р) = ра). Поэтому нам
достаточно доказать, что случай п > 2 невозможен, а при
гс = 2 обязательно ^=0 и &2 = 0.
Пусть сначала аг > 0 и ^„=7^0 (и>2). Тогда
=»aa'P"'a°« ... a "P*" ... aa'P''-a(I« . . . aa"p')'' ,
a, раз
откуда следует, что слово s(s (a, P), т) имеет вид aa'Pbiaa=...
В то же время слово s (a, s (Р, у)) при Ьх > 0 имеет вид
аа,ри,^ь, _ # #1 а прИ Ь, < 0—вид a"«v-6"P ¦""... и потому
заведомо отлично от слова s(s(a, P), у). Поскольку это
противоречит условию (8), случай ал > 0 и Ьп-ф0, следо-
следовательно, невозможен.
Если ах>0, но &„ = 0, то в слове s(a, Р)а> нужно
привести подобные члены, т. е. при ап-\-а1Ф0 заменить
a"npbnaai на а"»10', а при ап + аг^0 и ^„.j^-Lbj^O заме-
заменить рбл-'аа"рй"ая'РЛ> на p6"--+ui и т. д. Поскольку ах-|-...
...4-а„ = 1 и Ь1+...+й„ = 1, полного сокращения
произойти при этом не может, откуда следует, что слово
s s( , Р), у) будет по-прежнему иметь вид аа'Р6чха*...

266 ЕДИНСТВЕННОСТЬ УМНОЖЕНИЯ В ГРУППЕ
(при rt — 2—вид ая'Раа« с й^ + а,— 1), и потому условие (8)
опять выполненным быть не может.
Пусть теперь а*™ — а, где а>0. Тогда
s(a, Р)а'-жр-&ла-а» ... р-»«а-а> ... р-»ла-"я ... р-6-а-а',
а раз
откуда при Ь„ Ф О следует, что слово s (s (a, Р), у) имеет
вид р-ьпа~а» ... и потому не может совпадать со словом
s(a, s(P, y))-«aa' ... Если же &„-, то—снова из-за
невозможности полного сокращения—слово s(a, s(p, у))
будет иметь вид а-а«р~й»->а-ав-'... (при п = 2—вид
a~a«P~1a-a' с a1 + a»1B=Il) и потому опять не может совпа-
совпадать со словом s(a, s(p, у)) (имеющим при а^ > 0 вид
а^Р"»1/1..., а при аг < 0—вид ae«P~e»p-bB-« ...).
Пусть, наконец, Oj—О. Если п==2 (т. е. если s(a, P)=
=Рьар1, то s(s(a, р), v)""VuPbaP1~V~ft' в то время как
s(a, s(P,v))-(v&Pv1)fta(vW-6I-6, т. е. s(a,s(p,V))=
=уьр..., если й>0, и s(a, s(b, ¦у))=вуь~1Р~1 ..., если
Ь < 0. Поэтому равенство (8) возможно только при 6 = 0
или 1, т. е. при s(a, P)™ap или pa.
Если же п > 2, то
v»«p-»»o-«...f если а2<0,
У' • • •. если 6j > 0,
т-»»р-«»у-*я-,..., если Ьх<0,
и во всех случаях равенство (8) невозможно.
Тем самым лемма 2 полностью доказана. ?
Доказательство предложения 4. Пусть
(а, Р)н~>аоР—произвольное естественное по X умноже-
умножение в пгХ. Тогда при X «ж S1 V S1 в свободной группе
n1(S1VS1) с образующими i' и i" будет, в частности,
определено слово s(i',i")«i'oi', Но ясно, что для лю-
любого пространства X и любых элементов a, p ? яД суще-
существует такое отображение /: S1 V S1-—*Х, что f,i' = a и
/,i" — p. Так как /,s(i', i") — s(/,i', /,i") и в силу естест-
естественности /,i' o//=/,(i'oi"), то в группе пгХ будет
иметь место равенство
(9) aop«.s(a, р).

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НАКРЫТИЯ 267
Поэтому для доказательства предложения 4 достаточно
доказать, что слово s(a, Р) удовлетворяет условиям G)
п (8) леммы 2 (и потому равно либо ар, либо Ра).
Имея это в виду, мы покажем сначала, что для любого
пунктированного пространства X единицей группы пгХ
относительно умножения о является класс 1 постоянного
отображения Sl—*X. Действительно, для любого пункти-
пунктированного отображения /: Y— >-Х отображение /«: щУ —<¦
—>-я1Х, являясь в силу естественности гомоморфизмом
относительно умножения о, переводит единицу этого умно-
умножения в единицу. Но при F-ept множество пгУ одно-
одноэлементно, и потому образ f»(l) его единственного эле-
элемента 1 при отображении Д,г nt (pt) —* щХ, индуцирован-
индуцированном отображением f: pt—>-Х, будет единицей умножения о.
Этим все и доказано, поскольку f, A)»«1.
Отсюда в силу формулы (9) непосредственно следует,
что s(a, l)=a и s(l,p*)=p для любых элементов a, р?ntX.
При X — S1 V S1 это дает G).
Наконец, так как умножение о ассоциативно, то для
любых элементов a, P, у^щХ имеет место равенство
s(s(a, р), v)-s(a, s(P, у)), что при X-tfVSWS1
дает (8). О
Вернемся теперь к накрытиям с целью в определен-
определенной мере закруглить их теорию.
Накрытие р0: Хо—>-Х называется односвязным, если
пространство Х% односвязно (и, значит, 1т/эо»-«О).
Пространство X называется накрываемым, если для
него существует односвязное накрытие.
Группа автоморфизмов AutX0 односвязного накрытия
рп: Хо—+Х естественным образом вкладывается в фунда-
фундаментальную группу щХ и совпадает с этой группой:
AutX0— щХ,
если пространство X локально связно.
Для любой подгруппы G с Aut Xo определено прост-
пространство X«««X0/G, для которого, во-первых, njX — G и,
во-вторых, накрытие р0: Х0—*Х индуцирует отображение
р: X—»-Х, являющееся, очевидно, накрытием. Этим,
в частности, доказано, что если связное пространство X
локально связно и накрываемо, то для любой подгруппы A

268 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НАКРЫТИЯ
группы щХ существует такое (с точностью до изомор-
изоморфизма единственное) накрытие р: Х—+Х, что 1тр„—С
Таким образом, для каждого связного локально связ-
связного и накрываемого пространства X соответствие
р*~* Imp»
представляет собой антиизоморфизм частично упорядочен-
упорядоченного множества классов-изоморфных накрытий простран-
пространства X на частично упорядоченное по включению мно-
множество всех подгрупп группы я,Х.
В этом соответствии (называемом иногда соответствием
Галуа) регулярным (транзитивным) накрытиям отвечают
инвариантные подгруппы, причем соответствующие фактор-
факторгруппы будут изоморфны группам автоморфизмов этих
накрытий.
Накрытие р„: Хо—>Х пространства X называется уни-
универсальным, если р0 ^ р для любого накрытия р: Х—*Х
пространства X.
Поскольку построенное выше отображение /?0: Х„ —*¦ X.JG
является, очевидно, отображением над X, мы видим, что
Ръ~^р для любого накрытия р: X —> X, т. е. что одно-
связное накрытие локально связного накрываемого прост-
пространства X универсально.
Замечание 3. Ненакрываемое локально связное
пространство может обладать универсальным накрытием
(конечно, неодносвязным).
В [9] топологическое пространство X называлось одно-
связным, если тождественное отображение id: X—*Х
было его^универсальным накрытием. Таким образом, это
понятие отлично от введенного здесь, но совпадает с ним
для локально связных пространств.
Топологическое пространство X называется полуло-
полулокально односвязпым, если существует его открытое покры-
покрытие {Ua\, обладающее тем свойством, что каждое отобра-
отображение 51—>-Х, образ которого содержится в одном из
элементов этого покрытия, гомотопно постоянному отобра-
отображению.
Легко видеть, что любое накрываемое пространство X
полулокально односвязно. Действительно, если р0: Х0—*Х—
односвязьое накрытие и 11—открытое множество в X;
над которым расслоение р0 тривиально, то любое отобра-
отображение S1—»-С/ поднимается в Х„, а так как Х„ одно.-

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП 269
связно, то поднятое отображение, а потому и исходное
отображение, гомотопно постоянному. ?
Вместе с тем можно показать (см., например, [9],
стр. 180), что если связное полулокально односвязное про-
пространство локально связно, то оно накрываемо. Поскольку
этот факт непосредственного отношения к теории гомото-
пий не имеет, мы его здесь доказывать не будем.
В [9] было также доказано, что если топологическая
группа G, рассматриваемая как топологическое простран-
пространство, накрываема, и если р: G—+G—соответствующее
односвязное пунктированное накрытие, то в G можно
единственным образом ввести групповую структуру, по
отношению к которой накрытие р будет гомоморфизмом.
Ядро Кег р этого гомоморфизма является (см. [9], стр. 202)
дискретной абелевой инвариантной подгруппой группы G.
Его действие левыми сдвигами на G вполне разрывно и
соответствующее факторпространство—являющееся не чем
иным, как факторгруппой G/Kerp*— гомеоморфно груп-
группе G. Поэтому
Кег р, =*ntG.
Это равенство, подобно равенству D), является одним из
важнейших орудий для вычисления фундаментальных
групп. В [9] оно было принято за определение группы n,G.
Для любой группы Ли G И любой ее замкнутой под-
подгруппы Я естественное отображение
является, как легко видеть, локально тривиальным рас-
расслоением со слоем Я. (Заметим, что любое фактормного-
образиг группы Ли очевидным образом паракомпактно.)
Поэтому для него имеет место точная последовательность
... -* яа (G/tf) -* пхН -* ntG -* лг (G/H) -* л0Я -*...,
откуда следует, что если подгруппа Я связна, то группа
ji^G/Я) является факторгруппой группы nxG, а если
факторпространство G/H односвязно, то группа ntG яв-
является факторгруппой группы ntH (см. [9], предложения
8 и 9 лекции 12).

ДОПОЛНЕНИЕ
Пределы диаграмм над произвольной категорией.— Пре-
Пределы диаграмм над категорией групп.— Их копредставле-
ния.—Структура свободного произведения групп.—
Теорема Зейферта— ваи Кампена.—Следствия теоремы
Зейферта —ван Кампена.— Графы.— Деревья.— Вычис-
Вычисление фундаментальной группы графа.
Диаграммной схемой называется множество, разбитое
на два подмножества и снабженное двумя отображениями
второго подмножества в первое. Элементы первого под-
подмножества называются вершинами схемы, а второго—ее
стрелками. Случай пустого множества стрелок не исклю-
исключается. По условию каждой стрелке а отвечают две вер-
вершины а и Ь. Говорят, что стрелка а является стрелкой
из а в b и пишут а: а—+ Ь.
Морфизмом диаграммной схемы D в диаграммную
схему D' называется произвольное отображение D—+D',
переводящее вершины в вершины, стрелки в стрелки и
такое, что если а у-* a', b>—*-b', ai—*¦&' и a: d~+b, то
a': a'-+b'.
Ясно, что каждая категория является диаграммной
схемой (мы игнорируем здесь различия между «малыми»
и «большими» категориями). Морфизм D—»-А диаграммной
схемы D в категорию А (рассматриваемую как диаграмм-
диаграммная схема) называется диаграммой типа D над кате-
категорией А.
Это формальное определение является экспликацией
интуитивного понятия диаграммы, которого до сих пор
нам было вполне достаточно.
Если диаграммная схема D не содержит стрелок, то
диаграммы типа D суть не что иное, как семейства объек-
объектов категории А, индексами которых являются вершины
схемы D.
Конусом (прямым) над диаграммой a: D—»-А с верши-
вершиной D называется такое семейство морфизмов /„: d(a)—>-D,
a?D, категории А, что для любой стрелки a: a—*b
из D диаграмма
коммутативна {iaaaib°d(ct.)). Морфизмом конуса {/а:
d{a)—*D} в конус {/,: d(a)—+D'} называется тдкой мор*

ПРЕДЕЛЫ ДИАГРАММ НАД КАТЕГОРИЕЙ 271
физм <р: D—+D' категории А, что для любой вершины
a?D диаграмма
d(a)
коммутативна. Все конусы над диаграммой d и их мор-
физмы образуют, очевидно, категорию. Мы будем обозна-
обозначать эту категорию символом CON (d).
В случае, когда схема D имеет вид •«—•—•¦•, диаграм-
диаграммами типа D являются пары морфизмов iA: С —+ A, iR:
С—* В категории А, и мы получаем конусы над парами
Aл> *д) в смысле лекции I.
В случае, когда схема D не имеет стрелок и, значит,
диаграммами типа D являются семейства {Аа, а? D} объек-
объектов категории А, конусами над \Аа, a?D\ являются
семейства морфизмов ja: Аа—>D, а их морфизмами—обыч-
морфизмами—обычные морфизмы семейств.
Определение I. Пределом \irnd (или прямым пределом)
диаграммы d: D—+A называется вершина D инициаль-
инициального объекта категории CON(d), т. е. такого конуса {/„:
d (а) —*¦ D}, что для любого конуса {\'а: d(a)—*D'}^ CON (d)
существует единственный морфизм q>: D—+D' из {/в} в
{j'a\. Говорят также, что объект D является пределом
объектов d(a) no отношению к морфизмам ja.
Ясно, что предел диаграммы (когда он существует)
определен с точностью до канонического изоморфизма
однозначно.
Пределом диаграммы А«— С ¦*— В является ее амаль-
амальгама, а пределом семейства \Аа} — копроизведение (прямая
сумма) U Аа объектов Аа.
а
Предел существует для произвольной диаграммы над
каждой из категорий ENS, ENS', TOP и ТОР". Для
диаграммы d: D—*-ENS над категорией множеств ENS
им будет фактормножество дизъюнктного объединения
U d (a) множеств d (a), a ? D, по наименьшему отношению
эквивалентности, в котором элементы x?d(a) и y?d(h)
эквивалентны, если в D существует такая стрелка а: а— + Ь

272 ПРЕДЕЛЫ ДИАГРАММ НАД КАТЕГОРИЕЙ ГРУПП
что y*=ad(a)x. Это же фактормножество будет пределом
диаграммы d: D—>ENS' над категорией пунктированных
множеств ENS' (ввиду пунктированности всех отображе-
отображений d(a) отмеченные точки всех множеств d(a) оказы-
оказываются эквивалентными и их класс эквивалентности при-
принимается за отмеченную точку предела). Снабженное
фактортопологиеи это же фактормножество будет пределом
диаграммы d над категориями ТОР и ТОР'. ?
Замечание 1. Следует иметь в виду, что для мно-
многих диаграмм пределы хотя и существуют, но никакого
интереса не представляют. Примером может служить
диаграмма А —>С*— В, пределом которой, как легко ви-
видеть, является объект С (так что в этом случае предел
не зависит от гомоморфизмов А—*С и В—*С). Для таких
диаграмм содержательно двойственное понятие обратного
предела, которое нам пока не понадобится.
Изложенные общие концепции нам будут нужны для
случая категории групп GROUPS. При этом, чтобы не
отходить далеко от традиционных обозначений, мы для
произвольной диаграммы d: D—+ GROUPS будем группу
d(a) обозначать символом Ge.
Предложение I. Для любой диаграммы d: D —+
-+ GROUPS существует предел lim d.
Доказательство. Напомним, что словом над мно-
множеством Y называется произвольное выражение вида
УгУг ¦•• Ук> где ? > 0 и ylt у2, ... , ук ? Y. Произведением
слов ухуг ... ук и у'гУг •.. y'i называется слово угуъ...
• ¦ -УкУ^Уг • • • y't- По отношению к умножению слое множе-
множество M(Y) всех слов над Y является моноидом (ассоциа-
(ассоциативным унитоидом). Единицей этого моноида служит пу-
пустое слово 0. Моноид M(Y) является свободным моно-
моноидом, порожденным множеством Y, т. е. для любого
моноида М и любого отображения ф: Y—*М существует
единственный морфизм моноидов qr. M(Y)—*M, продол-
продолжающий отображение ф (этот морфизм задается формулой
Ф ta • • • У к) — Ф (fi) Ф (Уш) • • • Ф (Ук))-
Мы применим эту конструкцию к построению предела
limd диаграммы d: D—«¦ GROUPS, приняв за Y дизъюнкт-
дизъюнктное объединение всех групп Ga, a ? D, н рассмотрев в
M(Y) наименьшую конгруэнцию (отношение эквивалент-
эквивалентности, согласованное с умножением), для которой

пределы диаграмм над категорией групп 273
a)x~d(a)x для любого элемента x?Ga и любой
стрелки а: а—> &;
б) ху ~ г для любых элементов х, ц, z?Ga, для кото-
которых ху=>г в группе Ga;
в) х~0, если элемент x?Gn является денницей
группы Ga.
Пусть G<0>—фактормоноид моноида М(Y) но этой кон-
конгруэнции. Так как для каждого слова \ — y1...yk?M{Y)
слово 1~1 = у^ ... у-1 обладает в силу условий б) и в)
тем свойством, что 5?~х ~ 0 и %~1\~0, то моноид G(n)
является группой. Пусть ffl: Ga—<-G(ll)—композиция вло-
вложения Ga—>-Y —>-М(У) и отображения факторизации
М (Y) —>¦ Gw. В силу условий б) и в) каждое отображение
ja является гомоморфизмом групп, а в силу условия а)
семейство гомоморфизмов /B> является конусом над диа-
диаграммой d. Кроме того, для любого конуса {/а: Ga-->-Q}
над d гомоморфизм ф: M(Y)—>G, продолжающий ото-
отображение у /e: Y —- G, обладает, очевидно, тем свой-
свойством, что ф(?-) = ф(т]) для любых эквивалентных слов
?, т] g М (Y), и потому индуцирует гомоморфизм <р: G(o) —¦ G,
являющийся морфизмом конуса \$>[( в конус \ja\. По-
Поскольку никакого другого морфизма {/*'}• ---»¦{/„} сущест-
существовать, очевидно, не может, этим доказано, что построен-
построенная группа Gm является пределом диаграммы d. D
Чтобы более явно описатъ группу G(o>, можно восполь-
воспользоваться методом образующих и определяющих соотно-
соотношений.
Напомним, что группа F с выделенным в ней подмно-
подмножеством X называется свободной группой над X (а X —
множеством свободных образующих группы F), если для
любой группы G каждое отображение ф: X— >¦ G един-
единственным образом продолжается до некоторого гомомор-
гомоморфизма ф: F—+G. Из этого определения непосредственно
следует, что свободные группы с равномощнымч множе-
множествами свободных образующих изоморфны.
Вместе с тем оказывается, что для любого множества X
существует свободная группа F (X) над X. Элементами
этой группы являются групповые слова над X, т. е. выра-
выражения вида

274 КОПРНДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДР.ЛОП
где ах, аг, ... , ак (случай Аи-0 не исключается)—отлич-
исключается)—отличные от нуля целые числа, a xlt хг, ,.., хк—такие эле-
элементы из X, что Х[фх1+1 при i=l, 2, ... , k—1. При
этом слово вида х+1 отождествляется с элементом х ? X
(чтобы обеспечить включение XcF(X)). Умножение слов
заключается в их приписывании друг к другу, сопровож-
сопровождаемым «приведением подобных членов», так что, в част-
частности, слово A) оказывается произведением степеней
х1\ х%\ ..., *?* элементов xit хг, ... , хк. Все аксиомы
группы, за исключением ассоциативности, проверяются
без труда (единицей группы F(X) служит пустое слово 0,
а словом, обратным к слову A), служит слово л?а* ...
... хг^х'г1). Что же касается ассоциативности, то прямое
ее доказательство несколько канительно, и мы его пока
отложим.
Приняв, таким образом, временно на веру, что F(X)
является группой, мы уже вполне автоматически можем
проверить, что эта группа свободна. Действительно, если
гомоморфизм ф: F(X)—> G, продолжающий данное отобра-
отображение <р: X—>-G, существует, то
- Ф fo)* ф(*|)в'---<Р (**)'*
для любого слова A), и значит, этот гомоморфизм опре-
определен единственным образом. Чтобы доказать его сущест-
существование, надо, как всегда в аналогичных ситуациях, полу-
полученную формулу принять за определение, т. е. для любого
слова A) положить
Очевидно, что тем самым мы получим гомоморфизм
ф: F(X)—*G, продолжающий данное отображение ф:
X-+G. о
Задание произвольной группы G образующими и опре-
определяющими соотношениями (называемое, по предложению
А. М. Виноградова, «копредставлением» группы; впрочем,
недавно Ю. И. Мерзляков предложил более выразительный
термин—генетический код) состоит в задании некоторого
множества X, элементы которого называются образующими,
и некоторого [подмножества R свободной группы F(X),
элементы которого называются определяющими соотноше-

КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ 275
ниями. Пусть FR(X)—факторгруппа группы F(X) по
наименьшей инвариантной подгруппе [R]F группы F(X),
содержащей множество R. Говорят, что пара <Х; R> со-
составляет копредставление группы G, и пишут G»«<X; /?>,
если задан некоторый изоморфизм tp: FR(X)&G, или,
что равносильно, эпиморфизм tp: F (X) —* G с ядром [R]P.
Этот эпиморфизм однозначно определяется элементами
х = (р(х) группы G. Допуская определенную вольность,
элементы х обычно обозначают просто через х (это обще-
общепринято, хотя и не очень удачно, поскольку вполне может
случиться, что для различных элементов#1, х2?Х в груп-
группе G будет иметь место равенство Xi=*xt). Каждый эле-
элемент группы G будет тогда представляться (вообще говоря,
не единстренным образом) в виде произведения степеней
элементов х?Х. Это объясняет употребление термина
«образующие» по отношению к этим элементам.
Для наглядности равенство G«"<X; /?> часто записы-
записывают в виде G — <.Х; г = 1, г € #> и просто G = <Х; гх» 1,...
rffl=l>, если /?«{rlf ..., гт\. Более того, если какое-
нибудь слово r?R имеет вид г=ва~1Ь, где a, b?F(X),
то вместо г «в 1 пишут также а =* Ь.
Если теперь для некоторой диаграммы d: D —> GROUPS
над категорией GROUPS заданы копредставления
Ga-<Xfl; /?„>, a?D,
ее групп Ga, то мы можем без труда написать копред-
копредставление предела G = limd этой диаграммы. Для любой
стрелки а: а—>-Ь диаграммной схемы D и любой образую-
образующей ха?Ха мы представим элемент d(a)xa группы Gb
(т. е., точнее,—элемент d(a)xa) в виде некоторого (вообще
говоря, не единственного) группового слова |(#в, а) от
образующих из Х6. Введя для любого a?D эпиморфизм
(|)e: F(Xa)—*Ga с ядром [Ra]F, мы можем слово %(ха, а)
более формально определить как элемент группы F(Xb),
удовлетворяющий соотношению
Пусть
и ха
af.D
дизъюнктное объединение всех множеств Ха, а?0. Обо-
Обозначив ДЛЯ любой стрелки «; а—+Ь из D символом /?„

276 КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
множество всех слов над X вида х^%(ха, а), ха?Ха, мы
положим
tf=U Ra[) U Ra.
aso ago
Предложение 2. Пара <Х; #> является непредстав-
непредставлением предела диаграммы d:
Доказательство. Нам следует построить эпимор-
эпиморфизм F(X)—+G@) свободной группы ^(Х) на группу
G@>=limd, ядром которого служит инвариантная подгруппа
[R]F- Покажем, что заэтот эпиморфизм можно принять про-
продолжение ф отображения X —>¦ Gw, являющегося на каждом
слагаемом Ха ограничением отображения /а°фа: F (Xa)~-»-G@).
Ясно, что гомоморфизм ф является эпиморфизмом и что
Ф (г) = 1 для любого слова r?R, т. е. что [R]Pc: Ker ф
(мы считаем все группы F(Xa) естественным образом вло-
вложенными в группу F (X); в силу этого соглашения <р |f(x0) =
и ПОТОМУ ф(га) — ]а (фа(га))= 1 ДЛЯ Любого СЛОВЭ
И
Ф (*Л (ха, «)) = (/>Фв) (jce)-i (/6оФб) (| (ха, а))
(/а°ф
в)
для любого слова x^l%{xa, a)?Ra). Таким образом, в до-
доказательстве нуждается лишь обратное включение.
Имея это в виду, рассмотрим канонический эпиморфизм
¦ф: F(X)—+ FR(X) с ядром [R]f- Так как для любой вер-
вершины a?D имеет место включение [Ra\Fc[R]FC\F(Ха),
то существует гомоморфизм г|)а: б„—>¦ F#(X), замыкающий
коммутативную диаграмму
ПХ„)
Так как для любого элемента л;а^Хв и любой стрелки а:
а—+Ь слово Ха1\(ха, а) лежит в ядре эпиморфизма г[з, то
AW Н) (Фа (**))

КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ 277
и, значит, %od(а) = г|за (ибо элементы ц>а(ха)^ха порож-
порождают группу Ga). Таким образом, отображения \ра: Ga—+
>F^(X) составляют конус над диаграммой d, и потому
существует такой гомоморфизм X: G(o>—+ FR (X), что Xoja — г|за
для любого a?D. Но тогда
и, значит, ^оф = г|). Следовательно, Кег фс:Кег г|э = \R]F. п
Пример 1. Копроизведение LfG« семейства групп
а
(предел диаграммы без стрелок) называется свободным про-
произведением этих групп. Согласно предложению 2 копред-
ставление свободного произведения получается объединением
непредставлений сомножителей: если Ge = <Xe; #a>, то
Вообще говоря, копредставление из предложения 2 не
является самым экономным и часто может быть упрощено.
Пусть G = <X; /?>, и пусть S—произвольное подмно-
подмножество из [R]F. Тогда ясно, что G«<X; R[)S>. Анало-
Аналогично, G=<X и {#};'/? U {у~Ч}>, где у—произвольный символ,
не содержащийся в X, а § — произвольное слово из F (X).
Преобразования копредставления <Х; R> в копредставле-
ния <Х; R U Sy и <Х U {у}; R U {у~х1}> (а также обратные пре-
преобразования) называются преобразованиями Титце.
Замечание 2. Можно показать (это утверждение
известно как теоре'ма Титце), что два "конечных ко-
копредставления тогда и только тогда задают одинаковые
(= изоморфные) группы, когда они могут быть переведены
друг в друга преобразованиями Титце. Однако эта теорема
не указывает никакого способа, как найти эти преобразо-
преобразования, и, более того, можно показать, что не может
существовать никакого алгоритма, позволяющего это сде-
сделать. В этом отношении задание группы образующими и
определяющими соотношениями в*высшей степени неэф-
неэффективно.
Тем не менее в'многих ситуациях преобразования Титце
позволяют существенно упрощать копредставлеиия.
Пример 2. Пусть схема D имеет вид .*—.—*.,
т. е. мы имеем дело с амальгамой G диаграммы А*—С-^-В.
Пусть, далее, Л —<Х; /?>, Б»<К; Q> и C=-<Z; P>. Для
любой образующей z^Z обозначим через ?, и т]? группо-

278 КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
вые слова над X и Y, являющиеся выражениями через
образующие элементов iA(z)$A и iB(z)?B. Тогда, со-
согласно предложению 2, амальгама G будет иметь копред-
ставление вида <Х U У LJ Z; R и Q U P U U U V}, где (/—мно-
(/—множество всех слов вида г^, z?Z, a V—множество всех
слов вида z~1r]z, z?Z. Но поскольку отображение iA
является гомоморфизмом, произвольное слово из Р после
подстановки вместо каждого элемента z G Z соответствую-
соответствующего слова %г будет следствием соотношений из R (т. е.
будет принадлежать инвариантной подгруппе [R]F). Это
означает, что все соотношения из Р являются следствием
соотношений из R и U (а также, конечно, соотношений
из 5 и V), и потому из копредставления группы G их
можно безболезненно удалить (первое преобразование
Титце). Далее, ясно, что любая пара соотношений вида
z~l\z=\ и z~h\z=*\ равносильна соотношениям г~1\г=\
и \х — ч\х. Поэтому, сохраняя U (а также R и Q), мы можем
заменить V на множество W соотношений вида §г = т|г
Но после этой замены (и удаления соотношений из Р) каж-
каждая образующая z?Z будет фигурировать только в одном
соотношении г~1|г=1, и потому, выбросив г и это соот-
соотношение, мы не изменим группы G (второе преобразова-
преобразование Титце). Этим доказано, что при А = <Х; /?>, В = <Y; Q>
и C~(Z; Ру амальгама G диаграммы А+—С—+В имеет
непредставление вида
G-<X[)Y;
где W—множество всех соотношений вида |г ¦"¦'Пг» €
Пример 3. Если в предыдущем примере группа С
будет единичной группой, т. е. если речь идет о диаграмме
А+~ 1—*5, то амальгама G будет, очевидно, свободным
произведением групп А и В. Если же единичной группой
будет группа В, то амальгама G будет иметь копредстав-
ление вида
где W — множество всех соотношений вида §г«« 1, и потому
будет факторгруппой группы Л = <Х; /?> по инвариантной
подгруппе, порожденной всеми элементами 1Х или, точнее,
элементами i(z), z?Z, где i**iA. Поскольку последняя
подгруппа является, очевидно, не чем иным, как наимень-
наименьшей инвариантной подгруппой, содержащей образ Im i = 1С
гомоморфизма i, мы получаем, следовательно, что амаль-
амальгамой диаграммы 4+— С— *1 является факторгруппа А'

СТРУКТУРА СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 270
группы А по наименьшей инвариантной подгруппе, содер-
содержащей подгруппу 1С (соответствующий инициальный конус
будет ирн этом естественным эпиморфизмом А—* А').
Конечно, этот факт легко устанавливается и непосред-
непосредственно из определения амальгамы.
В примере 3 нам удалось элиминировать—хотя бы из
формулировки, если не по существу,—образующие и
определяющие соотношения, что нужно рассматривать как
определенное достижение в направлении эффективизации
описания предела. Интересно, что аналогичную (но, ко-
конечно, значительно более трудную) элиминацию можно
осуществить и в ситуациях примеров 1 и 2.
Для любой диаграммы d: D —+ GROUPS группа
G@> = limd порождается, конечно, образами групп Ga при
гомоморфизмах /(а0): Ge—+ G@), т. е. любой элемент g
группы G<0) можно представить в виде произведения
Siet • • • ён> каждый сомножитель которого принадлежит
одной из групп Ge (или, точнее, является образом неко-
некоторого элемента группы Ga при гомоморфизме ffi). При
g Ф 1 можно считать, что это представление редуцировано,
т. е. что ни один из сомножителей glt ga, ... , gk не
является единицей соответствующей группы и любые два
соседних множителя принадлежат различным группам.
Естественно, что в общем случае| даже редуцированное
представление не единственно (хотя бы за счет того, что
гомоморфизмы ;'(а0) не являются, вообще [говоря, мономор-
мономорфизмами). Однако оказывается, что в ситуации примера 1,
т. е. в случае, когда G@)=«lJGa, редуцированное представ-
а
ление элементов группы G'0) единственно, т. е. из равенства
?i • • • ёк = Si • • • g'i
двух редуцированных произведений следует, что k = l и
Si — St Для любого t=l, ..., k. В частности, это озна-
означает, что естественные гомоморфизмы /JJ": Go—>JJGO
групп Ga в их свободное произведение LJGa являются мо-
мономорфизмами, и потому группы Ga можно считать под-
подгруппами группы U Ga (что, кстати сказать, апостериори
оправдывает наши обозначения). Естественный способ
доказательства этого утверждения (избегающий, кстати
сказать, мороки с копредставлениями) состоит в том,
чтобы для данных групп Ga рассмотреть множество G всех

280 СТРУКТУРА СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
редуцированных слов, т. е. слов /?, ... gk над дизъюнкт-
дизъюнктным объединением всех групп Ga, в которых все элементы
Siy • ¦ ¦ . gk не являются единицами соответствующих
групп и любые два соседних элемента принадлежат раз-
различным группам, и доказать, что:
1) относительно естественной операции умножения,
состоящей в приписывании слов друг к другу и в после-
последующем редуцировании полученного слова, множество G
является группой;
2) естественные вложения ja: Ga—>Ga (сопоставляю-
(сопоставляющие каждому элементу g Ф 1 группы Ga тот же элемент,,
но рассматриваемый как редуцированное слово длинь
1) составляют инициальный конус (и, значит,_в силу един
ственности инициального конуса группа G изоморфна
группе G(o)).
Пункт 2) этой программы никаких затруднений не вы
зывает: для любого семейства гомоморфизмов \а: Ga-~>G
формула
где йк ... , ak—такие индексы, что gt g Gfll, ... , gk € Gflfc)
корректно определяет гомоморфизм ф: G—>-G, удовлет-
удовлетворяющий соотношениям /а = Ф°/а и никакого другого го-
гомоморфизма G —* G, удовлетворяющего этим соотношениям,
существовать, очевидно, не может.
Однако пункт 1) наталкивается—снова в отношении
доказательства ассоциативности умножения—на серьезные
комбинаторные трудности. Чтобы обойти эти трудности,
ван дер Варден предложил следующий искусственный
прием.
Для каждого индекса a?D определим действие группы
Ga на множестве G, полагая для любого элемента g^Ga
и любого редуцированного слова I = g^ ... gk € G
' gigf-gk> если g—l,
B) a?*=J8gl82---gk' еСЛИ g^X " gxiGa,
W НЧ \ „,„ g^ если gt?Ga И g; в ggj ^ 1 ,
¦•?*. еслн <?i€Ga и ^«1.
Автоматическая проверка показывает, что эти формулы
действительно определяют действие группы Ga на мно-
множестве G, т. е. 1|«| и (g'g)l^g'(gi) для любого слова

СТРУКТУРА СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 28!
^G и любых элементов g', g(zGa. Ясно при этом, что
это действие эффективно, т. е. рассматриваемое как гомо-
гомоморфизм группы Ga в группу Aut G всех перестановок
(биективных отображений на себя) множества G, оно
является мономорфизмом. Следовательно, группу Ga мы
можем рассматривать как подгруппу группы AutG. Пусть
G—подгруппа группы AutG, порожденная всеми груп-
группами Ga. Каждый отличный от единицы элемент группы G
допускает редуцированное представление вида ^г...^,
где ft € Ga,, -.., Кн € Gak, все элементы ft, .... gk от-
отличны от единицы и никакие два соседних элемента не
принадлежат одной и той же группе. Мы будем обо-
обозначать этот элемент символом 1, где \—редуцированное
слово gx.. .gk из G (отличие \ и \ состоит в том, что \
получается формальным приписыванием друг к другу
элементов ft, ..., ft., a f представляет собой "переста-
"перестановку, состоящую в последовательном выполнении пере-
перестановок ft, ..., gk). Ясно при этом, что отображение
?i—*f множества G на группу G, описанное в п. 1) умно-
умножение в G переводит в умножение в группе G (является гомо-
гомоморфизмом). С другой стороны, из формул B) непосредст-
непосредственно следует, что | @) =¦ ? для любого слова I ? G (где 0—
пустое слово из G). Следовательно, f—>г\ тогда и только
тогда, когда |=»т), т. е. отображение i »-> f биективно и
потому является изоморфизмом. Таким образом, унитоид G
изоморфен группе G и, значит, сам является группой. ?
Тем самым мы получили вполне удовлетворительное
описание алгебраического строения свободного произведе-
произведения |jGe.
В частности, мы теперь можем доказать, что умноже-
умножение слов A) ассоциативно, т. е. что унитоид F (X) явля-
является группой. Действительно, если множество X состоит
только из одного элемента, то этот факт очевиден, причем
группа F (X) будет в этом случае бесконечной цикличе-
циклической группой. Сравнив теперь определения, мы немед-
немедленно обнаружим, что в общем случае_ унитоид F(X)
является не чем иным, как унитоидом G для бесконеч-
бесконечных циклических групп Ga**F(\ха\), где ха пробегает
нее множество X. Следовательно, F (X) представляет собой
группу. (Кроме того, мы получили, что любая свободная,

282 ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТЛ - ИЛИ КАМПКНА
группа является свободным произведением бесконечных
циклических групп.)
Аналогичные результаты могут быть получены и в
ситуации примера 2, если мы дополнительно предполо-
предположим, что оба гомоморфизма iA и iB являются мономор-
мономорфизмами, т. е. если фактически мы имеем дело с двумя
группами Л и В, в которых отмечены изоморфные под-
подгруппы A'=a\miA, B' = lmiB и задан изоморфизм i =
— igoij1: А'—*-В'. В этом случае амальгама G<0) диа-
граммы А«— С—¦*¦ В называется свободным произведением
групп А и В с объединенной подгруппой А'ш=В'.
Оказывается, что для этого свободного произведения
гомоморфизмы jA: A—+ G@) и /„: В—>-Gl0) также явля-
являются мономорфизмами, т. е. группы А и В естественно
вкладываются в группу G<0). Пусть А"—система пред-
представителей правых смежных классов группы А по под-
подгруппе А', отличных от подгруппы А', т. е. такое под-
подмножество в А, что любой элемент а€Л\Л' единствен-
единственным образом представляется в виде а'а", где а'? А',
a" g А", и пусть аналогично В"—система представителей
правых смежных классов группы В по подгруппе В', отлич-
отличных от подгруппы В'. Тогда оказывается, что любой эле-
элемент группы Gl0) единственным образом представляется
в виде произведения а'Су...ск, где а'?А', a cit ..., ck?
?А"[}В", причем если с,-€Л", то ci+i?B", и наобо-
наоборот. Этот факт нам нужен только для более ясного
представления структуры конкретных примеров, и пото-
потому мы оставим его без доказательства (которое даже
после усовершенствования по ван дер Вардену остается
весьма кропотливым).
Вернемся теперь к топологии.
Пусть X—связное топологическое пространство, \Ха\—
его покрытие, состоящее из связных подпространств, и
D— диаграммная схема, вершинами которой являются
индексы а покрытия \Ха\, я стрелками—такие пары
(а, Ь), что XaczXb (при этом имеется в виду, что пара
(а, о) является стрелкой а—+Ь). Тем самым покрытие {XJ
естественным образом оказывается диаграммой типа D над
категорией ТОР.
Если пространство X пунктировано и все подпрост-
подпространства Ха содержат отмеченную точку, то покрытие \Ха)
будет диаграммой типа D над категорией ТОР', а группы

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА — ВАН КЛМПЕНА 283
ва=вщХа и гомоморфизмы Ga—+Gb, индуцированные при
ХасХь вложениями Ха—>ХЬ, будут составлять диа-
диаграмму групп типа D. Мы обозначим эту диаграмму
символом {щХа\.
Ясно, что гомоморфизмы ia: яхХв—»-я1Х, индуциро-
индуцированные вложениями Ха—+Х, составляют конус На: п^Х,,—*
->я1Х} над диаграммой {яхХ0^ с вершиной n-,X.
Покрытие [Ха\ называется насыщенным, если пере-
пересечение любых двух его элементов также является эле-
элементом покрытия. От любого покрытия можно перейти
к насыщенному покрытию, добавив всевозможные конеч-
конечные пересечения его элементов (но условие связности эле-
элементов покрытия может при этом нарушиться).
Теорема 1. Для любого пунктированного связного
пространства X и любого его насыщенного покрытия {Uа\,
состоящего из связных открытых множеств иа, содержа-
содержащих отмеченную точку, фундаментальная группа яхХ
пространства X является пределом групп я^Уц,
по отношению к гомоморфизмам ia: nxUa —¦- ntX, инду-
индуцированным вложениями Ua—+X.
В весьма специальном частном случае эта теорема
была впервые доказана Зейфертом и почти одновременно
ван Кампеном. Долгое время ее ^называли теоремой
ван Кампена, но ныне ее чаще называют теоремой
Зейферта—ван Кампена. Фактически же ее впер-
впервые доказал, по-видимому, Кроуэлл.
Доказательство теоремы 1 мы разобьем в ряд лемм.
Лемма 1. В условиях теоремы 1 группа пгХ порож-
порождается образами групп n1Ua при гомоморфизмах ia.
Доказательство. Пусть а = |ы: (/, /)¦—*(Х, х0)]—
произвольный элемент группы пгХ. Тогда, если \/п мень-
меньше числа Лебега (см. Дополнение к лекции 1) прообраза
покрытия {Ua} при отображении и, то для любого k =~
- 1, ..., п существует такой индекс ah ? D, что отрезок
Ilt — [(k— l)/n, k/n] переходит при отображении и в откры-
открытое множество Uа., т. е. путь uk: /—>X, определенный
формулой
является на самом деле путем в Un . Этот путь соединяет
точку xk_x"*u ( ) (являющуюся при k=*l отмеченной

284 ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА — ВАН КАМПЕНА
точкой х0) с точкой хкш*и( — ] (при кгшп, также являю-
являющейся отмеченной точкой х„). При k < n точка хк при-
принадлежит множеству Uak Г) Uak+l, являющемуся по усло-
условию элементом покрытия {Uа), и потому связному и содер-
содержащему точку х0. Следовательно, в UattftUak+i сущест-
существует путь wk, соединяющий точку х0 с точкой хк. При
&>=0 мы будем считать, что этот путь является постоян-
постоянным путем. При к е= п мы также примем за vn постоянный
путь. Тогда для любого к = 1, ..., п в Ua будет опре-
определена петля vh=>wk_lukw'jll и вХ произведение OjU,. . .vn
всех этих петель будет гомотопно ге! / произведению
«!«;,...«„ путей ик, т. е. будет гомотопно иетле и. Этим
доказано, что элементы |ift = [fsj групп nJJflft обладают
тем свойством, что элемент а является произведением
элементов »в/к(Р*)- Следовательно, группа щХ порождается
подгруппами ia\nJJа). ?
Петлю и мы назовем элементарной, если она содер-
содержится в одном из элементов покрытия \Ua\, и петлей,
подчиненной покрытию {Ua\, если она является произ-
произведением элементарных петель. В этой терминологии
лемма 1 утверждает, что любая петля пространства X
гомотопна те11петле, подчиненной покрытию {Ua\.
Петли и и v, подчиненные покрытию {Ua\, мы назо-
назовем элементарно гомотопными, если и^ихи'и^ и о —
= UjV'uv где ult «2—петли, подчиненные покрытию {Ua\,
а и' и v'—элементарные петли, содержащиеся в одном
и том же элементе Ua покрытия {Ua\ и гомотопные rel У
в Ua. Если от петли и можно перейти к петле v конеч-
конечной последовательностью элементарных гомотопий, то мы
будем называть такие петли подчиненно гомотопными
петлями.
Лемма 2. Петли и и v, подчиненные покрытию {Ua\,
тогда и только тогда гомотопны rel /', когда они подчи-
подчиненно гомотопны.
Доказательство. Ясно, что подчиненно гомотоп-
гомотопные петли гомотопны. Обратно, пусть петли и и о, под-
подчиненные покрытию \Ua\, гомотопны, и пусть F: 1x1' —>
—+ X—связывающая их гомотопия rel /'.
Для любого N > 0 рассмотрим квадраты, на которые
разбивают квадрат 1x1 прямые s = k/N и t = l/N, где
k, / = 0, 1, ..., N. Каждый такой квадрат задается двумя

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТЛ — ВАН КАМПЕНА 285
числами k, 1тш\, ..., N и состоит из всех точек (s, 0€
€ / X /, для которых
k—\ . k l—i^t^l
Мы будем этот квадрат обозначать символом /%,.
Уже известное нам из доказательства леммы 1 рас-
рассуждение, использующее число Лебега покрытия \F~Wa\,
показывает, что при достаточно большом N каждое из
множеств F (/|,) содержится хотя бы в одном элементе
покрытия {Ua\. Предположив, что N обладает этим свой-
свойством, мы для любых k и / обозначим через a(k, l) один
из индексов а, для которых F(lfH)c:Ua. Тогда отображе-
отображение F, ограниченное на верхнюю сторону квадрата Гк1,
будет некоторым путем в V'а (ftt „. Мы обозначим этот
путь символом ик1. С учетом преобразования параметра
он определяется формулой
- ,,ч cft+k-\ l\
ukiK4tmF\—д-—. jjJ
Мы введем в рассмотрение также путь ьк1: I —*Ua(k, ц,
определенный отображением F на правой стороне квад-
квадрата 1%,:
Тогда на нижней стороне квадрата I%t отображение F
будет определять путь ukt t_u а на левой—путь vk_t< t.
Поэтому на всем квадрате Ifa отображение F будет опре-
определять гомотопию rel 7, связывающую путь «fti t-iVhl с пу-
путем tifc..!, гиы. Таким образом,
Каждая точка вида (i/N, j/N) является вершиной
четырех (или меньшего числа) квадратов I%t. Пусть
Ubi!iJ) — пересечение соответствующих множеств Va{hly
Таким образом, в частности, Uba ncUa[k n при (i, /)' =
= (ft-l, /), {k, I) и (k, /-1). "
Пусть k, /"=1, .... N. Рассмотрим множество Ub(/t< t).
Это множество связно и содержит точки х0 и хк1' =
-F(k/N, l/N). Пусть wkl — произвольный путь в Ub ik< n,
соединяющий точки х0 и хы (и являющийся постоянным
путем, если ха=*хм). Тогда в ?/e(fti t) будут определены

286 ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА
петли
И ОИ-»,
и для этих петель будут иметь место гомотопии
Сосредоточим теперь наше внимание на ломаных в квад-
квадрате 1x1, соединяющих его левую нижнюю вершину @, 0)
с его правой верхней вершиной A, 1) и состоящих из сто-
сторон квадратов /*,,. Каждой такой ломаной мы сопоставим
петлю, являющуюся произведением элементарных петель
ukl и vkl, отвечающих сторонам этой ломаной. Поскольку
от любой ломаной мы можем перейти к любой другой
ломаной последовательностью элементарных шагов, при
каждом из которых две стороны одного из квадратов /|,
заменяются двумя другими его сторонами, из формулы C)
непосредственно следует, что петли, соответствующие
любым двум ломаным, подчиненно гомотопны.
Поэтому, в частности, подчиненно гомотопны петли
«' - «1 о«2О • • • UmVmVNt ...VNN
и
. . .UNN,
отвечающие ломаным, состоящим (из подразделенных) сто-
сторон квадрата 1x1. Но по построению все петли vm,
идга, ..., vNN и v00, vnl, ..., v оЛг являются постоянными пет-
петлями (в точке л:0) и, значит, петли и' и о' подчиненно
гомотопны петлям и" =*ulnuw.. .ит и v" =*umuNi.. .uNN,
отвечающим нижней и верхней сторонам квадрата 1x1.
Вспомним теперь, что по условию петля и является,
во-первых, ограничением отображения F на нижней сто-
стороне квадрата 1x1, & во-вторых, подчинена покрытию
\Ua\, т. е. является произведением М],м2...«„ элемен-
элементарных петель uit м2, ..., ип. Поскольку же все сказан-
сказанное выше справедливо для любого достаточно большого N,
мы можем дополнительно потребовать, чтобы число N
делилось на п, т. е. имело вид N*>*nM, и, следовательно,
чтобы каждая петля иь t«=l, ..., п, была произведением
путей ~пм с (f—\)M^.k^.iM. При этом по условию для
любого t в 1, ..., п существует такой индекс a.t, что
петля ип а значит, и каждый путь ик0, (i—l)Af^&<
^ Ш, содержится в GU/. Ясно, что, без ограничения общ-
общности, мы можем предполагать (увеличив, если нужно, М),

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА — ВАН КЛМПЕНА 287
что в Uа. содержится не только путь ик9 (т. е., точнее,
образ при отображении F нижней стороны квадрата /|„),
ио и образ F A1а) всего квадрата /jj0. Это означает, что
при (i—l)M^.k^.iM мы можем считать, что имеет
место равенство a (k, 0) = a,- и, следовательно, что каждая
петля Uko — Wh~i,aukowka с (i—l)M^.k^.iM является
петлей в ?/„¦• Поэтому произведение а± этих петель будет
в Uа- гомотопно произведению путей ик0, т. е. будет гомо-
гомотопно петле м,. Этим доказано, что петля
подчиненно гомотопна петле и.ятилиг...ип.
Аналогично доказывается, что (при, возможно, еще
большем N) петля v" подчиненно гомотопна петле v.
Таким образом, имеют место подчиненные гомотетии
и ~ и" ~ и' ~ v' ~ w" ~ v,
и, значит, петли и и v подчиненно гомотопны. Q
Теперь у нас все готово для доказательства теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Нужно показать,
что для любого конуса {/0: щ11а—*-G\ над диаграммой
\n-JJ J существует морфизм ф: я,Х—>¦ G конуса \ia: пг11 а—»¦
—уп^Х) в конус \ja: nj^Ua—t-G} и что этот морфизм един-
единствен. Но если такой морфизм существует и если а =
— ia$i-iafit- ••• галРв—представление элемента а^^Х
в виде произведения элементов вида tep\ a?D, Рбя1^в
(существующее по лемме 1), то
D) Ф(«)-/*,Pr/<i,Pr •••¦/.„?«•
Следовательно, морфизм q> единствен. Поэтому все будет
доказано, если мы покажем, что формула D) корректно оп-
определяет некоторое отображение q>: пгХ ~* G (которое
автоматически будет гомоморфизмом групп и морфизмом
конусов), т. е. что из равенства
вытекает равенство
F) lafii • LP* ¦¦•¦ Un$n — / b,Vl ¦ /b.Vi' • • • " /*«?-•
Пусть ut, м,, ..., un—произвольные петли классов
Pj, P2, ..., р„, а vv vt, ..., vm—произвольные петли
классов Yj, уи, ..., ym. Рассмотрим подчиненные покры-
покрытию \Ua\ петли м=»мхм2.. .м„ иа-о^.. .vm. Равенство E)

288 СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ЗЕЙФЕРТЛ - ВАН КАМПЕНЛ
означает, что эти петли гомотопны. Следовательно, со-
согласно лемме 2 они и подчиненно гомотопны. Таким обра-
образом, равенство F) нам достаточно доказать лишь в случае,
когда петли и и v подчиненно гомотопны. Более того, по
очевидным индуктивным соображениям, это равенство
достаточно доказать лишь для элементарно гомотопных
петель и и о, т. е., другими словами, для случая, когда
п — т и Pi«Vi> •••» $n**Vm- В свою очередь для этого
достаточно, очевидно, доказать, что если элементарная
петля и: (/, /)—•*(Х, х0) содержится в элементах Ua
и Ub покрытия \Ua\, то для элементов [и]а и [и]ь групп
nJUa и п-,уь, определенных этой петлей, рассматриваемой
как петля в Ua и в Ub соответственно, в группе G имеет
место равенство
G) /«[«]« "Шб-
Пусть Ucm=UaOUb, и пусть [м]—элемент группы n1Uc,
определенный петлей и, рассматриваемой как петля в Uс.
Тогда [«]•-*• [ы]0 и [м]н-*-[м]ь при гомоморфизмах, индуци-
индуцированных соответствующими вложениями. Поэтому в силу
определяющего свойства конуса в группе G будут иметь
место равенства jc[и] =»}а[и]а и jc[u]>—jb[ub], а значит,
и равенство G).
Тем самым теорема 1 полностью доказана, п
С помощью теоремы 1 легко вычисляется фундамен-
фундаментальная группа букета любых гладко пунктированных
пространств. ,
Предложение 3. Фундаментальная группа nt (XV^
букета X\/Y двух связных гладко пунктированных про-
пространств X и Y является свободным произведением фун-
фундаментальных групп этих пространств:
n1(X\ZY)»-niX[}niY.
Доказательство. По условию отмеченная точка х0
имеет в пространствах X и Y такие (автоматически связ
ные) окрестности U и V, что U ^ ха и У^*о. Рассмотри
в букете X\JY открытые множества
и их пересечение U' r\V" **U\/V. Согласно теореме I
группа nt{X\/Y) является амальгамой диаграммы

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ЗЕЙФЕРТА — ВАН КАМПЕНА 289
Но ясно, что U'%X, V'%Yu U'c\V'%x0. Поэтому эта
амальгама изоморфна свободному проивведению Х]}
иу
Конечно, аналог предложения 1 имеет место и для
букета любого числа гладко пунктированных прост-
пространств, т. е.
для любых гладко пунктированных пространств Ха.
Следствие, Фундаментальная группа букета окруж-
окружностей является свободной группой:
(8) n
Здесь F (А)—свободная группа, множеством свободных
образующих которой является множество индексов, кото-
которыми занумерованы окружности букета V-Sa-
а
Замечание 3. Использованное в доказательстве
предложения 3 рассуждение имеет весьма общий харак>
тер. Оно применимо к любому семейству \Ха\ подпрост-
подпространств пространства X (вообще говоря, не являющемуся
даже покрытием), для которого существует такое насы-
насыщенное открытое покрытие {Ua\ пространства X, что:
>1) для любого индекса а имеет место включение Хас
cUa и соответствующее вложение Xa—*Ua индуцирует
изоморфизм nvXa«щиа (так будет, например, в случае,
когда иа^Хау,
2) для любой пары индексов а и Ь включение ХасХь
,,уеет место тогда и только тогда, когда имеет место
.включение Uacz0b.
Ясно, что для любого такого семейства
ttm {ntXa\ = щХ.
Мы вериемся к теореме Зейферта—ван Кампена в лек-
лекции 19, а пока рассмотрим один простой, но важный класс
"Топологических пространств, фундаментальные группы ко-
которых без труда вычисляются с помощью предыдущего
следствия.
Определение 2. Хаусдорфово пространство X назы-
называется врафом, «ели в яем выделено такое непустое диск-
дискретное подпространство Х° (точки которого называются
вершинами графа X), что
10 М. М. Постников

290 графы
1) дополнение Х\Х" является дизъюнктным объеди-
объединением открытых множеств, каждое из которых гомео-
морфно открытому интервалу @, 1) (эти множества—а
также их замыкания—называются ребрами графа X);
2) для любого ребра есХ\Хл существует непрерыв-
непрерывное отображение и: I —<¦ X (называемое характеристиче-
характеристическим путем этого ребра), образом которого является за-
замыкание е ребра е и которое на внутренности @, 1) от-
отрезка- / является гомеоморфизмом на ребро е;
3) множество CczX тогда и только тогда замкнуто (от-
(открыто), когда для любого ребра е пересечение Cf]e зам-
замкнуто (открыто) в е.
Граф называется конечным, если он имеет только ко-
конечное число вершин и ребер. Для любого конечного гра-
графа условие 3) выполнено автоматически.
Так как пространство X по условию хаусдорфово, то
из условия 2) следует, что граница е=е\е каждого ребра
состоит из одной или двух вершин, причем в первом слу-
случае множество е гомеоморфно окружности, а во втором—от-
втором—отрезку /.
Если е гомеоморфно отрезку /, то ребро е называется
простым ребром, а точки из е называются его вершинами.
В противном случае ребро е называется петлеобразным
ребром. Такое ребро, по определению, имеет только одну
вершину (впрочем, для единства формулировок часто удоб-
удобно считать, что петлеобразное ребро имеет две, но совпа-
совпадающие вершины).
Каждое дискретное пространство является графом без
ребер. В некотором смысле противоположным примером
графа является любой букет окружностей. Этот граф имеет
только одну вершину и не имеет простых ребер.
Замечание 4. В теории графов (претерпевшей, кста-
кстати сказать, за последние годы бурное развитие в связи с
целым рядом важных прикладных исследований) принято
граф определять более абстрактно как совокупность двух
множеств (вершин и ребер), связанных некоторым отобра-
отображением, сопоставляющим каждому ребру неупорядочен-
неупорядоченную пару вершин (возможно, совпадающих). Графы в
нашем смысле называются тогда геометрическими реали-
реализациями такого рода «абстрактных» графов. Эта точка
зрения (называемая обычно «комбинаторной») полностью
равносильна нашей (которую можно назвать «топологи-

ГРАФЫ 291
ческой»), поскольку, как легко.видеть, абстрактные графы
тогда и только тогда (в понятном смысле) изоморфны,
когда их геометрические реализации гомеоморфны по-
посредством гомеоморфизмов, переводящих вершины в вер-
вершины.
Из равносильности комбинаторной и топологической
точек зрения вытекает, что каждое топологическое свойство
графов равносильно некоторому их комбинаторному свой-
свойству, т. е. свойству, формулируемому только а терминах
вершин и ребер.
Например, ясно, что граф тогда и только тогда яв-
является букетом окружностей (топологическое свой-
свойство), когда он имеет только одну вершину (комби-
(комбинаторное свойство).
Чтобы получить аналогичные утверждения в отноше-
отношении свойств связности и односвязности, нам нужно вве-
ввести комбинаторный аналог понятия пути.
Ориентированным ребром графа X мы будем называть
произвольный символ вида е8, где е—некоторое ребро
графа X, а е = ± 1. Каждому ориентированному ребру
ее мы произвольным образом сопоставим одну из вершин
ребра е, требуя лишь—в случае, когда ребро е простое,—
чтобы ребру е~г оказалась сопоставленной другая вер-
вершина ребра е. Вершину, сопоставленную ребру е&, мы
будем называть его начальной вершиной, а другую вер-
вершину ребра е—в случае, когда ребро е простое,— конеч-
конечной вершиной ориентированного ребра е8. Для петлеоб-
петлеобразного ориентированного ребра его единственная вершина
будет, по определению, и начальной и конечной.
Граф, все ребра которого ориентированы и для них
заданы начальные и конечные вершины, называется ориен-
ориентированным.
Замечание 5. Формально понятие ориентированного
графа идентично понятию диаграммной схемы.
Слово вида t>^...i>*«, состоящее из ориентированных
ребер графа X, называется маршрутом в X, если для
любого t = l,...,n—1 конечная вершина ребра v\<- сов-
совпадает с начальной вершиной ребра t?'h+,»- Пустое слово 0
(для которого п = 0) мы также считаем маршрутом.
О маршруте w = v\l...Vn" говорят, что он соединяет
начальную вершину х0 ребра v\l с конечной вершиной у„
ребра vl". При *0 = «/„ маршрут w называется замкнутым
10*

292 ГРАФЫ
маршрутом с полюсом лг0. Пустой маршрут, по опреде-
определению, замкнут. Его полюсом считается произвольная
вершина графа X.
Понятие маршрута является комбинаторным эквива-
эквивалентом топологического понятия пути. Для маршрутов
можно чисто комбинаторно построить аналог гомотопичес-
гомотопической теории путей и тем самым для любого пунктирован-
пунктированного графа X—его «комбинаторную» фундаментальную
группу, оказывающуюся изоморфной его обычной («топо-
(«топологической») фундаментальной группе п^Х. Мы не будем
этого делать (хотя настоятельно рекомендуем читателю
самостоятельно провести все необходимые рассуждения) и
будем свободно пользоваться для исследования комбина-
комбинаторных конструкций тополого-геометрическими соображе-
соображениями.
Для каждого ребра е графа X любые два его харак-
характеристических пути / —>¦ X отличаются на некоторое моно-
монотонное отображение /-*/. Поскольку любые два моно-
монотонных отображения / —>¦ I одного характера (т. е. оба
возрастающие или оба убывающие), как легко видеть, го-
гомотопны rel /, мы видим, следовательно, что все харак-
характеристические для ребра е пути / —»- X распадаются на
два класса: пути одного класса (рассматриваемые как
пути в е) гомотопны rel /, а отображения разных классов
не гомотопны. Эти классы естественным образом отож-
отождествляются с ориентированными ребрами е±{, что
дает, таким образом, геометрическую интерпретацию
формально-комбинаторного понятия ориентированного
ребра.
Мы видим, следовательно, что каждое ориентирован-
ориентированное ребро, а потому и любой маршрут, мы, допуская не-
несущественный произвол, исчезающий после перехода к
гомотопическим классам, можем рассматривать как путь в X.
(Это и является причиной, почему маршруты представляют
собой адекватный комбинаторный аналог путей. Конечно,
для полного обоснования этого тезиса надо и, обратно,
любой путь в X интерпретировать—с допустимым произ-
произволом—как маршрут, но формально это нам не понадо-
понадобится, и потому в связи с нашей общей, объясненной вы-
выше установкой мы предоставим это читателю.)
В частности, мы видим, что любой замкнутый марш-
маршрут с полюсом х9 корректно определяет некоторый эле-
элемент группы ях(Х, *,).

ДЕРЕВЬЯ 293
Маршрут в графе X называется простым, если он не
содержит ни совпадающих ребер, ни ребер, отличающихся
лишь ориентациями.
Граф X мы будем называть связным, если любые две
его вершины можно соединить простым маршрутом. (Тот
факт, что это комбинаторное понятие связности совпадает с
топологическим, будет вытекать из наших окончательных
результатов. Поэтому мы его доказывать здесь не будем,
хотя настойчиво рекомендуем читателю доказать его сей-
сейчас же.)
Граф А называется подграфом графа X, если каждое
ребро (и каждая вершина) графа А является ребром
(вершиной) графа X. Легко видеть, что любые две вер-
вершины связного графа содержатся в конечном связном
подграфе.
Связный граф Т называется деревом, если для любых
двух его вершин соединяющий их простой маршрут
единствен, т. е., что, очевидно, равносильно, если в нем
нет непустых простых замкнутых маршрутов. Ясно, что
никакое дерево не содержит петлеобразных ребер и что
любой связный подграф дерева является деревом.
Дерево, состоящее только из одной вершины и не
имеющее ребер, называется тривиальным деревом.
Простое ребро е связного графа X называется ветвью,
если одна (и только одна) его вершина х не является
вершиной никакого другого ребра. О другой его вершине у
говорят, что в ней ветвь в прикреплена к графу X', полу-
получающемуся из графа X удалением ребра е и вершины х.
Ясно, что для любого графа X' и любой его вершины у
можно построить граф X, получающийся из графа X'
прикреплением ветви е в вершине у. При этом, если X'
было деревом, то X также будет деревом.
С другой стороны, легко видеть, что любое нетривиаль-
нетривиальное конечное дерево Т содержит ветвь. Действительно, в
силу конечности в Т существует простой маршрут макси-
максимальной длины, и ясно, что начальное и конечное ребро
этого маршрута являются (в силу максимальности) вет-
ветвями. ?
Очевидной индукцией отсюда следует, что любое ко-
конечное дерево получается иэ тривиального последователь-
последовательным прикреплением ветвей.
Теперь мы можем доказать основную теорему тополо-
топологической теории деревьев.

294 ДЕРЕВЬЯ
Предложение 4. Каждое дерево Т стягиваемо к лю-
любой своей вершине х0 (и потому односвязно).
Доказательство. Ясно, что если граф X полу-
получается из графа X' прикреплением ветви, то Х^Х'.
Поэтому для конечного дерева Т предложение 4 доказы-
доказывается очевидной индукцией по числу ребер.
Пусть дерево Т бесконечно. Для любой вершины х
дерева Т в Т существует конечный связный подграф Т х
(и, значит, дерево), содержащий вершины х0 и х, а в
этом подграфе путь их, соединяющий точку х0 с точкой х
(можно, например, считать, что путь их получен описан-
описанным выше образом из простого маршрута, соединяющего
в Тх вершины х0 и х). Пусть е—произвольное ребро де-
дерева Т. Выбрав для е характеристический путь и: I —>¦ Т
(являющийся в силу простоты ребра е гомеоморфизмом) и
ПОЛОЖИВ * = И@), ysmU(l), ПОСТрОИМ ПуТЬ V^UfUUy1.
Этот путь задается формулой
( uxCs), если 0 <s<l/3,
o(s)-| иCs— 1), если l/3<s<2/3,
( и„C—3s), если 2/3<s<l,
и является петлей в точке х0, целиком содержащейся в
конечном подграфе Те ш> Тх и Ту U е дерева Т. Так как
подграф Тв является, очевидно, конечным деревом и по-
потому, согласно уже доказанному, односвязен, петля v го-
гомотопна нулю в Те, а следовательно, и в Т. Это озна-
означает, что существует такая гомотопия G: Ixl—*Т, что
G@, 0 — 0A, 0 —0(я, 1)—jc, и G(s, 0)-ю(я)для любых
t, s?l. Но простое элементарно-геометрическое построе-
построение (которое мы представим читателю) показывает, что
существует такое непрерывное отображение q>: / х / —* / х /,
являющееся гомеоморфизмом на внутренности квадрата
1x1, что
(О, 1—3s), если 0<s<l/3,
<p(s, 0)=-] Cs—1, 0), если l/3<s<2/3,
A, 3s—2), если 2/3<s<l,
<p@, 0-@, 1), rp(s, l)-(s, 1),
для любых s,t ? I. При этом ясно, что формула Я »G о ф
корректно определяет непрерывное отображение Я: /х

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ ГРАФА 295
у.1 —*Т, обладающее тем свойством, что у
Я (О, /)-«жA-0, "A, *)-и(,A-*). '€/,
w tf(s, 0)-«(s), tf(s, 1)-*,, s€/. .
Пользуясь тем, что отображение и является гомео-
гомеоморфизмом, мы любой точке z ? е и любому числу tf € /
сопоставим точку F(z, t)**H(s, t) дерева Т, где s—та-
s—такое число из /, что z = u(s). Ясно, что получающееся
отображение F: ех!—+Т непрерывно;
С Другой стороны, из формул (9) непосредственно
следует, что эта конструкция согласована на каждой вер-
вершине х дерева Т, т. е. что точка F (x, t) не зависит от
выбора ребра е, вершиной которого является х. Это
означает, что нами корректно определено отображение F:
Тх/—+Т, обладающее тем свойством, что на любом под-
подмножестве вида е х / оно непрерывно. Но тогда это отобра-
отображение будет в силу условия 3) определения 2 непре-
непрерывно и на всем произведении Txl, т. е. будет гомото-
пией.
Для завершения доказательства остается заметить, что,
как непосредственно следует из формул (9), гомотопия F
связывает тождественное отображение Т —>¦ Т с постоянным
отображением Т —* Т. ?
Пусть теперь X—произвольный связный граф. Рас-
Рассмотрим множество X всевозможных поддеревьев (подгра-
(подграфов, являющихся деревьями) графа X. Ясно, что для
.любого линейно упорядоченного по вложению семейства
деревьев 7\€& их объединение U7\ также является де-
деревом, т. е. лежит в Ж. Это означает, что (очевидно,
непустое) множество ? удовлетворяет условиям леммы
Цорна и потому содержит максимальный элемент. Этим
доказано, что в любом связном графе X существует мак-
максимальное поддерево Т.
Легко видеть, что поддерево Т тогда и только тогда
максимально, когда оно содержит, все вершины графа X.
Действительно, если в X существуют вершины, не при-
принадлежащие дереву Т, то в X существует такое простое
ребро е, что одна из его вершин лежит в Г, а другая нет.
Тогда T[j~e будет поддеревом в X, содержащим дерево
Т и отличным от Т, что в силу максимальности Т не-
невозможно. Обратно, пусть дерево Т содержит все вершины
графа X. Тогда для любой вершины х ? Х° в дереве Т

296 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ ГРАФА
будет существовать единственный дростой маршрут wx,
соединяющий с вершиной х некоторую фиксированную
вершину л;0. Если дерево Т не максимально, то в X су-
существует такое простое реб-ро е, что подграф Т'=аТ[)е
является деревом. Пусть х и у—вершины ориентирован-
ориентированного ребра е+1. Тогда маршруты wy и wxe+1 будут двумя
различными простыми маршрутами в 7", соединяющими
вершину х0 с вершиной у, что невозможно. Следователь-
Следовательно, дерево Т максимально. Q
Предполагая максимальное дерево ГсХ и вершину
Хп^'Х" фиксированными, мы для любого ребра е?Х\Т
можем рассмотреть замкнутый маршрут wxe+llw~}, где
х, у—вершины ориентированного ребра e+l, a wx и wy,
как и выше,— простые маршруты в Т, соединяющие вер-
вершину хл с вершинами хну соответственно. 'Согласно
сказанному выше этот маршрут однозначно определяет
некоторый элемент фундаментальной группы лгХ. Допус-
Допуская определенную вольность, мы обозначим этот элемент
символом '[в].
Теорема 2. Фундаментальная группа ntX произволь-
произвольного связного графа X является свободной группой. Эле-
Элементы вида [е], е?Х\Т, являются {при любом выборе
максимального поддерева Т) ее свободными образующими.
Доказательство. Рассмотрим факторпространство
Х\Т. Ясно, что это факторпространство является буке-
букетом окружностей, каждая из которых получается из не-
некоторого (простого или петлеобразного) ребра е?Х\Т,
т. е. имеет вид <ре> № ф—отображение факторизации
X—-+XIT. Лри этом образом элемента [е]€ягХ, е?Х\Т,
при гомоморфизме ф#: niX—+n1(X/T), индуцированном
отображением ф, является, очевидно, образующая фундамен-
фундаментальной группы я^фе) окружности <ре (стандартным об-
образом вложенной в свободное произведение щ (Х/Т) групп
ях(фе)). Это означает, что гомоморфизм <р* является гомо-
гомоморфизмом группы ntX на свободную группу nt(X/T), пе-
переводящим элементы [е] в свободные образующие группы
*h(X/T).
С другой стороны, легко видеть, что пара (X, Т)
является парой Борсука (мы предоставляем доказать этот
факт читателю; он является тривиальным частным случаем
общей теоремы Борсука, которую мы докажем в лекции
11; см. предложение 1 лекции 11). Поэтому в силу леммы
6 лекции 4 и предложения 4 отображение ср является

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ ГРАФА 297
гомотопической эквивалентностью и, значит, гомоморфизм
Ф*— изоморфизмом. Следовательно, группа щХ свободна и
элементы [в], е?Х\Т, являются ее свободными образую-
образующими. ?
Замечание 6. Легко йидетй, что каждый граф X
накрываем н что для любого его накрытия Х--+Х прост-
пространство X также является графом (см. в лекции 19 пред-
предложение 7). Поэтому в силу теоремы 2 для любого накрытия
Х~>-Х графа X группа пхХ свободна. Принимая за X
букет окружностей, а за Х~>-Х накрытие, отвечающее
произвольной подгруппе G группы ntX (и потому обла-
обладающее тем свойством, что щЯ ¦v Q), мы немедленно
получим отсюда, что любая- подгруппа свободной группы
свободна. Это—известная теорем» Нильсена —
ПГр аи ер а1, алгебраическое доказательство которой' до-
ПОЯЬНО' ТЯЖКО.

ЛЕКЦИЯ 7
Гладкие отображения и гладкие гомотопии.— Теорема
Сарда.— Группа nmS" при т < п.— Фундаментальная
группа пространства Sn/O.— Степень гладкого отобра-
отображения.— Гомотопическая инвариантность степени.— Сте-
Степень гомотопического класса.— Инъектнвность отображе-
отображения deg.
Для применения гомотопических групп к отдельным
геометрическим задачам необходимо уметь вычислять эти
группы для конкретных пространств. Однако в общем
виде эта задача оказывается необыкновенно трудной, и
до сих пор, несмотря на все усилия и выработанную
изощренную технику (с которой мы постепенно позна-
познакомимся), нет ни одного пространства (за исключением
тривиальных случаев вроде окружности S1), о котором
можно было бы сказать, что все его гомотопические группы
нам известны. Это относится даже к таким простым прост-
пространствам, как сферы S" при п > 1.
В этой лекции мы вычислим гомотопические группы
nmSn при т^.п. Это требует неких аппроксимационных
методов, в принципе чуждых теории гомотопии (но упот-
употребления которых, по-видимому, избежать нельзя; инте-
интересно, что после того, как при т^.п группы nmS" вы-
вычислены, их вычисление при т > п—насколько это удается
сделать—уже может быть произведено чисто гомотопи-
гомотопическими, или, лучше сказать, алгебро-топологическими
средствами). Нужные аппроксимации можно осуществить
посредством либо гладких, либо кусочно линейных
(=симплициальных) отображений. Мы воспользуемся
гладкими аппроксимациями, потому что, во-первых, ос-
основные понятия теории гладких многообразий, безусловно,
известны читателю из обязательного курса, а во-вторых,
на русском языке существует много превосходных изло-
изложений этой теории; см., например, [14]. Впрочем, все
необходимые сведения из теории симплициальных аппрок-
аппроксимаций мы в своем месте также изложим; см. Дополне-
Дополнение к лекции 12.
В лекции 12 мы заново вычислим группы nmSn, m^.n,
иа основании некоторых более общих соображений. Однако
более геометричные методы настоящей лекции имеют свои
премущества и знакомство с ними отнюдь не бесполезно.

ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ГЛАДКИЕ ГОМОТОПИИ 299
Под многообразием мы в этой лекции всегда будем
понимать гладкое (некоторого предписанного класса
С, г ^2) компактное хаусдорфово (и потому метризуе-
мое) многообразие, вообще говоря, с краем. Многообразия
без края мы будем называть замкнутыми многообразиями.
Руководящим примером многообразия без края у нас
будет сфера S", а многообразия с краем—ее произведение
S" х/ на отрезок.
На произвольном многообразии N всегда можно ввести
риманову метрику, причем, как доказывается в теории
римановых пространств, для каждой римановой метрики
р на N существует такое еп > 0 (называемое обычно чис-
числом Морса риманова многообразия N), что для любых
двух точек у0, yt?N cp(yB, «/,>)< е0 в N найдется един-
единственная геодезическая tr-*y{t\ уп, уЛ) длины <е0,
соединяющая точку у„ с точкой yt. Например, для сферы
S" (в ее естественной метрике) число Морса равно п.
Предполагая, что геодезическая t*->y(t; у„, yt) отне-
отнесена к параметру t, пропорциональному длине дуги и меняю-
меняющемуся от 0 до 1, рассмотрим отображение (у0, у±, t)>-+
*-*y(t; y0, yi) в многообразие N открытого подмножества
{(Уо. Уо 0; Р(#о. yi)<«o\ многообразия NxNxI. Из
теоремы о гладкой зависимости решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений от начальных данных непосредственно
следует, что это отображение гладко и, в частности,
непрерывно. Поэтому для любого топологического прост-
пространства X и любых двух отображений/, g: X—+M, удов-
удовлетворяющих условию р (/(*), 8(х))<.%< х?Х, формула
F(Xi t)-y(t; f(x)t g(x))
корректно определяет гомотопию F: ХхГ—^-N, связы-
связывающую отображение / с отображением g. Таким образом,
отображения в многообразие гомотопны, если они доста-
достаточно близки.
Напомним теперь, что непрерывное отображение
f>-. М —<¦ ^многообразия М в многообразие W называется
гладким отображением., если в локальных координатах
оно записывается гладкими функциями. В теории гладких
многообразий доказывается, что любое непрерывное отоб-
отображение f: M —»¦ N можно сколь угодно близко прибли-
приблизить гладкими отображениями, т. е. что для любого
е> 0 существует такое гладкое отображение g: M—+N,
что p(f(x), #(#))<в для любой точки х?М. (В каждой
координатной окрестности функции, задающие отображе-

300 ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ГЛАДКИЕ ГОМОТОПИИ
ние /, приближаются—по классической теореме Вейер-
штрасса о полиномиальной аппроксимации—посредством
гладких функций, а затем эти локальные аппроксимации
сшиваются в одно отображение g.) В сочетании с пре-
предыдущим результатом это дает следующее утверждение
(мы не называем его предложением, поскольку оно при-
приводится нами фактически без доказательства).
Утверждение 1. Любое непрерывное отображение
f: М —*¦ N гладкого многообразия М в гладкое многообра-
многообразие N гомотопно некоторому гладкому отображению
g;M-+N. о
Для многообразий с краем это утверждение допускает
уточнение.
Утверждение /'. Если непрерывное отображение
f: М —-* N гладко на крае дМ многообразия М, то суще-
существует гладкое отображение g:M—+ N, совпадающее с f
на дМ и гомотопное f относительно дМ. Q
Доказательство утверждения Г основывается на так
называемой теореме о воротнике, утверждающей,
что край дМ имеет в М окрестность, диффеоморфную
произведению дМ на полуинтервал [0, 1). Кроме того,
требуется некое уточнение теоремы об аппроксимации,
гарантирующее совпадение аппроксимирующей и аппро-
аппроксимируемой функций на множестве, где аппроксимируе-
аппроксимируемая функция уже является гладкой. Впрочем, утвержде-
утверждение г нам понадобится лишь для случая отображений
вида MxI—>~N (и фактически даже S"x/ —*¦ N), когда
большая часть этих технических трудностей отсутствует
(или тривиально преодолевается).
Для замкнутого многообразия М край многообразия
Мх/ состоит из многообразий МхО и Mxl, а условие,
что отображение Мх/—*-yV гладко на крае, означает,
что это отображение, рассматриваемое как гомотопия из М
в N, связывает гладкие отображения. Поэтому примени-
применительно к гомотопиям из М в N утверждение Г дает нам,
что гладкие отображения замкнутого многообразия М
в произвольное многообразие N тогда и только тогда го-
гомотопны, когда они гладко гомотопны (т. е. связаны го-
мотопией из М в N, являющейся гладким отображением
MXI-+N).
Таким образом, прн изучении гомотопических классов
отображений М -г* N (и, в частности, групп nmSn ¦¦[S'*, S"])
мы, не теряя общности, можем ограничиваться лишь глад-
гладкими отображениями и их гладкими гомотопиями.

ТЕОРЕМА САРДА 301
', Для замкнутых многообразий М и N каждое гладкое
отображение f: М —+ N в любой точке х ? М индуцирует
линейное отображение (df)x (называемое дифференциалом
отображения / в точке х) касательного пространства ТХМ
многообразия М в точке х в касательное пространство TUN
многообразия N в точке y*mf(x). В локальных координа-
координатах (или, точнее, в соответствующих базисах касательных
пространств) матрицей линейного отображении {df)x явля-
является матрица Якоби df/dx функций f1, ..., /", задаю-
задающих отображение f в локальных координатах; элементами
этой матрицы служат значения в точке (I1 (х), ..., \т (х))
частных производных df'/d^ функций f1, ..., fa по ло-
локальным координатам I1, ..., 1т на многообразии М
вблизи точки х (здесь, как и всюду ниже, символом т
мы обозначаем размерность многообразия Af, а символом
п — размерность многообразия N).
Точка х называется критической точкой гладкого ото-
отображения f:M—<-N, если линейное отображение (df)x
не надъективно, т. е. если ранг матрицы Якоби df/dx
в точке х меньше п. Точка у ? N называется регулярным
значением отображения /, если ни одна точка x^.f~1(y)
не является критической точкой.
Знаменитая теорема Сарда (которую, впрочем,
за несколько лет до Сарда уже доказал Браун, а впослед-
впоследствии существенно усовершенствовал Дубовицкий) утвер-
утверждает, что для любого гладкого отображения /: M--+N
множество всех его регулярных значений всюду плотно
(напомним, что многообразие М мы считаем компактным;
для некомпактного М утверждение теоремы Сарда не-
несколько ослабляется). В частности, согласно этой теореме,
для любого гладкого отображения f: М —<- N существуют
регулярные значения.
При т<п каждая точка х ? М является критической
точкой, и потому регулярные значения —это в точности
точки, не принадлежащие образу f{M) многообразия М.
Таким образом, мы видим, что при т <_п теорема Сарда
сводится к утверждению, что гладкое отображение мно-
многообразия в многообразие большей размерности обязательно
не надъективно (пользуясь несколько нечеткой, но выра-
выразительной терминологией, можно сказать, что гладкое
отображение не повышает размерность).
В частности, мы видим, что при m < п для любого
гладкого отображения /: Sm —+ S" существует такдя точка

'n
302 ГРУППА nmsn ПРИ т<п
yo?Sn, что /(Sm)cS"\v0. Это означает, что f^miof,
где/'—отображение Sm—+S"\y0, at — вложениеSn\y0—*¦
—*S". Но множество Sn\y0 гомеоморфно (посредством,
скажем, стереографической проекции) пространству R"
и потому стягиваемо. Следовательно, отображение /', а
значит, и отображение /, гомотопно постоянному отобра-
отображению. Поскольку любое непрерывное отображение Sm—+S'
гомотопно гладкому отображению, этим доказано, что
при т < п группа nmSn состоит только из нуля:
A) nmSn — 0, если т<п.
Полагая т=»1, мы получаем, таким образом, что
при п > 1 сфера S" односвязна.
В силу общего изоморфизма D) лекции 6 отсюда сле-
следует, что для любой группы G, вполне разрывно действую-
действующей на сфере S", я > 1, фундаментальная группа про-
пространства S"/G изоморфна группе G:
B) ni(Sn/G)=*G.
Пример 1. Группа второго порядка с образующей а
вполне разрывно действует на сфере S" по формуле а (х) =
— —х, и соответствующим факторпространством Sn/G
является гс-мерное проективное пространство RP". Сле-
Следовательно,
n,RP"=«Z/2 при п > 1
(пространство RP1 является окружностью, и потому
Пример 2. Циклическая группа порядка h с обра-
образующей а может многими способами вполне разрывно
( = без неподвижных точек) действовать на нечетномер-
ной сфере San+1cCn+1. В частности, каждый набор це-
целых взаимно простых с h чисел аа, av —, ап (задан-
(заданных с точностью до слагаемых, кратных К) определяет
такого рода действие по формуле
C) а(г„ г, ги)«(?;в»г0> ^г, Z*«zn),
(г„ *B)€S«"+1,
где ?—первообразный корень из 1 степени п. (На самом
деле любое вполне разрывное действие группы 2/Л на
сфере S*"*1 эквивалентно действию вида C), но этот факт
лежит вне русла нашего изложения.) При замене ? дру-
другим первообразным корнем т|, связанным с•? равенством

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА Sn/Q 303
^==stia, где а взаимно просто с ft, числа а0, а±, ..., ап
заменяются числами аа0, aalt ..., аап. Имея это в виду,
мы будем называть факторпространство сферы San+1 по
действию C) группы Z/h линзовым пространством типа
(aa:ali...:an; ft) и будем обозначать его символом
L{au-.ai:...:an; ft). Согласно общей формуле B)
nxL (а0:at:...:ап; ft) =»Z/h.
Замечание I. Много сил было положено на уста-
установление гомеоморфности и гомотопической эквивалент-
эквивалентности линзовых пространств. Впрочем, вопрос о гомото-
гомотопической эквивалентности решается без особого труда и,
как оказывается, два линзовых пространства L(ao:a1:...
... :а„; ft) и L {Ь9\Ьг:... :bn; ft) тогда и только тогда го-
мотопически эквивалентны, когда существует такое число с,
что
Ь„Ь,...Ь„sa±fn+lafat.. .а„modft.
Реальный затруднения вызываеч лишь вопрос о гомео-
гомеоморфности линзовых пространств. Он был решен (и то
лишь частично) только сравнительно недавно на основа
весьма глубокой и сложной техники.
Для трехмерных (случай п=*\) линзовых пространств
L{ao'.at; ft) принято несимметричное обозначение L[a, ft],
где а—такое число, что аг зз аа0 mod ft. Два пространства
L[a, ft] и L[b, ft] тогда и только тогда гомотопически
эквивалентны, когда существует такое число с, что
Ь si ± c*a mod ft, а гомеоморфны тогда и только тогда,
когда с ss I mod ft илис=6тос!Л (в последнем утверждении
нетривиально лишь «только тогда»).
Напомним, что атлас гладкого многообразия М назы -
вается ориентирующим атласом, если для любых двух
его карт (с непустым пересечением) якобиан перехода от
локальных координат одной карты к локальным коорди-
координатам другой карты положителен. Многообразие, обладаю-
обладающее ориентирующим атласом, называется ориентируемым.
Максимальные ориентирующие атласы называются ориен-
тациями ориентируемого многообразия М. Многообразие
с фиксированной ориентацией называется ориентирован-
ориентированным. Карты этой ориентации называются положительными
картами. Связное ориентируемое многообразие обладает
точно двумя ориентациями, которые называются противо-
противоположными. Каждая карта связного ориентируемого мно-

304 СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
гообразия определяет некоторую ориентацию многообра-
многообразия, по отношению к которой эта карта положительна.
Если теперь М и N— два гладких ориентированных
замкнутых многообразия одной и той же размерности п,
то для любого гладкого отображения f:M—*N и любой
его некритической точки х?М мы можем рассмотреть
в М и N положительные карты, содержащие точки х
и y=af(x) и якобиан функций, задающих в этих картах
отображение /. Ясно, что знак этого якобиана не зависит
от выбора карт, т. е. корректно определен точкой х и
отображением / (при заданных ориентациях многообра-
многообразий М и N). Мы будем называть его знаком отображе-
отображения f в точке х и будем обозначать символом e,f{x).
Из элементарно-аналитической теоремы об обратном
отображении непосредственно следует, что гладкое отобра-
отображение /: М—+ N замкнутых многообразий на некоторой
окрестности каждой некритической точки х ? М является
диффеоморфизмом этой окрестности на некоторую окрест-
окрестность точки у'"fix). Поэтому для любого регулярного
значения у ? N его прообраз /-1 {у) состоит из конечного
числа (некритических) точек. (Заметим, что здесь сущест-
существенно используется компактность многообразия М.) Мы
положим
где суммирование распространено на все точки x^f^iy).
Условно число degy/ можно назвать «алгебраическим
числом» точек из f~1{y).
Ясно, что каждая точка #€/-х(#) обладает окрест-
окрестностью, все точки которой также некритичны (это будет
окрестность, в которой отображение / является диффео-
диффеоморфизмом), причем eXl(/) = ex(f) для любой точки хг этой
окрестности. Поэтому каждое регулярное значение у ?N
гладкого отображения f обладает окрестностью, состоя-
состоящей из регулярных значений, и для любой точка ух этой
окрестности
D) degj-deg/
(На языке анализа это означает, что функция y*-+degyf
локально постоянна.)
Оказывается, что если многообразие N связно, то ра-
равенство D) справедливо для любых регулярных значений
у, yi?N отображения f, т. е. в этом случае число l/

СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 305
не зависит от выбора регулярного зиачения у- (функция
yy-*-degJ постоянна). Казалось бы, что это непосред-
непосредственно следует из локальной постоянности функции
yy-*-degyf, но на самом деле ситуация здесь значительно
тоньше, потому что множество регулярных значений
отображения f даже при связном N-, вообще говоря, не1-
связна Чтобы' полнее понять, почему все же функция
у н-* deg!tf постоянна, мы дадим этому два доказатель-
доказательства, одно из которых можно охарактеризовать как «ана-
«аналитическое», а другое—как «геометрическое».
Аналитическое доказательство. Это дока-
доказательство основывается на следующих фактах, которые
мы будем предполагать известными,:
1. На любом ориентированном компактном гладком
п-мерном многообразии N существует дифференциальная
форма <оо степени п, для которой интеграл
S
N
отличен от нуля. (Если на N введена риманова метрика,
то этим свойством обладает форма объема. Для
сферы S", отнесенной к обычным сферическим координа-
тамс ®и %г <•-,%, форма объема равна со»0аcos*9,...
.. .cos»-10n (<% л <Ю,.Л... Л <ад>)
2. Если многообразие N связно, то, каждая дифферен-
дифференциальная форма ю степени п на N выражается форму-
формулой
где r?R'; a a—некоторая форма степени п—1.
3. Для любого открытого множества 11 с М сущест-
существует такая форма со степени п, чтои> = 0 вне U и со[М]ф 0.
Отсюда следует, что для любого гладкого отображе-
отображения. /: М —*. N' замкнутых многообразий и любой формы а>
на М% для которой ш[Л/]^0, число
не зависит от выбора формы ю (в предположении, что мно-
многообразие N связно). Действительно, если. <o — r<oo-t-da,
то в силу теоремы Стокса a>[iV]-«r ^ <оо -»гсо0 [Л1] и

306 СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
аналогично (/*©)[М]«* г (/*©,) [М]. Поэтому
(f*a>)[M]_(f*(o0)[M] п
С другой стороны, если у& N—регулярное значение
гладкого отображения /: M—*N, xt, ..., xs?M — все его
прообразы и Vu ..., VsczM —непересекающиеся окрест-
окрестности (которые мы можем предполагать координатными)
точек xit ..., xs, каждую из которых отображение /
диффеоморфно отображает на (координатную) окрестность
О точки yt-N, то для любой формы ю, равной нулю вне U,
N U
U
М V, V
S
и согласно классическому правилу замены переменных в
кратных интегралах для любого »"=<¦ 1, ..., s имеет место
равенство
где г{—знак якобиана отображения / в точке xt (или,
что равносильно, в окрестности V(). Поэтому
(/¦ю) [М] - е,© [N] + ... + 8л<о [N]«(et + ... +e,) to [N]
и, значит, d (/)« е* + ... + es ш* deg;//.
Так как число d (/) не зависит от выбора точки у, то, сле-
следовательно, число elegy/ также обладает этим свойством.
Заметим, что мы не только доказали независимость
числа degyf от точки у, но и нашли для него явную фор-
формулу в виде отношения двух интегралов.
Геометрическое доказательство. В этом до-
доказательстве мы, как и выше, будем предполагать извест-
известным ряд утверждений теории гладких многообразий, боль-
большая часть которых наглядно очевидна, но аккуратно до-
доказывается довольно хлопотно. Имея в виду дальнейшее,
мы сформулируем их в несколько большем объеме, чем
это непосредственно необходимо.
Пусть М и N—гладкие многообразия (вообще говоря,
разных размерностей), Р — подмногообразие многообразия
jV и /: М —*¦ N — гладкое отображение. Если для любой
точки x^j~xP пространство T/{X)N является суммой (не

СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 307
обязательно прямой) своих подпространств (df)xTxM и
Tf (^Р, то отображение f называется трансверсальным
к Р (или t-регулярным вдоль Р). Если Р=={у\, то это
условие сводится к требованию, чтобы точка у была ре-
регулярным значением отображения /. Если подмногообра-
подмногообразие Р имеет край дР, то дополнительно требуется, чтобы
/ было трансверсально к дР, а если, кроме того, и М имеет
край (случай когда край имеет N нам не нужен), то тре-
требуется, чтобы условие трансверсальности (по отношению
как к Р, так и к дР) было выполнено и для ограниче-
ограничения отображения f на этом крае.
Утверждение 2. Если гладкое отображение /: M—*N
трансверсально к Р, то прообраз- f~xP подмногообразия Р
представляет собой подмногообразие многообразия М раз*
мерности dim M *f- dim P—dim N, край которого является
прообразом края многообразия Р. П .
В частности,., прообраз f~l(y) любого регулярного зна-
значения- у- ?/У является подмногообразием многообразия М
размерности dim M — dim N.
Конечно, в соответствии с общим определением ^-ре-
^-регулярности, в случае, когда многообразие М имеет край
дМ, здесь предполагается, что у является регулярным
значением и отображения }\дм-
В последнем случае можно дополнительно утверждать,
что пересечение f~1(y)f]dM многообразия /-1(t/) с краем
дМ многообразия М является его краем df^ly), причем
ни в одной точке x?df~l(y) многообразие /-1(у) не каса-
касается многообразия дМ (т. е. Tx(f~l(y))<?Tx(dM)).
Для любого подмногообразия PczN и любого транс-
нереального к Р гладкого отображения /: М —> jV можно,
кроме того,. довольно.точно описать поведение отображе-
отображения / вблизи каждой компоненты Q подмногообразия f~lP.
В общем виде это. описание нам не понадобится, и по-
потому мы ограничимся тремя простейшими случаями.
Случай 1 (фактически уже разобранный выше).
Пусть Р является точкой y?N (регулярным значением
отображения/) и dim М = dim N = п. Тогда прообраз//» =
~f~1(y) состоит из отдельных точек и каждая точка
x?f (.У) обладает окрестностью U, которую / диффео-
морфно отображает на: некоторую окрестность V точки у.
Уменьшив, если, нужно, окрестности U и V, -мы можем
считать, что окрестность V диффеоморфна открытому шару
Ё" евклидова пространства, R". Скомпилировав этотдиффео

308
СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
морфизм с диффеоморфизмом /|у, мы получим диффео-
диффеоморфизм U -—Ёа, для которого имеет место коммутатив-
коммутативная диаграмма
U
ш
Случай 2. Пусть по-прежнему Р*~{у\ и
но &\тМя*п-\-\. Тогда f~lP является компактным одно-
одномерным многообразием, и потому (конечно, это «потому»
нуждается в обосновании) каждая его компонента диффео-
морфна либо окружности, либо отрезку (являющемуся, как
говорят, вложенной дугой). При этом компоненты, диффео-
морфные отрезку (дуги), могут существовать только тогда,
когда многообразие М обладает краем дМ. Оказывается,
что каждая диффеоморф-
ная отрезку компонента Q
многообразия f"*P обла-
обладает (в М) такой окрест-
окрестностью U, а точка у9 в
# — такой окрестностью
V, что:
(i) имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
V -
?"x/-
V
I
рис. 15.
вертикальные стрелки ко-
торой являются диффеомор-
диффеоморфизмами, а нижняя гори-
горизонтальная стрелка представляет собой проекцию рг:
(х, Он**. Х?Еп, <€Л
(ii) диффеоморфизм U—^E"xI отображает дугу Q на
отрезок Ох/, а пересечение U Г\дМ-~на объединение
(?" хО) и (?" X 1) (см. рнс. 15). (Для компонент, диффео-
морфных окружности, ситуация оказывается более слож-
сложной, во, к счастью, эти компоненты нам не нужны.)
Случай 3. Пусть Р является подмногообразием
диффеоморфньш отрезку (т. е- вложенной дугой), a dim M »=
a» dim #¦•/*. Тогда подмногообразие f~lP рпять одно'

СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 309
мерно и мы снова рассмотрим его компоненту Q, диффео-
морфную отрезку (являющуюся вложенной дугой). В этом
случае подмногообразия Q и Р обладают такими окрест-
окрестностями U и V, что
(i) имеет место коммутативная диаграмма
U -U V
вертикальные стрелки которой являются диффеоморфиз-
диффеоморфизмами, а нижняя горизонтальная стрелка задается соот-
соответствием
, ф@).
'e>
где /8=-(—е, 1+е), е > 0, аф—такая гладкая функция
/е — /в. чтоф@)-0 иф'@)^0, ф'A)*»1;
(И) диффеоморфизмы U—En~l х/6иК-+ i™ x /е отоб-
отображают дуги Q и Р на отрезок Ох/.
Заметим, что из этих условий (и требования трансвер-
трансверсальности) следует, во-первых, что фA) равно либо 0,
либо 1, и, во-вторых, что при 0 < t < 1 число ф @ не
равно ни 0, ни 1.
Во всех трех случаях принято называть нижнюю
стрелку построенных диаграмм нормальной формой отобра-
отображения /. Таким образом, в случае 1 нормальной формой
является тождественное отображение id, в случае 2 —
проекция рг, а в случае 3—отображение вида Мхф
(отображение ф можно также дополнительно нормализо-
нормализовать, но это нам не понадобится).
На языке локальных координат существование этих
нормальных форм означает, что в окрестностях U и V
можно выбрать такие локальные координаты lit ..., |
(и §n+i"«* в случае 2) и т}, ца, что отображение }
будет в этих координатах записываться формулами
Tli = li Лпв^„ в случаях 1 и 2,
Tb^li. ••-. nn-i-?n_i. П„ — ФAп) в случае 3.
Теорема Сарда также может быть обобщена на случай
произвольных подмногообразий PcN.
Пусть Р и Р'—диффеоморфные подмногообразия мно-
многообразия N. Это означает, что существует такое гладкое
многообразие Р9 и такие гладкие вложения (; РЧ—+1Ч

310 СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
и V: Pq—*N, что iP^=aP и i'P0 = P'. Предполагая вло-
вложения i и V фиксированными, мы будем называть под-
подмногообразия Р и Р' г-близкими (по отношению к неко-
некоторой метрике р на N), если p(i(x), i'(#))<e для любой
точки х?Р0. Обобщенная теорема Сарда утвер-
утверждает, что для любого гладкого отображения /: M—+N
гладких компактных многообразий, любого подмногообра-
подмногообразия PcN и любого е>0 существует такое е-близкое
к Р подмногообразие Р', что отображение f трансвер-
сально к Р'. При этом, если подмногообразие Р имеет
край дР и отображение / траисверсальио к дР, то можно
дополнительно требовать, чтобы дР'**дР.
Теперь мы можем непосредственно приступить к дока-
доказательству независимости числа degy'f от у.
Пусть М и N—замкнутые гладкие ориентированные
многообразия одной и той же размерности п, и пусть /:
M—t-N—гладкое отображение, а у„, у±?Л^-^его два ре-
регулярных значения. Пусть, кроме того, многообразие N
связно. Тогда (конечно, при ЫфБ" это нужно доказать)
точки у0, yt можно соединить вложенной дугой Р, а в силу
обобщенной теоремы Сарда можно предполагать, что ото-
отображение f трансверсально к Р. Согласно утверждению 2
прообраз }~гР будет одномерным многообразием с краем
df~*P, являющимся прообразом /(f/0)U/:(yi) концов
дуги Р. При этом'каждая точка x^^df^P будет концом
некоторой вложенной дуги Q—компоненты многообразия
f~lP. Пусть Xf^df^P—другой конец этой дуги.
Согласно сказанному выше мы можем считать, что
в многообразиях М я N существуют такие положитель-
положительные карты ((/; Ъи ..., L) и (V; %, ..., t\n), что:
1) QcU и точка х?и тогда и только тогда принад-
принадлежит"^, когда
2) P<zV и точка y?V тогда и только тогда принад-
принадлежит Р, когда
% (У) -0 т,„-1 (У) - 0. 0 < Л. (.</) < 1;
3) имеет место включение fUcV, и отображение /
задается в локальных координатах ?i; ...,?„ и тц, ..., т)„
формулами ¦

СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
311
где ф—такая гладкая функция, что <p@)=«0 и <p'(Q)>0,
ф'A)^=0, причем (рA) равно либо 0, либо 1, и 0<<р(|)<
< 1 при 0<g< 1.
При этом, без ограничения общности, мы можем счи-
считать, что ?„(*„) = 0, ?„(*,)*¦ 1 и аналогично, что Н0
лЛ^)-1 (так что xt?f-lyu, а ^€/. если
и *ibf~*9x* если ФA)-1)-
Якобиан отображения / в точке хл равен, очевидно,
ф'@), так что вклад точки хл в deg,/of равен eVo —
— sgn<p'(O). Аналогично, точка xt дает вклад в deg,/o/
о Г? о JJ
Случай ф(|)=| Случай ф(|)=0
Рис. 16.
(при срA)-=0) или в deg7if (при фA)=1), равный eXt==
-sgnф'(l). С другой стороны, из условий, наложенных
на функцию ф, непосредственно следует (см. рис. 16), что
sgn<p'(l)'
( sgnф'@), если фA)-1,
'{ —sgпф'@), если фA) = 0.
Следовательно, при фA)=1 точки х0 и хг дают равные
оклады в числа deg^/ и degyj, а при фA)«-0—взаимно
сокращающиеся вклады в число degyj.
Таким образом, называя точку ха^^гуа (точку хг?
?f~lHi)*¦ существенной, если д:,^/^ (если *o€/:"'1«/o)i и
несущественной, если xl^f~1y0 (соответственно ^„g/^),
мы получаем, что несущественные точки входят в f~1y0
(а также, конечно, в Z^) парами с различными знаками
(и потому при подсчете степени взаимно уничтожаются),
1 каждой существенной из f~ly0 взаимно однозначно соот-
соответствует в /"'у, существенная точка с тем же знаком.
Поэтому deg(,0/-=deg7i/. ?
См. рис. 17.
Так как degj,/ не зависит от у, то, положив
degf —degtf/,

312 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ СТЕПЕНИ
где у—произвольное регулярное значение отображения /,
мы корректно отнесем каждому гладкому отображению /:
M—+N некоторое целое число deg/ (совпадающее, заме-
заметим; с числом^ d (/)-, определенным' интегральной формулой
E)). Это число называется степенью отображения f.
Точки хв я Xt Точки дгг и хх
существенны несущественны
Рис. 17.
Подчеркнем, что многообразия М и N предполагаются
здесь гладкими, замкнутыми, ориентированными много-
многообразиями одно* и- той же размерности, и многообразие N,
йроме того; предполагается связным.
Оказывается, что если два гладких отображения f, g:
M—+N гладко гомотопны, то- их степени совпадают:
F) deg /—degg.
Особенно просто это доказывается* с помощью формулы E),
причем для этого ие надо даже требовать, чтобы гомото-
пия ft: М —*• N, связывающая данные отображения, была
гладкой'; Действительно1, по теореме анализа о зависимости
интегралов^ от параметра число
$
м
непрерывно зависит от t. Поэтому число
также непрерывно зависит от t. Следовательно, являясь
целым, это число постоянно, п

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ СТЕПЕНИ 313
При «геометрическом» подходе целесообразно доказать
некое "более общее—очищенное от посторонних деталей —
утверждение, тривиальным следствием которого является
равенство F). Для этого нам понадобятся некоторые
общие результаты теории гладких многообразий, относя-
относящиеся к ориентациям, которые мы по-прежнему примем
без доказательства.
Для любого (п+1)-мерного многообразия We краем
точки его края dW характеризуется тем, что они обла-
обладают картами (.{/; ?0, %и ..., ?„), для которых карти-
картирующий диффеоморфизм х ь—»«.Cio (*). \\ (*)» • • • > \п (*))
является отображением на полудространство %о^0 про-
пространства R"+1. При этом
G) .{UndW; lilvrfw, •<-, tnlurfw)
будет картой многообразия &W.
Утверждение 3. Если многообразие W ориентиру-
ориентируемо, то его край dW также ориентируем. Любая ориен-
ориентация многообразия W индуцирует некоторую ориента-
ориентацию многообразия dW. П
Именно, если карта <(/; |0, li, •••, ?„) задавала дан-
данную ориентацию многообразия W, то, по определению,
карта G) будет задавать индуцированную ориентацию
многообразия <Ш. (Конечно, это определение нуждается
в—совсем не очевидной—проверке корректности,)
В случае, когда W^MxI и, значит, dW**(MxQ)U
.U(Afxl), многообразие W ориентируемо тогда и только
тогда, когда ориентируемо многообразие dW, т. е. мно-
многообразие М. При этом для любой карты ((/;?„ ..., Ъп)
многообразия М, задающей его ориентацию о, карта {Uxl;
И, 1Г, .... In), где
&{Х, t)-t, Ц(Х, O-Si W ln(X, t)-ln{x),
x?U, t?l,
будет задавать ориентацию ох/ многообразия Мх/, инду-
индуцирующую на МхО ориентацию о, т. е., точнее, перехо-
переходящую в ориентацию о при отождествлении (х, 0)у-*х.
Напротив, на М х 1 ориентация ох/ будет индуцировать
противоположную ориентацию —о, поскольку ориента-
ориентация о индуцируется, очевидно, ориентацией, задаваемой
картой (Uxl; 1—<??, 51» •••> ?л)> которая противопо-
противоположна ориентации ох/. Условно эту ситуацию можно
записать формулой
d(Mx/)-MxO—

314 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ СТЕПЕНИ
Отсюда, в частности, следует, что для любого глад-
гладкого отображения h: d(MxI)—*N имеет место формула
deg/t-sdeg/—degg,
где f и g—отображения М—> #, определяемые форму-
формулами
f(x)—h(x,0), g{x)**h(x, 1), х?М.
С другой стороны, тот факт, что отображения / и g го-
гомотопны, равносилен утверждению, что отображение h
является ограничением на д(Мх I) некоторого отображе-
отображения F: Mxl —+N. Поэтому формула F) является не-
непосредственным следствием следующей общей леммы.
Лемма 1. Для любого гладкого отображения F: W —* N
ориентированного компактного (п+1)-мерного многообра-
многообразия W с краем dW в ориентированное связное замкнутое
п-мерное многообразие N степень отображения h*mF\ew'-
dW~->-N равна нулю:
deg(F|«Mr)-0.
Доказательство. Пусть у—регулярное значение
отображения F (а значит, и отображения К), а х0—про-
х0—произвольная точка прообраза h~l(y). В F^iy) точка х0
является концевой точкой некоторой дуги—компонен-
дуги—компоненты Q. Пусть хг—другой конец этой дуги (также лежащий
в h~1(y)). Очевидно, достаточно доказать, что знаки е,
и et якобиана отображения h в точках х0 и xt противо-
противоположны, т. е. что вклады этих точек в степень cleg ft
взаимно сокращаются.
Но поскольку это утверждение имеет локальный ха-
характер, при его доказательстве мы можем перейти к про-
произвольным окрестностям дуги Q и точки у. Выбрав соот-
соответствующим образом в этих окрестностях локальные
координаты, мы поэтому можем считать (см. выше слу-
случай 2), что
xa = @, 0), А', = @, 1), у = 0.
Для завершения доказательства остается заметить, что
в этой ситуации равенство е,» — е0 очевидно, поскольку
на обеих компонентах Ёпх0 и ?лх1 края д(Епх1)
отображение рг тождественно, а ориентации этих компо-
компонент различны.
Тем самым лемма 1, а значит, и формула F),'пол-
F),'полностью доказана. ?
„

СТЕПЕНЬ ГОМОТОПИЧЕСКОГО КЛАССА| 315
Поскольку, как уже выше было отмечено, любое не-
непрерывное отображение M—+N гомотопно гладкому отоб-
отображению и два гладких отображения тогда и только
тогда гомотопны, когда они гладко гомотопны, из равен-
равенства F) следует, что для каждого гомотопического класса
а ? [М, N] формула
degamdeg/,
где /—произвольное гладкое отображение класса а, кор-
корректно определяет некоторое целое число dega—степень
класса а.
Здесь М и N—гладкие замкнутые ориентированные
многообразия одной и той же размерности п ^, 1, причем
многообразие N связно.
Тем самым мы определили некоторое отображение
deg: [M, N]~^Z.
В частности, при M^N^S" (и, значит, при [М, N] —
— nnS") мы получаем отображение
(8) deg: nnS"-^Z,
являющееся, как нетрудно видеть, гомоморфизмом.
Теорема 1. Отображение (8) является изоморфизмом.
Оказывается, что в теореме 1 специфика сферы S"
играет роль только тогда, когда эта сфера выступает
в роли многообразия N. Что же касается многообразия М,
то от него достаточно требовать лишь связности. Иными
словами, для любого гладкого, замкнутого связного
п-мерного многообразия М отображение
(9) deg: [M, S»]~+Z
биективно.
Это утверждение мы и будем доказывать.
Надъективность отображения (9), т. е. тот факт, что
для любого k С Z существует отображение /: М —* S" сте-
степени k, доказывается без всякого труда (и даже без пред-
предположения, что многообразие М связно). Действительно,
выбрав в многообразии М систему | k \ непересекающихся
открытых шаров, зададим отображение M—+S", потребо-
потребовав, чтобы дополнение к этим шарам оно переводило
в точку So (= S", а каждый шар диффеоморфно отображало
на клетку ?!" = S"\*0, сохраняя ориентацию при k > О
и обращая ориентацию при k < 0. Ясно, что степень этого
отображения равна k.

316 ИНЪЕКТИВНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ deg
При M*mSn этот факт можно доказать еще проще,
заметив, что в силу гомоморфности отображения (8) его
образ является подгруппой группы Z, содержащей сте-
степень 1 тождественного отображения, и потому совпадаю-
совпадающей со всей группой Z.
Таким образом, нам нужно доказать лишь инъектив-
ность отображения (9), т. е. тот факт, что [два отобра-
отображения f, g: M—+ S" тогда и только тогда гомотопны,
когда степени этих отображений равны:
degf-degg.
Это утверждение является простейшим примером так
называемых теорем гомотопической классифи-
классификации, устанавливающих в тех или иных ситуациях
необходимые и достаточные условия гомотопности отоб-
отображений.
В силу общей связи между задачами гомотопии и рас-
распространения (см. лекцию 0} эта теорема непосредственно
вытекает из следующей теоремы распростране-
распространения (примененной к многообразию W**Мх1).
Предложение 1. Гладкое отображение
f: dW-*Sn
кроя dW гладкого компактного ориентированного (п+1)-
мерного сетного многообразия W в сферу S" тогда и
только тогда может быть распространено на все мно-
многообразие W, когда его степень равна нулю:
A0) ctegfo.0.
Доказательство. Необходимость условия A0) со-
составляет содержание леммы 1. Поэтому в доказательстве
нуждается только его достаточность.
Условие A0) означает, что для некоторой точки у 6 S"
ее прообраз }~1у состоит из четного числа точек, в одной
половине которых якобиан отображения / положителен,
а в другой половине отрицателен. Построим семейство
непересекающихся вложенных дуг Qt, соединяющих в W
каждую точку первого типа с некоторой точкой второго
типа, целиком—за исключением концов — лежащих во
внутренности W\dW многообразия W, а в концах не
касающихся края dW. Очевидно, что это всегда можно
сделать (только при п**\ следует с определенной осто-
осторожностью выбирать пары соединяемых точек). Мы дока-

ИНЪЕКТИВНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ deg 317
жем предложение 1, построив такое гладкое отображение
F: W-+S», что:
а) F\aw**fi;
б) точка у является регулярным значением отображе-
отображения F;
в) ее прообраз F~ly состоит из дуг Qt.
Построение такого отображения мы произведем в два
этапа.
Этап 1. Пусть Q—одна из дуг Qh Очевидно, что эта
дуга обладает такой окрестностью U («трубкой вдоль Q»),
что существует диффеоморфизм
ф: R«x/-*?/,
переводящий отрезок Ох/ в дугу Q и отображающий
край Rnx0nR"xl произведения R"x/ на пересечение
U [)dW. При этом окрестности U, отвечающие всевозмож-
всевозможным дугам Q,, мы можем считать непересекающимися.
Кроме того, уменьшив, если нужно, окрестности U, мы
можем считать, что на компонентах Vo«=*(p(R"x0) и
Vt mm q> (Rn x 0) пересечения U ftdW отображение h является
диффеоморфизмом на некоторую окрестность V точки у.
На этапе 1 мы построим отображение F да каждой
окрестности U отдельно. Ясно, что для этого достаточно
построить такое гладкое отображение
Ф: R"x/—"-R\
что:
где
(мы отождествляем IR"xO с R");
б') точка 0 gR" является регулярным значением отоб-
отображения Ф;
в') ее прообразом Ф"!) является отрезок Ох/. (Дейст-
(Действительно, если такое отображение Ф построено, то отоб-
отображение F на V можно будет задать формулой
Пусть /: R"~<-R"—дифференциал (в точке 0) диффео-
диффеоморфизма k (рассматриваемого как диффеоморфизм R"-—>
¦—> R"). Ясно, что если окрестности ?/ и V выбраны дос-
достаточно малыми, то ни для одной точки х С R" \ 0 точка 0
не будет принадлежать отрезку с концами 1(х) и k(x).

318 ИНЪЕКТИВНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ deg
Поэтому отображение Ф,: R?x/—*-К", определенное фор-
формулой
будет обладать тем свойством, что Ф^'ОяшОх/- При этом
точка 0 будет, очевидно, регулярным значением отобра-
отображения Ф1( и будут иметь место равенства
Таким образом, гомотопия Фх обладает всеми свойст-
свойствами а')—в'), за исключением первого из свойств а').
Чтобы исправить дело, мы воспользуемся тем, что по
условию якобианы диффеоморфизмов п\\>„ и h\vt имеют
противоположные знаки. Так как этим же свойством
обладают и диффеоморфизмы <р|,,«.,„ и <p|Rnxl, то, следо-
следовательно, якобиан диффеоморфизма к положителен, т. е.
линейный оператор / имеет положительный определитель,
и, значит, принадлежит компоненте единицы полной ли-
линейной группы GL (л). Поэтому в GL (п) существует глад-
гладкий путь th-*lt, соединяющий тождественный оператор
id=«J0 с оператором 1 = 1Л. Мы определим (очевидно, глад-
гладкую) гомотопию Фо: R"x/—»-Кп, положив
Ф0(лг, t) = (ltx, t) для любой точки (лг, 0€R"X/..
Очевидно, что эта гомотопия также обладает свойствами
б') и в'), а свойство а') для нее имеет вид
Теперь ясно, что гомотопия Ф, получающаяся, когда
мы произведем сначала гомотопию Фо, а затем гомото-
гомотопию Фг, обладает (после соответствующего сглаживания
вблизи точки if = 1/2) всеми требуемыми свойствами.
Этап 2. В результате этапа 1 (произведенного для
всех дуг Q, одновременно) мы получим на некоторой
окрестности объединения U Q, всех дуг Q, (обозначим эту
окрестность снова символом U) отображение F, удовлет-
удовлетворяющее всем условиям а)—в) (с той лишь оговоркой,
что в условии а) край dW надо заменить пересечением
UndW).
Поскольку каждое гладкое многообразие является —
в силу локальной компактности и хаусдорфовости—регу-
хаусдорфовости—регулярным пространством, подмногообразие {JQ/ обладает
в W такой окрестностью V, что Veil.

ИНЪЕКТИВНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ deg 319
Ясно, что на пересечении мнбжеств V\V и dW\V
(замкнутых в W\V) отображения F и h совпадают. Поэ-
Поэтому формула
F(r\*{ еСЛИ X
w I h{x), если x?dW\V,
корректио_определяет непрерывное отображение F объе-
объединения (Уид№)\У этих множеств в сферу S", не заде-
задевающее точку у, т. е. являющееся отображением в Sn\y.
Поскольку Sn\y « R", мы можем поэтому рассматривать
F- как отображение в R" и применить к нему теорему
Титце (см. Дополнение к лекции 0). Согласно этой тео-
теореме существует непрерывное^ отображение F: W\V —+-
—>-Sa\y, совпадающее на (V\JdW)\V с отображением
F, т. е. совпадающее на V\V с отображением F, а на
(W/V с отображением h. Мы определим непрерывное ото-
отображение Ft: W —>¦ Sn, полагая, что на V оно совпадает
с F, а на W\V—с F.
Это непрерывное отображение гладко на dW и на V.
Поэтому (см. выше утверждение 4) его можно сгладить,
не меняя на dW (а также на некоторой содержащейся
в V окрестности подмногообразия UQ,). Получающееся
отображение и будет гладким распространением отображе-
отображения h с dW на все W.
Тем самым предложение 1 полностью доказано. Вместе
с ним полностью доказана н теорема 1. П
Замечание 2. Аналогичным образом (вводя в рас-
рассматривание так называемую степень mod 2) можно дока-
доказать, что если гладкое замкнутое связное n-мерное мно-
многообразие М неориентируемо, то множество [М, Sn] состоит
из двух элементов. Что же касается многообразий с краем,
то для иих легко доказывается, что любое отображение
М —+ Sn гомотопно нулю.
Замечание 3. Рассмотрение прообразов регулярных
значений полезно и при изучении отображений сфер раз-
различных размерностей. На этой основе Л. С. Поитрягин
построил свой знаменитый метод вычисления гомотопи-
гомотопических групп nmSa, идентифицирующий их с так называе-
называемыми группами коборд'измов оснащенных
многообразий. К сожалению, у иас нет времени для
изложения этого метода (интересующийся читатель может
обратиться к книге Понтрягина [7] или к более

320 ИНЪЕКТИВНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ d««
доступному, рассчитанному на начинающих .изложению
Милнора [5]),
Замечание 4. Понятие степени можно ввести и для
отображений многообразий с краем (в многообразия с
краем). Мы не будем развивать здесь соответствующую
общую теорию и лишь опишем несколько специальных
случаев, когда возможна ad hoc редукция к случаю ото-
отображений сфер.
Случай 1. Отображения
(И) f: (?", S-1)—<S\ *,).
С помощью стандартного относительного гомеоморфизма
A2) %: (?», S->)-(S», *.)
(см, лекцию 3) любое такое отображение мы можем
представить в виде /«-/в/, где f: (Sa, so)~*{S", s0). Счи-
Считая, по определению, что deg/«=degf, мы немедленно
получим, что отображения A1) тогда и только тогда
гомотопны (rel S"), когда их степени совпадают.
Случай 2. Отображения
¦(/*, /•)-*(«», »,) am (f»+\ 0)-*-(S«, So).
Этот случай вф воем подобен предыдущему, только
вместо гомеоморфизма A2) надо «спользовать относитель-
относительный гомеоморфизм
A3) х: (/",/")->(«", »о)
или соответственно 'пунктированный гомеоморфизм
A4) «>: (/»+\ О) —<S», в,).
Подчеркнем, что здесь мы имеем дело с отображениями
пространств, не являющимися гладкими многообразиями
(даже—с краем).
Случай 3. Отображения
A5) </», /»)-*{/»+i, в).
Здесь также применим аналогичный трюк, но необ-
необходимы оба гомеоморфизма {13) и A4).
Полезно иметь в виду, что в этих конструкциях нет
необходимости обязательно предполагать отображения
{13) и A4) .гомеоморфизмами—достаточно, чтобы они
были отображениями степени 1.

ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ 321
Конечно, в каждом из случаев 1 —3 можно дать пря-
прямое определение степени. Например, если отображение
A5) гладко на прообразе внутренности одной из граней
куба /n+1, то его степень равна «алгебраическому числу»
прообразов произвольного регулярного значения, принад-
принадлежащего этой грани.
ДОПОЛНЕНИЕ
Простейшие следствия того, что я„$"~ 0,— Распростра-
Распространение отображений в сферы.— Теорема Борсука о неогра-
неограниченной компоненте.— Топологическая инвариантность
размерности кубируемых множеств.— Множества, не рас-
рассекающие сферу.— Теорема об инвариантности области.—
Топологическая инвариантность размерности многооб-
многообразий.
Удивительно, что важные геометрические следствия
имеет уже тот факт, что группа >nnSn отлична от нуля
(а группы nmS" при т < п равны нулю). Например, по-
поскольку я„?"+1=0, функтор пп обладает свойствами,
которые мы требовали от функтора П в доказательстве
теоремы об барабане в лекции 0. Тем самым мы теперь
(и только теперь!) можем считать эту теорему доказанной.
Вместе с тем оказывается доказанной и теорема Брауера
о неподвижной точке (см. лекцию 0).
Далее, мы теперь можем доказать, что при тфп
сферы Sm и S" еомотопически не эквивалентны. Действи-
Действительно, если, скажем, т < п, то nmSn=*0, тогда как
п^фО. ?
Отсюда следует, что при тфп пространства кт и
R." не гомеоморфны. Действительно, любой гомеоморфизм
этих пространств определял бы гомеоморфизм — и, значит,
гомотопическую эквивалентность—их одноточечных ком-
пактификаций 5" и S". ?
Чтобы получить более глубокие результаты, нам по-
понадобится несколько простых замечаний об отображениях
в сферы.
В первую очередь заметим, что если в замкнутой паре
(X, А) пространство X нормально, то любое отображе-
отображение f: A—>-Sn можно распространить на некоторую
окрестность U множества А. Действительно, в силу
вложения 5"cR"+1 отображение / мы можем рассматри-
11 М. М. Постников

322 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
вать как отображение А—*-К"+1. По теореме Титце это
отображение распространяется до некоторого отображения
g: X —Rn+1. Пусть f/^XXg-^O). Ясно, что AaV
и формула
определяет непрерывное отображение f: U —*¦ S", совпа-
совпадающее на Л с отображением /. \j
Отсюда вытекает, что если для замкнутой пары (X, А)
пространство X устойчиво нормально (т. е. оно само нор-
нормально и нормально произведение Xxl), то для каждой
коммутативной „диаграммы вида
A)
существует замыкающая гомотопия F: Xxl —+ S" {т.е.,
как говорят, пара (X, А) удовлетворяет аксиоме РГ по
отношению к отображениям в сферы). Действительно,
применив предыдущее утверждение к паре (Xxl, А), где,
как всегда, Л = (ХхО)[)(Ах /), и к отображению
/: A—+S", заданному формулой
( f(x), если t =0,
fix, 0-1^ t)t если xeAf
мы сможем распространить это отображение на некоторую
окрестность U подпространства А. Из компактности от-
отрезка / непосредственно следует, что в пространстве X
существует такая окрестность V подпространства А, что
VxIaU. По лемме Урысона существует функция ср: X —*¦ I,
равная нулю на X\V и единице на А. Тогда (л;, <р (х) t)?U
для любой точки (я, t) ? X X /, и потому формула
F(x, t)-g(x, ф(хH, *€*- <€Л
где g: U —>5"—распространение на U отображения J,
корректно определяет гомотопию F: Xxl —> S", замыкаю-
1цую, очевидно, диаграмму A). п
Отображения X — *• S", гомотопные нулю, называются
также несущественными отображениями. Все остальные

ТЕОРЕМА ЁОРСУКА О НЕОГРАНИЧЕННОЙ КОМПОНЕНТЕ 32.3
отображения X —>¦ S" называются существенными отобра-
отображениями.
В случае, когда X является n-мерным многообразием,
существенные отображения—это в точности отображения,
степень которых отлична от нуля.
Заметим, что любое существенное отображение надъек-
тивно.
Из доказанного выше утверждения немедленно выте-
вытекает, что если для замкнутой пары (X, А) пространство
X устойчиво нормально, то люЗое несущественное отобра-
отображение /: А —> S" допускает распространение J: X —*¦ S",
также являющееся несущественным отображением.
Пусть теперь X—произвольное компактное подмно-
подмножество евклидова пространства Rn+l. Тогда для любой
точки xa€R.n+1\X формула
определяет некоторое непрерывное отображение рХ): X -*
-¦> S". Если точки лг0 и хг лежат в одной компоненте
дополнения Rn+1\X, то отображения рв(о» где и: t\—>
i->lt(t)—произвольный путь, соединяющий в Rn+1\X
точки лг0 и xlt составляют, очевидно, гомотопию, свя-
связывающую отображения pXl> и pXl. Таким образом, гомо-
гомотопический класс отображения рХа зависит только от
компоненты С дополнения R"+1\X, содержащей точку х0.
В отношении компоненты С возможны два случая:
либо эта компонента ограничена, либо она неограничена-
Пусть сначала компонента С ограничена. Поскольку мно-
множество X компактно, оно содержится в некотором замкну-
замкнутом шаре Е. Ясно, что компонента С, а потому и ее
замыкание С также содержатся в Е. Подвергнув про-
пространство Rn+1 параллельному переносу и гомотетии,
мы можем добиться того, чтобы точка ха совпала с
точкой 0 (и потому отображение р = рх, задавалось фор-
формулой х*-*х/\х\), а шар Е был единичным шаром Е"+х.
Имея это в виду, предположим, что отображение р: X -+¦ S",
xt—>xf\x\, несущественно. Тогда по сделанному выше
замечанию оно распространяется до некоторого (также
несущественного) отображения р: X\jC~> S". Ясно, что
формула _
rtx\-{ рМ* еСЛИ *?ХиС>
К) \ xl\ х 1, если х?Еп+1\С,
и*

324 ТЕОРЕМА ВОРСУКА О НЁОГРАНИЧЕННОП.КОМПОНЕНТЕ
корректно определяет непрерывное отображение г: En+l ~-+
—*¦ S", тождественное на S", т. е. являющееся ретрак-
ретракцией Е"*1—*-Sn. Поскольку такой ретракции существо-
существовать не может, предположение о несущественности ото-
отображения р ложно, т. е. это отображение существенно.
¦ Пусть теперь компонента С неограничеиа. Не теряя
общности, мы можем считать, что точка лг0 лежит вне
шара Е и потому отделена от X некоторой гиперплоскостью.
Тогда направления векторов х—х0 для точек х$Е, а
значит, и для точек Х?Х, содержатся в некоторой полу-
полусфере сферы S" и потому заведомо не заполняют всю эту
сферу. Поэтому отображение р несущественно.
Этим доказано следующее предложение.
Предложение 1. Точка .tfo?(R"+1\X тогда и только
тогда лежит в неограниченной компоненте множества
R"+1\X, когда отображение pXt)' X—+S" несущественно.
Это предложение известно как теорема Борсука
о неограниченной компоненте.
Применительно к замкнутым подмножествам сфер из
теоремы Борсука следует, что если замкнутое подмно-
подмножество X сферы S"+l обладает тем свойством, что каж-
каждое отображение X —*¦ S" несущественно, то оно не рас-
рассекает сферу (дополнение Sn+1 \ X связно). Действительно,
если дополнение Sn+1\X несвязно и х0, x1€.Sn+1\X~>-
точки, лежащие в его различных компонентах, то, отожде-
отождествив проколотую сферу S"+x\jc, с пространством R"+1,
мы получим, что точка х„ будет принадлежать ограниченной
компоненте. Поэтому будет существовать существенное
отображение X—>S" (а именно, отображение рх,). П
Обратное утверждение доказывается прямым геометри-
геометрическим построением, не использующим алгебро-топологи-
ческих соображений и основывающемся на одном свойстве
сферы S"+1, которое целесообразно предварительно обсу-
обсудить в общем виде.
Это свойство связано с проблемой топологической
инвариантности элементарно-геометрического понятия раз-
размерности. Чтобы четко сформулировать эту проблему, надо
в первую очередь четко описать класс пространств, для
которых имеет смысл «элементарно-геометрическая» раз-
размерность.
Пусть JV>0—целое положительное число. Гиперпло-
Гиперплоскости пространства R" с уравнениями вида tl = k2~N,
где i s= I, ..., п, a k ? Z, разбивают это пространство

ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ МНОЖЕСТВ 325
в объединение замкнутых кубов со сторонами длины 2~N.
Эти кубы, а также все их грани (любой размерности) мы
будем называть кубиками мелкости N пространства R".
Подмножество пространства R" мы будем называть куби-
руемым множеством, если существует такое N > 0, что
это подмножество представляется (очевидно, единственным
образом) в виде объединения некоторого семейства куби-
кубиков мелкости N, содержащего вместе с каждым кубиком
и все его грани. Это семейство мы будем называть ку-
бильяжем мелкости N кубируемого множества. Ясно, что
из существования кубильяжа мелкости N вытекает су-
существование кубильяжа любой большей мелкости. Таким
образом, каждое кубируемое множество обладает кубилья-
жами сколь угодно большой мелкости. Любое кубируемое
множество замкнуто. Оно компактно ( = ограничено) тогда
и только тогда, когда все его кубильяжи конечны. Согла-
Согласно лемме Лебега (см. Дополнение к лекции 1) для любого
открытого покрытия компактного кубируемого множества
существует такое N > 0, что каждый элемент кубильяжа
мелкости N этого множества содержится в некотором
элементе покрытия.
Размерностью dimX кубируемого множества X мы
будем называть наибольшую размерность кубиков его
произвольного кубильяжа (ясно, что эта размерность не
зависит от выбора кубильяжа).
Интересующая нас проблема может быть теперь сфор-
сформулирована следующим образом:
Совпадают ли размерности двух гомеоморфных куби-
руемых множеств?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
вытекает из следующего предложения.
Предложение 2. Для кубируемого множества X
неравенство dimX ^п имеет место тогда и только тогда,
когда для каждого замкнутого подмножества АсХ любое
непрерывное отображение /: А —*- S" может быть распро-
распространено на все X.
Доказательство. Достаточность этого условия
легко вытекает из теоремы о барабане. Действительно,
если dim X > п, то в X существуют замкнутые подмно-
подмножества В, гомеоморфные (n-f 1)-мерному шару En+l
(например, каждый (л-f- 1)-мерныЙ кубик любого кубильяжа
пространства X). Пусть g: B—+E"+1—произвольный го-
гомеоморфизм, A**g~l(Sn) и f*=-g\A. По условию, отобра-
отображение /: А —> S" может быть распространено до йекото-

326 ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ МНОЖЕСТВ
рого отображения /: X —*¦ S". Но тогда отображение
(!\в)°8~1 будет, очевидно, ретракцией En+1—>-Sn. Поэтому
diX^
Необходимость условия доказывается прямым построе-
построением. Так как пространство X, очевидно, устойчиво
нормально, то, согласно сказанному выше, отображение
/ может быть распространено на некоторую окрестность
U множества А. С другой стороны, рассмотрев достаточно
мелкий кубильяж множества X, мы получим, что все
кубики этого кубильяжа, пересекающие Л, содержатся
в U. Объединение Ло всех этих кубиков является содер-
содержащим А кубируемым множеством, на которое распро-
распространено отображение /. Поэтому без ограничения общ-
общности мы можем с самого начала считать, что множество
Л является кубируемым множеством (и состоит из куби-
кубиков из некоторого кубильяжа множества X). В этом
случае мы будем распространять отображение / кубик
за кубиком на все кубики из X, не принадлежащие А.
На каждом шаге этого распространения мы встретимся
с ситуацией, когда отображение / задано на границе не-
некоторого кубика размерности пг^п, и задача будет
состоять в распространении этого отображения на весь
кубик. Но поскольку пара (кубик, его граница) гомео-
морфна паре (?>, S") и поскольку, как мы уже знаем,
пт-1$"=*® ПРИ tn^n, эта задача всегда разрешима.
Поэтому, двигаясь от кубика к кубику, мы в результате
распространим отображение / на всё X. ?
Замечание 1. Предложение 2 подсказывает способ
для определения понятия размерности dim X для любого
топологического пространства X. Именно, можно считать,
что dimX^rc, если для каждого замкнутого подмно-
подмножества ЛсХ любое непрерывное отображение А—*¦ S"
может быть распространено на всё X, и dirnX = n, если
dimX^n, но неверно, что dimXs^n—1. Тогда предло-
предложение 2 будет утверждать, что для любого курируемого
множества X размерность в этом смысле совпадает
с его элементарно-геометрической размерностью.
Если dimX>n, то отображение /: A—*Sn может
быть, вообще говоря, распространено только на X" и Ло,
где X"—объединение всех кубиков размерности ^п рас-
рассматриваемого кубильяжа множества X. С другой стороны,
если dimX = rt-r-' и если в каждом (п-\- 1)-мерном ку-
кубике из Х\Л0 выбрано по точке, то множество Х\/С,

МНОЖЕСТВА, НЕ РАССЕКАЮЩИЕ СФЕРУ 327
где К—множество всех выбранных точек, будет, очевидно,
ретрагироваться на Хп[)А0, и потому отображение /
может быть распространено с Хп[)Ап на Х\/С.
Этим доказано, что для любого непрерывного отобра-
отображения f: A—*-S" в сферу Sn замкнутого подмножества
А кубируемого (п-\-\)-мерного множества X существует
такое конечное множество КаХ\А, что f pacnpocmpa~
няется на Х\К.
Вернемся теперь к множествам, не рассекающим сферу.
Предложение 3. Замкнутое множество XcS"'1'1
тогда и только тогда не рассекает сферу S"+1, когда
каждое отображение X—*-S" несущественно.
Доказательство. Достаточность этого условия
была доказана выше. Поэтому нам нужно доказать лишь
его необходимость.
Пусть дополнение SB+1\X связно, и пусть /—произ-
/—произвольное непрерывное отображение X—+S". Так как сфера
S"+1 гомеоморфна кубируемому множеству /"+а, то по
только что доказанному мы можем считать, что отобра-
отображение / распространено до некоторого отображения про-
пространства S"+1\K в сферу S", где К—конечное подмно-
подмножество дополнения Sn+1\K- Будем называть точки из/<
особыми точками отображения f.
Предполагая, что сфера Sn+1 снабжена римановой
метрикой (например, индуцированной евклидовой метри-
метрикой объемлющего пространства R"+a), назовем клеткой
и Sn+1\X произвольный открытый шар ecS"+1\X.
Ясно, что любая точка xn?S"+1\X содержится в неко-
некоторой клетке, граница е = е\е которой не содержит
точек из К и, более того, любые две точки х„, лг, € Sn+1\X
можно соединить цепочкой таких клеток, в которой
любые две последовательные клетки пересекаются.
Имея это в виду, рассмотрим произвольную точку
xt ? К и клетку е, содержащую точку хt и такую, что
ее граница е не пересекается с множеством /С. Пусть
хг—произвольная точка из е. Поскольку множество е\хг
ретрагируемо, очевидно, на е, отображение / может быть
распространено на е\х2.
Получающееся отображение имеет вне е те же особые
точки, что и отображение /, а внутри е—только одну
особую точку х2. Мы будем говорить, что особая точка xL
сдвинута в положение х2. (Заметим, что при этом в хг сдви-

328 ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ОБЛАСТИ
гаются также и все другие особые точки, если они имеются,
содержащиеся в е.) Поскольку, как уже было замечено, лю-
любые две точки H3SB+1\X можно соединить цепочкой клеток,
любые две соседние клетки которой пересекаются, отсюда
следует, что все точки из К можно сдвинуть в некоторую
фиксированную точку ха € S"+1\X. Другими словами,
без ограничения общности мы можем считать, что ото-
отображение / имеет только одну особую точку лг0, т. е.
что оно является отображением Sn+1\Jf0—*-Sn и, сле-
следовательно, несущественно (ибо проколотая сфера Sn+l\x0
стягиваема). Но тогда несущественно и его ограничение
на X, т. е. исходное отображение /. ?
Следствие /. Если AczXczSn+1 и пара (X, А) го-
меоморфна паре (En+l, S"), то множество 5"+1\Л раз-
разбивается на две компоненты, которыми являются мно-
множества Sn+1\X и Х\А. В частности, множество Х\А
открыто в сфере Sn+1.
Доказательство. Так как любое отображение
E"+1~~+Sn несущественно, то множество Sn+l\X связно.
Множество Х\А связно потому, что оно гомеоморфно
открытому шару. Значит, множество
либо связно, либо состоит из двух компонент Sa+l\X
и Х\А. Но связным оио быть не может, поскольку
имеются существенные отображения А —» S" (например,
гомеоморфизм А~*S"). п
Следствие 2 (теорема об инвариантности
области). Если подмножества U и V сферы S" гомео-
морфны и U открыто в S", то V также открыто.
Доказательство. Пусть /: U—*¦ V—заданный го-
гомеоморфизм, и пусть x(zU_> а О—такая сферическая
окрестность точки х, что OcU. Так_ как пара (О, 6)
гомеоморфна паре(Е"+\ S"), то пара (fO, f6) также гомео-
морфна паре (?л+\ S"). Поэтому, согласно следствию 1,
множество f6\JO=*fO, содержащее точку / (лг) ? V,
открыто. Поскольку это множество содержится в V =mfU,
этим доказано, что точка f (x) является внутренней точкой
множества V, а так как в виде f\х) может быть пред-
представлена любая точка из V, то, следовательно, множе-
множество V открыто. ?

ИНВАРИАНТНОСТЬ РЛЗМГРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ 329
Напомним, что топологическое пространство X назы-
называется топологическим п-мерным многообразием, если
любая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной
пространству R".
Следствие 3. Если подмножества U и V топологи-
топологических п-мерных многообразий X и Y гомеоморфны и U
открыто в X, то V открыто в Y.
Доказательство. Пусть /: U—+V—заданный го-
гомеоморфизм, и пусть х ?U. Существуют такие гомеоморф-
пые пространству R", а значит, и пространству S"\s0
окрестности Р и Q точек х и y = f(x) соответственно в
многообразиях X и Y, что Раб и fPczQ. Выбрав гомео-
гомеоморфизмы ф: Р—*-S"\s0 и fy Q—*-5"\s0, рассмотрим
композицию я|) о / о ф, являющуюся гомеоморфизмом
открытого множества -iS"\s0 на его подмножество
(¦ф о /) (Р). Согласно следствию 2 подмножество (\\> о /) (Р)
будет открыто в S", а потому и в S"\s0. Значит, мно-
множество f(P) будет открыто в Q = »|r1(S"\s0), а потому
и во всем многообразии У. Таким образом, каждая точка
/ (х) множества V = fU имеет открытую в Y окрестность fP,
содержащуюся в V. Следовательно, . множество V от-
открыто. ?
Замечание 2. Без предположения, что X и У явля-
являются многообразиями, следствие 3 неверно. Чтобы полу-
получить соответствующий контрпример, достаточно принять
за U, V и X ось абсцисс, а за Y объединение оси абсцисс
и оси ординат.
Следствие 4. Топологические многообразия X и Y
различных размерностей не гомеоморфны.
Доказательство. Пусть dimX—с1[тУ«я/г>0, и
пусть, вопреки утверждению, многообразия X и Y го-
гомеоморфны. Тогда многообразие YxR." будет иметь ту же
размерность, что и многообразие X, и вместе с тем будет
содержать неоткрытое подмножество Ух0, гомеоморфное
многообразию X. Поскольку X открыто в X, это проти-
противоречит следствию 3. П
Замечание 3. Другой, более поучительный способ
доказательства следствия 4 состоит в том, что для мно-
гообразий доказывается аналог предложения 2. Подробное
проведение соответствующих рассуждений мы оставим
инициативе читателя.

ЛЕКЦИЯ 8
Точные П-последовательности.— Категория пунктирован-
пунктированных пар ТОРа .— Относительные гомотопические груп-
группы.— Лемма о пяти гомоморфизмах.
Вернемся теперь к общей теории гомотопических групп.
Гомотопическая последовательность произвольного
расслоения принадлежит к классу бесконечных влево
точных последовательностей вида
все члены которых, за исключением последних шести
правых членов, являются абелевыми группами, и кото-
которые кончаются справа тремя неабелевыми (мультиплика-
(мультипликативно записываемыми) группами и тремя пунктирован-
пунктированными множествами:
h Pi ¦ д, I, Pi 0„ ia р„
... —»¦ Fjj —>-Ei—*Bi —>¦ F! —>¦ Ex —>¦ Bt —> Fo —»- Eo —>¦ B9,
ибелевы группы неабелевы группы пунктированные
множества
причем для любого п"^\ мультипликативно записанные
группы Fx, Eu Вх действуют соответственно в группах Р„,
Е„, В„ (при п=1—посредством внутренних автомор-
автоморфизмов).
Следуя Рохлину и Фуксу, мы будем говорить, что
такого рода последовательность A) является 11-последо-
вательностью, если, кроме того, группа Е± действует в
группе Fn, а группа В1—в множестве Fo (вообще говоря,
непунктированными отображениями), причем:
а) гомоморфизм р„ при п ^ 2 является ^-гомомор-
^-гомоморфизмом;
б) гомоморфизм in при п^ 1 является ^-гомомор-
^-гомоморфизмом;
в) гомоморфизм дп при м = 0 является 51-гомоморфиз-
мом (по отношению к действию группы Вх в себе по-
посредством левых сдвигов), а при /г^з 1 является ^-гомо-
^-гомоморфизмом по отношению к действию группы Е1 на группе
Вп+1, индуцированному посредством гомоморфизма р„
данным действием группы Вх;

ТОЧНЫЕ П-ПОСЛЕДОВЛТЕЛЬНОСТИ 331
г) действие группы F± на группе Fn индуцируется
посредством гомоморфизма it данным действием группы Е^
Для такой последовательности точность в члене Fo мы
будем понимать в более сильном смысле. Именно, мы
будем требовать, чтобы прообразы элементов множества
Ео при отображении i0 совпадали с орбитами действия
группы Bt в множестве Fo.
Предложение I. Гомотопическая последовательность
д I, р,
...—пя+1Я-ч.я,/ —яя? —я„Я —...
произвольного пунктированного расслоения р: Е~-*В
является точной II-последовательностью.
Поскольку для гомотопической последовательности
условие а) является не чем иным, как свойством функ-
ториальности действия R: щХ—->¦ Aut п„Х применительно
к отображению р: Е—+В, для доказательства предложе-
предложения 1 нам нужно построить действие группы пхЕ в группе
nnF (и группы щВ в множестве n0F) и проверить условия
б), в) и г) (а также точность в члене n0F).
В построении этого действия (так же как, кстати
сказать, и в построении действия R: щХ —»¦ Aut я„Х) из
свойств пары (S", *0) используется только невырожден-
невырожденность точки sa. Поэтому вместо группы n,tF мы рассмот-
рассмотрим общий случай множества вида [X, F]', где X—про-
X—произвольное гладко пунктированное пространство, и по-
построим действие группы щЕ на этом множестве, сохра-
сохраняющее групповую структуру, когда X является Я-ко-
группой, и такое, что
1) индуцированное вложением i: F—+E отображение
[X, F]-->[X, E]'
является п^-гомоморфизмом (при X — S" это даст нам
свойство б));
2) индуцированное этим действием посредством гомо-
гомоморфизма I»: j^F—+л;1?1 действие группы nxF на множе-
множестве [X, F]' совпадает с каноническим действием из
предложения 2 лекции 4 (при X = Sn это даст нам свой-
свойство г)).
Чтобы построить это действие, мы заметим, что любая
петля u?QE определяет по формуле
G{x, t)-{pou)(t), *6Х, *€/,
такую гомотопию G: Хх1—+В, что для каждого отоб-

332 ТОЧНЫЕ П-ПОСЛЕЯОВАТЕЛЬНОСТИ
ражения /: X—*F имеет место коммутативная диаграмма
{*$. ..„„€,»,
где *{х$ = (X хО) и ({хо\ х /), a g—отображение, заданное
формулой
— ( ((°/)W, если t=0, ,—^
*<*•'>-{ «(«" если ,-*„, <*•»«<*•>•
Соответствующая накрывающая гомотопия G: Хх1—*Е
(существующая по аксиоме РНГ) обладает тем свойством,
что G~(x, 1N^ для любой точки х ?Х (и G (л:01 1) = е0).
Поэтому, положив
f(x)-G(x, I), x€X,
мы получим некоторое пунктированное отображение
/: X—*F, и очевидно, что если формула la = [}]', где
? = [«]*, а а=[/]', корректно определяет отображение
(|, а)»—*?а, то это отображение будет действием группы
nj? в группе [X, F]', обладающим свойствами 1) и 2).
Поэтому нам нужно только проверить корректность
этой конструкции, т. е. показать, что если «~и1ге1{0, 1}
и f~fx, то Г~?х. С этой целью, введя в рассмотрение соот-
соответствующие гомотопииыт: /—<-?rel-{0, 1} и /Т: (X, ха)—>
—+{Е, еЛ), мы определим отображение h: Xpt—>¦ Е в про-
пространство Е подпространства
пространства (X х /) X /, положив
fx{x), если
K(x.r,t)\ ]
G^ix, t), если т=1,
ыт@, если лг = лг0
где Si — гомотопия ?Г, построенная для отображения /, и
пути «j. Ясно, что отображение h накрывает над Xpt го-
мотопию Н: X х / X / —+ 5, определенную формулой
Н(х, х, 0-(рвы,) @, (х, х, t)?Xx!xI.

точные п-последоЬателыюсти 333
Следовательно, это отображение распространяется до на-
накрывающей гомотопии Я: Хх/х/ —*Е, и отображение
Я о а,: {х, t)h*7/(x, т, 1), (*, т)€Хх/,
будет, очевидно, пунктированной гомотопией, связываю-
связывающей отображение / с отображением g. \j
Замечание 1. Ясно, что аналогичная конструкция
проходит для любых путей в ? (а не только петель).
В результате на пространстве Е возникает ансамбль,
группой (или пунктированным множеством) которого в
точке е?Е является группа [(X, хХ (Fb, е)], где Ь = р(е),
a Fjssp^)—слой над точкой о расслоения р: Е—+В
(которое теперь уже нет нужды предполагать пунктиро-
пунктированным), В частности, мы тем самым для любого рас-
расслоения р: Е—*В (и каждого п:>0) получаем на про-
пространстве. Е ансамбль гомотопических групп слоев
{nn(Fb, е)\ (при п=>0 являющийся ансамблем пунктиро-
пунктированных множеств).
Замечание 2. При интерпретации элементов груп-
группы nnF как гомотопических классов отображений
(/", /")—»¦ (F, е„) элемент la?nnF задается отображением
Ь: (/", in)—>-(F, e0), связанным с отображением
a: (ln, I")—*-(F, е0), задающим элемент а б nnF, и петлей
и: (/, /)—+(?, с0), задающей элемент I ? п^Е, таким отоб-
отображением G: /n+1—*E, что
(poG)(t, t)=*(pou)(t) для любой точки (*,
G(f, 0)=»a@, G(^, l)«ft(^) для любой точки
Аналогичное замечание справедливо, конечно, и по
отношению к действию морфизмов группоида TIE на груп-
группах nn(Fb, e) ансамбля гомотопических групп слоев рас-
расслоения р: Е—+В.
Теперь мы можем перейти непосредственно к доказа-
доказательству предложения 1.
Доказательство предложения 1. Нам оста-
осталось проверить условие в) и построить действие группы
ntB в множестве n9F (а также доказать точность в члене
neF).
В первую очередь мы проверим условие в) при п!2* 1,
т. е. покажем, что для любых элементов а?п„+1В и
имеет место равенство

334 ТОЧНЫЕ П-^ЮСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть отображение a: (/n+1, fr+1)—+(B, Ь„) задает
элемент а?л„В, & петля и: (/, /)—>¦(?', еа)—элемент ?.
Пусть, далее, Я—такое отображение /п+1х/ —*В, что
H(t, 0)=a(f) для любой точки *6/n+1
и
Я(*, t)=*(pou)(t) при *е/я+1 и *?/
(так что отображение b: t*~*H(t, 1) задает элемент
p*(l)a?nn+iB). В силу разложения /я+1 = /"х/, *=
= (s, s), мы можем отображение Я рассматривать как
гомотопию /"+1х/—>? с параметром s. Начальное отоб-
отображение (s, t)t->H(s, 0, ^) этой гомотопии задается
формулой (s, t) i—>• (р о «) (/) и, следовательно, накрывает-
накрывается отображением (s, t)>->u{t). Кроме того, если s? l" или
ss=0, а /=0 или f = l, то гомотопия Я накрывается
постоянным отображением const^. Следовательно, согласно
аксиоме РНГ, существует такая гомотопия
Я: /»+»х/ —?, (s, s, t)^»H(s, s, 0.
что
Я(в, s, /)= е0, если *^/" или s=sO, а / = 0 или /=«1,
H(s, 0, t) = u(t) для любых точек *6/п» t € Л
(р о Я) (s, s, <) =я Я (f, t) для любой точки (s, s, <) ?
б/"х/х/, где *=»(«, s).
Положив a(s, s) = H(s, s, 0), мы получим такую гомо-
топию_а: 1"х /—»¦?, неподвижную на /", что a"(s, 0) = e0
и роа = а. Следовательно, отображение с: 5ь-»аE,1) =
=H(s, I, 0), рассматриваемое как отображение (/", /'")—>•
—>-{Е, е0), задает элемент дпа?ппр.
Аналогично, положив b(s, s)=H(s, s, 1), мы полу-
получим такую неподвижную на /"гомотопиюЬ: /"х/—>?, что
6(s,_0) = e0 a_pob = b. Следовательно, отображение ct:
s 1—> 6 (s, l) = H(s, 1, 1), рассматриваемое как отображе-
отображение (/", /")—*(F, е„), задает элемент 5„(р* (?)«).
С другой стороны, отображение G: (s, t)*~*H(s, I, i*)
удовлетворяет, очевидно, соотношениям
(poG)(s, 0-(рои)@
для любой точки (s, 0 б /" х / = /n+l,
G(s, 0) = c(«), G(s, 1)=«гг(я) для любой точки s?ln.

ВЛ^ЕЛЬ
ТОЧНЫЕ П-ПОСЛЕДОВЛ^ЕЛЬНОСТИ ,335
s
Поэтому отображение ct: (/", /") —*^F, е0) задает элемент
Следовательно, \
1(дп*) = дп(р,®*)- \
Построим теперь действие группы лгВ на множестве
n0F.
Пусть g ? щВ и а ? яо/\ Выбрав для произвольной
иетли_ы: (/, 1)—+ (В, Ьв) класса ? накрывающий эту петлю
путь и: I —+E, начинающийся в некоторой точке еа компо-
компоненты а, рассмотрим точку «A)?/\ Автоматическая
проверка показывает, что компонента \а этой точки за-
зависит только от I и а (проще всего это увидеть, если
заметить, что ?<х является не чем иным, как образом
элемента ? при отображении д„: щ(В, bg)—^nll(F, ea)) и
что отображение (I, a)i—»-^а является действием группы
пгВ на множестве naF. При этом ясно, что для любых
элементов 5» Л € ni& имеет место равенство
означающее, что условие в) выполнено и при п = 0.
Таким образом, для завершения доказательства пред-
предложения 1 нам осталось лишь проверить точность в члене
K0F, т. е, показать, что для элементов a, (J ? naF равен-
равенство t»a = i»p имеет место тогда и только тогда, когда
существует такой элемент I б пгВ, что ?<х = р\ Но равенство
ga = P означает, что петля, задающая элемент §, накры-
накрывается путем, начинающимся в компоненте а и конча-
кончающимся в компоненте р, а равенство t,a = i»p означает,
что компоненты а и Р слоя F лежат в одной компоненте
пространства Е, т. е. что в Е существует путь, начина-
начинающийся в компоненте а и кончающийся в компонен-
компоненте р. Поскольку любой такой путь является накры-
накрытием некоторой петли (а именно, своей проекции в В),
равенства ?<х = р и t»a = t,p действительно равносильны.
Тем самым предложение 1 полностью доказано. ?
Замечание 3. Аналогичным образом можно для
любого п ;> 1 построить действие группы лхВ на множе-
множестве [Sn, F] свободных гомотопических классов отоб-
отображений S" —* F. Тем самым в случае, когда слой F го-
мотопически прост в размерности п и, значит, множество
[Sn, F] является группой nnF, мы получаем действие
группы пгВ на группе nnF (а для непунктиров энного

ЗЗГ) КАТЕГОРИЯ ПУНКТИРОВАННЫХ ПАР ^
расслоения р: Е—/В ансамбль {зхд/гьJ групп nnFb на
пространстве В)./
В лекции 4 мы уже имели случай ввести категорию
пар ТОР2, объектами которой Являются пары (X, А)
топологических пространств, а морфизмами /: (X,
A)—*(Y, В)—такие отображения /: X—>¦ F, что
)
Аналогичным образом для любого п>2 вводится
категория п-ок ТОРВ, объекты которой имеют вид
(X, Ait ..., i4«-i), где Xr)J41D.. .Э/4„_г, но эти кате-
категории, в отличие от категории TOPS, будут играть у нас
чисто служебную роль.
Категория ТОР' пунктированных пространств является,
очевидно, полной подкатегорией категории ТОР,.
Пунктированной парой называется тройка вида
(X, А, лг0), где лг„—точка подпространства А (называемая
отмеченной точкой пары). Полная подкатегория катего-
категории ТОР2, порожденная пунктированными парами, обо-
обозначается символом ТОР^, а ее морфизмы называют-
называются пунктированными отображениями пунктированных
пар.
Имеются два очевидных функтора из категории ТОР,
(или категории ТОРЛ в категорию ТОР (соответст-
(соответственно в категорию ТОР'). Первый функтор каждой
паре (X, А) сопоставляет пространство X и каждому
отображению f: (X, А) —»¦ (К, В)—его само, но рассмат-
рассматриваемое просто как отображение X—+Y, а второй функ-
функтор паре (X, А) сопоставляет пространство А, а отобра-
отображению f: (X, A)—+(Y, В)—индуцированное им отобра-
отображение А —> В (которое мы часто будем обозначать тем же
символом f).
Гомотопия /,: X--+Y называется гомотопией отобра-
отображений пар (или гомотопией в ТОР,), если ft(X, A)—>
—»¦ (Y, В) для любого t ^ /. (Гомотопии отображений пар
не следует путать с более узким понятием гомотопии
относительно А.) Аналогично определяются пунктиро-
пунктированные гомотопии отображений пар.
Ясно, что тем самым категория ТОР, (категория ТОР',)
оказывается категорией с гомотопиями в смысле, введен-
введенном в лекции 0. Поэтому в ней имеют смысл все обыч-
обычные гомотопические понятия: гомотопические эквивалент-
эквивалентности, деформационные ретракции, гомотопически инва-
инвариантные функторы и т. п.

\
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 337
"\
Примером пунктированной пЬры является пара
(Еп, 5я, *„), состоящая из /г-мерного («>0 шара Еп,
его граничной сферы 5" и точки So^'S"".
Определение 1. Для любой пунктированной пары
(X, Л, х0) символом пп(Х, Л, х0) или просто пп(Х, А)
обозначается множество
[(?», S»-\ s0), (X, A, xj\-[(?», S"-1), (X, Л)]'
гомотопических классов пунктированных отображений
(?», S-1, s0) —(X, Л, *„)¦
Это множество мы будем считать пунктированным
множеством, отмеченной точкой которого является класс
постоянного отображения const: Еп—*Х, а*-*-х„ (оче-
(очевидно, представляющего собой отображение (Еп, S"~l, s0)—*
— (X, Л, х0)).
Введем теперь в рассмотрение тройку (/", /", «А"),
п> 1, где:
/", как всегда,— единичный /г-мерный куб, состоящий
из точек t=*(tlt ..., tn) б R", для которых 0^1,^1 при
каждом i — 1, ..., п;
/"—его граница, состоящая из точек t?l", для каж-
каждой из которых существует такой индекс *=1, ..., п,
что либо rf,- = 0, либо tt — l;
У"—-дополнение в границе /" куба внутренности его
(м—1)-мерной грани I"'1, определяемой уравнением
Рис. 18.
tn = 0, т. е. множество всех точек *?/", для каждой из
которых существует такой индекс i == 1, ..., п, что либо
i<n и f,.=*0, либо /, = 1. См. рис. 18.
Ясно, что пространство J"~* стягиваемо в точку 0.
Так как пары (/", /'") и (/", У") являются, очевидно,
парами Борсука, то соответствующая деформация про-
продолжается до гомотопии тройки (/", /", J"'1) в себя,
связывающей тождественное отображение этой тройки с
отображением, переводящим Jn~l в точку 0. Это озна-

338 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ/ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
чает, что подтройкл (/", /"> 0) тройки (/", /", J"'1)
является ее деформационным ретрактом и, значит, ей
гомотопически эквивалентна. Поскольку тройка (/", /", 0)
(являющаяся пунктированной парой) гомеоморфна, очевид-
очевидно, пунктированной паре (?", S", *0), то, выбрав и зафик-
зафиксировав некоторый гомеоморфизм этих пар, мы можем
считать, что
B) пп (X, А, *„)-[(/", /", У»), (X, А, ха)],
т. е. что
пп{Х, А, хв) = пвпп(Х, А, хд),
где
Q"(X, А, хи) = (Х, А, ^Г'"^"-'>сГ.
Теперь мы можем забыть о паре (Е", Sn~l, s0) и при-
принять формулу B) за определение множества л„(Х, А, х0).
Определение B) имеет то преимущество, что при
п ^2 для любых двух отображений
а, Ь: (/», /Ч /»-1)->(X, А, ха)
формула E) лекции 5 корректно определяет отображение
а + Ь: (/», /», У»-1) — (X, A, xt),
причем, как непосредственно проверяется, формула
М+М-[«+Ч
определяет в множестве пп(Х, А, х0) операцию сложе-
сложения, относительно которой оно является группой.
Впрочем, как и в случае групп я„Х, этих—довольно
утомительных—проверок можно избежать, заметив, что
в силу экспоненциального закона пространствой" (X, А, х0)
при п ^ 2 естественно гомеоморфно пространству петель
QQ"-1^, А, х0) и, значит,
пп(Х, A, jg-njQ»-1^, А, х0).
Вообще,
C) я„(Х, А, х„) — яАй"~* (X, A, xt) для любого
А-0, 1, ..., п — 1.
Группа яп(Х, А, ха) называется п-мерной гомотопи-
гомотопической группой пунктированной пары (X, А, лг„) (или
п-мерной гомотопической группой пространства X отно-
относительно подпространства А; впрочем, последний термин
постепенно выходит ныне из употребления).

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 339
Очевидно, что при А=а{хо\
В этом смысле «относительные» гомотопические группы
лп(Х, А, ха) являются обобщением «абсолютных» групп
яп(Х, х0).
Формула C) при k = 2 показывает, что при п^З
группа пп(Х, А, х0) абелева.
Группа же п2(Х, Л, х0), вообще говоря, неабелева
(тем не менее, в отличие от группы пу (X, х0), для обо-
обозначения операции в группе я2(Х, А, х0) мультиплика-
мультипликативной записью мы пользоваться не будем), а «группа»
яг(Х, А, ха) является лишь пунктированным множеством.
При /г = 0 группа по(Х, А, х0) не определяется.
Впрочем, для единства формулировок мы иногда будем
тот факт, что каждая компонента пространства X содер-
содержит хотя бы одну компоненту пространства А, выражать
формулой п0 (X, А, лго) = О.
Ясно, что соответствие (X, А, х„) i—»пп (X, А, х0),
rt^sl, представляет собой гомотопически инвариантный
функтор из категории ТОР^ в категорию AB-GROUPS
абелевых групп при п^З, в категорию GROUPS групп
при /г = 2 и в категорию ENS' пунктированных множеств
при м = 1.
При этом, если Ха и Аа—компоненты пространств X
и А, содержащие точку ха, то вложение (Хо, Ло, *„)—*
—>¦ (X, А, х„) индуцирует при п ^2 изоморфизм группы
л„(Х0, Аа, х0) на группу пп (X, А, ха). Поэтому без осо-
особого ограничения общности мы можем предполагать пару
(X, А) связной, т. е. состоящей из связного пространства
X и его связного подпространства А.
Согласно формуле C) при k — n—1
я„(Х, А, хв) = пп_&(Х, А),
где Й(Х, /4) = Q1(X, А, лг„)—уже знакомое нам по
лекции 1 пространство Р (X, А, х0) всех путей в X, на-
начинающихся в подпространстве А и кончающихся в точке хп,
т. е. слой cojjf1 (лг0) расслоения
D) со,: Р(Х, А)-+Х, «ь-*«A),
где Р(Х, А)—пространство всех путей и: /ь-»-Х, начи-
начинающихся в подпространстве А. Это пространство является
не чем иным, как коцилиндром вложения i: A —>¦ X, и
потому, согласно лемме 6 лекции 2 (которая, правда,

340 ОТНОСИТЕЛЬПЫЕ/ГОМОТОПИЧЕСКИи ГРУППЬ1
относится к обращении коцилиндрам), пространство
Р (X, А) гомотопщески эквивалентно подпространству А.
(Впрочем, взаимно обратные гомотопические эквивалент-
эквивалентности Р(X, Л)—»-Л и А—+Р(Х, А) легко указать и не-
непосредственно: ими будут отображение ю0: Р(Х, А)—>¦ А,
ын->«@), и отображение а: А—*Р{Х, А), ян-*¦()„; ясно,
что (i>0oo"aeid, a ар©0 **> id посредством гомотопии u*^ut,
где ut(T)*=u(tx), т?/.) Значит, для любого п^О группа
ti^PiX, А) изоморфна группе ппА.
Пользуясь этим изоморфизмом (и равенством C) с k =
— п—1) мы из гомотопической последовательности рас-
расслоения D) получим точную П-последовательность
E) ...±Па+1Х±пп+1(Х, А)^ппАХппХ-^...,
правый конец которой имеет вид
¦белевы группы неабзлевы группы
пунктироваины» миожестка
и которая называется гомотопической последовательностью
пары (X, А).
Замечание 4. Подобно гомотопической последова-
последовательности расслоения гомотопическая последовательность
пары является в силу замечания 5 из Дополнения к лек-
лекции 5 частным случаем последовательности Пуппе.
Непосредственное сравнение определений показывает,
что в последовательности E):
гомоморфизмы f# и /# индуцированы вложениями
i: A—+X и у. (А, ха)—*(Х, А) (т. е. точнее, отображе-
отображениями i: (А, хо)—>-(Х, х0) и /: (А, ха, х0)—*(Х, А, *„));
гомоморфизм д индуцирован отображением Й" (X, А)—>¦
—* Q" А, сопоставляющим каждому отображению
(/", /", J"-1)—«-(X, А, х0) его ограничение на грани Г'
(в интерпретации элементов группы пп(Х, А) как пунк-
пунктированных отображений (?", Sn~l)-~+(X, А) гомомор-
гомоморфизм «Э задается ограничением этих отображений на сфе-
сфере 5я'1);
действие группы ntA в группе я„(Х, Л), п~^\, со-
сопоставляет элементу а группы пп(Х, А), задаваемому

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 341
отображением (/", /", Jn~l)~*(X, 'VI, х0), и элементу Ь,
группы щА, задаваемому петлей и: (/, /)—>-(Л, х№),
элемент группы пп(Х, А), задаваемый отображением
Ь: (/", /", У)— +(Х, А, х0), для которого существует
такая гомотопия С: /"х/—»-Х отображений пар (/", /")—¦
-+(Х, А), что
G(t, 0-иA—0. если W". <€/,
0)ma(t), G(t, \) = b(t) для любой точки *?/";
действие группы я,Х в множестве nt (X, Л) сопостав-
сопоставляет элементу а «в [а] ? ях (X, А), где а—путь (/, 0)—>
—>(Х, х0), начинающийся в Л, и элементу Е — ^^яД,
где и—петля (/, /)—*(Х, х0), элемент ^1а^п1(Х, А),
задаваемый путем аи', где и': tt-*u(\ — t).
(Согласно общему определению П-последовательностей
нам нужны еще действие группы яхХ в группах ппХ и
действие группы п2 (X, А) в группах я„(Х, Л); но ясно,
что первое действие является обычным действием /?: пгХ—>
—yA\itnnX, а второе можно отдельно не рассматривать,
поскольку при п=»2 оно является действием внутренними
автоморфизмами, а при п > 2 в силу условия г) инду-
индуцируется посредством гомоморфизма «Э: я2(Х, А)~-*п1А
из действия группы яхЛ. При этом в случае я«»2 усло-
условие г) сводится к формуле
F)
которая должна иметь место для любых элементов
Тем самым мы получаем прямую конструкцию после-
последовательности E), не опирающуюся на расслоение D).
Конечно, при таком подходе точность этой последова-
последовательности и тот факт, что она является П-носледова-
тельностью, нуждаются в независимой проверке. Чита-
Читателю настоятельно рекомендуется проделать эту проверку
со всей детальностью (особое внимание нужно при этом
уделить формуле F), прямое доказательство которой
несколько кропотливо).
Подчеркнем, что, таким образом, группа па(Х, А)
при п^З является щА-модулем.
Для единства терминологии мы будем называть я,Л-
модулем также и группу я, (X, А), хотя эта группа и

342 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
неабелева. Когда нам понадобится подчеркнуть исключи-
исключительный характер этой группы, мы будем называть ее
скрещенным щА-модулем. (Вообще, аддитивно записанная
группа С, в которой действует мультипликативная груп-
группа П, называется скрещенным П-модулем, если задан та-
такой гомоморфизм д: G—>П, что для любых элементов
а, Р^С имеет место соотношение F).)
Конечно, вместо действия группы пхА на группе
пп(Х, А) можно рассматривать на А соответствующий
ансамбль {яп(Х, А, а), а?А\.
Очевидное, обобщение доказательства предложения 2
лекции 4 показывает, что отображения Gя, /", У)—>
—>-(Х, А, х0) (или отображения (?", 5", s0)—>-(Х, А, х0))
тогда и только тогда свободно гомотопны, т. е. гомотопны
как отображения (/", /") —> (X, А) (отображения
(?я, S"'1)—> (X, А)), когда они принадлежат одной орбите
действия группы пхА. В частности, так как действие группы
пхА сохраняет групповую структуру на яп(Х, А), «>2,
отсюда следует, что при п~^ 2 отображение (?", 5я, s0)—-
—>-(Х, А, х0) тогда и только тогда задает нулевой элемент
группы я„(Х, А), когда оно свободно гомотопно посто-
постоянному отображению.
С другой стороны, для того чтобы отображение
(?"", S"'1)—*(Х, А) было свободно гомотопно постоян-
постоянному отображению, достаточно (и, конечно, необхо-
необходимо), чтобы оно было гомотопно такому отображению
f:(En,Sn~1)—^(X, А), что f (Еп)сА, поскольку любое
такое отображение связано с постоянным отображением
гомотопией x*-*f((x), x?En, t?I, являющейся (в силу
условия f(En)c:A) гомотопией в категории ТОРа.
Называя отображения /: (?", 5")—-*(Х, А), для
которых f{En)aA, стянутыми в А отображениями,
мы получаем, следовательно, что при п ^ 2 отображение
(Еп, S"~l, so)—+(X, A, x0) тогда и только тогда задает
нулевой элемент группы п„(Х, А), когда оно свободно
гомотопно стянутому на А отображению.
Ясно, что этот вывод справедлив и при п = 1.
Интересно, что свободную гомотопию здесь можно
заменить гомотопией относительно 5", т. е. отображе-
отображение f: (?", S"'1, sa)—+(X, А, л:0) тогда и только тогда
свободно гомотопно стянутому отображению, когда оно
гомотопно такому "отображению относительно S".
Действительно, любой гомотопии ft: (?", 5", «„)—+

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 343
>(Х, А, х0), для которой /„==/ и ^(Е")с:А, мы можем
сопоставить неподвижную на 5" гомотопию g>: ?"—'X,
для которой go = f к g1(En)c:A, положив
gt(x) = (Fo<p)(x, t), x?E", t?l,
где F: ?""х/—<-Х—отображение (х, ^)ь-»/,(дг), а ф —
такое отображение Епх1—+Епх1, что ф(дг, t) — (x,0),
если * = 0 или x€S"-1, и гр(дг, 1)? (Sn~1xI)U(Enxi)
для любой точки х?Е". (Например, можно считать, что
если
где (jc, 0€^"Х/.) П
В частности, мы видим, что равенства пп(Х, Л)=зО
равносильно тому, что любое отображение (Е, S"'1, sa)—>-
—+(Х, А, х0) гомотопно (свободно или относительно S")
стянутому отображению.
По аналогии с абсолютным случаем (см. определение 4
лекции 5) мы будем говорить, что пара (X, А) асферична
в размерности п^=0, если пп(Х, A, xo) = O при любом
выборе точки xv?A. В этом случае мы будем писать
я„(Х, А)-0.
Асферичность в размерности 0 (равенство по(Х, А) = 0)
означает, что любая компонента пространства X пересе-
пересекается с подпространством А. Если X связно, то это
условие всегда выполнено.
Асферичность в размерности п^\ (равенство
лп (X, А) = 0) означает, что каждое отображение
(?", 5")--+{Х, А) гомотопно (свободно или относи-
относительно 5") стянутому отображению.
В частности, для асферичности в размерности 1 не-
необходимо, чтобы любая компонента пространства X со-
содержала не более одной компоненты подпространства А.
Если А связно, то это условие выполнено.
Пара (X, А) называется п-связной, если она асферична
во всех размерностях ^п. В частности, если п^\, то
для «-связности пары (X, А) необходимо, чтобы каждая
компонента пространства X содержала одну и только
одну компоненту пространства А. Если пара (X, А)
связна, то это условие автоматически выполнено.

344 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Если для связной пары (X, А) действие группы ях (А, х0)
в группе пп(Х, А, хд), п^2, тривиально, то пара (X, А)
называется гомотопически простой в размерности п.
В этом случае определена группа пп(Х, А), элементами
которой являются свободные гомотопические классы
отображений (/», /") -— (X, А) (или (Еп, Sn~l) — (X, А)),
которая для любой точки хо$А естественно изоморфна
группе лп{Х, А, ха). При этом группа яхХ естественным
образом действует на группе пп(Х, А) (причем при
А = {хо\ это действие является стандартным действием
группы пхХ на группе пп(Х, хо) = ппХ). Для доказатель-
доказательства достаточно применить к расслоению D) замечание 3.
Заметим, что, как непосредственно вытекает из форму-
формулы F), если пара (X, А) гомотопически проста в раз-
размерности 2, то группа я2(Х, А) абелева. В частности,
группа я, (X, А) абелева, если пространство А односвязно.
Полезно также иметь в виду, что если пространство А
связно и односвязно, то отображение п1Х—*п1(Х, А)
биективно, и потому умножение в группе яхХ перено-
переносится в множество яДХ, А). Таким образом, если про-
пространство А связно и односвязно, то множество ях (X, А)
является группой.
Из определений непосредственно вытекает также, что
для любого пунктированного отображения /: (X,A)—*(Y, В)
и любого п ^ 1 имеет место коммутативная диаграмма
пп(Х, А)-^пп_,А
nn(Y, B)-+nn_lB
На языке теории категорий это означает, что гомомор-
гомоморфизм д: пп(Х, Л)—*-я„_1Л представляет собой естест-
естественное преобразование (морфизм) функтора я„: ТОРа—>
—>AB-GROUPS в функтор
я„_1Оа: ТОРз-^ТОР'—-AB-GROUPS,
где а—функтор (X, А)у-*-А.
Это замечание позволяет сформулировать для относи-
относительных гомотопических групп аксиомы, аналогичные
аксиомам Iе—3° лекции 5 для абсолютных групп (только,
например, аксиома точности формулируется теперь для
пар) и, по существу то же самое, индуктивное рассуж-
рассуждение показывает, что с точностью до изоморфизма (а для

ЛЕММА О ПЯТИ ГОМОМОРФИЗМАХ 345
неабелевых групп с точностью до антиизоморфизма) эти
аксиомы однозначно характеризуют группы пп.
В работе с точными последовательностями групп не-
неожиданно широкие применения имеет следующая простая
лемма, известная как лемма о пяти гомоморфизмах.
Лемма 1. Если в коммутативной диаграмме
л Ct| л GCf л 0С3 л Ot.
At ¦—At—* А,-+At-- Аь
П\ I I I! I
V'/ Ф1 I *Pi Фа Ф4 Ф-i
Д Pl R Bl Я Р° Я P< R •'
с точными строками гомоморфизмы ц>1У ф2, ф4, ф6 яв-
являются изоморфизмами, то гомоморфизм ф8 также пред-
представляет собой изоморфизм.
Доказательство. Пусть Фа(а3) = 0, где аа€А)-
Тогда Р3 (Фз (я3)) «О, и потому ф4 (a,(fls))==0, т. е. а, (а„) = 0.
Следовательно, существует такой элемент аг С At, что
а2(а,,)^аа. Но тогда р2(ф2 (я2)) =» ср3 (а2 (а2)) = ф3 (оа)-=0,
it потому существует такой элемент Ьх € 51( что р, (?>,) -~
—Фз (аз)- Так как ф! — изоморфизм, то существует такой эле-
элемент а, 6 Аи что Ьг =в ф! (flj). Тогда ф, (at (a,)) = pt (фх (я,)) —
= Pi (^i) = Фз(аа). И1 значит, а^я^^я^ Поэтому а3 —
Аналогично, так как ф4 — изоморфизм, то для любого
элемента Ь% 6 Bs существует такой элемент я4 g Ait что
Pi(.L«(«) У Ф5D)Ы)р4(ф4 («))Pi ())
Следовательно, a1(a4)=--0, и значит, существует такой
элемент а3е^81 чт0 а» (о»)— о*- Но тогда Р, (фз(«з)) =
~ Фд (a»(as)) — Ф4 (а4) — Рз (^») • и потому существует такой
элемент ft2 g 5S, что Ра (^а) = Фз (аз)— Ь». Так как фа—изо-
фа—изоморфизм, то существует такой элемент яа С At, чп ¦ ф„ (ae)=fel,
и потому Фз (о, (в,))=Р, (Ф, (ei))=Pi(*i)==4P. (а3)—Ь3, т.е. *3==
^Фя(а,—аа(а3))- П
Ход этого доказательства однозначно диктуется стрел-
стрелками данной диаграммы, и его вполне можно осущест-
осуществить в уме, помогая себе движением пальца по диаграмме.
По-английски этот метод доказательства называется по-
поэтому «diagram chasing», что обычно переводится как
«диаграммный поиск».
Замечание 5. Из доказательства леммы 1 вытекает,
что:
а) если ф].—эпиморфизм, а ф2 и ср4—мономорфизмы,
то ф,—мономорфизм;

346 ЛЕММА О ПЯТИ ГОМОМОРФИЗМАХ
б) если <р5—мономорфизм, а ф2 и ф4—эпиморфизмы,
то ф8—эпиморфизм.
Это замечание иногда бывает полезно.
Чтобы показать, как работает лемма 1, мы сравним
гомотопическую последовательность пунктированного рас-
расслоения р: Е—+В с гомотопической последовательностью
пары (Е, F), где F = p~1(b№)—слой этого расслоения:
... -+nnF-+nnE-^nn(E, F) — a^F-on^E-* ...
(8) id] id | P. | idj id |
... -+япР-+п„Е-+ nnB -* n^F-i-n^E-*...
Автоматическая проверка показывает, что эта диаграмма
коммутативна. Поэтому, согласно лемме о пяти гомомор-
гомоморфизмах, отображение
(9) рЛ:п„(Е, F)~>nnB
для любого п ^2 является изоморфизмом.
Конечно, это утверждение легко доказывается и не-
непосредственно с помощью аксиомы РНГ (сделайте это!),
но применение леммы о пяти гомоморфизмах редуцирует
доказательство к тривиальности.
С другой стороны, если изоморфизм (9) независимо
установлен, то утверждения о точности гомотопических
последовательностей расслоений и пар оказываются не-
непосредственными следствиями друг друга, так что дока-
доказательство точности гомотопических последовательностей
расслоений из предыдущей лекции может быть при же-
желании заменено доказательством точности гомотопических
последовательностей пар (см. выше).
Замечание 6. Хотя лемма 1 применяется обычно
к диаграммам G), состоящим из абелевых групп (или
модулей), но, как показывает ее доказательство, в кото-
котором абелевость не используется, эта лемма справедлива
и для последовательностей неабелевых групп (этим мы
фактически пользовались при выводе изоморфизма (9)
при я = 2).
По тем же соображениям лемма 1 остается справед-
справедливой, если в диаграмме G) две последние группы каждой
строчки являются лишь пунктированными множествами.
Более того, легко видеть, что лемма 1 сохраняется, если
пунктированными множествами являются даже три послед-
последние группы в каждой строчке, группы Л2 и 52 действуют
на множествах А3 и В3 и точность в членах А3 и Вя
понимается в указанном выше усиленном смысле (т. е.

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРОЙКИ 347
прообразами точек при отображениях <zg и C3 являются
орбиты; кроме того, предполагается, конечно, что отобра-
отображение ф„ является ср8-отображением).
Это замечание релевантно для случая, когда строчками
диаграммы G) являются концевые отрезки точных П-
последовательностей. В частности, из него следует, что
отображение (9) является изоморфизмом {биективным
отображением) и при п =а 1.
Замечание 7. При п = 0 можно лишь утверждать,
что яо(?, F) = 0 тогда и только тогда, когда я„В = 0.
ДОПОЛНЕНИЕ
Гомотопическая последовательность тройки. — Гомотопи-
Гомотопические группы триад.—Инвариантность гомотопических
групп при деформационных ретракциях.—Гомотопичес-
ретракциях.—Гомотопическая последовательность 4-ады.
Доказанный в лекции 8 изоморфизм (9) может быть
существенно обобщен.
Предложение 1. Для любого расслоения р: Е—>-В
а любого подпространства Ас В гомоморфизм
A) р*: пп{Е, FA)-+nn{B, А), »>1, где FA = p~1A,
индуцированный отображением p:(E,FA)—> (/?, А), яв~
ляется изоморфизмом.
При А = {Ь0\ изоморфизм A) переходит в изоморфизм
(9) лекции 8.
Предложение 1 может быть доказано многими различ-
различными способами. Например, оно без труда доказывается
(сделайте это!) прямым геометрическим построением с по-
помощью аксиомы РНГ. Но мы предпочтем другой более
поучительный путь.
Пусть (X, А, В, х0)—произвольная пунктированная
тройка. По определению X представляет собой топологи-
топологическое пространство, А—его подпространство, В—под-
В—подпространство пространства А и х0—точку пространства В:
Пусть, далее, /: (Л, В)-*{Х, В) и /: (X, В)-+(Х, А)—
вложения, а
/,: пп(А, В)-^пп(Х, В) и /,: я„(Х, Я) —яя(Х, А)

348 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРОЙКИ
— соответствующие гомоморфизмы гомотопических групп.
Наконец, пусть
д: я„(Х, А)->пп_1{А, В)
— композиция связывающего гомоморфизма пп(Х, Л)—*
-~-*-лп_гА из гомотопической последовательности пары
(X, А) и гомоморфизма вложения лп_1А—+пп_1(А, В) из
гомотопической последовательности пары (А, В).
Определение 1. Последовательность
B)
называется гомотопической последовательностью тройки
(X, А, В).
Предложение 2, Гомотопическая последовательность
тройки точна.
Последовательность B) влево бесконечна, а ее правый
конец имеет вид
...—я,(А, В) —я,(Х, В) —я,(Х, Л) —
кеабелеаы группы
— я^Л, В)^я1(Х, В) —яДХ, Л).
пупктироиоккые миожгстии
Можно без труда определить в этой последовательности
действия групп я», по отношению к которым она будет
П-последовательностью. Однако эти действия нам не по-
понадобятся.
Доказательство предложения 2. Пусть
*\: А-+ X, lt: В->А, *,: Я~*Х,
Ь: (X, хо)-*(Х, Л), /,: (Л, д;„) —(Л, В),
/.: (X, дс.) —(X, В)
— вложения, а
<5i: n»+i(X, i4)~»ft),i4, <Э2: я„+1(Л, В) —я„В,
as: я„+1(Х, В)-+япВ
— связывающие гомоморфизмы гомотопических последова-
последовательностей пар (X, А), (Л, В) и (X, В). Рассмотрим

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Т1ЮЙКИ 340
диаграмму
Автоматическая проверка показывает, что эта диаграмма
коммутативна. Она свита из четырех симметрично распо-
расположенных последовательностей, три из которых, будучи
гомотопическими последовательностями пар, точны, а
четвертая, выделенная на диаграмме утолщенными стрел*
ками, является последовательностью B). При этом, так
как отображение/оi: (Л, В)—*(Х, В) может быть разло-
разложено в композицию вложений (А, В)—*(А, А)—*(Х, А),
а пп(А, i4) = 0, то /«о^шО, т. е. Imi*cKer/#. Ока-
Оказывается, что предложение 2 следует отсюда уже чисто
алгебраическим диаграммным поиском.
Действительно, так как ?,,00! = 0, то 1фод^1,о}нод!^
=/3»ot1»o31 = 0, и аналогично do/.ss/.^odjo/.ss./.^oi.^o
ods=e0. Таким образом, ImdcKeri и Im/,cKerd.
Обратно, если у?пп(А, В) и y^Keri», т. е. ?„у = 0,
то д2у = 0, и потому уяш/аФа, где а?ппА. При этом
/.•»i«a=»M2«ate'«V:=0 и> значит, i,,a»«Jl, где $?ппВ.
Поэтому ix»(a—(ир)ж{14а—i3tp я=а 0, и, следовательно,
a—t'i«P —Зу, щеу'-€пп+1(Х, А). Но тогда ау' — Ь»^'-
— /»• (а—1а«Р)^/г*а¦= Y» т- е- у?1тд. Таким образом,
Кег i,cz Im Ь.
Аналогично, если у?пп(Х, А) и у С Кег 9, Т. е. Зу=0,
то /j.^yeO, и потому diy=*i8*|3, где M^яп_1В. При этом
i8*P=!fi.t..P"I'i»5i'Vee0 и, значит, р«=д8р', где р' ^
6яя(Л:, 5). Поэтому ^(у—/»Р')««д1у—»я,дяр1''«О и,
следовательно, у—/(|У ¦¦/„а, где о^япХ. Но тогда
/.(/s*a + P') = /i«a + /*P'=V. T- e- Y^Im/*- Таким обра-
образом Kerdclm/».
Наконец, мы уже видели, что Irni,.cKer/». Обратно,
если р€я„(Х. В) и Р€Кег/„ т. е. /,р*0, то i'4,a,p=0,
и потому «Э3Р ™чЭау, где у € п„ (А, В). При этом д„ (Р—i*v)~
==: 58р—-^7 = 0 и, значит, Р—i»Y=e/8»a> гДе а€я„Х.

350 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРОЙКИ
Поэтому /i»a =/»/s«a =/»Р—/*t*v = 0 и, следовательно,
a = ii.a'. где а' ?ппА. Но тогда i«(/*•«'+Y) =¦/»•*!•«' +
+ t,v = /8»a + i*V = P. T- e- P^Imi». Таким образом,
Ker/.clmi». п
Замечание 1. Последовательность B) может быть
построена для любого семейства \Нп, д\ функторов Нп:
TOPi—+AB-GROUPS и естественных преобразований д:
Нп(Х, А)—*Н„_1(А, х0). При этом, как непосредственно
явствует из приведенного выше доказательства, эта после-
последовательность точна, если для любой пары (X, А) ? TOPj
последовательность
> Яи+1 (X, A)-tHa (А, хо)-+Нп {X, хо)-+Нп (X, А)-
точна и если Нп(А, Л)=зО для любого пространства
А 6 ТОР".
Мы будем иметь случай использовать это замечание
в следующем семестре.
Доказательство предложения 1. Рассмотрим
диаграмму
-ч-я» {Fa, П -*пп(Е, F) + nn(E, FA)-+nn_i(FA, F) -*«„_!<?, F) -*...
... ->я„ (A, b0) -*я„ (Я, &o) ->я„ (Я, Л)-+яп_1 (А, Ьа) ->яч_1 E, ft0) ¦>...
верхняя строчка которой является гомотопической после-
последовательностью тройки (Е, FA, F), нижняя строчка —
гомотопической последовательностью пары (В, А), а вер-
вертикальные гомоморфизмы индуцированы отображением р.
Эта диаграмма, очевидно, коммутативна и все ее верти-
вертикальные гомоморфизмы, кроме центрального гомоморфизма
р,: пп(Е, FA)-^nn(B, А), будучи гомоморфизмами вида (9)
из лекции 8 (напомним, что отображение рА: FA-^>-A
также является расслоением), представляют собой изо-
изоморфизмы. Поэтому, согласно лемме о пяти гомоморфиз-
гомоморфизмах, центральный гомоморфизм также является изомор-
изоморфизмом. П
Замечание 2. Наш путь доказательства предложе-
предложений 1 и 2 не является самым простым. Значительно про-
проще было бы обратить последовательность рассуждений,
доказав сначала чисто геометрически предложение 1
и затем выведя из него предложение 2 с помощью

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ТРИЛД 351
диаграммы
... — пп (S, Т) — nn_J — nn_x 5-* nn_x E, Т) -* ...
Ill i
(AB)(X В)(ХА)(АВ)
где S = Q(X, А) (соответственно Т = п(Х, В)) —
пространство путей в X, начинающихся в подпростран-
подпространстве А (в подпространстве В) и кончающихся в отмечен-
отмеченной точке х0. Верхней строчкой этой диаграммы слу-
служит гомотопическая последовательность пары (ЩХ, А),
Я (X, В)), а ее нижней строчкой—последовательность B).
Ее средними вертикальными гомоморфизмами являются
изоморфизмы, обратные к изоморфизмам C) лекции 8
(при k = n—1), а боковыми—гомоморфизмы, индуциро-
индуцированные расслоением (о0: Q(X, A)—>-A и, значит, в силу
предложения 1 также являющиеся изоморфизмами (ясно,
что (O?1B<='Q(X, В)). Автоматическая проверка показы-
показывает, что рассматриваемая диаграмма коммутативна. По-
Поэтому из точности ее верхней строчки вытекает точность
ее нижней строчки. Однако это доказательство не позво-
позволяет нам сделать замечание 1.
Из точности гомотопической последовательности тройки
немедленно вытекает, что при пг(А, В) = 0 и пг_1(А, В)~
= 0 индуцированный вложением гомоморфизм
C) пг(Х, Я) — яг(Х, А)
является изоморфизмом. Несмотря на свою простоту,
этот критерий, как мы в своем месте увидим, очень поле-
полезен и позволяет получить важные и интересные геометри-
геометрические результаты. Однако он недостаточен для задач,
в которых вместо пары (X, В) участвует пара вида
(X', В), где Х'сХ. Чтобы получить необходимое для
такого рода задач обобщение этого критерия, мы должны
соответствующим образом обобщить гомотопическую после-
последовательность тройки.
Мы будем называть п-адой семейство (X; Alt ..., An_ij,
состоящее из топологического пространства X и его про-
произвольных подпространств И,, ..., Ап_г. Морфизмом
п-ад/: (X; Аг A,-i)—>{Y\ Bu .... 5n-i) называ-
называется непрерывное отображение /: X—+Y, для которого

352 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ.ТРИАД
f(A[) с В; при любом i = l, ..., «—1. Все «-ады и их
морфизмы очевидным образом составляют категорию с гомо-
топиями. Мы будем обозначать эту категорию символом
ТОР(„], а соответствующую гомотопическую категорию —
символом [ТОРГп]].
Введенная в лекции 8 категория гс-ок ТОР„ является
полной подкатегорией категории ТОР,,,,. При «я2 имеет
место равенство TOP,«*TOPU], но уже при /г«»3 кате-
категория ТОР, является собственной подкатегорией катего-
категории ТОР,а,.
Если пространство X пунктировано и отмеченная точка
х„ лежит в каждом из пространств Ait ..., Ап_и то п-
ада (X; Аи ..., Ап_х) называется пунктированной п-адой.
Пунктированные «-ады составляют категорию ТОР[Я],
являющуюся полной подкатегорией категории ТОР(п+;и.
Для нас особый интерес будут иметь пунктированные
триады {X; А, В, дг0), которые, как правило, мы будем
обозначать просто через (X; А, В). Заметим, что для
такой триады пересечение С — А П В не пусто.
Для каждой пунктированной триады (X; Л, В) и
любого г^О определен гомоморфизм
D) /,: пг(А, С)-+п,(Х, В), С =
индуцированный вложением/: (А, С)—>-(Х, В). Чтобы
получить критерий того, что этот гомоморфизм является
изоморфизмом, мы введем в рассмотрение группы
п,(Х; А, В)=.п,_1(?3(Х, В), Q(A, С)), г^2.
Определение 2. Группа яг(Х; А, В) называется г-мер-
ной гомотопической группой триады (X; А, В).
Конечно, эта «группа» при г «2 является лишь пунк-
пунктированным множеством. При г ^4 группа яг(Х; А, В)
абелева.
В силу экспоненциального закона элементами группы
пг (X; А, В) можно считать гомотопические классы (в ка-
категории ТОР[4]) отображений
E) (/'-1х/; Г'1х1, I'-lxU $)—• (Х\ А, В, *„),'
где {6}=.(/"-lx0)U({0}x/). ^
Ясно, что 4-ада W^xl; //-1х/, /г-'х1, \0\) гомо-
топически эквивалентна (в категории ТОР[4]) пунктиро-
пунктированной триаде (Er; Err\ Ers\ 8„), где Er+\ Ersx—полу-

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ТРИАД 353
сферы, на которые разбивается граничная сфера S1 шара
Ег гиперплоскостью #г=э0. Поэтому элементами группы
яДХ; А, В) мы можем также считать гомотопические
классы (в категории TOPfc]) отображений
F) (?«•; Ег+~\ ?-1) —(X; А, В)
пунктированных триад.
Поскольку перестановка полусфер Е^1 и ?_"' пере-
переводит каждое отображение F) в аналогичное отображение
для триады (X; В, А), отсюда немедленно следует, что для
любого г ^ 1 имеет место изоморфизм
G) пДХ; А, В)«п,(Х; В, А).
Так как
пг(Х, 5) = пл_1?3(Х, В), я, (Л, С^я^^Л, С),
то гомотопическая последовательность пары (?2(Х, В),
?1(А, С)) дает нам точную последовательность
(8) .,.. — я, (Л, С) Ля, (X, В) Л я, (X; Л, В) Л
которая называется гомотопической последовательностью
триады (X; А, В). Гомоморфизм /« этой последователь-
последовательности является интересующим нас гомоморфизмом D),
гомоморфизм ?« составляет каждому отображению AГ,
Ir, J1) —<¦ (X, В, х0) это же отображение, но рассмат-
рассматриваемое как отображение вида E), а гомоморфизм д
сопоставляет каждому отображению F) его ограничение
на полусфере Е1^1. (Для упрощения формулировки мы
отождествляем здесь отображения и их гомотопические
классы; эту вольность речи мы будем позволять себе и
в дальнейшем.)
Последовательность (8) естественным образом является
П-последовательностью. Прямое описание соответствую-
соответствующих действий мы предоставим инициативе читателя.
В силу точности последовательности (8) гомоморфизм D)
является изоморфизмом, если Jt,.+1(X; А, В) = 0 и
пДХ; А, В) = 0. Поэтому, если яг(Х; A, fi) = 0 пригул
(триада (X; А, В), удовлетворяющая этому условию, назы-
называется п-связной), то гомоморфизм D) будет изоморфизмом
при г < « и эпиморфизмом при г = п (подобно тому как
для п-связной пары (Л, В) гомоморфизм C) будет изо-
изоморфизмом при г<.пи эпиморфизмом при г = п).
12 М. М. Постников

354 ИНВАРИАНТНОСТЬ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
При Az>B любое отображение F) мы можем рассмат-
рассматривать как отображение (Er, S1)—*-(Х, А), и тем самым
получить некоторый гомоморфизм
(9) пг(Х; А, В)-*пг(Х, А) А=>В.
Автоматическая проверка показывает, что вместе с тож-
тождественными изоморфизмами пг (X, В) —<- пг (X, В) и
пг(А, С)—*пг{А, В) (заметим, что С = В при Аг>5) гомо-
гомоморфизмы (9) составляют морфизм последовательности (8)
в последовательность B). Поэтому в силу леммы о пяти
гомоморфизмах все гомоморфизмы (9) являются изомор-
изоморфизмами.
Таким образом, при AzsB группа п,(Х; А, В) не зави-
зависит от В.
Этот факт можно доказать и иначе, заметив, что если
подпространство А пространства X стягиваемо (А % pt),
то
A0) пг(Х, Л) = пД
для любого г^= 1. Действительно, в точной гомотопической
последовательности пары (X, А) все группы лгА равны
нулю, и потому гомоморфизмы пгХ-~+пг(Х, А) являются
изоморфизмами. ?
Это заново доказывает изоморфизм (9), потому что
если для триады (X; А, В) имеет место включение Лг>В
и, значит, С=>В, то
пг(Х; А, В) = пг(Х; В, A)^nr_1(Q(X, А), С (В, С))-
— я,.,^*, Л), ?2B3, B)) = nr_1Q(X, А)ш*
~я,(Х, А),
поскольку пространство Q(S, B) = PB, как мы знаем,
стягиваемо.
Изоморфизм A0) может быть легко обобщен.
Предложение 3. Если (X, А)с(Х', А'), причем
пространство X является деформационным ретрактом
пространства X', а пространство А —деформационным
ретрактом пространства А' (т. е. Х'^Х и А%А'),
то вложение (X, А)~>-(Х', А') индуцирует изоморфизм
п,(Х, А)-п,(Х', А'), г>1.
Доказательство. В коммутативной диаграмме
.,.-+¦ ягА -*¦ ягХ -> лГ (X, А) -*-пг—]А -*¦ яг_1^ -»•..,
...-+. пгА' -+ пгХ' -*¦ яг (X', А') -* яг_1/4' -н- nr_iX' -+...

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНбСТЬ 4-АДЫ 553
вертикальные гомоморфизмы которой индуцированы вло-
вложениями, а строки являются гомотопическими последова-
последовательностями пар (X, А) и (X', А'), все вертикальные гомо-
гомоморфизмы, кроме центрального гомоморфизма пг(Х, А) —*¦
—+лг(Х', А'), являются изоморфизмами. Следовательно,
согласно лемме о пяти гомоморфизмах, этот центральный
гомоморфизм также будет изоморфизмом. ?
При А'=з{хо\ мы получаем изоморфизм A0).
Ясно, что аналогичное утверждение (с практически
тем же доказательством) имеет место и для триад: если
(X; А, В)с(Х'; А', В') и каждое из пространств X, А,
В и С = А П В является деформационным ретрактом со-
соответственно пространства X', А', В' и С' = А' Л В', то
пДХ; А, Д)-яДХ'; А', В')
для любого
Можно ли по аналогии с гомотопическими группами
триад определить гомотопические группы n-ад при «2Ss4?
Например, кажется естественным определить гомотопи-
гомотопические группы лДХ; А, В, Y) произвольной пунктиро-
пунктированной 4-ады (X; А, В, Y) формулой
яДХ; Л, В, УО-я,.,^*, Y); Q(X, E), Q{A, D))
(имеющей смысл для любого г>2), где D=*YC\A и Е=
= Y П В. Для этих групп имеет место точная последова-
последовательность
... —яг(Х; A, E)-^nr{X; A, Y)-+nr(X; А, В, Y)-+
-*«,_!(*; А, ?)-*...,
являющаяся не чем иным, как последовательностью (8)
для триады (Q(X, У); Й(Х, Е), Q(A, D)) (подобно тому
как сама последовательность (8) была не чем иным, как
гомотопической последовательностью пары (Й(Х, В),
Й (А, С)). Однако, переставив Q (X, ?)иО (A, D) (отчего
группа пГ (X; А, В, Y) не изменится), мы аналогичным
образом получим точную последовательность
...—п,(/); DnE)-*nr(Y, ?)-*лг+1(Х; А, В, У)-+
из сравнения которой с гомотопической последователь-
последовательностью триады (К; D, Е) немедленно вытекает в силу
леммы о пяти гомоморфизмах, что пг+1(Х; А, В, Y) ж
12'

356 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 4-АДЫ
«nr(K; D, Е). Таким образом, введенные группы сво-
сводятся к группам триад.
Тем не менее эта попытка оказалась нам все же полез-
полезной, поскольку мы теперь видим, что для любой пунк-
пунктированной 4-ады (X; А, В, Y) имеет место точная
последовательность
A1) ...~>яг(Х;Л, E)Xnr(X;A, Y)^nr_1(Y; D, Е)-^
Хп^Х-.А, ?)->...,
где D=sYf\A, E = Yf\B. Автоматическая проверка пока-
показывает при этом, что—как следовало ожидать—гомо-
ожидать—гомоморфизмы п и /„ этой последовательности индуцируются
вложениями
i: (X; А, Е)-+{Х\ A, Y) и /: (К; D, ?)-.(Х; А, Е).
Что же касается связывающего гомоморфизма д, то он
представляет собой композицию изоморфизма переста-
перестановки лг(Х; A, Y) &nr(X; Y, А), связывающего гомомор-
гомоморфизма яг(Х; Y, А)—*лг„1(У, D) из гомотопической по-
последовательности триады (X; К, А), гомоморфизма
nr_j(K, D)—>я/._1(Уг; Е, D) из гомотопической последо-
последовательности триады (У; ?, D) и изоморфизма перестано-
перестановки я,_,(К; Е, О)^лГ_1(Х; D, Е).
Отметим частный случай последовательности (И), воз-
возникающий при Yz>B, т. е. при Е = В:
A2) ...—яг(Х; A, B)±nr(X; A, Y)^nr_t(Y; D, Я) Д.
Конечно, неудача нашей попытки сконструировать
содержательные (не сводящиеся к- группам трнад) гомо-
гомотопические группы /г-ад при «^4 еще не означает, что
такие группы нельзя построить. Выяснение этого вопроса
мы оставим читателю.

ЛЕКЦИЯ 9
Слабые расслоении.—Аддиционная лемма. — Основная
лемма. — Накрывающие гомотопии дли слабых расслое-
расслоений. — Доказательство теоремыДольда — Тома. —Лемма
Джеймса.
Ценность расслоений в теории гомотопических групп
определяется главным образом наличием для них гомо-
гомотопической последовательности. Поэтому целесообразно
в общем виде изучить отображения, для которых эта
последовательность может быть написана.
Определение I. Отображение р: Е—*В называется
слабым расслоением, если для любой точки е0 6 Е и лю-
любого п > 0 оно индуцирует изоморфизм
р„: па(Е, Fba, ео)-+пп(В, b0), bo=*p(eo), F6o = /Г1 (&„),
и если каждая компонента пространства Е, переходящая
в компоненту пространства В, содержащую точку Ьо,
пересекается с Fba.
Заменив в гомотопической последовательности пары
(Е, Fba) группу пп (Е, FbJ изоморфной ей группой ппВ,
мы получим точную последовательность
называемую гомотопической последовательностью слабого
расслоения р: Е—*В в точке е0. Поэтому для вычисле-
вычислений с гомотопическими группами слабые расслоения
ничуть не хуже обычных расслоений (которые мы позво-
позволим себе называть теперь сильными расслоениями).
Замечание 1. Следует иметь в виду, что в литера-
литературе по топологии термин «слабое расслоение» использу-
используется во многих разных смыслах. Например, Спеньер
(см. [12] стр. 482) слабыми расслоениями называет рас-
расслоения в смысле Серра (отображения, удовлетворяю-
удовлетворяющие аксиоме НГ лишь по отношению к отображениям
кубов). Напротив, слабые расслоения в смысле опреде-
определения 1 Дольд и Том (которым принадлежит заслуга
введения этого понятия) называют квазирасслоениями.
Конечно, любое расслоение является слабым расслое-
расслоением. Обратное, вообще говоря, неверно.

358 СЛАБЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Пример 1. Пусть ?—подмножество плоскости, со-
состоящее из двух горизонтальных отрезков, соединенных
вертикальным отрезком, В— горизонтальный отрезок двой-
двойной длины и р: Е—>В—проекция (рис. 19). Непосредст-
Непосредственно проверяется, что эта проекция является слабым
расслоением. Однако расслоением (даже
в смысле Серра) она не будет, поскольку
путь id: В—>-В в В не накрывается ни-
__ каким путем в Е.
I Как мы знаем, если отображение р:
' , Е-* В является расслоением, то для любо-
Рис. 19. го подпространства А с В индуцированное
им отображениерА = р\А: F А —*¦ А, где F А =
= р~1А, также является расслоением (этот факт, в част-
частности, существенно использовался в доказательстве пред-
предложения 1 из Дополнения к предыдущей лекции). Ана-
Аналогичное [утверждение для слабых расслоений, вообще
говоря, неверно (и, значит, неверно более общее утвержде-
утверждение, что отображение, индуцированное слабым расслое-
расслоением, является слабым расслоением).
Пример 2. Пусть В—полуплоскость х > 0 плоско-
плоскости Ra, a E—та же полуплоскость, но с разрезом 0 <
< л: < 1, */=¦(), от которого оставлена лишь его верхняя
сторона. Очевидно, что естественная проекция р: ?—>-В
является слабым расслоением (ибо все гомотопические
группы пространств Е, В и Fbo, Ьа^В, в размерностях
> 0 равны нулю). Вместе с тем прообраз FA окружно-
окружности А: (х— l)a + j/2 = l/4 является отрезком, и потому
проекция рА: FA—+A расслоением—даже слабым —
быть не может (ибо я^/^вО, тогда как я^^О).
Следуя Дольду и Тому, мы будем называть подпрост-
подпространство Ас В отмеченным (по отношению к данному
надъективному отображению р: Е—+В), если отображе-
отображение рА: FA—*B является слабым расслоением.
Теперь легко видеть, фактически дословно повторяя
доказательство предложения 1 из Дополнения к преды-
предыдущей лекции, что при ограничении отмеченными мно-
множествами это предложение сохраняется и для слабых
расслоений, т. е. для любого слабого расслоения р: Е-*
—>-В и любого отмеченного подпространства Ас:В гомо-
гомоморфизм
р.: л„(?, FA)-^nn(B, A), n > О,

СЛАБЫЕ РАССЛОЕНИЯ 359
индуцированный отображением р: (Е, РА) —* (В, Л), явля-
является изоморфизмом (при любом выборе отмеченных точек
со€?л и *о-р(«о)).
Естественно ожидать, что аналогичные оговорки нужны
и при обобщении на слабые расслоения теоремы 1 из
Дополнения к лекции 1 и, значит, что из существования
для пространства В покрытия (даже нумерируемого),
состоящего из открытых отмеченных множеств, еще не
следует, вообще говоря, что отображение р: ?--»-? явля-
является слабым расслоением (т. е. что пространство В
отмечено).
Пример 3. Пусть В—плоскость R.', a E—та же
плоскость, нос разрезом 0<*<l, у = 0, от которого
оставлена лишь его верхняя сторона. Согласно сказан-
сказанному в примере 2 полуплоскость х > 0 отмечена по от-
отношению к естественной проекции р: Е—+В. По симмет-
симметрии отмечена и полуплоскость х < 1, составляющая вместе
с полуплоскостью х > 0 открытое покрытие плоскости В.
Вместе с тем, если бы проекция р была слабым расслое-
расслоением, то ввиду того, что все множества р^,,), Ь0?В,
являются точками и потому1 асферичны, она индуцировала
бы изоморфизм ПгЕяащВ. Но я1В = 0, а группа щЕ
нетривиальна, так как петля, обходящая разрез, не го-
гомотопна нулю (докажите!). Поэтому проекция р: Е—>-В
расслоением—даже слабым—быть не может.
Вместе с тем оказывается, что если для надъективного
отображения р: ? —> В существует покрытие простран-
пространства В, состоящее из таких отмеченных открытых мно-
множеств Uа, что любые их конечные пересечения также
отмечены, то отображение р: Е—*-В будет слабым
расслоением. Более того, справедлива следующая чуть
более общая теорема, принадлежащая Дольду и Тому.
Теорема 1. Надъективное отображение р: Е —* В
будет слабым расслоением, если для пространства В су-
существует покрытие, состоящее из таких отмеченных
открытых множеств Ua, что каждое пересечение илГ\и$
является объединением элементов покрытия.
Заметим, что покрытие {Ua\ нумерируемым не пред-
предполагается.
Доказательству теоремы 1 мы предпошлем четыре леммы,
первая из которых имеет и самостоятельный интерес.
Наряду со стандартными, описанными в лекциях 5 и 6
построениями суммы элементов гомотопических групп,

360 АДДИЦИОННЛЯ ЛЕММА
существует для этого много других конструкций, которые
хотя и менее элегантны, но в определенных ситуациях
более удобны. Описания этих конструкций известны под
общим именем аддиционных лемм. Мы не будем глубоко
погружаться в болото этих лемм и пока ограничимся
только одной из них, необходимой для доказательства
теоремы 1.
В этой лемме используется тот факт, что для любой пун-
пунктированной пары (X, А, х0) элементами группы я„ (X, А, х9)
мы можем считать гомотопические классы отображений
(/", /", 0) —(X, А, х0).
Пусть К"—подкуб куба /", состоящий из точек
t = (tt, ..., tn), для которых
1<1/2, ()<*„< 1/4
ш
(см. рис. 20). Ясно, что пара (/", /"LJ/C") является па-
парой Борсука, причем f"UK"%fn- Поэтому любое отобра-
отображение (/", /", 0)—>-(Х, Л, х0), гомотопно
(в категории ТОР2) отображению, пере-
переводящему куб /С" в А, и, значит, отображе-
отображению, переводящему куб К" в точку х0.
Пусть, далее, К"—граница куба Кп,
a L"—объединение всех его граней, от-
отличных от грани К"'1 — /С"П /", задавае-
задаваемой уравнением ^„ = 0. Пусть, наконец, ср„—линейное
отображение
тройки (Кп, К", L"-1) на тройку (/", /», J").
Нужная нам аддиционная лемма может быть теперь
сформулирована следующим образом.
Лемма U Пусть элемент а?пп (X, А) задается
отображением f: (/", /", J")—*(Х, А, х0), а элемент
Р^я„(Х, А)—таким отображением g: (/", /", 0)—»¦
—>(Х, А, хй), что g(K) = x0. Тогда отображение
h: (/„, /", 0)—>-(Х, А, х0), определенное (очевидно,
корректно) формулой
будет задавать элемент а + $?пп(Х, А).

ЛДДИЦИОННЛЯ ЛЕММЛ 36\
Доказательство. Ясно, что пары (/", /С? и./")
н (/", К" U/") являются парами Борсука. Стандартное
рассуждение показывает поэтому, что существует такая
гомотетия
gt: (/», 7», 0) —(X, А, х0),
ЧТО
для любого t?l. Заменив в формуле B) отображение g
отображениями gt, мы, очевидно, получим гомотопию
ht: (/", /", 0)—> (X, Л, ж0), связывающую отображение
/i — h0 с отображением/ti, построенным по отображению^.
Следовательно, без ограничения общности мы можем
в лемме 1 предполагать, что отображение g обладает тем
дополнительным свойством, что g(J"~1) = x(l, т. е. яв-
является подобно отображению / отображением стандартного
вида (/", /", J"~1)—*(X, А, х0) (и, конечно, по-прежнему
удовлетворяет условию g(K") = xa, обеспечивающему кор-
корректность формулы B)). Более того, по аналогичным со-
соображениям мы можем даже требовать, чтобы g(t) = xn
при 0 ^.t1^.\/2, т. е. чтобы отображение g было суммой
const +g' постоянного отображения const и отображения
g'\ (/", /", У")—*(Х, А, хп), определенного формулой
g'(tlt tt, .... y=g(l±ii, t2 tn),
V» h tn)=t$r.
Но тогда отображение h будет, очевидно, суммой /' |g
отображения /': (/", /", J"~1)—*(X, A, x0), определен-
определенного формулой
»). если (т> '« *п
если (A, tt, ..., *„
[х0,
и отображения g'. Поскольку р = [g]' — [const +g'\' = [g1]',
отсюда следует, что для доказательства леммы достаточно
доказать, что а = [/']', т. е. что существует гомотопия
/,: (/", /", У")—»(Х, А, х„), связывающая отображение
/ с отображением /'. Поскольку такую гомотопию можно

362 ОСНОВНАЯ ЛГСММА
задать, например, формулами
t(t + 2h+l t-
'\ l+t '
x0 в противном
j~itt— 1
i+st -¦
4 ~-ч n-i ^>.
случае,
t +
*^^в 2 "*
2 '
4'n-i—1 4<„ \
l+3< ' 1+3* /
• • •» -=S n~=5 4
лемма 1 тем самым полностью доказана. ?
Мы будем говорить, что отображение h получается из
отображения g вклеиванием отображения /.
Теперь мы можем доказать фундаментальную лемму
Дольда и Тома, вскрывающую внутренние «гомотопические»
пружины справедливости аксиомы РНГ для отображений
кубов. В этой лемме указываются условия на отображе-
отображение р: Е—*В и подпространство Ас В, при выполнении
которых для любого отображения g: (In+1, I")—*(В, А),
любой гомотопии ht: (У", /")—>(?, Л), обладающей тем
свойством, что ho~g\jn, и любого отображения ht: (У, /'")—¦
—+(Е, FA), FA = pj1A, накрывающего отображение /tt
(т. е. такого, что/ix=a pohx), существует такая гомотопия
gt: (/n+1, /n)-+(fi, А) и такое отображение g; (Inl1, /»)-*
-+(?, FA), что
и gt\jn=ht для любого t?.I.
Лемма 2. Если для каждой точки е0 ^ FА индуци-
индуцированный отображением р гомоморфизм
Рп- пп(Е, F» ео)-+лп(В, Ь9), &0 = р(е0),
является мономорфизмом, а гомоморфизм
Pn+i- nn+i(E, FA, e9)—>nn+l(B, b0)
— эпиморфизмом, то для любых g, ht и hr существуют
gt " IT-
Прежде чем доказывать эту лемму, мы заметим, что
пара (Jn, /"), очевидно, гомеоморфна паре (/", /"). (Дей-
(Действительно, для любого гомеоморфизма ф: (/", /")—*¦

ОСНОВНАЯ ЛЕММА 363
—>(?", 5") формула
!-s-(p(*), если f =1,
2-<
~q>(t), если /€/".
будет определять гомеоморфизм пары (J", /") = ((/" х/) U
U(/"xl), /пх0) на пару (?", S"). Значит, отображе-
отображение ijrbq) будет гомеоморфизмом (/", /'")—+ (У, /*).)
Поэтому, если мы зафиксируем гомеоморфизм (/", /") --*
—>-{J", /"), то для любой пары (X, Л) каждое пунктиро-
пунктированное отображение /: (У", /") —*{Х, А) будет определять
некоторый элемент группы п„ (X, А). Более того, гомео-
гомеоморфизм (/", /")—«¦(/", /") мы можем считать (почему?)
ограничением некоторого гомеоморфизма (/a+1, J")—*
—*¦ (/n+1, /"), откуда следует, что каждое отображение
g: (/"+1, /") —* (X, А) мы можем рассматривать как гомо-
топию из /" в X, начальным отображением которой яв-
является отображение g\jn (рассматриваемое как отображе-
отображение (/", /") —+ (X, Л)). Так как при отождествлении
/n+i_/nx/ подмножество J" куба /n+1 отождествляется
с подмножеством (/'"х/) U (/"X 1) произведения /"х/,
а по условию g(I")czA, то эта гомотопия будет гомото-
пией отображений пар (/", /")—*(Х, Л), и ее концевое
отображение будет отображением, стянутым в Л. Поэтому
ее начальное отображение будет задавать нулевой элемент
группы я„(Х, Л). Этим доказано, что отображение
/: (У", 1п)—*(Х, А) тогда и только тогда задает нуле-
нулевой элемент группы п„ (X, Л), когда существует такое
отображение g: (In+1, /")—»-(Х, А), что f — g\jn.
Доказательство леммы 2. Пусть а—элемент
группы пп(Е, FA), задаваемый отображением /it: (¦/", /")—>•
¦—>(?, FA) (или, точнее, отображением \: (/", /", 0)-~+
-~+ {Е, FA, е0), где е0 = ht @)). Тогда элемент р„ (а) ^ пп (В, А)
будет задаваться отображением ht: (Jn, /") —+ (В, Л),
а потому и гомотопным ему отображением ha: (Jn, /")—*
—*(В, А), Но по условию ho = g\jn, где g: (/n+1, /")—<-
—+ (В, А), откуда, согласно только что сделанному заме-
замечанию, следует, что отображение h0 задает нулевой эле-
элемент группы я„(Х, А). Таким образом, рп(а) — 0, и зна-

3G4 ОСНОВНАЯ ЛЕММЛ
чит, ввиду предположенной мономорфности гомомор-
гомоморфизма рп, в группе пп(Е, FA) имеет место равенство а = 0.
Следовательно, существует такое отображение
g': (In+1, 1")—*{Е, Fa),4to g'\jn = hv Ясно, что формула
(g(t, *п+г), если tnfl = 0,
G(t, tH+u *«+2) = |4,+i(*. *„+,), если *€/*или<,,+1 = 1,
{{'){tt fl
где t?ln, а fn+1, ^,+2€7, корректно определяет некото-
некоторое отображение G: (Jn+1, In+1)—*(B, А). Пусть Р —
соответствующий элемент группы пп+г(В, А). Поскольку
гомоморфизм ра+1 является по условию эпиморфизмом,
существует отображение /: {Ia+1,'ln+1,Jn+1)-^-(E, FA, е0),
обладающее тем свойством, что отображение pof задает
элемент —р группы пп+1(В, А).
Пусть Rn+1—образ подкуба К"+1 куба /n+1 при гомео-
гомеоморфизме х: (/"+1, 7"+1)—+(У"+1, 7"+1), посредством которого
отображение G мы трактуем как отображение G"+1, /n+1) —*
—+(В, А). Ясно,что, выбрав соответствующим образом гомео-
гомеоморфизм х, мы без ограничения общности можем считать, что
К"*1 содержится в грани tn+1 = 1 куба 7"+3, т. е. после отож-
отождествления этой грани с кубом 7"+1—в кубе 7"+1 (и не
пересекается с J"). При этом можно, кроме того, считать,
что отображение #' переводит К"+1 в точку е0. Тогда отобра-
отображение G, рассматриваемое как отображение G"+1, 7"+1)—•¦
—* (В, А), будет переводить куб K"+l в точку еа, и по-
потому будет допускать вклеивание отображения /. Соот-
Соответствующее отображение Н будет, согласно лемме 1,
задавать элемент —Р-|-|} = 0 группы пп(В, А), и потому
будет существовать отображение Я': G"+2, 7"+1)—>(В, А),
совпадающее на Jn+1 с отображением Я. В силу отож-
отождествления /п+2 = 7п+1х7 мы это отображение можем
рассматривать как гомотопию gt: 7"+1 —* В. При этом
соотношение Я' \jn + i = Я будет равносильно соотношениям
go — gy gt\j» = ht, t?l, и gi = pog, где g—отображение
G"+l, 7")—*(?, FA), совпадающее вне ^n+1 с отображе-
отображением g', а на R"+1—с отображением /, рассматриваемым
в силу гомеоморфизма Кп+1—>K,n+l——'* In+1 как ото-
отображение Rn+1 —*Е.

НАКРЫВАЮЩИЕ ГОМОТОПИИ 365
Для завершения доказательства остается заметить,
что поскольку Кп+1 не пересекается с У", отображение g
совпадает на J" с отображением g, а значит, с отобра-
отображением hv ?
Для вывода из леммы 2 теоремы 1 нам понадобится
одна общетопологическая (или, лучше сказать, элемен-
элементарно-геометрическая) лемма, касающаяся кубируемых
(см.- Дополнение к лекции 7) множеств.
Для сокращения формулировок будем называть откры-
открытое покрытие {Vа, а?А} топологического пространства X
аддитивно насыщенным покрытием, если для любых ин-
индексов ос, р ? Л пересечение Vа Г) ?/р является объедине-
объединением элементов покрытия {Ua\.
Лемма 3. Пусть Q—компактное кубируемое мно-
множество, X—топологическое пространство, \Ua,a^A\ —
аддитивно насыщенное открытое покрытие пространства
X и F: Q—+X—непрерывное отображение. Существует
такой кубильяж К множества Q и такое отобраокение
ср: К—*А, что:
(i) для любого кубика о ?К имеет место включение
(И) если кубик в?К является гранью кубика х?К,
то ?/ф(о)с:1/ф (х).
Кроме того, если задано такое конечное семейство
{Ср, р С ВсА} замкнутых множеств C^czQ, что F (Ср)с?/р
для любого р б В. tno отображение ф можно выбрать так,
чтобы при а Г) Ср Ф 0 имело место включение
(ш) tWct/p, <т€К, P6R.
Доказательство. Назовем кубильяж К множе-
множества Q удовлетворительным с размерности п.^0, если
на множестве Кш всех его кубиков размерности, большей
или равной п, задано такое отображение ф: /С(")~->Л, что
условия (i), (ii) и (iii) выполнены для всех кубиков
в?КЫ). Утверждение леммы означает, что существует
кубильяж удовлетворительный с размерности 0. По-
Поскольку при п, большем размерности множества Q, лю-
любой кубильяж этого множества, очевидно, удовлетво-
удовлетворителен с размерности п, для доказательства леммы
достаточно поэтому доказать, что из существования
удовлетворительного с размерности га+1 кубильяжа

366 НАКРЫВАЮЩИЕ ГОМОТОПИИ
следует существование кубильяжа, удовлетворительного
с размерности п.
Имея это в виду, рассмотрим произвольный кубильяж К
множества Q, удовлетворительный с размерности п-\-\.
Пусть а—произвольный n-мерный кубик этого кубильяжа,
и пусть х ? а. Ввиду условий, наложенных на покрытие
{Уа\, существует такой элемент Ua w этого покрытия,
содержащий точку / (х) 6 X, что Ua U) с U9 <Т) для любого
(« + 1)*меРн0Г0 кубика f?K, имеющего кубик сг своей
гранью, и ил ooci/p для любого индекса Р € В, обладаю-
обладающего тем свойством, что х^-Ср. В силу непрерывности
отображения F: Q—*-Х и компактности множеств Ср точ-
точка x?Q обладает в Q такой окрестностью V(x), что
F (V (x))czUa(X> и V(x) Г)СР= 0, если л: ^ Ср. Окрестно-
Окрестности V(x), x?d, составляют открытое покрытие кубика а,
и потому существует настолько мелкий кубильяж Ко
этого кубика, что каждый кубик кубильяжа Ка содер-
содержится хотя бы в одной окрестности вида У (л-). Поскольку
любой более мелкий кубильяж кубика а также обладает
этим свойством, мы в силу конечности кубильяжа К
можем считать, что для всех n-мерных кубиков о?К
кубильяжи Kg имеют одну и ту же мелкость N.
Рассмотрим кубильяж Kt мелкости N множества Q,
Любой его кубик а1 размерности, большей или равной п,
содержится в единственном кубике а?К минимальной
размерности ~7^п. В случае, когда dima^n-f-1 (и потому
определен индекс ср (о)), мы положим (pi(cr1) = <p(cr). Если
же dima = n, то по построению о^Ка, и потому сущест-
существует точка х б сг, обладающая тем свойством, что
aLczV{x). Произвольно выбрав такую точку х, мы поло-
положим <jpj (ojmzaix). Непосредственная проверка показывает,
что кубильяж Ki по отношению к так построенному ото-
отображению фх: /С!"'—>-А является кубильяжем, удовлетво-
удовлетворительным с размерности п. ?
Теперь мы можем рассмотреть вопрос о том, что
остается от аксиомы НГ в случае, когда отображение
р: Е—у В удовлетворяет условиям теоремы 1.
Лемма 4. Пусть для отображения р: Е—+В сущеспг
вует аддитивно насыщенное открытое покрытие {Ua;
а ^ А} пространства В, состоящее из отмеченных мно-
жесте, и пусть для компактного кубируемого множест-
множества Р и непрерывного отображения F: Рх1—+В задано
такое конечное семейство -{Ср, р^ВсА} замкнутых

НАКРЫВАЮЩИЕ ГОМОТОПИИ 3G7
множеств Cp&PxI, что F(С&)с U$ для каждого р?В.
Тогда для любой коммутативной диаграммы вида
Pxl
р 1
F
е
существует такое отображение F: Рх1~*Е, что
F°o0 = f1 и такая гомотопия Gt: PxI—*B, что G0 = F,
G! = poF, Gtoa0 — F oo0, Gt(C&)czU& для любых t?I,
Р6В.
Доказательство. Согласно лемме3 (примененной
к отображению F и кубируемому множеству Q = PxI)
существует кубильяж К множества Q = Pxf и отобра-
отображение ф: К—»-А, обладающие свойствами (i), (и) и (Hi).
Мы усилим лемму 4, потребовав, чтобы для любого ку-
кубика о ? К и любого 16 / имело место включение
Gt(a)c:?/<p(e). В силу свойства (ш) это, очевидно, обес-
обеспечит нам выполнение включения Gt(Cp)ci/0.
Каждый кубик сг^/С имеет вид тхр, где т принад-
принадлежит некоторому кубильяжу множества Р, а р—неко-
р—некоторому кубильяжу отрезка /, т. е. является либо одной
из конечного числа точек вида k2~N,kz= 0, 1, ..., 2^,либо
одним из отрезков Ik = [k2-N, (k+lJ-N]t0^k^2N—\.
Сосредоточим наше внимание на кубиках вида тх/*. Мы
упорядочим эти кубики, считая, что Tj х /*, < т2 х h,,
если kt < kt, а при ^1 = fea, если dim т^ < dim та (кубики
с kx = kt и dimTjssdimtj упорядочим произвольным
образом). Построение отображения F и гомотопии Gt мы
проведем по отдельности на каждом кубике вида %xlk,
считая, что на предыдущих кубиках они уже построены.
На каждом шаге (в том числе и начальном) этого по-
построения мы—после отождествления кубика хх/к с ку-
кубом /"x/ = /"+1, n»dimT,—будем иметь дело с ситуа-
ситуацией леммы 2, где роль пространства В будет играть
множество i/ = ?Ap(TX/ft). роль пространства Е—его про-
прообраз Fv = p~1U, роль отображения р—ограничение рц
данного нам отображения р на этом прообразе и роль
подпространства А—множество V = U4,(ay ab—xx{k2~N).
Условия, наложенные в лемме 2 иа гомоморфизмы рп и
Рп+\> будут выполнены в силу отмеченности множеств О
и V (заметим, что если множество VczUczB отмечено по

368 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТПОРЕМЫ ДОЛЬДА — ТОМА
отношению к отображению р: Е—+В, то оно будет отме-
отмечено и по отношению к отображению ри'- Fu—*U).
Условие, что отображение F и гомотопия Gt построены
для предыдущих _кубиков кубильяжа /С, даст нам отоб-
отображения g, hj_ и klt а отображения gt и g позволят рас-
распространить F и Gt на кубик хх1к. Тем самым отоб-
отображение F и гомотопия Gt будут по индукции построены
на всех кубиках тх/*, т. е. на всем множестве
Q P. П
Обратимся теперь непосредственно к доказательству
теоремы 1.
Доказательство теорем^ы 1. Достаточно по-
показать, что отображение р: Е—+В, удовлетворяющее
условиям теоремы 1, обладает тем свойством, что для
любой точки е0 ? Е и любого содержащего точку Ьо = р (е0)
элемента Ua, покрытия {Ua\ индуцированный отображе-
отображением р: (Е, Fu , ео)—+(В, Ua,, b0) гомоморфизм
р,: пп(Е, FUaa, ео)—>лп(В, Uao, Ьо), п > О,
является изоморфизмом. Действительно, тогда в комму-
коммутативной диаграмме
„п( a)
I
+Яп + 1(В, Ua,)
лп(Е, Fbo)-»
I
лпВ
строки которой являются гомотопическими последова-
последовательностями, соответственно, тройки(Е, Fuao, Fo) и пары
(В, Uao), а вертикальные гомоморфизмы индуцированы
отображением р, все вертикальные гомоморфизмы, кроме
центральных гомоморфизмов пп (Е, Fhtl) —>¦ п„В, будут изо-
изоморфизмами. Поэтому в силу леммы о пяти гомоморфизмах
последние гомоморфизмы также будут изоморфизмами,
т. е. отображение р: Е—>В будет слабым расслоением.
Мономорфность гомоморфизма /?«. Пусть
I—такой элемент группы пп(Е, FUao, е9), что р„| = 0.
Условие рЛ==0 означает, что для отображения /:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДОЛЬДЛ — ТОМЛ 369
(/", /\ J"'1) ->(?¦, Fua<>, c0), задающего элемент ?, су-
существует такая гомотопия ft: (/", i")—* (В, ?/«„), что
/о — Р° / и /i= const. Применим лемму 4, принимая за Р
куб /" (и, значит, за Q—куб In+1), за/—отображение/,
а за F—гомотопию ft (трактуемую как отображение
/"X/—+В). За семейство {Ср} мы примем семейство,
состоящее из единственного множества Са„ = G'гх7)х
Х(/"х1) = ./" (так что Б = {а0}). Ясно, что все условия
леммы _4_ выполнены, и потому существуют такое отобра-
отображение F: /"+1—+ ?, что F о сго = /, и такая гомотопия Gt:
/"+1^5, что G0 = F, G^/? о F,Gt о ао = /0 иС,(/п)с?/ао
для любого ^? 7, где, как всегда, а„: /"-^-/"+1—вложе-
/"-^-/"+1—вложение ty^(t, 0)^ Так как Gt = poF и G^y^ct/^, то
отображение F, трактуемое как гомотопия из 7" в ?,
является на самом деле гомотопией (свободной) из
(/", /") в (Е, ?/а„), связывающей отображение / со стя-
стянутым в Uа„ отображением. Поскольку из существования
такой гомотопии вытекает, как мы знаем (см. лекцию 8),
равенство ? = 0, этим доказано, что гомоморфизм р»
является мономорфизмом.
Эпиморфность гомоморфизма р*. Элемен-
Элементами группы пп(В, Uat) можно считать гомотопические
классы отображений F: (/", /", In~l)—*-(B, Uа„ Ьо), т. е.
таких отображений F: 1п—*В, что F(J"~l)czUail и
F (/"-1) = 60. Каждое такое отображение F вместе с отоб-
отображением / = consteo: ]"~1-->-Е удовлетворяет (при
Р = /"~1) условиям леммы 4 (с В = {а0} и Са„ = У"~1).
Поэтому существует такое отображение F: 1п — *Е, что
F о а0 = constc, (т. е. F A"~1)=е0), _и такая гомотопия Gt:
1"—*В, что G0=»F, GjsapoF, G^ о о0 = constu0 и
0/(У"~1)с?/а для любого t g 7. Условия, которым удов-
удовлетворяет гомотопия Gt, означают, что эта гомотопия
представляет собой гомотопию отображений (/", /", 7")—>
- >(В, Uа,, Ьо), связывающую отображение F с отобра-
отображением poF. Следовательно, во-первых, poF является
отображением G", 7", 7")—>-(В, U„0, 60) и потому за-
задает некоторый элемент группы я„ E, Uaz), а во-вторых,
этот элемент совпадает с элементом ??я„E, U aj, зада-
задаваемым отображением F. Поэтому отображение F будет

370 ЛЕММЛ ДЖЕЙМСА
отображением (/", /", f"-l)—*(E, Fu ,, е0), и задавае-
задаваемый этим отображением элемент 5 группы п„(Е, Fun ) бу-
дет обладать тем свойством, что /?»(§)*«§.
Тем самым теорема 1 полностью доказана, р
Мы применим теорему 1 к доказательству 'одной по-
полезной леммы, впервые установленной Джеймсом. В этой
лемме участвуют два пунктированных пространства X
и Y, приведенный конус С'Х над пространством X, пунк-
пунктированное отображение /: XxY—>-Y и пространство
E = (C'XxY) UjY, получающееся приклеиванием произ-
произведения С'ХхУ к пространству Y посредством отобра-
отображения / (так как ХсС'Х, то XxYcC'Xx Y). Мы будем
говорить, что пространство Е получено применением
конструкции Джеймса к отображению /.
Пусть р: E—*S'X—отображение, определенное (оче-
(очевидно, корректно) формулами
Р{[х, tf, y)-[x, t]s,p(y)~X<), х?Х, y$Y, t?l.
Предложение 1 (лемма Джеймса). Если отме-
отмеченная точка хо(~Х обладает стягиваемой ге! х0 окрест-
окрестностью Uo и для любой точки х$Х отображение
y*-+f(x,y),y?Y, из Y е У является гомотопической экви-
эквивалентностью, то отображение р представляет собой
слабое расслоение.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма б. В условиях предложения 1 для основания
X конуса С'Х существует окрестность U, строгим де-
деформационным ретрактом которой оно является.
Доказательство. Пусть U—подмножество (оче-
(очевидно, открытое) конуса С'Х, состоящее из таких точек
[х, t], что либо x^Ua, либо /?[1/3, 2/3]. Ясно, что
формула
gx[x, t]-[x, р(Л т)], [х,
где
P(t, т) = ] j-^, если у</<-—.,
1, если
определяет неподвижную на X гомотопию, связывающую
тождественное отображение ^0=sid: U—>U с отображе-

ЛЕММА ДЖЕЙМСА] 371
нием g{. U—+U, являющимся отображением на объеди-
объединение X[}CUa, где С'1/й—содержащийся в С'Х конус
над окрестностью Uo. С другой стороны, поскольку
окрестность Uo по условию стягиваема rel xa, она явля-
является строгим деформационным ретрактом конуса C'Ua,
т. е. существует такая неподвижная на Uo гомотопия hx\
C'U0-+C'U0, что /to = id и Нх(С'и0)ш=и0. Доопределив
эту гомотопию на X, считая, что /tT = id на X, и положив
_/ ?«. если 0<т< 1/2,
'т~"\ Л2Т_1 о gt, если 1/2<т<1,
мы, очевидно, корректно определим неподвижную иа X
гомотопию, связывающую тождественное отображение
U—*U с отображением ior, где /: X—+U—вложение,
а г: U—+X—некоторая ретракция (представляющая со-
собой отображение hx о glt рассматриваемое как отображе-
отображение в X). Следовательно, U%X. п
Пусть V—образ окрестности U при отображении фак-
факторизации С'Х—"S'X. Поскольку рассматриваемое как
отображение (С'Х, X) —* (S'X, x0) это отображение является
относительным гомеоморфизмом, ретракция г: U—+X
определяет строгую деформационную ретракцию V—>*„.
Таким образом, окрестность V стягиваема rel ж0.
Рассмотрим множество Fv = p~lV.
Лемма 6. Для любой точкиv?Vмножество Fv =¦ p~l{v)
является деформационным ретрактом множества Fv.
Доказательство. В силу стандартных отождеств-
отождествлений Fvm((U\X)xY)UY, причем
р(и, y)^us, р{у)^х„,
для любых точек u$U\X и y?Y, где us—образ точки
в в V (т. е. «s=s[x, /]s, если « = [*, /]с), а х0—отме-
х0—отмеченная точка надстройки S'X. При этом построенная
выше гомотопия /т: U —+U очевидным образом опреде-
определяет неподвижную на Y гомотопию Fv—+Fv, связываю-
связывающую тождественное отображение с отображением i о г, где
i: Y—t-Fy—вложение, а г—ретракция FV—*Y, опреде-
определенная (очевидно, корректно) формулами
7(и, y)~f(ru, у), 7(у)-у, u?U\X, y?Y.
Поскольку FXtm*Y, это доказывает лемму 6 при v**x0.
Пусть ьфхй. Тогда Fvs*uxYt где u?U—такая
(очевидно, единственная) точка, что us**v. Ограничение

372 ЛКСИОМА О НАКРЫТИИ ЗАМЕДЛЕННЫХ ГОМОТОПИЙ
rv ретракции г на Fv лишь гомеоморфизмом (и, у)>—*-у
отличается от гомотопической эквивалентности у н-»/ (х, у),
где х*=г(и), и потому само является гомотопической
эквивалентностью. Пусть g: Y—>-Fv—обратная гомото-
гомотопическая ^эквивалентность, а /: Fv—+Fv—вложение.
То?да_(? о г) о / =sg о rv ~ id и / о (g о г) ~ i о г о / о g о г—
— i о rv о g о г ~ i о г ~ id, и, значит, отображение / явля-
является гомотопической эквивалентностью. ¦ Поскольку пара
(Fv, Fv) является, очевидно, замкнутой парой Борсука,
это возможно (следствие 1 предложения 4 лекции 2)
только тогда, когда Fy^^V О
Доказательство предложения 1. Пусть
W—дополнение в S'X точки х0 (или, что равносильно,
дополнение в С'Х ¦ пространства X). Множество W
открыто, его прообраз p~lWcE является произведением
U?xF, а отображение р на Fw=ap"lW—проекцией
WxY—>-Y. Аналогичными свойствами обладает, конечно,
и пересечение V п W. Это означает, что множества Vc\W
и W открыты и отмечены. Поэтому в силу теоремы' 1 для
доказательства предложения 1 достаточно доказать, что
отмечено множество V, т. е. что для любой точки v?V
и любого п^О отображение р индуцирует изоморфизм
р, группы nn(Fv, Fv) иа группу nn(V, v). Но в силу
стягиваемости окрестности V и только что доказанной
(см. лемму 6) деформационной ретрагируемости множе-
множества Fv на слой Fv, обе эти группы равны нулю. Сле-
Следовательно, отображение р» автоматически является изо-
изоморфизмом. П
Джеймс нашел замечательное применение предложе-
предложения 1 к теории гомотопических групп. Мы займемся им
в следующей лекции.
ДОПОЛНЕНИЕ
Аксиома о накрытии замедленных гомотетий.—Аксиома
о сверхмягком распространении накрывающей гомото-
пии. — Теорема Дольда для гомотопических расслоении.
Для расслоений справедлива теорема 1 из Дополне-
Дополнения к лекции 1, а для слабых расслоений—теорема 1
лекции 9. Естествен вопрос: имеет ли место аналогичная
теорема для гомотопических расслоений?
Мы покажем, что ответ на этот вопрос утвердителен
н, более того, что в этом отношении гомотопические рас-

АКСИОМА О НАКРЫТИИ ЗАМЕДЛЕННЫХ ГОМОТОПИЙ 373
слоения ведут себя в точности так же, как сильные рас-
расслоения.
Предварительно нам будет нужно доказать еще одно
характеристическое свойство гомотопических расслоений.
Гомотопию F: Xxf—>-B мы назовем замедленной,
если существует такое число ^0 > 0, что при Ог?^г^/„
для любой точки х?Х справедливо равенство F(x, t)-~
=F(x, 0).
Определение 1. Говорят, что отображение р: Е—+В
удовлетворяет аксиоме о накрытии замедленных гомото-
пий (коротко, аксиоме НЗГ), если для любой диаграммы
вида
в которой гомотопия F является замедленной гомото-
пией, существует накрывающая гомотопия F.
Справедливо следующее—несколько неожиданное —
предложение, по новому освещающее понятие гомотопи-
гомотопического расслоения.
Предложение 1. Отображение р: Е—+В тогда и
только тогда является гомотопическим расслоением,
когда оно удовлетворяет аксиоме о накрытии замедлен-
замедленных гомотопий.
Доказательство. Вместе с диаграммой A) ком-
коммутативна и диаграмма, в которой гомотопия F заменена
гомотопией F': Хх1~*В, определенной формулой
F'(x, t) = F(x, A-/0)Н-<„), х?Х, 0<*<1.
Поэтому в случае, когда отображение р: Е—+В явля-
является гомотопическим расслоением, для так видоизмененной
диаграммы A) существует накрывающая гомотопия
F': XX.I—+E, обладающая тем свойством, что F' о о0д /.
Обозначив через G: Хх!—>¦ Е гомотопию над В, связы-
связывающую отображение / с отображением F' о аи, мы

374 АКСИОМА О НАКРЫТИИ ЗАМЕДЛЕННЫХ ГОМОТОПИЙ
ПОЛОЖИМ
F(x, /)-
G(x,-), если 0<
> если to^
Автоматическая проверка показывает, что тем самым мы
получаем гомотопию F: Хх I—+E, замыкающую диа-
диаграмму A). Таким образом, гомотопическое расслоение
р: Е—+ В удовлетворяет аксиоме НЗГ.
Обратно, предположив, что отображение р: Е—+В
удовлетворяет аксиоме НЗГ, рассмотрим произвольную
диаграмму A) (с, вообще говоря, незамедленной гомото-
пией F). Ясно, что формула
F'(x, 0-
I F(x, 0), если 0</<1/2, п^,.^,
в\ F{x, 2t-\), если 1/2</<1, Х*Л' u^^'-
определяет замедленную гомотопию F*: XX.I—+B
(с /ои1/2), для которой также имеет место коммутатив-
коммутативная диаграмма A) (с заменой F на F*). Поэтому для
гомотопии F* существует накрывающая гомотопия
F*\ XX.I-+E. Положив
G(x, t)^T
B) F(x, /)-F
мы, очевидно, получим такие гомотопии G: XY.I—+E и
F: Xxl —*Е, что G является гомотопией^ над 5, связы-
связывающей отображение f с отображением F о а0, а гомото-
гомотопия F накрывает гомотопию F. Следовательно, отобра-
отображение р: Е—+В является гомотопическим расслое-
расслоением. П
Пусть Cocyl (F, 7)—подпространство коцилиндра
Cocyl /, состоящее нз таких точек (х, и), х ?X, и: I —*Е,
что
(pou)(t) = F(x, t)
для любой точки (#, t)$XxI (и, конечно, u@)~f(x)).

АКСИОМА О СВЕРХМЯГКОМ РЛСПРОСТРАНЕНИИ
375
Следствие. Отображение р: Е—>В тогда и только
тогда является гомотопическим расслоением, когда для
любой диаграммы A) с замедленной гомотопией F проекция
Cocyl(F, /) — X
обладает сечением. ?
Аналогичным образом может быть перенесена на слу-
случай гомотопических расслоений и аксиома МРНГ.
Определение 2. Пусть для диаграммы
C)
где Л с X, Д = ХхОиЛх/ и <т0—вложение, существует
отображение /•": (U x I)t, —»¦ Е, замыкающее диаграмму
D)
s.
E
p
¦в
в которой to>O, U—некоторая замкнутая функциональ-
функциональная окрестность А в X, ((FxJ)t, = (X х [0, tt])\J(Uy.f)
и F'—ограничение отображения F на iVxI)tt- Тогда,
если существует гомотопия F: Ху.1 ~*Е, замыкающая
диаграмму C), то говорят, что отображение р: Е—+В
удовлетворяет аксиоме о сверхмягком распространении
накрывающей гомотопии (короче, аксиоме СМРНГ).
Предложение 2. Отображение р: Е—+В тогда.и
только тогда является гомотопическим расслоением, когда
оно удовлетворяет аксиоме о сверхмягком распростране-
распространении накрывающей гомотопии.
Доказательство. Пусть для гомотопического
расслоения р: Е—>-В задана диаграмма C), для которой
существует диаграмма D) с замыкающим отображением F'.
Ясно, что без ограничения общности можно положить
/„¦¦1/2. Обозначив через ср функцию X—>¦/, обладаю-

370 АКСИОМА О СПЕРХМЯГКОМ РЛСПРОСТРЛНГ.НИИ
щую тем свойством, что ф=»1 на А и ф = 0 вне U, мы
рассмотрим—очевидно, коммутативную—диаграмму
Хх[0,1/2]
E)
отображения g и G которой определены формулами
g~(x, t) = F'(x, ттнп(т-!-ср(х), 1)), х?Х, 0
G(x, т, t) = F(x, mm(t + T—tr-\-<i>(x), 1)),
х?Х, 0<т<1/2,
(формула для g имеет смысл, так как ц>(х) = 0 при #(?
Поскольку отображение р является гомотопическим рас-
расслоением, существует такое отображение G: (Хх[0,1/2]) х
X / —»¦ Е, что poG = G и G oa0 sg.
Пусть Я: Хх[0, 1/2]х/—*?¦ —гомотопия над В
(т. е. такая, что точка (ро_Н)(х, т, /) не зависит от t),
связывающая отображение g с отображением G о а0. Тогда
формула
F'(x, t), если 0</<ф(х),
Я(л:, t-<p(x), 2(^-Ф(х))),
0<()<t2
)
если l/2</-(pV)<l,
будет (см. рис. 21) определять гомотопию F: Хх1—*Е,
замыкающую диаграмму C). Этим доказано, что любое го-
гомотопическое расслоение удовлетворяет аксиоме СМРНГ.
Обратно, так как любая диаграмма вида A) является
диаграммой C) с Л = 0 и так как—в предположении,
что гомотопия F замедленна—для соответствующей диаг-
диаграммы D) (с U = 0) отображение F' может быть задано
формулой
F'(x,t)=J(x), x?X, 0</</0,
то любое отображение р: Е—+ В, удовлетворяющее аксио-
аксиоме СМРНГ будет удовлетворять аксиоме НЗГ и, значит,
будет гомотопическим расслоением. О

ТЕОРЕМА ДОЛЬДА О ГОМОТОПИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ 377
F'(x,1) Щх, /-р(х), 2A-<р(х))) Щх, i/2,
X
Рис. 21.
Замечание 1. Обратим внимание, что в последнем
рассуждении мы пользовались аксиомой СМРНГ только
при А = 0.
Теперь мы уже можем доказать для гомотопических
расслоений аналог теоремы 1 из Дополнения к лекции 1.
Теорема 1. Если для отображения р: Е—+ В сущест-
существует такое нумерируемое покрытие {Ua, а?А} прост-
пространства В, что каждое отображение
является гомотопическим расслоением, то отображение
р: Е—+В также будет гомотопическим расслоением.
Доказательство. Согласно следствию из предло-
предложения 2 мы должны доказать, что для любой диаграммы
A) с замедленной гомотопией F проекция
q: Cocyl(F, /) — X, (х, и)^х,
обладает сечением. Для этого достаточно доказать, что
для некоторого нумерируемого покрытия {W^} простран-1'
ства X каждое отображение
является мягким отображением, поскольку тогда в силу
леммы 2 из Дополнения к лекции 1 отображение q также
будет мягко, и потому для него будет существовать се-
сечение. Мы докажем это, приняв за \W$) прообраз при

378 ТЕОРЕМА ДОЛЬДА О ГОМОТОПИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ
гомотопии F, рассматриваемой как отображение X—* В'
покрытия \Vq\ P € В} пространства В', отвечающего в силу
следствия 2 леммы 3 из Дополнения к лекции 1 покры-
покрытию \Ua\ пространства В.
Согласно описанным в Дополнении к лекции 1 отож-
отождествлениям для любой точки x?Wfi путь F(x)?VfiC:B'
можно рассматривать как последовательность («J, ..., н^р)
путей и*: /-*?/„„ .... и*р: / — Uny где ait .... anp —
некоторые индексы из А (зависящие только от индекса
PGB), причем uf(O) = uf_1(l) для любого />1. В соот-
соответствии с этим любой путь v: I—+E, для которого
pov=*F(x)t можно отождествить с последовательностью
(vit .... . »„„) таких путей vt: /-ч-р-1 ({/«,), ...
..., и„р: / — р (Uanf)), что pov1 = ux1 ?
vi@) = vi_1(\) при г>1, и, значит, точки из
с последовательностями вида (х, vlt ..., у„3),
и U!@) = J(x) (заметим, что еслих^^р. то pf(x) =
=F (х, 0) = Uf @) ш t/ai, и значит,7_(*) € Р (^а,))-Поэтому
каждое сечение s: Wp —+ Cocyl (F, /) отображения q над
подпространством Wp будет задаваться щ непрерывными
отображениями
удовлетворяющими для любой точки х € W'p соотношениям
F) st(x)(O)-st_l(x)(l)npiil>\9
pos{(x) = uf для любого /=1, ..., «р.
Впрочем, здесь удобно отображения s, рассматривать как
гомотопии «р х / —»¦ р~х (Ua ) и соответственно этому отоб-
отображения Ft: х\-+и*—как гомотопии t/pX/—*-Ua. Тогда
соотношения F) будут расносильны коммутативности для
каждого i = 1 Лр диаграммы
G)

ТЕОРЕМА ДОЛЬДА О ГОМОТОПИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ 379
в которой при t=l под отображением si_1oa1 следует
понимать отображение /.
Если сечение s задано только на подпространстве
AcWfi, то, естественно, будут иметь место коммутатив-
коммутативные диаграммы, получающиеся из диаграмм G) заменой
Гр на А.
Мы видим, следовательно, что для доказательства
мягкости отображения q$ нам нужно для произвольного
подпространства AcW$ доказать, что из существования
для некоторой его функциональной окрестности V (в №р)
таких гомотопий 7,-: f/x/—*-p~1(^o()t 1 = 1, •••. Щ, что
имеют место коммутативные диаграммы
(8)
где при г=»1 под s[_1oo1 понимается отображение f\Ut
вытекает существование таких гомотопий st: W^xl—*
—*p~1(Ua), f«»l, ..., np, что имеют место коммутатив-
коммутативные диаграммы G) и
s/ U ~ si \а Для любого i — \, ..., Пр.
С этой целью, обозначив через ф функцию
обладающую тем свойством, что ф«0 на Лиф
U, мы введем в рассмотрение множества
*1,
вне
-1 ( [
0, 1-±
Ясно, что
и множество Ut для любого i < Пр является функциональ-
функциональной окрестностью множества U!+1, а множество U—функ-
U—функциональной окрестностью множества и±. Мы построим го-
мотопии S/ индукцией по t, требуя дополнительно, чтобы
для каждого I = 1, ..., Пр имело место равенство

380 ТЕОРЕМА ДОЛЬДЛ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ
т. е. чтобы имела место коммутативная диаграмма
?———уЮ
(9)
где ?/,. = (й?рхО)и(?//Х/), сг0— вложение, а /,-—отобра-
/,-—отображение, определенное формулами
Тi t\\ !rl(*' 1)( еСЛИ '==0>
(при i=l вместо s^.j^, 1) нужно, конечно, писать f(x)).
Если бы отображения р1 были расслоениями, то гомо-
топии s,- немедленно строились бы на основе аксиомы
МРНГ (см. аналогичные рассуждения в Дополнении к
лекции 1), что, кстати сказать, дало бы нам новое дока-
доказательство теоремы 1 из Дополнения к лекции 1. Однако
в теперешней ситуации мы можем пользоваться лишь ак-
аксиомой СМРНГ, и потому наша конструкция должна быть
несколько тоньше.
Заметим в первую очередь, что, вдвое увеличивая, если
надо, число пр, мы можем считать, что для каждого
индекса i > 1 и любой точки х ? Wp имеет место не только
включение uf (I)cUa , но и включение u*(I)c:Ua . Дру-
Другими словами, без ограничения общности мы каждую
гомотопию Fl можем считать также гомотопией из W$ в
^«;_х (и» значит, отображения s,., s,- и /,- из диаграмм
(8) и (9) —отображениями в p~l{Ua._^)).
Имея это в виду и предположив, что для некоторого
i > 1 гомотопия S;_! уже построэна, рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму
в которой 0, = AРрхО)и(?/, X/), (^CT
(lFpX[0, l/2])U(f;_iX/),agr,—отображение, определенное

ТЕОРЕМА ДОЛЬДА О ГОМОТОПИЧПСКИХ РАССЛОЕНИЯХ 381
формулой
а (г t\-lTt (*' 2t)' еСЛИ °<*< 1'2> /, п с Г,
gt(x, 0-^m(Xf 2,_1), если 1/2<*<1, <*•'>€"*
и С; —ограничение на (?/,•_* X /)х/а гомотопииС^: Wpx/ —>•
—> ^а- х> задаваемой формулой
Г ^(а:, 20,
если 0</<1/2,
^(х, 0= ^+1(х.2/-1), (*• 0€^Рх/.
[ если 1/2<^<1,
Непосредственно проверяется, что отображение Cj, замы-
замыкающее эту диаграмму, может быть задано формулами
_( s;(x, 2t), если 0<*<1/2,
G (X' t)mm\ ![+1(x, 2t-l), если jegt/,.
Следовательно, согласно аксиоме СМРНГ (при X = W$,
A = Uh f/==f/(_i и p — Pi-i) для диаграммы
существует замыкающая гомотопия С(-: W$xl—+p~l{Ua- j)
и ясно, что гомотопия
^±1
±1-), (х, 0€^Рх/,
где точка s,- (я, ^) рассматривается как точка из p~1(i/0Si),
замыкает диаграмму (9);
Таким образом, для завершения доказательства теоре-
теоремы 2 осталось обосновать лишь начальный шаг индук-
индукции, т. е. построить отображение sv
Если для любого t ? / имеет место равенство
A0) J^x, t)-~f(x) при <р(*)-1,
то отображение st может быть задано формулой
С (Y П I Sl(-X' ^' еСЛИ X^U>
$l{X' П \ J{x), если x$U.

382 ТЕОРЕМА ДОЛЬДА О ГОМОТОПИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ
Поэтому теорема 1 будет доказана, если мы покажем, что
выполнения условия A0) всегда можно добиться, соот-
соответствующим образом преобразовав гомотопии s{ (не ме-
меняя, конечно, их на Axl). Поскольку в этом преобра-
преобразовании множества Ua мы использовать не будем, для
его выполнения целесообразно перейти от гомотопии
S; к составленной из них полной гомотопии F\_ Uxl—+E.
Условия, наложенные выше на гомотопии s,- (коммута-
(коммутативность диаграмм (8)) для_гомотопии F означают, что
ее начальным отображением ,Рост0 служит ограничение на
U отображения f и что эта гомотопия накрывает над
U гомотопию F: Хх1~-*В. Что же касается условия
A0), то для гомотопии F оно имеет вид
A1) Т(х, t)-J(x) при <р(*)-1 и 0<г
Таким образом, от гомотопии F: UxI—^E, удовлетво-
удовлетворяющей соотношениям Foaa = f\u и P°F = F\uxi> мы
должны, сохраняя эти соотношения, перейти к гомото-
гомотопии, удовлетворяющей, кроме того, и условию A1).
Мы зададим новую гомотопию соответствием
(x, a(x,
(х,
=F(x, 0) при
' Г/Пц 1/2
где а—такая непрерывная функция Uxl—> /, что:
а) а (л:, 0) = 0 для любой точки xj- U (это обеспечи-
обеспечивает сохранение соотношения /?ост0=>/|у);
б) если t0 > 0—число, предусмотренное условием за-
замедленности гомотопии F (т. е. такое, что F(x, t) =
F 0 0;^<;/0; заметим, что мы впервые
пользуемся этим условием), то
функция ах: ti—>a(x, t) отображает
отрезок [0, rf0] в себя, а на от-
отрезке |70, 1] является тождествен-
тождественным отображением (это требова-
требование обеспечивает сохранение отно-
отношения poF=F[Uxi);
в) а (х, t)*=t при ср(л:)==О и лю-
любом t (обеспечиваетнеизменность на А);
г) а (л:, ^) = 0, если ср(л:) = 1 и
0 <; t <J 1/Яр (обеспечивает выполне-
выполнение условия A1)).
0 1-?(х) г/г
Рис. 22.
1

ТЕОРЕМА ДОЛЬДА О ГОМОТОПИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ 383
Считая для простоты, что to=l/2, и предполагая, что
щ > 2 (оба предположения общности, очевидно, не огра-
Па 1
ничивают), мы при ф(х)<— примем за функцию ах
По —
—
"в
тождественное отображение /—»•/, а при ср (х
в
функцию, линейную на каждом интервале с концами в
точках 0, 1—ц>(х), 1/яр, 1/2, 1 и переводящую эти точки
в соответственно точки 0, 1—ср(л:), 1 — ср(#), 1/2, 1
(см. рис. 22). Легко видеть, что все условия а)—г) будут
при этом выполнены.
Тем самым теорема 1 полностью доказана. D

ЛЕКЦИЯ Ю
Надстроечный гомоморфизм и надстроечная последо-
последовательность.—Универсальный моноид пунктированного
пространства.—Фильтрация универсального моноида.—
Случай гладко пунктированного пространства.—Мери-
пространства.—Меридианное отображение.—Теорема Джеймса и преобразо-
преобразование надстроечной последовательности.—Муровский
вариант серровского расслоения.—Доказательство тео-
теоремы Джеймса.
Пунктированное отображение S'f: S'A— *S'X, полу-
получающееся применением функтора S' к пунктированному
отображению /: А—>¦ X, обозначается также символом
Ef, а его гомотопический класс ?"[/]" = [5'/Т—символом
?[/]' (ср. с замечанием 5 лекции 3). Это обозначение
особенно удобно при A = S", когда гомотопические классы
[/]' являются элементами а группы ппХ. В этом случае
мы в силу отождествления S'S"=*Sn+1 можем отображе-
отображение Ef считать отображением Sn+1—*S'X и, значит, го-
гомотопический класс Еа—элементом группы nn+1S'X.
Получающееся отображение
Е: ппХ—+ nn+1S'X,
п
называется надстроечным отображением гомотопических
групп.
Замечание 1. В литературе для обозначения отоб-
отображения Е используется также символ S или его вари-
варианты (скажем, S* или 2).
В интерпретации элементов группы п„Х как классов
отображений /: (/", /") —+{Х, х0) отображение Е задает-
задается соответствием f\—*Ef, где Ef—отображение (/"+1,
jn+i-j __+ (S'X, л:0), определенное формулой
(Ef)(t, t)-[f(t), t], t€l,t?l»
(куб /n+1 отождествлен здесь с произведением /х/").
Автоматическая проверка показывает, что формула
i(x)t=ux, где ux(t) = [x, t], t ?/, х ? X, определяет монео-
морфное отображение (вложение) пространства X в про-
пространство QS'X (являющееся не чем иным, как отобра-
отображением, отвечающим по сопряженности тождественному
отображению S'X—*S'X). Индуцированный этим отобра-

НАДСТРОЕЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 385
жением гомоморфизм t»: nrX —*nrQS'X определяется фор-
формулой i*[f]''""[g]', где отображение g: Sr — *QS'X сопо-
сопоставляет точке x?Sr путь t\—*[fx, t] пространства S'X.
С другой стороны, как мы знаем, имеет место изоморфизм
h: nrQSy(—*nr+1S'X, который классу [g]' сопоставляет
класс [g]' отображения g: Sr+1=*S'Sr —+ S'X, определен-
определенного формулой g[x, t] = g(x)(t). Поэтому составной го-
гомоморфизм /lot,: nrX~+nr+1S'X сопоставляет классу [/]"
класс [/]' отображения f: [x, t]*-*[fx, t], т. е. отображе-
отображения 5'/. Этим доказано, что
В частности, отсюда следует, что надстроечное отобра-
отображение Е является гомоморфизмом (что, конечно, легко
проверяется и непосредственно). Кроме того, введя в рас-
рассмотрение точную гомотопическую последовательность
... — nrX Z, nrQS'X Л nr (QS'X, Х)^*пг.гХ-*...
пары (?2S*X, X) и заменив в ней группу nnQS'X изоморф-
изоморфной группой nn+1S'X, мы получим точную последователь-
последовательность
где Я = /.o/i и Р — д. Эта последовательность называет-
называется надстроечной последовательностью (или ЕИР-послсдо-
вательностью) пространства X и служит мощным средст-
средством изучения гомоморфизма Е.
Конечно, для конкретных вычислений необходимо по-
получить достаточно полную информацию о довольно-таки
таинственных гомоморфизмах Н и Р и, в частности, о
группе nr(QS'X, X).
Первый шаг в этом направлении основывается на пе-
перенесении в категорию ТОР" известного из алгебры по-
понятия свободного моноида.
Пусть X—произвольное пунктированное множество.
Словом над X мы будем называть каждое выражение вида
B) Xlxt ... хп,
где xlt ..., хп ? X. Слово мы назовем приведенным, если
ни одна из точек xlt ..., хп не является отмеченной
13 М. М. Постников

386 УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МОНОИД ПРОСТРАНСТВА
точкой #0 пространства X. Пустое слово, по определению,
является приведенным словом. Множество всех приведен-
приведенных слов мы будем обозначать символом УХ. Оно, оче-
очевидно, является моноидом относительно операции припи-
приписывания слов друг к другу. Единицей этого моноида
является пустое слово 0.
Впрочем, удобнее определить моноид УХ несколько
иным способом, заметив, что при выбрасывании из про-
произвольного слова всех входящих в него отмеченных точек
получается однозначно определенное приведенное слово.
Поэтому множество УХ можно рассматривать как фактор-
фактормножество множества
Х"= Ц X", Х« = Хх...хХ,
в = 0 п раз
всех слов B) по отношению эквивалентности, в котором
и ~ v, если после выбрасывания из слов и и v отмечен-
отмеченных точек получается одно и то же приведенное слово.
(На языке алгебры это означает, что УХ получается
из свободного моноида над X наложением соотношения
Отождествление множества X с множеством X1 вкла-
вкладывает, очевидно, X в УХ. По отношению к этому вло-
вложению моноид УХ обладает свойством универсаль-
универсальности, т.е. для любого моноида М и любого пункти-
пунктированного отображения <р: X —»- М (имеется в виду, что
в М отмечена его единица) существует единственный го-
гомоморфизм моноидов Ф: JX—+M, совпадающий на X с
отображением ср:
JK Ч
*\
C) v \
\ч<
В другой терминологии это означает, что моноид JX яв-
является свободным моноидом, порожденным множеством
X (в категории моноидов, морфизмами которой являются
гомоморфизмы моноидов, переводящие единицу в единицу).
Предположим теперь, что множество X является то-
топологическим (пунктированным) пространством. Тогда то-
топологическим пространством будет и множество X" всех
слов (как дизъюнктное объединение топологических про-
пространств X", п^>0), а значит, и его факторпространство

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МОНОИД ПРОСТРАНСТВА 387
JX (по отношению к фактортопологии). При этом прост-
пространство X будет, очевидно, подпространством простран-
пространства JX, и в случае, когда в диаграмме C) моноид М
является топологическим моноидом, а отображение q>
непрерывным отображением, отображение Ф также будет
непрерывно. Тем не менее утверждать, что JX явля-
является свободным топологическим моноидом, порожденным
пространством X, нельзя по той простой причине, что,
вообще говоря, — например, в случае, когда X является
полем рациональных чисел,—умножение
D) JXxJX-^JX
в моноиде JX не непрерывно, и потому этот моноид про-
просто не будет топологическим моноидом. (Здесь мы опять
сталкиваемся с уже известным нам на примере экс-
экспоненциального закона общим дефектом категории ТОР.
Как и в случае экспоненциального закона, для его уст-
устранения нужно перейти либо к каонным пространствам,
либо к каонным отображениям.)
Мы будем называть моноид JX универсальным моно-
моноидом пунктированного пространства X.
Легко видеть, что для любого непрерывного отобра-
отображения /: X —>-Y отображение /": Х" —> У", определенное
формулой х1...хп*-*у1...ун% где &—/(*!> &, — /(*,,),
непрерывно и согласовано с отображениями факториза-
факторизации X" — > JX и К" —+ JY. Поэтому это отображение
индуцирует некоторое непрерывное отображение
Jf:JX-+JY,
и очевидно, что соответствия Xi—>/X, f*-*J_f составляют
функтор J из категории ТОР' в категорию пунктирован-
пунктированных топологических пространств, являющихся одновре-
одновременно моноидами.
При этом ясно, что функтор J, рассматриваемый как
функтор ТОР'—>-ТОР", является гомотопическим функ~
тором (для любой гомотопии ft\ X—+Y отображения Jft
составляют гомотопию из /X в JY), и потому опреде-
определена его гомотопизацич [ТОР"]—»¦ [ТОР'], которую мы
будем обозначать тем же символом J.
Пусть nj^sO, и пусть /„X—множество всех приве-
приведенных слов аг=х1...хк, для которых k^n. Это мно-
множество является фактормножеством множества X", и мы
снабдим его соответствующей фактортопологией.
13*

388 ФИЛЬТРАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО МОНОИДА
Пусть Ux, ..., Uk, k^.n,—открытые множества про-
пространства X, не содержащие его отмеченной точки х0, и
пусть Ua—произвольная (открытая) окрестность точки
х0. Для любого монотонного отображения
E) Я:[1 ft] —[1 п]
мы введем в рассмотрение открытое множество V% =
= Vn(U0; Uu ..., Uk) пространства Хп, определенное фор-
формулой
где
f uh если i = K(L), .
' \ t/0, если /^ ImX,
Пусть Vn = Vn(f/0; i/lt ...,Uk)—объединение всевозмож-
всевозможных множеств У„, a ^„ = W7n(f/0; ^i. •••» Uk)—ег0 образ
при отображении факторизации X"—*JnX. Ясно, что про-
прообразом множества Wn при отображении Xn—>-JnX яв-
является как раз множество Vn. Поэтому все множества
Wn = Wn(V0; Uu •••• Vn) открыты в JnX.
Пусть теперь Y—произвольное топологическое прост-
пространство, и W—такое подмножество произведения J,,Xx Y,
что его полный прообраз V в XnxY при естественном
отображении
F) XnxY-yJnXxY
открыт в XnxY. Покажем, что если точка х0 замкнута
в X, то для любой точки (a, y)?J„XxY существуют
такое множество Wn = Wn(U0; Ult ..., Uk) и такое
открытое множество UczY, что
G) (a, y)?WnxUCW.
Действительно, пусть a=xl...xk, где xlt ...,хкфхA.
Для любого монотонного отображения E) определим
точку ах = (xi, ..., x%) пространства X" формулами
(*„ если / —Х@, . ,
' { х0, если / <? Im л,
Ясно, что (д\ у) ^ V, и потому у точек х}, ..., х\ и у
существуют такие окрестности V\ V% и ?/\ что ок-
окрестность V?x ... xVftxUk точки (а\ у) содержится в V.

ФИЛЬТРАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО МОНОИДА 389
Мы положим
*/.-П П V), Ui
й. /1 Гт Л.
где П означает пересечение по всем отображениям E).
Тогда ясно, что множество Wn = Wn (?/„; Ult ..., Uk) оп-
определено и (a, y)^WxUczW. ?
Доказанное утверждение влечет за собой два простых,
но важных следствия.
Во первых, поскольку все множества вида Wn(U0;
Ult ..., Uk) открыты в JnX, включение G) означает, что
точка (а, у) является внутренней точкой множества W.
Следовательно, в силу произвольности этой точки мно-
множество W открыто. По определению это значит, что ото-
отображение F) является эпиоморфизмом.
В частности, для любых п, /п^О эпиоморфизмами
будут отображения X"хХт —*JпХхХт и JnXxXm—*
—*¦ JnXxJmX, а потому эпиоморфизмом будет и их компо-
композиция
X"xXm-+JnXxJmX.
Таким образом, в коммутативной диаграмме
ХпхХт -+Хп+т
I I
JnXxJmX->Jn+mX
горизонтальные стрелки которой представляют собой ото-
отображения приписывания слов, обе вертикальные стрелки
являются эпиоморфизмами. Поскольку верхняя стрелка
представляет собой непрерывное отображение, отсюда сле-
следует, что нижняя стрелка также является непрерывным
отображением. Тем самым, доказано, что для любых
п, /n^sO отображение
JnXxJmX-+Jn+mX,
индуцированное умножением в JX, непрерывно.
Во-вторых, при y = pt, т.е. для естественного эпио-
морфизма Xn—*JnX, мы получаем, что для любого от-
открытого в J„X множества W и любой его точки а ? W
существует такое множество вида Wn, что a?WnczW.

390 ФИЛЬТРАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО МОНОИДА
По определению это означает, что множества Wn — Wn(Un;
Uit • • •. Uk) составляют базу топологии пространства У„X.
Аналогом множеств Wn(U0; Ult ...,Uk) в простран-
пространстве УХ являются множества W(U0; Uit ..., ик)—об-
ик)—образы при отображении факторизации Х°° —> УХ множеств
i@; , Uk), xo?U0;Ult...,Ukc:X\x0,
п = к К
где К пробегает всевозможные монотонные отображения
E). Ясно, что прообразом множества W в Х°° является
как раз множество V. Поскольку множество V, очевидно,
открыто в Х°°, отсюда следует, что все множества W (Uo;
Uu ..., Uk) открыты в УХ.
Но легко видеть, что
JaXfiW{U0; U, UJ-
Wn(U0;Ult ...,Uk), если д>?,
0, если п < k.
Поэтому (в прежнем предположении замкнутости точки х0
в пространстве X) топология пространства У„Х совпадает
с топологией, индуцированной в У„Х топологией прост-
пространства УХ, т. е. для любого п ^ 0 пространство J„X яв-
является подпространством пространства JX.
(На самом деле это верно без каких-либо условий на
точку х0, но из-за нашей общей установки избегать обще-
общетопологических патологий мы этого доказывать не будем.)
Кроме того, легко видеть (в том же—теперь сущест-
существенном—предположении замкнутости точки х0), что для
любого п ^ 0 подпространство У„Х замкнуто в прост-
пространстве УХ. Действительно, если точка а б УХ не лежит
в У„Х, т. е. имеет вид а = лг! ... хк, где k > п и хи...
..., хкфх0, то ее окрестность W (?/„; U1... Uk), где Uo—X,
a U1=t.. .=Uk = X\x0, не пересекается с У„Х. ?
Более того, пространство УХ является свободным
объединением (прямым пределом) своих подпространств
У„Х, п>0, т.е. множество WcJX тогда и только тогда
открыто в УХ, когда для любого п^О пересечение
W П У„Х открыто в У„Х. Действительно, если W открыто
в УХ, то W П У„Х открыто в У„Х, потому что У„Х явля-
является подпространством пространства УХ. Обратно, пусть
Wf\JnX открыто в У„Х для любого /г>0, и пусть V —
полный прообраз множества W при отображении факто-

ФИЛЬТРАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО МОНОИДА 391
ризации X°°—+JX, a Wn—полный прообраз множества
W[\JnX при отображении факторизации Xn—+JaX. По
условию все множества Vn открыты в X". Но ясно, что
00 СО
V = U Vn, а так как X" = LJ Хп, то, следовательно, мно-
л=0 п=0
жество V открыто в Х°°. Поэтому W открыто в JX. ?
Возрастающая последовательность
подпространств пространства Y называется фильтрацией
пространства Y, если все подпространства Yn замкнуты,
а пространство Y является их свободным объединением.
Таким образом, подытоживая все доказанное, мы можем
сказать, что пространства JпХ составляют фильтрацию
пространства JX.
Если \Yn)—фильтрация пространства Y, то отобра-
отображение /: У—»В непрерывно, если непрерывны все его
ограничения /|у„. Имея это в виду, рассмотрим для лю-
любой точки а б JX отображения
La: JX—+JX, и*-+аи
Ra: JX-+JX, и^-иа.
Если а б JmX, то для любого п ^3=0 отображение La \jnx
разлагается в композицию непрерывных отображений
JaX-+JmXxJaX-+JM+aXc:JX,
ut-^ia, и)*-*-аи
и поэтому непрерывно. По аналогичным соображениям
непрерывно и отображение Ra\jnx- Следовательно, ото-
отображения La, Ra:JX—*JX непрерывны.
Для любого п^1 отображение факторизации X"—>¦
—>-JnX является, очевидно, относительным гомеоморфиз-
гомеоморфизмом (X", XZ-t) —> (JnX, Jn-iX), где, как и в Дополнении
к лекции 5, через Х"_х обозначено подпространство про-
пространства X", состоящее из точек, хотя бы одна коорди-
координата которых является отмеченной точкой ха (и для кото-
которого поэтому соответствующий кослой X'VXJJ-i является
n-кратной смеш-степенью
п раз

392 СЛУЧАЙ ГЛАДКО ПУНКТИРОВАННОГО ПРОСТРАНСТВА
пунктированного пространства X). Являясь относитель-
относительным гомеоморфизмом, отображение Хл —* JпХ индуцирует
гомеоморфизм кослоев. Таким образом, для любого
/г>1 пространство JnX/Jn-iX гомеоморфно простран-
пространству ХАп.
Определение 1. Фильтрация {Yn\ пространства У
называется фильтрацией Борсука, если для каждого
п^1 пара (У„, У„_!) является парой Борсука.
Легко видеть, что для любого гладко пунктированного
пространства X фильтрация \JnX\ пространства JX
является фильтрацией Борсука, Действительно, так как
отображение факторизации X" —*¦ J„X представляет собой
относительный гомеоморфизм (Хп, Х;и) —> (/„X, J,^iX),
то в случае, когда пространство X гладко пунктировано
(и потому пара (X", Х"_^ = (X, хв)п является парой Бор-
Борсука), каждая пара (/„X, J^^Х) в силу леммы 5 лекции
4 будет парой Борсука. ?
Лемма 1. Для любой фильтрации Борсука \Yn) про-
пространства Y все пары (Ym, Yn), m^n^O, а также
все пары (У, У„), /г!>0, являются парами Борсука.
Доказательство. Для каждой пары (Ym, У„),
т^п^О, вложение У„—»Ут является композицией вло-
вложений У„—>У„+1—*Уи+2—<-...—+Ym, каждое из кото-
которых является по условию корасслоением. Поэтому корас-
корасслоением будет и вложение Yn—*Ym. Это доказывает
лемму 1 для пар (Уи, У„).
Менее формально это рассуждение можно изложить
следующим образом. Утверждение, что пара (Ym, Ун) яв-
является парой Борсука, означает, что гомотопия ft: Yn—*Z
распространяется на Ym, если на Yт распространяется
ее начальное отображение /0. Но если отображение /0
распространено на Ym, то оно тем самым распространено
и на Уч+1 (если n-fl^m). Поэтому, поскольку пара
(Уп+1, У„) является по условию парой Борсука, гомото-
пию ft можно распространить на У„+1. Применив то же
рассуждение к этому распространению, мы получим рас-
распространение гомотопии /t на У„+а и т. д., пока не дой-
дойдем до Ym.
Если теперь отображение /0 распространено на все У,
то эта конструкция даст нам распространение гомотопии
/( на каждое подпространство Ym, m^n, и тем самым
даст нам требуемую гомотопию ft\ Y-+Z (непрерывность
которой обеспечивается тем, что пространство Y является

МЕРИДИАННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 393
свободным объединением пространств Ут, на каждом из
которых гомотопия /> непрерывна).
Этим лемма 1 доказана и для пар (Y, У„). п
Применительно к фильтрации \JnX\ мы получаем от-
отсюда, что если пространство X гладко пунктировано, то
все пары (JmX, JnX), т ^ п ^ 0, а также все пары (JX,
JnX), л^з=0, являются парами Барсука.
Поскольку JoX = {0\, мы видим, в частности, что
для любого гладко пунктированного пространства X про-
пространство JX также гладко пунктировано (по отноше-
отношению к отмеченной точке 0).
Вернемся теперь к пространству QS'X. Будем пока
лишь предполагать, что отмеченная точка х0 простран-
пространства X функционально выделяема, т. е. что существует та-
такая непрерывная функция <р: X —+1, что ф (*<,) = О и
(р(х)фО, если х-фхй. (В частности, это условие выпол-
выполнено, если пространство X гладко пунктировано.)
Пользуясь функцией ф, мы каждой точке х?Х сопо-
сопоставим муровскую петлю их пространства S'X длины
Ф(л:), определенную формулой
где 0<
Таким образом, точка ux(t) при изменении / от 0 до
у(х) пробегает меридиан надстройки S'X, проходящий
через точку х. На этом основании мы будем называть
отображение лгь-*их из X в fiMS'X меридианным ото-
отображением/
Композиция меридианного отображения X—>-QMS'X
с вложением QMS'X—»QS'XxR + , u*->(u#, а) (см. лек-
лекцию 3) задается, очевидно, формулой х *—> («(Д ф(*)), где
D0)—петля /ь->\х, t]. Поскольку отображение х>—>м^'"
из X в QS'Xc(S'X)' ассоциировано с отображением
факторизации XxI—>-S'X, (x, t) t—>[x, t], и потому не-
непрерывно, отсюда следует, что отображение х*—>(и^\ <р(х))
непрерывно. Следовательно, меридианное отображение
X*-+QMS'X непрерывно.
Поэтому ввиду универсальности моноида JX это ото-
отображение единственным образом распространяется до не-
некоторого непрерывного отображения

394 МЕРИДИАННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
которое мы также будем называть меридианным отобра-
отображением. По определению оно является алгебраическим
гомоморфизмом моноидов.
Пусть теперь (X, х0) и (У, у0)—два пунктированных
пространства с функционально выделяемыми отмечен-
отмеченными точками, и пусть <p:X—+I, \p: J—>¦ I—такие функ-
функции, что <р(хо) = г|з(«/„) = 0 и ц>(х)фО, ^>(у)фО, если
хфха, уфу0. Отображение JX—-QMS'X, построенное
с помощью функции ф, мы обозначим через /ф, а отобра-
отображение JY—+QMS'X, построенное с помощью функции
t]5j—через /ф. Тогда легко видеть, что для любого пунк-
пунктированного отображения /: X—*Y диаграмма
Л
JX — JY
QMs-f I '*
гомотопически коммутативна. Действительно, сопоста-
сопоставив каждой точке (х, t)?Xxl муровскую петлю F(л:, /) g
?QMS'Y длины а(х, t) — (l — t)<p(x) + tilp(f(x)), определен-
определенную формулой
F(x, O(t)-[/(jc),^-jj], 0<т<а(х, t),
мы получим (как легко видеть, непрерывное) отображе-
отображение F: Xxl —*QMS'Y, обладающее тем свойством, что
F(x, 0) — S'foux и F(x, l) = Uf(x). Распространение этого
отображения на JX будет, поэтому, гомотопией из JX в
QMS'Y, связывающей отображение fi^S'/o/tp с отображе-
отображением i^ojf. g
При X = Y и /вid мы получаем, в частности, что с
точностью до гомотопии отображение /=»/ф не зависит
от выбора функции ф, а переходя к гомотопическим
классам (т. е. в категорию [ТОР']), —что гомотопиче-
гомотопический класс[1]' представляет собой морфизм (естествен-
(естественное преобразование) функтора J в функтор QMS' (рас-
(рассматриваемых как функторы из [ТОР'] в [ТОР']).
Замечание 2. На первый взгляд кажется, что от
зависимости отображения / от ф можно избавиться, пе-
перейдя от пространства ЯЖ5'Х к пространству QS'X, т. е.
скомпоиировав отображение i с ретракцией г: QMS'X—+
—+QS'X, u\—*-u#, поскольку композиция X—+QS'X ото-
отображения X—*QMS'X с ретракцией г задается соответ-
соответствием х*-*-и<$\ и потому от выбора функции ф не за-

ТЕОРЕМА ДЖЕЙМСА 395
висит (и является рассмотренным в начале этой лекции
отображением t). Однако ввиду неассоциативности умно-
умножения в fiS'X результирующее отображение JX —*QS'X
от выбора функции ф все же зависит (хотя, конечно,
только с точностью до гомотопии), и потому переход от
QMS'X к fiS'X никаких преимуществ не дает.
Значение меридианного отображения для теории го-
гомотопических групп определяется следующей замечатель-
замечательной теоремой Джеймса.
Теорема 1. Для каждого связного гладко пунктиро-
пунктированного пространства X гомоморфизм
/.: nJX-^
индуцированный отображением i: JX —»QMS'X, является
при любом п^О изоморфизмом.
Замечание 3. Если пространство X нумерируемо ло-
локально стягиваемо, то, как показал Пуппе, отображение i
является даже гомотопической эквивалентностью. Однако
доказательство этого утверждения несколько хлопотливо.
Общую технику, на которой основаны рассуждения Пуппе,
мы изложим в Дополнении к этой лекции, но детали ос-
оставим читателю (см. в Дополнении замечание 3).
Меридианное отображение является, конечно, (тож-
(тождественным на X) отображением пары (JX, X) в пару
(UMS'X, X) и потому индуцирует гомоморфизм соответ-
соответствующих гомотопических последовательностей. В силу
теоремы 1 и леммы о пяти гомоморфизмах этот гомомор-
гомоморфизм будет изоморфизмом, т. е. изоморфизмами будут все го-
гомоморфизмы
i,:nn(JX, X)->nn(QMS'X, X), n>0.
Поскольку группы л„ (QMS'X, X) изоморфны, очевидно,
группам nn(QS'X, X), мы видим, что теорема 1 позво-
позволяет надстроечную последовательность пространства X
переписать в следующем существенно более простом виде:
(8) ...-+пяХ-^пя+18-хЛяяуХ, Х)-^яп_1Х-+...
(здесь гомоморфизмы Н и Р отличаются, конечно, от го-
гомоморфизмов Я и Я из последовательности A) на соот-
соответствующие изоморфизмы). Дальнейшего (и окончатель-
окончательного) упрощения этой последовательности мы достигнем
в лекции 18.

396 МУРОВСКИЙ ВАРИАНТ СЕРРОВСКОГО РАССЛОЕНИЯ
Для доказательства теоремы 1 нам понадобится «му-
ровский» вариант пространства РХ.
Для любого пунктированного пространства X мы обо-
обозначим через РМХ пространство всех муровских путей
пространства X, начинающихся в отмеченной точке ха.
Операция умножения муровских путей определяет, оче-
очевидно, действие моноида пмХ на пространстве РМХ,
т. е. непрерывное отображение
(и,
обладающее тем свойством, что для любого муровского
пути v?PMX имеет место, во-первых, равенство ^(u^v) =
= {u1u^v, где ult иа — произвольные муровские петли
из QMX, а во-вторых, равенство ev*=v, где е — единица
моноида пмХ.
Мы будем считать пространство РМХ пунктированным
пространством с отмеченной точкой е.
Ясно, что формула cof (v)—v(a), где у (а) —конец му-
муровского пути v, определяет непрерывное пунктированное
отображение
}* рмх+ X,
и легко видеть, что, подобно отображению щ: РХ —> X,
отображение tof1 является расслоением. Действительно,
для любой коммутативной диаграммы
накрывающая гомотопия F может быть определена фор-
формулой _ _
где Flh t — ограничение пути x>-+F(y, x), x(-Y, на отрез-
отрезке [0, t] (так что длина пути F (у, I) равна ay + t, где
ау- длина пути/(</))¦ П
Слоем расслоения cof является, очевидно, простран-
пространство &МХ муровских петель.
Подобно пространству РХ, пространство РМХ стяги-
стягиваемо. Действительно, положив

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДЖЕЙМСА 397
где а — длина пути v, мы, очевидно, получим гомотопию
ft:PMX-+PMX, для которой /„ = const и /х == id. ?
Ясно, что если теорема 1 справедлива для простран-
пространства X, то она справедлива и для любого гомотопически
эквивалентного ему пространства. С другой стороны, легко
видеть, что каждое пространство гомотопически эквива-
эквивалентно пространству, отмеченная точка х„ которого обла-
обладает стягиваемой rel xn окрестностью (достаточно при-
приклеить вибриссу и применить предложение 2 лекции 2).
Следовательно, при доказательстве теоремы 1 можно без
ограничения общности предполагать, что в пространстве X
отмеченная точка обладает стягиваемой окрестностью ?/„,
т. е. что это пространство удовлетворяет наложенному
в лемме Джеймса предложение 1 лекции 9) условию.
Имея это в виду, рассмотрим пространство Е, полу-
получающееся применением конструкции Джеймса к (как мы
знаем, непрерывному) отображению левого сдвига L:Xx
XJX—+JX, (х, и)<г-*хи, и соответствующее отображе-
отображение p:E—+S'X. Поскольку пространство X по условию
связно, каждое отображение Lx:ut—>xu гомотопно тож-
тождественному отображению, и, значит, является гомотопи-
гомотопической эквивалентностью. Таким образом, все условия
леммы Джеймса выполнены, и потому, согласно этой лемме,
отображение p:E—+S'X является слабым расслоением.
Поскольку отображение L надъективно, пространство
E*s(C'XxJX)\jLJX является факторпространством про-
произведения С XxJX по минимальному отношению эквива-
эквивалентности, в котором (х, и)~(хп, хи). Пусть Е„—образ
в Е подпространства C'XxJnXcC'XxJX при отображе-
отображении факторизации C'XxJX—+E.
Ясно, что подпространство Ео естественно гомеоморфно
конусу С'Х. Кроме того, для любого п > 1 прообразом
подпространства Е^^Е,, при отображении факторизации
C'XxJnX—+En является, очевидно, подпространство
(C'XxJn+iX)U(xltx.JnX), откуда непосредственно выте-
вытекает, что это отображение представляет собой относитель-
относительный гомеоморфизм пары
(C-XxJnX, (
Мех, „
на пару (?„,?„_!). Следовательно, для любого п>1
пара (Еп, ?„_!) является парой Борсука, а ее кослой

398 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДЖЕЙМСА
jn_i гомеоморфен кослою (C'XxJnX)/(C'XxJn i
\J(xaxJnX).
С другой стороны, ясно, что для любых двух пар (X, А)
и (У, В) имеет место естественный гомеоморфизм
(XхY)/(XxB)\j(AxY) = X/AA Y/B
(кослой прямого произведения двух пар является про-
произведением их кослоев). Поэтому, в частности, кослой
?„/?„_! гомеоморфен произведению
С'Х'Л (.№/„_,) = С'Х Л Хл».
Но легко видеть, что если пунктированное пространство X
стягиваемо, то для любого пунктированного прост-
пространства Y смеш-произведение X /\Y также стя-
стягиваемо. (Действительно, если [&х ~ const, то id^ Л у =
= idjT Л 'dy ~ const Л Ну- Из определений же непосред-
непосредственно вытекает, что const Л ? = const для любого отобра-
отображения g. Значит, idjj д к~ const, т. е. пространство X /\Y
стягиваемо).
Поскольку конус С'Х стягиваем, это утверждение
применимо, в частности, к произведению С'Х Л ХЛ".
Этим доказано, что для любого /г^3= 1 кослой ?„/?„_„ стя-
стягиваем.
Но очевидно, что если для пары Борсука (X, А) под-
подпространство А и кослой Х/А стягиваемы, то простран-
пространство X также стягиваемо (поскольку—см. лемму 7
лекции 4—оно гомотопически эквивалентно пространст-
пространству Х/А).
Поскольку пространство Е0 = С'Х стягиваемо, отсюда
очевидной индукцией получается, что для любого п^О
пространство Еп стягиваемо.
Далее, из того, что пространства JnX составляют
фильтрацию пространства JX, непосредственно вытекает,
что пространства Еп составляют фильтрацию простран-
пространства Е. Поэтому для любого компактного множества
СсЕ существует такое п^О, что СсЕа (в противном
случае все множества (En/En_t)f\C были бы не пусты и,
выбрав в каждом из них по точке, мы получили бы
в С бесконечное дискретное подмножество, что в силу
компактности С невозможно). Поскольку каждая сфера Sr
компактна, отсюда следует, что для любого отображе-
отображения /: Sr —* Е существует такое /г^О, что f(Sr)c:En.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДЖЕПМГ.Л 399
Следовательно, поскольку пространство Еп стягиваемо,
отображение / гомотопно нулю (как отображение в Еп,
а значит, и как отображение в Е). Этим доказано, что
^?¦ = 0 для любого г^З=О, т. е. что пространство Е
асферично во всех размерностях (оо-связно).
Теперь мы уже можем непосредственно приступить к
доказательству теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Сравним слабое
расслоение р: E-^S'X с сильным расслоением of :PM(S'X)^
—>-S'X. Естественным образом обобщая меридианное ото-
отображение, мы каждой точке а = [х, t]c?C'X сопоставим
муровский путь иа € Рм (S'X) длины t<p(x) (где, как и
выше, ф—произвольная функция X—+I, равная нулю
только в отмеченной точке хо?Х), положив
Ясно, что соответствие (a, u)t—>i(u)ua корректно опреде-
определяет отображение h: E—>-PM(S'X), для которого комму-
коммутативна диаграмма
и которое поэтому индуцирует гомоморфизм гомотопичес-
гомотопической последовательности слабого расслоения р в гомотопи-
гомотопическую последовательность расслоения coj1, являющийся
тождественным отображением на группах nnS'X. Так как
на группах ппЕ этот гомоморфизм является изоморфизмом
(поскольку группы nnPM(S'X), подобно группам ппЕ,
равны нулю), отсюда в силу леммы о пяти гомоморфиз-
гомоморфизмах следует, что отображение h индуцирует изоморфизм
гомотопических групп слоев.
Для завершения доказательства теоремы остается заме-
заметить, что над точкой х0 слоем слабого расслоения р явля-
является пространство JX, слоем расслоения а>1—простран-
а>1—пространство fi^S'X и что на JX отображение h совпадает с ото-
отображением I. ?

ДОПОЛНЕНИЕ
Телескопная нормализация фильтраций.— Гомотопичес-
Гомотопическая эквивалентность гомотопических пределов.— Теорема
Милиора.— Гомотопическая правильность фильтраций
Борсука.
В связи с изложенным доказательством теоремы Джейм-
Джеймса естественно возникает вопрос, не будет ли участвую-
участвующее в нем пространство Е не только асферичным во всех
размерностях, но и стягиваемым. В этом дополнении мы
изложим общую теорию Милнора, предназначенную для
ответа на такого рода вопросы.
Пусть X—произвольное топологическое пространство и
ХосХ1с...сХвс...
— некоторая его фильтрация. Телескопом Т над \Хп\ назы-
называется подпространство произведения ХхК+(где R+—
множество всех неотрицательных действительных чисел),
состоящее из таких точек (х,
г), х?Х, r?R+, что х?Хп,
если iis^r < n-f I. Нагляд-
Наглядно телескоп Т может быть
изображен рисунком 23. Его
можно также представить
Рис. 23. себе как результат склей-
склейки обращенных цилиндров
С„+1 = Су1((п) вложений in: Xn—>-Xn+1 по содержащим-
содержащимся в них пространствам Хп.
Легко видеть, что подпространства Тп телескопа Т,
состоящие из точек (х, г), для которых п?^п, составляют
его фильтрацию
Об этой фильтрации говорят, что она является телескоп-
телескопной нормализацией фильтрации \Хп\. Очевидно, что эта
фильтрация является фильтрацией Борсука.
Заметим, что
Тп*-Сои...иСя_х при п>1
(тогда как Т„ = Х„).
Проекция р: (х, г)«—»-л; переводит, очевидно, каждое
подпространство Т„ в соответствующее подпространство
Х„ (т. е., как говорят, сохраняет фильтрации пространств Т
и X). Это означает, что имеет место коммутативная диа-

ТЕЛЕСКОПНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ ФИЛЬТРАЦИЙ 401
грамма
ли ли ггу *т*
1 о *• 1 1 *• • • • * / „ *• 1 и+1 *" ¦ • •
|Ро |р« \рп \рп + 1
горизонтальные стрелки которой являются вложениями, а
вертикальные индуцированы отображением р.
Мы вложим Хп в Т„, отождествив каждую точку х?Хп
с точкой (х, п) ? Тп (это вложение согласовано, очевидно, с
вложениями ХпсСп_1 и Сп_1сТп). Тогда отображение
рп: Тп—>-Хп будет ретракцией. Более того, легко видеть,
что отображение рп: Тп-+Хп является строгой дефор-
деформационной ретракцией. Действительно, отображения
/(: (х, r)t-> (х, (п — г) t + г) составляют неподвижную на Хп
гомотонию из Тп в Тп, связывающую тождественное отоб-
отображение id: Т„—>-Тп с отображением (х, r)i—*¦ (х, п), явля-
являющимся композицией отображения р„ и вложения
Х„-*Тп. ?
Таким образом, мы видим, что все отображения
рп: Хп—>-Тп являются гомотопическими эквивалентности-
ми.
Тем не менее полное отображение р: Х—>-Т гомото
пической эквивалентностью, вообще говоря, не будет.
Определение 1. Фильтрация {Хп\ называется гомо-
топически правильной, если отображение р: X —+Т яв-
является гомотопической эквивалентностью. В этом случае
говорят также, что пространство X является гомотопи-
гомотопическим пределом подпространств Х„.
Пусть ' X и Y—два пространства с соответственно
фильтрациями {Хп} и {Yn}, a TX и TY—соответствующие
телескопы. Тогда для любого сохраняющего фильтрации
отображения /: X —»- Y формула
(Tf)(x, г) =-(/*, г), (х, г)?ТХ,
будет, очевидно, определять некоторое сохраняющее те-
телескопные фильтрации отображение 7"/: ТХ —>¦ TY.
С другой стороны, поскольку отображение /: X —»- Y
сохраняет фильтрации, оно для любого п^О определяет
некоторое отображение
Рассмотрим сначала частный случай, когда
Хп-Уя.

402
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕДЕЛОВ
Предложение 1 (М и л и о р). Если сохраняющее фильт-
фильтрацию \Хп} отображение f: X—+X обладает тем свойст-
свойством, что для любого п^О отображение /„: Хп—+Хп го-
гомотопно тождественному отображению, то отображение
Tf: TX-+TY
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Пусть fntt:Xn—+Хп—гомото-
пия, связывающая отображение idxn с отображением /„.
Тогда формула
I
если 0<<<1/2, 0<s<l/2,
n + 2(\—s)t + s),
если 0</<1/2, 1/2<s<1,
Mt(x), n + 2s),
если i/2<^l, 0<s< 1/2,
если 1/2<*<1, l/2<s<3/4,
i-(u-ii(il-i)Wi n+l),
если 1/2</<1, 3/4<s<l,
где п = [г] (и, значит, х ? Xn)t a s = r—n, будет корректно
(см. рис. 24) определять гомотопию ht: ТХ-^-ТХ, свя-
Ж
Ж
I
I
\ г
ж ^>
ж
-*•
Рис. 24.
Рис. 25.
зывающую отображение Tf с отображением h=*hu опре-
определенным формулой
(a:, n + 2s), если 0<s<l/2,
h(x, r) = \ (/«.м-iW. «+1). если l/2<s<3/4,
,-4*(J<:)»" + 1). если 3/4<s<l,

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕДЕЛОВ
403
если <^/
если 1/2 <s< 1,
где по-прежнему я=*[г] и s = r —п. Поэтому достаточно
доказать, что гомотопической эквивалентностью является
отображение h.
Имея это в виду, мы заметим, что в силу равенств
Л(*. n + l)-ft(*f n+1) —(д:, я+1)
формула
f (x, n + 2s),
8{Х' 0=S а(* n l-i=?s%
корректно, определяет некоторое непрерывное отображение
g: TX-^TX.
Пусть
бе, я + A+60«),
если 0<^< 1/2, 0<s<l/4,
Ос, « + 2A— s)(<+s),
если 0<^<1/2, 1/4<s<1,
h(x, n + t),
если 1/2<*<1,//2<s<C—2/)/2,
если 1/2</<1 и либо 0<s<</2,
либо C—20/2<s<l.
Автоматически проверяется (см. рис. 25), что эта формула
корректно определяет такую гомотопию <pf: ТХ —»• ТХ,
что <po = id и 9i==Aogr. Аналогично, формула
(*, я + A+60«),
если 0 <f<l/2, 0<s<l/4,
(дг, /г + 2A—s)^ + s),
если 0 <f<l/2, 1/4<s<1,
{
если 1/2<^<1, ^/2<s< C—20/2,
(goh)(x, r),
если 1/2 < / < 1 и либо 0 < s < t/2,
- либо C-20/2<s<l,
корректно определяет такую гомотопию tyt: TX—+TX,
ЧТО l|HB"id И TJJjsaagroA.

404 ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕДЕЛОВ
Таким образом, отображение h действительно является
гомотопической эквивалентностью (с обратной гомотопи-
гомотопической эквивалентностью g). ?
Следствие I. Если
а) фильтрация {Хп} пространства X гомотопически
правильна;
б) сохраняющее фильтрацию отображение f: X —*Х
обладает тем свойством, что для любого п^Ь отобра-
отображение /„: Хп —»¦ Х„ гомотопно тождественному отобра-
отображению,
то отображение /: X —>¦ X является гомотопической экви-
эквивалентностью.
Доказательство. В (очевидно, коммутативной)
диаграмме
77
ТХ — ТХ
"I ! I"
X —> X
все стрелки, кроме нижней, являются гомотопическими
эквивалентностями. Поэтому гомотопической эквивалент-
эквивалентностью будет и нижняя стрелка. ?
Замечание 1. В условиях следствия 1 отображе-
отображение / не будет, вообще говоря, гомотопно тождественному
отображению.
Следствие 2. Пусть X и Y—топологические прост-
пространства с фильтрациями {Хп\ и {Yn} соответственно, и
пусть f: X —> У—сохраняющее фильтрации непрерывное
отображение. Если
а) фильтрации {X,,} и \Yn\ гомотопически правильны;
б) для любого п^О отображение/„: Хп —»¦ У„является
гомотопической эквивалентностью;
в) существует такое сохраняющее фильтрации отоб-
отображение g: Y—>-Х, что для каждого п^О отображение
gn: Yn—>-Хп является гомотопической эквивалентностью,
обратной к гомотопической эквивалентности /в: Х„ —»¦ Yп,
то отображение f: X —+ Y является гомотопической эк-
эквивалентностью.
Доказательство. Отображение gof: X—+Y удов-
удовлетворяет условиям следствия 1. Поэтому оно является
гомотопической эквивалентностью. Аналогично, гомотопи-
гомотопической эквивалентностью является отображение fog-.Y —+Y.
Следовательно, гомотопической эквивалентностью будет и
отображение / (с обратной гомотопической эквивалентностью

ТЕОРЕМАМИЛИОРЛ 405
hog: Y—+X, где h: Х—+Х — гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, обратная к гомотопической эквивалентности
gof: Х-+Х). а
Замечание 2. Отображение g (также являющееся
гомотопической эквивалентностью) не будет, вообще говоря,
гомотопической эквивалентностью, обратной к гомотопи-
гомотопической эквивалентности /.
Следствие 3. Если пространство X обладает такой
гомотопически правильной фильтрацией {Хп\, что для
каждого п^О пространство Х„ стягиваемо, то прост-
пространство X также стягиваемо.
Доказательство. Это следствие является частным
случаем следствия 2, отвечающим случаю, когда Y = pt
(и Vn = pt для любого п^О). ?
Интересно, что заключение следствия 2 вытекает лишь
из условий а) и б), так что условие в) фактически из-
излишне. Чтобы доказать это, нам понадобится следующая
лемма, объясняющая, кстати, почему фильтрацию \Тп\ мы
называем нормализацией фильтрации {Хп\.
Лемма 1. Телескопная нормализация {Т„} произвольной
фильтрации \Хп) гомотопически правильна.
Д ока за тел ьств о. Телескоп Т(Т) телескопа Т =
=хТ(Х) состоит из точек вида (х, г, s), где х?Х, а
г, s?IR+, обладающих тем свойством, что х?Х[Г] и
r^[s]. Поэтому формула
q(x, r)-(*, r, г + 1), (х, г)?Т,
определяет некоторое отображение q: T—*T(T), являю-
являющееся сечением проекции р: Т(Т)—+Т, (k, r, s)i->(x, r),
т. е. такое, что jt>o<7 = id. Кроме того, соответствие^, г,
s)i—>{x, r, (I— t)s + t(r-\-l)), 0<f<l, будет определять
гомотопию из Т (Т) в Т (Т), связывающую тождественное
отображение с отображением qop. Этим доказано, что
проекция р является гомотопической эквивалентностью, и,
значит, фильтрация \Тп) гомотопически правильна, q
Теорема I (Ми л нор). Пусть X и Y—тоЛологи-
ческие пространства с фильтрациями \Хп) и {Yn\ соот-
соответственно, и пусть /: X—>-Y—сохраняюще фильтрации
непрерывное отображение. Если
а) фильтрации \Xtl\ a {Yn\ гомотопически правильны;
б) для каждого п ^ 0 отображение fn: Хп —> Yп яв-
является гомотопической эквивалентностью,

406 ТЕОРЕМА МИЛПОРД
то отображение f также является гомотопической экви-
эквивалентностью.
Доказательство. Пусть gn: Yn—*Хп—гомотопи-
Yn—*Хп—гомотопическая эквивалентность, обратная к гомотопической экви-
эквивалентности /„: Хп — Yn, и пусть in: Xn ->Хп+1 и /„: Yn -*
—>-Yn+l—вложения. Тогда
*n ° gn ~ gn + i ° fn+i oin° g=*gn + i ° in °fn°gn~ Sn + i ° }n>
т. е. диаграмма
&n I I йв + i
Xn-+Xn+i
горизонтальные стрелки которой являются вложениями,
гомотопически коммутативна. Пусть Fn: Ynxl—>-Хп+1—
гомотопия, связывающая отображение in о gn с отображе-
отображением gn+i о jn. Положив
, , ч f (?п(У)> n + 2s), если 0<s<l/2,
h ItJ r l — ч
\(Fn(y> 2s~!). «+1). если 1/2<s<1,
где n = [r] и ser—n, мы корректно определим сохраняю-
сохраняющее фильтрации непрерывное отображение Л: TY—>ТХ,
обладающее тем свойством, что для отображения h о Tf:
ТХ —>¦ ТХ при любом п > 0 имеет место коммутативная
диаграмма
Л„ —> У„Л
Sn • fn } | (Л • 77)„
горизонтальные стрелки которой обозначают вложение х ь->
t-*(x, n), х?Хп. Поскольку это вложение, как мы знаем,
представляет собой гомотопическую эквивалентность, а
отображение gn о /„ гомотопно тождественному отображе-
отображению, отсюда следует, что каждое отображение (h о Tf)n:
ТпХ —* TnY гомотопно тождественному отображению, а так
как в силу леммы 1 фильтрация \Тп(Х)} гомотопически
правильна, то, согласно следствию 1, отображение h о Tf
будет гомотопической эквивалентностью.
По аналогичным соображениям гомотопической экви-
эквивалентностью будет и отображение Tf о h. Следовательно,
отображение Tf также представляет собой гомотопическую
эквивалентность (с обратной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью h о k, где k — гомотопическая эквивалентность,

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ ФИЛЬТРАЦИИ 407
обратная гомотопической эквивалентности Tf о К). В силу
условия а) это доказывает теорему (ср. с доказательством
следствия 1). П
Существует несколько различных критериев гомотопи-
гомотопической правильности фильтрации. Мы докажем следующий
критерий, впервые указанный по-видимому, Пуппе.
Предложение 2. Любая фильтрация Барсука {Хп\
гомотопически правильна.
Доказательство. В первую очередь мы построим
некоторое сохраняющее фильтрации отображение q: X— >
—>ТХ, а затем докажем, что оно является гомотопической
эквивалентностью с обратной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью р: ТХ—+Х.
Чтобы построить отображение q, достаточно для всех
/г^О построить непрерывные отображения qn: Xn—*-Тп,
обладающие тем свойством, что для каждого п ^ 0 диа-
диаграмма
Х„ —+¦ Xn+i
A) <п\
горизонтальные стрелки которой являются вложениями,
коммутативна. Действительно, положив q (х) = qn (х), если
х С Хп, мы однозначно определим тогда отображение q;
Х—+Т, которое будет непрерывно, потому что отображе-
отображения qn непрерывны, а пространство X является свободным
объединением пространств Хп.
Мы построим отображенияqn: Xn—>-Tn индукцией по п,
принимая за q0 тождественное отображение пространства
Для проведения индукции мы дополнительно потре-
потребуем, чтобы для любого п^ 0 существовала гомотопия
qn<t: Хп—*-Т„, связывающая отображение Хп —* Тп, х*-*
*—*-(х, п), с отображением qn: Xn—*Tn. Чтобы удовлетво-
удовлетворить этому условию при п = 0, достаточно для любого
t?l положить qOtt = \d.
Пусть для некоторого я^О отображение qn: Х„ —*¦ Тп
и гомотопия qn< t: Xn —»¦ Тп уже построены. Пусть qn< t{x)~
= (fin, t (*). ra, t (x)), где qn< ((д;)бХ„и0<rni i (x) <п для
каждой точки х?Хп (причем, конечно, qn< t (x)d Xk, если
k rn, t (x) < k -f 1). Мы определим гомотопию Qn> т: Х„ х
-^Tn+1 отображения Qn\ (x, t)t~>qntt(x), рассматри-

4OS ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ ФИЛЬТРАЦИЙ
ваемого как отображение в Тп+1, положив
для любых х?Хп и t, x?l. Пусть
Х T й
Хп в T
n+i,
п у
определенная формулой
Qj',%—гомотопия из
^x(x)=>QHt х(х, 0).
Так как по условию <7„, 0{х) = х и гп< 0(х) = п, то Qffx()
= (х, n + т) и, в частности, Qn!i(x) = (x, n+ 1). Это озна-
означает, что отображение Q^ (л;) представляет собой ограни-
ограничение на Хп отображения /и+1: Хп+1 —>¦ Тп+1. Поскольку
пара (Хп+1, Х„) является по условию парой Борсука,
отсюда вытекает, что гомотопия (fi?rT является ограниче-
ограничением на Хп такой гомотопии Qn,x- Xn+i—*Tn+l, что
Qn, 1 = /я-ч- Для гомотопии ЯА: (х, т) ьн»-Q,h T (x, t) из
Х„х/ в 7"„+1 это означает, что ее начальное отображение
Яо: (х, t)*-+Qn,T;(x, 0) =¦ Q?j T (.v) является ограничением
/
у
Чп
q@)
/
Чп*1
fit
/
/
К Кв.
J
Рис. 26.
на Хпх/ отображения Хп+1х/ —> Тп+1, определенного
формулой (х, т)ь-*-Qnx(x). Следовательно, поскольку пара
(Х„+1х/, Х„х/) также представляет собой пару Борсука,
эта гомотопия является ограничением на Х„х1 некоторой
гомотопии Ht: (х, т)ь-*Нг{х± т), х?Хм+1, t, т?/, обла-
обладающей тем свойством, что Н0(х, т) = Qllt T (х) для любой
точки (х, t)?X,,+iX/ (см. рис. 26). Так как при х?ХП
имеет место равенство H1(xt 0) = Hl(x, 0) = Qni0(x, 1) =
~ Qn (х, 0 = 9n W. то для отображения qn+1: х<-*Нг (х, 0)
диаграмма A) коммутативна. Кроме того, положив для

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ ФИЛЬТРАЦИЙ 409
любой точки (х, 0€Хп+1х/
QB,i.«W, если 0<f< 1/2,
мы получим гомотопию Q,,n: Xll + 1xl—>-Tn+i, связываю-
связывающую отображение x*-+Qn+l{x, 0) = Q,,,iW = /»+iW
с отображением qn+1: at i—>¦ //x (лс, 0).
Тем самым все отображения qn по индукции полностью
построены. Следовательно, построено и отображение q.
Теперь нам надо показать, что р о q ~ \й и q о р ~ id.
Для этого снова достаточно построить такие гомотопии fn<t:
Хп—+Хп и g t: Tn—*Tn, связывающие тождественные
отображения id*,, и idrn с соответственно отображениями
pnoqn\ Х„—>-Хп и qnopn: Тп-+Т„, что для любого t € /
и каждого п^О имеют место коммутативные диаграммы
у^л "* Ал + ^ J п >• 1 п +1
/ ! \ t . й . I I g . .
пл t \. ф 'л + 1, г tilt \ 4- ®в + 1| t
горизонтальные стрелки которых являются вложениями.
Рассмотрим сначала гомотопии /„, t: id ~ р„ о qn. По
построению, отображения рп о qn< i: Х„~* Хп также состав-
составляют гомотопию из Хп в Хп, связывающую отображение
Pn°Qn,0=sPn° /n = icI с отображением рп о qn<1=-pn о qn.
Это означает, что отображение Fn: Xnxl—*Хп, (х, /)(—»¦
l—*-fn,t(x)> совпадает на (Хвх0) 1)(Хлх 1) с отображением
Pn°Qn- Хпх1~*Хп, (х, t)y-*{pn°qn,t){x). В качестве
дополнительного условия, облегчающего построение по
индукции гомотопии /п> t, мы потребуем, чтобы для любого
п^О существовала неподвижная на (ХхО)и (Хх 1) гомо-
топия Фв: X х IXI —+ Хп, связывающая отображение р о Qn
с отображением Fn.
Предполагая теперь гомотопии Fn и Ф„ уже построен-
построенными, рассмотрим гомотопию рп+1 о Qn+1, где Qn+i — гомо-
топия, заданная формулами B). Так как при х?Хп
гомотопия pn+1oQn + задается формулами
х, О<г<12

410
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ ФИЛЬТРАЦИЙ
то формула
если 0 < t
2tt7l
)>
если
t+7
где jr€Xn, t, т?/, определяет (ввиду тождества
Ф(л;, 0, %)=х корректно) неподвижную на (Х„хО)и(Х„х 1)
гомотопию Ф„: Хпх1х1 —+Хп, связывающую гомотопию
Pn+i°Qn+i на ^пх/ с гомотопией Fn. Следовательно,—
поскольку пара (Хп+1х/, Х„), где Х„ =» (Хп+1х0)и
11(Х„х/)и(Х„+1х 1), представляет собой, согласно пред-
предложению 3 лекции 3, пару Борсука,—гомотопия Ф„ яв-
является ограничением неподаижной на (Х,1+1х0) и (X,1+ix 1)
Ф Х// Х й
гомотопии Ф
п+1:
Q
Хп
п+1
пию pn+i о Qn+1
дающей Х
Qn+1
на Х„х/
гомото-
совпа-
совпа0.
п+1х/х/ —*лп, связывающей
с некоторой гомотопией Fn+1,
с гомотопией Fn.
Тем самым гомотопии Fn построены для всех п
Построение гомотопии Gn: (z, t) *-*gn, t (г), z 6 Tn, t?l,
осуществляется аналогично. В качестве дополнительного
условия мы потребуем, чтобы для любого п ^ 0 существо-
существовала неподвижная на (Г„хО) и (Тпх 1) гомотопия г1г„: Тпх
XIхI —*¦Тп, связывающая с гомотопией Gn: Tnxl —+Tn
гомотопию 0»: Т„х1 ~+Т„, определенную для любого z =
= {х, г)?Т„ и каждого t € / формулой
Г (л:, 2(/г — r)t-\-r), если 0^^^1/2,
\ <?„(*. 2^—1), если 1/2<г!<1,
и также связывающую отображения idrn и qn°pn-
Положив для любой точки (z,t,T)?TnxIхЛ г==(л:,г))
C(jc, 2(tt — r+\— 2x)t + r),
если 0 < t < 1/2, 0 < т < 1/2,
'-2т),
1
4t+2x— 3
2т + 1
Wn(z, t, 2x —1),
если 1/2<т<1,
ч
мы получим неподвижную на (Гпх0) и {Тпх 1) гомотопию

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ ФИЛЬТРАЦИЙ 411
xVn: Тп х / х / — <• Тп, связывающую гомотопию Qn+1 на
Тпх1 с гомотопией Gn. Поскольку пара (Tn+i, Tn), a
потому и пара (Tn+ix/,fn), где Г„ = (Г„+1хО)и(Г„х/)и
jj(Tnxl), представляет собой пару Борсука, гомотопия
^Vn является ограничением на Тп х / X / некоторой непод-
неподвижной на (Г„-иХ0)и(Тп+1х1) гомотопии Wn+i: Tn+ix
X /х / —> Tn+i, связывающей гомотопию 0n+1 c такой гомо-
гомотопией Gn+i, что Gn+i\Tax,f=Gn.
Предложение 2 тем самым полностью доказано. П
Замечание 3. Согласно предложению2 и следствию
3 предложения 1 участвующее в доказательстве теоремы
Джеймса пространство Е стягиваемо. Поэтому отображение
h: Е —> Рм3 (S'X) является гомотопической эквивалентно-
эквивалентностью и, значит, согласно предложению 1 из Дополнения
к лекции 2—в предположении, что р представляет собой
(хотя бы гомотопическое) расслоение,— будет послойной
гомотопической эквивалентностью. В частности, гомотопи-
гомотопической эквивалентностью будет ограничение этого отобра-
отображения на слое JX расслоения р, т. е. меридианное отоб-
отображение /. Таким образом, для доказательства теоремы
Пуппе (см. замечание 3 лекции 9) достаточно доказать,
что отображение р: E-—>-S'X является не слабым, а силь-
сильным расслоением. Вспоминая доказательство леммы 5 лек-
лекции 8 и теорему 1 из Дополнения к лекции 8, мы видим,
что для этого в свою очередь достаточно доказать, что
в условиях этой леммы индуцированное отображением р
отображение pv: p~W—+V является гомотопическим рас-
расслоением (двухэлементное покрытие {У, W\, очевидно,
нумерируемо). Пуппе показывает, что для нумерируемо
локально стягиваемого пространства X отображение pv
гомотопически эквивалентно (над V) некоторому гомотопи-
гомотопическому расслоению q: V—»- V и, значит (лемма 1 из Допол-
Дополнения к лекции 2), само является гомотопическим рас-
расслоением. При этом за V можно принять пространство
{р~*Ух /)U /(VxY), получающееся приклеиванием произ-
произведения p~xVxl к пространству Ух У посредством отоб-
отображения /: (и, l)*-*(p(u), F(u)), u^p~lV, гдегр^—>
—+У—построенная при доказательстве леммы 5 лекции 8
ретракция, а расслоение q: V—*V задать соответствием
(о, y)^v, u?p-W, t?l, v?V.
Подробное проведение соответствующих рассуждений
мы оставим читателю.

ЛИТЕРАТУРА
Список содержит только книги. Из литературы на иностранных:
языках указаны лишь три книги, существенно использованные в на-
настоящих «Лекциях».
1. Введение в топологию (колл. авторов).—М.: Высшая школа, 1980.
Элементарный учебник, предназначенныП для студентов 1—3 курсов уннвер-
ситетои. 11 гл. 3 кратко рассмотрены гомотопические группы вообще и фун-
фундаментальная группа в частности.
2. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология.—М.; Л.
ГОНТИ, 1938.
li основном книга посвящена теории гомологии, но рассмотрены также
фундаментальная группа и накрывающие hj остранстиа. В общетеоретиче-
общетеоретическом части киша безнадежно устарела, но юдерж; щинси к пен оГширный
геометрический материал делает се все. еще интересной. Часть лою мате-
материала использована иами » Дополнении к лекции 10.
3. Кроу элл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов.— М.: Мир,
1967.
Книга отличается исключительной аккуратностью и подробностью изложе-
изложения. Кроме собственно теории узлов, положены алгебраическая теория
непредставлении групп, фундаментальная группа и теорема Зенфсрти —•
ван Кампена (называемая авторами теоремой пап Кампеиа).
4. Масс и У., Столлингс Д. Алгебраическая топология.
Введение,—М.: Мир, 1977.
Книга написана выдающимся американским топологом Массн (имяСтоллингса
попало на титул из-за того, что к русскому переводу книги Массн приложен
перевод небольшого сочинения Столлингс а по теории трехмерных многообра-
многообразий). Является превосходным, рассчитанным на начинающих элементарным
ваеденисм в теорию фундаментальных групп и накрывающих пространств
(а также двумерных поверхностей).
5. Мнлпор Дж. Топология с дифференциальной точки зрения,—
В ки. Милиор Дж., Уоллес А. Дифференциальная тополо-
топология. Начальный курс—М.: Мир, 1972.
Изложены простейшие применения гладко)! топологии к алгебро-топологи-
ч ее к им задачам. См. лекцию 7.
6. Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Курс дифференциальной
геометрии и топологии.— М.: Изд-во МГУ, 1980.
Наложение топологических вопросов ориентировано в сторону гладких
многообразий. Доказана теорема классификации днумерных поверхностей.
Приведенное на стр. 351 «доказательство» триангулируемости двумерных
поверхностей нуждается в обосновании.
7. Поитрягии Л. С. Гладкие многообразия и их применения
в теории гомотопий.— М.: Наука, 1976.
Детальное изложение знаменитых результатов Л. С. Поитрягнна о связи
гомотопических групп сфер с группами классов оснащенных подмногообра-
подмногообразий.
8. Постников М. М. Введение в теорию Морса.— М.: Наука,
1971.
В гл. 2 изложены основные факты, связанные с понятием гомотопической
эквивалентности, а гл. 3 посвящена теории клеточных пространств.
9. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы
и алгебры Ли.— М.: Наука, 1981.
В лекции 8 дано альтернативное изложение теории накрывающих прост-
пространств.
10. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии.
Геометрические главы.— М.: Наука, 1977.
Обстоятельнейшее наложение начальных понятий и теорем, касающихся
клеточных пространств, гладких многообразии, расслоений н гомотониче-

ЛИТГ.РАТУРЛ 413
г.ких групп. Более глубокие теоремы специального характери в книге не
рассматриваются. Для первоначального изучения топологии книга мало
пригодна, но как бесценный источник разнообразной (и, как привило, точ-
точной) Информации должна быть под рукой у каждого тополога. Укапанные
на стр. 48, 49, 55 и 57 «очевидные канонические юмеоморфнзмы» явлнются,
вообще говоря, лишь гомотопическими эквивалентностямн (см. Дополнение
к лекции 4 и лекцию 1 5).
11. Стиирод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической
топологии.— М.: Физматгиз, 1958.
Классическое — и до сих пор оставшееся, по существу, непревзойденным —
изложение аксиоматической теории гомологии. С материалом настоящих
«Лекций» пересекается фактически не снизанная с предыдущими главами
заключительна» гл. XI «Приложения к евклидовым пространствам», в кот-
рой излагаются рпзиообразиые следствия теоремы о барабане (см. Дополне-
Дополнение к лекции 7).
12. Спеньер Э. Алгебраическая топология.—М.: Мир, 1971.
Фактически единственный ни русском языке учебник по алгебраической
топологии, охватывающий все ее основные разделы. В ием подытожены
результаты «классического периода» в развитии алгебраической топологии,
н потому, несмотря на почти двадцать лет, прошедшие со дия выхода в свет
аигпнйеного оригинала, эта книга сохранила определенную свежесть до сего
времени. Гл. I посвящена гомотопиям вообще и фундаментальной группе
в частности, а гл. 2 — накрывающим пространствам и расслоениям. Высшие
гомотопические группы и клеточные пространства рассматриваются в гл. 7
после теории гомологии.
13. Хилтон П., У а или С. Теория гомологии. Введение в алгеб-
алгебраическую топологию.— М.: Мир, 1966.
С на.тоящнми «Лекциями» пересекается ui. 6 «Фундаментальная группа и
накрывающие пространства» н Введение к части 11 (в котором вкратце
изложены абсолютные и относительные гомотопические группы, простран-
пространства петель, расслоения и т. п.).
14. Хирш М. Дифференциальная топология,— М.: Мир, 1979.
Превосходное, очень наглядное и вместе с тем вполне аккуратное изложение
начальных сведений по теории гладких многообразий. В гл. 5 содержится
теория степени (см. лекцию 7).—Это единственное на русском языке изло-
изложение этой теории, отличающееся как полнотой, так и аккуратностью.
15. Ху Сы-цзян, Теория гомотопий.— М.: Мир, 1964.
I) первых главах (основные задачи и их частные случаи, расслоенные про-
пространства и гомотопические группы) теория гомологии не используется.
Изложение очень обстоятельное и подробное.
16. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутеимахер В. Л. Гомо-
Гомотопическая топология.—М.: Изд-во МГУ, 1970.
Запись лекционного курса Д. В. Фукса. Гл. 1 посвящена теории гомотопнй.
17. torn Di.eck Т., KampsK. H., PuppeD. Homotopietheo-
rie.~Lect. Notes Math., 157.—Berlin; Heidelberg; New York:
Springer-Verlag. 1970.
Основные понятия теории гомотопин изложены с общекатегориой точки
зрения и с особым вниманием к двойственности. Дополнения к лекциям I, 2,
3, 9 и 10 заимствованы из этой книги.
18. Switzer R. M. Algebraic topology. Homotopy and homology.—
Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1975. [Готовится
русский перевод. |
Посвященная в основном обобщенным теориям когомологий, книга откры-
вается главами, в которых разъясняются понятия И-группы и Н-когруппы,
вводятся гомотопические группы и клеточные пространства и доказываются
основные теоремы гомотопической теории клеточных пространств,
19. Whitehead G. W. Elements of homotopy theory.—Graduate
Texts Math., 61.—New York; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag,
1978.
Обстоятельное изложение почти всех вопросов классической теории гомото-
гомотопий. Владение теорией гомологии предполагается. Из этой книги заимствован
материал Дополнений к лекциям 4 и 16 (Результаты лекции 16 и 18, хотя
н принадлежат в основном Дж. Уайтхеду, но в его книге доказываются
иначе — с использованием гомологических методов.)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома МРНГ 63
— МРС 64
— НГ БО
— нзг, 373
— НП БО
— РГ 27
— РНГ 97
— РНО 97
— СМРНГ 375
Аксиомы гомотопических групп 227
Амальгама 41
Ансамбль 178
— гомотопических групп 214
— — — слоев 333
Атлас ориентирующий 303
Буиет 141
Ветвь 293
Вибрисса 164
Вклеивание Л62
Гомоморфизм расщепляющий 231
— связывающий 21У
Гомотопи я 20
— в категории 29
— замедленная 373
— над 3 105
— послойна» ЮЛ
— пунктированная 142.
— снободпии 143
— связанна» 89
Гомотопность нулю 166
Граф 289
— конечный 290
— ориентированный 291
— связный 293
Группа Вейля 267
— гомотопическая 203
— — относительная 338
— — пары 338
— категории 132
— инльпотентиая 197
— свободная 262
— фундаментальная 173
Группоид 178
— фундаментальный 178
Действие 1 74
— пполне разрывное 259
Деформации ретрагнрующаи 84
Дипгрнмма 270
Диаграммная схема 270
Дуга вложенная 308
Единица гомотопическая 135
Изоморфизм Хопфа 226
Инъекция 232
Категория гомотопическая 28
— с гомотопиями 29
— Фа-замкнутая 137
— фм-замкиутая 132
Киадрат декартов 41
— кодекартов 62
— коуннверсальный 41
— универсальный 52
Квазирасслоеине 228, ЗБ7
Класс гомотопический 27'
Коамалыама 52
Когрупна категории 138
Коединнца гомотопическая 144
Коммутатор 197
Комоноид категории 139
Компонента 38
Конгруэнция 272
Коиус 40, 87, 270
— обратный 51
— отображения 244
— приведенный 165
— прямой 41
Копредстачление 275
Копронзведенпе 137
Корасслоении 27, 106
Кослой 181
Коумноженнс 144
Коуннтоид категории 139
Коцнлнидр 55, 107
Критическая точка 301
Кубоид 209
Лемма Джеймса 370
— Лебега 71
— о пяти гомоморфизмах 345
— Урысона 30
Маршрут 291
Многообразие 299
— замкнутое 299
— ориентируемое 303
— топологическое 324
Монеоморфизм И
Моноид категории 132
— универсальный 387
Морфизм алгебраический 136, 144
— гомотопический 130, 144
— копостоинный 138
— постоянный 132

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
415
Надстройка !4Б
— приведенная Н7
Накрытие 223
— Галуа 258
— конечнолнстное 255
— регулярное 258
— транзитивное 256
— универсальное 268
Нормализация телескопной фильтра-
фильтрации 400
Образующая 274
Объект инициальный 137
— терминальный 132
Орбита 174
Ориентация 303
ОСДР 93
Отображение гладкое 299
— индуцированное БЗ
— кионное. 33
— нлассифицнрующее 241
— коиодуцнрованиос 42
— коллапсирующее 116
— коммутаторное 198
— меридианное 393
— мигкое 64
— надстроечное 384
— несущественное 324
— послойное 104
— пунктированное 140
— стянутое 342
— существенное 323
— схлопыиания 180
— траисверсальное 307
— Хопфа 20, 224
Отображения гомотопные 26
Пара асферичная 343
— Борсука 27
— — классифицированная 247
над В 106
— гомотопнчески простая 344
— пунктированная 336
— и-связная 343
Петля 149
— муровская 15!
—, подчиненная покрытию 284
— элементарная 284
— л-критпая 209
Поднятия задача 15
Покрытие аддитивно насыщенное 365
— насыщенное 283
— нумерируемое 68
Поле векторное 22
Последовательность гомотопическая
пары 3-10
— — расслоения 219
— — слабого расслоения 357
— — триады 353
— — тройки 348
— короткая 222
— — корасщепляющаяся 234
— — расщепляющаяся 231
— коточная 233
— надстроечная 386
— Пуппе коточная 247
— — точная 238, 240
— — удлиненная 243
— точная 219, 228
Предел гомотопический 40!
— диаграммы 271
Преобразования Тнтце 277
Приклеивание 20
Проекция 232
Произведение косое 80
— пар 48
— петель 149
— полупрямое 231
— прямое 131
— путей 152
— свободное 277
Пространство абслево 211
— асферичное 216
— гомотопически простое 211
— каонное 33
— линзовое 303
— локально связное 251
—, иумернруемо полулокально стяги-
стягиваемое 125
— односвязиое 173
— полулокалыю односвязнос 268
— пунктированное МО
— — гладко 163
— связное 38
— стягиваемое 87, 165
— и-связное 216
Путь 38
— муровскнй 151
Разбиение единицы 6R
Распространения задача 13
Расслоение. 49
— в смысле Серра 357
— п смысле Стинрода 80
— гомотопическое 109
— классифицированное 241
— локально тривиальное 79
— над В 107
— серровское 60
— —, муровский вариант 396
— сильное 357
— слабое 357
— со структурной группой 80
— тривиальное 79
— Хопфа 224
Расширение 222
Ребро графа петлеобразное 290
— — простое 290
Регулярное значение 301 '
Ретракт 14
— деформационный 84
над В 106
— — строгий 89
— — — над В 106
— — окрестностный 93
— над В 106
Ретракция 14
— деформационная 84
— — строгая 89
Сечение 15
— продолжаемое 64
Система локальная 178
Скольжение 256
Скрещенный модуль 342
Слово групповое 262
Слой 104
— гомотопический 235
Смеш-пронлведение 160
Соответствие Галуа 268
Соотношения определяющие 274
Степень отображения 312

416
ПРЕДМЕТНЫМ УКАЗАТЕЛЬ
Степень отображении mod 2 ;tl'J
Стипшаиис S7
Сумма объектов 137
Сфера топологичесния 205
Сфероид 209
Схема диаграммная 270
Телескоп 395
Теорема Борсука 324
- Брауера 18
— Джеймса 395
— Дольда 78, 117
— Дольда — Тома 359
— Зейферта — ван Кампена 283
— Милиора 405
— Нильсена — Шрайера 297
— о барабане IS
— об инвариантности области 328
— о воротнике 300
— Сарда 301
— — обобщенная 310
— Тнтце 30. 277
Тип гомотопический 81
Топология компактно открытая 30
Точка отмеченная НО
-¦ — невырожденная 163
Триада 352
Унитонд 133
Фильтрация 3*> 1
— !5орсука 392
— iомотоиически правильная 401
ФОСДР !K
Функтор гомотопическн инвариантный
127, 151
Функтор гомотопических групп U01
— игнорирования отмеченных точе
140
— надстройки 146
— петель 149, 151
— представнмый 129
— принедениой надстройки 147
— сопряженный 149
Функция Урысона НО
Цилиндр отображения 44, 82
Число Лебега 72
— листов накрытия 255
— Морса 299
Эквивалентность гомотопическая 81,
109, 229
— — над В 105
— — послойная 105
Экспоненциальный закон 33, 37, 161
Эпноморфизм 14
НИР-последовательность 385
П-групиа 135
И-когруппа 144
Н-комоиоид 1<Ы
М-коунитоид 144
Н-моноид 135
1-1-пространство 135
а-ада 351
и-ка :UF
Н-последователыюсть 330
— точная 331