Н.Н.ФЕДОРОВ
основы
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
радиотехнических специальностей
вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980

ББК 22.313
ФЗЗ
УДК 538,3
Рецензенты:
кафедра радиотехники Северо-Западного заочного политехнического инсти-
института (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Н. П. Красюк); д-р техн. наук,
проф.-Г. 3. Айзенберг (Московский электротехнический институт связи)
Федоров Н. Н.
ФЗЗ Основы электродинамики: Учеб. пособие для вузов.-—М.:
«Высш. школа», 1980.—399 с, ил.
В пер. 1 р. 10 к.
В книге рассматриваются основные законы и соотношения современной электро-
электродинамики.
Предназначается для студентов радиотехнических специальностей вузов. Может
быть полезна аспирантам и лицам, специализирующимся в области теоретической
и прикладной электродинамики.
30401 — 129 537
Ф 001 @1)~8О 103-80 2402000000 ББК 22 313
© Издательство «Высшая школа», 1980

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано в соответствии с програм-
программой курса «Электродинамика», утвержденной MB и ССО СССР. За
время, прошедшее после выпуска в свет книги того же- названия
(Д965 г.), этот курс претерпел существенные изменения ..Изменилась
и методика его изложения. В силу этого предлагаемая книга пред-
представляет собой полностью переработанное изложение курса электро-
электродинамики. Сохранена лишь основная методическая линия, принятая
ранее, которая заключается в следующем.
Теоретический материал, используемый для решения конкретных
электродинамических задач, излагается не сразу, а по мере появле-
появления в нем необходимости. Каждое новое теоретическое положение
сопровождается решением фундаментальной электродинамической за-
задачи, помогающей его усвоению. Например, граничные условия изла-
излагаются при решении простейшей краевой задачи об отражении и пре-
преломлении плоских волн. Аналогично понятие о потенциалах вводит-
вводится при решении задач о возбуждении электромагнитного поля,
где их применение является вполне оправданным. В основу изло-
изложения материала положены уравнения Максвелла, обоснование ко-
которых приводится в первых главах.
Многолетний опыт преподавания курса электродинамики убежда-
убеждает в правильности подобного подхода. Доказано, что хорошее усвое-
усвоение курса студентами возможно лишь тогда, когда математический
анализ материала осуществляется до конца. Этот принцип и при-
принят в предлагаемой книге, причем детали этого анализа вынесены
в приложения.
Детальный анализ необходим также из соображений высокой
загрузки студентов в ведущих технических вузах и целесообразности
облегчения изучения курса электродинамики, насыщенного матема-
математикой.
В книге излагаются основы электродинамики, поэтому в ней
отсутствуют разделы технической электродинамики, которые обыч-
обычно рассматриваются в специальных курсах.
Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам ру-
рукописи—коллективу кафедры радиотехники СЗПИ (зав. кафедрой
д-р техн. наук, проф. Н. П. Красюк), заслуженному деятелю науки
и техники д-ру техн. наук, проф. Г. 3. Айзенбергу и канд. техн.
наук, доц. Г. А. Ерохину за тщательный просмотр рукописи и ряд
ценных замечаний, принятых автором при окончательной ее дора-
доработке.
Ряд основных положений курса электродинамики обсуждался
автором- совместно с д-ром техн. наук, проф. Е. Н. Васильевым и
д-ром техн. наук, проф. А. В. Нетушилом, которым автор выражает
глубокую признательность. Автор сердечно благодарит также кол-
коллектив кафедры основ радиотехники МЭИ за совместную плодот-
плодотворную работу над курсом электродинамики. Книга не была бы
закончена без помощи 3. С. Федоровой, Н. Н. Федорова и С. Н. Фе-
Федорова, которых автор сердечно благодарит.
3

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ ВЕЛИЧИН, ИСПОЛЬЗОВАННЫХ
В КНИГЕ *
Е — мгновенное значение вектора напряженности электрического
поля, В/м.
D —мгновенное значение вектора электрического смещения, Кл/м.
В —мгновенное значение вектора магнитной индукции, Тл.
Н —мгновенное значение вектора напряженности магнитного поля,
А/м.
Е—комплексная амплитуда вектора напряженности электрическо-
электрического поля.
D —комплексная амплитуда вектора электрического смещения.
В—комплексная амплитуда вектора магнитной индукции.
Н — комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного
поля,
Q3 — мгновенное значение электрического заряда, Кл.
рэ —мгновенное значение объемной плотности электрического заря-
заряда, Кл/м3.
аэ—мгновенное значение поверхностной плотности электрического
заряда, Кл/м2.
QM —мгновенное значение магнитного заряда, Вб или В-с.
. рм — мгновенное значение объемной плотности магнитного заряда,
' Вб/м3 или Вс/м3.
0М — мгновенное значение поверхностной плотности магнитного за-
заряда, Вб/м2 или В-с'/м2.
Q3 — комплексная амплитуда электрического заряда.
рэ—комплексная амплитуда объемной плотности электрического
заряда.
аэ —комплексная амплитуда поверхностной плотности электрическо-
электрического заряда.
QM—комплексная амплитуда магнитного заряда.
рм — комплексная амплитуда объемной плотности магнитного заряда.
ом — комплексная амплитуда поверхностной плотности магнитного
заряда.
/э —мгновенное значение электрического тока, А.
Ja—мгновенное значение вектора плотности электрического тока,
А/м2.
va — мгновенное значение вектора плотности поверхностного элек-
электрического тока, А/м.
v3n — мгновенное значение вектора плотности поверхностного элек-
электрического тока проводимости.
\?э2 — мгновенное значение вектора плотности суммарного поверхно-
поверхностного тока.
/м — мгновенное значение магнитного тока, В.
JM — мгновенное значение вектора плотности магнитного тока, В/м2.
vM — мгновенное значение вектора плотности поверхностного маг-
магнитного тока, В/м.
В соответствии с ГОСТ 18238—72, 19880—74,'1494—77,

vMn—мгновенное значение вектора плотности поверхностного маг-
магнитного тока проводимости.
vmS—мгновенное значение вектора плотности суммарного поверх-
поверхностного магнитного тока.
}э — комплексная амплитуда вектора плотности электрического тока.
v3 — комплексная амплитуда вектора плотности поверхностного
электрического тока.
van —комплексная амплитуда вектора плотности поверхностного
электрического тока проводимости.
VsS — комплексная амплитуда вектора плотности суммарного поверх-
юстного электрического тока.
}м — комплексная амплитуда вектора плотности магнитного тока.
vM —комплексная амплитуда вектора плотности поверхностного
магнитного тока.
vMn — комплексная амплитуда вектора плотности поверхностного
магнитного тока проводимости.
Vm2 — комплексная амплитуда вектора плотности суммарногаповерх-
ностного магнитного тока.
80 — электрическая постоянная, Ф/м.
|ЛО — магнитная постоянная, Гн/м.
еа —абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м.
^а — абсолютная магнитная проницаемость среды, Гн/м.
гг—относительная диэлектрическая проницаемость среды (безразмер-
(безразмерная величина).
\ir — относительная магнитная проницаемость среды (безразмерная
величина). . .
F8—вектор'силы взаимодействия между электрическими зарядами, Н.
1 —вектор длины, м.
U — разность потенциалов, В.
С — электрическая емкость, Ф.
S — вектор площади, м2.
Q—телесный угол, ср.
Ф# — поток вектора Е, В-м.
V — объем, м3.
Р — вектор поляризованности веществ, Кл/м2.
%э—диэлектрическая восприимчивость, Ф/м.
, rj, ? — координаты в ортогональной обобщенной криволинейной систе-
системе координат.
(еа)—тензор абсолютной диэлектрической проницаемости среды.
/ — частота колебаний, Гц.
со —угловая частота колебаний, с~1.
i=V=i.
t — время, с.
G (со) — вектор спектральной плотности.
v — вектор скорости, м/с.
Ф^ —поток вектора В, Вб или В-с.
?/? — потокосцепление вектора В, Вб или В-с.
М — вектор намагниченности, А/м.
Хм~магнитная восприимчивость (безразмерная величина).
(juia)—тензор абсолютной магнитной проницаемости среды.
R—электрическое сопротивление, Ом.
Тэ — удельная электрическая проводимость среды, См/м.
7м — удельная магнитная проводимость среды, Ом/м.
еа —комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
ila—¦ комплексная абсолютная магнитная проницаемость среды.
е — 2,7 — основание натуральных логарифмов.
div —(дивергенция), rot (ротор), grad (градиент)—математические
дифференциальные операции.

w—ЧИСЛО ВИТКОВ.
Ь , 1-п, Ь—единичные векторы (орты), ориентированные вдоль направле-
направлений I, tj, ?.
a b — скалярное произведение вектора а на вектор Ь.
[а Ь] — векторное произведение ректора а на вектор Ь.
[ ] —векторное произведение*.
2 —знак суммы, суммируются величины от значения &=1до зна-
чения k = nx.
L — индуктивность, Гн.
М — взаимная индуктивность, Гн.
П — мгновенное значение вектора Пойнтинга, Вт/м2»
Р — мгновенное значение мощности, Вт.
W — энергия, Дж.
а* — сопряженное значение вектора а.
П —комплексное значение вектора Пойнтинга.
Пд—действительная часть вектора Пойнтинга.
Пм — мнимая часть вектора Пойнтинга.
Re — действительная часть комплексной величины»
Im — мнимая часть комплексной величины.
У — мгновенное значение вектора Умова, Вт/м2.
у2 — дифференциальный математический оператор Лапласа.
у — комплексный коэффициент распространения, м.
Zc — комплексное характеристическое сопротивление среды, Ом.
Р—действительная часть коэффициента у, или коэффициент фазы,
м-1.
а—мнимая часть коэффициента у, или коэффициент затухания, м".
1>ф — фазовая скорость, м/с.
игр — групповая скорость, м/с.
с0 — скорость света в вакууме, м/с.
с — скорость света в среде с параметрами |ia, ea.
\п — единичный нормальный вектор.
1Т — единичный тангенциальный вектор.
М° —коэффициент отражения.
Ми — коэффициент преломления.
ZM —комплексное характеристическое сопротивление маталла.
к — длина волны, м.
hi, кц, /ig—коэффициенты Лямэ в обобщенной ортогональной криволиней-
криволинейной системе координат.
ув — коэффициент распространения поля в волноводах, м.
к — продольное волновое число в волноводах, м-1.
Л'—коэффициент затухания поля в волноводах за счет конечной
проводимости металлических стенок, м~х.
h" — коэффициент затухания поля в волноводах за счет потерь в ди-
диэлектрике, заполняющем волновод, м.
g — поперечное волновое число в волноводах быстрых волн, м".
р — поперечное волновое число в волноводах медленных волн, м'1.
Н^п — магнитные волны типа тп.
Етп — электрические волны типа тп.
Т —поперечные электромагнитные волны.
Jm — функции Бесселя первого рода порядка т.
Nm —функция Бесселя второго рода или функция Неймана порядка т.
Г[тп — значение корней функции Бесселя.
V^mn — значение корней производной функции Бесселя.
1т— модифицированная функция Бесселя порядка т.
*Поскольку квадратные скобки означают векторное произведение, в книге
принята следующая «иерархия» скобок: (. ({( )}) _).

Кт — функция Макдональда порядка т.
тпр — электрические волны типа тар в объемных резонаторах.
ллup — магнитные волны типа тпр в объемных резонаторах.
Q—добротность объемных резонаторов.
Аэ — комплексная амплитуда векторного электрического потенциа-
потенциала, Тлм.
0э — комплексная амплитуда скалярного электрического потенциа-
потенциала, В.
Ам —комплексная амплитуда векторного магнитного потенциа-
потенциала, Кл/м.
0м — комплексная амплитуда скалярного магнитного потенциала, А.
\ —интеграл по поверхности Sx.
Si
ф
_ интеграл по замкнутой поверхности «Sj>
__ интеграл по пути 1^.
h
— интеграл по замкнутому контуру* 1р
\ —интеграл по объему
Ух

ГЛАВА 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 1.1. Место электродинамики среди технических дисциплин.
Назначение электродинамики и основные этапы ее развития
Прежде всего необходимо уяснить место, занимаемое электро-
электродинамикой среди общетеоретических и специальных дисциплин.
Электродинамику можно рассматривать как часть курса физи-
физики и теоретических основ электротехники, с одной стороны, и как
дальнейшее развитие курсов теории цепей и сигналов или основ
радиотехники—с другой. Таким образом, базовый курс электро-
электродинамики является переходным между указанными теоретическими
курсами и такими специальными курсами, как «Распространение
радиоволн», «Антенно-фидерные устройства», «Техника высоких
частот», «Квантовая радиоэлектроника» и др.
Круг вопросов, рассматриваемых электродинамикой, в последнее
время значительно расширился и решение практических задач
существенно усложнилось.
В настоящее время под электродинамикой понимают раздел нау-
науки, описывающий процессы возбуждения и распространения
электромагнитных волн в различных средах. Как правило, задачи
электродинамики связаны с диапазоном высоких частот, исполь-
"зуемых современной радиотехникой.
Трудно представить себе современного радиоспециалиста-ис-
радиоспециалиста-исследователя, не имеющего представления об электродинамических
процессах, независимо от того, в какой из областей радиотехники
он работает.
Генерирование электромагнитных колебаний сверхвысоких час-
частот, канализация этих колебаний по волноводам, процессы излуче-
излучения электромагнитной энергии и улавливания ее приемными антен-
антеннами— таков круг задач, требующих изучения электродинамики.
Анализ и создание ферритовых устройств, приборов, использующих
плазму, квантовых устройств также возможны на базе законов
электродинамики.
Электродинамика получила сейчас очень широкое распростране-
распространение и развитие ее далеко от завершения.
Основным объектом изучения электродинамики является электро-
электромагнитное поле.
Электромагнитное поле представляет собой особый вид материи.
По определению В. И. Ленина [1], «... материя есть то, что,
действуя на наши органы чувств, производит ощущение; материя
есть объективная реальность, данная нам в ощущении, ...».
8

История развития электродинамики, определяемая трудами мно-
многих ученых, могла бы составить предмет самостоятельного иссле-
исследования. Приведем главнейшие ее этапы.
В 1753 г. в работе «Речь о явлениях воздушных от электрической
силы происходящих» и в 1756 г. в труде «Теория электричества,
разработанная математическим путем» М. В. Ломоносов высказал
мысль о динамической природе электричества, о связи между элек-
электрическими и световыми явлениями. В 1819 г. Эрстед открыл влия-
влияние электрического тока на магнитную стрелку. В 1820 г. Ампер
исследовал действие тока на ток, в результате чего была установлена
связь между магнитными и электрическими явлениями. В 1831 г.
М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции. В 1873 г.
Дж. Максвелл опубликовал «Трактат об электричестве и магнетизме»,
в котором в математической форме изложил основные законы электро-
электромагнитного поля. Им же было введено понятие о токе смещения,
позволившее разработать теорию электромагнитного поля в прост-
пространстве и в конечном счете установить связь между электромагнит-
электромагнитными колебаниями и светом. В 1888 г. ученик знаменитого физика
Гельмгольца—Г. Герц в работе «Силы электрических колебаний,
рассмотренные согласно теории Максвелла» дал метод решения урав-
уравнений Максвелла и экспериментально доказал возможность сущест-
существования электромагнитных волн в пространства. В 1895 г. А. С. Попов
осуществил первую в мире радиосвязь с помощью электромагнит-
электромагнитных волн.
В 1899 г. П. Н. Лебедев экспериментально доказал давление све-
света, т. е. электромагнитных волн, на тела. Было подтверждено наличие
инертной массы у электромагнитного поля. В 1916 г. А. Эйнштейн
высказал мысль об искривлении светового луча в поле тяготения,
которая в 1919 г. была подтверждена Эддингтоном, измерившим
отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца. Таким
образом, было доказано существование гравитационной массы у
электромагнитного поля. В 1960 г. Р. В. Паунд взвесил световой
луч. Материальность электромагнитного поля была окончательно
доказана, чем был нанесен еще один удар по «энергетической» фи-
физике, которая, по определению В. И. Ленина [1J, «есть источник
новых идеалистических попыток мыслить движение без материи...».
Электромагнитное поле является носителем Энергии, способной
преобразовываться в другие виды энергии, что широко используется
в современной технике.
В данном пособии рассматривается макроскопическая электро-
электродинамика, т. е. процессы на расстояниях, значительно превышаю-
превышающих внутриатомные расстояния.
При математическом описании процессов в электромагнитном
поле вводят четыре основных вектора поля:
Е—лектор напряженности электрического поля;
D — вектор электрического смещения, или электрической ин-
индукции;
В—вектор магнитной индукции;
Н—вектор напряженности магнитного поля.

Поля, описываемые этими векторами, создаются электрическими
зарядами Q3 и токами /э, которые в свою очередь могут созда-
создаваться электромагнитным полем. Дополнительно в современную
электродинамику вводят удобные для анализа величины магнитного
заряда QM и магнитного тока /м, облегчающие решение ряда'задач.
Смысл этих величин будет определен в дальнейшем.
Электродинамика устанавливает математическую связь между
векторами поля, токами и зарядами в различных конкретных слу-
случаях, когда эти векторы являются функциями времени.
§ 1.2. Система единиц. Закон Кулона. Вектор напряженности
электрического поля Е. Разность потенциалов U,
Теорема Гаусса для вакуума
В настоящем пособии используется система единиц МКСА (метр,
килограмм, секунда, ампер), являющаяся Международной системой
единиц измерения — СИ [2].
В 1785 г. Кулон экспериментально определил силу взаимодей-
взаимодействия между двумя заряженными телами малых размеров, поме-,
щенными в вакуум. В принятой системе единиц измерения эту силу
можно определить с помощью закона Кулона, выражаемого соотно-
соотношением
Здесь F3—вектор силы взаимодействия между зарядами, Н; Q3i,
Q3—-взаимодействующие заряды, Кл; е0—коэффициент пропорцио-
пропорциональности (электрическая постоянная вакуума); г—расстояние
между центрами зарядов, м; \г—единичный вектор (орт), направ-
направленный вдоль г таким образом, что разноименные заряды притя-
притягиваются, а одноименные отталкиваются (рис. 1.1).
Вектором напряженности электрического поля Е называют силу,
действующую на единичный положительный заряд:
E = FB/Qel, A.2)
Е->Н/Кл, A.3)
Ъ-1 О4)
Введем понятие разности потенциалов U между точками а2 и а19
под которой понимают интеграл
?/=$Edl=$Edl. A.5)
fli h
Разность потенциалов представляет собой работу силы Е на
пути /j;. Единицей измерения разности потенциалов является вольт:
?/->В = Н-м/Кл. A.6)
10

Из формул A.3), A.6) следуют единицы измерения Е:
Е~*В/м. A.7)
Как известно из курса физики, емкостью конденсатора С назы-
называют отношение заряда Q3 к разности потенциалов на обкладках
конденсатора:
C = QJU. . A.8)
В системе МКСА емкость измеряют в фарадах:
С->Ф-Кл/В. A.9)
Единицы измерения электрической постоянной можно опреде-
определить из выражения A.4)
Таким образом, единицей измерения 80 является фарада на метр.
В системе МКСА
8o = _L.lO-9 = 8,854.1O-12 Ф/м. A.11)
Рассмотрим бесконечно малую площадку dS, находящуюся в поле,
создаваемом зарядом Q9 (рис. 1.2).
Пусть расстояние от центра заряда до площадки равно г. Опре-
Определим бесконечно малый поток вектора Е (с1ФЕ) с помощью соот-
соотношения
d<DE=EdS, dS = dSln,
где \п—единичный вектор, нормальный к площадке dS#
С учетом выражения A.4) можно записать
Выражение
определяет бесконечно малый телесный угол, характеризующий угол
зрения, под которым из точки расположения заряда видна пло-
11

щадка dS. Вводя понятие телесного угла, получаем
Переходя от бесконечно малой площадки dS к площадке конеч-
конечных размеров S19 можно записать
Здесь Qx—телесный угол, в пределах которого из точки располо-
расположения центра заряда наблюдается площадка 5?.
В случае замкнутой поверхности Sx, окружающей заряд Q9,
полный поток вектора Е, проходящего через эту поверхность, может
быть найден путем интегрирования по всей замкнутой поверхности.
Полный телесный угол вокруг точки при этом равен 4я и
Соотношение
A.12)
p
st
является математическим выражением теоремы Гаусса для вакуума.
§ 1.3. Теорема Гауссг для вещества. Вектор электрического
смещения D. Первое материальное уравнение среды.
Первое уравнение непрерывности
В диэлектрической среде под влиянием поля происходит про-
процесс поляризации. Он заключается в том, что положительные и
отрицательные заряды атомов диэлектрика под действием силы Е
смещаются относительно друг друга. Положительные заряда дви-
движутся в направлении поля Е, отрицательные—против него. Диэлек-
Диэлектрик поляризуется, т. е. перестает быть электрически нейтральным.
Для математической оценки этого процесса, рассмотрим некоторую
бесконечно малую поверхность dS в
веществе, единичная нормаль к ко-
торой \п не обязательно совпадает
с направлением поля Е (рис. 1.3).
Предположим, что в результате про-
процесса поляризации положительные
заряды, входящие в состав атомов,
расположенных на поверхности dS,
сместились на некоторое расстояние
х. Направление смещения, которое
характеризуется единичным вектором
\1У определяется ориентацией векто-
вектора Е и свойствами среды. Это на-
Рис. 1.3
12

правление может не совпадать с направлением вектора Е. В ре-
результате смещения положительные заряды расположатся на поверх-
поверхности dSx. Заряды, находившиеся левее поверхности dS на расстоя-
расстоянии х от нее, смещаясь вправо, займут место на поверхноети dS^.
Таким образом, сместившиеся положительные заряды займут объем,
ограниченный поверхностями dS и dSr Этот объем может быть
легко подсчитан:
Допустим, что каждый положительный заряд равен Q9i и число
зарядов, охваченных процессом поляризации в 1 м3, составляет Л/'1.
Тогда суммарный положительный заряд dQ3+J прошедший через
поверхность dS в результате поляризации, можно определить из
соотношения
Отрицательные заряды, находившиеся на поверхности dS до
начала действия внешнего поля Е, в результате этого действия
сместятся в направлении, обратном направлению смещения поло-
положительных зарядов. Это направление определяется единичным
вектором —\t.
Примем, что после смещения расстояние между положительными
и отрицательными зарядами нейтрального атома равно i. Тогда
отрицательные заряды, находившиеся на поверхности dS, сместятся
влево на расстояние / — х и расположатся на поверхности dS2.
Объем между поверхностями dS и dS2 будет заполнен сместивши-
сместившимися отрицательными зарядами, и суммарный отрицательный за-
заряд dQ3_, прошедший через поверхность dS в результате поляри-
поляризации, определится формулой
/ — X) ( —1Л) (—1,)-
Прохождение положительных зарядов слева направо через по-
поверхность dS эквивалентно прохождению отрицательных зарядов
справа налево. Поэтому общий заряд dQ31 прошедший через по-
поверхность dS в результате поляризации, можно найти суммирова-
суммированием зарядов dQ3+ и dQ3_:
Вводят обозначение
Величину Р называют вектором поляризованности вещества.
Единицей измерения поляризованности вещества является ку-
кулон на квадратный метр:
Р->Кл/м2. A.13)
При этом
13

В конкретных случаях вектор Р может являться функцией ко-
координат. В силу этого заряд Q'3y прошедший через конечную поверх-
поверхность S, следует отыскивать путем интегрирования полученного
выражения по этой поверхности:
st
Если процесс поляризации вызван зарядом, находившимся внутри
замкнутой поверхности Sx, и необходимо определить заряд Qs»
прошедший через эту поверхность в результате поляризации среды,
то интегрирование должно быть распространено на замкнутую по-
поверхность:
f
Si
Это количество электричества выйдет за пределы замкнутой
поверхности Sx. Внутри поверхности останется заряд —Qg, связан-
связанный с зарядом Qg и создававший совместно с ним до процесса поля-
поляризации нейтральные атомы среды. Таким образом, процесс поля*
ризации среды сводится к появлению помимо первоначального
заряда Q3, создавшего поле Е, дополнительного поляризационного
заряда — Q'3. Учитывая этот заряд в выражении теоремы Гаусса
для вакуума A.12), "можно получить формулу, позволяющую опре-
определить поле в конкретной среде. При этом выражение A.12) запи-
запишется в виде
или
Объединив интегралы, получим
<?
Si
Введем обозначение
e0E + P = D. A.14)
Величину D называют вектором электрического смещения. Интег-
Интегральное соотношение
(fDdS = Qa . A.15)
Si
является математическим выражением теоремы Гаусса для вещества.
Легко определить единицу измерения вектора электрического сме-
смещения:
D-^Кл/м2. A.16)
14

.Теорема Гаусса, записанная в форме A.15), справедлива для
идеальной диэлектрической среды. Если среда проводящая, то при
выводе этой теоремы необходимо учитывать заряды, создаваемые
в среде за счет токов проводимости. В дальнейшем будет дан вывод
выражения, соответствующего теореме Гаусса для проводящей среды.
Выражение A.14) позволяет установить связь между векторами
D и Е, т. е. вывести первое материальное уравнение среды. Это
уравнение различно для различных сред, и на нем необходимо
остановиться подробно. Прежде всего рассмотрим однородную ли-
линейную изотропную среду и монохроматическое поле, т. е. поле,
изменяющееся с одной угловой частотой со.
В этом случае вектор поляризованности вещества Р можно счи-
считать пропорциональным вектору поля Е:
A.17)
Коэффициент пропорциональности %э называют диэлектрической
восприимчивостью вещества. При этом выражение A.14) запишется
в виде
Введя обозначение
ео + Хэ = еа» A-18)
получим уравнение
D-8JE, A.19)
которое представляет собой первое материальное уравнение среды.
Величину 8а называют абсолютной диэлектрической проницае-
проницаемостью среды. Единицы измерения диэлектрической восприимчиво-
восприимчивости и диэлектрической проницаемости такие же, как для е0 — Ф/м.
Введем безразмерную величину — относительную диэлектричес-
диэлектрическую проницаемость среды:
er = ea/e0. A.20)
В реальных средах она может изменяться в значительных пре-
пределах—от отрицательных сотен (плазма), нулевых значений (плазма)
до положительных десятков тысяч (титанаты бария). •
Для монохроматического поля и неоднородной среды, параметры которой
являются функциями обобщенных криволинейных координат §, rj, ?, диэлектри-
диэлектрическая проницаемость становится функцией этих координат:
га = еа(?> Л> О
и первое материальное уравнение среды принимает вид
D = ea(S, T|, QE. A.21)
Для монохроматического поля и однородной нелинейной изотропной среды
диэлектрическая проницаемость зависит от поля
еа = еа(?)
и первое материальное уравнение среды записывается таким образом:
D = ea(?)E. A.22)
- 15

Для монохроматического поля и однор®дной линейной анизотропной среды
каждая из составляющих вектора D вдоль координатных направлений ?, г), ?
в общем случае зависит от трех координатных составляющих вектора Е, что от-
отражено следующими соотношениями:
^^, A.23)
еа32^т,+ 8а3з^?, J
или в сокращенной векторной форме
D = (ea)E, A24.)
где (еа)— тензор абсолютной диэлектрической проницаемости среды:
8ai2 sal3>\
8а228а23, j A-25)
еа32 8а33-'
Применение тензора (&а) показывается выражением A.23).
Применительно к анизотропной среде каждая из составляющих вектора D
в общем случае изменяется в своем масштабе по отношению к соответствующей
составляющей вектора Е и в силу этого ориентация вектора D не совпадает
с ориентацией вектора Е.
В случае немонохроматического поля целесообразно рассматривать отдельно
поля, обладающие дискретным и непрерывным спектрами частот. Если параметры
среды не зависят, от частоты для однородной линейной изотропной среды спра-
справедливо материальное уравнение A.19) независимо от спектрального состава поля.
Такую среду называют недиспергирующей. Если параметры среды являются функ-
функциями частоты, то говорят, что среда обладает дисперсией и называется диспер-
диспергирующей.
- Допустим, что спектр частот дискретен и вектор Е может быть предстаплен
рядом гармонических составляющих. Предположим также, что среда, является
диспергирующей, однородной, линейной и изотропной. При этом векторы поля
могут быть представлены в следующем соотношении:
+ E2cos (GJ* + cp2)+ .. . + Encos (юл*
Пусть
еа = еа(ю). A.26)
• Тогда первое материальное уравнение среды можно записать следующим
образом:
+ еа (со2) Е2 cos (©2* + ф2)+ ... + еа (©„) Encos (со„г + ф„)+ ... A.27)
Такая запись возможна в силу применимости принципа суперпозиции к ли-
линейной среде.
В случае непрерывного спектра частот для определения вида первого мате-
материального уравнения среды можно использовать преобразование Фурье или Лап-
Лапласа [3]. Если вектор Е записать как временную функцию Е (t), то с помощью
прямого преобразования Фурье можно получить вектор спектральной плотности
этой функции:
J Е(*)е-/<В'Л. A.28)
По известному вектору спектральной функций G^ (со) можно найти вектор
F (t) с помощью обратного преобразования Фурье:
i I ? Hereto. A.29)
-00
16

Аналогично определяют вектор D (t) по его спектральной плотности G?>(co)j
D(*)=-L- -j Go(cS)e'ffl'da>. A.30)
Таким образом, по известному вектору спектральной плотности Gp (со) можно
найти вектор D (/). Для вектора спектральной плотности Gj)((i)) справедливо так
же, как для каждой составляющей дискретного спектра, обычное материальное
уравнение вида A.19) с учетом частотной зависимости еа (со):
. A.31)
Используя обратное преобразование Фурье A.30), получаем первое материаль-
материальное уравнение для непрерывного спектра частот:
со
D @=i I ч (@) °е (со) е/м'dco- A -32)
-со ¦ I
Как указывалось, первое материальное уравнение среды в случае непрерыв-
непрерывного спектра может быть получено также с помощью преобразования Лапласа.
Прямое преобразование Лапласа, примененное к вектору Е (t), определяет его
изображение Е (р):
со
Е(р)=$Е(*)е-я*(й,. A.33)
о
где
р = с+/со. . A.34)
Вектор Е (t) можно определить с помощью обратного преобразования
Лапласа:
C+JCD
j E(p)ePUp. ^ A.35)
С -/со
Аналогично/если известно изображение D (р) вектора D (t), то этот вектор
определяют из соотношения \
С + /СО
D@~ j D(p)ePtdp, A.36)
С - / со
Зная изображение га(р) диэлектрической проницаемости 8 (со) и изображение
Е (р) вектора Е(/), можно легко получить изображение D (р) вектора D (t):
D(p) = ea(p)E(p). A.37)
Тогда
С + / 00
/
j
C-jco
Выражение A.38) представляет собой еще одну возможную форму записи
первого материального уравнения в случае непрерывного спектра частот.
Рассмотрим среду, параметры которой изменяются по заданному временному
закону. Допустим, что диэлектрическая проницаемость 8а изменяется по закону
ЪГ^ХРГ A.39)
и не зависит от частоты
17

При этом для однородной линейной и изотропной, но параметрической
среды*, будет справедливо первое материальное уравнение, сходное по форме
с A.19):
D = ea(*)E. A.41)
Положение существенно осложняется, если наряду с изменением еа во вре-
времени существует зависимость 8а и от частоты со:
. ea = ea(f, со). A.42)
Как известно из теории цепей [3], при воздействии сигнала щ (/) на пара-
параметрическую цепь с коэффициентом передачи К (со, t) сигнал на выходе цепи
«2 @ =^ j Gat (<в) К (ш, t) e'e< da. A.43)
где Gttl (со)-— спектральная функция входного сигнала:
При использовании преобразования Лапласа эти выражения запишутся сле-
следующим образом:
с+]Ъ
I «(Р)*(Р 0е"# A.45)
С -/©
' в A.46)
Поскольку нахождение спектральной функции или изображения входнрго
сигнала не представляет труда, решение задачи сводится к отысканию коэффи-
коэффициента передачи параметрической цепи.
В нашем случае должен быть найден коэффициент передачи параметрической
среды, который выражается зависимостью диэлектрической проницаемости ва от
частоты со и времени t. Таким образом, при использовании преобразования Фурье
первое материальное уравнение запишется в форме, сходной с A.32):
D @ = ? I Ч it, ю) GE (со) e'w rfco, A.47)
где спектральную функцию GE(a)) находят по формуле A.28),
Обозначая аналогично A.31):
G/)(co) = 8a(^co)Gfi(co), A.48)
получаем
00
i I ^ .A.49)
При использовании преобразования Лапласа материальное уравнение запи-
запишется в виде A.38):
С+/00
I (t)E()P*dp A.50)
С - j СО
* Параметрической называют среду, параметры которой изменяются во
времени»
18

Для всех видов первого материального уравнения справедлива
теорема Гаусса, соответствующая соотношению A.16).
Иногда электрический заряд Q3 целесообразно выражать через
его объемную плотность рэ:
l A.51)
Найдем единицу измерения объемной плотности электрического
заряда:
рэ—+Кл/м3.
При этом теорема Гаусса запишется в виде
3dV. A.52)
Если в замкнутой поверхности St находится заряд Q3, который
с течением времени уменьшается, то это уменьшение будет связано
с существованием тока /э, вытекающего из объема, окруженного
поверхностью Sx. Связь тока /э с зарядим Q3 определяется соот-
соотношением
Знак «минус» перед производной объясняется тем, что с тече-
течением времени заряд Q9 уменьшается. Ток /э связан с плотностью
тока Ja соотношением
f A.54)
Это выражение позволяет найти единицу измерения плотности
электрического тока:
J3 —А/м2.
С учетом A.54) выражение A.53) может быть переписано в виде
J|w. A.55)
Vt
Соотношение A.55) называют первым уравнением непрерывности
в интегральной форме, связывающим плотность электрического тока
с объемной плотностью электрического заряда.
Если плотность зарядов не изменяется во времени, то интеграл
по поверхности равен нулю, что свидетельствует о замкнутости,
непрерывности линий плотности постоянного тока.
§ 1.4. Вектор магнитной индукции В. Связь
вектора В с током
Эксперименты показывают, что неподвижный заряд Q3 в маг-
магнитном поле не испытывает никаких воздействий со стороны этого
поля.
19

Если же этот заряд движется в магнит-
магнитном поле со скоростью v, то по данным опы-
опытов, .например с катодными лучами (движу-
(движущимися электрическими зарядами), возни-
возникает сила FM, действующая на движущийся
=> заряд и вызывающая изменение его траекто-
Б рии.
По результатам экспериментов можно
определить величину и направление этой
силы как функцию скорости движения заря-
Рис. 1.4 да v, интенсивности и ориентации силовых
линий магнитного поля, характеризуемых
некоторым вектором В. Вектор В ориентирован так же, как и си-
силовые линии магнитного поля. При этом справедливо эксперимен-
экспериментальное соотношение
FM=Qe[vB], A.56)
которое иллюстрируется рис. 1.4.
Если помимо магнитного поля В движущийся заряд находится
также в электрическом поле Е, он испытывает'действие суммарной
силы F:
называемой силой Лоренца.
С помощью соотношения
где \F —орт, характеризующий направление силы FM; a—угол
между векторами v и В, можно найти вектор В.
Действительно, определив опытным путем (например, по смеще-
смещению пятна на экране катодной трубки) величину силы FM, а также,
зная угол а между вектором скорости v и ориентацией силовых
линий магнитного поля В, величину заряда QB и скорость его
движения v, можно определить модуль вектора |В|:
1 ' Q3v sin a '
Поскольку направление этого вектора совпадает с ориентацией
силовых линий поля, вектор В может быть определен полностью.
Существует и другая методика определения вектора В. Изменяя
направление вектора v и фиксируя силу FM, находят максимальное
значение силы F мтах, соответствующее а = 90°.
Направление вектора В при этом будет перпендикулярным век-
вектору v, а его модуль
20

На основании соотношения
A.56) определим единицу измере-
измерения вектора В:
Н.с
Т_Т д.
Из A.5) следует, что -j7^- =
поэтому
В
Bj?_ _Вб_ J
A.58)
Введем понятие об элементар-
элементарном потоке с1Фв вектора В через
бесконечно малую поверхность dS:
d<DB = BdS. A.59)
Конечный поток Фв через ко-
конечную поверхность Sx может быть
найден по соотношению
Рис. 1.5
A.60)
Магнитное поле в электродинамических процессах создается за
счет электрического тока /э. Важно установить математическую
связь между током /э и вектором В. Эту связь можно получить
экспериментально (рис. 1.5).
Плоскость катушки с числом витков wx пересекает ток /э, соз-
создающий магнитное поле В. Поток этого вектора Фв> пересекающий
виток катушки, находят из соотношения A.60). Если площадь витка
катушки S± достаточно мала, то в пределах этой площади вектор В
можно считать неизменным и записать выражение A.60) в виде
где а—угол между нормалью к поверхности Sx и вектором В. -
Предположив, что периметр катушки равен 11У найдем число
витков, приходящееся на бесконечно малый участок этого пери-
метра dl\ -7—.
Поток Фв пересечет на участке dl плоскость витка катушки
l
к
раз.
Поток dWB, сцепленный с
дением
— витками, определяется произве-
произвеПолный поток, сцепленный со всеми витками катушки, или
полное потокосцепление WBi может быть найдено путем интегри-
21

рования по всему периметру lt катушки:
Здесь а—угол между вектором В и нормалью к поверхности S^.
С этой нормалью совпадает направление участка периметра dl.
Следовательно, а является углом между векторами В и dl. При
этом произведение под интегралом можно представить в векторной
форме:
Тогда
Подсоединив к концам катушки баллистический гальванометр
Б Г (см. рис. 1.5), позволяющий измерить суммарное потокосцеп-
ление*1Рд при различных величинах тока /э, можно эксперимен-
экспериментально, найти зависимость интеграла (j)Bd\ = —~ от тока /э. В ре-
результате экспериментов, осуществленных в вакууме, было уста-
установлено, что интеграл ф ВШ пропорционален току /э. Другими
словами, была экспериментально установлена справедливость со-
соотношения
1,Л. ' 0-61)
где ^0— коэффициент пропорциональности, называемый магнитной
постоянной:
" Bdl
Определим единицу измерения магнитной постоянной:
•В-с-м Вс
мТ11/ш> ^'е
В системе МКСА
A.63)
Если в эксперименте магнитное поле В создается током /э, про-
протекающим по второй катушке с числом витков ш2> то соотношение
A.62) должно быть записано в виде
A-64)
22

§1.5. Воздействие внешнего магнитного поля на вещество.
Вектор напряженности магнитного поля Н.
Закон полного тока.
Второе материальное уравнение среды.
Второе уравнение непрерывности
Рассмотрим эксперимент, иллюстрируемый рис. 1.6.
На сердечник, выполненный из некоторого материала, намотана
катушка с числом витков w2, по которой пропускается ток /э.
Магнитное поле измеряется в точке наблюдения Ь при наличии сер-
сердечников, выполненных из различных материалов.
Эксперименты показывают, что при этом имеются три варианта
поведения магнитного поля: 1) при использовании ферромагнитных
сердечников магнитное поле резко возрастает; 2) при использовании
диамагнитных сердечников магнитное поле уменьшается; 3) при
использовании парамагнитных сердечников магнитное поле не пре-
претерпевает существенных изменений по сравнению с опытом в от-
отсутствие сердечника. , "
Наблюдаемые факты можно объяснить различной ориентацией
элементарных магнитов в веществе под действием внешнего поля.
Для количественного описания влияния вещества на магнитное
поле примем следующую схему рассуждений.
Добавочное магнитное поле, вызываемое определенной ориента-
ориентацией элементарных магнитов, можно считать эквивалентным полю,
создаваемому добавочным током Гэ, однократно охватывающим сер-
сердечник и равномерно распределенным по его длине. В зависимости
от величины и ориентации добавочного тока создаваемое им доба-
добавочное магнитное поле может совпадать с первичным полем тока /э.
При этом суммарное поле возрастает—случай, эквивалентный фер-
ферромагнитному сердечнику. Добавочное поле может быть ориенти-
ориентировано так, что суммарное поле будет уменьшаться —случай, экви-
эквивалентный диамагнитному сердечнику. Парамагнитному сердечнику
соответствует нулевое значение тока Гэ. Отметим, что при надлежащей
ориентации тока Гэ возможно изме-
изменение не только величины, но и ори- i
ентации суммарного поля.
Далее выбираем контур обхода /
1Х (см. рис. 1.6), участок ас кото- ,'
рого находится в пределах сердеч- \
ника, а участок cda — вне его.
Рассмотрим бесконечно малый ток
d/э, охватывающий бесконечно ма-
малый участок контура обхода dl. От-
Отношение dl'Jdl зависит от ориентации
контура обхода. Если эта ориента-
ориентация совпадает с линиями тока, то
отношение dl'Jdt^O, так как при
движении вдоль линий тока прира- Рис. 1.6
23

щение d/э равно нулю. Если dl перпендикулярно линиям тока, то
это отношение будет максимальным. Введем обозначение
=M- A-65)
ax v ;
Пусть направление dl, при котором производная dl'Jdl макси-
максимальна, характеризуется единичным вектором \т. Если ориентация
контура обхода не совпадает с направлением \т и характеризуется
единичным вектором \ь, то производная dl'Jdl может быть полу-
получена путем проекции ее максимального значения М, соответствую-
соответствующего направлению lm, на новое направление \г. Эта проекция ха-
характеризуется скалярным произведением векторов \ь и \т. Следо-
Следовательно, drjdl~M\l\m.
Обозначив
Mlm = M, A.66)
где М—вектор намагниченности вещества,
получим . А1г
или
d/; = JVll^ = AWl. A.67)
Ток Гэ найдем интегрированием выражения A.67) на участке ас
контура обхода, находящемся в веществе:
ас
На участке cda контура обхода нет вещества и вектор М равен-
нулю. Следовательно,
cda
Прибавляя этот интеграл к интегралу на участке ас,,не изме-
изменяем интеграл на участке ас. Тогда можно записать
Mdl.
cda
Объединяя участки ас и cda контура обхода, получаем интеграл
по замкнутому контуру 1г:
A.68)
Таким образом, влияние вещества на процесс формирования
магнитного поля можно свести к появлению дополнительного тока Гэ
помимо первичного тока /э, создавшего первичное поле, которое
вызвало внутренние процессы в веществе. Для оценки магнитного
24

поля, возникающего под влиянием тока в веществе, можно исполь-
использовать соотношение A.64) при условии добавления к току /э, про-
протекающему по катушке с числом витков w2, «одновиткового» тока Гэ.
При этом выражение A.64) запишется в виде
§ Ы\ = \iowj3 + \1ОГЭ = \iowj3 + fx0 S Mdl.
h h
Объединяя интегралы, получаем
—m)di=w.ja. A.69)
Введем обозначение
1_М = Н, A.70)
где Н—вектор напряженности магнитного поля.
По аналогии с вектором электрического смещения, или вектором
электрической индукции D, вектор Н в силу сходности 'рассужде-
'рассуждений целесообразно было бы назвать вектором магнитного смещения
или вектором магнитной индукции, а вектор В — вектором напря-
напряженности магнитного поля. К сожалению, установившуюся терми-
терминологию изменить невозможно.
С учетом обозначения A.70) выражение A.69) можно переписать
в виде
p zI99 A.71)
или при о>2= 1
f I9. A.72)
Это выражение носит название закона полного тока. Под /э
понимают ток, протекающий через некоторую площадку, охваты-
охватываемую контуром интегрирования 1±.
Определим единицу измерения напряженности магнитного поля:
Н—*А/м. A.73)
Выражение A-70) представляет собой математическую связь между
векторами В и Н, называемую вторым материальным уравнением
среды. Это уравнение записывается по-разному для различных сред,
и на нем следует остановиться подробно. Дальнейшие рассуждения
во многом аналогичны рассуждениям, приведенным при выводе
первого материального уравнения среды (см. § 1.3).
Для однородной линейной изотропной среды и монохроматичес-
монохроматического поля вектор намагниченности вещества М полагают пропор-
пропорциональным вектору напряженности поля Н:
М = х»Н. A.74)
25

Коэффициент пропорциональности %м называют магнитной вос-
восприимчивостью вещества.
Выражения A.65) и A.74) позволяют определить единицы изме-
измерения вектора намагниченности вещества и магнитной восприим-
восприимчивости:
М-*А/м, A.75)
х« —?т = ь О-76)
Таким образом, %м является безразмерной величиной.
Подставив выражение A.74) в формулу A.70), получим
Введя обозначение
= ^а, ' A-78)
где [ха называют абсолютной магнитной проницаемостью вещества*
можно записать
В = ^аН. Ц.79)
Коэффициент пропорциональности \ха измеряется на основании
соотношения A.78) в тех же единицах, что и магнитная постоянная:
,га-нТн/м. A.80)
Аналогично относительной диэлектрической проницаемости вве-
введем относительную магнитную проницаемость:
fr^MV (L81)
которая является также безразмерной величиной. В реальных сре-
средах относительная магнитная проницаемость может быть действи-
действительной или комплексной величиной и колебаться в пределах от
единицы до десятков тысяч. Запись второго материального урав-
уравнения для различных сред в значительной степени аналогична
записи первого материального уравнения.
Так, для монохроматического поля и неоднородной линейной изотропной
среды магнитная проницаемость в общем случае становится функцией обобщен-
обобщенных криволинейных координат |, г), ?:
^а = Ы?> Л> ?)
и второе материальное уравнение записывается таким образом:
В = н.а(Б, Л. С)Н. A.82)
Для монохроматического поля и однородной нелинейной изотропной среды
магнитная проницаемость является функцией поля:
|Аа=|Аа№
и второе материальное уравнение записывается таким образом:
В = |ла(Я)Н. A.83)
26

Для монохроматического поля и однородной линейной анизотропной среды
справедливы соотношения вида A.23)
Т| |с A.84)
^32^ + ^333^» J
или в сокращенной векторной форме
B = (fia)Hf A.85)
где (\ia) — тензор абсолютной магнитной проницаемости:
И-ail Д
j A.86)
В общем случае в анизотропной среде каждая из составляющих вектора В
изменяется в своем масштабе по отношению к соответствующей составляющей
вектора Н, что в конечном счете приводит к несовпадению ориентации векторов
В и Н.
Для немонохроматического поля и недиспергирующей среды справедливы
формы записи второго материального уравнения, перечисленные ранее.
Если спектр частот поля дискретен и среда обладает частотной зависимостью
(диспергирующая среда), то второе материальное уравнение сходно по форме с
первым материальным уравнением A.27):
B==fXa (O0) #0COS (GV+<Po)+|la fal) Я1 C0S (®1* + Ч>0 + ¦
+ Н<а (Ю2) H2COS (С02*+ф2)+ . . . + Ца (©„) Нп COS (@^ + ф„)+ . . . A.87)
Для непрерывного спектра частот и диспергирующей среды можно исполь-
использовать преобразование Фурье или Лапласа. В первом случае справедливо соотно-
соотношение вида A.32)
^ J . О-88)
— 00
Здесь
00
G#(co)= J H(*)e-/fi)'# A.89)
— 00
и соответственно
00
^ j W A.90)
Во втором случае могут быть записаны соотношения видов A.38) и A.33)
c + i°°
В @=2^7 j N(P)H(p)eP*dp, A.91)
j
A.92)
где р определяется выражением A.34).
Если абсолютная магнитная проницаемость \ia изменяется по заданному вре-
временному закону
Ца = М*) 0.93)
27

и среда не обладает дисперсией, то для однородной линейной изотропной среды
будет справедливо соотношение
В = ца@Н. A.94)
Среда при этом называется параметрической. Сложнее, когда абсолютная
магнитная проницаемость не только изменяется во времени, но и является функ-
функцией частоты:
Ца = М', <*>)• С1-95)
При определении вида второго материального уравнения среды может быть
использовано преобразование Фурье либо Лапласа, аналогично тому, как это было
сделано при выводе первого материального уравнения. Получаемые при этом
соотношения аналогичны A.47) и A.50):
В @= -^ j На (t, ю) Оя И е^ da.
A.96)
ИЛИ
c+j00
Здесь G/y (со) и Н (р) вычисляют с помощью соотношений A.89) и A.92),
В § 1.3 было выведено первое уравнение непрерывности, пред-
представляющее собой математическую связь вектора плотности элект-
электрического тока Лэ с объемной плотностью электрического заряда рэ.
В основу вывода была положена обобщенная теорема Гаусса, свя-
связывающая поток вектора D с зарядом Q3. В случае магнитных
векторов поток вектора В определяется соотношением A.60). В теореме
Гаусса поток вектора D записывается через замкнутую поверх-
поверхность Sx. Записав аналогичный поток вектора В, следует прирав-
приравнять его нулю в силу замкнутости магнитных силовых линий и
того факта, что пока не известны отдельно существующие положи-
положительные или отрицательные магнитные полюса, которые можно было
бы рассматривать в качестве положительных или отрицательных
магнитных зарядов QM. Тем не менее, иногда при расчетах целе-
целесообразно искусственно вводить сторонние магнитные заряды QM.
Термин «сторонний» означает, что этот заряд вводится дополни-
дополнительно со стороны и является источником поля. Концепция магнит-
магнитного заряда и связанного с ним стороннего магнитного тока, как
будет показано в дальнейшем, приводит к так называемому прин-
принципу перестановочной двойственности электродинамических уравне-
уравнений, позволяющему существенно облегчить решение ряда электро-
электродинамических задач. Исходя из этих соображений, выражение для
потока вектора В через замкнутую поверхность S± следует записывать
в двух формах:
без учета магнитных зарядов
0t A.98)
при введении магнитных зарядов
f QH, A.99)
24

Равенства A.98) и A.99) справедливы тогда, когда в среде можно
не учитывать так называемых магнитных потерь, характеризуемых
магнитной проводимостью, которая будет введена в дальнейшем.
При наличии магнитной проводимости эти формулы изменятся.
На основании A.58) магнитная индукция В измеряется в вебе-
рах на квадратный метр.
С помощью соотношений A.99) и A.58) можно установить еди-
единицу измерения магнитного заряда:
QM—J^.Ma = B.c = B6. A.100)
Магнитный заряд QM связан с его объемной плотностью рм со-
соотношением вида A.51):
Найдем единицу измерения объемной плотности магнитного
заряда:
В-с Вб п 1ЛОЧ
Рм — -w = w AЛ02>
Формулу A.99) с учетом A.101) можно записать как
udV. A.103)
Искусственно допуская введение в электродинамику сторонних
магнитных зарядов, следует признать и существование стороннего
магнитного тока /м, связанного с зарядом соотношением вида A.53):
Определим единицу измерения магнитного тока:
Л. — ^ = В. A.105)
Поскольку сторонний магнитный ток измеряется в вольтах,
правильнее было бы назвать его сторонним напряжением, однако
сохраним принятую ранее терминологию.
Магнитный ток связан с плотностью тока /м соотношением
вида A.54)
^ A.106)
Отсюда можно найти единицу измерения плотности магнитного
тока
A.107)
29

С учетом A.106) соотношение A.104) может быть записано сле-
следующим образом:
f ^ A.108)
Это выражение называют вторым уравнением непрерывности в
интегральной форме, связывающим плотность стороннего магнит-
магнитного тока JM с объемной плотностью стороннего магнитного заряда рм.
§ 1.6. Электрическая проводимость среды. Закон Ома
в дифференциальной и интегральной формах.
Сторонний электрический ток. Ток смещения.
Обобщенный закон полного тока
В правой части выражения A.72), определяющего закон пол-
полного тока, записывается ток /э. В соответствии с приведенным
ранее обоснованием под этим током следует понимать ток генера-
генератора, протекающий по проводнику и создающий магнитное поле.
Однако такое представление не является единственно возможным.
Если переменное во времени магнитное поле создано каким-либо
источником тока и в пространстве, где существует магнитное поле,
имеются проводники, то в последних, как показывает опыт, воз-
возникают токи проводимости. Эги токи в свою очередь создают маг-
магнитное поле, взаимодействующее с первичным полем. В результате
получается суммарное поле, являющееся результатом действия
токов генераторов и токов, существующих в проводящей среде.
Соотношение A.72) потому и называют законом полного тока, что
в нем фигурирует суммарное магнитное поле, созданное всеми то-
токами, существующими в рассматриваемой части пространства. Эти
токи целесообразно разделять. Токи, создаваемые генераторами,
условились называть сторонними электрическими токами или токами
возбуждения, а токи, создаваемые полем в проводящей среде —
токами проводимости.
Можно записать следующие соотношения, связывающие сторон-
сторонний электрический ток /э с вектором его плотности Ja и ток про-
проводимости /эп — с вектором его плотности Jan:
/8=S hdS, A.109)
Si
andS. A.110)
Так как ток /эп создается полем, нагляднее выразить его через
поле с помощью закона Ома:
isn = u/R, (bill)
где U—разность потенциалов на концах проводящего участка среды;
jR—сопротивление проводящего участка, равное
30

(/—длина проводящего участка, m;S — сечение проводящего участка,
м2; уэ-—удельная электрическая проводимость среды, См/м).
Подставив выражение A.112) в A.111), получаем
В электродинамике приходится иметь дело с величинами, изме-
изменяющимися от точки к точке рассматриваемого пространства. В силу
этого полученное соотношение лучше выразить в дифференциальной
форме:
,, dU
Здесь dlm—бесконечно малый ток, протекающий через беско-
бесконечно малое сечение dS в результате существования на бесконечно
малой длине dl проводящего участка бесконечно малой разности
потенциалов dU.
Поделив обе части этого выражения на dS, получаем
J4 A11J)
Разность потенциалов U можно выразить с помощью формулы
A.5):
(lt—единичный вектор, ориентированный вдоль длины
Следовательно, dU/dl = Elt.
Тогда вместо A.113) получим
Умножая обе части этого выражения скалярно на орт
ходим
на-
наили
Jan-ТэЕ.
A.114)
Соотношение A.114) называют законом Ома в дифференциаль-
дифференциальной » форме. Оно связывает вектор плотности тока электрической
проводимости ,Л7)П с вектором напряженности-электрического поля Е
через удельную электрическую проводимость среды ^э-
Соотношение A.114)" можно рассматривать как третье мате-
материальное уравнение среды. Аналогично первому и второму матери-
материальным уравнениям его можно записать по-разному для различ-
различных сред.
Для неоднородной среды имеем выражение вида A.82):
A.115)
31

Для нелинейной среды справедлива формула, аналогичная A.83):
J3n = 7a(?)E, A.116)
а для анизотропной среды — соотношения вида A.84), A.85), A.86):
или в сокращенной векторной форме
Лэп = Gэ)Е, A.118)
где (уъ) — тензор удельной электрической проводимости:
?Э12
?Э22 7Э23, ) A.119)
\7эз1 7э32 7эзз«/
В случае дискретного спектра частот и наличия частотной зависимости *уэ = 7э С00)
третье материальное уравнение среды приобретает вид, сходный с A.87):
+ 7э (©г) E2cos (со2^ + ф2)+ ... + 7Э (соп)Е„ cos (а>„* + Ф„)+ ... A.120)
В случае непрерывного спектра частот и частотной зависимости уэ справедливы
соотношения вида A.88), A.89) или A.91), A.92):
^ j A,121)
— со
ИЛИ
С + */оо
^ j уь{р)Е(р)е*<1р. A.122)
С— /СЮ
В этих соотношениях Ge(gd), E (/?) и р находят соответственно с помощью
выражений A.28), A.33) и A.34).
Для параметрической среды характерны формулы вида A.96) или A.97):
00
Jan @=2^ j 7э (Л «) G? (и) e'^dco. A.123)
- 00
ИЛИ
С+/СО
^ j V>(<. p)E(p)e^dp. A.124)
С — / X
С учетом соотношений A.110) и A.114) можно записать следую-
следующее выражение для тока проводимости:
A.125)
Выражение A.125) является законом Ома в интегральной форме
в случае изменяющихся параметров среды и поля.
Приведенные рассуждения применимы к средам, обладающим
проводимостью. Однако, по опытным данным, при подведении к об-
32

кладкам конденсатора переменного напряжения в цепи конденсатора
проходит ток, создающий магнитное поле так же, как и ток про-
проводимости. Экспериментально доказана справедливость закона пол-
полного тока A.72) в случае замену тока /э током, протекающим в цепи
конденсатора. Этот ток получил название тока смещения.
Ампер установил закон, исследуя токи в проводниках и поля,
создаваемые этими токами. Фарадей проанализировал результаты
воздействия переменных во времени полей на проводящие цепи.
Заслуга Максвелла заключается в том, что он наряду с понятием
тока проводимости ввел понятие тока смещения. Дадим математи-
математическую формулировку этого понятия.
Продифференцируем выражение A.15) по времени:
§ = ео§ + §. A.126)
dt ° dt ' dt v '
Поскольку вектор D измеряется в Кл/м2, единицей измерения
производной dD/dt является Кл/(м2-с). Но Кл/с = А и А/м2 яв-
является единицей измерения плотности тока. Таким образом,
dD/dt—>А/м2.
Эту производную можно рассматривать как некоторую плотность
тока. Составные части этой плотности тока, определяемые выраже-
выражением A.126), позволяют сделать следующие выводы. Выражение
dQs^PdS \n представляет собой математическую связь вектора поля-
ризованности вещества Р с зарядом dQ3> прошедшим через поверх-
поверхность dS в результате процесса поляризации. Переписав это выра-
выражение в форме dQ'JdS = Р1„ и умножив скалярно обе части на \п,
получаем
Производная
д? _ д f dQs \t d fdQs
dt "" dt V dS ) %n dS V dt. J n
1„.
Производная dQ'Jdt = I'3 представляет собой ток ГЭ1 созданный
!в результате смещения в диэлектрике зарядов Q'B. Этот ток назы-
называют током смещения в диэлектрике. Тогда
'df:==~di~ 'n = ^9*n = Js> A.127)
где Уэ—плотность тока смещения в диэлектрике.
Таким образом, второе слагаемое в выражении A.126) есть плот-
плотность тока смещения в диэлектрике, возникающая в результате
процесса поляризации.
. Следовательно, если между обкладками конденсатора заключен
диэлектрик, то в нем возникает ток смещения, способный создать
магнитное поле. Опыт показывает, что магнитное поле создается и
в том случае, когда диэлектрика между пластинами нет и они поме-
2 № 644 33

щены в вакуум. В соответствии с теорией Максвелла при этом воз-
возникает ток смещения в вакууме, вектор плотности которого
A-128)
Этот ток создается фотонами.
Полная плотность тока смещения
A.129)
Таким образом, в общем случае магнитное поле определяется
тремя токами: сторонним электрическим током /э A.109), током
проводимости /эп A.125) и током смещения, определяемым по фор-
формуле
f ^§ A,130)
Если в процессе формирования магнитного поля участвуют все
три тока, то закон полного тока A.72) следует записать в расши-
расширенной форме:
-^dS. A.131)
Это выражение дает математическую связь между сторонним
током, создавшим поле, и векторами поля. В силу того что вектор
D с помощью материальных уравнений среды может быть определен
через вектор Е, уравнение A.131) при известной плотности тока и
параметрах среды является уравнением, в котором неизвестны два
вектора поля: Е и Н. Для его решения необходимо второе уравне-
уравнение, связывающее эти векторы.
§ 1.7. Теорема Гаусса для вещества в случае
проводящей среды
В § 1.3 было показано, что теорема Гаусса для вещества A.16)
справедлива в случае непроводящей среды—идеального диэлек-
диэлектрика. При выводе этой теоремы помимо стороннего электрического
заряда, создающего поле, были учтены заряды, возникающие за
счет токов смещения. Для проводящей среды должны быть учтены
также заряды, возникающие за счет токов проводимости. В основу
рассуждений положено выражение A.16).
При наличии проводимости 7э в сРеДе* ограниченной замкнутой
поверхностью S19 в которой находится сторонний заряд Q9, создаю-
создающий поле, за пределы этой поверхности будет вытекать ток прово-
проводимости /эп, определяемый выражением A.125). В результате этого
сторонний заряд Q9, внесенный в поверхность St в момент времени
? = 0, будет уменьшаться по закону
Si 0
34

Подставив это выражение в правую часть теоремы Гаусса A.16)
вместо заряда Q3, получаем
Л Г»
t dS.
Далее, объединяя поверхностные интегралы
ft v '
+ \y3Edt)dS = Qs, A.132)
о /
находим соотношение, являющееся теоремой Гаусса для вещества
в случае проводящей среды. Если среда не является однородной ли-
линейной анизотропной или поле носит спектральный характер, то ток
проводимости следует записывать с учетом третьего материального
уравнения, выражающего связь плотности тока проводимости с век-
вектором Е в каждом конкретном случае.
§ 1.8. Закон электромагнитной индукции Фарадея.
Сторонний магнитный ток. Магнитная проводимость среды.
Закон электромагнитной индукции в расширенной форме.
Перестановочная двойственность интегральных уравнений
электродинамики
В 1831 г. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции,
заключающееся в том, что переменное во времени магнитное поле,
пересекающее плоскость проводящего витка, создает на его концах
разность потенциалов. Фарадей установил, что разность потенциалов
пропорциональна скорости изменения потока вектора магнитной
индукции В. Выразим это математически:
U = -dOB/dt, A.133)
где U — разность потенциалов на концах проводящего витка; Фв —
поток вектора В через площадь витка Sx.
Знак «минус» означает, что возникающая разность потенциалов
порождает в витке ток такого направления, при котором создавае-
создаваемый этим током вокруг витка вторичный магнитный поток направлен
против первичного (внешнего) магнитного потока. Суммарный маг-
магнитный поток при этом уменьшается, что можно считать следствием
включения дополнительной разности потенциалов в цепь внешнего
источника, создающего первичное поле. Знак этой разности потен-
потенциалов должен быть противоположен знаку напряжения источника,
создающего первичное магнитное поле.
Используя выражения A.5) и A.60), соотношение A.133) можно
записать в виде
J§-dS. A.134)
2* 35

Интеграл в левой части взят по замкнутому контуру /х, так как
виток считается замкнутым. В интеграле в правой части площадь Sf
представляет собой площадь замкнутого витка. Полученное соотно-
соотношение дает математическую связь между векторами электрического
и магнитного полей, которая существует в динамических, т. е. изме-
изменяющихся во времени полях. Это соотношение называется законом
электромагнитной индукции Фарадея. Совместно с выражением
A.131) и уравнениями среды A.19), A.79) оно образует систему
уравнений, связывающих электрические и магнитные векторы со
сторонними электрическими токами.
Сравнивая математическую форму выражений A.131) и A.134),
можно заметить схожесть двух соотношений в случае, когда элект-
электрическая проводимость среды уэ равна нулю и отсутствует сторон-
сторонний электрический ток, определяемый плотностью J3.
В § 1.5 было сказано о целесообразности введения в электроди-
электродинамику в некоторых случаях искусственных сторонних магнитных
зарядов QM A.99). Если такие заряды введены в расчет, то на осно-
основании формулы A.104) следует учитывать сторонние магнитные
токи /м, связанные с плотностью 7М соотношением A.106).
Так как ток /м измеряется в вольтах, то введение сторонних
.магнитных зарядов можно рассматривать как введение некоторого
внешнего стороннего напряжения дополнительно к разности потен-
потенциалов, определяемой интегралом wEdl,
Это напряжение, создаваемое внешними источниками, существует
в той части пространства, где предполагается наличие стороннего
магнитного тока /м, который, как указывалось, было бы правиль-
правильнее назвать сторонним напряжением. В этом случае, его следует
учесть .в законе электромагнитной индукции, сложив с разностью
потенциалов, создаваемой за счет изменяющегося во времени магнит-
магнитного поля.-Тогда выражение A.134) принимает вид
или
ш F И\ \~ \ I НЪ \ /79 /1 1 ЪК\
\fy Ъ—1 \Л 1 1 '\ •* м С^О \ -. . LtO • 11.1 \JyJ I
В дальнейшем станет ясно, как практически реализуется введе-
введение магнитного тока и когда этим понятием целесообразно пользо-
пользоваться.
Выражение A.135) можно записать в ином виде:
JpdS. AЛ36)
Используя материальные уравнения среды A.19), A.79), можно
записать законы полного тока и электромагнитной индукции A.131),
36

A.136) в другой форме:
-f J Y,EdS + f 8a-^dS, A.137)
A.138)
Принимая 7э = 0 и сравнивая оба выражения, можно заметить, что
при уэ = О переход от одного к другому осуществляется путем замены
вектора Н на вектор Е и обратно, плотности тока J3 на плотность
тока JM, взятую со знаком «минус», и обратно, абсолютной диэлек-
диэлектрической проницаемости еа на абсолютную проницаемость |д,а, взятую
со знаком «минус». При проведении таких перестановок уравнение
A.137) (при Ya — O) переходит в A.138) и, наоборот, уравнение
A.138) — в A.137). Это свойство электродинамических уравнений
называют перестановочной двойственностью.
Если уэф0-9 то перестановочная двойственность справедлива при
условии добавления- в уравнение A.138)~ члена—j YMHdS.
Si
При этом следовало бы добавить еще одну перестановку: электри-
электрическую проводимость 7э заменить на магнитную проводимость уш1
взятую с обратным знаком, и обратно.
Учитывая, что введенный интеграл измеряется в вольтах, Н—>А/м,
riS—>-м2, определим единицу измерения 7м:
Вм Ом /л -, ОГкЧ
?» —=ГА = 1Г • AЛ39)
Величину уы называют удельной магнитной проводимостью, хотя
правильнее было бы назватьее удельным магнитным сопротивлением.
Величина ум введена в уравнение A.138) формально с целью
записи закона электромагнитной индукции в форме, сходной с за-
законом полного тока, что позволило бы переходите от одного уравне-
уравнения к другому с помощью принципа перестановочной двойственности.
Как будет определено в дальнейшем, физически 7м характеризует
потери в веществе при воздействии на него магнитного поля.
Если допустить существование интеграла
то закон электромагнитной индукции следовало бы записать в виде
a^-dS. A.140)
Введем обозначение
= JMn- A.141)
37

Этот интеграл можно рассматривать в соответствии с используе-
используемой терминологией как ток магнитной проводимости.
Введем понятие вектора плотности тока магнитной проводимости:
Jmh^VmH. A.142)
Тогда
/«n=S ¦»,«.<». A.143)
Выражение A.142) представляет собой четвертое материальное
уравнение среды. Так же как соотношение A.114) для плотности тока
электрической проводимости, оно справедливо в случае однородной
линейной, изотропной среды, не обладающей дисперсией.
Для других сред можно записать соотношения, полученные из формул A.115) —
A.124) путем перестановок: уэ—*" — Ym>
•'эп у «'мп» Е ^ Н»
Для неоднородной среды
Кп = ЧкA> 1], ?)Н. A.144)
Для нелинейной среды
Jmh = Ym WH, A.145)
Для анизотропной среды
A.146)
MUt> = Ym31#| + Ym32^+ YM33^^> J
или в векторной форме
Jmii = (Ym)H, ' A.147)
где (уц) — тензор удельной магнитной проводимости:
/YmII Ym12 Ym13»\
(Ym) = (Ym21 Ym22 YM23, j A.148)
MM31 Ym32 Ym33-^
В случае дискретного спектра частот и наличия частотной зависимости Ym =
= Ym (w) справедливо соотношение
JMn = YM («о) Но cos (co02f + q>0) + YM К) Hic°s (<M + <Pi) +
+ Ym («2) H2cos (со2^ + ф2)+ .. . + ум (©л) Hwcos (со^ + ф„)+ ... A.149)
Для непрерывного спектра частот и частотной зависимости ум имеем
00
Jmd @ =2^- j Ym (со) G^ (со) е/со/ to, A,150)
— со
ИЛИ
с + j со
JMn@=2S/ J Vm {р) н (р) ePt dp> A
с — / со
где G//(co), H (р) и р находят соответственно из формул A.89), A.92), A.34).
38

. Для параметрической среды четвертое материальное уравнение записывается
в виде
i 7м {t> ^ °н (С0) е/С°^С0) AЛ52)
ИЛИ -оо
C + JCO
Ym (t' p) H {p) ePf dp- AЛ53)
С -/со
Уравнения A.137) и A.140) представляют собой обобщенные
законы полного тока и электромагнитной индукции. Они являются
основой для дальнейшего анализа электродинамических процессов.
§ 1.9. Вид интегрального соотношения Ф BdS = QM в случае среды,
Si
обладающей магнитной проводимостью
В § 1.5 было показано, что выражение A.99) справедливо в отсут-
отсутствие магнитной проводимости. 7м- ^Ри наличии магнитной проводи-
проводимости должно быть учтено уменьшение магнитного заряда QM вслед-
вследствие существования токов магнитной проводимости, как это было
сделано в § 1.7. Эгот ток для замкнутой поверхности определяется
формулой A.141).
Предполагая, что все процессы начались в момент времени t = О,
вместо заряда QM в правой части выражения A.99) следует поставить
соотношение
t t
St О
При этом выражение A.99) записывается в виде
t ¦
Объединяя поверхностные интегралы, получаем
MHdt)dS = Qu. A.154)
Если среда не является однородной, линейной и изотропной или
поле носит спектральный характер, то ток проводимости следует
записывать с учетом четвертого материального уравнения среды для
каждого конкретного случая. " '
В отсутствие сторонних магнитных токов и при условии QM = 0
выражение A.154) приобретает вид
в+$ yuHdt)dS = O. A.155)
о /
39

§ 1.10. Комплексные амплитуды векторов поля, зарядов и токов.
Уравнения электродинамики для комплексных амплитуд
в интегральной форме. Интегральные уравнения электродинамики
в случае спектральных сигналов
Выражения закона полного тока и закона электромагнитной ин-
индукции A.137), A.140) является сложными интегро-дифференциаль-
ными соотношениями, поэтому следует добиваться их упрощения.
В теории электрических цепей существенное упрощение расчетов
дает введение комплексного метода, который может быть с успехом
использован и в электродинамике. Предположим, что среда линейна
и векторы поля создаются монохроматическим током, т. е. током,
колеблющимся с частотой со. Плотность монохроматического тока
или в другой форме
Введем обозначение
A.156)
где j3—комплексная амплитуда плотности стороннего электриче-
электрического тока.
Тогда
Таким образом, для получения мгновенного значения вектора
плотности стороннего электрического тока при известном значении
его комплексной амплитуды достаточно умножить комплексную
амплитуду на e/cof и взять действительную часть этого произведения.
Аналогично могут быть представлены все функции, входящие в урав-
уравнения электродинамики:
Рэ = Re (рэе'ЧоО, pM=Re({
' J3 = Re(J9e'fi)O, JM=Re(JMe/(D0. \ A.157)
E =Re(Ee'w), H =Re(He'>@0,
D =Re(De/wO, В =Re(Be/fi>0-
Производные по времени векторов поля записываются в виде
5H/a/ = Re(/o)He/fi)/)- A.158)
Подставляя значения производной вектора Е и функции, входя-
входящих в уравнение A.137), получаем
Re (f He'™ d\ = Re
h
40

Заменяя равенство действительных частей равенством комплекс-
комплексных величин, можно отбросить знак вещественности Re и далее все
выражение сократить на множитель е'"'. В результате получаем
закон полного тока для комплексных амплитуд функций:
Сравнивая законы полного тока и электромагнитной индукции
для мгновенных значений функций и для комплексных амплитуд,
нетрудно видеть, что введение комплексных амплитуд существенно
упрощает математическую запись в силу того, что дифференцирова-
41
где еа—комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость
среды, запишем закон полного тока в форме
Аналогичные преобразования можно сделать и в отношении закона
электромагнитной индукции A.140):

ние функций по времени в комплексном методе заменяется умноже-
умножением на /со. Соответственно интегрирование можно заменить делением
на /со. На основании этого соотношения A.132) и A.154) в случае
использования комплексных амплитуд можно записать следующим
образом:
ИЛИ
Qst A.163)
= QM. A.164)
С учетом формул A.159) и A.161) выражения A.163) и A.164)
можно переписать в виде
A.165)
* A.166)
Так же легко записываются уравнения среды для комплексных
амплитуд:
Ь = БаЁ, A.167)
В = |хаН. A.168)
Первое и второе уравнения непрерывности A.55) и A.108) для
комплексных амплитуд значительно упрощаются, так как производ-
производные по времени заменяются множителем /со:
§
sx
J Kf A.169)
vt
\ jcopudV. A.170)
Когда сторонние токи не являются монохроматическими, использование комп-
комплексных амплитуд также возможно. При этом, если среда линейная, следует
различать два основных случая:
1. Сторонние токи представляют собой сумму составляющих дискретного
частотного спектра.
При решении задачи уравнения электродинамики записывают для каждой
из составляющих дискретного частотного спектра. Для диспергирующей среды
в эти уравнения вводят параметры среды, соответствующие рассматриваемой
частотной гармонике.
42

Основные интегральные уравнения электродинамики при этом приобретают вид
Нм dl=\ J'sco ds+[ /в>1.ев(шв)Ёщ dS, A.171)
П J Л J Л
p ^j Г » t^ Г . ~ / v «V «л /| 1 O\
72 v П ij Q, П
Здесь Ёю , Н0 , j , J —комплексные амплитуды гармонических со-
составляющих; га (соп), fic (о)л) — комплексные абсолютные диэлектрическая и маг-
магнитная проницаемости на частоте, соответствующей рассматриваемой гармонике.
Решение задачи сводится к суперпозиции гармонических составляющих:
т т
ё2= 2 К. н2= 2 К> 0-173)
п-0 п я=0 п
где т—число учитываемых гармоник.
2. Частотный спектр сторонних токов непрерывен.
При этом может быть использовано либо преобразование Фурье, либо пре-
преобразование Лапласа. Покажем запись уравнений электродинамики на примере
преобразования Фурье.
Как известно, в случае непрерывного спектра векторы поля можно опреде-
определить с помощью формул A.29) и A.90).
Аналогично можно представить векторы плотностей сторонних токов:
со
J3@=2i Jo^He^rfo), A.174)
— 00
00
Jm@ = 2S f G/M(co)e'wda), A.175)
Здесь Gj (со), Gj (го)—векторы спектральных плотностей сторонних электриче-
э м
ского и магнитного токов.
Далее, подставляя соотношения A.29), A.90), A.174), A.175) в выражения
законов полного тока A.137) и электромагнитной индукции A.138), получаем
00 00
= J^ J G^ («)e'^<todS+J^ J Тэ (о) G? (ш) X
S Э S
St -oo
^ J ^ {ea (со) GE (со) '
^ ZJl J м
ц — ou O| — 00
00 00
X \ vM @) GH (со) e/0)^ dw dS — \ -х- \ -ЧТ {\ia (со) GH @) 1
— 00 Si — 00
43

Сокращая на 2л, меняя местами внутренний и внешний интегралы и диф-
дифференцируя по времени, имеем
= 5 5 gj иe/(o/ dsd®+ 5
- oc 5, -a
55 /«8a (со) G? (со) e/0)/ rfS cfo,
-oo 5,
(со) е/со? d$du— \ \ vM(со) GH (со) i
— oo St
— С [ /coj.ia (со) GH (со) е/со/ dS d®.
Поскольку внешнее интегрирование правой и левой частей этих уравнений
осуществляется по одной и той же переменной и в одинаковых пределах, подын-
подынтегральные выражения можно объединить и внешний интеграл отбросить. Это
позволяет сократить уравнения на множитель е/0)/.
В результате законы полного тока и электромагнитной индукции для спект-
спектральных составляющих функций записываются в виде
<f) GH (со) d\ - J Суэ (со) d$+ J 7э (со) G^ (со) dS+ J /cosa (со) Gif(co) </S, <1.176)
h s, sx st
'(J) GE (со) di = - J G^M (°°) rfS - 5 7м (C0) G// (C0) dS ~ S /0}Xa (@) G// @)) dS* AЛ77)
/ 5 S 6\
Объединяя второй и третий интегралы в правых частях полученных уравне-
уравнений и используя соотношения A.159), A.161), находим
(f)
/
G я (со) d\ = 5 Gy; (со) 4S + 5 1^°в («>) rfS» (J • 178)
^S. A.179)
Si
- 5
Сравнивая эти уравнения с A.171), A.172), нетрудно заметить их сходство.
Разница лишь в том, что уравнения A.171), A.172) записаны для комплексных
амплитуд функций, а уравнения A.178), A.179) —для спектральных составляю-
составляющих этих функций.
После определения спектральных составляющих функции Е (t) и-Н(/) можно
найти с помощью обратного преобразования Фурье A.29), A.90).
Аналогично получают интегральные соотношения для изображений векто-
векторов Е и Н в случае использования преобразования Лапласа:
A.180)
A.181)
f:
44

Переход от изображений Н (р), Е (р) к векторам поля осуществляется с по-
помощью преобразования A.35) для вектора Е (t) и преобразования для век-
вектора Н (/) вида
С + j СО
Ь 1
*• A,182)
С-/go
ГЛАВА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 2.1. Теорема Остроградского — Гаусса. Теорема Стокса
Полученные в гл. 1 интегральные уравнения дают возможность
решать различные электродинамические задачи. В ряде случаев
эти задачи проще решить с помощью дифференциальных уравнений.
При выборе формы записи уравнений электродинамики необходимо
исходить из конкретной задачи. Следует предпочесть интегральную
или дифференциальную форму записи уравнений в зависимости от
того, какая из этих форм обеспечивает более легкое решение задачи.
Переход от интегральных уравнений к дифференциальным может
быть осуществлен с помощью двух теорем векторного анализа,
теоремы Остроградского —Гаусса и теоремы Стскса [4], [5].
Теорема Остроградского — Гаусса. Теорема Остроградского —
Гаусса связывает интеграл от вектора а по замкнутой поверхности Sx
с интегралом от дивергенции этого вектора по объему Vif ограни-
ограниченному замкнутой поверхностью Sx:
B.1)
Si
Напомним, что математическая операция дивергенции вектора
(см. приложение I) определяется пределом
adS
l= lim А* . B.2)
AV->0 АК
В числителе этого выражения записывается поток вектора а
через малую замкнутую поверхность AS, в знаменателе — малый
объем AV, находящийся внутри замкнутой поверхности AS. Предель-
Предельным переходом малый объем АУ стягивается в точку. Таким обра-
образом, дивергенция вектора определяется характером потока вектора а,
записанного в числителе. Этот поток может быть положителен, равен
нулю или отрицателен. Соответственно дивергенция а может быть
положительна, равна нулю или отрицательна.
В зависимости от принятой системы координат div а может иметь
различную математическую форму. В приложении I дан вывод diva
в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат Н,
45

r|, ? и приведены ее математические выражения в наиболее часто
употребляемых системах координат.
Теорема Стокса. Теорема Стокса связывает интеграл от вектора а
по замкнутому контуру 1г с интегралом от ротора этого вектора
по поверхности Sly ограниченной замкнутым контуром 1г\
^ = $. rotadS. B.3)
h Si
Известно, что математическая операция ротора вектора (см. при-
приложение I) определяется пределом
rotna= lim *' in. B.4)
AS _> О А6
В числителе этого выражения записывается циркуляция век-
вектора а по малому замкнутому контуру А/; в знаменателе—малая
поверхность AS, охватываемая замкнутым контуром AZ; \п—еди-
\п—единичная нормаль к поверхности AS, связанная правилом правохо-
дового винта с направлением обхода контура А/ (при движении
винта в направлении обхода контура направление единичной нор-
нормали должно совпадать с поступательным движением винта).
Запись rot/2a означает, что выражение B.4) определяет состав-
составляющую ротора, ориентированную в направлении единичной нор-
нормали \п к поверхности AS.
В зависимости от принятой системы координат математическое
выражение rota может быть различным. В приложении I дан вы-
вывод rot а в обобщенной криволинейной ортогональной системе коор-
координат \, т), ? и приведены его математические выражения в наибо-
наиболее часто употребляемых системах координат.
§ 2.2. Переход от интегральных уравнений электродинамики
К дифференциальным. Применение принципа перестановочной
двойственности к дифференциальным уравнениям
электродинамики
В гл. 1 был выведен ряд интегральных уравнений, опреде-
определяющих электродинамические процессы в различных случаях. Урав-
Уравнения были рыведены как для мгновенных значений функций, так
и для их комплексных амплитуд. Используем эти соотношения для
вывода дифференциальных уравнений электродинамики.
Переход от интегральных уравнений к дифференциальным —
легко осуществить с помощью теорем Остроградского — Гаусса и
Стокса. Применяя теорему Стокса B.3) к интегралу
п
= J rotHdS, можно записать соотношение A.137) в виде
•Si
•Si
46

Интегрирование ведется по одной и той же произвольной по-
поверхности S^ Опуская интегралы, получаем дифференциальное
уравнение B.5), которое будет записано позднее.
Аналогично можно преобразовать выражение закона электро-
электромагнитной индукции A.140), в результате чего получаем уравне-
уравнение B.6). Для преобразования уравнений A.132), A.154), A.155),
A.55), A.108) используют теорему Остроградского — Гаусса. Методику
этого преобразования продемонстрируем на примере уравнения
A.132).
Представим заряд Q3 в виде объемного интеграла от объемной
плотности заряда рэ так, как это сделано в формуле A.51). Тогда
соотношение A.132) запишется таким образом:
dS=\ p,dV.
Используя теорему Остроградского — Гаусса B.1) для левой
части выражения, получаем
divf D+ J y9Edt)dS= J padV\
\ о ' ' vt
Интегрирование осуществляется по одному и тому же произ-
произвольному объему Vi. Опуская интегралы, получаем соотношение B.7).
Аналогично преобразуются уравнения A.154), A.155), A.55), A.108).
В результате сделанных преобразований возникают дифферен-
дифференциальные уравнения электродинамики для мгновенных значений
функций:
( + 5 yB) B.7)
\ о . . /
B.8)
или при рм — 0
( с \
[Ъ + \уыНси) = о, B.9)
\ о /
h = — dpjdt, ¦ B.10)
divJM = — dpjdt. B.11)
47

Аналогично могут быть получены дифференциальные соотноше-
соотношения электродинамики для комплексных амплитуд функций:
rot Н = Лэ + /
rot Е = — JM
B.
B.
B.
B.
B.
B-
B.
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
div (j!aH) = рм,
или при рм = 0
div(j!aH) = O,
div J8 = — /сорэ,
div JM = — MoM.
Уравнения B.5) и B.12) называются первым уравнением Макс-
Максвелла для мгновенных значений функций и их комплексных ампли-
амплитуд, уравнения B.6) и B.13)—вторым уравнением Максвелла для
мгновенных значений функций и их комплексных амплитуд.
Соответственно уравнения B.10) и B.17) называются первым
уравнением непрерывности для мгновенных значений и комплексных
амплитуд, а уравнения B.11) и B.18)—вторым уравнением непре-
непрерывности для мгновенных значений функций и их комплексных
амплитуд.
Так же, как и для интегральных уравнений, для дифферен-
дифференциальных уравнений электродинамики справедлив принцип пере-
перестановочной двойственности. Уравнение B.12) переходит в B.13)
и, наоборот, уравнение B.14) —в уравнение B.15) и, наоборот,
уравнение B.17) — в уравнение B.18) и, наоборот, уравнения среды
A.167) —в A.168) и, наоборот, при осуществлении следующих пере-
перестановок:
Е^=±Н, J9^± — JM,
еа^± —fla, рэ^± —Рм, B.19)
8ач=± — \la, D^zt—В.
Аналогичный переход наблюдается в уравнениях, записанных
для мгновенных значений электродинамических функций. При этом
необходимы перестановки вида
Е^=±Н, J9^±-JM,
Тв^-Тм, еа^=±-^а, . B.20)
D^=±— В, рэ^=±—рм.
§ 2.3. Дифференциальные уравнения электродинамики
в случае квазистатических и статических полей
Написанные уравнения электродинамики выведены в общей форме,
допускающей различные упрощения в конкретных случаях. Прежде
всего рассмотрим случай квазистатических полей, когда частота
48

колебаний настолько мала, что можно пренебречь токами смещения
по сравнению с токами проводимости. При этом уравнения B.5),
B.6) и B.12), B.13) записываются соответственно в виде
rotH-J9 + T3E, rotE^-JM-vMH-jia^-, B.21)
rotH=-J8 + Y8E> rotE = —JM —/<ojIaH. B.22)
В случае статических полей частому колебаний следует полагать
равной нулю и уравнения упрощаются еще больше:'
rotH-J3 + ?9E> rotE = —JM —vMH. B.23)
Аналогично записываются уравнения для комплексных амплитуд.
Если проводимости среды уэ и ум равны нулю, то электрическое
и магнитное поле становятся полностью независимыми:
rotH-J3, rotE- — JM. ' B.24)
Если магнитные токи не вводятся в расчет, то полагают
rotE = 0.
Подобный подход может быть использован при записи интег-
интегральных уравнений электродинамики.
Таким образом, общие уравнения электродинамики включают
в себя как частные случаи уравнения, соответствующие квазиста-
квазистатическим и статическим полям.
§ 2.4. Несамостоятельность некоторых уравнений
электродинамики
Рассматривая систему уравнений электродинамики, можно за-
заметить, что помимо уравнений Максвелла, связывающих векторы
Е и Н со сторонними токами, существуют уравнения B.7), B.8)
для мгновенных значений векторов поля и уравнения B.14), B.15)
для их комплексных амплитуд.
Для отыскания векторов поля Е и Н достаточно двух уравне-
уравнений Максвелла, содержащих эти векторы. Возникает вопрос, не
являются ли уравнения B.7), B.8), B.14) и B.15) лишними урав-
уравнениями, переопределяющими систему уравнений Максвелла. Пока-
Покажем на примере уравнений для комплексных амплитуд, что урав-
уравнения B.14), B.15) могут быть получены из уравнений Максвелла
B.12), B.13).
Подвергнем уравнение B.12) операции дивергенции:
divrot H==div Ja-f-/codiv(eaE).
В приложении I приводится векторное тождество divrota=0,
в силу чего
?E i8. B.25)
49

Аналогично из уравнения B.13) находим
divert) =i-divJM. B.26)
СО
Подставляя в формулы B.25), B.26) выражения для divJ3 и
divJM из уравнений непрерывности B.17), B.18), получаем соот-
соотношения B.14), B.15).
Таким же образом может быть доказана несамостоятельность
уравнений B.7), B.8).
ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ КАК СЛЕДСТВИЕ
УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 3.1. Вывод первого закона Кирхгофа на основании
уравнений электродинамики
Основными законами электротехники являются закон Ома, пер-
первый и второй законы Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа гласит,
что алгебраическая сумма токов в узловой точке цепи равна нулю.
Второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим обра-
образом: алгебраическая сумма э. д. с. сторонних источников в замкнутой
электрической цепи равна сумме падений напряжений на ее эле-
элементах.
Покажем, что эти законы являются следствием основных урав-
уравнений электродинамики. В основу рассуждений положим уравне-
уравнение A.132). Дифференцируя обе части этого уравнения по времени,
получаем
С учетом соотношений A.129), A.114), A.53), A.54) выраже-
выражение C.1) можно записать в виде
C.2)
Si
Рассматривая узловую точку электрической цепи, состоящую
из п проводников (рис. 3.1), и пренебрегая токами смещения между
проводниками, уравнение C.2) можно записать таким образом:
C.3)
В этом случае St—замкнутая поверхность, окружающая узло-
узловую точку.
50

Плотности токов проводимости и токов
источников существуют в пространстве там,
где расположены проводники. В силу этого
интеграл по замкнутой поверхности можно
представить как сумму интегралов по пло-
площади поперечного сечения проводников.
При этом уравнение C.3) приобретает вид
v< f v С
2il \ Janfe^1^ ~Т~ 21л \ ** Ч П а& == Uj («J.rrj
ЛРХ'Л 1 СИ fV ' ywws^K 1 С/ АЛ \ Л
/г~*1 5fc р~1 s/7 l Рис. 3.1
где
Каждый из интегралов представляет собой ток Iт, протекающий
по проводнику. Тогда вместо соотношения C.4) можно записать
S /« = 0. C.5)
m=l
Выражение C.5) является первым законом Кирхгофа, выведенным
на основании уравнений электродинамики.
§ 3.2. Вывод второго закона Кирхгофа на основании
уравнений электродинамики
Разность потенциалов (/, возникающая на концах проводящего
витка при пересечении площади витка переменным во времени
магнитным потоком Фл, выражается соотношением A.133). С уче-
учетом формулы A.5), считая контур 1Х замкнутым, получаем
C.6)
Рассмотрим в качестве замкнутого контура 1г замкнутую элек-
электрическую цепь с сосредоточенными постоянными. В этом случае
поток Фв может создаваться за счет тока In в индуктивностях Ln
замкнутой, цепи, а также за счет токов Im в других замкнутых
цепях, связанных с рассматриваемой цепью взаимными индуктив-
ностями Мт. Если число витков в катушках отлично от единицы,
то поток Фд следует заменить потокосцеплением Чв.
В теории цепей индуктивность Ln определяют как коэффициент
пропорциональности между током 1п в катушке и потоком век-
вектора В, сцепленным с витками этой катушки:
Взаимную индуктивность Мт определяют как коэффициент про-
пропорциональности между током Im в другой цепи, индуктивно свя-
связанной с катушкой в данной цепи, и потоком вектора В, сцеплен-
сцепленным с витками этой катушки:
Ш АЛ Т A Q\
ош mm' \ • /
51

В рассматриваемой цепи может быть несколько индуктивностей
и взаимных индуктивностей, связывающих ее с другими цепями.
Общий поток, сцепленный со всеми индуктивными элементами, пред-
представляет собой сумму частных потоков, поэтому можно записать
*в=1уя+2^/в. C-9)
/2=1 /77=1
Соответственно частную производную дФв1дг, входящую в пра-
правую часть выражения C.6) для цепи с сосредоточенными постоян-
постоянными, можно заменить производной д^?B/dt, которая с учетом
выражения C.9) записывается в виде
Ф^^1- (зло).
п — 1 т = 1
Подчеркнем еще раз, что Ln — индуктивности, входящие в замк-
замкнутый контур 1г (замкнутую цепь); Мт — взаимные индуктивности,
связывающие контур 1Х с токами Im в других контурах.
Интеграл по замкнутому контуру /х в левой части выраже-
выражения C.6) можно представить суммой интегралов, определяющих
разности потенциалов на активных сопротивлениях и емкостях
контура 1г.
Вектор напряженности электрического поля Е в цепи связан
с вектором плотности тока проводимости J3n в контуре соотноше-
соотношением A.114). Определяя Е из этого соотношения и подставляя
его в интеграл \ Edl, получаем
J^ C.11)
Умножим и разделим дробь, стоящую под интегралом, на пло-
площадь поперечного сечения элементов цепи, обладающих активной
проводимостью:
J^M^r1'*- (ЗЛ2)
Здесь 11—единичный вектор (орт), совпадающий по направле-
направлению с вектором d\ и, очевидно, с единичной нормалью к площади
поперечного сечения.
Поэтому
и ток проводимости в цепи
52

Тогда интегральное соотношение C.11) может быть записано
в форме
Под длиной lv понимают длину элементов цепи, обладающих
активной проводимостью уэ. В соответствии с A.112) выражение
C.13) приобретает вид
UR= С Edl = /8n#. C.14)
Таким образом, найдена часть интеграла по замкнутому кон-
контуру /г, соответствующая разности потенциалов (/# на элементах
цепи, обладающих активной проводимостью. Если таких участков
несколько, то вместо выражения C.14) получим
2 S М1=2/ЭпЛ- (зл5)
Плотность тока смещения Jc в конденсаторах, включенных
в контур /х, определяется соотношением A.129), которое с учетом
формулы A.19) можно записать таким образом:
I _ дЕ
откуда
При этом интеграл у Е dl запишется в виде '
/с
О /с
где /с—длина пути токов смещения, или расстояние между обклад-
обкладками конденсатора.
Умножив и разделив это выражение на площадь обкладок кон-
конденсатора Sc, получаем
1с О /с
Здесь \г—единичный вектор (орт), направленный вдоль пути d\\
JcSclj=;/c—ток, протекающий через конденсатор.
53

Тогда вместо выражения C.16) получим
/с О /с
где
h __¦ 1 .
еа5с - С '
С—емкость конденсатора.
Следовательно, падение напряжения на конденсаторе равно
t
^Ed\ = Uc = ±-^Icdt. C.17)
/с О
При включении в электрическую цепь нескольких конденсато-
конденсаторов выражение следует записать в виде
L Jm^LH7^- (ЗЛ8)
Помимо падения напряжений на индуктивных катушках, резис-
резисторах и конденсаторах в электрическую цепь входят сторонние
разности потенциалов 1/э, создаваемые источниками. При этом, как
обычно, справедливо соотношение
9dl = ?/B. C.19)
При наличии нескольких источников создаваемые ими разности
потенциалов необходимо просуммировать:
± J ЕвЛЛ= 2^ . C.20)
Таким образом, в формировании контурного интеграла Ф Edl
h
в левой части закона Фарадея C.6) в общем случае участвуют
выражения C.15), C.18), C.20). В процессе суммирования разно-
разности потенциалов, создаваемые сторонними источниками, следует
брать с обратными знаками:
Подставляя значения интегралов из формул C.15), C.18), C.20),
получаем
54
р \с dt. C.21)
k=\ р=1 ^=1 4 0 *

Правая часть закона Фарадая C.6) определяется соотношением
C.10). Подставляя в выражение C.6) формулы C.21) и C.10), по-
получаем
k=l p=l g=l ^0 ¦ л=1 m=l
или, опуская часть индексов,
Это соотношение представляет собой второй закон Кирхгофа для
цепи с сосредоточенными постоянными, по которому сумма э. д. с.
сторонних источников тока в замкнутой электрической цепи равна
сумме падений напряжения на ее элементах.
ГЛАВА 4
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
§4.1. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений
векторов поля
Рассмотрим первое и второе уравнения Максвелла для мгновен-
мгновенных значений векторов поля, определяемые уравнениями B.5) и B.6).
Умножая уравнение B.5) скалярно на вектор Е, а B.6) — на
вектор Н и вычитая первое произведение из второго, получаем
HrotE — ErotH = — JMH — умЯ2 —
и — Н J Е у Е2 е — Е, D 1)
В приложении I приводится векторное тождество div [ab] =
^brota—arotb, в левой части которого находится дивергенция
векторного произведения вектора а на вектор Ь.
На основании векторного тождества уравнение D.1) можно
записать в виде
Полученное уравнение называют теоремой Пойнтинга в диффе-
дифференциальной форме для мгновенных значений векторов поля.
Проинтегрируем выражение D.2) по объему т/х, содержащему
все источники сторонних токов, учтенные при написании уравне-
55

ний Максвелла:
[ diw[EH]dV +1 KHdV + 1 V.H4V +1 \ia§HdV +
vt vt \\ vx
[ea§EdV = 0. D.3)
vt -
На основании теоремы Остроградского — Гаусса B.1) и учиты-
учитывая, что векторное произведение
[ЕН] = П D.4)
представляет собой вектор, уравнение D.3) после перегруппировки
членов можно записать в виде
|п,
vt vx vt
J-§EdV = O. D.5)
Уравнение D.5) называют теоремой Пойнтинга в интегральной
форме для мгновенных значений векторов поля, а вектор П — мгно-
мгновенным значением вектора Пойнтинга.
Необходимо определить физический смысл выражения D.5). Для
этого выясним единицы измерения входящих в него интегралов: •
Е —В/м, Н — А/м, .
„ В.А_Вт <4'6>
М2 М2
Таким образом, единицей измерения вектора Пойнтинга является
ватт на квадратный метр. Другими словами, вектор Пойнтинга
представляет собой плотность мощности, или мощность электромаг-
электромагнитного поля, проходящую через поверхность в один квадратный
метр, находящуюся в плоскости, параллельной плоскости, в кото-
/»
рой расположены векторы Е и Н. Интеграл (pUdS, измеряемый
в ваттах, можно трактовать как мощность электромагнитного поля,
проходящую через замкнутую, поверхность Slf охватывающую объем
Vly в котором сосредоточены все сторонние источники 'поля.
Мощность источников поля характеризуется интегралами
J JMttdV и J J9EdV:
Первый интеграл представляет собой мощность, создаваемую
сторонними магнитными токами, а второй интеграл — сторонними
электрическими токами. Эти интегралы берут по всему объему V^,
однако они будут отличны от нуля только в пределах объемов,
в которых существуют плотности токов JM и J3. Возможна ситуа-
ситуация, когда поле создается либо сторонними магнитными, либо сто-
сторонними электрическими токами. Тогда один из интегралов обра-
обращается в нуль.
56

Интегралы \^yMH2dV и J yBE2dV отличны, от нуля, если среда
обладает магнитной и электрической проводимостями. Эти интег-
интегралы можно рассматривать как мощности, расходуемые на нагре-
нагревание среды за счет магнитных и электрических потерь. При нали-
наличии магнитной и электрической проводимостей возникают токи и
соответственно расходуется мощность источников. В практических
случаях иногда можно пренебречь магнитными потерями или элект-
электрическими потерями (или теми и другими), как например, в слу-
случае достаточно совершенных диэлектриков.
Интеграл
Таким образом, в выражение D.5) входит сумма мощностей
источников поля, мощностей потерь, мощностей магнитного и элект-
электрического полей, сосредоточенных в объеме V19 и мощности, выхо-
выходящей за пределы этого объема через поверхность Sx. Эта сумма
равна нулю, что позволяет рассматривать выражение в качестве
уравнения баланса мгновенных мощностей в пространстве,, ограни-
ограниченном поверхностью St. Теорема Пойнтинга D.5) представляет
собой одно из важнейших уравнений электродинамики, с помощью
которого можно производить различные практические расчеты. Так,
например, знание вектора Пойнтинга позволяет определить мощ-
мощность, перехватываемую параболоидами радиотелескопов. Представ-
Представляет большой интерес определение энергии электромагнитного поля,
сосредоточенной в объеме V19 и энергии потерь в среде, что позво-
позволяет, например, рассчитать добротность объемных ^резонаторов
(колебательных контуров, используемых на сверхвысоких частотах).
Энергию электромагнитного поля, запасенную в объеме Vly или
энергию, затраченную на образование этого поля, можно найти
интегрированием по времени выражений D.7), D.8), определяю-
67
— мощность электрического поля, сосредоточенную в объеме У1э
или мощность, затраченную на образование электрического поля.
Полную мощность электромагнитного поля, сосредоточенную
в объеме V19 можно представить как сумму мощностей Рм и Рэ:
характеризует мощность магнитного поля, сосредоточенную в объеме
•Vi9 или мощность, затраченную на образование магнитного поля,
а интеграл

щих мощности магнитного и электрического полей:
t t
Ww = ^Pndt=^^HdVdt. D.10)
о о w
Выражение -щ- dt=dH представляет собой дифференциал поля Я.
Интеграл по времени при этом переходит в интеграл по полю Я.
Допуская, что в момент времени t = 0 поле отсутствовало, а в мо-
момент времени t равнялось Я, выражение для магнитной энергии
можно записать в форме
и
Осуществив внутреннее интегрирование по переменной Я, по-
получаем
^fdV. D.11)
Аналогичные рассуждения справедливы в отношении энергии
электрического поля, мощность которого определяется форму-
формулой D.8):
о vt
. Е
W9=^ ] eaEdEdV9 D.12)
WQ= j -\-dV*. D.13)
Выражения D.11) и D.13) дают значение энергии магнитного и
электрического полей, сосредоточенной в объеме ]/г. Подынтеграль-
Подынтегральные выражения представляют собой объемные плотности магнитной
' ~7М и электрической А1^э энергий:
--^f, D.14)
= 8#. D.15)
В системе МКСА энергии WM и Wь измеряются в джоулях:
Гм-+ Дж, №э^Дж, D.16)
а плотности этих энергий—в джоулях на кубический метр:
ДГм-*Дж/м3, АГэ-,Дж/м3. D.17).
58 . ' .

Полная энергия электромагнитного поля, сосредоточенная в объеме
1Э равна сумме энергий Wu и W3:
^f ^ D.18)
§ 4.2. Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд
векторов поля
В основу рассуждений положим уравнения Максвелла для комп-
комплексных амплитуд векторов поля B.12), B.13).
Раскрывая значения еа и \ха с помощью формул A.159), A.161),
получаем
J E E D.19)
D.20)
Пусть Н*, Jg, Ё* обозначают сопряженные значения комплекс-
комплексных амплитуд векторов Н, Лэ, Ё, т. е. такие их значения, у кото-
которых знаки перед мнимыми частями комплексных амплитуд заме-
заменены на обратные.
Тогда уравнение D.19) для сопряженных комплексных амплитуд
приобретет вид
rot Н* = J* + 7эЁ* —/соеаЁ*. D.21)
В соответствии с правилами перехода к сопряженным значе-
значениям знак перед последним слагаемым в правой части уравнения
D.19) заменен на обратный.
Далее, умножая уравнение D.20) скалярно на вектор Н*, а урав-
уравнение D.21) — на вектор Ё и вычитая из первого произведения вто-
второе, получаем
H*rotE — ErotH* = — JMH* — YmHH* — /co^aHH*—
— J^E — уэЁ*Ё + /соеаЁ*Ё. D.22)
В силу векторного тождества Н* rot Ё — Ё rot Н* = div [ЁН*],
а также того обстоятельства, что произведение комплексной вели-
величины на ее сопряженное значение дает квадрат амплитуды модуля
НН* = | Н |2, Ё*Ё = |Ё|2, выражение D.22) можно записать таким
образом:
div [EH*J + JMH* + JJE + YM I Н |2 + 7э I Ё I2 + /«[ха | Н |2_/соеа |Ё|2 = 0.
D.23)
По аналогии с уравнением D.2) уравнение D.23) называют тео-
теоремой Пойнтинга в дифференциальной форме для комплексных ампли-
амплитуд векторов поля.
Интегрируя полученное уравнение по объему Vt, включающему
источники сторонних электрических и магнитных токов, и исполь-
59

зуя теорему Остроградского—Гаусса B.1), на основании которой
-(f [EH*]dS,
представим уравнение D.23) в интегральной форме:
Si Vx Vt Vt
+ 5 уэ I Ё \*dV + J /©fia| H |W— $ /(oea | Ё |2dl/=0. D.24)
vx vt vt
Первый, второй и третий интегралы в уравнении D.24) пред-
представляют собой в общем случае комплексные величины, т. е. их
можно выразить суммой действительной и мнимой частей. В силу
того что проводимости y? и" ^ — действительные величины и квад-
квадраты модулей |Н|2 и |Ё|2—также действительные величины, чет-
четвертый и пятый интегралы являются действительными. Величины
о), \лаУ |Н|2, еа, |Ё|2 являются также действительными. Следова-
Следовательно, последние два интеграла представляют собой мнимые вели-
величины.
Выражение D.24) по аналогии с D.5) можно рассматривать
в качестве уравнения баланса мощностей в пространстве, но не
мгновенных, а комплексных, активных и реактивных. В разверну-
развернутой форме это выражение, поделенное на два (что имеет, как уви-
увидим далее, определенный смысл), записывается как
§ Re I [EH*]dS + \§\m\ [EH
Vt
Vt Vt
/fi>ea|E|«dV = O. D.25)
Разделяя действительные и мнимые части, найдем отдельно ба-
баланс активных и реактивных мощностей в пространстве:
Vx
+ J 1Tm I H \*dV + J 1 Yal Ё \2dV = 0, D.26)
V V
Vx
60

Рассмотрим более подробно один из интегралов, входящих
в выражение D.26), в частности интеграл \ y3\E\2dV.
В этом интеграле | Ё |2 представляет собой квадрат модуля
комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля.
Составим сходный интеграл: С y3E2dV, в котором Е2 представляет
собой квадрат мгновенного значения вектора Е. Допустим, что
вектор Е изменяется по закону Е = Етсоз(Ы + Ц)Е). Тогда
dV + С ЪЕ*т 1 + cos22(^ + ^ dV.
V
Полученное соотношение характеризует мгновенную мощность,
теряемую в объеме V1 на нагревание среды за счет удельной элек-
электрической проводимости уэ. Усредненную за период мощность можно
получить путем следующего интегрирования:
2я
ТэЕ2 dV dt = ± J j YsE2 d Vd
0 V
2Я
0 Vt
В рассматриваемом случае комплексная амплитуда Ё = Е^е/ф?>,
| Ё | = Е^. Квадрат модуля комплексной амплитуды |Ё|2 = ?2г. Сле-
Следовательно, интеграл
Vi
представляет собой усредненную за период колебаний мощность,
теряемую на нагревание среды.
Интеграл $ Re-у [EH*]dS можно рассматривать как активную,
Si
усредненную за период колебаний мощность, проходящую через замк-
С 1 • Г 1 • •
нутую поверхность S±, а интегралы \ Re-y lJi*dVn \ ReyJgE
vx v,
соответственно как усредненные активные мощности, отдаваемые
источниками сторонних магнитных и электрических токов в объем V±.
Наконец, интеграл \ -z-yM\H\2dV можно рассматривать в качестве
i
6L

усредненной за период колебаний активной мощности, возникающей
при наличии удельной магнитной проводимости, или мощности
потерь в веществе при воздействии на него магнитного поля.
В ряде случаев, когда магнитная проницаемость вещества яв-
является действительной величиной, в соответствии с выражением
A.161)- следует полагать Ym^O» т-е- указанная мощность потерь
отсутствует.
Первый интеграл в выражении D.27) характеризует усредненную
за период колебаний реактивную мощность,4 проходящую через
поверхность Sl9 второй и третий интегралы — усредненные реактив-
реактивные мощности источников сторонних магнитного и электрического
токов. Эти мощности сходны с реактивной мощностью в теории
цепей, возникающей при отсутствии согласования сопротивлений
источников с входными сопротивлениями питаемых ими устройств.
Интегралы \ -^ ща | Н |2 dV, \ у <оеа | Ё |2 dV представляют собой
усредненные мощности, затраченные на создание магнитного и
электрического полей в объеме Vt. По аналогии с выражением D.4)
векторное произведение
-i[EH*]=n D-28)
называют комплексным вектором Пойнтинга, который состоит из
действительной и мнимой частей.
=nfl, D.29)
HilM. D.30)
Дж. Пойнтинг опубликовал свою работу [13] в 1884 г. В 1874 г.
Н. А. Умов [14] ввел понятие потока энергии. Он определил плот-
плотность потока энергии как произведение плотности переносимой
энергии AW^=dW/dV на вектор скорости v. Эта функция носит
название мгновенного значения вектора Умова:
Н. А. Умов вывел важные соотношения для сил давления, вы-
вызываемых потоком энергии. Однако он не занимался вопросом пе-
переноса энергии электромагнитного поля в отличие от Пойнтинга.
Следует четко представлять, что вектор Пойнтинга и вектор Умова—
в общем случае не одно и то же. Эти векторы могут быть равны,
если определить долю общей плотности энергии Д№, участвующей
в переносе и составляющей поток электромагнитного поля. Обозна-
Обозначая эту долю AW19 получим
62

ГЛАВА 5
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА
§ 5.1. Постановка вопроса
В предыдущих главах были обоснованы электродинамические
уравнения, являющиеся математическим выражением эксперимен-
экспериментальных фактов. В данной главе определяются условия, при вы-
выполнении которых решение этих уравнений, полученное каким-либо
методом, можно считать единственным. Обычно теорема единствен-
единственности сначала доказывается для ограниченного объема Vl9 окружен-
окруженного замкнутой поверхностью S19 а затем распространяется на
неограниченный объем.
§ 5.2. Теорема единственности решения уравнений Максвелла
для ограниченного объема
Теорема может быть доказана при соблюдении следующих усло-
условий:
1) в начальный момент времени ^ = 0 заданы значения векторов
поля Е @) и Н @) в пределах всего ограниченного объема Уг\
2) на поверхности S19 ограничивающей рассматриваемый объем
Ух, заданы значения тангенциальных к 5Х составляющие поля
Ет(/) либо Нт(/) в интервале времени t, в течение которого изу-
изучаются электродинамические процессы.
Доказательство теоремы проводится от противного. Пусть имеются
два различных решения уравнений Максвелла для полей Е1Э Нх и Е2,
Н2, удовлетворяющих уравнениям B.5) и B.6). Запишем эти урав-
уравнения для каждого из двух решений:
rotH^Je + TsEi+e.^-. E.1)
rotE^-^-Y^-fx^, E.2)
rotH2^J3 + ?9E2 + ea-^, E.3)
rotEa = -JM-YMH,-|ia^. _ E.4)
Уравнение для первого и втброго решений записаны для одного
и того же объема V1. Векторы поля, соответствующие первому и
второму решениям, создаются одними и теми же сторонними то-
токами. Вследствие этого параметры среды и возбуждающие токи
в записанных уравнениях одни и те же.
В силу справедливости принципа суперпозиции для линейной
среды уравнениям B.5) и B.6) должно удовлетворять третье, раз-
разностное решение:
Eg^Ei—Е2, H3 = Hi — Н2. E.5)
63

Вычитая почленно из уравнения E.1) уравнение E.3) и из урав-
уравнения E.2) уравнение E.4), а также учитывая, что разность рото-
роторов двух векторов равна ротору разности этих векторов, получаем
следующие соотношения:
rot (Ех -Е.) = 7м (Ht —Н2) —Иа | (Н, -Н2),
или окончательно после подстановки в них выражения E.5)
rotH, = YeE. + ea^f E.6)
¦rotE8 = -Yl.H.-|ie-^. E.7)
Как следует из уравнений E.6), E.7), третье решение не имеет
источников поля и не может быть физически реализовано. Рассмот-
Рассмотрим вопрос более строго. -
Поскольку в уравнениях Максвелла E.6), E.7) отсутствуют
сторонние токи, их не будет и в теореме Пойнтинга D.5), записан-
записанной для третьего решения:
^[E3H3]dS
E.8)
Произведение [E3H3]dS представляет собой • проекцию вектора
Пойнтинга на направление нормали к поверхности Sly умноженную
на элемент площади dS. Проекция вектора [Е3Н3] на нормаль к по-
поверхности Sly или нормальная к Sx составляющая вектора Пойн-
Пойнтинга, создается тангенциальными к этой поверхности составляю-
составляющими векторов Етз и Нтз. В силу условия 2), положенного в основу
доказательства теоремы единственности на поверхности Slf зна-
значения тангенциальных составляющих вектора Ех либо Нт заданы
однозначно, следовательно,
ИЛИ
Нт1— Нт2= Нт,
?о__? Е=0 E 9)
или
НТЗ=НТ1—Нт2=0. E.10)
Таким образом, при соблюдении условия E.9) либо E.10) про-
произведение
[E3H3]dS=0 E.11)
и теорема Пойнтинга E.8) могут быть записаны таким образом:
J9 j a dt 3 J a dt 3
vt vt vx
64
1УаЩ

В соответствии с выражением D.9) последние два интеграла
представляют собой мощность магнитного и электрического полей,
сосредоточенную в объеме Ух. Эгу мощность можно представить как
производную по времени от энергии электромагнитного поля W3i
накопленной в объеме Vx;
P = dW3/dt. E.13)
Тогда уравнение E.12) может быть записано в виде
sEldV. E.14)
Vt
Интегралы в правой части при наличии поля #3, Е3 сущест-
существенно положительны. Следовательно, для справедливости равенства
E.14) необходимо выполнение условия
dW3/dt<0 ;. E.15)
либо
dW9/dt = Q. E.16)
В последнем случае поля Я3, Es не существует. По условию
1) доказательства теоремы в начальный момент времени в пределах
всего объема V^ однозначно заданы поля Е@) и Н@). Другими
словами, в начальный момент времени
Ех @) = Е2 @) = Е @), Н, @) = Н2 @) = Н @),
т. е. в начальный момент времени поля, соответствующего третьему
решению, не существует:
E,@) = Ej@)-E,@) = 0, H,(p) = Hf@)-H2@) = 0. E.17)
В начальный момент времени энергия электромагнитного поля,
соответствующая третьему решению, равна нулю в силу соотноше-
соотношений E.17). Дальнейшее уменьшение энергии невозможно, следова-
следовательно, невозможно соблюдение неравенства E.15).
Таким образом, приходим к заключению о справедливости не-
неравенства E.16), что приводит к условию
Е3 = Н3 = 0, E.18)
или с учетом соотношений E.5)
Ei = Eaf H^H^ E.19)
При соблюдении условий 1) и 2) возможно существование только
одного электромагнитного поля, удовлетворяющего уравнениям
Максвелла. Таким образом, теорему единственности решения урав-
уравнений Максвелла для ограниченного объема V± можно считать до-
доказанной.
3 № 644 66

§ 5.3. Теорема единственности решения уравнений Максвелла
для неограниченного объема
В случае неограниченного объема нельзя требовать выполнение
условия 2), так как поверхность 5г находится на бесконечно уда-
удаленном расстоянии и задание тангенциальных к этой поверхности
составляющих поля невозможно. Условие 2) необходимо для дока-
доказательства равенства нулю интеграла ^[E3H3]dS в теореме Пойн-
s,
тинга E.8). Условие 1) может быть задано (обычно в форме нуле-
нулевого условия, т. е. отсутствия поля в начальный момент времени).
Равенство нулю первого интеграла в уравнении E.8) при неогра-
неограниченном объеме Vx сводится к предельному соотношению:
lim df>[E3H3]dS:=0. E.20)
s i-> * Si
Так как площадь Si растет пропорционально второй степени
расстояния г, то это равенство может быть соблюдено, если убыва-
убывание векторов поля с расстоянием происходит по закону
E(r) = E/r*, Н(г) = Н/г*, E.21)
где
k>\. E.22)
При этом следует предположить, что все источники поля нахо-
находятся на конечном расстоянии от начала координат,.
При выполнении условий 1) и E.21), E.22) доказательство тео-
теоремы единственности для неограниченного объема Vi не отличается
от доказательства, проведенного для ограниченного объема. Как
будет показано далее, в свободном пространстве без потерь, в ко-
котором
7м = 7а = 0, E.23)
Еекторы поля убывают пропорционально первой степени расстояния.
С учетом соотношения E.23) теорема Пойнтинга E.8) в этом случае
записывается в виде
f E.24)
Так как все источники поля расположены в пределах объема Vlf
то электромагнитное поле распространяется в направлении к поверх-
поверхности Si, и, следовательно, интеграл в правой части положителен
или равен нулю. Как указывалось, при соблюдении условия 1) до-
доказательства теоремы производная энергии по времени не может
быть отрицательна. Следовательно, справедливо равенство dWjdt = 0,
и рост энергии W3, соответствующий третьему решению, от перво-
первоначального нулевого значения невозможен. Третьего решения не
существует.
66

Для среды с потерями, как будет показано в дальнейшем, соб-
соблюдаются условия E.21), E.22) и теорема единственности также
доказывается.
Можно предложить еще один ход рассуждений, пригодный в том
случае, когда электромагнитные процессы рассматриваются в огра-
ограниченном, не бесконечно большом интервале времени. При этом
поле, распространяющееся в пространстве с ограниченной световой
скоростью, за ограниченный интервал времени не сможет достигнуть
бесконечно удаленной поверхности Sv Таким образом, если время
не бесконечно велико, ^) [E3H3]dS = 0. >
ГЛАВА б
ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
ДЛЯ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ
§ 6.1. Постановка вопроса
Электродинамические уравнения Максвелла представляют собой
при заданных сторонних токах и параметрах среды систему двух
дифференциальных уравнений в частных производных первого по-
порядка с двумя неизвестными векторами Е и Н. Эти уравнения
можно решать либо путем исключения одного из двух неизвестных
векторов поля с последующим решением дифференциального урав-
уравнения в частных производных второго порядка, либо непосредственно.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго по-
порядка, записанное для мгновенных значений какого-либо из векто-
векторов поля, называют волновым уравнением, а для комплексных ам-
амплитуд—уравнением Гельмгольца.
В этой главе рассматривается методика получения волновых
уравнений и уравнений Гельмгольца для векторов поля.
§ 6.2. Волновые уравнения для векторов поля
Система уравнений Максвелла для мгновенных-значений векто-
векторов поля записывается в форме соотношений B.5), B.6).
Для исключения какого-либо из векторов поля, например Е,
берут ротор от обеих частей уравнения B.5), меняя порядок диф-
дифференцирования в последнем члене:
rot rot H = rot Ja + 7э rot E + еа -^ rot E. F.1)
При этом параметры среды полагают постоянными, не завися-
зависящими от координат.
В приложении I приводится векторное тождество rot rot a =
^graddiva—V2a, где V2—оператор Лапласа.
3*
67

Применяя это тождество в уравнении F.1), получаем
graddivH—V2H-rot J3 + Y8rot E + ea-|-rotE.
Далее подставляем в это уравнение значение rot E из второго
уравнения Максвелла B.6):
дН
Группируя члены, меняя знаки на обратные и раскрывая скобки,
находим
V2H — 7Э7„Н — Yah>^—YMea^ — Цае.^г—graddivH =
или
— ц3га _—GэИ,а + уиеа) ^т — Тэ7мН —grad div H =
= — rot J8 + YBJM + e8^-. F.2)
Используя перестановки B.20), получаем уравнение для вектора Е:
Решение уравнений F.2) и F.3) дает возможность при заданных
параметрах среды и сторонних токах определить векторы Н и Е.
Эти уравнения записаны с учетом всех потенциально возможных
факторов, определяющих электродинамический процесс. Обращает
внимание большая сложность правых частей этих уравнений. В даль-
дальнейшем будут показаны пути упрощения правых частей, определяю-
определяющих возбуждение векторов поля.
Для среды без потерь уравнения существенно упрощаются
При отсутствии потерь могут быть легко найдены выражения
для divH и divE. При Ys^Ym^O соотношения B.7) и B.8). с уче-
учетом формул A.19) и A.79) записываются в виде
68

или
divE = —рэ, F.6)
8а
divH-^p,. F.7)
Из уравнений непрерывности B.10) и B.11) следует, что
t
рэ = — $divJ8d*f F.8)
о
t
рм = — J div JM Л, F.9)
о
откуда
t
divE=—MdivJ8d*f F.10)
t
JdivJMd/. F.11)
Подставляя значения divH и divE в уравнения F.4), F.5),
получаем волновые уравнения:
t
V2H-^8a|5 = _i_jgraddivjM^_rotJ3 + ea^) F.12)
о
t
V2E-^8aS = --^-jgraddivJ3^ + rotJM + lia^. F.13)
о - .
Уравнения F.2), F.3), F.12), F.13) используют в случаях,
когда задана система токов и требуется определить векторы поля.
Если исследуются процессы распространения электромагнитных
волн в среде с заданными параметрами и сторонние токи, возбуж-
возбуждающие поле, находятся за пределами анализируемой части прост-
пространства, то правые части указанных~уравнений обращаются в нуль.
Уравнения F.12) и F.13) при этом записываются в форме из-
известных простейших волновых уравнений:
V2H-fiaea^- = 0, F.14)
V2E-^a8a5| = 0. F.15)
В случае статического поля (d/dt = O) волновые уравнения пере-
переходят в уравнения Лапласа:
V2H = 0, F.16)
V2E = 0. - F.17)
69

Представленные уравнения записаны в общей форме, пригодной
для любой системы координат. В конкретной системе координат
оператор Лапласа, приложенный к вектору а, определяют с помощью
тождества V2a = grad diva —rot rot a.
В конкретной системе координат вычисляют операторы grad diva
и rot rot а, что позволяет найти V2a. В приложении I дана фор-
формула для V2a, записанная в криволинейной ортогональной обоб-
обобщенной системе координат. Подставляя значение коэффициентов
Лямэ, можно получить выражения для V2a в любой из конкретных
систем координат.
§ 6.3. Уравнения Гельмгольца для векторов поля
Система уравнений Максвелла для комплексных амплитуд век-
векторов поля записывается в виде соотношений B.12), B.13).
Подвергая первое уравнение операции ротора, находим
rot rot H = rot j9 + /<»ea rot Ё.
Подставляя значение rot Ё из второго уравнения, получаем
rot rot H = rot j з + /С08а (— j м — /О)|ХаН ),
или
rot rot H = rot J3—/(oeaJM4-co2jjia8aH.
Используя тождество V2a= grad diva—rot rot а, получаем
graddiv H — V2H = rot J9 —/co8aJM + coVa8aH,
или после группировки членов
V2H + co2|Ia8aH —grad div H - — rot ja + /coeaJM. F.18)
С помощью выражения B.15) можно раскрыть вид divH:
divH=1J-pM, F.19)
а из уравнения непрерывности B.18) найти рм:
После подстановки рм в выражение F.19) получаем
div H =-i-div JM. F.20)
COjla
Подставляя значение divH в уравнение F.18) и группируя
члены, получаем уравнение Гельмгольца для вектора Н в окон-
окончательной форме:
M— rot J9 + iWa)M. F.21)
@[Ха
70

Уравнение для вектора Ё можно получить с помощью переста-
перестановок B.19):
F.22)
соеа
Уравнения F.21), F.22) представляют собой уравнения Гельм-
гольца и являются неоднородными дифференциальными уравнени-
уравнениями в частных производных второго порядка со сложной правой
частью.
В случаях, когда исследуются процессы распространения электро-
электромагнитных волн и сторонние токи J3 и JM, возбуждающие поле,
находятся за пределами анализируемой части пространства, неодно-
неоднородные уравнения Гельмгольца переходят в однородные уравне-
уравнения вида
a8aH-0, F.23)
аеаЁ = О. F.24)
ГЛАВА 7
РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
§ 7.1. Постановка вопроса
Однородные уравнения Гельмгольца F.23) и F.24) выведены
в предположении, что среда, в которой распространяются электро-
электромагнитные волны, однородна, линейна и изотропна. Эти уравне-
уравнения записаны в общей векторной форме и их решение можно про-
проводить в любой системе координат. Для этого следует раскрыть
оператор Лапласа V2 в кбнкретной системе координат и предста-
представить векторные уравнения Гельмгольца системой скалярных урав-
уравнений. Наиболее простой вид оператор Лапласа имеет в декарто-
декартовой системе координат, что определяет простоту скалярных урав-
уравнений, соответствующих уравнению Гельмгольца. Поэтому изуче-
изучение методов решения уравнений Гельмгольца целесообразно начать,
используя декартову систему координат.
§ 7.2. Определение вида скалярных уравнений,
соответствующих уравнениям Гельмгольца
в декартовой системе координат
В приложении I показан вид операции V2a в криволинейной
системе координат. Подставляя коэффициенты Лямэ, соответствую-
соответствующие декартовой системе координат, получаем выражение для
71

§ 7.3. Плоские волны
Системы скалярных уравнений G.3) и G.4) приобретают наи-
наиболее простой вид в случае плоских волн.
Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль какой-
либо линейной координаты и неизменную в каждый фиксированный
момент времени в плоскости, перпендикулярной этой координате.
72
В этой системе налицо разделение функций, т. е. каждое ска-
скалярное уравнение содержит только одну составляющую вектора Н.
Заметим, что такое разделение возможно только в прямолинейной
(декартовой) системе координат.
Система скалярных уравнений для вектора Ё записывается
аналогично G.3):

Строго плоских волн физически не существует, так как фронт
такой волны, находящийся в плоскости, перпендикулярной направ-
направлению распространения, должен был бы простираться до бесконеч-
бесконечности. В случае источника малых размеров реально существуют
сферические волны, которые при больших значениях радиуса в пре-
пределах ограниченного участка волны можно рассматривать как пло-
плоские. При решении практических задач в ряде случаев представ-
представление электромагнитной волны плоской является разумной идеали-
идеализацией и дает возможность получить ценные сведения о процессе.
Допуская, что вектор Пойнтинга плоской волны ориентирован
вдоль оси z декартовой системы координат:
n-|Re[EH*]^n2, G.5)
можно утверждать, что он должен быть создан составляющими
поля в плоскости ху. Составляющие поля, ориентированные вдоль
оси z, должны отсутствовать. Подобное поле иногда называют
поперечным электромагнитным, полем или полем типа Т. Поскольку
составляющие поля должны быть неизменными в плоскости, пер-
перпендикулярной направлению распространения, т. е. в плоскости
ху, производные по этим координатам должны быть равны нулю.
Таким образом, можно записать следующие математические условия
поставленной задачи:
Ё2^Н2 = 0, Ёх, Ёу, Нх, Нуф0,)
± = ^- = 0 -^о G'6)
дх ду ' дг ~t~ ' )
Системы скалярных уравнений G.3) и G.4) jb частных произ-
производных превращаются в обыкновенные дифференциальные уравне-
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
G.7)
Решение любой пары уравнений, например G.8), может быть
записано в, форме
где
7=«/йЛ G.10)
— коэффициент распространения.
' . ' 73

Если среда обладает электрическими или магнитными потерями,
проницаемости 8а или \ia являются комплексными величинами и,
следовательно, комплексен коэффициент распространения у. Если
первоначально было записано решение уравнений G.8) и введены
постоянные интегрирования Л и В, то при записи решений урав-
уравнений G.7) не следует вводить новых постоянных интегрирования
в силу того, что векторы поля Ё и Н связаны уравнениями Макс-
Максвелла и решение уравнений G.7) может быть записано с помощью
известных решений для составляющих поля Ёх> Ёу. Процесс оты-
отыскания решений для составляющих поля Нх, Ну базируется на
уравнениях Максвелла B.12), B.13).
Принципиально для отыскания вектора Н при известном век-
векторе Ё можно использовать любое из этих уравнений. При исполь-
использовании уравнения B.12), в которОхМ вектор Н находится под зна-
знаком дифференциального оператора—ротора, пришлось бы решать
дифференциальное уравнение для определения вектора Н. При-
Применяя уравнение B.13), необходимо взять только ротор известного
решения, что сделать достаточно просто. Поэтому для отыскания
вектора Н по известному вектору Ё целесообразно применять вто-
второе уравнение Максвелла, а для отыскания вектора Ё по найден-
найденному вектору Н—первое уравнение Максвелла.
В случае плоских волн сторонние токи отсутствуют и система
уравнений Максвелла должна быть записана в виде
, _ G.11)
rot Ё = — /copLaH. G.12)
Из уравнения G.12) следует, что
- L-rotE. G.13)
/0)|Л
В приложении I дано следующее выражение для ротора в де-
декартовой системе координат:
у дг ) ' У \ дг дх J ' z \ дх ду
С учетом соотношений G.6) можно записать выражение для
rot Ё:
¦**--«.¦?+•.?
«.¦?+•.•?•
Подставляя значение rot Ё в G.13), получаем формулу для век-
вектора Н:
1 dEy \ dEx
HSS GЛ4)
74

Следует обратить внимание на то, что составляющая поля Нх
формируется за счет ортогональной к ней составляющей Еу, а состав-
составляющая поля Ну—ортогональной к ней составляющей Ёх. Состав-
Составляющие поля НХ1 Ёу и Ну, Ёх образуют векторы Пойнтинга, на-
направленные вдоль оси z, определяющие распространение электро-
электромагнитных волн в заданном направлении. Используя выражения
G.14) и G.9), можно получить соотношение для составляющей
поля Нх:
х (
/СО[Ла
Подставляя значение у G.10), получаем
Нх = J_, (- В,е
V |^а/ва
Далее, вводя обозначение
Ze = VJjli, G.15)
выражение для Нх можно переписать в виде
H^z-i-Bp-lv + B^*). G.16)
Аналогично находят соотношение для составляющей поля Ну\
G.17)
Определим единицы измерения величины Zc:
7— -в/"и* 1//"Гн-м __ -i/Fh"
Z^- у ^" "^ ^ 1;г^" ~~ V ~ф ф
В силу того что coL—>Ом = Гн/с и -^-—> Ом = с/Ф,
Гн = Ом-с и Ф = с/Ом.
Следовательно,
Величина Zc измеряется в омах и называется характеристиче-
характеристическим сопротивлением среды.
Подставив выражения A.159) и A.161) в формулу G.15), полу-
получаем
Представив еа и |Га в виде
ьа~-|ьа|е > ^а—| Га I е f \l .?\J)
75

где
|еа |= у е| + № )\ ae = arctg ~- , G.21)
|?а|= V^^ + firJ' ад^arctSjp-» G.22)
находим
В среде с потерями волновое сопротивление является комплекс-
комплексной величиной. Углы а^ и а8 называются углами магнитных и
электрических потерь.
Как следует из формул G.9), GЛ6), поведение плоских волн
в значительной степени определяется коэффициентом распростра-
распространения у. С учетом выражений G.10), G.20) можно записать
G.24)
Y = co/j]ij^(cos^_,sin^). .G.26)
Таким образом, в общем случае коэффициент распространения
является комплексным. Как всякая комплексная величина, он
может быть представлен суммой действительной и мнимой частей:
Y = P-/a,- G.26)
где
Р = шУ^Ц^Л^ГТ cos fV+L*? G.27)
— фазовая постоянная, а
сс=со/~|^а||еа| sin^J^ G.28)
— постоянная затухания, или амплитудная постоянная.
Смысл этих названий становится ясным после подстановки ра-
равенства G.26) .в какое-либо из выражений для составляющих поля,
например в выражение для Ёх G.9):
Ё х= Лхе+ 2 ^+
+ A2ei <P-/a> z~-= A±e-aze~^z + Л2еаге^2. G.29)
Из этого выражения следует, что коэффициент а .влияет на
амплитуду составляющих поля, а коэффициент, р определяет фазу
колебания. Как видно из выражений G.21), G.22), для среды
с потерями модули |еа|, ||ха| и углы потерь а8, а^ являются функ-
функциями частоты со. Следовательно, функцией частоты является коэф-
коэффициент распространения у.
76

Полученные решения для составляющих поля содержат два сла-
слагаемых с двумя постоянными интегрированиями. Математически
это определяется тем, что решались дифференциальные уравнения
второго порядка. Необходимо выяснить физический смысл каждого
из слагаемых. Для этого целесообразно перейти от комплексных
амплитуд к мгновенным значениям векторов поля. Такой переход
может быть осуществлен с помощью формул A.157). Положив
в основу рассуждений выражение G.29), получим
Ех (t) = Re (Ёхе№) = Re (Аге~ <**
= Лге-аг cos (cot — рг) + A2eaz cos (cot +'рг). G.30)
Рассмотрим аргументы косинусов at— pz и со^ + Р^- Зафиксируем
время t = t1 и точку на оси z = z±. Тогда первый аргумент или
фаза примет значение со^—р^ и второй аргумент—соответственно
(o^ + P^i- Давая времени t приращение dt, найдем, на какое рас-
расстояние dz переместятся точки с фазами со^—pzx и со^ + р^, т.е.
потребуем соблюдения равенств:
Сокращая одинаковые члены, получаем
со dt — р dz = 0, adt + $dz
откуда
dd = a)/fi и dz/dt = —
Производные .dzldt — v$ представляют собой скорость перемеще-
перемещения фиксированного значения фазы вдоль оси z. Эту скорость на-
называют фазовой скоростью. Фазовая скорость, соответствующая
фазе со?—рг, определяется выражением
*0ф = ю/р. G.31)
Эта скорость положительна, т. е. первое слагаемое в выражении
G.30) соответствует волне, распространяющейся в сторону положи-
положительных значений оси z. Это так называемая падающая волна.
В среде с потерями амплитуда этой волны убывает по мере про-
продвижения по закону е~а2.
Подставляя общее выражение для р ij.21) в формулу G.31),
получаем
или
--ттшНр" G32)
Для среды с потерями знаменатель этого выражения зависит от
частоты со.
77

Таким образом, в средах, обладающих дисперсией, фазовая ско-
скорость является функцией частоты.
Фазовая скорость, соответствующая фазе со^+рг, определяется
выражением
1;ф= —со/р. G.33)
Эта скорость отрицательна, т. е. второе слагаемое в выражении
G.30) соответствует волне, распространяющейся в сторону отрица-
отрицательных значений оси г. Это так называемая отраженная волна.
Она возникает тогда, когда на пути падающей волны существует
препятствие, отражающее всю волну или ее часть в обратном на-
направлении. Если препятствия нет, то нет и отраженной волны.
Постоянная интегрирования А2 при этом должна равняться нулю.
Существует лишь одна падающая волна. При возникновении отра-
отраженной волны ее амплитуда Л2еа2°, где z0—координата отражаю-
отражающего препятствия, определяемая амплитудой падающей волны
А^-ыо и условиями отражения. При этом справедливо соотношение
Л2еа2о =M°A1e-azo. G.34)
Коэффициент М°, который в" общем случае является комплекс-
комплексной величиной, называют коэффициентом отражения.
В поглощающей среде амплитуда отраженной волны должна быть
наибольшей у отражающего препятствия и уменьшается по мере
удаления от него, т. е. по мере уменьшения координаты г. Это
определяется множителем еа2, который имеет наибольшее значение
при максимальном значении координаты г = г0У соответствующем
месту расположения отражающего препятствия. Указанный множи-
множитель уменьшается по мере уменьшения координаты г, т. е. по мере
распространения отраженной волны в обратную сторону —к нача-
началу координат.
С помощью соотношения G.34) постоянную интегрирования А2
можно выразить через постоянную Aif если известен коэффициент
отражения Л1°. Тогда в выражении G.30) для составляющей поля
Ех остается неизвестной лишь одна постоянная интегрирования Ах,
являющаяся амплитудной постоянной, которую принципиально не-
невозможно определить, поскольку в исходные уравнения Гельмгольца
не были введены сторонние тбки.
§ 7.4. Групповая скорость
Как известно, с помощью монохроматического колебания нельзя
передавать информацию. Передача информации неизбежно связана
с модуляцией и спектром частот. Спектр частот может быть дискрет-
дискретным или непрерывным в зависимости от вида модуляции и сигнала.
Скорость распространения группы электромагнитных волн, облада-
обладающих спектром частот, несущих передаваемую информацию, назы-
называют групповой скоростью.
78

Групповая скорость в случае дискретного спектра частот. В слу-
случае дискретного спектра частот комплексные амплитуды векторов
поля содержат ряд различных частотных составляющих. Комплекс-
Комплексная амплитуда вектора Ё^ падающей волны при этом с учетом вы-
выражения G.29) записывается в виде формы
Рп2 G.35)
а0, ах, а2, ..., ап\ ро, р^, р2, ..., р„ —постоянные затухания и
фазовые постоянные, определяемые формулами G.27), G.28) и соот-
соответствующие частотам дискретного спектра соо, сох, со2, ..., cott.
Для перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям
векторов используют формулы вида A.157). При этом выражение
G.35) переходит в соотношение
Ех (t) = Re (Exoe~a°ze-/Po*e/^ + ExlQ~a^z e~^z e^^ +
Выделяя в качестве множителя колебание основной частоты
спектра соо, получаем
Е,, (/) = Re <Zey «°о<-Эо*) <EAroe-ao^ + E^e-^i2 x
Xe/{(©i-©o)^-Oi-PoJ}^? e-a,ze/{(fi>«-©o)'-Oi-PoJ} .
+ ... +Ё^е-а«ге/{(@"-°)^"(^-^J}>->. G.36)
Вводя обозначение
-«>* е7' {<<в«-«>о)^(Э,-РоJ} + ... +
е-^2 е'' {(^-соо)^(Рл-ро),} = р^ (? 37)
получаем
Ex = Re{Fe/<®o^-3o2)}. G38)
Составляющие поля, несущие информацию, связаны с частотами
спектра со^ со2, ..., а>п. Эти составляющие заключены в векторе F.
Определим скорость распространения этого вектора вдоль оси г.
Функцию F можно представить в виде
F = ЁЛое-«»г + Ех1е-«>* е <р1~Ро) \ёТ=Р7 *~г) +
G.39)
где фазовая постоянная р определяется выражением G.27).
79

В некотором приближении коэффициент (J можно считать про-
пропорциональным частоте со. Тогда при достаточно узком спектре
может быть записано следующее приближенное равенство дробей:
l—-сор ^ со2 —со0 ^ ^ (о„ —сор __ Дш ^ d®
G.40)
С некоторой степенью точности эти дроби можно приравнять
производной dco/d|3, взятой при (о = со0, Р = C0. Легко определить
единицы измерения этой производной:
м
Производная dco/d|3 измеряется в тех же единицах, что и скорость.
Вводя обозначение
=coo=t% G.41)
> —Ро
и используя его в выражении G.39), получаем
F = Exoe-aoz + Ё^е-^2 e/(Pl"Po) {vt^-z) + EX2e~a^ е/(Э2"о)(угр^г) + ... +
+ Ё^е-а"ге/(р"~ро)(^-2). G.42)
Зависимость функции F, заключающей в себе передаваемую ин-
информацию, от координаты z определяется разностью vTVt—г.
Зафиксируем время t=tx и точку на 0^.2 = 2?!. Тогда разность
vTVt — z получит определенное значение vTXitx — z^. Дадим времени tt
приращение At и определим новое положение точки на оси z-\-dz,
при котором значение разности останется прежним. Для этого соста-
составим равенство ,
откуда
vrvdt = dz, dz/dt = vTp. G.43)
Таким образом, игр определяет скорость перемещения фиксиро-
фиксированных значений функции F вдоль оси z. Говоря иначе, vTV опре-
определяет скорость перемещения вдоль оси z группы составляющих
спектра частот, несущего информацию. Поэтому величина vrv> полу-
получила название групповой скорости.
Фазовая скорость определяется соотношением G.31). Если среда
не обладает дисперсией, то фазовая скорость не зависит от часто-
частоты со. При этом для частот спектра соо, о)х, w2, ..., со„ справедли-
справедливо соотношение
откуда
<»о=^фР0, со1 = уфр1, со2 = ^фр2, ..., соя = уфр„. G.45)
80

Подставляя выражение G.45) в G.40), получаем
Pi —Ро Р2~Ро Ря —Ро ~р &
Отсюда следует, что v$ = vrp, т. е. в среде, не обладающей дис-
дисперсией, групповая скорость равна фазовой скорости.
Групповая скорость в случае непрерывного спектра частот.
В случае непрерывного спектра частот векторы поля могут быть
представлены с помощью обратного преобразования Фурье A.29).
Для плоской волны аргумент со? в показателе степени заменяется
на Ы—|3г и обратное преобразование Фурье записывается в форме
GHHe>(«"-P*><fc>. G.46)
В случае диспергирующей среды фазовая постоянная C является
функцией частоты со. В сулу этого C может быть разложена в ряд
относительно основной частоты со0. Если спектр узкий, то в разложе-
разложении можно ограничиться двумя первыми членами ряда:
=0О (со—©0). G.47)
Используя соотношение G.41), получаем
« р0 + . ^ G.48)
Тогда
pjf (со^—|3г) __ ?
/ (со-ш
р/ (соо^--8о2) р игр /7 d.Q^
Подставим соотношение G.49) в G.46)
/ (D~@°
E@=2S ) Оя(со)е^шо'-Ро*>е &гр dco. G.50)
— со
Введем обозначение
^jGHe^p гр d(o = F1(t»rp<_2!). G.51)
Тогда выражение G.50) можно представить в виде
Функция Fx(t;rp/—z) играет роль амплитуды колебания, несу-
несущей информацию.
81

Точки фиксированного значения функции F^i^ —z) переме-
перемещаются вдоль оси z со скоростью игр.
Таким образом, в случае дискретного и непрерывного спектров
частот скорость передачи информации вдоль оси z равна групповой
скорости, определяемой формулой G.41).
§ 7.5. Распространение плоских волн
в различных средах
Рассмотрим распространение плоских волн в трех характерных
средах: вакууме," среде с потерями и металле.
Распространение плоских волн в вакууме. В вакууме jxa = ^х0 =
= 4я-10-7 Гн/м, е~а = е0 = -^.10-9 Ф/м
V^)~=|3, а==0.- G.52)
Таким образом, в вакууме плоская волна не испытывает зату-
затухания. Фазовая скорость
с0, G.53)
где с0—скорость света в вакууме.
В вакууме фазовая скорость равна скорости света и не зависит
от частоты, следовательно, вакуум является недиспергирующей сре-
средой. Групповая скорость
dco
- -, ((D
> = Ро
В вакууме, как и должно быть, в случае недиспергирующей сре-
среды групповая скорость равна фазовой скорости.
Если вакуум заменен идеальным диэлектриком с параметрами
8а,(да, то коэффициент распространения
Г, G.54)
а фазовая и групповая скорости равны друг другу:
Здесь с—скорость света в среде с параметрами (ia, еа.
Распространение плоских волн в среде с потерями. Для среды
с потерями справедливы соотношения G.27), G.28). Электромагнит-
Электромагнитная волна испытывает затухание, определяемое величиной потерь.
Фазовая скорость
°>=1-тжтЬ^- G56)
82

Поскольку все величины в формуле G.56) являются функциями
частоты, фазовая скорость также является функцией частоты, что
указывает на существование дисперсии.
Групповая скорость
d® __ J_ _ 1
dec ®=$°
G.57)
Групповая скорость в этом случае не равна фазовой. Зависи-
Зависимость фазовой скорости от частоты приводит к различным скоростям
распространения фазы составляющих частотного спектра, в резуль-
результате чего сигнал в среде с потерями испытывает искажения.
В дальнейшем будет показана возможность существования элек-
электродинамических сред, не обладающих потерями, но являющихся
диспергирующими.
Распространение плоских волн в металлах. Для хорошо проводя-
проводящих металлов, даже при самых высоких частотах, используемых в
настоящее время в радиотехнике, соблюдается неравенство
а = е0. G.58)
Покажем справедливость этого утверждения, взяв в качестве
примера медь и колебание с длиной волны X—l мм = 10~9 м.
Для меди Gэ^5-107 См/м)
Таким образом, с большой степенью точности можно считать, что
*>-/?. G-59)
Тогда постоянная распространения при Aа = ца:
Так как — / = е 2 =cos-^ — /sin-^-, то
(cos ~/sin j
и окончательно
-/). G.60)
83

Для металлов справедливо равенство
|Э = ОС= I/ s—• (/.01;
Фазовая скорость
0) СО
Групповая скорость
1 1
(при eo = i
@ = С00
или после дифференцирования
/^ G-63)
Таким образом, групповая скорость в два раза выше фазовой.
При
уэ—^ оо а—^оо. G.64)
В идеально проводящем металле затухание поля бесконечно ве-
велико, вследствие чего поле равно нулю. При
уэ->оо Е; Н->0. G.65)
На основании соотношения G.58) в металле можно пренебречь
токами смещения по сравнению с токами проводимости и первое
уравнение Максвелла B.12) записать в виде
« 39 + уЛ- G-66)
Рассматривая в качестве поля Н составляющую Ну падающей
волны G.17), можно написать
G.67)
Подставляя значение rot H^ в уравнение G.66), получаем
84

или
/ ii (P - /а) е-« е-/Э* - Л* + Y А- _ * G-68)
1
В правой часта выражения G.68) находится сумма плотностей
стороннего электрического тока и тока проводимости. Плотности тока
убывают, так же как и поле, по закону е~аг. Однако в силу того,
что в левой части а является множителем, невозможно сразу ска-
сказать, как будут изменяться плотности токов при стремлении а к бес-
бесконечности в идеальном металле.
Для выяснения поведения плотностей токов преобразуем выра-
выражение G.68). Прежде всего с помощью выражений G.15) и G.59)
определим вид характеристического сопротивления Zc для металлов:
I/ ' (О
G.69)
С учетом выражений G.69) и G.61) соотношение G.68) можно
переписать в виде
ИЛИ
G70)
В случае идеального металла уэ стремится к бесконечности.
К бесконечности стремится числитель и знаменатель левой части
выражения G.70). Раскроем неопределенность в выражении
2 по правилу Лопиталя:
lim
85

Применяя правило Лопиталя повторно, получаем
G.71)
2
Таким образом, раскрытие неопределенности в левой части вы-
выражения G.70) показывает, что плотности токов в идеальном ме-
металле стремятся к нулю при любом сколь угодно малом значении г,
и при стремлении z к нулю плотности токов возрастают до бесконеч-
бесконечности. Другими словами, в идеальном металле ток протекает в слое
нулевой толщины и его плотность бесконечно велика. Это явление
называют поверхностным эффектом или скин-эффектом.
Рассматривая распространение электромагнитного поля в реаль-
реальных металлах, вводят понятие глубины проникновения поля в ме-
металл, под которой понимают расстояние, обеспечивающее затухание
поля в е = 2,718 раз. Математически это условие можно выразить
таким образом: e~ad = — = е-1, откуда для глубины проникно-
проникновения d можно записать [см. выражение G.61)]
2 G.72)
§ 7.6. Поляризация плоских волн
Под поляризацией понимают закон изменения направления и
величины вектора напряженности электрического поля в данной
точке пространства за период колебания. Взяв за основу падаю-
падающую волну, определим возможные случаи поляризации плоских
волн.
На основании соотношений G.9) запишем следующие выражения
для составляющих поля падающей волны:
Постоянные Ai и Bi могут быть комплексными величинами, т. е.
В среде с потерями коэффициент распространения является
комплексным, вследствие чего составляющие поля записываются
в виде
86

Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям,
получаем
Введем обозначения
Ф = Ф*—Фу. Ф = ©* —р*. G.74)
Разделив выражения G.73) на модули | Лх(, \Bi\ и используя
обозначения G.74), получаем
= e~az cos (i|)-(- tpx) cos ф -f-e*062 sin (i|) + Ф*) sin ф = -.*v.; cos ф +
8Шф,
или
/¦-(та
Возводя это выражение в квадрат, находим
откуда
— e 2az sin ф — u. G.75)
Составляющие Ex(t), Ey(t) вектора напряженности электриче-
электрического поля можно рассматривать как координаты конца вектора
E(t) на плоскости ху. Положение этого вектора определяет харак-
характер поляризации поля. Упростим запись выражения G.75) путем
введения следующих обозначений:
Ey(t)-=y, Ex(t) = x, ¦^-jr = ai» —j-gjj • J^Tj"cos Ф = a2»
:a3, —e-2a2sin^-a4. G.76)
Mil2
87

Тогда выражение G.75) запишется как
агу2 + 2а2ух + а3х2 + а4 = 0.
G.77)
Полученное выражение представляет собой уравнение кривой
второго порядка в координатах у = Е„(г) и x = Ex(t). Таким обра-
образом, в общем случае конец вектора E(t) перемещается по кривой
второго порядка. В аналитической геометрии показывается, что
характер этой кривой определяется знаком детерминанта:
а2 а3
= а1а8 —а! =
1
COS2 ф
(I
MilJ (IfiiI \MIJ
G.78)
Если детерминант больше нуля, то кривая представляет собой
эллипс или, в частном случае, окружность. Если детерминант равен
нулю, то эллипс вырождается в прямую линию.
Рассмотрим возможные случаи:
1) 0 < | Ф | < зх/2 или 0<|ф*—фу|<я/2. G.79)
Детерминант больше нуля, конец вектора E(t) перемещается
по эллипсу, возникает эллиптическая поляризация. Составляющие
Ex{t), Ey{t) вектора Е(^) изменяются, как видно из выражения G.73),
в результате изменения времени t и координаты г. И то и другое
вызывает вращение вектора E(t) по эллипсу (рис. 7.1 и 7.2). В по-
поглощающей среде при а^=0 размеры эллипса по мере продвижения
вдоль оси z уменьшаются.
2) МНг.
1
\Ау\
G.80)
Уравнение G.75) записывается в форме
Y)= | Л± |2е-2<Х2;. G.81)
Это уравнение представляет собой уравнение окружности. В не-
поглощающей среде при а=0 радиус окружности постоянен. В по-
поглощающей среде радиус окружности, равный | Аг |e~az, уменьшается
с продвижением вдоль оси z. Возникает круговая поляризация,
конец вектора Е (t) при изменении времени t и координаты z вра-
У
Рис. 7.1
Рис. 7.2
88

щается по окружности.
3) ф = 0. G.82)
Уравнение G.75) записывается в виде
или
Ey(t) = i^lEx(t). G.83)
Это уравнение является уравнением прямой линии, наклон ко-
которой к осям определяется угловым коэффициентом * . При этом
вектор Е (t) неподвижен в пространстве при изменении времени t
и координаты г. Возникает линейная поляризация.
§ 7.7. Ортогональность векторов E(f) и Н (/)
Составляющие поля падающей плоской волны можно найти с по-
помощью соотношений G.9), G.16), G.17):
4, у^,
=_^е-№ Н =*±-е-!У* G*84)
7 > U — 7 •
Для поглощающей среды справедливы формулы G.23), G.26).
Амплитуды Л1 и Bt могут быть комплексными:
ЛН^Пе'Ч fli = | ВИе^. G.85)
Тогда для комплексных амплитуд векторов Ё и Н можно за-
записать
Ё = 1Х | Л11 е/ф^е-аге-/рг +1J fii | e/<pBe-aV/f3% G.86)
в.1
1 —Т~4 G.87)

Умножив комплексные амплитуды на е/о)' и взяв действительные
части, получаем мгновенные значения векторов поля:
\у | В, |e-«cos И-рг + фв), G.88)
G.89)
Для определения ортогональности векторов E(t) и H(t) доста-
достаточно написать их скалярное произведение. Если скалярное про-
произведение равно нулю, то векторы ортогональны:
¦Е(*)Н@= Millet е-""cos(of—р
/lM
eal
а) G.90)
Так как cos % cos г|з2¦ = -j {cos (^—|Фг)+соз('ф1+'ф1!)}, то
leal
(^^)} G.91)
Поскольку cos является четной функцией, из выражения G.91)
следует, что скалярное произведение равно нулю и мгновенные
значения векторов. Е (t) и Н (t) ортогональны в следующих случаях:
а) в среде нет потерь: a^^ocg^O;
б) потери таковы,.что а^ = аг и (а^ — ае)/2 — 0;
в) фазы амплитуд одинаковы: Фл = Фв-
90

ГЛАВА 8
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ
§ 8.1. Постановка вопроса
При решении практических задач приходится постоянно сталки-
сталкиваться с ситуацией, когда параметры среды скачкообразно изме-
изменяются от одних значений до других. Подобная ситуация возникает
при введении в однородную среду диэлектрических, полупроводя-
полупроводящих и металлических поверхностей, при передаче электромагнитных
волн с помощью волноводов, при решении задачи радиолокации
и во многих других случаях. Следует ожидать, что скачкообразное
изменение параметров среды может повлечь за собой такое же изме-
изменение векторов поля, что в свою очередь вызовет появление беско-
бесконечно больших производных этих векторов по координатам. При
этом значение роторов векторов поля, входящих в уравнения Макс-
Максвелла, станут бесконечно большими и непосредственное использо-
использование этих уравнений для решения электродинамических задач
будет затруднено.
Очевидно, необходимо знать законы поведения векторов поля
на границе раздела двух сред, так называемые граничные условия.
Эти законы выводят из уравнений электродинамики с помощью
следующего приема. Границу раздела двух сред полагают обла-
обладающей некоторой малой толщиной, в пределах которой происходит
не скачкообразный, а непрерывный переход от параметров первой
среды к параметрам второй среды. Такое же непрерывное измене-
лие происходит и с векторами поля. При этих допущениях прово-
проводят анализ процесса, используя имеющиеся уравнения электродина-
электродинамики. Далее, устремляя толщину границы раздела к нулю, осу-
осуществляют предельный переход и получают граничные условия,
определяющие поведение векторов поля на границе раздела.
Поскольку любой вектор поля, произвольно ориентируемый отно-
относительно границы раздела, можно представить в виде суммы нормаль-
нормальной к границе и тангенциальной к ней составляющих, анализ осуще-
осуществляют раздельно для нормальных и тангенциальных составляющих
поля, что существенно облегчает задачу.
§ 8.2. Граничные условия для нормальных составляющих
векторов поля
Рассмотрим границу раздела двух сред, первая из которых обла-
обладает параметрами (iai, eai, а вторая — параметрами jia2, еа2. Допус-
Допустим, что толщина границы раздела равна Ad (рис. 8.1).
В этой границе выделим небольшой объем высотой Ad с пло-
площадью верхнего и нижнег® оснований AS. Пусть единичной нор-
нормалью к верхнему основанию является lni, а единичной нормалью
к нижнему основанию 1и2. В основу рассуждений положим интег-
интегральное соотношение A.165).
91

Лербая среда
Граница
раздет
Вторая среда
flat* &ai
Рис. 8.1
В качестве поверхности St
возьмем замкнутую поверхность,
ограничивающую объем, распо-
расположенный в границе. Значение
вектора Ё в первой среде пола-
полагаем равным Ё1? значение век-
вектора Ё во второй среде—Ё2.
В силу малости площадей ос-
оснований AS считаем, что в пре-
пределах этих оснований векторы
Ei и Ё2 можно считать неиз-
неизменными.
При этих условиях выра-
выражение A.165) может быть за-1
писано в форме
Si
где t|)f($ — доля потока, проходящего через боковую часть поверх-
поверхности Sj.
При Ad—>() fe—*0, и для бесконечно тонкой границы раздела
справедливо соотношение
(^Ei^i + ^l^ASV^.
еаЁ dS =
При выбранном на рис. 8.1 направлении векторов Ё? и Ё2 можно
написать
Тогда
еаЁ dS - (- еа1
откуда
AS =
= Qa/AS = оэ.
Легко определить единицы измерения аэ:
аэ~-Кл/м2.
(8.1)
(8.2)
Величину аэ называют комплексной амплитудой поверхностной
плотности сторонних электрических зарядов.
Выражение (8.1) является граничным условием для векторов
Ё
и Ё
2„.
i» 2„
Если на границе раздела нет поверхностной плотности электри-
электрических зарядов (аэ = 0), то
92

или
Ej?in = *4l**- С8'4)
В общем случае нормальные составляющие векторов Ef и Ё2 при
переходе через границу раздела испытывают скачкообразные изме-
изменения.
Применяя свойство перестановочной двойственности электроди-
электродинамических уравнений в выражении (8.1):
Е\п *""ln> ^2п у^2п* еа1 * M'ai»
получим следующие граничные условия для нормальных составляю-
составляющих векторов Н? и Н2:
-kiUin + Va2H2n = QjkS = ^. (8.5)
Определим единицу измерения ам:
Величину стм называют комплексной амплитудой поверхностной
плотности сторонних магнитных зарядов.
При отсутствии на границе раздела поверхностной плотности
магнитных зарядов (аи = 0) выражение (8.5) записывается в виде
В общем случае нормальные составляющие векторов Hf и Н2 при
переходе через границу раздела испытывают скачкообразные изме-
изменения.
§ 8.3. Граничные условия для тангенциальных составляющих
векторов поля
Рассмотрим боковую часть граничной поверхности толщиной Ad
(рис. 8.2). В основу рассуждений положим интегральное соотноше-
соотношение A.160).
В качестве контура обхода lt выберем малый контур со сторо-
сторонами Ad и ДА. Введем тангенциальные к границе раздела единич-
единичные векторы 1Х1 и 1Т2 и нормальный к плоскости контура обхода
единичный вектор \п. Кроме того, введем единичный вектор 1Л1,
направленный в сторону первой среды и нормальный к границе
раздела. В силу малости контура обхода положим неизменными
векторы Hf и Н2 в пределах сторон ДА контура обхода. Запишем
выражение A.160) при принятых допущениях:
h
где Tau—доля интеграла при обходе сторон Ad контура обхода.
93

При Ad—>-0
0 и интеграл
i = lim (ja
Ad -> 0
/шваБ)
При принятых на рис. 8.2 направлениях векторов поля можно
написать равенства
Н11Т1 = #1Т, Н21Т2 = — Я2Т,
где //it, #2т—тангенциальные составляющие векторов Н1? Н2.
Раскрывая выражение для еа с помощью формулы A.159), по-
получаем
Н1Х—Нгх= lim (J3 + /(oeaE + YaE)Adlw. (8.8)
Ad-> 0
Функция /соеаЁ всегда конечна в силу ограниченности частоты
со и вектора Ё, поэтому
lim Ei
При конечных значениях вектора плотности тока )э и прово-
проводимости уэ, что соответствует всем возможным средам, за исклю-
исключением идеальной металлической среды, справедливо соотношение
lim (J8 + YeE)Adln = O
Ad -> О
и граничные условия для тангенциальных составляющих векторов
Нх и Н2 записываются в форме
Н1% = Н2Х. (8.9)
Лерда* среда
Л'аи
H
| j Граница
• раздела
Тангенциальные составляющие векторов Н^ и Н2 при переходе
через границу раздела не испытывают изменений. В идеально про-
проводящей среде вследствие поверх-
Ht ностного эффекта (см. § 7.5) плот-
плотности стороннего электрического
тока ja и тока проводимости уэЕ
возрастают до бесконечности:
| Ad -> О
=v9S. (8.10)
Здесь va — комплексная амплиту-
амплитуда плотности поверхностного сто-
Втораясреда ^ \х[ / роннего электрического тока; v3n —
комплексная амплитуда плотности
поверхностного электрического то-
Рис 8.2 ка проводимости; v3S—комплекс-
Ah ^
94

ная амплитуда плотности суммарного поверхностного электрическо-
электрического тока.
Легко установить единицы измерения плотностей поверхностных
токов:
А-м А /о 11\
v9, v3n, v92~^-1^- = —. (8.11)
Для идеальной металлической среды, как было показано в § 7.5,
поле в металле равно нулю, что соответствует выражению
#2т = 0. (8.12)
Граничные условия для тангенциальных составляющих (8.8)
в случае, если вторая среда является идеальным металлом, запи-
записываются таким образом:
//lt = Va + V9n = V3S. (8.13)
Если стороннего электрического тока нет, то справедливо соот-
соотношение
#1Т = V9n. (8Л4)
Учитывая, что ток и созданное им поле связаны правилом пра-
воходового винта, выражение (8.13) можно записать в векторной
форме:
H1T=[(va + v3n)lwl] = [v3SU (8.15)
и при отсутствии стороннего тока
H1x = [v3nlnIJ- (8-16)
Использование перестановок вида
где
н„-
->-Eit»
умп
Н2т-
-vMn,
-Jim
lim
->E2T
v3S-
0
(TMH
^
Adi
—>
-Vm:
„).
—vK,
s,
(8.
(8.
17)
18)
дает граничные условия для тангенциальных составляющих век-
векторов электрического поля Et и Ё2.
Для всех сред, за исключением воображаемых сред с беско-
бесконечной магнитной проводимостью ум и случая введения в расчет
плотности стороннего тока vM, справедливы граничные условия,
получаемые в результате перестановок вида (8.9):
Ё1Х = Ё2Х. (8.19)
95

Тангенциальные составляющие электрического поля при переходе
через границу раздела не испытывают изменений.
При введении в расчет стороннего магнитного тока и вообра-
воображаемой среды с бесконечной магнитной проводимостью ум (что яв-
является удобным искусственным допущением для полного примене-
применения принципа перестановочной двойственности) в результате пере-
перестановок вида (8.13) можно записать соотношение
?ix--vM-vMn = -vM2. (8.20)
Если, как часто бывает, сторонний магнитный ток в расчет не
введен и среда обладает конечной магнитной и бесконечно большой
электрической проводимостями (уэ—>оо), то
?it = 0, (8.21)
поскольку при л?э—>оо Ё.21; = 0 и поля во второй среде нет.
У поверхности идеального металла не может быть тангенциаль-
тангенциальных составляющих электрического поля при отсутствии стороннего
магнитного тока.
Таким образом, если вторая среда представляет собой идеаль-
идеальный металл, у ее поверхности существуют только нормальная сос-
составляющая поля Ё и тангенциальная составляющая поля Н. Век-
Вектор Пойнтинга D.28) ориентирован при этом вдоль границы раздела
первой среды с идеальной металлической средой.
Аналогично соотношению (8.14) граничные условия для металла
(8.18) при введении в расчет сторонних магнитных токов и вооб-
воображаемой среды с бесконечной магнитной проводимостью можно
записать в векторной форме:
Eix = [1„1 (vM + v^J = [^xVmsJ. (8.22)
ГЛАВА 9
ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ПЛОСКУЮ ГРАНИЦУ
РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД КАК ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОСТЕЙШЕЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
§ 9.1. Постановка вопроса
Пространство, состоящее из двух сред с различными парамет-
параметрами, разделенных плоской границей раздела, является простейшей
неоднородной средой со скачкообразным изменением свойств. Элек-
Электродинамические задачи для таких сред решают с помощью гра-
граничных условий, выведенных в гл. 8.
Подобные задачи называют граничными или краевыми. Простей-
Простейшей краевой задачей, рассматриваемой в настоящей главе, является
падение плоской волны на плоскую границу раздела двух сред*
96

§ 9.2. Вывод основных уравнений. Законы Снеллиуса.
Коэффициенты отражения и преломления
Пусть плоская волна падает из первой среды с параметрами
еа1, (Ial на плоскую границу раздела со второй средой, обладающей
параметрами еа2, \ха2. Плоскостью падения называют плоскость, со-
содержащую нормаль к границе раздела и вектор Пойнтинга падаю-
падающей волны. Угол падения ф представляет собой угол между век-
вектором Пойнтинга падающей волны Пи нормалью к границе раздела.
При рассмотрении плоской волны, падающей на плоскую границу
раздела, целесообразно' использовать декартову систему координат
(рас. 9.1).
Углом отражения ф0 называют угол между вектором Пойнтинга
отраженной волны По и нормалью к границе раздела, углом пре-
преломления фп — угол между вектором Пойнтинга преломленной волны
Пп и нормалью к границе раздела.
Векторы Ё и Н находятся в плоскости, перпендикулярной век-
вектору Пойнтинга. Ориентация в этой плоскости вектора Ё и ортого-
ортогонального к нему вектора Н может быть произвольной. Вектор Ё
падающей волны всегда можно представить в виде суммы двух со-
составляющих: находящейся в плоскости падения и перпендикулярной
ей. Рассмотрев электродинамическую задачу для обоих указанных
случаев, путем суперпозиции результатов можно получить решение
для любого заданного расположения вектора Ё (любой ноляризации)
и соответственно для любого расположения вектора Н, ортогональ-
ортогонального к вектору Ё.
Рассмотрим первый случай, когда вектор Ё расположен в пло-
плоскости падения хг (рис. 9.1). Вектор Н ориентирован вдоль оси у.
Оси распространения падающей, отраженной и преломленной волн
обозначим соответственно /г, /го, пп- Для анализа целесообразно взять
тот вектор поля, который в заданной системе координат содержит
меньше составляющих. В первом случае таким вектором является
вектор Н, ориентированный вдоль оси
г/. В случае падающей волны, распро-
распространяющейся вдоль оси л, в соответ-
соответствии с формулами G.9), G.16), G.17)
для вектора Н справедливо выражение
H^Cf-lw. (9.1)
Считая в силу однородности каждой
из двух сред, что вектор Н в отражен-
отраженной и преломленной волнах не изменяет
ориентации вдоль оси у, а может изме-
изменить только амплитуду и фазу, можно
записать следующие соотношения для Рис. 9.1
644

этих векторов:
Й^СМ,?-'™0, (9-2)
Й^С^е-'ъ'п. (9.3)
В соответствии с формулой G.10)
leaif (9.4)
2ea2. (9.5)
Коэффициенты М°Ну и М^у в общем случае являются комплекс-
комплексными коэффициентами отражения и преломления составляющих поля
Ну для первого случая ориентации вектора Ё, находящегося в пло-
плоскости падения.
Задачей анализа электродинамического процесса является опре-
определение углов отражения ф0 и преломления фп при заданном угле
падения ф, а также коэффициентов отражения М°Ну и преломле-
преломления Щу.
Для решения поставленной задачи прежде всего необходимо
перейти от осей п, n0J nn, для которых написаны выражения (9.1),
(9.2), (9.3), к системе координат х, у, г. Точки, заданные в системе
координат п, n0, nn, можно представить в декартовой системе коор-
координат с помощью формул:
n = z cos ф +л: sin ф, \
n0 = — zcos(p0 + xs\nq)oy > (9.6)
nn = z cos yn + xsmyn. )
При написании этих формул учитывалось, что фронт плоской
волны в падающей и преломленной волнах распространяется в сто-
сторону положительных значений осей х и г, а в отраженной волне —
в сторону положительных значений оси х и отрицательных значений
оси г, чем и объясняется знак «минус» перед членом гсозфо во
второй формуле (9.6). Подставляя выражения (9.6) в формулы (9.1),
(9.2), (9.3), получаем
\ (9.7)
Для определения углов ф0, фп и коэффициентов* М°н ? М# следу-
следует использовать граничные условия (8.9), которые предполагают
равенство тангенциальных составляющих полного магнитного поля
в первой и второй средах. Полное магнитное поле в первой среде
складывается из полей падающей и отраженной волн. Во второй
среде существует лишь поле преломленной волны. В рассматрива-
рассматриваемом случае поля Я, Яо, Яп ориентированы одинаково и являются
тангенциальными по отношению к границе раздела. В силу этого
98

граничные условия (8.9) записываются в виде
Ну + Ну0 = Нуп (при 2 = 0) (9.8)
или
°e4ytX sin
Равенство возможно при соблюдении условий
72sin9n, l+M%y = M%y. (9.9)
Из первых двух равенств (9.9) следуют так называемые законы
Снеллиуса:
Ф = Фо. (9.10)
81Пфп=г_ Tl =1 / M>ai8ai (9 1 П
«Пф 7 2 V jIa2Sa2' V * '
Для среды с потерями sincpn является комплексной величиной
= а1- jbt. (9.12)
Если при этом в первой среде потерь нет и уг—действительная
величина, то в силу равенства ух sin q>0 = y2 sin9n произведение
72 sin фп является также величиной действительной и вдоль оси х
происходит изменение фазы колебаний. Затухание колебаний вдоль
оси х отсутствует.
Из выражений (9.10), (9.11) можно определить углы отражения
и преломления, а последнее равенство в выражении (9.9) является
первым уравнением с двумя неизвестными коэффициентами М%у и
Мну Для определения этих коэффициентов необходимо вывести
второе уравнение, которое может быть получено из граничных усло-
условий (8.19). В рассматриваемом случае тангенциальной составляющей
электрического поля является составляющая Ёх. Ее можно найти
с помощью первого уравнения Максвелла B.12), которое при от-
отсутствии сторонних токов записывается в виде
aE. (9.13)
Из этого уравнения следует, что
В нашем случае составляющие поля Hx = Hz = 0 и производная
О
у
Вследствие этого соотношение (9.14) можно переписать следую-
следующим образом:
Б l,-JL-.^-+l,—U.^JL. (9.15)
4* 99

В полях падающей, отраженной и преломленной волн сущест-
существуют две составляющие электрического поля:
Ёх=--г^-.%, (9.16)
/соеа °г
Ёг = -±.Ц±. (9.17)
При расчете составляющих Ёх в падающей и отраженной волнах
следует полагать еа — еа1 и соответственно Ну = Ну и Н!/~Ну0.
При определении Е в преломленной волне полагают еа = еаа и
В соответствии с этим получается
К = — — • — {C,e-f'Vl (ZC0S(P + * »*пф){ == У1 C0S ф С e-/Y
Подставляя значение Yi из формулы (9.4), находим
Ёх = ] / ё^ COS фС^-ZVi (^ cos ф + д: sin ф)# ^ Щ
Аналогично, считая фо = ф, можно написать
= —l/ ^
V еа
cos<PnM-cie-/Vj(ZCOS(pn+^i"*n). (9.20)
8а2
Граничные условия (8.17) запишутся аналогично условиям (9.8):
Ёх + ЁХ0 = Ёхп, (9.21)
_
/Щ- COS фСхе-^1 a: sin Ф_т / ^?1
ва1 V еа1
Разделив все члены уравнения на 1/ ^созфС^; и учитывая
равенство е-^1«8'пф = е"/'7яД:8Шфп, получаем
cos Фп д>п

Это соотношение целесообразно выразить с помощью закона
Снеллиуса (9.11) таким образом, чтобы в нем существовал только
угол падения:
I/1_
cos<Pn _ У 1 — sin2 фп
coscp >/" 1 —sin2 ф 1^1—sin2
У
jla28a2 —Sin
2 j
(9 23)
Подстановка полученного выражения в уравнение (9.22) дает
соотношение
#4~ I
6a2fXai У
sin2 ф щ
У
/
2fXai У 1— Sin2 ср
Вторым уравнением, связывающим коэффициенты Мну и М%уу
является соотношение (9.9). Решая эти уравнения совместно, можно
найти выраженц,я для коэффициентов преломления Мну и отраже-
отражения М°Ну составляющих поля Ну\
1 4-
2 (9.26)
1 4-
1 / ^al
К eUjIa
которые сходны с известными в оптике формулами Френеля.
Был рассмотрен первый случай поляризации, когда вектор Ё
находится в плоскости падения. При этом были получены выраже-
выражения коэффициентов преломления и отражения для составляющей
поля Ну.
При такой поляризации вектор Ё обладает нормальной по от-
отношению к границе раздела составляющей. Часто подобную поля-
поляризацию называют вертикальной.
Нетрудно получить выражения этих коэффициентов для второго
случая поляризации (горизонтальной), когда вектор Е перпендику-
перпендикулярен плоскости падения. При этом вектор Н имеет две составляю-
составляющие Нх и Hz, а вектор Ё—одну составляющую Ёу.
Для определения коэффициентов преломления МпЕу и отраже-
отражения М°Еу используем принцип перестановочной двойственности, на
основании которого поле Йу заменяется на поле Ёу и в выражениях
101

(9.25), (9.26) осуществляются перестановки вида \iaiz± — eal, \ia2^
^± —ga2. Выражения для МЕу и М°Еу записываются в форме
"'" ' 2 (9.27)
.П* ф
1 —sin2 ф
2
1 _1_ 1 / M'al -¦ / ^a2^a2~~"|^al^al Sin ф
:—1. (9.28)
^al -. / Иа2?а2~^а1?а1 s^2 Ф
1+]/ Й28а1У" 1-5Ш2ф
Легко найти коэффициенты преломления и. отражения для дру-
других составляющих поля. Покажем вывод на примере составляющей
электрического поля Ёх. Коэффициент отражения М°Ех определяется
отношением Ёх0/Ёх при г^О.
Из выражений (9.18) и (9.19) следует, что
8а1
V еа1
или
М°Ех = — М°Ну. (9.29)
Аналогично коэффициент преломления МЕх определяется отно-
отношением ~п = Мтех. Подставляя значения составляющих поля из
Ех г = 0
формул (9.18) и (9.20), получаем
Далее, используя соотношения (9.23) и (9.25), получаем соответ-
соответственно
:1/ ~2 ~ ' 1/-1 -^т^ Мну,
V ea2fXal К 1—81П2ф
г== 2 . ' (9.30)
Аналогично могут быть найдены выражения коэффициентов от-
отражения и преломления для других составляющих при различной
поляризации поля.
102

§ 9.3. Угол полного преломления (угол Брюстера)
Рассмотрим выражение (9.26), определяющее коэффициент отра-
отражения для составляющей поля Н в случае вертикальной поляри-
поляризации.
Коэффициент М°Ну равен нулю при соблюдении условия
fcal -ц / ^a2fca2"~^alfcal аш~ 4' __ } (931)
Полагая параметры двух сред заданными, определим значение
угла падения ф = фБ, называемого углом Брюстера, при котором
выполняется равенство (9,31). Это равенство может быть записано
в форме
МАг-^Й sin2 Фб == 8a2^ai — Bl2|Ial Sin2 фБ,
откуда
sinФБ = l/ ga2i"a2^~!^la2) • (9-32)
Г H<al(8a2 —eai)
Выражение (9.32) позволяет определить условия, при которых
возможно полное преломление падающей волны, когда коэффициент
отражения равен нулю. С помощью формулы (9.32) этот процесс
можно проанализировать для любых сред. Однако для простоты и
наглядности ограничимся средами, лишенными потерь, в которых
диэлектрические и магнитные проницаемости являются действитель-
действительными величинами. При этом еа1 = еа1, [Aal = |ial, е
Рассмотрим несколько возможных случаев.
1 • Иа1 = На,, еа„ еа > 0, sin Фб = ]/е7^- • (9-33)
Угол Брюстера физически возможен. При ea2 = eai возникает ка-
кажущееся противоречие; в силу того что обе среды одинаковы, от-
отражение отсутствует при любом угле падения, а угол Брюстера
получает определенное значение: фв = 45°. Это следует понимать
так," что по мере приближения еа2 к еа1 угол Брюстера стремится
к 45°, при равенстве же диэлектрических и магнитных проницаемо-
стей понятие угла Брюстера теряет смысл и полученные соотноше-
соотношения становятся неприменимыми.
2- М'а^И'аг» ea2->eai>sin<pR= i/sa2(ga2M-al-eallla2). (9.34)
Г l^al(8a2 — eai)
Знаменатель при этом больше нуля и для физического осуще-
осуществления полного преломления необходимо соблюдение двух условий*
б) еая (еа#а1 —еа1|1а2) < р-ах (*1г — 8li)- (9.35)
5
103

1,0
0,5
О 20 40 [60 80
а
\Й1
Знаменатель в выражении (9,34) отрица-
отрицателен и для физического осуществления пол-
полного преломления требуется соблюдение
двух условий:
)
б) ] а2 (а2^а1 а1|а2) | | ^l ( ) |
(9.36)
Аналогично могут быть получены усло-
условия полного преломления в случае горизон-
горизонтальной поляризации.
Из приведенного анализа следует, что
полное преломлейие возникает не во всех
З
Рис. 9.2
р
%град средах. Значение угла Брюстера фв является
фиксированным. Если угол падения меньше
или больше угла Брюстера, то полное прелом-
преломление падающей волны исчезает.- Сказанное
иллюстрируется графиком рис. 9.2, построенным для модуля коэф-
коэффициента М°Ну и коэффициента M^y в случае падения плоской вол-
волны с вектором Ё, находящимся в плоскости падения из вакуума
на среду с относительными магнитной и диэлектрической проница-
емостями ¦ ja2 = 1 и 82 = 2У4.
§ 9.4. Полное внутреннее отражение
При известных параметрах первой и второй сред и заданном
угле падения угол преломления можно найти с помощью закона
Снеллиуса (9.11). Рассматривая для простоты среды без потерь,
получаем
, 81Пфп==Э1Пф
При соблюдении неравенства
(9.37)
(9-38)
(9.39)
Выражение (9.37) позволяет легко определить угол падения,
при котором соблюдаются условия (9.39). Этот угол называют углом
полного внутреннего отражения фв0:
всегда можно подобрать угол падения ф, при котором
sinq)n=l и фп
sin фво =
(9.40)
Из формулы (9.37) следует, что при соблюдении неравенства
(9.38) и увеличении угла падения ср до значения, при котором
Ф>Фво, (9.41)
104

возникает неравенство
8Шфл>1. (9.42)
При.этом становятся неясными пове-
поведение преломленной волны и весь про-
процесс отражения и преломления. Задачей
настоящего параграфа является анализ
процессов отражения и преломления при
углах падения, равных или превышаю-
превышающих угол полного внутреннего отражения
<рво. Если первая и вторая среды лишены
потерь, то на оснований формулы (9.37)
sincpn — величина действительная. Выпол-
Выполнение неравенства (9.42) при действитель-
действительных значениях угла фп невозможно. Бу-
Будем считать этот угол комплексной вели-
величиной:
1
1
\
|\
\
\
\
х
\
\
Chi
5,0
Рп2
j
1
1
1
\
\
/
-%г 180 90 0 90 18dtfnz
Рис! 9.3
Тогда
sin Фп = sin (<pnf + /Фпа) = sui Фш cos (/Фп2) +cos Фп1 sin (/фп2).
Справедливы следующие равенства:
При этом
(9.43)
sin фп - sin фп1 ch Фп2 + / cos Фп1 sh Фп2.
Но, как указывалось, в случае сред с действительными пара-
параметрами величина зшфп должна быть действительной, что может
быть достигнуто при фп1 = зт/2. Тогда
cos фп1 = 0, sin фП1; = 1, фп = я/2+ /фп2, (9.44)
si-Пфп г=51П|д/2 + /фП2) = сЬфп2. (9.45)
На рис. 9.3 дан график сЬфп2. Как следует из графика, ch фп2
может принимать любое положительное значение, начиная с еди-
единицы. Следовательно, если угол преломления определяется выра-
выражением (9.44), то возможно соблюдение неравенства (9.42). Необ-
Необходимо выяснить, какому физическому процессу соответствуют по-
полученные соотношения. При соблюдении неравенства (9.42)
cos фп - ]/Т — sin2"^
превращается в мнимую величину и это выражение может быть
записано в форме
созфп== —/КэГп^фп—1/ (9.46)
Смысл знака «минус» перед корнем будет пояснен далее.
Подставляя выражение (9.46) в формулы для преломленного
105

поля (9.7), получаем соотношение
= СМя e~V2/sin2(Pn2 e~/72Sin(PnA:, (9-47)
из которого ясно, что в случае полного внутреннего отражения
вдоль оси z возникает экспоненциальное затухание поля. Вдоль
оси х происходит распространение волны. Из этого же выражения
следует, что при выборе знака «плюс» перед корнем в выражении
(9.46) возникает не затухание, а возрастание поля вдоль оси z,
что невозможно в силу того, что продвижение вдоль оси г экви-
эквивалентно удалению от источников поля и дополнительные источники
поля отсутствуют.
Таким образом, явление полного внутреннего отражения сопро-
сопровождается возникновением своеобразной волны, распространяющейся
вдоль границы раздела во второй среде и затухающей по экспо-
экспоненте в направлении, перпендикулярном границе раздела. Волна
как бы «прижимается» к первой среде, обладающей большим зна-
значением произведения fxai?ai- Волны такого типа, называемые по-
поверхностными, имеют большое значение в радиотехнике.
Рассмотрим фазовую скорость поверхностной волны. Для этого
найдем мгновенное значение составляющей магнитного поля во вто-
второй среде, комплексная амплитуда которой определяется форму-
формулой (9.47)
Нуп @ - Re (Я,/Пе^) = Re (СгМ1у e"Vs v*iTL% фп г е-'* sin фп V®').
Представим комплексный (в общем случае) коэффициент пре-
преломления в виде суммы действительной и мнимой частей:
MuHy = MulHy + jMllHy. (9.48)
Для сред без потерь в силу справедливости выражение G.54)
можно написать
Ya = P2 = fi>VKAl- (9-49)
С учетом формул (9.48) и (9.49) выражение для Hyn{i) записы-
записывают в виде
yn@ = Re^C1e фп (Mi^ + jM^/Jx
X {cos (со/ —со ]/Va28a2sin фпх) + / sin (со/ —со У\ха2га2 sin фпх)}) ,
или
—М*н sin (со/—со]/ixa28a2 sinconA:)} . ' (9.50)
у ) '
Зафиксируем фазу тригонометрических функций, давая времени /
и координате х определенное значение:
106

Далее найдем скорость перемещения этого фиксированного зна-
значения фазы вдоль оси х при изменении времени t. Для этого дадим
времени ti приращение dt и соответственно координате хг—прира-
хг—приращение dx. Новое значение фазы приравняем старому, аналогично
тому, как это было сделано при -определении фазовой скорости
плоской волны в § 7.3:
sin фп^ =
или, сокращая одинаковые члены,
sin cpndx,
!(9 51)
==v
dt ф*
гДе v$x—фазовая скорость волны в направлении координаты х\
= п—гкпрпгтк света во второй среде.
КИ-а28а2
При этом выражение (9.51) приобретет вид
n. (9.52)
В случае полного внутреннего отражения справедливо соотно-
соотношение (9.42) и, следовательно,
0Ф* < с. (9.53)
Поверхностная волна обладает фазовой скоростью, меньшей
скорости света. Подобные волны называют медленными волнами.
Таким образом, поверхностная волна является волной медленной.
Представляет интерес определение средних значений векторов Пойн-
тинга, ориентированных вдоль осей z и х во второй среде.
Вектор Пойнтинга определяется одной составляющей'магнитного
поля Нуп (9.47) и двумя составляющими электрического поля Ехп
и Е2П (9.16), (9.17). Применительно к рассматриваемому случаю
эти формулы записываются в виде
^d4^f (9.54)
^4f
/о)8а2 dz *
d4^. (9.55)
EznJ4.
zn /соеа2 дх
Подставляя значение Нуп из выражения (9.47) и учитывая, что
= C2, получаем .
sin V, {9.56)
("Л Ъ sin ^СЖиу е~Рг V1U^hFl* e-'p2Sin 'n*. (9.57)
107

Средние значения векторов Пойнтинга, ориентированных вдоль
осей х и г, определяются соответственно, выражениями:
¦"а* — ~2
(9.58)
(9.59)
Подставляя сюда значения Ехп, Ёгп и Н*п, получаем
Vvl =
2@8я
'-/p1 sin
1Л>т2фп-1
mi
(9.60)
/0)?a2
X
-Q j
J$2 s»l Фп*~|
!<Pn-iz
(9.61)
Следовательно, существует действительная часть вектора Пойн-
тинга, ориентированного вдол> координаты х, что свидетельствует
о распространении волны в этом направлении. Вектор Пойнтинга,
ориентированный вдоль оси г, обладает только мнимой частью, его
действительная часть равна нулю. Вдоль координаты z электро-
электромагнитная волна не распространяется, происходит пульсация мощ-
мощности в этом направлении. Половину периода вектор Пойнтинга
направлен в сторону положительных значений оси г, половину
периода—в сторону отрицательных значений. Среднее за период
колебаний значение вектора Пойнтинга равно нулю.
Таким образом, в случае полного внутреннего отражения суще-
существуют три вектора Пойнтинга, средние значения которых отличны
от нуля: 1) вектор Пойнтинга волны, падающей на границу раз-
раздела; 2) вектор Пойнтинга волны, отраженной от границы раздела;
3) вектор Пойнтинга поверхностной волны, распространяющейся
вдоль- с си х.
Нетрудно представить себе схему устройства, предназначенного
для канализации электромагнитной энергии с помощью поверхност-
поверхностных волн (рис. 9.4). Концы пластины из диэлектрика Плу ориен-
Пл
Рис. 9.4
108

тированной вдоль координаты г, введены в рупоры, один из кото-
которых (рупор Рх) излучает электромагнитную энергию, создаваемую
генератором Г, а другой рупор Р2 принимает ее. Электромагнитная
волна, проникая в диэлектрик, падает на границу раздела диэлек-
диэлектрик—воздух под разными углами, в том числе и под углами,
равными или большими угла полного внутреннего отражения. Часть
энергии отражается от одной границы раздела и падает на другую
границу раздела также под углами, равными или большими угла
полного внутреннего отражения; процесс отражения повторяется.
В воздухе с двух сторон пластины образуется поверхностная
волна, распространяющаяся вдоль о?и г. В результате процесс
передачи энергии осуществляется двумя волнами—внешней по от-
отношению к диэлектрику поверхностной, медленной волной и внут-
внутренней волной, распространяющейся в диэлектрике. Подобные вол-
волноводы поверхностных, медленных волн находят широкое применение,
и их работа будет подробно разобрана в последующих главах.
§ 9.5. Падение плоской волны на плоскую границу
раздела с идеальным металлом
В § 7.5 было установлено, что поле в идеально проводящем
металле равно нулю. Комплексная диэлектрическая проницаемость
второй среды еа2 при этом стремится к бесконечности, а коэффи-
коэффициент отражения для составляющей Ну в соответствии с формулой
(9.26)—к единице. Таким образом, суммарное значение тангенци-
тангенциальной составляющей магнитного поля у идеальной отражающей
поверхности удваивается по сравнению с падающей волной. Волна
полностью отражается и распространяется в первой среде под углом
отражения, равным углу падения.
§ 9.6. Падение плоской волны на границу раздела
с реальным металлом
В отличие от идеального металла электромагнитное поле в реаль-
реальном металле существует, хотя и быстро затухает. Комплексная
диэлектрическая проницаемость второй среды в силу справедливости
неравенства G.58) может быть записана в виде формулы G.59).
В случае падения плоской волны из воздуха или вакуума на реаль-
реальный металл закон Снеллиуса (9.11) записывается в форме
sincpn-sinq)j/ /°е°Уэ2\ - (9-62)
Считая Н'аг^Фо и учитывая неравенство G.58), получаем
— «О, (9.63)
и.. <-/>**
sinфп да 0, coscpn = l. (9.64)
109

Таким образом, независимо от угла падения угол преломления
в реальном металле близок к нулю. Электромагнитная энергия
проникает в реальный металл в направлении, перпендикулярном
границе раздела, и вызывает его нагрев. Для определения мощности
электромагнитного поля, расходуемой на нагрев реального металла,
необходимо установить математическую связь между составляющими
поля в реальном металле. Допустим, что рассматривается поляри-
поляризация поля, когда вектор Е падающей волны находится в плоско-
плоскости падения. Составляющие поля преломленной волны определяются
соотношениями (9.7), (9.20). Для вычисления составляющей Ёгп
используют выражениеД9.17):
/С08а2 дх
^ / М;а2 * Луг11 /"¦ —/Y2 (z cos ср +лг sin ф ) /г\ /т\
== — 1/ —- sin грп/Ия Схе п п. (У.bo)
V 8а2 v
С "учетом, условий (9.64) можно считать, что
?*„«0 (9.66)
Ь-а м^гС1е-/72BСО8фп+д:з1п(рпH (9.67)
Взяв отношение Ехп к'Нуп, получаем
|/#-=2м, (9.68)
где ZM — комплексное характеристическое сопротивление металла.
Если можно считать |xa^'=jjiaa, то с учетом выражения G.59)
волновое сопротивление металла записывается в виде, аналогич-
аналогичном G.69):
При известных параметрах реального металла его волновое со-
сопротивление может быть всегда рассчитано.
Формулу (9.68) можно записать иначе:
Exn = HynZu. (9.70)
Проведя аналогичный анализ для поляризации, когда вектор Н
падающей волны лежит в плоскости падения и тангенциальной
к границе раздела является составляющая Ёуп, получим соотноше-
соотношение, сходное с (9.70):
Eyn = -HxnZM. (9.71)
110

Соотношения (9.70) и (9.71), связывающие ортогональные друг
к другу тангенциальные к границе раздела составляющие электри-
электрического и магнитного полей, называют граничными условиями у по-
поверхности реального металла.
Полученные соотношения имеют большое значение. Обычно при
расчете поля в электродинамических системах реальный металл
заменяют идеальным, обладающим бесконечно большой проводимо-
проводимостью. При этом получают тангенциальные к металлу составляющие
магнитного поля, мало отличающиеся от тех составляющих, кото-
которые были бы получены при учёте конечной проводимости металла,
т. е. в реальном металле. Тангенциальные составляющие напряжен-
напряженности электрического поля для идеального металла оказываются
равными нулю в силу известных граничных условий у поверхности
идеального металла, определяемых формулой (8.19), Поэтому равна
нулю и нормальная к металлу составляющая вектора Пойнтинга
ftfln = lRe[ETH;]( (9.72)
определяющая мощность потерь в металле.
Для реальных сред справедливы граничные условия (8.9). Вслед-
Вследствие этого поле Нуп в металле можно заменить полем Ну в первой
среде. При этом формула (9.70) записывается в виде
(9.73)
Аналогичную замену можно осуществить и в формуле (9.71)
Em = -HxZu. (9.74)
Эти соотношения устанавливают связь между тангенциальными
составляющими электрического поля во второй среде (реальном
металле) и тангенциальными составляющими магнитного поля в пер-,
вой среде.
Как было отмечено, разница между тангенциальными составляю-
составляющими магнитного поля, рассчитанными для идеального и реального
металлов, весьма мала, если реальный металл обладает большой
проводимостью. Следовательно, без большой погрешности в выра-
выражениях (9.73), (9.74) магнитные поля Ну и НХУ существующие у
поверхности реального металла, можно заменить магнитными
"полями, полученными при условии, что металл идеален. Таким
образом, проводя расчет для идеального металла (что легче сделать),
можно получить значение тангенциальных составляющих электри-
электрического поля в реальном металле и, как будет показано в даль-
дальнейшем, определить мощность потерь в реальном металле с учетом
его конкретных свойств.
Соотношения, аналогичные (9.73), (9.74), получаются и в слу-
случае криволинейных границ раздела с реальным металлом. При этом
их записывают в более общей форме [15]:
! [1A] = -MUI»H]]- (9.75)
ill

Здесь \п — единичная нормаль к гра-
z ^ нице раздела, ориентированная внутрь
реального металла; Ёп — комплекс-
комплексная амплитуда вейтора напряжен-
напряженности электрического поля в пре-
преломленной волне у границы раздела;
ZM —комплексное характеристичес-
характеристическое сопротивление металла; Н — ком-
комплексная амплитуда вектора напря-
Рис 9.5 женности магнитного поля в первой
среде у границы раздела.
Формула (9.75) справедлива при выполнении следующих огра-
ограничений: все параметры, характеризующие кривизну поверхности
и обладающие размерностями длины, должны быть много больше
глубины проникновения поля в металл d [см. формулу G.72)]:
¦R19 R2, ..., /?„>¦<*, (9.76)
где Rly R.2J ...,./?„ — радиусы кривизны (рис. 9.5), характеризую-
характеризующие поверхность металла.
Заметим, что ограничения (9.76) в практических случаях не
являются жесткими и им можно обычно удовлетворить.
Не проводя общего доказательства справедливости формулы
(9.75), покажем, что соотношения, полученные с ее помощью в слу-
случае плоской границы раздела с реальным металлом, совпадают
с выражениями (9.73), (9.74). Допустим, что нормаль \п совпадает
с осью z декартовой системы координат. Тогда члены формулы (9.75)
запишутся в виде
[1„ёп]=[1, оАп+1 An+* An)]=i An -1 A-
Аналогично,
Подставляя полученные выражения в формулу (9.75), получаем
или, приравнивая члены при одинаковых ортах,
Видим, что эти соотношения в точности совпадают с (9.73)
и (9.74).
§ 9.7. Мощность потерь в реальном металле
В соответствии с граничными условиями у поверхности реаль-
реального металла существуют тангенциальные составляющие магнитного
и электрического полей. Эти составляющие создают вектор Пойн-
112

тинга, направленный внутрь металла, нормально к границе раздела.
Таким образом, возникает поток мощности, расходуемой на нагрев
металла, или мощность потерь. Среднее значение вектора Пойнтинга
определяется выражением D.29). Нормальная к границе раздела
составляющая этого вектора получается проекцией его на направ-
направление единичной нормали к границе раздела:
= lBlRe(lB[EH*]),
где 1„[ЁН*] является смешанным произведением (единичная нормаль
умножается скалярно на результат векторного произведения).
В смешанном произведении допустимы циклические перестановки:
Следовательно,
UBn=lB-iRe(H«[lBE]).
2
Определяя норхмальную составляющую вектора Пойнтинга в ре-
реальном металле Щт следует использовать составляющие поля
в металле:
и соотношение (9.75)
П^=1п1ке{Н*(-2Л1Л1„Н]])Н
l (9.77)
Здесь Нп[1„[1„Н]]т— также смешанное произведение.
Осуществляя циклическую перестановку, получаем
Первое векторное произведение дает тангенциальную составляю-
составляющую поля Н в первой среде, у границы раздела с реальным ме-
металлом:
второе векторное произведение — тангенциальную составляющую
сопряженного вектора Нп у границы раздела с реальным металлом:
В силу граничных условий (8.9) эта тангенциальная составляю-
составляющая магнитного поля во второй среде равна тангенциальной со-
составляющей в первой среде у границы раздела. Следовательно,
Н* iw*
ИЗ

Тогда можно записать следующее соотношение:
Hn[lJl«H]] = -HTHx = -|HT|2. (9.78)
Подставляя его в формулу (9.77), получаем
Используя выражение для волнового сопротивления металла
(9.69) и взяв действительную часть, находим окончательное соот-
соотношение для вектора Пойнтинга в реальном металле:
Пп — 1 ~ л/ ^а2@ I ft I2
Мощность, теряемую в реальном металле площадью Sx, на ко-
которую падает электромагнитная волна, определяют путем интегри-
интегрирования вектора Пойнтинга по этой поверхности:
Hx|^S. (9.80)
Для расчета мощности, теряемой в реальном металле, необхо-
необходимо знать параметры металла, частоту колебаний и значение тан-
тангенциальной составляющей магнитного поля у границы раздела с
реальным металлом.
ГЛАВА 10
КАРТИНЫ ПОЛЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ У ИДЕАЛЬНОЙ
МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ ПАДЕНИИ НА НЕЕ
ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ.
ДВУХПЛОСКОСТНОЙ ВОЛНОВОД
* § 10.1. Постановка вопроса
Для локализации электромагнитного поля и направления его
в желаемую сторону часто используют металлические плоскости
различных конфигураций. Рассмотрим картины поля, возникающие
у идеальной металлической плоскости при падении на нее плоской
волны. Анализ этого простейшего случая облегчит понимание, более
сложных процессов, происходящих в реальных системах, предназна-
предназначенных для канализации электромагнитного поля. Покажем, что
между двумя металлическими плоскостями возможно распростране-
распространение электромагнитной энергии и определим условия, при которых
оно происходит. Поскольку вектор Е может быть ориентирован
114

различно по отношению к плоскости падения, рассмотрим два край-
крайних случая:
1) вектор Е лежит в плоскости падения;
2) вектор Е перпендикулярен плоскости падения.
Очевидно, любое иное положение вектора • Е можно представить
суперпозицией этих крайних случаев.
§ 10.2. Случай первый. Вектор Е лежит
в плоскости падения. Волны электрического типа
Зададимся направлением вектора Пойнтинга падающей волны П.
Тогда фронт падающей волны, под которым подразумевается пло-
плоскость одинаковой фазы, будет нормален к вектору П. Обозначим
следы плоскостей одной фазы сплошными линиями (рис. 10.1).
Условимся, что каждая сплошная линия сдвинута по отноше-
отношению к соседней на расстояние, равное половине длины волны.
В пределах каждой такой линии вектор Е неизменен по величине
и направлению. В соседних линиях вектор Е одинаков по величине
и обратен по направлению. Задавшись направлением вектора Е в
какой-либо линии фронта и зная направление вектора П, можно
однозначно определить ориентацию вектора Н. Падающая волна,
достигнув металлической плоскости, вызывает отраженную волну,
фронт которой распространяется в направлении вектора Пойнтинга
отраженной волны П. При определении направления векторов Ео
в фронтах отраженной волны следует исходить из граничных усло-
условий у идеальной металлической поверхности, в силу которых сум-
суммарная тангенциальная составляющая поля Е у поверхности
должна быть равна нулю. Направление вектора Но определяется
направлением вектора Ео и ориентацией вектора Пойнтинга отра-
отраженной волны По.
На рис. 10.2 на сетке фронтов падающей и отраженной волн
показано направление суммарных векторов E2:=E-fE0 в точках
пересечения фронтов. Линии вектора Е2 образуют характерные
замкнутые петли. На рис. 10.3 на сетке фронтов падающей и
срронт падающей'Волны
фронт отраженной долны
115

Рис. 10.2
Рис. 10.3
отраженной волн показано направление суммарных векторов
Н2, ориентированных нормально к плоскости рисунка.
На рис. 10.4 дана общая картина распределения в полупрост-
полупространстве силовых линий электрического и магнитного полей, по-
построенная по рис. 10.2 и 10.3. Изображенные картины соответст-
соответствуют фиксированному моменту времени. Они движутся вдоль
металлической плоскости слева направо. Определим масштаб полу-
полученных картин и скорость их движения.
На рис. 10.5 показано отдельно пересечение двух фронтов па-
падающей волны с двумя фронтами отраженной волны. Из рисунка
следует, что
A0.1)
2 cos ф ' 2 sin ф '
Таким образом, масштаб картин определяется длиной волны и
углом падения плоской волны на металлическую плоскость.
На рис. 10.6 показан фронт падающей волны, соответствующий
фиксированному моменту времени t=tl. Параллельная линия со-
соответствует положению этого фронта через время dt.
ооооо
Q®8©Q®Q0Q®
QoQ©Q©Q©Q©
V
Рис. 10.5
116

Из рис. 10.6 следует, что
be ' cdt
sin ф sin ф '
Отношение
(Ю.2)
dt ' ф sin ф -^
а с
Таким образом, скорость распростране- р ю б
ния точек одинаковой фазы вдоль границы
раздела может быть больше скорости света в
среде. При этом нет противоречия с положением Эйнштейна в силу
того, что фазовая скорость не представляет собой скорости пере-
переноса электромагнитного поля. ТЛримером фазовой скорости может
служить движение морской волны к берегу и щепки, находящейся
в воде. Щепка перемещается со скоростью движения материальных
частиц воды к берегу, которая значительно меньше скорости пере-
перемещения гребней волн в результате поперечных колебаний воды, т. е.
попеременного подъема и опускания двух соседних участков воды.
Это попеременное опускание и подъем создает впечатление быст-
быстрого движения волн к берегу со скоростью, которую можно считать
фазовой.
Из рис. 10.4 видно, что поле, перемещающееся вдоль границы раз-
раздела, обладает только поперечными по отношению к направлению пере-
перемещения составляющими магнитного поля Н. Электрическое поле Е
помимо поперечной обладает продольной составляющей, совпадаю-
совпадающей по направлению с вектором фазовой скорости.
Подобную волну называют волной электрического типа и обоз-
обозначают Е. Таким образом, волной типа Е называют такую, у ко-
которой существует продольная составляющая вектора напряженности
электрического поля и нет продольной составляющей вектора на-
напряженности магнитного поля.
§ 10.3. Случай второй. Вектор Е перпендикулярен
плоскости падения. Волны магнитного типа
Ход рассуждений при рассмотрении второго случая аналогичен
первому случаю. Рис. 10.7—10.10 соответствуют рис. 10.1 — 10.4.
Отличие заключается в том, что замкнутые петли линий Е во вто-
втором случае заменяются замкнутыми петлями линий Н.
Масштабы картин поля и выражения для фазовой скорости
также аналогичны. В первом случае образуется волна типа Е, во
втором случае поле Е не имеет продольных составляющих, совпа-
совпадающих по направлению с вектором фазовой скорости, и располо-
расположено ъ плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
Продольной составляющей обладает поле Н. Такую волну
называют волной магнитного типа и обозначают Н. Проведенный
анализ показывает допустимость ограничения распространения
117

2 3 4
Рис. 10.7
DOOOO*
Э0ОООО
DOQOQO
V//////////////////////////////////////////////////, '///////////////////////////////////////////////////
i 1 J 4 $ i 2 д if 5
Рис. 10.9
Рис. 10.10
электромагнитного поля с одной стороны металлической плоскостью.
Попробуем ограничить электромагнитное поле с двух сторон, по-
поместив параллельно первой металлической плоскости вторую.
§ 10.4. Двухплоскосткой волновод
Поместим выше первой металлической плоскости вторую беско-
бесконечную плоскость из идеального металла таким образом, чтобы не.
нарушить имеющейся картины поля. Для этого вторую плоскость
следует размещать На расстояниях / = па, где п= 1, 2, 3, ...—ряд
целых чисел. При этом поле Е будет подходить к металлическим
плоскостям нормально, а поле Н—тангенциально. Граничные усло-
условия будут соблюдены и картина поля между двумя плоскостями
будет такой же, как и в сдучае одной плоскости.
Картина поля при п=1 и волне типа Е показана на рис. 10.11.
Волна подобного типа обладает одной вариацией поля по направ-
направлению, перпендикулярному плоскостям,, и называется волной типа
Ех. Картина поля при п = 2 и волна типа Н2 показаны на
рис. 10.12.
118

'/////////////////////////////////////////////////Л
I 3
Рис. 10.12
С учетом выражения A0.1) расстояния между плоскостями
2 cos ф *
A0.3)
Величина I зависит от угла падения ср. Если требуется волна
более высокого типа, например 2п при неизменном угле ср, то для ее
возникновения следует в два раза увеличить расстояние /•.. Мини-
Минимальное расстояние, при котором возможно существование волны
с п= 1,
/ _ 1А
Минимальное расстояние, при котором возможно существование
волны с п = 2,
При
/2 ^^ А.
Я/2 < / < К
A0.4)
это условие является условием единственности волны с п = 1. Все
волны с большими индексами не смогут распространяться меж^у
з
двумя плоскостями. При расстоянии ^</<уЯ возникнет волна
с п = 2 и не сможет возникнуть волны с п = 3. Однако одновре-
одновременно сможет существовать и волна с /г= 1, называемая основной.
Таким образом, путем надлежащего выбора расстояния между пло-
плоскостями можно обеспечить условие единственности волны основного
типа и нельзя обеспечить условия единственности волн высшего
типа. Введение второй плоскости позволило еще более ограничить
электромагнитное поле в пространстве. Система из двух бесконечных
плоскостей физически нереальна. Далее будут рассмотрены реальные
канализирующие системы — волноводы.
Заметим на основании формулы A0.3), что при l^.K/2 в двух-
плоскостном волноводе не могут существовать волны типа Е
или Н. Однако, если силовые линии магнитного поля ориентиро-
ориентированы тангенциально по отношению к плоскостям, а силовые линии
электрического поля перпендикулярны к ним, как показано на
рис. 10.13, возникает волна, у которой вектор Пойнтинга ориен-
ИЭ

Рис. 10.13
тирован вдоль оси волновода. Подобная волна не обладает про-
продольными составляющими электрического и магнитного полей и
называется волной типа Т. Поскольку вектор Пойнтинга в такой
волне совпадает с осью распространения, фазовая скорость волны
типа Т равна скорости света в среде, заполняющей волновод. Из
выражения A0.2) следует, что угол падения ф такой волны должен
быть равен 90°.
ГЛАВА 11
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВОЛНАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
И МАГНИТНОГО ТИПОВ
§ 11.1. Постановка вопроса
В гл. 10 были рассмотрены теоретически простейшие, физиче-
физически нереальные устройства, канализирующие электромагнитные
волны. При этом была установлена для двух случаев поляризации
-вектора Е падающей волны возможность существования в канали-
канализирующих системах волн электрического и магнитного типов.
В случае какого-либо промежуточного положения вектор Е падаю-
падающей волны может быть разложен на две составляющие: 1) нахо-
находящуюся в плоскости падения; 2) лежащую в плоскости, перпен-
перпендикулярной плоскости падения. При этом в канализирующей
системе будут существовать две независимые волны—типов Е и Н
й суммарное поле образуется в результате суперпозиции этих ко-
колебаний. В ряде важных практических устройств указанные волны
существуют раздельно, и специально обеспечиваются условия су-
существования волн одного или другого типа. Поэтому представляет
интерес изучение общих условий, при которых возможно их су-
существование, и определение соотношений, связывающих составляю-
составляющие поля для волн типа Е или Н. Математически эта задача сво-
сводится к исследованию уравнений Максвелла в отсутствие продоль-
продольной составляющей либо поля Н, либо поля Е. В настоящей главе
будет проведено такое исследование в самом общем случае. исполь-
120

зования обобщенной ортогональной криволинейной системы коор-
координат. При этом в качестве продольной оси, вдоль которой рас-
распространяется поле, будет выбрана ось ?. Тогда волнам электриче-
электрического типа будет соответствовать равенство нулю продольной
составляющей магнитного поля: Н^ = 0 и волнам магнитного типа-
условие Е^ = 0.
§ 11.2. Система скалярных уравнений Максвелла в обобщенной
ортогональной криволинейной системе координат
В основу анализа положены векторные уравнения Максвелла
для комплексных амплитуд B.12) и B.13). Здесь не рассматри-
рассматриваются вопросы возбуждения электромагнитного поля заданной
системы токов J3 и JM, в силу чего токи следует положить рав-
равными нулю. При этом уравнения Максвелла запишутся в виде
rotH = /cosaE, A1.1)
rotE=— /<ojIaH. A1.2)
Запишем векторы Ё и Н в развернутой форме в обобщенной
ортогональной криволинейной системе координат ?, ц/Х (см. при-
приложение I):
Ё=ЦЁ1 + 1ЦЁГ] + 11Ё^ ' A1.3)
Н = 16Я5 + у/ч+1;Яс, A1.4)
где 1^, 1Л, it, — орты, соответствующие координатам |, т), ?.
Используя выражение для ротора вектора а, приведенное в при-
приложении II, получаем
где h^ Нцу Ы — коэффициенты Лямэ, соответствующие координатам
Е> л, С-
Подставив выражения A1.3), A1.4), A1.5), A1.6) в уравнения
A1.1), A1.2) и приравняв в левой и правой частях члены при
одинаковых ортах, получаем из каждого векторного уравнения
121

Максвелла по три скалярных уравнения:
ц We)} = /сова ^, A1.8)
A1.11)
Система A1.7) представляет собой систему скалярных уравнений
Максвелла в обобщенной ортогональной криволинейной системе
координат.
§ 11.3. Волны электрического и магнитного типов
A1.13)
следу-
следуA1.14)
Для волн электрического типа в уравнении A1.7) следует по-
положить
При этом скалярные уравнения Максвелла запишутся в следу-
следующей форме:
Попробуем выразить поперечные к направлению распростране-
распространения ? составляющие поля Й^ Нц, Ё^, Ёц через продольную состав-
составляющую Ё^ и получить уравнение, в котором содержалась бы
только эта продольная составляющая. Если бы эта операция была
возможна, то отыскание составляющих поля в конкретных канали-
канализирующих системах существенно упростилось бы. Необходимо
было бы решить уравнение для продольной составляющей Ё^ а
122

затем с помощью формул, связывающих поперечные составляющие
поля с Ё^у можно было бы определить и поперечные составляющие.
Умножим уравнение A1.18) -на коэффициент Лямэ Нц и выра-
выразим функцию Яу/z^:
^&{ккМ AL20)
Подставим полученное соотношение в уравнение A1.14), пред-
предварительно умножив последнее на коэффициент Лямэ /i|!
Сгруппируем члены, содержащие
Умножим уравнение A1.17) на коэффициент Лямэ h^ и выразим
функцию Нфс\
k&№EkEM AL22)
Подставим полученное соотношение в уравнение A1.15), пред-
предварительно умножив последнее на коэффициент Лямэ кц:
Сгруппируем члены, содержащие
Подставим функцию Ёф% в выражение A1.20) из уравнения A1.1.4):
Я h -—L- Нц д I 1 /li д (й h \\
. р h
Сгруппировав члены, получаем
123

Далее подставим функцию Ёфц в выражение A1.22) из уравне-
уравнения A1.15):
/0)8а
д
Сгруппировав члены, находим
*(E th X A1.25)
Выражения A1.21), A1.23), A1.24) и A1.25) дают связь попе-
поперечных составляющих поля с продольной составляющей Ё^, однако
она имеет сложный, дифференциальный характер, так как вторые
члены в этих выражениях, содержащие искомые функции, стоят
под знаком производных по координате ?.
Для определения уравнения, содержащего только продольную
составляющую электрического поля ?g, используют уравнение A1.16),
в которое подставляют выражения A1.20) и A1.22):
, Перегруппируем несколько это уравнение:
В нем помимо составляющей Е^ содержатся составляющие. Ё^
и ?л. Попробуем их исключить. Из уравнений A1.14), A1.15) по-
получаем
Ш , A1.27)
Продифференцируем выражение A1.27) по | и A1.28) по ч\:
ggg (Я,^) = ~ /С08а | {h, (Ёфц)}, A 1 .29)
^ (ЯБА6) = jma |- {^? (?,%)} • ... A1.30)
124

Далее продифференцируем уравнение A1.16) по ?:
й Г|М о1-31)
Подставим в уравнение A1.31) соотношения A1.29), A1.30) и
произведем сокращение на /соеа:
Продифференцируем это соотношение по ?:
щщ {h 0M +!Щ^ (W} = - ijr (ЛбЛл?с). A1 -33)
" Выражение A1.33) устанавливает связь между вторыми произ-
производными составляющих Ё%, Ёц й второй производной составляю-
составляющей ?g. Эта связь может быть использована для исключения со-
составляющих ?|, Ёц из правой части уравнения A1.26). Сравним
правую часть уравнения A1.26) с левой частью уравнения A1.33):
{h (Wl + a^g ^ЛС ВН-
ВНдопустить, что коэффициенты Лямэ /ig и /in не являются
функциями координаты ^ и коэффициент h^ равен единице (Z,—прямо-
(Z,—прямолинейная координата), то правую часть уравнения A1.26) можно
записать в виде
При указанных' ограничениях в отношении коэффициентов Лямэ
уравнение A1.33) можно представить (после деления на произведе-
произведение коэффициентов Лямэ Нфц правой и левой частей) таким образом:
AL34)
Следовательно, правая часть уравнения A1.26) стала равной
левой части уравнения A1.34) и может быть заменена на правую
часть выражения A1.34),. В результате такой операции получается
уравнение, в которое входит только продольная составляющая элект-
электрического поля Ё^\
Уравнение справедливо при выполнении указанных ограничений
относительно коэффициентов Лямэ используемой .системы координат.
125

Математически эти ограничения могут быть записаны в следующей
форме:
Ас = 1. A1.36)
Ш2[хаеа С2
W2fia?a ^
co2juaea
Ал ^
h% dt,
Физически подобные ограничения сводятся к тому, что рассматри-
рассматриваемая система, канализирующая электромагнитные волны, должна
быть прямолинейной вдоль оси распространения ?, и коэффициенты
Лямэ используемой системы координат не должны меняться по мере
продвижения вдоль этой оси.
Принятые ограничения позволяют упростить формулы связываю-
связывающие поперечные составляющие поля с продольной составляющей.
Так, вместо выражений (П-21)> A1.23), A1.24), A1.25) можно
записать соответственно:
ъ - * ^б 1L
П1
(
Связь поперечных составляющих, хотя и несколько упрости-
упростилась, но все же носит достаточно сложный, дифференциальный ха-
характер.
Решение конкретной электродинамической задачи для поля типа Е
теперь представляется в следующем виде.
Прежде всего должно быть решено в конкретной "системе коор-
координат при соблюдении ограничений A1.36) уравнение A1.35). После
определения продольной составляющей поля Е^ поперечные состав-
составляющие поля находят с помощью соотношений A1.37)—-A1.40),
т. е. путем решения дифференциальных уравнений. В дальнейшем
будут определены пути упрощения этой процедуры.
Для волны типа Н, когда продольная составляющая поля ?"g = 0,
все рассуждения могли бы быть аналогичными. Однако вывод су-
существенно упрощается за счет использования принципа перестано-
перестановочной двойственности.
Действительно, при проведении перестановок вида
система исходных уравнений Максвелла не изменяется, состав-
составляющая #g = 0 заменяется составляющей
Et = 0 A1.41)
и вместо волны электрического типа возникает волна магнитного
типа.
126

При этом исходное уравнение A1.35) для составляющей Ё^ за-
заменяется аналогичным уравнением для составляющей Й^\
+ ©Vaea//t = 0. A1.42)
Выражения для поперечных составляющих поля A1.37) — A1.40)
в случае волны магнитного типа записываются в таком виде:
(И.43)
(Ц44)
1 ^2^1__/ L.^L /it
A1.46)
Проведенный анализ показывает, что определение поперечных
составляющих поля через продольные составляющие в случае волн
электрического и магнитного типов может быть достаточно простым,
если известна зависимость этих составляющих от координаты ?.
Тогда в выражениях A1.37)—A1.40) и A1,43) — A1.46) вторые про-
производные поперечных составляющих поля по координате ? могут
быть определены и задача нахождения поперечных составляющих
поля сведется к дифференцированию выражений для Ё^ или Н%,
определенных путем решения уравнения A1.35) или A1.42). В даль-
дальнейшем этот путь и будет использован при исследовании процессов
в волноводах и объемных резонаторах.
ГЛАВА 12
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОЦЕССАХ О ВОЛНОВОДАХ —РЕАЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ, КАНАЛИЗИРУЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 12.1. Постановка вопроса
В гл. 10 были рассмотрены процессы, происходящие в двуплоско-^
стной канализирующей системе, в которой могут возникать волны
электрического или магнитного типа, распространяющиеся с фазо-
фазовой скоростью, большей скорости света в среде, заполняющей про-
пространство между плоскостями. Система исследовалась в предположе-
предположении бесконечной протяженности плоскостей, ограничивающих поле,
и вследствие этого была физически нереальной. Подобную систему
называют волноводом быстрых волн.
127

В гл. 9 описывались процессы, возникающие в случае полного
внутреннего отражения. Было установлено [см. формулу (9.53)], что
фазовая скорость поверхностной волны меньше скорости света в среде,
где эта волна распространяется. На рис. 9.4 была показана идеа-
идеализированная система, позволяющая канализировать электромагнит-
электромагнитное поле с фазовой скоростью, меньшей скорости света. Идеализация
заключалась в допущении бесконечной протяженности диэлектриче-
диэлектрической пластины в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка.
Такую канализирующую систему называют волноводом медленных
волн.
Рассмотренные в гл. 7 плоские волны распространяются в про-
пространстве с фазовой скоростью, равной скорости света в этом про-
пространстве. Могут быть реальные системы, канализирующие электро-
электромагнитное поле с фазовой скоростью, равной скорости света. Век-
Вектор Пойнтинга в них ориентирован вдоль оси системы и образован
поперечными по отношению к этой оси составляющими электромаг-
электромагнитного поля. Продольные составляющие поля
?с==Яс=0. A2.1)
Подобную волну называют поперечной электромагнитной волной
или волной типа Т.
Таким образом, возможно принципиальное разделение волновод-
ных устройств на три группы: 1) волноводы быстрых волн; 2) волно-
волноводы медленных волн; 3) волноводы, использующие волну типа Т.
Далее будут высказаны основные соображения, касающиеся волно-
волноводов каждой из этих групп.
* § 12.2. Основные сведения о процессах в волноводах
быстрых волн
Для волн электрического или магнитного типа справедливы урав-
уравнения A,1.35), A1.42), аналогичные по математической форме. Рас-
Рассмотрим какое-либо из этих уравнений, например A1.35).
Зависимость поля Eg от поперечных координат определяется ви-
видом конкретной координатной системы и особенностями конкретной
задачи. Попробуем определить зависимость поля Ё^ от продольной
координаты ?. Для этого проведем разделение переменных в урав-
уравнении A1.35) по методу Фурье.
Представим Ё% в виде произведения двух функций:
E^ZEtoa, *]). A2.2)
Функция Z зависит от координаты ? и не зависит от коорди-
координат ?, Г).
Функция Ё^о (?, г\) зависит от координат ?, ц и не зависит от коор-
координаты ?. Подставив выражение A2.2) в уравнение A1.35), получаем
128

Разделив это уравнение на произведение Z?^o, находим
z ' ^2 ~*~ ?So
— ©V.S.. A2.3)
В полученном соотношении сумма функций координат ? и |, tj
равна постоянной величине—ft>2fiaea. Такое равенство осуществимо,
если каждая из этих функций в отдельности равна постоянному
числу, т. е. если соблюдаются соотношения
A2.5)
Назовем ув коэффициентом распространения поля в волноводе.
Подставив эти соотношения в уравнение A2.3), убеждаемся в
равенстве левой и правой частей.
Соотношения A2.4) и A2.5) позволяют получить следующие
уравнения для функций Z и Ё^:
^j^i »o. A2.7)
Вводя обозначение
<»^А-У1 = ё\ A2.8)
где g—поперечное волновое число в волноводе,
получаем
Аналогичное уравнение может быть получено для составляющей
0 в случае волн магнитного типа: '
Справедлива также формула, эквивалентная A2.2):
Ht = T>Hu&,4). A2.11)
Решение обыкновенного уравнения второго порядка A2.6) можно
записать в форме
/^/^. A2.12)
Коэффициент распространения поля в волноводе уъ аналогичен
по смыслу коэффициенту распространения у плоской волны [см.
формулу G.10)].
5 ^ 644 129

Из выражения A2.8) следует, что
Т; = <ойеа-г*. A2.13)
Сравнивая это выражение с G.10), видим, что коэффициент
распространения поля в волноводе ув отличен от коэффициента
распространения у для плоских волн.
Как и в случае плоских волн, ув может быть комплексной ве-
величиной, если среда, заполняющая волновод, обладает потерями
(|ia, еа комплексны). Значения действительной и мнимой частей ув
будут отличны от соответствующих значений коэффициента фазы |3
и коэффициента, затухания а, определяемых соотношениями G.27)
и G.28).
Действительную часть ув обозначим А, а мнимую Л". Тогда
y* = h-jh\ A2.14)
Действительную часть h коэффициента распространения назы-
называют продольным волновым числом, а мнимую часть к"—коэффици-
к"—коэффициентом затухания поля в волноводе за счет потерь в диэлектрике,
заполняющем волновод. '
Подставляя формулу A2.14) в A2.12), получаем выражение
A2.15)
которое после подстановки в A2.2) дает
Ё^о. A2.16)
Далее можно провести рассуждения, аналогичные изложенным
в § 7.3.
Перейдем от комплексной амплитуды Ё^ к мгновенному значе-
значению этой составляющей. На основании формул A.157) такой пере-
переход осуществляется с помощью соотношений вида
A2.17)
Е^ (t) - Re {A^-h'4i №-№Ё10 + А2&*1е1 <«<+«>?:o}.
Считая ?"So = | ?^0|е^», получаем
?s (t) = Re {Axz-h'4i <©'-a;+<pi> j Ёи \ + A2eh"^f <^+лс+ф») | Ё^о \\ =
. * A2.18)
Рассмотрим скорость перемещения вдоль оси ? точек фиксиро-
фиксированной фазы, или фазовую скорость первого слагаемого в выра-
выражении A2.18). Для этого зафиксируем время t и координату ?,
положив t = tlf ?~-?i- При этом фаза подучит фиксированное
значение со^—Л^ + ф!' Далее дадим времени t приращение dt,
координате ?, — приращение dt, и новое значение фазы приравняем
прежнему фиксированному значению:
130

Сокращая одинаковые члены, получаем
dydt = Vb = (u/h. A2.19)
Аналогичная операция со вторым слагаемым в выражении A2.18)
приводит к соотношению
0ф = —©/А. A2.20)
Полученные результаты позволяют утверждать, что первое сла-
слагаемое в выражении A2.18) представляет собой электромагнитную
волну, распространяющуюся в сторону положительных значений
оси ?, т. е. падающую волну в волноводе; второе слагаемое — волну,
распространяющуюся в сторону отрицательных значений оси ?,
т. е. отраженную волну. Падающая волна при наличии потерь
убывает по мере роста координаты ?, а отраженная волна возра-
возрастает по мере приближения к отразившему ее препятствию. В вол-
новодной системе без потерь коэффициент h" равен нулю и амплитуда
поля остается неизменной.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для волн
магнитного типа. При этом вместо формул A2.16), A2.18) следует
записать
, A2.21)
cos И -К + ф2) +
A2.22)
Выражение для фазовой скорости A2.19) позволяет сделать
важные выводы. Рассмотрим его подробнее. Из выражений A2.13)
и A2.14) следует, что
/Ea~g\ A2.23)
где
/"Ii— g2, A2.24)
a-g2. A2.25)
Допустим для простоты, что потерь нет и
h = Vco^aea-gK A2.26)
При этом
й* = 0 A2.27)
и фазовая скорость
со со I
или
с , , . A2.28)
5* 131

где
A2.29)
— скорость света в среде с параметрами [ха,еа.
Если g—действительное число ng2 > 0, то при условии соблюде-
соблюдения неравенства
-^г-Г < 1 A2.30)
Уф—действительное число и
1>ф>с. A2.31)
При этом в волноводной системе распространяются быстрые волны.
При условии соблюдения "неравенства
ш/2е > 1 A2.32)
Уф—мнимое число и распространение волн прекращается.
В справедливости этого легко убедиться, записав выражение A2.26)
в виде
JH. A2.33)
При выполнении условия A2.32)
^-i. A2.34)
При этом первое слагаемое в выражении A2.21), соответствую-
соответствующее падающей волне, с учетом равенства A2.27) может быть запи-
записано таким образом:
Я; = Я1е
A2.35)
Возникает затухание поля, несмотря на отсутствие потерь в вол-
волноводной системе. Это затухание объясняется неблагоприятной
интерференцией составляющих поля, пришедших в результате отра-
отражения от стенок разными путями в одну и ту же точку волноводной
системы.
Критический случай, разграничивающий распространение и зату-
затухание волны, наступает при соблюдении условия
= 1. A2.36)
Если поперечное волновое число, магнитную и диэлектрическую
проницаемости считать постоянными и изменять угловую частоту со,
132

то критический случай, соответствующий критической угловой час-
частоте, наступает при соблюдении равенства
^а8а==1, A2.37)
откуда
(dKV = —JL==gc. A2.38)
При
со>о)кр A2.39)
возникает неравенство A2.30) и волна распространяется в волно-
волноводной системе.
В случае
со<сокр . A2.40)
справедливо неравенство A2.32) и поле затухает в волноводной
системе.
При
со = сокр A2.41)
справедливо соотношение A2.37). В соответствии с выражением A2.28)
фазовая скорость при этом стремится к бесконечности.
Волноводная система заполнена полем, составляющие поля вдоль
оси ? находятся в одной фазе, но распространения поля вдоль
оси нет.
С помощью A2.38) легко получить формулы для критической
частоты /кр и критической длины волны Якр:
f«P = fr' <12-42>
^^.L-^JL. A2.43)
При
h<Kv A2.44)
распространение поля в волноводной системе возможно.
При
Я>Якр A2.45)
возникает затухание в волноводе.
При
Я = Якр A2.46)
волноводная система заполнена полем, составляющие поля вдоль
оси ? находятся в одинаковой фазе, но распространения поля вдоль
оси ? не происходит.
На основании проведенного рассмотрения можно утверждать,
что волноводная система быстрых волн пропускает, фильтрует
электромагнитные колебания с частотами, большими критической
* 133

частоты или соответственно с длинами волн, меньшими критиче-
критической длины волны. Таким образом, подобные волноводные системы
можно считать фильтрами высоких частот.
В§ 7.4 было получено выражение для групповой скорости или
скорости распространения информации при переносе ее плоскими
волнами [см. выражение G.41)]. Если электромагнитное поле опре-
определенного спектрального состава распространяется не в свободном
пространстве, а в волноводе, то вывод выражения для групповой
скорости поля в волноводе ничем не отличается от вывода, прове-
проведенного в§7.4. Следует только коэффициент фазы в свободном про-
пространстве C заменить продольным волновым числом h. При этом
групповая скорость поля в волноводе
v™-~dh
о)=оH dh/da)
h-k0
A2.47)
Подставляя сюда выражение для h A2.26) и дифференцируя,
получаем
1
или с учетом равенства A2.29)
/ ?-. A2.48)
Сравнивая полученное выражение с формулой для фазовой ско-
скорости A2.28), можно вывести следующее соотношение:
vrvvs = c\ A2.49)
Как следует из формулы A2.48),
vTp<c. A2.50)
Таким образом, скорость переноса информации в волноводах
не может быть больше скорости света в среде, заполняющей вол-
новодную систему.
§ 12.3. Упрощение уравнений, связывающих поперечные
составляющие поля с продольными, при использовании
волноводов быстрых волн
Рассмотрим соотношения, справедливые для падающей волны
электрического типа. В соответствии с выражением A2.2) и A2.12)
напишем (положив А1—\)
?c = ?Coe"/vBC. A2.51)
Аналогичная зависимость от координаты ? существует для по-
поперечных составляющих поля, так как фазовая скорость у всех
134

составляющих поля должна быть одинаковой. В силу этого спра-
справедливы следующие соотношения:
р _ р
A2.52)
Подставим выражения для Е^ и ?5 в уравнение A1.37):
? С-/Ур? у* ? -'У,. ^/1В 1 , ^?о c"/VnS
Умножим полученное соотношение на со2|лаеа и сгруппируем
члены:
р. р"~'mj® /гл^м р v^ — / • " ° р чз'
Далее, используя первое из соотношений A2.52) и формулу
A2.8), получаем
p.__.-JXB_,^o.e-/vBC- A2.53)
Аналогично могут быть получены выражения для поперечных
составляющих поля в случае волн электрического типа:
ЯР\е-/увс, A2.54)
ал
^-V6 ' A2'55)
^L.^iOe-'-V, A2.56)
Яс = 0. A2.57)
Подобным же образом можно найти формулы для поперечных
составляющих поля в случае волн магнитного типа. Эти формулы
легко вывести с помощью принципа перестановочной двойственности.
Осуществим в выражениях A2.53) — A2.57) перестановки вида
~iv^, ' A2.58)
e-/?*s, A2.59)
j"/vbs, A2.60)
'у*\ A2.61)
A2.62)
135

Можно также записать выражение, аналогичное A2.51),
¦ Ht = Ht#-'yJ. A2.63)
Полученные соотношения называют формулами перехода от про-
продольных составляющих поля к поперечным. Не следует забывать,
что они справедливы при соблюдении ограничений A1.36).
Если потери в волноводных системах отсутствуют, то в выве-
выведенных соотношениях требуется осуществить, изменения вида
еа-+ва, |ха—*|ха, Уъ—+1г. A2.64)
Отметим, что выведенные формулы не учитывают потерь в ме-
металлических стенках волновода, ограничивающих поле. Учтенные
путем введения коэффициента затухания h" потери—это потери
в среде, заполняющей волновод. Кроме коэффициента затухания /г",
возникающего за счет потерь в диэлектрике, заполняющем волновод,
может возникнуть коэффициент затухания h\ характеризующий
затухание поля за счет потерь в металле.
При этом коэффициент распространения поля в волноводе
yB==fi — jh' — jh". A2.65)
Если потерями в диэлектрике можно пренебречь, а потери в ме-
металле должны быть учтены, то
7в = А-/Л". A2.66)
Учет потерь, возникающих в металлических стенках волноводной
системы, будет проведен в последующих главах.
§ 12.4. Основные сведения о процессах в волноводах
медленных волн
В § 12.2 было выведено выражение A2.28) для фазовой скорости
в волноводных системах. Было указано, что при действительном
поперечном волновом числе g фазовая скорость больше скорости
света в среде с параметрами |ла, еа.
Чтобы фазовая скорость стала меньше скорости света, попереч-
поперечное волновое число должно быть мнимым. Другими словами, попе-
поперечное волновое число g в выведенных формулах переходит в /р:
g-*ip. A2.67)
Тогда
g«—р«. A2.68)
Учитывая это в формуле A2.28), получаем
L==r. A2.69)
При этом справедливо неравенство
1>ф<с. * A2.70)
136

Коэффициент распространения в соответствии с выражениями
A2.23) — A2.25) в случае медленных волн
A2.71)
где
A2.72)
A2.73)
Если потери в среде, заполняющей волновод, отсутствуют,
A2.74)
Так же как и при анализе волноводов быстрых волн, выведен-
выведенные формулы не учитывают потерь в металлических стенках вол-
волновода.
При определении групповой скорости нельзя механически исполь-
использовать выражение A2.48), заменив в нем g2 *на —р2. При этом
получилось бы, что групповая скорость, определяющая скорость
передачи информации, стала бы больше скорости света, что проти-
противоречит известному положению Эйнштейна. Вывод выражения для
групповой скорости необходимо проводить с учетом основных соот-
соотношений A2.47) и A2.74). При этом следует считаться с тем, что
поперечное волновое число р в волноводах медленных волн является
функцией частоты со. Используя формулу A2.47), получаем
2 /"со2|Ла
A2.75)
dp_ * ,
Зная закон изменения поперечного волнового числа р для конк-
конкретной замедляющей волноводной системы, можно найти групповую
скорость.
Основные уравнения для продольных составляющих поля в слу-
случае волн электрического и магнитного типов соответственно запи-
записываются следующим образом:
>—р2??0=0, A276)
Формулы перехода, связывающие поперечные составляющие поля
с продольными, могут быть получены из соотношений A2.53) —
A2.62) с учетом выражения A2.68).
137

При этом получим
для волн электрического типа:
A279)
Я, /2?i..^i
1 ' ЛпР2 дц
Яг = 0; A2.82)
для волн магнитного типа:
^%-'4 A2.83)
^е-Л.С A2.85)
K~ i^-4re~iVB*r A2'86)
Ez = 0. A2.87)
Если потери в волноводных системах отсутствуют, то в выве-
выведенных соотношениях следует осуществить изменения вида A2.64).
§ 12.5. Основные сведения о процессах в волноводах,
канализирующих волны типа Т
Характерным признаком волн типа Т являются равенство нулю
продольных составляющих поля [см.. выражение A2.1)]. Вектор
Пойнтинга в такой волне ориентирован вдоль оси волновода ?.
При этом фронт волны движется вдоль оси волновода и фазовая
скорость должна быть равна скорости света в рассматриваемой
среде:
1>Ф = с. A2.88)
В соответствии с выражением A2.28) равенство A2.88) соблю-
соблюдается при условии
g=0. A2.89)
Поперечное волновое число в случае волн типа Т равно нулю.
Это также является характерным признаком волн этого типа.
Из формулы A2.23) следует, что для волн типа Т
a<V A2-90)
138

Сравнивая это выражение с G.10), можно сделать вывод, что
коэффициент распространения в волноводе для волн типа Т равен
коэффициенту распространения в неограниченной среде с парамет-
параметрами [хаеа:
Yb = Y' A2.91)
В случае волн типа Т справедливы формулы G.26), G.27), G.28).
Групповая скорость определяется соотношением A2.48). При
соблюдении условия ?=0
vrv = c. A2.92)
Для волн типа Т групповая скорость равна скорости света
в среде, заполняющей волновод.
Формулы перехода, связывающие поперечные составляющие поля
с продольными, для волн типа Т не могут быть использованы
ввиду равенства нулю продольных составляющих.
Соотношения A2.38), A2.42), A2.43) в случае волн типа Т при
соблюдении равенства g=0 приводят к следующим результатам:
«кР = 0, /кр = 0, V—00- A2-93)
Критическая частота равна нулю. Это означает, что колебания
всех частот, включая постоянный ток, могут распространяться в вол-
новодных системах, использующих волны типа Т. Это является
важным преимуществом волн подобного типа.
ГЛАВА 13
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД
§ 13.1. Решение основного уравнения для продольных
составляющих поля в прямоугольном,волноводе
В качестве основного для волн электрического типа следует
использовать уравнение A2.9). Очевидно, при анализе прямоуголь-
прямоугольных электродинамических систем целесообразно применять декар-
тову систему координат. Рас-
Расположим координатные оси
так, как показано на рис.
13.1. Выберем следующее со-
соответствие криволинейных и
декартовых координат:
А6 = Л„=1. A3.1)
Координатная система
удовлетворяет ограничениям
A1.36) и, следовательно, воз-
Рис 13.1
139

можно использование основных уравнений A2.9), A2.10) и формул
перехода A2.53) —A2.62).
В декартовой системе координат основное уравнение записы-
записывается в форме
^^ . = 0. . A3.2)
В такой же форме записывается уравнение для продольной со-
составляющей магнитного поля:
^ о = О. A3.3)
Решение этих уравнений проводят по методу Фурье. Положим
EZO = XY. A3.4)
Функция X зависит от координаты х и не зависит от коорди-
координаты у. Функция Y зависит от координаты у и не зависит от ко-
координаты х. Подставляя выражение A3.4) в уравнение A3.2), по-
получаем
Разделим это уравнение на XY:
X ' дх2 "^ Y * ду* ~" g #
Первое слагаемое является функцией только координаты х, вто-
второе—функцией только координаты у. Их сумма может равняться
постоянному числу —g2 лишь тогда, когда каждое слагаемое в
отдельности равно постоянному числу. Положим
где
Уравнения A3.5) представляют собой дифференциальные урав-
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому
частные производные можно заменить обыкновенными производными
и записать уравнения в виде
S = 0, A3.7)
ф + 81У = 0. A3.8)
Электромагнитное поле распространяется в волноводе, много-
многократно отражаясь от его стенок, вследствие чего в результате
интерференции возникают стоячие волны вдоль координат х и у>
140

как было показано в § 10.4, при анализе двухплоскостного волно-
волновода» В силу этого решение уравнений A3.7), A3.8) запишется
X =А1 cos {gxx) + A2 sin (gxx), A3.9)
r = 5lCos(^j/) + B2sin(^). A3.10)
В соответствии с формулой A3.4)
Ez0 = {Axcos(gxx) + A2sm(gxx)} {B1cos(gyy) + B2sm(gyy)}. A3.11)
Решение уравнения A3.3) проводят аналогично:
Нг0 = {Л3 cos (gxx) + A, sin (gxx)} {В, cos (gyy) + В, sin(gyy)}. A3.12)
До настоящего момента анализ не зависит от того, исследуются
ли волны типа Е или Н. Для определения постоянных необходимо
применение граничных условий, записываемые по-разному для волн
различных типов. Поэтому дальнейшее рассмотрение должно осу-
осуществляться для каждого из типов волн в отдельности.
§ 13.2. Волны электрического типа
В случае волн электрического типа составляющая поля Ez0 ка-
сательна ко всем четырем стенкам волновода. Считая металл стенок
идеальным, обладающим бесконечной проводимостью уэ, можно
использовать граничные условия у поверхности идеального металла
(8.19). При этом можно написать
?^0 = 0 (у стенок волновода). A3.13)
В соответствии с рис. 13.1 и формулой A3.11) у правой боко-
боковой стенки волновода при х=>0
откуда
А1 = 0. A3.14)
У левой боковой стенки волновода при х — а с учетом выраже-
выражения A3.14) справедливо соотношение
А2 sin {gxa) {B1 cos {gyy) + В2 sin (gyy)} = 0.
Коэффициент А2 не может равняться нулю, поскольку при этом
исчезает продольная составляющая поля Ez0 [см. выражение A3.11)].
Следовательно,
sin{gxa) = 0 A3.15)
и
где т—ряд целых чисел.
141

- Ряд т не может начинаться с нуля, так как при т = 0 gx — 0,
и продольная составляющая поля Ez0 исчезает. Таким образом, :
gx = ^ (т=1, 2, 3...). A3.16)
Подставляя выражения A3.14) и A3.16) в формулу A3.11), по-
получаем
Ё20~ A2sm(^ x) {B.cosig^ + B.slnig^)}. A3.17)
У нижней стенки волновода при у = 0 должно соблюдаться ра-
равенство
откуда
Bi = 0. A3.18)
У верхней стенки волновода при у = Ь справедливо соотношение
A2$in i^- x\ B2sm(gyb) = §.
Коэффициент В2 не может равняться нулю, так как с учетом
равенства A3.18) продольная составляющая поля EZQ [см. выраже-
выражение A3.17)] исчезает. Следовательно,
sin {gyb) = 0 и gyb = мзт,
где п— ряд целых чисел.
Символ п вместо т выбран здесь потому, что целые числа т
и п не обязательно должны совпадать.
Ряд п не может начинаться с нуля, так как при п = 0 gy = 0,
и продольная составляющая поля EZQ исчезает.
Тогда
8у=!т (л=1,'2,3...) A3.19)
и выражение A3.17) записывается в окончательном виде:
?,0 = Cisin^x)sin(^-y)f A3.20)
где
С^А2В2. A3.21)
Поперечное волновое число g определяется выражениями A3.6),
A3.16) и A3.19):
/ „ \ О / . \ 9.
A3.22)
142

С помощью граничных условий найдены все постоянные, за ис-
исключением амплитудной постоянной Ci9 которую в данной поста-
постановке задачи нельзя определить, поскольку в исходных уравнениях
Максвелла сторонние токи j3 и jM, определяющие амплитуду поля,
были положены равными нулю.
Как следует из выражения A3.20), возможно бесконечное число
значений продольной составляющей поля Ё20 в зависимости от зна-
значений чисел тип. Каждые конкретные значения чисел тип
определяют волну конкретного типа, обозначаемую Етп. Так, при
т=\ и п — 2 возникает волна типа Е12 и т.д.
Зная продольную составляющую электрического поля, нетрудно
найти поперечные составляющие поля с помощью формул перехода
A2.53) — A2.57). Считая диэлектрик внутри волновода идеальным
и стенки волновода бесконечно проводящими, т. е. соблюдая усло-
условия A2.64), можно записать эти формулы в декартовой системе
координат. Используя соответствие A3.1), получаем
Ё* = -'1Я'ЁЪГ*~т' A3.24)
Ey = -i?-^e-'h\ A3-25)
Ut-i^-^e-*' О3'26)
?
Яг = 0. A3.28)
Подставляя в эти выражения значение*?г0 A3.20) и учитывая
соотношения A2.51), A3.23), можно написать
с. • h ,-, тп I тп \ . f пл \ ,•<,, ,. о пг.ч
х = 1Ж i~^C0S{'^~x)sm[Tyje ' ( ^
iV . h fy пл . ( тл \ (пл X :hy /1О огчч
A3.31)
^--/^C^sinf^^cosf^^e-/^, A3.32)
-'tef A3.33)
Яг = 0. A3.34)
Полученные соотношения позволяют найти все составляющие
поля для волн типа Етп.
Продольное волновое число h определяется с помощью выраже-
выражения A2.26). В рассматриваемом случае оно может быть записано
в виде
A3.35)
143

§ 13.3. Волны магнитного типа
В случае волн магнитного типа тангенциальными к стенкам вол-
волновода являются составляющие электрического поля Ёх и Ёу, оп-
определяемые формулами перехода A2.58)—A2.62). Запишем эти фор-
формулы в декартовой системе координат, используя соотношения A3.1)
и A2.64):
й«=-1-?-Чг*~""' A3-37)
4 = -/^-^е-/»% A3.38)
-^^e-'ftz, A3.39)
EZ = G.S X A3.40)
Найдем составляющие Ёх, Ё , подставляя в формулы A3.38),
A3.39) выражение A3.12):
Ё* = —/ "^ е-/йг {4 cos (gxx) + A, sin (g^)} x
* {-B3gy sin (gyy) + BiPy cos (gyy)\, A3.41)
f • 3 pi — /ftZ / . /I /Y с 1 1*1 / (J y\ ¦- Г' >4 GT рПС /^ ff y\ \ \^
xlSgCOS^^ + S^in^y)}. A3.42)
В соответствии с граничными условиями ?* = (), ?"^ = 0 у стенок
волновода
?^ = 0 (при х = 0 и х = а)9 A3.43)
, ?^-0 (при у^О и у = Ь). A3.44)
С учетом выражения A3.42) и условия A3.43) получаем
j jga е-УЛМ^ {^з cos (gyj/) + Б4 sin (gyy)\ = 0,
откуда ^ёх^О.
Условие §^=0, как будет показано далее, выполняется лишь
в частных случаях. Более чобщим условием является
Л4 = 0. A3.45)
При х=а из выражения A3.42) и условия A3.43) следует
^ *A*gx sin (^а) {В3 cos (gyy) + В, sin (gyy)} = 0.
Условие g"^ = 0, как указывалось, выполняется только в частных
случаях. Коэффициент Л3 не может равняться нулю, так как при
144

соблюдении условия A3.45) продольная составляющая поля Hz0
[см. формулу A3.12)] исчезает и, следовательно, исчезают осталь-
остальные составляющие поля в волноводе. Остается предположить, что
sin(gxa)^0. A3.46)
Отсюда gxa~mn, где т—ряд целых чисел.
Если этот ряд начать с нуля, то при т — § gx = 0. При этом
в выражении A3.12) исчезает зависимость поля от координаты х и
сохраняется зависимость от координаты у. В соответствии с фор-
формулой A3.38) составляющая электрического поля Ёх при этом су-
существует. Составляющая поля Еу обращается в нуль. Таким образом,
можно написать
fo = ^ (m = 0, 1,2,3...). A3.47)
Видно, что величина gx может быть равна нулю только в част-
частном случае — при т = 0,
Были использованы граничные условия A3.43). Переходя к гра-
граничным условиям A3.44), запишем выражение A3.41) для состав-
составляющей поля Ёх с учетом соотношений A3.45) и A3.47):
ycos(gyy)}. A3.48)
Используем граничные условия A3.44). При // — О
а -
откуда В?у = 0.
Как будет показано далее, величина gy может быть равна нулю
только в частном случае. Следовательно,
Я4 = 0. , A3.49)
При у = Ь
Коэффициент Въ не может быть равен нулю, так как с учетом
выражения A3.49) составляющая Hz0 в формуле A3.12) исчезает,
исчезают и остальные составляющие поля. Остается предположить,
что sm(gyb) = 01 gyb = nn> где п — ряд целых чисел. При п = 0 gy=0t
В этом случае составляющая поля HZQ не зависит от координаты у
и если gx не равно нулю, то сохраняется зависимость поля от ко-
координаты х. В соответствии с формулой A3.39) возникает состав-
составляющая электрического поля Ёу, и такое поле может существовать.
Следовательно, поочередно либо gx, либо gy могут быть равны нулю,
одновременное равенство нулю этих постоянных невозможно. При
этом продольная составляющая поля Hz0 не являлась, бы функцией
координат х и у и остальные составляющие поля не существовали бы.
145

Таким Ьбразом, ряд чисел п может начинаться с нуля
gy = ?Y (/1 = 0,1,2,3...). A3.50)
Поперечное волновое число g для волн магнитного типа опреде-
определяется так же, как и для волн электрического типа, с помощью
соотношения A3.23).
Учитывая соотношения A3.23), A2.63), A3.45), A3.47), A3.49),
A3.50), используя формулы A3.12), A3.36) —A3.40) и положив
А3В3 = С2, A3.51)
можно написать следующие выражения для составляющих поля
волны магнитного типа:
. / \ / . \
"*, A3.52)
*», A3.53)
A3.54)
**, A3.55)
-№9 A3.56)
Я* = 0, A3.57)
которые позволяют получить все составляющие поля для волн
типа Нтп. Продольное волновое число h определяется формулой
A3.35).
§ 13.4. Фазовая скорость, длина волны в волноводе*
критическая длина волны, критическая частота.
Волны основных типов в прямоугольном волноводе
Выражение A2.28), определяющее фазовую скорость в волно-
волноводах быстрых волн, можно упростить с помощью соотношений
A2.29), A2.43) и формул
h = c/f, ' -A3.58)
Здесь X—длина волны в свободном пространстве с параметрами
На» 8а-
Подставляя выражение A3.59) в A2.28), находим фазовую ско-
скорость в волноводе:
146

Групповую скорость можно получить с помощью формулы A2.48)
либо равенства A2.49), из которого следует, что vrv = c2/v$.
Используя соотношение A3.60), получаем
ppJ. A3.61)
Введем обозначение длины волны в волноводе:
** = V/- A3'62)
С учетом формулы A3.58) получаем
\=: Х — - A3.63)
^1 —(ЯАКР)«
Длина волны в волноводе быстрых волн больше длины волны
в свободном пространстве. Найдем выражения для критической
длины волны и критической частоты в прямоугольном волноводе.
Критическая длина волны определяется соотношением A2.43),
а поперечное волновое число g—формулой A3.23).
Отсюда следует, что
или
A3.64)
Критическую угловую частоту можно получить из соотношения
A2.38). Используя формулу A3.23), находим
Критическую частоту колебаний, определяемую формулой A2.42),
можно записать в виде
f(n/bJ. A3.66)
Полученные соотношения для фазовой скорости, длины волны
в волноводе, критической длины волн и критической частоты спра-
справедливы для волн как электрического, так и магнитного типов.
При исследовании волноводов вводят понятие волн основных
типов. Под основным типом волны понимают колебание, у которого
критическая длина волны имеет наибольшее значение.
Из выражения A3.64) следует, что основному типу волны соот-
соответствуют наименьшие возможные значения т и п. В случае волн
электрического типа в соответствии с формулами A3.16), A3.19)
такими наименьшими значениями являются т=1, п=\. Соответ-
147

ствующую волну обозначают Еп. Ее критическая длина волны
определяется соотношением
A3.67)
+
Тип Еп является основным для волн электрического типа.
В случае волы магнитного типа в соответствии с выражениями
A3.47), A3.50) наименьшими возможными значениями тип яв-
являются две допустимые комбинации: т = 0, /i=l; m=l, л = 0.
Как_было установлено в § 13.3, эти коэффициенты одновременно
не могут равняться нулю. Из анализа выражения A3.64) можно
сделать следующий вывод.
Размер а условились считать соответствующим широкой стенке
волновода, размер Ъ — узкой. Следовательно, а>6 и при одинако-
одинаковых значениях тип т/а < п/Ь.
Вследствие этога для получения наибольшего значения А,кр целе-
целесообразно максимально уменьшить отношение п/Ь, что соответствует
п = 0. При этом основной волне магнитного типа будет соответст-
соответствовать комбинация т=1, п = 0.
Такую волну обозначают Н1о. Критическая длина волны этого
колебания определяется формулой
= 2а' A3.68)
Забегая вперед, скажем, что обычно выбирают
&«д/2. A3.69)
При этом
X 2
=-j=-g = 0,91а, ' A3.70)
Сравнивая формулы A3.68) и A3.70), можно написать следую-
следующее неравенство:
^Kp(?,i) < ^кр(Я10). A3.71)
Из всех возможных волн наибольшей критической длиной волны
обладает основная волна магнитного типа Н10.
С помощью формулы A3.64) определим критические длины волк
некоторых характерных колебаний:
^кР(Н20) = а, A3.72)
Якр(Яо1) = 26. ^ . A3.73)
Заметим, что
^кР(я20) > ^кР(яи)« • Д13.74)
Продольное волновое число h можно выразить через критическую
длину волны заданного типа.
Для этого используем соотношение A2.26), которое можно за-
148

писать в ином виде:
Применяя формулы A2.29), A3.58), A3.59), получаем
Эти выражения будут использованы при определении условий
существования волн заданного типа.
§ 13.5. Условия существования волн различных типов
в прямоугольном волноводе
Условие существования волны заданного типа определяется не-
неравенством A2.44). Подставляя значения Хкр из формулы A3.64),
получаем
% < • 2 . A3.76)
V(m/a)* + (n/b)*
Таким образом, волна типа Н10 существует, если
Х<2а. A3.77)
Волна типа Н20 на основании соотношения A3.76) будет сущест-
существовать, если
к<а. A3.78)
Если обеспечивается неравенство A3.78), то одновременно вы-
выполняется и неравенство A3.77). Таким образом, если обеспечива-
обеспечивается условие существования волны более высокого типа, обладающей
' большими значениями т и п, то одновременно выполняется условие
существования волны более низкого типа с меньшими значениями
т и п. Другими словами, невозможно обеспечить существование
волны более высокого типа в единственном числе путем подбора раз-
размеров волновода. Одновременно создаются условия существования
волн более низких типов. В то же время возможно создание таких
условий, при которых будет существовать волна заданного типа и
все более низкие типы волн и не смогут существовать волны более
высоких типов. Поясним сказанное на примере основной волны
магнитного типа Н10. Для ее существования необходимо соблюдение
неравенства A3.77). Для того чтобы прохождение волны типа Н20
стало невозможным, в соответствии с условием затухания A2.45)
следует потребовать, чтобы
^>^кр(н20). A3.79)
Используя соотношения A3.77), A3.79), A3.72), получаем усло-
условие существования волны Н10 и затухания волн типа Нт0 со зна-
149

чениями m = 2, 3, 4...:
2a>l>a. A3.80)
При соблюдении этого неравенства выполняется неравенство
к> 0,91а = A,Kp(Ell).
Следовательно, неравенство A3.80) обеспечивает затухание любой
волны электрического типа.
В неравенство A3.80) входит только размер а волновода.
Размер Ь определяет критические .длины волн для волн типа
НОп. Оба размера (а и Ь) определяют критические длины волн для
волн типа Нтп с<у значениями т и м, отличными от нуля, и для
волн типа Етп. Основной среди волн типа НОп является волна типа
Hoi с критической длиной волны, равной 2Ъ. Для исключения волны
типов Но„ с п> 1 достаточно потребовать соблюдение неравенства
Ь>2& = А,кр(Нв1). A3.81)
Запишем условия A3.80) и A3.81) совместно:
2а>Х>а, Х>2Ь. A3.82)
Неравенства A3.82) обеспечивают условия единственности суще-
существования основной волны типа Н10.При их соблюдении невозможно
возникновение волн других типов, как электрических, так и маг-
магнитных.
При решении практических задач важно знать структуру поля
в волноводах для волн различных типов. Покажем, как можно оп-
определить картины поля без детального математического анализа,
с помощью граничных условий у поверхности идеального металла..
После этого будет приведена строгая методика построения картин
поля.
§ 13,6. Определение картин поля в прямоугольном волноводе
с помощью граничных условий у поверхности
идеального металла
Предлагаемая здесь методика построения картин поля не явля-
является строгой и носит скорее мнемонический характер. Она базируется
на следующих основных положениях:
а) волны электрического типа обладают продольной составляю-
составляющей электрического поля, ориентированной вдоль оси распростране-
распространения; магнитное поле расположено в поперечной плоскости;
б) волны магнитного типа обладают продольной составляющей
магнитного поля, ориентированной вдоль оси распространения;
электрическое поле расположено в поперечной плоскости.
в) электрические силовые линии подходят нормально к поверх-
поверхности идеального металла; у поверхности металла не может быть
тангенциального электрического поля;
г) магнитные силовые линии подходят тангенциально к поверх-
поверхности идеального металла и представляют собой замкнутые петли;
150

д) индекс т типа волны показывает число вариаций поля между
стенками волновода в направлении оси х\
е) индекс п типа волны показывает число вариаций поля между
стенками волновода в направлении оси у\
ж) магнитные и электрические силовые линии ортогональны.
Основываясь на этих общих положениях, покажем построение
картин поля в случае волн электрического типа. Прежде всего вы-
выясним возможность существования волн с нулевыми индексами, т. е.
волн типов Еоо, Е10, Е01.
Волна электрического типа должна обладать продольной состав-
составляющей электрического поля. Рассмотрим поперечное сечение волно-
волновода в координатах х, у (рис.. 13.2).
В средней части сечения изобразим продольную составляющую
электрического поля, ориентированную вдоль оси z. В плоскости
поперечного сечения след этой составляющей обозначим крестиком.
В случае волны типа Еоо не существует вариаций поля вдоль осей
хну. Следовательно, аналогичные продольные составляющие элект-
электрического поля должны без изменения интенсивности поля возникнуть
у боковых и у горизонтально расположенных стенок волновода
(крестики на рис. 13.2). При этом электрическое поле у поверх-
поверхности металла было бы расположено тангенциально, что невозможно.
Значит, волна типа Еоо возникнуть не может. По аналогичным сообра-
соображениям невозможны волны типов Eoi и Ei0.
Таким образом, основной волной электрического типа является
волна Eli9 обладающая одной вариацией поля вдоль оси х- и одной
вариацией вдоль оси у. В такой волне магнитное поле расположено
в плоскости поперечного сечения. Изобразим его в виде пунктирных
замкнутых петель (рис. 13.3).
Магнитное поле формируется за счет составляющих Нх и Ну.
Петля подходит тангенциально к стенкам волновода, что согласу-
согласуется с граничными условиями. Каждая из составляющих поля дос-
достигает максимума в средней части стенок и спадает к их краям.
На рис. 13.3 показаны эпюры составляющих Нх и Ну. Каждая
из них дает одну вариацию поля вдоль оси х и у, что соответст-
соответствует индексам исследуемой волны. По мере продвижения от стенок
волновода к середине сечения густота магнитных силовых линий
уменьшается до нуля. Таким образом, если рассматривать, напри-
например, изменение составляющей поля Нх ^
вдоль оси у, то поле от максимального Е
значения у верхней стенки уменьшится
н
Яг
у//////////////////.
+ + +
+
Рис. 13.2
/////777///////////
а
Рис. 13.3
151

до нуля при */= Ь/2 и далее возрае+етдо максимального значения
при у — О.
Следовательно, имеет место одна вариация поля Нх вдоль оси //.
Аналогично изменяется составляющая поля Ну вдоль оси х.
Изображенное магнитное поле удовлетворяет поставленным ус-
условиям. Электрические силовые линии должны быть ортогональны
магнитным, подходить нормально к стенкам волновода и иметь про-
продольную составляющую. Руководствуясь этим, можно изобразить
это поле на рис. 13.3 в виде сплошных линий, представляющих собой
полу петли уходящие вдоль оси г. Задавшись произвольным нап-
направлением поля Н, следует выбрать направление поля Е исходя из
того, что волна распространяется вдоль оси г и вдоль этой оси дол-
должен быть ориентирован вектор Пойнтинга. Как известно, последний
определяется выражением П = [Е Н] и представляет собой вектор-
векторное произведение вектора Е на вектор Н. Ориентацию векторного
произведения определяют по правилу движения правоходового винта,
рукоятка которого поворачивается по кратчайшему пути от векто-
вектора Е к вектору Н. На рис. 13.4 волна типа Еп показана в другой
проекции—в координатах х, г.
Рис. 13.4 соответствует сечению АА на рис. 13.3. Точки и крес-
крестики представляют собой следы магнитных силовых линий. Картина
поля перемещается вдоль оси z с фазовой скоростью уф, определяе-
определяемой выражением A3.60). Расстояние между точками одинаковой
фазы представляет собой длину волны в волноводе %ь, которая может
быть рассчитана с помощью формулы A3.63).
После построения картины поля волны типа Еп нетрудно пост-
построить картины поля электрической волны любого типа. Допустим,
желательно получить картину поля волны Е23. Эта волна должна
обладать двумя вариациями поля вдоль оси х и тремя вариациями
поля вдоль оси у.
Разобьем пространство между боковыми стенками вдоль оси х
на две равные части и пространство вдоль оси у на три равные
части. В результате на рис. 13.5 поперечное сечение волновода будет
разбито на шесть отсеков.
В каждом отсеке независимо построим картину поля волны типа
Еп, первоначально не указывая направления силовых линий. Пос-
Рис, 13,4
Рис. 13.5
152

шш/штжшшшшжж
eyeVe
Рис. 13.6
ле этого в каком-либо из
отсеков определим направ-
направление силовых линий так,
как было сделано при по-
построении картины поля вол- j
ны типа Е31. Все соседние
силовые линии в других
отсеках должны быть на-
направлены в одну сторону,
так 'как в противном слу- ^
чае они уничтожали бы
друг друга.
На рис. 13.6 это поле,
показанное в координатах
х, г, соответствует сечению J
АА на рис. 13.5. При по-
построении поля волны типа
Етп с любыми значениями
индексов следует разбить
пространство между боковыми стенками на т равных частей и про-
пространство между верхней и нижней стенками на п равных частей.
Далее в каждом отсеке нужно построить картину поля волны
типа Е±1.
Затем перейдем к построению картин поля волн магнитного типа.
Определим возможность существования волны с двумя нулевыми ин-
индексами, т. е. волны типа Ноо. Электрическое поле в волнах маг-
магнитного типа располагается в плоскости поперечного сечения, т. е.
в координатах ху. Попробуем обеспечить отсутствие вариации поля
вдоль координаты у за счет ориентации электрических силовых
линий вдоль оси у (см. рис. 13.7) и создания одинаковой их гус-
густоты вдоль оси х во избежание изменения поля вдоль этой оси.
В этом случае должны существовать электрические силовые линии
у боковых стенок волновода так, как показано на рисунке. При
этом должно существовать тангенциальное электрическое поле у
боковых стенок волновода, что невозможно.
Второй вариант показан на рис. 13.8, где электрическое поле
нормально к боковым стенкам волновода и обеспечивается отсутст-
отсутствие его вариации вдоль координаты х. При этом нельзя обеспечить
отсутствия вариации поля вдоль координаты г/, так как возникли
1
ъ
X
1
у(
/УУУУУУтУУУУУУУУУУУУУУУУ/
\ 1
/УУУУУуУуУ/у,
УУУУУУУУУУУЛ
а
Рис. 13,7
а
Рис. 13,8
Рис. 13,9
153

Ф © E
H
/V777//////y//////////////x/////////////////У/////.
/**
N ©
© /'
\©©/
©!©(©
У/////////////////////////////////////////////У//.
4-4-
Mill:
t »
V/////////////////////////
Рис. 13.10
Рис; 13.11
бы тангенциальные составляющие электрического поля у нижней
и верхней стенок волновода, показанные на рисунке. Таким обра-
образом, волна типа Ноо существовать не может.
Рассмотрим волну типа Н10, имеющую одну вариацию поля вдоль
оси х и нуль вариаций поля вдоль оси у. Расположим электри-
электрические силовые линии вдоль оси у и сделаем так, чтобы густота
их уменьшалась по мере приближения к боковым стенкам волновода
(рис. 13.9). У боковых стенок электрическое поле должно умень-
уменьшаться до нуля для обеспечения граничных условий. На рисунке
электрические силовые линии подходят нормально к верхней и
нижней стенкам.
Магнитное поле имеет продольную составляющую и должно быть
ортогонально электрическому полю. Таким образом, магнитное поле
представляет собой горизонтальные петли, расположенные в коор-
координатах х, 2. На рис. 13.9 пунктиром показаны торцевые части
этих петель. Густота петель вдоль оси у одинаковая, они подходят
тангенциально к стенкам волновода, что соответствует граничным
условиям у поверхности идеального металла. На рис. 13.10 пока-
показано поле волны типа Н10 в координатах х, г. Крестиками и точ-
точками обозначены следы электрических силовых линий. После выбора
направления магнитных линий направление электрических силовых
линий выбирают так, чтобы вектор Пойнтинга был направлен в сто-
сторону положительных значений оси г. Соседние силовые линии нап-
направлены в одну сторону.
H2Q Hfl2
' Е
Н
i
X
уТуууУ^УУ^Уу
I
— ¦
—
1 -
...
:
--
-E
Ш
....
¦-
I-
i
I I I
МММ
Iff ft t
М 1 i 1 М 1
Рис, 13.12
а
Рис. 13,13
154

0ФЕ
Н
Рис. 13. И
Картину поля волны типа Н01 строят аналогично. Она отлича-
отличается от картины поля волны типа Нто тем что оси х и у как бы
меняются местами. Эту картину легко получить путем поворота поля
волны типа Hi0 в плоскости поперечного сечения на 90° по часовой
стрелке или против нее. Картина поля волны типа Hoi в плоскости
поперечного сечения показана на рис. 13.11.
Зная картины поля волн Н10 и HGi, можно построить картины
поля волн типа Нт0 или HG/2. В случае волны типа Нт0 расстоя-
расстояние между боковыми стенками волновода разбивают .на т частей и
в каждом из образовавшихся отсеков независимо строят картину
поля волны типа Hi0. В случае волны типа Но„ расстояние между
нижней и верхней стенками волновода разбивают на п частей и в
отсеках строят картину поля волны типа Hoi.
На рис. 13.12 дана картина поля волны типа Н20, а на рис. 13.13 —
волны типа Н02. На рис. 13.14 показана картина поля волны типа
Н20 в координатах х> г. Поле волны Нг1 должно обладать одной
вариацией вдоль оси х и одной вариацией вдоль оси у. Электри-
Электрическое поле находится в плоскости х9 у. Магнитное поле обладает
продольной составляющей. Электрические силовые линии должны
подходить нормально к стенкам волновода. Очевидно, для обеспече-
обеспечения вариации поля электрические силовые линии не могут идти
вдоль оси х или у и должны претерпевать изгиб, как показано на
рис. 13.15. Поле Н ортогонально полю Е. Поле действительно
имеет одну вариацию вдоль осей х и у. Магнитное поле обладает
продольной составляющей и ортогонально электрическому полю.
Торцевые части петель показаны на рисунке пунктирными линиями.
Взаимное направление электрических и магнитных силовых линий
выбирают так, чтобы вектор Пойнтинга был ориентирован вдоль
оси г. Соседние силовые линии направлены в одну сторону.
155

Построение картин поля волн типа Нтп с ненулевыми индексами
тип производят по принципу, изложенному ранее. Расстояние
между боковыми стенками волновода разбивают на т частей, а рас-
расстояние между нижней и верхней стенками—на п частей. В каждом
из отсеков независимо строят картину поля волны типа Hfl, Пример
такого построения дан на рис. 13.16, на котором показана картина
поля волны типа Н22 в координатах х,у. В поле волны типа Н22,
так же как в поле волны типа Е23 (см. рис. 13.6), электрические
силовые линии образуют не только полу петли, опирающиеся на стен-
стенки, но и замкнутые петли, как и магнитные силовые линии.
Изложенная методика построения картин поля не является строгой.
На примере картины поля волны типа Н10 будет показан анали-
аналитический метод построения подобных картин.
§ 13,7. Аналитический метод построения картин поля
в прямоугольном волноводе
Метод целесообразно показать на примере построения конкрет-
конкретного поля, например поля основной волны типа Н10. Формулы
A3.52) — A3.57) позволяют определить составляющие поля волн
магнитного типа. Для рассматриваемого типа волны т=1, л = 0.
Подставляя эти значения в указанные формулы, получим выра-
выражения для составляющих поля:
156

Введем обозначения
С учетом этих обозначений отличные от нуля составляющие поля
запишутся в следующем виде:
hz, A3.90)
r = Cacos(?*Je->*f A3.85)
-J'hz. A3.91)
Приведенные выражения дают комплексные амплитуды поля.
Картина поля в волноводе перемещается с фазовой скоростью. Для
получения картины поля следует сделать как бы мгновенную его
фотографию. Другими словами, надо от комплексных амплитуд поля
перейти к мгновенным значениям и далее зафиксировать время.
Переход осуществляют с помощью формул A.157). Тогда можно
написать
A.3.92)
Подставляя в эти выражения значения Нх, Hz, Ё из формул
A3.90), A3.85), A3.91), получаем
s= Re (jAt sin (Л*) {cos(co^—Яг) + / sin (со/—hz)}}9
Hz(t) = Relc2cos fix) &№-**) \ =
s=Re/C2cos (^x) {cos(co/ — hz) + j sin (cot—hz)}\9
= Re/—jA2sin (^x) {cos(coi—hz) + j sin (oof—hz)}\.
Отбрасывая мнимые части, можно написать выражения для мгно-
мгновенных значений составляющих поля:
(jx} cos(<ot —hz), \ A3.93)
Ey (t) = Лa sin (j x ) sin (at —hz).
157

A3.96)
Полученные составляю-
составляющие поля не зависят от ко-
координаты у и являются функ->,
циями координат х и z.
Изобразим на рис. 13.17
картину изменения вектора
H^@) в плоскости х, hz,
используя формулу A3.94).
Построим на рис. 13.18 в
этой же плоскости картину
изменения вектора Hz@), ис-
используя формулу A3.95).
Суммарное магнитное поле
будет определяться суммой
векторов НДО) и Нг@). В
результате сложения полей
возникают замкнутые силовые
линии, показанные на рис.
13.19. Вектор Ej,(O) ориен-
ориентирован вдоль оси у. Его
изменение определяется фор-
формулой A3.96). В плоскости
х, hz этот вектор можно по-
158
Далее следует зафикси-
зафиксировать время. ?Для просто-
простоты выберем время ^ = 0. При
этом выражения A3.93) за-
запишутся в виде

казать в виде крестиков и точек, густота которых изменяется по
синусоидальному закону вдоль осей х и hz.
Суммарное электромагнитное поле в плоскости х, (hz) показано
на рис. 13.20, а в плоскости х> у—яг рис. 13.21. Эти рисунки ана-
аналогичны рис. 13.10 и 13.9, построенным без строгого матема-
математического анализа, на основании общих положений. Аналогично
могут быть получены аналитические выражения для строгого по-
построения картин поля волн любых типов.
ГЛАВА 14
КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД
§ 14.1. Решение основного уравнения для продольных
составляющих поля в круглом волноводе
Запишем основное уравнение для волн электрического типа A2.9):
При анализе круглых цилиндрических систем целесообразно
использовать цилиндрическую систему координат, расположив их
так, как показано на рис. 14.1. Выберем следующее соответствие
цилиндрических и криволинейных координат:
Ъ->гу т]-*ф, ?-**, АБ=1, йч = г. A4.1)
Координатная система удовлетворяет ограничениям A1.36), и
использование основного уравнения и формул перехода возможно.
Применяя соотношения A4.1), получаем уравнение A2.9) в виде
В аналогичной форме может быть записано основное уравнение
для продольной составляющей Hz0 в случае волны магнитного типа:
т1э?'г-
дг
, д /1 дНг0
~* дер \ г дер
A4.3)
Дальнейшее решение основных уравнений покажем на примере
волн электрического типа. Раскро-
Раскроем скобки в уравнении A4.2):
1
"Г г2
д*Ё,
=0. A4.4)
Умножим уравнение на г2, что-
чтобы освободить вторую производ-
производную по ф от членов, содержащих г:
Рис. 14.1
159

Следуя методу Фурье, положим
? A4.6)
где R(r)—функция только координаты г; Ф(ф)—функция только
координаты ф.
Подставим выражение A4.6) в уравнение A4.5) и осуществим
дифференцирование:
^?§ ^-0. A4.7)
Разделим это уравнение на произведение /?Ф:
Первые три слагаемых в полученном уравнении являются функ-
функцией только координаты г и не зависят от координаты ф. Послед-
Последнее слагаемое является функцией только координаты ф и не зави-
зависит от координаты г.
В результате можно сказать, что сумма двух функций, одна
из которых зависит от координаты г, а ¦ вторая — от координаты ф,
равна нулю. Подобное положение возможно только тогда, когда
первая и вторая функции в отдельности равны одному и тому же
постоянному числу, причем, если в первом равенстве взят опреде-
определенный знак перед этим числом, то во втором равенстве знак дол-
должен быть изменен на обратный. Из этих соображений уравнение
A4.8) можно разбить на два независимых соотношения:
= m>, (Н.9)
Умножив соотношение A4.9) на R и разделив на г2, получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение для функции R:
Умножив уравнение A4.10) на Ф и перегруппировав члены,
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции Ф:
^ + т'Ф=0. A4.12)
Электромагнитная волна распространяется вдоль оси z и в пло-
плоскости поперечного сечения вследствие интерференции колебаний,
пришедших разными путями в одну точку, возникают стоячие волны,
В одной и той же точке поперечного сечения в один и тот же момент
№

времени не может быть различных полей. Кроме того, поле в любой
точке волновода должно быть конечным. Поэтому функция Ф должна
быть конечной, периодической по ф, а функция R — конечной при
изменении радиуса г от нуля до г0.
С учетом сказанного запишем решение уравнения A4.12)
4 in(m(p). A4.13)
Поскольку при исследовании распространения волн в круглом
волноводе выбор начала отсчета угла ср произволен, без нарушения
общности анализа можно положить
A4.14)
A4.15)
Тогда функция
Число т может принимать любое целое значение, начиная с нуля.
Уравнение A4.11) исследовалось Бесселем [8,9]. Решение этого
уравнения записывается в виде
A4.16)
Первое независимое решение Jm (gr) называют функцией Бесселя
первого рода порядка т.' Следует учитывать, что порядок функ-
функции т представляет собой коэффициент, входящий в решение A4.15)
для функции Ф. Он определяет число вариаций поля по углу ср.
Таблицы и графики функций Jm{gr) имеются в многочисленных
справочниках [24]. Графики функций трех первых порядков пока-
показаны на рис. 14.2.
Как следует из рисунка, характер функций Jm(gr) при измене-
изменении аргумента затухающий, колебательный. В пределах всего диа-
диапазона изменения аргумента функции Jm(gr) остаются конечными.
Второе независимое решение Nт (gr) называют функцией Бесселя
второго рода порядка т, или функцией Неймана порядка т. Поря-
Порядок, так же как и в функциях Бесселя первого рода, определяет
число вариаций поля по углу ф. Функции Бесселя второго рода
сходны с функциями Бесселя первого рода, за исключением точки
1,0
0,5
о
-0,5
\
1
is
\
X
X
\
\
\
\
h
\
у.
\
\
дг)
/
/
8/
v
}\
4°
Рис, 14,2
Рис, 14.3
644
161

gr = O, где эти функции устремляются к —оо. Графики указанных
функций первых трех порядков приведены на рис. 14.3. Постоян-
Постоянные интегрирования Вх, В2 в выражении A4.16) могут принимать
различные значения в том числе мнимые, в зависимости от конкрет-
конкретных условий решаемой задачи. При этом решение записывается
в виде
, A4.17)
или
*i = В4 {Jm (gr)-jNm (gr)} = В<Н% (err). A4.18)
Функции H$(gr),- H%y(gr) называют соответственно функциями
Бесселя третьего и четвертого рода порядка т, или функциями
Ханкеля первого и второго рода порядка т. Если при исследова-
исследованиях взят временной множитель ёы (а не е~/0)'), то решение A4.18)
соответствует цилиндрической бегущей волне, распространяющейся
от оси z в радиальном направлении и затухающей до нуля в беско-
бесконечности. Решение A4.17) соответствует цилиндрической волне,
распространяющейся из бесконечности к оси г\ его можно рассмат-
рассматривать как цилиндрическую волну, отраженную от цилиндрического
препятствия, симметричного относительно оси г. При временном
множителе е--'40* возникает обратная ситуация—функция H{$(gr)
соответствует падающей волне, а функция ЯB) (gr) —отраженной
волне.
В круглом волноводе не могут существовать радиальные волны.
Поле распространяется вдоль оси г. В силу этого решения с функ-
функциями Ханкеля должны быть отброшены.
Также не имеет физического смысла решение, использующее
функцию Неймана. В реальных волноводных системах не могут
существовать бесконечно большие поля в пределах всего простран-
пространства волновода, занятого полем. В круглом волноводе ось волно-
волновода, соответствующая значениям г==0, является частью простран-
пространства, в котором существует поле. Следовательно, при исследовании
процессов в круглом волноводе в решении A4.16) следует положить
Яя = 0. A4.19)
С учетом этого на основании формул A4.6), A4.15), A4.16)
можно найти продольную составляющую электри-
электрического поля:
A4.20)
где
Сг = ВгА±. A4.21)
Следует сказать, что при рассмотрении волн
волноводного типа в коаксиальном волноводе, се-
сечение которого показано на рис. 14.4, необходимо
Рис. 14.4 учитывать, что в случае идеально проводящих сте-
162

нок электромагнитное поле может существовать в пространстве, нахо-
находящемся между радиусами гх и га. Таким образом, в этой системе
текущее значение радиуса может изменяться от г± до г2 и значения
gr=.O в пространстве, занятом полем, не существует. Следовательно,
в решении A4.16) нет оснований приравнивать коэффициент В2
нулю. В диапазоне изменения аргумента бесселевых функций от
grf до gr2 функция Неймана конечна, и ее не следует отбрасывать.
В силу того что основное уравнение A4.3) для продольной
составляющей магнитного поля HZQ аналогично основному уравне-
уравнению A4.2) для Ezo, решение для Н20 следует написать в форме
A4.20):
A4.22)
Полученные формулы для продольных составляющих поля дают
возможность провести полный анализ волн электрического и маг-
магнитного типов.
§ 14.2. Волны электрического типа
В случае волны электрического типа составляющая Ё20 каса-
тельна к стенкам Еолновода, и граничные условия у поверхности
идеального металла записываются в виде
Ё20^0 (при г = г0).
Применяя выражение A4.20), получаем
' CtJm (gr0) cos (т<р) = 0,
A4.23)
откуда
Jm(gro) = O. . A4.24)
Как следует из графиков функций Бесселя (см. рис. 14.2), функ-
функция каждого порядка обладает бесконечно большим числом значе-
значений аргумента gr, при котором функция обращается в нуль. Эти
значения называют корнями функций Бесселя и обозначают г\тп,
где т — порядок функции; п — порядковый номер корня, начиная
со значений gr, отличных от нуля. Рис. 14.5 иллюстрирует сказан-
сказанное. В табл. 14.1 приведены некоторые значения корней х\тп функ-
функций Jm(gr)..
W)
Таблица 14.1 ^
1
2
3
2
5
8
0
,405
,520
,654
3
7
Ю
т
1
,832
,016
,174
5
8
11
2
,135
,417
,620
0,5-
0
-0,5
\
\
\
2 \
W
//?=
7
/
6
К
V
8\ >
п-5
Рис. 14,5
6*
163

Таким образом, условие A4.24) выполняется, если справедливо
соотношение gro=i\mn.
Поскольку значения г\ зависят от индексов тп, целесообразно
эти же индексы приписать поперечному волновому числу:
gmnrQ=r\mnJ gmn=4mnlru- • A4.25)
При этом вместо выражения A4.20) для составляющей Ё20 можно'
написать
A4.26)
Далее можно определить составляющие поля в круглом волно-
волноводе в случае волны электрического типа. Используя формулы пере-
перехода A2.51), A2.53) — A2.57), выполняя условия A2.64) и соответ-
соответствие координат A4.1), получаем следующие соотношения:
?г = — /4---%?е-'Лг, A4.27)
?г = ?гое-'йг, A4.29)
Hr = j^-^^e-^f A4.30)
if ¦ (oea oEzo o~jhr /|д on
Я2=0. A4.32)
Для получения окончательных выражений используем формулы
A4.25) и A4.26):
A4.33)
A4.34)
Щтп v r° J
¦ г ) cos (mcp) e~ihz, A4.35)
4,m (f)(p)-/»«, A4.36)
Щтп \ о /
^--/—^C^^rjcos^^e-/^, ' A4.37)
1\тп \ ' о /
Я2=0. A4.38)
Здесь

Продольное волновое число h определяется из формулы A3.35).
Подставляя в нее значение gmn A4.25), получаем
§ 14.3. Волны магнитного типа
В случае волны магнитного типа составляющие поля опреде-
определяются соотношениями A2.58) — A2.63), которые при соблюдении
условий A2.64) и соответствия координат A4.1) могут быть записаны
в таком виде:
Производная функции Бесселя по аргументу равна нулю при
г=-г0. Так как функция Бесселя первого рода носит колебатель-
колебательный характер, ее производная также будет колебательной
функцией.
На рис. 14.6 приведены функция J0(gr) и ее производная.
Как следует из рисунка, граничное условие A4.49) удовлетво-
удовлетворяется при бесконечно большом числе дискретных значений аргу-
аргумента gr. Каждое такое значение аргумента соответствует при задан-
заданном радиусе волновода определенному поперечному волновому числу
g и, следовательно, определенному типу волны.
165
Тангенциальной к стенкам волновода является составляющая
поля ?"ф. Найдем ее с помощью выражений A4.45) и A4.22):

Обозначим значения корней производной функций Бесселя \хтп,
где т—порядок функции; п—порядковый номер корня, начиная
со значений gr, отличных от нуля. Тогда граничные условия A4.49)
будут удовлетворены при gro = ixmn. Каждому значению индексов
m, n будет соответствовать определенное значение g. Поэтому сле-
следует написать
откуда
§тп
A4.50)
В табл. 14.2 приведены некоторые значения корней \imn произ-
производной функций Бесселя.
Таблица 14.2
1
2
3
3
7
10
0
,832
,016
,174
1
5
8
т
1
,840
,335
,536
3
6
9
2
,054
,705
,965
W
0,5
О
*0,5
\
\
\
\
\
/1
\
\
Л
Of
=/
\
/
\
1+
А
09
1
j
La
X
Роз
jr-3
\
\
й
'.—<
10
Рис. 14.6.
Далее можно получить окончательные выражения для состав-
составляющих магнитного поля в круглом волноводе, используя формулы
A4.41) —A4.46), A4.22) и A4.50):
Нг = - / р CtJ'm
¦H9 = j Ц~ C2mJm (Z
ад,
= 0.
cos(mq))e-ihz,
)е-»«,
81й(тф)е-^,
соз(тф)е-^,
A4.51)
A4.52)
A4.53)
A4.54)
A4.55)
A4.56)
Продольное волновое число A3.35) приобретает вид
A4.57)
166

§ 14.4. Фазовая скорость, длина волны в волноводе,
критическая длина волны. Волны основных типов
в круглом волноводе
Для круглого волновода справедливы выведенные ранее выра-
выражения A3.60), A3.61), A3.63).
Общим для критической длины волны является выражение A2.43).
В случае волн электрического типа g = gmn= r\mn/rQ и критиче-
критическая длина волны
Основной волне соответствует наибольшее значение критической
длины волны и, следовательно, наименьшие значения х\тп и \лтп.
Из табл. 14.1 и 14.2 следует, что наименьшими значениями цтп
и \imn являются: T)oi = 2,405 и |лп= 1,840.
Таким образом, в случае волн электрического типа основной
является волна типа Ео1 с критической длиной волны
Видно, что критическая длина волны основной волны магнитного
типа больше критической длины волны основной волны электриче-
электрического типа.
§ 14.5. Условия существования волн различных типов
в круглом волноводе
Определим критические длины волн для колебаний, ближайших
к основным волнам электрического и магнитного типов.
Из табл. 14.1 следует, что ближайшим к r]oi числом является
Ли = 3,832. Этому числу соответствует волна типа Еи с критической
длиной волны
Из табл. 14.2 видно, что ближайшим к \iu числом является
М<21 = 3,054. Этому числу соответствует волна типа Н21 с критиче-
критической длиной волны
167

Волна типа Еп не может возникнуть в волноводе при условии
^ > ^кр (Еи) = 1 »64г0.
Аналогично, невозможны волны типа Н21 при условии
Если желательно, чтобы в волноводе существовала основная
волна электрического типа Ео1 и не возникали волны высших элек-
электрических типов, необходимо соблюдение неравенства
ХкР(Ев1) = 2,61г0>^>1,64г0. A4.64)
Если желательно, чтобы в волноводе существовала основная
волна магнитного типа Нп и не возникали волны высших магнит-
магнитных типов, требуется соблюдение неравенства
^кр(н11)-3,41г0>Я>2,05г0. A4.65)
Сравнительная оценка позволяет сделать вывод, что при соблю-
соблюдении левой части неравенства A4.64) 2,61го>?^ будет выполнена
левая часть неравенства A4.65): 3,41го>А,.
Следовательно, будут соблюдены условия существования не
. только волны типа. Е01, но и волны типы Н1]:. Другими словами,
невозможно путем правильного выбора радиуса волновода обеспе-
обеспечить единственность существования основной волны электрического
типа. С другой стороны, возможна единственность существования
основной волны магнитного типа при выполнении неравенства
3,41го>^>2,61го. A4.66)
При этом обеспечивается существование волны типа Hliy невоз-
невозможно возникновение волны типа Ео1 и в силу соблюдения правых
частей неравенств A4.64) и A4.65) невозможно создание волн выс-
высших типов. Неравенство A4.66) может быть переписано в иной
форме:
ty2,61>ro>ty3,41, A467)
Неравенства A4.66) и A4.67) являются условиями единствен-
единственности существования основной волны магнитного типа в круглом
волноводе.
Сравнивая значения корней функций Бесселя х\тп в табл. 14.1
со значениями корней производной функций Бесселя \imn в табл.
14.2, можно заметить справедливость следующего равенства:
Чт-^п- A4.68)
Это равенство вытекает из свойств функций Бесселя. На осно-
основании соотношений A4.58) и A4.59) вместо равенства A4.68) можно
записать
КНЕ1п) = К{нОп), ' A4.69)
Щ

Оказывается невозможным разделение волн типов Ein и НОп путем
рационального выбора радиусов волноводов. Если с помощью соответ-
соответствующей системы возбуждения в волноводе созданы волны типа Но„,
то они могут выродиться в волны типа Ein. Такое вырождение
волн является нежелательным явлением в круглых волноводах.
§ 14.6. Картины поля в круглом волноводе
Картины поля в круглом волноводе могут быть построены по
методу, описанному в § 13.7. Здесь приводятся конечные резуль-
результаты.
На рис. 14.7 показана картина поля в круглом волноводе в слу-
случае основной волны магнитного типа Hlf, на рис. 14.8 — картина
поля основной волны электрического типа Eoi, а на рис. 14.9 —
картины поля волн типов Но1 и Еп. Эти волны имеют одинаковую
критическую длину волны на основании соотношения A4.69) и мо-
могут вырождаться одна в другую.
Рис. 14.7
Рис. 14.8
Рис. 14.9
169

ГЛАВА 15
КРУГЛЫЙ КОАКСИАЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД
§ 15.1. Возможные типы волн в круглом
коаксиальном волноводе
В круглом коаксиальном волноводе (рис. 15.1) за счет централь-
центрального стержня возможны поперечные электромагнитные волны или
волны типа Т. В таком поле электрические силовые линии распо-
расположены радиально и опираются на заряды, находящиеся на цент-
центральном стержне и внутренней поверхности трубы. Магнитные си-
силовые линии представляют собой окружности, коаксиальные по
отношению к стержню волновода. Суммарное электромагнитное поле
находится в плоскости г, ф цилиндрической системы координат,
которая перпендикулярна оси распространения г, совпадающей
с осью волновода.
Помимо волн типа Т в коаксиальном волноводе возможно су-
существование волн электрического и магнитного типов. Распростра-
Распространение этих волн происходит путем многократного отражения поля
от внутренней поверхности трубы и центрального стержня анало-
аналогично процессу, происходящему в волноводах.
В настоящей главе будет проведен анализ как волн типа Т9
так и волн электрического и магнитного типов в коаксиальном
волноводе.
§ 15.2. Волны типа Т
Так как в волнах типа Т отсутствуют продольные составляющие
электрического или магнитного поля, основные уравнения для этих
составляющих A2.9), A2.10) не могут быть положены в основу
рассуждений. Однако выражение для магнитного поля в таком
волноводе нетрудно найти путем применения закона полного тока:.
=7.
При использовании комплексных амплитуд закон полного тока
переписывается без каких-либо
изменений:
г ^у^ ^ \l d?Hdl = /. A5.1)
Рис. 15.1
Под током / следует пони-
понимать электрический ток, проте-
протекающий по центральному стер-
стержню волновода. В случае волн
типа Т вектор Пойнтинга ориен-
ориентирован вдоль оси распростра-
170

нения, и, следовательно, электромагнитное поле распространяется
вдоль оси волновода со скоростью света в среде, заполняющей
волновод. С такой же скоростью должен распространяться элек-
электрический ток вдоль центрального стержня. Пренебрегая потеря-
потерями в среде, коэффициент распространения у можно считать равным
фазовой постоянной C.
Изменение фазы вдоль оси распространения г подчиняется за-
закону е"^2. В силу этого ток, протекающий по центральному стержню,
/ = /ое-^, ¦ A5.2)
где /0—значение тока в точке г = 0.
Подставив ток / в выражение A5.1), получаем
(fHdl = ioe-#z. A5.3)
h
Выбирая в качестве контура интегрирования окружность, лежа-
лежащую в плоскости г, ф, и учитывая цилиндрическую симметрию
задачи, можно написать t
f
Подставляя результат в формулу A5.3), находим
или
Таким образом, определено полное магнитное поле, ориентиро-
ориентированное вдоль координаты ф.
Электрическое поле можно получить из первого уравнения
Максвелла. В случае отсутствия потерь можно записать
гоШ = /юеаЕ, A5.5)
откуда
Используя формулу для ротора вектора в цилиндрической си-
системе координат (см. приложение I), получим
или, подставляя в это выражение значение Яф из фррмулы A5.4),
го1Н=-17.^(Я/-) = -17-^(-Г-/ = 1^-НГ- A5J)
171

н
^
ее©©
^
Рис. 15.2
Все остальные члены rot H равны нулю. Далее с помощью вы-
выражений A5.6) и A5.7) легко получить формулу для напряженности
электрического поля в случае волны Т в коаксиальном волноводе:
Р —Р __ t Р °
соеа2лг
A5.8)
Так как
/&-*•¦
Подставим в эту формулу значение фазовой постоянной C G.54).
Тогда
A5.9)
A5.10)
A5.11)
Таким образом, может быть определено полное электромагнитное
поле волны типа Т в круглом коаксиальном волноводе.
Представляет интерес нахождение характеристического сопротив-
сопротивления коаксиального волновода, под которым понимают отношение
комплексных амплитуд напряжения и тока в заданном сечении
линии передачи. Используя формулы A.4), A5.11), можно опреде-
определить разность потенциалов между внутренним стержнем и внешней
оболочкой коаксиального волновода:
где Zc — характеристическое сопротивление среды, то
> p-/3z
2л
Разделив 0 на ток /, определяемый выражением A5.2), полу-
получаем характеристическое сопротивление коаксиального волновода ZR\
U
= ^2к1птг-
A5.12)
172

Коаксиальный волновод, работающий на волнах типа Т, можно
использовать со сколь угодно низких частот, в том числе для ка-
канализации постоянного тока, что является преимуществом подобных
волноводных систем.
На рис. 15.2 показана картина поля волны типа Т в круглом
коаксиальном волноводе.
§ 15.3. Волны электрического и магнитного типов
В § 14.1 указывалось, что при рассмотрении волн волноводного
типа в коаксиальном волноводе в решение основного уравнения
помимо функции Бесселя первого рода должна входить функция
Бесселя второго рода или функция Неймана. Эта функция обладает
особенностью при г = 0 и поэтому исключается из решения в обыч-
обычном круглом волноводе. В круглом коаксиальном волноводе простран-
пространство, занятое электромагнитным полем, лежит в следующем диапа-
диапазоне изменения радиуса (см. рис. 15.1):
гг<г<г2. A5.13)
При этом функция Неймана остается конечной, и ее необходимо
включить в решение.
Как было установлено в §14.1, решение основного уравнения
для продольной составляющей электрического поля Ёг0 в цилин-
цилиндрической системе координат дается формулами A4.6), A4.15),
A4.16). Подставляя выражения A4.15) и A4.16) в формулу A4.6),
получаем
Его = {BrJm (gr) + B2Nm (gr)\ A, cos (mcp),
или
A5.14)
Здесь
C1 = B1Ali С% = ВгА±. A5.15)
Выражение для продольной составляющей магнитного поля запи-
записывается аналогично:
A5.16)
Рассмотрим в качестве примера ход анализа волн электрического
типа в круглом коаксиальном волноводе.
Поле Ёг0 тангенциально к стенкам волновода. У поверхности
идеального металла справедливы следующие граничные условия:
при Г~Г*\. A5.17)
' — '2/
Применяя граничные условия в выражении A5.14), получаем
A5.18)
173

В этой системе уравнений Cit C2—постоянные, в общем случае
отличные от нуля, что возможно при равенстве нулю определителя
системы:
Nm(gr2)
= 0,
или
(gr2)-Jm (grt) Nm
= 0.
A5.19)
A5.20)
Соотношение A5.20) представляет собой трансцендентное уравне-
уравнение относительно поперечного волнового числа g. Для каждого
заданного порядка m-функций Бесселя и заданного отношения ра-
радиусов
rjrt = p A5.21)
уравнение может быть решено численно или графически. При этом
может "быть найдено бесконечное количество дискретных значений п
волновых чисел g, удовлетворяющих уравнению A5.20). Обозначим
корни этого уравнения gmn. Далее введем обозначение
й,ппН = Кп- A5.22)
В табл. 15.1 даны значения kmn, умноженные на (р—1), для
заданного отношения радиусов р и некоторых фиксированных зна-
значений порядка функций т и номера корня п.
Таблица 15.1
р
1,2
1,5
2,0
Р
1,2
1,5
2,0
(р—1) Лег
3,140
з;135
3,122
(Р- 1)*п
3,146
3,161
3,197
(р — \)kQ2!
6,282
6,280
6,273
<Р-1)*12
6,285
6,293 *
6,312
(Р- 1)^оз
9,424
9,423
9,418
(Р-1)^13
9,426
9,431
9,445
Выражение для критической длины волны A2.43) с учетом со-
соотношений A5.21), A5.22) записывается в виде
А — 2яг* _2лг1(р-1)= 2л (г2-гг) Пг9л,
кр~ kmn ~~(p-l)kmn (p-l)kmn- {Ю.Ы)
Составляющие поля для волн типа Етп можно определить с по-
помощью общих формул перехода A4.27)—A4.32).
Продольная составляющая электрического поля Ez0 определяется
формулой A5.14).
174

@ 8$
ффф
Рис. 15.3
В качестве примера на рис. 15.3 показана картина поля волны
типа Eoi в коаксиальном волноводе. Волны магнитного типа можно
исследовать аналогично.
В настоящее время волны типа Етп или Нтп не находят прак-
практического применения в коаксиальных волноводах, поскольку по-
потери в коаксиальном волноводе больше потерь в обычном круглом
волноводе. Линии передачи коаксиального типа работают на волнах
типа Т.
ГЛАВА 16
БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
КАК ПРИМЕР ВОЛНОВОДА МЕДЛЕННЫХ ВОЛН
§ 16.1. Постановка вопроса %
Плоская диэлектрическая пластина с параметрами |ia, еа толщи-
толщиной 2d в направлении координаты х, бесконечно протяженная вдоль
координаты у и оси г (рис. 16.1), помещена в воздухе. При z < О
пластина обрывается и входит в рупор, также бесконечно протя-
протяженный вдоль оси у и создающий электромагнитное поле, излучае-
излучаемое вдоль оси г. В результате воздействия этого поля в пластине
Рис. 16.1
175

и вокруг нее создается волна, параметры которой необходимо опре-
определить. В рупоре, где осуществляется возбуждение пластины,' вектор
Пойнтинга возбуждающего поля может иметь различное направление
относительно нормали к пластине, совпадающей с осью х. Если угол,
составленный вектором Пойнтинга и осью х, меньше угла полного
внутреннего отражения, то в соответствии с анализом подобных
процессов, проведенным в § 9.4, волна, попавшая изнутри диэлек-
диэлектрика на границу раздела диэлектрик — воздух, преломится на
границе и выйдет в воздух. Если угол, составленный вектором
Пойнтинга и осью х9 равен или больше угла полного внутреннего
отражения, то такая волна отразится от границы раздела с воздухом
и, попав под тем же углом на другую границу раздела, вновь
отразится от нее. Этот процесс будет продолжаться по мере прод-
продвижения волны вдоль оси г. В результате в диэлектрической пла-
пластине возникает волна обычного волноводного типа, распространяю-
распространяющаяся в пластине с фазовой скоростью, превышающей скорость
света в диэлектрике с. Другими словами, в пластине будет распро-
распространяться быстрая волна. В соответствии с явлением полного
внутреннего отражения (см. § 9.4) в воздухе у поверхностей пластины
образуется медленная волна, распространяющаяся вдоль оси г,
с фазовой скоростью, меньшей скорости света в воздухе с0. Обе
волны (внутренняя и внешняя) образуют единое электромагнитное
поле с одной и той же фазовой скоростью иф, удовлетворяющей не-
неравенству
с - —L=r < иф < co = —L= . A6.1)
V ^aSa У Ц0е0
Так как
с<с0У A6.2)
соблюдение этого неравенства вполне возможно.
Таким образом, волна, обладающая фазовой скоростью v$ внутри
и вне диэлектрика, по отношению к скорости света в диэлектрике
может быть быстрой, а по отношению к скорости света в воздухе—
медленной. В настоящей главе будут определены параметры подоб-
подобных волн и выяснены условия их существования.
Разумеется, бесконечно протяженная пластина представляет со-
собой идеализацию реальных волноводных систем, однако это сущест-
существенно упрощает анализ и позволяет наглядно проследить процессы,
происходящие в волноводах медленных волн.
§ 16.2. Вывод основных соотношений
Для определенности дадим вывод основных уравнений для волн
электрического типа. Исследование магнитного поля может быть
осуществлено аналогично.
Основным уравнением для продольной составляющей электри-
электрического поля быстрой волны, распространяющейся в пластине, будет
уравнение A2.9).
176

В декартовой системе координат справедливо соответствие
I—+ х, r|-*y, ?—>z, А6 = АЛ=1.
При этом основное уравнение записывается в форме
д*Ё20 , д*Ёг0 . 2t _0-
Поскольку пластина является бесконечно протяженной вдоль
координаты у (волна распространяется вдоль оси г) и нет от'раже-
ния поля от краев пластины, производная d2Ez0/dy2 = 0 и основное
уравнение записываются в виде
A6.3)
Решением этого уравнения будет соотношение
E ' A6.4)
Остальные составляющие поля, распространяющиеся в пластине,
можно получить с помощью общих формул перехода A3,24)—A3.28).
Подставляя в эти формулы решение A6.4), получаем следующие
соотношения для составляющих поля быстрой волны, распростра-
распространяющейся в пластине:
Ex = -j~ {- gA1sm(gx) + gA2cos(gx)\e-ihzy A6.5)
Ну = -/ ^ {-gA, sin (gx)+gA2cos (gx)} e-l**, A6.6)
E2 = {A1cos{gx) + A2sm{gx)}e--^. 4 A6.7)
Основным уравнением для продольной составляющей электри-
электрического поля медленной волны, распространяющейся в воздухе, бу-
будет уравнение A2.76).
Обозначим продольную составляющую электрического поля в воз-
воздухе ?ZOB. Переходя к декартовой системе координат и учитывая^
что производная дЁгов/ду = Оу получаем основное уравнение в форме
с решением
Ё^^В^-р' + В^*. A6.9)
Поверхностная волна убывает по мере удаления от замедляющей
системы, поэтому следует положить
В2-0 A6.10)
и записать решение в виде
?«. = В1е-'«. . A6.11)
177

Формулами перехода от продольной составляющей электрического
поля к поперечным составляющим являются соотношения A2.78) —
A2.82). Запишем их в декартовой системе координат:
4в=/?-%^е-^, ' A6.12)
^в = /?-%е-/Ч A6.13)
Я^-У^-^е-**, A6.14)
Я,в = /^°-%^е-^, . A6.15)
Н2В = 0. A6.16)
Подставляя в эти формулы решение A6.11), получаем соотно-
соотношения:
^/В/^ A6Л?)
B^**-*; A6.18)
Ёгв = В1е-Рхе^ш9 A6.19)
характеризующие поле медленной волны, распространяющейся в воз-
воздухе около пластины.
§ 16.3. Четные и нечетные волны. Определение
трансцендентных уравнений для поперечных
волновых чисел
Для определения поперечных волновых чисел g и р необходимо
применить граничные условия на границе раздела диэлектрик —воз-
—воздух. Из формул A6.5)—A6.7) следует, что каждая составляющая
поля в пластине складывается из двух слагаемых. Для упрощения
выводов решение обычно проводят для двух частных случаев: 1) ампли-
амплитудный коэффициент А± — 0\ 2) амплитудный коэффициент А2~0.
В первом случае составляющие поля Ёх, Ну,определяющие век-
вектор Пойнтинга, ориентированный вдоль оси z, изменяются по зако-
закону cos(g"x), т. е. по четному закону, во втором случае — по закону
sin(gx), т. е. представляет собой нечетные функции координаты х.
Первый случай соответствует четным волнам, второй — нечетным
волнам. Рассмотрим их отдельно.
1. Четные волны А1 = 0. Запишем тангенциальные к границе
раздела воздух—диэлектрик составляющие поля в пластине при
А
-ihz, A6.21)
178

или, применяя граничные условия (8.9), (8.17),.
Йу = Нуъ (при x = d), ' A6.22)
Ёг = Ёгв (при x = d), 4 ' A6.23)
—°
_/ 2!i Л2 cos (grf) е-'йг = /
Разделив почленно второе уравнение на первое и произведя со-
сокращения, получаем
Умножая обе части на eod, получаем трансцендентное уравнение,
связывающее поперечные волновые числа g и р в случае четных
волн:
^gdtg(gd)=pd. A6.24)
2. Нечетные волны Л2 = 0. При этом тангенциальные к границе
раздела воздух — диэлектрик составляющие поля в пластине запи-
записываются в форме
-<te, A6.25)
A6.26)
или, применяя граничные условия A6.22), A6.23),
/¦^ A1sm(gd)e-'hz = —j^SBju-^e-^,
6 г
Аг cos (gd) e~ihz = Вхе
Разделив почленно второе уравнение на первое, находим
Умножая обе части на eod, получаем трансцендентное уравнение,
связывающее поперечные волновые числа р и g в случае нечетных
волн:
?-pd. A6.27)
§ 16.4. Решение трансцендентных уравнений и определение
поперечных волновых чисел. Критические частоты
в случае электрических волн различных типов
Полученные трансцендентные уравнения для четных и нечетных
волн содержат неизвестные gup. Для их определения необходимо
ввести еще одно уравнение, которое можно получить с помощью
179

выражений A2.26), A2.74) для продольных волновых чисел ft, запи-
записанных для быстрых и медленных волн.
В рассматриваемом случае медленные волны распространяются
в воздухе, для которого juta = fx0, ea = e0. Следовательно, продольное
волновое число для медленных волн
A6.28)
Как указывалось в § 16.1, фазовая скорость быстрой и медлен-
медленной волн должна быть одной и той же. В силу справедливости соот-
соотношения A2.19) должны быть одинаковыми и продольные волновые
числа. Приравнивая выражения A2.26) и A6.28), получаем
ИЛИ
Умножая это соотношение на d2:
A6.29)
и вводя обозначение
где
7? = cod У |iaea — \10%9
получаем
. A6.30)
A6.31)
Соотношение A6.31) представляет собой уравнение окружности
в координатах gd я pd радиуса R. Решая совместно трансцендент-
трансцендентные уравнения A6.24), A6.27) и уравнение A6.31), находят зна-
значения поперечных волновых чисел g и р.
Решение может быть осуществлено с помощью ЭВМ или графи-
графически. На рис. 16.2 и 16.3 показано графическое решение этих
Четные долны
Нечетные долны
ЗЯ/2 2f
Рис, 16.2
Ж Зя/2 2к 5fill yd
Рис. 16,3
180

уравнений. Точки пересечения окружностей с кривыми ~gd tg (gd) =
== pd и —— gd ctg (g"d) = pd дают значение gd и pd, откуда для за-
^а
данной полутолщины пластины d определяют поперечные волновые
числа gup. При изображении кривых следует помнить, что зна-
значения pd и gd .должны быть положительными, что соответствует
наличию или отсутствию тангенсоид или катангенсоид в квадрантах.
Поскольку поле не зависит от координаты уу в обычной системе
обозначения электрических волн в волноводе (волны типа Етп) ин-
индекс я, определяющий число вариаций поля по координате у, должен
равняться нулю. Индекс т означает порядковый номер пересечения
окружностей с кривыми. Пересечению в первом квадранте соответст-
соответствует т = 0, пересечению во втором квадранте — т = 1,- в третьем —
т = 2 и т. д.
. Как следует из рисунков, волна типа Еоо может существовать
при любом значении R, так как при этом имеется точка пересече-
пересечения в интервале от gd = O до gd = 'n/2.
Волна типа E1Q может существовать только при R > я/2 и т. д.
Таким образом, условием существования волн типа Ет будет
R>m^. A6.32)
Подставляя значение R из выражения A6.30), имеем
. A6.33)
При заданных параметрах пластины это выражение позволяет
получить значение критической частоты, начиная с которого воз-
возможно существование волны заданного типа:
A6.34)
Для волны типа Еоо при т = 0
= 0. A6.35)
Однако нулевая критическая частота не означает, что диэлек-
диэлектрическая пластина может быть практически использована в качестве
волноводной системы на сколь угодно низких частотах. Малому-зна-
Малому-значению частоты соответствует малое .значение радиуса R и в соот-
соответствии с рис. 16.2 малые значения поперечных волновых чисел
р, g. При этом исчезает поверхностный характер поля, которое
перестает концентрироваться около замедляющей системы—диэлек-
системы—диэлектрической пластины. Оно приобретает характер волны, излученной
возбуждающей системой. Диэлектрическая система перестает играть
существенную роль в формировании поля.
Продольное волновое число /г, как следует из выражения A6.28),
при малом значении р приближается к волновому числу |3 = со]/(я0е0,
характеризующему распространение волн в свободном пространстве.
181

X
Moto
ттш
Mafi
Рис. 16.4
Радиус R и поперечные волновые числа g
и р возрастают при заданной частоте с уве-
увеличением параметров |ха, еа диэлектрика и тол-
толщины пластины 2d. Возрастание р приводит к
большему затуханию поля на заданном рас-
расстоянии х от пластины. Большая часть энергии
начинает распространяться внутри замедляю-
замедляющей системы. Несовершенство диэлектрика при-
приводит при этом к росту потерь в волноводном
^Диэлектрик тракте. Поэтому! при практическом создании
волноводов медленных волн следует выбирать
компромиссное решение, при котором поле об-
обладает необходимым затуханием по мере уда-
удаления от поверхности замедляющей системы и в то же время потери
остаются в заданной норме.
При изгибе замедляющей системы возникает опасность при ма-
малых значениях р излучения поля (отрыва от замедляющей системы)
в месте изгиба. Это также необходимо учитывать. Несомненно, что
по мере создания промышленностью более совершенных диэлектри-
диэлектриков роль волноводных систем, использующих медленные волны,
будет возрастать.
Были рассмотрены процессы в идеализированной волноводной
системе. Допущение бесконечной протяженности диэлектрической
пластины вдоль координаты у позволяло считать поле не зависящим
от этой координаты. В случае волн магнитного типа с составляю-
составляющими НХУ Hz и Ёу можно взять диэлектрическую пластину конеч-
конечных размеров вдоль оси у, разместив по бокам две металлические
пластины так, как показано на рис. 16.4. При этом составляющая
поля Ёу ориентирована нормально к металлическим стенкам, что
допускается граничными условиями у поверхности идеального метал-
металла, и общая картина поля будет такой же, как и в случае беско-
бесконечной протяженности диэлектрической пластины вдоль оси у. Подоб-
Подобный Н-образный металлодиэлектрический волновод используют на
практике.
§ 16.5. Коэффициент замедления поверхностных волн
Фазовая скорость определяется соотношением A2.19). Подставляя
в него значение h A6.28), получаем
ИЛИ
/
где с0 — скорость света в вакууме.
182
;/i
A6.36)

Знаменатель выражения A6.36) можно представить в виде
/гт
^=1+*,.
sfe
При этом фазовая скорость
. A6.38)
Коэффициент k3 называют коэффициентом замедления. Он харак-
характеризует уменьшение фазовой скорости по сравнению со скоростью
света. Этот коэффициент является важным показателем замедляющих
систем и часто используются при их анализе.
§ 16.6. Групповая скорость поверхностных волн
Как указывалось, поле быстрой волны, распространяющейся в
диэлектрической пластине, и поле медленной волны, излучаемое вне
пластины, представляют собой единое электромагнитное поле замед-
замедляющей системы.
Основным для групповой скорости является выражение A2.47):
V
Для продольного волнового числа h может быть выбрано либо
выражение A2.26), либо выражение A6.28). Если в основу поло-
положить формулу A2.26), то с учетом зависимости g от со
При этом
со У~ц
С
1 ^
0Lla8a
о 1 / 1 °
а*"'а 1/ -1 2
с/со
0)=С00
или
Г ^~ A6.39)
где с—скорость света в среде с параметрами fxa, ea.
При изменении частоты со в соответствии с формулой A6.30) и
рис. 16.2 и 16.3 изменяются радиус R и поперечное волновое числоg.
Определив для конкретного случая численное значение производ-
производной dg/dco, можно с помощью формулы A6.39) рассчитать группо-
групповую скорость.
Of ' 183

§ 16.7. Картины поля при использовании диэлектрической
пластины в качестве замедляющей системы
На рис. 16.5 и 16.6 показаны картины поля волн типов Е20 и
Е30, построенные для плоского диэлектрического волновода в резуль-
результате расчета поперечных волновых чисел и использования формул
A6.5) —A6.7) и A6.17)—A6.19).
Рис. 16.6
184

ГЛАВА 17
КРУГЛЫЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
' § 17.1. Постановка вопроса
Бесконечно протяженная диэлектрическая пластина является идеа-
идеализацией реальной волноводной системы. Бесконечная протяжен-
протяженность пластины вдоль направления распространения электромагнит-
электромагнитной волны, т. е. вдоль оси z, эквивалентна отсутствию отраженного
поля. Подобрав должным образом нагрузку волноводной системы,
можно обеспечить отсутствие отраженного поля, аналогично тому,
как это делается при нагрузке длинной линии на характеристи-
характеристическое сопротивление. Существенная идеализация заключается в том,
что пластина принимается бесконечно протяженной вдоль оси у, что
приводит к независимости поля от этой координаты.
Реальные волноводныё системы конечны в плоскости поперечного
сечения. Такой реальной системой является Н-образный металлоди-
электрический волновод (см. рис. 16.4), работающий на волнах маг-
магнитного типа, и круглый диэлектрический стержень или нить, укреп-
укрепленный в воздухе с помощью специальных устройств, влиянием
которых можно пренебречь при рассмотрении основных свойств
подобной замедляющей системы. В диэлектрическом стержне анало-
аналогично диэлектрической пластине, исследованной в гл. 16, распро-
распространяются быстрые волны. Поле, многократно отражаясь от боко-
боковой поверхности стержня под углом, равным или большим углу
полного внутреннего отражения, распространяется вдоль оси стержня,
создавая за его пределами поверхностную медленную волну, тяго-
тяготеющую к поверхности диэлектрического волновода.
В настоящей главе будут выведены основные соотношения, опре-
определяющие работу такого устройства. В конце главы будут кратко
перечислены возможные модификации диэлектрических волноводных
систем, практически используемых в настоящее время. Подробный
анализ подобных систем отсутствует, так как он выходит за рамки
курса «Основы электродинамики».
§ 17.2. Вывод основного уравнения для продольных
составляющих поля быстрой волны внутри круглого
диэлектрического стержня и его решение
При исследовании поля внутри круглого диэлектрического волно-
волновода следует использовать основные уравнения для продольных
составляющих поля, записанных в цилиндрической системе коорди-
координат. Они были определены в § 14.1 при исследовании круглого
волновода [см. соотношения A4.2), A4.3)]. Подстановкой вида A4.6)
эти уравнения можно разделить на два самостоятельных уравнения
A4.11) и A4.12).
Решение уравнения A4.11) представляет собой сумму функций
Бессел?! первого и второго рода и записывается в виде A4.16).
Решение уравнения A4.12) может быть представлено в виде A4.13).
185

Как указывалось, внутри диэлектрического волновода, так же,
как и в диэлектрической пластине, распространяются быстрые волно-
водные волны, для которых справедливы уравнения A4.11) и A4.12).
Поскольку ось волновода, соответствующая значениям координаты
г = 0, входит в пространство, где происходит распространение волн,
из решения вида A4.16) следует убрать функцию Бесселя второго
рода Nm(gr), обладающую особенностью при г = 0. Другими сло-
словами, в этом решении необходимо положить В2 — О, как было сде-
сделано при анализе круглого металлического волновода, и записать
решение таким образом:
R^B.J^gr). A7.1)
Соотношения A4.6), A4.13) и A7.1) позволяют написать следую-
следующее выражение для продольной составляющей электрического поля
внутри диэлектрического стержня
A7.2)
Вводя обозначения
BiA1 = Ci и BiA2 = C2, A7.3)
получаем
E A7.4)
Аналогичное выражение может быть получено в результате реше-
решения уравнения A4.3) для продольной составляющей магнитного
поля в диэлектрическом стержне:
tizo = Jm {gr) {Ся COS (/Яф) + С4 Sin (/Пф)}. A7.5)
§ 17.3. Вывод основного уравнения для продольных
составляющих поля медленной волны
вне диэлектрического стержня и его решение
Как было показано в § 12.4, в случае медленных волн попереч-
поперечное волновое число g переходит в jp. Основные уравнения A4.2)
и A4.3) для продольных составляющих полей Ezi0 и Hzl0 при этом
записываются в форме
С помощью подстановки вида
Ёш^Ъ(г)ФЛч>) A7.8)
186

уравнение A7.4) можно свести к двум
уравнениям для функций Rx(r) и ФДф):
A7.9)
A7.10)
Решением уравнения являются функ-
функции Бесселя третьего и четвертого родов
порядка т, которые часто называют моди-
модифицированными функциями Бесселя Im (pr)
порядка т и функциями Макдональда
Km(pz) порядка т.
В отличие от функций Бесселя первого и второго родов, моди-
модифицированные функции Бесселя и функции Макдональда носят не
колебательный, а монотонно убывающий или возрастающий харак-
характер. Графики этих функций нулевого и первого порядков показаны
на рис. 17.1. Таким образом, в общем случае решение уравнения
A7.9) должно содержать модифицированную функцию Бесселя Im (pr)
и функцию Макдональда Кт(рг):
A7.11)
где В3 и б4 — амплитудные коэффициенты.
В зависимости от области пространства, в которой ищут реше-
решение, одна из этих постоянных равна нулю. Это обусловлено тем,
что функция In (pr) имеет особенность (стремится к оо), как сле-
следует из рис. 17.1, при г—^оо, а функция Кт(рг) — при г = 0.
Медленные волны существуют вне стержня при г^г0, где г0 —
радиус стержня.
Амплитуда медленных волн не может бесконечно возрастать по
мере удаления от поверхности стержня. Следовательно, в решении
A7.11) необходимо убрать функцию 1т(рг), положив
В8 = 0. A7.12)
Функцию Кт(рг) следует сохранить, так как нигде в области
существования медленных волн значение текущего радиуса не до-
достигает нуля. Другими словами, особенность функции Кт(Рг) ис-
исключается. При этом справедливо выражение
Rt=B^Km(pr). A7.13)
Решение уравнех ч A7-. 10) записывается в обычной форме:
пп(тф). A7.14)
Продольная составляющая Ezi0 на основании формулы A7.8)
равна
E,io = BiKm (pr) {Ax cos (mcp) + Л2 sin (mq>)}. A7.15)
^ 187

Вводя обозначение
B,At^Csy В,А2 = С6, . A7.16)
получаем
Eti0 = Km(pr){Cbcos{mq>)+C* sin(mcp)}. A7.17)
Решение уравнения A7.7) для продольной составляющей магнит-
магнитного поля приводит к аналогичным результатам:
A7.18)
§ 17.4. Определение поперечных составляющих поля
быстрой и медленной волн
Переход от продольных_составляющих поля к поперечным осу-
осуществляют с помощью общих формул A4.27)—A4.32) и A4.41) —
A4.46).
Составляющие поля быстрой волны, распространяющейся внутри
стержня, можно получить путем подстановки соотношений A7.4),
A7.5) в эти формулы. В результате подстановки могут быть запи-
записаны следующие выражения:
?ra=-/|jm(gO{Ci cos (тФ) + Са sin (тФ)}е"/^э A7.19)
4 / / (8) i
C± sin (тц))+С2 cos (тФ)} e~/712, A7.20)
Д?э = Jm(Sr) {Ci.cos (тФ) + С2 sin (m(p)}e~/712, A7.21)
-Сг sift (тФ) + С2 cos (mq>))e~Jhz A7.22)
cos (тФ) + C2 sin (тФ)} e"J'hz9 A7.23)
б
Я,э=0, A7.24)
1r* = — JTJm (^r) iC3cos (тФ) + C4 sin (тер)} е-/**, A7.25).
^ os(m<p)}e-^, A7.26)
= Jm igr) {C3 cos (тФ)} +С4 sin (/жр)} е->**, A7.27)
= - / ^ 4 (gr) {-С3 sin (тФ) + С4 cos (/пФ)} е-/**, A7.28)
^фм = / ^ Л; (gr) {C3 cos (mcp) + C4 sin (шФ)} e' - , A7.29)
^и = 0. , A7.30)
Составляющие поля медленной волны, распространяющейся вне
диэлектрического стержня, получают подстановкой в выражения
A4.27) —A4.32) и A4.41)—A4.46) формул для продольных состав-
составляющих поля A7.17), A7.18). При этом необходимо учитывать вы-
188

ражение A2.68), справедливое для медленных волн:
Диэлектрическая и магнитная проницаемости еа и |ха переходят
соответственно в электрическую и магнитную постоянные е0 и |х0.
В результате указанных операций получаются следующие соот-
соотношения для составляющих поля медленной волны:
E jK'(pr){Ccos(nup) + Csin(mv)}e-»», A7-31)
'os(/mp)}e-'**, A7.32)
, = Km(pr){Cs соэ(тф)-|-Св5т(тф)}е-^йг, A7.33)
{—C6 sin(тф)+C6 cos (тФ)}е-¦/''<*, A7.34)
Н<р1э = }~Кт(рг){Съсоз(тц>) + С65т{тц>)}е-->Ъ2, A7.35)
Нг1э = 0, A7.35)
Hrlw = j—K'm(pr){C7cos(тф)+С8 sin(my)} e.-J'h*, A7.37)
^Ф1м = / Tpr^m (/"") {— C7sin ("wp) + CS cos (тф)} е-/**, A7.38)
HzlK = Km (pr) {C7 cos (тф) + C8 sin (тф)} е-'Аг, A7.39)
?,im =/^*»(pO{-Ct sin (тФ) + С8 cos (тф)}е~'**, A7.40)
?г1м = 0. A7.42)
§ 17.5. Определение поперечных волновых чисел
g, p и продольного волнового числа h. Возможность
раздельного существования
волн электрического и магнитного типов
Поперечные волновые числа определяют с помощью граничных
условий у поверхности диэлектрического стержня
р р pf U р р f-f —f-J . /ппм г r\ (]7 d^\
Пока отсутствуют сведения, на основании которых можно было
бы судить о допустимости раздельного существования волн электри-
электрического и магнитного типов в круглом диэлектрическом волноводе.
Поэтому сначала целесообразно применить граничные условия к сум-
суммарному полю, представляющему собой суперпозицию полей элек-
электрического и магнитного типов, а затем определить, возможно ли
раздельное существование полей электрического и магнитного типов.
Запишем выражения для суммарного поля Ё^ внутри стержня
и Е' 2 вн^ стержня, используя соответственно формулы A7.20),
189

A7.29) и A7.32), A7.41):
, (gr) {— Ci sin (тф) + C2 cos (
, cos (тф) + C4 sin (тф)} e-j7lz, A7.44)
?ф1S = ^Ф" + ^Ф1м = / Tj-r #« (Pr) {— С» sin (пир) +
+ Cecos (/тир)}е-'** —j^K'm(pr) {C, cos(mcp) + C8 sin (mcp)} e~^.
A7.45)
Применим граничные условия A7.43):
?Ф2 = ?ф12 (при r = r0). A7.46)
Одинаковые составляющие поля внутри и вне стержня должны
изменяться вдоль координаты ср по одному и тому же закону, иначе
выполнение граничных условий станет невозможным. Так как выбор
начала отсчета угла <р произволен, таким законом может быть либо
sin(mq)), либо cos (mcp). Важно, чтобы у соответствующих состав-
составляющих поля (например, ?ф) внутри и вне стержня закон измене-
изменения был одним и тем же.
Допустим, что все составляющие поля ?ф изменяются по закону
sin (ту). Тогда в выражениях для составляющих поля внутри
стержня A7.19) — A7.30) амплитудные коэффициенты С2 и С3 сле-
следует положить равными нулю. Аналогично, в выражениях для
составляющих поля вне стержня A7.31) — A7.42) должны быть при-
приравнены нулю амплитудные коэффициенты С6 и С7:
Ся = С, = Св = С7 = 0. A7.47)
Нетрудно убедиться в том, что при соблюдении этих условий
по одному и тому же закону изменяются вдоль координаты ср оди-
одинаковые составляющие поля внутри и вне диэлектрического стержня.
Выполнение граничных условий A7.46) дает
^f'm(pr0)CB. A7.48)
Поступая аналогично в отношении составляющих Яф, Ё2, Hz,
получаем следующие выражения:
- <f rm (gr.) с, —J^ Jm (gr0) c4 -
^fK'm{pr0)Cb + ^Km(Pr0)Cs, A7.49)
Jm(gr0)C1 = Km(pr0)C!l, A7.50)
'«(8г9)С^ = Кя(рг0)Св. A7.51)
190

Определим коэффициенты С5 и Ся из соотношений A7.50) и A7.51)
Подставим значения этих коэффициентов в уравнения A7.48) и
A7.49), поменяв местами члены:
htn 7 / ч /^
C4pKm (pro)L4, A7.54)
ni (gro) Г WvK'm (pro) Jm (gr0) n
C4 K (pro) L4
Jm (gr0) n _
t, - A7.55)
Разделим почленно уравнение A7.54) на A7.55):
Проводя необходимые сокращения, получаем
Р Km (Рго)
COSa # Jm (gr0) , С080 ^ Km (рГр) "km
g Jrn(gro) P ' Кт (рГо) Го
ИЛИ
J •/ 1 + ^A 2 = (Q>r )
I ?оКт(рГо) \ j \iaJm{gro) , РоКт (рГр) { П7 K&\
^proKrn (pro)l \ gr0Jm (gr0) "*" proKm (pro) Г (/ Ь)
Уравнение A7.56) связывает неизвестные g" и р. Необходимо
определить второе уравнение, связывающее эти неизвестные.
Продольное волновое число h для быстрых и медленных волн
определяется соотношениями A2.26) и A6.28). В § 16.4 указыва-
указывалось, что продольные волновые числа должны быть одинаковыми
у быстрой и медленной волн. Следовательно, справедливо уравнение
Умножая его на rl и группируя члены, получаем второе урав-
уравнение, связывающее неизвестные gup:
2 = KJ(Ma-W). A7.57)
191

Совместное решение уравнений A7.56) и A7.57) может быть
осуществлено либо с помощью ЭВМ, либо (что более трудоемко и
менее точно) графически. Ход рассуждений при этом следующий.
Задаются значениями gr0 и из уравнения A7.57) определяют рг0.
Далее из соотношения A2.26) или A6.28) находят продольное вол-
волновое число h. Затем по точкам для различных значений gr0, a
также соответствующих значений рг0 и h проводят построение левой
и правой частей уравнения A7.56).
При этом возникает два самостоятельных графика, точки пере-
пересечения которых дают значения gr09 а следовательно, и рг0, удовле-
удовлетворяющие уравнению A7.56). Таким образом можно получить зна-
значения поперечных волновых чисел в волноводе g и р и продольного
волнового числа h.
С учетом соотношений A7.47), A7.19) — A7.30), а также A7.31) —
A7.42) формулы для составляющих поля внутри и вне стержня
приобретают следующий вид:
f(,)e-^, A7.58)
-^, A7.59)
t cos (лир) е-'**, A7.60)
f)e-^) A7.61)
^e-^, A7.62)
A7.63)
для составляющих поля вне стержня
}, A7.64)
-'*', A7.65)
= СьКт (pr) cos (mq>) e-/*«f A7.66)
, A7.67)
, A7.68)
A7.69)
С помощью соотношений A7.48), A7.49), A7.52), A7.53) ампли-
амплитудные коэффициенты С4, С6, С8 можно выразить через один ампли-
амплитудный коэффициент Ci. В формулах A7.58)—A7.69) этим прене-
брежено для сохранения наглядности их вывода.
При определении поперечных и продольных волновых чисел
с помощью граничных условий использовалось суммарное поле,
представляющее собой суперпозицию волн электрического и магнит-
192

ного типов. Рассмотрим возможность раздельного существования этих
волн. Для этого воспользуемся* соотношением A7.55I
Условием отсутствия поля электрического типа в стержне яв*-
ляется равенство нулю амплитудного коэффициента Г
Из формулы A7.52) следует, что условие С± = С
равенство нулю амплитудного коэффициента С5 для поля электри-
электрического типа вне стержня.
Таким образом, при Сг — 0 исчезает поле электрического fnna
внутри и вне стержня. При этом выражение A7.55) представляется
в виде
htfi j / \ г* _\_ ^т 11 \ С П
ИЛИ
A7.70)
откуда С4 = 0.
На основании соотношения A7.53) при С4 = 0 равен нулю и
амплитудный коэффициент С8. При этом исчезает не только электри-
электрическое, но и магнитное поле.
Таким образом, в общем случае при использовании диэлектри-
диэлектрического волновода возникает волна комбинированного электромаг-
электромагнитного типа, представляющая собой комбинацию волн электри-
электрического и магнитного типов. Из выражения A7.70) следует только
одна возможность существования амплитудного коэффициента С4,
а следовательно, и коэффициента С8. Эта возможность соответствует
условию
т = 0. A7.71)
Если возникает волна симметричного типа, поле которой не из-
изменяется вдоль координаты ср, то При равенстве нулю коэффициен-
коэффициентов Ci и С5, т. е. в отсутствие волны электрического типа, воз-
возможно существование коэффициентов С4 и С8, а значит, волны маг-
магнитного типа. При соблюдении условия A7.71) возможен и обратный
процесс, при котором существует волна электрического типа и от-
отсутствует волна магнитного типа. В этом можно убедиться на при-
примере аналогичного анализа, взяв в качестве исходного соотношения
не A7.55), а A7.54).
Анализ был сделан в предположении, что составляющие поля Ev
изменяются по закону sin (mcp). Так же можно было бы допустить
изменение этой составляющей по закону cos (mcp). При этом харак-
характеристическое уравнение для определения волновых чисел остается
неизменным, изменяются лишь выражения для составляющих поля.
Составляющие поля в случае симметричных волн определяют из
общих соотношений A7.19) — A7.42), полагая в них т = 0. В резуль-
результате в случае волн электрического типа возникают составляющие
поля ЁГЭУ Яфэ vlEZ9 внутри и вне стержня. Для волн магнитного
типа сохраняются составляющие поля Ягм, ?фм и Hzyi внутри и вне
стержня.
7 № 644 193

Одним из основных недостатков волноводной системы, выполнен-
выполненной с помощью круглого диэлектрического стержня при наличии
зависимости поля от угла ф, т. е. при соблюдении условия тфО,
является поляризационная неустойчивость поля. Поскольку волно-
водная система симметрична относительно оси z, первоначальная
картина поля в поперечной плоскости, вызванная определенной
системой токов, возбуждающих поле, может поворачиваться вдоль
координаты ф по мере продвижения электромагнитной волны вдоль
оси волновода. При этом положение силовых линий электрического
и магнитного полей или поляризация поля по отношению к началь-
начальному отсчету угла ф изменяется вдоль оси волновода. Эта поляри-
поляризационная неустойчивость может возникнуть вследствие небольших
изменений параметров диэлектрика или габаритных размеров волно-
волновода вдоль оси г, а также изгиба волновода. В силу того что
устройство, предназначенное для приема электромагнитного поля,
переданного с помощью диэлектрического волновода, рассчитано
на определенную поляризацию поля, нормальная работа волновод-
волноводной системы при поляризационной неустойчивости может быть на-
нарушена.
Для получения стабильных поляризационных характеристик
служит система (рис. 17.2), в которой полукруглый в поперечном
сечении диэлектрический стержень расположен на металлической
пластине. Электрическое поле в соответствии с граничными усло-
условиями у поверхности идеального маталла должно быть всегда нор-
нормальным к поверхности металла, что обеспечивает постоянство
поляризации поля вдоль оси волновода. Заметим, что число вол-
новодных систем, работающих на поверхностных волнах и исполь-
использующих диэлектрик или диэлектрик в комбинации с металлом,
может быть довольно большим. На рис. 17.3 показан трубчатый
диэлектрический волновод, а на рис. 17.4—диэлектрический волно-
волновод, внутри которого находится металлический стержень. Подобный
волновод называют линией Губо по имени предложившего его иссле-
исследователя. В качестве такого волновода можно использовать медную
эмалированную проволоку. Могут быть также диэлектрические
волноводы различных сечений, например эллиптического или крес-
крестообразного. Подобные волноводные системы представляют собой
широкое поле для исследования.
Воздух Лижктщ
\ диэлектрик \ м{етт
Метал/1
Диэлектрик
Рис. 17.2 ф* Рис 17.3 Рис. 17,4
194

ГЛАВА 18
КРУГЛЫЙ СПИРАЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД
§ 18.1. Постановка вопроса
В ряде случаев в качестве замедляющей системы используют
круглую металлическую спираль, возбуждаемую с помощью коак-
коаксиальной линии, разворачивающейся в круглый рупор (рис. 18.1).
Угол а наклона витков спирали к плоскости поперечного сечения
связан с параметрами спирали соотношением
tga = ??e « A8.1)
Точный анализ спиральной замедляющей системы довольно тру-
труден, поэтому ее рассмотрение будет проведено при существенном
упрощении.
Допустим, что спираль представляет собой сплошной цилиндр,
выполненный из материала с анизотропной проводимостью в направ-
направлении витков спирали. Такое предположение тем точнее, чем тоньше
провод и меньше шаг намотки. Далее сделаем обычное предполо-
предположение о конечности поля на оси спирали при г = О и убывании
поля до нуля на бесконечно большом расстоянии от оси спирали,
т.е. при г—>оо. Ввиду сложности анализа будут исследованы
только симметричные волны, не зависящие от координаты ср. При
этом предполагается, что вокруг спирали создается поле медленной
волны, «прижимающееся» внутри и вне спирали к ее виткам.
В отличие от диэлектрического стержня медленная волна распро-
распространяется не только вне, но и внутри системы. Это следует учи-
учитывать при записи и решении основного уравнения для продоль-
продольных составляющих поля.
Рис. 18.1
7*
195

§ 18.2. Вывод основного уравнения для продольных
составляющих поля медленной волны и его решение.
Составляющие поля в спиральном волноводе
Основными для продольных составляющих поля медленной волны
E2i0 и Н210 являются уравнения A7.6), A7.7). В дальнейшем будут
рассмотрены только симметричные волны, у которых поле не зави-
зависит от координаты ср и, следовательно,
Щ^=Щ*1<1 = 0. A8.2)
При этом уравнения для продольных составляющих поля запи«
сываются в виде
-р2Ёг10 = 0, A8.3)
>»ЯЛ0 = 0. A8.4)
Эти уравнения совпадают по математической форме с уравне-
уравнением A7.9), выведенным в § 17.3, при условии, что т = 0.
Решение уравнения A7.9) записывается в виде A7.11)
где 1т(рг)—модифицированная функция Бесселя порядка m, a
Кт(рг) — функция Макдональда порядка т.
Графики этих функций были приведены на рис. 17.1.
Решениями уравнений A8.3) и A8.4) являются модифицирован-
модифицированная функция Бесселя 10(рг) и функция Макдональда К0(рг) нуле-
нулевого порядка. Для области внутри спирали следует использовать
только модифицированную функцию Бесселя в силу ее конечности
при г = 0. Для области вне спирали необходимо применить только
функцию Макдональда ввиду ее ограниченности при г—^оо. На
основании изложенного решения уравнений A8.3) и A8.4) могут
быть записаны в форме:
область внутри спирали (г ^ rQ) '
Н*1*=Вг1ь(рг)\ ' }
область вне спирали (г > г0)
(Pr) /jo g\
Для отыскания составляющих поля внутри и вне спирали можно
использовать общие соотношения A4.27) — A4.32) и A4.41)—A4.46),
записанные для быстрых волн. Переход к медленным волнам осу-
осуществляется путем замены поперечного волнового числа g на jp и
196

g2 на —p2. Кроме того, должна быть учтена независимость про-
продольных составляющих поля от координаты ф, т. е. соотношения
A8.2). Медленная волна распространяется в воздухе, в силу чего
С учетом сказанного можно записать следующие выражения:
?,= /Д. 2E*°e-ihr A8.7)
Н^^-ЩР^^, A8-8)
: ? q- jhz
" ! р* ~~дГ е
A8.9)
A8.10)
?ф=:_/^.^?1е-/А% A8.11)
Действуй так же, как и при анализе процессов в диэлектри-
диэлектрическом стержне, допустим, что поле медленной волны в спирали
представляет собой суперпозицию волн электрического и магнит-
магнитного типов. Подставляя выражения A8.5), A8.6) в формулы A8.7) —
A8Л2), получаем следующие соотношения для составляющих поля
внутри и вне спирали:
область внутри спирали (г^г0)
A8.13)
область вне спирали
. h
A8.14)
197

§ 18.3. Определение поперечного и продольного волновых
чисел
При отыскании поперечного и продольного волновых чисел р
и h используем следующие граничные условия:
1) равенство нулю тангенциальных к виткам спирали составляю-
составляющих электрического поля в направлении анизотропной проводи-
проводимости (т. е. вдоль витков спирали), которое должно выполняться
для составляющих внешнего и внутреннего по отношению к спи-
спирали поля;
2) равенство при r = rQ внутренних и внешних тангенциальных
к образующей анизотропного цилиндра (т. е. ориентированных вдоль
координаты г) составляющих электрического поля; проводимость
анизотропного цилиндра в этом направлении равна нулю;
3) как известно, одним из граничных условий для тангенциаль-
тангенциальных составляющих у поверхности идеального металла является
равенство тангенциальной составляющей магнитного поля плотности
поверхностного тока [см. условие (8.13)]; поскольку плотность
поверхностного тока внутренней и внешней поверхностей спирали
одинакова, это граничное условие переходит в равенство танген-
тангенциальных составляющих магнитного поля в направлении анизо-
анизотропной проводимости, т. е. вдоль витков спирали.
Выразим перечисленные граничные условия в математической
форме (при r = rQ):
?ф1 cos а + Ё21 sin а = 0,
EQ2cosa+Ez2sma = 09
. > A8.15)
H^cos а + Hzl sin a == Яф2 cos а + Н22 sin а.
Подставляя значения составляющих поля из выражений A8.7) —
A8.12) в граничные условия A8.15), получаем
= 0, A8.16)
:0, A8.17)
A8.18)
^ A8.19)
Подставляя выражение A8.18) в A8.16), находим
- / ^ Btr9 (рг0) + А,К0 (pr0) tg a = О,
или с учетом соотношения A8.17)
- / ^ ВД (рг0) + j ^ В2ЛГо (рг0) = О,
-В1Го(рго) + В,К'Арго) = О. A8.20)
198

Определим амплитудные коэффициенты Аг и Л2 из выражений
A8.16) и A8.17):
plo(pro)tga '
/Co (prQ)
Подставляя значения этих коэффициентов в выражение A8.19),
можно написать
1щ10В, {/р (pr0) Y , о 7 /пгир-а-
i^ 18
Найдем коэффициент Вг из уравнения A8.20):
в Ко(рго) в^ A824^
/о (рг0)
Подставляя значение коэффициента Bt в выражение A8.23) и
сокращая коэффициенты В2, получаем
(О2^о8о/Со (рг0) /р (рг0) А:о (рг0) /0 (pr0) tg ос ^
p2lo(pro)tga 1о(рго)
_ аJ^в0 {Ко (pr)}2 t
Р2/Со (р/-0) tg a ^ XoV^ o; б '
ИЛИ
Со (рг0) . /С0(рг0) ,
P^o(^)tga"t"^(pr) **>
откуда
a
Г0(р/0) /0(р/ (о) р
Это выражение может быть записано в иной форме:
/0(pr0) lo(pro)
К'о(Рго) 1'0(рг0)
/Со (рг0) /о (РАО)
Л'о (/""о) ;о
К /Со (РГО) /р (Р/-О) {Ко (рАр) /р (РГО)-КО (РГО) /р (РГО)} '
или со|
199

Отсюда
¦ Г Ко (рг0) /р (рг0)
Выражение A8.25) представляет собой трансцендентное уравне-
уравнение для поперечного волнового числа р. Продольное волновое
число h определяют с помощью соотношения A6.28).
При больших значениях р, при которых справедливо неравен-
неравенство рго^>1, к модифицированной функции Бесселя и функции
Макдональда могут быть применены асимптотические соотношения.
При этом можно показать,, что корень в выражении A8.25) близок
к единице, т. е. для р получается приближенное выражение
Р~ tga ' A8<26)
Фазовая скорость определяется соотношением A2.19). С увели-
увеличением поперечного волнового числа р возрастет продольное вол-
волновое число h и снижается фазовая скорость оф.
Рост р происходит с уменьшением tga, который пропорциона-
пропорционален в соответствии с выражением A8.1) шагу намотки а. Таким
образом, фазовая скорость снижается с уменьшением шага намотки
спирали.
При анализе спирального волновода было сделано предположе-
предположение об одновременном существовании полей электрического и магнит-
магнитного типов. Рассмотрим возможность их раздельного существования.
Как следует из формул A8.5) и A8.6), поле электрического типа
определяется амплитудными коэффициентами Ai и А2, а поле маг-
магнитного типа—коэффициентами S± и В2. Из граничных условий
A8.18) вытекает, что равенство нулю коэффициента At приводит
к равенству нулю коэффициента Л2, а из граничных условий A8.16),
A8.17) явствует, что при равенстве нулю коэффициентов Ai и А2
тождественно равны нулю коэффициенты Вг и В2. Следовательно,
исчезновение поля электрического типа неизбежно приводит к ис-
исчезновению поля магнитного типа и наоборот.
Таким образом, сделанное ранее предположение о необходимости
одновременного существования полей электрического и магнитного
типов в спиральном волноводе оказывается правильным. Раздель-
Раздельное существование этих полей в спиральном волноводе невозможно.
ГЛАВА 19
ГРЕБЕНЧАТЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
§19.1. Постановка вопроса
В настоящее время существует большое число волноводных
систем, работающих на поверхностных медленных волнах, представ-
представляющих собой ту или иную металлическую структуру, периодиче-
200

Рис. 19.1
скую вдоль оси распространения. К ним относятся: гребенчатая
металлическая структура (рис. 19.1), круглый металлический реб-
ребристый волновод (рис. 19.2), ленточные структурные волноводы
(рис. 19.3, а и б), стержневой структурный волновод (рис. 19.4).
Можно предложить много других вариантов подобных структур,
представляющих широкое поле для
исследования.
В этой главе будет рассмотрен
гребенчатый металлический волновод, и
Для простоты протяженность волно-
волновода вдоль оси у полагаем бесконеч-
бесконечной. Если электрические токи, проте-
протекающие по поверхности металла тако-
такого волновода, ориентированы вдоль
оси 2, то за счет канавок в структуре их путь удлиняется по сравнению
с расстоянием вдоль оси г. При некоторых условиях это приводит,
как увидим из анализа, к замедлению фазовой скорости электро-
электромагнитного поля, распространяющегося вдоль оси г. Такие элект-
электрические токи могут быть созданы только магнитным полем, нахо-
Рис. 19.2
Рис. 19.4
201

Дящимся в плоскости, перпендикулярной направлению ориентации
токов, т. е. в плоскости ху. Другими словами, они могут быть
созданы только волной электрического типа, у которой магнитное
поле расположено в плоскости ху. Волна магнитного типа создает
токи, ориентированные вдоль оси у, путь которых не удлиняется
за счет волноводной структуры. Таким образом, в данной главе
будет рассмотрено распространение волны электрического типа
в гребенчатом волноводе.
§ 19.2. Вывод основного уравнения для продольной
составляющей электрического поля в гребенчатом волноводе
и его решение
Основным уравнением для продольной составляющей электриче-
электрического поля, распространяющегося над гребенчатым волноводом,
в случае волн электрического типа является уравнение A1.35):
Это уравнение записано в криволинейной ортогональной системе
координат ?, г], ?. Запишем его в декартовой системе координат,
выбрав следующее соответствие координат: |—*х, ц—^-у, ?—*z,
Й Л1
Ввиду неограниченной протяженности структуры вдоль коорди-
координаты у и отсутствия потерь в среде, положим д/ду = О, [Га = [ха,
еа = еа, где \хаУ еа—параметры диэлектрика, окружающего гребен-
гребенчатый волновод.
При этих условиях основное уравнение запишется в виде
#" + #- + «>аеа?г = 0. A9.1)
В силу периодичности структуры допустим, что решение этого
уравнения можно представить в виде бегущей волны, на которую
оказывает влияние периодический процесс с периодом Тс, равным
периоду структуры. Другими словами, представим решение в виде
суперпозиции бесконечного числа гармоник:
Функции fn(x) отражают зависимость амплитуд гармоник от
координаты х.
Подставляя выражение A9.2) в уравнение A9.1), получаем
2jl/lV
fin
202

Для выполнения этого равенства необходимо равенство нулю
каждого члена ряда:
% {( ^)}(х) = О. A9.4)
При
( ^)' A9-5)
решение уравнения A9.4) имеет вид
fn=Ane^n\ A9.6)
где
71 , 2ял\а
Это решение представляет собой волну, распространяющуюся
вдоль оси х. Нас интересует поверхностная медленная волна, рас-
распространяющаяся вдоль оси г. Амплитуда такой волны должна убы-
убывать с ростом координаты х, что возможно при соблюдении нера-
неравенства
( ЩУ>а^. A9.7)
При этом уравнение A9.4) записывается в виде
^2/и (х) iff i 2ЯА1 \ 2 о ) г / \ а л Г\ о\
"ЙГ2 — \(Л + Т7; —^ава^я^^О A9.8)
с решением
Ш = Аяе-р*9 A9.9)
где
—соуаеа. A9.10)
С учетом выражений A9.2), A9.10) можно записать
/2 = 0
или
Ez= 2 V"ve";'A°+^Z. A9.11)
Таким образом, поле над гребенчатым волноводом представляет
собой суперпозицию волн, затухающих вдоль координаты х с коэф-
коэффициентом затухания рп и обладающих фазовыми постоянными hn,
где
hn^h0+2-^. A9.12)
1 с
203

Коэффициент затухания рп в данном случае играет роль попе-
поперечного волнового числа, а фазовая постоянная—продольного вол-
волнового числа.
Как известно, фазовая скорость равна отношению угловой час-
частоты со к фазовой постоянной: v$ = o)/h.
В рассматриваемом случае
оф = ю/А„. A9.13)
Если
ftn=co|/^ = |3, A9.14)
то фазовая скорость v$= l/|/jxaea равна скорости света в среде
с параметрами jia, 8a. При
Ая <©!/]!? A9.15)
> с, что соответствует быстрой волне. При
A9.16)
^Ф < ci что соответствует медленной волне.
Из соотношения A9.10) следует, что рп увеличивается с ростом
номера гармоники п и уменьшением периода структуры Тс. Наи-
Наименьшее значение рп имеет при п = 0
Po = Vbl-v*PA- A9.17)
При достаточно малом периоде структуры Тс можно считать, что
поле над гребенчатым волноводом определяется преимущественно
основной гармоникой, соответствующей м = 0, и влияние более высо-
высоких гармоник на структуру медленной волны невелико. При этом
волновод можно рассматривать как некоторую сплошную замедляю-
замедляющую поверхность типа диэлектрической пластины. Такое приближе-
приближение, очевидно, тем точнее, чем меньше период гребенчатой структуры.
Дальнейший анализ будет проведен при допущении пренебреже-
пренебрежения высшими гармониками, что существенно упрощает задачу.
Оценим величину периода структуры, при котором можно пре-
пренебречь высшими гармониками.
Для того чтобы затухание высших гармоник происходило значи-
значительно быстрее по сравнению с основной гармоникой, требуется
соблюдение неравенства
Рп>Ро- A9.18)
Подставляя в него формулы A9.10) и A9.17), получаем
V(Л + I?)* ~ ^.e.^/AS-©^.. A9.19)
Это неравенство справедливо при
2ял
A9.20)

Неравенство A9.20) усиливается с ростом номера гармоники я,
но должно соблюдаться уже для первой гармоники: 2n/Tc^>h0y
откуда
Тс<%-- A9.21)
Медленная волна перестает существовать с приближением фазо-
фазовой скорости к скорости света или при соблюдении равенства A9.14),
которое для основной гармоники имеет вид
<1922)
Допустим, что медленная волна должна обладать фазовой ско-
скоростью, в k раз меньшей скорости света. Для этого необходимо,
чтобы
А * A923>
Подставляя соотношение A9.23) в неравенство A9.21), получаем
Tc<^X/k. A9.24)
Примем условно, что
Гс^0,1~. A9.25)
Тогда уже при малых замедлениях, соответствующих k& 1, период
структуры должен составлять величину порядка 0,1 длины волны.
Следует помнить, что % соответствует длине волны в свободном про-
пространстве с параметрами |ла, ?а.
§ 19.3. Определение поперечного и продольного
волновых чисел
Волновые числа определяют путем применения граничных усло-
условий, приравнивания тангенциальных составляющих полей Ё и Н у
поверхности гребенчатого волновода, т.е. при х = 0.
На основании выражения A9.11) продольная составляющая элек-
электрического поля основной гармоники
А,*, A9.26)
или в наиболее употребительной форме
?,@)=?,ee-'Vf A9.27)
где
Ёг0 = А0е-Ро*. A9.28)
Переход от продольной составляющей электрического поля к по-
поперечным составляющим в случае медленной волны осуществляется
с помощью общих формул перехода A2.78)—A2.82).
205

В рассматриваемом случае
Yb = Uo> Р^Роу 1—+х, Ч—+У> l—+z, А? = АЛ=1, еа = 8а, д/ду =
и формулы перехода записываются в виде
pi дх
н
у ' pi
A9.29)
Используя соотношение A9.28) находим составляющие поля основ-
основной гармоники медленной волны над поверхностью гребенчатого
волновода:
Ёх <о, = - / -^ Лое-л*е-/*о«, A9.30)
Hyio) = -j^Aoe-We-^, A9.31)
EvW = HxM = HzM = 0. A9.32)
Далее следует определить поле в канавках «гребенки». Канавки
можно рассматривать как двухплоскостные волноводы, образованные
ребрами «гребенки», короткозамкнутые на конце. Внешнее по отно-
отношению к канавкам поле имеет составляющие ЁХ9 НуУ Ёг. Такие же
составляющие должны содержать и поле в канавках. В § 10.4 было
показано, что существование волн электрического типа в двухплос-
костном волноводе с составляющими Ёг, Ёх, Ну (осью распростра-
распространения которого в разбираемом случае является ось х) возможно при
условии, что расстояние между плоскостями составляет не менее
0,5^, где К—длина волны. Таким расстоянием на рис. 19.1 является
размер Ь. Как указывалось в § 19.2, проводимый анализ справедлив
при малых значениях периода структуры, при котором Ь<^0,5Х.
Такая система подобна двухплоскостной длинной линии, в кото-
которой может существовать только волна типа Т, распространяющаяся
вдоль оси х и обладающая Ёг и Ну.
Двухплоскостная длинная линия замкнута на конце, следова-
следовательно, в ней должна установиться стоячая волна. В соответствии
с граничными условиями вектор Егк поля в канавке, тангенциальный
к ее дну, должен быть равен нулю при х = — d (см. рис. 19.1).
С учетом этого продольная составляющая электрического поля в ка-
канавке
|^ | [/ . A9.33)
Магнитное поле в канавке Нук можно определить с помощью
второго уравнения Максвелла G.12). В рассматриваемом случае
206

^ta = [ia и
ИЛИ
C0S
Окончательно можем записать
cos [(oKti.e, (^ + d)} . A9.34)
УК J />a
Далее, используя граничные условия:
&z (о = Ёгк9 Ну @) =-- Нук (при х = 0)
и формулы A9.26), A9.33) и A9.31), A9.34), получаем
-А>*- Bosin (соV\iaea d),
- j ^а. лое-^ = ^JL— cos (со V^j; d).
Po J У H-a/ea
Разделив первое уравнение на второе, находим
откуда
ро= o)]/|ia8a tg(co]/[xa8a'd) = -^- tg (-т- d ) . A9.35)
На основании формулы A9.17) можно написать, что
A9.36)
Фазовая скорость
?' / с * • A9-37)
Из формулы A9.35) следует, что при d = X/4
*oo И р0-+оо.
Возникают бесконечно большие замедление и затухание поля
вдоль оси х. Этот вывод неточен и является следствием приближен-
приближенности анализа.
При d > А,/4
tg(±id)<0 и /?0<0.
207

Медленная волна не существует, так как поле начинает возрастать
по мере удаления от замедляющей структуры, что не соответствует
физическим условиям исследуемой проблемы. Полученный результат
позволяет приближенно учесть поведение высших гармоник медлен-
медленной волны. Формулы A9.10), A9.12) позволяют определить волновые
числа рп и /in, а формула A9.13)—-фазовую скорость высших гармо-
гармоник. Неточность заключается в приближенном способе отыскания
волновых чисел р0 и h0. Кроме того, граничные условия применялись
не для полного поля, а для основных гармоник, что также обуслов-
обусловливает приближенность расчета.
ГЛАВА 20
ЗАТУХАНИЕ ПОЛЯ В РЕАЛЬНЫХ ВОЛНОВОДАХ
§ 20.1. Постановка вопроса
Реальные волноводы выполняют из металла, обладающего конеч-
конечной электрической проводимостью. Используемые в волноводах ди-
диэлектрики не являются идеальными. Поэтому амплитуда электро-
электромагнитных волн, распространяющихся в волноводах, уменьшается
по мере продвижения поля вдоль оси волновода.
Оценка практической пригодности того или иного волйоводного
тракта невозможна без определения затухания поля. Неидеальность
материалов, используемых в волноводах, не только приводит к умень-
уменьшению амплитуды поля и потерям мощности, но также искажает
картину поля в волноводах, определенную в предыдущих главах.
Однако потери в реальных диэлектриках и металлах незначительны
и, как показывает более глубокий анализ, влияние неидеальности
этих материалов на структуру поля также незначительно. Вследствие
этого при анализе потерь в волноводах структуру поля принимают
такой, какой обладают идеальные волноводные системы, лишенные
потерь. С указанной степенью приближения и будут выведены в этой
главе необходимые уравнения.
§ 20.2. Вывод уравнений для мощностей, теряемых
в металле и диэлектрике волновода. Определение
коэффициентов затухания
При наличии потерь коэффициент распространения ув, как было
выяснено в § 12.3, определяется формулой
Здесь h' и h" — коэффициенты затухания поля соответственно за
счет потерь в металле и диэлектрике.
Действительная часть вектора Пойнтинга, возникающего в поле,
распространяющемся в волноводе, определяется общим выражением
208

D.29). В соответствии с формулами A2.51), A2.52), A2.58)—A2.63)
можно записать
E = Eoe"/vB^, H = Hoe~/YB^ B0.1)
Используя выражение A2.65), получаем
t = tQe-ih'+h">te-№9 B0.2)
H = Hoe-(ft'+ft")^e-/^. B0.3)
Соответственно для сопряженного значения Н* имеем
Н*-Ное-^+^^е/^. B0.4)
Подставляя выражения B0.2), B0.4) в формулу D.29), находим
iE;]e-M»'+^)c. B0.5)
Определим мощность Р, проходящую через поперечное сечение
волновода SB. В случае трубчатых волноводов под SB следует понимать
поперечное сечение трубы, в случае волноводов медленных волн —
сечение, в пределах которого распространяется подавляющая часть
электромагнитного поля. Термин «подавляющая» несколько условен,
и в различных ситуациях его можно трактовать по-разному. Обычно
под 5В понимают сечение, в пределах которого распространяется 95%
мощности электромагнитного поля.
Для мощности Р можно написать следующее общее выражение!
e[EoHo1^S. B0.6)
Множитель e~2^'+A">S можно вынести за знак интеграла, по-
поскольку интегрирование осуществляется по площади поперечного
сечения волновода, т. е. по координатам ?, к\\
Изменение мощности вдоль координаты ? характеризуется произ-
производной
^ 2(A' + A")e-«<*'+»->
B0.7)
Мощность РПУ теряемая на бесконечно малом расстоянии
dp 1%т
~?, выражается соотношением
dPn = Uh' + А')е-« ^+ft"> ? S Re
209

Мощность, теряемую на конечном участке I длины волновода,
можно найти путем интегрирования:
b I
- (A'+A") J Re[E0H0*]dS
или
B0.8)
Полученное выражение -включает в себя мощность потерь в ме-
металле и диэлектрике волновода. Неизвестными здесь являются вели-
величины Рп9 ti, h".
В § 9.7 было дано следующее выражение для мощности, теряемой
в реальном металле, при условии, что площадь поверхности металла
равна S±:
l
|н
Si
В рассматриваемом случае интегрирование следует проводить по
площади металла, образующего волноводную систему. Составляющие
тангенциального к металлическим стенкам магнитного поля Нт явля-
являются частью общего поля Ё и Н в волноводе, и их зависимость от
координаты ? аналогична зависимостям B0.2), B0.3):
Ht = Ноге - <а-+А") Се-М. B0.9)
В силу этого
. B0.10)
Здесь интегралы J | Hot|aAgd5+ j | H^^A^diri представляют собой
доли поверхностных интегралов, взятые соответственно по координа-
координатам I и т).
210

Подставляя выражение B0.10) в формулу (9.80), получаем мощ-
мощность, теряемую в металле волноводной системы с учетом потерь
в диэлектрике этой системы
B0.11)
При отсутствии потерь в диэлектрике коэффициент затухания /i"
следует приравнять нулю. Формула B0.11) содержит три неизвест-
неизвестных величины: Рпот, К и h\ Найдем выражение для мощности потерь
в диэлектрике РП0Тш д.
В § 4.2 была выведена теорема Пойнтинга D.26):
Два последних интеграла в этом соотношении представляют собой
усредненную за период мощность, расходуемую на нагрев диэлект-
диэлектрика, обладающего магнитной и электрической проводимостями.
Используя соотношения B0.2) и B0.3), можно записать эти интегралы
в таком виде:
, B0.12)'
B°ЛЗ)
Здесь интегралы J J 7м1 Но |2^^^^, J J 7э I Ёо
представляют собой интегралы, взятые по площади поперечного сече-
сечения, по координатам !• и т].
Таким образом, полная мощность, теряемая в диэлектрике, обла-
211

дающем магнитной и электрической проводимостями,
р __ J * И р-2(ЛЧА")/1у
^пот. д— 9 2f7?'-J-/7"H с /Л
4 . B0.14)
Мощность, теряемая полем при прохождении участка волновода
длиной /, определяется формулой B0.8). Она равна суммарной мощ-
мощности, теряемой в металле и диэлектрике волноводной системы:
Р = Р Д-Р
¦* п д пот I л пот. д*
Используя соотношения B0.8), B0.11) и B0.14), получаем
й
2 V 2Тэ2
X
1 Л
или после сокращения
in 1л
Из этого выражения можно найти суммарный коэффициент зату-
затухания ti -\-h";
1 л /
А' + А" 13 Ь . B0.15)
2 ^ Re[EoHo]dS

Каждый из этих коэффициентов определим с помощью формул:
г г- -л ' B0Л6)
B0.17)
2 ^ Re[E0H0]dS
Полезно напомнить, что интегралы в знаменателе этих выраже-
выражений представляют собой интегралы по площади поперечного сечения,
занятого электромагнитным полем.
Интегралы в числителе выражения B0.16) берут по ширине
каждой из металлических поверхностей, образующих волновод, а
интегралы в числителе выражения B0.17) — по площади поперечного
сечения диэлектрика волновода. В зависимости от конкретной ситуа-
ситуации могут учитываться оба коэффициента затухания К и h" или
любой из них.
В диэлектрике могут существовать как потери магнитного и
электрического типов, так и отдельно какие-либо из них. Возможны
случаи, когда потерями в диэлектрике можно пренебречь. Примеры
расчета коэффициента затухания h' даны в приложении II.
ГЛАВА 21
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ. ОБЪЕМНЫЙ
РЕЗОНАТОР, СОЗДАННЫЙ НА БАЗЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ВОЛНОВОДА БЫСТРЫХ ВОЛН
§ 21.1. Общие сведения об объемных резонаторах
В диапазонах дециметровых, сантиметровых и более коротких волн
при создании колебательных контуров приходится сталкиваться с
серьезными трудностями. Паразитные емкости, уменьшение доброт-
ностей индуктивных катушек делают невозможным их использование
в указанных диапазонах. Когда размеры колебательного контура
становятся соизмеримыми с длиной волны, колебательный контур с
сосредоточенными постоянными перестает быть колебательным кон-
контуром. В этом случае от систем с сосредоточенными постоянными
переходят к системам с распределенными постоянными.
Как известно, замкнутая на конце длинная линия с длиной,
равной четверти длины волны подводимого колебания, эквивалент-
эквивалентна параллельному колебательному контуру, и часто ее используют
213

Возбуждение щелью
Возбуждение штырем Возбуждение петлей
Резонатор
Щель
Рис. 21.1
в качестве колебательного контура/Однако понятие «длинная линия»
справедливо до тех пор, пока поперечные размеры линии существен-
существенно меньше длины волны. Практически отрезки длинных линий могут
служить колебательными контурами в метровом и дециметровом
диапазонах волн.
Обычно в качестве длинных линий в этих диапазонах применяют
отрезки коаксиальных волноводов, и созданный подобным образом
колебательный контур называют коаксиальным, объемным резонатором.
В короткой части дециметрового диапазона, а также в сантимет-
сантиметровом диапазоне волн в коаксиальных резонаторах помимо волн типа
Т, на которых они работают, возможно возбуждение волн высших
волноводных типов, что затрудняет использование этих резонаторов.
В этих диапазонах широкое распространение нашли объемные
резонаторы на базе волноводов быстрых волн различных сечений.
Отрезок волновода закрывают с двух сторон металлическими стен-
стенками, через отверстия в стенках вводят штырь или петлю так, как
показано на рис. 21.1, с помощью которых в резонаторе возбуж-
возбуждается электромагнитное поле. Возбуждение резонатора возможно
также осуществлять с помощью щелей, прорезанных в стенках резо-
резонатора, и возбуждающего волновода (рис. 21.1). Электромагнитная
волна, распространяющаяся в резонаторе, испытывает многократное
отражение от стенок и при благоприятных фазовых соотношениях
между падающими и отраженными волнами в системе могут устано-
установиться незатухающие колебания.
Одним из основных свойств подобных систем является их высо-
высокая добротность, достигающая десятков тысяч. В случае применения
криогенной техники и сверхпроводящих материалов для стенок резо-
резонаторов их добротность можно существенно повысить. Как было
установлено, волноводы быстрых волн нормально работают, когда
их поперечные размеры соизмеримы с длиной волны. При переходе
к диапазонам миллиметровых и субмиллиметровых волн использова-
использование волноводов быстрых волн становится затруднительным, так как
их поперечные размеры становятся весьма малыми.
При создании резонаторов в диапазонах миллиметровых и суб-
субмиллиметровых волн применяют волноводы медленных волн, рабо-
214

Металлические пластины
к Воз&уждающии штырь
Рис. 21.2
тающие в этих диапазонах. При этом участок волновода медленных
волн ограждают с двух сторон металлическими пластинами (рис.21.2,
в случае круглого диэлектрического волновода). Возможно большое
разнообразие конструкций объемных резонаторов, использующих вол-
волноводы медленных волн. В диапазоне субмиллиметровых волн нахо-
находят применение объемные резонаторы так называемого открытого
вида, построенные по типу оптических интерферометров. Рассмотре-
Рассмотрение этих резонаторов выходит за рамки настоящей книги.
§ 21.2. Вывод выражений для составляющих поля
электрического типа в резонаторе, созданном на базе
прямоугольного волновода быстрых волн
Используем в качестве объемного резонатора отрезок прямоуголь-
прямоугольного волновода длиной /, внутренние размеры которого показаны
на рис.21.3. За исходные возьмем соотношения A3.29) — A3.34) для
составляющих поля электрического типа в прямоугольном волноводе,
выведенные в § 13.2.
Эти выражения характеризуют поле, движущееся в волноводе в
сторону положительных значений оси г. В объемном резонаторе в
результате отражения волны от стенки, закрывающей волновод, воз-
возникает электромагнитное поле, перемещающееся в обратном направ-
направлении, в сторону отрицательных значений оси г. Отраженная волна
отличается от падающей волны знаком перед продольной постоянной
распространения h. В § 12.2 были
получены выражения для фазо-
фазовой скорости волны, распрост-
распространяющейся в волноводе в сто-
сторону положительных и отрица-
отрицательных значений оси г. В пер-
первом случае фазовая скорость
0ф = а>/й, во втором уф = — co//i.
Таким образом, чтобы полу-
получить выражения для составляю-
составляющих поля отраженной волны, в Рис. 21.3
215

формулах A3.29) — A3.34) достаточно изменить на обратный знак
перед постоянной h и амплитудный коэффициент прямой волны С±
заменить амплитудным коэффициентом С3 отраженной волны. В ре-
результате этих операций получаются следующие выражения для со-
составляющих поля отраженной волны:
г, . h ^ тп ( тп \ . / пп \ ihy /O1 1Ч
?*о = — \-л~Съ C0S Х Sin("T У Iе ' B1Л)
ётп а \ а / \ Ь I
г, . h ^ пп . ( тп \ / пп \ .и* /01 о\
Еуо = — 1 — Сз-г$™{ — х)СО8(-гУ)е « B1 -2)
gmn О \ а I \ О /
Ё20 = С3 sin (^f- *) sin (^L у) е/*«, B1.3)
HXo = — 1-2±Cs—-sm( — x)zos( — y)&**9 B1.4)
gmn О \ п J \ Ь )
ij . соеа ^ тп f тп \ . f пп \ ihy /O1 сч
Нуъ=]-^СЪ — cos — x)sm[ — y) eJ>", B1.5)
gmn a \ a ) \ b J
Яг0 = 0. , B1.6)
Суммарное поле в резонаторе является суперпозицией прямой и
отраженной волн. При этом должны быть соблюдены граничные
условия у стенок, ограничивающих волновод:
Ёх = 0 (при г = 0 и z = l). B1.7)
Тангенциальными по отношению к ограничивающим стенкам,
лежащим в плоскости ху, являются составляющие Exv, Eyv суммар-
суммарного поля в резонаторе:
^ у у. B1.8)
При этом граничные условия записываются в виде
ЁХ + ЁХО = О (при 2 = 0 и * = /), B1.9)
Ёу + ЁуО = О (при z = 0 и z = 0... B1.10)
Подставляя в граничные условия B1.9) выражения для Ёх и Ёх0
A3.29) и B1.1), получаем
. h тп / тп \ . / пп \ Ir> ihv ^ УА„Ч л
j— cos ( х ) sin ( у )(C1z-Jhz—C3tJhz) = 0
gmn a \ cl J \ b J
(при 2 — 0 и z = l),
откуда
Сх—С8 = 0, или Сх^Сд B1.11)
и
. h тп / /яя \ . / пп \ r> / iht /*/\ л
/ -2 cos ( — х ) sin ( — y)Ci (e-^~~&hl)-я; 0.
^m« а \ а / \ Ь J
216

Учитывая, что
= sin(A/),. можно написать
. h mn / тп \ . / пп \ ^ , о -\ • /г /\ л
/ -J cos ( х) sin ( — у) Сг.(—2/ sin.(AZ).=*Q.
gmn a \ a J \ Ь J
Отсюда
sin (А/) = 0, W = /m-, B1.12)
где
pn
I, 2,
B1.13)
К аналогичным результатам приводит выполнение граничных
условий B1.10). Используя равенства B1.11) и соотношения A3.29)—-
A3.34), B1.1) — B1.6), получаем следующие выражения для состав-
составляющих суммарного поля в резонаторе:
Р? ——. j /""•. cos i у I sin i
*P gmn a X a J \ b
r, . h ~ nn . / mn \ / nn
? = ] —— Cj Sin X COS i
gmn b \ а У V b
r* r> • ( tun \ • / ПП
? = cx sin x ) sin —
«я
sin
cos ( x ) sin (—у
a / \ b
В эти выражения вместо частоты со входит резонансная частота
объемного резонатора.
В силу справедливости соотношений
2/
2
составляющие поля в резонаторе с учетом формулы B1.13) приобре-
приобретают такой вид:
cos
9 B1.15)
а / X b
. J^Lcin/ "Ш Лса^ ( ПЛ и \ sin/ HJl 7 \ Г91 \R\
1 *¦ ' a / V b yiSin\~Zl> KZiAb)
nn .A _ / ря
B1.17)
пя / mn \ (nn \ (pn \
i—sin( x Icos ( —у Jcos —г), B1.18)
6 x a / X b / XI/
cos f—zj , B1.19)
B1.20)
21?
/пя
mn

При р = 0 исчезают составляющие поля Exv и Eyv, но остаются
составляющие Ezv, Hxv, HyV. Таким образом, ряд целых чисел в вы-
выражении B1.13) может начинаться с нуля.
В отличие от волновода поле в объемном резонаторе представ-
представляет собой стоячие волны по всем трем координатным направлениям.
Поперечное волновое число gmn находят с помощью формулы
A3.23). В случае волн электрического типа индексы т и п не могут
быть равны нулю.
Поле в резонаторе определяется тремя индексами: т, пир.
Волна электрического типа обозначается Етпр.
§ 21.3. Вывод выражений для составляющих поля магнитного
типа в резонаторе, созданном на базе прямоугольного
волновода быстрых волн
За исходные примем выражения A3.52) — A3.57) для составляю-
составляющих поля магнитного типа в прямоугольном волноводе, выведенные
в § 13.3.
Изменяя на обратный знак перед постоянной А, вводя новый
амплитудный, коэффициент С4, получаем следующие формулы для
составляющих поля отраженной волны:
г> Н у> tUK . / ГПК \ / till \ :u~ /ni ли
Hxo = — ]—C4 sin x cos(—-y )e'**f B1.21)
gmn a \ a J \ b t.y
t xjsml—y)*"*, B1.22)
gmn О \ a / \ b /
Hza = C4cos (-EL x) cos (?%-y) e'*', B1,23)
gmn
C4 ^ cos ( ™L x) sin (ZLy) e/*-, B1.24)
Eyo = — I-t^-C* sin x cos(—-у е'Лг, 21.25)
J gmn a \ a J \ b J
?г0 = 0. B1.26)
Применяя граничные условия B1.9), получаем
coixa tin / тп \ . / rut
Рcos (х sin (
/ тп \ . / rut \ //O ,-hr I r> ih?\ a
\ ) \ Ь ]
/ РГ cos (х sin ( Т
gmn О \ а ) \ Ь
(при 2 = 0 и z = l),
откуда
С4^-С2 B1.27)
j^cs(x)sin(
gmn b \ a J \ b
С учетом того что ^ = sin(/z/),
218

граничное условие записывают в виде
sin (W) = 0, А/ = /?л;э B1.28)
gmn
Отсюда
где h = ^f- (p=l, 2, 3 ...)•
В отличие от выражения B1.13) для волн магнитного типа ряд
чисел р нельзя начинать с нуля. Как будет показано далее, при
р — 0 исчезают все составляющие поля.
Проводя действия, аналогичные § 21.2, учитывая соотношения
B1.14), B1.27), B1.28), находим составляющие поля волн магнитного
типа в резонаторе:
#*р = /2 -нг- С2 sin ( х cos (—- у cos (^- г , B1.29)
,f-^-z), B1.31)
-*/)sin(-^z), B1.32)
gnm b \ a I \ b
p <oPHa «я / «я N / rrn \ / pn \
§mn a \ a / \ b / \ I /
4P = 0. B1.34)
Видно, что при р — 0, все составляющие поля обращаются в нуль,
поэтому ряд чисел р в формуле B1.28) должен начинаться с еди-
единицы. Поперечное волновое число gmn определяется формулой A3.23).
Индексы шип могут быть равны нулю только поочередно. Одно-
Одновременное равенство их нулю невозможно, так как при этом все
составляющие поля обращаются в нуль.
Волны магнитного типа, так же как и волны электрического
типа, определяют тремя индексами: m, n и р и обозначают Нтпр.
§ 21.4. Определение резонансной частоты и основных
типов волн в случае волн электрического и магнитного типов
в резонаторе, созданном на базе прямоугольного волновода
быстрых волн
Продольное h и поперечное gmn волновые числа в волноводах
связаны между собой соотношением A3.35). Это соотношение спра-
справедливо и для объемных резонаторов с той лишь разницей, что при
исследовании процессов в волноводах под частотой со понимают час-
частоту колебаний, подводимых к волноводу от генератора, а в объем-
219

ных резонаторах частоту со заменяют резонансной частотой сор соб-
собственных колебаний в резонаторе. С учетом этого выражение A3.35)
необходимо переписать в форме
B1.35)
откуда резонансная частота
^УЩ^. B1.36)
С учетом формул B1.13), B1.28), A3.23) для резонансной частоты
получаем
B1.37)
Это соотношение пригодно для волн электрического и магнитного
типов. Важно только помнить, что для волн электрического типа
ряд чисел тип должен начинаться с единицы (нулевые значения
запрещены), а ряд чисел р может быть начат с нуля. В случае волн
магнитного типа числа тип поочередно могут быть равны нулю,
но ряд чисел р должен начинаться с единицы.
В силу справедливости соотношения A2.29) резонансная частота
B1.38)
Используя соотношение гB1.38), нетрудно получить выражения
для резонансной частоты /р и резонансной длины волны Яр:
B1.40)
Нельзя забывать, что резонансная длина волны Яр B1.40) соот-
соответствует среде с параметрами |Lia, еа, заполняющей резонатор.
Как следует из выведенных соотношений, в резонаторе могут
существовать волны различных типов с разными резонансными часто-
частотами. Др\гими словами, резонатор в отличие от обычного парал-
параллельного колебательного контура представляет собой многоволно-
многоволновую систему.
Аналогично волноводам, при анализе процессов в резонаторах
может быть поставлен вопрос о волнах основного типа, обладаю-
обладающего наибольшей резонансной длиной волны Яр и наименьшей резо-
резонансной частотой сор.
Для волн электрического типа наименьшими допустимыми зна-
значениями индексов m, n, p являются
m=lf я=1, /> = ()• B1.41)
220

Этим индексам соответствует волна типа Eil0 с резонансной
частотой
K + l/&a B1.42)
и резонансной длиной волны
2
W BЫЗ)
Для волн магнитного типа наименьшие допустимые значения
индексов т, п, р определяются равенствами:
m=l, /i = 0f р=1. B1.44)
. Этим индексам соответствует волна типа Н101 с резонансной
частотой
%(Hlai)=ncVUtf+W B1.45)
и резонансной длиной волны
Ь' B1'46)
В случае волны типа Е110, резонансная частота соре A1о) не зави-
зависит от длины резонатора I, а в случае волны типа Н101 — от высо-
высоты Ъ резонатора.
§ 21.5. Условия существования в резонаторе
волн заданного типа
Как указывалось, резонатор представляет собой отрезок волно-
волновода длиной /, замкнутый с двух сторон металлическими плоско-
плоскостями. Следовательно, условия существования волн заданного типа
определяются прежде всего возможностью распространения волны
типов Етп и Итп в заданном волноводе. Эти вопросы были рас-
рассмотрены в § 13.5. Общее условие распространения волн типа Етп
или Нтп определяется формулой A3.76). В резонаторах Я = ЯР,
и условие A3.76) записывается в виде
2
^ТШШ' BМ7)
Допустим, размеры а и Ь выбраны так, что это условие удовле-
удовлетворяется, волны с индексами тип распространяются, а волны
с индексами /n + 1, n или т, п + 1 затухают, и для них неравен-
неравенство B1.47) не выполняется.
Необходимо найти условие, определяющее длину резонатора /,
при котором возможно существование волн^ типа Етпр или Нтпр.
В случае волн типа Етп0 такого условия не существует, так как
резонансная длина волны не зависит от длины резонатора /. При
этом в соответствии с формулой B1.40)
221

Сравнивая это выражение с B1.47), можно сделать вывод, что
при р = 0 в резонаторе создаются волны электрического типа, соот-
соответствующие критическому случаю—границе условий распростране-
распространения волн типа Етп в волноводе.
При рфО резонансная длина волны уменьшается по сравнению
с критическим случаем [формула B1.48)] и соблюдается условие
распространения B1.47) волн с индексами m, n в волноводе. Тогда
при заданных размерах а и Ь, типе волны и резонансной длине
волны Хр длину резонатора / определяют однозначно из выражения
B1.40):
I —
B1.49)
§ 21.6. Картины поля в прямоугольном резонаторе
Сравнивая соотношения A3.29) — A3.34) для составляющих поля
в прямоугольном волноводе в случае волн электрического типа с вы-
выражениями B1.15)—B1.20) для составляющих поля в прямоуголь-
прямоугольном объемном резонаторе в случае волн электрического типа, можно
заметить, что законы изменения поля вдоль осей х, у в волноводе
и резонаторе одинаковы. Разница заключается в характере измене-
изменения поля вдоль оси г. В волноводе поле представляет собой бегу-
бегущую волну, в объемном резонаторе — стоячую волну. Аналогичная
картина наблюдается при сопоставлении выражений A3.52) — A3.57)
и B1.29) — B1.34), справедливых для полей магнитного типа соот-
соответственно в волноводе и резонаторе.
Таким образом, в плоскости поперечного сечения, в координатах
х, у картины поля в волноводе и объемном резонаторе будут иметь
У
/, ®
^ ® 1
А-А
в
ф
е
а
$н • \\
^ \L^ ®® V 1
2.
б-б
Цее®Vf
Рис. 21.4
222

сходный характер. При рассмотрении кар-
картин поля вдоль оси г должны быть соб-
соблюдены граничные условия у поверхности
идеального металла, согласно которым у
поперечных стенок резонатора, располо-
женных в плоскостях z = 0 и 2 = /,долж-
ны существовать тангенциальные к стен-
стенкам составляющие магнитного поля и
не может быть тангенциальных составляю-
составляющих электрического поля. Это приводит к
сдвигу картин электрического и магнит-
магнитного полей в объемном резонаторе на
четверть длины волны вдоль оси г по
сравнению с мгновенными картинами поля
в волноводе. Выражения A3.94), A3.95),
A3.96), полученные в § 13.7 для волны
типа Н10 в прямоугольном волноводе,
соответствуют мгновенной картине поля в
момент времени ? = 0.
В объемном резонаторе составляющие
поля определяются формулами B1.29) —
B1.34). При индексах т — 1, п = 6 и
/?—1 они записываются в форме
ее
А-А
'///////77.
Рис. 21,5
Я «г»
*р =/2
> Я . / Я
,-sin [-х
cos ( -у;
__ 20)pjLla
2
C^sin (i
sin ?
B1.50)
B1.51)
B1.52)
Сравнивая выражения A3.94)—A3.96) и B1.50)—B1.52), можно
заметить смещение магнитного и электрического полей на четверть
длины волны вдоль оси z в резонаторе по сравнению с волноводом.
С учетом сказанного можно легко построить картины поля в объем-
объемном резонаторе, взяв за основу картины поля в волноводе с индек-
индексами тип, соответствующими индексам поля в резонаторе. В ка-
качестве примера на рис. 21.4 показана картина поля волн типов
Н101 и Н102, а на рис. 21.5—картина поля волны типа Eil0, при
которой резонансная частота не зависит от длины резонатора /.
В соответствии с выражениями B1.15)—B1.20) при этом Exv =
= Eyv = 0 и существует только одна составляющая электрического
поля Ezv. Картина поля этой волны в плоскости х, у отличается
°т картины поля соответствующей волны типа E±i в прямоугольном
волноводе (см. рис. 13.3).
223

ГЛАВА 22
ОБЪЕМНЫЙ РЕЗОНАТОР, СОЗДАННЫЙ! НА БАЗЕ
КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА БЫСТРЫХ ВОЛН
§ 22.1. Вывод выражений для составляющих поля
электрического типа в резонаторе, созданном на базе
круглого волновода быстрых волн
Используем в качестве объемного резонатора отрезок круглого^
волновода длиной /, радиусом г0, внутренние размеры которого по-
показаны на рис. 22.1.
В качестве исходных возьмем соотношения A4.33)—A4.38) для
составляющих электрического поля в круглом волноводе, выведен-
выведенные в § 14.2.
Дальнейшие рассуждения не отличаются от тех, которые были
приведены при исследовании поля в прямоугольном резонаторе.
Записывают выражения для обратной волны в резонаторе, отра-
отраженной от стенки резонатора, расположенной в плоскости z = L Для
этого в приведенных выражениях изменяют знаки перед постоян-
постоянной h и вводят амплитудный коэффициент отраженной волны С3.
В результате этих операций получаются следующие выражения,
характеризующие поле отраженной волны:
= / ^ С9Гт (^ г) cos (лир) е/*«, B2.1)
B2.2)
> - C3Jm (!fzr) cos (mcp) &h\ B2.3)
B2.4)
r0 j^3
Щтп
Яфо = -/^-°С3^(^г)соз(тФ)е^, B2.5)
HSQ=Q. B2.6)
Суммарное поле в резонаторе представляет собой суперпозицию
падающей и отраженной волн. При этом должны быть соблюдены
граничные условия:
==О (при z = 0 и 2 = /).
Подставляя выражение для Ёг и Ёг0 и используя граничные уело-
вия при 2=0, получаем
224

откуда
B2.7)
Применение граничных условий
р = / и соблюдении равенства
B2.7) приводит к соотношению
Ц~ г) cos (mcp)ClX
Учитывая формулу B1.14), мож-
можно записать граничные условия
б виде
Рис. 22.1
2
Цтп
^j;nn[^r)cos(m^)C1sm(hl) = 0.
Отсюда
sin(/z/) = O и
где р — ряд целых чисел, который, как будет показано в дальней-
дальнейшем, может быть начат с нуля.
Таким образом,
= pn/ly /7 = 0, 1, 2, 3...
B2.8)
Используя выражения A4.33)—A4.38) и B2.1) —B2.6), а также
соотношения B2.7), B2.8), B1.14) можно написать следующие фор-
формулы для суммарною поля в резонаторе:
f
= 2CJm (^ г) cos
cos (^ z
ГЦтп
''О
- г ) sin (тф) cos
B2.9)
B2.10)
B2.11)
B2.12)
B2.13)
Н„=0. B2.14)
Так же как и в прямоугольном резонаторе, волну электричес-
электрического типа в круглом резонаторе обозначают Етпр, где т—число
вариаций поля вдоль координаты ср, а также порядок функции
Бесселя, п—номер корня функции Бесселя и р—число вариаций
поля вдоль оси z резонатора. При р = 0 исчезают составляющие
Erv и ?фр, но сохраняются составляющие Ё^, Hrv и Яфр, не зави-
зависящие от координаты z.
8 •№ 644 225

§ 22.2. Вывод выражений для составляющих поля
магнитного типа в резонаторе, созданном на базе
круглого волновода быстрых волн
Используя выражения A4.51) — A4.56), определяющие поле маг-
магнитного типа в волноводе, можно записать соотношения для состав-
составляющих поля обратной волны:
B2.15)
CtmJm (i^ r) sin (mq>) е/*«, B2.16)
r\imn
) B2.17)
Er0 = jf^CAmJm(^r)sm(mq>)e/*\ B2.18)
Em = jf^CAJ'm (^r)cos(mcp)e^, B2.19)
?ж0'=0. . B2.20)
Суперпозируя поля прямой и обратной волн, применяя гранич-
граничные условия при 2-0и 2 = 1 и соотношения B1.14) так, как это
делалось в § 22.1, получаем окончательно
С,== — С2, B2.21)
B2.22)
B2.23)
B2.24)
B2.25)
B2.26)
Г\1тп " "
Ezv = 0. B2.28)
Волны магнитного типа обозначают Нтпр, где т и р—числа
вариаций по координатам ф и г, а п—номер корня производной
функций Бесселя. Ряд для индекса р должен начинаться с еди-
единицы, так как при р = 0 все составляющие поля исчезают.
226
Л =-25-, р=1, 2, 3

§ 22.3. Определение резонансной частоты и основных
типов волн в случае волн электрического и магнитного
типов в резонаторе, созданном на базе круглого волновода
быстрых волн
При исследовании процессов в круглом волноводе были выве-
выведены соотношения A4.40), A4.57) для продольных волновых чисел
в случае волн электрического и магнитного типов. Они справедливы
и для круглого объемного резонатора с той разницей, что вместо
частоты колебаний со следует брать резонансную частоту колебаний
в резонаторе сор. Кроме того, необходимо учесть выражение B2.8)
в случае волн электрического типа и B2.22) в случае волн магнит-
магнитного типа.
С учетом сказанного выражения A4.40) и A4.57) записывают
в виде
Т= К wpMa —
Из первого выражения можно получить формулу для резонанс-
резонансной частоты круглого резонатора в случае волн электрического типа:
B2.29)
Соответственно нетрудно найти формулы для резонансной часто-
частоты /р и длины волны Яр:
B2.30)
Яр= rt__™ =— B2.31)
В случае волн магнитного типа справедливы соотношения
B2.32)
Wf' <22-33>
я-— 2я _. B2.34)
Так же как и прямоугольный резонатор, круглый резонатор
представляет собой многоволновую систему, для которой основными
являются колебания, обладающие наибольшей резонансной длиной
3* 227

волны. При заданных размерах резонатора / и г0, как следует из
соотношений B2.31) и B2.34), основные волны возникают при на-
наименьших значениях индекса р и коэффициентов цтп и \хтп. В соот-
соответствии с табл. 14.1 и 14.2 наименьшими значениями х\тп и \хтп
являются
т]01 = 2,405 и 1^=1,84.
В случае волн электрического типа допустимо значение р — 0.
Волнам магнитного типа соответствует наименьшее значение /?=1.
Следовательно, для волн электрического типа основной является
волна типа Е010 с резонансной частотой
2,405 /оо O[-v
а для волн м'агнитного типа — волна Н1П, резонансная частота ко-
которой
/ЩЧЩ^ B2-36)
В случае волн электрического типа с нулевым последним индек-
индексом резонансная частота зависит только от диэлектрика, заполняю-
заполняющего резонатор, и его радиуса.
§ 22.4. Условия существования в резонаторе волн
заданного типа
' Условия существования волн заданного, типа определяются
прежде всего возможностью их распространения в волноводе, на
базе которого построен резонатор. Эти вопросы были рассмотрены
в § 14.4.
Для волн электрического типа условием распространения яв-
является неравенство X < ^кр, где Якр-находят с помощью соотноше-
соотношения A4.58). В случае волн магнитного типа справедливо соотноше-
соотношение A4.59) для Хкр. В резонаторе длина волны колебания равна
резонансной длине волны, определяемой соотношениями B2.31)
и B2.34). Соответственно условия распространения записываются
в форме •
'7WFM'. ^'
B2.38)
При рфО эти неравенства всегда соблюдаются. В случае волн
электрического типа при р = 0 неравенство B2.37) переходит в ра-
равенство. В резонаторе при этом существуют колебания, соответст-
соответствующие критическому случаю — границе условий распространения
волн типа Етп в круглом волноводе.
228

-010
А-А
У7/777////////Л
Рис. 22.2
§ 22.5. Картины поля в
круглом резонаторе
Сравнивая выражения
A4.33)—A4.38) для состав-
составляющих поля электрического
типа в круглом волноводе с
выражениями B2.9) —B2.14)
для составляющих поля в
резонаторе и проводя анало-
аналогичное сравнение формул
A4.51)—A4.56) и B2.23)—
B2.28) для волн магнитного
типа, можно установить, что
характер изменения поля
вдоль координат г и ср в ре-
резонаторе такой же, как и в
волноводе. Аналогично пря-
прямоугольным резонаторам не-
необходимость соблюдения гра-
граничных условий приводит к
тому, что электрическое и
магнитное поля в объемном
резонаторе смещаются отно-
относительно друг друга на чет-
четверть длины волны по срав-
сравнению с положением полей в
волноводе. Поэтому картину
поля в объемном резонаторе
нетрудно построить по из-
известной картине поля в волноводе с индексами т и я, соответствую-
соответствующими волнам в резонаторе.
На рис. 22.2 и 22.3 в качестве примера показаны картины поля
волн основных типов Е010 и Нт.
Рис. 22.3
ГЛАВА 23
ОБЪЕМНЫЙ РЕЗОНАТОР, СОЗДАННЫЙ НА БАЗЕ
КРУГЛОГО КОАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОДА
§ 23.1. Постановка вопроса
Обычно при работе с коаксиальными волноводами используют
волны типа Т, при которых критическая частота уменьшается до
нулевого значения. Объемные резонаторы, построенные на базе
таких волноводов, также используют волны типа Т. Эти резона-
резонаторы, широко применяемые в диапазоне дециметровых волн и ко-
короткой части метрового диапазона, будут рассмотрены в настоящей
главе.
229

§ 23.2. Вывод выражений для составляющих поля
в коаксиальном объемном резонаторе, работающем
на волнах типа Т
Рассмотрим коаксиальный резонатор (рис. 23.1), который пред-
представляет собой отрезок коаксиального волновода, закороченного по-
поперечной металлической пластиной в плоскости г = 0 и разомкнутого
на расстоянии / от закорачивающей плоскости.
Допустим, что со стороны открытого конца волновода в нем
возбуждается электромагнитное поле, перемещающееся со скоростью
света в направлении закорачивающей плоскости, т. е. в сторону
отрицательных значений оси г. Дойдя до закорачивающей плоско-
плоскости, это поле отражается и перемещается в сторону положительных
значений оси г. Суммарное поле в резонаторе представляет собой
суперпозицию падающей и отраженной волн.
В § 15.2 были выведены соотношения A5.4), A5.9) для состав-
составляющих поля падающей волны в коаксиальном волноводе, распро-
распространяющейся в направлении положительных значений оси г.
В рассматриваемом случае падающая волна распространяется
в сторону отрицательных значений оси г, поэтому в выражениях
A5.4) и A5.9) знак в показателе степени следует изменить на , об-
обратный. Составляющие поля падающей волны в резонаторе при
этом записываются в виде
Е — 1/ -ЙЗ-. —°- е/|3г
Отраженная волна распространяется в сторону положительных
значений оси г, вследствие чего знак перед показателем степени
должен быть сохранен таким, как в выражениях A5.4), A5.9).
Кроме того, в плоскости 2 — 0 должны быть соблюдены граничные
условия у поверхности идеального металла — равенство нулю тан-
тангенциальных составляющих суммарного электрического поля. Со-
Составляющая Егп падающей волны и аналогичная составляющая Ёг0
отраженной волны в сумме должны дать нуль в плоскости г = 0,.
что возможно, если составляющая отраженного поля будет запи-
записана в форме
При этом суммарное электрическое поле в резонаторе опреде-
определяется соотношением
Рис. 23.1 2/
230
— Ё
Х(е/0»_е-/Р*). B3.4)
В силу справедливости равенства
Jfce-Wz
B3.5)

формулу B3.4) можно представить в ином виде:
?rp=2/ j/|i.^Lsin(pz). B3.6)
При г — 0 ?rp —0 и граничные условия удовлетворяются.
Далее найдем выражение для суммарного магнитного поля в ре-
резонаторе
"Фр ~ Н Фп "г **фо*
В соответствии с граничными условиями это поле должно суще-
существовать в плоскости 2 = 0, что возможно, если составляющая отра-
отраженного поля будет записана в форме
Ао = -^е-*. ' B3.7)
Тогда
^ФР=^(е** + е~№>- B3-8)
В силу справедливости равенства
выражение для суммарного магнитного поля запишется таким об-
образом:
#ФР = 2^:СОз(рг). B3.10)
Это выражение удовлетворяет граничным условиям в плоскости
г = 0.
Найдем разность потенциалов между внутренним стержнем и
внешней оболочкой в заданном сечении г коаксиального резонатора:
U = \Ervdr= ]2j yrJ±A.Sm№)dr = 2j Y~ ' "jr sin
"'"fe"Sin(^)ln7f- B3Л1)
Далее определим ток в заданном сечении резонатора. Для этого
используем закон полного тока вида A.72) и выражение B3.10)
ДОя суммарного магнитного поля в резонаторе:
2JT
= A- cos (|Jz) r2n - 2/0 cos (рг). B3.12)
231

Разделив U на /, получаем характеристическое сопротивление
коаксиального резонатора:
ИЛИ
B3.13)
При tg ((к)>0 характеристическое сопротивление ZcV имеет индук-
индуктивный характер, при tg (pz)< 0 — емкостный характер. Выбирая г
таким образом, чтобы характеристическое сопротивление было ин-
индуктивным, можно определить величину эквивалентной индуктив-
индуктивности L9KB, обладающей на резонансной частоте таким же сопро-
сопротивлением:
или
B3.14)
Если к разомкнутому концу резонатора подсоединить конденса-
конденсатор с сосредоточенной емкостью С так, как показано на рис. 23.2,
то система будет представлять собой параллельный колебательный
контур. Частоту собственных колебаний такого контура определяют
с помощью известного соотношения сор?экв= 1/(сорС). Подставляя
значение'copL3KB из формулы B3.14), получаем
1
откуда резонансная частота
B3.15)
Если необходимо определить емкость С, которая требуется для
, получения заданной резонансной часто-
частоты сор, то формулу B3.15) следует пере-
переписать в виде
¦/jkmli.JLtg,
У еа /-1 2л ь
B3.16)
Рис. 23.2
Преимуществами описанного резо-
резонатора являются простота и замкну-
замкнутость. Электромагнитное поле существу-
существует внутри замкнутого объема. Связь ре-
232

Рис. 23.3
зонатора с внешними устройствами осуществляется посредством шты-
штырей или петель (см. рис. 23.2). На рис. 23.3 показана картина
электрического и магнитного полей в коаксиальном резонаторе.
ГЛАВА 24
ОБЪЕМНЫЙ РЕЗОНАТОР, СОЗДАННЫЙ НА БАЗЕ Н-ОБРАЗНОГО
МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА МЕДЛЕННЫХ ВОЛН
§ 24.1. Постановка вопроса
В § 16.4 был описан Н-об-
разный металлодиэлектрический
волновод медленных волн, пред-
представляющий собой реальный
волновод медленных волн, соз-
созданный на базе диэлектриче-
диэлектрической пластины. В настоящей
главе будет показано исполь-
использование подобного волновода в
качестве объемного резонатора,
работающего на медленных вол-
волнах. Схематический вид резона-
резонатора показан на рис. 24.1.
§ 24.2. Вывод соотношений для составляющих поля
магнитного типа в Н-образном металлодиэлектрическом
волноводе медленных волн
Рассматриваемый волновод работает на волнах магнитного типа
с составляющими поля Нх> Ёу, Hz. Оси координат расположены
так, как показано на рис. 16.4. В § 16.2 были получены формулы
A6.5)—A6.7) для составляющих поля внутри пластины и A6.17)—
A6.19)—для составляющих поля вне пластины (в воздухе) в случае
волн электрического типа.
Составляющие доля волн магнитного типа нетрудно определить
233

с помощью принципа перестановочной двойственности путем прове-
проведения в перечисленных формулах перестановок вида
Ё^ГН, еа—> —|ха, . е0—*—fv
При этом возникают следующие соотношения для составляющих
поля волн магнитного типа в Н-образном металлодиэлектрическом
волноводе:
а) поле внутри пластины:
Нх = - / -Af {-gA, sin (gx) + gA2 cos (gx)} e-^f B4.1)
Ey = i^r {-gAi sin (gx) + gA2 cos (gx)\ *-**, B4.2)
Hz = {A\ cos (gx) + A, sin (gx)} e-'**, B4.3)
б) поле вне пластины:
H^-i^Bfi-P**-!**, B4.4)
EyB-j^Bfi-P**-'**, B4.5)
-Hn^B^-P*^**. B4.6)
Так же как и для волн электрического типа, можно отдельно
рассмотреть четные и нечетные волны. В первом случае считают
Лх = 0, во втором — Л2 = 0. Оба случая рассматривают аналогично.
В качестве примера рассмотрим четные волны, для которых
составляющие поля внутри пластины записывают в виде соотноше-
соотношений:
^'^i B4.7)
y Jrs»*9 B4,8)
Hg=A2sin(gx)e-shz. B4.9)
§ 24.3. Определение составляющих поля в объемном
резонаторе, созданном на базе Н-образного
металлодиэлектрического волновода, в случае четных волн
магнитного типа
Соотношения B4.4)—B4.6) и B4.7)—B4.9) соответствуют пада-
падающей волне, распространяющейся в волноводе в сторону положи-
положительных значений оси z. В резонаторе помимо падающей существует
отраженная волна. Составляющие поля отраженной волны можно
найти из указанных соотношений путем замены амплитудных коэф-
коэффициентов: А2 на А3 и Вг на В2. Кроме того, следует заменить
на обратный знак перед постоянной распространения к. В резуль-
результате получаются следующие формулы для составляющих поля об-
обратной волны внутри и вне пластины:
234

а) поле внутри пластины:
± ' B4.10)
A9cos(
о
. B4.11)
B4.12)
б) поле вне пластины:
iB^-P'e"* B4.13)
B4.14)
B4.15)
Поле в резонаторе Ёр и Нр является суперпозицией полей пря-
прямой и обратной волн:
/-/ —/7 4-Я Я =Н 4-Н Ё —Ё -\-Е Я =Я 4-Я ,
поэтому можно записать
Я = j — cos (gx) (A3e/hz — A2e~J'hz), B4.16)
¦ B4.17)
} = sin (gx) (A3e^z + A2e~Jhz), B4.18)
B4.19)
?,вр - / ^ е-^ (В2е/л* + В^-^), B4.20)
^вр = е"^ E2е^ + 5хе-^). B4.21)
Для определения соотношений между коэффициентами Л3, Л2 и
В2, Б^ а также постоянной h к тангенциальным составляющим поля
следует применить граничные условия при z==0 и z = l, где, как
показано на рис. 24.1, располагаются ограничивающие волновод
идеальные металлические пластины.
Граничные условия сводятся к соотношениям:
?х = ^р = 0 (при z = 0, z = l), B4.22)
.Hx = HXv=y9 при (z = 0, г-/), B4.23)
?та = ?увр = 0 (при г-0, z = 0, B4.24)
HXB = HXBV^v3 (при г = 0, г-/). B4.25)
Используя соотношения B4.17) и B4.20) при z = 0t получаем
235

откуда
A3 = -A2f B4.26)
В2 = — Вг. B4.27)
Используя выражения B4.26), B4.27), а также B1.14), B1.15),
формулы B4.16)—B4.21) можно написать в следующем виде:
Нхр = — 2j~ A2 cos (gx) cos (hz), B4.28)
Eyv = 2^pA2 cos (gx) sin (hz), B4.29)
Hzv - —2/ Л2 sin (gx) sin (Аг), B4.30)
ie-'*Bx cos (hz), B4.31)
EyBV = 2 -^ e^S, sin (hz), B4.32)
^zbp = — 2jB1e-Px sin (Az). B4.33)
Продольное волновое число h находят с помощью граничных
условий при z~l:
sin (hi) -0, hi = kit,
откуда
Л^ (&_!, 2, 3 ...)• B4.34)
• Ряд целых чисел k не может быть начат с нуля, так как при
k = 0 все составляющие поля в резонаторе исчезают.
§ 24.4. Определение поперечных волновых чисел g, р
и резонансной частоты Н-образного металлодиэлектрического
резонатора
Для определения поперечных волновых чисел g и р, а также
резонансной частоты a>v можно, взять методику, примененную при
исследовании процессов в диэлектрической пластине, используемой
в качестве волновода медленных волн (см. § 16.3 и 16.4). В соот-
соответствии с этой методикой используются граничные условия:
?*р = ?увр. #*р = #*вР (при x = d) B4.35)
Bd — толщина пластины в направлении оси х).
На основании этих граничных условий получаем следующие со-
соотношения:
-^ А2 cos (gd) = -f e-PdBlf B4.36)
Biz-Pd. B4.37)
236

Деление выражения B4.37) на B4.36) дает трансцендентное
уравнение
которое может быть записано в форме
^ pd. B4.38)
Для определения второго уравнения, связывающего волновые
числа g и р, используют формулы A2.26), A6.28) для продольного
волнового числа h. В объемном резонаторе частота о является резо-
резонансной частотой сОр и формулы для h записываются в виде
-&, B4.39)
o + p*. B4.40)
Подставляя в эти выражения значение h B4.34) и возводя в
квадрат, получаем
'Акт'
откуда
-1 = ~Н^Г+^, B4.41)
\ I 1
Приравняем правые части и осуществим простые преобразования:
Умножая все члены на d2 и учитывая соотношения A.20), A.81),
выражение B4.43) можно переписать в виде
B4.44)
Умножим обе части выражения B4.38) на
pd. B4.45)
Уравнения B4.44) и B4.45) представляют собой систему для
определения поперечных волновых чисел р и g. Решение этих урав-
уравнений может быть осуществлено с помощью ЭВМ или графически.
Рассмотрим последний способ. В прямоугольной системе координат
gdt ]/r\irBrpd строят график, определяемый соотношением B4.45).
237

Уравнение B4.44) представляет собой
уравнение окружности в этих коор-
координатах. Если число k задано и па-
параметры системы d, /, \in гг известны,
то радиус окружности
Рис, 24.2
^^=Т. B4.46)
Построение показано на рис. 24.2.
Точки пересечения графиков дают
^, ,, г ,;ж,., у ,,, значения gd и V[irerpd. Так как
О ж/2 ж дж/2 Zfi 5ri\2qd значение Viirer и полутолщина пла-
пластины d известны, то, значит, попе-
поперечные волновые числа g, p опреде-
определены и с помощью одного из соотно-
соотношений B4.41) или B4.42) можно отыскать резонансную частоту сор.
Таким образом, можно найти все параметры Н-образного металло-
диэлектрического объемного резонатора.
Тип волны в таком резонаторе обозначают HmOk. Первому корню
четной волны присваивают индекс т = 0, второму — т = 2. Так как
поле не изменяется вдоль оси у, то второй индекс равен нулю,
'третий индекс соответствует числу ряда k в выражении B4.34).
Нечетные волны в подобном резонаторе исследуют аналогично.
ГЛАВА 25
ДОБРОТНОСТЬ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
§ 25.1. Постановка вопроса
При анализе процессов в объемных резонаторах в предыдущих
главах было сделано допущение, что диэлектрик, заполняющий
объем резонатора, идеален и металл, используемый в резонаторе,
обладает бесконечной проводимостью. В тех случаях, когда объем
резонатора заполнен воздухом, предположение об идеальности ди-
диэлектрика близко к истине. При создании объемных резонаторов
на базе диэлектрических волноводов медленных волн с потерями
в реальных диэлектриках необходимо считаться. Если в резонаторе
не используются сверхпроводящие материалы и криогенная техника,
то необходимо учитывать конечную проводимость металлических
стенок резонатора.
Таким образом, в реальных условиях объемный резонатор об-
обладает потерями. В колебательных системах потери оценивают до-
добротностью. Это понятие может с успехом служить и для оценки
потерь в реальных-объемных резонаторах.
238

§ 25.2. Вывод общего выражения для добротности
объемных резонаторов
По определению, добротностью Q называют умноженное на 2я
отношение энергии W, запасенной в колебательной системе, к энер-
энергии WnT, теряемой в этой системе в течение периода колебаний:
Q = 2n^-. B5.1)
W пт
Энергию потерь можно выразить как произведение мощности
потерь РП2, под которой подразумевают суммарную мощность по-
потерь в диэлектрике и металле объемного резонатора, на время,
т. е. период колебания Тр, соответствующий резонансу:
Wm = Pn*Tv. B5.2)
Период колебаний Тр связан с частотой колебаний /р известным
соотношением Тр=1//Р, в силу чего WnT = Pnz/fv- При этом
w
— . B5.3)
2
Выражение B5.3) является основным для подсчета добротности
любой колебательной системы.
В § 4.1 было выведено следующее соотношение для полной
энергии электромагнитного поля, заключенной в объеме Уг\
где Н и Е—мгновенные значения магнитного и электрического
полей в объеме Vx.
Таким образом, полная энергия поля представляет собой сумму
мгновенных значений энергий магнитного и электрического полей.
В колебательной системе происходит непрерывное преобразование
электрической энергии в магнитную и обратно. Максимальному
значению магнитного поля соответствует нулевое значение электри-
электрического поля и наоборот. Поэтому вместо суммы мгновенных зна-
значений магнитной и электрической энергий в последнем выражении
можно взять максимальное значение либо магнитной, либо электри-
электрической энергии:
Г -ф&, B5.4)
где Нт и Ет—максимальные значения магнитного и электрического
полей.
Мгновенные значения магнитного и электрического полей мо-
могут быть записаны в форме
239

Здесь фя и (рЕ—начальные фазы магнитного и электрического
полей.
В § 1.10 было введено понятие комплексных амплитуд функций,
входящих в уравнения электродинамики. В соответствии с этим
комплексные амплитуды полей Н и Ё записываются в виде
Как следует из этих выражений, модули комплексных ампли-
амплитуд векторов поля |H| = #m, |Ё| = 2Гт совпадают с максимальными
значениями полей Нт и Ет.
Выразим энергию поля в выражении B5.4) через комплексные
амплитуды Н или Ё:
W = f ЬШ4У =j Ц^1Л B5.5)
Если объем резонатора заполнен диэлектриком, обладающим
в общем случае электрической и магнитной проводимостями уэ и
YM, to усредненную за период колебаний мощность потерь, возни-
возникающую за счет этих проводимостей, можно найти из теоремы Пойн-
тинга для комплексных амплитуд [см. соотношение D.25)].
Интегралы
и Г±
представляют собой соответственно усредненные за период колебаний
мощности .электрических и магнитных потерь. Выражение для мощ-
мощности потерь в реальном металле было найдено в § 9.7:
Для объемного резонатора интеграл в этом выражении следует
брать по площади всех металлических поверхностей, ограничиваю-
ограничивающих поле в резонаторе, и в качестве частоты подставлять резонан-
резонансную частоту (ор.
Таким образом, полная мощность потерь в общем случае скла-
складывается из потерь в металлических поверхностях резонатора, а
также электрических и магнитных потерь в диэлектрике резонатора,
т. е. можно записать
Подставляя выражения B5.5) и B5.6) в формулу B5.3), полу-
получаем следующее выражение для добротности объемного резонатора,
240

записанное в общей форме:
^
или окончательно
Q= г— i—r1 с V~T"-B57)
1/ Jbl. ^'|HTl2rfS+ [ уЛ \E\2dV + yM I H\2dV\ i
В случаях, когда диэлектриком, заполняющим объем резонатора,
является воздух, потерями в воздухе можно пренебречь и доброт-
добротность представить в упрощенном виде
Q= r—Vt ¦ ¦ . B5.8)
Расчеты добротностей объемных резонаторов выполнены в при-
приложении III. Отметим, что добротности объемных резонаторов су-
существенно больше добротностей колебательных контуров и при
использовании сверхпроводящих материалов и криогенной техники
могут достигать значений порядка сотен тысяч.
ГЛАВА 26
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
§ 26.1. Постановка вопроса
Как неоднократно отмечалось в предыдущих
главах, объемные резонаторы представляют собой
многоволновые системы. Если тип волн зафикси-
зафиксирован, т. е. выбраны определенные индексы ту
д, р или ky то при заданных конструкции и раз-
размерах резонатор будет обладать определенной i .
резонансной частотой и добротностью. Такой резо-
резонатор можно представить в виде параллельного гзк6
колебательного контура с эквивалентными пара-
параметрами LaKB, Сэкв и гэкв (рис. 26.1). Настоящая
глава посвящена определению этих эквивалент-
эквивалентных параметров. Рис: 26.1
241

§ 26.2. Определение эквивалентных параметров
объемных резонаторов
При определении эквивалентных параметров объемных резона-
резонаторов предполагается, что электродинамический расчет резонатора
произведен, поле для конкретного типа волн в резонаторе найдено,
а также определены резонансная частота и добротность резонатора.
На основании этих данных требуется определить параметры экви-
эквивалентного колебательного контура. Резонансная частота колеба-
колебательного контура определяется соотношением:
Если величина сор .известна, то достаточно определить либо L9KB,
либо Сэкв, а оставшийся параметр можно найти из формулы B6.1).
Покажем методику определения емкости Сэкв. Для энергии
электрического поля W3> запасенной в конденсаторе, имеется изве-
известное выражение
B6.2)
где |?/|— модуль комплексной амплитуды разности потенциалов на
обкладках конденсатора.
Модуль заряда конденсатора связан с модулем разности потен-
потенциалов соотношением
Ш = Ст\О\. B6.3)
Подставив | О | из этой формулы в выражение B6.2), нетрудно
найти емкость Сэкв:
С™ = Щ- ¦ B6.4)
После осуществления электродинамического расчета резонатора
запасенную в нем энергию электрического поля можно определить
с помощью формулы B5.5):
Таким образом, определение емкости Сэкв сводится к отысканию
заряда Q3. Для большей наглядности поясним это на простом при-
примере. Рассмотрим волну типа Я101 в прямоугольном резонаторе,
которой соответствует следующий набор индексов: т, п, р: т = 1,
Используя соотношения B1.29) — B1.34), найдем составляющие
242

поля в резонаторе:
Н™ = /2 --I
'gio
= /2^C2-sin(-x coslyz ,
= — 2
a-sin ~
sin I j;
г> Ь Ь о
11 ур — *^ xv — ^ zp u •
B6.5)
Единственная составляющая электрического поля Eyv создает за-
заряды на нижней и верхней стенках резонатора. Эти заряды можно
определить с помощью теоремы Гаусса, которая в рассматриваемом
случае записывается таким образом:
la la
=~8а2^Сг ^\ \sin l^x)sin \~z] dxdz'
gio
B6.6)
Подставляя это значение заряда \Q9\ и значение энергии Wъ
B5.5) в формулу B6.4), можно найти эквивалентную емкость Сэкв.
Зная о)р и Сэкв, из выражения B6.1) получают эквивалентную
индуктивность ?экв. Электродинамический расчет резонатора позво-
позволяет определить его добротность Q. В колебательном контуре до-
добротность определяют по формуле
B6.7)
из которой можно найти активное сопротивление эквивалентного
колебательного контура:
1
B6.8)
Резонансное сопротивление Zp такого контура находят по изве-
известному соотношению
Q
р
B6.9)
Таким образом, все параметры эквивалентного колебательного
контура определены через известные в результате электродинамиче-
электродинамического расчета параметры объемного резонатора.
Напоминаем еще раз, что замена объемного резонатора эквива-
эквивалентным колебательным контурам возможна только для конкрет-
конкретного типа волн в объемном резонаторе и области частот вблизи
резонансной частоты.
243

ГЛАВА 27
ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ
§ 27.1. Постановка вопроса
В предыдущих главах исследовалось распространение электро-
электромагнитных волн в различных средах и волноводных системах. При
этом использовались электродинамические уравнения, в которых
отсутствовали сторонние токи, в результате чего было невозможно
определить амплитудные постоянные полей как функции сторонних
токов. Можно было лишь судить об относительном изменении ам-
амплитуды и фазы поля в результате его прохождения через ту или
другую среду или волноводную систему.
В ряде практических случаев бывает важно знать не только
характер изменения поля, но и его абсолютное значение в резуль-
результате возбуждения среды, волноводной или резонаторной системы
заданным расположением и значениями сторонних токов. При этом .
в основу исследования необходимо положить электродинамические
уравнения, в которых фигурируют заданные электрические или маг-
магнитные сторонние токи. Подобные задачи являются задачами ана-
анализа поля, возникающего в результате воздействия заданной системы
токов. Помимо задач анализа возможны довольно сложные задачи
синтеза, когда структура поля оказывается заданной, и требуется
определить систему сторонних токов, при которой такая структура
поля будет существовать. Задачи синтеза относятся к специальным
задачам электродинамики и в общем курсе их рассмотрение не пре-
предусмотрено.
В задачах анализа естественно добиваться максимального упро-
упрощения исходных электродинамических уравнений. В § 6.3 были
определены следующие общие уравнения Гельмгольца для векторов
поля Н и Ё, в которые входят сторонние возбуждающие токи [см.
уравнения F.21) и F.22)]:
V2H + w2[Ia8aH-: 4-graddiv JM—rot J3+/coeaJM,
<D|Xa
V2E + co2|jia8aE = -4^-
@8a
Было проведено решение этих уравнений в случаях, когда сто-
сторонние токи Лэ и JM отсутствовали в данной части пространства.
Решение этих уравнений в представленном виде крайне затруднено
тем, что сторонние токи входят в правые части под знаком диффе-
дифференциальных операторов.
Было бы целесообразно ввести в электродинамику какие-либо
новые векторные функции, связанные простыми соотношениями с век-
векторами поля Н, Ё, для которых левые части электродинамических
уравнений совпадали бы с хорошо изученным уравнением Гельм-
Гельмгольца, а правые части содержали бы сторонние токи непосредст-
244

венно, без дифференциальных операторов. Решение электродинами-
электродинамических уравнений для этих функций существенно упростилось бы
в силу упрощения правых частей. Отыскание векторов поля Н и Ё
в случае простой математической связи их с введенными функциями
не представило бы существенных затруднений.
Отыскание подобных функций, называемых векторными потен-
потенциалами, оказывается возможным, чему и посвящена настоящая
глава.
§ 27.2. Исходные уравнения электродинамики для векторов
поля с участием сторонних токов. Векторный электрический
потенциал
В § 2.2 были определены следующие электродинамические урав-
уравнения для векторов поля [см. уравнения B.12) — B.15)]:
rot Н = J3 + /ft>saE,
rot Ё = — JM—/со]хаН,
div(eaE)==p9,
div(jIaH)==pMV '
Считая среды и системы, в которых процессы описываются эти-
этими исходными уравнениями, линейными и, следовательно, удовлет-
удовлетворяющими принципу суперпозиции, указанные уравнения можно
разбить на две группы, в одной из которых действуют сторонние
электрические токи в отсутствие сторонних магнитных токов, а
в другой — сторонние магнитные токи в отсутствие сторонних элек-
электрических токов. Суммарное поле, возникающее под действием сто-
сторонних электрических и магнитных токов, при этом является супер-
суперпозицией полей, найденных в результате самостоятельного решения
каждой из групп уравнений.
В первой группе уравнений сохранены только сторонние.элек-
сторонние.электрические токи и заряды:
" J = J8. B7.1)
1 = 0, B7.2)
div(eaE) = p9, B7.3)
div([IaH)=0. ' B7.4)
Во второй группе уравнений сохранены только сторонние маг-
магнитные токи и заряды:
rotH—/<о?аЁ-0, B7.5)
rotE+/co^aH = — JM, B7.6)
div(iaE) = 0, B7.7)
divd^H) =pM. B7.8)
245

Нетрудно заметить, что переход от первой группы уравнений
ко второй и обратно может быть осуществлен с помощью переста-
перестановок вида:
Н ^±Ё, еа^± -jla, J9^t — JM> Рэ^ -Рм. B7.9)
Отыщем решение первой группы уравнений в общем виде, без
перехода к конкретной электродинамической задаче.
Простейшим уравнением в первой группе является уравнение
B7.4). В силу справедливости векторного тождества (см. приложе-
приложение I) divrota^O решение уравнения B7.4) можно представить
в виде
jxaH = rotA8, B7.10)
откуда
Н = — rotA9. B7.11)
Векторную функцию Аэ называют векторным электрическим по-
тенциалом.
Решение одного из уравнений' получено. Следует определить,
при каких условиях это решение удовлетворяет остальным уравне-
уравнениям. Подставляя решение B7.10) в уравнение B7.2), находим
rot E + /wrot Аэ = 0,
или
Сумма роторов функций так же, как и сумма производных, равна
ротору от суммы функций:
rot(E" + /<*>A9) = 0. B7.12)
В приложении I рассмотрено векторное тождество rot grad (/==0,
где U — любая дифференцируемая скалярная функция. Положим
Ё + /соАэ - — grad 09, B7.13)
откуда
Ё B — /соАэ. B7.14)
Скалярную функцию 0э называют скалярным электрическим по-
потенциалом.
Далее умножим все члены уравнения B7.1) на |ла:
j!arotH —/©|1аеаЁ = ИчЛ-
Ввиду того что в данной главе рассматриваются процессы в одно-
однородных линейных средах, в которых параметры jxa, еа являются по-
постоянными величинами, не зависящими от координат, |яа можно
246

внести под знак ротора и уравнение записать в виде
rot (fla'H) — /cojxaeaE = (iaJa. B7.15)
Подставляя в это уравнение значения |1аН из формулы B7.10)
и Ё из формулы B7.14), получаем
rot rot Аэ + /cojlaea grad U± + /<ojlaea /соАэ = jxa J3,
или
rot rot Аэ + /о)(лаеа grad U9 — <*>fyaeaAa == \ij3. B7.16)
В приложении I приведено векторное тождество rot rot a =
= grad diva — V2a, где V2—оператор Лапласа. Там же дано выра-
выражение для оператора Лапласа в обобщенной ортогональной криво-
криволинейной системе координат. Этот оператор уже был использован
при выводе уравнений Гельмгольца для векторов поля в § 6.3 и
при исследовании плоских волн в гл. 7.
Применяя указанное векторное тождество, уравнение B7.16) можно
записать в форме
grad div Аэ — V2A3 + М^а grad U9 — со>аеаАэ = \ij3.
Недостатком этого уравнения является то, что в него входят две
неизвестные функции: Аэ и Оэ. Для ликвидации одной из функций
осуществим некоторые преобразования. В силу однородности среды
внесем члены /о) fxaea под знак градиента:
grad div Аэ — V2Aa + grad(/o>|iaea?/3) — @2|лаеаАэ = jxa j3.
Сумма градиентов функций равна градиенту от суммы функций.
Поэтому уравнение можно записать в ином виде:
grad (div A3 + /co^a8af/9) —у2Аэ~со>а8аАэ-|1аЛэ. B7.17)
Вводя в. электродинамику новые функции, правомерно выбрать
их так, чтобы уравнения, содержащие эти функции, были макси-
максимально простыми. Если в уравнении B7.17) выбрать дивергенцию
векторного электрического потенциала Аэ так, чтобы соблюдалось
равенство
divA9 = —/(o]jia8at/8, B7.18)
то из уравнения исчезнет функция U9f оно существенно упростится
и приобретает вид
или после перемены знаков
А 1А[1Д ' B7.19)
247

Соотношение B7.18) позволяет выразить функцию 1)ъ через век-
векторный электрический потенциал:
Л,. B7.20)
У0)|1а8а
Подставив значение 0э из формулы B7.20) в B7.14), получим
соотношение, связывающее вектор электрического поля Ё с потен-
потенциалом Аэ:
-тг-=- div кЛ— /соАя =
= —J-^-grad div Аэ — /соАэ. B7.21)
Связь вектора магнитного поля Н с потенциалом Аэ выражается
соотношением B7.11).
Таким образом, оказалось возможным выразить векторы поля
через новую функцию Аэ, для которой получено уравнение B7.19).
Левая часть этого уравнения совпадает по математической форме
с левыми частями уравнений F.21) и F.22), т. е. является хорошо
изученным уравнением Гельмгольца. Правая часть уравнения B7.19)
выгодно отличается от правых частей уравнений F.21), F.22) тем,
что сторонний электрический ток Уэ входит в нее непосредственно,
а не под знаком дифференциальных операций. После решения урав-
уравнения B7.19) и отыскания функции Аэ векторы поля Н и Ё можно
найти с помощью принципиально выполнимых дифференциальных
операций, определяемых формулами B7.21) и B7.11). По сути дела
задача, поставленная в § 27.1, завершена: найдены более простое,
по сравнению с F.21), F.22) уравнение B7,19) для функции Аэ и
простые формулы перехода от этой функции к векторам поля.
В системе уравнений B7.1) — B7.4) не использовалось уравнение
div (еаЁ) = рэ. Подставим в это уравнение значение функции Ё B7.14):
— div (ea grad ()э) —div (еа/шАэ)-рэ.
Вынесем еа за знак операторов и разделим на еа обе части этого
соотношения:
— div grad?/3 — /со div Аэ = рэ/еа.
Подставим в него значение divA8 B7.18):
— div grad Оэ — /со (— /со|1ае~(/э) = рэ/еа.
В приложении I указывается, что div grad U9= V20B. Тогда'
выведенное уравнение можно представить в окончательной форме:
Гиэ + ^г,Оэ = ~Рэ/г,. B7.22)
248

Это уравнение является скалярным уравнением Гельмгольца с пра-
правой частью для скалярного электрического потенциала ?/э. Однако
в рассматриваемом случае функция Uъ играет лишь промежуточную,
эпизодическую роль. Когда возбуждение поля осуществляется си-,
стемой сторонних электрических токов, достаточно ввести только
один векторный электрический потенциал Аэ, после определения
которого векторы поля Н и Ё можно однозначно найти с помощью
формул B7.11), B7.21).
§ 27.3. Векторный магнитный потенциал
Решение второй группы уравнений B7.5) — B7.8), содержащей
сторонние магнитные токи, может быть проведено аналогично реше-
решению первой группы уравнений B7.1)—B7.4), содержащей сторонние
электрические токи. Переход от первой группы уравнений ко вто-
второй легко осуществить с помощью перестановок вида B7.9), что
можно использовать для получения решения уравнений второй
группы. В конечных выражениях B7.19), B7.21), B7.11) и B7.22)
достаточно лишь сделать перестановки B7.9), добавив к ним пере-
перестановки следующего вида
АЭ-*АМ, 0в-+0ы. B7.23)
Функции Ам и 0м называют соответственно векторным магнитным
и скалярным магнитным потенциалами. В результате перестановок
получаются окончательные выражения:
К Аы = -*Х> B7.24)
Н =-4^-graddivAM — /coAM, B7.25)
/G)[Xa8a
Ё- —J-rotAM, B7.26)
V^M + «Vaea?/M = -pM/fV B7.27)
Если в рассматриваемом случае одновременно действует система
электрических и магнитных токов, то суммарные поля Н2 и Ё2
находят путем сложения полей, определяемых выражениями B7.11),
B7.25), а также B7.21), B7.26). В итоге получают формулы:
JAl^graddivAM-/o)AM, B7.28)
— /соАэ—^-rotAM. B7.29)
еа
249

ГЛАЗА 28
РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ ГЕЛЬМГОЛЫДА
§ 28.1. Постановка вопроса
В гл. 27 были получены неоднородные уравнения Гельмгольца
видов B7.19) и B7.24) для векторных электрического и магнитного
потенциалов. В общем курсе электродинамики невозможно рассмот-
рассмотреть решение этих уравнений во всей полноте так, как в курсах
уравнений математической физики. Поэтому решение указанных
уравнений будет изложено в объеме, необходимом для понимания
содержания последующих глав.
§ 28.2. Разложение векторного уравнения Гельмгольца
на скалярные. Решение однородного
скалярного уравнения Гельмгольца
в сферической системе координат
Исходными для анализа являются следующие неоднородные век-
векторные уравнения Гельмгольца:
VaA8 + u)VaeaAB = -|IaJ8, B7.19)
V2AM + со>аваАм = - 8а JM. B7.24)
Эти уравнения аналогичны по математической форме. Достаточно
рассмотреть решение любого из них. Решение оставшегося уравне-
уравнения может быть найдено с помощью приводимых ранее перестановок.
Выберем в качестве объекта исследования уравнение B7.19).
На основании векторного тождества
rot rot a = grad div a — V2a
можно написать
V2A8 = grad div Аэ — rot rot Аэ. B8.1)
Выполнение этой операции в криволинейной ортогональной обоб-
обобщенной системе координат |, т|, ? и подстановка результата в урав-
уравнение B7.19) дают сложное векторное уравнение. Разделяя вектор-
векторное уравнение на систему скалярных, можно заметить, что по-
получившаяся система скалярных уравнений оказывается крайне
сложной. Сложность обусловлена тем, что в уравнение, соответст-
соответствующее орту 1^, входят не только составляющая ЛЭ|, но и состав-
составляющие ЛЭТ|, ^э?. В уравнение, соответствующее орту Ц, входят
не только составляющая Аэц, но и составляющие ЛЭ|, ЛЭ?. Анало-
Аналогично в уравнение, соответствующее орту 1^, ,входят не только
составляющая Аэг, но и составляющие ЛЭ?, Аэц. Возникающая си-
система уравнений с так называемыми неразделенными функциями
получается неизмеримо более сложной по сравнению с системой
250

уравнений, в которой функции разделены (в этой системе в урав-
уравнение, соответствующее орту 1|, входит только одна составляющая ЛЭ|,
в уравнение, соответствующее орту 1ф—только одна составляю-
составляющая Ащ и в уравнение, соответствующее орту 1^,— только одна
составляющая Аэ%.
Возникновение уравнений с неразделенными функциями связано
с тем, что коэффициенты Лямэ /ц, кц, h^ в криволинейной системе
координат могут быть функциями координат и их необходимо диф-
дифференцировать при выполнении операций, предусмотренных выра-
выражением B8.1). Только в декартовой системе координат все три
коэффициента Лямэ hX9 hy, h2 равны единице, а их производные
по координатам х, уу г — нулю. Лишь в декартовой системе коор-
координат возможно полное разделение функций в скалярных уравне-
уравнениях, соответствующих векторному уравнению B7.19), что сущест-
существенно упрощает решение этого уравнения.
Представим векторное уравнение B7.19) в виде системы ска-
скалярных уравнений в декартовой системе координат. Для этого
введем следующие выражения:
A3^\xA3X+\yAdy+\zA92, ' '- B8.2)
V2Aa= 1XV*A9X + 1уГА9у+1гу*А9Ж9 B8.3)
в которых Аэх, АэуУ АЭ2У JBXJ j9y, jdz представляют собой состав-
составляющие векторного электрического потенциала Аэ и стороннего
электрического тока J9 вдоль координатных направлений х, у, г.
Подставим полученные выражения в уравнение B7.19):
+ \уАьу+\яА„) = - Ъ{\х*ъх+\Ку+\ЛЪш)- B8-5)
Векторное уравнение B8.5) можно разбить на три скалярных
уравнения путем приравнивания членов при одинаковых ортах:
B8.6)
4. J
Для упрощения записи введем обозначение
®2к% = У2- B8.7)
Тогда систему уравнений B8.6) можно представить в форме
B8.8)
Здесь V2—оператор Лапласа в декартовой системе координат.
251

Полученные скалярные уравнения аналогичны по математической
форме. Достаточно рассмотреть решение какого-либо из них. Прежде
всего рассмотрим решение однородного скалярного уравнения Гельм-
гольца, сходного по математической форме со скалярными уравне-
уравнениями системы B8.6). Запишем это уравнение в виде
V2i]>+V2xjf=o. B8.9)
Отметим, что в уравнениях B8.8) лапласиан \/2Аэх^ у%г берут
в декартовой системе координат (иначе не разделяются функции),
лапласиан же скалярной функции V2? может быть взят в любой
координатной системе. •
Рассмотрим решение уравнения B8.9) в сферической системе коор-
координат в предположении, что задача сферически симметрична и про-
производные по координатам ср и 0 отсутствуют. С помощью выражения,
приведенного в приложении I, можно определить лапласиан в сфе-
сферической системе координат в случае зависимости поля только от
координаты г:
* 2" i!l d4tr)
v dr* "*" г ' dr r dr* '
Подставляя выражение для лапласиана в уравнение B8.9), при-
приводим его к виду
¦??!?- +у* (Vr) = 0. B8.10)
Уравнение B8.10) является по отношению к функции Wr обыч-
обычным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его решение можно записать в форме
ivr, . B8.11)
откуда
Функция W представляет собой две сферические волны: падаю-
~ e-/v
щую, определяемую слагаемым L± , и отраженную, определяе-
мую слагаемым С2 .
Далее можно перейти к отысканию решения неоднородных урав-
уравнений системы B8.6). Для этого используют так называемые тео-
теоремы Грина, дающие интегральную связь между двумя различными
скалярными функциями. В качестве одной из них будет использо-
использовано искомое решение уравнений B8.6), т. е. функции АахУ Аъу
или АЭ2, в качестве другой — только что найденная функция W.
Теоремы Грина позволяют определить искомые решения через функ-
функцию W.
252

§ 28.3. Первая и вторая теоремы Грина
Запишем теорему Остроградского — Гаусса B.1):
= $ divadV.
Представим вектор а в виде соотношения
a-Ygrad(/, B8.13)
где *Р и U—дифференцируемые по координатам скалярные функ-
функции.
Тогда
diva = div(Ygrad[/). B8.14)
Используя векторное тождество, приведенное в приложении I,
выражение B8.14) можно записать таким образом:
diva-=gradxPgrad?/ + 4W. B8.15)
Подстановка формулы B8.15) в теорему Остроградского — Гаусса
приводит к выражению
(grad^ gradU -\~4^U) dV = &Ч gvadU dS. B8.16)
s
В этом выражении grad UdS = gradVlndS, где \п—единичная
нормаль к элементу поверхности dS.
Скалярное произведение grad U\n представляет собой проекцию
градиедта U на направление единичной нормали, т. е. нормальную
составляющую gradt/. Следовательно, справедливо равенство
gradt/dS = |j-dS, B8.17)
где п — нормаль, а производная dv/dn является производной функ-
функции v по нормали п к поверхности 55, или нормальной составляю-
составляющей градиента U.
Подставим выражение B8.17) в формулу B8.16):
Wgrad U+ WrU)dV = ^W^dS. B8.18)
Si
Полученное соотношение называется первой теоремой Грина.
Эту теорему можно представить в несколько иной форме, если при
выборе вектора а функции W и U в выражении B8.14) поменять
местами,, т. е. записать вектор а в виде
a-?/grad?. B8.19)
. При этом первая теорема Грина приобретет вид
(grad U grad 4 + U\*W)dV==$U^dS. B8.20)
Si
253

Вычтем из выражения B8.20) соотношение B8.18) почленно:
^—4^]dS. B8.21)
Полученное соотношение называется второй теоремой Грина.
§ 28.4. Использование второй теоремы Грина с целью получения
решения уравнения Гельмгольца для векторного
электрического потенциала. Условия излучения
Выберем в качестве функции W во второй теореме Грина функ-
функцию ?, определяемую выражением B8.12), причем используем только
ту часть этого выражения, которая соответствует падающей сфе-
сферической волне. Амплитудный коэффициент Сг положим равным
единице. При этом можно записать
Т = Ф = -^1. B8.22)
В качестве функции U выберем одно из искомых решений си-
системы уравнений B8.6): АЭХУ Ащ или АЭ2. Для определенности пусть
этим решением будет Аэх.
Под расстоянием г будем понимать расстояние между точкой,
в которой отыскивается решение Аэх (назовем ее точкой наблюде-
наблюдения), и точками, в которых расположена заданная система токов j9X
(назовем их точками источника). Координаты точки наблюдения
обозначим х, у, z, а координаты точек источника—х\ у\ г'. Тогда
расстояние г можно определить из соотношения.
г - У(х'—ху + (у'—уу + (г'—г)* . B8.23)
Интеграл по объему Vf во второй теореме Грина берут по всему
объему, включающему в себя все возможные точки наблюдения и
точки источника. В. процессе вычисления этого интеграла неизбежно
будет проходиться точка, соответствующая г = 0. В этой точке
функция W стремится к бесконечности или, как говорят, имеет осо-
особенность.
Следовательно, подставить эту функцию в объемный интеграл
непосредственно нельзя. Во избежание этого затруднения окружим
точку наблюдения малой сферой радиуса г0, объем которой равен Vo.
Далее вместо объема V^ во второй теореме Грина возьмем объем
V^—Vo. В пределах этого объема радиус г не может стать меньше
радиуса г0, _и особенность функции ? будет ликвидирована.
Под поверхностью 5Х следует понимать поверхность, охватываю-
охватывающую объем V±. Новый объем V±—Vo охватывает поверхность S^ + So»
где 50 — поверхность, охватывающая объем Vo. Подставляя в фор-
формулу B8.21) в качестве функции U функцию АЭХУ в качестве функ-
функции Т—функцию W и используя вместо объема Vt объем Vt—Vo,
254

а вместо поверхности Sx — поверхность S±—So, получаем новое
выражение для второй теоремы Грина:
f (^V2t-?vM3y)dl/= f (ABJe^t_t%-)dS. B8.24)
• Vt-V0 Si + So
Выразим функции V2XF и VM9* из уравнения B8.9) и первого
уравнения системы B8.8):
^\р = _у^ B8.25)
vA9X = -y*A9X-pJ9x. B8.26)
Подставим значения функций Ч2Х? и \2А9Х из формул B8.25),
B8.26) в объемный интеграл второй теоремы Грина:
i0
Vt~V0 Vt-V0
Подставляя значение функции Ф из формулы B8.22), получаем
следующее выражение для объемного интеграла:
jIa/eJCi^!ldK. B8.27)
При стремлении объема Fo к нулю интеграл стремится к инте-
интегралу во всем объеме Уг.
Перейдем к' рассмотрению поверхностного интеграла в формуле
B8.24). Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов
по замкнутым поверхностям Sx и So:
%M. B8.28)
Интеграл по поверхности 5f при стремлении поверхности SQ
к нулю остается конечным. Следует определить поведение интеграла
по поверхности So в предельном случае, когда эта поверхность
стремится к нулю.
Нормальная производная д/дп представляет собой производную
д/дг, взятую с обратным знаком:
д/дп = — д/дг.
Используя формулу B8.22), можно написать
дх? _ dW __ . е~/уг e"/vr
дАэх = алэх
255

Подставим полученные выражения в интеграл по поверхности 50:
дп дп
S. B8.29)
В пределе при г—>0 dS—>4яго, Аъх—+ А9Х(х, У у г)> т- е- Аэх
стремится к значению этой функции в точке наблюдения х, у, z.
Соответственно функции .
Следовательно
+ АЭХ
Г
, при
1
г)
e-/Vo
г о
Л
У
с
<
e-ivr
i) / л
Го
е~1уг°
Г о
В пределе поверхностные интегралы от первого и последнего
слагаемых обращаются в нуль:
^%\}=0. . B8.30)
Предел поверхностного интеграла от второго слагаемого запи-
записывается в виде
§ А9
S
§ 9Х(х, у, г)?^4пг$ = 4пА9Х(х, у, г). B8.31)
г0 -> О SQ r0
Таким образом, в пределе при стремлении поверхности 50 к нулю
поверхностный интеграл в формуле B8.24) можно выразить соот-
соотношением
Hm / (9X^^
f^) A(x, у, г). B8.32)
Предел объемного интеграла во второй теореме Грина на осно-
основании соотношения B8.27) записывается в виде
lim J (АЭХУ2Ч?—Wv*A9X)dV=§ |ia/wi^dK. B8.33)
lvt-v0 v,
Используя формулы B8.32), B8.33), вторую теорему Грина
можно записать таким образом:
.(х,у9г), B8.34)
256

или иначе
Следовательно, решение первого неоднородного скалярного урав-
уравнения для функции Аэх системы уравнений B8.8) может быть
найдено, если известны значения функции J3X в пределах всего
объема Vi9 а также значения функции Аэх и ее нормальной произ-
производной на поверхности S^ охватывающей объем V±. Если значения
функции Аэх и ее нормальной производной на поверхности S^ неиз-
неизвестны, то для отыскания функции Аэх необходимо решить интег-
интегральное уравнение B8.35). Остальные два уравнения системы B8.8)
решают аналогично. Решения могут быть представлены в виде
следующих соотношений:
Si.
А,Л*. У. г) = |f-
В случае неограниченного объема V± и бесконечно удаленной
поверхности Sf, а также при расположении источников поля на
конечных расстояниях отточки наблюдения решения B8.35) — B8.37)
существенно упрощаются. При этом возможны два хода рассужде-
рассуждения: 1) исходят из конечной скорости распространения электромагнит-
электромагнитных волн и конечного времени наблюдения процесса. За конечное
время наблюдения процесса электромагнитные волны не могут до-
достигнуть бесконечно удаленной поверхности Siy и в случае неогра-
неограниченного объема Vf поверхностный интеграл в выражении B8.35)
равен нулю; 2) определяют математические условия, при которых
поверхностный интеграл стремится к нулю при бесконечном увели-
увеличении объема Vi9 т. е. выполняется предельное соотношение
-- <28-38>
Найдем условия выполнения этого соотношения. При г—> оо
нормаль п—+г. Поэтому производные по п в интеграле могут быть
заменены производными по г. Элемент поверхности dS в сфери-
сферической системе координат записывают в виде формулы (см. рис.29.4)
9 № 644 257

dS = 2nr2sin9d9. С учетом сказанного предельное соотношение
B8.38) записывают в виде
B8.39)
Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы
lim
Г -> со
Очевидно, для этого достаточно условия
lim (rd-^+jyrA3X)=O. B8.40)
Аналогичные выражения определяют условия для составляющих,
-векторного потенциала АЭу и A3Z:
= 0, B8.41)
= 0. B8.42)
lim (/
Г -> СО \
Условия B8.40)^—B8.42) называют условиями излучения. Для их
выполнения необходимо, чтобы векторные потенциалы и их произ-
производные убывали с расстоянием быстрее, чем по закону 1/г.
При выполнении условий излучения в случае бесконечно боль-
большого объема Vi выражения B8.35) — B8.37) записываются в такой
форме:
У, 2)=|г J Jn^T-dV* B8.43)
9y^dV, B8.44)
32^dV. B8.45)
Так как
то, умножив соотношения B8.43) — B8.45) на соответствующие орты
и сложив результаты, получим решение векторного уравнения
Гельмгольца B7.19) с правой частью:
1г)
258

Функция -j— = G(r) называется функцией Грина в сферической
системе координат. Функции Грина могут быть найдены в различ-
различных системах координат путем решения уравнения B8.9) для функ-
функции W в соответствующей системе координат с последующим приме-
применением второй теоремы Грина.
. Функция Грина, умноженная на jia, соответствует векторному
потенциалу от единичной плотности тока, существующей в беско-
бесконечно малом объеме dV. Если излучающие устройства представляют
собой идеально проводящие металлические поверхности, по которым
протекают поверхностные сторонние токи с плотностью v8, то объем-
объемный интеграл в выражении B8.46) должен быть заменен поверх-
поверхностным интегралом вида
— ivr
э^г-dS. B8.47)
Аналогичные замены должны быть сделаны в выражениях
B8.35) —B8.37).
§ 28.5. Отыскание решения уравнения Гельмгольца
для векторного магнитного потенциала
Поскольку уравнение для векторного магнитного потенциала не
отличается по математической форме от уравнения для векторного
электрического потенциала, процесс отыскания решения для функ-
функции Ам аналогичен описанному в § 28.4. Так как переход от урав-
уравнения B7.19) к уравнению B7.24) осуществляется с помощью
перестановок вида
Аэ ¦ *АМ, fXa"-* — еа> ^э—*— ^м»
выражение для функции Ам можно получить непосредственно из
выражения B8.46) путем указанных перестановок. В результате
возникает формула
— ivr
«-V-dK« B8-48)
справедливая для неограниченного объема. В случае ограниченного
объема в результате проведения перестановок в формулах B8.35) —
B8.37) получаются следующие соотношения для составляющих век-
259

торного магнитного потенциала:
P-/v
B8.49)
J
О 1
Если излучающие устройства представляют собой идеально про-
проводящие металлические поверхности, по которым протекают поверх-
поверхностные сторонние токи с плотностью vM, то объемные интегралы
в выражениях B8.48) — B8.51) должны быть заменены на поверх-
поверхностные интегралы вида
^Ы^^-dS. B8.52)
ГЛАВА 29
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВИБРАТОР
§ 29.1. Постановка вопроса
В предыдущей главе были найдены общие решения уравнений
Гельмгольца с правой частью для векторных электрического и маг-
магнитного потенциалов. В настоящей главе с помощью этих решений
будет определено поле простейшего излучателя электрического
типа — элементарного электрического вибратора. Несмотря на неко-
некоторую идеализацию, анализ этого простейшего излучателя дает
возможность понять основные процессы, происходящие в реальных
антенных устройствах, и позволяет наметить общий ход их расчета.
Назовем элементарным электрическим вибратором прямолиней-
прямолинейный отрезок провода, по которому протекает электрический ток,
комплексная амплитуда плотности которого равна /э. Длину
провода / возьмем значительно меньшей длины волны колебания,
подведенного к проводу,. Положим, что комплексная амплитуда
плотности тока /э остается постоянной в пределах всей длины
260

Рис. 29.2
провода /. Далее допустим, что поле определяется в точке наблю-
наблюдения, удаленной от излучателя настолько, что расстояние г между
любой точкой на длине вибратора и точкой наблюдения можно
считать одним и тем же. Практическим аналогом элементарного
электрического вибратора является устройство, показанное на
рис. 29.1. Оно состоит из двух коротких проводов, на концах
которых расположены металлические шары, представляющие собой
сосредоточенные емкости. Сторонний ток с плотностью Лэ, проте-
протекающий по проводам, переходит в ток смещения, замыкающийся
через распределенные емкости С, существующие между проводами
вибратора. Сосредоточенная большая емкость между металлическими
шарами существенно превышает распределенные емкости. В силу
этого подавляющая часть тока смещения протекает через сосредо-
сосредоточенную емкость. Так как длина проводов мала по сравнению
с длиной волны подводимого колебания, то изменение плотности
стороннего тока j9, возникающее вследствие ответвления тока через
распределение емкости, незначительно и им можно пренебречь.
В результате при математическом анализе такой системы можно
с большой степенью точности плотность тока j9 и его фазу считать
постоянными по длине вибратора. Подобное устройство было ис-
использовано Герцем в его опытах и получило название элементар-
элементарного электрического вибратора или диполя Герца.
§ 29.2. Определение векторного электрического потенциала
в поле элементарного электрического вибратора
В основу анализа положим общее решение векторного уравне-
уравнения Гельмгольца в сферической системе координат, записанное
в виде выражения B8.46).
Ориентируем вибратор вдоль полярной оси в сферической системе
координат так, как показано на рис. 29.2. Выбрав координаты
в последовательности г, ф, 6, угол ф следует отсчитывать от коор-
координаты у (см. приложение I). Поле определяется в точке наблюде-
наблюдения а. Плотность тока j3 существует, только в пределах провода
вибратора. Следовательно, интеграл по безграничному объему Vt
261

будет отличен от нуля только в пределах объема провода. Элемент
объема dV можно представить в виде скалярного произведения
площади поперечного сечения провода S на элемент длины про-
провода d\\
dV^SdX. B9.1)
Тогда интегрирование по объему заменяется интегрированием
по длине вибратора 1 и выражение B8.46) записывается в виде
Ввиду ограничений, отмеченных в § 29.1, расстояние г и плот-
плотность тока /э неизменны так же, как и площадь поперечного
сечения S. Следовательно, эти величины и е~^г в процессе интег-
интегрирования можно вынести за знак интеграла:
l = -&^S)-^l.. B9.3)
Векторы J3 и S совпадают по направлению. Их скалярное про-
произведение равно току /э в вибраторе:
JbS=/9 B9.4)
и, следовательно,
э 4л э г '
В соответствии с рис. 29.2 можно написать
1 = И* B9.5)
и выражение для векторного электрического потенциала приобре-
приобретает окончательный вид
k^ik^^r-n^ <29-6)
§ 29.3. Определение составляющих поля элементарного
электрического вибратора
Для определения составляющих поля могут быть использованы
соотношения B7.11) и B7.21). Если с помощью какого-либо из
этих соотношений определен вектор Н или Ё, то для определения
оставшегося вектора можно также использовать уравнения Макс-
Максвелла, записанные для части пространства, где находится точка
наблюдения а, в которой нет сторонних токов. Из этих уравнений
могут быть выведены следующие соотношения:
E=-4-rotH, B9.7)
Й- ^-rotE. B9.8)
262

Найдем вектор напряженности магнитного поля с помощью вы-
выражений B7.11) и B9.6):
Н - 4-rot Аэ - 4- rot (-Й2- /э -1^1 Л Л ==-^-rot f-^112) . B9.9)
Ротор в этом выражении следует вычислить в сферической
системе координат, что является довольно трудоемким. Процедуру
можно упростить, прибегнув к следующим рассуждениям. Введем
обозначения
¦Ц^ = ?, 1г = а, B9.10)
где W — скалярная функция,
и рассмотрим выражение гоЦЧЪ).
В приложении I приведено тождество rot (?a)=[grad Taj+^F rot a.
Используя формулу, приведенную в приложении I, можно опреде-
определить градиент скалярной функции в сферической системе координат:
gvc\ Л Ч^* = 1 - —I— 1 — • - —I— 1 л> •
гаит — ir дг -1- *ф rsin9 ду ~*~lQ r ае •
С учетом обозначения B9.10) получаем
gradxF = —lr-o- (I + jyr)e~ivr. B9.11)
Тогда
rot (?а)= —1^-^A +jyr)e-ivrlg +^-р—rot \z.
Орт \z не дифференцируется, т. е.
rot lz=0
Как следует из рис. 29.2, векторное произведение
[-
Следовательно,
= —I<psin6.
rot(?a) = — 1Ф 1A+ jyr)e~tor sine.
Подставляя это выражение в формулу B9.9), получаем оконча-
окончательное выражение для вектора напряженности магнитного поля:
A + пг). B9.12)
Таким образом, элементарный электрический вибратор создает
одну составляющую магнитного поля, ориентированную вдоль коор-
координаты ф в сферической системе координат. Для определения век-
263

рис 29 з
тора Ё можно применить либо
выражение B7.21), либо фор-
мулу B9.7). В первом случае
требуется определить довольно
сложный двойной оператор grad
div Аэ в сферической системе ко-
координат, во втором случае до-
достаточно найти rot H, что нес-
несколько проще. Поэтому исполь-
используем второй путь,
В приложении I дано следу-
следующее выражение для ротора в
сферической системе координат:
)-^
{}
Роль вектора а играет Нф:
д / Le'iyrl sin Q
/ae~/Yr/cos8
з—г
/oe~
э
— угг%). B9.13)
Подставляя выражение B3.13) в формулу B9.7), находим век-
вектор напряженности электрического поля:
4 /е~-^Г/cos 9 /1 , . \ , 1 /ae~/Y/7 sin 0 /л . . 9 9Ч /оп , .^
С1 +/тО + 1 э (t+ZYr72г2), B9.14)
Следовательно, электрическое поле вибратора обладает двумя
составляющими: одной — ориентированной вдоль координаты г, дру-
другой— ориентированной вдоль координаты 6. Картина суммарного
электромагнитного поля около вибратора показана на рис. 29.3.
§ 29.4. Ближняя, промежуточная и дальняя зоны поля
элементарного электрического вибратора
Запишем полученные выражения для составляющих поля ви-
вибратора:
^^ B9.15)
B9.16)
B9Л7)
264

Здесь
Если среда лишена потерь, то
B9.18)
Так как скорость света с в среде с параметрами |ia, еа опреде-
определяется выражением с = 1/}/"[Ааеа» формулу для р можно переписать
в иной форме:
p = ?^=*L, B9.19)
где А*—длина волны колебания в среде с параметрами fiaea:
X = c/f. ¦ B9.20)
Из выражений для составляющих поля вибратора следует, что
всегда может быть определено такое расстояние г, при котором
справедливо неравенство
уг<^1. B9.21)
Для среды без потерь это неравенство записывают в виде
рг = ^г<1, или г<^. <29'22)
При этом выражения для составляющих поля упрощаются:
Л *е"^Пе. B9.23)
B924)
B9.25)
Зону расстоянии г, в пределах которой справедливо неравен-
неравенство B9.22), называют ближней зоной поля. В этой зоне поле из-
изменяется очень быстро, обратно пропорционально второй и третьей
степеням расстояния.
В промежуточной зоне поля, в которой соблюдается приближен-
приближенное равенство
угж\, или г & т^-, B9.26)
не представляется возможным провести какие-либо упрощения в
формулах B9.15) — B9.17).
В случае больших расстояний г, для которых справедливы
265

неравенства
I, или r>^~, B9.27)
формулы для расчета составляющих поля приобретают вид
V ;
Как следует из этих соотношений, составляющая поля Ёг убы-
убывает с ростом расстояния г значительно быстрее по сравнению с
составляющими Яф, 2?е, и этой составляющей можно пренебречь.
Таким образом, в зоне расстояний, для которой справедливо
неравенство B9.27), называемой дальней зоной поля, практически
существуют две составляющие поля Яф и ?е-Эти составляющие убы-
убывают пропорционально первой степени расстояния и обеспечивают
возможность дальней радиосвязи. Поле с составляющими Яф и Eq в
дальней зоне иначе называют полем излучения.
§ 29.5. Мощность, излучаемая элементарным электрическим
вибратором в окружающее пространство.
Сопротивление излучения
В ближней и промежуточных зонах поля необходимо учитывать
три составляющие поля Яф, Ёг и Ё$. Эти составляющие создают
два вектора Пойнтинга, действительные значения которых в соот-
соответствии с выражением D.29) могут быть представлены в виде
Пдв=-§:Де[Ёгн;], B9.31)
nAr = l-Re[EeHJ]. B9.32)
Допустим для наглядности, что потерь в среде нет и е~а—^еа,
Используя формулу B9.15), найдем сопряженное значение со-
составляющей магнитного поля Нф.
266

Далее подставим значения Ёг и Яф из формул B9.16), B9.33)
в выражение B9.31):
1 п Г*
/сое
У16 A + PV)} = 0. B9.34)
= -leiRe
Присутствие / в знаменателе означает, что действительная часть
выражения в фигурных скобках равна нулю:
Пде-0. B9.35)
Таким образом, действительное значение меридиональной состав-
составляющей вектора Пойнтинга равно нулю. Физически это означает,
что в меридиональном направлении не происходит излучения энер-
энергии. Существует только колебание этой энергии вокруг вибратора.
В дальней зоне реактивная мощность, определяемая мнимой частью
вектора Пойнтинга, ориентированного вдоль координаты 9, убывает
пропорционально кубу расстояния, т.е. весьма быстро, и для даль-
дальней радиосвязи не может быть использована.
Подставляя в выражение B9.32) значения Ее, Нф из формул
B9.17), B9.33) и считая, что у-—>|3, находим
-.—-л—о
/Ш8а4яг3
—р2г2)(—1Ш
A-
v
:= 1 1-Re
2
|2 /2Jsin
J2
/соеа16я2/-5
A +PV—Р2га+
/Р3г8)},
или окончательно
1 /э |2 /2 sin2 ер3
rdd
B9.36)
Таким образом, существует действительная часть вектора Пойн-
Пойнтинга, ориентированного вдоль координаты г, убывающая пропор-
пропорционально квадрату расстояния и обес-
обеспечивающая возможность дальней радио-
радиосвязи.
С помощью выражения B9.36) можно
• определить мощность Риз, излучаемую эле-
элементарным электрическим вибратором в
окружающее пространство. Эта мощность
представляет собой интеграл от вектора
Пойнтинга Пдг по поверхности сферы, в
центре которой расположен вибратор:
B9.37)
Si
В соответствии с рис. 29.4 элемент
поверхности в сферической системе коор-
рИс, 29,4
267

динат записывается в виде
dS=lr2nrasin6d9. B9.38)
Подставляя выражения B9.36) и B9.38) в формулу B9.37), по-
получаем соотношение для излучаемой мощности:
- 16жоеа JSin
о
3 e dQ ik_.1
или окончательно
Р =Ш!/!В1. B9.39)
и3 12Ж08а \ /
Как всякую активную мощность, мощность излучения можно
представить в виде
Л*з-|/э|2/из. B9.40)
Назовем сопротивление /?из сопротивлением излучения. Прирав-
Приравнивая выражения B9.39) и B9.40), получаем следующие соотно-
соотношения:
2 12лсоеа ' ^из а
С помощью выражений B9.18) и B9.19) сопротивление излуче-
излучения можно записать в виде
_ /2со /"^4я2 /22я -, /р7
6лсоеаХ2 3?i2 Г еа *
или
Если среда представляет собой вакуум, то
¦j/fe-^j/g =377 Ом и /?из= 789,59 Ш'. B9.42)
При расчете сопротивления излучения не следует забывать, что
все выводы, сделанные для элементарного электрического вибра-
вибратора, справедливы, если ^Я
§ 29.6. Диаграмма направленности поля излучения
элементарного электрического вибратора в дальней зоне
Диаграммой направленности называют график зависимости со-
составляющих поля антенны от угловых координат. В сферической
системе координат существуют две угловые координаты: ф и 8.
268

Рис. 29.5
Рис. 29.6
В дальней зоне фактически существуют две составляющие поля Яф
и ?е> определяемые выражениями B9.28), B9.30). Обе составляющие
не зависят от координаты <р, и диаграмму излучения в плоскости,
перпендикулярной полярной оси, можно изобразить в виде окруж-
окружности, радиус которой в определенном масштабе представляет собой
модуль |ЯФ| или |?"е|, вычисленный при фиксированных значениях
радиуса-вектора г и угла 9. Подобная диаграмма показана на
рис. 29.5.
В меридиональной плоскости Яф и Ё$ пропорциональны sin9.
Обозначим максимальные значения модуля составляющих поля,
соответствующие 9 ='90°, | Яф \т и | ?0 L-
Тогда зависимость модуля составляющих поля от координаты 9
можно выразить формулами:
|Яф| = |ЯФ \т sin 9,
B9.43)
B9.44)
Построим две окружности диаметром, в масштабе соответствую-
соответствующем |ЯФ|Л или \Ёе\т9 так, как по-
показано на рис. 29.6.
Хорда оа определяется соотноше-
соотношением B9.43) или B9.44) и дает в
масштабе картину изменения модулей
| Яф | и | Eq | в зависимости от угла
9. Таким образом, элементарный ви-
вибратор создает максимум излучения
в экваториальной плоскости, соответ-
соответствующей 9=90°, и не излучает в на-
направлении полярной оси z. В про-
пространстве диаграмма направленности
представляет собой тороид, приведен-
приведенный на рис. 29.7: Рис, 29.7
269

ГЛАВА 30
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МАГНИТНЫЙ ВИБРАТОР
§ 30.1. Постановка вопроса
Элементарный магнитный вибратор отличает от элементарного
электрического только тем, что в проводах с шарами на конце
(см. рис. 29.1) вместо плотности стороннего электрического тока
/э существует плотность стороннего магнитного тока /м,
Поле, создаваемое магнитным вибратором, определяют так же,
как и в случае электрического вибратора. В основу следует поло-
положить решение уравнения Гельмгольца для векторного магнитного
потенциала, представленное в виде выражения B8.48). После опре-
определения векторного магнитного потенциала Ам с помощью формулы
B7.26) можно найти поле Ё и далее отыскать вектор напряжен-
напряженности магнитного поля Н, используя формулу B7.25), либо второе
уравнение Максвелла вида B9.8).
Как указывалось в гл. 27, переход от составляющих поля, воз-
возникающих при действии стороннего электрического тока и опреде-
определяемых через векторный электрический потенциал, к составляющим
поля, возникающим при действии стороннего магнитного тока и
определяемым через векторный магнитный потенциал, можно осу-
осуществить, применяя принцип перестановочной двойственности/Сле-
двойственности/Следовательно, нет надобности в подробном выводе поля элементарного
магнитного вибратора. Можно сразу по конечным выражениям для
составляющих поля электрического вибратора с помощью необходи-
необходимых перестановок найти конечные выражения для составляющих
поля магнитного вибратора. Этот путь решения задачи и выбран
в настоящей главе.
§ 30.2. Определение составляющих поля
элементарного магнитного вибратора
В основу анализа положим окончательные выражения для со-
составляющих поля элементарного электрического вибратора B9.15)—
B9.17). В соответствии с принципом перестановочной двойствен-
двойственности осуществим в этих выражениях следующие перестановки:
Н^Ё, еа^—^а> К-+— К (ЗОЛ)
В силу справедливости соотношения B9.4)
и аналогичного соотношения при действии стороннего магнитного тока
J«S = /M C0.2)
270

перестановки (ЗОЛ) можно представить в виде
Н^Ё, ea^-]ia, /9 — _/м C0.3)
Осуществляя эти перестановки в соотношениях B9.15) — B9.17),
получаем окончательные выражения для составляющих поля эле-
элементарного магнитного вибратора:
C0.5)
TV). C0.6)
В дальней зоне практически остаются составляющие поля:
C08)
которые и являются полем излучения магнитного вибратора.
§ 30.3. Физический аналог элементарного магнитного вибратора.
Элементарный щелевой вибратор
Сторонний магнитный ток был введен в уравнение Максвелла
формально по аналогии со сторонним электрическим током. До
настоящего времени не определялся его физический аналог. Поэтому
неясно, какой реальной физической системе соответствует поле,
определяемое выражениями C0.4) — C0.6).
Для выяснения этого вопроса рассмотрим подробно физический
смысл перестановок вида C0.3), а также граничные условия электро-
электродинамической задачи, соответствующей определению поля элемен-
элементарного электрического вибратора. Для наглядности предположим,
что элементарный электрический вибратор представляет собой тон-
тонкую пластину шириной d и длиной / из идеального металла с бес-
бесконечно большой проводимостью. Допустим, что вдоль этой пластины,
по обе ее стороны протекает сторонний электрический ток, поверх-
поверхностная плотность которого постоянна вдоль длины пластины и
равна v3. Пренебрежем долей поверхностного тока, протекающего
вдоль тонких кромок пластины. Подобная система показана на
рис. 30.1.
Электрический ток, протекающий по двум сторонам пластины и
создающий электромагнитное поле, определяется соотношением
C0.9)
271

н
Рис. ЗОЛ
Рис. 30.2
Подставляя это значение тока /э в выражения B9.15) — B9.17),
можно определить составляющие поля:
2dv3e-iyrlsmQ
4яг2
v9e~/vr /cos в ,.
/o)8a2nr3 ^
v~e~~!yr /sin 6 71
C0.10)
C0.11)
C0.12)
Рассмотрим, какие граничные условия соответствуют этой задаче.
В пределах пластины, выполненной из идеального металла, спра-
справедливы условия Нх — v9, Ех = 0. За пределами пластины, в пло-
плоскости рис. 30.1, существует тангенциальное к этой плоскости поле Е.
Поле Н подходит к плоскости рисунка нормально, и за пределами
пластины #г = 0.
Допустим, что по пластине протекает не электрический сторон-
сторонний ток с поверхностной плотностью v9, а магнитный сторонний ток
с поверхностной плотностью vM (рис. 30.2). Поле, создаваемое таким
током, может быть получено, если в выражениях C0.10) — C0.12)
•осуществить перестановки вида
— VM
В результате возникают соотношения
?m = -
A + jyr),
2dvMe-jyr /cos 9
Яв = -
/sin9
C0.13)
C0.14)
C0.15)
272

Металлический лист
.Щель
Hz--Q
Рис. 30.3
Поле, соответствующее приведенным выражениям, показано на
рис. 30.2. Этому случаю соответствуют следующие граничные усло-
условия: в пределах пластины ЁхФ0, Ят=0, за пределами пластины,
в плоскости рисунка, НхФ0, Ёх = 0.
В соответствии с граничными условиями у поверхности идеаль-
идеального металла (8.18) ?iT =—vM выражения C0.13) — C0.15) записы-
записываются в иной форме:
2d'C/sine (золе)
C0.18)
Как указывалось в § 8.3, Ё1Х и vM связаны правилом левоходо-
вого винта; другими словами, если комплексная амплитуда плот-
плотности поверхностного магнитного тока vM ориентирована вдоль пла-
пластины, то составляющая Ё1Х— поперек пластины.
Далее попытаемся найти физическую систему, отвечающую гра-
граничным условиям, показанным на рис. 30.2.
За пределами пластины, в плоскости рисунка, ?т = 0 и Нхф0.
Подобные условия справедливы у поверхности идеального металла.
Если за пределами пластины, в плоскости рисунка, поместить лист
идеального металла, то эти граничные условия будут выполнены.
В пределах пластины справедливы условия ЁхФ0, Нх = 0. Эти
условия будут выполнены, если в листе идеального металла сделать
отверстие (щель), совпадающее по форме с пластиной, и к краям
отверстия подвести напряжение от генератора (рис. 30.3).
При этом произведение
Ёп4 = 0щ, C0.19)
273

где С/щ—разность потенциалов между краями щели, создаваемая
генератором.
Соответственно выражения C0.16) — C0.18) приобретут оконча-
окончательный вид
2Ume~iyr /sine
C0.20)
2^me~/vr/cose
C0.21)
+ ,
В результате сравнения этих выражений и формул C0.4)—C0.6)
можно написать соотношение
А,= -2#щ. C0.23)
Таким образом, физическим аналогом магнитного тока в случае
так называемого щелевого вибратора является двойная разность
потенциалов между краями щели. Как показывают многочисленные
исследования, концепция магнитного тока оказывается удобной при
анализе антенн щелевого типа, показанного на рис. 30.3, и антенн
рамочного типа.
§ 30.4. Мощность, излучаемая элементарным магнитным
вибратором в окружающее пространство. Сопротивление
излучения. Диаграмма направленности
Определение мощности излучения магнитного вибратора прово-
проводят так же, как и в § 29.5. Можно легко показать, как и в случае
электрического вибратора, что вектор Пойнтинга, построенный на
составляющих поля ?ф, Нп ориентированный вдоль координаты 0,
не обладает действительной.частью.
Действительная часть вектора Пойнтинга, построенного на состав-
составляющих поля ?ф, Я0> ориентированного вдоль координаты г, опре-
определяется следующим образом (среда без потерь, у—*Ф)=
У. C0.24)
Мощность излучения находят с помощью выражения B9.37).
В результате интегрирования, аналогичного проведенному в § 29.5,
получают
274

Мощность излучения, как всякую активную мощность, можно
представить в виде
Приравнивая выражения C0.25) и C0.26), получаем
1 ?>щ |2 /2Р3 _ I 0их I2
откуда
Используя выражения B9.18) и B9.19), можно определить сопро-
сопротивление излучения
Если среда представляет собой вакуум, то
И1 = 377 Ом и Яиз = 45 f-^-V . C0.28)
80 V l J
Сравнивая формулы C0.20)—C0.22) для составляющих поля
магнитного вибратора с формулами B9.15) — B9.17) для составля-
составляющих поля электрического вибратора, можно заметить аналогичную
зависимость составляющих поля от угловых координат. В силу этого
диаграммы направленности в плоскости, перпендикулярной поляр-
полярной оси и меридиональной плоскости, будут аналогичны диаграм-
диаграммам, показанным на рис. 29.5 и 29.6.
ГЛАВА 31
ЛЕММА ЛОРЕНЦА
§ 31.1. Постановка вопроса
Лемму Лоренца часто используют в электродинамике при реше-
решении задач о возбуждении полей заданными системами электрических
или магнитных токов. С помощью этой леммы устанавливают мате-
математическую связь между первой группой сторонних электрических
и магнитных токов и задаваемым ими полем, — с одной стороны, и
второй группой сторонних электрических и магнитных токов и соз-
создаваемым ими полем, с другой стороны. На базе леммы Лоренца
может быть проведен анализ различных электродинамических про-
процессов; эта лемма и будет использована при дальнейшем изложении.
275

§ 31.2. Вывод леммы Лоренца для ограниченного
и неограниченного объемов
Допустим, что существует первая группа сторонних токов J9b
JMi, создающая поля Н1 и Ё^. Запишем уравнения Максвелла, соот-
соответствующие этому случаю:
^ + Jai, C1.1)
Предположим также,'что существует вторая группа сторонних
токов J92, JM2, создающая поля Н2 и Ё2 .Уравнения Максвелла, со-
соответствующие данному случаю, записываются в виде
rottia = /a>eaEa + j8a, C1.3)
Умножим скалярно уравнение C1.1) на Ё2, уравнение C1.4) —на
Н± и вычтем из второго произведения первое:
IVotE, — E.rotH^—/o^H.H, — J-^rti —
— /osJEiEj, — J31E2.
Далее умножим уравнение C1.2) скалярно на Н2, уравнение
C1.3) — скалярно на Ёг и вычтем из первого произведения второе:
Н2го1Ёг — E1rotHa=— jwjljlt — JMlH2— ^
Используя векторное тождество, приведенное в приложении I,
получаем >
Нх rot Ё2~-Ё2 rot Нг - div [E2HJ,
¦- HarotEi —E1rotHa = div[E1HaJ.
С помощью этих выражений соотношения C1.5) и C1.6) можно
представить в форме
div [Ё2НХ] = — /©и,аН2Нг —J^Hj —/(оеДЁз —ЛЭ1Ё2, C1.7>
div [ExHJ = -JwMA-i^-jWbtA-hA. m C1.8).
Вычтем из выражения C1.7) выражение C1.8):
EE;A J jE1. C1.9)
Полученное соотношение" называют леммой Лоренца в дифферен-
дифференциальной форме. Проинтегрируем это соотношение по объему V^
276

включающему в себя все сторонние токи:
J-iHs-iM,Hi + JeA-
C1.10)
Используя теорему Остроградского—Гаусса, можно написать
Vt i
где Sx — замкнутая поверхность, окружающая объем V±.
Тогда соотношение C1.10) можно представить в иной форме:
s, v,
C1.11)
Полученное соотношение называют леммой Лоренца в интеграль-
интегральной форме для ограниченного объема V1.
При неограниченном расширении объема левый интеграл обра-
обращается в нуль. Основанием для подобного заключения могут слу-
служить два соображения:
1) при неограниченном расширении объема V± ограничивающая
его поверхность S1 находится на бесконечно большом удалении от
источников поля. В силу конечной скорости распространения поле
не может дойти до поверхности Sx за конечное время наблюдения
и, следовательно, на ограничивающей поверхности поля Ё и Н равны
нулю;
2) как было установлено при анализе полей в дальней зоне, поля
Ё и Н убывают пропорционально первой степени расстояния. При
этом не учитывалось дополнительное уменьшение амплитуды поля
за счет потерь в среде, которые всегда существуют, даже в косми-
космическом пространстве. Вследствие этого подынтегральное выражение
{[EaHJ—[EiHJ} фактически убывает быстрее, чем по закону второй
степени расстояния. Сферическая поверхность возрастает пропорци-
пропорционально второй степени расстояния. В результате
lim <?{[E2HJ — [E1Ha]}dS = 0.
Таким образом, лемму Лоренца для бесконечно большого (не-
(неограниченного) объема следует записать таким образом:
J O. C1.12)
§ 31.3. Теорема взаимности для элементарных вибраторов
как пример применения леммы Лоренца
Предположим, что в пространстве имеется два элементарных
электрических вибратора. Допустим, что в цервом вибраторе дли-
длиной 1Х протекает сторонний электрический ток с плотностью Jel, a
277

во втором вибраторе длиной 12 — сторонний электрический ток с плот-
плотностью J92.
Пусть Ё12—электрическое поле, создаваемое первым вибратором
в месте расположения второго вибраторами E2i—электрическое поле,
создаваемое вторым вибратором в месте расположения первого виб-
вибратора. Тогда лемма Лоренца для неограниченного объема в соот-
соответствии с формулой C1.12) запишется в виде
5 (Ja2E1-J91E2)dy-O, или ^ hA
vt vt vx
Каждый из интегралов будет отличен от нуля только в части
объема Vly в которой существуют плотности токов j92 и j81, т. е.
в пределах объемов VBl и VB2, занимаемых первым и вторым вибра-
вибраторами. Тогда для леммы Лоренца будет справедливо равенство
V
Ввиду малости вибраторов можно считать, что в процессе интег-
интегрирования по их объемам поля Ёх и Ё2 будут изменяться незначи-
незначительно и их можно считать постоянными и соответственно равнымит
р _ р р _ р
1 12' 2 21'
где Е12 — напряженность поля, создаваемая первым вибратором в
месте расположения второго вибратора; Е21 — напряженность поля,
создаваемая вторым вибратором в месте расположения первого виб-
вибратора.
Лемма Лоренца при этом приобретает вид
с • с
? V J fjy __ ? J ^уф
VB2 VBl
Представив элементы объема dV в левом и правом интегралах
соответственно в виде
где Si, S2 — площади поперечного сечения проводов первого и вто-
второго вибраторов, получаем
Далее можно написать, что
где /э2 и /э1 — электрические токи во втором и первом вибраторах.
278

Так как в элементарных вибраторах токи /Э2 и /э1 полагают не-
неизменными по длине вибраторов, лемма Лоренца записывается в виде
Ё12/э2 ) dl = E21/31 )d\,
или
Ё12/в,1, = Ёя1/в11*. C1.13)
Это соотношение называется теоремой взаимности для элемен-
элементарных электрических вибраторов. Теорема позволяет найти любую
из входящих в нее шести величин, если известны пять оставшихся.
Аналогичное соотношение (теорема взаимности) получается для
элементарных магнитных вибраторов:
Hh/«1, = H«/mi1i- A3-14)
Может быть найдена теорема взаимности для элементарных элек-
электрического и магнитного вибраторов. Лемма Лоренца при этом за-
записывается в форме
Последующая аналогичная математическая обработка этого вы-
выражения приводит к искомой теореме:
Н21/м111=—Ё1я/эа1,в * C1.15)
ГЛАВА 32
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВОЛНОВОДАХ
§ 32.1. Постановка вопроса
Возможны различные способы возбуждения поля заданного типа
в волноводах. В настоящей главе будут схематично'даны некоторые
из этих способов и с помощью леммы Лоренца определены общие
выражения, позволяющие рассчитать амплитуду поля в волноводе
в результате воздействия заданной системы сторонних токов.
§ 32.2. Общие принципы возбуждения в волноводах
поля заданного типа
Поля в волноводах могут возбуждаться с помощью антенных или
возбуждающих устройств следующих типов: <-
а) штыревого;
б) рамочного или петлевого;
в) щелевого.
279

У
X
а
Рие. 32.1
Общие принципы размещения возбуждающих устройств состоят
в следующем:
1) при возбуждении поля устройством штыревого типа штырь
(или штыри) следует располагать в месте, где напряженность элек-
электрического поля в волноводе максимальна. Ось штыря должна сов-
совпадать с полем Е;
2) при возбуждении поля устройством рамочного или петлевого
типа петлю необходимо располагать в месте, где напряженность маг-
магнитного поля в волноводе максимальна. Плоскость петли должна
быть перпендикулярна полю Н;
3) при возбуждении поля антенной щелевого типа щель следует paq-
полагать так, чтобы она пересекала линии тока в стенках волновода.
На рис. 32.1 показаны схематично способы возбуждения штыре-
штыревыми антеннами полей различного типа в прямоугольном волноводе.
На рис. 32.2 приведен пример возбуждения штыревой антенной
волны типа Нп в круглом волноводе, а на рис. 32.3 — примеры
возбуждения волны типа Н10 в прямоугольном волноводе и волны
типа Нп в круглом волноводе с помощью петлевой или рамочной
антенны.
Рис. 32?2
280

н
Вол иод од, 5 котором 8оз$(/ж-
дается 8олна типа Ию
Рис. 32.3
На рис. 32.4 схематично
показано возбуждение волны
типа Н10 в прямоугольном
волноводе с помощью щели
и второго волновода, в ко-
котором распространяется эта
волна.
§ 32.3. Условия ортогональности волн в волноводах
При отсутствии сторонних токов j3 и JM лемма Лоренца для
ограниченного объема в соответствии с формулой C1.11) будет
иметь вид
/>{[E1H1]-[E1H2]}rfS = 0. C2.1)
t
Рассмотрим металлический волновод, объем которого ограничен
воображаемыми плоскостями, проведенными в сечениях za и гь так,
как показано на рис. 32.5.
В качестве поля Е1У Ht в выражении C2.1) выберем волну
какого-либо одного типа, в качестве поля Ё2, Н2 — волну какого-
либо другого типа. Запишем лемму Лоренца для замкнутой поверх-
поверхности Siy состоящей из двух поперечных сечений волновода Ъ точках
zaJ zby площадь которых обозначим соответственно Say Sby и боко-
боковой поверхности волновода, заключенной между этими сечениями.
Считая металлические стенки волновода идеальными и используя
граничные условия у поверхности идеального
металла, можно сказать, что у стенок волно- * ? - \
вода поля Hf и Н2 ориентированы тангенци-
тангенциально, а поля Ёх-, Ё2—нормально к стенкам.
Тогда векторные произведения [EgHJ, [Ё^ Н2] , |
будут ориентированы тангенциально к стен- ]2 ]2
кам волновода и скалярное произведение этих
векторов на элемент площади dS в лемме Ло- Рис. 32.5
281

ренца окажется равным нулю, так как элемент площади ориенти-
ориентирован нормально к стенкам. При этом интеграл по замкнутой по-
поверхности Sf в лемме Лоренца C2.1) сведется к интегралам по
площадям поперечных сечений Sa и Sb:
Sa
откуда
J {[EAl-IEiH^dS^S {[Mil-fEAl}^. C2.2)
Sa Sb
Полученное выражение позволяет сделать вывод о независимости
входящих в него интегралов от координаты г, в силу того что зна-
значение этих интегралов в различных сечениях волновода остается
неизменным.
Предположим, что волна Е2, Н2 распространяется в положитель-
положительном направлении оси z, а волна Ef, Й^—-в отрицательном направ-
направлении. Фазовая скорость волны Е2, Н2 при этом будет положитель-
положительной, а фазовая скорость волны Е^, Н±—отрицательной. Для этого
случая оказываются справедливыми выражения:
F = F e-]'b*z
Н -и е-1'ь# - \61'6>
112 — **20С f
1~Cloe ' C2.4)
Н1 = Н1Ое/М.
Подставляя эти выражения в интегралы соотношения C2.2)»
опуская индексы а и Ъ у площадей при S, получаем
= \ {[E20Hi0]-[Ei0Ha0]}dSe-/^-^. C2.5)
Как было отмечено, интеграл этого вида не зависит от коорди-
координаты z, что выполнимо при соблюдении условий:
или
fta—Ai=:0, Aa=Ai. C2.7)
282

- При
h2?=ht C2.8)
должно выполняться равенство C2.6), которое в силу справедли-
справедливости выражения C2.5) приводит к формуле
S{[EsHi]-[E1Ha]}dS=O. C2.9)
s
Рассмотрим теперь случай, когда поля Ё2, Н2 и Ej, Hf распро-
распространяются в одном направлении, например в положительном на-
направлении оси г. Тогда справедливы выражения C2.3) и соотно-
соотношения:
rt^fceV C2Л0)
Подставляя эти выражения в интегралы C2.2), опуская индексы
а и Ъ у площадей 5, получаем
{[E30H10]-[E10H20]}dSe-/^+^. C2.11)
Независимость этого интеграла от координаты г выполняется
только при соблюдении равенства C2.6), которое приводит к фор-
формуле C2.9).
Таким образом, если волны в волноводе распространяются в раз-
разные стороны и продольные волновые числа этих волн не равны
друг другу или если волны распространяются в одну сторону не-
независимо от соотношения волновых чисел, то соблюдается соотно-
соотношение C2.9).
Интеграл вида J {[E2Hi]— [ExHJJdS может быть отличным от
s
нуля только при равенстве продольных волновых чисел двух волн
и распространении их в разные стороны. Эти условия называют
условиями ортогональности волн в волноводах.
§ 32.4, Определение амплитудных коэффициентов поля,
возбужденного в волноводах заданной системой
сторонних тонов
Условия ортогональности волн и лемма Лоренца могут быть
использованы при определении амплитуды поля, возбужденного
в волноводах заданной системой сторонних токов.
Пусть существует система сторонних токов в объеме У1У нахо-
находящемся между поверхностями Sa и Sb, расположенными в сечениях
z = za, z = zb, как показано на рис. 32.6.
283

h И'
Для решения задачи используем
лемму Лоренца C1.11). Предполо-
жим для простоты, что возбуждение
поля осуществляется системой сторон-
j i них токов j82, остальные же токи
а ' ь равны нулю:*
Рис. 32.6 J
Ki = Ju* = Ki = 0. C2.12)
При этих условиях лемма Лоренца запишется в виде
.^^. C2.13)
Векторы Ё2 и Ёх должны подходить к стенкам волновода, вы-
выполненным из идеального металла, нормально. В силу этого век-
векторные произведения [Ё^] и [ЁД] будут ориентированы танген-
тангенциально к стенкам волновода. Скалярные произведения этих век-
векторов на элемент площади dS стенок волновода в поверхностном
интеграле выражения C2.13) будут равны нулю, и этот интеграл
следует брать только по площадям поперечных сечений Sa и Sb.
Лемма Лоренца C2.13) при этом приобретает вид
.Sf{[EaH1]-[E1Hj}(-l,)dS +
Sa
Sb , * ~ V*
Поле Ё2, Н2, возбуждаемое сторонними токами с плотностями J32,
в общем случае может представлять собой суперпозицию волн раз-
различных типов.
Как известно, конкретный тип волны обозначают Етп или Нтп.
Для упрощения записи суммарный вектор электрического или маг-
магнитного поля волны конкретного типа будем обозначать одним
индексом k. Тогда для области волновода, соответствующей значе-
значениям г^гъ> поле, распространяющееся в сторону положительных
значений оси г, может быть представлено в форме
C2.15)
Н2 =2 Ак\\к
. Здесь Ak — амплитудные коэффициенты волны определенного типа
с индексом k.
Для области волновода, соответствующей значениям z^za,
поле, распространяющееся в сторону отрицательных значений оси г,
284- - .

выражают аналогично:
k=l C2.16)
где A_k—амплитудные коэффициенты волны конкретного типа.
Наличие двух полей, распространяющихся в разные стороны,
обусловлено тем, что излучающие устройства, в которых действуют
сторонние токи с плотностями j92, расположены в области, ограни-
ограниченной сечениями za и zb, и создают электромагнитные волны, рас-
распространяющиеся от этой области в обе стороны.
Под полем EiHf в выражении C2.14) будем понимать волну
конкретного типа Етп или Нтп, амплитудный коэффициент которой
необходимо определить. Это поле считают вспомогательным при
дальнейших операциях с леммой Лоренца. Предполагается, что
вспомогательное поле создается своей системой сторонних токов,
находящейся за пределами рассматриваемой области волновода и
не связанной с плотностями токов j92.
Если система вспомогательных токов расположена в части вол-
волновода, для которой справедливо неравенство г < za, то электро-
электромагнитная волна, созданная этими токами, в интересующей области
волновода будет распространяться в сторону положительных зна-
значений оси г. Такое поле будем записывать в форме Ef, Hx. Если
система вспомогательных токов расположена в части волновода, для
которой справедливо неравенство z > zb, то электромагнитная волна,
созданная этими токами, в интересующей области волновода будет
распространяться в сторону отрицательных значений оси z. При
этом вспомогательное поле будем записывать в форме Ё_х, Н_1.
Рассмотрим первый случай, когда вспомогательное поле рас-
распространяется в сторону положительных значений оси z и записы-
записывается в виде Ё1Э Нх. Подставим выражения C2.15), C2.16), а также
вспомогательное поле Ёх, Н1 в лемму Лоренца C2.14):
+{ [ ? AkEkH~\ - k S Aknk])l2dS^ S JBZE±dV. C2.17)
На основании условий ортогональности волн в волноводах
(см. § 32.3) интеграл вида J {[EaHj —[E^JJdS отличен от нуля
только тогда, когда поля Ё2Н2 и Ё1Н1 распространяются в разные
стороны и продольные волновые числа этих полей равны друг другу.
285

В выражении C2.17) волны Ё_^Н^^ и E^Hj распространяются
в разные стороны. Следовательно, интеграл
S{[ 2 Л^Е^нЛ-
Sa { U = 0 J
в случае, когда продольное волновое число волны Ё«ЛН_Л равно
продольному волновому числу волны Е]^. Другими словами, ин-
интеграл не равен нулю, когда тип волны E_ft, \\-к аналогичен типу
волны Ё^ (k=\) с той лишь разницей, что эти волны распро-
страняются в разные стороны. При этом в рядах 2 А-кЕ„к и
6 = 0
2 Л_ЛН_Л сохранятся лишь члены A-JL-f и Л.1Н.1. Второй ин-
k = 0
теграл по поверхности Sb в выражении C2.17) равен нулю в силу
условий ортогональности волн, так как волны Ек, Hk и Ef, Hx рас-
распространяются в одну сторону. С учетом сказанного выражение
C2.17) можно записать в виде
ИЛИ
A.t S{[E.iH1]-[E1H.i]}l,dS = - S J92Efdl/. C2.18)
Это выражение позволяет найти амплитудный коэффициент Л.?
волны заданного типа, распространяющейся в сторону отрицатель-
отрицательных значений оси г:
C2.19)
Далее рассмотрим второй случай, когда вспомогательное поле
распространяется в сторону отрицательных значений оси z и запи-
записывается в виде fe_i, H.j. Подставим выражения C2.15), C2.16)
в качестве поля Ё2, Н2 и вспомогательное поле в качестве поля
Ёх, Нг в лемму Лоренца C2.14):
44h.J--|iL± 2 4h,1}ms= S j^dK. C2.20)
286

Обозначив амплитудный коэффициент искомого поля, распростра-
распространяющегося в сторону отрицательных значений оси г, B_t и ампли-
амплитудный коэффициент искомого поля, распространяющегося в сторону
положительных значений оси г, Б1? получим следующие выражения
для этих коэффициентов:
Эта формула позволяет определить амплитудный коэффициент А±
волны искомого типа, распространяющейся в сторону положитель-
положительных значений оси г:
В приложении IV дан пример расчета амплитудного коэффи-
коэффициента волны типа Hi0 в прямоугольном волноводе.
287

ГЛАВА 33
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В
ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ
§ 33.1. Постановка вопроса
Так же как и возбуждение поля заданного типа в волноводах,
создание волн заданного типа в объемных резонаторах может осу-
осуществляться различными способами, описанными в § 32.2.
При возбуждении поля устройством штыревого типа штырь сле-
следует располагать в месте наибольшего электрического поля волны
заданного типа в резонаторе и ориентировать параллельно электри-
электрическим силовым линиям.
При возбуждении поля устройством петлевого типа петля должна
быть расположена в месте наибольшего магнитного поля волны
заданного типа в резонаторе и ориентирована так, чтобы плоскость
петли пересекалась магнитными силовыми линиями.
Если для возбуждения используют щель, то последняя должна
пересекать линии тока, создаваемые в стенках резонатора волной
заданного типа.
В настоящей главе будут рассмотрены вопросы возбуждения
электромагнитного поля в объемных резонаторах заданной системой
сторонних токов и определены общие выражения для амплитудных
коэффициентов волны заданного типа.
§ 33.2. Условия ортогональности волн в объемных
резонаторах
Допустим, что в объемном резонаторе, лишенном потерь, суще-
существуют собственные колебания типов k и q;
Под индексами k и q будем понимать определенные совокуп-
совокупности индексов т, п, р, определяющих поле в резонаторе. Тогда
для каждого из колебаний будут справедливы следующие уравнения
Максвелла, записанные без сторонних токов:
C3.1)
,, C3.2)
C3.3)
rotE, = -/co^aHr C3.4)
Запишем уравнения C3.3), C3.4) для сопряженных значений
векторов Ё^ и Н*:
rotHJ = —/ю^Ё;, C3.5)
rotE*-/coa[xaH;. . C3.6)
288

Умножим уравнение C3.6) скалярно на Нл, уравнение C3.1) —-
на Eq и вычтем почленно из первого произведения второе:
EE M;- C3.7)
Умножим уравнение C3.2) скалярно на HJ, уравнение C3.3) —
на Ек и вычтем почленно из первого произведения второе:
ЁЁ аЁ;ЁА. (зз.8)
Далее используем векторное тождество b rot a — a rot b = div [ab].
В результате соотношения C3.7) и C3.8) запишутся в виде
;^лЁ;, (зз.9)
div [ЁЛНJ] - - /со#аН,Н; + /о>,ваЁ;Ё,. C3.10)
Проинтегрируем выражения C3.9), C3.10) по объему Vt и ис-
используем теорему Остроградского — Гаусса B.1):
\q % lq C3.12)
v»
В случае идеального металла поля E*q и Ek подходят нормально
к стенкам резонатора и векторы, возникающие в результате век-
векторных произведений [E*H^], [E*HJ], будут ориентированы к стенкам
тангенциально. Тогда скалярные произведения этих векторов на
элемент площади dS, ориентированный нормально к стенкам резо-
резонатора, будут равны нулю. Нулю будут равны и поверхностные
интегралы в выражениях C3.11), C3.12). При этом возникают
соотношения:
\ EkEqdV, C3.13)
vt
J fih.dV. C3.14)
vt
Умножим выражение C3.13) на сол, выражение C3.14) — на со^
и вычтем из первого произведения второе:
0. C3.15)
Умножим выражение C3.13) на со^, выражение C3.14) —на coft
и вычтем из первого произведения второе:
S н,н;^^о. (зз.1б)
v
Из соотношений C3.15) и C3.16) следует:
Ю № 644 289

при (oq?*(ok, q?=k
\tkt*qdV = $НЛН;^ = О, C3.17)
при соа=-(ол, q = k
$E*EjdK=^O, $H*H;dK=^0. C3.18)
Из соотношений C3.13), C3.14) можно сделать вывод, что при
k
EJW. C3.19)
Формулы C3.17), C3.18) называют условиями ортогональности
волн в объемных резонаторах.
§ 33.3. Определение амплитудных коэффициентов поля,
возбужденного в объемных резонаторах заданной системой
сторонних токов
Допустим, что возбуждение поля в объемном резонаторе осу-
осуществляется заданной системой сторонних электрических токов
с плотностью j3. При этом возбужденное поле Ё, Н подчиняется
следующим уравнениям Максвелла:
rotft = /(oeaE + J9, C3.20)
rot Ё = — /o)jjiaH. C3.21)
При отсутствии стороннего тока решением однородных уравне-
уравнений Максвелла явились бы собственные колебания, число типов
которых, как было установлено в гл. 21, бесконечно велико. В общем
случае поля Ё и Н представляли бы собой суперпозицию бесконеч-
бесконечного числа воли различных типов:
Ё = S Л А, C3.22)
/г=0
н = 2 л А. (зз.23)
/г = 0
Введение возбуждающего устройства с плотностью тока Зэ при-
приводит к некоторому искажению картины поля в резонаторе по срав-
сравнению с собственными колебаниями, которое более заметно в не-
непосредственной близости от возбуждающего устройства. Тем не менее
в силу высокой добротности резонаторов картина электрического и
магнитного полей, возникающих в результате действия стороннего
тока, мало отличается от вида собственных колебаний. Задачей про-
проводимого исследования является отыскание амплитудных коэффи-
коэффициентов волн заданного типа.
290

Обозначим индекс, соответствующий искомой волне, буквой q.
Положим с некоторой погрешностью, что эта волна будет близка
к одному из собственных колебаний рядов C3.22), C3.23). Как
собственные резонансные колебания поля Eqf Hq должны удовлет-
удовлетворять однородным уравнениям Максвелла:
rotH, = ;<opeaE,, C3.24)
гсЛЁ, = -/юрцаНв, C3.25)
где (Dp — резонансная частота.
Далее осуществим математические операции, сходные с теми,
которые были проведены в предыдущем параграфе. Запишем урав-
уравнения C3.24), C3.25) для сопряженных значений векторов Е*, Н^:
rotH; = -/<DpeaE;, C3.26)
rot?*q = j(ov\iall*r C3.27)
Умножим уравнение C3.27) скалярно на Н, уравнение C3.20)—
на Eq и вычтем почленно из первого произведения второе:
?fe;—)эё;. (зз.28)
Затем умножим уравнение C3.21) скалярно на HJ, уравнение
C3.26) — на Ё и вычтем из первого произведения второе:
HJrotE —ErotHJ = —/©|гаНН; + /©реаЁ;Ё. C3.29)
В соответствии с векторными тождествами можно написать со-
соотношения
Н rot Ё* —Ё; гоШ = div [Ё;Н], C3.30)
HJrotE — ErotH; = div[EH;]. C3.31)
Используя эти тождества, уравнения C3.28), C3.29) можно за-
писать в виде
[ё;н] =
div [ён;] = - /со^нн; + /ор8аЁ;Ё.
Проинтегрируем полученные выражения по объему Vt и исполь-
используем теорему Остроградского — Гаусса, в силу которой
jEEJ i9t*qdV, C3.32)
5
^ — /o>|xa jHH;dK + /copea \E*qEdV. C3.33)
Si Ух Ух
10* 291

В соответствии с граничными условиями у поверхности идеального
металла поля Ё и EJ подходят нормально к стенкам резонатора.
При этом векторные произведения [Ё*Н], [ЁН*] будут ориентиро-
ориентированы к стенкам резонатора тангенциально. Скалярные произведения
этих векторов на элемент площади dS> ориентированный нормально
к стенкам резонатора, равны нулю, и выражения C3.32), C3.33)
записываются в форме
Когда частота со колебаний стороннего тока с плотностью j3
стремится к резонансной частоте сор собственных колебаний резона-
резонатора, амплитудный коэффициент Aqi как следует из выражения
292

C3.38), стремится к бесконечности, что эквивалентно процессам
в идеальном колебательном контуре. Для определения амплитуды
колебаний в реальном резонаторе целесообразно исходить из следую-
следующих рассуждений.
Для заданного типа волн, как отмечалось в гл. 26, объемный
резонатор может быть заменен эквивалентным колебательным кон-
контуром, обладающим определенными параметрами La, Сэ, гэ и до-
добротностью Q. В таком эквивалентном колебательном контуре ко-
колебания затухают по закону е~а^\ где эквивалентный коэффициент
затухания аэ определяется одной из следующих формул:
Колебания в таком контуре могут быть записаны в виде соот-
соотношений
и (t) = ?/ое а* cos (й)р* + ф) = Re {t/oe V х е'(<
или
u(t) = Ке [иое р э /I (оо.40)
где О = U &'ф .
При такой форме записи выражение
= <*>р+/Й (ЗЙ.41)
можно рассматривать как комплексную частоту собственных коле-
колебаний в резонаторе, возникающую при наличии потерь. Подставив
вместо квадрата частоты о)р в знаменателе выражения C3.38) квад-
квадрат комплексной частоты собственных колебаний (сор + /ос9J, можно
учесть влияние потерь на процессы в объемном резонаторе:
Объемные резонаторы обладают большой добротностью, поэтому
(сор+/аэJ^оJ + /^. C3.42)
Подставляя это выражение вместо со2 в знаменатель формулы
C3.38), получаем соотношение для амплитудного коэффициента Aqr
поля в реальном объемном резонаторе:
(О ^ J9EgdV
-. C3.43)
\?q\*dV
293

Vi
При резонансе со = сор и
Aw= 7^ • <33'44)
(op8a ^ | Eq |2 dV
При возбуждении резонатора заданной системой сторонних ма-
магнитных токов с плотностью JM выражения для амплитудных ко-
коэффициентов можно легко получить путем использования принципа
перестановочной двойственности. Для этого в выражении C3.44)
следует осуществить обычные перестановки:
В результате возникает следующая формула для амплитудного
коэффициента при резонансе:
C3.45)
В приложении IV дан пример расчета амплитудного коэффици-
коэффициента волны типа Hloi в прямоугольном резонаторе.
ГЛАВА 34
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 34.1. Постановка вопроса
В анизотропных средах, как указывалось в § 1.3, 1.5, возникают
более сложные связи между векторами Ь и Ё или В и Н, в зави-
зависимости от того, в каком из параметров среды (еа или ^а) прояв-
проявляется анизотропия. В случае анизотропии тензорный характер еа
или |ха приводит к возникновению новых физических процессов в сре-
среде, математическое исследование которых существенно усложняется
вследствие усложнения исходной системы электродинамических
уравнений. Анализ электродинамических задач с тензорной ди-
диэлектрической проницаемостью не отличается от анализа явлений
с тензорной магнитной проницаемостью среды. Плазма и ферриты,
находящиеся в магнитном поле, являются анизотропными сре-
средами. В плазме диэлектрическая проницаемость является тензором,
в ферритах тензорный характер имеет магнитная проницаемость.
294

В настоящей главе будут рассмотрены некоторые основные воп-
вопросы распространения электромагнитных волн в однородной анизо-
анизотропной ферритовой среде. Метод анализа пригоден при замене
ферритовой среды намагниченной плазмой.
§ 34.2. Вид тензоров диэлектрической и магнитной
проницаемостей намагниченных плазмы и феррита
Плазма, представляющая собой газ, в котором некоторая часть
атомов или молекул ионизована, обладает параметрами, зависящими
от степени ионизации, частоты распространяющихся в ней электро-
электромагнитных волн и воздействующего на нее постоянного магнитного
поля. В отсутствие магнитного поля плазма изотропна. При воздей-
воздействии на плазму постоянного магнитного поля диэлектрическая
проницаемость плазмы становится тензором. В зависимости от ха-
характера ионизации и мощности электромагнитных волн плазму сле-
следует рассматривать как однородную или неоднородную, линейную
или нелинейную среду. Не вдаваясь в суть физических процессов,
происходящих в плазме [6], [7], можно сказать, что в намагничен-
намагниченной вдоль оси г плазме ее абсолютная диэлектрическая проницае-
проницаемость 8а может быть представлена в виде тензора:
-\а 0 \
ва 0 . C4.1)
О 8азз/
Компоненты тензора зависят от концентрации электронов в плазме,
.частоты соударений электронов с ионами и молекулами, величины
постоянного магнитного поля и частоты распространяющихся в плаз-
плазме электромагнитных волн. Сравнивая тензор (еа) с тензором ди-
диэлектрической проницаемости общего вида A.25), можно сделать
заключение об относительной простоте тензора C4.1). В соответствии
с выражением общего вида A.23) связь составляющих комплексной
амплитуды вектора электрического смещения D с составляющими
комплексной амплитуды вектора напряженности электрического
поля Ё в декартовой системе координат в случае тензора C4.1)
выражается следующими соотношениями:
C4.2)
Эту связь необходимо учитывать при записи в скалярной форме
первого уравнения Максвелла. В отсутствие потерь и сторонних
токов, при обычном (скалярном) виде диэлектрической проницае-
проницаемости первое уравнение Максвелла записывают в виде
E C4.3)
295

Если еа = (8а) — тензор, то вид этого уравнения будет следующим:
rotH = /co(ea)E. C4.4)
Поскольку магнитная проницаемость плазмы при воздействии
постоянного магнитного поля остается скалярной величиной, рав-
равной (ia, второе уравнение Максвелла записывают в обычной форме:
I. C4.5)
C4.6)
C4.7)
rot Ё = — /о
Запись этих уравнений в форме
rot Н = /cob,
rot Ё = —¦ /соВ
остается в силе независимо от того, скалярными или тензорными
являются величины еа и щ. Записывая ротор в декартовой системе
координат, уравнение C4.6) можно представить системой скалярных
уравнений:
dHz дну
____
дх
дх
ду
C4.8)
Подставляя выражения для Dx, Dy, Dz из формул C4.2), запи-
запишем систему C4.8) таким образом:
C4.9)
дН2
ду
dz
дНу
дН2
дНх
дх
Если анизотропии нет, то а==0, еазз = 8а и система уравнений
C4.9) существенно упрощается:
дН2 дНу
дНу
дх
dHz
дНх
ду
C4.10)
Сравнение систем уравнений C4.9) и C4.10) позволяет сделать
вывод о том, что в основе анализа явлений в анизотропной среде
лежат уравнения более сложные, чем в случае изотропной среды.
296

Ферриты представляют собой вещества, обладающие магнитными
свойствами ферромагнетиков и электрическими свойствами диэлект-
диэлектриков. Относительная магнитная проницаемость ферритов может
достигать тысяч и относительная диэлектрическая проницаемость-—
десятков. Поскольку их электрическая и магнитная удельные про-
проводимости относительно малы, затухание электромагнитных волн
в ферритах невелико и при исследовании фундаментальных процес-
процессов в ферритах электрической и магнитной проводимостями в ряде
случаев можно пренебречь.
Различают обычные ферриты, в которых внутреннее магнитное
поле отсутствует, и монокристаллы ферритов (гексаферриты), в ко-
которых существует значительное собственное магнитное поле. Магнит-
Магнитная проницаемость обычных ферритов, не находящихся во внешнем
магнитном поле, представляет собой скалярную величину. При воз-
воздействии внешнего магнитного поля магнитная проницаемость ста-
становится тензором.
Магнитная проницаемость монокристаллов является тензорной
величиной. При воздействии на ферритовую среду внешнего магнит-
магнитного поля, ориентированного вдоль оси z, тензор магнитной про-
проницаемости феррита по форме сходен с тензором диэлектрической
проницаемости плазмы:
/На ~jb 0 \
И. О 1. C4.11)
0 0 М-азз/
Диэлектрическая проницаемость ферритов является величиной
скалярной. Поэтому первое уравнение Максвелла следует записать
в виде C4.3), а второе уравнение Максвелла—в форме C4.7). Связь
векторов В и Н определяется соотношением
B = 0ia)H, C4.12)
или В развернутой форме с учетом тензора C4.11):
C4.13)
Соответственно второе уравнение Максвелла C4.7) можно пред-
представить системой скалярных уравнений:
dEz дЕу .
дЕх дЕ7 1 тт • тт \ /Q/i \ л\
—± - = (\)иН —1Щ1 п у ( \O4i.i4i)
дх ду а33 *'
297

При исчезновении подмагничивающего поля обычный феррит
становится изотропным материалом. При этом & = 0; Щзз^М'а»
уравнения C4.14) превращаются в обычную систему скалярных
уравнений Максвелла:
§ 34.3. Продольное распространение плоских волн
в намагниченной ферритовой среде. Эффект Фарадея
Пусть однородная ферритовая среда без потерь намагничена
постоянным магнитным полем, ориентированным вдоль оси г. При
этом тензор магнитной проницаемости среды определяется выраже-
выражением C4.11). Уравнения C4.10) и C4.14) дают систему скалярных
уравнений, соответствующих первому и второму уравнениям Макс-
Максвелла в данном случае.
Рассмотрим распространение в такой среде плоской волны, век-
вектор Пойнтинга которой ориентирован вдоль оси г. При этом спра-
справедливы следующие соотношения:
где |3ф—фазовая постоянная плоской волны в феррите.
298

Подставляя решения C4.18) в систему уравнений C4.17), полу-
получаем соотношения:
у C4.19)
P«A. = -«*,?„„ C4.20)
- Рф?у0 = © {^Нхй -]ЬНу0), C4.21)
|„). C4-22)
Из выражения C4.22) найдем ?Л0 и подставим его значение
в формулу C4.19):
Р фЯу0 = ^ (А + (*.#„.)• C4.23)
Из выражения C4.21) найдем Ёу0 и подставим его значение
в формулу C4.20)
^„). C4.24)
Далее выразим с помощью соотношения C4.24) Нх0 через Я^:
откуда
^=-B./to?' Я,о. C4.25)
Умножим выражение C4.23) на рф и подставим в него значение
HXQ из формулы C4.25):
/6^ + соуа8аЯу0.
— со [хаеа
Сокращая это выражение на Ну0 и выполняя некоторые преобра-
преобразования, найдем уравнение для фазовой постоянной плоской волны
в ферритовой среде рф:
|3$ —2со>аеа6| + со^е2а—со^2е2а = 0, C4.26)
имеющее простое решение:
C4.27)
Знак «плюс» перед корнем в соответствии с решениями C4.18)
следует использовать для волны, распространяющейся в сторону
положительных значений оси г. Знак «минус» соответствует отра-
отраженной волне, распространяющейся в сторону отрицательных зна-
значений оси z. Так как в рассматриваемом случае среда однородна
и безгранична, отраженной волны не может возникнуть и выраже-
299

ние C4.27) записывают в форме
рф = соКеа([ха ±Ь). C4.28)
Таким образом, имеется два значения фазовой постоянной пло-
плоской волны в феррите:
рф1 = ю1/еа(|1а + 6), C4,29)
Рф2 = <о/еа01а —Ь). C4.30)
Каждой фазовой постоянной соответствует своя фазовая ско-
скорость:
0ф1 = *>/Рф1. C4'31)
^ф2 = со/РФ2. C4.32)
Проанализируем, какому физическому процессу соответствует
появление двух фазовых скоростей. Вернемся к выражению C4.25).
Подставим в него значение рф из формулы C4.28):
тт ^ /6С028а гт
Х0~~ Ш28а|Ла ± @28а6—0J|Ла8а У°'
Проведя необходимые сокращения, получаем следующую связь
между составляющими ЯЛ.О и Ну0:
Hx0 = + jHy0. C4.33)
В силу существования двух равноправных фазовых постоянных
Рф1 и Рф2» соответствующим двум полям, распространяющимся с фа-
фазовыми скоростями иф1 и 1>ф2, с учетом решений C4.18) суммарное
поле Нх% записывают в виде
где фя — начальная фаза, которую для простдты записи можно по-
положить равной нулю.
Тогда
Мгновенное значение Hx^(t) находят с помощью обычного пере-
перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям:
Нхъ @ = Re (Нх&№) = Re {ЯЛ0 (e"Vz + е-/Рф22) е/^},
Ях2 @ - Я*о {cos И—рф1г) + cos {at -|3ф2г)}. C4.36)
На основании тригонометрического соотношения cosa + cosp =
= 2 cos a^"^ cos a 2 выражение C4.36) можно представить в форме
/ j. Рф1+ Рф2 \
xz{) XQ [at ^~2 г) cos
300

или ввиду четности косинуса
НЛ (О = 2Я„ cos (Ш-Щ^г) cos(*^2) . C4.37)
Из формулы C4.33) следует, что
Hv0 = ±jHx0. C4.38)
Знак «плюс» соответствует фазовой постоянной рф1, знак «минус»—
фазовой постоянной рф2. По аналогии с формулами C4.34) суммар-
суммарное поле Нуъ записывают в виде
или с учетом соотношения C4.38), а также первой формулы C4.35)
(Нх0 = Нх0):
Нуъ = 1Нхое-*ыг -jHxoe-'*** = jHx0 (e^'^-e^2)-
Перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям
поля Hyz(t):
Ну* @ = Re {jHxo (e-"V -е4***) е^},
Ну% (t) = - HXQ {sin (ш<—рф1г) —sinИ-рф2г)}. C4.39)
На основании тригонометрического соотношения since—sinЭ =
s= 2cos a"^"^ sin а"Г^ выражение C4.39) можно представить в форме
— ОН роо
— — 4ЛХО COS
или ввиду нечетности синуса
^±^) sin (?*!=?*?г) . C4.40)
Суммарное магнитное поле ' представляет собой суперпозицию
полей H^s (О и Н^2@- Сложение полей осуществляют графически
так, как показано на рис. 34.1.
Тангенс угла наклона а суммарного вектора магнитного поля
к оси абсцисс выражается соотношением
Подставляя значения HyIl (t) и Нх% (/) из формул C4.40) и
C4.37), получаем
COS
откуда угол наклона
aJ-^^z. C4.41)
301

возрастает по мере продвижения
плоской волны в положительном направле-
направлением \ ]^| нии оси z. Суммарный вектор H^(t) не оста-
остается постоянно ориентированным в простран-
пространстве, а вращается по мере продвижения вол-
волны. Из рис. 34.1 видно, что вращение сум-
суммарного вектора происходит по направлению
стрелки часов, если смотреть в сторону по-
положительных значений оси z.
Аналогичную картину имеет вектор сум-
34.1 марного электрического поля Е2 (t), ортого-
ортогональный к вектору Н2 (t): Таким образом, на-
намагниченная ферритовая среда является не только анизотропной, но
также гиротропной средой, в которой происходит поворот векторов
поля в пространстве. Вращение векторов поля в гиротропной среде
называют эффектом Фарадея.
Постоянная
Рф1 Рф2 ,о . л с\\
s-^, C4.42)
определяющая угол поворота векторов на единицу длины пути в
гиротропной среде, называется постоянной Фарадея.
Был рассмотрен случай, когда плоская волна распространяется
в ферритовой среде в положительном направлении оси г. Ориента-
Ориентация вектора Пойнтинга определяется расположением суммарных
векторов Е2 (t) и Hs(f), показанным на рис. 34.1. При распростра-
распространении плоской волны в обратном направлении, в сторону отрица-
отрицательных значений оси г, следует изменить на обратные знаки перед
фазовыми постоянными Eф1 и (Зф2. В результате вместо выражения
C4.14) получим
a==_bizhlz. C4.43)
Угол а становится отрицательным, возрастающим в направлении
отрицательных углов с увеличением абсолютного значения коорди-
координаты г. Вращение суммарного вектора Н2 (/) происходит в обратную
сторону по сравнению со случаем распространения плоской волны
в сторону положительных значений z.
Таким образом, влияние ферритовой среды на электромагнитную
волну зависит от направления распространения этой волны. Подоб-
Подобные среды носят название невзаимных сред.
§ 34.4. Поперечное распространение плоских волн
в намагниченной ферритовой среде. Эффект Коттона — Мутона
В § 34.3 было рассмотрено распространение плоской волны вдоль
постоянного поля, подмагничивающего феррит. Представляет инте-
интерес случай, когда вектор Пойнтинга, распространяющийся в фер-
ферритовой среде, ориентирован перпендикулярно подмагничивающему
полю.
302

Допустим, что подмагничивающее поле ориентировано вдоль
оси z, а вектор Пойнтинга плоской волны направлен вдоль оси х.
Тогда для поля волны, падающей на ферритовую среду, должны
быть справедливы соотношения:
Ёу, Ё„ Ну, ЙЖФО, \
ЁХ = НХ = О, \ C4.44)
д/ду = d/dz = 0, д/дх Ф 0. J
Для ферритовой среды, намагниченной вдоль оси г, справедливы
системы скалярных уравнений Максвелла C4.10) и C4.14). В силу
справедливости соотношений C4.44) системы этих уравнений суще-
существенно упрощаются:
C4.45)
C4.46)
C4.47)
y, C4.48)
C4.49)
Поскольку в падающей волне существует составляющая Ну, она
должна присутствовать в ферритовой среде. Следовательно, эта со-
составляющая не может быть приравнена нулю в соотношении C4.47).
Для его выполнения необходимо предположить, что в результате
анизотропии (наличие коэффициента Ь) в ферритовой среде возни-
возникает дополнительно составляющая Нх, которой не было в падающей
волне. Из соотношения C4.47) следует, что
Hx = j±Hy. C4.50)
Составляющая Нх связана с составляющей Ну множителем /, что
означает сдвиг фазы во времени между этими составляющими на
угол, равный я/2. Сходное соотношение было получено в § 34.3
[см. формулу C4.38)]. Было показано, что сдвиг фаз приводит к
вращению плоскости поляризации. Таким образом, при поперечном
распространении плоской волны в феррите возникает дополнитель-
дополнительная составляющая магнитного поля и происходит вращение векторов
поля по мере продвижения его вдоль направления распространения,
т. е. вдоль оси х. Система уравнений C4.45), C4.49) не зависит от
системы уравнений C4.46), C4.48) и может быть решена самосто-
самостоятельно. Дифференцируя уравнение C4.49) по х и используя урав-
уравнение C4.45), получаем
d%ldx* + соУзззеД, = 0. C4.51)
Решение этого уравнения можно представить в обычной форме:
?у=Л1е"/эФ»д: + Ляе/эФ8*, C4.52)
303

где
hs = ^VK^l- C4.53)
Поскольку ферритовая среда предполагается однородной и без-
безграничной, отраженная волна отсутствует и можно положить
Л2 = 0. C4.54)
Тогда
Ёу = Агеч*ъ*х. C4.55)
Полученное решение называют обыкновенной волной. Вторая си-
система формируется из уравнений C4.46) и C4.48). В последнем
уравнении составляющую Нх можно исключить с помощью выра-
выражения C4.50). При этом уравнение C4.48) переходит в соотношение
Дифференцируя это соотношение по х и используя выражение
C4.46), находим уравнение для составляющей поля Ё2:
:г = 0 C4.57)
vwv \ ^а /
с решением вида
?я = В1е"/рФ**+В2е/рф4*| C4.58)
где
C4.59)
В случае безграничной ферритовой среды отраженная волна от-
отсутствует и В2 = 0. При этом
Eg = B1e'fhixm C4.60)
Полученное решение носит название необыкновенной волны.
Таким образом, найдены решения электродинамических уравне-
уравнений для составляющих электрического поля Ёу и Ёг. Решение для
составляющей магнитного поля Hz записывают аналогично решению
для Ёу. Магнитное поле в случае «необыкновенной волны» имеет
две составляющих. Решение для составляющей поля Ну будет вы-
выглядеть аналогично решению для Е2. Кроме того, в поле «необык-
«необыкновенной волны» существует составляющая НХУ определяемая соот-
соотношением C4.50), сдвинутая по фазе во времени относительно со-
составляющей Ну на угол, равный я/2. В результате этого сдвига в
«необыкновенной волне» происходит поворот векторов поля по мере
продвижения его вдоль оси х.
304

Возникновение «необыкновенной волны» при поперечном распро-
распространении плоского электромагнитного поля в намагниченной фер-
ритовой среде называют эффектом Коттона — Мутона.
В настоящее время ферриты нашли широкое распространение в
различных радиотехнических устройствах, описание которых выхо-
выходит за рамки этой книги.
ГЛАВА 35
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 35.1. Постановка вопроса
До сих пор рассматривались электродинамические процессы,
происходящие в различных бесконечно протяженных средах, а также
волноводах и объемных резонаторах. Нередко возникает необходи-
необходимость отыскания электромагнитного поля в задачах, когда в без-
безграничном пространстве находится какое-либо тело или группа тел,
с которыми взаимодействует электромагнитная волна, распростра-
распространяющаяся в пространстве. В результате этого взаимодействия пер-
первичное поле претерпевает изменения, которые и необходимо учесть
при анализе процесса.
Под дифракцией электромагнитного поля условимся понимать
процесс взаимодействия этого поля с телом или группой тел, нахо-
находящихся в зоне распространяющейся электромагнитной волны.
Дифракция относится к числу труднейших задач электродина-
электродинамики и в книге, посвященной ее основам, можно лишь наметить
пути решения подобных задач. В качестве примеров возможных
подходов к проблеме рассмотрим два случая: 1) дифракцию плоской
волны на бесконечном идеально проводящем металлическом цилин-
цилиндре—задачу, которая может быть решена аналитически точно;
2) дифракцию плоской волны на отверстии, сделанном в бесконечно
протяженном, идеально проводящем плоском экране — задачу, кото-
которая может быть решена приближенным методом, требующим вывода
вспомогательных соотношений — теоремы эквивалентности и формул
Гюйгенса — Кирхгофа. Разумеется, эти случаи далеко не исчерпы-
исчерпывают возможных методов решения дифракционных задач, и их можно
рассматривать лишь как некоторое введение в теорию дифракции.
§ 35.2. Дифракция плоской волны на бесконечном
идеально проводящем металлическом цилиндре
Пусть плоская волна встречает на своем пути бесконечный,
идеально проводящий металлический цилиндр радиуса г0. Пусть
вектор Пойнтинга плоской волны перпендикулярен оси цилиндра
и поляризация поля такова, что вектор Ё падающей волны парал-
305

Рис. 35.1
лелен оси цилиндра (рис. 35.1). Для поля падающей волны будут
справедливы такие соотношения:
п — пх,
C5.1)
Присутствие цилиндра изменяет поле не только вдоль направ-
направления распространения падающей волны, т. е. вдоль оси х, но и
вдоль оси у. Рассмотрим, какие составляющие поля должны содер-
содержаться в дифракционном поле. Для этого используем систему урав-
уравнений Максвелла, записанную в форме соотношений C4.10), C4.14).
Допустим, что в дифракционном поле так же, как и в поле
падающей волны, не будет составляющих Ёх и Еу:
р р Г) /ос о\
Как было отмечено, наличие цилиндра вызывает появление про-
производных:
д/ду, д/дхфО. C5.3)
На основании последнего уравнения системы C4.14) можно за-
заключить, что составляющая поля Hz, отсутствующая в падающей
волне, не возникнет и в дифракционном поле:
Я, = 0. C5.4)
На основании первого уравнения системы C4.14) и соотношений
C5.3) можно сделать вывод, что существование производной дЁ2/ду
приведет к появлению составляющей поля Нх, которой в падающей
волне не было.
При сделанных допущениях будут удовлетворены все оставшиеся
уравнения систем C4.10) и C4.14). В результате возникнет система
306

скалярных уравнений Максвелла:
дну дйх
дх ду
C5.5)
Эти уравнения связывают три составляющие поля: Яд,, Ну и ?2.
Поскольку рассматривается дифракция плоской волны на цилиндре,
для применения граничных условий целесообразно перейти к цилин-
цилиндрической системе координат. Этот переход может быть осуществлен
путем следующих рассуждений.
Полученное дифракционное поле содержит три составляющие
Я^, Ну и Ez, и его можно рассматривать как поле электрического
типа по отношению к координате г. Действительно, это поле со-
содержит одну продольную электрическую составляющую и две попе-
поперечные по отношению к координате z магнитные составляющие Нх
и Ну. В таком поле, как было показано в гл. 11, поперечные
составляющие можно выразить через продольную составляющую,
определяемую соотношением A1.35):
Рассматривая задачу в цилиндрической системе координат, вы-
выберем следующее соответствие криволинейных и цилиндрических
координат:
I — г, т)-*<р, ?-*zr
АЕ = АГ=1> Ал = Аф = г, АС = АЛ=1. C5.6)
При этом уравнение A1.35) может быть представлено в форме
^ + ±11(гМ
дг* + г \дг \Г дг
Рассматриваемое поле не зависит от координаты z. Допустим
также, что среда лишена потерь:
Тогда уравнение для продольной составляющей поля Ez следует
записать в виде
г \ дг
Раскрывая скобки, получаем
C5.7)
307

или иначе
Уравнение решают с помощью метода Фурье путем подстановки
вида
?,= #!<]>. C5.10)
Функция /^ является функцией только координаты г, а функ-
функция Ф—функцией только координаты ф.
Подставляя выражение C5.10) в уравнение C5.9), получаем
Разделим это уравнение на JRO:
г rx " dr2 "*" г * #! * аг ~*~¦ г "+¦ ф ' аф2 ~и*
Первые три члена уравнения являются функциями только коор-
координаты г, последний член — функцией только координаты ф. Равен-
Равенство возможно, если члены, являющиеся функцией г, и член, являю-
являющийся функцией ф, по отдельности равны одному и тому же числу т2,
взятому с различными знаками. В силу этого положим:
Ф""Ж2"~~~т
Ta = J
Каждое из полученных соотношений является функцией только
одной координаты. Следовательно, частные производные можно заме-
заменить обычными и уравнения записать таким образом:
C5.11)
^0' C5Л2)
Начало цилиндрических координат расположено на оси цилиндра,
и угол ф отсчитывается вокруг цилиндра. Дифракционное поле дол-
должно быть периодично по ф, следовательно, коэффициент m должен
быть целым числом.
Решение уравнения C5.11) можно представить в форме
C5.13)
Уравнение C5.12) является уравнением Бесселя. В гл. 14 были
определены различные функции Бесселя, удовлетворяющие этому
уравнению. В данном случае плоская волна соприкасается с прово-
проводящим цилиндром, отражается от его поверхности и уходит в бес-
бесконечность. Другими словами, возникает вторичное поле, распро-
308

страняющееся от поверхности цилиндра в бесконечность. Как было
отмечено в § 14.1, такому полю соответствуют функции Ханкеля вто-
второго рода порядка т.
В § 14.1 эти функции обозначались Н($ (gr) [см. формулу A4.18)].
Сравнивая уравнение Бесселя A4.8) с уравнением C5.12), видим,
что роль коэффициента g в анализируемом случае выполняет коэф-
коэффициент C. Следовательно, по аналогии с формулой A4.18) реше-
решение уравнения C5.12) можно записать в виде
Я^В^НЯФг). C5.14)
С учетом формулы C5.10) продольная составляющая поля
Ёг = {Almcos(m<p) + Агт sin(/пФ)} В1жЯ«>фг)- C5.15)
Суммарное поле, существующее в пространстве, складывается из
поля падающей плоской волны и вторичного поля Е2> возникшего
в результате существования металлического цилиндра.
Поле падающей плоской волны Ёгп, распространяющейся в сторону
отрицательных значений оси х, можно выразить в обычной форме:
?,„ = ?,пое'р*. C5.16)
В цилиндрической системе координат x^rcoscp. Следовательно,
?,п = ?,пое/ргсовф. C5.17)
В такой записи зависимость от угла ср в падающей волне выра-
выражается четным законом (cos <p). Сохраняя тот же характер зависи-
зависимости во вторичном поле Ёг, положим Л2/и = 0. Тогда вторичное
поле следует записать следующим образом:
?, = C^/«>0r)cos(m<p)f C5.18)
где
^т — Aim "ют-
Выражение C5.18) представляет собой одну гармонику вторич-
вторичного поля. Суммарное вторичное поле Ёг% получается путем сло-
сложения всех гармоник:
00
Е*г = S СтН\фг) cos(/пф). C5.19)
т = 0
Таким образом, в пространстве существуют поле падающей вол-
волны, определяемое выражением C5.17), и суммарное вторичное поле
ЁгХ-
Складывая эти поля, найдем общее поле, существующее в про-
пространстве с учетом влияния металлического цилиндра:
К обш- 4пОе/Рг cosф + S cnflm Фг) со$ (тФ). C5.20)
т = 0
309

В соответствии с граничными условиями у поверхности идеаль-
идеального металла при г = г0 выполняется равенство
00
?znoe/j3r°COS(p+ 2 СтН(^фг0) cos (тер) = 0. C5.21)
В теории функций Бесселя [8] доказывается справедливость
соотношения
00
е/Р'о cos ф = jq фГо) +22 (/у» Jm фг0) cos (тф). C5.22)
т= 1
Здесь /0 (Рго)—функция Бесселя первого рода нулевого порядка:
Jm{$r0)—функция Бесселя первого рода порядка т.
Подставляя выражение C5.22) в равенство C5.21), получаем
00
?гшЛ (Р'о) + ?гш> 2 2 (/)•" Jm фг0) cos (тф) +
т=1
+ 2 СтЯ«} (Рг0) cos (тФ) -0. C5.23)
Используем условия ортогональности тригонометрических функ-
функций:
\ cos (тш)
cos
0 (при тфп),
я (при т = п).
Умножая выражение C5.23) на cos(пц)dtp (п = 0, 1, 2, ...), ин-
интегрируя в пределах от —п до я и используя условия ортогональ-
ортогональности функций, получаем соотношения:
/. (К) + С„#<?> (Рг0) = О,
из которых можно определить амплитудные коэффициенты:
г» р Jo (Р^о)
° (Р f mr, C5.24)
Lm-
Знание амплитудных коэффициентов позволяет определить с по-
помощью формул C5.19), C5.24) суммарное вторичное поле Ez^\
2 (/)-^l^ я<» (Pr)cos(m9)| ..
C5.25)
На основании полученного выражения можно построить диа-
диаграмму направленности суммарного вторичного поля Ez^ в зависи-
мости от угла ф и значении pro = -«-ro.
310

Знание суммарного электрического поля позволяет определить
с помощью уравнений Максвелла суммарное магнитное поле. Гра-
Граничные условия у поверхности идеального металла дают возмож-
возможность отыскать токи на поверхности цилиндра, вызванные падаю-
падающей плоской волной.
§ 35.3. Первая и вторая граничные задачи электродинамики
и соответствующие им теоремы. Теорема эквивалентности
В ряде электродинамических задач возникает следующая ситуа-
ситуация: известны плотности сторонних электрического и магнитного
токов J3 и JM, которые создают электромагнитное поле. Это поле
распространяется среди каких-либо граничных поверхностей, кото-
которые приводят к изменению поля, созданного сторонними токами.
Требуется определить суммарное поле с учетом влияния граничных
поверхностей.
Задача может быть решена, если каким-либо образом удалось
определить тангенциальные составляющие электрического и магнит-
магнитного полей у граничных поверхностей. Отыскание суммарного поля
базируется при этом на так называемой теореме эквивалентности.
Эта теорема суммирует результаты двух теорем: 1) теоремы, соот-
соответствующей первой внешней граничной задаче электродинамики;
2) теоремы, соответствующей второй внешней граничной задаче
электродинамики.
Первая внешняя граничная задача электродинамики сводится к
определению поля Ё, Н в объеме V2, ограниченном изнутри неко-
некоторой замкнутой поверхностью S^, окружающей объем Vt (рис. 35.2),
по заданным значениям тангенциальной составляющей электриче-
электрического поля EiT на поверхности S^ При этом предполагается, что
все сторонние источники поля сосредоточены внутри объема Уг или
на поверхности Sj, являющейся частью объема V{. Сторонние
источники поля в объеме V2 отсутствуют.
Теорему, соответствующую этой задаче, можно сформулировать
следующим образом. Поле Ё, Н, существующее в объеме V2, экви-
эквивалентно полю, возбужденному поверхностными магнитными то-
токами, протекающими по поверхности S^, при условии, что связь
плотности этих токов vM с заданной на S^ тангенциальной состав-
составляющей поля Eit определяется граничным усло-
условием у поверхности идеального металла (8.21): у2
или иначе
C5.26)
" _ °t
Здесь Ён—тангенциальная составляющая век-
вектора напряженности электрического поля у по- Рис. 35.2
311

верхности Sx; lnf—единичный нормальный вектор к поверхности Sif
направленный в сторону объема V2.
Доказательство этой теоремы довольно простое. Оно основано
на теореме единственности. Решение уравнений Максвелла единст-
единственно, если оно удовлетворяет условиям излучения на бесконечно-
бесконечности и задана тангенциальная составляющая электрического или
магнитного поля на поверхности S^.
Так как в объеме V2 нет сторонних источников тока, то усло-
условия излучения удовлетворяются. Поскольку заданная тангенциаль-
тангенциальная составляющая EiT совпадает по условиям теоремы с танген-
тангенциальной составляющей, созданной током с плотностью vM, поле в
объеме V2, созданное сторонними токами, находящимися в объеме Viy
будет совпадать на основании теоремы единственности с полем,
созданным магнитным током с плотностью vM. Таким образом, пер-
первую теорему можно считать доказанной.
Вторая внешняя граничная задача электродинамики сводится к
определению поля Ё, Н в объеме V2, ограниченном изнутри замк-
замкнутой поверхностью Sj, окружающей объем V19 по заданным зна-
значениям тангенциальной составляющей магнитного поля HiT на
поверхности S*. При этом предполагается, что все сторонние источ-
источники поля сосредоточены внутри объема Vt или на поверхности Sj,
являющейся частью объема Vx. Сторонние источники поля в объеме
V2 отсутствуют.
Этой задаче соответствует вторая теорема, формулируемая таким
образом. Поле Ё, Н, существующее в объеме 1/2, эквивалентно
полю, возбужденному поверхностными электрическими токами, про-
протекающими по поверхности Sx, при условии, что связь плотности
этих токов хэ с заданной тангенциальной составляющей поля HiT
определяется граничным условием у поверхности идеального металла
Определяя из этого условия плотность поверхностного электри-
электрического тока va, получим формулу
v.= [lBf'-'u], C5.27)
где Нк —тангенциальная составляющая вектора напряженности
магнитного поля у поверхности Sx.
Нетрудно видеть, что вторую теорему можно получить из пер-
первой путем применения принципа перестановочной двойственности.
Надобность в ее доказательстве отпадает, поскольку оно прово-
проводится аналогично.
Теорема эквивалентности, представляющая собой суперпозицию
первой и второй теорем, формулируется следующим образом. Поле
Ё, Н, существующее в объеме F2, ограниченном изнутри замкнутой
поверхностью S^ с заданными на этой поверхности тангенциальными
составляющими электрического и магнитного полей EiTHiT, совпа-
совпадает с полем, возбужденным поверхностными магнитным и электри-
312

ческим токами, протекающими по идеально проводящей поверхно-
поверхности Sj, при условии, что эти токи связаны с заданными значениями
тангенциальных составляющих полей граничными условиями
C5.26), C5.27) у поверхности идеального металла.
Теорема эквивалентности позволяет решить задачу об определе-
определении суммарного поля, возникающего в результате существования
сторонних токоз и поверхностей S^ в рассматриваемой части про-
пространства.
Это суммарное поле представляет собой суперпозицию полей,
созданных сторонними токами 3ВУ JM, и полей, возникающих под
действием поверхностных токов v3 и vM на поверхностях 5Г Прин-
Принципиальная трудность решения задачи заключается в определении
векторов Ej; и Н^ у граничных поверхностей.
§ 35.4. Определение суммарного поля, создаваемого
сторонними токами в случае присутствия в рассматриваемой
части пространства дополнительных поверхностей.
Формулы типа Гюйгенса — Кирхгофа
Как указывалось в § 35.3, суммарное поле является суперпози-
суперпозицией полей, созданных сторонними токами J3, jM, и полей, возни-
возникающих под действием поверхностных токов v3 и vM, протекающих
в соответствии с теоремой эквивалентности по идеально проводя-
проводящим поверхностям Sx, совпадающим с реальными поверхностями в
пространстве. Векторные потенциалы, создаваемые токами j3 и JM,
определяют с помощью формул B8.46), B8.48):
Vx
м 4я J M /*
Суммарные векторные потенциалы выражаются соотношениями:
. ~ м /Г • e~/vr Г • e~/vr \
Aas = ^( J3^dK+ v9 ^—dS), . C5.28)
C5.29)
V7* St
313

Плотности токов J3, JM являются заданными. В соответствии с
формулами C5.26), C5.27) для определения плотностей поверхностных
токов v9 и vM необходимо знать электромагнитное поле у поверх-
поверхностей Si, что возможно, если поставленная задача решена и рас-
распределение поля в пространстве известно. В этом и заключается
главная сложность задачи.
Если удалось определить суммарные векторные потенциалы
АЭ2 и Ам2, то значения векторов поля Ё и Н можно найти из ранее
выведенных соотношений B7.11), B7.21), B7.25), B7.26).
Поля, возникающие в результате совместного действия электри-
электрических и магнитных токов, можно получить с помощью принципа
суперпозиции. В итоге получаются соотношения вида B7.28), B7.29).
Представляет интерес отыскание соотношений, непосредственно
связывающих поля Н^, Е^ со сторонними токами. Для этой цели
в выражения B7.28), B7.29) необходимо подставить значения век-
горных потенциалов из формул C5.28), C5.29). При осуществлении
дифференциальных операций следует помнить, что дифференцирова-
дифференцирование осуществляется в координатах точки наблюдения, от которых
не зависят векторы J3, JM, v3, vM. В результате получаются сле-
следующие соотношения:
+ —I— ( grad div (vM -^-^) dS —
^dS. C5.30)
V»
Аналогично можно получить формулу для
j
/С08а4я
J
Щ ^-dS. C5.31)
314

Умножая и деля два первых и последних члена правой части
выражения C5.30) на /co|ia, используя обозначение со2р,аеа = 72
и группируя члены, находим выражение для поля Н^>
Hz = -J— Г W rot (j9 i^
+ grad div
| {/№^аrot (v8^-J + graddiv (^vM^J
/cofia4jx
+ у2^м?^!11^5# C5.32)
Формула C5.31) для электрического поля Ё2 может быть полу-
получена из формулы C5.30) для магнитного поля Н2 путем примене-
применения принципа перестановочной двойственности. В силу этого
Ё^ можно определить из формулы C5.32) с помощью перестановок
вида
г^а а* 2 ^' э м> э м*
После осуществления перестановок получаем
Ух
-grad div (v8l^l)- Y49l^!ljdS# C5.33)
Таким образом, если известны плотности сторонних токов и
плотности поверхностных токов на поверхностях, существующих в
рассматриваемой части пространства, то задача определения векто-
векторов поля в любой точке этого пространства может быть принци-
принципиально решена с помощью выражений C5.32), C5.33) Основная
сложность заключается в определении плотностей поверхностных
токов.
Как указывалось, плотности токов v8, vM связаны с векторами
поля у поверхностей EiT, HiT соотношениями C5.27) и C5.26).
315

Подставим эти соотношения в формулы C5.32), C5.33):
Н — 1
/соAа4я
-f grad div ( JM
1
graddiv
, C5.34)
1
/соеа4л;
— grad div
f |/coearot(jM-^—j —
-grad div
- Т2
C5.35)
Полученные выражения позволяют определить электромагнитное
поле в любой точке пространства в случае, если известно его зна-
значение у поверхностей Sx. В § 35.5 дается пример возможного при-
применения выведенных формул.
§ 35.5. Дифракция плоских волн на отверстии в бесконечно
протяженном идеально проводящем экране
Допустим, что плоская волна падает на бесконечно протяжен-
протяженный плоский металлический экран, в котором сделано прямоуголь-
прямоугольное отверстие. Пусть вектор Пойнтинга плоской волны перпенди-
перпендикулярен плоскости экрана, как показано на рис. 35.3.
Так как экран предполагается идеально проводящим, танген-
тангенциальная составляющая электрического поля у его поверхности
должна быть равна нулю. Поэтому по
всей поверхности экрана, за исключе-
исключением отверстия, векторное произведе-
произведение [Ё iTlnl] в формулах C5.34) и C5.35)
следует принять равным нулю.
Плоская волна, падающая на отвер-
отверстие в экране, вызывает появление тан-
тангенциальной составляющей магнитного
поля у поверхности экрана, со стороны
объема V2. Однако, как показывает бо-
более строгое рассмотрение вопроса, эта
составляющая магнитного поля за пре-
Рис. 35.3 делами отверстия будет малой. Вслед-
316

ствие этого можно сделать допущение, что и векторное произве-
произведение [lnlHiT] за пределами отверстия у поверхности.экрана можно
считать равным нулю.
Далее предположим, что поле в отверстии такое же, как у па-
падающей плоской волны. Примем поляризацию падающего поля
такой, при которой оно содержит составляющие Ev и Нг Тогда
решаемую дифракционную задачу можно сформулировать таким
образом.
Все источники поля находятся в объеме V^. В объеме V2 источ-
источников поля нет. В пределах площади отверстия в экране заданы
тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей
Ёд. и Нг За пределами отверстия тангенциальные составляющие
электрического и магнитного полей равны нулю. Требуется опре-
определить электромагнитное поле в объеме 1/2.
Решая задачу для объема V2 с помощью формул C5.32), C5.33),
плотности токов J3 и JM следует положить в этом объеме равными
нулю, в силу чего объемные интегралы в указанных выражениях
исчезнут.
Поверхностные интегралы сохранятся. Плотности поверхностных
токов необходимо найти с помощью соотношений C5.26), C5.27):
v9=[к А] - [1А1=-1 А- <35-37)
Интегрирование в поверхностных интегралах следует проводить
в пределах площади отверстия, так как за его пределами поверх-
поверхностных токов нет.
С учетом сказанного формулы C5.32), C5.33) приобретают
такой вид:
l
•So
—Ugrad div {[Exl,]?^}-imt[?xl,]?^-)dS, C5.38)
—Waddiv {[Hylt]^\+j^[Hy\t]^)dS. C5-39)
В этих выражениях So—площадь отверстия. Заданным является
поле падающей плоской волны Ёх, Ну.
Поверхностные интегралы в выражениях C5.38), C5.39) можно
вычислить с требуемой степенью точности, однако решение будет
317

приближенным, поскольку оно не учитывает «затекание» поверх-
поверхностных токов за пределы площади отверстия.
Подобный подход к задачам дифракции в электродинамике
используют довольно часто. Таким образом, можно, например, найти
поле, излучаемое открытым концом прямоугольного или круглого
волновода, или поле рупорной антенны. Задача сводится к вычис-
вычислению поверхностных интегралов по площади поперечного сечения
волноводов или рупоров. При этом полагают, что поле в волново-
волноводах или рупорах такое же, и в волноводах или рупорах бесконеч-
бесконечной протяженности. «Затекание» поверхностных токов на внешние
стенки волноводов и рупоров при этом не учитывается, так же как
не учитывается изменение поля в раскрыве волноводов или рупоров
по сравнению с полем, существующем в этих системах в случае их
бесконечной протяженности.
Поскольку в формулах C5.34), C5.35) искомое поле входит в
левую и правую интегральную части, в ряде случаев задачу можно
свести к решению интегральных уравнений [9]. При этом теорети-
теоретически задача решается точно, однако практически решение точных
интегральных уравнений возможно выполнить только приближен-
приближенными, численными методами.
ГЛАВА 36
ПРИНЦИП ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
§ 36.1. Постановка вопроса
В электродинамике так же, как и в других отраслях науки и
техники, широко используют моделирование. Задача создания
антенного устройства, работающего в длинноволновом диапазоне и
имеющего огромные размеры, может быть значительно облегчена
путем проведения экспериментов на модели, работающей в диапа-
диапазоне высоких частот и обладающей в силу этого малыми габари-
габаритами. При исследовании миллиметровых и субмиллиметровых волн
возникает обратная проблема. При этом эксперимент целесообразно
перенести в область более длинных волн, чтобы увеличить размеры
устройства, с помощью которого проводится эксперимент.
Бывают случаи, когда реальная система должна работать в
среде с параметрами, которые трудно воспроизвести в лаборатор-
лабораторных условиях. Возникает вопрос, нельзя ли поставить эксперимент
в лаборатории таким образом, чтобы он правильно отображал
работу системы в реальных условиях.
Задачей настоящей главы является установление принципа, при
соблюдении которого эксперимент, проведенный в одних условиях,
правильно отображает работу системы в других условиях. Этот
принцип называют принципом электродинамического подобия.
318

§ 36.2. Математические условия электродинамического
подобия
Запишем уравнения Максвелла для мгновенных значений и
векторов поля [см. уравнения B.5), B.6)]:
rotH = J9 + y9E + Ч-щ г
rotE = — JM — 7МН— \1&ж.
Для записи этих уравнений в безразмерной форме необходимо
выделить безразмерные величины единичной амплитуды, определяю-
определяющие функциональную зависимость от координат и времени, а также
величины, несущие в себе размерность и масштаб.
Представим величины, входящие в уравнения Максвелла, в
форме:
H = piai. E^P2a2> Je = Ms. ^ = 04*4.1
C6.1)
Здесь а^, а2, а3, а4 — безразмерные векторы единичной ампли-
амплитуды, определяющие функциональную зависимость векторов поля и
сторонних токов от безразмерных координат и времени; а5, аб, #7,
а8—безразмерные скаляры единичной амплитуды, определяющие
функциональную зависимость удельных электрической и магнитной
проводимостей, а также абсолютных диэлектрической и магнитной
проницаемостей от безразмерных координат (в случае неоднородной
среды) и векторов поля (в случае нелинейной среды); а9, а10—без-
а10—безразмерные скаляры единичной амплитуды, определяющие длину и
время в дифференциальных операторах уравнений B.5), B.6);
Pi—Рю—масштабные коэффициенты, имеющие следующие единицы
измерения:
Pi—А/м; C2 — В/м; C3 —А/м2; |34 — В/м2; Р5— См-м; рв —Ф/м;
Р7—Ом/м; р8 —Гн/м; Р9—м; |310 — с.
Подставим выражения C6.1) в уравнения B.5), B.6):
|i ^^ C6.2)
^^. C6.3)
Разделим уравнение C6.2) на рх, уравнение C6.3) — на Р2 и
умножим оба уравнения на |39:
о' C6'4)
—. (db.5)
319

Уравнения C6.7) и C6.8) являются безразмерными. С их по-
помощью можно описать различные электродинамические задачи.
Допустим, что имеются две электродинамические задачи и соот-
соответственно две группы уравнений, описывающих эти задачи. Если
коэффициенты С с одинаковыми индексами в двух группах уравне-
уравнений одинаковы, то уравнения будут идентичными. Однако иден-
идентичность уравнений не означает идентичность электродинамических
задач. Идентичность задач возникает в том случае, когда коэффи-
коэффициенты C с одинаковыми индексами, а также коэффициенты аь, ав,
а7, а% двух задач равны друг другу. Идентичность уравнений тре-
требует равенства коэффициентов С, что может быть достигнуто при
различных значениях коэффициентов р и ав первой и второй зада-
задачах. Если созданы условия, при которых коэффициенты С двух
задач одинаковы при различных значениях коэффициентов р и а,
то говорят, что электродинамические задачи подобны, т. е. описы-
описываются одними и теми же безразмерными уравнениями Максвелла.
Обозначая коэффициенты, относящиеся к первой задаче, одним
штрихом, а коэффициенты, относящиеся ко второй задаче,— двумя
штрихами, можно записать требование идентичности двух электро-
электродинамических задач
* ^V, II V i, **, ^, • • • > V-f.
Равенства C6.10) представляют собой математическое выраж
ние принципа электродинамического подобия.
В приложении V даны примеры использования принципа электро-
электродинамического подобия.
32Q

ГЛАВА 37
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
§ 37.1. Постановка вопроса
Процессы взаимодействия электронов и электронных пучков
с электромагнитным полем занимают особое место в теории электро-
электромагнитного поля. На законах такого взаимодействия основана работа
современных электронных устройств. Круг вопросов, подлежащих
рассмотрению при изучении процессов взаимодействия, может соста-
составить содержание нескольких специальных курсов. В рамках курса
«Основы электродинамики» невозможно достаточно осветить эти
вопросы. Поэтому в настоящей главе ограничимся изложением
основных положений взаимодействия электронов с электромагнитным
полем, что можно рассматривать как введение в специальные курсы.
§ 37.2. Движение электрона в электромагнитном поле
В соответствии с законом Кулона A.1) и определением вектора
напряженности электрического поля Е силу, которая действует на
электрон со стороны электрического поля, можно выразить соот-
соотношением
F9 = eE, - C7.1)
где F9 — вектор силы, действующей на электрон со стороны элект-
электрического поля; е—заряд электрона, равный 1,60-10~19 Кл; Е—•
вектор напряженности электрического поля.
Действие магнитного поля характеризуется соотношением A.56),
которое применительно к рассматриваемому случаю, записывается в
виде
FM = e[vB], C7.2)
где FM— вектор силы, действующей на электрон со стороны маг-
магнитного поля; v — вектор скорости движения электрона; В — вектор
магнитной индукции.
Суммарная сила Fe, действующая на электрон, равна произве-
произведению массы на ускорение:
Fe=lFm^t C7.3)
где т — масса электрона, равная 9,108-10~31 кг; d*r/dt2—вторая про-
производная пути г по времени tf или ускорение.
Можно написать, что
Fe=F, + FM = *E+e[vB]. C7.4)
Сравнивая выражения C7.3) и C7.4), получаем
11 № 644 321

Выражение C7.5) позволяет определить характер движения
электрона в различных случаях. Рассмотрим некоторые из них.
Движение электрона в электрическом поле. В отсутствие магнит-
магнитного поля на основании соотношений B7.13), B7.11)
Е = —gradi/9. C7.6)
Следовательно, выражение C7.5) можно переписать следующим
образом:
Так как
dr/dt = v и dr = vdt>
уравнение C7.7) может быть записано в виде
Ш*Ш т v
Интегрируя это уравнение, получаем
или, учитывая, что электрон несет отрицательный заряд,—
?—*Ф~-е[У.-им). C7.8)
Если начальные значения и0 и ?/э0 равны нулю, то выраже-
выражение C7.8) приводит к известному соотношению
J<V C7.9)
Движение электрона в магнитном поле. В отсутствие электри-
электрического поля на основании выражения C7.2)
FM = evB sin а, C7.10)
где а—угол между направлениями векторов v и В.
Пусть магнитное, поле ориентировано вдоль оси г. Тогда Вх —
г=Ву = 0 и уравнение C7.5) записывается в виде
C7Л1)
Развернем выражения для 1/=-^ и v:
* dt у dt ^ dt

Подставим полученные выражения в уравнение C7.11):
dt2 "" m ' dt z>
d*l___± dx R
dt2 ~~~ m dt *'
d4___
dt2 ~ U*
C7.12)
Решение этих уравнений не представляет затруднений. Положив
начальную скорость движения электрона v0 и приняв ее направле-
направление таким, при котором угол с осью г равен а и угол проекции
этой скорости на плоскость %, у с осью х равен C, напишем реше-
решение системы уравнений C7.12):
C7.13)
= i>0/cosa.
Правильность написанных решений легко подтвердить подста-
подстановкой их в систему уравнений C7.12). В плоскости х, у электрон
движется по окружности, что может быть показано путем сложе-
сложения возведенных в квадрат выражений для хну:
C7.14)
Движение по оси z в соответствии с последним уравнением
системы C7.13) является поступательным, происходящим со скоростью
i>0cosa. В целом электрон под действием магнитного поля движется
по винтовой линии, вращаясь вокруг оси z и двигаясь поступа-
поступательно вдоль нее. Из выражений C7.13) следует, что угловая час-
частота сог вращения электрона вокруг оси z
со,
C7.15)
Движение электрона в однородном электромагнитном поле. Раз-
Разберем простейший случай, когда электрическое и магнитное поля
взаимно перпендикулярны. Допустим, что В = Вг, Е = Е^ и Еу =
= Ег= Вх= Ву = 0. Пусть в начальный момент времени электрон
пересекает начало координат со скоростью v0, направленной нор-
нормально к полю Bz. Уравнения, определяющие движение электрона,
на основании выражения C7.5) записывают в виде
C7.16)
dt2
d2y
IF
dh
dt1
e
m
= —
-0.
Ex
e
m
dy
dt '
11*
323

В результате интегрирования уравнений C7.16) получаем
C7.17)
^ Ех +^%) {1 -
где vox, vOy —проекции скорости v0 соответственно на оси хну.
Исключая тригонометрические функции из выражений C7.17),
получаем уравнение траектории электрона:
(х~-А? + {у — By = R\ C7.18)
где
л 1
LEJ)y . C7.19)
2 1 (mvl , mvQy
r>2 ^ L ffLU0
Таким образом, воздействие на электрон взаимно перпендику-
перпендикулярных электрического и магнитного полей приводит к уравнению
траектории C7.18), которая описывается точкой на окружности
радиуса R. Центр этой окружности перемещается прямолинейно и
равномерно по прямой, находящейся на расстоянии А от оси у и
ориентированной параллельно этой оси. Скорость перемещения
центра равна Ex/Bz.
§ 37.3. Фиктивный угол пролета электронов
Во многих электронных устройствах электрон, излученный като-
катодом, направляется под действием поля ко второму электроду. Очень
важно знать время пролета электрона между электродами. Обычно
существенно не абсолютное значение этого времени, а его отноше-
отношение к периоду колебаний. В связи с этим вводят понятие угла
пролета электронов 6:
где ^Пр— время пролета электрона между электродами; Т — период
колебаний напряжения между электродами.
Поскольку электроны обладают различными скоростями, время
пролета каждого электрона различно. Чтобы внести некоторую опре-
определенность в понятие угла пролета, его заменяют фиктивным углом
пролета, который определяют так же, как и угол пролета, но на-
напряжение между электродами принимают постоянным, равным апли-
тудному значению переменного напряжения. Определим величину
фиктивного угла пролета. Полагая в выражении C7.5) вектор В
324

равным нулю, получаем следующее уравнение движения электрона:
dt2 ~~ т п'
Если поле однородное и расстояние между электродами равно d, то
и уравнение движения электрона записывается в виде
Считая скорость электрона в начальный момент времени равной
нулю и располагая начало координат в плоскости катода, получаем
r__eU± ?_
md ' 2 f
откуда фиктивное время пролета при r = d
Фиктивный угол пролета
9ф = 2я^ = ^ /Ц. C7.22)
Подставляя значение массы и заряда электрона, имеем
% = C7-23)
Здесь Вф—фиктивный угол пролета электрона, град.; f—частота
колебаний напряжения, приложенного между электродами, мГц;
d — расстояние между электродами, см; U9 — напряжение между
электродами, В.
Выражение C7.23) является расчетным для определения фиктив-
фиктивного угла пролета.
§ 37.4. Полный токг возникающий между электродами
При расчете электронных устройств необходимо знать величину
полного тока, возникающего между электродами в случае пролета
электронов между ними. Этот ток можно найти из следующих сооб-
соображений. Перемещение заряда между электродами сопровождается
затратой мощности, равной произведению силы, приложенной к за-
заряду, на скорость перемещения заряда:
P = FBv. C7.24)
С другой стороны, эта мощность равна произведению напряже-
напряжения, приложенного к электродам, на величину тока в цепи элект-
325

родов:
Р = иъ1э. C7.25)
Приравнивая значения мощностей, находим
F9v=U9I9. C7.26)
Подставляя в последнее выражение значение силы F9 из C7.1)
и полагая поле между электродами однородным, при котором
где U9 — напряжение на электродах; d—расстояние между электро-
электродами, можно написать уравнение C7.26) в виде
/. = ?• C7.27)
Полученное значение тока, возникающего в цепи двух электро-
электродов при пролете между ними заряда е> представляет собой ток, кото-
который летящий заряд наводит в этих электродах. В силу этого этот
ток называют наведенным. Так обстоит дело в случае, если частота
мала и можно пренебречь током смещения между электродами.
Если же частота велика, то к наведенному току следует прибавить
ток смещения, плотность которого ~
с~~ dt — 8° dt ' '
Чтобы получить плотность наведенного тока, следует разделить
ток, найденный из выражения C7.27), на площадь электродов
Произведение S-d представляет собой объем, заключенный между
электродами, а частное от деления заряда на этот объем—объемную
плотность зарядов рэ. Тогда плотность наведенного тока
h=lnP*v. C7.28)
Плотность суммарного тока J2 равна сумме плотностей наве-
наведенного тока и тока смещения:
JE = J*+Jc=InPst> + e0§. C7.29)
Этот суммарный ток и следует принимать в расчет при анализе
электронных приборов на сверхвысоких частотах.
§ 37.5. Взаимодействие между электронным потоком
и электрическим полем
Работа ряда электронных устройств, например ламп бегущей
волны, основана на принципе взаимодействия электронных пучков
с электромагнитными полями. Для понимания работы подобных
устройств необходимо представлять характер этого взаимодействия.
326

Прежде всего рассмотрим случай, когда на электронный поток
в виде некоторого пучка конечного сечения действует внешнее поле
Ez\ ориентированное вдоль этого пучка. Пусть ось пучка электро-
электронов совпадает с осью z декартовой системы координат. Допустим,
что скорость электронов в пучке складывается из некоторой по-
постоянной составляющей v0 и некоторой переменной составляющей
v (г, t), являющейся функцией координаты z и времени t:
, t). C7.30)
На основании уравнения движения C7.3) можно написать урав-
уравнение движения электронов в пучке для данного случая:
где т — масса электрона; d2z/dt2—ускорение; е—заряд электрона;
Ez — продольная составляющая напряженность электрического поля,
действующего на пучок в соответствии с условиями анализируемой
задачи.
Учитывая, что ускорение является первой производной скорости
по времени, можно записать это уравнение в виде
m±{vo + v(z,t)} = eEg. C7.31)
Пока неизвестно, как будет изменяться плотность объемных
зарядов в электронном пучке под действием внешнего электричес-
электрического поля. В силу этого запишем плотность объемных зарядов в виде
некоторой постоянной составляющей р0 и некоторой переменной
составляющей р (г, /), являющейся функцией координаты г и вре-
времени t:
, t). C7.32)
Плотность тока в пучке J3n равна произведению плотности объ-
объемных зарядов р на вектор скорости движения этих зарядов v:
Подставляя в последнее выражение значение скорости и плот-
плотности из формул C7.30) и C7.32), получим плотность тока, кото-
которая также будет состоять из некоторой постоянной составляющей
Jo и переменной составляющей Jn(z, t):
, 0}, C7.33)
где
Jo = PoVo. C7.34)
Далее используем еще одну зависимость, связывающую плот-
плотность тока в пучке с плотностью объемных зарядов. Эта зависи-
зависимость, называемая уравнением непрерывности, была установлена
соотношением B.10). Применительно к рассматриваемому случаю
327

это соотношение следует записать в форме
divJen Ф8П/Л. C7.35)
Уравнение непрерывности может быть записано в виде
^ .*)}¦ C7.36)
Уравнения C7.31), C7.33) и C7.36) являются системой урав-
уравнений, связывающих между собой поле, скорость, плотность объем-
объемных зарядов и плотность тока в пучке. С помощью этой системы
можно связать одним уравнением любые две функции из указан-
указанных четырех. С этой целью запишем эти уравнения для комплекс-
комплексных амплитуд, что значительно облегчит решение. Начнем с урав-
уравнения C7.31). Проводя дифференцирование скорости по времени,
следует учесть, что производная от постоянной составляющей ско-
скорости v0 равна нулю. Переменную составляющую скорости следует
дифференцировать как сложную функцию:
dv(z, t) _dv(z, t) dz dv (z, t)
dt ~~ dz ' dt + dt '
Так как производная dz/dt = v = vo + v(г, t) и дифференцирова-
дифференцирование по времени в случае комплексных амплитуд эквивалентно
умножению на /со, из уравнения C7.31) получаем
F0 + v)? + jm = ?Ez. C7.37)
Здесь v—комплексная амплитуда переменной составляющей ско-
скорости; Ё2 — комплексная амплитуда продольной составляющей напря-
напряженности электрического поля.
Используя уравнение C7.33), получим соотношение для комп-
комплексной амплитуды переменной составляющей плотности тока:
C7.38)
где Уп — комплексная амплитуда переменной составляющей плотности
тока.
Далее перейдем к последнему уравнению C7.36). Как известно,
в декартовой" системе координат f
В рассматриваемой задаче пучок ориентирован вдоль оси г,
поэтому в приведенном выражении необходимо учитывать только
составляющую jnz. Производная по времени от постоянной состав-
составляющей плотности объемного заряда р0 равна нулю. Тогда урав-
уравнение C7.36) для комплексных амплитуд запишется в виде
dJjdz = — /cop, C7.39)

где р—комплексная амплитуда переменной составляющей плот-
плотности объемного заряда в пучке.
Уравнения для комплексных амплитуд C7.37), C7.38) и C7.39)
представляют собой систему нелинейных уравнений, решение кото-
которых довольно сложно. Для упрощения задачи положим, что име-
имеются малые изменения скорости и плотности объемного заряда по
сравнению с их постоянными составляющими. Это может быть вы-
выражено неравенствами
\v\<\vQ\ и |р|<|Ро|.
В этом случае система нелинейных уравнений C7.37), C7.38)
переходит в систему линейных уравнений:
? . C7.40)
. - C7.4I)
Уравнение C7.39) записывается без изменений.
Выведем из этой системы уравнений одно уравнение, связываю-
связывающее между собой напряженность электрического поля Ё2 и плот-
плотность тока в пучке Jn2. Для этого прежде всего найдем из урав-
уравнения C7.39) комплексную амплитуду плотности объемного заряда:
Подставим найденное значение р в уравнение C7.41):
J^~' /со dz +Р°У>
Далее определим из последнего уравнения комплексную ампли-
амплитуду скорости v:
nz l /со dz J
Подставим найденное значение v в уравнение C7.40):
v0 d4nz\.j(o(-r ,b0 djnz
j;-j^'4z^J^~^v^^/со т-ч
Сгруппировав члены, получим
^о d2Jnz , о v0 djnz /со j __ е р
Это уравнение связывает плотность тока в электронном пучке
с напряженностью электрического поля, действующего на пучок.
Для дальнейшего анализа процесса необходимо задаться электри-
электрическим полем, действующим на пучок, или установить еще одну
329

связь между полем и пучком, с тем чтобы, получив еще одно урав-
уравнение, решить его совместно с уравнением C7.43). Допустим, что
в некоторой электродинамической системе, пока не определяемой
конкретно, действует пучок электронов, который будем рассматри-
рассматривать как некоторый сторонний возбуждающий ток.
§ 37.6. Возбуждение поля электронным пучком
Пусть электронный пучок, ориентированный вдоль оси z в де-
декартовой системе координат, проходит в среде, лишенной проводи-
проводимости. В основу расчета положим уравнения Максвелла для комп-
комплексных амплитуд B.12) и B.13), приняв /м = 0:
rot Н = J3 + /co8aE,
rot Ё = — /
(среда непроводящая, поэтому вместо еа(д,а взяты еа и |ла).
Из этих уравнений получаются следующие соотношения:
rot rot Ё = — /со|ла rot H,
rot rot Ё = 0J|1а8аЁ—/Oj
Поскольку co2(ia8a = P2,
rotrot Ё = р2Ё —/с
Используя векторное тождество
rot rot Ё = grad div Ё —V2E,
получаем
E E div Ё + /со(лаЛэ. C7.44)
В исследуемой задаче роль плотности стороннего электрического
тока играет плотность тока в электронном пучке Jnz. С учетом
этого уравнение C7.44) следует записать в виде
V2E + Р2Е = grad div Ё + /со(лаjn0. C7.45)
Для определения дивергенции вектора Ё используем уравне-
уравнение B.14):
div(eaE) = pe,
которое в рассматриваемом случае может быть записано в виде
. Роль рэ играет плотность объемного заряда в пучке, в силу
чего формулу можно записать следующим образом:
divE = p/ea. C7.46)
330

Значение р определяется формулой C*7.42).
Тогда выражение C7.46) можно записать таким образом:
Подставляя выражение C7.47) в формулу C7.45), получаем
V2E + Р2Ё = - ±- grad ^- + 1щлЛпг. C7.48)
Уравнение C7.48) является исходным уравнением, связывающим
плотность тока в электронном пучке с электрическим полем, воз-
возбуждаемым этим пучком. В предыдущем параграфе была установ-
установлена связь между плотностью тока в пучке и полем Ё2 [(см. урав-
уравнение C7.43)]. Преобразуем уравнение C7.48) так, чтобы получить
из него связь между плотностью тока в пучке и продольной состав-
составляющей электрического поля Ez. Для этого перейдем от вектор-
векторного уравнения к скалярному, составленному для составляющей
поля Ёг. В декартовой системе координат лапласиан равен
где Ёх, Ёуу Ёг—составляющие поля Ё по координатным осям.
Для продольной составляющей поля, ориентированной вдоль оси
г, из этого выражения следует сохранить только члены
дх2 " ду2 ^ дг* '
В декартовой системе координат градиент равен
«л- 4f=«^ (%-')+-»* Ш+-4 (%) •
Ограничиваясь составляющей градиента, ориентированной вдоль
оси г, в этом выражении следует сохранить член
2dz
±(
dz\ dz )~~ l* dz*
Тогда скалярное уравнение для составляющей электрического
поля, ориентированной вдоль оси г, полученное из уравнения C7.48),
будет выглядеть следующим образом:
cfipz d2Fz fJFz i W2 /
4l4f4iiT+Wa^. C7.49)
Далее, следуя методу Фурье, предположим, что составляющая
поля Ёг в общем случае является функцией трех координат: х> у> г.
Запишем это поле в виде произведения трех функций:
331

где X— функция только координаты х, не зависящая от двух дру-
других координат; Y—функция только координаты у, не зависящая"
от двух других координат; Ё2—функция, определяющая зависи-
зависимость поля только от координаты г и не зависящая от координат
хну.
Подставляя последнее выражение в уравнение C7.49) и осуще-
осуществляя дифференцирование, получаем
УЁг U + ХЁ2 ™- + XY дф
Разделив полученное уравнение на произведение трех функций
XVЁг и сгруппировав члены, получим
В левой части этого уравнения первое слагаемое является функ-
функцией только координаты х, второе слагаемое функцией только* коор-
координаты у, а третье слагаемое представляет собой постоянное число.
В правой части первое слагаемое является функцией только коор-
координаты г, а второе и третье слагаемые в общем случае могут
являться функцией всех трех координат. В соответствии с методом
Фурье равенство возможно при условии, что первые два слагаемых
в левой части являются постоянными числами и сумма их также
является постоянным числом. Таким образом, можно написать
X ' дх2 ' Y ' ф2 — & '
где g— некоторое постоянное число, эквивалентное поперечному
волновому числу.
Положив (З2—g2 = /i2, где h — продольное волновое число, получим
Заменяя частную производную на обыкновенную, умножая все
члены этого уравнения на Ёг и группируя их, можно записать
искомое уравнение в окончательном виде:
Из последнего уравнения следует, что сгруппированный по оси г
электронный пучок, т. е. пучок, обладающий второй производной
плотности тока по координате г, приводит к появлению сгруппи-
сгруппированного осевого электрического поля, т. е. пэля, обладающего
332

второй производной по координате г. Наоборот, сгруппированное
осевое электрическое поле приводит к группированию по оси z
электронов в пучке. Исследуя поведение электрического поля вдоль
оси z при неизменных значениях координат х и у, следует учесть,
что функции X и Y при этом являются постоянными величинами
и, следовательно, произведение XY в знаменателе правой части
уравнения C7.50) превращается в постоянный множитель. Положив
\/(XY) = Аху9 получим, вынося за скобки множитель 1/(/соеа), сле-
следующее уравнение, справедливое при заданных, неизменных значе-
значениях х и у:
Совместное решение уравнений C7.43) и C7.51) в конкретном
случае может дать закон изменения электрического поля и плот-
плотности тока в пучке вдоль оси г. Наметим в общих чертах это
решение.
Составление уравнения для плотности тока в пучке не пред-
представляет трудностей. С этой целью определим Ег из уравнения
C7.43):
^z — —^~ * л~г "Г * -— * —JZ- i :
dz Poe
Найдем вторую производную напряженности электрического поля
d2Ez mv0 d^Juz , о Vom dsJuz , /com
Подставим Ё2 из C7.52) и dJ из выражения C7.53) в урав-
уравнение C.7.51):
m'vl d*Juz
Уот dJnz
-• dz- + h*^J»* +
рое az рое
Сгруппируем члены в полученном уравнении:
mv\ d*Jnz о ^om d3Jnz ( /com , h2mv\ . Axy \ <
/cop> dz* poe dz* \ poe /copoe /©ea /
C7.54)
poe u* \ poe /w^a / ""-
Уравнение C7.54) представляет собой дифференциальное урав-
уравнение четвертого порядка с решением вида
jnz = A 1e(ZiZ + А2еа*г + А3еа*г + А 4еа*2. C7.55)
333

Коэффициенты а1э а2, а3, а4 находят путем решения характери-
характеристического уравнения, соответствующего уравнению C7.54). Их
отыскание в конкретных случаях не представляет трудностей. Зная
решение уравнения C7.54) для плотности тока, можно подставить
это решение в уравнение C7.52) и получить выражение для напря-
напряженности электрического поля Ёг. В общем случае это поле содер-
содержит четыре самостоятельные волны, причем некоторые волны могут
быть возрастающими по амплитуде.
Электронный пучок взаимодействует с полем таким образом,
что вызывает увеличение его амплитуды. Происходит процесс уси-
усиления.
Дальнейшее рассмотрение процессов взаимодействия электрон-
электронного пучка с полем связано с исследованием конкретных электрон-
электронных приборов, что выходит за рамки настоящей книги.

ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1.1. Понятие о дивергенции и роторе векторной функции
При рассмотрении задач векторного анализа вводят понятие
об источнике, создающем поле, и о стоке, его поглощающем. В ка-
качестве источника поля в электродинамике можно рассматривать
передающую антенну, в качестве стока — приемную антенну. Интен-
Интенсивность источника или стока поля принято характеризовать мате-
математической операцией, называемой дивергенцией. Формально дивер-
дивергенцию поля вектора а обозначают diva и определяют выражением
§
diva= lim ^7-. (Ы)
Здесь Ф—интеграл по замкнутой малой поверхности AS, окру-
AS
жающей точку, в которой определяется дивергенция; а—вектор,
характеризующий поле; dS = dSln—бесконечно малый элемент по-
поверхности, окружающей точку, умноженный на единичный нор-
нормальный вектор 1П, направленный изнутри замкнутой поверхности
наружу; ДУ—малый объем, охватываемый замкнутой поверхно-
поверхностью Д5.
Путем предельного перехода замкнутая поверхность стягивается
в точку. Таким образом, дивергенция характеризует интенсивность
источнику или стока поля в точке. В числителе выражения A.1)
находится поток вектора а через замкнутую поверхность Д5.
Если вектор а составляет острый угол с единичной нормалью
lw, то скалярное подынтегральное произведение
будет положительным. Векторное поле будет выходить из точки,
в которой определяется дивергенция, и точка явится источником
поля. Дивергенция в этом случае будет положительной скалярной
величиной.
Если вектор а составляет тупой угол с единичной нормалью \пУ
то скалярное подынтегральное выражение будет отрицательным.
Векторное поле будет входить в точку, в которой определяется дивер-
335

tiiv a>o
dtv a=0
rota±0
Рис. 1.1
rotaiO
rota^O
i 1 .
rot a to
I
й1^л. 1
Рис. 1.2
генция, и точка явится стоком поля. Дивергенция при этом будет
отрицательной скалярной величиной.
Если поле отсутствует или суммарный поток вектора а через
замкнутую поверхность AS равен нулю, то дивергенция в данной
точке равна нулю. В точке нет ни источника, ни стока поля.
На рис'. 1.1 даны примеры полей, обладающих положительной,
отрицательной и нулевой дивергенцией.
Помимо дивергенции в векторном анализе для характеристики
поля используют математическую операцию, называемую ротором.
Ротор поля вектора а обозначают rot а и определяют выражением
adl
= lim
§
Л/
A.2)
где rotna — составляющая ротора, ориентированная по направлению
единичной нормали \п к поверхности AS; fpadl — интеграл по ма-
м
лому замкнутому контуру А/, охватывающему малую поверхность AS.
Путем предельного перехода эта поверхность стягивается в точку.
На рис. 1.2 даны примеры полей, когда в двух случаях ротор
поля отличен от нуля, в третьем случае—равен нулю.
§ 1.2. Понятие о градиенте скалярной функции
Поле скалярной функции характеризуется математической опе-
операцией, называемой градиентом. Градиент представляет собой век-
вектор, направленный по нормали к поверхности равного уровня
скалярной функции в сторону возрастания функции и численно
азб

Рис. 1.3
равный скорости изменения функции по это- vi. U^const
му направлению. На рис. 1.3 показаны
поверхности равного уровня в поле скаляр-
скалярной функции U, а также единичный нор-
нормальный вектор 1„, ориентированный в сто-
сторону возрастания функции U. "Скорость
изменения функции по направлению 1„ ха-
характеризуется производной dU/dn, где dn—
бесконечно малое приращение пути по направлению 1п. Градиент
функции U обозначают grad U и записывают в виде общего мате-
математического соотношения
'=?«- . . . (L3>
Таким образом, градиент является математической операцией,
осуществляемой над скалярной функцией, в результате которой
возникает векторная функция.
§ 1.3. Криволинейная ортогональная обобщенная
система координат
При решении электродинамических задач приходится использо-
использовать различные координатные системы. При выводе общих соотно-
соотношений целесообразно записывать их в такой математической форме,
которая была бы пригодна для любой конкретной системы коорди-
координат. При этом необходимым условием является достаточно простой
переход от общих выражений к выражениям, предназначенным для
использования в конкретной системе координат. Этим целям хорошо
служит криволинейная ортогональная обобщенная система коорди-
координат |, т], ?, условно изображенная на рис. 1.4.
Построим на базе этих координат бесконечно малый параллеле-
параллелепипед со сторонами d/g, dl^ dli- Обозначим площади сторон парал-
параллелепипеда: построенную на осях т], ?—dSg, построенную на осях
S, ?—dS^ и построенную на осях ?, v\—dS^ Бесконечно малый
объем параллелепипеда обозначим dV.
Под расстояниями dl\, dln, dl^ будем понимать путь, пройденный
точкой, заданной в системе координат ?, т], ? при изменении коор-
координат соответственно на d\, dx\, dt,. Покажем на примере несколь-
нескольких координатных систем, что этот
путь далеко не всегда будет совпа-
совпадать с приращением координат.
На рис. 1.5 даны три системы ко-
координат: декартова, цилиндрическая
и сферическая. Условимся о поряд-
порядке изображения координатных осей
или направлений. Если координаты
записаны в последовательности х, у>
г, то это означает справедливость
соотношения
DA] = **¦ Рис. 1.4
as,
12
644
337

x,y,z
r,<f,z
у U
Рис. 1.5
Векторное произведение единичного вектора, ориентированного
вдоль оси х, и единичного вектора, ориентированного вдоль оси у>
должно дать единичный вектор, ориентированный вдоль оси г.
Другими словами, правоходовой винт, перемещаемый по кратчай-
кратчайшему направлению от оси х к оси у, должен ввинчиваться по на-
направлению оси г. В силу этого ось z на рис. 1.5 должна быть
направлена вверх, а не вниз.
В случае цилиндрических координат, записанных в последова-
последовательности г, ф, г, аналогично должно соблюдаться соотношение
В случае сферических координат, записанных в последователь-
последовательности г, ф, 9, справедливо соотношение
Вследствие этого угол ф необходимо отсчитывать не от оси х,
а от оси у. Если бы координаты были записаны в последователь-
последовательности г, Э, ф, то потребовалось бы выполнение соотношения
и угол ф следовало бы откладывать от оси х. Если в декартовой
системе координат будут даны приращения координатам dx, dy, dz>
то точка Л, заданная в этих координатах, соответственно пройдет
путь
dlx=ldx, dly=ldyf dlz=ldz. A.4)
Путь, проходимый точкой, окажется равным приращению соот-
соответствующей координаты. Если в цилиндрической системе координат
будут даны приращения координатам dr, d(p, dz, то точка Л, задан-
заданная в этих координатах, переместится на расстояние
dlz=ldz. A.5)
338

При этом путь d/ф не равен приращению криволинейной коор-
координаты ф. Существует коэффициента, связывающий эти приращения.
Если в сферической системе координат будут даны приращения
координатам dr> dtp, d6, то точка Л, заданная в этих координатах,
переместится на расстояние
Опять-таки в случае приращения криволинейных координат ф
и Э путь, проходимый точкой Л, не равен приращениям этих коор-
координат. Таким образом, в общем случае криволинейных ортогональных
обобщенных координат целесообразно ввести коэффициенты между
их приращениями и отрезками пути, проходимыми точкой, задан-
заданной в этих координатах при указанных приращениях. При этом
возникают следующие формулы:
Коэффициенты % Ал, Ас называют коэффициентами Лямэ.
В декартовой системе координат при координатном соответствии
В цилиндрической системе координат при координатном соот-
соответствии
В сферической системе координат при координатном соответствии
Как следует из приведенных примеров, коэффициенты Лямэ
могут быть равны единице или являться функциями координат.
Используя выражения A.7), получим формулы для бесконечно ма-
малых площадей и объема в криволинейной системе^ координат:
Зная коэффициенты Лямэ, нетрудно найти аналогичные выраже-
выражения в любой конкретной системе координат. Так, например, эле-
элемент объема в сферической системе координат записывается в виде
dV = 1 г sin dr dr dy dQ = г2 sin 6 dr dy did.

§ 1.4. Выражения для дивергенции, ротора и градиента
в криволинейной ортогональной обобщенной
системе координат
В случае бесконечно малого объема dV вместо выражения для
дивергенции A.1) можно записать
Суммирование, заменившее интеграл, осуществляется по всем
сторонам криволинейного параллелепипеда. Представим вектор сум-
суммой составляющих вектора по координатным направлениям:
(I.13)
Доля потока вектора а, протекающего через элемент поверхно-
поверхности dS^ (см. рис. 1.4), составляет —dS^. Поток образован состав-
составляющей вектора а%. Нормаль к поверхности dS% направлена изнутри
объема dV наружу, т. е. в сторону — ?, в силу чего скалярное
произведение
Другие составляющие вектора а ориентированы под прямым углом
к нормали —1^ и их скалярные произведения на элемент площади
будут равны нулю.
Далее рассмотрим долю потока вектора а, пронизывающего пе-
переднюю грань объема dV'. В силу криволинейности координат при
переходе от задней грани к передней может измениться на беско-
бесконечно малую величину поверхность передней грани по сравнению
с задней гранью. Кроме того, возможно бесконечно малое изменение
составляющей вектора а%, создающей поток вектора а через перед-
переднюю грань. Поэтому долю потока через переднюю грань можно
представить в виде суммы старого значения потока, протекавшего
через заднюю грань, и бесконечно малого приращения. Поскольку
нормаль к передней грани ориентирована в сторону 1|, поток, про-
проходящий через эту грань, положителен. В результате этот поток
можно записать в форме
Второе слагаемое представляет собой бесконечно малую добавку
к старому значению потока. Как каждый дифференциал его можно
получить умножением производной на дифференциал аргумента.
Суммарный поток через заднюю и переднюю грани записывают
в виде
340

Рассуждая аналогично, найдем суммарный поток вектора а, вхо-
входящий в числитель выражения A.12):
? a dS - — dS^ + dS +
A +
Подставим в это
из формул A.11):
выражение значения элементарных площадей
Бесконечно малые приращения координат d%, drj, d^ являются
независимыми величинами, которые можно вынести за знак произ-
производной. В результате получается формула
l
Подставляя ее в соотношение A.12) и используя выражение для
элементарного объема A.11), получаем окончательную формулу для
дивергенции вектора а в криволинейной ортогональной обобщенной
системе координат:
div а =
Далее рассмотрим ротор вектора а в криволинейной системе
координат. В качестве исходного используем выражение A.2).
Рассмотрим три бесконечно малые поверхности dS|, dS^ dS^
(рис. 1.6). Положим, что нормалями к этим поверхностям являются
единичные векторы 1^, 1^, 1^.
При выборе направления обхода поверхности будем руководст-
руководствоваться правилом правоходового винта, ввинчиваемого по направ-
направлению нормали к поверхности. Движе-
Движение винта показывает направление об-
обхода. В случае бесконечно малых по-
поверхностей и соответственно бесконечно
малых контуров обхода выражение A.2)
записывают в виде
Определим сумму в числителе выра-
выражения A.15) в случае обхода поверхно-
поверхности dS|. Представим вектор а в форме
Рис. 1.6
341

выражения A.13). Начиная обход поверхности из начала коорди-
координат в сторону оси rj, запишем долю суммы на пути ob:
Далее запишем долю суммы на пути cd. Движение осуществ-
осуществляется в сторону отрицательных значений оси т). При переходе от
участка* ob к участку cd в силу криволинейности координат может
измениться длина пути dl^ на бесконечно малую величину. Кроме
того, возможно бесконечно малое изменение составляющей вектора ац.
В силу этого долю суммы на пути cd можно представить в виде
старого значения a^dl^ и бесконечно малой добавки, которая по
правилу вычисления дифференциала является произведением произ-
производной на дифференциал аргумента. В результате доля суммы на
пути cd
В целом сумма 2)adl на путях оЬ и cd записывается в виде
соотношения
ац dl^~ ац dl4—щ (ац dQ dl = — щ (ац dln) dg.
Аналогично доля суммы на путях do и be
В целом сумма ^]adl на замкнутом пути обхода obedo выра-
выражается формулой
Подставляя значения dl^ и dln из формул A.7) и вынося за знак
производной независимые приращения d? и dr\, получаем
выражение подставляют в числитель формулы A.15). В зна-
знаменатель следует подставить значение площади dS^ охватываемой
контуром обхода. В качестве единичной нормали \п используют
вектор 1^. В результате получают выражение для составляющей
ротора вектора а, ориентированной вдоль координаты ?:
или окончательно после сокращений
342

Аналогично находят составляющие ротора вектора а, ориенти-
ориентированные вдоль координат ц и ?:
} AЛ7)
Полное выражение для ротора вектора а имеет вид
а выражение для градиента скалярной функции в криволинейной
системе координат
1
Взятие производной по нормали к поверхности равного уровня
функции U> по сути дела, означает следующую процедуру. Точку
наблюдения перемещают на бесконечно малый отрезок dn вдоль
направления нормали, фиксируют приращение функции 0U', берут
отношение приращений 3U к дп и приписывают ему направление
нормали путем умножения на единичный нормальный вектор \п. Эта
операция может быть разложена в криволинейных координатах.
При перемещении точки наблюдения на расстояние дп проекции
точки на оси ?, т), ? соответственно перемещаются на бесконечно
малые отрезки dl^ dl^ dl$. Вектор (dU/дп) \п при этом записывают
в виде суммы составляющих по координатным направлениям:
ХЧ+\ + Ч (Ь20)
Приращения dl^, д1Цу 61% можно получить из формул A.7):
Подставляя эти выражения в формулу A.20), получаем оконча-
окончательное соотношение для градиента скалярной функции U в криво-
криволинейной ортогональной обобщенной системе координат:
grad U = Ьт ^f-+ In т з—Ь ^ст" • -аг • A-21)
§ 1.5. Выражения для дивергенции, ротора и градиента
в конкретных системах координат
Приведем выражения для дивергенции, ротора и градиента в де-
декартовой, цилиндрической и сферической системах координат с учетом
формул A.14), A.19), A.20) для соответствия координат и коэффи-
коэффициентов Лямэ, приведенных в формулах A.8), A.9), A.10):
343

1. Декартова система координат
дах дау даг
даУ да
2. Цилиндрическая система координат
0-26)
3. Сферическая система координат
divа =
1 id
1 9U 1 '
r дг ' ф г sin в
) + ^(r«v) + ^(rsineae)|,
J\3 1 /1 CD l
//" С»ф 1
эи i at/
A.30)
§ 1.6. Некоторые векторные тождества
Используя выведенные выражения для дивергенции, ротора и
градиента, можно доказать следующие векторные тождества, спра-
справедливые для всех криволинейных ортогональных обобщенных коор-
координатных систем:
rot grad [/==0, A.31)
div rot a = 0, A.32)
div grad i/ = V2f/, A.33)
где V2—оператор Лапласа;
rot rot a ^ grad diva — V2a« A-34)
Из выражения A.34) можно определить результат воздействия
оператора Лапласа на вектор а:
V8 а 5= grad div a—rot rot a, • A.35)
div [ab] = b rot a— a rot b, A.36)
div OF grad t/)=a grad ? grad U+^'U. A.37)
344

Здесь Ч? и U—скалярные функции:
§1.7. Выражения для \2U и у'-а в криволинейной ортогональной
обобщенной системе координат
Приведем запись выражений для \2U и v2a в криволинейной
ортогональной обобщенной системе координат:
hi d г
A.Э9)
(L40)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАТУХАНИЯ ПОЛЯ It
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВОЛНОВОДАХ
§ 11.1. Расчет коэффициентов затухания поля hr
в прямоугольных волноводах в случае волн магнитного типа
В основе расчета лежит выражение B0.6):
Г |Нот |2 h dl + [| Hot I2 Ari dv?
1 J
Вводя для упрощения обозначение
1

345

получают
Волны магнитного типа обладают составляющими поля, опреде-
определяемыми формулами A3.52)—A3.57).
Прежде всего найдем интегралы в числителе выражения (II.2).
Квадрат напряженности магнитного поля у нижней стенки при
у==0 и у верхней стенки при у —& будет одинаков. В силу этого
можно сразу определить суммарный интеграл у нижней и верхней
стенок волновода:
2 -V-Ci ^Vsin2 ^.x +Cicos*
Аналогично определяют суммарный интеграл у правой и левой
стенок волновода:
ь ъ
= 2 fl-x^-
Интеграл в знаменателе выражения ..A1.2) представляет собой
удвоенную проекцию вектора Пойнтинга на ось z волновода. Эта
проекция образуется составляющими поля Ех и Hyi Ey и Нх. Сле-
Следовательно,
а Ь
\ Re[E0H*0]dS= J J (ЁхЙ; — Ёу1
sB > о о
a b
Я
О О
ab i I nn Y j_ ( mn Y\ /tt к\
^U~J +\~J Г (IL5)
346

Учитывая, что в соответствии с формулой A3.22)
тп \ 2 . / пп
) + —
выражение (П.5) можно переписать в иной форме:
l^-. (II.6)
Используя формулы (П.2), (П.З), (П.4) и (II.6), запишем сле-
следующее соотношение для h'\
а
i h* (
п'\ётп
' тп у
a t
in,
\ а
J+1
1 Г2Л
/ ^ 2~т
Djla^
It (
-2 4
b $ '
„и
h2
>тп
V 1
(nKY I i) с2
1 * J +1/С2
Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на
g2mn и раскроем значение h с помощью формулы A3.35)
Тогда
1 —
VwbV \—
1 —
C02{la8a
+ лл &
Далее используем соотношение A3.59)
347

и произведем необходимые сокращения:
тп\*
+ а ллк у\:' * ^"'—^
Группируя члены, получаем
\ \\и \ I /v Л ^ i 1 ^ I ^
^ \2 Ь_
4
Рассмотрим отдельно дробь
тл \i , b f nn\i I mjt V
Сокращая на я и умножая на Ь2, получаем
тл \ 2
—
Подставим полученное равенство в выражение для h'\
Для упрощений записи используем обозначения:
где Zc — характеристическое сопротивление среды.
При этом коэффициент затухания поля волн магнитного типа
348

записывается в виде
й la ' У
fe ~
а- -. (II.9)
Определим коэффициенты затухания ti поля в случае волн маг-
магнитного типа с нулевыми индексами. Пусть т = 0 и исследуется
затухание поля волны типа Но„, обладающего составляющими
л - jhz
A1.10)
-i-sm l-r- у е
Найдем интегралы в числителе выражения (И.2):
A1.11)
Определим суммарный интеграл у правой и левой стенок волно-
волновода:
-- (IU2)
а также интеграл в знаменателе выражения (II.2):
о о
а Ъ
ab
Подставляя выражения A1.11), A1.12), A1.13) в формулу (П.2),
получаем
2 /Л2 (ппу л 2
2аС\ + Ь \^с[ — ) +ЧСа
(ПЛ4>
2 eln
849

Пусть м = 0. Исследуем затухание поля волн типа Н^о с со-
составляющими, которые на основании формул A3.52) — A3.57) запи-
записываются в виде соотношений
350

Определим интегралы:
351
Далее, осуществляя преобразования, аналогичные сделанным
ранее с помощью соотношений A3.22), A3.35), A3.59), находим

§ 11.2. Расчет коэффициентов затухания поля ti
в прямоугольных волноводах в случае волн электрического типа
Волны электрического типа обладают составляющими поля, опре-
определяемыми формулами A3.29)—A3.34).
Найдем интегралы в числителе выражения (II.2). Интеграл у верх-
верхней и нижней стенок волновода:
(- 2 \\НХ \Чх = 2 ( Щ^С\ (!»Vsta'fe] dx =
j/ $ gmn \° J \ * J
Va. A1.21)
Интеграл у правой и левой стенок волновода:
("J'-Ci (=-)'<>. A1.22)
4
gmn
Интеграл в знаменателе выражения (И.2) вычисляют таким
образом:
а Ь
COS*2 \-T~l
ab i f mji\2 , fnn\*\ ыгЛ ^oab
Используя формулы (И.2), A1.21), A1.22), A1.23), можно напи-
написать следующее выражение для ti\
@)8;
4
.)* с\ |
0)8а /
2 \
\ ь j
' пт '
С08аЯ
2
(C08a)a
gmn
ph ab
a f
gmn \
и
а
a J
Уь
)b

Раскроем значения g^n и h с помощью формул A3.22) и A3,35):
л\-)а+{—)ь\
0)8а
h' = 4«!
fi>8a < -г- а+ —
2jia8a
Далее, используя формулу A3.59) и обозначения (И.8), найдем
—. A1.24)
§ 11.3. Расчет коэффициентов затухания поля А'
в круглых волноводах в случае волн магнитного типа
Волны магнитного типа в круглом волноводе обладают состав-
составляющими поля, определяемыми формулами A4.51)—A4.56).
Найдем интегралы в числителе выражения (II.2);
2я 2я 2я 2
I'm (Vmn) COS2 (ПК?) J. Го ^ф =
A1.25)
353

Интеграл по площади поперечного сечения волновода
г0 2я
Re [E0HJ] dS = \ j (ErHy —?фЯ*) г dqdr=a
sB о о
sin2 (тф) +
л cos3
r2\lmn \ ro J [imn ^ r0 I f
где
(П.26)
Осуществим замену переменных, положив
r = rQx. A1.28)
Тогда
!
f {4 1 (И.29)
Используя рекуррентное соотношение для функций Бесселя:
Jm (г) = ~ {Jm-i (z) + Jm+1 B)}, A1.30)
получим
4
{\imnx)})xdxt
m+i
или
2 /I
U^)iJm-l^»nX) + J^l^m^)}xdX. A1.31)
354

355

Подставляя выражения A1.39), A1.40) в формулу A1.33), получаем
[ [imn Vmn J
т 00 ~
4т2
С помощью соотношений A1.36), A1.37), A1.38) можно вывести
следующие выражения:
( т \2 т2
Подставим эти выражения в формулу A1.41):
Подставим выражение ^Н.42) в формулу A1.26):
Подставим выражения A1.25), A1.43) в формулу (II.2):
Далее используем выражения A4.57), A4.59):
с помощью которых получается соотношение
356

Используя формулы A4.59), A1.45), выражение A1.44) можно
представить в форме
или окончательно
A1.46)
Для упрощения записи воспользуемся обозначениями (II.8).
Тогда
а2+-
A1.47)
Рассмотрим вывод выражения для коэффициента затухания поля
в случае волн типа НОп, обладающего составляющими
Запишем выражения для интегралов:
интеграл у металлической поверхности волновода ,
2Я
Нот |3 • г^ф = J |
II J \ '
о о
интеграл по площади поперечного сечения волновода
Г0 2Я
u= jRe[E0Hj]dS = —jjj
sD оо
A1.49)
357

На основании рекуррентного соотношения A1.37) при т = 0
справедливы формулы
Тогда
2 2 Го
и = \ Re [ Е0Н0 j dS = ^а V j| (И2» г ] г dr.
J М'од *J \ го У
о О
Осуществим замену переменных, положив г = гох:
\ Jt (\iQnx
J
и —
Von
Полученный интеграл является интегралом вида A1.32), поэтому
можно записать
и =
/IU 20IX0^0^*^ 1*Г9/ \ 7/ \Т/ \1
= fz \2Jl (Рои) — ^0 (И'оп) hi^on) Г •
Из рекуррентных соотношений A1.36), A1.37) следует формула
на основании которой можно написать
^о (^on) h (И'оп) =^2- Jl (Ио«) — <Т (и-оп)-
Из рекуррентного соотношения A1.36) следует также, что
откуда
12 \7/ \ 1 * '2
A1.52)
С учетом выведенных соотношений, формул A1.36), A1.50) по-
получаем
К (г) = Л (г) +1 Л (г) = Л (г) -1 JJ (г).
При 2 = |хОп
«^о (Иоп) = Л (И'оп) —^Т" ^о (И'оп)» ^о (И'оп) = Л (И'оп)»
а =
358

Подставим выражения A1.49), A1.53) в формулу (II.2): <
r
4jxV0
С учетом соотношения A4.59) это выражение может быть запи-
записано в форме
или в обозначениях (II.8)
Лн„„^7^г- (Н.55)
§ 11.4. Расчет коэффициентов затухания поля ti в круглых
волноводах в случае волн электрического типа
Волны электрического типа в круглом волноводе обладают со-
составляющими поля, определяемыми формулами A4.33)—A4.38).
Найдем выражения для интегралов:
интеграл у металлической поверхности волновода, стоящий в
числителе выражения (II.2):
и„)я; A1.56)
интеграл по площади поперечного сечения волновода:
Го 2Я
•i—Л -7iJm l-j^r) sm2 {пир) г dydr
3|9

Введем обозначение
Осуществим замену переменных, положив
Интеграл щ по математической форме совпадает с интегралом
A1.29). Решение его может быть представлено в форме, сходной с
выражением A1.33):
Щ = Т <^-1 ^гпп)— К (Чтп) Um-2 (*\ (
A1.59)
Поскольку цтп—корни функций Бесселя Jm, справедливо со-
соотношение
Jm(r\mn) = O (П.60)
и
Из рекуррентных соотношений A1.36), A1.37) следуют формулы
{ Цтп )
Jli+l ('Цтп) = { ^~ К (O~ J'mftmn) ft
или с учетом равенства A1.60)
Jli-l (Цтп) — J'm (Чтп)>
Jm+l{'4mn)=JmDmn)-
Подставим полученные соотношения в формулу A1.61):
Mi = 4y«^«). (H.62)
Далее интеграл щ подставим в выражение A1.57):
.|^(t,eB). (Ц.63)
Соотношения A1.56), A1.63), (II.2) дают возможность определить
коэффициент затухания h'E в случае волн электрического типа:
n2
'm/г
— • — г г о y~?* т/л - Г—У '
3€0

или
Используя обозначения (II.8), получаем окончательное выраже-
1,ля /г'Е :
н'^п = 2щ7^УЩ' (IL65)
Далее рассмотрим вывод коэффициента затухания для волн типа
ЕОл, когда /п = 0. Выражения для составляющих поля^ при этом
приобретают вид
Ёг = — у—0CJ'Q (^ г) е-'**, A1.66)
Я = _ /
МО/г
tJ'o № г) е~'*«. A1.68)
Найдем выражения для интегралов:
интеграл в числителе выражения (II.2)
2я 2я
#
%rt
интеграл в знаменателе выражения (II.2)
г0 2я г0 2я
j
Поп ¦ \ /"о
Щг { \ Го / T]07i
Здесь
'"о
J
Осуществим замену переменных, положив r = ror;
A1.72)
361

В силу справедливости равенства J'02(z) = Ji(z) можно написать
1
Щ = г\\ Jt(K]Qnx)xdx.
о
Полученный интеграл является интегралом вида A1.32), на ос-
основании чего
Щ = Л |^- Л DOnx) — Jo {цОпх)
или с учетом равенства A1.60)
Заменяя Л (YloJ = ^o2(TloJ» получаем соотношение
". = 4/о"(Лоя). ' . (П-73)
Подставим полученную формулу в выражение A1.70):
Re[ЁоНо*]^S = М8аhr}2яС1 • ^ J?Dj> (П.74)
Подставляя выражения A1.69), A1.74) в формулу (II.2), найдем
коэффициент затухания /i'E :
U __ п ЧОп
Го -/2
 Г- ^0
ИЛИ
Полученное выражение не отличается от формулы A1.64), спра-
справедливой при тфО. Окончательное выражение для коэффициента
затухания в рассматриваемом случае совпадает с формулой A1.65).

ПРИЛОЖЕНИЕ III
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОБРОТНОСТЕЙ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
§111.1. Определение добротностей прямоугольных объемных
резонаторов в случае волн магнитного типа
Добротность объемных резонаторов вычисляют с помощью общего
соотношения B5.8)
Для упрощения записи введем обозначение
V#=a- (IIL
У ~*ы
Тогда
\H\*dV
р Нг |2 dS
где
В случае волн магнитного типа составляющие поля в объемном
резонаторе определяются выражениями B1.29)—B1.31).
Найдем интеграл иг:
I b a
0 0 0
/ Ь а
= И i4—7J С1( ) Sm X COS2 ( — У COS2 lZ-г +
0 0 0
. . р2л2 ^>2 /ялД2 „/тл \ . 9 /ял \ о /рл
+ 4 -V—- C| ( — ) cos2 — дс) sin2 l—y) cos2 Г-
г
С учетом соотношения A3.23)
36Э

интеграл и± можно записать в форме
Определим интеграл и%
I a
О О
/ ъ
b a
о о
2 f f i 4 -&
J J \ gm
0 0
J J
0 0
х) cos2
1 z)
cos fe ^ sin2
+ 4CJ cos2 (^f y^j sin2 ^ zH dy dz +
a
P2xi2 ™Л! . о /тя \ , /пл \ ,
-^ С\ sin2 ( —х )cos2 ( —у 1 4-
о/
4
/ 4
ab
Используя выражение A3.23), получаем
(Ш.5)
364

Подставим выражения (II 1.4), (III.5) в формулу (II 1.2):

{ah
f
/ р2я2
I Ant»
' р2л2
а С а ( p
т2д2 Л
аЫ
m я , . \ .
2 ' ) '
hi ( '
«2^2
paJta
/2
рал2
Vgmn
П2Л2 Л /?2Jl2 |
2 ь2 j a gU4
)
tt2Jl2 \ р2Д2
Используя выражение A3.23) и формулу B1.37)
запишем окончательное выражение для добротности прямоугольного
объемного резонатора в случае волн типа Нтпр:
(III.6)
Далее определим добротность прямоугольного объемного резо-
резонатора в случае волн типа НтОр. При п = 0 из выражений B1.29)—
B1.31) найдем составляющие магнитного поля:
^^sin(-^x) cos(P^z) , (Ш.7)
а - \ а / \ I )
& z) .
Определим интеграл ut:
1 ь а
ооо
Ь а
+ 4CJ cos2 (~ x\ sin2 № z\I dxdy d
z =*
365

Найдем интеграл и2:
la
о о
I *Ь Ь а
0 0
о о
I b Ь а
= IC\S{ U^- +4-U8C5'
4 \ ^4 /
При выводе этого соотношения была использована формула
^. (ШЛО)
Преобразуем выражение для и2:
b^. (III.11)
" Подставим выражения (III.9), (III.11) в формулу (III.2):
4
2Clal
4
gmQ I
Окончательное выражение для добротности резонатора в случае
7П- (Ш.12)
волн типа НтОр имеет вид
Выведем выражение для добротности в случае волн типа Нопр.
Из выражений B1.29)—B1.31) найдем составляющие магнитного
поля:
Збб

Определим интеграл ut:
I ь a
0 0 0
V b a
+ 4CIcos2 (^j- у) sin2 (^-z\\dxdydz^=
"+ ) iaWU?+1)- AИЛ5)
Определим интеграл и2:
la
oo . oo
b a la
0 0
/ b
ii
Ь a
i
(III.16)
Подставляя выражения (III.15), (III.16) в формулу (HI.2), най-
найдем добротность прямоугольного объемного резонатора в случае
волн типа Нп *
Clabl
или в окойчательном виде
367

§ III.2. Определение добротностей прямоугольных объемных
резонаторов в случае волн электрического типа
В случае волн электрического типа составляющие поля в объ-
объемном резонаторе определяются выражениями B1.18)—B1.20).
Выведем выражение для добротности резонатора в случае волн
типа Етпр.
Найдем интеграл их:
I b а
ооо
I Ъ а
- С Ш4 ffCl ^sin2 i^x)cos2 (^)cos2 (^2)
0 0 0
+ 4 ^Cf^cos2 {^ x) sin2 [^ y) cos2 (-y-^U
Определим интеграл и2:
/а / b
0 0 0 0
0 0
/ a
+ 2 j 14 g- Cf 1%. sin- (=9) cos- (i ,) ф
al
^(^ ^ A11.19)
36S

Подставляя найденные значения их и и2 в формулу (II 1.2), оп-
определим добротность резонатора в случае волн типа Еглпр:
Qe =^ 2 2 g^a2fc/2 . A11.20)
Ч-^тпр 4 М2Л2 Ш2Л2 v ;
Найдем выражение для добротности резонатора в случае волн
типа Е/ли0. При р=^0 составляющие магнитного поля записываются
в виде Ф
Определим интеграл uj
I b a
0 0 0
0 0 0
rrm sjn2
(Ш.23)
Найдем интеграл и2:
la . I Ь
0 0 0 0
b a
0 0
13 Я, 644 369

/ а
о о
Ь а
A11.24)
Подставим найденные значения ых и «2 в формулу (III.2):
Проводя необходимые сокращения, получаем следующее выра-
выражение для добротности объемного резонатора, работающего на вол-
волнах типа E_n:
«4 ётпаЬ1 /ТТ1 о_.
Т ' —& ^i—iv—• (Ш.25)
§ III.3. Определение добротностей цилиндрических объемных
резонаторов в случае волн магнитного типа
В случае волн магнитного типа составляющие магнитного поля
в цилиндрическом объемном резонаторе определяются с помощью
выражений B2.23) —B2.25).
Выведем выражение для добротности резонатора в случае волн
типа Нтпр.
370 *

Найдем интеграл щ:
I 2я г„
0 0 0
оо
А cos2 (тф) sin2
Осуществим замену переменных, положив г = гох:
1
иг = 2С\1пг\
• о ' "*"
xdx-
1 Ит/г ^ 1 Л
+ 2С1/яга S ^ (|*ЯЛх) хЛ. A11.26)
о
Первый из написанных интегралов аналогичен интегралу A1.29).
Его решение дается выражением A1.42). Второй интеграл находят
с помощью формулы A1.32). Следовательно,
Ппп z n rm/2
+ 2С\Ыг\ -i {J^ (|хя„)- /„_! ((хи„) Jm+i (!*„„)}.
С учетом соотношений A1.50), A1.38) второе слагаемое видоиз-
видоизменяется, в результате чего выражение для их приобретает вид
13* 371

или иначе
Далее определим интеграл и2\
I 2я
о о
2п г0
9 [ [ (\ И I2J_ \H I2
О О
О О
+ 4C1/S* (^n) cos2 (mq>) sin2 ( ^ г J J r0 ^Ф йг +
2я г0
О О
+ 4 ^^С\тЧ1 {b&r) sin»(m<p)}
CO r.j
Сделаем замену переменных в соответствии с выражением A1.28)
и осуществим некоторые преобразования:
и, = 2С1г,П1Рт (tO A + -S^
я
Полученный интеграл аналогичен интегралу A1.29), решение
которого соответствует формуле A1.42). В результате выражение
для и2 приобретает вид
и2 =
372

или иначе
i Цтп
. A11.28)
Подставляя значения интегралов (III.27), (III.28) в формулу
(III.2), получаем
lr°[ И*~~) V + /V2
- •{(^i)^L(-)i-(!IL
Определим добротность цилиндрического объемного резонатора
в случае волн типа Нопр. Прит^О составляющие магнитного поля
в резонаторе могут быть представлены в виде
(III.30)
A11.31)
Найдем интеграл и±:
I 2я г0
0 0 0
-77 г) sin2
Проводя интегрирование и осуществляя замену переменных в
соответствии с формулой A1.28), получаем
Я«2 л 2 r2 ^
22||8 ° ^о3 ((^оп^) + ^о (|Аои^) Г X dX.
В соответствии с рекуррентным соотношением Уд2 (г) = JI {%) выра-
выражение для их можно несколько видоизменить:
( р2я2г2
| P ^^ + J2 ^
373
щ = ЫС\г\

Интеграл щ можно вычислить с помощью формулы A1.32):
(HI.32)
Для функций Бесселя справедливо рекуррентное соотношение
z±Jm{z)-mJm(z) = -zJm+l(z). - A11.33)
При т — 0 из него следует, что
У;(г) = -Л(г),
^0О = -Л0О = 0. (Ш.34)
Далее воспользуемся соотношением
¦f« + . 00 ^ 00 = ii^±11 /я + 1 (I*.,) Jm iVmn)-J2m (|*я„), (П.35)
которое при т = 0 записывается в виде
h Ы Jo ЦАо») = -^ ^i A*0») ^ю (Нч>п) — ^о (Ив»)»
или в силу справедливости равенства (III.34)
-35)
С учетом формул (II 1.34) и (II 1.35) в выражении (II 1.32), по-
получаем
(-36)
Найдем интеграл и2:
I 2л
|Ягр|*го^г|г=г,
Об 0 0
2я
б б
2-я г,
JJ
374

Осуществляя замену переменных и производной функций Бессе-
Бесселя, получаем
1
X I Jt (|W)x dx = 4nlC\Jl (\xOn) ro +
о
16Я 2 С2Г2 -;г \Jf (|^on) Jo (М'Ои) ^2 ifton)}
Л-2-^-). . A11.37)
Подртавим значения интегралов (III.36) и (III.37) в формулу
(III.2). Тогда
^0 I
QH =^4, X ^on / #. ¦ (nL38)
§ III.4. Определение добротностей цилиндрических объемных
резонаторов в случае волн электрического типа
В случае волн электрического типа составляющие магнитного
поля в цилиндрическом объемном резонаторе определяются с помо-
помощью выражений B2.12)—B2.14).
Выведем выражение для добротности резонатора в случае волн
типа Етпр.
Найдем интеграл
О О- О
2пг9
f
о о о
4 ^Ifll.CUm (^r) cos2 (тф) cos2 (Щ-z) ) rdrdydz =*
1
Полученный интеграл аналогичен по математической форме ин-
интегралу A1.58). Решение этого интеграла дается формулой A1.62),
375

с учетом которой можно написать
>тп 'пгп
Определим интеграл и2:
I 2Я 2Л г0.
j |Яфр|2го^ф^г |г=Го + 2 j ^ (I Ягр|3 + | #фр \2]
оо оо
о о
j ]
+ 4
Г Г оJ82/-2
— 1 \ 4 р а ° с2 Г
'"J J Tlmn
+ 2 ] j { 4 ^||^- C2mV^ ^ A sin2 (тФ) +
'}
о
0J82/ 0J82/'2
или окончательно
со2е2г3
и, = 2-^-С?я^(т1в„)(/ + 2гв). (III.40)
'•т/г
После подстановки выражений (III.39), (III.40) в формулу (III.2)
получается соотношение
QE =^44
Найдем- добротность резонаторов в случае волн типа Еопр. При
т = 0 существует только одна составляющая магнитного поля в ре-
резонаторе:
* fe) () (Ш-42)
Определим интеграл иг\
I 2nrQ
I $ \ | Яфр |2 г dr dcp йг
0 0 0
2Я r0
0 0 0
376

Этот интеграл аналогичен по форме интегралу A1.72), решение
которого дается формулой A1.73). В результате использования ука-
указанной формулы получаем
^. (Ш.43)
''о/г
Найдем интеграл и2:
2я г0
2 S J I ЯФР
2я
0 0 0 0
4
:п
J J
+2 ^
co2eV2
00 8а о / ^ еаго 2 Г
или окончательно
С0282Г3
4^^
•од
A11.44)
Подставляя выражения (III.43), (III.44) в формулу (III.2), по-
получаем соотношение для добротности в случае волн типа Еопр:
Определим добротность цилиндрических объемных резонаторов
в случае волн типа Е0и0.. При этом существует только одна состав-
составляющая магнитного поля в резонаторе:
A11.46)
Найдем интеграл щ:
Ш
0 0 0
1
со2е2г2 2 Г • ¦ оJе|г2 г2
377

или окончательно
их = 4 -^?± ClnlJ? (Лоя). A11.47)
Вычислим интеграл и2:
2
.1
о о
2яг„
l
16J&sd.• Cf яг02 Г J? {ц,пх)
Поп tf
16
или окончательно
a^e-I^CJny^KnX' + ro). (Ш.48)
11о/г
Подставим выражения (III.47), (III.48) в формулу (III.2):
ПРИЛОЖЕНИЕ Л
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА АМПЛИТУДНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ВОЛНОВОДАХ И ОБЪЕМНЫХ
РЕЗОНАТОРАХ
§ IV.1. Пример расчета амплитудного коэффициента волны
типа Н10 в прямоугольном волноводе
Допустим, что возбуждение волновода осуществляется сторонним
электрическим током, плотность которого равна JM. Требуется найти
амплитудный коэффициент At электромагнитного поля в волноводе.
378

Основным для расчета является соотношение C2.21)
В этом выражении Ё1Э Н^ представляет собой электромагнитное
поле, распространяющееся в сторону положительных значений оси г
волновода, в то время кзк поле Ё_1Э Н_х распространяется в об-
обратном направлении. Составляющие поля волны типа Н10 можно
определить из общих выражений A3.52) — A3.57).
При использовании выражений для составляющих поля в фор-
формуле C2.21) следует помнить, что амплитудный коэффициент С2
должен быть равен единице. В соответствии со сказанным можно
написать следующие выражения для составляющих поля волны
типа Н1П:
— X \ ?\~J'hz
gio
(IV.1)
(IV.2)
(IV.3)
Под интегралом, стоящим в знаменателе выражения C2.21), век-
векторные произведения умножают скалярно на \z. Скалярное произ-
произведение будет отлично от нуля, если в векторных произведениях
участвуют составляющие поля Нх и Ёу. В силу этого следует записать
Т
gio
я . /я
— sm ( — х
а V а
gio
gio
—
(IV.4)
При записи поля Ё_1Э Н^х был изменен знак у продольного
волнового числа в волноводе /г, как у волны, распространяющейся
в сторону отрицательных значений оси г.
Интеграл в знаменателе выражения C2.21) записывают в виде
gio
a J
gio \a
379

Для вычисления интеграла в числителе выражения C2.21) сле-
следует задаться распределением плотности тока j92. Допустим, что
возбуждение волновода осуществляется коротким штырем длиной /,
помещенным в середине широкой части волновода, в сечении х = а/2,
г-0 (рис. IV. 1).
Далее предположим, что плотность тока Лэ2 неизменна вдоль
длины штыря. При этих условиях интеграл в числителе выражения
C2.21) можно записать таким образом:
И
о st
где Sx — площадь поперечного сечения штыря, или с учетом посто-
постоянства плотности тока
Подставляя выражения (IV.5), (IV.6) в формулу C2.21), полу-
получаем, соотношение для амплитудного Коэффициента поля в прямо-
прямоугольном волноводе:
• . O)JWa Я f
?10 а
1 COjlla
или
§ IV.2. Пример расчета амплитудного коэффициента волны
типа Н101 в прямоугольном объемном резонаторе
При расчёте в качестве основного используют выражение C3,44):
Q
Ух
которое дает значение амплитудного коэффициента поля при резо-
резонансе.
С помощью формул B1.29)—B1.34) выведем выражение для
напряженности электрического поля в резонаторе в случае волны
380

типа Hloi:
b{ (IV8)
Допустим, что возбуждение резонатора осуществляется коротким
штырем длиной /, плотность тока j3 в котором неизменна вдоль
длины штыря. Штырь расположен в сечении х = а/2, 2 = //2.
Рассчитаем интеграл в числителе выражения C3.44), положив
Са=1:
Найдем интеграл в знаменателе выражения C3.44):
z)dxdydz ^.
I gio a? 4
Подставим выражения (IV.9), (IV. 10) в формулу C3.44):
Л
или окончательно
—„—... iiv.ii)
ПРИЛОЖЕНИЕ V
КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
Пример 1. Рассмотрим простой случай, когда электродинамиче-
электродинамическая задача моделируется в отсутствие сторонних электрического
и магнитного токов. Допустим, что при моделировании желательно
получить значения электрического и магнитного полей, совпадаю-
совпадающие с натурной задачей. Далее предположим, что электрическая
и магнитная проводимости сред в натурной и модельной задачах
равны нулю, а диэлектрическая и магнитная проницаемости натур-
натурной задачи — соответственно диэлектрической и магнитной прони-
цаемостям модельной задачи. При этих условиях в соответствии
381

Следовательно, если частота f в модельной задаче в п раз выше
частоты /' в натурной задаче, то линейные размеры электродинами-
электродинамической системы в модельной задаче, определяемые коэффициентом %,
должны быть в п раз меньше соответствующих линейных размеров
в натурной задаче.
Пример 2. Рассмотрим более сложный случай, когда среда в на-
натурной . задаче обладает электрической проводимостью. Все осталь-
остальные условия аналогичны условиям, данным в примере 1.
При определении условий подобия исходными являются равенства
382
Таким образом, в рассматриваемом случае два условия подобия
(V.4) сводятся к одному. Коэффициенты C9' и % согласно выраже-
выражениям C6.1) определяют линейные размеры натурной и модельной
задач, коэффициенты Pi0 и |310—масштабы времени. Если этим ко-
коэффициентам приписать значения периодов колебаний 7" и Т" в на-
натурной и модельной задачах, то условия подобия следует записать
таким образом:

и условия подобия записываются в виде
или иначе
PI Pi' *
ft' ft' ~~ ft" ft" •
piopi piopi
Используя соотношения (V.8), можно записать эти условия в виде
Таким образом, в данном случае к прежним условиям (V.5) до-
добавились новые условия, определяемые первым равенством (V.12).
Если, как и раньше, приписать коэффициентам р10 значение периода
колебаний, то к прежним условиям подобия добавляются новые
условия:
которые можно записать в виде
№!=Т"/Т' = Г/Г- (V.13)
Тогда полными условиями электродинамического подобия будут
В случае проводящей среды в модельной задаче должны быть
изменены не только линейные размеры электродинамической системы,
но и проводимость модельной среды. Аналогично можно рассмотреть
условия, подобия и в более сложных задачах.
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
РАСЧЕТ СОПРОТИВЛЕНИЙ ИЗЛУЧЕНИЯ
ВОЗБУЖДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ В ВОЛНОВОДАХ.
РАСЧЕТ ВХОДНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
§ VI.1. Расчет сопротивлений излучения
возбуждающих устройств в волноводах
В § 32.4 была описана методика определения амплитудных коэф-
коэффициентов поля, возбужденного в волноводах заданной системой
сторонних токов. Были получены выражения C2.19), C2.21), по-
позволяющие определить амплитудные коэффициенты волн заданного
типа, распространяющихся в сторону отрицательных и положитель-
положительных значений оси г. Найдем усредненное за период колебаний зна-
383

чение мощности электромагнитного поля Рср, прокодящей через
поперечное сечение волновода SB:
¦/>Cp=SnadS;
(VI. 1)
Используя выражение D.29) для Пд, получаем
Волна распространяется от возбуждающего устройства в сторону
положительных и отрицательных значений оси г. Следовательно,
полная мощность излучения Риз, созданная возбуждающим устрой-
устройством, равна удвоенному значению Рср:
= $Re[EH*]dS.
(VI.2)
Эта мощность может быть определена путем подстановки в вы-
выражение для составляющих поля амплитудных коэффициентов, опре-
определяемых формулами C2.19), C2.21). Эта же мощность может быть
выражена через сопротивление излучения возбуждающего устрой-
устройства RE3 и ток /э, протекающий в возбуждающем устройстве (штыре
или петле):
Приравнивая выражения (VI.2) и (VI.3), определяем Rm:
2 С Re[EH*] dS
(VIA)
Покажем применение полученной формулы на примере возбуж-
возбуждения волны типа Н10 в прямоугольном волноводе коротким штырем
длиной /, помещенным в сечении 2 = 0; х = а/2:
Ъ а
Ъ а
о о
\уЕу\хЩ i,dxdy = - J J Re(EyH*x)dxdy.
о о
Используя выражения A3.83) —A3.88) для составляющих поля
волны типа Н10, можно написать
(VI.5)
(VI.6)

Амплитудный коэффициент С2 был найден в § IVJ. Он был
обозначен At\
C2 = Ai (VI .7)
и определен формулой (IV.7).
Подставим выражение для амплитудного коэффициента в фор-
формулы (VI.5), (VI.6):
abh
а х) е
Х
0 0
Используя формулу (VI.3), получаем выражение для #изл:
§ VI.2. Расчет входных сопротивлений объемных резонаторов
Допустим, что в качестве возбуждающего устройства исполь-
используется короткий штырь длиной I. В § 33.3 была дана методика
определения амплитудных коэффициентов волн различных типов.
Следовательно, известно поле Ё как на резонансной частоте, так
и на частотах, отличных от резонансной. Пренебрегая активным
сопротивлением, можно определить разность потенциалов О на входе
возбуждающего устройства с помощью соотношения
U=\tdl. (VI.10)
о
В коротком штыре протекает ток /э. Входное сопротивление
возбуждающего устройства
(VI.И)
Поясним изложенное на примере расчета входного сопротивле-
сопротивления прямоугольного объемного резонатора, в котором возбуждена
волна типа Н101. Допустим, что возбуждение резонатора осущест-
осуществляется коротким штырем длиной /, плотность тока в котором не-
неизменна вдоль длины штыря. Штырь расположен в сечении х = а/2;
z = 1/2 и ориентирован вдоль оси у. В случае волны типа Н101
в резонаторе существует только одна составляющая электрического
поля, определяемая формулой B1.33):
386

В сечении х = а/2\ z = l/2 эта формула может быть представлена
следующим образом:
Разность потенциалов
В § IV.2 был дан расчет амплитудного коэффициента волны
типа Н101 в прямоугольном объемном резонаторе, который был
обозначен Апгп:
Подставив выражение для Aqrv из формулы (IV. 11) в выражение
(VI. 14), получим.
и
2
Входное сопротивление
ZBX = 4^- = 8—^-т. (VI.16)
ПРИЛОЖЕНИЕ VII
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОБРОТНОСТИ НАГРУЖЕННЫХ РЕЗОНАТОРОВ
В § 25.2 формула B5.3) определяет общее выражение для доброт-
добротности Q ненагруженного резонатора:
Если резонатор нагружен, то к средней мощности потерь в ре-
резонаторе Рп2 следует прибавить среднюю мощность, отдаваемую
резонатором в нагрузку Рн. При этом выражение для добротности
нагруженного резонатора запишется в виде
У %« У (VII.1)
Положим, что объемный резонатор соединен с источником высо-
высокочастотных колебаний, обладающих внутренним сопротивлением RH.
Далее допустим, что разность потенциалов на входе нагруженного
резонатора равна U. *
При частоте колебаний источника, равной резонансной частоте
объемного резонатора, его входное сопротивление активно и в част-
386

ном случае прямоугольного резонатора с волной типа Н101 опре-
определяется формулой (VI. 16). При этом мощность потерь в резонаторе
Мощность, теряемая на внутреннем сопротивлении источника,
Отношение этих мощностей
/у Рп2 = /?вх//?н. (VI 1.4)
Добротность нагруженного резонатора в соответствии с форму-
формулой (VII. 1) определяется выражением'
+
При бесконечно большом сопротивлении нагрузки QH = Q, где
Q—добротность ненагруженного резонатора. При сопротивлении
нагрузки, равном нулю, QH = 0. '
ПРИЛОЖЕНИЕ VIII
РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННОГО ПОЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ОТВЕРСТИИ В ИДЕАЛЬНОМ
МЕТАЛЛИЧЕСКОМ ЭКРАНЕ
Допустим, что рассматривается случай нормального падения
плоской волны на бесконечный идеально проводящий плоский экран,
в котором имеется прямоугольное отверстие со сторонами а (вдоль
оси х) и b (вдоль оси у). Пусть площадь отверстия ab = S0. Поста-
Постановка подобной задачи рассматривалась § 35.5, где были найдены
формулы, определяющие дифракционные поля Н2 и Ё2:
. Введем сферическую систему координат, начало координат кото-
которой совместим с началом декартовых координат на рис. 35.3. Обоз-
Обозначим буквой R радиус-вектор точки наблюдения, в которой опре-
определяются поля Н2 и Ё2. Обозначим буквой р радиус-вектор точки
интегрирования, под которым будем понимать расстояние от начала
координат до текущей точки интегрирования, находящейся на пло-
плоскости х, у в пределах отверстия в экране. Радиус-вектор г, вхо-
входящий в формулы для Н2 и Е2, представляет собой расстояние
между текущей точкой интегрирования на плоскости х, у и точкой
387

наблюдения. В соответствии с известными тригонометрическими
формулами
V osx, (VIII. 1)
где % — утол между радиусами-векторами R и р.
Разложим выражение (VIII. 1) по степеням p/R—малой дроби
при больших значениях R:
(VIII.2)
Назовем дальней зоной область таких расстояний R, при кото-
которых становится справедливым неравенство
Й-.<€7Г • ' <vm-3>
Тогда в дальней зоне формула (VIII.2) может быть представлена
в виде
fco$%)=R — pcosx. (VIII.4)
Соответственно в дальней зоне функция может быть запи-
записана в виде
Р- jyr p-jyR
~ p/vpcos5C fVIII 5^
Запишем формулы C5.38), C5.39) с учетом выражения (VII 1.5),
помня, что интегрирование по поверхности So осуществляется в ко-
координатах источника поля, а дифференцирование—в координатах
точки наблюдения:
+ /««. [1 А) ^ e/vP co.x) dS =
.Is, j
- ^^
4ЛС0|Х
^ (grad div i^- C [1,EJ e/wco.xds\
388

Es =--L J (rot {[1 Д.] e-^
g
0>8a
vpcosx^s =
- (rot | ^ С[lztx] e/vp-x dS-\ )-
-4- (grad div/?=Jp. f [i,HB] e/vp«»xds\ )-
(VIII.7)
Для упрощения записи введем обозначения:
F?, (VIII.8)
$ Ря. (VIII.9)
So
Заметим, что в рассматриваемом случае векторные произведения,
стоящие под интегралами, являются постоянными величинами и их
можно было бы вынести за знак интеграла, т. е. написать в виде
Fs=[lg?x] Je/vpco»xdsf (VIII.10)
So
1^^= [I,HJ J e/vpcoexdS. (VIII.11)
S
So
Подставив введенные обозначения в формулы (VIII.6), (VIП.7),
получим
Осуществим дифференциальные операции в сферических коорди-
координатах, используем формулы A.28), A.29), A.30), приведенные в при-
приложении I. При этом, рассчитывая поля в дальней зоне, сохраним
члены не менее порядка 1/R:
rot
v
(VIII.14)
389

Аналогично,
^)^l.iT^\. (VIII. 15)
-,yZptv (V..U6)
div
(VIII.17)
grad div ^FH)=-lRf^FHR. (VIII.18)
При проведении этих операций векторы F^ и Fw были представ-
представлены в виде суммы составляющих в сферической системе координат:
Подставим выражения (VIII. 14), (VIII. 15), (VIII. 17), (VIII. 18),
(VIII.19), (VIII.20) в формулы (VIII.12), (VIII.13):
4я0[1а V R R]
Учитывая, что Y2=:r:@Va8a> получим
J e_ jyR
н (
An
4л ж^ *Ф ' 4л дв* ?QJ r •
Сокращая подобные члены и группируя орты, можно получить
следующую формулу:
Аналогично,
Как следует из полученных соотношений, в дальней зоне отсут-
отсутствуют радиальные составляющие поля. Поле является поперечным.
Интегралы FE и ?н рассчитывают в декартовой системе координат.
Учитывая, что м f I- i p
390

эти интегралы можно записать в виде
Ь/2 а/2
C°SXdS = Ху?* 5 S e/VP
-b/2 -a/2
b/2 a/2
leiypC0^dS = —lxHy J J elw™*dxdy. . (VIII.24)
* So -6/2 -a/2
В формулы (VIII.21), (VIII.22) функции FE и ?я входят в виде
координатных составляющих в сферических координатах. Переход
от декартовой к сферической системе координат осуществляется
с помощью обычных формул: .
FQ = Fx cos 0 cos ф + Fy cos Э sin ф.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч., 5-е
изд., т. 18, с. 149, 290.
2. Бур дун Г. Д. Справочник по международной системе единиц. М., 1963.
3. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и
цепей. М., 1975.
4. К оч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
М., 1951.
5. Фейнман Р., Л е й т о н Р., С э н д с М. Фейнмановские лекции по физике
Вып. 5. Электричество и магнетизм. Вып. 6. Электродинамика. М., 1966.
6. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме.
М., 1960.
7. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и
плазмоподобных сред. М., 1961.
8. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М., 1965.
9. УиттекерЭ. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. 2.
М., 1963.
10. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интеграль-
интегральные уравнения. М., 1950.
11. Васильев Е. Н. Известия вузов. Радиофизика 2.588 A959).
12. Васильев Е. Н., Серегина А. Р., Каменев В. Г. Радиотех-
Радиотехника, и электроника. '1964, № 4.
13. Poynting Т. On the transfer of Energie in the Electromagnetic Field.
Trans, of Roy. soc. Part II. 1884 p. 343.
14. Умов Н: А. Уравнения движения энергии в телах A874). Избр. соч.
М., 1950.
15. Л е о н т ов и ч М. А. О приближенных граничных условиях для электро-
электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел. Исследования по рас-
распространению радиоволн.—Сб. II. М., 1948.
16. Г о л ь д ш те й н Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны.
М., 1971.
17. Баскаков С. И. Основы электродинамики. М., 1973.
18. К р .а с ю к Н. П., Дымович Н. Д. Электродинамика и распростране-
распространение радиоволн. М., 1974.
19. Айзенберг Г. 3. Антенны ультракоротких волн. М., 1957.
20. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. Теория
электромагнитного поля. Т. 3. М., 1969, 1975.
21. По Ливанов К. М. К 100-летию «Трактата об электричестве и магне-
магнетизме». Дж. К. Максвелла. Электричество. Т. 1, 2, 3, 1974.
22. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн.
М.-Л., 1967.
23. Не туши л А. В., Поливанов К.М. Основы электротехники. Ч. III,
1956.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • . . . . 3
Список основных обозначений величин, использованных в книге ..... 4
Глава 1. Интегральные уравнения электродинамики 8
§ 1.1. Место электродинамики среди технических дисциплин. Назначение
электродинамики и основные этапы ее развития 8
§ 1.2. Система единиц. Закон Кулона. Вектор напряженности электрическо-
электрического поля Е. Разность потенциалов U. Теорема Гаусса для вакуума 10
§ 1.3. Теорема Гаусса для вещества. Вектор электрического смещения D.
Первое материальное уравнение среды. Первое уравнение непре-
непрерывности 12
§ 1.4. Вектор магнитной индукции В. Связь, вектора В с током 19
§ 1.5. Воздействие внешнего магнитного поля на вещество. Вектор напря-.
женности магнитного поля Н. Закон полного тока. Второе материаль-
материальное уравнение среды. Второе уравнение непрерывности 23
§ 1.6. Электрическая проводимость среды. Закон Ома в дифференциальной
и интегральной формах. Сторонний электрический ток. Ток смеще-
смещения. Обобщенный закон полного тока . .... с ........ 30
§ 1.7. Теорема Гаусса для вещества в случае проводящей среды 34
§ 1.8. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Сторонний магнитный
ток. Магнитная проводимость среды. Закон электромагнитной
индукции в расширенной форме. Перестановочная двойственность
интегральных уравнений электродинамики ... 35
§ 1.9. Вид интегрального соотношения ф В dS = QM в случае среды, об- *
ладающей магнитной проводимостью 39
§ 1.10. Комплексные амплитуды векторов поля, зарядов и токов. Уравнения
электродинамики для комплексных амплитуд в интегральной форме.
Интегральные уравнения электродинамики в случае спектральных
сигналов . ' 40
Глава 2. Дифференциальные уравнения электродинамики ....... 45
§ 2.1. Теорема Остроградского — Гаусса. Теорема Стокса 45
§ 2,2. Переход от интегральных уравнений электродинамики к дифферен-
дифференциальным. Применение принципа перестановочной двойственности
к дифференциальным уравнениям электродинамики ...... \ . 46
§ 2.3. Дифференциальные уравнения электродинамики в случае квази-
квазистатических и статических полей 48
§ 2.4. Несамостоятельность некоторых уравнений электродинамики ... 49
Глава 3. Основные законы электротехники как следствие уравнений элек-
электродинамики 50
§ 3.1. Вывод первого закона Кирхгофа на основании уравнений электро-
электродинамики 50
§ 3.2. * Вывод второго закона Кирхгофа на основании уравнений электро-
электродинамики 51
Глава 4. Энергетические соотношения в электродинамике ....... 55
§ 4.1. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений векторов поля ... 55
§ 4.2. Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд векторов поля . . 59
393

Глава 5. Теорема единственности решения уравнений Максвелла ... 63
§ 5.1. Постановка вопроса 63
§ 5.2. • Теорема единственности решения уравнений Максвелла для ограни-
ограниченного объема 63
§ 5.3. Теорема единственности решения уравнений Максвелла для неогра-
неограниченного объема 66
Глава 6. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца для векторов поля 67
§ 6.1. Постановка вопроса 67
§ 6.2. Волновые уравнения для векторов поля 67
§ 6.3. Уравнения Гельмгольца для векторов поля 70
Глава 7. Решение однородных уравнений Гельмгольца в простейшем слу-
случае однородной изотропной среды. Плоские волны 71
§ 7.1. Постановка вопроса 71
§ 7.2. Определение вида скалярных уравнений, соответствующих уравне-
уравнениям Гельмгольца в декартовой системе координат 71
§ 7.3. Плоские волны . . о 72
§ 7.4. Групповая скорость 78
§ 7.5. Распространение плоских волн в различных средах ....... 82
§ 7.6. Поляризация плоских волн „ 86
§ 7.7. Ортогональность векторов Е (/) и Н (/) / . . . 89
Глава 8. Граничные условия для векторов поля 91
§ 8.1. Постановка вопроса * 91
§ 8.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля 91
§8.3. Граничные условия для тангенциальных составляющих вектороеполя 93
Глава 9. Падение плоской волны на плоскую границу раздела двух сред
как пример применения граничных условий при решении про-
простейшей краевой задачи 96
§ 9.1. Постановка вопроса '96
§ 9.2. Вывод основных уравнений. Законы Снеллиуса. Коэффициенты от-
отражения и преломления 97
§ 9.3. Угол полного преломления (угол Брюстера) 103
§ 9.4. Полное внутреннее отражение 104
§ 9.5. Падение плоской волны на плоскую границу раздела с идеальным
металлом . 109
§ 9.6. Падение плоской волны на границу раздела с реальным металлом 109
§ 9.7. Мощность потерь в реальном металле 112
Глава 10. Картины поля, возникающие у идеальной металлической плос-
плоскости при падении на нее плоской волны. Двухплоскостной
волновод 114
§ 10.1. Постановка вопроса 114
§ 10.2. Случай первый. Вектор Е лежит в плоскости падения. Волны элект-
электрического типа . . . 115
§ 10.3. Случай второй. Вектор Е перпендикулярен плоскости падения.
Волны магнитного типа 117
§ 10.4. Двухплоскостной волновод '. 118
Глава 11. Общие сведения о волнах электрического и магнитного типов 120
§ 11.1. Постановка вопроса . 120
§ 11.2. Система скалярных уравнений Максвелла в обобщенной ортогональ-
ортогональной криволинейной системе координат 121
§ 11.3. Волны электрического и магнитного типов 122
Глава 12. Общие сведения о процессах в волноводах — реальных систе-
системах, канализирующих электромагнитное поле 127
§ 12.1. Постановка вопроса 127
§ 12.2. Основные сведения о процессах в волноводах быстрых волн . . . 128
§ 12.3. Упрощение уравнений, связывающих поперечные составляющие по-
поля с продольными, при использовании волноводов быстрых волн . 134
394

§ 12.4. Основные сведения о процессах в волноводах медленных волн • . 136
§ 12.5. Основные сведения о процессах в волноводах, канализирующих
волны типа Т 138
Глава 13. Прямоугольный волновод 139
§ 13.1. Решение основного уравнения для продольных составляющих поля
в прямоугольном волноводе 139
§ 13.2. Волны электрического типа . . . . ' 141
§ 13.3. Волны магнитного типа 144
§ 13.4. Фазовая скорость, длина волны в волноводе, критическая длина
волны, критическая частота. Волны основных типов в прямоуголь-
прямоугольном волноводе 146
§ 13.5. Условия существования волн различных типор в прямоугольном
волноводе 149
§ 13.6. Определение картин поля в прямоугольном волноводе с помощью
граничных условий у поверхности идеального металла 150
§ 13.7. Аналитический метод построения картин поля в прямоугольном
волноводе • 156
Глава 14. Круглый волновод 159
§ 14.1. Решение основного уравнения для продольных составляющих поля
в круглом волноводе т 159
§ 14.2. Волны электрического типа 163
§ 14.3. Волны магнитного типа . 165
§ 14.4. Фазовая скорость, длина волны в волноводе, критическая длина
волны. Волны основных типов в круглом волноводе 167
§ 14.5. Условия существования волн различных типов в круглом волноводе 167
§ 14.6. Картины поля в круглом волноводе 169
Глава 15. Круглый коаксиальный волновод 170
§ 15.1. Возможные типы волн в круглом коаксиальном волноводе .... 170
§ 15.2. Волны типа Т . . 170
§ 15.3. Волны электрического и магнитного типов 173
Глава 16. Бесконечно протяженная диэлектрическая пластина как пример
волновода медленных волн ; 175
§ 16.1. Постановка вопроса ...*.«*.* 175
§ 16.2. Вывод основных соотношений 176
§ 16.3. Четные и нечетные волны. Определение трансцендентных уравнений
для поперечных волновых чисел 178
§ 16.4. Решение трансцендентных уравнений и определение поперечных
волновых чисел. Критические частоты в случае электрических волн
различных типов 179
§ 16.5. Коэффициент замедления поверхностных волн 182
§ 16.6. Групповая скорость поверхностных волн 183
§ 16.7. Картины поля при использовании диэлектрической пластины в ка-
качестве замедляющей системы 184
Глава 17. Круглый диэлектрический волновод 184
§ 17.1. Постановка вопроса 185
§ 17.2. Вывод основного уравнения для продольных составляющих поля
быстрой волны внутри круглого диэлектрического стержня и его
решение 185
§ 17.3. Вывод основного уравнения для продольных составляющих поля
медленной волны вне диэлектрического стержня и его решение . . 186
§ 17.4. Определение поперечных составляющих поля быстрой и медленной
волн 188
§ 17.5. Определение поперечных волновых чисел g, p и продольного волно-
волнового числа h. Возможность раздельного существования волн электри-
электрического и магнитного типов „ 189
395

Глава 18. Круглый спиральный волновод 195
§. 18.1. Постановка вопроса 195
§ 18.2. Вывод основного уравнения для продольных составляющих поля
медленной волны и его решение. Составляющие поля в спиральном
волноводе 196
§ 18.3. Определение поперечного и продольного волновых чисел » . . . . 198
Глава 19. Гребенчатый металлический волновод • . . 200
§ 19.1. Постановка вопроса 200
§ 19.2. Вывод основного уравнения для продольной составляющей электри-
электрического поля в гребенчатом волноводе и его решение 202
§ 19.3. Определение поперечного и продольного волновых чисел ..... 205
Глава 20. Затухание поля в реальных волноводах 208
§ 20.1. Постановка вопроса 208
§ 20.2. Вывод уравнений для мощностей, теряемых в металле и диэлек-
диэлектрике волновода. Определение коэффициентов затухания ..... 208
Глава 21. Общие сведения об объемных резонаторах. Объемный резона-
резонатор, созданный на базе прямоугольного волновода быстрых
волн 213
§ 21.1. Общие сведения об объемных резонаторах ............ 213
§ 21.2. Вывод выражений для составляющих поля электрического типа
в резонаторе, созданном на базе прямоугольного волновода быстрых
волн ......,,.. 215
§ 21.3. Вывод выражений для составляющих поля магнитного типа в резо-
резонаторе, созданном на базе прямоугольного волновода быстрых волн 218
§ 21.4. Определение резонансной частоты и основных типов волн в случае
волн электрического и магнитного типов в резонаторе, созданном
на базе прямоугольного волновода быстрых волн ....,,,, 219
§ 21.5. Условия существования в резонаторе волн заданного типа . , , . 221
§ 21.6. Картины поля в прямоугольном резонаторе ....,.•-.... 222
Глава 22. Объемный резонатор, созданный на базе круглого волновода
быстрых волн 224
§ 22.1. Вывод выражений для составляющих поля электрического типа
в резонаторе, созданном на базе круглого Еолновода быстрых волн 224
§ 22.2. Вывод выражений для составляющих поля магнитного типа в резо-
резонаторе, созданном на базе круглого волновода быстрых волн . . . 226
§ 22.3. Определение резонансной частоты и основных типов волн в случае
волн электрического и магнитного типов в резонаторе, созданном
на базе круглого волновода быстрых волн , , 227
§ 22.4. Условия существования в резонаторе волн заданного типа .... 228
§ 22.5. Картины поля в круглом резонаторе ....,.., 229
Глава 23. Объемный резонатор, созданный на базе круглого коаксиаль-
коаксиального волновода 229
§ 23.1. Постановка вопроса 229
§ 23.2. Вывод выражений для составляющих поля в коаксиальном объем-
объемном резонаторе, работающем на волнах типа Т 230
Глава 24. Объемный резонатор, созданный на базе Н-образного метал-
лодиэлектрического волновода медленных волн 233
§ 24.1. Постановка вопроса «,,.,.,...... 233
§ 24.2. Вывод соотношений для составляющих поля магнитного типа
в Н-образном металлодиэлектрическом волноводе медленных волн 233
§ 24.3. Определение составляющих поля в объемном резонаторе, созданном
на базе Н-образного металлодиэлектрического волновода, в случае
четных волн магнитного типа » 234
§ 24.4. Определение поперечных волновых чисел g, p и резонансной часто-
частоты Н-образного металлодиэлектрического резонатора ..••••• 236
396

Глава 25. Добротность объемных резонаторов , 238
§ 25.1. Постановка вопроса 238
§ 25.2. Вывод общего выражения для добротности объемых резонаторов 239
Глава 26. Эквивалентные параметры объемных резонаторов 241
§ 26.1. Постановка вопроса ................ 241
§ 26.2. Определение эквивалентных параметров объемных резонаторов . , 242
Глава 27. Потенциалы поля , ¦ , 244
§ 27.1. Постановка вопроса , 244
§ 27.2. Исходные уравнения электродинамики для векторов поля с участием
сторонних токов. Векторный электрический потенциал 245
§ 27.3. Векторный магнитный потенциал , . . , 249
Глава 28. Решение неоднородных уравнений Гельмгольца 250
§ 28.1. Постановка вопроса .,,»,.,.., 250
§ 28.2. Разложение векторного уравнения Гельмгольца на скалярные. Ре-
Решение однородного скалярного уравнения Гельмгольца в сфериче-
сферической системе координат , , 250
§ 28.3. Первая и вторая теоремы Грина 253
§ 28.4. Использование второй теоремы Грина с целью получения решения
уравнения Гельмгольца для векторного электрического потенциала.
Условия излучения - . 254
§ 28.5. Отыскание решения уравнения Гельмгольца для векторного магнит-
магнитного потенциала ,.,*,.... 259
Глава 29. Элементарный электрический вибратор 260
§ 29.1. Постановка вопроса , . . 260
§ 29.2. Определение векторного электрического потенциала в поле элемен-
элементарного электрического вибратора . . 261
§ 29.3. Определение составляющих поля элементарного электрического
вибратора 262
§ 29.4. Ближняя, промежуточная и дальняя зоны поля элементарного
электрического вибратора 264
§ 29.5. Мощность, излучаемая элементарным электрическим вибратором
в окружающее пространство. Сопротивление излучения 266
§ 29.6. Диаграмма направленности поля излучения элементарного электри-
электрического вибратора в дальней зоне ..,»..•».*» 268
Глава 30. Элементарный магнитный вибратор ,.«..,¦ 270
§ 30.1. Постановка вопроса , , , . . , 270
§ 30.2. Определение составляющих поля элементарного магнитного вибра-
вибратора ...,., .......... 270
§ 30.3. Физический аналог элементарного магнитного вибратора. Элемен-
Элементарный щелевой вибратор ......... 271
§ 30.4. Мощность, излучаемая элементарным магнитным вибратором в окру-
окружающее пространство. Сопротивление излучения. Диаграмма направ-
направленности ......•••••••••••••••••,«•«» 274
Глава 31. Лемма Лоренца .,...,,....,, 27ё
§ 31.1. Постановка вопроса . . . . 275
§ 31.2. Вывод леммы Лоренца для ограниченного и неограниченного объемов 276
§ 31.3. Теорема взаимности для элементарных вибраторов как пример при-
применения леммы Лоренца 277
Глава 32. Возбуждение электромагнитного поля в волноводах . . . • . 279
§ 32.1. Постановка вопроса 279
§ 32.2. Общие принципы возбуждения в волноводах поля заданного типа 279
§ 32.3. Условия ортогональности волн в волноводах 281
§ 32.4, Определение амплитудных коэффициентов поля, возбужденного
в волноводах заданной системой сторонних токов 283
397

Глава 33. Возбуждение электромагнитного поля в объемных резонаторах 288
§ 33.1. Постановка вопроса 288
§ 33.2. Условия ортогональности волн в объемных резонаторах ...... 288
§ 33.3. Определение амплитудных коэффициентов поля, возбужденного
в объемных резонаторах заданной системой сторонних токов . . . 290
Глава 34. Распространение электромагнитных волн в анизотропных
средах 294
§ 34.1. Постановка вопроса 294
§ 34.2. Вид тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей намаг-
намагниченных плазмы и феррита .. . 295
§ 34.3. Продольное распространение плоских волн в намагниченной ферри-
товой среде. Эффект Фарадея 298
§ 34.4. Поперечное распространение плоских волн в намагниченной ферри-
товой среде. Эффект Коттона — Мутона 302
Глава 35. Элементы теории дифракции электромагнитного поля .... 305
§ 35.1. Постановка вопроса 305
§ 35.2. Дифракция плоской волны на бесконечном идеально проводящем
металлическом цилиндре : 305
§ 35.3. Первая и вторая граничные задачи электродинамики и соответствую-
соответствующие им теоремы. Теорема эквивалентности 311
§ 35.4. Определение суммарного поля, создаваемого сторонними токами
в случае присутствия в рассматриваемой части пространства допол-
дополнительных поверхностей. Формулы типа Гюйгенса — Кирхгофа . . 313
§ 35.5. Дифракция плоских волн на отверстии в бесконечно протяженном
идеально проводящем экране 316
Глава 36. Принцип электродинамического подобия 318
§ 36.1. Постановка вопроса 318
§ 36.2. Математические условия электродинамического подобия 319
Глава 37. Некоторые вопросы взаимодействия электронов с электромаг-
электромагнитным полем 321
§ 37.1. Постановка вопроса 321
§ 37.2. Движение электрона в электромагнитном поле 321
§ 37.3. Фиктивный угол пролета электронов 324
§ 37.4. Полный ток, возникающий между электродами 325
§ 37.5. Взаимодействие между электронным потоком и электрическим полем 326
§ 37.6. Возбуждение поля электронным пучком 330
Приложения о 335
Приложение I. Элементы векторного анализа 335
§ 1.1. Понятие о дивергенции и роторе векторной функции 335
§ 1.2. Понятие о градиенте скалярной функции 336
§ 1.3. Криволинейная ортогональная обобщенная система координат . . . 337
§ 1.4. Выражения для дивергенции, ротора и градиента в криволинейной
ортогональной обобщенной системе координат 340
§ 1.5. Выражения для дивергенции, ротора и градиента в конкретных си-
системах координат 343
§ 1.6. Некоторые векторные тождества 344
§ 1.7. Выражения для y2U и v2a в криволинейной ортогональной обобщен-
обобщенной системе координат , 345
Приложение II. Расчет коэффициентов затухания поля Ь! в прямоуголь-
прямоугольных волноводах . . .* 345
§11.1. Расчет коэффициентов затухания поля К в прямоугольных волново-
волноводах в случае волн магнитного типа 345
§11.2. Расчет коэффициентов затухания поля Ь! в прямоугольных волново-
волноводах в случае волн электрического типа 352
398

§ 11.3. Расчет коэффициентов затухания поля К в круглых волноводах
в случае волн магнитного типа 353
§ II.4. Расчет коэффициентов затухания поля Ы в круглых волноводах
в случае волн электрического типа 359
Приложение III. Определение добротностей объемных резонаторов .... 363
§ III. 1. Определение добротностей прямоугольных объемных резонаторов
в случае волн магнитного типа ....*. 363
§ II 1.2. Определение добротностей прямоугольных объемных резонаторов
в случае волн электрического типа 368
§ II 1.3. Определение добротностей цилиндрических объемных резонаторов
в случае волн магнитного типа * 370
§ III.4. Определение добротностей цилиндрических объемных резонаторов
в случае волн электрического типа 375
Приложение IV. Примеры расчета амплитудных коэффициентов электро-
электромагнитных полей в волноводах и объемных резонаторах 378
§ IV. 1. Пример расчета амплитудного коэффициента волны типа Н10 в пря-
прямоугольном волноводе . . . 378
§ IV.2. Пример расчета амплитудного коэффициента волны типа Нзо1
в прямоугольном объемном резонаторе 380
Приложение V. Конкретные примеры применения принципа электродинами-
электродинамического подобия 381
Приложение VI. Расчет сопротивлений излучения возбуждающих устрой-
устройств в волноводах. Расчет входных сопротивлений объемных резона-
резонаторов 383
§ VI.1. Расчет сопротивлений излучения возбуждающих устройств в волно-
волноводах 383
§ VI.2. Расчет входных сопротивлений объемных резонаторов 385
Приложение VII. Определение добротности нагруженных резонаторов . . 386
Приложение VIII. Расчет дифракционного поля плоской волны на прямо-
прямоугольном отверстии в идеальном металлическом экране ...... 387
Список рекомендуемой литературы 391

Николай Николаевич Федоров
Основы электродинамики
Редактор Т. И. Артемова
Художественный редактор В. П. Бабикова
Технический редактор Т. Д. Гарина
Корректор Г. А. Чечеткина
ИБ № 2080
Изд. Ш ЭР-262. Сдано в набор 27.08.79. Подп. к печати 30.01.80. Т-03856.
Формат 60x90Vie- Бум. тип. № Зг Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем
25 усл. печ. л. 25,07 уч. изд. л. Тираж 24.000 8>кз. Заказ № 644. Цена 1р. 10 к.
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной, торговли. Москва, М-54, Валовая, 28