/
Автор: Вольман В.И. Муравцов А.Д. Пименов Ю.В.
Теги: физика общая радиотехника радиотехника электродинамика электромагнитное поле электромагнитные волны
ISBN: 5-256-01287-8
Год: 2000
Текст
Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Под редакцией Ю. В. Пименова
Рекомендовано Минсвязи России
в качестве учебного пособия для студентов
вузов связи, обучающихся по специальностям
200900-"Сети связи и системы коммутации".
201000-"Многоканальные телекоммуникационные системы",
201100-"Радиосвязь, радиовещание и телевидение",
201200-“Средства связи с подвижными объектами",
201400-“Аудиовизуальная техника
071700-"Физика и техника оптической связи" и направлению
550400 - "Телекоммуникации".
Москва
"Радио и связь"
2000
УДК 538.3(075.8)
ББК 32.845
П32
Федеральная программа книгоиздания России
Р е ц е н з е н т: Э. А. Павловская
Пименов Ю.В. и др.
П32 Техническая электродинамика ! Пименов Ю.В., Воль-
манВ.И., МуравцовА.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: Учеб,
пособие для вузов,-М.: Радио и связь, 2000.-536 с.: ил.
ISBN 5-256-01287-8.
Излагаются вопросы теории электромагнитных полей и волн. Описыва-
ются пассивные линейные устройства антенно-фидерных трактов радио-
технических систем и волоконно-оптических линий связи. Приводятся све-
дения о методах анализа, технических характеристиках и конструктивных
особенностях таких устройств.
Для студентов университетов и институтов связи, а также радиотехни-
ческих факультетов высших учебных заведений.
ББК 32.845
Учебное издание
Пименов Юрий Вадимович, Вольман Владимир Иосифович,
Муравцов Александр Дмитриевич
ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Учебное пособие
Ведущий редактор в. Н. Вяльцев
Художественный и технический радактор
Компьютерная верстка Р. А. Сафиной
ИБ№2711
ЛР № 010164 от 29.01.97
Сдано в набор 23.08.99
Формат 60x90/16 Бумага офсетная
Усл. печ. л. 33,5 Усл. кр.-отт, 34,0
Изд. № 23637 Зак. № 45
Т. Н. Зыкина
Подписано в печать 05.09.2000
Гарнитура Arial Печать офсетная
Уч.-изд. л. 29,79 Тираж 2000 экз.
Издательство «Радио и связь», 103473 Москва, 2-й Щемиловский пер., 4/5
Типография издательства «Радио и связь», 103473 Москва, 2-й Щемиловский лер., 4/5
ISBN 5-256-01287-8 © Пименов Ю. В., Вольман В. И.,
МуравцовА.Д., 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является вторым существенно переработан-
ным изданием учебника В.И. Вольмана, Ю.В. Пименова "Техниче-
ская электродинамика" под редакцией Г.З. Айзенберга (М.: Связь,
1971). Книга написана в соответствии с государственным образо-
вательным стандартом высшего профессионального образования
по специальностям; 201100 ("Радиосвязь, радиовещание и теле-
видение"), 201000 ("Многоканальные телекоммуникационные сис-
темы"), 200900 ("Системы связи с подвижными объектами"),
071700 ("Физика и техника оптической связи"), а также по специ-
альности 200799 ("Радиотехника"). Книга может быть использова-
на в качестве учебного пособия по общепрофессиональной дисци-
плине "Электромагнитные поля и волны", а также по дисциплинам
"Антенно-фидерные устройства", "Электродинамика и распростра-
нение радиоволн", "Устройства СВЧ", "Спутниковые и радиорелей-
ные системы передачи данных" и др. Предполагается, что студен-
тами усвоены разделы курса физики, посвященные теории элек-
тромагнетизма, а также соответствующие разделы курсов высшей
и вычислительной математики и теории линейных электрических
цепей.
В пособии излагаются основные законы электродинамики.
Статические и стационарные поля рассматриваются как частные
случаи электромагнитного поля. Анализируются вопросы излуче-
ния, распространения и дифракции электромагнитных волн. Дает-
ся представление о постановке и некоторых строгих, асимптотиче-
ских и численных методах решения задач электродинамики. Изла-
гается теория и приводятся сведения о методах анализа, тех-
нических характеристиках и конструктивных особенностях элемен-
тов и устройств высокочастотных трактов, включая оптические.
При подборе этого материала особое внимание уделялось эле-
ментам высокочастотных трактов, применяемых в современных
многоканальных системах связи. Большое внимание уделено фи-
зической трактовке результатов анализа, что, по убеждению авто-
ров, содействует лучшему усвоению материала и развитию науч-
ной инициативы студентов.
Авторы полагают, что учебное пособие может быть использо-
вано не только в университетах и институтах связи Российской
Федерации, но также на радиофакультетах других вузов.
В основу пособия положены лекции, читавшиеся авторами в
Московском техническом университете связи и информатики.
з
Главы 1-8 и §10.5 написаны Ю.В. Пименовым, гл. 9 и 11 —
В.И. Вольманом, §10.1-10.4-совмесгно В.И. Вольманом и Ю.В. Пи-
меновым, гл.15 и §10.6 и 10.7-А.Д. Муравцовым, гл. 12—14 —
А.Д. Муравцовым с частичным использованием материала соот-
ветствующих разделов первого издания, написанных В.И. Воль-
маном. Весь текст книги отредактирован Ю.В. Пименовым.
Авторы с искренней благодарностью вспоминают заслуженно-
го деятеля науки и техники СССР, лауреата Государственных и
Ленинской премий, докт. техн, наук, профессора Григория Захаро-
вича Айзенберга, принявшего исключительно большое участие в
определении содержания и методики изложения первого издания
книги.
Авторы с благодарностью приняли и учли при окончательном
редактировании рукописи ряд ценных замечаний профессора
Э.А. Павловской.
Авторы выражают глубокую благодарность В, В. Калевичу, чьи
многочисленные ценные замечания по первому изданию данной
книги были учтены при ее переиздании.
Авторы весьма признательны заведующему кафедрой "Тех-
нической электродинамики и антенн" МТУСИ заслуженному деяте-
лю науки и техники РФ, докт. техн, наук, профессору Г.А. Ерохину,
сделавшему существенные замечания, которые позволили устра-
нить ряд неточностей и улучшить изложение материала.
Авторы признательны всем приславшим отзывы и замечания
по первому изданию книги и с благодарностью примут все замеча-
ния по данному изданию.
4
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Указаны лишь величины, для которых в книгах по электроди-
намике используются разные обозначения.
i - мнимая единица (i2=-1);
j - плотность тока проводимости;
Е - комплексная мощность;
Хо, Уо> Zo - координатные орты соответствующих переменных
декартовой системы координат;
Го, Оо, Фо - координатные орты соответствующих переменных
сферической системы координат;
Zc - характеристическое сопротивление;
ZB - волновое сопротивление линии передачи;
а - коэффициент ослабления;
₽ - коэффициент фазы;
д° -глубина проникновения;
еиц -абсолютные диэлектрическая и магнитная прони-
цаемости среды;
ёг и цг - относительные диэлектрическая и магнитная про-
ницаемости среды;
е и ц -комплексные диэлектрическая и магнитная про-
“ ницаемости среды;
Л - длина волны в направляющей системе;
П - вектор Пойнтинга;
О - комплексный вектор Пойнтинга;
Р - объемная плотность зарядов;
Ps и js - плотности поверхностных зарядов и токов
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Для обозначения комплексных мгновенных значений величин, яв-
ляющихся гармоническими функциями времени, ставится точка над ос-
новным обозначением, например, вектору Е соответствует комплексный
вектор Е = Emexp(icof), где Ёт - комплексная амплитуда вектора Е,
причем Е = Re Ё.
Сопряженные комплексные величины обозначаются символом * над
буквенным обозначением.
2. Комплексные величины, не являющиеся гармоническими функ-
циями времени, обозначаются черточкой под соответствующим буквен-
ным обозначением, например, Е2 - комплексный поток энергии.
3. Средние за период величины обозначаются нижним индексом
«ср», например, П^- среднее за период значение вектора Пойнтинга.
4. Тензоры и матрицы обозначаются двойными вертикальными ли-
ниями, например, || S || - волновая матрица рассеяния, || е || - тензор абсо-
лютной диэлектрической проницаемости среды.
5
Глава 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В современной физике при рассмотрении многих явлений на-
ряду с понятием вещества вводится понятие поля: электромагнит-
ное, гравитационное, поле ядерных сил и др. Иными словами,
предполагается, что возможны две формы существования мате-
рии: вещество и поле. Несмотря на то, что вещество и электромаг-
нитное поле являются различными формами существования мате-
рии, их свойства сходны во многих отношениях.
Вещество состоит из отдельных частиц: молекул, атомов,
элементарных частиц (протонов, электронов, нейтронов и др.). Но
и распространяющееся электромагнитное поле (электромагнитные
волны) можно рассматривать как поток дискретных частиц-фото-
нов. Электромагнитное поле так же, как и вещество, характеризу-
ется энергией, массой и импульсом. Правда, масса и импульс ха-
рактерны только для распространяющегося электромагнитного
поля (электромагнитных волн). В отличие от вещества электромаг-
нитное поле не обладает массой покоя. Электромагнитные волны
испытывают воздействие гравитационных сил. Известно, что путь
распространения световых волн заметно искривляется под влия-
нием гравитационных сил больших масс вещества, например
Солнца. Импульс электромагнитных волн проявляется в давлении,
которое они оказывают на материальные тела’. С другой стороны,
такие характерные для электромагнитных волн свойства, как ди-
фракция и интерференция, присущи также материальным части-
цам. Известны, например, явления дифракции и интерференции
электронов.
Энергия электромагнитного поля может переходить в другие
виды энергии. Фактически само существование жизни на Земле
обусловлено преобразованием электромагнитной энергии (энергии
солнечных лучей) в тепловую, химическую и другие виды энергии.
'Впервые давление световых волн было экспериментально доказано П.Н.Лебедевым в
1900 г.
6
Классическая, или максвелловская, теория электромагнитного
поля учитывает только макроскопические свойства вещества:
предполагается, что размеры рассматриваемой области простран-
ства и расстояние от источников поля до рассматриваемой точки
велики по сравнению с размерами молекул, а характерное для из-
менения электромагнитного поля время (например, период коле-
баний) велико по сравнению со временем, характерным для внут-
римолекулярных колебательных процессов. На основе классиче-
ской теории электромагнитного поля может быть изучен широкий
круг вопросов, встречающихся в радиотехнике. Классическая тео-
рия поля не охватывает, однако, всех его свойств. За ее предела-
ми остаются такие явления, как излучение и поглощение вещест-
вом электромагнитных волн очень высокой частоты (например,
световых), фотоэффект и др. Строгий анализ подобных явлений
должен учитывать микроструктуру вещества и, следовательно,
должен базироваться на квантовой теории поля. В пределах дан-
ного курса изучается классическая теория электромагнитного поля,
т.е. исследуются только его макроскопические свойства.
Электромагнитное поле обычно разделяют на два взаимосвя-
занных поля: электрическое и магнитное.
Источниками электромагнитного поля являются электрические
заряда. Неподвижные заряды создают только электрическое поле.
Движущиеся заряды создают и электрическое, и магнитное поля.
Токи проводимости и конвекционные токи представляют собой
упорядоченно движущиеся электрические заряды и также создают
электромагнитное поле. Заряды взаимодействуют друг с другом,
причем сила их взаимодействия определяется законом Кулона.
Разделение единого электромагнитного поля на электриче-
ское и магнитное имеет относительный характер: оно зависит от
выбранной системы отсчета. Например, движущийся прямолиней-
но с постоянной скоростью электрический заряд создает вокруг
себя как электрическое, так и магнитное поле. Однако для наблю-
дателя, движущегося в том же направлении с той же скоростью,
этот заряд является неподвижным и, следовательно, создает
только электрическое поле.
Оба поля проявляются в виде механических или, как их при-
нято называть, "пондеромоторных" сил. Если в электрическое поле
внести пробный электрический заряд, то под действием этих сил
он будет перемещаться. Аналогично магнитное поле изменяет на-
правление движения пробного электрического заряда, а также
ориентирует пробный постоянный магнит (магнитную стрелку).
Электрическое поле действует и на неподвижные, и на движущие-
ся заряды, магнитное-только на движущиеся. Действие электро-
магнитного поля обладает определенной направленностью, по-
этому для его описания вводят векторные величины. Рассмотрим
основные векторы, характеризующие электромагнитное поле.
7
1.2. ВЕКТОРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И
КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕД
1.2.1. Векторы электрического поля
Напряженность электрического поля Е определяют как си-
лу, с которой электрическое поле действует на точечный положи-
тельный единичный заряд. Следовательно, между вектором Е и
силой F, действующей на точечный заряд q, существует простая
связь: E = F/g. Заряд q должен быть достаточно малым, чтобы
можно было пренебречь изменением распределения зарядов, соз-
дающих исследуемое поле. Поэтому данное соотношение пра-
вильнее представить в виде
Символ q->0 означает, что уменьшается не только величина заря-
да, но и размеры объекта, на котором распределен заряд.
В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н), заряд-в куло-
нах (Кл), напряженность электрического поля-в вольтах на метр
([Е] = Н/Кл = В-А-с^М’А-с) = ВАл).
Сила взаимодействия зарядов, а следовательно, и напряжен-
ность электрического поля в различных средах различны. Физиче-
ски это объясняется следующим образом. Под действием электри-
ческого поля вещество поляризуется. В результате появляется
дополнительное электрическое поле, которое налагается на пер-
вичное. При этом суммарное электрическое поле оказывается от-
личным от того, каким оно было бы в вакууме.
Поляризация - сложный физический процесс, непосредствен-
но связанный с атомной структурой вещества. Упрощенно этот
процесс можно объяснить следующим образом. Каждый атом со-
стоит из положительно заряженного ядра и окружающих его элек-
тронов. Суммарный заряд атома равен нулю. Соединения атомов
образуют молекулы. Различают полярные и неполярные молеку-
лы. В неполярных молекулах распределение положительных и от-
рицательных зарядов таково, что точка приложения равнодейст-
вующей сил поля, действующих на все электроны, совпадает с
точкой приложения равнодействующей сил поля, действующих на
все протоны. Это, как известно, возможно лишь при условии, что
центр тяжести всех электронов молекулы совпадает с центром тя-
жести всех ее протонов. В полярных молекулах центр тяжести
электронов сдвинут относительно центра тяжести протонов. По-
этому полярную молекулу можно уподобить крошечному электри-
ческому диполю-системе из двух равных по величине и противо-
положных по знаку зарядов (+q и -q), расположенных на некотором
8
малом расстоянии £ друг от друга. Диполи обычно характеризуют
дипольным моментом р. Дипольный момент-вектор, численно
равный произведению величины заряда на расстояние между за-
рядами, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заря-
да к положительному: р=АзР=Аз^, где Дз-орт вектора, соединяю-
щего заряды -q и +q. Размерность дипольного момента-кулон,
умноженный на метр (Кл-м).
Суммарный дипольный момент объема дУ вещества равен
геометрической сумме дипольных моментов р, молекул в этом
объеме. Внешнее электрическое поле оказывает силовое воздей-
ствие на диполь, стремясь повернуть его таким образом, чтобы он
был ориентирован по полю, причем момент приложенных к диполю
сил К = [р, Е] (рис. 1.1).
Неполярные молекулы не обладают собственным диполь-
ным моментом. Однако под действием внешнего электрического
поля в такой молекуле перераспределяется отрицательный за-
ряд, и она становится полярной: у нее появляется дипольный
момент. Дипольные моменты отдельных молекул ориентируют-
ся по полю, и суммарный дипольный момент оказывается от-
личным от нуля. Этот процесс принято называть электронной
поляризацией.
Полярные молекулы обладают собственными дипольными
моментами. В отсутствие внешнего электрического поля диполь-
ные моменты отдельных молекул ориентированы хаотически, и
суммарный дипольный момент равен нулю. Под действием внеш-
него электрического поля происходит ориентация дипольных мо-
ментов отдельных молекул, в результате чего появляется суммар-
ный дипольный момент рассматриваемого объема. Этот процесс
называют ориентационной поляризацией. Очевидно, что ориента-
ционная поляризация всегда сопровождается электронной.
Указанные типы поляризаций являются основными в газо-
образных и жидких средах. Поляризация твердых сред имеет
некоторые особенности, но сущность явления остается той же.
Для характеристики поляризации вводят
вектор поляризованности Р, определяемый
как предел отношения суммарного дипольного
момента вещества в объеме дУ к величине это-
го объема при АУ->0:
Spy
lim 41(1—
дУ
Л р
К
Е
Рис. 1.1
(1.2)
9
Вектор Р измеряется в кулонах на квадратный метр (КлЛл2).
Как уже отмечалось, в классической электродинамике рас-
сматриваемый объем всегда предполагается большим по сравне-
нию с объемом отдельной молекулы. Это относится и к случаю
элементарного объема dV. Поэтому выражение ЛИ >0 нельзя рас-
сматривать в строго математическом смысле: при любом умень-
шении объема ДУ его нужно считать достаточно большим по срав-
нению с объемом молекулы. Аналогичные предположения должны
быть сделаны также относительно элементарной длины d£ и эле-
ментарной площадки dS. В дальнейшем будем считать эти усло-
вия выполненными.
При не очень сильном внешнем поле величину индуцирован-
ного дипольного момента можно считать пропорциональной на-
пряженности электрического поля:
Р = ео/Е. (1.3)
Входящий в формулу (1.3) безразмерный параметр х характе-
ризует среду и называется диэлектрической восприимчивостью
среды. Постоянный коэффициент eq называется электрической
постоянной. Его величина зависит от выбора системы единиц. В
системе СИ £0 = Ю"эДЗб7г), [ФЛл].
При рассмотрении многих процессов удобно ввести вектор D,
связанный с вектором Р соотношением
D = е0Е + Р. (1.4)
С учетом (1.3) формулу (1.4) можно представить в виде
D = еЕ, (1.5)
где е = е0(1 + х). Вектор D принято называть вектором электриче-
ского смещения, а параметр в- абсолютной диэлектрической
проницаемостью среды. Так как диэлектрическая восприимчи-
вость вакуума считается равной нулю (х=0), то электрическую по-
стоянную Е0 можно рассматривать как абсолютную диэлектриче-
скую проницаемость вакуума. Электрическое смещение D измеря-
ется в кулонах на квадратный метр (КлЛл2), диэлектрическая
проницаемость-в фарадах на метр (ФАл). Наряду с в часто вводят
относительную диэлектрическую проницаемость среды ег, свя-
занную с в соотношением
Е = ЕоЕр (1.6)
Относительная диэлектрическая проницаемость может быть
выражена через диэлектрическую восприимчивость: ег = 1 + х-
Подчеркнем, что соотношения (1.3) и (1.5) являются прибли-
женными. В большинстве, сред пропорциональность векторов Е и
ю
р, а следовательно, и векторов Е и D нарушает- X г0
ся в сильных электрических полях. В некоторых /
веществах это происходит даже при сравните- f
льно слабых полях. Кроме того, параметры % и е у
зависят от скорости изменения вектора Е: моле- &
кулы имеют инерцию и требуется некоторое Q
время, чтобы их дипольные моменты изменили Рис.1.2
ориентацию под действием поля. В исследуемых
в книге вопросах соотношение (1.5) можно считать справедливым.
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое точечным за-
рядом Q, расположенным в безграничной среде, у которой е-ска-
лярная постоянная (е = const). Такую среду называют однородной и
изотропной по отношению к электрическому полю. Определение
этих терминов будет дано ниже (см.1.2.3). Согласно закону Кулона
сила, с которой точечный заряд Q в рассматриваемом случае дей-
ствует на точечный заряд q,
F = r0
Qq
4irsr2 ’
где r-расстояние между зарядами Q и q, а г0-единичный вектор,
направленный вдоль гот Q к q (рис.1.2). Из этой формулы и опре-
деления вектора Е (1.1) следует, что напряженность электрического
поля, создаваемого точечным зарядом Q,
Е = г0
Q
4m: г2
(1.7)
Переходя к вектору D на основе равенства (1.5), замечаем,
что вектор D в однородных изотропных средах не зависит от в.
Следовательно, при в = const и одинаковом распределении сво-
бодных зарядов вектор D имеет одинаковые значения в разных
средах, т.е. не зависит от "связанных" зарядов вещества. Эта осо-
бенность вектора D в однородных изотропных средах характерна
не только для поля точечного заряда, но и для поля, созданного
любым более сложным распределением зарядов.
Под действием электрического поля в среде, обладающей
проводимостью, возникает электрический ток (ток проводимости),
распределение которого удобно характеризовать вектором плот-
ности тока проводимости
.... д/
j = i0 lim —,
(1.8)
где io-единичный вектор, показывающий направление тока (на-
правление движения положительных зарядов) в рассматриваемой
точке М; iS-плоская площадка, содержащая точку М, располо-
женная перпендикулярно вектору i0, аД/-ток проводимости, про-
11
текающий через AS. Вектор j часто называют также вектором
объемной плотности тока проводимости. Как видно из (1.8), вектор
j измеряется в амперах на каадратный метр (А/м2).
Вектор j связан с вектором Е соотношением
j = <JE, (1.9)
которое представляет собой закон Ома в дифференциальной
форме. Коэффициент пропорциональности о называют удельной
проводимостью среды и измеряют в сименсах на метр (См/м).
1.2.2. Векторы магнитного поля
Сила, с которой электромагнитное поле воздействует на
точечный электрический заряд, зависит не только от место-
положения и величины заряда, но и от скорости его движения. Эту
силу обычно раскладывают на две; электрическую и магнитную.
Электрическая сила не зависит от движения заряда:
Fa = gE. (1.10)
Магнитная сила F„ зависит от величины и направления
скорости v движения заряда и всегда перпендикулярна ей;
F„ = Q[v,B]. (1.11)
Здесь В - вектор магнитной индукции, характеризующий
силовое воздействие магнитного поля. Как видно, магнитная
индукция численно равна силе, с которой магнитное поле дей-
ствует на единичный точечный положительный заряд, движущийся
с единичной скоростью перпендикулярно линиям вектора В.
Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл) или, что то же
самое, в веберах на квадратный метр (Вб/м2). Размерность
следует, например, из формулы (1.11); (B] = [F]/([g](y|) = Нс/(Кп-м) =
= (В-А-с2/м)/(А-с-м) = В'С/м2 = Вб/м2 = Тл.
Полная сила, действующая на точечный заряд q, находя-
щийся в электромагнитном поле (лоренцова сила),
F = qE + q(v, В]. (1.12)
Магнитное поле действует, конечно, не только на отдельные
движущиеся заряды, но и на проводники, по которым течет
электрический ток. Например, сила F, с которой однородное
магнитное поле действует на прямолинейный проводник длиной £
с током /, определяется экспериментально установленным законом
F = / £ &, В],
(1.13)
12
где 4-единичный вектор, направление кото-
рого совпадает с направлением тока, т.е. с
направлением движения положительных за-
рядов в проводнике. Отметим, что формула
(1,13) является следствием формулы (1.11).
Если в магнитное поле внести дос-
таточно малую плоскую рамку, обтекаемую
током /, то на нее будет действовать момент
Рис.1.3
сил К, стремящийся повернуть рамку таким
образом, чтобы ее плоскость была перпендикулярна вектору В
(достаточная малость рамки определяется из требования, чтобы в
ее пределах магнитное поле можно было считать однородным).
Рассмотрим рамку, показанную на рис.1.3. Токи, протекающие
вдоль сторон аЬ и cd рамки, направлены противоположно друг
другу. Поэтому силы, с которыми магнитное поле действует на
элементы ab и cd рамки, будут согласно формуле (1.13) равны по
величине и противоположны по направлению. Следовательно, на
рамку abed будет действовать пара сил, стремящихся ее по-
вернуть. Момент сил, действующий на достаточно малую плоскую
рамку с площадью S, находящуюся в магнитном поле, опреде-
ляется выражением К = /S [п0, В], где п0-орт нормали к плоскости
рамки, образующий с направлением тока, обтекающего рамку,
правовинтовую систему. Рамки с током обычно характеризуют
величиной m = n0/S, называемой магнитным моментом рамки.
Размерность вектора m-ампер, умноженный на каадратный метр
(Ам2). Выражая момент сил К через магнитный момент рамки,
получаем К = [тп, В]. Отметим, что данное выражение для К
аналогично записанному выше выражению для момента сил,
действующего на диполь, находящийся в электрическом поле. Как
видно, момент сил, действующий на рамку, находящуюся в
магнитном поле, стремится повернуть ее так, чтобы момент рамки
совпадал с направлением вектора В. Величина вектора В зависит
от свойств среды. Физически это объясняется следующим обра-
зом. Под действием магнитного поля вещество намагничивается. В
результате появляется дополнительное магнитное поле, которое
налагается на первичное. При этом суммарное магнитное поле
оказывается отличным оттого, каким оно было бы в вакууме.
Явление намагничивания-сложный физический процесс, не-
посредственно связанный с атомной структурой вещества. Упро-
щенно его можно представить следующим образом. Атомы и
молекулы многих веществ обладают магнитным моментом и могут
быть уподоблены маленьким рамкам с током. Каждая рамка с
током, как известно, создает собственное магнитное поле, про-
порциональное магнитному моменту. В отсутствие внешнего маг-
нитного поля магнитные моменты молекул, как правило, направ-
13
лены хаотически и суммарный магнитный момент рассматри-
ваемого объема ДУ, представляющий собой геометрическую
сумму магнитных моментов т, отдельных молекул в объеме ДУ,
равен нулю, т.е. магнитные поля отдельных молекул взаимно
компенсируются. Под действием внешнего магнитного поля проис-
ходит ориентация магнитных моментов отдельных молекул, и
суммарный магнитный момент оказывается отличным от нуля.
Образующееся в результате намагничивания дополнительное
магнитное поле может как ослаблять, так и усиливать первичное
поле. Среды, в которых магнитное поле ослабляется, называют
диамагнитными, среды, в которых поле незначительно усилива-
ется, называют парамагнитными, а среды, в которых происходит
существенное усиление магнитного поля,-ферромагнитными.
Явление намагничивания и особенности свойств ферромагнитных
сред более подробно рассмотрены в гл.14.
Намагниченность среды характеризуется вектором намагни-
ченности М, который определяют как предел отношения сум-
марного магнитного момента вещества в объеме ДУ к величине
этого объема при ДУ-»0.ь
М = lim ГУп^/АУ (1.14)
Вектор М измеряется в амперах на метр (А/м).
При рассмотрении многих процессов удобно вместо вектора М
ввести вектор Н, связанный с М соотношением
Н = —-М, (1.15)
Ио
где ро-постоянная величина, называемая магнитной постоян-
ной, значение и размерность которой зависят от выбора системы
единиц. В системе СИ цо = 4-1О-7 Гн/м.
Вектор Н принято называть вектором напряженности маг-
нитного поля. Он, как и вектор М, измеряется в амперах на метр
(А/м).
При не очень сильном внешнем магнитном поле можно счи-
тать, что вектор М пропорционален вектору В. В силу линейности
уравнения (1.15) можно также считать пропорциональными
векторы М и Н:
М=ХтН. (1.16)
Безразмерный коэффициент х™ называют магнитной вос-
приимчивостью среды. У диамагнитных сред параметр %т отри-
цательный, у парамагнитных и ферромагнитных-положительный.
У диамагнитных и парамагнитных сред |хт(<к1, у ферромаг-
нитных хт значительно больше единицы.
14
Подставляя формулу (1.16) в (1.15), получаем
В = ц Н, (1.17)
где ц = цо(1 + %т). Коэффициент пропорциональности ц между В и
Н называют абсолютной магнитной проницаемостью среды. В
системе СИ ц измеряется в генри на метр (Гн/м). Магнитная
восприимчивость вакуума считается равной нулю, поэтому маг-
нитную постоянную цо можно рассматривать как абсолютную
магнитную проницаемость вакуума.
Наряду с абсолютной магнитной проницаемостью среды ц
вводят также относительную магнитную проницаемость цЛ
связанную с ц соотношением
ц = РоЦл (1.18)
Очевидно, что щ = 1 +
Отметим важное свойство вектора Н. В средах, в которых ц -
скалярная постоянная (такие среды называют однородными и
изотропными по отношению к магнитному полю; термины оп-
ределены в 1.2.3), вектор Н не зависит от ц. Поэтому при
одинаковых источниках магнитного поля значения вектора Н в
разных однородных изотропных средах будут одинаковы.
Для большинства сред при не очень сильных полях уравнение
(1.17) правильно передает взаимосвязь между векторами В и Н.
При этом для диамагнитных и парамагнитных веществ цг обычно
можно считать скалярной величиной, а для намагниченных
ферромагнитных веществ цЛ является тензором. Однако необ-
ходимо помнить, что уравнения (1.16) и (1.17), как и аналогичные
уравнения для электрического поля (1.3) и (1.5), являются
приближенными. Магнитная восприимчивость, а следовательно, и
магнитная проницаемость ферромагнитных сред существенно
зависят от величины магнитного поля. Кроме того, в ферро-
магнитных материалах намагниченность среды зависит не только
от величины магнитного поля в данный момент, но и от того, как
оно изменялось раньше (явление магнитного гистерезиса).
Подчеркнем, что векторы электромагнитного поля были
введены в результате обобщения огромного числа экспери-
ментальных данных, выражением которых являются основные
законы электромагнитного поля (закон Кулона, закон Фарадея
и др.).
1.2.3. Классификация сред
Свойства среды по отношению к электромагнитному полю
определяются параметрами е, ц и ст. Различают следующие среды:
15
линейные, в которых параметры е, р и ст не зависят от
величины электрического и магнитного полей, и
нелинейные, в которых параметры е, ц и ст (или хотя бы один
из них) зависят от величины электрического или магнитного поля.
Все реальные среды, по существу, являются нелинейными.
Однако при не очень сильных полях во многих случаях можно
пренебречь зависимостью параметров е, р, ст от величины элект-
рического и магнитного полей и считать, что рассматриваемая
среда линейна. В дальнейшем будут рассматриваться только
линейные среды.
В свою очередь, линейные среды делятся на однородные и
неоднородные, изотропные и анизотропные.
Однородными называют среды, параметры е, р и ст которых не
зависят от координат, т.е. свойства среды одинаковы во всех ее
точках. Среды, у которых хотя бы один из параметров е, р или ст
является функцией координат, называют неоднородными.
Если свойства среды одинаковы по разным направлениям, то
среду называют изотропной. Соответственно среды, свойства
которых различны по разным направлениям, называют анизо-
тропными. В изотропных средах векторы Р и Е, D и Е, а также М и
Н, В и Н параллельны, а в анизотропных средах они могут быть не
параллельными. В изотропных средах е, р и ст-скалярные вели-
чины. В анизотропных по крайней мере один из этих параметров
является тензором. К анизотропным средам относятся, например,
кристаллические диэлектрики, намагниченная плазма и намаг-
ниченный феррит. В кристаллическом диэлектрике и намагни-
ченной плазме тензором является диэлектрическая проницае-
мость е. При использовании декартовой системы координат в
общем случае тензор диэлектрической проницаемости может быть
записан в виде матрицы
(1.19)
Величины Еху, ... называют компонентами тензора ||е||. В
частных случаях некоторые из них могут равняться нулю. Форма
уравнения (1.5) остается прежней:
D= Це||Е.
(1-20)
Чтобы записать уравнение (1.20) в проекциях на оси де-
картовой системы координат х, у, г, нужно раскрыть правую часть
уравнения (1.20) по обычным правилам умножения матриц. В
результате получим:
Dy =8^Ex + 8wEr+E„E„
Еу + Egf Еу+ Ez.
(1.21)
16
Непаралдельность векторов D и Е (а также Р и Е) в
анизотропной среде объясняется тем, что в общем случае на-
правление возникающего в результате поляризации анизотропной
среды вторичного электрического поля, созданного связанными
зарядами вещества, составляет некоторый угол (отличный от 0 и
л) с направлением первичного электрического поля.
В намагниченной ферромагнитной среде тензором является
магнитная проницаемость. В общем случае в декартовой системе
координат тензор магнитной проницаемости может быть пред-
ставлен в виде
1Ы! =
Р’ХЖ Мчг
М-р; Нуу М-р
М-а М-гу ^zz
(1.22)
При этом форма уравнения (1.17) сохраняется:
В=Ц ц || Н.
(1.23)
Записывая уравнение (1.23) в проекциях на оси декартовой
системы координат х, у, z, приходим к формулам, аналогичным
(1.21).
Удельная проводимость ст также может быть тензорной ве-
личиной. Для таких сред закон Ома в дифференциальной форме
(1.9) принимает вид j = ЦоЦ-E.
1.2.4. Графическое изображение полей
Векторное поле обычно изображают с помощью линий,
которые в каждой точке касаются характеризующего его вектора
(рис.1.4). Их называют векторными линиями. Чтобы дать пред-
ставление о величине поля, векторные линии проводят так, чтобы
их число на единицу площади, расположенной перпендикулярно
линиям, было пропорционально величине вектора. Там, где поле
сильнее, линии проводят гуще, там, где оно слабее,-реже. Линии
2-45
17
Рис. 1.4
Рис.1.5
векторов, являющихся силовыми характеристиками поля, напри-
мер, линии векторов Е и В, обычно называют силовыми линиями
поля.
Пусть некоторое поле характеризуется вектором а и Г-одна
из линий этого вектора (рис. 1.5). Начало декартовой системы
координат х, у, z расположено в точке О. Проведем радиусы-
векторы г и Ti^r+dr в точки Л/ и ЛА соответственно, рас-
положенные на кривой г достаточно близко друг к другу.
Приращение радиуса-вектора dr можно записать в виде dr = xGdx +
+ yQdy + zodz, где x0, y0 и zq-координатные орты переменных х, у
и z соответственно. Так как кривая Г-линия вектора а, то вектор
dr должен быть параллелен вектору а, следовательно,
(1.24)
а. а а,
где а„ = ах(х, у, z), ау = ау(х, у, z) и az= а7(х, у, z)-проекции
вектора а на оси X, Y и 2 соответственно. Соотношение (1.24)
представляет собой уравнение линий вектора а.
1.3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
1.3.1. Первое уравнение Максвелла
Для описания электромагнитного поля было введено шесть
векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е,
Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М,
Н-соотношением (1.15), то для определения электромагнитного
поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно
в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В
линейных изотропных средах, для которых справедливы соот-
ношения (1.5) и (1.17), электромагнитное поле может быть пол-
ностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).
Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопи-
ческой электродинамике, подчиняются законам, впервые сформу-
лированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Макс-
веллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения
были получены в результате обобщения накопленных к тому
времени экспериментальных данных и называются уравнениями
Максвелла.
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона
полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке
это уравнение могло быть сформулировано следующим образом:
циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замк-
нутому контуру Г равна току I, пронизывающему данный контур:
18
fHd£ = /, (1.25)
г
где d£=Toctf-элемент контура г, направленный по касательной к
Г; То-орт этой касательной, положительное направление кото-
рого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В каче-
стве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый
контур.
До Максвелла под током / понимали только ток проводимости.
В общем случае распределение тока / внутри контура Г может
быть неравномерным. При этом
( = fjdS, (1.26)
S
где j-вектор плотности тока проводимости; S-произвольная
поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = nodS, а п0-орт
нормали к поверхности S (рис.1.6). Направление вектора л0
определяется направлением обхода контура Г. Пусть для оп-
ределенности все точки поверхности S расположены с одной
стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль
вектора л0, обход контура Г будет идти по часовой стрелке. Такую
взаимосвязь направлений вектора п0 и обхода контура для
краткости будем условно называть правовинтовой системой.
Подставляя (1.26) в (1.25), получаем
fHd£ = JjdS, (1.27)
г S
Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, ока-
зывается неверным в случае переменных процессов. Дейст-
вительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь пере-
менного тока (рис.1.7). Пусть Г-замкнутый контур, охваты-
вающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть
уравнения (1.27) представляет собой интеграл от плотности тока
проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на
контур г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо
пересекла провод (поверхность Si на рис.1.7), либо прошла между
обкладками конденсатора (поверхность S2). Интеграл в правой
части уравнения (1.27) в первом случае равен току /, а во втором
обращается в нуль. В то же время циркуляция напряженности
k"o t
sAs\ — j
2*
19
Рис. 1.6
Рис. 1.7
магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит
от того, как проведена поверхность S. Это противоречие сви-
детельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания
переменных полей.
Максвелл дал обобщенную формулировку закона полного
тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, ос-
новываясь на работах Фарадея, предположил, что в случае
переменных полей ток смещения с точки зрения образования
магнитного поля равноценен току проводимости. Примером эле-
ктрической системы, в которой преобладают токи смещения,
может служить рассмотренный выше конденсатор в цепи пе-
ременного тока. Переменный ток может циркулировать между
обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены
идеальным диэлектриком или находятся в вакууме и, следо-
вательно, образование тока проводимости невозможно. Соеди-
нительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен
кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют
"оболочку" вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта
’’оболочка" не обрывается у пластин конденсатора, а образует
непрерывную поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле
конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного
поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и
ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля.
Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, полу-
чившем название тока смещения. Плотность тока смещения оп-
ределяется формулой
jc“=3D/at (1.28)
Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/мг.
Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме
имеют различную физическую сущность. Ток проводимости-это
упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток
смещения в вакууме соответствует только изменению электри-
ческого поля и не сопровождается каким-либо движением элект-
рических зарядов. В вакууме D = е0Е и уравнение (1.28) принимает
вид jc" = coSE/St Ток смещения в вакууме не сопровождается
выделением тепла.
Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в
какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с
векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение
в (1.28), получаем
ЭЕ ЭР
J = е°аГаГ
Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с
выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. оп-
20
ределяет как бы "чистый" ток смещения, не связанный непо-
средственно с движением зарядов. Второе слагаемое определяет
ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с
атомами вещества, в результате действия переменного поля. Эту
составляющую тока смещения можно рассматривать как свое-
образный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена
упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее под-
держание в реальной среде затрачивается некоторая часть
энергии электромагнитного поля.
Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Макс-
велл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер,
так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было
справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую
часть помимо тока проводимости / ввести ток смещения
fHd£=/+/“ (1.29)
г
Ток смещения выражается через плотность тока смещения f*
соотношением
/CM = fjCMdS=f~dS. (1.30)
s s St
Подставляя формулы (1.26) и (1.30) в (1.29), получаем
fH <U= JjdS + j—dS. (1.31)
г s 3
Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру
конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение
Максвелла в интегральной форме.
Максвеллом этот закон был сформулирован также в диф-
ференциальной форме. Для перехода к дифференциальной фор-
ме воспользуемся теоремой Стокса (П.20). Заменяя в уравнении
(1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot Н по поверхности S,
получаем
JrotHdS=J[j + — ]dS. (1.32)
Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32)
возможно только в том случае, если
rotH - (1.33)
Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла.
Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным урав-
нениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид
21
дНг дНу_ дРх '
sy dz li dt ’
дНх 8HZ dPy
5z 5x fy dt '
5Hy дНх . dP
dx dy 1 dt
1.3.2. Второе уравнение Максвелла
Второе уравнение Максвелла является обобщением закона
индукции Фарадея, который формулируется следующим образом:
если замкнутый контур Г пронизывается переменным магнитным
потоком Ф, то в контуре возникает ЭДС е, равная скорости
изменения этого потока:
e=-d®!dt. (1.34)
Знак минус в правой части формулы (1.34) означает, что
возникающая в контуре ЭДС всегда как бы стремится вос-
препятствовать изменению потока, пронизывающего данный кон-
тур. Это положение известно под названием "правило Ленца”.
До Максвелла считалось, что уравнение (1.34) справедливо
только в случае проводящего контура Г. Максвелл предположил,
что это уравнение будет справедливо и в том случае, когда
рассматриваемый контур представляет собой замкнутую линию,
проведенную в непроводящей среде.
Пусть Г-произвольный одновитковый замкнутый контур, a S-
произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г (рис.1.6).
Электродвижущая сила, наводимая в этом контуре
e = fEd£, (1.35)
г
а магнитный поток Ф связан с вектором В соотношением
O=fBdS, (1.36)
s
где dS = nodS; п0-орт нормали к поверхности S, образующий
правовинтовую систему с обходом контура Г (рис.1.6). Подставляя
(1.35) и (1.36) в (1.34), получаем
(EdZ ^fBdS. (1.37)
г dt $
Соотношение (1.37) сформулировано для контура конечных
размеров и называется вторым уравнением Максвелла в интег-
22
ральной форме. Максвеллом это уравнение было сформули-
ровано также в дифференциальной форме.
Предположим, что контур Г неподвижен и не изменяется со
временем. В этом случае производную по времени в правой части
уравнения (1.37) можно внести под знак интеграла. Преоб-
разовывая левую часть равенства (1.37) по теореме Стокса, имеем
jrOtEdS-- J^dS. (1.38)
s S®
Так как S-произвольная поверхность, соотношение (1.38)
возможно только в том случае, если
rotE = -—. (1.39)
dt
Равенство (1.38) называют вторым уравнением Максвелла.
Переходя к декартовой системе координат х, у, z, получаем три
скалярных уравнения:
5Е; дЕу _ авх
ay " dz dt
а ех 5Ег Му
dz ах dt
dEy ЭЕ, dB2
дх Эу dt
1.3.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла
Третье уравнение Максвелла является обобщением закона
Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает
поток вектора электрического смещения через произвольную
замкнутую поверхность S с зарядом Q, сосредоточенным внутри
этой поверхности;
pdS-Q, (1.40)
s
где dS = nodS; n0 - орт внешней нормали к поверхности S.
До Максвелла уравнение (1.40) рассматривалось только в
применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что оно
справедливо и в случае переменных полей.
Заряд Q может быть произвольно распределен внутри
поверхности S. Поэтому в общем случае
Q = JpdV, (1.41)
23
где р-объемная плотность зарядов; V'-объем, ограниченный
поверхностью S. Объемная плотность зарядов
р= lim (1.42)
К Д У-»0 Д у ' ’
где AQ - заряд, сосредоточенный в объеме ДУ. Размерность р-
кулон на кубический метр (Кл/м3).
Подставляя (1.41) а (1.40), получаем
fDdS=fpdV. (1.43)
S 1/
Уравнение (1.43) обычно называют третьим уравнением
Максвелла в интегральной форме. Для перехода к диффе-
ренциальной форме преобразуем левую часть этого уравнения по
теореме Остроградского-raycca (П.19). В результате получим
JdivDdy= J pdV.
V V
Это равенство должно выполняться при произвольном объеме
V, что возможно только в том случае, если
divD = p. (1.44)
Соотношение (1.44) принято называть третьим уравнением
Максвелла. В декартовой системе координат оно записывается в
виде
dDx 5Dy 5D2
—- +—- +—p.
8x dy dz
Из равенства (1.44) следует, что дивергенция вектора D
отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются сво-
бодные заряды. В этих точках линии вектора D имеют начало
(исток) или конец (сток). Линии вектора D начинаются на поло-
жительных зарядах и заканчиваются - на отрицательных.
В отличие от вектора D истоками (стоками) вектора Е могут быть как
свободные, так и связанные заряды. Чтобы показать это. перепишем уравнение
(1.44) для вектора Е, Подстаапяя соотношение (1.4) в (1.44), получаем so div Е = р -
- div Р. Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл объемной
плотности зарядов рР, возникающих в результате неравномерной поляризации
среды (такие заряды будем называть поляризационными)-.
divP=-pp. (1.-45)
Поясним возникновение поляризационных зарядов на следующем примере.
Пусть имеется поляризованная среда (рис. 1.8). Выделим мысленно внутри нее
объем ДУ, ограниченный поверхностью AS. В результате поляризации в среде
происходит смещение зарядов, связанных с молекулами вещества. Если объем ДУ
мал, а поляризация неравномерная, то в объем ДУ с одной стороны может войти
больше зарядов, чем выйдет с другой (на рис.1.8 объем ДУ показан пунктиром).
Подчеркнем, что поляризационные заряды являются "связанными" и возникают
только под действием электрического поля. Знак минус в формуле (1.45) следует из
24 v
000000000033
0 ОЮ-0-0-OiO 3
Р0 0|0 0 0;0 о
о 0ЧЭ-Ф-!0 0
0 0 0 0 0
Рис Л .8
Рис.1.9
определения вектора Р (см. 1.2.1). Линии вектора Р начинаются на отрицательных
зарядах и оканчиваются на положительных. С учетом формулы (1.45) приходим к
соотношению е0 div Е = р + рр, из которого и следует сделанное выше утверяадение,
что истоками (стоками) линий вектора Е (силовых линий электрического поля)
являются как свободные, так и связанные заряды.
Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме сов-
падает с законом Гаусса для магнитного поля, который можно
сформулировать следующим образом. Поток вектора В через
любую замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.
(BdS O. (1.46)
в
Это означает, что не существует линий вектора В, которые только
входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только выходят
из поверхности S): они всегда пронизывают ее (рис.1.9).
Уравнение (1.46) называют четвертым уравнением Макс-
велла в интегральной форме. К дифференциальной форме урав-
нения (1.46) можно перейти с помощью теоремы Остроградского-
Гаусса так же, как это было сделано в случае третьего уравнения
Максвелла. В результате получим
div В = 0. (1.47)
Уравнение (1.47) представляет собой четвертое уравнение Макс-
велла. Оно показывает, что в природе отсутствуют уединенные
магнитные заряды одного знака. Из этого уравнения также
следует, что линии вектора В (силовые линии магнитного поля)
являются непрерывными.
1.4. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ЗАКОН
СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДОВ
Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное
соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем
дивергенцию от обеих частей равенства (1.33). Учитывая, что
дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя
уравнение (1.44), получаем
25
divj + |B = o. (1.48)
Правая часть уравнения (1.33) представляет собой сумму
плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность
полного тока ]полн= j+ dDfdt, поэтому уравнение (1.48) эквива-
лентно условию divjnonH=0. Равенство нулю дивергенции какого-
либо вектора означает непрерывность линий этого вектора.
Следовательно, уравнение (1.48) показывает, что линии плотности
полного тока являются непрерывными, в то время как линии
плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и
конец. Например, линии плотности тока проводимости начинаются
в тех точках пространства, где плотность зарядов уменьшается, и
оканчиваются там, где плотность зарядов возрастает.
Уравнение (1.48) тесно связано с законом сохранения заряда
и по существу является его дифференциальной формой. Закон
сохранения заряда можно сформулировать следующим образом.
Всякому изменению величины заряда, распределенного в неко-
торой области, соответствует электрический ток /, втекающий в эту
область или вытекающий из нее:
l=-dQ/dt. (1.49)
Покажем, что формулу (1.49) можно получить из уравнения
(1.48). Проинтегрируем последнее по объему V. Преобразовывая
левую часть получающегося равенства по теореме Остроград-
ского-Гаусса, а в первой части меняя порядок интегрирования и
дифференцирования, приходим к уравнению
f jdS = -^f рйУ, (1.50)
s Oi v
совпадающему с (1.49). Ток I — £jdS положителен (т.е. вытекает
s
из объема V), если заряд Q = fpdl/ уменьшается, и, наоборот,
V
отрицателен (т. е. втекает в объем V), если заряд увеличивается.
Подчеркнем, что под током / в законе сохранения заряда пони-
мается ток через всю поверхность S, ограничивающую объем V.
Например, если в цилиндрическом проводнике мысленно выде-
лить объем V, как показано на рис.1.10, то ограничивающая этот
объем поверхность S будет состоять
S-I S3 S2 из Трех частей: S = Si + S2 + 5з, и при
/\ X m определении / нужно учесть токи, про-
4-4—"W—Ôà текающие через оба торца (Si и S2) и
К2 ж v W—боковую поверхность (S3) рассматри-
Рис.1.1о ваемого цилиндрического объема V.
26
Закон сохранения заряда (1.50) был получен из уравнения
непрерывности. Очевидно, можно было бы поступить наоборот:
постулировать закон сохранения заряда как экспериментальный
закон, а из него независимо от уравнений Максвелла вывести
уравнение непрерывности.
Используя уравнение непрерывности, можно обосновать по-
стулированное ранее соотношение (1.28), определяющее вектор
плотности тока смещения. Действительно, применяя теорему
Стокса к левой части уравнения (1.27), выражающего закон
Ампера, приходим к равенству
rot Н = j. (1-51)
Так как div rot Н = 0, то из соотношения (1.51) следует, что div j = 0.
Последнее равенство заведомо несправедливо для переменных
процессов, так как в этом случае должно выполняться уравнение
непрерывности (1.48), вытекающее из закона сохранения заряда
(1.50). Чтобы уравнение (1.51) стало пригодным для переменных
процессов, его надо видоизменить, добавив в его правую часть
некоторую функцию, имеющую размерность плотности тока и
удовлетворяющую условию, что ее дивергенция равна Spldt. В
качестве такой функции следует взять функцию dD/dt, так как
указанное условие будет выполнено в силу третьего уравнения
Максвелла (1.44). Получающееся при этом уравнение будет
полностью совпадать с первым уравнением Максвелла (1.33).
Отметим, что уравнение (1.33) было получено Максвеллом на
основе аналогичных рассуждений.
1.5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1.5.1. Физическая сущность уравнений Максвелла
Выше были рассмотрены основные уравнения электроди-
намйки. Каждое из них описывает те или иные свойства эле-
ктромагнитного поля. Анализ электромагнитных процессов возмо-
жен только на основе системы уравнений электродинамики. Такой
системой являются уравнения Максвелла
. и 3D
rotH= i + —,
dt
ав
ГО‘Е = --, .
div D = р,
div В = 0
(1-52)
27
совместно с уравнениями, связывающими векторы D и Е, В и Н, j и
Е, которые в случае линейных изотропных сред имеют вид
D = gE,
В - цН,
j = стЕ.
(1.53)
Уравнения (1.53) часто называют уравнениями состояния, а также
материальными уравнениями; они характеризуют среду. Напом-
ним, что в случае линейных анизотропных сред уравнения (1.52)
остаются без изменения, а в уравнениях (1.53) параметры е, ц, ст
(по крайней мере один из них) будут тензорами (см. 1.2.3).
Наряду с уравнениями Максвелла в дифференциальной
форме в ряде случаев удобно использовать уравнения Максвелла
в интегральной форме:
fHd^J jdS+|^.dt,
Г S S О1
4E(U = —^-[BdS,
г dts (1.54)
fDdS =fpdV,
s v
fBdS = O.
s
На основе уравнений Максвелла можно сделать следующие
выводы относительно свойств электромагнитного поля. Электри-
ческое и магнитное поля тесно связаны между собой. Всякое
изменение одного из них вызывает изменение другого. Незави-
симое существование одного поля без другого (например, элект-
рического без магнитного, или магнитного без электрического)
возможно только в статическом случае. Источниками электро-
магнитного поля являются заряды и токи. Магнитное поле всегда
вихревое, электрическое поле может быть и вихревым, и потен-
циальным и в общем случае представляет собой суперпозицию
таких полей. Чисто потенциальным электрическое поле может
быть только в статическом случае. Векторные линии электричес-
кого поля могут иметь истоки и стоки. Векторные линии магнитного
поля (и линии вихревого электрического поля) всегда непрерывны.
Применяя уравнение (1.31) к достаточно малому контуру, можно
показать, что замкнутая линия магнитного поля, расположенная в
непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывает
линию плотности полного тока, проходящую через эту точку, и
образует с ней правовинтовую систему (рис. 1.11). в общем случае
направление линии магнитного поля определяется знаком сум-
28
в, н
Рис.1.11
Рис.1.12
марного тока, сцепленного с этой линией. Аналогично из урав-
нения (1.37) следует, что замкнутая линия вихревого электри-
ческого поля, расположенная в непосредственной близости к
рассматриваемой точке, охватывает проходящую через эту точку
линию вектора 5BZ3t и образует с ней левовинтовую систему
(рис.1.12).
Уравнения, входящие в полную систему уравнений Максвелла
(1.52) и (1.53), являются линейными уравнениями. Поэтому можно
утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу
суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно
рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником.
1.5.2, Классификация электромагнитных явлений
Система уравнений Максвелла охватывает всю совокупность
электромагнитных явлений, относящихся к макроскопической
электродинамике. В ряде частных случаев уравнения Максвелла
упрощаются. Самым простым является случай, когда поле не
зависит от времени и, кроме того, отсутствует перемещение
заряженных частиц (j = 0). При этих условиях система уравнений
(1.52) и (1.53) распадается на две независимые системы;
rot Е = 0, div D = р, D = еЕ (1.55)
и
rotH = 0, div В = 0, В = ИН. (1.56)
Уравнения (1.55) содержат только векторы электрического
поля, а (1.56)-только векторы магнитного поля. Это означает, что
в данном случае электрические и магнитные явления независимы.
Явления, описываемые системой уравнений (1.55), принято
называть электростатическими. Электростатические поля-это
поля, созданные неподвижными, неизменными по величине за-
рядами. Система уравнений (1.55) является полной системой
дифференциальных уравнений электростатики.
Уравнения (1.56) характеризуют поля, создаваемые постоян-
ными магнитами. Они также могут быть использованы для анализа
свойств магнитного поля, созданного постоянными оками в об-
ласти, в которой плотность тока проводимости равна нулю (j = 0) и
которая не сцеплена с током (не охватывает его линий). Явления,
описываемые системой (1.56), называют магнитостатическими,
а соотношения (1.56) - уравнениями магнитостатики.
29
При наличии постоянного тока электрическое и магнитное
поля уже нельзя считать независимыми. Электромагнитное поле,
созданное постоянными токами, называют стационарным элек-
тромагнитным полем. Система уравнений Максвелла в этом
случае принимает вид
rot Н — j, div В = О, В = цН, j = оЕ,1
rot Е -- 0, div D -- р. D = ;:Е.
В качестве самостоятельного класса выделяют также так
называемые квазистационарные процессы, т.е. процессы, проте-
кающие достаточно медленно. В этом случае в первом уравнении
Максвелла при наличии тока проводимости можно пренебречь
током смещения: rot Н = j. Однако в тех случаях, когда токов
проводимости нет (например, емкость в цепи переменного тока),
токи смещения необходимо учитывать, при этом rot Н dD/dt.
Второе уравнение Максвелла при анализе квазистационарных
процессов записывается в обычной форме: rot Е =- 3B/3t.
В общем случае используют полную систему уравнений
Максвелла (1.52) и (1.53).
В случае гармонических во времени колебаний систему (1.52)
удается упростить с помощью искусственного приема, полу-
чившего название метода комплексных амплитуд.
1.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ
МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
1.6.1. Метод комплексных амплитуд
Все реальные электромагнитные процессы можно предс-
тавить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний,
либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний.
Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных
полей представляет большой практический и теоретический
интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими.
В буквальном переводе "монохроматический" означает "одно-
цветный". Название взято из оптики: как известно, каждому цвету
соответствуют колебания определенной частоты.
Анализ гармонических процессов существенно упрощается
при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае
вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону
4/ = iym COS (<i)t + <р),
где ут - амплитуда; <р - начальная фаза; со = 2r.f = 2л/Г; a f и Т-
частота и период гармонического колебания, вводится в рас-
смотрение комплексная функция
зо
vV = Wmei(“'+*’=4/meie'.
Величину фт = ф^е1” принято называть комплексной амплитудой
функции Для перехода от комплексной функции ф к исходной
функции ф нужно взять от у реальную часть
Ч» = Rey =Re(4»„ei“f).
Аналогично вместо вектора
а = х0 axm cos (<о t+ Ф1) + у0 aym cos (о t+ q>2) + z0 cos (со f + Фз) (1.58)
можно ввести в рассмотрение комплексный вектор
а = х0 axm exp [i (о t+ Ф])] + у0 exp [i (о f + ф2)] +
+ z0 агт exp [i (со t+ фз)] = am exp (ia> f),
где
am=x0axme^+y0a/me^+z0azffle,w (1.59)
- комплексная амплитуда вектора а.
Для перехода от комплексной амплитуды ат к мгновенному
значению исходной функции нужно вычислить реальную часть
произведения ат на exp (i cot):
а = Re(ameiB/) = Rea. (1.60)
Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по
ортам декартовой системы координат (1.58) может оказаться
необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным
векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных
изменений. Если функции а и у удовлетворяют линейным урав-
нениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответ-
ствующие комплексные функции а и ф. Однако определение
комплексных функций во многих случаях оказывается проще опре-
деления исходных функций. Это объясняется тем, что диффе-
ренцирование комплексной функции по времени равносильно
умножению ее на io:Saidt = icoa; ctyldt = 1оф, а интегрирование по
времени - делению на io: fa eft = a/(io); f^cft = ф /(i<o).
1.6.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме
Уравнения Максвелла являются линейными дифферен-
циальными уравнениями. Поэтому при изучении монохромати-
ческих электромагнитных полей можно вместо векторов Е и Н
рассматривать комплексные векторы Ё = Emexp(iot) и Н =
= Hm exp(iot).
31
Комплексные амплитуды Еж и определяются выра-
жениями вида (1.59). Пусть, например, Е = xQEKmcos (<of + ф1) + +
Уо^ущСОЗ ((of + фз) + 2cEzm COS (<fif + фз), Где Eymi Ф11 ф2. фз
соответственно амплитуды и начальные фазы х-й, у-й и
z-й составляющих вектора Е. Тогда Em=x0EJme,’’,+y0Eyme,’3 +
+ z0 Еот е'Фз. Если составляющие вектора Е изменяются синфазно
(ф1 = ф2=Фз), то выражение для комплексной амплитуды Ёт
упрощается. Действительно, если Е = Em cos (<of + ф), то Е.„ =
= E„;e'v. Аналогичные соотношения выполняются для вектора Н.
Перейдем в системе уравнений Максвелла (1.52) к комп-
лексным векторам Ё и Н. При этом первое уравнение Максвелла
примет вид rotH = j + koD. Учитывая, что j = oE, a D = еЁ, при-
ходим к соотношению
rotH = оЁ + 1шеЁ = i<os 1 Ё.
Вводя обозначение
e = e|l-J£.\ (1.61)
< У
получаем
rotHiixE. (1.62)
Уравнение (1.62) является первым уравнением Максвелла для
монохроматического поля. Величина е, определяемая формулой
(1.61), характеризует электрические свойства среды и называется
комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Ее зна-
чение зависит от частоты. Входящая в (1.61) величина ст/(юе) равна
отношению амплитуд плотностей тока проводимости и тока сме-
щения (подробнее об этом - в 1.6.3) и называется тангенсом угла
электрических потерь (рис. 1.13):
g/oje = tg 5. (1.63)
Отметим, что комплексная диэлектрическая проницае-
мость е определяется выражением (1.61) только в тех
случаях, когда можно пренебречь поляризационными поте-
рями, т.е. потерями энергии на периодическое изменение
поляризации среды. Если этими потерями пренебречь
нельзя, следует считать, что
Ь=еЁ, (1.64)
Рис.1.13 где ё = Е0(Е'г-fcpj.ae) и е'р-вещественные числа, отноше-
32
ние которых определяет фазовый сдвиг 8Р =arctg(ep/er) между векторами
D и Е. При этом входящая в (1.62) комплексная диэлектрическая проницаемость
е= е— ~ = е0(е, -ie,) =| е lexp(~ iS), {1.65)
<я
где е” = ер+с/(<о£0), 3 = arctg (ег'/е'г). Для перехода от общей формулы (1.65) к
(1.61) достаточно положить Ер = 0, а ъг=е.г.
В случае анизотропной по отношению к электрическому полю
среды комплексная диэлектрическая проницаемость является
тензором. Конкретный вид тензора | е | зависит от свойства среды.
Рассмотрим второе уравнение Максвелла для изотропной
среды. Переходя в (1.39) к комплексным векторам и учитывая
соотношение (1.17), получаем
rot Е = - icapH. (1.66)
При вещественных значениях р векторы ВиН изменяются
синфазно, что эквивалентно предположению об отсутствии маг-
нитных потерь (затрат энергии на поддержание периодически
изменяющейся намагниченное™ среды). Несинфазность векторов
ВиН в случае гармонических во времени электромагнитных
процессов можно учесть, введя комплексную магнитную про-
ницаемость
ц = ц0(ц; -i|<) = | р. |ехр(-!5М), (1.67)
где р'г и р"-вещественная и мнимая части относительной комп-
лексной магнитной проницаемости (р - ip"), а Зд, = агс1д(р"/Рг)~
угол магнитных потерь (tg 8м = р"/рД При этом уравнение (1.66)
принимает вид
rotE = -icopH. (1.68)
Для перехода от общего случая к случаю среды без потерь
нужно положить р” = 0 и р) = рг При этом р = рорг = р. Для ани-
зотропной среды комплексная магнитная проницаемость является
тензором. Конкретный вид тензора ||р| зависит от свойств среды.
Рассмотрим третье уравнение Максвелла. Переходя в (1.44) к
комплексным функциям и учитывая соотношение (1.5), получаем
diveE = p, (1.69)
Если требуется учесть поляризационные потери, то в уравнении
(1.69) следует е заменить на е (см. формулы (1.64) и (1.65)).
3-45 зз
Четвертое уравнение Максвелла в комплексной форме
имеет вид
div(pH) = 0. (1.70}
Если среда характеризуется комплексной магнитной прони-
цаемостью, в уравнении (1.70) следует заменить ц на ц.
Выпишем также уравнение непрерывности для монохро-
матического поля. Переходя в (1.48) к комплексным функциям,
получаем
divj+icop = O. (1-71)
Преобразуем равенство (1.69) с учетом уравнения непре-
рывности. Из (1.71) следует, что p=(i/co) div j=(i/co) div (аЁ). Под-
ставляя это равенство в (1.69), имеем
div(eE) = 0. (1.72)
Третье уравнение Максвелла в комплексной форме (1.72)
яаляется следствием первого уравнения Максвелла. Действи-
тельно, беря дивергенцию от обеих частей равенства (1.62) и
учитывая, что div rot Н: 0, приходим к уравнению (1.72). Анало-
гично уравнение (1.70) является следствием второго уравнения
Максвелла.
Рассмотрим третье и четвертое уравнения Максвелла для
частного случая однородной изотропной среды. Так как параметры
е и р такой среды не зависят от координат, то уравнения (1.72) и
(1.70) упрощаются и принимают вид
divE = 0 (1.73)
и
divH = 0. (1.74)
Таким образом, в качестве полной системы уравнений
Максвелла для монохроматического поля можно использовать
систему двух уравнений
rotH = i<oE Н,
rot Ё = - юр Н.
(1-75)
Переходя в (1.75) к комплексным амплитудам векторов Е и Н,
получаем rotHm = КОЕ Ёт, | .т - m (1.76) rot Em = -icon Hm.
34
Напомним, что при анализе поля в среде без потерь в уравнениях (1.75) и
(1.76) следует заменить б и р на е и ц соответственно.
Уравнение непрерывности (1.71) также можно записать для комплексных
амплитуд
div jm + icopm = 0. (1.77)
1.6.3. Уточнение понятий о проводниках и диэлектриках
Среды могут сильно отличаться друг от друга по величине
удельной проводимости, поэтому электромагнитные поля в таких
средах могут обладать разными свойствами. Чем больше вели-
чина о, тем больше плотность тока проводимости в среде-при той
же напряженности электрического поля. Часто для упрощения
анализа вводят понятия идеального проводника и идеального
диэлектрика. Идеальный проводник-это среда с бесконечно
большой удельной проводимостью В идеальном диэлект-
рике ст = 0, а е и ц - вещественные скалярные функции или
постоянные. В идеальном проводнике может существовать только
ток проводимости, а в идеальном диэлектрике-только ток
смещения. В реальных средах имеется как ток проводимости, так и
ток смещения. Поэтому проводниками принято называть среды, в
которых tqk проводимости намного превосходит ток смещения, а
диэлектриками-среды, в которых основным является ток сме-
щения. Такое деление сред на проводники и диэлектрики имеет
относительный характер, так как существенно зависит от скорости
изменения электромагнитного поля.
В случае монохроматического поля комплексные амплитуды
векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения
равны соответственно jm = стЕт и j™ = коеЁт. Отношение
— = — - tg S (1.78)
j™ ЙЕ
и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики.
Если tg3»1, среду называют проводником, если 1дЗ<к1-диэ-
лектриком. Из соотношения (1.78) следует, что диэлектрические
свойства сильнее проявляются при более высоких частотах.
Металлы имеют большую удельную проводимость. Например,
у холоднотянутой меди ст = 5,65'107 См/м, у железа ст = 1,0'107
См/м. Поэтому у металлов tg3»1 на всех частотах, исполь-
зуемых в радиотехнике. У типичных диэлектриков, наоборот, уде-
льная проводимость очень мала, например у кварца ст = 2-10‘'7
См/м; у стекла ст = 10"1г См/м.
3* 35
Существует ряд сред, занимающих промежуточное положение
между проводниками и диэлектриками, например вода, почва и др.
(у морской воды о = 3...5 См/м, у алажной почвы ст= Ю'^-.Ю-5 См/м,
у дистиллированной воды о = 2’10-4 См/м). Такие среды (их
называют полупроводящими) на одних частотах являются провод-
никами (о»сое), а на других - диэлектриками (о«<ое).
1.6.4. Понятие о времени релаксации
Из уравнения непрерывности (1.48) вытекает важное след-
ствие. Рассмотрим безграничную однородную изотропную среду,
обладающую отличной от нуля проводимостью (о^О). Так как в
этом случае div j = divoE = (о/s) div D = (o/s)p, то соотношение
(1.48) принимает вид dpldt + (о/s) p = 0. Решая это уравнение,
получаем
р = роехр --t|, (1-79)
£ J
где ро = ро (х, у, z) - объемная плотность заряда в начальный
момент времени t = 0. Таким образом, при о*0 объемная
плотность зарядов в каждой точке, где ро*О, экспоненциально
убывает со временем. Промежуток времени т, в течение которого
заряд в каком-либо малом элементе объема уменьшается в е раз,
называется временем релаксации. Приравнивая единице
показатель степени в формуле (1.79), получаем выражение т = е/о.
Время релаксации для хорошо проводящих сред очень мало.
Например, для металлов т имеет порядок 10“18с; для морской
воды- 2-Ю-10 с. Даже при о = 2d О-4 См/м (дистиллированная
вода) т не превышает 10"® с.
То, что объемная плотность заряда в каждой точке внутри
проводящей области, например внутри металлического объекта,
экспоненциально убывает со временем, не означает, конечно, что
заряды исчезают. Если рассматриваемая область окружена
непроводящей средой, заряды задерживаются на границе области
(например, на внешней поверхности металлического объекта),
образуя весьма тонкий заряженный слой. Однако этот процесс не
сопровождается появлением зарядов во внутренних точках про-
водящей области, в которых в начальный момент они отсут-
ствовали.
36
1.7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
1.7.1. Граничные условия для нормальных составляющих
векторов электрического и магнитного полей
Уравнениями Максвалла в дифференциальной форме удобно
пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах,
параметры е, ц и о которых-непрерывные функции координат
(или не зависят от координат). На практике, однако, рассма-
триваемая область может состоять из двух (и более) разнородных
сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно счи-
тают, что параметры е, д и о (или по крайней мере один из них) на
границе раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться
уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе
раздела неудобно, и для изучения поведения векторов поля при
переходе из одной среды в другую следует исходить из уравнений
Максвелла в интегральной форме (1.54).
Соотношения, показывающие связь между значениями сос-
тавляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у
поверхности раздела, называют граничными условиями.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов
электрического и магнитного полей могут быть получены соот-
ветственно из третьего (1.43) и четвертого (1.46) уравнений
Максвелла в интегральной форме. Сравнивая эти уравнения, за-
мечаем, что равенство (1.46) может быть формально получено из
уравнения (1.43), если в последнем заменить D на В и положить
р = 0. Поэтому ограничимся выводом граничного условия для
нормальной составляющей вектора D, а из него указанными
преобразованиями получим граничное условие для нормальной
составляющей вектора В.
На поверхности раздела Sq двух изотропных сред, харак-
теризуемых параметрами щ, о, и е2, д2, ог соответственно, в
окрестности произвольно выбранной точки М выделим достаточно
малый элемент AS(AfeAS). Элемент AS должен быть достаточно
мал, чтобы, во-первых, его можно было
вторых, чтобы в обеих средах распре-
деление нормальной компоненты век-
тора D можно было считать равно-
мерным в пределах AS.
Построим на элементе AS пря-
мой цилиндр высотой 2ДЪ так, чтобы
его основания находились в разных
средах (рис.1.14), и применим к нему
третье уравнение Максвелла в интег-
ральной форме (1.43):
считать плоским, а, во-
37
(1.80)
(1.81)
fDdS=/pCfV,
где Sq и - поверхность и объем цилиндра соответственно.
Так как поверхность цилиндра можно представить в виде
Sq = AS! + Seo* + AS2, где ASi и AS2 - площади верхнего и нижнего
оснований цилиндра соответственно, а 5бОк-его боковая пове-
рхность, то уравнение (1.80) принимает вид
j DdS r j DdS-г j DdS- fpefV.
Д Si ^бск A S2
Элемент cfS направлен по внешней нормали к поверхности S1(,
поэтому dS = nocfS на AS, и dS=-nocfS на AS2, где п0-орт
нормали к поверхности раздела S в точке М, направленный из
второй среды в первую. Устремляя АЛ к нулю (при этом ASi и AS2
совпедут с AS), приходим к следующим равенствам:
lim J DdS= / D,nocfS= / DudS -D1n AS,
йп->ил51 as as
lim (DdS = 0,
a h -*o
lim f DdS = - f D2 notfS = - \D..,,dS = -D2n AS,
A,l^0as2 as aS
где D, и D2 - значения вектора D на границе раздела в первой и
второй средах соответственно; Dln и О2п - проекции векторов Di и
D2 на нормаль no. С учетом этих соотношений после перехода в
уравнении (1.81) к пределу Л/?->0 получаем
(DlB-D2n)AS = Jim JpdV.
Если заряд jpcfV не сосредоточен на поверхности раздела,
и,
т.е. не является поверхностным, то при любой конечной величине
объемной плотности заряда р правая часть формулы (1.82) равна
нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при пе-
реходе из одной среды в другую:
Oin = O2n. (1-83)
Особый интерес представляет случай, когда заряды расп-
ределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого
слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуют
плотностью поверхностных зарядов р3 (ее часто называют также
поверхностной плотностью зарядов), определяемой соотношением
.. AQ
Ps = ,im —.
KS дз^о AS
(1-82)
(1.84)
за
где AQ - заряд на элементе поверхности AS. Как видно из (1.84), р$
измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
Пусть теперь на границе раздела имеются поверхностные
заряды с плотностью ps. В этом случае правая часть уравнения
(1.82) уже не будет равна нулю. Считая распределение заряда на
площадке AS равномерным (в противном случае нельзя считать
равномерным распределение D1n и D2n), разделим обе части
уравнения (1.82) на AS. В результате получим
Ощ- O2n= ps. (1.85)
Соотношение (1.85) показывает, что при переходе из одной
среды в другую нормальная компонента вектора D претерпевает
разрыв (скачок), равный плотности поверхностных зарядов, рас-
пределенных по границе раздела. Выражая в этом соотношении
D1n и Dm через Е1П и Е2п с помощью равенства D = еЕ, получаем
граничное условие для нормальных компонент вектора Е:
E1E1n-e2E2n = ps. (1-86)
Если на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды,
то условие (1.86) можно представить в виде
Е,п=^-Е2п=^Е2п. (1.87)
Е1 Ег1
Соотношение (1.87) показывает, что нормальная составляющая
вектора Е при переходе через незаряженную поверхность раздела
двух сред имеет разрыв, величина которого определяется от-
ношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие
плотности поверхностных зарядов ps в рассматриваемой точке
приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или умень-
шая его. При определенном значении ps нормальная состав-
ляющая вектора Е может даже оказаться непрерывной.
Отметим, что поверхностные заряды обычно вводят для
упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя зарядов, когда
не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой
точке внутри реального заряженного слоя составляющая Dn
непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются
на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя
зарядов бесконечно тонким (т.е. поверхностными зарядами) при-
ходится считать, что Dn изменяется скачком.
Граничное условие для нормальной составляющей вектора В,
как уже отмечалось, формально может быть получено из (1.85),
если положить р$=0 и заменить D1n и D2n на В.Р и Вгп соот-
ветственно. При этом придем к соотношению
S5n=S2n. (1.88)
39
Из (1.88) следует, что составляющая Вп непрерывна при
переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь,
нормальная составляющая вектора Н имеет разрыв, величина
которого определяется отношением магнитных проницаемостей.
Выражая в равенстве (1.88) В1л и В^ через Н1п и H2n, получаем
— Н2п=^-Н2п. (1.89)
Pl Рп
1.7.2. Граничные условия для касательных составляющих
векторов электрического и магнитного полей
Граничные условия для касательных составляющих векторов
электрического и магнитного полей могут быть получены соот-
ветственно из второго (1.37) и первого (1.31) уравнений Максвелла
в интегральной форме. В рассматриваемом случае можно считать,
что контур Г в уравнении (1.37) не зависит от времени. Поэтому,
внося производную по t под знак интеграла, получаем
(Ed4=-[—dS.
г
(1.90)
Сравнивая (1.90) с первым уравнением Максвелла (1.31),
замечаем, что равенство (1.90) формально может быть получено
из уравнения (1.31), если в последнем положить j = 0 и заменить Н
на Е и D на В. Следовательно, можно ограничиться выводом
граничного условия для касательной составляющей вектора Н из
(1.31), а затем с помощью указанных преобразований получить
граничное условие для касательной составляющей вектора Е.
Пусть So-граница раздела двух изотропных сред, характе-
ризуемых параметрами щ, и е2, рг. а? соответственно. Из
произвольной точки MeS проведем единичную нормаль п0, на-
правленную из второй среды в первую (рис. 1.15). Через п0
проведем плоскость Р. На линии пересечения поверхности раз-
дела So с плоскостью Р выделим достаточно малый отрезок М, со-
держащий точку М. Размеры от-
резка должны быть такими, чтобы,
во-первых, его можно было счи-
тать прямолинейным, а во-вторых,
чтобы распределение касательной
составляющей вектора Н в преде-
лах в обеих средах можно было
считать равномерным. В плоскос-
ти Р построим прямоугольный кон-
тур ABCD, как показано на рис.1.15.
40
Стороны АВ и CD параллельны &£ и находятся в разных средах.
Кроме того, в точке М проведем единичную касательную т0 к линии
пересечения поверхности раздела S с плоскостью Р и единичную
нормаль No к плоскости Р так, чтобы орты п0, т0 и No составляли
правую тройку векторов:
No = [п0, т0],
а обход контура ABCD образовывал правовинтовую систему с век-
тором No. Применим к контуру ABCD первое уравнение Максвелла
(1.31):
jHdi= J jdS + J^dS, (1.91)
ABCD AS AS Vl
где AS - площадь, охватываемая контуром ABCD, a dS = NocfS.
Левую часть этого равенства можно представить в виде суммы
четырех интегралов:
jHdi+ jHdi+ jHdi+ jHdi= J jdS+ J—dS. (1.92)
AB sc CD DA AS aS St
Отметим, что стороны ВС и DA параллельны и равны 2ДЬ, а на-
правление элемента dt, определяется выбранным обходом конту-
ра: di = Tocfi на АВ и di =- Tocfi на CD.
Устремляя Aft к нулю (при этом стороны АВ и CD рассматри-
ваемого контура совпадут с Ы) и учитывая, что функции Н и 3D/3t
являются ограниченными, приходим к соотношениям
lim jHdi= JH,Tocfi = = H1tД£,
dh-i0AS At At
lim [Hdi= lim [Hdi= lim [— dS = 0,
4'’-“вс ^°da ^as St
lim jHdi=-jH2-Cotfi = -jH2ldi = -H2tA£,
ih^°CD At At
где H, и H2 - значения вектора H на границе раздела S в первой и
второй средах соответственно, a H1t и Н2. - проекции векторов Н, и
Н2 на касательную т0. Используя эти соотношения при переходе к
пределу при ДЛ->0 в уравнении (1.92), получаем
(Hu-H2T)Ai= lim JjdS (1.93)
Если на границе раздела отсутствуют поверхностные токи,
правая часть равенства (1.93) равна нулю. В этом случае каса-
тельная составляющая вектора Н оказывается непрерывной:
Нп=Н2т. (1.94)
41
/ V] ~7 Касательная составляющая вектора В,
/ 8 / наоборот, претерпевает разрыв, величина
/ / которого определяется отношением магнит-
///////zz ных проницаемостей:
Рис.1.16 8,т =-^82т ("195)
М2 Р*г2
Особый интерес представляет случай, когда токи распределе-
ны вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя.
Такие токи называют поверхностными. Плотность поверхностных
токов (ее часто называют также поверхностной плотностью) опре-
деляется соотношением
b=io Лт0Т7-’ П-96)
AL“*-u А (
где i0-единичный вектор, указывающий направление движения
положительных зарядов в данной точке; AL - элемент линии, пер-
пендикулярный вектору i0; А/-ток, протекающий через AL
(рис.1.16). Плотность поверхностных токов измеряется в амперах
на метр (А/м). В этом случае правая часть равенства (1.95) уже не
будет равна нулю. Считая распределение поверхностного тока на
отрезке Д£ равномерным (если это не выполняется, нельзя счи-
тать равномерным распределение касательной составляющей
вектора Н), преобразуем правую часть указанного равенства сле-
дующим образом:
lim f j dS = Jim J(j, No) cfS = f(js, No) df = f jOT d t = j^Af,
где jsw - проекция вектора js на направление No. Подставляя это
выражение в (1.93) и деля обе части получающегося равенства на
дг, приходим к соотношению
HiT-H2T=jsw. (1.97)
Уравнение (1.97) справедливо для любого направления каса-
тельной т0, и его можно переписать в векторной форме
js = [n0, Н, - Н2], (1.98)
где Н, и Н2 — значения вектора Н у границы раздела в первой и во
второй средах соответственно.
Уравнения (1.97) и (1.98) показывают, что при переходе через
границу раздела, по которой текут поверхностные токи, касатель-
ная составляющая вектора Н претерпевает разрыв, величина ко-
торого определяется значением плотности поверхностных токов в
рассматриваемой точке. Переходя в уравнении (1.97) к касатель-
ным составляющим вектора В, получаем
42
Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заря-
ды, обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тон-
кого слоя токов, когда не интересуются распределением поля
внутри слоя. В каждой точке внутри реального токового слоя каса-
тельная составляющая вектора Н непрерывна, но ее значения по
разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому
при замене реального токового слоя бесконечно тонким (т.е. по-
верхностными токами) приходится считать, что Нт изменяется
скачком.
Граничное условие для касательной составляющей вектора Е
может быть формально получено из равенства (1.97) на основе
указанных выше изменений. Полагая в (1.97) j'sn= 0 и заменяя ка-
сательные составляющие вектора Н на соответствующие каса-
тельные составляющие вектора Е, приходим к соотношению:
Е ъ = Е^.
(1.99)
Равенство (1.99) показывает, что касательная составляющая
вектора Е непрерывна при переходе через границу раздела двух
сред. Касательная составляющая вектора D, наоборот, претерпе-
вает разрыв, величина которого зависит от соотношения между
диэлектрическими проницаемостями. Выражая Е1т и Е2т в равенст-
ве (1.99) через D1t и D2;, получаем
Граничные условия, полученные для составляющих векторов
электрического поля, показывают, что на границе раздела векторы
Е и D преломляются. Обозначим углы между нормалью п0 к по-
верхности раздела и векторами Е- и Е2 соответственно через а, и
а2 (рис. 1.17). Так как tg сц = EbJEw, a tg а2 = E2JE2n, то, используя
граничные условия (1.86) и (1.99), получаем, что при отсутствии
поверхностных зарядов на границе раздела справедливо следую-
щее соотношение:
р
tga, =-Щда2.
В изотропных средах векторы Е и
D направлены одинаково. Поэтому со-
отношение (1.100) определяет также
преломление вектора D. Очевидно,
аналогичное соотношение может быть
получено и для векторов магнитного
поля. Пусть а, и а2- углы между нор-
малью п0 и векторами Н, и Н2. Тогда,
как следует из уравнений (1.89) и
(1.94), имеет место соотношение
(1.100)
Рис.1.17
43
tg «1 =-^tga2.
Иг2
В случае изотропных сред это равенство определяет также изме-
нение ориентации вектора В.
1.7.3. Граничные условия на поверхности идеального
проводника
Таким образом, на поверхности раздела любых двух изотроп-
ных сред должны выполняться следующие граничные условия:
&2п - Ps >
в,п = в2п, .
“ JsN _
(1.101)
Уравнения (1.101) составляют полную систему граничных ус-
ловий. Они справедливы для любых электромагнитных про-
цессов, рассматриваемых в макроскопической электродинамике.
Не включенные в систему (1.101) граничные условия для сос-
тавляющих От, ЕП1 Вт и Нп являются следствиями соотношений
(1.101) и уравнений состояния (1.53). Граничные условия (1.101)
можно записать также в векторной форме:
(по, (п0, D2) - pSl
(n0,Etl = [n0,E2l,
(По, В,) = (п0, В2),
[n0, HJ-friQ, Н2] = js.
(1.102)
При изучении переменных электромагнитных полей вблизи
поверхности металлических тел часто предполагают, что рассмат-
риваемое тело является идеально проводящим. При этом гранич-
ные условия упрощаются, так как в среде с с = w поле отсутствует.
Действительно, плотность тока проводимости j должна быть огра-
ниченной величиной. Поэтому из закона Ома в дифференциаль-
ной форме (1.9) следует, что напряженность электрического поля
внутри идеального проводника должна быть равна нулю. Полагая
во втором уравнении Максвелла Е = 0, получаем 5Bldt= 0. Так как
поле считается переменным, то последнее равенство выполняется
только при В = 0.
Пусть идеально проводящей является вторая среда. Тогда
О2 = Е2 = В2 = Н2 = 0 и условия (1.101) принимают вид
Вщ = Рз/й,
(1.103)
44
Ен = 0, H1n = 0, Hi, = /sm или в векторной форме (1.104) (1.105) (1.108)
(По, Е^ = Psfej, [n0, Е4 = 0, (п0, Н,) = 0, [По. Н,] = к (1.107) (1.108) (1.109) (1.110)
1.7.4. Физическая сущность граничных условий
Выше было показано, что граничные условия для нормальных
и касательных составляющих векторов электромагнитного поля
имеют существенные различия. Выясним физические причины
этого явления. Рассмотрим вначале граничные условия для
составляющих вектора Е. Пусть имеются две изотропные среды с
общей границей раздела, характеризуемые диэлектрическими
проницаемостями е1 и в2. Предположим вначале, что на границе
раздела сред отсутствуют свободные поверхностные заряды
(ps = 0). Под воздействием внешнего электрического поля обе
среды поляризуются, причем вектор Р, характеризующий поля-
ризацию, будет иметь разные значения в этих средах, так как
ei*e2. Если вектор Е, а следовательно, и вектор Р перпен-
дикулярны поверхности раздела (рис.1.18), то на ней появятся
нескомпенсированные поверхностные заряды, связанные с моле-
кулами вещества. На рис.1.18 показан случай, когда е2>е1 и
соответственно вторая среда поляризуется легче, чем первая. Это
символически отображено на рис.1.18,а тем, что во второй среде
больше молекулярных диполей, ориентированных параллельно
вектору Е. Образующиеся на границе раздела нескомпенсиро-
ванные поверхностные заряды в рассматриваемом примере яв-
ляются положительными (рис.1.18,б). Если векторы Е и Р па-
раллельны поверхности раздела, то такие заряды не возникают
(рис.1.19). Очевидно, что при произвольной ориентации вектора Е
Р11@ @
♦. flS/h rfi rfi А А л\
рТ
21 П
а)
Рис.1.19
Рис.1.18
45
(или Р) у границы раздела величина появляющихся на ней не-
скомпенсированных поверхностных зарядов определяется изме-
нением значений нормальной составляющей вектора Р при пере-
ходе через границу раздела.
Выберем на поверхности раздела сред некоторую точку М и
рассмотрим поведение составляющих вектора Е при переходе
через границу раздела. Электрическое поле в рассматриваемой
точке складывается из первичного поля, вызвавшего поляризацию
сред, и вторичного поля, создаваемого поляризационными заря-
дами. Все заряды, кроме расположенных в непосредственной
близости к рассматриваемой точке, создают в этой точке в со-
ответствии с законом Кулона непрерывное поле. Исключение сос-
тавляет поле, создаваемое нескомпенсированными "связанными”
поверхностными зарядами, расположенными в непосредственной
близости к точке М. Эти заряды создают в точке М дополнительное
электрическое поле ДЕ, нормальные к границе раздела состав-
ляющие которого по разные стороны от этой границы (ДЕ1П и ДЕ2л)
равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.20),
а касательные-равны по величине и направлению (аналогично
полю точечного заряда, расположенного в точке М). Это означает,
что касательная составляющая напряженности дополнительного
электрического поля ДЕ непрерывна, а нормальная имеет разрыв.
Складывая дополнительное поле с первичным полем и полем всех
остальных поляризационных зарядов, получаем, что у полного
поля в точке М нормальная составляющая вектора Е имеет разрыв
(Е1Л* Егп), а касательная - непрерывна (E(t= E2t).
Очевидно, что наличие на границе раздела в точке М
плотности свободных поверхностных зарядов (ps*0) не может
нарушить непрерывность касательной составляющей вектора Е,
но приводит к изменению величины разрыва его нормальной
составляющей.
Рассмотрим теперь граничные условия для составляющих
вектора В. Пусть имеются две изотропные среды с общей
границей раздела, характеризуемые магнитными проницаемос-
тями р! и ц2. Предположим вначале, что на границе раздела
отсутствуют поверхностные токи, обусловленные движением сво-
бодных зарядов (js= 0). Под воздействием внеш-
р него магнитного поля обе среды намагничива-
AS Тц 1П ются. На рис. 1.21, а показана система кольцевых
I \ [Af ° АЕп электрических токов, эквивалентных ориентиро-
II s' Г АЕ ванным по полю магнитным моментам молекул,
2 которую в средах I и П можно заменить проти-
1а^2п воположно направленными поверхностными то-
Рис.1.20 ками (рис.1.21,б) с плотностями j(s1U и j(s2L со-
46
РИС.1,21
Рис.1.22
ответственно. Так как намагниченность сред различна (щ *рг), то
эти эквивалентные поверхностные токи не компенсируют друг
друга и суммарный поверхностный ток на границе раздела не
равен нулю. Каждый элемент поверхностного тока создает вокруг
себя замкнутые линии вектора В. Их структура показана на
рис.1.22 (плоскость, показанная на рис.1.22, перпендикулярна
плоскости, изображенной на рис.1.21). Нормальные к поверхности
раздела составляющие этих элементарных полей попарно ком-
пенсируются, а касательные складываются. В результате у
поверхности раздела в средах I и II появляются противоположно
направленные магнитные поля В(1) и В(2) (см. рис. 1.22). Поэтому
касательные составляющие суммарного вектора В, определяемого
суммой первичного и вторичного полей, имеют разные значения по
разные стороны от границы раздела, т.е. В1т^В21. Нормальная
составляющая суммарного вектора В остается непрерывной
(Зщ = ^2п)-
Пусть теперь js*O. Из изложенного очевидно, что пове-
рхностные токи не приводят к разрыву нормальной составляющей
вектора В, т.е. граничное условие для этой составляющей ос-
тается прежним (Вщ= В2л). Однако поверхностные токи изменяют
величину разрыва касательной составляющей вектора В.
На основе аналогичных рассуждений нетрудно дать физи-
ческое объяснение и граничным условиям для составляющих
векторов D и Н (см. [1]).
1.8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1.8,1. Сторонние токи и заряды
При рассмотрении уравнений Максвелла (1.52) под вектором j
подразумевалась плотность тока проводимости, возникающего в
проводящей среде под воздействием электромагнитного поля.
Этот вектор удовлетворяет закону Ома в дифференциальной
форме (1.9). Для упрощения реальной электродинамической зада-
чи обычно вместо имеющейся на самом деле системы рас-
сматривают некоторую модель. При этом часть системы вообще
исключается из рассмотрения. Для учета влияния этой части
47
системы во многих случаях ее заменяют введением некоторых
токов, которые рассматриваются как первопричина возникновения
электромагнитного поля и считаются заданными. Эти токи при-
нято называть сторанними. Например, в гл. 5 будет рассмотрено
излучение электромагнитных волн элементарным электрическим
вибратором. Ток в вибраторе обусловлен подведением к нему
энергии от генератора. При анализе этот ток будет считаться
известным, что позволит исключить из рассмотрения процессы,
протекающие в генераторе, прохождение энергии по линии, сое-
диняющей генератор с вибратором, и т.д., т.е. существенно уп-
ростит задачу. Если этого не делать и каждую проблему рас-
сматривать во всей ее полноте, то любая конкретная задача
становится трудноразрешимой.
Для учета сторонних токов следует первое уравнение Макс-
велла представить в виде
rotH = j+— + jCT, (1.111)
8t
где jCT - плотность сторонних токов в рассматриваемой точке
пространства, a j - как и прежде, плотность тока проводимости,
вызванного электромагнитным полем: j = стЕ.
Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних
зарядов. Они учитываются в третьем уравнении Максвелла:
divD = p + pCT, (1.112)
где рс? - объемная плотность сторонних зарядов.
Второе и четвертое уравнения Максвелла остаются без
изменений. В случае переменных полей функции jCT и рС1 связаны
уравнением непрерывности
divjCT+^p = 0. (1.113)
При анализе многих вопросов вместо сторонних токов за-
даются сторонней напряженностью электрического поля Ест. В
большинстве случаев при исследовании электродинамических яв-
лений под Ег подразумевается напряженность электрического
поля, создаваемого зарядами и токами, расположенными за пре-
делами рассматриваемой области. При изучении постоянного
электрического поля под Ест иногда понимают напряженность поля
сторонних электродвижущих сил неэлектрического происхождения
(химических, диффузионных и др.). Введение Е^7 является таким
же упрощением задачи, как и введение jCT. Фактически оно иск-
лючает детальный анализ процессов, происходящих в какой-либо
части пространства.
48
Выпишем также уравнения Максвелла для монохромати-
ческого поля в однородной среде, учитывающие сторонние ис-
точники:
rotH = j + icoeE + jCT = 1шеЁ + ]ст, (1.114)
rot^-kopH (1.115)
Уравнение непрерывности для сторонних токов (1.113) в этом
случае имеет вид
div + top" = 0. (1.116)
Третье уравнение Максвелла в комплексной форме
divE = pCT/§ (1.117)
является следствием уравнений (1.114) и (1.118), а четвертое
(div Н = 0) - следствием уравнения (1.115).
Систему уравнений Максвелла в комплексной форме (1.114)-
(1.115) можно переписать также для комплексных амплитуд:
rotHm =irosEm+j" (1.118)
rot Em = -iwpHn,. (1.119)
1.8.2. Уравнение баланса мгновенных значений мощности
Как уже отмечалось в 1.1, электромагнитное поле является
одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно
обладает энергией. Эта энергия может распространяться в про-
странстве и преобразовываться в другие формы энергии.
Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений
мощности применительно к некоторому объему V, ограниченному
поверхностью S (рис.1.23). Пусть в объеме V, заполненном од-
нородной изотропной средой, находятся сторонние источники. Из
общих физических представлений очевидно, что мощность,
выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на
джоулевы потери и на изменение энергии электромагнитного поля
внутри V, а также может частично рассеиваться, уходя в ок-
ружающее пространство через поверхность S. При этом должно
выполняться равенство
" п dt '
где Рет-мощность сторонних источников; Рп-
мощность джоулевых потерь внутри объема V; Ps -
мощность, проходящая через поверхность S; IV-
энергия электромагнитного поля, сосредоточен-
ного в объеме У, a dW7dt - мощность, расходуе-
мая на изменение энергии в объеме V.
4-45
(1.120)
Рис. 1.23
49
В данном разделе будут использованы уравнения состояния
(1.53). Эти уравнения не позволяют учесть потери энергии при
поляризации и намагничивании среды. Поэтому слагаемое Рп в
равенстве (1.120) фактически определяет мощность джоулевых
потерь в объеме V, обусловленных током проводимости.
Уравнение (1.120) дает только качественное представление
об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные
соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла.
Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних то-
ков (1.111). Все члены этого уравнения-векторные величины,
имеющие размерность А/м3.
Чтобы получить уравнение, аналогичное (1.120), нужно видо-
изменить первое уравнение Максвелла (1.111) так, чтобы его
члены стали скалярными величинами, измеряющимися в ваттах.
Для этого достаточно все члены указанного равенства скалярно
умножить на вектор Е, а затем проинтегрировать полученное
выражение по объему У. После скалярного умножения на вектор Е
получаем
Е rot Н = Ej + Е ~ + EjCT. (1.121)
Используя известную из векторного анализа формулу div[E,H]=
= Н rot Е - Е rot Н, преобразуем левую часть соотношения (1.121) и
заменим rot Е его значением из второго уравнения Максвелла
(1.39):
Е rot Н = Н rot Е - div [Е, Н[ = - Н — - div [Е, Н].
dt
Подставляя это выражение в (1.121), получаем
-EjCT - Ej + div[Е,Н] + Е — + Н. (1.122)
В последнем слагаемом в правой части (1.122) изменен порядок
сомножителей в скалярном произведении векторов dB/dt и Н. Это
допустимо, так как Н dB/dt = ЗВ/ЗЖ. Данное изменение не яв-
ляется принципиальным и не дает никаких преимуществ при
выводе рассматриваемого здесь уравнения баланса для мгно-
венных значений мощности. Однако при такой записи во всех
членах уравнения (1.122) второй сомножитель (векторы j01, j, dD/dt
и Н) является вектором, входившим ранее в первое уравнение
Максвелла. Это обстоятельство позволит в дальнейшем (см. 1.8.4)
несколько упростить вывод уравнения баланса в случае моно-
хроматического поля (уравнения баланса комплексной мощности).
Интегрируя почленно уравнение (1.122) по объему У, получаем
-jEjCTdy = jEjdy i-f[E,H]dS I-jl^E-y 1--нЪу, (1.123)
v v s yy dt dt J
50
где направление элемента dS совпадает с направлением внешней
нормали к поверхности S. При переходе от (1.122) к (1.123) ис-
пользована теорема Остроградского-Гаусса для перевода объем-
ного интеграла от div [Е, Н] в поверхностный интеграл от вектор-
ного произведения [Е, Н]. Введем обозначение
П = [Е, Н]
и преобразуем подынтегральное выражение в
слагаемом в правой части (1.123):
(1.124)
последнем
г сО ЭВ ,, 5Е u ан
ЕЧ7 + Ч7Н = еЕЧ7 + ^НТ7 =
8Г 8Г 8Г dt
2
2
8Е2 ан2'
е——+ ii——
dt и dt
I-RUe2+ин2) ;
dt 2'
(1-125)
Подставляя (1.124) и (1.125) в (1.123) и меняя порядок интег-
рирования и дифференцирования, получаем
-fEjCT dV = fEjW+ fndS +^ 1
V V s ОГ 2
— J (eE2 + pH2) dV . (1.126)
- v
Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение
(1.126).
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.126), Пред-
ставим объем V в виде суммы бесконечно малых цилиндров
длиной dt, торцы которых (dS) перпендикулярны направлению
тока (вектору j). Тогда Ejd\/- EjdV = (Edt)(jdS) = dUdl = dPn, где dl =
=/dS - ток, протекающий по рассматриваемому бесконечно мало-
му цилиндру; dU = Edt - изменение потенциала на длине dt, a dPn -
мощность джоулевых потерь в объеме dV. Следовательно, рас-
сматриваемое слагаемое представляет собой мощность джоу-
левых потерь Рп в объеме V. Используя соотношение j = аЕ, для Рп
можно получить и другие представления:
|2
Рп = J Ej dV = JoE2 dV = jl-dV. (1.127)
V V V о
Формулы (1.127) можно рассматривать как обобщенный закон
Джоуля-Ленца, справедливый для проводящего объема V произ-
вольной формы.
Интеграл в левой части (1.126) отличается от первого сла-
гаемого в правой части только тем, что в подынтегральное
выражение вместо j входит j0T. Поэтому он должен определять
мощность сторонних источников. Будем считать положительной
мощность, отдаваемую сторонними токами электромагнитному по-
лю. Электрический ток представляет собой упорядоченное дви-
жение заряженных частиц. Положительным направлением тока
4* 51
считается направление движения положительных зарядов. Ток
отдает энергию электромагнитному полю при торможении обра-
зующих его заряженных частиц. Для этого необходимо, чтобы
вектор напряженности электрического поля Е имел составляющую,
ориентированную противоположно направлению тока, т.е. чтобы
скалярное произведение векторов Е и jCT было отрицательным
(EjCT<0). При этом левая часть равенства (1.126) будет поло-
жительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощ-
ности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в
объеме V, определяется выражением
Рст =-jEjCToV. (1.128)
V
Для уяснения физического смысла последнего слагаемого в
правой части уравнения (1.126) рассмотрим частный случай.
Предположим, что объем V окружен идеально проводящей обо-
лочкой, совпадающей с поверхностью S. Тогда касательная сос-
тавляющая вектора Е на поверхности S будет равна нулю. Эле-
мент поверхности dS совпадает ло направлению с внешней нор-
малью п0. Следовательно, поверхностный интеграл в уравнении
(1.126) будет равен нулю, так как нормальная компонента век-
торного произведения [Е, Н] определяется касательными состав-
ляющими входящих в него векторов. Кроме того, предположим, что
среда в пределах объема V не обладает проводимостью (о = 0).
При этом в рассматриваемой области не будет джоулевых потерь,
и первый интеграл в правой части уравнения (1.126) также будет
равен нулю. В результате получим
Л v
(1.129)
Очевидно, что в рассматриваемом случае мощность сто-
ронних источников может расходоваться только на изменение
энергии электромагнитного поля. Таким образом, правая часть
равенства (1.129) представляет собой скорость изменения энергии
электромагнитного поля, запасенной в объеме V, т.е. соответ-
ствует слагаемому dW/cff в уравнении (1.126). Естественно пред-
положить, что интеграл в правой части (1.129) равен энергии
электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме
W = j (её2 + ) dV. (1.130)
2 v
Строго говоря, этот интеграл может отличаться от W на не-
которую функцию g = g(x, у, z), не зависящую от времени. Не-
трудно убедиться, что функция д равна нулю. Перепишем (1.130) в
виде W = W3 + где
52
IV» =-[sE2dV sifEDolV, (1.131)
2 у 2 v
WH-l|uH2d\/ ЪнВ(Л/. (1.132)
2 у 2 v
Предположим, что электрическое и магнитное поля являются
постоянными (не зависят от времени). В этом случае, как известно
из курса физики (см. также гл.З и 4), выражения (1.131) и (1.132)
определяют энергию соответственно электрического и магнитного
полей в объеме V. Но это означает, что gsO и указанные вы-
ражения определяют мгновенные значения энергии электричес-
кого и магнитного полей в объеме V при любой зависимости от
времени, а их сумма, определяемая формулой (1.130), дейст-
вительно равна мгновенному значению энергии электромагнитного
поля в объеме V.
Осталось выяснить физическую сущность поверхностного ин-
теграла в уравнении (1.126). Предположим, что в объеме 1/ от-
сутствуют потери и, кроме того, величина электромагнитной энер-
гии остается постоянной (W= const). При этом уравнение (1.126)
принимает вид
- JEjCT dV = fndS. (1.133)
V s
В то же время из физических представлений очевидно, что в
данном частном случае вся мощность сторонних источников
должна уходить в окружающее пространство (PCT = PS). Следо-
вательно, правая часть уравнения (1.133) равна потоку энергии
через поверхность S (пределу отношения количества энергии,
проходящей через S за время Af при Af—>0), т.е.
Р, = fndS (1.134)
s
Естественно предположить, что вектор П представляет собой
плотность потока энергии (предел отношения потока энергии через
площадку AS, расположенную перпендикулярно направлению ра-
спространения энергии, к AS при AS->0). Формально матема-
тически это предположение не очевидно, так как замена вектора П
на П^П + rota, где а-произвольный вектор, не изменяет ве-
личину Ръ. Однако оно является верным и в частности, непо-
средственно вытекает из релятивистской теории электромаг-
нитного поля [11].
Таким образом, равенство (1.126) аналогично (1.120) и пред-
ставляет собой уравнение баланса мгновенных значений мощ-
ности электромагнитного поля. Оно было получено Пойнтингом в
1884 г. и называется теоремой Пойнтинга. Соответственно век-
тор П называют вектором Пойнтинга. Часто используют также
53
названия “теорема Умова-Пойнтинга" и “вектор Умова-Пойн-
тинга" с целью подчеркнуть тот факт, что формулировка закона
сохранения энергии в общей форме с введением понятия потока
энергии и вектора, характеризующего его плотность, впервые была
дана Н. А. Умовым в 1874 г.
Отметим, что энергия может поступать в объем V не только от
сторонних источников. Например, поток энергии через поверхность
S может быть направлен из окружающего пространства в объем У.
При этом мощность будет отрицательной, так . как положи-
тельным считается поток энергии, выходящий из объема V в
окружающее пространство (направление элемента dS совпадает с
направлением внешней нормали к поверхности S).
Сторонние источники могут не только отдавать энергию, но и
получать ее от электромагнитного поля. При этом мощность сто-
ронних источников будет отрицательной. Действительно, элект-
ромагнитное поле отдает энергию току проводимости, если оно
ускоряет движение заряженных частиц, образующих ток. Для этого
вектор напряженности электрического поля Е должен иметь сос-
тавляющую, ориентированную вдоль линий тока, т.е. чтобы ска-
лярное произведение векторов Е и jCT было больше нуля.
Рассмотрим-более подробно формулы, определяющие энер-
гию электромагнитного поля. Подынтегральные выражения в
(1.131) и (1.132) и/1 = 1 еЕ2 и IVм = - \1Н2 можно интерпретировать
как мгновенные значения объемных плотностей энергии элект-
рического и магнитного полей соответственно, а их сумму
iv = iv3 + ivM = 1(еЕ2 + иН2) (1.135)
- как объемную плотность полной энергии электромагнитного
поля.
Подчеркнем, что принцип суперпозиции, которому удовле-
творяют векторы напряженностей электрического и магнитного
полей, не распространяется на энергию. Действительно, пусть
энергии полей Eb Hi и Е2, Н2, существующих по отдельности в
области У, равны соответственно и W2. Тогда энергия сум-
марного поля Е = Ej + Е2, Н = Hi + Н2 определится выражением
W = 4 j [е (Еп + Е2)2 + р (Н, + Н2 )2] dV = Wl+ W2+W12,
где
W^KeE^ + pHJMdV
v
- взаимная энергия полей. Взаимная энергия W12 может быть как
положительной, так и отрицательной. Если векторы Е, и Е2, а
также Hi и Н2 взаимно перпендикулярны, то W12 = 0.
54
В случае переменных процессов распределение электро-
магнитной энергии непрерывно изменяется. Это изменение в
каждой данной точке можно определить на основе уравнения
(1.122), которое удобно представить в виде
Рст =Pn+$r + divn> (1.136)
где pCT=-EjCT и pn= Ej- мгновенные значения плотностей
мощности сторонних источников и мощности джоулевых потерь
соответственно. При переходе от соотношения (1.122) к уравнению
(1.136) учтены формулы (1.125) и (1.135). Уравнение (1.136)
является дифференциальной формой теоремы Пойнтинга.
1.8.3. Активная, реактивная и комплексная мощности
Рассмотрим выражение для мгновенных значений мощности Р
в электрической цепи, в которой напряжение и ток равны
соответственно U = Um cos (rof + фи) и / = lm cos (at + <р/), где <ры и
начальные фазы напряжения и тока. По закону Джоуля-Ленца
P=Ul~ Umlm cos (at + ф„) cos [mf + фи - (фи - ф,)]. После элемен-
тарных тригонометрических преобразований представим Р в виде
суммы двух слагаемых:
р = Ракг + р?аа\ (1.137)
где
Р™ = UmlmCOS (фи-ф/) COS2 (rof+ фц), (1.138)
рр“* =1иХ5Ю(ф„-ф;)ып[2(сйГ+ф„)]. (1.139)
Составляющую РВКТ называют активной мощностью. Так как в
любой цепи | фи -ф(| < л/2, то активная мощность не может быть
отрицательной (/***>0). Среднее за период значение активной
мощности
Рф (ф„-ф<). (1-140)
Составляющую Р₽еак называют реактивной мощностью. Как
видно из (1.139), она изменяется с частотой 2a и в течение
периода Т = Mf дважды изменяет знак. Среднее за период
значение реактивной мощности равно нулю. Поэтому среднее за
период значение мощности Р совпадает со средним за период
значением активной мощности: Р^ = Р^.
При анализе гармонических колебаний в электрических цепях
широко используют метод комплексных амплитуд. При этом
55
вместо мгновенных значений напряжения U и тока I вводят в
рассмотрение комплексные функции U и / и соответствующие им
комплексные амплитуды и /т, связанные обычными (см.1.6)
соотношениями: U = Um exp(icoZ), / = im exp (kot). Для перехода от
мгновенных значений напряжения и тока к их комплексным функ-
циям U и / достаточно заменить cos (о>/ + на exp [i (©/ + фу)], а
cos (of + ф;) на exp [i (©f + ф/)]. Однако метод комплексных амп-
литуд непосредственно применим только в случае линейных
соотношений. Поэтому переходить в выражениях для мгновенных
значений мощности к комплексным функциям обычными заменами
U на U и / на i: не имеет смысла. В то же время можно ввести
понятие комплексной мощности, удобное для практического ис-
пользования. Назовем комплексной мощностью функцию
P = ±UI = =^m/mexp[i(9u -ф/)], (1.141)
где символ * означает, что взята комплексно-сопряженная ве-
личина; функции / и /т являются комплексно сопряженными с
j и 1т соответственно. Как видно из (1.141), комплексная мощ-
ность не зависит от времени. Отделяя в (1.141) действительную и
мнимую части, замечаем, что действительная часть комплексной
мощности совпадает со средним за период значением мощности
ReP = ~ t4n/mcos(ф„-ф/) = Рср = Ракгср, а мнимая часть равна
амплитуде реактивной мощности lmP=- Ujmsin (фи-ф(). Ана-
логично может быть введена комплексная мощность и в любом
другом случае. Рассмотрим, например, мощности, входящие в
уравнение (1.126).
Заменяя в (1.128) вектор Е комплексным вектором Ё, а]с’-
вектором jCT, комплексно сопряженным с jCT, и умножая результат
на 1/2, приходим к выражению для комплексной мощности сто-
ронних источников:
PCT = -lfEj4n/ = _lfEj£cn/, (1.142)
V V
где j" - вектор, комплексно сопряженный с комплексной ампли-
тудой плотности сторонних токов (j£). Векторы jCT и j" связаны
соотношением jCT = j" exp (-its/). Действительная часть компле-
56
ксной мощности сторонних источников (Rep") равна средней за
период мощности сторонних источников, которая в свою очередь
равна средней за период активной мощности сторонних исто-
чников:
ReP" = Re|-^jEjCTd\/Up" =Р"акг.
2 у J
Мнимая часть комплексной мощности сторонних источников
ImP" = lmf-4 jEj"dV
равна амплитуде реактивной мощности сторонних источников.
Преобразовывая аналогичным образом формулу (1.127) для
мгновенных значений мощности джоулевых потерь рп, получаем
вещественную величину, равную среднему за период значению
мощности джоулевых потерь в объеме V'.
Pn.c₽=4fEjW=4foEEd\/=2foE dV, (1.143)
Z у Z i/ Z у 1 1
Рассмотрим выражение для потока энергии через поверхность
S. Переходя в (1.134) к комплексным векторам Е и Н, получаем
выражение для комплексного потока энергии через поверхность S;
Рт = -f[E, Н] dS = f[] dS, (1.144)
2 s s
где
П = у[Ё,Н] (1.145)
- комплексный вектор Пойнтинга.
Действительная и мнимая части рт равны соответственно
среднему за период потоку энергии через поверхность S и ам-
плитуде реактивного потока энергии через S. Аналогично дейст-
вительная и мнимая части комплексного вектора Пойнтинга
представляют собой среднюю за период плотность потока энергии
в рассматриваемой точке пространства и амплитуду плотности
реактивного потока энергии в той же точке соответственно.
1.8.4. Уравнение баланса комплексной мощности
Уравнение баланса комплексной мощности может быть по-
лучено либо из уравнений Максвелла в комплексной форме, либо
непосредственно из теоремы Пойнтинга. Второй путь короче. При
57
этом вывод упрощается, если в качестве исходного использовать
уравнение баланса мгновенных значений мощности в форме
(1.123). Перейдем от мгновенных значений мощностей, входящих в
(1.123), к комплексным мощностям на основе приема, описанного в
1.8.3. Все подынтегральные выражения в (1.123) содержат про-
изведения двух векторов. Заменим в этих произведениях первый
вектор соответствующим ему комплексным вектором (например,
вектор Е - на Ё), а второй вектор - соответствующим ему комп-
лексно-сопряженным вектором (например, jCT-Ha j"). Умножая
обе части получающегося при этом равенства на 1/2, приходим к
соотношению
ь у £ у £. g Z у I CI Ul I
Вычисляя производные по t и учитывая обозначение (1.145),
получаем уравнение баланса комплексной мощности:
у у s ’ 1 4V
(1.146)
Проанализируем это уравнение. Используя формулы (1.142)-(1.144),
перепишем его в виде
=Pncp + Pv+2iffl(V^-W;), (1.147)
где
и'»=т!‘!№‘л< "'S - й f
-соответственно средние за период значения энергий эле-
ктрического и магнитного полей в объеме V. Из равенства ко-
мплексных величин следуют отдельные равенства для их дей-
ствительных и мнимых частей. Отделяя в (1.147) действительные
части, получаем
Rep" = Pnop+RepE. (1.148)
Левая часть равенства (1.148) представляет собой среднюю
за период мощность сторонних источников, которая равна также
средней за период активной мощности сторонних источников.
Второе слагаемое в правой части (1.148) равно среднему за
период потоку энергии через поверхность S и соответственно
среднему за период активному потоку энергии через ту же по-
верхность:
58
RepI=RefndS=PIcp=PI%.
s
Поэтому равенство (1.148) эквивалентно соотношению
Р^=Р^+Р^- (1-149)
Таким образом, уравнение (1.148) представляет собой урав-
нение баланса средних за период мощностей. Уравнение (1.148)
иногда называют также уравнением баланса активных мощностей.
Из (1.149) видно, что в тех случаях, когда Р" > Рп ср, поток энергии
в среднем за период выходит из рассматриваемого объема в
окружающее пространство. При Р" <Рпср средний поток энергии
отрицателен, т.е. направлен из окружающего пространства в
объем У.
Отделяя в (1.147) мнимые части, получаем
' 1гпРст =knPE+2co(W(;-VV[;). (1.150)
Входящие в (1.150) величины lmPCT и ImP^ равны соот-
ветственно амплитуде реактивной мощности сторонних источников
и амплитуде реактивного потока энергии через поверхность S.
Поэтому уравнение (1.150) иногда называют уравнением баланса
реактивных мощностей.
Реактивный поток энергии изменяется со временем по
гармоническому закону с удвоенной круговой частотой 2&. В
течение периода он половину времени имеет положительное
значение, т.е. энергия поступает в окружающее пространство, а
другую половину-отрицательное, т.е. энергия поступает из ок-
ружающего пространства в объем У. Среднее за период значение
реактивного потока энергии равно нулю. Таким образом, из (1.150)
следует, что разность между амплитудами реактивной мощности
сторонних источников и реактивного потока энергии через огра-
ничивающую этот объем поверхность S равна умноженной на 2со
разности между средними за период значениями энергий маг-
нитного и электрического полей в объеме У.
Предположим, что объем У представляет собой изолиро-
ванную систему (например, ограничен идеально проводящей пове-
рхностью). Тогда поток комплексного вектора Пойнтинга через S
будет равен нулю, и уравнения (1.149) и (1.150) примут вид
ReP"=Pncp. (1.151)
Imp" = 2со (14^-14^). (1.152)
59
В этом случае в объеме V энергия электрического поля будет
периодически преобразовываться в энергию магнитного поля и
обратно. Если средние за период значения энергий электрического
и магнитного полей равны, т.е.
И£=1Л£, (1.153)
то этот процесс протекает без участия источников, и мощность
сторонних источников оказывается чисто активной (lmPCT = 0). Ес-
ли же ИР * иР, то периодическое преобразование энергии эле-
ктрического поля в энергию магнитного поля и обратно возможно
только при участии сторонних источников. При этом реактив-
ная мощность сторонних источников будет отлична от нуля
(1тРи ^0). Если в изолированной области мощность сторонних
источников является чисто активной, то имеет место резонанс. Из
изложенного следует, что для резонанса необходимо выполнение
условия (1.153). Отношение
0 = шИ<ф/Рпср, (1.154)
где Иф = ИР+ИР, называют добротностью изолированной сис-
темы. Выражение (1.154) можно переписать в иной форме. За-
меняя и на 2л/Т, получаем
W
Q=2it—^. (1.155)
AIV
где AW- изменение энергии электромагнитного поля системы за
период. Таким образом, добротность изолированной системы - это
увеличенное в 2л раз отношение запаса энергии системы WCP к
энергии AW, расходуемой за период Г.
Уравнение (1.146) было выведено в предположении, что е =
= с (1 -io/coe), а ц=ц. Отметим, что в общем случае, когда е=
= е0(е) -/е'г); ц = (Мг Уравнение баланса комплексных
мощностей также имеет вид (1.147), однако при этом входящие в
него величины Рп ф1 ИР и ИР определяются выражениями
Рпф (1.156)
Z у Z у
ИР = ( е'ЁЁс/V, ИР = Ь. Г ц’НШУ.
41 4 £ г с₽ 4 i '
60
1.8.5. Скорость распространения электромагнитной
энергии
Как уже отмечалось, из теоремы Пойнтинга (1.126) следует
возможность распространения в пространстве энергии элект-
ромагнитного поля. Вычислим скорость, с которой происходит это
распространение. Выделим в рассматриваемой части прост-
ранства так называемую энергетическую трубку, т.е. трубку на
боковой поверхности которой перпендикулярная к ней состав-
ляющая вектора Пойнтинга (Лп) тождественно равна нулю
(рис.1.24). При этом условии средний за период поток энергии
через поперечное сечение трубки при отсутствии джоулевых
потерь не изменяется вдоль трубки.
Энергия электромагнитного поля ДИ/, прошедшая за время Д/
через поперечное сечение трубки ДЗ, будет распределена с
плотностью w в объеме ДУ, ограниченном боковой поверхностью
трубки и поперечными сечениями ДЗ и ДЗь находящимися на
расстоянии Ы друг от друга (рис.1.24). Эта энергия может быть
вычислена по формуле
ДИ/ = { wdV = М JwdS, (1.157)
AV AS’
где ДЭ* - некоторое поперечное сечение трубки, расположенное
между сечениями ДЗ и ASi.
Будем называть скоростью распространения энергии уэ пре-
дел отношения Д£ к Д/ при ДМО.
При достаточно малых значениях Д/ можно считать, что в
пределах At вектор Пойнтинга не изменяется. Поэтому наряду с
(1.157) должно выполняться соотношение
ДИ/ =Д/ JlldS, (1.156)
AS
где dS =4)CfS, а А)-единичный вектор, перпендикулярный кДЗи
направленный в сторону дЗр Приравнивая правые части вы-
ражений (1.157) и (1.158) и переходя к пределу при ДМО, находим
V = lim —= [П dS/fwdS. (1.159)
При выводе формулы (1.159) учтено, что в
пределе при ДМО сечение ДЭ’ совпадает с
ДЗ. Если Е и Н, а следовательно, П и w не
изменяются вдоль сечения ДЭ, формула
(1.159) упрощается. Так как в этом случае
направление вектора Пойнтинга совпадает с
направлением распространения энергии, то
Рис. 1.24
61
уэ = ПЛу. (1.160)
Нетрудно показать, что в случае монохроматического поля
среднее за период значение скорости распространения энергии
иэср определяется формулой
уэер =/RefldS/Jw^dS. (1-161)
Если значения вектора П и функции ivcp одинаковы во всех
точках сечения ДЗ, выражение (1.161) может быть записано в виде
^cp^Ren^. (1.162)
Таким образом, в данной главе рассмотрены основные урав-
нения электродинамики. Перейдем к рассмотрению вопроса о
применении этих уравнений к решению конкретных задач.
Глава 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
При решении многих проблем радиотехники, электро- и ра-
диосвязи, радиофизики и других научно-технических отраслей не-
обходимо знать структуру электромагнитного поля в рассматри-
ваемой части пространства. К таким проблемам относятся, напри-
мер, разработка излучающих систем (антенн) и повышение их
помехозащищенности, обеспечение электромагнитной совмести-
мости радиотехнических устройств и систем, разработка различ-
ных линий передачи энергии и многие другие. Для расчета элек-
тромагнитного поля в каждом конкретном случае требуется решить
соответствующую электродинамическую задачу.
Выделяют два класса задач электродинамики, которые назы-
вают прямыми и обратными задачами. Прямые задачи электро-
динамики (их часто называют также задачами анализа) состоят в
определении электромагнитного поля, которое создается в рас-
сматриваемой части пространства под воздействием известных
(заданных) источников. Обратные задачи электродинамики (обы-
чно их называют задачами синтеза) состоят в определении систе-
мы источников, которые создают электромагнитное поле, обла-
дающее требуемой (заданной) структурой. Прямые задачи элек-
тродинамики часто формулируют как краевые задачи, состоящие в
нахождении электромагнитного поля, удовлетворяющего опреде-
ленным (краевым) условиям на границе рассматриваемой части
пространства. Различают внутренние и внешние краевые задачи.
Пусть задана некоторая область V, огра-
ниченная замкнутой поверхностью S (см.
рис.1.23). Определение поля внутри об-
ласти V называют внутренней задачей.
Соответственно определение поля во
всем пространстве, внешнем по отноше-
нию к области I/ (рис.2.1), называют
внешней задачей.
Возникающие на практике электроди-
намические задачи обычно весьма слож-
63
ны, и их решение удается получить лишь после введения ряда уп-
рощающих предположений. Поэтому практически всегда вместо
реальной задачи рассматривают некоторую модельную задачу,
которая в той или иной степени отражает реальную ситуацию.
Часто исходную задачу удается разбить на ряд более простых,
каждая из которых позволяет учесть один или несколько влияющих
факторов.
2.2. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.2.1. Вводные замечания
Уравнения Максвелла являются дифференциальными урав-
нениями в частных производных. Такие уравнения допускают мно-
жество решений. Однако из общих физических представлений
очевидно, что при полном повторении условий эксперимента рас-
пределение поля должно быть одинаковым. Следовательно, в-ка-
ждом конкретном случае электромагнитное поле должно удовле-
творять не только уравнениям Максвелла, но и некоторым допол-
нительным условиям. Эти дополнительные условия определяются
специальными теоремами, называемыми теоремами единственно-
сти решения задач электродинамики. Ограничимся доказательст-
вом этих теорем для краевых задач в случае монохроматического
поля, причем будем считать, что в рассматриваемой части про-
странства происходит (хотя бы и очень слабое) поглощение энер-
гии, т.е. что Рпср * 0.
2.2.2. Единственность решения внутренних задач
электродинамики
Покажем, что внутренняя задача электродинамики имеет
единственное решение, если на граничной поверхности S (см.
рис.1.23) выполняется одно из следующих четырех условий:
в каждой точке М поверхности S задана проекция вектора Е на
плоскость Р{М), касательную к S в точке М (Е-задача):
Et(/W) = f(/W), MeS; (2.1)
в каждой точке М поверхности S задана проекция вектора Н
на плоскость Р(М) (Н-задача):
HT(M) = g(M), MeS; (2.2)
на одной части поверхности S (обозначим ее S,) задана про-
екция Et вектора Ё, а на другой части (S2) - проекция вектора
Н на плоскость P(/W), причем Si + S2 = S (ЕН-задача):
64
= при MeS. и HT.(M) = F2(M) при M е S2; (2.3)
в каждой точке М поверхности S проекции векторов Ё и Н на
плоскость Р{М) связаны соотношением
E,(Af) = Z(M)HT.(M), MeS. (2.4)
причем
ReZ(M)>0. (2.5)
Условие (2.4) часто называют импедансным краевым усло-
вием. Очевидно, что векторы Ёт и Ht., образующиеся при прое-
цировании Ё и Н на плоскость Р(М). имеют различное направ-
ление: Ёт=т0Ё„ = т'о^То, где т0 и т'о- единичные век-
торы, лежащие в плоскости Р(М).
В формулах (2.1)—(2.5) через f(/W), g(M), Fi(/W), F2{M) и Z(M)
обозначены известные (заданные) функции точки /WeS.
Предположим, что существуют два различных решения по-
ставленной задачи Ё^Н, и Ё2,Н2 и рассмотрим их разность:
Е,.Е,-Е21 Н,=Н-Н2. (2.6)
Векторы ЁрН, и Ё2,Н2 удовлетворяют уравнениям Максвелла
rot Н, = ^еЁ, + jCT, rot Ё, (2.7)
rot Н2 = icoeE2 + jCT, rot Ё2 = - io»)jH2 (2.8)
и одинаковым краевым условиям на поверхности S. Уравнения
Максвелла для поля Ё,,Нг получаются почленным вычитанием
уравнения (2.8) из (2.7). При этом векторы jCT сокращаются, и
уравнения Максвелла для поля Ё3, Н3 принимают вид
rot Н3 = 1<веЁэ, rot Ё3 - - iwpH3. (2.9)
На поверхности S поле Ё3, Н3 должно удовлетворять следующим
краевым условиям:
в случае Е-задачи
Ё3,(М) = 0. MeS; (2.10)
в случае Н-задачи
H3,(/W) = 0, WeS; (2.11)
в случае ЕН-задачи
5-45
65
Ё3х{М) = 0 при Me S„1 (2 12)
H3l(/W) = 0 при MeS2,J'
Si + S2 = S;
0 случае импедансного краевого условия (2.4)
E3i=Z{M)H3AM), MeS. (2.13)
Составим уравнение баланса для средней за период мощ-
ности разностного поля Ё3, Н3. Так как векторь| Ё3, Н3 удов-
летворяют уравнениям Максвелла (2.9), то мощность сторонних
источников разностного поля Р^р равна нулю, и уравнение (1.148)
принимает вид
P3nc₽ + 4Ref^H3]dS = 0. (2.14)
Так как dS = ncdS, где п0-орт внешней нормали к повер-
хности S, то произведение [Ё3, HsJdS определяется только каса-
тельными составляющими векторов Ё3 и Нз. В случае выпол-
нения условий (2,Ю)-(2.12) произведение [E3,H3]dS на повер-
хности S обращается в нуль. При этом из (2.14) следует, что
Рзпср = 0. (2.15)
Предположим вначале, что потери энергии в объеме V
обусловлены только наличием проводимости (ст * 0), т.е. что с-
= е(1 -io/(ros)), а ц=ц. В этом случае уравнение (2.15) прини-
мает вид
[ ст I Ё3|2 dV = 0. (2.16)
V
Так как ст*0, а |Ё3|2 >0, то из равенства (2.16) следует, что
Ё3 =0. Используя второе уравнение Максвелла, записанное отно-
сительно векторов Ёэ и Н3, получаем Н3 = 0. Следовательно,
Ё2 = Ё, и Н2 = Н„ т.е. задача имеет единственное решение.
Рассмотрим теперь краевое условие (2.4). В этом случае по-
дынтегральное выражение во втором слагаемом в уравнении
(2.14) может быть преобразовано следующим образом: [Ё3,Нэ JdS -
-(1Ё3,Нз],п0)с/5 = E3zH3edS = Z(M}H3vH3vdS = Z(M}\H3,.\ZdS. При
этом из (2.14) получаем соотношение
66
Joi eJ dV+-Ref Z(M)I dS = 0. (2.17)
Так как | Ё3| >0, | Н3| > 0 и, кроме того, выполняется условие (2.5),
то равенство (2.17) возможно только при Ё3 =0. Таким образом, и
в этом случае задача имеет единственное решение.
Единственность решения в более общем случае, когда ег =
= и pr=p’-ip’, доказывается аналогично на основе ана-
лиза уравнения (2.14). При этом выражение для средней за период
мощности потерь в объеме V для поля Ё3,Н3 должно быть за-
писано на основе равенства (1.156).
2.2.3. Единственность решения внешних задач
электрод ина м ики
В случае внешней задачи электродинамики поверхность S не
охватывает рассматриваемую часть пространства, простираю-
щуюся до бесконечности. Поэтому для единственности решения
кроме одного из условий (2.1)-(2.4) требуется задать допол-
нительное условие, характеризующее поведение векторов Е и Н в
точках, бесконечно удаленных от поверхности S. Выясним, каким
должно быть это дополнительное условие.
Пусть на S выполняется одно из условий (2.1)-(2.4).
Предположим, что имеется два решения задачи Е,, Hi и Е2, Н2, и
введем в рассмотрение разностное поле Е3, Нэ по формулам (2.6).
Как и в случае внутренней задачи электродинамики, векторы
Ё3 и Н3 удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.9) и одному из
условий (2.Ю)-(2.13) на поверхности S. Из произвольной точки 0
внутри области V мысленно проведем сферу радиуса г так, чтобы
вся область V и все сторонние источники оказались внутри этой
сферы. Объем, заключенный между поверхностями S и S',
обозначим через V (рис. 2.1). Составим уравнение баланса для
средних за период значений мощности поля Ё3, Н3 в объеме V:
P3ncp+^Rej[E3.H3ldS+lj[E3,H3]dS = 0. (2.16)
S Z s'
Перейдем в уравнении (2.18) к пределу при Тогда
область V распространится на все пространство, внешнее по
отношению к области V. Если в пределе третье слагаемое в левой
части уравнения (2.18) окажется равным нулю, то получающееся
при этом соотношение
5* 67
limP3nep+4f[E31H3]cfS=0 (2.19)
не будет иметь принципиальных отличий от аналогичного уравне-
ния (2.14) для внутренней задачи электродинамики, и, следова-
тельно, рассматриваемая задача также будет иметь единственное
решение. Действительно, при выполнении условий (2.1)-(2.3), вто-
рое слагаемое в левой части (2.19) обращается в нуль, и это урав-
нение принимает вид
iimP3ncp=0. (2.20)
В частном случае, когда потери в среде обусловлены только нали-
чием проводимости, т.е. когда е = е(1 -йДсое)) и ц=ц, уравнение
(2.20) записывается в форме
, । . |2
lim fa Е3 dV = 0. (2.21)
Так как a 0 и [ Ё3| > 0, то из (2.21) получаем Ё3 = 0, а из второго
уравнения Максвелла - Н3 = 0. Следовательно, Ё2 = Ё, и Н2 = Нг
Если на поверхности S выполняется условие (2.4), то из урав-
нений (2.19) и (2.13) имеем
lim fa | Ё3|2 dV+1 Re JZ(M) | H т f dS = 0,
откуда также следует единственность решения.
В более общем случае, когда Er=s'r-ie", и ц = щ - j^, един-
ственность решения доказывается также на основе формулы
(2.20) Для краевых условий (2.1)-(2.3) и на основе уравнения (2.19)
в случае краевого условия (2.4). При этом должно быть использо-
вано соотношение (1.156).
Найдем условие, при котором
lim |[Ё3,Нз]с/5 = 0, (2.22)
и, следовательно, проведенное выше доказательство справедли-
во. При г><с поверхность S’ возрастает пропорционально i2. По-
этому для выполнения условия (2.22) необходимо, чтобы абсо-
лютная величина произведения [Ё3,Нз] при г>» убывала быстрее
г"2. Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые векторы Е и
Н убывали быстрее, чем 1/т
Таким образом, внешняя задача электродинамики имеет
единственное решение, если на поверхности S, ограничивающей
объем I/, выполняется одно из условий (2.1)-(2.4) и, кроме того,
68
при г-»со векторы Е и Н убывают быстрее, чем 1/г. Последнее все-
гда имеет место, так как в любых реальных средах имеются поте-
ри энергии.
Отметим, что теорему единственности для внешней задачи
электродинамики можно доказать и в случае среды без потерь,
если вместо условия убывания векторов Е и Н при быстрее
1/г потребовать выполнения следующих условий:
lim
lim
(2.23)
Предельные соотношения (2.23) называются условиями излу-
чения. Они были сформулированы Зоммерфельдом. Физически
эти условия эквивалентны требованию, чтобы при г-><ю поле имело
характер поперечных волн, распространяющихся вдоль направле-
ния Го (предполагается, что источники поля находятся на конечном
расстоянии от поверхности 3). Использованный здесь термин "по-
перечная волна" определен в гл.5.
Отметим, что в тех случаях, когда поверхность S имеет особенности типа из-
ломов, острых кромок и др., для единственности решения краевой зедачи электро-
динамики перечисленных условий недостаточно. Необходимо выполнение допол-
нительных условий, определяющих поведение составляющих векторов Е и Н вбли-
зи этих особенностей.
К таким условиям относятся, в частности, “условия на ребре* сформулиро-
ванные Мейкснером для случая идеально проводящих тел. Рассмотрим эти усло-
вия. Пусть контур Си представляет собой ребро (острую кромку) идеально прово-
дящей поверхности S. Введем систему координат г, <р, s (рис. 2.2), связанную с
контуром Со, где з -длина дуги, отсчитываемая вдоль контура Со от некоторой точ-
ки О е Со, а г и ф - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной Со. Ус-
ловия на ребре записываются в виде
Игл (г|Е|)=О,
/-+0
Пт (г | Н |) = 0.
Г-iO
(2.24)
Соотношения (2.24) должны выполняться равномерна по г и <р.
Рис. 2.2
Рис. 2.3
Рис. 2.4
69
Условия на ребре (2,24) обеспечивают существование интеграла
J(e|E|2 + ц|Н|г)сД/,
vr
где t/r - объем кольцевой области радиуса г, охватывающей контур Со. Существо-
вание этого интеграла эквивалентно выполнению требования ограниченности энер-
гии электромагнитного поля в любом конечном объеме, охватывающем контур Со
(рис. 2,3). Анализируя соотношения (2.24) совместно с уравнениями Максвелла,
можно показать, что касательные к ребру (контуру Со) составляющие Ei и Hi долж-
ны быть ограниченными, а нормальные к ребру составляющие Ед. и HL могут иметь
особенности вида г-“, где 0<х < 1. Для определения параметра к нужно знать
внутренний угол так называемого эквивалентного клина, который строится сле-
дующим образом. Через произвольную точку М на рассматриваемом ребре Со про-
водится касательная f к Со и две полуплоскости, касательные кЗв точке М, так,
чтобы их ребра совпали с С Клин, образованный этими полуплоскостями, и назы-
вают эквивалентным клином (на рис. 2.4 показано сачение поверхности 3 плоско-
стью, перпендикулярной ребру эквивалентного клина в точке М; касательная t пер-
пендикулярна плоскости рисунка, а ее след совпадает с точкой /И). Пусть внутрен-
ний угол эквивалентного клина равен Я (предполагается, что Я < к). Анализируя
структуры полей вблизи ребра идеально проводящего клина, найденные на основе
решения соответствующих краевых задач, получили, что х = (к - Я)/(2я - Я). В ча-
стном случае, когда поверхность 3 имеет острую кромку (например, на краю беско-
нечно тонкого экрана), Я = 0 и х = 1/2. На таком ребре составляющие Ец и Н\\ имеют
особенность вида const л/r, а состааляющие Е± и Н± обращаются в нуль как
const /г.
Из приведенного выше доказательства единственности реше-
ния краевых задач электродинамики следует, что при отсутствии
потерь энергии в области У решение внутренней задачи может
быть неединственным. Физически это означает, что в такой систе-
ме помимо полей, созданных непрерывно действующими сторон-
ними источниками, могут существовать незатухающие поля, соз-
данные когда-то действовавшими сторонними источниками (но в
рассматриваемое время переставшими действовать). Эти поля из-
за отсутствия потерь в среде могут существовать сколь угодно
долго (например, собственные колебания идеального объемного
резонатора).
2.3. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.3.1. Общий случай
При решении прямых задач электродинамики требуется найти
векторы Е и Н по известным (заданным) сторонним источникам.
Предположим, что сторонние источники расположены в безгра-
70
ничной однородной изотропной среде. Для упрощения преоб-
разований будем считать, что о = 0. Записывая уравнения Макс-
велла для данного частного случая, получаем
ЗЕ ,ст ЗН
rot Н = е — + Г, rot Е - -и ,
dt 5t
divE = —, div Н-0.
s
(2-25)
Определение векторов E и H непосредственно из системы
уравнений (2.25) затруднительно. Поэтому целесообразно преоб-
разовать ее, исключив либо вектор Е, либо вектор Н, т.е. получить
из нее такое дифференциальное уравнение, в которое входил бы
только один из векторов Е или Н. Для этого возьмем ротор ст
обеих частей второго уравнения системы (2.25) и изменим порядок
дифференцирования по времени и по пространственным коор-
динатам. Учитывая известное из векторного анализа равенство
rot rot А = grad div А - V2A, (2.26)
где V2 = Д - оператор Лапласа1, и третье равенство рассматри-
ваемой системы, приходим к уравнению
V2E- = n^_ + 2grad рст (2.27)
Аналогично выводится и уравнение для вектора Н:
V2H-epfJ = -rotf. (2.28)
of
Каждое из векторных уравнений (2.27) и (2.28) эквивалентно
трем скалярным уравнениям, получающимся при проецировании
векторного уравнения на оси X, Y и Z декартовой системы коор-
динат. Эти скалярные уравнения относятся к уравнениям вида
, 1 З2 W
(2.29)
V £71
где w и f (х, у, z, 0 - искомая и заданная (известная) функции
соответственно. Как известно, уравнения вида (2.29) описывают
волновые процессы, причем параметр v равен скорости этого
процесса. Такие уравнения принято называть неоднородными
уравнениями Даламбера или неоднородными волновыми урав-
нениями. Уравнения (2.27) и (2.28) отличаются от (2.29) только
тем, что входящие в них функции являются векторными.
Уравнения такого типа называют неоднородными векторными
уравнениями Даламбера или неоднородными векторными волно-
1 Выражения для оператора Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах
координат приведены а приложении 4.
71
выми уравнениями. Аналогичные уравнения, правые части кото-
рых равны нулю, называют однородными векторными уравне-
ниями Даламбера (однородными векторными волновыми урав-
нениями).
В дальнейшем будет показано, что входящий в уравнения
(2.27) и (2.28) параметр 1/-7см, являющийся аналогом параметра
v в (2.29), в случае среды без потерь также представляет собой
скорость распространения электромагнитного поля и равен ско-
рости света с в рассматриваемой среде. Этот результат не яв-
ляется неожиданным, так как свет - это электромагнитные волны
определенного диапазона частот.
Без затруднений записываются аналогичные уравнения для
векторов Е и Н и в том случае, когда о * 0 (см., напр., [1]).
2.3.2. Монохроматическое поле
В случае монохроматического поля полная система уравнений
Максвелла в 'комплексной форме, учитывающая сторонние эле-
ктрические источники, имеет вид
rot Н - icusE + jCT, rot Ё = -icopH. (2.30)
Предположим, что среда, заполняющая рассматриваемую
часть пространства, является однородной и изотропной. Возьмем
ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.30) и
исключим вектор Н, используя первое уравнение. Учитывая фор-
мулу (2.26) и равенство divE = pCT/E, справедливое для одно-
родной изотропной среды, придем к уравнению
V2E-i-k2E-imijCT +-gradpCT, (2.31)
е
где к = Для вектора Н получаем аналогично
VZH + /(2H = -rot f. (2.32)
Очевидно, что такие же уравнения связывают между собой
комплексные амплитуды Em, Hm, j", р".
Если в рассматриваемой области отсутствуют сторонние
источники, уравнения (2.31) и (2.32) упрощаются1:
?2Ё+к2Ё = 0, (2.33)
1 По аналогии со скалярным неоднородным уравнением Гельмгольца V!w + l^w =J{x,y, z),
где/х, у, z) - известная функция координат, уравнении (2.31) к (2.32) называют векторными
неоднородными уравнениями Гельмгольца. Соответственно уравнения (2.33) и (2.34)
называют векторными однородными уравнениями Гельмгольца.
72
v2H+k2H = o.
(2.34)
Для перехода к случаю среды без потерь в уравнениях
(2,30)-(2,34) нужно положить е = е, ц = ц и к=к = Каждое
из векторных уравнений (2.33) и (2.34) эквивалентно трем однотип-
ным скалярным уравнениям для декартовых составляющих соот-
ветствующего вектора: V2 iv гk2 iv = 0. где w-любая из состав-
ляющих Ёх,Ёу,Ёг или Нх,Ну,Ну.
2.4. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
2.4.1. Общий случай
Выведенные в предыдущем разделе дифференциальные
уравнения позволяют в принципе определить векторы Е и Н через
функции jOT и рст. Однако наличие в их правых частях выражений
grad рст и rot jCT в ряде случаев несколько затрудняет получение
удобных расчетных формул. Поэтому указанные уравнения обы-
чно используют в тех случаях, когда сторонние источники рас-
положены за пределами рассматриваемой области, т.е. когда
уравнения (2.27) и (2.28) становятся однородными и соответ-
ственно уравнения (2.31) и (2.32) переходят в (2.33) и (2.34).
В общем случае для определения векторов поля по заданным
источникам обычно применяют искусственный прием: сначала
находят вспомогательные функции, а потом через них вычисляют
векторы Е и Н. Эти вспомогательные функции можно ввести
различным образом в зависимости от специфических особенно-
стей анализируемой задачи. Для упрощения решения многих
задач вводят так называемые электродинамические потенциалы.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла (2.25). Последнее
уравнение этой системы представляет собой четвертое уравнение
Максвелла div В = 0, записанное для случая однородной изо-
тропной среды. Так как дивергенция ротора любого вектора равна
нулю (div rot а = 0), то из уравнения div В = 0 следует, что вектор В
можно представить в виде В = rot А. При этом вектор
Н- — rot А. (2.35)
И
При известном векторе А уравнение (2.35) позволяет одно-
значно найти вектор Н. Однако оно допускает некоторый произвол
в определении вектора А. Действительно, если вместо А взять
73
вектор Ai = А + grad ф, где ф - произвольная скалярная функция,
то значение вектора Н не изменится, так как
rot grad у = 0. (2.36)
Неоднозначность определения вектора А будет использована при
выводе дифференциального уравнения для А.
Подставим выражение (2.35) во второе уравнение системы
(2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и
пространственным координатам. Объединив затем векторы Е и
dAJdt под знаком ротора, получим rot (Е + 5A/5f) = 0. Учитывая
тождество (2.36), можно положить, что стоящее под знаком ротора
выражение равно - grad и, где (/-некоторая скалярная функ-
ция, или
E = -gradu-~-. (2.37)
Знак минус перед grad и в формуле (2.37) введен, чтобы в случае
электростатического поля функция и совпадала с обычным эле-
ктростатическим потенциалом.
Таким образом, все векторы, определяющие электромаг-
нитное поле, выражаются через две функции: векторный поте-
нциал А и скалярный потенциал и. Следовательно, задача состоит
теперь в том, чтобы найти функции А и и. Подставляя (2.35) и
(2.37) в первое уравнение системы (2.25) и преобразовывая левую
часть получающегося при этом соотношения с помощью тождества
(2.26), приходим к равенству
V2A = -pjCT + grad fdiv А + (2.38)
Упростим уравнение (2.38). Как уже отмечалось, вектор А
определен с точностью до градиента произвольной скалярной
функции. Следовательно, можно потребовать, чтобы вектор А
удовлетворял добавочному условию. Потребуем, чтобы
divA + Ещ— = 0. (2.39)
Соотношение (2.39) принято называть условием калибровки. С
учетом (2.39) уравнение (2.38) принимает вид
72А-Ец^ = -ИГ (2.40)
Аналогичное уравнение получается и для скалярного потен-
циала и. Подставляя (2.37) в третье уравнение системы (2.25),
получаем
—е f div grad и+—div А | = рст.
I Л st )
74
Используя условие калибровки (2,39) и тождество div grad и =
= V2u, приходим к уравнению
721/-еИ~ = -^-, (2.41)
5t г
Таким образом, векторный и скалярный потенциалы, как и
векторы Е и Н, удовлетворяют неоднородным уравнениям Да-
ламбера. Однако правые части уравнений для потенциалов имеют
более простой вид. Поэтому уравнения (2.40) и (2.41) оказываются
более удобными при решении многих конкретных задач.
Найдем частные решения уравнений (2.40) и (2.41), считая
функции jCT и рст известными. Вначале рассмотрим уравнение
(2.41). Предположим, что электрическое поле создается точечным
неподвижным зарядом постоянной величины Q= const, располо-
женным в начале координат, вектор Е в этом случае определяется
выражением (1.7). Так как поле не должно зависеть от времени, то
5fiJ3t=0 и соотношение (2.37) принимает вид E=-gradu. Рас-
писывая grad и в сферической системе координат г, 9, <р (см.
приложение 4) и учитывая, что вектор Е в рассматриваемом
случае может зависеть только от координаты г (от расстояния от
заряда Одо точки наблюдения), получаем
Е = -г0^. (2.42)
где г0-координатный орг переменной г. Подставляя выражение
(2.42) в (1.7) и выполняя интегрирование по переменной г, находим
функцию и:
u=Q/(4itEr). (2.43)
Постоянная интегрирования в (2.43) принята равной нулю,
чтобы при г-^оо функция и обращалась в нуль. Формула (2,43)
полностью совпадает с известным из курса общей физики вы-
ражением для электростатического потенциала точечного заряда
(см. замечание по поводу выбора знака перед grad и в выражении
(2.37)). Если заряд сосредоточен в малом элементе объема dV с
плотностью рст, то и = рстс/УД41ге/?), где R - расстояние от элемента
dV до точки наблюдения. От этой формулы легко перейти к
выражению для электростатического потенциала, создаваемого
произвольным распределением зарядов в объеме V. В соот-
ветствии с принципом суперпозиции получаем
и =——— l—dV.
4ле у R
Значение и, определяемое формулой (2.44), можно рассма-
тривать как решение уравнения
v2u =- рс7е,
(2.44)
(2.45)
75
Рис. 2.5
получающегося из равенства (2.41), если в пос-
леднем положить 32и/Э!2=0. Уравнение (2.45)
называют уравнением Пуассона.
Предположим теперь, что поле также соз-
дается точечным зарядом, расположенным в
начале координат, но величина этого заряда
изменяется1 со временем Q = Q (f). Тогда в
любой точке, кроме начала координат, потен-
циал и будет удовлетворять однородному урав-
нению Даламбера
?2и-щЛ^ = 0. (2.46)
Для решения уравнения (2.46) удобно использовать сфери-
ческую систему координат г, 9, <р (рис. 2.5). Оператор Лапласа V2 в
этой системе координат определяется формулой (П.18). Так как
поле создается точечным зарядом, расположенным в начале
координат, то потенциал и не должен зависеть от углов 9 и <р.
Поэтому уравнение (2.45) можно переписать в виде
1 5 ( 25 [Л
— г —
г2 5г\_ 5г )
а2 и п
-su—=- = 0.
r 5t2
Учитывая, что l/T^p = с и переходя от и к функции щ, связанной
с и соотношением и, = ги, получаем
Э2 и, _ 1 а2щ
аг2 "с2 at2
(2.47)
Общее решение уравнения (2.47) имеет вид щ = ^(t- tic) +
+ f2(t+ric), где fi(t-ric) и f2(t+ric) - произвольные дважды диф-
ференцируемые функции аргументов t-ric и t + tic соответ-
ственно. В том, что функции f^t-ric) и f2(t+tic) удовлетворяют
(2.47), можно убедиться непосредственной подстановкой их в это
уравнение. Таким образом, скалярный потенциал и можно пред-
ставить в виде
и = . (2.48)
г г
Первое слагаемое в выражении (2.48) представляет собой
волну, распространяющуюся из начала координат вдоль ради-
усов г со скоростью света с = 1/-Уёц. Действительно, функция
1 Отмстим, что данное предположение физически нереализуемо, оно является фермальным
и введено здесь лишь для упрощения формальных математических преобразований.
76
f Г 1
tit— в фиксированный момент времени t имеет одинаковые
\ С _/
значения на сфере радиуса r= const, В момент времени t+At
функция принимает то же значение на сфере радиуса
r+cAt, так как t+ At-(r + cAt)lc = t-r/c. Волны типа (1/r) f (t-r/c)
принято называть расходящимися сферическими волнами. Соот-
ветственно второе слагаемое в выражении (2.48) представляет
собой сферическую волну, распространяющуюся из бесконечности
со скоростью света с и сходящуюся к началу координат. Отметим
существенную особенность функций, описывающих волновые про-
цессы. Они всегда содержат множители вида f(t±rlv). характер
зависимости которых от расстояния вдоль направления распро-
странения волны в фиксированный момент времени повторяет
характер их зависимости от времени в фиксированной точке
пространства, a v-скорость распространения волны.
Если источники поля сосредоточены в ограниченной области,
то сходящаяся сферическая волна может возникнуть только в
результате отражения расходящейся сферической волны. Так как
пространство считается однородным, то отраженной волны не
может быть, и функцию f2{t+dc) нужно считать равной нулю.
Следовательно, и = f^(t-ric'j/r. Значения потенциала и должны
быть связаны с интенсивностью источников поля. В рассмат-
риваемом случае источником поля является точечный заряд (ЭД-
Полученное выражение для и должно быть справедливым при
любом законе изменения функции Q(t). Так как в статическом
случае потенциал и определяется формулой (2.43), естественно
предположить, что A(t-r/c) = Q(t-r/c)447t£). Тогда u=Q(t-R/c)44rcE/j.
Если заряд сосредоточен в малом элементе объема dV с пло-
тностью рст = pCT(t), то скалярный потенциал и = рст(?-Я/с)РУ44пей),
где R-как и ранее, расстояние от элемента dV до точки наблю-
дения. От этой формулы легко перейти к выражению для
скалярного потенциала, обусловленного произвольным распреде-
лением сторонних зарядов в объеме И
1
4ле(/
R
где R = ^-х)2+(П-У)2+(^-г)2; т|, -
декартовы координаты элемента dV\ х, у, z -
декартовы координаты точки наблюдения
N; элемент объема dV = dfyl^dt, (рис.2.6).
77
Выражение (2.49) является частным решением неоднородного
уравнения Двламбера (2.41). Отметим, что приведенный здесь
вывод не является строгим, он имеет лишь наводящий характер.
Строгий вывод формулы (2.49) можно найти, например, в [12].
Аналогично можно записать и решение уравнения (2.40). Для
этого нужно в (2.49) заменить и на А, рст на jCT и е на 1/ц. В
результате получим
д = JLJ dV (2.50)
4л i R
Из (2.49) и (2.50) следует, что для вычисления электро-
динамических потенциалов и и А в произвольной точке прост-
ранства N=N(x,y,z) в момент времени t нужно брать значения
токов и зарядов в каждом элементе dV в более ранний по срав-
нению с f момент времени f-t-R/c, определяемый расстоянием
R от элемента dV до точки наблюдения М(х, у, z) (рис. 2.6). Иными
словами, влияние источников электромагнитного поля проявля-
ется не мгновенно: требуется некоторое время д( = R/c, за которое
электромагнитные колебания, вызванные зарядами и токами в
элементе dV, успеют распространиться от элемента dV до точки
наблюдения. Поэтому функции Аи ив форме (2.50) и (2.49) часто
называют запаздывающими потенциалами.
2.4.2. Монохроматическое поле
Рассмотрим систему уравнений Максвелла для монохро-
матического поля, записанную для комплексных амплитуд век-
торов Е и Н:
=beEm+j£, rotEm =-icop.Hffl. (2.51)
Используя равенство div(pHm) = O, являющееся следствием
второго уравнения системы (2.51), представим вектор Нт в виде
Hm= —rotAm, (2.52)
Е
где Ат-комплексная амплитуда некоторого, пока неизвестного,
вектора А. Подставляя (2.52) во второе уравнение системы (2.51) и
учитывая тождество (2.36), получаем
Ёш = -gradt/TO-icoA„,, (2.53)
где ^-комплексная амплитуда некоторой, пока неизвестной,
скалярной функции и. Подставляя (2.52) и (2.53) в первое урав-
нение системы (2.51) и учитывая (2.26), имеем
78
V2Affl + A2^ --Mj" +grad (div Am + iwEHum). (2.54)
Соотношение (2.52) допускает некоторую свободу в определении
вектора АЛ. (см. замечание к формуле (2.37)). Поэтому с целью
упрощения уравнения (2.54) потребуем выполнения дополни-
тельного условия
div Am + iroep йт =0, (2.55)
которое обычно называют условием калибровки Лоренца. При
этом равенство (2.54) переходит в неоднородное векторное урав-
нение Гельмгольца
V2Am+k2Ara=-EC. (2.56)
Отметим, что условие калибровки (2.55) позволяет выразить
через один векторный потенциал не только вектор Нт, но и вектор
Ёт. Действительно, выражая и., из (2.55) и подставляя в (2.53),
получаем
“ grad div Аф - icoАт. (2.57)
ГОБЦ
Предположим вначале, что среда, в которой ищется поле,
является идеальным диэлектриком (б = е, ц = ц, к - к - го-УЁц). В
этом случае выражение для Ат может быть получено из формулы
(2.50) заменой функции jCT(£, n, С, t- R/c) на j" (£, rj, Q exp (-imR/c),
где j"(£, д, Q -комплексная амплитуда плотности сторонних
электрических токов. Так как и/с = ГОт/бц = к, то
Am = j т1>0 ехр (—i/cR) (2.58)
4тс у R
Для перехода к случаю среды с потерями достаточно в (2.58)
заменить ц на ц и к на к = го Jep.
Подставляя (2.53) в равенство div (eEm) = pS, являющееся
следствием первого уравнения системы (2.51), и учитывая условие
калибровки (2.55) и тождество (П.ЗО), приходим к уравнению
Гельмгольца для скалярного потенциала:
+ = (2.59)
£
79
N&y.z) z-ГТТ
•— adS
S-4—
Я___.
Рис. 2.7
Рис. 2.8
В случае однородной среды без потерь (е = е, ц ц, к =- к) реше-
ние уравнения (2.59) может быть получено из (2.58) заменой
функции j" (£, д, Q на р" (£, д, О и ц на 1/е. При этом имеем
йт = — f p" п' ® ехр dV. (2.60)
4тге у R
Для перехода к случаю среды с потерями нужно в (2.60)
заменить £ на е и к на к -
Полученные формулы соответствуют распределению сторон-
них источников в некотором объеме V. Если сторонние эле-
ктрические токи являются поверхностными и распределены по
некоторой поверхности S, то
А = -Ь Г ехР <jS, (2.61)
m 4к Js R
где М-точка на поверхности S, принадлежащая элементу cfS, a R-
расстояние от точки М до точки наблюдения Л/ = Л/(х, у, z)
(рис.2.7).
В случае линейного стороннего тока /ет, распределенного
вдоль контура Г, комплексная амплитуда векторного потенциала
определяется выражением
(2.62)
где to(A4) - орт касательной к контуру г в точке М, направление
которой совпадает с направлением тока; di - элемент контура г,
содержащий точку М; R-расстояние от точки МеГ до точки
наблюдения N (рис.2.8).
Аналогично видоизменяется формула (2.60) для скалярного
потенциала й в случае поверхностных и линейных зарядов.
2.4.3. Плоские задачи электродинамики
При построении электродинамических моделей реальных за-
дач часто считают, что поле, созданное сторонними источниками,
во
и поперечное сечение рассматриваемой области не зависят от
одной из декартовых координат, например от z. Такие модели
называют плоскими (двумерными) задачами. Простейшим сторон-
ним источником в этом частном случае является синфазная то-
ковая нить-линейный электрический ток, текущий параллельно
оси Z, амплитуда и фаза которого не зависят от z. Вычислим со-
ответствующий ему векторный потенциал.
Предположим, что линейный электрический ток течет вдоль
оси Z. Тогда, полагая в (2.62) to(M) =Zo и /" = /° = const, получаем
Am(/V) - z0 j -Хр d - z0^H^(Ar), (2.63)
4Я .«j К 4
где R = ^г2+ (С - z)2 - расстояние от точки интегрирования М =
= М(0, О, О, лежащей на оси Z, до точки наблюдения N(x, у, z);
г = yjx2+y2 - расстояние от точки Л/(х, у, z) до оси Z, a H'2,(kR)-
функция Ханкеля второго рода нулевого порядка от аргумента кг,
связанная с функциями Бесселя J0(kr) и Неймана N0(kt) нулевого
порядка соотношением H^(kr) = Ja(kr)~iN0(kr). При г-»0 функция
Н®(/сг) имеет логарифмическую особенность, а при г-»оо справедливо
асимптотическое соотношение Н^(кг) = ^2/(я/сг) exp [- i(V-л/4)].
Как видно, на больших расстояниях от источника (kr»1) поверх-
ности, на которых фаза функции Ат одинакова во всех точках,
описываются уравнением r= const и представляют собой пове-
рхности соосных круговых цилиндров, бесконечно протяженных
вдоль оси z. С учетом знака в показателе степени множителя
exp [-i(/<r-л/4)] поле, создаваемое синфазной токовой нитью,
может быть названо цилиндрической волной, распространяющей-
ся от источника к бесконечности.
Так как в рассматриваемом случае поле не зависит от z, а
вектор Am =z0Am, то div Am =0 и выполняется простое соотно-
шение Ёт =-iwAm.
Отметим, что хотя до сих пор при записи формул (2.50), (2.58)
и (2.б1)-(2.63) для векторного потенциала речь шла о поле, соз-
даваемом сторонними источниками, аналогичные формулы имеют
место и для векторного потенциала, создаваемого другими токами,
например токами, возникающими на металлическом объекте под
воздействием поля сторонних источников.
6-45 81
Выпишем в качестве примера вектор-
ный потенциал, соответствующий поверхно-
стным токам, текущим по идеально прово-
дящей бесконечно протяженной вдоль оси Z
цилиндрической поверхности S, поперечное
сечение которой - контур Г (рис. 2.9). Рас-
смотрим случай, когда токи текут вдоль
образующих поверхности S. Комплексная
амплитуда плотности этих токов равна
j&n (M)=Zo jSm (М)> МеГ. Контур Г может быть
как замкнутым (в этом случае поверхность S эквивалентна
сплошному идеально проводящему цилиндру), так и незамкнутым
(поверхность S представляет собой бесконечно тонкий идеально
проводящий незамкнутый экран). В случае незамкнутого контура Г
под jsnjfM) следует понимать сумму комплексных амплитуд пло-
тностей поверхностных токов, текущих по обеим сторонам пове-
рхности S в точке М. Ток, протекающий через элемент dl контура
Г, можно рассматривать как токовую нить, парвллельную оси Z и
проходящую через точку М. Комплексная амплитуда этого тока
равна cf/m = Med?.. В соответствии с принципом супер-
позиции комплексная амплитуда векторного потенциала, созда-
ваемого всеми токами, текущими по S, определяется выражением
Am(/V) = - z ЛIL (М) H^[kR (М, N)] d Д (2.64)
4 г
где R(M, N) - расстояние от точки МеГ до точки наблюдения
N = N(x, У); контур Г и точка N лежат в одном поперечном сечении
поверхности S.
2.5. СТОРОННИЕ МАГНИТНЫЕ ТОКИ И ЗАРЯДЫ
Понятия сторонних электрических токов и зарядов, распре-
деленных в некотором объеме с плотностями ]ет и рет соответ-
ственно, были введены в §1.8. Если сторонние токи и заряды
заданы в тонком слое, то при постановке электродинамической
задачи часто считают, что этот слой является бесконечно тонким,
т.е. может быть аппроксимирован некоторой поверхностью S, а
вместо ]ет и рст задают плотности сторонних поверхностных элект-
рических токов j" и зарядов р". Назовем одну из сторон пове-
рхности S первой, а другую - второй. Значения функций, вычи-
сленные в точках, принадлежащих определенной стороне пове-
рхности, будем обозначать соответствующим индексом 1 или 2.
82
Наличие на S поверхностных электрических токов обязательно
приводит (см.1.7.2) к разрыву при переходе через S касательной
составляющей вектора Н;
Js =[п0.Н1]-[п01Нг]. (2.65)
где п0 - орт нормвли к первой стороне поверхности S.
Аналогично сторонние поверхностные электрические заряды,
распределенные по S, вызывают появление разрыва при переходе
через S нормальной составляющей вектора D = еЕ:
р^7 = Е|(п0,Е1)-е2(по,Е2), (2.66)
где ei и е2-абсолютные диэлектрические проницаемости сред,
расположенных с соответствующих сторон поверхности S. В об-
щем случае поверхность S может частично или полностью сов-
падать с границей раздела сред. Поэтому параметры е( и е2 могут
быть как одинаковыми, так и разными. Таким образом, задание
сторонних поверхностных электрических токов и зарядов экви-
валентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Н
и нормальной составляющей вектора D (вектора Е) соответ-
ственно.
Для упрощения электродинамической модели, заменяющей
реальную систему, в ряде случаев вводят так называемые сто-
ронние магнитные токи и заряды.
Задание сторонних поверхностных магнитных токов эквива-
лентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Е
при переходе через рассматриваемую поверхность S:
[n0,E1]-[n0,E2] = -j", (2.67)
где индексы 1 и 2, как и прежде, означают, что функция вычислена
соответственно на первой или на второй стороне поверхности S.
Выбор знака в правой части равенства (2.67) будет пояснен ниже.
Задание j" на поверхности S обязательно приведет к разрыву на
S нормальной составляющей вектора В = цН. Величину этого
разрыва можно трактовать как плотность сторонних поверхностных
магнитных зарядов:
Р$=М1(П0,Н1)-И2(П01Н2). (2.66)
Подчеркнем, что введенные таким образом магнитные токи и
заряды являются фиктивными, однако в ряде случаев они по-
зволяют существенно упростить электродинамическую модель
реальной системы.
Зная плотности j” и pg, можно вычислить величины магни-
тных токов f* и зарядов Q“, сосредоточенных на S или какой-либо
части поверхности S. По аналогии с обычным током проводимости
магнитный ток можно рассматривать как упорядоченное движение
6* 83
магнитных зарядов, а в качестве положительного направления
магнитного тока принять направление движения положительных
магнитных зарядов. Магнитные токи измеряются в вольтах, маг-
нитные заряды - в веберах. Плотность поверхностных магнитных
зарядов измеряется в веберах на квадратный метр, плотность
поверхностных магнитных токов - в вольтах на метр.
При построении электродинамических моделей реальных си-
стем иногда удобно считать, что магнитные токи и заряды расп-
ределены в некотором объеме с плотностями ]м и р“ соот-
ветственно. Функции j“ и рм определяются формулами, аналоги-
чными (1.6) и (1.42) соответственно. Плотность магнитных токов j”
измеряется в В/м , объемная плотность магнитных зарядов-в
Вб/м3. Магнитные токи /" выражаются через их плотность j“
формулой, аналогичной (1.26), магнитные заряды 0м-через рм
формулой, аналогичной (1.41).
Сторонние магнитные источники можно учесть в уравнениях
Максвелла так же, как были учтены сторонние электрические
источники (см.1.8.1). Из первого уравнения Максвелла (1.111)
видно, чо плотность сторонних электрических токов ]‘ст входит в
правую часть этого уравнения со знаком "+" так же, как плотность
тока смещения 3D/3L Плотность сторонних магнитных токов
должна быть введена во второе уравнение Максвелла (1.39). В
правой части этого уравнения стоит функция 3B18L Формально, по
аналогии с 5D!8t, ее можно назвать плотностью магнитного тока
смещения. Так как перед 5В/5/ стоит знак минус, то и функцию jM
целесообразно ввести с таким же знаком. При этом второе
уравнение Максвелла примет вид
rotE = - — (2.69)
Из уравнения (2.69) следует, что сторонние магнитные токи, так
же, как переменное во времени магнитное поле, создают вихревое
электрическое поле, силовые линии которого, расположенные в
непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывают
линии вектора — + j", образуя с ним левовинтовую систему (рис. 2.10).
Вернемся к соотношению (2.67), определяющему плотность
сторонних поверхностных магнитных токов j^. Как видно, выбор
Е,
dt
:м
знака в правой части формулы (2.67) со-
ответствует выбору знака перед j“ во втором
уравнении Максвелла (2.69).
Сторонние магнитные заряды учитываются
в четвертом уравнении Максвелла:
Рис. 2.10
div В = р“.
(270)
84
Из (2.69) и (2.70) следует соотношение
div Г +^- = 0, (2.71)
8 г
аналогичное уравнению непрерывности (1.48). Интегрируя (2.71)
по объему У, приходим к закону сохранения магнитных зарядов:
= <272>
s ог г
где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, cfS =
= nocfS, n0 - орт внешней нормали к поверхности S.
Таким образом, система уравнений Максвелла, учитывающая
сторонние электрические и магнитные источники, имеет вид
, и . 3D .ст _ ЗВ
rot Н = j + — + j , rot Е =---j ,
at at
divD —pipCT, divB = p".
Полная система уравнений Максвелла для
ческого поля состоит из двух уравнений:
rotH = i(»eE +jCT, rot Ё = -itopH- j“,
(2.73)
монохромати-
(2.74)
так как третье и четвертое уравнения Максвелла в этом случае
могут быть получены из (2.74), уравнения непрерывности (1.116) и
соотношения div|“ + /<вр“ = 0, вытекающего из (2.71).
2.6. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
Рассмотрим систему уравнений Максвелла для монохро-
матического поля (2.74). Ёсли в этих уравнениях формально
заменить
Ё на Н и Н на Ё,
е на -ц и ц на —в,
jCT на -j“ и J“ на -]ст,
(2.75)
то первое уравнение системы (2.74) превратится во второе, а
второе-в первое. В целом система уравнений (2.74) не изме-
нится. Эту особенность уравнений (2.74) называют перестано-
вочной двойственностью уравнений Максвелла.
Из перестановочной двойственности уравнений Максвелла
вытекает важное следствие. Пусть две краевые электродина-
мические задачи сформулированы для геометрически одинаковых
областей таким образом, что все условия, которым должны
удовлетворять векторы Ё и Н в первой задаче, при заменах (2.75)
85
переходят соответственно в условия для векторов Н и Ё второй
задачи. Иными словами, при заменах (2.75) первая задача пре-
вращается во вторую, а вторая-в первую. Тогда нет необхо-
димости решать обе задачи, достаточно найти решение одной из
них. Произведя в найденном решении замены (2.75), получим
решение другой задачи. Возможность применения перестано-
вочной двойственности уравнений Максвелла для решения крае-
вых задач электродинамики будем называть принципом двой-
ственности.
В качестве примера применения перестановочной двойст-
венности уравнений Максвелла рассмотрим вопрос о вычислении
поля, создаваемого сторонними магнитными источниками в одно-
родной изотропной среде. Это поле удовлетворяет уравнениям
rotrot Ё^ -- j”. (2.76)
Система уравнений (2.76) может быть получена из (2.51), если
в последней произвести замены (2.75). Поэтому и формулы для
поля, создаваемого магнитными источниками, могут быть полу-
чены на основе замен (2.75) в окончательных формулах для поля,
создаваемого сторонними электрическими источниками. При этом
удобно ввести в рассмотрение векторный (А") и скалярный (оы)
магнитные потенциалы, связанные условием калибровки div А“ +
+ i<oEpu" =0. При использовании этого условия поле, создаваемое
сторонними магнитными источниками, может быть выражено через
один векторный магнитный потенциал:
E„=--rotA",
ли “l . . (2-77) Н« =—— graddiv A^-iwA", (ОЕр
где Д“ = JL Гi>nM.ex.P("tf у, (2.78) 4тг у R
a R- расстояние от точки интегрирования MedV до точки на-
блюдения.
В случае поверхностных и линейных магнитных токов фор-
мулы для А" могут быть получены аналогично из (2.61) и (2.62)
соответственно. Окончательные выражения очевидны и здесь не
выписываются.
Если электромагнитное поле создается и электрическими, и
магнитными сторонними источниками, т.е. удовлетворяет системе
уравнений (2.74), то векторы Ёл и Нт определяются соотноше-
ниями
86
= —— grad div Aro - ico - - rot A“,
coeu e
• 1 i • ’ • <279)
Km = —rotAm-----grad div A“ -i©A“.
2.7. ПОСТАНОВКА И НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
С учетом изложенного в данной главе остановимся более
подробно на вопросе о постановке краевых задач электроди-
намики.
Вначале анализируется реальная электродинамическая проб-
лема и определяется, на какие вопросы требуется получить ответ,
что необходимо учесть, чем можно пренебречь. Затем от реальной
задачи переходят к ее электродинамической модели (одной или
нескольким). Выбранная модель должна быть такой, чтобы, во-
первых, соответствующая ей электродинамическая задача могла
быть решена, а во-вторых, чтобы полученное решение дало ответ
на интересующие вопросы. Указанную задачу обычно формули-
руют как краевую задачу электродинамики. Она состоит в на-
хождении такого электромагнитного поля, которое в рассмат-
риваемой части пространства удовлетворяет уравнениям Макс-
велла, а на границе области - одному из краевых условий, при
которых может быть доказана теорема единственности. В случае
внешней задачи полученное решение должно, кроме того, удов-
летворять условиям излучения (2.23). Если граница области (по-
верхность S) имеет изломы, решение должно удовлетворять
условиям на ребре. При выполнении перечисленных требований
решение краевой задачи, соответствующей выбранной электро-
динамической модели, будет единственным.
Получить аналитическое решение непосредственно из урав-
нений Максвелла обычно не удается. Поэтому часто краевую
задачу сводят к решению уравнения Гельмгольца либо для век-
торов поля, либо для электродинамических (или других) потен-
циалов. Полученное при указанном подходе аналитическое ре-
шение электродинамической задачи обычно выражается в виде
бесконечных рядов по специальным функциям. Примеры таких
решений приведены в гл.З и 8 (см.3.6.2 и 8.2).
Интенсивное развитие вычислительной техники позволило
разработать ряд эффективных численных методов решения крае-
вых задач электродинамики.
В случае внутренних задач широко используется так назы-
ваемый метод свток. При его применении рассматриваемая об-
87
ласть разбивается на ячейки. В случае плоских (двумерных) задач
эти ячейки образуют плоскую сетку. Значения неизвестных функ-
ций ищутся в узлах сетки или в серединах ячеек, а их производные
определяются по обычным формулам численного дифферен-
цирования. Пример применения метода сеток для решения внут-
ренних задач приведен в гл. 3.
Внешние задачи электродинамики часто сводят к решению
интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых искомая функ-
ция входит под знак интеграла. Если рассматриваемое тело (гра-
ница области У, вне которой требуется найти поле) является
идеально проводящим, в качестве искомой функции обычно вы-
бирают комплексную амплитуду плотности поверхностных токов
jSm, текущих по поверхности тела S.
Комплексная амплитуда напряженности вторичного электри-
ческого поля Ёт выражается по формуле (2.57) через комп-
лексную амплитуду векторного потенциала Ат, которая связана с
функцией jSm соотношением (2.61). Это позволяет представить
вектор Ёт в виде интеграла от Используя затем граничное
условие Etm(Mo)+Et°m(Mo) = 0, MoeS, где Ё°т(М0)-комплексная
амплитуда касательной к поверхности S составляющей вектора
напряженности первичного электрического поля в точке Мо. полу-
чаем соотношение, содержащее одну неизвестную функцию
MeS, стоящую под знаком интеграла. Это соотношение
можно рассматривать как интегральное (в общем случае интегро-
дифференциальное) уравнение относительно функции js,, (М).
Вывод интегрального уравнения для частной задачи и один из
возможных способов построения его численного решения при-
ведены в 8.3.
Если размеры области 1/ велики по сравнению с длиной вол-
ны, для решения электродинамических задач обычно используют
различные приближенные методы (см. гл. 6).
88
Гл а в a 3
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
Электростатическое поле описывается системой дифферен-
циальных уравнений (1.55), которая получается из системы урав-
нений Максвелла в предположении, что векторы поля не зависят
от времени и отсутствует перемещение зарядов (j = 0). Аналогично
находятся основные уравнения электростатики в интегральной
форме:
fEd4=0, fDdS = fpcfV. (3.1)
г s у
Электростатическое поле обладает рядом специфических
свойств. В частности, непосредственно из уравнений (1.55) следу-
ет, что оно является потенциальным, а его векторные линии имеют
истоки и стоки: они начинаются и заканчиваются на зарядах. В
случае электростатического поля вектор Е можно представить в
виде градиента скалярной функции и, называемой электроста-
тическим потенциалом:
Е =-grad и. (3.2)
Соотношение (3.2) получается из формулы (2.36), если в по-
следней положить 8AJ8t = 0, а также непосредственно следует из
первого уравнения системы (1.55). Оно определяет функцию и не-
однозначно. Величина вектора Е не изменится, если вместо по-
тенциала и ввести функцию щ, отличающуюся от и на произволь-
ную постоянную. При решении конкретных задач обычно вначале
находят потенциал и, а затем вычисляют вектор Е. При этом, как
правило, произвольную постоянную выбирают таким образом, что-
бы, если это возможно, потенциал в бесконечно удаленных точках
равнялся нулю.
Выясним физический смысл электростатического потенциала.
Вычислим работу А, совершаемую при перемещении точечного
заряда величины q из точки Ni в точку N2 по
контуру Г (рис, 3.1). Так как напряженность Е S' л/:
электрического поля определяется как сила, с •
которой поле действует на единичный точеч-
ный положительный заряд, то Рис. 3.1
89
«2
A = -qJEdZ. (3.3)
Знак минус в формуле (3.3) означает, что положительная работа
совершается в том случае, когда заряд перемещается против сил
поля. Подынтегральное выражение в формуле (3.3) можно пред-
ставить в виде.
EcU=-grad u-dt=~du. (3.4)
где du-полный дифференциал и. Второе равенство в формуле
(3.4) представляет собой известное тождество векторного анализа.
Для его доказательства достаточно grad и и dZ разложить по ортам
декартовой системы координат (gradu = x0—+yn —+zn — •
Зх ду dz
dZ = Xadx + yody + zodz) и вычислить скалярное произведение. Под-
ставляя (3.4) в (3.3), получаем
A = q(u2-u1), (3.5)
где и, и иг - значения потенциала и в точках N-, и Л/2 соответствен-
но. Полагая q = 1 Кл, получаем, что работа, совершаемая при пе-
ремещении единичного точечного положительного заряда в элек-
тростатическом поле, численно равна разности потенциалов в ко-
нечной и начальной точках пути. Она не зависит от формы пути, по
которому перемещается заряд, и от абсолютного значения потен-
циала. Если потенциалы бесконечно удаленных точек считать
равными нулю, то потенциал и в точке N можно определить как
работу, которую нужно совершить для перемещения единичного
точечного положительного заряда из бесконечности в точку N. По-
тенциал измеряется в вольтах, что легко устанавливается из (3.2).
Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим связь между разно-
стью потенциалов в точках и Wz и напряженностью электроста-
тического поля:
ЛЬ
щ-и2 = [Еси. (3.6)
Если потенциалы бесконечно удаленных точек считаются равными
нулю, то выражение (3.6) принимает вид
w »
u = u(N) = -|Edl= jEdZ.
ас Л/
В (2.6) было показано, что в случае однородных сред (е =
= const) электростатический потенциал удовлетворяет уравнению
Пуассона (2.45). Для упрощения записи в правой часта равенства
(2.45) у функции рст опустим индекс "ст", т.е. перепишем (2.45) в
виде
У2и =- р/е. (3.7)
90
Если в рассматриваемой части пространства заряды отсутствуют
(р = 0), то (3.7) переходит в уравнение Лапласа
V2u = 0. (3.8)
Решение уравнения (3.7) было получено в 2.6. В тех случаях,
когда заряды распределены в ограниченной области V с плотно-
стью р(р-функция координат), потенциал и в соответствии с
формулой (2.44) определяется выражением
и = —f-^dV, (3.9)
4 ле v R
где R- расстояние от точки интегрирования MedV до точки на-
блюдения N = N (х, у, z) (см. рис.2.6).
В случае поверхностных зарядов, распределенных с плотно-
стью ps на поверхности S, нужно вместо равенства (3.9) использо-
вать формулу
и = —f^-dS,
4лсз R
(3.10)
где R - расстояние от элемента dS до точки, в которой вычисляет-
ся потенциал (см. рис.2.7).
Если поле создается заряженной нитью конечных размеров,
т.е. зарядами, распределенными вдоль линии, то потенциал вы-
ражается формулой
и = —J—dtf,
4пе г R
(3.11)
где интегрирование осуществляется вдоль нити (контур Г); R-
расстояние от элемента d^ до точки, в которой вычисляется потен-
циал (рис. 2.8), а т-линейная плотность заряда, определяемая
выражением
т =
.. ДО ГКп
lim----, —
w-»0 Д^ М
(3.12)
Соотношения (3.9)-(3.11) позволяют определить потенциал, а
следовательно, и векторы электростатического поля в однородном
изотропном пространстве по заданному распределению зарядов.
Однако во многих практически важных случаях распределение за-
рядов нельзя считать известным заранее. Вопрос о постановке и
возможности решения такого рода звдач будет рассмотрен от-
дельно.
Чтобы получить наглядное представление об электростатиче-
ском поле, его иногда изображают графически. При этом помимо
силовых линий обычно рассматривают его эквипотенциальные по-
верхности, т.е. поверхности равного потенциала. Выясним связь
между поверхностями равного потенциала и силовыми линиями
91
электростатического поля. На эквипотенциальной поверхности по-
тенциал и постоянен и, следовательно, du = Q. При этом согласно
соотношению (3.4) должно выполняться равенство EtU=0, где
вектор cU совпадает по направлению с касательной к экви-
потенциальной поверхности. Это равенство означает, что поверх-
ности равного потенциала и силовые линии электростатического
поля пересекаются под прямым углом. Зная семейство экви-
потенциальных поверхностей, можно построить силовые линии, и,
наоборот, зная силовые линии, можно построить эквипотен-
циальные поверхности.
3.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
До сих пор рассматривалось электростатическое поле в од-
нородном пространстве. Если имеются две (или более) разно-
родные среды, то для определения поля необходимо знать гра-
ничные условия для составляющих векторов Е и D и потенциала и
на границе раздела. Электростатическое поле является частным
случаем электромагнитного поля, общие свойства которого были
рассмотрены в предыдущих главах. Поэтому граничные условия
для векторов Е и D, выведенные в 1.7, должны выполняться и для
электростатического поля. Эти условия имеют вид:
Du=^-D2t, (3.13)
Е2
= Рз- е1^1л-е2 ^2п ~ Ps- (3.14)
Напомним, что при выводе граничных условий нормаль считалась
направленной из второй среды в первую.
Так как при решении конкретных звдач, как правило, опе-
рируют с функцией и, то от условий для векторов Е и D нужно
перейти к граничным условиям для потенциала и. Используя со-
отношение (3.2) и учитывая, что проекция grad и на произвольное
направление 4 равна производной функции и по этому направ-
лению, получаем из формулы (3.13) следующее равенство:
(3u/5t)i = (ди/т)г, (3.15)
где оператор 3/5т означает дифференцирование по любому на-
правлению в плоскости, касательной к поверхности раздела в
рассматриваемой точке. Интегрируя равенство (3.15) по т, по-
лучаем
Ui = иг + Ь, (3-16)
где b - произвольная постоянная, а и, и и2 - значения потенциала
и на поверхности раздела в первой и второй средах соот-
ветственно. Постоянную b в большинстве случаев можно считать
92
равной нулю. Действительно, потенциал и. соз-
данный объемными или поверхностными заря-
дами, является непрерывной функцией. При этом
из равенства (3,16) следует, что
щ = и2. (3.17)
Соотношение (3.17) нарушается, если на поверхности раздела
имеется двойной заряженный слой. Этот слой можно представить
следующим образом. Рассмотрим две параллельные поверхности
S, и S2, на одной из которых распределены поверхностные заряды
с плотностью ps, а на другой-такие же заряды, но про-
тивоположного знака. Расстояние между поверхностями Si и S2
обозначим через ё (рис. 3.2). Если считать, что поверхности не-
ограниченно приближаются друг к другу, а плотность поверх-
ностных зарядов при этом возрастает (причем произведение psf
остается постоянным, то в пределе получим двойной заряженный
слой. Параметр ps^ называют мощностью слоя. При переходе
через двойной заряженный слой потенциал претерпевает разрыв,
величина которого зависит от мощности слоя. В дальнейшем
будет предполагаться, что в рассматриваемой области отсут-
ствуют двойные заряженные слои.
Переходя в формулах (3.14) к функции и, получаем второе
граничное условие для электростатического потенциала:
е2 (5u/5ri)2 - E](5u/5n)t = ps, (3.18)
где оператор д!дп означает дифференцирование по нормали к
поверхности раздела, направленной из второй среды в первую.
Если одна из сред является проводником, то граничные
условия принимают более простой вид. В самом деле, при анализе
макроскопических свойств поля проводник можно рассматривать
как замкнутую область, внутри которой возможно свободное
перемещение зарядов. Плотность потока зарядов, т.е. плотность
тока проводимости в проводнике, пропорциональна напряжен-
ности электрического поля: j = оЕ. В электростатике перемещение
зарядов отсутствует: j = 0. Так как а / 0, то напряженность элек-
тростатического поля внутри проводника должна быть равна нулю.
Это - одна из особенностей электростатического поля. В 1.7 было
показано, что переменное электромагнитное поле не проникает в
идеальный металл. Электростатическое поле равно нулю внутри
любого реального проводника.
Напряженность электростатического поля связана с потен-
циалом и соотношением (3.2). Полагая в (3.2) Е = 0, получаем, что
внутри проводника grad и =0. Откуда и = const. Следовательно, в
электростатике все точки проводника имеют один и тот же
эз
потенциал. Это позволяет говорить о потенциале проводника.
Потенциалы изолированных друг от друга проводников могут, ко-
нечно, иметь разные значения.
Граничные условия на поверхности проводника для состав-
ляющих векторов Е и D находятся из формул (3.13) и (3.14). Пусть
первая среда - диэлектрик, а вторая - проводник. Тогда, полагая
Ez« 0 и Ьг = 0, получаем
E1t=0, D1T=O, (3.19)
D1(,=Ps. £in=^ (3.20)
е1
Условия (3.19) и (3.20) можно переписать в векторной форме:
D1 = noPs, Е1=пА- (3.21)
е.
Подчеркнем, что в случае переменного поля аналогичные
условия выполняются лишь на поверхности идеального провод-
ника, а в электростатике условия (3.19)-(3.21) справедливы при
любой отличной от нуля удельной проводимости второй среды.
Граничные условия для потенциала и на поверхности про-
водника получаются из формул (3.19) и (3.20):
и |s = const, (3.22)
do =_Ps
3 n s e,
(3.23)
Нормаль По считается внешней по отношению к проводящей
среде.
Из условия (3.22) следует, что поверхность проводника всегда
эквипотенциальна.
3.3. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Как известно из курса физики, энергия IV3 электроста-
тического поля, сосредоточенного в объеме V, определяется фор-
мулой (1.131). Эту формулу можно преобразовать таким образом,
чтобы энергия I//3 была выражена через заряды. Заменяя вектор Е
через - grad и и используя тождество div (цга) = у div а + a grad ц/,
где а и ц/ - произвольные векторная и скалярная функции, имею-
щие первые производные, получаем
IV3 = jDgradudV =^judivDdV“Jdiv (uD)dV. (3.24)
2 у 2 у 0. у
Последний интеграл в (3.24) преобразуем по теореме
Остроградского-Г аусса:
94
J div (uD)dV = fuD dS, (3.25)
V s
где S - поверхность, ограничивающая объем V.
Предположим, что заряды, создающие электростатическое
поле, сосредоточены в ограниченной области Vo, и распространим
интегрирование в формуле (3.25) на все пространство. При этом
поверхность S будет удалена в бесконечность, и в пределе ин-
теграл (3.25) окажется равным нулю. Действительно, из формулы
(3.9) следует, что потенциал зарядов, распределенных в ограни-
ченной области V6, на большом по сравнению с размерами об-
ласти Vo расстоянии убывает пропорционально 1/г, где г-рас-
стояние от некоторой точки внутри области V до точки наблю-
дения. Вектор электрического смещения D убывает как 1/г2, а
поверхность S возрастает пропорционально г2. Таким образом,
интеграл (3.25) при г-»а> убывает как 1/г и в пределе равен нулю.
Учитывая, что div D = р, получаем окончательное выражение для
энергии электростатического поля;
W3=^fpudV. (3.26)
2*о
Если электростатическое поле создается поверхностными
зарядами, распределенными по поверхности S с плотностью ps, то
выражение для энергии электростатического поля принимает вид
W’=4fPs^S- (3-27)
В случае распределения зарядов вдоль контура Го с плот-
ностью т (заряженная нить):
(3.28)
2 г0
В общем случае при наличии зарядов всех трех типов
|/Уэ - ~ J р udV+ — f ps udS+ ~ J т ud Л
2 Vq 2 So 2 Го
Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле
создается зарядами, расположенными на проводниках. Пусть име-
ется п проводников (рис. 3.3), потенциалы которых равны соот-
ветственно и^, и2,ип. Так как потенциал проводника имеет
одинаковые значения во всех его точках, а заряды распределены
по его поверхности, то, применяя формулу (3.27), получаем
(3-29)
2 т=1
где Qm = f p<m) dS
95
-полный заряд m-го проводника, a p(sm)-
плотность поверхностных зарядов, с которой
заряд Qm распределен по поверхности Sm
рассматриваемого проводника.
Выражение для энергии уединенного
проводника, т.е. бесконечно удаленного от
других тел и зарядов, находится из формулы
(3.29) как частный случай. Полагая в (3.29)
п = 1, получаем
tV3 = — uQ.
2
(3.30)
На энергию электростатического поля не распространяется
принцип суперпозиции. Поэтому энергия системы проводников не
равна суммарной энергии уединенных проводников. Представим
потенциал m-го проводника в виде суммы:
(3.31)
где ит° - потенциал уединенного проводника, а ит- потенциал,
создаваемый действием всех остальных проводников. Подставляя
(3.31) в (3.29), получаем
1^=
где
1 л л . 1 л .
ггсоб о г*э о
Z ЛМ Z = 1
Величину ИДв принято называть собственной энергией систе-
мы проводников, а ИД - взаимной энергией.
Можно показать, что заряды, находящиеся на системе задан-
ных проводников, расположенных в диэлектрике, распределяются
по поверхности этих проводников таким образом, что энергия
получающегося в результате электростатического поля мини-
мальна. Это важное утверждение известно под названием тео-
ремы Томсона.
3.4. ЕМКОСТЬ
Потенциал уединенного проводника зависит от его размеров и
формы, а также от величины имеющегося на нем заряда. При
равных потенциалах уединенные тела разной формы или раз-
меров обладают зарядами разной-величины. Отношение величины
заряда к потенциалу при условии, что потенциалы бесконечно
96
удаленных точек считаются равными нулю, называется емкостью
уединенного проводника:
C=Q/u. (3,32)
Емкость измеряют в фарадах (Ф = Кл/В). С учетом формулы
(3.32) выражение для энергии электростатического поля уеди-
ненного заряженного проводника (3.30) принимает вид
W3 = ОА2 = Q2!2C. (3.33)
Если проводник не уединен, то потенциал, приобретаемый им
при сообщении ему какого-либо заряда, существенно зависит от
формы и расположения других проводников. Заряженные тела
создают электрическое поле, под действием которого заряды на
всех соседних проводящих телах перераспределяются. Перерас-
пределение продолжается до тех пор, пока суммарное элект-
рическое поле внутри каждого проводника не станет равным нулю.
Рассмотрим систему из п проводников с зарядами Qi,
Q2,..., Qn соответственно. Потенциал каждого проводника линейно
зависит от величины зарядов Qi, Q2, .... Qn. т.е. должно выпол-
няться п соотношений вида
Um = ami Qi ЗпйОг +... + ammQm +... + amnQn> m — 1,2...n, (3.34)
где Um- потенциал m-го проводника, a amk, k = 1,2,.... n-неко-
торые постоянные, называемые потенциальными коэффициен-
тами, зависящие от размеров, формы и взаимного расположения
проводников. Коэффициент ат* численно равен потенциалу л?-го
проводника, наведенному зарядом /с-го проводника при условии,
что заряд последнего равен 1 Кл. а заряды остальных-нулю.
Например, а13 численно равен потенциалу проводника 1, наве-
денному единичным зарядом проводника 3 при отсутствии зарядов
на остальных проводниках.
Система уравнений (3.34) определяет потенциалы провод-
ников через заряды Q и потенциальные коэффициенты amft. Если
потенциалы щ, и2,.... проводников и потенциальные коэффи-
циенты атк известны, то система (3.34) позволяет однозначно
определить заряды проводников
Qm = CmUi + Cm2U2 +--+ CmmUm +...+ CmnUn. Л1 = 1, 2.П. (3.35)
Постоянные коэффициенты cfflk, m = 1,2...л; /с=1,2,.... л
однозначно определяются потенциальными коэффициентами аф,
i = 1, 2,.... л; р = 1,2.л, и находятся при решении системы (3.34)
относительно зарядов Qi, Q2,.... Qn. Из уравнений (3.35) следует,
что коэффициент численно равен заряду m-го проводника,
если потенциал /с-го проводника равен единице, а потенциалы
остальных проводников - нулю.
7-45 97
(3.37)
Отметим, что потенциальные коэффициенты атк и коэффи-
циенты стк удовлетворяют правилу взаимности;
3tnk= Стк — Cfan- (3.36)
Обычно систему уравнений (3.35) записывают в несколько иной
форме. Прибавим к правой части m-го уравнения системы равное
НуЛЮ выражение Cm,l/m+CmaUm'*'...'*'C^Uj—...—Cmn^mi
m- 1,2, .... п. В результате получим следующую систему л
уравнений:
Qm = (llfn — Щ) +...+ CaunUm +...+ Cmn (l4n — ^n), Л1 = 1,2, .... Л,
где
~ Cmi + ^2 + ... + Cmni
Ст* = -см при mtk, *=1,2.....n.
Коэффициенты Cmk называют частичными емкостями. Иногда
вводят различные названия для коэффициентов с одинаковыми и
разными индексами; коэффициент Стт называют собственной
емкостью m-го проводника, a Cm(t - взаимной емкостью m-го и *-го
проводников. Отметим, что собственные емкости уединенных про-
водников могут отличаться от коэффициентов Стт. Аналогично
взаимные емкости двух проводников, отделенных от остальных,
могут отличаться от соответствующих коэффициентов С,.пк, так как
частичные емкости Cmfc и определяются не только рассмат-
риваемыми проводниками, но и всеми остальными проводниками
системы.
Из формул (3.36) и (3.37) следует, что частичные емкости
также удовлетворяют правилу взаимности: Ст* = Скт.
3.5. ПОСТАНОВКА И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
3.5.1. Определение поля, создаваемого известными
источниками в безграничной однородной среде
Прямая звдача электростатики заключается в определении
векторов поля по заданному распределению зарядов. При этом
область пространства, в которой требуется определить поле,
может быть как ограниченной, так и неограниченной.
Наиболее просто такая задача решается в том случае, когда
рассматриваемая область представляет собой неограниченное
пространство, заполненное однородной изотропной средой, а за-
ряды сосредоточены внутри некоторого объема конечных раз-
98
меров (т.е. отсутствуют заряды в бесконечно удаленных точках).
Математически она формулируется следующим образом. Задана
объемная плотность заряда р как функция координат. Требуется
найти функцию и, удовлетворяющую уравнению Пуассона (3.7) и
обращающуюся в нуль в бесконечно удаленных точках. Эта задача
была рассмотрена в 2.5.2 и 3.2. Ее решением является выражение
(3.9). Если заряды распределены на поверхности конечных раз-
меров S с плотностью pg, то соответствующий им потенциал опре-
деляется формулой (3.10). Если же поле создается зарядами,
распределенными с линейной плотностью т вдоль контура конеч-
ных размеров г, искомая функция и определяется выражением
(3.11).
В тех случаях, когда система зарядов не может быть охвачена
описанной вокруг начала координат сферой конечного радиуса,
т.е. содержит заряды в бесконечно удаленных точках (например,
бесконечно длинная заряженная нить), то формулы (3.9)-(3.11)
могут оказаться непригодными. Это, в частности, имеет место при
решении так называемых плоских задач электростатики, т.е. при
одинаковом распределении зарядов (и поля) в любой плоскости,
перпендикулярной к некоторой прямой линии, например к одной из
осей декартовой системы координат. Такую систему зарядов
можно представить как бы состоящей из тонких, равномерно
заряженных по длине бесконечно протяженных прямолинейных
нитей. Поэтому для определения поля, создаваемого подобной
системой зарядов, нужно знать потенциал, создаваемый одной
нитью.
Пусть имеется бесконечно тонкая равномерно заряженная с
плотностью т = const нить. Введем цилиндрическую систему ко-
ординат г, <р, z, ось Z которой совпадает с нитью, и рассмотрим
поток вектора D через поверхность кругового цилиндра рвдиуса а
и длиной ы, ось которого совпадает с осью Z (рис. 3.4). Из условия
задачи очевидно, что поле должно обладать осевой симметрией, а
векторы Е и D должны быть перпендикулярны к боковой
поверхности цилиндра. Поэтому поток вектора D через основания
цилиндра отсутствует, а поток через боковую поверхность равен
D-2nrM. Используя теорему Гаусса (1.40) и учитывая, что полный
заряд внутри рассматриваемого цилиндра равен тД£, получаем
D-г,—- или Е = г0——, (3.38)
°2пг °2лег '
где го-орт радиуса-вектора цилиндрической
системы координат. Поскольку в рассматри-
ваемом случае поле не зависит от переменных
Ф и z (производные потенциала и по перемен-
7*
Рис. 3.4
99
ным ф и z равны нулю), то из определения электростатического
потенциала (3.2) и формулы (3.38) имеем
и =—— In г+8, (3.39)
2пе
где В - произвольная постоянная. Обычно постоянную В полагают
равной нулю и потенциал нити определяют выражением
и = —— 1пг. (3.40)
2пе
Если вместо нити имеется тонкий бесконечно длинный ци-
линдр с площадью поперечного сечения AS, равномерно
заряженный с объемной плотностью р, то соотношение (3.39)
примет вид
и = _Р^£|п/?, (3.41)
2т 1
где R = - х)2 + (п - у )2 - расстояние от элемента AS, характе-
ризуемого координатами л, до точки N с координатами х, у, в
которой вычисляется потенциал.
От формулы (3.41) нетрудно перейти к выражению для
потенциала, созданного произвольным двумерным (не зависящим
от z) распределением зарядов с плотностью р;
и = —— fpInRdS, (3.42)
2т s
где S - площадь сечения данной системы зарядов плоскостью,
перпендикулярной к оси Z (рис. 3.5).
Функцию и, определяемую соотношениями (3.39)-(3.42), при-
нято называть логарифмическим потенциалом.
Если поле создается зарядами, распределенными по цили-
ндрической поверхности S, образующие которой параллельны оси
Z, а плотность поверхностных зарядов не зависит от переменной г,
то соответствующий логарифмический потенциал
u = -^jPslnRd4 (3.43)
где Г-линия пересечения поверх-
ности S с плоскостью, перпендику-
лярной оси, Z, a R - расстояние от
элемента di до точки N, в которой
вычисляется потенциал (рис. 2.9).
Из формул (3.39)-(3.43) следу-
ет, что логарифмический потенциал
на бесконечности нельзя принять
равным нулю не только в направле-
но
нии оси Z, но и в перпендикулярных к ней плоскостях. Исключение
составляет случай, когда полный заряд системы равен нулю.
Поле, соответствующее потенциалам (3.42) и (3.43), убывает
на бесконечности пропорционально 1/г (или быстрее), если по-
верхность S (или контур Г) ограничена. Если S (или Г) не огра-
ничена, то векторы Е и D на бесконечности могут иметь конечные
значения (например, поле равномерно заряженной плоскости).
3.5.2. Примеры определения поля известных источников
В некоторых задачах напряженность электростатического
поля, создаваемого в безграничной однородной изотропной среде
заданным распределением зарядов, легко находится непосред-
ственно без предварительного вычисления электростатического
потенциала и, в других - введение потенциала и упрощает пост-
роение решения. Рассмотрим несколько примеров.
Поле равномерно заряженной сферы. Пусть заряд Q
равномерно распределен по поверхности сферы радиуса а,
находящейся в однородной изотропной безграничной среде с
диэлектрической проницаемостью е. Введем сферическую систему
координат г, 6, ср, начало которой совпадает с центром сферы. Из
симметрии задачи очевидно, что поле в этом случае может
зависеть только от координаты г, причем векторы Е и D могут
иметь только радиальную компоненту. Применяя закон Гаусса
(1.40) к сфере радиуса г и учитывая, что заряды равномерно
распределены по поверхности сферы радиуса а, получаем
Q
Е=г0-—р- при г>а и Е = 0 при г<а.
Отсюда следует, что поле равномерно заряженной сферы в об-
ласти г>а совпадает с полем точечного заряда величины q= Q,
расположенного в начале координат.
Электростатический потенциал в этом случае определяется
выражениями:
i/=Q44?te/j при г>а, и = 0Д4кез) при г<а. (3.44)
Из определения емкости и формулы (3.44) находим
С = Q/ur=a = 4пеа.
Поле равномерно заряженного цилиндра. Пусть заряд рав-
номерно распределен по объему бесконечного кругового цилиндра
радиуса а с плотностью р = const. Из соображений симметрии
очевидно, что векторы Е и D в этом случае будут направлены
перпендикулярно оси цилиндра. Рассмотрим поток вектора D че-
ки
рез поверхность цилиндра длиной t и радиуса а, ось которого
совпадает с осью основного цилиндра. Учитывая, что поток
вектора D через основания этого цилиндра равен нулю, из закона
Гаусса (1.40) получаем
Е=г°&
г при
аг
— при
г < а,
г> а,
где го - координатный орт переменной г цилиндрической системы
координат.
Если заряд распределен по бесконечно протяженной цили-
ндрической поверхности радиуса а с плотностью поверхностных
зарядов ps = const, то
Е = ^
Ps £
с г
О
при г > а,
при г<а.
Отметим, что поля, создаваемые равномерно заряженными
бесконечно протяженными цилиндром и цилиндрической поверх-
ностью радиуса а в области г>а совпадают с полем равномерно
заряженной нити с линейной плотностью зарядов т = яа2р и
т = 2 га рз соответственно.
Поле электростатического диполя. Электростатическим ди-
полем называется система из двух близлежащих равных по
величине постоянных точечных разноименных зарядов +q и -q
(рис.З.б). Диполи характеризуются дипольным моментом
p = q*=W,
(3.45)
где t - вектор, направленный от отрицательного заряда к поло-
жительному, по абсолютной величине равный расстоянию между
зарядами t, а 4- орт,
Рис. 3.6
соответствующий вектору Z (4 =4и?).
Если сближать заряды, одновре-
менно увеличивая их значения так,
чтобы вектор р оставался неизменным,
то в пределе получится точечный или
идеальный диполь с тем же моментом.
Вычислим поле электростатичес-
кого диполя. Введем сферическую сис-
тему координат г, 6, <р так, чтобы поляр-
ная ось проходила через оба заряда, а
начало координат находилось на рав-
ном расстоянии от них (рис.З.б). По-
тенциал, создаваемый диполем, найдем
102
Рис. 3.7
Рис. 3.8
по принципу суперпозиции как сумму потенциалов, создаваемых
зарядами +q и -д;
4яе ( R, R2
(3.46)
где Rj и R2- расстояния соответственно от зарядов +q и -q до
точки, в которой вычисляется потенциал (рис. 3.7):
R, = ^гг+(£12)Е 2-1г cosQ, R2 = -]г2+(£12)2 +f.rcosQ.
При вычислении поля будем считать, что расстояние г от центра
диполя до точки наблюдения велико по сравнению с расстоянием
между зарядами t. При атом условии справедливы следующие
приближенные равенства
R, I _ t cos 6 1 1 f. cos 0 _
Ч = г+-------, — - — = —j—. (3.47)
R2J 2 R, R2 r2
При этом (3.46) принимает вид
u^q£cosB _ (p,rn)
41СЕГ2 4лег2 ’ .
где г0 - координатный орт переменной г. Для определения напря-
женности электрического поля воспользуемся соотношением (3.2).
Выражение для grad и в сферической системе координат при-
ведено в приложении (см. (П.15)). Выполняя указанные в (П.15)
действия и учитывая, что в рассматриваемом случае ди/д<р = О,
получаем
Е = , (г02cos6 + 0О sin 6).
4тгег
Направления единичных векторов г0] Оо и <ро показаны на
рис.3.6. Как видно, вектор напряженности электрического поля,
создаваемого электростатическим диполем, не зависит от угла <р
(поле обладает осевой симметрией) и имеет две составляющие;
юз
qleosS S'™. (3.48)
2лег3 4ne.r3
Силовые линии этого поля показаны на рис. 3.8.
Поле параллельных противоположно заряженных нитей.
Вычислим поле двух параллельных бесконечно тонких равномерно
заряженных нитей с линейной плотностью зарядов +т и -т
соответственно, расположенных на расстоянии 2<? друг от друга
(рис. 3.9). Введем декартову x,y,z систему координат, как по-
казано на рис. 3.9. Потенциал системы нитей равен сумме по-
тенциалов каждой из них. Потенциал одной нити определяется
формулой (3.39). Выбирая постоянную В так, чтобы на оси Z
потенциал и был равен нулю, получаем
т . Rj
и =---In -2-,
2ле Rd
(3-49)
где Ri и R2-расстояния от положительно и отрицательно
заряженных нитей соответственно до точки N, в которой вы-
числяется потенциал (рис. 3.9).
Найдем эквипотенциальные поверхности рассматриваемой
системы зарядов. Потенциал (3.49) постоянен, если
R2/R1 = b = const.
(3.50)
Следовательно, эквипотенциальные поверхности представляют
собой поверхности круговых цилиндров, параллельных оси Z.
Найдем их радиусы и положение осей. Так как R, = V(x-^)2 + у2 ,
а Я2 = 7(х+^)2 + У2> то из уравнения (3.50) следует соотношение
х2-2 х j? —=— + I + у = О,
lb2-1J
которое можно переписать в виде
( b +1
Ь2-1
.Y 2 (2f.b}2
' +У ’Ьм
(3.51)
Уравнение (3.51) описывает семейство
окружностей, образующихся при пере-
сечении эквипотенциальных поверхнос-
тей с плоскостью XOY. Центры окру-
жностей расположены на оси X и имеют
координаты:
Ь2+1
*0=^4 Уо=О, (3.52)
104
а их радиусы равны
2М
r“ = |bM|'
(3.53)
Значения параметра b у окружностей,
расположенных симметрично относительно
оси У, выражаются обратными числами
(например, Ьо и 1/Ь0). Величины г0, f. и х0
связаны простым соотношением
(3.54)
Ао 'о 1 >
являющимся следствием формул (3.52) и (3.53). Решая уравнение
(3.53) относительно b и используя равенства (3.52) и (3.54),
находим значения параметра b и потенциала и на соответ-
ствующей эквипотенциальной поверхности:
Ь = Uo=_E_ln^£. (3.55)
г0 2ле г0
В формулах (3.55) знак ”+” выбирают для точек, находящихся
справа от оси У, а знак для точек, лежащих слева от оси У.
Структура эквипотенциальных поверхностей показана на рис. 3.10.
3.5.3. Краевые задачи электростатики
Выше был рассмотрен вопрос об определении поля в
однородном изотропном пространстве по известному распреде-
лению зарядов. Однако на практике часто встречаются задачи
другого типа, например: задано расположение и форма всех
проводников, находящихся в однородном диэлектрике, требуется
найти поле в этом диэлектрике, если известен потенциал каждого
проводника (задача 1) или общий заряд каждого проводника
(задача 2). Такие задачи называют краевыми задачами элект-
ростатики.
Область У, в которой требуется найти поле, либо ограничена
поверхностями проводников (рис. 3.11), либо простирается до бес-
конечности. Во втором случае проводящие тела целиком лежат
внутри области У (рис.3.12). Потенциал в бесконечно удаленных
точках считается равным нулю.
Доказано (см., например, [12]), что данные задачи имеют
единственное решение. В задаче 1 и вектор Е электростатического
поля и потенциал и определяются однозначно. Различные реше-
ния задачи 2 могут отличаться на постоянную величину в выра-
жениях для электростатического потенциала. Однако это различие
105
Рис. 3.11
.-""'S'
S-S1+S2+S3
Рис. 3.12
несущественно при вычислении вектора Е. В задачах смешанного
типа, когда на каком-либо проводнике (или нескольких провод-
никах) задан потенциал, а для других известен полный заряд,
функция и определяется однозначно.
Отметим, что построение строгого аналитического решения
краевой задачи электростатики во многих случаях сопряжено со
значительными математическими трудностями. Практически его
удается найти лишь при достаточно простой форме проводящих
тел. Подробное изложение методов решения задач электростатики
имеется в [15 и 16].
Рассмотрим несколько примеров с целью дать представление
о некоторых методах решения задач электростатики.
Электростатическое поле двухпроводной линии. Вычис-
лим электростатическое поле двухпроводной линии, т.е. поле двух
параллельных противоположно заряженных бесконечных цили-
ндров (проводов) радиуса а, расстояние между осями которых
равно 2h (рис. 3.13). Потенциал одного из проводов равен -U,
другого - соответственно +U. Заряды проводов на единицу длины
равны по величине и противоположны по знаку.
Математически задачу можно сформулировать следующим
образом. Требуется найти функцию и, которая во внешнем по
отношению к цилиндрам пространстве удовлетворяет уравнению
Лапласа (3.8), на поверхностях цилиндров принимает заданные
значения +U и -U, а в направлениях, пер-
пендикулярных осям цилиндров, на бес-
конечности обращается в нуль. В силу
теоремы единственности существует толь-
ко одна функция и, удовлетворяющая ука-
занным требованиям. Для построения фу-
Рис.з.13 нкции и применим искусственный прием.
106
Выше было показано, что эквипотенциальные поверхности
поля двух параллельных противоположно заряженных нитей обра-
зуют семейство поверхностей круговых цилиндров. Найдем
расстояние между нитями, при котором две экаипотенциальные
поверхности будут совпадать с поверхностями цилиндров, обра-
зующих двухпроводную линию. Полагая в (3.54) xQ=h и го = а,
получаем
£ = <Jh2-a2. (3.56)
Потребуем, кроме того, чтобы потенциалы рассматриваемых
цилиндров, расположенных справа и слева от оси У (рис. 3.13),
равнялись +U и -U соответственно. Подстааляя х0 = h в формулу
(3.55) и учитывая соотношение (3.56), определяем линейную
плотность зарядов эквивалентных нитей:
т = 2nsU/\n(h/a+ ^(h/af-V). (3.57)
Таким образом, определены и местоположение (х = ± h, у = 0),
и плотности линейных зарядов (±т) эквивалентных заряженных
нитей (их называют электрическими осями проводов). Потенциал
этих нитей, определяемый выражением (3.49), во внешнем по
отношению к проводам линии пространстве отвечает всем пос-
тавленным требованиям, т.е. является решением задачи. Вектор Е
вычисляется по формуле Е =- grad и.
Подчеркнем, что потенциал найденных таким образом экви-
валентных заряженных нитей (электрических осей проводов)
совпадает с искомым потенциалом только вне цилиндров, обра-
зующих двухпроводную линию. Внутри цилиндров истинный потен-
циал имеет постоянные значения (±0), т.е. принципиально отли-
чается от определяемого выражением (3.49).
Определим емкость С, на единицу длины рассматриваемой
системы проводов как отношение заряда, приходящегося на
единицу длины одного из проводов, к разности потенциалов между
проводами:
т h+yjh2~a2 т . h+yjh2~a2
щ- и2 = — In . = — In —---—
2яе h^tf-a2 ЛЕ а
(3.58)
Из (3.57) и (3.58) получаем
С, = те/|п
h+^lh2~a2
а
(3.59)
В случае тонких проводов (а h) справедливо приближенное
равенство
С, = те/ln (2й/а).
107
Поле точечного заряда, расположенного над идеально
проводящей плоскостью. Метод зеркальных отображений.
Рассмотрим еще раз поле двух разноименных зарядов +q и -q,
расположенных на расстоянии 2h друг от друга. Создаваемый ими
потенциал выражается формулой (3.46), если в последней по-
ложить t = 2h. Очевидно, плоскость A-В, расположенная симмет-
рично относительно зарядов +q и -q (рис.3.14), является экви-
потенциальной поверхностью с нулевым потенциалом. На осно-
вании теоремы единственности можно утверждать, что поле над
этой плоскостью не изменится, если ее заменить металлической
плоскостью или заполнить нижнее (см. рис.3.14) полупростран-
ство проводящей средой. Иными словами, задача определения
поля точечного заряда, расположенного над проводящей плос-
костью, эквивалентна задаче определения поля, создаваемого в
верхнем полупространстве двумя зарядами: заданным и неко-
торым дополнительным (фиктивным) зарядом противоположного
знака, являющегося зеркальным отображением первого. При вы-
числении поля двух зарядов нужно считать, что никакой метал-
лической плоскости нет и оба заряда расположены в безграничной
среде, такой же, как среда, заполняющая верхнее полупро-
странство.
Пусть заряд q расположен на высоте h над металлической
плоскостью A-В (см. рис. 3.14). Найдем величину и распределение
заряда, индуцированного на плоскости A-В. Введем цилиндри-
ческую систему координат R, ф, z, ось Z которой проходит через
заряды +q и -q, а начало координат находится на плоскости A-В. В
этой системе координат потенциал и в области z>0 выражается
формулой (3.46), в которой нужно считать, что R, = ^R2+(z-h)2 и
R2 = ^R2+(z+h)2. В области z < О потенциал и = 0. Из граничного
условия (3.18) получаем, что плотность поверхностных зарядов,
наведенных на плоскости z = 0, определяется выражением
q 5 ( 1 1
41132^^ R2
(3.60)
4л(Р2+Л2)3'2
Рис. 3.14
Интегрируя (3.60) по всей плоскости,
получаем, что полный заряд, наведенный на
плоскости, равен -q. Таким образом, введение
фиктивного сосредоточенного заряда эквива-
лентно учету всех зарядов, наведенных на
плоскости z = 0.
Отметим, что полученные выше формулы
для поля электростатического диполя можно
использовать для вычисления поля (вектора Е)
108
точечного заряда, располо-
женного над проводящей плос-
костью, в области z > 0 (в верх-
нем полупространстве), если в
них положить t = 2h.
Метод замены проводя-
щей поверхности фиктивным
сосредоточенным зарядом по-
лучил название метода зер-
кальных отображений.
Рис.3.15
Очевидно, в силу принципа суперпозиции метод зеркальных
отображений можно обобщить на случай произвольной системы
зарядов, расположенных над проводящей плоскостью. Таким об-
разом, если над бесконечной проводящей плоскостью заряды
распределены по закону р = 7(х, у, z) (рис.3.15, а), то создаваемый
ими потенциал (а следовательно, и напряженность электрического
поля) в верхнем полупространстве будет равен потенциалу (на-
пряженности электрического поля), создаваемому этими зарядами
и системой зарядов, являющихся их зеркальным отображением
(рис. 3.15, б).
Поле точечного заряда, расположенного в уголковой
области. Пусть точечный заряд q расположен в уголковой области
У, представляющей собой двугранный угол с проводящими
стенками. Если соответствующий линейный угол (рис.3.16) равен
а = л/л где л-целое число, то для определения поля в этой
области также можно использовать метод зеркальных отоб-
ражений. Однако в этом случае нужно ввести уже не один
фиктивный заряд, а 2л - 1 фиктивных зарядов. В качестве примера
на рис. 3.17 показана система зарядов для случая а = тг/2, а на
рис. 3.18- система зарядов для случая a = тг/З.
Поле образованной таким образом системы зарядов в рас-
сматриваемой уголковой области удовлетворяет всем необхо-
димым требованиям (потенциал на стенках двугранного угла и в
бесконечно удаленных точках равен нулю) и, следовательно,
является решением исходной задачи.
-q г-j^q
I J 2;
~rbtirrrrrrri
i !
-q i—q
Рис. 3.16
Рис. 3.17
109
Если угол между проводящими плоскостями не равен целой
части от к, то метод зеркальных отображений требует введения
бесчисленного множества фиктивных зарядов.
Задача Дирихле для прямоугольной области (метод
Фурье). Найдем распределение электростатического потенциала
и внутри бесконечно длинной металлической коробки прямо-
угольного сечения, боковые и нижняя стенки которой заземлены
{и = 0), а потенциал верхней равен Vo = const (верхняя стенка
изолирована от боковых). Ширина нижней и верхней стенок равна
а, боковых - Ь. Введем декартову систему координат х, у, z, как
показано на рис. 3.19. Поперечное сечение коробки и функция и не
зависят от переменной z. Потенциал и=и(х,у) должен удовле-
творять уравнению Лапласа (3.8)
д2 и д2 и _ 7 = 0 дх2 ду2 (3.61)
и следующим краевым условиям:
и (0, у) = 0, 0<у<Ь, (3.62)
и(а,у) = 0, 0<у<Ь, (3.63)
и(х, 0) = 0, 0<х^а, (3-64)
и (х, Ь) = Уо, 0 < х < а. (3.65)
Условия, определяющие значения искомой функции на гра-
нице области, называют краевыми условиями первого рода. Ус-
ловия, определяющие значения производной искомой функции по
нормали к границе области, называют краевыми условиями вто-
рого рода. Задачу определения функции, удовлетворяющей урав-
нению Лапласа и краевым условиям первого рода, называют
задачей Дирихле, а аналогичную задачу с граничными условиями
второго рода - задачей Неймана.
Будем искать решение уравнения (3.61) методом разделения
переменных. Представим ц(х, у) в виде произведения двух функ-
ций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от у:
а (х, у) = Х(х) У (у). (3.66)
Подставляя (3.66) в (3.61) и деля результат на произведение
Х(х)У(у), получаем
Х‘/Х=~у‘/У. (3.67)
Рис. 3.19
Левая часть равенства (3.67) зависит только
от х, правая - только от у. Переменные х и у
являются независимыми, и соотношение (3.67)
представляет собой равенство двух независимых
функций, что возможно, только если они равньв
110
одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через v2,
приходим к двум дифференциальным уравнениям: X'+v2X=0 и
Y-v2Y=0, решая которые получаем Х(х) = A sin vx + В cos vx, Y(y) =
= C sh vy + D ch vy. Из краевых условий (3.62) и (3.64) находим, что
B = D = 0, а из (3.63) вытекает соотношение A sin va = 0, откуда
следует, что v = mtla, где л = 1,2. Таким образом, решение
уравнения (3.61) можно представить в виде
.. . лях . пт. у . „
u=u„=Mnsin-----sh-—л=1,2,,.., (3.66)
а а
где Мп -АВ- некоторые, пока неизвестные постоянные. Выра-
жение (3.68) удовлетворяет уравнению (3.61) и трем краевым
условиям (3.62)-(3.64). Чтобы удовлетворить последнему краево-
му условию (3.65), воспользуемся принципом суперпозиции и
представим искомое решение в виде суммы всех возможных
частных решений (3.66):
и = и(х,у) = £Mnsh——sin----. (3.69)
n=i а а
Подставим (3.69) в (3.65) и разложим постоянную Vo в ряд
Фурье по функциям sin^^-. Приравнивая коэффициенты при
а
одинаковых л, приходим к соотношению
.. . пкЬ 2?.. . лях . 2Y0 (2 при л = 2л?+1,
M„sh-----= —[VQsm------dx =—
a a J а п [0 при п=2т,
с учетом которого решение рассматриваемой задачи принимает
вид
и(*.У) = ^£
Я т=0
oh (2т+1)лу £|п (2т+1)лх
а а
(2т+1)лЬ 2Л7+1
а
(3-70)
Метод сеток. Как уже отмечалось (см. 2.6), для решения
краевых задач электродинамики, и в частности электростатики,
широко используют численные методы. В случае внутренних задач
часто применяют так называемый метод сеток. Изложим его
основы на примере уже решенной методом Фурье двумерной
задачи Дирихле для прямоугольной области, показанной на
рис.3.19. Задача состоит в определении электростатического
потен-циала и = и(х, у), удовлетворяющего при 0 < х < а и 0 < у < b
уравнению Лапласа (3.61) и краевым условиям (3.62}-(3.65).
Предположим для простоты, что стороны а и b соизмеримы,
т.е. рассматриваемая область может быть покрыта сеткой с ква-
111
дратными ячейками (рис.3.20), стороны которых Ах и Ду равны Д,
причем а = тд, b = лд, где т и л - натуральные числа. Сетка
образована пересечением линий х=х,=(/-1)Д с линиями у=У)=(/-1)Д,
где /= 1, 2, т + 1, /= 1, 2,.... л + 1. Точки пересечения (х;, уу)
указанных линий называют узлами. Очевидно, что узлы (х^ уу),
(Xm+t. У/). (Хл У0 и (х;, Ул+i) расположены на границе области
(рис. 3.20). Выберем произвольный узел (х;, у) (рис.3.21) и заменим
частные производные в уравнении Лапласа соответствующими
отношениями конечных разностей. Значение потенциала в узле
(X), у) обозначим через u,j= и{х;, у;). Аналогично обозначаются
значения функции и(х, у) в соседних узлах. Частная производная
ди/Зх в узлах (х,, у) и (Хм.Уу) вычисляется по формулам Зу/?х®
= (Ui+u-и,;у)/Д и ди/дх* (и,у-соответственно. Перехо-
дя ко второй производной 52и/дх2 в узле (х,, у), имеем с?и/дх2 =
«{(t/j+i,j - - (Ц,j - = (uJ+li/ + и,_^-2У/р7)/Дг. Аналогично
получаем jru/Зу2 « (Ui.j+i + u,j-i -2У/.;)/Дг. Подставляя полученные
формулы в уравнение (3.61), приходим к равенству
Of+ij Ум.у + Ujj+y + — 4U)j — 0. (3.71)
Уравнение (3.71) справедливо для каждого узла сетки. Для
узлов, расположенных влизи границы рассматриваемой области,
некоторые из функций, входящих в (3.71), являются известными.
Совокупность уравнений вида (3.71), записанных для всех внут-
ренних узлов сетки, образует систему линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) относительно значений потенциала в этих
узлах. Решив СЛАУ, найдем искомые значения потенциала во всех
узловых точках.
Для решения СЛАУ, полученной на основе описанной ко-
нечно-разностной аппроксимации уравнения Лапласа, обычно при-
меняют метод итераций. Уравнение (3.71) можно переписать в
виде
Щ = (1/4) (У^и + У,-и + Ц,/и + Uij-i), (3-72)
112
из чего следует, что значение искомой функции в узле сетки (х,, у)
равно среднему арифметическому значению функции и{х, у) в
четырех соседних узлах. Поэтому можно использовать следую-
щую схему построения приближенного решения. Во всех внут-
ренних узлах сетки задают произвольные значения функции и(х, у),
а в узлах, расположенных на границе области,-значения, соот-
ветствующие краевым условиям задачи (нулевое приближение).
Затем по формуле (3.72) находят новые значения функции и(х, у)
во всех внутренних узлах (первое приближение). Используя
первое приближение, опять рассчитывают значения щ по формуле
(3.72), т.е. находят второе приближение, и т.д. Процесс закан-
чивают, когда отличие (v + 1 )-го приближения от v-ro не превышает
заданной величины. Доказано, что итерационный процесс сходит-
ся при любых начальных значениях и$.
Применение метода сеток для решения более общих краевых
задач электростатики, в частности для случаев трехмерной облас-
ти, неравномерной сетки, криволинейной границы области и др.,
описано в [16] и [30]. Доказано, что при уменьшении размеров
ячеек (при т-хда и п^о) решение, полученное методом сеток,
приближается к точному. Погрешность решения уравнения Лапла-
са методом сеток с шагом сетки А имеет порядок А2, т.е. пог-
решность 5и,у в любом внуреннем узле может быть представлена в
виде д(х;, у) А2, где функция д не зависит от Д. Если известны
приближенные численные решения конкретной электростати-
ческой задачи иу(2&) и и4(Д), полученные методом сеток с шагом
2Д и Д соответственно, то погрешность решения с шагом А может
быть оценена по формуле 5и/;(Д) = (1/3) {цДД) - ц,(2Д)}.
Интегральные уравнения задач электростатики. Краевые задачи электро-
статики могут быть также сведены к интегральным уравнениям относительно
плотности зарядов, наведенных на проводниках. Пусть, например, требуется найти
потенциал или электростатическое поле вне проводящего объекта, потенциал
которого равен (Л, а поверхность - S. Потенциал обусловлен поверхностными
электрическими зарядами, распределенными по S с плотностью ps(М) MeS, и
определяется формулой (3.10). Применяя (3.10) к точкам, лежащим на поверхности
S, приходим к соотношению
1 :Ps(M)dSu
R(M, Мо)
-Ue, МоеЗ,
(3.73)
где R{M, Ma) - расстояние от точки истока М е S до точки наблюдения № € S.
Соотношение (3.73) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма
первого рода относительно функции ps(M). В некоторых случаях (например, если S-
п о луп носкость; полоса, бесконечно тонкий диск, плоскость с круглым отверстием и
некоторые другие поверхности) уравнение (3.73) может быть решено ана-
литически, однако в большинстве случаев его решение может быть найдено только
численными методами. После определения функции ps(M) электростатический
потенциал может быть вычислен по формуле (3.10) в любой точке пространства.
Для вычисления поля следует воспользоваться формулой (3.2).
8-45 113
3.6. КОНДЕНСАТОРЫ
3.6.1. Емкость конденсатора
Конденсатором в электростатике называют систему двух про-
водников, изолированных от внешнего влияния. Идеальным явля-
ется конденсатор, в котором один проводник образует замкнутую
полость, а второй находится внутри этой полости. Если второму
проводнику сообщен заряд Q, то на внутренней поверхности
первого проводника возникнет заряд противоположного знака -Q.
Абсолютную величину отношения заряда одного из проводников к
разности потенциалов между проводниками U, - U2 называют
емкостью конденсатора.
Рассмотрим конденсаторы простейших типов.
3.6.2. Плоский конденсатор
Две одинаковые проводящие плоские пластины, располо-
женные параллельно друг другу и имеющие равные по величине и
противоположные по знаку заряды, образуют плоский конденсатор
(рис. 3.22). Если размеры пластин велики по сравнению с
расстоянием между ними, можно пренебречь искажением поля у
краев пластин и считать, что оно такое же, как между двумя
параллельными противоположно заряженными с плотностями
Ps= ± GMeS), Q > 0, безграничными плоскостями
Е = п0-^, (3.75)
eS
где S-площадь одной пластины, а п0~ единичная нормаль,
направленная от положительно заряженной плоскости к отрица-
тельно заряженной. Формула (3.75) легко
/-§-------т получается с помощью закона Гаусса.
/[>------ту Разность потенциалов между пласти-
------у- , нами (обкладками конденсатора) опреде-
; J ляется формулой
m-441 = jE<U=^. (3.76)
Рис. 3.22 о
114
Подставляя (3.76) в (3.74), находим емкость плоского конден-
сатора:
С = s.S/d. (3.77)
Если размеры пластин нельзя считать большими по срав-
нению с величиной d, то формула (3.77) становится неточной.
Действительная емкость несколько больше емкости, рассчитанной
по этой формуле.
3.6.3. Цилиндрический конденсатор
Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего провода
радиуса ai и коаксиальной с ним цилиндрической оболочки с
внутренним радиусом а2 (рис.3.23). Пусть заряд
проводника на единицу длины равен т> 0. Поле в
пространстве между проводниками в цилиндричес-
кой системе координат г, ср, z, ось Z которой совпа-
дает с осью внутреннего провода, описывается вы-
ражением
где г0- координатный орт переменной г. Разность
потенциалов между внутренним проводом и обо-
лочкой
внутреннего
1^1=?^=^-
(3.78)
Следовательно, емкость на единицу длины бесконечного ци-
линдрического конденсатора определяется формулой
С 2ке
1 1п(аг/а,)
Формула (3.78) достаточно точна для практических целей
только в случае конденсаторов, длина проводников которых ве-
лика по сравнению с зазором между ними. В конденсаторах с
короткими проводниками поле между ними нельзя считать рав-
номерным, и формула (3.78) дает емкость, меньшую дейст-
вительной.
з*
115
Глава 4
СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
4.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Стационарным называют неизменное во времени электромаг-
нитное поле, создаваемое постоянным током. Оно описывается
системой дифференциальных уравнений (1.57). Как уже отмеча-
лось (см.1.5.2), в системе (1.57) можно выделить две группы урав-
нений а и б, одна из которых (б) содержит только векторы электри-
ческого поля Е и D, а другая (а)-только магнитного поля В и Н.
При наличии постоянного тока эти группы уравнений связаны со-
отношением j = оЕ. Из уравнений группы б следует, что электриче-
ское поле постоянного тока, как и электростатическое, является
потенциальным, а из уравнений группы а следует, что магнитное
поле постоянного тока яаляется вихревым.
Уравнения стационарного электромагнитного поля в инте-
гральной форме получаются из уравнений (1.54), если входящие в
них величины считать не зависящими от времени. При этом инте-
гральные соотношения, соответствующие уравнениям группы б,
совпадают с уравнениями электростатики в интегральной форме
(3.1), а интегральные соотношения, соответствующие уравнениям
группы а, имеют вид
f Hd/ -1 = f j dS,
’’ S (4.1)
f BdS = 0.
s
Полагая в уравнении непрерывности (1.48) Sp/St=O, получа-
ем, что плотность постоянного тока удовлетворяет условию
div j = 0. (4.2)
Следовательно, в стационарном поле линии тока проводимо-
сти являются непрерывными.
Вытекающая из (1.57) относительная независимость электри-
ческих и магнитных векторов позволяет рассматривать отдельно
электрическое и магнитное поля, что существенно упрощает изу-
чение стационарных электромагнитных процессов.
116
Отметим, что для существования
постоянного тока в однородной прово-
дящей среде недостаточно действия
одного потенциального электрического
поля, удовлетворяющего соотношениям Рис.4.1
(3.1). В самом деле, рассмотрим замкну-
тый проводник длины t и постоянного сечения S, ось которого об-
разует контур Г (рис.4.1, а). Пусть по этому проводнику течет ток /,
равномерно распределенный по сечению. Вектор плотности тока
j=4>/ /S, где 4-орт касательной к линии тока. Предположим, что в
проводнике действует только потенциальное электрическое поле.
Тогда во всех точках проводника выполняется соотношение j = оЕ.
Из (3.1) следует, что
(4.3)
где R-сопротивление проводника.
Так как величина R=e/[<rS) заведомо отлична от нуля, то ра-
венство (4.3) возможно лишь при 1 = 0. Действительно, при пере-
мещении заряда по замкнутому контуру в потенциальном электри-
ческом поле работа не совершается. Поэтому ток, представляю-
щий собой упорядоченное движение заряженных частиц, не может
расходовать энергию потенциального электрического поля Е. Для
создания тока в цепи должен действовать источник энергии-так
называемая сторонняя эдс. На рис.4.1, б этот источник условно
показан кружком.
Пусть напряженность электрического поля, создаваемого сто-
ронней эдс, равна Е. Закон Ома (1.9) в этом случае записывается в
форме
j = о (Е + Ест). (4.4)
С учетом формулы (4.4) соотношение (4.3) принимает вид
ест =fECT dt=/R, (4.5)
где ест-действующая в цепи сторонняя эдс.
Уравнение (4.5) представляет собой закон Ома для цепи по-
стоянного тока. Сторонние эдс вызываются различными причина-
ми, например они возникают на границе раздела проводящих сред,
химически воздействующие друг на друга (гальванические эдс).
4.2. МАГНИТОСТАТИКА
Изучение магнитных явлений начнем с наиболее простого
случая. Предположим, что в каждой точке рассматриваемой об-
ит
ласти плотность тока проводимости равна нулю
Т|7 0 = 0). а сама область не охватывает тока. Коль-
I Х^-Л—цевые области, сцепленные с током (рис.4.2), в
VEX данном разделе не анализируются.
Уравнения группы а в (1.57), описывающие
Рис.4.2 магнитное поле, в этом случае не зависят от
уравнений группы б и переходят в уравнения
(1.56). Как уже отмечалось, магнитное поле, определяемое урав-
нениями (1.56), принято называть магнитостатическим, а соот-
ветствующий раздел теории электромагнитного поля - магнито-
статикой. Интегральные соотношения магнитостатики получают-
ся из уравнений (4.1), если в последних положить j = 0. При этом
второе уравнение остается без изменений, а первое принимает
вид
fHcU = O. (4.6)
г
Так как в рассматриваемом случае rotH = 0, то по аналогии с
электростатикой можно ввести в рассмотрение скалярную функ-
цию, и", называемую магнитостатическим потенциалом и свя-
занную с вектором Н соотношением
Н =- grad и". (4.7)
В однородной среде магнитостатический потенциал удовле-
творяет уравнению Лапласа
= 0. (4.8)
Разность значений магнитостатического потенциала между
точками Ni и N2 можно по аналогии с (3.6) представить в виде
Ui““w“=?H(U. (4.9)
«I
На границе раздела двух сред с разными магнитными прони-
цаемостями (щ и р2) должны выполняться общие граничные усло-
вия (см.1.7) для составляющих векторов В и Н:
В1Л = В2п, = цгНгл,
Mr = ^2t. цзб1[= ши-
таки м образом, напряженность магнитостатического поля Н и
напряженность электростатического поля Е в области без зарядов
удовлетворяют одинаковым уравнениям и однотипным граничным
условиям. Следовательно, решение задач магнитостатики можно
получить из решений аналогичных задач электростатики простой
заменой в них Е на Н и е на и.
118
4.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ПОСТОЯННЫЙ ТОК
В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток
(j*0) или область охватывает ток (рис.4.2), магнитостатический
потенциал if* становится неоднозначной функцией. Разность его
значений между точками /V, и Л/2 зависит от контура, по которому
выполняется интегрирование в формуле (4.9), а именно при каж-
дом обходе контура вокруг тока / в положительном направлении
(так, чтобы контур образовывал с направлением, в котором течет
ток, правовинтовую систему) значение интеграла в (4.9) возра-
стает на величину I.
Таким образом, магнитостатический потенциал и" не позво-
ляет установить связь между стационарным магнитным полем и
создающим его постоянным током. Для определения стациона-
рного поля обычно вводят векторный потенциал А (см. 2.6),
связанный с векторами В и Н соотношениями
B = rotA; Н= —rotA. (4.10)
И
Основные формулы для вектора А, характеризующего ста-
ционарное магнитное поле, можно получить непосредственно из
формул для электродинамического потенциала А, выведенных в
2.4.1, если в последних считать все величины не зависящими от
времени.
Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет ура-
внению
VzA=-pj, (4.11)
вытекающему из (2.40), и условию калибровки divA = 0, которое
следует из (2.39). Для упрощения записи в правой части равенства
(4.11) и в последующих формулах у функции j опущен индекс "ст".
Если токи сосредоточены в ограниченной области У, то
решение уравнения (4.11) можно получить из формулы (2.50):
А-—М-сУУ, (4.12)
4тт£/? '
где R-расстояние от элемента dV до точки, в которой вычис-
ляется потенциал.
Если токи распределены по поверхности S с плотностью js,
равенство (4.12) следует заменить выражением
<4-13>
4Л s п
а в случае линейного тока I, протекающего по контуру Г,-
формулой
(4.14)
4л г R
119
В (4.13) и (4.14) R-расстояние от элементов dS и di соот-
ветственно до точки, в которой вычисляется потенциал.
Перейдем от векторного потенциала А к напряженности
магнитного поля Н. Предполагая, что пространство заполнено
однородной изотропной средой, получаем
Н = —В = — rot А =—[rot —d\Z.
ц ц 4л v К
(4.15)
Учитывая, что плотность тока j не зависит от координат точки,
в которой вычисляется поле, и используя тождество rot (у, а) =
= ц/ rota + [grad у, а], преобразуем подынтегральное выражение в
(4.15):
rot 1 = [grad -1, jl =
(4-16)
где Ro = R/R-opT вектора R, проведенного из dV в точку наблю-
дения.
Подставляя (4.16) в (4.15), получаем
H = J_fIi*ddy. <4.17}
4л J R2 ' '
К аналогичным выражениям для вектора Н приводят формулы
(4.13) и (4.14) в случае поверхностных и линейных токов:
Н = J_rlb.Ro]dS (4.18)
4л | R
H = J_j[diLRo]
4л г R2
Соотношения (4.17)-(4.19) представляют собой интегральные
формы закона Био-Савара:
dH = -4y [di, Ro]. (4.20)
4 л R*
Закон Био-Савара характеризует магнитное поле dH, созда-
ваемое элементом тока ld£. Связь формул (4.19) и (4.20) очевидна.
Покажем, что поля, определяемые выражениями (4.17) и (4.18),
также можно представить в виде суперпозиции элементарных
полей dH, определяемых соотношением (4.20), от отдельных эле-
ментарных токов. Преобразуем подынтегральное выражение в
(4.17). Выберем в качестве элемента dV элемент токовой трубки
длиной d£, ось которой направлена по току, а сечение равно dS.
Обозначив через l=jdS полный ток, протекающий по трубке, и
учитывая множитель 1/4л перед интегралом, получим выражение
120
1 [j,R0]dV _ jdS [de.Rp] _ J {M
4л R2 4л R2 4 л R3 ' И”1'
полностью совпадающее с правой частью формулы (4,20). Связь
формул (4,18) и (4.20) доказывается аналогично.
Часто при решении практических задач для упрощения рас-
чета предполагается, что ток вдоль одной из координатных осей
остается неизменным, т.е. что линии тока по этой координате
уходят в бесконечность. Такие' предположения обычно делаются
при определении поля, создаваемого линейным током, который
протекает вдоль длинной нити, или токами, протекающими вдоль
длинного цилиндра. Предположение о бесконечной протяженности
линий тока не позволяет использовать формулы (4.17)-{4.19).
Рассмотрим эти особые случаи.
Найдем магнитное поле и векторный потенциал прямо-
линейной бесконечно-протяженной уединенной нити, обтекаемой
постоянным током. Пусть эта нить совпадает с осью Z цили-
ндрической системы координат. Очевидно, что напряженность
магнитного поля Н в этом случае имеет одну составляющую и
не зависит от переменных z и ср. Выбирая в качестве контура Г в
(4.1) окружность радиуса г, лежащую в плоскости, перпенди-
кулярной к оси 2, получаем напряженность магнитного поля нити
Н=ф0^7. (4.21)
4лГ
За направление тока в (4.21) принято направление оси Z.
Векторный потенциал рассматриваемой нити должен иметь
только z-ю составляющую (A=ZoA), величина которой зависит от
координаты г. Учитывая (4.10) и расписывая rotA в цилиндричес-
кой системе координат, получаем H = (1/p)rotA=-<po(1/p)dA/dr,
откуда следует, что
dA/dr=-p/42nr). (4.22)
Интегрируя выражение (4.22) по г, находим
д = _£/_|пг+С. (4.23)
2л
Постоянную С в формуле (4.23) обычно полагают равной
нулю. Тогда
A=-z0-^-lnr. (4.24)
От формулы (4.24) нетрудно перейти к выражению для по-
тенциала, создаваемого токами, неизменными вдоль оси Z, кото-
рые протекают по цилиндру произвольного сечения S:
121
A = -^-Jj(^.n)lnRdS, (4.25)
2л s
где R = ^(х-^)г +(У“П)2 - расстояние от элемента dS, характери-
зуемого координатами q, до точки наблюдения N{x;y}, dS=d^ch\
(см. рис. 3.5).
Если поле создано поверхностными токами, распределен-
ными по некоторой цилиндрической поверхности S, образующие
которой параллельны оси Z, а плотность поверхностных токов не
зависит от координаты z, то векторный потенциал А выражается
формулой
А = --— ]JslnRd£ (4.26)
2к Jr
где Г-линия пересечения поверхности S с плоскостью, перпен-
дикулярной к оси Z, a R-расстояние от элемента df до точки N. в
которой вычисляется потенциал (см. рис. 3.6).
4.4. ЭНЕРГИЯ СТАЦИОНАРНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Общее (1.132) выражение для энергии магнитного поля, со-
средоточенной в некотором объеме У, остается справедливым и в
случае стационарных процессов:
(4.27)
2 v 2 v
Формулу (4.27) можно преобразовать таким образом, чтобы
магнитная энергия была выражена через токи, создающие маг-
нитное поле. Для этого заменим в (4.27) вектор В его пред-
ставлением через векторный потенциал А. Используя тождество
НВ = Н rot А = div [А, Н] + A rot Н, получаем
IV„ =4fdiv[A,H]d\/+4f ArotHdV. (4.28)
2 v 2 у
Первый интеграл в уравнении (4.28) преобразуем в поверх-
ностный интеграл, используя теорему Остроградского-Гаусса, а во
втором интеграле выразим rot Н через плотность токов j с по-
мощью равенства rotH = j. Тогда соотношение (4.28) примет вид
К =4f[A,H]dS+4jAjdl/. (4.29)
где S-поверхность, ограничивающая объем У.
122
Выберем в качестве поверхности S сферу радиуса г и
устремим г к бесконечности, т.е. распространим интегрирование в
(4.29) на все пространство.
Любая пространственно ограниченная система токов, как
следует из формул (ДЛгН4 ^) и (4.17)-(4.19), создает магнитное
поле, напряженность Н и векторный потенциал А которого при г->«
убывают пропорционально 1/г2 и 1/г соответственно (или еще
быстрее). При этом поверхность S возрастает пропорционально г2.
Следовательно, в пределе при г-ж первый интеграл в правой
части уравнения (4.29) будет равен нулю. В результате получим
IVм =- jAjdV. (4.30)
2
В отличие от исходного выражения (4.27) интегрирование в
(4.30) распространяется лишь на ту область пространства Уо, в
которой имеются токи. В формуле (4.30) можно исключить
векторный потенциал А. Для этого нужно заменить вектор А его
представлением в виде интеграла (4.12).
В случае линейных токов выражение для энергии магнитного
поля упрощается, рассмотрим вначале уединенный контур Г с
током I. Формула (4.30) для этого контура принимает вид
ИЛ--(Adi. (4.31)
2 г
Применим к интегралу в (4.31) теорему Стокса:
f Ad£= Jrot AdS = [BdS = Ф, (4.32)
г s s
где Ф-магнитный поток через поверхность S, опирающуюся на
контур Г. Подставляя (4.32) в (4.31), получаем
Wu = 1 Ф/2. (4.33)
В случае N контуров (П, Г2, Г^) выражение для И/*1 запи-
сывается следующим образом:
1 N 1 н
(4-34)
X п=1 Гп Z п=1
где Фп-магнитный поток, сцепленный с контуром гп, а /л-ток в
контуре rff.
В формуле (4.34) векторный потенциал А и поток Фп
обусловлены не только током /л, но и токами в остальных контурах.
В силу принципа суперпозиции можно записать следующее ра-
венство:
А=£Аа, (4.35)
*=1
123
где А*-векторный потенциал, создаваемый в рассматриваемой
точке током 1к, протекающим в контуре rR.
Выделим в сумме (4.35) векторный потенциал Ап, соответ-
ствующий току 1п:
n [0 пои к - п
А = Ап + £5пААх. где 5Я([ =< Р ' (4.36)
* и [1 при к * п
и подставим (4.36) в (4.34). В результате придем к выражению
4 N I N N
4 /1=1 Гл 4 <1=1 *=1 г„
Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью
теоремы Стокса, перепишем его в виде
4 w 4 N N
IVй = iх/йфп„ 4 TJn (<37)
4 п=1 4 rt=1 <t=i
где Фпк-поток, сцепленный с контуром ГЛ1 который обусловлен
током 1к контура Г*.
Первое слагаемое в правой части формулы (4.37) определяет
собственную энергию контуров системы, а второе-взаимную
энергию.
4.5. ИНДУКТИВНОСТЬ
Поток Ф, пронизывающий уединенный контур Г, пропорцио-
нален току в этом контуре:
Ф = LI. (4.38)
Коэффициент L зависит от конфигурации и размеров контура
Г и называется его индуктивностью. Индуктивность измеряется в
генри (Гн). Из закона индукции Фарадея (1.34) и формулы (4.38)
следует, что индуктивность уединенного контура численно равна
величине эдс, наводимой в этом контуре при линейном изменении
его тока на 1 А за 1 с.
Подставляя (4.38) в (4.33), получаем
W* = LI2I2. (4.39)
В случае N контуров поток Фпк пропорционален току 1к:
Фп* = М„к1к. (4.40)
Коэффициент пропорциональности Мпк при к^п называют
взаимной индуктивностью контуров Гй и Гп, а коэффициент
Мкк=Lk- собственной индуктивностью контура ГА.
124
Коэффициент Мпц при к*п можно определить следующим
образом. Воспользовавшись формулами (4.32) и (4.14), предста-
вим выражение для потока Фп* в виде
Ф„, = $Аа d£n=-H-/ иЖ (4.41)
г„ 4л R
где dtn и dtk-элементы контуров Гп и Г* соответственно, a R-
расстояние между этими элементами.
Приравнивая правые части формул (4.41) и (4.40), получаем
(4.42)
4<i4 *
Как видно, взаимная индуктивность контуров Гп и Г* зависит
только от их формы и взаимного расположения и не изменяется
при перестановке индексов (свойство взаимности):
^пк ~
(4.43)
Из закона индукции Фарадея (1.34) и формулы (4.40) следует,
что взаимная индуктивность двух контуров численно равна эдс,
наводимой в одном из них при линейном изменении тока в другом
на 1 А за 1 с.
Для определения собственной индуктивности контура выра-
жение (4.42) непригодно. Обычно вместо него используют соот-
ношения (4.38) и (4.39).
Перепишем выражение для энергии магнитного поля системы
линейных токов (4.37) с учетом равенства (4.40):
0
1
4 Af 4 Af N
Z rt=1 Z n=U=i
Snk-
при к = n,
при k*n.
Таким образом, для определения энергии магнитного поля
системы линейных токов достаточно знать собственные и взаим-
ные индуктивности контуров и токи в них.
4.6. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Поле бесконечно длинного проводника. Вычислим маг-
нитное поле бесконечно длинного цилиндрического проводника
редиуса а. Будем считать для простоты, что ток / распределен
равномерно по сечению проводника. Введем цилиндрическую
систему координат г, ср, z, ось Z которой совпадает с осью
проводника. Ввиду симметрии задачи поле не зависит от угла <р.
Поле также не зависит от z, поэтому для определения вектора Н
можно использовать закон Ампера (первое уравнение в (4.1)).
125
Выбирая в качестве контура Г окружность
радиуса г>а, лежащую в плоскости, пер-
пендикулярной к оси Z с центром на оси Z,
получаем
Н -<ро—— при г>а. (4.44)
2пг
Рис 43 Для определения магнитного поля
внутри провода выберем в качестве кон-
тура Г окружность радиуса г<а. Учитывая, что ток, охва-
тываемый контуром Г, в этом случае равен /(г/а)2, получаем
и 1г
н=ф0^?
при г<а.
Таким образом, поле цилиндрического проводника в области
0<г<а линейно возрастает от нуля до некоторого максимального
значения (рис.4.3), равного /Д2тга), а при г>а совпадает с полем
прямолинейного тока величиной /, определяемого формулой
(4.21).
Вычислим энергию магнитного поля W", сосредоточенного
внутри проводника на участке единичной длины. Используя (4.27)
и выражение (4.44), получаем
«45)
16гс
По аналогии с формулой (4.39) величину
Д = 2W”/!2 (4.46)
называют внутренней индуктивностью на единицу длины цили-
ндрического проводника. Из формул (4.45) и (4.46) получаем
Ц = ц/8л.
(4.47)
Таким образом, внутренняя индуктив-
ность на единицу длины цилиндрического
проводника при равномерном распределении
тока по его сечению не зависит от диаметра
проводника.
Поле коаксиального кабеля. Пусть ток,
протекающий по внутреннему проводу коакси-
ального кабеля (рис. 4.4), равен /, а ток вне-
шнего проводника Распределение тока по
сечениям проводников будем считать равно-
мерным. Поступая так же, каки в случае уеди-
126
ненного проводника, придем к следующим выражениям для
напряженности магнитного поля:
Н = Ф(,/г/(27га2) при 0<r<at, '
Н = ф0//(2лг) при at < г < а2,
Н = ф0——(а2~г2)/(а3-а2) при а2<г<а3,
2ЛГ
Н = 0 при г>а3.
Радиусы проводников а^аз и а3 указаны на рис.4.4. Там же
приведена кривая, характеризующая зависимость напряженности
магнитного поля коаксиального кабеля от координаты г.
Для вычисления индуктивности на единицу длины коакси-
ального кабеля представим ее в виде суммы трех слагаемых:
где L; и i.”-внутренние индуктивности на единицу длины цент-
рального и наружного проводников соответственно, а Ле-так
называемая внешняя индуктивность на единицу длины коакси-
ального кабеля, определяемая магнитным потоком между про-
водниками.
Величины Lt и L" вычисляются по формуле (4.46). Опуская
очевидные преобразования, выпишем окончательные результаты:
Г = -EL Г = I1 ( эз 1 „ аз „ 3 ag - af "l
8л ’ ' 2л(а3 - а22) [ а2 - а2 а2 4 )
где р-абсолютная магнитная проницаемость проводника. Как
видно, внутренняя индуктивность на единицу длины центрального
проводника коаксиального кабеля (Lj) совпадает с внутренней
индуктивностью на единицу длины уединенного цилиндрического
проводника (4.47).
Внешнюю индуктивность Le определим в соответствии с фор-
мулой (4.39) следующим образом:
Le=2W“/l\ (4.48)
где IV”-энергия магнитного поля, сосредоточенного в зазоре меж-
ду проводниками, приходящаяся на единицу длины коаксиального
кабеля. Вычисляя энергию магнитного поля по формуле (4.27):
4 4 2it ^2 /2 д
ИС = -1Mo H2dV = 1 [d Ф H2rdr = In -2-,
2V 2 J Д 4л а1
получаем Le = In —.
2л а,
Предполагается, что магнитная проницаемость среды, запол-
няющей коаксиальный кабель, равна
127
(4.50)
Лоле двухпроводной линии, рас-
смотрим вначале поле двух линейных
противоположно направленных токов 1
и т.е. токов, протекающих по бес-
конечно тонким прямолинейным нитям,
расположенным на расстоянии 2£ друг
от друга (рис. 4.5). Магнитные силовые
линии лежат в плоскостях, перпендику-
лярных оси Z, и определяются (см.
1.2.4) уравнением
Hydx-Hxdy=Q. (4.49)
Векторный потенциал имеет только продольную (параллель-
ную оси Z составляющую и в силу принципа суперпозиции равен
сумме потенциалов каждого из токов:
A = z04 = -z0^-(InP1-lnR2) = z0^-ln^,
2тт 2п Rj
где R, = +У2. *2 = 7(*+О2 +У2
Учитывая равенство (4.10), из уравнения (4.49) получаем
соотношение (dAldx) dx +{дА!ду) dy = 0, которое может быть пере-
писано в виде dA = 0, где оИ-полный дифференциал функции А.
Следовательно, функция А не изменяется вдоль магнитной сило-
вой линии. Это означает, что магнитные силовые линии совпадают
с линиями пересечения плоскостей, перпендикулярных оси Z, с
поверхностями, на которых А = const Эти поверхности опреде-
ляются из условия R2/Rt = b = const, которое совпадает с уравне-
нием (3.50), определяющим эквипотенциальные поверхности сис-
темы двух параллельных противоположно заряженных нитей. Та-
ким образом, поверхности, на которых величина векторного потен-
циала постоянна, представляют собой поверхности круговых цили-
ндров, параллельных оси Z, местоположение осей и радиусы ко-
торых определяются формулами (3.52) и (3.53) соответственно, а
магнитные линии образуют семейство окружностей, возникающих
при пересечении этих цилиндрических
поверхностей с плоскостями, перпенди-
кулярными оси 2(рис.4.6).
В реальной двухпроводной линии
проводники имеют круговые сечения ко-
нечных размеров. Однако, если магнит-
ная проницаемость проводов равна маг-
нитной проницаемости внешней среды,
то в случае тонких проводов поле вне
проводов практически не отличается от
Рис. 4.6
128
поля линейных токов, совпадающих с геомет-
рическими осями проводов. Поэтому все ска-
занное применимо и к реальной линии из тонких
проводов.
Вычислим индуктивность L, на единицу
длины двухпроводной линии, образованной
одинаковыми проводами, расстояние между
осями которых (2ft) много больше их диаметров
(2а). Величина L-l = 2Li+Le, где /_в-внешняя
индуктивность двухпроводной линии на единицу
длины. Значение С вычисляется по формуле
(4.47). Для определения 1_в воспользуемся формулой (4.38).
Вычислим магнитный поток Ф через поверхность, охватываемую
контуром ABCD, расположенным в плоскости у = 0 (рис.4.7).
Стороны АВ и CD параллельны оси Z, имеют единичную длину и
лежат на поверхности проводов (х = ft - а на АВ и х = а - ft на СО).
В рассматриваемом случае векторный потенциал А опреде-
ляется выражением (4.50), в котором нужно только заменить I на
ft. Так как В = rot А, то
ll = ft
ylr=D дх |у=0 л h2-x2'
(4.51)
Интегрируя (4.51) по площади SABcd. ограниченной контуром
ABCD, имеем
Ф= J BdS = - J =
SflBCD З^со 71 Q ft X
^ln^
л а
Следовательно, внешняя индуктивность двухпроводной линии
на единицу длины
In а па
(4.52)
Если абсолютные магнитные проницаемости проводов и
окружающей среды равны ц^, то полная погонная индуктивность
двухпроводной линии в случае тонких проводов (ft»a) равна
ц = b/1 + 4ln—1
4л (. а )
9-45
(4.53)
129
полярную ось
ляется поле,
Поле кругового контура, обтекаемого по-
стоянным электрическим током. Вычислим
поле линейного тока /, образующего круговой
виток радиуса а (рис,4.8). Введем сферическую
систему координат г, 0, ср, полярная ось которой
совпадает с осью витка, а начало-с его
центром. Так как рассматриваемое поле должно
быть осесимметричным, то начало отсчета угла
ср можно выбрать произвольно. Будем от-
считывать его от плоскости, проходящей через
и точку наблюдения N(r, 0, 0), в которой вычис-
Для определения векторного потенциала вос-
пользуемся выражением (4.14). Проецируя вектор di на напра-
вления г0,90,фо, соответствующие точке наблюдения N(r, 0,0),
получаем
di = [- (r0 sin 6 + 0о cos 0) sin ср + ср0 cos ср] adcp.
При этом интеграл (4.14) сводится к двум интегралам по
<р в интервале [0,2л] от (1/R) sin ср и (1/R) cos <р, где R =
= д/г2+аг- 2 ar sin 0 cos ср. Интеграл от (1/R) sin ср равен нулю, и
окончательное выражение имеет вид
А=ф0 J^Pc/(p=<p0Mtejcw<pd (4.54)
4л 0 R 2п I R
Переходя в интеграле (4.54) к новой переменной интегри-
рования р = ^(л-ср) и вводя обозначение b2-4arsin0/[г2 + а2 +
+ 2ra sin 0], получаем
А = (Р°^ТгМ-Чи2-Ь2)К(Ь)- 25(b)], (4.55)
2лЬ yr sm0
где
ОД = ТТ 4Р=7=; = 7 V1-b2 sin2p d р
О sin р »
-полные эллиптические интегралы первого и второго рода соот-
ветственно.
Эллиптические интегралы не выражаются через элемен-
тарные функции, однако они подробно изучены, и имеются таб-
лицы их значений в зависимости от величины Ь, называемой
модулем этих интегралов.
Для вычисления вектора Н воспользуемся соотношением
(4.10). Выражение для rotA в сферической системе координат
определяется формулой (П.17), приведенной в приложении 4. Так
130
как векторный потенциал А имеет одну составляющую А=фоА, не
зависящую от угла <р, из формулы (П.17) следует, что напря-
женность магнитного поля имеет две составляющие:
Н =1—-^(sinGA) и —— (гА). (4.56)
r prsineae ° prar ! '
При дифференцировании полных эллиптических интегралов Х(Ь) и Е(Ь),
входящих в формулу (4.55), удобно пользоваться формулами
dK(t>)_ E(b) K(b). dE(b) E(b)-K(b)
db “ b(b,}2 b ' db b '
где b, = 7l-b2 -так называемый дополнительный модуль эллиптических интег-
ралов.
Отметим, что выведенные формулы можно использовать и в
случае кольцевого проводника конечной толщины, если радиус
витка и расстояние до точки, в которой вычисляется поле, велики
по сравнению с поперечными размерами сечения проводника.
Поле магнитного диполя. Рассмотрим поле кругового витка,
считая, что точки наблюдения находятся на больших по сравнению
с радиусом витка расстояниях от его центра (rs>а). В этом случае
выражение для векторного потенциала (4.54) существенно упро-
щается. Разложим входящую под знак интеграла величину 1/R в
ряд по степеням отношения а/r и пренебрежем членами порядка
(а/r)2 по сравнению с единицей:
1 / R = 1 /(г [1 + (а/г)2 - 2 (а/г) sin Q cos xp]112} =
= 1/{r[1-(a/r)sinG cos ф]} =-^1+y sin Geos ф^. (4.57)
Подставляя (4.57) в (4.54), получаем
А=ф0
ц/а2 2fY, а . . > . iila2 . .
£— I 1+ — sm Geos ф cosffldф =фо , sin6.
4л г it г J v 4r2
(4.58)
Напряженность магнитного поля имеет две составляющие 4-и
Нв, определяемые соотношениями (4.56). Выполняя дифферен-
цирование, получаем
Hr =~COSG, Hf^-^-sinG (4.59)
или в векторной форме
.-2 • -:< : -ИР
Н = —r(ra2cosG + 0osinG). (4.60)
4г
Введя обозначение -п - w,..
р" = /ла2ц, < (4.61)
9* 131
перепишем формулу (4.60) в виде
Н = рИ . (г0 2 cos 6 + 0О sin 6). (4.62)
4лцг
В области, где справедливо равенство (4.62), плотность тока
проводимости равна нулю (j = 0), а любой принадлежащий ей
контур не охватывает тока, т.е. выполняются уравнения (1.56).
Следовательно, поле, определяемое формулой (4.62), можно счи-
тать магнитостатическим. С каждой магнитостатической задачей
можно сопоставить некоторую электростатическую задачу, пере-
ход к которой может быть осуществлен, например, на основе
принципа двойственности (см.2.6). Заменим в формуле (4.62) Н на
Е, ц на-s, а р“-на (-р), где р = д^-величина момента некоторого
электростатического диполя системы двух зарядов q и -q,
расположенных на расстоянии е. После этих преобразований
формула (4.62) будет полностью совпадать с выражением (3.47)
для напряженности электрического поля, создаваемого электро-
статическим диполем с моментом p=zop. Следовательно, выра-
жение (4.62) является магнитостатическим аналогом формулы
(3.47). По аналогии с электростатическим диполем можно ввести
понятие о магнитном диполе (т.е. о системе двух точечных маг-
нитных зарядов +q* и -q“, расположенных на расстоянии / друг от
друга), поле которого определяется выражением (4.62). При этом
будет выполняться соотношение р“=дмЛ Момент магнитного
диполя, как и момент электрического диполя р, является век-
торной величиной:
pM = qMZ = qX = pu4. (4.63)
где L-вектор, направленный от отрицательного магнитного заряда
(-д“) к положительному (+д“), по абсолютной величине равный
расстоянию между зарядами f, а4-орт вектора4
Соотношение (4.62) было получено из выражения (4.59) для
магнитного поля кругового витка (рамки) с током. Следовательно,
рамка с током I, расположенная в плоскости z = 0 симметрично
относительно оси Z, создает на больших по сравнению с его
радиусом расстояниях такое же поле, как магнитный диполь с
моментом
р" = Zopna2/, (4.64)
помещенный в начале координат.
Выражение (4.64) можно представить в виде
р“ = n0|iS/, (4.65)
где S-площадь рамки, а па-орт нормали к плоскости рамки
(рис.1.3).
132
Соотношение (4.65) справедливо для плоских рамок про-
извольной формы. Отметим, что вектор р“ связан с введенным
ранее (см.1,2) магнитным моментом рамки т соотношением
рм = р/П.
4.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическое поле в диэлектрике, окружающем провод-
ники с постоянным током. Постоянный ток помимо магнитного
поля создает также электрическое поле, которое описывается
системой уравнений (1.576). Следовательно, оно является потен-
циальным, и для его характеристики можно ввести скалярный
потенциал и, связанный с вектором Е соотношением (3.2). Если
рассматриваемая среда является однородной (s = const) и в ней
отсутствуют свободные заряды (р = 0), то потенциал и удовле-
творяет уравнению Лапласа (3.8), а система уравнений (1.576)
принимает вид
rot Е = 0, div D = 0, D = сЕ.
Как видно, уравнения, описывающие электрическое поле пос-
тоянного тока в идеальном диэлектрике, окружающем проводники,
совпадают с уравнениями, описывающими электростатическое
поле. Однако электрическое поле постоянного тока отличается от
электростатического. Электрическое поле постоянного тока суще-
ствует и в проводящей среде. Вектор Е связан с вектором плот-
ности тока проводимости соотношением j = oE. Это приводит к
изменению граничных условий на поверхности проводника по
сравнению с граничными условиями в случае электростатики. Так
как электрический ток в проводнике создает падение потенциала,
то поверхность проводника уже не будет эквипотенциальной и на
ней появится отличная от нуля касательная составляющая нап-
ряженности электрического поля. При определении поля в диэ-
лектрике, окружающем проводники с постоянными токами, это в
большинстве случаев несущественно, так как касательная сос-
тавляющая вектора Е пренебрежимо мала по сравнению с нор-
мальной составляющей.
Рассмотрим в качестве примера соотношение между
нормальной и касательной составляющими вектора Е в воздухе у
поверхности проводов двухпроводной линии передачи (см. рис.4.7).
Пусть проводники расположены на расстоянии 2h=10 см друг от
друга при разности потенциалов между ними в 200 В и плот-
ностью тока )=2А/мм2. Проводники предполагаются выполнен-
ными из меди (ст = 5,65-Ю7 См/м). Касательную составляющую
133
вектора Е определим из закона Ома: Et=j/a = 0,035 В/м. Для
оценки величины нормальной составляющей найдем отношение
разности потенциалов между проводами к расстоянию 2h между
ними: Aufl2h) = 2000 В/м. В действительности поле между прово-
дами является неоднородным, причем наиболее сильное поле
сосредоточено около проводов, поэтому истинное значение Еп
будет больше &ufl2h). Отношение Еп к Ет, таким образом, даже для
рассматриваемого случая линии низкого напряжения имеет по-
рядок 105. Это позволяет в большинстве практически интересных
случаев при вычислении электрического поля в диэлектрике,
окружающем проводники с постоянными токами, пренебречь каса-
тельной составляющей, т.е. считать, что граничные условия
являются такими же, как в электростатике, и для определения
поля использовать решения соответствующих электростатических
задач.
Электрическое поле в проводящей среде. Если в рассмат-
риваемой области отсутствуют сторонние здс, то электрическое
поле постоянного тока в проводящей среде описывается сле-
дующей системой дифференциальных уравнений:
rotE = 0, j = оЕ, divj = O. (4.66)
Соответствующие интегральные соотношения имеют вид
fEd4=0, fjdS=O. (4.67)
Г 5
Второе уравнение системы (4.67) является следствием закона
сохранения заряда (1.50), так как в случае стационарного элект-
ромагнитного поля dQ/dt=O. Из этого уравнения следует, что на
границе раздела двух сред с различными удельными проводи-
мостями нормальная составляющая вектора j является непре-
рывной:
Jin “J2ni (4.68)
а касательные составляющие связаны соотношением
Ju = (01/02)^- (4.69)
Равенство (4.68) выводится так же, как граничное условие для
нормальной составляющей вектора В (см.1.7.1), а формула (4.69)
является следствием соотношения Ен = Е2т.
В ряде практически важных случаев требуется найти токи,
которые возникают в среде, изолирующей проводники друг от
друга (токи утечки). Удельная проводимость изоляции во много раз
меньше удельной проводимости металла. Поэтому вектор плот-
ности тока утечки можно считаь перпендикулярным к поверхности
134
проводников. Действительно, пусть угол между вектором j и нор-
малью к поверхности раздела в первой среде (в изоляции) равен
6Ь а во второй (в металле)-62. Из равенства (4.68) и (4.69) по-
лучается следующее соотношение между углами 0, и 02:
tg е, = (с^ог) tg Йг.
Так как отношение 0,/сг очень мало (например, для кабельной
бумаги и меди оно равно около 1,7'КГ21), угол можно считать
равным нулю при любом угле е2.
Аналогия между электрическим полем постоянного тока и
электростатическим полем. Из уравнений (4.66) следует, что
электрическое поле постоянного тока является потенциальным,
т.е. вектор Е можно представить в виде E=-gradi/. В случае
однородной проводящей среды (ст = const) условие divj = O экви-
валентно условию divE = 0. Следовательно, в однородной прово-
дящей среде потенциал и электрического поля постоянного тока в
области, в которой отсутствуют сторонние эдс, удовлетворяет
уравнению Лапласа (divE=-divgradu = O, т.е, V2t/ = 0). Если на
границе рассматриваемой области значения потенциала и изве-
стны, то задача определения электрического поля постоянного
тока в однородной проводящей среде сводится к нахождению
потенциала и, удовлетворяющего уравнению Лапласа V2u = 0 и
заданным граничным условиям. К такой же задаче сводится
задача определения электростатического поля в однородном
диэлектрике, когда внутри рассматриваемой области отсутствуют
заряды. Как известно, такая задача имеет единственное решение.
Следовательно, электрическое поле постоянного тока в одно-
родной проводящей среде аналогично электростатическому полю
в однородном диэлектрике, если конфигурация рассматриваемых
областей в обоих случаях одинакова и, кроме того, одинаковы
граничные условия для потенциалов. Эта аналогия позволяет
использовать известные решения электростатических задач для
нахождения электрического поля постоянного тока и наоборот.
В качестве примера применения указанной аналогии вычи-
слим сопротивление R между электродами, находящимися в од-
нородной проводящей среде. Пусть потенциалы электродов равны
Uy и U2, причем Uy>U2. Согласно закону Ома R= (Uy-U2)/I, где /-
ток между электродами. Очевидно, что
I = f jdS ,
5
где S-замк-
нутая поверхность, охватывающая один из электродов. Учитывая,
что j = стЕ, получаем
fEdS
S J
(470)
135
Для определения величины
tEdS
s
рассмотрим другую задачу.
Пусть такие же электроды находятся в однородном идеальном
диэлектрике, характеризуемом диэлектрической проницаемостью
е. Поток вектора Е через поверхность S при этом согласно закону
Гаусса равен
fE dS - Q/e, (4.71)
s
где Q- заряд электрода, находящегося внутри поверхности S.
Если потенциалы электродов в этом случае также равны 1Л И
U2, то на основе указанной аналогии можно утверждать, что
интеграл fEdS в формулах (4.70) и (4.71) имеет одно и то же
S
значение. Так как из определения емкости С системы двух
проводников (см. формулу (3.72)) следует, что Q = С | 1Л - U21, то
fEdS
s
= C|U1-U2|/e.
(4.72)
Подставляя (4.72) в (4.70), получаем
R = e/(ctC). (4.73)
Используем формулу (4.73) для определения сопротивления
утечки изоляции коаксиального кабеля. Емкость на единицу длины
коаксиального кабеля или, что то же самое, емкость на единицу
длины цилиндрического конденсатора (рис. 3.21) определяется вы-
ражением (3.76). Подставляя (3.76) в (4.73), находим, что сопро-
тивление утечки на единицу длины коаксиального кабеля
R _ 1п(а2/а,)
1 2 л ст
где о-удельная проводимость изоляции кабеля; а!-радиус внут-
реннего провода кабеля; а2-внутренний радиус оболочки кабеля
(рис.4.4).
136
Глава 5
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Возможность излучения и распространения электромагнитной
энергии в пространстве, по существу, непосредственно следует из
положения Максвелла, согласно которому электрический ток мо-
жет циркулировать в диэлектрике и свободном пространстве в
виде тока смещения. При этом ток смещения, как и ток про-
водимости, создает вокруг себя магнитное поле. Своим предпо-
ложением, основанным на опытах Фарадея, Максвелл как бы
приписал диэлектрику и свободному пространству свойства про-
водника-проводника тока смещения. Так как электромагнитное
поле является носителем электромагнитной энергии, то распро-
странение в пространстве токов смещения сопровождается воз-
никновением активного потока энергии (мощности излучения), рас-
пространяющегося от источника, создающего токи смещения, в ок-
ружающее пространство. Принципиальная возможность ответвле-
ния (излучения) электромагнитной энергии в пространство доказы-
вается теоремой Пойнтинга (см. 1.8), являющейся прямым следст-
вием уравнений Максвелла.
Таким образом, любая электрическая схема, способная соз-
давать в пространстве токи смещения, является излучателем эле-
ктромагнитной энергии или, как принято говорить, излучателем
электромагнитных волн, Рассмотрим, например, конденсатор, пи-
таемый источником переменной ЭДС (рис.5.1). В пространстве
между обкладками конденсатора циркулирует ток смещения. Так
как пространство, окружающее конденсатор, обладает способно-
стью проводить ток смещения, то последний должен ответвляться
в него так же, как ответвлялся бы ток про-
водимости, если бы конденсатор находился в
пространстве, обладающем проводимостью.
Процесс ответвления токов смещения и, сле-
довательно, излучения электромагнитной энер-
гии в пространство, окружающее конденсатор,
является с точки зрения теории Максвелла та-
Рис.5.1
137
Рис. 5,2
Рис, 5.3
ким же естественным, как и процесс ответвления энергии в прово-
да, присоединенные к какому-либо источнику эдс.
Практически в качестве излучателей электромагнитных волн
(антенн) применяют схемы, удовлетворяющие определенным тре-
бованиям. Обычно стремятся уменьшить реактивную мощность,
непосредственно связанную с антенной и не излучаемую в про-
странство. Показанная на рис.5.1 схема излучателя в виде уеди-
ненного конденсатора из двух параллельных пластин в указанном
смысле является неудачной. В этой схеме электромагнитное поле
сосредоточено в основном в пространстве между пластинами, что
приводит к большой реактивной мощности по сравнению с мощ-
ностью излучения. Реактивная мощность уменьшается при пово-
роте пластин конденсатора и расположении их так, как показано на
рис, 5.2.
Один из вариантов схемы, обеспечивающей интенсивное из-
лучение, показан на рис. 5.3. Эта схема, в которой пластины за-
менены проводами с шарами на концах, была впервые осущест-
влена Генрихом Герцем и известна под названием диполя Герца,
Инициатива и практическое решение вопроса применения ра-
диоволн в качестве средства связи принадлежит А.С. Попову,
который впервые в мире осуществил сеанс радиосвязи. Им же
были предложены и осуществлены передающие и приемные
антенны в виде несимметричных вибраторов.
5.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВИБРАТОР
Элементарным электрическим вибратором (ЭЭВ) называют
короткий по сравнению с длиной волны провод, обтекаемый эле-
ктрическим током, амплитуда и фаза которого не изменяются
вдоль провода. Этот вибратор является по существу идеализи-
рованной, удобной для анализа излучающей системой, так как
практически создание вибратора с неизменными по всей длине
амплитудой и фазой тока невозможно, Однако вибратор Герца
(рис. 5.3) оказывается весьма близким по своим свойствам к ЭЭВ.
138
Благодаря имеющимся на его концах металлическим шарам, ко-
торые обладают значительной емкостью, амплитуда тока слабо
изменяется вдоль вибратора. Неизменность фазы обеспечивается
малыми по сравнению с длиной волны размерами вибратора.
Изучение поля ЭЭВ крайне важно для понимания процесса
излучения электромагнитных волн антеннами. Любое проводящее
тело, обтекаемое токами, можно считать как бы состоящим из
множества элементарных электрических вибраторов, а при опре-
делении поля, создаваемого этими токами, можно воспользо-
ваться принципом суперпозиции, т.е. рассмаривать его как сумму
полей элементарных вибраторов.
Перейдем к анализу поля ЭЭВ, расположенного в безгра-
ничной однородной изотропной среде, характеризуемой парамет-
рами е, ц. Ток в вибраторе будем считать известным, т.е. сто-
ронним током, изменяющимся по закону cos (ш(+^о). где
/тет-его амплитуда, а у0 - начальная фаза (фаза в момент
времени (=0). Так как поле, создаваемое вибратором, в рас-
сматриваемом случае является монохроматическим, удобно вос-
пользоваться методом комплексных амплитуд. Вместо тока /ст
введем комплексную величину/" = /" exp(iwf), где /" = /" exp(ii|70)-
комплексная амплитуда стороннего тока. Ток /" связан с /"
обычным соотношением /ст = Re [/" exp (icot)].
Таким образом, задача сводится к нахождению поля по за-
данному распределению тока. Сначала найдем векторный потен-
циал А. Введем сферическую систему координат г, е, <р, полярная
ось которой (ось Z) совпадает с осью вибратора, а начало коор-
динат находится в его центре (рис. 5.4).
Комплексная амплитуда векторного потенциала в случае мо-
нохроматического поля при произвольном распределении токов в
объеме У определяется формулой (2.58). Разобьем интегрирова-
ние по объему, занимаемому ЭЭВ, на интегрирование по площади
Рис. 5.4
Рис. 5.5
139
его поперечного сечения AS и по длине вибратора Л Для упроще-
ния преобразований будем считать поперечный размер вибратора
(диаметр) малым по сравнению с его длиной I. Учитывая, что
f dS - z0 /£, представим формулу (2.58) в виде
AS
Am=z0^ f sx.Pt-|ft/?).dC (5.1)
_(/2 К
где R = ^r2+Q2 -2r^cos0, a С - значение координаты точки ин-
тегрирования (рис.б.б). При вычислении интеграла (5.1) ограни-
чимся случаем, когда расстояние от вибратора до точек, в которых
определяется поле, велико по сравнению с длиной вибратора
Тогда в знаменателе подынтегрального выражения величи-
ну R можно считать равной г и вынести за знак интеграла. Так как
I R-r то наибольшая относительная погрешность, возни-
кающая при замене R на г, имеет порядок Й(2г)<к1. Кроме того, по
предположению а к = со Тёр = со/с= 2itf/c. Как известно из кур-
са физики (это будет также показано ниже), отношение c/f равно
длине волны X, в среде без потерь с параметрами е и р. Поэтому
к = 2яД, и в (5.1) можно заменить ехр (- ikR) на ехр (- ikr}. При та-
кой замене погрешность определения фазы подынтегрального вы-
ражения равна к | R-r |<7tZ/Xd. С учетом изложенного формула
(5.1) принимает вид
А — 7 Д А - ехр (-ikr)
4л Г
Отметим, что сделанное предположение о малости диаметра
вибратора d по сравнению с его длиной не является необходимым.
Достаточно считать, что cf^r.
Вектор Йт связан с Ат соотношением Hffl = (1/p)rotAm. Век-
тор Ёт можно вычислить по формуле (2.57), однако несколько
проще, найдя Нт, определить Ёт из первого уравнения Максвелла:
Ё =-—rotHm. (6.2)
В сферической системе координат rotAm вычисляется по
формуле (П.17). В рассматриваемом случае вектор Ат паралле-
лен оси Z. Чтобы воспользоваться равенством (П.17), нужно найти
140
проекции вектора Am на орты г0, Во и <р0 (рис, 5.5). Так как орт фо
лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z, а углы между осью Z
и ортами Го и Во равны соответственно 6 и 6 + тг/2, то Агт =
= A,racos0; Aera=-AOTsin6; АфЯ) = 0. Применяя формулу (П.17) и
учитывая, что все составляющие вектора Ат не зависят от пере-
менной ср, получаем, что вектор Нт имеет только азимутальную
составляющую:
Этот результат можно было предвидеть из физических сооб-
ражений, так как прямолинейный ток вибратора может создать
только кольцевые магнитные силовые линии, лежащие в плоско-
стях, перпендикулярных оси вибратора.
Произведя дифференцирование, получим
Н
1 фГП
4л
—-if—f
кг А кг J
sin6e"iAf, Нт=Нвт=0.
(5.3)
Для определения вектора Ёт подставим найденный вектор
Нт в (5.2). Учитывая, что Нт =Н&т = 0 и ЗНфт/&р = 0, приходим к
выражению
1
icos
Гр 3
г sin е эе
(sin еНфт)~
г Зг1 <fm4
После дифференцирования имеем Ёт =г0Ёт,+В0Ёет, где
а = О*3
гт 2лше
2 i/m^3
4л(»е
1
кг
созбе
sin бе ,Аг,
(5.4)
(5-6)
Полученные формулы определяют составляющие комплекс-
ных амплитуд векторов Е и Н. Для перехода к мгновенным
значениям векторов Е и Н нужно полученные выражения умно-
жить на exp(icot), а затем отделить действительную часть (Е =
= Re{Em exp(icot)}, Н = Re{Hm exp(i©t)}).
141
5.3. АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА
5.3.1. Деление пространства вокруг вибратора на зоны
Из полученных формул следует, что вектор напряженности
электрического поля, создаваемого ЭЭВ, имеет две составляющие
Ег и Ее, а вектор Н-одну Н,г Таким образом, в любой точке
пространства вектор Е лежит в меридианальной плоскости, т.е. в
плоскости, проходящей через ось вибратора и рассматриваемую
точку, а вектор Н-в азимутальной плоскости, т.е. в плоскости,
перпендикулярной оси вибратора.
Из выражений (5.3), (5.4) и (5.5) видно, что зависимость
амплитуд составляющих векторов Effl и Hffl от расстояния г опре-
делеляется величинами 1/(fa), 1/(kr)2 и 1/(Аг)3. При больших зна-
чениях krffcr»'!) величинами 1/(кг)2 и 1/(fcr)3 можно пренебречь по
сравнению с 1/(fcr), и, наоборот, при малых значениях кг(кг<&-\)
основными будут величины 1/(frr)3 для составляющих вектора Ё и
1 /(кг)2 - для вектора Н. Поэтому при анализе структуры электро-
магнитного поля вибратора пространство вокруг вибратора делят
на три зоны: дальнюю или волновую (кг»1), ближнюю (кгс\) и
промежуточную, где кг соизмеримо с единицей.
Величина кг зависит от соотношения между расстоянием от
вибратора до точки, в которой вычисляется поле, и длиной волны.
Так как к = 2ъ/к, то условия ксэ> 1, кг^Д, кг=Д, определяющие да-
льнюю, ближнюю и промежуточную зоны, эквивалентны условиям
2тг»л, 2тгг<кХ, 2?rrsX соответственно.
Перейдем к анализу свойств электромагнитного поля элемен-
тарного электрического вибратора в различных зонах.
5.3.2. Дальняя (волновая) зона
Дальняя или волновая зона, как уже указывалось, хара-
ктеризуется условием 2лг»>.. Из сравнения формул (5.4) и (5.5)
следует, что в этом случае можно пренебречь составляющей Ег
по сравнению с Ёи. Кроме того, в выражениях для и можно
в квадратных скобках пренебречь слагаемыми i/(frf)3 и i/(kr}2 по
сравнению с 1/(frr). Учитывая, что Л = 2д/л м к2 = 2~(>> / X,
получаем;
142
Е. = sin 6 ei(“‘-kf\ H„ = sin 0 eiM’k''). (5.6)
0 2V\e ’ ’ 2V '
Таким образом, в дальней зоне напряженность электрического
поля имеет только составляющую Ёе, а напряженность магнитного
поля - составляющую которые изменяются синфазно.
Поверхность, во всех точках которой в один и тот же момент
времени фаза рассматриваемой функции имеет одинаковые
значения, называется поверхностью равных фаз (ПРФ). В случае
монохроматического поля на ПРФ постоянна фаза комплексной
амплитуды рассматриваемой функции. Соответственно поверх-
ность, на которой постоянна амплитуда (модуль комплексной
амплитуды) рассматриваемой функции, называют поверхностью
равных амплитуд (ПРА).
В анализируемом случае ПРФ определяются уравнением г=
= const, т.е. представляют собой концентрические сферы с цент-
ром в середине вибратора.
Выберем какую-либо поверхность равных фаз и проследим,
что происходит с нею с течением времени. Фаза составляющей Ёе
в точке с координатой г0 в момент времени to равна To = mto-
- кг0 + л/2. Записывая выражение для фазы в точке с координатой
ri = г0 + Аг в момент t, = t0 + At и приравнивая это выражение %,
получаем, что <oAt = KAr. Следовательно, за время At поверхность
равной фазы смещается на расстояние Аг и в момент h пред-
ставляет собой сферу радиуса г0 + Аг. Скорость перемещения
поверхности равной фазы (фазовая скорость)
= го У* = го Нт (Аr/Д t) = г0 (со/ к) = т0 с,
где с = 1/-УЁЙ = с0 - скорость света в среде с параметрами
е, р, а с0 = 1/-7еор7 = 3-108 м/с-скорость света в вакууме.
Как видно, поле (5.6) - электромагнитная волна, расходя-
щаяся от вибратора,
Убедимся, что использованное выше соотношение k = clf
действительно выполняется. Длиной волны называют кратчайшее
расстояние между двумя ПРФ, на которых в один и тот же момент
времени значения фазы рассматриваемой функции отличаются
на 2л.
Пусть фаза составляющей Ео на сфере, соответствующей зна-
чению г = r0 = const, в момент t—tQ = const равна То = wf0 - кг0 + -п.12,
а на сфере г = г0 + к равна Ti = roto-K(rb + ^) + т/2. По опреде-
лению длины волны должно выполняться соотношение То - Tt =
143
= 2л. Подставляя значения % и 4S, получаем &tQ-кг0 +и/2-
- [raio - к (г0 + к) + я/2] = кк = 2л. Следовательно, Х = 2л/Л =
= 2л/(2 л f= clf. Длина волны может быть определена также
как расстояние, на которое перемещается ПРФ за период. Так как
период 7= 1/Iе, то Л = Уф Г = c/f.
Свободно распространяющиеся волны классифицируют по
форме ПРФ. Волны, у которых поверхности равных фаз совпадают
с поверхностями равных амплитуд, называют однородными. В
нашем случае ПРА определяются уравнением sin 6/r= const и не
совпадают с ПРФ. Таким образом, в дальней зоне поле ЭЭВ
представляет собой неоднородную сферическую волну, распрост-
раняющуюся от вибратора со скоростью света с= l/^/eiT- Векторы
Ёт и Нт этой волны взаимно перпендикулярны и перпендику-
лярны направлению распространения волны. Волны, обладающие
таким свойством, называют поперечными.
Распространение волны сопровождается переносом энергии.
Средняя за период плотность потока энергии равна Пср=Ре П.
Комплексный вектор Пойнтинга в рассматриваемом случае явля-
ется чисто вещественной величиной, поэтому
(5.7)
Из этого выражения следует, что излучение электромагнитной
энергии максимально в направлениях, перпендикулярных оси
вибратора (0 = л/2) и не зависит от угла <р. Вдоль своей оси (6 = 0 и
0=л) вибратор не излучает. Средняя за период скорость рас-
пространения энергии определяется по формуле (1.162). Под-
ставляя в (1.162) выражение (5.7) и учитывая, что
2 2кг
sin2 6,
V 7
получаем *эср = г0/= гос. Используя формулу (1.160), нетрудно
убедиться, что мгновенное значение скорости распространения
энергии v3 = 7эср = гос. Таким образом, излучаемая вибратором
электромагнитная энергия распространяется вдоль радиусов, про-
веденных из середины вибратора (т.е. перпендикулярно ПРФ) со
скоростью света в данной среде.
Векторы Е и Н изменяются синфазно. На рис. 5.6 показано
изменение векторов Е и Н вдоль редиуса г в некоторый момент
144
Рис. 5.6
Рис. 5.7
времени t= fa, а на рис. 5.7 приведена зависимость значений Е и Н
в точке г = Го от времени.
Важным параметром электромагнитной волны является ее
характеристическое сопротивление Zc, равное отношению попе-
речных к направлению распространения волны составляющих век-
торов Ёт и Нт, Так как рассматриваемая волна является попе-
речной, то
ZC =Ё&т1Н91П = у[р/Ё. (5.8)
В теории антенн величину ffie. часто называют волновым со-
противлением среды. В случае вакуума7с = Z° = ~ 120п Ом,
и формулу (5.8) можно переписать в виде
4 =Ёвт1Н*т = Z° 7^7 = 1 20k (5.9)
Обобщая полученные результаты, перечислим еще раз осно-
вные свойства электромагнитного поля в дальней зоне в среде без
потерь.
В дальней зоне поле ЭЭВ представляет собой расходящуюся
неоднородную сферическую волну, векторы Е и Н которой взаимно
перпендикулярны и перпендикулярны направлению распростра-
нения волны (вектору г0). При этом вектор Е лежит в плоскостях,
проходящих через ось вибратора, а Н-в плоскостях, перпен-
дикулярных этой оси. Векторы Е и Н изменяются синфазно.
Отношение составляющих £От и Нфт равно характеристическому
сопротивлению Zc = 7p/e. Фазовая скорость и скорость распро-
странения энергии равны скорости света. Комплексный вектор
Пойнтинга является чисто действительной величиной и направлен
вдоль радиуса-вектора, проведенного из середины вибратора в
точку наблюдения, т.е. имеется только активный поток энергии.
Плотность потока энергии максимальна в направлениях, перпен-
дикулярных оси вибратора (6 = тг/2), и равна нулю в направлениях,
соответствующих оси вибратора (0 = 0 и л).
10-45 145
5.3.3. Ближняя зона
В ближней зоне 2хг<^к. Однако, формулы для поля эле-
ментарного вибратора были выведены в предположении г>>(. По-
этому ближняя зона характеризуется неравенствами f<cr«W(2n).
В этом случае в квадратных скобках формулы (5.4) можно
пренебречь величиной 1/(/сг)2, в формуле (5.5) - величинами 1/(Лг)
и 17(Лг) , а в (5.3) - величиной Домножая окончательные
выражения на ехр (icot), получаем
_ \!т ^П 9
r 2 л cos r3 ’ 0 4тгсоег3
й _ 'm Sin 0 ifaf-fcr) ,5 . и \
Рассмотрим выражение (5.11). Так как2лг«А, можно считать,
что ехр (-i/cr)~1. Переходя к мгновенным значениям вектора Н,
получаем
/ст /
Н = <Po-^-y sine cos (cat+vJ. (5.12)
4пг
Напомним, что vo - начальная фаза тока /ст
Сравним выражение (5.12) с напряженностью магнитного пля
Н, создаваемого элементом длины f. постоянного линейного тока,
расположенного так же, как ЭЭВ:
H=<p0_E_.sine. (5.13)
4л г
Формула (5.13) вытекает из закона Био-Савара (4.20).
Так как при выводе формул для поля, создаваемого ЭЭВ,
предполагалось, что ток вибратора равен /ст = /" cos (cot + vo), то
выражение (5.12) аналогично выражению (5.13). Следовательно,
напряженность магнитного поля вибратора в ближней зоне сов-
падает с напряженностью магнитного поля, вычисленной на ос-
нове закона Био-Савара, при условии, что постоянный ток / равен
току вибратора в рассматриваемый момент времени.
Перейдем к анализу электрического поля вибратора в бли-
жней зоне. Изменение тока в вибраторе приводит к изменению
величины зарядов на его концах.
Суммарный заряд вибратора в любой момент времени равен
нулю, а заряды на его концах равны по величине и проти-
воположны ло знаку. При этом для каждого из концов вибратора
выполняется закон сохранения заряда l=-dqldt. Следовательно,
заряды изменяются по закону q=±qrnsin(tB(+vo), где qm=/mAo>O.
146
Знак "+" соответствует верхнему (см. рис. 5.5) концу вибратора (z =
=+у72), а знак - нижнему (z=-£/2). Так как в ближней зоне
exp (- ikr)^1, то, заменяя в формулах (5.10) /т на wqm и переходя
затем к мгновенным значениям составляющих вектора Е, полу-
чаем
Е _ g^fcosesin(t9f+y0) £ _ sin Osin (со(+ц/о)
г 2ле г2 ’ е 4яег3
Таким образом, в ближней зоне ЭЭВ создает такое же
электрическое поле, как и электростатический диполь с моментом
р = zopZ (см. (3.48)), заряды которого равны зарядам, сосредо-
точенным на концах вибратора, в рассматриваемый момент
времени.
Составляющие напряженности электрического и магнитного
полей в ближней зоне, определяемые формулами (5.10) и (5.11),
сдвинуты по фазе на 90°. Поэтому комплексный вектор ПоЙнтинга
оказывается чисто мнимой величиной, а его среднее значение -
равным нулю. Это не означает, конечно, что в ближней зоне
отсутствует излучение. Как и в дальней зоне, здесь в выражениях
для поля имеются слагаемые, пропорциональные 1/(Лг), которые
определяют излучаемую энергию. Однако их абсолютные вели-
чины малы по сравнению с абсолютными значениями состав-
ляющих Ег, Ео и Еф, определяемых формулами (5.10) и (5.11). Это
означает, что в ближней зоне имеется относительно большое
реактивное поле. Подчеркнем, что в случае среды без потерь
полные потоки энергии в ближней и дальней зонах одинаковы, а
плотность потока энергии в ближней зоне значительно больше,
чем в дальней.
5.3.4. Промежуточная зона
Промежуточная зона является переходной от ближней зоны к
дальней. При анализе формул (5.3), (5.4) и (5.5) в этом случае
нельзя пренебречь ни одним из слагаемых. Следовательно, в
промежуточной зоне поле излучения и реактивное (связанное с
вибратором) поле оказываются одного порядка.
Выражения (5.3), (5.4) и (5.5) позволяют исследовать ст-
руктуру поля, создаваемого ЭЭВ в области, соответствующей
значениям г»/.
Линии распространяющегося электрического поля, соответ-
ствующие полю излучения, являются замкнутыми. Их структура в
меридиональной плоскости в некоторый фиксированный момент
10* 147
Рис. 5.8
Рис. 5.9
времени показана на рис. 6.8. Линии магнитного поля в плоскости,
перпендикулярной оси вибратора (0 = л/2), изображены на рис. 5.9.
Процесс образования структуры поля, изображенной на
рис. 5.8 и 5.9, качественно можно представить по структуре сило-
вых линий электрического поля в непосредственной близости к
вибратору, построенной на основе общих физических представ-
лений (рис. 5.10).
Пусть в момент t=to ток в вибраторе равен нулю, поло-
жительный заряд сосредоточен на верхнем конце вибратора, а
отрицательный - на нижнем. Силовые линии электрического поля
начинаются на верхнем конце вибратора и заканчиваются на
нижнем (рис.5.10, а). Линии, возникшие до момента t = t0, на
рисунке не показаны.
В интервале t0<t<t0 + 774 абсолютные значения зарядов на
концах вибратора уменьшаются, а абсолютное значение тока воз-
растает. Ток течет от верхнего конца вибратора к нижнему.
Начинается «отшнуровывание» линий поля
(рис.5.10, б). В момент f = f0+774 абсолютная
величина тока максимальна, заряды на концах
вибратора равны нулю, «отшнуровывание» ли-
ний поля закончено (рис.5.10, в).
Рис. 5.10
К концу второй четверти периода (в момент
t = to+ 772) ток снова равен нулю, а заряды на
концах вибратора максимальны по абсолютной
величине. Положительные заряды сосредото-
чены на нижнем конце вибратора, отрицате-
льные - на верхнем. Структура силовых линий
электрического поля вблизи вибратора
(рис.5.10,е) отличается от показанной на
рис. 5.10, а только тем, что линии имеют проти-
воположные направления.
148
5.4. ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА
Рассмотрим более подробно выражение для амплитуды на-
пряженности электрического поля, создаваемого в дальней зоне
элементарным электрическим вибратором. Из (5.6) следует, что
.1-1 Г tZ
£ея,= =J3T-£-sine.
При заданных амплитуде тока и длине вибратора амплитуда
напряженности его электрического поля зависит от двух пере-
менных: расстояния г и угла 6. При одном и том же расстоянии от
вибратора (г = const) поле будет различным в зависимости от угла
0. Как уже отмечалось, амплитуда напряженности поля макси-
мальна в плоскости, проходящей через середину вибратора, пер-
пендикулярно его оси (б=к/2), и равна нулю в направлении
последней, т.е. при 6 = 0 и 6 = л.
Для более наглядного представления о характере излучения
(направленных свойствах) антенны строят графики зависимости
амплитуды напряженности поля или амплитуд ее составляющих от
направления в точку наблюдения при r= const. Такие графики
называют амплитудными диаграммами направленности или про-
сто диаграммами направленности (ДН). Обычно строят нормиро-
ванные ДН. На них показывают не абсолютные значения амп-
литуды напряженности поля, а нормированные значения, отне-
сенные к ее максимальной величине. Если необходимо дать
представление о фазовой структуре излученного поля, строят так
называемые фазовые диаграммы направленности - графики зави-
симости фазы напряженности поля от направления в точку на-
блюдения.
Наиболее полную информацию о характере излучения дает
пространственная диаграмма направленности. Она может быть
построена, например, таким образом, чтобы расстояние от начала
сферической системы координат до любой точки, характеризуемой
углами 6 и <р, было пропорционально отношению амплитуды на-
пряженности электрического поля в данном направлении (6, <р) к
максимальной амплитуде для того же значения г. Во многих
случаях построение такой диаграммы сложно, поэтому чаще
пользуются диаграммами, показывающими зависимость амплиту-
ды ПОЛЯ от ОДНОГО ИЗ углов (0 ИЛИ (р) при постоянном значении
другого.
Диаграмма направленности, соответствующая <р = const, пока-
зывает изменение амплитуды напряженности поля в мериди-
анальной плоскости. Очевидно, что для ее определения ло
149
Рис. 5.11
Рис. 5.13
Ф=л/2
<р=3л72
известной пространственной диаграмме достаточно рассмотреть
сечение последней плоскостью ф = const. Аналогично кривая, об-
разованная пересечением пространственной диаграммы с поверх-
ностью конуса 0 = const, дает диаграмму направленности, постро-
енную при 0 = const.
Пространственная ДН элементарного электрического вибра-
тора совпадает с поверхностью тора, образованного вращением
круга, радиус которого равен расстоянию от центра круга до оси
вращения (рис. 5.11), Диаграмма направленности ЭЭВ в мери-
дианальной плоскости, построенная в полярной системе коор-
динат, имеет вид восьмерки из двух окружностей. У нормиро-
ванной ДН диаметры этих окружностей равны единице (рис. 5.12).
Правая половина ДН соответствует некоторому значению угла
Ф = Фо, а левая - значению ф = ф0 + л. На рис. 5.13 показана
построенная в полярной системе координат нормированная ДН в
экваториальной плоскости (0 = я/2). Эта ДН имеет вид окружности
единичного радиуса. Указанная на рисунках функция 0 =
= |Ёт|/|Ё„|тэя =|Ёет(0)|/|Ёел1(^2)|.Так какДН на рис.5.13 соответ-
ствует значению 0 = л/2, то на этом рисунке D = 1.
Помимо полярной системы координат для построения диаг-
рамм направленности используют также декартову систему ко-
ординат. Нормированные диаграммы направленности ЭЭВ в
меридианальной и экваториальной (0 = л/2) плоскостях, пост-
роенные в декартовой системе координат, изображены на рис. 5.14
и 5.15 соответственно.
150
Фаза напряженности электрического (магнитного) поля, соз-
даваемого ЭЭВ, не зависит от углов 0 и ф. Поэтому вид фазовых
диаграмм ЭЭВ очевиден, и они здесь не приводятся.
5.5. МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА
Средняя мощность, излучаемая в пространство ЭЭВ, нахо-
дящимся в среде без потерь, равна среднему потоку энергии через
любую замкнутую поверхность, окружающую вибратор, и может
быть вычислена по формуле (1.144). Вычисление интеграла в
(1.144) упрощается, если в качестве поверхности S, охватывающей
вибратор, используется сфера с центром в начале координат и
достаточно большим радиусом г, чтобы выполнялось условие
/сг»1. В сферической системе координат элемент поверхности
dS = ГоГ2 sin 0cf0dq>. С учетом формулы (5.7) выражение (1.144)
принимает вид
Zc fdsin3 0dO.
l> о
(5.14)
Входящий в (5.14) двойной интеграл легко вычисляется и
равен 8тг/3, следовательно,
Р = — f—I z |/етГ
Для свободного пространства (е = е0, р = ро)
( 6 \21 . .2
РхФ=40я2 - И.
(5-15)
(5.16)
По аналогии с обычным выражением для мощности, рас-
ходуемой в среднем за период в электрической схеме на активном
сопротивлении РПср= 0,5/J R (закон Джоуля-Ленца), формулу
(5.15) можно представить в виде
4№r- (5-17)
где
2л pV
з W z<
(5.18)
151
Коэффициент пропорциональности между PLcp и
0,б| 1% |2 измеряется в омах и называется сопротивлением излу-
чения. В свободном пространстве
(е
R, = 80тг -
U J
(5-19)
5.6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МАГНИТНЫЙ ВИБРАТОР
5.6.1. Физические модели элементарного магнитного
вибратора
По аналогии с элементарным электрическим вибратором
систему, эквивалентную короткому по сравнению с длиной волны
элементу магнитного тока, амплитуда и фаза которого одинаковы
во всех точках этого элемента, будем называть элементарным
магнитным вибратором. Рассмотрим некоторые физические моде-
ли элементарного магнитного вибратора. Для этого вначале
вернемся к элементарному электрическому вибратору.
Как уже отмечалось, одной из возможных моделей ЭЭВ
является элемент прямолинейного провода (рис.5.16). Для прос-
тоты изложения будем считать провод идеально проводящим.
Тогда протекающий по вибратору ток окажется поверхностным с
плотностью js = Г/L, где L - периметр провода.
На поверхности S вибратора касательная составляющая
вектора Н неизменна вдоль его длины и связана с плотностью тока
js соотношением js =[n0,H]|s. Комплексная амплитуда электри-
ческого тока, обтекающего ЭЭВ, равна = LHtIJ = LH°, где Н° -
IS
комплексная амплитуда составляющей Нф. На вибраторе линии
вектора Н перпендикулярны линиям вектора j и имеют вид колец,
охватывающих вибратор (рис. 5.16). Таким об-
* Z разом, ЭЭВ можно представить в виде стер-
»жня, на поверхности которого задано распре-
деление касательной составляющей вектора
Н. На концах вибратора ток проводимости
0 переходит в ток смещения, которому соответ-
ствуют выходящие из торцов электрические
силовые линии (рис. 5.16). Так как ток в ЭЭВ
Рис.5.16 однозначно связан с касательной составляю-
152
щей напряженности магнитного поля на его
поверхности, то поле в пространстве вокруг
вибратора можно выразить через значе-
ние Н°.
Рассмотрим теперь систему, аналогичную
описанной модели ЭЭВ, но отличающуюся от
нее тем, что на поверхности стержня выпол-
няется иное граничное условие, а именно каса-
тельная составляющая вектора Ё отлична от
нуля и неизменна вдоль длины £, причем линии вектора Ё имеют
вид колец, охватывающих поверхность S (рис.5.17). Иными сло-
вами, данная система отличается от рассмотренной тем, что на
поверхности S вместо замкнутых векторных линий магнитного поля
задано распределение замкнутых линий электрического поля.
Векторные линии магнитного поля второй системы совпадают по
форме с векторными линиями электрического поля первой сис-
темы, но имеют противоположное направление. Различное нап-
равление магнитных и электрических линий системы следует из
уравнений Максвелла (правые части первого и второго уравнений
(1.75) имеют разные знаки). Задание касательной составляющей
вектора Ё на поверхности стержня эквивалентно заданию плот-
ности поверхностного магнитного тока = ~Ёфт |s=- Еф°. Так как
по предположению значения Ефт одинаковы во всех точках пове-
рхности S, то рассматриваемая система эквивалентна элементу
длиной ( магнитного тока /м, т.е. представляет собой элемен-
тарный магнитный вибратор.
Практически систему, близкую к данной модели эле-
ментарного магнитного вибратора, можно получить, если стержень
выполнить из материала с магнитной проницаемостью ц2, зна-
чительно большей магнитной проницаемости ц окружающей сре-
ды, например из феррита. В качестве возбуждающего устройства
можно использовать рамку, обтекаемую током про-
водимости (рис.5.18). Рамка и стержень должны 0
иметь общую ось. а/Еа
Благодаря большой величине цг2 поток линий у —
вектора В пронизывает стержень, почти не ответ- |TiM
вляясь через его боковую поверхность, т.е. поток А
линий вектора В равномерен по длине стержня.
Пронизывающим стержень линиям вектора В соот- Рис.5.18
153
ветствуют замкнутые линии вектора Е. Рав-
номерность потока вектора В обусловливает
равномерное распределение Еф на поверх-
ности магнитного вибратора. Практически для
того, чтобы распределение на поверхности
магнитного вибратора было действительно
равномерным, нужно аналогично тому, как это
было сделано Герцем в случае электричес-
кого вибратора, использовать стержни с ша-
Рис.5.19 рами или другими концевыми нагрузками
(рис. 5,18). Элементарным магнитным вибратором
можно считать также любой достаточно малый элемент длинного
стержня, выполненного из соответствующего материала и воз-
бужденного таким образом, что на его поверхности имеется от-
личная от нуля перпендикулярная оси стержня касательная сос-
тавляющая напряженности электрического поля U*0). а Другие
составляющие вектора Е отсутствуют.
Следует отметить, что аналогия между физическими моде-
лями элементарных электрического и магнитного вибраторов
проявляется не только в распределении на электрическом и
на магнитном вибраторах. Благодаря высокой проводимости ма-
териала электрического вибратора, на его поверхности выпол-
няется условие Е, |з~> 0. Точно так же при на поверхности
магнитного вибратора Н, |3-> 0. Это следует из второго уравнения
Максвелла [Н - 1/(соц2)rot Ё] и условия непрерывности касательной
составляющей вектора Н на границе раздела двух сред.
Если в схеме, изображенной на рис. 5.18, изъять стержень,
оставив одну рамку, то характер структуры поля не изменится
(рис. 5.19). Поэтому рамку достаточно малых размеров, обтекае-
мую электрическим током, также можно считать элементарным
магнитным вибратором.
5.6.2. Поле элементарного магнитного вибратора
Выражения для комплексных амплитуд составляющих век-
торов поля, создаваемого элементарным магнитным вибратором,
могут быть получены из формул (5.3), (5.4) и (5.5) для поля ЭЭВ, в
которых нужно только в соответствии с принципом двойственности
заменить /" на (-/”), Ёгт на Нгт. Ёвт на Н0И, НфП) на ЁфП), с на
(-ц) и ц на (-е). Окончательные выражения очевидны, и мы не
будем их здесь выписывать. Из формул для поля элементарного
магнитного вибратора следует, что вектор Ё имеет одну сос-
154
тавляющую Ё а вектор Н-две составляющие Нг и Нв, т.е.
вектор Ё в этом случае лежит в азимутальных плоскостях, а
вектор, Н-в меридианапьных.
Подчеркнем, что найденные таким образом формулы
соответствуют магнитному току, который при нулевой начальной
фазе (/”=/“) в момент времени t=0 течет в направлении,
противоположном полярной оси системы координат г, 0, ф, т.е. в
направлении (-z0).
Как и в случае ЭЭВ, в выражениях для поля элементарного
магнитного вибратора (ЭМВ) имеются слагаемые, пропорцио-
нальные 1/(кг) в первой, второй и третьей степенях. Поэтому при
анализе структуры поля элементарного магнитного вибратора ок-
ружающее его пространство также удобно разделить на три зоны:
ближнюю (/сг<й1), дальнюю (kr»1) и промежуточную, где кг соиз-
меримо с единицей.
Ограничимся анализом дальней зоны. Поступая так же, как и в
случае элементарного электрического вибратора, получаем
sinO^
ZA г
=7^M-sin0e~i,(r
2UZr
(5.20)
Отметим, что формулы (5.20) могут быть получены и не-
посредственно из формул (5.6) для поля ЭЭВ в дальней зоне.
Однако в этом случае кроме указанных выше замен необходимо
также заменить ^i/Ё = Zc на (-1/ZJ. Множитель Zc в (5.6) появился
в результате следующего преобразования: fc/(me) = м Уец /(сое) =
= ^Je = Zc. При замене е на (-ц) и ц на (-е) величина Was
превращается в /</(- соц) =- 1/ZC.
Из формул (5.20) следует, что поле, создаваемое ЭМВ в
дальней зоне, представляет собой неоднородную поперечную
сферическую волну, распространяющуюся от вибратора со ско-
ростью света. Векторы Е и Н изменяются синфазно. На рис.5.20
показана ориентация векторов Е и Н
в дальней зоне в случае ЭЭВ
(рис. 5.20, а) и элементарного магнит-
ного вибратора (рис.5.20, б).
Распространение электромагни-
тной волны сопровождается перено-
сом энергии. Энергия распространя-
ется со скоростью света перпендику-
лярно поверхностями равных фаз,
т.е. фазовая скорость и скорость ра-
155
спространения энергии совпадают. Отношение амплитуд напря-
женностей электрического и магнитного полей
Как и элементарный электрический вибратор, элементарный
магнитный вибратор обладает направленными свойствами. Его
излучение максимально в экваториальной плоскости =
Вдоль своей оси (оси Z) элементарный магнитный вибратор не
излучает. Диаграммы направленности элементарного магнитного
вибратора совпадают с диаграммами направленности элемен-
тарного электрического вибратора (рис. 5.11-5.15).
Как уже отмечалось, достаточно малая рамка (виток провода),
обтекаемая постоянным по амплитуде электрическим током /р =
= Ipm cos (raf + v,), где ц/, - начальная фаза тока, также может
рассматриваться как элементарный магнитный вибратор. В этом
случае вибратор характеризуется амплитудой тока (/р) и площадью
рамки S. Формулы для поля, создаваемого рамкой, могут быть
получены независимо от формул для поля элементарного эле-
ктрического вибратора. Для этого нужно записать выражение для
векторного потенциала кольцевого электрического тока А, вы-
числить входящий в это выражение интеграл в предположении,
что расстояние от рамки до точки наблюдения велико по срав-
нению с размерами рамки, а затем перейти к векторам Ё и Н, как
это было сделано в случае элементарного электрического виб-
ратора. Сравнение окончательных выражений для поля, соз-
даваемого рамкой, с формулами для поля элементарного маг-
нитного вибратора показывает, что они переходят друг в друга при
замене вида
i“t^/pmS. (5.21)
Формулы для поля, создаваемого рамкой в дальней зоне,
имеют вид
к! 97 ki S
sin бе-'*7, Hera=__e=-sin0e^. (5.22)
ZAf ZAГ
Мощность излучения рамки находится так же, как мощность
излучения элементарного электрического вибратора, и опреде-
ляется формулой
РЕсо (5-23)
А ср 2 рЯ1 ₽*• ' ~ f
3 I X J е
гДе =
- сопротивление излучения рамки.
156
Длину ЭЭВ, при которой в случае одинаковых токов, обте-
кающих рамку и вибратор (| = | |), мощность излучения ЭЭВ
равна мощности излучения рамки, называют действующей высо-
той рамки. Она равна ha = 2 л S/Л. При £ = ha и j /^[ = | /"|, как видно
из формул (5,22) и (5.6), рамка создает в дальней зоне такие же по
величине (но не по ориентации векторов Е и Н!) электрическое и
магнитное поля, как и элементарный электрический вибратор.
Полученные выше результаты позволяют также выписать
формулы для поля, создаваемого элементарным магнитным
вибратором в виде короткого по сравнению с длиной волны
стержня из материала с Набоковой поверхности которо-
го задано распределение касательной составляющей вектора
Е(Ё1П1 1з=^ф =const). Для этого достаточно в формулах для поля
элементарного магнитного вибратора в виде элемента магнитного
тока заменить /” на (-Ё“/_, где L - периметр поперечного сечения
стержня).
5.6.3. Элементарный щелевой излучатель
Рассмотрим бесконечно протяженную идеально проводящую
плоскость, по которой текут поверхностные электрические токи с
плотностью js. Если в такой плоскости перпендикулярно js
прорезать узкую щель, то эта щель пересечет линии вектора js
(рис.5.21), а на ее краях линии тока проводимости будут пре-
образовываться в линии тока смещения, т.е. в области щели
касательная составляющая вектора Ё будет отлична от нуля:
Etm -Ёо. Предположим, что длина щели I много меньше длины
волны, а значения амплитуды и фазы Ёй не изменяются по всей
длине щели (Ео = const). Описанную систему будем называть эле-
ментарным щелевым излучателем или элементарным щелевым
вибратором.
Рис. 5.21
Рис. 5.22
157
В случае реальной щели условие Ео = const не выполняется.
Выровнять распределение Етт адоль щели можно, если конфи-
гурацию щели сделать аналогичной вибратору Герца (рис.5.22).
Элементарным щелевым вибратором является также дос-
таточно малый элемент щелевого вибратора конечных размеров.
В области щели имеется касательная составляющая напря-
женности электрического поля и отсутствует касательная состав-
ляющая напряженности магнитного поля. Последнее следует,
например, из того, что любое распределение поверхностных токов,
текущих по плоскому экрану, создает вне его магнитное поле,
имеющее в плоскости экрана только нормальную составляющую
вектора Н. Таким образом, в щели выполняются такие же условия,
как на поверхности элементарного магнитного вибратора. Отличие
состоит только в том, что электрические силовые линии на
поверхности ЭМВ яапяются замкнутыми (см. рис.5.17), а в случае
щели они оканчиваются на ее краях. Аналогичными будут и
структуры полей, создаваемые ЭМВ и элементарным щелевым
излучателем. Предположим для простоты, что ЭМВ представляет
собой узкую бесконечно тонкую плоскую пластинку, выполненную
из материала с бесконечно большой магнитной проницаемостью.
Пластинка и щель имеют одинаковую конфигурацию, а значения
составляющей на них совпадают и равны Ёо. Вообразим те-
перь бесконечную плоскость Q, проходящую через плоскость ЭМВ
(рис. 5.23, а). Составляющая Ёхт на этой плоскости обращается в
нуль всюду, кроме участка, занимаемого ЭМВ, где она равна Ео.
На плоскости, в которой прорезана щель, выполняются такие же
краевые условия: в области щели Ёхт =Ё0, на остальной части
Ёхт = 0. При рассмотрении поля в одном полупространстве мож-
но считать, что металлическая плоскость в случае щелевого
вибратора и воображаемая плоскость Q являются замкнутыми,
предполагая, что они замыкаются в бесконечности. При этом
плоскость
а) б)
Рис. 5.23
158
краевые условия получаются заданными на замкнутых поверх-
ностях. Одинаковым краевым условиям на одинаковых замкнутых
поверхностях соответствуют одинаковые поля во всем рас-
сматриваемом пространстве. Поэтому можно утверждать, что по-
ле, создаваемое в каждом полупространстве элементарным
щелевым вибратором (см. рис. 5.23, б), будет таким же, как поле,
создаваемое ЭМВ. В частности, в пространстве над плоскостью со
щелью поле, создаваемое элементарным щелевым излучателем,
будет определяться формулами (5.20), в которых надо считать
где L-периметр ЭМВ, равный 2а (а-ширина щели).
Подставляя в (5.10) /м = 2аЕ0, получаем
=-H9fflZc =--^-sin6exp(-ikT).
Л г
5.7. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРО-
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
При анализе конкретных излучающих систем часто возникают
ситуации, когда распределение токов в системе либо неизвестно,
либо имеет крайне сложный характер, но зато можно считать
известным поле на некоторой замкнутой поверхности, охваты-
вающей излучающую систему. В этих случаях поле, излучаемое
системой, можно найти непосредственно по значениям векторов
Ё и Н на этой поверхности.
Задача формулируется следующим образом. Пусть источники
сосредоточены в ограниченной области V. Характер источников и
их расположение неизвестны, но зато известны значения векторов
Е и Н на внешней по отношению к источникам стороне пове-
рхности S, ограничивающей объем V. Поверхность S может быть
как действительной поверхностью раздела различных сред, так и
воображаемой, важно только, что на ней задано попе Ё, Н. Тре-
буется найти поле вне области V. В силу теоремы единственности
задача имеет единственное решение.
Среду, расположенную с внешней стороны поверхности S,
будем называть первой средой, а внутри S-второй. Они хара-
ктеризуются параметрами sb щ и е2, р2 соответственно. Поля
обозначаются аналогично: в первой среде- Ё^Н,, во второй-
е2,н2.
Предположим, что на S отсутствуют поверхностные токи и
заряды. Тогда на S должны выполняться следующие условия;
е|(п01Ё1) = е2(п0,Ё2), (5.24)
159
(п0,Ё?] = [п0,Ё°], (5.25)
щ(п0,Н?) = р2(по,|ф, (5.26)
[n0,H?] = [n0,H£], (5.27)
где Ё° = Evm |s, H° = Hvm Is, v = 1; 2, a n0 - орт внешней нормали к
поверхности S.
Для решения задачи применим искусственный прием. Пред-
положим, что поле в области V отсутствует. Это заведомо невер-
ное предположение. Однако если значения касательных состав-
ляющих векторов Е и Н на внешней по отношению к V стороне
поверхности S останутся прежними, то полученное с помощью
такого предположения решение будет правильным вне области V.
Так как при сделанном предположени Ё° =0 и Н° =0, то при пре-
жних значениях и Н“ не будут выполняться граничные условия
(5.24)-(5.27). Для того чтобы на поверхности S векторы Ё° и Н°
остались прежними и в то же время удовлетворяли граничным
условиям, предположим, что на S распределены дополнительные
источники (поверхностные заряды и токи), компенсирующие обра-
зовавшиеся разрывы составляющих векторов Ё и Н. Рассмотрим
вначале нормальную компоненту вектора Ё. Если на S имеются
поверхностные электрические заряды с плотностью р5экв, то вме-
сто условия (5.24) должно выполняться условие, аналогичное
(1.86): б|(п0,Ё°)-е2(п0,Ё2) = р3тэкв. Так как по предположению
Ё2 = 0, то искомая плотность эквивалентных поверхностных за-
рядов
Psm 31® = Е1 (ПоР ^1.) = е| Ё-in (5.28)
Аналогично компенсируется разрыв касательной составля-
ющей вектора Н. При наличии поверхностных электрических токов
с плотностью js на S вместо условия (5.27) должно выпол-
няться условие, подобное (1.98); [n0,H'j)]-[n0,H°] = jSm Э|!В. Полагая
в этом соотношении Н° = 0, получаем
Js,:„ =[по,й?]. (5.29)
Разрывы касательной составляющей вектора Ё и нормальной
составляющей вектора В = pH можно компенсировать, введя эк-
вивалентные поверхностные магнитные токи и заряды с плот-
160
ностями j“3SB и соответственно. При этом соотношения
(5.25) и (5.26) следует заменить условиями, подобными (1.98) и
(1.86) соответственно. Учитывая, что поле Ё2,Н2 считается рав-
ным нулю, приходим к равенствам
jUa =-[пОрЁ?]р (5.30)
Р^=И1(п0,Н?)=И1Н1°п. (5.31)
Подчеркнем еще раз: предполагается, что в природе нет
свободных магнитных зарядов и токов. Их вводят формально для
упрощения анализа. В рассматриваемом случае на S вообще мо-
жет не быть источников, при этом фиктивными будут не только
магнитные, но и электрические токи и заряды. Они были введены
лишь для того, чтобы при произвольно сделанном предположении
об отсутствии поля в области V, где находятся реальные источ-
ники, -на внешней стороне поверхности S сохранились прежние
значения векторов Ё и Н При этом в силу теоремы един-
ственности поле в рассматриваемой области не изменится. В тех
случаях, когда поверхность S совпадает (полностью или частично)
с поверхностью идеального проводника, формулы (5.29) и (5.28)
определяют на S (или на части поверхности S) реальные токи и
заряды.
Электрические и магнитные поверхностные заряды и токи,
определяемые соотношениями (5.28)-(5.31), называют эквива-
лентными источниками электромагнитного поля, а возможность
перехода от значений векторов Е и Н на поверхности S к
эквивалентным источникам - принципом эквивалентности (теоре-
мой эквивалентности).
Зная распределение эквивалентных источников, можно найти
создаваемое ими электромагнитное поле, например, с помощью
векторных электродинамических потенциалов Ат и А", которые
были рассмотрены в 2.4. Векторный потенциал Ат в данном слу-
чае определяется выражением (2.61), в котором нужно только
заменить j^, на Магнитный векторный потенциал А" вы-
числяется по аналогичной формуле, вытекающей из (2.61) и
перестановочной двойственности уравнений Максвелла:
A" (N) = е f dSi
т 4п s R
(5.32)
где W и М - точки наблюдения и интегрирования соответственно, а
R - расстояние от точки М до N.
11-45 161
Поле, созданное эквивалентными источниками, выражается
через векторные потенциалы Ат и А“ формулами (2.70).
Плотности эквивалентных поверхностных токов и зарядов
связаны между собой уравнениями непрерывности, которые в
случае монохроматического поля имеет вид: divjSffl3re=- i®pSm3KB;
div Яьязкв = Следовательно, искомое электромагнитное
поле однозначно определяется электрическими и магнитными
токами, т.е. одними касательными составляющими векторов
Ё и Н на поверхности S. Напомним, что для единственности
решения рассматриваемой задачи (см. 2.2) достаточно задать на
поверхности S либо Ёт, либо Ht. Поэтому одновременное произ-
вольное задание и Ё° и Н? недопустимо.
5.8, ЭЛЕМЕНТ ГЮЙГЕНСА
5.8.1. Принцип Гюйгенса
Гюйгенсом было сформулировано предположение, согласно
которому каждая точка фронта волны, созданной каким-либо пер-
вичным источником, является вторичным источником сферической
волны. Это предположение называют принципом Гюйгенса.
Под фронтом волны обычно понимают поверхность, отде-
ляющую область, в которой в данный момент времени уже имеют
место электромагнитные колебания, от области, в которую волна
еще не успела распространиться. При описании распростра-
няющихся монохроматических электромагнитных волн часто вмес-
то термина поверхность равных фаз используют термин фронт
волны, что, строго говоря, не совсем корректно.
Пусть известна поверхность S, (рис. 5.24), на которой фаза
функции, характеризующей волну, в момент t = to равна неко-
торому значению vo- В следующий момент времени t = to +
поверхность, соответствующая значению фазы Vo. уже не будет
совпадать с Sb Для определения этой новой поверхности согласно
принципу Гюйгенса нужно каждую точку поверхнос-
ти S, принять за центр сферы радиуса r0 = c&t, где с-
скорость распространения волны. Тогда пове-
рхность S; (рис. 5.24), огибающая семейство пост-
Va роенных таким образом сфер, проведенная с учетом
„YA направления распространения волны, будет иско-
мой поверхностью, на которой фаза в момент t = t0+
Рис. 5.24 + равна Vo.
162
Принцип Гюйгенса справед-
лив для любых волновых про-
цессов и позволяет проследить
за перемещением фронта вол-
ны или поверхности равных фаз,
начиная с момента времени, в
который являются известными
фронт волны, или соответствен-
но ПРФ. Математическая формулировка принципа Гюйгенса
впервые была дана Кирхгофом. Поэтому указанный принцип
обычно называют принципом Гюйгенса-Кирхгофа.
Принцип Гюйгенса-Кирхгофа позволяет находить поле и в том
случае, когда поверхность, окружающая источники, не совпадает с
поверхностью равных фаз. При этом, конечно, необходимо учи-
тывать распределение фаз эквивалентных источников.
Принцип Гюйгенса-Кирхгофа широко применяется при расчете
диаграмм направленности различных излучающих систем СВЧ
диапазона. Основные типы антенн этого диапазона: щелевые,
рупорные и зеркальные (схематически изображенные на рис. 5.25,
а,б,в соответственно) можно представить в виде замкнутой
поверхности, одна часть которой (So) является металлической, а
другая (Sv) представляет собой поверхность раскрыва (через нее
электромагнитная энергия излучается в окружающее простран-
ство). Поле на Ss обычно известно с той или иной степенью
точности, и его можно заменить распределением эквивалентных
источников. Поверхность So можно считать идеально проводящей,
тогда Ёхт |5= 0, что соответствует отсутствию магнитных токов
(js 1^ = 0). Кроме того, при приближенных расчетах часто прене-
брегают затеканием электрических токов на внешнюю поверхность
антенны, т.е. предполагают, что на поверхности So отсутствуют
также электрические токи (jsL = O или Нхт\ =0).
В таком приближении поле в дальней зоне определяется
только эквивалентными поверхностными электрическими и магнит-
ными токами или, что то же самое, касательными составляющими
векторов Ё и Н на поверхности SE.
При вычислении поля можно воспользоваться принципом
суперпозиции; разбить поверхность SE на элементарные площадки
AS, найти поле, создаваемое эквивалентными токами каждой
площадки, а затем просуммировать полученные результаты.
5.8.2. Поле элемента Гюйгенса
Практически элемент Гюйгенса можно представить как эле-
мент фронта (или ПРФ) распространяющейся волны. Магнитное
11* 163
Рис. 5.26
Рис. 5.27
поле, действующее на этом элементе, можно заменить эквива-
лентным электрическим током, а электрическое поле-эквива-
лентным магнитным током. Таким образом, элемент Гюйгенса
можно рассматривать как элементарный излучатель, обтекаемый
электрическими и магнитными токами. Определим его направ-
ленные свойства.
Так как векторы Е и Н свободно распространяющейся волны
взаимно перпендикулярны, то эквивалентные им электрические и
магнитные токи также будут взаимно перпендикулярны. Распо-
ложим прямоугольный элемент Гюйгенса (плоскую прямоугольную
площадку AS = £,£2) в плоскости XOY так, чтобы начало координат
совпадало с его центром. Ориентация касательных составляющих
векторов Е и Н на площадке AS, соответствующая некоторому
моменту времени f0, показана на рис. 5.26, а ориентация элект-
рических и магнитных токов, эквивалентных этим составляющим, в
тот же момент времени to - на рис. 5.27.
Полагая Ё1П)|ДЗ= Ё° и получаем, что комплекс-
ные амплитуды эквивалентных электрического (/’) и магнитного
(/“) токов, текущих по AS, равны /’ = Н* и /“ = -Ё" 12.
Поле, создаваемое элементом Гюйгенса, равно сумме полей,
создаваемых расположенными перпендикулярно друг другу эле-
ментарным электрическим вибратором длиной 4 с током 1%, и
элементарным магнитным вибратором длиной с током Вы-
числим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне. Рассмотрим,
например, плоскость YOZ (плоскость Е). Комплексная амплитуда
напряженности электрического поля, создаваемого ЭЭВ, в системе
164
координат, полярная ось которой совпадает с осью У, опреде-
ляется выражением
(533)
ZA Г
где 0!°-координатный орт угла et, отсчитываемого от оси У
(рис.5.28). Соответственно комплексная амплитуда напряженности
электрического поля, создаваемого элементарным магнитным
вибратором, в рассматриваемой плоскости в системе координат,
по-лярная ось которой совпадает с осью X, равна
^2m -Ф2 2^г е ’ (5.34)
где ф2° - координатный орт угла q>2, отсчитываемого от плоскости
ХОУ (рис. 5.29). В верхней части рассматриваемой плоскости (при
z > 0) орты 01° и ф2° совпадают, а в нижней (при z < 0) -
направлены противоположно. Если можно считать, что = Zc,
то в направлении оси Z вектор напряженности полного электри-
ческого поля Ёт = Ё1т+Ё2т =2Ё1т, а в противоположном направ-
лении (при ф2 = Зл/2) Ёт = 0. Вдоль оси У (т.е. при <р2 = 0 и ф2 = п)
ЭЭВ не излучает, и Ет=Е2/л. При сделанном предположении
диаграмма направленности элемента Гюйгенса в рассматри-
ваемой плоскости (х = 0) имеет вид кардиоиды (рис. 5.30). Обычно
поле элемента Гюйгенса записывают в системе координат г, 9, ср,
показанной на рис. 5.26. Переходя в формулах (5.33) и (5.34) от
единичных векторов 0(° и ф2° к орту 0О и от угла 9, к углу 9 (см.
рис. 5.28 и 5.29), получаем следующее выражение для вектора
Ё™ = Ё1Я, +Ё2п1 в плоскости х = 0:
Р i£.°AS
£"=Т9"“21Г
1+_^<
(5.35)
cos 9 e“iltr,
165
где знак «-» соответствует положительным
значениям координаты У, а знак «+»-отрица-
тельным.
Нетрудно показать, что в произвольном на-
правлении, характеризуемом координатами 9 и
ф, комплексная амплитуда напряженности эле-
ктрического поля, создаваемого элементом Гю-
йгенса, имеет две составляющие:
А
‘“"9/Л
S f J cos sjn ш g-i*r
------ I т -г—— сиъ и ЪН1 ф С
2U J
iET°AS( л H”Z.}
—1---- cos 9+—-.— cos ф e .
2V I E° )
(5.36)
Если Ё'/Н° = Zc, формулы (5.36) упрощаются. Абсолютная
величина вектора Ёт в этом случае не зависит от угла ф:
.. । Г 7 7~ 7 !^°ks
Ed = JeJ +eJ (1 + COS9). (5.37)
। । ti ii I ZAf
Из формул (5.35) видно, что при выполнении условия
Ё^/Н° = ZC диаграмма направленности элемента Гюйгенса одина-
кова во всех плоскостях, проходящих через ось Z, и имеет вид
кардиоиды (см. рис.5.30). Пространственная диаграмма направ-
ленности элемента Гюйгенса представляет собой поверхность,
образующуюся при вращении кардиоиды вокруг ее оси симметрии
(оси 4 Из диаграммы направленности видно, что излучение
максимально в направлениим оси 2, перпендикулярной к пло-
щадке AS.
Вектор напряженности магнитного поля, создаваемого эле-
ментом Гюйгенса, в дальней зоне при любых значениях углов 0 и ф
можно найти по формуле Нт = [г0,Ет]/2с, где г0-орт радиуса-
вектора, проведенного из середины элемента Гюйгенса в точку
наблюдения. Переходя к составляющим Н9т и Нфт, получаем
5.9. Лемма Лоренца. Теорема взаимности
Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые
группы источников, одна из которых характеризуется сторонними
электрическими токами с плотностью j", а вторая-токами с
166
плотностью j". Первая группа источников создает монохрома-
тическое электромагнитное поле Ё^Н,. удовлетворяющее урав-
нениям
rot Н, = icoeE, + j", (5.38)
rot Ё, = - iapH, (5.39)
а вторая - поле Ё2,Н2, причем
rot Н2 = 1шеЁ2 + j7, (5.40)
rotE2 = -iopH2. (5-41)
Умножим уравнение (5.38) скалярно на вектор Ё2, а (5.40) на
Н1 и почленно вычтем второе равенство из первого:
Ёа rotH, - Н1 rotE2 = icofeE^ + pH1H2)+E2j1CT- (5.42)
Аналогично (5.40) умножим скалярно на вектор Ё, и почленно
вычтем из полученного результата равенство (5.39), скалярно ум-
ноженное на вектор Н2:
Ё, rot Н2 -Н2 rotЁ, = НеЁД + pH1H2)+E1j". (5.43)
Применяя к левым частям формул (5.42) и (5.43) тождество
(П.25) и вычитая затем почленно (5.43) из (5.42), получаем
div [Ёъ Н2] -div [Ё2, HJ = Ё2Г -Ё£. (5.44)
Равенство (5.44) называют леммой Лоренца.
На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаим-
ности, имеющая фундаментальное значение. Предположим, что
источники первой группы (j") сосредоточены в конечном объеме
а источники второй группы (£Г)-в конечном объеме У2.
Области У, и V2 пространственно разделены (не пересекаются
друг с другом).
Интегрируя равенство (5.44) по произвольной области У,
включающей в себя Ц и V2 (рис. 5.31), и применяя теорему
Остроградского-Гаусса, получаем
f{[E1lH2]-[E2,H2]}dS= JdrE.-j-EJdV, (5.45)
s V
где S- поверхность, ограничивающая объем V.
Соотношение (5.45) является интегральной формулировкой
леммы Лоренца.
167
Распространим интегрирование
V в уравнении (5.45) на все прост-
' / К I ( 3 ] *’ Ранство- ПРИ этом поверхность S
\ ( у1 J j / уйдет в бесконечность. Не нарушая
у общностисти рассуждений, можно
______считать, что амплитуды векторов
Рис 531 Ё,,^, Ё2 и Н2 убывают с увеличе-
нием расстояния от источников быстрее,
чем 1/г(см. теорему единственности, доказанную в 2.2). Тогда при
г-^оо левая часть уравнения (5.45) обратится в нуль. Учитывая,
кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних
токов j" отличен от нуля только в объеме Ц, а вектор j"-только
в объеме Уг, получаем
f (5.46)
Ц v2
В полученном выражении Е,-вектор напряженности эле-
ктрического поля, создаваемого в точках объема V2 токами j",
распределенными в объеме И], а Ё2 - напряженность электри-
ческого поля, создаваемого в точках объема токами, проте-
кающими в объеме
Соотношение (5.46) является одной из наиболее общих ма-
тематических формулировок теоремы взаимности.
Выясним некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы.
Предположим, что объемы У, и V? и распределение токов
(jf и j") в них совершенно одинаковы. Из равенства (5.44)
следует, что в этом случае векторы Е, и Ё2 также будут одина-
ковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с
одинаковым распределением токов. Тогда вне зависимости от
того, является ли разделяющее антенны пространство однород-
ным или неоднородным, можно утверждать, что антенна 1 создает
у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1.
На основе теоремы взаимности можно также доказать, что
диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же
форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве
передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев
позволяет существенно упростить решение электродинамических
задач.
При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что
среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является ли-
нейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь
168
линейной, является анизотропной. В этом случае параметры
е и ц (оба или по крайней мере один из них) будут тензорами.
Тогда вместо уравнения (5.44). получаем
div[E1,H2]“div [^.14,] =
= EJ7 -EJ” + 1ш{Ё2||е||Ё1 -Н2||р.||HJ.
Теорема взаимности будет верна только в том случае, если
выполняются равенства
Е1й||Ё2=Ё2||е|Ё1 и hJIhIh, =H2||tL||H1.
Для этого необходимо, чтобы ||е|) и |р| были симметричными
тензорами (enm=Emn, Рпт=Цтп)' Это условие выполняется для
большинства кристаллических сред. Однако в случае гиротропных
сред (например, ферритов) тензор ||ц|| является антисиммет-
ричным (Mnm=-Psie), и разность Н^иЦЙ,-Н^рЦн, оказывается
отличной от нуля. Поэтому для гиротропных сред теорема вза-
имности несправедлива.
169
Глава 6
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
6.1. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ
СРЕДЕ
6.1.1. Переход от сферической волны к плоской
Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое
ЭЭВ в дальней зоне в безграничной однородной изотропной среде
без потерь. Предположим, что векторы Е и Н требуется знать
только в области V, размеры которой малы по сравнению с рас-
стоянием до источника (г0). Введем декартову систему координат
х, у, z, ось Z которой проведена вдоль радиуса-вектора, соеди-
няющего середину вибратора Q с точкой О, принятой за начало
координат (рис. 6.1). В пределах области V можно пренебречь из-
менением амплитуд векторов Ёт и Нт и, кроме того, считать, что
их фазы зависят только от координаты z, т.е. считать, что sin 0/г =
= const, a exp(-i/cr)=exp[-ik(r0+z)]. Вводя обозначение 90i С sin 0/
(2Хг0) = Ео перепишем формулы (5.20) в виде
Ёт =Ё0 exp(-ikz), Hffl =MJexp(-i/<z). (6.1)
Рис. 6.1
В (6.1) учтено,
что векторы Ёт и Hffl
перпендикуля рны
друг другу и направ-
лению распростране-
ния волны (оси Z).
Ориентация векторов
Ёт и Нт относитель-
но осей X и У зависит
от ориентации вибра-
тора, создающего по-
ле. В общем случае
170
эти векторы могут иметь как х-ю, так и у-ю составляющие,
связанные соотношениями
Exm=ZcHym; Eym~-ZcHxm. (6.2)
Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяют-
ся уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, пер-
пендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство
параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким обра-
зом, сферическую волну, создаваемую ЭЭВ, в пределах области V
можно рассматривать как плоскую волну.
Очевидно, аналогичный результат получится и в тех случаях,
когда источником поля являются элементарный магнитный вибра-
тор, элемент Гюйгенса, система таких излучателей и др. При этом
в общем случае между составляющими вектора Ёо по осям X и У
может иметь место фазовый сдвиг.
6.1.2, Свойства плоской волны в однородной изотропной
среде
Исследуем основные свойства плоской волны, распростра-
няющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источни-
ки, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой
области. Поэтому векторы Ёт и Нт удовлетворяют однородным
уравнениям Гельмгольца (2.33) и (2.34) соответственно. Предпо-
ложим, что попе не зависит от координат х и у. Тогда уравнения
(2.33) и (2.34) принимают вид
(d2 Ё„ /dz2) + к2Ёт =0, (d2 Hm /dz2) + *4 = 0, (6.3)
где к = Решая уравнение для вектора Ёт, получаем
Ёт = Ёо exp (- ikz) +Ё, exp (ifcz), (6.4)
где Ёо и Ё, - некоторые векторные, в общем случае комплексные,
постоянные.
Для анализа формулы (6.4) необходимо в параметре к отде-
лить действительную и мнимую части. Ограничимся рассмотрени-
ем случая, когда потери в среде обусловлены только ее проводи-
мостью, т.е. будем считать, что р= р, а е = е (1 - i tg S), где tg 8 =
= о/(со£)-тангенс угла электрических потерь. Полагая к = Re к +
+ ilmk, получаем Rek + ilmk = ca^Ep(1-i tg 8).
171
Возводя в квадрат обе части последнего равенства и разде-
ляя затем вещественную и мнимую части, приходим к системе
двух алгебраических уравнений относительно Re к и Im к:
(Rek)2-(Imk)2 = а2ец; 2(Rek)(lmk)=-со2ец tg 6. (6.5)
Из (6.5) следует, что
2 ______
(Re/c)2=^-(1±7l + tg2S). (6.6)
Так как (Re к)2 не может быть отрицательной величиной, то в
формуле (6.6) нужно выбрать знак"+”. Вводя обозначение
р = “Jy-GjWs+i), (67)
получаем Rek = ±p. Отметим, что р больше величины к в среде
без потерь с теми же значениями е и ц. Аналогично, обозначая
а = ш ^(7l + tg25-1), (6.8)
получаем 1т/с = ±а.
Из (6.5) видно, что Re к и Im к должны иметь разные знаки,
т.е. возможны равенства /c_=p-ia и ^=-р + *“- Следовательно,
входящие в (6.4) функции exp (-i/cz) и exp (i kz) могут быть записа-
ны одним из двух способов; 1) exp(-az)exp(-i pz) и 2) exp(az)exp(i pz).
Рассмотрим волну 1). В момент t = t0 в точке z = z0 фаза напряжен-
ности электрического поля, соответствующего этой волне, равна
Vo=«fo-pzo- В момент t=f0+At в точке z = z0 + Az фаза той же
функции равна у = cotg + coAt - pzo- pAz. Полагая у = приходим к
соотношению со Д t = рдг. Как видно, положительным приращениям
At соответствуют положительные приращения Az. Следовательно,
волна типа ^распространяется в положительном направлении
оси Z.
рассматривая таким же образом фазу напряженности элек-
трического поля волны 2), придем к равенству юд/ =- pAz. В этом
случае положительным At соответствуют отрицательные значения
Az, то есть волна 2) распространяется противоположно оси Z.
Предположим, что источник, создающий электромагнитное
поле, расположен со стороны отрицательных значений z (рис.6.1).
Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматри-
ваемой области пространства должна существовать только волна,
распространяющаяся в положительном направлении оси Z. По-
этому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбо-
ром вида множителя exp(-i kz) следует положить
172
k = p-ia. (6.9)
При выбранном значении к второе слагаемое в (6.4)
описывает волну, распространяющуюся к источнику. Так как среда
является однородной, то Е, = 0. Следовательно, Ёт = Ёо ехр (-ikz) =
= Ёо ехр(-az)exp(-ipz).
Аналогично, из уравнения Гельмгольца для вектора Нт на-
ходим, что Hm = Но ехр (- ikz) = Но ехр (-az) ехр (-i pz), где Но -
некоторый постоянный (в общем случае комплексный) вектор. Не-
посредственно из уравнений Гельмгольца (6.3) дополнительной
информации о векторах Ёт и Нт получить нельзя. Однако век-
торы Ёт и Нт должны удовлетворять уравнениям Максвелла
(1.76). Так как векторы Ёт и Нт не зависят от переменных х и у,
то, проецируя указанные уравнения на ось Z, замечаем, что
Егт = 0 и Нгт = 0. Таким образом, и в случае ст*0 векторы Ёт и Нт
перпендикулярны направлению распространения волны. Такие
волны называют поперечными. Проецируя затем уравнения (1.76)
на оси X и У, приходим к соотношениям кН^ -кН^ =
= юеНрп, из которых следует, что
Но = [z0, Ё0]/2С1 (6.10)
где Zc - характеристическое сопротивление волны (отношение по-
перечных к направлению распространения волны составляющих
векторов Ет и Йт). У волны, распространяющейся в среде с по-
терями, Zc - комплексное число. В рассматриваемом случае
Z =-^-= Е = I р
—с V? Ve(1-itg8)
где
| Zr | = ^cosS/g; = (1/2) arctg tg 8 = 8/2.
(6.11)
(6.12)
В среде без потерь 8 = 0 и |ZC] = Zc = arg Zc = = 0.
Таким образом, поле плоской волны в среде с проводи-
мостью, отличной от нуля, определяется выражениями
Ёт=Ёое-п1е-^,
Ц _ tZ0' Ёо] -uz_-ipz _ [ZQ, Ёд] -az (₽Z+2
* Z. ~ IzJ e
(6.13)
173
В среде без потерь а = 0, р = <о7Ёр = ^ и формулы (6.13)
переходят в (6.1).
При изменении удельной проводимости от нуля до беско-
нечности угол увеличивается от нуля до п/4, а модуль Zc
убывает от Д° нуля. Как видно, наличие потерь приводит к
уменьшению абсолютной величины характеристического сопро-
тивления, т.е. к увеличению |н| при заданном значении |Е|. Это
обусловлено тем, что величина Н определяется как током про-
водимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют
только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е
и е токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи
проводимости.
Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим снача-
ла случай, когда вектор Ёя имеет лишь одну составляющую,
например, Ехт. Тогда вектор Нт также будет иметь одну сос-
тавляющую, перпендикулярную Ёт (в рассматриваемом примере
Нут). Считая вектор Ёо вещественным (Ё0 = х0Е0) и переходя к
мгновенным значениям векторов Е и Н из (6.13) получаем
Ё = х0Е0е““г cos(<ot-pz),
Н = у0 7^те“аг cosfcut-Bz-—
0 ZJ I 2
(6.14)
В случае среды без потерь формулы (6.14) принимают вид
Ё
Е = х0Е0 cos (cot -kz). Н = у0 —-cos (tot-kz). (6.15)
Из полученных формул видно, что поле плоской волны в
однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.
Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ёя, и
Нт)векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном
случае, когда вектор Ёо имеет одну составляющую (например,
Ёо = х0 Ё’о), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения.
Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значе-
ний векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз
определяются уравнением z = const и представляют собой се-
мейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векто-
ров Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z. Постоянную а
называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь а= 0 и
174
Рис. 6.3
амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При о*0
поверхности равных амплитуд (ПРА) совладают с ПРФ. Волны,
обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е
и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При
между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Н
опаздывает по фазе относительно вектора Е на угол Avy = 6/2, В
среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При
изменении о от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает
от нуля до тг/4. На рис.6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных
значений векторов Е и Н от времени t в некоторой фиксированной
точке пространства (z=z0) в среде с ст*0 (см. рис.6.2) и в среде
без потерь (см. рис. 6.3). На рис. 6.4 и 6.5 показаны зависимости тех
же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент
времени t=t0 для случаев ст*О (см.рис.6.4) и о = 0 (см.
рис,6.5).
Фазовая скорость плоской волны находится так же, как в
случае сферической волны (см.5.3). Используя формулу (6.13),
рассмотрим перемещение Az ПРФ за время А/. В результате
придем к равенству wAf = рдг, из которого следует, что при о*0
Рис. 6.4
Рис. 6.5
175
(О и
(6.16)
В среде без потерь tg8 = 0 и уф = ш/к = 1 /-Др, т.е. равна
скорости света в среде с теми же параметрами е и р. Так как
р> /с = ау/щх, то Уф в среде с потерями меньше уф в среде без
потерь с теми же е и р.
Параметр р, определяющий фазовую скорость, называют
коэффициентом фазы. Как видно из (6.16), при о* О фазовая
скорость зависит от частоты (tg 8 = ст/(ше)): с увеличением пос-
ледней она возрастает. Предельное значение уф при ш-юо равно
с = 1/ Тёр- Кроме того, величина уф зависит от проводимости сре-
ды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей
проводимостью.
Длина волны при а * О
X = = — = —, - 1— (6.17)
Re k Р , /ер/ Д ГТТ
H1+t9 5+1J
Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же е и р.
Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной
частоте длина волны X убывает с увеличением ст; при ст = 0 длина
волны X = 2тг/к = 1/(7 7ёр)= C/f= Co/(f 7е 4V ). где со= (I/^EoP?).
Распространение волны сопровождается переносом энергии.
При ст * 0 комплексный вектор Пойнтинга
содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает,
что имеется как активный, так и реактивный поток энергии.
Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально
убывает вдоль оси Z:
П = Re П = z0 е 2аг cos .
(6.19)
При ст = 0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто
действительным и не зависит от координат:
(6.20)
176
Как видно, в этом случае имеется только активный поток
энергии.
Возникновение реактивного потока энергии в среде с
может быть объяснено следующим образом. При распространении
электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с
плотностью j = оЕ, на поддержание которых расходуется часть
энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические
токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плос-
кую волну, которая складывается с первичной, происходит непре-
рывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к
возникновению реактивного потока энергии.
Скорость распространения энергии вычисляется по формуле
(1.162) и равна фазовой скорости:
V, = -^ = -=—- Z° (6.21)
Wcp
Как видно, при а*0 скорость распространения энергии за-
висит от частоты. В среде без потерь v3=v4^ = с одинакова при
любой частоте.
Характеристическое сопротивление волны Zc при о * 0 также
зависит от частоты. Модуль Ze возрастает с увеличением f. Его
предельное значение при Моо совпадает с характеристическим
сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с
теми же е и ц, т.е. равно Zc = Аргумент характеристического
сопротивления изменяется отлМ (при МО ) до нуля (при М).
Из изложенного следует, что свойства плоской волны, рас-
пространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь,
различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь
параметры плоской волны (кф, у3, a, Zc и др.) одинаковы при любых
частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты.
Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а
соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда
может быть диспергирующей и при с = 0, если характеризующие
ее параметры е и ц зависят от частоты.
В общем случае вектор Ёт имеет две составляющие Efm и
Ё между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор
Нт также будет иметь две составляющие Нхт и Н^. Если сос-
тавляющие вектора Ё по осям Хи У (Ех и Еу) изменяются
синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот
12-45 177
случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор Ёт имеет
одну составляющую. При наличии между составляющими Ёхт и
Ёут фазового сдвига, не равного пл, где п - целое число, волна
имеет некоторые особенности, например при а*0 мгновенные
значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными
(см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны
имеют место и в этом случае.
Рассмотрим два частных случая реальных сред; диэлектрики
и проводники.
6.1.3. Волны в диэлектриках
В диэлектриках tg 3<с1, поэтому можно приближенно поло-
жить ^1 + tgz 5 = 1 + 0,6 tg2 8. Применяя дважды это приближенное
равенство к выражению (6.7), получаем
(6.22)
Подставляя (8.22) в (6.16) и (6.17), находим
и* = V, = -j=-----------— - с| 1 --tg2 8 ],
Ф 7^(1 + 0,125 tg2 8) к 8 J
(6.23)
X = -^S^T-ltg2sl (6.24)
р Г \ о J
Аналогично преобразовывается и выражение (6.8) для коэф-
фициента ослабления:
“ = 5 т/ёр tg 8 = • (6 25}
2 2 V е
Из полученных результатов следует, что параметры волны
(р, X,иф, уэ, Zc), распространяющейся в реальном диэлектрике, ма-
ло отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же в и
р. Коэффициент ослабления а является малой величиной и в
первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свой-
ства проявляются незначительно.
6.1.4, Волны в проводниках
В проводниках (например, в металлах) tg8»1. Поэтому в
выражениях для аир можно пренебречь единицей по сравнению с
tg 8. В результате получим
178
a = Р = yhiaa/2 = цст. (6.26)
Постоянные аир нелинейно зависят от частоты. Следо-
вательно, свойства волны на разных частотах будут существенно
различаться. Формулы для фазовой скорости, длины волны и
характеристического сопротивления в этом случае принимают вид
(6.27)
(6.28)
(6.29)
Сравним параметры плоских волн, распространяющихся в
вакууме и в меди (ст = 5,65-107 См/м) на частоте 1 Мгц.
в вакууме:
Уф = Уэ^З-10е м/с;
X = 300 м;
Zc = 120 тс Ом» 377 Ом;
в металле:
Уф = уэя;421 м/с;
Х«4,21-10"* м;
|Ze| »3,74-10"* Ом.
6.1.6. Затухание волн
Коэффициент ослабления а волны, распространяющейся в
проводнике, большая величина. Поэтому амплитуды векторов по-
ля резко уменьшаются вдоль направления распространения: вол-
на быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электри-
ческого поля в точке с координатой z равна Em(z), а амплитуда в
точке с координатой z + £ равна Em(z + £). Отношение
Ет (z)/Em (z+t) = ехр (аг) (6.30)
показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при
прохождении ею расстояния г.
Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). За-
тухание в неперах определяют как натуральный логарифм отно-
шения (6.30) In [Em {z)IEm (z + г)] = аг. Затухание в децибелах оп-
ределяют как двадцать десятичных логарифмов того же отноше-
ния: 20lg [Em (z)/Em (z + г)] = аг-201д е=8,69 аг, т.е. 1 Нп^8,69дБ.
Коэффициент а, таким образом, определяет затухание волны при
прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр
(Нп/м).
12* 179
Вычислим затухание волны, распространяющейся в меди,
при частоте в 1 Мгц. Коэффициент ослабления а = =
74kz'10“7 -5,65 Ю7-10s » 14800 Нп/м. Это означает, например,
что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее
амплитуда уменьшается в е14,в раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона
раз. Приведенный пример показывает, что переменное электро-
магнитное поле на частотах радиотехнического диапазона прак-
тически не проникает в глубь проводника.
6.1.6, Глубина проникновения
Расстояние Д°, при прохождении которого электромагнитное
поле ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля
в среду. На расстоянии Д° ослабление составляет 1 Нп, т.е. аД° = 1
и, следовательно,
Д“ = 1/а = 1/(шд/(1/2) ер (Jl+tg25-1). (6.31)
В случае металла выражение (6.31) упрощается:
Д* =1/7лГМст. (6.32)
Как видно из формулы (6.32), глубина проникновения зависит
от частоты: чем больше частота, тем меньше Д°.
6.2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВО ПН
Ориентация векторов Е и Н относительно осей X и У в плоской
волне, распространяющейся вдоль оси Z, зависит от источника,
создающего волну. Пусть, например, волна создается элемен-
тарным электрическим вибратором, расположенным на оси Z па-
раллельно оси X в среде без потерь. Тогда в области, примы-
кающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых
сферическую волну можно приближенно считать плоской, вектор Е
будет иметь одну составляющую Ех, а вектор Н-только сос-
тавляющую Ну. Поле такой плоской волны в среде без потерь
определяется формулами (6.15). При выводе этих формул пред-
полагалось, что начальная фаза вектора Е (фаза в момент
времени t = 0 в точке z = 0 или что, то же самое, фаза вектора Ёо)
равна нулю. Если начальная фаза равна <р, то формулы (6.15)
принимают вид
Е = х0 Еа cos (cu f-kz+ ф), Н = у0 -у- cos (со t- kz+ <р), где Ео - |е0| . (6.33)
180
Так как векторы Е и Н взаимосвязаны (Н = (1/ZC) [zq, EJ),
ограничимся рассмотрением одного вектора Е. Из формулы (6.33)
следует, что половину периода направление вектора Е совпадает
с направлением оси X, а другую половину периода-проти-
воположно. Таким образом, е фиксированной точке прост-
ранства (z = const) конец вектора Е с течением времени пере-
мещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора
изменяется в интервале [-Ео, Ео]- Волны, обладающие таким
свойством, принято называть линейно поляризованными. Плос-
кость, проходящую через ось Z и вектор Е, называют плоскостью
поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью поляри-
зации является плоскость XOZ.
Если источником волны является элементарный магнитный
вибратор, параллельный оси X, или элементарный электрический
вибратор, параллельный оси Y, то вектор Е имеет только сос-
тавляющую Еу, а вектор Н-только составляющую Нх. Волна в
этом случае также будет линейно поляризованной.
Предположим теперь, что волна создается двумя вибра-
торами, например взаимно перпендикулярными элементарными
электрическими вибраторами, расположенными на оси Z, как по-
казано на рис. 6.6. В этом случае вектор Е имеет две состав-
ляющие Ех и Еу, которые изменяются либо синфазно, либо с не-
которым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между
фазами токов вибраторов. Вектор Н при этом имеет также две
составляющие Нх и Ну, связанные с Ех и Еу соотношениями (6.2).
Аналогичный результат получается, если в качестве источника
волны рассматривать любую другую более сложную систему, из-
лучающую монохроматические электромагнитные волны. Таким
181
Рис. 6.7
образом, в общем случае выражение для вектора
Е плоской волны в среде без потерь записывается
в виде
Е = х0Ехт cos (of - kz + cpi) +
+ y0£ymcos (at-kz +ф2), (6.34)
где Ехт и Еут - амплитуды составляющих Ех и Еу
соответственно, а ф( и ф2-фазы этих состав-
ляющих в точке z = О при f = 0.
Для перехода к случаю среды с отличной от нуля прово-
димостью нужно в (6.34) заменить к на р и положить Ехт =
= E“mexp(-az) и Еут = E°mexp (- az), где Е°т и Е°т -значения
амплитуд составляющих Ех и Еу соответственно в плоскости z= 0.
При этом получим
Е = х0 Е°т е'“гсоз (ш f- р z+ ф1) + у0 Е^, e‘a7cos (и I- р z+ ср2). (6.35)
Формулы (6.34) и (6.35) однотипны, и для дальнейшего
достаточно исследовать любую из них, например (6.35), Волну
(6.35) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских ли-
нейно поляризованных волн с взаимно перпендикулярной ориен-
тацией векторов Е, распространяющихся в одном направлении
(вдоль ochZ). Характер изменения вектора Е волны (6.35) с
течением времени е фиксированной точке пространства зависит
от соотношения между начальными фазами ф1 и фг и от амплитуд
СиЕ^,.
Угол 0 (рис, 6.7) между осью X и вектором Е в фиксированной
точке пространства (z) определяется соотношением
tq 0 = = £^C0S<fi>/~P2+(>)2)
Е, Е°т СО8(<а/-рг+ф1) ‘
(6.36)
Как следует из формулы (6.36), угол 0
зависит от соотношения между и ф2, а
также от отношения Е^,/Е°т. В общем случае
угол 0 может изменяться со временем. Пред-
положим вначале что начальные фазы ф( и фа
совпадают. Полагая в формуле (6.36) ф1 =
Фа = ф, получаем
tq о = E^cos(c>f-pz+<(>) = Е^
E“m cos (mf-pz+ф) Е°т
= const. (6.37)
182
Следовательно, вектор Е, определяемый равенством (6.35) в
любой момент времени, лежит в плоскости, проходящей через
ось Z и составляющей угол 9 = arctg Еут/Еут с плоскостью XOZ
(рис.6.8).
Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда
разность между и ф2 равна целому числу л:
Ф1-ф2 = лтг, где п = 0, ±1, ±2........ (6-38)
В фиксированной точке пространства конец вектора Е с те-
чением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, сос-
тавляющей с осью X угол 9 = (-1)" arctg (Е^/Е^). Таким образом,
волна (6.35) при выполнении условия (6.38) является линейно
поляризованной. Очевидно, что поворотом осей координат X и У
относительно оси Z в этом случае можно добиться того, чтобы
вектор Е в новой системе координат имел только одну сос-
тавляющую Ех или Еу.
Рассмотрим второй частный случай. Пусть амплитуды сос-
тавляющих Ех и Еу равны, а начальные фазы отличаются на л/2
(Е^ = = Ео; ч>1 - ф2 = w/2). Тогда Ех = Ео ехр (- az) cos (cof-
- pz + ф;), Ey= Eo exp (-az) sin (cot-pz+ф!). Подставляя эти
выражения в (6.36), получаем равенство
tg 0 = Еу/Ех = tg (of - pz + ф1),
откуда следует, что
0 = Of - pZ + фт + mn, (6.39)
где т - целое число.
Равенство (6.39) означает, что угол 0 в фиксированной точке
пространства (z) увеличивается пропорционально f. Величина век-
тора Е при этом остается неизменной: |Е| = ^Е, + Е* = Ео.
Таким образом, в фиксированной точке пространства век-
тор Е, оставаясь неизменным по величине, вращается с угловой
частотой о вокруг направления Zo. Конец вектора Е при этом
описывает окружность (рис.6.9, а). Волны такого типа назы-
вают волнами с круговой поляризацией.
Нетрудно убедиться в том, что при Е?т = Е°т = Ео волна будет
иметь круговую поляризацию, если
Ф|-ф2 = ±-^(2п+1), где п = 0,1,2,.... (6.40)
В зависимости от направления вращения вектора Е раз-
личают волны с правой и с левой круговой поляризацией. В случае
183
правой круговой поляризации вектор Е вращается по часовой
стрелке (если смотреть вдоль направления распространения
волны), а в случае левой круговой поляризации - против часовой
стрелки.
В рассмотренном примере (Е°т = Е^, = Ео; ф, -<рг = л/2) вол-
на имеет правую круговую поляризацию. Очевидно, что такая же
поляризация будет и в том случае, если
Еахт=Е°ут-1 ф1-ф2=^(1±4Л), где л = 0,1,2,.... (6.41)
При выполнении условий
Ф1-Фг=-^(1±4л), гдел = 0,1,2... (6.42)
волна имеет левую круговую поляризацию.
Таким образом, вектор Е вращается в направлении от опе-
режающей по фазе составляющей вектора Е к отстающей. На
рис. 6.9, б показана ориентация вектора Е, соответствующего раз-
личным значениям координаты z в фиксированный момент вре-
мени, для случая плоской волны с круговой поляризацией, рас-
пространяющейся в среде без потерь. Линия, соединяющая концы
векторов, является винтовой линией с шагом, равным длине
волны. Ее проекция на плоскость XOY образует окружность
(рис.6.9, а). С течением времени изображенная на рис.6.9, б
винтовая линия, определяющая ориентацию вектора Е в зависи-
мости от координаты z, вращается вокруг оси Z с угловой частотой
о. В случае среды без потерь этот процесс можно трактовать и как
перемещение винтовой линии вдоль оси Z со скоростью
Уф = с = с0/^егц~, где Cq=1/VeoHo _ скорость света в вакууме.
В случае среды с потерями линия, соединяющая концы
векторов Е, вычисленных в один и тот же момент времени в
разных точках оси Z, представляет собой спираль, радиус которой
(расстояние от оси Z до спирали) изменяется вдоль Z по закону
exp (-az).
184
Отметим, что винтовая линия, соответствующая волне с
правой круговой поляризацией, имеет левую намотку, и, наоборот,
в случае волны с левой круговой поляризацией винтовая линия
имеет правую намотку.
Из проведенного анализа следует, что любая волна круговой
поляризации является суперпозицией двух линейно поляризо-
ванных волн. Покажем, что всякую линейно поляризованную волну
можно представить в виде суммы двух волн с круговой поля-
ризацией. Пусть вектор Е линейно поляризованной волны ко-
леблется в плоскости XOZ.
Комплексная амплитуда вектора Е в этом случае имеет вид
Ёт = х0 E°(z) exp(-ipz), (6.43)
где E°(z) = Eoexp(-az)exp(kp), Ёо = const, а постоянные а, р и ф
определены выше. Переход к комплексному вектору Ёт сделан
лишь для сокращения записи и не имеет принципиального
значения. Прибавим и вычтем в правой части формулы (6.43)
вектор iyo0,5E°(z)exp(-ipz). В результате получим
= (х0 + iyo)0,5E°(z)exp(-ipz) + (xo -iyc)0,5E°(z)exp(-ipz).
(6.44)
Первое слагаемое в правой части равенства (6.44) описывает
волну с левой круговой поляризацией, а второе - волну с правой
круговой поляризацией.
В общем случае вектор Е определяется формулой (6.35). В
фиксированной точке пространства он изменяется и по величине,
и по направлению. Найдем форму линии, описываемой при этом
концом вектора Е. Введя обозначение £ = at-kz, получим из (6.35)
следующие соотношения:
ExIExm = COS (^ + (pi) = COS £ COS ф1 - SIB £ Sin фь
(6.45)
EyIEym = cos (£ + ф2) = cos cos ф2 - sin £ sin ф21
где Exm =E“mexp(-az), £ym = E°mexp(-az). Решая систему урав-
нений (6.45), имеем
Е . Е„ . Е Ег
—-*-Sin ф2 - —=-Sin ф, —— COS ф2----^-COS ф1
COS £ = :; sin 4 - ------.
5Ю(ф2 -ф,) Sin (ф2 -ф2)
Возводя обе части этих уравнений в квадрат и почленно
складывая получающиеся выражения, приходим к уравнению
Z / \2
Е I С
\ xm J \
Г Е |( Е I
"Е 2 СО5(Ф1“Ф2) = 3'П2(Ф1-Ф2)-
J
хт
185
описывающему эллипс, большая ось которого
повернута относительно оси X на угол п
(рис. 6.10), определяемый соотношением
2Е° Е°
tg2n = —2^™С05(ф,-фг).
В случае среды с потерями получается
аналогичный результат. Отличие состоит
лишь в том, что величины полуосей эллипса
зависят от координаты z (уменьшаются с
увеличением z).
Таким образом, в общем случае, т.е. при произвольных ди, ф2,
Е°т и в фиксированной точке пространства (?) конец век-
тора Е описывает эллипс. Волны такого типа принято называть
эллиптически поляризованными. Ориентация векторов Е, соот-
ветствующих различным значениям координаты z в фиксиро-
ванный момент времени в среде без потерь, аналогична изо-
браженной на рис. 6.9, б. Отличие состоит в том, что в данном
случае проекция винтовой линии, соединяющей концы векторов Е,
на плоскость ХОYобразует эллипс (рис.6-10).
Очевидно, что линейно поляризованная волна и волна с
круговой поляризацией являются частными случаями эллипти-
чески поляризованной волны. Отметим, что понятие линейной,
круговой и эллиптической поляризации применимо не только для
плоских, но и для других типов волн. Например, сферические
волны, создаваемые в дальней зоне элементарным электрическим
вибратором или элементарным магнитным вибратором, являются
линейно поляризованными. Действительно, в случае ЭЭВ вектор Е
колеблется в меридианальной плоскости, и в любой фиксиро-
ванной точке пространства, принадлежащей дальней зоне, его
направление либо совпадает с направлением вектора 90, либо
противоположно ему. Аналогично в случае элементарного магнит-
ного вибратора вектор Е лежит в азимутальной плоскости, и в
любой фиксированной точке направлен либо так же, как вектор <р0.
либо противоположно ему.
Волны, созданные более сложными излучателями, могут
иметь и круговую, и эллиптическую поляризацию. Например, сфе-
рическая волна, создаваемая в дальней зоне двумя взаимно
перпендикулярными элементарными электрическими вибратора-
ми, токи которых равны по величине и сдвинуты по фазе на л/2, в
направлении, перпендикулярном обоим вибраторам, будет иметь
круговую поляризацию.
При определении поляризации волны до сих пор рас-
сматривался только вектор Е. Очевидно, такой же анализ для
вектора Н привел бы к аналогичным результатам. В общем случае
186
(при произвольных начальных фазах и амплитудах) конец вектора
Н в фиксированной точке пространства с течением времени также
описывает эллипс, подобный эллипсу вектора Е и повернутый
относительно него на угол л/2 (рис. 6.10). В рассмотренных выше
частных случаях линейной и круговой поляризацией этот эллипс
вырождается соответственно в отрезок прямой линии и ок-
ружность.
Отметим, что в тех случаях, когда анализируемая плоская
волна является неоднородной (т.е. когда поверхности равных
амплитуд не совпадают с поверхностями равных фаз), поляри-
зация волны может быть различной в разных точках плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волны (оси Z).
Это объясняется тем, что амплитуда неоднородной плоской волны
зависит от координат х и у и при изменении последних может
изменяться соотношение между составляющими Ех и Еу. Кроме
того, поляризация неоднородной волны, определенная по вектору
Е, может не совпадать с поляризацией волны по вектору Н.
Выясним условие взаимной перпендикулярности векторов Е и
Н плоской волны. В общем случае имеют место соотношения
Е = х0Ехгп (z) cos (of- 0z + q>!) + уаЕут (z) cos (cof - 0z + ф2),
н = Уо {Exm (z) / |ZC|) COS (cof - 0z + ф1 - 5/2) -
- Xq (E^ (z) /1Zc\) cos (oof- 0z + (рг - 5/2).
Перемножая скалярно выписанные выражения для векторов Е
и Н, после несложных преобразований получаем
(Е Н) =
Г 5
cos (ф2 - <р1 + 8/2) - cos I <pi - ф2 + —
= Exm(z)E (2) sjn 5
|Zc| 2 2
Для ортогональности векторов необходимо, чтобы их ска-
лярное произведение было равно нулю. Правая часть равенства
(6.45) обращается в нуль только в следующих частных случаях:
при ф! - ф2 = лтс, где п - 0, ±1, ±2, и при 5 = 0.
Первый случай соответствует линейно поляризованной волне,
а второй - среде без потерь.
Таким образом, в общем случае векторы Е и Н в среде с
потерями не перпендикулярны друг другу. Это вызвано тем, что в
среде с потерями векторы Е и Н изменяются несинфазно.
187
Глава 7
ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА
ДВУХ СРЕД
7.1. ПОЛЕ ОДНОРОДНОЙ плоской волны,
РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ
НАПРАВЛЕНИИ
Ранее рассматривалось распространение электромагнитных
волн в однородных средах, Однако при решении многих практиче-
ски важных задач нельзя считать, что среда является однородной.
На структуру поля и характер распространения волны существен-
но влияет граница раздела сред, обладающих разными свойства-
ми. Попадая на поверхность раздела двух сред, электромагнитная
волна может частично (или полностью) отразиться либо частично
(либо полностью) пройти в другую среду. Кроме того, возможно и
более сложное явление, называемое дифракцией волн (см. гл.8).
Определение поля, возникающего при падении какой-либо
электромагнитной волны на границу раздела двух сред, в общем
случае (при сложной форме поверхности раздела) сопряжено с
большими математическими трудностями. В данном разделе рас-
сматривается простейшая задача такого типа: падение плоской
электромагнитной волны на плоскую бесконечно протяженную гра-
ницу раздела двух однородных изотропных сред. При анализе
распространения плоской электромагнитной волны в неограничен-
ной однородной среде была использована прямоугольная система
координат, одна из осей которой (ось Z) совпадала с направлени-
ем распространения волны.
Для изучения волновых явлений на границе раздела двух
сред систему координат обычно вводят таким образом, чтобы по-
верхность раздела совпадала с одной из координатных поверхно-
стей. При этом в общем случае направление распространения
волны не совпадает ни с одной из координатных осей.
Ограничимся рассмотрением линейно поляризованных волн,
так как волны круговой и эллиптической поляризации можно пред-
ставить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных пло-
188
ских волн (см.6.2). Предполо-
жим, что волна распространяет-
ся в однородной изотропной
среде адоль оси Z', образующей
с осями X, Y, Z прямоугольной
системы координат углы ф*, фу и
Ф2 соответственно (рис. 7.1). По-
ле однородной плоской волны в
среде без потерь (см.6.1) можно
представить в виде
Ёт = Ёоехр (-i/czr),
Hm = Но ехр (- ifcz'). (7-1)
где z' - переменная, определяющая положение точки на оси Z’.
Векторы Ёо и Но не зависят от координат и лежат в плоско-
стях, перпендикулярных оси Z', причем
Ёо =[H0,z0]Zc, (7.2)
где zo'= х0 cos фх + у0 cos фу+ zo cos фг-координатный орт пере-
менной z'. Поверхности равных фаз волны (7.1) образуют семейст-
во плоскостей, перпендикулярных оси Z’, и удовлетворяют уравне-
нию z'= (г, zo') = const, где г - радиус-вектор, проведенный из на-
чала координат до произвольной точки, лежащей на рассмат-
риваемой ПРФ. Для перехода к координатам х, у, z нужно вычис-
лить скалярное произведение вектора г на вектор zo’. Учитывая,
что г = ХоХ + уоу + Zo?, запишем
(7.3)
(7.4)
Z' = X COS фх + у COS фу + Z COS ф?.
Подставляя выражение (7.3) в (7.1), получаем
Ёт = Ёо ехр[-1/((хсо5фж +у со5фу +гсо5ф2)],
Hm = Н0 exp[-i/<(x созфх +у соэфу +гсозфг)].
Если проводимость среды отлична от нуля, то в формуле (7.4)
нужно параметр к считать комплексной величиной, равной к =
= р - iot, векторы Ёо и Но — значениями комплексных амплитуд
векторов Е и Н в начале координат, a Zc в соотношении (7.2) заме-
нить на Zc = ^/ц7е.
Прежде чем перейти к анализу волновых явлений на границе
раздела двух сред, введем некоторые определения. Назовем
плоскость, проходящую через нормаль к поверхности раздела двух
сред параллельно направлению распространения волны, плоско-
189
стью падения, Вектор напряженности электрического поля пло-
ской волны перпендикулярен направлению ее распространения, а
по отношению к плоскости падения может быть ориентирован про-
извольно. Однако, не нарушая общности анализа, можно ограни-
читься рассмотрением двух ориентаций вектора Е, а именно:
вектор Е перпендикулярен плоскости падения (нормально по-
ляризованная плоская волна);
вектор Е параллелен плоскости падения (параллельно поля-
ризованная плоская волна).
Очевидно, что волну с любой Другой ориентацией вектора Е, а
также волны, имеющие круговую или эллиптическую поляризацию,
можно представить в виде суперпозиции двух волн, одна из кото-
рых является нормально поляризованной, а вторая - параллельно
поляризованной,
7.2. ПАДЕНИЕ НОРМАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПЛОСКОЙ
ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
Пусть линейно поляризованная плоская электромагнитная
волна падает на плоскую бесконечно протяженную границу раз-
дела двух однородных изотропных сред, характеризуемых пара-
метрами е,, pi и сг, да соответственно. Введем прямоугольную сис-
тему координат х, у, z так, чтобы плоскость YOZ совпадала с по-
верхностью раздела, а плоскость падения-с плоскостью XOZ.
Угол ср между направлением распространения волны и нормалью к
поверхности раздела будем называть углом падения (рис. 7.2).
В выбранной системе координат направляющие косинусы, оп-
ределяющие направление распространения волны,
cos фх = cos ф; cos фх = 0, cos фг = cos (л/2 - ф) = sin ф. (7.5)
Следовательно, фазовый множитель падающей волны имеет вид
exp[-iki(хcosф + zsinф)], где /ц = <о7EiM?
Предполагается, что падающая волна является нормально
поляризованной. В этом случае соответствующий ей вектор напря-
женности электрического поля (Е°) параллелен оси У. При этом
вектор напряженности магнитного поля (Н“} лежит в плоскости
падения (рис.7.3). Подставляя формулы (7.5) в (7.4) и учитывая,
что в рассматриваемом случае Ёо =у0^(); Но=-(х05|Пф-госозф)х
x(E0/Zc), где Zci = /е1 - характеристическое сопротивление
волны в первой среде, получаем
190
Рис. 7.3
Ё° = у0 Ёо exp [-iJq(xcosср + z sin ср}],
Н°„--(х0 sin ср - z0cos cp)(E0/Zc1} exp [-i/г,(x cos cp + z sin cp}],
(7.6}
где x<0.
Отметим, что постоянная Eo равна значению комплексной
амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля
в начале координат (при х = х = О}. Соответственно векторная
постоянная Ё0 = у0Ё0 равна значению комплексной амплитуды
вектора Е в начале координат.
Из физических соображений очевидно, что падающая волна
может частично (или полностью} отразиться от границы раздела
(х = 0} и частично (или полностью} пройти во вторую среду.
Естественно предположить, что отраженная и преломленная вол-
ны будут плоскими.
Если, исходя из этого предположения, удастся найти поле,
удовлетворяющее граничным условиям
^’1
х=0
и Йт| = Н2т
1т1х=0
1х=0'
(7.7}
где Ё1т,Н1т и E2l,H2t - касательные составляющие векторов ЁиН
в первой и во второй средах соответственно, то это поле будет
решением рассматриваемой задачи.
Граничные условия (7.7} должны выполняться на всей
плоскости х = 0, т.е. при любых значениях переменных у и z. Так
как поле падающей волны (7.6} не зависит от переменной у, то
необходимо предположить, что поле отраженной и преломленной
волн также не зависит от координаты у. Это означает, что векторы,
определяющие направление распространения отраженной и пре-
ломленной волн, параллельны плоскости XOZ. Можно также пред-
положить, что отраженная и преломленная волны являются нор-
191
мально поляризованными (рис.7.3). С учетом сделанных пред-
положений выражения для векторов поля отраженной волны
Ёр1р и Н£р могут быть получены из формул (7.6), если в пос-
ледних заменить Ё£, наЁ^р,Н° наН°„тр,Ё0 наЁ§тр, ср на ср', где ср'—
угол между осью X и направлением распространения отраженной
волны (см. рис.7.2 и 7.3), а Ёдтр - некоторая, пока неизвестная
постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й состав-
ляющей напряженности электрического поля отраженной волны.
Обычно вместо угла ср' рассматривают угол cpi = тг - ср', называемый
углом отражения. Так как n/2<cp'<n, то 0<ср,<п/2. При этом
ЕтР = у0 Ёцт₽ expE-ik^-xcoscpi + zsin cpj],
Н£р = - (х0sin ср1 + z0 cos ср, }(E^/Zc1} exp [- i/гД-х cos ср, + z sin ср,}],
(7.8)
где x < 0.
Поле преломленной волны определяется аналогично:
Ептр - Уо Еопр exp [-ik2(x cos 6 + z sin б)], 1
- • fl'
H^p = -(x0 sin9-z0 cos0}(Eop/Zc2)exp[-ik2(xcos0 + zsin0)],
где x>0; x2=<ojE2p2;0-yron преломления (рис.7.3); Zc2=>/p2/e2 -
характеристическое сопротивление волны во второй среде, а Ёр-
некоторая, постоянная, равная значению комплексной амплитуды
у-Й составляющей напряженности электрического поля прелом-
ленной волны. Ориентация векторов Ёт и Н„, падающей, отра-
женной и преломленной волн показана на рис.7.3. Углы ср, и 0 так
же, как и постоянные и Ё^ подлежат определению.
Граничные условия (7.7) должны выполняться при всех
значениях координаты г. Это возможно только в том случае, если
зависимость векторов Ё и Н от переменной z во всех трех волнах
будет одинаковой. Поэтому необходимо, чтобы
sin cpi = sin ср, (7.10)
к2 sin 0 = ку sin ср. (7.11)
Так как углы ср и ср, заключены в интервале [0, п/2], то из
равенства (7.10) следует первый закон Снеллиуса ср = ср, ("Угол
падения равен углу отражения"). Из равенства (7.11) вытекает
соотношение sin 9/sin ср = kilk2, которое в случае идеальных
однородных изотропных сред выражает второй закон Снеллиуса
("Отношение синуса угла преломления к синусу угла падения
192
равно относительному показателю преломления сред л12"). Дей-
ствительно, коэффициент преломления среды п = с^с, где Со =
= 1/7^7-скорость света в вакууме, а с = 1/Тёр-скорость света
(фазовая скорость волны уф} в рассматриваемой среде). Сле-
довательно, M/k2 =7eiHi = = (с/иф1}/(с/1/ф2) = п,/п2 =
= п12, где i/ф) и 1/ф2- фазовые скорости волны в первой и второй
средах соответственно.
Отметим, что соотношение (7.11) остается верным и в случае
проводящих сред. Пусть, например, первая среда-идеальный
диэлектрик, а вторая обладает проводимостью, отличной от нуля.
Тогда параметр к2 будет комплексной величиной, a /q и угол ср
останутся вещественными. Для выполнения равенства (7.11) при
этом придется считать величину 6 комплексной, не имеющей
простого геометрического смысла (см. 7.6).
Для определения постоянных А и В используем граничные
условия (7.7). Так как поле в первой среде складывается из полей
падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с
полем преломленной волны, то формулы (7.7) принимают вид
(Е°т+Ё^}|^0=ЁХ|Х.0. {Н^^}\х__а=Н^0. (7.12)
Подставляя в эти выражения значения соответствующих
составляющих комплексных амплитуд напряженности электри-
ческого и магнитного полей и учитывая равенства (7.10) и (7.11),
приходим к соотношениям
Ёо+Ё^=Ёопр,
(Ёо - } cos <р = Ёопр cos 9. (7'13}
Как видно, постоянные Ё"₽ и Ё"р пропорциональны Ео:
ЁГ = RA. Ё^=ххЕ0, (7.14)
где Rj_ и х± - коэффициенты отражения и прохождения соответ-
ственно. Их также часто называют коэффициентами Френеля.
Символ 1 означает, что рассматриваются нормально поляри-
зованные волны. Деля обе части уравнений (7.13) на Ёо, получаем
(7.15)
. Z cos 9
1-R ------х
Zc2 cos ф
Решая эту систему уравнений, находим значения коэффи-
циентов Френеля для случая нормальной поляризации:
13-45
193
(7.16)
(7.17)
p Zczcostp-Zc1cos9.
1 Zc2 cos ф+ Zc1 cos0 ’
2Zcgcosq>
1 Zc2coscp + Zc1cos0'
В формулах (7.15) и (7.16) можно исключить угол пре-
ломления 0, выразив cos0 через синус угла падения: cos0 =
= ^1-(^A2)2sin2q>. Указанные формулы справедливы и в том слу-
чае, если одна из сред (или обе среды) обладают проводимостью.
При этом диэлектрическая проницаемость соответствующей среды
будет комплексной величиной, определяемой соотношением
(1.61). Комплексными также будут соответствующие параметры к и
Zc, а следовательно, и коэффициенты и х2.
Как видно из формул (7.14), модуль коэффициента отражения
представляет собой отношение амплитуд напряженностей элект-
рических полей отраженной и падающей волн в точке отражения (в
рассматриваемом случае в любой точке границы раздела сред), а
его аргумент равен разности фаз этих напряженностей в той же
точке. Аналогично определяются модуль и аргумент коэффи-
циента прохождения: в этом случае нужно только вместо отра-
женной волны рассматривать преломленную волну.
В тех случаях, когда проводимостью обладает только вторая
среда, а магнитные проницаемости обеих сред одинаковы, фор-
мулу (7.16) обычно записывают в несколько иной форме. Пусть,
например, первая среда - воздух (ei = £0), тогда выражение (7.16)
может быть переписано в виде
р sin т|-^гг - cos2 л
sin п + ^er2 -cos2ri
где г, = л/2 - ср - угол между направлением распространения па-
дающей волны и плоскостью раздела; Ег2 = £5/£0=£гг-[1а2/(шЕ0)] =
= Еп - i60Xa2 - комплексная относительная диэлектрическая прони-
цаемость второй среды.
Для расчета электромагнитного поля, возникающего в ре-
зультате падения на плоскую границу раздела двух сред нор-
мально поляризованной плоской волны в первой среде, дос-
таточно сложить поля, определямые формулами (7.6) и (7.8). При
этом в формулах (7.8) нужно заменить ср? на ср и учесть со-
отношение Во второй среде искомое поле совпадает
с полем преломленной волны и может быть рассчитано по фор-
мулам (7.9), в которых нужно учесть равенство В = х1Е0 и второй
закон Снеллиуса (7.11).
194
7.3. ПАДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ
ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
Предположим теперь, что волна, падающая на границу раз-
дела (х = 0), является параллельно поляризованной. В этом
случае вектор напряженности электрического поля падающей
волны Ё° параллелен плоскости падения (у= 0), а вектор напря-
женности магнитного поля Н° ей перпендикулярен (рис.7.4}.
Анализ этого случая можно провести по аналогии с уже рас-
смотренным случаем нормальной поляризации или на основе
перестановочной двойственности уравнений Максвелла (см. 2.6).
Используем второй путь.
Формулы, определяющие поле падающей волны, получаются
из формул (7.6), если в последних в соответствии с пере-
становочной двойственностью уравнений Максвелла заменить
Ё“ на Н°>Н° на Ё°, Z& на {-1/ZC1}, а Ёо на Но = E0/Zc1. В резу-
льтате имеем
Ё£, = (х0 sin ср - z0 cos Ф) Ёо exp [-iJq(x cos Ф + z sin Ф)],1
Н° =y0E0/Zc1 expI-i/сДх cos ф+z sin q>}]. j
(7.19}
Векторы поля отраженной волны находятся из формул (7.8) путем
замен Ё^3 на Н°ттр, на Ё^, Ё^р на Eg*/Zc1 и Z& на (-1/2^}:
Ё^” = (х0 sin9 + z0 cos ср} Ё^ exp[-i/c1(-xcos9+zsin9)],
£ tnp
н7 = У о ехр [-i/сД-х cos Ф + z sin Ф}].
При записи выражений {7.19} учтено, что ф1 = ф.
Производя соответствующие замены в формулах (7.9), на-
ходим векторы поля преломленной волны:
Ё^р = (х0 sin9-z0 cos6} Eqp exp[-i/c2(xcos9 + zsin9}],
Н^р = Уо exp [- i к2(х cos 9+z sin 9)].
(7.20}
Выражения для коэффици-
ентов Френеля Ri и xi в случае
паралелльной поляризации могут
быть получены непосредственно
из формул (7.16} и {7.17}, соот-
ветствующих нормальной поляри-
зации. Для упрощения изложения
величины Ёо, Ё^, относящие-
ся к случаям нормальной и парал-
лельной поляризаций, будем обо-
13*
195
значать соответственно через Ёо±, Ё"£, Ё^ и Ёо11, Ё^, Ё^.
Такие же индексы используем для обозначения амплитуд
напряженностей магнитных полей падающей (Но), отраженной
(Н^) и преломленной (Hg’} волн.
По определению RL- Ё^/Ёа1. При использовании переста-
новочной двойственности уравнений Максвелла правая часть это-
го равенства принимает вид Коэффициент отражения в
случае параллельной поляризации Яц = Ё^7Ёоц.Так как посто-
янные Ё^ и Еоц связаны с и HQ]] соотношениями Ё^ =
= ИЁ0„.2„Н0„.ТО
corp 7 Д40ТР
р _ coll _ |£с1по|| _ по|I
И р 7 ц и '
С0|| ‘^v’oll п0|!
Последнее выражение совпадает с полученным из RL на
основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла.
Поэтому для определения Rj достаточно в правой части формулы
(7.16) сделать указанные выше замены. В рассматриваемом
случае нужно заменить Zc1 на (-1/Zc1) и Zc2 на (-1/Zc2). В результате
получим
Z^cosep-Z^osQ }
" Zc1 COS(p + Zc2 COS 0
Коэффициент прохождения для нормально поляризованных
волн х± = Ё^/Е01 При использовании перестановочной двойствен-
ности уравнений Максвелла правая часть последнего равенства
преобразуется в отношение Коэффициент прохождения
для параллельно поляризованных волн
Ё"? ZC2H^ Z
j/.| _ pl! _ Oil ClI
co 7 Ljo ~ uo 7 '
coii ‘£-cino|i ^al! ci
т.е. отличается от отношения множителем Zc2/Zcl. Сладо-
вательно, для нахождения Иц нужно в формуле (7.17) для х±
заменить Zc1 на (-1/Zc1), Z^ на (-1/Zc2), а получающееся выражение
умножить на Zc2/Zc:. В результате приходим к формуле
хц 2Zc2coscg (7.22)
Zc1 COSq> + Zc2 COS0
196
Как видно, коэффициенты Френеля Rn и Хц существенно
отличаются от коэффициентов R± и х± соответственно, т.е. от-
ражение волны от границы раздела и прохождение во вторую
среду зависят от поляризации падающей волны.
Отметим, что сделанное выше замечание о коэффициентах
R± и Xi в случае, когда одна из сред (или обе среды) обладает
проводимостью, в полной мере относится и к коэффициентам Rj и
хц. Если магнитные проницаемости сред одинаковы, а проводи-
мостью обладает только вторая среда, формулу (7.21) обычно
записывают в несколько иной форме. Например, если первая
срада - воздух (ег1 = 1), выражение (7.21) принимает вид
_ sin л - Jg.a - cos2 т| я
Rn - —— =, t] = —-q>.
er2 sin r| + ^gf2 - cos t| z
Очевидно, что для расчета поля в первой среде достаточно
сложить поля, определяемые формулами (7.18) и (7.19), и учесть,
что =R||E0|]. Поле во второй среде совпадает с полем пре-
ломленной волны и может быть рассчитано по формулам (7.20), в
которых нужно учесть, равенство Е^₽=хцЕо|| и второй закон
Снелл иуса.
В случае нормального падения плоской волны теряет опре-
деленность понятие плоскости падения и, следовательно, исче-
зает различие между нормально поляризованными и параллельно
поляризованными волнами. Так как в этом случае ф = 0 и 0 = 0, то
коэффициенты Френеля принимают вид
О - - ^c2~^d - V. _v„_ 2Zc2
" rtll “ 7 .7 *=* =--------=—
ZC2+Zc1 Zc2+Zc1
7.4. ПОЛНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНЫ ВО ВТОРУЮ СРЕДУ
При определенных условиях падающая волна без отражения
полностью проходит во вторую среду. Угол падения, соответ-
ствующий этому случаю, называют углом Брюстера. Условия, при
которых отсутствует отраженная волна, могут быть установлены
путем решения уравнений R±=0 и Ri=0 относительно угла
падения ф. В "частном случае, когда обе среды являются немаг-
нитными диэлектриками, угол Брюстера фБр легко находится из
физических соображений.
Пусть параллельно поляризованная волна падает на плоскую
границу раздела двух немагнитных диэлектриков (е1*е2, щ=Н2 =
197
падающая
водна
отраженная
волна
Рис. 7.5
= цо). Под воздействием поля
преломленной волны вторая
среда поляризуется: дипольные
моменты молекул второй среды
ориентируются параллельно ве-
ктору напряженности электри-
ческого поля преломленной во-
лны (рис.7.5).Упорядоченно ори-
ентированные молекулярные ди-
поли второй среды излучают
электромагнитные волны, супер-
позиция которых и образует в
первой среде плоскую отражен-
ную волну. Молекулярный ди-
поль (его можно считать элементарным электрическим вибра-
тором) не излучает вдоль своей оси. Следовательно, отраженная
волна не сможет возникнуть, если оси упорядоченно ориенти-
рованных молекулярных диполей будут параллельны направ-
лению, в котором должна распространяться отраженная волна.
Указанная ориентация молекулярных диполей имеет место при
выполнении условия <р + 6 = л/2, из которого следует, что costp =
= sin 0 = sin ср = ^/ez sin ср или tg <р = Jez/e1. Таким обра-
зом, в рассматриваемом случае щ = цг) плоская парал-
лельно поляризованная волна целиком проходит во вторую среду
при угле падения
<р = фер = arctg ^e2/e7 = arctg 7^г2/ег1 . (7.23)
В случае нормальной поляризации молекулярные диполи
ориентируются перпендикулярно плоскости падения и, следова-
тельно, перпендикулярно направлению распространения отражен-
ной волны. Перпендикулярно своей оси молекулярный диполь
(ЭЭВ) излучает одинаково во всех направлениях. Поэтому в
данном случае угла Брюстера не существует: от границы раздела
двух немагнитных диэлектриков (еи*Е/2, рг1 = ц12=1) нормально
поля-ризованная волна отражается при любом угле падения.
Используя перестановочную двойственность уравнений Макс-
велла, легко показать, что в случае сред, у которых щ а е, = e2i
отражение отсутствует при падении нормально поляризованной
волны под углом
Ф = arctg ТрТЛц = arctg /цг1.
Параллельно поляризованная волна в этом случае отра-
жается при любом угле падения.
198
Анализ возможности полного прохождения волны во вторую
среду в более общем случае, когда и е, # ег, и щ ф может быть
проведен на основе решения уравнений RL = 0 и R» = 0 относи-
тельно COS ф.
Плоские волны круговой и эллиптической поляризации
(см.6.2} можно представить в виде суперпозиции двух линейно по-
ляризованных плоских волн, одна из которых поляризована нор-
мально, а другая - параллельно плоскости падения. Так как
условия существования угла Брюстера для параллельной и
нормальной поляризаций различны, то волны с круговой и
эллиптической поляризациями будут отражаться при любых углах
падения (0 < ф < л/2). Однако при этом соотношение между ампли-
тудами нормальной и параллельной составляющих в отраженной
и преломленной волнах будет иным, чем в падающей волне. Это
приводит к изменению поляризации отраженной и преломленной
волн по сравнению с падающей. В частности, если плоская волна с
круговой поляризацией падает под углом Брюстера для одной из
двух образующих ее линейно поляризованных волн, то отра-
женная волна оказывается линейно поляризованной, а прелом-
ленная - эллиптически поляризованной.
7.5. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА
ДВУХ СРЕД
7.5.1. Две диэлектрические среды
Определим условия, при которых в случае падения плоской
электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух
идеальных диэлектриков отсутствует преломленная волна, т.е.
имеет место полное отражение. Угол преломления 0 может из-
меняться от нуля до к/2. Значение 0 = л/2 является предельным.
Назовем угол падения ф = фкр при котором 0 = л/2, критическим
углом. Полагая во втором законе Снеллиуса 0 = тг/2, получаем
51пфкр=М(1. (7.24)
Так как sin ф^, не может быть больше единицы, полученное
равенство возможно лишь в том случае, если кг<к1, т.е. при
условии, что вторая среда является оптически менее плотной, чем
первая (л2< яД
При углах падения, больших критического, по-видимому,
должно иметь место полное отражение, т.е. по абсолютной
величине коэффициент отражения должен быть равен единице.
Проверим это предположение.
199
Из равенства (7.24) следует, что критический угол падения
Фкр = arc sin (k2/ki). (7.25)
Второй закон Снеллиуса (7.11) справедлив при любых углах
падения tp. Однако при tp > <ркР синус угла преломления
sin 0 = (kylk2) sin tp (7 26)
становится больше единицы. Этого не может быть при веще-
ственных значениях угла 0. Предположим, что угол 0 является
комплексным: 0 = 4 +ip. Тогда sin 0 = sin (4 + ip) = sin 4 ch p +
+ i cos 4 sh л, и для того, чтобы выполнялось условие sin 0> 1,
достаточно считать 4 = (л/2)(2п+1), где л = 0, ±1; ±2,.... При этом
sin 4 = 1, cos 4 = 0, a sin 0 = ch р > 1 при любом р * 0.
Так как sin 0 > 1, то cos0 оказывается чисто мнимой вели-
чиной. При этом коэффициенты отражения Rx и Rj, определяемые
формулами (7.16) и (7.21), выражаются как {а + ib)l{a + id), где а и
Ь —действительные числа. Следовательно, по абсолютной
величине Rx и Rn равны единице и могут быть представлены в
форме
R, = е'ч,±; R^e^1. (7.27)
Это означает, в частности, что средняя плотность потока
энергии одинакова в падающей и отраженной волнах.
Таким образом, для возникновения полного отражения необ-
ходимо выполнение двух условий:
вторая среда должна быть оптически менее плотной по срав-
нению с первой {к2 < кг или п2 < nft
угол падения должен быть больше критического (ср > tpKp).
Выпишем выражения для поля в первой среде для случая
нормальной поляризации. Сложим поля (7.6) и (7.8) и учтем, что в
рассматриваемом случае R±= exp (i фх). Положим в (7.8) tpt = tp и
вынесем за скобки exp (i 4^2) и используя формулы Эйлера,
получаем
Ё1т = y02E0cos^1xcoscp + -^L^exp^i^^exp(-i/flzsin tp), (7.28)
=-x0^sin
. 2Ё0
-IZ0—^-COStpS
где х < 0.
Аналогично записывается поле в первой среде в случае
параллельно поляризованных волн. Очевидно, что в этом случае
200
tpcos /г/cos Фjexpl i-y-jехР(“ isin ф) -
in I /г/ cos tp + exp I i j exp (-i ^z sin tp), (7.29)
вектор Ё1л} будет иметь две составляющие Е1тх и Elmz, а вектор
Н1ГО -только составляющую Н1ту.
Из полученных формул следует, что в первой среде элект-
ромагнитное поле имеет структуру плоской волны, распрост-
раняющейся вдоль поверхности раздела (вдоль оси Z), и пред-
ставляет собой направляемую волну, направление распростра-
нения, которой определяется (направляется) границей раздела.
Поверхности равных фаз образуют семейство плоскостей, пер-
пендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н зависят от
координаты х и угла падения ф. Поверхности равных амплитуд
образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси X. Так как
ПРА и ПРФ не совпадают друг с другом (они образуют взаимно
перпендикулярные плоскости), то волна является неоднородной
плоской волной.
В отличие от плоской волны, свободно распространяющейся в
безграничной однородной изотропной среде и всегда являющейся
поперечной, в рассматриваемой волне имеются продольные (па-
раллельные направлению распространения) составляющие векто-
ров поля. В случае нормальной поляризации вектор Н имеет как
поперечную Нх, так и продольную Hz составляющие, а вектор Е
целиком лежит в поперечной плоскости. В случае параллельной
поляризации, наоборот, вектор Е имеет и продольную Ez, и
поперечную Ех составляющие, а вектор Н целиком лежит в
поперечной плоскости.
Фазовая скорость рассматриваемой волны
sin ф) = z0sin ф) (7.30)
больше фазовой скорости волны, распространяющейся в одно-
родной среде с параметрами е1т щ (иф1 = = 1/ = cj, но
меньше, чем фазовая скорость волны, распространяющейся в
однородной среде с параметрами е2, ц2 (ифг= ®1к2 = 1/7^7 = сг).
Действительно, так как к^ sin <р = к2 sin 0, причем 0 < sin <р < 1, а
sin 0 > 1, то выполняются неравенства /г, > к, sin ф > к2, из которых
следует, что
®/к, < оЦк, sin ip) < alk2 или с1<иф<с2. (7.31)
Из формулы (7.30) видно, что фазовая скорость уменьшается
с увеличением угла падения. Ее минимальное значение при ф->л/2
равно скорости света в первой среде.
Длина волны А.г вдоль направления распространения (оси Z)
или (что то же самое) длина рассматриваемой направляемой
волны Л вычисляется по формуле
201
Л = X2 = 2п/(к\ sin <p). (7.32)
Она больше длины волны, свободно распространяющейся в
первой среде = 2nlk\, но меньше, чем длина волны, свободно
распространяющейся во второй среде Л2= 2к/к2, т.е.
/Ц < А < к2-
(7-33)
Изменение составляющих векторов Е и Н в первой среде
вдоль любой линии, перпендикулярной поверхности раздела {т.е.
параллельной оси X), имеет характер стоячей волны (рис.7.6) с
длиной
Л.х = 2л/(/г, cos ф). (7-34)
Поперечные составляющие векторов Е и Н изменяются синфазно.
Продольная составляющая вектора Н {или Е) сдвинута по фазе от-
носительно поперечных составляющих векторов Е и Н на ^2.
Комплексный вектор Пойнтинга определяется выражением
П = — [Е, Н] = z0 —sin tp cos2 (к.х cos ф+— ±
Е2 1-1
±ixo—£~С05ф51п{2/Г1ХС03ф+ф), Ео = Е .
Ая
(7.35)
Здесь знак "+" соответствует случаю нормальной поляри-
зации, а знак - параллельной поляризации. Постоянная ф в
зависимости от типа поляризации падающей волны равна фХ или
Фи. Из (7.35) следует, что комп-
лексный вектор Пойнтинга имеет две
составляющие /7Х и /7Г, сдвинутые
по фазе на л/2.
Среднее значение вектора Пой-
нтинга
Рис.7.6
Пср=ПеП =
2ЕЗ 2(.
= z0——sinфCOS ^ХСОЗф-Н— .
Zei I 2)
(7.36)
Следовательно, в среднем эне-
ргия распространяется только в на-
правлении оси Z, т.е. вдоль пове-
рхности раздела. В направлении, пе-
рпендикулярном поверхности разде-
ла, существует только реактивный
поток энергии.
202
Имеется бесчисленное множество плоскостей, перпендику-
лярных оси X, на которых касательная к ним составляющая
напряженности электрического поля (Еу в случае нормальной и
в случае параллельной поляризаций) и нормальная составляющая
напряженности магнитного поля тождественно равны нулю (см.
рис.7.6). Точки пересечения этих плоскостей с осью X опреде-
ляются из уравнения cos (к-.х cos <р + \р/2) = 0, где у равно-yiили V»
в зависимости от поляризации волны. Например, в случае
нормальной поляризации
хп . п = 0,1,2,3...xrt<0. (7.37)
2 k, cos ф
На таких плоскостях (см. рис.7.6) векторы Е и Н автома-
тически удовлетворяют условиям, эквивалентным граничным
условиям на поверхности идеально проводящего металла. Кроме
того, поток энергии (как активный, так и реактивный) через эти
плоскости тождественно равен нулю {Пг = 0). Это означает, в
частности, что, если бы одна из этих плоскостей (например, х = х„)
действительно была идеально проводящей, то структура поля над
этой плоскостью, т.е. при х„> х > - », осталась бы прежней.
Средняя скорость распространения энергии направлена вдоль
оси Z. Для ее определения выделим в поле рассматриваемой
волны энергетическую трубку (см. 1.8.5), через боковую поверх-
ность которой поток энергии в любой момент времени равен нулю.
Например, в случае нормальной поляризации в качестве такой
трубки можно выделить объем, заключенный между двумя сосед-
ними плоскостями, которые определяются уравнением (7.37). Этот
объем может быть произвольно протяженным вдоль оси У. Так как
в пределах поперечного сечения этой трубки значения вектора
Пойнтинга П и объемной плотности электромагнитной энергии w
зависят от переменной х, то для вычисления скорости переноса
энергии нужно воспользоваться формулой (1.161). При этом по-
лучим
/^+1
v3= Jn^cfx / jw^Ox, (7.38)
где Пер и wcp-средние за период значения вектора П и w
соответственно. Вычисляя входящие в это выражение интегралы,
получаем
v3 - *2— sin ф. (7-39)
Таким образом, скорость распространения энергии меньше
скорости света в первой среде.
203
Из формул (7.30) и (7.39) следует, что произведение фазовой
скорости на скорость распространения энергии равно квадрату
скорости света в первой среде:
УфУэ = 1/eini = сЛ (7.40)
Перейдем к анализу свойств поля, возникающего во второй
среде. В случае нормальной поляризации векторы Ё2т=Ё^ и
Н2т = Н"т₽ определяются формулами (7.9). Так как при полном
отражении от границы раздела двух диэлектриков cos 0 является
мнимой величиной, удобно ввести обозначение
/r2cos0=-ia, (7.41)
где
a = -]к, siп2<р - к?. (7.42)
Подчеркнем, что параметр а при <р > <pxp является дейст-
вительным числом.
Знак при ia в формуле (7.41) выбран из физических
соображений (при выборе знака "+" амплитуда поля во второй
среде с удалением от границы раздела вдоль оси X будет воз-
растать до бесконечности, что невозможно).
Учитывая равенство (7.41) и соотношение (7.11), перепишем
формулы (7.9) в форме
Ё2я,=у0ЕаХ1е-Ле-^пЛ
Н2я) =-|х0 sirup+iz0—j e~a*e~i*1“i,\ хйО. ^7'43^
Формулы для поля параллельно поляризованной волны за-
писываются аналогично и могут быть получены из выражений
(7.43) на основе перестановочной двойственности уравнений
Максвелла.
Из формул (7.43) следует, что во второй среде электро-
магнитное попе имеет структуру плоской неоднородной волны,
распространяющейся вдоль оси Z. Поверхности равной фазы
(z = const) и равной амплитуды (х = const) взаимно перпен-
дикулярны. Фазовая скорость и длина волны А = А.г такие же, как в
первой среде, и определяются формулами (7.30) и (7.32) соот-
ветственно. Имеются продольные составляющие векторов поля
(/7г в случае нормальной поляризации и Ег в случае параллельной
поляризации). Продольные составляющие сдвинуты по фазе от-
носительно поперечных на тУ2.
Вектор Пойнтинга имеет две составляющие П, и /7*. При
этом составляющая /7, является вещественной, а составляющая
204
Пх - чисто мнимой. Это означает, что во второй среде так же, как в
первой среде, энергия в среднем распространяется только в
направлении оси Z. В направлении, перпендикулярном поверх-
ности раздела, существует только реактивный поток энергии.
Амплитуды векторов поля экспоненциально убывают с уда-
лением от поверхности раздела (см. рис.7.6).. Постоянная а
определяющая скорость этого убывания, зависит от угла падения
ф. При tp = фкр постоянная а равна нулю. При изменении угла ф от
Фкр до л/2 постоянная а возрастает от нуля до ^kf-k?. Таким
образом, при ф > фкр волна во второй среде фактически существует
лишь в некотором слое, примыкающем к поверхности раздела, и
распространяется вдоль границы раздела. Такая волна назы-
вается поверхностной.
Для вычисления скорости распространения энергии нужно
выбрать энергетическую трубку, на боковой поверхности которой
нормальная составляющая вектора Пойнтинга равна нулю. В
качестве такой трубки в рассматриваемом случае нужно выбрать
объем, протяженный по оси X от х=оо до первой плоскости, на
которой составляющая Пх равна нулю. Эта плоскость рас-
положена в первой среде и пересекает ось X в точке х=
= (я-ф)/(2/г1созф), определяемой из уравнения 51п(2й’1созф+ф) = 0,
где ф равно фХ или фц в зависимости от поляризации падающей
волны. Вычисляя v3 по формуле (1.161), получаем, что скорость
распространения энергии во второй среде имеет такое же
значение, как и в первой, т.е. определяется выражением (7.39).
7.5.2. Диэлектрик и идеальный проводник
Все выводы данного раздела получены в предположении, что
обе среды являются идеальными диэлектриками. Тем не менее
полученные выражения позволяют также исследовать случай,
когда первая среда-диэлектрик, а вторая-идеальный про-
водник. Как уже отмечалось, Zc для идеального проводника равно
нулю. Поэтому для перехода к случаю падения плоской волны из
диэлектрика с параметрами е и р на плоскую идеально прово-
дящую поверхность нужно в окончательных формулах положить
Zcz = 0. При этом
R, = -1, 7 . = 0, ф, = л,
R„=1. z,s-o. ¥|,-0 <7'44’
при любом угле падения ф. Следовательно, полное отражение от
поверхности идеального проводника имеет место при любых углах
205
падения. Поле во второй среде тождественно равно нулю, а в
первой представляет собой направляемую волну, распростра-
няющуюся вдоль границы раздела (вдоль оси Z).
На границе раздела (при х = 0) в рассматриваемом частном
случае должно выполняться граничное условие Ё„,у|,=0 =0- Легко
убедиться что оно выполняется. Действительно, подставляя (7.44)
в (7.37) и полагая л = 0, получаем хо = 0. Это означает, что первая
плоскость, на которой Ету = 0, совпадает с границей раздела.
Фазовая скорость, длина волны Л и скорость распространения
энергии в этом случае такие же, как при полном отражении от
границы раздела двух диэлектриков, и определяются формулами
(7.30), (7.32) и (7.39) соответственно. Структура поля вдоль оси X
также имеет характер стоячей волны с длиной КХ! определяемой
выражением (7.34).
7.6. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ
ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Пусть плоская волна падает под углом ф на плоскую границу
раздела двух сред, из которых первая - идеальный диэлектрик, а
вторая обладает проводимостью. Общие формулы, определяю-
щие поля падающей, отраженной и преломленной волн, можно
использовать и в этом случае, если считать в них параметры к2 и
Zc2 комплексными величинами. Из второго закона Снеллиуса (7.11)
следует, что при этом sin 0 становится комплексным, так как и
sin <р - действительные числа, ак2 = кг комплексная величина.
Это означает, что параметр 0 нельзя рассматривать как
геометрический угол, под которым распространяется прелом-
ленная волна. Введем обозначения
кг sin 0 = к) sin ф = р
П—i—Т- (7.45)
к2 cos0 = yjk;, -kf sin ф = рх — tot,
где а, рх и pz - действительные числа.
Выпишем формулы для поля во второй среде, ограничиваясь
случаем нормальной поляризации:
Ё2т=УоНоХ1е““^^г), 1
HZm=-[x0Pz-z0(px-ia)]^e-axe-^^4 х>0. (7'4б)
K2Zc2
Как видно, ПРФ и ПРА волны (7.46) не совпадают; они
описываются уравнениями
Х’Рх + *pz = const (7.47)
206
и х = const соответственно. Сле-
довательно, волна (7.46) явля-
ется неоднородной плоской во-
лной. Направление распрост-
ранения этой волны образует
некоторый угол 0Д с осью X,
который называют истинным
(или действительным) углом
преломления (рис.7.7). Поверх-
ности равных фаз представляют
собой параллельные плоскости,
нормаль к которым образует с
осями X и Z углы 0Д и тг/2 - 0Д
соответственно. Уравнение, оп-
падающая
отраженная
волна волна
Рис.7.7
ределяющее такие плоскости, может быть также записано в виде
х cos 0Д + z sin 0Д = const. Сравнивая это равенство с уравнением
(7.47), находим, что
tg е 3 , —2 sin 9 /q sin ф
л Рх Re(£2cos0) Re ^2 -к, sin2<p
(7.48)
Отметим, что в рассматриваемом случае ПРФ повернуты
относительно ПРА на угол 0Д (см. рис.7.7).
Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают в
направлении нормали к поверхности раздела (вдоль оси X).
Имеется продольная по отношению к направлению распростра-
нения преломленной волны составляющая вектора Н (в случае
нормальной поляризации) или продольная составляющая вектора
Е (в случае параллельной поляризации).
Поле в первой среде складывается из падающей и отра-
женной волн и не имеет принципиальных отличий от поля, воз-
никающего при отражении волны от границы раздела двух ди-
электриков.
Аналогичные результаты можно получить, анализируя случай
параллельной поляризации.
Практически важным является случай, когда вторая среда
оптически намного плотнее первой;
Н2]»|Ч <7-49)
Частным случаем таких сред являются хорошо проводящие
среды (металлы). У металлов | /г2|» Так как удельная про-
водимость аг велика, то условие (7.49) практически всегда вы-
полняется. С учетом этого условия из (7.48) получаем, что
tg 0Д~О или 0д=О.
207
Это означает, что при любом угле падения ф на поверхность
хорошо проводящей среды преломленная волна распространяется
практически вдоль нормали к поверхности раздела. Поверхности
равных фаз и поверхности равных амплитуд при этом практически
совпадают, и волну можно считать однородной. Продольная по
отношению к направлению распространения составляющая век-
тора Н (или, в случае параллельной поляризации, вектора Ё)
будет пренебрежимо мала по сравнению с поперечной состав-
ляющей. Можно считать, таким образом, что волна является
поперечной, причем векторы Е и Н, в ней сдвинуты по фазе друг
относительно друга на угол ф = 3/2 ® л/4 (см.6.1). Иными словами,
при анализе плоской волны, возникающей в результате пре-
ломления на поверхности хорошо проводящей среды, можно
использовать все основные соотношения, полученные в 6.1.4 при
исследовании свойств плоской волны, свободно распростра-
няющейся в хорошо проводящей безграничной однородной изо-
тропной среде.
Подчеркнем, что амплитуды векторов Е и Н преломленной
волны в металле быстро убывают с удалением от границы
раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое
вблизи поверхности раздела.
7.7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Л ЕОНТОВ ИЧ А-ЩУКИ Н А
. Задача определения поля в присутствии металлических тел с
конечной проводимостью имеет большое значение. Ее решение
часто можно упростить введением приближенных граничных ус-
ловий Леонтовича-Щукина. В отличие от обычных граничных
условий, связывающих значения составляющих поля на границе
раздела в разных средах, граничные условия Леонтовича-Щукина
выражают связь между составляющими векторов Ё и Н в одной
среде.
В 7.6 было показано, что при выполнении условия (7.49)
плоская волна, падающая под любым углом ф на границу раздела
двух сред, возбуждает во второй среде плоскую волну, рас-
пространяющуюся практически вдоль нормали к поверхности раз-
дела. Так как ПРФ и ПРА такой волны практически совпадают, то
ее можно считать однородной. При этом должны выполняться
соотношения
E2=Zc2[n0.H2L (7.50)
где п0 - единичная нормаль, внешняя к плотной среде.
208
Так как предполагается, что волна во второй среде рас-
пространяется перпендикулярно границе раздела, то векторы Ё2 и
Н2 должны быть параллельны последней, т.е. Ё2 = E2t и Н2 = Н2т..
Разные индексы (т и т') у векторов Ё2 и Н2 подчеркивают, что
проекции векторов Ё2 и Н2 на плоскость раздела не совпадают по
направлению. На границе раздела касательные составляющие
векторов Ё и Н непрерывны (E2t =E1t и Н2т. = Н1т.). Следовате-
льно, в формуле (7.50) вектор Ё2, равный Ё2т, можно заменить на
E1tl а вектор Н2 = Н2т.-на H1t. При этом соотношение (7.50) при-
нимает вид
E1t=Zc2[n0,H,,]. (7.51)
В формуле (7.51) можно вместо вектора Hlt. ввести полный
вектор напряженности магнитного поля в первой среде у границы
раздела Н^Н^+Н^, так как векторное произведение [п0,Н1п]
тождественно равно нулю. Таким образом, получаем окончатель-
ное выражение
E1t=Zc2[n0,HJ. (7.52)
Соотношение (7.52) называют приближенным граничным
условием Леонтовича-Щукина. Из него следует, что на поверх-
ности реального проводника касательная составляющая напря-
женности электрического поля отлична от нуля. Отметим, что
граничное условие Леонтовича-Щукина в предельном случае
ст2->-аэ совпадает с обычным условием Еи=0, которое должно
выполняться на поверхности идеального проводника.
Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо
проводящей среды мало, то и касательная составляющая вектора
Е на поверхности такой среды будет мала. Однако она определяет
нормальную к поверхности проводника компоненту вектора Пойн-
тинга, т.е. уходящий в металл поток энергии. В инженерных
расчетах касательную составляющую вектора Е на поверхности
реального проводника обычно не учитывают, кроме тех случаев,
когда требуется определить потери в проводнике, т.е. считают, что
структура поля над реальным проводником такая же, как и над
идеальным проводником той же конфигурации.
Граничное условие (7.52) является приближенным. Это сле-
дует непосредственно из его вывода, при котором предполагалось,
что образующиеся во второй среде волны распространяются
строго по нормали к поверхности раздела. В действительности
14—45 209
направление распространения образует некоторый (в случае ме-
таллов очень малый) угол с нормалью к поверхности раздела.
Условие (7.52) было получено в предположении, что граница
раздела является плоской. При произвольной форме поверхности
раздела условием (7.52) можно пользоваться только в тех случаях,
если минимальный радиус кривизны поверхности Rmin значительно
превышает глубину проникновения Д° (см.6.1.6):
или 1/ fр2с2 (7-53)
7.8. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ
7.8.1. Явление поверхностного эффекта
Выше (см.6.1.5) было показано, что напряженность пере-
менного электрического поля внутри металла, а следовательно, и
плотность тока (j = оЕ) экспоненциально убывают по мере уда-
ления от поверхности раздела. На высоких частотах весь ток
фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это яв-
ление называют поверхностным эффектом или скин-эффектом.
В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается
сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше
геометрического. Это приводит к увеличению активного сопро-
тивления провода. На высоких частотах оно может во много раз
превысить сопротивление провода при постоянном токе. Кроме
того, поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию,
сосредоточенную внутри проводника, что вызывает уменьшение
рнутренней индуктивности провода. Очевидно, что поверхностный
эффект тем заметнее, чем больше радиус провода. Так как
вследствие поверхностного эффекта центральная часть провода,
по существу, не используется, то на высоких частотах для
экономии металла и уменьшения веса часто сплошные провода
заменяют полыми.
Явление поверхностного эффекта позволяет использовать
металлические экраны для защиты различных элементов элект-
рических цепей от влияния на них переменного электрического
поля. Если экран полностью охватывает объект, а его толщина
составляет несколько глубин проникновения (Д°), то внешнее эле-
ктромагнитное поле практически сквозь него не проникает.
Очевидно также, что при этих условиях существующее внутри
экрана поле, в свою очередь, не сможет проникнуть в окружающее
пространство. Если защищаемый объект неполностью охваты-
вается экраном, то электромагнитное поле будет частично про-
никать за экран в результате дифракции волн (см. гл. 8).
210
Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных
полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но
пропускает магнитное, если он выполнен из парамагнитного или
диамагнитного металла.
7.8.2. Потери энергии в проводнике
Пусть металлический объект, размеры и минимальный радиус
кривизны поверхности которого велики по сравнению с глубиной
проникновения, находится в монохроматическом электромагнит-
ном поле. Под воздействием этого поля в металле наводятся
электрические токи, на поддержание которых расходуется элек-
тромагнитная энергия. Вычислим соответствующую этому процес-
су среднюю за период мощность джоулевых потерь. Запишем
уравнение баланса средних за период значений мощности для
объема V, занимаемого рассматриваемым объектом. Учитывая,
что внутри объема V нет сторонних источников, приходим к равен-
ству 0 = РПср + Риер, из которого следует, что
Рп ср = - Re f П dS = - Re f (0, п0) dS, (7.54)
s s
где n0-орт внешней нормали к поверхности рассматриваемого
объекта S. Как видно, для определения мощности Рпср нет необхо-
димости вычислять поле внутри объекта, достаточно проинтегри-
ровать по S перпендикулярную к ней составляющую комплексного
вектора Пойнтинга. Знак минус в формуле (7.54) объясняется тем,
что джоулевы потери определяются потоком энергии, направлен-
ным внутрь проводника, а орт п0 направлен из объема V в ок-
ружающее пространство. Нормальная составляющая вектора
Пойнтинга определяется касательными составляющими векторов
Ё и Н: Ё2, =(1/2)[E1t,Hi?}. Используя приближенное граничное
условие Леонтовича-Щукина, получаем Пл|3= ^Zc2[[n0,H1t.],HiT-].
Для сокращения записи введем обозначение Н1тго|3=Н^. Раскры-
вая двойное векторное произведение по формуле (П.31), находим
7 * 7 i |2
Пл)5=“^[Н>0.Н°т]] = -п0^|Н^| . (7.55)
Подставляя в формулу (7.55) значение Zc2 из (6.28) и учиты-
вая (6.32), получаем
(п.по) = -^&н°|! = -у4|н"„|2.
2 у 2ог । 1 2огД 1 1
(7.56)
14’
211
где |i2 и <т2 - абсолютная магнитная проницаемость и удельная
проводимость проводника.
Таким образом, средняя за период мощность джоулевых по-
терь в проводнике
(7-57)
Как уже отмечалось, структура поля у поверхности реального
проводника близка к структуре поля у такой же поверхности иде-
ального проводника. Поэтому при вычислении потерь обычно
предполагают, что Н° = Н° lO2_„. Это предположение существенно
упрощает расчеты, обеспечивая достаточную для инженерной
практики точность результатов.
7.8.3. Эквивалентный поверхностный ток
Так как на высоких частотах ток фактически сосредоточен в
тонком слое у поверхности проводника, часто оказывается удоб-
ным заменить реальное распределение тока эквивалентным по-
верхностным током. Для определения плотности этого эквива-
лентного поверхностного тока js предположим, что проводящее
тело занимает все нижнее полупространство (рис.7.8). Выделим
мысленно в нем "брусок" толщиной М, боковые грани которого па-
раллельны вектору плотности тока j. Толщину Ы выберем доста-
точно малой, чтобы в пределах Ы плотность тока j и напряжен-
ность магнитного поля Н можно было считать неизменными. Так
как в хорошо проводящей среде плотность тока смещения пренеб-
режимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости, то
полный ток, протекающей в выделенном "бруске", можно считать
равным
/ = fHdt,. (7.56)
г
Рис.7.8
где Г-контур поперечного сечения
"бруска".
Так как по предположению векто-
ры j и Й в пределах не меняются,
то интегралы по линиям, перпендику-
лярным поверхности тела, равны по
величине и противоположны по знаку.
Кроме того, поскольку в точках, бес-
конечно удаленных от поверхности
212
тела напряженность магнитного поля равна нулю, получаем, что
интеграл в формуле (7.57) равен интегралу по отрезку АВ на
рис. 7.8:
?=jH°dt = W°Af (7.59)
AS
Если считать, что весь ток течет по поверхности проводника,
то значение ? в формуле (7.59) равно поверхностному току. Его
плотность j’s = //М = Н° или в векторной форме
Ь=[п0,Н°]. (7.60)
Это выражение аналогично граничному условию для каса-
тельной составляющей напряженности магнитного поля на по-
верхности идеального проводника.
7.8.4. Поверхностное сопротивление проводника
Касательная составляющая напряженности электрического
поля на поверхности металла Ё1т и плотность эквивалентного по-
верхностного тока js' направлены одинаково. Следовательно,
можно записать
E1t = Zs js. (7.61)
Коэфффициент пропорциональности Z$ принято называть по-
верхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу
(7.50) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем,
что поверхностное сопротивление
Zs = Zc=ltL. (7.62)
Активная часть поверхностного сопротивления
Я5=1/(о:Д’). (7.63)
Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все
полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта
такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной Д° без
учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина про-
никновения").
Отметим, что среднюю за период мощность потерь в про-
воднике [формула (7.57)] можно выразить также через эквива-
лентный поверхностный ток и активную часть поверхностного со-
противления:
РПЧ1 = (7.64)
213
7.8.5. Сопротивление цилиндрического проводника
Случай резко выраженного поверхностного эффекта. Соп-
ротивление цилиндрического провода при переменном токе отли-
чается от его сопротивления при постоянном токе. Это отличие
обусловлено поверхностным эффектом. При одной и той же час-
тоте поверхностный эффект будет проявляться тем сильнее, чем
больше диаметр провода по сравнению с Д°.
Рассмотрим сначала случай сильно выраженного поверх-
ностного эффекта (толстый проводник). Пусть по цилиндрическому
проводу радиуса а распространяется бегущая волна тока. Выде-
лим достаточно малый элемент провода длины (, в пределах
которого можно считать, что амплитуда тока не меняется. Пред-
положим, что радиус провода а значительно превышает глубину
проникновения (а»Д°). В этом случае при определении сопро-
тивления провода можно использовать результаты предыдущего
раздела.
Комплексное сопротивление провода на единицу длины оп-
ределяется формулой
Z = Um/(/ml), (7.65)
где ^-комплексная амплитуда тока в проводе, а йт~комп-
лексная амплитуда напряжения на концах отрезка провода длины
Совместим ось Z цилиндрической системы координат с осью
провода, Тогда di =
~ ZnajSrn, di = (7.66)
Подставляя выражения (7.66) в (7.65) и учитывая соотно-
шения (7.61) и (7.62), получаем
Сопротивление Z можно выразить через активное сопро-
тивление R и внутреннюю индуктивность Lh приходящиеся на
единицу длины провода; Z = R+itoL,. Отделяя в (7.67) действи-
тельную и мнимую части, находим R и L
R = 1Д2лЭо2А°); Lt= Ц2каа2®&°}- (7.68)
Из сравнения значений R и L; при переменном токе с их
значениями R0=M(nc2a2) и t;0=((i2/8n) при постоянном токе (см.4.6)
следует, что отношение R/Ro с ростом частоты увеличивается, а
отношение ЦИ10, наоборот, уменьшается.
214
Полученные формулы можно использовать только при усло-
вии аг5>Л° Если это условие не выполняется, то для того, чтобы
определить сопротивление провода, нужно найти его внутреннее
поле.
Сопротивление провода с учетом его внутреннего поля.
Введем цилиндрическую систему координат г, ср, z, ось Z которой
совпадает с осью рассматриваемого уединенного провода. Ком-
плексную амплитуду плотности тока в проводе можно представить
ввиде jm(r,z) = zoj^(r)exp(-i£>z), где Ь-комплексная постоянная,
характеризующая распространение волны тока (электромагнитной
волны) вдоль провода. Отметим, что постоянная b связана с
постоянной распространения у, используемой в электротехнике,
соотношением ехр (-i£>z) = exp(-yz) или £>=-iy. Известно (см.,
например, [13], что постоянная b по абсолютной величине близка к
волновому числу к=а>у[Ё\1, соответствующему среде, окружаю-
щей провод. Комплексная амплитуда продольной составляющей
напряженности электрического поля внутри провода записывается
аналогично: Emz(r,z) = E°z(r)exp(-i£>z), причем имеет место соот-
ношение у'°(г) =аЕ°г(г) при 0<г<а. Функция Emi(r,z) удовле-
творяет уравнению Гельмгольца (2.31), в котором нужно заменить
к на fc, =(1-i)^/irfp2o2. Учитывая, что d2Em!/dz2 =-b2Emz, при-
ходим куравнению V2Emz+(^2-£>2)EfflZ =0, где V2 = v2~d2/dz2.
Так как |/с2| ^>к а |£>| = к, то и в уравнении для Ёт2
можно считать, что к^-b2 = к2. Записывая оператор V2 в цили-
ндрической системе координат и учитывая, что не зависит от
угла ср, приходим к дифференциальному уравнению для функции
АО
*
d2E°m dE° 2+0 0
~dP~+7'~dT+-2E^~Q-
Это уравнение Бесселя. Его общее решение имеет вид
£^(Г) = r) + BNa(k2 г), (7.69)
где J0(kzr) и Wgf/^r) - соответственно функции Бесселя и Ней-
мана нулевого порядка, а А и В - произвольные постоянные. При
г=0 (т.е. на оси провода) функция ^(^г) является ограни-
ченной, a NQ(k2r) обращается в бесконечность. Поэтому в выра-
жение (7.69) нужно положить В=0. Для сокращения формул
215
введем обозначение E°z(a) = Ёо. Выражая постоянную А через Ёо
и учитывая, что при 0 £ г<, а функция /“(г) = Ё°г(г), получаем
У°(г) = огЕ0^^. (7.70)
Л(*2 а)
Комплексное погонное сопротивление уединенного провода
вычисляется по формуле (7.65), В комплексных амплитудах на-
пряжения l)m и тока 1т можно выделить экспоненциальный мно-
житель: exp(-i£>z); /т exp(-i£>z). При этом формула
(7.65) принимает вид
Z = Uoa/(Pae). (7.71)
Вычисляя и в соответствии с определениями этих
величин, находим
?+(
U°m = fE^ajdz^t,
Z
2” з , 9-тггг F а
= ft/(p}/7°(r)dr = 2^°JrJofcr)dr =
2тгао2Е0 Ji(k23)
к2 (/Г2 а)
Подставляя найденные значения 1/° и /“ в (7.71), получаем
/С2 а)
2яаст2 ^(^2 а)
(7.72)
Это выражение справедливо при любом значении частоты
или, что, по существу, то же самое, при любых соотношениях
между радиусом а и глубиной проникновения Л°.
Убедимся вначале, что выражение (7.72) при а»Л° переходит
в формулу (7.67). В хорошо проводящей среде (см. 6.1.4) параметр
к2 =(1-i)7^fp2°2 =(1 -i)/i°. Поэтому при а^>Л° выполняется
неравенство |/<2а|»1. Следовательно, входящие в (7.72) функ-
ции Бесселя можно заменить первыми членами их асимптоти-
ческих разложений при больших значениях аргумента:
[, тс ля
—z— / х ехрКа----------
2 {, tz тС\ I 4 2
— cos La--------— . ——
I 4 2 J ^2%к2а
Подставляя это выражение в (7.72), приходим к формуле
(7.67).
216
В случае тонких проводов, для которых а<кд°, модуль ар-
гумента функций Бесселя | £2а| с1. Используя асимптотическое
представление функциий Бесселя для малых значений аргумента
2"-п!
I (W
4(л+1)
п =0,1,2,...,
находим
1 1 (1-»}гГа\
л а2 с?2 8 (Л° J
(7.73)
Множитель 1/[лаго2) в формуле (7.73) совпадает с сопро-
тивлением проводника при постоянном токе. Так как по предполо-
жению а<кд°, то поправочный коэффициент будет мал по сравне-
нию с единицей. Как и следовало ожидать, поверхностный эффект
в этом случае проявляется слабо.
Отметим, что полученные в данном разделе формулы для
погонного сопротивления провода верны в случае уединенного
провода. Если линия состоит из нескольких параллельных про-
водов, то распределение тока по сечению провода нельзя считать
осесимметричным. Учет несимметричного распределения тока
приводит к увеличению погонного активного сопротивления. Од-
нако если расстояние между проводами значительно больше
диаметра провода, то поправка получается небольшой и ею можно
пренебречь.
217
Глава 8
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
8.1. Строгая постановка задач дифракции
В гл.7 анализировалась структура электромагнитного поля,
возникающего при падении однородной плоской волны на плоскую
границу раздела двух сред. Однако во многих практически важных
случаях поверхность раздела нельзя считать безграничной плос-
костью, а падающую волну - плоской.
При падении электромагнитной волны на тело конечных раз-
меров (или на край полубесконечного тела) помимо отражения и
преломления (см. гл.7) также имеет место более сложное явле-
ние, называемое дифракцией1. Поэтому задачи определения влия-
ния различных объектов на структуру электромагнитного поля час-
то называют задачами дифракции. С необходимостью их решения,
встречаются при проектировании и анализе антенных устройств,
при исследовании распространения радиоволн в неоднородных
средах, в радиолокации и др.
В настоящей главе излагаются некоторые методы решения
задач дифракции монохроматических электромагнитных волн на
металлических телах, расположенных в безграничной однородной
изотропной среде1 2. Поле Ё°,Н° падающей волны (его называют
первичным) считается известным. Для простоты предположим, что
возбуждаемое этой волной тело яаляется идеально проводящим,
а в окружающей его среде (она характеризуется параметрами е и
ц) отсутствуют потери энергии. Под действием первичного поля на
поверхности S тела возникают электрические токи, которые
создают вторичное электромагнитное поле Ёт,Нт. Так как пер-
вичное поле известно, то задача сводится к определению вто-
ричного поля, причем достаточно найти один из его векторов Е,л
или Нт, так как любой из них можно однозначно выразить через
1 Дифракция (от лат. diffractus - изломанный) - огибание волнами встречных препятствий.
2 Очевидно, что такие задачи являются идеализированными, поскольку в действительности
помимо рассматриваемого тела всегда имеются другие тела (Земля, различные технические
сооружения и др.). Тем не менее эти задачи имеют большое практическое значение, так как
часто оказывается возможный пренебречь влиянием других тел.
218
другой непосредственно из уравнений Максвелла для монохро-
матического поля.
Во внешнем по отношению к поверхности S пространстве
вектор Ё удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца
(2.33), в котором надо положить к^ к = На поверхности S
касательная составляющая напряженности полного электричес-
кого поля Ё° +Ё должна быть равна нулю. Следовательно,
[л0>Ё]|5=-[п0,Ё°]|5, (8.1)
где По - единичная нормаль к поверхности S.
Кроме того, должно выполняться определенное условие в
бесконечно удаленных точках. Если поверхность S имеет огра-
ниченные размеры, в качестве такого условия можно использовать
условие излучения (2.23).
Если рассматриваемое тело не имеет острых кромок (ребер),
то сформулированная выше задача имеет единственное решение.
При их наличии для единственности решения в общем случае
требуется ввести дополнительное условие (условия на ребре),
определяющее поведение составляющих векторов Ё и Н вблизи
острой кромки (см. 2.2.3).
Следует отметить, что решение многих задач существенно
упрощается, если ввести некоторые вспомогательные функции
(например, векторный потенциал А, вектор Герца Г и др.).
При построении решения задачи дифракции элекгромаг-
нирных волн в строгой постановке ее обычно сводят либо к
дифференциальному уравнению (уравнению Гельмгольца), либо к
интегральным (в общем случае интегро-дифференциальным)
уравнениям. В некоторых простейших случаях удается найти ана-
литическое решение, в остальных-решение может быть пост-
роено только на основе численных методов. Рассмотрим ука-
занные подходы на примере некоторых простых задач дифракции.
8.2. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА КРУГОВОМ
ЦИЛИНДРЕ
Пусть плоская линейно поляри-
зованная электромагнитная волна па-
дает на идеально проводящий круго-
вой цилиндр радиуса а перпендику-
лярно его оси (рис.8.1). Введем ци-
линдрическую систему координат г,
Ф, z, ось Z которой совпадает с осью
цилиндра, а угол ф отсчитывается от
оси X, противоположной направлению
распространения волны.
219
При решении задачи можно ограничиться рассмотрением двух
типов поляризации падающей волны относительно оси цилиндра:
а) вектор Ё° параллелен оси 2, б) вектор Н° параллелен оси 2.
Любую другую ориентацию векторов Ё° и Н° первичного поля
можно представить как суперпозицию этих случаев. Остановимся
подробнее на первой задаче, так как вторая решается аналогично.
Напряженность электрического поля падающей волны имеет
только z-ю составляющую (Ё° = z0 Е°(г, ф)) :
Ё£(г, ср) = Еа exp(ikx) = Ео exp(ikrcos ф). (8.2)
Рассматриваемая задача является двумерной (отсутствует
зависимость от переменной z), поэтому уравнение (2.33) для на-
пряженности вторичного электрического поля, которая также будет
иметь лишь z-ю составляющую (Ёт = z0 Е(г, ф)), принимает вид
+ = 0; r>a; 0<ф<2л. (8.3)
г dr J г2 Зфг v
Функция Ёна поверхности S должна удовлетворять гранично-
му условию (8.1), которое в рассматриваемом случае принимает вид
Ё(а,ф) =-Ео ехр(i/tacosф), (8.4)
а в бесконечно удаленных точках-условию излучения. Это ус-
ловие, по существу, состоит в следующем. При г->оо в выражение
для функции Ё(г, ф) должны входить составляющие с фазовым
множителем вида ехр (- ikr), которые соответствуют волне, ухо-
дящей в бесконечность от оси 2; составляющие же с фазовым
множителем ехр (ikr), которые соответствуют волне, распрост-
раняющейся из бесконечности к оси 2, должны отсутствовать.
Для решения задачи применим метод Фурье (см.3.5.3, где
этим методом решена задача Дирихле для прямоугольной об-
ласти). Представим функцию Ё(г, ф) в виде
Ё(г,ф) = Я(г)Ф(ф).
Подставим эту формулу в уравнение (8.3) и умножим обе его
части на А Выполним дифференцирование и разделим затем
получающееся уравнение почленно на произведение ЯФ:
R Ф
Левая часть полученного уравнения зависит только от пе-
ременной г, а правая - только от переменной ф. Переменные г и ф
являются независимыми. Следовательно, уравнение (8.5) пред-
ставляет собой равенство двух независимых функций. Это воз-
220
(8-6)
(8.7)
(8.8)
(8.9)
можно только при условии, что каждая из функций равна
постоянной. Обозначая последнюю через т2, приходим к двум
независимым дифференциальным уравнениям:
Р2Ф п
—^- + лг Ф = О,
dtp
d2R 1 dR (.2 n
dr2 r dr [ r2 J
Очевидно, что при изменении угла tp на 2тг значение искомой
функции E(r, ср) должно остаться прежним:
Ё(г, ср + 2л) = Ё(г,(р).
Условие (8.8) можно переписать для функции Ф:
Ф(<р+2л) - Ф((р).
Решение уравнения (8.6) имеет вид
Ф((р) = Д sin mcp + B cos mtp,
где Д и В - произвольные постоянные.
Условие (8.9) выполняется, если т - целое число (т=0,1,2,...).
Напряженность первичного электрического поля - четная фу-
нкция относительно угла tp. Поэтому можно предположить, что
функция Е, а следовательно, и функция Ф также должны быть
четными относительно угла ср. Таким образом, постоянная А = 0 и
Ф(<р) = В cos/л tp.
Уравнение (8.7) является уравнением Бесселя. Его решение
можно представить в виде
R(tf = C,Jm(kr’j + D'Nrn(kr),
где Jm(kr) и Nm(kr)~ функции Бесселя m-го порядка первого и
второго рода соответственно (функцию Nm(kr) часто называют
также функцией Неймана т-го порядка), а С и D' - произвольные
постоянные.
В рассматриваемом случае решение уравнения (8.7) удоб-
нее выразить через функции Бесселя третьего рода-функции
Ханкеля:
/?(г) = СН^(кг) + ОН^(кг), (8.11)
где H^(kr) и Н^Чкг) - функции Ханкеля m-го порядка первого и
второго рода соответственно, а С и D - произвольные постоянные.
Отметим, что функции Бесселя, Неймана и Ханкеля часто назы-
вают также цилиндрическими функциями первого, второго и тре-
тьего рода соответственно.
221
Функции Н^(кг) и Н%}(кг) выражаются через функции Jm(kr)
и Nm(kr) соотношениями: Н™(кг) = Jm(kr) + \Nm(kr); Н™(кг) =
Jm^kr)-iNm(kr). При r-х® справедливы следующие асимптоти-
ческие представления [24]:
Н™(кг)
±i кг-— (2т+1) .
4
Иными словами, функция Н{„}(кг) соответствует цилиндри-
ческой волне, распространяющейся из бесконечности к оси Z, а
функция Н%\кг) - цилиндрической волне, распространяющейся
от оси Z к бесконечности вдоль радиусов г. Следовательно, для
выполнения условия излучения необходимо считать, что пос-
тоянная С = 0, при этом формула (8.11) принимает вид
R(r) = DH%\kr).
Таким образом, решением уравнения (8.3), удовлетворяющим
условию излучения, может служить функция
E(m) = DmH®( kr) cos тФ, (8.12)
где Dm - некоторая постоянная.
Осталось выполнить граничное условие (8.4). Для этого
представим искомое решение E(r, ф) в виде суперпозиции всех
возможных функций (8.12):
£(г.Ф)= ZD^’tkrJcosmq). (8.13)
m=O
Очевидно, выражение (8.13) является четной функцией, пе-
риодической по углу ф с периодом 2тг, которая удовлетворяет
условию излучения и уравнению (8.3). Коэффициенты Dm - пока
произвольные постоянные. Требуется определить их таким обра-
зом, чтобы выполнялось условие (8.4). Подставим функцию (8.13)
в (8.4) и воспользуемся известной из теории бесселевых функций
формулой [24]:
е,Аэсо1ф = J0(/ta) + 2X(i)n,4(/<a)cosm9. (8.14)
J71 = 1
Соотношение (8.14) можно получить, например, разлагая фун-
кцию exp (i/ca cos ф) в обычный ряд Фурье. Подставляя (8.13) и
(8.14) в (8.4), приходим к равенству
jDn)H®(ka)cosm9 = -E0
л=0
J0(/<a)+2 f Of 4(/<а) cos т Ф
го=1
Левую и правую части этого равенства можно рассматривать
как разложение одной и той же функции в ряд Фурье. Так как такое
разложение единственно, то коэффициенты разложения должны
быть равны и, следовательно,
222
n __F Ja(ka)
Г) — —9im F
m °H^ka)'
m>1.
(8.15)
Подставляя формулы (8,15) в (8.13), получаем окончательное
выражение для напряженности вторичного электрического поля,
возникающего при падении плоской волны на идеально прово-
дящий цилиндр радиуса а:
Ещ _ Zo Eq
^LH^^kD+zt^^^-H^ikDcosm^ .(8.18)
“о m=i Пт («а)
Ряд в выражении (8.16) является абсолютно сходящимся, его
можно почленно дифференцировать. Поэтому данное выражение
позволяет также найти напряженность вторичного магнитного поля
(Hm = [i/(cop)]rotEm) и распределение токов на поверхности ци-
линдра.
На рис. 8,2 показана зависимость модуля комплексной амп-
литуды напряженности вторичного электрического поля Ёт в даль-
ней зоне (г» а, г»Х) в зави-
симости от угла ф при пос-
тоянном значении перемен-
ной г (отношение |Ёт(г,ф)|/
jEm(r,O)|) для различных
значений ка. Пунктирная
кривая соответствует дан-
ным, рассчитанным на ос-
нове геометрической оптики
(см. 8.5).
Как видно из графиков,
в результате дифракции
появляется вторичное поле
с четко выраженным мак-
симумом в направлении
Ф =180°.
Решение задачи в фор-
ме (8.16) в принципе при-
годно для цилиндра любого
радиуса. Однако при боль-
ших значениях параметра
ка, т.е. если диаметр цили-
ндра велик по сравнению с
1 Графики заимствованы из [17].
223
длиной волны (ка = 2тга/Х), ряд в (8.16) сходится медленно и
решение становится неудобным для анализа. Поэтому в случае
ка»1 обычно стремятся получить более простые (но достаточно
точные для практических целей) асимптотические формулы.
Изложенный строгий метод решения задачи дифракции
называют методом Фурье. Однако такое решение удается по-
лучить лишь для тел простейшей конфигурации (например, кру-
говой и эллиптический цилиндры, полуплоскость, клин, бесконечно
протяженная бесконечно тонкая полоса конечной ширины, сфера,
круговой конус, эллипсоид вращения, бесконечно тонкий диск и
др.). Это связано с ограничениями, лежащими в основе метода
Фурье. Для его применения необходимо, чтобы поверхность рас-
сматриваемого тела полностью совпадала с какой-либо коорди-
натной поверхностью системы координат, в которой возможно
разделение переменных в уравнении Гельмгольца. Если ука-
занное условие не выполняется, для решения дифракционной
задачи необходимо использовать другие методы.
8.3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ
Бурное развитие вычислительной техники позволило в пос-
ледние десятилетия разработать и реализовать ряд численных
методов решения задач дифракции электромагнитных волн. Среди
этих методов наиболее универсальными являются методы, ос-
нованные на сведении задачи к интегральным или интегро-
дифференциальным уравнениям. В качестве примера рассмотрим
двумерную задачу дифракции электромагнитного поля, создавае-
мого токовой нитью (бесконечно протяженным прямолинейным
электрическим током г, амплитуда и фаза которого одинаковы по
всей длине) на идеально проводящей цилиндрической пове-
рхности S произвольного профиля. Поперечное сечение поверх-
ности S представляет собой кусочно-гладкий контур Г, который
может быть как замкнутым, так и незамкнутым. В случае замк-
нутого контура Г поверхность S эквивалентна сплошному иде-
ально проводящему
цилиндру, а незамкнутый контур Г соот-
ветствует идеально проводящему беско-
нечно тонкому незамкнутому цилиндри-
ческому экрану. Контур Г и используемая
система декартовых координат' х, у, z по-
казаны на рис. 8.3. Токовая нить проходит
через точку No = No (х0, у0) параллельно
оси Z.
224
При отсутствии поверхности S токовая нить создает поле Ё°,
Н°, которое будем называть первичным полем. Под его воздей-
ствием на S наводятся продольные (параллельные оси Z) пове-
рхностные токи с плотностью js, которые создают вторичное поле
Ё,Н. Комплексные амплитуды векторных потенциалов, созда-
ваемых токовой нитью и токами, наведенными на S, определяются
выражениями (2.63) и (2.64) соответственно. На поверхности S
должно выполняться граничное условие
Етг(Мо) + Е“г(Мо) = 0, МоеГ. (8.17)
Так как в рассматриваемом случае divA° =divAm =0, то
Ё°г(Ц) = -i<o и Em2(N.) = -i<oЛДЛ/Д где N. - точка, в кото-
рой вычисляется поле. Полагая в последних равенствах М = MQ и
учитывая формулы (2.63) и (2.64), перепишем (8.17) в виде
M0)]dt = -laH?[R0(Ma)], Мо е Г, (8.18)
г
где Ro(Mq) и R (М, MQ) - расстояния до точки наблюдения Мо е Г от
токовой нити и точки Me Г соответственно, a d( - элемент контура
Г, содержащий точку М.
Неизвестная функция jSin(M) в (8.18) входит только под зна-
ком определенного интеграла. Такие уравнения называют интег-
ральными уравнениями Фредгольма первого рода.
Зададим контур Г в параметрической форме:
x = X = nU). a<t<₽.
Значение параметра f, соответствующее точке наблюдения
Мо е Г, обозначим через т. При этом уравнение (8.18) примет вид
Lsm(0K(U)d( = F(T), а<т<р, (8.19)
а
где
K(f, т) = Hi2)[kR(f,T)]^'(0]2 +[д’Ю12. F(t) = -l°H^[kR0^],
R(t, т) =
^□(т) = +[Уо“т1(т)]2,
и д'-производные функций и д по t, а т-значение пере-
менной t, соответствующее точке наблюдения МоеГ. Функцию
K(t, т) называют ядром интегрального уравнения (8.19).
15-45
225
Как видно, переход к интегральному уравнению позволил
понизить размерность задачи: вместо определения функции Дт,
зависящей от двух переменных (координат х и у), задача сведена к
нахождению функции зависящей от одной переменной t.
Аналитическое решение уравнения (8.19) удается получить
только в случае простейших контуров, таких как окружность,
полупрямая и т.п. В более общих случаях решение уравнения
(8.19) может быть построено только на основе численных методов
(см., например, [18-21]).
Рассмотрим один из возможных алгоритмов численного ре-
шения уравнения (8.19). Разобьем интервал интегрирования [а, р]
в (8.19) на Л/частей if = (р - а)/Л/и представим ^(f) в виде раз-
ложения по некоторым базисным функциям tpm(f) с неизвестными
коэффициентами 1т:
♦ W
(8.20)
Подставляя (8.20) в (8.19) и располагая точки наблюдения
(точки коллокации) в серединах интервалов разбиения (т = тп=
= а + (л - 1/2) (р ~a)IN), приходим к системе линейных алгебраи-
ческих уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных
/т. Наиболее простой алгоритм получается при кусочно-пос-
тоянной аппроксимации искомой функции, когда в качестве ба-
зисных берутся функции
j при fe[am,pm],
\0 при fg[an,,pm],
(8.21)
где ат= а + (т- 1) (р -a)/W, рт= а + т (р -a)IN,
При этом СЛАУ принимает вид
N
YlmGim=Fn, л =1,2......N, (8.22)
где F„=F(xn), хп = а + (л-1/2)(р-а)/М).
П/n
Численное решение СЛАУ (8.22) может быть получено стан-
дартными методами, например методом Гаусса. В результате
решения системы (8.22) находятся значения искомой функции
ySm(f) в N точках коллокации (при (=тп), зная которые можно
рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства.
Изложенный способ построения численного решения получил
название метода саморегуляризации. Более подробно он описан,
например в [21].
226
Отметим, что построение численного решения интегрального
уравнения Фредгольма первого рода в общем случае относится к
так называемым некорректным задачам. Оно может оказаться
неустойчивым; малым изменениям правой части интегрального
уравнения могут соответствовать сколь угодно большие изме-
нения решения. В общем случае для построения численного
решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода тре-
буется использовать так называемые методы регуляризации.
Впервые такие методы были разработаны академиком А.Н. Тихо-
новым. Общие методы регуляризации, изложенные в [19], весьма
сложны. В частном случае, когда ядро интегрального уравнения
имеет интегрируемую особенность при совпадении аргументов,
удается использовать более простые методы решения. Так, бла-
годаря логарифмической особенности ядра K(t, т) для построения
устойчивого решения уравнения (8.19) оказывается возможным
использовать описанный выше метод саморегуляризации или нес-
колько более общий метод моментов (см., например, [18]).
8.4. ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА (ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЮЙГЕНСА-
КИРХГОФА)
В 5.7 было показано, что поле в любой точке пространства,
внешнего по отношению к некоторой области, ограниченной зам-
кнутой поверхностью S, можно полностью определить по за-
данным на ней значениям касательных составляющих напряжен-
ностей электрического и магнитного полей или, что то же самое, по
заданному распределению на S реальных или эквивалентных
поверхностных электрических и магнитных токов. Действительно,
разбивая мысленно поверхность S на элементарные площадки и
рассматривая каждую площадку как элемент Гюйгенса, можно
найти полное поле, суммируя поля, созданные отдельными эле-
ментами. В качестве такой поверхности часто оказывается удоб-
ным выбрать поверхность тепа, рассматриваемого в дифракци-
онной задаче.
Если бы на поверхности тела были известны точные значения
касательных составляющих векторов Е и Й, то тем самым были
бы найдены точные значения этих векторов в любой точке про-
странства. Однако для точного определения составляющих Emi и
Hmt на поверхности S обычно требуется решить исходную
дифракционную задачу. Указанную трудность можно обойти, если
ограничиться вычислением приближенных значений составляю-
щих EfflTjs и HmT[s на основе некоторых упрощающих предполо-
15' 227
жений. Однако при этом решение соответствующей дифрак-
ционной задачи также будет уже не точным, а приближенным.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Пусть на идеально проводящее тело (рис. 8.4)
падает электромагнитная волна, создаваемая в пространстве
источником Q. На поверхности тела касательная составляющая
вектора Е равна нулю, т.е. на S отсутствуют эквивалентные по-
верхностные магнитные токи, а текут только поверхностные элект-
рические токи с плотностью js. Часть поверхности тела (So),
которая видна из источника, будем называть освещенной, а оста-
льную часть - теневой. Если линейные размеры I и минимальный
радиус кривизны рт^ освещенной части поверхности велики по
сравнению с длиной волны (f»X, pmjn»X), то в первом прибли-
жении можно пренебречь затеканием токов на теневую сторону
тела (т.е. считать, что на ней js = 0) и предположить, что на So
плотность тока в каждой точке такая же, какой она была бы при
заданном первичном поле на идеально проводящей плоскости,
касательной к So в рассматриваемой точке. Эти предположения,
конечно, являются приближенными. В действительности при лю-
бых конечных размерах тела токи всегда затекают на теневую
сторону его поверхности и, кроме того, реальное распределение
токов на освещенной стороне несколько отличается от указанного.
Выберем некоторую точку М на So (см. рис. 8.4) и вычислим в
ней плотность тока на основе принятых допущений. Предположим,
что источник Q находится над идеально проводящей безграничной
плоскостью Р, касательной к поверхности S в точке М (рис.8.5).
Напряженность полного магнитного поля Н(П,(М) = Н°(М)+Н(М),
где Н°(М)-напряженность первичного магнитного поля, созда-
ваемого источником в точке М, а Н(М) - напряженность вто-
ричного магнитного поля; обусловленного токами, протекаю-
щими по плоскости Р. Напряженность первичного магнитного
поля считается известной. Для определения плотности тока в
точке М нужно найти в этой точке значение касательной
Рис. 8.4
228
составляющей вектора Н(П)(М). Из граничного условия (1.110)
имеем js =[n0,H(n)(M)] = [n0,H°(M) + H(Af)], где п0-орт внешней
нормали к поверхности So в точке М. Для удобства введем
локальную декартову систему координат х, у, z (см. рис. 8.5).
Покажем, что вторичное поле, создаваемое при возбуждении
идеально проводящей плоскости Р произвольным первичным по-
лем Ё°,Н°, легко определяется в любой точке пространства из
общих физических представлений.
Идеально проводящая плоскость Р полностью экранирует
нижнее (z < 0) полупространство от первичного поля. Поэтому
должно выполняться соотношение
Й(х,у, z) = -Н°(х, у, z) при z <0. (8.23)
Любой элемент поверхностного электрического тока, текущего
по плоскости Р, создает в точках, расположенных симметрично
относительно этой плоскости (например, в точках = A/i(x, у, х) и
Л/2 = Л/2(х, у, -z), показанных на рис.8.5), магнитное поле, каса-
тельные составляющие вектора напряженности которого равны
по величине и противоположны по направлению, а нормальные
составляющие одинаковы. Таким же свойством будет обладать
магнитное поле, созданное всеми токами, текущими по плоскости
Р. Следовательно, при z>0 должны выполняться соотношения
Н,(х, у, z) = -Н,(х, у, -z) и Hn(x,y,z) = Hn(x,y,-z), которые с
учетом формулы (8.23) можно переписать в виде ЙДх, y,z) =
= Й°(х, У, ~z) и Ня(х,у,z) = -Н°(х, у, -z). Таким образом, втори-
чное поле, создаваемое токами, наведенными на плоскости Р, при
z > 0 выражается через первичное поле:
H(x,y,z) = T0H“(x,y,-z)-n0H“(x,y,-z), z>0. (8.24)
Прибавляя к Н(х,у, z) напряженность первичного магнитного
поля при z > 0, имеем
Н(п) (х, у, z) = т0[Й’(х,у, z) + H“(x,y,-z)]+
+nQ[P“(x1y,z)-H“(x,y,-z)], z > 0. (8.25)
Переходя в (8.25) к пределу при z->0, получаем
lim Н(п’(х, у, z) = т02Н°(х, у, 0) = 2Н°(х, у, 0).
Следовательно, в любой точке плоскости Р имеет место
равенство
js(x,y) = 2[z0,Hj(x, у, 0)] =2[zo,H°(x,y,O)]. (8.26)
229
Формула (8.26) справедлива и в точке М= М(0,0,0), где Zo = п0.
Таким образом, в рассматриваемом приближении на освещенной
части поверхности (So) идеально проводящего тела плотность
поверхностных электрических токов
js(M) = 2[n0,H°(M)], (8.27)
а на теневой стороне равна нулю.
Для определения вторичного поля в пространстве, окру-
жающем рассматриваемое тело, можно либо вычислить векторный
потенциал
Am = Х J[n0, Н° (M)]^^-dS. (8.28)
2л So
где R - расстояние от элемента dS до точки наблюдения, и затем
применить формулы (2.52) и (2.57), либо непосредственно про-
суммировать поля, создаваемые токами, сосредоточенными в каж-
дом элементе dS, которые можно рассматривать как элемен-
тарные электрические вибраторы. С вычислением поля на основе
описанной методики для конкретных тел (в частности, для кру-
гового цилиндра) можно ознакомиться, например, в [17].
Пример 2. Определим электромагнитное поле, прони-
кающее через отверстие So в идеально проводящей плоскости при
падении на нее плоской электромагнитной волны:
Ё° = х0Е0 exp(-iAz), Н° =y0(^/Ze)exp(-ita). (8.29)
Пусть рассматриваемая плоскость (экран) расположена в
координатной плоскости z = o (рис.8.6). Размеры отверстия будем
считать большими по сравнению с длиной волны.
В качестве поверхности интегрирования S выберем плоскость
z =+ 0, которая проходит через отверстие So, а вне его совпадает с
Женевой" стороной экрана (пунктирная линия на рис. 8.6, а). На
экране касательная составляющая вектора Ёт равна нулю. При
больших по сравнению с длиной волны размерах отверстия можно
пренебречь затеканием
токов на теневую сторо-
ну и, кроме того, прибли-
женно считать, что поле
в отверстии совпадает с
полем падающей волны,
т.е. определяется выра-
жениями (8.29), если в
них положить z = 0.
Каждый элемент AS
площади отверстия So
230
можно рассматривать как элемент Гюйгенса (см. 5.7.2), а при
определении поля за отверстием просуммировать. поля, созда-
ваемые каждым элементом AS.
Описанный способ решения дифракционных задач известен
под названием метода физической оптики. Он принципиально
является приближенным, так как распределение токов, по которым
вычисляется поле, находится приближенно. Тем не менее при
выполнении указанных выше условий метод физической оптики
(ФО) удовлетворительно передает структуру поля в области
максимальной интенсивности. Метод физической оптики часто
называют также приближением Гюйгенса-Кирхгофа.
8.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Одним из наиболее простых методов определения поля, от-
раженного от больших по Сравнению с длиной волны тел, которые
имеют достаточно гладкую поверхность1, является метод геомет-
рической оптики (ГО). Изложим основные принципы этого метода.
Ограничимся случаем, когда рассматриваемое тело является
идеально проводящим и расположено в однородной изотропной
среде без потерь. Основные идеи ГО изложены во многих книгах
(см., например, [23]).
Выше было показано, что направление распространения
волны перпендикулярно поверхностям равных фаз. В однородной
Среде направление распространения плоской волны одинаково во
всех точках пространства. Произвольная электромагнитная волна
не обладает этим свойством. Однако на большом расстоянии от
источника (по сравнению с длиной волны и размерами источника)
поле произвольной электромагнитной волны в достаточно малой
области можно представить в виде1 2 * * *
Ёт =е0Аехр(-1/г0ф), Hm - h0 В exp (- i ф),
где /г0 = -У6»*1» = 2тт/Х0, Х0-дпина волны в вакууме, е0 и ho-еди-
ничные векторы, показывающие ориентацию векторов Ет и Нт
соответственно, А и В-медленно меняющиеся функции, зави-
сящие только от поперечных (по отношению к направлению
распространения волны) координат, а ф - некоторая вещественная
1 Поверхность считается достаточно гладкой, если ее минимальный радиус кривизны
значительно превышает длину волны (р„,,»?.).
2 В общем случае волна может иметь сложную структуру: возможно наличие особых точек,
линий н поверхностей, в непосредственной близости к которым А и В в формулах (8.30)
нельзя считать медленно меняющимися функциями. Для вычисления поля в таких областях
метод ГО непригоден и нужно использовал, другие методы.
231
функция координат. Например, в случае плоской волны, рас-
пространяющейся вдоль оси Z. функция ф = nz, в случае сфе-
рической волны ф = пг. Здесь п = - показатель прелом-
ления, а ег и щ, как обычно, - относительные диэлектрическая и
магнитная проницаемости срвды, в которой распространяется
волна. Функцию ф называют эйконалом. (Термин эйконал, обра-
зованный от греческого слова, означающего изображение, был
введен для обозначения некоторых связанных функций, но в
дальнейшем стал применяться в более широком смысле.) В ГО
эйконал имеет смысл оптической длины пути, т.е. пути, учиты-
вающего показатель преломления вдоль луча. Уравнение ф = const
определяет поверхности равных фаз. Грвдиент эйконала (Уф)
представляет собой вектор, перпендикулярный поверхностям
равных фаз. Линии этого вектора в геометрической оптике назы-
вают лучами. Положительная касательная к лучу в каждой точке
совпвдает по направлению с вектором Пср = КеП Поэтому лучи
можно рассматривать как линии, вдоль которых происходит рас-
пространение энергии. В однородной среде лучи прямолинейны, в
неоднородной - криволинейны. При вычислении поля по методу
ГО предполагается, что каждой точке луча соответствуют опре-
деленные значения векторов Ёт и Нт. Векторы Ёт и Нт перпен-
дикулярны лучу, их фазы изменяются линейно вдоль него, а
характер изменения амплитуд устанавливается на основе закона
сохранения энергии. Как уже отмечалось, в представлении ГО
энергия электромагнитного поля распространяется вдоль лучей,
соответствующих рассматриваемой волне, которые перпенди-
кулярны поверхностям равных фаз. Поэтому если на какой-либо
ПРФ So выделить малую площвдку д8о, то весь поток энергии,
проходящий через нее за период, будет распространяться внутри
некоторой трубки, боковая поверхность которой образована луча-
ми, проходящими через контур площадки Д5О (рис. 8.^ Такую
трубку обычно называют энергетической или силовой. В пределе
при ASC >0 энергетическая трубка стягивается к одному лучу
("Л/о-Л/Г на рис. 8.7). Из определения энергетической трубки сле-
дует, что поток энергии через ее
боковую поверхность S^k отсутствует:
на S&K нормальная к ней составляющая
вектора П равна нулю.
Рассмотрим две площадки Д5О и
д5<. вырезаемые энергетической труб-
кой в поверхностях равных фаз S-и S;
соответственно (рис. 8.8). Очевидно, что
232
2
AS0
2 AS, '
(8,30)
средний за период поток энергии через эти площвдки должен быть
одним и тем же. Следовательно,
|ЕЖ)
|Effl(/V0)
где Ёт(Л/0) и Ёт(Л/,) - значения комплексных амплитуд вектора Е
в точках No и Л/, соответственно. Выразим отношение aSq/AS,
через главные радиусы кривизны pi и р2 поверхности равных фаз
So в точке No. Из рис.8.8 видно, что AS0= picfap2cfp, a AS,=
= (pj + f) da (p2+ f) tfp, где f - расстояние между So и Sb отсчи-
тываемое вдоль луча. Следовательно,
ASp _Р1Р2
as, (р, + г)(р2+t)
В случае линейной поляризации ориентация векторов Ё„ и
Нт неизменна вдоль луча. Волны круговой и эллиптической поля-
ризаций можно рассматривать как суперпозицию двух линейно
поляризованных волн, поэтому они здесь анализироваться не
будут. Таким образом, векторы Ёт(Л/,)и Ёт(Л/0) связаны соотно-
шением
(8.31)
Р1Р2
112
exp(-i/r^). (8,32)
^mW) - Ёт(Л/0)
[(p, + /)(p2+^) J
Аналогичное соотношение выполняется для векторов Нга(^)
и Н„(Л/0).
Луч, падающий на поверхность раздела двух сред, рас-
щепляется на отраженный и преломленный. При определенных
условиях один из этих лучей (отраженный или преломленный)
может отсутствовать. Например, при пвдении луча на поверхность
233
идеально проводящего тела возникает только отраженный луч.
При расчетах по методу ГО предполагается, что так же, как при
пвдении плоской волны на безграничную плоскую границу раздела
двух сред, направления отраженного и преломленного лучей
определяются законами Снеллиуса, а амплитуды векторов поля,
соответствующих отраженному и преломленному лучам, на по-
верхности раздела двух сред определяются формулами Френеля
(см.7,2), Если отражение происходит от поверхности идеально
проводящего тела, то нормальная составляющая напряженности
электрического поля, соответствующая отраженному лучу, в точке
отражения равна нормальной составляющей напряженности эле-
ктрического поля пвдающего луча в той же точке, а касательные
составляющие напряженности электрического поля падающего и
отраженного лучей отличаются только знаком (сдвинуты по фазе
на 180°). Иными словами, если в точке отражения М на по-
верхности идеально проводящего тела комплексная амплитуда
напряженности электрического поля, соответствующего пвдаю-
щему лучу, E°(M) = noE°n(M) + ToE°t(M), то комплексная ампли-
туда напряженности электрического поля, соответствующего отра-
женному лучу, в этой точке равна Ё°Т₽(М) = п0Ё^,(М)-ТоЕ^д/И).
Изменение знака у касательной составляющей показывает, что
отражение сопровождается изменением ориентации вектора Ё°тр
относительно ориентации вектора Е°. При этом направление век-
тора Ё^р оказывается перпендикулярным отраженному лучу. Век-
тор поля отраженного луча в точке М выражается через Е^р
соотношением = (1/ZC) [4оТр°, Ё^], где7отр0-единичный вектор,
направленный по отраженному лучу. Нетрудно показать, что
UPO = ^-2no(no,Z0), (8,33)
где/°-Орт падающего луча в точке MeS.
Зная поле отраженного луча в точке отражения, можно найти
поле в любой точке этого луча. Действительно, рассматривая
соответствующую энергетическую трубку, придем к формуле,
аналогичной (8.32), в которую, конечно, вместо радиусов кривизны
ПРФ падающей волны должны войти радиусы кривизны ПРФ
отраженной волны. В тех случаях, когда через рассматриваемую
точку пространства проходят несколько лучей (например, па-
дающий и отраженный), поле в этой точке определяется как сумма
полей, соответствующих каждому лучу.
Таким образом, для вычисления поля по методу ГО нужно
знать главные радиусы кривизны ПРФ падающей и отраженной
234
волн, что является чис-
то геометрической за-
дачей, которую можно
решить в каждом конк-
ретном случае.
В качестве приме-
ра рассмотрим в при-
ближении ГО задачу
дифракции плоской во-
лны на идевльно про-
водящем круговом ци-
линдре радиуса а
(рис. 8.9), строгое ре-
шение которой было ПО-
Рис. 8.9
лучено в (8.2). Плоскую волну заменим семейством лучей,
параллельных оси X, и выделим энергетическую трубку прямо-
угольного сечения д5о-дудг. Сечение трубки плоскостью, пер-
пендикулярной оси Z, показано на рис.8.9.
Ограничимся вычислением модуля напряженности электри-
ческого поля, отраженного от цилиндра, на большом расстоянии от
него (т.е. вычислением IejH при гз>а). Рассмотрим отражение
лучей, образующих боковую поверхность выделенной энерге-
тической трубки (два параллельных луча на рис.8.9). Первый луч
отражается в точке м1р которая видна из начала координат под
углом 9. Соответствующий отраженный луч составляет с осью X
угол 29. Второй луч отражается в точке М2, которая видна из
начала координат под углом 9 + Д9. Соответствующий отраженный
луч составляет с осью X угол 2(9 + Д9). Таким образом, пучок
лучей, образующий энергетическую трубку, после отражения от
цилиндра становится расходящимся. Поперечное сечение трубки,
соответствующей отраженной волне AS! = 2r. AO Az, где г, - рас-
стояние от точки 01 до рассматриваемого сечения AS,. Учитывая,
что Ду=асоз9Д9, получаем из формулы (8.30) следующее
соотношение:
Д50 а
—- = -— cos 9.
Д^ 2г(
(8.34)
На большом расстоянии от цилиндра г^ = г, где г - расстояние
от оси цилиндра до точки наблюдения Л/(г, ф, z). Так как угол ф,
характеризующий точку наблюдения, равен 29, то при rs>a
формула (8.34) принимает вид
| Ё7| = (7a/V27)E07cos ((p/2). (8.35)
235
Зависимость величины jЕ"р| от угла (р (функция Jcas(q>/2))
показана пунктирной линией на рис.8.2. Из приведенных на этом
рисунке графиков следует, что различие между результатами,
полученными методом ГО, и строгим решением в освещенной
области уменьшается с увеличением ка = 2ла/л.
Как уже отмечалось, метод геометрической оптики является
приближенным. Он позволяет определить отраженное поле, если
радиусы кривизны ПРФ падающей и отраженной волн велики по
сравнению с длиной волны. При этом необходимо, чтобы размеры
отражающего тела и минимальный радиус кривизны его по-
верхности были велики по сравнению с X, а источник, создающий
электромагнитное поле, находился на достаточно большом рас-
стоянии d от поверхности тела (/rcf»1). Получаемые в этом случае
результаты будут близки к точным в освещенной части про-
странства в точках, достаточно удаленных от границы геомет-
рической тени. Для определения поля в области геометрической
тени, а также вблизи точек, в которых пересекается семейство
отраженных лучей (такие точки называют фокальными), и вблизи
огибающих семейства лучей (их называют каустиками) метод
геометрической оптики неприменим. Например, согласно пред-
ставлениям геометрической оптики в области геометрической тени
поле должно отсутствовать, В действительности, из-за дифракции
волн поле проникает в область геометрической тени (см., на-
пример, диаграммы на рис. 8.2).
Методы вычисления поля, основанные на приближении
Гюйгенса-Кирхгофа (метод физической оптики) и на геометри-
ческой оптике, существенно различны. В ГО предполагается, что
поле в любой точке пространства определяется значениями его
векторов в тех точках поверхности тела или поверхности равных
фаз (волновой поверхности), из которых приходят лучи в данную
точку. Метод физической оптики использует принцип Гюйгенса.
Однако эти методы имеют общую черту. В ГО предполагается, что
в каждой точке поверхности идеально проводящего тела волна
отражается так же, как от идеально проводящей плоскости,
касательной к поверхности тела в рассматриваемой точке.
Поэтому выражая вектор плотности поверхностных токов js через
напряженность полного магнитного поля, вычисленного на основе
ГО, получаем, что на освещенной части поверхности тела вы-
полняется соотношение (8.27), которое лежит в основе при-
ближения Гюйгенса-Кирхгофа. Следовательно, в методе, осно-
ванном на приближении Гюйгенса-Кирхгофа по существу предпо-
лагается, что вблизи отражающего тела справедливы законы
геометрической оптики. Поэтому, как уже отмечалось, прибли-
236
жение Гюйгенса-Кирхгофа и называют методом физической
оптики. Часто методы ГО и ФО совмещают. Например, при расчете
диаграмм направленности параболических (и ряда других) антенн
вначале на основе геометрической оптики определяют поле в
раскрыве антенны, а затем по найденным значениям векторов
Ет и Нт вычисляют поле в дальней зоне, используя приближение
Г юйгенса-Кирхгофа.
8.6. МЕТОД КРАЕВЫХ ВОЛН
Метод краевых волн в физической теории дифракции1,
предложенный П.Я. Уфимцевым, является развитием и уточне-
нием метода физической оптики применительно к выпуклым
металлическим телам, поверхность которых имеет изломы (реб-
ра). Изложим основные принципы этого метода.
Пусть плоская электромагнитная волна падает на идеально
проводящее тело, находящееся в однородной изотропной безгра-
ничной среде. Под действием этой волны на поверхности тела
возникают электрические токи, которые создают вторичное поле. В
физической оптике предполагается, что комплексная амплитуда
плотности токов js, наведенных на поверхности тела S, равна
о f2[n0,bC] на So,
Jsm =1 „ „ (8.36)
О на Sv
где Н°-комплексная амплитуда напряженности магнитного поля
падающей волны; п0 - орт внешней нормали к поверхности S; So и
Sj - освещенная и теневая части поверхности тела (очевидно, что
Sq + S-| — S).
В действительности распределение токов на поверхности
тела отличается от описываемого формулой (8.36). Представим
вектор jSm в виде
j'sm = Jsm + Js.-n- (887)
Функцию можно рассматривать как комплексную ампли-
туду плотности некоторого добавочного по отношению к тока,
обусловленного искривлением поверхности тела. Искривлением
1 Физической теорией дифракции обычно называют методы решения дифракционных задач,
в которых для упрощения решения используют различные допущения о характере поля и
токов на поверхности рассматриваемого тела. Методы, позволяющие найти строгие
решения или математически обоснованные асимптотические решения, называют матема-
тической теорией дифракции.
237
называют любое отклонение поверхности тела от бесконечной
плоскости: плавное искривление, излом, выступ, отверстие и т.д.
Составляющую jsm принято называть равномерной частью
плотности тока, а составляющую [^-соответственно неравно-
мерной.
Учет только составляющей дает решение задачи в при-
ближении физической оптики. Для получения более точного ре-
шения нужно учесть также составляющую jSm. Истинные значения
функции JSm можно найти лишь при строгом решении рассма-
триваемой дифракционной звдачи, что во многих случаях со-
пряжено с большими математическими трудностями. Поэтому
приходится ограничиться определением приближенных значений
jSm. В ряде случаев это можно сделать на основе упрощающих
допущений.
Метод краевых волн позволяет находить приближенные зна-
чения составляющей [Sffll обусловленной наличием ребер на по-
верхности выпуклого идеально проводящего тела, если его раз-
меры и расстояние между ребрами велики по сравнению с длиной
волны. Тогда можно предположить, что неравномерная часть тока
отлична от нуля только в непосредственной близости от ребра.
При этом распределение тока на малом элементе поверхности
тела вблизи ее излома можно приближенно считать таким же, как
на соответствующем идеально проводящем бесконечном двух-
гранном угле (клине), который образован плоскостями, каса-
тельными к поверхности тела в рассматриваемой точке ребра
(сечение тела и соответствующего эквивалентного двухгранного
угла было показано ранее на рис. 2.4). Уфимцевым было про-
анализировано распределение тока на клине при возбуждении
последнего плоской электромагнитной волной (данная задача
имеет строгое решение) и получены удобные для расчетов фор-
мулы для электромагнитного поля, создаваемого неравномерной
составляющей тока. Анализ показал, что это поле имеет характер
краевой волны (т.е. волны, распространяющейся от ребра клина).
Полное поле записывается в виде суммы поля, найденного в
приближении физической оптики, и поля указанных краевых волн.
Описанная методика решения дифракционных задач позво-
ляет также учесть взаимное влияние соседних изломов пове-
рхности тела. Для этого нужно считать, что краевая волна, со-
ответствующая неравномерной части тока, распространяясь вдоль
поверхности тела, достигает соседнего ребра и испытывает на нем
дифракцию, возбуждая вторичные краевые волны. Последние, в
свою очередь, порождают новые краевые волны и т.д.
238
На основе метода краевых волн П.Я. Уфимцевым и другими
авторами были найдены решения ряда практически важных задач.
Численные расчеты показали, что полученные результаты удо-
влетворительно согласуются с результатами строгих решений
(когда они могут быть получены) и экспериментальными данными.
Подробнее этот метод изложен в [22].
8.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
8.7.1. Дифракционные лучи
Геометрическая теория дифракции (ГТД)-один из наиболее
эффективных методов асимптотического решения задач диф-
ракции на телах сложной конфигурации, размеры которых велики
по сравнению с длиной волны. Этот метод, предложенный
Дж. Б. Келлером, является развитием и обобщением геомет-
рической оптики. Как и геометрическая оптика, ГТД базируется на
предположении, что энергия распространяется вдоль лучей,
однако, в отличие от ГО в ней помимо падающих, отраженных и
преломленных лучей вводятся так называемые дифракционные
лучи. В случае идеально проводящих тел дифракционные лучи
возникают при пвдении луча на ребро или острую вершину
поверхности рассматриваемого тела, а также если пвдающий луч
совпвдает с касательной к плавно изогнутой поверхности.
Если пвдающий луч попвдает на ребро тела, то возникает
система дифракционных лучей, как бы образующих поверхность
кругового конуса с вершиной в точке пересечения падающего луча
с ребром Л/о, называемой
точкой дифракции (рис 8.10).
При этом ось конуса
совпадает с касательной к
ребру, а угол раскрыва
конуса (20) равен удвоен-
ному углу между падаю-
щим лучом и этой касате-
льной. В тех случаях, ког-
да пвдающий луч перпен-
ди куля рен касательной к
ребру тела (рис.8.11), ко-
Рис.8.10
239
Касательная
Ребро
Падающий
луч
Рис. 8.11
ническая поверхность вырождается в
плоскость, перпендикулярную к реб-
ру в точке дифракции.
Если падающий луч попадает на
острую вершину рассеивающего те-
ла, то дифракционные лучи расхо-
дятся от нее во все стороны, как от
точечного источника (рис.8.12).
Если падающий луч совпадает с
касательной к плавно изогнутой по-
верхности (рис. 8.13), то в точке касания (ее также называют точкой
дифракции) оно расщепляется на два луча, один из которых
является продолжением падающего, а второй скользит по
поверхности тела вдоль геодезической1 линии, образуя "по-
верхностный" луч. В каждой точке от него отделяется прямо-
линейный дифракционный луч, совпадающий с касательной к
поверхностному лучу в точке отрыва.
Таким образом, во всех случаях, когда возникают диф-
ракционные лучи, наблюдается характерная особенность: один
луч вызывает появление бесчисленного множества дифракци-
онных лучей. Последние проникают в область геометрической
тени и создают в ней некоторое поле. Кроме того, они изменяют
поле в освещенной области.
Для определения поля в какой-либо точке пространства на
основе ГТД нужно вначале найти все лучи, проходящие через
данную точку, а затем вычислить поля, соответствующие каждому
лучу, и просуммировать их. Иными словами, комплексную амп-
литуду напряженности полного электрического поля в некоторой
точке N можно представить в виде
Ё£>(Л/) = Ё° (Л/) + ЁГ(Л/) + ЁГШ (8.38)
Рис. 8.13
1 Геодезической линией называют линию, геодезическая кривизна которой в каждой точке
равна нулю (геодезическая кривизна - это кривизна проекции рассматриваемой кривой на
плоскость, касающуюся поверхности в данной точке). Достаточно малые дуги
геодезической линии якаяются кратчайшими расстояниями между их концами иа
поверхности.
240
где Ё°(Л/),Ё^(Л/) и Ё£И*(Л/)-комплексные амплитуды векторов
напряженности электрических полей соответственно падающего,
отраженного и дифракционного лучей в точке Л/. Аналогично
записывается выражение для комплексной амплитуды напряжен-
ности полного магнитного поля в точке Л/.
Векторы Ё°(Л/) и Ё£Р(Л/) вычисляются так же, как в ГО
(см.8.5). При определении вектора Ё£иф(Л/), соответствующего
одному дифракционному лучу, предполагается, что в точке
дифракции No он пропорционален вектору Ё° (Л/) падающего луча.
Кроме того, как обычно, предполагается, что фаза вектора Ё”иф(Л/)
изменяется линейно вдоль луча, а характер изменения амплитуды
устанавливается из условия постоянства потока энергии адоль со-
ответствующей лучевой (энергетической) трубки. Эти предполо-
жения в равной мере относятся и к вектору H^(W).
8.7.2. Вычисление поля дифракционных лучей
Дифракционные лучи, возникающие на ребре. Пусть по-
явление дифракционных лучей вызвано падением какого-либо
луча на ребро идеально проводящего тела.
Комплексная амплитуда Ё^иф(Л/) напряженности электри-
ческого поля дифракционного луча в точке Л/ выражается через ее
значение в некоторой точке Л/g того же луча формулой, анало-
гичной (8.32). Однако в рассматриваемом случае в точке ди-
фракции Л/о один из главных радиусов кривизны (например, Рг)
обращается в нуль (р2->0 при Л/п —> Л/о) : ребро является особой
линией (каустикой) для дифракционных лучей. Поэтому, устремляя
в выражении для Е^*(Л/) точку Л/о к Л/о, получаем
Ё^(Л/) = СЕ(Л/о)7Р1 /ЩИ + P1)] ехр (8.39)
где
С£(Л/0)= lim (ЁГ(Ч)ТрД (8.40)
Для вектора Н^*(Л/) получается аналогичная формула,
в правую часть которой вместо СЕ (Л/о) войдет СН(Л4>) =
= lim {нГ(Ч)7р?Ь
N[j->Wo
16-45 241
В отличие от ко-
мплексных амплитуд
ЕТ” и НГ”. которые,
как это следует из фор-
мул (8.32) и (8.40), в
точке Wo обращаются
в бесконечность, ве-
личины C£(W0) и
CH(W0) являются огра-
ниченными.
Редиус кривизны
ПРФ дифракционной
волны зависит от фо-
рмы ребра и напра-
вления падающего
луча. Его можно вы-
числить для любой
конфигурации ребра по
формуле
pi =- posin2 p/(cosy +
+ Pop sin P), (8.41)
где у-угол между рассматриваемым дифракционным лучом и
внутренней нормалью к ребру тела в точке Wo; p-угол между
падающим лучом и касательной к ребру в точке Wo; р0-радиус
кривизны ребра в точке Wo, а р - производная угла р по длине дуги
вдоль ребра в точке Wo (рис. 8.14).
Келлер предположил, что поле дифракционного луча связано
с полем падающего луча в точке дифракции в случае криво-
линейного ребра практически так же, как в случае прямолинейного
ребра. Поэтому указанная связь в случае идеально проводящего
тела с криволинейным ребром, радиус кривизны которого ро»К,
может быть установлена на основе анализа решения задачи
дифракции плоской электромагнитной волны на идеально про-
водящем клине. В точке дифракции Wo ребро этого клина должно
совпедать с касательной к ребру рассматриваемого тела, грани - с
плоскостями, касательными к поверхности тела, а направление
распространения плоской волны - с - направлением падающего
луча, приходящего в точку Wo. Известно, что такая задача (при
произвольном падении волны) сводится к анализу дифракции двух
независимых плоских волн, в одной из которых вектор Н° пер-
пендикулярен ребру клина, а вектор Ё° имеет параллельную
ребру составляющую (Е - поляризация), а во второй - состав-
242
ляющую, параллельную ребру, имеет вектор Н° (Н- поляризация).
При решении задачи можно ограничиться определением лишь
параллельных ребру клина составляющих векторов Ё*1* и
так как все остальные составляющие векторов поля можно вы-
разить через fzffl и Соответственно можно ограничиться
определением связи между C^f(W0) и Н^ц(Л/0), а также между
C,f(W0) и Н“ц(Л/0), где qf(W0) и фЛ/0) - проекции векторов
СЕ(Л/0) и СН(Л/О) на ребро клина в точке /Щ. Келлер предположил,
что эти величины пропорциональны, т.е.
^(Л/о) = Н“||(Л/о)СЕ(Л/о) и С»(Л/0) = ^||(Л/0)Он(Л/0), (8.42)
а коэффициенты пропорциональности и D^Nq) назвал
коэффициентами дифракции.
Подставляя (8.41) и (8,42) в (8.35), получаем
^(W)-x(%)^i|(%)DE(W0)exp(-ifc^), (8.43)
где
Х(Л/О) = {£[1-(f/p0)(cosy+ pDpsin p)/sin2 р]}1/2. (8.44)
Аналогично записывается выражение для .
Коэффициенты дифракции определяются путем сравнения
выражения (8.43) и аналогичного выражения для Hffi, записан-
ных для случая прямолинейного ребра, с асимптотическими вы-
ражениями для тех же составляющих векторов поля, выте-
кающими из строгого решения задачи дифракции плоской эле-
ктромагнитной волны на идеально проводящем клине. Келлером
были получены следующие формулы:
De 1 _ sin (л/л)exp (-iTt/4)
DH J n sin pi/2nfc
cos — - cos ———'j T
n n )
f n Ф1+ФП
fl cos — cos———
In n
(8.45)
где n = (2л - П)/л, П - угол эквивалентного клина (рис.2.4), а <р0 и
о, - соответственно углы между проекциями падающего и диф-
ракционного лучей на плоскость, перпендикулярную к ребру тела в
точке дифракции Л/о, и линией пересечения этой плоскости с
плоскостью, касательной к освещенной стороне поверхности тела
в точке Л/о (рис.8.14). Формулы (8.45) не позволяют рассчитать
поле вблизи границы "свет-тень": при <pj = п± <р0 правая часть
16* 243
формулы (8.45) обращается в бесконечность. В дальнейшем были
получены также выражения для коэффициентов дифракции,
непрерывные на границе "свет-тень" (см., например, [23]).
Дифракционные лучи, возникающие на плавно изогнутой
поверхности идеально проводящего тела. В этом случае
(рис. 8.15) дифракционный луч состоит из двух частей: из отрезка
(Л/о- Ni) геодезической линии и касательной к поверхности тела в
точке Л/, отрыва луча. Как обычно, предполагается, что фазы
составляющих векторов поля изменяются линейно вдоль всего
дифракционного луча, а величины векторов поля дифракционного
и падающего лучей пропорциональны. Коэффициенты пропор-
циональности также называют коэффициентами дифракции.
Векторы Ё° и Н° поля падающего луча в точке дифракции Л/о
перпендикулярны к поверхностному лучу. Это поле в общем
случае можно представить в виде двух волн, одна из которых
имеет в точке Л/о только касательную к поверхности тела (но
перпендикулярную к поверхностному лучу!) составляющую комп-
лексной амплитуды вектора напряженности электрического поля
и нормальную к поверхности тела составляющую комплекс-
ной амплитуды вектора напряженности магнитного поля Н°, а
другая, наоборот, только составляющие Ё°„ и Каждая из
этих волн возбуждает свою поверхностную волну, распростра-
няющуюся вдоль рассматриваемого поверхностного луча неза-
висимо от второй волны. Следовательно, вместо коэффициента
дифракции для вектора Ё** (или Н^*), который в общем случае
является тензором, можно ввести скалярные коэффициенты диф-
ракции для каждой из составляющих и (или соот-
ветственно для и Н^).
Рассмотрим вначале поле поверхностного луча, возникающее
в случае волны с составляющими Ё^, и В качестве лучевой
трубки выберем узкую полоску
поверхностных лучей (рис. 8.15).
Обозначим ее ширину в точке Л/о
через Дст0, а в точке Л/ь отстоящей
от Л/q на расстояние s, через До (з).
Пусть средний за период поток
энергии через поперечное сечение
полоски Да(з) равен PCp(s), а
через сечение До (s + ds) равен
Pep (s + ds).
244
Как уже отмечалось, от поверхностного луча в каждой его
точке отщепляется прямолинейный дифракционный луч, идущий
вдоль касательной к поверхностному лучу в точке отрыва. Это
эквивалентно излучению энергии с полоски поверхностных лучей.
Предположим, что изменение потока энергии dP = Рср (s + ds) -
- Pep (s) на участке от s до s + ds вдоль выбранной лучевой трубки
пропорционально потоку энергии Рср(з) и длине участка ds, т.е.
справедливо равенство
dP=-2aP(s) ds, (8.46)
где 2a - коэффициент пропорциональности, а знакпоказывает,
что поток энергии уменьшается вдоль луча. Величина а зависит от
формы поверхности тела. Интегрируя формулу (8.46), находим
P(s) = Ро ехр | -2 ja(t)dt
к о
(8.47)
где Ро - средний за период поток энергии через сечение Да0.
Переходя от P(s) к комплексной амплитуде напряженности
электрического поля поверхностного луча (в рассматриваемом
случае имеется только составляющая Етп), получаем
^Ф(Л/1) = ^(Ч)[Ло1>/Да(5)]1;2ехр - ifcs+Ja(t)dt . (8.48)
I о
Здесь Д(Уо/Дст(5) - отношение ширины полоски поверхностных
лучей при s = 0 (т.е. в точке Л/о) к ее ширине на расстоянии s от Лст0
или, точнее, предел этого отношения, когда ширина полоски стре-
мится к нулю. Вводя коэффициент дифракции D[Nq), перепишем
выражение (8.48) в виде
= О(Л/а)Н°я(Л/0)[Дст„/До(5)]1/г ехр.
i fcs+ f a(t) dt
о
. (8.49)
Формула (8.49) определяет поле поверхностного луча в точке
WA через поле педающего луча в точке дифракции Л/о.
Закон изменения амплитуды рассматриваемой составляющей
вдоль прямолинейного луча NA^>N устанавливается так же, как и в
случае дифракционных лучей, возникающих на ребре. Предпо-
ложим, что вектор напряженности электрического поля прямо-
линейного дифракционного луча в точке отрыва Л/, пропор-
ционален вектору напряженности электрического поля поверх-
ностного луча в этой же точке. Коэффициент пропорциональности
(коэффициент дифракции) обозначим через 0(7^). Так как в
рассматриваемом случае один из главных радиусов кривизны
ПРФ, соответствующей прямолинейным дифракционным лучам,
245
отщепляющимся от поверхностных лучей (например, р2), в точке
Л/, равен нулю, то значение в точке Л/ определяется вы-
ражением
H^(W) = D(W0)D(WJE^(4)[Aa0/Ms)]l/2{p1/[e(e + p1)l}1'2x
хехр
ik(s+£)+ja(t)dt ,
о J
(8.50)
где t- расстояние между точкой отрыва прямолинейного луча от
поверхности тела (Л/,) и точкой наблюдения (N}, ар, - отличный от
нуля радиус кривизны ПРФ дифракционной волны, соответ-
ствующей прямолинейным лучам, в точке Л/,.
Коэффициенты дифракции D(N0) и D(A/,) должны одинаковым
образом зависеть от свойств поверхности тела (и других пара-
метров) в соответствующих точках, так как только в этом случае
поле, определяемое формулой (8.50), будет удовлетворять тео-
реме взаимности (см. 5.8).
Направление вектора Ёж в точке N такое же, как в точке W,, а
в точках поверхностного луча оно совпадает с направлением
нормали к поверхности тела, т.е. изменяется вдоль луча.
Аналогично анализируется случай падения волны с другой
поляризацией.
Для определения коэффициента дифракции и постоянной а
Келлер предположил, что они определяются редиусом кривизны
поверхности тела в плоскости падения (в плоскости, проходящей
через нормаль к поверхности тела и падающий луч) и не зависят
от других характеристик поверхности. Это позволило определить
параметры D и а на основе анализа дифракции плоской волны на
идеально проводящем круговом цилиндре.
Составляющим Етп и Е™ соответствуют разные коэффи-
циенты дифракции и постоянные а. Более подробно вопрос о
применении ГТД для анализа дифракции электромагнитных волн
на гладких выпуклых телах, формулы для коэффициентов ди-
фракции и постоянных а, а также другие проблемы ГТД рас-
смотрены в [23].
246
Глава 9
ОБЩИЕ СВОЙСТВА НАПРАВЛЯЕМЫХ ВОЛН
9.1. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ И НАПРАВЛЯЕМЫЕ
ВОЛНЫ
Кроме свободно распространяющихся волн, рассмотренных в
предыдущих главах, существуют волны, распространение которых
возможно только при наличии каких-либо направляющих элемен-
тов (границы раздела сред, металлических, диэлектрических или
пол у проводящих трубок, стержней и др.). Такие волны называют
направляемыми. Совокупность направляемых элементов образует
направляющую систему. Направляющие системы служат для пе-
редачи энергии электромагнитной волны от источника (генерато-
ра) к потребителю например от передатчика к антенне, от прием-
ной антенны ко входу приемника и т.д. В связи с этим направляю-
щие системы называют также линиями передачи энергии или,
более коротко, линиями передачи. Направляющую систему, у ко-
торой поперечное сечение и другие параметры не меняются в
продольном направлении, называют однородной. На рис.9.1 изо-
бражены поперечные сечения некоторых используемых на прак-
тике однородных направляющих систем: двухпроводной (а), коак-
сиальной (б), экранированной двухпроводной (в), симметричной (е)
и несимметричной (б) полосковых линий, диэлектрического волно-
вода (е), световода (ж) и полых металлических волноводов: пря-
моугольного (з), круглого (а) и эллиптического (к).
247
Все линии передачи можно разделить на два класса: линии
открытого типа (см., например, рис. 9.1, а, г, 5, е, ж) и линии закрыто-
го типа (см., например, рис.9.1, б,в,з,и,к). В линиях передачи за-
крытого типа вся передаваемая энергия сосредоточена в области,
экранированной от внешней среды металлической оболочкой той
или иной формы. В линиях открытого типа электромагнитное поле,
строго говоря, распределено во всем пространстве, окружающем
линию. Линии открытого типа обычно выполняют таким образом,
чтобы подавляющая часть передаваемой энергии была сосредо-
точена в непосредственной близости к линии. Тем не менее линии
открытого типа подвержены влиянию внешних воздействий. На
волны в таких линиях влияют электромагнитные поля, созданные
другими источниками, и внешние условия (например, метеороло-
гические: дождь, снег, обледенение).
По структуре поля направляемые волны делятся на попереч-
ные, электрические, магнитные и гибридные.
Поперечными волнами, или ТЕМ-вопнами (Т- первая буква
английского слова transvers, что означает поперечный), называют
волны, у которых векторы Е и Н перпендикулярны направлению
распространения волны, т.е. не имеют продольных составляющих.
Отметим, что в соответствии с ГОСТ 18238-72 (Линии передачи
сверхвысоких частот. Термины и определения) эти волны полага-
ется называть Т-волнами. Однако это название практически не
используется ни в зарубежной, ни в отечественной литературе.
Поэтому в книге сохранен общепринятый термин ТЕМ-волны.
Электрическими волнами, или Е-волнами, называют волны, у
которых вектор Е имеет как поперечные, так и продольную состав-
ляющие, а продольная составляющая вектора Н равна нулю. Е-
волны иногда называют поперечными магнитными волнами или
Т/И-волнами.
Магнитными волнами, или Н-волнами, называют волны, у ко-
торых вектор Н имеет как поперечные, так и продольную состав-
ляющую, а продольная составляющая вектора Е равна нулю. Н-
волны иногда называют поперечными электрическими волнами
или ТЕ-волнами.
Гибридными, или смешанными волнами называют волны, у
которых и вектор Е, и вектор Н наряду с поперечными составляю-
щими имеют и продольные составляющие.
9.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОПЕРЕЧНЫМИ И ПРОДОЛЬНЫМИ
СОСТАВЛЯЮЩИМИ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим произвольную бесконечно протяженную однород-
ную направляющую систему, ориентированную вдоль оси Z. Будем
считать, что направляющая система не вносит потерь.
248
В области, где отсутствуют сторонние источники, комплексные
амплитуды векторов Е и Н, соответствующие волне, бегущей
вдоль однородной линии передачи, могут быть представлены в
виде
Ёт = Ё°(^, д) exp(Tipz), Hm = Н°(^, n)exp(+ipz), (9.1)
где р = const (коэффициент фазы), а £ и д - координаты, изме-
няющиеся в поперечном сечении рассматриваемой линии пере-
дачи. Выбор конкретной системы координат зависит от формы
поперечного сечения линии. Множитель exp(-ipz) соответствует
волне, бегущей в положительном направлении оси Z, а множитель
exp(ipz)-волне, бегущей в обратном направлении. Для опре-
деленности будем считать, что волна распространяется в поло-
жительном направлении оси Z. Если потребуется рассмотреть
волны, бегущие в обратном направлении, это всегда будет ого-
ворено.
Векторы Ёт и Нт должны удовлетворять однородным урав-
нениям Гельмгольца (2.32) и (2.33) соответственно. С учетом
формул (9.1) эти уравнения при е=е и д = ц могут быть пере-
писаны в виде
?1Ёт + у1Ёт = 0, V2Hm +уЯ = 0, (9.2)
где
у2 =/с2-р2 =(О2ед-р2, (9.3)
а оператор V2 = V2-52/5z2. Величину У1 называют поперечным
волновым числом.
Покажем, что в тех случаях, когда векторы Ёт иНт (оба или
один из них) имеют продольные составляющие, нахождение поля
направляемой волны может быть сведено к определению состав-
ляющих Ёт и Нт, так как поперечные составляющие векторов
поля выражаются через продольные. Проецируя уравнения Макс-
велла (1.76) на оси X и Y декартовой системы координат и
учитывая, что в рассматриваемом случае дифференцирование по
переменной z эквивалентно умножению на (- i р), получаем
дН 5Н
—^ + 1^ = i(osEmx, -фНтя-—~~ = ^Ету.
ду дх
^ + ipHmy = -i<opHmx, -ip^-^^-ra^.
Система уравнений (9.4) позволяет выразить составляющие
и Нту через Ё^ и Нт. После элементарных преоб-
разований имеем
(9-4)
249
г a / 3Emi dH
y. E„,. =-l В——+ w|i !
1 ™ ax av
y! = - i ( <oe +p
u my I ax Hay
' * .
Система уравнений (9.5) связывает поперечные и продольные
составляющие векторов поля в декартовой системе координат.
Для выражения этой связи в произвольной системе координат
перейдем к векторной форме уравнений (9.5). Введем векторы
Ётл ~ ^0 ^тх + У0 (9-6)
Hml =x0Hfflx+y0Hffly, (9.7)
связанные с Em и Hffl соотношениями Ёт = Em±+z0 Ётг и Нт =
= Hml+z0Hmr. Подставляя в (9.6) вместо Ё^ и Ёт/ их выражения
из (9.5), приходим к равенству
^-.р^ + У,—J + '^X0 —+ Уо—J,
которое может быть переписано в виде
г!Ёга1 = -ip grad± Ё^+квр [г0, grad± (9.8)
где оператор grad±= хо3/3х + у$18у - grad - zoc/<?z.
Аналогично доказывается равенство
= -ip gradi Нт-icoc [z0, grad± Ёт1]. (9.9)
Продольные составляющие ЁтгиНгаг удовпетворяютуравнениям
^^г + У1Ёт2=0 и ?2Ж+У2Хг= 0- (9.Ю)
вытекающим из (9.2).
Таким образом, для определения поля Е-, Н- и гибридных
волн достаточно найти составляющие Ётг и Нтг путем решения
уравнений (9.10) с учетом краевых условий, соответствующих
рассматриваемой направляющей системе, а для вычисления
поперечных составляющих использовать равенства (9.5) или (9.8)
и (9.9).
250
У ТЕМ-волн продольные составляющие векторов Ёт и Нт
отсутствуют (Ётг = 0 и Hmz =0). Однако, как будет видно из даль-
нейшего, соотношения (9.5) или эквивалентные им равенства (9.8)
и (9.9) оказываются полезными и в этом случае.
9.3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ,
МАГНИТНЫХ И ГИБРИДНЫХ ВОЛН
В случае электрических {Ётг * 0, Нт2 = 0), магнитных (Нтг * 0,
Emz =0) и гибридных (Ёдаг *0 и Hmz *0) волн постоянная у± от-
лична от нуля. Это следует, в частности, из равенств (9.8) и (9.9).
Для каждой конкретной линии передачи она может быть опре-
делена в результате решения уравнений (9.10) и учета краевых
условий, соответствующих этой линии. Постоянная зависит от
формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от типа
распространяющейся волны, но не зависит от частоты.
Выражая коэффициент фазы р из (9.3), получаем
P = #2-/i- (9.11)
Так как к ~2nf^ix, то в зависимости от частоты подкоренное
выражение в (9.11) может быть положительным (при /г>у±), рав-
ным нулю (при к = ух) или отрицательным (при к < у±).
В первом случае параметр р - действительное число и фазы
составляющих векторов поля в фиксированный момент t = t0= const
линейно зависят от координаты z, что является признаком рас-
пространения волны вдоль оси Z с постоянной скоростью = со/р.
Как будет видно из дальнейшего, распространение волны в этом
случае сопровождается переносом энергии вдоль оси Z.
В третьем случае к<у±. Подкоренное выражение в (9.11)
оказывается отрицательным, и р — i | р |. Знак в правой части
последнего равенства выбран из физических соображений: при
этом множитель ехр (-ipz) = ехр (-1 р I z) и амплитуды состав-
ляющих векторов Ёт и Нт экспоненциально убывают вдоль оси
Z. Если принять p = ilp|, то амплитуды векторов поля будут
возрастать с удалением от источников, что в рассматриваемой
задаче физически невозможно. Фазы составляющих векторов поля
в данном случае не зависят от координат: поле имеет характер
стоячей волны и экспоненциально уменьшается вдоль оси Z.
Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не
происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля
251
вдоль линии передачи не связано с потерями энергии; рас-
сматривается идеальная направляющая система, в которой поте-
ри отсутствуют.
Во втором случае параметр р = 0. Такой режим называют
критическим. Частота f=fKp, определяемая из условия /г = у±,
называется критической частотой:
fv=yj_/(2n4^}. (9.12)
Соответствующая этой частоте критическая длина волны
Хф=2л/у1. (9.13)
Выражая у± из (9.13) и подставляя в (9.11), получаем
р (9.14)
Как видно, параметр р является действительной величиной,
т.е. поле (9.1) представляет собой распространяющуюся волну,
только при выполнении условия
Х<ХкР. (9.15)
Неравенство (9.15) можно переписать в виде
Г>ГФ. (9.16)
Таким образом, Е-, Н- и гибридные волны в идеальной линии
передачи могут распространяться только на частотах, превы-
шающих некоторую критическую частоту, определяемую форму-
лой (9.12). Отметим, что значение Гкр зависит от формы и размеров
поперечного сечения линии и типа волны.
Неравенство (9.15), а также (9.16) часто называют условием
распространения волны в линии передачи.
По аналогии с обычным определением назовем длиной нап-
равляемой волны Л, распространяющейся в линии передачи,
расстояние между двумя поперечными сечениями, в которых в
один и тот же момент времени фазы составляющих вектора Е (или
Н) отличаются на 2п. Очевидно также, что длина волны Л равна
расстоянию, на которое поверхность равной фазы перемещается
за период. Так как зависимость всех составляющих векторов поля
от координаты z определяется множителем ехр (- ipz), то
A = 27^ = W1/1-(WX^7, (9.17)
а фазовая скорость вычисляется по формуле
n4)^0)/p = c/A/l-(VV- (9-18)
Как видно, при X < Хкр длина волны в линии и фазовая
скорость Е-, Н- и гибридных волн больше соответственно длины
252
волны к = cif и фазовой скорости уф=с
волны, свободно распространяющейся в
безграничной однородной среде без по-
терь с параметрами е и ц.
Отметим, что у Е-, Н- и гибридных
волн фазовая скорость зависит от частоты.
Это явление называют дисперсией волн.
При f = fKp (X = X,p} фазовая скорость равна
бесконечности, при увеличении частоты уф
Рис. 9.2
приближается кскорости света (рис.9.2).
Общие выражения для критической длины волны (9.13),
критической частоты (9.12), коэффициента фазы (9.14), длины
волны в линии (9.17) и фазовой скорости (9.18) одинаковы для Е-,
Н- и гибридных волн. Однако из этого не следует, что значения
перечисленных параметров будут одинаковыми для этих волн.
Критическая длина волны зависит от поперечного волнового числа
(Хкр = 2тс/ух). В свою очередь, значение зависит от формы и
размеров поперечного сечения линии передачи и от структуры
поля распространяющейся волны. Структура поля Е-, Н- и
гибридных волн различна, поэтому в общем случае соответ-
ствующие данным волнам значения ух могут не совпадать. При
этом для указанных волн не будут совпадать и значения
параметров Хкр, 7кр, р, уф и Л.
Перейдем к вычислению характеристических сопротивлений
рассматриваемых волн. По определению характеристическое
сопротивление волны равно отношению поперечных к направле-
нию распространения составляющих векторов Ёт и Нт.
В случае Е-волн поперечные составляющие векторов Ет и
Нт определяются формулами
YiEmi =-ipgrad±
rXi =-icae[z0,grad1EmJ,
(9.19)
(9.20)
получающимися из (9.8) и (9.9) при Hmz -0. Подставляя в (9.20)
выражение для grad±Emz из (9.19), приходим к соотношению
Hml = (foe/p) [z0, Ёт1]. Аналогичное равенство выполняется и для
векторов Ё°=Ё°-г0Ё° и H°=H°-z0H°, где Ё° и Н° - про-
дольные составляющие векторов Ё° и Н°, введенных формулами
(9.1). Как видно, векторы Ёт± и Нт± (а также Ё° и Н°) взаимно
перпендикулярны. Из полученного соотношения вытекает следую-
щее выражение для характеристического сопротивления Е-волн:
Zf= —= Zjl-(WV. (9.21)
где Zc = y/iJe. При этом соотношение, связывающее поперечные
составляющие векторов Ё и Й в случае Е-волн принимает вид
(9.22)
Характеристическое сопротивление Е-волн зависит от длины
волны (от частоты). При X < Хкр оно всегда меньше Zc = JjPe. На
критической частоте (при X = XkP)Zc£=0. При уменьшении X (т.е.
при увеличении частоты от 4Р до бесконечности) zf возрастает от
нуля до Zc (рис.9.3).
Аналогично вычисляется характеристическое сопротивление
ZCH волн Н. Полагая в (9.6) и (9.9) Ёг = 0, получаем
Y^m± - - [z01 grad± Нте], (9.23)
yX± =ipgrad±H№. (9.24)
Подставляя выражение для grad, из (9.24) в (9.23),
приходим к равенству Em± = (-шр/р)[г0,Нт±]. Умножая векторно
обе части этого равенства на орт Zo и раскрывая двойное век-
торное произведение по формуле (П.31), получаем
В 1
=JL[zo,Emil = vr[z0,Eml], (9.25)
где
4* = шц/р = Zc /^-(Ш*)2. (9.26)
Как видно, в случае /-/-волн векторы Ёт1 и Нт± (и соответ-
ствующие им векторы Ё° и Й°), как и аналогичные им векторы в
случае Е-волн, взаимно перпендикулярны. Характеристическое
сопротивление /-/-волн зависит от
частоты. При X < Хвр оно всегда
больше Zc. При увеличении час-
тоты от критической до беско-
нечности ZCH убывает от беско-
нечности до Zc (см. рис. 9.3).
В области волн длиннее кри-
тической (X > Х^р) характеристи-
ческие сопротивления Е- и Н-
волн являются чисто мнимыми
величинами. Это означает, что
254
при X > Хкр поперечные составляющие векторов напряженностей
электрического и магнитного полей EmJ и сдвинуты по фазе
на 90°. Очевидно, что при этом комплексный вектор ПоЙнтинга
принимает чисто мнимые значения, т.е. вдоль линии не
происходит переноса энергии. Поле в линии при X > Хкр является
чисто реактивным. Напомним, что все формулы данного раздела
получены в предположении, что линия является идеальной (не
вносит потерь).
В случае гибридных волн (Ётг и * 0) поперечные сос-
тавляющие векторов Ет и Нт определяются общими формулами
(9.8) и (9.9). Поэтому получить единое простое выражение для
характеристического сопротивления не удается: его величина за-
висит и от линии передачи, и от структуры поля распрост-
раняющейся волны и при X < Хкр может быть как больше, так и
меньше Zc. На частотах, меньших критической (X > Хвр), харак-
теристическое сопротивление гибридных волн также принимает
чисто мнимые значения.
9.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Соотношения (9.8) и (9.9) были получены непосредственно из
уравнений Максвелла. Они должны выполняться для любых
направляемых волн, включая ТЕ/И-волны. Полагая в (9.8) и (9.9)
Етг = 0 и Нтг = 0, приходим к равенствам у^Ет =0 и у*Нт = 0.
Так как Ет± = и Нт1 = Йт, то эти равенства будут выполняться
только при yj = O. При этом из (9.12) и (9.13) следует, что у ТЕМ-
волн fKp = 0 и Хкр =оо. Следовательно, в тех направляющих сис-
темах, в которых возможно распространение TE/W-волн, эти волны
могут существовать на любой частоте вплоть до МО. Поэтому
7Е7И-волны могут распространяться только в тех линиях передачи,
в которых может протекать постоянный ток. Этому требованию
удовлетворяют направляющие системы, состоящие не менее чем
из двух изолированных друг от друга металлических проводников
(двухпроводная, коаксиальная, полосковая, экранированная двух-
проводная линии и др.). В полых металлических трубах с любой
формой поперечного сечения, диэлектрических волноводах и
других аналогичных системах распространение ТЕМ-волн невоз-
можно. Действительно, предположим, что внутри полой идеально
проводящей трубы распространяется ГЕМ-волна. Линии магнит-
ного поля в этом случае должны образовывать замкнутые кривые,
255
лежащие в поперечных плоскостях. Из первого уравнения Макс-
велла следует, что они должны охватывать продольные линии
токов проводимости и(или) смещения. Для существования про-
дольного тока вектор Ёт должен иметь продольную состав-
ляющую (Утг =аЁт2, = коеЁтг). Однако у ТЕМ-волн такой сос-
тавляющей не может быть по определению.
Так как в случае ТЕМ-волн у£= 0, то коэффициент фазы,
фазовая скорость и длина волны будут совпадать с аналогичными
параметрами волны, свободно распространяющейся в безгра-
ничной однородной изотропной среде:
Ртем = к = (9.27)
Уф тем ~ = = С| (9.28)
~ 2п/$тЕМ ~ elf
(9.29)
Характеристическое сопротивление ТЕМ-волны легко нахо-
дится из уравнений (9.4). Полагая в этих уравнениях Ётг = 0 и
= 0, приходим к соотношениям, которые можно записать в
виде векторного равенства
(9.30)
РТЕМ Zc
где
Z™ = ф=2х + Ё2!^2х + Н2 = р^Дож) = 7^ = Zc. (9.31)
Как видно, Z™ совпадает с характеристическим сопро-
тивлением волны, свободно распространяющейся в безграничной
однородной среде с параметрами е и ц.
Отметим, что равенства (9.22), (9.25) и (9.30) однотипны и
отличаются только значениями характеристических сопротивле-
ний. Эти равенства можно объединить в одну формулу:
Hml=yr[z0,Emll, (9.32)
где Z" - характеристическое сопротивление волны, распрост-
раняющейся по линии передачи: для ТЕМ-волны ZC1' = ZC, для Е-
волны Zf = ZE и Zc" = ZCH для Н-волны.
Полагая в уравнениях (9.2) ух= 0, сокращая множитель
exp (-j pz) и учитывая, что в случае ТЕМ-волны Ё° = Ё? и Н° = Н“,
получаем уравнения для векторов Ё° и Н°:
7*Ё°=0 и V*H°=0. (9.33)
256
Поле, удовлетворяющее таким уравнениям, является потен-
циальным. Это означает, что решения уравнений (9.33) могут быть
представлены в виде градиентов от некоторых скалярных функ-
ций, например:
Е° =-gradu°, (9.34)
где функция зависит только от поперечных координат и
удовлетворяет уравнению Лапласа V|2u°=0. Аналогичное пред-
ставление для вектора Н° ± можно не выписывать, так как векторы
Е° и Н°связаны соотношением, аналогичным (9.30): H0=(1/Zc)x
x[z01E°].
В уравнения (9.33) не входит частота. Из этого следует, что
функции Е° и Н°, определяющие структуру поля в поперечных
сечениях линии, не зависят от частоты и могут быть найдены на
основе решения рассматриваемой задачи при f->0. Для опре-
деления вектора Е° достаточно решить двумерную электроста-
тическую звдачу для такой же линии. При этом во многих случаях
целесообразно вначале определить функцию и°, которую можно
трактовать как электростатический потенциал указанной электро-
статической задачи, а затем воспользоваться формулой (9.34).
Функция Н° совпадает с напряженностью магнитного поля, соз-
даваемого постоянными токами, текущими по рассматриваемой
линии при /->0. Поэтому она может быть найдена либо не-
посредственно, если известно распределение токов, либо по
формуле, аналогичной (9.30), после определения вектора Ё°.
Подчеркнем, что аналогия с электростатическим полем и
полем постоянных токов относится лишь к распределению поля в
плоскости поперечного сечения. Закон распределения поля ТЕМ-
волны вдоль оси Z существенно отличается от соответствующих
постоянных полей. Вместо однородного распределения вдоль оси
Z, характерного для случая электростатического поля и поля
постоянных токов, распределение поля TE/W-волны имеет волно-
вой характер. У ТЕМ-волны поля в поперечной плоскости, сов-
пвдая по конфигурации силовых линий с соответствующими
постоянными полями, не остаются неизменными во времени, а
непрерывно меняют свою величину по гармоническому закону.
При неидеальной проводимости металлических проводников,
образующих линию, электромагнитное поле проникает в металл. В
соответствии с граничным условием Леонтовича-Щукина (7.52)
появляется отличная от нуля касательная составляющая напря-
женности электрического поля, параллельная оси Z, что делает
невозможным существование ТЕМ-вапны. Однако при достаточно
17-45 257
высокой проводимости металла структура поля распространяю-
щейся волны настолько мало отличается от структуры поля
ТЕМ-волны в идеально проводящей системе, что этим отличием
во многих случаях можно пренебречь.
Очевидно, что структуры полей Е- и Я-волн при неидеальной
проводимости металлических элементов линии передачи также
будут несколько отличаться от структур соответствующих волн в
случае идеальной проводимости указанных элементов. Эти отли-
чия также будут незначительными, и, если речь не идет о
вычислении потерь линии, ими обычно пренебрегают.
9.5. КОНЦЕПЦИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Свойства Е-, Н- и гибридных волн существенно отличаются от
свойств ТЕМ-волн. Эти отличия легко объясняются, если пред-
положить, что Е-, Я- и гибридные волны могут быть представлены
в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн, распространяю-
щихся под некоторым углом к оси линии передачи (оси Z).
Распространение парциальных волн в этом случае может про-
исходить, например, вдоль ломаной пинии путем многократных
отражений от стенок (рис.9.4) или других элементов направ-
ляющей системы. Если направляющая система заполнена неод-
нородной средой, характер распространения парциальной волны
может быть более сложным.
У ТЕМ-волны, распространяющейся непосредственно вдоль
оси Z (рис.9.5), векторы Ёти Нт лежат в поперечной плоскости
(перпендикулярны оси Z). У парциальной ТЕМ-волны векторы Ёт
и Нт лежат в плоскостях, перпендикулярных отрезкам ломаной
линии (рис. 9.4), вдоль которой распространяется парциальная
волна. В данном случае по меньшей мере один из векторов (Ёт
или И,,,) будет не перпендикулярен оси Z. При этом либо вектор
Ёт (рис.9.6), либо вектор Нт (рис.9.7), либо оба вектора (и Ёт,и
Нт) будут иметь продольные составляющие, что соответствует Е-,
Я- и гибридной волнам, распространяющимся вдоль оси Z.
Рис. 9.5
258
Рис. 9.S
Используем представление о парциальных волнах для объяс-
нения полученных выше результатов: длина волны в линии и
фазовая скорость у Е-, Н- и гибридных волн больше соответ-
ствующих параметров ТЕМ-волны, характеристическое сопротив-
ление у Е-волны меньше, а у Н-волны больше характеристи-
ческого сопротивления ТЕМ-волны.
В случае Е-, Н- и гибридных волн парциальная ТЕМ-волна
распространяется вдоль линии, образующей угол ф с осью Z
(рис. 9.8). Поверхности равных фаз (ПРФ) этой волны перпен-
дикулярны оси Z' и перемещаются вдоль нее с фазовой скоростью
ИфТ£м= ХУТ, где Т - период электромагнитных колебаний. За время
Т каждая ПРФ, например ПРФ 1-1' на рис. 9.8, переместится вдоль
оси Z' на расстояние X (расстояние 1-2 на рис.9.8). Путь, прой-
денный этой же ПРФ за время Т вдоль оси Z, будет больше и
равен расстоянию между точками 1' и 2'. Соответственно длина
волны вдоль оси Z (длина волны в линии в случае Е-, Н- и
гибридных волн) будет больше X и равна А = Х/созф. Отсюда
фазовая скорость по оси Z равна кф= А/Т= XJ(T cos ф) = с/соБф,
т.е. фазовые скорости Е-, Н- и гибридных волн больше скорости
света в данной срвде.
Из рис. 9.6, соответствующего Е-волне, видно, что амплитуда
поперечной относительно оси Z составляющей напряженности
электрического поля (Ех на рис. 9.6) меньше амплитуды вектора Е
парциальной волны, тогда как амплитуды напряженности маг-
нитных полей у обеих волн совпадают (см. рис.9.6). Сле-
довательно, у Е-волны, распространяющейся вдоль оси Z, отноше-
ние поперечных составляющих на-
пряженностей электрического и маг-
нитного полей меньше, чем у пар-
циальной ТЕМ-волны. Соответст-
венно Z£< Z™. У Н-волн амп-
литуда поперечной составляющей
напряженности магнитного поля (Ну
на рис. 9.7) меньше амплитуды попе-
речной составляющей напряженнос-
17* 259
Рис. 9.8
ти магнитного поля парциальной TE/W-волны, тогда как амплитуды
поперечных составляющих напряженностей электрических полей у
обеих волн совпадают (см. рис.9.7). Следовательно, характерис-
тическое сопротивление /-/-волны больше, чем характеристическое
сопротивление TE/W-вол-ны (ZCH> ZCTEM).
Сравнивая формулы для А, ZCE и ZCH с формулами (9.17),
(9.18), (9.21) и (9.26) соответственно, замечаем, что они будут
совпадать, если считать со5ф=^1-(Х/Хф)2 или, что то же самое,
sin ф = АДкр- Как видно, угол ф между осями Z' и Z зависит от X. При
Х->0 (7->к>) угол ф—>0, при Х-Дкр (/->4р) угол ф-мг/2.
Концепция парциальных волн впервые была сформулирована
Бриллюэном применительно к частному случаю распространения
волны Hw (см. 10.1) в прямоугольном волноводе. В дальнейшем
она была обобщена Г. 3. Айзенбергом [25] на случай любых на-
правляемых волн.
9.5. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Скорость распространения энергии направляемой волны
может быть вычислена по формуле (1.162). Трубка, по площади
поперечного сечения AS которой ведется интегрирование в (1.162),
должна выбираться так, чтобы отсутствовал поток энергии, пер-
пендикулярный ее боковой поверхности. Например, в линиях
передачи закрытого типа, ограниченных идеально проводящей
металлической оболочкой, под AS следует понимать поперечное
сечение линии передачи. Если металлическая оболочка не иде-
ально проводящая, то появляется перпендикулярный к ней поток
энергии (см.7.8.2). Поэтому поперечное сечение энергетической
трубки AS, строго говоря, должно простираться до бесконечности.
Аналогично должно быть выбрано поперечное сечение энер-
гетической трубки в случае линий передачи открытого типа.
До сих пор рассматривались исключительно монохромати-
ческие волны. Однако реальные электромагнитные сигналы явля-
ются немонохроматическими: они состоят из конечного либо
бесконечного числа монохроматических колебаний с различными
частотами. В системах, в которых имеет место дисперсия волн,
например линии передачи с использованием Е-, Н- или гибридных
волн, диэлектрическая среда с потерями и др., фазовая скорость
монохроматической волны зависит от частоты; проходя один и тот
же путь, монохроматические волны разной частоты получают
разные фазовые сдвиги. В результате изменяется сдвиг по фазе
260
между колебаниями, образующими сигнал. Соответственно изме-
няется форма сигнала - сигнал искажается. Чем уже спектр
сигнала, тем меньше разница между фазовыми скоростями от-
дельных монохроматических волн, тем очевидно меньше эти иска-
жения.
Для характеристики перемещения немонохроматических сиг-
налов вводят понятие групповой скорости, обозначая этим тер-
мином скорость перемещения максимума огибающей группы моно-
хроматических волн, близких между собой по частоте.
Пусть в диспергирующей системе распространяется эквивалентная неко-
торому сигналу в общем случае бесконечная сумма монохроматических волн.
Мгновенное значение любой составляющей напряженности электрического поля
Е (z, f), соответствующего этому сигналу, можно записать в виде интеграла
E(z,t)= J An(o)exp{i[<Df-p(<u)z]}</ca,
(9.35)
где Дт(а) = Ат(й)ехр[1ч)(,(й))], Дт(ю) и ц;0(<о)-амплитуда и начальная фаза рас-
сматриваемой составляющей вектора Е монохроматической волны частоты со, а
Р(со) - коэффициент фазы этой волны. Если спектр сигнала достаточно узкий и
заключен в интервале частот Аш £ й <ю0+ Ай, то можно считать, что вне этого
интервала Am(a) = 0. При этом формула (9.35) принимает вид
E(z,t)= jAm(<o) ехр {i[af-Kco)z]}cio.
(9.36)
Разлагая коэффициент фазы р(<о) в ряд Тейлора в окрестности частоты «о,
получаем
№>) = р0+-^-
(й-ю0)г +...,
(9.37)
где Ро= Р(йо) - коэффициент фазы монохроматической волны частоты Пос-
кольку спектр сигнала узок, то в (9.37) можно ограничиться двумя первыми
членами. При этом из (9.36) следует равенство
° яа
f Am(w)exp i((o-wD)
J Ail
Z )dto.
(9.38)
Чтобы не усложнять изложение, предположим, что у передаваемого сигнала
Ат(о)-четная функция относительно и = юо. Тогда формула (9.38) принимает вид
<"“+4“ ( за 'l
E(ztf) = exp[i(a0t-p(,z)H2 f A^COS (й-<00) f—z drak (9.39)
4 [ ( JJ
Выражение в фигурных скобках в правой части равенства (9.39) представляет
собой амплитуду рассматриваемой составляющей вектора Е сигнала, которая,
очевидно, имеет максимум при соз[(<о-со0)(г-ер/5о|т=^ z)] = 1. Любая другая
составляющая вектора Е немонохроматического сигнала также будет иметь
максимум амплитуды при выполнении сформулированного условия.
261
Следовательно, максимум сигнала непрерывно перемещается
вдоль оси Z со скоростью
уф =dzldt = 1/ар/Зсо. (9.40)
По определению эта величина и является групповой ско-
ростью. Индекс (о = ©о в (9,40) опущен, поскольку центральная
частота w0 была выбрана произвольно. Так как при выводе
формулы (9.40) в разложении (9.37) были сохранены только два
первых члена, то условием применимости формулы (9.40) явля-
ются медленное изменение коэффициента фазы р(«) вблизи
частоты ш0 и узость спектра сигнала, При невыполнении этих
условий влияние дисперсии становится весьма заметным, и сигнал
в процессе распространения так сильно меняет свою форму, что
само понятие групповой скорости теряет смысл.
В направляющих системах коэффициент фазы описывается
выражением (9.14). Подставляя (9.14) в (9.40), находим групповую
скорость направляемых волн;
Hrp=-i = cJl-(X7V- (9.41)
ИЕЦ ’
Как видно, при X < ХкР у Н- и смешанных волн vT<c, а у
TE/W-волн vrp = с. Сравнивая (8.41) и (8.18), замечаем, что
= °2 = (9'42)
В окрестности максимума сигнала, очевидно, сосредоточена
основная часть энергии. Поэтому скорость перемещения мак-
симума сигнала, т,е. групповая скорость, характеризует скорость
перемещения энергии электромагнитного поля сигнала по линии
передачи, Так как сигнал предполагался узкополосным, то эта
скорость должна мало отличаться от скорости распространения
энергии иэ монохроматической волны, т.е. иэ» уф. Как показывают
расчеты пр формуле (1.162), на которых не будем останав-
ливаться, в линиях передачи закрытого типа и некоторых других
направляющих системах без потерь уэ=Угр. Поэтому скорость
распространения энергии уэ в идеальных линиях передачи можно
определять по формуле (9,42) с учетом (9.41):
уэ=с2/уф=с71-(Шф)г. (9.43)
Как и следовало ожидать, уэ < с для Е-, Н- и гибридных волн,
и уэ=с для ТЕМ-волн. Зависимость уэ от частоты для Е-, Н- и
смешанных волн показана на рис.9.2. При Х=Хкр скорость рас-
пространения энергии равна нулю и по мере повышения частоты
приближается к скорости света в данной среде.
262
Этот же вывод о соотношении между уэ и с для Е-, Н- и
смешанных волн следует непосредственно из концепции парци-
альных волн. Как уже отмечалось, Е-, Н- и гибридные волны,
распространяющиеся вдоль оси Z, могут быть представлены в
виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн, распространяющихся
по зигзагообразному (или криволинейному) пути под некоторым
углом <р к оси Z. Скорость распространения энергии парциальных
TE/W-волн совпадает со скоростью света в среде, заполняющей
линию передачи. Так как зигзагообразный путь длиннее, чем
прямой путь вдоль оси Z, то скорость распространения энергии Е-,
Я- и гибридных волн меньше скорости распространения энергии
ТЕМ-волн и равна v3 = v™ cos ф = с cos ф.
9.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
9-7.1. Мощность, переносимая электромагнитной волной
по линии передачи
Средний за период поток энергии через элементарную пло-
щадку dS, расположенную в поперечном счении S± линии пере-
дачи, равен dPcp = ReHzdS, где
=^z0[E01,Hi]) = -^(Ei[z0,H^]). (9.44)
Перепишем соотношение (9.32) для комплексно сопряженных
векторов и подставим его в (9.44). Раскрывая получающееся при
этом двойное векторное произведение по формуле (П.31), при-
ходим к равенству
ReQ' = 2^=^;ld°l' . (9-45)
где Ео- максимальное значение напряженности электрического
поля в линии передачи, ё° =Ё°/Е0-безразмерная функция, за-
висящая только от поперечных координат (в общем случае д) и
определяющая структуру электрического поля в поперечном се-
чении линии, а ^-характеристическое сопротивление распро-
страняющейся волны. Напомним, что для ТЕМ-, Е- и Н-волн Zcn
равно Zc, Zc и ZCH соответственно.
Таким образом, средний за период поток энергии Р<# через
поперечное сечение линии передачи или, что то же самое, сред-
няя мощность, переносимая волной по линии передачи, опреде-
ляется выражением
Р. = Re j П, dS = Л. j jE'f dS = J |e”,f dS. (9.46)
263
9.7.2. Предельная и допустимая мощности
Как видно из формулы (9.46), передаваемая по линии
мощность Рср пропорциональна Е02, т.е. чем больше Рср, тем бо-
льше максимальное значение напряженности электрического поля.
Поэтому при увеличении передаваемой мощности в направ-
ляющей системе может возникнуть электрический разряд, т.е.
наступит электрический пробой воздуха или диэлектрического
заполнения. Плотность тока проводимости в разрядном проме-
жутке достигает относительно больших значений (15А/смг и бо-
лее), что приводит к интенсивному выделению тепла и резкому
повышению температуры в месте пробоя. Кроме того, активное
сопротивление разрядного промежутка ввиду значительной пло-
тности электронов в нем (до 1015электрон/см3) мало, и пробой
вызывает почти полное короткое замыкание линии передачи в том
сечении, где происходит разряд. Поступление мощности в нагрузку
практически прекращается, так как большая часть энергии па-
дающей волны отражается от места, где произошел пробой. Это
может привести, например, к выходу из строя генератора, либо к
другим нежелательным эффектам.
Увеличение уровня передаваемой средней мощности по
реальной линии передачи приводит к увеличению мощности
потерь в металлических элементах линии и заполняющем диэ-
лектрике, что сопровождается нагревом последних. Если при этом
нагреве температура любого материала, из которого изготовлена
линия, достигает некоторой предельной величины, происходит его
разрушение (например, расплавление диэлектрика) и наступает
так называемый тепловой пробой. Поэтому максимальное значе-
ние передаваемой по линии мощности ограничено как электри-
ческим, так и тепловым пробоем.
Для определения максимальной передаваемой по линии
мощности вводят понятия предельной и допустимой мощностей.
Предельной (РПред) называют наименьшую мощность, при которой
возникает либо электрический, либо тепловой пробой в режиме
бегущей волны (см. гл.12). Допустимую мощность (Рдоп) прини-
мают в несколько раз меньше предельной: Рдоп= (0,2...0,3) PnpeR.
Это связано с тем, что появление отраженных волн в реальной
линии (см, гл. 12) приводит к увеличению напряженности электри-
ческого поля в отдельных сечениях линии, что может привести к
электрическому или тепловому пробою при мощности существенно
меньшей Рпред.
Величина Рпред, связанная с электрическим пробоем опреде-
ляется предельной напряженностью электрического поля Ео=Епрел,
при которой возникает электрический разряд. Для воздуха при
нормальном атмосферном давлении и нормальной ионизации
264
(=10 элект/(с-см3)Епред=ЗО кВ/см). В свою очередь Рлред, связанную
с тепловым пробоем, определяют по температуре, при которой
возникает тепловое разрушение материалов, образующих линию.
Отметим, что в линиях передачи с воздушным заполнением и
в случае, когда линия работает в импульсном режиме с высокой
скважностью, более опасен электрический пробой. В линиях с
диэлектрическим заполнением, отличным от воздуха, а также,
если по линии передается большая мощность в непрерывном
режиме, более опасен тепловой пробой.
При необходимости передачи по линии высокого уровня
мощности избегают применения линий с диэлектрическими вста-
вками или с твердым диэлектрическим заполнением, а используют
воздушное заполнение или заполнение специальными газами
(элегаз) или жидкими диэлектриками (например, нонан, декан,
гексан, гептан), которые имеют Епред>100 кВ/см. С такой же целью
пинии передачи заполняют воздухом или иным газом под дав-
лением, в несколько раз превышающим атмосферное. При этом
возрастает вероятность столкновения образующихся свободных
электронов с положительно заряженными ионами газа, что сни-
жает их концентрацию и увеличивает Елред. Величина Елред уве-
личивается и при существенном понижении давления газа, запол-
няющего линию, по сравнению с атмосферным давлением, пос-
кольку вероятность столкновения свободных электронов с моле-
кулами газа резко снижается.
Для увеличения Рпред, связанной с тепловым пробоем в лини-
ях с диэлектрическим заполнением, используют диэлектрики с
более высокой предельной температурой (например, разные виды
керамики).
9.8. ЗАТУХАНИЕ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
9.8.1. Коэффициент ослабления
Проведенный анализ общих свойств направляемых волн был
выполнен в предположении, что линия передачи является иде-
альной (не вносит потерь). Зависимость векторов поля от коор-
динаты z была принята в виде множителя exp (- ipz), где пос-
тоянная р могла быть либо чисто действительным, либо чисто
мнимым числом.
Распространение волны в реальной линии передачи сопро-
вождается уменьшением переносимой мощности. Это связано; 1) с
рассеянием части мощности в металлических проводниках линии;
2) с затуханием волны в заполняющем диэлектрике; 3) с излу-
чением части мощности в окружающее пространство (в линиях
передачи открытого типа).
265
В этом случае зависимость векторов поля от координаты z
обычно принимают в виде exp(-yz), где у = а + ip - комплексная
величина, называемая постоянной распространения'. Параметры
аир называют коэффициентом ослабления и коэффициентом
фазы соответственно (a = Rey, p = lmy).
Отметим, что постоянную у часто вводят в рассмотрение и
при анализе волн, распространяющихся в безграничной одно-
родной среде, В этом случае она связана с использованной в гл, 6
комплексной постоянной k = p-ia соотношением у = \к.
Зависимость комплексного вектора Пойнтинга от координаты z
определяется множителем exp(-2az). Также зависит от z и
мощность бегущей волны (средний за период поток энергии через
поперечное сечение линии передачи, соответствующий рассмат-
риваемой волне):
= Р0 exp(-2az), (9.47)
где Ро= Рср (0)-средний за период поток энергии через сечение
z=0. Разность ме>вду потоками энергии Pcp(z) и Pcp(z + Az),
проходящими через сечения с координатами z и z + Az соответ-
ственно, равна средней за период мощности джоулевых потерь
АРлср на отрезке линии между указанными сечениями
АРПсР = Рср(z} -Pas>(z + Az), Разделив обе части этого равенства на
Az и перейдя к пределу при Az->0, найдем среднюю за период
мощность джоулевых потерь Рпср, приходящуюся на единицу
длины линии;
рп lim P^z> Рф(г+Аг) = 3^
пср дг-»о Az dz
(9.48)
Подставляя (9.47) в (9.48), получаем
а = Р’ер/2Рср. (9.49)
Если затухание распространяющейся волны в линии неве-
лико, то коэффициент ослабления можно представить в виде:
а=ам+ад+аЕ, (9.50)
1 Отметим, что данное определение постоянной распространения у соответствует ГОСТу и
используется в книгах по электротехнике, теории линейных электрических цепей и и
большинстве книг по линиям передачи энергии. Однако в некоторых книгах но
электродинамике при описании волн в направляющих системах зависимость векторов пазя
от координаты z принимается в виде exp (- iyz), где у = J3 - ia. При этом постоянную у
также называют постоянной распространения. Такое обозначение имеет некоторые
Преимущества (например, в случае свободно распространяющихся волн у = к}, ио ие
соответствует ГОСТу.
266
где ан - коэффициент ослабления, обусловленный потерями энер-
гии в металлических проводниках линии; ад - коэффициент ослаб-
ления, обусловленный потерями энергии в заполняющем линию
диэлектрике; ах - коэффициент ослабления, обусловленный поте-
рями энергии волны за счет излучения из линии.
Следует отметить, что в линиях передачи закрытого типа
аЕ=0. При конструировании линий передачи открытого типа ста-
раются как можно сильнее уменьшить излучение энергии из линии
в окружающее пространство. Поэтому в реальных линиях, при-
меняемых на практике, аЕ<кам или и можно пренебречь
по сравнению с аи или ад.
9.8.2. Затухание, обусловленное потерями в среде,
заполняющей линию
Если комплексная диэлектрическая проницаемость запол-
няющего линию диэлектрика равна е=е'-1е", то постоянная рас-
пространения в такой линии y = ip, где р находят из (9,11) при
замене е на е. При этом
У = hlk2-vi = i^Po-icoVp, (9.51)
где р0 =д/(о2е'ц-(27г/А.ф)2 - коэффициент фазы той же волны при
е"= 0, Отделяя в (9.51) действительную и мнимую части, получаем
= ^+(®2e"M)2 “PT (952)
рт/2 = ^₽o+(“2e"M)2 +р[ (9.53)
Отметим любопытный факт. Ранее было показано, что в
линии без потерь Е-, Н- и гибридные волны на частотах f< fKp не
распространяются. Однако, как видно из (9.53), при наличии
потерь эти волны могут распространяться при f=fKp и даже на
более низких частотах. Как видно из формулы (9.52), рас-
пространение волн в этом случае происходит со значительными
потерями, независимо оттого, что является причиной потерь.
При выводе формул (9.52) и (9.53) предполагалось, что
учитываются потери, связанные с током проводимости и пере-
менной поляризацией диэлектрика. Однако при распространении
электромагнитной волны в слабо проводящих диэлектриках (воз-
дух, стекло и др.) на достаточно высоких частотах (например, в
оптическом диапазоне) затухание волны определяется также
267
иными эффектами. На таких частотах величина кванта энергии
становится соизмеримой с разностью энергий близко распо-
ложенных энергетических уровней атомов диэлектрика, Поэтому
под влиянием электромагнитной волны может происходить пере-
ход электронов с более низкого энергетического уровня на более
высокий, что сопровождается поглощением части энергии волны.
Например, подобное поглощение наблюдается в парах воды на
частотах 22.,.23 ГГц, а в молекулах кислорода на частотах, близких
к 60 и 120 ГГц. В оптическом диапазоне возникает затухание волн,
связанное с так называемым рэлеевским рассеянием [66].
9.8.3. Затухание, вызванное потерями в металлических
элементах линии передачи
Анализ структуры поля в линиях передачи, сделанный в пред-
положении идеальной проводимости ее металлических элементов,
неточен для реальных линий с конечной проводимостью этих
элементов. Однако так как проводимость металлических провод-
ников весьма велика, то действительная структура поля волны
мало отличается от структуры поля, полученной в предположении
идеальной проводимости металлических элементов линии. От-
личие в основном сводится к тому, что в соответствии с граничным
условием Леонтовича-Щукина (7,52) у поверхности металлических
частей линии передачи появляется весьма малая касательная
составляющая вектора Е. Изменению структуры электрических
силовых линий соответствует изменение структуры векторных
линий магнитного поля. В частности, нормальная к поверхности
металлических частей линии составляющая вектора Н не равна
нулю. Однако, как уже отмечалось, эти изменения поля весьма
малы, и обычно можно считать, что структура поля, найденная в
приближении идеальной линии, практически не отличается от
структуры поля в реальной линии. Изменение структуры токов в
основном сводится к тому, что они в действительности текут
не по поверхности, а проникают на некоторую глубину внутрь
проводника.
Наличие отличных от нуля тангенциальных составляющих
векторов Е и Н у поверхности металлических элементов линии пе-
редачи означает, что вектор Пойн-
тинга имеет составляющую, перпен-
дикулярную этой поверхности, т.е.
появляется поток энергии, направ-
ленный в металлические части ли-
нии передачи, и, следовательно, в
них происходят джоулевы потери
энергии (см.7.8,2).
268
Выделим на поверхности металлических частей линии пере-
дачи участок длиной Az, как показано на рис.9,9. Средняя за
период мощность тепловых потерь на отрезке проводника длиной
Az согласно (7.57)
Лр»»=5Т7о Нн". <”=з£ИН"' dt'
д г’ 1 zoA г1 J
где Нт:-комплексная амплитуда касательной к поверхности рас-
сматриваемого проводника составляющей вектора Нт, а Г - кон-
тур поперечного сечения металлических элементов линии пере-
дачи. В общем случае вектор Нт, имеет и продольную Нтг, и
I I2 । I2 i 12 । п I2
поперечную Hm±I составляющие: =|Hmz| =|Н°2| +
+ |Й°±1|2, где функции Н0™ и связаны с Hmz и НтЛл соотно-
шениями^ = H^exp(-ipz) и =Н°±1 ехр(-ipz).Контур Г мо-
жет быть односвязным, как в случае полых металлических вол-
новодов (рис.9,1,е,ж,з) и многосвязным (например, в случае
экранированной двухпроводной линии (рис. 9.1,в) он состоит из
трех окружностей, две из которых находятся внутри третьей).
Потери на единицу длины линии
(9 54)
где Rs = 1/(стА°) = ц/ст-активная часть поверхностного сопро-
тивления проводника,
Подставляя (9,54) и (9.46) в (9.49), находим коэффициент
ослабления, обусловленный потерями в металлических элементах
линии передачи:
। |2
f|<| dt
aM=Zcn/?sA- - (9,55)
I|EL| ds
Как уже отмечалось, распределение векторов Н° х и Ё^,± в
линии передачи с металлическими элементами, обладающими
конечной проводимостью, мало отличается от распределения тех
же векторов в идеальной линии. Поэтому при вычислении аи по
формуле (9.55) можно использовать значения векторов и
Ё° п найденные при анализе идеальной пинии передачи.
269
Глава 10
НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
10.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ волновод
10.1.1. Вывод формул для поля
Прямоугольный волновод представляет собой полую метал-
лическую трубу прямоугольного сечения (рис.10.1). Предположим,
что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а
заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами s
и д. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и
Н и не могут существовать ТЕМ-волны (см. 9.4). На рис.10.1 пока-
заны используемая система координат и размеры а и b поперечного
сечения волновода. Для определенности будем считать, что а >Ь,
а источники, создающие поле, расположены со стороны отрица-
тельных значений переменной z за пределами рассматриваемой
части линии передачи (созданная ими волна распространяется в
положительном направлении оси Z). При а > b стенки с попереч-
ными размерами а и b будем называть соответственно широкой и
узкой стенками прямоугольного волновода.
Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются
через продольные (см.9,2), то для вычисления поля волн Ем Н
достаточно определить составляющую Етг или Нтг соответственно.
Составляющие Ётг и Hmz удовлетворяют уравнению Гельмгольца
32w 82w г n
—г +—г + Yi w = 0,
Эх2 8у2 1
(10.1)
Рис.10.1
где функция и/ равна Ётг для Е-волн и
Нтг - для Н-волн, у/ = к2 - р2, а р - ко-
эффициент фазы рассматриваемой
волны. Правая часть уравнения (10.1)
равна нулю, так как по предположению
сторонние источники расположены за
пределами рассматриваемой части вол-
270
новода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых
собственных волн прямоугольного волновода.
Для решения уравнения (10.1) применим метод разделения
переменных. Запишем функцию w в виде w=w(x,y,z,t) =
= w°(x, у) exp [i (cot - pz)]. Очевидно, что функция vf(x,y) также
удовлетворяет уравнению (10.1). Представим ее в виде произве-
дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной
переменной:
w°(x, у) = X (х) У (у). (10.2)
Перейдем в (10.1) кфункции w°(x, у) и подставим (10.2). После
деления обеих частей уравнения на произведение Х(х)У(у) получаем
1 d2X 1 d2Y _ 2
X' dx2 + У ‘ dy2 Y±
(Ю.З)
Так как переменные х и у являются независимыми, то левая
часть уравнения (10.3) представляет собой сумму двух независи-
мых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только
при выполнении соотношений с/гХ4/№ + ух2Х= 0 и d2Yld}7 + y/у = 0,
где ух и уу - некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетво-
ряющие равенству
Y*2 + у/ = и- (104)
Решая полученные уравнения, находим
Х(х) = A sin (ух х)ч В cos (ух х),1
У(у) = С sin (уу у) + D cos (уу у),/
где А, В, С и D - некоторые, пока также неизвестные, постоянные.
В случае Е-волн (Ег * 0, Нг =0) функция w = Em2. Состав-
ляющая Етг является касательной ко всем стенкам волновода.
Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:
w°(0,y) = 0, w°(x, 0) = 0, (10.6)
w° (а, у) = 0, w° (х, Ь) = 0, (10.7)
где 0<х<а, 0<у<Ь. Равенства (10.6) эквивалентны условиям
Х(0) = 0 и У(0) = 0, из которых следует, что В = 0 и D = 0. Из усло-
вий (10.7) вытекают равенства Asin(yxa) = 0 и С sin (у/) = 0. По-
стоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе Emz s 0, что
в случае Е-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения
sin (уха) = 0 и sin (у/) = 0. (10.8)
Из (10.8) находим значения постоянных ух и уу;
ух = mnla, m=1,2,...; = птг/b, л = 1,2,... (10.9)
271
Отметим, что в случае Е-волн значения т = 0ип = 0не годятся,
так как при этом случае Ётг = 0 во всех точках внутри волновода.
Поперечные составляющие векторов поля выражаются через
Ётг соотношениями (9.19) и (9.20). Введем обозначение А-С =
= ЕОг и выпишем окончательные выражения для составляющих
векторов поля Е-волн в прямоугольном волноводе:
Emv(x,y.z) = Е°(х,у) exp (-ip z), v = x,y,z,
Hmv(x,y,z) = H°(x,y)exp(-ipz), v = x, у,
(10.10а)
где
Ё°(х, у) = ЕОг sin(mnx/a)sin(nny/b),
E° (x, y) = -1 (p / у J) EQz (mn/a) cos (m л x/a) sin (л л у/Ь),
E°(x,y) = -i^/y21)Eaz(nn/b)sin(mnx/a)cos(nny/b)l
H°(x,y) = i (сое / у*) ЕОг(n л /b) sin (m л x/a) cos (n яy/b),
H°(x, y) = -i(<Bs/Yl)E0/mn/a)cos(mKX/a)sin(nHyZb),
H°(x,y) = 0. ,
Подчеркнем, что индекс m в формулах (10.10а) и (10,106)
имеет совершенно разный смысл. В (10.10а) он указывает, что
рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов
поля, а в (10.106) индекс т - натуральное число, определяющее
значение постоянной у*. как это следует из формулы (10.9).
Значение постоянной у± находится из формул (10.4) и (10,9):
у± = ^(тк/а)2+(n-x/b)2. (10.11)
Зная ух. из (9.13) определяем критическую длину волны:
А. = 2л/у± = = , (10.12)
^(m/а)2 + (п/b)2 д/(тЬ)2 + (па)2
Коэффициент фазы р вычисляется по формуле (9.14).
Таким образом, все параметры, входящие в формулы для по-
ля Е-волн, кроме постоянной ЕОг определены. При той постановке
задачи, которая была здесь использована, постоянную ЕОг опреде-
лить нельзя. Для ее нахохадения требуются дополнительные дан-
ные: либо более конкретные сведения об источнике, создающем
рассматриваемую волну, либо значение какой-нибудь составляю-
щей векторов поля в точке, где эта составляющая отлична от нуля,
либо задание мощности бегущей волны (т.е. задание среднего за
период значения потока энергии через поперечное сечение волно-
вода, соответствующего рассматриваемой волне). Для анализа
вопросов, изучаемых в данной главе, конкретное значение посто-
янной ЕОг не требуется.
272
Преяаде чем перейдем к анализу свойств поля Е-волн,
описываемого выражениями (10.10), выведем формулы для поля
Н-волн в прямоугольном волноводе. Волны Е и Н имеют много
общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.
В случае Н-волн (Н2*0, Ёг=0) функция w=Hmz. Решение
уравнения (10.1) строится так же, как для Е-волн. Изменяются
только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляю-
щие вектора Ё на стенках волновода обращались в нуль, имеем
Q.o = 0’ |х=а = 0' ^mxly=0 = О’ = О’ (Ю.13)
Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые
условия следует преобразовать в условия для функции iv. Попе-
речные составляющие вектора Ёт выражаются через Н,.п/ соот-
ношением (9.14). Из этого соотношения и краевых условий (10.13)
после перехода к функции w°(x, у) получаем
5w° ex = 0, x=O 5w° ay = o, y=0 (10.14)
aw°
= 0. = 0. (10.15)
Sx x=a ay y=b
Равенства (10.14) эквивалентны условиям Х'(О) = 0 и У(0) = 0,
из которых следует, что А=С=0, т.е. Х(х)=В cos (ухх) и У(у) =
= D cos (ууу). Так как В * 0 и 0 (в противном случае Н2 = 0), то
из соотношений (10.15) вытекают уравнения (10.8). Следовательно,
ух = ттг/а, т = 0,1,2,..., уу=лп/Ь, л = 0, 1,2, ... (10.16)
В отличие от (10.9) в случае Н-волн индексы т и л могут
принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю
одновременно: при этом составляющая Нг не зависит от пере-
менных х и у и вектор Ё будет тохадественно равен нулю, что
невозможно. Выпишем окончательные выражения для комп-
лексных амплитуд составляющих векторов поля Н-волн в пря-
моугольном волноводе:
Hmv(x, y,z) = Н°(х, у)ехр(- ipz), v = х, у,z,
Emv(x,y, z) = E°(x, y)exp(-ipz), v = x,y,
(10.17a)
где
18-45
273
H°(x,y) = HOz соэ(тях/а) cos(nny/b),
H°(x,y) = i(p/Yi)(m^/a)HOj, sin(m7rx/a)cos(nny/b),
H°(x,y) =«(₽ / Y± )(птт/Ь) НОг cos(mnx/a)sin(nny/b),
E°(x, У) = >z?i )(nn/b) HOz cos (тя x/a) sin (пяу/b), 0176>
E°(x, y) = - i (®н /y± )(m я /a) HOz sin (mvx/a)cos (nity/b),
^°(х,У) = 0.
Аналогично случаю Е-волн в формулах (10.17а) индекс т
указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды состав-
ляющих векторов поля, а в формулах (10.176) т связано с
постоянной ух соотношением (10.16).
Составляющие векторов поля Н-волн найдены с точностью до
произвольного постоянного множителя HQZi определение которого
в рамках выбранной электродинамической модели невозможно
(см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).
Легко показать, что поперечное волновое число yj_ и крити-
ческая длина волны в случае Н-волн также определяются
формулами (10.11) и (10.12) соответственно.
Перейдем к анализу свойств Е- и Н-волн в прямоугольном
волноводе. Как видно из формул (10.10) и (10.17), в прямоугольном
волноводе возможно существование различных Е- и Н-волн,
структура поля которых зависит от значений индексов т и п.
Каждая пара значений индексов тип определяет свои волны,
которые обозначают Ето (в случае Е-волн) или Нт (в случае Н-волн)’
При этом у Е-волн т > 1 и п > 1, а у Н-волн один из индексов может
равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при
фиксированном значении координаты z) аналогична структуре
274
стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн
Хх = 2а/т и = 2Ь/п в направлениях осей X и У соответственно.
Индекс т, таким образом, равен числу полуволн (Хх/2), укла-
дывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси
X. Аналогично индекс п равен числу полуволн (Х/2), уклады-
вающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси У.
Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рас-
сматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты
(при т = 0-от координаты х, а при л = 0-от координаты у).
Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов Е
и Н вдоль оси Z описывается множителем ехр(-ipz). Распро-
странение волны происходит только при X < Хкр (предполагается,
что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина
волны вычисляется по формуле (10.12). Она зависит от размеров
а и b и от индексов тип. При увеличении значений индексов т и
п и фиксированных размерах а и b значение Х*р уменьшается.
Наибольшую ХуР среди всех возможных волн при а > b имеет волна
Ню. Соответствующая ей ХуР равна 2а. При а = b наибольшую Хкр
имеют две волны Ню и Hoi- Волну, имеющую наибольшую Хкр,
называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или
волной низшего типа). Таким образом, при а > b основной волной
прямоугольного волновода является волна Ню-
Длина волны в волноводе Л, фазовая скорость и скорость
распространения энергии иэ вычисляются соответственно по
формулам (9.17), (9.18) и (9.43), одинаковым для Е- и Н-волн.
Характеристическое сопротивление Е-волн вычисляется по
формуле (9.21), а Н-волн - по формуле (9.26).
Формулы (10.10) и (10.17) позволяют рассчитать и изобразить
графически структуру поля (линии векторов Е и Н) любой из волн
Е™ или Нтп, распространяющихся в волноводе. В качестве приме-
ра на рис.10.2 и 10.3 показаны структуры полей волн Ец и Н10
соответственно в некоторый фиксированный момент времени в
Рис.1 о.з
18*
275
-----Н Рис.10.4
случае X < Хкр для трех сечений волновода. С течением времени
картины, изображающие структуру полей в продольных сечениях
(сечения 2 и 3 на рис.10.2 и 10.3), перемещаются вдоль оси Z с
фазовой скоростью соответствующей волны.
Отметим, что, зная структуру поля волны Е^, легко построить
структуру поля волны Етп при любых значениях индексов т и п.
Например, структура поля волны Е21 представляет собой объе-
динение структур двух волн Ец (рис.10.4). Для построения
структуры волны Етп нужно мысленно разделить волновод на т п
"волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет
соответствовать структуре поля волны Еп, а линии векторов будут
непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично
волну Н2о можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.
Структура поля волны Нго в поперечном
сечении показана на рис.10.5.
При Х>Хкр волна не распространя-
ется: образуется стоячая волна, амп-
литуды составляющих векторов Е и Н
которой экспоненциально убывают вдоль
оси Z (в этом случае p=-i | р | и exp(-i pz)=
=exp(-]p|z). Напомним, что анализ прово-
дится в предположении отсутствия потерь.
10.1.2. Основная волна прямоугольного волновода
Свойства волны. Как уже отмечалось, при а > b основной
волной прямоугольного волновода является волна Ню. Она имеет
наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной
частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых
возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для
этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод
будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.
Полагая в (10.17) m = 1 и л = 0 и учитывая формулы (10.16),
получаем следующие выражения для составляющих комплексных
амплитуд векторов Е и Н в случае волны Ню-
276
Emy = - i (юр а/ л) НОг sin (л x/a) exp (- ip10 z),
Hmx =i(p10a/n) НОг sin(лх/а)ехр(-ip10z),
Hmi = HOz cos (тсx/a) exp (- ip10 z),
Ё =E =0 H =0
*— mx mz » ' 'my
(10.18)
где p10 = k^1-[X/(2a)]2, к = 2лА, Л = сЛ; с - 1 / д/ец - скорость све-
та в среде, заполняющей волновод.
Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с
формулами (10.18), показана на рис.10.3 и 10.6. Остановимся на
картине распределения поля волны Н10 в плоскостях, парал-
лельных широким стенкам волновода.
Согласно уравнениям Максвелла замкнутые линии магнитного
поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В
волноводе замкнутые линии
магнитного поля пронизываются
токами смещения. В случае вол-
ны Ню (см. рис. 10.6) линии маг-
нитного поля охватывают токи
смещения, текущие между ши-
рокими стенками параллельно
оси У. В распространяющейся
волне максимальная плотность
тока смещения получается в
центре замкнутых магнитных
силовых линий, где напряжен-
ность электрического поля рав-
на нулю. Это следует из того,
Рис. 10.6
что вектор плотности тока сме-
щения р = е—= icosE и, следовательно, сдвинут по фазе отно-
5t
сительно вектора напряженности электрического поля на угол п12,
т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и
максимумом напряженности электрического поля вдоль оси Z в
фиксированный момент времени равно Л/4.
Фазовая скорость уф, скорость распространения энергии уэ,
длина волны в волноводе Л и характеристическое сопротивление
Zc в случае волны Ню вычисляются по формулам
v&> ~ С , . <'“=c7l-[X/(2a)]2,
Vl-[X/(2a)]2
7l-[Wa)]2 ’ с Jl-[V(2a)]2'
(10.19)
277
Рис.10.7
Рис.10.8
В соответствии с концепцией Бриллюэна (см. гл. 9) пред-
ставим волну Ню в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.
Поле волны Ню не зависит от переменной у. Следовательно,
поля парциальных волн также не должны зависеть от у, т.е.
парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от
боковых (х = 0 и х = а) стенок волновода.
Пусть парциальная волна распространяется под углом ф к оси
Z (волна 1 на рис.10.7). Комплексная амплитуда вектора напря-
женности электрического поля этой волны Ёт1 определяется вы-
ражением
Ёт1 = у0 Aexp[-ik(x sin ф + гсозф)], (10.20а)
где А-некоторая (в общем случае комплексная) постоянная.
Электрическое поле волны Ню имеет пучность на плоскости х = а/2
и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому кроме
волны (10.20) должна существовать еще одна парциальная
ТЕМ-волна (волна 2), распространяющаяся, как показано на рис. 10.7.
Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой
волны равна Ёт2, причем |Ёт2| = [Ёт1[ = А. Для образования пуч-
ности электрического поля в плоскости х = а/2 необходимо, чтобы
векторы Ёт1 и Ёт2 при х = а/2 складывались синфазно. Для этого
достаточно, например, чтобы фаза вектора Ёп2 в точке (а, 0, 0)
совпадала с фазой вектора Ёт1 в точке (0, 0, 0). С учетом данного
условия вектор
Ёт2 = Уо А ехр(-ik [(а - х) sin ф + zcos ф]). (10.206)
Для определения угла ф учтем, что на поперечном размере а
широкой стенки волновода должна укладываться половина длины
волны Хх, а на отрезке QA - половина длины волны ТЕМ (7/2). Из
треугольника ОАВ (см. рис. 10.8) следует равенство
81Пф = ХД2а). (10.21)
278
При этом ка sin ф = (2тгаА) ХД2а) = тг, кх sin ф = пх/а, и полное
электрическое поле определяется выражением
=Ёт1+Ёт2 = -y02iAsin(Trx/a)exp(-ip10z). (10.22)
Полученный результат отличается от выражения для в
формуле (10.17) лишь постоянным коэффициентом, что несу-
щественно, так как формулы (10.17) были найдены с точностью до
произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются
составляющие Нт и Нт. Они отличаются от соответствующих
выражений в (10.17) лишь тем же постоянным множителем.
Из рис. 10.8 и формулы (10.21) видно, что по мере повышения
частоты (уменьшения X) уменьшается угол ф и, следовательно, тем
меньше по абсолютной векличине становится продольная
составляющая Н^ по сравнению с поперечной составляющей
Hmjl, т.е. структура волны Ню начинает приближаться к структуре
волны ТЕМ. Одновременно, как следует из (10.19), уменьшается
разница между v^,v^D и с. Аналогично можно интерпретировать
и другие типы волн в прямоугольном волноводе.
10.1.3. Токи на стенках прямоугольного волновода
Каждому типу волны, распространяющейся в волноводе, со-
ответствует определенная структура токов проводимости на его
стенках. В случае идеально проводящих стенок токи проводимости
являются поверхностными, а комплексная амплитуда их плотности
jSra вычисляется по формуле
L =[п0,Нт]|г, (10.23)
где Г-контур поперечного сечения волновода, проходящий по
внутренней стороне стенок, а орт нормали п0 равен х0 при х = 0,
-х0 при х = а, у0 при у = 0 и -у0 при у= Ь. Явные выражения для
jSm легко находятся из формул (10.23), (10.10) и (10.17). Напри-
мер, в случае волны Ню на нижней (у=0) стенке текут и про-
дольные, и поперечные токи с плотностями
jSra/x,z) = - 1₽ю(а/ л)Н02 sin(ях/а) ехр(-ip10 z),
Л™ (х, Z) = HOz cos (л x/a) exp (-ip10 z),
соответственно, а на боковой (x = 0) стенке имеются только по-
перечные токи с плотностью
j‘smy(z)^H0zexp(-ip10z).
279
Рис.10.9
Рис. 10.10
Рис. 10.11
Распределение составляющих плотности токов проводимости
по контуру Г и структура линий вектора js на стенках волновода
для волны Ню показаны на рис. 10.9 и 10.10 соответственно. В
случае волны по стенкам волновода текут только продольные
токи (рис.10.11),
10.1.4. Выбор размеров поперечного сечения прямо-
угольного волновода из условия одноволновой передачи
Как было показано выше, в прямоугольном волноводе воз-
можно существование бесконечного числа типов волн, отличаю-
щихся друг от друга структурой электрического и магнитного
полей, критическими частотами, фазовой скоростью и другими
параметрами. Однако при конструировании линий передачи обыч-
но принимают все меры к тому, чтобы энергия переносилась
каким-либо одним типом волны. Объясняется это тем, что раз-
личным типам волн соответствуют различные групповые скорости.
Поэтому при передаче сигнала несколькими типами волн один и
тот же сигнал приходит в точку приема в ваде нескольких
смещенных во времени сигналов, что приводит к его искажению и
увеличению уровня шумов. Характер искажений зависит от спо-
соба модуляции, вида и скорости передаваемой информации и
других факторов.
28Q
Передачу энергии одним типом волны наиболее просто
обеспечить, если s качестве этого типа использовать основную
волну, имеющую наибольшую Хкр. Для этого достаточно так
выбрать поперечные размеры линии, чтобы на любой частоте
рабочего диапазона длина волны электромагнитных колебаний не
превышала критической длины основной волны (ХКР(1)), но была
больше критической длины волны первого высшего типа' (Х^).
Такой режим называют одноволновым. Полосу частот, в пределах
которой сохраняется одноволновый режим, обычно характеризуют
коэффициентом широкополосное™
$ = (10.24)
Основная волна прямоугольного волновода-Н10, ее Хкр =
= ХкрН10= 2а, Распространение этой волны возможно при к<2а или
a>?J2. Чтобы другие типы волн не могли распространяться,
достаточно потребовать, чтобы не могли распространяться волны
Н20 и Ног Для этого должны выполняться неравенства к > \крН2о и
X > ХфН или Л>а и Х>2Ь. Таким образом, одноволновый режим в
прямоугольном волноводе выполняется при
W2 < а < X. и Ь<М2. (10.25)
Обычно принимают а = 0,75Хо и Ь^0,5а, где Хо- средняя
длина волны рабочего диапазона. Для такого волновода коэф-
фициент широкополосное™ = ХврН1о = 2.
Для обеспечения одноволнового режима во всем исполь-
зуемом диапазоне длин волн Xmm<X<Xmax необходимо, чтобы
выполнялись неравенства \тах!2 <а<кт,п и Ь<Хт;п/2.
Частотный диапазон использования прямоугольных волно-
водов, охватывающий частоты от 400 МГц до 140 ГГц, в соот-
ветствии с рекомендацией Международной электротехнической
комиссии разбит на 28 поддиапазонов, частично перекрывающих
друг друга, и для каждого поддиапазона рекомендованы стан-
дартные размеры волновода [33]. На частотах порядка 500 МГц и
ниже прямоугольные волноводы применяются редко из-за значи-
тельных габаритов и массы. Например, отрезок волновода из алю-
миния длиной 1 м при размерах поперечного сечения 457x228,5
мм (Хо=60 см) и с толщиной стенок 3 мм имеет массу около 11 кг, а
медный того же сечения и с той же толщиной стенок - около 36 кг.
1 Первым высшим типом называют волну, критическая длина которой меньше основной
волны, но больше критических длин всех остальных волн.
281
10.1.5. Передача энергии по прямоугольному волноводу
Мощность бегущей волны (см.9,7.1) вычисляется по формуле
(9.46). В случае волны Ню из формул (9.46) и (10.17) получаем
=^Vl-t^(2a)]2. (10.26)
где £о=(<вра/тг)Ног-амплитудное значение напряженности эле-
ктрического поля волны Ню- При выводе формулы (10.26) учтено,
что = kZc. При стандартных размерах волновода (а = 0,751,
b = 0,5а), подставляя предельное значение Ео = 30 кВ/см, находим,
что предельная мощность волны Н10 равна Рпреян10 = 12512кВт, где
длина волны выражена в сантиметрах. Например, при 1 = 30 см
предельная мощность РгрвдН1[| =112МВт. Соответственно допусти-
мая мощность (см.9.7.1) PflonHio = 28 МВт. Как видно, в децимет-
ровом диапазоне по прямоугольному волноводу стандартного
сечения можно передавать весьма значительную мощность. Одна-
ко по мере повышения частоты допустимая мощность быстро
уменьшается и при X = 1 см не превышает 30...45 кВт.
Когда методы повышения электрической прочности, указан-
ные в 9.7.2, почему-либо неприемлемы, то, как следует из
формулы (10.26), предельную мощность можно существенно по-
высить, увеличив площадь поперечного сечения волновода по
сравнению со стандартными.
Если размеры волновода увеличены настолько, что в части
или во всем рабочем диапазоне волновод оказывается в
многоволновом режиме, то необходимо принять специальные
меры для предотвращения распространения всех типов волн,
кроме Н10 (см. 13.2).
Коэффициент ослабления ам, обусловленный потерями энер-
гии в металлических стенках волновода, вычисляется по формуле
(9.49) с учетом (9.46) и (9.54). Ограничимся вычислением ct№ для
волны Н10. Подставляя (10.18) в (9.46) и (9.54), находим значения
Рср и Рп ср соответственно. Подставляя затем полученные вы-
ражения в (9.49), после несложных преобразований имеем
“ин
2RS 4
—- 1 +
bZe
2"
(10.27)
2
Аналогично выводятся формулы для коэффициентов ослаб-
ления, соответствующих другим типам волн. Расчеты показывают,
что наименьшие потери в прямоугольном волноводе имеют место
282
при передаче энергии волной
Н10. На рис.10.12 показаны гра-
фики зависимости коэффици-
ента ослабления ан (в дБ/км) от
частоты для волн Ню, Ец и Н20
в случае медного волновода
при а = 51 мм и b = 25 мм. Как
видно из приведенных графи-
ков, потери энергии в волно-
воде резко возрастают при при-
ближении частоты к критической. Это свойство, характерное для
всех металлических волноводов, легко объясняется на основе
концепции парциальных волн. Действительно, у Е- и Н-волн
парциальные волны распространяются по ломаным линиям,
многократно отражаясь от поверхности металлических стенок. На
частотах, близких к критической, угол падения парциальных волн
на металлическую поверхность мало отличается от нулевого (угол
ф на рис.10.7 близок ктс/2). Но чем ближе угол падения к нулю, тем
большее число отражений испытывают парциальные волны при
своем движении на некотором отрезке линии. При каждом от-
ражении часть энергии электромагнитной волны теряется из-за
неидеальной проводимости металла (появляется преломленная
волна). Поэтому потери в проводниках линии, перенос энергии по
которым осуществляется Е- и Н-волнами, растут по мере при-
ближения к критической частоте. Вслед за резким падением
затухания при удалении от критической частоты (рис.10.12) снова
начинается его монотонное возрастание, вызванное увеличением
поверхностного сопротивления металла Rs с ростом частоты.
Отметим, что, как следует из формулы (10.27), в корот-
коволновой части сантиметрового диапазона потери в стан-
дартных волноводах весьма велики. Например, при к = Хо= 0,01 м
в стандартном волноводе с медными стенками а"” = 0,55 дБ/м,
т.е. при длине линии всего 10 м потери энергии будут составлять
5,5 дБ (более 70 % входящей мощности). Объясняется это тем, что
при заданной мощности уменьшение поперечных размеров вол-
новода сопровождается возрастанием плотности поверхностного
тока проводимости в его стенках и соответственно возрастают
потери. Поэтому на волнах порядка 1 см и короче применение
прямоугольных волноводов целесообразно только в виде коротких
отрезков. В некоторых случаях, чтобы уменьшить потери, размеры
поперечного сечения волновода увеличивают по сравнению со
стандартными.
283
10.2. КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД
10.2.1. Вывод формул для поля
______ Z# При анализе волн в круглом волноводе
у,____(рис.10.13) будем считать, что заполняющая
( его среда - идеальный диэлектрик с пара-
) метрами е и ц, а оболочка обладает бес-
X ы фХ/ И / конечной проводимостью. В таком волно-
Jj/ воде возможно раздельное существование
£- и Н-волн и невозможно существование
ТЕМ-волн (см. 9.4). При анализе естест-
Рис.ю.13 венно использовать цилиндрическую систе-
му координат, совместив ось Z с продольной
осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию
iv = iv (г, ср, z) = w° (г, ф) exp (- i pz), которая в случае Е-волн равна
Emz, а в случае Н-волн-Н^. Функция w°(r, ф) удовлетворяет
уравнению Гельмгольца
1 5 ( 5wa 1 52 iv°
-----Г------ 4- ^7 х—
Г 5rI 5г ) г ар
+ y^iv° =0,
(10.28)
где, как обычно, у±2=/с2-р2. Представим функцию w° в виде w°=
= R(r) Ф(ф). Разделяя переменные в уравнении (10.29) аналогично
тому, как это было сделано в 8.2, получаем
Ф (ф) = Д, sin тф + А2 cos тф = В cos т (ф - фо), (10.29)
R (0 = CJm (у±г) + DNm (у±г), (10-30)
где 8 = ^2 , тфо= arctg (Д1М2), т = 0, 1,2, ..., /it, Аг, С и D -
произвольные постоянные.
При г->0 функция Неймана А/т(у±г) стремится к бесконечности
(см. [24]), а составляющие Ё^ и Hmz должны быть ограничены.
Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем
w°(r, ф) = SCJm(yj.r) cos т (ф-фо). (10.31)
8 случае Е-волн w{r, ф, z) = Ег(г. ф, z), а поперечные состав-
ляющие векторов поля выражаются через продольные формулами
(9.19) и (9.20). Вводя обозначение ВС = Eoz, получаем
Emv(r, ф,2) = Е°(г,ф)ехр(-ip z), v = г,ф, z,l (10 32а)
Нтч.(г,Ф,2) = Н°(г,ф)ехр(-1р2), у = г,ф, J
где
284
Е°г(г, Ф) = EMh г) cos т (<р- Фо),
Е?(г, ф) = - jг) cos т (Ф-Фо),
E°(r, г) 5тт(ф-ф0),
Нг°(Лф) = -(®е/р)Еф0(Лф)>
Н°(г, ф)“(®е/р)Е°(г, ф),
Н“(г,ф) = 0,
(10,326)
а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему
аргументу.
. Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе,
индекс т в формулах (10,32а) и (10.325) имеет разный смысл. В
(10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рас-
сматриваемой функции, а в (10.325) т - определяет порядок
функции Бесселя.
Входящая в (10.325) постоянная ф0 влияет только на начало
отсчета угла ф, ее изменение соответствует повороту структуры
поля вокруг оси Z. В рамках используемой физико-математической
модели постоянные ЕОг и фо определить нельзя. Для их нахо-
адения требуются дополнительные данные об источнике, соз-
дающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ори-
ентации вектора Е и т.д.). Аналогичный вопрос обсуждался ранее
при анализе формул (10.16) и (10.17).
Чтобы найти неизвестную постоянную у±, используем гра-
ничное условие (1.104). В рассматриваемом случае из него сле-
дует равенство
Е°(а, ф) = 0, (10.33)
где а - радиус волновода (см. рис.10.13). Подставляя выражение
для еДг, ф) из (10.326) в (10.33), получаем
Jm(Y±a) ~ О.
Имеется бесконечное множество
значений аргумента, при которых фу-
нкция Бесселя равна нулю. Эти зна-
чения называют корнями функции
Бесселя. Обозначая л-й корень фу-
нкции Бесселя m-го порядка через
УтпЕ (см. рис.10.14), из (10.34) на-
ходим
Y. =^л/а. (10.34)
Параметр р вычисляется по фор-
муле (9.14).
285
Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-
волн различной структуры. Наименование этих волн производится
в соответствии с обозначением корней уравнения (10.34). Нап-
ример, корню vOlE соответствует волна EOi, корню v12 -волна Е^2,
корню vmn - волна Етп.
Зависимость структуры поля волны от угла ф определяется
индексом т. - Поперечное сечение волновода можно условно
разделить на m секторов с одинаковой структурой поля в каждом
секторе: поле волны периодично по углу <р с периодом 2лЛп.
Индекс т, таким образом, равен числу периодов структуры поля
волны, укладывающихся на интервале [0, 2к] изменения угла <р.
Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны
обладает осевой симметрией (не зависит от угла ф).
На распределение составляющих векторов поля вдоль ра-
диуса в интервале [0, а] влияют оба индекса т и п. При этом т
определяет порядок функции Бесселя, а п-число вариаций
составляющих векторов поля при изменении г от 0 до а: при п =1
составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация),
при л = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.
Каждому типу волны соответствует своя критическая длина
волны, связанная с постоянной у± соотношением (10.33). В рас-
сматриваемом случае
Че™ = 2лЭ/у£п. (10.36)
Несколько первых корней функций Бесселя vmn£ в порядке их
возрастания и соответствующие критические длины волн, рас-
считанные по формуле (10.36), приведены в табл.10.1. Низшим
типом среди волн Ев круглом волноводе является волна Е01.
Таблица 10.1
Тип волны д>. Си Ел
Vе 2,405 3,832 5,135 5,520 6,379 7,016
а 2,613 1,640 1.223 1,138 0,985 0,895
Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина
волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчи-
тываются по формулам (9.18), (9.43), (9.17) и (9.21) соответ-
ственно. На рис. 10.15 показана структура поля волны Еоь
Рис.10.15
286
В случае Н-еолн функция w = Hmz(r, Ф, z), а поперечные сос-
тавляющие векторов поля выражаются через Нт! формулами
(9.23) и (9.24). Вводя обозначение ВС = HOz, получаем
Hn,¥(r,<nz) = Hv°(r1(p)exp(-ipz), v = r,<p,zIl (1037а)
Emv(r, <p,z) = E?(r, <p)exp(-ipz), v = r,o,
где
H“(r, <p) = НОг4(У1 г) cos т (Ф-Фо),
Ег°(г, ф) = i (т I г)(фц/у*) г) sin m (ф - Фо),
^ф(''.ф) = 1(гаР/г±)Н0г<(у1г)со5т(ф-ф0)]
£°(СФ) = 0, 1
Нг°(г,ф) = -р/(<оц)^°(Г,ф),
ЧО(Г,Ф) = Р/(ЮЦ)ЕГ°(Г,Ф).
Все сказанное о постоянных т, EOz и Фо в формулах (10.32) в
полной мере относится и к постоянным m, HOz и ф0 в формулах
(10.37).
Для определения поперечного волнового числа у± воспо-
льзуемся граничным условием (1.104), которое в рассматриваемом
случае эквивалентно условию Еф°(а, Ф) = 0. Подставляя в это
равенство Еф°(г, ф) из (10-37), приходим к уравнению
4(71 а) = 0. (10.38)
Обозначая корни уравнения (10.38) через vmnH (см. рис.10.14),
находим, что
7,=Оа. (10.39)
Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-
волн различной структуры, которые принято обозначать Нтп.
Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Етл. Индекс т
совпадает с порядком функции Бесселя, а п-с номером нуля
первой производной функции Бесселя m-го порядка. Так же как и в
случае Е-волн, структура поля волны Нтп периодична по углу Ф с
периодом 2idm, т.е. индекс m равен числу периодов структуры
поля волны Нтп, укладывающихся на интервале [0, 2к] изменения
угла ф. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не
зависит от угла Ф. Индекс п равен числу вариаций составляющих
векторов поля вдоль радиуса волновода.
Несколько первых корней в порядке их возрастания и
соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по
формуле
287
Рис. 10,16
Рис.10.17
Таблица 10.2
Тил волны Н„ Н3, Н„ Н«,
1,84 3,05 3.83 4.20 5,32 5,33
а 3.41 2,06 1,64 1,50 1,182 1.178
= 2тга/у"п. (10,40)
приведены в табл, 10.2. Низшим типом среди не только волн Н, но
и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл.10.1 и 10.2,
является волна Нц. Интересно отметить, что структура поля этой
волны (рис.10.16) близка к структуре поля волны Ню в прямо-
угольном волноводе (см. рис.10.3), также имеющей наибольшую
критическую длину волны. На рис.10.17 показана структура поля
волны Н01.
Параметры Н-волн р, уф, v3 и Л вычисляются по формулам
(9.14), (9.18), (9.43) и (9.17) соответственно, а характеристическое
сопротивление находится по формуле (9.26).
288
10.2.2. Токи на стенках круглого волновода
Плотность токов на стенках круглого волновода jSni в соот-
ветствии с граничным условием (1.110) определяется формулой
jSm(4>.z) = [r0,Hm(a,q>,z)] = - фоНтг(а,ф,г) + гоНп,ф(а,ф,2). (Ю.41)
Из формул (10.41) и (10.37) следует, что при распространении
по волноводу основной волны Нц на его стенках текут и по-
перечные, и продольные токи (рис.10.18), а волна Hoi возбуждает
только поперечные токи (рис.10.19). В случае волны Е01, как
следует из формул (10.41) и (10.32), текут только продольные токи,
равномерно распределенные по периметру волновода.
10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу
Основной волной круглого волновода является волна Нц, а
первым высшим типом - Е01. Поэтому в соответствии с данными
табл. 10.1 и 10.2 условие одноволновости имеет вид 2,61а<Х<3,41а,
откуда
Х/3,41 <а< Х/2,61. (10.42)
Коэффициент широкополосное™, определяемый по формуле
(10.24), J; = 1,3, т.е. существенно ниже, чем у прямоугольного
волновода.
Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощ-
ность бегущей волны), рассчитывается по формуле (9.46). Вычис-
ляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Нц получаем:
р
^срН„
na2ZcH2ai
4^1-[X/(3,41 а)]2
2яа
(10.43)
где л" = X/7l-[^/(3,41a)]2 - длина волны Нп в волноводе.
19-45 239
Коэффициент ослабления аИ] соот-
ветствующий волне Нц, вычисляется по
формуле
Ra[0.418+(,/(3,41a)H (1044)
aZcl/l-(XZ(3,41e))z
Формулы для коэффициента ослаб-
ления аИ] соответствующие другим ти-
пам волн, могут быть получены из (9.49).
Окончательные выражения приведены,
например, в [1]. Графики зависимости а„
(в дБ/м) от частоты для волн Е01 и
Ни в круглом медном волноводе для
случая а = 25,4 мм показаны на рис. 10.20. Как видно, для волн Нц
и Eoi они аналогичны графикам, приведенным на рис.10.12 для
случая волн в прямоугольном волноводе. График, характери-
зующий зависимость коэффициента ослабления от частоты для
волны Hoi в круглом волноводе, имеет существенное отличие от
графиков для волн Нц и Е01. У этих волн коэффициент
неограниченно возрастает при и Указанные особенности
поведения <хм объясняются так же, как в случае прямоугольного
волновода. Поведение коэффициента ослабления волны Н01 в
круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер,
а именно коэффициент ам для этой волны монотонно убывает с
ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у волны
Н01 в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока
проводимости не имеет продольной составляющей (jSm2=0).
Отличная от нуля составляющая возбуждается продольной
составляющей напряженности магнитного поля Hmi(a,<p,z). При
повышении частоты в волноводе с фиксированными размерами
поперечного сечения структура поля любой волны приближается к
структуре поля THW-волны, у которой Н2 =0. Следовательно, у
волны Н01 при повышении частоты Нтг 0 и одновременно
стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но
это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как
показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на
волне Н0! меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне
Н1Ь если только аД >2, а существенный выигрыш достигается при
аД > 3...4.
290
10.3. ВОЛНОВОДЫ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
10.3.1. П- и Н-образные волноводы
Одноволновый режим в стандартном прямоугольном волно-
воде, как было показано в 10.1.4, сохраняется в двукратной полосе
частот. Однако используемый на практике диапазон частот обычно
не превышает полуторакратного, поскольку в области частот,
близких к критической, велики тепловые потери и мала допустимая
мощность.
В значительно более широкой полосе частот можно сохранить
одноволновый режим при использовании П- и Н-образных вол-
новодов (см. рис. 10.21 и 10.22), которые часто называют более
коротко: П- и Н-волноводы. Если так подобрать поперечные
размеры этих волноводов, чтобы коэффициент их широкополос-
ное™ был равен коэффициенту широкополосное™ прямоуголь-
ного волновода, то П- и Н-волноводы будут иметь меньшие
габариты, чем прямоугольный волновод. На рис. 10.21 и 10.23
показана структура электрического поля соответственно волн Нк и
Hzq в поперечном сечении П-волновода. Эти волны условно
названы Ню и Нго. Основанием для этого является то, что при
плавном уменьшении высоты прямоугольного выступа t (обычно
его называют ребром) они постепенно преобразуются в волны Н10
и Н2о прямоугольного волновода.
При равных размерах а и b расширение рабочей полосы
частот у Н- и П-волноводов по сравнению с прямоугольным
достигается за счет того, что они имеют практически равные
критические частоты для волны Н2о, а критическая частота для
волны Н10 в Н- и П-волноводах существенно ниже, чем в пря-
моугольных. Сказанное можно объяснить следующим образом.
Ребро (или ребра у Н-волновода) находится в пучности напря-
женности электрического поля волны Ню. где концентрация
электромагнитного поля относительно велика. Наличие ребра
Рис. 10.22
19*
291
составляющая Hz магнитного
приводит к еще большей кон-
центрации поля и энергии в этом
месте. Поэтому свойства волны
и, в частности, критическая час-
тота определяются в основном
структурой поля в зазоре. Пока
отношение ширины ребра s
(рис. 10.21) к ширине волновода
а не превышает 0,2...0,3, энергия
электрического и магнитного по-
лей вблизи боковых стенок вол-
новода мала и мала продольная
я. Распространяющаяся в П-вол-
новоде волна близка по структуре к 7ЕМ-волне. Поэтому введе-
ние ребра приближает структуру волны Ню к структуре ТЕМ-волны
и приводит к понижению критической частоты волны Н10- (На-
помним, что у ТЕМ-воты 4р = 0 (см. 9.4)).
Чем больше высота t ребра, т.е. чем ближе отношение t/b к
единице, тем выше концентрация поля в зазоре и тем, следо-
вательно, ниже критическая частота волны Н10- В то же время
влияние относительно узкого (s/a < 0,2...0,3) ребра (или ребер в
Н-волноводе) на критическую частоту волны Н20 незначительно,
так как ребро вводится в сечение, где напряженность электри-
ческого поля волны Н2а мала (рис.10.23). Поэтому при
s/a < 0,2...0,3 коэффициент широкополосное™ Е, Н- и П-волно-
водов существенно выше, чем прямоугольного волновода с теми
же размерами а и Ь. Дальнейшее увеличение отношения s/a
приводит к уменьшению коэффициента широкополосности, так как
боковые стенки волновода приближаются к краям ребер, воз-
растает концентрация энергии полей вблизи боковых стенок и
увеличивается продольная составляющая Hz напряженности маг-
нитного поля, повышается критическая частота волны Ню, умень-
шается коэффициент широкополосное™.
Недостатком Н- и П-волноводов являются повышенный по
сравнению с прямоугольным волноводом уровень потерь и по-
ниженная электрическая прочность. Чем больше высота ребра t,
тем меньше предельная мощность и выше потери. Поэтому
обычно применяют Н- и П-волноводы с £ <4.
292
10.3.2. Эллиптические волноводы
Волна Hit в круглом волноводе описывается формулами
(10,37) при т = 1 и п = 1. В эти формулы входит угол ф0, изменение
которого соответствует повороту структуры поля волны вокруг оси
Z, т.е. к изменению ориентации (поляризации) вектора Е на оси
волновода. Будем называть плоскостью поляризации волны
диаметральное сечение волновода, содержащее вектор Е. У
волны 1, показанной на рис.10.24,а, угол ф0= 0 и входящая в вы-
ражение для Н° функция cos (<р - сро) = cos ср, а плоскость поля-
ризации совпадает с плоскостью XOZ. У волны 2 (рис. 10.24,б)
Фо= л/2 и cos (ф - фо) = sin ф, а плоскость поляризации совпадает с
плоскостью YOZ. Волны 1 и 2 принято называть волнами Hyf и
соответственно. Критические частоты этих волн и параметры
Уф, уэ. Л и др. совпадают. Это явление называют поляризаци-
онным вырождением.
Наличие в волноводе каких-либо нерегулярностей (несим-
метричное соединение отрезков волновода, дефекты изготовления
и др.) может привести к частичному преобразованию одной волны
в другую. При этом если на входе волновода была, например, одна
волна Hyf, то на его выходе помимо волны Нис появится волна
Ни®. Суммарный вектор Е на оси волновода будет иметь эл-
липтическую поляризацию, причем большая ось эллипса будет
повернута на некоторый угол относительно оси X. Таким образом,
при поляризационном вырождении плоскость поляризации оказы-
вается неустойчивой. Этот эффект отсутствует в эллиптических
волноводах (рис. 10.25).
Строгий анализ волн в эллиптическом волноводе требует
решения уравнений Гельмгольца (9.2), записанных в эллипти-
ческой системе координат. Эти решения выражаются через фу-
нкции Матье (см., например, [24]) и здесь не приводятся. Каче-
ственное представление о структуре поля волн в эллиптическом
волноводе можно получить, рассматривая его как деформацию
Рис.10.25
Рис. 10.24
293
Рис.10.26
круглого волновода. При этом волны (рис.10.24,а) и
(рис.10.24,б) круглого волновода преобразуются в волны Нцс
(рис. 10.26,а) и Иц3 (рис. 10.26, б) эллиптического волновода.
Критические длины этих волн зависят от эксцентриситета е =
где а и b - большая и малая полуоси эллипса
(рис.10.25). При небольшой эллиптичности 1 _ /X ljS =a/b. С
увеличением эксцентриситета различие между и >.
возрастает (рис.10.27). Основной волной эллиптического волно-
вода является волна Нпс. Ее критическая частота может быть
рассчитана по приближенной формуле [64]
7кра = 8,7849 (1 + 0,023ег), (10.45)
где f- частота, ГГц; а - большая полуось, см. Погрешность опре-
деления по формуле (10.45) не превышает 1%.
Обычно используют волноводы с отношением b/а = 0,5...0,6,
при этом обеспечивается наибольшая полоса одномодового режи-
ма при относительно малом затухании. Например, при Ь/а = 0,5
критическая частота первого высшего типа (в этом случае им
является волна Н21с, а не Hbs) в 1,82 раза превышает критическую
частоту основной волны, а затухание на основной волне в эл-
липтическом волноводе оказывается меньше, чем в прямоуго-
льном с таким же периметром.
В антенной технике нашли применение также гибкие гоф-
рированные эллиптические волноводы. Они выпускаются промы-
шленностью в виде отрезков длиной в несколько сотен метров,
намотанных на кабельные барабаны.
294
10.4. КОАКСИАЛЬНАЯ ЛИНИЯ
10.4.1. ТЕМ-волна
Коаксиальная линия (рис.10.28) является направляющей сис-
темой закрытого типа, состоящей из двух соосных проводников,
изолированных друг от друга. Как обычно, будем считать, что
проводники обладают бесконечно большой проводимостью, а про-
странство между ними заполнено идеальным диэлектриком с
параметрами е и ц. При этих предположениях в коаксиальной
линии могут распространяться волны ТЕМ, Ей Н. Так как =оо,
то во всех линиях, в которых может распространяться ТЕМ-волна,
эта волна является основной.
Совместим ось Z цилиндрической системы координат г, <р, z с
осью внутреннего проводника коаксиальной линии (рис.10.28).
Векторы Е и Н ТЕМ-волны представим в виде
Ёт(г,ф,z) = Е°(г,ф)ехр(-tkz), Hm(r, ф,z) = H°(r,ф)ехр(-ikz),
где векторы Е°(г, ф) и Н°(г. ф) не имеют продольных составляющих.
Для их определения достаточно решить задачу о поле постоянного
тока, текущего в такой же линии. Из закона полного тока (1.25)
легко показать, что Н°(г, ф) = Н°(г) = <р0/°Л2ттг), где 1° - ток, текущий
по внутреннему проводнику. В случае ТЕМ-волны выполняется
соотношение (9.30), поэтому Е°(г, ф) = Е°(г) = r0/0Zc/(27rr). В случае
f 0 нужно полученные выражения умножить на ехр (- \kz). В
результате находим
l°Z -
Ет(г,ф, z) = r0—-s-exp(-ikz), Hm(r, ф, z) =фо-—ехр(-i/cz). (10.46)
2тсг 2лг
Формулы (10.46) справедливы в области R^<r<R2. где
радиус центрального проводника, a R2 - внутренний радиус вне-
шнего проводника. Структура поля ТЕМ-волны в коаксиальной ли-
нии показана на рис. 10.29. Как и у любой другой ТЕМ-волны, фа-
зовая скорость и скорость распространения энергии ТЕМ-волны в ко-
аксиальной линии равны скорости света в среде, заполняющей линию.
Рис. 10.28
Рис.10.29
295
Так как поле в поперечном сечении линии (векторы Е° и Н°) у
ТЕМ-волны имеет потенциальный характер, можно говорить о токе
и напряжении в коаксиальной линии. Комплексные амплитуды тока
и разности потенциалов между центральным и внешним про-
водниками равны соответственно im = /°exp(-i/cz) и
яг . f°7 о
Um = jEmdr = L-^ln^.exp(-i/cz). (10.47)
R, К,
Отношение к в режиме бегущей волны называют вол-
новым сопротивлением линии
ZB=Um/im. (10.48)
Для коаксиальной линии
^B=-Ti!L = ~ln§- = 607M^in§-. (10.49)
Отметим, что волновое сопротивление линии можно выразить
через ее погонную емкость. В случае 7ЕМ-волны в любой однородной
идеальной линии текут только продольные поверхностные токи. Их
плотность js связана с плотностью поверхностных зарядов ps
уравнением непрерывности div j5=-которое можно перепи-
сать в виде k'iSmz = copSm или jSmz = р^/^ёр. Интегрируя последнее
равенство по контуру поперечного сечения проводника, по ко-
торому течет рассматриваемый ток, получаем lm = Qm 1^/ёр, где
Qm-комплексная амплитуда заряда на единицу длины провод-
ника. Учитывая формулу (3.72), получаем
4 = Um/im = Um^/Qrn = ^/Сь Ом (10.50)
где С, - погонная емкость линии. В случае коаксиальной линии Ci
определяется формулой (3.76), в которой нужно только положить
31 = /?, и а2=/?2. Подставляя затем (3.76) в (10.50), приходим к
формуле (10.49).
Внутренний проводник коаксиальной линии может быть спло-
шным, сплетенным из отдельных проволочек, либо трубчатым.
Обычно этот проводник выполняется из меди или с целью
увеличения механической прочности из биметаллической прово-
локи (стальная проволока, покрытая слоем меди). Внешний про-
водник в зависимости от назначения линии представляет собой
либо полую трубу (рис.10.30) - жесткая коаксиальная линия, либо
выполняется в виде оплетки (рис. 10.31) из медной проволоки или
ленты - гибкий коаксиальный кабель.
296
Рис. 10.30
наружное защитное
покрытие ________
диэлектрик
/ центральный
оплетка проводник
Рис.10.31
Изоляция гибких радиочастотных коаксиальных линий выпол-
няется либо из сплошного диэлектрика (рис.10.31) с малыми
потерями (полиэтилен, фторопласт и др.), либо в виде диэлект-
рических шайб (рис.10.30). Более подробно конструкции коакси-
альных линий описаны в [67] и [68].
10.4.2. Электрические и магнитные волны в коаксиальной
линии
Формулы для поля Е- и Н-волн в коаксиальной линии вы-
водятся так же, как в случае круглого волновода. Однако при
анализе волн в коаксиальной линии постоянную D в формуле
(10.31) нельзя считать равной нулю, так как в области R-<r<R2
функция Неймана является ограниченной. В случае Е-волн из
условий EZ°(R1, <р) = 0 и Ez°(R2, ф) = 0 приходим к трансцен-
дентному уравнению;
1 ^1) _ ^Чп(У1 ^1) (1 0 5 -| 4
Nm(^R2Y
из которого находится величина у±. В случае Н-волн можно
показать, что значения поперечного волнового числа У1 являются
корнями трансцендентного уравнения:
<(Yi^) ^(У1/?2)’
(10.52)
Корни уравнений (10.51) и (10.52) нахо-
дятся численными методами.
Как показывает анализ уравнений (10.52) и
(10.51), первым высшим типом волны в коак-
сиальной линии является при любом диаметре
внутреннего проводника волна Н^. Структура
этой волны в поперечном сечении линии пока-
зана на рис.10.32. Критическую частоту волны
Ни в коаксиальной линии можно определить
Рис.10.32
297
a) 6)
Рис. 10.33
достаточно точно, не
решая уравнения (10.62).
Действительно, если
R, = 0, то коаксиаль-
ная линия превраща-
ется в круглый волно-
вод, низшим типом во-
лны в котором явля-
ется волна Нц. Введе-
ние вдоль оси кругло-
го волновода тонкого металлического
стержня, как это имеет
место в коаксиальной линии, слабо влияет на распространение
волны Нц ввиду отсутствия у нее продольных составляющих
вектора Е. Поэтому при малых значениях R, критическая длина
волны Иц в коаксиальной линии приближенно равна критической
длине волны Нц в круглом волноводе, т.е.
«3,41Нг. (10.53)
Рассмотрим другой предельный случай, когда Ri = R2.
Структура поля волны Нц в плоскости поперечного сечения такой
коаксиальной линии изображена на рис. 10.33, а. Для сравнения
рядом (рис.10.33,6) построена структура поля волны Н20 в прямо-
угольном волноводе, изогнутом по окружности большого радиуса
(R^b, где b = R2-R-\ - размер узкой стенки прямоугольного вол-
новода), Почти полное совпадение этих структур позволяет
считать, что критические частоты волны Нц в коаксиальной пинии
при Ri->R2 и волны H2Q в прямоугольном волноводе также
совладают. Критическая длина волны Н20 равна поперечному
размеру широкой стенки а прямоугольного волновода. В изогнутом
волноводе можно считать а = л(Н1+Н2), Следовательно, при
R^R2
= n(R,+ R2) = 3,UR2(A + RJR2}. (10.54)
При R^R2 формула (10.54) дает значение = 3,14Нг,
что менее чем на 10% отличается от значения, вычисленного по
формуле (10.53). таким образом, можно без большой погрешности
пользоваться формулой (10.54) не только при R^ R2, но и при
произвольных значениях и R2.
298
10.4.3. Передача энергии по коаксиальной линии
В коаксиальной линии одноволновый режим сохраняется при
Z. > или с учетом формулы (10.54) при
X > л (/?] + R2). (10.55)
Мощность, переносимая ТЕМ-волной по коаксиальной линии,
в соответствии с (9.46) и (10.46)
Р™ = (10’55>
2Zt: R, o'
где Eo =/°Zc/(2nR1) - амплитуда напряженности электрического
поля на поверхности внутреннего проводника (наибольшее зна-
чение составляющей Ег). Пользуясь формулой (10.56), нетрудно
найти условие, при котором величина Е02 будет минимальной. Для
этого выразим из (10.55) Ео2 через Р^7™ и, считая Рср7£М и R2
постоянными, найдем значение Rb соответствующее минимуму
Е02. В результате получим соотношение In (R^) = 0,5, из которого
следует R2 = R,. При таком соотношении между радиусами
проводников получается наибольшее значение предельной мощ-
ности Ргред, а волновое сопротивление коаксиальной линии
ZB = 30-^щ/е/, Ом.
При воздушном заполнении линии пробой возникает при Ео =
= 30 кВ/см. Подставляя это значение в (10.56) и учитывая, что в
рассматриваемом случае Zc= 120тг, a In (R2/Ri) = 0,5, получаем
Рпред = 3,75-lO’-R,2, кВт, (10.57)
где величина R, выражена в сантиметрах.
Если пространство между центральным и внешним провод-
никами коаксиальной линии заполнено полностью или частично
диэлектриком, то максимальная мощность, которую можно пере-
дать по линии, в несколько раз ниже, чем рассчитанная по
формуле (10.57). Объясняется это как возможностью теплового
пробоя диэлектрика, так и увеличением напряженности элект-
рического поля в небольших (около 10"2... 10"3 см) воздушных
зазорах между диэлектриком и центральным проводником коак-
сиальной линии, неизбежно возникающих даже при самом тща-
тельном изготовлении линии. Можно показать, что напряженность
электрического поля в зазоре в ег раз выше, чем максимальная
напряженность в диэлектрике. Для предотвращения пробоя воз-
душного зазора предельная мощность должна быть уменьшена в
ег2 раз.
299
В некоторых случаях представляет интерес определение от-
ношения R2lR\, при котором разность потенциалов AU = |ут[ меж-
ду внутренним и внешним проводниками минимальна. Используя
формулу (10.47), находим, что минимум |(7т| имеет место при
In (R2/Ri) = 1, что соответствует волновому сопротивлению Za =
= 60 ^цг/ег.
Потери в коаксиальной линии складываются из потерь в
диэлектрике, заполняющем линию, и потерь в металлических
проводниках. Таким образом, коэффициент затухания а = ад+ам.
При сплошном заполнении величина ад находится из выражения
(9.52). Если заполнение частичное, то коэффициент ослабления
ад, обусловленный потерями в диэлектрике, приближенно может
быть определен по формуле
(10.58)
* Л
где Уд-объем диэлектрического заполнения в коаксиальной
линии единичной длины и Ул-полный внутренний объем этой
линии.
Определим затухание, обусловленное потерями в металли-
ческих проводниках. Амплитуда касательной составляющей маг-
нитного поля, согласно (10.46), на поверхности центрального про-
водника равна Eq/Zc, а на внутренней поверхности внешнего про-
водника|Нтt1 = E0R, I(ZcR2). Подставляя значенияв (9.54), получаем
= + (10.59)
Подставляя (10.59) и (10.56) в (9.49), находим
а -. A + R^lRy
" 2ZcR2 In(Rz//?,)’
(10.60)
Подчеркнем, что формула (10.60) выведена для случая резко
выраженного поверхностного эффекта. На низких частотах по-
верхностный эффект в центральном проводнике проявляется
слабо. В этом случае при определении потерь во внутреннем
проводнике коаксиальной линии нужно учитывать результаты,
полученные в 7.4.
Так как Ry < R2, то ббльшая часть энергии теряется в
центральном проводнике. Увеличение радиуса Ry центрального
проводника сопровождается уменьшением плотности тока прово-
димости в этом проводнике и соответствующим уменьшением
потерь. Однако, с другой стороны, увеличение Ry при неизменной
зоо
величине R2 влечет за собой понижение волнового сопротивления,
что при заданной мощности приводит к увеличению тока в линии и
соответствующему увеличению потерь. Поэтому следует ожидать
существования оптимального соотношения между Ry и R2, при
котором затухание, вызываемое потерями в металлических про-
водниках, минимально. Полагая cav/cR} = 0, приходим к соотно-
шению R2/R', = 3,6, которому соответствует волновое сопротив-
ление ZB = 77^/ц7ег-
Как видно, разным критериям соответствуют свои опти-
мальные значения ZB. В соответствии с рекомендацией Меж-
дународной электротехнической комиссии волновое сопротивле-
ние коаксиальной линии, предназначенной для передачи значи-
тельной мощности, выбирается равным 50 Ом (при ег= 1 и цг= 1),
что приблизительно равно полусумме значений ZB, оптимальных
по предельной мощности и по затуханию. Широко используются
также коаксиальные линии с номинальным волновым сопротив-
лением 75 Ом.
Как показывают расчеты, на волнах короче 10 см суммарный
коэффициент ослабления в коаксиальной линии значительно пре-
вышает коэффициент ослабления в металлических волноводах.
Поэтому на таких волнах применяют лишь короткие отрезки
коаксиальной линии.
10.5. ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ
Двухпроводная линия, представляющая собой систему двух
параллельных проводов, широко используется на практике.
Строгий анализ основных собственных волн в такой линии при
конечной проводимости проводов был проведен на основе реше-
ния уравнения Гельмгольца в биполярной системе координат [13].
Он является весьма сложным и здесь не приводится. Ограничимся
рассмотрением идеальной двухпроводной линии, т.е. будем счи-
тать, что провода обладают бесконечной проводимостью и рас-
положены в однородной изотропной среде без потерь. В такой
линии возможно распространение ТЕМ-вот двух типов, которые
принято называть однотакгной и двухтактной или соответственно
четной и нечетной волнами. В любом поперечном сечении линии
у однотактной волны токи в проводах синфазны, а у двухтактной -
противофазны (имеют противоположное направление). Ограни-
чимся рассмотрением двухтактной волны.
301
Поперечное сечение ли-
нии и используемая дека-
ртова система координат
показаны на рис.10.34.
Расстояние между осями
проводов d = 2h, радиусы
проводов одинаковы и рав-
ны а. Комплексные ампли-
туды токов в первом (/т1)
и втором (/т2) проводах
(рис.10.34) и векторы Ё и
Н в соответствии с общей
теорией ТЕМ-волн (см.9.4) представим в виде /т1 =-1т2 =
= /°exp(-ikz), Ёт = E°(x,y)exp(-i/cz) и Нт = Н°(х, y)exp(-i/cz).
При этом выполняется равенство Е° (х, у) =- grad и° (х, у), где
функция ц°(х, у) совпадает с электростатическим потенциалом в
двумерной задаче о поле двух разноименно заряженных цили-
ндров, на одном из которых потенциал u°= И0 (первый провод), а
на другом и°=- Va (второй провод). Эта задача рассматривалась в
3.6.3, и было показано, что электростатическое поле таких про-
водов эквивалентно полю двух разноименно заряженных нитей,
проходящих через точки с координатами х = £, y=z=Q (первая
нить) их=-ЛУ=г = 0 (вторая нить) параллельно оси Z. Погонные
заряды первой и второй нитей обозначим через т° и -т° со-
ответственно. Отметим, что ло сравнению с формулами 3.6.3
здесь изменены обозначения (ц°, У0 и т° вместо и, V и т). Ве-
личины h, f. и а связаны соотношением (3.56), а У° и т° - формулой
(3.57), в которой нужно только заменить У на У° и т на т°.
В соответствии с формулой (3.49) имеем
2та R,
(10.61)
где =^(х-£)2+уг и й2 =д/(х+ О2 + у2-расстояния до точки
наблюдения Л/=Л/(х, у) от первой и второй эквивалентных нитей
соответственно.
В идеальной двухпроводной линии токи и заряды являются
поверхностными. Комплексные амплитуды их плотностей равны
соответственно jSm = zoy°exp(-i/<z) и pSn, = р£ exp(-ikz). Функции
Jsm и Psm связаны уравнением непрерывности div= -iwpSm,
302
Рис. 10.35
из которого следует равенство
Тёр Js = Ps- Очевидно, аналогич-
ное соотношение связывает вели-
,0 о
чины / ИТ.
= т°. (10.62)
Переходя от и° к Е° по формуле
E°=-9radu° и учитывая (10.62),
получаем
Е° =-^та[х0(х2-/2^2) + У02ху]. (10.63)
7С'2
В соответствии с формулой (9.30) вычисляем вектор Н°:
Н° = = -^[-х02ху+ у0(х2~у2- ^)]. (10.64)
Ze tcR'R'
Подчеркнем, что формулы (10.63) и (10.64) являются строгими
и справедливы при любом расстоянии d между проводами.
На рис.10.35 показана построенная на основе формул (10.63)
и (10.64) структура поля двухтактной ТВИ-волны в поперечном
сечении симметричной двухпроводной линии.
Зная напряженность магнитного поля, нетрудно найти пло-
тность токов, текущих по проводам. Рассмотрим, например, пер-
вый провод. Введем систему цилиндрических координат гь ф1р z,,
связанных с координатами х, у, z соотношениями
х = h + п cos ф1, у= G sin фЪ z = z,. (10.65)
Плотность тока на первом проводе в соответствии с гра-
ничным условием (1.110) вычисляется по формуле
js(4>i) = [r1°,H°]|i=a = zaH°n (а,ф,),
где Н° = (ч>1°, Н°), а г ° и ср,0 - координатные орты переменных г, и
Ф,. При вычислении скалярного произведения (фЛ Н°) удобно
воспользоваться равенством q>i°=- xQcos фт + у0 sin фь Опуская
промежуточные преобразования, выпишем окончательный результат:
/° Jh2-a2
^i) = ------— (10.66)
2л a h + a cos ф,
В (10.66) учтено соотношение (3.56): f. = ^h2~a2.
Из полученной формулы видно, что ток в общем случае
распределен по периметру провода неравномерно. Величина |jSra|
возрастает при ф^л. При Лз>а эта неравномерность проявляется
зоз
слабо, и можно счи-
тать, что распределе-
ние тока в каждом про-
воде осесимметрично.
При сближении прово-
дов неравномерность
распределения тока во-
зрастает. Это приводит
к увеличению потерь в
линии. Указанное явле-
ние называют эффек-
том близости. На
рис.10.36 показана за-
висимость функции Js°
от угла <pt для неско-
льких значений отно-
шения h/a, указанных на
соответствующих кривых.
Коэффициенты ослабления (а) и фазы (р) двухтактной волны
в симметричной двухпроводной линии могут быть вычислены по
приближенной формуле, полученной Зоммерфельдом [13]:
р - ia = k0 '10 6 (10.67)
где
p = hl a-7(b/a)2-1;
k0 = er1 =Er1[1-i<31/((oc,)], еГ1 и с,-относительная ди-
электрическая проницаемость и удельная проводимость среды,
окружающей линию, а рд и - относительная магнитная про-
ницаемость и удельная проводимость проводов линии. При вы-
воде формулы (10.67) предполагалось, что имеет место сильно
выраженный поверхностный эффект (т.е. выполняется неравен-
ство |к2|а »1, где к2 = (1-1)^л7ст2цоцг2 и щ = ц0.
При h/a >10 практически точный результат при любом ра-
диусе проводов дает формула
p-ia
(1 + i) 3,727-Ю"6 gr1fpf2 J0(fc2a)
aln(2h/a) у 2ct2 J,(k2a)
(10.68)
При анализе волн в многопроводных линиях обычно ис-
пользуют методы, не учитывающие эффект близости. При близком
расположении проводов эти методы могут привести к заметным
погрешностям.
304
Представление о
влиянии эффекта близо-
сти на затухание волн в
двухпроводной линии
дает рис.10.37, на кото-
ром показана зависи-
мость отношения истинных
значений коэффициента
ослабления к его зна-
чениям ан°, вычислен-
ным в предположении
осесимметричного расп-
ределения тока в каж-
дом проводе, т.е. без
учета эффекта близости.
Приведенный график рас-
считан для случая двух-
тактной волны в симмет-
ричной двухпроводной
линии с алюминиевыми
проводами при а =.3 мм
и Л=1 МГц. Как видно,
при близком располо-
жении проводов неучет
эффекта близости приво-
дит к существенной по-
грешности.
Волновое сопротивление идеальной двухпроводной линии
вычисляется по формуле Zz = 2У°//°. Для двухтактной волны
Vго - — In — = In
2ле а 2л а
Следовательно
ZB = 1207рА 1п|-+1/(Ь/а)2-1
V &
(10.69)
При h > 5а обычно пользуются приближенной формулой
ZB = 120^£-In—, вытекающей из (10.69). На рис.10.38 показана
зависимость Ze-^ от параметра Л/а для случая 1.
20-45
305
10.6. Полосковые линии
Будем называть полосковой линией направляющую систему
открытого типа, состоящую из двух или более изолированных друг
от друга проводящих полос. Данное определение не претендует на
полноту. В настоящее время этот термин используют для обо-
значения настолько разных линий передачи [23], что дать все-
объемлющее определение полосковых линий не представляется
возможным. На практике наиболее часто используются следующие
линии: симметричная полосковая линия, несимметричная полос-
ковая линия, микрополосковая линия, щелевая полосковая линия и
некоторые другие. Как правило, полосковые линии выполняются в
виде тонких металлических слоев, нанесенных на листы диэ-
лектрика. В качестве диэлектрика используют материалы с ма-
лыми потерями в диапазоне СВЧ (с малым tg 8): фторопласт,
полиэтилен, керамика, поликор (двуокись алюминия), сапфир,
кварц, ферриты и др. [23]. Иногда применяют воздушное запол-
нение линий. При изготовлении полосковых линий используют или
фольгированные диэлектрики [23], или наносят металлические
полоски на поверхность диэлектрика, применяя тонкопленочную
или толстопленочную технологии [54].
Несмотря на относительно простую геометрию полосковых
линий, их строгий анализ представляет достаточно сложную за-
дачу, решаемую, как правило, с помощью численных методов. Так
как полосковые линии относятся к линиям открытого типа, то при
распространении вдоль них электромагнитных волн возникают
радиационные потери (часть мощности излучается из линии во
внешнее пространство). На практике используют полосковые ли-
нии, поперечные размеры которых малы по сравнению с длиной
волны. Радиационные потери в таких линиях обычно незна-
чительны, и при анализе структуры поля и параметров основных
волн ими пренебрегают.
Основной волной в полосковых линиях, как правило, является
ТЕМ-волна или квази-ТЕМ волна, по структуре поля и другим
свойствам близкая к ТЕМ-волне. Анализ таких волн обычно про-
водят на основе квазистатического приближения, как было сде-
лано в случае коаксиальной и двухпроводной линий. Рассмотрим
более подробно основные типы полосковых линий, широко ис-
пользуемые в технике СВЧ.
Симметричная полосковая линия (СПЛ) представляет собой
трехпроводную полосковую линию, состоящую из полоски 1 ши-
риной w и толщиной t, помещенной симметрично относительно
экранирующих пластин, расположенных на расстоянии b друг от
306
друга и имеющих ширину а
(рис.10.39). Пространство между
проводниками полностью запол-
нено однородным диэлектриком 2
с параметрами ег, щ=1, стд. Токо-
несущие элементы (полоска 1 и
экранирующие пластины) выпо-
лнены из металла с удельной
проводимостью стм. При стд=0,
сти=<ю и а=<ю основной волной в
С ПЛ является ТЕ/И-волна, для которой Х^оо Строгий анализ ТЕМ-
волны в СПЛ при а=оо может быть выполнен методами теории
функций комплексного переменного с помощью конформных ото-
бражений [55]. Однако качественное представление о структуре
поля ТЕМ-волны в СПЛ можно получить более просто, рас-
сматривая СПЛ как линию, получающуюся в результате дефор-
мации коаксиальной линии (см. рис.10.40, а,б,в).
Отметим, что основные характеристики ТЕМ-волны в СПЛ
можно определять по формулам для плоских волн в однородной
изотропной среде (см. гл.6). Важной характеристикой линии пе-
редачи с ТЕМ-волной является ее волновое сопротивление ZB=
= Um/im, где Um и /т- комплексные амплитуды напряжения и тока
в линии, соответствующие бегущей волне. Зная формулы для
электрического и магнитного полей в СПЛ, можно найти для нее ZB
также, как это было сделано в случае коаксиальной линии. Однако
обычно волновое сопротивление полосковых линий определяют
иначе. В 10.4 было показано, что ZB линии с ТЕМ-волной можно
рассчитывать по формуле (10.50).
В случае СПЛ погонную емкость линии Ci можно представить
(рис.10.41) в виде С, = 2Спл+4СкР, где Спл = s2wl(b-t)-емкость
плоского конденсатора с пластинами шириной w и длиной 1 м,
расположенными на расстоянии (b-f)Z2, рассчитанная без учета
краевых эффектов, а Скр - емкость, связанная с краевыми полями
на концах полоски. Емкость Скр зависит от е, t и b линии и
определяется методами конформных отображений [55]. Приведем
20*
коаксиальная
линия
симметричная
полосковая
линия
307
Рис. 10.40
Рис. 10.41
I zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz/ZAW7/,/,z7 Л
XZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
Рис. 10.42
окончательные приближенные формулы для ZB, позволяющие
проводить расчеты с относительной погрешностью, не превы-
шающей 1,24% [23]:
при iv/b> 0,35 (1 -t/b)
= 30it/(a,w I b + A), (10.70a)
где a, =1/(1 - t/b); A = [2a! In (a,+1) - (a,-1) In (a^-l)]/^;
при wlb < 0,35 (-1 - t/b) и w> t
ZB = 60ln[4 bl(nd}], (10.706)
где d/w= 0,5 + 0,8tAv- 0,12 (tAv)2.
Как следует из (10.70), волновое сопротивление СПЛ умень-
шается при увеличении ег заполняющего диэлектрика, увеличении
w и t полоски и уменьшении величины Ь, поскольку при указанных
изменениях увеличивается емкость С,.,..
Расчетные и экспериментальные данные показывают [23], что
в СПЛ с конечной шириной экранирующих пластин а (рис.10.39)
при a>w + 2b поле практически полностью сосредоточено в
заполняющем диэлектрике, а на границе диэлектрик - воздух оно
отсутствует; поэтому все характеристики СПЛ в этом случае можно
рассчитывать по формулам, справедливым для а =<х>.
Первым высшим типом в СПЛ является волна /У1) [23]. Ее
структуру (рис.10.42) можно получить, последовательно дефор-
мируя (как на рис.10.40) поперечное сечение коаксиальной линии,
в которой распространяется первый высший тип Ни (рис.10.32).
Поэтому приближенно можно считать, что X m » w. Условие од-
новолновой работы СПЛ можно приближенно записать в виде w<
< А/2, где Л - длина ТЕМ-волны в СПЛ.
Если од^О и стм^оо, то при распространении ТЕМ-волны по
СПЛ происходят потери энергии в заполняющем диэлектрике и
проводниках линии. Кроме того, имеет место излучение энергии в
окружающее пространство. При a>w+2b и Ь<Л/2 затуханием
308
волны за счет излучения можно пренебречь [23]. В этом случае
коэффициент ослабления можно записать в виде а = ад + ан
(см. 9.8); ад вычисляется по (9.52), формулы для вычисления ам
приведены в [23]. Расчеты показывают, что даже в самом бла-
гоприятном случае (при использовании высокочастотных диэле-
ктриков с малым tg 8 и хорошо проводящих металлов, например
меди) коэффициент ослабления а в СПЛ на частотах выше 1 ГГц
имеет величину от нескольких десятых до нескольких единиц
децибел на метр. Причем а возрастает как с увеличением частоты,
так и с увеличением ег. На одних и тех же частотах коэффициент
ослабления в СПЛ в несколько раз больше коэффициента
ослабления в металлических волноводах и коаксиальной линии,
что объясняется весьма малыми поперечными размерами СПЛ и
полным диэлектрическим заполнением линии. Несмотря на это,
полосковые линии находят широкое применение в технике СВЧ:
практически вся приемная аппаратура конструируется на их
основе. При использовании полосковых линий удается получить
весьма малые габариты и массу устройств. Отметим, что
затухание электромагнитного сигнала, проходящего через то или
иное устройство, зависит как от коэффициента ослабления в
отрезках линии, образующих это устройство, так и от длины пути.
Как будет показано ниже при рассмотрении вопросов конст-
руирования различных устройств СВЧ, их длина пропорциональна
длине волны в линии передачи, на основе которой строится
устройство. Поэтому конструируя устройство на основе поло-
сковых линий и увеличивая ег заполняющего диэлектрика, удается
уменьшить длину волны в линии, а значит, и длину устройства.
С целью уменьшения затухания волны в СПЛ применяют
несколько измененную конструкцию СПЛ, называемую высоко-
добротной полосковой линией (рис.10.43). В этом случае про-
водящую полоску мевду экранами выполняют в виде двух поло-
сок 1, нанесенных по разные стороны тонкой диэлектрической пла-
стины 2. Обе полоски находятся
под одним и тем же потенци-
алом. Пространство между поло-
сками и экранами заполнено
воздухом. Тонкая диэлектриче-
ская пластина обеспечивает
крепление и центрирование по-
лосок меаду экранами. При
этом ослабление волны в диэ-
лектрической пластине весьма
мало, поскольку из-за одинако-
вых потенциалов полосок кон-
Рис.10.43
309
центрация электромагнитного поля в диэлектрике невелика.
Симметричное расположение пластины 2 между экранирующими
пластинами 3 обеспечивается специальными диэлектрическими
опорами 4.
Несимметричная полосковая (НПЛ) и микрополосковая
(МПЛ) линии. НПЛ (рис.10.44), представляет собой двухпро-
водную полосковую линию, состоящую из полоски шириной W и
толщиной f, помещенной на расстоянии h от экранирующей
пластины, имеющей ширину а. Пространство между провод-
никами и над полоской заполнено диэлектриком с параметрами
ег, ц<-1, од. Токонесущие элементы (полоска и экран) выполнены
из металла с удельной проводимостью он. На практике, как
правило, используют воздушное заполнение НПЛ. При од=0, ам=°о
и а=оо основной волной в НПЛ яаляется ТЕМ-волна, для которой
ХКр=°о. В [55] выполнен анализ НПЛ и приведены формулы для
расчета поля ТЕМ-волны. На рис.10.44 показана структура поля
ТЕМ-волны в НПЛ, построенная путем последовательных дефор-
маций структуры поля симметричной двухпроводной линии.
Как и в случае СПЛ, волновое сопротивление НПЛ обычно
рассчитывают по формуле (10.50), где С, = Спл+ 2Скр; Спл= г-wfh -
погонная емкость плоского конденсатора, а С^,-емкость, свя-
занная с краевыми полями. Приведем окончательные приближен-
ные формулы для ZB, позволяющие проводить расчеты с отно-
сительной погрешностью, не превышающей 0,6 % при f = 0 [23];
ZB fa = 120n/[w th + (2/л) In [17,08 (wl2h + 0,92)}] при wlh>2, (10.71a)
ZB fa = 60 [In (8h/w) + wz l(32h2)]. при wlh <. 2. (10.716)
При конечной толщине полоски, в случае 0 < t/h < 0.1,
сопротивление ZB для НПЛ можно определять по (10.71), если
вместо w/h подставить w'/ft, где
зю
, fw/h+t[1+ln(2ft/t)]/(nft) при w/h>0,16,
W/ = (w4>+t[1 + In(4«w/0]/(«ft) при w/h<0,16. (10'72)
Как и в случае СПЛ, волновое сопротивление НПЛ умень-
шается при увеличении ег, увеличении w и f и уменьшении Л.
Как показывает анализ, характеристики НПЛ с конечной ши-
риной экранирующей пластины при условии а > (8...12) w прак-
тически полностью совпадают с аналогичными для НПЛ с а = со.
Одноволновый режим работы НПЛ на TSW-волне и отсутствие
излучения из линии обеспечиваются соответствующим выбором
поперечных размеров линии [23]:
и/< А/2 и h < А/2,
(10.73)
где Л - длина ТЕМ-волны в НПЛ.
На практике широкое применение находит несколько изме-
ненная конструкция (рис.10.45), называемая микрополосковой
линией. Она отличается от НПЛ тем, что между полоской 1 и
экранирующей пластиной 2 помещается подложка из диэлектрика
3 с параметрами е^, цг2=1, <тд2; над полоской находится диэлектрик
с параметрами er1, =1, сд-.. Как правило, над полоской исполь-
зуют воздушное заполнение (e^j=1, од1=0). Если сравнить пере-
дачу энергии по НПЛ и МПЛ, то в МПЛ уровень излучения энергии
в окружающее пространство гораздо ниже, чем в НПЛ, что связано
с увеличением концентрации электромагнитного поля в диэле-
ктрике подложки, особенно при больших значениях ег2.
При передаче энергии по МПЛ электромагнитное поле су-
ществует не только в подложке, но и в воздухе. При этом появ-
ляются продольные составляющие векторов поля, т.е. по МПЛ в
общем случае энергия переносится гибридными волнами (Ег*0 и
Нг^0). Однако, как показывает анализ [55], при достаточно малых
по сравнению с длиной волны размерах поперечного сечения МПЛ
для основной волны величина продольных составляющих векто-
ров поля оказывается на порядок меньше величины поперечных
составляющих, и ими можно пренебречь. Поэтому приближенно
можно считать, что структура основной волны в МПЛ (рис.10.45),
получившей название квази-ТЕМ. совпадает со структурой ТЕМ-
волны. Волна Квази-ТЕМ, как и ТЕМ-волна, может распрост-
раняться на любых частотах, для нее А«р=оо. Причем, поскольку
квази ТЕМ-волна переносит часть энергии в подложке, а часть в
воздухе, ее фазовая скорость удовлетворяет неравенству
• Чем больше энергии переносится в под-
ложке, тем ближе уф к скорости света в подложке, и наоборот.
Обычно при определении основных характеристик волн в линиях с
поперечно неоднородным диэлектрическим заполнением вводят
эффективную диэлектрическую проницаемость линии Бэф=еоЕгэф,
связанную с фазовой скоростью волны = 1/^e^p0, причем ег2>
>Егэф>Ег1. При ем =1 и ег2=&г эффективную проницаемость для
волны квази-ТЕМ в МПЛ можно определить по формуле, спра-
ведливой для t = 0 [23]:
егэФ = (ег+1)/2+(ег +1)/[2(1 + 10Л/1уГ]. (10.74)
Из (10.74) следует, что фазовая скорость квази-7ЕМ волны
зависит не только от параметров заполняющего диэлектрика, но и
от геометрических размеров линии (последнее свойство харак-
терно для Н- и Е-волн в волноводах): при увеличении w и ег2 или
уменьшении h фазовая скорость волны квази-7ЕМ в МПЛ умень-
шается, поскольку при подобном изменении увеличивается коли-
чество энергии, переносимой волной в подложке, и наоборот. Все
основные характеристики волны квази-ТЕМ рассчитываются по
формулам для ТЕМ-волн путем замены ег на £гэф. Например, длина
волны квази-ТЕМ в МПЛ на частоте f равна А= 1/(Г^еэФц0 ).
Волновое сопротивление МПЛ рассчитывается по формулам
(10.71), где бг заменяется на вычисленную по (10.74) егэ. Путем
аналогичной замены в (10.73) получаются условия для одно-
волнового режима работы и отсутствия излучения в МПЛ.
Отметим, что поскольку волна квази-ТЕМ является гибридной,
ее характеристики (егэф, v, Zb) зависят от частоты, т.е. наблюдается
дисперсия основной волны в МПЛ. Как показывают расчеты и
эксперимент [23] для МПЛ, используемых на практике, дисперсия
основной волны практически не проявляется при f<1 ГГц. На более
высоких частотах характеристики основной волны в МПЛ следует
определять с учетом дисперсии, используя формулы для еГЭф из
[23]. При Од* 0 и сгн*°° волна квази-ТЕМ испытывает затухание,
которое можно рассчитать по формулам, приведенным в [23].
Отметим, что на основе МПЛ конструируется большинство
интегральных схем, при этом в качестве подложки используют
весьма тонкие диэлектрические пластины (доли миллиметра),
имеющие достаточно высокое значение ег2. При этом удается
значительно уменьшить длину волны в линии, а значит, и габариты
интегральной схемы.
Щелевая полосковая линия (ЩПЛ). Это двухпроводная
полосковая линия (рис.10.46), в которой электромагнитная волна
312
распространяется вдоль щели между проводящими поверхнос-
тями 1 и 2, нанесенными на одну сторону подложки 3 из ди-
электрика с параметрами е, ро, <тд. На рис.10.46 изображены линии
электрического (сплошные) и магнитного (пунктирные) полей
основной волны в ЩПЛ. Анализ ЩПЛ показывает [23], что
основной волной в линии является Н-волна, поскольку величина
продольной составляющей напряженности электрического поля на
порядок меньше величины поперечных составляющих, а все три
составляющие магнитного поля сравнимы по величине. Как пра-
вило, основные характеристики ЩПЛ (иф, ZB, Л и т.д.) определяют
численно. Результаты подобных расчетов можно найти в [23].
Одноволновый режим работы ЩПЛ, а также отсутствие заметного
излучения из линии обеспечиваются при w < А/2 и h < Л/2.
По сравнению с МПЛ в ЩПЛ: 1) более сильно проявляется
дисперсия; 2) при одинаковых отношениях w/h и ег подложки ZB в
ЩПЛ больше, чем в МПЛ; 3) значительно ниже потери, поскольку
ток проводимости рассредоточен по большей поверхности, чем в
МПЛ. Отметим, что при конструировании гибридных интегральных
схем использование ЩПЛ, в отличие от СПЛ и МПЛ, позволяет
более просто монтировать навесные элементы в схеме. Магнитное
поле в ЩПЛ эллиптически поляризовано, поскольку в /7-волнах
продольная и поперечные составляющие напряженности магнит-
ного поля сдвинуты по фазе на 90°. Это свойство основной волны
в ЩПЛ используется при конструировании полосковых невзаимных
устройств с намагниченными ферритами (см. гл.14).
Связанные полосковые линии. Рассмотрим две СПЛ
(рис. 10.47, а) или две МПЛ (рис. 10.47, б), имеющие одинаковую
ширину полосок, общие экранирующие пластины и общее диэлект-
рическое заполнение. Полоски линий расположены параллельно
на расстоянии з друг от друга. Изображенные на рис.10.47, а и
10.47,6 линии называют соответственно связанными СПЛ и
связанными МПЛ с боковой связью полосок. При достаточно
малом расстоянии з электромагнитная волна, распространяю-
щаяся вдоль одной из полосок, будет возбуждать волну, рас-
пространяющуюся вдоль второй полоски. Благодаря возникающей
между полосками электромагнитной связи часть энергии, пере-
носимой волной вдоль одной из полосок, будет ответвляться и
а) б)
Рис. 10.47
313
четная волна
нечетная волна
s)
Рис.10.49
б)
переноситься волной вдоль другой полоски и наоборот. Это
явление используется в технике СВЧ при конструировании на-
правленных ответвителей, фильтров и других устройств (см. гл.14).
Анализ связанных СПЛ и МПЛ, проведенный в (17], показал,
что в таких линиях возможно существование двух независимых
основных волн: четной (рис. 10.48) и нечетной (рис. 10.49), соот-
ветствующих двум способам возбуждения полосок. У четной
волны в произвольном поперечном сечении потенциалы полосок
одинаковы по величине и знаку, а токи на полосках текут в одном
направлении. У нечетной волны потенциалы одинаковы по ве-
личине, но противоположны по знаку, а токи текут в противо-
положных направлениях.
Как следует из общих свойств ТЕМ-волн, основные параметры
четной и нечетной ТЕМ-волн в СПЛ совпадают и вычисляются по
формулам, приведенным в 9.4. Волновые сопротивления для этих
волн можно рассчитать по формуле (10.50), где полная погонная
емкость
С, =2(Спл+Сч,)+-(
'2Скрв
20,,,
для четной волны,
для нечетной волны.
Входящие в эти выражения величины Спл и Скр были опре-
делены выше при анализе СПЛ, а Скрв и Скро~погонные емкости,
возникающие за счет краевых полей вблизи связанных краев
полосок соответственно для четной и нечетной волн. Из физи-
ческих соображений очевидно, что Скрв<СкРп. Соответственно
полная погонная емкость Ci = Сё для четной волны меньше полной
314
погонной емкости Cj = Со’ для нечетной волны (Се< Со). Поэтому
для волновых сопротивлений четной (ZBe) и нечетной (Zs0) волн
выполняется неравенство ZBe> ZB0.
При t/b < 0,1 и ivZb>0,35 для вычисления ZBB и ZB0 можно
использовать следующие приближенные формулы [23]:
Z„7T = 60n/[2(w/b) + 4+S],
ZB о 7Г = 60л/[2 (w / Ь) + А+ С],
где А определяется так же, как в формуле (10.70), В =
= (2/fc) In {1 + th [яа^2Ь)]}, С = (2А) In {1 + cth [ns/(2b)]}.
Аналогично с помощью формул, приведенных в 9.4 для
ТЕМ-волн, можно определить основные характеристики четной и
нечетной квази ТЕМ-волн в связанных микрополосковых линиях;
заменив в них ег на эффективные диэлектрические проницаемости
(Егэф)е для четной волны и (еГЭф)0-для нечетной. Анализ пока-
зывает, что (егаф)е всегда больше (егэф)0, т.е. четная и нечетная
квази ТЕМ-волны распространяются по линии с разными ско-
ростями иф0>Уфв. Формулы для расчета (еГЭф)е, (еГЭф)0, а также
волновых сопротивлений ZBe и ZB0 достаточно громоздки и здесь
не выписываются, они имеются в [23] и [17]; там же можно найти и
результаты численных расчетов этих величин.
10,7. ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОПНЫ. ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ
СИСТЕМЫ
10.7.1. Простейшие диэлектрические волноводы
Как было показано в 7.4, при падении плоской электро-
магнитной волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков
при определенных условиях происходит полное отражение волны.
При этом как в первой, так и во второй средах возникает
направляемая волна, распространяющаяся вдоль границы разде-
ла. Во второй среде эта волна является поверхностной: ее поле
экспоненциально убывает в направлении нормали к границе
раздела. Поскольку фазовая скорость поверхностной волны
меньше фазовой скорости ТЕМ-волны во второй среде, иногда эту
волну называют медленной.
Рассмотрим некоторые линии передачи, в которых имеют
место поверхностные волны.
Пусть на границу раздела двух диэлектриков, удовлетво-
ряющих условию к^> к2, падает под углом ф>фкр плоская па-
раллельно поляризованная волна (см.7.4). В результате полного
отражения распределение амплитуд составляющих векторов поля
315
d2
е;
н;
X
Рис. 10.50
. _. вдоль нормали к границе раздела
\ (вдоль оси X) имеет характер стоя-
Н чей волны (рис. 10.50). Как видно,
/ имеется множество плоскостей х=хп,
п=1,2, 3,.., (их следы показаны
__________________________* пунктиром), на которых векторы Е и
^0 Н удовлетворяют условиям, анало-
z гичным граничным условиям на по-
верхности идеального проводника.
Если одну из плоскостей (х = хп)
металлизировать (сделать идеально
проводящей), то структура поля в
области х > хп может быть сохранена. При этом прилегающий к
плоскости х = хп слой диэлектрика (хп<х<0) будет представлять
собой направляющую систему открытого типа. В рассматриваемом
случае в диэлектрическом слое распространяется Е-волна, рас-
пределение амплитуд составляющих векторов поля которой сов-
падает при х>хп с приведенным на рис.10.50. Структура поля
(пинии векторов Е и Н) этой волны для случая, когда метал-
лизирована плоскость x = Xi, показана на рис.10.51. Отметим, что
волну, распространяющуюся в диэлектрическом слое, ограни-
ченном металлической плоскостью, можно рассматривать как
суперпозицию парциальных волн, возникающих при полном отра-
жении первичной ТЕМ-волны от поверхности идеального про-
водника (х = и от границы раздела двух диэлектриков (х = 0),
как показано на рис.10.52. Полное отражение от границы раздела
(х = 0) возможно при углах падения ф > фкр. При ф < фкр условия
полного отражения не выполняются, и слой диэлектрика перестает
играть роль волновода. Для слоя фиксированной толщины d
условие <р = фкр выполняется при вполне определенном значении
частоты f= 4р, называемом критической частотой. Поэтому волна в
рассматриваемой системе может распространяться лишь при f> fKp.
При полном отражении нормально поляризованной плоской
волны от плоской границы раздела двух диэлектриков образуется
направляемая Н-волна (см.7.4). Рассуждая далее так же, как в
случае параллельной поляризации, придем к аналогичной направ-
ляющей системе с волной типа Н.
EdtP
Рис.10*51 Рис.10.52
316
Рис.10.53
Таким образом, в системе, состоящей из металлической
пластины, покрытой слоем диэлектрика, при могут распро-
страняться направляемые Е- и Н-волны. В общем случае (при
конечной проводимости металлической пластины) будут распро-
страняться гибридные волны. Отметим некоторые особенности
волн в такой направляющей системе: электромагнитная энергия
переносится как в диэлектрике, так и в прилегающей воздушной
среде; амплитуды составляющих векторов поля в воздухе экспо-
ненциально убывают по мере удаления от поверхности диэле-
ктрика; средний за период поток энергии в направлении нормали к
границе раздела "воздух-диэлектрик" равен нулю; фазовая ско-
рость направляемых волн меньше фазовой скорости ТЕМ-волны в
воздухе (поэтому, как уже отмечалось, такие волны называют
медленными).
Свойство границы раздела двух диэлектриков направлять
поток электромагнитной энергии сохраняется и при ее цилинд-
рическом искривлении (рис. 10.53), т.е. одиночный провод, покры-
тый слоем диэлектрика, является волноводом, ло которому можно
передавать электромагнитную энергию.
Можно выбрать толщину слоя диэлектрика таким образом, что
он будет направлять волну и без ограничивающей его метал-
лической пластины. Направляемую волну в этом случае можно
представить в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн, распро-
страняющихся путем полного отражения от обеих границ раздела
диэлектрика с менее плотной средой.
Как уже отмечалось, направляющие свойства границы раз-
дела двух диэлектриков сохраняются и при ее цилиндрическом
искривлении. Поэтому направляющей системой является не толь-
ко диэлектрический слой, но и диэлектрическая трубка и сплошной
диэлектрический цилиндр (рис. 10.54).
Рассмотрим более подробно некоторые из перечисленных
направляющих систем.
317
10.7.2. Металлическая плоскость, покрытая слоем
диэлектрика
d
ст2=1 область 2
Рис. 10.55
Пусть на идеально проводящей пло-
скости х = 0 расположен слой идеального
диэлектрика (рг=1,ст = 0) толщиной d с
относительно диэлектрической прони-
цаемостью ег>1 (рис.10.55). В направле-
нии осей У и Z слой имеет неогра-
ниченные размеры. Среда при x>d~
воздух (ей= 1, рй= 1, ст2= 0). Предполо-
жим вначале, что по данной системе в направлении оси Z распро-
страняется Е-волна (Ег^ 0, Нг= 0). Поперечные составляющие
векторов Е и Н выражаются через Ёг по формулам (9.19), (9.20).
Предположим, что поле волны не зависит от переменной у, и, как
обычно, выделим зависимость от координаты z в виде множи-
теля exp(-ipz), где p-пока неизвестная постоянная. При этом
продольная составляющая вектора Ет принимает вид Ет! =
= Ё^х, z) = Ez°(x) ехр (-ipz). Функция Е°(х) должна удовлетворять
уравнению Гельмгольца (9,2), которое в рассматриваемом случае
имеет вид
^^ + у^Ег°(х)=0, v=1;2, (10.75)
где yvz = co2evho-р"2, е^е^еос, в области 1 (при 0<x<d) и
ev= е2 = ео в области 2 (при х >d). Решение уравнения (10.75) для
области 1 записывается в виде Ег°(х) = A sin (у,х) + В cos (у,х). Так
как на поверхности идеального проводника (при х = 0) должно
выполняться условие Ez°(0) = 0, то постоянная В = 0. Во второй
области поле должно иметь характер поверхностной волны.
Поэтому поперечное волновое число должно быть чисто мнимой
величиной у2=- icc, где а = IугI = -\/р2 Записывая решение
уравнения (10.75) для области 2 и учитывая, что при х-»<» функция
Е°(х) должна обращаться в нуль, получаем Ez°(x) = С ехр (-ах).
На границе раздела "диэлектрик-воздух" (при x = d) состав-
ляющие Ег° и Ну должны быть непрерывны. Определяя Н° по
формуле (9.20), получаем
Asin (у, d) = Сехр(-ad),
л . С . .. (10.76)
Асоз(у^)=------exp(-ad).
as,
318
Исключая в (10.76) постоянные А и С, приходим к трансцен-
дентному уравнению
Yi tg (Yid) = <хег. (10.77)
Выразим в правой части (10.77) а через у5 по формуле
а = ^Р2 -ш2е0ц0 = ^<а2&0[10(ег -1)-у2. (10.78)
Домножая (10.78) на d и деля на ег, получаем
(Ynd) tg(у1d)/sr = Ф&2е0ц0(ег . (10.79)
Решая (10.79), можно найти yi и по (10.78) рассчитать а.
После этого легко вычисляются параметр р и постоянные А и С.
Рассмотрим графическое решение трансцендентного уравне-
ния (10.79). Поскольку для рассматриваемых волн а>0, то обе
части (10.79) должны быть положительными. На рис.10.56 по-
строены значения левой и правой частей уравнения (10.79) в
зависимости от величины y,d пои ег=2. Значения правой части
(10.79) лежат на окружности с центром в начале координат и
рвдиусом R = (od^E0p0(Er -1), зависящим как от рабочей частоты,
так и от толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической
проницаемости. Значения левой части уравнения (10.79) будут
положительными при > 0, если значения y,d находятся в
интервалах лп < y,d<^+ лк, где л = 0,1, 2,.... Точки пересечения
окружности, на которой лежат значения правой части уравнения
(10.79), с кривыми, изображающими положительные значения
левой части (10.79), соответствуют значениям y-|d, являющимся
корнями уравнения (10.79). Как видно, при фиксированных f, dn ег
окружность пересекает-
ся с конечным числом
кривых, изображающих
левую часть уравнения,
т.е. существует конеч-
ное число корней урав-
нения (10.79), каждому
из которых соответст-
вует определенное зна-
чение параметра р. Это
означает, что в рассмат-
риваемой линии может
распространяться конеч-
ное число Е-волн, кото-
рые будем обозначать
Рис. 10.56
319
ЕСл). При R<tc существует лишь один корень уравнения (10.79)
(одна точка пересечения кривых на рис.10.56), при этом в линии
может распространяться лишь одна (основная) волна типа Е.
Структура поля этой волны показана на рис.10.51. Так как данный
корень существует при любых f и d, то для основной Е-волны
7кр=0, т.е. эта волна может распространяться в рассматриваемой
линии при любой толщине диэлектрика и на любой частоте. При
л < R < 2тс в линии кроме основной сможет распространяться еще
одна (высшая) Е-волна (существуют две точки пересечения кривых
на рис.10.56). Чем больше R, тем большее количество волн типа Е
может распространяться по линии. В общем случае может рас-
пространяться конечное число Е-волн, критические длины волн
которых определяются из условия R = лтс, п =1,2, .... Подставляя
выражение для R, получаем X (n) = 2d^Er -1/л.
Анализ магнитных волн, распространяющихся вдоль оси Z по
рассматриваемой линии (рис.10.55), проводится аналогично. В
этом случае поперечное волновое число у, является корнем
следующего трансцендентного уравнения: yi ctg (y,d) =- ед. Дом-
ножим обе части этого уравнения на d и разделим на в,. Под-
ставляя затем значение а из (10.78), получаем
у 1 d ctg(у 1 d)/ег = -7ш2е0ц0(ег -1)d2-(у^)2. (10.80)
Значения правой части уравнения (10.80) также лежат на
окружности с центром в начале координат и радиусом R =
= <od/7е0ц0(е, -1). Значения левой части должны быть отрица-
тельными при Yld>0. Для этого значения y,d должны лежать в
интервалах л/2 + лтг < y,d< тс + лтг, л = 1,2, 3,.... Значения левой
части уравнения (10.80) при ег=2 на рис.10.56 показаны
пунктирными линиями. Критические длины Н-волн, распростра-
няющихся в рассматриваемой линии, определяются из условия
R = (2л-1) тс/2 и равны ХфН(л) = 4d1/er-1/(2л-1), л =1,2,....
Таким образом, основной волной в рассматриваемой линии
является Е-волна, структура которой показана на рис.10.51. Ее
критическая частота равна нулю. Одноволновый режим имеет
место при d < X/(41/sr -1), где X = Со/7-длина ТЕМ-волны в воздухе.
10,7.3. Плоский диэлектрический волновод
Плоская диэлектрическая пластина с диэлектрической про-
ницаемостью ег>1, расположенная в однородной изотропной среде
с меньшей диэлектрической проницаемостью (например, в воз-
духе), также представляет собой направляющую систему, по
320
которой могут распрост-
раняться Е- и Н-волны, а
при а * 0 - гибридные.
Такую направляющую
систему (линию) обычно
называют плоским диэ-
лектрическим волноводом.
Введем декартову
систему координат x,y,z,
как показано на рис.10.57.
Толщина пластины рав-
на 2d, а ее размеры
вдоль осей У и Z неог-
раниченны, диэлектрик
считается идеальным
(рг=1, а = 0). Предпола-
гаем, что волна распро-
страняется вдоль оси Z.
Анализ волн в пло-
ском диэлектрическом
волноводе проводится
Рис. 10.57
так же, как для слоя
диэлектрика на металли-
ческой плоскости. Ана-
лиз показывает, что в
плоском диэлектричес-
ком волноводе при фик-
сированных частоте и
толщине пластины мо-
жет распространяться
конечное число медлен-
ных Е- и Н-волн. Основной волной является Е-волна низшего типа,
у которой 4р= 0. Распределение амплитуд составляющих векторов
поля этой волны вдоль оси X показано на рис.10.58, а структура
поля изображена на рис. 10.59. Одноволновый режим выполняется
при d < X. /(4^ег -1).
10.7.4. Металлический цилиндр, покрытый слоем
диэлектрика
Однопроводная линия в виде цилиндрического проводника,
покрытого слоем диэлектрика, известна в литературе как линия
Губо. Приближенный анализ волн в такой линии можно провести,
21-45 321
Рис. 10.60
рассматривая ее как металлическую пластину, покрытую слоем
диэлектрика и свернутую в цилиндр (рис. 10.53).
Основной волной в идеальной линии Губо является волна
типа Е. структура поля которой показана на рис. 10.60. Затухание
волны при распространении по линии определяется потерями
энергии в металле и диэлектрическом слое. Чем толще слой
диэлектрика и тоньше диаметр проводника, тем, очевидно, выше
затухание волны. Поэтому, например, в сантиметровом диапазоне
волн толщину слоя выбирают достаточно малой - порядка
0,05...0,1 мм, а диаметр проводника берут не менее 1 мм. При этом
коэффициент ослабления для основной волны в такой линии с
диэлектрическим слоем из полистирола оказывается в 2...3 раза
меньше, чем в прямоугольном волноводе на тех же частотах.
Однако существенная зависимость параметров распространяю-
щейся волны в линии Губо от расположенных вблизи линии
проводящих тел, а также от атмосферных условий приводит к
ограниченному использованию ее на практике.
Следует отметить, что волна Е, изображенная на рис.10.60,
может распространяться вдоль проводника и при отсутствии
диэлектрической оболочки, если на его поверхности из-за
окисления образовалась тонкая пленка с относительно низкой
проводимостью, играющая роль диэлектрического слоя.
10.7.5. Круглый диэлектрический волновод
Рассмотрим распространение электромагнитных волн вдоль
бесконечно длинного диэлектрического цилиндра радиуса а,
расположенного в безграничной однородной изотропной среде.
Диэлектрик и окружающая среда считаются идеальными (о = 0) и
характеризуются параметрами s, ро и s0, цо соответственно.
Введем цилиндрическую систему координат г, ф, z, ось Z
которой совместим с осью цилиндра. Как обычно, зависимость от
322
координаты z выделим в виде множителя exp(-ipz), где р-
подлежащая определению постоянная. При этом продольные
составляющие векторов Ет и Нт записываются в виде Ет1 =
= Е°(г, ф) exp (-ipz), Нт1 =Нг{г, ф) ехр (нpz). Функции Е°=Е° (г.ф)
и Нг°=Нг°(г,ф) должны удовлетворять уравнению Гельмгольца
вида (10.28). При 0^г<а (область 1) входящее в (10.28) попе-
речное волновое число = ^o2ep0 -₽2; при г > а (область 2)
У1 = у2 = 1/о)2е0цо“₽2- Решая уравнение (10.28) так же, как в
случае круглого волновода (см. 10.2), и учитывая, что при г->0
составляющие векторов поля должны быть ограниченными, для
области 7 получаем
= Е°(г, ф) = A г) cos т (ф - ф0), 1
= Н°{г, ф) = г) cos т (ф- ф0),/
где т=1,2, 3,..., а А, В, фо и ф0-некоторые постоянные. В
области 2 поле должно представлять собой поверхностную волну,
амплитуды составляющих векторов поля которой экспоненциально
убывают с удалением ст поверхности цилиндра. Поэтому должно
выполняться соотношение p2> w280u0 и параметр у? удобно пред-
ставить в виде y2=-ia, где а = ^2-(о2е0ц0. Решения уравнения
(10.28), справедливые в области 2 и удовлетворяющие данному
требованию, имеют вид
Ег° =Ег0(г,ф) = С^2>(-|аг)соэт(ф-ф0), ’
4° = н°{г- ф) = ia г) cos т (ф - w) J
где функция Ханкеля второго рода m-го порядка
(см.8.2); С и D - некоторые постоянные, а фо и ф0 - такие же, как в
(10.81). Убедимся, что представление продольных составляющих
векторов Е° и Н° в виде (10.82) соответствует случаю поверхност-
ной волны. Действительно, заменяя при ar»1 функцию Ханкеля
первым членом ее асимптотического разложения, имеем Hm(2)(-iar>
= ^2/(-iTrar)exp(-i(“iar-Tt/4mK/2)) = Г+172/(лаг)ехр(-аг).
На поверхности цилиндра касательные к ней составляющие
векторов Е° и Н° должны быть непрерывны:
Е^а, ф) = Е°2{а. ф); ^(а, ф) = Н°2(а, <р) 1
где индексы 1 и 2 означают, что данная функция вычислена в
точках области 1 {ria) и области 2 {г>а) соответственно.
21* 323
Поперечные составляющие векторов Е° и Н° вычисляются
через Ег и Н° по формулам (9.8) и (9.9). Подставляя явные
выражения для EKv° и Нк°, где х = г, <р и v=1;2 в соотношения
(10.83), приходим к системе четырех уравнений, содержащих
неизвестные постоянные А, В, С, D, ф0 и w Анализируя эту
систему, замечаем, что входящие в нее уравнения при т * 0 будут
совместными только при cos т (<p-iy0)=sin т (ф-фо) и sin т (ф-фо)=
= cos т (ф-фо). Для этого необходимо, чтобы выполнялось ра-
венство ф0= <ра-т/2 + 2пл, где л = 0, 1, 2,.... Из данной системы
видно также, что при т*0 волна, распространяющаяся по
круглому диэлектрическому волноводу, должна иметь продольные
составляющие и у вектора Е, и у вектора Н, т.е. является
гибридной. При т = 0 одна из составляющих Ez или Hz может
равняться нулю, т.е. возможно существование независимых Е- и
Н-волн с осесимметричной структурой поля (такие волны часто
называют симметричными).
Исключая в указанной системе уравнений, соответствующей
т*0, постоянные А, В, С и D, приходим к трансцендентному
уравнению
4(YiQ) ! 1 H^'(-iaa) isf t 1 H™(-iaa)
JiS Jm(YiS) aa H®(-iaa)J [y,a Jm(y,a) аа H®(-iaa)_
m2p2 1 ! 1
и2е0Ц0 IW (aa)2.
(10.84)
Решая (численно или графически) уравнение (10.84), находим
параметр ₽ и вычисляем постоянные yi и а. После этого расчет
структуры поля и остальных параметров гибридной волны не
вызывает затруднений.
В случае т = 0 правая часть уравнения (10.84) обращается в
нуль, и оно распадается на два независимых уравнения
(у, a/er) J0(yt а)/ ^(у, a) = -iaaH^(-iaa)/Hf2)(-iaa) (10.85)
и
y1aJQ{yAa)IJ^y,a) = -iaaH^\-\aa)IH[2\-iaa), (10.86)
относящиеся к симметричным Е- и Н-волнам соответственно. Так
как а > 0, то выполняются соотношения H0(2)(-iaa)=i(2A)K0(aa) и
/-/1(2;(-(аа)=-(2А)К1 (аа), где К„(аа) - функция Макдональда [24]
n-го порядка от аргумента аа. При положительном аргументе
функции Ко и Kf принимают положительные значения. Поэтому
правые части уравнений (10.85) и (10.86) всегда отрицательны.
Следоветельно, решения этих уравнений возможны только при
таких значениях у^, при которых значения функций J0(yia) и
324
Ji (y5a) имеют разные знаки. В случае Е-волн значения уАа должны
находиться между корнями функций J0(Yia) и Ji(yta), т.е. должны
выполняться неравенства vOn£<yl<v1nE, л = 1,2, 3,... или 2,405<
<у1а<3,832, 5,520<yia<7,016 и т.д.
Убывание поля в радиальном направлении вне цилиндра
определяется параметром а. Чем меньше а, тем медленнее
убывает поле, тем меньшая часть мощности бегущей волны
переносится непосредственно по диэлектрическому цилиндру.
Значение а = 0 соответствует критической длине волны. Используя
выписанные выше выражения параметров у, и а через коэф-
фициент фазы р, получаем соотношение
(у, а)2 +(сса)2 = ю2ейц0(е/ -1). (10.87)
Низшей волной среди всех Е-волн является волна Е01.
Найдем ее критическую частоту При f = f,t>En параметр yia =
= v01E= 2,405, а (аа) = 0. Подставляя эти значения у,а и аа в
(10.87), получаем
СрЕ01 = Со Voi/(2rt^Er -1), (10.88)
где, как обычно, с0 = 1/^еоцо - скорость света в вакууме. Отметим
также, что при /->4р коэффициент фазы р->а т-е' Фа30вая
скорость волны приближается к скорости света (диэлектрический
стержень перестает "замедлять" волну).
При 4Р волны типа Е в диэлектрическом волноводе рас-
пространяться не могут.
Таким образом, свойства симметричных Е-волн в круглом
диэлектрическом волноводе аналогичны свойствам Е-волн в
диэлектрическом слое, расположенном в однородной среде (или в
диэлектрическом слое, расположенном на металлической плос-
кости).
Анализ симметричных (т = 0) Н-волн проводится аналогично.
В этом случае А = С = 0 и требуется найти корни уравнения
(10.86), отличие которого от (10.85) несущественно.
При т^0 в диэлектрическом волноводе могут распрост-
раняться только гибридные волны, у которых отличны от нуля
и Ez, и Hz.
Анализ гибридных волн несколько более сложен, так как
требуется найти корни более сложного трансцендентного урав-
нения (10.84). Однако общие закономерности распространения
гибридных волн сходны с описанными выше для симметричных Е-
волн. Исключение составляет основная волна диэлектрического
волновода ЕНц (ей соответствует значение т=1 и первый корень
325
Рис.10.61
уравнения (10.84), т.е. п =1). Структура поля этой волны показана
на рис.10.61. Так как критическая частота волны EHV: равна нулю,
то формально данная волна может существовать на любых
частотах. Однако это не означает, что с помощью диэлект-
рического волновода можно передавать энергию на сколь угодно
низкой частоте. Электромагнитная волна в диэлектрическом
волноводе переносит энергию не только внутри стержня, но и в
окружающем его пространстве. В качестве параметра, характе-
ризующего протяженность поля волны в поперечном направлении,
обычно используют так называемый граничный радиус поля
г0=1/а. Расчеты показывают, что через площедь, ограниченную
окружностью радиуса г0, переносится 80-90 % мощности бегущей
волны. Поэтому для распространения волны по диэлектрическому
волноводу необходимо иметь вокруг него свободное пространство
в радиусе (2-3)г0. Это обычно и вызывает трудности при ис-
пользовании такого волновода. Как показывает анализ, при
уменьшении частоты уменьшается а и, следовательно, увели-
чивается го, т.е. все меньшая часть энергии распространяется
внутри стержня и все большая - в окружающем его пространстве.
Поэтому, хотя критическая длина волны равна нулю, суще-
ствует нижняя граница рабочего диапазона при использовании
этой волны, определяемая допустимым значением граничного
радиуса, т.е. должно выполняться условие /ободом- Со стороны
верхних частот рабочий диапазон при использовании волны ЕНц
должен быть ограничен критической частотой волны Е01, опреде-
ляемой из (10.88).
Отметим существенную особенность диэлектрического волно-
вода: одноволновый режим работы для заданной рабочей частоты
f(f<4p) можно обеспечить как выбором (уменьшением) радиуса
стержня а, так и уменьшением разницы между относительными
диэлектрическими проницаемостями материала стержня и окру-
жающего пространства: выбрав ег мало отличающимся от 1, можно
обеспечить одноволновый режим даже при а^>Х. Это свойство и
используют при конструировании диэлектрических волноводов в
326
оптическом диапазоне волн, где рабочие частоты весьма велики.
Обычно диэлектрические волноводы, предназначенные для рабо-
ты в оптическом диапазоне волн, называют световодами.
Диэлектрические волноводы применяют в качестве линий
передачи в миллиметровом (КВЧ), субмиллиметровом (ГВЧ) и
оптическом диапазонах волн, где они обеспечивают передачу
большей мощности с меньшими потерями, чем металлические
волноводы.
10,7.6, Световоды
В настоящее время наибольшее применение на практике для
передачи оптических сигналов находят пленочные и волоконные
световоды. Основу пленочного световода (рис.10.62) составляет
диэлектрическая пленка с параметрами цо, выращенная на
диэлектрической подложке или сформированная методами интег-
ральной технологии. Подложка имеет параметры ei, Цо! параметры
среды над пленкой е2, до- Отметим, что чаще оптические не-
магнитные среды описываются с помощью коэффициента прелом-
ления п = при этом предполагается, что магнитная прони-
цаемость у всех рассматриваемых сред одинакова и равна до.
Пленку можно рассматривать как плоский диэлектрический вол-
новод (см. 10.7.3). Для распространения волн по такому волноводу
необходимо, чтобы n„„>ni и Лпл>п2. Подобные световоды ис-
пользуются для передачи света на небольшие расстояния, как
правило, в пределах интегральной схемы оптического диапазона.
Волоконный световод состоит из диэлектрических сердечника
и оболочки, диаметры которых равны dc и doe соответственно
(рис. 10,63). Коэффициенты преломления сердечника и оболочки
равны лс и Лоб, причем лс>Лоб. Для защиты от внешних воздействий
и повышения механической прочности световода на наружную
поверхность оболочки наносят полимерное покрытие (на рисунке
покрытие не показано). В данном случае полное внутреннее
отражение парциальных волн, распространяющихся в сердечнике,
происходит на границе между сердечником и оболочкой. Воз-
подложка
Рис.10.62
пикающая при этом поверхностная волна распространяется в
оболочке. Поэтому энергия, переносимая волнами по световоду,
сосредоточена в сердечнике и оболочке. На оболочку можно
наносить поглощающее покрытие, не влияющее на распрост-
раняющиеся по световоду волны и поглощающее энергию волн
излучения, возникающих в световоде при его возбуждении источ-
ником (см. 15.2).
Обычно в качестве диэлектрика, из которого изготавливают
сердечник световода, используют стекло, иногда для этой цели
применяют различные полимеры. В качестве материала оболочки,
как правило, также используют стекло, иногда полимеры [28).
Показатель преломления оболочки постоянен, а показатель пре-
ломления сердечника может быть как постоянной величиной, так и
функцией поперечной координаты. В настоящее время получены
волоконные световоды на основе кварцевого стекла, легиро-
ванного германием, фосфором или бором, с достаточно малыми
потерями в некоторых областях оптического спектра, называемых
окнами прозрачности. На рис. 10.64 показана типовая зависимость
затухания в таком световоде, выраженная в дБ/км. Как видно из
графика, существуют три окна прозрачности для распростра-
няющихся по световоду сигналов Х«0,85мкм, л=1,3мкм и
X=1,5mkm. Эти частотные диапазоны, как правило, и используют
для передачи оптических сигналов по световодам.
По волоконному световоду, как по диэлектрическому волно-
воду, могут распространяться Е-, Н- и гибридные волны. Поскольку
критические частоты волн в диэлектрическом волноводе, как
следует из результатов, полученных в 10.7.5, зависят не только от
величины at, но и ст разницы коэффициентов преломления
д/л^-л^, то, выбирая достаточно близкие по величине лс и п^,
можно обеспечить одноволновый или близкий к нему режим
работы световода при достаточно больших значениях dc (много
больших длины волны). Последнее обстоятельство весьма
существенно из-за очень малой длины волны светового излучения
328
Рис.10.65
(X =1 мкм). Как правило, применяемые на практике одноволновые
световоды или, как их называют в литературе, одномодовые
световоды, работающие на основной волне диэлектрического
волновода, имеют dc~ 3...5 мкм и 50 мкм, при этом величины
ле и Лов отличаются не более чем на 3%. На рис.10.65 показаны
поперечное и продольное сечения такого световода; на про-
дольном сечении изображены парциальные волны, соответст-
вующие распространяющейся по световоду волне. На этом же
рисунке изображено распределение вдоль редиуса коэффициента
преломления сред, образующих световод. Одномодовый световод,
как и любой диэлектрический волновод, обладает дисперсией,
поскольку и фазовая скорость основной волны зависит от частоты
и величина коэффициента преломления стекла является функ-
цией частоты. Дисперсия ограничивает полосу передаваемых по
световоду частот, т.е. вносит искажения в передаваемые сигналы.
Если на вход световода подать сигнал в виде импульса, то по
мере распространения этот импульс будет расширяться, причем
величина расширения зависит как от степени дисперсии, так и от
длины пути, проходимого сигналом по световоду. Расширение
импульса эквивалентно сужению полосы пропускания световода и
часто оценивается эквивалентной шириной полосы пропускания,
выраженной в мегагерцах на километр [МГц/км]. При передаче
импульсных сигналов обычно такое искажение сигналов оцени-
вается величиной километрического уширения, выраженной в
наносекундах на километр [Нс/км]. Расчеты и эксперименты
показывают [28], что изготовленные на основе кварцевого стекла
одномодовые световоды имеют минимальную дисперсию в об-
ласти X =1,3...1,4 мкм. В этой области такие световоды имеют
наибольшую полосу пропускания.
329
Г1лс П*«
Рис.10.66
Весьма малые поперечные размеры сердечника одномодовых
световодов вызывают достаточно серьезные трудности при их
изготовлении, что сильно удорожает производство. Кроме того,
малый диаметр сердечника затрудняет эффективный ввод мощ-
ности от источника в световод и предъявляет весьма жесткие
требования к устройствам соединения таких световодов. Как
правило, для возбуждения одномодовых световодов приходится
использовать дорогостоящие полупроводниковые лазеры [23].
Поэтому одномодовые световоды применяют в случае, если
требуется передавать значительные объемы информации на
достаточно большие расстояния (более нескольких сотен или
тысяч километров).
Для передачи небольших объемов информации на не очень
большие расстояния (несколько десятков километров) используют
многомодовые световоды, имеющие, как правило, 50 мкм и
сГобж120мкм (рис.10.66). Изготовление таких волокон гораздо
проще и дешевле. Увеличение диаметра сердечника по сравнению
с диаметром сердечника одномодового световода обеспечивает
два преимущества: возможность работы таких световодов с
достаточно простыми и дешевыми некогерентными источниками
излучения (светодиодами) и менее жесткие требования к уст-
ройствам соединения световодов. Из-за значительной величины dc
по многомодовому световоду может распространяться множество
различных типов волн (порядка 1000), которые и переносят
передаваемые по световоду сигналы. Каждую из распростра-
няющихся волн можно представить парциальными волнами (лу-
чами), движущимися под определенным углом к нормали к границе
раздела сердечник-оболочка. На рис.10.66 показаны три луча,
соответствующие трем волнам, распространяющимся по волокну,
ззо
d06 Поб
Рис. 10.67
Для сохранения достаточно большого диаметра сердечника
(как у многомодового волокна) и одновременного уменьшения
величины модовой дисперсии на практике применяют так назы-
ваемые градиентные световоды (рис. 10.67). Такие световоды
имеют, как правило, dc»50 мкм и doB=80 мкм. Сигнал по таким
световодам передается многими типами волн. Для уменьшения
величины модовой дисперсии используют сердечник, коэффи-
циент преломления которого является функцией поперечной
координаты г и, как правило, описывается формулой
л(г) = п0[1-Д(2г/</с)д], (10.89)
где Д = (л0- Посуло, л0 - величина коэффициента преломления на
оси сердечника, q - целое положительное число. Коэффициент
преломления уменьшается от значения л0 (на оси сердечника) до
значения ло6 на границе с оболочкой.
Как следует из законов Снеллиуса, если плоская волна падает
на границу раздела двух сред из более плотной среды (ni>n2) под
углом <р (или под углом 90°- ф к границе раздела), то направление
распространения преломленной волны будет составлять с грани-
цей раздела угол меньший, чем 90°-ф, поскольку в этом случае
9 > ф. Если же падающая плоская волна распространяется в менее
плотной среде (пд<п2), то направление распространения прелом-
ленной волны будет составлять с границей раздела угол больший,
чем 90°-ф. На этом основании можно утверждать, что если
плоская волна движется в среде с плавно изменяющейся вели-
чиной коэффициента преломления под некоторым углом к нап-
равлению изменения величины л, то в общем случае направление
распространения волны будет плавно искривляться. Поэтому в
градиентном волокне траектории лучей, соответствующих различ-
331
ным типам волн и направленных под разными углами к оси
сердечника, будут криволинейными (рис.10.67): чем больший угол
с осью составляет направление луча, тем по более длинной
траектории он перемещается, и наоборот. Однако луч, распрост-
раняющийся по самой длинной траектории, будет иметь самую
высокую среднюю фазовую скорость, поскольку его траектория
проходит через области сердечника с самым низким значением
коэффициента преломления (вблизи оболочки). Напомним, что
фазовая скорость плоской волны обратно пропорциональна вели-
чине п среды. В свою очередь, луч, распространяющийся вдоль
оси сердечника, имеет самую низкую фазовую скорость, поскольку
его траектория проходит в области сердечника с самым высоким
значением л. Фазовый сдвиг, получаемый каждым лучом при
прохождении конечного отрезка волокна, прямо пропорционален
длине траектории и обратно пропорционален средней фазовой
скорости луча. Поэтому выбором величины q в (10.89) можно в
значительной степени уменьшить разность фазовых сдвигов,
получаемых разными лучами при прохождении конечного отрезка
волокна, т.е. уменьшить разность фазовых скоростей различных
волн в градиентном волокне.
Наиболее часто на практике применяют градиентные волокна
с q = 2, которые называют параболическими. Такие волокна по
сравнению с многомодовыми имеют значительно меньшую вели-
чину модовой дисперсии, что приближает их к одномодовым
волокнам [23].
10.7.7. Замедляющие структуры
Поверхностная волна образуется при выполнении опреде-
ленных условий на границе раздела сред. Одним из параметров,
характеризующих поверхностную волну, является так называемый
поверхностный импеданс (поверхностное сопротивление) Zs, рав-
ный отношению комплексных амплитуд касательных состав-
ляющих векторов Е и Н, вычисленных на границе раздела, вдоль
которой распространяется поверхностная волна. Рассмотрим,
например, поверхностную Е-волну, распространяющуюся в воз-
духе вдоль плоского диэлектрического волновода (рис.10.57) или
вдоль диэлектрического слоя, ограниченного с одной стороны
металлической пластиной (10.55). Как было показано в 10.7.2,
комплексная амплитуда продольной составляющей напряженности
электрического поля поверхностной волны при x>d определяется
выражением Emz = С exp (-ах) exp (-i₽z). Применяя формулу
(9.20), находим, что Нту i (caso/cc) С exp (-ах) exp (-ipz). Это
332
позволяет на поверхности структуры записать импедансное гра-
ничное условие (см.2.2.2)
ZSl1 =Hmy(d,z)/Effli(c/,z) = ia/((0eo). (10.90)
Величину ZStl часто называют поверхностным импедансом.
Как видно, пока существует поверхностная волна, т.е. вы-
полняется неравенство р2 > <й2е0Ио или а > 0, поверхностный
импеданс Zs является реактивным, индуктивным по характеру.
Это означает, что у распространяющейся волны составляющие
Ёт2 и Нту сдвинуты по фазе на л/2. При этом отсутствует средний
за период поток энергии, переносимый волной вдоль нормали к
границе раздела. Отсутствие активного потока энергии вдоль
нормали к границе раздела является характерным признаком
поверхностной волны. Поэтому поверхностная волна типа Е будет
возникать во всех случаях, когда на границе раздела поверхно-
стный импеданс будет чисто реактивным и индуктивным.
Существуют различные способы создания структур, имеющих
чисто индуктивный поверхностный импеданс для распростра-
няющихся вдоль них поверхностных (медленных) волн. Такие
структуры получили название замедляющих [8]. Например, можно
прорезать поперечные (по отношению к направлению распро-
странения волны) канавки в металлической пластине, как показано
на рис.10.68. Канавки имеют ширину s и глубину h и отстоят друг
от друга на расстояние t. При этом образуется гребенчатая
структура. Каждую канавку такой гребенчатой структуры можно
рассматривать как короткозамкнутый отрезок линии длиной h.
Поэтому на частотах, для которых глубина канавки h не превышает
четверти длины волны в линии, входное сопротивление канавки
будет чисто реактивным (потери энергии в проводнике считаем
пренебрежимо малыми) и индуктивным (см. гл.11). Если число
канавок на отрезке, равном длине волны, достаточно велико, т.е.
s+f<cX можно пренебречь влиянием тонких металлических
перегородок в структуре и считать, что при х = Л (рис.10.68)
расположена плоскость, в любой точке которой поверхностный
Рис. 10.68
333
импеданс ZSM является чисто реактивным и имеет индуктивный
характер. Поэтому на частотах, на которых h < V4, вдоль рас-
сматриваемой гребенчатой структуры, как и вдоль металлической
плоскости с диэлектрическим слоем, могут распространяться
медленные Е-волны. Электромагнитное поле низшей Е-волны в
гребенчатой структуре при х > h аналогично полю поверхностной
волны, распространяющейся вдоль слоя диэлектрика при х > d,
изображенному на рис. 10.51. Путем изменения глубины канавок
можно изменять фазовую скорость распространяющейся поверх-
ностной волны, поскольку при изменении глубины канавки изме-
няется ее входное сопротивление, т.е. величина ZSt1, а при этом
согласно (10.90) изменяются коэффициенты аир для поверх-
ностной волны.
Отметим, что для поверхностных Н-волн поверхностный
импеданс также будет чисто реактивным, но имеет емкостной
характер [8]. Это необходимо учитывать при построении замед-
ляющих структур с поверхностными медленными Н-волнами.
334
Глава 11
ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
11.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
11.1.1. Общие сведения
На низких частотах в качестве колебательного контура (резо-
натора) широко применяется параллельное соединение сосредо-
точенных индуктивности и емкости. Колебательный процесс в та-
кой системе возникает, как известно, в результате непрерывного
обмена энергией между электрическим полем, сосредоточиваю-
щимся в конденсаторе, и магнитным полем, сосредоточивающим-
ся в индуктивности. В диапазоне СВЧ создание контуров из сосре-
доточенных элементов с малыми потерями и соответственно вы-
сокой добротностью практически невозможно. Поэтому в этом
диапазоне применяют преимущественно колебательные системы
из элементов с распределенными параметрами (отрезки двухпро-
водной, коаксиальной линий, волноводов и др.).
Возможность построения таких систем вытекает из уравнений
Максвелла. Действительно, согласно этим уравнениям перемен-
ное электрическое поле является источником переменного маг-
нитного поля, а переменное магнитное поле, в свою очередь, воз-
буждает переменное электрическое поле, и т.д., т.е. обмен энерги-
ей между электрическим и магнитным полями происходит непре-
рывно в любой области пространства. Если каким-либо образом
устранить излучение электромагнитных волн из некоторой области
пространства и добиться отсутствия тепловых потерь, то обмен
энергиями должен протекать сколь угодно долго. Это означает, что
в изолированном от внешнего пространства объеме, заполненном
срвдой без потерь, может существовать, как и в обычном резо-
нансном контуре без потерь, незатухающий колебательный про-
цесс. Подобные резонансные системы получили название объем-
ных резонаторов.
Простейшие типы объемных резонаторов представляют собой
часть пространства, ограниченную со всех сторон металлической
оболочкой. Сюда, в частности, относятся резонаторы в виде корот-
козамкнутых отрезков коаксиальной линии, полых металлических
335
Диэлектрический
Металлические
пластины
Рис.11.1
Волноводов и др. По аналогии с направ-
ляющими системами резонаторы этого типа
называют закрытыми Можно также почти
полностью устранить излучение в окружаю-
щее пространство, используя явление пол-
ного отражения от границы раздела двух
диэлектриков с различными диэлектриче-
скими проницаемостями. В качестве приме-
ра на рис.11.1 показан объемный резонатор
этого типа, представляющий собой отрезок
диэлектрического волновода, торцы которого
металлизированы. По аналогии с направляющими системами ре-
зонаторы, в которых отсутствует замкнутая металлическая обо-
лочка, называют открытыми.
11.1.2. Свободные гармонические колебания в объемных
резонаторах
Предположим, что в объеме Уо (в произвольном резонаторе)
тепловые потери равны нулю и, кроме того, отсутствует обмен
энергией между внешним пространством и внутренним объемом
резонатора. Уравнение баланса (1.126) при этих условиях име-
ет вид
Pa=dWldt. (11.1)
Под влиянием источника в объеме Уо возникнут электромаг-
нитные колебания. Пусть через некоторое время сторонний источ-
ник отключается. При этом за счет запасенной в резонаторе энер-
гии колебательный процесс будет продолжаться сколь угодно дол-
го и при отсутствии источников. В резонаторе возникнут свободные
или, другими словами, не связанные со сторонним источником
электромагнитные колебания. При Ррг= 0 из (11.1) получаем
cW/ctt = 0, (11.2)
т.е. в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия,
запасенная в изолированном от внешнего пространства объеме,
при отсутствии потерь в любой момент времени остается постоян-
ной. Однако соотношение величин электрической и магнитной
энергий в общей неизменной сумме непрерывно меняется ввиду
обмена энергией между переменными электрическим и магнитным
полями, В общем случае изменение во времени напряженности
электрических и магнитных полей в резонаторе носит негармони-
ческий характер. Особый интерес представляет случай, когда сво-
336
бодные колебания являются гармоническими. Пусть, например,
£ = £,510(1)0/, где Е,-функция, зависящая от пространственных
координат, а ш0 - угловая частота свободных колебаний. В момент
t=0 напряженность электрического поля равна нулю. Равна нулю
в этот момент и энергия, запасенная в электрическом поле. Но
полная энергия в объеме Уо резонатора, как следует из (11.2), не
зависит от времени. Следовательно, в момент / = 0 у рассматри-
ваемого свободного колебания вся энергия сосредоточена в маг-
нитном поле, что при гармонических колебаниях означает наличие
фазового сдвига, равного я/2, между векторами Е и Н, т.е.
Н = Н, cos и0/, где Н, - функция пространственных координат. Пе-
реписывая (11.2) для гармонических колебаний с учетом формул
(1.130)—(1,132), получаем
Так как равенство (11.3) должно выполняться в любой момент
времени, то
| (ил,
z va ^va
11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний
В рассматриваемом случае уравнения Максвелла (1.33) и
(1.39) можно переписать в виде
шоеЕ, = rot Н, и ©орН, = rotE,. (11.5)
Выражая в (11.4) вектор Е, через Н, или, наоборот, вектор Н,
через Е,, получаем
I)rotE,|2d\/ [[rotH,|2c/y
<0* = — -----=----= — . (11.6)
fjE/dV Еи f|H,| dV
Vo Vo
Слева в (11.6) стоит квадрат резонансной угловой частоты
объемного резонатора, а справа - всегда положительная вели-
чина, равная отношению двух объемных интегралов. Численное
значение каждого из этих интегралов зависит от формы объема Уо
и его размеров, а также от характера подынтегральной функции.
Поэтому резонансная частота резонатора зависит от структуры
полей в резонаторе, его формы и размеров.
Структура полей в резонаторе, как и в направляющих сис-
темах, определяется путем решения уравнений Максвелла при
22-45 337
определенных граничных условиях на поверхности, окружающей
объем Vo. В случае закрытых резонаторов без потерь задача сво-
дится к решению трехмерного векторного волнового уравнения:
= 0. (11.7)
при граничном условии (1.108):
[По. EJ|S = °'
(11-8)
где S - внутренняя поверхность металлической оболочки резона-
тора, а п0 - орт нормали к этой поверхности.
Можно доказать, что уравнение (11.7) при граничном условии
(11.8), как и аналогичные уравнения теории направляющих систем,
имеет бесконечное число различных решений, каждому из которых
согласно (11.6) соответствует определенное значение резонан-
сной угловой частоты соо, т.е. объемные резонаторы, в отличие от
обычных контуров из сосредоточенных элементов, резонируют не
на одной частоте, а на бесконечном множестве дискретных частот
йот, йог..<оор, .То колебание, которому при данных размерах
резонатора соответствует минимальная резонансная частота ю01,
называют низшим колебанием. Отметим, что каждой резонансной
частоте соответствует определенная структура электромагнитного
поля в резонаторе.
Не исключено, что в объемном резонаторе резонансные час-
тоты двух или большего числа колебаний с различной структурой
полей совпадут. Обладающие этим свойством колебания принято
называть вырожденными
Наряду с резонансной угловой частотой <оОр вводят понятия
резонансной или собственной длины волны ХОр
2л с
Л0р _
(0Пп
и ре-
зонансной (собственной) частоты 70р 70р =
11.1.4. Добротность объемных резонаторов
Добротность резонаторов описывается равенствами (1.154) и
(1.155). Сравнивая эти выражения с известными выражениями для
добротности обычных колебательных контуров, можно убедиться в
их тождественности.
Потери электромагнитной энергии в резонаторе складываются
из потерь в среде, заполняющей резонатор, и потерь в метал-
лической оболочке резонатора. Кроме того, часть энергии из резо-
натора передается через элементы связи в устройства, связанные
с резонатором. Элементы связи объемных резонаторов с внешни-
338
ми устройствами, идентичные элементам связи в направляющих
системах, во-первых, необходимы для возбуждения и поддержа-
ния незатухающих колебаний и, во-вторых, позволяют часть энер-
гии из резонатора передать другим элементам аппаратуры (усили-
телю, линии передачи и др.). В открытых резонаторах дополни-
тельно часть энергии теряется на излучение. Поэтому общие
потери энергии в резонаторе
Д^Д^ + Д^+Д^+Д!^, (11.9)
где AlVMCT - энергия потерь за период колебаний в оболочке резо-
натора; Д14д - энергия потерь в среде, заполняющей резонатор;
Д1ЛвН — энергия, отдаваемая резонатором во внешние устройства;
Д 1%ад - энергия, теряемая на излучение (радиационные потери).
С учетом (11.9) равенство (1.155) можно записать в виде
11111
— — ___— -1_ -
Q Q Q Q Q
“•мет ^д “*рад
(11.10)
что позволяет выразить полную добротность Q через "частичные"
добротности:
IV IV
Q = 2тг-—$-• Q =2л—-S--
м°т Д^' д Д1У/
IVra
ДЛ|ГГвч £Д|ГГрад
(11.11)
Полную добротность резонатора Q обычно называют нагру-
женной, а величины Срад и QBH - соответственно радиационной и
внешней добротностями. Если связь резонатора с внешними уст-
ройствами полностью отсутствует, то AlVBH= 0, QBH=o° и для соб-
ственной или ненагруженной добротности резонатора Qo вы-
полняется соотношение
1/Q0= 1/QMeT+ 1/Q«+ 1/Орад. (11.12)
При этом формулу (11.10) можно переписать в виде
Q = (11-13)
Qq + Qbh
Строгий расчет величины каждого из видов потерь в объем-
ном резонаторе встречает большие трудности, ибо, как правило,
не удается найти решение уравнения (11.7), если не пренебречь
потерями в оболочке, через элементы связи и т.д. Поэтому при
анализе резонаторов обычно исходят из предположения, что не-
большие общие потери, которые имеют место в резонаторе, не
сказываются существенно на структуре полей в нем, т.е. предпо-
лагают, что в первом приближении структура поля в резонаторе с
22* 339
потерями и без них одинакова. В указанном приближении энергия,
запасенная в резонаторе с малыми потерями и без потерь, прак-
тически одинакова. При этом потери в металле, среде, на излуче-
ние и потери, вызываемые передачей части энергии через эле-
менты связи, можно рассчитывать независимо друг от друга. Ис-
ключением является случай, когда в резонаторе возбуждаются
вырожденные колебания. При вырождении в резонаторе без по-
терь могут одновременно существовать на одной частоте два или
несколько колебаний с различной структурой электрических и маг-
нитных полей и соответственно с различной структурой токов про-
водимости на оболочке резонатора. Естественно, что величина
потерь энергии для каждого колебания будет различна. Различие в
величине потерь может вызвать некоторое различие в резонанс-
ных частотах, т.е. вырождение может исчезнуть. Соответственно
изменится структура поля в резонаторе.
11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов
Собственная добротность произвольного резонатора, как сле-
дует из (11.12), зависит от Оиет, Од и Орад. В закрытых резонаторах
радиационные потери отсутствуют, поэтому
°~Q +CL,
чд “'мет
(11.14)
Средняя за период мощность джоулевых потерь в метал-
лической оболочке определяется формулой (7.57). Переходя от
Рпср К Д И/ыет = 7РПСр, находим
д^т=^$|нДс/5. (11.15)
Подставляя (11.15) в (11.11) и учитывая (11.4), получаем
CU =~ j|HJ2cfv/f|HfflJ2cfV. (11.16)
Ks И) 1 /s'
Если резонатор заполнен однородной средой с комплексной
диэлектрической проницаемостью е=е'-1е", то при отсутствии
магнитных потерь (ц''= 0) из (1.156) имеем
' пер г, J | т| ’
Так как
IV. 4 (|Е„|г<П/.
340
то из (11.11) следует, что
Qfl = 2л1УСрДТРпср) = е'/с". (11.17)
Аналогично можно показать, что добротность, обусловленная
магнитными потерями, равна отношению р7р". Добротность 0д
резонатора, заполненного веществом с параметрами е=£'-1е" и
ц= д'- in", находится из формулы
1/Од = £я/е’ + ц,'/ц'. (11.18)
11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора
и длительностью процесса свободных колебаний в нем
При наличии потерь свободные электромагнитные колебания
в резонаторах должны быть затухающими. Чем выше собственная
добротность резонатора, тем меньше потери в нем и тем дольше
свободные колебания сохраняют заметную амплитуду. В соот-
ветствии с формулой (1.120) для закрытого резонатора при на-
личии джоулевых потерь должно выполняться соотношение
dW/dt=-Pn. (11.19)
Очевидно, что в случае монохроматических колебаний мгно-
венные значения Р„ и W связаны, как и средние значения этих ве-
личин, равенством
Pn=O3oW/Q. (11.20)
Подставляя (11.20) в (11.19) и интегрируя, получаем
lV=lVoexp(-wof/Q), (11.21)
где Wo - начальный запас энергии в резонаторе при f = 0.
Как видно из (11.21), запас энергии в резонаторе с потерями
экспоненциально убывает. За время, равное t« 0,75 Q#01 энергия,
запасенная в резонаторе, уменьшится в 100 раз. Если Q=104 и
70= 1000 МГц, то f = 7,5 мкс, что свидетельствует о весьма быстром
затухании свободных колебаний даже в высокодобротных резона-
торах. Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в резо-
наторы вводят постоянно восполняющие потери сторонние источ-
ники. При этом резонатор уже работает в режиме вынужденных, а
не свободных колебаний.
В момент подключения стороннего источника резонатору со-
общается некоторый начальный запас энергии, что влечет за со-
бой возникновение свободных колебаний, рассмотренных в 11.1.2.
Свободные колебания, как было показано выше, при наличии по-
терь в резонаторе весьма быстро затухают, а электромагнитные
колебания с частотой источника, т.е. вынужденные колебания,
341
поддерживаются за счет энергии последнего. Поэтому уже через
небольшой интервал времени после включения стороннего ис-
точника частота электромагнитных колебаний в резонаторе прак-
тически не отличается от частоты электромагнитных колебаний
стороннего источника. Согласно (11.21) длительность периода
установления стационарного режима тем больше, чем выше доб-
ротность объемного резонатора и ниже частота электромагнитных
колебаний.
Возбуждение электромагнитных колебаний в объемных резо-
наторах и вывод энергии из них основаны на тех же принципах, что
и в линиях передачи (см. гл. 12).
11.2. РЕЗОНАТОРЫ В ВИДЕ ОТРЕЗКОВ РЕГУЛЯРНЫХ
ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
11.2.1. Общие сведения
Теоретическое исследование структуры электромагнитных по-
лей и других свойств объемных резонаторов, ограниченных сло-
жной по форме оболочкой, встречает весьма значительные мате-
матические трудности, связанные с необходимостью нахождения
решений трехмерного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих
граничному условию (11.8). Задача существенно упрощается, если
резонатор образован из отрезка линии передачи с известной
структурой электромагнитного поля. Рассмотрим, например, отре-
зок закрытой линии передачи, в котором возбуждена волна одного
типа, распространяющаяся в направлении, указанном на рис.11.2
сплошной стрелкой. Конец линии, удаленный от точки питания,
замкнем накоротко с помощью идеально проводящей металли-
ческой пластины, перпендикулярной продольной оси линии (режим
короткого замыкания). Начало
Металлические iv
плоскости '1
координат совместим с короткоза-
мыкающей плоскостью, ориенти-
ровав ось z параллельно продо-
льной оси линии (см. рис. 11.2).
Так как коэффициент отражения
от идеально проводящей плоско-
сти для касательной к ней (т.е.
перпендикулярной оси Z) состав-
ляющей вектора напряженности
электрического поля равен -1, то
комплексная амплитуда этой сос-
тавляющей в произвольном сече-
нии рассматриваемого отрезка
линии определяется выражением
Отраженная
волна /
Падающая
волна
Рис.11.2
X
z
342
Ёт± =E°lnJexp(ipz)-exp(-ipz)] = 2iE^sin(pz), (11.22)
где Е“пад - вектор, связанный с комплексной амплитудой напря-
женности электрического поля падающей волны Ётпад соотноше-
нием Ётпад =E“naflexp(ipz). Очевидно, что вектор Е^ зависит
только от поперечных (по отношению к оси Z) координат. Гра-
ничное условие Ёет1 = 0 удовлетворяется одним типом волны.
Следовательно, при отражении от металлической плоскости, пер-
пендикулярной оси Z, возбуждения более высоких по порядку либо
более низких типов волн не происходит.
На рис.11.3 построена описываемая выражением (11.22)
зависимость поперечной составляющей вектора Е от координаты
z. На расстоянии г = рЛ/2 от точки z = 0, где Л-длина волны в
линии, ар- произвольное натуральное число, модуль поперечной
составляющей, как это следует из (11.22) и видно из рис.11.3,
обращается в нуль. Поэтому, не нарушая структуры поля в на-
правляющей системе, в любое из сечений, где поперечная сос-
тавляющая напряженности электрического поля равна нулю,
можно ввести еще одну короткозамыкающую металлическую пло-
скость, перпендикулярную оси Z. Но отрезок линии между двумя
короткозамыкающими пластинами представляет собой объем Vo,
окруженный со всех сторон металлической оболочкой, т.е. явля-
ется объемным резонатором закрытого типа. Если направляющая
система открытого типа, то короткозамкнутый с двух сторон отре-
зок линии является открытым резонатором.
Таким образом, длина объемного резонатора равна целому
числу полуволн колебания, распространяющегося в линии:
£ = р(М2), р = 1,2. (11.23)
После подстановки (9.17) в (11.23) и решения полученного урав-
нения относительно X находим резонансную длину волны резонатора:
Рис. 11.3
343
Классификация колебаний в объемных резонаторах, пред-
ставляющих собой короткозамкнутый отрезок направляющей сис-
темы, осуществляется в соответствии с типом волны, стоячая
волна которого образуется в резонаторе. Чтобы различать ко-
лебания с различным числом полуволн, укладывающихся вдоль
оси Z резонатора, в указатель типа волны вводят дополнительный
индекс р, равный числу полуволн в стоячей волне. Например, если
в прямоугольном резонаторе колебание представляет собой стоя-
чую волну, образованную в результате полного отражения волны
Н10, причем вдоль оси Z уложилось четыре полуволны, то такая
структура поля обозначается Hw. Аналогичный смысл имеют
обозначения Нтпр> Е^рРт ТЕМр, ^Етпр.
Так как у ТЕМ-вопн критическая длина волны равна бес-
конечности, то в случае колебаний ТЕМР выражение (11.24) уп-
рощается и принимает вид
К™'=211р, р = 1,2,3... (11.25)
Вывод формул (11.22) и (11.24) основан на предположении,
что у волны, распространяющейся в линии передачи, обязательно
существуют поперечные составляющие электрического поля, об-
ращающиеся в нуль на короткозамыкающих пластинах. Для волн
и ТЕМ это условие, очевидно, выполняется всегда, так как у
этих волн вектор электрического поля лежит в плоскости, пер-
пендикулярной направлению распространения волны. У волн Е,
как следует из выражений (9.14) и (9.19), при X = Х^" поперечные
составляющие вектора напряженности электрического поля равны
нулю в любом сечении линии передачи. В то же время продольная
составляющая напряженности электрического поля и поперечный
вектор магнитного поля отличны от нуля. Поэтому при Хо = Х^"
короткозамыкающие пластины можно вводить в произвольные
сечения линии с волной Етп, т.е. резонансная частота такого
резонатора не зависит от его длины. Можно заметить, что данный
результат есть частный случай (11.24), так как Хо = Х^"1 при р = 0.
Следовательно, у колебаний Етлрр > 0, тогда как у волн Нтпр, ТЕМР
всегда р >1.
Отметим, что в линиях с ТЕМ- и квази-ТЕМ-волнами полное
отражение от конца линии возможно не только в режиме короткого
замыкания. Если поперечные размеры линии малы по сравнению с
длиной волны, то распространяющаяся по линии волна ТЕМ
(квази-ТЕМ) практически полностью отражается от ее свободно
оборванного (незагруженного) конца (режим холостого хода (XX)).
При этом коэффициент отражения для поперечных составляющих
вектора Е равен +1, и вместо (11.22) выполняется соотношение
=^±nafl[exp(i₽z)+exp(-ipz)] = 2Efnaflcos(₽z).
344
Зависимость поперечной составляющей вектора Е от коор-
динаты z показана на рис.11,4. Образуя второй обрыв рас-
сматриваемой линии на расстоянии f = pAJ2, р=1,2,..., от ее
конца, получаем объемный резонатор.
11.2.2. Коаксиальный резонатор
Коаксиальный резонатор представляет собой отрезок коак-
сиальной линии, замкнутый с обоих концов проводящими пла-
стинками. Поперечные размеры коаксиального резонатора, так же
как и поперечные размеры коаксиальной линии, выбираются в
соответствии с (10.55), что обеспечивает отсутствие резонансов
высших типов волн. Резонансная длина волны определяется
выражением (11.25), откуда следует, что длина коаксиального
резонатора I = pXOf/2, Структура электрического и магнитного
полей, а также злюры, показывающие распределение этих полей
вдоль полуволнового резонатора, изображены на рис.11.5.
Как уже отмечалось (см. 11.1.2), векторы Ей Нв объемном
резонаторе сдвинуты по фазе на iJ2. Если в какой-то момент
времени, например t=0, электрическое поле обращается в нуль,
то магнитное поле в этот момент времени имеет экстремум. Через
четверть периода (t = 774) электри-
ческое поле достигает экстремума, а
магнитное обращается в нуль. Струк-
тура поля, показанная на рис. 11.5,
соответствует некоторому промежу-
точному моменту времени, когда от-
личны от нуля и электрическое, и
магнитное поля.
Определим собственную доброт-
ность коаксиального резонатора, пред-
полагая, что он заполнен диэлект-
риком без потерь. Вектор напряжен-
ности магнитного поля в резонаторе,
как и в коаксиальной линии, имеет
Рис.11.5
одну ф-ю составляющую, равную
345
R^r<R2. (11.26)
Подставляя (11.26) в (11.16) и вычисляя входящие в (11.16)
интегралы, получаем
q _q _ ®оМ _______lRiR2ln (R21 R-\)_ ....
° MeT Rs 4RtR2ln(R2/R1) + ^(R1+R2)‘ 1 * 1
Как показывает численный расчет по формуле (11.27), у
коаксиальных резонаторов из меди собственная добротность на
волнах до 10 см может достигать нескольких тысяч и быстро
падает по мере уменьшения резонансной длины волны.
Коаксиальные резонаторы широко применяют в качестве
волномеров, колебательных контуров в радиопередающих устрой-
ствах, в фильтрах и других приборах.
11.2.3. Резонатор в виде отрезка коаксиальной линии,
нагруженной на емкость
Для уменьшения геометрической длины коаксиального резо-
натора, что особенно важно на волнах длиной порядка 1 м и
более, между центральным проводником коаксиальной линии
резонатора и одной из короткозамыкающих пластин оставляют
зазор (рис.11.6). Ширина зазора выбирается значительно меньше
длины волны, что обеспечивает повышенную концентрацию элект-
рического поля в зазоре, т.е. зазор эквивалентен конденсатору,
подключенному к линии. Эквивалентная схема такого резонатора
(рис.11.7) может быть представлена в виде короткозамкнутого с
одной стороны отрезка длиной h коаксиальной линии, второй
конец которой нагружен на сосредоточенную емкость. Резонанс в
данной системе возможен, если только входное сопротивление
короткозамкнутого отрезка линии длиной h имеет индуктивный
характер в точках подсоединения к емкости С. Как известно из
курса теории линейных электрических цепей и будет также пока-
зано в гл.12, короткозамкнутый отрезок линии обладает индук-
346
тивным входным сопротивлением при h < V4. Поэтому общая
длина такого резонатора не превышает четверти длины волны.
Отметим, что добротность резонаторов с емкостной нагрузкой
несколько ниже, чем у полуволнового резонатора.
11.2.4^ Прямоугольный резонатор
Прямоугольный резонатор представ-
ляет собой отрезок прямоугольного вол-
новода, замкнутый с обоих концов прово-
дящими пластинами (рис.11.8). Резона-
нсная длина волны колебаний Етпр и Hmnp
в таком резонаторе определяется из фор-
мулы (11.24), которая после подстановки
в нее выражения (10.12) принимает вид
Рис.11.8
(11.28)
У волны Етр ни индекс т, ни индекс п не может быть равен
нулю, поскольку существование волн Еол и Ет0 в прямоугольном
волноводе невозможно. У волн Нтпр только один из индексов т
или п может быть нулевым. Значение индекса р, равное нулю,
допустимо для волн Е^пр и невозможно для волн Нтпр (см. выше).-
Следовательно, в формуле (11.28) независимо от типа волны
только один из трех индексов т, п или р может обращаться в нуль.
Низшее (основное) колебание имеет наибольшую резонан-
сную длину волны. В прямоугольном резонаторе основным ко-
лебанием при b < а и b < I является Н101, при а< b и а < (- /70ц, а
при f. < аи £ < Ь- Е110. Обычно наименьшим размером является Ь.
Рис.11.9
347
Поэтому наиболее часто используется колебание Нт. Структура
электромагнитного поля этого колебания в некоторый момент
времени 0 < t < Т!4 показана на рис.11.9.
Собственная добротность резонатора с колебанием /7101 мо-
жет быть определена из формулы (11.16). Выполнив необходимые
преобразования, получаем
тоц______ab£(£2+a2}
2RS £aU2+a2) + 2bU3+a3)*
(11.29)
Как показывает расчет, собственная добротность прямо-
угольного резонатора достигает десятков тысяч в сантиметровом
диапазоне волн.
11.2.6. Цилиндрический резонатор
Цилиндрический резонатор представляет собой отрезок кру-
глого волновода, замкнутый с обоих концов проводящими пла-
стинами (рис. 11.10). Резонансная длина волны колебаний в
цилиндрическом резонаторе определяется из формулы (11.24) и
равна для волн (р > 0)
Ч = 2/7(р/Ог+(у^/ла)2; (11.30)
ДЛЯ ВОЛН Hmnp (р >1)
ЧР=2/7(р/О2 + (у^/ла)г, (11.31)
где vmnE'H-корни функций Бесселя и их производных (см.10.3).
Как видно из формул (11.30) и (11.31), основным колебанием в
цилиндрическом резонаторе в зависимости от отношения На
может быть либо Еою. либо Hw. У колебания ЕОю резонансная
длина волны не зависит от f. и равна = 2,61а. У колебания
348
Е,
Рис.11.12
/7ш резонансная длина волны зависит от t: Х0|Н -> 0 при I -> 0 и
А.01Н -> Хцрн = 3,41а. Таким образом, у короткого резонатора
основным колебанием является Е010, у дпинного-Цц. Граничное
значение параметра ?Ja легко определяется из условия X01Hl|1 =
- ^оое010 = 2,61а.
На рис.11.11-11.13 показаны структуры трех наиболее часто
используемых на практике колебаний в цилиндрическом резо-
наторе Ною, Ни, и НОц. На тех же рисунках приведены эпюры,
характеризующие распределение составляющих напряженности
электрического поля.
Собственная добротность резонатора, заполненного диэле-
ктриком без потерь, для каждого из этих колебаний находится по
формуле (11.16):
б?0Е°'° = (я/0 yJRs)a£l(f +а); (11.32)
Qo'11 = (nfop/Rs)a/7{(2a- О(Хо/202 + а?«1)2/[«1)2 -1]}; (11.33)
= (лГ0ц/Я3)аб/[(2а-^)(Х0/2а)2+£]. (11.34)
Так как не зависит от £, то резонатор, рассчитанный на
это колебание, может иметь весьма небольшие габариты.
При анализе распространения волны /701 в круглом волноводе
было показано, что при достаточно большом диаметре волновода
можно добиться весьма мвлых потерь. Поэтому резонатор, в
котором укладывается одна или несколько полуволн колебания
НОи должен обладать чрезвычайно высокой добротностью. Дей-
349
Рис.11.13
ствительно, как показывает расчет по формуле (11.34), собст-
венная добротность резонатора с волной /7011 достигает сотен
тысяч. При столь высокой добротности полоса пропускания резо-
натора на частоте 10000 МГц не превышает 100 кГц. Это позво-
ляет использовать резонатор с волной /7011 в качестве высоко-
точного волномера.
Чтобы иметь возможность перестраивать резонатор с одной частоты на
другую, одна из короткоза мы кающих металлических пластин выполняется в виде
подвижного поршня
Рис.11.14
(рис.11.14). По мере движения поршня меняется длина
резонатора, что влечет за собой изменение его резонансной
длины волны. Как видно из рис.11.14, поршень не касается
стенок резонатора, т.е. электрический контакт между порш-
нем и стенками резонатора отсутствует. Объясняется это
стремлением подавить колебание Et11l у которого та же
резонансная длина волны, что и у Н011. Волна Нц в круглом
волноводе и, следовательно, колебание Нл, а резонаторе
возбуждают на стенках только поперечные токи (Л=0).
Поэтому небольшой зазор между поршнем и стенками
резонатора вполне допустим и практически не алияет на
электрические характеристики резонатора. В то же время
зазор яаляется препятствием для продольных токов волны
Еи । и дела ат невозможным резонанс этого колебания.
Следует отметить, что реальные значения
Со несколько меньше расчетных.
11.2.6. Полосковые резонаторы
Полосковый резонатор представляет собой отрезок поло-
сковой линии, на обоих концах которого осуществлен режим
Хх. На рис.11.15 показан полосковый резонатор, выполненный
на МПЛ. Его поперечные размеры так же, как поперечные
размеры полосковой линии, выбираются из условия отсутствия
350
высших типов волн и излучения
из линии. Так как у волн ТЕМ и
квази-ТЕ/ИХкр=оо, то резонансная
длина волны колебания ТЕМР и
квази-ТЕЦ, равна ^Р=2£1р, р =
= 1,2... Следовательно, длина
резонатора £ = рХ0р/2. Продоль-
ное сечение полуволнового резо-
натора на МПЛ и структура си-
ловых линий электрического по-
ля показаны на рис.11.16. Как видно, вблизи концов отрезка МПЛ
наблюдается концентрация электрического поля, что эквивале-
нтно включению некоторых емкостей между концами полоски и
экраном. Из-за этого длина резонатора £ выбирается несколько
11.3. ПРОХОДНОЙ РЕЗОНАТОР
Рассмотрим резонатор в виде короткозамкнутого отрезка ли-
нии передачи, включенного в линию, в торцевых металлических
стенках которого прорезаны одинаковые отверстия (рис.11.17).
Отверстие на входе резонатора обеспечивает возбуждение коле-
баний в резонаторе, а отверстие на его выходе служит для переда-
чи энергии в нагрузку. Резонатор рассматриваемого типа получил
название "проходнойрезонатор"и широко применяетсявтехникеСВЧ.
падающая
еолна
Рис.11.17
351
Нагруженную добротность подобного резонатора проще опре-
делить не из общего формулы (11.10), а из адекватного ей при
Q»1 выражения
Q = (11.35)
2Л г0 5
где Afo.s- расстройка, при которой мощность на выходе резонатора
уменьшается в 2 раза.
Перейдем к определению зависимости коэффициента пере-
дачи резонатора т от частоты, что позволит рассчитать добро-
тность по формуле (11.35). Торцевые металлические плоскости
резонатора, в которых прорезаны отверстия, можно рассматривать
как две диафрагмы, одна из которых находится на входе, а другая -
на выходе резонатора. Поток энергии, соответствующий падаю-
щей электромагнитной волне, частично отражается от первой ди-
афрагмы, а оставшаяся часть проходит в резонатор. Дойдя до
второй диафрагмы, этот поток частично проходит через диафрагму
и поглощается в нагрузке. Оставшаяся часть отражается от второй
диафрагмы и распространяется в направлении к первой. Напря-
женность полного электрического поля за резонатором (при z = £)
равна сумме напряженностей полей, соответствующих всем вол-
нам, прошедшим через вторую диафрагму. Обозначим коэффици-
ент отражения от диафрагмы через Su (см. гл.12), а коэффициент
прохождения-через S21 (рис.11.18). Если пренебречь мощностью
джоулевых потерь в диафрагмах, должно выполняться равенство
|S21|2 =1-(S11|Z. (11.36)
После взаимодействия падающей волны с первой диаф-
рагмой комплексная амплитуда напряженности электрического
поля прошедшей через диафрагму волны равна SzlEOTnafl. Про-
шедшая волна на пути от первой диафрагмы до второй при-
обретает фазовый сдвиг р#. Она частично отражается от второй
диафрагмы и частично проходит за нее. Комплексная амплитуда
напряженности электрического поля волны, прошедшей за вторую
диафрагму при г=Л равна ^S^E^exp^ipf). Волна, отразив-
шаяся от второй диафрагмы, распространяется по направлению к
первой диафрагме и приобретает фазовый
г--------1—сдвиг РЛ Она частично проходит через
Г ] ~ первую диафрагму и частично отражается
от нее. Отраженная волна доходит до
I________I второй диафрагмы, частично проходит за
S г* ! gr* । >S9< нее и частично отражается, и т.д. Ко-
21 2 мплексная амплитуда напряженности эле-
Рис.11.18 ктрического поля волны, прошедшей в
352
(11.38)
этом случае через вторую диафрагму при z=£, равна Ё^т =
= S2,E^'...Si1exp(-ip^)exp(-i2pe). Комплексная амплитуда нап-
ряженности полного электрического поля за второй диафрагмой
при z = £ равна
Ё£р ^expf-ip^S(З.е^Г- (11.37)
Л=0
Так как |51(|<1, то ряд в (11.37) представляет собой бес-
конечно убывающую геометрическую прогрессию. Производя сум-
мирование, определяем коэффициент передачи проходного ре-
зонатора:
т = Ё;р / = S^exp (-ip €)/[1 - exp (- i2p <)].
Вычисляя абсолютное значение коэффициента т и используя
(11.36), получаем
1-Ыг
1-|3„|гехр[-12ф(-ф0)]
где <ро= arg sn. Как видно, при ре - ср0 = ртг, р =1,2,.... правая часть
выражения (11.36) равна единице (|т|=1), т.е. вся мощность
падающей волны поступает на выход резонатора. Такой режим
называют резонансным. Найдем длину резонатора £, соответ-
ствующую данному случаю. Так как р = 2п/Л, где Л - длина волны в
линии передачи, то
^ = рА + ^Л. (11.39)
2
Зависимость Л от длины волны X = c/f для каждого типа волны
определяется из соотношения (9.17). Длина волны Хор, и соответ-
ствующая ей частота fOp. на которой выполняется равенство
(11.39), называется резонансной.
Как следует из (11.39), только при сро=0 длина резонатора
точно кратна целому- числу полуволн. При ф0< О (диафрагма
индуктивная) длина резонатора меньше рЛ/2.. При емкостной
диафрагме (фо > 0) длина резонатора больше рЛ/2.
На частотах, отличных от резонансной, равенство (11.39) не
удовлетворяется, и поэтому амплитуда прошедшей волны умень-
шается.
Изменение величины |т| от частоты определяется зависи-
мостью р и фо от частоты. При малых изменениях частоты
величину фо обычно можно считать постоянной. Зависимость вели-
чины р от частоты согласно (9.14) имеет вид
23-45 353
№-~Гу 1"Ьг7
(11.40)
Разложим функцию р (0 3 Р (й± Af), где в ряд Тейлора
по степеням Af Ограничиваясь двумя первыми членами раз-
ложения, имеем р = p0(1+gAf#o), где р0= р (ft) и д = 1Д1-(ШкрЛ
Используя это представление для р (Г), разложим в степенной ряд
функцию ехр[-12(р£-фо)]. Учитывая, что ро^-фо = рт. р = 0,1,....
преобразуем равенство (11.38) к виду
|т|2 = 1/(1 + [bgp^]2(2Af#0)2), (11.41)
где b = |sn |Д1 -|зц |2). На границе полосы пропускания согласно
(11.35) 2Af#0 = 1/Q и |т|г=0,5. Подставляя эти значения в (11.41),
находим, что
Q=bgp0< (11.42)
т.е. квадрат коэффициента передачи
|т[2 =1/1 + Q2p^l . (11.43)
I 'о 7
g 9 Д Аналогичная зависимость коэффициента
1~~Ц передачи от частоты имеет место у парал-
—,— j лельного контура, включенного параллельно в
L-T—r & линию. Таким образом, эквивалентная схема ли-
Рис1119 нии пеРедачи с включенным в нее проход-
ным резонатором имеет вид, показанный на
рис.11.19.
При выводе формулы (11.38) мы пренебрегли тепловыми
потерями в диафрагмах и линии передачи. Поэтому найденная
величина фактически является внешней добротностью резона-
тора. Если тепловыми потерями в резонаторе пренебречь нельзя,
то нагруженную добротность можно рассчитывать по формуле
(11.13), предварительно определив собственную добротность из
(11.14), а внешнюю - из (11.42).
Рис. 11.20
Рис. 11.21
354
Отметим, что вывод формулы (11.38) и получаемый результат
не изменяются, если вместо диафрагм на вход и выход резо-
натора включить любые другие неоднородности без потерь.
Например, в прямоугольных резонаторах широко применяются
неоднородности, состоящие из нескольких штырей (рис.11.20).
Подбором количества стержней, их диаметра и расстояний между
ними можно получить значения коэффициента отражения,
соответствующие заданным значениям нагруженной добротности
резонатора [57], В полосковых и коаксиальных линиях роль
неоднородности может выполнять зазор (щель) в центральном
проводнике (рис.11.21).
11.4. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Характерным признаком квазистационарных резонаторов яв-
ляется весьма четко выраженное пространственное разделение
электрического и магнитного полей у колебания с наименьшей
резонансной частотой, т.е. энергия электрического и магнитного
полей концентрируется преимущественно в различных частях
объема резонатора. Это позволяет рассматривать квазиста-
ционарные резонаторы, в которых возбуждается колебание с
низшей резонансной частотой, как обычные колебательные кон-
туры с сосредоточенными постоянными, причем те части объема,
где концентрируется энергия электрического и магнитного полей,
эквивалентны соответственно емкостному и индуктивному элемен-
там контура. Если величина индуктивного и емкостного сопро-
тивлений элементов известна, то резонансная частота квазиста-
ционарного резонатора может быть рассчитана по формуле
= 1/^7 На рис. 11.22 и 11.23 изображены тороидальный
резонатор, применяемый в клистронах, и резонатор магнетрона
соответственно.
23
355
В случае тороидального резонатора электрическое поле почти
полностью сосредоточено в зазоре шириной d (рис. 11.22). Ем-
кость эквивалентного резонансного контура равна емкости зазора
между параллельными пластинами резонатора, которая рассчи-
тывается по формуле Со-EoS/d = ^0Tta^/d. Эта формула является
приближенной, так как не учитывает искажение поля на краях
конденсатора. Магнитное поле концентрируется преимущественно
в боковых полостях резонатора. Если пренебречь неравно-
мерностью распределения магнитного поля вдоль оси Z, можно
считать, что вектор Н имеет только азимутальную составляющую
Нф = /Д2гсг), где /-ток, текущий по боковой поверхности внутрен-
него цилиндра, а г-расстояние от оси Z до рассматриваемой
точки. Магнитный поток, проходящий через боковые полости
резонатора,
Ф = f Мо H^dS ~ Jdz№ = In (а2/а,),
St 2л О а, Г 2П
где Sjl- площадь половины поперечного сечения резонатора,
пронизываемая магнитными силовыми линиями. Индуктивность
резонатора вычисляется по формуле Lo= ФЛ = (м0//2л) In (а^,).
Зная Со и Lo, находим угловую резонансную частоту тороидального
резонатора:
ша = V2d /Ьа, Ш(аг/а1). (11.44)
Аналогично для ячейки магнетронного резонатора (рис.11.23)
получаем
ш0 =Jd /(а^оИояЬ). (11.45)
356
Глава 12
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ СВЧ
12.1, ПОНЯТИЕ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СХЕМЕ ЦЕПИ СВЧ.
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
12,1.1. Цепь СВЧ (тракт СВЧ)
Редиосистемы, работающие в диапазоне 30 МГц <f<3000 ГГц,
обычно можно представить в виде некоторых устройств, соеди-
ненных отрезками линий передачи. Часть такой системы, распо-
ложенную между начальным и оконечным устройствами (напри-
мер, менаду антенной и радиопередающим или радиоприемным
устройством), называют трактом СВЧ или цепью СВЧ. Подобный
тракт осуществляет передачу электромагнитной энергии от пере-
датчика к антенне или от антенны к приемнику, обеспечивает тре-
буемый режим работы выходных или входных цепей передатчика
или приемника, выполняет частотное и поляризационное разделе-
ние и объединение передаваемых сигналов и ряд других функций.
Отметим, что цепью СВЧ называют также и отдельные части трак-
та СВЧ. Наиболее распространенными элементами СВЧ цепей
являются отрезки линий перадачи, переходные и стыковочные уз-
лы менаду линиями разных типов, согласующие и настроечные
элементы, сумматоры, делители и ответвители мощности, поляри-
зационные устройства, фильтры, фазовращатели, коммутаторы и
переключатели, невзаимные устройства с намагниченными фер-
ритами и др. Перечисленные и некоторые другие элементы СВЧ
рассмотрены в последующих главах.
Процессы передачи электромагнитных сигналов в цепях СВЧ
и в образующих их элементах являются весьма сложными. Их
можно было бы проанализировать на основе решения соответст-
вующих краевых задач электродинамики. Однако строгая поста-
новка и решение таких задач даже для сравнительно простых эле-
ментов цепей СВЧ возможны далеко не всегда. А для применяе-
мых на практике цепей СВЧ из-за их конфигурационной сложности
решение краевых задач в строгой постановке в настоящее время
практически невозможно. На практике при анализе сложных цепей
СВЧ применяют метод декомпозиции (разбиения): цепь СВЧ раз-
357
бивается на ряд элементов, которые анализируются независимо.
При этом каждый такой элемент рассматривается как независимая
электродинамическая система.
Постановка и решение краевых задач, соответствующих от-
дельным элементам, существенно проще, чем для всего устройст-
ва в целом. Используя или решение электродинамической задачи
или результаты экспериментального исследования, если подобное
решение получить не удается, для каждого выделенного элемента
строят такое описание, которое позволяет находить влияние этого
элемента на передаваемые электромагнитные сигналы. Обычно
описание элементов цепи представляют либо в виде одной из
матриц (матрицы рассеяния, матрицы передачи и др.), либо в виде
эквивалентной схемы, состоящей из отрезков эквивалентной ли-
нии передачи, в которую тем или иным способом включены сосре-
доточенные элементы L, С, R и трансформаторы. Имея подобные
универсальные описания всех элементов цепи СВЧ, можно опре-
делить все требуемые характеристики цепи (см. 12.3).
Обычно при построении математической модели цепи СВЧ
для упрощения анализа отрезки линий передачи, соединяющие
входящие в эту цепь устройства, заменяют отрезками эквивалент-
ной линии, а устройства рассматриваются как некоторые многопо-
люсники. Электромагнитные процессы в эквивалентной линии опи-
сываются скалярными функциями (напряжением йт и током /т),
зависящими лишь от продольной координаты z. Эти функции стро-
ятся на основе векторных функций Ет и Нт, определяемых для
каждой линии из решения соответствующей электродинамической
задачи (см. гл.10). Отметим, что указанную упрощенную модель
отрезка линии передачи можно использовать лишь в диапазоне
частот, где соблюдается одноволновый режим работы линии. Кро-
ме того, эта модель непригодна для определения ряда характери-
стик цепи СВЧ, например таких, как максимальная мощность, пе-
редаваемая по цепи СВЧ, или величина взаимной связи между
элементами цепи СВЧ, построенной на отрезках линий передачи
открытого типа, и некоторых других.
Рассмотрим переход к эквивалентной линии. Для ТВИ-волн в
линиях передачи, структура поля которых в поперечной плоскости
имеет потенциальный характер, можно, используя векторы Ёт и
Нт, однозначно определить соответствующие им напряжение
и ток /т. При этом для волны, распространяющейся по линии без
потерь вдоль оси Z, можно записать
= Uo exp(-i kz)\ ijz) = /0 exp(-i Аг), (12.1)
где к- коэффициент фазы рассматриваемой волны.
358
В гл. 10 были определены Uffl(z) и im(z) для TE/W-волн в двух-
проводной и коаксиальной линиях. Зная функции (12.1), можно вы-
числить волновое сопротивление линии ZB = (jm(z)//m(z) и сред-
нюю за период мощность, переносимую волной по линии:
P^=|Um(z)|2/(2ZB). (12.2)
Для линии передачи, в которой распространяются Е-, Н- или
смешанные волны, напряжение и ток в эквивалентной линии
могут быть выражены через контурные интегралы от функций
Ёт1 и соответственно; указанные функции описывают попе-
речные составляющие полей в рассматриваемой линии передачи.
В отличие от случая ТЕМ-волн у Е-, Н- и смешанных волн поле,
описываемое функциями EmJ и Нт1 не является потенциальным.
Поэтому значения функций (jm(z) и /m(z) определяются неодно-
значно; они зависят от выбора контуров интегрирования. Для уст-
ранения этой трудности при переходе к эквивалентной линии за-
ранее оговаривают форму указанных контуров. Рассмотрим, как
вычисляются напряжение, ток и волновое сопротивление для вол-
ны Н10, бегущей вдоль оси Z прямоугольного волновода. Исполь-
зуя выражение (10.18) для составляющей Ёту волны Ню, опреде-
ляем комплексную амплитуду напряжения меищу точками, лежа-
щими на средних линиях широких стенок при х = а12:
ь .
Um<z) = =Ua exp(-ipz), (12.3)
о
где С/о=- i (сорай/я) HQz.
Используя выражение (10.18) для составляющей Нтх напря-
женности магнитного поля волны Ню, определяем комплексную
амплитуду тока, текущего по нижней (у=0) широкой стенке волновода:
= =/oexp(-i₽z)> (12.4)
где /0 =- i (2pa2Zn2) HOz, Р pHl0.
Комплексная амплитуда тока /ffl(z)| текущего по верхней
(у = й) широкой стенке волновода, отличается от (12.4) только зна-
ком: /m(z)|y=6=-/m(z)j о> В этом случае, учитывая (12.3) и (12.4),
волновое сопротивление для волны Ню можно определить по
формуле
= t/m(z)//m(z) = n6Z”10/(2a) = nbZ./^a^-fX/^)2). (12.5)
359
Изменив форму контура либо методику определения напря-
жения и тока, можно получить другие выражения для ZB. Однако во
всех случаях формула для Z"10 имеет вид Z"10 = A(b/a)Z“10, где
А-числовой коэффициент, зависящий от способа вычисления ве-
личин Um(z) и Неопределенность в выборе этого коэффи-
циента существенного значения не имеет, так как при инженерном
проектировании целей СВЧ важно знать отношение волновых со-
противлений соединяемых отрезков линий, а не конкретные значе-
ния каждого из них.
На основе изложенного любую линию передачи можно заме-
нить эквивалентной длинной линией, в которой распространяются
соответствующие волны напряжения и тока. Отметим, что матема-
тическую модель в виде эквивалентной линии можно использовать
и для линии передачи, в которой могут распространяться несколь-
ко типов волн. В этом случае для каждого распространяющегося
по линии типа волны с помощью формул, аналогичных (12.3)-(12.5),
строится своя эквивалентная линия, т.е. математическая модель
образуется несколькими (по числу распространяющихся типов
волн) эквивалентными линиями.
12.1.2. Линии передачи конечной длины. Неоднородности
в линиях передачи
Пусть отрезок произвольной регулярной линии (рис.12.1)
включен между генератором и оконечным устройством, которое в
дальнейшем будем называть нагрузкой. Предположим, что линия
работает в одноволновом режиме и по ней может распрост-
раняться волна основного типа, электрическое поле которой опи-
сывается векторной функцией Поскольку в конце линии в
месте подключения нагрузки появляются новые границы раздела
сред, то по сравнению с бесконечной линией в рассматриваемом
случае изменяются краевые условия для векторов электромаг-
нитного поля. В результате этого на конце линии возникает новая,
соответствующая изменившимся краевым условиям структура по-
ля. Поскольку в регулярной линии в общем случае может су-
ществовать бесконечное число типов волн, отличающихся друг от
друга структурой полей, то образовавшееся после подключения
нагрузки поле должно быть суперпозицией этих волн. Однако, если
линия работает в одноволновом режиме, амплитуды векторов по-
ля всех типов волн, кроме основного, экспоненциально убывают в
линии по мере удаления от нагрузки. Поэтому, если плоскость
(рис.12.1, а), перпендикулярная оси Z, расположена на таком рас-
зео
стоянии от нагрузки, при
котором в этой плоско-
сти можно пренебречь
амплитудами векторов
поля всех высших типов
волн, то во всех точках
линии, находящихся ле-
вее плоскости 7"i, кроме
падающей будет рас-
пространяться лишь от-
раженная волна основ-
ного типа, электричес-
кое поле которой описы-
вается функцией Ё^р.
Если в месте подключе-
ния нагрузки образуется
Рис.12.1
такая структура поля, при которой в ее составе отсутствует волна
основного типа, то отраженная волна в линии не появится. При
этом, если отсутствуют потери в линии, вся переносимая па-
дающей волной энергия поглощается в нагрузке, что следует из
закона сохранения энергии. В этом случае говорят, что линия иде-
ально согласована с нагрузкой или что линия работает в режиме
бегущей волны. Аналогичные процессы происходят и в месте под-
ключения генератора к линии.
Рассмотрим еще один случай, часто встречающийся при ана-
лизе цепей СВЧ. Пусть в регулярной линии передачи рас-
положена какая-либо неоднородность {рис.12.2,а), например в
прямоугольный волновод помещен некоторый объект, электро-
динамические параметры
которого отличаются от па-
раметров среды, заполняю-
щей волновод (металличе-
ская перегородка или штырь,
диэлектрический цилиндр и
др.). К этому же случаю
можно отнести и соединение
(стык) двух линий передачи
с разной формой или раз-
ными размерами поперечно-
го сечения. Во всех случаях
в месте расположения не-
однородности изменяется
структура поля по сравне-
нию с полем в регулярной
Рис. 12.2
361
линии. Вблизи неоднородности поле имеет сложную структуру,
обусловленную суперпозицией волн, которые могут существовать
в данной линии. Если линия работает в одноволновом режиме, то,
располагая перпендикулярно оси Z плоскости Т и 1\ на таком рас-
стоянии от неоднородности, при котором в этих плоскостях можно
пренебречь амплитудами векторов поля всех высших типов волн,
можно утверждать, что во всех точках линии, находящихся левее
плоскости Г, появится (в общем случае) отраженная волна основ-
ного типа, напряженность электрического поля которой Ё^р, а во
всех точках линии правее плоскости Tt появится прошедшая волна
основного типа Ё^₽. Поэтому обычно при рассмотрении процессов
передачи энергии от генератора к нагрузке (см. рис.12.1,а) и ис-
следовании влияния неоднородности на распространение энер-
гии по линии (рис.12.2,а) переходят к эквивалентной схеме
(рис.12.1,б и 12.2,6). При этом участки линии, где существуют
лишь падающие и отраженные волны низшего типа, представляют
эквивалентной линией. Участок линии, находящийся левее плоско-
сти Т (рис.12.1,а) с подключенным генератором и участок линии,
находящийся правее плоскости 1\ с подключенной нагрузкой,
представляют в виде эквивалентных двухполюсников (устройство
с одним входом). Участок линии, содержащий неоднородность и
находящийся между плоскостями Т и Т, (рис. 12.2,а), представляют
в виде эквивалентного четырехполюсника (устройства, имеющего
вход и выход). Из теории линейных электрических цепей [28] из-
вестно, что двухполюсники и четырехполюсники могут быть пред-
ставлены в виде эквивалентных схем (схем замещения), состоя-
щих из сосредоточенных элементов L, С, R. Например, на
рис.12.1,6 двухполюсник, представляющий отрезок линии с под-
ключенной нагрузкой, изображен в виде комплексного сопро-
тивления Zh, а отрезок с подключенным генератором-в виде гене-
ратора напряжения с внутренним сопротивлением
Отметим, что поскольку амплитуда и фаза векторов элект-
ромагнитного поля как отраженной волны, так и прошедшей зави-
сят от конструкции неоднородности в линии или конструкции око-
нечного устройства, то параметры эквивалентных схем или эле-
менты матриц, описывающих двухполюсники или четырехпо-
люсники, могут быть определены либо с помощью решения соот-
ветствующей электродинамической задачи, либо с помощью экс-
перимента.
Рассмотрим передачу энергии от генератора к нагрузке по ли-
нии (рис. 12.1,а). На рис.12.1,6 показана эквивалентная схема для
этого случая. Пусть отрезок эквивалентной линии без потерь
(а = 0) длиной I, имеющий волновое сопротивление Za, воз-
буждается генератором напряжения с внутренним сопротивлением
362
Zr = ZB. К концу отрезка подключена нагрузка ZH. Генератор создает
в линии падающую волну, описываемую функциями С^ад{2) и
C(z). Комплексную амплитуду напряжения падающей волны
можно записать в виде
U™(z) = Uor!Wexp(iynw)exp(+ipz), {12.6)
где Uonsa и уПЭд - модуль и начальная фаза функции и"ад(г) в на-
чале координат (при z=0). Начало оси Z совпадает с плоскостью
Ть а ее положительное направление указано на рис.12.1. В общем
случае подключение к линии произвольной нагрузки вызывает по-
явление в линии отраженной волны, описываемой функциями
U^(z) и /^=(z). Комплексную амплитуду напряжения отраженной
волны можно записать в виде
№ (z) = exp (i у отр) exp {- i р z), 0 2.7)
где (7о°тр и уОТр-модуль и начальная фаза функции (jOTp(z) при z= 0.
Отношение комплексной амплитуды напряжения отраженной
волны к комплексной амплитуде напряжения падающей волны в
произвольном поперечном сечении линии передачи называют ко-
эффициентом отражения по напряжению в указанном сечении:
nz) = ^TP<Z) = ^exptiy^Jexpf-ipz)
U^(z) Urexp(iynJexp(+ipz)
= r(0)exp(-2ipz), (12.8)
где Г(О) = Гоехр0уо)-коэффициент отражения по напряжению в
месте подключения нагрузки (z = 0); Го=и°трЛЛГд, a yo = yOTp-4W
Полное напряжение 6m(z) и полный ток возникающей
в произвольном поперечном сечении линии, являются суммой на-
пряжений и токов падающей и отраженной волн соответственно в
этом сечении:
Um(z) = U™ (z) + (CTz) = U™(z) [1 + r(z)]; {12.9)
/Jz)=C(z)+CTz) = ^ (12.10)
где использованы соотношения U^R(z)/l^(z) = ZB и U^r‘(z)/i^t,(z) =
=-zB.
Средняя за период мощность, проходящая через произ-
вольное поперечное сечение линии, вычисляется по формуле
РсоМ = P^(z)-P^(z) = | иГ (z)f /{2ZB)-| LC(z)|2/(2ZB) =
= |ur<z)|2/{2ZB)1(l-| r(z)[2). (12.11)
363
Из формулы (12.9), учитывая формулу (12.8), определим
модуль полного напряжения в произвольном сечении линии:
|Uffl(z)) = |О™|1/1 + го + 2r0cos(2pz-y0). (12.12)
На рис. 12.3 показана зависимость величины |(jm(z)|/| (j^(z) |
от координаты z, вычисленная по (12.12). Как видно, отраженная
волна суммируется с падающей, что приводит к образованию
повторяющихся минимумов и максимумов. При этом минимумы,
равные 1-Г0, наблюдаются в сечениях линии, имеющих коор-
динату (2л)тт= [(2п-1)тг+\|/0]Д2р), а максимумы, равные 1 + Г0-
в сечениях с координатой (zn)max = [2 (п -1) л + ц/а]Д2р), где п = 1,
2,3,.... Расстояние между ближайшими максимумами (или мини-
мумами) всегда одно и то же и равно половине длины волны,
соответствующей распространяющемуся типу волны в линии. В
инженерной практике режим работы линии обычно характеризуют
коэффициентом бегущей волны (КБВ)
KBB = |(jffl(z)| /|Um(z)| =(1-Г0)/(1+Г0), (12.13)
I IrtW I Imax
где t/m(z) и U (z) -минимальное и максимальное значе-
I l/этгл1 I Imax
ния модуля полного напряжения.
Часто вместо КБВ используют обратную величину, назы-
ваемую коэффициентом стоячей волны КСВ = 1/КБВ. В линии,
идеально согласованной с нагрузкой, имеется только падающая
волна (отраженная волна отсутствует) Го=О; КБВ=КСВ = 1. Такой
режим работы линии называют режимом бегущей волны. При
полном отражении падающей волны от нагрузки, когда U0OT₽ = U0riafl,
Го = 1, КБВ = 0, КСВ=оо. Такой режим называют режимом стоячей
волны.
364
Следует отметить, что изображенная на рис.12.3 зависимость
получена в пренебрежении тепловыми потерями в линии. В этом
случае как модуль коэффициента отражения | r(z)|, так и вели-
чины КСВ и КБВ не изменяются вдоль линии. При учете тепловых
потерь в линии (сс^О) в формулах (12.6)-(12.11) следует заменить
р на -iy, где у = а + 1р1-коэффициент распространения рассмат-
риваемой волны в линии. При этом амплитуды напряжений, соот-
ветствующих падающей и отраженной волнам, экспоненциально
убывают вдоль направления распространения волны в линии.
Коэффициент отражения {12.8) вычисляется по формуле
Г(?) = Г0 ехр (!ц/0)ехр(-2az)exp(-2ip1 z). (12.14)
Поскольку в данном случае | Г (z) [ = Го ехр (-2az), то в (12.12)
следует заменить Го на roexp(-2az) и р на рг Распределение
модуля полного напряжения вдоль линии с учетом тепловых
потерь построено на рис. 12.4 (пунктирная линия).
В линии с тепловыми потерями КБВ следует определять как
отношение обязательно соседних минимального и максимального
значений модуля полного напряжения. При удалении от нагрузки
величина максимумов уменьшается, а минимумов возрастает, т.е.
КБВ возрастает. Режим работы такой линии можно характери-
зовать двумя значениями КБВ; у нагрузки (КБВН) и у генератора
(КБВГ), которые связаны формулой [29]:
КБВ _С1+КБВн)-(1-КБВн)ехр(-2а1)
г (1+КБВн)+(1-КБВн)ехр(-2а£)' 1 ’ 1
Из {12.13) следует связь между Го и КБВН:
Г0=(1-КБВн)/(1+КБВн). (12.16)
Еще одной важной характеристикой процесса передачи энер-
гии от генератора в нагрузку с помощью линии является ко-
эффициент полезного действия (КПД), равный отношению сред-
365
ней мощности Рсрн, поступающей в нагрузку, к средней мощности
Рсрпад, переносимой падающей волной в начале линии (при z=£).
Если в линии отсутствует отраженная волна, то вся мощность,
переносимая падающей волной в точках подключения нагрузки,
поступает в нагрузку, т. е.
Р^-Р^адехр(-2аП- (12.17)
Согласно (12.11) появление отраженной от нагрузки волны
приводит к дополнительному уменьшению средней мощности, по-
ступающей в нагрузку, в 1Д1-Гог) раз. Используя (12.17), запишем
формулу для КПД:
КПД = ехр(-2а£)(1-Г02) = [4КБВН exp (-2ct£)]/(1 +КБ Вн)2. (12.18)
Определим среднюю мощность тепловых потерь в линии (см.
рис.12.1,а):
Р£т=Рф-Р;. (12.19)
где Рсрвх-средняя мощность, поступающая от генератора на вход
линии; она равна средней мощности, отдаваемой генератором
падающей волне Рсрлад минус средняя мощность Рсрот₽, пере-
носимая отраженной волной при z=f (предполагается, что гене-
ратор идеально согласован с линией). Поэтому
= Р™-Р™\г=( =01"го ехр(-4аг)). (12.20)
Подставляя (12.20) и (12.17) в (12.19), получаем
Р™ =Р^([1-Го ехр(-4а£)]-(1-Гд)ехр(-2af)). (12.21)
На рис.12,5 показаны
рассчитанные по (12.18) и
(12.21) графики зависимо-
сти КПД и отношения
Р^/Р^ от КБВН при раз-
ных значениях полного за-
тухания линии а£[дБ]. Как
видно, полная передача
энергии от генератора в
нагрузку (КПД=1) будет
при идеальном согласо-
вании нагрузки с линией
(Го = 0 и КБВн = 1) и отсут-
ствии потерь в линии
366
(а^=0). Отметим, что даже при отсутствии потерь в линии при
КБВН<1 КПД<1 из-за отражения части мощности от нагрузки.
Как уже отмечалось, максимальная величина мощности, кото-
рую может переносить падающая волна, ограничена тем зна-
чением, при котором в линии происходит электрический пробой
или разрушение диэлектрического заполнения (тепловой пробой).
При возникновении пробоя передача энергии по линии прек-
ращается. Наличие отраженной волны в линии приводит к появ-
лению в ней областей с повышенным значением напряжения (см.
рис.12.3) по отношению к напряжению падающей волны, что
приводит к уменьшению электрической прочности линии. Напри-
мер, при полном отражении от нагрузки (Го = 1) пробой в линии
наступает при мощности падающей волны, составляющей 0,25
мощности падающей волны, приводящей к пробою в согласо-
ванной линии, когда Го = 0. Нередко волна, отраженная от нагрузки,
оказывается причиной затягивания частоты генератора, питаю-
щего линию, при этом генератор начинает работать на частоте,
несколько отличающейся от требуемой. Таким образом, при
передаче энергии от генератора к нагрузке с помощью линии
наиболее выгоден режим бегущей волны в линии, когда Го = О и
КБВН = 1. В этом случае отсутствуют потери энергии на отражение,
КПД максимален и зависит только от потерь, в линии рассеивается
наименьшая мощность, электрическая прочность максимальна,
нагрузка на генератор активна и не зависит от длины линии.
12.1.3. Полное эквивалентное сопротивление линии
передачи
Процесс распространения волн в линии передачи, нагру-
женной на произвольное сопротивление ZH, может характери-
зоваться с помощью полного эквивалентного сопротивления
линии Zn(z), которое в заданном сечении линии равно отношению
комплексных амплитуд полного напряжения и полного тока в этом
сечении. Используя (12.9) и (12.10), запишем формулу, связы-
вающую полное сопротивление с коэффициентом отражения в
произвольном сечении линии:
Zn(z) = Um(z)//m{z) = ZB[1 + r(z)]/[1-r(z)]. (12.22)
В сечении, в котором подключена нагрузка (z = 0),
Zn(0) = ZH = ZB[1 + r(0)]/[1-Г(0)]. (12.23)
Из (12.23) следует формула, которая позволяет определить
модуль г0 и аргумент ц/0 коэффициента отражения по известной
величине ZH;
Г(0) - (ZH - ZB)/(ZH + ZB). (12.24)
367
Подставляя в (12,22) выражение (12.14) и учитывая равенство
(12.24), запишем формулу для вычисления полного эквивалент-
ного сопротивления в произвольном сечении линии:
Zn(z) = ZB(ZH +ZB th (yz))/(Za + ZH th(yz)). (12.25)
Поскольку Y = a + ip1t to th(yz) принимает комплексные
значения. При численных расчетах с помощью (12.25) можно ис-
пользовать формулу
th (yz) = thlfa + ijJJz] = {sh(2az) + isin(2jj1 z))/{ch(2az) + cos(2p1 z)},
Если пренебречь тепловыми потерями в линии (а = 0 и pi = р),
что обычно справедливо для коротких отрезков линии, то (12.25)
можно упростить:
Zn(z) = Ze(Z, +iZB tg (Pz))/(ZB+ iZH tg(pz)). (12.26)
Отметим, что полное сопротивление в произвольном сечении
линии называют эквивалентным, поскольку если линию рассечь в
этом сечении, то входное сопротивление образовавшегося справа
от сечения отрезке линии, нагруженного на Zh (рис.12.6), будет равно
полному сопротивлению линии в этом сечении, т.е. ZbX=Zb(z).
Часто при вычислении сопротивлений (полных, входных и
т.д.) используют их нормированные значения, т.е. отнесенные к
некоторому нормировочному сопротивлению ZBH; например, нор-
мированное полное сопротивление zn(z) = Zn(z)/ZBH, нормиро-
ванное волновое сопротивление линии zB=ZBZZaH1 нормированное
сопротивление нагрузки zH = ZH/ZBH. Как правило, для рас-
сматриваемой линии (см. рис.12.1,а) выбирают ZBH=ZB, при этом
zB = 1. Однако в некоторых случаях, например если цепь СВЧ
включает каскадное соединение нескольких отрезков линий с
разными волновыми сопротивлениями, в качестве для всей
цепи выбирают ZB одного из них.
В ряде случаев удобно оперировать не полным эквивалент-
ным сопротивлением в произвольном сечении линии, а полной
эквивалентной проводимостью в этом сечении:
yn(z) = 1/Zn(z) (12.27)
или нормированной полной эквива-
лентной проводимостью: i^z^l/z^z).
Полное эквивалентное сопроти-
вление в заданном сечении линии
зависит от расстояния между этим
сечением и нагрузкой. Поэтому отре-
зок линии длиной t (см.рис.12.6)
можно использовать для трансфер-
Рис.12.6
368
мации (преобразования) величины сопротивления нагрузки Z^.
Например, при а = 0 входное сопротивление ZM отрезка линии
длиной £ равно полному сопротивлению, рассчитываемому по
(12.26) при z=t. Аналогично по (12.25) при z=£ можно рассчитать
входное сопротивление отрезка с учетом тепловых потерь в нем.
Как следует из (12.26), при Zh = Ze входное сопротивление отрезка
равно ZB при любой его длине I и любой рабочей частоте.
Рассмотрим некоторые частные случаи трансформирующих
отрезков.
1. Короткозамкнутые и разомкнутые на конце отрезки
линии (реактивные шлейфы). На рис.12.7 и 12.8 показаны
отрезки эквивалентной линии, называемые реактивными шлей-
фами, на конце которых или режим холостого хода (XX) при ZH==o
(рис.12.7) или режим короткого замыкания (КЗ) при ZH=0
(рис.12.8). Волновое сопротивление отрезков линии равно ZE. Из
(12.24) следует, что в случае XX на конце линии Г(0) = 1, т.е. Го = 1,
1|>о=0;ав случае КЗ Г(0)=-1, т.е. Го=1, Падающая волна,
распространяющаяся по реактивному шлейфу, полностью отража-
ется от его конца; при этом в шлейфе устанавливается режим
стоячей волны. Входное сопротивление шлейфов при а = 0 можно
определить из (12.26), подставляя z=f:
Z“=iZatg(pf) и Z” =-iZa ctg(pf). (12.28).
Как видно, входное сопротивление чисто реактивное, т.е. либо
индуктивное либо емкостное, и зависит от длины отрезка и
рабочей частоты.
Из формул (12.28) следует соотношение Z“Z™ =Za, позво-
ляющее по известным (например, измеренным) входным сопро-
тивлениям отрезка в режимах КЗ и XX определить волновое
сопротивление отрезка.
Отметим, что режим КЗ для отрезков реальных линий можно
осуществить, поместив в конце металлическую пластину, располо-
женную перпендикулярно продольной оси линии и имеющей кон-
J ' -j
- 2.
I
Л------------е
холостой
короткое
замыкание
ZH= О
Рис. 12.7
Рис. 12.8
24-45
369
контакт с ее стенками. В полосковых линиях режим, близкий к
режиму короткого замыкания, можно обеспечить, соединяя полоску
с экранирующими пластинами с помощью металлического провод-
ника (перемычки). В случае линий с THW-волной, поперечные
размеры которых достаточно малы по сравнению с длиной волны,
режим, близкий к режиму XX, можно обеспечить путем обрыва
линий. В линиях с волнами Е или Н такой режим обеспечить не
удается. Отрезок любого волновода, открытый на конце, при
распространении по нему Е- или Н-волн имеет эквивалентную
схему, показанную на рис.12.6, поскольку часть мощности, пере-
носимая падающей волной, будет излучаться в открытое прост-
ранство, а оставшаяся часть будет отражаться от открытого конца
отрезка обратно, т. е. в этом случае Го< 1.
2. Четвертьволновый отрезок линии передачи. Если длина
отрезка /=А/4,величина р£=л/2,при этом входное сопротивление отрезка
ZBX=Za2/ZH и ZBK=Za2XH, (12.29)
где XH=1/ZH, или в нормированном виде при ZBH=ZB имеем
zBX=1/zH или ?ах = Ун' Такой отрезок называют четвертьвол-
новым трансформатором или инвертором сопротивления, пос-
кольку его входное сопротивление пропорционально проводи-
мости нагрузки, подключенной к его концу. Для четвертьволнового
реактивного шлейфа из (12.28) следует, что Z“ = да, a Z^ = 0.
Поэтому в линиях с raW-волнами режим КЗ в конце линии можно
обеспечить либо закоротив проводники, либо подключив к концу
линии четвертьволновый отрезок, разомкнутый на конце. Хотя
второй способ выглядит менее привлекательно, при проектиро-
вании устройств на основе полосковых линий его применяют
намного чаще. При этом не нарушается плоская форма конст-
рукции и не требуются дополнительные технологические операции
для установки металлической перемычки между полоской и экра-
нами, как в первом случае.
3. Полуволновый отрезок линии передачи. Для отрезка
линии длиной £=А/2 (см. рис.12.6), называемого полуволновым
трансформатором, величина р<=л; его входное сопротивление
Zbx = Zh, т.е. такой отрезок при любом ZB на расчетной частоте
трансформирует сопротивление нагрузки само в себя.
12.1.4. Круговая диаграмма полных сопротивлений
Основные параметры, характеризующие процессы передачи
энергии по линии с волновым сопротивлением ZB, нагруженной на
произвольное сопротивление Zh, можно определить по формулам
370
(12.14) и (12.25). Однако работа с комплексными числами, наличие
гиперболических функций от комплексного аргумента в формуле
(12.25) усложняют расчеты. Если требуемая точность вычислений
не превышает двух значащих цифр, расчеты существенно упро-
щаются при использовании круговой диаграммы полных сопро-
тивлений. Диаграмма основана на графическом представлении
коэффициента отражения r(z) и нормированного полного эквива-
лентного сопротивления z^z) = Zn(z)/ZB в произвольном сечении
линии передачи. Эти параметры связаны вытекающим из (12.22)
соотношением
r(?) = [zn(z)-1]/[zn(z) + 1]. (12.30)
Подставляя в (12.30) выражения r(z) = u + iv, и zn(z) = r+ix,
преобразуем (12.30) в систему двух уравнений:
г (U-1J-XV = -(и+1),
yv+x(t/-1) = -v'.
Разрешая эту систему уравнений относительно г и х, получаем:
v2+[u-r/(1 + r)]2 =1/[(1 + г)]2, (12.31)
(м-1)2 +[1/-W =1А2. (12.32)
Равенство (12.31) в прямоугольных координатах и, v опре-
деляет семейство окружностей с центрами в точках и =r/(1 +r), v = 0
и радиусами, равными 1/(1+г). Эти окружности показаны на
рис. 12.9. Каждой окружности соответствует определенное зна-
чение активной части полного нормированного сопротивления (г=
= const). Все окружности проходят через точку с координатами и = 1
и v= 0, а их центры лежат на оси переменной и.
Отметим, что в переводной литературе обычно ось U
располагают горизонтально, а ось V вертикально, что соответ-
ствует повороту диаграммы полных сопротивлений, изображенной
в данной главе, на 90° по часовой стрелке.
24*
371
Рис.12.9 Рис.12.10
Рис.12.11
Равенство (12.32) в декартовых координатах и, v также
определяет семейство окружностей с центрами в точках и = 1,
v=l/x и с радиусами, равными 1А (рис.12.10). Все окружности
проходят через точку с координатами и = 1, v=0, а их центры
лежат на прямой линии, проходящей через эту точку параллельно
оси переменной v. Каждой окружности (рис. 12.10) соответствует
определенное значение реактивной части полного нормированного
сопротивления (х = const). Окружности, лежащие в полуплоскости
и>0, соответствуют положительным (индуктивным) х, а в полу-
плоскости у<0-отрицательным (емкостным) х.
Диаграмма полных нормированных сопротивлений (рис.12.11)
представляет собой круг единичного радиуса, центр которого
расположен в начале координат и, v. В этом круге совмещены оба
семейства окружностей (см. рис.12.9 и 12.10). Значения активного
нормированного сопротивления г указаны на вертикальной оси,
372
проходящей через центр диаграммы, значения реактивного норми-
рованного сопротивления х (индуктивного или емкостного) указаны
по периметру внешней окружности диаграммы. Отметим, что на-
несенная координатная сетка в виде семейств окружностей позво-
ляет изобразить на диаграмме все возможные значения полного
нормированного сопротивления. При этом полное нормированное
сопротивление на диаграмме отображается точкой пересечения
двух окружностей. Одна из них принадлежит семейству, изобра-
женному на рис.12.9 и соответствует активной части сопротив-
ления, а другая - семейству, показанному на рис. 12.10, и соответ-
ствует его реактивной части. Поскольку коэффициент отражения в
любом сечении линии связан с полным нормированным сопро-
тивлением в этом сечении равенством (12.30), то каждая точка
диаграммы соответствует также определенному коэффициенту
отражения. Для отсчета модуля (величины) и аргумента (фазового
угла) коэффициента отражения на диаграмме используется поляр-
ная система координат с началом в центре диаграммы. Для
отсчета модуля коэффициента отражения используется ради-
альная шкала (рис. 12.12), на которую наносятся значения от 0 до
1. Поэтому расстояние от точки диаграммы до центра, отсчитанное
по радиальной шкале, соответствует модулю коэффициента
отражения, отображаемого данной точкой. Поскольку модуль
j r(z)| и КБВ связаны равенством (12.13), то на радиальную шкалу
наносят также значения КБВ от 1 в центре диаграммы до 0 на ее
внешней окружности (см. дополнительные вертикальные оси на
рис.12.12). Иногда на диаграмму наносят семейство концент-
рических окружностей (рис. 12.12), каждая из которых является
геометрическим местом точек, имеющих заданные значения мо-
дуля [r(z)| или КБВ. Для отсчета аргумента коэффициента отра-
жения используется азимутальная шкала (рис.12.12), на которую
нанесены значения аргумента в пределах от -180° до +180°. Для
определения значения аргумента,
диаграммы, следует из центра
диаграммы провести через дан-
ную точку прямую до пересе-
чения с азимутвльной шкалой и
по последней отсчитать значе-
ние аргумента.
Для точного вычисления ко-
эффициента отражения Г(?) и
полного нормированного сопро-
тивления z;,(z) в произвольном
сечении линии с координатой
z=Zi (см.рис.12.1,а) по известным
соответствующего данной точке
Рис.12.12
373
величинам в каком-либо сечении с координатой z=z2 (например,
на конце линии при z2 = 0) для случая а = 0 можно воспользоваться
формулами (12.30), ('12.26), заменив в них z на f, где l=zy-z2-
расстояние меящу рассматриваемыми сечениями. В этом случае
при перемещении по линии от сечения к сечению изменяется лишь
аргумент коэффициента отражения, а его модуль остается неиз-
менным. Анализ формул показывает, что величины r(z) и z.,(z) при
изменении расстояния f изменяются периодически с периодом
Л/2. Поэтому перемещение по линии передачи от одного сечения к
другому отображается на диаграмме движением вокруг ее центра
по окружности постоянного КБВ от одной точки к другой в ту или
иную сторону. Для отсчета проходимого при этом расстояния
используется еще одна азимутвльная шкала, на которую нанесены
значения нормированного расстояния Ж в пределах от 0 до 0,5 и
указано направление перемещения-к генератору (zy>z2) или
нагрузке (z, <z2) (рис.12.11). Например, пусть известно полное нор-
мированное сопротивление zA =rA+ ix» в некотором сечении линии;
этому сечению на диаграмме соответствует точка А (рис. 12.13). Из
центра диаграммы через точку А проводим пунктирную окружность
и по радиальной шкале находим КБВ-i в линии. Прямая из центра
диаграммы через точку А пересечет азимутальную шкалу в точке
В, что позволяет отсчитать (?/Л}А для заданного сечения линии.
Чтобы определить полное нормированное сопротивление в сече-
нии линии, отстоящем от заданного на расстояние А//Л в сторону
генератора, вычисляем для нового сечения нормированное рас-
стояние (MV)D= (//Л)д+Д^/Л и, откладывая его на азимутальной
шкале, получаем точку С. Проводим прямую, соединяющую С с
центром диаграммы. При ее пересечении с пунктирной окруж-
ностью образуется точка D, соответствующая новому сечению
линии. На диаграмме для точки D отсчитываем zD = rD+ixD.
Как видно из диаграммы,
перемещению вдоль линии пе-
редачи от зеданного сечения
(точка А на рис. 12.13) на рас-
стояние Л(7А=0,5 соответствует
перемещение по диаграмме от
точки А по пунктирной окруж-
ности на 360°, в результате чего
мы снова попадаем в точку А,
совершая один оборот вокруг
центра диаграммы. Значит, точ-
ка А на диаграмме соответст-
вует не одному, а многим сече-
Рис. 12.13
374
ниям линии передачи, отстоящим друг от друга на расстояние,
равное целому числу полуволн в линии. Причем в пределах длины
отрезка, равной половине длины волны в линии, есть два сечения,
в которых полное нормированное сопротивление чисто активно.
Этим сечениям на диаграмме соответствуют точки М и N
(рис.12.13). В сечении линии, которому соответствует точка М,
аргумент коэффициента отражения Г(г) равен ±180°, поэтому в
этом сечении напряжения падающей и отраженной волн находятся
в противофазе, вследствие чего в этом сечении формируется
минимум полного напряжения (см. рис. 12.3). При этом полное
нормированное сопротивление чисто активно: zM=rM, где гм = КБВ1,
а хм= 0. В свою очередь в сечении, которому соответствует точка
N, аргумент коэффициента отражения F(z) равен 0°, поэтому в
этом сечении напряжения педающей и отраженной волн находятся
в фазе, вследствие чего в нем формируется максимум полного
напряжения (см. рис.12.3). Полное нормированное сопротивление
чисто активно и равно zN=rw, где rN= КС Вт =1/КБВ,, a xw=0.
С помощью диаграммы полных сопротивлений можно опре-
делить не только полное нормированное сопротивление в произ-
вольном сечении линии, но и полную нормированную проводи-
мость. Как следует из (12.29), нормированное входное сопротив-
ление четвертьволнового отрезка численно равно нормированной
проводимости нагрузки, подключенной к его концу. В этом случае
полная нормированная проводимость уА = ^/zA = дА+'\ЬА в неко-
тором сечении (точка А на рис.12.13) равна полному нормиро-
ванному сопротивлению zF=rF+\xF в сечении (точка F на
рис.12.13), отстоящем от исходного на расстояние А^/Л=0,25, т.е.
Уд =zF или 9а=^, a bA=xF. Это означает, что диаграмма полных
нормированных сопротивлений может использоваться и как диаг-
рамма полных нормированных проводимостей.
С помощью диаграммы полных нормированных сопротив-
лений можно проводить и более сложные расчеты, например опре-
делять r(z) и zn(z) в произвольном сечении линии с учетом
потерь в линии передачи или использовать диаграмму при отри-
цательных значениях активной части комплексного сопротивления,
например, если линия нагружена,на активный полупроводниковый
элемент (туннельный диод, диод Ганна, полевой транзистор и т.д.)
при проектировании усилителей и генераторов. Более подробно о
применении круговой диаграммы см. [30].
375
12.2. ПРОБЛЕМА СОГЛАСОВАНИЯ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
12,2.1. Методы согласования линии передачи с нагрузкой
Линия называется идеально согласованной с нагрузкой, если
в ней отсутствуют отраженные волны. Однако при передаче по
цепи СВЧ сигналов, занимающих определенную полосу частот,
обеспечить идевльное согласование линии с нагрузкой во всей
требуемой полосе частот практически невозможно, Поэтому при
проектировании зедают допустимый уровень рассогласования в
требуемой полосе частот Af=f2-A. Этот уровень определяют
величиной Гдоп или КБВД0П так, чтобы при fi<f<f2 выполнялось
соотношение | T(z) | < Гда1 или КБВйКБВД0П. Линии, в которых вы-
полняются эти неравенства, называются согласованными с наг-
рузкой. Интервал частот Af называют полосой согласования.
Иногда говорят об относительной полосе согласования A/oTH=Aj5fO1
где fo = (A+^)/2. Эту величину можно вычислять в процентах:
Afom%=AfOTH-100%.
Параметры Гдот и КБВД0П зависят от назначения и условий
работы линии. Например, в линии передачи, соединяющей редио-
вещательный длинноволновый передатчик с передающей антен-
ной, стараются обеспечить симметричную относительно несущей
частоты амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) коэффици-
ента отражения в полосе AfOTH% = 10% при КБВДОП«0,8...0,9.
Нарушение этих требований приводит к недопустимым нелиней-
ным искажениям передаваемого сигнала. В спутниковых системах
связи, работающих в сантиметровом диапазоне волн, высокая
степень согласования (КБВД0П~ 0,95) необходима для обеспечения
электромагнитной совместимости одновременно работающих
стволов (каналов).
Рассмотрим схему согласования произвольной нагрузки ZH с
линией (рис. 12.14). Согласующее устройство должно устранить
отраженную от нагрузки волну. Эту задачу можно решить двумя
способами: либо поглотить отраженную волну в согласующем
устройстве (при этом педающая волна должна проходить через
устройство без заметного затухания), либо погасить (комленси-
Z
2
-0-
2
__________1.----1
----------------н-
сотасующее —> —
устройство Umfl иГ
---------------------Л-
1 ZB
ZH
Рис. 12.14
376
ровать) волну, отраженную от нагрузки, волной, отраженной от
согласующего устройства. Во втором случае нужно, чтобы амп-
литуды волн напряжений, отраженных от нагрузки и от согла-
сующего устройства, были равны, а их фазы отличались на л.
Первый метод согласования основан на применении либо мос-
товых схем, либо невзаимных ферритовых устройств: вентилей
или циркуляторов (см. гл. 14).
Отметим, что поглощение вентилем отраженной волны не
зависит от характера нагрузки, вызвавшей эту волну. Поэтому
создание вентилей и циркуляторов, работающих в широкой полосе
частот, решает задачу широкополосного согласования произ-
вольных нагрузок. Недостатком согласования с помощью вентилей
и циркуляторов является более низкий КПД по сравнению с
согласующими схемами, использующими второй метод согласо-
вания, что связано с тем, что мощность, переносимая отраженной
волной, полностью рассеивается в вентиле. Согласующие уст-
ройства, основанные на методе компенсации, состоят из реак-
тивных элементов и при соответствующем выполнении практи-
чески не вносят потерь. При этом отраженная от нагрузки волна не
поглощается, а отражается согласующим устройством обратно к
нагрузке, где переносимая ею мощность частично поступает в
нагрузку, а частично опять отражается в сторону согласующего
устройства. В результате подобных многократных отражений вся
мощность, переносимая падающей волной по линии, поступает в
нагрузку.
Различают согласующие схемы, обеспечивающие узкополос-
ное и широкополосное согласование нагрузки с линией передачи.
12.2.2. Узкополосное согласование с помощью
реактивных элементов
Параметры схемы, обеспечивающей узкополосное согласова-
ние, определяют из условия обеспечения идеального согласо-
вания (Го=О, КБВ = 1) на заданной частоте. В данном случае
полоса согласования не контролируется. Она определяется или из
анализа синтезированной схемы или экспериментально. При этом
относительная полоса согласования может находиться в очень
широких пределах (от сотых долей процента до нескольких
десятков процентов) и зависит от КБВДОП и частотных свойств
нагрузки. Как следует из (12.24), при подключении к линии с
волновым сопротивлением ZB нагрузки ZH=ZE, z„ = 1 величина
Го = О, т.е. в линии отсутствует отраженная волна, при этом
согласно (12.22) во всех сечениях линии полное нормированное
сопротивление гп(г) = 1 и полная нормированная проводимость
Уп(2) = 1.
377
Одним из простейших устройств,
обеспечивающих узкополосное согласо-
вание нагрузки Z, = /?H + iXH с линией,
имеющей волновое сопротивление ZB,
является неоднородность, помещенная в
линию на некотором расстоянии от
нагрузки. Пренебрегая вносимыми поте-
рями, неоднородность можно рассмат-
ривать как реактивное сопротивление
iХсогл или реактивную проводимость
iBcorn = 1/(iXcorn). На рис.12.15,а показана
эквивалентная схема с параллельным, а
на рис.12,15,б-с последовательным
включением в линию согласующей неод-
нородности. Введем нормированные зна-
чения для всех сопротивлений и Прово-
жен — ZB . ZH — ZH /ZB = Гц + i XH, I Хсогл — < ^согл^в^
Zn2 Zpf
б)
Рис, 12.15
димостей, выбрав
i Ьсотл=i Всотл/Yb = t STOrnZB. Предполагаем, что расстояние между се-
чениями 1-1 и 2-2 много меньше длины волны в линии и можно
считать ^=0. Рассмотрим согласующую схему, изображенную на
рис.12.15,а. Поскольку согласующий элемент включается в линию
параллельно, то удобнее оперировать с полной нормированной
проводимостью в сечении линии. Пусть полная нормированная
проводимость в сечении 1-1 равна Уп1=?1 + ibi, тогда в сечении 2-2
полная нормированная проводимость будет равна b2=?i + ibcon,=
=gi + i (bi+Ьсогп). Волна, распространяющаяся по линии, не будет
испытывать отражение в сечении 2-2 (Го = 0), если в этом сечении
Уп2=1; Для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство
g1 + i(b1+dcom) = 1, откуда получаем gt=1 и bcorn=-bi. На этом
основании величина вычисляется с помощью (12.26) из условия,
чтобы активная часть полной нормированной проводимости в
сечении 1-1 была равна 1, а величина была равна взятой с
обратным знаком реактивной части полной нормированной про-
водимости в сечении 1-1.
Рассмотрим расчет величин и Ьсогл (см. рис.12.15,а) с
помощью диаграммы. Пусть точка А (рис.12.16) соответствует
сечению линии, в котором подключена нагрузка, а также сечениям
линии, отстоящим от него на расстояние, равное целому числу
полуволн в линии. Во всех этих сечениях полное нормированное
сопротивление z„ = zH = rH + ixH. Пунктирная окружность, проходящая
через точку А, соответствует KBBj (см. рис.12,13). Перейдем к
диаграмме полных нормированных проводимостей. На этой
диаграмме сечению, в котором подключена нагрузка, соот-
ветствует точка М, образующаяся перемещением из точки А по
378
пунктирной окружности на рас-
стояние АМ\ = 0,25. Отсчитаем по-
лную нормированную проводи-
мость в точке М, равную нормиро-
ванной проводимости нагрузки
УМ = УН. ?M + ibM = ?H+ibH. Прово-
дим из центра прямую через точку
М до пересечения с азимута-
льной шкалой (точка D). Пере-
мещаясь по той же пунктирной
окружности из точки М в сторону
генератора, находим точки пере-
сечения В и С этой окружности с
окружностью, проходящей через
центр диаграммы (ей соот-
ветствует активная нормированная проводимость д=1). Проводим
из центра прямые через точки В и С до пересечения с ази-
мутальной шкалой (точки Е и F). По азимутальной шкале опре-
деляем расстояния DE и DF, соответствующие двум значениям
^/Л. По найденным значениям ^/Л, предварительно вычислив Л
для заданной частоты, можно рассчитать расстояние от нагрузки
(или от сечения линии, в котором полное сопротивление равно
сопротивлению нагрузки) до сечений линии, соответствующих точ-
кам В и С, в которых следует параллельно подключить согла-
сующий элемент. По диаграмме определяем величину полной
нормированной проводимости, соответствующую точкам В и С:
ys =1+ i Ьв; Ус = 1 + i Ьс, причем поскольку точки В и С расположены
симметрично относительно горизонтальной прямой, проходящей
через центр диаграммы, то Ьв=-Ьс- Реактивность согласующего
элемента, подключаемого к линии, должна компенсировать реак-
тивную часть полной проводимости в сечении подключения, т.е.
для сечения, которому соответствует точка В, Ь^^-Ьв или
Xcorn = ZB4)Sl а для сечения, которому соответствует точка С, Ьсогл=-Ьс
или XC0rn = ZB/bc. Как следует из сказанного, в пределах полуволны
от нагрузки (или от любого сечения, отстоящего от нагрузки на
целое число полуволн в линии) адоль линии имеются два сечения
(точки В и С на диаграмме), в которых можно поместить сог-
ласующую неоднородность, причем требуемая для согласования
эквивалентная реактивность неоднородности в этих сечениях
имеет разный знак, т.е, если в одном сечении необходимо под-
ключить индуктивный элемент, то в другом-обязательно емко-
стной и наоборот.
Обычно стараются включить согласующую неоднородность
как можно ближе к нагрузке, т.е. выбрать минимальное значение
Этим преследуют две цели: во-первых, повышают КПД линии,
379
поскольку при наличии тепловых потерь в линии чем меньше
тем меньшее затухание испытывает отраженная от нагрузки
волна; во-вторых, уменьшение приводит к увеличению полосы
согласования при заданном КБВД0П- Последнее обстоятельство
связано с тем, что отраженные волны от нагрузки и от неодно-
родности полностью компенсируют друг друга лишь на расчетной
частоте, где они имеют сдвиг по фазе, равный л; при отклонении
частоты от расчетной этот сдвиг будет отличаться от л, и отличие
тем больше, чем больше величина
В согласующей схеме (см. рис.12,15,6), где согласующий эле-
мент, имеющий нормированное сопротивление zCorn = i ХсоГЛ1 под-
ключается последовательно к линии, длина отрезка вычис-
ляется с помощью (12,26) или с помощью диаграммы из условия,
чтобы активная часть полного нормированного сопротивления в
сечении 1-1 была равна 1, в этом случае Zi=1 + ixv Величину
выбирают из условия Xcorn=-Xi. При этом в сечении 2-2 полное
нормированное сопротивление равно 1, что и обеспечивает
отсутствие отраженной волны на участке от сечения 2-2 до
генератора.
В рассматриваемых схемах при использовании линий с ТЕМ-
волнами на сравнительно низких частотах в качестве согласующих
элементов используют элементы с сосредоточенными парамет-
рами (конденсаторы или индуктивности). На более высоких
частотах, где затруднено использование подобных элементов,
применяют элементы с распределенными параметрами, например,
реактивные шлейфы, позволяющие, как видно из (12.28), обес-
печить любое значение индуктивного или емкостного входного
сопротивления на расчетной час-
тоте. На рис.12.17 показаны экви-
валентные согласующие схемы,
использующие параллельное под-
ключение шлейфов с режимами
холостого хода и короткого замы-
кания на конце. Величины Ц и ХСОгй
рассчитываются по рассмотренной
выше методике для схемы (см.
рис.12.15,а). Затем, выбрав волно-
вое сопротивление шлейфа ZBum,
определяем или из (12.28) или с
помощью диаграммы длину шлей-
фа бил, при которой величина
входного сопротивления шлейфа
равна Хсогл.
Рис.12.17
380
В волноводных линиях передачи в качестве согласующих
элементов схем (см. рис.12.15) обычно используют малогаба-
ритные неоднородности-реактивные штыри или реактивные
диафрагмы (см.12.5).
12.2.3. Согласование с помощью четвертьволнового
трансформатора
Для согласования линии передачи с волновым сопротив-
лением ZB с нагрузкой ZK на ее конце между ними включается
отрезок линии передачи длиной ^тр=Л/4 с волновым сопро-
тивлением (рис.12.18, а), который называют четвертьвол-
новым трансформатором. Пренебрегая тепловыми потерями в
линии, входное сопротивление четвертьволнового трансформа-
тора, нагруженного на ZH, можно вычислить по (12.29). Если
подобрать Z,p так, чтобы его входное сопротивление ZBX=ZE, а это
выполняется при ZTp=^ZBZH, то в линии передачи не будет
отраженной волны. Поскольку ZB и ZTp являются действительными
числами, то четвертьволновый трансформатор может согласовы-
вать лишь чисто активные сопротивления нагрузки ZK.
При распространении падающей волны в линии (рис.12.18,а)
в первом приближении будут возникать две отраженные волны:
одна в месте соединения линии с трансформатором (сечение 1-7),
вторая-в месте соединения трансформатора с нагрузкой (сече-
ние 2-2), причем относительный сдвиг по фазе между отражен-
ными волнами в линии равен л, что достигается выбором длины
^тр=Л/4. Выбирая ZTP = ^ZBZti, обеспечиваем равенство амплитуд
отраженных волн, что приводит к их компенсации в линии, т.е. к
согласованию линии с нагрузкой.
Четвертьволновый трансформатор можно использовать для
согласования комплексной нагрузки ZH=RH+iXH с линией пере-
дачи. В этом случае трансфор-
матор включают на некотором
расстоянии от места подклю-
чения нагрузки к линии (рис.12.18,б).
Длину £1 вычисляют или по (12.26),
или с помощью диаграммы таким
образом, чтобы полное сопротив-
ление в сечении 2-2 было чисто
активным: Z2=f?2, а Хг = О. Пос-
кольку нагрузкой для трансфор-
матора в этом случае является
R2, то его волновое сопротивле-
ние должно быть равно Z^, = y/ZaR2.
Л/4.
Zb Zjp
—T*
zh-Rh
3
Zb Z
2
a)
Zh- Rr+ i Хн
381
ЛS\\ К недостаткам согласования с помощью
ji b2 четвертьволнового трансформатора можно
п отнести трудность подстройки трансфор-
матора после изготовления, а также необхо-
димость использования отрезка линии пере-
а дачи с волновым сопротивлением, отличным
Рис 1219 от волнового сопротивления согласуемой
линии. Последний недостаток несуществен
при проектировании полосковых трактов, од-
нако может вызвать определенные трудности при проектировании
коаксиальных трактов, в которых желательно использовать выпус-
каемые промышленностью коаксиальные кабели.
Отметим, что при согласовании волноводов с помощью чет-
вертьволнового трансформатора используются волновые сопро-
тивления для соответствующих волн в волноводе. Например, для
согласования двух прямоугольных волноводов, работающих в
одноволновом режиме на волне Н10 и имеющих одинаковые ши-
рокие стенки (а), но разные узкие и й2), используют четверть-
волновый отрезок прямоугольного волновода с поперечными раз-
мерами и Ьтр (рис.12.19). Причем атр=а, величина Ьтр опре-
деляется из равенства Z** = , где волновые сопротив-
ления Z"1’ и Z£w определяются из (12.5). Это позволяет получить
b = Jb,b^.
тр \ 1 2
12.2.4. Широкопл основ согласование нагрузки с линией
В отличие от ранее рассмотренных схем для узкополосного
согласования, при синтезе которых полоса согласования не
контролируется, при проектировании схем, обеспечивающих широ-
кополосное согласование, задаются шириной полосы согласо-
вания Af и величиной ГдоП или КБВДОП. Синтез таких схем проводят
исходя из условия, чтобы на всех частотах полосы Af модуль
коэффициента отражения в линии не превышал Гдоп- Если согла-
суемые сопротивления активны и не зависят от частоты (нап-
ример, сочленение двух линий передачи с разными размерами
поперечного сечения), между ними включают нерегулярный отре-
зок линии передачи, называемый переходом. На рис.12.20 пока-
зана конструкция соединения двух МПП с разными волновыми
сопротивлениями с помощью, перехода. Различают плавные пере-
ходы, в которых размеры поперечного сечения изменяются не-
прерывно вдоль длины отрезка, и ступенчатые, образованные
каскадным соединением регулярных отрезков линии с разными
волновыми сопротивлениями.
382
Рис. 12.20
Ступенчатые переходы. Переходы бывают монотонные,
когда поперечные размеры отдельных отрезков, образующих пере-
ход, или только увеличиваются или только уменьшаются вдоль
перехода (рис.12.20, а), и немонотонные (рис.12.20, б), в которых
отсутствует подобное ограничение. В первом случае электри-
ческие длины всех отрезков перехода выбирают одинаковыми и
равными г/Л=0,25, а их волновые сопротивления должны воз-
растать (убывать) вдоль перехода. Во втором случае обычно для
построения перехода используют отрезки регулярной линии с
фиксированными волновыми сопротивлениями ZTp1 и ZTp2 и раз-
ными длинами f2.......4. На практике немонотонные ступенчатые
переходы находят ограниченное применение и в дальнейшем рас-
сматриваться не будут. Вопросы проектирования таких переходов
изложены в [37].
Рассмотрим монотонные ступенчатые переходы. Простейшим
переходом является четвертьволновый трансформатор. Рассмот-
рим более подробно его принцип действия (см. рис.12.18, а),
полагая, что трансформатор согласует линии передачи с вол-
новыми сопротивлениями ,ZB1 и Zb2. Так как волновые сопротив-
ления в схеме меняются дважды: сначала в сечении 1-1, а затем в
сечении 2-2, то отраженная волна в линии является суперпо-
зицией волн, отраженных от сечений 1-1 и 2-2. Коэффициент
отражения падающей волны в сечении 1-1 согласно (12.24) имеет
вид Г, = (ZTP-ZB1)/[ZTp + ZEl). Пройдя путь £тр до сечения 2-2, волна
получает сдвиг по фазе, равный Ртр£тр, где ртр-коэффициент фазы
волны в линии, образующей трансформатор. В сечении 2-2 коэф-
фициент отражения падающей волны равен r2=(ZB2-ZTp)/[ZB2+ZTp).
Пройдя путь £тр и получив фазовый сдвиг Ртр?тр, вторая отраженная
волна возвращается на вход трансформатора (сечение 1-1). Если
пренебречь повторным отражением части энергии этой волны при
переходе из трансформатора в линию с Zb1, то суммарный
коэффициент отражения от входа трансформатора ГВх = Г1 +
+ Г2ехр (-2ртр4р). Согласование достигается, когда Гвх = 0, т.е.
ззз
когда волны, отраженные от сечений 1-1 и 2-2, противофазны, а
их амплитуды равны. Противофазность отраженных волн обеспе-
чивают, выбирая Лр=А/4 (при этом 2Рт/тр = тг). Волновое сопро-
тивление ZTp находится из условия равенства амплитуд отра-
женных волн I ^ | = | Г21, что позволяет записать (Z^-Zb^Z^+Zbi) =
= (ZB2-ZTp)4ZBZ+ZTp), откуда Z1P = ^Z~Z^. Это совпадает с резуль-
татом, полученным в 12.2.3. Полная компенсация отраженных
волн имеет место лишь на расчетной частоте, так как сдвиг фаз
между ними 2pTp^rp зависит от частоты. При этом чем меньше
отличаются величины Zo1 и Zo2, тем меньше IrJ и |г2| (меньше
амплитуды векторов поля отраженных волн), а значит, и меньше
|ги| при одном и том же отклонении частоты от расчетной. Если
величины Za1 и Zs2 отличаются друг от друга достаточно сильно и с
помощью одного четвертьволнового трансформатора невозможно
получить требуемое согласование в заданной полосе частот, при-
меняют несколько каскадно включенных четвертьволновых транс-
форматоров (рис.12.20,а). Чем большее число трансформаторов
включено, тем шире полоса согласования при фиксированных
значениях Zb1 и Zc2. Чем больше отличаются друг от друга ZE1 и ZB2,
тем большее число четвертьволновых трансформаторов необхо-
димо включить в переход, чтобы не превышался заданный уро-
вень отражений в полосе согласования.
Наибольшее распространение на практике получили ступен-
чатые переходы с чебышевской и максимально плоской амп-
литудно-частотными характеристиками (АЧХ) коэффициента отра-
жения. В случае чебышевского ступенчатого перехода, содер-
жащего п ступенек, АЧХ описывается формулой [34]
| ги ] = I Тп [cos (р 0 / cos (Рн 0] |, (12.33)
где
Тп(*) =
cos (л arccosx)
ch (п arch х)
при | х| <1,
при |х]>1
(12.34)
-полином Чебышева первого рода порядка л; р = 2л/Л; рн = 2л/Лн;
Ан-длина волны в линии на нижней частоте полосы согласования.
Такой переход имеет оптимальные соотношения между поло-
сой согласования, допуском на рассогласование и длиной пере-
хода, т.е. позволяет получить минимальную длину перехода по
сравнению с длиной перехода с иной АЧХ.
Максимально плоская АЧХ ступенчатого перехода, содержа-
щего л ступенек, определяется формулой [34]:
| Ги | = cos(p^)/cos(pj)|n. (12.35)
384
Такой переход не является оптимальным по длине, но в
отличие от чебышевского перехода он не имеет осцилляций коэф-
фициента отражения в полосе согласования и его фазочастотная
характеристика (ФЧХ) коэффициента передачи более близка к
линейной.
На рис.12.21 показаны АЧХ чебышевского (пунктирная линия)
и максимально плоского (сплошная линия) ступенчатых переходов,
имеющих три ступеньки.
Если известны Гдоп и относительная полоса согласования
Л/отн, то количество ступенек в переходе можно рассчитать по
следующим формулам [33]:
для перехода с чебышевской АЧХ
п = arch Cterch (1ZS), (12.36)
где С = (Zb2/Zb1- 1)^1 -ГдОП /[2Гд0 JZ^/Z,, ]; S =&п(ЛД^/4);
для перехода с максимально плоской АЧХ
п = In С/In sin (лЛ^/4), (12.37)
где С, = 2^Ze2/Ze1 ГДИ1 -1)^1 -Гдоп ].
На практике вычисленная по (12.36) или (12.37) величина
округляется до ближайшего большего целого числа. Длина каждой
ступеньки равна четверти длины волны в линии на центральной
частоте полосы согласования. Если переход конструируется из
отрезков линии с дисперсией, в которой фазовая скорость зависит
от частоты, то приближенно длину ступеньки можно определить по
формуле [33] /яЛ1Лг/[2(Л1+AZ), где Ат и Л2-длины волн в линии
на крайних частотах ?| и f2 полосы согласования соответственно
(рис.12.21).
25-45 385
Строгие и приближенные методы расчета волновых сопротив-
лений ступенек для переходов с рассматриваемыми видами АЧХ
описаны в [33]-[35]. Точные формулы для вычисления волновых
сопротивлений отдельных ступенек в переходе получены лишь
для переходов с л <4. Например, в случае двухступенчатого пере-
хода с максимально плоской АЧХ: ZTpi =ZB1M1M, ZTp2 = ZTp1 4м, а с
чебышевской АЧХ: Z^=ZBiA, Ztp2 = Zb1/W/A, где M=Zb1/Zb2, если
ZB1 >Zo2 и M = ZO2ZZB1, если ZB1 <ZB2, A2 = 7d2+G +D, G = sin (nAf0T1/4),
D = (G-1)Ga/[2 (2-G2)].
Для переходов с л>4 точное вычисление волновых сопро-
тивлений ступенек достаточно сложно и, как правило, требует
применения ЭВМ. На практике обычно в этом случае используют
приближенные формулы из [33].
Следует отметить, что в местах стыка отрезков линий с
разными волновыми сопротивлениями образуется неоднород-
ность, которая может быть представлена в эквивалентной схеме
перехода в виде параллельно подключаемой емкости [33]
(рис. 12.22). Как будет показано ниже (см. 12.5), короткий отрезок
линии, последовательно подключаемый в линию передачи (при
условии, что волновое сопротивление отрезка меньше волнового
сопротивления линии), может быть эквивалентно представлен в
виде параллельно подключаемой емкости. Поэтому из-за влияния
неоднородностей стыков полоса согласования реального перехода
оказывается смещенной относительно заданной при расчете по-
лосы в сторону более низких частот из-за увеличения электри-
ческой длины каждой ступени. Для устранения этого явления
ранее определенные длины ступенек уменьшают, пытаясь ском-
пенсировать влияние емкостей в эквивалентной схеме. Умень-
шение длины каждой ступени зависит от величины эквивалентной
емкости. Приближенные формулы для вычисления длины ступенек
можно найти в [33]. Уточненное значение длины ступенек в пере-
ходе определяется или экспериментально или с помощью анализа
схемы ступенчатого перехода с учетом неоднородностей, возни-
кающих в местах стыка отрезков линии с разными волновыми
сопротивлениями.
Плавные переходы, На рис.12.23 показано согласование
двух микрополосковых линий с разными волновыми сопротив-
лениями ZB1 и Zb2 с помощью плавного перехода длиной £, являю-
щегося отрезком нерегулярной линии, поперечные размеры ко-
торой изменяются непрерывно вдоль длины. Обычно увеличение
поперечных размеров линии приводит к уменьшению волнового
сопротивления и наоборот. Меняя соответствующим образом вол-
новое сопротивление вдоль согласующего отрезка, можно обес-
печить достаточно плавное его изменение, что устраняет резкие
336
Рис.12.22
Рис. 12.23
скачки волнового сопротивления при стыке соединяемых линий,
уменьшает величины неоднородностей, а значит, и отражения от
них. Монотонные плавные переходы (см. рис. 12.23) в отличие от
ступенчатых обеспечивают требуемое согласование (!гвх|<Гдол)
на частотах f>6, где fi-граничная частота полосы согласования.
На практике стремятся при заданной величине Гдоп обеспечить по
возможности минимальную длину перехода. Эта задача решается
путем выбора функции изменения волнового сопротивления вдоль
перехода. Одним из наиболее простых и часто используемых на
практике является экспоненциальный плавный переход, для кото-
рого волновое сопротивление ZB вдоль длины перехода изме-
няется по закону [30]
ZB(z) = Za1 expllnfZ^/Z^Jz/d-
В начале перехода (z=0) ZB(0)=ZB1, а в конце (z=£)ZB(^) =ZB2.
Например, при согласовании двух коаксиальных линий с Zo1 и ZB2
(рис. 12.24), имеющих одинаковый диаметр внешнего проводника D
и разные диаметры внутренних проводников и d2, диаметр
внутреннего проводника перехода плавно изменяется от ф до d2
по закону
d(z) = D exp {(- ZH/ 60) exp [In (Z^/Z,,) z / г]}.
Данная формула получена с помощью соотношения (10.49).
25*
387
2 Гвх
Рис. 12.25
В [31] для вычисления мо-
дуля коэффициента отражения
от входа экспоненциального пе-
рехода длиной £. приведена сле-
дующая приближенная формула:
|Гк]=(1/2) I In (Zo2/Za1)|x
X | sin (2лг/ЛИ2лг/Л) |. (12.38)
Выражение (12.38) можно использовать при Zb2ZZb1<3. На
рис.12.25 изображена зависимость величины |2ГВХ/ln(ZB2/ZBl)| от
£/Л. Как видно из рисунка, АЧХ имеет ряд экстремумов, величины
которых уменьшаются по мере увеличения частоты; идеальное
согласование обеспечивается при ^/Л=0,5; 1,0 и т.д. Первый
экстремум коэффициента отражения имеет место при ^=0,72Л и
равен 0,22, поскольку остальные экстремумы меньше, то при
£> 0,41 Л величина 2| < 0,221 Jn (Z^/Z^)|. Приближенно мини-
мально необходимую длину перехода можно найти по формуле
[31] ? =ЛН|In(Z^/Z^)|/[871Гдот], где Лн-длина волны в линии на
частоте ft. Обычно экспоненциальный переход применяют, если
ГДоп> 0,1...0,151 In (Zb2/Zbi) [. При этом переход получается доста-
точно коротким и простым в изготовлении.
На практика применяют плавные переходы и с иными зако-
нами изменения волнового сопротивления вдоль длины перехода:
гиперболические, чебышевские и др. Например, чебышевский
плавный переход получается как предельный случай чебы-
шевского ступенчатого перехода, в котором неограниченно уве-
личивается число ступенек и одновременно стремится к бес-
конечности верхняя частота полосы согласования ft, при этом
длина каждой ступеньки стремится к нулю. Как и в случае сту-
пенчатых переходов, чебышевский плавный переход является
самым коротким из всех плавных переходов при заданных вели-
чинах Гдоп и Zb2/Zbi. Более подробная информация о плавных
переходах имеется в [31, 33, 34].
Если сопоставить частотные характеристики плавных и сту-
пенчатых переходов (см. рис.12.25 и 12.21), то легко заметить, что
у плавных переходов коэффициент отражения на входе умень-
шается по мере увеличения частоты. Следовательно, плавный
переход обеспечивает хорошее согласование в значительно более
широкой полосе частот, чем требуется. Поэтому плавный переход
всегда длиннее, чем ступенчатый, при заданных величинах гДОп,
ZB2/ZB^ и Af.
388
12.3. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ ЦЕПЕЙ СВЧ
При построении математических моделей сложных цепей СВЧ
обычно используют характеристические матрицы. Достаточно об-
щую конструкцию произвольной цепи СВЧ можно представить в
виде сочленения, образованного Л/ линиями передачи, которые
могут быть как одного, так и разных типов. На рис.12.26 показано
такое устройство, содержащее четыре подводящих линии (Л/=4).
Линии передачи используются либо для подвода энергии от
генератора к устройству, либо для подключения к нему внешних
оконечных устройств (полезных нагрузок, поглощающих нагрузок,
короткозамыкающих поршней и т.д.). Для построения математи-
ческой модели рассматриваемого сочленения в каждой подводя-
щей линии выбираем поперечное сечение, расположенное на
некотором расстоянии от места сочленения. Проводим через эти
сечения плоскости Лн (рис.12.26), которые в дальнейшем
будем называть плоскостями отсчета фаз элементов характе-
ристических матриц. Предположим, что расстояние от плоскостей
отсчета до сочленения выбрано так, что в этих плоскостях можно
пренебречь амплитудами нераспространяющихся волн, которые
могут возникать в месте сочленения линий. Рассмотрим уст-
ройство, образовавшееся между плоскостями отсчета. Оно имеет
/V плеч, образованных отрезками линий передачи. Причем каждый
свободный конец этих отрезков линии служит или входом, через
который энергия вводится в устройство, или выходом, через
который энергия выводится из него. Поскольку каждый отрезок
линии может быть представлен отрезком эквивалентной линии,
имеющей два входных зажима (полюса) на входе, то рассмат-
риваемое устройство возможно представить эквивалентным мно-
гополюсником (рис.12.27). Причем если в каждом из W плеч
устройства распространяется лишь один невырожденный тип вол-
ны, то эквивалентный многополюсник имеет 2N полюсов, обоз-
Рис. 12.26
389
Рис.12.27
начаемых 1-1.2-2, ...,N-N. Рассмотрим случай, когда в одном
или в нескольких плечах устройства будут распространяться
несколько типов волн, т.е. линия, образующая такое плечо, ра-
ботает в многоволновом режиме, или линия работает в одно-
волновом режиме, но по ней распространяются вырожденные
волны (например, распространяющаяся по круглому волноводу
волна Иц с круговой поляризацией вектора Е в центре волновода
может быть представлена суммой двух вырожденных распро-
страняющихся волн Нц с линейными взаимно перпендикулярными
поляризациями векторов Е). При этом каждое плечо, в котором
может распространяться несколько типов волн, следует пред-
ставить в эквивалентном многополюснике несколькими входами
или выходами по числу распространяющихся волн в плече; при
этом многополюсник будет иметь 2л полюсов, где л >N.
Заменив линии передачи эквивалентными линиями, а гене-
раторы, оконечные нагрузки, короткозамыкающие поршни их экви-
валентными представлениями, получаем для рассматриваемого
устройства (рис.12.26) эквивалентную схему (рис.12.27), при этом в
каждой эквивалентной линии могут распространяться соответ-
ствующие падающие и отраженные волны напряжений (токов).
Поскольку мощность, переносимая волной напряжения (тока) по
эквивалентной линии, зависит не только от амплитуды напряжения
(тока) волны, но и от волнового сопротивления линии (12.2),
обычно при рассмотрении свойств многополюсника, ко входам
которого могут подключаться линии с разными значениями вол-
390
нового сопротивления, вводят нормированные напряжение u(z) и
ток i(z), распространяющиеся в каждой эквивалентной линии и
связанные с напряжением Um(z) и током /m(z) с формулами
u(z) = Um(z)/^, i(z) = lm(z^Z~B. (12.39)
где ZB - волновое сопротивление эквивалентной линии.
Величины ti(z) и /(z) имеют одинаковую размерность VBt,
поэтому нормированное волновое сопротивление zB эквивале-
нтной линии, в которой распространяются нормированные нап-
ряжение и ток, будет безразмерной величиной, равной 1:
zB=u(z)/f(z) = 1. (12.40)
При этом средняя мощность, переносимая волной по линии,
= 0,5ju(z)|2. (12.41)
Введем в кавдой линии передачи (см. рис.12.26) соответ-
ствующую систему координат так, чтобы продольная ось была
направлена от сочленения, а ее начало было расположено в
плоскости отсчета фаз рассматриваемой линии. При этом начало
отсчета продольных осей Z^,Z2,...,ZN в эквивалентной схеме
(рис.12.27) совмещено с соответствующими полюсами 1-1,2—2,
...,N-N. Будем называть волны, распространяющиеся в плечах в
сторону многополюсника, падающими, а волны, распространяю-
щиеся от многополюсника,-отраженными. Пусть генератор соз-
дает в линии 1, подключенной к плечу 1 многополюсника, па-
дающую волну напряжения. Эта волна, дойдя до сочленения,
будет частично отражаться, вызывая в линии 1 отраженную волну,
а частично, пройдя через многополюсник, поступит на выходы
остальных плеч, вызывая в подключенных к ним линиях отра-
женные волны напряжений. Эти волны, в свою очередь, рас-
пространяясь по линиям, подключенным к плечам 2, 3,.... А/ много-
полюсника, будут в общем случае частично поступать в оконечные
нагрузки, а частично отражаться от них, вызывая в линиях па-
дающие волны напряжения. В свою очередь, падающие волны в
линиях, подключенных к плечам 2,3, будут на входах много-
полюсника частично отражаться от сочленения, а частично про-
ходить через него, вызывая отраженные волны в линиях, под-
ключенных к плечам многополюсника, и т.д. Таким образом, в
кавдой плоскости отсчета устройства (см. рис. 12.26) или на входах
кавдой пары полюсов в эквивалентной схеме (см. рис.12.27) будут
действовать падающая и отраженная волны, которые будем
характеризовать нормированными функциями й"ад и где
j=1, 2, ...,N (рис. 12.28, а). Кавдая из указанных волн представляет
391
а) б)
Рис.12.28
собой суперпозицию волн, соз-
данных как непосредственно
генератором, так и оконечными
нагрузками линий, подключен-
ных к выходам устройства. Сог-
ласно (12.9) и (12.10) в плос-
костях отсчета или на полюсах
многополюсника можно ввести
полные нормированные напря-
жения йп1, й^, ..., unN и токи
/ы./пг.-.'пи (рис.12.28,6).
В общем случае режим ра-
боты каждого входа много-
полюсника можно описать с
помощью двух комплексных величин, например, для /-го входа это
могут быть или й™* и и?отр, или йп; и inj, или и йп? и т.д.
Поэтому можно ввести несколько различных описаний много-
полюсника, считая в каждой выбранной паре одну из величин
независимой, а вторую зависимой. Наибольшее применение в
технике СВЧ при описании свойств многополюсников нашла
волновая матрица рассеяния || S |], устанавливающая связь между
нормированными напряжениями отраженных и падающих волн во
всех плоскостях отсчета устройства или на всех полюсах его
эквивалентной схемы.
Если рассматриваемое М-плечное устройство является пас-
сивным и линейным (содержит лишь линейные среды), то в силу
линейности уравнений Максвелла нормированное напряжение
отраженной волны и?отр в плоскости отсчета /-го плеча (на полюсах
/-/ многополюсника) можно рассматривать как суперпозицию волн,
образовавшихся под воздействием падающих волн в плоскостях
отсчета всех плеч устройства (на всех полюсах многополюсника
при п = W):
ufp = 3/1 “Г* + S j2 "Г"+ + jn «Г, (12.42)
где /=1,2, ^Р(р = 1,2, ...,л/)-безразмерные комплексные ве-
личины, не зависящие от нормированных напряжений падающих и
отраженных волн. Систему из N уравнений (12.42), устанав-
ливающую связь между напряжениями падающих и отраженных
волн на входах многополюсника, удобно записать в матричном
виде:
392
512 S13
~2l S22 S23
S31 —32 §33
Sfi/2 ^N3
$1N
—2W
—3W
(12.43)
или сокращенно || w0Tp| = || S || || ипвд ||, где || wOTp | и || ипал || - матрицы-
столбцы, a ||S||-квадратная матрица (Wx/V), называемая матри-
цей рассеяния.
Передаточные свойства многополюсника полностью опреде-
лены, если известна его матрица ||S||, записанная для выбранной
системы плоскостей отсчета в кавдом плече на заданной частоте.
Вид матрицы не зависит от подключаемых к многополюснику
устройств. Определиим физический смысл элементов SJ(r матрицы
рассеяния. Для этого рассмотрим частный случай работы
многополюсника (рис. 12.28,а): пусть к полюсам j-j подключен
генератор, а к полюсам всех остальных плеч подключены сог-
ласованные нагрузки ((у^^О, а й£ад=0 при q*j, 9=1,2, ...,N).
При этом из (12.42) следует
</^=5,^7, где 9 = 1,2,...,W. (12.44)
При q=j из (12.44) получаем = и°тр/й"ад, т.е. ^-коэф-
фициент отражения на полюсах j-j многополюсника (в плоскости
отсчета плеча j устройства) при заданных выше условиях работы
многополюсника. При q*j из (12.44) получаем SQJ = т.е.
Sqj - коэффициент передачи по нормированному напряжению от
полюсов j-j к полюсам q-q многополюсника (от плоскости отсчета
в плече j к плоскости отсчета в плече q устройства) при заданных
выше условиях.
Рассмотренная выше матрица рассеяния называется нор-
мированной, поскольку она устанавливает связь мевду нормиро-
ванными напряжениями. Иногда вводят [33] ненормированную
матрицу ||8||, связывающую ненормированные напряжения отра-
женных и падающих волн в плоскостях отсчета каждой линии. В
дальнейшем будут рассматриваться лишь нормированные мат-
рицы. Для таких матриц согласно (12.44) и (12.41) SqJ =
= (рча,р)=Р/(р;ПВД)ч>’ гДе 7=1.2, 9 = 1,2,...,М, что совпадает с
коэффициентом передачи по мощности из плеча j в плечо q
393
устройства при условии, что мощность (Р™*4)^ подается на вход
плеча j, а во всех остальных плечах падающие волны отсутствуют.
Поэтому для всех элементов матрицы рессеяния выполняется
условие j S,j| £ 1. Для ненормированной матрицы величина j Sqj|Z
зависит не только от отношения мощностей (Рчотр)ср H(P^)epi но и
от волновых сопротивлений линий, подключенных к полюсам j-j и
q-q многополюсника.
Кроме матрицы j[s|| в технике СВЧ используют матрицу
сопротивлений и матрицу проводимостей. Матрица сопротив-
лений |И1 устанавливает связь мевду полными нормированными
напряжениями и токами на всех входах многополюсника (см.
рис. 12.28, б):
^п/ ~ 'п2 +'nW' (12.45)
-♦
где j-1,2,...,N или сокращенно || и„|| = j Z|| || /п ||.
Последнее соотношение напоминает описание цепи с по-
мощью матрицы сопротивлений в классической теории цепей {28].
Это позволяет с заданным многополюсником сопоставить неко-
торую цепь, называемую эквивалентной схемой, имеющую такую
же матрицу сопротивлений. Следует отметить, что переход от
многополюсника к эквивалентной схеме неоднозначен, так как
имеется множество схем с одинаковыми матрицами сопро-
тивлений. Эквивалентность между многополюсником и цепью,
строго говоря, существует только на одной частоте, однако в
некотором приближении можно рассматривать и узкую полосу
частот вблизи этой частоты. Матрица проводимостей У || уста-
навливает связь между полными нормированными токами и
напряжениями на всех входах многополюсника (рис. 12.28, б):
^=Урип1+У)2й^+... + У^йп^ (12.46)
где j = 1,2, или сокращенно jj /п]| = || У ||-|| ип||. Хотя по аналогии
с низкочастотными цепями можно определить физический смысл
элементов матриц || Z|| и | У||, как сделано в [16], однако в общем
случае в диапазоне СВЧ элементы этих матриц имеют фор-
мальный смысл, поскольку формальный смысл имеют и нормиро-
ванные напряжения и токи в произвольной линии передачи.
Напротив, элементы матрицы || 31| имеют выясненный выше фи-
зический смысл в любом случае.
Матрицы jjZj| и Цу| обычно более удобны при анализе пос-
ледовательного или параллельного соединения многополюсников
'394
[33]. Используя (12.9) и (12.10), легко установить связь между
матрицами [34]:
hHlzM'MzH'r И=ЬП (««)
isl-O'l-MMI'lhkr М-ИГ- («.Ав)
где || /|[-единичная квадратная матрица порядка Л/, а (|| Z|| + || /1|)'1-
матрица, обратная матрице (||Z||+||/||).
Изменение положения плоскостей отсчета в плечах мно-
гополюсника. Характеристические матрицы многополюсника оп-
ределяются для выбранного заранее положения плоскостей от-
счета в кавдом плече Л, Т2, ...,TN (см. рис. 12.26). На практике
очень часто при экспериментальном определении элементов
матриц многоплечных устройств бывает затруднительно, а иногда
и невозможно измерить те или иные величины в поперечных
сечениях линий, где расположены плоскости отсчета. Как правило,
между измерительной аппаратурой и поперечным сечением, где
расположена плоскость отсчета, оказывается включенным допол-
нительный отрезок линии передачи. Из-за этого измеренные
величины относятся к новым плоскостям отсчета, сдвинутым в ту
или иную сторону вдоль линии передачи относительно старых
плоскостей отсчета. Поэтому возникает необходимость преобра-
зования Известной матрицы устройства относительно введенных
новых плоскостей отсчета. Наиболее просто такое преобразование
выполняется для элементов матрицы |[S||. Пусть в каждом плече
/(/=1,2...N) на расстоянии Az; от старой плоскости отсчета 7)
(см. рис.12,26) введена новая плоскость отсчета Tj, причем при
д?;> 0 новая плоскость расположена дальше от сочленения, а при
Д?у<0-ближе к сочленению относительно старой плоскости.
Матрицу рассеяния устройства относительно новых плоскостей
отсчета Т^Тг. •Ли обозначим || S’||. В /-плече устройства комп-
лексные амплитуды (йпад)' и (й°тр)’, записанные относительно
плоскости отсчета Т/, и и й?т₽, записанные относительно
плоскости отсчета Tj, связаны равенством
(и™« у = й;ад ехр (у Д z;) и (и™)' = ехр (-у ,д zy),
где у, = ip, +а,-коэффициент распространения волны в плече j.
На основании этих формул
S’, -3Лехр(-у.Д2?)ехр(-учдг,), (12.49)
395
Отсюда следует, что при смещении плоскостей отсчета
изменяются аргументы элементов матрицы || 3 || из-за изменения
путей, проходимых падающими и отраженными волнами в плече
устройства. Кроме того, из-за наличия затухания в линиях
передачи изменяются и модули элементов матрицы. При малых
Az, можно пренебречь потерями в отрезках линий («,=0) в этом
случае смещение плоскостей отсчета в плечах устройства при-
водит лишь к изменению аргументов элементов матрицы || 3 ||.
Основные свойства характеристических матриц. 1, Пас-
сивный многополюсник, выполненный на основе изотропных
материалов, является взаимным; в этом случае S^q = Sq • для
любых j и q. Для такого многополюсника матрица || 3 || будет
симметрической, т. е. || S|| = ||SjjT, где |3||т-транспонированная
матрица | 31|. Матрицы jjZ|| и ||у|| также будут симметрическими.
Многополюсник, содержащий анизотропный материал (например,
намагниченный постоянным магнитным полем феррит), является
невзаимным, его характеристические матрицы не будут сим-
метрическими (Sjq *SQJ).
2. Матрица рассеяния ||3|| многополюсника без потерь (с
изотропным или анизотропным заполнением) является унитарной,
для нее справедливо || 3*||т/|| 3|| = ||/||, где || S* ]|т - комплексно-
сопряженная транспонированная матрица |3||; это равенство
является следствием закона сохранения энергии. Действительно,
на его основе можно записать
£ SJ =1 и £S;pSyq=0, где р,9 = 1,2.....N. p*q.
j=1 i=-i
Элементы матриц j Z]| и | у || для многополюсника без потерь
будут чисто мнимыми величинами. Более подробно с характе-
ристическими матрицами можно ознакомиться в [32, 33].
12.4. МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ И МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ
СПОЖНЫХ ЦЕПЕЙ СВЧ
При анализе произвольной цепи СВЧ необходимо определить
элементы ее матрицы рассаяния на любой частоте из требуемого
диапазона, что позволяет найти электрические характеристики
цепи. Элементы матрицы | S || находятся или из решения соот-
396
ветствующей электродинамической задачи или измеряются экспе-
риментально. Предпочтение следует отдать первому, так как в
этом случае объем и качество получаемой об объекте ин-
формации существенно выше, если решение задачи проведено с
достаточной точностью. Однако наховдение решений уравнения
Максвелла для сложных цепей СВЧ, когда граничные условия за-
даются на поверхностях сложной конфигурации, даже при исполь-
зовании ЭВМ встречает серьезные трудности, связанные главным
образом с огромным объемом вычислений. Как правило, необхо-
димые решения удается получить для ограниченного числа доста-
точно простых элементов цепи СВЧ (индуктивные и емкостные
диаграммы, реактивные штыри, несложные разветвления и т.д.).
Поэтому одним из наиболее широко применяемых на практике ме-
тодов расчета электрических характеристик сложных СВЧ цепей
является декомпозиция (расчленение) сложного устройства на ряд
более простых, поддающихся электродинамическому анализу. Эти
простые устройства называют базовыми элементами. Матрицы
рассеяния базовых элементов определяются без учета взаимо-
действия между ними. Затем, с помощью специальных алгоритмов
рассчитывают элементы матрицы рассеяния для объединения
двух и более базовых элементов, т.е. всей сложной цепи. Следует
отметить, что структура цепей СВЧ, как правило, благоприятствует
подобному расчленению, так как обычно они состоят из отдельных
относительно простых элементов, соединенных друг с другом от-
резками линий передачи. При составлении библиотеки базовых
элементов используют одну из двух возможностей.
В первом случае каждый элемент цепи заменяют эквива-
лентной схемой, состоящей из сосредоточенных элементов L, С, R
и отрезков эквивалентной линии. При этом решение электроди-
намической задачи для базового элемента представляется в виде
эквивалентной схемы, в виде приближенных формул и справочных
данных, определяющих связь величин элементов эквивалентной
схемы с геометрическими размерами базового элемента, длиной
волны и параметрами диэлектрического заполнения. В этом слу-
чае большое количество базовых элементов цепей СВЧ может
быть сведено к небольшому числу элементов эквивалентных схем.
Преимуществами такого подхода является универсальность, воз-
можность разумной идеализации эквивалентных схем, а недос-
татками -потеря точности при использовании упрощенных эквива-
лентных схем и трудности в количественной оценке погрешностей
расчета.
Во втором случае на основе решения электродинамической
задачи для кавдого базового элемента аналитически или численно
находится характеристическая матрица. При этом удается вы-
полнять расчеты с любой требуемой точностью. Однако такой под-
397
ход менее универсален и требует значительно большего объема
вычислений. Отметим, что оба подхода не имеют глубоких прин-
ципиальных различий.
Анализ каскадного соединения четырехполюсников. Рас-
смотрим частный случай цепи СВЧ, достаточно часто встре-
чающийся на практике,-каскадное соединение четырехполюс-
ников, т.е. выход предшествующего элемента цепи соединяется со
входом последующего и т.д. (рис.12.29). Анализ каскадного сое-
динения значительно упрощается, если описывать четырехпо-
люсники не матрицей || S jj, а специальной матрицей передачи
|| А ||, которая связывает полные нормированные напряжения и
токи на входе ип1, /Л1 и на выходе ол2, четырехполюсника:
Цц - А1( ^п2 ^12 4г
411 = —21^п2 — ^22
Для определения физического смысла элементов матрицы
|| А || рассмотрим некоторые частные случаи работы четырех-
полюсника. Пусть сигнал от генератора подается на вход четы-
рехполюсника (полюса 1-1), а выходные полюса его (2-2) оста-
ются разомкнутыми. При этом /^=0 и из (12.50) следует, что
А,, =йпуйп2. Ап обычно называют коэффициентом передачи че-
тырехполюсника по полному напряжению при размыкании его вы-
ходных полюсов, А21 =/п1/цгС, т.е. А21-нормированная проводи-
мость четырехполюсника при размыкании его выходных полюсов.
Если подать сигнал от генератора на вход четырехполюсника, а
его выходные полюсы замкнуть накоротко, то при этом = 0 и из
(12.50) следует, что А22 = ^/(-/„Д т.е. А^-коэффициент пере-
дачи четырехполюсника по полному току при КЗ на его выходе, а
^12 = УпД-'па). т-е- А12 - нормированное сопротивление четырех-
полюсника при КЗ на его выходе.
Нетрудно показать с помощью (12.50), что матрица передачи
|| А || четырехполюсника, образованного каскадным соединением
двух четырехполюсников, имеющих матрицы передачи ||Д[| и jjAjj],
Рис.12.29
398
вычисляется по формуле ||А|| = || АН'М (Рис-12-29)- Это свой-
ство матрицы передачи распространяется на любое число кас-
кадно соединенных четырехполюсников.
Из (12.50) и (12.42), используя (12.9), получаются формулы,
связывающие элементы матриц || 8 | и || А ||, для произвольного
четырехполюсника:
= (^11 + Л-12 "—21 ~^22 Q.1 ^12 = 2 (—11—22 — ^12—21)^1
S21 = 2/D, S?2 ’’ (^22 + A12 — A21
(1251)
где D - An + A12 + А21 + A^.
Итак, анализ каскадного соединения четырехполюсников сво-
дится к вычислению на заданной частоте матрицы || А || для каждо-
го элемента цепи, перемножению матриц отдельных элемен-тов,
что определяет матрицу || А || всей цепи, наховдению элемен-тов
матрицы 8 всей цепи по формулам (12.51),
Характеристические матрицы эквивалентных схем неко-
торых базовых элементов. При декомпозиции цепей СВЧ наибо-
лее часто встречаются базовые элементы, имеющие следующие
эквивалентные схемы,
1. Отрезок эквивалентной линии передачи (рис.12.30)
длиной ( является двухплечным устройством и может быть пред-
ставлен четырехполюсником. Матрица | S || для него имеет вид
(12.43) при N=2. Пренебрегая тепловыми потерями в отрезке ли-
нии и исходя из физического смысла элементов || 81|, получаем
8^=822 = 0 и S12 = S21 = exp(-iPO- Из (12.51) находим элементы
матрицы А через элементы матрицы 18 ||. На рис.12.30 выписаны
матрицы [| S || и || А ||. Для получения матриц || 8 || и || А || отрезка
эквивалентной линии с учетом потерь следует в выражениях для
элементов матриц (рис. 12.30) заменить р Ha-iy = p-ia.
— V
zB=1 z„=1,a=0 ZB=1
-----«-----------в>-
1------------------2
I jcospl istnpi
I' I i sin pl cos pl
Рис. 12.30
2. Стык двух линий передачи с разными волновыми со-
противлениями-двухплечное устройство (рис.12.31), которое
можно представить четырехполюсником. Причем расстояние меж-
399
1|А||=| 0 1/VrII' r’Zb2/Zb1
II4|I-||(R-1MR+1) 2^'(R+1)||
" l,-hi?R/(R+1) •(R-1)/(R+i)H
Рис. 12.31
ду плоскостями отсчета в плечах равно 0. Матрица |] S || имеет вид
(12.43) при N=2. В плоскости стыка равны полные ненормиро-
ванные напряжения и токи: Un1 = Ur2 и /п1 = -i^. Знак минус в по-
следнем равенстве учитывает тот факт, что за положительные на-
правления для тока на каждом входе выбраны направления внутрь
четырехполюсника (см. рис.12.28,6). Переходя в записанных ра-
венствах к нормированным напряжениям и токам, согласно (12.39)
получаем йп1 = и /п1 = -Jz^/Z^ что позволяет
найти элементы матрицы | А а по (12.51) и элементы || 3 ||
(рис.12.31).
3. Четырехполюсник, образованный последовательно
включенным сопротивлением Z в линию с волновым сопро-
тивлением ZB (рис.12.32). Считаем расстояние t мевду полюсами
1-1 и 2-2 равным нулю. В данном случае можно записать сле-
дующие выражения, связывающие нормированные напряжения и
токи на входе и выходе: йп1 = и inl=-i^, где z=Z/ZB.
Сравнивая это с (12.50), получаем Дц =Агг = 1, Д12 = z, Д21 = из
(12.51) находим элементы матрицы ||3|| (рис.12.32).
ZB-1 ФиП1 Z ZB-1
-----0----:--- 0
z/(z + 2) 2/(z + 2)
2/(z + 2) z/(z + 2)
Рис.12.32
4. Четырехполюсник, образованный параллельно вклю-
ченной проводимостью Y в линию передачи с волновым соп-
ротивлением ZB (рис.12.33). Считаем расстояние ( мевду полю-
сами 1-1 и 2-2 равным нулю. Используя законы Кирхгофа для
рассматриваемой цепи, запишем связь мевду нормированными
напряжениями и токами на полюсах; йм = й^, in1 = уй^-i^, где
у = У ZB; это позволяет определить элементы матрицы || А ||, а из
(12.51) найти элементы матрицы || 3 || (рис.12.33).
400
1=0
zb=1 |unl
----0——У
1 У
Mb
Вп2ф zb=1 .. ..
----- l|s||=
Рис. 12.33
1 0 I
у 1 |
-y/(y + 2) 2/(y + 2)
2/(y + 2) -y/(y + 2)
Анализ произвольной цепи СВЧ. В этом случае цель рас-
членяется на базовые элементы, для которых заранее опреде-
лены характеристические матрицы. Матрицы рассеяния некоторых
часто встречающихся базовых элементов можно найти в [29,33].
Затем на ЭВМ с помощью специально составленной вычисли-
тельной программы рассчитывают матрицу рассеяния всего уст-
ройства. Основу алгоритмов для разработки таких программ со-
ставляют формулы для расчета элементов матрицы ||S|| со-
единения двух многополюсников с известными матрицами || S,|] и
]]S2|[. Явные формулы для вычисления ||S|| через [[S^ и ||S2[[
приведены в [29,43]. Далее к полученному многополюснику при-
соединяется третий базовый элемент с матрицей ]|S3|] и нахо-
дится матрица рассеяния для нового соединения, и так далее до
тех пор, пока не будут присоединены все базовые элементы рас-
сматриваемой цепи. В результате последовательного применения
описанной процедуры может быть построена матрица рассеяния
любого сложного соединения произвольного числа базовых эле-
ментов. Варианты алгоритмов вычисления матриц рассеяния про-
извольных линейных и пассивных цепей СВЧ по известным матри-
цам рассеяния базовых элементов, отличающиеся организацией
процесса вычисления || S || приведены в [36,43].
12 .5. ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ ПРОСТЕЙШИХ
ЦЕПЕЙ СВЧ. РЕАЛИЗАЦИЯ ЦЕПЕЙ ИЗ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ В ДИАПАЗОНЕ СВЧ
Применение метода декомпозиции для анализа сложной цепи
СВЧ требует знания или характеристических матриц, или эквива-
лентных схем базовых элементов цепи. Кроме того, на практике
решается и обратная задача: по заданным функциональным свой-
ствам проектируемого устройства вначале выбирают его эквивале-
нтную схему, состоящую из сосредоточенных элементов L, С, R и
отрезков эквивалентной линии; затем на основе этой схемы строят
конструкцию устройства, пытаясь реализовать сосредоточенные
элементы с помощью элементов с распределенными парамет-
26-45 401
1 ini
I'Unl
“П0—
in2 2
—«fe—
Рис. 12.34
ini Z1 Z2 in2 2
2
рами. Это вызвано тем, что физические размеры сосредоточенных
элементов L, С и R с повышением частоты уменьшаются и на час-
тотах выше нескольких сотен мегагерц становятся настолько ма-
лыми, что их изготовление вызывает серьезные трудности. Кроме
того, с повышением частоты на параметры сосредоточенных эле-
ментов все большее влияние оказывают тепловые потери в них и
потери на излучение. Поэтому, как правило, в диапазоне СВЧ вме-
сто подобных элементов используют элементы с распреде-
ленными параметрами, например отрезки линий передачи. Под-
бором длины и волнового сопротивления отрезков линии стара-
ются смоделировать поведение сосредоточенных элементов в со-
ответствующей эквивалентной схеме устройства.
Характеристические матрицы базовых элементов определяют
или из решения электродинамической задачи, или эксперимен-
тально. На основе найденной матрицы строят эквивалентную схе-
му элемента. Например, если для взаимного четырехполюсника
(рис.12.34) известна матрица ||Z|| или || У ||, то с ним обычно со-
поставляют либо Т-образную (рис.12.34) либо П-образную
(рис.12.34) эквивалентные схемы; величины элементов эквива-
лентной схемы находят, приравнивая матрицы сопротивлений
(для Т-схемы) или матрицы проводимостей (для П-схемы) на
требуемой частоте [30]:
для Т-схемы
Z1 = ^11 -Zl2' Z2 ZZb = ^22 - ?12т Z3ZZB~?12' (12.52)
для П-схемы
^/^ = 1/(7^+^); Z2/ZB =-1/У12;
^3/ZB = 1/С^(12.53)
Рассмотрим эквивалентные схемы некоторых базовых элементов.
Эквивалентная схема однородного отрезка линии пере-
дачи. Такой отрезок может быть представлен четырехполюс-
ником, и его эквивалентная схема выбирается или в виде Т-,
или в виде П-схемы (рис.12.34). Величины элементов этих схем
можно найти по (12.52) и (12.53), предварительно вычислив эле-
менты матриц || Z || и | Y || по (12.47)-(12.48) по известной матрице
||S|| (рис.12.30):
402
для Т-схемы
Zi = Z2 = Za th (ti/2), Z3 = ZB/sh ,
для П-схемы
Z1 = Z3=ZB/th(^/2), Zz=ZBsh№).
(12.54)
(12.55)
Если длина отрезка l мала, можно пренебречь тепловыми по-
терями в нем (а = 0 и у.= i Р), при этом гиперболические функции в
(12.54) и (12.55) перейдут в тригонометрические, эквивалентная
схема отрезка будет состоять лишь из реактивных элементов
(рис. 12.35):
для Т-схемы
-X = 2Za tg(p//2), В = sin (p^)/Za, (12.56)
для П-схемы
X = ZBsin(pa В = 2tg(p^/2)/ZB. (12.57)
IXL iXj
л
iB
б)
! iXL
2
V"
—Is--------еЗ-
ZB Z^p, а=0
а)
2
zB’4= ={=^
11В ЙГ2
2 2
Рис. 12.35 в)
Формулы (12.56) и (12.57) позволяют связать параметры со-
средоточенных элементов и элементов с распределенными пара-
метрами. Например, для коротких отрезков линии (^<КЛ), учиты-
вая, что при малых х можно считать tgx»sinx=x, получаем
L=ZB^/v^, СяА^/вУф). Поэтому, если в разрыв линии с волновым
сопротивлением ZB включить короткий отрезок с намного большим
волновым сопротивлением ZB1, то эквивалентной схемой такой це-
пи будет индуктивность, последовательно включенная в разрыв
эквивалентной линии (при большой величине ZB1 из (12.56)-(12.57)
следует, что Х^>В, т.е. С->0, (рис.12.35)). Аналогично можно по-
казать, что если в разрыв линии включить отрезок с намного
меньшим волновым сопротивлением, чем у линии, то эквивалент-
ной схемой такой цепи будет емкость, параллельно подключаемая
в эквивалентную линию. В табл. 12.1 приведены некоторые базо-
вые элементы цепей СВЧ, состоящие из отрезков полосковых
линий передачи (на рисунках в таблице изображены конструкции
26* 403
Таблица 12.1. Эквивалентные схемы полосковых элементов цепей
Элемент цепи СВЧ Эквивалентная схема Формулы перехода (L< Л/8)
zB Zz^ZBi Й T1 Til J2 Ti T2 L = bl! fA Z,1»Z,
Т1 zB 7)1 Ui T2 z^ 2 2 J r2 c = —!— Za1fA Zoi <kZb
ИД Zoi zE T P"1]. —jh r2
4 Л/4 .К.3. 1 Э2В 2В^ L-xx [szB 2 7 L - ^al[ " fA Zei^*Zt
4 I л/< г ь' L XX. Q|Zbi «)ZB Zs2 л Zb t* 1 ccs = 3l — 1~г , T Zb L=h^. Z023>Z0 ТЛ c=-L, z81<kz8 Zg^fA
J*| [Ди.'**'* Г "l Д 1 CD N L,xx Bb [Z,2 T Z.' — Ы 7 — t- zB f— L=h^, Z023>Z0 TA C-—L Z,i<kZ, ZalfA'
Ti Zb 1=Л /2 T2 T1L T2 Za1<Zs ИЛИ Z81>Z8 L-«fe
а 4 ItT ZB cr~s = 3l ZB
Ti Zbi T T T2
Примечание: эквивалентные схемы приведены в пренебрежении реактив- ностями, возникающими при стыке линий с разными волновыми сопротивлениями.
полоски для СПЛ или МПЛ), соответствующие им эквивалентные
схемы и формулы перехода. По данным таблицы несложно изо-
бразить конструкцию соответствующих элементов на основе коак-
сиальной или двухпроводной линии передачи.
Эквивалентные схемы отражающих неоднородностей в
волноводных трактах. В таких трактах для реализации сосредо-
точенных элементов эквивалентных схем в волновод вводят спе-
циальные отражающие неоднородности.
404
Волноводные диафрагмы. Диафрагмой называют тонкую
металлическую пластину, расположенную в поперечной плоскости
волновода и частично перекрывающую его поперечное сечение.
На рис.12.36 показана диафрагма, уменьшающая лишь размер
широкой стенки прямоугольного волновода. Считаем толщину
диафрагмы пренебрежимо малой и не учитываем тепловые потери
в ней. Волновод работает в одноволновом режиме. При пост-
роении эквивалентной схемы будем руководствоваться следую-
щими физическими соображениями; свойства элемента, обладаю-
щего способностью концентрировать вблизи себя энергию элект-
рического поля И^эл, близки к свойствам конденсатора, вследствие
этого такой элемент можно эквивалентно представить в виде реак-
тивности емкостного характера; если же элемент концентрирует
вблизи себя энергию магнитного поля И/„аг, то его можно эквива-
лентно представить в виде реактивности индуктивного характера,
а если вблизи элемента концентрируется и та и другая энергия, то
при И/эл>И/и£и. элемент можно эквивалентно представить в виде
реактивности емкостного характера, а при И/эл<И4аг-индуктивного
характера.
Рассмотрим диафрагму, изображенную на рис. 12.36. При
взаимодействии распространяющейся по волноводу волны Н10 с
диафрагмой вблизи последней возникает структура магнитного
поля, показанная на рис. 12.36, т.е. в данном случае поперечные и
продольные токи, текущие по широким стенкам волновода, час-
тично замыкаются через пластины диафрагмы, с ними связано до-
полнительное магнитное поле, возникающее вблизи диафрагмы.
Это приводит к увеличению концентрации энергии магнитного поля
в области диафрагмы. Поэтому эквивалентной схемой рассмат-
риваемой диафрагмы является
раллельно в эквивалентную
линию (см. рис. 12.36). Для
тонкой диафрагмы можно
считать расстояние между
полюсами 1-1 и 2-2 равным
нулю. Формулы для расчета
величины XL по заданным
размерам диафрагмы ф и ф
можно найти в [33]. Рас-
сматриваемая диафрагма
(рис. 12.36) получила наз-
вание индуктивная диа-
фрагма.
индуктивность, подключаемая па-
Рис. 12.36
405
эквивалентная схема
Диафрагма, изображенная на
рис.12.37, частично уменьшающая
лишь размер узкой стенки прямо-
угольного волновода, называется
емкостной диафрагмой. При рас-
пространении волны /710 по волно-
воду между кромками диафрагмы
концентрируются силовые линии
электрического поля, что приводит к
Рис.12.37 увеличению концентрации энергии
электрического поля в области диа-
фрагмы. Поэтому эквивалентной схемой рассматриваемой диа-
фрагмы является емкость, подключаемая параллельно в эквива-
лентную линию. Расчетные формулы для этого случая можно най-
ти в [33].
Диафрагма, образованная совмещением в одной плоскости
волновода индуктивной и емкостной диафрагм, называется резо-
нансной диафрагмой (рис. 12.38). Размеры отверстия а, и могут
быть выбраны так, чтобы на заданной частоте коэффициент отра-
жения волны Ню от диафрагмы был бы равен нулю [33] (это озна-
чает, что в эквивалентном контуре возникает резонанс, т.е.
lV3n =WBar в области диафрагмы).
Рис.12.38
Реактивный стержень в прямоугольном волноводе-это
металлический проводник, установленный параллельно вектору Е
волны /-/10 и соединенный по крайней мере с одной стороны с ши-
рокой стенкой волновода (рис. 12.39). Иногда его называют реак-
тивным штырем. Отметим, что аналогичные стержни (штыри) ус-
танавливаются и в других линиях передачи. Эквивалентной схемой
тонкого (c/<sra) реактивного стержня является последовательный
контур, включенный в эквивалентную линию параллельно. Индук-
тивность связана с токами проводимости, протекающими по
стержню, а емкость-с концентрацией электрического поля в зазо-
ре между торцом стержня и стенкой волновода. Формулы для рас-
чета XL и Хс можно найти в [33]. Анализ стержня в волноводе, вы-
полненный в [38], показывает, что при длине стержня вели-
чины XL~XC, при этом сопротивление контура стремится к нулю
406
эквивалентная схема
(резонанс), из-за чего вся энергия, переносимая падающей волной
в волноводе, полностью отражается от стержня. На практике из-за
конечной проводимости металла, модуль коэффициента отраже-
ния от стержня несколько меньше единицы. При /<?У4 реактивное
сопротивление контура становится емкостным, а при ин-
дуктивным.
В настоящее время существует большое число научных
работ, посвященных построению эквивалентных схем как для раз-
ных неоднородностей в линиях передачи, так и для простейших
конструкций элементов тракта СВЧ. Расчетные формулы и экви-
валентные схемы для волноводных и коаксиальных элементов
можно найти в [33,39]; сведения для полосковых элементов в [36,
40]; данные для элементов оптических трактов в [41,42]. При ис-
пользовании тех или иных справочных данных особое внимание
следует обращать на границы применимости и обеспечиваемую
точность.
12 .6. СТРУКТУРНЫЙ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ.
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ УСТРОЙСТВ СВЧ
Проектирование СВЧ трактов современных радиотехнических
систем представляет достаточно сложную задачу, решение кото-
рой практически невозможно без ЭВМ. В результате проекти-
рования должна быть получена конструкция устройства, частотные
характеристики которой удовлетворяют заданным требованиям. В
столь общей постановке данная зедача не имеет единственного
решения, так квк различные по конструкции устройства могут
иметь идентичные электрические характеристики. При проекти-
ровании СВЧ тракта выделяют два основных этапа. Первый этап,
называемый конструктивным синтезом, состоит в выборе одного
или нескольких допустимых вариантов разрабатываемого устрой-
407
ства. На этом этапе разработчик, основываясь на интуиции и ин-
женерном опыте, используя некоторые общие приближенные
представления о принципе работы устройств СВЧ, пользуясь спе-
циальными пособиями, где содержатся сведения об аналогичных
устройствах и необходимые справочные материалы, определяет
набор элементов, из которых состоит разрабатываемое устройст-
во, и порядок их включения, т.е. предопределяет конструктивное
выполнение элементов. Следует отметить, что для многих уст-
ройств СВЧ в настоящее время созданы приближенные методики
синтеза, как правило, использующие приближение теории длинных
линий, с помощью которых можно по заданным техническим тре-
бованиям приближенно определить конструктивные параметры
элементов (см. гл.13 и 14).
Второй этап проектирования, называемый параметрическим
синтезом, состоит в окончательном выборе варианта конструкции
и уточнении параметров всех его элементов с целью получения
требуемых частотных характеристик устройства. На этом этапе
строят более точную эквивалентную схему проектируемого уст-
ройства и выполняют анализ схемы, вычисляют элементы матри-
цы рассеяния, что позволяет рассчитать частотные характеристики
проектируемого устройства. Частотные характеристики, рассчитан-
ные по уточненной эквивалентной схеме, могут существенно отли-
чаться от заданных при проектировании. Это отличие будет тем
больше, чем более грубые и приближенные методики синтеза ис-
пользовались на первом этапе. Если найденные характеристики не
удовлетворяют техническому зеданию, возникает задача кор-
рекции параметров базовых элементов, выбранных на первом
этапе, с целью улучшения характеристик устройства.
Процесс улучшения характеристик устройства на основе ка-
кого-то исходного варианта называется оптимизацией. Он сос-
тоит в целенаправленном поиске таких параметров элементов
устройства, которые обеспечивали бы минимальное значение не-
которой целевой функции, оценивающей отклонение получаю-
щихся характеристик от требуемых техническим заданием. Как
правило, оптимизация проводится численно, т.е. по определен-
ному плану перебираются возможные значения параметров эле-
ментов. Для каждого сочетания параметров вычисляется матрица
рассеяния и рассчитывается значение целевой функции. Отыс-
кивается такое оптимальное сочетание параметров, при котором
получается минимум целевой функции. По вопросам численной
оптимизации существует обширная литература. Достаточно пол-
408
ное представление о методах численной оптимизации примени-
тельно к задачам проектирования радиосистем можно найти в [43,
45]. Чем сложнее устройство и жестче требования к его хара-
ктеристикам, тем важнее роль оптимизации. Второй этап проекти-
рования практически невозможно выполнить без ЭВМ.
Эффективность любого проектирования в большей степени
зависит от того, в какой мере удается автоматизировать стан-
дартные операции, не требующие принятия решений. Такими
стандартными операциями при проектировании трактов СВЧ яв-
ляются расчет частотных характеристик известной схемы и в оп-
ределенной степени процесс оптимизации.
Структурный синтез, выполняемый на первом -этапе, где раз-
работчик, используя свой опыт, принимает неформальное реше-
ние по выбору конструкции, очевидно, не может быть полностью
автоматизирован. Поэтому при проектировании СВЧ трактов ис-
пользуют системы автоматизированного проектирования (САПР)
устройств СВЧ. Ядром САПР является библиотека математи-
ческих моделей базовых элементов, содержащая вычислитель-
ные программы для расчета их матриц рассеяния. От полноты
библиотеки зависит возможность проектировать те или иные трак-
ты СВЧ на основе САПР. В настоящее время созданы САПР для
проектирования СВЧ трактов определенного класса: например,
САПР волноводных трактов или САПР полосковых плат [43] и т.д.
В соответствии с назначением и формируется библиотека базовых
элементов. Кроме этого, в САПР входит программа для вычисле-
ния матрицы рассеяния всего устройства по известным матрицам
базовых элементов. И наконец, одним из основных блоков САПР
является блок оптимизации. В качестве вспомогательных блоков,
входящих в САПР, можно отметить блок ввода исходных данных
на проектирование и блок выдачи конструкторской документации.
Возможны различные варианты САПР. Идеальная САПР
предполагает полную автоматизацию, т.е. весь указанный объем
работ, вплоть до выдачи конструкторской документации, осуществ-
ляется ЭВМ без участия человека, кроме тех случаев, когда из
предложенных элементов ЭВМ не может синтезировать конст-
рукцию с заданными характеристиками. В этом случае разработчик
с учетом полученной от ЭВМ информации производит коррек-
тировку исходной конструкции (первый этап) либо требований к
проектируемому устройству, и весь процесс повторяется на ЭВМ.
Однако, как показывает практика, подобные системы чрезвычайно
сложны. Поэтому, как правило, разрабатывают более простые и
409
эффективные системы диалогового типа, когда конструкция уст-
ройства и начальный набор параметров базовых элементов, обра-
зующих ее, задаются разработчиком, а ее анализ, т.е. расчет
электрических характеристик и частичная оптимизация, выпол-
няется ЭВМ. Результаты анализа и оптимизации отображаются на
экране дисплея или выдаются в виде графиков, таблиц и т.д. При
значительном расхоадении требуемых и полученных характе-
ристик разработчик вносит определенные коррективы в исходные
данные либо критерии оценок при оптимизации и дает указание
повторить анализ и оптимизацию. Подобный диалог человека с
машиной продолжается до тех пор, пока не достигаются с за-
данной точностью требуемые характеристики. Затем ЭВМ состав-
ляет и оформляет конструкторскую документацию. Как показывает
практика, режим диалога позволяет активно использовать опыт и
интуицию разработчика, что существенно упрощает вычисли-
тельные программы и ускоряет поиск оптимальной конструкции
устройства. Более подробно ознакомиться с САПР устройств СВЧ
можно в [43-45].
410
Глава 13
ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ТЕХНИКИ СВЧ
13.1. СОЧЛЕНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
Тракты СВЧ состоят из ряда элементов, соединенных друг с
другом. Для упрощения ремонта и транспортировки их обычно де-
лают разборными. Любое нарушение целостности тракта эквива-
лентно введению неоднородности. Поэтому даже едва заметный
зазор между сочленяемыми отрезками линий передачи либо не-
большое смещение их друг относительно друга вызывают отраже-
ния в тракте и дополнительные тепловые потери. Излучение через
зазор части энергии электромагнитной волны, распространяющей-
ся по тракту, может, кроме того, привести к паразитным связям
между его элементами. К сочленениям (разъемам) предъявляется
ряд требований: сохранение согласования в тракте и его электри-
ческой прочности, внесение минимального ослабления в переда-
ваемую мощность, отсутствие паразитного излучения и др. Для
этого, как правило, в плоскости контакта сочленяемых отрезков
линии передачи нужно обеспечить малое сопротивление для про-
дольных токов. На практике применяют разъемы двух типов: кон-
тактные и дроссельные.
При контактном сочленении волноводов к концам соединяе-
мых отрезков припаиваются плоские фланцы. На рис.13.1 показа-
но контактное сочленение прямоугольных волноводов с одинако-
выми размерами поперечных сечений. Качество электрического
контакта в месте сочленения зависит в основном от тщательности
механической обработки, параллельности и чистоты контактирую-
щих поверхностей. Чтобы уменьшить тепловые потери и потери на
Рис.13.1
411
излучение между фланцами 1 вводят тонкую бронзовую прокладку
2 с пружинящими лепестками. Защита сочленения от пыли и влаги,
проникающих из окружающего пространства, осуществляется с
помощью резиновых уплотнительных колец 3, уложенных в специ-
альные канавки на фланцах. Герметизация волновода позволяет
поддерживать в нем повышенное давление газа, если требуется
увеличить предельную мощность волновода. Коэффициент отра-
жения от хорошо выполненного контактного сочленения обычно не
превышает 0,001 при потерях менее 0,01 дБ во всей рабочей по-
лосе частот волновода. Поэтому контактные сочленения применя-
ют в особо точной измерительной аппаратуре, в широкополосных
системах связи (спутниковых, радиорелейных). Недостатками кон-
тактного сочленения являются относительно высокая стоимость
из-за жестких требований, которые приходится предъявлять к точ-
ности изготовления, а также ухудшение качества контакта при мно-
гократных сборках и разборках вследствие окисления металла в
месте контакта.
В коаксиальных линиях конструкция контактного сочленения
несколько усложняется, так как требуется одновременно обеспе-
чить хороший контакт как центральных, так и внешних проводников
соединяемых отрезков. Сведения о таких разъемах приведены
в [33].
Если требования к качеству согласования, уровню потерь и
широкополосное™ не столь жестки, целесообразно использовать
дроссельное сочленение.
Дроссельное сочленение прямоугольных волноводов (рис.13.2)
образуется двумя различными по конструкции фланцами: обыч-
ным контактным 1 и дроссельным 2 с кольцевой канавкой 3. Между
частью торцевой поверхности фланцев (от волновода до канавки)
оставлен зазор 4, через который поле из волновода проникает в
канавку 3. Структура силовых линий электрического поля в дрос-
сельном сочленении при распространении основной волны во
волноводу показана на рис. 13.2. При этом кольцевую канавку 3
можно рассматривать как отрезок короткозамкнутой коаксиальной
линии, в котором устанавливается стоячая волна типа с дли-
ной волны Л = X / ^1-(Д,/ Ьцр)2, где ЛхР«л(/?1 +Я2) a R<, и R2 - радиу-
Рис.13.2
412
Рис.13.3
сы кольцевой канавки (см. рис.13.2). Зазор меж-
ду фланцами (от области механического контак-
та В до соединяемых волноводов) представляет
собой отрезок радиальной линии [39], длина
волны низшего типа в которой равна к. Эквива-
лентная схема дроссельного сочленения показа-
на на рис.13.3, где RK-сопротивление механиче-
ского контакта в области В. Если на средней час-
тоте рабочего диапазона выбрать глубину канав-
ки равной Л/4, а длину зазора до канавки
равной А/4, то образуются два четвертьволновых
трансформатора. При этом сопротивление зазо-
ра между соединяемыми волноводами будет рав-
но нулю лри любых значениях Rx, поскольку пос-
ледовательно с ним включено бесконечно большое входное со-
противление короткозамкнутого четвертьволнового отрезка коак-
сиальной линии. Поэтому такое сочленение не критично к качеству
механического контакта и небольшим перекосам фланцев.
Очевидным недостатком дроссельного сочленения является
зависимость его параметров от частоты, так как сопротивление
зазора между соединяемыми волноводами равно нулю только на
средней частоте. Коэффициент отражения от тщательно изготов-
ленного дроссельного сочленения обычно не превышает 0,02 в
полосе ±15 % от центральной частоты рабочего диапазона. Анало-
гично строятся дроссельные сочленения для соединения отрезков
круглого волновода или коаксиальной линии.
13.2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В
ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
Для возбуждения волн в линиях передачи используют спе-
циальные элементы, называемые возбуждающими устройст-
вами, а для вывода энергии из линии применяют устройства свя-
зи с внешними нагрузками. Отметим, что в качестве возбуж-
дающих устройств и устройств связи с внешними нагрузками в
технике СВЧ используют одни и те же элементы. Это следует из
теоремы взаимности, рассмотренной в гл. 5 для случая двух излу-
чателей, расположенных в изотропной среде. Эту теорему можно
распространить на линии передачи с устройствами ввода и вывода
энергии при условии, что и линия, и эти устройства не содержат
анизотропных (невзаимных) элементов.
На практике для ввода или вывода энергии из волновода ис-
пользуют достаточно малые элементы, содержащие или эле-
413
ктрический (рис.13.4,а) или магнитный в
виде малой рамки (рис.13.4,6) вибратор.
Обычно такие вибраторы конструктивно
объединяются с коаксиальной линией, ис-
пользуемой или для подвода энергии к виб-
ратору, или для отвода энергии, прини-
маемой вибратором. В тех случаях, когда
две линии передачи имеют общую метал-
лическую стенку (см. рис.13.13), передать
часть мощности из одной линии в другую
можно с помощью отверстия, прорезанного
в общей стенке.
Электрический вибратор (рис.13.4,а) будет принимать энер-
гию электромагнитного поля из волновода и передавать ее в коак-
сиальную линию, если электромагнитная волна, распространяю-
щаяся в волноводе, будет вызывать в нем ток. Для получения наи-
большего тока вибратор следует поместить в пучность электри-
ческого поля волны в волноводе параллельно линиям вектора Е.
Аналогично наибольшая связь рамки (рис.13.4,6) с полем волны в
волноводе будет в случае наведения в ней полем волны макси-
мальной ЭДС. Для этого рамку помещают в пучность магнитного
поля волны в волноводе так, чтобы ее плоскость была перпенди-
кулярна вектору В. Очевидно, при возбуждении волн в линии сле-
дует помещать электрический вибратор с током в пучность элек-
трического поля параллельно линиям вектора Е возбуждаемой
волны, а рамку с током-в пучность магнитного поля, располагая
ее плоскость перпендикулярно вектору В. Используя эти правила и
зная структуру поля возбуждаемой волны или волны, распростра-
няющейся по волноводу, несложно построить конструкцию возбу-
ждающего устройства или устройства связи волновода с внешней
нагрузкой.
Возбуждение с помощью электрического вибратора. Кон-
струкция устройства для возбуждения волны Н10 в прямоугольном
волноводе показана на рис.13.5, где внешний проводник коак-
сиальной линии соединен со стенкой волновода. Строгое эле-
ктродинамическое решение задачи о возбуждении волн в волно-
Рис.13.5
414
воде весьма громоздко (см^, например, [14]) и здесь не приводится.
Пусть по коаксиальной линии распространяется TETW-волна, пере-
носящая энергию сигнала от генератора. Эта волна вызывает ток в
электрическом вибраторе, вследствие чего в волноводе возбуж-
дается электромагнитное поле. Примерная структура электрических
силовых линий поля вблизи вибратора показана на рис.13.5. Воз-
буждаемое в волноводе поле можно представить в виде су-
перпозиции волн типов Е и Н. При расположении вибратора в се-
редине широкой стенки в волноводе будут возбуждаться только те
волны, у которых в середине поперечного сечения при х = а/2 на-
ходится пучность электрического поля, т.е. волны Н10, Изо, Ец
и т.д, и не будут возбуждаться волны с четным первым индексом
(Н201 Й41, Е21 и т.д.). Если выбрать поперечные размеры волновода
из условия одноволнового режима работы, то по волноводу смо-
жет распространяться только волна поля всех остальных волн
будут реактивными: они сосредоточены вблизи вибратора и на не-
котором расстоянии от него пренебрежимо малы. Поэтому вибра-
тор возбуждает в волноводе две волны Н10, бегущие в разные сто-
роны, причем на одинаковом расстоянии от вибратора амплитуды
и фазы векторов Е этих волн будут одинаковыми. Чтобы вся энер-
гия, поступающая в волновод, направлялась в одну сторону, на
некотором расстоянии £ от вибратора осуществляют режим корот-
кого замыкания (рис.13.5). При этом в волноводе справа от вибра-
тора будут распространяться две волны Н10 с одинаковыми ампли-
тудами векторов Е, а сдвиг по фазе этих векторов зависит от вели-
чины £. Величину £ подбирают так, чтобы сдвиг по фазе векторов Е
волн в любом сечении, правее вибратора, был кратен 2л. Требуе-
мое фазовое соотношение можно записать в виде 2₽^+л = 2лп, где
п = 1, 2,...; р=2л/Л. При записи этого соотношения учтено, что при
падении плоской волны на идеальную металлическую поверхность
фаза вектора Е отраженной волны изменяется на л по отношению
к фазе вектора Е падающей волны. Поэтому £=(2п~1)Л/4. Обычно
выбирают. л=1, для которого £=£min=A/4. Отметим, что если вы-
брать £ кратным А/2, то сдвиг по фазе между векторами Е волн
справа от вибратора будет равен нечетному числу л. Вследствие
этого волны гасят друг друга и энергия из коаксиальной линии в
волновод не поступает, она полностью отражается от возбуждаю-
щего устройства, т.е. в коаксиальной линии устанавливается стоя-
чая волна. Наличие зазора между вибратором и широкой стенкой
волновода (см. рис.13.5), где концентрируется электрическое поле,
снижает электрическую прочность возбудителя. Поэтому, как пра-
вило, длину вибратора делают равной высоте волновода. Отме-
тим, что место соединения коаксиальной линии с волноводом
представляет собой неоднородность и приводит к появлению от-
раженной волны в коаксиальной линии. Для компенсации этой от-
415
Рис. 13.6
раженной волны расстояние ( делают
несколько отличающимся от Л/4. Как по-
казывает анализ [14], увеличение диа-
метра вибратора позволяет уменьшить
частотную зависимость активной состав-
ляющей входного сопротивления в мес-
те соединения коаксиальной линии с
волноводом и снизить величину его ре-
активной составляющей. Это способст-
вует широкополосному согласованию
возбудителя с коаксиальной линией.
Наибольшую электрическую прочность и
наибольшую полосу согласования уда-
ется получить при использовании возбу-
дителя пуговичного типа (рис.13.6), где для расширения полосы
согласования применен изменяющийся диаметр вибратора и до-
полнительный согласующий элемент- индуктивная диафрагма.
В тех случаях, когда в качестве рабочего типа волны в волно-
воде применяется один из высших типов волн, для подавления
более низших типов волн в таком волноводе используют специ-
альные устройства-так называемые фильтры типов волн. Обыч-
но для подавления нежелательного типа волны в плоскости попе-
речного сечения волновода размещают один или несколько тонких
металлических проводников, параллельных линиям электричес-
кого поля подааляемой волны (рис.13.7). Энергия, переносимая по
волноводу нежелательной волной, отражается от проводников об-
ратно. Как правило, подобные фильтры включают в конструкцию
возбуждающего устройства. На рис.13.8 показано устройство для
возбуждения волны Н20 в прямоугольном волноводе. Используют-
ся два электрических вибратора, введенные в места, где должны
находиться пучности электрического поля волны Н20. Длины отрез-
ков коаксиальной линии от точки разветвления до точек соедине-
ния с вибраторами выбирают отличающимися на 7J2. В этом слу-
чае, при распространении волны по коаксиальной линии, токи в
вибраторах будут иметь одинаковые амплитуды, а их фазы будут
отличаться на л. При этом в волноводе будут эффективно возбуж-
даться волны Н20, Н40,... и затруднено возбуждение волн с нечет-
ным первым индексом Н10, Изо... Выбором размеров волновода
416
Рис. 13.8
создают предельный режим для всех волн, кроме Н2о и Н10. Ме-
таллическая пластина, помещенная посередине волновода парал-
лельно его узким стенкам, предотвращает распространение неже-
лательной в данном случае волны Н10. На расстоянии ^=Л/4(Л-
длина волны Н20 в волноводе) помещают металлическую пластину,
обеспечивающую режим короткого замыкания на конце волновода.
На рис.13.9 показана конструкция возбуждения волны а на
рис. 13.10-волны Е01 в круглом волноводе. В конструкции рис. 13.9
перпендикулярно оси волновода на расстоянии ^=Л/4(Л-длина
волны в круглом волноводе) от вибратора устанавливается
металлическая пластина.
Возбуждение с помощью малой рамки. Одна из возможных
схем возбуждения волны Н10 в прямоугольном волноводе показана
на рис.13.11. Малая рамка (рис.13.4,б), радиус которой много
меньше длины волны, вводится в середине широкой стенки так,
что ее плоскость параллельна узким стенкам волновода. При рас-
пространении ТЕМ-волны по коаксиальной линии в рамке про-
текает ток. Примерная картина магнитных силовых линий, возни-
кающих при этом в волноводе, показана на рис.13.11. Если вы-
брать поперечные размеры волновода из условия одноволнового
режима работы, то рамка будет создавать в волноводе две волны
Н10, бегущие в разные стороны. При этом на одинаковом рас-
стоянии от рамки векторы Н этих волн будут иметь одинаковые
амплитуды и фазы, а векторы Е будут иметь одинаковые ампли-
туды, а их фазы будут отличаться на л. Чтобы энергия, посту-
пающая в волновод, направлялась в одну сторону, в волноводе на
27-45 417
|н10
Рис. 13.13
расстоянии ^=лЛ/2(п=1,2,3,...) от
рамки устанавливают перпен-
дикулярно его оси металличе-
скую пластину. Обычно выби-
рают г=Л™=Л/2.
На рис. 13.12 показана еще
одна схема возбуждения волны
Hfo. рамка вводится через узкую
стенку, а ее плоскость совпада-
ет с плоскостью поперечного
сечения. Там же показана при-
мерная картина силовых линий
магнитного поля, возникающего
вблизи рамки при протекании по
ней электрического тока. В этом
случае векторы Е волн Н10, рас-
пространяющихся в разные сто-
роны от рамки, на одинаковом
расстоянии от нее будут иметь
равные амплитуды и фазы. По-
этому обычно величина £ выби-
рается равной (тп =л/4.
Возбуждение с помощью
отверстия связи. При конст-
руировании ряда волноводных
устройств для обеспечения свя-
зи между двумя волноводами
используют малые (диаметр зна-
чительно меньше длины вол-
ны) отверстия в их общей стен-
ке. Такие отверстия незначи-
тельно нарушают структуру по-
ля распространяющейся по вол-
новоду волны. В первом при-
ближении можно считать, что
через малое отверстие в стенке
волновода ответвляется нор-
мальная к плоскости отверстия
составляющая электрического
поля и касательная-магнитного
поля, существующих в волново-
де. На рис.13.13 показана связь
двух прямоугольных волново-
дов, работающих в одноволно-
418
вом режиме, через отверстие в общей узкой стенке, вблизи кото-
рой существует лишь продольная составляющая магнитного поля
волны Н10. Сопоставление рис.13.12 и рис.13.13 показывает весь-
ма значительное сходство между структурами ответвляющегося
магнитного поля и магнитного поля, создаваемого рамкой. Поэтому
возбуждение через отверстие (см. рис.13.13) эквивалентно возбу-
ждению с помощью рамки (см. рис.13.12). В общем случае, когда
через отверстие ответвляются как электрические, так и магнитные
силовые линии (например, отверстие прорезано в общей широкой
стенке волноводов), возбуждение через отверстие эквивалентно
одновременному возбуждению электрическим излучателем и
рамкой.
13.3. ТРАНСФОРМАТОРЫ ТИПОВ ВОЛН. ВРАЩАЮЩИЕСЯ
СОЧЛЕНЕНИЯ
В трактах СВЧ могут использоваться отрезки линий передачи
разного типа. Поэтому весьма распространенными узлами трактов
являются трансформаторы типов волн, иногда называемые пе-
реходами с одной линии передачи на другую. Такие устройства,
располагающиеся между соединяемыми линиями разных типов
или между линиями одного типа, имеющими разные размеры по-
перечного сечения, должны эффективно преобразовывать волну
одного типа в волну другого типа или волну одного типа в волну
того же типа, но с другими параметрами. Эти устройства должны
обеспечить допустимое согласование с подключаемыми линиями в
требуемой полосе частот, высокий КПД и необходимую элект-
рическую прочность. Поэтому подобные двухплечные устройства
могут быть представлены эквивалентным взаимным четырехпо-
люсником. В идеальном случае это согласованный четырех-
полюсник, описываемый матрицей ||S|| (12.43) при А/=2, где Sn =
= S22=0 и Sl2 = S2i =exp(-icp). Фазовый сдвиг q>, возникающий между
волнами на входе и выходе трансформатора, зависит от выбора
плоскостей отсчета фаз ,в его входном и выходном плечах. По-
добные переходы (многоступенчатые и плавные) между линиями
одного типа, работающими на основном типе волны, но имеющими
разные размеры поперечного сечения, рассматривались в гл. 12.
Отметим, что описанные ранее устройства (см. рис.13.5-13.12)
представляют собой трансформаторы ТЕМ-волны, распространяю-
щейся в коаксиальной линии, в одну из волн прямоугольного или
круглого волновода. Иногда такие устройства называют коакси-
ально-волноводными переходами.
27* 419
Рис.13.14
Если прямоугольный и кру-
глый волновод работают в од-
новолновом режиме на низшем
типе волны, то для перехода от
одного волновода к другому
чаще всего используют плав-
ный переход с постепенной де-
формацией формы поперечно-
го сечения от прямоугольной к
круглой (см. рис.13.14). При дли-
не такого перехода £>Л, волны высшего типа практически не воз-
буждаются и волна Н10 плавно трансформируется в волну При
этом полоса согласования перехода получается весьма широкой
(см. гл. 12).
Переходы между коаксиальной линией и полосковыми ли-
ниями (СПЛ или МПЛ), работающими на низшем типе волны, как
правило, строятся по схемам, изображенным на рис. 13.15 и 13.16
и называемым соосной (см. рис.13.15) или перпендикулярной (см.
рис. 13.16). Обозначения поперечных размеров СПЛ (см, рис. 13.15) и
МПЛ (рис. 13.16) те же, что и на рис. 10.39 и 10.45 соответственно.
Волновые сопротивления сочленяемых линий делают одинако-
выми. Внутренний диаметр внешнего проводника коаксиальной
линии обычно выбирают равным b при переходе на СПЛ
(рис. 13.15) или 2h при переходе на МПЛ (рис. 13.16), Для расши-
рения полосы согласования соосной конструкции (рис. 13.15) ис-
пользуют плавный переход от внутреннего проводника коакси-
альной линии к полоске СПЛ. Согласование перпендикулярной
конструкции (рис.13.16) обеспечивается подбором металлического
стержня 2R,, вводимого в МПЛ, диаметра отверстия D в экране
МПЛ, а также подбором длины согласующего шлейфа Лил, разомк-
нутого на конце.
Рис.13.15
Рис.13.16
420
Рис. 13.17
Вращающиеся сочленения необходимы в тех случаях, когда
энергия электромагнитных волн передается от неподвижного пере-
датчика к антенне, вращающейся в горизонтальной или верти-
кальной плоскости. Эти сочленения следует выполнять так, чтобы
уровень мощности, поступающий в антенну, не зависел от ее угло-
вого положения. Для этого в конструкции таких сочленений ис-
пользуют линии передачи, энергию по которым переносят волны
со структурой поля, обладающей осевой симметрией. Этому тре-
бованию удовлетворяют коаксиальная линия с ТЕМ-волной, круг-
лый волновод с волной имеющей круговую поляризацию элек-
трического поля. Одна из возможных конструкций вращающегося
сочленения схематически изображена на рис. 13.17. Мощность,
переносимая волной Н10 по прямоугольному волноводу, через ко-
аксиально-волноводный переход поступает в коаксиальную линию.
Центральный проводник коаксиальной линии поддерживается с
помощью двух Т-изоляторов, представляющих собой четвертьвол-
новые короткозамкнутые коаксиальные шлейфы, включенные па-
раллельно основной линии. Входное сопротивление шлейфов зна-
чительно больше волнового сопротивления основной коаксиаль-
ной линии, поэтому Т-изоляторы слабо влияют на передачу
энергии по коаксиальной линии при условии, что устройство рабо-
тает в сравнительно узкой полосе частот. Через второй коаксиаль-
но-волноводный переход мощность из коаксиальной линии посту-
пает в прямоугольный волновод на выход вращающегося сочле-
нения. Между подвижной частью 2 (рис.13.17) и неподвижной 1
включено дроссельное сочленение, благодаря чему сохраняется
хороший электрический контакт между вращающейся и неподвиж-
ной частями устройства даже при наличии небольшого зазора в
сечении АД (рис.13.17). Аналогично строятся вращающие сочле-
нения с использованием круглого волновода.
421
13.4. УСТРОЙСТВА, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ
ПЕРЕДАВАЕМОЙ МОЩНОСТЬЮ
13.4.1. Аттенюаторы
В процессе настройки и измерения параметров различных
устройств возникает необходимость в регулировке уровня мощ-
ности, передаваемой по тракту, либо в развязывающих устрой-
ствах, ослабляющих реакцию нагрузки на генератор. Устройства,
выполняющие подобные функции, называют аттенюаторами
(ослабителями). Такие устройства, имеющие, как правило, два
плеча, характеризуются вносимым затуханием Мэат=101д(Рвх/Рвых),
где Рвх и РВых- мощности на входе и выходе аттенюатора соот-
ветственно. В регулируемых аттенюаторах N3aT может меняться
плавно или принимать ряд дискретных значений (плавные или
дискретные аттенюаторы). При конструировании реальных
аттенюаторов обычно требуют, чтобы затухание в рабочей
полосе частот оставалось постоянным, обеспечивалось требуемое
согласование аттенюатора с подводящими линиями передачи, а
фазовый сдвиг <р, получаемый волной при прохождении через
аттенюатор, был пропорционален частоте. Поэтому подобные
двухплечные устройства могут быть представлены эквивалентным
взаимным четырехполюсником, описываемым матрицей || S || (12.43)
при N=2. В идеальном случае это согласованный четырехполюс-
ник, элементы матрицы || S || которого равны Sn=S22=0, S]2==
= exp[-A/MT/(20lg e)]exp(-i<p)=sexp(-W3aT/8,68)exp(-i<p).
В волноводных трактах обычно используют два типа атте-
нюаторов: поглощающие и предельные. В поглощающих часть
входной мощности рассеивается внутри аттенюатора, а оставшая-
ся часть поступает на его выход. На рис. 13.18 схематично пока-
зана одна из возможных конструкций поглощающего аттенюатора.
Она состоит из отрезка прямоугольного волновода, работающего в
одноволновом режиме, в который помещается параллельно
линиям электрического поля тонкая диэлектрическая пластина,
покрытая слоем поглощающего материала (графит, слой металла,
толщина которого меньше глубины проникновения, и т.д.). Для
диэлектрическая поглощающий
Рис. 13.18
422
уменьшения отражений концы пластины заостряют. Под влиянием
электрического поля в поглощающем слое возникает ток про-
водимости, что вызывает увеличение затухания распростра-
няющейся волны. Поскольку амплитуда вектора Е волны Н10
изменяется вдоль широкой стенки, то, перемещая пластину в этом
направлении, можно в широких пределах изменять величину
вносимого затухания W3BT. Максимальное вносимое затухание
получается при расположении пластины в центре широкой стенки,
а минимальное-вблизи узкой. При фиксированном положении
пластины величина зависит от длины пластины, параметров
диэлектрика и свойств поглощающего материала. К недостаткам
таких аттенюаторов можно отнести: зависимость от частоты;
изменение фазового сдвига ср, получаемого волной при распрост-
ранении со входа на выход, при изменении вносимого затухания,
поскольку перемещение пластины в поперечной плоскости вызы-
вает изменение фазовой скорости распространяющейся волны;
изменение вносимого затухания со временем из-за старения
материалов.
Предельный аттенюатор обязательно содержит отрезок вол-
новода, размеры которого выбраны так, что он является пре-
дельным для всех типов волн. В такой отрезок (рис.13.19) на
некотором расстоянии t друг от друга вводятся два электрических
или магнитных вибратора, один из которых подсоединяется к
источнику электромагнитных колебаний, а другой соединяется с
нагрузкой. Мощность, поступающая от источника, вызывает токи в
первом вибраторе, что приводит к возбуждению разных типов волн
в волноводе (см. 13.2). Однако в данном случае для каждого
возбуждаемого типа вдоль волновода устанавливается стоячая
волна с экспоненциальным убыванием амплитуды вдоль волно-
вода EBblx = Eoexp(-a^), где Евых-амплитуда напряженности элект-
рического поля в месте расположения приемного вибратора, а Ео-
в месте расположения возбуждающего вибратора, а=(2лА)х
х^(Х/ А.ф)г -1, а А-кр -критическая длина волны возбуждаемого ти-
па, обычно волны Н10. Электромагнитное поле возбужденной волны
вызывает ток в приемном виб-
раторе, вследствие чего часть
входной мощности поступает в
нагрузку. Поскольку величина то-
ка в приемном вибраторе пропор-
циональна величине Евых, то ве-
личина мощности, поступающей в
нагрузку, зависит от I. Переме-
щением приемного вибратора
вдоль волновода можно менять
величину мощности, поступающей
Рис. 13.19
423
2
Ав
—к
z
“Г
Rl Ri
Рис. 13.20
1 Да 2
zT^r^^Qr^z;
-----X—.»-,Х-ы 0--
”-2 -
Рис.13.21
в нагрузку, остальная мощность отражается от входа аттенюатора,
т.е. регулирование мощности на выходе такого аттенюатора осу-
ществляется за счет изменения уровня отражений от его входа.
В полосковых трактах обычно применяют дискретные ступен-
чатые аттенюаторы на сосредоточенных резисторах. Каждая сту-
пень аттенюатора, как правило, имеет вид или Т- или П-образного
соединения активных сопротивлений, ко входу и выходу которого
подключены подводящие полосковые линии с волновым сопротив-
лением ZB. На рис.13.20 и 13.21 показаны эквивалентные схемы
ступени. По известным величинам ZB,Ri и Rz с помощью (12.52)
или (12.53) нетрудно найти матрицу сопротивлений ||Z|| или мат-
рицу проводимостей | У ||, а по (12.47) или (12.48)-матрицу рас-
сеяния. || S || для рассматриваемых схем (рис. 13.20 и 13.21). Исполь-
зуя найденные элементы матрицы || S ||, определяют согласование
на входе схемы КБВ=(1-| Sn |)Д1 +1 Sn |) и вносимое схемой за-
тухание Л/зат=Ю1д(1/|^1|2). Используя полученные формулы для
КБВ и Л/зат, несложно получить следующие формулы (формулы
синтеза) для определения величины резисторов исходя из тре-
буемого вносимого затухания ступени Л/зат и обеспечения согла-
сования с подводящими линиями (КБВ = 0):
для Т-образной схемы
Ri=ZJA, R2=Zg/B;
для П-образной схемы
f?i= Z3A. R2 — ZBB,
А = (К+ЩК-1), В=(№-1И2Х), где № = 10Wm’/w.
Следует отметить, что сосредоточенные резисторы приме-
няют в полосковых конструкциях устройств диапазона СВЧ на
частотах вплоть до 12... 18 ГГц. Однако на частотах выше 1...2 ГГц
используют специальные конструкции резисторов, называемые
ЧИП-резисторы [49]. Это элементы, специально разработанные
для применения в микрополосковых линиях в составе гибридных
интегральных схем. Такой резистор представляет собой весьма
малую диэлектрическую пластину, на которую нанесены рези-
стивный слой (поглощающая пленка) и контактные площадки
(рис. 13.22). Например, один из типичных размеров пластины
424
Рис.13.22
Рис. 13.23
1x1x0,8 мм, при этом размер участка с резистивным слоем
0,5x1 мм, а контактных площадок 0,25x1 мм. Столь малые раз-
меры и позволяют рассматривать такие элементы в качестве
сосредоточенных резисторов на частотах до 12...18 ГГц. На
рис. 13.23 показана микрополосковая конструкция Т-звена с
использованием ЧИП-резисторов. Иногда ступень выполняется в
виде отдельного ЧИП, при этом Т- или П-образная схема раз-
мещается на подложке малых размеров, где имеется три вывода
(контактные площадки) для установки на полосковую плату. Ис-
пользуя набор отдельных ступеней с разными вносимыми зату-
ханиями, можно построить дискретный аттенюатор, обеспечи-
вающий ряд фиксированных значений вносимого затухания, отли-
чающихся на постоянную величину ДА/ЗЭТ, называемую дискретом
затухания. Управление такими аттенюаторами обычно осуществ-
ляется с помощью электрически управляемых переключателей на
p-i-n диодах (см. 13.5).
13.4.2. Тройники
Тройником называется трехплечное устройство (шестипо-
люсник), образованное сочленением трех отрезков линии переда-
чи. Такое устройство описывается матрицей | S || (12.43) при N=3.
Тройники обычно используют либо для деления мощности вход-
ного сигнала на две (в общем случае неравные части), которые
передаются по отдельным линиям передачи, либо для сложения и
передачи по одной линии сигналов, создаваемых двумя источни-
ками. В зависимости от типа сочленяемых линий тройники назы-
вают волноводными, коаксиальными, полосковыми, коаксиально-
волноводными, коаксиально-полосковыми и т.д. Наиболее часто
применяют Т-образные тройники (рис. 13.24) (продольные оси двух
отрезков линии совпадают, а ось третьего перпендикулярна к ним)
и У-сочленения (угол между продольными осями соседних от-
резков линии равен 120°) (рис. 13.25). Для волноводных тройников
используют, кроме того, дополнительную классификацию. Если
425
Рис. 13.24
разветвление волноводов' происходит в плоскости, параллельной
продольным осям линий и вектору Е в каждой из них, тройник
называют Е-плоскостным, а если в плоскости, параллельной
продольным осям и вектору Н в каждой из них-то Н-плос-
костным. Волноводные Е-плоскостной и /-/-плоскостной Т-трой-
ники, а также /-/-плоскостное У-сочленение прямоугольных вол-
новодов показаны на рис. 13.28 и 13.27 и 13.25 соответственно. На
рис.13.24 изображен микрополосковый Т-тройник.
Рассмотрим принцип действия волноводного /-/-плоскостного
Т-тройника (рис.13.27). Все волноводы имеют одинаковые попе-
речные размеры и рассчитаны на одноволновый режим. Пусть в
плече 1 распространяется волна Н10, переносящая мощность
Эта волна возбуждает поле в области разветвления волноводов и
частично отражается обратно в плечо 1. Примерная структура
силовых линий возбуждаемого магнитного поля в области раз-
ветвления показана на рис. 13.28. При этом, поскольку плечи 2 и 3
расположены симметрично относительно плеча 1, в них возбуж-
даются волны Ню, векторы Е которых имеют одинаковые амп-
литуды и фазы на одинаковом расстоянии от плоскости симметрии
тройника (см. возбуждение прямоугольного волновода рис. 13.12
или 13.13). Для устранения отраженной волны в плече 1 в тройник
параллельно вектору Е вводят индуктивный штырь, как показано
на рис.13.27. Штырь создает в плече 1 дополнительную отра-
женную волну, компенсирующую первую. Полную компенсацию
обеспечивают, подбирая величины d и t (см. рис. 13.27). В согла-
426
сованном таким образом трой-
нике мощность Ру поровну де-
лится между выходными плеча-
ми 2 и 3, т.е. Р2 = Рз=Р1/2. Имеет
место и обратное явление: если
в плечах 2 и 3 одновременно
возбудить волны Н10 с одина-
ковыми амплитудами и фазами
векторов Е, то мощности, пере-
Рис. 13.28
носимые волнами, сложатся и
поступят в плечо 1. При подаче мощности в плечо 2 тройника
мощности на выходах плеч 1 и 3 уже не будут равны друг другу из-
за их несимметричного относительно плеча 2 расположения.
Кроме того, в плече 2 появится отраженная волна, т.е. тройник,
согласованный со стороны плеча 1, будет рассогласован со
стороны второго и третьего плеч [48]. Очевидно, что из всех
возможных конструкций Н-тройников только У-сочленение (см.
рис. 13.25) обеспечивает равное деление мощности между вы-
ходными плечами при возбуждении любого из трех плеч.
Если в плече 1 волноводного Е-плоскостного Т-тройника (см.
рис. 13.26) возбудить волну Н10, переносящую мощность Р^, то эта
волна, частично отражаясь, будет возбуждать поле в области
разветвления. Примерная структура силовых линий вектора Е,
возникающего в области разветвления, показана на рис.13.29. При
этом в плечах 2 и 3 возбуждаются волны Ню, векторы Е которых
имеют одинаковые амплитуды, а их фазы отличаются на л на
одинаковом расстоянии от плоскости симметрии тройника. Для
компенсации отраженной волны в плече 1 создают дополни-
тельную отраженную волну, помещая в это плечо индуктивную
диафрагму (см. рис. 13.26) и подбирая ширину щели в диафрагме и
расстояние от диафрагмы до разветвления. В согласованном
таким образом тройнике входная мощность Р, делится пополам и
поступает на выходы плеч 2 и 3. Имеет место и обратное явление.
Если в плечах 2 и 3 одновременно возбудить волны Н]0, векторы Е
которых на одинаковом расстоянии от плоскости симметрии
тройника будут иметь одинаковые амплитуды, а их фазы будут
отличаться на л, то в области разветвления образуется электро-
магнитное поле, примерная
структура силовых линий векто-
ра Е которого показана на
рис.13.29. При этом в плече 1
будет возбуждаться волна Н-.а,
переносящая мощность, равную
суммарной мощности, посту-
пающей в плечи 2 и 3.
Рис.13.29
427
1
Рис,13.30
Рис. 13.31
Волноводные тройники могут строиться из волноводов разных
типов. На рис. 13.30 показан волноводный Т-тройник, образо-
ванный отрезками прямоугольного и круглого волноводов, рабо-
тающих на низшем типе волны. Такой тройник обладает рядом
интересных свойств. При возбуждении волны Н10 в плече 1 в
области разветвления возникает структура электрического поля,
показанная на рис, 13.31, а. Поскольку плечи 2 и 3 расположены
симметрично относительно плеча 1, в круглом волноводе воз-
буждаются две волны Нц, бегущие в разные стороны от развет-
вления и имеющие одинаковые амплитуды и фазы векторов Е2 на
одинаковом расстоянии от плоскости симметрии. При этом плос-
кость поляризации векторов Ег волн Нц в центре круглого
волновода перпендикулярна продольной оси волновода плеча 1.
Подобный тройник можно использовать в качестве трансфор-
матора волны Н10 прямоугольного волновода в волну Нц круглого,
если в плече 3 установить короткозамыкающую пластину на рас-
стоянии Л/4 от центра разветвления (см. коаксиально-волно-
водный переход рис.13.5), где Л-длина волны Нц в круглом
волноводе. Если в тройнике (см. рис. 13.30) возбудить в плече 2
волну Нц, для которой вектор Ei в центре волновода параллелен
продольной оси прямоугольного волновода, то мощность, пере-
носимая этой волной, в плечо 1 ответвляться не будет. Примерная
картина силовых линий вектора электрического поля, возни-
кающего при этом в области разветвления волноводов, показана
на рис, 13.31, & В этом случае волна Н10 в плече 1 не возбуждается.
Поэтому мощность со входа 2 проходит в плечо 3 и частично
отражается от области разветвления в плечо 2. Для устранения
отражений в щели в месте сочленения волноводов располагают
тонкие металлические провода (см. рис.13,30). Этим уменьшается
влияние щели на распространение волны Нц с поляризацией Ец В
то же время провода практически не влияют на передачу
мощности из прямоугольного волновода в круглый, поскольку
вектор Е как в прямоугольном волноводе, так и в круглом (для
поляризации Е2) перпендикулярен им.
420
Рассмотрим полосковые и коаксиальные
тройники. На рис.13.32 показана прибли-
женная эквивалентная схема такого трой-
ника. Пусть волновые сопротивления линий,
образующих плечи 1, 2 и 3, равны ZBl, ZBz и
Zh3 соответственно. Предположим, что в
плече 1 распространяется низшая волна, пе-
реносящая мощность Рь а плечи 2 и 3 нагру-
жены на согласованные нагрузки. Поскольку
линия, образующая плечо 1, в точках раз-
ветвления (рис.13.32) нагружена на парал-
лельное соединение входных сопротивлений линий, образующих
плечи 2 и 3, и равных их волновым сопротивлениям, то условие
отсутствия отраженной волны от места соединения линий можно
записать в виде 1/Zb1 = 1/Zb2 + 1/Zb3. Мощность, переносимая по
линии там-волной, обратно пропорциональна волновому сопро-
тивлению линии (12.2), поэтому, поскольку линии в плечах 2 и 3
подключены параллельно, отношение мощностей, поступающих на
выходы 2 и 3 плеч, будет равно P2/P3 = Zb3/Zb2. Если обозначить
Рг/Р3=т, то записанные выше соотношения позволяют найти Zb2 и
Zb3, при которых для заданных ZB1 и т входная мощность
полностью поступает в выходные плечи: Za2=ZBl(m + 1)/m и ZB3=
=Ze1(m + 1). При равном делении входной мощности (т = 1) имеем
ZB2 = Zb3 = 2Zb1. На рис. 13.24 показана конструкция микрополос-
кового тройника. Отметим, что для рассматриваемой конструкции
эквивалентная схема (см. рис. 13.32) не учитывает влияние не-
однородности, возникающей в месте разветвления микропо-
лосковых линий, на распространение волн. Обычно влияние не-
однородности незначительно, если геометрические размеры об-
ласти разветвления много меньше длины волны. Для построения
уточненной эквивалентной схемы тройника (рис.13.24) следует в
схему (рис. 13.32) включить эквивалентную схему неоднородности,
приведенную в [36]. Если требуется, чтобы волновые сопро-
тивления всех линий, подключаемых к плечам тройника, были оди-
наковы и равны ZB, то между местом разветвления и выходами
плеч 2 и 3 включают трансформирующие отрезки линии
передачи с волновыми сопротивлениями ZTp1 и ZTp2 соответственно
(рис.13.33), причем длина каждого отрезка равна Дс/4, где Ло-
длина волны в линии, образующей трансформатор, на расчетной
частоте Для обеспечения требуемого коэффициента деления
мощности т и отсутствия отраженной волны в плече 1 на частоте
f0 величины ZTp1 и 2^р2 следует определять из формул ZTp, =
= ZBVm + 1 /Jm и ZTp2 = Zsy/m + ‘\. При m = 1 (равном делении
входной мощности) ZTp1=ZTp2=ZBV2. Отметим, что при откло-
429
нении рабочей частоты f от fQ во входном плече 1 появляется
отраженная волна, т.е, появляется рассогласование. Полоса со-
гласования тройника со стороны плеча 1 при л? = 1 будет такая же,
как и у четвертьволнового трансформатора, согласующего актив-
ные сопротивления, отличающиеся в 2 раза (см. гп.12). Для
расширения полосы согласования со стороны плеча 1 используют
несколько трансформирующих ступеней (см, ступенчатый переход
гл. 12) [33]. При этом можно обеспечить или максимально плоскую
или чебышевскую АЧХ согласования. При подаче сигнала в плечо 1
(рис. 13.33) фазы сигналов, поступающие на выход плеч 2 и 3,
будут одинаковыми независимо от коэффициента деления т и
рабочей частоты f.
Как показано в [46], реактивные шести полюсники, к которым
относятся рассматриваемые конструкции (рис.13.24 и 13.33), не
могут быть одновременно согласованными со стороны всех плеч,
т.е. если обеспечить 2^ = 0, то S^O и 5з3*о. Кроме того, для
таких устройств S^O, т.е. между плечами 2 и 3 существует связь.
Однако в некоторых применениях к тройникам предъявляют ряд
дополнительных требований: обеспечение согласования со сто-
роны всех плеч (Sn = S22= 5з3=0) и обеспечение развязки (от-
сутствие связи) между выходными плечами 2 и 3 (S23=S32=0).
Например, если тройник используется для сложения мощностей от
двух генераторов, работающих на одной частоте. В этом случае
стабильная работа генераторов наблюдается при отсутствии
отраженных волн от входов тройника и отсутствии взаимной связи
между ними. Кроме того, в случае если тройник используется для
деления входной мощности, то развязка между плечами 2 и 3
устраняет взаимную связь между несогласованными нагрузками,
подключенными к ним.
Для обеспечения согласования со стороны всех плеч и
развязки между плечами 2 и 3 в схему тройника (см. рис. 13.33)
вводят поглощающие элементы, чаще всего сосредоточенные
резисторы (см, рис.13.34), называемые балластными сопротив-
лениями. Поскольку электрические расстояния от плеча 1 до точек
А и В, к которым подключен резистор, равны, при возбуждении
430
плеча 1 в точках А и В ус-
танавливаются одинаковые по-
тенциалы и ток через резистор
отсутствует, т. е. резистор не
влияет на передачу мощности
из плеча 1 в плечи 2 и 3. При
возбуждении плеча 2 мощность
в плечо 3 поступает двумя пу-
тями: через резистор и через
два четвертьволновых транс-
форматора, т.е, в плече 3 воз-
Рис. 13.35
буждается две волны. Одинако-
вые амплитуды этих волн обеспечиваются выбором величины
резистора /?бал- Если расстояние между точками А и В сделать
достаточно малым по сравнению с длиной волны (обычно
трансформаторы изгибаются для сближения их концов), то сдвиг
по фазе волн в плече 3 будет близок к л из-за разных путей,
проходимых волнами. Поэтому волны в плече 3 компенсируют друг
друга и мощность из плеча 2 не поступает в плечо 3, она частично
проходит в плечо 1 и частично рассеивается в резисторе. Для
полного согласования тройника и получения идеальной развязки
между плечами 2 и 3 его параметры следует выбирать по
формулам [47] = 1/Zb1Zb2 Vm +1 /Vm; ZB2/ZB3=m; Zt₽2=1/Zb1Zb2 x
x +1 и RBan=Zrp1ZTp2/ZBl. Здесь волновые сопротивления подво-
дящих линий к любым двум плечам могут быть выбраны
произвольно. В случае равного деления мощности при т = 1 и
Zb1=Zb2 = Zb3=Zb получается Zrp1=ZTp2 = J2ZB и R6an = 2ZB. Если
требуется обеспечить одинаковые волновые сопротивления
подводящих линий Zb1=Zb2=Zb3=Z3 при неравном делении (т*1),
применяют дополнительные четвертьволновые трансформаторы
(рис.13.35). Формулы для расчета подобной схемы можно найти в
[30]. Отметим, что в рассмотренных схемах идеальное согла-
сование плеча 1 и идеальная развязка между выходными плечами
будут лишь на расчетной частоте, для которой длины всех транс-
форматоров равны А(/4. Кроме того, рассмотренные тройники
обеспечивают деление входного сигнала в заданном отношении т
и синфазные выходные сигналы на любой частоте рабочего
диапазона. Более подробные сведения о частотных характери-
стиках полосковых тройников можно найти в [40]. Аналогично
конструируются тройники из отрезков коаксиальной линии.
431
13.5. ФАЗОВРАЩАТЕЛИ
Фазовращатели-это устройства, служащие для изменения
фазы электромагнитной волны, поступающей на их вход. На
практике применяют проходные и отражательные фазовращатели.
Проходной фазовращатель является двухплечным устройством. В
идеальном случае электромагнитная волна должна проходить со
входа на выход такого устройства без отражений и затухания,
получая лишь фазовый сдвиг Дф. В этом случае фазовращатель
можно представить в виде эквивалентного четырехполюсника,
матрица ]jS|| которого определяется формулой (12.43) при N=2,
где St, = S22 = 0; S12 = S21 = exp(-iДф). Отражательный фазовра-
щатель является одноплечным устройством, которое в идеальном
случае полностью отражает электромагнитную волну, поступаю-
щую на его вход. При этом фаза отраженной волны изменяется на
Дф по отношению к фазе падающей волны. Такой фазовращатель
можно представить в виде эквивалентного двухполюсника, описы-
ваемого коэффициентом отражения на входе Г=ехр(-1Дф). Фа-
зовый сдвиг, вносимый фазовращателем, может быть или фик-
сированным или управляемым. В фазовращателях с регулируе-
мым фазовым сдвигом величина Дф может изменяться плавно
(плавные или аналоговые фазовращатели) или скачкообразно
(дискретные фазовращатели). Управление вносимым фазовым
сдвигом обычно осуществляют или механическим, или электри-
ческим путем. В механических фазовращателях изменение вно-
симого фазового сдвига происходит вследствие перемещения
отдельных элементов конструкции, а в электрических-под воз-
действием подаваемых электрических сигналов.
Простейшим фазовращателем проходного типа является от-
резок линии передачи длиной t, проходя который электромаг-
нитная волна получает фазовый сдвиг Дф = 2тг£/А. Для изменения
часть
Рис.13.36
Дф можно или изменять длину
отрезка г, или изменять вели-
чину фазовой скорости волны в
пределах отрезка, т.е. изменять
электрическую длину отрезка
f/Л. На рис. 13.36 изображена
схема проходного механичес-
кого плавного фазовращателя,
построенного на основе коакси-
альной линии: Перемещением
подвижной части изменяется
длина линии между входом и
выходом устройства. Для уст-
432
ранения отражений проходящей волны скользящие контакты во
внешнем и внутреннем проводниках разнесены, что позволяет
обеспечить одинаковое волновое сопротивление ZB во всех сече-
ниях линии независимо от положения подвижной части. Компен-
сация отражений в местах скачкообразного изменения диаметров
внешнего и внутреннего проводников коаксиальной линии обес-
печивается последовательным включением коротких отрезков
коаксиальной линии с большей величиной волнового сопротив-
ления, чем Za. Эквивалентной схемой таких отрезков является
последовательно включенная индуктивность (см. табл. 12.1), вели-
чина которой подбирается так, чтобы компенсировать влияние
емкости в эквивалентной схеме стыка коаксиальных линий с раз-
ными размерами металлических проводников [33].
Изменение фазовой скорости волны, распространяющейся по
отрезку линии, можно обеспечить с помощью изменения пара-
метров среды, заполняющей этот отрезок. При этом можно
изменять вносимый фазовый сдвиг, не изменяя длину отрезка
линии. Пусть в прямоугольный волновод, по которому распрост-
раняется волна Н10, введена тонкая диэлектрическая пластина
длиной t параллельно боковым стенкам волновода (см. рис.13.16).
Для уменьшения отражений концы пластины заострены. В этом
случае на участке волновода, содержащем пластину, структура
электромагнитной волны несколько изменится, поскольку электро-
магнитное поле появится внутри пластины. При этом часть мощ-
ности будет переноситься внутри пластины, а часть-в окружаю-
щем ее воздухе. Из-за этого скорость распространения волны на
участке волновода с пластиной будет меньше, чем скорость
распространения волны Уфо в незаполненном волноводе. Это яв-
ление можно учесть при вычислении фазовой скорости волны в
волноводе с пластиной по формуле (9.14), если в ней заменить е
на эффективную относительную диэлектрическую проницаемость
2гэф=^фоЛ/ф. Анализ волн в прямоугольном волноводе, частично
заполненном диэлектриком [48], показывает, что Егэф увеличи-
вается с увеличением sr пластины и ее толщины. Кроме того,
поскольку амплитуда вектора Е волны Н10 изменяется вдоль
широкой стенки волновода по синусоидальному закону, то, изме-
няя расстояние от пластины до узкой стенки, можно изменять еГзф
примерно от 1 (пластина расположена вблизи узкой стенки, где
амплитуда вектора Е близка к нулю, поэтому мощность, пере-
носимая волной внутри пластины, равна нулю) до некоторой
максимальной величины (пластина расположена в середине ши-
рокой стенки, где амплитуда вектора Е максимальна, 'поэтому
максимальна и энергия, переносимая волной внутри пластины).
Конструкция плавного волноводного фазовращателя близка к
28-45 433
конструкции поглощающего аттенюатора (см. рис. 13.18) и отлича-
ется от нее только тем, что на диэлектрической пластине фазо-
вращателя отсутствует поглощающий спой. Плавно изменяя
расстояние от пластинЬ| до узкой стенки, удается плавно изменять
вносимый фазовый сдвиг, причем наибольшая величина Лф будет
при размещении пластины в середине широкой стенки волновода.
Фазовращатели с электрическим управлением могут быть
выполнены на коммутационных диодах СВЧ, на намагниченных
ферритах (см.14.3.3) или на сегнетоэлектрических элементах [49].
Наибольшее распространение получили дискретные фазовраща-
тели на коммутационных диодах. Использование полупроводни-
ковых элементов и м икрополосковой линии передачи позволяет
выполнять конструкции фазовращателей на основе печатных плат
или включать в состав интегральных схем СВЧ. В качестве ком-
мутационных диодов обычно используют р-/-л-диоды. Структура
такого диода является трехслойной (рис. 13.37, а): между хорошо
проводящими полупроводниковыми слоями с дырочной (слойр) и
электронной (слой л) проводимостями расположен достаточно
широкий слой с низкой проводимостью, близкой к собственной
проводимости полупроводника (слой /). Торцевые поверхности
диода металлизируют и используют в качестве выводов. Если к
диоду приложить постоянное напряжение, называемое смеще-
нием, так, что плюс источника смещения соединен с слоем р, а
минус-со слоем л, то сопротивление слоя /, а значит, и всего
диода резко уменьшится за счет поступления в этот слой эле-
ктронов из слоя п и дырок из слоя р. Такое смещение называют
прямым. При приложении к диоду обратного смещения (плюс
источника смещения соединен со слоем л) сопротивление диода
резко возрастает, поскольку все постоянное напряжение оказы-
вается приложенным к слою /, где создается сильное электри-
ческое поле, способствующее удалению свободных зарядов из
этого слоя. Поэтому если к диоду одновременно приложить
смещение и достаточно малое переменное напряжение высоко-
частотного сигнала, то для последнего диод будет вести себя по-
разному в зависимости от полярности смещения: при прямом
смещении диод облвдает малым активным сопротивлением R+
а)
р- слой
i- слой
п- слой
Рис.13.37
(несколько Ом) и его можно
представить в виде эквивале-
нтной схемы (рис.13.37, б), где
Ls учитывает индуктивность вы-
водов диода; при обратном сме-
щении активное сопротивление
диода R_ достаточно велико
(несколько кОм) и его можно
представить в виде эквивале-
434
2 ZB
-у—
D2 ВЫХ 1
---0—
2
ВЫХ2 °1/
ВХОД/ze
1
Рис.13.38
нтной схемы (рис.13.37, е), где С, учи-
тывает общую емкость диода в этом
состоянии (обычно величина С,= 0,3...1
пФ). В настоящее время разработано
большое число конструкций p-i-n дио-
дов, предназначенных для работы в
разных типах линий передачи при раз-
личных уровнях передаваемой мощнос-
ти [50]. На основе p-i-n диодов строятся схемы переключателей,
устройств, имеющих одно входное плечо и несколько выходных.
Прикладывая прямое или обратное смещение к p-i-n диодам,
удается высокочастотный сигнал, подаваемый на вход пере-
ключателя, передать полностью в одно (любое) из выходных плеч.
На рис. 13.38 показана эквивалентная схема двухкан ап иного
переключателя с последовательным включением p-i-n диодов. При
подаче прямого смещения на один диод и обратного на другой
входная линия оказывается подключенной к выходу с открытым
диодом. Существуют схемы переключателей с параллельным
включением диодов [51].
Рассмотрим построение проходного дискретного фазовра-
щателя на p-i-n диодах. Это устройство, в котором в результате
воздействия управляющего сигнала на один или несколько p-i-n
диодов происходит скачкообразное изменение вносимого фазо-
вого сдвига для распространяющейся волны без изменения ее
амплитуды. Как правило, такой фазовращатель позволяет изме-
нять вносимый фазовый сдвиг в пределах от 0 до 2л с дискретом
8ф. При этом число различных фазовых состояний р=2л/8ф, а
вносимый фазовый сдвиг в /с-м состоянии равен Лф*=/с-8ф, где к=
= 0,1,,,.,р-1. Фазовращатель можно построить, например, в виде
каскадного соединения т проходных фазовращателей (рис. 13.39),
каждый из которых создает лишь два значения вносимого фа-
зового сдвига 0 или л/г’-1, где g = 1,2,...,m. Количество каскадов
можно определить по формуле т - log2 [2л/Дф].
На рис. 13.40 показана эквивалентная схема дискретного
фазовращателя на переключаемых отрезках линии. Схема обеспе-
чивает два значения вносимого фазового сдвига. Она состоит из
двух отрезков линии разной длины и t2, подключаемых к ос-
новной линии с помощью двух двухканальных переключателей на
p-i-n диодах (см. рис.13.38). Если к диодам и D2 приложено
прямое, а к диодам D3 и D4 обратное смещение, то высоко-
28*
Рис. 13.39
435
Рис Л 3.40
частотный сигнал со входа фа-
зовращателя поступает на его
выход через отрезок Л, а при
изменении смещения на всех
диодах-через отрезок 12. В
этом случае при изменении сме-
щения на диодах вносимый
фазовый сдвиг изменяется на
величину 2я(6-ЛУЛ, т.е., под-
бирая длину отрезков, можно обеспечить требуемые значения
вносимого фазового сдвига. Существуют и иные схемы проходных
фазовращателей на p-i-n диодах, обеспечивающие лишь два
значения вносимого фазового сдвига [51].
Отметим, что были рассмотрены базовые схемы переклю-
чателей и фазовращателей на p-i-n диодах. При реализации
практических конструкций эти схемы могут быть дополнены дру-
гими элементами, например элементами для подачи смещения на
диоды, элементами, компенсирующими реактивности эквивале-
нтной схемы p-i-n диода и т.д. Более подробно с вопросами
проектирования переключателей и дискретных фазовращателей
можно ознакомиться в [51].
13.6, ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА
Для увеличения объема передаваемой информации в спут-
никовых системах связи и вещания при передаче сигналов обычно
используют электромагнитные поля с круговой поляризацией
вектора Е, причем одновременно применяют как волны с левым
вращением вектора Е, так и с правым. В этом случае общий тракт,
по которому распространяются волны с обоими направлениями
вращения вектора Е, строится, как правило, на круглом волноводе
с волной Нц и содержит ряд устройств для управления поля-
ризацией этой волны. Одним из базовых элементов поляриза-
ционных устройств является поляризатор-устройство для пово-
рота плоскости поляризации линейно поляризованного вектора Е
волны в круглом волноводе или для преобразования в круглом
волноводе волны Нц с линейной поляризацией вектора Е в волну
у которой на оси волновода вектор Е имеет круговую по-
ляризацию. и обратно. Конструкция поляризатора состоит из от-
резка круглого волновода, в котором находится тонкая диэле-
ктрическая пластина с согласующими скосами (рис. 13.41). Пусть по
волноводу распространяется волна с линейной поляризацией
вектора Еь направление которого на оси волновода совпадает с
осью X, указанной на рис. 13.41, а нормаль к поверхности пластины
436
Рис.13.41
Рис.13.42
Рис.13.43
составляет угол 0 с осью X. Представим распространяющуюся
волну в виде двух волн Нц, у одной из которых вектор напря-
женности электрического поля Е1П на оси волновода перпен-
дикулярен плоскости пластины, а у другой Е1(-параллелен ей
(рис.13.41). Как известно [48], эффективная диэлектрическая про-
ницаемость егзф в волноводе с диэлектрической пластиной зависит
от поляризации вектора Е распространяющейся волны. Для волны
Нц с вектором Е в центре волновода, совпвдающим с Е1п, зна-
чение Егэф=1, т.е. ее фазовая скорость равна скорости волны Нц в
волноводе с воздушным заполнением. Для волны Нц с вектором Е
в центре волновода, совпадающим с Е1(, значение ЕгЭф>1, т.е. ее
фазовая скорость будет меньше скорости волны Нц в волноводе с
воздушным заполнением. Следовательно, на выходе поляри-
затора фазы векторов Е1л и E1f будут отличаться на Лф. При этом в
общем случае вектор Е суммарной волны на выходе поляризатора
(Е = Е1л+Е1() будет иметь эллиптическую поляризацию. Отметим,
что величина Лф зависит от ег диэлектрика и от толщины и длины
пластины [52].
Пусть 0 = 1г/4и Дф = п/4. Такое устройство называют ^-поля-
ризатором. Если на его вход поступает волна Нц, вектор Е
которой на оси волновода линейно поляризован и параллелен оси
X (рис. 13.41) или оси У (рис. 13.42), то на выходе поляризатора
будет волна Нц, вектор Е которой на оси волновода имеет левую
или правую соответственно круговую поляризацию (см. 6.2). Ана-
логично если на вход л/2-поляризатора поступает волна Нц,
вектор Е которой на оси волновода имеет левую или правую
круговую поляризацию, то на выходе будет волна Нц, вектор Е
которой на оси волновода будет параллелен оси X (рис. 13.41) или
оси У (см. рис.13.42) соответственно.
Пусть Дф=п. Такое устройство называют п-попяризатором.
Если на вход п-поляризатора поступает волна Н1Ь вектор Е,
которой на оси волновода линейно поляризован и параллелен оси
X (рис.13.43), то на выходе поляризатора будет волна Н1Ь вектор
Е1ВЫХ которой на оси волновода будет повернут относительно
вектора Ei на угол 26 по часовой стрелке, если смотреть вдоль
437
направления распространения волны. Повора-
чивая диэлектрическую пластину вокруг оси
волновода, т.е. изменяя угол 0 от 0 до л/2,
можно поворачивать плоскость поляризации
волны на выходе на угол от 0 до тг по
отношению к плоскости поляризации волны на
входе.
Существуют и иные конструкции поляри-
заторов, в которых вместо диэлектрической
пластины используются металлические [52].
Для разделения линейно поляризованных волн с ортого-
нальными поляризациями используют поляризационные раздели-
тельные фильтры. На рис. 13.44 показана конструкция поляри-
зационного фильтра, состоящая из отрезка круглого волновода, в
котором помещена тонкая металлическая пластина. При подаче на
вход такого отрезка линейно поляризованной волны /71Ь у которой
вектор Е, на оси волновода направлен вдоль оси X, наблюдается
весьма малое отражение волны от пластины из-за ее незна-
чительной толщины, и волна в пренебрежении тепловыми поте-
рями полностью проходит на выход отрезка. Если же на вход
отрезка поступает волна Ни с вектором Е2, направленным на оси
волновода вдоль оси У, то для нее образуются два предельных
полукруглых волновода в месте расположения металлической
пластины, и при достаточной длине пластины такая волна в пре-
небрежении тепловыми потерями будет полностью отражаться от
входа фильтра.
На рис. 13.45 показана конструкция поляризационного разде-
лительного фильтра. Фильтр разделяет сигналы, переносимые по
волноводу волнами /7ц, векторы Е, и Е2 которых на оси волновода
взаимно перпендикулярны. Фильтр состоит из Т-тройника, обра-
зованного отрезками круглого и прямоугольного волноводов
(см. рис.13.30) и поляризационного фильтра (рис.13.44). Волна
с линейно поляризованным вектором Е, проходит из плеча 1 в
плечо 3, практически не отражаясь и не ответвляясь в плечо 2
(см.13.4.2). Поскольку поляризованный фильтр полностью отра-
жает волну /7ц с линейно поляризованным вектором Е2, то для
этой волны устройство является трансформатором волны /7ц
круглого волновода в волну /710 прямоугольного и наоборот. Под-
бором расстояния от металлической пластины поляризационного
фильтра до места разветвления волноводов обеспечивают полную
передачу мощности этой волны из плеча 1 в плечо 2. Устройство
(рис.13.45) можно использовать и для сложения в плече 1 двух
сигналов, одноврёменно подаваемых в плечо 2 (в виде волны Ню)
и в плечо 3 (в виде волны /7П с линейно поляризованным вектором ЕД
438
3
'поляриза-
ционный
фильтр
Т- тройник
Рис. 13.45
Если в плечо 1 конструкции (рис. 13.45) поместить л/2-поля-
ризатор (см. рис.13.42), то образуется устройство, обеспечиваю-
щее разделение сигналов, переносимых по круглому волноводу
волнами Иц, векторы Е которых имеют круговую поляризацию и
разное направление вращения.
439
Глава 14
ПАССИВНЫЕ УСТРОЙСТВА СВЧ
14.1. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТВЕТВИТЕЛИ И МОСТОВЫЕ
СХЕМЫ СВЧ
14.1.1. Направленные ответвители на связанных линиях
передачи
Направленным ответвителем в технике СВЧ называют че-
тырехплечное устройство, или восьмиполюсник (рис. 14.1), обла-
дающий следующим свойством: при подаче мощности в любое
плечо (например, в плечо 1) она не поступает в одно из выходных
плеч (плечо 3) и делится между двумя другими плечами (плечи 2 и
4). Коэффициент деления мощности между выходными плечами
зависит от конструкции ответвителя. Как правило, такие устройст-
ва строятся на основе двух близко расположенных отрезков линий
передачи, связанных между собой с помощью тех или иных эле-
ментов связи (см. 13.2). При этом мощность бегущей волны, рас-
пространяющаяся по одной из линий (например, по первой), час-
тично ответвляется в другую линию и поступает в одно из ее плеч.
Если направление распространения волны в первой линии изме-
нить на противоположное, то ответвленная мощность поступит в
другое плечо второй линии, т.е. имеет место направленное от-
ветвление передаваемой мощности.
Если мощность на входе плеча 1 равна Pi, а на выходах ос-
тальных плеч - соответственно Рг, Р3 и Р41 то основными парамет-
рами, характеризующими работу ответвителя, являются: коэффи-
циент связи по напряжению К= или К[дБ|=101д(Р4/Р1); на-
правленность О[дБ] = 101д(Р4/Рз); развязка А/рщв] = 10lg(Pi/P3); КСВ,
характеризующий согласование на-
правленного ответвителя с подводя-
щей линией при условии, что к ос-
тальным плечам подключены согла-
сованные нагрузки, а также диапазон
частот, в пределах которого сохраня-
рис.14.1 ются требуемые значения К, D, N? и
440
КСВ. В идеальном случае ответвитель полностью согласован с
подводящими линиями, не вносит потерь в передаваемые сигна-
лы, а мощности на его выходах (см. рис.14.1) зависят от коэффи-
циента связи: Р2=Р^-К2), Рз^О, P4=№Pi. Такой ответвитель
описывается матрицей рассеяния [S] (см. §12.3) при N = 4, в
которой нужно считать Stj = S22 = S33 = S44 = 0, S13 = S31 = S24 = S42 = 0,
js12[ = |s21| = |s34| = |s43|=Vi-K2, |S41| = [Sl4i = |s32! = |S23l=K.
Аргументы отличных от нуля элементов матрицы рассеяния зави-
сят от конструкции направленного ответвителя и от положения
плоскостей отсчета фаз в его плечах.
Перейдем к описанию конкретных типов направленных ответ-
вителей. Рассмотрим направленный ответвитель, образованный
двумя прямоугольными волноводами с общей боковой стенкой
(рис.14.2), работающими в одноволновом режиме. Пусть по пер-
вому (основному) волноводу из плеча 1 в плечо 2 распространяет-
ся волна Hw. Эта волна через одно отверстие связи в общей узкой
стенке создает во втором (связанном) волноводе две волны Н10,
одна из которых поступает в плечо 3, а вторая - в плечо 4. Чтобы
ответвленная часть мощности в связанном волноводе поступала в
одно выходное плечо, в общей узкой стенке волноводов прореза-
ют два одинаковых отверстия связи на расстоянии ^=Л/4, где Л-
длина волны Н10 на расчетной частоте. При этом к каждому из
плеч 3 и 4 будут приходить две волны Ню, возбужденные первым и
вторым отверстиями связи (рис.14.3). В плече 4 эти волны склады-
ваются синфазно (волны проходят одинаковые пути). В плечо 3
волны, возбужденные первым и вторым отверстиями, приходят в
противофазе (в этом случае путь через первое отверстие на Л/2
короче, чем через второе) и гасят друг друга. Поэтому ответвлен-
ная часть мощности из основного волновода поступает в плечо 4,
а неответвленная - в плечо 2. На расчетной частоте мощность в
плечо 3 не поступает. Если на расчетной частоте в основном вол-
новоде волна Н10 распространяется из плеча 2 в плечо 1, то от-
ветвленная часть мощности в связанном волноводе поступит в
плечо 3 и не поступит в плечо 4.
Коэффициент связи К двухдырочного направленного ответви-
теля (рис. 14.2) зависит от размеров и формы отверстий, и его
можно определить, используя результаты расчета переходного
затухания одиночного отверстия в общей стенке волноводов, при-
веденные в [33]. Как показывают вычисления, в двухдырочном от-
ветвителе затруднительно получить К]дБ)>-5...-8 дБ, что связано с
физическими ограничениями на максимальную величину отвер-
стий, прорезаемых в общей стенке волноводов. Кроме того, откло-
нение рабочей частоты от расчетного значения приводит к умень-
шению величин D и Л/р ответвителя, поскольку в плече 3 связанно-
го волновода ответвленные волны уже не будут полностью гасить
друг друга. Для расширения рабочей полосы частот и увеличения
реализуемых значений К применяют многодырочные волноводные
направленные ответвители, для чего в общей узкой стенке двух
прямоугольных волноводов (см. рис.14.2) прорезают п отверстий
связи, отстоящих друг от друга на расстоянии £, равном или мень-
шем Л/4. При этом в плече 4 связанного волновода образуется л
синфазных волн, а в плече 3-такое же число волн, имеющих оп-
ределенный сдвиг по фазе. Вследствие этого мощность суммар-
ной волны в плече 4 будет больше, чем в плече 3 связанного вол-
новода. Подбирая размеры отверстий и их количество, удается
получить практически любое допустимое значение К (даже К[дБ] = О,
что соответствует полной связи между волноводами Р4=Р,) и тре-
буемые направленность D и развязку Л/р в широком диапазоне час-
тот. С вопросами проектирования волноводных многодырочных
ответвителей можно ознакомиться в [33].
Рассмотрим волноводный многодырочный ответвитель
(рис.14.4), в котором используются связанные через отверстия от-
резки волноводов с разной формой поперечного сечения (прямо-
угольный и круглый). Предположим, что диаметр круглого волно-
вода настолько велик, что в нем возможно распространение не-
скольких типов волн (например, Нц, Е01, Н2л, Н01), причем у одной
из этих волн коэффициент фазы равен коэффициенту фазы волны
Н10 в прямоугольном волноводе. Прямоугольный волновод рабо-
тает в одноволновом режиме. При распространении волны Н10 по
прямоугольному волноводу от плеча 1 к плечу 2 каждое отверстие
будет возбуждать в круглом волноводе волны разных типов. Одна-
ко, в плече 4 синфазно сложатся лишь
волны того типа, у которого коэффици-
ент фазы совпадает с коэффициентом
фазы волны Н10 в прямоугольном вол-
новоде. Поэтому ответвленная мощ-
ность в круглом волноводе будет пере-
носиться преимущественно одним типом
волны. Это свойство широко использу-
ется для возбуждения какого-либо выс-
шего типа в связанном волноводе, нап-
Рис.14.4
442
W
ример для возбуждения в круглом волно-
воде волны Ноь При обеспечении полной
связи между волноводами (К[дБ] = 0) образу-
ется трансформатор волны Ню прямо-
угольного ВОЛНОВОДа В ВОЛНу Н01 КРУГЛОГО Рис.14.5
волновода.
При конструировании направленных ответвителей на основе
коаксиальных, двухпроводных или полосковых линий передачи,
работающих на THW-волнах или квази-ТЕМ, применяют отрезки
связанных линий (см.10.6). В этом случае для связи двух линий
передачи используется распределенная электромагнитная связь,
возникающая в линиях передачи открытого типа между близко
расположенными параллельными проводниками. На рис.10.47,а и
б были показаны поперечные сечения связанных симметричных
полосковых линий и связанных микрополосковых линий с боковой
связью полосок; на рис.14.5 приведено поперечное сечение свя-
занных симметричных полосковых линий с лицевой связью поло-
сок. Конструкция направленного ответвителя на основе связанных
микрополосковых линий с боковой связью полосок показана на
рис.14.6. Она состоит из отрезка связанных линий длиной f, имею-
щего ширину полосок w и расстояние s между ними. К каждому вы-
ходу отрезка связанных линий подключены подводящие линии,
имеющие волновое сопротивление ZB. Для устранения связи меж-
ду подводящими линиями использован уголковый поворот на 90° в
месте соединения подводящих линий с отрезком связанных линий.
Аналогично строятся конструкции направленных ответвителей на
основе связанных полосковых линий других типов.
Если в основной линии ответвителя (рис.14.6) от плеча 1 к
плечу 2 распространяется волна, переносящая мощность Рь то в
связанной линии за счет распределенной электромагнитной связи
в отрезке связанных линий также появится волна, переносящая
ответвленную мощность Р3 = К2Р1 в направлении плеча 3; при этом
в плечо 4 ответвленная мощность не поступает: Р4 = 0. В отличие
от ранее рассмотренных волноводных направленных ответвите-
лей, в направленных ответвителях на основе связанных линий пе-
редачи, работающих на ТЕМ-
волнах или квази-ТЕМ, ответв-
ленная часть мощности в свя-
занной линии распространяется
в противоположном направле-
нии по отношению к направле-
нию распространения мощности
в основной линии. В настоящее
время нет простого физического
объяснения этого явления, стро-
443
гое математическое решение для
этого случая можно найти в [1].
Поэтому в идеальном случае при
обеспечении согласования с под-
водящими линиями мощность Pt
из плеча 1 делится между плеча-
ми 2 и 3, в плечо 4 мощность не по-
ступает. Как показывает анализ [40], величина коэффициента свя-
зи К ответвителя (рис.14.6) зависит как от параметров заполняю-
щего диэлектрика, от величин и/ и s, так и от длины I отрезка свя-
занных линий. На рис. 14.7 показана зависимость величины К от
электрической длины отрезка связанных линий f./x. Наибольший
коэффициент связи обеспечивается при ^=0,25Л; 0.75Л и т.д.
При £=0,5Л; 1.0Л и т.д. К=0, т.е. мощность при этом полностью
передается из плеча 1 в плечо 2, не ответвляясь в связанную ли-
нию. Обычно длину области связи f выбирают равной 0,25Ло, где
Л0-длина волны в отрезке связанных линий на расчетной частоте
70. Этим обеспечивается как наибольшая величина К при фиксиро-
ванных и/ns, так и минимальные геометрические размеры ответ-
вителя. При ^=О,25Л0 величина К для ответвителя вычисляется по
следующей формуле [40]:
К _ (^ве — 2во)Д2ве + ZB0),
(14.1)
где Zoe и 200-волновые сопротивления для соответственно четной
и нечетной волн в используемом отрезке связанных линий ответ-
вителя (см.10.6). В свою очередь, идеальное согласование отрезка
связанных линий с подводящими линиями обеспечивается при [40]:
Z^Z^. (14.2)
Формулы (14.1) и (14.2) совместно с формулами для Z& и ZB0
из 10.6 позволяют определить К и ZB по заданным и/ и s, т. е. вы-
полнить анализ ответвителя. Выражая ZBe и ZB0 из (14.1) и (14.2)
через К и ZB, получаем формулы
ZBe=zJ(1 + K)/(1-K); ZB0=zJ(1-K)/(UK), (14.3)
позволяющие по заданным К и Za определить ZBS и ZB0 для отрезка
связанных линий, а по ним, используя формулы из 10.6, рас-
считать геометрические размеры оз, т.е. синтезировать кон-
струкцию ответвителя.
В рассматриваемом ответвителе сдвиг по фазе между век-
торами Е волн на выходах 2 и 3 плеч составляет 90° [40], в связи с
этим подобные ответвители иногда называют квадратурными.
Отметим, что указанный фазовый сдвиг и идеальная направлен-
ность сохраняются на любой частоте при условии, что ZB, ZBa и Ze0
444
не зависят от частоты. При изменении частоты меняется ве-
личина коэффициента связи К ответвителя (рис. 14.7), что и опре-
деляет его рабочий диапазон.
Отметим некоторые особенности конструирования направ-
ленных ответвителей на связанных МПЛ (рис.14.6). В этом случае
формулы (14.1)-(14.3) выполняются приближенно, и рассчитанный
с их помощью ответвитель, как правило, требует эксперимен-
тальной доработки. Однако и после этого, обеспечив требуемый
коэффициент связи на расчетной частоте, не удается получить
направленность более 12...14 дБ. Кроме того, как показывают экс-
перименты, рабочий диапазон ответвителя на связанных мик-
рополосковых линиях получается значительно уже, чем в ответ-
вителях на связанных полосковых линиях с ТЕМ-волнами. Эти не-
гативные явления обусловлены неоднородным диэлектрическим
заполнением связанных микрополосковых линий, в связи с чем
основными волнами в таких линиях являются четная и нечетная
квази ТЕМ-волны, распространяющиеся с разными фазовыми ско-
ростями (см.10.6). Это приводит к изменению величины К, а также
к появлению ответвленного сигнала не только в плече 3, но и в
плече 4 связанной линии, что уменьшает направленность от-
ветвителя. Обычно влияние неоднородного диэлектрического за-
полнения на величину К учитывают путем изменения длины об-
ласти связи, выбирая £=О,25Ао, где ^«(Лео+Л^/г, и
Лоо = УфЗо- Для увеличения направленности и расширения рабо-
чего диапазона частот конструкцию м икрополоскового ответвителя
несколько изменяют, пытаясь уменьшить разницу между фазо-
выми скоростями основных волн в связанных МПЛ. С основными
конструкциями подобных микрополосковых ответвителей можно
ознакомиться в [40]. Наиболее удачной и широко используемой на
практике является конструкция (рис.14.8), известная в литературе
как ответвитель Ланге. В этом ответвителе используется нес-
колько связанных проводников, образующих встречно-штыревую
структуру. С помощью металлических перемычек некоторые про-
водники соединены между собой
Ланге удалось обеспечить Уфе = Уфо
и компенсировать их дисперсию в
широкой полосе частот: практиче-
ски в октавной полосе частот со-
храняются постоянство величины
К, хорошее согласование и на-
правленность не хуже 24 дБ [30].
Приближенные формулы для син-
теза ответвителя Ланге приведе-
Благодаря такой конструкции
/п
ны в [30].
Рис.14.8
445
В описанных выше полосковых конструкциях ответвителей
весьма сложно обеспечить сильную связь, что связано с труд-
ностями технологического характера-необходимо изготовить про-
водники с весьма малыми зазорами между ними. Кроме того, на-
личие малых зазоров между проводниками снижает электри-
ческую прочность ответвителя. Обычно максимально достижимый
коэффициент связи в связанных линиях с боковой связью полосок
не превышает -ЗдБ. Правда, ответвитель Ланге выгодно отли-
чается от конструкции, показанной на рис. 14.6, обеспечивая боль-
шую величину зазоров между связанными проводниками при оди-
наковом К. Поэтому при конструировании направленных ответви-
телей с сильной связью (К[дб]>-ЗдБ) используют связанные по-
лосковые линии с лицевой связью полосок (рис.14.5).
Существует иной тип полоскового ответвителя, позволяющий
получить сильную связь и имеющий электрическую прочность, ма-
ло отличающуюся от прочности подводящих линий. Это шлей-
фный направленный ответвитель, который весьма прост в изго-
товлении на основе МПЛ или СПЛ. С небольшими изменениями
его можно реализовать в коаксиальном и волноводном испол-
нении. На рис. 14.9 показана микрополосковая конструкция ответ-
вителя с двумя соединительными шлейфами, имеющими волно-
вое сопротивление 7Вшл- Длина каждого шлейфа равна А(/4, где
Л0-длина волны в МПЛ, образующей шлейф, на расчетной часто-
те fQ. Принцип действия такого ответвителя похож на принцип дей-
ствия волноводного двухдырочного ответвителя (рис.14.2). Для
ответвления части мощности из основной линии, имеющей входы
1 и 2 (рис.14.9), в связанную, имеющую входы 3 и 4, используются
два четвертьволновых шлейфа, включенные на расстоянии A</4
друг от друга. При распространении по основной линии волны от
входа 1 к выходу 2 часть ее мощности будет проходить на выход 2,
часть отражаться обратно в плечо 1, а часть через шлейфы от-
ветвляться в связанную линию. Каждый шлейф возбуждает в свя-
занной линии по две волны с равными амплитудами и фазами, бе-
гущие в направлении плеч 3 и 4. Поэтому на выходах 3 и 4 появ-
ляются по две волны, причем фазы векторов Е этих волн на
расчетной частоте f0 на выходе 3 совпадают, а на выходе 4 отли-
чаются на л, ответвленная через шлейфы мощность из основной
линии будет поступать на выход
Рис. 14.9
3 и не поступит на выход 4. При
этом нетрудно заметить, что
фаза вектора Е волны на выхо-
де плеча 3 отстает на л/2 от фа-
зы вектора Е на выходе плеча 2.
В полосковом тройнике (рис.13.24),
идеальное согласование входа
446
с выходными плечами, а также деление входной мощности между
выходными плечами в требуемом отношении можно обеспечить с
помощью соответствующего выбора волновых сопротивлений ли-
ний в выходных плечах (см.13.4.2). В шлейфном ответвителе ис-
пользуются четыре Т-тройника, поэтому для обеспечения согласо-
вания и требуемого коэффициента связи К ответвителя соответст-
вующим образом подбирают величины ZBllB1 и ZB1. Анализ,
выполненный в [27], показывает, что на расчетной частоте f0 в
шлейфном ответвителе обеспечивается заданная величина К,
максимальная направленность и согласование с подводящими ли-
ниями, имеющими волновое сопротивление ZB, при ZB1 = Vl-K2 ZB
и ZBUU1 = 7(1-K2)/K2 ZB. Например, при равном делении входной
мощности между выходными плечами 2 и 3 (К= 0,707 или К[дБ]=
=-ЗдБ) ZBi=ZB/V2 и ZBUB1=Za. Отметим, что приведенные фор-
мулы получены в пренебрежении реактивными сопротивлениями в
эквивалентной схеме Т-тройникоэ. При конструировании полоско-
вых шлейфных ответвителей с сильной связью (АС—>1 или
К[дв]-»0дБ) возникают определенные трудности, поскольку при
сильной связи величины Zo1 и ZBUJJ1 оказываются малыми, что при-
водит к недопустимо большой ширине полосок. Напомним, что
максимальная ширина полоски МПЛ ограничивается тем значени-
ем, при котором в линии возникают высшие типы волн в заданном
диапазоне частот (в данном случае-в рабочем диапазоне ответ-
вителя). Поэтому для обеспечения сильной связи используют или
большее число соединительных шлейфов (например, три) в конст-
рукции [40], или применяют каскадное соединение нескольких
двухшлейфных ответвителей, каждый из которых имеет физически
реализуемый коэффициент связи [30].
14.1.2. Мостовые схемы СВЧ
Мостом в технике СВЧ называют четырехплечное устройство
или восьмиполюсник (рис.14.1), обладающий следующими свойст-
вами: при возбуждении любого из четырех плеч (например, плеча 7)
энергия в одно из выходных плеч не поступает (например, в плечо 3)
и делится поровну между двумя другими плечами (например, пле-
чи 2 и 4). Это частный случай направленного ответвителя при
К= 0,707 или К=-ЗдБ. Хотя на практике в качестве мостов ис-
пользуют направленные ответвители, однако применяют и специ-
альные конструкции мостов, имеющие те или иные преимущества
перед ответвителями. Рассмотрим ряд часто применяемых на
практике мостов.
447
Двойной волноводный тройник (магический Т-тройник)
образуется совмещением в одной конструкции согласованных
Н-плоскостного и Е-ллоскостного Т-тройников (см.13.4.2), чем и
объясняется его название (рис.14.10). Покажем, что в идеально
симметричном двойном тройнике переход энергии из плеча 1 в
плечо 4, а также из плеча 4 в плечо 1 невозможен, если прямо-
угольные волноводы, образующие конструкцию, работают в одно-
волновом режиме на волне Н10. Пусть мощность подается в плечо
1, а остальные плечи нагружены на неотражающие нагрузки. Так
как вектор Е волны Н10 в плече 1 параллелен продольной оси вол-
новода, образующего плечо 4, то в плече 4 не возбуждается волна
Н10, а будут возбуждаться только волны высшего типа. Так как все
волноводы рассчитаны на одноволновый режим, мощность из пле-
ча 1 в плечо 4 ответвляться не будет, в этом случае двойной трой-
ник эквивалентен Н-плоскостному Т-тройнику. Аналогично можно
показать, что при возбуждении плеча 4 в плече 1 возбуждаются
только волны высшего типа, при этом мощность в плечо 1 не от-
ветвляется и двойной тройник оказывается эквивалентным Е-плос-
костному Т-тройнику. Поэтому, основываясь на свойствах Т-трой-
ников, можно утверждать, что в двойном тройнике при возбужде-
нии плеча 1 входная мощность делится пополам и выходит в пле-
чи 2 и 3, при этом на одинаковом расстоянии от разветвления
электрические поля волн Н10 в этих плечах синфазны, в плечо 4
мощность не поступает; при возбуждении плеча 4 входная мощ-
ность делится пополам и выходит в плечи 2 и 3, при этом на оди-
наковом расстоянии от разветвления электрические поля волн Н10
в этих плечах противофазны, в плечо 1 мощность не поступает.
Очевидно, верны и обратные утверждения: при синфазном возбу-
ждении плеч 2 и 3 двойного тройника волнами равной амплитуды
суммарная мощность этих волн поступит в плечо 1, а при противо-
Рис.14.10
448
4 4
Е2=1 П Е2_=0,5|~| Ез=0.5
—*l Т I ! ! = —>И I I Т it— +
2 13 2 13
4
Рис. 14.11
фазном возбуждении плеч 2 и 3-
в плечо 4. Если подключить гене-
ратор к плечу 2, то мощность раз-
делится поровну между плечами 1
и 4 и не поступит в плечо 3 (из-за
данного свойства мост получил
название “магический тройник").
Для доказательства этого, следуя
методу синфазно-противофазного возбуждения [33], представим
возбуждение плеча 2 волной с единичной амплитудой вектора Е в
виде суперпозиции двух случаев (рис.14.11); плечи 2 и 3 возбуж-
дены синфазно волнами с амплитудой вектора Е, равной 0,5, и
плечи 2 и 3 возбуждены противофазно волнами с ]е| = 0,5. При
этом суммарная амплитуда вектора E волны в плече 2 равна еди-
нице, а в плече 3 равна нулю. Как было показано выше, при син-
фазном возбуждении плеч 2 и 3 мощность поступает только в пле-
чо 1, а при противофазном-только в плечо 4. Аналогично можно
показать, что при возбуждении плеча 3 мощность не поступает в
плечо 2. При отклонении рабочей частоты от расчетной f0 наруша-
ется согласование Н- и Е-тройников моста, что ухудшает его пара-
метры (согласование с подводящими линиями, развязка). При ис-
пользовании одиночных согласующих элементов (таких, как пока-
заны на рис.13.26 и 13.27) ширина рабочего диапазона моста
составляет 10 %...15% от расчетной частоты f0.
Волноводный щелевой мост. Наиболее распространенная
конструкция волноводного Н-плоскостного щелевого моста пока-
зана на рис.14.12. Для упрощения изложения общую боковую
стенку двух волноводов будем считать бесконечно тонкой. В этой
стенке на всю ее высоту прорезана щель длиной <. Пусть в плече 1
возбуждена волна Ню, комплексная амплитуда напряженности
электрического поля которой Emy(1) _Em/1|(x, z) в точке х-а/2, z=0
(рис.14.13, а) равна 1 В/м. Очевидно, рассматриваемый случай эк-
вивалентен одновременному возбуждению плеч 1 и 4 волнами Н10,
Рис.14.13
29-45
449
у которых Emy 1)(а/2,0) = Есин(1>(а/2,0) = 0,5 ВЛл, Emyw(3a/2,0) =
= £син!4)(За/2,0) = 0,5 В/м (синфазное возбуждение, рис.14.13, 6),
и волнами Н10, у которых Emy(l)(a/2,0)=EnpoT(1)(a/2,0) = 0,5 В/м, а
Ету(4)(За/2,0)=Епрот(4)(За/2,0) = -0,5 В/м (противофазное возбуж-
дение, рис.14.13, е). Область щели (0<х<2а, 0йу<Ь, 0<z<f) мож-
но рассматривать как участок прямоугольного волновода удво-
енной ширины.
При синфазном возбуждении (рис. 14.13, б) в этой области
возникают волны, электрическое поле которых имеет пучность при
х=а, т.е. волны типов Ню, Изо, Н50 и т.д. Выберем размеры волно-
водов, образующих щелевой мост, так, чтобы в области щели во
всем рабочем диапазоне моста /< л.™, не могла распро-
страняться волна Над. Так как для волновода с поперечным разме-
ром широкой стенки 2а критическая длина волны Нзо равна 4а/3,
то сформулированное условие будет выполняться при
0,5^max<a<0,751m(n (требование 0,5Хтах<а необходимо, чтобы в
волноводах, образующих щелевой мост, во всем рабочем диапа-
зоне могла распространяться волна Ню). При таких значениях а в
случае синфазного возбуждения в области щели распростра-
няется только волна Н10 с фазовой скоростью Уф=с/^1 -(А./4а)2.
При прохождении щели (при изменении z от 0 до /) фаза сос-
тавляющих поля этой волны изменяется на величину
где / ^-(к/Аа)2 -длина волны Н10, распространяющейся в
области щели. При переходе из широкого волновода в узкие рас-
сматриваемая волна распадается на две синфазные волны Н10,
выходящие в плечи 2 и 3. Пренебрегая тепловыми потерями в
стенках волноводов и отражениями на входе и выходе щели, за-
пишем
Е^[2\а/2, t} = Есик(2)(а/2, /) « 0,5 ехр (-i<p,) ВЛл;
Ету(3)(а/2, /) = Есин(3)(а/2, /) = 0,5 ехр (-i(p,) ВЛа.
Отметим, что фазовая скорость волны Н10, распростра-
няющейся в области щели, отличается от фазовой скорости волн
Н10, распространяющихся в волноводах, образующих щелевой мост.
Векторная диаграмма1 электрического поля в плечах моста,
соответствующая синфазному возбуждению, показана на рис.14.14, а.
При противофазном возбуждении (рис.14.13,в) в области
щели образуются волны, электрическое поле которых имеет узел
при х=а, т.е. волны типов Нго, Н40, Нео и т.д. Однако при выбран-
ных выше значениях а условие распростренения волны в волноводе
'Векторная диаграмма- графическое изображение значений физических величин, изме-
няющихся по гармоническому закону, и соотношений между ними в виде векторов.
450
Рис.14,14
(ХсХф) выполняется только для волны Н20, поэтому в области
щели при противофазном возбуждении будет распространяться
только волна Нго с фазовой скоростью Уф = с/71-(Ь/2а)г. При
прохождении щели фаза составляющих поля этой волны изме-
няется на величину <р2-2п//Л2о, где A20=V ^1-(Х/2а)2 -длина
волны Нго, распространяющейся в области щели. Векторная ди-
аграмма электрического поля в плечах моста, соответствующая
противофазному возбуадению, показана на рис.14.14, б.
Для получения векторной диаграммы электрического поля,
соответствующей суперпозиции синфазного и противофазного
возбуждений, нужно сложить диаграммы, изображенные на
рис.14.14, а и 14.14, б. Результат сложения показан на рис. 14.14, е,
где введено обозначение Е!П)=Ееин(л)+Епрот(п), п=1,2,3,4. Как вид-
но, при произвольных значениях разности фаз <pi-<p2 рассмат-
риваемое устройство не обеспечивает равенства мощностей в
плечах 2 и 3 (в общем случае IЕ(г)|*|Е<3)|), т.е. не обладает
свойствами моста. Однако если подобрать длину щели так, чтобы
<pi и <р2 отличались на п/2, то как следует из рис.14.14, г, аб-
солютные значения векторов Е! и Е<3), а следовательно, и мощ-
ности на выходах плеч 2 и 3 будут равны. Искомая длина щели
определяется по формуле ^=Л1оЛго44(Л2о-Л1о)]. При этом волна в
плече 3 будет отставать по фазе на т/2 от волны в плече 2.
Аналогичными свойствами обладает щелевой мост при возбуж-
дении любого другого плеча.
Щель, прорезанная в общей стенке прямоугольных волно-
водов, представляет собой неоднородность и приводит к воз-
никновению отраженных волн на входе и выходе щели. Из-за этого
мощность из плеча 1 может попадать в плечо 4, уменьшая раз-
вязку моста. Для устранения отраженных волн от входа и выхода
щели в мост вводят согласующие элементы: индуктивные или
емкостные стержни. На рис.14.12 показана конструкция щелевого
моста с индуктивными согласующими стержнями.
29* 451
К достоинствам щелевого моста можно отнести простоту
конструкции, отсутствие элементов, снижающих его электрическую
прочность (при согласовании индуктивными стержнями). Рабочий
диапазон щелевого моста составляет 10...15 % средней рабочей
частоты [33].
Если два одинаковых щелевых моста (см. рис.14.12) соединить каскад и о, для
чего плечи 2 и 3 первого моста соединить с плечами 1 и 4 второго, то образуется
устройство, в котором суммарная длина области щели увеличится в 2 раза; при
этом на выходе щели второго моста цн- <р2= л. Используя векторные диаграммы
полей для этого случая, легко показать, что при возбуждении плеча 1 первого моста
вся мощность из него будет поступать в плечо 3 второго моста, а в остальные
свободные плечи мощность поступать не будет.
Если в плечи 2 и 3 щелевого моста (см. рис. 14.12) установить на одинаковом
расстоянии от выхода щели короткозамыкающие пластины, то при возбуждении
плеча 1 вся мощность без отражения будет поступать в плечо 4 (в этом случае
мощность из плеча 1 дважды проходит через мост). Отметим, что аналогичными
свойствами обледают и мосты на основе шлейфного ответвителя (см. рис. 14.9) или
ответвителя на основе связанных линий (см. рис. 14.6). В случае мостов на линиях с
ЛЕМ-волнами (полосковые, коаксиальные, двухпроводные) в выходных плечах
моста можно устанавливать как режим короткого замыкания, так и режим холостого
хода, поскольку как в том, так и в другом режиме волна будет практически
полностью отражаться.
Кольцевой мост. Конструкция кольцевого моста, выполнен-
ная на основе микрополосковой линии, изображена на рис.14.15.
Она состоит из четырех полосковых Т-тройников, боковые плечи
которых соединены друг с другом свернутыми по дуге окружности
отрезками линии. Длина средней линии каждого отрезка между
плечами 1 и 2, 1 и 4, а также 4 и 3 равна Л(/4, а между плечами 2 и
3-ЗЛУ4, где Ло-длина волны в микрополосковой линии на рас-
четной (обычно средней) частоте f0 рабочего диапазона. Все
отрезки линии, образующие кольцо, имеют одинаковое волновое
сопротивление Z^, волновое сопротивление линий, образующих
плечи моста, равно ZB. Пусть мощность Р< от генератора, рабо-
тающего на частоте fo. подается в плечо 1, а к плечам 2, 3 и 4
подкллючены согласованные нагрузки. Мощность Pi из плеча 1
делится тройником на две равные части, что создает в кольце две
бегущие
часовой
навстречу друг другу волны: одна обегает кольцо по
стрелке (припишем всем величинам, характеризующим
эту волну, верхний индекс ”+"), а
другая-против часовой стрелки
(припишем всем величинам, ха-
рактеризующим эту волну, верх-
ний индекс "-"). Отметим, что
при произвольных значениях ZBlt
и ZB часть мощности РА будет
отражаться обратно в плечо 1
от входа кольца.
Рис.14.15
452
Определим фазу каждой из волн,
бегущих по кольцу, на входе 2, 3 и 4
плеч, приняв за 0 фазу этих волн в
месте возбувдения. Сдвиг по фазе,
получаемый волной, бегущей по
часовой стрелке, на входе плеча 2
равен ф12+=л/2 поскольку для этой
волны расстояние по кольцу от плеча 1
до плеча 2 равно ЛУ4. Волна, бегущая
против часовой стрелки, пробегает расстояние мевду плечами 1 и
2, равное Л(/4 +Л(/4 + ЗЛ(/4 = 5ЛУ4, и получает фазовый сдвиг (р12"=
=л/2+л/2 + Зл/2 = 5л/2. Аналогично можно записать tp13+= 2тг, <р13"=
-д, ф14+=5х/2, ф14"=х/2. Как видно, к плечам 2 и 4 волны приходят
в фазе и складываются в этих плечах, а к плечу 3-в противофазе,
вследствие этого в кольце вблизи входа плеча 3 образуется узел
электрического поля. Поэтому мощность из кольца поступает на
выходы 2 и 4 и не поступает на выход 3 моста. При этом в плечах
2 и 4 моста на одинаковом расстоянии от кольца амплитуды и
фазы вектора Е распространяющихся волн одинаковы.
Определим связь между величинами ZBK и Za, обеспечи-
вающими отсутствие отражений мощности Р1 от места соединения
подводящей линии с кольцом. Поскольку при возбуждении плеча 1
в кольце на входе плеча 3 образуется узел электрического поля, то
в этом месте устроим режим КЗ (рис, 14.16). В этом случае линия,
образующая плечо 1, оказывается нагруженной в месте стыка с
кольцом на параллельное соединение четвертьволновых отрезков
ab и ас, каждый из которых, в свою очередь, нагружен на
сопротивление ZB, поскольку входные сопротивления коротко-
замкнутых отрезков bd и се, длина которых равна ЗЛ(/4 и ЛУ4,
равны бесконечности. Поэтому входное сопротивление кольца в
месте соединения его с линией, образующей плечо 1, равно
Zm242Zb). Если сделать это сопротивление равным ZB, т.е. выбрать
ZBK= =42Zb, то в первом приближении (пренебрегая реактивными
сопротивлениями эквивалентной схемы Т-тройника) волна будет
проходить из линии, образующей плечо 1, в кольцо без отражений.
Аналогично можно рассмотреть возбуждение кольцевого мос-
та со стороны любого другого плеча. Это позволяет сформу-
лировать следующие правила:
при возбуждении любого из плеч согласованного кольцевого
моста мощность делится поровну между двумя рядом располо-
женными плечами, т.е. из плеча 1 переходит в плечи 2 и 4, из
плеча 2-в 1 и 3, из 3-в 2 и 4, из 4-в 1 и 3;
при возбуждении плеча 1 в плечах 2 и 4 появляются син-
фазные волны, а при возбуждении плеча 3 в тех же плечах 2 и 4
453
появляются противофазные волны, ибо расстояния от плеча 3 до
плеч 2 и 4 отличаются на Л</2.
Кольцевой мост может быть реализован на основе иных линий
передачи, например на основе прямоугольных волноводов с
помощью Е- или /-/-плоскостных Т-тройников. В длинноволновой
части диапазона СВЧ подобные мосты изготавливают на основе
коаксиальной или двухпроводной линии. Основными недостатками
кольцевого моста являются сравнительно узкий рабочий диапазон
(около 5 % от f0) и сравнительно большие габариты.
14.1.3. Применение направленных ответвителей и мостов
Деление (суммирование) мощности. В диапазоне СВЧ часто
приходится осуществлять либо деление входной мощности на нес-
колько частей, либо сложение в общей нагрузке мощностей двух
или большего числа передатчиков, работающих как на одинако-
вых, так и на разных частотах. Применение направленных ответ-
вителей и мостов для деления входной мощности на две (в общем
случае неравные) части не требует дополнительных пояснений.
Следует отметить, что при этом устраняется взаимное влия-
ние неидеально согласованных нагрузок, подключаемых к выход-
ным плечам, между волнами в выходных плечах может появляться
дополнительный сдвиг по фазе.
Одна из возможных схем сложения мощностей двух пере-
датчиков, имеющих одинаковую выходную мощность Ро и рабо-
тающих на одинаковой частоте f0, показана на рис.14.17. В схеме
применен шлейфный ответвитель на основе коаксиальной линии с
коэффициентом связи К= 0,707 (или К[дб] = -ЗдБ). Сигналы с выхо-
да каждого передатчика с помощью подводящих коаксиальных
линий подаются в плечи 2 и 3 ответвителя. К плечу 4 подклю-
чается поглощающая нагрузка. Пусть амплитуды векторов Е волн,
создаваемых передатчиками на входах 2 и 3, равны, а фаза
вектора Е на входе плеча 2 отстает на л/2 от фазы вектора Е на
входе 3. При этом в каждом выходном плече 1 и 4 появятся по две
волны с равными амплитудами вектора Е, причем фазы векторов
Е волн в плече 1 одинаковы, а в плече 4 отличаются на л. Суммар-
Рис.14.17
ная волна, переносящая мощ-
ность 2Р0, будет распростра-
няться в подводящей линии
плеча 1. В плечо 4 мощность не
поступает. Это может служить
удобным критерием правильной
настройки схемы сложения. Из-
менение амплитуды или фазы
454
2/P2=FV3 3/p3=r/3
Рис, 14.18
волны, поступающей от одного из передатчиков, приводит к тому,
что часть суммарной мощности будет поступать в поглощающую
нагрузку. Однако при этом режим работы второго передатчика не
изменяется. При выходе из строя одного из передатчиков только
половина мощности другого передатчика поступит на выход, т.е.
мощность на выходе уменьшается в 4 раза от 2Р0 до Р(/2, Чтобы
избежать этого, схему сложения дополняют системой обхода от-
ветвителя, позволяющей выход работающего передатчика под-
ключить непосредственно к выходу схемы сложения. Аналогично
строятся схемы сложения на кольцевых, щелевых и иных мостах.
При делении мощности на несколько частей применяют более
сложные схемы. На рис.14.18 показана микрополосковая конст-
рукция, осуществляющая деление входного сигнала на три равные
части. Она состоит из двух ответвителей на связанных линиях,
соединенных между собой отрезком линии длиной Л Обычно t
выбирают из конструктивных соображений, чаще всего используют
й=Л(/4, что обеспечивает большую полосу согласования на входе
схемы. Развязанные плечи кавдого ответвителя нагружены на
поглощающие нагрузки. Для получения одинаковых мощностей в
выходных плечах схемы (P2=P3=P4=Pi/3) выберем для первого
ответвителя коэффициент связи K'i = Vl/3, а для второго Кг =
= Vi/2, поскольку в первом ответвляется 1/3, а во втором 1/2
мощности, поступающей на вход соответствующего ответвителя.
Выбирая соответствующим образом величины коэффици-
ентов Кд и К2, в рассматриваемой схеме можно получить и
требуемое неравное деление входной мощности мевду выход-
ными плечами. Если в каждой подводящей линии провести
плоскость отсчета фаз вектора Е распространяющихся волн,
совпадающую с местом стыка подводящей линии со связанными
линиями, то по сравнению с фазой вектора Е в плоскости отсчета
плеча 2 фаза вектора Е в плоскости отсчета плеча 3 будет
отставать на тс, а фаза вектора Е в плоскости отсчета плеча 4
будет отставать на Зл/2. Отметим, что подобные результаты
получены в пренебрежении влиянием реактивных полей, возни-
455
кающих вблизи неоднородностей конструкции, на фазу распрост-
раняющихся волн (в эквивалентной схеме неоднородностей отсут-
ствуют реактивные элементы).
Более подробно с различными схемами многоканальных де-
лителей (сумматоров) мощности на основе направленных ответ-
вителей и мостов можно ознакомиться в [40, 47].
Схемы фазовращателей. Если в выходные плечи 2 и 3
щелевого моста (см. рис. 14.12) на одинаковом расстоянии от вы-
хода щели поместить короткозамкнутые поршни, образуется
конструкция механического фазовращателя. Одновременное пере-
мещение поршней в плечах 2 и 3 моста на расстояние М вызовет
на расчетной частоте изменение лишь фазы составляющих поля
волны, полностью проходящей из плеча 1 в плечо 4, на величину
Дер =2тг2А£/Лс.
Если же вместо поршней в кавдом выходном плече 2 и 3
щелевого моста на одинаковом расстоянии от конца щели уста-
новить на расстоянии £ друг от друга несколько резонансных
диафрагм, в зазорах которых расположены p-i-n диоды (рис. 14.19),
то образуется конструкция проходного дискретного фазовраща-
теля с дискретом фазы Дф=2л2Д/7Л0 на расчетной частоте.
Микрополосковая конструкция дискретного фазовращателя на
два фазовых состояния с дискретом Дф=л может быть получена
на основе шлейфного ответвителя (рис. 14.9) или ответвителя на
связанных линиях (рис.14.6), для которых /<=0,707 (К=3 дБ), если
к выходным плечам 2 и 3 подключить разомкнутые на конце от-
резки микрополосковой линии одинаковой длины, а на конце
каждого отрезка между полоской и экраном установить p-i-n диоды.
Наличие положительного смещения на p-i-n диодах обеспечивает
режим короткого замыкания на концах отрезков, а его отсутствие -
режим холостого хода. Входной сигнал, подаваемый в плечо 1
ответвителя, делится на два сигнала, выходящие в плечи 2 и 3,
при этом амплитуды сигналов одинаковы, а фазы отличаются на
л/2. Поступившие в плечи 2 и 3 сигналы отражаются от концов
отрезков, к которым подключены p-i-n диоды, причем фазы от-
Рис.14.19
456
раженных сигналов зависят от входного сопротивления p-i-n дио-
дов, а значит, от наличия или отсутствия положительного сме-
щения на них. Отраженные сигналы складываются синфазно в
плече 4 ответвителя и поступают на выход фазовращателя.
Балансный антенный переключатель. Антенные переклю-
чатели применяются в импульсных радиолокационных станциях, в
которых приемник и передатчик работают на одну антенну. Так как
импульсная мощность передатчика велика, а приемник обладает
весьма высокой чувствительностью, то антенный переключатель
обеспечивает следующие функции; в режиме передачи он под-
ключает выход передатчика к антенне и предохраняет входные
цепи приемника от мощности передатчика; в режиме приема
переключатель соединяет антенну с входом приемника и бло-
кирует выход передатчика, чтобы энергия принимаемых сигналов
не рассеивалась в выходных цепях передатчика. Частота пере-
ключения зависит от длительности излучаемых передатчиком
импульсов, назначения станции, а также некоторых других фак-
торов и может достигать нескольких тысяч раз в секунду. Основ-
ным элементом антенного переключателя является искровой раз-
рядник, простейшая конструкция которого показана на рис. 14.20.
Это герметичный отрезок прямоугольного волновода, заполненный
смесью ларов воды с аргоном или водородом при низком дав-
лении. На входе и выходе разрядника установлены резонансные
диафрагмы 1, герметизированные пластинами из стекла, слюды
или керамики. Внутри разрядника расположены конусные разряд-
ные электроды 2, которые при отсутствии между ними разряда
представляют собой емкостные стержни. В том же сечении с
разрядными электродами размещается индуктивная диафрагма 3,
образующая совместно с разрядными электродами при отсутствии
между ними разряда резонатор. Слабые электромагнитные сигна-
лы на частоте, соответствующей резонансной частоте диафрагм
на входе и выходе и резонансной частоте резонатора, проходят
через разрядник практически без отражения. Под влиянием эле-
ктрического поля мощного сигнала от передатчика в разряднике
между электродами 2 возникает и поддерживается электрический
разряд, в результате чего сигнал полностью отражается от раз-
Рис.14.20
457
разряд-
ники
сигнал от
передатчика
к антенне
от антеннй
....4 к
приемнику
4 щелевой щелевой 3
мост мост
Рис. 14.21
рядника. На рис.14.21 показана схема антенного переключателя
состоящая из двух щелевых мостов, между которыми размещен;
сдвоенная секция разрядника (два одинаковых разрядника, раз-
мещенные в выходных плечах первого щелевого моста на оди-
наковом расстоянии от конца его щели). Выход передатчика под-
ключается к плечу 1 схемы (рис.14.21), вход приемника-к выходу
плеча 2, а антенна-к выходу плеча 4. Мощный импульс от пере-
датчика, вызывая электрический разряд в разрядниках, отража-
ется от них и поступает в плечо 4 схемы, направляясь к антенне.
При выключении передатчика слабые сигналы, принятые антенной
и поступившие в плечо 4 схемы, проходят разрядники и поступают
в плечо 2 схемы, откуда они направляются на вход приемника. При
этом принятые антенной сигналы практически не ответвляются в
плечо 1.
14.2. ФИЛЬТРЫ СВЧ
14.2.1. Классификация фильтров
Идеальным фильтром называется четырехполюсник, модуль
коэффициента передачи которого | S2i I равен единице на всех
частотах, образующих его полосу пропускания, и равен нулю на
всех частотах, образующих его полосу заграждения. На практике
фильтры обычно характеризуют вносимым затуханием (выра-
женным в децибелах):
Вф = 10 lg (1/| S2112) = -20 lg I S211. (14.4)
В полосе пропускания идеального фильтра Вф=0, а в полосе
заграждения Вф-х. По взаимному расположению полос пропус-
кания и заграадения фильтры делятся на фильтры нижних час-
тот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильт-
ры (ПФ) и режекторные (заграждающие) фильтры (РФ). Ампли-
тудно-частотные характеристики идеальных фильтров каждого ти-
па показаны на рис.14.22. В идеальных фильтрах в полосе заг-
458
раждения мощность, поданная на вход, не проходит на выход. Она
либо полностью отражается от входа фильтра, либо поглощается
в его элементах. В первом случае фильтры относятся к фильтрам
отражающего типа, во втором-к фильтрам поглощающего ти-
па. Отметим, что полная величина вносимых фильтром потерь
складывается из тепловых потерь и потерь, вызванных отраже-
нием части энергии от его входа.
Рассмотрим фильтры отражающего типа. Для уменьшения
тепловых потерь такие фильтры выполняются, как правило, из
реактивных элементов. Параметры реактивных элементов подби-
раются так, чтобы на частотах полосы пропускания отраженные от
них волны компенсировали друг друга на входе фильтра; при этом
мощность, поступающая на вход фильтра, проходит на его выход
практически без отражений. На частотах полосы заграждения
компенсация отраженных волн отсутствует и мощность, посту-
пающая на вход фильтра, практически полностью отражается
от него.
Синтез фильтров отражающего типа включает два основных
этапа: на первом этапе по исходным данным синтезируют экви-
валентную схему фильтра, состоящую из реактивных элементов с
сосредоточенными параметрами; на втором этапе проводят реа-
лизацию синтезированной эквивалентной схемы, т.е. заменяют со-
средоточенные индуктивности и емкости отрезками линий пере-
дачи, реактивными стержнями и диафрагмами и другими неод-
нородностями в линии передачи. В технике СВЧ широкое приме-
нение получили так называемые лестничные отражающие фи-
льтры. Эквивалентные схемы таких фильтров совпадают со схе-
мой лестничных фильтров, используемых на низких частотах и
выполняемых из элементов L и С с сосредоточенными парамет-
рами; подобные схемы подробно рассматриваются в курсе "Теория
линейных электрических цепей" [28].
459
14.2.2. Синтез эквивалентных схем фильтров
Рассмотрим синтез экивалентной схемы ФНЧ, выполненной
по лестничной схеме. Такая схема, состоящая из п элементов L и
С, показана на рис.14.23. Внутреннее сопротивление Rr генера-
тора, подключенного ко входу схемы, и сопротивление RH нагрузки
на ее выходе считаем активными и равными друг другу. Отметим,
что во многих практических приложениях главное значение имеет
АЧХ фильтра, в то время как другие характеристики (фазочас-
тотная характеристика, характеристика группового времени заде-
ржки и др.) обычно рассматриваются и при необходимости кор-
ректируются после получения желаемой АЧХ фильтра. Ниже рас-
сматривается синтез эквивалентных схем фильтров по заданной
@2) Сз_ (34)
1 g — ----------—=--------
Рис. 14.23
Ln-1
(Эм) Сп
?iRh
jgn+i)
ВфТ АЧХ. Идеальную АЧХ для ФНЧ (рис.14.22, а)
В$2-------Vi— невозможно получить с помощью схемы, имею-
/; щей конечное число элементов п. Поэтому
; обычно используют более приемлемый для
Гс f3 f практики способ зедания требований к АЧХ: в
Рис.14.24 диапазоне частот 0<f<fc (полоса пропускания)
величина вносимого затухания не должна пре-
вышать зеданную величину Вфь а в полосе fz<f<<xs (полоса
заграждения) вносимое затухание должно быть больше зеданной
величины Вф2 (рис. 14.24). Указанную идеализированную АЧХ
аппроксимируют той или иной функцией.
Наибольшее распространение на практике получили два вида
аппроксимации; максимально плоская и чебышевская. В первом
случае вносимое затухание для л-звенного фильтра описывается
функцией, предложенной Баттервортом [35]:
Вф = 10 lg [1+йП2л], (14.5)
где h =Юч>/’° -1, а для ФНЧ Cl = f/fe. Зависимость Вф от f при
разных л показана на рис.14.25, а. Как следует из рисунка, при
Вф®0 и не зависит от частоты. Подобная АЧХ максимально
приближена к идеальной АЧХ в полосе пропускания, отсюда и ее
название-максимально плоская АЧХ. При фиксированных вели-
чинах fc, Вф1 и f3 увеличение числа элементов в схеме л приводит к
460
возрастанию величины Вф2 (см. рис.14.25,а) или при фиксиро-
ванных величинах fc, Вф1 и Вф2-к уменьшению разницы между & и
fCl т.е. увеличивается крутизна АЧХ.
Во втором случае АЧХ фильтра аппроксимируется с помощью
полиномов Чебышева [35]:
Вф = 10 lg [1 + ftTn2(Q)]. (14.6)
где Т„(х)-полином Чебышева первого рода порядка п, описывае-
мый выражениями
cos [n arccos (х)] при 0<]х}<1,
ch [n arch (х)] при |х|>1.
Типичная чебышевская АЧХ фильтра нижних частот показана
при разных п на рис.14.25,б. В полосе пропускания подобная АЧХ
имеет осциллирующий характер с неизменной амплитудой осцил-
ляций. Увеличить крутизну АЧХ при неизменной амплитуде ос-
цилляций можно, лишь используя схему, с большим числом эле-
ментов п. Основное преимущество чебышевских фильтров по
сравнению с максимально плоскими-меньшее число элементов в
схеме при одинаковых значениях Вф1. Вфг, fc и f3.
Отметим, что при передаче через фильтр электромагнитных
сигналов с достаточно широким спектром частот (широкополосные
сигналы) важное значение имеет вид фазочастотной характе-
461
ристики (ФЧХ) фильтра; ФЧХ-это зависимость аргумента ф21
коэффициента передачи фильтра $2i = |S2ilexp(i(p21) от частоты.
Предполагается, что у идеального фильтра ФЧХ является ли-
нейной функцией частоты. При этом широкополосный сигнал
проходит через такой фильтр без искажений. При одинаковых
исходных данных ФЧХ максимально плоского фильтра более
близка к линейной, чем аналогичная характеристика чебышевского
фильтра.
Из (14.5) и (14.6) можно получить следующие формулы для
определения числа звеньев в схеме фильтра:
для максимально плоского фильтра
п =1д7(10афг/10-1)/(10аф’/1О-1)/1д(«3); (14.7)
для чебышевского фильтра
п = arch 7(10£W1°-1)/(10fl,t’/10-1) /arch (й3), (14.8)
где для ФНЧ С2з=^с- Обычно при вычислениях по (14.8) исполь-
зуют тождество arch (х) = In (x+Vx2-1).
На практике, как правило, синтез эквивалентных схем фи-
льтров разных типов проводят с помощью синтеза схемы фильтра-
прототипа нижних частот. Схема такого фильтра совпадает со
схемой ФНЧ (рис.14.23) и имеет такое же число звеньев, а
параметры его элементов обозначаются буквами дьд2.........дп(5о и
gn+1 соответствуют активным сопротивлениям генератора и наг-
рузки). Эти параметры (иногда их называют g-параметрами) явля-
ются нормированными параметрами элементов ФНЧ, так как они
равны параметрам элементов ФНЧ при шс=1 рад/с и RH=Rr=1 Ом.
Для фильтра-прототипа g-параметры определяют по следующим
формулам [34]:
для максимально плоского фильтра
д0=дПи = 1. ду=22!(/лэ1п[(2;-1)к/(2п)], ; = Х2..п, (14.э)
для чебышевского фильтра
9о = 1, gi = 2at/v. д;=4аЛ1аДЬнд/-1), / = 2.3.п; (14.10)
1 при нечетном л,
^л+1 cth2(p/4) при четном л;
где aj = sin [(2;-1)лД2п)], Ь;= ф2 + sin2 (Jx/n), ну = sh [рД2п)], р =
= |П[СИ1(ВФ1/17,37)]. -
Отметим, что для максимально плоских фильтров элементы с
одинаковыми значениями д в схеме (рис.14.23) расположены сим-
метрично относительно середины фильтра как для четных, так и
для нечетных значений л. Поэтому ко входу и выходу фильтра
462
Рис. 14.26
должны подключаться одинаковые сопротивления 90=9^1. Для
чебышевских фильтров указанное свойство выполняется лишь для
нечетного числа звеньев в схеме, при п четном симметрия на-
рушается и получается д0*дп-н- При необходимости подключения
одинаковых сопротивлений ко входу и выходу чебышевского филь-
тра с четным числом звеньев (например, если фильтр встраи-
вается в линию передачи с заданным волновым сопротивлением)
следует включить в схему такого фильтра дополнительный транс-
форматор сопротивлений.
Исходными данными при синтезе эквивалентной схемы ФНЧ
являются следующие величины (рис.14.24); fc, f3, Вф1, Вф2, RH и вид
АЧХ. Вначале с помощью исходных данных вычисляют по (14.7)
или (14.8) число звеньев в эквивалентной схеме фильтра. Затем
по формулам (14.9) или (14.10) рассчитывают g-параметры эле-
ментов схемы фильтра-прототипа. Для получения формул, свя-
зывающих величины индуктивностей и емкостей эквивалентной
схемы ФНЧ с g-параметрами, приравняем нормированные прово-
димости (умноженные на RH) элементов, образующих параллель-
ные ветви схемы, и нормированные сопротивления (деленные на
R.) элементов, образующих последовательные ветви схемы, про-
водимостям и сопротивлениям соответствующих элементов
фильтра-прототипа:
i(»C2j_1RH= iQg^-i и (14.11)
где j=1,2,т; т=п/2 при п четном и m = (n + 1)/2 при п нечетном.
С учетом того, что для ФНЧ Q = f/fc, из (14.11) получим
t2/= д^нД21г/с) [Гн], С2М = g^RM) [Ф]. (14.12)
Рассмотрим синтез эквивалентной схе-
мы ПФ, выполненной #по лестничной схеме.
Такая схема, состоящая4 из п последо-
вательных'и параллельных контуров из L и
С, изображена на рис.14.26. И в этом слу-
чае при синтезе эквивалентной схемы испо-
льзуют идеализированную АЧХ (рис. 14.27),
tri t £ *з2 ?
Рис. 14.27
463
Рис.14.28
для которой в полосе пропускания фильтра вносимое
затухание Вф<Вф1, а в полосе заграждения f<f31 и вносимое
затухание Вф^Вф2- Для максимально плоской аппроксимации этой
АЧХ используется функция (14.5), а для чебышевской-функция
(14.6), в которой необходима следующая замена частотной пере-
менной:
(14.13)
Следует отметить, что при замене (14.13) АЧХ фильтра-
прототипа переходит в АЧХ полосового фильтра (на рис.14.28
показано преобразование максимально плоской АЧХ).
Исходными данными при синтезе эквивалентной схемы ПФ
(см. рис. 14.27) являются следующие величины; fH, fa, Вф1,
Вф2, RH и вид АЧХ. Вначале с помощью исходных данных вычи-
сляют по (14.7) или (14.8) при Q, = [(f32)2- (fB- fH)l общее
число контуров п в эквивалентной схеме фильтра, равное числу
элементов в схеме фильтра-прототипа. Затем по формулам (14.9)
или (14.10) рассчитывают g-параметры элементов схемы фильтра-
прототипа. Действуя как и в случае синтеза эквивалентной схемы
ФНЧ, несложно получить следующие формулы для расчета
параметров элементов контуров эквивалентной схемы ПФ через
g-параметры фильтра-прототипа:
в случае параллельных контуров
^-1 =RH(fB-f„)/(2nf0zg2j_1)[rH]l
сг/-1 = дглл^2я('.-'н)][ф].
а для последовательных контуров
£^ = д2Д/[2л(Гв-Гн)][Гн],
, , (14.15)
С2, =(fB-fH)/[(2Kf02g2yRJ^lJ
где j=1,2,.... т; т=п/2 при четном п и т = (п +1 )/2 при нечетном л;
Нагруженная добротность контуров эквивалентной схемы ПФ
определяется по формуле [35]:
Q; = g/0/[2 (fB-fH)J, где /=1,2.л. (14.16)
464
Аналогичным образом, используя результаты синтеза филь-
тра-прототипа и выбирая соответствующую замену частотной пе-
ременной в аппроксимирующей функции для АЧХ, синтезируются
эквивалентные схемы фильтров верхних частот и режекгорные
фильтры [35].
Рассмотрим еще одну эквивалентную схему фильтров, выполненную по
лестничной схеме. Если в формулах (14.5) или (14.6), аппроксимирующих АЧХ
фильтра прототипа (рис.14,23), использовать следующую замену частотной пере-
менной H = tg(P£) = (д(2л/М/ф), где I- длина отрезка линии передачи, по которой
распространяется волна с фазовой скоростью АЧХ фильтра-прототипа пере-
ходит в АЧХ, имеющую вид периодической функции частоты (на рис.14.29 показано
подобное преобразование для максимально плоской АЧХ). При подобной замене
частотной переменной реактивное сопротивление любого индуктивного элемента в
схеме фильтр а-прототип а (см. рис.14.23) переходит во входное реактивное сопро-
тивление короткозамкнутого шлейфа длиной £ (12.28), т.е. ig2jR„tg (р£) =
= Z«zjtg (р£), гДе Zt2i=92jRn- волновое сопротивление шлейфа. Аналогично реак-
тивная проводимость любого емкостного элемента в схеме рис.14.23 переходит во
входную реактивную проводимость разомкнутого шлейфа длиной I (см. формулу
(12.28)), т.е. g2^itg (pf)ZR„ = tg (p£yZB. гн. где Z,3^ = R„/g2H - волновое
сопротивление шлейфа. Значит, схема фильтра-прототипа рис.14.23 переходит в
схему рис.14.30, образованную последовательно и параллельно подключенными
короткозамкнутыми и разомкнутыми реактивными шлейфами.
В отличие от ранее рассмотренных экви-
валентных схем фильтров, содержащих
элементы L и С с сосредоточенными пара-
метрами, схема рис.14.30 содержит эле-
менты (отрезки линий), размеры которых
соизмеримы с длиной волны. Такие эле-
менты называют элементами с распре-
деленными параметрами. Схемы, содер-
жащие элементы с распределенными па-
раметрами, имеют периодические АЧХ, что
связано с периодическими свойствами от-
резка линии передачи. Поэтому поведение
схемы рис. 14.30 зависит от соотношения £/л. Например, на частотах, для которых
< ЛЛРтЙЛ'ф < и/2 на рис.14.29), схема ведет себя как ФНЧ; при Л/4 < £ < Л/2 - как
ФВЧ; при 0 < I < Л/2 - как режекторный фильтр, а при Л/4 < £ < < ЗЛ/4 - как ПФ и т.д.
Причем если схема рис.14.30 используется в качестве ПФ, то подобный фильтр
будет иметь множество полос пропускания, центры которых находятся на частотах,
соответствующих длинам волн в линии = 2£, Л2= £, Л3= = £/2 и т.д.
30-45
465
14.2.3. Реализация эквивалентных схем фильтров СВЧ
В диапазоне СВЧ, как правило, фильтры строят из элементов
с распределенными параметрами. При этом схемы, состоящие из
элементов с сосредоточенными параметрами, рассматриваются
как эквивалентные схемы. Синтезировав эквивалентную схему
фильтра, как было показано выше, выполняют второй этап про-
ектирования-реализуют полученную эквивалентную схему. Вна-
чале пытаются с помощью элементов с распределенными пара-
метрами смоделировать поведение сосредоточенных элементов
эквивалентной схемы. Однако такой подход к синтезу конструкции
СВЧ фильтра является лишь начальным и весьма грубым при-
ближением, поскольку при этом не учитывается ряд важных фак-
торов, влияющих на АЧХ синтезированной конструкции: перио-
дичность частотных характеристик элементов с распределенными
параметрами, дисперсия в отрезках линии, влияние неоднород-
ностей в полученной конструкции и т.д. Поэтому получаемую
вначале конструкцию рассматривают как первое или начальное
приближение при реализации. Затем для полученной конструкции
строят уточненную эквивалентную схему, пытаясь учесть ее осо-
бенности (влияние неоднородностей, дисперсию и тепловые поте-
ри в отрезках линии и т.д,). Уточненная эквивалентная схема
позволяет реализовать конструкцию фильтра во втором прибли-
жении и т.д. На практике, как правило, при разработке конструкции
фильтров СВЧ используют декомпозицию и параметрический
синтез конструкции, полученной в первом приближении (см.12.6).
Фильтр нижних частот на элементах с распределенными
параметрами. Наиболее просто эквивалентную схему ФНЧ
(рис.14.23) можно реализовать с помощью коротких отрезков ли-
нии передачи, используя эквивалентные схемы таких отрезков,
приведенные в табл.12.1. В этом случае конструкция ФНЧ состоит
из каскадного соединения коротких отрезков линии с высоким ZBB и
низким ZBH волновыми сопротивлениями, включенного в разрыв
линии передачи с волновым сопротивлением ZB, т.е. в данном слу-
чае RH=Rr=ZB. На рис.14.31 показана микрополосковая конструк-
Рис. 14.31
ция ФНЧ. Обычно при синтезе
конструкции величины ZBB и ZBH
выбирают исходя из конструк-
тивных особенностей линии, а
требуемую величину индук-
тивности или емкости элемента
обеспечивают подбором длин
отрезков. Отметим, что величи-
на волнового сопротивления ли-
466
Рис. 14.32
нии должна выбираться из условия физической реализуемости
линии и отсутствия в ней высших типов волн. Поэтому, выбрав
величины ZBB и Zbh, определяют по формулам синтеза для ис-
пользуемой в конструкции линии передачи (см. 10.6) величины % и
(рис. 14.31). В первом приближении длины отрезков
можно вычислить по формулам табл.12.2. Для определения более
точных значений длин отрезков линии строим уточненную экви-
валентную схему для нее (рис.14.32). Для этого каждый отрезок
линии заменяем полной Т- или П-образной эквивалентной схемой
(рис. 12.35), величины концевых индуктивностей и емкостей и
Смн определяем из (12.56) или (12.57) соответственно. Учет
влияния дополнительных элементов схемы на конструкцию ФНЧ
проводят следующим образом: вначале рассчитывают уточненные
значения емкостей, не учитывая концевые индуктивности, т.е.
С, =Ci — C|<0H2i Сз=Сз-Скон2-СкОНз,...1Сп=Сп-Сконп_1, по которым
рассчитывают длины нечетных отрезков, реализующие эти
емкости. Зная новые длины вычисляем с их помощью
концевые индуктивности и уточненные значения индуктивностей
1-2 ~~Д<он2| - ।^-п-1 ~Дт-1 “ ^-конп~Д:онп-1> ПОЗВОЛЯЮЩИе НЭЭЙТИ
новые значения длин четных отрезков 4А.--Лп-1. Процесс на-
хождения уточненных длин всех отрезков повторяют до тех пор,
пока их значения не начнут приближаться к некоторым фикси-
рованным величинам (итерационный процесс).
Уточнением эквивалентной схемы рис. 14.32 конструкции ФНЧ
(см. рис. 14.31) является учет влияния неоднородностей, возни-
кающих в местах стыка отрезков линии с высоким и низким вол-
новыми сопротивлениями. На рис.14.33, а показаны неоднород-
ность в микрополосковой линии, образованная скачкообразным
изменением ширины полоски, и ее эквивалентная схема
(рис.14.33, б), взятая из [36], где приведены также формулы для
вычисления Са и La. Поэтому если в схему рис.14.32 в сечениях
Рис. 14.33
30*
467
f-f, 2-2,n-n добавить эквивалентные схемы неоднородностей
(рис.14.33), то образуется более точная эквивалентная схема,
позволяющая вычислить уточненные значения индуктивностей и
емкостей, а следовательно, и более точные величины длин от-
резков конструкции. Аналогично синтезируется конструкция ФНЧ
на основе любой полосковой или коаксиальной линии.
Полосовые фильтры на элементах с распределенными
параметрами. Включаемые параллельно параллельные контуры
эквивалентной схемы полосового фильтра (рис.14.26) сравните-
льно просто реализуются в диапазоне СВЧ, например элементы 4
и 6 из табл. 12.1, выполненные на любой полосковой или коакси-
альной линии; резонансная диафрагма в волноводе (см. рис. 12.38);
параллельно подключенные к линии реактивные шлейфы опреде-
ленной, длины (см.12.1.3); любой объемный резонатор, рабо-
тающий в проходном режиме в линии передачи. Однако реали-
зация последовательного контура, включенного последовательно
в схему (рис.14.26), вызывает затруднения, что связано с необ-
ходимостью реализации последовательно подключенной емкости.
Казалось бы, что зазор в центральном проводнике коаксиальной
линии или в полоске полосковой линии позволяет решить эту
задачу. Однако на практике такой зазор используют крайне редко,
поскольку для реализации нужных величин емкостей могут
потребоваться очень малые зазоры, что создает технологические
трудности при изготовлении, кроме того, более точная эквива-
лентная схема зазора не последовательная емкость, а П-образная
цепь, состоящая из последовательной и параллельных емкостей
[36]. Обычно последовательно подключенная емкость реализуется
с помощью сосредоточенного конденсатора, выполненного в виде
ЧИП и изготовленного методами толстопленочной или тонко-
пленочной технологии [36]. Поэтому самое простое решение при
реализации последовательного контура схемы рис.14.26-это
каскадное соединение отрезка линии с высоким волновым сопро-
тивлением, реализующим индуктивность, с сосредоточенным кон-
денсатором. Такое решение приемлемо лишь на относительно
низких частотах, когда допустимо использовать элементы с сосре-
доточенными параметрами. На более высоких частотах применяют
иное решение-с помощью инверторов сопротивления эквива-
лентную схему рис.14.26 преобразуют так, чтобы в нее входили
Рис. 14.34
лишь параллельные контуры, включенные
параллельно. Идеальный инвертор сопро-
тивления (рис.14.34)-это четырехполюс-
ник, характеризуемый коэффициентом ин-
версии К". Инвертор имеет следующие
свойства: при подключении к его выходу
сопротивления ZH его входное сопротивле-
468
Рис.14.35
ние ZBX = (К*}2/?», а фазовый сдвиг, получаемый волной напря-
жения, проходящей с его входа на выход, равен птг/2, где л - целое
нечетное число. Благодаря свойствам инвертора последова-
тельный контур, включенный в линию последовательно, имеет та-
кое же входное сопротивление, что и параллельный контур, вклю-
ченный параллельно с инверторами на каждой стороне. На этом
основании эквивалентная схема полосового фильтра с исполь-
зованием инверторов имеет вид, показанный на рис.14.35. Пос-
кольку при неизменном ZH (рис. 14.34) величина Zm инвертора за-
висит от К, то в эквивалентной схеме рис.14.35 по сравнению со
схемой рис.14.26 имеются дополнительные степени свободы при
реализации-коэффициенты инверсии инверторов. При этом, что-
бы АЧХ схемы (рис.14.35) и схемы (рис.14.26) были бы идентичны,
должны выполняться соотношения [35]
=^1/(^2^^), K;nt1 = V^n+i/(RH2nfocns),
Кии (14.17)
где/= 1,2,.... л-1; S = (fB-fH)/fo и 2я70 = 1/ .
В сравнительно узкой полосе частот свойствами, близкими к
свойствам идеального инвертора, обладает четвертьволновый от-
резок линии передачи, волновое сопротивление которого играет
роль коэффициента инверсии (12.29). Такие отрезки и применяют
при реализации узкополосных полосовых фильтров, имеющих эк-
вивалентную схему рис.14.35. Подобные конструкции называют
фильтрами с четвертьволновыми связями между резонато-
рами. На рис. 14.36 показана микрополосковая конструкция двух-
звенного полосового фильтра, реализующая схему рис.14.35. В ка-
честве инверторов исполь-
зованы четвертьволновые
отрезки МПЛ, волновые соп-
ротивления которых вычи-
сляются по (14.17) в пред-
положении, что все контуры
состоят из элементов с оди-
наковыми параметрами. Кон-
туры реализуются с по-
мощью реактивных шлейфов
Рис.14.36
469
(элемент 4 в табл. 12.1). Конст-
рукцию (рис.14.36) можно моди-
фицировать, подключив к концу
отрезков длиной вместо ко-
роткого замыкания разомкнутый
на конце четвертьволновый от-
резок. При этом появляется до-
полнительное преимущество:
через фильтр можно подавать
постоянное напряжение смеще-
ния в случае, если к его выходу
подключено полупроводниковое
устройство.
На рис.14.37 показана трехзвенная конструкция полосового
фильтра на основе прямоугольного волновода, соответствующая
эквивалентной схеме (рис.14.35). Фильтр выполнен в виде отрезка
волновода, в котором на определенных расстояниях друг от друга
впаиваются решетки из индуктивных стержней, образующие про-
ходные объемные резонаторы с колебанием /7101, реализующие
контуры эквивалентной схемы. Количеством индуктивных стерж-
ней и их диаметром обеспечивают требуемую нагруженную доб-
ротность каждого резонатора (14.16). Поскольку фаза проходящей
через неоднородность волны (в данном случае через решетку
стержней) зависит от величины проводимости неоднородности, то
длина каждого резонатора Ь будет несколько отличаться от
Л/2, и ее можно определить, зная проводимость каждой решетки.
По той же причине и расстояния между резонаторами ^12 и 4з бу-
дут несколько отличаться от Л/4. Необходимые для расчета фор-
мулы можно найти в [33]. Из-за неизбежных при изготовлении кон-
струкции погрешностей резонансные частоты резонаторов в
фильтре могут отличаться от требуемой. Для устранения этого в
каждый резонатор вводится настроечный емкостной стержень,
ввинчиваемый через широкую стенку волновода (рис.14.37).
Отметим, что емкость, включенная в линию последовательно
также обледает свойствами инвертора сопротивлений [35]. Поэто-
му при реализации эквивалентной схемы (рис.14.35) на полос-
ковых или коаксиальной линии в качестве проходного резонатора
используют полуволновый отрезок линии (элемент 6 в табл.12.1 в
гл.12), а в качестве инвертора-зазор в центральном проводнике
линии, эквивалентной схемой которого в первом приближении и
является последовательная емкость. На рис.14.36 показана конст-
рукция двухзвенного коаксиального полосового фильтра. Требуе-
мые величины коэффициента инверсии обеспечиваются подбором
470
величины зазоров Si, s2 и s3. При этом длина каждого резонатора
и ег будет несколько отличаться от Л/2 из-за влияния прово-
димостей зазоров. Необходимые формулы для расчета таких
фильтров (в литературе они известны как фильтры с непос-
редственными связями менаду резонаторами) можно найти в [35]. В
конструкции (рис.14.38), использующей торцевую связь менаду ре-
зонаторами, весьма сложно получить широкие полосы пропус-
кания, поскольку для этого необходима сильная связь менаду резо-
наторами (низкая нагруженная добротность резонаторов), а это
требует изготовления очень малых зазоров менаду проводниками.
Поэтому обычно для получения сильной связи менаду резонатора-
ми фильтра используют боковую связь менаду проводниками линии
(см.10.6). На рис.14.39 показана конструкция трехзвенного микро-
полоскового полосового фильтра с боковой связью менаду резона-
торами. В качестве контуров использованы объемные резонаторы,
образованные полуволновыми отрезками линии, разомкнутыми с
обеих сторон (см.рис.11.15). Длины всех резонаторов равны Л/2, а
области связи с подводящими линиями и между резонаторами
равны Л/4. Сделав емкости всех контуров схемы (рис.14.35) одина-
ковыми и определив величину емкости контура по (12.57) для вы-
бранного объемного резонатора, можно из (14.17) найти коэффи-
циенты инверсии Ко/. ^12И- Кзд1", ^4зи- Волновые сопротивления для
четной и нечетной волн в связанных линиях для каждой области
связи можно вычислить по формулам [35]:
(^),,+i/ze=i+zaZK;/+,+(zezK;J+1)2,
=i-zBzK;J+l+(zezK;J+i)2,
где/-0,1,2....п.
Зная Zw и Zw, по формулам синтеза связанных линий
(см.10.6) определяем геометрические размеры whs для каждой
области связи.
(14.18)
471
Рис. 14.39
Отметим, что в конструкции полосового фильтра (рис.14.39)
можно использовать резонаторы в виде полуволнового отрезка
линии, замкнутого с двух сторон. Для уменьшения габаритов кон-
струкции (рис.14.39) в качестве объемных резонаторов исполь-
зуют четвертьволновые отрезки линии, которые на одном конце
разомкнуты, а на другом-замкнуты. При этом образуется весьма
малогабаритная конструкция полосового фильтра. На рис. 14.40
показана микрополосковая пятизвенная конструкция полосового
фильтра. Подобные фильтры называют в литературе фильтрами
на встречных стержнях. Элементы короткого замыкания конст-
рукции (рис.14.40) можно использовать для крепления провод-
ников при реализации фильтра на линиях с воздушным запол-
нением (например, симметричная или несимметричная полоско-
вые линии). Применение линий с воздушным заполнением поз-
воляет уменьшить тепловые потери в полосе пропускания фи-
льтра. Как правило, уровень тепловых потерь в полосе пропус-
кания фильтра определяет максимальное количество звеньев в
схеме фильтра, которое может реализовать та или иная конст-
рукция. Методика проектирования фильтров на встречных стерж-
нях (рис.14.40) с помощью фильтра-прототипа изложена в [35].
Отметим, что при использовании объемных резонаторов, об-
разованных отрезками линии, разомкнутой на концах (см. рис.11.15),
длины отрезков следует выбирать несколько меньше половины
длины волны: 7=А/2-2М Это связано с концентрацией электри-
ческого поля на концах резонатора, что эквивалентно подклю-
чению к отрезку эквивалентной линии краевых емкостей. Величину
Рис. 14.40
укорочения 2М можно рассчи-
тать по следующим приближен-
ным формулам [30]:
для микрополосковой линии
гдмхвгдлКЕэф+о.з)/
Деэф-0,258)][(1УЛ+0,256)7
4iv/7?+0,8l3)];
472
для симметричной полосковой линии 2Л£'= 0,33b.
С вопросами проектирования фильтров верхних частот или
режекторных фильтров можно ознакомиться в [35].
14.2.4. Широкополосное согласование с помощью фильтров
Затухание, вносимое фильтром отражающего типа на любой частоте, опре-
деляется в основном отражением потока энергии от его входа. Поскольку для реак-
тивного четырехполюсника без потерь справедливо равенство |8цР=1-
-1S,, |г, то для фильтра отражеющего типа частотная зависимость коэффициента
отражения от входа имеет такой же вид, как и АЧХ вносимого затухания
(см. рис.14.25). На этом основании фильтры отражающего типа применяют для
согласования комплексных нагрузок с пинией передачи. При атом реактивное со-
противление нагрузки рассматривается как последний элемент эквивалентной схе-
мы полосового фильтра. Полоса пропускания фильтра является полосой согласо-
вания нагрузки с линией передачи. Предположим, что требуется согласовать
линию передачи с волновым сопротивлением 2а с нагрузкой Z„, эквивалентная схе-
ма которой показана на рис.14.41. В данном случае согласующим
Рис. 14.41
устройством, включаемым между пинией и нагрузкой, является полосовой фильтр,
последний параллельный контур эквивалентной схемы которого образован емко-
стью нагрузки С„ и подключаемой ей параллельно индуктивности L„. Величина L„
определяется с помощью формулы 2irft = 1 /^L„CH. где ft-средняя частота тре-
буемой полосы согласования. Поскольку Сн и R„ заданы, то последний контур экви-
валентной схемы полосового фильтра должен иметь при этом нагруженную доб-
ротность, определяемую по формуле [29] Qn^isifaR^C^+R^Zt). Поэтому доброт-
ности всех остальных контуров в схеме полосового фильтра Qi, Q2,.... Qn-i следует
определять из условия получения полосового фильтра с требуемой АЧХ (14.16),
причем последний контур эквивалентной схемы фильтра имеет заданную доброт-
ность. Но как видно из (14.16), (14.9) или (14.10), добротность каждого контура эк-
вивалентной схемы фильтра однозначно связана с полосой пропускания ft-ft и
величиной Вф1 или соответствующей ей максимальной величиной коэффициента
отражения Гмк от входа фильтра в этой полосе. Поэтому если добротность хотя бы
одного контура задана, то между полосой пропускания фильтра и величиной Г™»
существует вполне определенная связь, естественно разная для фильтров с раз-
ными видами АЧХ. Например, для максимально плоского полосового фильтра, ис-
пользуя приведенную здесь формулу для Qn, а также формулы (14.16) и (14.9),
можно записать выражение
(гв-Гн = К1 + Ян^в)81‘п(л/2л)] 2V(10B*’/10-1)/(2тг<?нЯн). (14.19)
Из (14.19) вытекает, что при заданной комплексной нагрузке чем меньше ве-
личина 8Ф1 (чем меньше Гти), тем уже полоса согласования и наоборот. Как пока-
зано в [56], для каждой комплексной нагрузки существует максимально достижимая
полоса согласования, зависящая от требуемого уровня согласования. Эта полоса
тем больше, чем ниже уровень согласования, и наоборот.
473
14.3. НЕВЗАИМНЫЕ УСТРОЙСТВА СВЧ
14.3.1. Область применения невзаимных устройств
В технике СВЧ используют устройства, являющиеся многопо-
люсниками, которые не удовлетворяют теореме взаимности
(см. 5.9). Поэтому такие устройства получили название невзаим-
ных. Они обязательно содержат анизотропные среды, например
намагниченные ферриты или плазму. На практике широкое приме-
нение находят следующие невзаимные устройства: вентили, цир-
куляторы и фазовращатели.
Вентилем в технике СВЧ называют двухплечное устройство
или четырехполюсник (рис.14.42), в идеальном случае пропускаю-
щий электромагнитные волны в одном (прямом) направлении без
отражения и поглощения и полностью поглощающий волны, рас-
пространяющиеся в другом (обратном) направлении. Матрица
|| S || такого устройства записана на рис.14.42. В реальных венти-
лях в зависимости от рабочего диапазона, конструкции, уровня ра-
бочей мощности потери в вентиле при распространении волны в
прямом направлении лежат в пределах от 0,1 до 1 дБ, а при рас-
пространении в обратном направлении достигают 15...70 дБ. Вен-
тили применяют для согласования произвольной нагрузки с лини-
ей передачи.
Циркулятором называют устройство, имеющее несколько
плеч, или многополюсник, в котором движение потока энергии
происходит в строго определенном направлении, зависящем от
ориентации внешнего магнитного поля, намагничивающего ферри-
товый элемент внутри циркулятора. На рис.14.43 изображена эк-
вивалентная схема трехплечного циркулятора и записана его иде-
альная матрица рассеяния. Стрелка указывает направление цир-
куляции. Мощность, поданная на вход плеча 1 циркулятора, выхо-
дит в плечо 2, при этом фаза вектора Е соответствующей электро-
магнитной волны изменяется на угол ф, а амплитуда остается не-
изменной (если, конечно, пренебречь отражениями от входа плеча
1 и тепловыми потерями в циркуляторе). В плечо 3 энергия из пле-
Рис. 14.42
Рис. 14.43
474
Рис. 14.44
Рис. 14.45
ча 1 не ответвляется. Если подать мощность в плечо 2, то она
появится на выходе плеча 3 и т.д. Подобное направление цирку-
ляции энергии обозначают 1 -> 2 -> 3 -> 1. Как будет видно из даль-
нейшего, изменение ориентации внешнего (намагничивающего)
магнитного поля влечет за собой изменение направления цирку-
ляции на обратное 1 —>3—>2 —>1. Это свойство позволяет приме-
нять циркуляторы в качестве быстродействующих переключате-
лей, например, в схемах резервирования (рис.14.44) и других уст-
ройствах. С помощью циркулятора можно обеспечить одновре-
менную работу передатчика и приемника на одну антенну
(рис.14.45). В этом случае передатчик и приемник могут работать
как в непрерывном, так и в импульсном режиме. Как следует из
рисунка, энергия передатчика поступает в антенну, а сигнал, при-
нятый антенной, попадает на вход приемника. Поглощающая на-
грузка в плече 4 позволяет улучшить защиту приемника от сигна-
лов передатчика в случае реального циркулятора. С помощью
циркулятора можно осуществить так называемое высокочастотное
уплотнение антенно-волноводного тракта спутниковой системы
связи или радиорелейной линии связи, при котором один и тот же
тракт используется одновременно для передачи или приема не-
скольких широкополосных сигналов. Простейшая схема уплотне-
ния, когда к тракту подведены три передатчика, изображена на
рис.14.46. Сигнал с несущей частотой А от первого передатчика
поступает в плечо 1 циркулятора и появляется на выходе плеча 2.
К плечу 2 циркулятора через полосовой фильтр, пропускающий
сигналы с несущей частотой f2, подключен второй передатчик. По-
этому сигнал от первого передатчика с выхода плеча 2 циркулято-
ра попадает на вход отражающего полосового фильтра, отражает-
ся от него, снова проходит циркулятор и выходит в плечо 3 цирку-
лятора. Отразившись от входа полосового фильтра, пропускаю-
щего сигналы с несущей частотой f3, сигнал от первого передатчи-
ка, еще раз пройдя циркулятор, выходит в его плечо 4, к которому
подключен общий тракт, идущий к антенне. Аналогично сигналы от
второго и третьего передатчиков, работающих на несущих часто-
тах f2 и соответственно, поступают на выход плеча 4 и направ-
475
Рис. 14.46 Рис. 14.47
ляются в общий тракт и в антенну. Отметим, что подобная схема
уплотнения может быть построена и с помощью мостов [57], одна-
ко схема (рис.14.46) обладает существенно меньшими габаритами
и весом по сравнению с аналогичной мостовой схемой.
Циркулятор можно использовать также в качестве вентиля,
устраняющего отраженную от нагрузки волну (рис.14.47). В этом
случае энергия отраженной волны поглощается не в циркуляторе,
а во внешней нагрузке. Это имеет существенное значение при со-
гласовании достаточно мощного передатчика с нагрузкой, где пе-
реносимая отраженной волной мощность может оказаться весьма
значительной.
Фазовращатели, использующие намагниченные ферриты, по-
зволяют с помощью изменения внешнего магнитного поля (напри-
мер, в результате изменения тока в обмотке электромагнита)
плавно регулировать фазовый сдвиг, получаемый электромагнит-
ной волной при прохождении через устройство. В отличие от фа-
зовращателей, рассмотренных в 13.5, ферритовые фазовращате-
ли объединяют основные достоинства механических и дискретных
фазовращателей: плавная регулировка фазы проходящей волны и
отсутствие движущихся механических частей. Намагниченные
ферриты позволяют создавать невзаимные фазовращатели, вно-
сящие разные фазовые сдвиги для волн, распространяющихся в
противоположных направлениях. К недостаткам ферритовых фа-
зовращателей можно отнести сравнительно высокие вносимые
потери для проходящей волны и необходимость непрерывного
пропускания постоянного тока через обмотку электромагнита.
14.3.2. Свойства ферритов в диапазоне СВЧ
Магнитные свойства вещества. Ферриты. Как известно,
атомы всех веществ состоят из положительно заряженного ядра и
определенного числа отрицательно заряженных электронов. Каж-
476
дый электрон вращается по некоторой орбите вокруг ядра, одно-
временно вращаясь вокруг своей собственной оси. Поскольку
электрон заряженная частица, то его перемещение по замкнутой
траектории эквивалентно протеканию тока в контуре, поэтому ор-
биту каждого электрона можно рассматривать как элементарную
рамку с током. Под влиянием тока, протекающего по рамке, в ок-
ружающем пространстве возникает постоянное магнитное поле,
силовые пинии которого перпендикулярны плоскости рамки. Этому
магнитному полю соответствует орбитальный магнитный момент
электрона Мор6. Кроме этого, при вращении электрона вокруг своей
оси возникает спиновый магнитный момент Ми.
Электрон обладает определенной массой, поэтому каждый
электрон может рассматриваться в первом приближении как вол-
чок (гироскоп) с массой т, вращающийся вокруг центра атома и
одновременно вокруг собственной оси. Это обусловливает нали-
чие у электрона двух механических моментов количества движе-
ния: орбитального Lop6 и спинового Lcn. Теоретические и экспе-
риментальные исследования показали, что
Морб — МоОкорбД 2/77), Мед (14.20)
где е и ттт-соответственно заряд и масса электрона. Знак минус, а
значит, и антипараллельная ориентация магнитных и механи-
ческих моментов обусловлены отрицательным зарядом электрона.
Полный магнитный и механический моменты атома есть гео-
метрические суммы соответственно магнитных и механических
спиновых и орбитальных моментов всех электронов в атоме. Маг-
нитный момент ядра примерно на три порядка меньше магнитного
момента электрона, поэтому влиянием магнитного момента ядра
можно пренебречь.
Исследования вещества показали, что у большинства атомов
наблюдается антипараллельная ориентация спиновых магнитных
моментов у любых соседних двух электронов на орбите, т.е. сум-
марный магнитный момент этих атомов близок к нулю. Иск-
лючение составляют металлы переходных групп (группа железа,
палладия, платины и др.), у которых наблюдается параллельная
ориентация спиновых магнитных моментов у части электронов на
орбите. Например, у атома железа на предпоследней орбите на-
ходятся четыре электрона с параллельными спинами, у атома ко-
бальта-три и т.д. В постоянном магнитном поле атомы этих ме-
таллов ведут себя подобно стрелке компаса: их магнитные мо-
менты ориентируются параллельно приложенному полю.
Как будет видно из дальнейшего изложения, принцип дей-
ствия ферритовых устройств диапазона СВЧ основан на взаи-
модействии магнитного поля электромагнитной волны с неском-
477
пенсированными магнитными моментами атомов. Чтобы такое
взаимодействие стало возможным, электромагнитная волна дол-
жна проникать в вещество и распространяться в нем. В провод-
ники электромагнитные волны почти не проникают. Эту трудность
можно устранить, если использовать не ферромагнитные ме-
таллы, а обладающие свойствами диэлектриков химические сое-
динения таких металлов (обычно железа) с другими элементами.
Подобные магнитные диэлектрики, называемые ферритами, име-
ют достаточно высокое удельное сопротивление - порядка 10е.. .10110м/См;
их относительная диэлектрическая проницаемость зависит от со-
става феррита и обычно равна 5...20.
Состав простейших ферритов, являющихся твердыми раство-
рами окислов металлов и FeaO3, описывается следующей хими-
ческой формулой: Me+zO-FezO3, где Me*2-ион двухвалентного ме-
талла, обычно это Ni, Со, Мп, Си, Zn и др. Часто применяют так
называемые смешанные ферриты, в состав которых входят одно-
временно ионы двух и большего числа металлов. Ферро-
магнитными свойствами обладает соединение вида Y3Fez(FeO4)3,
называемое иттриевым феррогранатом. Ферриты могут быть поли-
кристаллическими и монокристаллическими. Технология производ-
ства поликристаллических ферритов совпадает с технологией
производства керамики: из смеси мелко измельченных окислов с
пластификатором формируют необходимые образцы ферритовых
изделий, которые затем обжигают при температуре 1ОО0-1400°С.
Ферритовые монокристаллы (например, иттриевые феррогранаты)
выращивают по технологии, сходной с технологией полупровод-
никовых материалов.
Экспериментальные исследования показали, что в ферритах
вклад орбитальных моментов в общий момент обычно мал, поэто-
му магнитные свойства ферритов определяются в основном спи-
новыми магнитными моментами атомов.
Прецессия магнитного момента. Предположим, что электрон
с магнитным моментом и механическим моментом Цл помещен
во внешнее постоянное магнитное поле Hq=z0Hq, направление ко-
торого не совпадает с Мел (рис.14.48). Под влиянием внешнего по-
ля магнитный момент стремится повернуться и установиться па-
раллельно Но, причем вращательный момент Т равен [58]:
Т=[М^,НЭ]. (14.21)
Однако наличие механического момента делает электрон
подобным гироскопу, ось которого под влиянием действующих сил
процессирует (вращается). Поэтому под действием поля Но концы
векторов Цг. и Мот начинают прецессировать вокруг Но. Траектория
движения концов этих векторов изображена на рис.14.48 сплошной
478
линией. Скорость перемещения Lcn равна вели-
чине вращательного момента T:dLcriAft=T=
= [Мсп, Но]. Подставив в это равенство значение
LOT из (14.20), приходим к уравнению
dMcn/cfr=-Ycn[Mcni Но], (14.22)
Усп = Рое/т=7л-Ю4, мДА-с).
Рис.14.48
Решение уравнения (14.22), выполненное в [58], показывает,
что конец вектора описывает окружность, вращаясь по часовой
стрелке, если смотреть вдоль вектора Но (рис.14.48). При этом кру-
говая частота вращения вектора, называемая круговой частотой
свободной процессии, вычисляется по формуле
wo = YcnH0- (14.23)
В реальных ферромагнитных средах всегда имеет место по-
тери. Поэтому конец вектора движется по свертывающейся
спирали, как показано пунктиром на рис.14.46. Через время по-
рядка 1СГ8 с прецессия практически полностью прекращается, и
вектор Мел устанавливается параллельно Но.
При определенной величине Яо, зависящей от состава фер-
ритового образца, его формы и некоторых других факторов, прак-
тически все нескомпенсированные магнитные моменты ориен-
тируются параллельно друг другу и внешнему полю. Феррит на-
магничивается до насыщения. В результате вектор магнитного
момента единицы объема феррита Мо, равный произведению Mct1
на число N нескомпенсированных магнитных моментов в единице
объема, установится параллельно H0:MQ=WMcn=Zo/W.
Вектор Но оказывает одинаковое влияние на все неском-
пенсированные магнитные моменты. Поэтому уравнение (14.22)
описывает движение не только магнитного момента отдельного
электрона, но и всех магнитных моментов в единице объема, т.е. в
(14.22) можно вместо Мот подставить Мо.
Тензор магнитной проницаемости феррита. Если в намаг-
ниченной под воздействием поля Но ферритовой среде распро-
страняется электромагнитная волна с произвольно ориентиро-
ванным вектором напряженности магнитного поля H = Hmcos(<oO.
то на магнитные моменты действует суммарное поле с вектором
Н: = ZoHo + Hmcos (ш7). (14.24)
В этом случае ориентация в пространстве вектора Нт не оста-
ется постоянной, ибо длина вектора Н изменяется по тар-
479
моническому закону (кроме случая Н11 Н01 но этот случай не пред-
ставляет интереса для рассматриваемых здесь вопросов). Изме-
нение ориентации вектора Н вызывает прецессию магнитных
моментов. Эта прецессия уже не будет затухающей, так как от-
сутствует какое-либо определенное направление внешнего поля,
параллельно которому могли бы установиться магнитные мо-
менты. Возникает так называемая вынужденная прецессия, час-
тота которой совпадает с частотой электромагнитной волны.
Если | Нт | Но, отклонения вектора Нт от оси Z незначи-
тельны, соответственно невелики и отклонения суммарного век-
тора магнитного момента единицы объема МЕ от оси Z. В этом
случае можно записать Мт = Zq/W0 + Mm cos где | Mm | Мо. Под-
ставим в правую часть (14.22) вместо векторов Но и соот-
ветственно векторы Нт и МЕ. Раскрывая векторное произведение и
учитывая, что i Hm| « Но и | Mmi /Мо, имеем
[МЕ, H£] = [z0, Hm]/WoCOS(irt + [Mm, Zo]HoCOS<ot (14.25)
Переходя затем в (14.25) к комплексным амплитудам век-
торов, получаем
i®Mm =-ycnM0[z0,Hm] + yCTH0[z0,Mm]. (14.26)
Проецируя (14.26) на оси декартовой системы координат, имеем
ico/Wmy =-шмНтк + ш0Мтл, (14.27)
=0,
где o)u = ycn/W0 и ю0 = успН0.
Решая систему уравнений (14.27) относительно/^,/Wmy,/Wmz,
находим:
Мтх = - [юошы /(со2 —со2)] -i[иим /(со2 -и2)] Нту,
Мту = i[cocoм /(о2 -<о2)]Нтх-[иоин /(со2 -с^)]Нту1 (14.28)
<=0.
Из (1.15) с учетом (14.28) определяем составляющие вектора
Вт волны, распространяющейся в ферритовой среде, намагни-
ченной вдоль оси Z:
Вы = РоП -“0Юм Л»2 " «о )] - i [Ц0““м /(<й2 - Wq )] Чпу.
=i[Mo<ocoH/(и2-Wo)]Hm + nQ{1-wo(0M/(ai2 -<o2)]Hmyi (14.29)
Втг = Ро .
430
Формулы (14.29) можно переписать в тензорной форме
В„-ЫЙ'
(14.30)
где
и Фас 0
; нл,-. Ч,, • ы= Фас И 0
нт1 0 0 До
2 2 2 2
Ц = Цо[1-«>О“и/(<«> -Ио )]. Цас= ИоСОСОн/Си “«0 )
(14.31)
(14.32)
Матрицу р называют тензором магнитной проницаемости
феррита.
14.3.3. Распространение электромагнитных волн в
неограниченной ферритовой среде
Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны, распростра-
няющиеся в однородной безграничной ферритовой среде, равно-
мерно намагниченной внешним полем Но, ориентированным па-
раллельно оси Z, должны удовлетворять уравнениям Максвелла,
записанным с учетом (14.30):
^Ёпа/ду-дЁту/д2 = -\а{у.Нтх-Ц1ва Нту),
дЁтх/дг-дЁтг/дх = (14.33)
= -icopo Нте,
5 ду-дЙту/д z = i юе Ётх,
SH^/Sz-SH^/Sx^imEE^,
ЗН^/Эх-ЗН^/Зу = iсое Ё^.
(14.34)
Ограничимся рассмотрением двух наиболее интересных
случаев:
направление распространения волны в феррите совпадает с
направлением поля Но (продольное намагничивание);
направление распространения волны в феррите перпенди-
кулярно направлению поля Но (поперечное намагничивание).
Продольное намагничивание. Пусть электромагнитная вол-
на распространяется вдоль оси Z. Поскольку намагниченная фер-
ритовая среда предполагается однородной, в ней возможно рас-
пространение плоских волн. Рассматривая такие волны, положим
в (14.33) и (14.34) 5/5х = д/5у = 0. При этом, как следует из третьих
уравнений указанных систем, Ётг = Нт. =0, т.е. распространяю-
31-45 481
щаяся волна, как и в случае изотропной среды, является попе-
речной. При этом так же, как в случае изотропной среды, попе-
речные составляющие векторов Е и Н связаны соотношениями
= ^ПтК=-[Мае)]^т1, где рг-коэффициент рас-
пространения плоской волны в ферритовой среде. Подставив
выражения для и Ёту в (14.33), получим
=i^cHna, (14.35)
= -[“4^4^. (14.36)
Исключая из полученной системы Нтх и Нту, получаем, что
величина рг2 может принимать два значения (р/)2 и (pz“)2:
(pz*)2 = ®V, (14.37)
где М+= Д - Рас, Р~= р + рас.
Следовательно, при продольном намагничивании в ферри-
товой среде могут распространяться две плоские волны:
волна с коэффициентом фазы р* = и^ёр+ = <й ^е (д - р0С), у
которой согласно (14.35) составляющие магнитного поля связаны
равенством Нту = - \Нгпх\ вектор Нт имеет круговую поляризацию
и его направление вращения совпадает с направлением вращения
при свободной прецессии (рис.14.48), т.е. вращается по часо-
вой стрелке в плоскости XOY, если смотреть вдоль направления
постоянного магнитного поля; припишем знак"+" всем параметрам
и составляющим векторов поля этой волны, например вектор
магнитного поля этой волны обозначим Н* = xQHmx“iy0Hmy;
волна с коэффициентом распространения р; = ^/ед” =
= ш^Е(д + дас), у которой согласно (14.35) составляющие магнит-
ного поля связаны равенством Hmy =iHrnx', вектор Hm имеет кру-
говую поляризацию, и его направление вращения противоположно
направлению вращения М-, при свободной прецессии (рис. 14.48),
т.е. вращается против часовой стрелки в плоскости XOY, если
смотреть вдоль направления постоянного магнитного поля; при-
пишем знак всем параметрам и составляющим векторов поля
этой волны, например вектор магнитного поля этой волны обо-
значим Hm"= ХаНтх + i уоНиу.
Отметим, что согласно (14.32) в намагниченной ферритовой
среде д+*д~, т.е. указанные волны в общем случае распрост-
раняются с разными фазовыми скоростями.
482
Как было показано вы ше, по- 1t -------------- э-t^ относительные
тери в феррите приводят к зату-
ханию свободной прецессии. Если
на частоте соо свободной прецес-
---у относительные
/7 । Уч потери
// । \\в феррите
/ / 1 \ Y
сии передавать прецессирующим / J ; \ v -----
электронам энергию, равную теря- -I -----------ду-
емой ими, то прецессия станет-----------------------рвз
незатухающей. Роль такого источ- Рис.14.49
ника, компенсирующего потери и
поддерживающего свободную прецессию, может выполнять эле-
ктромагнитная волна с круговой поляризацией магнитного поля,
если направление и частота вращения вектора Нт совпадают с
направлением и частотой свободной прецессии (рис. 14.48). Такой
волной и является волна с вектором Н’, на частоте ы = со0= утН0.
Если частота волны с вектором Н.'„ отличается от ш0, то магнитное
поле волны препятствует стремлению магнитного момента элект-
рона прецессировать с частотой соо- Поэтому амплитуда прецессии
при <о ш0 меньше, чем при <о = <и0. Но на поддержание прецессии с
меньшей амплитудой необходимо затратить меньшую энергию.
Следовательно, при со = а>о амплитуда прецессии магнитного мо-
мента наибольшая, и волна с вектором Н* испытывает в феррите
максимальное поглощение. На рис.14.49 показана зависимость
амплитуды прецессии магнитного момента и величины затухания,
испытываемого волной с вектором Н^, от величины внешнего
намагничивающего поля.
Явление резкого увеличения затухания, испытываемого элект-
ромагнитной волной с вектором Н^,, при напряженности внешнего
магнитного поля Н0рез=й)/уСп получило название продольного фер-
ромагнитного резонанса. Круговую частоту и0, на которой это
затухание происходит, называют круговой частотой продольного
ферромагнитного резонанса.
Совершенно по-иному взаимодействует феррит с волной с
вектором Н“. Вектор Н’ вращается в сторону, противоположную
направлению вращения свободной прецессии. Поэтому незави-
симо от частоты электромагнитного поля и величины напря-
женности внешнего магнитного поля, амплитуда прецессии ока-
зывается малой, и соответственно будет мало затухание, испы-
тываемое волной в феррите.
31- 483
Jl /ч На рис.14.50 показана зави-
симость ц7р0 и ц“/цо от величины
1—|Д° /--------------Hq. График р7цо вблизи Н0=Н0рвз
__________j /____________построен с учетом того, что при
-1_______________________/н0 рез "о наличии потерь в феррите вектор
Н±р6?\/ вт+ в области резонанса не стре-
мится к бесконечности, как это сле-
ис'14'50 дует из (14.31) и (14.32), а лишь
достигает максимального значения.
Рассмотрим еще одно явление (эффект Фарадея), которое
происходит в продольно намагниченной ферритовой среде при
распространении электромагнитных волн. Возбудим в такой среде
волну, у которой вектор Нт линейно поляризован и совпадает по
направлению с осью (рис.14.51). Как известно (см. 6.3),
линейно поляризованную волну можно представить в виде суммы
двух волн с круговой поляризацией: Н = (Н;, + Н^)/2 = [(х0 -iy0)H +
+(хо+'Уо)^1/2- Но волны с векторами Нт и Н“ имеют разные
коэффициенты фазы р/ и р/. Поэтому, пройдя вдоль оси Z один и
тот же путь £, волны получат разные фазовые сдвиги рг7 и р/7
соответственно. В результате комплексная амплитуда напряжен-
ности магнитного поля волны, прошедшей путь £ вдоль оси Z,
будет равна
Hm = [MJ, ехр (- iр:0 + Hm ехр(- ip;е)]/2 =
= Hexp(-ipof){xo cos[(p;~p;)e/2]+y0 sin[(p;-р;) e/2J}. (14.38)
где Po=(Pz++Pz’)/2.
Как следует из (14.38), составляющие и Нту синфазны, а
отношение их амплитуд |Hmxl/|Hmy| = tg у, где ч/ = (рг-рг+)//2,
зависит от длины пути £, пройденного волной вдоль оси Z, Поэтому
у волны, распространяющейся в феррите, вектор Нт сохраняет
линейную поляризацию, но в зависимости от I меняется угол
наклона у вектора Нт к оси X, т.е. происходит поворот плоскости
поляризации распространяющейся вол-
ны. Угол поворота у тем больше, чем
длиннее путь, пройденный волной в
феррите. Более подробный анализ по-
казывает, что угол щ возрастает при уве-
личении намагниченности Мо, диэлект-
рической проницаемости феррита, зави-
сит от Но, ю и ряда других факторов [58].
Поскольку при На<НОрез (рис.14.50) р+<
< ц“, то р/< р/, в этом случае плоскость
484
поляризации поворачивается по часовой стрелке, если смотреть
вдоль Hq. При Но>Н0рез направление поворота плоскости поля-
ризации меняется на противоположное.
Описанное явление поворота плоскости поляризации электро-
магнитной волны, распространяющейся в продольно намагни-
ченной ферритовой среде, получило название эффект Фарадея.
Поперечное намагничивание. Предположим, что плоская
волна распространяется вдоль оси X в намагниченной ферритовой
среде (H0=ZoH) (рис.14.48). Полагая в (14.33) и (14.34) д/5у=
= d/5z~Q, замечаем, что система уравнений (14.33) и (14.34) распа-
дается на две независимые системы:
О ~ Р ^тх ~ ' Рас
₽х^™ =~»(|расЙт( + рНту), (14.39)
Рх ^ту ~ “РО ^mzt
Ёт<=0, (14.40)
Рх ~ ^ту<
где Рх - коэффициент фазы волны, распространяющейся вдоль оси
X. Исключая Ётг из (14.39), получаем
(p2-w2ep)Hmy = ico2epac Йтх, \p№Hmy=pHaa. (14.41)
Откуда
рх1=о7^;, (14.42)
где (ц2“ цас2)/р = ji").
Вектор Нт волны с коэффициентом фазы pxi согласно (14.39)
лежит в плоскости XOY, перпендикулярной вектору Но, и имеет
при эллиптическую поляризацию. Вектор Ёт этой волны
параллелен Но. Эта волна является волной типа Н, поскольку
имеет составляющую Н^, параллельную направлению распрост-
ранения волны (оси X).
Аналогично, исключив из (14.40), получаем Рхг = <о7ёдГ- у
плоской волны с коэффициентом распространения ру2 согласно
(14.40) вектор Нт|( Но, из-за чего эта волна не вызывает прецессию
магнитного момента. Коэффициент фазы волны имеет такое же
значение, какое он имел бы для немагнитной среды с диэле-
ктрической проницаемостью е. Вектор Ёт волны перпендикулярен
Но и направлению распространения волны, поэтому рассмат-
риваемая волна является ТЕМ-волной.
485
Рассмотрим некоторые свойства Н-волны в феррите, имею-
щей коэффициент фазы рх1, вычисляемый по (14.42). В реальных
ферритах диэлектрическая проницаемость является комплексной
величиной E_=E'-iE"=£'(1-itg6), где обычно е’«с’. Если прене-
бречь магнитными потерями в феррите, то рх)=7^~7е’_'е”я
® <о 7ЙГ е'[1 - i ® 7е* ~ i ° 7е* f1! 09 5)/2- Как следует из
графиков рис.14.50, и~~Цо, поэтому при ц+=-ро величина
При этом бесконечно возрастает мнимая часть коэффициента рас-
пространения ₽х1. Это означает, что распространяющаяся в фер-
рите волна интенсивно затухает. Это явление называется попе-
речным резонансом. Отметим, что в рассматриваемом случае
затухание волны не связано с явлением ферромагнитного резо-
нанса, который наблюдается в продольно намагниченных ферри-
тах, а объясняется бесконечно большим значением магнитной
проницаемости феррита и наличием диэлектрических потерь в
нем. Более детальный анализ показывает, что вблизи точки
поперечного резонанса резко возрастают не только диэлект-
рические, но и магнитные потери. Из графиков (рис.14.50) видно,
что отрицательным значениям ц+ соответствуют значения напря-
женности внешнего поля Но, меньшие резонансной величины НСрез.
Значит, поперечный резонанс возникает при более низких зна-
чениях Н1рез намагничивающего поля, чем продольный. Формулу
ДЛЯ Н1реэ МОЖНО получить ИЗ условия Д = 0, при котором U|-»oc, ЧТО
с учетом (14.32) позволяет получить формулу
н1рвз = 7*0 раз* wo - мо. (14.43)
Эффект смещения поля в продольно и поперечно намаг-
ниченных ферритах. При р+<0 (рис. 14.50) коэффициент фазы р/
становится чисто мнимым, что соответствует стоячим волнам с
экспоненциально убывающей вдоль оси Z амплитудой. Поэтому
при д*<0 распространение волн с вектором Щ в продольно на-
магниченной среде становится невозможным. Если ферритовая
среда имеет конечные размеры в поперечном сечении (продольно
намагниченный ферритовый цилиндр, пластина и т.д.), то волна с
вектором Н.„ из феррита вытесняется и распространяется вне
ферритовой среды вдоль границы феррит-воздух. В то же время
волна с вектором Н“ нормально распространяется в ферритовой
среде, поскольку Это явление получило название эффект
смещения поля.
Аналогичное явление имеет место в поперечно намагни-
ченном феррите для Н-волн ы, когда j!±< 0 или ц- = д+< 0.
486
Подставляя в и*=ц-рас значения из (14.32), определяем
напряженность внешнего магнитного поля, при котором ц*<0, т.е.
имеет место эффект смещения поля в продольно и поперечно
намагниченных ферритах:
Н0>Н0рез-М0. (14.44)
14.3.4. Ферритовые вентили
Наибольшее распространение в технике СВЧ получили сле-
дующие типы вентилей: резонансные, вентили на "смещении поля”
и предельные.
Резонансные вентили. Принцип действия таких вентилей
основан на явлении поперечного резонанса. Рассмотрим конст-
рукцию резонансного вентиля на основе прямоугольного волно-
вода, работающего в одноволновом режиме (рис.14.52). Чтобы
стал понятен принцип действия этого вентиля, рассмотрим изме-
нение во времени магнитного поля волны Н10 в некотором про-
дольном сечении, параллельном плоскости XOY. Поскольку про-
дольной осью в данном случае (см. рис. 14.52) является ось У, а не
ocbZ, как в 10.1, то составляющие напряженности магнитного поля
волны Ню, бегущей вдоль положительного направления оси У,
можно записать в виде
Ч™ =рра/я)НОу sin (кx/a) exp (-ipу), (14.45)
cos (л x/a) exp (-ip у).
Как следует из (14.45), составляющие Нтк и Нту сдвинуты по
фазе на л/2, а их модули зависят от координаты х. В общем случае
модули этих составляющих не равны, поэтому поляризация маг-
нитного поля эллиптическая. Вблизи боковых стенок волновода
(при х = 0 и х = а) и в центре широких стенок (при х = а/2) магнитное
поле волны Н10 имеет линейную поляризацию, поскольку в этих
точках одна из составляющих вектора напряженности магнитного
поля обращается в нуль. В тех сечениях,
где 1^1 = 1 Йт/|, поляризация магнитного по-
ля будет круговой. Так как составляющая Йту
при переходе через точку х = а/2 меняет знак,
то во всех сечениях при 0<х<а/2 вектор Нт
вращается по часовой стрелке, если смотреть
вдоль оси Z, а в сечениях при а/2 <х< а-против рис.14.52
487
часовой стрелки. Приравнивая модули составляющих магнит-
ного поля, получаем следующее выражение: Itg (nxt/a) I =
= MPa)=1/7(2a/X)2 -1, позволяющее определить значение коор-
динаты хо. при которой Нт имеет круговую поляризацию. Запи-
санное уравнение для 0 < х < а имеет два решения: для средней
частоты диапазона одноволновой работы волновода имеем
х01 ж а/4 и х02« За/4.
Помещаем в сечение с координатой хог тонкую ферритовую
пластину и намагничиваем ее внешним постоянным магнитным
полем, направленным вдоль оси Z, H0=ZoH0 (см. рис.14.52). В этом
случае в сечении с координатой х01 поляризация магнитного поля
волны Н1С такая же, как у вектора Нт (см. 14.3,2), а в сечении с
координатой Хи-как у вектора Н“. Изменим направление дви-
жения волны в волноводе на противоположное (обратная волна).
Для нее в (14.45) следует заменить р на (-р), т.е. изменение
направления распространения волны по волноводу изменяет на
противоположное направление вращения вектора магнитного поля
волны в точках волновода. Поэтому обратная волна в сечении с
координатой х01 будет иметь поляризацию, совпадающую с поля-
ризацией поля На в сечении с координатой х02~с поляризацией
поля Н+,
Если величину намагничивающего поля Но выбрать так, чтобы
на заданной частоте выполнялось равенство (14.43), что соот-
ветствует поперечному резонансу в ферритовой пластине, то для
прямой волны феррит представляет диэлектрик с магнитной про-
ницаемостью ро. Поэтому прямая волна проходит отрезок вол-
новода с ферритовой пластиной без существенных потерь. На-
против, обратная волна, имеющая поляризацию магнитного поля,
совпадающую с Н+ в месте расположения феррита, будет интен-
сивно затухать в феррите. Поскольку х01 и х02 зависят от частоты,
то с повышением частоты сечение с круговой поляризацией
магнитного поля смещается в сторону ближайшей узкой стенки, а
при понижении частоты-к центру волновода. При этом ферри-
товая пластина оказывается в сечении с эллиптической поля-
ризацией магнитного поля волны, что приводит к увеличению
затухания для прямой волны и к уменьшению затухания-для
обратной.
Для ослабления зависимости структуры поля в волноводе от
частоты в волновод вводят пластину из диэлектрика с высокой
диэлектрической проницаемостью, а тонкую ферритовую пластину
наклеивают на диэлектрик (рис. 14.53). При этом значительная
часть энергии, распространяющаяся по волноводу, проходит через
488
постоянный магнит
Рис. 14,53
феррит диэлектрик
Рис. 14.54
область, где размещена диэлектрическая пластина. Благодаря
этому зависимость структуры поля от частоты, характерная для
обычного волновода, становится менее выраженной. Одновре-
менно возрастает концентрация поля в ферритовой пластине, что
приводит к существенному увеличению затухания обратной волны
на единицу длины по сравнению с ферритовой пластиной без
диэлектрика (см. рис.14.52). Использование диэлектрической плас-
тины расширяет рабочий диапазон вентиля и увеличивает вен-
тильный эффект на единицу длины, что позволяет сократить длину
вентиля. Толщина диэлектрической пластины, ее положение в
волноводе, параметры диэлектрика подбирают так, чтобы на
границе, где расположен феррит, поляризация магнитного поля
волны была близка к круговой. Концы диэлектрической пластины
заостряют для уменьшения отражений от вентиля.
Конструкция резонансного вентиля, где для создания намаг-
ничивающего поля использован постоянный магнит, показана на
рис.14.53. Такая конструкция успешно используется при малой и
средней мощности, переносимой волнами по волноводу.
При сравнительно высокой передаваемой мощности исполь-
зуют иную конструкцию (рис.14.54). Это связано с тем, что в
резонансном вентиле практически вся мощность обратной волны
рассеивается в феррите, что приводит к его нагреву. При чрез-
мерном нагреве, поскольку феррит плохо проводит тепло, может
произойти отклеивание ферритовой пластины и даже ее разру-
шение. Поэтому в конструкции вентиля для высокого уровня
мощности используют две ферритовые пластины, наклеиваемые
непосредственно на широкие стенки волновода (рис.14.54). В
случае необходимости используют воздушное принудительное или
жидкостное охлаждение волновода.
Резонансные вентили можно построить на коаксиальной или
полосковых линиях передачи. 7ЕМ-волна, основной тип волны в
таких линиях, не имеет продольной составляющей магнитного
поля. В связи с этим в таких линиях отсутствуют точки с круговой
поляризацией магнитного поля, что мешает созданию резона-
нсного вентиля. Поэтому обязательным предварительным усло-
489
Н>|
диэлектрик
Рис. 14.55
Н>]
феррит диэлектрик
Рис. 14.86
вием реализации резонансного вентиля является получение в
таких линиях областей с круговой или близкой к ней поляризацией
магнитного поля распространяющейся волны. Основным способом
создания круговой поляризации является частичное заполнение
поперечного сечения линии диэлектриком с большой диэлект-
рической проницаемостью. На рис.14.55 и 14.56 приведены попе-
речные сечения конструкций резонансного вентиля на коакси-
альной линии и на симметричной полосковой линии соответ-
ственно. В отрезке линии с диэлектриком возникает гибридная
волна, имеющая кроме поперечной и продольную составляющую
магнитного поля. При определенных условиях, подобрав степень
заполнения линии диэлектриком, его форму и величину диэле-
ктрической проницаемости, можно добиться того, что поляризация
магнитного поля волны станет вблизи ферритовых пластин кру-
говой. Поскольку отсутствует дисперсия основной волны в таких
линиях, резонансные вентили на подобных линиях работают в
широкой полосе частот (удается получить даже октавную полосу).
Общим недостатком резонансных вентилей являются срав-
нительно большие габариты и масса, что в значительной степени
определяется постоянного магнита, поскольку для обеспечения
поперечного резонанса в феррите требуется большое намаг-
ничивающее поле.
Вентили на "смещении поля". Такие вентили выгодно отли-
чаются от резонансных меньшими габаритами и массой, поскольку
согласно (14.44) величина намагничивающего поля в них в 1,5...2
раза меньше, чем в резонансных. Принцип действия основан на
явлении смещения поля, существующем в линиях передачи,
содержащих намагниченные ферритовые элементы (см.14.3.3). В
прямоугольный волновод помещается достаточно толстая ферри-
товая пластина, как показано на рис.14.57. Пластина намагни-
чивается внешним постоянным магнитным полем На, направ-
ленным вдоль оси Z. Обратная волна, распространяющаяся по
волноводу в направлении, противоположном направлению оси У, в
феррите имеет поляризацию магнитного поля, совпадающую с Н*.
490
Магнитная проницаемость феррита для этой
волны равна ц+. Для намагничивающих полей Но,
удовлетворяющих (14.44), i?<0 и обратная
волна не может распространяться в феррите.
Она вытесняется из него и распространяется в
виде поверхностной волны вдоль границы фер-
рит-воздух. Распределение амплитуды вектора
Е обратной волны в поперечной плоскости
волновода с ферритом показано на рис.14.57.
феррит
Рис. 14.57
Прямая волна, распространяющаяся по волново-
ду вдоль оси У, в феррите имеет поляризацию магнитного поля,
совпадающую с Н~, поэтому магнитная проницаемость феррита
для этой волны равна ц"»цо. Однако ее структура в волноводе с
ферритом достаточно сильно отличается от структуры волны Н10.
Подбирая толщину ферритовой пластины и величину намаг-
ничивающего поля, добиваются для прямой волны распределения
поля в поперечной плоскости, показанного на рис.14.57. В этом
случае для образования вентиля достаточно на левую грань
ферритовой пластины нанести тонкую поглощающую пленку,
поглощающую обратную волну намного сильнее, чем прямую. На
рис.14.58 изображена конструкция волноводного вентиля на
вид А
феррит поглощающий
слой
диэлектрик
Рис. 14.58
"смещении поля". Ферритовая пластина с согласующими скосами
приклеивается к стенке волновода. Поглощающий слой, как пра-
вило, напыляется на феррит. Поскольку мощность обратной волны
рассеивается в поглощающем слое, уровень рабочей мощности
такого вентиля определяется качеством поглощающего слоя.
Использование термостабильных нихромовых или оксидных погло-
щающих пленок позволяет применять та-
кие вентили не только при низких, но и при
средних уровнях передаваемой через вен-
тиль мощности [59].
Эффект смещения поля существует и
в полосковых линиях, полностью запол-
ненных поперечно намагниченным ферри-
том. На рис.14.59 показано поперечное
сечение симметричной полосковой линии.
В этом случае в области намагничивающих
491
поглощающий
НаТ СЛОЙ
Рис. 14.60
полей, где ц+<0 и прямая и обратная волны
вытесняются из линии с ферритом. Однако
если для прямой волны максимум электри-
ческого поля смещается к левому краю по-
лоски, то для обратной-к правому (рис.14.59).
На рис.14.60 показана конструкция вентиля на
"смещении поля", построенная на основе сим-
метричной полосковой линии. В данном случае
используются ферритовые пластины с согласующими скосами, на
правые боковые поверхности (по рисунку) которых нанесены
поглощающие пленки. При этом обратная волна при прохождении
вентиля будет испытывать большое затухание за счет рассеяния
мощности в пленках, а прямая волна будет проходить через
вентиль с небольшим затуханием.
Вентили на "смещении поля" отличаются простотой конст-
рукции, надежностью и компактностью. Однако они работают при
сравнительно низких уровнях мощности.
Предельные вентили. Принцип действия таких вентилей ос-
нован на явлении невзаимной предельности, существующей в
линиях передачи, заполненных поперечно намагниченными фер-
ритами. Например, если вблизи правых (по рис. 14.60) боковых
поверхностей ферритовых пластин разместить металлическую
пластину, имеющую контакт как с полоской, так и с экранирующими
пластинами линии (рис.14.61), то образуется Ш-образная полос-
ковая линия. Если параметры феррита и величину намагни-
чивающего поля подобрать так, чтобы в линии с ферритом возник
эффект смещения поля (см. рис. 14.59), то в Ш-образной линии с
намагниченным ферритом прямая волна, имеющая незначи-
тельное поле вблизи боковой металлической пластины, будет
распространяться с небольшим затуханием. Обратная волна,
имеющая максимум поля в месте расположения металлической
пластины, распространяться по Ш-образной линии с ферритом не
сможет, т.е. для обратной волны Ш-образная линия является
предельной. Используя согласующие элементы (например, реак-
тивные шлейфы) на входе и выходе Ш-образной линии с намаг-
ниченным ферритом, можно обеспечить полное рассеяние энергии
отраженной волны в феррите и почти полное прохождение прямой
волны через вентиль. На рис.14.61 показана
конструкция предельного вентиля на сим-
метричной полосковой линии. Для согласо-
вания подводящих линий (симметричные по-
лосковые линии) с Ш-образной линией, за-
полненной ферритом, использованы реактив-
ные разомкнутые на конце шлейфы (отрезки
металлическая
НоТ пластина
Рис. 14.61
492
симметричной полосковой линии). За счет конечной проводимости
феррита и металлических проводников Ш-образной линии удается
рассеять энергию обратной волны.
Аналогичное явление существует и в прямоугольном вол-
новоде, частично заполненном намагниченным ферритом. Это
позволяет построить предельный вентиль на основе прямоу-
гольного волновода [56].
Основное достоинство предельного вентиля по сравнению с
резонансным и вентилем "на смещении поля" заключается в
возможности получения больших затуханий обратной волны на
единицу длины линии с ферритом (на 1 см удается получить
затухание обратной волны более 30...40дБ). Это позволяет соз-
давать весьма малогабаритные конструкции вентилей, обла-
дающих малым весом и высокой надежностью.
Более подробно вопросы проектирования различных вентилей
рассмотрены в [56-60].
14.3.5. Ферритовые фазовращатели
В настоящее время разработано большое число различных
фазовращателей, использующих эффекты в линиях передачи с на-
магниченными ферритами. В таких устройствах регулировка фазы
осуществляется за счет изменения величины внешнего посто-
янного магнитного поля, что приводит к изменению магнитной
проницаемости феррита и, следовательно, к изменению фазовой
скорости распространяющейся по ферриту волны.
Ферритовые фазовращатели делятся на взаимные и невза-
имные. Фазовый сдвиг, вносимый взаимным фазовращателем, не
зависит от направления распространения волны в нем. Невза-
имный фазовращатель вносит фазовый сдвиг, зависящий от на-
правления распространения волны.
Рассмотрим невзаимный фазовращатель на основе прямоу-
гольного волновода (см. рис.14.52). Как и в случае резонансного
вентиля, тонкая ферритовая пластина помещается в сечение с
круговой поляризацией магнитного поля волны и намагни-
чивается постоянным магнитным полем, направленным вдоль оси
Z. Однако величина Но выбирается так, чтобы избежать зна-
чительного поглощения волны Нщ в феррите. При этом по
отношению к прямой и обратной волнам, имеющим поляризацию,
совпадающую с поляризацией Н~ и Н+ соответственно, намагни-
ченный феррит ведет себя как среда с разной магнитной про-
ницаемостью ц" и ц+. В результате чего коэффициенты распро-
странения прямой и обратной волн оказываются разными в от-
резке волновода с ферритом, имеющем длину f. При этом прямая
493
Рис. 14.62
волна, пройдя такой отрезок, получит
фазовый сдвиг ф_=₽“£, а обратная
волна -ф+=р+/. Разность фаз Дф = ф“
-ф+ называется невзаимным фазо-
вым сдвигом. Обычно в регулируе-
мых фазовращателях используют
вместо постоянных магнитов электро-
магниты. Плавно изменяя ток в об-
мотке электромагнита, удается плав-
но менять вносимый фазовый сдвиг.
Аналогично строятся конструк-
ции невзаимных фиксированных или
регулируемых ферритовых фазовращателей на основе коак-
сиальной (см. рис.14.55) или полосковой (см. рис.14.56) линии.
Применение невзаимных ферритовых фазовращателей в фа-
зированных антенных решетках, работающих как в передающем
режиме, так и в приемном, вызывает определенные трудности,
связанные с необходимостью специального переключения фазо-
вращателей с режима передачи на режим приема. Поэтому, как
правило, в схемах питания таких антенн используют взаимные
ферритовые фазовращатели. Широко применяемая на практике
конструкция взаимного фазовращателя показана на рис.14.62.
Круглый ферритовый стержень с согласующими скосами разме-
щается вдоль оси прямоугольного волновода. Снаружи на вол-
новод помещается управляющая обмотка электромагнита, соз-
дающего внешнее магнитное поле. Поскольку и прямая, и обрат-
ная волны на оси волновода имеют линейную поляризацию маг-
нитного поля, то вносимый фазовый сдвиг не зависит от нап-
равления распространения волны по волноводу, а зависит от
величины тока в обмотке, марки феррита и его геометрических
размеров.
Вопросы проектирования как взаимных, так и невзаимных
ферритовых фазовращателей на разных типах линий передачи
изложены в [58-61].
14.3.6. Циркуляторы
У-циркулятор. Волноводный У-циркулятор представляет собой
/-/-плоскостное У-оочленение прямоугольных волноводов, в центре
которого помещен ферритовый цилиндр (рис.14.63). Все прямо-
угольные волноводы, образующие плечи тройника, рассчитаны на
одноволновый режим работы. Внешнее магнитное поле, созда-
ваемое постоянным магнитом (как показано на рисунке) либо
электромагнитом, ориентировано параллельно оси цилиндра.
494
Высота ферритового цилиндра обычно
равна высоте волновода, но иногда ис-
пользуют ферриты несколько мень-
шей высоты. В У-циркуляторах, пред-
назначенных для работы на высоком
уровне мощности, для улучшения отво-
да тепла ферритовый цилиндр разре-
зают на две цилиндрические части, каж- Рис.14.63
дая из которых приклеивается к соот-
ветствующей широкой стенке волновода
в центре У-сочленения. Принцип действия У-циркулятора заклю-
чается в следующем. Предположим, что в плече 1 циркулятора
возбуждена волна Ню. распространяющаяся в направлении фер-
ритового цилиндра. В результате дифракции волны на цилиндре
возникают две волны, одна из которых (левая) обегает фер-
ритовый цилиндр по часовой стрелке, а другая (правая)-против
часовой стрелки (рис.14.64). Как было показано при рассмотрении
резонансного ферритового вентиля, направления вращения век-
тора магнитного поля волны Ню в правой относительно центра
половине волновода и в его левой половине противоположны.
Поэтому магнитная проницаемость ферритового цилиндра для
волн, обегающих его справа и слева, различна. Это обусловливает
различие коэффициентов распространения для левой (р+) и
правой (р“) волн, т.е. проходя одинаковый путь ( вдоль поверх-
ности цилиндра волны получают разный фазовый сдвиг <р*= р7 и
Ф-= р'£ соответственно. В результате на поверхности ферритового
цилиндра устанавливается стоячая волна. При заданной частоте
путем подбора марки феррита и его диаметра можно добиться,
чтобы по окружности цилиндра укладывалась одна волна с двумя
узлами (рис.14.65). Положение узлов и пучностей этой волны
зависит от величины намагничивающего поля Но, поскольку при
изменении Но изменяются р* и р" для волн, обегающих феррит
слева и справа. Величину Но подбирают так, чтобы один из узлов
стоячей волны напряженности электрического поля располагался
напротив плеча 3, как показано на рис.14.65. В этом случае волна
Н10 в плече 3 не возбуждается, а возбуждаются волны высшего
типа, например волна Нго- Поэтому мощность в плечо 3 не
ответвляется. Поскольку пучность электрического поля стоячей
1
Рис.14.64
Рис. 14.65
495
Рис. 14.67
волны на феррите находится вблизи средней линии волновода
плеча 2, то в плече 2 возбуадаектся волна Н10 и энергия из плеча 7
практически полностью проходит в плечо 2.
Аналогично можно показать, что при возбуждении плеча 2 вся
энергия поступает в плечо 3, и т.д. При изменении направления
внешнего магнитного поля направление циркуляции меняется на
обратное 1—>3 —>2—>1. Это связано с изменением фазовых сдви-
гов, получаемых волнами, обегающими феррит слева и справа:
для "левой" волны будет сдвиг ф", а для "правой" ф*. При этом на
поверхности феррита возникает стоячая волна, у которой узел
электрического поля располагается напротив плеча 2.
Основными параметрами реальных циркуляторов являются:
развязка ^-раз= Ю lg (Рэ/Рз) [дБ]; вносимые потери LBH=10lg(PlZC)2)
[дБ] и согласование со стороны каждого из плеч циркулятора,
характеризуемое КСВ. Как показывают анализ и эксперимент,
частотные характеристики У-циркулятора имеют резонансный ха-
рактер (рис.14.66). При этом Lp„ и LBM связаны с КСВ на входе
каждого плеча: чем больше КСВ, тем меньше и больше LBH.
Отметим, что LBH для циркулятора складывается из тепловых
потерь в феррите и стенках тройника и потерь за счет отражения
от входа. Конструкция, показанная на рис.14.63, позволяет полу-
чить (_рм>2ОдБ в полосе 3...5% от средней частоты f0 [58]. Для
увеличения рабочей полосы частот расширяют полосу согласо-
вания циркулятора на входе. Для этого используют согласующий
трансформатор, выполненный в виде диэлектрического кольца,
надеваемого на ферритовый цилиндр (рис.14.67).
На рис.14.66 показана конструкция микрополоскового Y-
циркулятора. В центре микрополоскового /-сочленения распола-
гается металлический диск, под кото-
рым в подложке размещен ферритовый
диск, намагниченный вдоль своей оси
(на рис.14.68 магнитная система не
показана). Обычно диаметр металли-
ческого диска или равен или несколько
меньше диаметра ферритового диска.
Наиболее простой конструкция такого
/-циркулятора получается, если в каче-
496
стве подложки микрополосковой линии используется ненамаг-
ниченный феррит. В этом случае для образования циркулятора с
помощью внешнего магнита намагничивают часть подложки под
металлическим диском. При этом целостность подложки не
нарушается.
Принцип действия циркулятора (рис. 14.68) такой же, как и в
случае волноводного У-циркулятора. Расширение рабочей полосы
частот циркулятора обычно обеспечивают, включая во все плечи
согласующие четвертьволновые трансформаторы.
Вопросы проектирования волноводных и полосковых /-цир-
куляторов изложены в [58, 59,62]. Отметим, что из всех видов
циркуляторов, существующих в настоящее время, У-циркуляторы
получили наибольшее распространение, что объясняется прос-
тотой их конструкции, малыми размерами и весом, а также воз-
можностью использования в интегральных схемах.
Циркулятор ка эффекте Фарадея. Конструкция циркулятора показана на
рис.14.69. Все отрезки прямоугольного и круглого волноводов рассчитаны на одно-
волновый режим. Плечо 1 образовано отрезком прямоугольного волновода, кото-
рый с помощью плавного перехода соединяется с отрезком круглого волновода.
При возбуждении плеча 1 волна Н|0) распространяющаяся в этом плече, с помощью
плавного перехода трансформируется в волну Н,, круглого волновода с верти-
кально ориентированным вектором Е в центре поперечного сечения волновода.
Прямоугольный волновод, образующий плечо 3, составляет с круглым волноводом
Т-тройник (см. рис. 13.30). Благодаря такому расположению T-тройника волна Н/1р
распространяющаяся по круглому волноводу, в плечо 3 не ответвляется
(см. 13.4.2), проходит на вход отрезка круглого волновода, содержащего продольно
намагниченный ферритовый стержень, расположенный на оси круглого волновода.
Внешнее намагничивающее поле создается с помощью электромагнита. Пара-
метры ферритового стержня и величина внешнего намагничивающего поля подо-
браны так, чтобы на средней частоте рабочего диапазона плоскость поляризации
волны, прошедшей отрезок волновода с ферритом, повернулась бы на 45° вокруг
оси волновода (явление Фарадея). Причем если вектор На постоянного магнитного
Рис. 14.69
32-45
497
паля направлен от плеча 2 к плечу 1, та плоскость поляризации волны пово-
рачивается по часовой стрелке, если смотреть вдоль На. Плечи 2 и 4 на выходе
циркулятора выполнены аналогично плечам 1 и 3. Однако Т-тройник, имеющий
плечи 2 и 4, повернут на угол 45° по часовой стрелке вокруг оси круглого волновода
относительно Т-тройника на входе с плечами 1 и 3, если смотреть от плеча 2 к
плечу 1. Поэтому волна Ни с выхода отрезка волновода с ферритом будет с
помощью плавного перехода трансформироваться в волну Н10, и анергия поступит в
плечо 2. При этом энергия в плечо 4 ответвляться не будет, поскольку вектор Е
волны Hv направлен параллельно продольной оси прямоугольного волновода,
образующего плечо 4.
Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что при лодачо сигнала в плечо 2
он выйдет в плечо 3 без ответвления в плечи 1 и 4, т. о. при указанном направлении
постоянного магнитного поля устройство обеспечивает сладующую циркуляцию
потока энергии: 1->2->3->4->1. При изменении напрапления внешнего поля на
обратное изменяется направление циркуляции потока энергии в устройстве
1~>4~>3~>2~>1. Это сеязано с тем, что плоскость поляризации волны, проходящей
отрезок волновода с ферритом, будет поворачиваться на 45° против часовой
стрелки, если смотреть в направлении от плеча 2 к плечу 1.
Сложность конструкции, значительные габариты и относительная узкопо-
л осн ость обусловили сравнительно редкое применение подобного циркулятора.
498
Глава 15
ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ
ЛИНИЙ СВЯЗИ (ВОЛС)
15.1. МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ВОЛС
Волоконно-оптические линии связи относятся к наиболее пер-
спективным средствам передачи информации. В этих линиях в ка-
честве переносчика сигналов используются световые волны, пе-
редатчиками чаще всего служат полупроводниковые лазеры или
светодиоды, а приемниками-фотодиоды. При этом световые вол-
ны, модулированные полезным сигналом, передаются по волокон-
ным световодам. К основным преимуществам ВОЛС по сравнению
с известными системами связи относятся: широкополосность и
высокая пропускная способность, малое затухание передаваемых
сигналов, высокая защищенность от внешних помех, малые габа-
риты и масса [41,42,63]. В ВОЛС, в зависимости от их назначения,
могут использоваться разные типы волоконных световодов. На-
пример, в широкополосных системах дальней связи (дальность
более 100 км) применяются одномодовые или градиентные волок-
на, а в системах со сравнительно узкой полосой пропускания и
дальностью не более 10 км используют градиентные и многомодо-
вые волокна.
Подобно СВЧ тракту ВОЛС в дополнение к источнику светово-
го излучения, волоконно-оптическому кабелю и фотоприемнику
содержит ряд элементов, которые осуществляют требуемую обра-
ботку передаваемых сигналов. Наиболее часто используют сле-
дующие элементы: разъемные и неразъемные соединители, раз-
ветвители, направленные ответвители, переключатели, модулято-
ры, устройства, объединяющие оптические сигналы разных частот
в общем световоде (мультиплексоры) или разделяющие подобные
сигналы (демультиплексоры), полосовые фильтры и др. Хотя по
своим функциональным свойствам элементы оптического тракта
во многом аналогичны элементам тракта СВЧ (см. гл. 13-14), ис-
пользование конструкций элементов тракта СВЧ в оптическом
диапазоне практически невозможно. Это связано с весьма малой
величиной длины волны оптического излучения.
32* 499
В оптическом диапазоне решающее
значение при создании того или иного эле-
мента имеет выбранная технология изго-
товления. Многие элементы и узлы изго-
тавливаются ло очень сложной технологии
и почти на пределе технических возможно-
стей, поскольку допуски на геометрические
размеры составляют доли длины волны (доли микрометра). Сле-
дует отметить, что работа по созданию элементов оптического
тракта еще далека от завершения. Поэтому ряд элементов разра-
ботан и освоен промышленностью, другие элементы находятся в
стадии разработки. В настоящее время многие элементы могут
быть реализованы в трех различных конструктивных вариантах,
называемых микрооптической, интегрально-оптической или воло-
конно-оптической конструкциями.
При создании устройства в микрооптическом варианте исполь-
зуют методы и элементы, аналогичные применяемым в техниче-
ской оптике. В технической оптике, как правило, имеют дело со
световым излучением, распространяющимся в воздушной среде.
Обычно электромагнитную волну, переносящую мощность свето-
вого излучения, представляют в виде светового пучка, состоящего
из ряда лучей. С каждым лучом связывают определенную часть
энергии, переносимую волной; направление каждого луча совпа-
дает с направлением перемещения световой энергии. Иногда та-
кую волну называют лучевой. Как правило, некогерентный источ-
ник светового излучения (светодиод) создает на своем выходе све-
товой пучок, имеющий приближенно равномерное распределение
амплитуд векторов поля в плоскости, перпендикулярной оси пучка.
В свою очерадь, световой пучок на выходе когерентного источника
(лазера) имеет структуру поля, называемую распределением Га-
усса, при котором амплитуда вектора Е уменьшается по опреде-
ленному закону при увеличении расстояния от оси пучка (рис.15.2).
Такое излучение называют либо гауссовым пучком, либо гауссовой
лучевой волной [42); оно характеризуется величиной наибольшего
сужения (талия пучка) 2w0 и углом расхождения в дальней зоне
2©о, которые связаны формулой ©0= 2 arctg (АДли/о)], где А-длина
волны излучения в среде, где происходит распространение.
Для обработки световых пучков в технической оптике приме-
няют разные элементы; линзы, призмы, зеркала, дифракционные
решетки и т. д. Например, с помощью линзы пучок параллельных
лучей (рис. 15.1) может быть сфокусирован (плоская электромаг-
нитная волна преобразуется в сферическую), а расходящийся пу-
чок может быть коллимирован, т.е. преобразован в пучок парал-
лельных лучей. Подобная линза преобразует гауссов пучок с тали-
ей Wt в гауссов лучок сталией шг (рис.15.2). При этом расстояния
500
г, и z2 от линзы до плоскостей с наибольшим сужением пучков оп-
ределяются по формулам z^F + twVwz) A/(FZ-FOZ) и z2=F±(w2Zv1)/
A/(FZ-FOZ),где F0=27rWiW242X), F-фокусное расстояние линзы,
причем F>Fo. знаки перед вторыми слагаемыми либо оба положи-
тельные, либо оба отрицательные. В оптических трактах, где ис-
пользуются волоконные или планарные световоды, поперечные
размеры световых пучков весьма малы, поэтому и элементы для
их обработки должны иметь малые размеры (порядка миллимет-
ра). Вследствие этого конструкция оптических устройств для
ВОЛС, состоящая из ряда элементов с малыми размерами, полу-
чила название микрооптическая. При изготовлении таких конст-
рукций применяют достаточно сложные технологии, обеспечи-
вающие необходимую точность изготовления столь малых объек-
тов. Весьма не просты сборка и настройка подобных конструкций,
поскольку их отдельные элементы должны быть установлены в
нужном месте и должным образом ориентированы; кроме того,
должна быть обеспечена необходимая жесткость и прочность всей
конструкции. Сложность изготовления возрастает при увеличении
числа элементов в микрооптической конструкции.
Отмеченные трудности при изготовлении микрооптических
конструкций устройств удается отчасти преодолеть при ис-
пользовании интегрально-оптических конструкций. В этом случае
оптическое устройство или его часть, состоящие из ряда эле-
ментов, соединенных отрезками линий передачи, объединяются на
общей подложке и изготавливаются одновременно (подобно ин-
тегральной схеме). В результате образуется миниатюрная опти-
ческая конструкция, обеспечивающая весьма плотную компоновку
элементов, высокую прочность и надежность, низкий уровень по-
терь при передаче оптических сигналов, поскольку удается ис-
пользовать минимально возможные длины соединительных отрез-
ков. Как правило, интегрально-оптические конструкции элементов
ВОЛС строятся на основе или планарного световода, или разных
типов полосковых световодов. Планарную конструкцию должны
501
иметь и все элементы, составляющие оптическую схему. Отсут-
ствие в настоящее время полного набора таких элементов зат-
рудняет интеграцию на общей подложке достаточно больших и
сложных оптических схем. Кроме того, трудности в использовании
интегрально-оптических конструкций в ВОЛС состоят в обеспе-
чении эффективной стыковки выходов таких схем с волоконными
световодами.
Наиболее удобными для использования в оптических трактах
ВОЛС являются элементы, имеющие волоконно-оптическую конст-
рукцию. Подобные элементы конструируются непосредственно
внутри волоконного световода. В настоящее время это наименее
разработанная область техники: создано весьма малое количество
элементов, имеющих такую конструкцию [42].
Отметим, что, хотя для большинства используемых устройств
оптического тракта существует несколько возможных вариантов
конструктивной реализации, для каждого конкретного устройства
существует оптимальный вариант реализации, при котором обес-
печиваются лучшие параметры и технологичность.
Так как фазовая скорость, длина волны, коэффициент осла-
бления и другие характеристики электромагнитной волны зависят
от свойств среды, то, изменяя диэлектрическую или магнитную
проницаемость среды, можно влиять на распространение волны.
Это явление используется в управляющих оптических устройствах,
таких как переключатели, модуляторы, регулируемые делители
сигналов, фазовращатели и др. Параметры некоторых сред изме-
няются при приложении к ним постоянного электрического поля
(электрооптический эффект), постоянного магнитного поля (магни-
тооптический эффект), или механического воздействия (пьезооп-
тический эффект). Наиболее ярко электрооптический эффект про-
является в диэлектриках и полупроводниках с кристаллической
структурой. Подобная структура придает кристаллам анизотроп-
ные свойства (коэффициент преломления п такой среды зависит
от направления распространения световой волны). Анизотропия
бывает естественная, проявляющаяся в отсутствии внешнего по-
стоянного электрического поля, и наведенная, проявляющаяся
только при приложении внешнего электрического поля. В анизо-
- 2
тропной среде диэлектрическая проницаемость ег=п становится
тензором (см.1.2.3). Если оси координат совпадают с главными
осями кристалла, то его оптические свойства описываются тремя
показателями преломления пх, пу, пг. Влияние такого кристалла на
распространение электромагнитной волны учитывают с помощью
эллипсоида показателей преломления (рис.15.3), называемого оп-
тической индикатрисой и описываемого уравнением [42] (х/лх)2+
+ (у/лу)2+(2/лг)г=1.
502
Рис.15.3
Пусть волна распространяется, как показано
на рис.15.3. Плоскость, проходящая через нача-
ло координат перпендикулярно вектору Пойнтин-
га, пересечет эллипсоид по эллипсу с полуосями
щ и п2. Если вектор Е волны параллелен полуоси
пь то коэффициент преломления кристалла для
такой волны равен щ. Для волны, вектор Е кото-
рой параллелен полуоси п2, коэффициент пре-
ломления равен п2. Под воздействием внешнего
электрического поля изменяются ориентация в
пространстве и величина полуосей эллипсоида показателей пре-
ломления. Например, кристалл LiNbO3 является одноосным [42].
Для него пх = Пу~п0, а лг = пе; эллипсоид является симметричным
относительно оптической оси Z. Приложение постоянного электри-
ческого поля Ео вдоль оси Z не изменяет ориентацию эллипсоида в
пространстве, а изменяет лишь величины л0 и п9 на величину
ЛПо=-п03Г1зЕ'(/2 и <\ле--пе3г33Е0/2, где г13 = 8,6 и г33 = ЗО,8 [42]. Та-
ким образом, коэффициент преломления п волны зависит от ее
направления распространения, поляризации и величины внешнего
электрического поля Ео. В общем случае зависимость п от Ео оп-
ределяется формулой 1/п2=1Дп)02 + гЕа + REOZ+..., где г-линейный
электрооптический коэффициент (коэффициент Поккельса), R-
квадратичный электрооптический коэффициент (коэффициент
Керра). Как правило, при конструировании управляющих опти-
ческих элементов используют линейный электрооптический эф-
фект, называемый эффектом Поккельса [65] и применяют мате-
риалы, где этот эффект наиболее ярко выражен [42]: тантал ат
лития LiTaO3, ниобат лития LiNbO3l арсенид галлия GaAs и др.
Как было показано в гл. 14, намагниченный феррит обладает
анизотропными свойствами, его магнитная проницаемость стано-
вится тензором. При этом величина отдельных компонент тензора
изменяется при изменении внешнего магнитного поля Но (магни-
тооптический эффект). Наибольшее применение на практике при
создании элементов ВОЛС находят ферриты типа железоит-
триевого граната [41]. Использование подобного материала позво-
ляет строить оптические элементы на основе эффекта Фарадея
либо использовать ферромагнитный резонанс (оптические вен-
тили) (см. 14.3).
Акустооптический эффект заключается в изменении пока-
зателя преломления вещества при деформациях, вызванных ме-
ханическим воздействием, например сжатием или растяжением.
Обычно для создания сжатий или разряжений в веществе воз-
буждают ультразвуковые колебания (звуковые волны). Наиболее
широкое применение на практике находят следующие акустооп-
тические материалы: арсенид галлия (GaAs), плавленый кварц,
германий и др [64].
503
15.2. УСТРОЙСТВА ВВОДА И ВЫВОДА ЭНЕРГИИ
ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
W/^//////A
------------------
2J световод
Рис.15.4
Оптический тракт ВОЛС содержит
специальные устройства (оптические
соединители) для соединения разных
элементов друг с другом. Основные тре-
бования к ним; малые оптические поте-
ри, надежность, простота сборки, низкая
стоимость.
Соединители волоконных световодов чаще всего строятся
или на непосредственном торцевом соединении световодов, или с
применением коллимирующих и фокусирующих элементов. Неза-
висимо от оптической схемы соединители делятся на два класса:
неразъемные и разъемные. Неразъемные соединители обеспе-
чивают минимально возможные оптические потери, в свою оче-
редь, разъемные соединители позволяют осуществлять много-
разовое соединение различных устройств. При непосредственном
соединении волоконных световодов их специально обработанные
торцы соединяются друг с другом. В неразъемных соединителях
(рис.15.4) удаляется часть оболочки, а сердечники сращиваются
друг с другом с помощью сплавления, сварки или склеивания. Кор-
пус соединителя 1, в который иногда помещают отрезки ме-
таллических или керамических стержней 2, обеспечивает необхо-
димую прочность соединения. Для качественного соединения во-
локон в разъемных соединителях их торцевые поверхности поли-
руют и шлифуют, стараясь сделать их плоскими и параллельными
друг другу (перпендикулярными оси волокон). После этого сое-
диняемые концы закрепляются в армирующих наконечниках, кото-
рые обеспечивают требуемое совмещение световодов, прочное и
надежное закрепление в соединителе [41].
При торцевом соединении одинаковых световодов оптические
потери, в соединителе зависят от взаимного расположения све-
товодов (рис.15.5) и от отражений от торцов световодов. Оценить
зависимость оптических потерь от величины радиального смеще-
ния дг/а, от углового рассогласования 0 и от величины зазора Az/a
(рис. 15.5) можно по формулам и графикам, приведенным в [41, 63].
Это позволяет выбрать необходимую точность совмещения воло-
кон. Например, для обеспечения оптических потерь менее 0,5 дБ
Рис.15.5
504
радиальное смещение должно быть дг/а<0,2, что для многомодо-
вых волокон с 2а «50 мкм требует точность совмещения не хуже
5 мкм, а для одномодовых с 2а «7 мкм-не хуже 0,7 мкм; угловое
рассогласование на 0 = 1° приводит в многомодовых световодах к
потерям порядка 0,3 дБ, а в одномодовых-0,8 дБ; оптические по-
тери менее 0,5 дБ обеспечиваются в мнгогомодовых световодах
при зазоре &z/a< 0,7, а в одномодовых при Az/a<7. Соединители
на основе торцевого соединения требуют при изготовлении весьма
жестких допусков на положение соединяемых волокон. В настоя-
щее время технология изготовления неразъемных соединителей
хорошо отработана и обеспечивает потери порядка 0,1 ...0,3 дБ.
Однако жесткие допуски затрудняют создание качественных разъ-
емных соединителей. Как правило, для обеспечения малых опти-
ческих потерь в разъемных соединителях используются микролин-
зы. Основным достоинством соединителей такого типа является
слабая зависимость оптических потерь от взаимного расположе-
ния микролинз, жестко связанных с волоконными световодами. На
рис.15.6 показаны некоторые схемы оптических соединителей с
микролинзами. В этом случае излучение, выходящее из волокон-
ного световода 1 с помощью линзы 2 преобразуется в широкий
параллельный световой пучок (коллимируется), который с помо-
щью второй фокусирующей линзы 3 вводится в выходной све-
товод. Наиболее широкое применение нашли сферические
(рис.15.5, а) и градиентные (рис.15.6, б) стержневые линзы. В схе-
мах с линзами для получения мелых оптических потерь требуется
весьма высокая точность совмещения торцов световодов с фоку-
сами линз. Например, в случае соединения многомодовых свето-
водов для обеспечения оптических потерь менее 0,5 дБ требуется
точность совмещения ±5 мкм [41]. Кроме того, в схемах со
сферическими линзами нельзя крепить волокно на поверхно-
сти линзы, поскольку фокус линзы находится на некотором
расстоянии от нее. Градиентная стержневая линза представ-
ляет собой отрезок цилиндрического стержня, выполненного из
стекла, показатель преломления которого уменьшается от оси
стержня к его боковой поверхности, как в градиентном свето-
воде (см.10.7). Распростране-
ние световых пучков в таком
стержне аналогично распрост-
ранению в градиентном свето-
воде. При определенной длине
отрезок стержня ведет себя как
линза, причем фокус такой лин-
зы находится на торцевой по-
верхности стержня. Это позво-
ляет крепить волоконный свето-
505
n= 1
n = 1
Рис. 15.7
вод непосредственно к торцу
стержня. Применяемые в нас-
тоящее время оптические со-
единители с микролинзами име-
ют величину оптических потерь
0,5...2 дБ [41].
Важной характеристикой
световода является так назы-
ваемая числовая апертура NA.
Ее необходимо учитывать при
стыковке и возбуждении воло-
кон. Числовая апертура волокна
равна NA= sin(фпнх), <pmax- наибольший угол падения лучей на то-
рец световода (рис.15.7), при котором преломленный (вошедший в
сердечник) луч испытывает полное отражение от границы раздела
сердечник-оболочка. Лучи, падающие на торец под углами
Ф<<₽тах, образуют лучи, распространяющиеся внутри сердечника
(лучи 1 и 2 на рис.15.7). Если луч падает на торец под углом
Ф^чртах, то преломленный луч попадает на оболочку под углом па-
дения меньше критического (луч 3 на рис.15.7), что приводит к вы-
теканию энергии из сердечника в оболочку. Используя законы
Снеллиуса, нетрудно показать, что ЛИ=s in <pmax= - nl 7^ ni (ni_ л2)
При соединении разных волокон на оптические потери в сое-
динителе кроме рассмотренных выше факторов, оказывают влия-
ние отличия волокон в числовой апертуре, диаметре сердечников
и в количестве распространяющихся волн [41,42]. Например, если
по входному световоду мощность Ру переносится Му волнами, то
при идеальном соединении его с выходным световодом, по кото-
рому распространяется М2 волн, в выходной световод можно пе-
редать мощность Р2 = ^Ру, где Е,=1 при М2>Му и Е,<1 при М2<Му.
Поэтому для обеспечения минимальных оптических потерь при
соединении многомодовых световодов необходимо, чтобы полное
число мод входного световода не превосходило полного числа мод
выходного световода, т.е. М2>Му. При реализации однонап-
равленных соединений это условие является и достаточным. Если
же предполагается через соединение передавать мощность как в
прямом, так и в обратном направлении, данное условие следует
заменить строгим равенством.
Соединители источников излучения с волоконными све-
товодами. Для ввода излученной источником мощности Ри в воло-
конный световод используют специальные устройства. Одним из
главных параметров таких устройств является эффективность
ввода £,=Рв/Ри, где Рв-оптическая мощность, введенная в све-
товод. Величина £, зависит от величины излучающей площадки
506
источника, его диаграммы направленно-
сти, спектрального состава излучения,
диаметра сердечника и числовой аперту-
ры световода, количества мод, возбуж-
даемых источником, и количества мод,
направляемых световодом, взаимного
расположения источника и световода, па-
раметров используемых микролинз и ря-
да других факторов. В качестве источни-
с в этой злу чающий
Рис.15.8
ков оптического излучения наиболее широ-
кое применение в ВОЛС находят светоизлучающие диоды (СИД) и
полупроводниковые лазеры. Сравнительные характеристики СИД
и лазеров приведены в [42]. По основным параметрам, в первую
очередь по спектру излучаемых частот и диаграмме направленно-
сти излучения, СИД значительно уступают лазерам. Однако благо-
даря низкой стоимости, простоте изготовления и высокой надеж-
ности они находят применение в ВОЛС небольшой протяженности,
с низкой скоростью передачи информации, где можно использо-
вать многомодовые световоды с достаточно большим диаметром
сердечника 2а и большой числовой апертурой NA.
Обычно для увеличения излучаемой мощности СИД выпол-
няют со сравнительно большой излучающей площадкой, диаметр
которой 2аи, как правило, больше диаметра сердечника много-
модового волокна. Каждый элемент излучающей площадки СИД
имеет диаграмму направленности в виде поверхности вращения,
сечение которой (рис.15.8) плоскостью, проходящей через перпен-
дикуляр к излучающей площадке, описывается функцией cos<p.
Поэтому СИД применяют для возбуждения многомодовых свето-
водов, используя торцевое соединение: торец волокна прибли-
жают непосредственно с излучающей площадке СИД (см. рис.15.8).
При этом отражения от торца волокна уменьшают или заполняя
зазор между диодом и волокном иммерсионным маслом, коэф-
фициент преломления которого равен коэффициенту преломления
сердечника волокна щ, или наносят на торец волокна просвет-
ляющее покрытие, выполненное из диэлектрика с коэффициентом
преломления л= и имеющее толщину А/4. Если ай < а, то излу-
чение каждого элемента излучающей площадки диода попадает в
волокно и переносится там с помощью направляемых волн, при-
чем волокном направляется не вся мощность, излучаемая каждым
элементом, а только та часть, которая излучается в пределах уг-
лов ф £ arcsin NA. Если аи > а, то излучение элементов излучающей
площадки диода, расстояния от которых до точки пересечения
продольной оси волокна с излучающей площадкой диода больше
а, не направляется волокном. В этом случае максимально дости-
507
Рис.15,9
лазер
волоконный
световод
Рис.15.10
микролинза
лазер
мкролинза
волоконный
световод
Рис. 15.11
жимая эффективность ввода при торцевом соединении СИД с
многомодовым волокном составляет ^max = (/VAa/aJ2[65], а при
соединении СИД с градиентным волокном, имеющим параболиче-
ский профиль и такое же значение NA, величина £,тах будет вдвое
меньше. Применение фокусирующих линз в этом случае не увели-
чивает, а наоборот, лишь уменьшает £ из-за потерь в линзе.
Обычно при вводе излучения СИД в многомодовое волокно опти-
ческие потери составляют 14...20 дБ [41].
Для возбуждения одномодовых волокон СИД не используют
из-за низкой эффективности ввода (£<£1, так как а«аи). В этом
случае применяют разные типы лазеров. Наиболее широкое при-
менение находят полупроводниковые лазеры с одинарной и двой-
ной гетероструктурой [42]. В таких лазерах полосковой геометрии
светящаяся площадка обычно имеет прямоугольную форму с раз-
мерами аихЬи (рис.15.9), диаграмма излучения которой предс-
тавляет несимметричный лепесток с углами раскрыва 2<рх и 2<ру в
соответствующих плоскостях. Типичные значения: аи = 2...6мкм,
Ьи = 20...Ю0мкм, фх=10...20°, фу=5...10°. Благодаря столь малым
размерам светящейся площадки и узкой диаграмме направлен-
ности эффективность ввода излучения в волокно при торцевом
соединении гораздо выше, чем у СИД. Например, потери при вво-
де излучения лазера в многомодовое волокно составляют 6...7 дБ,
а в одномодовое 6...12 дБ [41 ]. Для повышения эффективности
ввода излучения лазера в волокно применяют разнообразные оп-
тические согласующие элементы: разные типы микролинз, поме-
щаемые на торце волокна (рис.15.10), или сферические и гради-
ентные микролинзы и их комбинации, помещаемые между лазером
и волокном (рис.15.11). Отметим, что в случае, когда площадь из-
лучающей площадки меньше площади сердечника световода,
применение микрооптических линзовых элементов позволяет по-
лучить £ = 0,8...0,9. На эффективность ввода излучения в волокно
влияют также факторы, рассмотренные при соединении волокон
(децентровка, угловое смещение и т.д.). В настоящее время сред-
ние оптические потери при вводе излучения лазера в стандартное
градиентное волокно составляют около 1 дБ, а в одномодовое во-
локно - около 3...6 дБ [41]. Полупроводниковые полосковые лазеры
идеально подходят для возбуждения полосковых световодов. На
508
основе таких лазеров строят оптические интегральные схемы,
включающие источник излучения [64]. Отметим, что в настоящее
время находят применение волоконные лазеры [42]. Это твердо-
тельные лазеры, одним из элементов которых является воло-
конный световод. Использование таких лазеров позволяет с высо-
кой эффективностью вводить излучение в волоконные световоды,
в том числе и в одномодовые.
15.3. ДЕЛИТЕЛИ И СУММАТОРЫ МОЩНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ
СИГНАЛОВ. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТВЕТВИТЕЛИ
Для распределения мощнос-
ти оптического сигнала по нес-
кольким каналам используют де-
лители, а для объединения нес-
кольких оптических сигналов в од-
ном канале-сумматоры. Одним
из простейших делителей или
сумматоров является Т-развет- Рис.15.12
вление световодов. Такое раз-
ветвление можно выполнить в микрооптическом (рис.15.12), пла-
нарном (рис.15.13) и волоконном (рис.15.14) вариантах. В первом
случае (рис.15.12) волна, распространяющаяся в волоконном све-
товоде плеча 1, с помощью градиентной стержневой линзы транс-
формируется в лучевую волну свободного пространства (парал-
лельный пучок световых лучей). На пути распространения лучевой
волны под углом 45° к направлению ее распространения уста-
навливается светоделительная пластина, которая частично про-
пускает и частично отражает мощность падающей волны. Под-
бирая величину диэлектрической проницаемости пластины и ее
толщину, добиваются, чтобы прошедшая и отраженная волны
переносили требуемую мощность (например, равную). Затем с
помощью фокусирующих градиентных линз прошедшая и отра-
женная волны преобразуются в направляемые волны выходных
волоконных световодов, образующих плечи 2 и 3. Устанавливая
Рис.15.1 з
Рис. 15.14
509
вдоль линии, соединяющей продольные оси световодов в плечах 1
и 3, несколько светоделительных пластин, параллельных друг
другу и расположенных на некотором расстоянии одна от другой,
можно получить делитель, обеспечивающий деление входного
сигнала на несколько частей. В планарной (рис.15.13) и волокон-
ной (рис. 15.14) конструкциях Т-разветвления световодов неодно-
родность, образующаяся в месте разветвления, приводит к появ-
лению излучения в окружающее пространство. Для уменьшения
этого излучения до пренебрежимо малой величины обычно вы-
бирают малый угол разветвления (0=1...2°) и достаточно боль-
шую длину /=3...5 см.
При создании многоканальных делителей световых сигналов
чаще используют параллельную схему деления. На рис.15.15
показана волоконная конструкция делителя со смесительным све-
товодом: к обоим торцам смесительного световода, имеющего
достаточно большой диаметр сердечника, прикрепляются воло-
конные световоды. Энергия светового излучения, передаваемая
по любому входному световоду, попадает в смесительный све-
товод и после многократных отражений на границе раздела сер-
дечника и оболочки-в выходные волокна. Подбирая параметры и
длину смесительного волокна (обычно несколько сантиметров),
можно обеспечить одинаковые потоки энергии, переносимые вол-
нами в выходных световодах. Для уменьшения потерь в схеме
стараются максимально плотно расположить волокна на торцах
смесительной области.
Более проста в изготовлении и имеет меньшие вносимые
потери конструкция делителя со сплавленными волокнами
(рис.15.16). Волоконные световоды скручиваются и вытягиваются,
а место скрутки нагревается с помощью кислородно-пропановой
горелки, что приводит к сплавлению волокон в зоне сужения,
которая и играет роль смесительного световода. Вносимые потери
здесь мене 1 дБ при числе входных и выходных волокон порядка
100 [63].
В системах, где по световодам одновременно распрост-
раняются как передаваемые, так и принимаемые сигналы, можно
использовать конструкцию делителя с отражающим зеркалом: на
510
выходной торец смесительного
волокна (рис.15.15) наносят от-
ражающий слой, в случае при-
менения сплавленных волокон
(рис. 15.16) разрезают зону скру-
чивания посередине и на полу-
ченный торец наносят отра-
жающий слой. На рис.15.17 по-
казана интегрально-оптическая
конструкция делителя с отража-
ющим слоем. В стеклянной пластине сформирована светопро-
водящая пленка (планарный световод), образующая прямоуголь-
ную смесительную область, плавные переходы и полосковые све-
товоды. На противоположный торец смесительной области нане-
сен отражающий слой, например многослойное диэлектрическое
покрытие.
Для деления или суммирования оптических сигналов можно
использовать направленные ответвители (см.14.1). Обмен энер-
гиями волн между двумя световодами, расположенными на опре-
деленном расстоянии друг от друга, может возникнуть или за счет
поля, излучаемого из световода, или за счет поля поверхностных
волн световодов. В первом случае для создания поля излучения
световод должен иметь неоднородности, вызывающие излучение
при распространении волны по световоду. Во втором случае
световоды сближают до тех пор, пока каждый из них не окажется в
поле поверхностной волны другого световода. Последний случай
чаще используется на практике при конструировании ответви-
телей, поскольку в этом случае можно обеспечить любой переход
энергии из одного световода в другой, вплоть до полного.
Отметим, что явление связанных волн наблюдается и между
волнами одного многомодового световода, если между ними по-
является связь, например за счет специально формируемых в
световоде неоднородностей (дифракционная решетка, см.15.4).
Существенной разницы в проявлении этого явления не будет, за
исключением определения коэффициента связи волн.
Поскольку в волоконных световодах для распространяю-
щихся волн поле вне оболочки практически отсутствует, то для
получения связи между такими световодами часть оболочки в
месте соприкосновения волокон удаляется путем стачивания или
расплавления. В последнем случае за счет расплавления
оболочек обеспечивается прочность соединения волокон. На
511
Рис.15.18
рис. 15.18 показана волоконная, а на рис. 15.19 интегрально-
оптическая конструкция ответвителя. Мощность Р^, поданная в
плечо 1, делится между выходными плечами 2 и 3, а в плечо 4
мощность практически не ответвляется.
Рассмотрим взаимодействие волн двух световодов (рис.15.19)
при не очень сильной связи. В этом случае приближенно можно
представить поле в связанной системе через поля волн одиночных
световодов. Пусть по первому световоду распространяется волна,
напряженность электрического поля которой равна Е^Е^хрНР^),
а по второму-волна с вектором Em2=E2exp(-ip2z). Если свето-
воды не связаны друг с другом, то между комплексной амплитудой
вектора Е каждой волны и скоростью ее изменения вдоль оси Z
существует очевидная связь c/Em1/dz=-ipiEm1 и dEm2/dz=-ip2Em2.
В области связи световодов волна одного световода служит ис-
точником для волны другого, поэтому можно записать dEm]/dz=
=-ipiEm1-iKzEna и dE^-i ^Emi-iKiE^, где К, и К2-погонные
коэффициенты связи между волнами. Величины и Кг можно
рассчитать, зная поля волн в одиночных световодах, по форму-
лам, приведенным в [42]. Поэтому если на вход области связи
(рис.15.19) поступает волна, переносящая мощность Рь то, ис-
пользуя решение системы выписанных уравнений (т.е. определив
поля в области связи), можно получить следующие формулы для
мощностей Рг и Р3 на выходах области связи [42]:
Р2/Р, = cos2 (g <Jk2+Wz) + [Др2 /(№+ Др2)] sin2 (g
Рис. 15.19
____И 5.1)
Рз/Р, = [№/(№+др2)] sin2 (f д/№+ДРг),
где др = (р1 - р2)/2 и Ку=К2=К.
Зависимости РуР, и РУРу от произ-
ведения Kg при разных величинах Др,
рассчитанные по (15.1), показаны на
рис.15.20. При р!=р2 возможно из первого
световода ответвить любую часть мощ-
512
ности во второй световод, для этого следует подобрать величину £
или К {К меняется при изменении расстояния между световодами в
области связи). Полная передача мощности из первого во второй
световод обеспечивается при £=п^2К). Если pi * р2, то есть Др?* О,
то невозможно полностью передать мощность из первого во
второй световод. Зависимость ответвленной части мощности Рг/Р,
от величины ДрМт при показана на рис. 15.21, т.е. вели-
чину ответвленной мощности можно изменять путем изменения
коэффициентов фазы волн в световодах. Это свойство исполь-
зуется при построении регулируемых направленных ответвителей
и переключателей.
В данном случае полосковый ответвитель (рис. 15.19) форми-
руется в среде с достаточно сильным электрооптическим эф-
фектом и дополняется системой электродов, на которые подается
управляющее напряжение (рис.15.22). При приложении постоян-
ного напряжения UQ к электродам изменяется коэффициент пре-
ломления среды в области связи световодов, что приводит к
изменению коэффициентов фаз pi и р2 волн, распространяющихся
по световодам в области связи. При этом мощность ответвленного
сигнала в плече 3 меняется в соответствии с рис. 15.21. Если выб-
рать одинаковые световоды, чтобы р-| = р2 при U0 = Q, и длину
области связи £=п^2К), то при ио = О вся мощность из плеча 1
будет проходить в плечо 3. При приложении напряжения UQ, для
которого р1-р2=л/з л/Д сигнал из
плеча 1 полностью проходит в плечо
2. Описанная конструкция переклю-
чателя (рис.15.22) требует весьма
жестких допусков на изготовление,
чтобы обеспечить требуемую длину £
области связи и равные коэффи-
циенты фазы волн в световодах.
33-45
Рис.15.22
513
Указанный недостаток устра-
няется в двухсекционном переклю-
чателе на направленном ответви-
теле (рис. 15.23). Переключатель со-
стоит из двух каскадно включенных
направленных ответвителей (сек-
ций) одинаковой длины причем
2<1=лД2К). Каждая секция управля-
ется отдельно. Если к каждой секции приложить одинаковые по
величине, но противоположные по знаку напряжения Uo, то вся
входная мощность из плеча 1 будет ответвляться в плечо 3,
поскольку если в первой секции в первом световоде коэффициент
преломления увеличивается на какую-то величину из-за прило-
женного к электродам напряжения, то в том же световоде во
второй секции коэффициент преломления уменьшается на такую
же величину, т.е. усредненный по длине коэффициент прелом-
ления световодов остается примерно таким же, как и в отсутствии
напряжения. При приложении к электродам секций равных на-
пряжений, совпадающих по знаку, сигнал из плеча 1 полностью
поступает в плечо 2, так как в этом случае переключатель сов-
падает с переключателем, изображенным на рис.15.22. В двухсек-
ционном переключателе ухудшение параметров из-за неточностей
изготовления можно скомпенсировать подбором соответствующих
управляющих напряжений на электродах каждой секции. Более
подробно вопросы проектирования оптических направленных от-
ветвителей и переключателей на их основе изложены в [41,42].
15,4. ЭЛЕМЕНТЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИЧЕСКОГО ТРАКТА,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ
В технической оптике широко используются дифракционные
решетки [66]. В простейшем случае дифракционная решетка пред-
ставляет собой прямоугольную пластину, выполненную из непро-
ницаемого для света материала, в которой прорезаны перио-
дически повторяющиеся щели. Анализ действия такой решетки,
выполненный в [66], показывает, что решетка является спект-
ральным прибором; пучок белого света, падающий на решетку, за
ней растягивается в спектр. Это свойство и позволяет исполь-
зовать дифракционные решетки в микрооптических конструкциях
элементов, обладающих частотно-избирательными свойствами,
например в схемах полосовых разделительных фильтров опти-
ческих сигналов [41].
514
подложка световод
Рис. 15.24
подложка световод
Большой интерес в настоящее вре-
мя представляют конструкции элементов,
в которых дифракционные решетки вст-
раиваются непосредственно в световод.
Это позволяет создавать интегрально-оп-
тические конструкции устройств с ди-
фракционными решетками. Ниже рас-
сматриваются подобные конструкции.
Пусть на поверхности стеклянной
пластины (подложки), имеющей коэффи-
Рис.15.25
циент преломления л3, сформирован слой, имеющий коэффициент
преломления и толщину h. Окружающее пространство имеет
коэффициент преломления п2 (рис.15.24). Если П1>л3>л2, то
образуется планарный световод, по которому могут передаваться
оптические сигналы. Дифракционную решетку в таком световоде
можно сформировать разными способами. Можно, как показано на
рис.15.24, на длине £ сформировать ряд плоскопараллельных
слоев, имеющих коэффициент преломления Лт+Дл. Сформиро-
ванные слои отстоят друг от друга на расстояние % и составляют
угол 9 с продольной осью световода (ось Z). Можно, как показано
на рис.15.25, на длине £ периодически (с периодом /) плавно
изменять толщину светопроводящего слоя от минимальной h-&h
до максимальной h + &h или, как на рис.15.26, нанести на
поверхность светопроводящего слоя дополнительный слой с
коэффициентом преломления n4(n2<n4<n1) и в нем на длине £
сформировать ряд плоскопараллельных слоев, имеющих коэффи-
циент преломления л4+Дл; сформированные слои отстоят друг от
друга на расстояние х и составляют угол 9 с продольной осью
световода (ось Z). В любом случае в световоде образуется ряд
периодически расположенных неоднородностей, образующих диф-
ракционную решетку. Как правило, используют относительно ма-
лые изменения параметров решеток: Длскл, (рис.15.24), или ДЬ<к/?
(рис.15.25), или Дл<сп4 (рис.15.26). Пусть распространяющаяся по
световоду в направлении оси Z электромагнитная волна с ко-
33* 515
эффициентом фазы p-i поступает на вход решетки. Такая волна на
каждом элементе решетки будет возбуждать множество направ-
ляемых волн световода, кроме того, часть энергии падающей
волны может излучаться в окружающее пространство (для
уменьшения излучения и используют малые изменения парамет-
ров решетки). Те возбужденные направляемые волны, которые
могут распространяться в данном световоде, будут от каждой
неоднородности распространяться как в направлении оси Z (на
выход решетки), так и в противоположном направлении (на вход
решетки). Поэтому поле любой волны, которая может распрост-
раняться по световоду и имеет коэффициент фазы р2, на входе и
выходе решетки будет состоять из суммы соответствующих волн,
создаваемых каждым элементом решетки. При этом если фазы
отдельных волн на входе (или на выходе) решетки отличаются на
целое число 2п (синфазные волны), то амплитуда результирующей
возбужденной волны на входе (или на выходе) будет наибольшей;
если же фазы отдельных волн отличаются на нечетное число л
(волны противофазны), амплитуда результирующего поля будет
близка к нулю. Таким образом, поступающая на вход решетки
волна при определенных условиях будет эффективно преобра-
зовываться в волну иного типа, которая может распространяться
или в том же направлении, что и поступающая на вход волна, или
в обратном. Условие такого резонансного преобразования падаю-
щей волны с коэффициентом фазы Р- в волну другого типа с
коэффициентом фазы р2 можно записать в виде [64]
p1+(27rmsin9)^=±p2, (15.2)
где т=±1',±2;.... верхний (нижний) знак соответствует распростра-
нению возбужденной волны в том же (в обратном) направлении,
что и падающая.
При бесконечной длине решетки в ней будет происходить
периодический обмен энергиями между волнами с коэффици-
ентами фазы р, и р2. Это связано с тем, что возбужденная в
решетке волна с коэффициентом фазы р2, распространяясь по
области решетки, на каждом ее элементе также возбуждает мно-
жество типов волн, и наиболее эффективно ее мощность преоб-
разовывается в мощность волны с коэффициентом фазы рь
удовлетворяющим условию (15.2). При относительно малом изме-
нении параметров световода в решетке происходит резонансное
преобразование лишь двух типов волн, соответствующих л?=±1 в
(15.2), а преобразованием их в волны других типов, в том числе и
излучением на неоднородностях, можно пренебречь [64].
В решетке конечной длины £ мощность, переносимая воз-
бужденной волной на выходе решетки, зависит не только от
516
мощности падающей волны и параметров решетки, но и от длины
решетки (аналогично от длины области связи зависела мощность
ответвленной волны в направленном ответвителе (см.15.3)).
Поэтому если на вход решетки поступает падающая волна с
коэффициентом фазы ръ переносящая мощность Рь то на выходе
решетки появится волна с коэффициентом фазы р2, переносящая
мощность Р3, и волна с коэффициентом фазы ръ переносящая
мощность Р2. Связь между величинами Ръ Р2 и Р3 устанав-
ливается формулами (15.1), где коэффициент связи волн К может
быть рассчитан по формулам, приведенным в [64], а величина Др
рассчитывается по формуле Др = (pi - р2)/2 + (к sin9)4-
При выполнении условия (15.2) Др = О. Зависимость отно-
шений PyPi и P^Pi от произведения К/ при разных др показана на
рис.15.20. Как видно, падающая волна полностью преобразуется в
возбуждаемую при минимальной длине решетки ^=лД2К) и вы-
полнении условия (15.2), т.е. при Др = 0.
Отметим, что для дифракционной решетки, образованной
изменением толщины светопроводящего слоя (рис.15.25) по си-
нусоидальному закону +Д/7 sin (2kz4). условием резонансного
преобразования двух волн является равенство (15.2) при 9 = л/2.
Если возбуждаемая решеткой волна, переносящая мощность
Р3, движется в обратную сторону по отношению к падающей (знак
минус в (15.2)), то при Др = О связь мощностей рассчитывается по
следующим формулам [64]:
P2/Pi = Vch2(Kt), P2/P1 = th2(Kt). (15.3)
Как следует из (15.3), величина Рг/Pi, учитывающая преоб-
разование мощности падающей волны, в мощность волны, отра-
женной от решетки, увеличивается при увеличении длины решетки
А Эта величина приближается к единице (падающая волна пол-
ностью переходит в волну, отраженную от решетки, при этом
мощность прошедшей через решетку волны Рг стремится к нулю)
тем быстрее, чем точнее выполняется условие (15.2).
Рассмотрим некоторые применения дифракционных решеток.
Пусть плоскопарвллельные слои, имеющие коэффициент прелом-
ления Л(+дп (см.рис.15.24), расположены перпендикулярно на-
правлению распространения падающей волны, т.е. 9 = л/2. В этом
случае, чтобы падающая волна эффективно отражалась от ре-
шетки (возбужденная в решетке волна тога же типа, что и па-
дающая, т.е. p2 = pi), необходимо выполнить условие (15.2), кото-
рое при лт=-1 принимает вид
2тъ*У= 2Pi или x=AZ2, (15.4)
517
РИС. 15.27
где Л-длина падающей волны в световоде.
Требуемую величину коэффициента отраже-
ния обеспечивают соответствующей длиной
решетки £, определяемой из (15.3). На этой
основе строят полупрозрачные или полностью
отражающие диэлектрические зеркала
(рис.15.27), состоящие из чередующихся сло-
ев диэлектрика толщиной Л/2 с разными диэ-
лектрическими проницаемостями. Коэффициенты отражения
(Р2/Р1) и пропускания (Р2/Р1) зависят от длины решетки £ (от
количества слоев диэлектрика в ней) и могут быть рассчитаны по
(15.3). Такие многослойные зеркала, размещенные под некоторым
углом к направлению распространения падающей волны, ис-
пользуются в качестве светоделительных элементов. Микроопти-
ческая конструкция делителя с таким зеркалом показана на
рис.15.12. Интегрально-оптическая конструкция делителя свето-
вых сигналов показана на рис.15.28. Она состоит из Х-развет-
вления полосковых световодов, в области разветвления которых
сформировано многослойное полупрозрачное зеркало, располо-
женное под углом 45° к осям разветвления. Толщина зеркала
выбрана из (15.3) так, чтобы Рз/Р^=0,5. При этом половина мощ-
ности, поступающей в плечо 1, отражается от зеркала и направ-
ляется в плечо 3, а оставшаяся часть проходит в плечо 2.
Отметим, что подобные многослойные зеркала могут служить
полосовыми отражающими фильтрами. Например, если в схеме
(рис.15.28) толщина зеркала выбрана достаточной, чтобы пра-
ктически полностью отразить мощность падающей волны на
частоте (это происходит при выполнении условия (15.2) на
частоте А), то при изменении частоты величина отражений па-
дающей волны от решетки будет уменьшаться (нарушается
условие (15.2) на частоте /2). Поэтому мощность из плеча 1 на
частоте fi будет отражаться от зеркала и полностью проходить в
плечо 3, а на частоте f2, достаточно удаленной от /), мощность из
плеча 1 будет полностью проходить в плечо 2. Используя каскад-
ное соединение схем (рис.15.28), несложно построить схему разде-
зеркало
Рис.15.28
зеркало
Рис. 15.29
518
л ительно-пол особого фильтра, выделяющего оптические сигналы
разных частот. Для этого дифракционные решетки в каждом
разветвлении световодов должны быть рассчитаны на отражение
сигналов требуемых частот. На рис.15.29 показана интегрально-
оптическая конструкция полосового фильтра, состоящая из от-
резка полоскового световода длиной £, на концах которого сфор-
мированы многослойные диэлектрические зеркала. Такой фильтр
обеспечивает максимальное пропускание сигнала со входа на
выход на частотах, соответствующих условию Л=£Д2т), где
т = 1,2,....
Пусть плоскопараллельные слои, имеющие коэффициент пре-
ломления гц+Дл (рис,15.24), составляют небольшие углы 9 с
направлением распространения падающей волны, как показано на
рис.15.30. В этом случае, если решетка достаточно толстая
(^1>%2/Л) и работает в режиме отражения (знак минус в (15.2)), то
при падении падающей волны с коэффициентом фазы Рт под
углом 9 к решетке возникнет прошедшая волна того же типа,
распространяющаяся в том же направлении, а возбужденная
решеткой волна с коэффициентом фазы р2 (иногда ее называют
дифракционной волной) будет распространяться под углом 29 к
направлению распространения падающей волны. Если дифрак-
ционная волна является волной того же типа, что и падающая
(pi= р2), то условие преобразования (15.2) переходит в следующее,
называемое условием Брегга:
2тъ*У= 2p,sin 9б, (15.5)
где 9б угол брегговской дифракции. Эффективность преобразо-
вания (P2/Pi) можно определить по (15.1), где £=^/Сов9Б-эффек-
тивная длина решетки, Ap = (p1sin9E-7L^)sin9B, К-коэффициент
связи волн, зависит от типа падающей волны и ее поляризации и
может быть вычислен по формулам из [64]. Зависимость величин
(Р2/Р1) и (Рг/Pi) от Kt показана на рис.15.20. При t=n/(2K) мощ-
ность падающей волны полностью передается дифракционной
волне, т.е. решетка в этом случае отклоняет падающий световой
пучок на угол 29Б-
При меньшей длине решетки происходит деление мощности
падающей волны на две части, переносимые волнами, движу-
щимися в разных направлениях.
Отметим, что описанная выше дифракция Брегга наблю-
дается лишь в сравнительно толстых решетках ^>%2/Л. При этом
возникает лишь одна дифракционная волна и эффективность
преобразования на решетке сильно зависит от угла падения v
выполнения условия (15.5). Если же решетка сравнительно тонкая
51S
Рис. 15.30
Рис. 15.31
^1<0,1х2/Л, то в результате дифракции падающей волны на ре-
шетке возникает несколько дифракционных волн, распростра-
няющихся под углами <рт=тЛ/х, где т~ целое число [66].
В схеме (рис.15.30) при неизменном угле падения угол
отклонения дифракционной волны, удовлетворяющий условию
(15.5), изменяется при изменении или периода решетки %, или
частоты падающей волны. Это свойство использовано в инте-
грально-оптической конструкции переключателя (рис.15.31). Пла-
нарный световод строится из материала с сильным акусто-
оптическим эффектом. Для формирования дифракционной ре-
шетки в световоде возбуждается поверхностная акустическая
волна. Для этого используют систему встречно-штыревых элект-
родов, нанесенную на поверхность световода методами плана-
рной технологии. При приложении переменного напряжения к
электродам в материале возбуждается акустическая волна, кото-
рая, распространяясь по световоду и отражаясь от его торца,
образует стоячую волну, т.е. в световоде образуются механи-
ческие сжатия и разряжения. Это приводит к появлению областей
с периодически меняющимся показателем преломления с перио-
дом %, равным длине акустической волны в материале световода.
Угол падения электромагнитной волны в световоде и частота
акустической волны выбираются из условия (15.5), а величина £,
обеспечивает полное преобразование мощности падающей волны
в мощность дифракционной волны. Путем включения и выклю-
чения возбудителя акустической волны можно изменять направ-
ление распространения падающего светового потока. Подобное
переключение можно выполнить и путем изменения частоты
акустической волны, что приведет к изменению направления рас-
пространения дифракционной волньь(угол 9, изменится на 32). Это
позволяет создать переключатель на несколько положений.
Дифракционную решетку можно использовать в качестве уст-
ройства ввода оптического излучения в планарный или полос-
ковый световоды или для вывода энергии из них. Пусть на
поверхности планарного световода сформирована дифракционная
решетка, состоящая из диэлектрических полос с коэффициентом
520
Рис.15.32
% cose.
преломления л4, расположенных перпендикулярно направлению
распространения волны в световоде (рис.15.32). Распространяю-
щаяся по световоду волна с коэффициентом фазы Pi будет вблизи
каждой диэлектрической полосы, образующей неоднородность в
световоде, возбуждать не только волны, которые могут распро-
страняться по световоду, но и волны, излучающиеся в окружаю-
щее пространство. Диаграмма направленности излучения отдель-
ной полоски решетки обычно несколько вытянута в сторону
распространения волны в световоде (рис. 15.33). Поля излучения
соседних полосок отличаются по фазе на величину р^. Мак-
симальное излучение решетки будет в тех направлениях, где поля
излучения, создаваемые полосками, складываются синфазно. Эти
направления, характеризуемые углами 0т, можно определить из
следующего условия синфазности полей излучения, создаваемых
в дальней зоне соседними полосками: Р1х-/Сссоз0т = 2кт, где
А-=2тгА и т = 1,2,.... Откуда 0m = arccos(p1Zk-rnA/><). Чтобы решет-
ка излучала энергию только в одном направлении под углом 0Ъ
период решетки / должен удовлетворять условию рД-1< А7х<рЛ2/ф
Величина мощности, переносимая волной, излучаемой решеткой,
зависит от длины решетки (количества полосок в ней), изменяя
которую можно ответвить из световода или всю, или часть мощ-
ности падающей волны.
Согласно принципу взаимности ответвитель, позволяющий
трансформировать мощность волны световода в мощность луче-
вой волны, распространяющейся под углом 01( может работать и
как возбудитель волн в световоде. Для этого следует создать
лучевую волну и направить ее под углом 0, к решетке. При этом в
световоде будет эффективно возбуждаться волна с коэффици-
ентом фазы р,. Подбирая период решетки и угол падения на нее
лучевой волны, можно в световоде возбуждать разные типы волн.
521
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица П.1. Значения относительной диэлектрической проницаемости
некоторых веществ при t= 20 °C
Вещество Б? Вещество s,
Воздух (сухой) 1,00058 Слюда 5,7...7
Фторопласт ФФ-4 2 Стеклотекстолит СФ-1-35 6
Нефть 2,1 Стеатит (керамика) 6,25
Бумага 2...2,5 Пол и кор (керамика) 9,6
Дерево 2,2,..3,7 Сапфир 9,4...11,7
Полиэтилен 2,25 Почва (песчаная) 10
Полистирол 2,55 Почаа (скалистая) 14
Эбонит 2,5...2,8 Кремний (высокоомный) 11.7
Лед 3,2 Арсенид галлия 13,3
Плааленый кварц 3,8 Ферриты 5 ...16
Стекло (боросиликатное) 4 Вода (дистиллированная) 80,4
Полистирол, наполненный окисью титана ЛТ-5 5 Конденсаторная керамика ТЛ/750 100
Фарфор 5...6,8 Титанат бария (BaTiOj) 300.„1500
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица П.2. Значения удельной проводимости некоторых веществ при t=20 °C
Вещество о/Ю7, См/м Вещество о, См/м
Серебро 6,1 Вода (морская) 3,3
Медь 5,8 Германий 2.13
Золото 4,13 Почва (влажная) 10*2
Алюминий 3,54 Вода (дистиллированная) 10*4
Латунь (90 % Си) 2,41 Кварц 10*э
Цинк 1,69 Сухая древесина юЛ..10‘1в
Латунь (70 % Си) 1,45 Стекло юА..ю*”
Никель 1,37 Слюда 10*11...10*11
Графит 1,25 Пенопласт 10*11
Платина 1,0 Стеклотекстолит 10*"...10“12
Железо 1,0 Резина Ю'^.-.Ю*12
Олово 0,88 Полистирол 10*”... 10*”
Сталь (литая) 0,77 Полиэтилен 10*”
Свинец 0,48 Эбонит 10“12...10*14
Чугун (серый) 0,1 Фарфор ЗЮ*”
Кремний 1,7-10** Воздух 10*,5...10*,э
522
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица П.З. Значения относительной магнитной проницаемости некоторых
веществ при t=20 °C
Вещество Рг Вещество
Парамагнетики Воздух Эбонит Алюминий Кислород (жидкий) Диамагнетики Вода Медь Стекло 1,0000004 1,000014 1,000023 1,0034 0,999991 0,9999904 0,999987 Ферромагнетики НЧ ферриты Железо (трансформаторное) Пермаллой (78% Ni, 22% Ее) Чистое железо (отожженное) До 105 10* ЗЮ4 2,810s
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Формулы векторного анализа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Поток а через поверхность S:
O = fadS=[e„dS, (П.1)
$ S
где dS = nodS; л0 - орт нормали к поверхности S.
Циркуляция вектора а по контуру Г:
Ц = ^а &=jatdt, (П.2)
г г
где di-элемент замкнутого контура Г; а, - касетельная к контуру составляющая
вектора а.
Градиент скалярной функции и:
. ди п.
gradu = n0—, (П.З)
СП
где По - орт нормали к поверхности и= const.
Дивергенция вектора а:
fadS
div а = lim , (П.4)
ЛК->0 ДУ
где S - поверхность, ограничивающая объем Д V.
Ротор вектора а:
pnOla]dS
rot а = lim -------, (П.5)
л/-»о ДУ
где S - поверхность, ограничивающая объем ДУ, а п0-орт внешней нормали к
поверхности S.
Проекция ротора вектора а на произвольное направление n0:
Jadl
rctna = lim г
лз->о AS
где AS-плоская площадка, ограниченная контуром Г, расположенная перпенди-
кулярно направлению еекгора а.
(П.6)
523
ОПЕРАЦИИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
, Эи ди ди
gradU = xD-+yo—+z0-,
., даг да^ За,
diva =—- + —=-+—i-,
Эх ду dz
, (За,) (За, За,) f За, За,)
ду dz I dz dx J °l dx dy J
„2 5Z d2 d2
dx2 dy2 dz2
ОПЕРАЦИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
gradu = r0^+(Pol^+z
or Г &р dz
.. 13, . 1 За аа
diva =——(гаг)+ +—
г дг г dtp dZ
, 1 За,
rota-r0 —-1
Г dtp
За,, . Г За, За, "I 13, . 1 8аг
dz + Фо —г- L 3z +zo Зг J —z- га >— Г dr г Зф _
v2 = 1 d ( д' *“•"— Г-- Г dr[ dr) 1 З2 г2 Эф2 д2 dz2'
ОПЕРАЦИИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
gradu = r0-|^-+<p0—’—££ + Ool^H.i
dr г sin0 Зф г 36
' KswuJ.
Г Sin 9 Зф г sin 0 [30 J
. 1
rot а = rQ
—(sinOa )--^-
rsinel 30 д<р
, д 1 Г 1 да, d , ,1 „1Г 3 , . За/
г [sine Эф“3г ф ] г[3г' 6 30
V2 - 1 а Гг2 Э ) I 1 8 Coin 0 d ) I 1 З2
г2 Зг< dr) r2stnO 30[ 30) r2sin20 Эф2
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема Острогредского-Гаусса:
jdivadl/ =^adS.
v s
Теорема Стокса:
jrotadS-^a dt.
s г
Теорема Грина:
|(7ц<7ф + ф72ф) dV -j\p~-dS,
|(ф72ф-ф72ф}<Л/ tp^dS.
J Л дп дп)
(П.7)
(П.8)
(П.9)
(П.10)
(П.11)
(П.12)
(ПЛЗ)
(П.14)
(П.15)
(П.16)
(П.17)
(П.18)
(П.19)
(П.20)
(П.21)
(П.22)
524
НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА:
grad (tpij?) =i|j grad tp+cpgrad ip. (П.23)
div (<pa) - (a, grad <p)+ф div a, (П.24)
div [a, b] = b rot a - a rot b, (П.25)
div rot a = 0, (П.26)
rot grad и = 0, (П.27)
rot rot a = grad div a - V2a, (П.28)
rot (ф a) = (grad ip, a]+tp rot a, (П.29)
div grad и = V2u, (П.30)
[a [b, c]J = b (ас) - c (a, b). (П.31)
525
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая элекгродинамика.-
М.: Связь, 1971.-487 с.
2. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радио-
волн,-М.: Высшая школа, 1992.-416 с.
3. Сборник задач по курсу "электродинамика и распространение
радиоволн"/Под ред.С.И. Баскакова.-М.:Высшая школа, 1981.
4. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радио-
волн.-М.: Наука, 1978.-608 с.
5. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и рас-
пространение радиоволн.-М.: Наука, 1989.-543 с.
6. Витевский М.Б., Павловская Э.А. Электромагнитные волны в
технике связи,-М.; Радио и связь, 1995.-121 с.
7. Семенов Н.А. Техническая электродинамика,-М.: Связь, 1973.-
480 с.
8. Фалько вс кий О.И. Техническая электродинамика.-М.: Связь,
1978.-432 с.
9. Федоров Н.Н. Основы электродинамики.-М.: Высшая школа,
1980.-399 с.
10. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и вол-
ны.- М.: Сов. радио, 1971.-664 с.
11. Тамм И.Е. Основы теории электричества.-М.: Наука, 1976.-
616 с.
12. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ./ Под .
ред.С.М. Рытова.-М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.-540 с.
13. Зоммерфельд А- Электродинамика: Пер. с нем. / Под ред.
С.А. Элькинда.-М.: ИЛ, 1958.-501 с.
14. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.-М.: Радио и связь,
1988.-440 с.
15. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей: Пер. с
нем. / Под ред.М.С. Рабиновича и Л.Л. Сабсовича.-М.: ИЛ,
1961.-712 с.
16. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходе-
ев Н.Н. Методы расчета электростатических лолей.-М.: Выс-
шая школа, 1963.-415 с.
17. Потехин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных
волн.-М.: Сов. радио, 1948.-135 с.
18. Вычислительные методы в электродинамике: Под ред.
Р. Митры / Пер. с англ, под ред.Э.А. Бурштейна.-М.: Мир,
1977.-488 с.
19. Тихонов А.И., Арсенин В.А. Методы решения некорректных
задач.-М.: Наука. 1979.-288с.
20. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения.-М.: Радио и связь,
1987.-271 с.
526
21. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции
радиоволн.-М.; Радио и связь, 1982.-184 с.
22. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории ди-
фракции.-М.: Сов. радио, 1962.-43 / см. также Ufimtsev P.Y.
Elementery edge waves and the physical theory of diffraction,
Electromagnet., vol11. no.2, pp.125-160, 1991.
23. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория ди-
фракции.-М.: Радио и связь, 1978.-247 с.
24. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абра-
мовича и И. Стигана.- М.: Наука, 1979.- 832 с.
25. Айзенберг Г.З., Ямпольский В.Г., Терешин О.Н. Антенны
УКВ.- М.: Связь, 1977.-Т. 1.- 384 с.
26. Основы проектирования микроэлектронной аппаратуры / Под
ред.Б.Ф. Высоцкого.-М.: Сов. радио, 1977.- 352 с.
27. Ковалев И.С. Прикладная электродинамика.-Минск: Наука и
техника, 1978.- 344 с.
28. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей.-М.: Выс-
шая школа, 1987.-511 с.
29. Сазонов Д.М., Гридин А.Н., Мишустин Б.А. Устройства СВЧ-
М.: Высшая школа, 1981.-295 с.
30. Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проекгиро-
вание.-М.: Радио и связь, 1990.-288 с.
31. Айзенберг Г.З., Белоусов С.П., Журбенко Э.М. и др. Корот-
коволновые антенны,-М.: Радио и связь, 1985,- 536 с.
32. Альтман Дж.Л. Устройства сверхвысоких частот.-М.: Мир.
1968.-488 с.
33. Фельдштейн А.Л., ЯвичЛ.Р., Смирнов В.П. Справочник по
элементам волноводной техники.-М.; Сов. радио, 1967.-652 с.
34. Фельдштейн А.Л., ЯвичЛ.Р. Синтез четырехполюсников и
восьмиполюсников на СВЧ.-М.: Связь, 1965.-388 с.
35. Маттей Д.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласую-
щие цепи и цепи связи.-М.; Связь, 1971-1972.-Т.1.-440 C.-
Т. 2.-496 с.
36. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых
устройств / Под ред. В. И. Вольмана.-М.: Радио и связь, 1982.-
328 с.
37. Кац Б.М., Мещанов В.П., Фельдштейн А.Л. Оптимальный
синтез устройств СВЧ с Т-волнами.-М.: Радио и связь, 1984,-
288 с.
38. Левин Л. Теория вол неводов.-М.: Радио и связь, 1981- 312 с.
39. Справочник по волноводам: Пер. с англ, под ред.Я.Н. Фельда.-
М.: Сов. радио, 1952.- 432 с.
40. Малорацкий Л.Г., ЯвичЛ.Р. Проектирование и расчет СВЧ
элементов на полосковых линиях.-М.: Сов. радио, 1972.-
232 с.
527
41. Бутусов М.М., Верник С.Л., Галкин В.Н. и др. Волоконно-
оптические системы передачи.-М.: Радио и связь, 1992.-416 с.
42. Унгер Г.Г. Оптическая связь,-М.: Связь, 1979.-264 с.
43. Автоматизированное проектирование устройств СВЧ / Под
ред.В.В. Никольского.-М.: Радио и связь, 1982.-272 с.
44. Воскресенский Д.И., Кременецкий С.Д., Гринев А.Ю., Ко-
тов Ю.В. Автоматизированное проектирование антенн и уст-
ройств СВЧ.-М.: Радио и связь, 1988.-240 с.
45. Системы автоматизированного проектирования в радиоэлек-
тронике: Справочник / Под ред.И.П. Норенкова.-М.: Радио и
связь, 1986.-368 с.
46. БудурисЖ., Шеневье. Цепи сверхвысоких частот.-М.: Сов.
радио, 1979.-295 с.
47. Заенцев В.В., Катушки на В.М., Лондон С.Е., Модель З.И.
Устройства сложения и распределения мощностей высокочас-
тотных колебаний.-М.: Сов. радио, 1980.-296 с.
48. Егоров Ю.Н. Частично заполненные прямоугольные волново-
ды,-М.: Сов. радио, 1967.-182 с.
49. Электроника: Энциклопедический словарь / Гл. ред.В.Г. Ко-
лесников.-М.: Сов. энциклопедия, 1991.-668 с.
50. Полупроводниковые приборы. Сверхвысокочастотные диоды:
Справочник. Под ред.Б.А. Наливайко.-Томск: МГП "Раско",
1992.-224 с.
51. Хижа Г.С., ВендикИ.Б., Серебрякова Е.А. СВЧ фазовраща-
тели и переключатели.-М.: Радио и связь, 1984.-184 с.
52. Метрикин А.А. Антенны и волноводы РРЛ.-М.: Связь, 1977.-
184 с.
53. Веселов Г.И., Егоров Е.Н., Алехин Ю.Н. и др. Микроэлек-
тронные устройства СВЧ.-М.: Высшая школа, 1988.-280 с.
54. Справочник по элементам полосковой техники / Под ред.
А.Д. Фельдштейна.-М.: Связь, 1979.-336 с.
55. Голубев В.И., Ковалев И.С., Кузнецов Е.Г. и др. Конструиро-
вание и расчет полосковых устроЙств.-М.: Сов. радио, 1974.-
296 с.
56. ФаноР.М. Теоретические ограничения полосы согласования
произвольных импедансов.-М.: Сов. радио, 1965.
57. Модель А.М. Фильтры СВЧ в радиорелейных системах,-М.;
Связь, 1967.- 352 с.
58. Микаэлян А.Л. Теория и применение ферритов на сверхвысо-
ких частотах.-М.: Госэнергоиздат, 1963.-663 с.
59. Вамберский М.В., Абрамов В.П., Казанцев В.И. Конструиро-
вание ферритовых развязывающих приборов СВЧ.-М.: Радио
и связь, 1982.-136 с.
60. Лакс Б., Баттон К. Сверхвысокочастотные ферриты и ферри-
магнетики.- М.: Мир, 1965.-676 с.
528
61. Боголюбов В.Н., ЕскинА.В., Карбовский С.Б. Управляемые
ферритовые устройства СВЧ.-М.; Сов, радио, 1972,-72 с.
62. Абрамов В.П., Дмитриев 8.А., Шелухин С.А. Невзаимные
устройства на ферритовых резонаторах.-М.: Радио и связь,
1989.-200 с.
63. Козанне А., Флере Ж., Мэтр Г., Руссо М. Оптика и связь: Пер.
сфран. /Под ред.В.К Соколова.-М.: Мир, 1984.-504 с.
64. Семенов А.С., Смирнов В.Л., Шмалько А.В. Интегральная
оптика для систем передачи и обработки информации.-М.:
Радио и связь, 1990.-224 с.
65. Андрушко Л. М., Вознесенский В.А., Каток В.Б. и др. Спра-
вочник по волоконно-оптическим линиям связи.-К.: Техника,
1988.-240 с.
66. Матвеев А.Н. Оптика.-М.: Высшая школа, 1985.-352 с.
67. Ефимов И.Е., Осталькович П.А. Радиочастотные линии пе-
редачи.- М.: Связь, 1977.-408 с.
68. Гальперович Д.Я., Павлов А.А., Хренков И.И. Радиочастот-
ные кабели.-М.: Энергоатомиздат, 1990.-256 с.
69. НегановВ.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Современные ме-
тоды проектирования линий передачи и резонаторов сверх- и
крайневысоких частот.-М.: Педагогика-пресс, 1998.-327 с.
34-45
529
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ...................................................... 3
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ............................................. 5
Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ...................... 6
1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ....................................... 6
1.2. ВЕКТОРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И КЛАССИ-
ФИКАЦИЯ СРЕД.................................... 8
1.2.1. Векторы электрического поля.................... 8
1.2.2. Векторы магнитного поля....................... 12
1.2.3. Классификация сред............................ 15
1.2.4. Графическое изображение полей................. 17
1.3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА................................. 18
1.3.1. Первое уравнение Максвелла.................... 18
1.3.2. Второе уравнение Максвелла.................... 22
1.3.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла.. 23
1.4. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ЗАКОН СОХРА-
НЕНИЯ ЗАРЯДОВ.................................. 25
1.5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И КЛАССИ-
ФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ............... 27
1.5.1. Физическая сущность уравнений Максвелла. 27
1.5.2. Классификация электромагнитных явлений.. 29
1.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ МОНОХРОМАТИЧЕС-
КОГО ПОЛЯ...................................... 30
1.6.1. Метод комплексных амплитуд.................. 30
1.6.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме. 31
1.6.3. Уточнение понятий о проводниках и диэлектриках 35
1.6.4. Понятие о времени релаксации.................. 36
1.7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ................................... 37
1.7.1. Граничные условия для нормальных составляю-
щих векторов электрического и магнитного полей 37
1.7.2. Граничные условия для касательных составляю-
щих векторов электрического и магнитного полей 40
1.7.3. Граничные условия на поверхности идеального
проводника.................................. 44
1.7.4. Физическая сущность граничных условий... 45
1.8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ...................... 47
1.8.1. Сторонние токи и заряды....................... 47
1.6.2. Уравнение баланса мгновенных значений мощ-
ности....................................... 49
1.8.3. Активная, реактивная и комплексная мощности... 55
1.8.4. Уравнение баланса комплексной мощности.. 57
1.8.5. Скорость распространения электромагнитной
энергии..................................... 61
Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ....................... 63
2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ........... 63
2.2. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТ8ЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.......................... 64
530
2.2.1. Вводные замечания.................. 64
2.2.2. Единственность решения внутренних задач элек-
тродинамики............................... 64
2.2.3. ^инственность решения внешних задач элек-
тродинамики............................... 67
2.3. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ...................... 70
2.3.1. Общий случай..................... 70
2.3.2. Монохроматическое поле............. 72
2.4. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ.......... 73
2.4.1. Общий случай....................... 73
2,4.2. Монохроматическое попе............. 78
2.4.3. Плоские задачи электродинамики..... 80
2.5. СТОРОННИЕ МАГНИТНЫЕ ТОКИ И ЗАРЯДЫ....... 82
2.6. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ.................. 85
2.7. ПОСТАНОВКА И НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ............. 87
Глава 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОПЕ.................... 89
3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ....... 89
3.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ....................... 92
3.3. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ........ 94
3.4. ЕМКОСТЬ................................. 96
3.5. ПОСТАНОВКА И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕ-
КТРОСТАТИКИ................................... 98
3.5.1. Определение поля, создаваемого известными ис-
точниками в безграничной однородной сраде. 98
3.5.2. Примеры определения поля известных источни-
ков...................................... 101
3.5.3. Краевые задачи электростатики..... 105
3.6. КОНДЕНСАТОРЫ........................... 114
3.6.1. Емкость конденсатора............... 114
3.6.2. Плоский конденсатор............... 114
3.6.3. Цилиндрический конденсатор........ 115
Глава 4. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ......... 116
4.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТ-
РОМАГНИТНОГО ПОЛЯ........................... 116
4.2. МАГНИТОСТАТИКА......................... 117
4.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ПОСТОЯННЫЙ ТОК........ 119
4.4. ЭНЕРГИЯ СТАЦИОНАРНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ... 122
4.5. ИНДУКТИВНОСТЬ.......................... 124
4.6. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ........ 125
4.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА..... 133
Глава 5. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН........... 137
5.1. ВВЕДЕНИЕ............................... 137
5.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВИБРАТОР..... 138
, 5.3. АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА.... 142
5.3.1. Деление пространства вокруг вибратора на зоны 142
34* 531
5.3.2. Дальняя (волновая) зона........... 142
5.3.3. Ближняя эона..................... 146
5.3.4. Промежуточная зона................ 147
5.4. ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА.................... 149
5.5. МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЭЛЕКТ-
РИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА......................... 151
5.6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МАГНИТНЫЙ ВИБРАТОР........ 152
5.6.1. Физические модели элементарного магнитного
вибратора................................ 152
5.6.2. Поле элементарного магнитного вибратора. 154
5.6.3. Элементарный щелевой излучатель... 157
5.7. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТ-
НОГО ПОЛЯ................................... 159
5.8. ЭЛЕМЕНТ ГЮЙГЕНСА....................... 162
5.8.1. Принцип Гюйгенса................ 162
5.8.2. Поле элемента Гюйгенса............ 163
5.9. ЛЕММА ЛОРЕНЦА. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ............ 166
Глава 6. ПЛОСКИЕ ВОПНЫ............................. 170
6.1. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ в ОДНОРОДНОЙ изотропной
СРЕДЕ....................................... 170
6.1.1. Переход от сферической волны к плоской.. 170
6.1.2. Свойства плоской волны в однородной изотроп-
ной среде................................ 171
6.1.3. Волны в диэлектриках.............. 178
6.1.4. Волны в проводниках............... 178
6.1.5. Затухание волн.................... 179
6.1.6. Глубина проникновения............. 180
6.2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН....................... 180
Глава 7. ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ
СРЕД................................................ 188
7.1. ПОЛЕ ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ, РАСПРО-
СТРАНЯЮЩЕЙСЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ НАПРАВЛЕ-
НИИ...................................... 188
7.2. ПАДЕНИЕ НОРМАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПЛОС-
КОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД......... 190
7.3. ПАДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО-ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПЛОС-
КОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД....... 195
7.4. ПОЛНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНЫ ВО ВТОРУЮ СРЕДУ 197
7.5. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ
СРЕД........................................ 199
7.5.1. Две диэлектрические среды......... 199
7.5.2. Диэлектрик и идеальный проводник.. 205
7.6. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ ПОГЛО-
ЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ................................ 206
7.7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЕОНТО-
ВИЧА-ЩУКИНА................................. 208
532
7.8, ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ..................... 210
7.8.1. Явление поверхностного эффекта...... 210
7.8.2. Потери энергии в проводнике............... 211
7.8.3. Эквивалентный поверхностный ток...... ^2
7.8.4. Поверхностное сопротивление проводника.... 213
7.8.5. Сопротивление цилиндрического проводника.. 214
Глава 8. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН............. 218
8.1. СТРОГАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ............. 218
8.2. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА КРУГОВОМ
ЦИЛИНДРЕ.................................... 219
8.3, ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ........ 224
8.4. ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА (ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЮЙГЕНСА-
КИРХГОФА)................................... 227
8.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА.................... 231
8.6. МЕТОД КРАЕВЫХ ВОЛН....................... 237
8.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ.......... 239
6.7.1. Дифракционные лучи.................. 239
8.7.2. Вычисление поля дифракционных лучей. 241
Глава 9. ОБЩИЕ СВОЙСТВА НАПРАВЛЯЕМЫХ ВОЛН............ 247
9.1. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ И НАПРАВЛЯЕМЫЕ
ВОЛНЫ....................................... 247
9.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОПЕРЕЧНЫМИ И ПРОДОЛЬНЫМИ
СОСТАВЛЯЮЩИМИ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТ-
НОГО ПОЛЯ................................... 248
9.3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ,
МАГНИТНЫХ И ГИБРИДНЫХ ВОЛН.................. 251
9.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНЫХ ЭЛЕКТРОМАГ-
НИТНЫХ ВОЛН.............................. 255
9.5. КОНЦЕПЦИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН............... 258
9.6. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ГРУП-
ПОВАЯ СКОРОСТЬ.............................. 260
9.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ......... 283
9.7.1. Мощность, переносимая электромагнитной вол-
ной по линии передачи.................... 263
9.7.2. Предельная и допустимая мощности.... 264
9.8. ЗАТУХАНИЕ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ.............. 265
9.6.1. Коэффициент ослабления.............. 265
9.8.2. Затухание, обусловленное потерями в среде, за-
полняющей линию.......................... 267
9.8.3. Затухание, вызванное потерями в металлических
элементах линии передачи................. 268
Глава 10. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ....................... 270
10.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД.................. 270
' 10.1.1. Вывод формул для поля.............. 270
10.1.2. Основная волна прямоугольного волновода.. 276
10.1.3. Токи на стенках прямоугольного волновода. 279
533
10.1.4. Выбор размеров поперечного сечения прямо-
угольного волновода из условия одноволновой
передачи.................................... 280
10.1.5. Передача энергии по прямоугольному волноводу 282
10.2. КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД............................ 284
10-2.1. Вывод формул для поля................ 284
10.2.2. Токи на стенках круглого волновода... 289
10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу.. 289
10.3. ВОЛНОВОДЫ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ..................... 291
10.3.1. П- и Н-образные волноводы............ 291
10.3.2. Эллиптические волноводы.............. 293
10.4. КОАКСИАЛЬНАЯ ЛИНИЯ.......................... 295
10.4.1. ТЕМ-волна............................ 295
10.4.2. Электрические и магнитные волны в коаксиаль-
ной линии................................... 297
10.4.3. Передача энергии по коаксиальной линии.. 299
10.5. ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ........................ 301
10.6. ПОЛОСКОВЫЕ ЛИНИИ........................... 306
10.7. ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ. ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ
СИСТЕМЫ......................................... 315
10.7.1. Простейшие диэлектрические волноводы.... 315
10.7.2. Металлическая плоскость, покрытая споем ди-
электрика................................... 318
10.7.3. Плоский диэлектрический волновод..... 320
10.7.4. Металлический цилиндр, покрытый слоем ди-
электрика................................... 321
10.7.5. Круглый диэлектрический волновод..... 322
10.7.6. Световоды............................ 327
10.7.7. Замедляющие структуры................ 332
Глава 11. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ........................... 335
11.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ............ 335
11.1.1. Общие сведения....................... 335
11.1.2. Свободные гармонические колебания в объем-
ных резонаторах............................. 338
11.1.3. резонансные частоты свободных колебаний. 337
11.1.4. Добротность объемных резонаторов..... 338
11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов 340
11.1.6. Связь между добротностью объемного резона-
тора и длительностью процесса свободных ко-
лебаний в нем............................... 341
11.2. РЕЗОНАТОРЫ В ВИДЕ ОТРЕЗКОВ РЕГУЛЯРНЫХ
ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ.................................... 342
11.2.1. Общие сведения....................... 342
11.2.2. Коаксиальный резонатор............... 345
11.2.3. Резонатор в виде отрезка коаксиальной линии,
нагруженной на емкость...................... 346
11.2.4. Прямоугольный резонатор.............. 347
11.2.5. Цилиндрический резонатор............. 348
11.2.6. Полосковые резонаторы................ 350
534
11.3. ПРОХОДНОЙ РЕЗОНАТОР..................... 354
11.4. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ............ 355
Глава 12. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ СВЧ.................... 357
12.1. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СХЕМЕ ЦЕПИ СВЧ.
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ 357
12.1.1. Цепь СВЧ (тракт СВЧ).................. 357
12.1.2. Линии передачи конечной длины. Неоднородно-
сти в линиях передачи.................... 360
12.1.3. Полное эквивалентное сопротивление линии пе-
редачи................................... 367
12.1.4. Круговая диаграмма полных сопротивлений. 370
12.2. ПРОБЛЕМА СОГЛАСОВАНИЯ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕ-
ШЕНИЯ......................................... 376
12.2.1. Методы согласования линии передачи с нагруз-
кой...................................... 378
12.2.2. Узкополосное согласование с помощью реактив-
ных элементов............................ 377
12.2.3. Согласование с помощью четвертьволнового
трансформатора........................... 381
12.2.4. Широкополосное согласование нагрузки с ли-
нией..................................... 382
12.3. Матричное описание цепей СВЧ............ 389
12.4. Метод декомпозиции и матричное описание сложных
цепей СВЧ..................................... 396
12.5. Построение эквивалентных схем простейших цепей
СВЧ. Реализация цепей из сосредоточенных элементов
в диапазоне СВЧ............................... 401
12.6. Структурный и параметрический синтез. Автоматизация
проектирования устройств СВЧ.................. 407
Глава 13. ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ТЕХНИКИ СВЧ..................... 411
13.1. СОЧЛЕНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ............ 411
13.2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ЛИ-
НИЯХ ПЕРЕДАЧИ................................. 413
13.3. ТРАНСФОРМАТОРЫ ТИПОВ ВОЛН. ВРАЩАЮЩИЕСЯ
СОЧЛЕНЕНИЯ.................................... 419
13.4. УСТРОЙСТВА, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ ДЛЯ УПРАВЛЕ-
НИЯ ПЕРЕДАВАЕМОЙ МОЩНОСТЬЮ................ 422
13.4.1. Аттенюаторы....................... 422
13.4.2. Тройники.......................... 425
13.5. ФАЗОВРАЩАТЕЛИ........................... 432
13.6. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА.............. 436
Глава 14. ПАССИВНЫЕ УСТРОЙСТВА СВЧ................... 440
14.1. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТВЕТВИТЕЛИ И МОСТОВЫЕ СХЕ-
МЫ СВЧ........................................ 440
14.1.1. Направленные ответвители на связанных линиях
передачи................................. 440
14.1.2. Мостовые схемы СВЧ................ 447
535
.14,1,3, Применение направленных ответвителей и мос-
тов................................... 454
14.2. ФИЛЬТРЫ СВЧ............................... 458
14,2.1, Классификация фильтров.............. 458
14.2,2. Синтез эквивалентных схем фильтров.. 460
14,2.3. Реализация эквивалентных схем фильтров СВЧ 466
14,2.4. Широкополосное согласование с помощью фи-
льтров...................................... 473
14.3. НЕВЗАИМНЫЕ УСТРОЙСТВА СВЧ................. 474
14.3.1. Область применения невзаимных устройств. 474
14.3.2. Свойства ферритов в диапазоне СВЧ... 476
14.3.3. Распространение электромагнитных волн в неог-
раниченной ферритовой среде................ 481
14.3.4. Ферритовые вентили.................. 487
14.3.5. Ферритовые фазовращатели............ 493
14.3.6. Циркуляторы....................... 494
Глава 15. ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ
СВЯЗИ (ВОЛС)........................................ 499
15.1. МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ВОЛС.......... 499
15.2. УСТРОЙСТВА ВВОДА И ВЫВОДА ЭНЕРГИИ ОПТИ-
ЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.......................... 504
15.3. ДЕЛИТЕЛИ И СУММАТОРЫ МОЩНОСТИ ОПТИЧЕС-
КИХ СИГНАЛОВ. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТВЕТВИТЕЛИ.......... 509
15.4. ЭЛЕМЕНТЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИЧЕСКОГО ТРАКТА,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ.............. 514
ПРИЛОЖЕНИЯ............................................ 522
П.1. Значения относительных диэлектрических проницаемо-
стей некоторых веществ...................... 522
П.2. Значения относительных магнитных проницаемостей не-
которых веществ............................. 522
П.З. Значения удельных проводимостей некоторых веществ... 523
П.4. Формулы векторного анализа................. 523
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................... 526
536