Основы электродинамики - Баскаков С.И.

Автор: Баскаков С.И.

Теги: электротехника физика электромагнетизм электродинамика

Год: 1973

Похожие

Электродинамика и распространение радиоволн

Сборник задач по курсу "Электродинамика и распространение радиоволн"

Основы теоретической физики. Том 1. Механика. Электродинамика

Основы электродинамики и распространение радиоволн

Текст

С. И. БАСКАКОВ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
радиотехнических специальностей вузов
Москва «Советское радио» 1973

6Ф2
Б27
УДК 621.37
Баскаков С. И.
Б27 «Основы электродинамики». Учебное пособие для
вузов. М., «Сов. радио», 1973.
248 с. с ил.
Излагаются основы теории электромагнетизма, теория линий пере-
передачи объемных резонаторов. Рассматриваются задачи возбуждения
электромагнитных волн, принципы анализа замедляющих систем,
электродинамика анизотропных сред. Кроме студентов пособие может
быть полезным для специалистов, работающих в области техники
СВЧ.
Рецензенты:
кафедра радиофизики Ленинградского политехнического
института; канд. техн. наук, доц. А. И. Потехин.
СВЯТОСЛАВ ИВАНОВИЧ БАСКАКОВ
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Редактор И. И. Гинзбург
Художественный редактор 3. Е. Вендрова
Художник Б. К. Шаповалов
Технический редактор А. А. Белоус
Корректор 3« Г. Галушкина
•
Сдано в набор 21/XI 1972 г.
Подписано в печать 1/П 1973 г. Т-00433
Формат 84ХЮ8/за Бумага типографская № 2
Объем 13,02 усл. п. л., 11,870 уч.-изд. л.
Тираж 30 000 экз. Зак. 1443 Цена 54 коп.
Издательство „Советское радио*, Москва, Главпочтамт,
п/я. G93.
•
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома»
при Государственном Комитете Совета Министров СССР
По делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава первая. Основные положения теории электромаг-
электромагнетизма 8
1.1. Электромагнитное поле 8
1.2. Плотность тока проводимости. Дифференциальная
форма закона Ома 11
1.3. Закон сохранения заряда 14
1.4. Закон Гаусса 15
1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий . 16
1.6. Закон полного тока 18
1.7. Ток смещения 20
1.8. Закон электромагнитной индукции 21
1.9. Материальные уравнения электромагнитного поля . 22
1.10. Поляризационные и сторонние токи ..... 31
1.11. Сводка уравнений Максвелла 32
1.12. Уравнения Максвелла для монохроматических колеба-
колебаний. Комплексные амплитуды полей 33
1.13. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол
диэлектрических потерь 36
1.14. Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электро-
электромагнитного поля 37
1.15. Энергетические соотношения в электромагнитном по-
поле. Теорема Пойнтинга 39
Глава вторая. Плоские электромагнитные волны . . . 46
2.1. Общие свойства волновых процессов 46
2.2. Однородная плоская электромагнитная волна с ли-
линейной поляризацией . . . . . . . . . 50
2.3. Фазовая скорость и постоянная затухания плоских
волн 53
2.4. Плоские электромагнитные волны в хорошо проводя-
проводящих средах 55
2.5. Плоские электромагнитные волны с вращающейся по-
поляризацией 57
2.6. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном
направлении 59
Глава третья. Граничные условия для векторов электро-
электромагнитного поля 61
3.1. Постановка задачи 61
3.2. Граничные условия для нормальных составляющих
магнитного поля 62
3.3. Граничные условия для нормальных составляющих
электрического поля 63
3.4. Граничные условия для тангенциальных составляю-
составляющих магнитного поля 64
3

3.5 Граничные условия для тангенциальных составляю-
составляющих электрического поля ........
Глава четвертая. Падение плоских электромагнитных
волн на границу раздела двух сред 69
4.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны
на идеально проводящую плоскость 69
4.2. Нормальное падение плоской электромагнитной волны
на диэлектрическое полупространство ..... 70
4.3. К вопросу о создании неотражающих сред ... 73
4.4. Падение плоской электромагнитной волны на диэлек-
диэлектрическое полупространство под произвольным углом 74
4.5. Угол Брюстера 79
4.6. Полное внутреннее отражение 81
4.7. Приближенные граничные условия Леонтовича . . 83
Глава пятая. Направляемые электромагнитные волны.
Волны между двумя проводящими плоскостями ... 85
5.1. Падение плоской волны с параллельной поляризацией 85
5.2. Падение плоской волны с перпендикулярной поляри-
поляризацией 88
5.3. Классификация, направляемых волн 88
5.4. Фазовая скорость направляемых волн .... 89
5.5. Типы волн в волноводах 92
5.6. Критическая длина волны 93
5.7. Связь между продольными и поперечными состав-
составляющими поля направляемых волн 95
Глава шестая. Прямоугольный металлический волновод 98
6.1. Постановка задачи 98
6.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе ... 99
6.3. Вычисление критической длины волны и длины волны
в волноводе 106
6.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе . . . 108
6.5. Волна типа Ню 111
6.6. Основы применения прямоугольных волноводов . . 116
6.7. Характеристические сопротивления волноводов . . 121
6.8. Мощность, переносимая по прямоугольному волноводу
колебанием типа #ю 123
Глава седьмая. Круглый металлический волновод . . 125
7.1. Постановка задачи 125
7.2. Волны типа Е в круглом волноводе 128
7.3. Волны типа Н в круглом волноводе 134
7.4. Применение круглых волноводов 138
Глава восьмая. Линии передачи с волнами ТЕЛ1 . . 141
8.1. Некоторые общие характеристики волн ТЕМ в линиях
передачи 141
8.2. Напряжение и разность потенциалов в теории линий
передачи 142
8.3. Коаксиальная линия передачи 144
8.4. Волновое сопротивление 147
8.5. Некоторые применения коаксиальных линий передачи 148
8.6. Полосковые линии передачи 148
4

Глава девятая. Затухание волн в полых металлических
волноводах 150
9.1. Источники потерь в волноводах 150
9.2. Способ учета затухания в волноводах 151
9.3. Общие выражения для постоянной затухания . . 152
9.4. Анализ некоторых частных случаев 154
Глава десятая. Групповая скорость волн в волноводах 160
ЮЛ. Постановка задачи 160
10.2. Группы волн и групповая скорость 160
10.3. Групповая скорость в металлических волноводах 163
Глава одиннадцатая. Поверхностные электромагнитные
волны и замедляющие структуры - 167
11.1. Спиральный волновод 167
11.2. Замедление электромагнитных волн диэлектрической
пластиной. Поверхностные волны 169
11.3. Некоторые другие типы замедляющих структур и их
применение 177
Глава двенадцатая. Колебательные системы СВЧ.
Объемные резонаторы 180
12.1. Эволюция электромагнитных колебательных систем
при повышении рабочей частоты ...... 180
12.2. Объемный резонатор, обоазованный отрезком пря-
прямоугольного волновода . 183
12.3. Общая задача о колебаниях в прямоугольном резо-
резонаторе. Классификация типов колебаний .... 187
12.4. Круглые объемные резонаторы 190
12.5. Некоторые способы возбуждения и включения объем-
объемных резонаторов 192
12.6. Добротность объемных резонаторов . ... 194
12.7. Некоторые другие типы объемных резонаторов . . 197
12.8. Общая постановка задачи о колебаниях в объемном
резонаторе . 199
Глава тринадцатая. Решение неоднородных уравнений
Максвелла. Электрический векторный потенциал . . . 201
13.1. Постановка задачи 201
13.2. Векторный и скалярный потенциалы электромагнит-
электромагнитного поля 202
13.3. Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение
Гельмгольца 203
13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца . . 204
Глава четырнадцатая. Элементарные излучатели . . 206
14.1. Элементарный электрический излучатель .... 206
14.2. Векторный электрический потенциал для элементар-
элементарного электрического излучателя 207
14.3. Составляющие электромагнитного поля .... 208
14.4. Ближняя и дальняя зоны элементарного электриче-
электрического излучателя 209
14.5. Диаграмма направленности элементарного электриче-
электрического излучателя 211
5

14.6. Вычисление излученной мощности. Сопротивление
излучения 213
14.7. Понятие о магнитном токе * 215
14.8. Принцип перестановочной двойственности . . . 216
14.9. Элементарный щелевой излучатель 217
Глава пятнадцатая. Некоторые дополнительные во-
вопросы теории излучения электромагнитных волн . . . 221
15.1. Условия излучения. Принцип предельного поглощений 221
15.2. Принцип Гюйгенса—Френеля 224
15.3. Применение формулы Кирхгофа к расчету излуче-
излучения из отверстия ... 227
Глава шестнадцатая. Распространение электромагнит-
электромагнитных волн в анизотропной среде 233
16.1. Постановка задачи 233
16.2. Физический механизм анизотропии феррита. Урав-
Уравнение Ландау—Лифшица 234
16.3. Тензор магнитной проницаемости феррита . . . 239
16.4. Уравнения Максвелла в анизотропной среде . . 242
16.5. Распространение электромагнитных волн в намагни-
намагниченном феррите. Эффект Фарадея 243
Приложение. Выражение основных операций векторного
анализа в различных системах координат .... 247
Список литературы 248

Предисловие
Настоящее учебное пособие охватывает первую часть
курса «Электродинамика и распространение радиоволн»,
читаемого на радиотехнических факультетах высших
учебных заведений. При написании книги автор исполь-
использовал материал лекций, в течение ряда лет читавшихся
им на радиотехническом факультете Московского орде-
ордена Ленина энергетического института. Учитывая специ-
специфику подготовки современного радиоинженера, автор
сознательно уделил преимущественное внимание вопро-
вопросам волновых свойств электромагнитного поля. При
этом ряд других вопросов, например задачи электро- и
магнитостатики, ранее по традиции входившие в курс
«Теория электромагнитного поля», здесь практически
не рассматриваются. Необходимость такого сокращения
разделов курса диктуется требованием более подробного
изучения быстропеременных волновых процессов в связи
с их применением в современной технике.
При изложении всех разделов курса автор стремился
использовать по возможности более простой математи-
математический аппарат для того, чтобы излишняя математиче-
математическая сложность не затрудняла понимания физического
смысла изучаемых явлений. Например, большинство
рассматриваемых задач рашается не в. обобщенных кри-
криволинейных, а в декартовых координатах.
Прикладная направленность 'курса нашла свое отра-
отражение в том, что большинство разделов сопровождается
примерами, взятыми из радиотехнической практики.
Автор приносит благодарность своим коллегам—
сотрудникам кафедры Теоретических основ радиотехни-
радиотехники МЭИ, и в особенности докт. техн. наук, профессору
Н. Н. Федорову за многочисленные и плодотворные
дискуссии по вопросам, затронутым в настоящем посо-
пособии. На стадии окончательной работы над книгой автор
с благодарностью воспользовался замечаниями и сове-
советами рецензентов —канд. техн. наук, доц. А. И. Поте-
хина и коллектива кафедры радиофизики ЛПИ, возглав-
возглавляемой докт. техн. наук, проф. М. И. Конторовичем.
Отзывы и замечания направлять по адресу: Москва,
й почтамт, п/я 693, изд-во «Советское радио».

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
1.1. Электромагнитное поле
Данный параграф носит вводный характер. Предпо-
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями
теории электромагнетизма, излагаемыми в курсе физики.
В физике принято разграничивать окружающие нас
объекты материального мира на два больших самостоя-
самостоятельных класса, один из которых называется вещест-
веществом, а другой — полем. В основе принципа, по кото-
которому проводится подобное деление, лежит тот факт, что
вещество в отличие от поля обладает инертной массой
в обычном механическом смысле этого понятия. Движе-
Движение макроскопических объектов, состоящих из вещества,
описывается известными законами механики.
Обращаясь к полю как к самостоятельному виду ма-
материи, можно перечислить известные науке электромаг-
электромагнитное и гравитационное поля, а также специфические
виды внутриатомных полей.
Предметом электродинамики является изучение элект-
электромагнитного поля, проявляющего себя посредством сил,
действующих на частицы вещества, обладающие элект-
электрическим зарядом. Экспериментально обнаружена
дискретная структура зарядов. Величины любых заря-
зарядов, встречающихся в природе, кратны заряду электро-
электрона е, равному приблизительно 1,6- 10~19 Кл.
'Поскольку электромагнитное поле характеризуется
силами, действующими на заряды, находящиеся в обла-
области существования поля, а силы, в свою очередь, пред-
представляются векторами, имеется возможность описать
электромагнитное поле с помощью абстрактных матема-
математических моделей — векторых полей.
Всю совокупность электромагнитных явлений приня-
принято разделять на две группы. К первой группе относятся
электрические, а ко второй — магнитные явления. В со-
соответствии с этим обычно выделяют две частные разно-
разновидности электромагнитного поля, носящие название
электрического и магнитного полей. Важно

йбдчеркиуть, и это будет ясно из дальнейшего изложе-
изложения, что утверждение о возможности представления
электромагнитного поля как суммы электрических и маг-
магнитных полей означает признание их внутреннего един-
единства и взаимообусловленности.
Электрическое поле характеризуется силовым взаи-
взаимодействием как с неподвижными, так и с движущими-
движущимися зарядами, причем в результате этого взаимодействия
изменяется кинетическая энергия движущейся заряжен-
заряженной частицы вещества. В вакууме электрическое поле
может быть однозначно представлено с помощью вектор-
векторного поля его напряженности Е по формуле
F = ?E, A.1)
где F — вектор силы, действующей на пробный заряд q.
Если ограничиться только исследованием процессов
в вакууме, то задание напряженности электрического
поля в каждой точке пространства является достаточ-
достаточным. Однако, как будет показано далее, для правильно-
правильного описания электрического поля в материальных сре-
средах, например в диэлектриках, требуется ввести в рас-
рассмотрение второе векторное поле D, названное полем
электрического смещения (или электрической
индукции). Вектор D в вакууме связан с вектором Е
соотношением
D=-eoE, A.2)
где
8о= 10-9/36л; = 8,854 • Ю-12 Ф/м
— размерная постоянная, найденная экспериментально
и названная электрической постоянной вакуума. В си-
системе единиц СИ напряженность электрического поля
имеет размерность В/м; электрическое* смещение обла-
обладает размерностью Кл/м2.
Большое число задач практической электродинамики
связано лишь с рассмотрением явлений в вакууме. По-
Поэтому там, где это не приведет к недоразумениям, бу-
будем для краткости вектор Е называть электрическим
вектором.
Магнитное поле характеризуется силовым взаимо-
взаимодействием лишь с движущимися зарядами, причем кине-
кинетическая энергия заряженных тел остается при этом
постоянной. Как и при электрическом взаимодействии,
9

магнитное поле в вакууме может быть описано с по-
помощью единственного векторного поля. Таким полем
является поле магнитной индукции В. Принцип
его определения основан на том,, что точечный заряд q,
движущийся в электромагнитном поле со скоростью
v, испытывает действие силы Рл, называемой силой
Лоренца:
Fn = qE + q{vbl A.3)
Первый член суммы в правой части A.3) является
уже известной силой, обусловленной электрическим по-
полем, в то время как второй член характеризует состав-
составляющую силы, вызванную наличием магнитного поля.
Магнитная часть силы Лоренца действует всегда пер-
перпендикулярно к траектории частицы и поэтому действи-
действительно не может изменить ее кинетической энергии.
Другими словами, магнитное поле может использовать-
использоваться не для ускорения (торможения) заряженных частиц,
а лишь для изменения конфигурации их траекторий,
например, для фокусировки электронных пучков.
В природе существует довольно обширный класс
веществ, помещение которых в магнитное поле приво-
приводит к существенному изменению последнего. Такие ве-
вещества называются магнетиками. Для описания явлений,
происходящих в магнетиках, задание одного векторного
поля В оказывается недостаточным. Поэтому в рассмот-
рассмотрение вводится второе векторное поле Н, называемое
напряженностью магнитного поля. В ва-
вакууме векторы В и Н связаны между собой соотноше-
соотношением
A.4)
где
^0=4jt • 10-7 = 1,257 • 10-6 Г/м
— размерная постоянная, называемая магнитной по-
постоянной вакуума. В системе единиц СИ величина В
имеет размерность В • с/м2, а величина Н — размер-
размерность А/м.
По установившейся традиции магнитное поле в ва-
вакууме предпочтительно характеризуют его напряжен-
напряженностью Н; в дальнейшем этот вектор часто будем назы-
называть просто магнитным вектором.
Фундаментальной задачей теории электромагнетизма
явилось обобщение многочисленных экспериментальных
10

результатов, касающихся электрических и магнитных
явлений. Эта задача была решена в 70-х годах XIX века
крупнейшим английским физиком Джеймсом Клерком
Максвеллом, сформулировавшим уравнения, носящие
его имя, которые полно и однозначно описывают всю
совокупность электромагнитных явлений в макроскопи-
макроскопических масштабах. Уравнения Максвелла в теории
электромагнетизма играют такую же роль, как законы
Ньютона в механике.
Результаты Максвелла сыграли огромную роль пер-
первоначально в деле научного, а затем и технического про-
прогресса. Волновой характер электромагнитного поля,
предсказанный Максвеллом теоретически, а затем экспе-
экспериментально подтвержденный Генрихом Герцем, явился
отправным моментом в работах великого русского уче-
ученого, изобретателя радио Александра Степановича По-
Попова.
1.2. Плотность тока проводимости.
Дифференциальная форма закона Ома
Под током проводимости в электродинамике
понимается коллективное движение (упорядоченное или
хаотическое) носителей электрического заряда, возни-
возникающее внутри материальных тел под действием прило-
приложенного электрического поля.
Рассмотрим систему, в которой к границе раздела
между вакуумом и проводящим веществом подведены
два электрода, соединенные с источником электрическо-
электрического тока (рис. 1.1). Очевидно, что линии тока внутри
вещества распределятся таким образом, что наибольшая
их часть пройдет по области, представляющей для тока
наименьшее сопротивление; гораздо меньшая часть то-
тока ответвится в глубь тела. Из рисунка видно, что для
исчерпывающей характеристики состояния данной си-
системы недостаточно указать лишь величину тока /., про-
протекающего во внешней цепи. Здесь необходимо распо-"
лагать сведениями об интенсивности и направлении
движения носителей заряда в каждой точке области.
С этой целью принято вводить понятие плотности тока
проводимости Jnp, определяя ее следующим образом:
A.5)
11

Здесь // — количество носителей, содержащихся в 1 м3
вещества; е — заряд носителя (в частности, электро-
электрона); v —скорость носителей в данной точке простран-
пространства.
Легко проверить, что ,в соответствии с A.5) величи-
величина Jnp имеет размерность А/м2 и в этом смысле действи-
действительно является мерой тока, протекающего через еди-
единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости
носителей.
Поставим задачу связать плотность тока проводи-
проводимости с величиной напряженности электрического поля,
Рис. 1.1. К определению понятия плотности тока проводимости.
существующего в некоторой точке пространства. Если
учесть, что носители тока при движении внутри вещест-
вещества, испытывают силы внутреннего трения, то скорость
носителей, а следовательно, и плотность тока проводи-
проводимости должны быть пропорциональны напряженности
электрического поля, т. е.
Jnp=oE, A-6)
где а — размерная постоянная, смысл которой будет
пояснен далее.
Докажем, что последняя формула является одной
из форм записи закона Ома для участка цепи. Для этого
рассмотрим куб, выполненный из исследуемого вещест-
вещества с ребром длиной L (рис. 1.2). Предположим далее,
что две противоположные грани металлизированы и
12

к ним приложена разность потенциалов U; под дейст-
действием ее во внешней цепи протекает ток /.
Очевидно, что
/|J|L2 |E|
откуда, используя A.6), будем иметь
Последняя формула является выражением закона
Ома, если положить, что
где ./? —сопротивление, измеренное между металлизиро-
металлизированными гранями.
Формула A.6) иногда называется дифференциаль-
дифференциальной формой закона Ома, поскольку здесь дается связь
между плотностью тока проводимости и напряженностью
электрического поля в бесконечно малой окрестности
(произвольной точки про-
пространства.
Легко убедиться, что
в практической системе еди-
единиц коэффициент а имеет
размерность сименс на метр.
Эта .вел-ичина носит назва-
название удельной объемной про-
проводимости и характеризует
«проводящие свойства того
или иного вещества.
Для хороших проводни-
проводников электрического тока, ко-
которыми являются металлы,
типичны высокие значения
удельной объемной проводи-
проводимости. Приведем для спра-
справок небольшую табл. 1.1 величин а, измеренных на по-
постоянном токе.
Таким образом, для протекания внутри металла зна-
значительного тока достаточно существования там ничтож-
ничтожной напряженности электрического поля.
Удельная объемная проводимость диэлектриков и
полупроводников на много порядков меньше, чем у ме-
металлов, Поэтому для описания их электропроводящих
13
Рис. 1.2. К формулировке
дифференциальной формы за-
закона Ома.

свойств оказывается удобным применять другую харак-
характеристику—угол диэлектрических потерь, о котором
будет сказано в дальнейшем.
Таблица 1.1
Металл
Серебро
Медь
Алюминий
а-107, См/м
6,1
5,7
3,2
1.3. Закон сохранения заряда
Одно из основных положений теории электромагне-
электромагнетизма состоит в том, что ни при каких условиях электри-
электрические заряды не могут ни самопроизвольно зарождать-
зарождаться, ни исчезать бесследно. Это положение многократно
подтверждается экспериментами и является одним из
фундаментальных физических законов — законом
с о х р а II е н и я з а р я д а.
Предположим, что внутри произвольного замкнутого
объема V с поверхностью S содержится некоторый за-
заряд Q, величина которого может быть найдена интегри-
интегрированием плотности заряда р по всему объему:
Q=\?dV. A.7)
Если теперь предположить, что с течением времени ве-
величина Q по каким-либо причинам изменяется, то в со-
соответствии с законом сохранения заряда следует счи-
считать, что часть зарядов пересекает поверхность 5, вызы-
вызывая наличие тока проводимости с плотностью Jnp.
Интегрируя Jnp no поверхности 5, получаем резуль-
результирующий ток проводимости
/ = (YjJnprfS. A-8)
По определению
dQ/dt = —I
(ток считается положительным, если заряд внутри
объема уменьшается). Отсюда с учетом A.7) и A.8)
14

будем иметь
Преобразовав правую часть по теореме Остроградско-
Остроградского — Гаусса, получим
Последнее тождество из-за полной произвольности
объема V возможно лишь при тождественном совпаде-
совпадении подынтегральных выражений.
В результате приходим к математической формули-
формулировке закона сохранения заряда, носящей название
уравнения непрерывности:
: = 0. A.9)
1.4. Закон Гаусса
Этот закон (не путать с математической теоремой
Остроградского — Гаусса) получен экспериментально и
устанавливает связь между
векторным полем Е и вели-
величиной порождающего его за-
заряда. Он формулируется
следующим образом. Рас-
Рассмотрим некоторый объем
V, ограниченный замкнутой
поверхностью S (рис. 1.3).
Если внутри объема V за-
заключен суммарный электри-
электрический заряд , то его ве-
величина, деленная на элек-
электрическую постоянную ва-
вакуума ео, численно совпада-
совпадает с тютоком векторного по-
поля Е через поверность S. Математически закон Гаусса
в вакууме записывается как
Рис. 1.3. Закон Гаусса.
с i
A.10)
15

Если рассматриваются точечные заряды, то величина
Q2 может быть найдена алгебраическим суммированием.
Если же заряд распределен непрерывно, то QE определя-
определяется интегрированием плотности заряда р по объему V:
[? A.11)
v
Закон Гаусса, выражаемый формулой A.10), связы-
связывает поток вектора электрического поля с суммарным
зарядом, заключенным внутри объема. Поэтому данная
формулировка носит название закона Гаусса в инте-
интегральной форме. Пользуясь методами векторного ана-
анализа, можно получить другую форму записи данного
закона. Действительно, из теоремы Остроградского —
Гаусса следует, что
Учитывая A.11), получаем
f^-W. A.12)
Поскольку объем V произволен, последнее равенство
возможно лишь при тождественном совпадении подын-
подынтегральных выражений. Таким образом,
divE=p/eo. A.13)
Соотношение A.13) носит название закона Гаусса
в дифференциальной форме. Физически это соотношение
в соответствии с определением понятия дивергенции
означает, что источниками силовых линий электрическо-
электрического поля могут являться лишь электрические заряды.
Отметим попутно, что закон Гаусса может выступать
в качестве основного закона электростатики; при этом
другие законы, например закон Кулона, выводятся из
него как следствие.
1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий
Экспериментально было обнаружено, что силовые
линии вектора магнитной индукции В независимо от то-
того, создается ли поле постоянными магнитами или ка-
16

тушками с током, образуют в пространстве замкнутые
линии (рис. 1.4).
Для математического описания этого факта удобно,
как это делается в векторном анализе, воспользоваться
представлением силовых линий магнитного поля в виде
Рис. 1.4. Конфигурация магнитных силовых линий постоянного маг-
магнита.
воображаемых линий тока несжимаемой жидкости.
Расположим внутри области существования магнитного
поля произвольный объем, ограниченный поверхностью 5.
Из замкнутости линий тока следует, что поток втекаю-
втекающей жидкости в точности равен потоку, вытекающему
из объема. Таким образом,
;=о.
2—1443
17

Проводя операции, аналогичные изложенным в пре-
предыдущем параграфе, будем иметь соотношение, спра-
справедливое для бесконечно малой окрестности выбранной
точки пространства:
divB = 0. A.15)
Формулы A.14) и A.15) служат математическими вы-
выражениями закона неразрывности магнитных силовых
линий в интегральной и дифференциальной форме соот-
соответственно.
Эквивалентная формулировка рассмотренного зако-
закона состоит в том, что векторное поле В нигде не имеет
источников. Другими словами, в природе реально не
существует никаких магнитных зарядов, а следователь-
следовательно, и магнитные токи не имеют прямого физического
смысла.
1.6. Закон полного тока
В начале XIX века датский физик X. Эрстед устано-
установил важнейший для теории электромагнетизма экспери-
экспериментальный факт, который заключается в том, что про-
протекание электрического тока по проводникам приводит
к возникновению в окружающем
'пространстве магнитного поля.
Открытие Эрстеда позволило вы-
выдающемуся французскому учено-
ученому Амперу сформулировать за-
закон, носящий в настоящее время
название закона полного тока.
Рассмотрим в пространстве
воображаемый контур L, ограни-
ограничивающий поверхность S. Зада-
Зададим на данном контуре направле-
направление обхода так, чтобы движение
вдоль контура с конца вектора
элементарной площадки dS на-
наблюдалось в направлении против часовой стрелки
(рис. 1.5). Предположим далее, что поверхность S про-
пронизывается некоторой системой токов, которая может
носить как дискретный характер (например, система
отдельных проводников), так и быть непрерывно распре-
распределенной (примером может служить электронный по-
поток). Не указывая пока физической природы этих токов,
18
Рис. 1.5. К закону пол-
полного тока.

убудем для определенности полагать, что они распреде-
распределены в пространстве непрерывно с некоторой плот-
йостью Jr Тогда полный ток, пронизывающий контур,
найдется в виде
' dS. A.16)
Закон полного тока гласит, что циркуляция по кон-
контуру L вектора напряженности магнитного поля, вы-
вызванного протеканием тока /х, равна полному току, т. е.
rfl = /s. A.17)
Соотношение A.17) формулирует закон полного то-
тока в интегральной форме. Для того чтобы найти диффе-
дифференциальную форму этого закона, т. е. связать плот-
плотность полного тока в данной точке с напряженностью
магнитного поля, следует воспользоваться известной из
векторного анализа теоремой Стокса, которая гласит,
что для любого векторного поля А справедливо равен-
равенство
фАсП= frotAdS.
L S
Воспользовавшись последней формулой и преобразовав
с ее помощью выражение A.14), будем иметь
откуда из-за произвольности выбранного контура полу-
получим
rotH = Js. A.18)
Формула A.18) является законом полного тока в диф-
дифференциальной форме.
Отметим, что с помощью закона полного тока в инте-
интегральной форме удается решать ряд задач, связанных
с нахождением магнитного поля заданных токов.
2* 19

1.7. Ток смещения
Из практики известен факт протекания переменного
электрического тока по цепи, содержащей конденсатор.
Существенно важным здесь является то, что ток течет
по пространству между обкладками, в котором отсут-
отсутствуют какие-либо носители электрического заряда.
Поэтому можно предполагать, что в рассматриваемой
Е "••-.
S
V
•
\
\
•
<
Рис. 1.6. К определению понятия тока
смещения.
области протекает некий ток, природа которого прин-
принципиально отлична от природы тока проводимости, изу-
изученного ранее. Этот ток был впервые введен в электро-
электродинамику Максвеллом и назван им током смещения.
Рассмотрим цепь с конденсатором, изображенную
на рис. 1.6, в которой выделена замкнутая поверхность S,
окружающая одну из обкладок конденсатора. Из зако-
закона Гаусса следует, что в случае, когда между обклад-
обкладками находится вакуум,
В свою очередь, ток в цепи найдется следующим обра-
образом:
Из последнего выражения видно, что величина
имеет размерность плотности тока, который и должен
20

быть назван током смещения. Итак, плотность тока сме-
смещения в вакууме
J dE/a A.19)
Максвелл предложил ввести плотность тока смеще-
смещения в правую часть закона полного тока A.18) наряду
с плотностью тока проводимости. Эта мысль имела
огромное значение для электродинамики, поскольку при
этом устанавливалась внутренняя взаимосвязь электри-
электрического и магнитного полей. Действительно, изменение
во времени электрического поля в какой-либо точке про-
пространства приводит к протеканию тока смещения, ко-
который, в свою очередь, вызывает появление магнитного
поля.
1.8. Закон электромагнитной индукции
В 1831 г. М. Фарадей обнаружил возникновение на-
напряжения на концах катушки, помещенной в перемен-
переменное магнитное поле. Открытие этого явления, получив-
получившего 'название электромаг-
электромагнитной индукции, позволило
Максвеллу сформулировать
один из фундаментальных
законов теории электромаг-
электромагнетизма, связывающий элек-
электрическое поле с изменени-
изменением во времени магнитного
поля.
Пусть в некоторой обла-
области пространства существу-
существует 'переменное во времени
магнитное поле (рис. 1.7).
Положение мгновенной ори-
ориентации векторов В указано
на рисунке стрелками. Рас-
Рассмотрим далее произволь-
произвольный замкнутый контур L,
направление обхода вдоль которого выбрано против ча-
часовой стрелки, если смотреть с конца вектора В. В инте-
интегральной форме закон электромагнитной 'индукции име-
еъ следующее математическое выражение:
Рис. 1.7. К закону электромаг-
электромагнитной индукции.
Edl
— _ д Г
- -ж]
BdS.
A.20)
21

Циркуляция векторного поля Е по контуру L, стоя-
стоящая в левой части формулы A.20), носит название
электродвижущей силы (э. д. с.) по данному
контуру. Если на месте воображаемого контура разме-
разместить контур, выполненный из проводника, то наличие
э. д. с. приведет к протеканию в нем электрического то-
тока в направлении вектора Е.
В правой части A.20) со знаком минус стоит произ-
производная по времени от полного магнитного потока, про-
пронизывающего контур.
Воспользовавшись теоремой Стокса и внеся опера-
операцию дифференцирования по времени под знак поверх-
поверхностного интеграла, получим
=, frot ErfS = —
Отсюда непосредственно следует дифференциальная
форма закона электромагнитной индукции:
TotE = —db/dt. A.21)
Итак, согласно 'рассматриваемому закону, изменение
во времени магнитного поля приводит к возникновению
в пространстве электрического поля.
1.9. Материальные уравнения
электромагнитного поля
В природе существует обширный класс веществ, ко-
которые не проводят электрического тока. Эти вещества
носят название диэлектриков. Помимо изолирующих
свойств диэлектрики обладают способностью специфи-
специфическим образом изменять свои свойства при помещении
в электрическое поле. Рассмотрим вкратце сущность
этого процесса.
Как известно из атомно-молекулярной теории строе-
строения вещества, молекула представляет собой объедине-
объединение положительных и отрицательных заряженных частиц,
которое само по себе электрически нейтрально.
Помещенная в электрическое поле молекула диэлек-
диэлектрика деформируется таким образом, что может быть
представлена в виде совокупности двух разноименных
22

зарядоб, +q й —q, отстоящих друг от друга на расстоя-
расстояние /. Такая сумма двух зарядов носит название элек-
электрического диполя. Очевидно, что величина / тем боль-
больше, чем выше напряженность приложенного электриче-
электрического поля.
Сказанное иллюстрируется упрощенной картиной,
изображенной на рис. 1.8. Здесь показана модель про-
простейшего атома — атома водорода, содержащего поло-
Рис 1.8. Классическая модель процесса поляризации:
а — конфигурация орбиты электрона в отсутствие внешнего поля; б —то же,
после приложения постоянного электрического поля.
жительно заряженное ядро и единственный электрон,
вращающийся вокруг ядра. В отсутствие внешнего элек-
электрического поля электрон вращается по круговой орбите,
так что в среднем центр «эффективного» отрицательного
заряда совпадает с центром ядра и атом не проявляет
дипольных свойств. После приложения внешнего поля
орбита электрона деформируется, центры положитель-
положительного и отрицательного зарядов перестают совпадать
друг с другом в пространстве, и молекула начинает
вести себя подобно электрическому диполю. Описанное
явление носит название электронной поляриза-
поляризации вещества.
Следует отметить, что электронная поляризация ха-
характерна лишь для определенного класса диэлектриков,
молекулы которых в отсутствие внешнего поля не обла-
обладают собственными дипольными свойствами. Подобные
вещества относятся к классу • неполярных диэлек-
диэлектриков. Примером их могут служить большинство газов
и многие твердые диэлектрики как естественные, так и
искусственные (кварц, стекло, полиэтилен и т. п.).
Помимо неполярных диэлектриков существует до-
довольно много веществ, характеризующихся тем, что их
23

молекулы проявляют Дипольные свойства и йри 6ttyf
ствии внешнего поля. Такие вещества носят название
полярных диэлектриков. К ним относятся многие
жидкие диэлектрики (вода, спирты), а также некоторые
твердые вещества, например полихлорвинил. Процесс
поляризации полярных диэлектриков изображен на
рис. 1.9. Если в отсутствие внешнего поля Е молекуляр-
молекулярные диполи ориентированы в пространстве хаотично, то
после приложения поля происходит некоторая ориента-
ориентация молекулярных диполей. Очевидно, что степень вы-
выраженности этой ориентации будет возрастать с увели-
увеличением напряженности поля Е и падать при увеличении
температуры, поскольку хаотическое тепловое движение
молекул нарушает их упорядоченное расположение,
возникающее в процессе поляризации.
Количественной характеристикой поляризации от-
отдельной молекулы принято считать ее дипольный мо-
момент
Р=<7Мь A.22)
который представляет собой вектор, коллинеарный еди-
единичному вектору 1/, направленному вдоль оси диполя
от положительного заряда к отрицательному.
Если в единице объема вещества находится N моле-
молекулярных диполей, то в качестве меры поляризации ди-
диэлектрика принято вводить вектор поляризации
P=Np. A.23)
24

Вектор Р определяется в каждой точке объема поляри-
поляризованного диэлектрика и зависит как от концентрации
элементарных диполей, так и от направления вектора
напряженности электрического поля, действующего
внутри вещества.
Диэлектрик, бывший первоначально электрически
нейтральным, сохраняет это свойство и после того, как
произошел /процесс поляриза-
поляризации. Однако в случае, когда
поле вектора поляризации Р
неоднородно в пространстве,
•внутри диэлектрика возникает
специфический вид объемного
электрического заряда, нося-
носящего название п о л я р и з а ц и-
он-н ого заряда.
Рассмотрим бесконечно
протяженную плоскую область
толщиной Ах внутри диэлек-
диэлектрика, поляризованного <вдоль
оси х (рис. 1.10). При этом
будем считать, что поляриза-
поляризация диэлектрика неоднородна
в пространстве, так что
Р=Рх(хIх. A.24)
Х0+йХ
Рис. 1.10. Процесс возник-
возникновения поляризационных
зарядов.
В отсутствие внешнего поля
Е внутри выделенной обла-
области положительные и отрицательные заряды, входящие
в молекулы, компенсируют друг друга, так что плот-
плотность заряда р=тО. При поляризации внутрь области
через единицу поверхности левой границы войдет поло-'
жительный заряд
в то время как аналогичный отрицательный заряд, во-
вошедший через правую границу, будет равен
Q-(xo + Ax) =—N (хо+Ах) ql{xo+Ax) =—Px(xQ+Ax).
A.26)
В общем случае две последние величины A.25)
и A.26) не равны друг другу, так что в пространстве
между плоскостями будет обнаруживаться поляриза*
25

ционный электрический заряд, объемная плотность ко-
которого равна
Проведенные рассуждения позволяют рассмотреть
задачу и в более общем виде, когда поляризация ди-
диэлектрика неоднородна по всем трем координатным
осям, т. е. Р = Р(х, у, г). Так, поскольку величина заря-
заряда, пересекающего в процессе поляризации элементар-
элементарную площадку, пропорциональна косинусу угла между
векторами Р и dS, заряд, вышедший за пределы огра-
ограниченного объема V с поверхностью 5, равен
5
что эквивалентно появлению внутри V равного заряда
с противоположным знаком
S
Далее, воспользовавшись теоремой Остроградского —
Гаусса, будем иметь
Q__= — f div PdV. A.28)
v
Отсюда, переходя к дифференциальной форме записи,
получаем
Рпол = —divP. A.29)
Отметим, что поляризационные заряды являются
«истинными» зарядами и должны наряду со свободными
зарядами учитываться при формулировке закона Гаусса:
(?ErfS=f Рсвобе+Рпол dV-
S V
Подставив сюда величину рпол из A.29), будем иметь
^(s0E + P)^S=fPcBo6dV. A.30)
S V
В электродинамике при описании явлений в диэлек-
диэлектрике принято вводить вектор
D-eoE + P, A.31)
о котором уже упоминалось в § 1.1 и который носит на^
звание ректора электрического смещения. При его
26

дении можно как бы пренебрегать существованием
поляризационных зарядов, поскольку закон Гаусса от-
относительно вектора D принимает вид
div D=
A.32)
Формула A.32) носит название обобщенного закона
Гаусса. Подавляющее большинство известных веществ
характеризуется тем, что для них существует прямо
пропорциональная зависимость между векторами Е и Р:
Р=|&ЭЕ. A.33)
Коэффициент kQ носит название диэлектрической
восприимчивости вещества и для различных ди-
диэлектриков может меняться в широких пределах. Физи-
Физический смысл формулы A.33) состоит в установлении
известной аналогии между поляризуемой молекулой и
упругой пружиной, удлинение которой пропорционально
приложенной силе.
Подстановка A.33) в A.31) позволяет ввести уни-
универсальную характеристику диэлектрика — абсолют-
абсолютную диэлектрическую проницаемость
такую, что
A.34)
A.35)
В практических расчетах часто используется безраз-
безразмерная характеристика — относительная диэлек-
диэлектрическая проницаемость
•8 = '8а/бо. A.36)
Приведем для справок небольшую табл. 1.2 относи-
относительных диэлектрических проницаемостей для диэлек-
Таблица 1.2
Материал
Фторопласт-4
Полиэтилен
Полистирол
Плавленный кварц
е
2,08
2,25
2,56
3,80
27

1 риков, Часто используемых в радиоэлектронных устрой-
устройствах.
Рассмотрим кратко процессы, возникающие в веще-
веществах, называемых магнетиками, при воздействии на
них внешнего магнитного поля. Согласно классическим
представлениям, молекулы магнетиков несут в себе
Рис. 1.11. Упорядочение ориентации молекулярных токов под влия-
влиянием внешнего магнитного поля.
замкнутые токи (гипотеза Ампера). Помещенные в маг-
магнитное поле молекулы магнетика частично ориентиру-
ориентируются (рис. 1.11). Это явление носит тот же характер,
что и процесс поляризации полярных диэлектриков.
Удается описать магнитные свойства веществ, предста-
представив вектор магнитной индукции
в виде, подобном A.31):
A.37)
Рис. 1.12. Вектор маг-
магнитного момента моле-
молекулярного тока.
Вектор М в электродинамике но-
носит название вектора намаг-
н и ч е н и о с т и. Некоторое раз-
различие в написании формул (;1.31)
и A.37) носит традиционный ха-
характер. Если через / обозначить
(величину молекулярного тока,
а через iAS вектор элементарной
площадки, ориентированный таким образом, что с конца
его направление движения тока 'представляется против
часовой стрелки, то для характеристики 'каждого отдель-
отдельного молекулярного тока вводится вектор его магнитного
момента m (рис. 1.12):
m = /AS. A.38)
В случае, когда в единице объема вещества находит-
находится N замкнутых токов, вектор намагниченности опреде-
определяется по формуле
М = №п A.39)
28

й Htaeef смысл суммарного магнитного момента едини-
единицы объема.
Таким образом, по крайней мере качественно, можно
усмотреть аналогию в поведении поляризуемых диэлек-
диэлектриков в электрическом поле и магнетиков, помещаемых
во внешнее магнитное поле. Например, выяснено, что
у большинства веществ при не слишком сильных маг-
магнитных полях связь между векторами М и Н линейная:
М=1&МН, A.40)
где км — так называемая магнитная восприим-
восприимчивость вещества.
На основании A.37) и A.40) будем иметь
В=(,Хо + Йм)Н=.|1аН. A.41)
Величина jxa носит название абсолютной магнит-
магнитной проницаемости вещества. По аналогии
с A.36) можно ввести относительную магнит-
магнитную проницаемость |л, определив ее формулой
/ A.42)
Если |а<1, то вещество называют диамагнитным,
если же |х>1, то оно относится к парамагнитным
веществам. Особый класс веществ составляют те, для
которых м->1; такие вещества носят название ферро-
ферромагнетиков.
Соотношения A.35), A.41), именуемые матери-
материальными уравнениями электромагнитного поля,
играют важную роль в электродинамике. Они описы-
описывают макроскопические свойства вещества, существен-
существенные при воздействии на них электромагнитных полей.
Основная черта записанных материальных уравне-
уравнений— их линейность. В дальнейшем изложении бу-
будем предполагать, что это свойство имеет место. Это
характерно для большинства прикладных радиотехни-
радиотехнических задач. Однако следует иметь в виду, что суще-
существуют и нелинейные среды. Примером могут служить
многие ферромагнитные вещества, например трансфор-
трансформаторная сталь, находящаяся в сравнительно сильном
магнитном поле. Так, из практической электротехники
известно, что, начиная с напряженности поля Н порядка
400 А/м, так называемая «кривая намагничивания», т. е.
график зависимости В(Н), для стали становится весьма
29

нелинейной. В диэлектриках нелинейная зависимость
D(E) при обычных условиях наблюдается лишь среди
сравнительно узкого класса веществ, называемых сег-
нетодиэлектриками (к ним относится широко
распространенная конденсаторная керамика титанат ба-
бария) . Однако за последние годы в связи с широким
развитием лазерной техники удалось в эксперименталь-
экспериментальных условиях добиться получения электрических полей
столь высокой напряженности, что они могут быть срав-
сравнимы с внутриатомными полями. При этом нелинейные
эффекты могут наблюдаться и в обычных диэлектриках,
что имеет важные технические перспективы.
Наконец, следует упомянуть о существовании весьма
интересных по своим свойствам материальных- сред,
в которых коллинеарность векторов D и Е отсутствует.
При этом, если ограничиться рассмотрением линейной
среды, материальное уравнение A.35) приобретает вид
A-43)
т. е. любая составляющая вектора D записывается в ви-
виде линейной комбинации всех трех составляющих век-
вектора Е.
Квадратная таблица из девяти чисел гац (i, /=1,
2, 3) называется тензором абсолютной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости.
Существуют среды, в которых векторы В и Н некол-
линеарны. При этом
A-44)
По аналогии с предыдущим случаем девять величин jLiaij
образуют тензор абсолютной магнитной проницаемости.
В физике среды с тензорными свойствами называют
анизотропными средами. Анизотропия диэлек-
диэлектрической и магнитной проницаемостей всегда связана
с тем, что в подобных веществах существует некоторое
преимущественное пространственное направление. Та-
Таким направлением может служить какая-либо специфи-
30

ческая ось кристаллической решетки, а также направ-
направление, в котором приложено внешнее постоянное поле.
В гл. 16 будет показано, каким образом возникает ани-
анизотропия магнитных свойств в так называемых ферри-
ферритах— ферромагнетиках особого вида, помещенных во
внешнее постоянное подмагничивающее поле.
1.10. Поляризационные и сторонние токи
Рассмотренный в § 1.9 эффект поляризации диэлек-
диэлектриков связан с перемещением в пространстве заряжен-
заряженных частиц, что равносильно протеканию в области, за-
занятой диэлектриком, некоторых токов, называемых
поляризационными токами. Следует подчерк-
подчеркнуть, что принципиальной разницы между токами про-
проводимости и поляризационными токами нет.
Запишем уравнение непрерывности для плотности
поляризационного тока Лпол в виде
дриол/dt =—div Лпол • A -45)
Одновременно с этим, дифференцируя формулу A.29),
будем иметь
откуда
Jnoa = dPJdt. A.47)
Теперь, наконец, можно полностью расшифровать
физический смысл составляющих, из которых склады-
складывается вектор плотности суммарного тока JE, входящий
в формулу A.18). Два первых слагаемых уже извест-
известны— это плотность тока смещения JCM = eodE/d/ и плот-1
ность тока проводимости Jnp = aE. Процесс поляризации
материальной среды учитывается добавлением плотно-
плотности поляризационного тока iUoji = dP/di. Объединить все
три перечисленных тока позволило то, что они зависят
только от состояния исследуемого электромагнитного
процесса в выбранной точке пространства.
В большом числе инженерных задач приходится рас-
рассматривать токи, вызываемые внешними источниками.
Сюда относятся, например, задачи расчета полей, воз-
возбуждаемых антеннами во внешнем пространстве. При
этом, как правило, полагают, что ток в антенне целиком
31

определяется возбуждающим внешним источником и
никак не зависит от возбуждаемого электромагнитного
поля. Подобные токи принято называть сторонними
и обозначать вектор их плотности как JCT •
Итак, дифференциальная форма закона полного тока
принимает развернутый вид:
Поскольку
объединяя первые два слагаемые в правой части A.48),
получаем
^ . A.49)
Данное фундаментальное соотношение известно под на-
названием первого уравнения Максвелла.
1.11. Сводка уравнений Максвелла
В настоящем параграфе со справочными целями
приведены все уравнения Максвелла, являющиеся наи-
наиболее широким обобщением экспериментальных законов
электромагнетизма.
Уравнения Максвелла в интегральной формп
Н d I ==
L
2.
A.50)
3.
4.
5. D—
О. JD г "*"
32

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
1. rotH = '-|
2. rotE = -dBfdt,
3. divD = p,
4. divB = 0,
5. D = eaE, A.51)
Чаще всего при решении задач электродинамики
используют уравнения Максвелла в дифференциальной
форме. Входящие в них операции rot и div выражаются
через комбинации первых частных производных от про-
проекций соответствующих векторных полей (см. приложе-
приложение). При этом достаточно определить один электриче-
электрический и один магнитный вектор, так как остальные два
вектора могут быть однозначно получены из материаль-
материальных уравнений поля. Таким образом, уравнения Макс-
Максвелла представляют собой систему дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка от-
относительно шести неизвестных функций (например, Ех,
Еу, EZi Ях, Ну, Hz).
Решение системы из шести уравнений Максвелла
является, вообще говоря, весьма сложной проблемой.
Тем не менее, для исследования большого числа практи-
практически важных задач оказывается достаточным найти
решение при ряде упрощающих предположений. В дан-
данной книге будут рассмотрены «различные виды таких
задач.
1.12. Уравнения Максвелла для монохроматических
колебаний. Комплексные амплитуды полей
В систему уравнений Максвелла входят частные про-
производные по четырем независимым переменным — х, у,
z, t. Для упрощения решения было бы весьма целесооб-
целесообразно исключить одну из этих переменных. Такая опе-
операция оказывается действительно возможной, если рас-
рассматриваемый электромагнитный процесс является мо-
монохроматическим, т. е. изменение полей во времени
представляется гармоническими колебаниями с некото-
3-Н43 33

рой частотой со. Помимо того, что этот случай наиболее
часто встречается на практике, знание поведения поля
на всех частотах позволяет воссоздать любой закон из-
изменения во времени, воспользовавшись методом инте-
интеграла Фурье.
В наиболее общем случае вектор какого-либо поля,
например поля Е, изменяющегося во времени по гармо-
гармоническому закону, в некоторой точке пространства за-
записывается в виде
+ Emz COS (сО|/ + фгI г, A.52)
где Етх, Ету, Emz — амплитуды отдельных составляю-
составляющих поля, фх, 'фу, ф2 — их фазовые углы. Все перечислен-
перечисленные шесть величин являются вещественными.
С течением времени конец вектора Е, представляе-
представляемого формулой A.52), описывает в пространстве замк-
замкнутую кривую, причем можно показать, и это в качестве
упражнения предоставляется читателю, что данная кри-
кривая является эллипсом. Положение плоскости эллипса
и величина эксцентриситета определяются как ампли-
амплитудами, так и фазами отдельных составляющих.
Запись, эквивалентная A.52), имеет вид
Е (t) = Re {[Етх >j Ч х + Ету еj "у 1 у +
+ ?m,eJ>4z]eW}. A.53)
Комплексный вектор вида
Е = Етх e**lx + Emy^4y + Emzei{?4z A.54)
принято называть комплексной амплитудой*)
поля Е. Метод комплексных амплитуд давно уже нашел
широкое применение в теоретической электротехнике.
Однако следует указать на одно весьма важное разли-
различие между тем методом комплексных амплитуд, который
применяется в теории цепей, и тем, который находит
использование в электродинамике. Дело в том, что
в электродинамических задачах комплексные амплиту-
*) В дальнейшем все комплексные амплитуды будут обозна.?
чаться точками наверху.
34

ДЫ полей всегда йыступают как трехмерные пространст-
пространственные векторы. Поэтому изображение их на чертежах
в виде некоторых вспомогательных векторов, вращаю-
вращающихся на комплексной плоскости, принципиально невоз-
невозможно. Экспоненциальные множители с мнимыми пока-
показателями, стоящие при комплексных амплитудах, харак-
характеризуют исключительно фазовые соотношения между
величинами. Например, если заданы комплексные
амплитуды двух полей Ei = ?10*lx и Е2=/?о*1х, то это
говорит не о том, что эти два поля в пространстве обра-
образуют угол 90° (пространственная ориентация полей оди-
одинакова и задается единичным вектором 1Х), а лишь
о том, что при изменении во времени поле Е2 опережает
поле Ei на величину, равную четверти периода.
Мгновенные значения электромагнитных полей опре-
определяются через комплексные амплитуды следующим
образом:
feJtt/). A.55)
Комплексные амплитуды могут быть легко введены
в уравнения Максвелла. Возьмем первое уравнение
Максвелла и подставим в него соответствующие поля,
выраженные через их комплексные амплитуды:
JCTej^). A.56)
Изменяя порядок следования дифференциальных опера-
операций и операции взятия вещественной части, что всегда
допустимо, а затем сокращая на общий множитель
eJC0/ , получаем
rot Н = jcoDj+>E;-f Jct. A.57)
Таким образом, переход к комплексным амплитудам
полей совершается по тем же правилам, что и в электро-
электротехнике,— оператор дифференцирования по времени,
действующий на мгновенное значение поля, заменяется
на множитель jco.
Совершенно аналогично преобразуются остальные
уравнения Максвелла. Приводим их окончательную
сводку:
3* 35

2.
3.
4.
5.
6.
rot Ё = — j («В,
A.58)
1.13. Комплексная диэлектрическая проницаемость.
Угол диэлектрических потерь
Если воспользоваться материальным уравнением, то
первое уравнение Максвелла может быть записано
в виде
rot Нш= j ш7а Ё + Jc
A.59)
где еа = sa — j а/со носит название комплексной ди-
диэлектрической проницаемости данного веще-
вещества.
Введение комплексной диэлектрической проницаемо-
проницаемости позволяет весьма просто учитывать как диэлектри-
диэлектрические, так и проводящие
свойства данного вещества.
Значение вещественной ча-
1т
Sol
Со.
Re
Рис. 1.13. Отображение ком-
комплексной диэлектрической про-
проницаемости.
сти еа говорит об .интенсив-
ности процесса поляризации,
iB то время как мнимая часть
характеризует плотность то-
токов проводимости. Изобра-
Изображая число еа на комплексной
плоскости (рис. 1.13), мож-
можно характеризовать соотношение между веществен-
вещественной и мнимой частями при помощи угла б, носящего на-
название угла диэлектрических потерь. Чем
больше этот угол, тем относительно большая часть элек-
электромагнитной энергии рассеивается в виде тепла при
протекании токов проводимости. На практике чаще все-
всего пользуются тангенсом этого угла:
tg6 = a/i(oiea. A.60)
36

Тангенс угла потерь хороших диэлектриков на СВЧ ле-
лежит в" пределах 10~4^-10~3; если tg6>10~3, то диэлек-
диэлектрик обычно считается плохим.
1.14. Уравнения Гельмгольца. Волновой характер
электромагнитного поля
Одним из 'важнейших результатов, полученных
Максвеллом, явилось доказательство волновой природы
электромагнитного поля. Уже упоминалось о том, что
изменение во времени электрического поля приводит
к возникновению магнитного поля, неодно-родного в про-
пространстве, и наоборот. Физическая картина здесь напо-
напоминает процесс обмена энергией между электрическим
и магнитным полем в обычном колебательном контуре.
Поэтому можно ожидать, что электромагнитный процесс
в самом общем случае представляет собой также неко-
некоторые колебания. Принципиальная разница здесь за-
заключается в том, что колебания электромагнитного поля
должны рассматриваться одновременно во всех точках
пространства. В физике колебательное движение непре-
непрерывной среды принято называть волновым про-
процессом.
Докажем волновой характер электромагнитного поля
математически, сведя уравнения Максвелла к другим
уравнениям, которые заведомо описывают волновой
процесс.
Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой об-
области пространства, где плотность зарядов отсутствует,
т. е. р = 0. Плотность сторонних электрических токов
также предполагается равной нулю.
Выпишем первые два уравнения из системы A.58)
в виде:
rotH;=ja>ea Ё, rot Ё== —jo)|iaH. A-61)
Эти два уравнения могут быть приведены к одному. Для
этого применим операцию rot к левой и правой частям
второго уравнения, а затем выразим полученную правую
часть через первое уравнение:
rot rot Ё = — j o){j,a rot H =]f Ё. A.62)
Здесь у = со j/ sa[xa —в общем случае комплексное число,
являющееся, как будет показано, постоянной распро-
37

странения электромагнитной волны. В литературе для
величины у можно встретить также названия фазовая
постоянная или волновое число.
Дальнейшее преобразование формулы A.62) можно
осуществить, если воспользоваться известным тождест-
тождеством векторного анализа:
rot rot E = grad div E — у2Ё.
Здесь у2 (читается „набла квадрат") —векторный диф-
дифференциальный оператор второго порядка, конкретная
форма которого полностью определяется той координат-
координатной системой, в которой проводятся вычисления. В де-
декартовой координатной системе действие оператора \72
сводится к тому, что к каждой из проекций векторного
поля применяется оператор Лапласа
v = дх2 ~* ду2 ~ dz2'
Если воспользоваться законом Гаусса, который в со-
соответствии с принятым условием р = 0 обеспечивает
divE = 0, то уравнение A.62) может быть записано
в следующем весьма изящном виде:
V2E + T2E = 0. A.63)
Пользуясь симметрией уравнений Максвелла, совер-
совершенно аналогично получаем также уравнение относи-
относительно векторного поля Н:
V2H + Y2H = 0. A.64)
Уравнения A.63) и A.64) в математической физике
носят название уравнений Гельмгольца по име-
имени выдающегося немецкого физика Г. Гельмгольца.
Математически можно показать, что эти уравнения опи-
описывают стационарные волновые процессы, т. е. распро-
распространение в пространстве волн с некоторой постоянной
частотой.
Таким образом, получен фундаментальный вывод
теории Максвелла — переменность во времени
электрических или магнитных полей неиз-
неизбежно приводит к распространению в про-
пространстве электромагнитных волн.
38

В координатной форме уравнение Гельмгольца, на-
например A.63), записывается следующим образом:
lz) = 0 A.65)
или
A.66)
Решение системы A.66) значительно упрощается в тех
частных случах, когда поле не имеет каких-либо состав-
составляющих, например ЁУ=ЁХ = О9 а также, тогда, когда поле
постоянно в каких-либо плоскостях, например
1.15. Энергетические соотношения в электромагнитном
поле. Теорема Пойнтинга
Одной из важнейших характеристик электромагнит-
электромагнитного поля является его энергия. Впервые вопрос об энер-
энергии электромагнитного поля был рассмотрен Максвел-
Максвеллом, который показал, что полная энергия поля, заклю-
заключенного внутри объема У, складывается из энергии
электрического поля
W,=^dV A.67)
v
и энергии магнитного поля
^dV. A.68)
Подынтегральные выражения в формулах A.67), A.68)
могут, таким образом, рассматриваться как плотности
энергии электрического поля
A.69)
39

и магнитного поля
A.70)
Из определений A.67), A.68) вытекают, в частности,
известные в электротехнике формулы для энергии, за-
запасенной в конденсаторе:
и в катушке индуктивности:
Энергия электромагнитного поля, заключенного внут-
внутри объема V, вообще говоря, не может оставаться по-
постоянной. К числу факторов, обусловливающих измене-
изменение энергии поля во времени, следует отнести:
1) превращение части энергии электромагнитного
поля в энергию других видов, например в механическую
энергию частиц вещества, связанную с их тепловым дви-
движением, обусловленным протеканием токов проводи-
проводимости;
2) работу сторонних источников, которые, в зависи-
зависимости от конкретных условий, могут как увеличивать
запас энергии поля, так и уменьшать его;
3) обмен энергией между выделенным объемом и
окружающими его областями пространства за счет спе-
специфического процесса, присущего электромагнитному
полю и носящему название процесса излучения.
Интенсивность процесса излучения в электродинами-
электродинамике принято характеризовать, определяя в каждой точке
пространства особую векторную величину, носящую на-
название вектора Пойнтинга П. Физический смысл
вектора Пойнтинга состоит в том, что его модуль и на-
направление характеризуют величину и направление по-
потока энергии излучения в каждой точке пространства.
В системе единиц СИ вектор Пойнтинга имеет размер-
размерность Дж/с-м2, т. е. Вт/м2. При этом полная убыль энер-
энергии электромагнитного поля, заключенного внутри
воображаемого объема V с поверхностью S, обусловлен-
обусловленная излучением и отнесенная к единице времени, равна
s
На основании изложенного последний интеграл должен
рассматриваться как величина мгновенной мощности
40

излучения, происходящего по направлению из рассмат-
рассматриваемого объема в окружающее пространство. Если
знак данного интеграла отрицателен, то это говорит
о том, что поток энергии излучения направлен не из
объема V, а внутрь него.
Физически правильные результаты, согласующиеся
как с законом сохранения энергии, так и с уравнениями
Максвелла, получаются в том случае, если выразить
вектор Пойнтинга через мгновенные значения полей Е(/)
и H(i/) следующим образом:
П=[ЕН]. A.71)
Действительно, по теореме Остроградского — Гаусса для
рассматриваемой замкнутой поверхности S будем иметь
f(
V
A.72)
Здесь было использовано известное тождество вектор-
векторного анализа
div[EH] = H rot E—ErotH.
С учетом уравнений Максвелла
rot п = -щ—|- ab -\~ JCT,
A.73)
rot E = - -J-,
A.72) приобретает следующий вид:
jf(f§) A.74)
V
Интеграл вида
v
может быть назван мгновенной мощностью по-
потерь, существующих внутри объема V за счет проте-
41

кания токов проводимости. Другое слагаемое
характеризует мгновенную мощность, которая в зависи-
зависимости от взаимной ориентации векторов JCt и Е может
либо вноситься в рассматриваемый объем, либо отво-
отводиться из него сторонними токами. Используя
электротехнические термины, можно говорить о том, что
источники стороннего тока способны выступать как
в роли генераторов, так и в роли нагрузок. Наконец,
если предположить, что между векторами поля в соот-
соответствии с материальными уравнениями существует ли-
линейная связь
D = eiaE; В = |хаН,
то последний интеграл в правой части формулы A.74)
примет вид
ED , НВ \ ,., д (\ , . ,и
dt\\ -0-+-9- )dV =ЪГ\№* + w*) dv-
Итак, на основании сказанного приходим к инте-
интегральному соотношению вида
пd S = - Риот -/>„*- ^-|(^э + wu)dV, A.75)
являющемуся математическим выражением теоремы
Пойнтинга. Эта теорема устанавливает факт балан-
баланса энергий внутри произвольной области, в которой су-
существует электромагнитное поле.
Для важного в практическом отношении частного
случая, при котором поле изменяется во времени по гар-
гармоническому закону, вектор Пойнтинга может быть вы-
выражен через комплексные амплитуды полей Е и Н, по-
поскольку
E = Re(EeJ*')=4-(EeJerf+ Ee~w), A.76)
Н = Re (HeM ) = ±- (Нен + Н e~jW). A.77)
Здесь индекс * обозначает комплексно-сопряженные
величины.
42

Подставляя A.76) и A.77) в формулу A.71), будем
иметь
П= JL{[EH]+ [EH]+[EH]ej2^+
+ [ЕН] e~j2^} = 4"Re[ЁН] + \-Re ([ЁН] ej м). A.78)
Первое слагаемое в правой части формулы A.78) неиз-
неизменно во времени, а второе слагаемое изменяется во
времени с удвоенной частотой.
Таким образом, процесс переноса энергии в электро-
электромагнитном поле, изменяющемся во времени по гармони-
гармоническому закону, характеризуется, с одной стороны, ве-
вещественным вектором
т
A.79)
равным средней за период плотности мощности
излучения, и вещественным вектором
nKon = -^-Re([EH]ej2<u<), A.80)
который указывает на существование колеблющейся
составляющей вектора Пойнтинга. Следует иметь в ви-
виду, что среднее за период значение вектора ПКол равно
нулю.
Ассоциация вектора Пойнтинга с процессом переноса
электромагнитной энергии от источника, например ан-
антенны, к любым другим сколь угодно удаленным точкам
пространства не всегда верна. Физический опыт и теоре-
теоретическое рассмотрение на основе уравнений Максвелла
(см. гл. 14) позволяют утверждать, что в узком смысле
слова термин «излучение» применим лишь к переменным
во времени процессам в силу волнового характера рас-
распространения электромагнитного поля. Тем не менее,
введенный вектор Пойнтинга позволяет правильно опи-
описать процесс передачи электромагнитной энергии в си-
системах с неизменными во времени- полями. В качестве
примера на рис. 1.14 изображен эскиз двухпроводной
линии передачи, в которой энергия от источника постоян-
43

ной э. д. с. передается к резистивной нагрузке. Здесь же
изображен характер силовых линий полей Е и Н. Из
рисунка следует, что в каждой точке пространства мо-
может быть построен отличный от нуля вектор Пойнтин-
га П, ориентированный вдоль оси линии от генератора
к нагрузке. Если проинтегрировать вектор Пойнтинга по
Рис. 1.14. Передача энергии электромагнитного поля от генератора
к нагрузке:
а — принципиальная схема; б — конфигурация силовых линий поля в по-
поперечном сечении.
поперечной плоскости в бесконечных пределах, то в ре-
результате будет получена величина переносимой мощно-
мощности, выражаемая в электротехнических терминах как
произведение напряжения на нагрузке и протекающего
тока. Вывод, следующий отсюда, может показаться не-
несколько неожиданным: с точки зрения электродинамики
энергия в данной системе переносится не токами, теку-
текущими в проводниках, а электромагнитным полем в окру-
окружающем пространстве. Наличие проводников и токов
в них выступает лишь как необходимое условие суще-
существования полей требуемой конфигурации.
В качестве другого интересного примера рассмотрим
систему, состоящую из постоянного магнита и заряжен-
заряженного конденсатора, ориентированных друг относительно
друга так, как изображено на рис. 1.15. Здесь поля Е
и Н непараллельны друг другу, что позволяет ввести
в каждой точке пространства отличный от нуля вектор
Пойнтинга П=[ЕН]. Поскольку рассматриваемые поля
статические и в системе не протекают токи прово-
проводимости, в соответствии с уравнениями Максвелла
rotH=0; rotE=0,
U

откуда
divn =
Таким образом, в данной физической задаче вектор-
векторное поле П не имеет источников; поток его через любую
замкнутую поверхность
равен нулю, что говорит
о постоянстве во времени
полной энергии электро-
электромагнитного поля внутри
произвольной замкнутой
поверхности.
В заключение следует
указать, что при анализе
электромагнитных волно-
волновых полей, гармонически
изменяющихся во време-
времени, иногда вводится ком-
комплексный вектор
Пойнтинга
П=-^-[ЕН], A.81)
обладающий
ством, что
тем свои-
Рис. 1.15. Система из заряженно-
заряженного конденсатора и постоянного
магнита.
A.82)
Легко видеть аналогию между комплексным векто-
вектором Пойнтинга и известной из электротехники полной
(кажущейся) мощностью гармонического колебательно-
колебательного процесса. Так, если комплексный вектор Пойнтинга
оказывается мнимым, то это значит, что рассматривае-
рассматриваемый волновой процесс не связан с переносом средней
мощности, которая по электротехнической терминологии
должна быть названа активной мощностью. Поэтому
мнимый вектор Пойнтинга связывают обычно с реак-
реактивной энергией электромагнитного поля.

ГЛАВА ВТОРАЯ
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В гл. 1 было указано, что переменное во времени
электромагнитное поле носит волновой характер. В дан-
данной главе будет рассмотрен простейший, но весьма важ-
важный для практики вид волнового движения поля, нося-
носящий название плоских электромагнитных волн.
2.1. Общие свойства волновых процессов
С самой общей точки зрения волнами называются
колебательные движения непрерывных сред. Важно от-
отметить принципиальную разницу в математическом опи-
описании волновых процессов и таких явлений, как колеба-
колебания токов и напряжений в обычных радиотехнических
цепях. Если в теории цепей состояние любой системы
однозначно задается значениями конечного числа токов
и напряжений в отдельных ветвях, то для полного зада-
задания волнового процесса требуется, вообще говоря, зна-
знание характеристик его в бесконечно большом числе то-
точек пространства. Иначе говоря, среда, в которой рас-
распространяются волны, представляет собой систему
с бесконечным числом степеней свободы.
Физическая природа волновых явлений чрезвычайно
разнообразна. Так, известны электромагнитные волны,
звуковые — акустические волны, волны на поверхности
тяжелой жидкости -и т. д. Проведение всеобъемлющей
классификации здесь весьма затруднительно. Для пони-
понимания структуры электромагнитных волн сравним меж-
между собой два хорошо известных и легко представимых
волновых процесса — звуковые волны (рис. 2.1,а) и вол-
волны на поверхности воды (рис. 2.1,6). Пусть эти волны
распространяются в направлении стрелок, указанных
на рисунках. Звуковые волны, представляющие собой
перемещение в пространстве областей сгущения и раз-
разрежения газа, характерны тем, что в них каждая от-
отдельная частица газа колеблется в направлении, совпа-
совпадающем с направлением распространения волны. Такие
волны носят название продольных волн. В лите-
46

ратуре можно встретить также термины акустиче-
акустические или скалярные волны.
Совсем иной природой обладают волны на поверхно-
поверхности воды. Здесь колеблющиеся частицы перемещаются
в направлении, перпендиклуярном направлению распро-
распространения. Поэтому для волны данного вида недостаточ-
недостаточно лишь указать величину смещения колеблющихся то-
точек относительно положения равновесия, а следует ука-
Рис. 2.1. Некоторые примеры волновых процессов:
а — звуковые волны; б — волны на поверхности воды.
зать конкретно ту плоскость, в которой происходят ко-
колебания. Эта плоскость называется плоскостью поля-
поляризации волны, а сам волновой процесс — попереч-
поперечными, поляризованными или векторными
волнами.
Можно доказать, и это будет видно из примеров, рас-
рассмотренных в настоящей главе, что электромагнитные
волны имеют вид поперечных волн.
Волны разной физической природы классифицируют-
классифицируются в зависимости от того, какую конфигурацию они при-
принимают в пространстве.
Плоские волны. Рассмотрим безграничное трехмерное
пространство с декартовой системой координат х, у, z,
в каждой точке которого задана некоторая величина Л
(физическая природа ее безразлична), которая во време-
времени и в пространстве меняется по закону
A(z, t)=
B.1)
При этом говорят, что в пространстве существует моно-
монохроматическая плоская волна. Аргумент косинуса, т. е.
co^+fte, называемый обычно фазой волны, является
функцией времени / и пространственной координаты z.
47

Если зафиксировать z, то величина Л принимает те же
самые значения через промежутки времени, кратные пе-
периоду Г=2я/(о. Если же фиксировано время, то величи-
величина Л изменяется периодически вдоль оси z с периодом
А,, называемым длиной волны. Легко видеть, что величи-
величины i|3 и А, связаны друг с другом:
1/м. B.2)
Число р служит важнейшей характеристикой волнового
процесса и носит название постоянной распро-
распространения волны. Употребляются также термины ф а-
зовая постоянная и волновое число. Физиче-
Физический смысл величины C состоит в том, что она указывает,
на сколько радиан изменяется фаза волны при прохож-
прохождении одного метра пути.
Наличие двух возможных знаков в формуле B.1)
связано с тем, что плоские волны могут распространять-
распространяться в двух противоположных направлениях. Назовем по-
поверхность, удовлетворяющую уравнению
= const, B.3)
волновым фронтом плоской волны. Очевидно, что
в рассматриваемом случае волновые фронты представля-
представляют собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси
z и перемещающиеся в пространстве со скоростью
(uft, B.4)
носящей название фазовой скорости. Поскольку
время изменяется всегда лишь в одном направлении,
уравнение
w/—<pz = const B.5)
соответствует фронту волны, распространяющейся в на-
направлении положительной оси г. Изменение знака в фазе
волны ведет к изменению направления ее распростране-
распространения.
Введем комплексные амплитуды плоских волн. В со-
соответствии с методом, рассмотренным в § 1.12, будем
иметь для волны, распространяющейся в положительном
направлении,
Л+^=Лое-^2, B.6)
а для волны, идущей в противоположную сторону,
B.7)
48

Распространение ёолй в любой реальной среде неиз-
неизбежно сопровождается уменьшением их амплитуды за
счет тепловых потерь. Закон затухания легко найти из
следующих простых соображений. Предположим, что
в начальной плоскости z = 0 (рис. 2.2) амплитуда волны
100%
Рис. 2.2. Спадание амплитуды волны при распространении в среде
с потерями.
имеет исходную величину Aq, условно принимаемую за
100%. Положим далее, что при прохождении 1 м пути
амплитуда падает на 10%, т. е. Ai = 90%. Легко сообра-
сообразить, что Л2 = 0,9-Л1 = 81%, Л3 = 72,9% и т. д. Общая за-
закономерность имеет здесь вид
А А2
Ап
B.8)
Из элементарной алгебры известно, что именно таким
свойством обладает показательная функция, т. е. в об-
общем виде можно записать соотношение пропорциональ-
пропорциональности
А0(г)^е~аг. B.9)
Здесь а носит название постоянной затухания
волны. Величины р и а можно объединить, введя ком-
комплексную постоянную распространения у, т. е.
Y=ip—/а. B.10)
Итак, вещественная часть у определяет закон измене-
изменения фазы в распространяющейся волне, в то время как
мнимая часть характеризует затухание.
Сферические волны. Данный тип волн получается в тех
случаях, когда какой-либо точечный источник возбужда-
4—1443 49

ет неограниченное однородное пространство. В силу пол*
ной симметрии задачи волновые фронты имеют вид сфер.
Если ограничиться простейшим случаем, при котором
амплитуда колебаний зависит лишь от радиальной коор-
координаты г, то можно показать, что при гармоническом за-
законе изменения поля во времени справедлива следующая
зависимость:
или, если выразить величину A(r, t) через ее комплекс-
комплексную амплитуду,
Л(г) = Де-№г/г. B.11)
Последний результат легко проверить, подставив B.11)
в уравнение Гельмгольца
записанное в сферической системе координат (см. при-
приложение) с учетом пространственной симметрии задачи.
Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 16.
Сферические волны являются важным объектом изу-
изучения в электродинамике, поскольку с ними связаны
многие задачи об излучении антенн.
Цилиндрические волны. Волны, возбуждаемые беско-
бесконечной нитью источников, расположенных по оси г, но-
носят название цилиндрических волн. Волновые
фронты при этом имеют вид концентрических цилиндров.
Можно показать, что на расстоянии от оси, значительно
превышающем длину волны, справедливо следующее
приближенное равенство:
A(r,t)** -Д cos(arf —рг). B.12)
Цилиндрические волны рассматриваются в задачах элек-
электродинамики, связанных с излучением электромагнитных
волн отрезками линейных проводников.
2.2. Однородная плоская электромагнитная волна
с линейной поляризацией
Данный простейший вид волнового движения элек-
электромагнитного поля, несмотря на его идеализирован-
ность, имеет большое значение для решения ряда прак-
50

тически важных задач. Например, рассматривая сфери-
сферические волны, возбужденные точечным источником, на
достаточно большом удалении от него, можно из-за ма-
малой кривизны заменить малый участок сферы плоско-
плоскостью. Другими словами, плоские волны являются пре-
предельным случаем сферических волн при стремлении ра-
радиуса сферы к бесконечности.
Сделаем следующие предположения относительно
рассматриваемой плоской волны:
а) комплексный вектор Пойнтинга П ориентирован
вдоль оси г, причем единственная составляющая вещест-
вещественна:
откуда [см. формулу A.71) —определение вектора Пойн-
Пойнтинга] следует, что продольные составляющие электриче-
электрического и магнитного полей в рассматриваемой плоской
волне равны нулю:
* ?0 # 0
б) плоская волна однородна, т. е. амплитуды полей
вдоль волнового фронта неизменны; поскольку все вол-
волновые фронты параллельны плоскости XOY, последнее
условие математически записывается следующим обра-
образом:
в) из двух возможных поперечных составляющих
электрического вектора Ёх и Ёу лишь Ёх отлична от ну-
нуля. Таким образом, электрический вектор колеблется
в плоскости XOZ. Эта плоскость называется плоскостью
поляризации, а сама волна — плоской волной с линейной
поляризацией.
С учетом сделанных предположений система уравне-
уравнений Гельмгольца A.66) относительно составляющих
электрического вектора превращается в единственное
уравнение
B.13)
dz2
В этом уравнении знак частной производной заменен на
знак обыкновенной производной, поскольку неизвестная
функция зависит лишь от координаты г. Общее решение
4* 51

данного уравнения имеет следующий вид:
Ex = Ale~Uz + A%ehz9 B.14)
где А1У A2 — произвольные, вообще говоря, комплексные,
постоянные.
Сравнивая вид решения B.14) с формулами B.6) и
B.7), убеждаемся, что оно отображает сумму двух волн
с одинаковыми постоянными распространения у, распро-
распространяющихся в разные стороны вдоль оси z.
Положим для определенности Л2 = 0, тогда
?3B=i41e"jT*. B.15)
Найдем магнитный вектор в данной плоской волне.
Для этого воспользуемся .вторым уравнением Максвелла
rot Ё= —j
откуда следует
irotE. B.16)
Раскрывая операцию rot, убекдаемзя, что
Н= - ?5-1у= —Я*1
j <о[^ дг у со^а
Итак, вектор магнитного поля в данной плоской вол-
волне имеет лишь составляющую Ну и, следовательно, пер-
перпендикулярен к вектору электрического поля.
Чрезвычайно важно отметить, что, как это следует
из B.17), между составляющими электрического и маг-
магнитного полей существует пропорциональность:
?х/Яу = ш^а/т- B.18)
Вывод, следующий отсюда, состоит в том, что при от-
отсутствии потерь в среде, т. е. при у вещественном, поля
Ё и Н колеблются в фазе. В соответствии с A.79) это
означает, что плоская электромагнитная волна в среде
без потерь переносит только активную мощность.
Из теории линий с распределенными параметрами
известно, что между напряжением и и током / в бегу-
52

щей волне существует пропорциональность, причем Zc =
= Ufl называется характеристическим (волновым)
сопротивлением данной линии. В аналогичной фор-
форме можно представить и соотношение B.18):
ExjHy=Zc. B.19)
Здесь Zc — некоторая постоянная, имеющая размерность
сопротивления и называемая характеристическим
(волновым) сопротивлением данной среды. Из
развернутого выражения для у следует, что
2с = ^а/Т = 14ЙГ, B.20)
т. е. Zc полностью определяется лишь параметрами
среды.
Параметром," очень важным для расчетов, является
характеристическое сопротивление вакуума
V B-21)
Подставив в B.21) значения jio=4jt-10~7 Г/м и ео=
= 10-9/Збя ф/м, получим ZQ= 120л; = 377 Ом. '
Знание характеристического сопротивления данной
среды позволяет находить электрическое поле в плоской
волне по известному магнитному полю и наоборот.
2.3. Фазовая скорость и постоянная затухания
плоских волн
В данном параграфе в качестве примеров использо-
использования приведенных общих положений будут получены
характеристики распространения плоских электромагнит-
электромагнитных волн в некоторых наиболее важных средах.
Вакуум. Фазовая скорость волн в вакууме находится
по общей формуле B.4). Поскольку фазовая постоянная
волн в вакууме
фазовая скорость определяется как
to 1 О 1 /ЛЯ
B.22)
53

Таким образом, получен один из основных результа-
результатов теории Максвелла — отождествление скорости свега
в вакууме со скоростью произвольной электромагнитной
волны. Другими словами, скорость плоских электромаг-
электромагнитных волн в вакууме равна скорости света с незави-
независимо от частоты этих волн. В физике среды с подобными
свойствами носят название сред без дисперсии.
Совершенно очевидно, что из-за отсутствия каких-
либо механизмов потерь ао = О.
Диэлектрик без потерь. Рассматривая случай немаг-
немагнитного диэлектрика с jut = 1, что часто выполняется на
практике, будем иметь
^ф диэл= V— лГ — лГ- • B.23)
Таким образом, фазовая скорость, а следовательно, и
длина волны в диэлектрике уменьшаются в ]/"е раз по
сравнению с аналогичными величинами, вычисленными
для вакуума.
Поскольку потери отсутствуют, то по-прежнему
Одиэл = 0.
Диэлектрик с потерями. Для анализа распространения
волн в данной среде нужно воспользоваться понятием
комплексной диэлектрической проницаемости
ra=Sa-j^-=ha|e-J\ B.24)
где
Комплексная постоянная распространения запишется
следующим образом:
у = (Уsal*a
= <d V\ e~a| ft, e-j bt\ B.25)
Поскольку y=P—Ja» раскрывая выражение B.25) по
формуле Эйлера, будем иметь значение фазовой посто-
постоянной
B.26)
54

и постоянной затуханий
a = o>K|sa|ixasin(S/2). B.27)
Как уже указывалось, реальные диэлектрики характери-
характеризуются весьма малыми углами потерь, порядка 10~4-f-10~3,
в силу чего с точностью до величин порядка б2 можно
считать
sa|^sa> cos— ~ 1, sm-Y *&-?-. B.28)
Отсюда
$ = тУ7^, B.29)
B.30)
ос = |/"sa|xa ш8/2 = р8/2. B.31)
Вывод, следующий из формул B.29) — B.31), заклю-
заключается в том, что при расчете фазовых соотношений
в первом приближении можно не учитывать потерь в ма-
материале. С другой стороны, коэффициент затухания пло-
плоских волн в неидеальном диэлектрике прямо пропорцио-
пропорционален углу диэлектрических потерь.
2.4. Плоские электромагнитные волны
в хорошо проводящих средах
Вопрос о распространении плоских волн в реальных
металлах и металлоподобпых средах рассмотрим Оолее
подробно из-за его особой практической важности. По
определению с электродинамической точки зрения среда
является хорошо проводящей, т. е. металлоподобной,
если в каждой точке ее плотность токов проводимости
Jnp = crE значительно превосходит плотность токов сме-
смещения JCM=jiG)ieaE. Это же условие металлоподобности
может быть сформулировано и как
а/со > 8а, B.32)
т. е. мнимая часть комплексной диэлектрической прони-
проницаемости должна значительно превосходить веществен-
вещественную часть.
55

Очевидно, *1то чем ниже частота со, тем блия(е при
прочих равных условиях приближается данная среда
к идеальному металлу. На достаточно низких частотах
многие среды, известные как диэлектрики, становятся
металлоподобными. Например, для сухой почвы с пара-
параметрами 8 = 4, а = 0,01 См/м на частоте 1 МГц имеем
8а = 3,56- 10~и, ia/(o=l,6-10~9. Таким образом, на частотах
радиовещательных диапазонов сухая почва ведет себя
подобно металлу. Такое свойство в ряде случаев позво-.
ляет значительно упростить решение практических задач.
Согласно сделанному предположению комплексную
диэлектрическую проницаемость металлоподобной сре-
среды можно считать мнимой:
Ям=~рЯ B.33)
Найдем комплексную постоянную распространения
плоских электромагнитных волн в такой среде. По обще-
общему правилу,
Тм = Рм — j <*м = <» V бамРам = j/" — j O)jXaMCJ. B.34)
Поскольку
= /I, B.35)
B.34) можно переписать в виде
- J)- B-36)
Итак,
pM = aM = /«^aMa/2. B.37)
Отсюда можно вычислить длину волны р хорошо про-
проводящей среде:
Ям = 2*/^ = 2ъ УЩ^Р. B.38)
Интересно отметить, что длина волны в металле зна-
значительно сокращается по сравнению с длиной волны
в свободном пространстве. Действительно, легко вычис-
вычислить, что
Vl%<x- B-39)
Согласно неравенству B.39) в металле значительно сни-
снижается фазовая скорость плоских электромагнитных
волн.
56

Как известно, амплитуда электромагнитных волн в
среде с потерями уменьшается по закону е~~а2. Расстоя-
Расстояние d, на котором амплитуда электромагнитных волн
падает в е раз по сравнению с ее начальным уров-
уровнем, называется глубиной проникновения или
глубиной поверхностного слоя. Эта величина
удовлетворяет очевидному соотношению
ad=l. B.40)
Пользуясь B.37) и B.40), будем иметь
B.41)
Таким образом, приходим к другому определению:
металлоподобной называется такая среда, в которой
поле затухает на расстоянии, меньшем одной длины вол-
волны. Формула для вычисления глубины поверхностного
слоя имеет следующий вид:
B.42)
т. е. глубина проникновения электромагнитных волн
в металл уменьшается с ростом частоты и его удельной
объемной проводимости.
Конкретный расчет по формуле B.42) показывает, что для ме-
металлов на частотах GB4 диапазона величина d оказывается весьма
малой. Так, для меди, у которой 0 = 5,7- Ю7 См/м на частоте 10 ГГц
(ко=3 см), имеем d=0,6 мкм. Отсюда следует важный для прак-
практики вывод рб использовании нанесенного на поверхность конструк-
конструкции слоя хорошо проводящего вещества, например серебра толщи*
ной порядка 0,01 мм. Такое 'проводящее покрытие позволяет просто
и дешево выполнять элементы СВЧ устройств с малыми тепловыми
потерями.
2.5. Плоские электромагнитные волны
с вращающейся поляризацией
В силу линейности уравнений Максвелла, если
{Е^, Нх} и {Е2, HJ —их решения, сумма {Ёх —f- Ёя, Н/+
+ Н2} также является решением.
Рассмотрим две плоские электромагнитные волны
частного вида, комплексные амплитуды электрических
57

векторов которых имеют следующий вид:
е<1 — .сое 1Я,
B.43)
Рис. 2.З. Векторное сложение двух линейно поляризованных волн.
Соответствующие мгновенные значения запишутся как
E1 = ?0cos(orf-.p2)l3C,
Ea = Eosin(arf —ргIу. B.44)
Из данных формул следует, что поле Е2 повернуто отно-
относительно поля Ei в пространстве на угол 90° и, кроме
того, отстает по времени на четверть периода.
Рис. 2.4. Электромагнитная волна с круговой поляризацией.
Положим для определенности 2 = 0 и рассмотрим
векторную сумму этих двух колебаний ES = E1 + E2.
Очевидно, что | Es | = |/?^ + ?^, причем с течением вре-
времени результирующий вектор будет поворачиваться
(рис. 2.3). Если теперь рассмотреть различные положе-
положения результирующего вектора в процессе распространи-
58

ния обеих волн, то нетрудно понять, что конец вектора
Es будет описывать в пространстве винтовую линию
(рис. 2.4). Очевидно, что совершенно аналогичным будет
характер изменения в пространстве результирующего
вектора Hs.
Волна рассмотренного типа
носит название плоской элек-
электромагнитной волны с
круговой вращающейся
поляризацией. Различают
волны с правым вращением, ко-
когда с конца оси z вращение век-
гора Es наблюдается против ча-
часовой стрелки, а также волны
с левым вращением.
В общем случае, 'при неравен-
неравенстве амплитуд составляющих или
при невыполнении условий как
временной, так и пространствен-
пространственной квадратур получается эл-
эллиптическая поляриза-
поляризация плоской электромагнитной
волны. Для определения степени
эллиптичности данной волны
рассматривают сечение воображаемой цилиндриче-
цилиндрической области, по боковой поверхности которой скользит
вектор ЕЕ (рис. 2.5), и вводят коэффициент эллиптич-
эллиптичности волны как отношение большой оси эллипса
к малой:
k=A/B. B.45)
Очевидно, что волна с вращающейся эллиптической по-
поляризацией является наиболее общим случаем плоской
электромагнитной волны, который включает в себя
как волну с линейной поляризацией (ft = oo), так
и волну с круговой поляризацией (fe=l).
Рис. 2.5. К определению
коэффициента эллиптич-
эллиптичности.
так
2.6. Плоские волны, распространяющиеся
в произвольном направлении
В заключение рассмотрим важный для последующего
случай, когда плоская электромагнитная^ волна^ распро-
распространяется вдоль некоторой произвольной оси г\ не сов-
59

падающей с осью z (рис. 2.6). Отнбсйтельно йовой оси
имеем соотношение пропорциональности:
E^e~j^. B.46) -
Волновые фронты в данном случае представляют собой
бесконечные плоскости, удовлетворяющие уравнению
вида
z'=const. B.47)
Итак, требуется выразить величину г' через исходные
координаты х, */, г. Для этого отметим, что zr является
^•Волновые/
фронть/
Рис. 2.6. Распространение плоской волны в произвольном направ-
направлении.
проекцией любого радиуса-вектора г, проведенного из
начала координат так, что конец его лежит на волновом
фронте (см. рис. 2.6). Математически это запишется так:
z' = rlz/. B.48)
В системе координат х, у, z имеем:
l*'=*l* + 4ly + Uz, B.49)
где 5 = cos (г', л:); -q = cos(z'9y); С = cos (г', г) — направля-
направляющие косинусы вектора \z,.
Отсюда на основании B.48) зависимость B.46) запи-
запишется в виде
E^e-JW*+mzC). B.50)
Легко показать, что все использованные ранее выра-
выражения комплексных амплитуд плоских волн являются
частными случаями формулы B.50).
60

Глава третья
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ
электромагнитного поля
3.1. Постановка задачи
Рассмотренный в гл. 2 простейший вид электромаг-
электромагнитного волнового процесса — плоские волны — является
весьма идеализированным, поскольку здесь предполага-
предполагается бесконечная протяженность волновых фронтов. В лю-
любой задаче электромагнитное поле тем или иным спосо-
способом ограничено в пространстве. Естественными граница-
границами могут быть, например, металлические стенки или
границы раздела между средами с различными парамет-
параметрами. Если параметры сред на границе раздела изменя-
изменяются скачкообразно, то в общем случае компоненты век-
векторов электромагнитного поля также претерпевают раз-
рыв в точках границы. В данной главе будут найдены
связи между векторами электромагнитного поля на гра-
границе, которые удовлетворяли бы уравнениям Максвелла.
Математическая постановка данной задачи выглядит
следующим образом. Предположим (рис. 3.1), что окру-
окружающее пространство, т. е. среда У, обладает в каждой
своей точке электродинамическими параметрами eai, jutai,
оч. Внутри области 1 выделяется область 2, занимающая
объем V, с поверхностью 5. Среда 2 имеет параметры
еа2, М>а2, '(Гг. Пусть на поверхности раздела 5 выделена
произвольная точка Р, причем известно полное электро-
электромагнитное поле в бесконечно малой окрестности этой
точки, относящейся к области 1. Требуется отыскать
электромагнитное поле в такой же окрестности, принад-
принадлежащей области 2.
Для упрощения решения поставленной задачи векто-
векторы электромагнитного поля, принадлежащие окрестности
точки Р, принято разлагать на тангенциальные (каса-
(касательные) и нормальные составляющие. Так, вектор Е
(см. рис. 3.2) может быть представлен в виде
Е = ?,1, + ?Я1П. C.1)
Здесь 1х, \п —- единичные векторы тангенциального и
нормального направлений. Оба единичных вектора лежат
61

Рис. 3.1. К постановке задачи
о граничных условиях.
Рис. 3.2. Разложение вектора поля
на тангенциальную и нормальную
составляющие.
в плоскости, образованной вектором Е и нормалью к по-
поверхности, проведенной в точке Р.
Далее будет в отдельности рассмотрено поведение
тангенциальных и нормальных составляющих векторов
на границе раздела.
3.2. Граничные условия для нормальных
составляющих магнитного поля
Обозначим через Bi и В2 векторные поля магнитной
индукции в средах 1 и 2 соответственно (рис. 3.3). Выде-
Выделим в окрестности точки Р цилиндрический объем с ос-
~1
AS
Рис. 3.3. К выводу граничных условий для нормальных составляю-
составляющих векторов электромагнитного поля.
нованиями AS и высотой образующей А/г, достаточно ма-
малый для того, чтобы считать Bi и В2 постоянными в пре-
пределах площадей AS. Поток вектора магнитной индукции
через суммарную поверхность запишется следующим
62

образом:
;B1lnAS-B2lnAS +
+ поток через боковую поверхность. C.2)
Приближенное равенство C.2) становится точным при
стремлении AS к нулю.
Если же устремить к нулю высоту цилиндра Дй, то
соответственно бесконечно малым станет поток вектора
индукции через боковую поверхность. Следовательно
lim ^BrfS = B1lnAS —BalnAS. C.3)
Поскольку во всех случаях справедлив закон нераз-
неразрывности магнитных силовых линий (§ 1.5), запишем
Biln-B2ln = 0 C.4)
или
В1п = В2п. C.5)
Таким образом, нормальные составляющие вектора маг-
магнитной индукции на границе раздела двух сред непре-
непрерывны. Поскольку В = (ыаН5 последнее соотношение мо-
может быть записано относительно напряженностей маг-
магнитного поля:
fXal^ln = J^a2#2n. C.6)
Отсюда видно, что в общем случае напряженность маг-
магнитного поля на границе раздела испытывает скачок.
3.3. Граничные условия для нормальных
составляющих электрического поля
Методика вывода граничных условий и соответствую-
соответствующая иллюстрация остаются здесь совершенно аналогич-
аналогичными тем, которые были использованы в § 3.2. Однако
если ранее для магнитного поля всегда выполнялось
div В = 0, то в случае электрического поля будем иметь
divD = p. Отсюда возможны два случая.
1. Плотность поверхностных электрических зарядов
равна нулю.
Суммарный электрический заряд, заключенный внут-
внутри малой цилиндрической области (см. рис. 3.3), при
63

этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса
Q = 0, C.7)
откуда следует
Din = D2n C.8)
C.9)
PlfaK,- при отсутствии поверхностных электрических за-
зарядов нормальные составляющие векторов электрическо-
электрического смещения на границе раздела двух сред непрерывны,
в то время как нормальные составляющие напряженно-
стей электрического поля в общем случае претерпевают
скачок.
2. На границе раздела равномерно распределен по-
поверхностный электрический заряд с пло^остью оПов,
Кл/м2.
В этом случае, очевидно, стремление к нулю высоты
цилиндра Ah не влияет на величину заряда, заключенно-
заключенного внутри области. Воспользовавшись законом Гаусса,
можно записать формулу, аналогичную C.3):
AS = anoBAS, C.10)
откуда
Din—D2n = сГпов. C.11)
Из выражения C.11) следует, что при наличии заряжен-
заряженной границы раздела нормальные составляющие векто-
векторов электрического смещения испытывают скачок на ве-
величину плотности поверхностного заряда в исследуемой
точке. Физически это обусловлено тем, что заряд, распо-
расположенный на поверхности, создает собственное поле, ори-
ориентированное таким образом, что по одну сторону от.
границы раздела это поле складывается с внешним по-
полем, а по другую вычитается.
3.4. Граничные условия для тангенциальных
составляющих магнитного поля
Задача о поведении на границе раздела тангенциаль-
тангенциальных составляющих магнитного поля решается на основе
интегральной формулировки закона полного тока (см.
§ 1.6) для некоторого малого контура, проведенного
в окрестности точки Р,
64

Введем в точке Р три взаимно ортогональных единич-
единичных вектора 1^, ln, U (рис. 3.4). Два из них, по-преж-
по-прежнему, являются единичными векторами тангенциального
Рис. 3.4. К выводу граничных *
условий для тангенциальных со- "*—р*Ь ¦ ^* \
ставляющих векторов электромаг- 2 У Р \
нитного поля. ^ ,
U А1
*—р*Ь ¦ \
и нормального направлений, а вектор Ц образует нор-
нормаль к плоскости, образованной первыми двумя вектора-
векторами и лежит в плоскости границы раздела.
Выделим в окрестности точки Р достаточно малый
прямоугольный контур со сторонами А/ и ДА (АЯ<СА/),
лежащий в плоскости, образованной векторами 1Т и 1Л.
Данный контур строится так, что обе меньшие стороны
пересекают границу раздела; одна из больших сторон
располагается в области /, а другая — в области 2. На-
Наконец, будем считать, что на контуре задано такое
направление обхода, которое с конца вектора Ц наблю-
наблюдается против часовой стрелки.
В обеих областях, разделяемых границей, протекают
некоторые токи, которые могут включать как токи прово-
проводимости, так и токи смещения. Применим к рассматри-
рассматриваемому контуру закон полного тока, причем, как в §3.2,
будем считать, что размеры сторон контура достаточно
малы' для того, чтобы в их пределах считать векторы
поля Н постоянными. В результате получим
-{-циркуляция по боковым сторонам =(Jpplft-|-5CMlfe)A/A/j.
C.12)
Здесь необходимо рассмотреть два случая.
1. Электродинамические параметры обеих гранича-
граничащих сред являются величинами конечными, т. е. не рав-
равными бесконечности. Отсюда непосредственно следует
конечное значение векторов плотности токов проводимо-
проводимости и смещения.
Теперь совершим предельный переход, устремляя вы-
высоту контура ДА к нулю. Очевидно, что при этом величи-
5-1443 65

на циркуляции вектора Н по боковым сторонам также
будет равна нулю. В силу предположения о конечности
векторов плотности токов смещения и проводимости
будем иметь
0. C.13)
С учетом сказанного формула C.13) примет вид:
lim фНсЛ = Н11гД/-Н.!11;Д/ = 0. C.14)
ИЛИ 2
»„ = "*¦ C.15)
Таким образом, при конечных значениях электродина-
электродинамических параметров сред тангенциальные составля-
составляющие векторов напряженности магнитного поля непре-
непрерывны. Отсюда сразу следует, что тангенциальные
составляющие векторов магнитной индукции терпят
разрыв:
В1%[Ы = В^/Ы. (ЗЛ6)
2. Проводимость одной из граничащих сред беско-
бесконечна.
Положим, например, что проводимость второй среды
равна бесконечности. Подобное предположение делает
неприменимой формулы C.13). Дело в том, что при бес-
бесконечно большой проводимости среды глубина проник-
проникновения электромагнитных волн равна нулю на любой
частоте. В результате токи проводимости протекают по
поверхностной пленке нулевой толщины, так что пре-
предельный переход вида C.13) дает отличный от нуля
результат.
Для характеристики токов, протекающих по поверх-
поверхности идеального проводника, вводят понятие вектора
плотности поверхностного тока ц. Принцип введения
этого вектора илюстрируется рис. 3.5. Прежде всего про-
проводится единичный вектор, касательный к линиям тока
в данной точке. Этот вектор обозначается через 1^ .
Затем находится величина тока At, протекающего через
отрезок Д1/, перпендикулярный вектору 1 . Далее плот-
плотность поверхностного тока определяется как
ч=!Й,я\- {ЗЛ7)
66

Теперь формулу C.12) можно записать в виде
lira & Hdl = Н11,А/ — HaI A/ = v|lftA/
Aft-»-0 i
C.18)
1
Далее следует учесть, что внутри идеального провод-
проводника все составляющие
электромагнитного поля
должны равняться нулю.
Поэтому Н2=0 и из
C.18) получим
Н^^чЦ. (ЗЛ9)
Формула C.19) позволяет
решить важную для прак-
практики задачу — определить
плотность поверхностного
тока ц по известному маг-
магнитному полю Hi на гра-
границе идеального провод-
проводника. С учетом того, что
Рис. 3.5. К введению понятия
плотности поверхностного тока.
согласно C.19) можно записать
C.20)
C.21)
Таким образом, поверхностный ток на границе разде-
раздела с идеальным металлом протекает в направлении, пер-
перпендикулярном вектору Нь и численно равен напряжен-
напряженности магнитного поля.
3.5. Граничные условия для тангенциальных
составляющих электрического поля
Методика решения данной задачи полностью совпа-
совпадает с той, которая была применена в § 3.4. Отличие со-
состоит лишь в том, что вместо закона полного тока сле-
следует воспользоваться законом электромагнитной индук-
индукции (см. § 1.8). В соответствии с этим законом для кон-
контура, изображенного на рис. 3.4, будем иметь
67

-{-циркуляция по боковым сторонам—— (-^А lftA/AA.
C.22)
Функция dB/dt, стоящая в правой части C.22) для
любых граничащих сред, является величиной конечной,
поэтому предельный переход при Ah—Я) дает
lim 9 ЕсГ1 = Е11хД/— Е21тД/ = 0, C.23)
откуда
Eu=,E2z, C.24)
DJ'*=DJ.W C.25)
Таким образом, тангенциальные составляющие векто-
векторов напряженности электрического поля на границе раз-
раздела сред непрерывны, однако аналогичные составляю-
составляющие векторов электрического смещения, вообще говоря,
претерпевают разрыв.
Рассмотрим отдельно граничные условия в том слу-
случае, когда средой 2 (см. рис. 3.4) является идеальный
металл. Здесь, как уже известно, всегда Е2=0. Если бы
внутри идеального металла существовала конечная на-
напряженность электрического поля, то это привело бы
к протеканию здесь бесконечно больших токов проводи-
проводимости и, как следствие, к выделению бесконечно большо-
большого количества тепла, что противоречит физической сущ-
сущности задачи. Таким образом, с учетом сказанного гра-
граничное условие для идеального проводника принимает
вид
?т = 0. C.26)
В соответствии с этим условием силовые линии электри-
электрического поля должны подходить к поверхности идеально-
идеального металла по направлению нормали. Понятие «идеаль-
«идеальный металл» является абстрактным и на границе разде-
раздела с реальным металлом некоторая тангенциальная
составляющая электрического поля имеется. Однако бу-
будет показано, что она весьма мала, так что во многих
задачах ее можно не учитывать.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
В настоящей главе рассматривается некоторый класс
задач, возникающих при падении плоских электромаг-
электромагнитных волн на границу раздела двух произвольных
сред. При решении этих задач используются граничные
условия, рассмотренные в гл. 3.
4.1. Нормальное падение плоской
электромагнитной волны на идеально
проводящую плоскость
Рассмотрим следующую идеализированную задачу.
Пусть на идеально проводящую бесконечную плоскость
по направлению нормали падает плоская электромагнит-
электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси z декартовой
&- оо
Рис. 4.1. Падение плоской электромагнитной волны на идеально про-
проводящую плоскость.
системы координат (рис. 4.1). Из рисунка видно, что
присутствие на поверхности идеального металла лишь
вектора напряженности электрического поля падающей
волны Епад не может обеспечить выполнение граничного
условия Ех =0. Для того чтобы данное условие выпол-
69

нялось, необходимо допустить наличие в полупростран-
полупространстве г<0 отраженной волны, причем при г = 0 справед-
справедливо равенство
Епад+ Еотр —О
(см. рис. 4.1).
Для того чтобы определить суммарное магнитное
поле, существующее на поверхности идеального метал-
металла, следует учитывать, что вектор Пойнтинга отраженной
волны П0Тр направлен в отрицательном направлении
ВДОЛЬ ОСИ Z. ПОСКОЛЬКУ МОДУЛИ ВеКТОрОВ Нпад И Нотр
равны между собой, модуль суммарного вектора
"s = Нпад -j- потр
в два раза больше, чем модуль каждого из слагаемых.
Таким образом, получается весьма важный результат —
на поверхности идеального проводника суммарное маг-
магнитное поле удваивается по сравнению с магнитным по-
полем падающей волны:
Hs = 2Н?1ад.
Знание величины и направления суммарного магнит-
магнитного поля позволяет определить вектор плотности по-
поверхностного тока по формуле
Из рис. 4.1 видно, что поверхностный ток протекает в на-
направлении вектора Епад, а его амплитуда равна удвоен-
удвоенной амплитуде магнитного поля падающей волны.
4.2. Нормальное падение плоской
электромагнитной волны на диэлектрическое
полупространство
Предположим, что полупространство z<0 декартовой
системы координат (область /) представляет вакуум
(еа = ео, fxa=[Xo, cr = O), в то время как полупространство
2>0 (область 2) представляет собой произвольный ди-
диэлектрик с параметрами еа, (ia, кг (рис. 4.2).
Пусть в области 1 по направлению положительной
оси z распространяется плоская электромагнитная волна,
которую будем называть падающей. Для падающей вол-
70

Рис. 4.2. Падение плоской электромагнитной волны на диэлектриче-
диэлектрическое полупространство.
ны заданы векторы Епад и НПад, ориентированные так, как
это показано на рис. 4.2:
F — F
хпад '
P
H, ^зепаД сь—W2 I
пял 7 c *y»
*пад ¦
D.1)
где рх = ш 1/ео[ло — постоянная распространения плоских
волн в вакууме; Z0 = 377 Ом — характеристическое сопро-
сопротивление вакуума.
Естественно предположить, что в данной системе по-
помимо падающей существуют еще две волны:
отраженная волна, векторы которой имеют вид
F p
'-'OTp L-'Xi
"отр :— ~
D.2)
где знак вектора Н0Тр обусловлен тем, что вектор Пойн-
тинга отраженной волны П0Тр направлен в сторону отри-
отрицательной оси г\
прошедшая (преломленная) волна, харак-
характеризуемая векторами
D.3)
соответственно
Здесь р2 = со l/"e
постоянная распространения и характеристическое со-
сопротивление среды 2.
71

При записи формулы D.3) предполагается, что, с од-
одной стороны, область 2 не ограничена по оси z} а с дру-
другой, что есть хотя бы сколь угодно малое, но конечное
затухание электромагнитных волн при распространении
в данной среде. Данные предположения обеспечивают
отсутствие отраженных волн в области 2, идущих по на-
направлению отрицательной оси z.
Необходимо найти соотношения между амплитудами
векторов электромагнитного поля падающей, отраженной
и прошедшей волн. Для этого следует учесть, что на гра-
границе раздела, т. е. в плоскости z = 0 должны выполнять-
выполняться граничные условия непрерывности тангенциальных
составляющих суммарных векторов электрического и
магнитного полей:
Еи = Е2%% #ь = Я2х при г = 0. D.4)
На основании D.1) —D.3) соотношение D.4) запишется
как
• • ¦
¦'-'эспад | -"Лотр — -^эспр»
D.5)
Z7 " 7 *
о ^-о ^сг
Введем коэффициент отражения по электрическому
полю R и коэффициент прохождения по электрическому
полю f согласно соотношениям:
п рр ip т F I
Деля в D.5) левы^ и правые части равенств на ампли-
туду электрического поля падающей волны ?хцад, полу-
получаем систему двух линейных алгебраических уравнений
относительно R и Т:
1-{-/? = /, у 7~:==:7~'
откуда
+ Ze). D.9)
72

Таким образом, коэффициенты отражения и прохож-
прохождения для диэлектрического полупространства полностью
определяются характеристическими сопротивлениями
граничащих сред. Весьма интересно отметить, что фор-
формулы вида D.8) и D.9) встречаются в курсе теоретиче-
теоретической радиотехники при
рассмотрении отражения
волн от стьика двух линий
с раогаределенньши по- w-z w-7
СТ0ЖН1НЫМИ, обладающих 1" ° г~ сг
волновыми сопротивле-
сопротивлениями Wi = Z0 и №2=ZC2,
причем вторая линия на-
нагружена на некоторый Рис. 4.3. Эквивалентная схема
импеданс, равный свое- к задаче об отражении плоской
г электромагнитной волны от ди-
му (Волновому сапротивле- элеКтрического полупространства,
нию. Это позволяет соста-
составить эквивалентную схе-
схему рассматриваемой электродинамической задачи, изоб-
изображенную на ip»c. 4.3.
Отсюда, как следствие, вытекает возможность реше-
решения задач о нормальном распространении плоских элек-
электромагнитных волн в системе диэлектрических слоев
путем составления эквивалентных схем и последующего
использования круговой диаграммы. Нужно лишь учи-
учитывать, что длина волны в материальной среде сокраща-
сокращается в У г раз.
4.3. К вопросу о создании неотражающих сред
Практическая радиотехника настойчиво выдвигает задачу со-
создания таких материальных сред, которые не отражали бы элек-
электромагнитных волн. Частным случаем такой задачи является со-
создание неотражающих покрытий, которые, будучи нанесены на
поверхность металлических объектов, препятствовали бы возникно-
возникновению отраженной волны >и тем самым затрудняли обнаружение
этих объектов радиолокационными методами.
Формула D.8) устанавливает, что коэффициент отражения от
границы раздела R равен нулю только в том случае, когда Zcz=Zo.
Данное равенство эквивалентно следующему условию:
М-а/8а = М'о/8о. DЛ0)
До сих «пор нет эффективного метода синтеза сред, для кото-
которых соотношение D:10) выполнялось бы в широком диапазоне
частот.
Говоря о создании неотражающих покрытий, следует отметить,
что увеличение меры затухания электромагнитных волн в среде, т. е.
73

рост угла потерь б ведет не к уменьшению, а к возрастанию отра-
отражения. Действительно, чем больше 6 = arctg(a/«j)8a), тем больше
модуль комплексной диэлектрической проницаемости среды. Поэтому
в пределе liimZC2=0 при б—>-оо.
Следовательно, limR==—1, т. е.
среда с бесконечно высоким зату-
затуханием ведет себя как идеальный
отражатель.
Реальный способ создания не-
неотражающих покрытий заключа-
заключается в использовании эффекта
многократных отражений. Рассмот-
Рассмотрим, например, среду, обладающую
значительным собственным по-
поглощением, причем поверхность
этой среды выполнена ребристой
(рис. 4.4). При наклонном падении
плоской электромагнитной волны
внутри ребристой структуры про-
происходит процесс многократных от-
отражений, причем каждое отраже-
отражение сопровождается потерей части
энергии волны. В результате ам-
амплитуда отраженного поля значи-
значительно меньше, чем амплитуда па-
падающего. Безусловно, что такой
способ компенсации отражений не свободен от многих недостатков.
В частности, коэффициент отражения в значительной мере зависит
от угла падения и от рабочей частоты.
Рис. 4.4. Одна из возможных
реализаций неотражающей
среды.
4.4. Падение плоской электромагнитной волны
на диэлектрическое полупространство
под произвольным углом
Рассмотрим, наконец, наиболее общий случай, при
котором плоская электромагнитная волна, распространя-
распространяясь в среде /, падает на границу раздела под произволь-
произвольным углом ф, удовлетворяю-
удовлетворяющим условно 0°<с:ф<^:90о. Гео-
Геометрия данной задачи и на-
направление осей координат ino-
казаны на рис. 4.5.
При анализе этой системы
естественно ввести три вол-
волны—падающую, отраженную и
преломленную. Векторы Пойн-
Рис. 4.5. Падение плоской электро-
электромагнитной волны под произвольны^
углом.

тинга всех трех 'Перечисленных волн лежат в одной
плоскости, называемой олоскостью падения.
Для того чтобы записать комплексные амлитуды
электромагнитных полей, следует воспользоваться ре-
результатами § 2.6. Из рис. 4.5 следует, что вектор Ппад
образует с положительными направлениями осей х, у, и
z углы 90°, 90°—ф и ф| соответственно. Поскольку
соэ90° = 0 и cos (90°-—ф)=зтф<, комплексная амплитуда
падающей волны может быть записана следующим об-
образом:
Если через ф' и af> обозначить углы, указанные на рис. 4.5
и называемые соответственно углами отражения и пре-
преломления, то комплексные амплитуды отраженной и пре-
преломленной волн могут быть представлены в виде
D.12)
D.13)
На границе раздела, т. е. в плоскости 2 = 0, должны
выполняться условия непрерывности тангенциальных со-
составляющих векторов Е и Н, т. е.
4 = 4 Ни = Н2х при z = 0. D.14)
Из D.11) — D.13) получим, например,
Поскольку все точки поверхности раздела являются со-
совершенно равноправными, соотношение D.15) должно
являться тождеством относительно переменной у. Для
этого необходимо, чтобы показатели всех экспонент,
входящих в D.15), были равны при всех у. Данное усло-
условие может быть записано в виде двух равенств:
<р=Ч>', D.16)
sin<p/sim|)=1p2/Pi. D.17)
Таким образом, получены два хорошо известных из
элементарной физики закона, определяющих поведение
75

волн на границе'раздела двух сред. Первый из них —
закон равенства углов падения и отражения, второй но-
носит название закона Снелля. Естественно, что при стрем-
стремлении угла падения к нулю угол преломления i|) также
стремится к нулю. Поэтому для случая падения, близкого
к нормальному, закон Снелля следует понимать в пре-
предельном смысле.
Поскольку C = со |/еар>а, формула D.17) мо^кет быть
записана в таком виде, что в нее войдут лишь электро-
электродинамические параметры граничащих сред. Для этого
введем величину #=|/sjj,, носящую название показа-
показателя преломления данной среды. Если, например,
п2>пъ то принято говорить, что вторая среда обладает
большей оптической плотностью, чем первая. Закон
Снелля примет вид
simp/sim|5 = nz/tii. D.18)
Рассмотренные закономерности справедливы безот-
безотносительно ориентации векторов поля к плоскости паде-
падения. Более тщательный анализ показывает, что в силу
векторного характера электромагнитного поля ряд явле-
явлений, возникающих при паде-
падении плоской электромагнит-
электромагнитной волны на' границу раз-
раздела, существенно различа-
различается в зависимости от взаим-
взаимной ориентации плоскостей
поляризации и падения. По-
Поэтому рассмотрим два слу-
случая.
Перпендикулярная поля-
поляризация характерна тем, что
плоскость поляризации, т. е.
плоскость, содержащая век-
вектор Е, перпендикулярна пло-
плоскости падения (рис. 4.6).
Определять коэффициенты отражения и преломления
для случая перпендикулярной поляризации будем, поль-
пользуясь принципом непрерывности тангенциальных состав-
составляющих поля на границе раздела.
Граничные условия относительно напряженности
электрического поля запишутся веема просто:
Рис. 4.6. Случай перпендику-
перпендикулярной поляризации*
~Т~ ^отр —
'пр«
D.19)
76

При записи граничных условий относительно векторов
напряженности магнитного поля следует учесть, прежде
всего, что тангенциальные составляющие получаются за
счет умножения модулей векторов Н на косинусы соот-
соответствующих углов. Кроме того, в данной задаче весьма
удобно выразить векторы Н через векторы Е, пользуясь
понятием характеристических сопротивлений сред (см.
§ 2.2). Таким образом, условие непрерывности тангенци-
тангенциальных составляющих векторов Н в плоскости 2 = 0 при-
примет вид
1г]Ч4.д - ?0Тр)= ^ cos*. D.20)
Введем коэффициенты отражения и преломления
по нулю, указав значком снизу, что эти величины отно-
относятся к случаю перпендикулярной поляризации:
*\j_ = ^отр/^пад» / j^ = ^пр/^пад- D.<^1)
Теперь формулы D.18) и D.19) можно объединить, полу-
получив систему двух алгебраических линейных уравнений
относительно R. и Т.:
D.22)
Решение системы D.22) имеет вид
D Ze2COS <р — Zci COS ф
Zc2cos <р + Zcl cos ф
х '
Интересно отметить, что вид соотношений D.23), D.24)
аналогичен виду формул D.8), D.9), полученных для
случая нормального падения плоской волны на диэлек-
диэлектрическое полупространство. Отличие состоит лишь в том,
что здесь характеристические сопротивления приходится
умножить на косинусы соответствующих углов. При
пользовании формулами D.23), D.24) необходимо, за-
77

-лад
даваясь некоторым значени-
значением угла падения <р, одновре-
одновременно вычислить угол пре-
преломления \f> на основании за-
закона Снелля D.17).
На практике весьма часто
приходится вычислять ха-
характеристики отражения и
преломления плоских волн
для частного случая, когда
средой 1 является вакуум
или воздух (81=1, |Я1=1), а
средой 2 — немагнитный
(|Ы2=1) диэлектрик с отно-
относительной диэлектрической
проницаемостью 8. При этом удается объединить форму-
формулы D.22), D.23) с законом Снелля и записать их в виде
Рис. 4.7. Случай параллельной
поляризации.
о
cos у —Vq — sin2 у
-L cos <p -\-Ve —
- 2 cos'y
— sin2 c
D.25)
D.26)
Параллельная поляризация. Здесь векторы Ё во всех
трех волнах параллельны плоскости падения (рис. 4.7).
Так же, как и для перпендикулярной поляризации,
могут быть записаны граничные условия непрерывности
тангенциальных составляющих векторов электромагнит-
электромагнитного поля. Они принимают вид
(Япад - ?отр) cos <р = ?пр cos ф, D.27)
(ЯПад + ?отр)/2С1 = Япр/^сг D.28)
Введем коэффициенты отражения /?п и преломления
Т. по электрическому полю. Значок внизу указывает на
то, что даьные величины относятся к случаю параллель-
параллельной поляризации. Деля левые и правые части уравнений
D.27), D.28) на амплитуду ?пад, получаем следующую
систему уравнений относительно /?|( и Гц:
(l-/?||)cos? = 71||cos*f D.29)
78

{l)/Zcl = T{l[ZCi, D.30)
откуда
A __ Zcl COS у — ZC2COS ф
f 2Zc2 COS <p ,, 094
7 II ~ Zcl cos у + Zc2 cos Ф* * '° '
Для случая, когда средой 2 является немагнитный
диэлектрик с относительной проницаемостью е, формулы
D.31), D.32) приводятся к виду, более удобному для
расчетов:
A 'COsy-VT-sln^ D33)
11 ecos?+ К*-sin2? ' V '
f 2 КГ cos у D3
11 e cos у + К е — sin2 <f>
Таким образом, на основании двух последних рас-
рассмотренных случаев приходим к выводу, что при различ-
различных поляризациях законы изменения коэффициентов от-
отражения и преломления от угла падения описываются
разными функциями. Если рассмотреть наиболее общий
случай, когда на границу раздела падает плоская элек-
электромагнитная волна с вращающейся эллиптической по-
поляризацией, то отсюда следует чТо все три волны — па-
падающая, отраженная и преломленная — характеризуются
различными коэффициентами эллиптичности, причем
коэффициенты эллиптичности отраженной и преломлен-
преломленной волн зависят от угла падения.
4.5. Угол Брюстера
При падении плоских электромагнитных волн на гра-
границу раздела двух сред при определенных условиях ко-
коэффициент отражения может обращаться в нуль. Угол
падения, при котором падающая волна полностью, без
отражения, проникает из одной среды в другую, назы-
называется углом Брюстера и обозначается как 9б-
Из D.22) и D.29) следует, что <рБ удовлетворяет од-
одному из дву* уравнений:
ZC2 cos % — ZC1 cos фБ = 0 D.35)
79

при перпендикулярной поляризации либо
ZC1 cos срБ — ZC2 cos фБ = О D.36)
при паоаллельной поляризации.
Здесь под фБ подразумевается угол преломления, со-
соответствующий углу падения <рБ-
Легко видеть, что уравнения D.35) и D.36) взаимно
противоречат друг другу, т. е. явление полного прелом-
0,8
0,6
O,f
0,2
—«==г
А
У
Аи
/
30
Рис. 4.8. Зависимость коэффициентов отражения от границы разде-
раздела «воздух — полистирол (е = 2,56)» при различных поляризациях от
угла падения.
ления можно наблюдать либо при перпендикулярной,
либо при параллельной поляризации.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай,
когда обе граничащие среды являются немагнитными
(^1 = |Ll2rr=l), в то время как оптическая плотность вто-
второй среды больше, чем первой (e2>8i). Из данных пред-
предположений, во-первых, следует что Zci>Zc2. Во-вторых,
в силу закона Снелля D.17) cp>ij), т. е. cos(p<cosi|).
Обращаясь к формулам D.35) и D.36), видим, что
первое из этих уравнений в рамках сделанных предполо-
предположений принципиально не может иметь решений. Таким
образом, угол Брюстера при падении плоской электро-
электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может су-
существовать лишь гари параллельной поляризации.
Удобную формулу для вычислений угла Брюстера
можно получить из соотношения D.33). Действительно,
80

9Б должен удовлетворять уравнению
s cos <рБ =
откуда легко находим
tg?B = ^. D.38)
Сравнение графиков, зависимостей коэффициентов от-
отражения для волн обеих поляризаций, представленных
на рис. 4.8, иллюстрирует понятие угла Брюстера.
Явление полного преломления может иметь полезные
технические приложения. Так, пластинка из диэлектрика,
установленная под углом Брюстера по отношению к на-
направлению распространения падающей волны, не создает
отражений. В то же время эта пластинка, может играть
роль важного конструктивного элемента, обеспечивая,
например, вакуумное уплотнение какого-либо прибора.
4.6. Полное внутреннее отражение
Обратимся вновь к формулировке закона Снелля:
sinq}/sin\|) = ft2Mi.
Здесь могут представиться два случая.
1. Оптическая плотность среды 2 превосходит опти-
оптическую плотность среды У, т. е. Ai2>fti. При этом условии
всегда г()<ф, а поскольку угол падения ср лежит в ин-
интервале 0°<с:ф<^:90о, преломленная волна существует
при любом угле падения.
2. Среда 2 является оптически менее плотной, т. е.
п,2<п\. Здесь всегда г|)>ф, поэтому найдется такое зна-
значение угла падения, при котором, преломленная волна
пойдет параллельно границе раздела под углом г|? = 90°.
Данное критическое значение угла падения носит назва-
название угла полного внутреннего отражения:
Фьво = arc sin (n^tti). D.39)
При углах падения ф>ф^во преломленной волны
в обычном представлении не существует, энергия падаю-
падающей волны полностью отражается внутрь первой среды.
Явление полного внутреннего отражения широко ис-
используется в оптике при создании призм, изменяющих
направление пучка лучей (рис. 4.9). Подобные же устрой-
устройства последнее время начали находить применение и
в диапазоне СВЧ, например, на миллиметровых волнах.
6-1443 81

Рис. 4.9. Диэлектрическая призма.
Приведенный анализ эффекта полного внутреннего отражения
является неполным, поскольку, с одной стороны, йет ответа на
вопрос о тому что происходит
при углах падения ф, больших,
чем фпво- ? другой стороны,
было бы весьма целесообразно
изучить структуру поля в сре-
среде 2 при наличии полного вну-
внутреннего отражения.
Обращаясь к формуле
D.18) и предполагая П2<пи ви-
видим, что при ф>фпво величина
sin -ф должна быть больше еди-
единицы. Очевидно, что при любых
вещественных значениях угла
преломления такая ситуация
невозможна. Тем не менее, из-
известно, что синус, рассматри-
рассматриваемый как функция комплекс-
комплексного аргумента, может прини-
принимать любые, в том числе и
сколь угодно большие значе-
значения. В соответствии с этим
ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО При ф>фпво
угол преломления i|? получает мнимое приращение. При этом мож-
можно записать
ф = 7т/2 + ja, sin ф = ch a, cos Ф = — j sh a. D.40)
Здесь a — мнимая часть угла преломления. Подставляя выражения
D.40) в D.13), получаем
р ~ р.—ЛЭа У ch a — paz sh a 1Л л\\
По математической форме данное соотношение весьма напоминает
выражение для комплексной амплитуды плоской волны, распростра-
распространяющейся в среде с потерями (см. § 2.1). Однако между ними су-
существует принципиальная разница, так как в выражении D.41) эк-
экспоненциальное уменьшение амплитуды волны происходит вдоль
координаты г, в то время как волна распространяется вдоль коор-
координаты у. Такие волны носят название неоднородных пло-
плоских волн. С физической точки зрения неоднородная плоская вол-
волна распространяется вдоль границы раздела, как бы «прилипая»
к ней. Указанная особенность дает основание назвать такие волны
поверхностными волнами. В дальнейшем этот вопрос будет изучен
более подробно.
На первый взгляд может показаться, что понятие комплексного
угла преломления введено несколько искусственно. Однако, по-су-
ществу, подобное расширение понятия плоской волны справедливо,
поскольку комплексная амплитуда вида D.41) служит решением
уравнения Гельмгольца
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой, приняв во
внимание, что
h
62

Так как cha>l, постоянная распространения поверхностной вол-
волны рпов = Р2Спа всегда больше, чем постоянная распространения од-
однородной плоской волны с той же самой частотой, распространяю-
распространяющейся в среде 2. Ввиду того, что постоянная распространения не-
непосредственно связана с фазовой скоростью соотношением Уф = (о/р,
приходим к выводу, что поверхностные волны распространяются со
скоростью, меньшей, чем соответствующие однородные плоские волны.
По этой причине поверхностные волны часто называются замед-.
ленными волнами. Предельное замедление получается тогда, когда
падающая волна распространяется параллельно границе раздела,
т. е. при ср = я/2. При этом
. cha = tiiln2; pnoB = Mi/=pi. D.42)
Таким образом, в пределе фазовая скорость волн в менее плот-
плотной среде стремится к величине, свойственной более плотной среде.
Остановимся, наконец, на вопросе о глубине проникновения волн
в среду 2 при явлении полного внутреннего отражения. Из формулы
D.41) следует, что глубина, на которой амплитуда поля уменьшается
в е раз, равна (ср. § 2.4)
rfl/ph D.43)
Таким образом, поле в среде 2 существует лишь в поверхност-
поверхностном слое, толщина которого порядка одной длины волны. Важно
отметить, что с замедлением фазовой скорости глубина проникнове-
проникновения поля в менее плотную среду уменьшается.
4.7. Приближенные граничные условия Леонтовича
В данном параграфе будут рассмотрены приближен-
приближенные граничные условия для векторов электромагнитного
поля, справедливые в том случае, когда одну из сред
можно считать хорошим проводником. Этот вопрос впер-
впервые был исследован академиком М. А. Леонтовичем
в его работах по распространению радиоволн вокруг зем-
земной поверхности.
Будем предполагать, что плоская электромагнитная
волна падает из воздуха под углом ср* на плоскую грани-
границу раздела с хорошо проводящей средой, описываемой
комплексным показателем преломления:
n = V*J*o = V-i°l«*o- D-44)
Из определения понятия хорошо проводящей среды
следует, что |/г|^>1. Последнее неравенство в соответст-
соответствии с законом Снелля показывает, что угол преломления
я|) должен быть очень малым. Приближенно можно счи-
считать, что преломленная волна входит внутрь среды 2 по
направлению нормали при любом значении угла паде-
падения. В этом и состоит основной физический смысл усло-
условий Леонтовича.
к* 83

Согласно сказанному $квивалентная схема металлб-
подобной среды приобретает вид однородной длинной
линии с характеристическим сопротивлением ZCM, вычис-
вычисляемым по общей формуле
=/^(l + j). D.45)
При этом в начале линии, т. е. на границе раздела, тан-
тангенциальные составляющие электрического и магнитного
векторов должны удовлетворять очевидному соотноше-
соотношению, непосредственно вытекающему из определения ха-
характеристического сопротивления:
^=Еш(Нш. D.46)
Как известно, на поверхности идеального проводника
?т = 0. В случае большой, но конечной проводимости на
границе раздела появляется отличная от нуля касатель-
касательная составляющая ?тм. Несмотря на малость этой вели-
величины (поскольку ZCM—>0 при а—*оо), она обусловли-
обусловливает поток мощности внутрь металла, идущей на напрев
его. Если граница раздела совпадает с плоскостью XOY,
а ось z направлена внутрь среды 2, то на границе раз-
раздела должны выполняться следующие условия:
ЕХ!НУ = ZCM, Ey/Hx= - ZCM. *D.47)
При таком выборе знаков, как это легко может проверить
читатель, поток вектора Пойнтинга, соответствующего
тепловым потерям, будет всегда направлен по положи-
положительному направлению оси z.
Используя гоаничные условия Леонтовича в форме
D.46) или в форме D.47), нужно знать касательную со-
ч
ставллюцую магнитного вектора #хм. Обычно приближен-
приближенно полагают, что эта величина совпадает с аналогичной
составляющей, вычисленной для поверхности идеального
проводника. Ошибка, возникающая вследствие такого до-
допущения, будет очень мала, поскольку модуль коэффи-
коэффициента отражения от поверхности реальных металлов,
как правило, весьма близок к единице.
В последующих главах будет показано применение
условий Леонтовича для решения практически важных
задач об учете потерь, вызванных конечной проводи-
проводимостью металлических стенок СВЧ устройств.

ГЛАВА ПЯТАЯ
НАПРАВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ВОЛНЫ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРОВОДЯЩИМИ
плоскостями
В радиотехнической практике особое значение приоб-
приобретает задача передачи энергии электромагнитных волн
от генератора к потребителю. При этом основным ока-
оказывается требование максимальной эффективности пере-
передачи. Поставленная задача решается с помощью специ-
специальных направляющих устройств, носящих название вол-
волноводов (линий передачи).
Простейшей направляющей структурой, которая огра-
ограничивает область существования электромагнитных волн,
является бесконечная металлическая плоскость. С ее по-
помощью становится возможным отделить одно полупро-
полупространство от другого. В данной главе будут рассмотрены
явления, происходящие при косом падении плоской элек-
электромагнитной волны на идеально проводящую металли-
металлическую плоскость. При этом будет определяться резуль-
результат интерференции падающей и отраженной электромаг-
электромагнитных волн. Существенным при этом будет являться
векторный характер электромагнитного поля.
5.1. Падение плоской волны с параллельной
поляризацией
Будем полагать, что на идеально проводящую пло-
плоскость под некоторым углом ср падает монохроматиче-
монохроматическая плоская волна (рис. 5.1). Предположим также, что
верхнее полупространство представляет однородную сре-
среду с проницаемостями ео, |io (вакуум). На рисунке изобра-
изображены мгновенные положения последовательности волно-
волновых фронтов падающей волны, отстоящих друг от друга
на расстояние К/2. Ясно, что фазы поля в них отлича-
отличаются при этом на величину 180°. Взаимная ориентация
векторов Епад и Нпад, обозначенная на волновых фрон-
фронтах, соответствует принятому направлению вектора Пойн-
тинга Ппад.
Известно, что граничные условия на 'поверхности иде-
идеального проводника заключаются в равенстве нулю тан-
85

генцйалькой составляющей электрического вектора на
границе раздела. Выполнение данного условия возможно
лишь при наличии отраженной волны. На рис. 5.1 по-
построена система поверхностей равных фаз для отражен-
отраженной волны, векторы поля которой обладают следующими
свойствами:
— амплитуды Епад 'И Нпад совпадают с амплитудами
Е0Тр и Н0Тр соответственно, поскольку потери в идеальном
пад
Рис. 5.1. Падение плоской электромагнитной волны с параллельной
поляризацией на идеально проводящую плоскость.
проводнике отсутствуют и модуль коэффициента отраже-
отражения равен единице при любом угле падения;
— направление Е0Тр должно быть согласовано с на-
направлением Епад таким образом, чтобы на границе раз-
раздела тангенциальная составляющая электрического век-
вектора Е2=Епад+Е0Тр (ом. рис. 5.1) была равна нулю;
— взаимная ориентация 'векторов Еотр и Нотр обуслов-
обусловлена указанным на рисунке направлением вектора Пойн-
тинга П0Тр, который перпендикулярен поверхности равных
фаз отраженной волны.
Проведем теперь векторное сложение полей падаю-
падающей <и отраженной волн в узлах образующейся сетки
волновых поверхностей. Результат его представлен на
рис. 5.1, причем могут быть сделаны следующие выводы:
1) силовые линии суммарного магнитного поля име-
имеют вид бесконечных нитей, направленных параллельно
оси у\ в некоторых узлах сетки магнитное поле пол-
полностью компенсируется;
86

2) векторы ЕЕ лежат в плоскости XOZ, причем
ориентация этих векторов непрерывно меняется от точки
к точке.
Полученная картина векторной интерференции по-
позволяет построить эскиз силовых линий результирующе-
результирующего волнового процесса. Для этого, например, силовые ли-
OslfMJlsfiM
Рис. 5.2. Результирующая картина силовых линий электромагнитного
поля при падении плоской волны с параллельной поляризацией.
нии поля Esдолжны быть построены так, чтобы резуль-
результирующие векторы в узлах сетки были бы к ним каса-
тельны.
Следует принять во внимание то, что рассматрива-
рассматривались лишь те волновые фронты, в пределах которых
мгновенные значения векторов поля максимальны. Если
произвести более детальное построение, включив в рас-
рассмотрение волновые фронты с промежуточными значе-
значениями фазы, то получим окончательную картину силовых
линий, изображенную на рис. 5.2. Здесь графически по-
показано постепенное изменение напряженностей электро-
электромагнитного поля в пространстве.
В заключение параграфа укажем, что при падении
плоской волны с параллельной поляризацией физически
возможен предельный случай, при котором волна распро-
распространяется вдоль границы раздела при угле падения ф =
= 90°. Понятие отраженной волны при этом теряет
смысл, однако граничное условие будет автоматически
удовлетворяться э силу выбранного направления поля
87

5.2. Падение плоской волны
с перпендикулярной поляризацией
Принципиальным отличием данного случая от рас-
рассмотренного в § 5.1 является то, что здесь в плоскости
падения XOZ лежит вектор Нпад, в то время как вектор
ЕПад параллелен оси у. Не останавливаясь на уже изло-
изложенных деталях графического построения, приведем
окончательную картину суммарного поля (рис. 5.3). Ха-
lri!!n
х*
/
Ij il ^ l| |f ^ и 'I ^ jl ,1 ^ If 'j
Рис. 5.З. Результирующая картина силовых линий электромагнитного
поля при падении плоской волны с перпендикулярной поляризацией.
рактерной особенностью данной картины поля является
то, что здесь суммарное электрическое поле направлено
по оси у, т. е. поперечно по отношению к продольной оси
z. В то же время магнитные силовые линии образуют
замкнутые петли, лежащие в плоскости XOZ. Легко по-
показать, что при этом магнитное поле будет иметь две
декартовы составляющие Нх и Я2.
5.3. Классификация направляемых волн
В теории волноводов направляемые электромагнит-
электромагнитные волны классифицируются в зависимости от наличия
или отсутствия в них продольных составляющих элек-
электрического либо магнитного векторов. При этом под про-
продольным направлением подразумевается направление
распространения волны (в данном случае это направле-

ние оси z). Как это следует из рассмотренных в § 5.1,
5.2 примеров, здесь могут быть три случая.
1. Оба вектора, электрический и магнитный, перпен-
перпендикулярны оси распространения и, следовательно, не
имеют продольных составляющих. Такие волны носят
название поперечных электромагнитных волн или волн
типа ТЕМ (Transverse Electromagnetic). В частности,
волной типа ТЕМ является плоская волна в неограничен-
неограниченном пространстве, а также рассмотренная в § 5.1 пло-
плоская волна, распространяющаяся параллельно границе
раздела и обладающая параллельной поляризацией.
2. Электрический вектор имеет отличную от нуля про-
продольную составляющую Ёх\ в то время как магнитное по-
поле волны поперечно, т. е. Hz = 0. Такие направляемые
волны называются волнами типа Е или ТМ-волнами
(Transverse Magnetic). Примером волны типа Е служит
результирующий волновой процесс, возникающий при па-
падении на металлическую плоскость плоской волны с па-
параллельной поляризацией (см. § 5.1).
3. Наконец, возможен случай, когда продольную со-
составляющую Hz имеет магнитный вектор, а электриче-
электрическое поле поперечно (?z = 0). Такие волны, называемые
волнами типа Н или ТЕ (Transverse Electric), возникают,
например, в рассмотренном ранее (§ 5.2) случае, когда
на проводящую плоскость падает плоская волна с пер-
перпендикулярной поляризацией.
Данная классификация, вообще говоря, неполна, по-
поскольку сюда не входят волны, одновременно обладаю-
обладающие обеими продольными составляющими Ёг и Hz. Од-
нако строгий анализ показывает, что подобные волны,
носящие название смешанных или гибридных, физиче-
физически не могут существовать в наиболее важных для прак-
практики волноводных системах.
5.4. Фазовая скорость направляемых волн
Изображенные на рис. 5.2, 5.3 картины силовых ли-
линий для волн типов Е и Н являются, по существу, «мгно-
«мгновенными фотографиями» поля, отображающими волно-
волновые процессы в какой-либо фиксированный момент вре-
времени. Несомненно, что эти картины перемещаются в про-
пространстве с некоторой скоростью, которую нужно вычи-
вычислить.
89

Для определенности будем рассматривать йолну типа
Е, поскольку для волн типа Н выводы будут полностью
аналогичными. Пользуясь результатами § 2.6, запишем
комплексные амплитуды электрических векторов падаю-
падающей и отраженной волн в следующем виде:
А—Ш—*cos<p+zsin<p)
Яотр = Ео
Вектор суммарного поля будет обладать составляю-
составляющими, равными суммам составляющих векторов Епад и
Е0Тр. В частности, суммарная 2-я составляющая оказы-
оказывается равной
Егъ = Dад - ^отр) cos ? =/2fie cos ? е-№в8в1п<р sin (%x cos 9).
E.2)
Первый сомножитель в формуле E.2) является несу-
несущественной произвольной постоянной. Поэтому проана-
проанализируем второй и третий сомножители, описывающие
зависимость составляющей Ёг от декартовых координат.
Наличие второго^ сомножителя е~"*28Шф показывает,
что результирующее поле представляет собой волну, бе-
бегущую вдоль координаты z, причем постоянная распро-
распространения зависит от угла падения. В дальнейшем будем
называть эту постоянную распространения продоль-
продольным волновым числом и обозначать через h:
/*=(posinqx E.3)
Из-за наличия третьего сомножителя в формуле E.2)
рассматриваемый волновой процесс существенно отли-
отличается от однородной плоской волны, поскольку здесь
амплитуда поля уже не постоянна в пределах волнового
фронта, параллельного плоскости z=const, а изменяется
по синусоидальному закону вдоль поперечной координа-
координаты х. Легко видеть, что скорость изменения амплитуды
определяется «пространственной частотой»
g=pocos(p, E.4)
которую будем называть поперечным волновым
числом. Продольное и поперечное волновые числа свя-
связаны очевидным соотношением
*• + ?' = ?• E-5)
90

Итак, определено важное свойство направляемых волн,
состоящее в следующем. Данный волновой процесс яв-
является неоднородной плоской волной, которая распрост-
няется вдоль оси г. При этом амплитуда поля изменяет-
изменяется вдоль поперечной координаты х по закону стоя-
стоячей волны.
Вычислим скорость перемещения поверхности равных
фаз вдоль координаты гу т. е. фазовую скорость направ7
ляемой волны. Поскольку здесь роль постоянной распро-
распространения выполняет продольное волновое число й, по
аналогии с § 2.3 будем иметь
00 СО С /г п\
siny ' '
Отсюда следует принципиально важный вывод: за ис-
исключением предельного случая <p=ji/2 фазовая скорость
направляемых волн всегда превосходит скорость плоских
электромагнитных волн в неограниченном пространстве,
в частности, скорость света в вакууме. Данный вывод
нуждается в обсуждении, поскольку согласно теории от-
относительности скорость света имеет предельный харак-
характер. Однако следует учитывать, что это утверждение от-
относится лишь к движению
материальных объектов.
В 'противоположность этому
фазовая скорость является
скоростью перемещения в
'Пространстве некоторой во-
ображаемой поверхности —
плоскости равных фаз. По-
Поэтому ограничения, накла- ^ т
дываемые теорией относи- ° иф
тельности, в данном случае Рис 5.4. К определению поня-
не справедливы. тия фазовой скорости.
Неограниченное возраста-
возрастание фазовой скорости щэи
стремлении к нулю угла падения ф можно проиллюстри-
проиллюстрировать следующим образом. Пусть фазовые фронты па-
падающей волны движутся в пространстве со скоростью с
так, как это показано на рис. 5.4. Легко видеть, что ско-
скорость перемещения точки пересечения фазового фронта
с направляющей поверхностью равна c/sinq>, на что и
указывает формула E.6). В предельном случае падения
волны по направлению нормали фазовая скорость вдоль
оси z обращается в бесконечность.
91

5*5. Типы волн в волноводах
Для увеличения степени локализации энергии элек-
электромагнитного поля в пространстве можно на некотором
расстоянии от проводящей плоскости параллельно ей
а)
Г/
I I.
^ !®i
N
»! \)!
I!
Рис. 5.5. Картины силовых линий электромагнитного поля для неко-
некоторых простейших типов волн, распространяющихся между двумя
плоскостями.
установить вторую плоскость с тем, чтобы волны рас-
распространялись лишь в промежутке между двумя плоско-
плоскостями. Будем называть такую направляющую систему
двухплоскостным волноводом.
92

Очевидно, что как на верхней, так и на нижней пло-
плоскости должны выполняться одинаковые граничные ус-
условия ?^ = 0. При этом картина поля в волноводе долж-
должна принимать некоторый вполне определенный вид, как
это показано, например, на рис. 5.5.
Характерная картина поля в волноводе носит назва-
название типа волны (типа колебаний). Из приведенного
рисунка следует, что различные типы волн различаются
числом стоячих полуволн, укладывающихся вдоль, попе-
поперечной координаты х. На этфм принципе основана клас-
классификация типов волн в волноводах, которая проводится
раздельно в случае волн Е- и Н-типов. Для этого каж-
каждому типу волны сопоставляется индекс — положитель-
положительное целое число, равное числу стоячих полуволн, или,
как иначе говорят, числу вариаций поля вдоль попереч-
поперечной координаты. На этом основании тип волны, изобра-
изображенный на рис. 5.6,а. следует назвать типом Ei. На
рис. 5.5 обозначены индексы изображенных типов волн,
для которых приведены эпюры распределения поля в по-
поперечном сечении.
5.6. Критическая длина волны
Выясним условия существования тех или иных типов
волн в зависимости от их индекса, ширины волновода а
и длины волны генератора Яо. При этом будем исходить
из сформулированного в § 5.5 условия, которое на ос-
основании формул E.2), E.4) принимает вид
a|3ocosq>=mjt, E.7)
где т—\, 2, 3,... — индекс типа волны.
Действительно, при выполнении этого условия ампли-
амплитудная синусоидальная функция, описывающая распре-
распределение поля в поперечном сечении волновода, обра-
обращается в нуль на верхней и нижней стенках.
Условие E.7) может быть переписано в следующем
эквивалентном виде:
E.8)
Отсюда можно сделать важный вывод: при фиксирован-
фиксированных параметрах Хо и а каждому индексу т соответству-
соответствует определенное значение угла падения <р, обеспечиваю-
обеспечивающее условие существования волн типов Ew или Нт. От-
93

метим при этом, что с ростом индекса угол падения дол-
должен уменьшаться.
Поскольку левая часть соотношения E.8) ограничена
в интервале O^coscp^l, данное соотношение не может
быть выполнено при любых т, а и Ко. Действительно,
для любого индекса т всегда найдется такая длина вол-
волны генератора, которую будем называть критической
длиной волны данного типа и обозначать lKpm,
для которой выполнение условий E.8) возможно лишь
при максимальном значении cos<p=l, т. е.
Хкрт = 2а/ш. E.9)
Если теперь выбрать значение Хо>ЛкРт, то граничные
условия на стенках волновода не могут быть выполнены
ни при каком вещественном значении угла падения. Фи-
Физически это означает невозможность существования ко-
колебания данного типа в виде бегущей волны. Явления,
происходящие в волноводе на критической длине волны,
выглядят следующим образом. Поскольку ф=0, обра-
образуется стоячий волновой процесс в поперечной плоско-
плоскости, т. е. никакого волнового движения, а следовательно,
и переноса энергии вдоль оси z не происходит. Однако
важно подчеркнуть, что на критической длине волны
ft 0
Теперь можно сформулировать основной вывод из
приведенных рассуждений. Каждый тип колебаний с ин-
индексом т может существовать как бегущая волна в об-
области длин волн, удовлетворяющих неравенству
А-кр т-
Волны, более длинные, чем ЯкРт, по волноводу на дан-
данном типе колебаний распространяться не могут. Принято
говорить, что область частот, удовлетворяющая неравен-
неравенству Хо>Акрт, является областью отсечки данного
типа колебаний.
Тип волны, обладающий наибольшей критической
длиной, носит название основного (или низшего)
в данном волноводе. Для рассматриваемого здесь двух-
плоскостного волновода низших типов волн два—это
типы Ei и Hi; для них %кр=2а. Итак, если длина волны
генератора превосходит удвоенную ширину волновода,
то никакие волны Е- или Н-типов распространяться
в нем не могут. Если 2а]>Ао>#, то в волноводе могут
94

существовать лишь волны низших типов. При Х0<а по-
появляется возможность возникновения двух волн высших
типов Е2 и На и т. д.
Знание критической длины волны позволяет для кон-
конкретной длины волны генератора определить фазовую
скорость на любом типе колебаний:
/Г i
1 "
Аналогично находится длина волны в волноводе:
Яв = д -ъ— •=-• @.11)
Формулы подобного вида будут часто встречаться в даль-
дальнейшем.
5.7. Связь между продольными и поперечными
составляющими поля направляемых волн
Результаты, полученные в предыдущих .параграфах,
носили скорее качественно-геометрический характер.
В данном параграфе будет развит метод анализа на-
направляемых волн, основанный на решении уравнений
Максвелла и пригодный для весьма обширного класса
волноводных структур. Основным здесь является то, что
анализируемая направляемая волна представляет собой
неоднородную плоскую волну. В случае, когда за ось
распространения выбрана ось г, комплексная амплитуда
любой составляющей электромагнитного поля может
быть записана в виде
Этот, вообще говоря, довольно частный вид зависимости
поля от пространственных координат позволяет весьма
просто выразить производные от поля по z:
-^¦= — }1гА, -^^—tfA и т. д. E.13)
Пусть электромагнитный процесс в области, свобод-
свободной от источников, описывается уравнениями Максвелла
rot Н = jcosa Ё; rot Ё = — р|*аН.
95

В развернутой форме будем иметь
дНу
дЙг _ .
дН%
дй,
dz
дН-и дМж . а
дх ду J a z
E.14)
Or/
дЁу
дх
дЁу
dEt
дх.
у.
E.15)
Если теперь выразить производные по 2 в соответствии
с E.13), то системы <E.14), E.15) упростятся:
дНх
дЁ
ду
дЁу
дх
ду
1 \U р
дЁх _
ду
E.16)
E.17)
Здесь принципиально важно то, что в соответствии
с E.16) и E.17) поперечные составляющие Ёх, Ёу, Ну и
Ну представляются в виде линейных комбинаций из
производных продольных составляющих Ёг и Hz по попе-
поперечным координатам х и у. Действительно, рассматри-
рассматривая, например, совместно первое уравнение из E.16) и
второе уравнение из E.17), получаем систему линейных
96

алгебраических уравнений относительно Ех и Ну, причеу
в правой части этой системы окажутся производные
дЁх/дх и дНх/ду. Решая подобные системы уравнений,
приходим к следующему результату:
оу
шея
ду
— h
ду
дНг
дх
дЙг
дх
E.18)
Здесь g — поперечное волновое число данного процесса,
определяемое в соответствии с E.5) следующим обра-
образом:
E.19)
- h\
Равенства E.18) могут рассматриваться как формулы
перехода между продольными и поперечными состав-
составляющими направляемого электромагнитного процесса.
Важность их состоит в том, что теперь задача сведена
к нахождению лишь двух функций Ёг и Нх\ остальные со-
составляющие определяются через них путем дифферен-
дифференцирования. Это еще раз подчеркивает принципиальное
значение составляющих Ёг и Hz, по наличию или отсут-
отсутствию которых условлено проводить классификацию на-
направляемых волн. Фактически решение даже несколько
проще, поскольку для волн Е-типа составляющая #2=0,
а для волн Н-типа будем иметь Ez = 0.
7—1443

ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ
ВОЛНОВОД
В данной главе на основе методов, развитых в гл. 5,
будут рассмотрены свойства полого металлического вол-
волновода прямоугольного сечения — линии передачи, нахо-
находящей в настоящее время наибольшее применение на
практике. Сама задача об электромагнитных волнах
в трубах с замкнутой формой поперечного сечения пред-
представляет большой интерес и требует для своего решения
математических методов более общих, чем те, которые
использовались при рассмотрении волн между двумя
проводящими плоскостями.
6.1. Постановка задачи
Изучаемая здесь линия передачи представляет трубу
с .прямоугольной формой поперечного сечения, изобра-
изображенную на рис. 6.1. Размер сечения по широкой стенке
будем всегда обозначать через а, размер по узкой Стен-
_ ке — через Ь. Данный
волновод жестко связан
•с декартовой системой
координат х, у, г спосо-
способом, обозначенным на
рисунке. Отметим, что
здесь, как и всюду в даль-
дальнейшем, волновод пред-
предполагается 'бесконечно
Рис. 6.1. Прямоугольный метал- протяженным по оси z, ко-
лический волновод. торая принимается за ось
распространения электро-
электромагнитных волн.
Будем полагать также, что в области внутри волно-
волновода находится воздух или вакуум, т. е. среда с элек-
электродинамическими параметрами еа = ео, ^а = [Хо- Такая
ситуация чаще всего встречается на практике.
Стенки волновода предполагаются идеально прово-
проводящими, т. е. изготовленными из материала с удельной
объемной проводимостью а=оо. Этим самым вводится
предположение об отсутствии потерь в волноводе.
98

Наконец, следует сразу оговорить, что будут рассмат-
рассматриваться процессы в волноводе, происходящие на всем
протяжении оси z от —оо до +оо. Другими словами, не
будем интересоваться тем, каким образом те или иные
сторонние источники возбуждают колебания в волноводе.
Проводя аналогию с задачами, изучаемыми в курсе тео-
теории цепей, можно сказать, что здесь рассматриваются
процессы свободных колебаний в волноводе. Изучение
вынужденных колебаний в волноводах, т. е. решение за-
задач о возбуждении волноводов заданными сторонними
токами, требует развития математических методов, вы-
выходящих за пределы изучаемого курса.
6.2. Волны типа Е в прямоугольном
волноводе
Как уже упоминалось, волны Е-типа в линиях пере-
передачи характеризуются тем, что в их электромагнитных
полях присутствуют продольные составляющие электри-
электрического поля, в то 'время как магнитное поле этих волн
поперечно. Другими словами, здесь Ё2ФОУ Н2 = 0.
Этот несколько особый характер составляющей Ег по-
позволяет однозначно выразить все поперечные составляю-
составляющие электромагнитного поля любой волны типа Е через
частные производные от Ег по .поперечным координатам
на основании формул E.18). Поскольку здесь #z = 0,
формулы перехода принимают следующий весьма про-
простой вид:
— ]h дЁ% гт jcoea дЕ%
Ъ — \h дЁг ^ тт — jcosa дЁг
у g2 ду у g2 дх
(ел)
Таким образом, если удастся найти составляющую
поля Ez в каждой точке внутренней области волновода,
то задача будет решена полностью. Для этого необходи-
необходимо воспользоваться уравнением Гельмгольца, которому
удовлетворяет любая составляющая, в том числе и Ёх\
= 0. F.2)
99

Решение этого уравнения будем искать в виде, характер-
характерном для всех волноводных задач, которые будут рассмат-
рассматриваться в дальнейшем:
Ez(x,yiz) = Ez(x,y)e4hz. F.3)
Здесь Ez(x, у)—подлежащая определению веществен-
вещественная функция, описывающая распределение поля в по-
поперечной плоскости волновода. Независимость амплиту-
амплитуды поля от продольной координаты z объясняется тем,
что, по исходному предположению, источники потерь
в исследуемом волноводе отсутствуют. Изменение фазы
вдоль оси распространения описывается экспоненциаль-
экспоненциальным множителем вида e~ihz. Знак в показателе экспонен-
экспоненты указывает на то, что решение вида F.3) соответст-
соответствует бегущей волне, распространяющейся в положитель-
положительном направлении оси г. Продольное волновое число h
в отсутствие потерь является вещественным и должно
быть найдено, исходя из геометрических размеров сече-
сечения волновода и рабочей длины волны генератора Ко.
Избранный вид решения .позволяет несколько упро-
упростить исходное уравнение F.2). Действительно, подста-
подставив F.3) в F.2) и воспользовавшись правилом диффе-
дифференцирования экспоненты, будем иметь следующее урав-
уравнение относительно неизвестной амплитуды Ez(x, у):
s\Ez-\-g*Ez = b. F.4)
Здесь \2. =д2[дх2-]-д*/ду2 — поперечный оператор Лап-
Лапласа, действующий на неизвестную функцию ^ишь по
координатам х и у\ g—}/у2 — hz —поперечное волновое
число.
Необходимо найти не просто общее решение уравне-
уравнения F.4), а найти такое решение, которое на идеально
проводящем контуре сечения волновода удовлетворяло
бы очевидным граничным условиям Ех = 0.
В общем случае следует предполагать наличие всех
трех составляющих электрического поля. При этом со-
составляющая Ez является тангенциальной ко всем четы-
четырем стенкам волновода и должна обратиться на них
в нуль:
= 0 при Xz==0' Х = п> F.5)
100

Составляющая Ех должна обратиться в нуль лишь на
широких стенках волновода, параллельных оси х:
Ёх = 0 при у = 0, у = Ь. F.6)
Наконец, на узких стенках следует требовать обращения
в нуль составляющей Ёу:
Ёу = О при jc = O, x = a. F.7)
Однако легко убедиться в том, , что граничные усло-
условия F.5) —F.7) не независимы. Действительно, согласно
формулам перехода F.1) в случае волн Е-типа попереч-
поперечные составляющие электрического поля Ех и Ёу пропор-
пропорциональны частным производным дЁ2[дх и дЁг[ду соот-
соответственно. Таким образом, приведенная система гранич-
граничных условий может быть выражена через Ez и ее произ-
производные по поперечным координатам:
Ezr=0 при ' (а)
у=0, у = Ь,
-^- = 0 при t/ = U, y=b,
дЁг п п
л z =0 при x = v, x — a.
oy r '
(б) F.8)
Очевидно, что условие (а) обеспечивает постоянство Ег
на контуре сечения волновода и автоматическое выпол-
выполнение условий (б) -и (в).
Таким образом, волны типа Е в прямоугольном вол-
волноводе описываются (решениями следующей краевой за-
задачи:
Ez=z0 при х = 0, х = а, F.9)
у = 0, у=Ь.
В математической физике краевая задача, в которой
искомая функция должна обратиться в нуль на границе
области, носит название однородной краевой задачи
Дирихле.
101

Интересно отметить, что для рассматриваемой элек-
электродинамической задачи легко найти механическую ана-
аналогию. Оказывается, что краевая задача вида F.9) воз-
возникает при рассмотрении колебаний однородной жесткой
мембраны прямоугольной формы с размерами сторон а
и Ь. Роль искомой функции выполняет смещение точки
мембраны относительно положения равновесия в направ-
направлении, перпендикулярном ее плоскости. Нулевое условие
на границе эквивалентно жесткому закреплению краев
мембраны.
Попытаемся подытожить основные результаты на
данном этапе исследования. Итак, 'получена строгая ма-
математическая формулировка проблемы распространения
волн типа Е в прямоугольном волноводе в виде краевой
задачи, причем уравнение F.4) принципиально проще
исходного уравнения F.2), поскольку первое из них опи-
описывает лишь колебания поля в поперечной плоскости,
в то время как второе относится к трехмерному волно-
волновому процессу.
Решать данную краевую задачу будем с помощью так
называемого метода разделения переменных,
часто называемого также методом Фурье (отметим, что
этот метод не имеет ничего общего с рядами или интег-
интегралами Фурье). Данный метод состоит в том, что реше-
решение краевой задачи вида F.9) ищется в виде произве-
произведения двух функций, каждая из которых зависит лишь
от одной из поперечных координат:
Ez(x, y)=X(x)Y(y). F.10)
Вообще говоря, такой вид решения является весьма
частным. Однако в математической физике показывает-
показывается, что для рассматриваемого класса краевых задач об-
общее решение действительно может быть записано в виде
произведения двух независимых функций. Подставляя
'F.10) в первое уравнение F.9), будем иметь
0. F.11)
Здесь двумя штрихами обозначена операция взятия вто-
второй производной. Деля почленно обе части уравнения
F.11) на искомое решение, получаем
X"/X + Y"/Y = —g*. F.12)
В левой части равенства F.Г2) стоят две функции, каж-
каждая из которых зависит только от кооодинаты х или у,
102

Для fOTO чтобы F.12) выполнялось -Тождественно при
любом х и у, необходимо выполнение равенств
X"IX = -g2x, F.13)
Y"/Y = -?> (б-14)
где gx, gy — неизвестные числа, удовлетворяющие соот-
соотношению
el+el^g1. F-15)
Теперь можно 'понять смысл введения метода разде-
разделения переменных. Он заключается в том, что вместо
одного уравнения в частных производных получаются два
уравнения F.13) и F.14) в обыкновенных производных
с постоянными коэффициентами, которые могут быть за-
записаны в следующем более привычном виде:
X" + i?x=of F.16)
Y" + g2yY = 0. F.17)
Общие решения уравнений F.16), F.17) могут быть
представлены в форме:
X(x)=As\n(gxx)+Bcos(gxx), F.18)
Y(y) =C sin(gyy)+D cos (gyy), F.19)
откуда
Ёх = [A sin (gxx) + В cos (gxx)][C sin (gyy) +
os(gyf/)]e-jftz. F.20)
Итак, общее решение уравнения Гельмгольца полу-
получено, однако остается выбрать шесть произвольных вели-
величин— А, В, С, D, gx, gy таким образом, чтобы выполня-
выполнялись граничные условия на стенках волновода. Прежде
всего, заметим, что из условия Ez = 0 при х=0и у=0 сле-
следует обращение в нуль коэффициентов при косинусои-
дальных слагаемых, т. е. B = D = 0. Далее, поскольку рас-
рассматриваемый волновод является линейной системой и
совершенно безразлично, при каком уровне распростра-
распространяющегося сигнала проводить его анализ, произведение
103

двух оставшихся амплитудных коэффициентов можно
обозначить через Ео и записать
Ёг = Ео sin (gxx) sin (gyy) <T']hz. F.21)
Теперь осталось подобрать величины gx и gy. Из гра-
граничного условия Ez = 0 при х = а следует, что
sin (gxa) =0. F.22)
Совершенно аналогично граничное условие Ez = 0 пр>и
у = Ь приводит к тождеству
sin(gyb)=O. F.23)
Легко доказать, что тождественное выполнение ра-
равенств F.22) и F.23) возможно лишь в том случае, если
gx = mn/a, gy = nn/b, F.24)
где т, п — любые целые положительные числа. Отметим,
что для рассматриваемых волн Е-типа ни одно из этих
чисел не может быть равно нулю, в противном случае
составляющая поля Ez, а следовательно, и все другие
составляющие электромагнитного поля тождественно об-
обратятся в нуль в каждой точке поперечного сечения вол-
волновода.
Итак, окончательно
ЁХ = Е. sin^ x) sin [^ у) e-*z. F.25)
Из приведенного анализа можно сделать следующий
вывод. Краевая задача F.9) имеет отличные от нуля
решения не лри любых значениях параметра g, а только
при таких, которые связаны с геометрическими разме-
размерами волновода следующим соотношением:
g = \Г(т*1аУ + {пф)\ F.26)
Каждой паре чисел т, п соответствует величина g, но-
носящая название собственного зн ачени я для дан-
данной краевой задачи. Каждому собственному значению
104

соответствует функция типа F.25), называемая соб-
собственной функцией, описывающая распределение
составляющей Ёг для волны типа Етп в данном волно-
волноводе. Числа тип называются индексами данного типа
колебаний. Физически они означают число стоячих полу-
полуволн, существующих вдоль координатных осей х и у со-
соответственно. Поскольку индексы могут быть как угодно
велики, в прямоугольном металлическом волноводе воз-
Рис. 6.2. Картина мгновенного распределения силовых линий элек-
электромагнитного поля волны типа Ец в прямоугольном волноводе.
можно существование сколь угодно большого числа волн
типа Е. Однако из сказанного следует, что волны ти-
типов Eon и Ет0 не существуют.
Для построения картин поля в волноводе на любом
типе волны следует найти все остальные составляющие
электромагнитного поля по формулам перехода F.1). Не
останавливаясь на деталях построения, приведем карти-
картину мгновенного распределения силовых линий вектороз
Е и Н для простейшей волны типа Ец (рис. 6.2). Дан-
Данная картина поля, в которой по обеим поперечным осям
укладывается по одной стоячей полуволне, позволяет по-
построить картину поля для любого более сложного коле-
колебания типа Е. При этом изображенное здесь распреде-
распределение следует «повторить» такое число раз, которое рав-
равно значению индекса требуемого типа волны по той или
иной координатной оси. Поскольку зависимости состав-
составляющих полей описываются гармоническими функциями
координат, направление стрелок на силовых линиях в со-
соседних пучностях стоячих волн должно чередоваться.
Следует отметить, что тю причинам, которые станут
ясными при дальнейшем изложении, волны типа Е в пря-
прямоугольном металлическом волноводе находят весьма
ограниченное практическое применение.
105

6.3. Вычисление критической длины волны
и длины волны в волноводе
Основываясь на приведенном здесь анализе волн типа
Е, найдем связь между продольным волновым числом,
двумя геометрическими параметрами волновода — раз-
размерами сечения а и b и длиной волны возбуждающего
генератора Ко.
На основании материала, .приведенного в § 6.2, имеем
fi2=y2—g*. F.27)
Напомним, что входящие в F.27) постоянная распрост-
распространения в свободном пространстве у и продольное вол-
волновое число h очень просто связаны с длиной волны ге-
генератора Ко и длиной волны в волноводе й,в:
7=12яДо; А = 2яДв. F.28)
В свою очередь, поперечное волновое число g, опреде-
определяемое формулой F.26) зависит лишь от геометрических
размеров сечения и от индексов выбранного типа волны
и совершенно не зависит от частоты.
Формула iF.27) позволяет вскрыть важнейшую осо-
особенность работы любого волновода рассматриваемого ти-
типа. Если y>g, то продольное волновое число является
вещественным, а это, как уже известно, означает рас-
распространение данного колебания в виде бегущих волн.
Если длина волны генератора увеличена настолько, что
Y<g", то вместо бегущей волны в волноводе существуют
нераспространяющиеся колебания, амплитуда которых
экспоненциально уменьшается по координате г. Об этом
свидетельствует мнимый характер продольного волново-
волнового числа h.
Граничный случай возникает, когда у равна g. При
этом h = 0 и, как следствие, Кв = оо. Принято говорить,
что в данных условиях рассматриваемый тип колебаний
находится в критическом режиме. Значение длины волны
генератора, соответствующее случаю y=g, называется
критической длиной волны для данного типа колебаний
в исследуемом волноводе и обозначается KKV. -Во избежа-
избежание недоразумений в ряде случаев приходится указы-
указывать, к какому типу колебаний эта величина относится,
или, по крайней мере, обозначать индексы рассматривае-
рассматриваемого типа колебаний.
W

Из приведенных рассуждений следует, что
откуда
(п/Ь)*
F.29)
F.30)
Связь между тремя волновыми числами F.27) может
быть выражена через соответствующие длины волн сле-
следующим образом:
1/Я^=1/Ао ~ V^kp* F-31)
Это равенство показывает, что при изменений величины
^о длина волны в волноводе изменяется не пропорцио-
пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе
от длины волны в свободном пространстве носит назва-
название дисперсионной характеристики волново-
волновода. В явном виде эта характеристика описывается фор*
мулой, вытекающей из F.31):
Яв=
F.32)
Легко заметить, что вывод формулы F.32) основан
только на двух предпосылках: пропорциональности комп-
комплексных амплитуд бегущих волн множителю e~)hz и су-
существовании понятия критической длины волны. По-
Поскольку обе предпосылки
справедливы для любого ти- *
ла колебаний в полом метал- л,
лическом волноводе с произ-
произвольной формой поперечного
сечения, то полученный ре-
результат имеет универсальное
значение для всех рассмат-
рассматриваемых волноводов. Раз-
Разница будет обнаруживаться
лишь в различных способах о хКр х0
вычисления величины W Рис 63. Дисперсионная ха-
Диспероионную характе- рактеристика волновода,
ристику волновода весьма
удобно изобразить на трафике, подобном приведенному
на рис. 6.3. Вся область длин волн, меньших, чем Л,Кр,
является областью «прозрачности» данного волновода
на рассматриваемом типе колебаний; причем, если
, то длина волны в волноводе лишь в очень ма-
107

лой степени отличается от длины волны в свободном
пространстве, всегда превосходя ее. Если Ко на графике
рис. 6.3 стремится к ,ЯКр слева, то длина волны в волно-
волноводе стремится к бесконечности. При переходе Яо через
граничное значение А,Кр в волноводе имеются уже не бе-
бегущие, а экспоненциально затухающие волны. Всю об-
область частот, которой соответствуют Хо>Хкр, называют
областью «непрозрачности» или областью отсечки.
То, что длина волны в волноводе всегда превосходит
длину волны в свободном пространстве, обусловлено тем,
что как волны типа Е, так и волны типа Н в волноводах
с идеально проводящими стенками распространяются
с фазовыми скоростями, большими, чем скорость света
в вакууме с (см. § 5.4). Поскольку фазовая скорость,
длина волны и частота связаны очевидным соотношени-
соотношением, из F.32) следует формула для вычисления фазовой
скорости
F.33)
6.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе
Волны типа Н характеризуются тем, что здесь маг-
магнитное поле имеет продольную составляющую HZy в то
время как электрическое поле поперечно, т. е. Ё/=0.
Будем предполагать, что геометрия и физические па-
параметры волновода остаются такими же, как -и при рас-
рассмотрении волн типа Е. Все составляющие электромаг-
электромагнитного поля могут быть выражены через составляющую
Н2 с помощью формул перехода, вытекающих из E.18):
ду ' *' g> дх ' F34)
По аналогии с рассмотренным в § 6.3 составляющая Hz
должна удовлетворять уравнению Гельмгольца, решение
которого должнр искаться в виде
Hz{x,y>z) = H2(x>y)z~]hz- F.35)
108

Здесь амплитудная функция #z(x, у) является решением
двумерного поперечного уравнения
\2±Нх+е*Н2 = 0. F.36)
Как и ранее, g = y^2 — h2 — поперечное волновое число.
Уравнение F.36) должно быть дополнено граничны-
граничными условиями, обеспечивающими обращение в нуль тан-
тангенциальных составляющих электрического поля на иде-
идеально проводящих стежках волновода. Эти условия запи-
записываются следующим образом:
Ех = 0 при у = 0, у = Ь,
Еу = 0 при х = 0, х = а. F.37)
Формулы перехода позволяют записать данные условия
через искомую функцию Hz\
-^ = 0 при г/ = 0, у = Ь,
^f- = 0 при jc = O, x = a. F.38)
Таким образом, исследование распространения волн
типа Н в прямоугольном металлическом волноводе сво-
сводится к решению краевой задачи F.36) — F.38). Данная
краевая задача отличается от задачи, которая описыва-
описывала распространение волн типа Е, тем, что здесь на гра-
границе области, т. е. на контуре сечения волновода, обра-
обращается в нуль не сама искомая функция, а ее производ-
производная по направлению нормали. В математической физике
такие краевые задачи носят название однородных крае-
краевых задач Неймана. В частности, задача, полностью
подобная рассматриваемой, встречается в механике при
рассмотрении колебаний упругой мембраны прямоуголь-
прямоугольной формы с незакрепленными краями. Равенство нулю
нормальной производной на краях означает отсутствие
в этих точках мембраны внутренних натяжений.
Рассматриваемая краевая задача решается методом
разделения переменных. Отсылая за подробностями к ма-
материалу § 6.2, запишем общее решение уравнения Гельм-
гольца в виде
Hz = [A sin {gxx) + В cos {gxx)][C sin (gyy) -f
-j7i2. F.39)
109

Граничные условия F.38) при * = 0, у = 0 могут быть
удовлетворены тогда, когда Л = С = 0. Далее, обозначая
произведение BD как Яо, будем иметь
Нг = Яо cos (gxx) cos (gyy) е~]Л*. F.40)
Из условий при х = а, y = b следует, что
F.41)
Здесь т, п — целые положительные числа, не равные ну-
нулю одновременно. Как и раньше, поперечное волновое
число g определяется соотношением
/6)*. F.42)
Каждой паре индексов т, п соответствует магнитный тип
волны, обозначаемый как Hmn. Критическая длина вол-
волны для этого типа колебаний находится по формуле, сов-
совпадающей с F.30):
Якр= . 2 F.43)
Р V (т/а)* + (п/Ь)* V ;
Аналогично § 6.3 для волн Н-типов справедливы выра-
выражения
ав = -=^=-, F.44)
/I-(XoAkpJ
г)ф= й с . F.45)
Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямо-
прямоугольном волноводе является низшим, т. е. обладает наи-
наибольшей критической длиной волны. Из анализа форму-
формулы вида F.43) следует, что наибольшей критической дли-
длиной волны будет характеризоваться тот тип колебаний,
которому соответствуют наименьшие индексы. Посколь-
Поскольку для волн Н-типов
в данном случае один из индексов, но не оба вместе, мо-
может равняться нулю. В то же время известно, что для
волн Е-типа такая ситуация невозможна. Это значит, что
низший тип колебаний в прямоугольном волноводе при-
принадлежит к классу волн Н-типа.
110

При обсуждении постановки задачи условились счи-
считать, что размер сечения волновода по координате х
больше, чем по координате уу т. е. а>\Ь. Отсюда следует,
что из двух колебаний с наименьшими из возможных ин-
индексов, а именно Ню и 'Ноь наибольшей критической дли-
i ой волны будет обладать тип колебаний Ню, у которого
вдоль широкой стенки укладывается одна стоячая полу-
цолна, а вдоль узкой стенки поле неизменно.
6.5. Волна типа Ню
Рассмотрим этот тип колебаний в прямоугольном
волноводе более подробно как из-за большей наглядно-
наглядности, так и из-за широкого практического использования
этого типа колебаний.
Начнем с построения картины поля. При этом в ка-
качестве исходной можно использовать структуру поля вол-
XI
X к
! i
гтт
I гт
4JU-
ж ь ^
н
I 1
1-Г
Рис. 6.4. Построение картины электромагнитного поля волны
типа Ню.
ны Hi в волноводе, образованном двумя идеально про-
проводящими плоскостями (см. рис. 5.5). Обращаясь к
рис. 6.4, заметим, что поскольку силовые линии электри-
электрического вектора здесь параллельны поперечной коорди-
координате у, во внутреннем пространстве волновода можно
установить две идеально проводящие перегородки, от-
отстоящие друг от друга на расстояние Ь. В силу перпен-
перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам гра-
граничные условия на последних будут выполняться автома-
автоматически. Таким образом, можно рассматривать лишь
поля, существующие в замкнутой области с прямоуголь-
прямоугольной формой сечения. Структура поля волны типа Ню
в прямоугольном волноводе представлена на рис. 6.5.
Чрезвычайно важно отметить, что данная картина по-
поля останется справедливой при любом расстоянии h
1Ц

между перегородками или, согласно принятой здесь терч
мннологии, при любом размере узкой стенки волновода/.
Отсюда следует, что величина b не должна входить в вы/-
ражение, определяющее критическую длину волны длр
X
-
-
-
—
*-—
-
^ а
У.
—
"¦* f
i .
X {
I , ч \
V V J I
ч /
l Г N I
E
H
Рис. 6.5. Структура электромагнитного поля волны типа Ню.
данного типа колебаний. Действительно, из F.43) при
/п=1, п = 0 будем иметь
*якр)н10 = 2а- F.46)
Поскольку волна типа Ню в рассматриваемом волно-
волноводе является низшим типом колебаний, можно сформу-
сформулировать полученный результат следующим образом: по
прямоугольному волноводу могут передаваться лишь ко-
колебания с длинами волн, меньшими, чем удвоенный раз-
размер широкой стенки; более длинноволновые колебания
по волноводу принципиально распространяться не могут.
Запишем сводку аналитических выражений для со-
составляющих электромагнитного поля волны Ню:
нх=]
Ну = О, Ёу = - j
sin
F.47)
112

формулы F.47) получены с помощью правил перехода
E.18). Можно дать интересное физическое толкование
приведенных здесь выражений. Легко заметить, что по-
поперечные составляющие Ёу и Нх находятся между собой
фазе по времени. Если из этих двух составляющих об-
образовать комплексный вектор Пойнтинга, то он окажется
направленным по оси z и вещественным:
?-)l,. F-48)
Если же образовать вектор Пойнтинга из составляющих
Ёу и HZ1 которые И4еют сдвиг по фазе 90° (об этом
свидетельствует наличие мнимой единицы в выражении
для Ёу), то этот вектор окажется направленным по коор-
координате х и мнимым:
П, = 4" [ЕуХуНМ = }-?^- sin [~-j U. F.49)
Приведенные рассуждения соответствуют представле-
представлению волноводной волны как бесконечной последователь-
последовательности плоских волн, испытывающих отражения от стенок
Рис. 6.6. Представление волны типа Ню в виде совокупности пло-
плоских волн, отраженных от узких стенок волновода.
волновода (рис. 6.6). Энергия электромагнитного поля
в волноводе может быть разделена на два вида:
1) активную энергию, переносимую вдоль оси г,
2) реактивную (запасенную) энергию, связанную
с образованием поперечных стоячих волн вдоль оси х.
Токи на стенках волновода. Для нахождения плотности поверх-
поверхностного тока на идеально проводящих стенках волновода восполь-
воспользуемся уже известной формулой C.21).
Поскольку картина распределения силовых линий вектора Н
в исследуемой волне известна, построение линий тока на стенках не
представляет затруднений: эти линии образуют семейство кривых,
8—1443 ИЗ

ортогональное семейству силовых линий магнитного поля (рис. 6.7).
Важно отметить, что на рис. 6.7 изображена мгновенная картина
распределения токов; во времени она перемещается как единое це-/
лое со скоростью t/ф. /
Физически можно представить, что ток, растекаясь, например/,
из центральной области нижней широкой стенки по радиальным Haf
—
—j
—•¦
1
/
-
" —
—
Рис. 6.7. Распределение плотности поверхностных токов на стенках
прямоугольного волновода с волной Hjo.
правлениям, затем огибает два нижних ребра и, пройдя по узким
стенкам, вновь стекается в центральной области верхней широкой
стенки. Через половину длины волны направления линий тока ме-
меняются на обратные.
Интересно отметить, «и это видно из представленного чертежа,
что точки схождения и расхождения линий тока располагаются как
раз там, где напряженность электрического поля равна нулю. Это
можно объяснить физически. Очевидно, что линии тока всегда долж-
должны быть замкнуты. В рассматриваемом случае токи проводимости
на стенках волновода замыкаются посредством токов смещения, ко-
которые текут по внутреннему пространству волновода в направлении.
Щ

б^й у. Плотность токоб смещения связана с напряженностью элек-
электрического поля следующим соотношением:
Поскольку для бегущей волны напряженность электрического поля
записывается как
Е(х, у, t) = E(x, у) cos (mt-hz), F.50)
получаем
JCM =—ыгаЬ(ху у) sin (со/—hz). F.51)
Таким образом, токи смещения максимальны не в точках, где
напряженность электрического поля наибольшая, а в точках, от-
отстоящих от последних на четверть пространственного периода, т. е.
на Хъ/4.
Излучающие и неизлучающие щели. Приведенное исследование
распределения поверхностных токов на стенках волновода с волной
Ню позволяет качественно решить весьма важную для практики за-
задачу о связи волновода с окружающим пространством посредством
щелей, прорезанных в его стенках.
В волноводной технике щелью Называют, как правило, прямо-
прямоугольное отверстие, длина которого значительно превосходит ширину.
Предположим, что в узкой стенке волновода прорезаны две
щели, одна из оторых ориентирована в осевом направлении, а вто-
Рис. 6.8. Излучающая A) и неизлучающая B) щели на стенках
волновода.
рая — в поперечном (рис. 6.8). Первая из них характерна тем, что
она перерезает линии поверхностного тока под углом 90°. Ток, под-
подтекающий к верхней кромке разреза, вызовет здесь избыток поло-
положительных зарядов (рассматривается электротехническое направле-
направление тока). Очевидно, что на нижней кромке будет наведен равный
по величие отрицательный заряд. Во времени эти заряды будут из-
изменяться в такт с колебаниями генератора. Характеристики щелей
с колеблющимися зарядами будут обсуждены в конце данного кур-
курса. Здесь достаточно упоминания о том, что подобная щель ведет
себя как излучатель электромагнитных волн.
8* 115

Совсем по-другому ведет Себя щель, прорезанная параллельно
линиям тока. Из-за узости такой щели количество наведенных На-
Нарядов будет весьма невелико, так что излучение из щели будет йе-
значительным.
Итак, может быть сформулирован общий принцип: щель
в стенке волновода излучает в том случае, если она перерезает
линии тока.
Излучающие щели находят широкое 'применение при создании
так называемых щелевых волноводных антенн в диапазоне сантимет-
Рис. 6.9. Принципиальная схема волноводной измерительной линии:
/ — волновод, работающий на волне типа Ню; 2 — продольная щель; 3 — зонд,
4 — полупроводниковый диод; 5 — измерительный прибор.
ровых волн. В ряде-случаев возникает потребность в неизлучающих
щелях, позволяющих вводить внутрь волновода различные измери-
измерительные устройства без искажения структуры поля. В качестве при-
примера на рис. 6.9 «оказана схема волноводной щелевой измеритель-
измерительной линии — одного из важнейших измерительных приборов СВЧ.
Здесь подвижный зонд, т. е. миниатюрная антенна, соединенный
с детектором, перемещается вдоль узкой щели, прорезанной в осевом
направлении точно посередине широкой стенки волновода. Выбор по-
подобного расположения щели обеспечивает отсутствие излучения из
волновода. Измеряя ток детектора в различных точках по оси волно-
волновода, можно изучать картину стоячей волны и находить параметры
нагрузок, подключаемых к волноводу.
6.6. Основы применения прямоугольных волноводов
Различные волноводы используются в диапазоне длин волн •при-
•приблизительно от 50 см до 1 мм. Если говорить о наиболее характер-
характерном использовании волноводов в качестве линий передачи, то на
волнах дециметрового диапазона волноводы применяются лишь
в мощных устройствах, а начиная с длины волны приблизительно
6 см— повсеместно. Столь широкое применение полых металических
волноводов обусловлно рядом их достоинств: высокой технологич-
технологичностью волноводных конструкций, весьма малым затуханием, возмож-
возможностью передачи огромных импульсных мощностей.
116

Чаще всего волноводные тракты строятся на основе 'Прямо-
'Прямоугольных металлических волноводов, по которым распространяется
низший тип колебаний Ню. Причины этого состоят в следующем:
1) в возможности достижения наименьших поперечных габаритов,
2) в устойчивости структуры поля' в волноводе .при введении йеодно-
родностей. Если первая из перечисленных здесь причин не требует
пояснений, то на второй из них стоит остановиться особо.
Совершенно очевидно, что реальный вэлноводный тракт не может
представлять собой идеально регулярный волновод. Регулярность
практических конструкций всегда нарушается неизбежным наличием
От генератора
К нагрузке
Диафрагма
Рис. 6.10. Картина электрического поля вблизи диафрагмы, помещен-
помещенной внутри' волновода.
оконечных устройств, изгибов оси, регулировочных элементов и т. д.
Необходимо, чтобы все эти неоднородности по возможности меньше
сказывались на качестве работы волноводного тракта во всем диа-
диапазоне рабочих частот.
Для примера рассмотрим прямоугольный волновод с волной Ню,
часть сечения которого перекрыта металлической диафрагмой, обес-
обеспечивающей согласование с какой-либо оконечной нагрузкой
(рис. 6.10). Из рисунка видно, что одно лишь падающее поле не мо-
может удовлетворить граничным условиям на диафрагме. Поэтому
здесь наряду с отраженной волной возникнет бесконечная последо-
последовательность волн высших типов, вообще говоря, как Е-, так и Н-ти-
пов; амплитуды и фазы этих волн автоматически установятся таким
образом, чтобы требуемые граничные условия были удовлетворены.
Здесь м'огут быть два случая.
1. Сечение волновода достаточно велико для того, чтобы часть
этих высших волн оказалась распространяющимися. Подобные волно-
волноводы будем называть многоволновыми. При этом поле справа от
диафрагмы (генератор слева) будет представляться суммой полей
этих волн и прошедшей части основной волны Ню. Естественно, что
это суммарное «поле может^ весьма значительно отличаться от исход-
исходного «Оля падающей волны.
2. Поперечные размеры волновода выбраны таким образом, что
все типы колебаний, кроме основного, являются затухающими. Та-
Такой волновод принято называть одноволновым. В одноволновом вол-
волноводе энергия колебаний высших типов будет сконцентрирована
лишь в непосредственной близости от диафрагмы. На расстояниях
порядка одной длины волны справа от препятствия структура поля
окажется практически такой же, как и в -падающей волне.
На практике в подавляющем большинстве случаев используются
прямоугольные волноводы в одноволновом режиме. Одной из глав-
117

йьтх причин такого использования является то, что эффективность
работы оконечных устройств, служащих для вывода энергии из вол-
волновода, оолностью определяется структурой поля в месте их поме-
помещения. В качестве примера рассмотрим упрощенный вариант часто
применяемого оконечного устройства — волноводно-коаксиальтгого
перехода, сочленяющего прямоугольный волновод с коаксиальным
Штырь
Коаксиальный кабель
Рис. 6.11. Принципиальная схема волноводно-коаксиального перс-
хода.
кабелем (рис. 6.11). Здесь внутренний проводник коаксиального
кабеля 'проходит внутрь волновода через отверстие в центре широ-
широкой стенки, образуя миниатюрную штыревую антенну. Расстоя-
Расстояние между штырем и короткозамыкающей стенкой выбирается рав-
равным Яв/4. Из эпюр распределения напряженности электрического
поля, показанных на рис. 6Л1, видно,
что штырь находится в (пучностях стоя-
стоячих волн пю обеим осям. Именно это и
обеспечивает эффективный отбор мощ-
мощности из волновода.
Если теперь допустить, что по вол-
новоду наряду с основной волной рас-
распространяется одна из волн высших ти-
типов, например Н2о, то, как это следует
из 'рис. 6.12, мощность, иереноси/мая вол-
волной высшего типа, не будет поступать
в коаксиальный кабель, ибо штырь ока-
окажется в минимуме электрического ноля
для волны Н2о.
Описанное положение усугубляется
еще и тем, что волны различных типов
распространяются /по волноводу с раз-
различными фазовыми скоростями, соотношения между которыми зави-
зависят от частоты. Из-за этого интерференция между различными ти-
типами колебаний носит различный характер «а разных частотах. Это
ведет к тому, что частотная зависимость коэффициента передачи
многоволнового волновода (может быть весьма нерегулярной. На
рис. 6.13 показаны возможные частотные характеристики одноволно-
вого и многоволнового волноводов.
Итак, встает задача выбора геометрических размеров сечения
волновода, которые обеспечивали бы одноволновый режим работы
118
Рис. 6.12. Электрическое
поле в волноводно-коак-
сиальном переходе на
волне типа Н2о-

в заданном частотном диапазоне. При выборе геометрических раз-
размеров волновода следует исходить из того, что для волн как Е-
так и Н-титюв критическая длина волны находится по одной и той
же формуле:
2
причем ЯКр тем меньше, чем больше индексы волны т, п.
р0ых/^
р6ых
о;
Рис. 6.13. Возможные формы частотных' характеристик четырех-
четырехполюсника, образованного отрезком волновода:
1 — одноволновый волновод; 2 — многоволновый волновод.
Рассмотрим совокупность типов волн с наибольшими значения-
значениями Якр. Непосредственное вычисление дает:
Для простоты будем полагать, что Ь = а/2, что обычно достаточно
хорошо выполняется на практике. Отсюда будем иметь
(^кр)н20 = а, (Хкр)ни = (^kp)Eu
Последний результат позволяет построить так называемую диаграм-
диаграмму типов колебаний прямоугольного волновода, изображенную на
рис. 6.14. Принцип построения такой диаграммы весьма прост: на
оси длин волн вертикальными штрихами обозначаются критические
длины волн различных типов колебаний в порядке их убывания. На
диаграмме типов колебаний можно выделить три характерные об-
области:
1) область отсечки (Яо>2а), в которой распространяющихся ти-
типов колебаний не существует вообще;

2) область одноволновости (а^Хо^2а)у в пределах которой
возможно распространение лишь основного типа колебаний Ню/
3) область многоволновости (Ко<а), в которой помимо основ-
основной волны по волноводу принципиально могут распространяться ко-
нй1
0
Zcl a
\Г5
2а
Рис. 6.14. Диаграмма типов колебаний в прямоугольном волноводе
при Ь/а= 1/2.
лебания высших типов. Например, если рабочая длина волны лежит
в интервале между а и 2а/]/5, то в волноводе могут одновременно
существовать три распространяющихся типа колебаний — Ню, Нго
и Hoi. Если длина волны становится меньше, чем 2а/Уб, то к ним
добавляются еще колебания типов Ни и Еи и т. д. Разумеется, что
в области многоволновости расположено бесконечное множество
высших типов, не показанных на рис. 6.14.
Рис. 6.15. Возможность селективного возбуждения различных типов
волн в волноводе:
а — возбуждение волны типа Ню; б — возбуждение волны типа Ноь
Подчеркнем здесь одно очень важное обстоятельство. Сам факт
многоволновости какого-либо волновода еще не означает, что по не-
нему действительно распространяются все возможные типы колебаний.
Можно таким образом возбудить волновод, что в нем будет сущест-
существовать только один, причем не обязательно низший, тип колебаний.
Пусть, например, \а<а, так что по волноводу могут распространять-
распространяться волны типов Ню и Hoi. На рис. 6.15 показаны два. способа воз-
возбуждения такого волновода с помощью штыря. Из рисунка видно,
что при первом способе возбуждения штырь оказывается параллель-
параллельным вектору Е для волны Ню и перпендикулярным к вектору Е
для волны Hoi. В соответствии с принципом, речь о котором
20

шла ранее, при таком способе возбуждения в данном много-
волновом волноводе будет создан лишь ти<п колебаний Ню, в то
время как амплитуда колебаний типа Hot будет равна нулю тож-
тождественно. При втором способе возбуждения ситуация станет ди-
диаметрально противоположной: возбужден будет лишь тип колеба-
колебаний Hoi. Однако несмотря на принципиальную возможность селек-
селективного возбуждения низшего типа колебаний в многоволновом
волноводе, (практическое использование таких систем оказывается
нецелесообразным ввиду неизбежного возбуждения волн высших ти-
типов на нерегулярностях передающих линий.
Итак, приниципиально прямоугольный волновод с отношением
сторон 2: 1 может обеспечить одноволновый режим в интервале
длин волн от Хомин = а до Ломаке=2а. Однако на практике весь
этот интервал никогда не используют по следующим причинам.
Во-первых слишком близкий подход к значению Х0 = а нежелателен
из-за возможности случайной перестройки генератора в область
многоволновости. Во-вторых, как это будет показано в гл. 9, в ок-
окрестности критической длины волны, т. е. при Яо~2а, резко возра-
возрастают омические потери в стенках волновода. По этим причинам
существующие стандарты рекомендуют следующее использование
рабочей полосы волновода:
Яомин^ 1,05л; Яомакс = 1,6а.
Для любого участка СВЧ и К'ВЧ диапазонов существуют реко-
рекомендуемые или стандартные сечения прямоугольных волноводов.
В табл. 6.1 приведены сечения волноводов для некоторых часто
употребляемых диапазонов длин волн.
Таблица 6.1
Диапазон длин волн
4 ММ
8 мм
3 см
10 см
Сечение волновода
а, мм
3,6
7,2
23
72
в, мм
1,8
3,4
10
34
6.7. Характеристические сопротивления волноводов
По физическому смыслу характеристическое со-
сопротивление— это отношение электрической характе-
характеристики какого-либо волнового процесса к его магнит-
магнитной характеристике. Напомним, что в теории линий с рас-
распределенными лостоянными вводится характеристическое
сопротивление
/
где О и, / — комплексные амплитуды напряжения и тока
в бегущей волне.
121

В изучаемом курсе было введено характеристическое
сопротивление среды для плоской электромагнитной
волны
В теории волноводов целесообразно определить ха-
характеристическое сопротивление как отношение попереч-
поперечных составляющих векторов Ё и Н:
Приведем рассмотрение для волн Е- и Н-типов в от-
отдельности.
Волны типа Е. Здесь в соответствии с формулами пе-
перехода E.18) имеем
Отсюда ,по формуле F.52) будем иметь
F.53)
Выражение F.53) можно упростить, воспользовавшись
тем, что
¦ (Ill \г
Учитывая это, получим
ZcE = Z V 1 — (Kl^pY , F.54)
где Zc — характеристическое сопротивление среды, за-
заполняющей волновод.
Волны типа Н. Здесь все выкладки совершенно ана-
аналогичны проведенным для волн типа Е. Не останавли-
останавливаясь на подробностях, приведем окончательный резуль-
результат:
У. F.55)
В § 6.8 будет продемонстрирована эффективность
применения понятия характеристического сопротивления
к одной из важных волноводных задач.
122

6.8. Мощность, переносимая по прямоугольному
волноводу колебанием типа Ню
Для любого типа колебаний мощность, переносимая
вдоль оси г, определится как интеграл от продольной
составляющей вектора Лойнтинга, взятый по поперечно-
поперечному сечению волновода:
fcy. F.56)
В случае колебания типа Ню продольную составляю-
составляющую вектора Пойнтинга можно вычислить следующим
образом. Прежде всего заметим, что комплексная ампли-
амплитуда единственной составляющей электрического поля
Ёу может быть записана как
^у-»\ F.57)
где ^макс — максимальная амплитуда напряженности
электрического поля, существующая в центральном се-
сечении волновода, т. е. при х = а/2.
Отсюда, воспользовавшись понятием характеристиче-
характеристического сопротивления волновода, находим поперечную со-
составляющую напряженности магнитного поля:
Знак в формуле F.58) выбран так, чтобы поток энер-
энергии был направлен вдоль положительного направления
оси z.
При нахождении среднего значения вектора Пойнтин-
Пойнтинга следует осуществить векторное умножение амплитуды
поля Е на сопряженную амплитуду поля Н, которая
в данном случае равна
-?м
Отсюда
1 /\ / Ас
)- F'59)
Аналогичный результат был получен ранее [см. фор-
формулу F.48)], однако здесь удобнее выразить плотность
123

потока мощности в волноводе через амплитуду не маг-
магнитного, а электрического поля.
Интегрируя F.59) и учитывая, что
а
Г sin2 (тсх/а) dx = а/2,
о
получаем
Ч , Вт. F.60)
Данный результат позволяет ответить на весьма важ-
важный для практики вопрос о предельно допустимой мощ-
мощности, передаваемой по прямоугольному волноводу. Дело
в том, что максимальная амплитуда ?"Макс не должна
превосходить некоторого вполне определенного уровня,
выше которого наступает электрический пробой среды,
заполняющей волновод. Так, для сухого воздуха при
нормальном атмосферном давлении (?макс)доп = 30кВ/см.
Выделим в формуле F.60) сомножитель
характеризующий удельную мощность, переносимую че-
через единичное сечение волновода. Если условиться, что
на средней частоте диапазона использования волновода
Лоср/2а=О>7, и затем подставить в F.61) предельно до-
допустимую величину напряженности электрического поля,
то получим, что для волны типа Ню
= 420 кВт/см2.
При расчете волноводного тракта из-за возможности
возникновения стоячих волн обычно допускают трехкрат-
трехкратный запас и полагают
РуДдоп=150 кВт/см2.
Нужно отметить, что 'приведенные здесь весьма высокие значе-
значения допустимых мощностей относятся исключительно к импульсному
режиму работы, поскольку рассматриваются только электрические
причины пробоя и совершенно игнорируется возможность теплового
пробоя при передаче значительных средних мощностей.
^Повышение пробивной прочности волновода достигается за счет
заполнения его какой-либо средой с более совершенными электриче-
электрическими свойствами. Чаще всего это достигается путем герметизации
волноводного тракта и заполнения его воздухом под давлением
в несколько атмосфер.
124

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
КРУГЛЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
В данной главе решаются уравнения Гельмгольца,
описывающие волны электрического и магнитного типов
в полом металлическом волноводе с круговой формой
поперечного сечения. Обсуждаются возможные примене-
применения круглых металлических волноводов.
7.1. Постановка задачи
Круглый металлический волновод представляет собой
полую металлическую трубу с внутренним радиусом а,
бесконечно протяженную вдоль оси z (рис. 7.1). Исход-
Исходные предпосылки в рассматриваемом случае остаются
теми же, что и при исследовании прямоугольного волно-
волновода. Так, предполагается, что проводимость стенок вол-
волновода бесконечно велика, волновод однороден по осиz
Рис. 7.1. Круглый металлический волновод.
и внутренней средой является вакуум. Требуется про-
проанализировать распространение волн электрического и
магнитного типов в подобной системе,
Вообще говоря, для решения поставленной задачи
можно было бы воспользоваться теми результатами, ко-
которые получены применительно к волноводу с прямо-
прямоугольной формой сечения. Например, хорошо известна
структура поля волны типа Ню в прямоугольном волно-
волноводе (рис. 7.2,а). Прямоугольный контур сечения может
быть преобразован в круглый путем последовательных
деформаций. На рис. 7.2,6 изображен один из первона-
первоначальных моментов такой деформации. Принципиально
125

важно отметить, что силовые линии электрического век-
вектора всегда должны подходить к металлическим стенкам
волновода по направлению нормали. Этот принцип явля-
является определяющим при построении структуры поля.
В конечном итоге получим картину, изображенную на
рис. 7.2,6. Естественно, что она соответствует основной
-
-
L_ J
_-
-»-
i
--
-
—
—
H
**-
'-
¦-
—
—
—
Pi
—
—
¦ЧВМ
—
—
—^.
-a* ^
f/\\
kn"
\4
-
—
f-L4^
¦^-•иv>
Рис. 7.2. Последовательные этапы деформации прямоугольного вол-
волновода.
волне круглого волновода, что и будет показано в даль-
дальнейшем.
Несмотря на кажущуюся простоту, метод непрерыв-
непрерывной деформации сечения мало пригоден для поставлен-
поставленной цели, поскольку получение числовых характеристик
сопряжено здесь с весьма значительными математиче-
математическими трудностями. Поэтому дальнейшее исследование
будет опираться на непосредственное решение уравнений
Максвелла в той системе координат, которая в наиболь-
наибольшей степени отвечает геометрии данного волновода.
Легко видеть, что стенки изучаемого волновода сов-
совпадают с координатной поверхностью г = а цилиндриче-
цилиндрической системы координат (г, ф, г). По этой причине дан-
данная система координат оказывается самой подходящей
для решения поставленных задач. Уравнения Максвелла
без сторонних источников:
G.1)
= jcosa Ё,
rot Ё = —jc»|xa
в цилиндрической системе координат принимают следую-
следующий вид (см. приложение):
1 дЁ«
G.2)
126

В случае направляемых волн, распространяющихся
по оси z, комплексные амплитуды напряженности элек-
электрического и магнитного полей запишутся в виде
E(r,«p,z)=E(r.9)e-Jte, '
Частный вид зависимостей G.4) позволяет, как это было
сделано в § 5.7, выразить поперечные составляющие по-
полей Ей Н через частные производные от продольных со-
составляющих и получить следующие формулы перехода:
Отсюда сразу вытекает возможность существования
в круглом волноводе колебаний типов Е и Н в отдель-
отдельности. Для их исследования необходимо решить уравне-
уравнения Гельмгольца для Ёг и Hz:

Здесь использовано выражение оператора Лапласа в си-
системе координат (г, <р, г). Для случая направляемых
волн в последних уравнениях можно избавиться от част-
частных производных по продольной координате, введя по-
поперечное волновое число
В результате получим уравнения
°2E2Z f l дЕ* -f \ д2Е2*
G.8)
T dr
Разумеется, что однозначное решение этих уравнений
возможно лишь в том случае, когда они дополнены со-
соответствующими граничными условиями на стенках
волновода.
7.2. Волны типа Е в круглом волноводе
Задача о распространении по круглому металличе-
металлическому волноводу колебании электрического типа, харак-
характеризующихся условиями #z = 0, Ёгф0у сводится к реше-
решению уравнения Гельмгольца
при граничных условиях, обеспечивающих обращение в
нуль тангенциальных составляющих электрического
вектора на стенках волновода. Очевидно, что из трех
возмо кных составляющих поля Ё, а именно: Ёг, Ё ,
Ez касательными к стенкам волновода могут быть только
составляющие ?ф и Ez. Поэтому необходимо потребовать
?* = 0|г=вэ G.10)
?ф=0|г=а. G.11)
Из формул перехода G.5) непосредственно следует,
что два последних условия не являются независимыми.
Так, составляющая Е^ пропорциональная частной произ-
128

водной dEz/дцр, обратится в нуль при постоянстве Ех на
контуре волновода. Поэтому физически достаточно, что-
чтобы на металлических стенках волновода выполнялось
граничное условие G.10). Вместе с уравнением G.9) оно
образует однородную краевую задачу Дирихле.
Будем решать эту задачу методом разделения пере-
переменных. Положим, что
Ег(г, ф)=ВДФ(ф), G.12)
где R(r), Ф'(ф) —неизвестные функции только от г и q>
соответственно, подлежащие определению.
Подставляя G.12) в G.9), будем иметь
<№"+®R'lr+R®"lr2+g%R®=b. G.13)
Преобразуем уравнение G.13) таким образом, чтобы
в левой части располагались функции только от г,
а в правой — только от ср. Для этого левую и правую ча-
части следует разделить на произведение ЯФ:
G.14)
твенно
ва
G.15)
Решением уравнения G.15) служат функции
Ф(ср) = С081п [Mf), G.16)
COS
а также их любая линейная комбинация при произволь-
произвольном коэффициенте Со. Выбор той или иной из этих функ-
функций безразличен в силу симметрии волновода по угловой
координате ф. Однако для того чтобы выполнялось фи-
физически очевидное требование периодичности решения по
углу ф с периодом не более 2jt, m должно быть целым
числом или нулем (в последнем случае приемлемо толь-
только косинусоидальное решение).
Число т служит одним из индексов типа волны.
Рассмотрим теперь левую часть уравнения G.14)
с целью получить новое уравнение, описывающее ради-
радиальное распределение поля. Из G.14) и G.15) имеем
G.17)
9-1443 129
Для того чтобы G.14) удовлетворялось тождественно
при любых (Г и ф, необходимо выполнение равенства

Целесообразно преобразовать уравнение G.17) к не-
несколько другому виду, введя безразмерную независимую
переменную
x=gr, G.18)
откуда получим
5*+JL«+fl- 4-^=0- G.19)
dx2 ' х dx ' \ x2 J x '
Уравнение G.19) хорошо изучено в математической
физике и носит название уравнения Бесселя. С матема-
математической точки зрения уравнение Бесселя является ли-
линейным дифференциальным уравнением второго порядка
с переменными коэффициентами.
Цилиндрические функции. Так называют частные ре-
решения уравнения G.19). К ним относятся:
Jm(x) — функция Бесселя или цилиндрическая функ-
функция первого рода индекса т;
Nm(x) — функция Неймана или цилиндрическая функ-
функция второго рода индекса т.
Обе цилиндрические функции являются линейно неза-
независимыми, поэтому общее решение уравнения G.19) за-
записывается в виде
Щх) = CJm(x) + C2Nm(x)t G.20)
где Ci и Сг — некоторые произвольные постоянные.
Цилиндрические функции первого и второго рода
в цилиндрической системе координат играют ту же роль,
что синусоидальная и косинусоидальная функции в де-
декартовой прямоугольной системе. Из примерного вида
графиков этих функций, представленного на рис. 7.3,
видно, чтб они имеют много общего с гармоническими
функциями. Однако имеются и существенные различия:
1) цилиндрические функции в отличие от синусои-
синусоидальной и косинусоидальной не являются периодиче-
периодическими;
2) «амплитуда» этих функций также не постоянна,
а уменьшается с ростом независимой переменной х;
3) чем больше индекс т, тем сильнее смещены ци-
цилиндрические функции по оси х; на рисунке это показано
применительно к функциям Jm(x) и Jm+i(x);
4) вблизи начала координат функция Nm(x) неогра-
неограниченно велика:
130

Поэтому при реШеййй веёх Задач в круглых волново-
волноводах необходимо полагать С2=0, ибо присутствие на оси
волновода при г=0 бесконечно высоких напряженностей
полей физически нереально.
Рис. 7.3. Графики цилиндрических функций.
Для решения большинства практических задач наи-
наибольший интерес представляют простейшие цилиндриче-
цилиндрические функции J0(x) и Ji(x). В теории цилиндрических
0,75
0,S_
0,25
О
-0,25
-0,5
/
!1
i
i
к*
\
V
\
V
% X
Рис. 7.4. Функции Jq(x) и J\(x).
функций показано, что между ними существует следую-
следующее соотношение:
Ji(x)=-dh(x)ldx. G.21)
На рис. 7.4 представлены графики этих функций. Для
дальнейшего наибольший интерес представляют те зна-
значения аргумента, при которых обращаются в нуль либо
9* 131

сами функции Весселя, либо их Первые произйодные.
Введем следующие обозначения:
Vwn —/г-й корень уравнения^/™ (х) = О,
л-й корень уравнения ^ 1т (х) = 0.
Анализируя представленные графики, легко видеть, что
функция Jo(x) первый раз пересекает ось абсцисс в точ-
точке, приблизительно равной 2,405. В соответствии с при-
принятой договоренностью данная точка обозначается как
voi. Аналогично, первый положительный максимум функ-
функции Ji(x) приходится на значение аргумента 1,841, кото-
которое должно быть обозначено как \щ.
Для справочных целей приведем табл. 7.1, 7.2 наибо-
наиболее часто встречающихся в расчетах корней функций
Бесселя и их производных.
Таблица 7.1
п
1
2
3
Корни vmn функций Бесселя
/71=0
2,405
5,520
8,654
ш=1
3,832
7,016
10,174
ш=2
5,135
8,417
11,620
Таблица 7.2
п
1
2
3
Корни \*.тп производных функций Бесселя
т=0
3,832
7,016
10,174
т=1
1,841
5,335
8,536
т=2
3,052
6,705
9,965
Теперь можно вновь вернуться к исследованию волн
электрического типа. В соответствии с методом разде-
разделения переменных амплитуда продольной составляющей
напряженности электрического поля запишется в виде
sin
cos
(wp).
G.22)
Здесь поперечное волновое число g пока еще не опреде-
определено. Чтобы найти его, заметим, что граничное условие
132

будет выполнено в том случае, если поперечные волно»
вые числа принадлежат бесконечной дискретной после-
последовательности, удовлетворяющей соотношению
gmna=vmn, G.23)
откуда
! G.24)
Номер корня п является вторым индексом волны Emn-
Итак, окончательно комплексная амплитуда составляю-
составляющей Ёг для колебания типа Етп принимает вид
-ihz. G.25)
Физический смысл индексов тип очень прост: т
означает число вариаций поля по угловой координате
Ф, а п — число вариаций по радиальной координате г.
В частном случае т = 0 поля по углу ф не изменяются,
и такие типы волн называют симметричными.
Критические длины волн находятся на основании то-
того же самого принципа, что и в случае прямоугольного
волновода (см. § 6.3):
(*кР)Е '=2я/gmn = 2nalvmn. G.26)
тп
Формулы для вычисления длины волны в волноводе и
фазовой скорости имеют ту же структуру, что и в теории
прямоугольного волновода:
v
V\ - (Ko/KvJ ' Ф V\ -
v _
Ф
Поперечные составляющие полей для любой волны
типа Emn легко находятся из выражения для продольной
составляющей Ёг и формул перехода G.5). Покажем это
на примере часто употребляемой простейшей симметрич-
симметричной волны типа Eoi. Здесь
G.27)
?=0, Н =s
133

Картина распределения полей в волноводе, построей-
ная по этим формулам, показана на рис. 7.5. Интересно
отметить, что данная структура поля может быть полу-
Рис. 7.5. Картина силовых линий электромагнитного поля волны
-типа Eoi в круглом волноводе.
чена непрерывной деформацией структуры типа Ен
в прямоугольном волноводе.
На рис. 7.6 показана также структура поля лесимме-
тричной волны типа Ен.
Л А И
А-А
Рис. 7.6. Картина силовых линий электромагнитного поля волны
типа Ец в круглом волноводе.
7.3. Волны типа Н в круглом волноводе
При исследовании колебаний магнитного типа нужно
опираться на уравнение Гельмгольца для составляющей
Иг-
д*Н2 , 1 дЙг
1 дй% , 1№ , дЧЬ т.дг о. G.28)
134

Разыскивая решение этого уравнения в виде
Hz(r,9,z)=Hz{r,<?)e-ihz G.29)
и вводя поперечное волновое число
приходим к уравнению
^^z = 0. G.30)
В случае волн Н-типа электрическое поле имеет
только поперечные составляющие, из которых только
составляющая Ё^ касательна к стенкам^волновода. По-
Поскольку
Е =1^l^U, G.31)
ф g2 дг
граничные условия принимают вид
дг
= 0|г=а. G.32)
Таким образом, исследование распространения волн
магнитного типа в круглом металлическом волноводе
сводится к решению однородной краевой задачи Нейма-
Неймана для уравнения Гельмгольца G.30) — G.32).
Данная задача решается методом разделения пере-
переменных. Как и в случае волн Е-типа, частное решение,
имеющее т вариаций по углу ср, запишется в виде
Hz = HJm(gr)sin (/гаер). G.33)
COS
Для нахождения неизвестного поперечного волнового
числа g вычислим частную производную
COS
G.34)
Граничные условия G.32) будут тождественно выпол-
выполнены, если
135

Равенство G.35), рассматриваемое как уравнение отно-
относительно х, имеет бесконечное число корней, обозначае-
обозначаемых здесь как \хтп. Таким образом, краевая задача, опи-
описывающая распространение волн магнитного типа, имеет
бесконечное множество нетривиальных решений, причем
для каждого из этих решений
gmna=\lmn, G.36)
т. е.
gmn = \lmnfa. G.37)
Итак, продольная составляющая магнитного поля для
колебания типа Hmn в круглом волноводе принимает
вид
Нг = ЯЛ. (^) ^ (т<?) е-'"г . G.38)
Основные расчетные формулы остаются теми же, что
и для волн электрического типа:
(Якр)н =2«a/»*mn, G.39)
тп
Поперечные составляющие полей для волн магнитного
типа находятся на основании формул перехода G.4).
Так, например, для часто используемой волны типа Ни
имеем:
rtf Л а )
136

Картина поля, построенная на основании соотношений
G.42), изображена на рис. 7.7. Она полностью совпадает
с той, которая была получена путем непрерывной дефор-
деформации прямоугольного волновода с волной типа Ню.
А-А
Рис. 7.7. Картина силовых линий электромагнитного поля волны
типа Ни в круглом волноводе.
Большой интерес представляет также колебание
Hoi—простейшая симметричная магнитная волна в круг-
круглом волноводе. Составляющие поля для волны этого
Рис. 7.8. Картина силовых линий электромагнитного поля волны
типа Hoi в круглом волноводе.
137

ТИПа HMetoT сЛедук»щий виД:
r~ mi ' V а ) '
Я, = 0,' *f = "^f4 Л (^) e-jftz, G.43)
Соответствующая картина поля изображена на рис. 7.8.
7.4. Применения круглых волноводов
Основываясь на материале §§ 7.2, 7.3, построим диаграмму ти-
типов волн в круглом металлическом волноводе. Построение такой
диаграммы позволяет ответить на ряд существенных вопросов, та-
таких, как нахождение низшего типа колебаний и определение области
одноволновости данного волновода. Обращаясь к таблицам корней
функций Бесселя и их производных, нужно прежде всего выделить
среди этих корней наименьшие по абсолютной величине, поскольку
именно таким корням в соответствии с G.26) и G.39) отвечают
типы колебаний с наибольшими критическими длинами волн.
Прежде всего отметим, что наименьшим из всех корней оказы-
оказывается корень Jin =1,841, которому соответствует тип колебаний Ни.
Подставляя его в G.42), будем иметь
ХкРНи = 2яа/1,841 =^ 3,41а.
Итак, как и следовало ожидать, тип колебаний Ни, получаемый
непрерывной деформацией основного типа колебаний прямоугольного
волновода, оказывается низшим типом колебаний в круглом волно-
волноводе. Далее получаем:
2,61а, КтЯ1 = 2яя/3,054 ^ 2,06а,
32 ^ 1,64а.
Из соответствующей диаграммы типов колебаний (рйс. 7.9)
следует, что в круглом волноводе все волны с длинами, большими,
чем 3,41а, оказываются нераспространяющимися, в интервале длин
волн 3,41а>Хо>2,61а волновод является одноволновым, т. е. про-
пропускает лишь основной тип колебаний Ни, а при Яо<2,61а в вол-
волноводе наблюдается уже многоволновый режим распространения.
Итак, теоретически круглый волновод может быть использован
в качестве одноволновой линии передачи в диапазоне
3,41а>Хо>2,61а. Однако практически этот диапазон должен быть
несколько сужен по причинам, изложенным в § 6.6.
Несмотря на очевидные конструктивные и технологические до-
достоинства, круглый волновод применяете^ на практике значительно
реже, чем прямоугольный. Это обусловлено так называемой поляри-
поляризационной неустойчивостью основной волны типа Ни в круглом
волноводе. Такая неустойчивость является прямым следствием вы-
высокой степени симметрии круглого волновода. Например, если на
138

Высшие типы
О * 176?а Z,06a 2,$fa ,
Рис. 7.9. Диаграмма типов колебаний в круглом волноводе.
Вход
выход
входе волноводной системы волна Ни (поляризована так, как это
показано на рис. 7.10, то под влиянием различного рода случайных
или преднамеренных деформаций тракта на выходе можно 'получить
волну уже с другим направлением 'плоскости поляризации. Посколь-
Поскольку всевозможные устройства для возбуждения волноводов работа-
работают, как правило, лишь с колебаниями вполне определенной поляри-
поляризации, поляризационная неустойчивость колебаний в круглом вол-
волноводе часто служит существенным препятствием к его использова-
использованию в качестве линии передачи.
Наряду с этим, полная сим-
симметрия круглого волновода по
угловой координате часто нахо-
находит полезное практическое при-
применение, например, в ферритовых
волноводных устройствах СВЧ.
Весьма ценным практическим
свойством круглого волновода
является возможность распростра-
распространения в нем симметричных типов
колебаний. На рис. 7.11 показан
эскиз так называемого вращаю-
вращающегося сочленения, предназначен-
предназначенного для передачи энергии от пере-
передатчика к антенне радиолокацион-
радиолокационной станции, осуществляющей ска-
сканирование пространства по угловой координате. Здесь энергия из
неподвижного прямоугольного волновода / отбирается с помощью
штыря 2, который, в свою очередь, возбуждает колебание типа Eoi
в круглом волноводе 3. Наличие поперечной контактной щели
в этом волноводе позволяет осуществлять круговое вращение ана-
аналогично устроенного верхнего волноводного узла 4, причем в силу
симметричности структуры поля волны Eoi коэффициент передачи
всего устройства не зависит от угла поворота.
Наконец, следует остановиться на одном уникальном свойстве
круглого волновода, связанном с частотными характеристиками за-
затухания колебания типа Hoi. Теоретически и экспериментально было
показано, что погонное затухание этого типа колебаний неограничен-
неограниченно падает с ростом частоты, в отличие от затухания других
типов колебаний как в круглом, так и в прямоугольном волноводах,
которое с ростом частоты увеличивается.
Это позволяет осуществлять дальние волноводные линии связи,
которые могут в полной мере реализовать огромную информацион-
информационную емкость диапазона СВЧ. Для того чтобы иметь представление
Рис. 7.10. К пояснению поля-
поляризационной неустойчивости
волны типа Ни в круглом вол-
волноводе.
139

о реальных цифрах затухания, можно указать, что на волнах
лиметрового диапазона затухание в километровом отрезке круглей
медной трубы диаметром 50 мм состав-
составляет всего лишь несколько децибел.
Однако на пути практического
использования линий передачи с вол-
волной Hoi возникает ряд трудностей как
принципиальных, так и технических.
Большинство из них связано с тем, что
колебание типа Hoi не является в круг-
лом волноводе низшим, из-за чего по
такому волноводу потенциально могут
распространяться и другие типы коле-
Вход
Рис. 7.11. Один из вариантов выполне-
выполнения вращающегося волноводного сочле-
сочленения с использованием отрезка кругло-
круглого волновода:
/ — неподвижный короткозамкнутый отрезок
прямоугольного волновода; 2 — возбуждаю-
возбуждающий штырь; 3 —отрезок круглого волновода
с волной типа EOi; 4 — вращающаяся секция
прямоугольного волновода.
.жж
баний, число которых может быть весьма велико. Расчет пока-
показывает, что в трубе диаметром 50 мм на длине волны 4 мм наряду
с волной Hoi существуют еще порядка 750 распространяющихся
типов колебаний. Помимо общих затруднений, изложенных в § 6.6,
ситуация осложняется тем, что полезная волна Hoi имеет тенден-
тенденцию перерождаться в паразитные типы на случайных изгибах и
неоднородностях волноводного тракта. Последнее ведет к тому, что
фактическое затухание в волноводе становится значительно выше
теоретически предельного.
Наиболее эффективная мера
борьбы с паразитными типами
волн основана на характерной
структуре поля колебания HOi.
Легко показать, что магнитное
поле в этой волне на стенках вол-
волновода, т. е. при г=а, имеет лишь
продольную составляющую Нг.
Поскольку линии поверхностного
тока всегда перпендикулярны си-
силовым линиям вектора Н, то по-
поверхностный ток в волне данного
типа протекает лишь в азимутальном направлении, как это показа-
показано на рис. 7.12. Отсюда следует, что волновод, снабженный боль-
большим числом поперечных щелей или даже выполненный из отдель-
отдельных изолированных друг от друга колец, будет обеспечивать успеш-
успешное распространение желаемого типа колебаний, в то время как для
паразитных типов колебаний щели окажутся излучающими, что спо-
способствует фильтрации нежелательных типов колебаний.
Рис. 7.12. Распределение по-
поверхностных токов на стенках
круглого волновода с волной
типа Hoi.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ С ВОЛНАМИ ТЕМ
$.1. Некоторые общие характеристики волн ТЕМ
в линиях передачи
В гл. 5, при классификации волн в линиях передачи,
указано на существование особого класса решений
уравнений Максвелла, для которых характерно от-
отсутствие продольных составляющих как электрического,
так и магнитного векторов. Волны подобного вида при-
принято называть поперечными электромагнитными волна-
волнами или, сокращенно, волнами ТЕМ.
Простейшим примером волны типа ТЕМ может слу-
служить переменное электромагнитное поле, образующееся
в волноводе из двух проводящих плоскостей при распро-
распространении плоской электромагнитной волны, имеющей
параллельную поляризацию и падающей под углом <р =
= 90° (рис. 8.1). Обращает на себя внимание тот факт,
что* данное поле по своей конфигурации полностью сов-
совпадает с однородной плоской волной; роль идеально про-
проводящих стенок сводится лишь к локализации поля
в пространстве.
Отметим некоторые основные свойства волн типа
ТЕМ.
1. Поскольку граничные условия для вектора Е в изо-
изображенной линии передачи удовлетворяются автоматиче-
автоматически, структура поля не зависит от расстояния между
плоскостями и от длины волны.
Следовательно,
т. е. система пропускает колебания всех частот вплоть
до постоянного тока.
2. Механизм распространения волны типа ТЕМ не
связан с явлениями многократных отражений от стенок.
Поэтому
Здесь под Ко в общем случае следует понимать длину
однородной плоской волны в заполняющем диэлектрике.
141

3. Характеристическое сопротивление волны типа
ТЕМ, обозначаемое как ZcTEM и равное отношению ам-
амплитуды электрического поля к амплитуде магнитного
поля, совпадает с аналогичной величиной, вычисленнрй
i
г— ~
--—
t t
-&-
—*^
—
en
Рис. 8.1. Волна типа ТЕМ в пространстве между двумя проводящи-
проводящими плоскостями.
для однородной плоской волны в неограниченном про-
пространстве. Действительно,
=3 Иш ZcE = liml!ZcH = Zc.
8.2. Напряжение и разность потенциалов
в теории линий передачи
Учитывая свойство волны ТЕМ, отмеченное в п. 2
предыдущего параграфа, можно получить важный вы-
вывод, касающийся поперечного распределения электриче-
электрического поля в линиях передачи с волнами ТЕМ. Для это-
этого, как и ранее, представим распределение электрическо-
электрического вектора в виде волны, бегущей по оси г:
t/, z) =
(8.1)
Подчеркнем, что из-за отсутствия многократных отраже-
отражений продольное волновое число для волн типа ТЕМ оп-
определено заранее и в точности равно постоянной распро-
распространения однородной плоской волны в заполняющем
диэлектрике. Далее, в соответствии с методом разделе-
разделения переменных подставим (8.1) в уравнение Гельмголь-
ца
142

При этом йолучйм урйвнеййе Дли амшШуДы пойере*Ш6-
\о распределения поля, имеющее -вид
V2xE = 0. (8.3)
Урквнение (8.3) широко известно в математической фи-
физике и носит название уравнения Лапласа. Физически
данное уравнение описывает всевозможные состояния
равновесия в материальных средах. В частности, уравне-
уравнение Лапласа служит основным уравнением электростати-
электростатики. Э'Гр легко понять, так как (8.3) может быть получе-
получено из (8.2) при y—*0, т. е. при стремлении к нулю ча-
частоты колебаний.
В том, что уравнение (8.3) действительно описывает
электрическое поле, возникающее в однородной среде
под действием системы сосредоточенных и неизменных
во времени зарядов, можно убедиться и непосредствен-
непосредственно, записав систему уравнений Максвелла в виде, кото-
который она приобретает при обращении в нуль производных
по времени:
rotE=0, divE=0. (8.4)
Взяв операцию ротора от первого уравнения из системы
(8.4), на основании известной формулы векторного ана-
анализа будем иметь:
rot rot E =<grad div E — v2E = 0> (8.5)
откуда, использовав второе уравнение из (8.4), приходим
к уравнению вида (8.3).
Итак, в любой линии передачи с волнами ТЕМ кар-
картина силовых линий электрического поля в поперечной
плоскости аналогична статической картине, т. е. картина
силовых линий поля в заряженном конденсаторе с рас-
расположением обкладок, повторяющим конфигурацию
поперечного сечения линии передачи. Статический харак-
характер поперечного распределения электрического поля по-
позволяет ввести понятие разности потенциалов между
проводниками линии, определив ее обычным образом
(см. рис. 8.2,а):
t/= ( Edl (8.6)
L (P, Q)
Важно подчеркнуть, что данная разность потенциалов не
зависит от выбора точек Р и Q, а также от выбора пути
интегрирования L в поперечной плоскости.
143

Чрезвычайно интересно отметить, что для рассмотрен-/
ных ранее полых металлических волноводов понятие раэ^
ности потенциалов, удовлетворяющее перечислению!
условиям, введено быть не может. Примером может еру-
1
1
1
\
и
Рис. 8.2. К введению понятия напряжения в линиях передачи.
жить поперечное сечение прямоугольного волновода с вол-
волной типа Ню, изображенное на рис. 8.2,6. Здесь, оче-
очевидно,
Тем не менее,
(на участках широких стенок вектор Е перпендикулярен
элементарному вектору пути d\t в то время как на узкой
стенке вектор Е равен нулю в силу граничных условий).
Таким образом, для металлических волноводов с зам-
замкнутой формой поперечного сечения можно говорить не
о разности потенциалов, а лишь о напряжении между
конкретными точками; при этом обязательно указание
о выборе пути интегрирования. Последнее делает поня-
понятие напряжения малоэффективным для теоретического
анализа полых металлических волноводов.
Можно математически строго показать, что распро-
распространение волн ТЕМ возможно лишь в тех линиях пере-
передачи, где имеются по крайней мере два изолированных
друг от друга токонесущих проводника, между которы-
которыми может быть создана разность потенциалов.
8.3. Коаксиальная линия передачи
Из числа линий передачи с волнами ТЕМ б технике
СВЧ чаще всего используется коаксиальная линия пере-
передачи, которая представляет собой систему из двух соос-
144

Рис. 8.3. Поперечное се-
сечение коаксиальной ли-
линии передачи.
ных металлических цилиндров с радиусами й и Ь, разде-
разделенных слоем диэлектрика (рис. 8.3). Для конкретности
будем полагать, что диэлектрик не обладает собственны-
собственными \ магнитными свойствами (ц=1), тепловые потери
в нем отсутствуют (а=0), в то время как относительная
диэлектрическая проницаемость его равна е.
Анализировать структуру поля в данном устройстве
целесообразно в цилиндрической системе координат (f,
Ф, г).\Вв'Иду полной симметрии
поперечного сечения данного вол-
волновода, будем искать составляю-
составляющие электромагнитного поля вол-
волны ТЕМ, удовлетворяющие сле-
следующим условиям: а) лоле сим-
симметрично по координате <р, т. е.
д/дф,=О; б) составляющие поля
зависят только от координаты г.
Поскольку распределение
электрического поля в попереч-
поперечной плоскости коаксиальной ли-
линии передачи, работающей на вол-
волне типа ТЕМ, должно повторять
структуру поля в цилиндрическом
конденсаторе, приходим к выводу, что единственной со-
составляющей электрического вектора здесь служит со-
составляющая Ег. Для нахождения конкретного вида за-
зависимости будем считать, что напряжение (разность по-
потенциалов) между внутренним и внешним проводника-
проводниками равно ?/. Тогда должны быть справедливы следую-
следующие соотношения:
р 1
(8.7)
Из первого соотношения (8.7), а также из формулы
для вычисления операции дивергенции в цилиндрической
системе координат (см. приложение) следует, что состав-
составляющая Ег должна удовлетворять соотношению
arW=o, (8.8)
откуда с точностью до произвольной постоянной А
Ег=А/т. (8.9)
10—1443 145

Постоянную А следует выбирать так, чтобы вЫйбЛй/i-
лось второе равенство (8.7). Окончательно получим
F — U l
r~ \n(b/a) r *
Комплексная амплитуда вектора Е бегущей $Ьлны
запишется следующим образом:
и
ЩЬ/а)
(8.11)
Принципиальной особенностью коаксиальной линии
передачи является то, что ток в ней, идущий от генерато-
генератора к нагрузке по внутреннему цилиндру, возвращается
в генератор по наружному проводнику. В силу этого не-
нетрудно понять, что силовые линии магнитного вектора
в пространстве между цилиндрами имеют такой же вид,
как и в случае протекания тока по одиночному цилиндри-
цилиндрическому проводнику, т. е. представляют собой концентри-
А
-л
А-А
'©
7*
Рис. 8.4. Структура электромагнитного поля волны типа ТЕМ
в коаксиальной линии передачи.
ческие окружности; в цилиндрической системе коорди-
координат вектор Н имеет при этом единственную составляю-
составляющую Н^ (рис. 8.4). Амплитудное значение напряженно-
напряженности магнитного поля легко может быть найдено через
характеристическое сопротивление волны ТЕМ:
1с ТЕМ = J/>a/ea = 120&/УТ, Ом. (8.12)
Соответствующая комплексная амплитуда принимает вид
<*
146

8.4. Волновое сопротивление
Зная комплексные амплитуды электрического и маг-
магнитного полей в коаксиальной линии передачи, можно
вычислить мощность электромагнитного поля, переноси-
переносимую $доль оси г:
4 f (8.14)
Подставляя сюда выражения (8.11) и (8.13) и проводя
интегрирование, получаем
^твдг Вт- (815)
Формулу (8.15) можно рассматривать как выражение
для мощности, 'Выделяемой на некотором резисторе W
при подаче на него синусоидального напряжения U. По-
Поскольку P=U2f2Wf можно записать
^0M- (816)
Величина W носит название волнового сопротивления
коаксиальной линии передачи и имеет (большое значение
при решении вопросов ее реализации. Это объясняется
тем, что часто используют последовательное включение
линий передачи, обладающих различающимися параме-
параметрами, например, диаметрами проводников. Естествен-
Естественным требованием, предъявляемым к стыку двух линий,
является согласование, т. е. отсутствие отражений от
данной сосредоточенной неоднородности. Поскольку
в плоскости стыка напряжение U есть непрерывная функ-
функция координаты г, мощность может быть целиком пере-
передана из одной линии в другую лишь при условии
Wi=W2. (8.17)
Формула (8.17) во многих случаях служит критери-
критерием согласования с достаточной для инженерных целей
точностью. Приближенность ее заключается .в том, что
здесь не учитывается изменения структуры поля в непо-
непосредственной близости от плоскости скачка геометриче-
геометрических размеров, происходящее за счет возбуждения не-
распространяющихся колебаний высших типов.
Возможность использования понятия волнового сопро-
сопротивления для линий передачи с волнами ТЕМ объясня-
W 147

ется тем, что здесь напряжение U, в отличие от волно-
волноводов, может быть введено однозначным образом. По-
Поэтому волновое сопротивление полностью характеризу-
характеризуется геометрическими параметрами поперечного сечения,
а также диэлектрической проницаемостью использован-
использованного материала.
8.5. Некоторые применения коаксиальных линий
передачи
В радиотехнической практике коаксиальные линии передачи
чаще всего используются в виде коаксиальных кабелей — гибких
линий передачи, конструкция которых изображена на рис. 8.5.
Возможность изгиба линии обеспечивается путем использования
в качестве диэлектриков специальных полимерных материалов, та-
таких, как полиэтилен, фторопласт-4, полиизобутилен и др. Для этой
же цели наружный проводник коаксиального кабеля выполняется
в виде оплетки, сплетенной и* большого числа тонких проводников.
Рис. 8.5. Конструкция коа-
коаксиального кабеля:
J— внутренний проводник; 2 — ци-
цилиндрический слой изоляции; 3 —
наружная оплетка; 4 — внешнее
защитное покрытие.
р ь&йпу«ж.ае1 большое число разновидностей
коаксиальных кабелей, отличающихся по своей конструкции и обла-
областям применения. Однако номинальные значения волновых сопротив-
сопротивлений кабелей стандартизованы. Типичными величинами стандарт-
стандартных волновых сопротивлений являются 50, 75, 100, 150, 200 Ом.
Такая стандартизация в существенной степени способствует унифи-
унификации узлов и компонентов радиоэлектронной аппаратуры.
Как правило, коаксиальные кабели — это линии для передачи
небольших мощностей в диапазоне частот от постоянного тока приб-
приблизительно до 10 ГГц. На более высоких частотах поперечные раз-
размеры кабеля становятся сравнимыми с рабочей длиной волны, и по
кабелю помимо основной волны типа ТЕМ могут распространяться
волны высших типов, что бывает нежелательным.
Важной областью применения коаксиальных кабелей является
создание на их основе многоканальных линий дальней связи, рабо-
работающих в относительно низкочастотном диапазоне (единицы или
десятки мегагерц).
8.6. Полосковые линии передачи
За последние десятилетия в технику СВЧ прочно
вошли интересные линии передачи с волнами ТЕМ, но-
носящие название полосковых линий передачи. Полосковые
линии образуются путем нанесения проводящих полосок
на пластину из диэлектрика с малыми потерями. В ка-
148

ъ
Рис. 8.6. Несимметричная по-
лосковая линия передачи:
^естве примера на рис. 8.6 изображено сечение так
называемой несимметричной полосковой линии, чаще
всего применяемой в радиотехнике. Особенностью линии
является то, что ее нижняя полоска выполняется гораздо
шире верхней, образуя «заземленную плоскость».
Строгая теория несимме-
несимметричной полосковой линии
весьма сложна. В частности,
удается показать, что элек-
электромагнитное поле в такой
системе имеет все шесть де-
декартовых составляющих и
поэтому считать данную вол-
волну принадлежащей к классу
волн ТЕМ можно лишь
условно. Однако на практике, как правило, реальные ли-
линии характеризуются расстояниями между проводника-
проводниками, значительно меньшими, чем ширина верхней полоски.
В си^у этого электрическое поле в системе весьма близ-
близко к статическому полю в плоском конденсаторе, кото-
которое, без учета краевых эффектов, можно считать одно-
однородным. Указанные предположения позволяют весьма
просто найти величину волнового сопротивления несим-
несимметричной полосковой линии.
Предположим, что амплитуда переменного напряже-
напряжения между проводниками равна U. Тогда, очевидно,
в " Л— JTZ • U уе 1 \ у» /Q 1 Q\
у ~гГ ' Нх= е » (о. 1о)
откуда интегрированием по площадке сечением S = dXbf
в пределах которой сконцентрировано практически все
поле, получим величину переносимой мощности:
4-)' Вт. (8.19)
Далее, рассуждая как и в § 8.4, находим
= ?f?f-±\ Ом.
(8.20)
Большим преимуществом полосковых линий передачи
по сравнению с рассмотренными ранее системами явля-
является возможность массового изготовления их при помо-
помощи технологии печатных схем. Это приобретает особое
значение в связи с наметившейся в последнее время тен-
тенденцией к микроминиатюризации устройств СВЧ.
149

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ЗАТУХАНИЕ ВОЛН В ПОЛЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ
ВОЛНОВОДАХ
9.1. Источники потерь в волноводах
До сих пор процесс распространения электромагнит-
электромагнитных волн по регулярным металлическим волноводам рас-
рассматривался в предположении об отсутствии каких-либо
потерь энергии в них. Однако на практике всегда
сталкиваются с тем, что волноводы обладают некото-
некоторым затуханием, выраженным в той или иной степени.
В некоторых частных применениях, например при созда-
создании дальних волноводных линий связи, характеристики
затухания становятся определяющими при выборе того
или иного варианта линии передачи.
Можно выделить два основных источника потерь
энергии, присущих полым металлическим волноводам:
1) потери, возникающие за счет конечной проводимо-
проводимости материала стенок;
2) потери, вызванные протеканием токов проводимо-
проводимости в диэлектрике, заполняющем волновод.
Первый из перечисленных источников потерь связан
с тем, что на поверхности реального металла с конечной
проводимостью тангенциальная составляющая вектора
Рис. 9.1. Деформация силовых
линий электрического поля за
счет потерь в стенках волновода.
напряженности электрического поля уже не обращается
в нуль, а равна некоторой конечной, хотя и весьма малой
величине. На рисунке картины поля это отображается
тем, что силовые линии поля Е вместо прямых становят-
становятся слегка выпуклыми (рис. 9.1). В результате активная
часть вектора Пойнтинга получает некоторую состав-
составляющую, направленную внутрь металла. Данная состав-
составляющая характеризует долю энергии, идущую на нагрев
стенок. Следует указать, что картина, изображенная на
150

рйс. 9.1, носит утрированный xapaKfep, поскольку в
высокой проводимости металлов тангенциальные состав-
составляющие поля Е имеют очень малую величину.
Потери энергии в волноводе, связанные с неидеально-
неидеальностью диэлектрических свойств заполняющего материала,
имеют, как правило, второстепенное значение, поскольку
чаще всего волновод заполнен столь совершенным ди-
диэлектриком, как воздух.
9.2. Способ учета затухания в волноводах
Как уже известно, комплексные амплитуды бегущих
волн в произвольном волноводе, работающем на любом
типе колебаний, выражаются следующим образом:
E = Eoe-j/l2, H = HoeH/lz. (9.1)
Отрезок регулярного волновода можно представить
как каскадное соединение некоторого числа отрезков
единичной длины. Если допустить, что каждый из этих
отрезков обладает некоторым затуханием, то общее за-
затухание должно являться экспоненциальной функцией
суммарной длины. Другими словами, амплитуды элек-
электромагнитных полей в волноводе с потерями должны
экспоненциально уменьшаться с ростом длины волново-
волновода. Аналогичная ситуация уже встречалась при учете
затухания плоской -волны, распространяющейся в неиде- -
альном диэлектрике (см. § 2.1).
Таким образом, нужно полагать, что в волноводе
с потерями продольное волновое число h является вели-
величиной комплексной:
h=h'—\h", (9.2)
тогда
Ё = Ёве~ "V*'1. (9.3)
Вид формулы (9.3) показывает, что h' является фазовой
постоянной, в то время как h" служит постоянной зату-
затухания.
Потери в регулярных линиях передачи принято ха-
характеризовать погонным затуханием. Положим, напри-
например, что на входе отрезка волновода длиной 1 м ампли-
амплитуда напряженности электрического поля равна Евх, в то
время как на выходе за счет потерь эта амплитуда умень-
151

шается до белйчйны ёвых<ёвх. В cdoraetcfBHH с (9.3)
будем иметь
А"=1п (?Вх/?вых), Нп/м. (9.4)
Таким образом, численное значение постоянной затуха-
затухания К" является погонным затуханием рассматриваемой
линии передачи, выраженным в неперах.
В радиотехнике погонное затухание чаще выражают
в децибелах, пользуясь формулой вида
Abor=201g
, дБ/м.
(9.5)
Связь между этими двумя величинами такова:
Дпог=8,69/i". (9.6)
На волнах СВЧ диапазона гораздо чаще приходится
оперировать не с напряженностями полей, а с величина-
величинами мощностей, легче поддающихся измерению. Посколь-
Поскольку мощность всегда пропорциональна квадрату напря-
напряженности поля, формулу (9.5) можно переписать и так:
), ДБ/М.
(9.7)
9.3. Общие выражения для постоянных затухания
Рассмотрим произвольную регулярную линию переда-
передачи, ориентированную вдоль оси г, и выделим бесконечно
малый отрезок этой линии длиной dz. Поскольку
напряженности полей в линии меняются по закону
(9.3), мощность, переносимая
в любом сечении z=const,
имеет вид
Р=Рое~2Н"г. (9.8)
Мощность, теряемая на отрез-
отрезке dz, «равна
откуда
dQ=2h"Pdz. (9.10)
Таким* образом,
Рис. 9.2. К выводу форму- dOidz
лы для постоянной зату- hn = ^D (9.11)
хания. ZP
152

Обозначая через РПотпог=dQ/dz мощность потерь на
единице длины волновода при заданном уровне перено-
переносимой мощности, получаем окончательно
Л"=Аютпог/2Р. (9.12)
Формула (9.12) является общей и пригодна для любого
волновода.
Рассмотрим наиболее важный для практики случай,
при котором потери в волноводе обусловлены только
неидеальной проводимостью стенок. При этом будем по-
полагать проводимость достаточно высокой для того, чтобы
могли применяться приближенные граничные условия
Леонтовича (см. § 4.7). С физической точки зрения это
означает, что несмотря на наличие потерь структура по-
поля в волноводе остается такой же, как и при бесконечной
проводимости стенок.
Найдем мощность потерь, возникающих в метровом
отрезке регулярного волновода (см. рис. 9.2). Здесь
Si S,
Тангенциальные составляющие электромагнитного
поля на стенках волновода определяются в соответствии
с граничными условиями Леонтовича. Прежде всего, по-
полагаем, что тангенциальная составляющая магнитного
поля остается такой же, как и на стенках волновода без
потерь, т. е.
ЙЦ. (9.14)
Тангенциальную составляющую вектора напряженности
электрического поля можно найти, зная характеристиче-
характеристическое сопротивление металла ZCM:
|Ётм|=Лм|Нтм|, (9.15)
где
A (9.16)
(предполагается, что металл не обладает ферромагнит-
ферромагнитными свойствами).
Если учесть, что
153

то получим окончательно
^JtfXM№. (9.18)
Мощность, переносимую по волноводу, можно найти,
интегрируя среднее значение вектора Пойнтинга по по-
поперечному сечению:
lfS2. (9.19)
Итак,
/
h"= ^ , (9.20)
Re J [EH] dS2
или в децибелах
дЬг=8,69/1", дБ/м. (9.21)
9.4. Анализ некоторых частных случаев
В данном параграфе на конкретных примерах, часто
встречающихся на практике, будет показана методика
получения расчетных формул для определения погонно-
погонного затухания волноводных линий передачи.
Коаксиальная линия передачи. Данная линия переда-
передачи уже рассматривалась в § 8.3. Напомним основные
обозначения: а и Ь — радиусы внутреннего и внешнего
проводников соответственно, е — относительная диэлек-
диэлектрическая проницаемость заполняющего диэлектрика.
Считаем, что диэлектрик немагнитный, т. е. ja=1.
Составляющие поля в коаксиальной линии могут быть
записаны следующим образом:
^'Л Н^"'!.. (9.22)
Отсюда мощность, переносимая в пространстве между
проводниками по направлению оси г, равна
sr • (923>
154

Определяя погонную мощность йотерь, следует учи-
учитывать, что интегрирование проводится по поверхности
обоих проводников. Составляющая Н в данной системе
оказывается тангенциальной к поверхности металла, так
что вычисления будут элементарными:
-L-4--H' (9-24)
Из (9.23) и (9.24) окончательно получаем
Ацог —\20nln (b/a) f ДЬ/М* ^-25)
Теоретические кривые затухания за счет потерь в метал-
металле применительно к типичной коаксиальной линии пере-
передачи с диэлектрическим заполнением показаны на
рис. 9.3. График построен по (9.25) как функция рабочей
частоты. Можно показать, что отношение
(9.26)
In (b/a)
пог'
минимально в том случае, если параметр Ь/а равен при-
приблизительно 3,6. Такая конструкция коаксиальной линии
оптимальна с точки зре-
ния минимальных потерь
в металле; волновое со-
сопротивление линии при
е=2,25 (диэлектрик —
полиэтилен) составит
(9.27)
Нетрудно понять фи-
физическую причину суще-
существования оптимального
соотношения радиусов.
При чрезмерном умень-
уменьшении радиуса внутрен-
внутреннего проводника потери
в нем возрастают ввиду увеличения плотности тока; если
же отношение радиусов стремится к единице, то потери
также растут за счет сокращения области пространства,
по которой переносится электромагнитная энергия.
155
Рис. 9.3. Зависимость погонных
потерь от частоты для коаксиаль-
коаксиального кабеля типа РК-50-3-13
(а=0,45 мм, ? = 1,5 мм, о==
= 5,7-107 1/0м-м, 8=2,25).

Специфика конструкций коаксиальной линии переда-
передачи состоит в том, что здесь пространство между провод-
проводниками чаще всего заполнено твердым диэлектриком.
Покажем, каким образом можно учесть затухание
из-за неидеальности диэлек-
диэлектрических свойств. Для про-
простоты будем полагать, что
металл обладает бесконечно
высокой проводимостью, за-
заполняющий диэлектрик ха-
характеризуется относитель-
относительной диэлектрической прони-
проницаемостью е и известным
фактором потерь tg6.
Для того чтобы найти по-
погонную мощность потерь,
заметим, что в соответствии
с теоремой Пойнтинга 'плот-
'плотность рассеиваемой мощно-
мощности при гармоническом за-
законе изменения полей во
времени составит
Рис. 9.4. Частотные зависимо-
зависимости погонных потерь, вызван-
вызванных неидеальностью диэлек-
диэлектрика коаксиального кабеля
(диэлектрик — полиэтилен,
8=2,25).
(9.28)
Здесь о— удельная объемная проводимость диэлектри-
диэлектрика, связанная с tgS соотношением
tg 6 = а/соеоб. (9.29)
Интегрируя (9.28) по внутренней области метрового
отрезка коаксиального волновода, будем иметь
2* Ь
Рио* йог = "f J *P j E2/dr = WE] 1П (А) • (9-30)
О а
Воспользовавшись выражением (9.23) для переноси-
переносимой мощности, после некоторых преобразований полу-
ии\я
ЧИМ
tgS, дБ/м.
(9.31)
График зависимости погонного затухания, вызванного
потерями в диэлектрике, для некоторого конкретного
коаксиального волновода, вычисленный по (9.31), пред-
представлен на рис. 9.4. Параметрами для различных кривых
156

служит тангейс yivia диэлектрических потерь. Как слеДу-
ет из данного рисунка, погонные потери в линии бы-
быстро возрастают с ростом частоты. Сравнение с графи-
графиком на рис. 9.3 показывает, что на волнах СВЧ диапазо-
диапазона потери в диэлектрике оказываются гораздо сущест-
существеннее, чем потери из-за неидеальной проводимости
металла.
Прямоугольный металлический волновод. Погонное за-
затухание волн различных типов в прямоугольном метал-
металлическом волноводе вычисляется по общей формуле
(9.20); обычно расчет оказывается достаточно громозд-
громоздким, поэтому в практических целях удобнее всего поль-
пользоваться готовыми формулами, которые можно найти
в справочниках по волноводной технике.
Приведем без вывода формулу для расчета погонно-
погонного затухания волны типа Ню, вызванного потерями в ме-
металле:
дБ/м. (9.32)
График зависимости погонного затухания от рабочей
длины волны для конкретного волновода, соответствую-
0,2
0,1
№5
г> **/'
м
V
-^
щий формуле (9.32), по-
показан на рис. 9.5. Анализ
его показывает, что зави-
зависимость затухания носит
экстремальный характер,
причем затухание неогра-
неограниченно возрастает как
при стремлении частоты
к бесконечности, так и fts03
вблизи критической ча-
частоты. Физические причи-
причины роста затухания здесь
различны. Рост затухания
на высоких частотах объ-
объясняется уменьшением
толщины поверхностного
слоя, что ведет к росту
сопротивления металли-
металлических стенок. С другой стороны, при приближении
к критической частоте плоские волны, из которых скла-
157
10
го f, Ггц
Рис. 9.5. Зависимость погонных
потерь в прямоугольном волново-
волноводе на волне типа Ню от частоты
(материал стенок — медь, о—
= 5,7- Ю7 1/Ом-м, а«23 мм, 6 =
= 10 мм).

Дьгйаётся воЛноводный тип колебаний, нaчйнaюt
вать все большее число отражений от стенок, приходя-
приходящихся на единицу длины волновода, что также приводит
к росту погонных потерь.
При рассмотрении последнего графика становится
понятным, в частности, почему нецелесообразно исполь-
использовать прямоугольный волновод стандартного сечения на
волнах, более длинных чем 1,6 а.
Для волноводов с отношением сторон 2: 1 минималь-
минимальное погонное затухание получается при длине волны
Хо—0,8 а. Данное значение находится вне области одно-
волновости, однако ввиду весьма пологого характера за-
зависимости увеличение затухания в рабочей полосе ча-
частот по отношению к минимальному уровню невелико.
Переход от одного диапазона частот к другому со-
сопровождается выбором нового стандартного сечения пря-
прямоугольного волновода. Интересно выяснить, как при
этом меняется погонное затухание. Для стандартных
волноводов отношение Ь/а всегда остается постоянным;
отношение Ко/а на средних частотах диапазонов также
остается неизменным. Учитывая это, можно видеть, что
числитель в формуле (9.32) пропорционален корню из
частоты /, в то время как знаменатель, где фигурирует
размер узкой стенки Ь, пропорционален величине 1//.
В результате имеем
Лпог~1р. (9.33)
Проиллюстрируем смысл формулы (9.33) на конкретном
примере. Известно, что стандартный волновод сечением
10x23 мм2, изготовленный из меди, обладает на длине
волны Хо = 3 см погонным затуханием 0,1 дБ/м. При пе-
переходе на длину волны Ко = 3 мм следует воспользовать-
воспользоваться волноводом с десятикратно уменьшенным сечением,
т. е. 1x2,3 мм2. Затухание в таком волноводе будет
увеличено в 10 / раза, т. е, станет равным около 3 дБ/м.
Резкое возрастание потерь в прямоугольных волно-
волноводах стандартного сечения значительно усложняет кон-
конструирование устройств, работающих в коротковолновой
части миллиметрового диапазона.
Частотные зависимости погонного затухания для волн
высших типов в прямоугольном волноводе носят такой
же экстремальный характер; причем с ростом индексов
погонные потери для волн как Е, так и Н-типов возра-
возрастают.
158

Круглый металлический волновод. График зависимо-
зависимости погонного затухания волны типа Ни в круглом вол-
волноводе с радиусом а=25 мм, изготовленным из меди,
от рабочей частоты, рассчитанный по формуле
0,793
(9.34)
приведен на рис. 9.6. Легко видеть, что качественный ха-
характер зависимости остается таким же, как и для вол-
0,2
0,1
0,01
Q,COZ
I
—f—
20
Рис. 9.6. Зависимость погонных потерь волн типа Нп и Нш в медном
волноводе диаметром 50 мм от частоты.
ны Ню в прямоугольном волноводе, — затухание возрас-
возрастает при приближении частоты к критической и при
стремлении ее к бесконечности. Это в равной мере отно-
относится ко всем прочим типам колебаний в круглом
волноводе, за исключением симметричных магнитных
волн типа Ноп- Частотная зависимость затухания наи-
наиболее важной в практическом отношении волны типа Hoi,
рассчитанная по формуле
-, дБ/м,
(9.35)
изображена на рис. 9.6. Как уже упоминалось, данный
тип колебаний характерен неограниченным уменьше-
уменьшением погонных потерь с ростом частоты.
159

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛН
В ВОЛНОВОДАХ
10.1. Постановка задачи
При рассмотрении процессы распространения волн
типа Е или Н в полых металлических волноводах было
показано, что фазовая скорость этих волн всегда превы-
превышает скорость однородных плоских волн в безграничной
среде, аналогичной по своим свойствам заполняющему
диэлектрику. Хотя, как это было показано, данный факт
не противоречит фундаментальным физическим воззре-
воззрениям, пользуясь лишь понятием фазовой скорости,
нельзя адекватно описать многие явления в вол-
волноводах, представляющие интерес для радиотехники.
Сюда прежде всего относится распространение по вол-
волноводу модулированных сигналов. Совершенно ясно, что
никакой реальный сигнал не может распространяться по
линии передачи со скоростью, большей, чем скорость све-
света. В противном случае было бы нарушено основное
положение теории относительности Эйнштейна, утверж-
утверждающее, что скорость света является предельной скоро-
скоростью распространения любых возмущений независимо от
их физической природы. Отсюда следует, что, рассматри-
рассматривая прохождение по волноводу импульсных колебаний,
необходимо несколько расширить понятие скорости.
10.2. Группы волн и групповая скорость
Немонохроматический сигнал, подаваемый на вход
волноводной линии передачи, всегда может быть пред-
представлен при помощи спектрального разложения в виде
ряда или интеграла Фурье. Результаты, которые будут
получены в данном параграфе, в равной мере справедли-
справедливы для случаев как дискретного, так и непрерывного
спектров.
Предположим, что по полому металлическому волно-
волноводу с произвольной формой поперечного сечения рас-
распространяются две волны с частотами он и cog; мгновец-
160

ные значения любых составляющих этих процессов мо-
могут быть записаны в виде
А1 = Ао cos (со^ —
Л2 = Ло cos (<x>2t — h2z)
t-Кг). J
A0.1)
Спектральная диаграмма рассматриваемого сложного
колебания показана на рис. 10.1. Предполагается, что
относительная разность ча-
частот невелика, т. е.
I coi—(o2|/coi<Cl. A0.2)
Чрезвычайно важно подчер-
подчеркнуть, что продольные вол-
но'вые числа h\ и Аг, входя-
входящие в выражения A0.1), за-
зависят от соответствующих
частот и определяются дис-
дисперсионными свойствами то-
того или иного волновода. Так или иначе, из-за малости
расстройки следует очевидное неравенство
си4
со.
со
Рис. 10.1. Спектральная диа-
диаграмма простейшего немоно-
немонохроматического колебания.
|fti—ft2|/fti<l.
(Ю.З)
С физической точки зрения сложение двух гармони-
гармонических колебаний с различными частотами приводит
к образованию биений. Это в равной мере справедли-
справедливо и для сложения двух волновых процессов. Для того
чтобы доказать это, сложим оба мгновенных значения,
входящих в A0.1):
A0.4)
Здесь прежде всего обратим внимание на то, что первый
косинусоидальный сомножитель характеризуется часто-
частотой (со!—©г)/2, значительно низшей, чем coi или <»2.
В то же время частота второго сомножителя равна
среднему арифметическому от частот обеих спектраль-
спектральных составляющих и согласно условию A0.2) может
считаться практически совпадающей с любой из этих
частот. Если изобразить распределение мгновенных зна-
значений в какой-либо фиксированный момент времени, то
|получим характерную картину биений, изображенную на
! 1—1443 161

рис. 10.2. Здесь можно выделить низкочастотную огибаю-
огибающую и высокочастотное заполнение. Однако следует учи-
учитывать, что изучаемый процесс носит волновой харак-
характер. Поэтому как огибающая, так и заполнение являются
волнами, скорости распространения которых вдоль оси-г,
вообще говоря, различны.
В настоящем параграфе особый интерес для читателя
представляет явление волнового распространения оги-
Рис. 10.2. Иллюстрация волнового распространения огибающей.
бающей. Характерная картина распределения в прост-
пространстве огибающей волнового процесса, образованного
монохроматическими составляющими, близкими по ча-
частоте, называется группой волн. На рис. 10.2 отдель-
отдельные группы волн показаны пунктиром.
Скорость распространения групп вдоль какой-либо
оси называется групповой скоростью. Если слож-
сложное колебание, распространяющееся по волноводу, в до-
достаточной мере узкополосно, то понятие групповой ско-
скорости адекватно описывает распространение по волново-
волноводу соответствующих импульсных сигналов. Заметим, что
на частотах СВЧ диапазона такое условие выполняется,
как правило, всегда, поскольку здесь частоты модуляции
значительно ниже несущей частоты.
Нетрудно получить общее выражение для групповой
скорости. Для этого в соответствии с A0.4) запишем
уравнение плоскости постоянной фазы для огибающей
— (hi—h2) z = const.
A0.5)
162

Отсюда
Vrp=dz/dt= (©1—<D2)/(fti—М- О0-6)
Устремляя к нулю разность между частотами двух спек-
спектральных составляющих, получаем в пределе
d<*> 1 / dh /1 п т\
=1 /г. (Ю.7)
Итак, для того чтобы вычислить групповую скорость,
необходимо, зная дисперсионную характеристику линии
передачи, т. е. зависимость /i = /7(co), вычислить произ-
производную в точке, соответствующей средней частоте спек-
спектра.
Заметим, что на основании общих принципов (см.,
например, § 2.1.) фазовая скорость любой монохромати-
монохроматической волны записывается следующим образом:
-0Ф = ©/Л. A0.8)
Сравнение A0.8) с A0.7) показывает, что для тех линий
передачи, в которых зависимость постоянной распростра-
распространения от частоты линейна, групповая и фазовая скорости
тождественно совпадают. Примером может служить пло-
плоская волна, распространяющаяся в неограниченном ди-
диэлектрике. Здесь
А = р = ш|/^, A0.9)
так что
Другим примером линии передачи без дисперсии может
служить коаксиальная линия, работающая на колеба-
колебании типа ТЕМ.
10.3. Групповая скорость в металлических волноводах
Пользуясь общей формулой A0.7), вычислим группо-
групповую скорость в полом металлическом волноводе, рабо-
работающем на волне произвольного типа. При этом удоб-
удобно воспользоваться следующими очевидными соотноше-
соотношениями:
й=^=ыдл?, A0П)
И* 163

Отсюда после несложных преобразований получим
d\od<»
Согласно формуле A0.12) можно сделать следующие
выводы:
1) групповая скорость волн в волноводе всегда мень-
меньше фазовой скорости и меньше скорости света;
2) фазовая и групповая скорости связаны соотноше-
соотношением.
с2; A0.13)
3) групповая скорость сигналов, средняя частота ко-
которых стремится к критической частоте колебания вы-
выбранного типа, также стремится к нулю; при повышении
средней частоты групповая скорость увеличивается, при-
причем верхним пределом скорости при Хо—Ю является
С наличием зависимости групповой скорости от ча-
частоты приходится считаться при анализе процесса пере-
передачи по волноводным линиям очень коротких радиоим-
радиоимпульсов. Спектр этих импульсов может оказаться на-
настолько широким, что уже нельзя говорить об образова-
образовании вдоль оси волновода единых групп волн в том смысле,
как это было указано ранее. При анализе широко-
широкополосного колебания следует выделить отдельные груп-
группы, каждая из которых распространяется со своей соб-
собственной групповой скоростью. В результате сигнал на
выходе при достаточной длине волновода претерпевает
существенные искажения.
В заключение приведем решение конкретной задачи,
иллюстрирующей понятие групповой скорости. Пусть ли-
линия передачи длиной L=10 м выполнена на прямоуголь-
прямоугольном волноводе сечением 10x23 мм2 с воздушным запол-
заполнением. По данной линии распространяется радиоим-
радиоимпульс с прямоугольной формой огибающей, обладающий
следующими параметрами: частота заполнения /о=
= 1010 Гц (Аю = 3 см), длительность импульса т=
=0,001 мкс=10^9 с (рис. 10.3). Требуется качественно от-
ответить на вопрос о том, существенны ли искажения на
выходе линии, обусловленные зависимостью групповой
скорости от частоты.
164

Проанализируем, прежде всего, спектральный состав
данного импульсного процесса. Как доказывается в кур-
курсе теоретической радиотехники, спектральная плотность
будет иметь вид, представленный на рис. 10.3, причем,
если приближенно считать, что энергия сигнала заключе-
г а)
Рис. 10.3. Прямоугольный радиоимпульс (а) и его спектральная
плотность (б).
на лишь в центральном лепестке спектральной диаграм-
диаграммы, то
= 6,9-1010 1/с,
о)ниЖ=со0—2я/т = 5,65-1010 1/с.
Легко проверить, что по данному волноводу на этих
частотах может распространяться лишь колебание низ-
низшего типа Ню, для которого Хкр = 2а = 46 мм, соКр =
= 4,Ы010 1/с.
Формула для групповой скорости может быть записа-
записана в виде, эквивалентном A0.7):
= cV\ -(а>кр/шJ.
A0.14)
Таким образом, группа волн, образованная низкоча-
низкочастотными спектральными составляющими, будет обла-
обладать групповой скоростью
= с^1-К
= 0,690^.
Аналогично
^гр верх"
165

Отсюда легко убедиться, что на длине L=10 м низко-
частотная группа волн отстанет от высокочастотной
группы на отрезок времени М = 7 • 10~9 с. Поскольку эта
величина значительно превышает длительность импуль-
импульса, несомненно, что передаваемый импульс на выходе
будет существенно искажен.
Если длина линии передачи невелика, то с данным
эффектом в ряде случаев можно не считаться. Однако
при больших длинах волноводного тракта явление «рас-
плывания» радиоимпульса может послужить серьезным
препятствием для реализации многих устройств. Естест-
Естественной мерой, позволяющей избежать этого, служит от-
отказ от построения трактов на основе полых волноводов
и переход к линиям передачи с волнами типа ТЕМ, та-
таким, как коаксиальная или полосковая линия.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
И ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ
В предыдущих главах рассматривались волноводные
линии передачи, в которых фазовая скорость распро-
распространяющихся колебаний была равна скорости света
или превосходила ее. Однако для нужд электроники
СВЧ часто требуются волноводные системы, в которых
фазовая скорость электромагнитных волн была бы урав-
уравнена со скоростью пучка электронов. Очевидно, что при
этом v$<c. Волноводные системы, удовлетворяющие
этому условию, носят название замедляющих структур.
Замедляющие структуры находят широкое применение
и в других областях радиоэлектроники, в частности, при
создании специальных антенн.
В данной главе будут описаны основные виды замед-
замедляющих структур и на простейших примерах исследо-
исследованы важнейшие свойства электромагнитных процессов
в этих волноводах.
11 Л. Спиральный волновод
Одной из первых замедляющих структур, нашедших
применение на практике, явился спиральный волновод,
изображенный схематически на рис. 11.1. Данная систе-
система представляет собой достаточно тонкий проводник,
навитый на круглый цилиндр радиуса а по винтовой
линии с некоторым постоянным шагом d.
Рис. 11.1. Спиральный волновод.

Замедляющие свойства спирального волновода объ-
объясняются следующим. При возбуждении системы вдоль
проводника распространяется волна тока, причем ско-
скорость этой волны с большой точностью равна скорости
света в вакууме с. Поскольку путь тока вдоль провода
значительно превышает проекцию этого пути на ось вол-
волновода, фактическая скорость распространения колеба-
Рис. 11.2. Развертка витка спирали.
ний вдоль волновода умеьшается по сравнению со ско-
скоростью света. Степень замедления принято характеризо-
характеризовать коэффициентом замедления
If у» v IП /11 1 \
Азам — Уф/Ь, A1.1)
который всегда меньше единицы.
Для нахождения коэффициента замедления спираль-
спирального волновода рассмотрим развертку одного витка спи-
спирали (рис. 11.2). Очевидно, что коэффициент замедле-
замедления равен отношению путей волны вдоль оси волновода
и вдоль проводника, т. е.
/(зам = sin а,
A1.2)
где а — угол намотки спирали.
Таким образом, в первом приближении фазовая ско-
скорость замедленной электромагнитной волны в спираль-
спиральном волноводе определяется лишь геометрией спирали
и не зависит от частоты. Это простое, на первый взгляд,
свойство объясняет чрезвычайно высокую широкополос-
ность лампы бегущей волны (ЛБВ), используемой в ка-
качестве усилителя СВЧ колебаний. Работа ЛБВ
(рис. 11.3) основана на том, что часть кинетической
энергии пучка электронов может быть передана
168

тромагнитной волне, распространяющейся вдоль спи-
спирального волновода при условии синхронизма между
электронным потоком и распространяющейся волной.
Очевидно, что отсутствие зависимости фазовой скорости
от частоты благоприятствует работе ЛБВ в широкой
полосе частот.
Рассмотренное свойство спирального волновода на-
находит также применение при создании так называемых
Рис. 11.3. Конструкция лампы бегущей волны:
/ — спираль; 2 — электронный пучок; 3 — вход энергии СВЧ; 4— выход усилен-
усиленного сигнала; 5 — катод; 6 — коллектор электронов; 7—источник питания.
спиральных антенн, способных работать в широкой по-
полосе частот.
Строгая теория электромагнитных волн в спираль-
спиральном волноводе весьма сложна с математической точки
зрения и не входит в рассматриваемый курс. Отметим
лишь, что равенство A1.2) справедливо только при
условии Хо<<1 В противном случае волны «перескаки-
«перескакивают» с витка на виток, в результате чего коэффициент
замедления становится функцией рабочей частоты.
11.2. Замедление электромагнитных волн
диэлектрической пластиной. Поверхностные волны
В настоящем параграфе рассматриваются электро-
электромагнитные процессы в системе, состоящей из диэлектри-
диэлектрической пластины толщиной а, обладающей относитель-
относительной диэлектрической проницаемостью е, которая распо-
расположена на подложка "Из" идеального проводника
(рис. 11.4). Для простоты будем полагать, что диэлек-
диэлектрик немагнитный (jjta = |uio) и без потерь @ = 0).
Будет показано, что подобная пластина может играть
роль волновода замедленных волн.
169

Цель дальнейшего математического рассмотрения
состоит в нахождении структуры электромагнитного по-
поля замедленной волны, а также в определении коэффи-
коэффициента замедления системы. Будем решать задачу, рас-
рассматривая отдельно пространство, представляющее ва-
вакуум (область 1) и пространство внутри пластины
(область 2)\ соответствующие индексы будут поставле-
поставлены при составляющих электромагнитного поля.
Рис. 11.4. Диэлектрическая пластина над идеально проводящей пло-
плоскостью:
/ — бакуум; 2 — диэлектрик.
Сделаем тр,и существенных предположения:
1) рассматриваемая волна является замедленной,
поэтому длина волны в волноводе удовлетворяет нера-
неравенству Лв<|^о, которое, будучи записанным относитель-
относительно продольного волнового числа h, приобретает вид:
/
2) система неограниченно протяженна вдоль коор-
координат z и у, указанных на рис. 11.4;
3) изучаемое поле представляет собой волну, рас-
распространяющуюся вдоль координаты z> причем магнит-
магнитный вектор имеет единственную составляющую, направ-
направленную по координате у. С учетом предыдущего условия
это означает, что силовые линии магнитного поля имеют
вид бесконечных нитей, вытянутых над пластиной.
Обратимся к рассмотрению первой области. Для со-
составляющей НУ1 имеем здесь уравнение Гельмгольца:
VsHyi + fHyi = 0. A1.3)
Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей
волны с неизвестными пока амплитудой и фазовой по-
постоянной:
НУ1 = НУ1(х)е-]Н\ A1.4)
170

Подставляя A1.4) в A1.3) и учитывая, что по условию
д/ду = Оу а также сокращая полученное выражение на
общий экспоненциальный множитель, запишем обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение
d2Hyifdx2 - р2НУ1 = 0, .. (И .5)
где р=|//г2—.у2 являющееся аналогом поперечного вол-
волнового числа р теории полых металлических волноводов
(см. § 6.2), служит весьма важной характеристикой
рассматриваемой системы. Отметим, что для замедлен-
замедленных волн число р всегда вещественно, поскольку А>уо.
Общее решение уравнения A1.5) имеет вид
#У1(.х;) = Ле-Р* + Ве^, A1.6)
где А, В — произвольные постоянные. Из физические
соображений ясно, что Б=0, так как поле не может не-
неограниченно возрастать при удалении от направляющей
системы.
Итак,
ЯУ1 = Ле-^.е-ЗА2. A1.7)
Формула A1.7) позволяет сделать важнейший вывод
о том, что замедленная волна является одновременнэ
волной поверхностной в том смысле, что при более ин-
интенсивном замедлении (/(зам падает) величина р возра-
возрастает и поле становится более прижатым к направляю-
направляющей поверхности диэлектрика. Данный вывод обладает
большой общностью и справедлив для замедляющих
структур любой физической природы.
Составляющие электрического вектора в воздушной
области легко находятся путем подстановки A1.7)
в первое уравнение Максвелла
= jcDs0E1, A1.8)
откуда
A1.10)
—^- = -^Ле-Р*.е-]'1г. (Ц.11)
jcoe0 ОХ СОео х '
171

Поскольку Ёиф0, в то время как магнитное поле
поперечно, рассматриваемая 'волна должна быть причис-
причислена к волнам типа Е.
Обратимся к исследованию второй среды, заполненной
диэлектриком. Здесь для составляющей НУ2 имеем урав-
уравнение
У2Яу2 + <Яу2 = 0, A1.12)
решение которого следует искать в виде
НУ2=НУ2(х)е-]Нг. A1.13)
Отметим, что продольное волновое число h одинаково
в обеих средах, поскольку рассматриваемое поле пред-
представляет единый волновой процесс.
Способом, аналогичным предыдущему, находим диф-
дифференциальное уравнение для амплитуды НУ2(х):
d*Hy2/dx*+q2Hy2=0, A1.14)
где
Ранее указывалось, что фазовая скорость волн в рас-
рассматриваемой системе ограничена снизу величиной фа-
фазовой скорости в неограниченном однородном диэлек-
диэлектрике (§ 4.6). Отсюда непосредственно следует, что
Y так что величина q2 всегда положительна.
В силу сказанного общее решение уравнения A1.14)
принимает вид
НУ2{х) =С cos qx + Dsinqx. A1.15)
Вопрос о выборе произвольных постоянных С и D дол-
должен быть решен исходя из граничных условий, которые
выполняются на поверхности проводника при х=0.
Здесь касательной к границе раздела оказывается про-
продольная составляющая электрического вектора Е
Вторая из возможных касательных составляющих Еу2
обращается в нуль тождественно в силу выбранного на-
направления поляризации магнитного поля.
172

Подстановка A1.13) в формулу A1.16) убеждает
в том, что синусоидальное слагаемое не обеспечивает
обращения в нуль составляющей Ёх2 при х = 0, так что
НУ2=С cos qx • e~j hz,
откуда
<oee0
A1.17)
Аг соее0
Подытожим проведенное исследование. На основе
дбщих соображений найден вид функциональных зави-
зависимостей составляющих электромагнитного поля в обеих
средах. Тем не менее, вопрос о связи постоянных рас-
распространения yo и К определяющих коэффициент замед-
замедления системы, остался открытым. Для решения данной
задачи воспользуемся условиями непрерывности танген-
тангенциальных составляющих электромагнитного поля на
границе раздела при х = а. Эти условия имеют вид:
EZl-=EZ2, //У1 = #У2 при х = а.
Подставив конкретные выражения составляющих полей
из A1.7), A1.11), A1.16) и A1.17) в последнее условие,
а также сократив полученный результат на общие мно-
множители, можно записать
Равенства A1.18) образуют систему однородных
алгебраических уравнений относительно .коэффициентов
Л и С. Данная система ,имеет нетривиальное решение
только в том случае, когда ее определитель обращается
в нуль. Вычисляя определитель и приравнивая его нулю,
получаем соотношение, характеризующее связь между
числами р и q:
р cos qa j-$>mqa~0, A1.19)
или в безразмерной форме
^a. A1.20)
173

Формула A1.20) носит название дисперсионно-
дисперсионного уравнения рассматриваемой системы, поскольку
она позволяет определять дисперсионные характеристи-
характеристики— зависимости длины волны в волноводе от длины
волны в свободном пространстве. Для решения этой
задачи уравнение A1.20) должно быть дополнено еще
одним соотношением, автоматически вытекающим из
определения величин р и q:
(ра)*+(да)*=(г-1)(уопУ
A1.21)
Равенства A1.20) и A1.21) следует рассматривать как
систему двух уравнений относительно безразмерных не-
неизвестных ра и qa. Поскольку первое из этих уравнений
трансцендентное, а второе — алгебраическое второй сте-
степени, решение целесообразнее всего проводить графиче-
графическим методом. Реализуемая при этом точность вполне
достаточна для инженерных расчетов.
Рис. 11.5. Графический способ решения дисперсионного уравнения.
Проиллюстрируем метод решения на конкретном
примере. Предположим, что исходные данные таковы:
8 = 2,56 (диэлектрик — полистирол), а=10 мм, Аю=4,8ем
(fo = 6,25 ГГц). Требуется определить длину волны над
замедляющей структурой.
На рис. 11.5 две из бесконечного множества кривых,
отображающих уравнение A1.20), построены с учетом
выбранного значения диэлектрической проницаемости.
174

Заметим, что дли поставленной цели следует строить
кривые только при ра>0, поскольку для замедленных
волн всегда /?>0.
Искомые корни уравнений определяются точкой пе-
пересечения построенных кривых с геометрическим местом
точек, соответствующих уравнению A1.21). Нетрудно
видеть, что указанная формула описывает семейство
концентрических окружностей, радиусы которых в вы-
выбранной системе координат даются выражением
Вычисляя величину уо, находим, что для рассматривае-
рассматриваемого случая /?=1,64. Данная окружность построена на
рисунке. Снося точку пересечения кривой с окружностью
на ось ординат, получаем ра= 1,12, откуда
Яв = КзамАю = 0,757 -4,8 см =3,65 см.
Важно отметить, что в данном случае точка пересе-
пересечения оказалась единственной. Это говорит о том, что
в системе может распространяться поверхностная волна
лишь одного типа, которую целесообразно обозначить
как Ею (первый индекс указывает номер корня, второй
говорит о том, что поле однородно по координате у).
Указанный тип волны является низшим типом колеба-
колебаний данной замедляющей структуры и существует при
как угодно низких частотах. Чтобы убедиться в этом,
достаточно заметить, что точка пересечения будет .су-
.существовать при как угодно малом радиусе окружности.
Одноволновый режим работы данной линии передачи
будет сохраняться вплоть до значений \R = tc, т. е. при
Хо^2а|/е—1. На более высоких частотах в системе
потенциально могут существовать поверхностные волны
высших типов, такие, как Его, Е3о и т. д.
На рис. 11.6 изображена окружность с радиусом
/?=3,22, которая соответствует длине волны Ь=2,44 см
(/о=12,3 ГГц). В этом случае распространяются поверх-
поверхностные волны двух типов: сильно замедленная основ-
основная волна Ею (ра = 2,9, /С3ам = 0,665) и волна зысшего
типа Е2о, замедление которой весьма невелико (ра = 0,1,
Кз&м=0,9992). По причинам, изложенным ранее, следует
175

стремиться обеспечивать работу в том диапазоне ча-
частот, в котором выполняется условие одноволновости.
Эскизы распределения силовых линий электромаг-
электромагнитного поля для волн типов Ею и Его приведены на
Волна JE.20
Рис. 11.6. Структура электромагнитного поля волн типов Ею и Е2о
в диэлектрической пластине над идеально проводящей плоскостью.
рис. 11.6; структура полей для волн более высоких ин-
индексов может быть построена по аналогии. Данные
рисунки наглядно показывают факт экспоненциального
уменьшения амплитуды полей при удалении от замед-
замедляющей структуры вдоль координаты х.
Волнами типа Е не исчерпывается все многообразие
типов поверхностных электромагнитных волн, сущест-
176

вующих над диэлектрической пластиной. Рассматривая
электромагнитные процессы, в которых электрический
вектор имеет единственную составляющую вдоль коор-
координаты уу приходим к совокупности волн магнитного
типа. Можно показать, что низшая волна магнитного
типа имеет критическую частоту и поэтому существует
только при условии
11.3. Некоторые другие типы замедляющих структур
и их применение
Ломимо уже рассмотренных простейших устройств для замед-
замедления фазовой скорости электромагнитных волн, в современной тех-
технике ОВЧ находит применение ряд других замедляющих систем,
весьма отличающихся друг от друга конструктивными принципами
и особенностями применения. Детальное рассмотрение их выходит
далеко за рамки настоящего учебного пособия. Тем не менее, можно
а)
Рис. 11.7. Диэлектрический волновод круглого (а) и прямоугольно-
прямоугольного (б) сечений.
выделить два класса систем, наиболее часто применяемые на
•практике.
К первому классу относятся волноводы замедляющих волн,
в которых эффект замедления достигается за счет применения
диэлектрика с 8>1. Помимо рассмотренной уже плоской структуры
с диэлектрической пластиной сюда относится диэлектрический вол-
волновод (рис. 11.7), представляющий собой стержень, обычно круглого
или прямоугольного сечения, изготовленный из диэлектрика с ма-
малыми потерями. Подобная линия передачи может с успехом приме-
применяться на волнах миллиметрового диапазона. Ценным свойством
диэлектрического волновода является его механическая гибкость.
Хотя при изгибах подобного волновода часть энергии неизбежно
излучается в пространство (свойство, присущее всем открытым ли-
линиям передачи), разумный выбор параметров системы позволяет
снизить излучение до весьма малой величины.
Принцип работы второго класса замедляющих структур основан
на использовании пространственно-периодических свойств. Рассмот-
Рассмотренный ранее спиральный волновод служит типичным примером пе-
периодических систем. В антенной технике находит применение гребен-
12—1443 177

чатая замедляющая структура, представляющая собой металличе-
металлическую поверхность с прямоугольными канавками, глубина которых /
не превосходит А,о/4 (рис. '11.8).
Фазовая скорость замедляется тогда, когда электромагнитные
волны распространяются в направлении, перпендикулярном
канавкам.
Физическая природа замедления, осуществляемого периодически-
периодическими структурами, заключается в следующем. Каждый отдельный пе-
Рис. П.?. Гребенчатая замедляющая структура.
риод структуры может рассматриваться как некоторая колебатель-
колебательная сисхема, обладающая конечным временем установления колеба-
колебаний. В случае гребенчатого волновода такой колебательной системой
является отдельная канавка, которая может рассматриваться как
закороченный на конце отрезок длинной линии с волной типа ТЕМ.
Несомненно, что для достижения установившейся амплитуды коле-
колебаний требуется конечный отрезок времени, тем больший, чем бли-
Рис. 11.9. Диафрагмированный волновод.
же размеры системы к резонансным, т. е. с приближением глубины
канавки к значению Л0/4. Упрощенный теоретический анализ гре-
гребенчатой замедляющей системы показывает, что справедлива сле-
следующая простая формула для коэффициента замедления:
A1.22)
Однако при более строгом рассмотрении получается, что в ре-
реальных замедляющих структурах с конечной величиной шага как
угодно малое значение фазовой скорости не может быть реализова-
реализовано ввиду того, что при yol—>-Jt/2 поверхностные волны перестают
существовать.
178

Интересной модификацией гребенчатой структуры, имеющей
•практическое применение, является диафрагмированный волновод
(рис. ,Ы.9), представляющий собой круглую металлическую трубу,
внутри которой с одинаковым шагом размещены металлические ди-
диафрагмы. /Подобную систему можно рассматривать как гребенчатую
структуру, свернутую в кольцо по направлению канавок. Диафраг-
Рис. 11.10. Замедляющая система типа «встречные штыри».
мированный волновод особенно удобен для применения в мощных
электронных устройствах СВЧ, таких, как линейные ускорители за-
заряженных частиц. Причиной этому служит конструктивная особен-
особенность данного волновода, позволяющая пропускать через отверстия
в диафрагмах сфокусированный и сгруппированный поток заряжен-
заряженных частиц, например электронов.
Перечисленными устройствами далеко не исчерпывается все
многообразие периодических замедляющих систем. Так, современная
техника генерирующих электронных приборов ОВЧ широко исполь-
использует замедляющую систему типа «встречные штыри», устройство
которой видно из рис. 11.10. Данная система по принципу своего
действий приближается к спиральному волноводу, выгодно отли-
отличаясь от него рядом конструктивных особенностей.
12*

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЧ.
ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
12.1. Эволюция электромагнитных колебательных
систем при повышении рабочей частоты
В радиотехнике самое широкое применение нашел
колебательный контур, состоящий из сосредоточенных
индуктивности и емкости. Общей чертой всех подобных
систем является то, что их геометрические размеры зна-
значительно меньше резонансной длины волны.
a) I) I)
Рис. 12.1. Переход от колебательного контура с сосредоточенными
элементами к тороидальному резонатору.
Уже при переходе к волнам дециметрового диапазо-
диапазона было отмечено резкое падение колебательных
свойств, в частности, добротности у .колебательных кон-
контуров, построенных на сосредоточенных элементах. При-
Причина этого заключается в следующем. Как известно,
для повышения резонансной частоты приходится умень-
уменьшать величины индуктивности и емкости контура. По-
Поэтому в пределе от обычного контура переходят к си-
системе, в которой конденсатор представляет собой две
пластины, а роль индуктивности играет одиночный ви-
виток, соединяющий последние (рис. 12.1,а, б). Однако
при таком переходе существенно уменьшается величина
энергии электромагнитного поля, запасаемой в системе.
Наряду с этим относительная доля активных потерь
в контуре возрастает, что связано, например, с ростом
омического сопротивления проводников на высоких ча-
частотах из-за поверхностного эффекта. Если к суммар-
180

ным потерям контура добавить еще те, которые неиз-
неизбежно возникают ввиду излучения электромагнитной
энергии, становится ясным, что добротность колебатель-
колебательной системы падает.
Мера, позволяющая отчасти избежать падения до-
добротности, состоит в том, что индуктивный виток заменя-
заменяется сплошной металлической поверхностью (рис. 12.1,я),
которую можно рассматривать как предельный случай
параллельного включения большого числа отдельных
витков. При этом, с одной стороны, уменьшается индук-
индуктивность системы, что благоприятно сказывается при
продвижении в более высокочастотные области спектра.
С другой стороны, величина электромагнитной энергии,
запасенной внутри тороидальной полости, значительно
больше, чем энергия в одиночном витке. По этой при-
причине возрастает добротность.
Электромагнитные колебательные системы, пред-
представляющие собой замкнутые объемы с проводящими
стенками, носят название объемных резонаторов.
Сюда относится, в частности, рассмотренный тороидаль-
тороидальный объемный резонатор, нашедший по ряду причин
широкое применение в технике СВЧ.
Однако даже переход к замкнутым конструкциям
типа тороидального объемного резонатора не позволяет
успешно разрешить всех трудностей, связанных с по-
построением высокодобротных колебательных систем СВЧ.
Дело заключается в том, что подобные системы являют-
являются прямыми аналогами обычного колебательного кон-
контура и поэтому объем их неизбежно сокращается с по-
повышением резонансной частоты. Как следствие, при
этом уменьшается запасенная энергия и падает доброт-
добротность.
Принципиально другой, более прогрессивный путь
создания .колебательных систем СВЧ состоит в исполь-
использовании резонансных свойств отрезков линии передачи
с малыми -потерями.
Рассмотрим полубесконечную двухпроводную линию,
короткозамкнутую на конце, вдоль которой могут рас-
распространяться волны типа ТЕМ (рис. 12.2). Как извест-
известно, в такой системе установится стоячая волна, причем
амплитуда суммарного напряжения f/s будет опреде-
определяться граничным условием в точке короткого замыка-
замыкания:
= 0 при z = 0. A2.1)
181

Нетрудно видеть, что подобные условия будут выпол-
выполняться также и во всех точках оси г, удовлетворяющих
соотношению
z = /*W2, A2.2)
где /7=1, 2, 3, ...т- целое положительное число.
Отсюда следует, что если взять замкнутый с обоих
концов отрезок линии длиной / = рАю/2, то получим коле-
колебательную систему, при-
причем можно показать, что
ее частотная характери-
характеристика вблизи резонансной
частоты будет в точности
соответствовать частотной
характеристике обычного
колебательного контура.
Эскиз подобной системы и
ее эквивалентная схема
представлены на рис. 12.3.
Принципиально важно
¦отметить, что рассматри-
рассматриваемая здесь система об-
обладает не сосредоточен-
сосредоточенными, а распределенными
постоянными. Ввиду этого эквивалентную схему следует
понимать как условную.
Из A2.2) следует, что короткозамкнутый отрезок
линии передачи, в отличие от простого колебательного
Рис. 12.2. Распределение тока \
напряжения в короткозамкнутой
линии.
б)
Рис. 12.3. Колебательная система, образованная отрезком длинной
линии (а), и ее эквивалентная схема (б):
/ — колебательная система; 2 —элемент связи.
контура, обладает бесконечным множеством резонанс-
резонансных длин волн, определяемых формулой
^оРез = 2//р. A2.3)
182

Физически это соответствует тому, что вдоль линии МО-
гут укладываться одна, две, три и т. д. стоячие полу-
полуволны. Подобное свойство характерно для любых коле-
колебательных систем с распределенными постоянными.
На описанном принципе могут быть созданы объем-
объемные резонаторы, представляющие собой короткозамкну-
тые отрезки прямоугольных или круглых металлических
волноводов. Отличие таких систем от рассмотренного
отрезка двухпроводной линии состоит в следующем:
1) вследствие частотной дисперсии система резони-
резонирует не на кратных частотах;
2) возможно установление стоячих волн по всем
трем координатным осям.
12.2. Объемный резонатор, образованный
отрезком прямоугольного волновода
Здесь на простейшем примере будет рассмотрен
метод, позволяющий определять резонансную длину вол-
волны и структуру электромагнитного поля в объемных
резонаторах, представляющих собой отрезки регуляр-
регулярных металлических волново-
волноводов. Исходными данными
при этом служат характери-
характеристики волноводных типов
колебаний, распространяю-
распространяющихся в бесконечном волно-
волноводе.
Рассмотрим отрезок пря-
прямоугольного волновода сече-
сечением aXbt ограниченный
двумя металлическими тор-
торцевыми поверхностями, рас-
располагающимися в сечениях
2 = 0 и z=l (рис. 12.4). Подобная замкнутая металли-
металлическая полость представляет собой объемный резонатор.
Найдем один из частных видов собственных колебаний
данного резонатора, руководствуясь следующими сооб-
соображениями. Пусть по волноводу без торцевых поверх-
поверхностей распространяется волна основного типа Ню, ко-
которую условно будем называть падающей волной. Оче-
Очевидно, что
= ?0 sin (%xta) <Гт. A2.4)
Рис. 12.4. Прямоугольный
объемный резонатор.
183

Ввиду наличия торцевых поверхностей в системе должна
существовать также и отраженная волна, для которой
Ёу отр = АЕ0 sin {izx/a) e]hz. A2.5)
Если учесть, чтопри,г = 0 суммарное поле Ё =ЁутдГ\-
# У**
+ ^уотр должно обратиться в нуль в силу граничных
условий на идеальном проводнике, то, как нетрудно
видеть, А= — 1. Таким образом,
ЁуЪ = —j2E0 sin (ихfa) sin hz. A2.6)
Согласно формуле A2.6) рассматриваемый электро-
электромагнитный процесс представляет собой двумерную стоя-
стоячую волну, существующую как по оси х, так и по оси z.
Однако длина стоячей волны по оси я пока не опреде-
определена, поскольку не наложено никаких условий на про-
продольное волновое число h. Данные условия естественно
вытекают из того, что должно выполняться тождество
EyZ = 0 при z = U A2.7)
откуда
hl=pn. A2.8)
Значение продольного волнового числа, удовлетворяю-
удовлетворяющее равенству A2.8), будем называть резонансным зна-
значением
A2.9)
Отсюда нетрудно перейти к резонансному значению
длины волны в волноводе
A2.10)
и в свободном пространстве
A2.11)
Подведем некоторый итог. Итак, удалось показать,
что для прямоугольной металлической полости решения
вида A2.6) могут существовать не при любой длине
волны возбуждающего источника, а лишь в бесконечной
последовательности отдельных точек, удовлетворяющих
резонансному условию A2.11). Каждому отдельному
значе/шю целочисленного индекса р соответствует своя
184

величина резонансной длины волны и своя характерная
структура электромагнитного поля, представляющая со-
собой тип колебаний в прямоугольном объемном
резонаторе.
Так же, как и в случае регулярных волноводов, для
объемных резонаторов возможно классифицировать ти-
типы колебаний. Более подробно этот вопрос будет изучен
в § 12.3. Здесь укажем лишь, что исследуемая совокуп-
совокупность типов колебаний может быть обозначена как Нюр.
Такая символика показывает, что поле объемного резо-
резонатора порождается волноводным типом колебаний Ню,
причем вдоль продольной оси z укладывается р стоячих
полуволн.
Структуру электромагнитного поля удобно просле-
проследить на примере простейшего типа колебаний Нин.
Здесь, очевидно,
Ёу = sin (%ф) • sin (itz//) A2.12)
(амплитудный множитель для удобства принят равным
единице).
Магнитное поле в резонаторе без труда находится на
основании второго уравнения Максвелла
rot Ё= —jcD|*eH, A2.13)
откуда
Нх= - J?_ sin (ъх/а) cos (tizfl). A2.14)
Следует обратить внимание на очень важный факт
наличия мнимых единиц в амплитудных множителях
при составляющих магнитного вектора. Их присутствие
говорит о том, что между мгновенными значениями
электрического и магнитного полей в резонаторе по-
постоянно существует сдвиг фаз по времени на величи-
величину я/2. Это является следствием того, что в объемном
резонаторе, как и в любой электромагнитной колеба-
колебательной системе, происходит непрерывный процесс об-
обмена энергий между электрическим и магнитным поля-
полями. Так же, как и в обычном колебательном контуре,
дважды за период энергия электрического поля перехо-
переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Сказанное
иллюстрируется мгновенными картинами распределения
электромагнитного поля в объемном резонаторе с коле-
185

Рис. 12.5. Структура электромагнитного поля резонатора в последо-
последовательные моменты времени для колебаний типа Н
Маниями типа Нюь построенными для различных момен-
моментов времени и представленными на рис. 12.5.
Отметим также, что вектор Пойнтинга, образован-
образованный полями вида A2.12) и A2.14), имеет тождественно
равное нулю среднее значение.
Это значит, что объемный резона-
резонатор, с энергетической точки зре-
зрения, подобен колебательному кон-
контуру:
Остановимся, наконец, на важ-
важном для практики вопросе о по-
поверхностных токах, протекающих
по стенкам резонатора. Так как
вектор плотности поверхностного
тока на идеальном проводнике
перпендикулярен тангенциальной
составляющей магнитного поля,
f ™ приходим к картине, изо-
стенках резонатора. браженнои на рис. 12.6 для неко-
186
пр
"н"

Торого фиксированного момента времёйй. Здесь токи
проводимости, стекающиеся к центру верхней крышки
резонатора, замыкаются внутри него посредством токов
смещения. Последние, в свою очередь, охватываются
кольцевыми линиями магнитного поля в соответствии
с законом полного тока.
12.3. Общая задача о колебаниях в прямоугольном
резонаторе. Классификация типов колебаний
Поставим задачу определить всю совокупность резо-
резонансных частот, которые соответствуют колебаниям раз-
различных типов в замкнутой металлической полости пря-
прямоугольной формы. Для этого обратимся вновь к рис. 12.4
и положим, что ось z является осью стоячей волны,
а в поперечной плоскости XOY устанавливается распре-
распределение поля, отвечающее колебаниям,типа Emn прямо-
прямоугольного волновода. Как уже было показано, условие
резонанса приобретает вид
Лврез = 2//р. A2.15)
Величина А,Врез связана с ^рез дисперсионным соотно-
соотношением
1/Я2 =\1Х2 +1/Я2. A2.16)
' о Рез ' в Рез » ' кр х '
Поскольку
ЯкрЕ =2IY(mlaY + (nlb)\ A2.17)
из A2.16) получим
Яо рез = 2lV(m/aY + (n/by + (р/01 • A2.18)
Если полагать, что по волноводу распространяется
волна типа Hmn, то формула для резонансных длин
волн будет полностью аналогична A2.18).
Интересно отметить, что в формулу A2.18) размеры
a, b и U относящиеся к осям х, у и z соответственно,
входят совершенно равноправно. Поскольку известно,
что некоторые из индексов типа колебаний могут рав-
равняться нулю, по крайней мере для волн Hmn, естествен
вопрос о том, возможны ли резонаторные типы колеба-
колебаний с индексом р = 0. Согласно условию р = 0 поле не
меняется на всем протяжении оси z, вдоль которой рас-
расположены стенки длиной /.
187

Если рассмотреть волноводйую волну т.ипа Ewn, то
здесь силовые линии электрического вектора распола-
располагаются так, как это показано на рис. 12.7,а (при т=1,
п=-1). Данный рисунок соответствует тому случаю, при
котором тип колебаний является распространяющимся,
т. е. при Аю<Л,кр. Если же величина Хо стремится к Якр,
то длина волны в волноводе устремляется к бесконеч-
бесконечности и силовые линии электрического поля приобре-
приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис. 12.7,6).
14^J l^J
\
\
ч
1
s) z
Рис. 12.7. К вопросу о существовании колебаний типов Ewno.
В пределе, при Яо = ЯКр, электрическое поле обладает
единственной z-и составляющей, в силу чего граничные
условия на двух идеально проводящих торцевых стен-
стенках будут выполняться автоматически независимо от
расстояния / между ними.
Таким образом, колебания типа Emno в прямоуголь-
прямоугольном объемном резонаторе существуют. Если в A2.18)
подставить значение р = 0, то будем иметь
(Яо pe3)Emno = 2/V(m/aJ + (n[bf. A2.19)
Формула A2.19) в точности совпадает с выражением
для критической длины волны колебания типа Етп
в прямоугольном волноводе с размерами сечения aXb.
Это значит, что в объемном резонаторе с колебаниями
типа Emno существует резонанс в поперечном сече-
сечении XOY.
Рассмотрим теперь колебания типа Н в прямоуголь-
прямоугольном объемном резонаторе. Здесь исходное волноводное
колебание типа Hmn, по определению, обладает только
поперечным распределением электрического поля. Если
составляющие поля не будут меняться вдоль оси г, как
это должно быть в случае колебания Hmno, то поле
в любой точке резонатора должно быть тождественно
равно нулю, поскольку граничные условия на торцевых
188

Стенках выполнены быть не могут. Таким образом, ко-
колебания типа Hmno физически не существуют.
Подытожим вопрос о классификации типов колеба-
колебаний в прямоугольном объемном резонаторе. Уже из-
известно, что данная классификация проводится следую-
следующим образом:
1) одна из О?ей резонатора принимается за ось стоя-
стоячей волны;
/ У
/ / ТТТ
/ , III
1
//
f /
//
/
/z
Рис. 12.8. К вопросу об условном характере классификации типов
колебаний в объемном резонаторе.
2) определяется, какой волноводный тип колебаний,
Етп или Hmn, распространяется в регулярном волно-
волноводе, из которого образован объемный резонатор;
3) определяется величина р — число стоячих полу-
полуволн, укладывающихся между торцевыми стенками.
В результате приходим к колебаниям типа Emnv
или Итпр. Следует отметить, что данная классифика-
классификация в значительной ,мере условна, поскольку она пол-
полностью определяется начальным выбором оси стоячей
волны. Для иллюстрации этого положения на рис. 12.8,а
изображена уже знакомая картина поля для колебания
типа Hioi.
Если теперь осуществить поворот резонатора в про-
странстве таким образом, чтобы грань с размером /
была ориентирована вдоль оси у (рис. 12.8,6), то этот
же самый электромагнитный процесс должен быть обо-
обозначен как колебание типа Ецо. Легко проверить, что
резонансные длины волн для названных типов колеба-
колебаний тождественно равны.
189

12.4. Круглые объемные резонаторы
Рассмотрим цилиндрический объем, изображенный
на рис. 12.9, представляющий собой отрезок круглой
металлической трубы радиуса а, ограниченный с двух
сторон проводящими торцевыми поверхностями. Данная
система носит название круглого объемного резонатора.
Поставим задачу нахождения всей совокупности резо-
резонансных частот данного резонатора.
Рис. 12.9. Круглый объемный резонатор.
Внутри бесконечного круглого волновода могут рас-
распространяться волны типа Етп и Hmn. Длина волны
в волноводе А,в связана с длиной волны в свободном
пространстве Лю при помощи дисперсионного уравнения
независимо от типа волны. Критические длины волн
вычисляются следующим образом (см. §§ 7.2, 7.3):
(ЯКР)Е =2rca/vmn, (Акр)н =2<rca/y.mn.
Если теперь вспользоваться известным условием
резонанса
то из дисперсионного уравнения вытекают формулы,
определяющие резонансные длины волн для любого ти-
типа колебаний в круглом резонаторе:
(Яорез)Е = l/K(vmn/2*aJ + (p/2/J, A2.21)
тпР
(Я„рез)н =l//GW2*aJ + (P/2/f. A2.22)
mnV
Вопрос о том, имеет ли физический смысл значение
р = 0, решается таким же образом, как и в случае пря-
прямоугольного объемного резонатора. В частности, коле-
190

бания Е-типа с индексом р=0 возможны. Примером
здесь может служить часто используемое на практике
колебание типа Еою, структура поля которого изобра-
0 0 0 0 0
Рис. 12.10. Структура электромагнитного поля колебания типа ЕОю.
жена на рис. 12.10. Важным свойством его служит не-
независимость резонансной длины волны от осевого раз-
размера /, что непосредственно вытекает из структуры по-
Рис. 12.11. Колебание типа НОц в круглом объемном резонаторе.
ля. Это же подтверждается расчетом по формуле A2.21):
Итак, данная система резонирует на длине волны,
которая является критической для порождющего волно-
водного типа колебаний EOi. Физически это означает,
что стоячие волны в рассматриваемом резонаторе уста-
устанавливаются не по оси г, а по радиальной координате г.
191

Так же, как и в прямоугольном резонаторе, колеба-
колебания типа Hmno в .круглом резонаторе существовать не
могут.
На рис. 12.11, 12.12 в качестве примеров приведены
картины электромагнитного поля в круглом объемном
Ml
Рис. 12.12. Колебание типа
Нщ в круглом объемном ре-
резонаторе.
резонаторе, работающем на типах колебаний НОц и Нш
соответственно. Данные поля построены на основании
сведений о структурах поля в волноводе и относятся
к какому-либо фиксированному моменту времени.
12.5. Некоторые способы возбуждения
и включения объемных резонаторов
На практике объемный резонатор всегда должен
быть тем или иным образом связан с внешними устрой-'
ствами. Принято говорить, что при этом осуществляется
процесс возбуждения объемного резонатора. Среди
большого числа различных способов возбуждения выде-
выделим два, чаще всего применяемых в технике СВЧ.
Возбуждение при помощи штыря. При данном спо-
способе возбуждения небольшая штыревая антенна вводит-
вводится внутрь обьемного резонатора (рис. 12.13). Такой
192

антенной может служить, например-, отрезок внутренне-
внутреннего проводники коаксиального кабеля. Для эффективного
возбуждения резонатора необходимо, зная структуру
поля возбуждаемого типа колебаний, расположить
штырь параллельно силовым линиям электрического
зектора. Подобное расположение позволяет максимизи-
максимизировать скалярное произведение JCTE. В соответствии
Рис. 12.13. Возбуждение коле-
колебания типа Еои в круглом ре-
резонаторе при помощи штыря.
Рис. 12.14. Возбуждение коле-
колебания типа Еою в круглом ре-
резонаторе при помощи щели.
с теоремой Пойнтинга поток мощности от источника
внутрь резонатора будет наибольшим.
Возбуждение при помощи щели. Так же, как и в вол-
волноводе, узкая щель, прорезанная в стенке резонатора,
является излучающей, если она перерезает линии по-
поверхностного тока. Этот принцип позволяет возбуждать
резонатор при помощи щели, как показано на рис. 12.14,
применительно к колебанию типа Еою в круглом резо-
резонаторе.
Следует сказать, что такие вопросы теории возбу-
возбуждения, как нахождение элементов эквивалентной схе-
схемы или учет влияния возбуждающих устройств на зна-
значение резонансной частоты, математически весьма
сложны и здесь не рассматриваются.
Выделим два характерных способа включения объем-
объемных резонаторов. При первом так называемом адсорб-
адсорбционном способе (рис. 12.15,а), на резонансной частоте
происходит интенсивный отбор мощности из основной
ЛИН.ИИ передачи. Как следствие, в частотной характери-
характеристике коэффициента передачи между плечами 1 и 2 на-
наблюдается более или менее выраженный провал.
13—1443 . 193

f
-z^\ /
I К нагрузке
f
Рис. 12.15. Два способа включения объемного резонатора:
/ — резонатор; 2 — отверстие связи.
При втором так называемом проходном способе
включения резонатор имеет два возбуждающих устрой-
устройства и используется как четырехполюсник (рис. 12.15,6).
Частотная характеристика системы имеет максимум на
резонансной частоте используемого типа колебаний.
12.6. Добротность объемных резонаторов
Добротность — одна из общих характеристик, при-
присущих любым колебательным системам независимо от
их физической природы. Ее можно определить как ве-
величину, пропорциональную числу свободных колебаний^
которые успевает совершить система за время переход-
переходного процесса вплоть до момента затухания, определяе-
определяемого любым известным -способом, например, по уровню
10%! от начальной амплитуды. Конкретно принято опре-
определять добротность Q следующим образом:
p. A2-23)
Здесь Wzsltl — энергия, зап-асенная в системе, которая
вычисляется в какой-либо определенный момент време-
времени; ^потзапер —средняя величина энергии потерь, вьг-
194

численная за тот период колебаний, в который была
найдена W3aTL. Последнюю из дачных характеристик
можно выразить через мощность потерь:
№потзапер = ГРПот, A2-24)
откуда
Q = coWWPnoT. A2.25)
Перейдем к конкретному рассмотрению добротности
электромагнитных объемных резонаторов. В целях боль-
большей общности будем полагать, что резонатор представ-
представляет собой замкнутый объем V, ограниченный поверх-
поверхностью S. Будем полагать также, что потери энергии
в резонаторе связаны лишь с конечной проводимостью
материала стенок, что представляет наибольший прак-
практический интерес. Проводимость материала стенок бу-
будем считать достаточно вььсокой для того, чтобы можно
было применить приближенные граничные условия
Леонтовича.
Как показал Максвелл, энергию электромагнитного
поля в объеме можно найти, интегрируя по объему
квадрат электрического или магнитного векторов:
W,
3ап = -§- f ?W = ^ JffW. A2.26)
V V
Заметим, что в формулу A2.26) надо подставлять ве-
величины Е или Н, которые относятся к идеальному резо-
резонатору без потерь.
Мощность потерь, ^приходящаяся на 1 м2 поверхно-
поверхности металлических стенок, была определена ранее при
расчете затухания в волноводе. Соответствующая фор-
формула имеет вид
К^;тм|2. A2.27)
Здесь полагаем, что металл не обладает собственными
магнитными свойствами, так что \1ам = \ю-
Подставляя A2.26) и A2.27) в формулу A2.25), по-
получаем окончательно
HzJdS. A2.28)
При расчете по формуле A2.28) значение частоты не-
необходимо полагать равным сорез.
13* 195

Для большинства объемных резонаторов, используе-
используемых на практике, в справочной литературе приводятся
формулы для расчета добротности. Например, прямо-
прямоугольный резонатор с типом колебаний Нш или, что то
же самое, Еш, обладает добротностью, вычисляемой по
формуле
A2-29)
Расчет добротности круглого цилиндрического резона-
резонатора, работающего на колебании Чипа Еою, приводит"
к следующему результату:
al/2 (a
A2.30)
2-/О*
0,5-)
>
у
/
10
График зависимости добротности от осевого разме-
размера /, рассчитанный по A2.30), приведен на рис. 12.16.
Из графика следует, что в объемных резонаторах без
труда может быть достигну-
достигнута добротность 'порядка не-
нескольких десятков тысяч, что
значительно превышает ве-
величины добротностей обыч-
обычных колебательных конту-
контуров, образованных сосредо-
сосредоточенными элементами. При-
Причина этого заключается в
том, что объемный резонатор
3D ?0 so 801,мм способен накапливать значи-
значительное количество электро-
электромагнитной энергии при отно-
сительнЬ небольших омиче-
омических потерях. Нарастающий
характер кривой на графи-
графике объясняется как раз тем,
что с ростом / объем резо-
резонатора, а следовательно, и
величина накапливаемой энергии возрастают быстрее,
чем мощность потерь, пропорциональная его поверхно-
поверхности.
В заключение необходимо сделать два существен-
существенных замечания. Во-первых, реально достижимые цифры
добротностей, как лравило, нескрлько ниже теоретиче-
196
Рис. 12.16. Зависимость доб-
добротности объемного резонато-
резонатора, работающего на колебании
типа Еою, от осевого размера
(а=38,4 мм, |ЯоРез=10 см, про-
проводимость медных стенок о=
= 5,7-107 1/Ом-м).

ских, предсказываемых формулой A2.28), поскольку
здесь не учитываются потери в трущихся контактах
между боковой поверхностью резонатора и одной из
торцевых поверхностей, которую приходится переме-
перемещать вдоль оси в целях перестройки резонатора по ча-
частоте.
Во-вторых, в приведенных расчетах не учитывается
шунтирующее действие внешних цепей, проявляющееся
через элементы связи. Поэтому добротность резонатора,
найденную описанным способом, принято называть не-
нагруженной или собственной добротностью в отличие
от нагруженной добротности, которая оказывается тем
ниже, чем выше коэффициент связи резонатора с внеш-
внешними цепями.
12.7. Некоторые другие типы объемных
резонаторов
Помимо уже рассмотренных прямоугольных и круглых объем-
объемных резонаторов в технике СВЧ находит применение ряд резонато-
резонаторов других конструкций. В первую очередь сюда следует отнести
коаксиальный объемный резонатор, получаемый путем закорачивания
отрезка коаксиальной линии передачи с обоих концов (рис. 12.17).
Резонатор данной конструкции, как правило, работает на волнах
типа ТЕМ, и поэтому его поперечные размеры не имеют ограничения
0
0
Рис. 12.17. Коаксиальный объемный резонатор.
снизу. Данное свойство благоприятствует использованию коаксиаль-
коаксиального объемного резонатора на волнах дециметрового диапазона.
Типы колебаний в коаксиальном резонаторе можно обозначать как
ТЕМоор (первые два индекса характеризуют отсутствие стоячих
волн по цилиндрическим координатам г и ср, последний индекс ука-
указывает на число стоячих полуволн вдоль координаты г). Так, на
рис. 12.17 изображена структура поля,. относящаяся к колебанию
типа TEMooi.
Наличие внутреннего проводника увеличивает поверхность сте-
стенок резонатора. По этой причине добротность коаксиального резо-
14—1443 197

натора несколько ниже, чем добротность резонаторов, рассмотрен^
ных в § 12.6.
Наилучшее соотношение между объемом и (поверхностью можно
получить в сферическом объемном резонаторе, представляющем по-
полую сферу с металлическими стенками, радиус которой порядка
резонансной длины волны. Однако ввиду трудностей перестройки
сферические объемные резонаторы находят на практике лишь огра-
ограниченное применение.
Интересным типом резонатора, сравнительно недавно использу-
использующимся в технике СВЧ, является так называемый диэлектрический
_ резонатор, схематически изо-
изображенный на рис. 12.18. Он
представляет собой некоторое
тело, обычно цилиндрической
формы, изготовленное из веще-
вещества с высокой диэлектрической
проницаемостью (специальная
керамика), которое помещается
внутри прямоугольного волно-
волновода. При этом отпадает на-
надобность в каких-либо устрой-
устройствах возбуждения. Подобный
резонатор работает за счет
использования полного внутрен-
внутреннего отражения и может суопе-
Рис. 12.18. Диэлектрический
объемный резонатор.
хом применяться для создания
различных волноводных филь-
фильтров.
Остановимся, наконец, на
одном весьма (важном классе ко-
колебательных систем, интенсивно разрабатываемом в последние годы и
носящем название открытых резонаторов. Появление открытых ре-
резонаторов ' было продиктовано необходимостью создания высоко-
высокодобротных колебательных систем для лазеров светового и инфра-
инфракрасного диапазонов. При этом рабочие частоты оказываются на
много порядков выше, чем частоты диапазона СВЧ. Использование
обычных принципов создания объемных резонаторов, подобных
описанным, наталкивается на непреодолимые трудности.
Например, прямоугольный объемный резонатор для волн свето-
светового диапазона, работающий на типе колебаний с индексами порядка
нескольких единиц, должен обладать размерами граней в несколько
световых длин волн, что составляет всего лишь несколько тысячных
долей миллиметра. Очевидно, что практическое выполнение. такой
конструкции не представляется возможным.
На первый взгляд может показаться, что разумно использовать
объемные резонаторы с очень высокими, порядка тысячи и более,
значениями индексов т, п и р. Эта мера должна позволить значи-
значительно увеличить габариты конструкции и сделать их приемлемыми
для изготовления. Однако нетрудно убедиться в том, что работа
такого резонатора не может быть удовлетворительной по следующей
причине. Согласно A2.18) при больших величинах индексов абсо-
абсолютная величина разности резонансных длин волн между соседними
типами колебаний (например, Hmnp и Hmnp+i) непрерывно умень-
уменьшается с ростом индексов. Как следствие, рано или поздно частот-
частотный интервал между соседними типами колебаний становится мень-
198

tiie, чем ширина резонансной кривой. При этом резонатор перестает
выполнять роль фильтрующей системы.
От указанного недостатка полностью свободна система, изобра-
изображенная на рис. 12.19 и носящая название открытого объемного
резонатора конфокального типа. Данный резонатор представляет
собой систему из двух металлических зеркал сферического профиля;
фокусные расстояния зеркал равны половине длины системы. Прин-
Принципиально важно, что все геометрические размеры системы (диа-
(диаметр зеркал, фокусное расстояние) значительно превышают рабочую
длину волны. Теоретически и экспериментально «было показано, что
Рис. 12.19. Открытый объемный резонатор.
в конфокальном резонаторе существует, вообще говоря, бесконечная
последовательность отдельных типов колебаний, различающихся
между собой как структурой электромагнитного толя, так и резо-
резонансными частотами. Общим для всех типов колебаний в конфо-
конфокальном резонаторе является то, что поля этих типов колебаний
локализованы в относительно узкой околоосевой области.
Открытым колебательным системам присущ специфический
механизм потерь, заключающийся в утечке части мощности за края
зеркал. Данные потери носят название дифракционных потерь и
связаны с конечностью поперечника зеркал. Для оценки величины
дифракционных потерь принято вводить так называемый дифракци-
дифракционный параметр
c=ya*IL, A2.31)
где а — радиус зеркала; L — расстояние между зеркалами.
Было показано, что дифракционные потери чрезвычайно быстро
падают с ростом параметра с. На практике принято выбирать
12.8. Общая постановка задачи о колебаниях
в объемном резонаторе
Подробно рассмотренные прямоугольные и круглые объемные
резонаторы обладают весьма простой геометрией и по этой причине
могут быть изучены как закороченные отрезки соответствующих
волноводов. Однако* может быть поставлена теоретическая задача
о свободных колебаниях электромагнитного поля в замкнутом
объеме V произвольной формы, ограниченном идеально проводя-
199

Щей поверхностью 5. Подобная задача описывается однородным
уравнением Гельмгольца
0, A2.32)
или
V2H + Y2H = 0 A2.33)
при очевидном граничном условии
?t = 0|s. A2.34)
iB математической физике показано, что данная краевая задача
имеет бесчисленное множество нетривиальных решений (собственных
функций), каждому из которых отвечает вполне определенное значе-
значение волнового числа у. Эти волновые числа образуют совокупность
собственных значений краевой задачи и определяют собой множест-
множество резонансных длин волн в рассматриваемой системе.
С физической точки зрения шроцесс в резонаторе произвольной
формы также может быть рассмотрен как интерференция всевоз-
всевозможных бегущих волн, однако здесь форма волновых фронтов от-
отвечает конкретной геометрии. стенок и не может быть приведена к
плоским, цилиндрическим или сферическим волнам. Совершенно
очевидно, что классификация типов колебаний в произвольном ре-
резонаторе, основанная на выделении волн типа Е или Н, также те-
теряет всякий смысл. Здесь естественно располагать отдельные типы
колебаний в порядке укорочения резонансных длин волн.

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВЕКТОРНЫЙ
ПОТЕНЦИАЛ
13.1. Постановка задачи
Во всех случаях, рассмотренных ранее, изучались
так называемые однородные задачи электродинамики.
При этом источники электромагнитного поля предпола-
предполагались достаточно удаленными от области, в которой
находилось электромагнитное поле. Во многих практи-
практических задачах часто требуется непосредственно свя-
связать величину сторонних электрических токов, являю-
являющихся источниками электромагнитного поля, с вектора-
векторами Е и Н в любых точках пространства. Сюда относит-
относится, прежде всего, большинство задач из теории излу-
излучающих антенн. Другим примером может служить за-
задача о возбуждении объемного резонатора с помощью
штыря, щели, электронного пучка и т. д.
С математической точки зрения решение всех ука-
указанных задач сводится к решению неоднородной систе-
системы уравнений Максвелла, которая может быть записа-
записана следующим образом:
rotH-j«>8aE~JCT, \
A3.1)
divB = 0, ;
div D = 0.
Здесь для простоты предполагается, что плотность объ-
объемного заряда р = 0.
Подчеркнем, что в правой части системы A3.1)
записана плотность стороннего электрического тока,
являющаяся известной векторной функцией пространст-
пространственных координат. В этом смысле имеется прямая ана-
аналогия между неоднородной задачей электродинамики и
задачей о нахождении токов и напряжений в электри-
электрической цепи, на которую воздействуют заданные сторон-
сторонние э. д. с.
201

13.2. Векторный и скалярный потенциалы
электромагнитного поля
Непосредственное решение системы A3.1), как пра-
правило, весьма сложно, поскольку здесь определению под-
подлежат шесть неизвестных составляющих векторов ЁиН.
Поэтому бывает целесообразным найти некоторую вспо-
вспомогательную функцию, знание которой позволило бы
одновременно найти векторы напряженности электриче-
электрического и магнитного полей. Подобные вспомогательные
функции в электродинамике носят название потен-
потенциалов электромагнитного поля.
Отметим, прежде всего, что третьему уравнению си-
системы A3.1) удовлетворяет векторное поле В, опреде-
определяемое по формуле
B = rotA9. A3.2)
Здесь Аэ — некоторая векторная функция, носящая наз-
название электрического векторного потенциа-
л а. Подобное название обусловлено тем, что эта вели-
величина естественно используется в тех задачах, которые
связаны с возбуждением электромагнитного поля элек-
электрическими сторонними токами. Аналогично
rotA* A3.3)
Соотнощения A3.2) и A3.3) весьма неопределенны,
поскольку единственное условие, налагаемое на Аэ,—
это дифференцируемость, обеспечивающая существова-
существование ротора данного векторного поля.
Попытаемся при помощи электрического векторного
потенциала определить вектор напряженности электри-
электрического поля. Для этого подставим A3.3) во второе
уравнение системы A3.1):
rotE-fjo>rotA9 = Of A3.4)
т. е.
rot(E + pA8) = 0. A3.5)
В силу известного тождества векторного анализа
rot gradcp = O
соотношение A3.5) будет выполняться автоматически,
если
202

Ё + jcoA9 = — grad ?э. A3.6)
Здесь <рэ — некоторая скалярная функция, называемая
скалярным .электрическим потенциалом.
Выбор знака в правой части последней формулы обус-
обусловлен тем, что в соответствии с известным соотноше-
соотношением электростатики для полей, не зависящих от вре-
времени, справедливо равенство
Е==—gradcp3.
При этом сохраняется традиционное направление стре-
стрелок на силовых линиях электрического поля, при кото-
котором истоком поля считается положительный заряд.
Итак, в данном параграфе найден способ выраже-
выражения векторов электромагнитного поля через векторный
я скалярный электрические потенциалы:
Ё = — grad?3 — рАэ, Н = ^-rotA8. A3.7)
13.3. Калибровка потенциалов. Неоднородное
уравнение Гельмгольца
Подставим соотношения A3.7) в первое уравнение
Максвелла A3.1):
— rot rot Аэ -f- j(osa grad <рэ + psajcoA9 = JCT. A3.8)
Раскрывая операцию rot rot, получаем "
grad (div A9 + jo>salx>) - V2A9 — у2Аэ = Мет- A3.9)
До сих пор не накладывалось никаких ограничивающих
условий на вид функций Аэ и <рэ. Потребуем теперь,
чтобы оба потенциала удовлетворяли следующему соот-
соотношению:
div Аэ + ]шва[1ач>в = 0. A3.10)
Формула A3.10) носит название соотношения калиб-
калибровки потенциалов. Из-за произвольного выбора
функций Аэ и ?э калибровочное соотношение может быть
удовлетворено в любом случае.
Заметим, что наложение условий A3.10) значитель-
значительно упрощает уравнение A3,9), которое принимает нид

A3.11)
т. е. получается неоднородное уравнение Гельмгольца
относительно векторного электрического потенциала;
в правой части его стоит известная функция распреде-
распределения плотности стороннего электрического тока.
Отметим, что операция калибровки потенциалов
позволяет выразить оба вектора электромагнитного по-
поля через единственную функцию — электрический век-
векторный потенциал. Действительно, воспользовавшись
A3.10), можно представить формулы перехода A3.7)
следующим образом:
1
A3.12)
13.4. Решение неоднородного уравнения
Гельмгольца
В данном параграфе на основе простых физических
соображений будет показан способ нахождения реше-
решения неоднородного уравнения Гельмгольца.
Предположим, что сторон-
;ние электрические токи лока-
локализованы в некотором объеме
V (рис. 13.1); интенсивность
возбуждаемого поля должна
быть определена в точке Р, не
принадлежащей V.
Рассмотрим элементарный
объем AV, окружающий точку
Q, лежащую внутри V. Оче-
Очевидно, что интенсивность по-
поля в точке наблюдения Я, воз-
возникающего 'под действием то-
токов, протекающих внутри AV,
пропорциональна произведе-
произведению JCT(Q) -AV. Здесь JCt($) —некоторое среднее зна-
значение плотности стороннего тока, которое можно считать
•постоянным .внутри AV из-за малости последнего.
Дальнейший путь решения уравнения A3.11) заклю-
заключается в следующем. Ввиду линейности уравнений
Максвелла рассматриваемая система удовлетворяет
204
Рис. 13.1. К решению не-
неоднородного уравнения
Гельмгольца.

принципу суперпозиции. В соответствии с этим принци-
принципом полное решение неоднородного уравнения Гельм-
гольца может быть получено как сумма всех воздейст-
воздействий, вызываемых в точке Р отдельными элементарными
объемами. С физической точки ^зрения ясно, что по
своей природе данные воздействия представляют собой
сферические волны, распространяющиеся из отдельных
точек объема V и уносящие электромагнитную энергию
на бесконечность. Ранее, в гл. 2, было указано, что ком-
комплексная амплитуда сферической волны записывается
в виде
Здесь, в соответствии с обозначениями, принятыми на
рис. 13.1, R — текущее значение модуля .радиус-вектора,
соединяющего точки Р и Q.
Таким образом, с точностью до множителя пропор-
пропорциональности величина элементарного воздействия
дАэ(Р) - KAQ)W еТ* ;ау, A3.13)
откуда полная величина электрического векторного по-
потенциала в точке наблюдения может быть найдена при
помощи суммирования:
%" ' ;ау A3.14)
%
Для того чтобы определить неизвестный коэффициент
пропорциональности, необходимо совершить операцию
предельного перехода, устремив к бесконечности число
отдельных элементарных объемов. Как показано в кур-
курсе математической физики, строгий предельный переход
дает
fCT-l^-rfV. A3.15)
Таким образом, получено интегральнее представле--
ние общего решения неоднородного уравнения Гельм-
гольца.
206

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ
14Л, Элементарный электрический излучатель
Элементарным электрическим излучателем (вибра-
(вибратором) называется отрезок проводника, по которому
протекает переменный электрический ток, причем длина
проводника / значительно меньше длины волны в ва-
вакууме X.
С физической точки зрения по элементарному эле'к-
трическому излучателю ток протекает следующим обра-
©:
ОМ
N Ч \ \
* \ \ \
/III
/ill
s /
Рис. 14.2. К нахождению разно«
Рис. 14.1.' Элементарный элек- сти хода лучей от двух крайних
трический излучатель. точек излучателя.
зом. В разрыв излучающего проводника включается ге-
генератор (рис. 14.1); ток проводимости от генератора
проходит по одному из плеч излучателя, замыкается
в виде токов «смещения и через другое плечо возвраща-
возвращается в генератор.
Малость длины излучателя по сравнению с длиной
волны позволяет рассматривать его -как точечный источ-
источник электромагнитных волн. Действительно, в произ-
произвольно расположенную точку наблюдения Р приходят
сферические волны, возбуждаемые всеми элементарны-
элементарными участками излучающего проводника. Наибольшая
геометрическая разность хода для двух волн с радиуса-
йи-векторами J?4 и R% составит (рис. 14.2);
'Alas/sima, A4.1)
206

откуда разность фаз, выраженная в радианах, будет
равна
^l. A4.2)
Согласно A4.2) при /Д<1 система излучает как бы
единую сферическую волну и в этом смысле может счи-
считаться точечным источником.
14.2 Векторный электрический потенциал
для элементарного электрического излучателя
Пользуясь результатами гл. 13, вычислим поле век-
векторного электрического потенциала, возбуждаемого
элементарным электрическим излучателем в неограни-
неограниченном свободном пространстве (еа=(ео, |Яа = |1о).
В соответствии с физической постановкой данной за-
задачи воспользуемся сферической системой координат
(г, 0, <р), в начальной точке
которой расположим излу-
излучатель. Ввиду малости гео-
геометрических размеров излу-
излучателя радиус-вектор R, вхо-
входящий в формулу A3.15),
может считаться постоян-
постоянным и равным сферической
координате г. Отсюда будем
иметь
A4.3) Рис. 14.3. Определение сфери-
сферических проекций векторного
Интегрирование 'вектора потенциала,
плотности стороннего тока
по . объему, занятому излучателем, представляет, на
первый взгляд, логические трудности, поскольку, по
определению, объем излучателя должен быть устремлен
к нулю. Наиболее простой путь состоит в анализе физи-
физической размерности интеграла, входящего в A4.3).
Нетрудно проверить, что данный интеграл имеет раз-
размерность А-м. Здесь известны амплитуда стороннего
электрического тока в излучателе / и его длина /,
207

Требуемая размерность будет получена, если поло-
положить
JjCTrfV = /Mz, A4.4)
откуда
(H.5)
Единичный вектор \г в двух последних формулах ука-
указывает на то, что ось элементарного излучателя направ-
направлена параллельно оси г.
Для дальнейшего анализа необходимо знать разло-
разложение вектора Аэ в каждой точке пространства по
ортам сферической системы координат. Способ подоб-
подобного разложения показан на рис. 14.3, из которого сле-
следует, что
A4.6)
Поскольку вектор электрического потенциала всюду на-
направлен параллельно оси z, его проекция на направле-
направление азимутального угла ф тождественно равна нулю,
т.е.л;=о.
14,3 Составляющие электромагнитного поля
Элементарный электрический излучатель представ-
представляет собой простейшую антенну, предназначенную для
передачи электромагнитных колебаний в пространство.
Поэтому большой интерес представляет нахождение
структуры электромагнитного поля, возбуждаемого из-
излучателем. Поскольку в предыдущем параграфе был
найден электрический векторный потенциал, напряжен-
напряженности электрического и магнитного полей могут быть
непосредственно выражены через формулы перехода
A3.12). Например,
Вычисление операции rot должно быть проведено в сфе-
сферической системе координат (см. приложение). При этом
203

вычисление значительно упрощается, поскольку, с одной
стороны, Л^ = 0, а с другой, —отличные от нуля состав-
составляющие Аа и Лд не зависят от угла 9. так что dfdf=O
(см. 14.6). Проводя конкретные вычисления, получаем:
нь=о,
A4.7)
Итак, в электромагнитном поле, возбуждаемом эле-
элементарным электрическим излучателем, присутствует
вектор Н, обладающий единственной азимутальной со-
составляющей. В этом смысле можно усмотреть некоторое
сходство с магнитным полем постоянного электрическо-
электрического тока, протекающего по бесконечному линейному
проводнику. Как известно, силовые линии магнитного
поля при этом также имеют вид концентрических
окружностей, охватывающих проводник.
Составляющие вектора Е могут быть определены из
формул перехода A3.12) или, что более просто, из пер-
первого уравнения Максвелла
Ё = -Д- rotft.
Проведя соответствующие вычисления, будем иметь:
A4.8)
14.4. Ближняя и дальняя зоны элементарного
электрического излучателя
Найденные в § 14.3 составляющие электромагнитно-
электромагнитного поля позволяют построить картину силовых линий во
всем пространстве. Соответствующий эскиз, отображаю-
отображающий распределение силовых линий в плоскости боль-
209

Шогб круга, гфедставлек на рис. 14.4. Заметим,
в силу независимости составляющих поля от угла ф
данная картина останется неизменной в любой плоско-
плоскости, проходящей через ось излучателя.
Крайне важно отметить, что при удалении точки на-
наблюдения от начала координат, т. е. при уг—мх>, в вы-
выражениях для составляющих как поля Е, так и поля Н
Рис. 14.4. Структура силовых линий электрического поля вблизи
элементарного излучателя.
существенный вклад дают лишь члены, пропорциональ-
пропорциональные 1/г, в то время как другие слагаемые, пропорцио-
пропорциональные 1/г2 и 1/г3, могут считаться исчезающе малыми.
Однако эти же самые слагаемые целиком определяют
структуру электромагнитного поля в непосредственной
близости от излучателя при уг—Ю.
В соответствии со сказанным, область пространства,
характеризующаяся неравенством уг<^1, называется
ближней зоной, а область, в которой уг^>1 —
дальней зоной элементарного излучателя. Точной
границы между.двумя указанными зонами не сущест-
существует.
С физической точки зрения ближняя зона представ-
представляет собой область пространства, в которой преимуще-
преимущественное значение имеют так называемые квазистати-
квазистатические поля. Эти поля, резко убывающие при удалении
от источника, продолжают существовать при стремлг-
210

Мйи к йуЛю частоты возбуждающего тока. Ё ближней
зоне все три возможные составляющие^, ?0, и Яфотлич-
Яфотличны от нуля.
Дальняя зона иначе называется зоной излуче-
излучения. Здесь присутствуют лишь поля в виде бегущих
электромагнитных волн, уносящих энергию на бесконеч-
бесконечность. Легко непосредственно проверить, что в дальней
зоне составляющей Ёг электрического вектора можно
пренебречь по сравнению с Ёг
Ввиду особой важности выпишем окончательные
предельные выражения для составляющих электромаг-
электромагнитного поля в дальней зоне:
A4.9)
Из соотношений A4.9) могут быть сделаны следующие
выводы:
1) электрический и магнитный векторы в дальней
зоне колеблются в фазе, что свидетельствует о переносе
только активной мощности;
2) вектор Пойнтинга в дальней зоне направлен па-
параллельно единичному вектору \г, т. е. мощность пере-
переносится в радиальном направлении;
3) электромагнитное поле имеет характер сфериче-
сферической волны. В каждой точке пространства выполняется
соотношение
EJH9 = 4/**t = Vbfc=Zc. A4.10)
Иными словами, на достаточном удалении от начала
координат сферическая волна, возбуждаемая излучате-
излучателем, может рассматриваться как локально плоская, что
в ряде случаев значительно упрощает теоретический
анализ.
14.5. Диаграмма направленности элементарного
электрического излучателя
Согласно формулам A4.10) в дальней зоне как Ёв,
так и Й изменяются пропорционально sin 6. Данный
множитель характеризует направленные свойства элемен-
элементарного излучателя.
211

Ее(8)/?9Ш/2)
Диаграммой направленности произвольной
антенны называется зависимость амплитуд векторов по-
поля в дальней зоне от угла наблюдения.
Таким образом, в случае элементарного электриче-
электрического излучателя диаграмма направленности описыва-
описывается функцией sin 8. В частности, это значит, что излу-
излучение энергии в направле-
направлении оси излучателя отсут-
ff0\ ^ t ^ ствует; максимальное излу-
излучение происходит при 6=--
= я/2, т. е. в экваториальной
плоскости излучателя.
Как правило, на практи-
практике пользуются нормирован-
_ ными диаграммами направ-
направит/? # 9 ленности, при этом по оси
ординат откладывается ве-
величина напряженности поля
Рис. 14.5. Нормированная диа-
диаграмма направленности эле-
элементарного излучателя.
•при данном угле наблюде-
наблюдения, отнесенная к макси-
максимальному значению напряженности. Нормированная диа-
диаграмма направленности элементарного излучателя
(рис. 14.5) представляет собой отрезок синусоиды на ин-
интервале от 0 до я/2.
Весьма наглядным является представление нормиро-
нормированной диаграммы направленности в полярной системе
координат. Принцип по-
полярной диаграммы заклю-
заключается в том, что здесь
на каждом луче, прове-
проведенном из начала коорди-
координат под заданным углом
в, откладывается норми-
нормированная величина напря-
напряженности поля. Нетрудно
убедиться, 'что в случае
элементарного электриче-
электрического излучателя геомет-
геометрическим местом точек диаграммы направленности будет
окружность (рис. 14.6), поскольку
Рис. 14.6 Построение диаграммы
направленности в полярной систе-
системе координат.
ОА^ОВ sine.
A4.11)
Несмотря на то, что физически областью изменения
углов 6 является интервал @, я), часто диаграмму на-
212

правленности изображают в обеих полуплоскостях, под-
подчеркивая этим, что излучение вибратора равномерно
(изотропно) по всем углам ф. Именно таким образом
построена диаграмма направленности на рис. 14.6.
14.6. Вычисление излученной мощности.
Сопротивление излучения
Задача, решаемая в настоящем параграфе, состоит
в «следующем. Предположим, что по элементарному из-
излучателю длиной / протекает переменный ток /, обла-
обладающий заданной частотой со. Требуется определить
мощность электромагнитного поля, излучаемого данной
системой в неограниченное свободное пространство.
Для решения этой задачи мысленно окружим излу-
излучатель замкнутой поверхностью S. Поскольку излуча-
излучатель является единственным источником электромагнит-
электромагнитной энергии, поток мощности непрерывен и величина
излученной мощности Pz найдется интегрированием
активной части (среднего значения) вектора Пойнтинга
ПСр по поверхности S:
j A4.12)
Поскольку данный результат не зависит от конкретного
выбора поверхности интегрирования, ароще всего взять
S в виде сферы некоторого радиуса г, причем так, что-
чтобы yr^l, т. е. чтобы сфера располагалась в дальней
зоне излучателя.
Использовав составляющие поля вибратора в даль-
дальней зоне, из A4.10) находим радиальную составляю-
составляющую вектора Пойнтинга:
При интегрировании по поверхности сферы учтем, что
dS = r2 sin QdQdy.
Отсюда будем иметь
2« ж
1^
о о
213

Так как
о
A4.4) можно переписать в виде
Р? = /2/2у3/12™)8а. A4.16)
Согласно выражению A4.16) мощность излучения
пропорциональна квадрату амплитуды тока, протекаю-
протекающего по излучателю. В этом смысле имеется прямая ана-
аналогия между A4. 16) и обычным электротехническим вы-
выражением для мощности переменного тока, выделяемой
на,некотором активном сопротивлении. Другими слова-
словами, возможно представление
PZ = PRJ2, A4.17)
где
Данная величина, носящая название сопротивле-
сопротивления излучения, имеет важное значение в теории
элементарных излучателей. Она характеризует эффек-
эффективность излучательной способности системы, поскольку
величина излученной мощности тем больше, чем выше
сопротивление излучения при постоянной амплитуде то-
тока в излучателе.
Выразив постоянную распространения у через часто-
частоту со и электродинамические постоянные среды iea, M-a,
можно получить более наглядное представление для со-
сопротивления излучения:
R1=2<kZc(IJXJ/3, Ом. A4.19)
Вывод формулы A4. 19) предоставляется читателю
в качестве упражнения. Для вакуума или воздуха, где
2с=120'я, получаем
ЯЕ = 80<л2 (//ЯJ, Ом. A4.20;
Поскольку в рассматриваемом случае отношение 1/Х
очень мало, скажем, 0,01 или менее, сопротивление из-
излучения элементарного электрического излучателя ока-
оказывается порядка долей ома. Это говорит о том,, что при
214

необходимости излучить большую мощность в подобной
антенне должны протекать х.гсьм/. значительные токи.
С подобной трудностью приходится сталкиваться при
создании малогабаритных штыревых антенн для диапазо-
диапазонов километровых, гектометровых и декаметровых волн.
14.7. Понятие о магнитном токе
Рассмотрим картину распределения магнитных сило-
силовых линий, получающуюся при протекании постоянного*
электрического тока /э по проводящей бесконечной по-
полоске нулевой толщины и ширины А в направлении, ука-
указанном стрелкой - (рис. 14.7). Нетрудно понять, что
Рис. 14.7. Магнитные силовые
линии вблизи проводящей по-
полоски с током.
Рис. 14.8. Электрические сило-
силовые линии вблизи двух заря-
заряженных полуплоскостей.
в непосредственной близости от проводника магнитные
силовые линии будут в значительной степени повторять
его контур, а на самой поверхности проводника магнит-
магнитный вектор будет тангенциален к плоскости полоски,
отмеченной пунктиром. При удалении от проводника си-
силовые линии, постепенно деформируясь, переходят
в окружности.
Отметим следующий важный факт. В силу симметрии
задачи силовые линии магнитного поля подходят к пло-
плоскости, в которой лежит проводник, по направлению
нормали всюду, за исключением полоски шириной А, за-
занятой проводником. Другими словами, в пределах выде-
выделенной плоскости
#т = 0 вне проводника, Нх=?0 на проводнике.
Изучим теперь картину электрических силовых ли-
линий в системе из двух заряженных металлических полу-
215

плоскостей, разделенных зазором шириной А (рис. 14.8).
С точностью до направления стрелок в верхнем и ниж-
нижнем полупространствах она оказывается тождественной
той, которая рассматривалась ранее, причем
Ех — 0 вне зазора, Ехф0 в зазоре.
Указанное сходство в картинах распределения полей
позволяет чисто формально предполагать, что в щели
по направлению, параллельному ее кромкам, протекает
некоторый гипотетический ток /м, называемый магнит-
магнитным током. Подчеркнем, что в соответствии со ска-
сказанным в гл. 1, физических носителей магнитного поля
не существует, так что данная величина играет вспомо-
вспомогательный характер, в ряде случаев значительно упро-
упрощая расчеты.
Остается выяснить вопрос о выборе одного из двух
возможных направлений протекания магнитного тока
в щели. По причинам, которые станут ясными из после-
- дующего параграфа, принято определять направление
магнитного тока противоположным тому, которое взято
для электрического тока.
14.8. Принцип перестановочной двойственности
Предположим, что известен электромагнитный про-
процесс, описываемый следующими уравнениями Мак-
Максвелла:
rot Ё = — i
Обращает на себя внимание симметрия этих двух
уравнений. Действительно, уравнения A4.21) переходят
одно в другое при замене вида
Е< >н; еа«—-,v A4.22)
Соотношения A4.22) являются математическим выра-
выражением принципа перестановочной двойст-
двойственности для электромагнитного поля, обоснован-
обоснованного впервые А. А. Пистолькорсом в 1944 г.
Физическое содержание этого принципа заключается
в следующем. Если известно полное решение какой-либо
электромагнитной задачи, то простая перестановка по-
1216

зволяет автоматически получить решение двойственной
(дуальной) задачи, в которой конфигурация силовых ли-
линий элекрического поля повторяет аналогичную конфи-
конфигурацию силовых линий магнитного поля в исходном
электромагнитном процессе и наоборот. При этом, по-
поскольку в результате перестановки уравнения Максвел-
Максвелла не меняют своего вида, двойственный электромагнит-
электромагнитный процесс действительно существует.
Естественно считать, что исходное электромагнитцое
поле возбуждается сторонними электрическими токами.
В этом случае можно полагать, что двойственный про-
процесс возбуждается сторонними магнитными токами, как
это было показано в § 14. 7. Однако для сохранения сим-
симметрии уравнений Максвелла плотность стороннего маг-
магнитного тока должна быть введена во второе уравнение
с обратным знаком. Таким образом, получаем систему
уравнений Максвелла с учетом сторонних магнитных то-
токов:
rotH = jmeaE+Pr, rotE=-jc4iftH-J^ A4.23)
Дополнительное перестановочное соотношение для
плотностей сторонних токов приобретает вид
j3 =-jM. A4.24)
СХ СТ
14.9. Элементарный щелевой излучатель
Данная излучающая система представляет собой бес-
бесконечную металлическую плоскость, в которой прореза-
прорезана щель длиной / и шириной А (рис. 14. 9). Для возбуж-
возбуждения в щели переменного магнитного тока могут быть
использованы различные способы. Так, источник высоко-
высокочастотного напряжения может быть подключен к обеим
кромкам щели, как это паказано на рис. 14. 9, а. При
этом получается двустороннее возбуждение щели, по-
поскольку электромагнитная энергия излучается в оба по-
полупространства. На практике часто применяется одно-
одностороннее возбуждение щелевого излучателя, например,
с помощью прямоугольного волновода с волной Ню
"(рис. 14.9,6). Здесь переменные электрические заряды
на кромках щели наводятся за счет протекания поверх-
поверхностных электрических токов по участку плоскости, за-
закорачивающей волновод.

Для того чтобы рассматриваемая щель могла счи-
считаться элементарным излучателем, необходимо выпол-
выполнение очевидного условия 1(<\к, при этом обычно Д</.
Рис. 14.9. Элементарный щелевой излучатель и способы его возбуж-
возбуждения.
Не ограничивая общности, рассмотрим случай дву-
двустороннего возбуждения щелевого излучателя. При этом
отпадает надобность в решении новой электродинами-
электродинамической задачи, поскольку достаточно применить принцип
перестановочной двойственности к известным составля-
составляющим поля элементарного электрического излучателя.
Выпишем последовательно составляющие поля обеих
излучающих систем, справедливые в дальней зоне.
Для электрического излучателя
=^-. A4.25)
для щелевого излучателя
. -t-к* 1 г,
-sine
-sin б-
A4.26)
To что элементарный щелевой излучатель в дальней
зоне имеет единственную составляющую электрического
вектора, направленную по сферической координате <р,
говорит о том, что силовые линии электрического поля,
выходя из щели, приобретают на некотором удалении
форму окружностей (см. рис. 14.8).
На практике в качестве величины, характеризующей
интенсивность возбуждающего источника, гораздо удоб-
218

Неё использовать не амплитуду стороннего магнитного
тока /м, а напряжение в щели 1)щ, измеряемое в вольтах.
Свяжем между собой эти две величины.
Обратимся снова к рис. 14.7, 14.8. Тангенциальную
составляющую магнитного поля на поверхности прово-
проводящей полоски можно найти, проведя контур интегри-
интегрирования по поверхности проводника и затем воспользо-
воспользовавшись законом полного тока:
#t = /*/2A A4.27)
(здесь предполагается, что полоска обладает нулевой
толщиной).
Предполагая, что напряженность электрического по-
поля в зазоре щели постоянна, будем иметь
Ex = Ojb. A4.28)
Поскольку в силу принципа перестановочной двойст-
двойственности напряженности электрического и магнитного
полей взаимно заменяемы, для сохранения соответствия
с A4.27) последняя формула должна иметь вид
?т = /м/2А, A4.29)
откуда
/м —2#щ. A4.30)
Этот важный результат позволяет записать оконча-
окончательные выражения для составляющих электромагнит-
электромагнитного поля щелевого излучателя в дальней зоне:
Среднее значение вектора Пойнтинга имеет единст-
единственную составляющую, направленную по координате г:
?r'*?*' <14-32>
откуда непосредственно может быть вычислена излуча-
излучаемая мощность
. A4.33)
15* 219

Не останавливаясь на подробностях выкладок,
жем, что сопротивление излучения щелевого излучателя
характеризуется формулой
Ом.
A4.34)
сравним
н
В заключение
эффективности двух рас-
рассмотренных видов элемен-
элементарных излучателей. Пред-
Предположим, что имеются два
совершенно одинаковых по
конфигурации излучателя,
один из которых является
электрическим, а другой ще-
щелевым. Пусть по электриче-
электрическому излучателю 'протека-
'протекает ток /. Спрашивается, каково должно быть напряже-
напряжение ищ для того, чтобы излучаемые мощности совпада-
совпадали. Другими словами, должно выполняться равенство
Рис. 14.10. Элементарный маг-
магнитный излучатель в виде про-
проволочной петли.
Положим для определенности, что ток /=1 А. Тогда "
в соответствии с формулами A4.20) и A4.34) получаем
?/щ=188 В
Данный результат в известном смысле говорит о не-
недостатке щелевого излучателя, поскольку напряжение
в щели существенным образом ограничено возможностью
электрического пробоя.
Заканчивая данный раздел, необходимо отметить, что
существуют и другие излучающие системы, поле которых
имеет конфигурацию,. сходную с конфигурацией поля
элементарного щелевого излучателя. Примером может
служить излучатель в виде достаточно малой проволоч-
проволочной петли, по которой протекает переменный электриче-
электрический ток с амплитудой /э (рис. 14. 10). Здесь можно
предположить, что в направлении, перпендикулярном
плоскости петли, протекает сторонний магнитный ток /м.
По этой причине достаточно малые щелевой и рамочный
излучатели могут быть отнесены к классу элементар-
элементарных магнитных излучателей.

ГЛАВА
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
15.1. Условия излучения. Принцип предельного
поглощения
Рассмотренные в предыдущих главах задачи о на-
нахождении электромагнитного поля в замкнутых систе-
системах, таких, как волноводы или объемные резонаторы,
характерны тем, что при их постановке задаются гра-
граничные условия для векторов поля на металлических
стенках устройств, располагающихся на конечных рас-
расстояниях. Если же ставится задача о нахождении поля
излучения системы сторонних токов, помещенных в сво-
свободное пространство, то вопрос о поведении поля
в бесконечно удаленных точках не может быть разре-
разрешен очевидным образом и требует дополнительного об-
обсуждения.
Предположим, что точечный монохроматический
источник электромагнитных волн, подобный элементар-
элементарному излучателю, помещен в начале сферической систе-
системы координат. Среда, в которой распространяются вол-
волны, считается однородной и обладающей следующими
параметрами: еа = ео, !ia=|io, a = 0. Если через t|) обозна-
обозначить комплексную скалярную функцию, равную любой
произвольно взятой составляющей поля электромагнит-
электромагнитной волны, то всюду, за исключением точки г = 0, функ-
функция if» удовлетворяет однородному уравнению Гельм-
гольца:
У2Ф + Т2Ф = О, A5.1)
где
Для простоты будем полагать, что рассматриваемая
функция г|? обладает сферической симметрией, т. е. не
зависит от сферических координат ф и 8. Тогда, исполь-
используя явное выражение оператора Лапласа в сферической
221

системе координат, вместо A5.1) будем иметь уравнение
= 0, A5.2)
которое, как нетрудно проверить, эквивалентно следую-
следующему уравнению:
Полученное уравнение хорошо известно в физике как
уравнение колебаний: система его фундаментальных ре-
решений состоит из двух функций вида ехр (qp JYr) - Отсю-
Отсюда, считая амплитудные коэффициенты равными едини-
единице, получаем два фундаментальных решения уравнения
A5.2):
<h = e-j7r/r, A5.3)
Ф, = е*7г- A5.4)
Различие знаков экспоненциальных множителей, входя-
входящих в A5.3) и A5.4), означает, что первому из этих ре-
решений соответствует сферическая волна, уходящая от
источника на бесконечность, в то время как второе ре-
решение описывает аналогичную сферическую волну, но
с противоположным направлением фазовой скорости, т. е.
волну, приходящую из бесконечно удаленных областей
пространства к началу координат.
Повседневный опыт убедительно свидетельствует
о том, что волны, возбужденные источником и ушедшие
в свободное пространство, никогда не возвра-
возвращаются назад. Поэтому решения вида A5.4) не соответ-
соответствуют физически осуществимому волновому процессу и,
следовательно, должны быть исключены из рассмот-
рассмотрения.
Если говорить об изученных простейших сферических
волнах, то здесь принцип отбора решение, удовлетворяю-
удовлетворяющего физическим условиям постановки задачи, весьма
прост и сводится лишь к правильному выбору знака
в фазовом экспоненциальном множителе. Однако, как
правило, результаты решения задач о поле, возбуждае-
возбуждаемом сложной системой излучателей, выражаются функ-
функциями всех трех сферических координат (г, 6, ф), причем
в формах, внешне не напоминающих простейших реше-
решений A5.3), A5.4). Требуется формулировка аналитичес-
222

кого принципа, который позволил бы по свойствам функ-
функций отличить волны, уходящие на бесконечность, от фи-
физически нереализуемых волновых процессов, приходящих
из бесконечности к источнику. Эта задача была решена
в начале нашего века известным физиком А. Зоммер-
фельдом, который показал, что всякое решение уравне-
уравнения Гельмгольца, обладающее свойством волны, уходя-
уходящей на бесконечность, должно при г—^оо удовлетво-
удовлетворять предельному условию вида
A A5.5)
Формула A5.5) в электродинамике носит название
условия излучения или условия Зоммерфельда.
В качестве упражнения читателю предлагается показать,
что уходящая сферическая волна A5.3) удовлетворяет,
а приходящая волна вида A5.4) не удовлетворяет усло-
условию излучения.
Изложенные положения позволяют сделать важный
вывод относительно той роли, которую играют комплекс-
комплексные решения уравнения Гельмгольца при рассмотрении
электромагнитных волн в свободном пространстве. Дей-
Действительно, наряду с комплексными можно образовать и
вещественные решения уравнения A5.2) путем суперпо-
суперпозиции функций A5.3) и A5.4). Форма их записи такова
A5.6)
Несмотря на то, что как ф1г так и ф2 тождественно
удовлетворяют уравнению Гельмгольца, ни одна из этих
функций не удовлетворяет условию излучения на беско-
бесконечности. По физическому смыслу решения A5.6)
отображают стоячие сферические волны, получающиеся
при наложении двух бегущих волн с противоположными
направлениями распространения, как в уже рассмотрен-
рассмотренных замкнутых объемных резонаторах. Понятно, что для
возникновения таких стоячих волн обязательно сущест-
существование на бесконечности некоторого подобия идеально
проводящей сферической оболочки, что физически,
безусловно, нереально.
Следует заметить, что даже предположение о нали-
наличии бесконечно удаленного сферического отражателя не
одожет обеспечить во всем пространстве стоячих волн,

возбужденных конечной системой излучателей. Дело
в том, что любая физическая среда, начиная от твердых
тел и кончая космическим пространством, принципиально
отличается от идеального вакуума наличием хоть очень
малого, но все же конечного затухания для распростра-
распространяющихся электромагнитных волн, обусловленного взаи-
взаимодействием поля с веществом. Поэтому вся энергия, из-
излученная источником, будет рассеяна в пространстве.
Изложенные качественные соображения лежат в основе
важной физической концепции электродинамики, назы-
называемой принципом предельного поглоще-
поглощения.
15.2. Принцип Гюйгенса — Френеля
В практической электродинамике, в частности, при
анализе и проектировании антенн СВЧ часто встает за-
задача определения электромагнитного поля, возбуждае-
возбуждаемого в свободном пространстве не элементарными излу-
излучателями, а специально созданной антенной системой,
Рис. 15.1. Рупорная антенна.
Истинные
источники
Фиктивные
источники
Рис. 15.2. Фиктивные и истинные
источники электромагнитных
волн.
обладающей конечной
площадью излучающей
поверхности. В качестве
примера на рис. 15.1
изображен эскиз часто
используемой в технике СВЧ рупорной антенны. Эта
антенна представляет собой прямоугольный волновод,
сечение которого плавно увеличивается вдоль оси рас-
распространения волны. Электромагнитная энергия излу-
излучается из широкого отверстия рупора, называемого
аперту'рой, или раскрывом антенны-Расчет по-
подобных систем сводится к нахождению характеристик
поля во всем пространстве при условии, что поле в рас-
крыве тем или иным образом задано. Как будет видно
из дальнейшего, такая постановка задачи в большинстве
случаев приводит лищь к приближенному решению, ко?
ш

fopue, однако, оказывается весьма пбЛёзнЬШ в инЖейёр-
ных приложениях.
Основой для решения задач о поле, возбуждаемом
апертурной антенной, служит хорошо известный в физи-
физике принцип Гюйгенса. В соответствии с этим прин-
принципом каждая точка поверхности волнового фронта —
это фиктивный источник сферической волны. В области,
лежащей впереди волнового фронта по направлению
распространения волны, полное поле есть результат ин-
интерференции полей сферических волн, излученных фик-
фиктивными источниками, обычно называемыми вторич-
вторичными в отличие от первичных, или истинных
источников, которыми являются токи в проводниках или
движущиеся заряды (рис. 15.2).
Принцип Гюйгенса в XIX веке получил количествен-
количественную формулировку в работах Френеля и Кирхгофа.
Упомянутые авторы проводили свой анализ примени-
применительно к скалярным волновьш полям, описываемым
единственной функцией \|), удовлетворяющей уравнению
Гельмгольца вида A5.1). Известно, что электромагнит-
электромагнитное волновое поле подчиняется векторным уравнениям
Гельмгольца
V'E + Y'E = O, I A57)
J
Поэтому приводимые далее выводы, строго говоря, от-
относятся не ко всему векторному полю Б или Н, а лишь
к одной из декартовых составляющих этих полей. Тем не
менее, во многих интересных для практики случаях уже
из геометрической постановки задачи становится очевид-
очевидной возможность пренебрежения рядом составляющих
полей из-за их малости. При этом векторная задача мо-
может трактоваться как скалярная, что значительно умень-
уменьшает вычислительные трудности.
Принцип Гюйгенса находит математическое выраже-
выражение в формуле, известной под названием формулы' Кирх-
Кирхгофа. Рассмотрим произвольный конечный или бесконеч-
бесконечный объем, ограниченный поверхностью 5. В каждой точ-
точке поверхности будем считать известным единичный век-
вектор нормали 1П, направленный внутрь объема (рис. 15.3).
Предположим, что искомая скалярная функция г|) удов-
удовлетворяет всюду внутри объема однородному уравнению
Гельмгольца A5.1), причем на поверхности S известны-
225

ми являются как значения функции г|), так и ее нормаль-
нормальной производной dty/dn. Результат, полученный Кирхго-
Кирхгофом, показывает, что в произвольной точке Р внутри
объема значение поля ф равно следующей величине:
где г—расстояния между текущими точками на поверх-
поверхности S и выбранной точкой Р.
Доказательство формулы Кирхгофа основывается на известной
из курса математики теореме Грина, которая утверждает, что для
двух функций ф и ф пространственных координат, достаточно глад-
гладких в обычном смысле, справедливо следующее тождество:
Г
v
= ?
(\
A5.9)
Предположим, что как искомая функция г(>, так и вспомогательная
функция ф в области V удовлетворяют одному и тому же однород-
однородному уравнению Гельмгольца:
1 = 0 )
A5.10)
Входящая в A5.10) постоянная рас-
распространения y однозначно опреде-
определяется частотой возбуждающего поля.
При таком вьпборе функций ф и ф
левая часть в формуле A5.9), очевид-
очевидно, обратится в нуль, т. е.
Рис. 15.3. К выводу форму- /^ ^^ч
лы Кирхгофа. „ К - >
В дальнейшем будем полагать,
что в качестве вспомогательной
функции ф выбрано уже известное решение уравнения Гельмгольца,
описывающее расходящуюся сферическую волну:
A5.12)
Здесь под г подразумевается длина отрезка, соединяющего выбран-
выбранную точку наблюдения Р с произвольной точкой внутри объема V.
Поскольку функция ф имеет особенность в точке Р, исключим
из области V объем шара с малым радиусом а и центром в точке Р.
Если через S' обозначить поверхность данной сферы, то на основа-
основании A6.11) можно записать
226

Следующим этапом явится вычисление в явном виде подынтег-
подынтегрального выражения в левой части формулы A5.13). Поскольку
перемещение по направлению нормали к поверхности S' означает
увеличение координаты г, будем иметь
откуда левая часть A5.13) представится в виде
]5- A5Л5)
Теперь устремим к нулю радиус вспомогательной сферы а\ при
этом учтем, что искомая функция i|?, по предположению, не имеет
источников внутри V и поэтому всюду ограничена и непрерывна.
В подынтегральное выражение A5.15) входят слагаемые, обрат-
обратно пропорциональные как первой степени, так и квадрату текущего
радиуса. Легко видеть, что вклад от слагаемых первого рода будет
равен нулю, поскольку
^- = 0. A5.16)
S'
В то же время
С dS
lim ф —*• =. 4ти, , A5.17)
5'
что вытекает из формулы для площади сферы.
На основании изложенного из формулы A5.13) получаем выра-
выражение для искомого поля в точке Р:
S
что совпадает с формулой Кирхгофа A5.8).
15.3. Применение формулы Кирхгофа
к расчету излучения из отверстия
Простейшей моделью апертурной антенны является
бесконечная идеально проводящая плоскость, в которой
имеется отверстие, через которое осуществляется элект-
электромагнитная связь между двумя полупространствами.
Для конкретности будем предполагать, что отверстие
имеет вид прямоугольника со сторонами аи b (рис. 15.4).
Предположим, что данное отверстие возбуждается одно-
227

родной плоской волной, движущейся в левом полупрост-
полупространстве по направлению к плоскости. Считая, что вы-
выполнены условия
будем приближенно полагать поле в отверстии таким же,
каким было бы поле возбужденной плоской волны
в плоскости г=0 при отсутствии препятствия. Иными
словами:
?y = ?oe-JTZ, A5.18)
что выполняется при
Данный подход характерен для метода Кирхгофа,
при котором приходится задаваться возбуждающим по-
полем из тех или иных интуитивных соображений. Предпо-
Предположение о том, что в качестве возбуждающего поля
можно рассматривать невозмущенное поле плоской вол-
волны, оправдывается на прак-
практике с достаточной точ-
точностью тогда, когда размеры
излучающего раскрыва су-
существенно превосходят дли-
длину волны. Бели же это усло-
условие не выполняется, как, на-
например, в случае малых
щелей, то приходится при-
прибегать к гораздо более слож-
сложным методам определения
истинного распределения
возбуждающего поля в пло-
плоскости излучателя.
Обращаясь к рис. 15.4,
видим, что здесь д/дп=д/дг,
откуда на основании формулы Кирхгофа величина у-
составляющей * напряженности электрического поля
в произвольной точке наблюдения Р будет равна
Рис. 15.4. Излучение электро-
электромагнитных волн из прямо-
прямоугольного отверстия.
A5.19)
Интегрирование в формуле A5.19) производится по пло-
площади раскрыва; все производные вычисляются в плоско-
228

сти отверстия т. е. при 2 = 0. Длина радиус-вектора г,
соединяющего точку Q в раскрыве с координатами
х, у, г = 0 и точку наблюдения Р с координатами |, т],?,
равна
A5.20)
Вычислим обе производные, входящие в подынтеграль-
подынтегральное выражение формулы Кирхгофа A5.19):
dE-
dz
у
A5.21)
dz \ r J = dr \ r ) dz "" "" dr \ )
A5.22)
Принимая во внимание, что
где 0 — угол между нормалью к раскрыву и радиус-
вектором, соединяющим точки Р и Q, а также исполь-
используя формулу A5. 14), будем иметь
¦i-(*4L)-(f+-г) «¦•••¦*• о5-23»
С учетом A5.21) и A5.23) получим
) = ^- f [
A5.24)
Если точка наблюдения Р отстоит от излучающего
раскрыва на расстояние многих длин волн (случай, наи*
более характерный для радиотехнических задач), то
и, как следствие, формула A5.24) упрощается за счет
пренебрежения слагаемым вида (I//*2):
l( + )^- dS. A5.25)
Is
В большинстве случаев приходится находить поля на
расстоянии г, значительно превышающем размеры рас-*
крыва а и Ь. При этом условии угол 8 можно считать
229

одинаковым для всех точек раскрыва, а расстояние г
в знаменателе подынтегрального выражения формулы
A5.25)—равным некоторой величине го, которая соот-
соответствует расстоянию от точки наблюдения до центра
раскрыва. Величина /*, входящая в показатель экспонен-
экспоненциального выражения, с учетом сделанного предположе-
предположения может быть приближенно представлена следующим
образом:
2x% - 2уц ж r0 - x%!rQ - ynjr0. A5.26)
Таким образом, выражение A5.25) на больших рас-
расстояниях от излучающей апертуры принимает вид
а/2 ~ivc\_ 6/2 Щг,
^ J e r° dx Je r° rfy =
— а/2 — 6/2
2г0
A5.27)
Подробное обсуждение полученного выражения не входит в
круг задач настоящей книги и относится к курсу антенных
устройств. Здесь важно лишь отметить, что формула A5.27) позво-
позволяет построить диаграммы направленности апертурной антенны.
Если через 0i обозначить угол между вектором г0 и осью х, а через
8г — угол между Го и осью у, то угловые зависимости поля будут
определяться множителем вида
sin f^y-cose,) sin (-«-cos 6a)
\1 L \— L, A5.28)
-g-cos 9j —cos 92
{при больших величинах у а и yb множитель A5.28) оказывается
более быстрой функцией угловых координат, чем сомножитель
(l + cos6), входящий в A5.27)].
Например, если 02=я/2, т. е. точка наблюдения перемещается
в плоскости XOZ, то нормированная диаграмма направленности со-
согласно '(A5.28) запишется в виде
A529)
Характерный вид диаграммы направленности, построенной по дан-
данной формуле, изображен на рис. 16,5*
230

Рис. 15.5. Нормированная диа-
диаграмма направленности апер-
турной антенны в плоскости
XOZ.
Рис. 15.6. К определению фазо-
фазового сдвига колебаний, приходя-
приходящих в точку наблюдения из раз-
различных точек апертуры.
Может быть сделан следующий важный вывод. Ширина диаг-
диаграммы направленности в данной конкретной задаче полностью опре-
определяется отношением размера апертуры к длине волны и может
быть сделана весьма малой при росте этого отношения. Например,
если отношение аДМЮО, то первый Волновые
нуль диаграммы направленности бу-
будет получаться при выполнении ра-
равенства
/
откуда полная ширина главного ле-
лепестка диаграммы направленности
(по нулям) составит
2А9=0,02 рад.
iB заключение поясним физ(иче-
ский смысл ограничения, согласно ко-
которому диаграмма направленности
должна вычисляться в точках, доста-
достаточно удаленных от излучающего от-
отверстия по сравнению с его разме-
размерами. Пусть требуется вычислить по-
поле в точке Р, находящейся ,на оси z
(рис. Г5.6). \В соответствии с прин-
принципом Гюйгенса в точку Р поступят элементарные волны от всех
точек апертуры с геометрической протяженностью а. Естественно,
что эти колебания не будут синфазными между собой. Оценим пре-
предельную величину фазового сдвига между ними. Для этого найдем
максимальную геометрическую разность путей
Излучающий
раскрыв
Рис. 15.7. Ближняя и даль-
дальняя зоны апертурной
антенны.
Агеом = АР — ОР = г V\ + (a/2z)* — z^za2/Sz,
231

Соответствующую фазовому сдвигу
д,ф=дгеом2яД=яа2/4?12. A5.30)
Если точка Р столь удалена от излучающей системы, что
Лср^я/8, A5.31)
то принято говорить, что точка наблюдения находится в дальней
зоне апертурной антенны, или в зоне Фраунгофера. На основании
A5.30) и A5.31) условие дальней зоны выразится следующим
образом:
2A. A5.32)
При меньших расстояниях точка Р находится в ближней зоне
антенны, или в зоне Френеля. Более подробный анализ показывает,
что ближняя зона характеризуется локализацией электромагнитной
энергии в пределах «лучевой трубки» |(рис. 15.7), поперечник кото-
которой сравним с размерами апертуры. Волновые фронты в пределах
ближней зоны приближенно можно считать плоскими. Однако эта
плоская волна является неоднородной; вблизи края антенны -можно
проследить ясно выраженную границу «свет — тень». В отличие от
этого поле антенны в дальней зоне носит характер неоднородной
сферической волны, о чем свидетельствует вид формулы A5.27).

ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
16.1. Постановка задачи
Ранее, в гл. 1, указывалось, что ряд материальных
сред обладает анизотропией электромагнитных свойств.
Это находит отражение в том, что материальные урав-
уравнения таких сред в самом общем виде представляются
следующим образом:
> <*
еа, \ia — тензоры абсолютной диэлектрической и аб-
абсолютной магнитной проницаемостей соответственно. Дан-
Данные тензоры позволяют определить составляющие вектора
комплексной амплитуды одного из полей (например, D) по
известному исходному полю (например, Ё), выраженному
через проекции на оси какой-либо системы координат.
Так, если в качестве подобной системы выбрана декар-
декартова прямоугольная система координат (х,у, г), то тен-
<—> <—>•
зоры еа и р.а представимы их матрицами:
суу йу
?zy ?z
f\><xx \>>xy V>xz
Pyy Pyz
\P-zx Pzy Pzz
Девять составляющих каждой матрицы в общем случае
являются комплексными числами, поскольку векторы D и
Ё, В и Н могут изменяться во времени несинфазно.
Для современной радиотехники большое значение
имеет некоторый частный класс анизотропных сред, но-
носящих название ф ер р ито в. Ферриты представляют
собой твердые вещества, подобные керамике, получае-
16—1443 • 233

мые искусственным путем при высокотемпературном
спекании порошка окиси железа и соединений какого-
либо двухвалентного металла (марганца, цинка, бария
и т. д.). Условная химическая формула феррита часто
имеет вид Mm(Fe2O3)ft, где символом М обозначен ион
соответствующего двухвалентного металла. Анизотропия
электродинамических свойств феррита проявляется при
воздействии на него постоянного магнитного поля. По-
Подобные вещества носят название гиромагнитных сред.
Вообще говоря, физические процессы, обусловливающие
гиромагнитные свойства, могут проявляться не только
в ферритах, но и в ферромагнитных металлах. Однако
здесь эффект анизотропии, как правило, не удается на-
наблюдать из-за протекания значительных токов проводи-
проводимости. В отличие от металлов ферриты обладают ясно
выраженными диэлектрическими свойствами. На часто-
частотах сантиметрового диапазона длин волн относительная
диэлектрическая проницаемость ферритов в среднем со-
составляет 10—20; тепловые потери соответствуют значе-
значению tg6^10~3. В данной главе будут приведены физи-
физические соображения, позволяющие определить вид тен-
тензора магнитной проницаемости феррита, а также изучен
эффект Фарадея — одно из наиболее примечательных
явлений, происходящих в анизотропных средах.
16.2. Физический механизм анизотропии феррита.
Уравнение Ландау — Лифшица
Оказывается, что для объяснения электродинамиче-
электродинамических свойств феррита классический механизм, основан-
основанный на понятии молекулярных токов (гл. 1), недостато-
недостаточен и поэтому неизбежно использование некоторых кван-
товомеханических представлений. Квантовая теория
ферромагнетизма основана на том факте, что последний
электрон в оболочке того иона, наличие которого опре-
определяет ферромагнитный эффект (в случае феррита —
это ион двухвалентного металла М), обладает собствен-
собственными магнитным и механическим моментами. Совокуп-
Совокупность этих двух свойств находит выражение в квантово-
механическом понятии спина электрона. В принципе
как магнитные, так и механические свойства электрона
можно сопоставить с некоторыми аналогичными класси-
классическими представлениями, которые, если и не могут
описать явление ферромагнетизма во всей полноте, но
234

Рис. 16.1. Вектор момента коли-
количества движения материальной
точки.
все же приводят к картине, в основных чертах достаточ-
достаточно близко совпадающей с экспериментальной.
С классических позиций элементарным носителем
магнитного момента служит малый замкнутый виток
с током / (рис. 1.12), при-
причем модуль его магнитно-
магнитного момента равен
|т| ='/|ДЙ, A6.1)
где AiS — площадь витка.
Из теоретической ме-
механики известно, что ме-
механическим моментом об-
обладает тело, находящееся
во вращательном движе-
движении относительно какой-
либо оси. Рассмотрим ма-
материальную точку с мас-
массой т, находящуюся во вращательном движении и имею-
имеющую касательную скорость v (рис. 16.1). Если через г
обозначить радиус-вектор точки относительно центра
вращения, лежащий в плоскости орбиты, то, по опреде-
определению, момент количества движения точки составляет
L=[r(mv)]. A6.2)
Ясно, что величина L является вектором, перпендику-
перпендикулярным плоскости орбиты.
Если обозначить через F силу, действующую на мате-
материальную точку, то справедлив закон Ньютона
F = A(mv). A6.3)
Векторно умножим левую и правую части A6.3) на ра-
радиус-вектор г:
[rF] = -~-[r(mv)]. A6.4)
В механике стоящее в левой части формулы A6.4) век-
векторное произведение носит название момента силы F
относительно выбранной оси:
K={rF]. A6.5)
Отсюда с учетом A6.2) получается основное уравнение
динамики материальной точки, находящейся во враща-
16* 235

тельном движении:
Квантовая механика устанавливает числовую связь
между магнитным моментом электрона m и его момен-
моментом количества движения L. Теоретически и эксперимен-
экспериментально было показано, что
m=— YL. A6.7)
Здесь 'y = 1,76-1011 Кл/кг — весьма часто используемая
величина, равная отношению заряда электрона к его
массе и называемая гиромагнитным отношени-
отношением электрона. Отрицательный знак в формуле A6.7)
указывает на то, что в пространстве векторы m и L
антипараллельны.
Предположим теперь, что рассматриваемое ферро-
ферромагнитное вещество находится во внешнем постоянном
магнитном поле Но, ориентированном произвольным об-
образом. В курсе физики показывается, что виток тока
в магнитном поле стремится повернуться таким образом,
чтобы векторы m и Н стали параллельными друг другу.
При этом потенциальная энергия витка оказывается
минимальной. Пользуясь известным из физики законом
Био—Савара, можно показать, что момент силы, дейст-
действующей на систему с магнитным моментом т, равен
K = !io[mHo]. A6.8)
Подставляя это значение в A6.6) и учитывая A6.7),
будем иметь
dm/dt =—доу[тН<>]. A6. 9)
Если в единице объема вещества содержится N эле-
элементарных магнитных систем (т. е. ионов), то, вводя
вектор намагниченности M = mN, из A6.9) получим окон-
окончательное уравнение, описывающее изменение во време-
времени вектора намагниченности в неограниченной однород-
однородной среде:
dfA/dt [fAH] A6.10)
Уравнение A6.10) носит название уравнения Лан-
Ландау— Лифшица и весьма широко используется
в теории ферромагнитных явлений.
Покажем, что в соответствии с уравнением Ландау —
Лифшица система электронов, обусловливающих фер-
236

ромагнитный эффект, обладает колебательными свойст-
свойствами. Для определенности будем полагать, что постоян-
постоянное подмагничивающее поле ориентировано вдоль оси 2,
так что
Координатная форма записи уравнения A6.10) при-
принимает вид:
dMx шш „и л/г
dt
dt
dt
A6.11)
Исключая неизвестную составляющую Му из первых
двух уравнений системы A6.11), получаем уравнение,
определяющее составляющую Мх:
d2Mx[dt2 + <x>lMx=0, A6.12)
где (х)р—1х0уНо — зависящая от подмагничивающего поля
величина, носящая название частоты ферромаг-
ферромагнитного резонанса.
Уравнение A6.12) является уравнением колебаний
материальной точки под действием упругой восстанавли-
восстанавливающей силы; его решение имеет вид
МХ=А sin (о)р/ + ф), A6. 13)
где Л, ф—произвольные постоянные.
Подставив A6.13) во второе уравнение системы
A6.11), будем иметь соответствующее решение для со-
составляющей Му\
МУ=А cos (со^ + ф). A6. 14)
Наконец, последнее уравнение из системы A6.11)
означает, что
Mz = const. A6. 15)
В теории ферритов, как правило, рассматривается
случай, при котором продольная (вдоль поля Но) состав-
составляющая вектора намагниченности Mz равна так называе-
называемой намагниченности насыщения MSy -возни-
-возникающей тогда, когда все элементарные магнитные мо-
моменты полностью ориентированы в направлении внешне-
237

го поля. Заметим, что величина Ms является измеримой
константой, характеризующей ферромагнитный матери-
материал в целом.
На основании A6.13) — A6.15) можно изобразить
характер движения вектора намагниченности ТА
(рис. 16.2).
Из рисунка видно, что вектор М перемещается в про-
пространстве, оставаясь параллельным образующей конуса
м \
\ \
\
\ \
\
\
\\
I/
7
Рис. 16.2. Свободное движе-
движение вектора намагниченности
в феррите.
Рис. 16.3. Влияние потерь на ха-
характер движения вектора намаг-
намагниченности.
с высотой Ms: вращение происходит с резонансной ча-
частотой сор, направление вращения и амплитуда колеба-
колебаний определяются произвольными начальными усло-
условиями.
В механике известен аналогичный вид движения, называемый
прецессией, возникающий в случае, когда вращающееся тело
с одной неподвижной точкой >(например, волчок) выводится внеш-
внешней силой из состояния равновесия. Поэтому говорят, что уравнения
Ландау — Лифшица описывают резонансную 'прецессию вектора на-
намагниченности в однородной неограниченной ферромагнитной среде.
Фактически явления в феррите будут неизбежно сопровождать-
сопровождаться 'процессом рассеивания (диссипации) энергии и превращения ее
в тепло. Поэтому более подробная форма записи уравнения Лан-
Ландау — Лифшица имеет вид
A6.16)
+ диссипативный член.
238

По аналогии с колебательным контуром, обладающим потерями,
можно утверждать, что при этом движение вектора намагниченно-
намагниченности будет носить затухающий характер; будучи выведенной из поло-
положения устойчивого равновесия система через некоторое время, на-
называемое временем релаксации, вновь возвращается к равновесию,
'причем конец вектора М в плоскости ХОУ описывает спиральную
кривую (рис. 16.3).
16.3. Тензор магнитной проницаемости феррита
Рассмотрим случай, при котором в бесконечной од-
однородной ферромагнитной среде помимо постоянного
поля Но существует высокочастотное поле Hi, гармони-
гармонически изменяющееся во времени с частотой со. Полагая,
что поле Но ориентировано вдоль оси z, будем иметь
для суммарного поля
A6-17)
Если рассматриваемый феррш находится в режиме
насыщения, то соответствующий вектор намагниченно-
намагниченности имеет вид
M = Af8lz + M1, A6.18)
где Mj — составляющая намагниченности, вызванная на-
наличием высокочастотного поля.
Будем в дальнейшем рассматривать часто встречаю-
встречающийся на практике случай малого сигнала, .когда вы-
выполняются следующие неравенства:
<1. A6.19)
Ставится задача на основании уравнения Ландау—Лиф-
шица найти связь между ' векторами Н1 и Мг При-
Приближение малого сигнала позволяет упростить задачу,
пренебрегая в правой части уравнения Ландау — Лиф-
шица произведением малых величин вида MiHu имею-
имеющим второй порядок малости.
Подставляя соотношения A6.17) и A6.18) в уравне-
уравнение A6.10) и используя комплексную форму представ-
представления полей, будем иметь
jorfft, = - цд [МД] - tvf [MHJ. A6.20)
Если записать векторные произведения в координатном
представлении и произвести упомянутое упрощение, то
239

уравнение A6.20) окажется эквивалентным системе
двух уравнений вида
jcoMlX=-a>p/Wiy + «>eHl!/, A6.21)
\шМ1У = о)руИ13С — u>sHlX.
Здесь введены следующие обозначения:
— уже известная частота ферромагнитного резонанса;
— вспомогательный параметр, имеющий размерность
частоты.
Отметим, что в систему A6.21) входят только два
уравнения, поскольку из A6.20) следует, что в первом
приближении Miz = 0.
Будем полагать, что составляющие HlX и Н1У тем или
иным образом заданы, тогда {16.21) можно рассматривать
как систему двух линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных МхХ и М1У. Решение системы
будет иметь следующую форму:
' Й \ CDQ>t Н
о2 — со;
р
A6.22)
По своему физическому смыслу зависящие от часто-
частоты безразмерные коэффициенты в правых частях ра-
равенств A6.22) соответствуют уже известной магнитной
восприимчивости. Введем обозначения:
При этом полная система уравнений, связывающих
между собой составляющие высокочастотного магнит-
магнитного поля Hi и составляющие высокочастотной намаг-
намагниченности Мь возбужденной этим полем, примет вид:
MiX = - kuHtX - \k'Jiiy + 0 • HlX,
М1У = )k'uHlX - kuHlV + 0-Я1Г,
MlZ = 0-HlX+0.HiV-\-0.HlZ.
240
A6.24)

Система уравнений A6.24) позволяет образовать таб-
таблицу из девяти чисел:
-К -J?'m О
lk'u -kM 0 |, A6.25)
0 0 0
носящую название тензора магнитной восприимчивости
ферромагнитной среды. С математической точки зрения
важно, что таблица A6.25) представляет собой матри-
матрицу: закон образования составляющих вектора Mi за-
заключается в обычных правилах матричного умножения
<—>
матрицы kM на вектор-столбец Hx.
Воспользовавшись известным определением, можно
выразить вектор высокочастотной магнитной индукции
Вх через поля Нх и Мх;
В^МН. + М,). A6.26)
Учитывая, что Мг и Н1 связаны между собой тензором
магнитной восприимчивости кш соотношение A6.26) мож-
можно также записать в тензорном виде:
В^^Уй,, A6.27)
где |х — тензор относительной магнитной проницаемости
вещества, представляемый следующей матрицей:
A6.28)
\о о 1;
Здесь
Тензор магнитной проницаемости jx в литературе иногда
называется тензором Полдера. Интересно отметить, что
в соответствии с формулами A6.22) составляющие этого
тензора как функции частоты претерпевают разрыв на
частоте ферромагнитного резонанса сор.
Эта ситуация аналогична той, которая получается в колебатель-
колебательном контуре без затухания, когда сопротивление (проводимость)
241

обращается в бесконечность на резонансной частоте. Фактически
всегда неизбежны тепловые (потери, наличие которых обусловливает
появление в правой части уравнения Ландау — Лифшица диссипа-
тивных членов. Учет затухания приводит к тому, что частотные за-
зависимости составляющих тензора относительной магнитной прони-
проницаемости будут иметь вид гладких кривых без ^разрывов; экстре-
экстремальные точки кривых будут лежать в окрестности частоты ферро-
ферромагнитного резонанса.
16.4. Уравнения Максвелла в анизотропной среде
Проследим, каким образом изменяется форма запи-
записи уравнений Максвелла при рассмотрении среды с ани-
анизотропными свойствами. Для определенности будем
полагать, что диэлектрическая проницаемость вещества
8 — обычная скалярная величина, в то время как маг-
магнитная проницаемость — тензор, определяемый форму-
формулой A6.28).
Формально система первых двух уравнений Максвелла
относительно комплексных амплитуд полей Ё и Н имеет
вид
rot Н = j(osaE, rot Ё =
Н.
A6.29)
Для простоты сторонние токи предполагаются отсутст-
отсутствующими. При записи координатного представления
второго уравнения из системы A6.29) следует восполь-
воспользоваться выражением для тензора относительной маг-
магнитной проницаемости феррита A6.28). В результате
получим следующие системы уравнений, эквивалентные
A6.29):
дНг
ду
дх
дНу
дх
ду
дЁ%
дх
дЁу
dz
д'Нх
dz
дНх
ду
dz
dEx
dz '
д'Ё*
дх
ду
A6.30)
24?

16.5. Распространение электромагнитных вблн
в намагниченном феррите. Эффект Фарадея
Электромагнитный волновой процесс в такой анизо-
анизотропной среде, которой является феррит, намагничен-
намагниченный за счет приложения внешнего постоянного магнит-
магнитного поля, обладает многими интересными особенностя-
особенностями, отличающими его от волновых процессов в обычных
изотропных средах. Ряд таких эффектов нашел важные
технические приложения в волноводных устройствах
свч.
В качестве примера рассмотрим идеализированную
задачу о распространении плоской электромагнитной
волны в неограниченной ферритовой среде при условии,
что распространение происходит в направлении вектора
подмагничивающего поля Но, который, в свою очередь,
ориентирован вдоль оси г. Будем считать, что в любой
плоскости, параллельной плоскости XOY, электромаг-
электромагнитное поле однородно, т. е.
Положим также, что магнитный вектор распространяю-
распространяющейся волны характеризуется отсутствием составляю-
составляющей, продольной по отношению к направлению распро-
распространения:
Наконец предположим, что рассматриваемая электро-
электромагнитная волна в любой поперечной плоскости являет-
является линейно поляризованной. Последнее условие озна-
означает, что если
то комплексные амплитуды Нх и Ну обладают одинако-
одинаковыми фазами.
Любое линейно поляризованное векторное колебание
может быть представлено в виде геометрической суммы
двух векторов с одинаковыми длинами, вращающихся
в противоположных направлениях. Соответствующий
чертеж, поясняющий подобное разложение, приведен на
рис. 16.4. Отсюда непосредственно следует, что произ-
произвольная плоская электромагнитная волна с линейной
243

Поляризацией может быть разложена йа сумму
волн с вращающейся круговой поляризацией, причем
направления вращения у них должны быть противопо-
противоположными. Условимся, как
это принято, называть вол-
волной с правым направлением
вращения такой волновой
процесс, для которото вра-
вращение'вектора Н, наблюдае-
наблюдаемое со стороны положи-
положительных значений координат
г, происходит против направ-
направления часовой стрелки. Пра-
Право-поляризованную волну
будем обозначать индексом
(+). При этом, как легко про-
проверит^,
Рис. 16.4. Представление коле-
колебания с линейной поляризацией
в виде суммы двух коле-
колебаний с круговой поляризацией
(изображены мгновенные по-
положения векторов в два после-
последовательные момента вре-
времени).
**Х + ==
A6.31)
Аналогичные выражения
для комплексных амплитуд
декартовых составляющих магнитного вектора лево-
поляризованной волны примут вид
Ну_= j
нх_ —
A6.32)
В формулах A6.31), A6.32) #Макс— постоянное число.
Поставим задачу определить составляющие вектора
магнитной индукции В, возникающие в рассматривае-
рассматриваемой среде под действием магнитного вектора Н воли
с левым и правым направлением вращения. Учтя тен-
тензорный характер материальных уравнений для полей
в феррите, на основании A6.27) и A6.28) для волны
с правым направлением вращения будем иметь
Вх+ = \
Ву+ = j
= р0 (р. — ц') Ям
- р/) Ям
A6.33)
Анализ выражений A6.33) позволяет сделать два
важных вывода. Во-первых, вектор В+ так же, как и
244

§зктор Й+, поляризован по кругу с тем же правьШ ис-
исправлением вращения. Во-вторых, между В+ и Н+ суще-
существует прямо пропорциональная зависимость. Другими
словами, по отношению к право-поляризованному маг-
магнитному вектору намагниченный феррит ведет себя по-
подобно обычной изотропной среде, причем его относи-
Рис. 16.5. Эффект Фарадея в намагниченном феррите.
тельная магнитная проницаемость выражается следую-
следующим образом:
щ. = ц-ц'. A6.34)
Если теперь рассмотреть лево-поляризованное колеба-
колебание, то на основании A6.32) получим
J>o
A6 35)
Повторив предыдущие рассуждения, приходим к вы-
выводу, что для лево-поляризованного колебания относи-
относительная магнитная проницаемость феррита — также
скалярная величина, равная
A6.36)
Поскольку рассматриваемый процесс является бегу-
бегущей волной, целесообразно ввести постоянные распро-
245

странения для каждой оставляющей с левым й прайЫМ
направлением вращения:
' "*" ° ' v,
A6.37)
Связь между напряженностями электрического и
магнитного полей в каждой из рассматриваемых волн
определяется характеристическими сопротивлениями
для колебаний с правым и левым направлениями вра-
вращения соответственно:
Zc+=
Прямым следствием различий постоянных распро-
распространения волн с правым и левым направлениями вра-
вращения оказывается поворот плоскости поляризации ли-
линейно поляризованной волны, распространяющейся
в феррите вдоль направления подмагничивающего поля
(рис. 16.5). Данное явление в физике носит название
эффекта Фарадея и имеет важные применения
в волноводной технике СВЧ.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЫРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ
ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА В РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
1. Декартовы координаты
dU dU dU
1+1 + 1
дА* дАЛ% л (дА* дАА\ л (дАу -дЛ*
)Х+ )l+T ду
2. Цилиндрические координаты
dU I d(/ dU
1 ^г \
г ду } 1г>
г
3. Сферические координаты
dU I dU I 6U
1+1 +
247

dAr]
ду J
1
_±] f
дг г ду J ч>~+~ [sin6
d2U 2 dU
47 + +
дАг 1 ( d Y\
дг2 + г dr + г2 sin2 9
Список литературы
1. Айзенберг Г. 3. Антенны ультракоротких волн. Связьиздат,
1957.
2. А н г о А. Математика для электро- и радиоинженера. Изд-во
«Наука», 1965.
3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. Изд-во «Совет-
«Советское радио», 1957.
4. В о л ь м а н В. И., Пименов Ю. В. Техническая электродина-
электродинамика. Изд-во «Связь», 1971.
5. Г о л ь д ш т е й н Л. Д., 3 е р н о в Н. В. Электромагнитные поля
и волны. Изд-во «Советское радио», 1971.
6. Г у р е в и ч А. Г. Полые резонаторы и волноводы. Изд-во «Совет-
«Советское радио», 1952.
7. Зоммерфельд А. Электродинамика. Пер. с нем., под ред.
С. А. Элькинда. Изд-во иностранной литературы, 1958.
8. Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика.
Изд-во «Наука», 1966.
9. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных
волн, Изд-во «Энергия», 1967.
10. М и к а э л я н А. Л. Теория и применение ферритов на сверх-
сверхвысоких частотах. Изд-во «Энергия», 1967.
11. Никольский В. В. Теория электромагнитного поля. Изд-во
«Высшая школа», 1964.
12. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика.
Пер. с англ., под ред. С. П. Капицы. Гос. изд-во физ.-мат. лите-
литературы, 1963.
13. Р а м о С, У и н н е р и Дж. Поля и волны в современной радио-
радиотехнике. Гостехиздат, 1948.
14. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. Гостехиздат, 1948.
15. Федоров Н. Н. Основы электродинамики. Изд-во «Высшая
школа», 1965.
16. Ш и м о н и К. Теоретическая электротехника. Изд-во «Мир»,
1964,