/
Автор: Рухадзе А.А. Александров А.Ф. Богданкевич Л.С.
Теги: физика плазмы физика электродинамика электромагнитное поле прикладная физика
ISBN: 5-06-001404-5
Год: 1988
Текст
А.Ф. Александров
Л. С. Богданкевич
А.А.Рухадзе
основы
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ПЛАЗМЫ
Под редакцией проф. А. А. Рухадзе
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Государственным
комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебника
для студентов
физических специальностей
университетов
Москва
«Высшая школа» 1988
ББК 22.333
А 46
УДК 533.9
Рецензент
проф. Ф. А. Николаев (Московский авиационный институт)
Александров А, Ф. и др.
А 46 Основы электродинамики плазмы: Учеб. для физ.
елец. университетов/А. Ф. Александров, Л. С. Богдан-
кевич, А. А. Рухадзе; Под ред. А. А. Рухадзе. — 2-е
изд., перераб. и дот. — М.: Вьюш. шк., 1988. — 424 с:
.ил.
ISBN 5—06—001404—5.
В учебнике рассмотрены основные вопросы линейной и нелинейной элек*
тродинамики плазмы, общие проблемы электродинамики сред с пространст-
пространственной и временной дисперсией, линейная электродинамика равновесной плаз-
плазмы, проблемы устойчивости, электродинамика неравномерной плазмы, флук-
флуктуации, основы нелинейной электродинамики плазмы. Второе издание A-е —
1978 г.) переработано в соответствии с новыми достижениями в области элек*
тродинамики плазмы.
1704040000 D309000000)—544
А 00И0В-88 48~88 ББК 22'333
Учебное издание
Александров Андрей Федорович,
Богданкевич Лариса Семеновна,
Рухадзе Анри Амвросиевич
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ПЛАЗМЫ
Зав. «редакцией учебно-методической литературы по физике и математике
Е. С. Гридасова. Редактор С. Л. Крылов. Младшие редакторы Г. В. Вя-
тоха, Н. Я. Майкова. Художественный редактор В. Я. Пономаренко.
Технический редактор Е. В. Фельдман. Корректор Г. И. Кострикова.
ИБ № 7131
Изд. № ФМ—917. Сдано в набор 29.03.88. Подписано в печать 02.12.88. Т-18574.
Формат 60X907ie. Бумага тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 26,50 усл. печ л.+0,25 усл. печ. л форз., 26,75 усл. кр.-отт., 26,94 уч. изд. л.+
+ 0,35 уч. изд. л. форз. Тираж 8000 экз. Заказ 62. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4. Неглинная ул.. д. 29/14.
Набрано в Московской типографии № 5 ВГО «Союзучетиздат», 101000, Москва,
ул. Кирова, д. 40. Отпечатано и изготовлено в типографии № 8 «Союзполиграфпро-
ма» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
книжной торговли, 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7. Тип. зак. 953
ISBN 5—06—001404—5
Издательство «Высшая школа», 1978
i Издательство «Высшая школа», 1988,
с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При 1подготов1ке учебника ко второму из-
изданию мы учли замечания многих доброжелательных читателей.
В результате в книге появились новые параграфы. Так, в первой
части, посвященной общим свойствам сред с пространственной дис-
дисперсией, (появился §2.7 под названием «Электро- и магнитостатика»
Хотя статика и есть предельный случай динамики, но переход к ста-
статическому пределу далеко не тривиален и поэтому добавление
указанного параграфа мы сочли необходимым. Во второй части
появились три новых параграфа: 7.6, 9.4 и 9.5. В них освещены
проблемы плазменной электроники — нового раздела электроди-
электродинамики плазмы, получившего бурное развитие в последние годы в
связи с появлением целого ряда прикладных проблем. Наконец,
к последней, третьей, части книги добавлен § 12.4 с подробным
анализом нелинейного взаимодействия волн в трехволновом при-
приближении, охватывающем довольно широкий круг практически
важных случаев. Кроме указанных новых параграфов в книге
появились некоторые добавления к уже существующим, отражаю-
отражающие современный уровень развития электродинамики плазмы.
Вместе с тем мы сократили некоторые разделы, в особенности
во второй части книги. Сокращения относятся к теории устойчи-
устойчивости неравновесной плазмы — опущены примеры не очень рас-
распространенных видов неустойчивостей. Кроме того, мы сущест-
существенно видоизменили задачи и упражнения — опущены подробно-
подробности решений, а некоторые из задач вообще исключены из книги.
Мы надеемся, что это расширит возможности самостоятельного
изучения читателем электродинамики плазмы, что согласуется с
требованиями перестройки высшего и специального образования
в нашей стране. Но об этом судить только читателю, от которого
мы снова ждем доброжелательной критики.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В последние годы курс физики плазмы
занял прочное место среди лекционных курсов, читаемых студен-
студентам физических специальностей. Однако учебного пособия по фи-
физике плазмы в отечественной литературе до сих пор нет. Имею-
Имеющиеся многочисленные монографии довольно сложны и посвяще-
посвящены, как правило, различным прикладным проблемам.
Совет по физике плазмы Академии наук СССР поставил во-
вопрос о создании учебного пособия по физике плазмы. Предпола-
Предполагается, что оно будет состоять из трех томов, посвященных соот-
соответственно элементарным процессам в плазме, электродинамике
плазмы и различным прикладным проблемам. Предлагаемую кни-
книгу по электродинамике плазмы, очевидно, можно рассматривать
как один из томов будущего учебного пособия по физике плазмы.
Она написана на основе курса лекций, составленных проф. А. А.
Рухадзе, читаемых авторами в течение ряда лет студентам ра-
радиофизического отделения физического факультета МГУ, а так-
также сотрудникам Физического института им. П. Н. Лебедева АН
СССР и Института общей физики АН СССР.
Книга состоит из трех частей. В первой части изложены осно-
основы линейной электродинамики термодинамически равновесной и
однородной плазмы, во второй — современные представления о
линейных электромагнитных явлениях в неравновесной и прост-
пространственно неоднородной плазме (теория устойчивости плазмы),
а в третьей — методы исследования нелинейных электродинамиче-
электродинамических процессов в плазме.
Изложение материала ведется на основе наиболее общей мо-
модели плазмы — кинетического уравнения с самосогласованным
взаимодействием, причем рассмотрены как газовая, невырожден-
невырожденная плазма, так и вырожденная плазма твердых тел. В книге
приведено большое число задач с решениями, в которых обсуж-
обсуждены более простые модели плазмы и области их применимости,
а также рассмотрен ряд конкретных явлений, представляющих
практический интерес. В приложениях даны необходимые мате-
математические сведения из векторного анализа и тензорного исчис-
исчисления.
Авторы далеки от мысли, что предлагаемое пособие лишено
недостатков. Более того, они сознают, что третья его часть как
по полноте изложения основного материала, так и по отбору кон-
конкретных задач намного уступает первым двум.
Авторы признательны акад. В. Л. Гинзбургу за предоставлен-
предоставленное право пользоваться материалом книги В. Л. Гинзбурга и
А. А. Рухадзе «Волны в магнитоактивной плазме» (М., 1975) без
ограничений, а также В. Ю. Шаферу, прочитавшему корректуру
пособия и сделавшему ряд полезных замечаний.
Авторы
Часть 1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
СВОЙСТВА
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ
РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
§ 1.1. Определение плазмы
Прежде чем перейти к последователь-
последовательному изложению основ электродинамики плазмы, необходимо от-
ответить на вопросы: что такое плазма, как она распространена в
природе и каковы ее наиболее характерные особенности?
В настоящее время представление о плазме как о четвертом
состоянии вещества прочно входит в повседневную жизнь наря-
наряду с такими понятиями, как газ, жидкость и твердое тело. Это
объясняется чрезвычайно широким распространением плазмен-
плазменного состояния вещества в природе, а также большими перспек-
перспективами практического использования плазмы в различных обла-
областях новой техники.
Впервые термин «плазма» был введен И. Ленгмюром в 1923 г,
при изучении явлений, происходящих при электрическом разряде
в газах. Таким образом, первое определение плазмы было свя-
связано непосредственно с представлением об ионизованном газе,
что оказалось очень плодотворным. Дадим предварительное оп-
определение плазмы как ионизованного газа, состоящего из боль-
большого числа положительно и отрицательно заряженных частиц, а
в ряде случаев также из нейтральных атомов и молекул. Именно
наличие в плазме большого числа заряженных частиц обусловли-
обусловливает те характерные ее свойства, которые позволяют определить
5
плазму как четвертое состояние вещества и существенно отли-
отличают ее от обычных газов.
Приведенное определение плазмы является не строгим и да-
далеко не полным. Полного определения плазмы по существу невоз-
невозможно дать, так как оно должно охватывать очень широкий круг
явлений в самых разнообразных условиях. В настоящей книге
понятие плазмы будет раскрыто также лишь частично, поскольку
предметом ее изучения являются только электродинамические
свойства плазмы.
С ионизованным газом приходится встречаться практически
всюду. Он присутствует в верхних слоях атмосферы Земли —
ионосфере. Если в нижних слоях атмосферы до высот порядка
100 км число заряженных частиц ничтожно мало, то выше их чис-
число становится достаточно большим и на высотах 300—500 км до-
достигает максимума. Именно этот слой ионосферы, называемый
F-слоем, обеспечивает распространение электромагнитных волн
вокруг Земли и устойчивую радиосвязь на Земле. Еще выше чи-
число заряженных частиц падает, и на очень больших высотах про-
происходит переход к разряженной межпланетной плазме.
Другой распространенный пример — это плазма звездных ат-
атмосфер. Вещество в большинстве космических объектов (звезды,
туманности и т. п.) находится в ионизованном состоянии, т. е. в
состоянии плазмы. В плазме звезд, в частности Солнца, проис-
происходят реакции синтеза легких элементов, так называемые тер-
термоядерные реакции, обеспечивающие огромное выделение энер-
энергии и нагрев плазмы. В настоящее время ученые многих стран
мира изучают возможности создания подобной высокотемпера-
высокотемпературной плазмы в земных условиях, поставив перей собой задачу
осуществления управляемого термоядерного синтеза и обеспече-
обеспечения человечества неисчерпаемым запасом энергии. Именно с раз-
развитием этих исследований связано второе рождение понятия плаз-
плазмы, расширившее и обогатившее знания о плазме и сделавшее
науку о плазме важным и самостоятельным разделом физики.
Примером распространенной в природе плазмы является так-
также плазма газового разряда. Интенсивные исследования плазмы
газового разряда связаны с потребностями развития классичес-
классической и квантовой электроники, для которых газоразрядные при-
приборы играют большую роль.
Наконец, следует особо отметить твердотельную плазму —
электронную плазму металлов и электронно-дырочную плазму
полупроводников.
Перечисленный ряд можно продолжить практически неогра-
неограниченно, говоря о плазме в магнитогидродинамических и термо-
термоионных преобразователях тепловой энергии в электрическую, о
плазме в растворах электролитов и т. д. Однако приведенных
примеров достаточно для того, чтобы убедиться в чрезвычайно
широком распространении плазмы в природе и важности изуче-
изучения ее свойств.
§ 1.2. Параметры плазмы
Как отмечалось, плазма состоит из заряженных и нейтральных
частиц. Положительно заряженными частицами плазмы являют-
являются положительные ионы (газовая плазма) и дырки (плазма твер-
твердого тела), а отрицательно заряженными частицами —электроны
и отрицательные ионы. Как правило, отрицательные ионы не иг-
играют большой роли в плазменных явлениях, и в дальнейшем их
влиянием будем пренебрегать.
Состав нейтральной компоненты плазмы может быть доста-
достаточно сложным: помимо атомов и молекул в нормальном состо-
состоянии в плазме в гораздо большем количестве могут присутство-
присутствовать атомы и молекулы в различных возбужденных состояниях.
Но поскольку плазма — это газ, для ее описания используют те
же понятия, что и для обычного газа. Введем основные парамет-
параметры плазмы, исходя из простых молекулярно-кинетических пред-
представлений.
Прежде всего необходимо знать концентрацию (плотность) час-
частиц разного сорта Nat где индекс а означает сорт частиц. Да-
Далее все величины, относящиеся к электронам плазмы, будем обоз-
обозначать индексом еу к ионам (дыркам) — индексом i, а к ней-
нейтральным частицам — индексом п. Если в плазме присутствуют
ионы нескольких сортов, следует задавать отдельно концентрацию
ионов каждого сорта. В дальнейшем, однако, нас будет мало ин-
интересовать квантово-механическое состояние атомов и молекул,
поэтому под Nn будем понимать полное число нейтральных частиц
в единичном объеме независимо от того, находятся ли эти части-
частицы в нормальном или возбужденном состоянии.
Состав плазмы удобно также характеризовать другим пара-
параметром— отношением концентрации электронов к концентрации
•нейтральных частиц, или степенью ионизации r=NeINn*. По сте-
степени ионизации плазму обычно подразделяют на слабоионизо*
ванную (г<10~2~10~3) и полностью ионизованную (г-^оо), т. е,
плазму, состоящую только из заряженных частиц.
Поскольку в плазме присутствуют частицы различных сортов,
нужно знать их заряд еа и массу та. В газовой плазме заряд
электронов ее=е, причем |е| = 1,6-10~19 Кл, масса me=m=
=9,1-10~31 кг, заряд ионов ?г-=—Ze (Z — кратность ионизации),
масса nii = M = A-1,66-107 кг, где А — атомная масса соответст-
соответствующего газа**. Для нейтральных частиц, очевидно, en = 0, a
mnttnii=M. В плазме твердого тела массы носителей заряда
(электронов и дырок) отличны от массы свободного электрона»
Поэтому там, где могут возникнуть недоразумения, будем обоз-
¦ Часто под степенью ионизации понимают r=JVe/(iVn+SiV1). При таком
определении для полной ионизации г=1; при г>1 степень ионизации равна
среднему заряду ионов плазмы.
** Далее всюду под m подразумевается масса свободного электрона, а под
М — масса иона.
начать т*е и m*i. В металлах т*е&те, в полупроводниках, как
правило, теж @,01-7-0,1)^, а т*%жте. Заряд отрицательных но-
носителей равен заряду электрона, а заряд положительных носите-
носителей в{=—е.
Частицы, образующие плазму, находятся в состоянии хаоти-
хаотического теплового движения. Для характеристики этого движения
вводят понятие температуры Т плазмы в целом или Та для от-
отдельных ее компонент. Температуру плазмы вводят в предполо-
предположении, что плазма в целом находится в состоянии термодинами-
термодинамического равновесия, а функции распределения частиц всех сор-
сортов по импульсам ра (скоростям) являются максвелловскими с
одной и той же температурой Т\ в этом случае плазму называют
изотермической. Гораздо чаще в плазме устанавливается частич-
частичное термодинамическое равновесие, когда отдельные ее компонен-
компоненты имеют максвелловские распределения по скоростям с различ-
различными температурами:
/ма= ^ ехр ( ?—} . A.2.1)
Такая плазма является неизотермической. В случае максвел-
ловской функции распределения частиц температура Та харак-
характеризует среднюю кинетическую энергию теплового движения
частиц данного сорта:
, A.2.2)
где >с=1,38-10~3 Дж/К — постоянная Больцмана; Та — темпера-
температура частиц сорта a; va — скорость хаотического теплового дви-
движения частиц сорта а (угловые скобки означают усреднение по
всем частицам данного сорта а). Понятием температуры плазмы
часто пользуются и тогда, когда функция распределения частиц
отличается от максвелловской, понимая под Та величину, опре-
определенную соотношением A.2.2).
Температуру компонент плазмы будем в основном выражать в
Кельвинах; кроме того, будем использовать энергетическую сис-
систему единиц, в которой постоянная Больцмана х=1, а Та выра-
выражена в электрон-вольтах A эВ = 11600 К—1,6-10"9 дЖ).
Сделаем еще одно замечание, связанное с функцией распре-
распределения частиц и определением температуры плазмы. Как изве-
известно из курса статистической физики, о максвелловском распре-
распределении частиц можно говорить лишь при достаточно высоких
температурах, когда отсутствует фермиевское вырождение, обус-
обусловленное принципом Паули. Явление фермиевского вырождения
возможно для частиц с полуцелым спином (электроны, дырки и
ионы атома водорода) и становится существенным, когда энергия
Ферми <8Va превышает тепловую:
где p?a=mv?a==\Zn2yJzhNaP —граничный импульс Ферми, а
й = Й/Bя) = 1,05-10-34 Дж*с — постоянная Планка.
При этом распределение частиц по импульсам определяется вы-
выражением
называемым функцией распределения Ферми.
Неравенство A.2.3) выполняется при относительно низких тем-
температурах и высоких концентрациях: #а>5-1021Га2 {mjm)w-
В вырожденной плазме понятие температуры как меры энергии
среднего хаотического движения частиц теряет смысл. Эту роль
играет энергия Ферми #Fa«5-10-88JVa3(m/<me) Дж, не зависящая
от температуры ллазмы и возрастающая с увеличением концен-
концентрации частиц.
Посмотрим, как значения основных параметров плаамы Na к Та завися*
от конкретных условий. Так, в F-cyroe ионосферы Ne**Ni^l012 м-3, Nn? Ю1в
м-3, т. е. г ^ Ю-4, а температура плазмы оказывается довольно высокой, по-
порядка C4-5) -103 К. На больших высотах, превышающих радиус Земли, в меж-
межпланетной плазме концентрация заряженных частиц колеблется в пределах
104 M.-*<Ne**\Ni ? 107 м-3, причем Nn<Ne, т. е. плазма практически полностью
ионизована, а температура Г«104 К. Концентрация N и температура Т плазмы
звезд меняются в очень широких пределах: концентрация — от Ю8—109 до
1028—1032 м-3 и выше, температура — от 10*—105 до 109—ilO10 К, при этом
плазма полностью ионизована. Так, например, в солнечной короне Ne^Ni^
«М10—10м м-3, а Г»10в—108 К. В установках для получения термоядерного
синтеза, поскольку реакции слияния ядер пороговые, температура плазмы долж-
должна превышать Т ;> 108 К, концентрация же заряженных частиц в зависимости
от методов нагрева и удержания плазмы составляет либо Ne^Ni^lO20—1021
м-3, либо tfe~iJVi«1028—10» м-3.
Плазму газового разряда в противоположность термоядерной часто назы-
называют низкотемпературной. Ее температура обычно ие превышает 104—105 К,
а концентрация заряженных частиц Ne^Ni^\0u—1021 /м~3, причем такая плаз-
плазма практически всегда слабоионизована, так как #Я«Ю18—1023 м-3. В плазме
сильноточного разряда, образующейся при электрическом взрыве металлических
проволочек, Г«104—105 К, а концентрации заряженных частиц Ne^Ni^l024—
—1026 м~3 при практически полной «ионизации. В металлах электронную плазму
образуют свободные носители заряда, концентрация которых #«1027—1029 м~3,
причем эффективная масса (носителей зарядов имеет порядок массы свободного
электрона. При столь высоких концентрациях свободные электроны в металлах
оказываются вырожденными и условие вырождения A.2.3) выполняется вплоть
до температур Т ^ 104 К. Твердотельная плазма полупроводников, образованная
из отрицательных (электронов) и положительных (дырок) носителей заряда,
может быть как вырожденной, так и невырожденной. В полупроводниках с
большим числом легких носителей (электронов) при Ne ^-1022—1024 м-3 <и эф-
эффективной массой me*«10-2m вырождение наступает при температурах ^а^
<102 К, вырождение по тяжелым носителям заряда (дыркам) наступает при
еще более низких температурах, в то время как в полупроводниках с малым
числом носителей при Ne ^ 1020—'1021 м-3, как правило, электронно-дырочная
плазма оказывается невырожденной.
Разумеется, приведенные числовые значения являются ориентировочными и
указывают лишь на порядок величин Na и Га в различных условиях.
§ 1.3. Кзазинейтральность. Плазменная частота
и дебаевский радиус
Данное выше определение плазмы является неточным. Дело
в том, что не всякий ионизованный газ представляет собой плаз-
плазму. Нужно еще, чтобы он обладал свойством квазинейтральности,
т. е. в среднем за достаточно большие промежутки времени и на
достаточно больших расстояниях был в целом нейтральным. Вы-
Выясним, каковы эти характерные промежутки времени и расстоя-
ния> или, иначе, каковы временные и пространственные масштабы
разделения зарядов и нарушения нейтральности плазмы. Требо-
Требование квазинейтральности накладывает связь на значения кон-
концентраций электронов и ионов:
2*а#в = 0, A.3.1)
a
где еа, Na — соответственно заряд и концентрация частиц сорта а.
В том случае, когда в плазме имеются однократно ионизован-
ионизованные ионы только одного сорта, это условие записывается в виде
N,=Nt9 A.3.2)
так как заряд электрона е=—ей
Оценим вначале из простых физических соображений времен-
временной масштаб разделения зарядов. Представим себе, что какой-
либо электрон плазмы отклонился от своего первоначального рав-
равновесного положения в плазме. При этом возникает возвраща-
возвращающая сила, по порядку величины равная средней силе взаимо-
взаимодействия частиц, т. е. F^e2/Dmor2cp)9 где гср=[3/|Dя#е)]1/3 —
среднее расстояние между частицами, 8о=1/Dя-9-109) Ф/м. В
результате электрон начнет колебаться около равновесного поло-
положения с частотой
где величина
&опг
называемая электронной ленгмюровской, электронной плазменной
или просто плазменной частотой, является чрезвычайно важной
характеристикой плазмы. Естественно принять за временной мас-
масштаб разделения зарядов величину, обратную электронной ленг-
ленгмюровской частоте:
т~1/(ои, A.3.4)
поскольку за отрезки времени t^>% частицы совершают много ко-
колебаний около равновесного положения и плазма в целом ведет
себя как квазинейтральная система. Плазменная частота <дье&
«У-108ЛГв не зависит от температуры, поэтому она одинакова
10
для вырожденной и невырожденной плазмы, для полупроводни*
ковой плазмы ©Le~ УЗ* lQ3Nem/\me.
По этим формулам легко ощенить порядок величины плазменной частоты
для различных реальных плазм. Так, для «ионосферной плазмы соье«5-107 с-1,
для термоядерной плазмы и плазмы газового разряда юье^ЮЗ—1016 с-1, а для
плазмы твердых тел о&ье^'Ю13—5«1015 с*.
Рассмотрим теперь пространственный масштаб разделения
зарядов. Из простых физических соображений ясно, что его зна-
значение должно определяться длиной, на которую может смести-
сместиться возмущение плотности заряженных частиц вследствие их
теплового движения за время, равное периоду плазменных ко-
колебаний. Таким образом, пространственный масштаб разделения
зарядов для невырожденной плазмы составляет
где Vie=yT€lm — скорость теплового движения электронов, а
величина
носит название электронного дебаевского радиуса и играет в фи-
физике плазмы фундаментальную роль.
Для вырожденной плазмы энергия хаотического движения
электронов представляет собой энергию Ферми, поэтому в выра-
выражении A.3.6) уТе следует заменить на &те-
? . (ЬЗ.7)
Итак, для квазинейтральности плазмы необходимо, чтобы ее
характерные размеры L были много большими дебаевского ра-
радиуса:
L>rDe. A.3.8);
Только при этом условии систему заряженных частиц можно
считать плазмой, т. е. материальной средой с качественно новы-
новыми свойствами. В противном случае получается простая совокуп-
совокупность отдельных заряженных частиц, к которой применима элек-
электродинамика вакуума.
Приведем числовые оценки величины гъе. Для ионосферной плазмы гве**
«К)-8 <м, для термоядерной плазмы и плазмы газового разряда гве«10-5—
—10~в м, для плазмы твердых тел rDe«10~7-r-10~9 м. Из этих оценок следует,
что в реальных условиях дебаевский радиус — очень малая величина, а усло-
условие A.3.8) практически всегда выполняется с большим запасом.
§ 1.4. Газовое приближение. Плазменный параметр
В приведенном определении плазма была охарактеризована
как газ заряженных частиц. Но газом нельзя считать любуй) ей*
стему частиц. Совокупность заряженных частиц образует газ,
или, как говорят, для нее применимо газовое приближение, если
средняя потенциальная энергия частиц мала по сравнению с их
средней кинетической (тепловой) энергией. Только при этом ус-
условии частицы газа являются почти свободными и слабо вза-
взаимодействуют между собой. Для кулоновски взаимодействующих
частиц указанное требование записывают в виде
4 Я80 Гср
С этим неравенством связана важная характеристика плазмы:
4яе0гсрГ Апе0Т
А «1. A.4.2)
2
Величину ц называют плазменным параметром, и условие при-
применимости газового приближения сводится к требованию rj4;l.
Неравенство A.4.2) означает, что среднее расстояние между за-
ряженными частицами в плазме должно быть меньше дебаевско-
го радиуса, или иначе, внутри дебаевской сферы (радиус сферы
Td) должно находиться много частиц.
В реальной газовой плазме неравенства A.4.1) и A.4.2), как правило, вы-
выполняются с большим запасов: для ионосферной плазмы г\ <; НО**4, а для тер*
моядерной плазмы и плазмы газового разряда rj ^ 10.
Для вырожденной плазмы плазменный параметр rj есть отно-
отношение средней потенциальной энергий к энергии Ферми:
П-А*=-~ тг3* ~^-«Ь 0-4.3)
Из сравнения неравенств A.4.2) и A.4.3) видно, что в невы-
невырожденной плазме условие применимости газового приближения
при заданной температуре выполняется тем лучше, чем меньше
плотность заряженных частиц N, в то время как в вырожденной
плазме выполнение этого условия облегчается с ростом N. Газо-
Газовое приближение применимо в металлах лишь при концентрации
носителей заряда Ne ? 1028 м~3, а в полупроводниках с эффектив-
эффективной массой носителей m*=10~2m и при меньших концентрациях
носителей заряда — порядка ЛГе>A022—1023) м~3. Таким обра-
образом, условие A.4.3) для реальных металлов находится на грани
применимости.
Задачи к гл. 1
Задача /./. Исследовать колебания однородной газовой плазмы, возникшие
при малом смещении электронов относительно ионов.
Решение. Обозначим S вектор смещения электронов относительно 'ионов.
При смещении S плотность нескомпенсированного заряда электронов
, A)
12
Этот заряд создает электрическое поле, напряженность Е которого определя-
определяется из уравнения Пуассона:
divE= — = — NediwS. B)
е0 е0
Отсюда, учитывая, что при S=0 и Е=0, имеем
Е= — NeS. C)
В результате уравнение движения электрона запишем в виде '
= — еЕ= - 7~^s- D>
Это уравнение описывает колебания плазмы около равновесного положения
JS=O) с частотой
Задача 1.2. Найти потенциал пробного заряда щ, помещенного в) прост-
пространственно однородную газовую плазму с температурой электронов Тв и
ионов Т{.
Решение. Заряд q создает электрическое поле, которое поляризует плаз-
плазму. В результате в плазме наряду с плотностью внешнего заряда #6 (г) появит-
появится индуцированная плотность заряда р(Ф), где Ф — искомый потенциал. По-
Потенциал подчиняется уравнению Пуассона:
_JLS(r). A)
е
е0 е0
Плотность индуцированного заряда в плазме
Р= 2
где #а(Ф) — плотность частиц сорта а в плазме при наличии поля Ф. Сог-
Согласно барометрической формуле,
О)
где Na — плотность частиц в отсутствие поля Ф (в отсутствие заряда q), по-
поэтому, по условию квазинейтральности плазмы, 2?aWa=0. Таким образом, из
ос
уравнения Пуассона имеем
^а(г) еаМае
^ 2^Ф- D)
Здесь пбтенциал точечного заряда считается достаточно слабый, так что
еаф<т«-
Разложив потенциал Ф(г) в ряд Фурье
Ф(г)= JeikrO(k)dk E)
я используя соотношение
13
находим решение уравнения Пуассона в виде
eikr
Ф(г) =
где
е„Bя)8 •»
>—дебаевский радиус плазмы,
1
72 = 2
G)
(8)
(rDe, го<— дебаевские радиусы электронов и ионов соответственно).
Таким образом, поле пробного заряда в плазме отличается от поля в ва-
вакууме тем, что оно экранируется на больших расстояниях г>/ъ. Такое экра-
экранирование— следствие преимущественной группировки заряженных частиц про-
противоположного знака вокруг пробного заряда. На расстояниях г<гв поле
пробного заряда в плазме практически не отличается от поля в вакууме.
Задача 1.3. На .диаграмме \N(T) электронной плазмы указать области вы-
вырождения носителей заряда и применимости газового приближения.
Решение. Условие вырождения для электронной плазмы записывают
в виде
A)
На диаграмме зависимости \nN от In Г (рис. 1) условие
2пг
дает прямую 1, разделяющую область вырожденной плазмы от невырожден-
невырожденной.
Условие применимости газового приближения в невырожденном состоянии
На той же диаграмме т]кл = 1 дает прямую 2.
В вырожденном состоянии для применимости газового приближения необ-
необходимо выполнение условия
1Лкв =
C)
Поскольку энергия Ферми не зависит
от 71, а зависит только от N, условие
т]кв=1 дает прямую 3, проходящую че-
через точку Л, где пересекаются три прямые
#rW*/VD)
Рис. 1. Диаграмма N(T) для элек-
электронной плазмы
14
V()
Следовательно, в области / имеет-
имеется невырожденная плазма со слабым
взаимодействием, к 'которой применимо
газовое приближение: в области // — не-
невырожденная плазма с сильным взаи-
взаимодействием, т. е. классическая жид-
жидкость; в области /// — вырожденная плаз-
плазма с сильным взаимодействием, т. е.
квантовая жидкость. Как в области //,
так и в области /// газовое приближение
неприменимо. Наконец, область IV из-
изменения параметров N к Т характеризу-
характеризует вырожденную плазму со слабым
взаимодействием, к которой газовое при-
приближение применимо.
Задача 1.4* Оценить значения плазменной частоты, дебаевского радиуса
электронов и степени идеальности для:
а) ионосферной плазмы (#«,«#*«1013 м~3, Гв^Г<=A эВ);
б) плазмы газового разряда [Nec*Ni«1018 м~3, 7*^10 ёВ, 7^0,1 эВ);
в) термоядерной плазмы (JV«?*/V<«1O21 м~3, Te^Ttcz'lQ кэВ);
г) плазмы МГД-преобразователей тепловой энергии в электрическую
~JVi~dO25 м-3, ТеСхТ{с*0,г эВ);
д) электронной плазмы металлов при комнатной температуре (ive?s
—1029 м-3).
Ответ:
а) й)ьв^1,7-Ю8 с-1, rDe^2,5.10-3 м, г)~3-10-5;
б) G)Le^5,5.|1010 с-1, rDe^2-10-5 м, т|с*1,5-И0-4;
) 171012 1 2105 15106
) , ,
в) ©ье^1,7-1012 с-1, rDe^2-10-5 м,
г) ©Le^l,7-1014 с-1, rDe^l,5-10-9 м, р;
д) o)l^@,5—1,5).1016 с-1, ^р^A—5)эВ, rDe^10-9—Ю-8 м,
Глава 2. ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
СРЕД
С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
И ВРЕМЕННОЙ
ДИСПЕРСИЕЙ
§ 2.1. Уравнения
электромагнитного
поля в среде
и граничные условия
Основная особенность плазмы с элек-
электродинамической точки зрения состоит в том, что она является
средой с резко выраженной частотной (временной) и пространст-
пространственной дисперсией. Смысл этих понятий будет раскрыт далее.
Сейчас же сформулируем уравнения электромагнитного поля в
плазме как в материальной среде.
В предыдущих параграфах было дано определение плазмы как
системы, состоящей из заряженных частиц, но в целом квазинейт-
квазинейтральной. Отсюда следует, что специфические особенности плазмы
могут проявиться только тогда, когда распределение заряженных
частиц в ней становится неоднородным и возникают макроскопи-
макроскопические электромагнитные поля. Электромагнитные поля в плазме
могут создаваться и внешними источниками, однако существенно,
что эти поля влияют на характер распределения и движение
заряженных частиц в олазме, индуцируя в ней заряды и токи,
которые сами создают электромагнитные поля, изменяя полное
поле в системе. Происходит так называемое самосогласованное
воздействие заряженных частиц и оголя друг на друга.
Таким образом, уравнения электромагнитного поля в плазме
должны учитывать индуцированные заряды и токи. Эти уравне-
15
ния для плазмы, как и для любой другой материальной среды,
могут быть записаны в виде
rotB=J-*L
B11)
rot Е в , div Е = -?- + J2- ,
где В — магнитная индукция; Е — напряженность электрического
поля; j и р — соответственно плотности тока и заряда, индуциру-
индуцируемых в среде; j0 и ро — плотности тока и заряда внешних источ-
источников поля; с=1/1/*ео(ло = 3-1О8 м/с — скорость света, \ю =
= 4я-10-7 Н/А.
В дальнейшем будем считать внешние источники поля либо
заданными, либо отсутствующими (ро=О, jo=0). В последнем
случае, образуя дивергенцию от первого уравнения системы
B.1.1), получим
divrotB= —— divE+ —L- div j = 0.
с2 di e0 c2
Подставляя сюда значение div E из последнего уравнения си-
системы B.1.1), находим, что индуцированные заряды и токи удо-
удовлетворяют уравнению непрерывности, выражающему закон со-
сохранения количества электричества:
<3p/<9/+divj = O. B.1.2)
Система уравнений B.1.1) приобретает конкретное физическое
содержание, если ясен физический смысл входящих в нее вели-
величин. Физический смысл напряженности электрического поля Е и
магнитной индукции В в среде, так же как и в вакууме, опреде-
определяется выражением для силы Лоренца F, действующей со сторо-
стороны поля на пробный точечный заряд е> движущийся со скоро-
скоростью v:
F = e{E+[vB]}. B.1.3)
Таким образом, в системе уравнений поля B.1.1) влияние
среды характеризуется появлением (по сравнению с уравнения-
уравнениями поля в вакууме) одной новой векторной величины j — плотно-
плотности индуцированного тока в среде; плотность индуцированного
заряда р выражается через j с помощью уравнения непрерывно-
непрерывности B.1.2).
Удобнее, однако, вместо j ввести векторную величину D, назы-
называемую электрической индукцией и определяемую из соотно-
соотношения
/
— 00
Используя это соотношение и уравнение непрерывности
B.1.2), из системы уравнений электромагнитного поля в среде
16
B.1.1) можно исключить плотности индуцированных заряда в
тока и записать ее в виде
с2 е0 rot В = Ф- + j0, div В = О,
*
rotE= — <®-,divD = p0.
dt
B.1.5)
Система уравнений B.1.1) или B.1.5) не является замкнутой
до тех пор, пока не задана связь плотности индуцированных то-
токов и зарядов с напряженностью электрического поля Е и маг-
магнитной индукцией В (или связь величины D с Е и В). Посколь-
Поскольку магнитную индукцию В можно выразить с помощью третьего
уравнения системы B.1.1) через напряженность электрического
поля Е, достаточно задать связь величины j с Е (либо D и Е).
Установление этой связи является задачей той или иной конкрет-
конкретной модели. В частности, далее такая связь будет установлена
для плазмы из уравнений, описывающих движение частиц плаз-
плазмы. Однако, не задаваясь конкретной моделью среды, из общих
соображений можно утверждать, что в линейной электродинами-
электродинамике эта связь должна иметь вид
П (*, г) = / dt' J dr' Ьи (t, t\ г, г') Ej (/', г'). B.1.6)
— 00
Аналогично, для величин D и Е
Dt(t,r) = eQ f d/'Jdr'SM(U',r,r')?,(</,r'). B-1.7)
— оо
В этих соотношениях, называемых материальными уравнения-
уравнениями линейной электродинамики, учтено, что состояние среды (ин-
(индуцированные в ней заряды и токи) в заданный момент времени
t в точке пространства г может зависеть от значения поля во
все предшествующие моменты времени (в соответствии с прин-
принципом причинности) и от значения поля в любой точке среды.
Именно в этом проявляется частотная (временная) и простран-
пространственная дисперсия среды. Физически частотная дисперсия свя-
связана с инерцией зарядов и процессами релаксации поля в сре-
среде, а пространственная дисперсия — с передачей действия поля
из одной точки среды в другую из-за наличия в плазме процессов
переноса и теплового движения частиц. Функции Oij(t, /', г, г') и
Eij(t, t'9 г, г'), называемые часто функциями влияния и представ-
представляющие собой ядра интегральных соотношений B.1.6) и B.1.7),
характеризуют эффективность передачи действия поля из одной
точки пространства — времени в другую. Задачей конкретной мо-
модели среды как раз и является нахождение явного выражения
этих функций.
Для решения электродинамических задач системы уравнений
B.1.1), B.1.5) должны быть дополнены граничными условиями,
17
которые выводят из самих урав-
уравнений поля путем их интегриро-
интегрирования по бесконечно тонкому по-
пограничному слою раздела двух
сред. Сформулируем эти условия
на примере однородной поверх-
поверхности раздела двух сред. Рас-
Рассмотрим бесконечно тонкий слой
вблизи границы раздела сред /
и 2. Предположим, что направ-
направление нормали п к рассматривае-
рассматриваемому участку границы раздела
с направлением оси х (рис. 2). Рассмотрим второе
B15)
1
Рис. 2. Поверхность раздела сред
совпадает р
уравнение системы B.1.5):
divB= ^l+ d-^L + <^=
д д д
дх
ду
дг
Интегрирование этого уравнения по пограничному слою (вдоль
оси х) дает
дх
ду
дг
Устремим теперь толщину пограничного слоя между средами
1 и 2 к нулю и учтем, что вектор В как физическая величина
(она определяет силу, действующую на частицу) не может тер-
терпеть бесконечных скачков. Это означало бы появление бесконеч-
бесконечных сил. Не могут терпеть бесконечных скачков и тангенциаль-
тангенциальные (вдоль поверхности раздела сред) производные В. В резуль-
результате интегрирования получаем
1$2х Bix = 0,
или в общей форме
Вт=В2„ B.1.8)
т. е. условие непрерывности нормальных к поверхности раздела
компонент вектора магнитной индукции.
Интегрируя аналогичным образом третье уравнение системы
1B.1.5), которое также явно не зависит от свойств среды, нахо-
находим условие непрерывности тангенциальных компонент вектора
напряженности электрического поля:
Е» = Е«. B.1.9)
Выведем теперь граничное условие из последнего уравнения
системы B.1.5). Интегрирование этого уравнения по бесконечно
тонкому пограничному слою дает
где ого — поверхностная плотность зарядов внешних источников.
18
Здесь уже отличны от нуля оба интеграла, поскольку индук-
индукция D, не являясь реальной физической величиной, может испы-
испытывать бесконечные скачки. Обозначая в общем виде
( (*?е + ^*Л йх= f div [n [Dn]] dx = —о,
iJ \ ду дг ) {
получаем граничное условие
D2n—Dm = (J+oo, B.1.10)
где a — поверхностная плотность индуцированных зарядов.
Наконец, аналогичное интегрирование первого уравнения си-
системы B.1.5) приводит к граничному условию
foBt-Bj^Btt-Bu-* -±- (i + i0), B.1.11)
где i0 — поверхностная плотность тока внешних источников, а
i определяется равенством
i=If-dx== I(8°f-+оdx= jidx- {2u2)
Соотношения B.1.8) — B.1.12) представляют собой полную си-
систему граничных условий для уравнений поля B.1.5), дополнен-
дополненных материальным уравнением B.1.7) {либо B.1.1) и B.1.6)].
§ 2.2. Тензор комплексной проводимости
и диэлектрической проницаемости
Обратимся теперь к анализу материальных уравнений для
плазмы, т. е. изучим общий вид и общие свойства функциональ-
функциональных связей B.1.6) и B.1.7) без получения явного вида этих свя-
связей для какой-либо конкретной модели плазмы.
Рассмотрим соотношение B.1.6) и B.1.7) для случая одно-
однородной в пространстве и во времени среды. Однородность во вре-
времени означает, что среда не меняет своих свойств во времени
под действием внешних причин, не связанных с действием элек-
электромагнитного поля. Очевидно, в этом случае ядра интегральных
соотношений B.1.6) и B.1.7) являются разностными функциями
времени и координат, т. е. зависят от t—V и г—г'. Тогда
/<(*, г)= J d/'J dVauit-r, r-r')E5(f, r'), B.2.1)
Di(t9 r)=8o ] df $ dr'wit-f, r-T')Ei(t\ r'). B.2.2)
Электромагнитное поле в среде с помощью разложения в ряд
Фурье можно представить в виде совокупности плоских монохро-
монохроматических волн, зависимость которых от времени и координат
описывается функцией ехр (—icof+ikr) (со — частота, к — волно-
19
вой вектор). В силу линейности уравнений поля достаточно рас-
рассмотреть лишь одну компоненту разложения, т. е. принять, что
E(tf r)=E(G>, k)exp(—Ы+ikr). B.2.3)
Такая же зависимость принимается и для всех других входящих
в уравнения поля величин.
Соотношение B.2.1) при этом запишется в виде
/i (со, к) = / d/' Sdr'aw {t—f, r—г') e~to «'-о-Ик <г'-о Ej (ю, к) t B.2.4)
—00
или
П (со, к)» J dh J Атг hu (tl9 тг) e«i-^« Ej (со, к). B.2.5)
о
Здесь ti = t—V% ri=r—г'. Отсюда сразу же следует, что связь ме-
между амплитудами /г (со, к) и ?j(co, к) имеет вид
/г(со, к) = од (со, ВД(о>, к), B.2.6)
где аи (со, к) = J d^ J drx ^ (/lf гх) е^*-1^ . B.2.7)
о
Величину aij(co, к) называют тензором комплексной проводи-
проводимости среды.
Аналогично вводят тензор комплексной диэлектрической про-
проницаемости среды:
?г-(й), к)=еО8г,(со, к) ?;(о), к), B.2.8)
где
eii (со, к) • J dtt J drx itj (tl9 гг) ё«г-ШгЛ B.2.9)
о
Зависимость этих тензоров от о определяет частотную (вре-
(временную) дисперсию, а зависимость их от волнового вектора к —
пространственную дисперсию электромагнитного поля в среде.
С учетом выражения для электрической индукции B.1.4) из
B.2.6) и B.2.8) легко установить следующую связь между тен-
тензорами Oij(®t k) и 8ij(co, к):
в|/ К к) = 8и + — °и (®, к). B.2.10)
еосо
При этом, естественно, предполагалось, что со=7^О.
А А
Необходимо отметить, что тензоры Gij(t, г) и Eij(ty г) явля-
являются действительными функциями своих переменных, так как они
связывают между собой действительные величины Е(?, г), j(f, r)
и D(/, r). Этого нельзя сказать о тензорах од (о, к) и etj(co, к)
даже как о функциях действительных переменных со и к. Однако
из действительности функций од(?, г) и eij(tf r) следуют опреде-
20
ленные свойства величин а^(со, к) и в<;(со, к). В самом деле из
выражения B.2.9) имеем
в«(©»к) = в^(—со, —к),
Re ви (со, к) = Re ги (—со, —к),
Im е^ (со, к) = —Im га (—а>, —к),
B.2.11)
где Re {eij(со, к)} и Im{e,2j(co, к)}—соответственно действитель-
действительная и мнимая части компонент тензора од(<о>, к).
В случае изотропной среды, т. е. среды, свойства которой оди-
одинаковы в любой точке пространства и в любых направлениях,
тензор диэлектрической проницаемости является функцией лишь
одного-единственного вектора к, причем функцией четной, не
меняющейся при замене к->—к. Тензор е^(со, к) при этом может
выражаться лишь через единичный тензор 6ц и тензор k{kj\ дру-
другие тензоры второго ранга из единственного вектора к составить
невозможно. Поэтому для изотропной среды тензор 8ij(co, к)
можно представить в виде
е«/ К к)- [Ьи- *?') в» (со, k)+ *& г* (со, к). B.2.12)
Это означает, что в изотропной среде из девяти компонент тен-
тензора 8ti (со, к) независимыми являются только две: etr(co, k)
и 8* (со, к) называемые поперечной и продольной диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью соответственно. Смысл этих назва-
названий легко понять, если учесть, что тензор ktkj/k2 при умноже-
умножении на Ej выделяет продольную относительно волнового вектора
часть поля (кЕ), а следовательно, величина е*(со, k) характеризу-
характеризует электромагнитные свойства среды по отношению к продольному
полю. Тензор же ( Ьи ^) при умножении на Ej выделяет по-
поперечную относительно вектора к часть поля [кЕ], т. е. efr(co, k)
характеризует электромагнитные свойства среды по отношению
к поперечному полю.
Аналогично записывается для изотропной среды и тензор ком-
комплексной проводимости:
1Г °1{Р *) <22ЛЗ)
причем на основании соотношения B.2.10) получаем
btr,i (о, k) = 1 + — о*'** (со, k). B.2.14)
Запишем соотношения B.2.11) для изотропной среды:
Re etr>1 (со, k) = Re e^' (-co, k),
B 2 15)
21
Легко показать, что аналогичным соотношениям удовлетворяет и
тензор (Xij(co, k) с заменой Re^Im.
Тензор диэлектрической проницаемости ег\; (со, k) как функция
частоты со, определенная с помощью одностороннего преобразо-
преобразования Фурье B.2.9), является аналитической в верхней полуплос-
полуплоскости комплексного переменного со и поэтому удовлетворяет соот-
соотношению (интеграл Коши)
] й*9
B.2.16)
где 9> означает, что интеграл следует понимать в смысле глав-
главного значения.
Разделив это соотношение на действительные и мнимые час-
части, получим известные формулы Крамерса — Кронига, связываю-
связывающие между собой Re8ij(co, к) и Imeij(co, к):
Re ги (со, к)-в„ = ± ] d«'& lm^'k) . B.2.17)
„К) ] ?
П J^ G)' @
Отсюда следует, что в случае изотропной среды формулы р
мерса— Кронига справедливы как для продольной e*(co, к), так
и для поперечной e*r(co, k) диэлектрической проницаемости,
§ 2.3. Энергия электромагнитного поля в среде
Продолжая изучение общих свойств тензора диэлектрической
проницаемости материальных сред с пространственной дисперси-
дисперсией, рассмотрим вопрос об энергии электромагнитного поля в та-
такой среде. Внешние источники, создающие поле в среде, естест-
естественно, изменяют ее энергию, что обусловлено взаимодействием
электромагнитного поля с источниками, или, иными словами, ра-
работой поля над внешними источниками. Чтобы вычислить эту
работу, умножим первое уравнение системы B.1.5) скалярно на
Е, а третье на В и вычтем одно из другого. В результате полу-
получим
Е^ +*ЧВ^ =c2e0div [EB]-Ej0. B.3.1)
Проинтегрировав это соотношение по некоторому объему F, ог-
ограниченному поверхностью S, найдем, используя теорему Гаусса,
dr (е?? + сЧ0 В?-) = -с2EjdS [ЕВ]- I drEj0. B.3.2)
J
Переходя теперь к пределу неограниченной среды и замечая,
что на бесконечности поля Е и В должны исчезать, первым сла-
слагаемым в правой части соотношения B.3.2) пренебрежем. Вто-
22
рое же слагаемое представляет собой работу поля над внешни-
внешними источниками за единичное время, т. е.
cL4/d*= J drj0 (г) Е (г). B.3.3)
Эта работа, естественно, компенсируется изменением энергии
поля W. Таким образом,
HSi?) B.3.4,
Рассмотрим далее поля Е, В и D в виде плоских монохрома-
монохроматических волн ехр(—i&t+ikr). Учитывая действительность функ-
функций E(t, г), В(?, г) и D(/, r), запишем:
Е (/, г) = Е (со, к) е-^+я* + Е* (со, к) еш-1*. B.3.5)
Аналогично записываются В и D. Подставляя такие разложения
в формулу B.3.4) и производя усреднение по времени, получим
/ *L \ = i0) J dr (ED*—E* D) = i (oV (ED*—E* D), B.3.6)
\ dt ' v
где V — достаточно большой объем среды.
Заметим, что, используя выражение B.3.4) для монохромати-
монохроматических полей вида B.3.5), которые не исчезают на бесконечности,
мы, на первый взгляд, поступаем непоследовательно. Однако это
не так, поскольку, даже если поля остаются конечными и на бес-
бесконечности, при переходе к пределу неограниченной среды поверх-
поверхностный интеграл в правой части соотношения B.3.2) растет го-
гораздо медленнее объемного и им можно пренебречь. Более того, в
формуле B.3.6) введен большой, но конечный объем среды V
ввиду того, что указанное пренебрежение поверхностным интегра-
интегралом остается справедливым и в этом случае.
Подставляя далее в B.3.6) материальное уравнение B.2.8),
получим выражение для средней энергии, выделяющейся в среде
за единичное время:
= itoе0 V [г], (ш, к)—в„ (со, к)] Et E). B.3.7)
При выводе этого соотношения использовано свойство тензора
комплексной диэлектрической проницаемости B.2.11).
e*ij(co, k)=e<j(—со, —к).
Из формулы B.3.7) непосредственно следует, что в единичном
объеме за единичное время выделяется теплота
Qi/y=icoeo[e*ii(iG), к)—ел(<о, к)]?,?•* B.3.8)
Соотношение B.3.8) позволяет сделать весьма важный вывод:
в среде, в которой тензор диэлектрической проницаемости при дей-
действительных о и к является эрмитовским, т. е. e*ij(co, к) =е^(о), к),
23
теплота не выделяется, т. е. Q = 0. Это означает, что плоская мо-
монохроматическая волна в такой среде не поглощается. Таким об-
образом, можно сказать, что за поглощение электромагнитного по-
поля в среде ответственна антиэрмитовская часть тензора диэлек-
диэлектрической проницаемости.
Соотношение B.3.8) принимает особо простой вид и позволя-
позволяет сделать дальнейшие выводы о свойствах тензора диэлектри-
диэлектрической проницаемости для изотропных сред, когда тензор е^со, к)
записывается в виде B.2.12). Для изотропной среды из соотноше-
соотношения B.3.8) получаем
-?- = ^- {Im в' (со, ?)|(кЕ)|2+ е0 Im & (<d, *I[кЕ]|2}, B.3.9)
где Irri8z(cD, k) и Ime'r((o, k) — мнимые части компонент ег((о, к)
и e*r(co, k) при действительных со и к.
Первое слагаемое этого выражения определяет поглощение про-
продольного (невихревого) поля в среде (в котором Е||к), а второе —
поперечного (вихревого) поля (в котором Е±к).
Из соотношения B.3.9) следует очень важное свойство тензо-
тензора 8ij(co, к) для изотропной среды, находящейся в состоянии тер-
термодинамического равновесия. Очевидно, что в такой среде любые
электромагнитные волны должны поглощаться, поэтому Q>0.
Учитывая это, из соотношения B.3.9) получаем, что в термоди-
термодинамически равновесной среде при со>0
Ime*(<o, k)>0, Ime'r(©, *)>0. B.3.10)
Неравенства B.3.10) при использовании соотношения Краме-
рса — Кронига, в свою очередь приводят к интересному выводу
о значениях величин Reetr'*@, k).. Действительно, из соотношений
B.2.17) при учете B.2.15) получаем
T dco'
J
(, )
п 0
Следовательно, в термодинамически равновесной среде
е*М@, Л)>1. B.3.11)
Нарушение любого из этих неравенств приводит к тому, что
возможно изменение знака Q, т. е. возможна перекачка энергии
от среды к электромагнитному полю. В такой среде возникшее
флуктуационным образом поле может нарастать во времени, вы-
вызывая тем самым уменьшение энергии среды. Очевидно, что это
возможно только в том случае, если среда находится в термоди-
термодинамически неравновесном состоянии. Следует, однако, заметить,
что нарушение какого-либо из неравенств B.3.10) еще не явля-
является достаточным условием развития неустойчивости в среде и
нарастания электромагнитного поля в ней. Нужно, чтобы в той
области значений со и к, в которой 1тег<0 и Imetr<0, в среде
могли распространяться электромагнитные волны.
24
При написании формулы B.3.5) электромагнитное поле в
среде считалось строго монохроматическим. Реальное поле в
среде всегда состоит из суперпозиции монохроматических полей с
частотами, близкими к некоторому значению со. Поэтому вместо
B.3.5) необходимо записать
Е (t, г) = Е (со, k, t) e-Ie*H* + Е* (со, к, t) eiG>'-*r, B.3.12)
где Е (со, к, t) — медленно меняющаяся функция времени t.
При этом в разложении Фурье
Е(*,г) = ] с!со'е-*<»''Е(со', г) B.3.13)
— 00
величина Е(о/ г) как функция о/ имеет резкие максимумы вбли-
вблизи !о/=±со. Это означает, что
Е (со, к, /)= ] dco' e*<«-®'»E (cof, к), B.3.14)
о
Е* (со, к, t) = J do/ е-««+«'>* Е* (со', к).
— 00
Учитывая это и аналогичные соотношения для В (со, к, t)y
D(co, к, t) и ограничиваясь членами первого порядка по со'+со в
подынтегральных выражениях, из B.3.4) после усреднения по
времени вместо B.3.6) получим
Т <"аГ> = с*е° {F [В*<К к' ° 5г (й)> к>
+ eofi; (о, к, о а?/(^;к'<) f «в,, ((о, к)+
С/» С@
(«), к, Г) а?<(">;к'° /- @8* (ю, к) + iо80 [е* (со, к)-
—гп (со, к)] ?| (со, к, 0 ?; (со, к, *). B.3.15)
В случае строго монохроматического поля величины Е(со, k, t)
и В (со, к, t) не зависят от t и соотношение B.3.15) переходит в
B.3.7), определяющее энергию, выделяющуюся в единичном объ-
объеме среды за единичное время. При этом отличным от нуля ока-
оказывается лишь последнее слагаемое в правой части B.3.15).
Если же поле не строго монохроматическое, а среда непоглоща-
ющая, то e*ij(co, к)=ея(со, к) и последним слагаемым в B.3.15)
можно пренебречь.
В результате находим
; (<о, к, I) Е, (», к, 0 -?- ш„ (ш, к)| . B.3.16)
25
Величину
и = v Гса 8„ в; (©, к, о вг к к, t)+
+ ео?; (ю, к, О Е, (©, к, О /- <ое„ (о, к) 1 - B.3.17)
* 0@ J
можно рассматривать как среднюю энергию электромагнитного
поля в непоглощающей среде.
В случае изотропной непоглощающей среды выражение
B.3.17) легко приводится к виду
U- ^*о{\№\2 JL<oei(<otft)+ lUdBir x
B.3.18)
Отсюда для термодинамически равновесной среды следуют не-
неравенства
— сое* (ео, к) >0, -?- со (в" (со,*)— —1 >0. B.3.19)
дю да \ ©2 /
При U<0 энергия поля в среде положительна. В неравновес-
неравновесной среде величина U может стать отрицательной и условия
B.3.19) могут нарушаться. Нарушение какого-либо из неравенств
B.3.19) относительно соответствующей волны (продольной либо
поперечной), которую при этом называют волной с отрицательной
энергией, является признаком электромагнитной неустойчивости
среды.
В заключение определим еще одну энергетическую величину,
играющую важную роль в электродинамике материальных
сред и, в частности, плазмы. Очевидно, что диэлектрическая про-
проницаемость 8ij(co, k) является функцией плотности среды рм. По-
Поэтому изменение плотности среды на 6рм приводит к изменению
диэлектрической проницаемости:
а(к) бРм. B.3.20)
Это в свою очередь изменяет энергию электромагнитного поля в
среде:
y6W=VE6D = s0V{EiE-j6e*ij((oy k) +ВДв*Л©, к)}. B.3.21J
Далее будем считать среду -непоглощающей, т. е. тензор eij(co,
к) —. эрмитовским. Тогда из соотношения B.3.21) с учетом
B.3.20) получаем
%- - 80 Е] Е, 8ги (со, к) = е0 Е\ Е, b^f^ бРм. B.3.22)
Эту величину при 6рм->1 можно рассматривать как потенциаль-
потенциальную энергию (с обратным знаком) ^единичного объема среды в
26 I
поле электромагнитной волны. Поэтому если амплитуда волны
E(<d, k, г) неоднородна в пространстве, со стороны высокочастот-
высокочастотного электромагнитного поля на среду должна действовать неко-
некоторая средняя сила
?v = Рм 8° ае°'фм'к) v {Е*г Е})' B>3#23)
Для случая изотропной среды отсюда получаем
Фм
+ Рм j- г*Г (ш' к) V Iе* I2 } . B-3-24)
Фм '
где Е'=к(кЕ)/&2— продольная, a Е'Г=Е—Е1 — поперечная по от-
отношению к волновому вектору к составляющие электромагнитно-
электромагнитного поля.
Наконец заметим, что в плазме обычно используют понятие
плотности числа частиц ЛГадля электронов и ионов соответствен-
соответственно, а=е, и Поэтому формулу B.3.23) удобно записать в виде
Fk« - Na е„ аук) v (Б] В,). B.3.25)
Эта величина очевидно характеризует среднюю силу, действую-
действующую на частицы сорта а.
§ 2.4. Электромагнитные волны в среде
Как известно из общего курса электродинамики, в отсутствие
внешних источников поля в вакууме могут существовать электро-
электромагнитные волны, электрическое и магнитное поля которых зави-
зависят от времени и координат в виде ехр(—ico^ + ikr). В вакууме
ю и к — действительные величины и связаны соотношением
со = &с B.4.1)
Уравнения, связывающие между собой частоту и волновой
бектор волны со (к), называются дисперсионными уравнениями.
Соотношение B.4.1), в частности, является таким уравнением
для электромагнитных волн в вакууме.
Найдем теперь дисперсионное уравнение со (к) для электромаг-
электромагнитных волн в среде. Если среда непоглощающая (как известно
из предыдущего параграфа, для таких сред тензор 8ij(co, k) явля-
является эрмитовым), то со и к, как и в вакууме,—действительные
величины; если же среда поглощающая, то со и к — комплексные
величины.
Рассмотрим, какие существуют нетривиальные решения си-
системы уравнений поля B.1.5) в отсутствие внешних источников.
В предположении зависимости полей от времени и координат в
27
виде плоской монохроматической волны ехр(—ico^+ikr) эти урав-
уравнения записывают так:
I, = -юв„ (со, k) Ei9 (kB) = 0,1 4
[kE] =coB, к% ви (©, k) Ej = 0. J
Из этой системы легко получить систему трех однородных алге-
алгебраических уравнений для компонент поля Е:
1 Ьц—Ь к}— ^ г„ (со, k) j Е, = 0. B.4.3)
Условие разрешимости этой системы однородных уравнений и
определяет возможность существования нетривиальных волно-
волновых решений уравнений поля в среде в отсутствие внешних ис-
источников. Очевидно, это условие имеет вид
с2
= 0, B.4.4
где Л — детерминант системы алгебраических уравнений B.4.3).
Соотношение B.4.4) связывает между собой частоту со и
волновой вектор к для электромагнитных волн, которые могут су-
существовать в среде, т. е. является дисперсионным уравнением.
В случае изотропной среды, тензор диэлектрической проница-
проницаемости которой имеет вид B.2.12), система B.2.3) распадается
на два уравнения:
Е' г1 (со, к) = 0; р2— -J в* (со, ft)! E* = 0, B.4.5)
где E' = k(kE)/&2 — компонента электрического поля Е, парал-
параллельная волновому вектору к, т. е. Е1 — продольное поле, а
Е*Г=Е—Е1 — компонента электрического поля, перпендикулярная
вектору к, т. е. Etr — поперечное поле.
Естественно, что и дисперсионное уравнение B.4.4) для изо-
изотропной среды распадается на два соотношения:
в' (со, к) = 0 ; k2— ^ 8* (со, к) - 0; B.4.6)
первое из них представляет собой услювие существования про-
продольных, а второе — поперечных волн в середе.
В общем случае анизотропной среды дисперсионное уравнение
B.4.4) не распадается на уравнения продольных и поперечных
волн. Следовательно, и электромагнитное поле в среде не явля-
является ни чисто продольным, ни чисто поперечным. Однако в обла-
области низких частот поле Е(со, к) с большой степенью точности
оказывается продольным, т. е. Е(со, k)||k. Условие продольности
поля в анизотропной плазме в каждом конкретном случае будег
обсуждаться подробно в последующих главах. Здесь же отметим,
28
что продольное поле, по определению, является потенциальным,
а для плоской монохроматической волны
Е(о), к)=— /кф(со, к) B.4.7);
\[т. е. Е(/, r)=—Vd>(/, г)]. При этом из последнего уравнения
системы B.4.2) получаем
о, к)=0. B.4.8)
Отсюда находим дисперсионное уравнение продольных, или
потенциальных, волн в анизотропной среде:
8 (со, к) =
Величину е(со, к), определенную соотношением B.4.9), назы-
называют продольной диэлектрической проницаемостью анизотропной
среды. Легко показать, что для изотропной среды, когда тензор
eij(co, k) имеет вид B.2.12), величина е((о, к) совпадает с 8* (со, k).
Следует отметить, что для продольного (потенциального) по-
поля B.4.7)
к)
_. kiGufr.Vk, ф (@> к) = _?2 8о [8 (с0) к)_ ц ф (о)) к) B 4
со
Подстановка этого соотношения в уравнение Пуассона {в по-
последнее уравнение системы B.1.1) для потенциального поля]
при ро=О
&Ф (со, к) = — р (со, к) = —k2 [е (со, к)— 1] Ф К к) B.4.11)
приводит к дисперсионному уравнению B.4.9) с продольной ди-
диэлектрической проницаемостью:
Величину а (со, к) называют поляризуемостью среды.
Как отмечалось, дисперсионное уравнение B.4.4) устанавли-
устанавливает связь между со и к для электромагнитных волн, которые
могут существовать в среде, или, как говорят, для собственных
волн среды. С помощью дисперсионного уравнения можно при
заданном действительном значении к определить комплексную
частоту со (к), или, иными словами, найти спектр частот собствен-
собственных колебаний среды. И наоборот, при заданном действительном
значении со из дисперсионного уравнения можно найти комплекс-
комплексную проекцию волнового вектора к (со) в любом заданном на-
направлении. Эти два подхода соответствуют двум различным по-
постановкам задачи при решении интегродифференциальных урав-
уравнений электромагнитного поля в среде (интегральный характер
29
этих уравнений обусловлен материальным уравнением B,2.2)].
Речь может идти о начальной задаче, когда известно начальное
состояние электромагнитного поля в среде и необходимо иссле-
исследовать его временное развитие, и граничной задаче, когда оп-
определяется пространственное изменение поля в среде при его из-
известном значении на некоторой поверхности. Рассмотрим эти за-
задачи подробнее.
§ 2.5. Начальная задача
Пусть в пространственно однородной неограниченной среде в
начальный момент времени i=0 внешними источниками создано
электромагнитное поле, а в последующие моменты времени (t>0)
внешние источники перестали работать. Рассмотрим изменение во
времени созданного таким образом электромагнитного поля в
среде. Для решения этой задачи недостаточно знания началь-
начальных значений полей Е@, г) и В@, г), необходимо также задать
начальное значение электрической индукции D@, г). Это означа-
означает, что нужно знать всю предысторию поля E(t, г), так как сог-
согласно соотношению
0i(O,r)«eo J df Sdr' 1„ (О—Г, г-г') Ej (Г 9 г*) B.5.1)
— 00
величина D*@, r) определяется полем E(t, r) во все моменты вре-
времени, .предшествующие ?=0, т. е. f <0. Физическая причина не-
необходимости знания предыстории поля Е(?, г) связана с времен-
временной (частотной) дисперсией среды, а именно с инерцией носите-
телей заряда и процессами релаксации.
Таким образом, в начальной задаче электродинамики должны
быть заданы В@, г) и D@, г), рли (что то же самое) В@, г) и
E(tt г) для всех моментов времени t^O. Для решения поставлен-
поставленной так начальной задачи воспользуемся односторонним преоб-
преобразованием Фурье по времени, поскольку уравнения поля в этом
случае справедливы только при t^O
B.5.2)
/, г)= °°$ a dcoe-1^ JdkeikrE(co, k) (Imco =
e-»
E К k) = -1- ] dt4* J dre-»E (t, r).
BяL 0J J
Аналогично преобразуем также электрическую и магнитную
индукции D(ty г) и B(f, r). При этом из уравнений поля B.1.5)
получаем
30
o,k)] = iD(/ = O,k); kB (со, к) = 0,1 B
о>В (со, к) — [кЕ (со, к)] = i В (t = 0, к); kD (со, к) =0. j
Здесь D(t=O, к) и В(/=0, к) — Фурье-образы по простран-
пространственным координатам от начальных значений D@, г) и В@, г):
Система уравнений B.5.3) при учете материального уравне-
уравнения B.2.8) легко сводится к следующей системе трех неоднород-
неоднородных алгебраических уравнений:
Л„ (<о, к) Е, (©, k) = {k4i)-kt kj- ^ е„(в>, ft) j Ej (ю, к) -
= ^ Dt (t - 0, к)-i [кВ (* = 0, к)]|. B.5.4)
Решение этих уравнений имеет вид
где Л (со, к) —определитель системы B.5.4):
Л (©, к) - k2 bi—ki kj- -^ efi (со, к)
B.5.6)
а Лг(со, к) — соответствующее алгебраическое дополнение, кото-
которое зависит от правой части системы B.5.4), т. е. от начальных
значений D @, г) и В @, г).
Подставив решение B.5.5) в преобразование Фурье B.5.2J,
получим поле при произвольных начальных условиях.
Для начального возмущения в виде одной Фурье-гармоники с
заданным к имеем
Л (о, к)
B.5.7)
Приведенный интеграл обычно вычисляют с помощью теории
вычетов путем обхода полюсов в плоскости комплексной перемен-
переменной о). Контур интегрирования, лежащий выше действительной
оси (а^О), замыкается окружностью бесконечного радиуса, при-
причем интеграл по замкнутому контуру определяется суммой выче-
вычетов подынтегральной функции B.5.7) в полюсах, лежащих внут-
внутри контура интегрирования. Полюсы подынтегрального выраже-
выражения определяются нулями определителя B.5.6) *:
Л (со, к)=0. B.5.8)
* Интегрирование выражения B.5.7) при наличии точек ветвления или дру-
них особых точек в подынтегральной функции требует особого рассмотрения.
Их вклад в B.5.7) не приводит к чисто экспоненциальной зависимости поля от
времени.
31
Пусть корни уравнения B.5.8), совпадающего с дисперсион-
дисперсионным уравнением B.4.4), равны ©п(к). Тогда получаем следую-
следующую зависимость поля от времени:
Eft k) ~ S e-i?D»(k)', B.5.9)
п
т. е. поле представляется в виде суперпозиции плоских волн с ча-
частотами, определяемыми уравнением B.5.8).
Корни дисперсионного уравнения con(k) являются комплекс-
комплексными величинами, знак мнимой части которых показывает, уси-
усиливается или затухает возмущение соответствующих частот ReQn
во времени. Если для всех корней мнимая часть 1ш0Л(к)<О, то
члены ряда B.5.9) уменьшаются во времени. При этом величину
бп= |Imo)n(k) | называют декрементом затухания соответствую-
соответствующего монохроматического возмущения. Ясно, что при этих усло-
условиях с течением времени основной вклад в значение напряженно-
напряженности поля дает слагаемое, соответствующее возмущению с мини-
минимальным декрементом затухания.
Если среди корней дисперсионного уравнения есть корень с
Imcon(k)=O, соответствующий член суммы B.5.9) описывает
незатухающие собственные колебания среды. Наконец, если сре-
среди корней есть хотя бы один корень с Imicos(k)>O, колебания
данного типа нарастают во времени. Это возможно лишь тогда,
когда среда находится в неустойчивом состоянии; величину 6S=
= Im(o$(k) ПРИ этом называют инкрементом нарастания колеба-
колебаний. Следует отметить, что появление корней дисперсионного
уравнения с положительной мнимой частью является достаточ-
достаточным условием неустойчивости среды.
Таким образом, корни дисперсионного уравнения B.4.4) on-
ределяют временное развитие начальных электромагнитных воз-
возмущений в среде, обусловленное свойствами самой среды. В этом,
в частности, и состоит важное физическое значение дисперсион-
дисперсионного уравнения и тензора диэлектрической проницаемости в ли-
линейной электродинамике сплошных сред.
§ 2.6. Граничная задача
Дисперсионное уравнение B.4.4) определяет изменение элек-
электромагнитного поля не только во времени, но и в пространстве.
В частности, по корням дисперсионного уравнения можно судить
о характере проникновения и распространения поля в глубь сре-
среды при падении электромагнитной волны на ее границу. С дру-
другой стороны, тензор диэлектрической проницаемости et*i(со, к),
который фигурирует в дисперсионном уравнении B.4.4), строго
говоря, можно ввести только для неограниченной и пространст-
пространственной однородной среды. Однако имеющаяся здесь непоследо-
непоследовательность может оказаться вполне допустимой, когда размеры
среды значительно больше длин волн исследуемых колебаний
32
электромагнитного поля. В этом случае дисперсионное уравнение
B.4.4) будет правильно описывать пространственное изменение
электромагнитных волн на расстояниях от границы, значительно
превышающих длину волны. На таких расстояниях пространст-
пространственное изменение поля определяется свойствами самой среды, а
не конкретными граничными условиями.
Если в начальной задаче мы искали комплексные решения
дисперсионного уравнения соп(к) при вещественных значениях к,
то при, решении граничной задачи обычно определяют комплек-
комплексную проекцию к (со) на заданное направление в предположении,
что со и две другие ортогональные проекции к (со) вещественны.
Пространственное изменение поля при этом определяется выра-
выражением
?(*,г)~ 2е-|ш^(й)г, B.6.1)
п
где кп(со) удовлетворяет дисперсионному уравнению B.4.4).
В общем случае кп (со) — комплексные величины. Если
imknQ(со)>0 (здесь 0 — угол между заданным направлением и
вектором kn(co)), волна затухает в данном направлении, в против-
противном случае волна нарастает. Однако сделать вывод об устойчи-
устойчивости среды на основании знака Im&ne(co) нельзя. Для этого не-
необходимо строго решать граничную задачу и провести тщатель-
тщательный анализ дисперсионных кривых kne {<*>)• Вопрос об устойчи-
устойчивости среды значительно проще исследовать, исходя из началь-
начальной задачи, т. е. решая дисперсионное уравнение B.4.4) относи-
относительно со. Если известно, что среда устойчива, т. е. Imcon(k)<0,
то Im kUQ (со) характеризует пространственное затухание данной
«моды» колебаний в данном направлении, и, наоборот, для не-
неустойчивой среды Im&ne(<u) является характеристикой простран-
пространственного усиления волны с заданной частотой.
В общем случае комплексного к (со) волна вида B.6.1), т. е.
?~ехр(—ico/+ikr), может быть названа «плоской» лишь услов-
условно, так как плоскости постоянной фазы [плоскости, перпендику-
перпендикулярные вектору Rek(со)] в этом случае не совпадают с плоско-
плоскостями постоянной амплитуды [плоскости, перпендикулярные век-
вектору Imk(co)]. Поэтому такие волны называют неоднородными
плоскими волнами в отличие от однородных плоских волн, для
которых указанные плоскости совпадают.
Если волна слабо затухает, т. е |Imk(co) |< |Rek(o>) | (на-
(например, в слабопоглощающей прозрачной среде), с большой сте-
степенью точности можно сказать, что фазовая и групповая скоро-
скорости волны совпадают со скоростями, получающимися при отсут-
отсутствии поглощения (или затухания). Для непоглощающей проз-
прозрачной среды величина
v* = f B.6.2)
2-953 33
характеризует скорость распространения уровня постоянной фа-
фазы (—оt-{-kr=const), ее называют фазовой скоростью волны.
Величина
?jlP = dWdk = VkG) B.6.3)
характеризует скорость перемещения амплитуды (а следователь-
следовательно, энергии) волны, ее называют групповой скоростью. Групповая
и фазовая скорости волны необязательно направлены в одну и
ту же сторону. Угол между vrp и \ф может быть как острым, так
и тупым. В условиях, когда, этот угол острый, говорят о волне
с положительной дисперсией либо о прямой волне, если же угол
тупой, волну называют обратной либо волной с отрицательной
дисперсией. В последнем случае направление распространения
энергии противоположно фазовой скорости волны.
В заключение кратко остановимся на затухании (нарастании)
волн в слабопоглощающих (усиливающих) средах и связи на-
начальной задачи с граничной для таких сред.
В слабопоглощающих средах антиэрмитовская часть тензора
диэлектрической проницаемости, ответственная за поглощение
волн [см. B.3.8)], мала по сравнению с эрмитовокой частью. Это
приводит к тому, что в дисперсионном уравнении B.4.4) мни-
мнимые слагаемые малы по сравнению с вещественными, т. _ е.
1тЛ(со, к) «с Re Л (о, к). Если необходимо знать поведение поля
волны во времени (начальная задача), то приближенное решение
уравнения B.4.4) можно записать в виде *
o)->co(k)+i6(k),
где со (к) —вещественные корни уравнения
Re Л (со, к)=0, B.6.4)
характеризующие спектр частот колебаний, а
б(к)= 1п1А(ш,к) B65)
/ReA((o,k)
до)
—декремент затухания (инкремент нарастания) колебаний.
При 6(к)>0 среда отдает энергию волне, происходит раскач-
ка колебаний. При 6(к)<0 происходит диссипация энергии вол-
волны, энергия среды при этом увеличивается.
Для анализа пространственного затухания волны в заданном
направлении решаем дисперсионное уравнение B.4.4) относи-
относительно kQ (со):
ke (со) = Re ke (со) + i Im ke (со), B.6.6)
* Чтобы не вводить лишних обозначений, комплексную и вещественную
частоты мы обозначаем одной и той же буквой оз. В тех случаях, когда появ-
появляются отдельно Re со и Im со, их обозначаем соответственно 0 и б. Ниже всю-
всюду это записывается также в условном виде (o=6\
34
где Re&9(co)—вещественные корни уравнения B.6.4), а вели-
величина
ImMcoH- ^mA^k) B.6.7)
щ Re Л (со, к)
характеризует затухание (нарастание) волны в пространстве.
Из формул B.6.5) и B.6.7) легко установить следующую связь
между временным и пространственным затуханиями волны:
Imfte = — -^- , 8 (в) = — 0ГР Im &е, B.6.8)
угр F)
здесь vrp(Q)—d(o/dkQ — групповая скорость волны в заданном на-
направлении.
Особенно наглядны формулы B.6.5) — B.6.7) для продольной
волны в изотропной среде, когда Л (со, k)=ez(o), k) [см. B.4.6)].
Для равновесной изотропной среды 1тег(о, &)>0 и волны всег-
всегда затухают как в пространстве, так и во времени, т. е. 6<0 и
Im&e>0. Изменение знака 1т8г(о), k) может привести к измене-
изменению знаков б и Im&ei т- е- к раскачке колебаний или к неустой-
неустойчивости среды. Таким образом, снова приходим к выводу, что
условие Im&*(o), k)<.0 при оз>0 есть признак неустойчивости
среды.
§ 2.7. Электро- и магнитостатика
Выше были изложены общие основы электродинамики сред
с пространственной и временной дисперсией. Имеет смысл специ-
специально остановиться на статическом пределе. Уравнения поля
B.1.1) в статическом пределе (т. е. при— =0) запишутся в
виде
c280rotB = j + j0; divB = 0;
rot E = 0 ; div E = — (р + р0). B-7-1)
Уравнение непрерывности B.1.2) принимает вид
divj=O. B.7.2)
Для решения задач электро- и магнитостатики удобно вводить
понятия скалярного и векторного потенциалов
Е=—grad(D, B=rotA, divA=0. B.7.3)
При этом уравнения поля B.7.1) запишутся в виде
АФ = ~ (Р + Ро)> А А = - J- (J + j0). B.7.4)
Займемся теперь материальными уравнениями, связывающи-
связывающими индуцированные в среде заряды р(г) и токи j(r) с электри-
2* 35
ческим Е(г) и магнитным В (г) полями. Ограничимся рассмотре-
рассмотрением пространственно неограниченных сред. Тогда в линейном
приближении по полям Е и В материальные уравнения можно
записать для Фурье-образов р(к) и j(k) в следующем виде:
р (к) =,8(Уа (к) #ф (к) -&0Тг (к) А{ (к);
U (к) ¦=-eoTi (к) Ф (к) + сЧоПц (к) Л,- (А). B.7.5)
Задача любой конкретной модели среды состоит в определе-
определении коэффициентов связи а (к), Г* (к), Ti(k) и Ш,'(к) в соотноше-
соотношениях B.7.5). Очевидно, что эти коэффициенты должны выражать-
выражаться через компоненты тензора диэлектрической проницаемости
8ij(co, k) в статическом пределе, т. е. при со->0. Поэтому рассмот-
рассмотрим вначале динамический предел с со^О и затем произведем
аккуратный переход к статическому пределу со-Я). В динамиче-
динамическом пределе также введем скалярный и векторный потенциалы,
определив их с помощью соотношений
В = rot A, E - — **- — grad Ф, B.7.6)
dt
и потребовав выполнения условия калибровки divA=0. При этом
для Фурье-образов Е(со, к) и В (со, к) имеем
B = i[kA], ?=koA—1кФ. B.7.7)
Учитывая далее динамическое материальное уравнение B.2.6)
/< = a<j(<o, k)E5 B.7.8)
и уравнение непрерывности
сор—kj=O, B.7.9)
из соотношений B.7.5) в статическом пределе находим искомые
связи:
а (к) = lim -±hi- otJ (со, k) Kj; Щ (k) = lim ^ aa (со, k) — ;
Tt (k) = Л Hm ои (со, k) Kj ; Tt (k) = lim Л Kj au (со, k). B.7.10)
1 80 o)->0 0 1 8
Уравнения поля B.7.4) наряду с соотношениями B.7.5) и
B.7.10) образуют полную систему уравнений электро- и магни-
магнитостатики сред с пространственной дисперсией. Следует заметить,
что при ТгФО и Гг = 0 электрическое и магнитное поля в среде
взаимосвязаны, т. е. статическое электрическое поле, создаваемое,
например, сторонними зарядами в среде, индуцирует магнитное
поле и, наоборот, статическое магнитное поле, создаваемое сто-
сторонними токами, приводит к появлению в среде электрического
поля. Легко видеть, что это должно иметь место в средах с от-
отличной от нуля статической проводимостью оц((йу к).
Если в среде ^(к)=Т{(к) =0, то электрическое и магнитное
поля в статическом пределе не связаны между собой. Именно та-
36
кое положение имеет место для изотропных сред, а также для
термодинамически равновесных сред в классическом пределе (т. е.
при /г->0). Более того, в классическом случае тензор проводимо-
проводимости оказывается конечным в статическом пределе, т. е. при ю->0
(см. задачу 2.3). Поэтому IIij(k)=O, а вместе с тем и j(k)=O.
В результате уравнение для векторного потенциала B.7.4) ока-
оказывается таким же, как и в вакууме, т. е. магнитное поле, созда-
создаваемое сторонними токами j0 (г), не зависит от свойств среды:
AA=--f-jo(r). B.7.11)
Таким образом, магнитостатика классической термодинамически
равновесной среды не отличается от магнитостатики вакуума.
Что касается электростатики классической термодинамиче-
термодинамически равновесной среды, то, согласно B.7.5), уравнение B.7.4) для
скалярного потенциала запишется в виде
во Jdr/8(r-r/)AO(r/)=-po(r). B.7.12)
Здесь функция е(г) связана со статической продольной диэлект-
диэлектрической проницаемостью B.4.12) е@, k) = l+«(k) соотноше-
соотношением
е @, k) = j dre (r) e~ikr. B.7.13)
В заключение еще раз подчеркнем, что в термодинамически
неравновесных средах (а в случае равновесных сред — в кванто-
квантовом пределе) величины Ti(k) и ?г(к) отличны от нуля и, как
следствие этого, статические электрическое и магнитное поля в
среде взаимосвязаны.
Задачи к гл. 2
Задача 2.1. Найти поле статического точечного заряда q, помещенного в
точке г=г0 в произвольной анизотропной однородной среде.
Решение. Плотности заряда и тока в этом случае равны соответственно
Po(r)=?5(r-ro); jo=O. A)
Такой заряд, как было показано в § 2.7, создает в среде статические электри-
электрическое <и магнитное поля, скалярный и векторный потенциалы которых опре-
определяются уравнениями B.7.4)
1). B)
); А()Н)
Эти уравнения записаны для Фурье — образов потенциалов
Ф (г) = j dkeikrФ (k), A(r) = JdkeikrA(k), C)
причем
же p(k) и j(k) связаны с Ф(к) и А (к) матариалыными уравнениями
.B.7.5). Из системы B) при этом находим скалярный и векторный потенциалы
37
электрического и магнитного полей, создаваемых статическим зарядом в среде:
Ф (к) = ро(Ю , А (к) = -р- [6и V - Пц (к)]-* Tj (к) Ф (к). E)
(
Здесь
8» = б @, к) + р* р ft (к) [» Ьи -- Пи (к)]-1 Г/ (к), F)
причем е@, k)=?i&j8ij(O,k)/&2 — статическая продольная диэлектрическая про-
проницаемость.
Окончательно для скалярного потенциала точечного заряда в простран-
пространстве координат получаем
eik(r-r0)
Ф(г)=-5_ Jdk^ . G)
BяK J (?)*2
Заметим, что эту формулу приближенно можно обобщить на случай осцилли-
осциллирующего заряда q(t) ~е~*®г, если только частота достаточно мала и создавае-
создаваемое зарядом поле можно считать квазистатическим:
?28(co,k)eo
Здесь
Г(©, к) = 8 (со, к) + —г—[Г ?i С®» к) ^2 e*J - п«/ (°)' кI"~Х т* (ш> к) •
С2 80 Л2
где е(о, k)=?i&i8tj((o, к)/^2, а ^(оэ, к) 171* (<о, к) и Ilii (со, к) определяются форму-
формулами B.7.10) без перехода к пределу оо-Я) (но при малых со). Для случая изотроп-
изотропной среды ib((d, k)=e(©, к) =ier(o>, к) для произвольных частот о, а поэтому и
формула (8) справедлива для произвольных о.
В вакууме ^(к) = 1 и -из G) получаем хорошо известный кулоновский по-
потенциал
где R=r—г0. Если в среде {5(к) = 1+&-2/~-2ЭКр, то потенциал экранированный:
Ф(г) = —П^е-^экр, О1)
где Гэкр — радиус экранирования. Именно такое положение имеет место для
термодинамически равновесной плазмы в классическом пределе, причем raKp=/'D
(см. задачу 1.2). Наконец, если в среде е(&) = 1— &02&~> то
т. е. поле статического заряда в такой среде носит периодический характер
((ниже на примере плазмы показывается, что это является признаком неустой-
неустойчивости неравновесной плазмы).
Задача 2.2. Найти магнитное поле, создаваемое линейным стационарным
током в изотропной и однородной среде.
Решение. Совмещая ось OZ с направлением тока, имеем
), ро=О, A)
где ez — единичный орт по оси OZ.
38
Разлагая все величины в ряд Фурье
A(r)= jdkeikrA(k)
и представив для удобства jo(r)=lim jo(r)e~i«i, из уравнений поля
со-» о
-~
в'} Е, (со, k) = - \ы (со, к); B)
+
[кВ(со, &)]=0; [кЕ(со, 6)]=coS; е*[кЕ(со,
находим
i eikr[kj0(k)]
В (г) = - —— lim f dk ^2 . C)
c2e0@^oJ k2 e'r(co6)
c2
Здесь jo (к) —Фурье-образ плотности тока jo (г), т. е.
В вакууме etr=\ и из C) получаем
где вф — единичный орт в азимутальном направлении.
Выражение D) справедливо для любой среды, в которой
^ eir (©,Л) = 0. гE)
2
Такое положение имеет место для классических сред, находящихся в состоянии
термодинамического равновесия (см. задачу 2.4). Нарушение условия E) яв-
является признаком «еравновесности среды. Таким образом, в классической тер-
термодинамически равновесной среде магнитное поле статического тока не отлича-
отличается от поля, создаваемого этим током в вакууме. Для переменного во време-
времени тока это утверждение, однако, уже неверно, что видно из выражения B),
справедливого, кстати говоря, при произвольном значении частоты тока со.
Задача 2.3. Установить связь между распространенной формой записи урав-
уравнений поля
rot Н = dP° + j . div в = о,
дг
ав
rotE = — — ; divD0 = p0 A)
°J
и материальных уравнений изотропной и однородной сред
t
В(/,г) = р,0 j dr Jdr> (/ — /', г-г') Я (/',г');
De (*,!•) = во j ctf'Jdr'e^ (/-/', г-г') ?(/',r'), B)
используемой нами формой B.1.5) и материального уравнения B.2 2) (для
изотропной и однородной среды).
39
Решение. Запишем уравнения A) для полей вида ~ ехр(—1соЖкг):
![кВ(@>кчI = - ко е0 екл (со, *) Е (со, к) + Jo (со, к), кВ (со, к) = О,
[к Е (со, к)] = со В (со, к), i е0 кЕ (со, к) еКЛ (<о, *) = Ро (со, к), C)
где
В (со, к) = [i0 (А (о), k) Н (со, к), Do (со, к) = е0еКЛ (со, k) E (со, к)
I* (©, *) = йо I dti Idfi I* Vi> fi) ei * '1"lkrs
о
екл (со, k) = e# J d/x Jdrx 8КЛ (*i, ri) e! * /4"lkri. D)
0
Величину вкл(со, k) называют диэлектрической проницаемостью, а р/(со,
^) —магнитной проницаемостью среды.
Для полей такого вида уравнения BЛ.5) в случае изотропной и однород-
однородной среды записывают так:
е' ] ?/ (о), к) + /в, (со, к), E)
кВ (со, к) = 0, [кЕ (со, к)]* = ©Вг (со, к), i e0 kjEj (со, к) в' = р0 (со, к).
ьное уравнение B.2.8)
Из уравнений C) и E
екл (со, 6) = е* (со, /г),
Здесь использовано материальное уравнение B.2.8), в котором ег^(со, k) опре-
определяется формулой B.2.12). Из уравнений C) и E) следует, что
Согласно теореме Бора — Ван-Левен, статическая магнитная проницаемость
термодинамически равновесной среды в классическом пределе (т. е. при h -Я))
равна единице^^ е. ц@, k) = \. Это означает, что для термодинамически рав-
равновесных сред в классическом пределе (для классических моделей сред) тен-
тензор диэлектрической проницаемости «гДсо, к) при со-Я) не может иметь полюса
выше первого порядка.
Можно было дать иное определение еКл(со, k) и р,(со, k), потребовав, чтобы
потенциал высокочастотного точечного заряда в среде отличался от потенциала
заряда в вакууме множителем 1/еКл(со, &), а магнитное поле высокочастотного
линейного тока от поля в вакууме — множителем |х(со, k). При этом, исполь-
используя формулы F) и B) из рассмотренных выше задач 2.1 и 2.2 соответствен-
соответственно, получаем
В статическом пределе (ю-Я)) соотношения F) и G), как и следовало
ожидать, тождественно совпадают. Это подчеркивает неоднозначность опреде-
определения величины р,(со, k)t имеющей физический смысл магнитной проницаемости
лишь в статическом пределе.
Задача 2.4. Вычислить потери энергии быстрой заряженной частицы, дви-
движущейся в изотропной и однородной среде.
40
Решение. Плотности заряда и тока составляют
ро=<7б(г—vO, Jo
е~' tt'+i kr
где v — скорость движения заряда
Разлагая все величины в ряде Фурье
А (*, г) = j dco Jdk А (со, к)е
запишем уравнения поля
(to2 } ico
**6и -hk)-— etj (ш, к) ^ («.*> = —гhi (о, к),
С* ) 80 С
где
jo(co,k) = -~—6(co-kv).
В изотропной среде уравнения C) принимают вид
Умножив это уравнение скалярно на к, получаем
кЕ (со, k) = - —l-j kj0 (со, к).
С0 СОо
Используя это выражение, из E) находим
1@
B)
C)
D)
E)
F)
/oi(co,k); G)
Bя)"е,
Jdk
exp ik (г — vQ
(8)
Здесь при интегрировании по ш использовано соотношение D).
Потери энергии движущейся частицы, очевидно, определяются работой, про-
производимой силой торможения, действующей на частицу со стороны создаваемо-
создаваемого ею электромагнитного поля, т. е. работой силы Лоренца. Работа этой силы»
определяемой B.1.3), на единичной длине пути в среде составляет
W= —
el (kv, k)
(9)
41
Это выражение можно записать в виде суммы:
W=Wl+Wtr, A0)
где
codco f
о
3(десь введены обозначения w = kv, |2=&2—со2/с2 -и учтены соотношения B.2.15).
Следует отметить, что вклад в интегралы A0) дают не только области со
и К в которых Imez(<o, k)t Imetr(co, k) отличны от нуля и происходит суще-
существенное поглощение поля, создаваемого зарядом, но и области, в которых
мнимые части ez(o), k) и etr(w, k) пренебрежимо малы, но Ree'(co, k) и
Re[ifc2—oJ/c28fr(co, k)] могут обращаться в нуль, а подынтегральные выражения
имеют полюсы. В этих областях происходит возбуждение продольных и попе-
поперечных электромагнитных волн движущимся зарядом. Для термодинамически
равновесных сред, в которых 1т8*(оо, &)>0 и 1т8*г(ю, &)>0, эту часть по-
потерь энергии быстрой частицы можно записать в виде
Здесь учтено известное соотношение
lim Im = —лд(х).
Таким образом, величины &W1 и A№tr представляют собой потери энергии
быстрой частицы на возбуждение в среде продольных и поперечных электро-
электромагнитных волн. Часто эти величины называют также поляризационными и че-
ренковскими потерями соответственно.
Заметим, что в случае изотропной ллазмы в условиях пренебрежения про-
пространственной дисперсией е*=е*г=1—<о2ье/со2 (как показано в гл. 4, это спра-
справедливо при ю>&уТе). В этом случае
r = 0;
При вычислении интеграла учтено, что |^ах = (»le/v%e.
Задача 2.5. Считая внешние заряды и токи первопричиной воздействия на
среду, а электрическое и магнитное поля откликом этого воздействия, за-
записать материальные уравнения и соответствующие дисперсионные соотно-
соотношения. Рассмотреть случай однородной среды.
Решение. Материальное уравнение в этом случае следует писать в виде
1 '
Я*(г,*)=— 1 #' $dr' \Tj[ (t-t',r-r')fOJ(t',r'). (I)
42
Отсюда
Е( (о, k) = Л^ (со, k) joj (to, k),
ЛГ.1 (со, к)= jd^ Jd^A^1 (/i.rje1®'»-1^. B)
о
Очевидно, Aij((o, ^) совпадает с определением B.5.4) и удовлетворяет диспер-
дисперсионному соотношению
(о' —
Для изотропной среды, когда 8ij(©,k) определяется выражением B.2.12), от-
отсюда, в частности, следует дисперсионное соотношение для функции 1/ег(со, k):
1 , * °с . ^ \^Ы (w' k)] — \
—. — — 1 = — dw' & . D)
8 (СО, k) JXl J^ (О — СО
При со-Ч) отсюда следует неравенство 1/е^@, ^)<1, которое не противоречит
B.3.11), но является более общим, поскольку допускает существование отрица-
отрицательных 8* @, k).
Глава 3. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
ПЛАЗМЫ
§ 3.1. Простейшие модели
плазмы
В процессе развития представления о
плазме как о газе заряженных частиц менялись и методы ее ко-
количественного описания. Самые первые и наиболее простые мо-
модели количественного описания представляют плазму как систе-
систему не взаимодействующих между собой заряженных частиц, сво-
свободно движущихся во внешних полях. При этом, если плазма со-
состоит из Na частиц сорта а, которые находятся в беспорядочном
тепловом движении, необходимо решить 2iVa уравнений движе-
движения с заданием такого же числа начальных условий, т. е. коор-
координат и скоростей частиц. Естественно, что невозможность реше-
решения столь большого числа уравнений и точного задания на-
начальных условий делает эту задачу невыполнимой. Существенное
упрощение достигается только в случае пренебрежения тепловым
разбросом скоростей частиц, т. е. при рассмотрении движения
так называемой «средней частицы», которая находится в покое в
отсутствие внешних сил. Термин «средняя частица» имеет тот
смысл, что скорость беспорядочного теплового движения, усред-
усредненная по всем частицам плазмы, равна нулю. Подобная простая
модель независимых частиц полностью пренебрегает
43
не только взаимодействием между частицами, но также тепловым
разбросом скоростей частиц.
Для нахождения скорости заряженной частицы плазмы в мо-
модели независимых частиц решают уравнения движения частицы
сорта а, которые записывают в виде
if =v«>^^a{E+[VaB]} + gma, C.1.1)
где ра = АпКа/ V 1 — Vale2 —импульс частицы сорта a, a ga —ус-
—ускорение, вызываемое неэлектромагнитными силами. Такой си-
силой может быть, например, гравитационная сила (поле тяжес-
тяжести). В плазменных задачах, однако, этой силой, как правило, мо-
можно пренебречь. Наличие поля g, аналогичного в известном смыс-
смысле полю тяжести, может быть обусловлено в плазме кривизной
силовых линий магнитного поля. В результате свободного тепло-
теплового движения частиц вдоль силовых линий магнитного поля с
отличной от нуля кривизной возникает центробежная сила попе-
поперек магнитного поля с эквивалентным полем g^v2TJ^Ro(vTa —
средняя тепловая скорость частиц; i?o — радиус кривизны сило-
силовых линий магнитного поля).
Поле g может быть обусловлено также столкновениями заря-
заряженных частиц данного сорта с другими частицами. Ясно, что
возникающую вследствие столкновений силу можно интерпрети-
интерпретировать как силу трения
g=-vap(Va-Vp),
где vap —эффективная частота столкновений заряженных частиц
сорта а с частицами сорта р, когда аф$.
В уравнениях C.1.1) магнитную индукцию В и электрическое
поле Е считать заданными, строго говоря, нельзя, поскольку они
включают в себя индуцированные в плазме поля, обусловленные
движением заряженных частиц. Поэтому необходимо решать са-
самосогласованную задачу, т. е. уравнения C.1.1) решать совмест-
совместно с уравнениями поля B.1.1), в которых плотности индуциро-
индуцированного заряда и тока составляют
Р= 2tfaea,j- %еаЫаУа. C.1.2)
a a
Здесь Va удовлетворяет C.1.1), a Na в силу закона сохра-
сохранения B.1.2) в модели независимых частиц — уравнению непре-
непрерывности
dNJdt+divNaVa = O, C.1.3)
Модель независимых частиц, как отмечалось, не учитывает
теплового движения и корреляцию движения частиц, поэтому
применимость ее для описания плазмы ограничена. В частности,
модель независимых частиц может быть применима только к силь-
44
но разреженной плазме, в которой движения частиц практичес-
практически не коррелированы.
В обратном предельном случае плотной плазмы, когда дви-
движения различных частиц настолько сильно коррелированы меж-
между собой, что плазму в целом можно рассматривать как ней-
нейтральную проводящую жидкость, используют гидродинами-
гидродинамическую модель. В этой модели не делается различий между
электронной, ионной и нейтральной компонентами; они ведут се-
себя как единое целое, образуя сплошную среду. Для описания
движения такой среды используют самосогласованную систему
уравнений магнитной гидродинамики:
-J-J draddiv V
M,
C.1.4)
— = rot [VM В]—с2 е0 rot f — rot В
dt V a
divB^O,
где рм — плотность проводящей жидкости (плазмы) с проводи-
проводимостью or; VM — скорость плазмы; g и ц — коэффициенты вязкости.
Эта система должна быть дополнена уравнением состояния и
уравнением переноса теплоты:
р=р(Рм, Г),
. C.1.5)
где s(pM, T)—энтропия единицы массы плазмы, % — теплопро-
теплопроводность, a Gij — вязкий тензор напряжений:
~\ 8wdivVM) +IS«div VM. C.1.6)
5мл { +
В магнитной гидродинамике проводимость а и теплопровод-
теплопроводность % плазмы, а также коэффициенты вязкости g и т) считают
заданными (их вычисление выходит за рамки магнитной гидро-
гидродинамики). Что касается уравнения состояния р(рм, Т) и выра-
выражения для энтропии s(pM, Г), то в случае полностью ионизован-
ионизованной электроно-ионной идеальной плазмы они даются формулами
м -¦-tiir]a-?i-- (ЗХ7)
где Z — зарядовое число (отношение заряда иона к заряду элек-
электрона); М — масса ионов плазмы.
Магнитная гидродинамика, кроме того, что содержит ряд фе-
феноменологических величин — коэффициентов переноса а, Я, g и rj,
45
которые требуют независимого определения, к реальной плазме
(как газовой, так и твердотельной) вряд ли применима. Она, так
же как модель независимых частиц, не учитывает теплового дви-
движения частиц плазмы и считает их движение настолько сильна
коррелированным, что пренебрегает различием между отдельны-
отдельными компонентами плазмы. В связи с этим в литературе часто ис-
используются различные модифицированные гидродинамические
уравнения, называемые также квазигидродинамическими. Это-
двухжидкостные (для электронной и ионной жидкостей)
или трехжидкостные (для электронной, ионной и нетраль-
нетральной жидкостей) модели, феноменологически учитывающие вза-
взаимодействие частиц и их тепловое движение.
Подобные простые модели являются приближенными и для
своего обоснования требуют использования более общей модели
плазмы как ионизованного газа. Наиболее общей моделью явля-
является кинетическое описание плазмы, основанное на статистических
представлениях о плазме как о системе большого числа частиц.
В дальнейшем будем пользоваться в основном общей кинети-
кинетической моделью плазмы и лишь в отдельных случаях — уп-
упрощенными гидродинамическими уравнениями, обосновывая пред-
предварительно законность такого приближения.
§ 3.2. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем
В кинетической теории газов используют статистическое (ве-
(вероятностное) описание системы частиц. При этом вводят функ-
функцию распределения, характеризующую вероятность нахождения
частицы в определенном состоянии в заданный момент времени
t в заданной точке пространства г. Если состояние частицы сор-
сорта а характеризуется импульсом ра и ее энергия однозначно оп-
определяется этим импульсом <§Га(р), то функция распределения
является функцией координат р, г и /, т. е. fa=/a(p, r, t). Вели*
чина /а(р, г, /)dpdr представляет число частиц сорта а в момент
времени t в фазовом интервале rfpdr, а плотность частиц в точке
г, t дается выражением
J d р fa (р, г, t) = Na (г, t). C.2.1)
Часто это соотношение называют условием нормировки функции
распределения.
Зная функцию распределения, можно найти среднее значение
любой физической величины, например среднюю скорость и сред-
среднюю энергию частиц сорта а:
е« (г, t) =
46
= fg(p)/tt(P.r,f)dp {3
Для отыскания функции распределения применяют кинетиче-
кинетическое уравнение. Для сильно разреженного газа в первом при-
приближении взаимодействием между частицами можно пренебречь,
считая их полностью независимыми. В этом приближении изме-
изменение распределения частиц в объеме фазового пространства око-
около точки р, г возникает только вследствие втекания и вытекания
частиц через поверхность, ограничивающую такой объем. Если в
объеме не происходит рождения и гибели частиц, то функция
/«(р, г, I) не меняется во времени, следовательно,
d/,(M,0 gjk Jk,^+ik.^=Q. (з.2.3)
dt dt дра dt dra dt * '
Это уравнение называют уравнением Лиувиля или уравнением
непрерывности для функции распределения частиц сорта а.
Замечая далее, что согласно уравнениям движения частиц
dpa/d*=Fa,dra/#«v, C.2.4)
кинетическое уравнение C.2.3) можно переписать в виде
Величина Fa представляет собой силу, действующую на ча-
частицу сорта а.
В случае заряженных частиц сила Fa определяется формулой
Лоренца
Fa = *>a{E+[vB]}, C.2.6)
поэтому кинетическое уравнение C.2.5) для заряженных частиц
сорта а запишется следующим образом:
+ v + е
1Г 1 f
Здесь E(r, t) и В (г, t) —электрическое и магнитное поля в точке
нахождения частицы.
При получении уравнения C.2.6) предполагалось, что эти по-
поля заданы. В действительности они определяются из уравнений
поля B.1.1), в которых в качестве р и j фигурируют выражения
Р = 2 еа J U (р, г, 0 dp; j = 2 М vk &> r' ^ dp* C'2*8)
a a
Суммирование в этих выражениях распространяется по всем сор-
сортам заряженных частиц в газе.
Ясно, что введенные таким образом поля Е и В являются са-
самосогласованными, поскольку из уравнения C.2.7) получается та-
такое распределение частиц fa, которое вызывает появление элек-
электромагнитных полей, поддерживающих это распределение. По-
Поэтому уравнение C.2.7) называют кинетическим уравнением с са-
самосогласованным полем или уравнением Власова.
47
§ 3.3. Кинетическое уравнение Больцмана
В предыдущем параграфе при выводе кинетических уравне-
уравнений мы полностью пренебрегли взаимодействием частиц между
собой, считая их свободными. Другими словами, органичились
рассмотрением изменения функции распределения в нулевом при-
приближении по параметру взаимодействия г), представляющему со-
собой отношение средней потенциальной энергии взаимодействия
частиц к кинетической энергии их свободного движения. Учет
взаимной корреляции в движении частиц приводит к появлению
отличной от нуля правой части уравнения C.2.5):
^ + у-$ч-Рв-*--Ш , (З.зл)
* ^ дг Т « дра { dt )st
которую называют интегралом столкновений. Интеграл столкно-
столкновений описывает изменение функции распределения вследствие
столкновений частиц. При этом в первом порядке по параметру
взаимодействия ц учитываются лишь парные столкновения час-
частиц; слагаемые более высокого порядка учитывают тройные, чет-
четверные и т. д. столкновения. В газах вследствие малости парамет-
параметра г] достаточно ограничиться учетом лишь парных столкновений
частиц, записав интеграл столкновений в виде суммы
в которой отдельные члены описывают столкновения частиц дан-
данного сорта а с частицами сорта р. Кроме того, далее ограничимся
рассмотрением лишь упругих столкновений, не вызывающих из-
изменения структуры частиц. Вообще же в плазме возможны также
неупругие столкновения, приводящие « возбуждению и ионизации
частиц. Однако в линейных электродинамических процессах опре-
определяющую роль играют именно упругие столкновения.
Пусть р , рр и р'а, р70 — соответственно импульсы сталкиваю-
сталкивающихся частиц а и р до и после столкновений (рис. 3), а №(ра,
Р$; Р'а> р'р) — вероятность упругого рассеяния Ра+Р/з^Р'а +PV
Тогда изменение функции распределения частиц сорта а в ре-
результате столкновений с частицами сорта р можно записать в виде
dppr (Pa>pp; р«>рр) tf«fe»L
-fa(Pa)h(P;))- C.3.3)
Это выражение с учетом законов сохранения импульса и энер-
энергии сталкивающихся частиц известно как интеграл упругих стол-
столкновений Больцмана. Задача теории интегралов столкновений со-
состоит в вычислении вероятности рассеяния W(pa, p^; р7а, р' р).
Будем вычислять эту вероятность квантовомеханическим спосо-
48
бом, так как он обладает боль-
шей наглядностью, чем классиче-
классический. Предположим, что потенци-
потенциальная энергия взаимодействия
двух частиц в газе есть функция
лишь мгновенного расстояния
между ними: рис 3 диаграмма раСсеяния частиц
U (k) = — Г drf/ (|r|) e-ikr C-3-4^
Здесь U(к) —Фурье-образ потенциала взаимодействия ?/(г), кот
торый зависит только от вектора к.
Вычисление вероятности рассеяния двух частиц в условиях,
когда энергия их взаимодействия мала по сравнению с кинетиче-
кинетической энергией, согласно квантовой механике, сводится к вычис-
вычислению матричного элемента взаимодействия по невозмущенным
состояниям в начале и в конце процесса, т. е. по волновым функ-
функциям началыюгег ir конечного состояний. Такое приближение на-
называют борновским приближением теории возмущений, причем
оно справедливо, если |?/|ro<Cfti> (г0— радиус действия потен-
потенциала U(г), a v — скорость рассеиваемой частицы). В борнов-
ском приближении
^=^1^Ра,РЭ,;Р;, р|2б[(*;+^)-(?а+ад, C.3.5)
где ?/ра, рр; р^, р'р — матричный элемент потенциала взаимодей-
взаимодействия по волновым функциям свободных частиц с импульсами ра
и рр в начальном состоянии (до рассеяния) и р^ и р^— в ко-
конечном состоянии (после рассеяния).
Согласно квантовой механике, волновая функция нерелятиви-
нерелятивистской свободной частицы с импульсом р и энергией S> = p2/Bm)
в однородной среде имеет вид плоской волны
) C.3.6)
где Л=Bя11)~3 — постоянная нормировки (напомним, что вол-
волновая функция свободной частицы нормируется на б-функцию).
Учитывая C.3.4), для матричного элемента рассеяния имеем
UPa ,рр . Р; .Рр = I dkt/ (k) <P; |eikr« |р„> <р? |e-ikrP |рэ). C.3.7)
Здесь (ра 1е1кГа |ра) означает матричный элемент оператора etkr<*
по «волновым функциям начального и (конечного состояний
одной частицы сорта а, т. е. по функциям C.3.6). При вычисле-
вычислении этого матричного элемента следует учитывать, что частицы
свободно движутся в плазме, поэтому в момент времени /, для
49
которого проводятся вычисления, положение частицы определя-
определяется соотношением ra=rao+vaf. Учитывая это, получаем
(г су 9
^-^-hkva). C.3.8)
Аналогично вычисляют и матричный элемент (р$ | е
Используемое приближение, как легко понять, представляет со-
собой известное борновское приближение в теории рассеяния. Не-
Нетрудно видеть, что соотношение C.3.8) учитывает законы сохра-
сохранения импульса и энергии при рассеянии: частица сорта а с им-
импульсом ра излучает «квант взаимодействия» и переходит в сос-
состояние с импульсом р'а=ра—Ш (см. рис. 3); этот квант погло-
поглощается частицей сорта р с импульсом р#, которая переходит в со-
состояние с импульсом р/{5=Рэ+^к. Таким образом, импульс «кван-
«кванта взаимодействия» равен Ap = hk, а энергия hkva —--йкур.
Подставляя C.3.7) и C.3.5) в C.3.3), после несложных преоб-
преобразований окончательно получаем выражение
, ^ О~ АХ
dt ч
_ fL _ A] \f
2та 2т, \ ^
(Pa) h (Рд-fa (Pa-ftk) /3 (рЭ + Лк)], C.3.9)
в котором законы сохранения импульса и энергии учтены.
Выражение C.3.9) в рамках применимости борновского при-
приближения является общим, так как получено без каких-либо ог-
ограничений закона взаимодействия частиц (кроме малости энер-
энергии взаимодействия по сравнению с кинетической энергией ча-
частиц). Упростим это выражение путем перехода к классическому
пределу hk<Cpa, p#, т. е. в предположении малости передаваемого
при рассеянии импульса «кванта взаимодействия». Это предполо-
предположение, кстати, находится в соответствии с предположением ма-
малости энергии взаимодействия частиц — в результате такого
взаимодействия изменение импульса должно быть малым.
Разлагая подынтегральное выражение C.3.9) по степеням ftk и
учитывая, что U (к) зависит лишь от модуля вектора к, получаем
где /«3 =я J dk BяK|(/ (к)|2 б (И kt kj =
C.3.11)
a u=va-~V0 —относительная скорость сталкивающихся частиц.
Используя далее выражения C.3.10) и C.3.11), кинетическое
уравнение C.3.1) для функции распределения частиц сорта а с
50
учетом ближних столкновений со всеми частицами сорта р (где
р, в частности, может совпадать с а) запишем в виде
kiti %-*•'•)• <3312)
где 0„ = 2 Г*//()/()
C.3.13)
= 2
— соответственно коэффициенты диффузии и трения в простран-
пространстве скоростей.
Приведенное кинетическое уравнение часто называют также
уравнением Фоккера — Планка.
Полученные интеграл столкновений C.3.10) и кинетическое
уравнение C.3.12) пригодны при оговоренных условиях для лю-
любого газа, поскольку в них не конкретизирован закон взаимодей-
взаимодействия частиц U (г) (или U(k)). В частности, ими можно пользо-
пользоваться для плазмы с любой степенью ионизации, если известны
законы парного взаимодействия частиц между собой.
§ 3.4. Интеграл столкновений заряженных частиц
Воспользуемся теперь полученными общими соотношениями
для полностью ионизованной плазмы, в которой существенны
лишь столкновения заряженных частиц между собой. Чтобы най-
найти энергию взаимодействия двух заряженных частиц в плазме,
вычислим потенциал, создаваемый заряженной частицей сорта а,
движущейся равномерно со скоростью va, т. е. ra=rOa+va/. Для
нахождения потенциала поля заряда будем исходить из уравне-
уравнения Пуассона:
divD = ea6(r-ree-veQ. C.4.1)
Переходя к Фурье-представлению по пространственным перемен-
переменным и используя материальное уравнение B.2.8) для потенциала
поля (Е=—УФ), создаваемого движущейся частицей, получаем
ф(|гв—П)= —$*- J dk ь *'к(Г?~Г)|л • (ЗА2>
Здесь eij (kva, к) — тензор диэлектрической проницаемости плазмы.
Очевидно, что искомая энергия взаимодействия частиц сортов
аир составит
е еа Л*кг
1/(г)=л»Фа= ^lJ. f dk . C.4.3)
51
Отсюда для Фурье-образа потенциала взаимодействия имеем
U (к) = -iifL \ — . C.4.4)
е0 BяK k% kj ea (kva, к)
Подставляя C.4.4) в C.3.11), в случае полностью ионизован-
ионизованной плазмы получаем
г dk Bд)з W^q-^Д) . C.4.5)
J V ' IM/efj(kv,k)|»
Если в выражении C.4.5) положить &ц=дц (т. е. взаимодей-
взаимодействие частиц в плазме отождествить с взаимодействием в ваку-
вакууме) и устранить расходимость, «обрезая» интегрирование на ниж-
нижнем (k>kmin) и верхнем {k<kmax) пределах, то получим извест-
известную формулу Ландау:
8яе0 "
где L—\n\kmax/kmin\ — так называемый кулоновский логарифм,
введенный^Ландау.
Такое «обрезание» на нижнем пределе по k соответствует
предположению, что взаимодействие между частицами плазмы
является чисто кулоновским лишь на малых расстояниях г^
^rmax=—l/*min; на расстояниях r>rmax взаимодействие экра-
экранируется вследствие поляризации плазмы, причем в термодина-
термодинамически равновесной плазме радиус экранирования совпадает с
дебаевским радиусом, т. е. гтах=ГэЯ^\^гоТ/(е2Ы). «Обрезание»
же на верхнем пределе по k соответствует тому обстоятельству,
что при очень малых расстояниях, когда г<гтш=1/?тах, энер-
энергия кулоновского взаимодействия частиц становится больше их
кинетической энергии свободного движения и нарушается условие
применимости теории возмущений. Поэтому rmin следует опреде-
определить из соотношения е2/Dяео>*т1п) «Г. Таким образом, Ьж
я^ In Г 2 • 10*—щ j и в широких пределах изменения параметров
плазмы L» 10—20. В дальнейшем эту величину будем считать по-
постоянной *.
Следует отметить, что формула C.4.5) автоматически учи-
учитывает дебаевское «обрезание» взаимодействия частиц на боль-
больших расстояниях, обусловленное поляризацией плазмы, и тем са-
самым обосновывает формулу Ландау C.4.6). На малых же рас-
расстояниях (больших k) эта формула не устраняет расходимости.
Строго классическое обоснование «обрезания» на малых расстоя-
расстояниях r<rmax^e2/DпеоТ) является следствием учета тройных стол-
столкновений частиц в плазме. В квантовом рассмотрении, однако,
появляется еще один параметр «обрезания», обусловленный прин-
* Строго говоря, это выражение для L справедливо лишь при g>l <>>&<?, со;
Qe=eB/m. Если данное условие не соблюдается, в формулу для L вместо гъе —
=t/Te/coLe следует подставить /тах = 0т е/(тах(о), пе)).
52
ципом неопределенности rp~rvTm>ti и равный дебройлевской
длине волны свободной частицы, т. е. r>rminttXp — —. Оче*
видно, что в общем случае
rmin = max]—-— ,
Только при очень высоких температурах, когда e2<ChuT, мини-
минимальный радиус взаимодействия определяется дебройлевской
длиной волны.
Суммируя сказанное, кинетическое уравнение для заряжен-
заряженных частиц в полностью ионизованной плазме с учетом кулонов-
ских столкновений можно записать в виде
„*2^
8т20 р dpai
Это кинетическое уравнение часто называют также уравне-
уравнением Ландау, а стоящий в правой части интеграл — интегралом
столкновений Ландау. Далее для описания столкновений частиц
в полностью ионизованной плазме будем пользоваться именно
этой формой уравнения, поскольку учет поляризации плазмы в
интеграле столкновений по существу сводится к обоснованию
«обрезания» взаимодействия на больших расстояниях, которое
уже учитывается в уравнении Ландау.
В заключение приведем интеграл столкновений заряженных
частиц между собой в случае вырожденной плазмы. Такой инте-
интеграл должен отличаться от приведенных учетом принципа запре-
запрета Паули, согласно которому в одном и том же состоянии (с за-
заданным импульсом р) может находиться не более двух частиц со
спином 1/2, какими являются электроны и дырки. Учитывая прин-
принцип Паули и тот факт, что каждому состоянию в фазовом прост-
пространстве соответствует объем Bя/гK, запишем интеграл столкно-
столкновений C.3.9) в виде
г (р — hkJ
2та 2т
x [ 1 - &f- L (Pa)] [ 1 - &f- Ш]} • C-4.8)
53
Разлагая далее это выражение по малому передаваемому при
столкновениях импульсу, т. е. при ри, р^>й к, окончательно на-
находим
C.4.9)
где AjaP(pa, P#) определяется формулой C.3.11) и для заряжен-
ных частиц — выражениями C.4.5), C.4.6) с очевидной заменой
Т-*&? [такая же замена должна производиться и в формуле
C.4.7)]. В выражениях C.4.8) и C.4.9) принцип Паули учитыва-
учитывается множителями
представляющими собой вероятность наличия для частиц сорта a
свободного места в состоянии с импульсом ра. Очевидно, что рас-
рассеяние с переходом ра, р/з^р7», р'з возможно только при наличии
свободных вакансий в состоянии с импульсами р'а, р^. В невы-
невырожденном случае эти множители равны единице и выражения
C.4.8) и C.4.9) переходят в C.3.9) и C.3.10).
§ 3.5. Модельный интеграл упругих столкновений частиц
При упрощении интеграла столкновений Больцмана для вы-
вычисления вероятности рассеяния частиц W(pa, pp; р'а, р'#) было
использовано борновское приближение. Таким приближением
можно пользоваться, если существует Фурье-образ потенциала
взаимодействия U(r), т. е. интеграл C.3.4). Этот интеграл рас-
расходится, если U (г) растет при малых г быстрее, чем 1/г2, что име-
имеет место при 'взаимодействии заряженных частиц с 'нейтральными
атомами и .молекулами плазмы либо с кристаллической решеткой
(в случае твердотельной плазмы). Поэтому для описания столк-
столкновений заряженных частиц с нейтральными приходится пользо-
пользоваться общим интегралом столкновений Больцмана C.3.3) и вы-
вычислять вероятность рассеяния без привлечения борновского при-
приближения. Подобные вычисления, как правило, связаны с боль-
большими математическими трудностями, не говоря уже о том, что
нет и не может быть единого потенциала взаимодействия заря-
заряженных частиц с нейтральными. По этой же причине мало эф-
эффективен и интеграл столкновений C.3.10) (справедливый только
при условии применимости борновского приближения) примени-
применительно к взаимодействию заряженных частиц с нейтральными.
Из сказанного ясно, почему нет единой простой теории интеграла
54
столкновений заряженных частиц как для слабоионизованной га-
газовой плазмы, так и для плазмы твердого тела. Вместе с тем при
практических вычислениях как в газовой, так и твердотельной
плазме часто используют приближенные модельные представле-
представления о столкновительном члене в кинетическом уравнении для за-
заряженных частиц.
Остановимся кратко на одном из модельных интегралов стол-
столкновений, получивших в последние годы широкое распростране-
ние. Этот интеграл столкновений часто называют интегралом
Батнагара — Гросса — Крука (интеграл БГК). Он не может быть
получен из общего интеграла Больцмана путем каких-либо при-
приближений и поэтому называется модельным. Его можно только
сконструировать из общих соображений, соответствующих здра-
здравому физическому смыслу.
При конструировании любого модельного интеграла упругих
столкновений следует исходить из общих законов сохранения чи-
числа частиц, импульса и энергии при упругом рассеянии. Эти за-
законы при столкновении частиц сорта а с частицами сорта р за-
записываются в виде
пгп
Приведенные соотношения получают непосредственно из кинети-
кинетических уравнений C.3.1) путем умножения на 1, пга\ и /nav2, ин-
интегрирования по импульсу и суммирования по сталкивающимся
частицам. Следует иметь в виду, что интеграл столкновений ча-
частиц при подстановке в него термодинамически равновесных рас-
распределений для частиц всех сортов (распределений Максвелла
либо Ферми) должен обратиться в нуль. Это утверждение явля-
является следствием известной Н-теоремы Больцмана, согласно кото-
которой при любых возмущениях функции распределения под дейст-
действием столкновений частиц стремятся к термодинамически равно-
равновесному распределению (к максвелловскому — в случае невырож-
невырожденного газа и фермиевскому — в случае вырожденного газа).
Процесс приближения функции распределения частиц к равновес-
равновесной при столкновениях называют релаксацией. При этом разли-
различают времена релаксаций для разных процессов. Если возмуще-
возмущения таковы, что в газе у частиц сорта а появляется средний им-
импульс, то под действием столкновений он должен релаксировать
к нулю. Характерное время этого процесса и называют временем
релаксации импульса для частиц сорта а. Как правило, оно сов-
совпадает с временем свободного пробега, поскольку релаксация им-
импульса происходит практически при одном столкновении частицы.
55
Обратное время релаксации импульса называют частотой столк-
столкновений.
Перечисленным свойствам C.5.1) в невырожденной слабоиони-
зованной плазме, как легко показать, удовлетворяет интеграл
столкновений Батнагара — Гросса — Крука
гДе va3 — некоторая постоянная величина, имеющая смысл эф-
эффективной частоты столкновений частиц сорта а с частицами сор-
сорта р, т. е. характеризующая время релаксации импульса частиц
сорта а вследствие столкновений с частицами сорта C. Функция
фар определяется соотношением
фаЭ = • ' 3/2 ехр Г - m«<T-W1 . C.5.3)
Здесь V«= i- j dpv/a, iVa= J dp/a,
Ta=Sr Hp(v-v«J/«; <3-5-4>
a
r _таГЭ + ОТРГа
iap — : .
Подставляя выражение C.5.2) в соотношения C.5.1), можно
показать, что законы сохранения импульса и энергии выполняют-
выполняются при условии waNava0==/n0/V0V0a . Следует заметить, однако,
что в теории модельного интеграла БГК по существу нет соотно-
соотношений, определяющих частоты vap; они должны быть определены
из точного интеграла Больцмана, в который входит своя для каж-
каждого сорта частиц потенциальная энергия взаимодействия U(r).
Если учесть при этом, что величина va/s имеет смысл обратного
времени релаксации импульса, то из простых молекулярно-кине-
тических соображений можно записать для рассеяния заряжен-
заряженных частиц на нейтральных частицах van = vTaaoNni где Go — эф-
эффективное поперечное сечение рассеяния заряженных частиц на
нейтральных частицах; по порядку величины оо=па2 (а — радиус
нейтральных атомов: а«10~10 м); Nn — плотность нейтральных
частиц в плазме. Здесь же следует оговорить, что интеграл БГК
удовлетворительно описывает лишь взаимодействие частиц раз-
разного сорта. Поэтому им можно пользоваться для описания столк-
столкновений заряженных частиц с нейтральными частицами в слабо-
ионизованной плазме, когда преобладающим является рассеяние
заряженных частиц на нейтральных. Для полностью ионизован-
ионизованной плазмы пользоваться интегралом БГК, несмотря на простоту,
нецелесообразно.
56
Подставляя выражение C.5.2) в C.3.1), запишем кинетичес-
кинетическое уравнение с интегралом столкновений БГК для невырожден-
невырожденной плазмы:
где суммирование распространяется только по сортам нейтраль-
нейтральных частиц плазмы.
Не представляет труда обобщить интеграл столкновений БГК
на случай вырожденной твердотельной плазмы. Следует учесть,
что равновесным распределением в вырожденной плазме являет-
является распределение Ферми, поэтому в результате столкновений ча-
частиц функция распределения должна релаксировать к распреде-
распределению Ферми. Кроме того, в твердотельной плазме модельным
интегралом БГК удобно описывать столкновения легких носите-
носителей заряда (электронов и дырок) с тяжелой решеткой, и в этом
смысле плазму можно считать слабоионизованной. По аналогии с
C.5.1) интеграл столкновений БГК для вырожденной плазмы за-
записывают в виде
где foa—равновесная функция распределения Ферми:
C.5.7)
При ЯРв = -^ = C я2J/з ft* #2/з/B та) « Та функция рас-
(X,
(X,
пределения Ферми C.5.7) переходит в функцию распределения
Максвелла:
ехр (- 4т) ¦ (з-5-8)
Такой же вид принимает функция Na<&a? при условии ma<C
0 и Vp=0, когда Та$->-Та. Следовательно, интеграл C.5.6)
в невырожденном пределе совпадает с C.5.2) для столкновений
легких носителей тока с тяжелыми нейтральными частицами.
§ 3.6. Обоснование простейших моделей плазмы
Имея в распоряжении наиболее общую из возможных моделей
газовой плазмы — кинетическое уравнение с самосогласованным
полем, учитывающее также ближние парные столкновения час-
частиц, можно выяснить условия применимости более простых моде-
моделей плазмы, рассмотренных в § 3.1, и обосновать их. Ограничим-
57
ся рассмотрением разреженной бесстолкновительной плазмы, опи-
описываемой кинетическим уравнением C.2.7):
¦|a+v-^+^{E+[vB]}-^=0. C.6.1)
Уравнение C.6.1) справедливо либо лишь для описания таких
процессов в плазме, которые протекают за времена, меньшие вре-
времен свободного пробега частиц, либо для процессов, характер-
характерные пространственные масштабы которых меньше длин свобод-
свободного пробега, т. е.
1/т > 2 vaP, L < /« = »,«/2 va3, C.6.2)
где т — характерное время рассматриваемого процесса, а L—•
его характерный пространственный масштаб.
Для волновых процессов такими параметрами являются часто-
частота оэ~1/т и модуль волнового вектора k~l/L. Для указанных
процессов плазму можно считать бесстолкновительной. Учет стол-
столкновений частиц при этом приводит к малым поправкам, которы-
которыми далее будем пренебрегать.
Заметим, что даже при полном отсутствии столкновений ча-
частиц в определенных условиях применимо гидродинамическое
описание плазмы. Получение гидродинамических уравнений сво-
сводится к отысканию замкнутой системы уравнений для моментов
функций распределения каждого сорта частиц:
Na (t, r) - J dp/a, Na (/, r) Va (t, r) = j dpv/a, C.6.3)
представляющих собой соответственно плотности числа частиц и
потока частиц сорта а. Гидродинамические уравнения в условиях,
когда их удается получить в замкнутом виде, обладают рядом
преимуществ по сравнению с кинетическим уравнением. Очевид-
Очевидно, что гидродинамика значительно проще кинетики. Достаточно
отметить, то гидродинамические величины Na(ty г) и Va(/, r) (их
число ограничено) зависят лишь от четырех переменных г и t, в
то время как функция распределения /а(р, /, г) является функци-
функцией семи переменных.
Переходя к выводу гидродинамических уравнений для бес-
бесстолкновительной плазмы, умножим уравнение C.6.1) на 1 и р
и проинтегрируем по импульсу. В результате получим следующие
гидродинамические уравнения для электронов и ионов (т. е. а=
C.6.4)
где Па17= I рг vjfa dp. C.6.5)
58
Первое из уравнений C.6.4) представляет собой уравнение
непрерывности, а второе — уравнение движения, однако оно не
является «гидродинамически замкнутым», так как содержит тен-
тензор nafj. Определение тензора na*j в общем случае является труд-
трудной задачей. В бесстолкновительной плазме известны два случая,
когда тензор И^ц удается вычислить явно и тем самым придать
уравнениям C.4.6) «гидродинамически замкнутый» вид. Одним из
них является предел «холодной» плазмы.
Если интересуются процессами, характерная скорость которых
значительно больше тепловых скоростей частиц (электронов и
ионов), т. е.
— ~ -т » v™> C-6-6>
т к
тепловым движением частиц в первом приближении можно пре-
пренебречь, считая плазму «холодной». Это означает, что функция
распределения частиц по скоростям для описания таких процес-
процессов может быть представлена в виде
/а ~ б (v-Ve). C.6.7)
N т V . V
При этом из C.6.1) следует, что Uai = а\ а ^l^L и уравне-
ние движения C.6.4) легко сводится к известному уравнению
Эйлера для заряженной жидкости с «нулевым» давлением:
C.6.8)
Уравнения C.6.8) совместно с уравнениями непрерывности
C.6.4) для электронов и ионов (а=е, i) образуют систему замк-
замкнутых гидродинамических уравнений для холодной бесстолкнови-
бесстолкновительной плазмы. Плотности тока и заряда при этом, согласно
C.6.3), определяются выражениями
i=2«.W«Ve,p= leaNa. C.6.9)
а а
Здесь суммирование распространяется на все сорта заряженных
частиц.
Подстановка этих выражений в уравнения Максвелла B.1.1)
приводит к согласованию уравнений гидродинамики с уравне-
уравнениями поля. Образованную при этом полную систему уравнений
часто называют уравнениями двухжидкостной магнитной гидроди-
гидродинамики «холодной» плазмы. Легко видеть, что уравнение C.6.8)
по форме совпадает с уравнением движения частиц C.1.1), ис-
использованным в модели независимых частиц. Получение этого
уравнения из кинетического позволило определить пределы при-
применимости простой модели независимых частиц в виде неравенств
C.6.2) и C.6.6).
59
Следует заметить, что неравенства C.6.2) и C.6.6), строго
говоря, определяют пределы применимости двухжидкостной гидро-
гидродинамики «холодной» плазмы только в отсутствие внешнего маг-
магнитного поля. При наличии же магнитного поля в плазме наряду
с ними необходимо выполнение условий
Mm,va; Цг*-<1> C.6Л0)
где (D^l/ir — характерная частота процесса, va= 2 va3» а ^a=
= ea?/ma— ларморовская частота вращения частиц сорта а в
магнитном поле; &Z~1/L|j и к±~1\/Ь± — масштабы неоднород-
неоднородности исследуемого процесса соответственно вдоль и поперек на-
направления магнитного поля.
Вторая область значений параметров, в которой также приме-
применимо гидродинамическое описание бесстолкновительной плазмы
(одножидкостная гидродинамика), определяется неравенствами
vTi<±-~-^<vw. C-6.11)
Из условий C.6.11) следует, что ионы плазмы для таких про-
процессов являются «холодными», и их можно описывать уравнения-
уравнениями типа C.6.4) и C.6.8) (разумеется, нерелятивистскими, так как
Vi<^c), которые при этом будут характеризовать движение массы
плазмы. Чтобы получить уравнения одножидкостной гидродина-
гидродинамики, нужно исключить из них электрическое поле. Воспользуем-
Воспользуемся для этой цели кинетическим уравнением C.6.1) для электро-
электронов. Если учесть, что согласно C.6.11) в этом уравнении слагае-
слагаемым с производной по времени можно пренебречь, легко записать
его общее решение в виде известного распределения Больцмана
во внешнем потенциальном поле Ф
^ C.6.12)
где Ve — направленная скорость электронов, температура которых
согласно этому распределению постоянна и равна Те.
Электронный ток в плазме в этом случае определяется выра-
выражением
U=eNeVe, C.6.13)
где Ne — плотность, определяемая функцией C.6.12) и подчиняю-
подчиняющаяся барометрическому закону
ЛГе = #ое-*ф/7Ч C.6.14)
Здесь No — невозмущенная плотность электронов в отсутствие
электрического поля.
Подставляя C.6.12) в C.6.5) и учитывая условие \Ve\<vTef
из уравнения движения C.6.4) для электронов находим
60
^ V#eIVe] C.6.15)
Используя это соотношение, исключаем электрическое поле из
уравнения движения ионов. Принимая во внимание условие ква-
квазинейтральности плазмы 2eaAfa =0 и учитывая, что плотность
a
полного тока в плазме
j= 2 eaNvV^-eNeVe+eiNiVi, C.6.16)
a
окончательно получаем
+ (V, V) V, = - -? V Nt + -J- ЦВ], C.6.17)
Nt MNi
-—— скорость ионного звука в плазме, а Z =
= |?*/е| — зарядовое число ионов.
Упростим теперь уравнения поля B.1.1). Во-первых, пренебре-
пренебрежем токами смещения, что справедливо при условии (а~1Аг<С
<Ссои, а, во-вторых, исключим из них электрическое поле. Заме-
Замечая, что в уравнение
rotE=— — C.6.18)
dt
вклад дает лишь поперечная к магнитному полю компонента
электрического поля, вместо C.6.15) можно воспользоваться бо-
более простым выражением
Е±=—[V,B], C.6.19)
которое следует непосредственно из уравнения движения (Эйле-
(Эйлера) для ионов при условии ю~ 1/т<Сйг. Можно показать, что
Ех совпадает с поперечной проекцией выражения C.6.15). Под-
Подставляя соотношение C.6Л9) в уравнение C.6.18), получаем
rot [V, В] = ^- . C.6.20)
dt
Собирая, теперь все полученные уравнения вместе, опуская ин-
индекс i и вводя массовую плотность рм=«МЛ^, запишем систему
уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики для бес-
столкновительной плазмы:
— =rot[VB], divB = 0,
dt
Рм (jf + (Vv) V) = -»Jv Pm-c280 [BrotB],
C.6.21)
61
Эти уравнения совпадают с системой уравнений C.1.4) в пре-
пределе идеальной проводимости а->-оо и в случае пренебрежения
вязкостью. Уравнение состояния плазмы при этом имеет вид
C.6.22)
причем в отличие от обычной гидродинамики проводящей жидкос-
жидкости (см. § 3.1) здесь температура, как следует из вывода уравне-
уравнений C.6.21), считается постоянной во времени и однородной в
пространстве. Кроме того, согласно соотношению C.6.22) давле-
давление плазмы определяется температурой электронов, что возмож-
возможно лишь при условии сильной неизотермичности плазмы, когда
TT
Требование неизотермичности плазмы следует также из следую-
следующих соображений. Из обычной гидродинамики известно, что ха-
характерной скоростью течения жидкости является скорость звука
pp*L- Согласно уравнению состояния C.6.22), в рассматри-
рассматриваемом случае 08~"|/?УЛ! (именно поэтому называют скоростью
* звука в бесстолкновительной плазме). С другой стороны, из ус-
условия C.6.11) следует, что эта скорость должна быть значитель-
значительно больше тепловой скорости ионов, т. е. vs*>vru что очевидно,
возможно лишь в неизотермической плазме (Те;»7^).
В заключение приведем еще раз условия, при которых спра-
справедливо описание бесстолкновительной неизотермической плазмы
с помощью системы уравнений одножидкостной магнитной гидро-
гидродинамики C.6.21):
Строго говоря, при наличии сильного магнитного поля первое
из этих условий должно выполняться только для проекции вол-
волнового вектора вдоль магнитного поля или, другими словами, для
размера продольной неоднородности, т. е. для ?Z~1/L,. (это бу-
будет показано в гл. 5), для поперечной же проекции должно вы-
выполняться неравенство —х m ~—^— <С 1, т. е. размеры попе-
.речных неоднородностей должны значительно превышать лармо-
ровские радиусы частиц. Далее, условие Qt<Ca>u требуется для
соблюдения квазинейтральности плазмы при со<Ог. Это, однако,
не означает, что в уравнениях C.6.21) нельзя переходить к пре-
пределу В-Я), т. е. к изотропной плазме. В отсутствие внешнего маг-
магнитного поля уравнение непрерывности для ионов и уравнение
Эйлера образуют полную систему уравнений и в упрощении урав-
уравнения поля C.6.20) нет необходимости. Поэтому отпадает и тре-
требование (о<С&г. Условие квазинейтральности плазмы в отсутствие
внешнего магнитного поля выполняется при оо~ 1/т<Ссои.
Наконец, заметим, что хотя при получении системы C.6.21)
полностью пренебрегалось столкновениями частиц, это вовсе не
62
означает, что она справедлива только когда (o~l/T»ve, v*. При
анализе кинетического уравнения для ионов в пределе «холодных»
ионов действительно можно было пренебречь столкновениями
лишь при co>Vz, где v* — полная (суммарная) частота столкнове-
столкновений ионов со всеми частицами. В кинетическом же уравнении для
электронов столкновениями можно пренебречь и при co<ve, если
только Ve'C&u vre~vTe/Li\. Таким образом, условия применимос-
применимости системы C.6.21) по временам записываются в виде
co~l/r>Vi; со, ve<kuVTe~vTe/L\\. C.6.24)
Итак, даже в разреженной плазме при полном пренебрежении
столкновениями частиц в определенных условиях возможно гид-
гидродинамическое описание движения плазмы. Мы ограничились
этим пределом, поскольку именно он вызывал наибольшее сомне-
сомнение с точки зрения применимости гидродинамического описания.
В обратном пределе плотной плазмы с частыми столкновениями
частиц применимость гидродинамики очевидна.
Полученные выше гидродинамические уравнения C.6.21) для
бесстолкновительной невырожденной плазмы легко обобщаются
на случай вырожденной плазмы. Более того, легко записать реше-
решение вида C.6.12) для случая произвольного вырождения плазмы:
/.= -?— (ехр \Л± (v-V.)»- -^+?*Л+ 1 Г1 . C.6.25)
Неравенства C.6.11) (в которых в вырожденном пределе под vTe
следует подразумевать vFe) при этом обеспечивают постоянство
температуры электронов: Ге=const. Учитывая это обстоятельство,
из C.6.25) получаем
Йе. =еЖе_д1_ C.6.26)
где ar = V2m(v—У*)*.
Теперь не представляет труда выразить электрическое поле
Е = —УФ—[VeB] через моменты функции распределения элект-
электронов /е. Для сильно вырожденной плазмы эта связь записывается
в виде
Е= - -L- v ($Fe Ne)-Web]. C.6.27)
be Ne
Сравнивая это выражение с C.6.15), заключаем, что уравнения
одножидкостной гидродинамики бесстолкновительной вырожден-
вырожденной плазмы также имеют вид C.6.21), в которых, однако, следует
произвести замену:
^VpM-^Vp. C.6.28)
Здесь p = 1lbS>FeNe — давление вырожденной плазмы, совпадаю-
совпадающее с электронным давлением, причем Ne = zNi. Легко понять, что
условия применимости гидродинамического описания вырожден-
63
ной плазмы полностью аналогичны приведенным выше условиям
C.6.23) и C.6.24) с той лишь разницей, что всюду под vTe следу-
следует понимать скорость Ферми и?е. Более того, сохраняется и тре-
требование «неизотермичности» плазмы Sve^Tu которое, очевидно,
совпадает с требованием ее вырожденности.
Задачи к гл. 3
Задача 3.1. Показать, что интеграл упругих столкновений Больцмана обра-
обращается в нуль, если функции распределения частиц /а и /р представляю!
собой функции распределения Максвелла с ^а==Т^=Т.
Решение. Функция распределения Максвелла для частиц сорта а с тем-
пературой Т имеет вид
Подставляя это выражение в C.3.3) и учитывая закон сохранения энергии
о „2 '2 '2
и и a l)~ Da
2т„ \ Ъпа 2т„ 2mR
dip ос р
находим, что
( df \«Р
Следовательно, я --? ) =0.
Задача 3,2. На примере лоренцевского газа с бесконечно тяжелыми ионами
найти функцию распределения электронов в полностью ионизованной плаз-
плазме во внешнем электрическом поле и вычислить проводимость плазмы.
Решение. Лоренцевским газом называют электронный газ, в котором
электроны не взаимодействуют (т. е. не сталкиваются) между собой, но взаи-
взаимодействуют с ионами. Такое приближение пригодно при Z^\eile\^>\. Кинети-
Кинетическое уравнение Ландау для лоренцевского газа с тяжелыми ионами во внеш-
внешнем электрическом поле записывают следующим образом:
дР dpi 8я82 V* дР) W
Решение этого уравнения »будем искать в виде
fe = U + ^, B)
где /м — функция распределения Максвелла. При достаточно слабых полях
|/i|<fM, поэтому
4яе*т2 и4
где v (у) ==
64
Отсюда находим плотность электронного тока в плазме:
E = (TE, F)
а следовательно, и проводимость плазмы в модели лоренцевского газаз
32
Зя
-iV-
еЕ
Соотношение G) справедливо при м== <^те. При u>v-r e появля-
ШУфф
9фф
ются так называемые убегающие электроны, поэтому понятием проводимости
можно пользоваться до некоторого критического значения поля ?кр, определяе-
определяемого из условия
= Ще ' (8)
и называемого полем Драйвера. При значениях ?>?Кр в плазме не сущест-
существует стационарного состояния.
Задача 3.3. С помощью кинетического уравнения Ландау C.4.7) исследо-
исследовать процесс выравнивания (релаксации) температур в полностью ионизо-
ионизованной плазме, если температура электронов Те> а температура ионов Г*.
Решение. Распределения по скорости как электронов, так и ионов мак-
свелловские, поэтому
fy;=(f.)",o. w
ot Jst \ dt Jst
Процесс выравнивания температур Те и 7\ определяется столкновениями
электронов с ионами. При этом
dt \ dt jst
Умножим это уравнение на р2е/(!2т) и проинтегрируем по р, считая распреде-
распределения электронов и ионов максвелловскими. В результате получим
~Zf = ~ VT (Te — Tt), C)
где
е2 е\ L Nt
V
D)
l^~2M\)VehVem ^из k m-
Здесь u=ve—v,-.
Учитывая, что vT »<ст е, воспользуемся разложением по степеням Vi/ve.
Тогда
v -S— v
vt ^ _ ^эфф* ' E)
3-953 65
Из закона сохранения полной энергии в системе имеем NeTe-{-NiTi—const,
ИЛ'И
dt
Следовательно,
F)
G)
Таким образом, время выравнивания температур
1 М 1
тт== —
vT
Задача ЗА. Исследовать процесс релаксации направленной скорости элект-
электронов в полностью ионизованной плазме.
Решение. Предполагая распределение электронов по скоростям
m(v—u)a
exp -
не меняющимся в процессе релаксации скорости и, легко показать, что тормо-
торможение электронов происходит лишь из-за электрон-ионных столкновений. По-
Поэтому, умножая уравнение
dfe (dfe
dt \ dt
на v и интегрируя по импульсу, получим
dt
Ami m2 Ne
B)
C)
При выводе этого соотношения мы пренебрегли скоростью ионов по срав-
сравнению со скоростью электронов, считая vr е^>г>т ». Полученное соотношение
можно записать в виде
где
ди
vЭфф при и « оте;
1 /"«" "«
V ~2~Хвфф1^~ ПРИ "
» vTe.
D)
E)
Таким образом, время релаксации направленной скорости электронов при
?>те равно 1Л>Эфф и растет как и3Д>3т в.
Задача 3.5. Исследовать процесс релаксации малой анизотропии температу-
температуры в электронной функции распределения в полностью ионизованной плазме.
Решение. Функцию распределения электронов записывают в виде
2nmT±'Y2nmT\\
exp -
A)
причем Hjj— 1
66
В релаксации анизотропии температуры принимают участие как электрон-
электронные, так и электрон-ионные столкновения:
dt \ dt ]st ' \ dt )st
Умножая это уравнение на (ma^)/2 и на (mt/y )/2 и интегрируя по импульсам,
находим
dr, 1 _ _ dr., _ _ .
где vp = — хэфф A
yg"
Таким образом, релаксация малой анизотропии температуры, так же как
я малой направленной скорости электронов, происходит за время порядка 1Мфф-
Задача 3.6. При помощи кинетического уравнения с модельным интегра-
интегралом БГК исследовать функцию распределения электронов и нагрев плазмы
во внешнем электрическом поле.
Решение. Ограничиваясь учетом столкновений электронов с нейтральны-
нейтральными частицами, запишем кинетическое уравнение с интегралом столкновений
БГК
*Е -7Г"= — Ven (fe ~ КеФеп), A)
dp
mv2
где
т „ тТп + МТе
m + М
здесь Тп — температура нейтральных частиц, а М — их масса.
Решение кинетического уравнения будем искать в виде
О)
считая |fi|<Cfo- В результате усреднения по углам получим два уравнения:
2
о. \- —XI " ven\lo ^e^enJt vv
OV
m v
Подставляя f{ из второго уравнения в первое, будем иметь
Решением этого уравнения является функция распределения Максвелла с тем-
температурой Те* определяемой соотношением
2е2 Е2 3
m2 ven m+M
ИЛИ 1 е ~ ^ п-Г о „ „ • ('^
3* 67
Установившаяся температура есть результат баланса между омическим на-
нагревом электронов и передачей энергии от электронов к нейтральным части-
частицам. Наконец, проводимость плазмы определяется из соотношения
v e2 N
j = «f— (vf1)dp = ^Е = оЕ, (8)
J v mven
что дает
Задача 3.7. В модели независимых частиц найти среднюю силу (силу Мил-
Миллера), действующую на электроны плазмы во внешнем сверхвысокочастот-
сверхвысокочастотном (СВЧ) электрическом поле с неоднородной амплитудой E(t, г) =
= B(r)sinooo^ Ограничиться нерелятивистским случаем.
Решение. Запишем уравнение движения электронов в виде
A)
mm
Здесь Во — внешнее однородное магнитное поле, а
В (*, r) = B(r)coscoo^
В(г) = — rotE(r). B)
Щ
Считая поля E(t, г) и ВA, г), а следовательно, и скорость V малыми, в
линейном приближении имеем
Подставляя V0@ в малые нелинейные слагаемые уравнения A) и усред-
усредняя по времени, находим среднюю силу:
Fep— m<(Vo(Ov)Vo(O>+e<[Vo(OB(f, г)]>. D)
В отсутствие внешнего однородного магнитного поля
Vo= ~-^^-cosco0^; E)
mco
Fcp = - -*—z {(E (r) v) E (r) + [E (r) rot E (r)]} = - -?— V E* (r).
2/720) q 4mo)Q
Это выражение можно также получить из общей формулы B.3.25), если
учесть, что в высокочастотном пределе для плазмы (см. гл. 4)
= 6и ( 1 — j . F)
)
При этом для средней силы, действующей на отдельный электрон плазмы, по-
получаем
FCp= —= 80— 1 Mv?.(r)==_ — V?i(r). G)
Ne dNe у 8omoJ l /72CO2
Отличие этого выражения от E) множителем 1/4 обусловлено простым пере-
переопределением амплитуды СВЧ-поля согласно B.3.12).
68
Видно, что средняя сила выталкивает электроны (а следовательно, и плаз-
плазму) из области сильного СВЧ-поля *.
При наличии внешнего однородного магнитного поля возможна обратная
ситуация, когда плазма втягивается в область сильного СВЧ поля.
Задача 3.8. Найти среднюю поперечную силу, действующую на электроны
плазмы в слабонеоднородном магнитном поле.
Решение. Предположим сначала, что электроны плазмы не обладают
продольной (вдоль магнитного поля) скоростью |и вращаются вокруг сило-
силовых линий магнитного поля с угловой скоростью Q=eB(r)/m, где r=r0(/)+S(O»
г0 @—радиус-вектор центра ларморовского вращения, а ?(/) — положение
электрона на орбите, ro(t) — большая медленно меняющаяся, а ?(/) — малая
быстро меняющаяся величины, причем в модели независимых частиц
A)
•*• _i
Здесь v_j_ —линейная скорость вращения электронов.
Разлагая В (г) по степеням ? и усредняя силу Лоренца по времени, нахо-
находим среднюю силу, действующую на электроны плазмы и направленную попе-
поперек магнитного поля:
9
mv
mv L
]=
где R — радиус кривизны силовых линий магнитного поля, an — единичный
вектор, направленный от центра кривизны в точку приложения силы.
При выводе выражения B) использовались соотношения A) и уравнения
Максвелла для стационарного магнитного поля В (г)
rotB = 0, divB = O, C)
а также было учтено, что
Tl~6ti D)
Если электроны плазмы наряду с вращением совершают продольное дви-
движение со скоростью v л , то, переходя в систему координат, вращающуюся с
угловой скоростью v^ /R вокруг мгновенного центра кривизны силовой линии
магнитного поля, вновь получаем электроны, не обладающие продольной ско-
скоростью. В этой системе, однако, появляется дополнительная поперечная сила
инерции — центробежная сила
mvl
Fscp-^n. E)
Суммируя B) и E), получим искомую среднюю силу
Средняя сила, действующая на ионы непосредственно со стороны СВЧ-
поля, в М/пг раз меньше силы E). Поэтому на ионы действует сила E), но
через электроны.
69
Действие этой силы на электрон эквивалентно действию поля . тяжести:
Очевидно, подобная сила действует также на ионы плазмы, причем, по-
поскольку сила F) не зависит от знака заряда, силы, действующие на электроны
и ионы плазмы, направлены в одну сторону.
Глава 4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ
ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИИ
ОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ
§ 4.1 Диэлектрическая
проницаемость
бесстолкновительной
однородной
изотропной плазмы
Теперь, когда рассмотрена наиболее об-
общая модель плазмы как газа и известны уравнения динамики
плазмы — система кинетических уравнений для заряженных час-
частиц, можно перейти к изучению электромагнитных свойств плаз-
плазмы. Естественно начать с простейшего случая пространственно
однородной изотропной плазмы. Более того, считая столкновения
частиц в плазме редкими, можно в первом приближении пол-
полностью пренебречь ими и получить выражение для диэлектричес-
диэлектрической проницаемости плазмы исходя из кинетических уравнений с
самосогласованным полем (уравнений Власова). Очевидно, что
такое приближение справедливо для описания процессов, проте-
протекающих быстрее времени свободного пробега либо обладающих
пространственным масштабом, меньшим длины свободного пробе-
пробега. Плазму при этом называют бесстолкновительной.
В пространственно однородной, изотропной и бесстЪлкнови-
тельной плазме в отсутствие электромагнитных полей функции
распределения частиц могут быть произвольными функциями им-
импульса |р|=р. В этой главе, однако, примем, что распределение
частиц в невырожденной плазме имеет вид распределения Макс-
велла с температурой Та и плотностью Na (для частиц сорта а):
ha (P) — /ма (Р) Bята Г K/2 e • r*- * • */
Если плазма вырождена и энергия Ферми <§Va =
C3x2J/3h2iV2/3
= г ^— > Та , распределение имеет вид распределения
70
Ферми:
В пределе Га-М) это распределение принимает столообразный
вид:
{—— при р < pFa = Cя2)!/з йЛП/3 ,
(О ПрИ р> pFa.
Если же Га >><?Гр а > то оно совпадает с распределением Макс-
Максвелла D.1.1).
Чтобы вычислить диэлектрическую проницаемость плазмы, не-
необходимо найти отклонения функций распределения заряженных
частиц от равновесных значений /о«(р)> возникающие вследствие
действия в плазме малых электрического и магнитного полей
Е(?, г) и В(?, г), появление которых вызвано возмущением равно-
равновесного однородного состояния плазмы. Возмущенную функцию
распределения представим как
/а (Р, г, t) = /оа (р) + б/а (Р, г, t) D.1.3)
и предположим, что возмущение функций распределения 8fa (p,
г, /), а также возмущения полей Е и В малы.
Подставляя выражение D.1.3) в кинетическое уравнение Вла-
Власова C.2.7) и пренебрегая членами второго порядка малости, по-
получим линеаризованное кинетическое уравнение для определения
возмущения функции распределения *:
2+T!?+..B«W«--0. DЛ.4)
dt dr dp
В основном состоянии плазма квазинейтральна и в ней отсут-
отсутствуют плотности заряда и тока. Под действием возмущающих
полей Е и В в плазме появляются индуцированные заряды и то-
токи, которые определяются через возмущенную функцию распреде-
распределения. Действительно, согласно C.2.8), индуцированные плотнос-
плотности зарядов и токов в плазме составляют
2 *« J v/e dp = 2 ea J v 6/a dp. D.1.5)
a a
*При выводе D.1.4) было учтено, что [vB] /Oa =0. Это соотношение от-
ар
ражает тот факт, что магнитное поле не совершает работы и поэтому не ме-
меняет изотропную функцию распределения частиц.
71
В свою очередь, поля Е и В определяются через j и р посред-
посредством уравнений поля B.1.1).
В силу линейности уравнения D.1.4) и уравнений поля зависи-
зависимость всех возмущенных величин от времени и координат пред-
представим в виде ехр(—ico^+ikr). Тогда легко записать решение
уравнения D.1.4):
со —
D.1.6)
Подставляя это выражение в D.1.5), определим плотность инду-
индуцированного тока и согласно материальному уравнению B.2.6)
тензор проводимости плазмы:
Ч В, %»
U = - i 2 el J dp ^- s аи (со, k) Е„ D.1.7)
а со—kv
vt**L
или о,.(ю, k) = —i 2 41 dp — • D-1.8)
a <o — kv
Наконец, используя связь комплексной диэлектрической прони-
проницаемости и комплексной проводимости B.2.10), определим тензор
ец{(й, к):
,(ю,к)= =б«+ 2 -2- J dp —^L. . D.1.9)
8oco a coeo со — kv
В формулах D.1.7) — D.1.9) суммирование распространяется по
всем сортам заряженных частиц плазмы. В случае бесстолкнови-
тельной плазмы ее нейтральные частицы в электромагнитных яв-
явлениях участия, очевидно, не принимают. Вместе с тем необходи-
необходимо подчеркнуть, что условие применимости «бесстолкновительно-
го приближения» можно указать лишь в результате решения за-
задачи с учетом столкновений, что и будет сделано.
Второй вопрос, на который следует обратить внимание, — на-
наличие полюсов ©=kv в подынтегральных выражениях D.1.7) —
D.1.9). При этом, если воз-
возможно выполнение равенства
(o = kv, выражения D.1-7) —
D.1.9) не имеют точного смыс-
смысла, поскольку результат инте-
интегрирования зависит от способа
вычисления интеграла. Для
со устранения этой неоднозначно-
* =*¦* сти нужно учесть, что воз-
возмущение функции распределения
Рис. 4. Правило обхода Ландау б/а(р, Г, /) ДОЛЖНО исчезать
72
при t->—cvd. В принятой же временной зависимости 8/а ~
~ехр(—Ш) такое исчезновение 8fa означает наличие хотя бы
бесконечно малой положительной мнимой части у со при действи-
действительных значениях к. В свою очередь, при наличии у со положи-
положительной мнимой части полюсы подынтегральных функций в выра-
выражениях D.1.7) — D.1.9) уже не лежат на действительной оси со,
вдоль которой ведется интегрирование, а оказываются смещенны-
смещенными в верхнюю полуплоскость со7 (рис. 4). Это указывает правило
обхода полюса co = kv: его нужно обходить снизу, проводя интег-
интегрирование не по действительной оси, а по контуру С, изображен-
изображенному на рис. 4. В формулах D.1.7) — D.1.9) интегрирование подра-
подразумевается именно по такому контуру (правило обхода Ландау).
Воспользуемся теперь известным соотношением
1 ф
lim—-— = — — 1лб(х), D.1.10)
v-»o х + i v x
где символ 3* означает, что при интегрировании особенность в точ-
точке х = 0 следует понимать в смысле главного значения.
Запишем выражение D.».9) в виде
2
a s0co
1 dp i>, -f^ f—-x iJi6(co-kv) 1.D.1.11)
co dpj [to— kv J
Первое слагаемое в подынтегральном выражении D.1.11) дает
вклад в эрмитовскую (действительную) часть тензора диэлектри-
диэлектрической проницаемости, а второе — в антиэрмитовскую (мнимую)
часть, ответственную за поглощение волн в плазме. Видно, что
за поглощение волн ответственны только те частицы, скорость
которых удовлетворяет условию co = kv. Это условие можно запи-
записать так: со/& = v$ = v cos #, где Ф— угол между к и v, а Юф — фа-
фазовая скорость волны. Но это условие есть не что иное, как ус-
условие черепковского излучения электромагнитной волны движу-
движущейся заряженной частицей. При этом же условии происходит,
очевидно, и обратный процесс — черепковское поглощение волны.
Таким образом, в изотропной плазме диссипация волн происхо-
происходит и при полном отсутствии столкновений частиц вследствие их
черенковского поглощения частицами плазмы. Рассмотрим этот
эффект более подробно ввиду его важности для дальнейшего из-
изложения.
Рассмотрим частицы, движущиеся со скоростью, большей фа-
фазовой скорости волны. Эти частицы, «догоняя» волну, тормозят-
тормозятся ее электрическим полем, а следовательно, отдают энергию
волне (черенковское излучение). Наоборот, частицы, скорости
которых меньше фазовой скорости волны, «подгоняются» потен-
потенциальным барьером волны, а следовательно, отбирают энергию
у волны (черенковское поглощение). Ширина интервалов ско-
скоростей, в которых происходит обмен энергией между частицами
73
о
и волной, одинакова как для ча-
частиц, передающих энергию вол-
волне, так и для частиц, отбирающих
энергию у волны. Если при
этом распределение частиц по
скоростям в плазме нормальное
(рис. 5), т. е. вероятность обнару-
обнаружить частицу с большей скоро-
скоростью меньше, чем частицу с мень-
меньшей скоростью, то в одинаковых
интервалах скоростей частиц с
v>v$ (отдающих энергию волне)
Рис. 5. Область взаимодействия час- всегда меньше, чем частиц с v<
тиц с волной при нормальном <CVф (отбирающих энергию у вол-
распределении по скоростям ны). В результате в такой плаз-
плазме происходит увеличение сум-
суммарной энергии взаимодействующих с волной частиц — волна по-
поглощается.
Если же распределение частиц по скоростям в плазме не яв-
является нормальным и функция fOa (v) имеет участок с положи-
положительной производной, то в соответствующей области фазовых ско-
скоростей возможно не поглощение, а усиление электромагнитных
волн.
В случае изотропной плазмы тензор е*;(о), к) можно предста-
представить в виде
ем (со, к) = (Ьи- *?') в» (со, k) + k-& е< (<о, k), D.1.12)
где
D.1.13)
в" (©,*)=!+ 2
dp
[И
2
ю— kv
— соответственно продольная и поперечная диэлектрические про-
проницаемости, а &'а (р) — энергия частицы сорта а.
В случае нерелятивистского максвелловского распределения
D.1.1) входящие в D.1.13) интегралы вычисляются до конца,
причем
о
D.1.14)
74
Здесь
*с dTexi/2=_i */ JLxw (-М . D.1.15)
У 2 \V2/
too У 2
Функция W(x) подробно изучена и протабулирована. В даль-
дальнейшем понадобятся асимптотические значения функции J+(x)
1 О
Jjl (х) = 1 н 1 h ... — i у л/2 х е~*2/2
я2 л:4
(при |х|>1, |Re*|>|Imx|); D.1.16)
/+ (х) « — i Ynj2x (при \х\ < 1),
/+ (л:) = —iY2nхе~^2/2 (при |л:| » 1, |Imx|^>|ReA:|, 1тл;<0),
на основе которых будет проведен анализ спектров колебаний и
характера распространения электромагнитных волн в плазме.
Не представляет большого труда вычислить по формулам
D.1.13) продольную и поперечную диэлектрические проницаемо-
проницаемости вырожденного газа с функцией распределения Ферми D.1.2).
Учитывая, что в случае распределения Ферми
— О \(О &F<X1> 1т:.1.1/1
д%а BnhK
из D.1.13) находим
где vFa =pFa/ma e (Зд2I/3 h An/3a/ma — скорость частиц сорта
a на поверхности Ферми, т. е. с импульсом р?а.
В заключение заметим, что в формулах D.1.14) и D.1.18) сум-
суммирование распространяется по всем сортам заряженных частиц,
поскольку предполагается, что плазма либо полностью не вырож-
вырождена [формула D.1.14)], либо полностью вырождена [формула
D.1.18)]. Если в плазме частицы одного сорта вырождены, а
частицы другого не вырождены, диэлектрическая проницаемость
представляет собой сумму выражений типа D.1.14) и D.1.18). ,
§ 4.2. Спектры продольных колебаний
бесстолкновительнои невырожденной плазмы
Перейдем к исследованию электромагнитных волн в однород-
однородной изотропной плазме на основе полученных в предыдущем па-
параграфе выражений для диэлектрической проницаемости бес-
75
столкновительной плазмы. Начнем с анализа продольных волн,
условие существования которых дается дисперсионным уравне-
уравнением B.4.6). В случае невырожденной плазмы это дисперсионное
уравнение принимает вид
^[?Ml0. D.2.1)
Уравнение D.2.1) является трансцендентным и в общем слу-
случае имеет много комплексных решений со(&). Рассмотрим наи-
наиболее интересные из них, соответствующие слабозатухающим ко-
колебаниям.
1. Область быстрых волн, фазовая скорость которых много
больше тепловых скоростей заряженных частиц:
@/^>^те, VTi, D.2.2)
Используя асимптотическое представление D.1.16) для
дисперсионное уравнение для слабозатухающих волн R
запишем в виде
Здесь пренебрежено вкладом ионных членов, поскольку он
существен только при выполнении условия Гг- ^ Те — , т. е. ког-
да температура ионов более чем на шесть порядков превышает
температуру электронов. Как следует из приведенных в гл. 1 зна-
значений температур электронов и ионов плазмы в различных ус-
условиях, плазмы с таким отношением Т{/Те в природе, по-видимо-
по-видимому, не существует. Это означает, что в рассматриваемой области
частот плазму можно считать чисто электронной; при этом роль
ионов сводится к нейтрализации заряда электронов (квазинейт-
(квазинейтральность основного состояния плазмы).
Поскольку ^>1, мнимый член D.2.3) экспоненциально
kvTe
мал и для решения этого уравнения можно воспользоваться изло-
изложенным в § 2.6 методом определения спектра слабозатухающих
колебаний. Положим, что частота волны имеет мнимую часть
6(со-»-со-И8). Тогда действительная часть со определится из урав-
уравнения
Re е' К к) = 1- -J- (l + ^t) = 0, D.2.4)
откуда co2=co2Le(l+3?2r2.De). D.2.5)
76
Здесь учтено, что ю^юье, поэтому в малом слагаемом со заменя-
заменяют На O)Le-
^Поскольку неравенства D.2.2) считаются выполненными, вто-
второй член в скобках в выражении D.2.5) является малой поправ-
поправкой, т. е. &2г2ое<1. Таким образом, слабозатухающие быстрые
продольные колебания в плазме имеют длину волны K~l/k^rDe.
Продольные волны со спектром D.2.5) называют электронными
плазменными волнами или просто плазменными волнами. Они об-
образуют высокочастотную (со>о>ье) ветвь продольных колебаний
изотропной плазмы, которую часто называют также электронной
ветвью колебаний, поскольку, как указывалось, вкладом ионов в
плазменные колебания можно пренебречь и рассматривать плаз-
плазму в этой области частот как чисто электронную.
Декремент затухания б плазменных волн вычисляют по общей
формуле B.6.5) в условиях малости затухания F<со) через
Imie*(co, k):
<»Le
D.2.6)
Отсюда следует, что при &rDe<l затухание плазменных волн
экспоненциально мало. Этот результат легко объяснить физичес-
физически. Действительно, фазовая скорость плазменной волны много
больше средней тепловой скорости электронов. Поэтому в погло-
поглощении плазменной волны в условиях, когда со^соьв, а следова-
следовательно &rDe<Cl, принимают участие только очень быстрые элек-
электроны (рис. 6,а), число которых при максвелловском распределе-
распределении экспоненциально мало («хвост» распределения Максвелла).
Такое затухание плазменных волн называют затуханием Ландау.
Из выражения D.2.6) видно, что с ростом k затухание плаз-
плазменных волн растет и при krDe&l б»со. Однако при больших
"Li
б)
Рис. 6. Спектры частот продольных волн в невырожденной (а) и вырожденной
(б) изотропной плазме
77
значениях k нельзя пользоваться полученным выражением для
б, поскольку оно справедливо при &rDe<Cl. Таким образом, из
D.2.6) можно видеть только тенденцию увеличения затухания
продольной плазменной волны с ростом &, т. е. с уменьшением
длины волны (о сильнозатухающих колебаниях при k2r2De>l см.
задачу 4.3). Спектр продольных плазменных волн, образующих
высокочастотную ветвь колебаний в плазме, изображен на
рис. 6,а (верхняя кривая), причем сильнозатухающая часть спек-
спектра в области krj)e>l изображена штриховой линией.
2. Область промежуточных волн, когда фазовая скорость про-
продольных колебаний удовлетворяет условию
t>Ti<co/?<i;Te. D.2.7)
При условии Reco^>Imco, т. е. слабого затухания, дисперсион-
дисперсионное уравнение D.2.1) записываем в виде
Мнимые члены в этом уравнении малы по сравнению с дей-
действительными. Поэтому его решение можно легко получить об-
общим приближенным методом, который уже использовался при
выводе выражений D.2.5) и D.2.6). В результате для спектра
частот со(&) и декремента затухания 6(k) продольных волн в рас-
рассматриваемой области фазовых скоростей получаем
При этом учтено условие квазинейтральности Ne=ZNi9 где
Z=\ei/e\ —зарядовое число иона. Из условия o)^>toTI- сразу же
следует, что волны со спектром D.2.9) возможны лишь в неизо-
неизотермической плазме (Ге^>Гг) и в области длин волн Л2г2ог<С1.
Спектр рассматриваемых колебаний представлен на рис. 6,а
(нижняя кривая). Найденный спектр частот слабозатухающих ко-
колебаний существенно зависит от ионной компоненты плазмы, по-
поэтому его часто называют ионной или низкочастотной ветвью
продольных волн в плазме. Особо простой вид принимает спектр
D.2.9) в пределе &гш<С1, когда он переходит в так называемый
спектр ионно-звуковых колебаний:
78
*rf, D.2.10)
м
D.2.10)
Такие колебания неизотермической плазмы называют ионно-зву-
ковыми в силу аналогии спектра D.2.10) со спектром обычных
звуковых колебаний; жидкости с фазовой скоростью
Определим теперь, насколько велика должна быть неизотер-
мичность, чтобы соблюдалось условие |б|<Ссо. Легко видеть, что
для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
(!±\V2e 2 2Г|<1, откуда при Z=l получаем 7У7\>6.
В обратном же пределе коротких длин волн, когда &2r2De;>l,
но й2г2ог<С1, спектр D.2.9) принимает вид
ю2«(о2и, D.2.11)
1/8 М &г^е L у т \Ti
3/2
Анализ декремента D.2.11) показывает, что эти колебания яв-
являются слабозатухающими (на рис. 6,а им соответствует горизон-
горизонтальный участок нижней кривой) в том случае, когда плазма
сильно неизотермична. Физически появление в неизотермической
плазме колебаний на ионной ленгмюровской частоте вполне есте-
естественно, поскольку в этих условиях быстро и свободно движущие-
движущиеся электроны создают постоянный отрицательный пространствен-
пространственный заряд, на фоне которого возможны низкочастотные колеба-
колебания ионов с частотой <ou (аналогично ленгмюровским колебаниям
электронов на фоне положительного пространственного заряда
ионов).
3. Область самых медленных низкочастотных продольных
волн, для которых
(o/k<vTi9 vTe. D.2.12)
В этой области частот, согласно D.1.14), продольная диэлек-
диэлектрическая проницаемость плазмы имеет той же, как в статичес-
статическом пределе, вид
е'(<», k) « е' @, fe)= 1+ 2 -^f = 1+ -L- , D.2.13)
79
/ 1 \-1/2
где rD= 2 ~Т~ —дебаевский радиус в случае невырожден-
\ a rDa/
ной плазмы.
Это означает, что в этой области частот происходит экраниро-
экранирование продольного поля в плазме с радиусом экранирования, рав-
равным дебаевскому радиусу (см. также задачу 2.2).
Аналогичное экранирование имеет место и при ^УТг<Ссо<С
<ti&vTe в области частот со^>о)и. В этом случае продольная ди-
диэлектрическая проницаемость D.1.14) также не зависит от час-
частоты, имеет вид D.2.13) и приводит к радиусу экранирования
f3KP=/*De- Это соответствует экранированию высокочастотного про-
продольного поля в области частот cdu<cd<col<?.
§ 4.3. Продольные колебания
бесстолкновительной вырожденной плазмы
отмечалось, электронная плазма металлов и электронно-
дырочная плазма полупроводников при низких температурах ока-
оказываются вырожденными. Исследуем характер колебаний такой
плазмы. Дисперсионное уравнение для продольных колебаний изо-
изотропной вырожденной плазмы, согласно B.4.6) и D.1.18), запи-
записывается в виде
^%[4^^>l=0. D.3.1)
1. Область быстрых волн, фазовая скорость которых много
больше скоростей Ферми электронов и ионов (дырок), т. е.
ou/?>fFe, vPi. D.3.2)
При этом уравнение D.3.1) принимает вид
^H. D.3.3>
Отсюда спектр частот колебаний
где r2De=3u2Fe/co2Le. Этот спектр подобен спектру высокочастот-
высокочастотных ленгмюровских колебаний невырожденной плазмы D.2.5) и,
так же как и последний, справедлив в пределе \k2r2De<g,l.
Следует, однако, отметить существенное отличие электронных
колебаний вырожденной плазмы от ленгмюровских колебаний не-
невырожденной плазмы. Высокочастотные электронные колебания
вырожденной плазмы в отсутствие столкновений частиц совер-
совершенно не затухают, в то время как ленгмюровские колебания не-
невырожденной плазмы хотя и экспоненциально слабо, но все-таки
затухают и декремент их затухания определяется формулой
D.2.6). Это объясняется особенностью распределения Ферми по
скоростям. Дело в том, что в вырожденной плазме согласно рас-
распределению Ферми скорости хаотического движения электронов
не могут превышать скорость Ферми, поэтому в поглощении волн
с фазовой скоростью, большей скорости Ферми, электроны не
участвуют.
Как следствие, электронные колебания в вырожденной плаз-
плазме оказываются незатухающими вплоть до фазовых скоростей
(u/ik-+vFe. Действительно, в пределе к2г2ве^>1 из уравнения D.3.1)
находим
0)
= kvFe [ 1 + 2 ехр ( - -j- # rl-2 )J . D.3.5)
Эти колебания известны под названием нулевого звука. Они
представляют собой продолжение ленгмюровских волн D.3.4) в
коротковолновую область спектра (рис. 6, б, верхняя ветвь).
2. Рассмотрим теперь продольные колебания в области проме-
промежуточных фазовых скоростей, когда i>Fe<C(o/&<C0Fe и уравнение
D.3.1) для вырожденной плазмы записывается в виде
откуда находим спектр частот и декремент затухания колебаний:
со2 = ^ ,6= — — — — — • D-3.7)
Здесь электроны плазмы принимают активное участие в погло-
поглощении колебаний, поскольку скорость их хаотического движения
намного превышает фазовую скорость колебаний. Ионы же плаз-
плазмы совершенно не поглощают такие колебания, поэтому декре-
декремент затухания полностью определяется электронным поглоще-
поглощением волн.
Рассмотренные низкочастотные колебания по аналогии с ион-
но-звуковыми колебаниями невырожденной плазмы со спектром
D.2.9) можно было бы назвать ионно-звуковыми колебаниями вы-
вырожденной плазмы, тем более что они возможны не только в пол-
полностью вырожденной плазме, в которой вырождены как элект-
электроны, так и ионы (дырки), но и в частично вырожденной плазме,
когда ионы невырождены. Спектр частот D.3.7) при этом не меняет-
меняется, меняется лишь декремент затухания колебаний вследствие уче-
учета поглощения волн на максвелловски распределенных ионах
плазмы:
5= — *L -^j-— ^~ Л/ —~ГТ е • D-3-8)
81
Следует отметить, что в вырожденной электронно-ионной
плазме ионно-звуковые колебания простираются вплоть до фазо-
фазовых скоростей (d/fo-+VFi. Однако в отличие от D.3.7) такие колеба-
колебания возможны только в пределе &t>Fi>cou и их спектр дается фор-
формулой
D.3.9)
Спектр низкочастотных продольных волн в вырожденной плаз-
плазме показан на рис. 6, б (нижняя ветвь).
3. Наконец, в области самых низких частот <o<^kvFe, kvpi в
вырожденной плазме имеет место экранирование продольного по-
поля, поскольку
Зсо2 1
в'(»*) 1+ Е^ 1+ <4зл°)
Здесь Го =[2 (^La^Fa)!'2— дебаевский радиус вырожденной
a
плазмы, который определяет глубину экранирования низкочастот-
низкочастотного поля в плазме.
Так же как и в невырожденной плазме, подобное экранирова-
экранирование в вырожденной плазме имеет место при vFi<.(x>/k<^vFe в об-
области частот co2Le>>cD2^>co2Li. Радиус экранирования, однако, при
этом равен rDe.
§ 4.4. Поперечные волны в бесстолкновительной
изотропной плазме
4
Перейдем к изучению спектров поперечных электромагнитных
волн в однородной изотропной плазме, описываемых дисперсион-
дисперсионным уравнением B.4.6):
k2— -^-e"(co, ?) = 0. D.4.1)
В случае невырожденной плазмы в это уравнение следует под-
подставить выражение для поперечной диэлектрической проницаемо-
проницаемости D.1.14), в случае вырожденной плазмы— D.1.18).
Как и в предыдущих параграфах, уравнение D.4.1) проана-
проанализируем в противоположных пределах больших и малых фазо-
фазовых скоростей волн (высоких и низких частот).
1. Области быстрых волн, когда со/А»иТе для невырожденной
плазмы и (djk^vve для вырожденной плазмы. Уравнение D.4.1)
при подстановке выражений D.1.14), D.1.18) в этом пределе за-
записывается приближенно в виде
82
Отсюда получаем спектр высокочастотных поперечных волн в
изотропной плазме, не зависящий от степени вырождения
плазмы:
GJ«&2C2 + CD2Le. D.4.3)
Ионными слагаемыми в этой области частот можно прене-
пренебречь и считать плазму чисто электронной. Кроме того, спектр
частот поперечных волн, по существу, не зависит от теплового
движения частиц плазмы, поскольку их фазовая скорость боль-
больше скорости света и намного превышает скорость теплового хао-
хаотического движения заряженных частиц плазмы (напомним, что
рассматривается нерелятивистская равновесная плазма). Следст-
Следствием последнего является полное отсутствие поглощения таких
волн частицами плазмы при пренебрежении столкновениями,
Строго говоря, выражение D.1.14) имеет отличную от нуля мни-
мнимую часть даже при фазовых скоростях, больших скорости све-
света. Однако это является результатом неточности максвелловско-
го распределения при скоростях частиц v ^ с и ее не следует учи-
учитывать. В вырожденной же плазме этой проблемы вообще не
возникает.
Таким образом, быстрые высокочастотные поперечные волны
в бесстолкновительной изотропной плазме являются незатухаю-
незатухающими со спектром D.4.3), графически представленным на рис. 7.
2. Область поперечных волн с малыми фазовыми скоростями,
когда со<С&^те для невырожденной и G)<C&t>Fe для вырожденной
плазмы. В этой области частот независимо от соотношения меж-
между фазовой скоростью волны и скоростью хаотического движе-
движения ионов вкладом ионных слагаемых в диэлектрическую про-
проницаемость плазмы практически всегда можно пренебречь. При
этом для невырожденной плазмы
Jr
(<о, *)»!+/ 1/ ^~
D.4.4)
Подстановка этого выражения
в D.4.1) дает спектр
о)= —i
D.4.5)
Отсюда видно, что частота по- coLe
перечных колебаний является чи-
чисто мнимой. Это означает, что
поперечные колебания в низкоча-
низкочастотной области апериодически 0
затухают вследствие их сильно-
0)Le/C
ГО бесстолкновительного ПОГЛО- Рис. у. Спектр частот поперечных
щения электронами плазмы. В волн в изотропной плазме
83
Этой области частот их даже нельзя называть волнами. Поэтому
чаще говорят о быстром поглощении низкочастотного попереч-
поперечного поля в плазме, имея при этом в виду граничную задачу. Раз-
Разрешив дисперсионное уравнение D.4.5) относительно k(со), нахо-
находим пространственный масштаб затухания волн, или, как гово-
говорят, глубину проникновения Хск низкочастотного поперечного по-
#я в плазму:
Полученная глубина проникновения описывает глубину скини-
рования (скин-эффект) поперечного поля в плазме, связанного
с диссипацией энергии из-за черенковского поглощения. Из вы-
выражения для Яск следует, что в этом случае глубина проникнове-
проникновения Яск~о>~1/3 в отличие от обычной частотной зависимости
А,Ск~'(о~1/2 — глубины скин-слоя, обусловленного столкновениями
частиц (см. следующий параграф). В этой связи скин-эффект,
обусловленный бесстолкновительным затуханием (поглощением)
поперечных волн в плазме, называют аномальным.
Ясно, что аналогично скинируется низкочастотное поперечное
поле в случае вырожденной плазмы, в которой
в" К к) « 1 + i ЗП(°Ъе . D.4.7)
4 © kvFe
Подстановка этого выражения в D.4.1) приводит к спектру апе-
апериодически затухающих волн:
3 JT о^
Отсюда получаем глубину проникновения низкочастотного поля
в вырожденную плазму:
К=^=2(±С^I/\ D.4.9)
сц Im* [зл ^п)
Как и следовало ожидать, формулы D.4.7) — D.4.9) по суще-
существу отличаются от D.4.4) — D.4.&} заменой vTe на Vre-
Из выражений D.4.6) и D.4.9)'для глубины скин-слоя следу-
следует, что в бесстолкновительной плазме при со—^0 величина ХСк-^сю,
т. е. низкочастотное поперечное поле, проникает в плазму сколь
угодно глубоко. В этой связи напомним, что, как было показано,
продольное поле в статическом пределе (ю-й)) экранируется,
причем глубина проникновения электростатического поля в плаз-
плазму определяется дебаевским радиусом
64
§ 4.5. Диэлектрическая проницаемость
и спектры колебаний слабоионизованнои плазмы
с учетом столкновений частиц
До сих пор рассматривались колебания и волны в плазме при
условии полного пренебрежения столкновениями частиц. Их учет
позволит, во-первых, определить границы применимости прибли-
приближения бесстолкновительной плазмы, т. е. пределы применимости
полученных ранее формул. Во-вторых, это означает учет обыч-
обычных столкновительных механизмов диссипации энергии в плазме,
таких, как трение (т. е. передача импульсов от одних частиц к
другим), теплопроводность, диффузия и вязкость. Наконец, толь-
только при учете столкновений частиц можно оправдать выбор рав-
равновесной стационарной функции распределения заряженных ча-
частиц в плазме в виде термодинамически равновесного распреде-
распределения Максвелла либо распределения Ферми.
Анализ диэлектрической проницаемости плазмы с учетом
столк*Говений частиц начнем со слабоионизованнои невырожден-
невырожденной плазмы, когда интеграл упругих столкновений в кинетичес-
кинетическом уравнении для заряженных частиц можно аппроксимировать
модельным интегралом БГК C.5.2), а столкновениями заряжен-
заряженных частиц между собой — пренебречь. Простота анализа ди-
диэлектрической проницаемости такой плазмы облегчит в дальней-
дальнейшем анализ более сложного случая полностью ионизованной
плазмы.
Кинетическое уравнение для заряженных частиц сорта а в
слабоионизованнои плазме с модельным интегралом столкновений
БГК записывают в виде (см. § 3.5)
¦^ + v -^ + еа {Е+ tvB]} -J- = -v«n (/«-#« Фап), D.5.1)
at or 'dp
где van — частота столкновений заряженных частиц с нейтраль-
нейтральными, которая в этой модели считается постоянной величиной, а
Фа
Напомним, что индекс a (a=e, i) относится к заряженным ча-
частицам, а п — к нейтральным. В дальнейшем для простоты рас-
рассмотрим изотермическую модель интеграла БГК, т. е. пренебре-
пренебрежем изменением температуры заряженных частиц при изменени-
изменениях их функции распределения *. Кроме того, будем считать, что
массы нейтральных частиц и ионов, а также их температуры
совпадают: m2==Mn=Af, Тг=Тп. При этом с точностью до членов
порядка ~т/М имеем Теп = Те. Таким образом, в формулах
* Заметим, что все полученные ниже результаты качественно сохраняются
в неизотермической модели интеграла БГК.
85
D.5.2) можно полагать ТаП = Та, а функцию ФаП — совпадаю-
совпадающей с максвелловской функцией распределения, нормированной
на единицу:
Фап = - e~m" *2/<2Г«). D.5.3)
B*тТK/2
В стационарном равновесном состоянии в отсутствие внешних
полей уравнение D.5.1) допускает лишь единственное решение в
виде функции распределения Максвелла, нормированной на рав-
равновесную плотность частиц сорта а, т. е. Моа:
Рассматривая далее малое возмущение функции распределе-
распределения б/а, вызванное появлением малых полей Е и В, из уравнения
D.5.1) после его линеаризации получим
! it ~ ~Van {8fa~
Решение этого линейного кинетического уравнения для плос-
плоских монохроматических волн (Е, б/а~ехр[—ico^+ikr]) можно
записать в виде
J D.5.6)
— возмущение плотности частиц, нормированное на равновесное
значение плотности.
Величину т)а легко определить, интегрируя выражение
D.5.5) по импульсу либо используя уравнение непрерывности
для частиц сорта а:
а оа
Подставляя D.5.5) в формулу D.5.7), легко определить плот-
плотность тока ja. Произведя расчеты, аналогичные проведенным в
§ 4.1, окончательно получим для продольной и поперечной ди-
диэлектрических проницаемостей
вп)
где суммирование распространяется только по заряженным час-
частицам плазмы.
Переходя к исследованию спектров колебаний изотропной
плазмы с учетом столкновений частиц, прежде всего заметим,
что в статическом пределе (ш->0) в столкновительной плазме, так
же как и в бесстолкновительной, продольная диэлектрическая
проницаемость имеет вид [ср. с D.2.13)]
L. D.5.9)
что приводит к дебаевскому экранированию статического про-
продольного поля в плазме. Таким образом, столкновения частиц не
влияют явно на поведение электростатистического поля в плазме.
Иное положение имеет место в высокочастотной области, ког-
когда (o^>kvT(Xi va n. При полном пренебрежении столкновениями
частиц по отношению к продольным колебаниям плазму можно
считать чисто электронной; как было показано в § 4.2, ионными
слагаемыми в этой области можно пренебречь. Это положение
сохраняется и при учете столкновений частиц, но уравнение
D.2.3) несколько меняется:
<4-5|0>
В этом уравнении имеется два мнимых члена. Первый из них
обусловлен бесстолкновительным черенковским поглощением
волн в плазме, а второй имеет чисто столкновительную природу
и описывает диссипацию энергии поля в плазме благодаря пере-
передаче импульса электрона нейтральной частице при столкновени-
столкновениях (электронное трение). Таким образом, в высокочастотном пре-
пределе бесстолкновительный и столкновительный механизмы дис-
диссипации дают аддитивный вклад в дисперсионное уравнение для
продольных колебаний плазмы; недиссипативная же часть урав-
уравнения не меняется. В результате спектр частот продольных коле-
колебаний D.2.5) остается без изменения, а в выражении для декре-
декремента затухания D.2.6) появляется столкновительная поправка
Аб = — W2, D.5.11)
которая может быть больше бесстолкновительного затухания Лан-
Ландау, особенно в области длинных волн, когда
з ' 1
е ¦ <4-5Л2)
87
В противоположном случае, т. е. для коротких волн, столкно-
вительное затухание пренебрежимо мало по сравнению с бес-
столкновительным затуханием Ландау.
Кроме высокочастотных продольных колебаний, как было по-
показано в § 4.2, в изотропной бесстолкновительной плазме воз-
возможны также низкочастотные (медленные), так называемые ион-
но-звуковые колебания. Они существуют лишь в сильно неизотер-
неизотермической плазме, в которой Ге>^; "фазовая скорость этих коле-
колебаний лежит в пределах ?/Тг<а)/&<^те. Очевидно, что такие коле-
колебания должны существовать и в столкновительной плазме, если
столкновения частиц достаточно редки. Действительно, при
^'Cvin и |со —f-1 ve| <tikvTe в указанной области фазовых скоростей
из выражения D.5.8) получаем
Z <Ll e2*"* +i^UL =0. D.5.13)
) {
Это уравнение отличается от D.2.8) последнием слагаемым,
учитывающим столкновения ионов с нейтральными частицами
(ионное трение), что приводит к столкновительной поправке к
Декременту затухания ионно-звуковых волн D.2.9):
Дб = — vin/2. D.5.14)
Следует обратить внимание на то, что в рассматриваемой об-
области частот столкновения электронов не дают вклада в дисси-
диссипацию продольных колебаний в плазме. Это является следствием
неравенства ve<^kvTe, согласно которому длина волны намного
меньше длины свободного пробега электронов и, как результат,
отбор энергии поля электронами происходит значительно интен-
интенсивнее из-за черенковского механизма поглощения.
Наконец, рассмотрим влияние столкновений частиц на харак-
характер распространения поперечных электромагнитных волн в сла-
ооионизованной плазме. В предыдущем параграфе было показа-
показано, что высокочастотные поперечные волны со спектром D.4.5),
обладающие фазовой скоростью, большей скорости света, в бес-
столкновительном пределе вообще не поглощаются в плазме. При
учете редких столкновений частиц, когда co>ven и поперечная
диэлектрическая проницаемость принимает вид
D.5.15)
4 ' ' со* \ со / % '
появляется затухание таких волн, обусловленное электронным
трением, причем декремент их затухания
D.5.16)
В области же низких частот (малых фазовых скоростей) уже
в бесстолкновительной плазме поперечные волны оказываются
сильнозатухающими. Поэтому очевидно, что учет столкновений в
этой области не может привести к появлению слабозатухающих
собственных волн.
Не представляет большого труда исследовать спектры колеба-
колебаний слабоионизованной вырожденной плазмы, столкновения час-
частиц в которой описываются модельным интегралом C.5.6). Лине-
Линеаризованное по малым возмущениям кинетическое уравнение при
этом записывается так [ср. с. D.5.4)]:
Отсюда для решений вида 6/а~ехр(—ico^+ikr) имеем
e«(Ev)-^f . 2 v«»#*f«1«
Учтем теперь, что, согласно D.5.7),
\a «а"оаю
Дальнейшие вычисления аналогичны проведенным выше и
окончательно приводят к следующим выражениям для продоль-
продольной и поперечной диэлектрических проницаемостей слабоионизо-
слабоионизованной вырожденной плазмы:
D.5.19)
Проанализируем спектры слабоиокизованной вырожденной
плазмы лишь в высокочастотном пределе, когда |co + ivan|^>
*^>kvFa и пространственной дисперсией тензора диэлектрической
проницаемости можно полностью пренебречь:
N = в*И = 1 - тг7^Г—\ ¦ D-52°)
89
Эти выражения приводят к таким же поправкам к декремен-
декрементам затухания продольных и поперечных волн, какие были полу-
получены в случае слабоионизованной невырожденной плазмы [см.
D.5.11) и D.5.16)]. В вырожденной плазме, однако, эти колеба-
колебания (как продольные, так и поперечные) в бесстолкновительном
пределе не затухают, а спектр частот определяется формулами
D.3.4) и D.4.3) соответственно для продольных и поперечных ко-
колебаний. Легко показать, что поправка D.5.14) возникает и для
декремента затухания ионно-звуковых волн, спектр колебаний ко-
которых в бесстолкновительном пределе определяется формулой
D.3.7).
§ 4.6. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний
полностью ионизованной плазмы
с учетом столкновений частиц
Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой преоб-
преобладают столкновения заряженных частиц между собой. Анализ
спектров колебаний начнем с невырожденной плазмы, функции
распределения заряженных частиц в которой являются функция-
функциями распределения Максвелла с разными температурами электрон-
электронной и ионной компонент. Для описания столкновений частиц в
такой плазме будем пользоваться интегралом столкновений Лан-
Ландау, записав кинетическое уравнение для частиц сорта а в виде
C.4.7):
A-J ^ [ЛW?-/.««?]. D.6.,,
где /«/ = -Ц- 4 Ч «*U=H±> L, a a - .„-у,.
8яе0 и
Функции распределения Максвелла с разными температурами
Те и Ti не являются4 решениями уравнений D.6.1) в стационар-
стационарном и однородном случае в отсутствие внешних полей. Однако
время выравнивания температур электронов и ионов порядка
м
— Г^ФФ . поэтому если интересоваться процессами, протекающими
быстрее этого времени, то состояние плазмы с максвелловскими
распределениями заряженных частиц по скоростям можно считать
квазистационарным и приближенно удовлетворяющим равновесию.
При небольшом отклонении от равновесия под действием малых
полей Е и В функция распределения частиц получит малое прира-
90
щение б/а, уравнение для которого получаются из D.6.1) путем ли-
линеаризации:
Решить это уравнение, точнее, систему уравнений для электро-
электронов и ионов, которые даже после линеаризации остаются интег-
интегральными с довольно сложным ядром, в общем случае не уда-
удается. Поэтому не удается получить и выражение для тензора ди-
диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы в
произвольной области частот со и волновых векторов к, как это
было сделано в предыдущем параграфе для слабоионизованной
плазмы. Но те области шик, в которых можно решить уравнение
D.6.2) и получить аналитическое выражение для eij(со, &), доста-
достаточно широки и охватывают практически все наиболее интересные
случаи.
В области высоких частот co>va либо коротких длин волн
kvTa^va интегралом столкновений в уравнении D.6.1) в нуле-
нулевом приближении можно пренебречь и записать его решение в
виде D.1.6):
со —
<4-6-3>
[зависимость всех возмущенных величин, как обычно, принимаем
в виде плоской монохроматической волны ехр(—ioo^+ikr)].
В первом приближении находим поправку от столкновений
частиц данного сорта со всеми частицами (в том числе и с час-
частицами этого же сорта):
. D.6.4)
Формула D.6.3) приводит к известному выражению для тен-
тензора диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плаз-
плазмы, полученному в § 4.1, соотношение же D.6.4) дает поправку к
плотности индуцированного заряда и тока в плазме, а следова-
следовательно, к бесстолкновительному тензору диэлектрической прони-
проницаемости. В условиях, когда со, va<C^Ta для a = t, e, этой поправ-
91
кой, однако, можно пренебречь, поскольку длина волны намного
меньше длины свободного пробега частиц и столкновительные
процессы, как диссипативные, так и недиссипативные, мало су-
существенны.
В обратном пределе высоких частот, когда co»va, kvTa, столк-
столкновения играют важную роль и их учет становится необходимым,
особенно при вычислении диссипативной части тензора диэлектри-
диэлектрической проницаемости, так как в отсутствие столкновений при фа-
фазовых скоростях волн, больших тепловых скоростей частиц, бес-
столкновительная диссипация экспоненциально мала. Довольно
громоздкие, но по идее простые вычисления дают следующие по-
поправки к бесстолкновительной диэлектрической проницаемости:
ПрИ k
со, к) = бе* (со, k) = i СО^ЭФФ . D.6.5)
со3
со3
При <0»Vi, kVTi, НО СО,
бе' (ее, /
В этих выражениях
К k) = -f- i ^^f^' , fie* ((о, k) = 0. D.6.6)
5 (о8
т
Полученные поправки позволяют учесть столкновительное за-
затухание волн, спектры которых в бесстолкновительном пределе
были исследованы в § 4.2 и 4.4. Так, для высокочастотных про-
продольных колебаний со спектроц частот D.2.5) в полностью иони-
ионизованной плазме учет электрон-ионных столкновений приводит к
поправке к декременту затухания D.2.6)
Дб=— v3<h>/2, D.6.8)
которая подобна поправке D.5.11), учитывающей столкновения
электронов с нейтральными частицами. Поэтому, принимая во
внимание аддитивность диссипативных эффектов в затухании
волн, можно несколько подробнее расшифровать понятие пол-
полностью ионизованной плазмы. Очевидно, что при условии
V3(JL)>Ven D.6.9)
преобладающими являются столкновения электронов с ионами и
плазму можно считать полностью ионизованной по отношению к
высокочастотным плазменным колебаниям; в противном случае
плазму следует считать слабоионизованной. Заметим, что в ре-
реальной плазме неравенство D.6.9) выполняется уже при степени
ионизации Ne/Nfi ? 10~34-10-2.
Несколько иное положение имеет место для ионно-звуковых
волн, представляющих собой низкочастотную ветвь продольных
92
колебаний неизотермической плазмы с Те^Т%. Учет столкновений
ионов с ионами, что в данном случае означает учет высокочастот-
высокочастотной ионной вязкости, приводит к следующей поправке к бесстолк-
новительному декременту затухания D.2.9):
A6^. D.6.10)
5 ю2
Сравнение этой поправки с поправкой D.5.14), полученной для
слабоионизованной плазмы при учете столкновений ионов с нейт-
нейтральными частицами, позволяет сделать вывод о том, что по от-
отношению к ионно-звуковым колебаниям плазму можно считать
полностью ионизованной, если
±^±т±^,ь_ D611)
и слабоионизованной в обратном пределе. В реальной плазме это
условие выполняется при степени ионизации NjfNn ^ 10~Ч-1.
Наконец, столкновительная поправка к поперечной диэлектри-
диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы D.6.5)
определяет декремент затухания высокочастотных поперечных
волн со спектром D.4.5), являющихся незатухающими в бесстолк-
новительном пределе:
^. D.6.12)
Из сравнения этого выражения с декрементом затухания по-
поперечных волн в слабоионизованной плазме D.5.16) следует, что
по отношению к высокочастотным поперечным волнам, так же как
и к плазменным колебаниям, плазму можно считать полностью
ионизованной при выполнении неравенства D.6.9) и слабоионизо-
слабоионизованной в обратном случае.
В заключение рассмотрим влияние столкновений частиц на
спектры колебаний полностью ионизованной вырожденной плазмы,
причем ограничимся наиболее интересным случаем, когда элект-
электроны вырождены, а ионы нет. Кроме того, исследуем влияние
столкновений лишь на высокочастотные волны в условиях co>v^
kvFe, которые при пренебрежении столкновениями частиц вообще
не поглощаются, так как обладают фазовой скоростью, большей
скорости света. В этих условиях основной вклад дают столкнове-
столкновения электронов с ионами, причем расчет поправки к бесстолкнови-
тельной диэлектрической проницаемости подобен проведенному
выше с той лишь разницей, что в интеграле столкновений учиты-
учитывается вырождение, и он имеет вид C.4.9). Опуская здесь под-
подробности вычислений, приведем окончательный ответ [ср. с
D.6.5)]: 2
бе' (со, k) - бе* (о, k) = i -^r1 ' <4'6-13>
93
где ;
vFe=—! t^lLm D.6.14)
2JV2lS %U2
Поправки D.6.13) приводят к появлению столкновительных по-
поправок к декрементам затухания высокочастотных продольных и
поперечных волн соответственно [ср. с D.6.8) и D.6.12)]:
D.6.15)
Задачи к гл. 4
Задача 4.1. Исходя из модели независимых частиц, вывести 'выражение для
высокочастотной диэлектрической проницаемости изотропной плазмы и вы-
вычислить среднюю силу, действующую на изотропную плазму в СВЧ-поле.
Решение. Линеаризованную систему уравнений динамики изотропной
(в отсутствие внешнего магнитного поля) плазмы в модели независимых час-
частиц записывают в виде (Va, #a-H#Oa +^а» Е)
oaVa = 0; A)
где а=?, е. Отсюда для возмущений вида е-1©' находим
Va = a , B)
При этом плотность индуцированного тока в плазме
Отсюда получаем искомое выражение для диэлектрической проницаемости:
/. D)
a ©« / \ со»
Это выражение представляет собой предел D.1.17) при Та~+0, т. е. в пределе
«холодной плазмы».
Для средней силы, действующей на единичный объем плазмы в СВЧ-поле,
согласно B.3.25) получаем
Сила эта «выталкивает» плазму из области сильного поля.
Задача 4.2. На основе уравнений одножидкостной гидродинамики C.6.21)
исследовать малые колебания изотропной неизотермической плазмы.
Решение. Линеаризованную систему уравнений C.6.21) для изотропной
плазмы записывают следующим образом (рм-^Ром+Рь V):
^ ^ O. A)
94
Отсюда находим для возмущений вида ехр (—i©t+ikr) систему однородных ал-
алгебраических уравнений
opoMV—u2skpi=0, <opi—poMkV=O, B)
условие разрешимости которой и представляет собой дисперсионное уравнение
малых колебаний. Это условие имеет ©ид
C)
и совпадает с дисперсионным уравнением для определения спектра частот длин-
длинноволновых ионно-звуковых колебаний неизотермической плазмы C.2.10).
Задача 4.3. Исследовать затухание высокочастотных ленгмюровских колеба-
ний невырожденной изотропной бесстолкновительной электронной плазмы в
пределе коротких длин волн: &3г2в«>1.
Решение. Используя асимптотику функции J+(x) в условиях |*|>1 и
|>|R| Im*<0, до C.21) получаем дисперсионное уравнение
решение которого будем искать в виде
ю=—ifcvr е|. B)
Тогда |Rel|»|Im|| и
Разбив это уравнение на действительную и мнимую части: |=5/+i|//> по-
получим
УГ Б' е*"'2 cos (g' |") + У&Г Г е*"/2 sin ffi' Г) +#/?, = <>, D)
Из второго уравнения D) следует, что g'>0 и |/7>0, причем g(
->—б"/!7-*—0. Тангенс отрицателен во второй и четвертой четвертях и стремится
к нулю, когда его аргумент близок либо к я, либо к 2я. Исходным предполо-
предположениям соответствует первое значение аргумента, т. е. %'%"*= Яг-а при а->4).
я—а
При этом tgg/^//=tg(ус—а)«— а, т. е. I'Tg'^a, а следовательно, |/2= =>
a
->+оо и cosg'l^ss—1. Учитывая сказанное, из первого уравнения D) оконча-
окончательно получаем
I' e« "" = k* rfc V » V 2 In (^ rge)» 1. E)
Таким образом, колебания являются сильнозатухающими с декрементом
затухания
Величину Re© легко найти, используя соотношение |/'=я/|/. Тогда полный
спектр сильнозатухающих коротковолновых продольных колебаний
G)
Отсюда видно, что 1т<о/?>ите, но Reco/^<t;Te, поэтому основная iMacca элект-
электронов принимает участие в черенковском поглощении волны. Этим <и объясня-
объясняется сильное затухание таких коротковолновых продольных колебаний.
Задача 4.4. Исходя из кинетического уравнения Ландау, получить выраже-
выражения для продольной и поперечной диэлектрических проницаемостей изотроп-
95
ной полностью ионизованной невырожденной плазмы в условиях частых
столкновений, когда va><x>, &t>T(X, a=e, и
Решение. В этих условиях основной вклад в индуцированный ток дают
электроны, поэтому достаточно решить уравнение для электронной функции
распределения, считая ионы невозмущенными. Линеаризованное уравнение для
электронной функции распределения при этом записывают в виде
Решать это уравнение удобно методом Чепмена—Знскога, разлагая по поли-
полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя членами разложения, имеем
>*• B)
/А ф \
Подставляя B) в A), домножая A) на полиномы 1 и I 2 ~~~ о 2 ) и
интегрируя по импульсу, получаем систему двух уравнений для определения
коэффициентов разложения а0 и аь Для плазмы с однозарядными ионами ?г=
= | е] этой системой является
еЕ (а +JLa \.
0 2 i i
_3_
Отсюда
'3+4/2 -.=»¦
Теперь из B) можно найти плотность индуцированного в плазме элект-
электронного тока:
e^^. E)
Для диэлектрической проницаемости плазмы окончательно имеем
2
г1 = г* = 1 + i 1,96 -^-. F)
(ОГфф
Строго говоря, выражение F) пригодно лишь в условиях ©va$><i>>?2y2T e. В
противном случае в левой части уравнения A) необходимо учитывать малые
члены с пространственной и временной производными. Анализ показывает, од-
однако, что такие члены существенны лишь при вычислении продольной диэлект-
диэлектрической проницаемости. В поперечную диэлектрическую проницаемость они
вклада не дают.
Задача 4.5. Исследовать характер проникновения поперечного поля в плазму
в зависимости от частоты со.
Решение. Характер проникновения поперечного поля определяется кор-
корнями &((о) дисперсионного уравнения
96
Глубина проникновения поля
B)
Проанализируем уравнение A) в различных областях частот.
а) В области <o»ve, kv0 (ve — частота столкновений электронов, v0 —
средняя скорость их хаотического движения; vo=Vt e для невырожденной плаз-
плазмы и vo=v? e для вырожденной плазмы) имеем
C)
Здесь ve=ven для слабоионизованной невырожденной я вырожденной плазмы,
ve=Va4><|> Для полностью ионизованной невырожденной плазмы и ve=vp в для
вырожденной плазмы.
Из A) при подстановке C) получаем
2с ю*
— при со » сои>
*uV* D)
с vQ
—- при - —
б) В области &i>o»<D, ve имеем
с
Л2
СО
E)
Здесь a=V"/2 Для невырожденной и о=(Зя)/4 для вырожденной плазмы.
В этой области частот из A) получаем
»--
(в)
при с
Таким образом, область существования решения F), соответствующего ано-
аномальному скин^эффекту, дается неравенством ve<IC~^o)Le. Аномальный скин-аф-
с
фект возможен только в области частот со>со* независимо от соотношения ве-
величин СО И Ve.
в) В области Ve^kvo имеем
^2
G)
Здесь di — \ для слабоионизованной и
ai==l,96 для полностью ионизованной
плазмы. В результате
(8)
при ©<со*, ve.
Таким образом, решение (8), соответ-
соответствующее нормальному скин-эффекту, су- Рис. 8. Зависимость глубины проник-
ществует в области частот ю<Ссо* неза-
независимо от соотношения величин со* и ve.
4--953
новения поперечного поля в
плазму от частоты
97
Результаты проведенного анализа представлены на рис. 8.
Задача 4.6. Вывести выражение для диэлектрической проницаемости ульт»
рарелятивистской невырожденной (Ге>тс2) электронной плазмы и иссле~
довать спектры высокочастотных волн.
Решение. Поскольку энергия ультрарелятивистских частиц ?Г~ср, функ-
функция распределения электронов в такой плазме имеет вид
toe (Р) = гг ( V"
Скорость электронов при этом равна скорости света: i>= — =с, и в этом
смысле функция распределения A) подобна распределению Ферми. Подставляя
функцию распределения A) в D.1.13), получаем
4ak Те80 I ck \c2k2 ) со — eft)
По своей структуре эти выражения схожи с D.1.18). Из них непосредст-
непосредственно следует, что при со/^>с мнимые части г1 и е'г равны нулю и поглоще-
поглощение волн в плазме отсутствует. Спектры частот колебаний при этом определя-
определяются соотношениями
- — k2 с2 при ю » ck;
5
C)
• С2 k2 При (d-+Ck
2г0Те
для поперечных волн, и
со2 = ——^— + — с2 k2 при со
3 е0 Те 5
Г, . I Л %4k2Te \ 1
© = ck\ 1+2 ехр — 2 — — I при о -*¦ ck D)
для продольных волн.
В области малых фазовых скоростей (низких частот), когда <o</jc, мнимые
части в1 и е'г велики и поле в плазме сильно поглощается либо экранируется.
Действительно при оХс& имеем
¦-+;?&('+¦?)• «•
4е0 с
Отсюда видно, что радиус экранирования продольного поля в плазме равен де-
/ Т f \ 1 /2
баевскому радиусу Я?к = ( • ge ° ) , а глубина проникновения поперечного
поля определяется аномалыным ск1ин-эффекто1м
ir _/ 8
Задача 4.7. Исследовать процесс релаксации анизотропии температуры элект*
ронов (Т±—Гц ) в полностью ионизованной неизотермической плазме в
98
условиях Te^>Ti при учете поляризационного взаимодействия электронов
(взаимодействие посредством ионного звука).
Решение. В изотропизации температуры электронов, как было показано
8 задаче 3.5 принимают участие как электрон-электронные, так и электрон-ион-
вые столкновения. При решении задачи 3.5 было пренебрежено поляризацией
плазмы в интеграле столкновений и тем самым взаимодействием электронов
вследствие испускания и поглощения плазменных волн (волновое взаимодей-
взаимодействие). Такое приближение справедливо для не очень сильно неизотермической
плазмы, в которой невозможны ионно-звуковые колебания. В неизотермической
плазме в условиях Te^Tt электроны интенсивно взаимодействуют с ионным
звуком и могут быстро обмениваться импульсом посредством испускания и по-
поглощения таких волн. Поэтому здесь учтем только такое волновое взаимодей-
взаимодействие и выясним, когда оно становится определяющим. Запишем
«р,
,„
и учтем в интеграле электрон-электронных столкновений только волновое (по-
(поляризационное) взаимодействие, т. е, представим Ieeij(p, p') в виде
. I НИ 1 ^у>
^< |Ime(kv,k)| ' K)
Это выражение учитывает лишь вклад, обусловленный волновым (поляри-
(поляризационным) взаимодействием электронов с ионно-звуковыми колебаниями, по-
поэтому интегрирование по k проводится только в области krDi<,lt где такие
колебания существуют. Оно дает аддитивный вклад в релаксацию анизотропии
температуры наряду с ближними столкновениями (область &гб*>!1), учтенны-
учтенными в задаче 3.5. Учтем теперь тот факт, что для ионно-звуковых волн k
и запишем B) в иной форме:
Считая анизотропию температуры электронов малой, получим
2 2
(О2
Ime(a>,k)=:
2 *¦««¦
Подставляя D) в C), после громоздких вычислений будем иметь
ЗХ if 2jT 8п IГVV '11*^
«I
In _
99
Отсюда видно, что по порядку величины , 1е{* ^ в то время как отброшен-
отброшенный интеграл ближних столкновений давал 1ец ** — L. Таким образом, ис-
используемое пренебрежение ближними столкновениями по сравнению с поляри-
вационным взаимодействием обосновано при условии />-L «ли
Тв 1 ' ' Гп' F)
In.
rmln,
Это условие реально выполняется при 7УГ<>102-~-108.
Подставляя далее E) в A), домножая A) «a mv2j2 и mv^/2 и интегри-
интегрируя по импульсам, так же как и в задаче З.б, получаем
где
Уев =
е
г8/2
G)
(8)
Учитывая аддитивный вклад в релаксацию ближних столкновений, найден-
найденный в задаче 3.5, окончательно получаем *
(9)
Задача 4.8. Исходя из выражения D.5.8) для продольной диэлектрической
проницаемости, исследовать диффузионное расплывание малой неоднород-
неоднородности плотности заряженных частиц в слабоионизованной изотропной
плазме.
Решение. Диффузионное расплывание является медленным процессом,
характерное время которого т~1/|со| >l/ve, 1/v*. Поэтому для его описания
следует рассмотреть низкочастотный предел D.5.8)
е1 (©,*)«!+.
A)
Здесь со~1/т характеризует время расплывания неоднородности с простран-
пространственным размером L~l/k.
При малых концентрациях заряженных частиц, ю?а ^^та (а~е> О ПР°"
цесс диффузии электронов « ионов происходит независимым образом (свобод-
(свободная диффузия) и, как нетрудно понять, нули выражения 8l(©, k) практически
совпадают с полюсами в электронном и ионном вкладах в выражении A):
1+1^та ~^- Отсюда находим коэффициенты свободной диффузии каждой
D —v^Jv . B)
В обратном же пределе, когда характерный размер неоднородности значительно
превосходит дебаевские радиусы электронов и ионов в плазме, нули функции
ez((u, k) описывают расплывание неоднородности в плотной плазме с учетом
КО
an
из компонент:
самосогласованного взаимодействия электронов и ионов, т. е. процесс амбипо-
лярной диффузии. При этом
(D= -Г \~« ' "У. C)
Отсюда для коэффициента амбиполярной диффузии имеем
Задача 4.9. Показать, что в изотропной плазме возможно построение час-
частотного решения уравнения D.1.4), соответствующего незатухающим про-
продольным волнам (моды Ван-Кампена).
Решение. Рассматривая D.1.4) как неоднородное уравнение, к 'D.1.61
следует добавить решение однородного уравнения (со—kv)/^/a<1>=0, где
Здесь Nal — произвольная постоянная. Решение A) соответствует моноскоро-
моноскоростному (и=©/?) модулированному пучку частиц сорта а с плотностью Nali
В результате общее решение D.1.6) записывается в виде
Подставляя это решение в уравнение Пуассона, получим дисперсионное урав-
уравнение для продольных колебаний изотропной электронной плазмы [ср. с
D.1,13)]:
Здесь de\ — новая постоянная, однозначно связанная с Ne\.
Легко видеть, что подбором постоянной Ne\ (или de\) можно добиться об-
обращения в нуль мнимой части уравнения C). Это означает, что затухание та-
таких волн в бесстолкновительной плазме будет отсутствовать. Такие волны по-
получили название волн Ван-Кампена. Любое возмущение в плазме можно раз-
разложить по полному набору функций вида B).
Глава 5. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ
ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИИ
ОДНОРОДНОЙ
МАГНИТОАКТИВНОИ
ПЛАЗМЫ
§ 5.1. Тензор
диэлектрической
проницаемости
однородной
бесстолкновительной
магнитоактивной
плазмы
Изучим теперь электромагнитные свойст-
свойства термодинамически равновесной плазмы во внешнем постоянном
и однородномчюагнитном поле Во. Равновесные распределения за-
заряженных частиц по импульсам принимаются в виде распределе-
распределения Максвелла D.1.1) либо Ферми D.1.2). Так же как и в пре-
предыдущей главе, анализ свойств такой плазмы начнем исходя из
уравнения Власова, т. е. пренебрегая столкновениями частиц. Ли-
Линеаризуя кинетическое уравнение по малому отклонению функции
распределения частиц сорта а от равновесного значения б/а, для
возмущений вида ехр(—ico^+ikr) получаем ,
^ ^=0. F.1.1)
р
Решение уравнения E.1.1) проведем в системе координат, ось
Oz которой ориентирована вдоль магнитного поля: В0=@, 0, Во).
При этом в пространстве импульсов удобно перейти к цилиндри-
цилиндрической системе координат: p±f <p, pz (px=P ±cos cp, ру=р± sin cp),
причем р—туу9 где y=A—v2\fc2)~l/2. Тогда можно записать
—i (со—kvN/a + eaE —^ " —~ =0» E.1.2)
дра у д<$
еВ0
где ,уа = -^—. Это линейное неоднородное дифференциальное
уравнение относительно б/а, общим решением которого является
б/а= ^- fdq/ (е —*Л ехр V-1- \ dq" (а—к\)г] . E.1.3)
Qa С \ ^Ра /ф' L Qa Ф J
Индексы q/ и ф" при выражениях в круглых скобках показывают,
что эти выражения следует рассматривать как функции q/ и ер".
102
Постоянную интегрирования С следует определить из естествен-
естественного требования периодичности б/а (ф):
Легкр показать, что указанное условие может выполняться только
при |С|=оо. Это значение С имеет простой физический смысл.
Дело в том, что переменная ф однозначно связана со временем,
поскольку изменение ф обусловлено циклотронным вращением
частиц вокруг силовых линий магнитного поля (т. е. вокруг оси
Oz): ф = йа//7, где t — время. Потребуем далее, чтобы неравно-
неравновесная добавка к функции распределения 8fa обращалась при
f=—оо в нуль (адиабатное включение поля в бесконечном прош-
прошлом). При этом получим, что на нижнем пределе интегрирования
Ф = ±оо, причем знак соответствует знаку Qa для каждого сорта
частиц а. Таким образом, решение E.1.3) можно записать в виде
6/a= -5L— j d<P [Е —22-1 ехр —*- j аф (со—ку)ф* . E.1.4)
а оо \ ^Ра /ф' L "* а Ф J
Выражая плотность тока j через 8fa посредством соотношения
D.1.5), можно определить компоненты тензора проводимости
Oij((d, k), а следовательно, и тензора диэлектрической проницае-
проницаемости 8ij(co, k): .
X f Aф7 (—— ) ехр —~ f d ф/7 (со—ку)ф" I . E.1.5)
L \ dPJ /Ф' L Qa ф J
Вследствие изотропии равновесной функции распределения
можно записать ^- = ^ v, где p = /nYv, а ^= Vm2c4+p2c2. С
учетом этого тензор диэлектрической проницаемости
[ф' ~]
-^- J с1ф//(со—ку)ф- . E.1.6)
Qa Ф J
Без нарушения общности положим, что вектор к лежит в плос-
плоскости xz9 т. е. к=&х> 0> kz. Произведя интегрирование по ф", экс-
экспоненциальный множитель в выражении E.1.5) можно записать
следующим образом:
-i^^^1 Т(Ф-Ф#)]
X ехр —i ±^±У (sinф'—sinф) .
X
103
Используя далее разложение
оо
exp (± i ba sin ф) = 2 Jn Фа) exp [inq>],
П=— оо
где 6а = k± v± y/Qa* a /n — функция Бесселя n-ro порядка, выра-
выражение E.1.5) после довольно громоздких, но несложных вычисле-
вычислений можно привести к виду
С и? °° 'тЛ
2 —- Нр« 2
а Ш80 5Ж „=_,
й
—2
V
—Uef©—kzvz—л—
E.1.7)
Здесь ^ означает главное значение интеграла, а
Г
П<?>
я
"X "г « IT
• E.1.8)
[Jn(ba) и /'nFa) — функция Бесселя и ее производная по аргу-
аргументу Ьа = kx vx Y/^a)*
При такой форме записи тензора диэлектрической проницае-
проницаемости магнитоактивной плазмы явно видны циклотронные резо-
нансы, связанные с обращением знаменателя со—kzvz—п _« в нуль.
Слагаемые, содержащие главное значение интеграла 5^, составля-
составляют при этом эрмитовскую часть тензора 8ij(co, k), а слагаемые с
б-функцией — антиэрмитовскую часть, ответственную за поглоще-
поглощение волн в плазме. Таким образом, в отличие от немагнитоактив-
ной плазмы, где в бесстолкновительном поглощении волн участво-
участвовали частицы, для которых выполнялось условие (o=kv, в магни-
магнитоактивной плазме в поглощении волн в отсутствие столкновений
участвуют лишь те частицы, для которых
kzvz
п
=0.
E.1.9)
Природу поглощения проще всего понять из следующих сооб-
соображений. В магнитном поле движение каждой частицы складыва-
складывается из свободного движения вдоль силовой линии и циклотронно-
циклотронного вращения с частотой QJy вокруг силовой линии магнитного
поля Во. При таком движении заряженная частица излучает как
104
вследствие ускорения из-за вращения (магнитотормозное, или цик-
циклотронное, излучение), так и вследствие обычного эффекта Че-
ренкова из-за прямолинейного движения вдоль силовой линии по-
поля Во. Частоты излучаемых при этом волн определяют из усло-
условия
со = л -?. +kzv2, л= О, ± 1, ±2,...
Это условие при п=0 соответствует черенковскому излучению, а
при пФ О — циклотронному излучению.
Отметим, что при А2=0 в пределе нерелятивистской плазмы
G=1) антиэрмитовская часть тензора 8ij(o), k) равна нулю, и по-
поглощение волн, распространяющихся строго поперек магнитного
поля, отсутствует. Действительно, из выражения E.1.7) следует,
что при интегрировании по dp в этом случае никаких особенностей
в подынтегральных выражениях не возникает и вклад членов, со-
содержащих б-функцию, в диэлектрическую проницаемость равен
нулю. Это утверждение, однако, справедливо лишь при ю^йа. В
пределе больших частот ©^>iQa магнитным полем можно пренеб-
пренебречь, а это означает, что поглощение должно иметь место и при
kz=0, так как этот предел соответствует изотропной плазме без
внешнего магнитного поля. Физически это очевидно, так как при
Qa -M) ларморовский радиус частиц становится бесконечно боль-
большим, т. е. намного превышает длину волны. Формальный переход
к пределу Йа->0 в выражении E.1.7) нетривиален и затрагивает
вопрос об асимптотических представлениях функций Бесселя при
больших значениях аргумента и индекса. При ,Qa->0 аргументы
функций Бесселя в E.1.8) велики. При этом слагаемые с |п|<
<ятах=&±v±№a дают в этих формулах вклад одного и того же
порядка, вклад же слагаемых с |/г|>ятах экспоненциально мал.
Поэтому суммирование в формуле E.1.7) при iQa-^0 нужно про-
проводить до |л|=Птах, что приводит даже при kz=0 к появлению
знаменателя вида ©—птг*п<х=<о—k ±v± =co—kv, а следовательно,
к бесстолкновительному поглощению волн.
Что же касается поглощения волн с kz=0 в релятивистской
плазме, то наличие 7=7^1 в б-функции выражения E.1.7) приводит
к особенности при интегрировании этого выражения по dp, а сле-
следовательно, к затуханию волн, связанному с учетом релятивистс-
релятивистских эффектов. Такое поглощение и представляет собой истинно
циклотронное поглощение волн в плазме.
Для нерелятивистского максвелловского распределения /Оа
D.1.1) тензор диэлектрической проницаемости егНсо, к) вычисля-
вычисляется до конца в том смысле, что выражается через табулирован-
табулированные функции. В результате таких вычислений получаем:
105
%-Л;(га)/+(Рпа),
; d^L /+ (Рпа), E.1.10)
п w
ч2
ш ft
= — *zv = i 2 2 77ГТ Л«(га) J+ (Р"а)'
а п
где
Здесь /n B) — функция Бесселя от мнимого аргумента, а функция
/+(Э) была определена выше [см. D.1.15)]. Асимптотические зна-
значения функции /+(р) определяются выражениями D.1.16).
Часто достаточно знание так называемой продольной диэлект-
диэлектрической проницаемости B.4.9), описывающей электростатическое
поле в анизотропной плазме. Такая диэлектрическая проницае-
проницаемость согласно B.4.9) и E.1.7) определяется соотношением
В случае максвелловского распределения /оа(р) это соотноше-
соотношение принимает вид '
% [ ] EЛ.13)
В заключение приведем выражение для тензора диэлектричес-
диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы с фермиевским распре-
распределением частиц по скоростям. Из E.1.7) получаем
106
•2.
^ *zi>Fa cos Ф—
E.1.14)
где ШП>«(Ф) — матрица:
<)
Й
—it)|a sin 20 Уп /^
(•M?a) и
менту ?«
"Рсб
(
E.1.15)
— функция Бесселя и ее производная по аргу-
аргуsin ft j .
Соотношение E.1.14) приводит к следующему выражению для
продольной диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы:
3<o2La
a k*v%t
I т X X
X
©—kzvFacos$-nQa J #
EЛ.16)
§ 5.2. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний
холодной бесстолкновительной магнитоактивной плазмы
Перейдем к общему анализу спектров колебаний и характера
распространения волн в бесстолкновительной магнитоактивной
плазме. Оговорим сразу же, что природа спектров колебаний маг-
магнитоактивной плазмы значительно многообразнее спектров коле-
колебаний изотропной плазмы и число различных ветвей практически
неограниченно велико. Поэтому ниже рассмотрим лишь наиболее
интересные и хорошо изученные спектры колебаний магнитоактив-
магнитоактивной плазмы. Начнем с холодной плазмы, полностью пренеб-
пренебрегая эффектами теплового движения частиц. Иными словами,
будем считать выполненными неравенства
a z Оа
107
где vOa~Via—для невырожденной плазмы с максвелловским
распределением частиц по скоростям, i>oa^t>Fa — Для вырожден-
вырожденной ллазмы с функцией распределения Ферми.
При полном пренебрежении тепловым движением частиц как
для невырожденной, так и для вырожденной плазмы тензор ди-
диэлектрической проницаемости согласно E.1.10) и E.1.14) имеет
один и тот же вид:
E-2.2)
где
8i = i
— 1
а со2
ец=е22=1— 2
О)»
г--/ 2
а оз (fir — !
E.2.3)
В рассматриваемом приближении диссипативные процессы в
плазме не учитываются, поэтому тензор E.2.2) оказывается эр-
митовским.
Уравнения поля
^=0 E.2.4)
при подстановке явного вида тензора диэлектрической проницае-
проницаемости E.2.2) принимают вид
,-0, '
E.2.5)
Условие разрешимости этой системы представляет собой диспер-
дисперсионное уравнение электромагнитных волн в холодной магнитоак-
тивной плазме:
Л («, к)
- ? [(е2х-§2-ех е„) k\
+ 2k* ех в,,] + &. 8|| (е± -ff«) = 0.
E.2.6)
1Q8
Из уравнений E.2.5) видно, что в магнитоактивной плазме в
общем случае продольные и поперечные волны не являются не-
независимыми, как в изотропной плазме. Не распадается на неза-
независимые уравнения для продольных и поперечных волн и диспер-
дисперсионное уравнение E.2.6). Такой распад, строго говоря, имеет
место только в случае чисто продольного (вдоль магнитного поля)
распространения волн (&j_=0). При этом первые два уравнения
системы E.2.5) описывают поперечные волны, дисперсионное
уравнение для которых имеет вид
?2с2 = оJ(ех±?). E.2.7)
Два знака в правой части соответствуют двум независимым поля-
поляризациям поперечной волны — левой, для которой
Eyi/Exi=—i E.2.8)
(так называемая обыкновенная волна), и правой, для которой
EJEx2=i E.2.9)
(необыкновенная волна).
Третье же уравнение системы E.2.5) в случае чисто продольно-
продольного распространения {k± = 0) описывает продольные колебания
холодной магнитоактивной плазмы, и дисперсионное уравнение для
них принимает вид
г }i= 0, E.2.10)
причем Е||к||02. Спектр продольных колебаний, определяемый ре-
решением этого уравнения E.2.10), записывается в виде
GJ = C02Le. E.2.11)
Что же касается решений дисперсионного уравнения для попе-
поперечных волн E.2.7), то в общем случае они выражаются громозд-
громоздкими формулами. Простые аналитические выражения для спект-
спектров частот этих волн удается получить лишь в предельных слу-
случаях:
E.2.12)
где vA = c —— =fi0 i/-^-^— альвеновская скорость.
<oL| \ Nt M
Исходя из этих выражений можно представить общий ход кри-
кривой ©(?)» если учесть, кроме того, что при &2->-с>о уравнения
E.2.7) допускают решения ю-^Qj и o>-^Qe.
109
Рис. 10. Спектр частот электромаг-
электромагнитных волн в холодной
магнитоактивной плазме —
поперечное распространение
Рис. 9. Спектр частот электромаг-
электромагнитных волн в холодной
магнитоактивной плазме —
продольное распростране-
распространение
Ход кривой «о (k) для плазмы с юье»йе представлен на рис. 9.
Из графика видно, что в холодной магнитоактивной плазме суще-
существует; _пять ветвей колебаний, распространяющихся строго вдоль
внешнего магнитного поля, причем четыре из них описывают по-
поперечные, а одна — продольные волны.
Поперечные волны в области частот «o<Qi называют магнито-
гидродинамическими, причем ветвь колебаний, которая при k->co
соответствует со-И2г-, называют алъвеновской волной, а ветвь ко-
колебаний, которая при ?->-оэ, соответствует (о-*?2е, для колебаний
в области частот oo-CQi ~ быстрой магнитозвуковой волной, а в
области промежуточных частот Qi<Cw<.Qe — спиральной волной
или геликоном. Следует отметить, что все эти колебания в рас-
рассматриваемом бесстолкновительном пределе являются незатухаю-
незатухающими.
Не представляет труда проанализировать дисперсионное урав-
уравнение E.2.6) также в случае строго поперечного распространения
волн (&z=0). При этом оно распадается на два уравнения:
Л2= <* е 9 k*= ^ ilz?! , E.2.13)
с* с* в±
ПО
описывающие соответственно обыкновенную и необыкновенную
волны в магнитоактивной плазме. Обыкновенная волна является
чисто поперечной, в ней отлична от нуля лишь одна компонента
электрического поля Ez, причем спектр частот
G>2 = ?2C2 + GJLe. E.2.14)
Необыкновенная же волна является продольно-поперечной с
отличными от нуля компонентами поля Еу и Ех. Простые анали-
аналитические соотношения для спектров частот этой волны удается по-
получить только в предельных случаях:
—Q2eJ]
СО?/
?/ k2 С2
при й| < со < Qe$ E.2.15)
при
Учитывая формулы E.2.14) и E.2.15), а также замечая, что
при &2->со второе уравнение E.2.13) имеет предельные решения
со~> lAoL + Й* и (о-> /——^ « VQe Qt,
легко представить общий ход дисперсионных кривых ю(&), кото-
который приведен на рис. 10 для плазмы с соье>?2е. Из графика вид-
видно, что число ветвей колебаний, распространяющихся строго по-
jiepeK7 магнитного поля в холодной бесстолкновительной плазме,
равно четырем, причем одна из них описывает чисто поперечные
волны (ветвь с со = соье при ift=0), а остальные три — продольно-
поперечные волны. Колебания с частотой cd<KQA- в этом слу-
случае соответствуют магнитогидродинамической волне, распростра-
распространяющейся поперек магнитного поля Во; отсутствуют колебания,
соответствующие альвеновской ветви.
В общем случае произвольного направления распространения
волн получение аналитических решений дисперсионного уравнения
E.2.6) весьма затруднительно. Простые формулы для ю(&) уда-
удается записать в области низких частот о)<С!Йг- для спектров альве-
альвеновской и магнитогидродинамической волн:
E.2.16)
в промежуточной области частот ,Йг<Ссэ<1Сйе, 02ье/йе для спектра
спиральных волн (геликона)
— |Qecos«| E.2.17)
111
и в области высоких частот для обыкновенной и необыкновенной
волн, спектры частот которых в пределе &^>пе стремятся к виду:
co2_^2?2+co2Le. E.2.18)
Здесь Ф — угол между векторами Во и к.
График функций (о {к) всех пяти ветвей колебаний изображен
на рис. 11 для плазмы с >юье>Йе и Ф#0, я/2.
В заключение рассмотрим вопрос о возможности распростра-
распространения продольных волн в холодной магнитоактивной плазме и
спектр их частот. Как указывалось, строго продольными могут
быть только волны, распространяющиеся вдоль внешнего магнит-
магнитного поля. Однако, если формально электрическое поле волны
считать продольным, т. е. Е=—ikd>, то из уравнений поля E.2.4)
получим условие существования такого поля в холодной магнито-
магнитоактивной плазме: ;
kt ks ги = k2± г± + k\ eM « 0. E.2.19)
Решение этого дисперсионного уравнения не представляет труда
и приводит к следующим спектрам продольных волн:
2J—4©^ Q2со$2 q f E.2.20)
где Z= \ei/e\. Данные выражения теряют смысл при /б1~^л:/2, когда
2O/Al В этих условиях спектры продольных волн
2 2
L®!± « Qt Qif E.2.21)
of,
&le Q2t cosa &
(О2
Часто колебания, соответствующие первому из этих решений, в
литературе называют колебаниями на верхней гибридной частоте,
а колебания, соответствующие второму решению, — колебаниями
на нижней гибридной частоте. Графически решения уравнения
E.2.19) представлены на рис. 12 для плазмы с шье>^б.
Теперь можно ответить на вопрос о возможности существова-
существования продольных волн в магнитоактивной плазме. Очевидно, что в
условиях, когда корни уравнения E.2.19) близки к корням точного
дисперсионного уравнения E.2.6), соответствующие последним
волны с хорошей степенью точности можно считать продольными.
112
oo,
le
Рис. П. Спектр частот электромаг-
электромагнитных волн в холодной
магнитоактивной плазме —
распространение под произ-
произвольным углом Ь
ж/z *
Рис. 12. Спектр частот продоль-
продольных колебаний холодной
магнитоактивной плазмы
Легко видеть, что в общем случае произвольных значений
шеет место, когда &2->оэ, точнее
это
E.2.22)
(Неравенство E.2.22) и является условием продольности волн в
магнитоактивной плазме. При ®Фп/2 имеются три ветви продоль-
продольных колебаний, а при tQ>=n/2— только две, что соответствует гра-
графику рис. 12.
§ 5.3. Влияние теплового движения частиц
на характер колебаний бесстолкновительной
магнитоактивной плазмы
Было показано, что в холодной бесстолкновительной плазме,
помещенной во внешнее магнитное поле, существует пять ветвей
незатухающих колебаний. Учет теплового движения частиц приво-
приводит в первую очередь в появлению затухания рассмотренных коле-
колебаний. Кроме того, вследствие учета теплового движения частиц в
магнитоактивной плазме появляются новые ветви колебаний, к на-
наиболее интересным из которых относятся низкочастотные ионно- )
звуковые колебания и циклотронные волны. Именно эти ветви ко- /
ИЗ
лебаний горячей бесстолкновительной плазмы и будем изучать в
дальнейшем.
В общем случае горячей плазмы, когда тензор диэлектричес-
диэлектрической проницаемости имеет вид E.1.10) (либо E.1.14)—для выро-
вырожденной плазмы), условие разрешимости системы уравнений по-
поля E.2.4), т. е. дисперсионное уравнение колебаний плазмы, мож-
можно записать таким образом:
. , Ю2 / |Л
Л (со. к) =
+ С4=О, E.3.1)
-A 8lf (со, к)- -еххezz + ъ\- E.3.2)
k2 k2 k k
-jp {гУУ гхг + г%) — — (гхх ЪУУ + гху) + ^ ki* (SxV гУг exz ггу)>
C=Det | eij (со, к) | =Е
Легко Ьидеть, что Л (со, к) совпадает с «продольной» диэлек-
диэлектрической проницаемостью магнитоактивной плазмы. Поэтому ус-
условие потенциальности колебаний — это условие, при котором ре-
решение точного дисперсионного уравнения E.3.1) мало отличается
от решений уравнения для продольных волн:
А (со, к) - е (со, к) - ^ ги (со, к) - 0. E.3.3)
Учитывая, что коэффициенты Л, Б, С являются соответственно
линейной, квадратичной и кубичной комбинациями компонент тен-
тензора диэлектрической проницаемости, а следовательно, и плотно-
плотности плазмы, приходим к выводу, что в области высоких (элект-
(электронных) частот (о~соье~?2е все компоненты тензора в<$ порядка
единицы и условием потенциальности колебаний должно быть
со2<&2А E.3.4)
В области низких частот ю^йг^соы компоненты тензора
е^~ю2ьг/й2г==с2/а2А велики и условие потенциальности колебаний
имеет более жесткий вид:
©*<*VA. E.3.5)
Условия E.3.4) и E.3.5) не означают, что все колебания плаз-
плазмы в этих областях частот являются ^потенциальными. Наряду с
потенциальными возможны и непотенциалъные колебания. Важно,
что среди большого числа ветвей колебаний обязательно есть и
потенциальная ветвь. ,
114
Приступая к анализу общего дисперсионного уравнения
E.3.1) рассмотрим предел E.2.1), когда эффекты теплового дви-
движения слабо выражены. В предыдущем параграфе было полно-
полностью пренебрежено такими диссипативными процессами. Тензор
диэлектрической проницаемости E.2.2) при этом оказался эрми-
товским, а плазма — непоглощающей. Теперь учтем слабое теп-
тепловое движение и обусловленное им слабое поглощение волн бла-
благодаря черенковскому и циклотронному механизмам диссипации.
Учет этих эффектов приводит к малой антиэрмитовской по-
поправке к тензору E.2.2), которая отлична от нуля для невырож-
невырожденной (максвелловской) плазмы:
= «. = — ig*
8а
УУ
E.3.6)
О О
где
•2.
iV2n 2
a
Z 2
8 а *>1*ж\*
1а
[¦
D~Qa J
2kt v*n
e z m —e
"]•
E.3.7)
Указанная поправка в свою очередь приводит к слабому за-
затуханию волн, рассмотренных в предыдущем параграфе, причем
декременты затухания ((o-*co + i6) в общем случае довольно гро-
громоздки и здесь приводить их не будем. Ограничимся формулами
для б (к) в области низких частот со<С&г, в которой спектры ко-
колебаний плазмы даются выражениями E.2.16) (для альвеновс-
кой и магнитогидродинамическои ветвей колебаний), и в облас-
области промежуточных частот ?2г-<Ссо<С?2е?, в которой спектр спираль-
спиральных волн дается выражением E.2.17). Формулы для б (к) соот-
соответственно имеют такой вид:
б^ 1/г2-
<¦>«*!
16 „3
115
ю'
б- - 1 / JL J2. в, JSt _Lk_ e •"*-¦« , E.3.8)
17 8 Л1 vA k\kz\ V '
-Vf
Из этих формул видно, что за бесстолкновительное затухание
колебаний в рассматриваемых областях частот ответственно че-
ренковское поглощение волн электронами плазмы.
Сказанное относится к невырожденной максвелловской плаз-
плазме. Что касается вырожденной плазмы с функцией распределе-
распределения Ферми, то в условиях E.2.1), т. е. в области фазовых скоро-
скоростей, больших скорости Ферми, антиэрмитовская часть тензора
диэлектрической проницаемости строго равна нулю, и поэтому
поглощение таких волн в бесстолкновительной вырожденной плаз-
плазме полностью отсутствует.
Как указывалось, в холодной магнитоактивной плазме суще-
существует пять ветвей слабозатухающих (либо вовсе незатухающих)
колебаний. Естественно ожидать, что с учетом теплового движе-
движения частиц должны появиться новые ветви колебаний. Действи-
Действительно, в отсутствие внешнего магнитного поля в области фазо-
фазовых скоростей, меньших тепловой скорости электронов, в неизо-
неизотермической плазме с Те^Т{ существует низкочастотная ионно-
звуковая ветвь колебаний, которая существенно зависит от темпе-
температуры электронов плазмы. Такие колебания могут существовать
и в магнитоактивной плазме. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рассмотрим область частот
1>т<<©/**«Яте, 0)<Ог<(Оьг. E.3.9)
Если к тому же интересоваться колебаниями с длиной волны
больше ларморовских радиусов частиц, т. е. k2 Lv2Ta <Q2e, то
для компонент тензора диэлектрической проницаемости невырож-
невырожденной шлазмы из выражения E.1.10) получим
E.3.10)
\0 ezy e« /
где
со:
и
<
•i
V 4 ::" «1
116
Дисперсионное уравнение E.3.1) при подстановке в него
E.3.10) распадается на два уравнения:
zz+^-e^ = 0. E.3.12)
Первое из них описывает незатухающие в рассматриваемом
приближении альвеновские волны со спектром
©» = fc2zlF2A = *2l/*ACOS2*. E.3.13)
Это по существу продолжение ветви быстрых альвеновских волн
при va^v^ со спектром E.2.16) в область, в которой
Из второго же уравнения E.3.12) находим спектры колебаний
так называемых быстрой и медленной магнитозвуковых волн:
<*2k
\±
14
l+_-i-^2-^
8 = — kv* -i fnm
± 2|cos#I у 8М
E.3.14)
/ f
Z ¦— — скорость ионного звука; % — угол меж-
между направлением распространения волны и направлением магнит-
магнитного поля.
Особо простой вид спектр E.3.14) принимает в случае плазмы
низкого давления, когда C = aVt;2A<Cl. При этом быстрая магни-
магнитозвуковая волна становится чисто поперечной (EJ_k) со спект-
спектром
в+ = - 1/^ -^ Sin^ со+. E.3.15)
+ У 8М v |cos^| + v '
8М vA
Отсюда видно, что быстрая магнитозвуковая волна есть про-
продолжение ветви быстрой магнитогидродинамической волны со
спектром E.2.16) в область малых фазовых скоростей <o/fez<;t/Te.
Медленная магнитозвуковая волна в плазме низкого давления
117
P<Cl вырождается в чисто продольную (потенциальную, Е||к), и
спектр ее приобретает вид
©1 - k* v\ cos8 О, 6_ = — l/— ю_. E.3.16)
Это новая, шестая ветвь колебаний магнитоактивной горячей
плазмы является аналогом ионно-звуковых волн изотропной плаз-
плазмы и существует только при достаточно большой неизотермичнос-
сти плазмы, когда Ге>7\\
Отметим, что низкочастотные медленные волны существуют и
в вырожденной плазме. Действительно, в условиях
vFi< — < vFe, со* < Q2 < (of., ^^ < 1 E.3.17)
тензор диэлектрической проницаемости E.1.14) также сводится к
виду E.3.10), причем
. Зя_
8
E.3.18)
С учетом этих выражений из дисперсионных уравнений
E.3.12) легко видеть, что спектр альвеиовской войны E.3.13) ос-
остается неизменным и в вырожденной плазме. Что касается быст-
быстрой и медленной магнитозвуковых волн, то спектры их частот в
вырожденной плазме определяются формулой E.3.14), в которой
следует принять 98 = V тгп vFe- Декремент же затухания
г О/И
—*- cos2d-l I
кА )
V SM
i±
E.3.19)
Здесь также ©5= у MVFe-
Следует отметить, кроме того, что наряду с альвеновской и
магнитозвуковыми волнами в промежуточной области фазовых
скоростей voi<.(x)/kz<,vOe возмокны спиральные волны, если толь-
118
ко выполнены условия Q;<o)<Qe, co2u/Qe. Спектр их частот ос-
остается таким же, как и в случае холодной плазмы, т. е. вида
E.2.17), а декремент затухания определяется выражениями
8 =
sin2 to»
k Qe COS2 fl
V "T H для невыР0ЖДенн°й плазмы,
Зя 1
— для вырожденной плазмы.
E.3.20)
В заключение заметим, что в вырожденной плазме, как было
показано в § 4.4, существуют незатухающие продольные колеба-
колебания с фазовой скоростью, близкой к фермиевской скорости носи-
носителя тока (нулевой звук). Легко понять, что такие колебания в
вырожденной плазме возможны и при наличии внешнего магнит-
магнитного поля. Во-первых, поскольку их фазовая скорость намного
меньше скорости света, с высокой степенью точности они являются
потенциальными. Во-вторых, их частота намного превосходит ленг-
мюровокую частоту электронов и поэтому при юье ^ Qe магнит-
магнитное поле на спектр частот нулевого звука D.3.5) практически
никакого влияния не оказывает. Если же в плазме Qe3>G)Le>
e, k i Vfe, то спектр нулевого звука несколько видоизменяется:
<о =* kz vFe I + 2 exp — k2 /-2—2 ) . E.3.21)
Но этот спектр, так же как и D.3.5), не соответствует новой вет-
ветви колебания вырожденной плазмы, а по существу, представляет
собой продолжение ветви ленгмюровских колебаний в область
КОРОТКИХ ДЛИН ВОЛН к2Г2ъе*> 1.
§ 5.4. Циклотронные волны в плазме
В холодной магнитоактивной плазме, как было показано в
§ 5.2, число различных ветвей колебаний не превышает пяти. При
учете теплового движения электронов появляется шестая ветвь —
медленная магнитозвуковая волна, которая в случае невырожден-
невырожденной плазмы низкого давления в условиях р<1С1 и Те^Тх перехо-
переходит в ионно-звуковую волну (см. § 5.3).
Однако этими шестью ветвями не исчерпываются спектры всех
возможных электромагнитных колебаний магнитоактивной плазмы.
Как отмечалось, дисперсионное уравнение электромагнитных волн
в магнитоактивной плазме при учете теплового движения частиц
является трансцендентным, а следовательно, число ветвей колеба-
колебаний можетГбыть бесконечно велико. Но подавляющее большинство
этих ветвей колебаний является сильнозатухающими во времени
или в 1пространст)ве. Только в некоторых областях частот и част-
частных предельных случаях тепловое движение частиц приводит к
119
возможности существования слабозатухающих колебаний в маг-
нитоактивной плазме.
Кроме рассмотренных, заслуживают внимания колебания вбли^
зи циклотронных частот электронов и ионов со = 5Йа,где s=l, 2,...,
или циклотронные волны. Исследование циклотронных волн в бес-
столкновительной плазме представляет практический интерес в
связи с возможностью их использования для нагрева газовой плаз-
плазмы в условиях, когда омический нагрев становится неэффектив-
неэффективным. Не будем подробно излагать теорию циклотронных колебаний
магнитоактивной плазмы, ограничимся лишь исследованием цикло-
циклотронных волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного
поля. Именно для таких волн явление циклотронного резонанса
(циклотронного поглощения) выражено наиболее явно. Следует
отметить, что для волн, распространяющихся строго вдоль магнит-
'ного толя, отсутствуют высшие резонансы на кратных циклотрон-
циклотронных частотах s^2, которые появляются лишь при kx=?0.
Дисперсионное уравнение E.3.1) в случае невырожденной плаз-
плазмы для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, рас-
распадается на три уравнения:
-<«*(вяя± is,,) = *•<*- \ E.4.1)
J+C** a\\ =0.
Первое уравнение этой системы описывает чисто продольные ко-
колебания магнитоактивной плазмы и в точности совпадает с дис-
дисперсионным уравнением для продольных колебаний изотропной
невырожденной плазмы, исследованным в § 4.2. Второе и третье
уравнения описывают поперечные обыкновенную (левополяризо-
ванную) и необыкновенную (правополяризованную) волны, рас-
распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля. Эти уравне-
уравнения являются симметричными относительно циклотронной часто-
частоты Qa, поэтому достаточно ограничиться исследованием одного
из них. Другое уравнение будет справедливо при замене
Рассмотрим циклотронные волны вблизи электронной цикло-
циклотронной частоты со^Йе (точнее, |со—Qe|<cQe). Пусть при этом
|со—Qa \^>kvTe9 или говоря, на языке оптики, резонансная часто*
та со лежит вне линии резонансного поглощения. В этом парагра-
параграфе, поскольку речь иде*т об электромагнитных волнах вблизи ре-
резонансных частот поглощения отдельных частиц, удобнее пользо-
пользоваться языком оптики и вместо собственных частот колебаний
со (к) из дисперсионных уравнений E.4.1) определять показатели
с с
преломления п= — RfJfe и коэффициент поглощения %=— Imk.
120
В частности, вдали от линии резонансного поглощения электро-
электронов из второго уравнения E.4.1) находим
(Of
8 со2
с 1
е
2/1*
-г,
E.4.2)
Отсюда видно, что электронные циклотронные волны в бес-
столкновительной плазме вне линии резонансного поглощения,
2
-^Йе, поглощаются экспоненциально сла-
слакогда (со—^^^
бо. С приближением частоты о к циклотронной частоте Qe погло-
поглощение циклотронной волны растет и в условиях, когда частота
поля попадает внутрь линии резонансного поглощения, т. е.
при |оз—Qe\
—^ Qe волна становится сильно затухающей:
1/3
2 VI/ 2 rfv ) EАЗ)
Глубина проникновения циклотронной волны в плазму в
этом случае, как легко видеть, совпадает с глубиной аномального
скин-эффекта в изотропной плазме (см. § 4.4) :
Такой результат имеет физически наглядную интерпретацию.
Дело в том, что в магнитоактивной плазме электроны соверша-
совершают ларморовское вращение с частотой Qe и поэтому являются ис-
источниками поля, обладающими
собственной частотой (т. е. ча-
частицы представляются в виде ос-
осцилляторов с собственной часто-
частотой Qe). Это, в свою очередь, при-
приводит к тому, что все особенности
изотропной плазмы на частоте ш
в магнитоактивной плазме долж-
должны проявиться на комбинацион-
комбинационных частотах со±?2е- В частности,
вблизи циклотронного резонанса
при (со—пе\<^ките имеет место
аномальное скинирование попе- 2,
речного поля, подобно изотроп- ~пт
ной плазме при co<^kvTe. На рис.
13 показан ход кривой п2 (а>) для и ' '
ЭЛеКТрОННОЙ ЦИКЛОТрОННОЙ ВОЛ- ЛОТРОННОЙ ВОЛНЫ ОТ частоты
121
ны. Заштрихованная область соответствует сильному поглощению
циклотронной волны в плазме (область аномального скин-эффек-
скин-эффекта). Из графика видно, что «прозрачность» [/г2 (со) >0] электрон-
электронной циклотронной волны соответствует области частот со<йе. Мак-
Максимальное значение показателя преломления дается выражением
[()y
Перейдем теперь к рассмотрению циклотронных волн в выро-
вырожденной плазме. Для волн, распространяющихся строго вдоль
магнитного поля, общее дисперсионное уравнение E.3.1) распа-
распадается на три уравнения:
E.4.4)
J
Так же как и в случае невырожденной плазмы, первое уравне-
уравнение этой системы описывает чисто продольные колебания магни-
тоактивной плазмы и в точности совпадает с дисперсионным
уравнением для продольных колебаний изотропной вырожденной
плазмы, подробно исследованным в § 4.3. Второе и третье урав-
уравнения, так же как в невырожденной плазме, симметричны отно-
относительно циклотронной частоты Qa (с заменой Qa "U —Qa), по-
поэтому достаточно проанализировать одно из них.
Ограничиваясь рассмотрением только электронных цикло-
циклотронных волн to^Qe, исследуем второе уравнение E.4.4) вдали
(|(о—Qe\*>kvFe) и вблизи (|со—пе\<^те) резонансной линии
поглощения. Первая особенность вырожденной плазмы проявля-
проявляется в том, что вдали от этой линии поглощение циклотронных
волн полностью отсутствует из-за отсутствия черенковского по-
поглощения электронами плазмы. Показатель преломления цикло-
циклотронной волны, так же как и для невырожденной плазмы, опре-
определяется первым выражением E.4.2), которое оказывается спра-
справедливым в области |со—Qe\3^>(u2Le?ieV2Fe/c2. Обратное неравен-
неравенство соответствует области внутри линии поглощения, в которой
из E.4.4) получаем [ср. с E.4.3)]
Здесь также глубина проникновения поля циклотронной волны в
122
плазму определяется формулой аномального скин-эффекта
(см. § 4.4):
,1/3
E.4.6)
Общий ход кривой я2(со), как и в случае невырожденной плаз-
плазмы, представлен на рис. 13, причем птж [to2LeC/(Q2eVo)]l/z, a <oi«
ttnmQev0/c, где Vo = vTe — для невырожденной плазмы и Vo = vFe —
для вырожденной плазмы.
§ 5.5. Тензор диэлектрической проницаемости
слабоионизованной магнитоактивной плазмы
с учетом столкновений частиц
До сих пор речь шла о бесстолкновительной плазме во внеш-
внешнем магнитном поле. Рассмотрим эффекты, связанные со столк-
столкновениями частиц. Строго говоря, лишь при учете столкнове-
столкновений частиц в магнитоактивной плазме возможно выбирать в ка-
качестве равновесной функции распределения по скоростям распре-
распределение Максвелла либо Ферми. Правда, это утверждение спра-
справедливо только для времен, превышающих времена столкновений
частиц (время свободного пробега), характеризующих время ус-
установления равновесной функции распределения частиц по скоро-
скоростям. Для времен же, меньших времен столкновений частиц,
функции распределения частиц могут быть произвольными. Дру-
Другой эффект, возникающий при учете столкновений частиц в плаз-
плазме, — это столкновительные диссипативные процессы: трение, вяз-
вязкость, диффузия и теплопроводность плазмы. При частых столк-
столкновениях эти процессы могут стать определяющими и даже пол-
ностыо^подавить черенковскую (бесстолкновительную) и цикло-
циклотронную диссипации. В последующем изложении будет изучено
влияние столкновений частиц и связанных с ними диссипатив-
ных процессов на характер распространения электромагнитных
волн в магнитоактивной плазме.
Рассмотрение начнем со слабоионизованной невырожденной
плазмы, так как кинетическая модель слабоионизованной плаз-
плазмы— кинетическое уравнение с интегралом столкновений БГК —
дает возможность наиболее наглядно исследовать роль столкно-
столкновений частиц в плазме. Кинетическое уравнение с модельным ин-
интегралом БГК, кроме того, позволяет получить общее выражение
для тензора диэлектрической проницаемости плазмы без каких-
либо ограничений на частоты и длины волн. Действительно, лине-
линеаризованное кинетическое уравнение для частиц сорта а в слабо-
слабоионизованной магнитоактивной плазме с модельным изотермиче-
изотермическим интегралом БГК записывается в виде
^-fia^ =_van[6/a-r|a/oa], E.5.1)
дра ftp
123
где Яа^-уу— j dp б/а» а /оа — равновесная функция распределе-
/„« = ^ exp f- ^ . E.5.2)
а
ния Максвелла:
Такой выбор обоснован тем, что магнитное поле в стационар-
стационарном состоянии не влияет на систему заряженных частиц, поэто-
поэтому аргументация, приведенная в § 4.5, справедлива и для магни-
магнитоактивной плазмы.
Общее решение уравнения E.5.1) записывается так же, как в
бесстолкновительной плазме (см. § 5.1), только с измененной пра-
правой частью:
4 f(^ [
"а ~ \ аР<х /Ф' I Qa
X ] d<p"((»—kv + ivanv| = 'A. /oa ^ X
Ч> J 'a n
+ iv±J'n Ev + U Ez + van ria Ll\ Jnl . E.5.3)
Подставляя это выражение в формулу для плотности тока ча-
частиц сорта а, индуцированного в плазме:
E.5.4)
и используя для исключения г\а уравнение непрерывности ,
a a ^
после несложных, но громоздких преобразований находим тензор
диэлектрической проницаемости для слабоионизованной магнито-
магнитоактивной плазмы:
х - l*w
Здесь 8(a)ij(oo + ivan, k)—тензор, по виду совпадающий с тен-
тензором диэлектрической проницаемости частиц одного сорта а в
бесстолкновительной магнитоактивной плазме [см. E.1.10), E.1.11)]
без суммирования по сортам частиц, в котором, однако, произве-
124
дена замена G>-MD + ivan, а вектор Ga имеет следующие компр-
ненты:
71 17Г~ J+ (Pan)
k± п
-i ^
1
¦MfU \ * E.5.7)
I
ife2 »2
где za - ^^, а pan = (со + i van-n
Суммирование в формуле E.5.6) распространяется по всем
сортам заряженных частиц в плазме.
Из выражения E.5.6) находим «продольную» диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость невырожденной слабоионизованной плазмы:
i- 2
п
^ (*«)'+(Pen)
i- 2
iv
E.5.8)
an
Аналогично вычисляют тензор диэлектрической проницаемости
слабоионизованной вырожденной плазмы. Действительно, запи-
записав линеаризованное кинетическое уравнение с модельным инте-
интегралом БГК в виде
-V«B (б /e
•a(Ev) -LM—i
a
L 9 5/
~-
^
получим его решение
E-5.9)
X
X exp Г J- ]' d ф' ((o-kv + i vanvl . E.5.10)
L Ч* ф J
Определив плотность тока и используя уравнение непрерывно-
непрерывности E.5.5), окончательно находим тензор диэлектрической прони-
125
цаемости вырожденной плазмы, по виду совпадающий с тензором
J5.5.6), причем e(a)tj((o + ivan, k) является также тензором диэлек-
диэлектрической проницаемости частиц одного сорта а в бесстолкнови-
тельной плазме, в котором со заменено на G>+ivan, но определяет-
определяется он выражениями E.1.14), E.1.15), а вектор Ga имеет компо-
компоненты
2*± i
1
V
-if* s J
n 0
an
kzvFacosЪ —
. E.5.11)
где &.=
sin #.
Отсюда «продольная» диэлектрическая проницаемость
№.
2
a
x
i- 2
Л
co
0
1 _
1
E.5.12)
В заключение еще раз подчеркнем, что формулы E.5.6) —
E.5.12) справедливы при любых соотношениях величин со, Qa*
kL vOy kzv0 и va п. В пределе van-^0, т. е. при пренебрежении столк-
столкновениями частиц, они переходят в соответствующие выражения
для диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы
(см. §5.1).
§ 5.6. Тензор диэлектрической проницаемости
полностью ионизованной магнитоактивной плазмы
с учетом столкновений частиц
Учет столкновений частиц в полностью ионизованной плазме
представляет значительно более трудную задачу, поскольку тре-
требует решения сложного интегродифференциального кинетического
уравнения с интегралом столкновений Ландау. Поэтому здесь,
как и в случае изотропной плазмы (см. § 4.6), приведем анализ
отдельных предельных случаев, в которых это уравнение удается
решить относительно просто.
126
Прежде всего заметим, что если ограничиться рассмотрением
процессов, протекающих быстрее времени выравнивания темпера-
температур электронов и ионов (со> (/n/Af)v3<H>), то в качестве равновес-
равновесных распределений частиц по скоростям в невырожденной плазме
можно выбрать распределения Максвелла с разными температу-
температурами для электронов и ионов:
Для изотермической плазмы с Te=Ti в указанном ограничении нет
необходимости.
Рассмотрим малое отклонение от равновесия б/а~ехр(—Ш+,
+ ikr). Тогда уравнение для б/а запишется в виде
/оЗ-/о«^-6/«^ . E.6.2)
Здесь /«Р = -±—
u=va—Vp, a L=lnrD/rmin — кулоновский логарифм.
Решение уравнения E.6.2) в общем случае представляет зна-
значительные трудности, однако его относительно легко решить при
выполнении неравенств
со > va, |a> ± Qa| > va. E.6.3)
В этом пределе интеграл столкновений в E.6.2) является ма-
малым членом и это уравнение можно решать методом последова-
последовательных приближений, разлагая решение по «степеням интеграла
столкновений» (как это было сделано в § 4.6 для изотропной
плазмы):
E.6.4)
где 6/@)а определяется выражением E.1.4) (предел бесстолкнови-
тельной плазмы), а
«ft"-
E.6.5)
127
Теперь определение столкновительной поправки к индуциро-
индуцированному в плазме току от частиц сорта а, а следовательно, и к
диэлектрической проницаемости плазмы сводится к вычислению
интеграла
6ja = ea J dpvSfV) . E.6.6)
Однако вычисление и этого интеграла связано с большими труд-
трудностями и провести его удается лишь в отдельных предельных
случаях.
Для холодной плазмы, когда выполняются неравенства E.2.1),
вычисление интеграла E.6.6) не представляет большого труда и
дает чисто антиэрмитовскую поправку к тензору E.2.2), обуслов-
обусловленную столкновениями частиц в плазме:
О
,, к)= — i6ga fie* О I . E.6.7)
6e^ = i
Здесь
о
,8 — 02 Ш»_Q2J 'v())S_Q2 afl — QpJ J
E.6.8)
Q,
а гЭфф определяется формулой D.6.7).
Видно, что в случае холодной плазмы столкновительная поправ-
поправка к тензору диэлектрической проницаемости определяется столк-
столкновениями частиц разного сорта.
Иное положение имеет место в условиях малых фазовых ско-
скоростей, когда выполняются неравенства E.3.9) и бесстолкнови-
тельный тензор диэлектрической проницаемости имеет вид
E.3.10), E.3.11). Можно показать, что в данном пределе при ve<C
<^kzvTe<^Qe столкновениями электронов можно полностью пре-
пренебречь, так как длина волны колебаний при этом меньше дли-
длины свободного пробега электронов и основным механизмом дис-
диссипации в электронной компоненте оказывается черенковская дис
сипация. В области частот co^Vi вклад в ионную диссипацию на-
наряду с черенковским механизмом дают ион-ионные столкновения,
которые легко учесть, если решить кинетическое уравнение для
ионов методом последовательных приближений. В рассматривае-
рассматриваемой области частот окончательно находим следующую поправку
128
к антиэрмитовской части тензора диэлектрической проницаемо-
проницаемости, обусловленную столкновениями частиц в плазме:
, у г E.6.9)
Здесь
4
1
E-6ЛО)
со6
a vu определяется формулой D.6.7).
Заметим, что соотношение между со и v34)(j) при этом может
быть произвольным.
В заключение рассмотрим роль столкновений частиц в пол-
полностью ионизованной вырожденной плазме. Ограничимся высо-
высокочастотным пределом, когда существенны только чисто электрон-
электронные процессы. Это означает, что решим кинетическое уравнение*
лишь для электронов, учитывая столкновения электронов с элек-
электронами и ионами. Равновесным распределением электронов счи-
считаем функцию распределения Ферми:
( ^ при р < рРв = Cя)*
j
[О при р> pFe.
Линеаризуя кинетическое уравнение A4.9) для электронов по
малому отклонению от распределения E.6.11) 6/е~ехр(—i©/+
+ ikr), считаем выполненными неравенства E.6.3), позволяющие
решать уравнение C.4.9) методом последовательных приближе-
приближений, подробно изложенным выше. Опуская вычисления, приведем
окончательный ответ для холодной плазмы, для которой выполня-
выполняются условия E.2.1). Как неоднократно отмечалось, в этих усло-
условиях в вырожденной плазме бесстолкновительное поглощение волн
отсутствует, и столкновения частиц оказываются единственным
диссипативным механизмом. Вычисления, аналогичные проведен-
5—953 129
ным, дают следующую антиэрмитовскую поправку к тензору ди-
диэлектрической проницаемости холодной плазмы E.2.2):
E.6.12)
V о о ь4/
Здесь
со (©« —QJJ*
E.6.13)
a vpe определяется выражением D.6.14).
Заметим еще раз, что формулы E.6.12)! й E.6.13) справедливы
только для области высоких частот оз^>Йь <ои, когда движением
ионов можно пренебречь.
§ 5.7. Влияние столкновений частиц на затухание
электромагнитных волн в магнитоактивной плазме
Зная диэлектрическую проницаемость магнитоактивной плазмы
с учетом столкновений частиц, можно исследовать влияние этих
столкновений на характер распространения электромагнитных
волн в магнитоактивной плазме. Изучим влияние столкновений
частиц на спектры колебаний, когда учет столкновений не меняет
спектров частот, но существенно сказывается на характере погло-
поглощения волн в плазме. К таким колебаниям относятся волны в хо-
холодной плазме (магнитогидродинамические и альвеновские волны,
спиральные волны, обыкновенная и необыкновенная электромаг-
электромагнитные волны), а также быстрая и медленная магнитозвуковые
волны в горячей плазме.
Прежде всего рассмотрим предел холодной плазмы, причем
наряду с E.2.1) потребуем выполнения условий E.6.3) и ограни-
ограничимся высокочастотными колебаниями, когда о>^>сои, й* и плазму
можно считать чисто электронной. При этом эрмитовская часть
тензора диэлектрической проницаемости, так же как и в бесстолк-
новительной плазме, будет определяться формулами E.2.2) и
E.2.3). В антиэрмитовской же части диэлектрической проницае-
проницаемости E.3.6), E.3.7) появится столкновительная поправка, кото-
которая согласно выражениям E.5.6), E.6.8) и E.6.13) записывается
в виде
бе^ i8ga 0 \
-*8Г 6el О I • E.7.1)
О 0 б8||/
130
Здесь бе* - i
CO I CO4 — !
причем ve=v9ciL> — для невырожденной полностью ионизованной
плазмы, ve=VFe — для вырожденной плазмы и ve=ven — для сла-
боионизованной плазмы.
Столкновительная поправка к компонентам тензора диэлектри-
диэлектрической проницаемости E.7.2) обусловливает появление столкнови-
тельных декрементов затухания волн, спектры частот которых оп-
определяются формулами § 5.2, а бесстолкновительные декременты
затухания — формулами § 5.3. В общем случае они имеют доволь-
довольно громоздкий вид. Простые формулы удается получить лишь в
отдельных предельных случаях. Так, для столкновительного де-
декремента затухания спиральной волны, спектр частот которой оп-
определяется выражением E.2.17), имеем
В высокочастотном пределе колебания плазмы носят чисто
электронный характер, поэтому столкновительное поглощение оп-
определяется столкновениями электронов. В области низких частот
охСОг существенными оказываются столкновения ионов, спектры
частот колебаний бесстолкновительной плазмы определяются фор-
формулами E.2.16) (альвеновская и магнитогидродинамическая вол-
волны). Учет столкновений частиц не меняет спектров частот колеба-
колебаний, но меняет декременты их затухания:
р?. E.7.4,
где \г=Уэффпг/М для невырожденной полностью ионизованной
плазмы и Vi=Vin для слабоионизованной плазмы.
Эта формула получается из общего выражения при использо-
использовании E.6.7) и E.5.6) (в пределе холодной плазмы).
Поправка E.7.4) существенна, так как, согласно E.3.8), бес-
столкновительное затухание волн в этом пределе экспоненциально
мало, особенно заметную роль столкновительная поправка играет
при почти поперечном распространении волн, когда бесстолкнови-
тельным поглощением можно пренебречь.
Исследуем теперь горячую плазму, т. е. низкочастотную
область со<С?2г с колебаниями в промежуточной области фазо-
фазовых скоростей vTi<g.(d/kz<CvTe. Это альвеновские, быстрые и мед-
медленные магнитозвуковые волны, спектры частот которых в бес-
столкновительном пределе в случае невырожденной плазмы оп-
определяются формулами E.3.13) и E.3.14). Учет столкновений
5* 131
приводит к изменению компонент тензора 8ij(o>, k), причем из-
изменяется лишь его антиэрмитовская часть. Именно в антиэрми-
товской части тензора 8fj(co, k) появляется столкновительная
поправка
'бе* О О
XX
К= [о Ьгауу Ь4г I . E.7.5)
,0 8гагУ &*г
Здесь для полностью ионизованной плазмы
E7-6)
5
. 8
и для слабоионизованной плазмы
О),2, Vin
УУ
В результате для альвеновской волны, которая в бесстолкно-
вительном пределе являлась незатухающей [см. формулу
E.3.13)], появляется декремент затухания
7 ^ »i
где ve == vЭфф, v,- =—v^ ~^= для полностью ионизованной плаз-
Q(
мы и va=van — для слабоионизованной пла^змы (a=e,i).
Для быстрой и медленной магнитозвуковых волн, спектры ко-
которых в бесстолкновительном пределе определялись формулами
E.3.14), при учете столкновений находим следующие поправки к
декрементам затухания:
132
X
E.7.9)
/Л
для полностью ионизованной плазмы;
v. k2vl cos2 Ф
X Гш^-^с^ + шЗ. ( ^ Л1 E.7.10)
для слабоионизованной плазмы.
Особенно простой вид принимают эти формулы для плазмы
низкого давления C = y2s/y2A<C 1, в которой быстрая магнитозву-
ковая волна становится поперечной, а медленная — продольной.
При этом столкновительные поправки к декрементам затухания
равны
1 I — Va — Для полностью ионизованной плазмы,
Д6-=-^-{ 5 т°
{ vin для слабоионизованной плазмы.
E.7.11)
Поправка Д6+ совпадает с А6 в формуле E.7.4).
Задачи к гл. о
Задача 5.1. Получить выражение для тензора диэлектрической проницае-
проницаемости бесстолкновительной нерелятивистской магнитоактивной плазмы в
модели независимых частиц и вычислить среднюю силу, действующую на
плазму в СВЧ-поле.
Решение. Линеаризуем систему уравнений, представляющую модель не-
независимых частиц
^U^. A)
относительно невозмущенных значений А^оа, У0<х =0, Е0=0, В0=?0. Направим
ось Oz вдоль поля Во и будем считать возмущенными величинами 6Wa, ?^a>
Е, В, зависящие от времени и координат в виде ехр(—ico^+ikr). При этом из
уравнения движения получим
133
откуда
i e со Г Q2 Bo (EB0) 1 e Q [EB0]
8Va== m co^-Q2 Г~"с^" B2 \~m ^lfla В ' C)
Плотность 'индуцированного в плазме тока
а ~*
Отсюда диэлектрическая проницаемость плазмы
E)
где
вх = 1-2—-^. «=-2
Эти выражения в точности совпадают с выражениями, полученными при
полном пренебрежении тепловым движением частиц, т. е. в условиях A). По-
Поэтому часто модель независимых частиц называют также пределом холодной
плазмы.
Для получения средней силы, действующей на частицы сорта а, восполь-
воспользуемся формулой B.3.25):
+ eog(a) V & Еу - Ех Е*у) + 80 (ejf*) - 1) v \EZ\K G)
Здесь 8j*\ g^ и 8^а) определяются выражениями F) без суммирования по
сортам частиц.
Заметим, что средняя сила G) в магнитоактивнои плазме в отличие от
случая изотропной плазмы может приводить как к выталкиванию частиц сорта
а из области сильного поля, так и, наоборот, к вытягиванию их в область
сильного поля. Это зависит от поляризации СВЧ-поля и соотношения между
частотой со и циклотронной частотои^-Q^. Так, в высокочастотном поле линей-
линейно поляризованной волны Е= (Е , , 0, 0) сила, действующая на отдельные
электроны 'магнитоактивной плазмы, составляет
р __ V \Е |2. (8)
При 0J>Q2e эта сила выталкивает электроны из области сильного поля, а при
co2<Q2e, напротив, втягивает их в сильное поле.
134
Задача 5.2. Исследовать спектры колебаний магнитоактивной плазмы в мо-
модели одножидкостной гидродинамики при пренебрежении диссипативными
процессами.
Решение. Линеаризуем систему уравнений C.6.21)
-|г = rot [VB]; divB = O;
ot
(Vv)v]= -уЯ= -
-f divpMV = O A)
ot
по малым возмущениям относительно равновесных значений ром, V0=0, BQ\\Qzt
считая возмущения 6рм, 6V и В зависящими от времени и координат в виде
ехр(—io)/+ikr). В результате получим:
соВ + ]к [6 VB0]] = 0; (кВ) = 0;
— co6V -f _?- 6рм к -f L-SL [Во [кВ]] = 0, B)
Ром Ром
•p0Mk6V=0.
Здесь vs= Л г— —скорость ионного звука в случае неизотермической
у М
газовой плазмы и 0s = ~l/m/CM)vF e для вырожденной плазмы твердого тела.
Исключая из этой системы брм, запишем ее в виде двух независимых под-
подсистем:
+- с* 80 -d^ = и;
Ром j
>+kzB0 6VZ - So (kL 6VX + kz 6VZ) = 0,
w Ром
2
- __?_ kz (k 6VX + kz 6VZ) = 0. ,
@ J
Первая подсистема из двух уравнений Ву и 5?/у описывает альвеновскую вол-
волну, спектр которой
<o*=kWA. E)
Вторая же подсистема из четырех уравнений для Вх, BZy 6VXi $Vz описы-
описывает быструю и медленную магнитозвуковые волны с общим дисперсионным
соотношением
C04_aJ^2(y2A+t;2s) +tfv2AV2s COS2 # = 0, F)
где ft — угол между к и Во. Отсюда
\ \ + v2s)* - К vl cos^ b J, G)
Формулы E) и G) в точности совпадают с полученными в § 5.3. '
135
Задача 5.3. Исследовать продольные волны в бесстолкновительной невы-
невырожденной электронной плазме, распространяющиеся строго поперек маг-
магнитного поля (моды Бернстейна).
Решение. Дисперсионное уравнение для таких волн, согласно E.1.1 Г'),
записывают в виде
С0т
или в области длинных волн (k2v2Te<^Q2e)
1- MLe2 -2 <"L'"' 2 -т(^т) =0- B)
©«-Q* „=2 Ш2_П2О2 „| ^ 2Q2 J
Отсюда видно, что в пределе k-*0 решениями этого уравнения являются
C)
С другой стороны, в области коротких волн k2v2T e>,Q2e имеем
,3/2
= 0, D)
т. е, при k-^oo решением дисперсионного уравнения является
Графически решения уравнения A) представлены на рис. 14.
Задача 5.4. Исследовать моды Бернстейна для вырожденной электронной
плазмы.
Решение. Согласно E.1.16), дисперсионное уравнение для продольных
волн, распространяющихся поперек магнитного поля, имеет вид
В пределе k-+Q решениями этого уравнения являются, как и в случае не-
невырожденной плазмы (ом. предыдущую задачу),
12, ? © = лОв. B)
В пределе же ^^pe>Qe из A) получаем
Здесь также при &->~оо частота колебаний co->-rtQe, >но они носят ооцилляцион-
ный характер, как показано на рис. 15.
Задача 5.5. Исходя из E.1.7) и E.1.8) оценить бесстолкновительное пог-
поглощение обыкновенной волны, распространяющейся строго поперек магнит-
магнитного поля, обусловленное релятивистскими эффектами движения электронов
в нерелятивистской (тс2^>Те) максвелловской плазме.
Решение. Для обыкновенной волны, распространяющейся строго попе-
поперек магнитного поля в электронной плазме, имеем
со2
136
д)
Рис 14. Моды Бернстейна в невы-
рожденной электронной плаз-
ме при соье>&б (а) и (оье<
<Qe (б)
Рис. 15. Моды Бернстейна в вырож-
денной электронной плазме
при a)Le>Qe (а) и соье<
<Qe (б)
е„о>
Jdp
v.
Ограничиваясь колебаниями с длиной волны, намного большей ларморевс-
кого радиуса электронов, т. е. Qe>&t/Te, из A) получим
B)
Считая для определения Qe/co>0, отсюда находим
e,zz = 1 —
X 1- —
со»
5/2
4
ИГ
с5
C)
Подстановка C) в A) дает спектр частот и декремент затухания обыкновен-
обыкновенной волны (ca-xo+ifi):
137
5/2
1 " ' ¦ ~ ' ¦ D)
Ы)'\\
[
Видно, что поглощение существует только вблизи циклотронной частоты e
Задача 5.6. Получить показатель преломления и коэффициент затухания
электромагнитных волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного
поля в области частот ионного циклотронного резонанса в бесстолкновитель-
ной невырожденной плазме.
Решение. В области частот co«Qi<?2e общее дисперсионное уравнение
E.4.1) записывают в виде
Вдали от линии резонансного поглощения, когда со>(со—Q») >&0Т и вкла-
вкладом электронных слагаемых в A) всегда можно пренебречь. Для показателя
преломления и коэффициента затухания поеной циклотронной >волны имеем
_ <"ц ! /Т ajt с 1 rt(mQ|I
р
! /Т ajt с 1 rt»(m-Q|)'1
(Q)/(/ ) l
[ J
Внутри же линии поглощения, когда (со—Qi)/(/wT *) <Cl, электронные сла-
слагаемые могут оказаться существенными. Так, при v2a<.v2t < (плазма высокого
давления) из уравнения A) получаем спектр слабозатухающих электронных
волн:
2 |/ C)
7 ^
При г2а>^2т i (плазма низкого давления) электронные слагаемые в уравнении
A) малы и получаем спектр сильнозатухающих ионных циклотронных волн:
с л / ^Т cx>Ti \1/3
Величина ЛСк = — =2 1 \ / _?_. — 1 характеризует при этом
ЛСк = — =2 1 \ / _?_. — 1
V
глубину проникновения иоиной циклотронной волны в плаэму.
Задача 5.7. Исследовать ионно-звуковые колебания в неизотермической за-
магниченной плазме с Ге>Гг«0 в условиях Й2е>со2ьг>й2г.
Решение. В указанных условиях ионно-звуковые волны существуют как
при co<Qj, так и при ю>йг. Дисперсионное уравнение для таких волн запи-
записывают в виде
1 1
Х 2
Отсюда, пренебрегая малой мнимой частью, находим уравнение для спектра
частот:
При (o2Li>^2i и Фт^О имеем приближенные корни
, "Ь;[^/(€I
o>?,Q?cos«d
0) =
138
Рис. 16. Спектр частот ионно-звуко-
вых волн в неизотермичес-
неизотермической магнитоактивной плазме
Этот спектр изображен на рис. 16. При
д0, согласно C), имеем
со
<-
9-C0S&
D)
Декремент затухания с учетом малой мнимой части A)
©1 1
б±=-КТ
E)
Задача 5.8. Найти спектр частот и декремент затухания ионно-звуковых
волн в слабоионизованной вырожденной электронно-дырочной плазме в об»
ЛаСТи ЧаСТОТ Qe^>G)>Qi U в уСЛОвиЯХ Qe">Ven >fefFe, @^>Vin.
Решение. Ионно-звуковые волны существуют в области фазовых скорос-
скоростей fFe>#z>^Pi и, являясь продольными, удовлетворяют уравнению
1+-
Здесь
0)
A)
B)
ПрИЧеМ D у =U2Fe/CVen), D =V2F eVen/CQ2e) — СООТВеТСТВеННО ПрОДОЛЬНЫЙ И
поперечный коэффициенты диффузии электронов в сильном магнитном поле.
Из A) видно, что слабозатухающие ионно-звуковые волны существуют в
области частот 0)<С&2?> и их спектр частот и декремент затухания определяют-
определяются соотношениями (co-Ku+i5):
0J = -
со.
ОJ
C)
Затухание ионно-звуковых волн в рассматриваемых условиях обусловлено ион-
ионным трением и диффузией электронов.
Задача 5.9. Исследовать распространение обыкновенной волны поперек маг-
магнитного поля в бесстолкновительной вырожденной электронной плазме в
УСЛОвиЯХ C02Le>Q2e>C02.
Решение. Дисперсионное уравнение для обыкновенной волны
k2c2—с
A)
139
в указанных условиях сильно упрощается, поскольку в ezz [см. формулы
EЛ.14) и E.1.15)] основной вклад дает слагаемое с я=0:
2 Jt t u
егг =1 J sin 'О1 cos2 Ф &§ Ji I — sinft j B)
2 со2 о \ j*e I
(kvFp Л
Учитывая свойства функции /0 I sin Ф J в пределе Ьре>йв имеем
Таким образом, при со<Ссоье получаем условие распространения волны
Это уравнение имеет решения с &2>0 (область прозрачности плазмы), если
&t>Fe/Qe«,Liis, где jXis — корни функции Бесселя /is(jxu)=0. Это означает, что
вырожденная плазма большой плотности может оказаться прозрачной для низ-
низкочастотных колебаний с длиной волны, кратной ларморовскому радиусу элект-
электронов.
Задача 5.10. Исследовать распространение циклотронных волн на часто-
частотах (o«sQe при s>2 в электронной плазме под углом $=Ф0 к магнитному
полю.
Решение. При распространении циклотронных волн под углом 0=^0 в
плазме появляется поглощение и на высших гармониках co«sQe. Считая
|й)—sQgj <& kn Уфе, k . Vqs ^С Qg,
где Voe — скорость хаотического движения электронов (тепловая скорость для
невырожденной плазмы и скорость Ферми для вырожденной плазмы), имеем
-ig sL 0 )¦ A)
V0 ° 8|| /
Эрмитовские части компонент тензора диэлектрической проницаемости не-
независимо от степени вырождения составляют
2 2 2
Антиэрмитовские части компонент тензора ец((й, к):
——— 9 / 1 9 2 \ г \
ГТ^ф7е\^~) ^1Г' 8""° (Э)
для невырожденной плазмы,
о я2 со2 / k2 v2 \s~*
для вырожденной плазмы.
Видно, что антиэрмитовские части компонент тензора е*;(со, к) малы по
сравнению с эрмитовскими частями. Поэтому даже внутри линий циклотронно-
140
го резонанса на высших гармониках поглощение волн слабое. Это позволяет
легко найти показатели преломления и коэффициенты затухания волн (л-н»+
lf2
2( е3 sin2 # + 8JJ cos2 0)
^ ± К( еэ±2 -g92 - е3 eg) sin* <> + 4g32 eg2 cos2 d" ,
1
-ie*
7, о= f[sin4# (е3 -g3J +
^^(e^sin^ + ejjcos»*) Ч
+ 2 sin2 d cos2 Q 8 J ( e^ - g3) + cos2 0A+ cos2 Q) 8f ] X
X У( гэ1 - /2 - еэ± 8j9) 2 sin! 0 + 4 g32 e92 cos2 Q ±
dz [sin! со ( 89X2 - g32 - 83 83± ) (sin2 О ( еэ± - /J + E)
+ cos2 fie3 ( 2s3 - 2g9 - eg) + 4g3 e92 cos2 0 X
X ( 8^ Sin2 d - g* Sin2 0 + 8,3 COS2 d )]}#
Задача 5.11. Исходя из выражения E.5.8) для продольной диэлектрической
проницаемости, исследовать диффузионное расплывание малой неоднород-
неоднородности плотности заряженных частиц в слабоионизованной замагниченной
плазме.
Решение. Рассмотрим два предельных случая:
а) электроны плазмы сильно замагничены (Qe>ven), а ионы не замагни-
чены (Qi<vin);
б) как электроны, так и ионы сильно замагничены (^a>van):
Отсюда для замагниченных электронов
k2 v2 v k? v2
в ^ Q2 ^ ^2 Verl
Для ионов же
Di=v2T i/Vin (в случае а)
Здесь ^2==^^+^ц » причем 1/^^ —^— размер неоднородности плазмы попе-
поперек, а l/k |, ~L ^ — размер неоднородности вдоль внешнего магнитного поля.
Приравнивая A) к нулю и считая характерный размер неоднородности на-
намного превосходящим дебаевские радиусы электронов и ионов, получаем
141
Отсюда, в частности, следует, что в случае сильно замагниченных электронов
и ионов диффузия плазмы поперек магнитного поля ( k» = -у~ -*¦ О ) всегда
\ " ь\\ /
( D)
определяется электронами (т. е.
(?)-"iDi-
Если же ионы не за магничены, то для диффузии поперек магнитного поля по-
получаем
Часть 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
СВОЙСТВА
НЕРАВНОВЕСНОЙ
ПЛАЗМЫ
Глава 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ С ПЛАЗМОЙ
§ 6.1. Тензор
диэлектрической
проницаемости
однородной
неравновесной
анизотропной плазмы
До сих пор изучались электромагнитные
свойства термодинамически равновесной плазмы с максвелловской
либо фермиевской функцией распределения частиц по скоростям.
Реальная плазма, однако, как правило, далека от термодинами-
термодинамического равновесия. Неравновесность плазмы обусловлена спосо-
способами ее создания, такими, как электрический разряд в газе либо
на поверхности твердого тела, инжекция заряженных частиц в
нейтральный газ и его ионизация, инжекция носителей заряда в
образец твердого тела и т. д. Очевидно, что первоначально нерав-
неравновесная, плазма вследствие столкновений частиц стремится стать
равновесной. В гл. 3 был рассмотрен ряд задач и определены вре-
времена релаксации наиболее характерных неравновесностей плазмы
(анизотропия распределения по импульсам, анизотропия темпера-
температуры и др.)» обусловленные столкновениями частиц.
143
В этой главе покажем, что в неравновесной плазме возникают
бесстолкновительные эффекты, которые должны привести к ре-
релаксации неравновесного состояния плазмы значительно быстрее,
чем столкновения частиц. Именно неравновесная плазма оказы-
оказывается неустойчивой к различным малым возмущениям, которые
всегда возникают в плазме флуктуационным образом. В резуль-
результате в плазме нарастают электромагнитные поля, разрушающие
исходное неравновесное состояние.
Вопрос о том, куда релаксирует исходное неравновесное состо-
состояние плазмы в результате развития неустойчивостей, может быть
решен лишь на основе нелинейной теории. Но начальная стадия
развития неустойчивостей является задачей линейной электро-
электродинамики, согласно которой поведение во времени малых возму-
возмущений плазмы определяется дисперсионным уравнением B,4.4):
k 8ij—ki Щ ги (со,
= 0, F.1.1)
где 8ij(co, к)—тензор диэлектрической проницаемости простран-
пространственно однородной неравновесной плазмы. Корни этого уравне-
уравнения (On (к) определяют при больших значениях / поведение во
времени рассматриваемых малых возмущений:
Если хотя бы один корень среди (on(k) имеет положительную
мнимую часть, т. е. 1тшп(к)>0, то возмущение в плазме нарас-
нарастает во времени и плазма неустойчива.
Рассмотрим неустойчивости неравновесной плазмы с функцией
распределения частиц сорта а, анизотропной по отношению к
внешнему однородному магнитному полю Во, которое направим
вдоль оси Ог, т. е. примем, что
U = fo«(P±>Pz)> F.1.2)
Примерами, такой неравновесной плазмы являются плазма с ани-
анизотропной температурой частиц, плазма с пучком заряженных
частиц, движущихся вдоль направления магнитного поля и вра-
вращающихся вокруг него, и т. п.
Отметим, что в отсутствие электрического и переменного маг-
магнитного полей, а также при пренебрежении столкновениями час-
частиц распределение F.1.2) удовлетворяет стационарному и одно-
однородному в пространстве кинетическому уравнению
|f-=0. F.1.3)
Уравнение же для малого отклонения 6/а(р, t), вызванного
переменными полями Е(г, /) и В (г, t)> записывается как
dt
144
Решая уравнение F.1.4) так же, как в § 5.1, т. е. считая воз-
возмущенные величины зависящими от времени и координат в виде
ехр(—ico/ + ikr), направляя ось Ол? вдоль вектора k x и подставляя
найденное при этом значение 6/а(р, /) в выражение для плотно-
плотности индуцированного в плазме тока
i=2ie=2Mdpv6Mp,<), F-1.5)
окончательно получаем тензор диэлектрической проницаемости не-
неравновесной плазмы для рассматриваемых условий:
— &х и± (sinq/ — sin<p)]j , F.1.6)
)
где v=(l—о2/*?)-1/2, a Qa = eaBQ/ma. Учитывая далее вид невоз-
невозмущенной функции распределения F.1.2) и интегрируя выражение
F.1.6) по углам, получаем
F.1.7)
где
9 (nJn
°1 (—7
7
. „ nJn (x)J'n(x) . ,
"~Ш1 i о2/„2 W —tvzvl Jn (x) Jn (x),
vx v2 ^^ ivL vz Jn (x) Гп (x) v\ Pn (x)
F.1.8)
/ /iQ \ к v
Fa = (j^ Jn (x), - toj. Гп W, vz Jn (xyj , x = -i-L Y.
Дальнейшее вычисление диэлектрической проницаемости тре-
требует задания явного вида функции /oa(Pi> Pil)> которую запишем
следующим образом:
' 2ОТГ ^^J F.1.9)
145
Такая функция приближенно описывает систему частиц,, обладаю-
обладающих средним продольным (по отношению к направлению Во) рцо
и средним поперечным р i0 импульсами; тепловой разброс по им-
импульсам при этом определяется температурами Гцаи Т1а соот-
соответственно в продольном и поперечном направлениях, причем
предполагается, что Т\\а<^щас2, Т 1а<^гПаС2- В отсутствие средних
движений (Рю=р но=0) вместо функции F.1.9) следует пользо-
пользоваться функцией
ЗД, F.„0)
T\\a
соответствующей плазме с анизотропной температурой. В преде-
пределе же холодной плазмы Г1а = 71ца = 0 из F.1.9) имеем
Л» - -^"f- « (Pi-Рю) б (Pll-Ple). F.1.11)
Это распределение описывает моноэнергетическую систему час-
частиц, вращающихся поперек направления внешнего однородного
магнитного поля с импульсом р10 и движущихся вдоль него с
импульсом рцо. К реальной системе оно применимо в условиях, ког-
когда тепловым разбросом частиц по импульсам можно пренебречь,
т. е. при plo>V^aTia9 P\\o~>Vm*T\\«-
Вычисление компонент тензора диэлектрической проницаемо-
проницаемости F.1.7) с помощью распределения F.1.9) в общем слу-
случае сопряжено с громоздкими математическими выклад-
выкладками, приводить которые здесь нет необходимости, по-
поскольку при рассмотрении конкретных задач эти вычисле-
вычисления сильно упрощаются. На них остановимся далее. Здесь же
изложим еще один способ нахождения тензора диэлектриче-
диэлектрической проницаемости неравновесной плазмы, имеющий довольно
общий характер, хотя он и применим в условиях, когда отсутст-
отсутствует вращение частиц поперек магнитного поля, т. е. Pj_o = O. При
этом можно перейти в инерциальную движущуюся систему ко-
координат, в которой отсутствует и продольный импульс р и о У
частиц сорта а и которая, таким образом, связана с ними. Оче-
Очевидно, что распределение частиц этого сорта по импульсам имеет
вид F.1.10). При Т 1а =Т\\а это распределение совпадает с мак-
свелловским. Тензор диэлектрической проницаемости для частиц
сорта а в последнем случае был вычислен в предыдущей главе
[см. выражение E.1.10)], а для анизотропной плазмы с Т хаф
ФТ л» его вычисление не представляет труда и проводится в
следующем параграфе [см. формулы F.2.4)]. Используя эти вы-
выражения, можно найти тензор диэлектрической проницаемости
многокомпонентной плазмы в лабораторной системе координат,
не решая заново кинетического уравнения, а основываясь лишь
на формулах преобразования Лоренца. Действительно, полный
148
индуцированный ток в плазме есть сумма токов отдельных ее
компонент:
U (©, к) = 2 ht = 2 <#> К к) ?„ F.1.12)
а а
где a(aJj((D, к)—вклад в тензор проводимости, обусловленный
частицами сорта а, в лабораторной системе координат.
Чтобы найти тензор a(aJj((o, k), перейдем в движущуюся со
скоростью ua собственную систему координат, связанную с час-
частицами сорта * а:
Pl,0 = ma vaua( v« = A-m2/c2)-V2. F.1.13)
В этой системе координат
/; к. к)=<#> к>к) Е)а к. к) • FЛЛ4>
Здесь ю'а и к'а— лоренцевски преобразованные частота и волно-
волновой вектор:
О); =@)— kUa)Va>
] FM6)
а(а)ц((й'а9 k7a)—тензор проводимости частиц сорта а в собст-
собственной движущейся системе координат, Е'а и fa — напряжен-
напряженность электрического поля и плотность тока в этой системе, кото-
которые связаны с Е и ja формулами преобразования Лоренца:
/в| = «» («а) /;,-> Е'ы = Рм («a) Ej, F.1.16)
где
Р» (««) = -^ «Л Ы = — бот
СО СО
FЛЛ7)
* Если в этой системе координат распределение частиц сорта а имеет вид
F.1.10), то в лабораторной оно запишется в виде
Хехр
[ у'
Здесь NQa — плотность частиц в лабораторной системе координат, а Т 1а*
Т jj a — их температуры в собственной системе.
147
Из формул F.1.12) — F.1.17) легко получить тензор диэлек-
диэлектрической проницаемости многокомпонентной плазмы в лабора-
лабораторной системе координат:
е„ (со, к) - вм + -^ 2 «„ (ua) о(?) (со;, к;) ^ (па) =
а 0)
-^ <zl|4 (ua) [ew (со;, к;) -8»v] Pv, K). F-1-18)
В этом выражении e(aJj(G)'a, k'a )—диэлектрическая прони-
проницаемость частиц сорта а в собственной движущейся системе ко-
координат— считается известной [см. E.1.10) и F.2.4)].
При использовании формулы F.1.18) следует иметь в виду,
что в выражении для 8(a)zj(o)/a, k'a) наряду с частотой и волно-
волновым вектором преобразуются плотность частиц (вследствие со-
сокращения объема) и их масса. В результате ленгмюровская ча-
стота o)^a = coLa v~1/2, где (oLa= Л/ ——^» остается инвариантной,
а
а ларморовская частота преобразуется: Q'a =Qa =eaB0/m(l,
Здесь NOa—плотность частиц сорта а в лабораторной системе
координат, а та — их масса покоя.
В заключение заметим, что формулы F.1.16) и F.1.17) обоб-
обобщают известные материальные соотношения Минковского для
движущихся изотропных сред на случай анизотропных сред с
учетом частотной и пространственной дисперсии. Особо простой
вид эти формулы принимают <в нерелятивиетском пределе, когда
а =©—kua, к'а ==к,
а
8,7+к^. F.1.19)
§ 6.2. Неустойчивость плазмы
с анизотропной температурой частиц
В качестве первого примера неустойчивости неравновесной
плазмы рассмотрим плазму с анизотропной температурой частиц,
т. е. с функцией распределения по импульсам F.1.10). Ограни-
Ограничиваясь нерелятивистским распределением по импульсам и вво-
вводя обозначения
148
перепишем выражение F.1.7) в виде
еа л j 2
j 2
2 2 -^- I dp V a*ll a^i ; , F.2.2)
a n 80GJ a-/iQa~^ti2
где
Подставляя распределение F.1.10), соответствующее плазме с
анизотропной температурой частиц, запишем тензор F.2.2) в
компонентах:
8Ух ^1 2 2 . ^rt fo) {И ~-
(
**z = e**= 2 2
-i 2 2
«?„ г,
149
а л Л- t^T'it CO
X
где
Из формул F.2.4) предельным переходом В0->0 можно полу-
получить компоненты тензора диэлектрической проницаемости анизо-
анизотропной плазмы Т1(Х ?=Т\\а в отсутствие внешнего магнитного
поля. Однако такой предельный переход математически труден,
так как связан с суммированием функций Бесселя при боль-
больших значениях аргумента, о чем говорилось в гл. 5. Для вывода
тензора e2j((o, k) анизотропной немагнитоактивнои плазмы проще
исходить из выражения
*. J
со
2 J .I
а е0со со — kv dpi
F.2.5)
обобщающего формулу D.1.9) на случай произвольной анизо-
анизотропной функции распределения /оа(р). При этом удобно ввести
следующую систему координат: ось Oz направить вдоль вектора
к, а ось Ох —так, чтобы вектор п ц , определяющий направление,
в котором температура частиц равна Гца, лежал в плоскости
xz. Угол между пик обозначим Ф; вращение вектора пх, пер-
перпендикулярного вектору п || , определяет плоскость, в которой
температура частиц равна Тia (рис. 17).
В результате для тензора диэлектрической проницаемости
анизотропной плазмы получаем
F.2.6)
где
ец= 1- 2 -^5. {1 f ^- [(r!laTla-2sin2*cos2*G{!a-riaJ)
X (
150
СО*
<
)_р;2Ь F.2.7)
= 1- 2
со2
1 —
la
833 = 1 +
cor
Здесь
Анализ устойчивости анизотропной плазмы начнем с плазмы
в отсутствие внешнего магнитного поля. Подставляя выражение
F.2.6) в F.1.1), получаем два независимых уравнения:
k2— -^822 = 0, F.2.8)
F.2.9)
СО2
0J 2 Л
Первое из них описывает чисто поперечную волну к±Е\\Оу, вто-
второе — продольно-поперечную волну, в которой поле Е лежит в
плоскости xz. Лишь при ф=0 или ¦&=я/2 эта волна распадается
на чисто продольную (Е||Ог||к) и чисто поперечную (к_L Е||Олг):
0, F.2.10)
езз
*- ^ 8
11
F.2.11)
причем r*a = Tj|a при 0 = 0 и Т*а~Т 1(Х при T& =
Легко видеть, что продольные
колебания в плазме с анизотроп-
анизотропным давлением всегда устойчивы.
Поэтому ограничимся исследова-
исследованием лишь поперечных волн, опи-
описываемых уравнениями F.2.8) и
F.2.11), для простоты рассмот-
рассмотрим случай # = 0 либо Ф = я/2.
При #=0 имеем 811 = 822 и указан-
указанные уравнения тождественны,
8и=#е22 при fJ^jt/2. Однако в по-
последнем случае уравнение F.2.8)
аналогично уравнению для попе-
поперечных волн в изотропной плазме л _ „
л трмпрпятиплм Т -Т и имррт Рис* 17' ГеометРия распространения
с температурой ia-i 1аи имеет волны в анизотропной плаз-
лишь устойчивые решения. Таким
151
образом, для анализа устойчивости анизотропной плазмы доста-
достаточно исследовать уравнение F.2.11), которое при #=0 имеет вид
^ («МЫ-1I1. F-2.12)
Уравнение при ф=я/2 получается отсюда заменой 7ца 1а
Поэтому рассмотрим лишь распространение волн под углом $=0.
Пусть в плазме анизотропной температурой обладает элек-
электронная компонента, ионную функцию распределения для про-
простоты будем считать изотропной. Покажем, что такая плазма
всегда неустойчива. Действительно, из уравнения F.2.12) и ус-
условия Рц*3>1 (т. е. (o^>kv\\e) имеем
= <* 1-
L
со2
Корни этого биквадратного уравнения с хорошей степенью точ-
точности равны
F.2.14)
Второй корень оJ2<0, что соответствует наличию гидродинами-
гидродинамической апериодической неустойчивости в анизотропной плазме..
Из условия оJ>?Уцв следует, что такая неустойчивость возмож-
возможна только при достаточно большой анизотропии электронной тем-
температуры, когда Т±е*>Т\\е. Аналогичный вывод имеет место, если
Т\\е>Т±€.
Не «адо, однако, думать, что для развития неустойчивости в
плазме необходима сильная анизотропия электронной темпера-
температуры. Неустойчивость может существовать и при очень малой
анизотропии. Чтобы убедиться в этом, (проанализируем уравнения
F.2.12) в условиях рце<1, рг>1 (т. е. Ki<o)<tojje):
-T+^r0- F-2ЛБ)
Г
1 We
Отсюда находим
• II ? Ив 1 /~ «ГТ I * 9 9 i О i Off * _L? \ I /О О 1 O\
0)= —! —JLf ILL- i/ JL \ krc2 +co?.+ (o2 1 ±- ) L F.2Л6)
Видно, что в неограниченной плазме (в которой волновой век-
вектор к может быть сколь угодно малым) при Тхе^Т \\9 величина
6 = Imco может стать положительной, а колебания — неустойчивы-
неустойчивыми. Эта неустойчивость также является апериодической, но в от-
отличие от рассмотренной обусловлена изменением знака мнимой
части 8|{, т. е. связана с черенковским механизмом диссипации,
152
поэтому ее называют кинетической. Очевидно, что такая же не-
неустойчивость существует и при Т це>Т ± е и описывается форму-
формулой F.2.16) с заменой Т±e^^T^e-
Неустойчивость плазмы с анизотропной температурой частиц
сохраняется и при наличии внешнего магнитного поля. Покажем
это на примере ©олн, распространяющихся строго (вдоль магнит-
магнитного поля (& = &//, kх = 0). В этом случае уравнение F.2.1)
распадается на два уравнения:
&=^(exx±iexy), F.2.17)
ezz=0. F.2.18)
Уравнения F.2.17) описывают поперечные (обыкновенную и
необыкновенную) волны, а уравнение F.2.18), в точности совпа-
совпадающее в F.2.10), — чисто продольную волну. Таким образом,
продольные колебания в анизотропной магнитоактивной плазме
при строго продольном распространении, так же как и в отсутст-
отсутствие магнитного поля, всегда устойчивы. Для поперечных волн при
подстановке выраженной F.2.4) в F.2.17) получаем
- 2
7\„\\ ,. 7\„хЦ F.2.19)
со
Пусть в плазме анизотропна электронная температура. Устой-
Устойчивость такой плазмы естественно исследовать относительно вы-
высокочастотных колебаний, в которых ионы принимать участия не
могут. В области частот (со—Qe)^>kv $e дисперсионное уравнение
высокочастотных электронных колебаний согласно F.2.19) запи-
записывается в виде
<6-2-20>
Отсюда для обыкновенной волны при ©<сОе (>в этой области ча-
частот ее называют спиральной волной) находим (co-Ho + i6)
со=—Qe) F.2.21)
т\и
153
Видно, что при Т ±е^>Т jje волна неустойчива; поскольку
Йе, неустойчивость имеет место практически при сколь угод-
угодно малой анизотропии. Она обусловлена изменением знака анти-
эрмитовской части тензора диэлектрической проницаемости при
Т± е>Т ц е и в этом смысле является кинетической. В области же
частот (о^>йе, когда магнитным полем в F.2.19) можно прене-
пренебречь, это уравнение переходит в F.2.12), при исследовании ко-
которого было показано, что наряду с кинетической неустойчивос-
неустойчивостью в анизотропной плазме с Т хе^Т ^е возможна гидродинами-
гидродинамическая неустойчивость со спектром F.2.14).
Теперь, когда рассмотрен вопрос о развитии неустойчивостей
в бесстолкновительной плазме с анизотропной температурой,
можно сравнить инкременты их нарастания с обратным временем
релаксации температуры, обусловленной столкновением частиц,
и тем самым выяснить пределы применимости полученных фор-
формул. Как было показано в гл. 3 (см. задачу 3.5), релаксация
анизотропии электронной температуры в полностью ионизованной
плазме определяется электрон-электронными и электрон-ионными
столкновениями, а в слабоионизованной плазме — столкновения-
столкновениями электронов с нейтральными частицами. Поэтому справедли-
справедливость полученных формул определяется неравенствами
1тсо>гЭфф, ven F.2.22)
соответственно для полностью ионизованной и слабоионизованной
плазмы. Именно эти условия определяют минимальную анизотро-
анизотропию температуры электронов, выше которой плазма оказывается
неустойчивой.
§ 6.3. Взаимодействие прямолинейного электронного пучка
с плазмой. Черенковская неустойчивость
Рассмотрим другой пример неравновесной плазмы, очень рас-
распространенный в различных практических приложениях, — плаз-
плазму, в которой небольшая группа электронов обладает достаточ-
достаточной направленной скоростью и движется относительно остальных
«покоящихся» частиц. Другими словами, исследуем плазму, в
которую инжектирован релятивистский электронный пучок с ма-
малой по сравнению с плазмой плотностью. Будем считать, что
электронный пучок движется строго прямолинейно вдоль внеш-
внешнего магнитного поля, так что равновесная функция распределе-
распределения электронов пучка имеет вид F.1.2). Более того, предполо-
предположим, что в собственной системе координат они имеют максвел-
ловское распределение с нерелятивистской температурой (раз-
(разбросом по энергиям), остальные «покоящиеся» частицы плазмы
также считаем распределенными по Максвеллу, но в лаборатор-
лабораторной системе координат. Это позволяет при вычислении диэлект-
диэлектрической проницаемости плазмы в целом воспользоваться общи-
общими формулами преобразования F.1.18), в которых тензор
154
e(a)zj(o)'a, k'a) определяется выражением E.1.10) для частиц
сорта а.
Анализ устойчивости плазма-пучковых систем начнем со слу-
случая прямолинейного моноэнергетического электронного пучка,
взаимодействующего с холодной плазмой. Очевидно, что такой
пучок может двигаться лишь строго вдоль магнитного поля. Мо-
Модель же рассматриваемой плазма-пучковой системы применима
для описания быстрых процессов с характерными скоростями, на-
намного превышающими тепловые скорости частиц пучка и плаз-
плазмы, так что последними можно полностью пренебречь. Пренебре-
Пренебрежем также и столкновениями частиц, считая, что характерные
времена развития процессов намного меньше времен релаксации
направленной скорости электронов пучка в плазме.
Для моноэнергетического электронного лучка в собственной
системе координат и частиц холодной плазмы в лабораторной си-
системе координат можно воспользоваться выражениями E.2.2) и
E.2.3), которые при учете формул преобразования F.1.17) и
F.1.18) приводят к следующим выражениям для компонент тен-
тензора диэлектрической проницаемости плазма-пучковой системы:
ЬХХ — ЬУУ — l Zj
а
ьхУ ьУх 1 л
F.3.1)
e _ E _
[2 л —1 О2 l2 tJ2 *]
'9 ^ • / '9 9\ Г
0)а2 (D2 ( С0а2 — О^Л
Здесь со La = 1 / —-—— ленгмюровская частота частиц сор-
V 80 та
та a (No а— их плотность в лабораторной системе координат);
о)/а = (со—иак)уа, где Ya = (I-^a/c2)/2J ua — направленная
скорость частиц сорта а, а ?2а=——^ их ларморовская час-
тота.
Подставляя F.3.1) в уравнение F.1.1), можно исследовать
спектры колебаний любой многопотоковой плазмы в условиях
пренебрежения тепловыми движениями частиц. Проанализируем
теперь случай, когда моноэнергетический электронный пучок ма-
малой плотности пронизывает холодную плазму. Заметим, что при
155
инжекции электронного пучка в плазму в последней индуцируют-
индуцируются заряды и токи, нейтрализующие заряд и ток пучка (см. задачу
6.1). В результате плазма-пучковая система оказывается бестоко-
бестоковой и полностью нейтрализованной. Что касается направленной
скорости электронов плазмы, создающих обратный ток, нейтрали-
нейтрализующий ток пучка, то при плотности плазмы NPf намного превы-
превышающей плотность электронов пучка Л/&, она оказывается малой:
up=z -А иь<^иь = и, и ею можно пренебречь. Сказанное позволя-
позволяла
ет использовать для исследования свойств плазма-пучковой си-
системы выражения F.8.1).
Подставляя F.3.1) в уравнение F.1.1) и в первом приближе-
приближении пренебрегая пучковыми слагаемыми, получаем дисперсионное
уравнение для электромагнитных колебаний холодной магнитоак-
тивной плазмы, подробно проанализированное в § 5.2. Учет пуч-
пучковых слагаемых должен давать малые поправки к найденным
там спектрам. Из F.3.1) легко видеть, что эти поправки наибо-
наиболее существенны в тех областях частот и фазовых скоростей волн,
в которых пучковые слагаемые в компонентах тензора диэлек-
диэлектрической проницаемости неограниченно возрастают. Это имеет
место в условиях
А kQly9 F.3.2)
причем при выполнении первого равенства, называемого услови-
условием черепковского резонанса, пучковые слагаемые в случае прямо-
прямолинейного пучка имеют полюс второго порядка, а при выполне-
выполнении второго равенства, называемого условием циклотронного
(доплеровского) резонанса, — полюс первого порядка. Таким об-
образом, для прямолинейного пучка наиболее сильное взаимодей-
взаимодействие с плазмой следует ожидать при выполнении условия черен-
ковского резонанса.
Анализ взаимодействия моноэнергетического прямолинейного
электронного пучка с холодной плазмой начнем с простейшего
случая, когда отсутствует внешнее магнитное поле, так что
/ . При этом F.1.1) распадается на два уравнения:
со3
B 2 Я
со2 (со — kz
Здесь сои? и оэь — ленгмюровские частоты электронов плазмы и
пучка соответственно. При выводе уравнений F.3.3) ионными сла-
слагаемыми было пренебрежено ввиду их малости, т. е. рассмотре-
рассмотрено взаимодействие электронного пучка с высокочастотными коле-
колебаниями плазмы.
156
Легко видеть, что первое уравнение F.3.3) описывает устойчи-
устойчивые колебания плазмы со спектром частот
со2=со2ьв+coVr1 + &c\ F.3.4)
Вклад электронов пучка вследствие малости его плотности при
этом ничтожно мал. Устойчивость колебаний легко понять, если
учесть, что электрическое поле в них направлено вдоль оси Оу
(чисто поперечная волна, Е±к), а следовательно работа поля
волны над электронами пучка равна нулю:
Eu=0. F.3.5)
Второе уравнение F.3.3) описывает продольно-поперечную
волну с отличными от нуля компонентами поля Ех и Ez. Здесь
Ей =т^0 и возможно воздействие поля на электроны пучка. Пучок
может тормозиться полем волны, передавая ей часть своей энер-
энергии. Возникшая в системе флуктуационным образом волна будет
нарастать во времени — система оказывается неустойчивой. Дей-
Действительно, пучковые слагаемые в уравнении F.3.3) наиболее су-
существенны в области частот черенковского резонанса, поэтому
решения этого уравнения следует искать в виде
где 6<Ссо. В результате находим, что при о
б2=—гь7 1 + ~т а 2 Г- I- F>36>
а при со <^>^ fv 2.ti r**/ со Lg
01,2 ^«I-tt: тг I » vb-c
2 \2yVrj v ^2 /
бз =
2NP у &
Из соотношений F.3.6) и F.3.7) видно, что колебания с час-
частотой (ottkzii неустойчивы (Imco = Im6>0) и нарастают во вре-
времени, если kzu^(ui.e- В отсутствие резонанса, co«?z ифюье, ин-
инкремент нарастания Im6~ (Л^ь/Л/"рI/2соье, для резонансной же не-
неустойчивости, когда co^^z^^coLe, инкремент нарастания значи-
значительно больше: Im6~ (Л/уЛ/рI/3соье. Это и понятно,, поскольку в.
резонансе скорость пучка совпадает с фазовой скоростью рас-
распространения собственных колебаний плазмы, а именно со скоро-
скоростью продольных волн. Действительно в резонансном случае про-
происходит возбуждение продольных волн релятивистским пучком, в
чем легко убедиться, записав дисперсионное уравнение продоль-
продольных волн в отсутствие магнитного поля:
&2 _!_ ?2 л,2
— = 0. F,3.8)
157
В отсутствие пучка (соь = 0) уравнение F.3.8) описывает элект-
электронные ленгмюровские колебания плазмы. На пересечении спек-
спектра этих колебаний с прямой, соответствующей условию черен-
ковского резонанса (рис. 18), происходит сильное взаимодействие
электронного пучка с плазмой и 'возбуждение колебаний. Имен-
Именно в этих условиях решения уравнения F.3.8) в точности совпа-
совпадают с F.3.7).
Таким образом, при взаимодействии электронного пучка ма-
малой плотности с изотропной плазмой в условиях черенковского ре-
резонанса происходит резонансное возбуждение продольных волн в
плазме. Заметим, что поперечные электромагнитные волны в изо-
изотропной плазме возбуждаться не могут, поскольку их фазовая
скорость, как было показано в гл. 4, всегда больше скорости све-
света и электронный пучок с ними резонансно взаимодействовать не
может. Кроме того, согласно F.3.7), для неустойчивого корня ди-
дисперсионного уравнения Re6i<0. Это означает, что u>^JkZi т. е.
электроны пучка догоняют волну, передавая часть своей кинети-
кинетической энергии полю. Амплитуда поля при этом растет, возраста-
возрастает и его энергия, поскольку возбуждаемая пучком продольная
волна в случае изотропной плазмы является волной с положи-
положительной энергией:
Рассмотренная черенковская неустойчивость электронного
пучка в плазме имеет место и при наличии внешнего продольно-
продольного магнитного поля. Если магнитное поле слабое, так что
jl* то в выражениях F.3.1) им можно пренебречь и
U)
)/u)[e+kfc2
Рис. 18. Черенковское взаимодейст-
взаимодействие электронного пучка с
продольными колебаниями
изотропной плазмы
158
Рис. 19. Черенковское взаимодейст-
взаимодействие электронного пучка с
колебаниями холодной маг-
нитоактивной плазмы
справедливыми окажутся все полученные формулы. Если же маг-
магнитное поле сильное и Qe^>G)Le, то в формулах F.3.1) можно пе-
перейти к пределу бесконечного магнитного поля. При этом из
F.1.1) получим два уравнения:
k2— — = 0, F.3.10)
с2
Первое из них описывает чисто поперечную волну (Е\\Оу) с фа-
фазовой скоростью Gb/kz>cy с ней пучок вообще не взаимодействует.
Второе же уравнение описывает продольно-поперечные волны с
отличными от нуля компонентами поля Ех и Ez и поэтому взаимо-
взаимодействующие с пучком. В отсутствие пучка это уравнение дает
ветви колебаний
cof 2 = J- \<*le+ k*c* ± V>L + к2с*у-4<о1Щс* ], F.3.11)
соответствующие быстрой и медленной волнам. Электронный пу-
пучок резонансно может взаимодействовать лишь с медленной вол-
волной (рис. 19) и то при условии
<*>le>k2±u2y2+kzc2. F.3.12)
Решение второго уравнения F.3.10), соответствующее нара-
нарастающим во ©ремени колебаниям, при этом имеет вид
& = kzu+8 = V<i>le—k\u2y2 + 8; F.3.13)
6=^^f B^У/3 fl+^f 72(V2-D
если | б/со | < [2 (у2— 1]
;
если l6/ol>[2(v2— 1)Г».
В этом случае также Re6^0, поэтому u>(u/kz и электроны пуч-
пучка, догоняя волну, передают ей часть своей энергии. Для нереля-
нерелятивистского пучка, когда у->1, возбуждаемая волна с большой
степенью точности является квазипродольной ^потенциальной), а
с ростом y становится сильно непотенциальной.
Такую передачу энергии направленного движения электронов,
вполне легко понять, если заметить, что, согласно уравнениям
F.3.3) и F.3.10), групповая скорость возбуждаемой пучком вол-
волны вдоль оси Oz равна (при |6До| <С[2(/у2—I)]
т. е. она всегда меньше скорости и пучка. Заметим, кроме того,
что эта скорость положительна, а поэтому волна переносит энер-
энергию в направлении движения электронов пучка. Такую волну при-
принято называть попутной, а рассмотренную неустойчивость на по-
попутной волне называют конвективной или сносовой, подчерки-
подчеркивая тем самым, что возмущения сносятся электронным пучком.
Выше мы проанализировали вопрос об электродинамической
устойчивости термодинамически неравновесной среды, состоящей
из холодной плазмы и моноэнергетического прямолинейного пуч-
пучка. Решая начальную задачу, мы нашли условия возбуждения на-
начальных флуктуационных возмущений, их спектры частот и инкре-
инкременты нарастания. Совершенно очевидно, что в такой среде дол-
должны также усиливаться подаваемые извне электромагнитные воз-
возмущения. Чтобы убедиться в этом, следует решать граничную за-
задачу как это было изложено .в § 2.6, <т. е. из дисперсионного урав-
уравнения колебаний определить комплексную компоненту волнового
вектора © заданном направлении распространения волны. Мы сде-
сделаем это здесь для случая сильно замагниченной плазмы с пуч-
пучком. Для этого определим из второго уравнения F.3.10) комплек-
комплексное значение kz в условиях выполнения черенковского резонан-
резонанса. Тем самым проанализируем вопрос об усилении волн в на-
направлении внешнего магнитного поля. Получаем
f i-iУз
1/3
bkz =
F.3.15)
Величина Im6?z представляет собой коэффициент усиления волн
в направлении z>0.
Обсудим теперь вопрос о роли теплового движения электронов
плазмы и пучка в развитии черенковской неустойчивости. Ранее
тепловым движением частиц было полностью пренебрежено. По-
Поэтому полученные формулы справедливы в условиях, когда фа-
фазовые скорости волн в лабораторной системе координат больше
тепловых скоростей электронов плазмы, а в собственной системе
координат пучка — больше разброса электронов пучка по скоро-
скоростям:
, -^ *-•?>«**-. F.3.16)
k w и
Здесь vTe — тепловая скорость электронов плазмы, a vTb — нере-
нерелятивистский разброс электронов пучка по скоростям в собствен-
собственной системе координат.
160
Чтобы более строго обосновать условия F.3.16) а также вы-
выяснить, как видоизменяется черенковская пучковая неустойчи-
неустойчивость при их нарушении, рассмотрим взаимодействие пучка с
плазмой при учете теплового движения частиц. Для упрощения
ограничимся продольными волнами, возбуждаемыми пучком и
распространяющимися строго вдоль направленной скорости пуч-
пучка (и магнитного поля). Тогда дисперсионное уравнение колеба-
колебаний электронной плазма-пучковой системы имеет вид
(в-зл7)
Отсюда видно, что неравенства F.3.16) действительно пред-
представляют собой условия пренебрежения тепловым движением ча-
частиц в системе при развитии черепковской неустойчивости (при
этом k'=ky~l). В этих условиях уравнение F.3.17) сводится к
виду
<^l! 0, F.3.18)
со2 (о) — ku)a
причем оно совпадает с дисперсионным уравнением для продоль-
продольных волн F.3.8) при k± = 0.
Рассмотренную черепковскую пучковую неустойчивость при
полном (Пренебрежении тепловым движением частиц часто называ-
называют также гидродинамической, подчеркивая тем самым, что она яв-
является недиссипативной и может быть описана в рамках гидроди-
гидродинамики холодной плазмы. Как было показано, такая неустойчи-
неустойчивость развивается при ku^oo^?. Покажем, что при учете тепло-
теплового движения частиц появляется черенковокая неустойчивость и
в области ku>o)Le. В отличие от гидродинамической пучковой не-
неустойчивости неустойчивость при ku>o)Le является диссипатив-
ной, обусловленной изменением знака черенковского затухания
волн в плазме, и поэтому называется кинетической. В этих усло-
условиях вкладом пучка в действительную часть продольной диэлек-
диэлектрической проницаемости можно пренебречь и записать уравне-
уравнение F.3.17) следующим образом:
1 —
0J
Г 0)^@)-
0 F.3.19)
6—953 161
с решением (со-ко + 6)
[(со —kuJ?4 1
»«*ь J
ехр —
1тсо\
max
'те
Рис. 20. Зависимость инкремента раз-
развития черенковской пучковой
неустойчивости от ku
F.3.20)
Видно, что при 1тб>0 в систе-
системе возникает неустойчивость, ко-
которая возможна в области ku>
>o)Le и обусловлена изменением
знака затухания Ландау на элек-
электронах пучка при выполнении
черенковского условия &>со/&^
~col«?/&. Следует отметить, что ки-
кинетическая пучковая неустойчи-
неустойчивость, так же как и гидродинами-
гидродинамическая неустойчивость, обладает
вблизи частоты черенковского
резонанса со^соье^ки максима-
максимальным инкрементом нарастания,
значение которого падает с уда-
удалением от резонансной частоты.
На рис. 20 приведена зависимость инкремента нарастания че-
черенковской пучковой неустойчивости от ku; виден постепенный пе-
переход гидродинамической неустойчивости (нарастающая ветвь) к
кинетической неустойчивости (спадающая ветвь).
В заключение заметим, что выше мы полностью пренебрегли
столкновениями как частиц самой плазмы, так и пучка. Поэтому
все полученные выше формулы справедливы, пока
6>v&(a), ve(re), F.3.21)
а следовательно, столкновительной релаксацией электронов пуч-
пучка и возбуждаемой им электромагнитной волны можно пренеб-
пренебречь. Здесь б — инкремент нарастания неустойчивости, а \ь{и) и
Ve(Te) — частоты столкновений электронов пучка и плазмы соот-
соответственно. Отметим, что и при нарушении неравенств F.3.21) в
системе возможно развитие черенковской пучковой неустойчивос-
неустойчивости (см. задачу 6.7), которая называется диссипативной.
§ 6.4. Взаимодействие вращающегося электронного пучка
(потока осцилляторов) с плазмой.
Циклотронная неустойчивость
В § 6.3 отмечалось, что сильное взаимодействие электронного
пучка с плазмой имеет место при выполнении черенковского ли-
либо циклотронного резонанса. В случае прямолинейного пучка пре-
обладающим является черенковское взаимодействие, поскольку в
компонентах тензора диэлектрической проницаемости пучка F.3.1)
ему соответствуют полюсы второго порядка, в то время как цик-
циклотронное взаимодействие представлено полюсами первого по-
порядка. Покажем, что при наличии у электронов пучка наряду с
продольной также поперечной к внешнему магнитному полю ком-
компоненты направленной скорости циклотронное взаимодействие
становится столь же сильным, как и черенковское.
Из условия резонанса F.3.2) видно, что при циклотронном
взаимодействии не накладывается каких-либо ограничений на фа-
фазовую скорость волн; она может быть как больше, так и меньше
скорости пучка. Важным является лишь соотношение между цик-
циклотронной частотой вращения электронов во внешнем магнитном
поле и частотой электромагнитной волны. Поэтому, чтобы наг-
нагляднее пояснить механизм циклотронного взаимодействия, рас-
рассмотрим электромагнитные возмущения в системе вращающийся
пучок — плазма, распространяющиеся строго поперек магнитного
поля, полагая kz=0 и тем самым исключая черенковский резо-
резонанс.
Для простоты ограничимся рассмотрением моноэнергетическо-
моноэнергетического вращающегося пучка, взаимодействующего с холодной элект-
электронной плазмой. Тогда диэлектрическая проницаемость плазма-
пучковой системы имеет вид
егЛсо, k)=e<°>tf(©)+*e*i(ffl, k), F.4.1)
где s(°hj((u) —диэлектрическая проницаемость холодной электрон-
электронной плазмы (см. § 5.2):
/ ei0 i?0 О V
-i*o 8^° ° Г FА2)
0 ' 0 8„о/
2 2 г\
где е10=1 -^-, ?0= ^ \ , eoo^l-coL^2' a
СО2 — Щ СО (СО2 -^fe)
бе//(со, к) — поправка, обусловленная наличием электронного
пучка.
Для вычисления бе^(со, к) уже нельзя воспользоваться фор-
формулами преобразования F.1.17) и F.1.18), поскольку здесь элек-
электроны пучка кроме поступательной скорости обладают еще и
скоростью вращения и для получения формул преобразования не-
необходимо было бы перейти во вращающуюся систему координат.
В этом случае удобнее вычислить Ьъц{®, к) с помощью формул
F.1.7) и F.1.8), подставляя в качестве равновесной функции рас-
распределения электронов пучка функцию F.1.11).
В результате несложных вычислений для возмущений с к
получаем:
€* 163
2 \-L(z4'nHz)YPn+^Hz)Qnl
П I 2 J
«JL "l J
F.4.3)
Ul
где введены следующие обозначения:
Vn 1 » r — II
« * ^ ( ^ л Q/J \
^ (со - ^z и „ - л Qe/vJ \ ca /
Из выражения F.4.3) видно, что при и±ф0 пучковые слага-
слагаемые компонент тензора диэлектрической проницаемости имеют
полюсы второго порядка при (u—kzti^+nQely. Это означает, что
в данной области частот пучок сильно !взаимодействует с элек-
электромагнитной волной. Чтобы убедиться в этом, проанализируем
дисперсионное уравнение F.1.1) для электромагнитных волн, рас-
распространяющихся поперек магнитного поля, т. е. kz=0, k±=k.
В рассматриваемом случае это уравнение распадается на два
уравнения
^ st + tl ^ F.4.5)
описывающие соответственно необыкновенную и обыкновенную
волны. Здесь
&хх ^ 810 + б8д.л> гхУ == l So + $гхУ> /g ^
Ьуу = 8ю + &&уу, ezz = e и 0 + 6eZ2.
164
Электрическое поле необыкновенной волны перпендикулярно
внешнему магнитному полю, а обыкновенной волны — параллель-
параллельно ему. Поэтому необыкновенная волна может взаимодействовать
лишь с поперечной компонентой импульса электронов пучка, а
обыкновенная — с продольной.
В отсутствии пучка уравнения F.4.5) описывают спектры ко-
колебаний холодной магнитоактивной плазмы, распространяющих-
распространяющихся поперек магнитного поля. В § 5.2 был проанализирован об-
общий вид зависимости частот таких колебаний от волнового век-
вектора к. Для чисто электронных колебаний эту зависимость нетруд-
нетрудно найти и аналитически:
F.4.7)
Частоты (oi и о>2 соответствуют двум ветвям необыкновенной вол-
волны, а частота соз — обыкновенной волне.
Пересечения линий юа(к) (где а=1, 2, 3) с линией a)=nQe/y
определяют области резонансного циклотронного взаимодействия
вращающегося электронного пучка с указанными выше колебани-
колебаниями плазмы (рис. 21,а). Из рисунка видно, что в условиях
^0) F.4.8а)
циклотронный резонанс невозможен, в условиях
0J@)<^<G)U F.4.86)
возможно резонансное взаимодействие пучка с нижней ветвью
необыкновенной волны, в условиях
coL, < -^ъ. < уЧлЩ F-4-8в)
возможно резонансное взаимодействие пучка с нижней ветвью
необыкновенной волны и с обыкновенной волной, в условиях
УЦлЩ < — < ®i (°) FЛ8г)
возможно резонансное взаимодействие пучка только с обыкно-
обыкновенной волной и, наконец, в условиях
^^0) F.4.8д)
возможно резонансное взаимодействие пучка с обыкновенной вол-
волной и верхней ветвью необыкновенной волны.
Указанные условия определяют лишь возможность резонанс-
резонансного взаимодействия вращающегося пучка с собственными элек-
электромагнитными волнами холодной плазмы. О том, какие из этих
165
COi
Рис. 21. Циклотронное взаимодействие электронного пучка с колебаниями холод-
холодной магнитоактивной плазмы — поперечное распространение (а) и с
электромагнитной волной в вакууме — произвольный угол распростра-
распространения (б)
волн будут возбуждаться пучком, можно судить, определив ин-
инкременты их нарастания. Для этого нужно решать уравнения
?6.4.5) с учетом пучковых слагаемых в компонентах тензора ди-
диэлектрической проницаемости и условия резонансного взаимо-
взаимодействия (o=nQe/y. При определении инкрементов нарастания
волн мы упростим задачу, а именно рассмотрим предел редкой
плазмы пе^хоье- В § 6.3 было показано, что черенковское воз-
возбуждение волн прямолинейным пучком в такой плазме возможно
при условии, когда плотность плазмы превышает некоторое кри-
критическое значение, хотя и сколь угодно малое для не ограничен-
ограниченной в пространстве плазмы [см. условие F.3.12)]. Это было обу-
обусловлено требованием существования в плазме волны с фазовой
скоростью, меньшей скорости света, которая могла бы нахо-
находиться в черенковском резонансе с электронами пучка. В случае
циклотронного резонанса это требование отпадает, поэтому отпа-
отпадает и необходимость наличия плазмы: циклотронный резонанс
возможен и при полном ее отсутствии. Тогда уравнения F.4.5)
существенно упрощаются:
й«=4- i +
с* L
,-i «2
С*
F.4.9)
с2 [1-
166
В этих уравнениях полностью пренебрежено плазменными слага-
слагаемыми в компонентах тензора диэлектрической проницаемости
системы, а из пучковых слагаемых учтены только члены с полю-
полюсом второго порядка (для циклотронного резонанса).
Теперь можно легко решить уравнения F.4.9), найдя частоты
возбуждаемых пучком электромагнитных волн и инкременты их
нарастания:
= -^+6. F.4.10)
У
В рассматриваемом приближении частоты необыкновенной и
обыкновенной волн совпадают:
fkfe, F.4.11)
У
а инкременты их нарастания соответственно равны
1/3
F.4.12)
Из выражений F.4.12) видно, что инкременты нарастания нео*
быкновенной и обыкновенной волн отличны от нуля лишь при
наличии поперечной компоненты скорости электронов мх =#=(),
причем с ростом и± инкременты увеличиваются. Для существо-
существования ненулевого инкремента нарастания обыкновенной волны не-
необходимо наличие также продольной компоненты скорости элек-
электронов и л =7^=0. Следует отметить, что инкременты нарастания
максимальны на низших циклотронных гармониках п, особенно
при нерелятивистских значениях поперечной компоненты скоро-
скорости электронов, когда Uj_<tic.
Проведенный анализ циклотронной неустойчивости при kz=0
не позволяет ответить на вопрос, является ли эта неустойчивость
сносовой или нет. Для этого необходимо рассмотреть колебания
с ?2?=0, что мы и сделаем сейчас, ограничившись случаем малых
значений поперечной скорости электронов и±<^.с. Считая пучок
малым возмущением и поэтому учитывая в диэлектрической про-
проницаемости F.4.3) лишь слагаемые, содержащие полюсы второ-
второго порядка по циклотронному резонансу F.3.2), для необыкно-
необыкновенной и обыкновенной волн соответственно получим следующие
дисперсионные уравнения:
к х "Ь ^2==: о~ ^
с
F.4.13)
167
Здесь
'
Видно, что в рассматриваемом приближении в пределе ±
учитывается циклотронный резонанс только на основной гармо-
гармонике, т. е. с п= 1.
Теперь мы можем искать решения уравнений F.4.13) в виде
(d-^(o+6=kc+6 = Qefy+kzUll +6. F.4.15)
В результате для инкрементов нарастания необыкновенной и
обыкновенной волн получаем
^необ
боб _ 1 + i
Q) S
4co6
1/3
F.4.16)
Следует отметить, что, согласно F.4.15), при развитии цикло-
циклотронной пучковой неустойчивости электромагнитных волн высо-
высокой и низкой частоты (рис. 21,6)
их групповая скорость и продольное волновое число соответствен-
соответственно составляют
F.4.18)
Легко видеть, что при условии уц >k±cy/\Qe>l оба корня &zi,2>
>0, а поэтому групповые скорости обеих возбуждаемых волн по-
положительны (точка 2 на рис. 21,6 в этом случае, как и точка /,
лежит в правой полуплоскости). Обе волны при этом переносят
энергию в сторону движения пучка и циклотронная неустойчи-
неустойчивость носит сносовый характер. Если же к±су/пе<.1> то &zi>0,
a &z2<0 и, следовательно, возбуждаемая пучком низкочастотная
волна переносит энергию навстречу направлению движения пуч-
пучка (такую волну называют встречной), в то время как высоко-
высокочастотная волна по-прежнему обладает положительной групповой
скоростью и переносит энергию в направлении движения пучка.
В этом случае низкочастотная волна уже не сносится пучком и
неустойчивость не является сносовой, такую неустойчивость на-
называют абсолютной. Рассмотренную выше циклотронную неустой-
168
чивость в пределе kz—0 в этом смысле также следует считать
абсолютной, поскольку продольные групповые скорости обыкно-
обыкновенной и необыкновенной волн равны нулю, а поэтому возмуще-
возмущения электромагнитного поля не сносятся электронным пучком.
Выше была исследована циклотронная неустойчивость вра-
вращающегося пучка в отсутствии плазмы. Наличие плазмы затруд-
затрудняет развитие такой неустойчивости, и при плотностях, когда
она становится невозможной для волн, распространяющихся по-
поперек электронного пучка (kz=0). Это обусловлено тем, что цик-
циклотронная частота излучения вращающихся электронов nQely
экранируется плазмой, т. е. перестает быть собственной частотой
системы. Кроме того, при наличии плазмы в системе возникают
столкновительные релаксации, релаксируют направленная ско-
скорость электронов пучка и возбуждаемые пучком волны. Приве-
Приведенные выше формулы справедливы в условиях, когда столкно-
вительными процессами релаксации можно пренебречь, что экви-
эквивалентно требованию выполнения неравенств F.3.21), где б — ин-
инкремент нарастания неустойчивости, а \ъ(ц) и v€(Te)—частоты
столкновений электронов пучка и плазмы соответственно.
Наконец, заметим, что рассмотренная циклотронная неустой-
неустойчивость является гидродинамической в том смысле, что она не
связана с диссипативными процессами в^ системе и проявляется
при полном пренебрежении тепловым разбросом скоростей элект-
электронов пучка. Учет последнего может привести к развитию в сис-
системе слабой кинетической циклотронной неустойчивости (см. за-
задачу 6.6).
Задачи к гл. 6
Задача 6.1, Исходя из уравнения F.3.3) показать, что в плазма-пучковой
системе в отсутствие внешнего магнитного поля возможна желобковая не-
неустойчивость с kz=0y соответствующая расслоению электронного пучка на
отдельные токонесущие нити.
Решение. Для желобковых мод с &z = 0 из уравнения F.3.3) получаем
Отсюда в пределе otJ<C(D2Le находим
k*u* 2 ,
оJ= — — со? v • B)
Поскольку оJ"<0, неустойчивость апериодическая, она соответствует рас-
расслоению электронного лучка на отдельные токонесущие нити. Максимальным
инкрементом нарастания обладают моды с ^>WLe/c. Это означает, что наибо-
наиболее вероятно расслоение пучка на нити с радиусом го<с/©ьс. Заметим, что
уравнение F.3.10) неустойчивых решений &z=0 не имеет, т. е. сильное магнит-
магнитное поле стабилизирует желобковую неустойчивость.
169
Задача 6.2. Исследовать* взаимодействие прямолинейного релятивистского
электронного пучка малой плотности с высокочастотными электростатичес-
электростатическими колебаниями холодной магнитоактивной плазмы.
Решение. Дисперсионное уравнение, описывающее взаимодействие пря-
прямолинейного релятивистского пучка с продольными электронными колебаниями
магнитоактивной плазмы, записывают в виде
A)
*» (ш - kz и)8
= 0.
Отсюда находим спектры частот собственных продольных колебаний плаз-
плазмы в отсутствие пучка:
B)
На рис. 22 приведены спектральные кривые G>i,2(kz). Здесь же приведены
прямые
, C)
соответствующие черенковскому и циклотронному взаимодействию пучка с ко-
колебаниями плазмы. На пересечении этих прямых со спектральными кривыми
0)i,2 (kz) возникает наиболее сильное ре-
резонансное взаимодействие пучка с плаз-
плазмой и возможно развитие черенковской
и циклотронной неустойчивостей. Из
рис. 22 видно, что прямая ®=kzu—Qe/y
пересекает обе ветви продольных волн,
прямая 'Qd — kzU всегда пересекает верх-
верхнюю ветвь, а при &^и<тт(*соье, Qe)
также нижнюю ветвь, прямая <d = kzu+
+ QeJy пересекает только верхнюю ветвь.
На рис. 22 видно, кроме того, что груп-
групповая скорость верхней ветви колебаний
всегда отрицательна, а нижней — поло-
положительна. Поэтому неустойчивость на
верхней ветви колебаний всегда являет-
является абсолютной, в то время как неустой-
неустойчивость на нижней ветви носит сносовый
характер.
Простые формулы для частот и ин-
инкрементов нарастания колебаний удает-
удается получить в предельных случаях плот-
плотной (co2Le>Q2e) и разреженной (Q2e>
>co2Le) плазмы.
В плотной плазме при развитии че-
черенковской неустойчивости (o)=6z«+6)
происходит преимущественное возбужде-
возбуждение верхней ленгмюровской ветви коле-
колебаний со спектром
1/3
22. Черенковское и циклотрон
ное взаимодействие элек
тронного пучка с продоль- со «o>
ньши колебаниями холодной
магнитоактивной плазмы
Le> — =
N
2Y
D)
170
Циклотронная неустойчивость возможна только на аномальном эффекте
Доплера (а)=?2н—QJy+i6) и в этих условиях также возбуждает преимущест-
преимущественно верхнюю ветвь колебаний, причем
©«ш — = 1
~ Le' со 2
Из сравнения D) и E) видно, что инкремент развития черенковской неус-
неустойчивости lmd~y~i(Nb/NP)i/3(df в то время как для циклотронной неустойчи-
неустойчивости Im6 ~(NblNp)l/2<o. Тем не менее циклотронная неустойчивость может
оказаться преобладающей, если
> Y ' F)
что возможно только в случае ультрарелятивистских электронных пучков.
В разреженной плазме при развитии черенковской неустойчивости проис-
происходит преимущественное возбуждение нижней ленгмюровской ветви продольных
колебаний со спектром
со
Для циклотронной неустойчивости на аномальном эффекте Доплера при
этом имеем
Этот инкремент всегда намного меньше, чем инкремент G), поэтому в раз-
разреженном потоке циклотронная неустойчивость, вообще говоря, не может про-
проявиться. Исключение составляет случай k ^ m>©l e, когда черенковская неус-
неустойчивость вообще невозможна и развиваться может только циклотронная не-
неустойчивость на аномальном эффекте Доплера.
Задача 6.3. Исследовать взаимодействие двух встречных одинаковых плаз-
плазменных пучков, движущихся параллельно внешнему магнитному полю со
скоростями, намного меньшими тепловой скорости электронов.
Решение. Поскольку скорости движения потоков намного меньше ско-
скорости света, при исследовании их взаимодействия достаточно ограничиться
анализом потенциальных (электростатических) возмущений. Дисперсионное
уравнение для таких возмущений в системе двух сталкивающихся потоков за-
записывают в виде
Проанализируем это уравнение в двух предельных случаях: в отсутствие
внешнего магнитного поля и при наличии бесконечно сильного продольного маг-
магнитного поля.
В отсутствие магнитного поля из A) получаем
Отсюда, в частности, следует, что в условиях tt<i>T i колебания, описываемые
этим уравнением, устойчивы, более того, они затухают во времени. Это озна-
171
чает, что взаимодействие между пучками плазмы отсутствует. При
<&те из B) имеем
Пренебрегая малым мнимым слагаемым в этом уравнении, описывающим че-
ренковское поглощение волн электронами (и членами, учитывающими погло-
поглощение на ионах, как экспоненциально малыми), находим спектр:
(Djf 2 = а-* { &l( + (kuJ a ±
± ]/"[ ©и + (kuJ а12 + 4 (kuJ а [2соы - (И2 а] } f D)
где
В'идно, что при условии
Г °>L 1
2co^>k2u2 1+2 — E)
L k*vT* J
корень й>а«—(kuJ<0, т. е. колебания апериодически неустойчивы, что соот-
соответствует сильному взаимодействию сталкивающихся потоков. Согласно E),
такое взаимодействие возможно при скоростях u<vs— i/Te/M, но, поскольку
«>ит i, оно имеет место только в неи^отермической плазме с ГвЭ>Г».
Указанная гидродинамическая неустойчивость сохраняется и при наличии
сильного продольного магнитного поля. Так, в пределе ?0-*-оо при vr ,
из A) получаем
<°U , ©U
»— kuJ (o + kuJ ' °' F)
Из сравнения этого уравнения с C) заключаем, что неустойчивость в слу-
случае взаимодействия сильно замагниченных плазменных пучков имеет такую же
природу, как и незамагниченных. Только условие E) немного видоизменяется:
- r1+2 *i
— и увеличивается инкремент нарастания неустойчивости ш2г«—k2u2.
Задача 6.4. Показать, что в случае инжекции ионов в электронный пучок
возможны их захват и ускорение при резонансе продольной циклотронной
волны при аномальном эффекте Доплера и ионного черенковского резонанса,
т. е. при
где ие и щ — направленные скорости электронов и ионов.
Решение. Поскольку скорость ионов мала по сравнению со скоростью
света, при исследовании взаимодействия электронного и «онного пучков можно
172
ограничиться анализом устойчивости продольных волн, описываемых дисперси-
дисперсионным уравнением
= 0. A)
При написании этого уравнения предполагалось, что <о2ы^й2«, т. е. ионы не
замагничены. Электроны же, наоборот, сильно замагничены: Q2e^>©2LeY-
Решение уравнения A) в этих условиях можно искать в виде
где ©о определяется <из A) в отсутствие ионного пучка:
В результате находим
б3 = — i —^ **he Ши • D)
k* 2Qe v
Неустойчивым колебаниям соответствует следующее решение этого урав-
уравнения:
Поскольку 1тб<0, фазовая скорость волны оказывается больше скорости
ионов, поэтому волна ускоряет ионы, догоняя их. Ионы получают энергию от
волны, амплитуда которой растет во времени с инкрементом Re6>0. Энергия
волны при этом, однако, уменьшается, так как в рассматриваемых условиях
(<?e) энергия циклотронной волны в пучке отрицательна:
д со в (со)] ^1
г-1
Задача 6.5. Исследовать возбуждение обыкновенной электромагнитной вол-
волны, распространяющейся поперек магнитного поля в плазме, вращающимся
электронным пучком с учетом теплового разброса электронов по скоростям.
Решение. Дисперсионное уравнение для обыкновенной волны, распрост-
распространяющейся поперек магнитного поля, имеет вид [см. F.4.5)]
=0. A)
Вклад в ezz, обусловленный вращающимся пучком с учетом теплового раз-
разброса по скоростям, т. е. пучком с функцией распределения F.1.9), вычисляют
по формулам F.1.7), F.1.6):
ах) к -Г
L «и п
где 2
173
toy vTbti ku ^
x^-TqT' a = T*~9 z = "-aTY* C)
При вычислении B) было принято, что Т1Ь=Тц6=Ть, a v2T ь=Ть/т. Исполь-
Используя B), нетрудно записать уравнение A) в области частот циклотронного ре-
резонанса (aynQly):
1
D)
В отсутствие плазмы в пределе моноэнергетического пучка,' т. е. а-й), эго
уравнение переходит во второе уравнение F.4.9), описывающее гидродинами-
гидродинамическую циклотронную неустойчивость обыкновенной волны. Таким образом, ус-
условие применимости формул F.4.12) можно записать в виде
E)
ус2
Это условие должно выполняться наряду с неравенством, обратным F.4.19)
(отсутствие экранирования циклотронного излучения плазмой).
Уравнение D) допускает существование в системе также кинетической не-
неустойчивости, обусловленной конечностью температуры пучка, т. е. конечностью
величины а. Такая неустойчивость возникает при выполнении условия E), при-
причем спектр неустойчивых колебаний (co-KO+i6)
Л
со У 8 0,2 С2 Jn\ Qe
/ )
В отличие от гидродинамической неустойчивости, соответствующей условию
лОе/у, кинетическая неустойчивость возможна при (u<nQe/y (т. е. х>0).
Задача 6.6. Исследовать устойчивость моноэнергетического электронного
пучка с гауссовским распределением вектора скорости электронов по азиму-
азимутальному углу относительно возбуждения циклотронных волн (такой пучок
формируется при прохождении прямолинейного моноэнергетического пучка
через тонкую фольгу).
Решение. В этом случае функция распределения электронов
Здесь А — постоянная нормировки; &q — энергия электронов; 8о — средний
азимутальный угол @2о<1). Далее имеем
Функцию распределения A) можно записать также в виде
/ое=Л6($-$в)ехр _--^-|, C)
удобном для вычисления тензора диэлектрической проницаемости по формулам
F.1.7) и F.1.8).
Рассмотрим необыкновенную циклотронную волну, распространяющуюся
поперек магнитного поля. В случае достаточно редкого пучка, когда Q
174
в дисперсионном уравнении для этой волны следует ограничиться лишь линей-
линейными слагаемыми по плотности пучка. Тогда получим
k* с* — и? &уу = О,
1 шь ео V2 — 1 D)
в"**1 + 4 (co-Qe/Y)* V3 '
где у=&о!(тс2). При вычислении 8^ была учтена малость величины
поэтому можно было ограничиться первым циклотронным резонансом <
Из уравнения D) находим (co-XD+i6)
E)
Задача 6.7. На примере изотропной плазмы показать, что черепковская пуч-
пучковая неустойчивость может развиваться также в условиях, когда инкре-
инкремент ее нарастания меньше частоты столкновений плазменных электронов
(диссипативная пучковая неустойчивость).
Решение. Как было показано в § 6.3, при развитии черенковской неустой-
неустойчивости в изотропной плазме происходит возбуждение продольных волн. При
учете столкновений электронов плазмы вместо уравнения F.3.8) имеем
<е f У \ *>Ь-3 ^ + *2Л'
1--Г (I-» — )- , \ >.——тг = °- (»>
Ю2 \ СО / (<u — kzUJ k2
В отсутствие пучка это уравнение описывает слабозатухающие плазменные ко-
колебания со спектром (co-HD+i6o)
@«<DLe, бО=—V./2. B)
При наличии пучка подобные колебания могут оказаться нарастающими.
Действительно, в условиях черенковского резонанса
из A) получаем
1/2 C)
1+1 / tfb °>u **x+*JV~* У'
16 х | при |6|<ve.
Верхнее из этих выражений соответствует инкременту нарастания бесстолк-
новительной неустойчивости F.3.7), а нижнее — диссипативной неустойчивостью.
Очевидно, что пучковая неустойчивость может быть реализована лишь при
|6|^»v&, где 1/vb — время релаксации направленной скорости электронов пуч-
пучка (см. задачу 3.4).
Задача 6.8. Исследовать возбуждение нулевого звука в вырожденной изо-
изотропной плазме не релятивистским моноэнергетическим электронным пучком
малой плотности.
Решение. Дисперсионное уравнение продольных волн в системе записы-
записывают в виде
=0-
Отсюда, считая пучок .малым возмущением, получаем
175
ю2 ,.wo С2)
2
Условие применимости этих формул имеет вид
~~ « ехр
Это неравенство наряду с неравенством Im6^va(j><i>, где va<j>4> — частота столк-
столкновений электронов в врожденной плазме (гЭфф характеризует время торможе-
торможения пучка в плазме), легко выполнить для металлов и вырожденных полупро-
полупроводников.
Задача 6.9. Исходя из формул преобразования F.1.18) показать что дис-
дисперсионное соотношение для электромагнитных волн в системе, состоящей
из двух сортов плазмы: первой — изотропной в собственной системе и
движущейся в лабораторной системе координат, и второй — покоящейся,
распадается на два уравнения:
Х[8BI@),
t A)-8<2)'(<0, *)])=0.
Здесь и — скорость движения первой плазмы относительно второй, a id' и
k' — преобразованные по формулам F.1.1'5) частота и волновой вектор вол-
волны. Первое из этих уравнений описывает чисто поперечную волну, а вто-
второе — смешанную продольно-поперечную волну.
Глава 7. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНЕМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§ 7.1. Функция
распределения
заряженных частиц
плазмы во внешнем
электрическом поле
Рассмотрим еще один широко распро-
распространенный в природе пример термодинамически неравновесной
плазмы с анизотропной функцией распределения частиц по ско-
скоростям — пространственно неограниченную и однородную плаз-
плазму во внешнем электрическом поле.
176
Реальную плазму трудно представить себе без внешнего элек-
электрического поля. Электрическое поле используют как для созда-
создания плазмы (разряд в газе в постоянном и высокочастотном
электрическом полях, оптический разряд), так для нагрева и
удержания, а часто и для ускорения плазмы (омический нагрев
плазмы в постоянном и высокочастотном полях, нагрев излучени-
излучением лазера, радиационное удержание и ускорение плазмы в пере-
переменных полях и т. д.). Более того, характер распространения
электромагнитных волн конечной амплитуды в плазме в значи-
значительной степени определяется поведением плазмы в электричес-
электрическом поле. Поэтому исследование свойств плазмы во внешних по-
постоянном и переменном электрических полях имеет важное прак-
практическое значение.
В настоящем параграфе изучим равновесное расстояние плаз-
плазмы во внешнем переменном во времени, но однородном в прост-
пространстве электрическом поле Ео.
Прежде всего рассмотрим случай постоянного электрического
поля Ео, параллельного внешнему магнитному полю Во. Отдель-
Отдельные заряженные частицы плазмы в таком поле ускоряются во
времени:
^ -*«ЕЛ. G.1.1)
VI - ul/c*
Однако ускорение будет иметь место до тех пор, пока частица
не столкнется с другой частицей, потеряв приобретенный в поле
импульс, т. е. в течение времени t<va~\ где va—частота столк-
столкновений данной частицы по отношению к передаче импульса дру-
другим частицам. Из-за огромной разницы в массах электронов и
ионов фактически воздействием электрического поля на ионы
всегда можно пренебречь и учитывать лишь его взаимодействие
на легкие заряженные частицы — электроны. Поэтому приведен-
приведенные рассуждения следует относить к электронам, а под va под-
подразумевать частоту электронных столкновений, т.е. а=еи va=ve.
Таким образом, в течение времени t<ve~l плазму можно счи-
считать бесстолкновительной, в которой под действием электричес-
электрического поля все электроны ускоряются по закону G.1.1), а ионы
остаются неподвижными. При этом если до включения поля рас-
распределение электронов по импульсам имело вид /о(р) [под fo(p)
будем подразумевать термодинамически равновесное распределе-
распределение Максвелла либо Ферми], то к моменту времени t оно получит
«сдвиг» на po(t)—eEot. Например, в нерелятивистском случае для
начального распределения Максвелла функция распределения
электронов в момент времени t имеет вид
/о (р, t) = ^ ехр Г- (р~р°(/)J1 . G.1.2)
/0VF ' BятГе)з/2 F I 2mTe J V ;
В вырожденной же плазме в момент времени t функция распре-
177
деления электронов станет сдвинутой функцией распределения
Ферми:
{ G.1.3,
(О при |р—P0|>Pf,
где pF=Cn*Ney'3h.
Сдвинутую нестационарную функцию распределения нетрудно
получить непосредственно из кинетического уравнения Власова
?k+eEof-=0, G.1.4)
ot op
приняв за начальное распределение (без поля) fo(p). В этом мо-
можно убедиться простой подстановкой функции /V(p—ро(О) в
уравнение G.1.4).
В невырожденной полностью ионизованной плазме нестаци-
нестационарное решение G.1.2) для электронов оказывается справедли-
справедливым для любых моментов времени (и при />v~1ei), если
G.1.5)
1 \i
где vei = частота электрон-ионных стол-
6ле20УШ тъе'2
кновений, определяющая силу трения электронов об ионы: FTp=
= —trivet- Это условие имеет наглядный физический смысл. При
?о>?Кр электрон за время между столкновениями приобретает
энергию, большую его тепловой энергии Те. В результате резко
снижается частота электрон-ионных столкновений (vei~l/w3,
см. задачу 3.4), а вместе с ней уменьшается и сила трения элек-
электронов об ионы; она уже не способна препятствовать ускоряющей
силе еЕ0, и все электроны плазмы переходят в режим непрерыв-
непрерывного ускорения или в режим «убегания», что и описывается функ-
функцией G.1.2). Более того, при этом со временем скорость электро-
электронов станет релятивистской и функцию распределения fо(р—po(t))
следует записывать в виде функции релятивистского распределе-
распределения Максвелла.
Иная картина наблюдается в полностью ионизованной невы-
невырожденной плазме при условии, обратном G.1.5), т. е. когда по-
поле Ео слабое. В этом случае электрон за время свободного про-
пробега приобретает энергию, меньшую тепловой, и сила трения со
стороны ионов способна компенсировать ускоряющую силу элек-
электрического поля; устанавливается стационарная функция распре-
распределения электронов. Для определения стационарной функции рас-
распределения электронов в плазме, помещенной в электрическое
поле Ео, необходимо решать уравнение
178
Здесь (J^-\ и (?h*-\ — интегралы столкновений электронов с
\ Ы Jst \ dt )st
электронами и ионами соответственно (см. § 3.4).
При слабых полях Ео функция /0 мало отличается от цзотроп-
ной максвелловской функции распределения /оо. Поэтому уравне-
уравнение G.1.6) можно линеаризовать, положив
foe — /оо + $ foe > G« 1 »7)
где / =
ГДе /о°
a bfoe удовлетворяет линеаризованному уравнению:
— dJf- =iV* т- 1еи (р) ir* + 4~ J d"p'7" (p>p')x
m dv dpi ч dpi dpi J l]
X \f*- б/Ое(р')+ "^ feo(P')-/eo(P) % -tf-%1 •
[ y / J
Уравнение G.1.9) удобно решать методом Чепмена — Энскога,
разлагая 6/ое(Р) п0 полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя чле-
членами разложения, запишем
б/ое (р)« f [«.+ ъ (y - -?г)]U G-1.Ю)
Подставляя выражение G.1.10) в G.1.9) и домножая это уравне-
t /5 v2 \
ние на полиномы 1 и / \ , после интегрирования по им-
импульсам для простой плазмы с ?j=M получаем
G.1.11)
h, а следовательно, искомую функ
— mv*
foe —
Отсюда находим а0 и аи а следовательно, искомую функцию foe:
mv*
BnmTe)V2
L ^+V2 v\e \ 2
где ue=eE0/(mvei).
Согласно условию применимости этой формулы (неравенство,
обратное GЛ.5)), средняя направленная скорость электронов, оп-
определенная с помощью G.1.7),
<v>=-%^ «l,96ue G.1.I3)
намного меньше их тепловой скорости, т. е.
379
Выражение G.1.12) несколько отличается от разложенной в
ряд функции распределения Максвелла со средней скоростью пе
G.1.2), что приводит к небольшим количественным отличиям в
различных конкретных результатах при использовании функции
G.1.2) вместо G.1.12). Качественно, однако, эти результаты со-
согласуются между собой, поэтому для простоты далее и в случае
слабого поля будем пользоваться формулой G.1.2), в которойро =
E/
В слабоионизованной плазме, как невырожденной, так и вы-
вырожденной, помещенной во внешнее электрическое поле, стацио-
стационарное состояние также может существовать, если
,9 G.1.14)
где Vq — средняя хаотическая скорость движения электронов (те-
пловая скорость либо скорость Ферми). Это условие означает, что
за время свободного пробега электрон в поле приобретает ско-
скорость, меньшую его средней хаотической скорости.
Для определения равновесной функции распределения элект-
электронов в слабоионизованной невырожденной плазме будем исхо-
исходить из кинетического уравнения с модельным интегралом БГК
(см. § 3.5):
?Ео_ д[^_ = _v^ фсп) (?лЛ5)
m ov
m
В результате находим
mi-2
f = Ne е~ ^ х
где пе=еЕ0/()
Аналогично находим функцию распределения электронов в сла-
слабоионизованной вырожденной плазме во внешнем электрическом
поле. Для этого необходимо решить уравнение (см. § 3.5)
еЕ0 dJf- = -ven (foe-/oo (p)), G.1.17)
dp
где foo(p) — изотропная функция распределения Ферми для вы-
вырожденного электронного газа. При этом получаем
(где/оо(|р—ро|) определяется формулой G.1.3).
Полученные соотношения соответствовали постоянному полю
Ео. Не представляет труда обобщить их на случай переменного
180
поля и, что наиболее интересно, — периодически меняющегося во
времени высокочастотного поля
Eo(/)=Eosin©o*. G.1.19)
При G)oS>Ve столкновениями электронов можно пренебречь, и
из уравнения Власова
+eosin©o/ =o G.1.20)
dt dp
получаем решение в виде сдвинутой функции распределения
Максвелла, либо Ферми:
где р0 (t) = е { Ео (i) dt=-e-^cosa>0t= mUe(t) -. G.1.22)
^ V 1 - и\ @ /с»
При o)o<ve интеграл столкновений в кинетическом уравнении
становится главным членом и оказываются справедливыми полу-
полученные соотношения G.1.6) — G.1.18), если в них произвести за-
замену Ео->-Ео (t) = Ео sin-coo^
§ 7.2. Устойчивость незамагниченной плазмы
во внешнем постоянном электрическом поле
В предыдущем параграфе отмечалось, что при условии G.2.5),
которое в реальной плазме выполняется уже в относительно сла-
слабых полях, электроны за время свободного пробега разгоняются
до больших скоростей, намного превышающих их тепловую ско-
скорость. При этом возникает состояние, когда все электроны дви-
движутся относительно неподвижных ионов. Такой электронный пу-
пучок, как будет показано, является неустойчивым, причем инкре-
инкремент развития неустойчивости весьма велик, порядка или даже
больше ленгмюровской частоты ионов. За столь короткие времена,
несмотря на нестационарность равновесной функции распределе-
распределения электронов G.1.2), значение их направленной скорости не ус-
успевает заметно изменяться. Поэтому при исследовании устойчи-
устойчивости системы скорость ие можно в первом приближении считать
достоянной (подобное приближение при анализе устойчивости
плазмы во внешнем электрическом поле получило название адиа-
адиабатного приближения). Для простоты пренебрежем также столк-
столкновениями частиц, считая плазму достаточно разреженной и по-
поэтому бесстол кновительной.
Указанные ограничения позволяют проанализировать устойчи-
устойчивость плазмы во внешнем электрическом поле исходя из диспер-
дисперсионного уравнения
& Ьи-ki kj— ^ ги (со, к) | = 0, G.2.1)
181
где 8ij(o), к) вычисляется с помощью полученных в гл. 6 формул
преобразования.
Для незамагниченной плазмы, в которой под действием
достаточно сильного электрического поля электроны движут-
движутся относительно неподвижных ионов со скоростью, намного
превышающей их тепловую скорость, уравнение G.2.1) имеет вид
Ik2—— ' col*y~1+ 0ьЛ Л <°tv~3 *>u\
\ с2 ^ с2 / \ (со-киJ о2 /
w =Ог G22)
0J с2 (©-kuJ '
Здесь у=A—и2/с2)-^2у и — скорость электрического дрейфа
электронов, a kx — компонента волнового вектора возмущений,
перпендикулярная скорости и.
Уравнение G.2.2) имеет неустойчивые решения при условии
co2L^(ku)V, G.2.3)
причем максимальный инкремент нарастания определяется из со-
соотношения
-.у/. Г «1»У ]
"\„ G.2.4)
и достигается при выполнении равенства G.2.3) или, как говорят,
в резонансном случае. Эта неустойчивость получила название бу-
немановской*. - / ,
Как указывалось, рассмотренная быстро нарастающая аперио-
апериодическая неустойчивость имеет место при u^>vTe. Покажем те-
теперь, что неустойчивость возможна и при u<vTe. При столь ма-
малых скоростях дрейфа электронов возбуждаемые в системе коле-
колебания с большой степенью точности являются продольными и
подчиняются дисперсионному уравнению
vti
G.2.5)
При больших скоростях электрического дрейфа электронов, ког-
когда u^>vTe, это уравнение совпадает с G.2.2) в пределе &<Сс и
описывает быстро нарастающую бунемановскую неустойчивость.
* Из уравнения G.2.2) легко показать, что в нерезонансном случае, когда
выполняется неравенство G.2.3), инкремент нарастания бунемановской неус-
неустойчивости значительно меньше: 1тю~ (m/MI/2ku.
182
При u<^vTe из уравнения G.2.5) в области частот
получаем
' = 0. G.2.6)
Мнимые слагаемые в этом уравнении, обусловленные черен-
ковской диссипацией волн на электронах и ионах плазмы, малы
по сравнению с действительными. Поэтому решения этого урав-
уравнения можно искать в виде co-xo + i6, где |б|<Ссо. В результате
находим
О) |/ 8 /П
8 ft»
G.2.7)
Здесь Уф = о/^ — фазовая скорость волны, a ft — угол между
векторами иик. <
При и=0 спектр G.2.7) совпадает со спектром ионно-звуко-
вых колебаний, которые возможны в неизотермической плазме с
Te*>Ti. Отличная^ от нуля скорость дрейфа электронов и, как
видно из G.2.7), уменьшает декремент затухания этих колебаний,
и при и>икРу когда 6>0, колебания становятся неустойчивыми,
Легко видеть, что неустойчивость возможна лишь при условии
u>vlb/cos'&'>vTii т. е. когда скорость дрейфа электронов больше
фазовой скорости ионно-звуковых колебаний. Отсюда следует, что
эта неустойчивость имеет чисто черенковскую природу и приводит
к раскачке ионно-звуковых колебаний. Поэтому ее часто называ-
называют ионно-звуковой неустойчивостью плазмы с током.
Следует заметить, что, как было показано в § 4.2, в отсутст-
отсутствие дрейфа электронов, т. е. при и=0, в изотропной плазме иоя-
но-звуковые колебания возможны при достаточно высокой степе-
степени неизотермичности, когда 71в>6Гг. С появлением дрейфа элект-
электронов это условие облегчается, и при приближении скорости дрей-
дрейфа к критической, когда мнимая часть продольной диэлектричес-
диэлектрической проницаемости стремится к нулю и система приближается к
неустойчивости, для существования иойно-звуковых колебаний
оказывается достаточным неравенство Ге>ЗГг, которое следует из
применимости разложения ReJ+[(o/(kzvTi)] в ряд по степеням
183
итах
KU
Рис. 23. Зависимость инкремента раз-
развития неустойчивости плаз-
плазмы во внешнем постоянном
электрическом поле от ku
kzvTi/(u. Требование малости
мнимой части диэлектрической
проницаемости, приводящее к
более жесткому требованию на
степень иеизотермичности в
случае изотропной плазмы,
здесь выполняется автомати-
автоматически.
Наконец, заметим, что при
совсем малых скоростях дрей-
дрейфа электронов, когда u<^vTi,
уравнение G.2.5) имеет лишь
устойчивые решения, т. е. пла-
плазма с током во внешнем элек-
электрическом поле в таких усло-
условиях устойчива.
На рис. 23 приведена зави-
зависимость инкремента нараста-
нарастания неустойчивых колебаний
плазмы в постоянном электрическом поле от ku: штриховой линией
показан инкремент кинетической неустойчивости, а сплошной — ин-
инкремент гидродинамической неустойчивости.
До сих пор не учитывались столкновения частиц в плазме. По-
Поэтому, строго говоря, полученные формулы справедливы в усло-
условиях |'61 ^>ve» т. е. когда все процессы развития и нарастания ко-
колебаний протекают значительно быстрее, чем время между столк-
столкновениями частиц. Для высокочастотной гидродинамической не-
неустойчивости, развивающейся при u>vTei это требование дейст-
действительно необходимо, так как указанная скорость может приобре-
приобретаться электронами только при Е0>Екр и за времена, меньшие
времени их свободного пробега. Оно означает
> v,, G.2.8)
где под ve следует понимать ve% — для полностью ионизованной
плазмы и ven — для слабоионизованной плазмы.
Что касается ионно-звуковой неустойчивости неизотермической
плазмы в электрическом поле, то она может развиваться как при
Ео>Екр, так и при Ео<СЕКр, нужно только, чтобы дрейфовая ско-
скорость электронов достигла критической скорости для раскачки
ионно-звуковых колебаний. Если плазма достаточно разрежена и
такая скорость достигается за время, меньшее времени свободно-
свободного пробега электронов, равновесная функция распределения эле-
электронов имеет вид G.1.2). Если же плотность плазмы высока и
электроны во время ускорения в поле Ео испытывают много столк-
столкновений, их равновесной функцией распределения являются
G.1.12) для полностью ионизованной плазмы, либо G.1.16) для
слабоионизованной плазмы. Функция распределения G.1.16) яв-
184
ляется функцией распределения Максвелла со сдвигом по скорос-
скорости, а G.1.12) не есть максвелловская функция распределения.
Однако, как отмечалось, для простоты и эту функцию распреде-
распределения можно заменить максвелловской, что позволяет для иссле-
исследования ионно-звуковой неустойчивости в плазме со столкновения-
столкновениями применять изложенную в предыдущей главе общую теорию,
основанную на формулах преобразования Лоренца. В случае не-
невырожденной слабоионизованнои плазмы со столкновениями ис-
использование этих формул (а также соотношений, полученных в
§ 4.5) приводит к следующему дисперсионному уравнению для
продольных электромагнитных волн, обобщающему G.2.5):
со — ku + i ve
CO -
i ve /со — ku •
j,
со — ku -f- i ve \ kvT
1—.
+ JV; \
co -j- i v$ \
Здесь ve и Vi — частоты столкновений электронов и ионов с ней-
тральйыми частицами.
В области частот ионно-звуковых колебаний (со, Ve^kVre и
*и kvri) уравнение G.2.9) принимает вид
k2v2 \ У 2
те
_ ®*
2 9А»2 ri'
СО, t СО *к vi
Ti =0. G.2.10)
Это уравнение отличается от G.2.6) малым мнимым слагаемым,
учитывающим столкновения ионов с нейтральными частицами,
что, в свою очередь, меняет спектр G.2.7): в выражении для б
появляется дополнительное слагаемое
Д6 = — Vii/2. G.2.11)
Таким образом, учет столкновений ионов в слабоионизованнои
плазме приводит к увеличению критической скорости для раскач-
раскачки ионно-звуковых колебаний.
Для полностью ионизованной плазмы с равновесной функцией
распределения электронов G.1.2) справедливыми остаются соот-
соотношения G.2.10) и G.2.11), если в них произвести замену:
v.^A vu^2- , G.2.12)
5 со2
185
' * ' 1 e\LNt * '
где vti= — частота ионно-ионных столкно-
вений.
В этом легко убедиться, если вспомнить, что в области частот
ионного звука столкновительная поправка к продольной диэлект-
диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы опреде-
определяется формулой D.6.6).
В заключение рассмотрим устойчивость вырожденной плазмы
во внешнем электрическом поле, когда функция распределения
электронов по импульсам имеет вид сдвинутой функции распреде-
распределения Ферми G.1.3). Считая скорость дрейфа электронов малой
по сравнению со скоростью света, ограничимся анализом устойчи-
устойчивости продольных волн в такой плазме. Используя формулы пре-
преобразования F.1.18) и явный вид продольной диэлектрической
проницаемости вырожденной плазмы D.5.19), получим следующее
дисперсионное уравнение:
2 fo>F_ (o — ku + ive — kvF
х Г !_ J^_ ]n co-ku + iVe + ^Г1 _ At- x
I 2kvFe CO-ku + iVe-^Fe J ?2^2.
При выводе этого уравнения ионы плазмы считались невырожден-
невырожденными.
В области частот ионно-звуковых колебаний Vi,
k из уравнения G.2.13) получаем
"P. ' 2
+ i T/ JL ^
2 @
exp -^L_ =0- G-2.14)
Это уравнение аналогично G.2.10). Поэтому проведенный анализ
применим и здесь, что дает формулы, подобные G.2.7), G.2.11)
и G.2.12), в которых, однако, следует произвести замену vTe->vFet
Т
§ 7.3. Влияние магнитного поля на устойчивость плазмы
во внешнем постоянном электрическом поле
Рассмотрим влияние сильного магнитного поля на устойчивость
плазмы во внешнем постоянном электрическом поле и тем самым
обобщим полученные в предыдущем параграфе результаты на
186
магнитоактивную плазму, считая, что В0||Е0. Как и ранее, функ-
функцию распределения электронов будем считать сдвинутой функцией
распределения Максвелла G.1.2) либо Ферми G.1.3) и пренебре-
пренебрежем изменением направленной скорости электронов в процессе
развития колебаний (адиабатное приближение). Для простоты ог-
ограничимся случаем достаточно сильного магнитного поля, когда
электроны замагничены («Q2e>ico2Le), а ионы, наоборот, не замаг-
ничены (Q2i<CoJLt*)«
При указанных ограничениях анализ дисперсионного уравне-
уравнения G.2.1) существенно облегчается. Так, в пределе сильного поля,
когда скорость электрического дрейфа электронов намного боль-
больше средней скорости их хаотического движения и последней мож-
можно пренебречь, уравнение G.2.1) принимает вид
^
=0.G.3.1)
^t/J со2
Это уравнение имеет неустойчивые решения при условии
G.3.2)
Неустойчивость апериодическая, причем co<Cfew, и достигает
своего максимального значения при резонансном равенстве
Из сравнения формул G.2.3), G.2.4) с G.3.2), G.3.3) следует,
что внешнее магнитное поле затрудняет развитие высокочастот-
высокочастотной бунемановской неустойчивости в плазме в сильном электри-
электрическом поле, область неустойчивости G.3.2) уже области G.2.3)
для волн, распространяющихся под углом Ф^О к магнитному по-
полю, и инкремент развития неустойчивости в магнитоактивнои плаз-
плазме G.3.3) меньше, чем в отсутствие магнитного поля G.2.4).
Рассмотренная высокочастотная неустойчивость, как и в не-
замагниченной плазме, может иметь место лишь при больших
скоростях электрического дрейфа электронов, превышающих ско-
скорость их хаотического движения. И так же как и в отсутствие
магнитного поля, в замагниченной плазме возможны неустойчи-
неустойчивости и при малых скоростях дрейфа, меньших, чем тепловая ско-
скорость электронов, но больших, чем тепловая скорость ионов. Для
анализа таких неустойчивостей, однако, важен учет теплового
движения частиц, т. е. явный вид функции распределения заря-
заряженных частиц в плазме. Это существенно усложняет анализ дис-
дисперсионного уравнения G.2.1). Вместе с тем при малых скорос-
скоростях дрейфа можно ограничиться анализом уравнения для про-
187
дольных колебаний вместо общего дисперсионного уравнения
G.2.1), что упрощает задачу.
В случае невырожденной электронно-ионной плазмы в посто-
постоянном электрическом поле и параллельном ему магнитном поле
уравнение для продольных колебаний записывают в виде
о (,* Ь\ = k*kj р., = 1 J i?_
со — ku — п Qe
со ~
=0. G.3.4)
При малых скоростях дрейфа электронов, когда м<^, неус-
неустойчивые решения уравнения G.3.4) следует искать в области
частот kzvTi<gi<d<^kzvTe. Тогда
2/г2 г?2.
т' =0. G.3.5)
При получении этого уравнения ионы плазмы, так же как и ра-
ранее, считались незамагниченными, а электроны — сильно замаг-
ниченными. Уравнение G.3.5) подобно уравнению G.2.6) и отли-
отличается от него малым мнимым слагаемым, обусловленным черен-
ковским эффектом на электронах. Поэтому анализ уравнения
G.2.6) полностью переносится и на уравнение G.3.5): сохраняют-
сохраняются формулы G.2.7) с заменой
1_ JL Cos#->—— (l— — cos^ . G.3.6)
Vф cos # V Уф /
В результате критическая скорость дрейфа электронов оказы-
оказывается меньше, а инкремент нарастания неустойчивости больше,
чем в отсутствие магнитного поля. Это означает, что внешнее маг-
магнитное поле облегчает развитие ионно-звуковой неустойчивости
плазмы во внешнем электрическом поле.
На рис. 24 приведена зависимость инкремента развития неус-
неустойчивости невырожденной плазмы во внешних постоянных элект-
электрическом и магнитном полях от ku. Она качественно такая же,
как и в отсутствие магнитного поля.
До оих пор было полностью пренебрежено столкновениями час-
частиц в плазме. Обсудим теперь их влияние на развитие неустойчи-
востей в магнитоактивной плазме при наличии электрического
дрейфа электронов. Для справедливости формул, относящихся к
188
высокочастотным колебаниям,
которые возбуждаются при и>
>уТе, необходимо, чтобы за
время свободного пробега элек-
электроны плазмы приобретали в
поле скорость, превышающую
их тепловую скорость, что воз-
возможно при Eo>EKV. Это требо-
требование, в свою очередь, означа-
означает, что все процессы должны
успевать развиваться быстрее
времени свободного пробега
электронов, т. е. |6|>ve, что
приводит к условию G.2.8).
Медленная же ионно-звуковая
неустойчивость может разви-
развиваться как при ?0>?кр, так и
при ?0<?кр, необходимо только, чтобы электроны имели среднюю
дрейфовую скорость, превышающую тепловую скорость ионов. В
предыдущем параграфе было показано, что это возможно не только
в разреженной бесстолкновительнои плазме, но и в плазме с боль-
большим числом столкновений. В раскачке ионно-звуковых колебаний
существенную роль играют столкновения ионов, причем, так же
как и в немагнитоактивной плазме, раскачка имеет место лишь
При 0>>Vi.
Используя результаты § 5.5 и 5.6, дисперсионное уравнение
для ионно-звуковых колебаний магнитоактивной плазмы с функ-
функцией распределения электронов G.1.2) в области частот Йе>0^>
^>Qi (электроны замагничены, ионы не замагничены) можно за-
записать в виде [ср. с. G.2.10)]
Рис. 24. Зависимость инкремента раз-
развития неустойчивости плаз-
плазмы во внешних электричес-
электрическом и магнитном полях от
ku
1+
+
V Г 2 1*г|»тв /
*8^
exp —
2*2ZU
со
G.3.7)
где Vi=Vin для слабоионизованной плазмы и v* =
*"U
для
полностью ионизованной плазмы.
Это уравнение отличается от G.3.5) лишь наличием малого
мнимого члена, учитывающего столкновения ионов в плазме, что
дает поправку к декременту затуханий с учетом замены G.3.6)
A6 = -v*/2, G,3.8)
соответствующую стабилизирующему влиянию ионных столкнове-
столкновений на характер возбуждения ионно-звуковой неустойчивости в
неизотермической плазме под действием дрейфа электронов.
189
В заключение кратко обсудим вопрос об устойчивости вырож-
вырожденной плазмы во внешних электрическом и магнитном полях.
Как и ранее, вырожденными считаются только электроны, причем
скорость их электрического дрейфа меньше скорости Ферми, но
больше тепловой скорости ионов. В этих условиях общее диспер-
дисперсионное уравнение
Ч2
сог
'-'+ \4tr)}x
X 1-
co + i v$
CO -f- 1 vi
kvTi
X
uFe
sin ft d Ы*
sin ft
) — kz и + i ve — kz vFe cos ft — nQe
kt vv
X
=0 G.3.9)
n 0 w „z и 4- i ve — kzvFe cos ft — nQe
можно упростить, рассмотрев область частот kzvTi<^®<gikzvFe. В
результате получим уравнение
\kz\V
Fe
ехР
соа
= 0,
G.3.10)
которое отличается от G.2.14) малым мнимым слагаемым, обус-
обусловленным черенковским эффектом на электронах. Поэтому все
сказанное относительно уравнения G.2.14) сохраняет силу и здесь
с учетом замены G.3.6), которая свидетельствует о дестабилизи-
дестабилизирующем влиянии магнитного поля на токовую неустойчивость вы-
вырожденной плазмы.
§ 7.4. Плазма в сверхвысокочастотном электрическом поле
Изучим свойства плазмы в сверхвысокочастотном (СВЧ) элект-
электрическом поле. Вопросы взаимодействия СВЧ-полей с плазмой,
как отмечалось, связаны с рядом прикладных проблем физики
плазмы. В первую очередь это СВЧ-разряд в плазме, т. е. созда-
создание плазмы с помощью СВЧ-полей. Сюда же относится нагрев
плазмы посредством СВЧ-полей для получения высокотемператур-
высокотемпературной термоядерной плазмы. Большой интерес для физиков-термо-
физиков-термоядерщиков представляет также идея удержания плазмы СВЧ-по-
лями. Наконец, в последнее время физиками интенсивно исследу-
исследуется возможность.ускорения плазменных сгустков а помощью ра-
190
диационного давления СВЧ-полей. Бурно развиваемая теория
взаимодействия СВЧ-полей с плазмой охватывает все более ши-
широкий круг явлений в плазме. Достаточно полное изложение этой
теории выходит за рамки настоящей книги. Поэтому ограничимся
здесь изложением общих основ теории взаимодействия СВЧ-полей
с плазмой и опишем лишь те явления, которые на сегодняшний
день считаются хорошо исследованными как теоретически, так и
экспериментально.
В § 7.1 были найдены равновесные функции распределения
[см. формула G.1.21), G.1.22)] заряженных частиц в пространст-
пространственно однородной плазме во внешнем высокочастотном электри-
электрическом поле, параллельном внешнему магнитному полю:
Eo(/)=Eosina>o*. G.4.1)
Исследуем устойчивость этих распределений, рассмотрев малые
колебания в такой плазме. Анализ устойчивости начнем с СВЧ-
полей, частота которых больше всех характерных частот плазмы:
соо > coLa, Qa, va. G.4.2)
Плазму в СВЧ-поле в первом приближении можно считать изо-
изотропной и оценить неоднородность поля с помощью дисперсион-
дисперсионного уравнения для поперечных волн (см. гл. 4):
_4^^-. G.4.3)
cog с
Величина ko"lc^c/(oo характеризует неоднородность СВЧ-поля, ко-
которой при записи уравнения G.4.1) было пренебрежено. Это оз-
означает, что СВЧ-поле можно считать однородным лишь для таких
процессов в плазме, характерные размеры неоднородности кото-
которых \jk значительно меньше 1/&0, т. е. к^ыо/с. Это условие, ко-
которое далее всюду считается выполненным, позволяет при иссле-
исследовании устойчивости плазмы в СВЧ-поле ограничиться анали-
анализом квазипродольных (потенциальных) колебаний. Действительно,
частоты колебаний порядка характерных частот плазмы, т. е.
со~ (coLa> ?2a ). Учитывая G.4.2), заключаем, что оскСсоо — koc<^.kc.
Это же неравенство представляет собой условие квазипродольнос-
ти колебаний.
Поскольку действием высокочастотного электрического поля
на ионы плазмы можно пренебречь (по сравнению с его действи-
действием на электроны), функцию распределения ионов по скоростям
можно считать изотропной (как правило, максвелловской), в то
время как функция распределения электронов определяется фор-
формулами G.1.22) и G.1.23):
р0 (*) = е \ Ео it) dt = -^ cos coo t = у^^ • G-4.4)
191
При анализе устойчивости плазмы в СВЧ-поле для простоты ог-
ограничимся нерелятивистским случаем, считая Uo(t)<^c.
Линеаризуя кинетическое уравнение Власова для электронов
и ионов по малым отклонениям от равновесных функций распре-
распределения, в случае бесстолкновительнои плазмы во внешних парал-
параллельных электрическом и постоянном магнитном СВЧ-полях полу-
получаем
dt
|
m dv
еЕ dfoe (p - р,
¦ + — [vB]
dv
m
dv
G.4.5)
dt
M
M
Здесь /oe(p—Po) и fof(P) — равновесные функции распределения
электронов и ионов; 6fe и б/г- — их малые возмущения, зависи-
зависимость которых от координат вследствие пространственной одно-
однородности плазмы принята в виде ехр(—ikr); Е=—\7Ф — электри-
электрическое поле возмущений, удовлетворяющее уравнению Пуассона
& ф = _L er dp8fe + — et f dp6/|.
80 J 80 J
G.4.6)
Для решения системы G.4.5) и G.4.6) удобно ввести новую
функцию
соо
G.4.7)
В результате система сводится к виду
dt
Ф dv
Р tP
— i-i. J^?o_sino)()/
dt
[ dp?eexp f — i — -^
J \ m oft
dv e0 M№
= 0.
I G.4.8)
Здесь foe(p) и /oi(p) — изотропные равновесные функции распре-
распределения электронов и ионов в системе покоя этих частиц.
Воспользуемся далее разложением
±ikrc. sin
= S e
±i la, t
Jt(krE),
G.4.9)
192
где ГЕ=?Ео/(тсо2о)—амплитуда осцилляции электронов во внеш-
внешнем СВЧ электрическом поле, и учтем, что уравнения G.4.8) об-
образуют систему с периодическими коэффициентами. Последнее об-
обстоятельство позволяет искать решение этой системы в виде
В результате из системы G.4.8) получаем
-i ((О +ПЩ) Чеп+ ikv^n-Qe
X -^ [е Jdp?en + et 2 //_„ (kr?) j dP6/« ] = 0, G.4.11)
-i ((О +ПЩ) Чеп+ ikv^n-Qe^— ik У* X
/ )J] =0,
Введем обозначения
G.4.12)
и запишем систему G.4.11) в виде зацепляющихся уравнений, вос-
воспользовавшись формальным ее решением
"en = — 6se (со + п соо, к) ГмеЛ + 2 ^-п (кгя) Мн 1,
1 п G.4 Л 3)
Щп = — бег (со + тоо, к) Г wln + 2 ^-/ (кг*) иеХ J.
Здесь б8*(со, к) и бег(со, к) —парциальные вклады в продольную
диэлектрическую проницаемость плазмы от электронов и ионов
соответственно.
Условие разрешимости бесконечной системы зацепляющихся
уравнений G.4.13) представляет собой искомое дисперсионное
уравнение для малых продольных (потенциальных) колебаний
плазмы во внешнем электрическом СВЧ-поле. В общем случае это
определитель бесконечного порядка и проанализировать его невоз-
невозможно. Однако в наиболее интересных предельных случаях этот
определитель удается существенно упростить и найти спектр коле-
колебаний плазмы во внешнем электрическом СВЧ-поле. Так, например,
в пределе очень высоких частот, когда выполнены условия G.4.2),
все величины б8е,г(#соо + со, к) с пфО малы по сравнению с едини-
единицей. Поэтому в системе G.4.13) можно ограничиться слагаемыми,
содержащими иео и щ0, считая только такие слагаемые отличными
от нуля. В результате из системы G.4.13) получим
| G 4 14)
бе*(со, к)/0(кГя)ие0+[1+'бег(со, к)] О I
7—953 193
Условие разрешимости этой системы — искомое дисперсионное
уравнение — записывается в виде
1+бее(со, к)+бег(о), к) + [1—/2o(krE)]6ee(cD, к)бег(о), к)=0.
G.4.15)
При выводе дисперсионного уравнения G.4.15) полностью пре-
небрежено столкновениями частиц в плазме. Легко показать, од-
однако, что это уравнение справедливо и при учете столкновений,
если только скорость осцилляции частиц мала по сравнению со
скоростью их теплового движения, и поэтому внешнее СВЧ-поле
не влияет на сам акт столкновений (т. е. на сечения рассеяния).
Действительно, при учете столкновений частиц в системе уравне-
уравнений G.4.11) позволяются правые части, обусловленные линеаризо-
линеаризованными интегралами столкновений электронов и ионов. По своей
структуре эти члены такие же, как и в отсутствие электрического
СВЧ-поля. Это означает, что сохраняется вид решений этих урав-
уравнений, т. е. система G.4.13), с той лишь разницей, что в выраже-
выражениях б8в(<о + Я(Оо, к) и б8г((о+/гсоо, к) нужно учитывать столкнове-
столкновения частиц (см. § 4.5, 4.6, 5.5 и 5.6).
Приступая к анализу дисперсионного уравнения G.4.15), рас-
рассмотрим прежде всего незамагниченную и невырожденную газо-
газовую плазму, когда б8е((о, к) и бег (со, к) определяются выражени-
выражением (см. § 4.1, а = е, i)
fefrfc)] G.4.,6,
В высокочастотном пределе a)'>kvTa (предел холодной плаз-
плазмы), пренебрегая экспоненциально малыми мнимыми слагаемы-
слагаемыми, из G.4.15) при этом получаем
Отсюда находим спектры колебаний холодной плазмы во внеш-
внешнем СВЧ-поле:
0J1 = OJLe + @2Ьг/20 (кГя) ,
со22 = со2ы [ 1—/2о (кг*) ]. G.4.18)
Первый спектр G.4.18) является спектром известных высоко-
высокочастотных ленгмюровских колебаний, видоизмененным под дейст-
действием внешнего СВЧ-поля, второй спектр — новый, аналогичный
спектру ионно-звуковых колебаний, в котором роль электронной
температуры играет средняя энергия колебательного движения
электронов в высокочастотном поле (рис. 25). Он называется
электроакустическим. Особенно явно это видно в длинноволно-
длинноволновом пределе кгЕ<1, когда
!. G.4.19)
194
Здесь Ws= — —
©о Т/2*
амплитуда скорости осцилляции
электронов во внешнем поле).
Таким образом, можно гово-
говорить о существовании анизотроп-
анизотропных электрозвуковых колебаний
в плазме, помещенной в электри-
электрическое СВЧ-поле, понимая под
скоростью звука величину Ws. От-
Отметим, что такие звуковые коле-
колебания возможны только в доста-
достаточно сильных полях, когда
Ws^Vie, а следовательно, ско-
скорость осцилляции^ электронов
/1
со
со,
со,
Рис 25. Спектр частот колебаний
холодной плазмы во внеш-
внешнем электрическом СВЧ-поле
-ите. Следует отметить также, что в коротко-
коротковолновом пределе кг#>1 частота со2, так же как и соь осциллирует,
причем 0J асимптотически стремится к соьг, а аи — к соье, как по-
показано на рис. 25.
Рассмотрим уравнение G.4.15) в области частот kvTi<^(x)<.kvTe.
В отсутствие внешнего высокочастотного поля в этой области час-
частот, как известно, возможны колебания, если плазма неизотерми-
неизотермическая и Te>Ti (ионный звук). При наличии СВЧ-поля диспер-
дисперсионное уравнение G.4.15) в этой области частот записывается в
виде
Здесь пренебрежено экспоненциально малым ионным поглощени-
поглощением. Из этого уравнения находим следующий спектр (co-*-(o + i6):
G.4.21)
В пределе длинных волн кгЕ<1 и &2r2Df><l спектр G.4.21)
принимает простой вид
'2S, G.4.22)
195
Отсюда видно, что спектр ионно-звуковых колебаний при vs>Ws
мало искажается высокочастотным полем и, так же как в отсут-
отсутствие поля, возможен только в неизотермической плазме. При
Ws>vs (или vE*>vTe) в плазме оказывается возможным специфи-
специфический звук, обусловленный высокочастотным полем. Спектр
G.4.22) в этом пределе представляет собой продолжение спектра
G.4.19) в область низких фазовых скоростей или меньших напря-
женностей высокочастотных полей. Отметим, что в этом пределе
колебания возможны как в неизотермической, так и в изотерми-
изотермической плазме.
Исследуем теперь влияние внешнего магнитного поля на спект-
спектры колебаний плазмы в электрическом СВЧ-поле. Иными слова-
словами, исследуем уравнение G.4.15) в условиях, когда дге((й, к) и
бег(о), к) определяются формулами (см. § 23, а=е9 i)\
6еа(о>, k)=—^- 1- 2 o
G.4.23)
При к±~0 и со^>йа выражение G.4.23) совпадает с G.4.16),
так как при этом оно перестает зависеть от магнитного поля, т. е.
в этих условиях спектры колебаний такие же, как и в отсутствие
магнитного поля. Поэтому рассмотрим теперь колебания при
k± =7^=0. Анализ уравнения G.4.15) начнем с холодной плазмы,
когда kxvTa^Qat |ico—Qa\*>kzVr(X. В этом пределе оно записы-
записывается в виде
G.4.24)
В области частот co<CQi это уравнение сводится к биквадратно-
биквадратному уравнению относительно со, корни которого приближенно
равны:
<7A25)
196
Первый спектр G.4.25) в отсутствие высокочастотного электри-
электрического поля переходит в спектр низкочастотных колебаний хо-
холодной магнитоактивной плазмы (см. § 4.2); при слабых высоко-
высокочастотных полях происходит небольшое искажение этого спектра.
Второй спектр является новым, в отсутствие высокочастотного по-
поля частота 02 = 0, т. е. колебания отсутствуют. По своей природе
эти колебания аналогичны звуковым колебаниям с высокочастот-
высокочастотной осцилляцией электронов, исследованным выше [см. спектры
G.4.18) и G.4.19)], и, так же как и в случае незамагниченной
плазмы, возможны, когда скорость осцилляции У>^>
Рассмотрим теперь спектры колебаний магнитоактивной плаз-
плазмы в высокочастотном электрическом поле в области промежу-
промежуточных фазовых скоростей 0Т<<?— <.vre и промежуточных частот
k2
е, т. е. в области, в которой в отсутствие высокочастот-
высокочастотного поля и при сильной неизотермичности (Te^>Ti) возможны
ионно-звуковые колебания. Кроме того, пренебрегая для простоты
тепловым движением ионов, из уравнения G.4.15) получим
GЛ26)
Отсюда, учитывая малость мнимых слагаемых, обусловленных че-
ренковской диссипацией волн на электронах плазмы, находим сле-
следующий спектр колебаний (ico-»~a) )
G 4.27)
*•!*,! «S
S.
Этот спектр полностью аналогичен спектру G.4.21), поэтому про-
проведенный анализ сохраняет силу и в данном случае. Небольшое
отличие обусловлено изменением характера черенковского погло-
поглощения волн на электронах, что привело к увеличению декремента
затухания волн в замагниченной плазме.
§ 7.5. Параметрическое взаимодействие
сверхвысокочастотного электрического поля с плазмой
Как было показано, в плазме во внешнем электрическом СВЧ
(сверхвысокочастотном, или просто высокочастотном)-поле в ус-
условиях, когда частота поля значительно больше всех частот коле-
колебаний плазмы, появляется ряд новых специфических спектров ко-
колебаний, а также искажаются спектры, характерные для плазмы
в отсутствие высокочастотного поля. Существенно при этом, что
колебания являются устойчивыми, т. е. их амплитуды не нараста-
нарастают во времени. Иное положение имеет место, если частота внеш-
внешнего поля близка к одной из частот колебаний плазмы. В этом
случае происходит сильное параметрическое взаимодействие вы-
высокочастотного поля с плазмой и даже при малых значениях поля
возможно появление в плазме нарастающих колебаний.
Чтобы убедиться в этом, вновь вернемся к системе уравнений
G.4.13) и предположим, что частота внешнего поля соо порядка
электронных собственных частот плазмы и тем самым намного
больше ионных частот. Например, для незамагниченной плазмы
оо^соье и, следовательно, соо^соьг. При этом в системе G.4.13)
малыми являются величины 6ег(со+/Шо) Для всех п=?0. Это поз-
позволяет считать отличной от нуля лишь величину ui0 и условие
разрешимости системы записать в виде
1+б8|(со,к) J^
6se(co + ftcoo,k) G51
Отсюда, в частности, при соо^><оье, когда в сумме по п можно ог-
ограничиться лишь вкладом слагаемого с я=0, снова получаем
уравнение G.4.15).
Проанализируем уравнение G.5.1) в пределе холодной плаз-
плазмы, когда <оЭ>\&0Т{, согЬщоо^&Оте и пространственной дисперсией в
парциальных диэлектрических проницаемостях беДю + тоо, к) и
ббг(со, к) можно пренебречь. Кроме того, для простоты плазму бу-
будем считать бесстолкновительной, а ионы — незамагниченными,
что позволяет переписать уравнение G.5.1) в виде
-^— = 1 — 2 Jl (кГ*) v*eV»T"«W G.5.2)
©l; n 1 + бее (со + n gH)
Отсюда сразу видно, что гидродинамически неустойчивые реше-
решения с оJ<0 возможны только в области частот соо>|со| и в ус-
условиях, когда для пфО
|1 + 6вв(л©0)|<1. G.5.3)
Это означает, что сильная неустойчивость может возникнуть, ес-
если частота внешнего электрического СВЧ-поля либо ее обертоны
близки к собственным частотам продольных электронных колеба-
198
ний плазмы. Полагая в правой части со = 0, из уравнения G.5.2)
в первом приближении находим
^ <»>«& G.5.4)
of
1 + дге (п оэо)
В отсутствие сильного внешнего магнитного поля (при
отсюда получаем
М 1-<
G
Видно, что плазма неустойчива (со2<0) в области своей не-
непрозрачности по отношению к СВЧ-полю:
„о о _^ о /<7 С С\
Л (й 0^(й Ъе. (/.О.О)
При выполнении равенства G.5.6) инкремент нарастания неус-
неустойчивости неограниченно возрастает, и формула G.5.5) теряет
смысл. В этом резонансном случае в правой части уравнения
G.5.2) уже нельзя полагать ю = 0, необходимо учесть члены по-
порядка со9/я2(о2о. Рассмотрим эту область частот СВЧ-поля под-
подробнее. Из G.5.2) следует уравнение
0J = 1- 2 Jl (kr?) , Ю'е . t. . G-5.7)
СО?. п
которое в условиях
— 1
Уж <7-5-8)
записывается в виде
Ь— ^— Д2—2У2(кг?) — Ап = 0. G.5.9)
wL o)L м f
Величину Ап называют расстройкой частоты при резонансном
параметрическом взаимодействии СВЧ-поля с плазмой. Согласно
G.5.9) инкремент нарастания колебаний Imo является функцией
An. При больших расстройках, когда
m 2
Zu J n I КГр>1
со Л/f
Д2>^-= • G.5.10)
справедливо решение G.5.5), и инкремент нарастания 1т(о~
~ (m/MI/2(jibe. С уменьшением расстройки инкремент возрастает и
при условии
— An + — ^ (kr?) = 0 G.5.11)
<е М
199
Imco/ooL
достигает максимума:
сох
2 М
G.5.12)
Таким образом, максималь-
максимальный инкремент нарастания
Im comax~ (т/М) 1/2(оье также
достигается в области непро-
непрозрачности плазмы Ап>0 (т. е.
no)o<coLe), причем резонанс-
резонансная расстройка
G.5.13)
1 ^
УЗ 1/2
думать, что
имеет место
Рис. 26. Зависимость инкремента разви-
тия гидродинамической пара-
метрической неустойчивости
плазмы от отношения шо/соье
Не следует
неустойчивость
только в области непрозрач-
непрозрачности плазмы по отношению
к СВЧ-полю; плазма неус-
неустойчива и в области прозрач-
прозрачности псоо>соье- Однако при
этом неустойчивость становится кинетической с малым инкремен-
инкрементом нарастания (см. задачу 7.8). На рис. 26 показана зависимость
инкремента нарастания гидродинамической параметрической неус-
неустойчивости в незамагниченной плазме от отношения соо/соье.
Внешнее продольное (параллельное электрическому СВЧ-по-
СВЧ-полю) магнитное поле не влияет на рассмотренную неустойчивость,
пока оно слабое и Qe<(Do. В сильных же полях при йе>соо появ-
появляются качественно новые особенности в характере параметричес-
параметрического взаимодействия внешнего СВЧ поля с плазмой. Эти особен-
особенности связаны с существованием двух ветвей электронных про-
продольных колебаний магнитоактивной плазмы, называемых верх-
верхним и нижним гибридными колебаниями и определяемых форму-
формулами (см. § 5.2)
где Ф — угол между волновым вектором колебаний и магнитным
полем.
Параметрическая неустойчивость в магнитоактивной плазме
возникает, когда обертоны частоты СВЧ-поля близки к одной из
собственных частот G.5.14), т. е.
п2«; «о>2 G.5.15)
для
200
1, 2.
Анализ параметрической неустойчивости в магнитоактивной
плазме проводят так же, как и в отсутствие магнитного поля. Бо-
Более того, вводя расстройку частоты вблизи резонансных частот
G.5.15) для а=1, 2:
2 2
Ana-cos2* 5*— + sin2fl —5b|—1, G.5.16)
уравнение G.5.2) в условиях G.5.8) можно записать в виде
^ ? д»<* = °' G'5'17)
где Аа = - ^а- = _ «М'Ч . G.5.18)
дИСО dfl(D
Уравнение G.5.17) аналогично G.5.9) и при больших расстрой-
расстройках, когда
2 — J2
G.5.19)
также приводит к инкременту нарастания Imco~ (т/М)^2саье- С
уменьшением расстройки инкремент возрастает и при условии
(Ana)min ы[А1^Рп (кгя)У/3 G.5.20)
достигает максимума:
fi\ /1 ~~ \ О /Q
G.5.21)
..... „ ..
.2 \\А\ М
T. e. ()
В пределе слабого магнитного поля В0->0 две собственные час-
частоты соа вырождаются в одну частоту ©Le, величина Ла-*-2, и
формулы G.5.15) —G.5.21) переходят в G.5.6) —G.5.12). Не ме-
меняется характер параметрического взаимодействия сильного СВЧ-
поля с плазмой и в случае конечного магнитного поля, если Ф^О,
т. е. для колебаний, распространяющихся строго вдоль магнитно-
магнитного поля. Наконец, в пределе очень сильного магнитного поля
Во->оо формулы G.5.15) —G.5.21) отличаются от G.5.6) —G.5.12)
простой заменой соиг-коье cos Ф, а в остальном взаимодействие
СВЧ-поля с плазмой носит такой же характер, как и в отсутствие
магнитного поля.
В заключение заметим, что параметрическая неустойчивость
плазмы в СВЧ-поле по своей природе аналогична гидродинамичес-
гидродинамической апериодической неустойчивости плазмы в постоянном элект-
электрическом поле в условиях, когда скорость дрейфа электронов
больше их тепловой скорости (см. § 7.2). Параметрическая неус-
неустойчивость также обусловлена относительным движением элект-
201
ронов и ионов, но это движение носит осцилляционный характер,
что в свою очередь приводит к резонансной зависимости инкре-
инкрементов нарастания неустойчивости от частоты СВЧ-поля — неус-
неустойчивость имеет место, когда обертоны частоты СВЧ-поля близки
к собственным частотам продольных электронных колебаний плаз-
плазмы. Наконец, так же как гидродинамическая неустойчивость плаз-
плазмы с током, параметрическая неустойчивость возможна только в
сильных СВЧ-полях, когда скорость дрейфа (осцилляции) элект-
электронов больше их тепловой скорости, т. е. vE*>vTe.
Параметрическая раскачка колебаний в плазме внешним сверх-
вы€О,кочастот<ным (полем может, однако, происходить и <при малых
напряженностях СВЧ-поля, когда скорость осцилляции электронов
значительно меньше их тепловой скорости. Для того чтобы убе-
убедиться в этом, рассмотрим уравнение G.5.1) в условиях малых на-
пряженностей СВЧ-полей, krs<Cl. При этом в сумме по функциям
Бесселя достаточно ограничиться первыми тремя слагаемыми с п =
= 0, ±1. В результате уравнение G.5.1) сводится к виду
+ 4^ — г.+
Get (со, к) [1 +6ее (со, к) 4 [ 8 (со + соо, к)
+ -—L-—1=0. G.5.22)
в (со — 0, к) J
При выводе этого уравнения предполагалось, что g)u<Cg)o, a coo в
свою очередь порядка собственных частот продольных электронных
колебаний, так что е(о)±соо) ~ 1+6ев('со±'0о)<;1.
Анализ уравнения G.5.22) начнем с бесстолкновительной неза-
магниченной плазмы во внешнем СВЧ-поле, причем рассмотрим
колебания в области низких частот о)<С^^тг- Считая длину волны
значительно больше дебаевского радиуса электронов, из уравнения
G.5.22) получаем
+ ± (кГЕJ Г <(«о-°>1<) ] в о. G.5.23)
Учитывая малость мнимого слагаемого, обусловленного черен-
ковской диссипацией волны на электронах плазмы, уравнение
G.5.23) можно свести к виду
/ZJi) =0. G.5.24)
Здесь п = °cos характеризует отношение плотностей
2N(Te + Ti)
энергии СВЧ-поля, вызывающего развитие неустойчивости, и внут-
внутренней энергии плазмы {& — угол между внешним высокочастот-
202
ным полем и волновым вектором); Д = со2ье/со2о—1 — расстройка
частоты СВЧ-поля. Выпишем приближенные корни этого уравне-
уравнения в области малых частот (инкрементов):
( . г\ - А 1 /~2~ Те + Tt со2 ^ А2 - г\А
! ЬУ-^— При -,«-Т->
° G.6.25)
I ± /^ <оо при ^ ±
Отсюда видно, что рассматриваемые колебания возможны только
при Д>0, т. е. в области частот <©2oi<ot>2L* когда плазма непроз-
непрозрачна по отношению к высокочастотному полю. При этом коле-
колебания апериодически неустойчивы, если т] ^ А, и чем меньше рас-
расстройка Д, тем меньше минимально необходимое значение *}, т. е.
тем меньше критическое высокочастотное поле, вызывающее па-
параметрическую неустойчивость плазмы. Из условия применимости
бесстолкновительного приближения [условия пренебрежения столк-
столкновениями в выражениях б8(со±а>о)] следует, что |Д<| >Vei/(Oo, где
ve — частота столкновений электронов с ионами либо с нейтраль-
нейтральными частицами. Следовательно, для развития апериодической не-
неустойчивости необходимо, чтобы
?gcosO >4^<t G.5.26)
1 2N(Te + Tt) щ '
(числовой коэффициент 4 находят при более точном учете столк-
столкновений частиц, см. задачу 7.9). Отношение скорости высокочас-
высокочастотных осцилляции электронов к их тепловой скорости при этом
является малой величиной: v2E/v2Te~v)<^l.
При еще меньших напряженностях СВЧ-полей возникает пара-
параметрическая неустойчивость в неизотермической плазме с Те^>Ти
в которой возможно существование ионно-звуковых колебаний.
Именно их и возбуждает высокочастотное электрическое поле. В
области частот ионно-звуковых колебаний kvTi<^:u)<^kvTe при
&222e уравнение G.5.22) принимает вид
Л j У+_*_)-?? —А =0.G.5.27)
Существенно, что ионно-звуковые колебания могут параметричес-
параметрически возбуждаться в области прозрачности плазмы по отношению
к СВЧ-полю, когда Д<0 (т. е. со2о>(о2ье). Действительно, при ре-
резонансном условии
0J=^2^ (соо—(оьеJ, G.5.28а)
или
(Do = (DL*+?t;5, G.5.286)
т. е. когда частота СВЧ-поля равна сумме электронной ленгмю-
ровской частоты и частоты ионно-звуковых колебаний, из уравне-
203
ния G.5.27) находим инкремент нарастания параметрической не-
неустойчивости * (co-Hco+i6):
Видно, что неустойчивость имеет место в области прозрачности
плазмы при <о2о>со2ье. Из условия пренебрежения столкновения-
столкновениями электронов в диэлектрической проницаемости е(ко±соо) при
этом следует, что Imo) = 6>ve, или
1 2 NT, Г М щ
Легко видеть, что порог, определяемый неравенством G.5.30),
значительно ниже, чем G.5.26).
Исследуем теперь влияние внешнего продольного магнитного
поля на пара/метрические неустойчивости плазмы в слабом СВЧ-
поле. Прежде всего отметим еще раз, что для волн, распространя-
распространяющихся вдоль магнитного поля, т. е. при -&=0, полученные фор-
формулы G.5.23) — G.5.30) справедливы и для магнитоактивной
плазмы. Для волн же, распространяющихся под углом Ф к маг-
магнитному полю, как и в случае апериодической параметрической
неустойчивости в сильном СВЧ-поле, появляется возможность па-
параметрического взаимодействия СВЧ-поля с плазмой на верхней
и нижней электронных гибридных частотах [ср. с G.5.15)]:
cog « ф* , G.5.31)
где частоты соа для а=1, 2 определены соотношением G.5.14).
Подробного анализа параметрических неустойчивостей маг-
магнитоактивной плазмы в слабом СВЧ-поле здесь проводить не бу-
будем (см. задачу 7.10). Отметим лишь, что на обеих ветвях элек-
электронных колебаний возможны как апериодическая, так и ионно-
звуковая (в случае неизотермической плазмы с Те*>Т{) парамет-
параметрические неустойчивости, причем инкремент их нарастания и по-
пороги возбуждения по порядку величины такие же, как и в отсут-
отсутствие магнитного поля.
§ 7.6. Параметрическая неустойчивость плазмы
по отношению к непотенциальным возмущениям
В предыдущем параграфе была рассмотрена параметрическая
неустойчивость плазмы по отношению к чисто потенциальным
возмущениям, Е=—VO. Как видно из дисперсионного уравнения
G.5.1), для потенциальных возмущений воздействие внешнего
* Параметрическую неустойчивость можно объяснить как распад нелиней-
нелинейной волны в неиэотермической плазме на электронную ленгмюровскую <и ионно-
звуковую волны, поскольку неустойчивость сопровождается нарастанием амп-
амплитуд леншюровской и «онно-звуковой волн в плазме (см. также гл. 12).
204
электрического поля на плазму существенно только тогда, когда
угол между волновым вектором к и полем Ео отличен от я/2. Ес-
Если этот угол равен зт/2, поле Ео вообще выпадает из уравнения
G.5.1) и плазма оказывается устойчивой по отношению к потен-
потенциальным колебаниям. Это утверждение, однако, оказывается не-
несправедливым относительно непотенциальных колебаний. Более
того, плазма во внешнем высокочастотном поле даже в отсутствие
магнитного поля является анизотропной средой и колебания та-
такой плазмы не могут быть строго продольными. Тем не менее,
как будет видно из дальнейшего, при kr?V=0 уравнение G.5.1) с
большой точностью совпадает с точным дисперсионным уравнени-
уравнением произвольных непотенциальных колебаний. Это означает, что
такие колебания являются с хорошей степенью точности потен-
потенциальными. Непотенциальность колебаний оказывается сущест-
существенной при кГя=0, т. е. для волн, распространяющихся строго по-
поперек поля Ео.
Для анализа устойчивости плазмы по отношению к непотен-
непотенциальным возмущениям кинетические уравнения для электронов
и ионов [ср. с G.4.5)] при В0=0
dt m 9v
+ _L (E+[vBj) ff-fr-P») =0.
m dv
f + i kv6/, + -g- (E + [vBl) SbLftL - 0 G.6. i)
следует дополнить полной системой уравнений Максвелла
at at o=e,t
div В = 0, div E = — 2 ea J dp б /«. G.6.2)
80 a—M
При написании уравнений G.6.1) и G.6.2), так же как в § 7.4 и
7.5, скорость осцилляции электронов в высокочастотном электри-
электрическом поле считалась нерелятивистской: I Po | =/n|uo | =
= —5- cos con t <С tnc.
щ
Кроме того, для простоты изложения здесь мы ограничились рас-
рассмотрением случая незамагниченной плазмы, считая внешнее
магнитное поле отсутствующим.
Дальнейший анализ уравнений G.6.1) и G.6.2) полностью
аналогичен проведенному выше в § 7.4 для случая потенциаль-
потенциальных колебаний. Именно, также вводят замену переменных G.4.7)
и ищут все возмущенные величины, как ЧГ* и 6fu так и Е и В, в
виде ряда G.4.10). В результате получают довольно громоздкую
систему зацепляющихся уравнений, которую легко решать, если
частота ю0 внешнего поля порядка электронной ленгмюровской ча-
205
стоты и намного превосходит ионную ленгмюровскую частоту, т. е.
(Oo^coLe^ooLe. Если, кроме того, предположить, что &Гб<с1, но
вследствие однородности высокочастотного поля &]>соо/с, что
возможно при условии
cf получим следующее дисперсионное уравнение:
ez(G>,k) + (Ъуе)%
бе? (со, к) [1 + 6е^(ш, к)]
[kv?]2 б8^(со, k)
- = 0. G.6.3)
Ж с* 1+бе'(со, k)
Это уравнение обобщает уравнение G.5.1) в пределе кг?<^1 на
случай непотенциальных колебаний и отличается от него наличи-
наличием последнего слагаемого. Легко видеть, что оно существенно
только при kv.E=0, т. е. непотенциальность оказывается сущест-
существенной только для волн, распространяющихся строго поперек
внешнему высокочастотному полю.
Для невырожденной газовой плазмы с максвелловской функ-
функцией распределения частиц по скорости находим следующие при-
приближенные решения уравнения G.6.3):
CD*
vLi
i-S? ¦*¦*¦«•«»¦
со i /~2~ 1 Г 1
krDi L \Г»'+Г™>+ 2
при
G.6.4)
Из этих выражений также видно, что последние слагаемые, обу-
обусловленные непотенциальностью возмущений, существенны только
при kvE=0, когда отсутствуют потенциальные поправки в спектре
колебаний плазмы от высокочастотного поля. Более того, видно,
что потенциальные слагаемые приводят к раскачке колебаний в
области непрозрачности плазмы, соо<(оье, в то время как непо-
непотенциальные слагаемые дестабилизируют колебания и в области
прозрачности, соо>соье. В этом смысле уместно напомнить, что при
анализе параметрической неустойчивости плазмы по отношению
к потенциальньим колебаниям в предыдущем параграфе было по-
показано, что в области прозрачности, соо>соъе, в сравнительно ши-
широкой области спектра частот параметрически неустойчива лишь
неизотермическая плазма: Те^Ть При анализе непотенциальных
колебаний это ограничение отсутствует, хотя отметим, что инкре-
инкременты нарастания непотенциальных возмущений весьма малы, по-
206
рядка Im со ~ ®ы — <Ckol«- По своей природе непотенциальная па-
с
раметрическая неустойчивость плазмы в высокочастотном поле
аналогична желобковой неустойчивости плазмы в постоянном по-
поле (плазма с током либо пучком, см. задачи 7.4 и 6.1).
Задачи к гл. 7
Задача 7.1. Оценить число убегающих электронов в полностью ионизован-
ионизованной плазме при E$<EKV.
Решение. Функция распределения G.1.12) в этом случае справедлива в
среднем для основной массы электронов. Однако небольшая группа электронов
даже при Е0<Екр непрерывно ускоряется -и входит в режим убегания. Очевид-
Очевидно, в режим ускорения попадут электроны, начальные скорости которых вдоль
электрического ноля больше их тепловой скорости. Действительно, движение
таких электронов в электрическом поле подчиняется уравнению
du
dt ~~
Вводя величину
уравнение A) запишем в
еЕ0
т
виде
е
(Те) mv\e
еЕ0
еЕ0 V;j(e)Te
— и. A)
m и*
Отсюда видно, что при начальной скорости Ио>#кр происходит непрерывное ус-
ускорение электронов.
Таким образом, число убегающих электронов Ыь в поле Е0<.Екр определя-
определяется выражением
Nb 1 г / mv*\
D)
2 x
где Ф (я) = _ /— • fd д:ехр ( — х2) — интеграл ошибок.
В «пределе очень слабых полей, когда Е0^Екр, т. е. икр>0те, с хорошей
степенью точности
Nb 1 ( «кр
С ростом поля Ео число убегающих электронов экспоненциально растет.
Задача 7 2. Исходя из уравнения G.2.5) показать, что высокочастотная не-
неустойчивость незамагниченной плазмы в сильном электрическом поле сохра-
сохраняется и при нарушении условий G.2.3), но при этом она становится кине-
кинетической.
207
Решение. В сильном электрическом поле, когда скорость дрейфа электро-
электронов u^vT e (но все же м2<с2), из уравнения G.2.5) получаем
(со — ku)a \ 1 °>и
- - — \ — —^- = 0.
ТС ' -•
A)
При условии (&иJ>сд2ье, обратно G.2.3), отсюда находим (co-)-(o-fi6)
2
со2 = -— « со?,,
,/ л М со3 / (kuJ .
в= V "« ,, о kuexp —-—г-»— . B)
Видно, что инкремент нарастания рассмотренной кинетической неустойчивости
всегда экспоненциально мал.
Задача 7.3. Показать, что ионно-звуковая неустойчивость может развивать-
развиваться в слабоионизованной неизотермической плазме с током также в пределе
частых столкновений, когда длины свободных пробегов электронов и ионов
меньше длины волны ионно-звуковых колебаний.
Решение. Для простоты ограничимся анализом низкочастотных (ю<С^0
и длинноволновых (k 1vT »<Qi) колебаний, когда общее дисперсионное урав-
уравнение
? со — ku +iv^
= 0 A)
упрощается и принимает вид
Если скорость дрейфа электронов w<Ct/T е, то неустойчивые решения этого
уравнения в плазме в пределе частых столкновений (va^>^z^Ta) следует ожи-
ожидать в области частот ve>co^>Vt. Тогда
При получении этого уравнения, кроме того, было принято, что <ove<?2zi>2Te,
а ©Vi>?2zu2T г, так как только в этих условиях, соответствующих высокой
электронной и яизкой ионной теплопроводности (либо диффузии), в слабоиони-
зованной плазме возможно существование ионно-звуковых волн (см. гл. 4).
208
Из уравнения C) находим
С02 =
*=-^-^м7<ц)<й8- <<>
Отсюда видно, что система может стать неустойчивой благодаря изменению
знака диффузионного поглощения при u">mlkz^vs.
Задача 7.4. Показать, что бесстолкновительная незамагниченная плазма с
током неустойчива по отношению к непотенциальным возмущениям даже
при u<.Vt i-
Решение. Дисперсионное соотношение Gл2.1) для произвольных непо-
непотенциальных колебаний бесстолкновительной незамагниченной плазмы с током
при м<с записывают в виде
U2 //2
х[6е< (о)', k) + Ьв[ (шк) + 1]
С
X [б8< (со', « + -^ (бв*г (со', /с) - 6е^ (со', «) ] X
[вв{(ю, ^) + -^г(^г(со, Л)-вв{(ю, А)] = 0. A)
х
Здесь со/=со—ku, a s*a(co, ^)«8ira(co, ^) для a=e, t — парциальные вклады в
продольную и поперечную диэлектрическую проницаемости от электронов я
ионов, соответственно определяемые выражениями G.4.16).
В пределе самых низких частот со<?21/т* для волн, распространяющихся
поперек тока, ku=O и уравнение A) можно представить в виде
- = 0, B)
и ии
где
C)
D)
, k) . t/jx_
"^ 2
Видно, что возмущения с волновым вектором
и 0i
неустойчивы при сколь угодно малых скоростях и <; vT i, причем они аперио-
апериодически нарастают во времени с инкрементом
Im со ^ (kQ — k) vTi = koVvil 1 — — ). E)
\ h I
209
Заметим, что внешнее сильное продольное магнитное поле стабилизирует эту
неустойчивость.
Задача 7.5. Исследовать устойчивость плазмы в сильном электрическом
поле по отношению к электростатическим колебаниям в адиабатном при-
приближении.
Решение. С помощью тензора диэлектрической проницаемости, получен-
полученного в предыдущей главе, легко вывести искомое дисперсионное уравнение
электростатических колебаний:
е(ю, k) = 8;; = —— 1 —
& 3 & [
Считая ионы яеза магниченными, ©>Q», запишем это уравнение в виде
-^=l+6ee(<o-ku), B)
где
^^2- —1_^г C)
— парциальный вклад электронов в продольную диэлектрическую проницае-
проницаемость плазмы*
Уравнение B) имеет неустойчивые решения в области частот co<Cku в ус-
условиях
D)
причем максимальный инкремент достигается при равенстве D), когда допле-
ровская частота ku совпадает с одной из собственных частот продольных
электронных колебаний плазмы (ом. >§ 5.2):
ч2
d6ee(ku)
-ji/з
E)
dku
В отсутствие магнитного поля (Qe-*0) формулы D) и E) принимают вид
F)
— 1 -+- il/3" / m \1/з / k2 \1/з
^() -Ч)
При kL =0 эти формулы совпадают с G.2.3) и G.2.4), т. е. при k ±=0 спра-
справедливо электростатическое приближение.
В обратном пределе бесконечно сильного магнитного поля из D) и E)
имеем
, (8)
210
что в точности совпадает с G.3.2) <и G.3.3). Это означает, что в сильно за~
магниченной плазме колебания (u<.kzu всегда с хорошей степенью точности по-
потенциальны.
Задача 7.6. В модели независимых частиц исследовать устойчивость плаз-
плазмы в сильном постоянном электрическом поле по отношению к электро-
электростатическим (потенциальным) колебаниям в неадиабатном приближении.
Решение. Линеаризуем систему уравнений модели независимых частиц
dN
Возмущенные величины ищем в виде f(/)exp(ikr) и ограничиваемся для прос-
простоты колебаниями вдоль электрического поля, так что Е=—уФ, А1=0. В
этом случае как для изотропной, так и для замагниченной плазмы получаем
При выводе этого уравнения из системы A) было использовано предполо-
предположение, что время нарастания неустойчивости намного больше ю^ь* (точнее,
д
— <Cku), что следует из адиабатного приближения (см. § 7.2 и 7.3). В усло-
ot
виях
(kuJ<a>2L*Y-3 C)
(при заданном значении k это соответствует большим временам после наложе-
наложения на плазму поля Ео) уравнение B) имеет осциллирующее во времени pe-
pern ееие
6Ni« С sin (оьгЧ-ф). D)
При условии, обратном C), имеем уравнения
dt2 M cm
с решениями вида
m
—
m &e*Elt* E)
6 л i = ° ПРИ u « c> 4<<г
Отсюда следует, что при малых временах (малых аргументах функций Бес-
Бесселя) А»иу3/2*<1 возмущение плотности плазмы линейно растет во времени:
G)
211
При больших же временах (kuy^2t^>\) наблюдается экспоненциальный рост
возмущений:
(8)
Задача 7.7. Показать, что в чисто электронной плазме во внешнем СВЧ-
поле возможна параметрическая раскачка ленгмюровских колебаний при
учете релятивистских эффектов в скорости осцилляции электронов.
Решение. Линеаризованную систему релятивистских уравнений в модели
независимых частиц для электронной плазмы в электрическом СВЧ-поле
Ео sin (dot запишем в виде
ik
dt
- -i— к-ф. A)
Здесь No — однородная фоновая плотность «ионов, компенсирующая заряд элект-
электронов в равновесном состоянии, в котором под действием СВЧ-поля электроны
осциллируют, причем скорость их осцилляции определяется соотношением
~\/\ — и2! с2 тсо0
= — u0cosco0r. B)
Ограничиваясь колебаниями вдоль СВЧ-поля, k||u, и исключая из системы A)
величины SV га Ф, получим FV||u||k)
I ( д ...
С помощью замены
уравнение D) сводим к виду
U -|-flye»p(iJtedO D)
В случае слабого релятивизма с точностью до членов ~и2о/с2 получаем
?+*('-f 4) (--И
С помощью замены т=со0/ это уравнение сводится к классическому уравнению
Матье:
где
¦2^cos2t)i/ = 0,
_3_ «|
4 с2 8 с:
212
В зависимости от параметров а и q
уравнение G) имеет как устойчивые, так &
и неустойчивые решения. На рис. 27 об-
область неустойчивости заштрихована. В ин-
тересующем нас случае малых значений
<7<1 неустойчивость возникает при а=п2, j
или
cof
"о
(8)
причем временной инкремент роста у (т. е.
плотности SN~exp(St)) равен
6*-> и
= (От
16 Le с2
О)
Величина б и определяет ширину парамет-
параметрического резонанса при малых значениях
д, т. е. в нерелятивистском пределе.
Задача 7.8. С помощью уравнения
G.5.1) исследовать параметрическую
кинетическую неустойчивость незамаг-
ниченной неизотермической плазмы в
сильном электрическом СВЧ-поле, ког- Рис 2Ъ области устойчивости и
да VB=mrE>Vn и длина волн возбуж- й б
даемых колебании меньше дебаевского
радиуса электронов, *п,.»1, но
1
у
неустойчивости колебаний
На плоскости ^ Я)
<1.
Решение. Уравнение G.5.1) в этих условиях можно записать в виде
o, k)
2'»
п
kvT
В области частот kvT г<со<Ъте отсюда имеем
f.\3
Wv\{ ' *~
t /ш+_п_со,Д / (Q) + nQH2) , m
кгЛ — exp I — __ о I • W
kvTe J
/
exp
\
2k* vl
Уравнение B) после суммирования по п, что удается приближенно провес-
провести лишь в пределе со<со0<^те, а кгЕ>1, сводится к следующему виду:
со3 / со3 \ со*
2cocof
1 - i I/ —
exp -
2*4,
= 0, C)
где уе=(ооге.
Отсюда, учитывая малость мнимых слагаемых, находим спектр (co-HO+iS):
б = - I/ —
СОт
cor
9 9
-exp —
D)
Первое слагаемое в выражении для б обусловлено истинным поглощением
волн на ионах, а второе описывает обращенное поглощение (усиление) на элект-
213
ронах, причем важно, что в целом волна может усиливаться (б>0), что соот-
соответствует неустойчивости.
Следует заметить, что такая неустойчивость возможна в области прозрач-
прозрачности плазмы по отношению к СВЧ-полю, т. е. при соо>соье.
Однако при этом должно выполняться условие
Задача 7.9. Исходя из уравнения G.5.22) с учетом столкновений электро-
электронов получить порог апериодической параметрической неустойчивости G.5.26).
Решение. С учетом столкновений электронов при coo«coLe>ve, со имеем
е(со±соо)«1- Щ-±(**+*И). A)
cog \ со0 соо }
При подстановке этого выражения в G.5.22) получаем [ср. с G.5.24)]
VnAfl + il/iL J»Tl
L J )=0. B)
2 kv T + T }
В области самых низких частот отсюда находим спектр
.= I Т/А
г я
7$ Т|А
который при Ve-H) переходит в G.5.25) (верхнее выражение). Неустойчивость
имеет место при условии
Минимизируя это выражение по А, находим порог неустойчивости G.5.26).
Задача 7.10. Исследовать параметрическую неустойчивость холодной магни-
гоактивной плазмы в электрическом СВЧ-поле в условиях, когда частота
поля соо близка к суммарной частоте продольных электронных колебаний
плазмы: co0^coi+CD2.
Решение. Учтем, что продольную диэлектрическую проницаемость холод-
холодной электронной плазмы можно представить в виде
(со2--со?) (®2-со?)
\+Ьге{ъЛ)=Л -^ г—2- , A)
со2(со2 — Q2e)
где со2а (для а=1, 2) определяется выражением G.5.14).
Введем расстройку частоты внешнего поля по отношению к суммарной ре-
резонансной частоте
G>0 = G>l+fi>2+A B)
и будем искать решение уравнения G.5.22) в виде (считая для определенности
@i>C02)
со = со1+б C)
(в силу симметрии с таким же успехом можно искать решение ш=©2+6). В
результате получаем
(О? ^ U>t(«>?-Qg) ; (кГ?J М,(Ю»-О»)
«2, 2d(«f-(o2) 8 (в+А)(?1)
214
При расстройках Д>6, удовлетворяющих услов-ию
из уравнения D) находим соотношение для определения инкремента нарастания
параметрической неустойчивости:
Д2 (кг?)* О* ul-Qj * U
Так как (u22<Q2e, a co2i>Q2e, то 62<0, т. е. плазма всегда неустойчива. В
действительности учет столкновений приводит к наличию порога неустойчивос-
неустойчивости, определяемого условием б>бь где 6i — декремент затухания колебаний
на верхней электронной ветви, определяемый формулой E.7.3). Это дает ус-
условие
(кг?J К-ОЭК-О»)^
>4«:.'»1. :::.-... ¦¦
где ve — частота столкновений электронов.
Эти громоздкие формулы сильно упрощаются в случае .плотной тшазмы, в
которой Ле>Й2в. При этом для О=т^0 имеем
СО2! « W2L е, 0J2 = Q2e COS2 d,
m (ктЕJ Q3e cos ^ sin2 О
A = —
8
m \2(кгяJ
62 = "~ ~м )
м ) Тб
?co
m ) '
(8)
Следует отметить, что в результате развития неустойчивости происходит
одновременное нарастание амплитуд продольных колебаний на верхней и ниж-
нижней гибридных ветвях.
Глава 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
СВОЙСТВА
ПРОСТРАНСТВЕННО
НЕОДНОРОДНОЙ
ПЛАЗМЫ
§ 8.1. Неоднородные среды
без пространственной
дисперсии.
Приближение
геометрической оптики
В предшествующих главах была рас-
рассмотрена пространственно однородная плазма, параметры кото-
которой не зависели от координат. В реальных условиях практически
всегда приходится иметь дело с пространственно неоднородной
плазмой. Реальная плазма неоднородна в пространстве уже хотя
бы потому, что она ограничена. Здесь, однако, исследуем прост-
пространственно неограниченную неоднородную плазму, а методы
описания и электромагнитные свойства ограниченной в простран-
пространстве плазмы рассмотрим в следующей главе. Характерными раз-
размерами неоднородности лабораторной плазмы обычно являются
размеры экспериментальных установок. Так, например, в уста-
установках управляемого термоядерного синтеза и в газовом разряде
концентрация заряженных частиц плазмы существенно изменяет-
изменяется на расстояниях порядка размеров плазменного шнура (ради-
(радиуса разрядной труб-ки), т. е. характерный размер LN неоднород-
неоднородности плотности порядка 10~2—10 м, температура же заряжен-
заряженных частиц при этом может не зависеть от координат. В ионо-
ионосферной плазме характерными размерами регулярных неоднород-
ностей являются: для концентрации заряженных частиц — Ln~
~ 10б м, для температуры — LT~5-105 м, для неоднородности
магнитного поля Земли — LB~106—107 м. В плазме твердого те-
тела характерный размер неоднородности часто определяется спо-
способом создания носителей заряда и по порядку величины состав-
составляет К)-3—10~2 м.
При изучении электромагнитных свойств неоднородной плаз-
плазмы прежде всего встает вопрос о ее диэлектрической проница-
проницаемости 8ij(co, k). Поскольку в неоднородной плазме ядра матери-
материальных уравнений B.2.1) и B.2.2) не являются разностными фун-
функциями координат гиг7 [B.2.4), B.2.5)], т. е. зависят не только
от г—г', но также от г и г7 в отдельности, для описания ее элек-
электромагнитных свойств в общем случае нельзя пользоваться по-
понятием тензора диэлектрической проницаемости (или проводимо-
проводимости) в том смысле, как оно было определено соотношениями
B.2.6) —B.2.9).
216
Исследование электромагнитных свойств неоднородной плаз-
плазмы начнем с простейшей модели, когда можно пренебречь прост-
пространственной дисперсией. При этом для однородной плазмы опе-
оператор eij(t—f) вообще не зависит от разности г—г'. Для неодно-
неоднородной плазмы оператор Sij(t—f, r) может зависеть лишь от г,
поэтому можно использовать тензор
ги(со, r)=JcK1Sw(f1, r)e^ (8.1.1)
о
т. е. по существу, старые выражения для тензора диэлектриче-
диэлектрической проницаемости е^ (со, 0) плазмы без пространственной дис-
дисперсии k/co->0, в которых, однако, соответствующие параметры
(плотность, температура и т. п.) следует считать зависящими от
координат. Однако и в этом простейшем случае построение тео-
теории распространения электромагнитных волн в неоднородной
плазме представляет сложную задачу, связанную с необходимо-
необходимостью решения уравнения поля
ДЕ—dragdivE + — D = 0, (8.1.2)
где Di = eo&ij{(u, r)Ej.
Уравнение (8.1.2) является основным объектом изучения в те-
теории распространения электромагнитных волн в неоднородных
средах. Для наиболее распространенного нормального падения
волны на плоскослоистую среду это уравнение имеет формальное
сходство со стационарным уравнением Шредингера. Действитель-
Действительно, считая среду изотропной с тензором Siji®, r)=e(<o, г)дц и не-
неоднородной вдоль оси Ох, положим е@, r)=e(<D, х) и Е((о, г) =
= Е(со, х). Тогда уравнение поля (8.1.2) для поперечной волны
(Е1_Ох) запишется следующим образом:
-f в (», *)* = <>. (8.1.3)
Напомним для сравнения, что стационарное уравнение Шредин-
Шредингера для одномерного движения имеет вид
VX+^L[W-V(x))V = 0, (8.1.4)
где Ч — волновая функция, W — полная энергия частицы, а-
V(x) —потенциальная энергия частицы.
Сходство уравнений (8.1.3) и (8.1.4) очевидно.
Важность уравнений типа (8.1.3), (8.1.4) для физики объясня-
объясняет тщательное исследование возможных способов их решения, в
частности, нахождение точных решений для определенного вида
зависимости е(со, х). Точные решения найдены для линейной, па-
параболической и некоторых других конкретных зависимостей
е(ю, л:) от х. Для произвольной зависимости г(х) в теории рас-
распространения электромагнитных волн и квантовой механике раз-
217
работаны приближенные методы решения волнового уравнения.
Основными из них являются метод геометрической оптики в
электродинамике и аналогичный ему метод ВКБ (Вентцеля —
Крамерса — Бриллюэна) в квантовой механике. Ввиду чрезвы-
чрезвычайной важности этого метода для дальнейшего изложения на-
напомним его суть.
Метод геометрической оптики применяют тогда, когда на дли-
длине волны электромагнитных колебаний свойства среды изменя-
изменяются слабо или когда длина волны К много меньше характерного
размера неоднородности среды Lo:
При этом распространение волны рассматривают так же, как в
однородной среде с соответствующими значениями параметров.
Так, например, в однородной безграничной среде собственны-
собственными решениями волновых уравнений являются плоские волны. В
неоднородной среде это не так, однако, если на длине волны свой-
свойства среды меняются слабо, то волна ведет себя почти как пло-
плоская.
В приближении геометрической оптики любые величины, ха-
характеризующие волну, записывают в виде
Е = Еое-^+^(г>, (8.1.5)
где ^(г)—величина, называемая эйконалом, которая определя-
определяет зависимость фазы волны от координат. Эйконал является боль-
большой величиной, поскольку должен изменяться на 2я на длине
волны, а приближение геометрической оптики соответствует пре-
пределу Х-^0.
В однородной среде
?(r) = kr = —nr. (8.1.6)
с
По аналогии с этим в неоднородной среде положим
к(г) = -^п(г). (8.1.7)
В слабонеоднородной среде к (г) является медленно меня-
меняющейся функцией г, которая, очевидно, определяется изменением
свойств среды в пространстве, в силу чего характерный размер
неоднородности к (г) совпадает с Lo, т. е.:
Функцию к (г) назовем волновым вектором волны в слабо не-
неоднородной среде, Я=Bя)/& — длиной волны, а п(г) — показате-
телем преломления. Слабая зависимость волнового вектора к (г)
[или п (г) ] от координат позволяет построить метод решения
электродинамических задач для слабонеоднородных сред в виде
ряда последовательных приближений по параметру K/Lo. В ну-
218
левом приближении волну считают плоской, т. е. полностью пре-
пренебрегают членами порядка %/L0 и более высокого порядка ма-
малости, в первом приближении учитывают лишь члены первого по-
порядка малости по Я/Lo и т. д. Другими словами, в нулевом при-
приближении полностью пренебрегают пространственными производ-
производными к (г), в первом приближении учитывают лишь первые про-
пространственные производные и т. д. Вычисляя более высокие чле-
члены разложения, очевидно, можно найти решение уравнений поля
с любой степенью точности.
Применим изложенный метод к решению уравнения (8.1.3),
для чего представим поле Е в виде
E(x)=EQexp[iW(x)]. (8.1.8)
Подставив (8.1.8) в (8.1.3), получаем уравнение для 4я (х),
называемое уравнением эйконала:
Y'2—1Г-8(ш, х)—, (8.1.9)
с2
где штрих означает дифференцирование по координате. Посколь-
Поскольку выполнено условие VL0<Cl, можно провести разложение ре-
решения W (х) по этому малому параметру:
4r=4VPFi+44-... (8.1.10)
Здесь Yo — значение \Р в нулевом приближении геометрической
оптики, которое находят из (8.1.9) при пренебрежении вторым
слагаемым в левой части:
i>2
С
^-е(со, х), (8.1.11)
или
?0 (х) я ± — f У в (со, х') dx'. (8.1.12)
с J
В теории распространения волн особый интерес представляет
область изменения х, в которой е(со, л:)>0, поскольку в этой об-
области Ч?о(х)—действительная функция и поле Е(х) носит вол-
волновой («колебательный) характер, причем длина волны
^о со "|Д (©» х)
На первый взгляд может показаться, что в нулевом прибли^
жении геометрической оптики вообще не нужно учитывать зави-
зависимость е(со, х) от координаты х. Однако это не так, поскольку,
несмотря на слабую пространственную неоднородность е(со, х),
область интегрирования в (8.1 Л2) может быть достаточно боль-
большой и даже значительно превышать характерный размер неодно-
неоднородности Lo. Естественно, что при этом величину е(сэ, х) нельзя
считать постоянной,
219
Из условия пренебрежения вторым слагаемым в уравнении
(8.1.9) следует неравенство, определяющее область применимости
нулевого приближения (8.1.12),
*0 С d Г 1 Л С * ^ Л" 1 /О 1 1 Q\
~ ¦ ~ <С I- (о. 1.1 о)
J (о LAl/efcu. x) L*
to
1—? ^Л
d* L у8(со, х) J со Lo~l/e(@, х) 1о
Как и следовало ожидать, оно совпадает с условием приме-
применимости приближения геометрической оптики. Неравенство
(8.1.13) нарушается при X/L0~l, что возможно либо при конеч-
конечных значениях 8 (со, х) ~ 1 и не малых значениях c/(cdL0) =W^o ^
^ 1, либо при любых значениях Xo/Lo<.l вблизи точек, где
е (со, х) ^0.
Таким образом, согласно (8.1.12) выражение для поля Е в
нулевом приближении геометрической оптики можно записать в
виде
{— Jl/s(co, x')dx'
с о
С_ехрГ — i — jVe(o), x')dx'
(8.1.14)
или с учетом определения волнового вектора слабонеоднородной
плазмы (8.1.7)
— i \k(xf)dx' 1. (8.1.15)
Вычислим теперь следующий член разложения . (8.1.10), для
чего подставим в (8.1.9) разложение (8.1.10), учтем (8.1.11) и
оставим члены первого порядка малости. В результате получим
2W'0W[ — i4^ = 0. (8.1.16)
Отсюда ^ = — 111^. (8.1.17)
Учитывая эту поправку в решении (8.1.8), после несложных пре-
преобразований получим выражение для поля Е(х) с точностью до
членов первого порядка приближения геометрической оптики:
4 ^_=ехр [i
4/е(со, х) L c
C* езго[1
Df x')dx'
езго[-1 —f Veto. ^dj^I (8.1.18)
Как отмечалось, в теории распространения волн в неоднород-
неоднородной среде особую роль играют области, в которых функция &((о,х)
действительна и положительна. В таких областях электромагнит-
электромагнитное поле (8.1.18) носит волновой характер, или, как говорят, воз-
220
можно распространение волн. В геометрической оптике эти обла-
области называют областями прозрачности среды. В отличие от них
области, в которых функция е(о, х)<09 называют областями не-
непрозрачности среды. В этих областях поле Е меняется с коорди-
координатой х экспоненциально, нарастает или убывает. В квантовой
механике области прозрачности соответствует область положи-
положительности функции U(\x)=W—V(x) [см. уравнение (8.1.4)], в ко-
которой доступно классическое движение частицы. Напротив, об-
область, в которой U(x)<.0, является недоступной для классиче-
классического движения. Поэтому точку, где U(x)=0, называют точкой
поворота. По аналогии и в геометрической оптике точки деления
областей прозрачности и непрозрачности, т. е. точки, в которых
е(ю, х)=0, принято называть точками поворота. От этих точек
происходит отражение электромагнитной волны, падающей со сто-
стороны области прозрачности среды.
Поскольку вблизи точек поворота е(оо, л;)=0 приближение ге-
геометрической оптики неприменимо, решение (8.1.18) теряет смысл.
Однако вблизи точки поворота функцию е(<о, х) можно разло-
разложить в ряд и найти точное решение уравнения (8.1.3), которое
вдали от этой точки асимптотически должно перейти в (8.1.18).
Пусть область классически доступных решений, или область про-
прозрачности среды, находится между точками поворота а и 6, яв-
являющимися решениями уравнения е(со, х)=09 т. е. г(со, х)^0 при
a^x^ib. Тогда асимптотическое решение уравнения (8.1.3) слева
от точки &, переходящее в затухающее решение (8 1.18) при #>&,
может быть записано в виде (х<Ь)
E = -?^sin(— jyTd*+— V (8.1.19)
-/е \ с х 4 /
Аналогично, асимптотическое решение уравнения (8.1.3) спра-
справа от точки а, переходящее в затухающее решение (8.1.18) при
, записывается в виде (а<х)
?= й С -sinf — ПЛф, x')dx + — \ (8.1.20)
Ve((o, x) \ * ? 4 У
Выражения (8.1.19) и (8.1.20), естественно, должны совпадать
во всей области a^x^ib, для чего необходимо, чтобы сумма их
фаз была целым числом, кратным я. Легко видеть, что это воз-
возможно, если
(8Л.21)
где п — произвольные целые числа: я=0,± 1,±2.
При этом постоянные интегрирования С и С7 связаны равенст-
равенством С=(—1)»С.
В силу неравенства (8.1.13) в приближении геометрической
оптики эйконал является большой величиной, поэтому |я|;»1.
221
Учитывая это соотношение, (8.1.21) приближенно можно записать
в виде
^ ъ ъ
— f 1/8 (со, х) dx = f k (со, х) dx = зш, (8.1.22)
G a a
где я>1.
Заметим, что соотношение (8.1.22) можно также получить, рас-
рассматривая в решении (8.1.15) обход в плоскости комплексного пе-
переменного k по замкнутому контуру вокруг точек поворота, где
Re&2 = 0. При таком обходе фаза решения (8.1.15) приобретает
добавку i$&(co, x)dx и, чтобы поле Е не изменилось (условие од-
однозначности решения), должно соблюдаться условие
j) k (со, я) dx = 2шг,
что при наличии двух точек поворота приводит к соотношению
(8.1.22).
Соотношение (8.1.22) в геометрической оптике рассматривают
как дисперсионное уравнение, определяющее спектр собственных
значений частот со, либо волновых векторов k электромагнитных
волн, запертых в области прозрачности среды между двумя точ-
точками поворота. Таким образом, спектр собственных значений
волнового уравнения в пространственно неоднородной среде в при-
приближении геометрической оптики при наличии двух точек поворо-
поворота оказывается дискретным. В этом состоит важное качествен-
качественное отличие электромагнитных свойств неоднородной среды от од-
однородной.
Соотношение (8.1.22) имеет простой физический смысл: в об-
области прозрачности среды, между точками поворота должно ук-
укладываться целое число полуволн (рис. 28). Аналогией этого яв-
являются колебания струны с закрепленными концами. Природа та-
такой аналогии ясна, поскольку волновое уравнение, (8.1.3) совпа-
совпадает с уравнением колебаний струны со слабонеоднородным мо-
модулем упругости. Точкам поворота в этом случае можно сопо-
сопоставить закрепленные концы струны, так как за пределами этих
точек решения волнового уравне-
уравнения экспоненциально убывают.
Аналогичная картина имеет место
и в квантовой механике в квази-
квазиклассическом пределе, в связи с
чем уравнения (8.1.21) и (8.1.22)
называют часто квазиклассиче-
квазиклассическими правилами квантования, а
интегралы в левых частях
этих соотношений — фазовыми
интегралами Бора — Зоммер-
фельда.
Все сказанное относилось к
Рис. 28. Область прозрачности неод-
неоднородной среды
222
действительной функции 8 (со, х).
Очевидно, однако, что при учете диссипации в среде (например»
столкновений частиц) функция е(со> х) оказывается комплексной.
Как неоднократно подчеркивалось в предыдущих главах, элект-
электромагнитные волны в среде как слабозатухающие могут сущест-
существовать лишь в условиях, когда диссипация слаба и е((о, х) —
почти действительная функция. Не представляет труда обобщить
дисперсионное уравнение (8.1.22) для таких слабодиссипативных
неоднородных сред. Учитывая, что Re&(co, л:) >Im &(co, х) и по-
поэтому электромагнитные колебания должны быть слабозатухаю-
слабозатухающими (со-мо + id, со>6), представим подынтегральную функцию в
виде
С/CD
Подставив это разложение в уравнение (8.1.22) и выделив затем
его действительную и мнимую части, получим
ъ
(©, х) dx
J Re Л (со, x)dx = nn, 6= ~ . (8.1.23)
Здесь под точками поворота а и Ь следует понимать точки, в ко-
которых Re&2(co, x)=0.
Соотношения (8.1.23) определяют спектр частот и декремент
затухания электромагнитных волн в неоднородной среде без про-
пространственной дисперсии в приближении геометрической оптики,
причем вторым соотношением следует пользоваться лишь тогда,
когда частота о, определенная из первого соотношения, действи-
действительна.
¦ Выше был рассмотрен простейший случай неоднородной среды
с двумя точками поворота, между которыми находится область
прозрачности. Электромагнитные волны в среде могут распростра-
распространяться между этими точками поворота, поэтому их часто называ-
называют запертыми колебаниями, а соответствующие им решения урав-
уравнения поля — финитными,
В реальных условиях в неоднородной среде возможны и дру-
другие ситуации, например, когда в рассматриваемой области имеет-
имеется только одна точка поворота либо, наоборот, несколько отделен-
отделенных друг от друга областей прозрачности, заключенных между
парами соответствующих точек поворота, либо вообще отсутству-
отсутствуют точки поворота и среда прозрачна во всем пространстве. Из
всего этого многообразия разберем лишь наиболее часто реали-
реализуемые в плазме случаи.
223
§ 8.2. Приближение геометрической оптики
для неоднородных сред с пространственной дисперсией
С помощью изложенного в § 8.1 метода геометрической опти-
оптики можно достаточно просто сформулировать материальное урав-
уравнение для произвольной неоднородной среды и, в частности, ввес-
ввести понятие тензора диэлектрической проницаемости неоднородной
плазмы. Предположим, что плазма слабонеоднородна, т. е. длина
волны значительно меньше характерных размеров неоднородности
среды. При этом материальное уравнение, связывающее электри-
электрическую индукцию и напряженность электрического поля '[ср. с
B.2.4)], удобно представить в виде
Dt (/, г) = е0 J 6? J dr' ги(t-t\ r-r', r) Bs(*', г'). (8.2.1)
Говоря о слабой неоднородности среды, следует считать, что
зависимость ядра интегрального соотношения (8.2.1) от (г—г')
является более сильной, чем от г. Зависимость ядра от (г—г)
связана с длиной волны колебаний и при преобразовании Фурье в
однородной среде приводит к зависимости бгДсо, к) от к, зависи-
зависимость же от г определяется неоднородностью самой среды и свя-
связана с характерным размером неоднородности Lo. Ввиду малости
параметра Я/?о снова можно воспользоваться приближением гео-
геометрической оптики, считая в нулевом приближении волновой век-
вектор к слабой функцией координат. Тогда в нулевом приближении
материальное уравнение (8.2.1) можно записать в виде
Я< = вов<Ню, k, r)Eh (8.2.2)
где в„ (со, к, г) = ] dh j dR-Sy (tl9 R, г) ei<D/l"ikR (8.2.3)
о
— тензор диэлектрической проницаемости слабонеоднородной сре-
среды в нулевом приближении геометрической оптики с учетом про-
пространственной дисперсии.
Запишем теперь уравнения Максвелла в нулевом приближении
геометрической оптики:
A,[kB]=-(DD, kB = 0
= -шВ, kD«0.
Условие разрешимости этой системы совместно с материаль-
материальным уравнением (8.2.2) дает уравнение
4к'г>1=0> (8<2'5)
Такое уравнение можно получить также из волнового уравне-
уравнения (8.1.2) для сред без пространственной дисперсии, если при-
224
менить к нему метод геометрической оптики и ограничиться нуле-
нулевым приближением.
Заметим, что в однородной среде уравнение типа (8.2.5) трак-
трактовалось как дисперсионное уравнение [см. B.4.3)], определяю-
определяющее спектр частот собственных электромагнитных колебаний
со (к). Если же уравнение (8.2.5) разрешить относительно со, то
окажется, что «частота собственных колебаний» среды зависит от
координат, т. е. со = со (к, г), что является физической бессмысли-
бессмыслицей. Уже из эгого следует принципиальное различие уравнений
(8.2.5) и B.4.3), а именно: уравнение (8.2.5) не является дисперси-
дисперсионным, а просто уравнением для определения к (г) или для опре-
определения эйконала Т(г). Поэтому его называют уравнением эйко-
эйконала. Это уравнение обобщает (8.1.11) в нулевом приближении гео-
геометрической оптики на слабонеоднородные среды с пространствен-
пространственной дисперсией.
В том случае, когда электрическое поле волны в неоднородной
среде можно считать потенциальным, уравнение (8.2.5) упроща-
упрощается:
е (со, к, г)=-^4> ги (со, к, г) = 0. (8.2.6)
/с
Величину 8 (со, к, г) при этом называют продольной диэлект-
диэлектрической проницаемостью слабонеоднородной среды, а уравнение
(8.2 6) — уравнением эйконала для продольных (потенциальных)
волн в нулевом приближении геометрической оптики.
С помощью уравнения эйконала, как легко видеть, удобно ис-
исследовать пространственное распределение поля в среде, т. е.
решать граничную задачу. Для решения же начальной задачи —
вычисления спектров электромагнитных колебаний слабонеодно-
слабонеоднородной среды — одного уравнения эйконала недостаточно, необ-
необходимо знание дисперсионного уравнения типа соотношения
(8.1.23), полученного для сред без пространственной дисперсии.
В общем случае, когда имеется трехмерная неоднородность
среды, вывод дисперсионного уравнения требует нахождения
спектра собственных значений для интегродифференциальных
уравнений в частных производимых высших порядков. Эта про-
проблема до сих пор не имеет окончательного решения. На сегодняш-
сегодняшний день более или менее исчерпывающий ответ на поставленный
вопрос имеется только для одномерно неоднородных сред. В этом
случае из уравнений эйконала (8.2.5) и (8.2.6) определяют лишь
проекцию волнового вектора вдоль неоднородности kx((u, ky> kZy х).
В наиболее интересных для волн в плазме областях частот
уравнений эйконала (8.2.5) и (8.2.6) имеют попарно сопряженные
невырожденные корни ±&xs(co, x). Каждой паре таких корней в
нулевом приближении геометрической оптики можно сопоставить
дифференциальное уравнение
яа . .-„.(».*) У = 0. (8.2.7)
дх*
8—953) 225
KJ этому уравнению уже можно применять изложенную в § 8.1
общую теорию и для определения спектра частот электромагнит-
электромагнитных колебаний по аналогии с (8.1.23) записать соотношения, оп-
определяющие частоту и декремент затухания (со-ко + iS):
X
J lmkx8((otx)dx
(8.2.8)
д
х ды
B этих соотношениях интегрирование ведется по области про-
прозрачности среды для данных колебаний, причем точки поворота
х^ и xv определяются из уравнения Rek2xs{ti), х)=0.
Таким образом, идея, положенная в основу теории распростра-
распространения электромагнитных волн в слабонеоднородной среде с про-
пространственной дисперсией, такая же, как и для сред в отсутствие
дисперсии. Она заключается в следующем: из уравнения эйконала
(8.2.5) '[либо (8.2.6)] находят решения &2xs(co, x)> соответствую-
соответствующие s-ветвям колебаний, спектры частот и декременты затухания
которых определяют с помощью правил квантования (8.2.8).
Наконец, отметим, что переход к однородной неограниченной
среде производится формальным образом. В этом случае точки
поворота отсутствуют и вводят произвольные точки а и fe, для ко-
которых записывают соотношение (8.1.22):
j kxs (со, х) dx = kxs (со) (b—a) = яп. (8.2.9)
а
При этом, полагая =^e==const, получаем уравнение, оп-
b — а
ределяющее спектр собственных колебаний однородной плазмы:
kxs (о) =kxs = const. (8.2.10)
Естественно, что корни этого уравнения со (к) совпадают с
корнями уравнения (8.2.5), являющегося для однородной среды
дисперсионным уравнением.
§ 8.3. Тензор диэлектрической проницаемости
слабонеоднородной плазмы
в приближении геометрической оптики
Перейдем к вычислению явного вида тензора диэлектрической
проницаемости слабонеоднородной плазмы 8ij(co, k, х). Рассмот-
Рассмотрение начнем с бесстолкновительной магнитоактивной плазмы.
Вычисление проведем, обычным способом на основе решения кине-
кинетического уравнения с самосогласованным полем (уравнения
Власова) для частиц сорта а:
tbL + v^jL + b {Е + [vB]} |ь = 0. (8.3.1)
226
Как обычно, внешнее магнитное поле В будем считать направ-
направленным вдоль оси Oz, а неоднородность плазмы — вдоль оси Оху
т. е. поперек внешнего магнитного поля Во.
Определим прежде всего функцию распределения fQa для рав-
равновесного состояния плазмы, в котором Е0 = 0, ВоII02. Для функ-
функции /оа в нерелятивистской плазме, в которой pa = wav, из (8.3.1)
получаем уравнение
%--Qa(*)|^ = 0, (8.3.2)
записанное в цилиндрической системе координат в пространстве
скоростей (Vx^ViCOSy, vy=Visinq>, vz). В этом уравнении
Qa(x)=z — В0(х)—неоднородная циклотронная частота частиц
a
сорта а.
Общим решением уравнения (8.3.2) является произвольная
функция характеристик
где &а =mau2/2 — энергия, а Са определяется из характеристиче-
характеристического уравнения
— =-п^гт, (8-3.3)
решение которого имеет вид
Ca = v± sin Ф + jQa (*') dx'. (8.3.4)
Таким образом,
/oa = /oa (Vy+ j Qa (X') dx', SJ. (8.3.5)
В реальных случаях характерный размер неоднородности плаз-
плазмы значительно превышает ларморовский радиус частиц. Это по-
позволяет ввести малый параметр
(8.3.6)
и разложить по нему решение (8.3.5). При этом можно записать
a(#a, x), (8.3.7)
где Fa(^*a, x) — произвольная функция <Уа, зависящая от х как от
параметра. В качестве этой функции для невырожденной плазмы
естественно выбрать максвелловскую функцию распределения, но
с неоднородными значениями плотности и температуры:
-^V (8.3.8)
Та(х)) ^ '
227
Наличие неоднородности обусловливает принципиально новые
свойства плазмы в равновесном состоянии, поэтому исследует его
более подробно. Вычислим плотность электрического заряда ро и
электрического тока j0 в равновесном состоянии. Поскольку в рав-
равновесном состоянии Е0 = 0, имеем
Ро = S *a J/oa dp = 2 еа J Fa dp= 2 еаNa (*) = 0, (8.3.9)
а а а
т. е. приходим к обычному условию квазинейтральности плазмы.
Плотность тока в равновесном состоянии
io = 2Mv/oadp. (8.3.10)
а
Из выражения (8.3.7) для fOa следует, что вклад в ток дает лишь
второе слагаемое, пропорциональное vA_sin(p==v1J. При этом ток
в равновесном состоянии плазмы направлен вдоль оси Оу:
/ох = /о2 = О, (8.3.11)
/о* = М / d \ AA
а а "а дх
= У 6а —(Т N ) = — У —(N Т )- — д-^-
где po = IiN0J'(x— /полное давление ллазмы.
а
Подставляя далее выражение (8.3.11) для j в уравнение поля
80?2rot Bo = jo,
находим следующее условие равновесия плазмы:
с ,s.3.12,
Это хорошо известное магнитогидродинамическое условие равно-
равновесия плазмы, имеющее ясный физический смысл: неоднородная
плазма удерживается в равновесии давлением магнитного поля,
вследствие чего градиенты магнитного и гидродинамического дав-
давлений уравновешивают друг друга. Не будем детально анализи-
анализировать следствия, вытекающие из этого условия, одним из кото-
которых является практически важный вывод о возможности магнит-
магнитного удержания горячей плазмы в различных термоядерных уст-
устройствах. В дальнейшем понадобится только одно следствие ус-
условия равновесия (8.3.12), заключающееся в том, что в плазме
низкого давления с
характерный размер неоднородности магнитного поля LB много
больше характерного масштаба неоднородности кинетического
228
давления Lv (или LN, LT). Действительно, соотношение (8.3.12)
можно переписать в виде
^ + $j-lnPo = O, (8.3.13)
откуда и следует, что Lp/LB ~|3, поскольку d In D 8° ° ---* —, а
— 1про~—* Неравенство |3<С1 реализуется во многих практиче-
QX Р
ских случаях, в частности в большинстве установок для термо-
термоядерной плазмы, в плазме газового разряда и ионосферы, а в
сильных магнитных полях — ив вырожденной /плазме твердого
тела. Поэтому далее ограничимся рассмотрением именно такого
случая, вследствие чего будем пренебрегать неоднородностью
магнитного поля по сравнению с неоднородностью плотности и
температуры частиц.
Перейдем к вычислению неравновесной поправки к функции
распределения б/а, которую представим в виде
в/а = в/а (*) ехр (- i <ot + kyy + \kz z). (8.3.14)
Тогда из (8.3.1) получим
(8.3.15)
Заметим, что характеристика этого неоднородного уравнения
в частных производных совпадает с (8.3.4), т. е., пренебрегая не-
неоднородностью магнитного поля (так как Р<С1), получим
v± sin <p + Qa x = v± sin <p' + Qa x' = Ca. (8.3.16)
Учитывая это соотношение, общее решение уравнения (8.3.15)
запишем в виде '[ср. с E.1.3)]
в/a = ^~~] dq> {Е {х') + [vB (х')]} X
L а ф
. (8.3.17)
Здесь величина хг связана с х и ф уравнением характеристики
(8.3.16).
Представим теперь функцию 6fa(x) и поля Е(хI и Ъ(х) в виде
х
(i$kx(x')dx') и ограничимся нулевым приближением геометриче-
геометрической оптики, т. е. при дифференцировании будем учитывать слагае-
слагаемые, пропорциональные kx(x), в то время как членами, пропорцио-
пропорциональными пространственным производным kx(x), пренебрежем.
Тогда операции дифференцирования по х в (8.3.17) и в уравне-
229
ниях поля сведутся к умножению соответствующих величин на
kx. Исключая из (8.3.17) с помощью уравнения поля db/dt=
=—rotE магнитную индукцию B(jc'), получаем следующее -выра-
-выражение для б/а:
X а/оа^'Ф>) Е( (к, <о)exp [-L ]' dip" (о- kv)»-1 • (8-3-18)
Здесь вектор к имеет все три компоненты: k= (kx, kv, kz).
Учтем далее, что
дСа
(8.3 19)
Подставляя это соотношение в (8.3.18) и производя громоздкие,
но полностью аналогичные сделанным в § 5.1 для однородной
плазмы выкладки, получаем
ЛПК х) =i6fi (k, х) +б/2(к, х), (8.3.20)
где для неоднородной максвелловской плазмы с равновесной
функцией распределения вида (8.3.7), (8.3.8) имеем
б/, (к, х) = - J2- А- ^^- 2 7. f *4i) /n f
В приведенных выражениях для простоты опущен индекс а и вве-
введены следующие обозначения: g — полярный угол вектора к, т. е.
к= (&s = ?±cos g, &y=&xsin ?> ^z); б/@)(к, л:)—функция, по виду
совпадающая с поправкой к равновесной функции распределения в
однородной максвелловской плазме E.1.4), с тем лишь отличием,
что N и Т считаются зависящими от координаты х.
Нетрудно показать, что 6/2 не дает вклада в плотность тока,
индуцированного в плазме. Вклад 6f2 в плотность индуцированно-
индуцированного заряда также обращается в нуль после суммирования по сор-
сортам зарядов вследствие квазинейтральности плазмы. Таким обра-
образом, плотность индуцированных в плазме заряда и тока, а следо-
следовательно, и тензор диэлектрической проницаемости полностью оп-
определяются поправкой 6/i(fe, *)• Тогда из* самого вида 6fi(k, x) с
очевидностью следует искомый тензор диэлектрической проницае-
проницаемости слабонеоднородной невырожденной плазмы:
х "Jr) Т«[ ^(@> к> х) ~ 8ij]' (8>3>22)
230
где e(aJj (со, к, х) — парциальный тензор диэлектрической проница-
проницаемости частиц сорта а, по виду совпадающий с тензором диэлек-
диэлектрической проницаемости однородной плазмы E.1.10), в котором,
однако, Na и Та являются функциями координаты х.
Следует заметить, что тензор E.1.10) записан в системе коор-
координат, в которой вектор к ориентирован таким образом, что к =
= (k±> 0, kz), в то время как в (8.3.22) система координат для к
произвольна: к= (kx, ky, kz). Поэтому тензор E.1.10) следует пе-
перевести в новую систему координат согласно общим правилам
преобразования тензоров при вращении системы координат. Од-
Однако, как правило, в этом нет необходимости. Убедимся в этом в
следующем параграфе, а пока ограничимся лишь указанием на
то, что продольная диэлектрическая проницаемость является ин-
инвариантом относительно преобразования системы координат. По-
Поэтому для вычисления продольной диэлектрической проницаемо-
проницаемости можно пользоваться старым выражением E.1.13), но к ком-
компонентам этого тензора в случае неоднородной плазмы следует
применять оператор
М^5)" (8а23)
В результате получаем
Здесь под k± нужно понимать k± = y
Как видно из выражений (8.3.22) и (8.3.24), в неоднородной
максвелловской плазме с характерным размером неоднородности
Lq появляется новая характерная частота
-^> (8-3-25)
называемая яарморовской дрейфовой частотой (смысл этого на-
названия и физическая природа соДРа будут выяснены позднее). При
высоких частотах со»(оДРа членами, содержащими пространствен-
пространственные производные в выражениях для компонент тензора 8ij(ca, k,
х), можно пренебречь, и тогда они в точности совпадут с соот-
соответствующими выражениями для компонент диэлектрической про-
проницаемости однородной плазмы, но в которых Na и Та зависят от
координаты х. Более того, из вывода выражения (8.3.22) следует,
что в этом пределе справедливы соотношения для компонент тен-
тензора диэлектрической проницаемости с учетом столкновений час-
частиц (см. § 5.5, 5.7), а также для продольной и поперечной диэлек-
231
трических проницаемостей изотропной плазмы в отсутствие внеш-
внешних полей (см. § 4.1, 4.5, 4.6).
Полученную связь между тензорами диэлектрической прони-
проницаемости слабонеоднородной и однородной плазмы (8.3.22) не-
нетрудно обобщить на случай вырожденной плазмы, когда функ-
функция /^(^а» х) имеет вид функции распределения Ферми:
2
При #а < #ра (X),
Fa($a, x) = < BяЬK (8.3.26)
О При *а>*ра(*),
где $Fa(х) = (Зя2J/3 ~2—N2J3(x)— локальная энергия Ферми для
частиц сорта а с неоднородной плотностью Na(x). Условие рав-
равновесия (8.3.12) при этом сохраняет свой вид, если под р0 пони-
понимать газокинетическое давление в вырожденной плазме:
рл = 2 — (Зя2J/3 — N%3. (8.3.27)
Вывод выражения для тензора диэлектрической проницаемо-
су _
сти вырожденной плазмы низкого давления с р=—^--^-<С1 пол-
полностью аналогичен проведенному для невырожденной плазмы,
При этом, однако, нужно учесть, что для функции распределения
Ферми имеет место соотношение
/ ъ д f|D/, \ df
/ 1 ку гТ/ \ ' 005 /О О OQ\
mQafi) ^ » mQaco dx
которое при подстановке в (8.3.18) окончательно приводит к сле-
следующему соотношению '["ср. с (8.3.22)]:
к, *)=:в«,+ 2 (l-|-A^^)[8(a)(co, k, х)_
(8.3.29)
где 8(a)ij(o), к, jc)—парциальный тензор диэлектрической прони-
проницаемости частиц сорта а, по виду совпадающий с тензором ди-
диэлектрической проницаемости однородной вырожденной плазмы
E.1.14), в котором Na считается функцией координаты х.
Наконец, приведем выражение для продольной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости, описывающей потенциальные колебания вы-
вырожденной плазмы:
С ос 'I
1 — 11
232
Так же как в невырожденной плазме, в вырожденной неодно-
неоднородной плазме появляется новая характерная частота, называе-
называемая дрейфовой;
М~' (8-3-31)
Здесь 10 — характерный размер неоднородности плотности час-
частиц.
При частотах (о^>о)ДРа дрейфовыми слагаемыми в (8.3.29) и
(8.3.30) можно пренебречь. Тензор диэлектрической проницаемо-
проницаемости в этом пределе имеет такой же вид, как и для однородной
плазмы, но плотность частиц зависит от х как от параметра.
§ 8.4. Спектры высокочастотных колебаний
слабонеоднородной плазмы
Применим полученные в предыдущих параграфах общие ре-
результаты к исследованию высокочастотных (со>соДРа) спектров
колебаний слабонеоднородной плазмы. Ограничимся рассмотре-
рассмотрением предельных случаев, в которых удается получить для спект-
спектров частот аналитические соотношения.
Начнем с рассмотрения поперечных колебаний изотропной
плазмы. В пределе достаточно редких столкновений частиц, ког-
когда co^>ve, уравнение эйконала для таких колебаний при учете вы-
выражений D.5.12) и D.6.9), определяющих е*г(со, к, х)9 запишется
в виде
[i+i] (841
где ve = ven для слабоионизованной и Ve=v34)ci) для полностью иони-
ионизованной плазмы. Из этого уравнения находим
Для того чтобы найти спектр частот и декремент затухания
рассматриваемых колебаний согласно изложенной методике, из
(8.4.2) следует определить Rekx и Im&x и подставить их в соот-
соотношения (8.2.8). При этом с учетом неравенства |Refex| > |Im&x|
получаем следующие дисперсионные уравнения для спектров по-
поперечных электромагнитных волн в изотропной неоднородной
плазме в приближении геометрической оптики:
с*
. dx
_ 1 J Rek2 со2
о = r~
2 Id"
233
N(X)
Как видно из (8.4.3), часто-
частота поперечных волн в слабоне-
слабонеоднородной плазме всегда
больше локального значения
электронной ленгмюровской
частоты <D2>co2Le(*h а об-
область прозрачности соответст-
соответствует значениям со2и?(#), мень-
меньшим его локального значения
oJLe(fc) в точке поворота Ь:
Рис. 29. Области прозрачности изо-
изотропной плазмы со спадаю-
спадающей к периферии плотно-
плотностью по отношению к попе-
поперечным волнам
(8.4.4)
В большинстве реальных
условий распределение плотно-
плотности заряженных частиц вдоль
направления неоднородности
имеет максимум в некоторой
точке и плавно спадает от это-
этого максимального значения.
Таково радиальное распределе-
распределение плотности заряженных частиц в газовом разряде и установках
для термоядерного синтеза (рис. 29), а также в ионосферной плаз-
плазме. Нетрудно видеть, что для частот со2<(о2]>(с) =со2ьетах имеются
две точки поворота а и Ь, между которыми лежит область непрозрач-
непрозрачности плазмы. Для частот со2>о)\етах плазма полностью прозрач-
прозрачна, т. е. электромагнитные волны инфинитны (колебания не яв
ляются запертыми) и их частота не квантуется. Так же инфини-
инфинитны колебания в областях прозрачности, лежащих левее и правее
точек поворота а и Ь. Заметим, что такие утверждения справед-
справедливы, если плазма не ограничена в пространстве и ее плотность
плавно спадает на бесконечности, т. е. отсутствуют точки 0 и L
(ограничивающие плазму металлические поверхности), где проис-
происходит отражение электромагнитных волн. При наличии таких то-
точек колебания становятся финитными, запертыми между точками
О и а, а также Ь и L. Поэтому в таком случае следует пользова-
пользоваться квантованными спектрами, в которых область интегрирова-
интегрирования простирается от 0 до а и от Ъ до L. Квантованность спектров
проявляется тем сильнее, чем больше длины волны электромаг-
электромагнитных колебаний.
Рассмотрим теперь продольные волны, в частности высокочас-
высокочастотные (о^'&Уте, ve) продольные ленгмюровские колебания. Из
общего уравнения эйконала (8.2.6) с использованием выражений
D.5.12) и D.6.8) в рассматриваемом пределе получаем
о 9 \ —— 2
со2 ю / kB о3 \ 2k% х? )
(8.4.5)
234
Определяя отсюда выражения для Rekx и 1т4ж и подставляя
в (8.4.3), находим дисперсионные уравнения для высокочастот-
высокочастотных продольных волн б неоднородной плазме:
(8.4.6)
В выражении для б под k2 следует понимать величину k2=
= Rek2x-\-k2y + k2z. Интегрирование в этих формулах ведется по
области прозрачности плазмы, т. е. по области, в которой
Re&2xX), а значит @2>!@2Le(z) аналогично тому, как это было
для поперечных колебаний. Точно так же для продольных плаз-
плазменных волн в случае пространственного распределения плотнос-
плотности типа, подобного изображенному на рис. 29, существуют две
точки поворота а и Ь, определяемые из уравнения оJ = 3(&2#+
+Jt2z)v2Te+(u2Le(x), между которыми лежит область непрозрачно-
непрозрачности плазмы. Таким образом, и продольные плазменные волны мо-
могут существовать только в периферийных областях плазмы. Одна-
Однако в отличие от поперечных волн области прозрачности для плаз-
плазменных волн весьма узки, поскольку уже при небольшом отли-
отличии со2 от co2Le наступает сильное бесстолкновительное затухание
этих волн. Это приводит к тому, что область прозрачности плаз-
плазменных волн ограничена, с одной стороны, точкой поворота, а с
другой — областью сильного поглощения, вследствие чего их
спектр не квантуется. Исключение составляют только частные
плазменные конфигурации, в которых плотность изменяется сна-
сначала плавно, а затем резко падает вблизи границ. В этом случае
плазменные волны доходят до границ плазмы, не успев затух-
затухнуть, и испытывают там отражение. Интегрирование в (8.4.6) ве-
ведется по областям, лежащим между границами плазмы и точка-
точками поворота а и ft, в результате чего спектр колебаний оказы-
оказывается квантованным. Такие колебания резонансно возбуждают-
возбуждаются в газоразрядных приборах внешними электрическими полями
и носят название резонансов Тонкса — Даттнера.
Рассмотрим низкочастотные ионно-звуковые колебания в не-
неоднородной изотропной плазме, в которой Ге^>7\-. При зависимо-
зависимости плотности от координат, представленной на рис. 29, ионно-
звуковые колебания оказываются запертыми в плазме. Уравнение
эйконала (8.2.6) для таких волн (в области частот &
?е, см- § 4.5 и 4.6) принимает вид
G)
235
где а=2 для слабоионизованной плазмы (при этом v,i =
и а= (8/5) — для полностью ионизованной плазмы hi = vu).
со2 v '
Из (8.4.7) получаем следующие дисперсионные уравнения для
ионно-звуковых волн неоднородной плазмы:
= пп,
в= —г
(8.4.8)
В выражении для 6 под k2 нужно понимать в соответствии с
условием слабости затухания величину k2 = Re k2x~\-k2y + k2z, где
Rek2x определяется первым соотношением (8.4.8). Из (8.4.8) сле-
следует, что рассматриваемые колебания существуют в области ча-
частот со2<СоJи(-к), а следовательно, при колоколообразном распре-
распределении плотности (рис. 30) они заперты в плазме между точка-
точками а и bt в которых со2и(а) =<о2и(Ь) =со2. Точки а и &, однако,
не являются точками поворота колебаний; в этих точках Re&V->
->-оо и условия применимости геометрической оптики не только не
нарушаются, а, наоборот, улучшаются, поскольку длина волны с
приближением к этим точкам резко уменьшается. Указанные точ-
чи называют точками сгущения. Вблизи этих точек происходит
сильное поглощение ионно-звуковых волк, и поэтому они являют-
являются неквантованными. Квантованными эти волны оказываются в
условиях, когда между точками а и Ь находятся стенки сосу-
сосуда, ограничивающего плазму, от
которых происходит отражение
волн.
Перейдем теперь к анализу
спектров высокочастотных (о)>>
^фдра) колебаний слабонеодно-
родкой магнитоактивной плазмы.
При этом, как отмечалось, в вы-
j ражении для тензора диэ-лектри-
I ческой проницаемости слабонеод-
I j» нородной плазмы можно прене-
coLl(xh
b а х бречь членами с пространственны-
Рис. зо. Область прозрачности изо- ми производными. Тогда уравне-
тропной плазмы со спадаю- ние эйконала будет иметь такой
щей к периферии плотно- же,вид, ка-к.иджшерсионное урав-
стью по отношению^ низко- нение к0лебаний однородной ллаз-
частотным
волнам
^
мы, -с тем лишь отличием, что
236
входящие в него компоненты тензора e*j (со, к, х) зависят от ко-
координаты х вследствие зависимости от х плотности и температу-
температуры плазмы.
Ограничимся рассмотрением холодной магнитоактивной плаз-
плазмы, когда выполнены неравенства E.2.1). Поскольку в этом пре-
пределе опектры колебаний, по существу, не зависят от скорости теп-
теплового движения частиц, полученные ниже результаты справедли-
справедливы как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы.
Уравнение эйконала (8.2.5) в рассматриваемом случае удоб-
удобно записать в виде
где k2±=k2x + k2y, а компоненты тензора 8ij(co, &, x) определяют-
определяются выражениями E.2.3), E.3.7), E.5.6) и E.6.7). Важно, что эти
компоненты не зависят от проекции волнового вектора k± . По-
Поэтому уравнение (8.4.9) определяет два значения k2xi,2(co, x), что
соответствует обыкновенной и необыкновенной волнам в холодной
магнитоактивной плазме. Пренебрегая малой диссипацией, об-
обусловленной антиэрмитавской частью тензора 8г/(со, к, #), и оп-
определяя Re&2x(co, л:) из (8.4.9), с помощью правил квантова-
квантования (8.2.8) получаем следующие дисперсионные уравнения
для нахождения спектров частот колебаний холодной магнитоак-
магнитоактивной слабонеоднородной плазмы:
-q)xl2 =яп. (8.4.10)
Здесь введены обозначения:
¦
28± ' ' (8.4.11)
Уравнение (8.4.10) определяет все пять ветвей колебаний хо-
холодной магнитоактивной плазмы, проанализированных в § 5.2—
5.7. Ограничимся здесь только анализом спектров альвеновских,
быстрых магнитозвуковых и спиральных волн.
Для анализа альвеновских и быстрых магнитозвуковых волн
рассмотрим область низких частот со<С?2г. Легко показать, что
дисперсионные уравнения (8.4.10) в этом пределе сводятся к
виду
f' ?( ЛГ/2 (8.4.12)
{а? Г k2v2 111/2
_&2___i? l z_A (8.4.13)
9 * L со*A+4И JJ
237
В случае однородной плазмы первая из этих ветвей колебаний
соответствует быстрой магнитозвуковой волне, а вторая — аль-
веновской волне, спектры частот которых определяются выраже-
выражениями E.2.16). Как следует из соотношений (8.4.12) и (8.4.13),
точки поворота для быстрой магнитозвуковой волны находятся
из условия со2= (k2z+k2y)v2A(x)i причем область прозрачности
определяется неравенством со2> (k2y\-k2z)v2^ При колоколообраз-
ном распределении плотности плазмы в пространстве (см. рис.
29) это означает, что быстрые магнитозвуковые волны являются
запертыми между точками поворота внутри плазмы, а следова-
следовательно, их спектры квантуются. Альвеновские же волны в неодно-
неоднородной плазме могут существовать в области (u2<.k2zv2A(x), т. е.
для них имеются две области прозрачности, лежащие на перифе-
периферии плазмы при значениях х> соответственно меньших или боль-
больших координат точек поворота, определяемых равенством
(о2и(х) =k2zv2A. Для плазмы со свободной поверхностью эти об-
области инфинитны, колебания не являются запертыми, а следова-
следовательно, их спектры не квантуются. В действительности в лабора-
лабораторных условиях всегда есть наружные стенки, ограничивающие
плазму и замыкающие внешние области прозрачности по отноше-
отношению к альвеновской волне. Кроме того, при удалении от центра
плазменного слоя в результате увеличения альвеновской скорости
va(x) может нарушиться условие aJ<k2zv2A(x) и соотношение
(8.4.13) потеряет смысл.
Наконец, рассмотрим спиральные волны — геликоны — в сла-
слабонеоднородной холодной плазме. Из приведенных в § 5.2—5.7
рассуждений следует, что эти волны могут существовать лишь в
достаточно плотной плазме в области промежуточных частот
Йг<СС0<Сйе- В ЭТОЙ ОблаСТИ ЧаСТОТ ПрИ УСЛОВИИ <u2Le>G)Qe ИЗ
уравнений эйконала (8.4.9) нетрудно найти Re^(co, x) и записать
дисперсионное уравнение для определения спектра частот спи-
спиральной волны:
/ @? 0J \1/2
x= Jdxj -k*-k* + —^— = яя. (8.4.14)
Это соотношение вытекает непосредственно из (8.4.10) с учетом
явного вида компонент тензора диэлектрической проницаемости.
Из (8.4.14) видно, что в неоднородной плазме спиральная волна
может распространяться лишь в области, где ®2ъе{х) >[cAk2z(k2y-{-
+k2z)Q2e оJ]1/2. В случае кол околообразного распределения плот-
плотности плазмы в пространстве, как это имеет место в рассмотрен-
рассмотренных ранее примерах ионосферной и лабораторной плазмы, отсю-
отсюда следует, что область прозрачности для такой волны лежит
внутри плазмы между точками поворота а и Ь, в которых
«L (*) = <*1 Ф) = Iе' k4kl + kl) Ч1<*2]1/2 •
Следовательно, спиральные волны заперты в плазме и их
спектры квантуются.
238
Выше при анализе спектров альвеновских, магнитозвуковых и
спиральных волн мы полностью пренебрегли их диссипацией в
плазме. Учет диссипативных членов в уравнении эйконала (8.4.9)
приводит к появлению мнимной части Im^(co, x)y а вместе с ней
и к декременту затухания этих волн б. Ввиду громоздкости явных
выражений для б мы здесь не будем приводить, тем более что
здесь не возникают качественно новые эффекты по сравнению с
изученными в гл. 5 для случая пространственно однородной
плазмы.
§ 8.5. Дрейфовые колебания
слабонеоднородной бесстолкновительнои плазмы
В предыдущем параграфе было показано, что в области вы-
высоких частот колебаний, удовлетворяющих условию со^>содра, где
о)ДРа определяется формулой (8.3.25), пространственная неодно-
неоднородность плазмы не приводит к появлению новых спектров коле-
колебаний. В этом параграфе перейдем к рассмотрению области низ-
низких частот
Существование в неоднородной плазме в этой области частот но-
новой характерной частоты — ларморовской дрейфовой частоты
<°дра — наводит на мысль, что здесь возможно появление новых
ветвей колебаний, в частности, на частотах, близких к соДРа.
Выясним более детально физический смысл дрейфовой часто-
частоты, для чего снова обратимся к равновесному состоянию неодно-
неоднородной плазмы в магнитном поле. Как следует из формул
(8.3.11), ток в равновесном состоянии плазмы отличен от нуля и
направлен перпендикулярно как к направлению магнитного по-
поля Bo||0z, так и к направлению неоднородности (плазмы (ось 0х)>
причем в общем виде для плотности тока можно записать
/ _ v / - [Во V р0] i
"-2 /-- ^— ¦ (8.5.2)
Этому току можно сопоставить эффективную скорость дрейфа
частиц сорта а, параллельную ось Оу:
удра
Ядра
е<х ^а,
eaBtL
1 tBo
eaNa
¦VPftt
1
Это хорошо известный ларморовский дрейф частиц. Видно, что за-
заряженные частицы разного знака дрейфуют в неоднородной плаз-
239
N(x+Ax)
Т(х+Дх)
j(x+Ax)
ме в противоположных направ-
направлениях. Отметим, однако, что
этот дрейф не связан с реаль-
реальным движением центров лар-
моровских орбит заряженных
частиц (центров окружностей,
по которым происходит вра-
вращение заряженных частиц в
магнитном поле). Природу та-
такого дрейфа легко уяснить из
рис. 31, на котором изображе-
изображены две ларморовские круговые
орбиты и соответственно два
элементарных тока в неодно-
неоднородной плазме. Из рисунка
видно, что в плазме должен су-
существовать результирующий
ток, перпендикулярный как
направлению магнитного поля
(ось Oz, перпендикулярная
плоскости чертежа), так и направлению неоднородности плазмы
(ось Ох), причем его плотность
Ьа ~ [еа Na (x + А х) vTa (x + A x)—ea Na (x) vTa (х)] ~ ес А ~
о
У
Рис. 31. Ларморовскии дрейф частиц
в неоднородной замагничен-
ной плазме
дх
(8.5.4)
что совпадает с выражением для плотности тока вида (8.5.2).
Здесь рЛа =vT(X/?20c —ларморовскии радиус частиц сорта а. Про-
Проведенное рассмотрение показывает, что существование тока в рав-
равновесном состоянии не связано с реальным движением зарядов,
а обусловлено диамагнитным эффектом в плазме. При этом
jya правильнее всего интерпретировать как разностный диамаг-
диамагнитный ток в неоднородной плазме. Несмотря на сказанное, нали-
наличие ларморовокого дрейфа, как увидим далее, приводит к раз-
развитию в плазме специфических неустойчивостей, подобно тому
как это происходит при развитии пучковой неустойчивости. Одна-
Однако неустойчивости, связанные с дрейфовыми движениями в плаз-
плазме и получившие в связи с этим название дрейфовых, обладают
качественно новыми свойствами, в частности могут развиваться
даже в плазме с максвелловской равновесной функцией распре-
распределения частиц по скорости, но с неоднородной плотностью и
температурой.
Из выражений (8.5.1) — (8.5.4) ясен и физический смысл ве-
величины (Одр a, которую можно рассматривать как доплеровский
сдвиг частоты вследствие ларморовского дрейфа частиц. В тер-
термоядерной плазме (Af~ 102(Ч-1021 м~3, Г—108 К, L0~0,l м, Во~
240
~10 Тл)УдР~103 м/с, а (оДр~104 с при ky~l/Lo. В лаборатор-
лабораторной плазме газового разряда (Af~ 1016-f-1018 м~3, Г~104-М05 К,
Lo—10-2 м и Я0~0,1---1 Тл) адр~103Ч-104 м/с, а соДР~105-^
Ч-106 с. В ионосферной плазме (iV~1013 м~3, Г~104 К, Lo~
— 10-т-ЗО км и Во—Ю-4 Тл) vAP<^l м/с, а соДР ? 104 с. Наконец,
в вырожденной плазме твердого тела с энергией Ферми <?fF—'
— 0,1 -^-1 эВ (что типично для полупроводников и металлов) в
магнитных полях Во—'1 Тл и при размерах неоднородности
Lo~ Ю-2 м значения удр~ 102-М03 м/с, а <оДР~ 104-М05 ст1. Из
этих оценок следует, что дрейфовые частоты намного меньше
ларморовских частот электронов и ионов, что существенно упро-
упрощает исследование дрейфовых колебаний неоднородной замагни-
ченной плазмы.
Сделаем некоторые упрощающие предположения. Во-первых,
ограничимся рассмотрением плазмы низкого давления р<1.
Тогда с высокой степенью точности низкочастотные дрейфовые
колебания можно считать потенциальными. В этом, в частности,
убеждает анализ спектров колебаний однородной магнитоактив-
ной плазмы (см. гл. 5), не говоря уже о том, что при C<С1 коле-
колебания плазмы не могут значительно воздействовать на сильное
внешнее магнитное поле, возмущением которого можно прене-
пренебречь. Для потенциальных колебаний плазмы уравнение эйкона-
эйконала записывается в ©иде (8.2.6), т. е.
е((о, к, х)=0, (8.5.5)
где продольная диэлектрическая проницаемость 8 (со, к, х) дается
формулой (8.3.24) для невырожденной плазмы и (8.3.29) — для
вырожденной. Во-вторых, поскольку прежде всего требуется по-
получение качественно новых результатов, касающихся спектров и
устойчивости неоднородной плазмы, ограничимся анализом ло-
локальных спектров, определяемых непосредственно из уравнения
(8.5.5). При этом будем иметь в виду, что точные количественные
результаты могут быть легко получены с помощью правил кван-
квантования. Использование уравнения эйконала в качестве локаль-
локального дисперсионного уравнения оправданно в приближении гео-
геометрической оптики для очень коротких волн (по сравнению
с размером неоднородности плазмы) и соответствует прибли-
приближенному анализу точных интегральных соотношений с помощью
теоремы о среднем значении.
Таким образом, локальное дисперсионное уравнение для дрей-
дрейфовых колебаний неоднородной невырожденной плазмы запишем
в виде
8 (СО, к, X) = _ . ^ ^
а № via \ г ^ ~ П J<* L ^ а Х
* \1 / Ь2 г,2 \ /m-«Q M
= 0. (8.5.6)
241
В гл. 5 было показано, что анализ дисперсионного уравнения
для продольных колебаний однородной магнитоактивной плазмы
достаточно сложен. Естественно поэтому, что привести полный
анализ уравнения (8.5.6) не представляется возможным. В связи
с этим сделаем еще одно упрощающее предположение, а именно,
будем считать, что частота дрейфовых колебаний удовлетворяет
неравенству ю<Й*. Предположим также, что kzvTa<CQa> T- е.
продольная длина волны много больше ларморовского радиуса
частиц. При этих условиях в выражении (8.5.6) существенной ока-
оказывается только нулевая гармоника (я = 0); вкладом высших гар-
гармоник можно пренебречь, а уравнение эйконала для потенциаль-
потенциальных колебаний записать в виде
1-Ц Ао (ИЛ.) ,+ (_?^\) =0. (8.5.7)
дх дт)\ \ <? I ^JJ
Приступая к анализу уравнения (8.5.7), укажем, что при ус-
условии со«С^тг, как легко видеть, колебания в плазме отсутствуют;
существует обычное экранирование потенциального поля в плаз-
плазме, что имеет наглядный физический смысл. В бесстолкновитель-
ной замагниченной плазме величина l/(kzvTi) ~X ц /vTi характе-
характеризует время, за которое на длине волны возмущений вследст-
вследствие свободного пролета частиц происходит выравнивание плот-
плотности и температуры не только электронов, но и ионов. Поэтому
условие co<^kzvTi означает, что время выравнивания плотности и
температуры плазмы в возмущениях мало по сравнению с перио-
периодом колебаний. Очевидно, что в этих условиях продольные волны
не могут существовать. Имеется дебаевское экранирование про-
продольного поля в плазме. Изложенные соображения позволяют
ограничиться анализом случаев <u*>kzvT,u при этом, в частности,
можно пренебречь ионным затуханием Ландау как экспоненци-
экспоненциально малым эффектом.
Ограничимся, кроме того, рассмотрением лишь длинноволно-
длинноволновых дрейфовых колебаний, удовлетворяющих условию Хх ^Рл*
Ck±~k-1 ±), так как наиболее опасными с точки зрения созда-
создания устойчивого плазменного состояния являются именно длинно-
длинноволновые колебания, поскольку возмущения плотности в них мо-
могут охватывать весьма большие области плазмы в радиальном
направлении. Коротковолновые колебания менее опасны, так как
они приводят к сравнительно мелкомасштабным возмущениям
плазмы.
При анализе дрейфовых колебаний важным параметром явля-
является, кроме того, отношение их фазовой скорости к тепловой ско-
скорости частиц. При этом различают быстрые (со/?2»ите) и медлен-
медленные (?M<C'G)/&z<^T6>) дрейфовые колебания. Анализ начнем с бы-
242
стрых длинноволновых колебаний, Х±^рд.и фазовые скорости
которых значительно больше тепловых скоростей частиц. При
этом уравнение эйконала (8.5.7) принимает вид
3 (\ y™ dlnNTe) ,,
)
CO2 k2 \ Ше дх
) = 0. (8.5.8)
В области очень низких частиц со<соДРа при условии с2>
7>v2A{(d2u^Q2i), отсюда получаем
?2 j^_ h v*t dlnNTj _k2 <»1е kvvle д In NTe = Q (§59)
1 v\ Qt дх z ©2 Qe дх
A
Воспользовавшись этим соотношением как локальным дисперси-
дисперсионным уравнением, находим следующий локальный опектр *:
, Ч2 2 ^е М О2 d\nNTe /or 1ПЧ
(О — — — Ъ&. , (о.О'Ш)
ь2 Ti tn l д In Л^Т1;
1
В формулах (8.5.9) и (8.5.10) под k2± , как обычно, нужно по-
понимать k2 =k2 + Rek2ttk2+ n % » гДе ^i — размер установ-
установки в направлении оси Ох, порядка характерного размера неод-
неоднородности плазмы Lq.
Таким образом, получена качественно новая ветвь колебаний,
отсутствующая в пространственно однородной плазме. Более то-
того, эта ветвь всегда апериодически неустойчива, если выполнено
неравенство
(8.5.11)
Это условие выполняется почти во всех реальных плазмах.
Действительно, обычно давление электронов и ионов падает от
центра к краям плазмы, причем температура частиц Т падает
медленнее плотности N. В силу этого о найденной неустойчивости
говорят как об универсальной. Однако условие со2<СЙ2г приводит
к тому, что для возбуждения этой неустойчивости должно выпол-
выполняться неравенство
т 9
# ** ... m *\ 1 _ m тлп . _
(8.5.12)
*» Lf M Te д)пмте м '
т. е. она может развиваться только в достаточно длинных уста-
* Здесь и далее введена сокращенная запись, которую следует понимать
a In Л д In А/дх В дЛ/дх
КаК dlnB ~~д\пВ/дх ~~ А дВ/дх'
243
новках, в которых продольный размер плазмы больше попереч-
поперечного, по крайней мере, в У М/т ^ 40 раз.
Рассмотренная неустойчивость является чисто гидродинами-
гидродинамической, не связанной с черенковской диссипацией энергии. Такого
рода неустойчивости неоднородной плазмы часто называют просто
дрейфовыми, подчеркивая тем самым, что они обусловлены толь-
только ларморовским дрейфом частиц в плазме.
Значительно менее жесткими оказываются требования к про-
продольным размерам плазмы для проявления длинноволновых
дрейфовых колебаний в области фазовых скоростей гм^со/^г^
<k.vTe. Уравнение эйконала (8.5.7) в этой области частот принима-
принимает вид
G)Q$ dx
A in JL\ =0.(8.5.13)
Если плазма изотермическая (Те~1\), то a)^>kzvs и из урав-
уравнения (8.5.13) легко получить локальный спектр, пренебрегая в
квадратных скобках последним членом (со- й)
kvvs dlnN
щ= -
Qf dx
Г— со2 / &2 2 N
e = l/JL ! U2r2 + _i_l___l djnjk.). (8.5.14)
\ t /
Отсюда видно, что в неоднородной плазме возможно сущест-
существование длинноволновых медленных колебаний, которые являют-
являются кинетически неустойчивыми, если
t'L+^4) ¦ (8.5.15)
Такие колебания неоднородной плазмы называют дрейфово-дис-
сипативными. Этим подчеркивается, что за раскачку колебаний
ответствен черенковский механизм диссипации на электронах,
который в области дрейфовых частот может изменить знак и при-
привести к раскачке колебаний. Заметим также, что полученные ко-
колебания имеют частоту (oi^>kzvs, т. е. большую звуковой. Напом-
Напомним, что в однородной изотермической плазме (Te~Ti) в этой об-
области частот колебания невозможны.
В неизотермической плазме (Те^1\) становится существенным
последний член в квадратных скобках уравнения эйконала (8.5.13),
пропорциональный k2zv2s/aJ. Именно он обусловливает дрейфовые
колебания в области (d2<^ik2zv2s, т. е. при частотах, меньших час-
частоты ионно-звуковых колебаний. В этих условиях из уравнения
244
(8.5.13) нетрудно получить следующий локальный спектр
(со—>-G) i)
дх
1 L ?}Hjl) . (8.5.16)
V 2 д In N / K '
d\nN
Этот спектр можно рассматривать как продолжение звукового в
б & И (8516)
р рр р у
область низких частот о<С&Л. Из (8.5.16) ясно, что черенков-
ская диссипация на электронах может привести к раскачке
рассматриваемых колебаний при условии
>2. (8.5.17)
d\nN
При этом неустойчивость является кинетической и естественно от-
отнести ее к дрейфово-диссипативной.
Наконец, в области самых низких частот при условии со<С
«СсоДра из уравнения эйконала (8.5.13) следуют еще два гидро-
гидродинамически неустойчивых спектра колебаний:
д^ (8.5.18)
д ln
которые могут существовать при —-—L ^>1, поэтому такие не-
^ In Л^
устойчивости называют дреифово-температурными.
Рассмотренные длинноволновые дрейфовые колебания в обла-
области промежуточных фазовых скоростей vTi<^<(a\/kz<^vTe, как отме-
отмечалось, могут возбуждаться в относительно коротких плазменных
установках. Из условия (о~соДра ^>kzvTi следует, что для их про-
проявления достаточно, чтобы Ьц/Ь± >L JpAi>\. С другой сторо-
стороны, пренебрежение столкновениями частиц (va<^kzvTu) означает,
что продольные размеры системы должны быть меньше длин сво-
свободного пробега частиц, т. е. L\\<^vTa/va =/а . Таким образом,
условия применимости бесстолкновительного описания длинновол-
длинноволновых дрейфовых колебаний можно записать в виде
1<-^<^L<-^-^ -^. (8.5.20)
В заключение заметим, что для справедливости полученных в
этом параграфе формул, строго говоря, необходимо, чтобы либо
частоты и инкременты нарастания дрейфовых колебаний намного
превышали частоты столкновений частиц в плазме |o)|^>va, ли-
либо длины свободного пробега частиц были больше продольной
245
длины волны дрейфовых колебаний va<.kevTa. Эти требования
обусловлены использованием для анализа дрейфовых неустойчи-
востей плазмы кинетического уравнения Власова, полностью пре-
пренебрегающего столкновениями частиц. Поскольку, как указыва-
указывалось, дрейфовые частоты в реальных установках порядка 104—
106 с*, это ограничение может выполняться лишь в высокотемпе-
высокотемпературной невырожденной плазме при относительно малых плотно-
плотностях заряженных частиц. В вырожденной плазме твердых тел оно
явно не выполняется, поэтому такую плазму здесь обсуждать не
будем. Однако, как будет показано в следующем параграфе, дрей-
дрейфовые неустойчивости могут развиваться и в плотной плазме с
большим числом столкновений частиц. Более того, столкновения
частиц, особенно электронов, так же как и черенковская диссипа-
диссипация на электронах, в неоднородной плазме могут стать причиной
развития дрейфовых неустойчивостей.
§ 8.6. Влияние столкновений заряженных частиц на спектры
дрейфовых колебаний слабонеоднородной плазмы
Переходя к исследованию влияния столкновений частиц на
спектры дрейфовых колебаний слабонеоднородной плазмы, преж-
прежде всего получим выражение для ее диэлектрической проницае-
проницаемости с учетом столкновений частиц. Как и в § 8.3, предположим,
что кинетическое давление плазмы мало по сравнению с магнит-
магнитным, т. е. Р<С1, что позволяет пренебречь неоднородностью внеш-
внешнего магнитного поля Во и ограничиться выводом выражения
лишь для продольной диэлектрической проницаемости е((о, к, х)9
описывающей спектры продольных (потенциальных) колебаний.
I. Слабоионизованная плазма. Выведем сначала выражение
для е(со,к, х) в случае слабоионизованной невырожденной плаз-
плазмы, когда преобладают столкновения заряженных частиц с ней-
нейтральными. Будем исходить из кинетического уравнения с мо-
модельным интегралом БГК в изотермическом приближении (см.
§ 3.5). При этом, поскольку речь идет о дрейфовых колебаниях,
предположим, что Qa>va. Только в этом пределе можно гово-
говорить о ларморовском вращении, а следовательно, о ларморовс-
ком дрейфе частиц.
Равновесную функцию распределения /Оа определим так же,
как и в бесстолкновительном приближении. Пренебрегая интег-
интегралом столкновений, выражение для /Оа можно записать в виде
(см. § 8.3)
N(C) / т* \ (86П
(8.6.1)
где Са= -7Г— + Х— характеристика кинетического уравнения рав-
а
новесной функции распределения.
246
Для определения отклонения функции распределения от рав-
равновесной
б/а = б/а (х) exp(—i(ot + ikyy + ikzz) (8.6.2)
в нулевом приближении геометрической оптики получаем линеа-
линеаризованное кинетическое уравнение
dbf e df
— i(<o-kv)8/a—Й«—- =—i -^ ^
дер та
-VanF/a —4a/oa). (8.6.3)
Здесь Ца= -jt $ 8fadp, (8.6.4)
OS
введен потенциал Ф(Е = —ikcD) и использована цилиндрическая
система координат в пространстве скоростей.
Учитывая далее, что [ см. (8.3.19)]
'оа _
(a6-5)
из уравнения (8.6.3) находим
;п 11а/оа ехр М- j d фг/ (со — I
J L Уа Ф
Дальнейшее вычисление этого интеграла аналогично случаю од-
однородной плазмы (см. § 5.2). После получения б/в легко най-
найти Ра:
dp, (8.6.7)
а также определить продольную диэлектрическую проницаемость
согласно соотношениям
е(со, k,x)=l-Z^-. (8.6.8)
Проводя соответствующие выкладки, в нулевом приближении
геометрической оптики окончательно получаем
8 (со, к, X) = 1 + 2j - 1 2 г~: X
X
1**1 V* /,
247
II. Полностью ионизованная плазма. В случае полностью ио-
ионизованной плазмы, как было показано § 5.6, нельзя получить
общего выражения для тензора диэлектрической проницаемости
типа (8.6.9). Это связано с тем, что интеграл столкновений заря-
заряженных частиц в полностью ионизованной плазме является слож-
сложным интегральным выражением, поэтому е(о>, к, х) удается вы-
вычислить лишь для различных предельных случаев.
Очевидно, что равновесная функция распределения в неодно-
неоднородной плазме в условиях, когда ларморовская частота частиц
много больше их характерных частот столкновений, может быть
записана в виде (8.6.1). Представляя неравновесную добавку к
равновесной функции распределения в виде (8.6.2), можно, по-
подобно E.6.2), записать кинетическое уравнение для б/а следую-
следующим образом:
дх ^ф
- (fUU0>
Здесь (_9L) —линеаризованный интеграл столкновений заря-
\ dt jst
жеыных частиц а с частицами сорта C:
dt )st 8яе2 а р др.
X (fyJb + 6hd^.-U^-bfA\ (8-6.11)
\ dpj dpj dpf dpf J
где u = va —vp, a L — кулоновский логарифм.
Дальнейший анализ уравнения (8.6.10) будем вести отдельно
для электронной функции распределения 6fe (соответственно бе*)
и ионной функции распределения б/?- (соответственно 6еО-
Рассмотрим сначала электронный вклад в диэлектрическую
проницаемость бее(со, к, х). Интегральное уравнение (8.6.10) для
электронов с учетом соотношения (8.6.5) легко решать в прибли-
приближении геометрической оптики, причем из условий (о<Йе, kvTe^^6,
(именно в таких условиях возможны дрейфовые колебания) вы-
вытекает возможность интегрирования кинетического уравнения по
ф. Действительно, как отмечалось в предыдущем параграфе, при
этом б/е основной вклад дает нулевая гармоника, вследствие чего
248
возмущение 6fe можно считать не зависящим от ф. Тогда из
(8.6.10) получаем
(8.6.12)
где
dlnNe . dlnTef 3
¦ + '
дх дх \ 2 Оу2
Кроме того, если учесть малость тепловой скорости ионов по
сравнению со скоростью электронов, то в выражении для интег-
« ( dfe \ei
рала электрон-ионных столкновении -^ слагаемыми, содер-
V dt )st
жащими возмущение ионной функции распределения bfu можно
пренебречь. Тогда
д У2 dfj — viVj д 6 fe /о п i o\
. F.D.lC>)
dpi vz dpj
\j
Интеграл же (—) следует брать в виде (8.6.11).
V dt 1st
При решении уравнения (8.6.12) ограничимся случаем частых
столкновений электронов, когда ve>>0), kzvTe. При этом столкнови-
тельный член в уравнении (8,6.12) становится главным и уравне-
уравнение можно решить с помощью метода Чем\пена — Эиокога. Для
упрощения кинетического уравнения введем функцию Fe:
Sf = _-А!и_1_аеф/ Oe + Fe. (8.6.14)
Подставляя (8.6.14) в (8.6.12), получаем
kzvz®Ue[i\ +
Те z 2 'ов| Ше [ дх дх
dt Jst \ dt 1st
Теперь разложим Fe по полиномам Сонина — Лягерра и, ог-
ограничиваясь двумя первыми членами разложения:
(8.6.16)
получим из (8.6.15) систему алгебраических уравнений для оп-
определения коэффициентов разложения а0 и п\\
hvle d\nNT
(8.6.17)
« и гъ 5 ЬуКед\пТе . ( 3 , 13 + 41/2
Дальнейшее вычисление 6ее (со, к, х) заключается в следующем.
Сначала с помощью найденного выражения Fe определяем обус-
обусловленный Fe ток б/z. Заряд, связанный с Fe, можно найти с по-
помощью уравнения непрерывности 6ре= — S/V Далее обычным
(О
способом получаем выражение для 6е<?((о, К х):
б8е(@, k, „.^_[^i?M.+i 1,96-^1 х
ПрИ Vэфф@>^2z^2тe И
68e(«, к, jc)«=—Ц— [l + i 1,44-2^-х
2 т
ПрИ фф
Перейдем теперь к рассмотрению ионного вклада в диэлек-
тричеокую проницаемость. Уравнение для определения б/г- имеет
вид, аналогичный (8.6.10). Однако интегралом столкновений
ионов с электронами ( — V в уравнении для ионной функции
V dt jst
распределения, как правило, можно пренебречь, поскольку
Vle~v« УЦц (т: Г и при условии ^">(^I/3 (что в ре"
альной плазме всегда соблюдается) его вклад в диссипативные
процессы пренебрежимо мал. Это существенно упрощает опреде-
определение б/г.
Введем функцию F\\
Тогда в нулевом приближении геометрической оптики получаем
следующее уравнение для определения /V
д In Nt . д In Tt f 3 . v2
В дальнейшем при решении этого уравнения ограничимся длин-
длинноволновым пределом &л.Рлг~Рлг/А ±<С1 и будем считать, что
Qi*>®^>Viy kzvTu При этом интеграл столкновений в (8.6.21) хо-
хотя и является малым членом, однако его учет необходим. P
250
ние легко найти методом последовательных приближений, причем
параметром разложения является отношение Vt/co. В результате
довольно громоздких вычислений получаем
Ъ (п к r\
fie,(co, k, x)-
. . • (8.6.22)
2 G)aQ? 4 Qi / wQi dx
Формулы (8.6.18), (8.6.19) и (8.6.22) позволяют исследовать
дрейфовые колебания в полностью ионизованной столкновитель-
ной плазме в условиях ve>ico, kzvTe и <o^>vu kzvn. На примере та-
таких колебаний покажем, что столкновения частиц не только не
стабилизируют дрейфовые неустойчивости неоднородной плаз;мы,
а, наоборот, могут стать причиной их развития. Этот случай на-
наиболее близок к чисто гидродинамическому и должен особенно
ярко выявлять роль столкновений. При сделанных допущениях вы-
выражения для е('ю, к, х) как в слабоионизованной, так и в пол-
полностью ионизованной плазме упрощаются, и если, кроме того,
принять <ove>'?2za2Te, то уравнение эйконала запишется в виде
. \ coQe a^ У V ;
k2 cove \ coQe
Здесь Ve=Ven, a='P=l для слабоионизованной плазмы и ve=
=v3<h>, а=1,96, р=1,71 для полностью ионизованной плаамы.
При написании этого уравнения для простоты учтена лишь дис-
диссипация, обусловленная столкновениями электронов; столкнове-
столкновениями же ионов пренебрежено. Для колебаний с длиной волны,
большей дебаевского радиуса частиц, уравнение (8.6.23) прини-
принимает наиболее простой вид:
1 _ kyV« dlnNTj +ij?JL(l_ kvvle * In ОТ* N = a (8.6.24)
®Qi дх ю V coQe dx I
Здесь введено обозначение
oK = a-^- — ^-. (8.6.25)
k2 m ve
Уравнение (8.6.24) является квадратным относительно о, и не
представляет особого труда проанализировать общее его реше-
решение. Однако ограничимся здесь записью решения в предельных
251
случаях, в которых колебания неустойчивы. Так, в пределе _Л4,С _
<o)s из уравнения (8.6.24) находим локальный спектр (<o-HD+i6):
a* cos 1
В пределе же (оДр,^><Ов имеем
(8.6.27)
Из этих формул видно, что рассматриваемые колебания, по
существу, всегда неустойчивы, поскольку реально всегда
0, (8.6.28)
а поэтому Imw>0. Интересно отметить, что эти неустойчивости
существуют в области частот o)<Cve и, более того, с ростом часто-
частоты столкновений электронов инкременты их нарастания увеличи-
увеличиваются. За раскачку колебаний при этом, как можно видеть из
уравнений (8.6.23) и (8.6.24), ответственно столкновительное по-
поглощение волн электронами плазмы, которое в неоднородной
плазме меняет знак.
Найденные спектры (8.6.26) и (8.6.27) характеризуют новые
ветви дрейфово-диссипативных колебаний, которые не существо-
существовали в бесстолкновительной плазме. Эти колебания в отличие от
рассмотренных ранее дрейфово^диссипативных неустойчивостей
иногда называют гидродинамическими дрейфово-диссипативными
неустойчивостями, подчеркивая тем самым, что их раскачка свя-
связана со столкновительной диссипацией.
К гидродинамическим дрейфово-диссипативным колебаниям
относят также колебания в области частот Vi<C(o<CvP, но при
условии cove<C&2z^2Te. Естественно при этом считать, что |а>+
+ivoc\'>kzvTa. Уравнение эйконала для таких колебаний записы-
записывается в виде
1 j_ ^ Г1 4- ky1°* dlnN - ^°* ( 1 — ky V^ d]nNTi ) ) +
+ [J^ J^(l_^±]nJL)=L (8.6.29)
Здесь ve=Ven, ai=l, pi = 0 — для слабоионизованной плазмы и
Ve=v3(H>, ai=l,44 Ci = 0,56 — для полностью ионизованной плаз-
плазмы. Так же как и ранее, при выводе этого уравнения для про-
простоты полностью пренебрежено столкновениями ионов и учтено
неравенство co^v*-.
Уравнение (8.6.29) подобно уравнению (8.5.13) и отличается от
него лишь малым диссипативным членом. В уравнении (8.5.13) дис-
252
сипативный член связан с бесстолкновительным черенковским пог-
поглощением волн электронами плазмы, в то время как в уравнении
(8.6.29) он обусловлен электронной диффузией и теплопроводностью,
т. е. столкновениями электронов. Естественно, что локальные
спектры частот колебаний, определяемые из уравнения (8.6.29),
совпадают со спектрами частот бесстолкновительной плазмы [в
условиях справедливости уравнения (8.5.13)], т. е. частоты coi, <^>2,
определяемые соответственно формулами (8.5.14), (8.5.16), оста-
остаются неизменными и в случае плазмы с частыми столкновениями.
Меняются лишь выражения для инкрементов нарастания, кото-
которые вместо (8.5.14) и (8.5.16) имеют вид
Отсюда видно, что колебания на первой дрейфовой ветви не-
неустойчивы, если
(8.6.32)
на второй же ветви колебаний, которая возможна лишь в неизо-
неизотермической плазме с Те^>Ти неустойчивость возникает при ус-
условии
дХпТе% >1. (8.6.33)
На обеих ветвях дрейфовых колебаний раскачка обусловлена
столкновениями электронов.
В заключение обсудим вопрос о роли столкновений ионов при
развитии дрейфовых неустойчивостей. Прежде всего заметим, что
во всем предыдущем рассмотрении считалось, что co^>v^, и по-
поэтому столкновениями ионов полностью пренебрегалось. Их учет
не представляет труда. При ca^v* учет столкновений ионов при-
приводит к малым поправкам, причем их роль в развитии дрейфовых
неустойчивостей оказывается как стабилизирующей, так и деста-
дестабилизирующей. Более интересным является выяснение вопроса
о существовании дрейфовых колебаний в области частот (o^Cv*.
Проанализируем его на примере слабоионизованной плазмы. Для
невырожденной плазмы, считая, кроме того, Vi^Qu из выраже-
выражения (8.6.9) получаем следующее уравнение эйконала:
= 0. (8.6.34)
253
Как и ранее, проанализируем это уравнение в области длинных
волн k±v%a<g,Qa и низких частот o)<CVi. Можно показать, что в
пределе частых столкновений, когда длины свободного пробега
частиц меньше продольных длин волн, va*>kzvTOC, уравнение
(8.6.34) имеет решения лишь в условиях, когда диффузия ионов
сла'бая, Gm>&2zfc>2Ti; диффузия электронов три этом может быть
как слабой, так и сильной. Если плазма достаточно плотная и
ej то из (8.6.34) получаем
| ^ifi Мт* d\nNTt\ . Qleb2z f{ kyv\e d\nNTe\_0
2 \ п дх ) l cov^2 \ coQe dx 1
(8.6.35)
Это уравнение в точности совпадает с (8.6.23), поэтому спектры
дрейфовых колебаний (8.6.26), (8.6.27) и условие их раскачки
(8.6.28) остаются неизменными и в пределе частых столкновений,
КОГДа О)~СОдр<^Гг.
Из приведенного анализа влияния столкновений частиц на
спектры дрейфовых колебаний пространственно неоднородной
плазмы следует, что в условиях частых столкновений, когда дли-
длины свободного пробега частиц намного меньше продольных раз-
размеров плазмы {va^>kzvTa*z vTJL\\), а дрейфовые частоты мень-
меньше частот столкновений (va<OoAPa^ со), длинноволновые дрей-
дрейфовые неустойчивые колебания могут развиваться в плазме, если
СОдрЛ>г>?2га2тг;> V2Ti/L2\\ ИЛИ [ср. С (8.5.20)]
L^/L^VQjV^ 1. (8.6.36)
В противном случае неоднородности плотности частиц в возму-
возмущениях вследствие диффузии будут выравниваться быстрее, чем
успеет заметно развиться дрейфовая неустойчивость.
§ 8.7. Конвективные неустойчивости неоднородной плазмы
До сих пор изучались колебательные свойства пространствен-
пространственно неоднородной плазмы с максвелловской функцией распреде-
распределения частиц по скоростям во внешнем однородном магнитном
поле Bo = BOz, линии индукции которого считались прямолиней-
прямолинейными и направленными вдоль оси Огу перпендикулярной на-
направлению неоднородности плазмы (оси Ох). При этом было по-
показано, что такая плазма неустойчива, в ней возбуждаются дрей-
дрейфовые колебания, частоты и инкременты нарастания которых
меньше частоты, связанной с ларморовским дрейфом частиц.
Причиной неустойчивости в данном случае является пространст-
пространственная неоднородность плазмы, которая хотя и находится в си-
силовом равновесии с магнитным полем (газокинетическое давле-
давление уравновешивается магнитным), но остается в термодинами-
термодинамически неравновесном состоянии из-»за ларморовского дрейфа ча-
частиц. Здесь покажем, что при наличии в плазме наряду с прост-
254
ранственной неоднородностью неравновесности другой природы»
например гравитационного дрейфа, обусловленного криволиней-
ностью линий индукции магнитного поля, либо тока, создаваемо-
создаваемого продольным электрическим полем, в ней возникают значитель-
значительно более быстро нарастающие неустойчивости. Уже при очень ма-
малых неравновесностях такого типа инкременты нарастания не-
устойчивостей оказываются существенно больше самих дрейфо-
дрейфовых частот.
Исследование устойчивости подобной плазмы начнем со слу-
случая, когда линии индукции магнитного поля обладают слабой
кривизной, т. е. наряду с продольным полем Bqz существует малая
неоднородная компонента магнитного поля ВОх> параллельная на-
направлению неоднородности плазмы. Подобная картина характер-
характерна для многих экспериментальных термоядерных установок. На-
Например, в системах с магнитными зеркалами, или пробкотронах>
магнитное поле имеет вид, изображенный на рис. 32. В бесстолк-
новительной плазме низкого давления заряженные частицы как
бы наклеены на линии индукции магнитного поля, т. е. могут сво-
свободно перемещаться толыко в направлении линий индукции и вра-
вращаться вокруг них. При этом на частицу сорта а действует сред-
средняя поперечная сила (см. задачу 3.8) « /t?
F =
(8.7.1)
где п — единичный вектор, направленный от центра кривизны к
частице; R — радиус кривизны линий индукции магнитного поля.
Учитывая, что частицы плазмы в основном движутся с тепло-
тепловыми скоростями, в дальнейшем заменим mav2i\a и mav2±a/2 на
Та и поперечную силу (8.7.1) приближенно представим в виде
(8.7.2)
Рис. 32. Конфигурация линий индук-
индукции магнитного поля в зер-
зеркальных системах (пробко-
троны)
Рис. 33. Силы, действующие на заря-
заряженную частицу в неоднород-
неоднородной плазме, помещенной в маг-
магнитное поле зеркальной геомет-
геометрии
255
Более того, для простоты эту силу будем считать постоянной,
не зависящей от координаты х. Строго говоря, при этом темпера-
температура частиц плазмы предполагается не зависящей от х.
Итак, искривленность линий индукции магнитного поля можно
учесть введением эффективного поля тяжести ga=v2TJiR, разного
для разного сорта частиц и направленного в сторону внешней норма-
нормали к линиям индукции магнитного поля. Рассмотрим поведение
плазмы в таком поле, заметив предварительно, что в случае, ког-
когда магнитное поле имеет вид, изображенный на рис. 32, а плот-
плотность плазмы убывает к периферии, сила тяжести maga направ-
направлена независимо от знака заряда частицы противоположно гра-
градиенту плотности плазмы. На рис. 33 изображен слой неоднород-
неоднородной плазмы в искривленном магнитном поле.
Равновесная функция распределения частиц в неоднородной
плазме при наличии поля тяжести ga, параллельного оси Ох> яв-
является решением уравнения
of uf С of
«. ' 005 1 _„ ' ОСЬ I w Г«г1? 1 ООЬ (\ /О *7 Q\
vx -7м- + ga -г2- -1 [vE0] —— = 0. (8.7.3)
дх dv т„ dv
X Оь
Ограничимся далее случаем, когда поля Во и ga однородны
(это условие практически всегда выполнено, поскольку обычно
"). При этом легко записать решение уравнения (8.7.3):
х
X 2 ехр( - Ша(У "а) V (8.7.4)
Bята 7аK/2 х \ 27а )
где иа = —^—^- = 10, ~, 0 J — скорость гравитационного дрей-
дрейфа, возникающего в скрещенных полях Во и ga, h — единичный
вектор в направлении Во. Этот дрейф является реальным дрей-
дрейфом, частиц в отличие от рассмотренного в § 8.3 ларморовского
дрейфа. Именно поэтому он и входит в функцию распределения
(8.7.4) в виде реальной скорости движения частиц ua.
Итак, в равновесном состоянии заряженные частицы плазмы
совершают направленное движение. В этих условиях (см. гл. 6
и 7) в плазме могут развиваться неустойчивости типа пучковых
или токовых. Перейдем к анализу подобных неустойчивостей, сде-
сделав предварительно одно замечание. Как видно из рис. 33, ана-
аналогичная картина может возникнуть и в обычной сжимаемой жид-
жидкости, находящейся в поле тяжести (см. задачу 8.6). В некото-
некоторых случаях такое состояние жидкости оказывается неустойчи-
неустойчивым, причем развитие неустойчивости связано с конвекцией. В
связи с этим неустойчивости, которые будут рассмотрены далее,
носят общее название конвективных.
256
Теперь для исследования спектров колебаний необходимо вы-
вычислить диэлектрическую проницаемость. Это можно сделать сра-
сразу. Действительно, из вида функции распределения fo« (8.7.4)
следует, что вычисления удобно проводить в системе координат,
движущейся шесте с частицами данного сорта со скоростью их
гравитационного дрейфа. В этой системе координат все вычисле-
вычисления будут аналогичны проведенным в § 8.3. В результате в при-
приближении геометрической оптики для продольной диэлектричес-
диэлектрической проницаемости получим выражение вида (8.3.24)
е(со, к, *)= 1 +
*Ч«
|1-?*М«-
* fd]aNa , дТа д \]
le \ дх дх дТа }\
X
х Ап fjlklZS |/+ ( " —« I, (8.7.5)
в котором только произведена замена od-mo'=Q)—киа=а>4-?у-~Ч
где ®' — частота с учетом доплеровского сдвига из-за гравитаци-
гравитационного дрейфа. Естественно, что при ga=0 выражение (8.7.5) в
точности совпадает с (8.3.24).
Не будем подробно анализировать спектры колебаний неод-
неоднородной плазмы в поле тяжести, поскольку, как нетрудно до-
догадаться, их многообразие еще больше, чем спектров дрейфовых
колебаний. Рассмотрим лишь некоторые новые качественные эф-
эффекты, связанные с наличием поля тяжести ga.
Исследуем область низких частот а>'<Йа. При этом в выра-
выражении (8.7.5) можно ограничиться членами сп=0. Предположим
далее, что волны длинные (А^0та<СО|)» их фазовые скорости ве-
велики (о/>&20та)> а интересующие частоты намного больше дрей-
дрейфовых:
' -ггт2-. (8-7-6>
где Lq — характерный размер неоднородности плотности плазмы.
При указанных условиях из (8.7.5) получаем следующее урав-
уравнение эйконала:
в (со, k, *)=l-^
а
Ку
дх ,-0- (8-7.7)
В это уравнение не входят тепловые скорости частиц, поэтому его
9—95Э 257
можно получить в модели независимых частиц или, что то же са-
самое, исходя из уравнений двухжидкостной магнитной гидродина-
гидродинамики холодной плазмы.
Заметим, что если температуры электронов и ионов в плазме
незначительно отличаются друг от друга, то скорости их грави-
гравитационного дрейфа одного порядка. Это позволяет упростить урав-
уравнение (8.7.7) и привести его к виду
2
0 (8
k*Q2. ?2 (со — kue) (со — ku,) Qt dx
Наконец, заметим, что обычно в плазме выполняется условие
»L0, поэтому из (8.7.6) следует, что co>kua. Учитывая это, из
(8.7.8) получаем
где введено обозначение
(8.7.10)
Решение уравнения (8.7.8) приводит с точностью до членов
порядка т/М к следующему локальному спектру колебаний
плазмы:
,2 dlnN ,2 Рд 2
со2 = ^ . (8.7.11)
Первое слагаемое в числителе этого выражения всегда отрица-
отрицательно (так как d\nN/dx<0), а второе — положительно. Однако
для мод с kz=0 второе слагаемое обращается в нуль, и в резуль-
результате имеем спектр
dlnN
fct «Эфф ,
tf = —L — <0, (8.7.12)
соответствующий гидродинамической неустойчивости плазмы. Это
известная в физике плазмы желобковая неустойчивость. Действи-
Действительно, при kz=0 возмущения однородны вдоль силовых линий
магнитного поля и имеют вид желобка. Часто ее называют также
перестановочной, поскольку при развитии этой неустойчивости
происходит перемещение плазмы поперек магнитного поля по всей
длине силовой линии, как бы перестановка местами плазмы и маг-
магнитного поля.
Необходимо отметить, что время развития желобковой не-
неустойчивости в установках для термоядерного синтеза весьма ма-
мало и составляет (Imco)^ ]/?о/?эфф~ Ю~5—10~6 с. Однако такая
258
неустойчивость может развиваться лишь при достаточно больших
продольных размерах плазмы:
Ш. (8.7.13)
Заметим, что с помощью выражения для диэлектрической про-
проницаемости (8.7.5) можно описывать свойства неоднородной плаз-
плазмы не только при наличии поля тяжести и связанного с ним гра-
гравитационного дрейфа частиц, но и во всех других случаях, когда
имеется реальный дрейф частиц. Оно дает возможность правиль-
правильно описывать поведение плазмы, в которой имеются пучки заря-
заряженных частиц, в частности плазму с током.
Рассмотрим неоднородную плазму с током (ue=u||oz, щ=0)
во внешнем сильном продольном магнитном поле. Полем тяжести,
связанным с кривизной силовых линий магнитного поля, для про-
простоты пренебрежем. Ограничимся низкочастотными колебаниями
в холодной плазме (гидродинамический предел), считая
k2 v2
1 ™ <1; Qe»<o'»?zi>Te> содрв; со, kzvTi<Qt, (8.7.14)
Qa
где а>' = (о— ku, а и — скорость токового дрейфа электронов. При
таких условиях из (8.7.5) нетрудно получить следующее уравне-
уравнение эйконала:
/ г2 \ kv 0)? f ku r) In Л/ Г ®1р 1
±[ v\ ) g>Q* w —ku дх z[ (co-~kuJj
(8.7.15)
схожее с (8.7.8). Поэтому в пределе co^>ku получаем из него ло-
локальный спектр, схожий с (8.7.11):
——- +k2 «>i —
2f ?_. (8.7.16)
A+4/^)
Здесь также в числителе первое слагаемое может быть отрица-
отрицательными приводить к неустойчивости, второе же слагаемое всегда
положительно и играет стабилизирующую роль. Легко показать,
что неустойчивость возможна при выполнении неравенства
k
г
L,
(8.7.17)
т. е. при достаточно больших скоростях дрейфа электронов либо
при больших продольных размерах плазмы.
Из неравенства (8.7.17) видно, что условия развития неустой-
неустойчивости облегчаются с уменьшением магнитного поля. Это дей-
действительно так, но только до некоторого предела. Из условия ш2<С
9* 259
<.Q2i следует, что эта неустойчивость может возникнуть лишь при
полях, превышающих некоторое критическое поле, значение ко-
которого определяется неравенством
А.
(8.7 Л 8)
Чем больше Ljj, тем меньше критическое поле. Из неравенств
(8.7.17) и (8.7.18) следует, что для развития неустойчивости про-
продольный размер плазмы должен быть достаточно большим:
Lj|/Lx>|/r M/m. Однако время развития неустойчивости составля-
составляет (Im<o)-1~ (Кйг^/^ц), чем короче система, тем оно меньше.
Рассмотренная неустойчивость получила в литературе название
токово-конвективной.
Рассмотрим кратко вопрос о влиянии столкновений частиц на
конвективные неустойчивости плазмы. Для этого прежде всего
запишем выражение для тензора диэлектрической проницаемости
столкновительной плазмы при наличии гравитационного или то-
токового дрейфа частиц. Ограничимся для простоты случаем невы-
невырожденной слабоионизованной плазмы. Тогда искомое выражение
для е(ю, к, х) получается из формулы (8.6.9), в которой, однако,
следует произвести замену со->|0/=(о—kyuga, где uga— скорость
гравитационного дрейфа частиц сорта а, либо со—^а>/==со—kzua,
где иа — токовая скорость. В итоге получаем уравнение эйконала
( 1? v2 l
^S
X
+
fetJ;
Vvia
/dlnN
= 0. (8.7.19)
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим наиболее близ-
близкий к гидродинамическому случай, когда выполнены неравенства
<о>соДРа> \(o' + iva\>Jizvla\, (kxvTa)/Qa<l и ve>co/>ku, v*. При
этом уравнение (8.7.19) после несложных, но громоздких вычис-
вычислений можно привести к виду
.-L + i.W+Jiii^.O, (8-7.20)
где о=ге<о2ье/че — низкочастотная (статическая) проводимость
плаамы.
260
Из (8.7.20) следует, что для желобковых мод, т. е. при малых
значениях kz, когда &V?2j_<W<J> вторым слагаемым в этом урав-
уравнении можно пренебречь. В результате получаем локальный
спектр, не зависящий от проводимости плазмы:
ku
1
kyQi
1 + v2 /ca
dlnN
seqxp дх >
kykZU (
"f ax
Верхний из этих спектров соответствует неустойчивым желоб-
ковым колебаниям плазмы в поле тяжести, когда щ==— ^фф 6Уи
а нижний — токово-конвективным колебаниям, когда щ=1
Легко видеть, что спектр (8.7.21) очень похож на спектры желоб-
ковой и токово-конвективной неустойчивостей бесстолкновитель-
ной плазмы (8.7.12) и (8.7.16). Его можно считать продолжением
этих спектров в область частот co<ve.
Уравнение (8.7.20) имеет неустойчивые решения не только в
случае сильно вытянутых вдоль магнитного поля возмущений же-
лобкового типа, но также в пределе коротковолновых возмущений,
когда &У&2х>со/а. При этом из (8.7.20) находим следующий ло-
локальный спектр:
Г .с2 1 k\ ainiv
^_ku^ dlnN_\ v\ a kl dx (g722)
dX . c2 Qt ky dlnN
4 о kz x
Здесь также верхний из спектров соответствует неустойчивым ко-
колебаниям плазмы в эффективном поле тяжести, а нижний — ко-
коротковолновой ветви токово-конвективной неустойчивости в
столкновительной плазме. Эту неустойчивость в литературе на-
называют также винтовой неустойчивостью замагниченной плазмы
с током.
Задачи к гл. 8
Задача 8.1. С помощью дисперсионного уравнения (8.4.16) найти спектр
частот спиральных волн при N=N0~\/ 1—хг/х20 и сравнить его с локальным
спектром.
Решение. Локальный спектр стиральных волн записывается в виде Гер,
с E.2.17)]
где k2=k2x+k2y+k2t, а cdlc — некоторая усредненная ленгмюровская частота
электронов.
261
Из соотношения же (8.4.16) лолучаем
1 Лх B)
О 4ow2 Xl X 2(OU)L0
где o)lo — ленгмюровская частота электронов в точке х=0, a xi<x<, — точка
поворота:
\ (»»)> fl»
\ (+)
*0 WLOW2
Интегрирование B) дает
Ч
Отсюда находим спектр частот колебаний (со>0):
@ =
wL0 V
Сравнение A) и E) показывает, что локальный спектр близок к точному при
Задача 8.2. Исходя из уравнения (8.5.7) исследовать низкочастотные ко-
коротковолновые дрейфовые колебания бесстолкновительной неоднородной
плазмы.
Решение. Коротковолновыми называют колебания с длиной волны мень-
меньше ларморовского радиуса ионов, т. е. &хр^»1. Будем при этом считать, что
со
^j_p^e<l и сТг<С ~г~ <?>те. В однородной плазме в этих условиях колебания
невозможны. В неоднородной же ллаэме из (8.5.7) получаем
l
kvv! д N
Уч1итывая малость мнимого слагаемого, обусловленного черенковской диссипа-
диссипацией на электронах, находим спектр (ш-юо+i6):
J L.InJ!L B)
Ут )\ д Ут )'
1ц _(
дх Уте )\ дх
Таким образом, частота коротковолновых дрейфовых колебаний меньше
ч
дрейфовой частоты: со~содр ^Ссодр, а инкремент «арастания положителен и
соответствует нарастающим колебаниям при условии
1 d\nNr\/f"e
1+ V—zr>0> C)
2 dlN/YT
262
которое выполняется практически всегда. Поэтому коротковолновая дрейфовая
неустойчивость 'носит универсальный характер; к тому же она развивается так-
также в коротких системах, продольные размеры которых превышают лишь лар-
моровский радиус ионов.
Задача 8.3. Показать, что дрейфовые неустойчивости неоднородной плазмы
можно стабилизировать перекрещенностью линий индукции магнитного поля
(shear-ом), обусловленной сильнонеоднородной поперечной компонентой
магнитного поля BOy(x)<^:Boz.
Решение. При наличии поле ВОу и BOz следует ввести общее поле Во=
= @, ВОу, Boz), причем
k\\ (x) = kz^ + ky^-^kz + ky^- = kz + kye(x). A)
В нулевом приближении геометрической оптики тензор диэлектрической
проницаемости неоднородной плазмы при наличии shear-a, очевидно, имеет
такой вид, как и в его отсутствие, если вместо kz подставить k^(x). Учитывая
сильную неоднородность 0(х), можно заметить, что k nmin^kyQ(x). Отсюда
сразу находим условие стабилизации дрейфовых колебаний shear-ом. В бесстолк-
новительной плазме дрейфовая .неустойчивость возможна, если
о) « (Одр « -^ е——- >k „ vTi ^ ky 0 vT ;. B)
При нарушении этих условий неустойчивость стабилизируется. Поэтому условие
стабилизации дрейфовой неустойчивости беостолкиовотельной плазмы shear-ом
запишется в виде
В обратном пределе частых столкновений дрейфовые неустойчивости воз-
возможны, если
jlldgLlL Ч D)
Следовательно, дрейфовая неустойчивость в столкновительной плазме стабили-
стабилизируется shear-ом при условии
^-. E)
Задача 8.4. Исследовать конвективную неустойчивость неоднородной плаз-
плазмы в пределе частых столкновений при наличии кривизны и перекрещеннос-
ти линий индукции магнитного поля, удерживающего плазму.
Решение. Согласно предыдущей задаче вводим k ц (х) по формуле A)
и записываем уравнение эйконала для конвективных колебаний в виде (см.
§ 8.7)
— ) 8 k2 (o2 + ico?2 v2 -rie k2 din-V _p
с } дх
где г] = с2/а, a=aco2Le8o/ve, a=l, ve=ven для слабоионизованной плазмы и а=
= 1,96, ге=Гэфф для полностью ионизованной плазмы. Введем обозначения
Q(x)=sx и новую переменную %=x+s(kzlky). Используя правило квантования,
при этом получаем дисперсионное уравнение
Здесь интегрирование ведется яо области прозрачности, в которой подынтег-
подынтегральное выражение положительно.
Пренебрегая неоднородностью плотности плазмы по сравнению с неодно-
неоднородностью перекрещенности силовых линий 9 (я) и считая s=const, из B)
получаем
dlnN
В случае слабой перекрещенности силовых линий магнитного поля (s-Я))
отсюда иаходим известный спектр неустойчивых желобковых (конвективных)
колебаний (см. § 8.7). В обратном же пределе большого shear-a появляется
новая ветвь неустойчивых конвективных колебаний в области частот со2<
| dlnN'
-г— со спектром
дх
Г 8л Л ??. &>*<?> /A In Л/ N211/3
D)
Таким образом, конвективная неустойчивость неоднородной плазмы в кри-
криволинейном магнитном поле shear-ом не стабилизируется, хотя инкремент ее
нарастания падает с ростом s.
Задача 8.5. В рамках приближения геометрической оптики исследовать не-
неустойчивость замагниченного прямолинейного релятивистского электронного
пучка с неоднородным профилем направленной скорости (slipping — неус-
неустойчивость).
Решение. Считая ленгмюровскую частоту пучка (йье(х) малой по срав-
сравнению с ларморовской частотой Qe, ограничимся анализом продольных колеба-
колебаний и запишем уравнение эйконала в нулевом приближении геометрической оп-
оптики:
Для определения локального спектра отсюда получаем
kz Qe дх
где ©'«о—кги\х). Видно, что при условии
kyy*u dlnu
*и dlnu t . B)
электронный пучок может стать неустойчивым. Неоднородность плотности, одна
ко, при этом играет стабилизирующую роль. Условие стабилизации пучка запи-
записывается в виде
Л2
Y1 —=-( -Г~
I о 1 а^.
д
1-
д In и
дх
D)
В противном случае пучок неустойчив. Эта неустойчивость получила название
slipping — неустойчивости, поскольку она обусловлена проскальзыванием раз*
264
личных слоев пучка относительно друг друга. Инкремент развития этой неус-
неустойчивости порядка
E)
\f\kzkyyu д\пи
6 = Im ш « ¦' ¦
Задача 8.6. Показать, что в сильно замагниченном холодном электронном
пучке, имеющем неоднородный профиль направленной скорости, симметрич-
симметричные моды колебаний с ky=0 затухают из-за резонансного взаимодействия
колебаний с электронным пучком (аналог затухания Ландау).
Решение. Уравнение эйконала для таких мод продольных колебаний
запишем в виде
Г «LW
В области частот (ю—Ajz«J<©2l« получаем дисперсионное уравнение
г *Ь>М dlsJlLt B)
J ©-MM №l
где Л — целые числа, а интегрирование ведется по области прозрачности, ко-
которая определяется условием ((»)—?*«) 2<ш2ь#. Пусть это условие выполняется
во всей области, занятой плазмой, |*|<а, причем «а границе плазмы заданы
недиссипативные граничные условия. Тогда в B) интегрирование ведется по
области ~-a<x<a. При интегрировании следует учитывать полюс u(x)kz=<ut
соответствующий резонансному взаимодействию волны с неоднородным элект-
электронным пучком в точках, где скорость пучка совпадает с фазовой скоростью
волны. Следствием подобного взаимодействия может оказаться поглощение вол-
волны в резонансных точках пучка.
Для пучка с однородной плотностью N—const и неоднородной скоростью
и(х)=иох1а из B) получаем
In
0) + kz Щ
in
(d—kzUa ~~ 2~\ х 1" 1Ь-М--_гл1 JJ =»'*• C)
Отсюда находим условие применимости геометрической оптики:
<OLea>tt0. D)
Из уравнения (?) следует, что в рассматриваемых условиях колебания возмож-
возможны лишь в области частот со>/г2м0, когда мнимое слагаемое тождественно равно
нулю и поглощение волны отсутствует. При этом спектр.колебаний
E)
В области частот <d<&zho вследствие сильного поглощения в резонансных точ-
точках колебания оказываются невозможными.
Иное положение имеет место, если неоднородна также плотность пучка.
Пусть N=N0exp(—x2/L20) и L*o<& Тогда из B) получаем
F)
Легко видеть, что в пределе аХ.кгщЩа из-за сильного поглощения в резонанс-
резонансных точках колебания в пучке йевозможны. В области же частот G)^>kzUoLo/a
уравнение F) приводит к следующему спектру слабозатухающих колебаний:
Г <oLg @) \kz\
it п °*
6 ®Le(°)a ( 1 °>L(°)a2 \
= — exp — . G)
@ nU0 у П n2u2 J
265
Рассмотренный механизм поглощения аналогичен черенковскому механиз-
механизму поглощения волн, обусловленного тепловым движением частиц в плазме и
приводящего к затуханию Ландау. В данном случае, однако, это поглощение
существенно зависит от вида функции и(х).
Глава 9. ЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕННО
ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
§ 9.1. Поверхностные
электромагнитные
волны
в полуограниченной
плазме
В предыдущей главе речь шла о корот-
коротковолновых электромагнитных колебаниях пространственно неод-
неоднородной плазмы, длина волны которых во много раз меньше ха-
характерного размера неоднородности плазмы. Для описания таких
колебаний плазму можно было считать практически неограничен-
неограниченной и воспользоваться приближением геометрической оптики.
Рассмотрим обратный предельный случай, когда размеры неодно-
неоднородности плазмы малы по сравнению с длиной волны или когда
неоднородность плазмы является достаточно резкой по сравнению
с длиной волны. Из всех возможных задач электродинамики плаз-
плазмы с резкими неоднородностями исследуем лишь простейшие, а
именно поверхностные электромагнитные волны в полуограничен-
полуограниченной плазме, граничащей с вакуумом. Поверхностные волны пред-
представляют собой качественно новый тип электромагнитных колеба-
колебаний ограниченной среды — волны, бегущие вдоль поверхности сре-
среды и затухающие в направлении, перпендикулярном к ней.
Очевидно, что характер поверхностных волн существенно за-
зависит от свойств поверхности плазмы, точнее, от граничных усло-
условий, которыми должны быть дополнены уравнения поля и о кото-
которых уже шла речь в § 2.1. Из большого многообразия различных
моделей поверхности плазмы ограничимся только двумя, противо-
противоположными по своей физической природе. Первая из этих моде-
моделей обсуждается в настоящем параграфе и предполагает наличие
у плазмы достаточно резкой поверхности, так что значения всех
величин, имеющих размерность длины в плазме (длина волны,
дебаевские и ларморовские радиусы частиц, длины их свободного
пробега и т. п.), значительно превышают размер области измене-
изменения плотности у поверхности плазмы. Подобная ситуация имеет
место, например, в газовой плазме, удерживаемой в стеклянном
сосуде, электромагнитные свойства которого несущественно отли-
266
Вакуум
i
Рис. 34. Плоская граница
плазма — вакуум
Плазма
раздела
чаются от свойств вакуума, либо
в плазме твердого тела структу-
структура поверхности которой определя-
определяется кристаллической решеткой.
Вторая же модель предполагает,
что плазма удерживается силь-
ным внешним магнитным полем,
и поэтому поверхность ее пред-
представляет собой размытый слой
толщиной порядка ларморовского
радиуса частиц. Для поверхност-
поверхностных волн длиной, намного боль-
большей ларморовского радиуса час-
частиц, такую размытую поверхность
можно считать резкой. Эта ситуация характерна для высокотем-
высокотемпературной плазмы в установках для управляемого термоядерно-
термоядерного синтеза, где с помощью магнитного поля осуществляется изо-
изоляция плазмы от металлических стенок установки и плазма ока-
оказывается пространственно ограниченной, граничащей с вакуумом.
Эта модель поверхности плазмы будет изучена в следующем па-
параграфе.
Анализ поверхностных волн в плазме с резкой границей огра-
ограничим случаем изотропной бесстолкновительной полуограничен-
полуограниченной плазмы в отсутствие внешних электрического и магнитного
полей, причем в качестве невозмущенной функции распределения
частиц сорта а(а=е, i) примем либо нерелятивистскую функцию
распределения Максвелла
/
если плазма невырождена, либо функцию распределения Ферми
2
ПрИ р < pFa = C Я2I/3 Н NI& ,
пЬK v г г х \ } о* (9.1.2)
(О прир>/?Ра,
если плазма вырождена. Здесь NOa = const при х>0 (плазма, рис.
34) и Л^0а = 0 при л:<0 (вакуум). При этом решение кинетического
уравнения для возмущения функции распределения
дб/ е df
" ' ' х ~ * -I—?- Е ш =0 (9.1.3)
без ограничения общности можно искать в виде
б /а = б /а (х) ехр (— i со / + i kzz), (9. L4)
направив ось 0z вдоль составляющей волнового вектора, парал-
параллельной поверхности плазмы. В результате из (9.1.3) получаем
= 0. (9.1.6)
267
Для решения уравнения (9.1.5) необходимо задание гранично-
граничного условия для 6fa(x) при #=0, т. е. на поверхности плазмы.
Именно это условие должно содержать всю информацию! о харак-
характере взаимодействия заряженных частиц с поверхностью, ограни-
ограничивающей плазму. Далее будем считать, что заряженные части-
частицы, падая на эту поверхность, отражаются от нее зеркально. Это
означает, что при х=0 выполняется условие
б/а @, Vx > 0) = б/а @, Vx < 0). (9.1.6)
Кроме того, интересуясь поверхностными волнами плазмы (либо
проникновением поля в плазму), будем считать, что электромаг-
электромагнитное поле Е и В затухает при удалении от поверхности плазмы.
Для решения уравнения (9.1.5) удобно представить
(x9vx), (9.1.7)
Vx) — I
\6fa(x,Vx<0).
Очевидно , что каждое из слагаемых 6/=*=» также удовлетворяет
уравнению (9.1.5). Поэтому, учитывая, что др~а(х, vx)-**0 при
находим
^ J
(9.1.8)
Определим теперь б/а (х, vx). Для этого (перепишем условие
(9.1.6) в виде
8#@Лд-в?@, -*,)¦ (9Л.6а)
В результате из уравнения (9.1.5) находим
+ 1 dx'E(x')x
о
X exp [iijL^p- (»-ife,esJ]} . (9.1.9)
Подставляя далее (9.1.8) и (9.1.9) в формулу для плотности
тока
!(*)= 2««Hpv6/a(v)= 2^a( J dPv6/++ I dpv8/-),
a a va.>0 vx<0
(9.1.10)
после несложных преобразований получаем
/,(*)= f At'I/Cdx-x'l) + /(«A^ + ^1I E, (x1). (9.1.11)
о
268
Здесь
~-2— J dp^^exp[i ^(©-
™ ^O v* dvJ L vx
(9.1.12)
Теперь можно приступить к решению уравнений поля, которые
в выбранной геометрии записываются в виде
1 kz Ey
icoB
дх
дЕу
дх
(9.1ЛЗ)
• • дх }¦
дВу I
I дх j
Эта система уравнений справедлива не только при х^О (плаз-
(плазма), но и при л;<0 (вакуум), если положить j(#<0)=0, что сле-
следует из (9.1.11) и (9.1.12) при учете зависимости плотности плаз-
плазмы от х.
Учитывая симметрию тензора Kij(|#|), легко показать, что сис-
система уравнений (9.1.13) распадается на две независимые подсис-
подсистемы для компонент полей Ех, Еи Ву и Вх, Bz, Ey соответственно.
Последняя не допускает решений в виде поверхностных волн. По-
Поэтому ограничимся здесь анализом уравнений для компонент поле
Ех, Ez и Ву:
(9.1.14)
дх
i
Граничные условия к этой системе, связывающие поля Е и В в
вакууме и плазме, находим путем интегрирования уравнений
(9.1.14) по бесконечно узкому переходному слою вблизи грани-
границы раздела плазма — вакуум. Как следствие ограниченности поле
Е и В и плотности тока j, получаем обычные электродинамиче-
электродинамические граничные условия — непрерывность тангенциальных компо-
компонент полей Е и В при х=0:
O, (9.1.15)
269
где введено обозначение {А}х=0=А(х-++0)— А{х-+-—0).
Для решения сформулированной граничной задачи воспользу-
воспользуемся следующим математическим приемом: распространим урав-
уравнения (9.1.14) в область х<0, приняв
Ех (х) = - Ех (- х), Noa (- х) - Noa (x),
Ez(x)-Ez(-x), By(x)=-By(
*{х\ 1 (9.1.16)
При этом во всей области —oo^jtsgj + oo имеем
/, (х) = ] dx' 6t](\x-x'\) Ej (xr), (9.1.17)
где
аи (\х\) = - 2 -^- 1 dp f- -^ exp [i ?i (©-йг о2)]
(9.1.18)
представляет собой тензор, связывающий j(x) и Е(х) в простран-
пространственно неограниченной изотропной плазме, а его Фурье-образ
(9.1.19)
со — kv
совпадает с тензором проводимости изотропной плазмы D.1.8).
Таким образом, материальное уравнение
/i(k)=aij(©, к)Е,(к), (9.1.20)
связывающее Фурье-компоненты плотности тока и напряженности
электрического поля, для полуограниченной плазмы в случае зер-
зеркального отражения частиц от ее поверхности имеет тот же вид,
как и для пространственно неограниченной изотропной плазмы.
Это и понятно, поскольку при зеркальном отражении частиц от
поверхности плазмы характер движения частиц такой же, как в
неограниченной плазме, а поэтому возмущение, возникающее в
системе под действием электромагнитного поля, не зависит от
наличия поверхности.
Следует отметить, что при использовании продолжения (9.1.16)
компоненты Ех и Ву (нечетно продолженные) претерпевают ска-
скачок при х = 0. В этом легко убедиться, подставив (9.1.17) в систе-
систему (9.1.14) и проинтегрировав по узкому слою вблизи х = 0. В то
же время если исходить из выражения (9.1.11) и считать / (л:) = О
при х<0, то интегрирование системы (9.1.13) по переходному
слою вблизи поверхности плазмы приводит к условию непрерыв-
непрерывности тангенциальных компонент полей Е и В при х = 0, что от-
отражено в граничных условиях (9.1.15). Этот факт вполне естест-
270
венный, поскольку системы (9.1.14) и (9.1.17) справедливы толь-
только в области плазмы при x^zO, а используемое продолжение —
лишь математический прием для решения этой задачи. С другой
стороны, отмеченный факт нужно учитывать при решении уравне-
уравнений поля (9.1.14), которые при подстановке выражений для плот-
плотности тока (9.1.17) представляют собой систему интегродиффе-
ренциальных уравнений с разностным ядром. Такую систему сле-
следует решать с помощью преобразования Фурье
dkxeik*x
A(kx),
учитывая возможные скачки величин Ех и Ву при х = 0.
Произведя преобразование Фурье в системе (9.1.14), учитывая
при этом непрерывность функции Ez(x) и разрывность функции
Ву(х) в точке х = 0, получим алгебраические уравнения:
i kx Ez (kx) -\kzEx (kx) + 'шВу (kx) = 0,
c2 e0 i kz Bb (kx) - i (oso Ez (kx) + jx (kx) = 0, ^ (9л 22)
ikxBy{kx)-± By{x = 0) + i^ Ez(kx)-±- jt(kx) = O.
Отсюда находим
Ег(кх)=- — Ву(х = 0)
, ft)
(CD, k)
(9.1.23)
Здесь k2=:k2x + k2z, а е*(а>, fe) и e'J (», й) —соответственно продоль-
продольная и поперечная диэлектрические проницаемости изотропной
плазмы, определяемые выражениями D.1.14).
Подставляя (9.1.23) в формулу для преобразования Фурье
(9.1.21), определим так называемый поверхностный импеданс по-
полуограниченной изотропной плазмы:
Аналогично можно решить систему уравнений (9.1.14) для ва-
вакуума, т. е. при j(x)=O. Здесь только следует продолжать поля
Е и В по формулам (9.1.16) в область х>0. В результате нахо-
находим поверхностный импеданс вакуумного полупространства:
271
Эту формулу можно также получить из (9.1.24), положив е1=в*г=
, 1
Теперь можно воспользоваться граничными условиями (9.1.15)
и приравнять Znn=—ZBaK. Это равенство и представляет собой ис-
искомое дисперсионное уравнение для поверхностных волн в полу-
полуограниченной изотропной плазме:
H,
в1 (*>» k) k2 с2 - со2 е/г (©, к) /
(9.1.26)
В пределе с->оо отсюда получаем дисперсионное уравнение для
продольных (потенциальных) поверхностных волн в полуограни-
полуограниченной плазме:
1 + — 7
п о
dk*
== 0.
(9.1.27)
Перейдем к анализу спектров частот поверхностных электро-
электромагнитных волн в полуограниченной плазме. Начнем с холодной
плазмы, полностью пренебрегая тепловым движением частиц.
Учитывая, что при этом
со?
—
со2
(9.1.28)
из общего дисперсионного уравнения (9.1.26) получаем
-со2 = 0. (9.1.29)
Отсюда видно, что поверхностные волны в полуограниченной хо-
холодной изотропной плазме существуют лишь в области частот
<о<соьб?, причем их фазовая скорость всегда меньше скорости
света: (cx>/kz)<Cc. Общее решение уравнения (9.1.29) представ-
представлено графически на рис. 35. Штриховое продолжение дисперси-
у онной кривой на этом рисунке со-
.А/ ответствует области частот, в ко-
которой существенным становится
„тепловое движение электронов
(со~&х^те) и колебания стано-
становятся сильно затухающими. Ана-
Аналитическое решение легко запи-
записать в предельных случаях длин-
длинных и коротких волн:
Рис. 35. Спектр частот поверхност-
поверхностных электромагнитных волн
в полуограниченной холод-
холодной плазме
А
Щс*
<о?./2
при
при
(9.1.30)
272
В длинноволновом пределе фазовая скорость поверхностных
волн близка к скорости света и колебания с хорошей степенью
точности поперечны, в то время как в коротковолновом пределе
их фазовая скорость мала по сравнению со скоростью света и
колебания почти продольны (потенциальны). Потенциальность
коротких (медленных) поверхностных волн в холодной плазме
подтверждается и решением уравнения (9.1.27), которое в этом
пределе принимает вид
8(@)=1__^ = _1 (9.1.31)
и имеет решение, тождественно совпадающее со вторым реше-
решением (9.1.30).
Ранее полностью пренебрегалось тепловым движением частиц,
а вместе с тем и бесстолкновительным черенковским затуханием
поверхностных волн. Очевидно, что наиболее сильно затухают
медленные волны, являющиеся/ с хорошей степенью точности про-
продольными. Поэтому для определения бесстолкновительного зату-
затухания поверхностных волн ограничимся анализом уравнения
(9.1.27). Точно это уравнение удается проанализировать только
путем численного интегрирования. Однако проанализируем его
приближенно, представив в области (o^$>kzvTe в виде
2- ^- -н J/T ,*,, J -^ ехр (- -2Ц-) -0. (SU.32)
При получении этого соотношения была учтена малость мнимых
слагаемых в (9.1.27), обусловленных черенковским поглощением
поверхностных волн электронами плазмы. Если теперь учесть, что
при @>&21>те основной вклад в интеграл (9.1.32) дает область
больших значений kXy то с хорошей степенью точности под инте-
интегралом можно заменить k на kx. В результате интегрирование
проводится до конца и из уравнения (9.1.32) получаем
Отсюда, как и следовало ожидать, для спектра частот продоль-
продольных поверхностных колебаний получаем выражение (9.1.30), а
для декремента затухания ((о-мо + 1б) находим*
б=- Y^\k,\vw (9.1.34)
Следует обратить внимание на то, что затухание высокочастот-
высокочастотных продольных поверхностных волн в отличие от объемных ленг-
мюровских волн (см. гл. 4) не экспоненциально мало, хотя их фа-
* Точное численное решение уравнения (9.1.27) приводит в_декременте за-
затухания поверхностных волн к коэффициенту 0,125 вместо V2M^0,8.
273
зовая скорость намного больше тепловой скорости электронов.
Указанное обстоятельство является следствием того, что в облас-
области частот (u^$>kzvTe резонансное взаимодействие частиц с волной
имеет место при (о = /гх?>те, а поскольку для поверхностных волн,
согласно (9.1.27), kx принимает сколь угодно большие значения (в
частности, kx><d/vTe), в их поглощении принимает участие основ-
основная масса электронов, а не только экспоненциально "малая доля
частиц, как в случае объемных ленгмюровских волн в пространст-
пространственно неограниченной плазме.
Не представляет труда учесть бесстолкновительную черенков-
скую диссипацию высокочастотных продольных поверхностных
волн и в вырожденной электронной плазме. Для этого необходи-
необходимо исходить из выражения для продольной диэлектрической про-
проницаемости вырожденной плазмы D.3.1), подставив его в урав-
уравнение (9.1.27). В результате в области частот u>^>kzVYe получаем
'[ср. с (9.1.33)]
J(l Ш'А0. (9.1.35)
Спектр частот продольных поверхностных волн в вырожденной
плазме в этой области не отличается от спектра частот таких же
волн невырожденной плазмы. Что же касается декремента зату-
затухания (со-мо+ i6), то для него из (9.1.35) получаем
6-- ^-\bz\vFe. (9.1.36)
о
Здесь еще более выраженным является отличие характера бес-
столкновительного поглощения поверхностных волн от поглоще-
поглощения объемных волн. Дело в том, что, как было показано в § 4.3,
высокочастотные объемные волны в вырожденной плазме в бес-
столкновительном пределе вообще не затухают, поскольку их фа-
фазовая скорость больше скорости Ферми и электроны не могут
взаимодействовать с ними. Числовой расчет декремента затуха-
затухания вместо коэффициента 3/8 дает значение 0,021. Более того,
численное интегрирование дисперсионного уравнения (9.1.27) для
вырожденной плазмы позволяет учесть и тепловую поправку к
спектру частот (9.1.30). В результате имеем
со- —±- +o,4kzvFe1 6= ~0,021 kzvFe. (9.1.37)
Спектр этот представлен на рис. 36.
Перейдем теперь к изучению поверхностных ионно-звуковых
волн в полуограниченной изотропной плазме. Как было показано
в § 4.2, объемные ионно-звуковые волны в неограниченной плаз-
плазме существуют лишь в случае сильной неизотермичности, когда
Те^>Тг. Это требование сохраняется и для поверхностных волн.
Так же как и объемные, поверхностные ионно-звуковые волны
274
Рис. 36. Спектр частот поверхно-
поверхностных продольных волн з
вырожденной полуогра-
полуограниченной плазме
о
Рис. 37. Спектр частот поверхност-
поверхностных ионно-звуковых волн в
полуограниченной плазме
являются продольными и описываются дисперсионным уравне-
уравнением (9.1.27), причем для невырожденной плазмы
, к) = 1 -
0>т
vr)- (9Л-38>
2 kv I
Поскольку kvTe'^><?>'^>kvTi, можно ограничиться учетом лишь че-
ренковской диссипации на электронах плазмы, полностью прене-
пренебрегая тепловым движением ионов.
Уравнение (9.1.27) при подстановке выражения (9.1.38) и ин-
интегрирования по kx окончательно сводится к виду
дх
= 0, (9.1.39)
где vs= УТе1М, а ег= 1 — <ю2и/<о2. Хотя входящий в это уравнение
интеграл и вычисляется в элементарных функциях, для дальней-
дальнейшего анализа спектров поверхностных ионно-звуковых волн его
удобнее оставить в таком виде.
Мнимое слагаемое в уравнении (9.1.39), обусловленное черен-
ковской диссипацией волн на электронах плазмы, мало по срав-
сравнению с действительным. Поэтому в первом приближении им
можно пренебречь. При этом сразу же заключаем, что поверхност-
поверхностные ионно-звуковые волны возможны лишь в области частот, в
которой
со;
и
со*
т. е. со2<со2и. Из действительной части уравнения (9.1.38) нахо-
находим спектр частот колебаний, а при учете мнимого слагаемого —
275
декремент их затухания. В общем случае формулы для <о и б (на-
(напомним, что 0-МО + i6) довольно громоздки, но принимают про-
простой вид в предельных случаях длинных (k2zv2s<^i@2Li) и коротких
(&2Л2) поверхностных волн:
при
[cou/2 при klv2s^>
х -ш при
О)
Зависимость частоты со от kzvs для поверхностных ионно-зву-
ковых волн в полуограниченной изотропной плазме представлена
на рис. 37.
В заключение заметим, что описанная картина распростране-
распространения поверхностных ионно-звуковых волн в неизотермической га-
газовой плазме качественно сохраняется и в вырожденной плазме в
области частот kvTi<^(d<^kvFe- Действительно, в этих условиях
для продольной диэлектрической проницаемости справедливо вы-
выражение (см. § 4.3)
4 !%( ^V <9Л'41>
\e 2 kvFe
Это соотношение подобно (9.1.38). Поэтому сохраняют свой вид
и соотношения (9.1.39), (9.1.40), если только под v2s понимать
v2s = v2Fe —, а мнимые слагаемые в них (в частности, б) домно-
М
жить на Vn/2.
Логически теперь следовало бы исследовать поверхностные
волны в замагниченной плазме с резкой границей, с характерным
размером неоднородности границы, меньшим ларморовских ра-
радиусов частиц. При условии зеркального отражения частиц от
поверхности плазмы общее дисперсионное уравнение для поверх-
поверхностных волн замагниченной плазмы подобно уравнению, полу-
полученному для плазмы) в отсутствие магнитного поля. Однако вывод
его довольно громоздок и связан с нахождением обратного тен-
тензора диэлектрической проницаемости. Поэтому не будем анали-
анализировать общий случай, а ограничимся рассмотрением только ква-
квазипродольных волн, электрическое поле которых с хорошей сте-
степенью точности является потенциальным. Это рассмотрение пере-
перенесем в следующий параграф, где исследуется устойчивость по-
поверхностных волн в плазме, удерживаемой сильным магнитным
полем.
276
§ 9.2. Неустойчивость границы плазмы,
удерживаемой магнитным полем
Исследуем полуограниченную плазму, удерживаемую сильным
магнитным полем, параллельным поверхности плазмы и направ-
направленным вдоль оси Oz. Неоднородность такой границы плазмы об-
обладает характерным размером, намного превышающим лармо-
ровские радиусы частиц. Эту границу будем считать расположен-
расположенной вблизи плоскости л;=0 (рис. 38). Для простоты столкновения-
столкновениями заряженных частиц в плазме пренебрежем, предполагая вы-
выполненными неравенства Qa>va, где а=е, L Не возмущенную
электромагнитным полем колебаний функцию распределения час-
частиц сорта а при этом находим так же, как это было сделано в
§ 8.3:
[1^i)»<*-*- (9-2Л)
где Роа(&, х) определяется либо функцией распределения Макс-
Максвелла (9.1.1), либо функцией распределения Ферми (9.1.2), но с
зависящими от х температурой и плотностью частиц.
В отличие от гл. 8, где плазма считалась плавно неоднородной,
здесь плазма неоднородна в узком слое вблизи плоскости х=0
(поверхность плазмы). В этом слое и проявляется отличие функ-
функции распределения (9.2.1) от максвелловской, и именно здесь ло-
локализованы диамагнитные токи, обусловленные ларморовским
вращением частиц в пространственно неоднородной плазме. Как
было показано в § 8.5, диамагнитные токи могут стать причиной
возбуждения в области неоднородности плазмы коротковолновых
(по сравнению с размером неоднородности) дрейфовых колеба-
колебаний, описываемых в рамках приближения геометрической оптики.
В дальнейшем будет показано, что диамагнитные токи могут воз-
возбуждать также колебания с длиной волны, значительно большей
размера неоднородности границы плазмы. Это поверхностные
волны, затухающие в глубь
плазмы.
Для поверхностных волн
границу плазмы можно считать
бесконечно тонкой и диамаг-
диамагнитные токи рассматривать как
граничные условия куравнени-
ям электромагнитного поля.
Задачей исследования, таким
образом, является вывод урав-
уравнений поля и граничных усло-
условий к ним, учитывающих неод-
неоднородность поверхностного
Вп
V///////////////////////
слоя плазмы и возникаю-
щие в нем диамагнитные токи.
Рис. 38. Плоская граница плазмы,
удерживаемая внешним про-
дольным магнитным полем
277
Сформулированную задачу будем решать на примере продольных
(потенциальных) волн, поскольку в случае удержания плазмы маг-
магнитным полем магнитное давление намного превышает газодина-
газодинамическое и колебания плазмы с хорошей степенью точности можно
считать потенциальными. По этой же причине, как и в гл. 8, будем
пренебрегать неоднородностью магнитного поля по сравнению с не-
неоднородностью плазмы.
При указанных ограничениях кинетическое уравнение для не-
неравновесной добавки к функции распределения (9.2.1), зависящей
от времени и координат как
Л/« = 6/а(*)ехр(—mt + ikyy + ikzz), (9.2.2)
записывают в виде
(9.2.3)
Здесь Е — потенциальное поле возмущений, Е = —УФ.
Решение уравнения (9.2.3) находим путем интегрирования по
характеристике (см. § 8.3)
v ± sin ф + Qax= const. (9.2.4)
При этом
6/«(*)= - -^- Jdcp'AOix') df°*(*) X
tu о z~ #v
xexpf—] dy" ((d-k1v1sinq)"-kzvz)] . (9.2.5)
L Qa Ф J
Здесь jc^ x, q/ и ср связаны между собой соотношением характе-
характеристики (9.2.4).
Подставляя решение (9.2.5) в формулу для плотности заряда
а
и используя уравнение Пуассона
Дф = _ Pjf> , (9.2.7)
«о
после довольно громоздких вычислений (подобных проведенным в
§ 8.3) окончательно получаем в случае невырожденной плазмы сле-
следующее уравнение для потенциала, поля колебаний:
L _V4^_ /t s<*\. Kvl до 4 fa) 1
|^ coQa дх \ za Qa J ц2 дх As (га) J
X
I соУа с/л; \ za ua / q^ ax as [zj j
X A8(Za)U (^"^ )} . (9.2.8)
278
где
z _ Ь\ "la д* _ d\nNa дТа д
а q2 ' дх дх дх дТл
Оператор д°/дх действует на все стоящие справа от него вели-
величины.
Следует отметить, что уравнение (9.2.8); пригодно во всем про-
пространстве как в плазме (область х^О), так и в вакууме (область
лс<0). Поэтому оно не требует задания специальных граничных
условий, их можно получить путем интегрирования самого уравне-
уравнения (9.2.8) по физически бесконечно узкому переходному слою
вблизи поверхносш плазмы, малому по сравнению с длиной волны
поверхностных волн.
Анализ уравнения (9.2.8) начнем с холодной плазмы, когда ди-
диамагнитными токами в поверхностном слое можно полностью пре-
пренебречь. Другими словами, рассмотрим колебания с фазовой ско-
скоростью, намного большей тепловых скоростей частиц, и с длиной
волны, значительно превышающей их ларморовские радиусы. В
уравнении (9.2.8) при этом следует перейти- к пределу Г-И). В ре-
результате получим
дх дх \ а со2 - Й2 дх " со (о2 - Q2)
(9.2.9)
Это уравнение не зависит от вида функции распределения частиц и
поэтому справедливо как для невырожденной, так и для вырожден-
вырожденной плазмы. Кроме того, в указанном приближении холодной
плазмы, как отмечалось, полностью пренебрегается диамагнитны-
диамагнитными токами в поверхностном слое, не говоря уже о том, что сам по-
поверхностный слой вместе с ларморовским радиусом частиц стре-
стремится к нулю. Поэтому уравнение (9.2.9) пригодно для описания
колебаний плазмы со сколь угодно резкой границей, в частности
для плазмы, удерживаемой стенками реального диэлектрического
сосуда (стекла).
В объеме плазмы (при х^О), где плотность можно считать
однородной, из уравнений (9.2.9) имеем
(9.2.10)
В вакууме же (при х<0) уравнение (9.2.9) сводится к уравнению
Лапласа
(9.2.11)
279
Наконец, граничные условия, связывающие Ф\(х) и Ф2(х) на по-
поверхности раздела плазма — вакуум, т. е. при х=0, получаемые
путем интегрирования уравнения (9.2.9), записывают в виде
Теперь, когда известны уравнения поля в области х^О и л;<0 и
граничные условия к ним, можно решить эти уравнения и сшить
полученные решения. В результате имеем
Фг (х) = Сг ехр ( -
Ф2 (х) = С2 ехр {УЦ+Ц х), (9.2.13)
где e^l-S-^. в±в12^Ц-. (9.2.14)
Подставив эти решения в граничные условия (9.2.12), получим
систему однородных алгебраических уравнений для постоянных
С\ и С2, условие разрешимости которой представляет собой иско-
искомое дисперсионное уравнение для поверхностных волн в полуогра-
полуограниченной плазме с резкой границей:
= 0. (9.2.15)
Здесь
gs ; ()
а со (со2 - О*)
В отсутствие магнитного поля, когда ?2а-И), из (9.2.15) нахо-
находим дисперсионное уравнение для продольных поверхностных волн
в полуограниченной изотропной плазме (9.1.31), спектр частот ко-
которых определяется вторым выражением (9.1.30). Внешнее магнит-
магнитное поле, параллельное поверхности плазмы, существенно меняет
найденный спектр частот, если Qe ^ со=соье/УГ2. Так, для мод с
ky = 0 в чисто электронной плазме поверхностные волны, согласно
(9.2.15), существуют лишь при сЛе>Й2е и в области частот gJl<?>
>со2>й2е. Спектр частот поверхностных волн при этом определя-
определяется соотношением
280
При куФО оказывается возможным существование поверхност-
поверхностных волн и в области частот co<Qe. Так, например, для желобко-
вых мод kz=0 в случае чисто электронной плазмы из уравнения
(9.2.15) находим
Qe ± J- YQ2 + 2оJ . (9.2.18)
2\ky\ е 2 V e Le V '
Отсюда видно, что низкочастотные поверхностные волны возможны
в сильных магнитных полях, когда Й2е>со2и?, причем (о~со2и/йе.
Не представляет большого труда проанализировать уравнение
(9.2.15) и в области низких частот (о<Ссои, когда существенным
становится учет движения ионов. Прежде всего отметим, что в об-
области самых низких частот co<CQi сильно замагничены как элект-
электроны, так и ионы плазмы, при этом g-Я), a ej_>0. В результате
уравнение (9.2.15); решений не имеет, т. е. поверхностные волны в
холодной сильно замагниченной плазме с резкой границей в облас-
области частот ©«CQi не существуют; они возможны лишь в области час-
частот со^ ?2г\ Действительно, в низкочастотной области г\\*>е± и из
уравнения (9.2.15) для волн, распространяющихся не строго по-
поперек магнитного поля AггФ0), находим
ю* = ю2ы + О2<. (9.2.19)
При kz = 0 (желобковые моды) спектр низкочастотных волн опреде-
определяется соотношением
o) = A.(q. + J*y_ V (9.2.20)
\ky\ \ l 2Qt J '
Из проведенного анализа видно, что в холодной бесстолкнови-
тельной замагниченной плазме в условиях полного пренебрежения
тепловым движением частиц поверхностные волны плазмы с рез-
резкой границей всегда устойчивы. Более того, учет столкновений час-
частиц приводит к их затуханию (см. задачу 9.3). В этом нет ничего
удивительного, поскольку в рассматриваемом приближении пол-
полностью пренебрегается диамагнитными токами в неоднородном по-
поверхностном слое плазмы, которые могут привести к раскачке ко-
колебаний.
Картина качественно меняется при учете конечной температуры
плазмы, а вместе с ней и конечного ларморовского радиуса частиц.
При этом, кроме того, что вступают в силу диссипативные эффек-
эффекты, обусловленные бесстолкновительным черенковским поглощени-
поглощением и излучением волн частицами плазмы, существенными стано-
становятся диамагнитные токи в неоднородном поверхностном слое
плазмы, которые могут оказаться причиной неустойчивости поверх-
поверхностных волн плазмы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим урав-
уравнение (9.2.8) в области низкочастотных ((о<Йа) и длинноволно-
длинноволновых (&2в02та<СЙ2а) колебаний. Разлагая функции As{za) по степе-
степеням га и ограничиваясь в сумме по циклотронным гармоникам
281
членом с 5 = 0, из иитегродифференциального уравнения (9.2.8) по-
получаем дифференциальное уравнение второго порядка*:
а дх
^а г ( со \/,а У \ф ^Ф 1 d* 2
\
со \)
^a If'
(9.2.21)
При выводе этого уравнения было принято еще одно упрощающее
допущение, а именно m2k2x<^k2zQ2i.
Граничные условия для потенциала Ф получают путем интег-
интегрирования уравнения (9.2.21) по переходному слою вблизи грани-
границы плазмы так же, как это было сделано ранее. В результате име-
имеем
—
Теперь, когда получены граничные условия, можно записать
уравнение (9.2.21) в следующем виде:
для плазмы (О O O)
а|
Фи (9.2.23)
для вакуума (х<0, Ф = Ф2)
АФ2 = 0. (9.2.24)
Решения этих уравнений, затухающие при х-^±оо, соответственно
имеют вид
Ф1(х) = С1е-^, Ф2 = С2ехУк1+к1, (9.2.25)
где
(9.2.26)
* Следует отметить, что в приближении геометрической оптики из уравне-
уравнения (9.2.8) получаем уравнение эйконала (8.5.6), которое в низкочастотном
пределе сводится к (8.5.7).
282
Подставив решения (9.2.25) в граничные условия (9.2.22), по-
получим систему однородных алгебраических уравнений для посто-
постоянных С[ и С2, условие разрешимости которой представляет иско-
искомое дисперсионное уравнение для поверхностных волн в полуогра-
полуограниченной плазме с учетом диамагнитных токов на ее поверхности:
(9.2.27)
Приступая к анализу дисперсионного уравнения (9.2.27), преж-
прежде всего заметим, что поверхностные волны возможны лишь в об-
области частот, где х2>0; при этом в области частот cd^$>kzvre теп-
тепловым движением частиц можно пренебречь и уравнение (9.2.27)
переходит в (9.2.15). В этом пределе пренебрегается также диа-
диамагнитными токами на поверхности плазмы и, как следует ожи-
ожидать, колебания не нарастают во времени. Как подчеркивалось,
учет диамагнитных токов может привести к раскачке поверхност-
поверхностных колебаний. Чтобы убедиться в этом, исследуем решения урав-
уравнения (9.2.27) в области частот ^^«СохС^те, в которой сущест-
существенны эффекты, обусловленные тепловым движением электронов.
Из уравнения (9.2.27) в этой области частот получаем
(9.2.28)
причем
1 —
2 |*г| vTe
. (9.2.29)
Для мод с k2y^>k2z при условии со2ы>?22г (которое, как пра-
правило, с большим запасом выполнено в реальной плазме, удержи-
удерживаемой магнитным полем) из уравнения (9.2.28) находим сле-
следующий спектр слабонарастающих колебаний (со-мо+iS):
Отсюда следует, что в полуограниченной плазме, удерживаемой
магнитным полем, под действием диамагнитных токов в неодно-
неоднородном поверхностном слое происходит раскачка поверхностных
ионнозвуковых волн, распространяющихся вдоль границы плаз-
плазмы под большим углом к магнитному полю и убывающих в глубь
плазмы с характерным пространственным масштабом порядка
vs/Qi. В сильно неизотермической плазме с Те^>Тг этот масштаб
283
во много раз превышает ларморовский радиус ионов и размер
неоднородности плазмы.
В заключение заметим, что неустойчивости поверхностных
волн для проблемы магнитного удержания могут оказаться более
опасными, чем дрейфовые неустойчивости, поскольку последние
приводят к возбуждению в плазме коротковолновых колебаний,
локализованных в неоднородном слое вблизи поверхности плазмы,
в то время как неустойчивые поверхностные волны могут охваты-
охватывать значительно более глубокие слои плазмы. Это особенно яр-
ярко проявляется при наличии тока в плазме либо гравитационно-
гравитационного дрейфа, обусловленного кривизной силовых линий удержива-
удерживающего магнитного поля (см. задачу 9.6).
§ 9.3. Плазменный волновод
Если ранее речь шла о полуограниченной плазме, то здесь
рассмотрим пример ограниченной в пространстве плазмы, а имен-
именно плазменный цилиндр радиуса г0, окруженный металлическим
кожухом радиуса R^ro (рис. 39). Всю систему поместим в про-
продольное магнитное поле Во, вдоль которого и направим ось Oz.
Плазму будем считать однородной с резкой границей, т. е. рас-
распределение частиц по скоростям примем в виду функции распре-
распределения Максвелла (9.1.1) либо функции распределения Ферми
(9.1.2), в которых
при
при
(9.3.1)
Такой равновесной функцией распределения, однако, как от-
отмечалось, можно пользоваться лишь в условиях, когда плазма
удерживается твердой непроницаемой для частиц стенкой. Если
же удержание плазмы обеспечивается продольным магнитным по-
полем, то для определения равновесной функции распределения ча-
частиц следует решать кинетическое уравнение, считая плазму не-
неоднородной по радиусу и сильно замагниченной, Qa»va:
. + 8Ш(ф-чоу.^ = о.
(9.3.2)
У//////////////////////Л
У//////////////////Л
Рис. 39. Плазменный волновод
Здесь использована цилин-
цилиндрическая система координат
как по скоростям, v =
= (v±, ф, vz), так и по про-
пространственным координатам,
г=(г,Ч>, г).
284
Общее решение уравнения (9.3.2) является произвольной
функцией его характеристик, в частности
Ca = rvL sin (<p - ф) + \тАг Qa (r). (9.3.3)
Записав решение в виде foa(^a> ?a) и полагая характерный раз-
размер неоднородности плазмы большим по сравнению с ларморов-
ским радиусом частиц, находим [ср. с (9.2.1)]
/.С- <и-{1+'^-*±)Рш<Г. ')• (9-3-4)
Здесь в качестве FOa {8a , г) можно взять функцию распределения
Максвелла либо Ферми, но с неоднородной плотностью и темпе-
температурой частиц.
Найденная равновесная функция распределения (9.3.4) позво-
позволяет исследовать малые колебания плазменного цилиндра, не
полностью заполняющего металлический волновод. Для изучения
таких колебаний примем все неравновесные величины зависящи-
зависящими от времени и координат в виде
А=Л (г)ехр (—mt+il<b+ikzz). (9.3.5J
Тогда для малой неравновесной добавки к функции распределе-
распределения (9.3.4) в бесстолкновительной плазме имеем
^, (9.3.6)
где Е(г) и В (г) —электрическое и магнитное поля колебаний, а
}?=Ф—-ф.
Характеристика уравнения (9.3.6), как и уравнения (9.3.2),
дается соотношением (9.3.3). Поэтому общее решение, принимая
магнитное поле для простоты однородным по сечению плазмы,
можно записать в виде
хехр\_-
Величины г', г" и %' в этой формуле связаны с г, % и %" урав-
уравнением характеристики (9.3.3).
Подставляя выражение (9.3.7) в формулу для плотности тока
Iе 2^ajdPv6/a, (9.3.8)
a
285
получим материальное уравнение, связывающее j(r) с электриче-
электрическим полем Е(г) интегральным соотношением. В нулевом при-
приближении геометрической оптики это материальное уравнение оп-
определяет тензор проводимости, а следовательно, и тензор диэлек-
диэлектрической проницаемости, аналогичный (8.3.22) (для невырож-
невырожденной плазмы) и (8.3.29) (для вырожденной плазмы) с заменой
kjr+t/r, (9.3.9)
учитывающей цилиндрическую геометрию. Естественно, все вы-
выводы о дрейфовых колебаниях неоднородной бесстолкновитель-
ной плазмы, полученные в предыдущей главе, с учетом замены
(9.3.9) сохраняются и в случае плазменного цилиндра.
Появление качественно новых эффектов, отличающих цилин-
цилиндрическую геометрию от плоской, следует ожидать лишь в пре-
пределе длинных волн, не описываемых в рамках приближения гео-
геометрической оптики. Поэтому далее будем рассматривать именно
этот предел. Кроме того, для простоты ограничимся анализом
только высокочастотных волн с фазовыми скоростями, намного
превышающими тепловые скорости частиц в плазме. Для таких
волн в первом приближении тепловым движением частиц можно
полностью пренебречь. При этом независимо от вида равновесной
функции распределения (т. е. как для невырожденной, так и для
вырожденной плазмы) указанное материальное уравнение оказы-
оказывается локальным, причем
А(ю, К U /-)=е0егЛО?;(со, kZt I, г), (9.3.10)
где Eij(r)—тензор диэлектрической проницаемости плазмы,
егг 8гф 0 \
еф, ефф 0 Ь (9.3.11)
0 0 ezz )
Здесь
4а (П
8Г). — 8фф — 8j_ — 1
= еФг = i g = — i
а (О ((О2 - Q|)
е2г = е„ =1-2-^1-. . (9.3.12)
а со2
Легко понять, что этот тензор можно получить для холодной не-
неоднородной бесстолкновительной плазмы в модели независимых
частиц (см. задачу 9.7).
286
Запишем теперь уравнения поля с учетом материального урав-
уравнения (9.3.10):
EkE <uB BkB —
С2
9, fezf + ^^(igr + jL,),} (9.3.13)
ОТ ОТ С
гЕ* + Ет<ьВх,
г дт г г дт
Эта система уравнений пригодна при любой степени неоднород-
неоднородности плазмы. Это означает, что она справедлива как в плазме
(г^го), так и в вакууме (ro^r^R). Поэтому граничные усло-
условия можно получить непосредственно из этих уравнений путем их
интегрирования по бесконечно тонкому переходному слою плаз-
плазма — вакуум. В результате имеем
{Ег}г=г. = {Ev}r=ro = [Bz}r=ro = (Вф}г=г, = 0. (9.3.14)
Наконец, на поверхности металлического волновода должны вы-
выполняться условия
Ez\r=R=E(p\r=R=0. (9.3.15)
Система уравнений (9.3.13) с граничными условиями (9.3.14)
и (9.3.15) полностью определяет спектр собственных электромаг?
нитных колебаний в плазменном волноводе в пределе холодной
плазмы, когда фазовые скорости волн намного превышают теп-
тепловые скорости частиц и последними можно полностью прене-
пренебречь; величины е±, g и ец при этом определяются выражения-
выражениями (9.3.12).
Сформулированную граничную задачу проанализируем для
чисто электронной плазмы, пренебрегая движением ионов. Кро-
Кроме того, ограничимся двумя противоположными предельными слу-
случаями: a) ro = R, и плазма полностью заполняет волновод; б)"
7?->оо, и имеем плазменный цилиндр со свободной поверхностью.
I. Изотропная плазма. Анализ задачи начнем с изотропной
электронной плазмы, положив в формулах (9.3.12) Qa->-0 (т. е.
Во-Я)). Исключив из системы (9.3.13) компоненты ЕГу BTi ?ф и
Др, с помощью соотношений
ф = >с~2 / kz— Ez +1
со
(9.3.16)
287
где
х2=,А:2г—е(й2/с2; 8=1—@2Le/©2, (9.3.17)
для Ег и Вг получаем два независимых уравнения:
?, + -?-в?,) = 0, ДБг + -^-6В2 = 0. (9.3.18)
Эти колебания при Bz=0> Егф0 называют волнами Е-типа, а при
В2Ф0, Ez=0 — волнами В-типа.
Прежде всего отметим, что, согласно первому уравнению
(9.3.18), независимо от степени заполнения волновода плазмой в
отсутствие внешнего магнитного поля всегда существуют чисто
продольные (потенциальные) ленгмюровские колебания, для ко-
которых
8(со) = 1—co2Le/(D2=0; g>2=g>2l*. (9.3.19)
Эти колебания являются объемными и локализованы внутри плаз-
плазменного цилиндра.
Наряду с продольными колебаниями в изотропной плазме в
области частот, где е(со)=^О, могут существовать поперечные (не-
(непотенциальные) волны Е- и 5-типов. Согласно (9.3.18), для та-
таких волн при г^Го имеем
Ех(г)=Ех01(Ыг), Bz=BzOJi(mr). (9.3.20)
Если плазма полностью заполняет волновод (го=/?), то подста-
подстановка решений (9.3.20) в граничные условия (9.3.15) с учетом
соотношений (9.3.16) приводит к следующим спектрам колеба-
колебаний для волн Е- и 5-типов соответственно:
где \xin и \\fin — соответственно корни функции Бесселя и ее про-
производной, т. е. Ji(\im) =0 и J'ibi'ln)=O.
Из формул (9.3.19) и (9.3.21) следует, что фазовые скорости
поперечных электромагнитных волн в волноводе, полностью за-
заполненном изотропной плазмой, всегда больше скорости света, в
то время как фазовые скорости продольных волн могут быть как
больше, так и меньше скорости света.
Рассмотрим теперь электромагнитные волны в плазменном ци-
цилиндре со свободной поверхностью. Решения уравнений (9.3.18),
ограниченные на оси волновода и при г-мх>, в этом случае запи-
записывают в виде
288
Ezi(r)=Ezl0Il(Kir), Bzl{r)=BmIi(nir) при r<r0, (9.3.22)
при
где
Х2 = щ _ J^L 8> y?n = k\ —^- > 0. (9.3.23)
Подстановка этих решений в граничные условия (9.3.14) при-
приводит к следующему дисперсионному уравнению для поверхност-
поверхностных электромагнитных волн ?-типа в плазменном цилиндре со
свободной поверхностью:
[J- /, fa г0) К\ fax гв) - ±- /; (X! гв) /С, (хп г0)] X
fa г0) /с; (х„ г0) - -f- /; («I r0) Ki dxj ro)l -
-0' (9.3.24)
/
Здесь ограничимся анализом уравнения (9.3.24) только для
симметричных мод с /=0. В коротковолновом пределе, т. е. при
И21,цг2о»1, из уравнения (9.3.24) долучаем
-J_+JL- = 0, (9.3.25)
ки Ki
нли в явном виде
СО*
-©2 = 0. (9.3.26)
Как и следовало ожидать, это уравнение в точности совпада-
совпадает с (9.1.29), полученным для полуограниченной плазмы; в корот-
коротковолновом пределе геометрия поверхности плазмы не играет ро-
роли. Из условий x2i, ц'Г2о> 1 при этом, однако, следует, что в плаз-
плазменном цилиндре такие коротковолновые поверхностные колеба-
колебания существуют только в случае достаточно плотной плазмы, ког-
когда ш2ьЛ»Л
В редкой же плазме, в которой оJьЛ<Сс2, возможны только
длинноволновые поверхностные колебания сх\ цг2о<?1. Диспер-
Дисперсионное уравнение (9.3.24) для аксиально-симметричных мод (/=
=0J длинноволновых колебаний записывается в виде
= 0. (9.3.27)
Видно, что длинноволновые колебания, так же как и коротковол-
коротковолновые, существуют только в области частот ©<й2с, соье, причем
при выполнении сильных неравенств колебания с большой сте-
степенью точности потенциальны и спектр их определяется соотно-
соотношением
2 2
о2 я* k\ ФиГ° In . (9.3.28)
10—953 289
В общем случае решение уравнения (9.3.27) графически пред-
представлено на рис. 40,а (кривая 4). Здесь же приведены спектры
объемных волн, описываемые формулами (9.3.19) и (9.3.21) (кри-
(кривые 1—3).
II. Замагниченная плазма. Исследуем электромагнитные волны
в плазменном цилиндре при наличии внешнего продольного маг-
магнитного поля, причем для простоты ограничимся случаем беско-
бесконечно сильного поля, когда В0-+оо и тензор (9.3.11) принимает
вид
/1 0 0\
e«(®)= 0 1 0 • (9.3.29)
\0 0 8„/
Из соотношений (9.3.13) при этом получаем:
?r = *-2(-i/
[с* г
В =
дг
(9.3.30)
Здесь K2=fc2z , а компоненты же Ez и Bz удовлетворяют не-
с
зависимым уравнениям
CD2
где
г дг дг
«L
(9.3.31)
(9.3.32)
Рис. 40. Спектр частот электромагнитных волн в плазменном волноводе: а —изо-
—изотропная плазма, б — магнитоактивная плазма
290
Здесь также различают волны ?-типа (В2=0, Е2Ф0) и /3-типа
(ВФ0 ?0)
( )
Сравнивая уравнения (9.3.31) и (9.3.18), видим, что в преде-
пределе сильного магнитного поля не существует строго продольных
колебаний, как это имело место в изотропной плазме 1[см. спектр
(9.3.19)]. Более того, для волн /3-типа плазма вообще не играет
никакой роли и закон дисперсии для них такой же, как и для ва-
вакуумного волновода. Поэтому здесь рассмотрим только волны
?-типа.
Решение первого уравнения (9.3.31) в области г^.г0 запишем
в виде
Ех = Ег0^{1УЯЪг). (9.3.33)
Если плазма полностью заполняет волновод (ro=i/?), то подста-
подстановка этого решения в граничные условия (9.3.15) приводит к сле-
следующему дисперсионному уравнению для определения спектра
объемных волн ?-типа:
)(") + ¦%-=<>. (9-3.34)
где щп — корни функции Бесселя, т. е. /z(|x^)=O. Отсюда нахо-
находим спектр частот колебаний
1/2
} (9-3-35)
Видно, что в магнитоактивной плазме в отличие от изотроп-
изотропной существуют две ветви объемных волн ?-типа: верхняя — вы-
высокочастотная и нижняя — низкочастотная, причем на верхней
ветви фазовая скорость волн всегда больше скорости света, коле-
колебания поперечны с большой степенью точности; на нижней же
ветви аф=1со/&г<с и поле волны содержит также значительную
продольную компоненту.
В плазменном цилиндре со свободной поверхностью (R-^oo)
в сильном магнитном поле наряду с объемными волнами возмож-
возможны также поверхностные волны, убывающие вне плазменного ци-
цилиндра. Действительно, запишем решения уравнения (9.3.32) для
симметричных мод (с /=0) поверхностной волны ?-типа:
при r^r0, J (9.3.36)
при r>r0, J
где K2=(k2z—со2/с2)>0 (т. e. ®<:kzc). Подставляя эти решения в
граничные условия (9.3.14), получаем
г0) Ко (хг0) ~ V*l'o (У7х г0) /Со (иг0) = 0. (9.3.37)
291
Легко показать, что в коротковолновом пределе и2г2о«С1 это
уравнение не имеет решений, т. е. коротковолновые поверхност-
поверхностные колебания в плазменном цилиндре в сильном магнитном по-
поле существовать не могут. В длинноволновом же пределе, когда
к2г2о<1, %2&г20<1, из уравнения (9.3.37) получаем
8 (со) In кг0 2— - 0. (9.3.38)
Это уравнение в точности совпадает с (9.3.27). Поэтому проведен-
проведенный анализ для изотропной плазмы сохраняет силу и в случае
плазменного цилиндра со свободной поверхностью в сильном маг-
магнитном поле. Единственное отличие состоит в том, что в изотроп-
изотропной плазме поле Ez слабо затухает от поверхности цилиндра к его
оси, в то время как в магнитоактивной плазме оно слабо нара-
нарастает, достигая максимума на оси волновода.
Спектры объемных и поверхностных волн плазменного цилин-
цилиндра в сильном магнитном поле представлены на рис. 40,6.
В заключение еще раз подчеркнем, что полученные в этом па-
параграфе соотношения справедливы как для невырожденной, так
и для вырожденной плазмы, поскольку в рассматриваемых усло-
условиях больших (по сравнению с тепловыми скоростями) фазовых
скоростей волн вид равновесной функции распределения несуще-
несуществен.
§ 9.4. Устойчивость пространственно ограниченной
неравновесной плазмы
В предыдущем параграфе были исследованы электромагнит-
электромагнитные свойства плазменного цилиндра в предположении термоди-
термодинамически равновесного (максвелловского либо фермиевского)
распределения заряженных частиц по скоростям (9.3.4). Рассмо-
Рассмотрим теперь свойства неравновесной, ограниченной в пространст-
пространстве электронно-ионной плазмы с током, считая функцию распре-
распределения электронов Fo«(r) распределением Максвелла с отличной
от нуля продольной скоростью и; ионы считаем покоящимися. В
этих условиях вычисление возмущенной функции распределения
частиц 6/а не представляет труда, она получается из (9.3.7) за-
заменой ,co-md—kua, причем ue=u, а щ=0. Легко вычислить так-
также возмущенные плотности тока и заряда и записать систему
уравнений поля. Ниже мы проведем анализ этих уравнений, огра-
ограничиваясь потенциальными колебаниями поля, поскольку в гл. 8
было показано, что характерные неустойчивости токовой плазмы
(бунемановская и ионно-звуиковая) проявляются в области (o^kzu
и с большой степенью точности являются потенциальными. Кро-
Кроме того, для простоты анализа полагаем, что система помещена
в достаточно сильное продольное магнитное поле, замагничива-
ющее электроны плазмы, Qe>cDLe, но >не заматничивающее ионы,
292
При достаточно большой направленной скорости и, превыша-
превышающей тепловые скорости электронов и ионов, уравнение Пуас-
Пуассона
дф=-2 ?» __ 2 Is. г dP6/a (9.4.1)
после подстановки в него выражения (9.3.7) с заменой со-хо—kua
и учете потенциальности поля Е=—УФ принимает вид
Ф = 0. (9.4.2)
При выводе этого уравнения предполагалось, что волновод
полностью заполнен однородной плазмой (см. рис. 39), причем
все воз!мущенные величины зависят от времени и координат в ви-
виде (9.3.5). Отметим, что его можно также получить исходя из мо-
модели независимых частиц, используя оператор тензора диэлектри-
диэлектрической проницаемости, выведенной в задаче 9.7. Более того, в этой
модели легко обобщить уравнение (9.4.2) на случай релятивист-
релятивистской скорости дрейфа электронов и и тем самым рассмотреть за-
задачу об устойчивости релятивистского электронного пучка, заряд
которого скомпенсирован ионами. Обобщение это сводится к про-
простой замене
02Le-MO2LeY-3, (9.4.3)
где у=A— u2/c2)-l/2. В дальнейшем при анализе уравнения
(9.4.2) мы будем учитывать замену (9.4.3).
Теперь мы можем записать решение уравнения (9.4.2) в виде
(9.4.4)
удовлетворив при этом граничному условию
Ф(Л?)=0. (9.4.5)
Здесь \iis- корни функции Бесселя, /z(jx^)=O. В результате по-
получим следующее дисперсионное уравнение для определения
спектра колебаний:
(l- Щ (А +щ\- <*ТЬ «о. (9.4.6)
\ Ю2 / V #2 ^ Z ) (Ю-fett)» 1 '
Решения этого уравнения, соответствующие неустойчивым колеба-
колебаниям, существуют лишь в области частот ®<€.%и (кстати, только
поэтому и могли мы ограничиться приближением потенциально-
потенциальности поля колебаний) и при выполнении условия
(9.4.7)
Инкремент нарастания возникающей апериодической неустойчи-
293
вости, известной под названием бунемановакой (см. § 7.2), при
этом составляет
21 К и (JL ЩХ/3» соь, (9.4.8)
Из неравенства (9.4.7) следует, что рассмотренная неустойчи-
неустойчивость может развиваться, если электронный ток превышает неко-
некоторое пороговое значение
^ 18 ™-?±- (f _ iK/2e (9.4.9)
е
Этот ток более чем в (у2—1K/2/(т2/3—1K/2 раз превышает пре-
предельный вакуумный ток электронного пучка в волноводе (см. за-
задачу 9.8).
Следует заметить, что, согласно выражению (9.4.8), инкремент
нарастания рассмотренной бунемановской неустойчивости зависит
от массы ионов и в пределе т/М-+0 обращается в нуль. Это со-
совсем не означает, что электронный пучок, заряд которого ском-
скомпенсирован фоном бесконечно тяжелых ионов (оэьг-^О), устойчив.
В таком пучке оказывается возможным развитие неустойчивости,
обусловленной конечными продольными размерами системы. В
продольно ограниченной системе, однако, решение уравнения по-
поля уже нельзя представить в виде (9.3.5); его следует искать в
виде суммы
()i Ф»е^п* f (9.4.10)
где lkzn (л=1, 2, 3, 4) —четыре корня уравнения (9.4.6), рассма-
рассматриваемого как характеристическое уравнение.
Решение (9.4.10) удовлетворяет радиальнохму граничному ус-
условию (9.4.5). Для получения дисперсионного уравнения этого
оказывается недостаточным; необходимо задание также и про-
продольных графичных условий, число которых должно быть равно
четырем. В качестве таких условий мы выберем
Фг=о,ь=О, Рв|жвО=/»|г=о = О, (9.4.11)
где z=Q и г—L — координаты торцов ограниченного волновода,
которые мы считаем металлическими. Вторая пара условий
(9.4.11) означает, что на выходе системы при z = 0 пучок невоз-
невозмущен.
Теперь мы можем вывести искомое дисперсионное уравнение,
определив из характеристического уравнения (9.4.6) кгп и под-
подставив найденное при этом решение (9.4.10) в граничные условия
(9.4.11). Интересуясь порогом возникновения неустойчивости, рас-
294
смотрим область частот (о<Ссои?, в которой корни уравнения
(9.4.6) даются выражениями
L (HL *, „>y+=k (J% *.*) (9.4.!2)
и \ 7
где k±=\iis/R. В результате дисперсионное уравнение для опре-
определения спектра частот со запишем в виде
3/2
¦у3
(
+ ^ (Л*±. -k\uA (e1*^ -ej^L) = 0. (9.4.13)
Можно показать, что уравнение (9.4.13) имеет решения, соответ-
соответствующие нарастающим колебаниям, в интервалах
B„- 1) «L < l/j^- -Л» ы« <2n ^ , (9.4.14)
где я=1, 2, 3,... Полагая п=1 и !fe±min=2,4/7?, отсюда находим
пороговый ток электронов, выше которого в системе развивается
неустойчивость. При L^$>R он совпадает с током (9.4.9). Инкре-
Инкремент нарастания неустойчивости при этом равен
6=Im <o~ulL. (9.4.15)
Рассмотренная неустойчивость плазмы с током в продольно
ограниченных системах известна как пирсовская. Пороговый ток
развития пирсовской неустойчивости такой же, как и для разви-
развития бунемановской неустойчивости. Тем не менее физическая при-
природа этих неустойчивостей разная, что видно из сравнения инкре-
инкрементов их нарастания (9.4.8) и (9.4.15). Из этого сравнения, в
частности, следует, что в системах с длиной L<«/coli при пре-
превышении порогового тока (9.4.9) будет развиваться пирсовская
неустойчивость; если же L>i//coLb то развивается бунемановская
неустойчивость.
В заключение рассмотрим неустойчивость ограниченной плаз-
плазмы с током при малой скорости дрейфа электронов, когда vle^>
^>u^$>vTi. В гл. 7 было показано, что в этих условиях в неизотер-
неизотермической (Te^Ti) пространственно неограниченной плазме с то-
током при скорости дрейфа и, превосходящей фазовую скорость
ионно-звуковых волн, возможно развитие неустойчивости, извест-
известной под названием ионно-звуковой. Рассмотрим возможность раз-
развития этой неустойчивости в плазменном волноводе.
295
Как и выше, будем исходить из решения кинетического урав-
уравнения (9.3.7) для 6/а с заменой о-ко— kua, считая при этом ионы
холодными, (o>'&yTi, а электроны — горячими, |со—ku\<^kvTe. В
результате в области частот со^>Йе уравнение Пуассона (9.4.1)
можно свести к следующему интегродифференциальному урав-
уравнению:
(9.4.16)
где vs= YTelM9 а ядро Q(r) имеет вид
-г eikr
2 aTe B я)
Считая волновод продольно неограниченным и полностью за-
заполненным плазмой, уравнение (9.4.16) мы будем решать с уче-
учетом единственного граничного условия (9.4.5). Заметим, кроме то-
того, что интегральный член в этом уравнении, обусловленный че-
черенковской диссипацией энергии колебаний на электронах, явля-
является малым, а поэтому уравнение это можно решать методом по-
последовательных приближений. В первом приближении, пренебре-
пренебрегая диссипативным членом, для собственной функции, удовлетво-
удовлетворяющей граничному условию (9.4.5), получаем выражение (9.4.4).
Подставляя эту функцию в правую часть уравнения (9.4.16), окон-
окончательно находим искомое дисперсионное уравнение колебаний:
= 0, (9.4.18)
со*
где k=Yk2±+k2z= Y (\iis/R2)+k2z. Это уравнение совпадает с
уравнением G.2.6), если в последнем пренебречь черенковской
диссипацией на ионах и под k± понимать |х/в//?. Поэтому весь ана-
анализ, проведенный в § 7.2, полностью сохраняет силу и в случае
ограниченной плазмы с учетом такой замены. Более того, можно
показать, что учет ионной черенковской диссипации и столкнове-
столкновений не меняет этого вывода.
§ 9.5. Возбуждение плазменного резонатора
релятивистскими электронными пучками
В § 9.3 мы изучили собственные электромагнитные колебания
плазменного волновода. Теперь же исследуем возможность воз-
возбуждения таких колебаний с помощью релятивистских электрон-
электронных пучков. При этом мы ограничимся рассмотрением случая,
когда плазма полностью заполняет металлический волновод и
пронизывается сплошным электронным пучком. Продольное маг-
296
нитное поле будем считать достаточно сильным, замагничиваю-
щим как плазму, так и пучок, т. е. Qe>o)Le, ®bVy- Кроме того,
поскольку, как было показано в гл. 7, возможно возбуждение
электромагнитных волн в плазме как вследствие черенковского,
так и циклотронного механизмов взаимодействия пучка с полем
волны, мы сразу же примем, что распределение моноэнергетиче-
моноэнергетического электронного пучка по продольным и поперечным импульсам
имеет вид F.1.11):
0>Н ~ Pile)» (9'5Л>
причем и± =р±о/шу<^,с, где 7== 0—и2/с2)~~1/2. Плазма же считает-
считается холодной и чисто электронной.
I. Черенковское возбуждение волн. Анализ возбуждения элек-
электромагнитных волн в плазменном волноводе начнем с исследова-
исследования черенковского механизма взаимодействия электронного пучка
с полем волны, причем ограничимся случаем сильного магнитного
поля, когда выполнены неравенства
Й*><оье, -3- , ю>^~2 . (9.5.2)
В этих условиях тензор диэлектрической проницаемости плазмы—
пучковой системы, приведенный в § 6.4, принимает очень простой
вид:
/1 0 0\
ву (со) = 0 1 О I . (9.5.3)
\0 0 ц)
где
^ "8т^> . (9.5.4)
и)» У
Тензор (9.5.3) подобен тензору (9.3.29) и, естественно, его подста-
подстановка в систему уравнений Максвелла сводит последнюю к двум
уравнениям для Е- и В-волн соответственно. Взаимодействует с
пучком только ?-волна, удовлетворяющая уравнению
причем единственное граничное условие к этому уравнению за-
записывается в виде
Ez\r=R=Q. (9.5.6)
Подставляя ограниченное на оси волновода общее решение урав-
уравнения (9.5,5)
(г) = Ez0 Je (i V^ r), x2 = k\ - 4 (9.5.7)
с
297
в граничное условие (9.5.6), получим дисперсионное уравнение
для ?нволн в 'плазменном волноводе, взаимодействующих с элек-
электронным пучком:
gL\ T Jig«**"' Ь2]+А а0> (9.5.8)
МJ J *2
CO*
где \xis — корни функции Бесселя.
Как и следовало ожидать, уравнение (9.5.8) совпадает с урав-
уравнением F.3.10), если в последнем под k± понимать \xislR- Поэто-
Поэтому проведенный! в § 6.3 анализ черенковской пучковой неустойчи-
неустойчивости полностью сохраняет силу и в рассматриваемом случае про-
пространственно ограниченной плазмы. В частности, в первом при-
приближении, пренебрегая малым пучковым слагаемым, из уравне-
уравнения (9.5.8) находим две ветви ?-волн в плазменном волноводе,
которые были подробно изучены в § 9.3. Пучок резонансно взаи-
взаимодействует только с низкочастотной ветвью этих колебаний при
выполнении условия черенковского резонанса <д\=кги\\ (рис. 41).
Из этого условия находим частоту возбуждаемой пучком волны:
Отсюда, в частности, следует, что возбуждение моды \ли возможно
только при условии
(9-5.10)
причем если плотность плазмы удовлетворяет неравенствам
3,8>^>2,4, (9.5.11)
то возбуждаться будет одна-единственная аксиально-симметрич-
аксиально-симметричная мода с |д,01 = 2,4.
Временной инкремент нарастания (со-^со + б) колебаний нахо-
находят ори учете лучкового слагаемого в уравнении (9.5.8):
±
l
(9.5.12)
Это соотношение, естественно, также совпадает с F.3.13) с заме-
заменой klm = \iulR-
В гл. 6 отмечалось, что черенковская пучковая неустойчивость
является сносовой и поэтому в системах ограниченной длины она
может и не успевать развиваться. Чтобы убедиться в этом, рас-
рассмотрим металлический волновод конечной, но достаточно боль-
большой длины (L^>R), который заполнен сильно замагничениой
плазмой, пронизывающейся релятивистским электронным пучком.
298
Левый торец волновода 2=0, с
которого происходит инжекция
пучка, пусть полностью отра-
отражает электромагнитное излу-
излучение (например, вследствие
запредельного сужения волно-
волновода); на правом же торце 2=
= L, который прозрачен для
электронного пучка, происхо-
происходит частичное отражение элек-
электромагнитных волн с коэффи-
коэффициентом отражения х(<о) и ча-
частичное их излучение из систе-
системы. В отсутствие пучка такая
система представляет собой
резонатор для электромагнит-
электромагнитных волн, обладающий конеч-
конечной добротностью (конечным
временем вытекания энергии
излучения из системы). Элек-
Электронный пучок при достаточ-
достаточной интенсивности может воз-
возбудить такой резонатор, и тогда система превратится в генератор
электромагнитного излучения.
Сформулированная здесь задача возбуждения плазменного ре-
резонатора электронным пучком является граничной задачей, и при
ее решении уравнение (9.5.8) следует рассматривать как характе-
характеристическое уравнение для определения продольных волновых чи-
чисел kzn нормальных волн:
-Z-) 2 Ezoneik*n* m (9.5.13)
Из уравнения (9.5.8) видно, что в рассматриваемом случае име-
имеется четыре такие волны, причем все четыре &2П(<о) (/г=1,2, 3, 4)
легко находятся, если учесть малость пучкового слагаемого в
уравнении (9.5.8):
,2,з> kzi (<о)= — kz0 (<o). (9.5.14)
Рис. 41. Условия черенковского и
циклотронного взаимодейст-
взаимодействия электронного пучка с
электромагнитными волнами
в сильно замагниченном
плазменном волноводе
Здесь kz0((x>)—решение уравнения (9.5.8) в отсутствие пучка,
удовлетворяющее условию черепковского* резонанса
f,
а величины 6fei,253 даются выражениями
= -*„
/3
<9-5-l6)
(9.5.16)
299
У/3
Из формул (9.5.14) — (9.5.16) следует, что в системе сущест-
существует четыре волны, три из которых ^1,2,з(со) распространяются
вдоль пучка, являясь попутными, и поэтому взаимодействуют с
пучком, а четвертая ^(со)—встречная и не взаимодействует с
пучком. При этом волна kz3(co) усиливается в направлении движе-
движения пучка* волна ^(со) —затухает, а волна &zi(co), так же как и
&24(й>), остается нейтральной (т. е. не усиливается и не затухает).
Для получения дисперсионного уравнения и определения усло-
условия возбуждения резонатора решение (9.5.13) должно быть под-
подставлено в продольные граничные условия при z=0, L. Поскольку
мы хотим учесть излучение электромагнитных волн с торца z=L,
необходимым оказывается значение решения уравнения поля и в об-
области z>L. (Это обстоятельство существенно усложняет задачу
вывода дисперсионного уравнения. Однако, если длина резонато-
резонатора является большой, так что \bkzzL\>\, задача упрощается и
сводится к внутренней, т. е. достаточным оказывается знание толь-
только решения (9.5.13). Действительно, на левом торце резонатора
при 2 = 0, согласно предположению, происходит полное отражение
электромагнитной волны, т. е. встречная волна ?zo4 полностью
трансформируется в попутные волны Я2о1,2,з> причем с одинаковой
вероятностью в каждую из них. На правом же торце при z=L
электромагнитная волна излучается из системы и только часть от-
отражается, трансформируясь во встречную волну с коэффициентом
отражения х(о). Но так как |<6&2з?| >1 из трех попутных волн на
торце z=L, достаточно учесть только усиливаемую пучком волну
Егоъ- В результате имеем
Ez оз - ~-1 * Егоъ exp (i kz3 L) = ?204 exp (i ku L).
о
Отсюда непосредственно следует искомое дисперсионное уравнение
exp([i(?z3—kzAL] =3/и. (9.5.17)
Из дисперсионного уравнения (9.5.17) при учете решений (9.5.14)
находим спектр частот колебаний плазменного резонатора (со->-
id)
со = соо - minn Vg0 \kz0 (со) - у-
«8*» У/3 argx(q>0)
»„
где vgo — групповая скорость возбуждаемой пучком волны:
w_
a я=1,2, 3,... определяет число полуволн, укладывающихся на
длине резонатора, т. е. kzo~nn/L.
При '6>0 электромагнитная волна с частотой со^юо в плаз-
плазменном резонаторе экспоненциально нарастает со временем, так
как усиление поля в резонаторе электронным пучком превосхо-
превосходит над потерями, обусловленными излучением электромагнитной
волны из резонатора. Видно, что такое возбуждение резонатора
возможно в условиях, когда ток пучка больше некоторого порого-
порогового значения, называемого стартовым током:
=
/ln _з_\> (9
k%L*
При выполнении неравенств (9.5.11), когда возможно возбуж-
возбуждение только основной аксиально-симметричной моды колебаний
с ji0i = 2,4, стартовый ток (9.5.20) оказывается минимальным.
II. Циклотронное возбуждение волн. Рассмотрим теперь цик-
циклотронное возбуждение волн вращающимся электронным пучком
в ограниченной в пространстве системе. Как было показано в
гл. 6, такой пучок может возбуждать электромагнитные волны и
при полном отсутствии плазмы,, т. е. в вакууме. Поэтому ниже мы
ограничимся анализом взаимодействия вращающегося электрон-
электронного пучка с вакуумным металлическим волноводом. Более того,
пучок будем считать достаточно разреженным, так, чтобы выпол-
выполнялись условия
^G)>coL*, (*>bVv (9.5.21)
В этих условиях уравнения для Е- и В-волн, находящихся в цик-
циклотронном резонансе с электронным пучком, при учете в тензоре
диэлектрической проницаемости F.4.3) пучковых слагаемых, со-
содержащих циклотронные полюсы при a) = kzu< +?2e/Y только второ-
второго порядка, записываются соответственно в виде
» «2Х«11
(9.5.22)
4 с8 у
301
Граничные условия к этим уравнениям в случае продольно неог-
неограниченного волновода имеют вид
Е I _ ._ ав*
= 0. (9.5.23)
Решения системы уравнений (9.5.22), удовлетворяющие гранич-
граничным условиям (9.5.23)
() () (9.5.24)
где |,i/s и ji'/s — корни функции Бесселя и ее производной, Ji(ius) =
= 0 и J'i(\i'is) = 0, после подстановки в систему (9.5.22) приво-
приводят к следующим дисперсионным уравнениям для Е- и Б-волн:
4 , ь, ^ _, *Л ( kl*
(9.5.25)
*42 , и* со2 _ ^ / щ2 ч gig
/?2 2 с2 [4с2 V с2 г J 7 (© - bz и „ - Qe/ yJ #
Легко видеть, что эти уравнения отличаются от соответствующих
дисперсионных уравнений § 6.4 заменой К± на \xis/\R в случае Е-
волны и на ц'и/R в случае S-волны.
Структура обоих уравнений (9.5.25) совершенно одинакова,
а поэтому в дальнейшем мы ограничимся анализом только одного
из них, а именно второго уравнения, описывающего взаимодейст-
взаимодействие электронного пучка с S-волной вакуумного волновода. Преж-
Прежде всего заметим, что пересечение линии (o==kzuti+Qe/y с кривой
<u{\kz) =Y^k2zc2+\i/2isc2/R2 определяет две частоты возбуждаемых
пучком 5-волн (рис. 41)
<0о,,2 = -^-^ 1 ± -LV 1 - ^o-f , (9.5.26)
групповая скорость и продольное волновое число которых соот-
соответственно составляют
1'2 С , fco,i2 =-Мою 1.2 -
(9.5.27)
Легко видеть, что при условии y\\>\JirisCyl(QeR)>\ оба корня
^zoi,2>O, т. е. возбуждаемые пучком Б-волны как высокой, так
и низкой частоты являются попутными; как отмечалось в '§ 6.4Г
циклотронная неустойчивость при этом носит сносовый характер.
Если же y,'isCyl(ueR)<l, то km>\, a &z02<0 и, следовательно,
S-волна высокой частоты является попутной, а низкой частоты —
встречной.
302
В последнем случае циклотронная неустойчивость носит абсо-
абсолютный характер. Из выражения (9.5.26) видно также, что при
условии
^LSl (9.5.28)
в системе будет возбуждаться одна-единственная радиальная
мода с минимальным значением р,ц = 1,8 (первая несимметричная
мода Вц-волны).
Анализ циклотронного возбуждения попутной 5-волны в про-
продольно ограниченном вакуумном резонаторе проводится совер-
совершенно так же, как это было сделано выше при исследовании че-
ренковского возбуждения плазменного резонатора (о возбужде-
возбуждении встречной волны см. задачу 9.12). Поэтому вряд ли целесо-
целесообразно повторять приведенные выше рассуждения. Заметим
только, что в формулах (9.5.17) — (9.5.19) величины vg0 и >kzo сле-
следует заменить на соответствующие выражения (9.5.27), причем
коэффициенты усиления и затухания взаимодействующих с пуч-
пучком волн даются соотношениями
1/3
) (9.5.29)
О kz 2,3 ~
2
kz 0
Окончательно для стартового тока возбуждения резонатора на по-
попутной В-волне вращающимся электронным пучком находим
*о.т —
64яев пи? «4 ЯЦк2
JiL f,n_3_y. (9.5.30)
с \ |х| ) '
Отсюда, в частности, видно, возбуждать резонатор на высокой
частоте В-волны труднее, чем на низкой частоте, поскольку всег-
всегда |feoi |> 1^21.
Задачи к гл. 9
Задача 9.1. Найти частоту собственных электростатических (потенциальных)
колебаний плоского слоя холодной электронной плазмы толщиной 2d, поме-
помещенной между обкладками плоского конденсатора, расстояние между кото-
которыми 2L. Электрическое поле колебаний считать нормальным к поверхности
слоя.
Решение. Уравнение поля во всех трех областях имеет один и тот же
вид:
ДФ=<Э2Ф/дл;2=0. A)
Поэтому его решения запишем таким образом:
при — L<jc< — d,
Ьхх+Ь% при M<d, B)
V сгх + с2 при d<.x<L.
303
Подстановка этих решений в граничные условия
Ф< —I) = <D(L) = 0. {Ф}^^ = {Ф}^ = 0, C)
<е > = < 8 | = О,
I де j x=-d I dx )x=d
где 8(©) = 1—<й2ье(л:)/ю2, причем со2ье(л:)^0 только при )*|<d, приводит к дис-
персионному соотношению
е(со)+ ^7 =0. D)
Отсюда находим спектр частот колебаний:
Задача 9.2. Найти проникновение квазистатического монохроматического*
поля с частотой со в полуограниченную изотропную плазму. Отражение
частиц от поверхности плазмы принять зеркальным.
Решение. Считая поле нормальным к поверхности плазмы, для области
х>0 (в плазме) можно записать
дх
или
D (х) =ео?о, B)
где Ео — напряженность электрического поля на поверхности плазмы.
С другой стороны, D(x) можно определить, продолжив D(x) в область
*<0 четным образом « произведя преобразование Фурье:
1 ОО ОО
D (k) = — J D (x) e~ikx 6x ;D(*)= j D (k) eikx d k. C)
В результате из B) получаем
oo ikx
f 2—to. D)
-oo ni J» k
Отсюда, учитывая, что при зеркальном отражении частиц от поверхности
д(А>)=Е08*(а>, k)E{k)y E>
получаем
?(*)= ^117^1)' F>
или, подставляя это выражение в C),
р oo ikx j h
Эта формула определяет проникновение квазистатического поля в полуограни-
полуограниченную изотропную плазму нормально к ее поверхности.
Интеграл G) существенно определяется полюсами подынтегральной функции
?=0, е'(<о, ?)=0. (8)
На больших расстояниях от поверхности плазмы х » ¦—-^ * где vOe — ско-
\(O+lVe\
304
рость хаотического движения электронов, вклад в интеграл G) дает только
первый из этих полюсов. При этом
*м= -ттЧ = ^ . «
г1 (со, 0) co?g
со (со -f- i ve)
На малых же расстояниях от поверхности плазмы х « -——— существенными
становятся также полюсы, определяемые нулями диэлектрической проницаемос-
проницаемости ez(co, k). Для чисто электронной плазмы (со2>со2ы) при условии |co+ive|<
<Ссоье эти полюсы находятся из уравнения
voe
где а=/л/2, гюе = Уте/соье для невырожденной электронной плазмы и a=Jt/2,
/ для вырожденной плазмы. В результате имеем
A2)
Часто вводят понятие импеданса слоя d плазмы
d
I E(x)dx
Zi
ш Ео
В числителе фигурирует падение напряжения на слое d, а в знаменателе — ток,
проходящий через этот слой. Величина ReZ характеризует поглощение поля в
слое d.
На больших расстояниях от поверхности плазмы импеданс характеризует
объемное поглощение, причем, согласно (9),
vg)
ZoQ
CO (CO + 1 Ve) ~
На малых расстояниях можно ввести понятие поверхностного импеданса,
используя A1):
4Ш -
Zn0B= — Jd.e
Задача 9.З. Найти столкновительную поправку к декременту затухания вы-
высокочастотных поверхностных волн в электронной плазме.
Решение. При учете столкновений электронов независимо от степени вы-
вырождения плазмы в дисперсионном уравнении (9.1.26) следует положить
8 (СО) = 1 - , э A)
СО (СО + 1 Ve) W
где ve=ve* — для полностью ионизованной плазмы и ve=v*n — для слабо-
ионизованной плазмы. В результате из (9.1.26) получаем
(z при klc2«(x>?6,
о о B)
СО^/2 При А| С2» G>2g#
при ***•<©*,
9 9 W
при ^ с2 » со?е
305
Предел k2zc2^сй?ье соответствует продольным колебаниям, поэтому 6* в
этом пределе можно получить также из уравнения '(9.1.31) при использовании
выражения A). Заметим, что такая же поправка от столкновений электронов
возникает в формулах (9.1.34) и (9.1.86).
Задача 9.4. Исходя из общего выражения (9.1.24) вычислить поверхностный
импеданс при нормальном падении электромагнитной волны на поверхность
полуограниченной плазмы при v<?, ю<Со>ьв и связать его с коэффициентами
отражения и поглощения волны.
Решение. При нормальном падении волны ^=0 и
z _ ?j^ т^
ПЛ~~ с
Проникновение поля в плазму при этом определяется формулой
Ezw = i С-^М ] ^Л . B)
На больших расстояниях от поверхности плазмы х > -———- пространствен-
пространственной дисперсией в 8*r(co, k) можно пренебречь, записав
В этом случае
Str (CD, k) -^8 (О) = 1— . , . . C)
СО (СО + 1 Ve)
Отсюда, в частности, видно, что при (DLe>co>ve поле в плазме затухает по
экспоненциальному закону, причем длина затухания . (глубина проникновения)
U (со)
Если co<ve, то следует ввести комплексную длину затухания
1 (i + \)с (i +
V8
яасо
где a=co2Le/Dлvв) — статическая проводимость плазмы.
Отметим, что при подстановке C) в A) получаем для холодной плазмы
соотношение
4шсо 4я
2 ^ G)
Поэтому при нормальном падении электромагнитной волны «а поверхность
полуограниченной плазмы с диэлектрической проницаемостью е(со) коэффициент
отражения определяется модулем комплексной величины
с2
1 -1/-ТТ 1 + —гцл(со)
1 - У е (со) 4я
(ty
306
На малых же расстояниях от поверхности плазмы *<Ooe/|<o+iVe| при вы*
числении /интеграла B) существенным становится учет сильной пространствен-
пространственной дисперсии e*r((u, k). При этом
VTe
(9)
где a="j/jt/2 для невырожденной плазмы и а=Зя/4 для вырожденной. Под-
Подстановка (9) в B) и A) дает экспоненциальный спад поля в глубь плазмы,
причем
(Ю)
4 зло 4я
2
Задача 9,5. Исследовать возбуждение высокочастотных волн в полуогра-
полуограниченной изотропной плазме моноэнергетическим нерелятивистским элект-
электронным пучком, пролетающим над ее поверхностью.
Решение. Для решения задачи достаточно ограничиться анализом про-
продольных (потенциальных) волн в модели 'независимых частиц, поскольку воз-
возбужденные нерелятивистским пучком волны обладают нерелятивистскими фа-
фазовыми скоростями. Из линеаризованной системы уравнений этой модели
дУл е
-z± +(^iV)F0 + (F0V)F1= — — vO-v,^, A)
ДФ= —eNJeQ,
где NOi Vo — невозмущенные плотности и скорости электронов, а Nu V\ — их
малые возмущения, получаем
дх дх 2
Здесь
8=1— — • C)
(<*-kzVQ)((o-kzV0+ive)
Уравнение B) пригодно как в области плазмы (я>0), так <и в области
пучка (х<0). В плазме col© — ленгмюровская частота электронов плазмы,
ve — их частота столкновений и V0=0; в пучке ©ье-<0ь — ленгмюровская час-
частота движущихся со скоростью Vo электронов пучка столкновениями, которыми
можно пренебречь.
Граничные условия к B) имеют вид
"~Г" I = 0# D)
дх }х=о
307
Подстановка решения уравнения B)
Т
*1 при *<0
в граничные условия D) приводит к искомому дисперсионному уравнению
~ (kV) ° F
kzV0) со (со
Отсюда находим спектр частот и инкремент нарастания
возбуждаемых поверхностных волн в плазме при
V2
б
со
Верхнее выражение для б соответствует недиссипативной неустойчивости, а
нижнее — дисаипативной. Последняя возможна в плазме с частыми столкнове-
столкновениями частиц, в частности, в плазме твердого тела.
Задача 9.6. Показать, что поверхность плазмы, удерживаемой магнитным
полем с положительной кривизной силовых линий (т. е. с внешней нор-
нормалью, направленной от поверхности плазмы), неустойчива по отношению
к низкочастотным желобковым возмущениям.
Решение. Кривизну оилавых линий магнитного поля будем учитывать
введением центробежного ускорения для частиц сорта а, равного v2Ta/R, где
R — радиус кривизны силовых линий магнитного поля, и направленного вдоль
внешней нормали к поверхности плазмы. Это приводит к дрейфу частиц вдоль
поверхности плазмы (ось Оу) со скоростью иа = — 3q" • В результате в
дисперсионном уравнении (9.2.15) величина © заменяется на ©—^уца и Для
желобковых мод колебаний в области низких частот о—kyUa<.&a получаем
где v2s—Te/M — скорость ионного звука. Отсюда
Здесь ^эфф = — аффективное гравитационное поле, учитывающее кри-
R
низну силовых линий удерживающего плазму магнитного поля.
Поскольку со2<0, заключаем, что поверхность плазмы, удерживаемой маг-
магнитным полем с положительной кривизной силовых линий, всегда неустойчива.
Неустойчивость эта аналогична конвективной (желобковой) неустойчивости
объемных волн в неоднородной замагниченной плазме (см. § 8.7).
Задача 9.7. Исходя из модели независимых частиц получить оператор тен-
тензора диэлектрической проницаемости цилиндрически неоднородной много-
многокомпонентной многопотоковой плазмы.
308
Решение. Линеаризуем систему уравнений
относительно равновесного состояния с направленной скоростью частиц
иа (r)\\Ozt Bq\\Oz и NOa(r) и учтем уравнения Максвелла
dt e0 a a
Для возмущений, зависящих от времени « координат в виде
А (г) =Л (r)exp(—№t+ilq>+ikzz),
получим
rot rot E— — D = 0, Di = B0SijEjt C)
где &ij — оператор тензора диэлектрической проницаемости с компонентами
д
а \ г &„ г
BZ2 =1—2
/2 / ^a
Здесь
309
~1/2 2 - ~Ш
Оператор д/дг действует на все стоящие справа от него величины.
Задача 9.8. Найти предельный ток моноэнергетического релятивистского
электрического пучка через эквипотенциальное вакуумное дрейфовое прост-
пространство в сильном продольном магнитном поле. Проанализировать плоский
и цилиндрический случай.
Решение. Электроны пучка при своем движении в эквипотенциальном
дрейфовом пространстве создают пространственно распределенный заряд, кото-
который приводит к объемному .изменению потенциала, а поэтому к торможению
пучка. В результате в плоском дрейфовом пространстве установится распреде-
распределение потенциала с максимумом в центре. Уравнение Пуассона для 'распределе-
'распределения потенциала Ф(х) запишем в виде
1^^ сг0
Здесь / — плотность тока электронного пучка, a y= A—и2/с2)-1/2 — реляти-
релятивистский фактор, причем и — скорость инжектируемых электронов. При вы-
выводе уравнения A) учтен интеграл движения
me2 (\—v2/c2) -^2+еФ=тс2у. B)
Уравнение должно быть дополнено граничными условиями
Ф!,=±(/ = 0, Ф|Л=0=Фо. C)
Сформулированная задача является переопределенной: потенциал на оси
однозначно определяется при заданной плотности пучка. Поэтому решение за-
задачи позволяет связать функциональным соотношением / /и Фо:
D)
Для определения предельной плотности пучка это соотношение следует мак-
симализировать по Фо и найти /0=/тах.
Аналитическое решение уравнения A) находится в предельных случаях не-
нерелятивистского (еФ</лс2, 7^1) и ультрарелятивистского (еФ>тс2, ^\)
пучка, причем для предельной плотности тока /о получаем
2mc3 80
,_1K/2 при Y=l+_-,
9 w '2c2 E)
-у при у » 1.
Эти два выражения можно записать единой формулой, воспользовавшись ин-
интерполяцией:
2/пс3 вр (у2/3-1K/2
А = _ _ . F)
При y^I это выражение совпадает с E), а при у— 1+и2/Bс2) отличается от
E) множителем уЗ.
Совершенно аналогично формулируется и решается задача и в случае про-
прохождения пучка вдоль оси цилиндрического дрейфового пространства:
г dr дг veQ сг0
Ф|г=^=0, Ф|Г==0 = Ф0, (8)
310
причем распределение тока по радиусу
,0 пРиг>,0,
1 v Iconst при r</-0. v
При решении сформулированной задачи следует учитывать непрерывность
потенциала и его первой производной на границе пучка ори г=/о. Окончательно
получаем
(Т2/з_ 1K/2
Наконец, заметим, что подобный расчет для узкотрубчатого пучка со сред-
средним радиусом го и толщиной а<Со приводит к следующему выражению для
предельного тока
4птс3е0 (у 2/з — 1K/2
/о= е a/ro + 2\n(R/ro) ' ( '
Отметим при этом, что 4яшс3ео/е«17 кА.
Задача 9.9. Показать, что плоский слой не релятивистского электронного
пучка, ограниченный проводящими плоскостями —а<д:<:а с линейным по-
поперечным профилем скорости и(х)—иох/аОу ао>а во внешнем продольном
магнитном поле может быть неустойчив, и найти условие возникновения
неустойчивости (slipping — неустойчивость).
Решение. Следуя методу, изложенному в i§ 9.2 для функции распределе-
распределения ^oa(v—u) в виАе Функции распределения Максвелла с неоднородной на-
направленной скоростью м(лг), вместо уравнения (9.2.8) получаем
ДФ = -^ f dkx0 (kx) ekxx {\ - 2 Г© - kz и -
kyV^o ди д f n
Qe дх ди \ z Qe ) Й2е дх
An (г) т ( a>-kzu-nQe
где z=\(k2x+k2y)v2relQ2e, а оператор д/ди действует .на все стоящие справа от
него величины, зависящие от и.
Будем интересоваться высокочастотными неустойчивыми колебаниями с фа-
фазовыми скоростями, большими тепловых скоростей электронов. Поэтому в A)
перейдем к пределу Г-И). В результате получаем
+ —ky<$> = 0, B)
дх дх o^ f2 дх r tcfi f2\
где 0)/=o)— kzu(x). При выводе этого уравнения из A) существенно предполага-
предполагалось, что
kzvTe
причем arg p лежит вне сектора
Зя я
— — ^ arg Р ^ — —.
4 4
311
Только в этих условиях справедлива модель независимых частиц для рассмат-
рассматриваемой задачи, приводящая к уравнению B).
Рассмотрим сначала предел сильного поля Qe>coLe. Считая также (o'<Qe,
из B) получаем
02 ф
— + ?/(*,со)Ф = О, C>
Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями на проводящих
плоскостях
Ф|*=±а = 0. D)
Общее решение уравнения C) имеет в;ид
Ф (х) = VT [Ct Jv (i ks) + C2 J_v (iks)]. E>
kz u0
где
Ограничения на arg p приводят к тому, что найденное решение /имеет смысл
только вне сектора
я 3jt
— <args<— .
4 4
Подстановка E) в D) приводит к дисперсионному уравнению
</v (to-) ^_v (to+) - /_v AЛМ Уv AЛ5+) = 0, G)
Появление неустойчивых колебаний в первую очередь следует ожидать в
длинноволновом пределе ?s±->0. Уравнение G) в этом пределе сводится к виду
s2v_s2v = 0# (8)
Отсюда следует, что Re со=0, а
args+ — args— = , n=±l, ±2,..., (9)
где
l ГО,
- n X
Неустойчивым колебаниям соответствуют углы arg s±, лежащие в третьей и
четвертой четвертях комплексного переменного s, т. е. args+—args~<Jt. Сог-
Согласно (9), это возможно только при условии v2>/i2, т. е. условие возникнове-
возникновения slipping — неустойчивости в плоскопараллельном электронном пучке в
продольном магнитном поле записывается в виде
312
При /г>1 условие A1) соответствует возбуждению высоких мод колеба-
колебаний, описываемых в рамках приближения геометрической оптики, и принима-
принимает вид
—-——=— > 1. A2)
kzQea kz &е дх
При этом инкремент нарастания slipping — неустойчивости
а / пп 1 \ ди #1ЛЧ
б == Im со = kz Щ — / ctg + \ « kz a —. A3)
«о ^ ^ яя дх
Наконец, заметим, что в отсутствие внешнего магнитного поля при условии
<o'<o)Le уравнение B) сводится к виду
— -k Ф +
дх
kzu0
Общее решение этого уравнения
Ф-в»/«[СЛ/,(№*) +С2/-з/2(!^) ] , A5)
как легко видеть, всегда удовлетворяет условию v2>/i2 при л=1.
Таким образом, электронный пучок с неоднородным профилем скорости в
отсутствие внешнего магнитного поля всегда неустойчив, причем в нем возбуж-
возбуждается основная мода колебаний, для описания которой приближение геометри-
геометрической оптики неприменимо.
Задача 9.10. Показать, что замагниченный вращающийся как целое труб-
трубчатый нерелятивистский электронный пучок в дрейфовом пространстве не-
неустойчив по отношению к электростатическим колебаниям (диокотронная
неустойчивость).
Решение. Будем исходить ш модели независимых частиц, считая, что в
равновесном состоянии электронный пучок обладает неоднородной плотностью
Nb(r), однородной продольной скоростью Uff и азимутальной скоростью вра-
вращения Нф. Для вытянутых вдоль магнитного поля (желобковых) электростати-
электростатических возмущений, зависящих от времени и координат в виде
f(r)exp(-i©*+i/<p),
при этом получаем
i / 1 дФ
Лф и A)
Учитывая эти соотношения, запишем уравнение Пуассона
B)
в виде
1 д дФ /2 / Ф
ф
Граничное условие к этому уравнению очевидно:
Ф|г=л=0. D)
Сформулированная граничная задача допускает существование собственных
значений с 1то>>О, соответствующих неустойчивым колебаниям, только при
313
условии, когда — меняет знак в области 0<r<i?. Это имеет место в отор-
дг
ванных от стенок дрейфовой трубки трубчатых электронных пучках:
fAf& = const при ro^r^.rlt
О при г<г0 и r1<r^7?.
В этом случае мы можем решить уравнение C) по отдельным областям одно-
однородности лучка и затем сшить найденные решения, учитывая условия на гра-
границах пучка
Г дг
i®._ -. } =о F)
= 0.
Подставляя в эти соотношения общее решение
при r<.rQy
при г0 <; г ^ rt, G)
v Cir' + C5 /"""' при гх < г0 ^ /?.
и учитывая граничное условие D), после несложных преобразований получим
дисперсионное уравнение
где
/ rl\ ( г? г*1 \
(9)
Уравнение (8) имеет решения с 1тсо>0, если №—4с<0. Можно показать, что
при го=О (сплошной пучок) или Г\—Д (прижатый к стенке трубчатый пучок)
это неравенство не выполняется, т. е. такие пучки устойчивы по отношению к
рассматриваемым колебаниям. Всегда устойчивой оказывается также и мода с
/=1. Таким образом, неустойчивым являются колебания с />2 только в отор-
оторванном от проводящей стенки дрейфовой трубки трубчатом электронном пучке.
Максимальный инкремент нарастания колебаний достигает значения
Im to~
Задача 9.11. Рассмотреть возможность возбуждения встречной В-волны ре-
релятивистским пучком вращающихся электронов в вакуумном резонаторе.
Решение. Встречной является возбуждаемая пучком jB-волна низкой
частоты при условии )^ису1&Л<:\9 так как &z02< и t>g02<0 [см. формулы
(9.5.26) и (9.5.27)]. Такая волна может возбуждаться пучком даже при пол-
полном отсутствии отражения от правого торца резонатора или при идеальном со-
согласовании излучателя с резонатором. Возбуждение возможно при достаточно
больших расстройках, когда
СО Лгпо tl и "
314
Решение характеристического уравнения (9.5.25) для Б-волны при этом дает
28, fe4=-kzm(to), B)
где
1 и\ tfs »l
'2 2 \ 1/2
ТД)
Теперь мы можем подставить решения уравнения поля в виде суммы нормаль-
нормальных вол<н
4
в граничные условия на торцах резонатора z=0, L. На торце 2=0 предпола-
предполагается полное отражение волны, а на торце z=L — полное излучение. В ре-
результате имеем дисперсионное соотношение
з
2 a|exp[i*2n(®)L]=0, E)
ГДе Ькг2Лбка
б kzl б kz2
аз ~~ (б кл - б fex) (б k23 - б fe
Отсюда получаем спектр колебаний (@-HD+i6):
Наконец, из условия б>0 находим стартовый ток возбуждения резонатора на
встречной волне:
Задача 9Л2. Решить задачу Френеля (г. е. задачу отражения и преломле-
преломления) для электромагнитной волны на плоской границе раздела однородной
бесстолкновительной изотропной холодной плазмы с вакуумом.
Решение. Из равенства тангенциальных компонент электрического поля
и нормальной компоненты электрической индукции на границе плазмы с ваку-
вакуумом находим коэффициенты отражения электромагнитных волн: для волн с
s-иалЯ'ризац'ией (Я-волна с электрическим векторам, (параллельным поверхности
плазмы)
cos О — У е (со) — sin2 §
rs— , =-, A)
cos 0 + У е (со) — sin2 d
315
а для волны с р-поляризацией (?-волна с электрическим вектором, лежащим в
плоскости падения)
8 (ш) cos тЭ» — Т/в (со) — sin2 ft
fp = . • B)
е (со) cos Ф + ye (to) — sin2 ф
Здесь ft — угол падения, т. е. угол между волновым вектором падающей вол-
волны и нормально к поверхности плазмы, а е(ю)=11<—<о2ье/ю2 — диэлектрическая
проницаемость. Величина |rs,p|2 есть отношение потока электромагнитной энер-
энергии, отраженного от поверхности, к падающему, а A—|/8р|2) — часть прошед-
прошедшего в плазму потока энергии.
Вадно, что при e(co)<sin2^<l волны обеих поляризаций полностью отра-
отражаются от плазмы; при ft->jt/2 это происходит при любых частотах ноля со.
Отметим также, что отношение нормальных компонент электрического поля в
плазме и в вакууме
При оэ-ноье происходит значительное усиление нормальной компоненты электри-
электрического поля в плазме.,
Часть 3 основы
НЕЛИНЕЙНОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ПЛАЗМЫ
¦ •.-•;;••;¦• ;-;.^
Глава 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ
И РАССЕЯНИЕ ВОЛН
§ 10.1. Корреляционные
функции системы
заряженных частиц.
Общее рассмотрение
В предыдущих главах плазма рассмат-
рассматривалась как система частиц, характеризуемая набором макро-
макроскопических параметров, представляющих собой средние значения
соответствующих микроскопических величин. В то же время из-
известно, что параметры любой системы могут испытывать отклоне-
отклонение от средних значений, которые называют флуктуациями физи-
физических величин.
В этой главе изучим флуктуационные явления в плазме и не-
некоторые связанные с ними процессы. (Помимо самостоятельного
интереса (поскольку, например, тепловые флуктуации электромаг-
электромагнитного поля определяют уровень «шумов» в плазме) изучение
флуктуации важно и с других точек зрения. В частности, вслед-
вследствие тепловых флуктуации могут протекать такие процессы, как
рассеяние и трансформация волн в плазме. Как отмечалось в гл.
3, флуктуации определяют интеграл столкновений заряженных
частиц в плазме, а следовательно, позволяют исследовать и про-
317
цессы переноса. Теорию флуктуации в плазме будем излагать на
основе макроскопических характеристик электромагнитных
свойств плазмы (диэлектрическая проницаемость и проводи-
проводимость), которые были изучены в предыдущих главах исходя из
наиболее общей модели плазмы — кинетического уравнения с са-
самосогласованным полем. Однако возможен и обратный подход к
изучению электромагнитных явлений — определение с помощью
микроскопической теории флуктуации в плазме ее диэлектриче-
диэлектрической проницаемости.
Для количественной характеристики флуктуации введем так
называемые корреляционные функции. Рассмотрим флуктуации
некоторой величины, например плотности тока }(ty г), считая эту
величину вещественной, а ее среднее значение — равным нулю:
</(/, г)> = 0. A0.1.1)
В общем случае усреднение в A0.1.1) должно проводиться как
по всем возможным квантовомеханическим состояниям системы,
так и по вероятности статистического распределения этих состоя-
состояний, т. е. по статистическому ансамблю, что эквивалентно усред-
усреднению по времени.
Пространственно-временную корреляционную функцию (или
просто коррелятор) определяют как среднее значение произведе-
произведения флуктуации величины }(t, r) в различных точках пространст-
пространства в различные моменты времени. При этом, если среда однород-
однородна не только в пространстве, но и во времени*, квадратичную про-
пространственно-временную корреляционную функцию записывают в
виде
<iih>t.r = <ji{ti, ri)/i('/2, r2)>, A0.1.2)
где t=t2—t\, г = г2—п.
Поскольку рассматривается пространственно однородная и
стационарная плазма, можно применить преобразование Фурье**
j (t, r) = — f d со d k е-!в*+нч- j (©, k),
1 Bя)* J и ;
A0.1.3)
/l r),
определив спектральное распределение пространственно-времен-
пространственно-временной корреляционной функции в виде
A0.1.4)
* В этой главе ограничимся случаем пространственно неограниченной одно-
однородной плазмы, так как ограниченность «ли неоднородность плазмы 'не приво-
приводит к появлению принципиально новых результатов. Кроме того, возникающие
здесь особенности можно учесть с помощью изложенного общего анализа
флуктуации в однородной среде.
** В настоящей главе в отличие от других глав мы пользуемся принятым в
теории флуктуации представлением Фурье-разложения, в котором множитель
1/BяL фигурирует в прямом разложении [первое соотношение A0.1.1)], а не
в обратном.
318
Введенную величину называют также спектральной плот-
плотностью корреляционной функции. Используя A0.1.3) и определе-
определение A0.1.4), легко показать, что имеется следующее соотношение:
связывающее среднее значение произведения Фурье-компонент
флуктуирующих величин со спектральным распределением корре-
корреляционной функции.
Часто флуктуации удобно характеризовать пространствен-
пространственной
или временной (автокорреляционной)
</<№, r)ji(t2, г)>^</^>4 A0.1.7)
корреляционными функциями, представляющими среднее значе-
значение флуктуации величин, либо в заданный момент времени, но в
различных точках пространства, либо в заданной точке простран-
пространства, но в различные моменты времени.
Нетрудно убедиться, что имеются следующие соотношения для
спектральных компонент корреляционных функций:
</ih)h = — Jdco </i //>©. k,
2n A0.1.8)
Это означает, в частности, что спектральная плотность авто-
автокорреляционной функции представляет собой интеграл по всем
волновым векторам от спектральной плотности пространственно-
временного распределения флуктуации.
С помощью автокорреляционной функции можно определить
среднюю по всему спектру характерную частоту флуктуации:
*». (ЮЛ.9)
Аналогично с помощью пространственной корреляционной
функции можно найти характерную длину, на которой происходит
корреляция между флуктуациями данной величины.
Отметим одно важное следствие соотношения A0.1.1), для че-
чего перепишем его в виде равенства нулю среднего значения амп-
амплитуд Фурье-компонент флуктуирующих величин:
<j((o,k)> = 0. A0.1.10)
Комплексную амплитуду j (со, к) можно представить как
/Ню, Ю = 17,@), к)|е'ф, A0.1.11)
где ф — фаза соответствующей Фурье-компоненты плоской волны.
Тогда из A0.1.10) следует, что фазы Фурье-компонент флук-
319
туирующих величин случайны, и усреднение A0.1.10) означает ус-
усреднение) по случайным фазам. В этом состоит существенное раз-
различие между флуктуационными возмущениями равновесного со-
состояния среды от возмущений с регулярной фазой, которые соот-
соответствуют собственным колебаниям среды, подробно рассмотрен-
рассмотренным в предыдущих главах.
Основной задачей общей теории флуктуации в материальных
средах является нахождение связи корреляционных функций для
различных физических величин с макроскопическими характерис-
характеристиками среды — диэлектрической проницаемостью или проводи-
проводимостью. Для плазмы как системы заряженных частиц такая за-
задача решается строго благодаря наличию малого параметра г\ —
отношения энергии взаимодействия частиц к среднему значению
энергии их теплового движения. В первом приближении заряжен-
заряженные частицы в плазме можно считать невзаимодействующими.
Переходя к расчету флуктуации различных конкретных пара-
параметров плазмы, вспомним, что введенная в гл. 3 функция распре-
распределения C.2.1) является, по определению, средним статистиче-
статистическим значением микроскопической функции распределения
fn(r, v, 0= 2в(г-г.Ю)в(р--р.@). A0.1.12)
характеризующей микроскопическое распределение электронов в
фазовом пространстве, т. е.
f (г, р, О=<Ыг,Р,о>. (ю.1.13)
Здесь усреднение производится по распределению различных воз-
возможных состояний рассматриваемого статистического ансамбля
из N частиц, т. е. по так называемой функции распределения Лиу-
вилля, зависящей от координат и скоростей всех N частиц, обра-
образующих ансамбль — F (ги ..., Tn, Рь ..., Pn> t). Поэтому ес-
естественно рассмотреть прежде всего флуктуацию самой функции
распределения, которую следует определить как разность микро-
микроскопического распределения в фазовом пространстве A0.1.12) и
его среднего значения:
в/(г, Р, <)И«(г, Р, 0-/(г, Р, t). A0.1.14)
Очевидно, что в системе невзаимодействующих частиц в от-
отсутствие внешних полей их траектории — прямые линии, вследст-
вследствие чего в A0.1.12) следует положить v°s{t) =v°s=const, r°s(/) =
= ros+v°s(?—to), где индекс 0 означает, что данная величина отно-
относится к системе без взаимодействия, a r°s и v°s — начальные по-
положение и скорость частицы. Функция распределения Лиувилля
представляется при этом в виде
320
Здесь учтено, что в силу пространственной однородности и ста-
стационарности системы одночастотные функции распределения f(p°&)
зависят только от импульса p°s=p.
Образуя коррелятор для флуктуации распределения частиц од-
одного сорта и производя далее усреднение по функции A0.1.15),
можно показать, что в отсутствие взаимодействия между частица-
частицами пространственно-временная корреляционная функция для флук-
флуктуации функции распределения имеет вид*
=*(p-pO6[r-r'-v(f-/')]/(p). A0.1.16)
Переходя к Фурье-образам, отсюда находим для спектрального
распределения флуктуации функций распределения вГ отсутствие
взаимодействия выражение
A0.1.17)
Здесь /(р) —произвольная неравновесная функция распределения.
С помощью коррелятора A0.1.17) легко найти спектральные
распределения для флуктуации всех параметров, характеризующих
систему невзаимодействующих заряженных частиц. Так, например,
умножая A0.1.17) сначала на е2, а затем на e2viv/j и дважды ин-
интегрируя по импульсам, находим спектральные распределения про-
пространственно-временных корреляционных функций соответственно
для плотности заряда, плотности частиц и плотности тока в отсут-
отсутствие взаимодействия частиц:
A0.1.18)
A0.1.19)
При наличии внешних полей для вычисления корреляционных
функций необходимо знать закон движения частиц в этих полях.
В частности, если на плазму наложено внешнее магнитное поле
Во, то
Ш \ v. у
)
A0.1.20)
где 7 — релятивистский фактор; Q = eBo/m — циклотронная час-
частота; v± и ю\\— поперечная и продольная (по отношению к. внеш-
внешнему магнитному полю) компоненты скорости заряженных частиц;
Ф — фаза в начальный момент времени ? = 0; магнитное поле счи-
считается направленным вдоль оси Oz.
Образуя, как и в изотропной плазме, корреляционную функ-
функцию флуктуации плотности тока согласно A0.1.14), после вычис-
* Заметим, что при уореднении микроскопической функции fм (г, р, t) по
распределению (ГОЛ.15) получаем соотношение </V(r, P, t))=f[p°s).
11—953 321
лений, аналогичных проведенным в § 5.1 при выводе тензора ди-
диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы, получаем
b A0.1.21)
где тензор Пп<;-(р) определяется формулой E.1.8).
Выражение для спектрального распределения флуктуации
плотности заряда оказывается более простым:
п
A0.1.22)
Корреляционную функцию флуктуации плотности частиц полу-
получают из A0.1.22) простым делением на е2.
Соотношения A0.1.18) — A0.1.22) связывают флуктуации
плотности заряда и тока в системе невзаимодействующих частиц
с функцией распределения /(р). В этом приближении (при пол-
полном пренебрежении взаимодействием частиц) флуктуации в элек-
электронной и ионной компонентах плазмы независимы и найденные
соотношения можно рассматривать для каждой из них отдельно.
Затем следует учесть взаимодействие между частицами плазмы
посредством самосогласованного поля. Для этого плотность флук-
туационного тока j°(co, k) нужно подставить в систему уравнений
Максвелла в качестве внешнего источника и определить поле, со-
создаваемое этим током. В результате имеем
k) = -^-2 /«о(ш, к). A0.1.23)
e0c2 a
Здесь суммирование распространяется по всем сортам заряжен-
заряженных частиц а = е, i, а e;j(co, k) —тензор диэлектрической проница-
проницаемости плазмы.
Решение уравнения A0.1.23) можно формально записать в
виде
?,(©, к) = -^ 2Л-Чю, к)/«о(©, к). A0.1.24)
Используя A0.1.5), отсюда находим спектральное распределение
флуктуации самосогласованного поля в плазме:
<?«?,>„.* =-^-Л?-Чсо, к)Л-Чо>, к) 2 </?/?%.к- (Ю.1.25)
При выводе этого соотношения было учтено, что в приближении
невзаимодействующих частиц
322
Формулы A0.1.25) и A0.1.21) связывают коррелятор <?i?j>©tk
с функцией распределения* частиц в плазме.
Теперь, когда известна корреляционная функция флуктуации
самосогласованного поля, можно найти поправки к флуктуациям
тока и заряда, обусловленные самосогласованным взаимодейст-
взаимодействием частиц в плазме. Так, под действием флуктуации самосогла-
самосогласованного поля возникает поправка к флуктуации плотности тока
частиц сорта а:
б/а<(ю, k)=—i©e<>6eaii(©, к)?,-(©, к). A0.1.27)
В результате полная плотность ф,дуктуационного тока частиц
сорта а
jf (со, к) = 4 бе« (со, к) Л (со, к) 2 /» (со, ) + if (со, к). A0.1.28)
Отсюда получаем искомую связь между спектральным рас-
распределением флуктуации плотности тока, учитывающим самосо-
самосогласованное взаимодействие частиц в плазме, и коррелятором
флуктуации плотности тока невзаимодействующих частиц:
</« /?>«.*= 2 [б||46о«— |-бе»'(со, к) Л-1* (<а> к)] X
X [6;-v 6«'Э- f И (со, к) Л (со, к)] </?' /?'>°>к# A0.1.29)
Спектральное распределение корреляций плотности заряда при
учете самосогласованного взаимодействия частиц в плазме легко
получить, используя уравнение непрерывности. В результате
имеем
<pV)co,k^^</?/?>co,k. (Ю.1.30)
Делением этого соотношения на еае$ находят коррелятор флук-
флуктуации плотности частиц <6A/raiVp)fi)fic.
Аналогично находят корреляционные функции флуктуации
магнитного поля, среднего значения энергии и других физических
величин. Все они выражаются через коррелятор флуктуации плот-
плотности тока невзаимодействующих частиц, который, в свою оче-
очередь, согласно A0.1.19) и A0.1.21), определяется интегралом от
функции распределения частиц по импульсам.
В заключение еще раз подчеркнем, что полученные в этом
параграфе соотношения носят общий характер и применимы как
к равновесной, так и к неравновесной плазме. Единственным ог-
ограничением является требование устойчивости плазмы, что, в
частности, заложено в предположении ее пространственной одно-
однородности и стационарности равновесного состояния.
И* 323
§ 10.2. Флуктуации в равновесной плазме.
Флуктуационно-диссипативная теорема
Применим полученные общие результаты к термодинамически
равновесной плазме. Начнем с невырожденной изотропной бес-
столкновительной плазмы, имеющей максвелловскую функцию
распределения /оа(р) и температуру Т для всех сортов частиц.
При этом вклад частиц сорта а в диэлектрическую проницаемость
определяется выражением D.1.11), из которого следует соотно-
соотношение
е2
6e?f (со, k) = i л—— J d pvt vi foa (р) б (со —- kv) A0.2.1)
4 СО Т 80
Сравнивая это выражение с A0.1.19), получаем связь коррелято-
коррелятора токов невзаимодействующих частиц с антиэрмитовской частью
парциального тензора диэлектрической проницаемости:
</a27aj>O(otk = —1соГ2б0 e°%(co, k). A0.2.2)
Отсюда видно, что флуктуации в плазме пропорциональны ее тем-
температуре и антиэрмитовской части тензора диэлектрической прони-
проницаемости, ответственной за диссипацию энергии электромагнитно-
электромагнитного поля в плазме.
Учтем далее, что в изотропной плазме
,-^)[-%*»(»>*) + »]•
A0.2.3)
Используя соотношения A0.1.29) и A0.2.2), коррелятор флуктуа-
флуктуации плотности полного тока в изотропной плазме после несложных
выкладок можно привести к виду
.Г*
A0.2.4)
Соотношение A0.2.4) представляет собой так называемую
флуктуационно-диссипативную теорему для невырожденной тер-
термодинамически равновесной изотропной плазмы. Она является
частным случаем более общей флуктуационно-диссипативнои тео-
теоремы, справедливой для термодинамически равновесной анизо-
анизотропной плазмы:
/* t \ — *°2Т8° до гд-1 — л —1 *\ до =
— A»fc(Att-Ay AJ/f A0.2.5)
324
где Л=|Лг;/|—определитель, составленный из элементов матри-
матрицы Aij; Aij — алгебраическое дополнение А^Л^^Лб^, а
? (co,k)= lim Лг7(со,к) = v(k*~^-\ bu-kikj-] . A0.2.6)
Флуктуационно-диссипативная теорема вида A0.2.5) примени-
применима также к произвольной анизотропной плазме, как невырожден-
невырожденной, так и вырожденной. Необходимо только, чтобы плазма нахо-
находилась в состоянии термодинамического равновесия с температу-
температурой Г, одинаковой для всех сортов заряженных частиц. Кроме
того, при выводе этой теоремы предполагалось выполненным не-
неравенство й со<С Т9 что обусловило применимость классического
рассмотрения. В квантовой статистической физике флуктуацион-
флуктуационно-диссипативная георема доказывается в более общем виде без
учета этого неравенства:
л (**ач <10-2-7>
В пределе Йсо<Г она переходит в A0.2.5).
При использовании флуктуационно-диссипативной теоремы в
A0.2.5) и A0.2.7) следует подставлять Л'(со, к), Л^(со, к) и А^(со,
к), вычисленные с учетом соответствующих ограничений. Выше
для описания движения заряженных частиц в плазме было ис-
использовано классическое кинетическое уравнение с самосогласо-
самосогласованным взаимодействием, справедливое в условии Йсо<С^ср, где
<^ср — среднее значение энергии хаотического движения частиц*.
Это означает:, для невырожденной плазмы ЙохСТ, для вырожден-
вырожденной плазмы /&cu<C<^f; отношение Йсо/Т может быть произвольным
Поэтому далее для невырожденной плазмы будем пользоваться
флуктуационно-диссипативной теоремой A0.2.5), а для вырожден-
вырожденной— A0.2.7).
Из соотношений A0.2.5) и A0.2.7) следует, в частности, один
общий весьма важный вывод: спектральная плотность флуктуа-
флуктуации резко возрастет в том случае, когда возможно выполнение
равенства
k26u-kik,-^ Btj (со, k) = 0. A0.2.8)
Это есть не что иное, как дисперсионное уравнение для спектров
собственных колебаний плазмы B.4.4), подробно исследованное
в предыдущих главах. Таким образом, флуктуации имеют резкие
максимумы вблизи частот собственных колебаний плазмы.
С помощью соотношений A0.2.4) — A0.2.7) были выражены
флуктуации в равновесной плазме через макроскопическую харак-
* Условие h0<C^cp следует <из приближения p^hk, примененного при вы-
выводе кинетического уравнения с учетом столкновений частиц (см. гл. 3). До-
мнояшв это неравенство на скорость 1>ф=со/&, которая для плазменных волн
порядка тепловых скоростей частиц, придем к «сходному условию.
11*—953 325
теристику ее электромагнитных свойств — диэлектрическую
проницаемость, точнее, ее антиэрмитовскую часть saij((o, k). Мож-
Можно поступить и обратным образом — с помощью формулы A0.2.2)
выразить антиэрмитовскую часть диэлектрической проницаемости
через коррелятор плотности тока для системы невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц. Воспользовавшись далее формулами Крамерса —
Кронига B.2.17), можно определить и эрмитовскую часть 6saaij((o,
к), т. е. найти полное выражение тензора комплексной диэлектри-
диэлектрической проницаемости. Соответствующие соотношения имеют вид
-«w= -i- J Д> «&<«''*>*' • A0.2.9)
w J G)'~CO
G)'~—CO
Приведенные выражения составляют математическое содержа-
содержание так называемого обращения флуктуационно-диссипативной
теоремы, с помощью которого можно найти тензор диэлектриче-
диэлектрической проницаемости плазмы, если предварительно определить из
микроскопической теории флуктуации плотности тока или заряда
в плазме.
§ 10.3. Спектральное распределение флуктуации
в равновесной бесстолкновительной плазме
Рассмотрим флуктуации в равновесной бесстолкновительной
электронной плазме. Начнем с наиболее простого случая изотроп-
изотропной невырожденной плазмы. Будем исходить из соотношения
A0.1.25), которое при учете A0.2.2) определяет коррелятор флук-
флуктуации самосогласованного поля в изотропной плазме:
_ 2Г \ktkj Im 8Z(co, k) ,
,k ~7T~ Z "Г
°>8o L k I» (ю> k)|2
(
Im?<>-1, a] • (Ю.3.1)
Из формул A0.2.4) и A0.3.1) видно, что корреляторы флукту-
флуктуации плотности тока и электрического поля распадаются на два
слагаемых, характеризующих продольные и поперечные флуктуа-
флуктуации. Таким образом, в изотропной плазме продольные и попереч-
поперечные флуктуации оказываются независимыми.
Из уравнения непрерывности
сор = kj (со, к), A0.3.2)
учитывая A0.2.4), легко находим коррелятор флуктуации плот-
плотности заряда:
*> 1ег (со,
326
Естественно, что флуктуации плотности заряда зависят только от
продольной диэлектрической проницаемости. Напротив, корреля-
коррелятор флуктуации магнитного поля в изотропной плазме определя-
определяется только поперечной диэлектрической проницаемостью. Дейст-
Действительно, учитывая уравнения поля coBMfkE], из A0.3.1) нахо-
находим
2Т
—
(в,,-— )-
Im e
tr
A0.3.4)
Выразим теперь корреляционные функции через параметры
плазмы, для чего используем явный вид диэлектрической прони-
проницаемости. Ограничимся вначале случаем чисто электронной не-
невырожденной плазмы, воспользовавшись для ег(со, k) и etr(co, k)
выражениями D.1.14). Рассмотрим флуктуации плотности заряда.
Проанализируем область высоких частот (больших фазовых ско-
скоростей) (o^$>kvTe9 в которой существуют продольные слабозатуха-
слабозатухающие ленгмюровские волны со спектром, определяемым диспер-
дисперсионным уравнением г1 {со, k)=0. Для этой области частот из
A0.3.4) имеем
1,2 9Ь2 То
(ра)и,к = — <?/2>ш.к « i*-Lh nb [Re е' (ю, к)]. A0.3.5)
16я«^ со
При получении этой формулы была использована возможность
формальной замены
Ime/((u'k) = лб [Re е^ (со, к)], A0.3.6)
справедливой для области прозрачности плазмы, когда
*\С О 1Ш) «v J у&* 1111 о \vU, /v j •
Подставляя в A0.3.5) выражение для Reez(co, &), которое в
рассматриваемой области имеет вид
окончательно находим
CD
со
б (
со
2 -
- 3 k*
A0.3.7)
A0.3.8)
Здесь учтено, что спектр продольных волн лежит в узком диапа-
диапазоне ЧаСТОТ ©2 ? GJLe-
Таким образом, в высокочастотной области спектра флуктуа-
флуктуации плотности заряда в плазме существуют только в узком диа-
диапазоне частот, соответствующем спектру плазменных колебаний.
11* 327
Это иллюстрируется рис. 42,
на котором представлена зави-
зависимость спектральных распре-
распределений величины Q'k
2 яе0 е2 Ne
от безразмерной частоты
со/(&Уте). Видно, что максиму-
максимумы резкие только при малых
значениях &2r2De, а с уменьше-
уменьшением длины волны (увеличени-
(увеличением волнового числа k) полно-
полностью пропадают из-за сильного
затухания Ландау.
Используя асимптотику
функции У+(-^-] при ма-
лых значениях со/(^те), мож-
можно исследовать и область
низких частот, однако соот-
соответствующие расчеты не при-
приводят к простым выраже-
выражениям и выписывать их
здесь не представляет инте-
интереса.
Для дальнейшей характеристики флуктуации удобно рассмот-
рассмотреть временную корреляцию флуктуации с заданной длиной вол-
волны, которая получается интегрированием спектрального распре-
распределения корреляционной функции по частотам:
Рис. 42. Спектральное распределение
флуктуации плотности заря-
заряда в термодинамически рав-
равновесной плазме
2л
2я
J
A0.3.9)
Интегрирование в A0.3.9) легко провести с помощью формулы
Крамерса — Кронига, которую следует применить к функции
1У((о, А»)] (см. задачу 2.5):
Ree'(co,k) _1д J_ J ЗЧтвУ.к) ^ A0.3.10)
|s'(co,k)|2 я ~оо (со' ~ 0)I e* (со', к) |2
Полагая в A0.3.10) co = 0 и учитывая, что Imez@, &)=0, из
A0.3.9) находим
Z_ Г 1
e. L
A0.3.11)
Таким образом, спектральная плотность пространственной кор-
корреляционной функции флуктуации плотности заряда и продоль-
продольного электрического поля полностью определяется продольной
328
статической диэлектрической проницаемостью. Подставляя в
A0.3.11) значение 8z@, k) для изотропной плазмы, согласно
D.2.13), получаем
2)к==
Производя обратное преобразование Фурье, нетрудно найти
пространственные корреляционные функции флуктуации плотно-
плотности заряда и продольного электрического поля*:
» J > A0.3.13)
e, r
Отсюда следует, что характерным расстоянием, на котором
происходит корреляция между флуктуациями плотности заряда и
продольного электрического поля в плазме, является дебаевский
радиус. В этом! случае при т]<С 1 энергия флуктуации продольного
поля мала по сравнению с тепловой энергией электронов:
3/2
-"-*1- Aй&14>
Найдем далее среднюю квадратичную частоту флуктуации,
которая определяется выражением A0.1.9):
A0.3.15)
Здесь также интегрирование удобно провести с помощью форму-
формулы Крамерса — Кронига, что дает
<ю2)=Нтсо2[1-е<(со,?)] [1 —! Т\ A0.3.16)
Ю-*оо L 8* @, k) J
Как неоднократно было показано ранее и как следует из об-
общих физических соображений, в области высоких частот про-
пространственная дисперсия несущественна и для ег(<о, Тг) при со»
k можно пользоваться формулой элементарной теории
еЧю, ft) = 1—oJLe/co2.
С учетом этого средняя квадратичная частота флуктуации
¦Далее для простоты ионы считаются однократно заряженными.
329
откуда видно, что она меньше частоты собственных плазменных
колебаний оJ=<о2ье+3&2а2Те. Из A0.3.17) следует также, что все
полученные формулы, основанные на A0.3.4), справедливы при
условии Ъыье^Т, которое, как правило, всегда хорошо выполня-
выполняется в невырожденной плазме.
Проанализируем теперь особенности флуктуации в вырожден-
вырожденной электронной плазме. Будем исходить из выражения A0.2.7)
для коррелятора </Vj)©,k • Используя уравнение непрерывности
A0.3.3), можно получить из A0.2.7) выражение для коррелятора
флуктуации электронной плотности в изотропной плазме:
¦ Aо-зл8)
Отметим прежде всего следующее важное обстоятельство. Со-
Согласно флуктуационно-диссипативной теореме в классическом
пределе, т. е. когда йсо<СГ и справедливо соотношение A0.2.5),
при Г=0 флуктуации невозможны. В вырожденной плазме это не
так. Действительно, из A0.3.18) видно, что флуктуации в вырож-
вырожденной плазме возможны и при Г=0 (полное вырождение), но
только с отрицательными частотами со<0. Физически это являет-
является следствием того, что при Г=0 частицы системы занимают все
возможные низшие энергетические уровни, т. е. система Ферми-
частиц находится в основном энергетическом состоянии и допус-
допускает переходы только в состояние с большей энергией, что соот-
соответствует поглощению кванта энергии, т. е. отрицательному зна-
значению частоты. Флуктуации при Г=0 являются чисто квантовыми
и пропорциональны постоянной Планка й.
Проанализируем выражение A0.3.18) при произвольном отно-
отношении йсо/Г, используя в качестве е'(со, k) формулу D.1.18). Нач-
Начнем с области высоких частот ©>^Урв. При этом мнимая часть
диэлектрической проницаемости в бесстолкновительном пределе
[согласно D.3.3)] строго равна нулю и флуктуации в плазме не-
невозможны. Однако при учете редких столкновений частиц появ-
появляется отличная от нуля мнимая часть г1 (a), \k), а вместе с ней
и флуктуация на частотах собственных плазменных колебаний со
спектром D.3.4):
1. A0.3.19)
В области низких частот (u<g.kvFe для ег(оо, k) имеем асимпто-
асимптотическое представление D.3.6), подстановка которого в A0.3.18)
дает
/сДЛ2\ 8о«СОЯ п 1 /1л о ОЛ»
' e*vFe ехрфю/Г) — 1 -•-«>"- * ^
330
Из этого выражения видно, что в области низких частот (ма-
(малых фазовых скоростей) основную роль играют длинноволновые
флуктуационные возбуждения с kvFe<^&Le> флуктуации с малой
длиной волны kvFe*>®Le в системе невзаимодействующих ферми-
частиц относительно малы.
Наконец, заметим, что, зная флуктуации плотности электро-
электронов, нетрудно определить флуктуации плотности заряда и про-
продольного электрического поля в плазме:
Оценка по этой формуле энергии, связанной с флуктуацией
продольного поля, показывает, что, так же как и для невырож-
невырожденной плазмы, она мала по сравнению с энергией хаотического
движения электронов. Так, в пределе ft со «С Т имеем
f «1. (Ю.3.22)
Таким образом, в вырожденной изотропной плазме, так же как
и в невырожденной, возможны высокочастотные флуктуации
плотности заряда и продольного электрического поля на часто-
частотах, близких к ленгмюровской частоте электронов. Однако в от-
отличие от невырожденной плазмы такие флуктуации в вырожден-
вырожденной плазме имеют место как при йсоье<7\ когда они определя-
определяются температурой (подобно невырожденной плазме), так и при
ft coLe>y~>0, когда они носят чисто квантовый характер.
В заключение кратко проанализируем флуктуации в невыро-
невырожденной магнитоактивной плазме, находящейся в состоянии тер-
термодинамического равновесия. Коррелятор флуктуации плотности
тока определяют в этом случае с помощью флуктуационно-
диссипативной теоремь! A0.2.5) Входящие в это соотношение
величины выражаются через тензор диэлектрической проницае-
проницаемости магнитоактивной плазмы, для которого следует использо-
использовать выражение E.1.10) с Ге=Г/=7\ Видно, что в общем случае
флуктуации в магнитоактивной плазме связан с громоздкими вы-
вычислениями. Тем не менее вид спектрального распределения кор-
корреляционных функций качественно остается прежним: он харак-
характеризуется наличием резких максимумов вблизи собственных ча-
частот колебаний магнитоактивной плазмы, которые детально про-
проанализированы в гл. 5. Поэтому ограничимся простым примером.
Вычислим корреляционную функцию флуктуации плотности заря-
заряда в пределе холодной плазмы. С помощью A0.2.5) и уравнения
непрерывности A0.3.3) получаем
F^. Aаз-23>
331
где Р(о>,
к) ^ (8icos^ + 8i+8|,sind)^ +
CD* CD*
+ (е2х—8s) cos2 Ф+в n ej. sin2 ft, A0.3.24)
Л (©, к) = ??¦ (et sin2 ¦ + e j cos2 d) -
-?? [2eL en + (e^ -g2- 8l eg) sin2Щ + в,, (e^ -g2)
(¦& — угол между векторами к и В), а компоненты тензора ди-
диэлектрической проницаемости ej., ej и §¦ для рассматриваемого
случая чисто электронной плазмы определяются формулами
[см. E.2.3)]
^ ^ <&*. A0.3.25)
Ограничиваясь пределом (&2cV«»2);>l, когда волны в магнито-
активной плазме с хорошим приближением можно считать по-
потенциальными, выражение A0.3.23) можно упростить:
bn
При учете исчезающе малых мнимых частей &± и гц , обус-
обусловленных, например, столкновениями частиц, из A0.3.26) нахо-
находим ,
х
(D* Sin* d + (©» - Q2J COS» *
A0.3.27)
где частоты со\ и со2 определяются корнями дисперсионного урав-
уравнения для продольных ленгмюровских волн в магнитоактивной
плазме [см. спектр E.2.20)].
2
_ 4@^ Q2 C0S2 О. (Ю.3.28)
Из условия применимости теоремы A0.2.5) следует, что фор-
формулы A0.3.23), A0.3.26), A0.3.27) справедливы при /S<oi,2<7\
Так как они относятся к холодной магнитоактивной плазме, то
пригодны как для невырожденной, так и для вырожденной плаз-
плазмы. Более того, не представляет труда обобщение этих формул
на случай вырожденной плазмы при произвольном отношении
Й (oi,2/7\ Для этого величину Т в них следует заменить на
ft® expf—— ]— 1 . Видно, что аналогично изотропной плазме,
в магнитоактивной вырожденной плазме возможны чисто кванто-
квантовые флуктуации в пределе Г-Я), причем частоты этих флуктуации
также отрицательны.
832
§ 10.4. Флуктуации в неравновесной плазме.
Неизотермическая квазиравновесная плазма
и плазма с пучком
Полученные в § 10.1 общие выражения для флуктуации в не-
неравновесной плазме сложны для анализа. Их удается несколько
упростить в случае изотропной плазмы. Ограничиваясь рассмо-
рассмотрением флуктуации только продольных полей и токов (и выра-
выражающихся через них флуктуации плотностей заряда и частиц дан-
данного сорта), легко получить из выражения A0.1.25) спектраль-
спектральное распределение коррелятора флуктуации продольного элект-
электрического поля:
">"•"- I mufffw I«-»«»-fa»
Для спектрального распределения коррелятора флуктуации
плотности тока частиц данного сорта (для определенности плот-
плотности электронного тока) из A0.1.29) находим
(Ю.4.2)
С помощью уравнения непрерывности отсюда получаем спект-
спектральное распределение коррелятора флуктуации плотности элек-
электронов:
Н
X JdpJOe(PeN(co-kv)+ i6e>, *)|2Jdp*f0l(PiN(<*>-kv)]. A0.4.3)
Флуктуации ионов определяются такими же формулами, как
и флуктуации электронов, с заменой индексов е на i и наоборот.
Из последних двух выражений следует, что флуктуации плот-
плотности электронного тока и плотности электронов зависят от функ-
функции распределения как электронов, так и ионов, причем эта зави-
зависимость определяется не только вкладом соответствующих частиц
в диэлектрическую проницаемость, но также самими функциями
распределения электронов и ионов по скоростям в направлении
волнового вектора к. Физически природа такой зависимости за-
заключается в следующем.
Для характеристики флуктуации в неравновесной плазме час-
часто удобно вводить понятие эффективной температуры флуктуа-
флуктуации 7Эфф. Покажем это на примере флуктуации продольного по-
поля. Для этого запишем соотношение A0.4.1) в виде
Q , A0.4.4)
333
где введено обозначение
F(a>, k)= 2 —^-^-Jdp/oa(pN((o-kv). A0.4.5)
В случае равновесной плазмы выражение A0.4.4) переходит в
A0.3.4). Сравнивая эти выражения для коррелятора флуктуации
в неравновесной и равновесной плазме соответственно, определя-
определяют эффективную температуру флуктуации неравновесной плазмы:
Г**ф- ftc Im •'(..*) ' A0-4*6)
Ясно, что эффективная температура может служить не только
для характеристики флуктуации, но и для характеристики про-
продольных колебаний в неравновесной плазме.
Применим полученные результаты к двум конкретным случа-
случаям неравновесной плазмы: 1) квазиравновесной неизотермической
(двухтемпературной) электронно-ионной плазме; 2) плазме с
пучком.
Рассмотрим квазиравновесную плазму, в которой электроны и
ионы имеют максвелловские распределения по скоростям, но с
различными температурами. При этом в приведенные формулы
в качестве /оа (р«) следует подставить функции распределения
Максвелла с температурой Га, где а=е, и Получим сначала вы-
выражение для спектрального распределения флуктуации продоль-
продольного поля. Используя A0.4.1), получим
т. е. флуктуации продольного поля в неизотермической плазме
описываются аналогично флуктуациям в изотермической плазме
с заменой Tim г1 (со, к) на 2 Га1т6ега (со, k).
а
Путем аналогичных расчетов нетрудно получить выражения
для флуктуации других величин в неизотермической плазме, в
частности для спектрального распределения флуктуации плотно-
плотности электронов 1
Wvl 1 г" * 'Ч k)|4mse>, k,+
A0.4.8)
В формулах A0.4.7) и A0.4.8) ег(со, к) и Ьг1а (со, к) определя-
определяют согласно D.1.14).
Проанализируем спектральное распределение флуктуации плот-
плотности электронов более подробно, для чего рассмотрим области
прозрачности неизотермической плазмы. Как известно, их две.
Первая область прозрачности соответствует области высоких час-
334 •
Рис. 43. Спектральное распределение
флуктуации электронной
плотности в неизотермичес-
в неизотермической плазме
twh
тот co^$>kvTe (больших фазо-
вых скоростей), в которой су-
существует спектр слабозатуха-
слабозатухающих плазменных колебаний.
В этой области плазма ведет
себя как чисто электронная и
для ее описания можно вос-
воспользоваться полученными в
предыдущем параграфе ре-
результатами.
Вторая область прозрачно-
прозрачности сЬответствует низкочастот-
низкочастотной ветви продольных слабо-
слабозатухающих колебаний в сильно неизотермической (Те^>Т{) плаз-
плазме с фазовыми скоростями, удовлетворяющими условию &^тг<Ссо<С
«С&^те. При условии &2f2De<Cl спектр этих колебаний имеет про-
простой вид [см. D.2.10)]:
A0.4.9)
м
В этой области частот из A0.4.8) следует
(бN%f k
fNek*r*De [6(со + kvs) + б (со-kvs)],
A0.4.10)
т. е. флуктуации имеют резкий максимум вблизи резонансных'
ионно-звуковых частот & = ±kvs. В сторону больших частот зна-
значение <6Л^2е><0.к спадает по экспоненциальному закону, так как,
согласно D.1.16), в рассматриваемой области частот
со, к)~ехр(^
\
В области малых частот также происходит падение <6A/r2e>e>tk
При частотах (d<^kvTe основной вклад в выражение A0.4.8) да-
дает последнее слагаемое и приближенно можно записать
A0.4.11)
При переходе к изотермической плазме ионно-звуковой макси-
максимум пропадает практически полностью, однако абсолютное значе-
значение коррелятора флуктуации электронной плотности в области
низких частот при Te=Ti сильно возрастает по сравнению с неизо-
неизотермической плазмой. Это видно из рис. 43, на котором представ-
представлена зависимость спектральных распределений величины
2<6#2е><о,к /Ne от безразмерной частоты <x>/{kvTe) при &2г2ре<1 и
различных значениях Те/Т{.
335
В случае неизотермической плазмы из A0.4.6) получаем
2 *.«2^ех
. (Ю.4.12)
Естественно, что для ионно-звуковой области прозрачности сильно
неизотермической плазмы {Те>Т{) из A0.4.12) следует ГЭфф«Ге,
т. е. эффективная температура флуктуации как в высокочастот-
высокочастотной, так и в низкочастотной областях прозрачности полностью оп-
определяется температурой электронов.
Рассмотрим горячую плазму, сквозь которую с направленной
скоростью и движется нерелятивистский пучок заряженных час-
частиц — электронов. Предположим, что в сопутствующей системе
координат частицы пучка имеют максвелловское распределение
по скоростям. Электроны же плазмы имеют максвелловское рас-
распределение в лабораторной системе координат. Тогда для про-
продольной диэлектрической проницаемости системы плазма — пу-
пучок е(со, к) можно воспользоваться соотношением F.3.14):
е(а>, k) = ^eli(co, к)=1+2 ^[ 1-J+(^к>I-A0.4ЛЗ)
Суммирование распространяется по электронам плазмы и пучка.
Нетрудно записать также выражение для функции F(<o7 k), кото-
которое, согласно A0.4.6), определяет эффективную температуру
флуктуации:
F((o, k)= у У2п -^*-ехр Г - (c°~ku«> |. A0.4.14)
L
J
В гл. 6 было показано, что при достаточно малых скоростях пуч-
пучков система плазма — пучок устойчива, а следовательно, к ней
применима изложенная ранее общая теория флуктуации нерав-
неравновесной плазмы*. При скорости пучка, превышающей некоторое
критическое значение, в плазме начинают развиваться различ-
различные типы неустойчивостей. При этом с возрастанием скорости
пучка сначала развиваются кинетические неустойчивости, связан-
связанные с изменением знака мнимой части диэлектрической проница-
проницаемости Ime(co, k), а затем гидродинамические, нарастание кото-
которых не зависит от теплового движения частиц (и, следовательно,
от Ime(>G), k)). Рассмотрим поэтому флуктуации в плазме, кото-
которая находится в докритическом состоянии. Ограничимся облас-
областью прозрачности, когда для флуктуации продольного поля мо-
* Строго говоря, это справедливо лишь для электростатических возмущений,
т. е. система плазма-пучок устойчива при малых скоростях пучка по отношению
к продольным (электростатическим) возмущениям прляу , у , пк <
336
жет быть применена формула A0.4.4). Из этой формулы прежде
всего следует, что с приближением плазмы к кинетически неус-
неустойчивому состоянию флуктуации в ней неограниченно возраста-
возрастают. Должна неограниченно возрастать и эффективная темпера-
температура, значение которой, согласно A0.4.6) и A0.4.13), A0.4.14),
определяется выражением
8фф ~ Nb со - ku / ((O-ku)*\ N
Г3/2 о еХР^~ 2k42b )+
A0.4.15)
в котором частота и волновой вектор связаны дисперсионным
уравнением Ree(<o, k)=0.
В дальнейшем плотность пучка будем считать малой: Nb<€.Ne.
При этом вкладом пучка в действительную часть диэлектричес-
диэлектрической проницаемости можно пренебречь. Вклад же пучка в мнимую
часть диэлектрической проницаемости, так же как и в функцию
F((ot k), с приближением плазмы к кинетически неустойчивому
состоянию является определяющим. Рассмотрим высокочастот-
высокочастотную область прозрачности {u^>kvTe, спектр колебаний плазмы в
которой
C02 = @2Le+3A2yV A0.4.16)
При этом для пучка с большим тепловым разбросом частиц
по скоростям, когда |g)—ku| <kvTb, выражение A0.4.15) упроща-
упрощается:
^эфф = Те
Nb(Te\W
Ne\ ТЪ) ke \ р
A0.4.17)
U
1 — cos 0
«кр
Здесь введено обозначение
(?r4)} A0-4Л8)
Из A0.4.17) видно, что эффективная температура флуктуации
при скоростях пучка и, приближающихся к критической скорости
иКр, соответствующей началу развития кинетической неустойчиво-
неустойчивости в системе, неограниченно возрастает.
Возрастание флуктуации в плазме с приближением ее к неус-
неустойчивому состоянию, получившее название явления критической
опалесценции, обусловливает резкое увеличение рассеяния элек-
электромагнитных волн в такой плазме (см. § 10.6).
337
§ 10.5. Флуктуации и столкновения частиц в плазме
В предыдущих параграфах флуктуации в плазме рассматри-
рассматривались в пренебрежении столкновениями частиц. Проанализиру-
Проанализируем связь столкновительных и флуктуационных процессов, кото-
которая особенно наглядно проявляется для плазмы как системы за-
заряженных частиц, силы взаимодействия которых — дальнодейст-
вующие. Данный вопрос имеет два аспекта. Первый из них за-
заключается в том, что столкновения должны оказывать сущест-
существенное влияние на вид корреляторов флуктуации электромагнит-
электромагнитных полей и параметров плазмы, так как флуктуации определя-
определяются диссипацией электромагнитной энергии в плазме, которая,
в частности, обусловлена столкновениями частиц. Учет столкно-
столкновений при этом можно достаточно просто провести с привлече-
привлечением рассмотренных общих методов. Действительно, поскольку
флуктуации полностью определяются (по крайней мере в термо-
термодинамически равновесной плазме) диэлектрической проницаемос-
проницаемостью плазмы, точнее, ее антиэрмитовской частью, расчет флукту-
флуктуации можно проводить с помощью приведенных в предыдущих
параграфах соотношений, например A0.2.2), A0.2.4) для равно-
равновесной плазмы, в которые следует подставить выражения для тен-
тензора 8ij(]co, k), учитывающие столкновения частиц. Так, для сла-
боионизованной невырожденной плазмы необходимо пользовать-
пользоваться выражениями D.5,8) и E.5.6), E.5.7), для вырожденной плаз-
плазмы— выражениями D.5.19) и E.5.6), E.5.11). В случае полно-
полностью ионизованной плазмы тензор 8ij(to, k) с учетом столкнове-
столкновений частиц в различных пределах определяется формулами, при-
приведенными в § 4.6 и 5.6.
С принципиальной точки зрения дальнейшее рассмотрение
флуктуации электромагнитных полей и параметров плазмы не
затруднительно, но связано громоздкими выкладками. Физически
же влияние столкновений на корреляторы флуктуации различ-
различных величин вполне ясно. В самом деле, столкновительная дисси-
диссипация должна приводить к двоякого рода эффектам. Вдали от
областей прозрачности флуктуации должны возрастать вследст-
вследствие появления дополнительного диссипативного механизма. С
другой стороны, по той же причине должно измениться и спект-
спектральное распределение флуктуации вблизи резонансных частот.
В предыдущих параграфах считалось, что вблизи частот собст-
собственных слабозатухающих колебаний плазмы флуктуации пропор-
пропорциональны б-функциям от соответствующих частот, т. е. неограни-
неограниченно возрастают вблизи них. Однако реально флуктуации конеч-
конечны и при резонансных частотах в силу наличия затухания Лан-
Ландау. При этом резонансные пики имеют не только конечную ам-
амплитуду, но и конечную ширину. Учет столкновений должен при-
привести к усилению этих эффектов, а именно к уменьшению ампли-
амплитуды резонансных флуктуации и уширению резонанса.
338
Рассмотрим в качестве примера флуктуации плотности заряда
в изотропной плазме при учете столкновений частиц вблизи час-
частот собственных плазменных колебаний. Если частоту столкно-
столкновений считать малой: co>ve, kvTe, то столкновительная поправка
к продольной диэлектрической проницаемости как для слабоио-
низованной, так и для полностью ионизованной плазмы имеет
вид [см. D.5.10) и D.6.5)]
2
ГДе Ve = Ven ДЛЯ СЛабОИОНИЗОВаННОЙ ПЛаЗМЫ И Ve = V3<f>4> ДЛЯ ПОЛНО-
ПОЛНОСТЬЮ ионизованной плазмы. Подставляя это выражение в A0.3.4),
получаем следующее соотношение для флуктуации плотности за-
заряда вблИЗИ реЗОНаНСНОЙ ЧаСТОТЫ СО2^СО?рез 2 3?22
0
(со2 - (О2и -
Из этого соотношения видно, что при возрастании ve значение
величины <р2>©,к снижается, а ширина резонансной кривой рас-
растет. При ve-*-0 из A0.5.2) получаем выражение A0.3.8) для бес-
столкновительной плазмы.
Другой аспект рассматриваемого вопроса состоит в том, что
сами столкновения тесно связаны с флуктуациями. Для столкно-
столкновений с нейтральными частицами в слабоионизованной плазме
это особенно очевидно, так как там силы взаимодействия очень
быстро убывают с расстоянием и столкновение есть в прямом
смысле слова тесное сближение частиц. Но это и есть флуктуа-
флуктуация по отношению к однородному в среднем пространственному
распределению частиц. Несколько сложнее дело обстоит в случае
полностью ионизованной плазмы, в которой силы взаимодействия
частиц медленно убывают с расстоянием. По существу этот во-
вопрос был затронут в общей форме при обсуждении возможности
описания плазмы с помощью бесстолкновительного кинетического
уравнения Власова. Действительно, определив поле в плазме че-
через функцию распределения частиц, усредненную по флуктуаци-
ям, флуктуационные эффекты, также связанные с кулоновским
взаимодействием частиц, можно было вынести в правую часть ки-
кинетического уравнения и отождествить их со столкновениями.
Для обычного газа, в котором частицы в целом нейтральны,
вследствие чего силы взаимодействия между ними очень быстро
убывают с расстоянием, такое отождествление вполне законно и
используется в кинетической теории газов. В полностью ионизо-
ионизованной плазме, в которой силы взаимодействия частиц медленно
убывают с расстоянием, вклад во флуктуационное взаимодейст-
взаимодействие, связанный с одновременным взаимодействием многих, хотя
и достаточно удаленных частиц, оказывается более существен-
существенным, чем отдельные сближения частиц, которые и являются пар-
339
ными столкновениями. Поэтому в полностью ионизованной плаз-
плазме понятие столкновения имеет условный смысл и для описания
флуктуационного взаимодействия более удобна непрерывная мо-
модель, рассматривающая его не как дискретный процесс парных
столкновений, а как непрерывно действующую силу кулоновско-
го трения. Следствием этого и явился тот факт, что процесс вычи-
вычисления интеграла столкновений для полностью ионизованной
плазмы (см. § 3.3) привел к уравнению Фоккера — Планка
C.3.12), которое является основным в непрерывной модели опи-
описания различных случайных процессов. Для пояснения сказанно-
сказанного получим уравнение Фоккера — Планка общим методом.
Рассмотрим поведение функции распределения заряженных
частиц в плазме под влиянием флуктуационного взаимодействия,
или, иначе, под влиянием кулоновских соударений. Пусть в мо-
момент времени t существует функция распределения /(v—Av, t), a
в момент времени t+At под влиянием флуктуационного взаимо-
взаимодействия она изменится и станет /(v, t + At). Если вероятность
такого перехода из одного состояния в другое (с одной фазовой
траектории на другую) равна W(Av, At), то можно записать
/( v,*+A0 = J/(v—Av, t)W(Avf AOdAv. A0.5.3)
Разлагая левую часть этого уравнения в ряд Тейлора по степе-
степеням At, а правую — по степеням Av и ограничиваясь первыми
членами разложений, можно преобразовать его в дифференциаль-
дифференциальное уравнение вида
df (v, /) = 3/ (у, Q <Ац) , J_ У/(v, 0 <ApiApj) Aо 5 4.
dt dvt At 2 dvtdvj At » V • • ;
которое называют уравнением Фоккера — Планка. Здесь
J№(Av,A*)dAv=l,
J W (Av, АО До, dAv= (До,), A0.5.5)
причем первое соотношение является условием нормировки,
следующие — обычным определением средних значений.
Уравнение A0.5.4) можно записать также в форме
t)) , A0.5.6)
j
где величины
Ai= - <^f., Dtl= ± (ю.5.7)
называют коэффициентами Фоккера — Планка. Уравнение
A0.5.6) по виду совпадает с C.3.12), однако коэффициенты Фок-
Фоккера — Планка (коэффициенты динамического трения и диффу-
340
зии в пространстве скоростей) непосредственно выражены через
флуктуации скоростей *.
Заметим, что, согласно кинетической теории газов, отброшен-
отброшенные члены в разложении A0.5.4), содержащие более высокие
степени Av,i> описывают парные столкновения, при которых ско-
скорость претерпевает резкие скачкообразные изменения, а их сум-
суммирование приводит к интегралу столкновений Больцмана. Из
физических соображений ясно, что коэффициент динамического
трения в пространстве скоростей Д* характеризует среднее изме-
изменение модуля скорости частиц за единичное время, вследствие
чего он может быть выражен через потери энергии направленного
движения заряженных частиц в плазме (см. задачу 2.4). Коэф-
Коэффициент D,ij имеет чисто флуктуационное происхождение и харак-
характеризует направленное изменение скорости частиц вследствие рас-
рассеяния на флуктуационных полях в плазме, поэтому его назы-
называют коэффициентом диффузии в пространстве скоростей.
Коэффициенты Ai и D^ можно вычислить из формул A0.5.7)
и уравнений движения заряженных частиц во флуктуационных
полях. Однако поступим иначе. Из сравнения выражений C.3.12),
C.3.13), (ЗА5)^ A0JL1) м формулы G) задачи 2.4 выразим ко-
коэффициенты А,{ и Dij через флуктуации продольного поля и поте-
потери энергии пробной частицы на возбуждение продольного поля в
плазме. Для простоты ограничимся рассмотрением невырожжен-
ной изотропной электронной плазмы с учетом лишь электрон-
электронных столкновений. Согласно C.3.13) и C.4.5), коэффи-
коэффициенты Dij и А* при этом запишем в виде
D (v)= __if_ f dp'/(p') Г dk
f dp' 2*1 r dk W(kv-kv')
J dps J *« |e< (kv, *)|»
С другой стороны, согласно A0.4.1), для электронной плазмы
имеем
Jtt ^ A0-5-9)
Из сравнения A0.5.8) и A0.5.9) следует, что
~ Jdk k-f <?/2)kv-k' Aа5Л0)
т. е. коэффициент диффузии выражается через флуктуации про-
продольного поля в плазме.
Выразим теперь коэффициент динамического трения Дг- через
поляризационные потери энергии пробной частицы в плазме. С
этой целью запишем выражение для продольного поля излуче-
* Коэффициенты Бц и Л< в уравнении A0.5.6) отличаются от коэффици-
коэффициентов в C.3.12) множителями Ч/m2 и 1/пг соответственно.
341
ния движущегося электрона в изотропной плазме [см. формулу
G) задачи 2.4]:
Е' (kv, k) = - — ^ . A0.5.11)
Im
Учитывая, что, согласно D.1.11)",
е< (се, k) - - — Г dp ^- f- б (© - kv), A0.5.12)
8ф (О J Ла dp
находим окончательно ,
А% (v) = i^s. Г d k kt Im e'(kv, к) Е' (kv, к) Е'* (kv, к). A0.5.13)
Отсюда видно, что коэффициент динамического трения выра-
выражается через продольное поле, создаваемое в плазме движущим-
движущимся электроном. Это поле ответственно за поляризованные потери
энергии движущегося электрона.
Отметим, что коэффициенты А* и D^ выражены через про-
продольные поля в плазме. В действительности вклад дают также
поперечные поля — потери на излучение волн и флуктуации попе-
поперечного поля. Однако в нерелятивистской плазме вклад попереч-
поперечных полей пренебрежимо мал. В изотропной плазме поперечные
волны вообще не излучаются, а флуктуации поперечного поля ма-
малы по сравнению с флуктуациями продольного поля в c3/vzre раз
(см. задачу ЮЛ). Поэтому и рассеянием частиц на флуктуациях
поперечного поля можно пренебречь.
Таким образом, было показано, что интеграл столкновений в
кинетическом уравнении для заряженных частиц в полностью
ионизованной нерелятивистской плазме выражается через флук-
флуктуации продольного поля. Это означает, что изменение импульса
заряженных частиц из-за кулоновских столкновений можно трак-
трактовать как потери энергии и диффузию в пространстве скоростей
вследствие рассеяния частиц в случайных электростатических
полях, обусловленных тепловыми флуктуациями в плазме. Такую
тесную взаимосвязь между тепловыми флуктуациями и столкно-
столкновениями заряженных частиц в термодинамически равновесной
полностью ионизованной плазме можно усмотреть также из со-
соотношения A0.3.14), если переписать его в виде
NeTe 0
Из этого соотношения следует равенство относительной энер-
энергии флуктуации продольного поля (по отношению к тепловой
энергии) и относительной эффективной частоты столкновений
электронов в плазме (по отношению к собственной частоте плаз-
плазменных колебаний).
342
§ 10.6. Рассеяние электромагнитных волн в плазме
При распространении электромагнитных волн в средах со
случайными неоднородности ми появляются волны с частотами и
волновыми векторами, отличными от частоты и волнового векто-
вектора основной волны. Происходит так называемый процесс рассея-
рассеяния. Если среда пространственно однородна, но параметры, опре-
определяющие ее электромагнитные свойства, испытывают флуктуа-
флуктуации, то рассеяние должно происходить на этих флуктуациях, ко-
которые играют роль случайных неоднородностей.
Механизм появления в среде рассеянных волн сводится к воз-
возникновению в ней под действием основной волны индуцирован-
индуцированных зарядов и токов, приводящих к излучению новых — рассеян-
рассеянных волн. Однако, как указывалось, в однородной среде в линей-
линейном приближении индуцированные заряды и токи обусловливали
лишь изменение характеристик распространения волн в среде по
сравйению с вакуумом — изменение комплексного показателя
преломления. Частота же и закон дисперсии распространяющей-
распространяющейся волны при этом были строго постоянными. Картина существен-
существенно изменяется при наличии в среде флуктуации. Так, если флукту-
флуктуирует плотность заряженных частиц, флуктуирует и индуцирован-
индуцированный в плазме ток, причем флуктуирующая добавка может вы-
вызвать излучение волн с новыми свойствами — частотой и направ-
направлением распространения (рассеяние) или даже привести к по-
появлению волн другого типа (трансформация). В свою оче-
очередь, новые волны изменяют состояние плазмы, вызывая появле-
появление связанных с ними индуцированных токов, которые сами мо-
могут влиять на распространение основной волны. Происходит про-
процесс сложного нелинейного взаимодействия полей и токов в плаз-
плазме, который раньше полностью игнорировался. В этом и следую-
ющих параграфах исследуем некоторые свойства указанных нели-
нелинейных процессов, считая их, однако, малыми. Это позволяет го-
говорить отдельно о падающей и рассеянной волнах и считать поле
падающей волны, а также параметры плазмы заданными. Заме-
Заметим предварительно, что, как показано в § 10.1, флуктуации опи-
описываются квадратичными формами, поэтому процессы взаимодей-
взаимодействия полей регулярных волн и флуктуационных полей требуют
использования нелинейных уравнений.
В этом параграфе рассмотрим процесс рассеяния поперечных
электромагнитных волн в плазме как имеющий большое самосто-
самостоятельное практическое значение, в частности, с точки зрения изу-
изучения распространения и поглощения волн в плазме. Ограничим-
Ограничимся для простоты изотропной плазмой. Тогда можно утверждать,
что для области прозрачности распространяющихся волн «>
>соье плазму можно считать чисто электронной и пренебречь эф-
эффектами, связанными с пространственной дисперсией диэлектри-
диэлектрической проницаемости, т. е. использовать для диэлектрической
проницаемости простое выражение
343
8(@) = l—CD2Le/GJ. A0.6.1)
Итак, пусть в плазме распространяется поперечная электро-
электромагнитная волна
/Eofo г)\ ^ /Ео \ (_.ш , + ik Г) A0.6.2)
где ^2= —~ е(соо). Рассмотрим ее рассеяние на флуктуациях
плотности электронов, т. е. вычислим поле рассеянной волны, ко-
которую представим в виде
E(/f r)=Eexp(—icof+ikr). A0.6.3)
Поле рассеянной волны можно найти из волнового уравнения
rot rot Е + в-^- ^ = - -Ц- 1г • (Ю-6.4)
где j — часть индуцированного в плазме тока, вызывающая по-
появление рассеянной волны.
В общем случае плотность заряженных частиц и их скорость
в плазме могут быть представлены в виде сумм:
t, г) =лг0в+алг„+алГф+бЛГР> A0 6 5)
Здесь Noe — среднее (по флуктуациям) равновесное значение
плотности электронов в плазме; 6Afn и 6un — возмущения плотно-
плотности и скорости электронов, вызванные полем падающей волны;
дЛ/ф и биф — флуктуации плотности и скорости частиц; 6NP и
биР — возмущения плотности и скорости электронов, связанные с
рассеянной волной.
Если пренебречь тепловыми эффектами, т. е. считать фазовые
скорости падающей и рассеянной волн много большими тепловой
скорости частиц, то для анализа процессов в плазме можно ис-
использовать гидродинамическое описание; поэтому под и в A0.6.5)
следует понимать гидродинамическую скорость электронов в плаз-
плазме. Величины 6Nn и 6un определяют при этом из линеаризованных
уравнений движения и непрерывности с учетом лишь падающей
волны:
Величины 6up и 8NP удовлетворяют уравнениям движения и не-
непрерывности:
==i"E+i't6u*Bol~(SUreVNu*~Fa*vNUn>(io.6.7)
344
Флуктуации скорости и плотности также связаны уравнением
непрерывности. При написании A0.6.7) было учтено, что величи-
величины бЛ^ф, биф, 8NPf 6up имеют более высокий порядок малости, чем
6Nn и 6un. Предполагаем, что &Nn и 6un зависят от времени и
координат так же, как и падающая волна A0.6.2), т. е. пропор-
пропорциональны ехр(—i<dot+ikor), а 8NP и бир — как рассеянная вол-
волна A0.6.3), т. е. пропорциональны ехр(—icof+ikr), а бЛ/ф и биф
изменяются как ехр(—iAco^+iqr), где q = k—к, Дсо = со—сэо. В ре-
результате из A0.6.7) получаем
6up = i -^ {Е + [бифВ0]} +
+ -^ [(q б пп) б иф + (к б иф) б un]. A0.6.8)
Ограничимся далее лишь продольными флуктуациями, для ко-
которых диф№, поэтому из уравнения непрерывности следует, что
^ (Ю.6.9)
Плотность тока, связанного с рассеянной волной, при этом со-
составляет
jp=е (#оебир+б#пбиф + б^фбип). A0.6.10)
Из этого выражения необходимо вычесть величину
jp |б*ф=о = eNOe б ир |б*ф==0 = ^^ Е, A0.6.11)
которая соответствует плотности тока, связанного с рассеянной
волной при отсутствии флуктуации. Таким образом, можно най-
найти плотность входящего в A0.6.4) тока рассеяния:
J-Jp-JpkV*. (Ю.6.12)
Подставляя в A0.6.12) выражения A0.6.10) и A0.6.11), по-
получаем
+ 4f
+ — -*- (ко, ЕоI б Л^ф (Дсо, q). A0.6.13)
Из этого выражения видно, что плотность тока имеет как попе-
поперечную (первое слагаемое), так и продольную компоненты (вто-
(второе и третье слагаемые), причем продольная компонента (при
условии поперечности Ео, а следовательно, и 6un) возникает из-за
нелинейности уравнения движения. При этом поперечная компо-
компонента j вызывает появление рассеянной поперечной волны, а про-
продольная — продольной волны, т. е. трансформацию поперечной
волны в продольную.
345
Выделим из A0.6.13) поперечную (по отношению к вектору
к) компоненту плотности тока и подставим ее в уравнение
A0.6.4) в качестве стороннего тока. Тогда решение этого уравне-
уравнения даст поле рассеянной волны
Е <ш' k> - ** y-i (о» ш^ ' A0>6Л4)
где для jx((o, k) из A0.6.13) получаем следующее выражение:
j х (со, к) = -?- б#ф (Дсо, q) Er A0.6.15)
Определим приращение энергии рассеянных волн в единичное
время:
6Q= - у Re j drE (/, г) j± (*, г). A0.6.16)
Переходя к Фурье-компонентам и производя усреднение, полу-
получим с учетом A0.6.14), A0.6.15) и соотношения A0.1.5) выраже-
выражение для среднего приращения энергии рассеянных волн:
im г da)dk0) <l^
Здесь F — объем, Ео1 = — [k[kE0]), а <6^)A(Dq дается выраже-
выражением A0.4.8).
Поскольку подынтегральное выражение вещественно, вклад в
мнимую часть A0.6.17) дают только полюсы подынтегрального
выражения. Учитывая далее, что можно сделать формальную за-
замену *
- 8 (со) -J \ ' -+ i яб /Л2 - в (со) ^-1 , A0.6.18)
и проводя в A0.6.17) интегрирование по модулю к с помощью
6-функции, получаем
FQ> e !l?Z (j?-^ -^ УЩЕ201 <8^)Дш.ч dcodQ, A0.6.19)
где dQ — элемент телесного угла. Отметим, что в A0.6.19) волно-
волновой вектор к и частота о связаны обычным дисперсионным урав-
уравнением для поперечной волны А2 = е((о)оJ/^2 и их можно рассмат-
рассматривать как волновой вектор и частоту рассеянной волны. Вели-
Величины q и Дсо приобретают при этом смысл изменения волнового
вектора и частоты при рассеянии.
Выберем систему координат так, чтобы вектор к был направ-
направлен по оси Oz, а вектор к0 лежал в плоскости yz, и обозначим
8 угол между векторами к и к0 (рис. 44). Тогда перпендикуляр-
* Такая замена является следствием существования малой положительной
мнимой части е(<о), обусловленной столкновениями частиц.
346
ная вектору к компонента элек-
электрического вектора падающей
волны Eoj. выразится формулой
A0.6.20)
где ф — угол между осью Ох и
вектором Ео.
Для неполяризованной пода-
подающей волны это выражение нуж-
нужно усреднить по углу <р, в резуль-
результате чего получим
¦<fioi>el- 0+cos2e)?2.
A0.6.21)
Рис. 44. Диаграмма рассеяния волн
Для характеристики рассеивающих свойств среды обычно вво-
вводят понятие дифференциального сечения рассеяния, определяемо-
определяемого как отношение интенсивности рассеянных (в интервале частот
do) в элементе телесного угла (Ш) волн к потоку падающей на
рассеивающий объем V энергии. Поток падающей энергии — это
произведение вектора Пойнтинга на объем V, поэтому дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния для неполяризованной волны с уче-
учетом A0.6.19) и A0.6.21) определяется выражением*
Ay =
х
= — (—-—V — х
4я \ 4jt80mc2 / 0J
(ю0)
(I +cos29) F#2>A»,qd©dQ. A0.6.22)
Полученная формула справедлива при любых значениях Асо, т. е.
для произвольного изменения частоты при рассеянии. В наиболее
интересном случае так называемого рэлеевского рассеяния, т. е.
рассеяния с малым изменением частоты (Асо<Ссоо), она упроща-
упрощается. В результате получаем известное выражение для дифферен-
дифференциального сечения рассеяния на флуктуациях плотности элект-
электронов:
i ar(l+cos26) <8W2)AaM1dG>dQ, A0.6.23)
32 я2
где аг= —
— томсоновское сечение рассеяния элек-
< 4 Я8в тс2
тромагнитных волн на свободных электронах, пропорциональное
квадрату классического радиуса электронов. '
* Заметим, что определенное таким образом дифференциальное сечение рас-
рассеяния по размерности отличается от принятого в обычной теории рассеяния
дифференциального сечения иа множитель м~3. Это связано с тем, что в тео-
теории рассеяния на флуктуациях рассматривается рассеявие излучения в единич-
единичном объеме среды на рассеивающих центрах.
347
При этом |к| fa |ko| и для вектора q имеем
4
|q| = Ъ Sin ± УфД = 2 |ko| sin 4" • (Ю.6.24)
Проанализируем рассеяние электромагнитных волн на флук-
туациях плотности электронов в неизотермической плазме. Для
этого в формулу A0.6.22) (или A0.6.23) следует подставить об-
общее выражение A0.6.8) для спектрального распределения флук-
флуктуации плотности электронов. Получающееся при этом выраже-
выражение для d2 чрезвычайно громоздко и не может быть аналитичес-
аналитически исследовано в общем случае. Поэтому проведем анализ
только для наиболее интересных предельных случаев, отметив
предварительно, что хотя рассеяние происходит на электронах
плазмы, но в силу зависимости <6#2е>Дб),ч от ионных характери-
характеристик от них оказывается зависящим и характер рассеяния.
Рассмотрим сначала короткие волны, когда ц2г2ъе^>\, т. е.
со^соьес/Рте. В этих условиях |е'(Д0, q) | «1. Используя D.2.3),
из A0.6.23) получаем
(l+cos*e)exp [- J^] dcodQ,
A0.6.25)
т. e. при этом рассеяние происходит на изолированных электро-
электронах, имеющих тепловой разброс по скоростям. Уширение линии
при рассеянии обусловлено эффектом Доплера и определяется
тепловой скоростью электронов. Спектральное распределение рас-
рассеяния (или, иначе, контур линии рассеяния) носит гауссовский
характер. Рассмотрим противоположный предельный случай
q2r2De<l, т. е.
ф
Здесь должны проявляться коллективные эффекты, связанные с
самосогласованным взаимодействием электронной и ионной ком-
компонент плазмы. Проанализируем спектральное распределение рас-
рассеяния для различных частотных интервалов.
В области очень малых значений А<о(Аю<С^Тг), т. е. вблизи
wo (центр линии рассеяния), основной вклад в интенсивность
должны давать заряды, скорость которых мала. Поскольку при
сравнимых температурах электронов и ионов число ионов с ма-
малыми скоростями во много (^У^М/пг) раз больше числа элект-
электронов, ясно, что форма линии рассеяния определяется ионным
вкладом в <6W2e>A©,q ,(ионными поляризационными облаками).
В результате получаем
(8ЯK'2 W* \ [М \Т,
X (l +^]~2(l+cos26)d(odQ. A0.6.26)
348
Отсюда видно, что сечение рассеяния с малым изменением часто-
частоты для сильно неизотермической плазмы с Те^$>Тг может быть во
много раз меньше, чем для изотермической плазмы.
Несколько дальше от центра линии рассеяния, где начинает
выполняться условие bxu>qv?u число резонансных ионов экспо-
экспоненциально падает, соответственно резко падает и сечение рассе-
рассеяния. Естественно, что в этих условиях ширина линии рассеяния
определяется тепловой скоростью ионов.
В области частот qvTi<^Ato<^iqvTe в сильно неизотермической
плазме сечение рассеяния имеет резкие максимумы вблизи соб-
собственных ионно-звуковых частот плазмы |Aco|=gx's. Для этой об-
области следует использовать <6Af2e>Ao>,q по формуле A0.4.10), от-
откуда находим
+cos20) I» (A©-<^) + 6 (A«> + qv8)] dcodQ. (Ю.6.27)
Наличие максимумов при A(d = ±qvs (ионно-звуковых сателли-
сателлитов) соответствует резонансному рассеянию поперечной электро-
электромагнитной волны в неизотермической плазме, сопровождающему-
сопровождающемуся рождением ионно-звуковых волн, или распаду падающей попе-
поперечной волны с частотой <оо на поперечную волну с частотой со и
ионно-звуковую волну с частотой ±qvs, т. е. со о=coigns, k = k±q.
Наконец, в области частот Aa)^>qvTe сечение рассеяния имеет
резкие максимумы вблизи частот плазменных колебаний (ЛеоJ»
«<o2Le. В этой области вкладом ионов можно пренебречь. Тогда
получим
d <°d Q«
где ^=Aco/(qvTe)i т. е. вблизи частот (AcoJ^co2Le имеется так на-
называемый плазменный пик (ленгмюровский или плазменный са-
сателлит), форма контура которого имеет дисперсионный харак-
характер *. Наличие такого пика соответствует резонансному распаду
падающей поперечной волны при рассеянии на поперечную и
плазменную с выполнением законов сохранения соо = со±соье, ko =
k
Общий характер спектрального распределения релеевского
рассеяния (Дсо<!осоо) повторяет зависимость спектрального рас-
распределения флуктуации плотности электронов от безразмерной
частоты A<o/(qvTe) [см. A0.6.23)] и описывается графиками, ана-
аналогичными представленными на рис. 43. Разница заключается в
* Форму контура линии рассеяния либо поглощения, имеющей вид f (со) ~
~|[!((ю—<DoJ+a2]-I, в оптике принято называть дисперсионной.
349
том, что, поскольку Ао может быть как больше, так и меньше ну-
нуля, для получения полной формы контура рассеяния графики
рис. 43 следует зеркально отобразить вокруг оси ординат. Таким
образом, рис. 43 дает представление о той половине контура рас-
рассеяния поперечной волны в плазме, которая соответствует появ-
появлению рассеянных волн с частотами со>о)о.
Из рис. 43 и приведенного анализа следует, что характер рас-
рассеяния при <72r2De<Cl (на рис. 43 соответствует &2г2ое=0,1) для
изотермической (Te=Ti) и сильно неизотермической (Ге>7\)
плазмы существенно различен. В изотермической плазме в спект-
спектре рассеяния имеется центральный максимум и высокочастотный
боковой пик [при A(o/(qvTe) «2,6], вызванный рассеянием на
электронных ленгмюровских колебаниях [см. формулу A0.3.8)].
Центральный максимум связан с некогерентным рассеянием на
электронах, однако вследствие самосогласованного взаимодейст-
взаимодействия электронной и ионной компонент (наличие вокруг электро-
электронов ионных поляризационных облаков) его доплеровская ширина
определяется тепловой скоростью ионов. При переходе к сильно
неизотермической плазме центральный максимум пропадает и
появляются два низкочастотных пика, расположенных симмет-
симметрично относительно центра линии рассеяния на частотах собст^
венных ионно-звуковых колебаний плазмы A(d = ±qvs (на рис. 43,
естественно, виден только пик, соответствующий A(o=+gi>s). Вид
плазменных пиков при этом сохраняется.
Наконец, выпишем интегральное по всему спектру рассеянных
частот сечение при заданном угле Ф. Они легко получаются пу-
путем интегрирования спектрального распределения A0.6.23) по со:
- при Те ? Ть
L A0.6.29)
1 при Te>Tt.
Заметим, что основной вклад в это сечение дает область час-
частот Асо ? qvTe (в частности, ионно-звуковые сателлиты в случае
неизотермичеокой ллазмы); вклад плазменных (ленгмюровских)
сателлитов в интегральное по частотам сечение пренебрежимо
мал.
Проанализируем влияние столкновений на спектральное рас-
распределение линии рассеяния. Ограничимся случаем слабоионизо-
ванной плазмы, тогда сечение рассеяния определяется по-преж-
по-прежнему общей формулой A0.6.22), в которую нужно подставить
коррелятор <6iV2e>A<o,q , вычисленный с помощью выражения
D.5.8) (см. предыдущий параграф). Аналитический расчет фор-
формы контура рассеяния в этом случае связан с громоздкими вы-
вычислениями, поэтому обычно расчет проводят численными мето-
методами. Результаты такого расчета приведены на рис. 45, на кото-
котором показано искажение формы контура рассеяния за счет столк-
350
во
50
30
JO
OJ
0,1
Aco
Рис. 45. Спектральное распределение
флуктуации плотности заряда
в слабоиониэованной плазме
новений. Видно, что учет
столкновений приводит к су-
сужению основного контура
рассеяния, причем гауссов-
ское распределение по ча-
частотам переходит в распре-
распределение, близкое к диспер-
дисперсионному. В высокочастот-
высокочастотной области контура линии
рассеяния влияние столкно-
столкновений проявляется в ушире-
нии плазменного пика в со-
соответствии с формулой
A0.5.2), из которой сразу
можно найти спектральное
распределение коррелято-
коррелятора <бАГ2в>дю,ч в этой обла-
области частот.
Й заключение кратко об-
обсудим вопрос о рассеянии
волн в неравновесной плазме с пучком, в которой возможно раз-
развитие неустойчивостей. В том случае, когда окоро'сть пучка меньше
критической и плазма устойчива, сечение рассеяния определяется
общими соотношениями A0.6.22), A0.6.23), в которые следует под-
подставить выражение A0.4.8) для флуктуации плотности электро-
электронов с учетом формулы A0.4.13) для продольной диэлектрической
проницаемости плазмы с пучком. Вкладом ионных слагаемых при
этом можно пренебречь. Не проводя детального анализа для се-
сечения рассеяния, сделаем лишь одно общее замечание. Как сле-
следует из результатов § 10.5, с приближением скорости пучка к кри-
критической флуктуации в плазме резко возрастают, соответственно
должно резко возрастать и сечение рассеяния. Это явление связа-
связано с переходом плазмы из одного состояния (устойчивого) в дру-
другое (с развитой неустойчивостью), который можно интерпретиро-
интерпретировать как аналог фазового перехода в обычных средах. Резкий
рост рассеяния вблизи точки фазового перехода известен из оп-
оптики и носит название явления критической опалесценции. Таким
образом, можно сказать, что явление критической опалесценции
существует и в неравновесной плазме вблизи границы ее устой-
устойчивости.
§ 10.7. Трансформация волн в плазме
Рассмотрим случай, когда вследствие нелинейного взаимодей-
взаимодействия поля распространяющейся в плазме поперечной электро-
электромагнитной волны Ee=Eoexp(—icoo^+ikor) с флуктуациями воз-
возникают волны нового типа — продольные. Обозначим поле про-
351
дольной волны Е*=Е'ехр(—Ы+ikr). Амплитуду поля Е1 следует
определять из уравнения
где у — продольная компонента плотности тока A0.6.13):
). 00.7.2)
j ( +
Здесь Ez0= — —продольная по отношению к вектору к, т. е. к
гС
направлению распространения продольной волны Е*, компонента
вектора Ео. С помощью этих формул можно найти выражение
для Е*. Подставив его в формулу A0.6.16) и усреднив по време-
времени, получим приращение энергии продольной волны:
v 7)
(la7-3>
Из этого выражения видно, что вклад в интеграл вносят
только частоты, удовлетворяющие условию el((o, &)=0, т. е. час-
частоты собственных продольных колебаний плазмы. Таким образом,
эффект трансформации заключается в возбуждении собственных
продольных колебаний плазмы в результате поглощения падаю-
падающей поперечной электромагнитной волны. При этом интегрирова-
интегрирование по dk легко производится обычным образом с помощью 6-
функции, аналогично тому, как это было сделано при выводе
формулы A0.6.19). Если теперь записать отношение dQ к объему
плазмы и плотности потока энергии падающей поперечной волны,
получим выражение для коэффициента трансформации попереч-
поперечной волны в продольную.
Для коэффициента трансформации поперечной волны в плаз-
плазменную нетрудно получить
3aT / с» \з/2 со*
/
cog
х A + j^ *Ч sin2 Ф (&N2e)Дю q da> dQ, A0.7.4)
\ о q* J \ / . ч /
При выводе этого соотношения предполагалось, что падающая/
волна неполяризована, т. е. EZ2=1/2^2osin2'0i, пренебрегалось за4
туханием плазменных волн и было учтено, что для собственных\
плазменных колебаний имеется равенство &2»е((о)со2/Cа2т<?), т. е.\
>ю2~С!Jье+3&21>2те. Рассмотренный процесс можно трактовать как
распад падающей поперечной волны с частотой юо на две про-
продольные волны с частотами со^соье. Поэтому <оо^2соье, т. е. Асо^
«сои?, а ko = k + q, причем &2оС2«Зсо2и?.
Аналогично можно определить и коэффициент трансформации
поперечной волны в продольную ионно-звуковую.
352
Необходимо отметить, что реально при распространении вол-
волны происходит одновременно как процесс рассеяния, так и про-
процесс трансформации, поэтому важно знать относительный вклад
этих процессов, приводящих к ослаблению интенсивности пада-
падающей волны. Отношение коэффициента трансформации A0.7.4)
к сечению рассеяния A0.6.22) составляет
^ilV (Ю.7.5)
fi+
Отсюда видно, что в силу наличия большого множителя czlvzie
это отношение может быть больше единицы, т. е. поглощение
волны, связанное с ее трансформацией, может превышать ослаб-
ослабление волны вследствие рассеяния.
Наконец, рассмотрим кратко трансформацию падающей про-
продольной ленгмюровской волны Ео в поперечную электромагнит-
электромагнитную волну Е. Этот процесс важен в том отношении, что он может
быть ответственным за электромагнитное излучение, выходящее
из йлазмы вследствие того, что в ней с помощью какого-либо ме-
механизма, например токовой раскачки, возбуждаются плазменные
волны. Поле поперечной волны удовлетворяет уравнению
, [A0.7.6)
где ]tr — поперечная компонента плотности тока A0.6.13), при
вычислении которой следует положить (k0E0) =koEo, [koEo]=O:
e(Aco,q). (Ю.7.7)
mcoo
Поступая далее так же, как и в предыдущем случае, можно
получить интенсивность поперечной волны в плазме, возникающей
в результате трансформации продольной плазменной волны на
флуктуациях в плазме. Сечение этого процесса определяется как
отношение интенсивности поперечной волны к объему и плотнос-
плотности потока энергии падающей продольной волны, которая выража-
выражается через групповую скорость
00H о«0 Vrpg v^e i / п /,ч \ /1 л 1 о\
~~Г= ю— =~лТ= ^8(соо) (Ш./.о)
плазменной волны как
-У^ЫЕ*- A0.7.9)
В итоге получаем для сечения процесса
^ 16 яа
353
Так как флуктуации плотности имеют максимумы при А(о =
=i(OLe, a G)o = G)Le, то о) = соо + Асо »2coLe и поперечные волны имеют
в основном частоты со«2соье. Таким образом, для собственного
электромагнитного излучения плазмы должно быть характерно
наличие максимумов вблизи удвоенных плазменных частот. Рас-
Рассмотренный процесс трансформации плазменных волн в попереч-
поперечную электромагнитную волну представляет собой слияние двух
продольных волн с образованием поперечной волны, имеющей
удвоенную плазменную частоту.
Задачи к гл. 10
Задача ЮЛ. Получить выражение для флуктуации магнитного поля в рав-
равновесной изотропной плазме.
«Решение. Из соотношения A0.3.1) определяем коррелятор флуктуации
поперечного электрического поля в изотропной плазме:
• A)
Используя далее связь В=*— [кЕ], получаем
со
. к
, k)
80@3
со"
а *
B)
В области прозрачности плазмы, т. е. в пределе ©>&t/Te, когда e'r(iG>, k)-<
1—oJLe/©2, отсюда находим
* ео|со| -*- -"
Интегрирование этого выражения по частотам дает
D)
Отсюда легко найти пространственную корреляционную функцию
сттН
кор J
где Гкор^с/саье — длина корреляции флуктуации магнитного лоля в изотропной
плазме.
Из 'E) при г^Гкор получаем
NeT NeT гЗорЛ,е сз rLWe w с* 8о лгеГ
Таким образом, энергия флуктуации поперечного поля в плазме в
раз меньше энергии флуктуации продольного поля.
Задача 10.2. Определить относительный вклад интенсивности высокочастот-
высокочастотных флуктуации в полную интенсивность флуктуации плотности заряда в
равновесной электронной плазме. •
354
Решение. Интегральный вклад высокочастотных флуктуации определяем
путем интегрирования выражения A0.3.8) по частотам:
^^r. A)
Искомое отношение высокочастотной интенсивности к полной находим с ис-
использованием выражения A0.3.12) для полной интенсивности:
Г". B)
Отсюда следует, что при &V2De<(l, т. е. в области больших оно сравнению
о дебаевским радиусом длин волн, в спектре флуктуации остаются практически
только флуктуации иа плазменной частоте. С уменьшением длины волны роль
низкочастотных флуктуации возрастает и при Wd^I основной вклад в пол-
полную (интенсивность дают низкочастотные флуктуации.
Задача 10.3. Получить выражение для сечения рассеяния продольных волн
на флуктуациях плотности равновесной плазмы.
Решение. Исходим из выражения плотности тока рассеяния
A©
К
где j — плотность продольного тока рассеяния, [kj] =0, kok^o^cGsft; Eo ~
падающая продольная волна [коЕо]=О. Подставляя это значение плотности
тока в A10.7.1), получаем следующее выражение для сечения рассеяния продоль-
продольных волн на флуктуациях плотности плазмы:
\2 0J 1 f е((°) ( л „ a I A*0 &2 cos fl — kk0
При выводе этого соотношения использованы также выражения A0.7.8) и
110.7.9) для групповой скорости и плотности потока энергии падающей ленгмю-
ровской волны.
Из сравнения B) и выражения A0.7.10) для коэффициента трансформации
продольной волны в поперечную следует, что отношение коэффициента транс-
трансформации .и сечения рассеяния для продольных волн по порядку величины
равно (c3/v3Te) ctg2 Ф, т. е. может быть весьма большим.
Глава 11. ОСНОВЫ
КВАЗИЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
ПЛАЗМЫ
§ 11.1. Уравнения
квазилинейной
теории колебаний
плазмы
Плазму часто называют системой с бес-
бесконечным числом степеней свободы. Действительно, число различ-т
ных ветвей колебаний и волн в плазме, особенно магнитоактивной,
неограниченно велико. При этом если плазма находится в термо-
термодинамически равновесном состоянии, однородна в пространстве и
во времени и не подвержена внешним воздействиям, то колеба-
колебания в ней затухают, т. е. малые возмущения термодинамически
равновесного состояния релаксируют со временем. Если же ста-
стационарное состояние плазмы термодинамически неравновесное, то
малые возмущения в ней могут оказаться нарастающими во вре-
времени, т. е. плазма в таком состоянии неустойчива. В гл. 6—9 бы-
были рассмотрены примеры термодинамически неравновесной плаз-
плазмы и было показано, что практически любая сколь угодно малая
неравновесность может явиться причиной неустойчивости плазмы.
Это в особенности относится к высокотемпературной разреженной
плазме с малым числом столкновений, что вполне естественно,
так как столкновения частиц препятствуют развитию неустойчи-
неустойчивости, вызывая релаксацию состояния плазмы к термодинамиче-
термодинамически равновесному. Неустойчивости проявляются лишь в услови-
условиях, когда инкремент их развития больше обратного времени ре-
релаксации состояния плазмы к термодинамически равновесному и
однородному в пространстве.
Излагавшаяся до сих пор линейная теория колебаний и ус-
устойчивости плазмы позволяет ответить на вопрос о характере
развития малых возмущений лишь на начальной стадии, пока их
амплитуды бесконечно малы. Наибольший же интерес в услови-
условиях неустойчивости плазмы представляет вопрос о том, как долго
начальные возмущения могут нарастать, насколько они влияют на
равновесное состояние плазмы и как последнее меняется под об-
обратным воздействием этих нарастающих возмущений. Но это уже
задача нелинейной теории колебаний плазмы.
Построение нелинейной теории колебаний плазмы, или теории
турбулентной плазмы с сильно развитой неустойчивостью — до-
довольно сложная задача. В настоящее время не существует адек-
адекватного теоретического метода описания сильнотурбулентной
плазмы в общем случае. Однако в условиях слабой турбулентно-
турбулентности, когда возникшие в результате развития неустойчивости ко-
колебания обладают все еще малой энергией по сравнению с теп-
356
ловой энергией частиц плазмы, такая теория может быть постро-
построена. Малым параметром теории слаботурбулентной плазмы яв-
является отношение
w <?- 1 (HI i)
<Cl luiij
где NS* — тепловая энергия частиц (<^=Г — для невырожденной
и S>=S'f — Для вырожденной плазмы); W=IlWk=Ii1/i г0Е2к —
к к
энергия плазменных колебаний.
Будем, однако, считать энергию плазменных колебаний доста-
достаточно большой, намного превышающей энергию тепловых флук-
флуктуации электромагнитного поля в плазме [ср. с A0.3.13) A0.3.14)]:
Здрсь ND — число частиц в сфере дебаевского радиуса взаимо-
взаимодействия, которое согласно условию газового приближения вели-
велико, т. е. jVd»1.
При JV^UO16—1018) м-3 и 7!«'A—10) эВ имеем ND&
^A06—107) и условие A1.1.2) выполняется уже в полях коле-
колебаний напряженностью ?k^iA0—102) В/м. Эти поля хотя и ма-
малы, но на много порядков превосходят поля тепловых флуктуации,
поэтому будем называть их полями надтепловых осцилляции
(флуктуации) слаботурбулентной плазмы.
Условие A1.1.2) обеспечивает законность пренебрежения ку-
лоновскими столкновениями частиц плазмы по сравнению с их
взаимодействием с полями надтепловых осцилляции. Поэтому при
исследовании нелинейных эффектов будем считать плазму бес-
бесстол кновительной. С другой стороны, неравенство A1.1.1) озна-
означает, что поля надтепловых осцилляции достаточно малы и не
могут существенно изменить такие «грубые» равновесные пара-
параметры плазмы, как плотность частиц, температура и тепловая
энергия. Таким образом, условие A1.1.1) означает слабость тур-
турбулентных пульсаций плазмы.
Теперь, когда сформулированы основные ограничения совре-
современной нелинейной теории колебаний плазмы, перейдем к иссле-
исследованию первого наиболее явного нелинейного эффекта — влия-
влияния надтепловых флуктуационных полей, возникающих, например,
в результате развития неустойчивости, на равновесное состояние
плазмы, точнее, на равновесную функцию распределения частиц
по скоростям. Проследим, при этом, как в свою очередь влияние
пульсаций на равновесное состояние плазмы меняет характер их
временного развития и в ряде случаев приводит к стабилизации
неустойчивости. Ограничимся рассмотрением лишь продольных
(потенциальных) колебаний плазмы, описываемых в отсутствие
внешнего магнитного поля нелинейными уравнениями Власова для
электронов и ионов:
357
и уравнением Пуассона:
divE= J- 2 еа] dp/a(p). (П.1.4)
Вместо уравнения Пуассона удобно использовать эквивалентное
ему уравнение Максвелла
°-^+ j^ 2 Mv/a(p)dp = 0. A1.1.5)
При малом отклонении функции распределения частиц от не-
некоторого равновесного значения /oa(p) B линейном приближении
система уравнений A1.1.3) — A1.1.5) описывает квазипродольные
(потенциальные) колебания плазмы. В зависимости от вида функ-
функции /осс(р) эти колебания могут быть либо затухающими (напри-
(например, в условиях, когда foa(p)—термодинамически равновесное
максвелловское распределение), либо нарастающими (когда
/оа(р)—распределение с направленной скоростью, описывающее
пучок в плазме). Исследуем условия, когда продольные волны в
плазме являются слабозатухающими, либо слабонарастающими>
т. е. |©|>б, где со — частота колебаний, а б — декремент их зату-
затухания (или инкремент нарастания). Только в подобных условиях
можно говорить об истинных колебаниях плазмы и удается полу-
получить замкнутую систему уравнений, описывающую обратное воз-
воздействие «колебаний на равновесное состояние плазмы. Заметим>
что именно такими свойствами обладают ленгмюровские и ионно-
звуковые (при Te^>Ti) колебания изотропной плазмы с максвел-
ловскими распределениями частиц по скоростям, неустойчивые
колебания, возникающие при прохождении пучка малой плотно-
плотности через более плотную плазму, ионно-звуковые колебания Бе-
изотермической плазмы (Te^Ti), возбуждаемые дрейфом элек-
электронов относительно ионов (ток в плазме) при u<vTe, а также
кинетически неустойчивые колебания, инкремент нарастания ко-
которых определяется явным видом функции foa(p).
Для получения уравнений квазилинейного приближения разо-
разобьем функцию распределения fa(p) на большую «медленную» и
малую «быструю» части:
U (Р) = /ос* (Р> Ц 0 + /la (P. t) = /oa (P. I* 0 +
+ 2 Re[/iak(p, |л*)е-^+*Ч, A1.1.6)
где /oa(P> [A/)^>/ia(p, t), а электрическое поле в плазме предста-
представим в виде
Е(*,г)=2 Re[EkOW,©, k)e-^+ikr]. A1.1.7)
k
358
Из приведенных выражений ясен физический смысл зависимо-
зависимости от времени «медленной» части функции распределения
foa(P« M^)> амплитуд отдельных гармоник осциллирующей «бы-
«быстрой» части функции распределения ,и амплитуд осцилляции
электрического поля в виде зависимости от аргумента \xt, где
fx<Cl. Действительно, при р,<С1 функция распределения делится
на медленно изменяющуюся во времени часть и быстро осцилли-
осциллирующую часть, амплитуда которой, однако, зависит от аргумента
jjii. Точно так же электрическое поле имеет вид быстрых осцилля-
осцилляции с медленно изменяющейся амплитудой. При этом «среднее»
медленно изменяющееся поле в плазме предполагается отсутст-
отсутствующим.
Подставим A1.1.6) и A1.1.7) в уравнение A1.1.3) и произве-
произведем усреднение по быстрым осцилляциям. Это справедливо в ин-
интервале времени т, для которого выполняется условие
^ <т~тр, A1.1.8)
где тР — характерное время квазилинейной релаксации, т. е. вре-
время за которое колебания повлияют на равновесное состояние
плазмы. При этом
foa= </<*>= — Uadt. A1.1.9)
т о
После усреднения из A1.1.3) получаем два уравнения для
«медленной» и «быстрой» частей функции распределения соответ-
соответственно:
dt
+ v^KE^=O.
A1.1.10)
При выводе этой системы было учтено неравенство foa(P> [it)^$>
fi (P> t) и отброшены малые нелинейные слагаемые в уравне-
уравнении АЛЯ fia(p, t).
Используя Фурье-разложения A1.1.6) и A1.1.7) и пренебре-
пренебрегая медленными изменениями fiak и Ек во времени в соответствии
с условием A1.1.8), из второго уравнения A1.1.10) получаем
/lak=- Jf«]bV«L . A1.1.11)
' 1ак ш kv 0p
Подставляя это соотношение в первое уравнение A1.1.10), полу-
получаем квазилинейное уравнение для «медленной» (равновесной)
части функции распределения:
WT ' (П.1.12)
359
где Dalj= |-2^?k El Im —
2 к &2 к <o
|2^?k El Im Ц
2 к &2 к <o —kv
2 к *а (со—
Здесь введена комплексная частота ю-»-ю+1бк и учтено соотноше-
ние Ек= — Ек.
k
Заметим, что
@) _ kvJ + б2 ^ дб (а) _ ку)
Первым из этих соотношений воспользуемся при исследовании
развития гидродинамических неустойчивостей, не связанных с
диссипативными процессами в плазме; второе же соотношение
удобно при изучении кинетически неустойчивых колебаний, опре-
определяемых диссипативными процессами в плазме.
Соотношение A1.1.11) выражает «быструю» часть функции рас-
распределения fiak через «медленную» часть fo«; последняя, в свою
очередь, связана уравнением A1.1.12) с электрическим полем
колебаний Ек Таким образом, чтобы замкнуть систему, необходи-
необходимо использовать уравнение для Ек. Для вывода такого уравнения
удобно воспользоваться уравнением Максвелла A1.1.5). Умно-
Умножая уравнение A1.1.5) для гармоник Ек скалярно на Е*к и ус-
усредняя по быстрым осцилляциям с учетом A1.1.11), после не-
несложных вычислений получаем
где
6к=- — 2 -^ jk^-dplm—* A1.1.16)
2а го№ J ^ F со—kv V '
В условиях гидродинамически неустойчивой плазмы величи-
величина 6к в A1.1.15) представляет инкремент нарастания колебаний.
Если же раскачка (или затухание) волн в плазме обусловлена
диссипативными эффектами, то соотношение A1.1.15) представ-
представляет изменение энергии поля в среде, причем б к определяется
мнимой частью продольной диэлектрической проницаемости изо-
изотропной бесстолкновительной плазмы.
Уравнения A1.1.12) и A1.1.15) образуют замкнутую систему
квазилинейных уравнений для продольных колебаний плазмы в
360
отсутствие внешнего магнитного поля. Закон дисперсии таких ко-
колебаний определяется известным уравнением
fo,k)=l+ 2 -\\ _^_dp = O. A1.1.17)
a 80Aj2 со—kv
Нетрудно показать, что система уравнений квазилинейной те-
теории удовлетворяет законам сохранения числа частиц, энергии и
импульса. Действительно, умножая A1.1.12) на ^а=тас2уа9 ин-
интегрируя по импульсу и суммируя по сортам частиц, получаем
2 I с 12
Используя уравнение A1.1.15), окончательно находим закон со-
сохранения энергии:
Bj2^)o. (H.U9)
Аналогично выводятся законы сохранения числа частиц и им-
импульса системы:
ir * м=°> Ь (? ^p/oadp+ ?ej^)=0- A1Л-20)
Перейдем к выводу квазилинейных уравнений для магнитоак-
тивной плаз!мы. Так же как и ранее, ограничимся рассмотрением
лишь продольных колебаний плазмы и разобьем функцию рас-
распределения частиц на «медленную» и «быструю» части согласно
соотношениям A1.1.6) и A1.1.7). Исходя из уравнения Власова
для магнитоактивной плазмы
^ =0, A1.1.21)
для foaH fie получаем выражения
^ ^ ^ ^ . 0. (ПЛ.23)
Ограничимся далее рассмотрением аксиально симметричных
функций foa=/oa(pz, pj_). Такая ситуация возникает при взаимо-
взаимодействии пучка частиц с плазмой, либо в плазме, находящейся в
электрическом поле, и т. п.* Используя разложение A1.1.7) и
* Функция /Оа(р) может быть также функцией ф, например, в случае не-
неоднородной машитоактивной плазмы. При этом квазилинейная теория сущест-
существенно усложняется (см. задачу 11.2).
12—953 361
учитывая потенциальность поля Е=—VO, находим решение урав-
уравнения A1.1.3):
)
~ -^- Фк J dq/ (к %*-) exp [^ f dq>" (co-kvU -
еа Y -¦ Qa ' \ "а L Фк X
х (J*s_ ^2» +?г ??i\ exp [i (m- п) Ф]. (П.1.24)
Подставим это решение в уравнение A1.1.22) и произведем
усреднение по времени. Учитывая при этом, что последнее слагае-
слагаемое для аксиально симметричных функций /оо обращается в нуль,
и производя усреднение по ф, окончательно получаем квазилиней-
квазилинейное уравнение для «медленной» части функции распределения:
f)lm
X
A1.1.25)
В пределе Qa-^0 это уравнение переходит в A1.1.13), но только
для одномерного движения (вдоль оси Oz).
Уравнение квазилинейной теории для поля E = V<p выво-
выводится из уравнения A1.1.5). Умножая это уравнение скалярно на
Е и усредняя по быстрым осцилляциям, получаем соотношение
A1.1.15), в котором
бк= — 2 2 -^- j dplm ( l-
x J> (^lpiM / J^_ ^ +^ ^L \ (ЦЛ.26)
представляет собой инкремент нарастания (декремент затухания)
колебаний.
Уравнения A1.1.15) и A1.1.25) образуют замкнутую систему
уравнений квазилинейной теории для продольных колебаний маг-
нитоактивной плазмы, спектр которых определяется дисперсион-
дисперсионным соотношением
x
зРж
(П.1.27)
§ 11.2. Квазилинейная релаксация плазменных колебаний
В качестве первого примера применения квазилинейных урав-
уравнений рассмотрим релаксацию высокочастотных плазменных ко-
колебаний в нерелятивистской изотропной плазме. В линейной те-
теории колебаний изотропной плазмы (см. гл. 4) было показано,
что в бесстолкновительной плазме малые продольные колебания
затухают во времени благодаря черенковскому поглощению элек-
электронами плазмы. Время затухания колебаний определяется де-
декрементом затухания Ландау. В линейной теории, однако, не учи-
учитывается влияние колебаний на равновесную функцию распре-
распределения электронов, поэтому линейный декремент определяет вре-
время затухания, строго говоря, лишь в пределе бесконечно слабых
колебаний. При конечных амплитудах колебаний равновесное рас-
распределение претерпевает изменение в процессе развития колеба-
колебаний и выражение для линейного декремента их затухания пере-
перестает быть справедливым. Процесс затухания при этом можно
описывать в рамках квазилинейной теории, которая учитывает из-
изменение равновесной функции распределения под действие колеба-
колебаний. Очевидно, колебания должны воздействовать на равновесную
функцию распределения таким образом, чтобы воспрепятствовать
поглощению волн (т. е. уменьшать эффект их воздействия). Поэто-
Поэтому с ростом амплитуды колебаний их затухание должно умень-
уменьшаться и в бесстолкновительной плазме (когда не происходит
максвеллизации функции распределения) даже может устано-
установиться такое распределение, когда поглощение будет полностью
отсутствовать и непоглощенная волна будет оставаться незатуха-
незатухающей. Из линейной теории известно, что затухание волны в плаз-
плаза/о
ме определяется величиной —л-
dv
Поэтому описанная ситу-
ситуdv
ация возможна, если в результате воздействия волны на равно-
равновесную функцию распределения на последней появится в неко-
= 0
торый момент времени «плато», т. е. область с ——
dv /
волна к этому моменту времени еще неполностью поглотится. При
рассмотрении релаксации плазменных колебаний ограничимся ис-
исследованием одномерного случая, считая волновые векторы к всех
волн параллельными.
Предположим, что в начальный момент времени /=0 в тер-
термодинамически равновесной невырожденной плазме (с максвел-
ловской функцией распределения) равномерно во всем простран-
пространстве в некотором узком интервале волновых векторов к возбуж-
возбуждены плазменные колебания со спектральной плотностью энер-
энергии Wk@) =72i8o|?fe@) |2? уровень которой значительно превышает
спектральную плотность тепловых шумов (вследствие этого столк-
столкновения частиц несущественны). В одномерном случае уравнения
квазилинейной теории A1.1 Л2) и A1.1.15) приобретают простой
12* 363
вид:
dt
±d?±9 d=--^-2 |?ft|2Im_J_>
dv dv 2k со —&/
— k\ k\ > h ~~ № dv a~kv
A1.2.1)
2 k* dv
Здесь для удобства введена функция F0(v, t), которая является
результатом интегрирования функции /0 по поперечным к векто-
вектору к импульсам и нормирована на единицу: j FqcIv—1. Кроме
того, учтено, что в поглощении плазменных волн участвуют элек-
электроны, для которых kv=(ubo— 1 / g2^°, где No — равновесная
плотность плазмы.
Запишем начальные условия для системы A1.2.1):
1 /
при v = (d/k < vlf
го
при vL ¦¦
A1.2.2)
v = — < v
2,
О ПрИ V = (d/k > V2. j
В этой же узкой области скоростей отличен от нуля коэффи-
коэффициент диффузии D(v, /=0).
В результате квазилинейной релаксации система переходит в
новое стационарное состояние, в котором dF0/dv-+-0 в области
Vi^.v^.v2, т. е. на функции распределения устанавливается «пла-
«плато» (рис. 46). Это видно непосредственно из второго уравнения
A1.2.1). При этом спектральная
плотность энергии колебаний
Wk (оо) < Wk @). Квазилинейные
уравнения A1.2.1) позволяют свя-
связать Wk(oo) и Fo(v, оо) с Wh@) и
F0(v, 0). Действительно, из этой си-
системы следует соотношение
— [>0 (v, t) —-Wk (t) 4e2 1 = 0,
Рис. 46. Образование «плато» на
графике функции распре-
распределения частиц
364
—
dt
A1.2.3)
из которого видно, что величина
сохраняется в процессе квазилинейной релаксации колебаний.
Поэтому
р.ьа>-р.<Р.оо)- i r.m^M-i г. (оо,^
Wh(со)-Wk@)=8°
A1.2.4)
или, интегрируя это соотношение по скоростям,
Wh(oo)-Wh@)= &???) dvlF0(v,oc)-F0(v,0)]. A1.2.5)
Очевидно, что
] [Fo (v, оо) - Fo (v, 0)] dv = 0, A1.2.6)
V%
так как взаимодействие волны с частицами происходит в области
Vi^v^.v2, а поэтому и функция распределения искажается толь-
только в этой области. В результате (поскольку Fo(v9 oo)=const)
имеем
F0(v, oo) = (v%-vJ-*]dvF0(v,0). A1.2.7)
Подставляя это последнее выражение в A1.2.5), окончатель-
окончательно находим спектральную плотность энергии колебаний в конеч-
конечном состоянии системы:
***v*]dv \ —1
A1.2.8)
Может оказаться, что начальной энергии не хватит для уста-
установления «плато» на функции распределения электронов. В этом
случае стационарное состояние не будет достигнуто, а поле пол-
полностью поглотится в плазме.
Оценим время квазилинейной релаксации колебаний и просле-
проследим характер поглощений волны на начальной стадии, пока ее
амплитуда еще велика по сравнению с тепловыми шумами. Преж-
Прежде всего заметим, что, поскольку в процессе квазилинейной ре-
релаксации происходит сглаживание функции /0, т. е. уменьшение
dfofdv, при этом и время поглощения волны должно возрастать,
а декремент затухания падать. Поэтому очевидно, что время ква-
квазилинейной релаксации должно быть значительно больше обрат-
обратного декремента затухания волн на начальной стадии. Время
квазилинейной релаксации колебаний, т. е. время образования
«плато» на функции распределения электронов, оценивают из
первого уравнения A1.2.1). В случае плазменных волн, когда
/ky^e, EkttkQ)k, по порядку величины оно составляет
.5L (Ц.2.9)
V4 *
D »lo v*e Wk «lo e
365
Учтем далее неравенства A1.1.1) и A1.1.2), которые запишем в
виде
Из A1.2.9) при этом находим, что
Еще более жестким оказывается требование малости обратно-
обратного декремента затухания волн по сравнению со временем квази-
квазилинейной релаксации:
-т-е"*»* 1- (П-2Л2)
le k>r7De
Ртсюда находим ограничение на потенциал плазменных колеба-
колебаний, при котором справедлива квазилинейная теория:
(а2-13)
Заметим, что подобное ^граничение получается также из тре-t
бования отсутствия захвата электронов в поле плазменных коле-
колебаний e(Dfc<C<m6V&2 (см. задачу 11.3):
Это неравенство представляет собой условие применимости
линейного приближения для высокочастотных плазменных коле-
колебаний в бесстолкновительной изотропной и термодинамически
равновесной плазме.
Наконец приведем условие возможности пренебрежения стол-
столкновениями частиц при квазилинейной релаксации высокочастот-
высокочастотных плазменных колебаний в полностью ионизованной плазме.
Это условие также определяет область применимости полученных
в настоящем параграфе формул и, по существу, конкретизирует
неравенство A1.1.2) для случая рассмотренных здесь плазмен-
плазменных колебаний:
§ 11.3. Квазилинейная релаксация
пучковой неустойчивости в плазме
Применим полученные квазилинейные уравнения для исследо-
исследования характера развития пучковой неустойчивости. В гл. 6 при
изучении взаимодействия электронного пучка малой плотности с
366
плазмой было показано, что в такой системе в отсутствие внешне-
внешнего магнитного поля могут развиваться неустойчивости двух ти-
типов: гидродинамическая и кинетическая. Если прямолинейный
пучок нерелятивистских электронов достаточно моноэнергетиче-
моноэнергетический, так что vTb<.u(—— j , где vTb — тепловой разброс скоро-
скоростей электронов пучка, и — их направленная скорость, a JVbMfo-—
отношение плотности пучка к плотности плазмы, то неустойчи-
неустойчивость носит гидродинамический характер и сопровождается воз-
возбуждением плазменных волн с частотой
инкремент нарастания которых
Ь = ЬкЪ^[-щ) G)LO<<0. (П.3.2)
Для гидродинамической пучковой неустойчивости определяв
ющими факторами являются макроскопические параметры систе-
системы: плотность, скорость и т. п. Наоборот, для пучков с большим
тепловым разбросом скоростей, когда уть>«(——) , пучковая
неустойчивость является кинетической; она определяется явным
видом функции распределения электронов по скоростям.
Анализ квазилинейной стадии развития пучковой неустойчи-г
вости начнем с гидродинамической неустойчивости. Ограничимся
одномерным случаем и запишем квазилинейные уравнения в виде
где
Df
ы др др ы
(о) - kvY + б?
На гидродинамической стадии нарастания колебаний (со—kv)«
d^kvb, причем инкремент 6& не зависит от волнового век-
A1.3.5)
v
тора. Учитывая сказанное, запишем
dt dt dp2
Для решения задачи развития во времени пучковой неустой-
неустойчивости система уравнений A1.3.5) должна быть дополнена на-
начальным условием, которое в случае моноэнергетического элект-
электронного пучка, очевидно, имеет вид
Fo{0)=b(v—u). A1.3.6)
367
Произведем далее замену
Hi ~~ ~ Wf d* ~ d/ dx
Тогда уравнения A1.3.5) можно переписать следующим образом
o 28
дХ dpi *
Я=4л -Li,
е0 б
где Й7 = —*¦ 2 |?й|2 —энергия поля колебаний.
Решение системы A1.3.7) с начальным условием A1.3.6)
4т J
Из условия нормировки j /7odt; = l при этом имеем А= YmfDri).
Таким образом, при развитии пучковой неустойчивости моно-
моноэнергетическое вначале распределение A1.3.6) со временем раз*
мывается, причем эффективная температура растет во времени:
T=2x~t. Такое размытие, однако, продолжается до тех пор, по-
пока не нарушится услЪвие применимости гидродинамического рас-
рассмотрения e>*irT6, или vTb = 1 / — = 1 / — < (^гI/3 и. В ре-
V tn V т \2N0 I
зультате находим
(^J/3. A1.3.9)
Отсюда следует, что на разогрев пучка при развитии гидродина-
гидродинамической пучковой неустойчивости уходит 2 (—— ] часть кине-
тической энергии пучка, т. е.
1т**=2(Щ2/3. A1.3.10)
Легко оценить и энергию поля колебаний при развитии гид-
родина;мической пучковой неустойчивости. Действительно, соглас-
согласно A1.3.7), D~26t~ ^, поэтому Wmax~ -~ еохтях или
Nbmu*/2 2я me*Nb\ 2N0) \ 2N0
( Nh \i/3
т. е. кратная I ——) часть энергии пучка передается плазмен-
ным колебаниям.
368
Из соотношений A1.3.10) и A1.3.11) следует, что потери энер1
гии пучка на гидродинамической стадии невелики, причем они
расходуются в основном на возбуждении волн и в меньшей сте-
степени на разогрев пучка.
Наконец, оценим время квазилинейной релаксации гидроди-
гидродинамической пучковой неустойчивости. Учитывая D ~ 26т ~ 26Dt,
легко показать, что
1 9 / ОЛ/ \ 1 /3 1
1 * ^ / <и**Л \ ' * / 1 1 О 1 О\
б j/З \ Nb J ^LO
Наиболее характерная особенность развития гидродинамиче-
гидродинамической пучковой неустойчивости — ее нестационарность. Это явля*
ется следствием того, что инкремент нарастания б гидродинами-,
ческой неустойчивости не зависит от вида функции распределе-
распределения электронов пучка и вообще не изменяется во времени. Поэто-
Поэтому в процессе своего развития неустойчивость не стабилизирует-
стабилизируется. Однако она приводит, как было показано, -к размытию (нагре-
(нагреву) функции распределения электронов пучка и очень скоро за
время ~ 1/6 неустойчивость приобретает кинетический характер
и нарушается неравенство утЬ < и ( —— )
Чтобы проследить поведение пучка на кинетической стадии не-
неустойчивости, рассмотрим квазилинейную релаксацию размытого
пучка в плазме. Пусть в начальный момент времени полная функ-
функция распределения электронов в плазме имеет вид, показанный
на рис. 47,а, и в одномерном случае можно записать
No \2nTbJ
Обычно принимают Гь>Г0.
A1.3.13)
i ^—
5)
гг2
IX
)
Рис. 47. Начальная функция распределения в системе плазма — пучок (а) и
квазилинейная релаксация функции распределения электронов при раз-
развитии плазм а-пучков ой неустойчивости (б)
369;
Инкремент нарастания кинетической неустойчивости в отличие
от гидродинамической полностью определяется функцией распре-^
деления электронов по скоростям и, как показано в гл. 6, состав-
составляет
п «lo dF0
A1.3.14)
п 2 k* dv
Спектр же частот возбуждаемых колебаний при развитии не-
неустойчивости в условиях Nb^No совпадает со спектром ленгмю-
ровских колебаний плазмы:
A1.3.15)
Систему квазилинейных уравнений для кинетически неустой-
неустойчивых колебаний можно записать в виде
dt dp dp ' dt ni Hl '
ikv Г—' — - A1'ЗЛ6)
2 ко )
"получении этой системы из A1.3.3) и A1.3.4) было учтет
но, что в пределе (ю—kv) >6г->0, который всегда выполняется
для кинетической пучковой неустойчивости,
Ъ-kv). A1.3.17)
Видно, что система A1.3.16) допускает существования стаци-
oFo
онарного решения, в котором
>О, т. е. на функции рас-;
dv
пределения электронов по скоростям образуется «плато» в обла-
области скоростей vttafk. Точнее, такое плато образуется в области
скоростей Vi^v^.v2, представленной на рис. 47,6; штриховой ли-
линией показана начальная функция распределения. Задача ква-
квазилинейной теории состоит в определении значений V\ и v2 и вьь
соты Fo(v, oo) в этой области. Для этой цели имеем три извест-
известных соотношения: закон сохранения числа частиц
*fFo(v90)dv= ]F0(v,oo)dv=F0(vfoo)(v2-v1) A1.3.18)
и два очевидных равенства
Fo(vu O)=Fo(v2) 0)=F0(v, oo). A1.3.19)
Рассмотрим теперь, какая доля энергии пучка переходит в ко-
колебания поля на (квазилинейной стадии кинетичеакой пучковой не-
370
устойчивости. Заметим, что подобно A1.2.3) из A1.3.16) имеем
" =0. A1.3.20)
Ы \ ° dv
Отсюда Fo (v, t) = Fo (v, 0)+ ± f ^\(/) [' . A1-3.21)
Интегрируя это соотношение по скоростям, окончательно находим
•][FQ(v9oo)-Fb(v90)]dv9 A1.3.22)
где v=(o/ktt(Obo/kttU. Заметим, что величина \Eh(°°)\2 отлична
от нуля лишь в области фазовых скоростей Vi<.(ofk—v<:v2i так
как только в этой области происходит возбуждение плазменных
колебаний электронным пучком.
Из A1.3.22) видно, что в установившемся в результате квази-
квазилинейной релаксации состоянии системы плотность энергии ко-
колебаний поля распределена по фазовым скоростям неравномерно;
в распределении энергии по фазовым скоростям преобладают ко-
колебания с большими скоростями. Кроме того, из A1.3.22) нетруд-
нетрудно оценить отношение
I *-* h (®®} I ^2 — ^1 I "Ъ \ I /11QO О\
- Л/ s** \ 11 1.O.ZO)
Nbmu*/2 и \ No )
Таким образом, при квазилинейной релаксации кинетической
пучковой неустойчивости плазменным колебаниям передается ма-
малая доля энергии, порядка (Л/ь/УУоI/3-
Время квазилинейной релаксации кинетической пучковой не-
неустойчивости при этом оказывается порядка
'"\ A1.3.24)
Это время в Nof'Nb^l раз превосходит время релаксации пучко-
пучковой неустойчивости на гидродинамической стадии.
Кинетическая неустойчивость в отличие от гидродинамической
развивается с замедлением, так как в результате квазилинейной
релаксации уменьшается величина dFo/dv. На конечной стадии
этот процесс бесконечно замедлен. Поэтому здесь становится важ-
важным учет явлений, восстанавливающих наклон функции распре-
распределения, таких, как столкновения частиц (см. задачу 11.1).
Задачи к гл. 11
Задача ILL На примере ленгмюровских колебаний изотропной плазмы по-
показать, что при учете столкновений электронов в .результате квазилинейной
релаксации устанавливается распределение \с конечным наклоном функции
распределения по скоростям в резонансной области.
Решение. Столкновения частиц стремятся превратить функцию распреде-
распределения в термодинамически равновесную, т. е. макювеллювскую. Учитывая, что-
лен'лмюровсние колебания искажают распределение частиц в области v^>vTey в
случае полностью ионизованной плазмы квазилинейное уравнение для функции.
371
D
распределения электронов с учетом электрон-электронных столкновений запи-
запишем в виде
1Г-Ф„ °дР{1 +дР{1 D*dPll (Л-'m)- <*>
Здесь Pjj^/n^jj, ар±— mv L, сгц, vL — соответственно проекции скорости
вдоль и поперек направления распространения волны; /м — максвелловская
функция распределения;
Из A) видно, что время релаксации функции распределения к максвелловс-
(A\* l
где Аум—
() д, р рц фуц ррд
1 (Av\\\* l
кой вследствие столкновений частиц составляет те = —(~—] >-тг~,
ширина резонансной области, в которой искажается функция распределения
электронов под действием колебаний. Таким образом, в A) учитываются как
квазилинейное искажение функции распределения электронов, т. е. образование
«плато», так и столкновительная ее релаксация к максвелловской. *В результате
конкуренции этих двух процессов устанавливается стационарное распределение
(в цредположении, что поле колебаний поддерживается стационарным внешним
источником):
dv{{ ~ dv{l l+D/D/
В отсутствие столкновений De->-0, а следовательно, и ^
В слабоиоиизованной плазме вместо A), используя кинетическое уравнение
с модельным интегралом столкновений БГК, получаем
где ve=const. Здесь также видно, что при ve=H=0 и dfo/dv „ ФО.
Задача 11.2. Пюлучить уравнения квазилинейной теории для низкочастот-
низкочастотных дрейфовых колебаний бесстолкновительной магнитной неоднородной
плазмы в нулевом приближении геометрической оптики.
Решение. Уравнения квазилинейной теории можно записать только для
слабонарастающих кинетически неустойчивых дрейфовых колебаний, поскольку
для «их ©»<0др>6. За раскачку указанных колебаний в бесстолкновительной
плазме ответственна черенковская диссипация волн на электронах плазмы. По-
Поэтому в результате развития лодобных неустойчивостей будет искажаться функ-
функция распределения электронов.
В соответствии с § 11.2 « учитывая явный вид функции распределения
электронов в неоднородной плазме (см. § 6.3), для низкочастотных дрейфовых
колебаний '(<o<cQ*) вместо A1.2.25) получаем
ku д
Для кинетически неустойчивых колебаний имеем
1
372
Учитывая это обстоятельство, из A) находим уравнение для стационарной
функции распределения:
со д k^_d_\t_n B)
Отсюда видно, что при развитии дрейфовых неустойчивостей на квазилинейной
стадии устанавливается состояние без «плато», т. е. dfoldv^^O. Учитывая малое
отклонение /0 от максвелловской функции распределения, приближенно можно
записать
dfo k»v\\ dU (
do U ~ (oQe дх
Задача 11.3. В модели независимых частиц исследовать одномерные ста-
стационарные монохроматические волны конечной амплитуды в системе сильно
замагниченной плазмы и прямолинейного моноэнергетического релятивистс-
релятивистского электронного пучка малой плотности.
Решение. Как было показано в гл. 6, прямолинейный пучок малой плот-
плотности в замагниченной плазме возбуждает продольные волны с фазовой ско-
скоростью, близкой к скорости пучка (черепковская неустойчивость). Поэтому в
системе плазма — пучок интерес представляют волны с конечной амплитудой.
Естественно, нелинейность таких волн в первую очередь сказывается «а движе-
движении электронов пучка. Взаимодействие волн с электродами плазмы можно счи-
считать линейным, а саму плазму — «холодной.
Движение электронов пучка в модели независимых частиц описывается
системой уравнений (непрерывности C.6.4) и Эйлера C.6.8). В поле монохро-
монохроматической волны все величины 'будем считать зависящими от координаты
zk
\ = t — —, при этом ось Ог совпадает с направлением распространения вол-
<а
ны. Кроме того, ограничимся рассмотрением одномерной задачи, считая скорость
электронов пучка в системе покоя волны нереля-тивистской и параллельной оси
Oz, а поле Е — потенциальным, т. е.
со d?
где Ф(|) — потенциал поля волны. В указанных ограничениях находим интег-
интегралы уравнений движения:
т-ЬЧт—)•
со со
B)
где p=mv(l—D2/c2)-l/2 — импульс, у=A—и2с2)-1'2, а и и N& — скорость и
плотность электронов пучка в точках, где Ф=0.
Определяя из системы B) плотность электронов и подставляя в уравнение
Пуассона, получаем
\ со2 /
d2 Ф ®ъ °> т I u — (D/k - — \
¦[¦
соа / d?a e№ I l// со \2
C)
В линейном приближении, т. е. в пределе myz(u—со/?J>2еФ, решение урав-
уравнения C) следует искать в виде 0(g)=Oocosco§, что приводит к известному
дисперсионному соотношению, описывающему нарастающие во времени (а сле-
следовательно, нестационарные) потенциальные волны 'бесконечно малой амплиту-
амплитуды (см. гл. 6). Нестационарными остаются и волны конечной амплитуды, если
373
только кинетическая энергия электронов пучка в системе покоя волны больше
потенциала поля волны и электроны могут двигаться относительно волны,
преодолевая «горбы» потенциала.
Стационарной оказывается нелинейная волна с амплитудой
и- —J .
D)
При этом условии электроны пучка захватываются полем волны и обмен энер-
энергией между ними отсутствует. Подставляя решение Ф(?)=Ф0 cos cog в C) и
усредняя по |, получаем
Не представляет труда определить он энергию поля колебаний:
? \2/з
2Nbmc*(y-l)
V No)
Заметим, что из условия отсутствия захвата электронов в нерелятивистском
пределе еФ0<^т62к/к2 для продольной волны в изотропной плазме, когда 6&
определяется формулой D.2.6) (декремент затухания Ландау), получаем нера-
неравенство A1.2.14):
«Фо_ ^ „ ^ _з_ G)
Задача 11.4. Исследовать одномерную релаксацию прямолинейного моно-
моноэнергетического электронного пучка малой плотности при его инжекции в
полуограниченную (z>0) сильно замагниченную плазму.
Решение. (При <dlo>v«» электронный пучок возбуждает плазменные коле-
колебания и тормозится. В результате скорость электронов пучка уменьшается: м=
= м0—6м, а плотность их возрастает: ЛГь=#ьс1A+6м/мо). Из закона сохранения
йотока энергии при этом следует
A)
д Ре 6 Е^ 6
Здесь Yo=(l—м2о/с2)~1/2, We=<u—; г—— плотность энергии возбуждае-
до) 2
д Re со
мои пучком волны, i>g= —-¦— — ее групповая скорость, а
ok
— диэлектрическая проницаемость системы. Релаксация пучка — рост We и
6м — продолжается до тех пор, пока электроны пучка не окажутся захвачен-
захваченными полем волны. При развитии черенковской пучковой неустойчивости, когда
co^colo—kuOt захват происходит в поле
Е = mm* щ з. C)
зах 2еи0 Lo °
Учитывая это, из A) находим
базах 2 / «о Nb0 a Re 8 у/3
«о То \ vg No да )
Mb0
374
Чтобы завершить решение задачи, осталось определить групповую скорость
волны ve в условиях черенковского резонанса. Учитывая дисперсионное уравне-
уравнение в (ю, к) =0, получаем
a Re 8
со
dco
*>ьУр<°1.о»о If. , <°Ьр
]•
Тр-Чо Г\
В бесстолкновительном пределе (ve->-0), полагая в дисперсионном уравнении
е(<о, &)=0, k=ko+K, где &o«o=<olo, находим величину
/ соЬГ^п У/3 1 i Т/3"
мнимая часть которой представляет собой обратную длину релаксации пучка,
причем
да)
\4/3
Nbo У/3
2iV0 /
Заметим, что поле захвата при инжекции пучка в полуограниченную плазму,
определяемое последним соотношением G), значительно превосходит поле за-
захвата в пространственно неограниченной плазме — пучковой системе, найден-
найденное в предыдущей задаче. Это обусловлено явлением накопления возбуждаемых
пучком колебаний вследствие малой их групповой скорости, ^g<C«o, которая на-
намного меньше, чем в случае неограниченной плазмы — пучковой системы (см.
§ 6.3).
Бесстолкновительный предел справедлив при выполнении неравенства
г\ = -!?— — < 1. (8)
В случае частых столкновений, когда ti>1, тепловым движением электронов
плазмы можно пренебречь, положив vT е—0. В результате из дисперсионного
уравнения е(ш, ?)=0 получаем (k=ko+n)
1-1 щ f<»i" ^1/2
*~~ У? woYo/2 \ Ч
vl/2
««о. <*-ТГ^ = 2. (9)
v»/2V3o/2
Отсюда видно, что хотя групповая скорость волны t^g<C«o, она намного пре-
превосходит значение G), полученное в бесстолкновительшм пределе. Это означа-
означает, что с ростом частоты столкновений эффект накопления уменьшается. В свою
очередь, это проявляется в увеличении длины релаксации электронного пучка и
уменьшении поля захвата
375
Задача 11.5. Найти скорость и профиль одномерной уединенной нелинейной
ионно-звуковой волны (ионно-звуковой солитон).
Решение. Систему уравнений движения плазмы в области иошю-звуковых
волн запишем в виде (см. § 3.6)
до dv __ I дФ
dt дх пг дх
^^ -—[Ni-Nl)exp(e0/Te)~AN]. (I)
OX &Q
Здесь No — плотность электронов и_ ионов плазмы при Ф=0 (для простоты
полагаем 2=1), a AN=*[4No/C'\/n)](eQ)JTeK/2 — число захваченных волной
электронов.
Будем искать решение системы A) в ввде функции переменной |=д:—ut>
считая и постоянной величиной. Первые два уравнения системы A) при этом
сводятся к виду
(u_tt)iF'= --^j-ф', (NivY-uN'^0. B)
Для уединенной волны (солитона) Ф = 0, v-+Q и Wi-WV0 при ?->~Q. Учитывая
это, находим
_ Ми* М(и- у)* Д7 Nou
вф = Т" Г~ N*= C)
Теперь можно решить последнее уравнение системы A), которое принимает
вид
Отсюда следует, что скорость распространения уединенной волны определяется
амплитудой волны — максимальным значением Ф(|). Действительно, О1бозначая
амплитуду волны через Фт (Ф'=0 при Ф=Фт), из D) получаем связь между
и и Фт:
Ми* Г 1/Г~^Фш1 _ еефш1те _ _J_ /еФ у/.
Очевидно, что еФт<Ми2/2.
Соотношение E) значительно упрощается при слабой нелинейности уеди-
уединенной ионно-звуковой волны, когда еФт<Те. При этом
Из уравнения D) легко находим в этем случае и профиль волны:
G)
ch4 Т7=
Глава 12. НЕЛИНЕЙНОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ВОЛН В ПЛАЗМЕ
§ 12.1. Основы нелинейной
электродинамики
материальных сред
В предыдущей главе изучались нели-
нелинейные явления, заключающиеся в воздействии электромагнит-
электромагнитных волн на основное состояние плазмы, на ее функцию распре-
распределения. При этом не учитывалось взаимодействие волн. Такое
нелинейное явление принято называть квазилинейным. Было шь
казано, что квазилинейный процесс изменения основного состоя-
состояния плазмы характеризуется некоторым временем релаксации
/кв. Очевидно, что квазилинейное приближение справедливо, ес-
если за время 1Кв нелинейные явления взаимодействия волн не ус-
успевают заметно проявиться.
Для оценки времени нелинейного взаимодействия волн в плаз-
плазме в этой главе рассмотрим обратный предел. Именно, предпола-
предполагая основное состояние плазмы неизменным, исследуем нелиней-
нелинейные эффекты, связанные со взаимодействием волн, и оценим вре-
время их взаимодействия /н. Справедливость такого рассмотрения
обеспечивается условием tH<^tKB. В обратном же пределе справед-
справедливо квазилинейное приближение.
Прежде чем перейти к изучению конкретных нелинейных эф-
эффектов взаимодействия волн в плазме, кратко изложим общие ос-
основы нелинейной электродинамики материальных сред. В гл. 2
отмечалось, что уравнения поля в среде могут содержать нели-
нелинейность, связанную с нелинейностью материального уравнения
B.1.6) или B.1.7), устанавливающего связь между j и Е либо
D и Е. В линейной электродинамике ограничиваются линейными
материальными уравнениями. При достаточно слабых полях в этих
соотношениях можно пользоваться разложением по степеням по-
поля Е, учитывая как линейные (линейная электродинамика), так
и нелинейные члены любых порядков. Последние будут описывать
взаимодействие волн. Следует отметить, что только в случае сла-
слабых полей (смысл этого разъясняется в конкретной модели плаз-
плазмы), когда применимо разложение по степеням поля и основны-
основными являются линейные слагаемые, можно вводить понятия соб-
собственных волн в среде,- а с помощью малых нелинейных членов
описывать взаимодействие волн.
В общем виде материальное уравнение для пространственно
однородной и стационарной среды, разложенное по степеням по-
поля и учитывающее принцип причинности, записывается в виде
377
D, {t, г) = e0 s j d/j J drx J d/, J dr2... J * d*n J drn x
/1=1 —oo —oo —oo
X 5- (/ г )... if/ (t r ). A2.1.1)
Ограничиваясь первым слагаемым этого ряда, получим материаль-
материальное уравнение линейной теории B.2.2). Далее учтем члены бо-
более высокого порядка — квадратичные и кубические по полю.
Кроме того, ограничимся исследованием нелинейных эффектов в
пространственно однородной и стационарной среде, когда зависи-
зависимость тензоров eijlt... ,jn от времени и координат только разност-
разностная, т. е. нет зависимости просто от tn и гп. Наиболее характерные
нелинейные эффекты взаимодействия волн в слабонелинейной
плазме проявляются именно в таком приближении.
Уравнения Максвелла B.1.5) совместно с материальным урав-
нием A2.1.1) образуют полную систему уравнений электроди-
электродинамики слабонелинейной среды. В случае пространственно одноп
родной и стационарной среды удобно разложить поля в интеграл
Фурье:
Е (t, г) = J dco dkE (со, k) e-ifi>'+Ikr A2.1.2)
и ввести понятие многоиндексных тензоров диэлектрической про-
проницаемости:
= f At е'®* f dre""*^ f dt-i e*®1 ^ f di*i e—*^i п f d/ x
qJ J J j -j »
XP ft"—! 71*"*"i 1 fir p П"—1 71—1 e .. t (f V fm T*. — t - V -}
A2.1.3)
В частности, двухиндексный тензор 8ij(co, k) представляет со-
собой обычный тензор диэлектрической проницаемости, использу-
используемый в линейной электродинамике.
С помощью многоиндексных тензоров материальное уравнение
A2.1.1.) записывается в виде
• оо
Di @, к) = е0 8^ (со, к) Ej (со, к) + е0 2 J dcox dkx... d(on^t dkn-_! x
X гци..1п (со, к,... con^!, kn-i) Elx (со — ©lf к — кг).«
?/(n_1) (on_2 — con_x, kn_2 — kn_!) ?/ (con_!, kn-i). A2.1.4)
Теперь уравнение Максвелла
378
в пространстве со и к принимает вид
оо
= 2 j dfflj dkx ... d©n_! dkn_x ef/l.../n (со.Чс, щ kv ..., (on-lt kn_j) x
a
л=2
X Eh (со - сох, к - кх)... ЕНп_1} К_2 - ©n-lf kn_2 - кп^) х
x^/n(©n«i,kn^i). A2.1.6)
В линейном приближении по полю это уравнение переходит в
уравнение линейной электродинамики B.4.3).
Уравнение A2.1.6) может быть положено в основу нелиней-,
ной электродинамики среды только в условиях слабой нелинейно-
нелинейности, когда представление поля в виде совокупности плоских волн
A2.1.2) близко к точному решению задачи. При этом члены в
правой части являются малыми, описывающими малое отклонение
волн в среде от плоских из-за их нелинейного взаимодействия. В
первом приближении, когда нелинейными слагаемыми можно пре-
пренебречь, плоские волны являются точными решениями уравнений
поля B.4.3) при условии связи между со и к в виде обычного дис-
дисперсионного уравнения
= 0. A2.1.7)
Итак, в линейном приближении получаем только сведения о
типе волн, которые могут существовать в среде.
Учет малых нелинейных слагаемых приводит к тому, что ам-
амплитуды волн оказываются слабыми функциями времени и коор-
координат. Чтобы обеспечить условие медленности изменения ампли-
амплитуд, как и в предыдущей главе, вводится малый параметр \х:
Е (t, г)=Е (|iff fir, со, к) е-1в*+!Ьг + Е* (ц*, [лг, со, к) eIfi>'-ikr. ' A2.1.8)
Для описания этих слабых зависимостей от времени и коор-
координат (слабых по сравнению с 1/<о и l/k воспользуемся усредне-
усреднением, подобно тому, как это делалось в § 2.3 при выводе выра-
выражения для энергии поля в среде. Тогда получим
— а?)*(*'г> ^ — icoe-icoH-ikr Si.(@> ^е (pt9 ^г>а, к) +
80 Ы
+ icoelV (со, к) еш~1* Е) (lit, fir, со, к) +
i [cofy/ со, к)] •
[m to, k)]
да) d\it
_ JL [m)(CO, k)]
[m)(CO, k)] e
379
— 6D*(o),k). A2.1.9)
Здесь 6Z);(co, k) — 'нелинейная часть 'вектора индукции [т. е.
нелинейное слагаемое в A2.1.4)], в которой слабой зависимостью
от t и г пренебрегаем.
Подставим A2.1.9) в соотношение для энергии поля B.3.1)
(при jo=O):
1 е-+ В—+ div[EB] = 0 A2.1.10)
са 80 dt Ы
и произведем усреднение. В результате получим
- 2ks btJ) -J Ej (<», k) E] (», k) J = ico [eiy. (<o, k) E, (со, k) ?,* (©, k)
oo
— 8*7 (со, k) ? * @, k) Et (со, ?)] + i©2 J do)! dkx... dco^-! d^^ x
/t=2
X ееД...Уп (со, k,..., a>n_lf k^.^ E) (со, k) ?д (со - cox, k ~ кг)...
oo
»• Ejn («n~i. kn-x) ~ ico 2 j <4, dklt..., dco^,
dkn_i e*/ (со, k,..., ©n_1, kn-i) ^i (о), к) х
X E]x (co-co,,k~kx)... 4^,^). A2.1.11)
По существу это уравнение представляет собой закон сохранения
энергии в системе. Левая его часть описывает изменение ампли-
амплитуды волн, обусловленное их излучением и поглощением, а пра^
вая — нелинейным взаимодействиям. Обычно в правой части этого
уравнения оставляют лишь несколько членов (в нелинейной
оптике ограничиваются тремя членами разложения). Полученное
при таком обрыве ряда уравнение называют укороченным.
При выводе уравнения A2.1.11) на фазы волн ограничения
не накладывались, поэтому им можно пользоваться при иссле-
исследовании нелинейных волн как с фиксированной, так и со случай-
случайной фазой. В случае, когда фазы волн беспорядочны (хаотичны),
уравнение A2.1.11) следует усреднить по фазам и тем самым пе-
перейти к статистической электродинамике. При этом мы ограни*
380
чимся членами до четвертого порядка по полю и учтем следу-
следующие усредненные по фазам соотношения (см. гл. 10):
, к)>=0,
A2.1.12)
где (EiEj)&tk — спектральная плотность флуктуации электриче-
электрического поля.
Следует заметить, что соотношения A2.1.12), строго говоря,
справедливы лишь в случае стационарных и пространственно од-
однородных состояний среды. Согласно A2.1.11) в нелинейной элек-
электродинамике амплитуды поля в среде медленно меняются в про-
пространстве и во времени, поэтому соотношения A2.1.12) являются
приближенными. В линейной электродинамике эти соотношения
точные и из A2.1.11), отбрасывая члены выше второго порядка
по полю, получаем
, k) + divS@)>k)== _2б (со, k) W(со, к), A2.1.13)
dt
где введены обозначения:
д
0 \у>1У1ц (со, к)] (Et ЕЛ о, к = W (со, к),
дсо
S (со, к) = - -А. МИ?/ (со, к)] е0 (?, Е,)а,к,
При выводе аналогичного уравнения нелинейной электроди-
электродинамики наряду с парными /корреляторами A2.1.12) необходимо
знание тройных и четверных корреляторов. В линейной электро-
динамике тройные корреляторы тождественно равны нулю, а чет-
четверные разбиваются на произведение парных. В нелинейном при-
приближении (с точностью до членов четвертого порядка по полю)
четверные корреляторы можно представить в виде произведения
парных:
<?, (со, к) Е8 (со', к') Ej (ш", к") Ег (со'", к'")) =
= (Et Е9)авк (Е, Er)ur, vr б (со + со') б (к + к') б (<й" + со'") б (к" + к'") +
+ {Ei Ед„йк (Es Er)v. k' б (со + со") б (к + к") б (со' + со'") б (к' + к'") +
+ (Еь ?г>„, к. (Es Ej)^9 к. б (со + со"') б (к + к"') б (со' + ш") б (к' + Г).
A2.1.15)
Тройные же корреляторы отличны от нуля и порядка ?4. По-
Поэтому при их вычислении необходима большая точность. Запи-
381
шем уравнение A2.1.6) с точностью до кубических членов по
полю:
(со, k)?j(cu, k) =— j dcoidkieijS((o, к, coi, ki) X
X?j(<d—oi, к—ki)?f(©i, ki). A2.1.16)
Решая это уравнение методом последовательных приближений,
получаем -
?.(со, к)=?*<0>(о, к)-Лг>(о), к) J dcoidkjX
Xeris((o, к, o)i, к!)?,«»(со-соь k-ki)?.<°>(©i, М, A2.1.17)
где ?V0)(cd, к) —решение линейного уравнения A2.1.16), т. е. беа
правой части, а
. к) = [в„(ю,к)—^(в„ -^)]\ A2.1.18)
Теперь можно записать тройные корреляторы, если учесть, что
поля Е№Ц(й, к) некоррелированны между собой и поэтому
{Ег (со, к) Е$ (со', к') Е, (о", к")) = — J dcox dkx {Aia (со, к) х
X гаЬс (со, к, (Dlf кх) D0) (со—сох, к - кх) ^0) К, кг) X
X ^0) (со', к') E\Q)« к")) + 4с (со', к') 8С,Й (со', к', (о19 кх) х
X <40) (со' - ю1э к' - кг) Е{п0) К, кг) Е\0) (со, к) ?}0) (со", к")) +
+ Ajb (со", к") гЬса (tf'9 Г, со19 кг) (E{b0) (<tf - сох, Г - кх) х
X Е{а0)((ОгЛг)Е\0)^Л)Е{$0)(^кг))}. A2.1.19)
Подставляя A2.1.12), A2.1.19) и A2.1.15) в усредненное урав-
уравнение A2.1.11), обрезанное с учетом членов до четвертого поряд-
порядка по полю, окончательно получаем иошмое уравнение нелиней-
нелинейной электродинамики для волн с хаотичными фазами:
ot l со
X (Е) ?,>«.к] - 2 ie?/ (со, к) (Е, ?,>„, к + Im j do' dk' [A*la (о), к) х
X SUs(о, k,©', k')S«bc(©, k,<o'( k') (EsE^n..vx
X {Е}Еь)а-ш', k-k'+2Aib {(d—a>', к - к') SiU (со, к, со', к') х
X Sbca(©-<к-к',©,к) (?s?-c)co<. г (ЕаЕг)а.к~
-2Visac(a>, к,©', к') <Яв?,>,,.к <58?с)и-, И- A2.1.20)
При написании этого уравнения опущены слагаемые, содержа-
содержащие y4tj @, 0), как не дающие вклада в задачу нелинейного вза-
взаимодействия волн, ибо для волн (о и к одновременно не шгут быть
равны нулю. Все обозначения в уравнении A2.1.20) были разъ-
382
яснены ранее, за исключением Уцаъ и SijS, которые соответственно
составляют
Vijab(®, k, со', к)=ег>ь(о), к, со+о/, к+к', о/, к')
+8iiba(co, к, со+о)', к+к', со', к'), A2.1.21)
Sijs(o), к, о', к7)^8ijS(«co, к, a/, k')+eiSj((D, к, о—со', к—к7).
A2.1.22)
В линейном приближении, т. е. при пренебрежении членами чет-
четвертого порядка по полю, усреднение A2.1.20) переходит в
A2.1.11).
Таким образом, составление нелинейного уравнения взаимо-
взаимодействия волн сводится к вычислению тензоров высшего ранга
для среды. Для плазмы такие тензоры вычисляются в следующих
параграфах, в которых и упрощаются уравнения A2.1.11) и
A2.1.20). Без использования конкретной модели среды эти урав-
уравнения можно упростить, рассматривая либо чисто продольные, ли-
либо чисто поперечные волны:
Е' (со,к) = & (со, кL> Е"(со, к) = ?*(©, к) -J-. A2Л.23)
k п
где (hk)=O. Однако упрощения лучше проводить для конкретной
модели среды.
В заключение заметим, что уравнения A2.1.11) и A2.1.20),
строго говоря, пригодны лишь для описания взаимодействия волн,
амплитуды которых значительно превышают уровень тепловых
шумов, так как не учитывают эффект спонтанного излучения и
поглощения волн частицами плазмы, т. е. столкновения частиц в
плазме. В дальнейшем будем ограничиваться именно такими слу-
случаями.
§ 12.2. Многоиндексные тензоры
диэлектрической проницаемости однородной плазмы
Прежде чем перейти к исследованию конкретных нелинейных
эффектов взаимодействия волн в плазме, следует вычислить мно-
многоиндексные тензоры диэлектрической проницаемости, входящие
в уравнения A2.1.11) и A2.1.20). В этом параграфе вычислим эти
тензоры для бесстолкновительной пространственно однородной
плазмы, описываемой уравнением Власова:
Равновесную функцию распределения частиц сорта а в невы-
невырожденной плазме будем считать максвелловской:
ехр(-^Л A2.2.2)
« ГаK/2
383
в вырожденной же плазме — фермиевской:
О при
{ р рр (у
U={ 2 ^ A2.2.2а)
i Р <
Отклонение функции распределения от равновесной разложим
по степеням полей возмущений (индекс а в дальнейшем опускаем):
6/=М-/2+ ... +Ы+ ..., /»~?". A2.2.3)
Подставляя A2.2.3) в A2.2.1) и приравнивая члены одного по-
порядка, для плазмы в отсутствие внешних полей получаем
? ? %*- A2.2.4)
После перехода к Фурье-компонентам
/»(р. U г)= Jdcodke-^+^/ntp, со, к) A2.2.5)
и использования уравнения поля В= —[кЕ] для отдельной ком-
со
поненты ,
/п(р, со, к)- — iejdcoMk^ a'^v>f' к'> Ej((o', k')x
X
СЭ KV
х ~ fn-i (P, (о", к") ?, (со', к')- A2.2.6)
dpi
Здесь введено обозначение
atj (v, со, к) = — [kt v} + бу (со—kv)] A2.2.7)
СО
и использовано предположение об адиабатическом включении по-
поля в бесконечном прошлом:
МР, *-*-оо, г)-И). A2.2.8)
Заметим, что для я=1 при условии /о(р, 0, k)=/o(pN(fcoN(k)
получаем известное выражение линейной теории (см. гл* 4):
/х(Р, со, k)= ~iea^v^'k)EM к)д-Ш-. A2.2.9)
со — kv apt
Подставляя это выражение в A2.2.6) для л=2, находим
/2(р, со, k) = (~ieJJdco1dk1dco2dk2X
aiih(y' P-qi» k~ki) д aitu*y* % —Ю2> ^--kg)
со — kv dpi± ©i — kx v
X -^-/o(P» ©a» k2)?,>-«)!, k-k^^K-co,, k^k,). A2.2.10)
384
Таким образом, путем последовательных подстановок можно
получить все члены ряда A2.2.3). Нетрудно убедиться, что
/п(р, о, k) = (-ie)"Jd©1dk1...d<»ndknx
Х?Г/1?1Г/,...?„_,Г/п/0(р, <on, kn)x
хЯ/Дсо—©i, k—kJ...E,n(<вц_1-<оп, к„_!-кп). A2.2.11)
Здесь введены следующие обозначения:
со — kv сод — к^ v
r^^fv, со—сох, k-ki)^-, A2.2.12)
Теперь, когда найдено решение кинетического уравнения в ви-
виде разложения по степеням поля, можно перейти к вычислению
многоиндексных тензоров диэлектрической проницаемости изо-
изотропной плазмы. Для этого следует вычислить плотность тока, ин-
индуцированного в плазме частицами данного сорта
j(co, k)=ejv/dp=j1+j2+...jn+... A2.2.13)
(предполагается, что в равновесном состоянии тока в плазме нет).
Исходя из A2.2.12) логко показать, что
Х/О(Р, <оп, кп)Еи(®-и>19 к—к1)...?/г1(со„--1~-сол, kn-i—kn),
Рп (со, к) = е (- \ef Jdp Jd cox d kx... d con d kn g Tu gl Tfa... ga_x Tin x
X/O(P, con, kn)Efl((o-<ov к-к1)...?/||(юл-1-©п. кц-i-kn).A2.2.14)
Из этого выражения для плотности тока находим искомый
многоиндексный тензор диэлектрической проницаемости изотроп-
изотропной плазмы (п^1):
e*/i-/nK k, (ov к,..., со„_ь kn_1) = 6nl6f/1 —
~^(-i^"blldp^-§r/lgr1...^_1r/n/()(p). A2.2.15)
Для я=1 из A2.2.15) получаем тензор диэлектрической про-
проницаемости линейной теории:
e*/t (©, k) = 8tn + -^- Jdpt>i gr7l /e (p) =
A2.2.16)
385
а для п=2 — трехиндексный тензор:
8,/s(co, k, со', к") 1—g!_ rdp \ X
80 со J а) — kv
Xcw(v. со", k") д <Wv,o' к') % A2.2Л7)
dPm ю' — к' V дрп
где со"=со—со7, к"=к—к'.
Наряду с Bijs следует выписать тензор S<je, который фигуриру-
фигурирует в нелинейном уравнении A2.1.20). Используя обозначения
A2.1.21), после интегрирования по частям и симметризации по-
получаем
гДе Pij (v) = — «у (v, со, к), причем штрихи у p^i соответст-
со — kv
вуют штрихованным аргументам со и к.
Формулу A2.2.18) часто удобно представить в виде
A2.2.19)
где соо = со—kv, coi = co'—k'v, co2 = co//—k"v. Это выражение получа-
получается из A2.2.18) путем интегрирования по частям; оно полностью
симметрично по аргументам и индексам. В пределе холодной
плазмы — ->0 из A2.2.19) имеем
9 '
bis (c«>, к, со , к ) = —- I 8j8 -t Of/ +
m to to to' \ to ю
A2.2.20)
Трехиндексный тензор S;js полностью определяет распадные
нелинейные взаимодействия волн (в том числе и слияния волн).
Для изучения индуцированного рассеяния волн на частицах не-
необходимо рассмотреть также четырехиндексный тензор Уг$аъ, ко-
который согласно A2.1.21) является суммой двух четырехиндекс-
ных тензоров диэлектрической проницаемости е*а/ь. На основании
общей формулы A2.2.15) для п = 3 можно записать
V (ел Ъ г./ Ь\ е* Г Hnrf Г «ma(v> СО, к) д
80 to J L со — kv дрт
a't'>+g-fv'!'k')^x
A2 2 2П
to'+ to-(к-к') v dpn to-kv J арг" ' '
386
co'-(k + k')v dpn со' —k'v ©'- k'v
x anb(v, co/> k) a a/
Это выражение не обладает столь высокой степенью симметрии,
как тензор S<#, поэтому упрощать его в общем виде не будем.
Однако при исследовании нелинейных процессов в плазме неко^
торые упрощения будут проведены. Здесь приведем лишь выра-
выражение для тензора Viajb в случае холодной плазмы, причем, учи-
учитывая интегрирование по ©' и к' в A2.1.20) и четность парных
корреляторов поля по о/ и к', запишем сразу
k'
2tf + r»_2kkim>-»»1| A2222)
^2 _ a' 2 COCO' @2 — COr 2 -I j
В этом выражении частоты © и о/ считаем положительными.
Наконец, приведем выражение для тензора Л^(со, к) [см.
A2.1.18)], который фигурирует в уравнении A2.1.20), в случае
изотропной плазмы. Легко показать, что
б
A2.2.23)
СО2
Рассмотрим теперь многоиндексные тензоры диэлектрической
проницаемости для магнитоактивной плазмы. Как и ранее, будем
исходить из кинетического уравнения Власова для бесстолкнови-
тельной плазмы, записав его в виде
JL + v JL + е{Е + [v (В + Во)]} -1L = 0, A2.2.24)
о* с/Г ар
где Во — внешнее магнитное поле. Представляя функцию / в виде
ряда A2.2.3), получаем для неравновесных поправок к невозму-
невозмущенной функции jfo следующую систему зацепляющихся уравне-
уравнений:
f| J| ]}%±, A2.2.25)
где n=l,2, 3,... Уравнение A2.2.25) для п=1 представляет собой
уравнение линейной теории E.1.1). Как и ранее, в качестве рав-
равновесной функции /о будем выбирать нерелятивистскую функцию
распределения Максвелла A2.2.2) либо функцию распределения
Ферми A2.2.2а). Вводя обозначение т= ср"~(р- и переходя к Фурье-
компонентам A2.2.5), запишем решение уравнения A2.2.25) для
п=1:
387
/i(v, со, к)= fdTexp{ —icoT+ikSR[T, v(t)]}x
m -i
Xazi(v, со, k)?,(co, k) dfo . A2.2.26)
Здесь v (т) = vz e2 + [ve2] sin Qt + [ez [vez]] cos Qt,
6R(t, v(T))=|dT'v(T0, A2.2.27)
о
«ij(v, со, к) определяется соотношением A2.2.7), v(to)—величи-
v(to)—величина, входящая в аргумент функции f\.
Аналогично для произвольного значения п из A2.2.25) на-
находим
/п(р, <»> k)= -ejdffl'dkdco'dk* JdTexp{-icoT + ik6R[T, v(t)]}x
— oo
Xau[v(т, v), со', k'j a/"~lIP(Jp'ffr) ^' k] EJ(®'» k')- A2.2.28)
Выражая последовательно fn через /n-i и т. д., окончательно
получаем
00
/ 1Р> *> г/== /о vP/ Z-V — ^
о
X jd(D1dk1...dco7ldkn jdT0...
— oo —oo
...Ся-1Г/п(то + т4+ ... +т„_,)/01р(т0+ ... +т„_,, v), ш„, kn]X
XEh(a>-щ, k-kj)...?/n («„_,-©„, kn_i-kn).' A2.2.29)
Здесь введены обозначения:
d. v)],
Г/, = aWl [v(t0, v), ©-<olf k-kj ^ (тЭ0) v), A2.2.30)
) [("
V [Tlf V (To, V)] = V (To + TX) V),
6R[Ta, v(t0, v)] = 6R(to + t1( v)-6R(t0, v).
388
Полученное решение кинетического уравнения A2.2.29) позво-
позволяет определить с любой степенью точности по полю индуциро-
индуцированный в плазме ток и все многоиндексные тензоры диэлектриче-
диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы:
8//г../п(со, к, соь к,..., (ort_i, kn_i) =
80 J CD
X Jdx0... idin^GYh(%0)GlYu
— 00 —OO
A2.2.31)
Легко показать, что в пределе: В0->0 это выражение переходит
в A2.2.15).
Для я=1 из A2.2.31) получаем двухиндексный тензор диэлек-
диэлектрической проницаемости линейной теории (см. гл. 5):
Ч; К к) = Ьц - — ie2 j dp %- J dx0 GT} (т0) /0 [p (x0, v)] =
80 ^
80
—oo
—— f dp-^- f dxoexp[ —icoTo +
+ i к б R (t, v)] anj [v (x0, v), со, к] ap^° v) , A2.2.32)
Для /г = 2 имеем трехиндексный тензор диэлектрической прони-
проницаемости магнитоактивной плазмы:
№(ю, к, со', к') = — ie3 fdk-^- fdx0 [йч1ехр[-1п>ч
е0 J со i i
ik6R(T0, v)]ani[v(T0, v), o", k"]——^—- exp[-i@/T1+ik'6R(T0+
ОРп (Чу V
t,, k), <o', k']
Ъ' v)
A2.2.33)
где (o =
Наконец, для /г=3 получаем четырехиндексный тензор:
*iaib(«>, k, (о' + ш, к + к', со', к')- —-ie4 jdp-^- Jdx0 f
80 ® — oo —00
о д
X f d т2 exp [ - i (ot0 + ik 6R (x0, v)] anS [v (x0, v), со', к'] —— x
-oo OPn (Te, V)
, v)-6R(x0, v)]}x
389
То + Ti, v), со19 к]-—-—¦ X
дРт (*о + *1* v)
Xехр {- ко'т2 + ik' [6R (т0 + Tl + т2, v) - SR (т0 + rlf v)]} X
X aib [v;(x0 + тх + т2, v), со', к'] a/o -. A2.2.34)
^Z^O + Ti + Tg, V)
Тензоры SijS и Kieac, фигурирующие в усредненном уравнении
A2.1.20), вычисляют по формулам A2.1.21) и A2.1.22). Эти вы-
вычисления, однако, столь громоздки, что здесь их приводить не бу-
будем.
§ 12.3. Нелинейное взаимодействие волн в изотропной плазме
Из большого многообразия нелинейных взаимодействий волн
в плазме ограничимся рассмотрением лишь взаимодействия про-
продольных волн в изотропной немагнитоактивной плазме. Если
учесть, что во всякого рода плазменных неустойчивостях, как пра-
правило, возбуждаются продольные волны, то ограничение продоль-
продольными волнами покажется вполне оправданным и достаточным.
Ограничение же изотропной плазмы продиктовано исключительно
соображениями простоты. Кроме того, фазы волн будем считать
хаотичными и исходить из усредненного уравнения A2.1.20).
Прежде всего заметим, что для изотропной плазмы можно за-
записать следующие соотношения:
А10=.в'(ю, k)K-^ + \е?'(<й, к)-к— бо--2^-), A2.3.1)
8^ (со, к) = г1 (ю, k)
Подставляя их в уравнение A2.1.20) и считая отличным от
нуля только продольное поле <?"г2>о>,к, получаем
e^P. k) __д__ (Ещ д_ (Ещ J_ R ,, k) _
= -2Ime'(co, ?)<?/2>со,к +2<?/2)о,, к f dсо'dk' -ui x
390
{ * )
-VicaM к, ©', к')]+2 <?«)«. kJd<»'dk'<k(>"dk*, в(ш-ю'-
X * и,« *<^.*;^(а)' к> "'• *'>**¦« к", со, кI-
^ J
- Ьп —-т—^ f d©' dk' dco" dk" в (©-©'- ©*) б (к - к' - к") х
е' (о>, k) J
х
A2.3.2)
Первое слагаемое в правой части этого уравнения описывает ли-
линейное затухание продольных волн, второе и третье слагаемые —
индуцированное рассеяние продольных волн в плазме через про-
промежуточные продольные и поперечные виртуальные волны соот-
соответственно, наконец, последнее слагаемое описывает слияние
двух продольных волн в третью. Расстояние через продольную
виртуальную волну часто называют нелинейным кулоновским
рассеянием, в. через поперечную — запаздывающим рассеянием.
Эти различные нелинейные процессы обычно изучают отдельно.
Изучение конкретных нелинейных эффектов начнем с кулонов-
ского рассеяния электронных ленгмюровских колебаний в невы-
невырожденной плазме. В уравнении A2.3.2) при этом следует учесть
только второе слагаемое в правой части и переходить к пределу:
Ь*гЬ§<1, k'2r*De<l, k**r%§<l. A2.3.3)
Вводя спектральную плотность энергии продольных волн
Wl(co,k) [см. A2.1.14)]
^ >cD,k> A2.3.4)
0@
после громоздких, но несложных вычислений находим
/ d Wl(k) \ _ fflr'(k) dRee'(a>, k) [дЪев1 ((о, к)"] д wi,.
X d/ /куЛ ~ dt dk L db J ~dTW W"
^^L ^^, k')Wl(k'). A2.3.5)
Здесь введено следующее обозначение:
391
, k*) + 2ReЩ(со", k")X
, Г)!2},
где (o" = G)—со', к"=к—к', a 6е?е(со, &), 6е*г(со, &) —соответственно
электронный и ионный вклады в продольную диэлектрическую
проницаемость плазмы. Легко показать, что
©" = -!(# _.?'»)_«-. A2.3.6)
Ядро интегрального уравнения A2.3.5) Q(k, к') антисиммет-
антисимметрично относительно замены k=*±:k'. Поэтому
U7/ = Jdk Wl (k) = const, A2.3.7)
что получается непосредственным интегрированием A2.3.5) и оз-
означает сохранение энергии продольных волн в процессе нелиней-
нелинейного кулоновского рассеяния. Здесь возможна лишь перекачка
энергии из одной области спектра в другую без изменения полной
энергии поля. Чтобы проследить направление перекачки, рассмот-
рассмотрим два узких пакета продольных волн и их эволюцию во времени
в предположении однородности в пространстве. Пусть в началь-
начальный момент известны W"i@) и 1F2(O). Далее
Wi{t) = Wl(tN(k—kl)+W2{tN(k—k2). A2.3.8)
Подставляя это выражение ib A2.3.5), получаем
dWi/dt=Q{ku k2)WiW2t dW2/dt=—Q(ku k2)W{W2. A2.3.9)
Отсюда имеем W\ + W2 = § dkWl(t) = Wo = const, причем
WV) ^@) )\ra* A2.3.10)
или y^ = W0[W1@) + W2@)e-Q^>^w°t]-1 • A2.3.11)
Поскольку Q(kb k2)<0 при k{<.k2, отсюда следует, что в случае
кулоновского рассеяния происходит перекачка энергии от корот-
коротких волн к длинным. Характерное время этого процесса, оцени-
оцениваемое из A2.3.11), составляет
Ь*'^ A23Л2)
Для наглядной иллюстрации сказанного рассмотрим предел
7VH), М-*-00» когда вкладом ионов в Q(kb k2) можно пренебречь.
Тогда характер кулоновского рассеяния полностью определяется
электронами, a Q(kb k2) принимаем вид
Q(kltk,)-- 3<°Le rle kX~kl ^Ц'^Ц', A2.3.13)
1 2) 2BяM/2 NeTe |kx —k3ls k\kl
392
Отсюда видно, что Q(kb k2) >0 при k\>k2. Кроме того, в услови-
условиях ki_Lk2 либо kil|k2 имеем Q(kb к2)->0, т. е. в рассматриваемом
приближении нелинейное кулоновское рассеяние для строго пер-
перпендикулярных либо строго параллельных волн отсутствует, а
поэтому /пр-^-с*0- По порядку величины
?пр ~ 30 J!l*L. Л* ! 9 A2.3.14)
где Ak=\kx—k2\, a W0=W*(Ак)*.
Заметим, что кулоновское рассеяние на электронах преоблада-
(Т \ m MT
— j Те > — me2 In ——.
Ti J М тГз
Для водородной плазмы это имеет место при ( —- )Те> 106К,
\Т t )
( Т \
а для плазмы с тяжелыми ионами (А ^100) — при I —- J Ге>104К,
\ 1
т. е. практически всегда.
Подставим выражение A2.3.13) в A2.3.12) и сравним получен-
полученный результат с временем поглощения продольной волны, обуслов-
обусловленным столкновениями электронов с ионами: ?ст = =
. Видно, что условие пренебрежения столк-
гЗ/2
новениями частиц при этом сводится к требованию ve^np>l, или
Это неравенство обеспечивает пренебрежение спонтанным излу-
излучением продольных волн электронами плазмы по сравнению с. уч-
учтенным выше индуцированным рассеянием. Следует отметить,
что при Wl^>Te спонтанное излучение мало по сравнению с бес-
бесстолкновительным черенковским поглощением продольных волн
электронами, которое приводит к экспоненциальному уменьшению
W1 с характерным временем, равным обратному декременту зату-
затухания Ландау Гл=1/б, где б определяется формулой D.2.6). Срав-
Сравнение этого времени с A2.3.14) приводит к следующему условию
пренебрежения линейным бесстолкновительным поглощением про-
продольных волн по сравнению с нелинейным кулоновским рассея-
рассеянием:
Поскольку время квазилинейной релаксации плазменных волн
всегда больше времени их линейного затухания /л, неравенство
A2.3.16) представляет также условие пренебрежения квазилиней-
13—953 393
ной релаксацией равновесного распределения электронов в про-
процессе нелинейного кулоновского рассеяния волн.
Рассмотрим теперь влияние поперечного виртуального поля на
нелинейное взаимодействие продольных волн в плазме. Оно опи-
описывается третьим слагаемым в уравнении A2.3.2). Конкретный
эффект, который будем изучать, состоит в слиянии двух продоль-
продольных волн в одну поперечную. Отметим важность этого процесса
в прикладном отношении; Дело в том, что продольные волны лег-
легко возбуждаются в плазме, например при взаимодействии пучка
с плазмой, но они как бы заперты в самой плазме и наружу не
выходят. Поперечные же волны, напротив, легко выходят из плаз-
плазмы. Поэтому слияние продольных волн в поперечную — это канал
излучения из плазмы возбуждаемых там продольных волн.
При слиянии двух продольных волн с частотами оо^со'^соье^
^kvTe образуется поперечная волна с частотой g)"~2g)L6> и с вол-
волновым вектором k" — YS®Le/c Этот процесс описывается вкла-
вкладом в уравнение A2.3.2) от полюса
е'г(ю", к") — kc2fa = 0. A2.3.17)
Тепловым движением частиц в этом процессе можно пренебречь,
и для скорости его протекания из A2.3.2) имеем уравнение
сл 12Bя)« Ne Те vle J '
[kjO_^2_^,22 A2.3.18)
при написании которого учтено, что со// = со + со/ = 2соье, k" = k' + k и
что при этом
1
1 _ . ! —
(СО", k") -
со"
Из уравнения A2.3.18) легко оцениваем характерное время
слияния продольных волн, для которых
1 С
Сравнивая это выражение с A2.3.14)' для Яо~ — ~ и
—
с
идет медленнее, чем слияние волн. Но для- таких волн очень труд-
-^-, видим, что W^np~10—<1, т. е. перекачка по спектру
с с
но осуществить условие /Сл^;<1, для этого нужно выполнение не-
неравенства Wl^Te(c/vTeK,
Наряду с рассмотренным процессом слияния двух продольных
волн в одну поперечную третье слагаемое в уравнении A2.3.2)
описывает также рассеяние продольной волны через промежуточ-
промежуточную поперечную виртуальную волну. Этот процесс описывается
вкладом вне полюса A2.3.17), т. е. от со" и кг\ для которых вели-
величина A2.3.17) отлична от нуля. Из уравнения A2.3.2) для этого
процесса получаем.
JdWl\ I pu Wl(k)
^ dt /an n /о_ч5/2 N. 7\
A2.3.20)
«L *2-*'aJlT4"" "~
Легко показать, что для коротковолновых колебаний с k, kf>
/ перекачка волн по спектру вследствие рассеяния через
промежуточное поперечное поле всегда меньше, чем перекачка,
обусловленная кулоновским рассеянием. Для длинноволновых же
колебаний с k, k'Ktobelc это не так» Уравнение A2.3.20) в этом
пределе (точнее, для волн с k, &'<С —-—^- 1 принимает вид
A2.3.21)
Отсюда видно, что перекачка волн по спектру вследствие за-
запаздывающего взаимодействия, так же как и кулоновского, про-
происходит из коротковолновой области в длинноволновую, причем
время перекачки
\ A2.3.22)
t \ф
®Le Wl le
оказывается в ряде случаев меньше времени A2.3.14), обуслов-
обусловленного кулоновским рассеянием.
Наконец, отметим, что последнее слагаемое в уравнении
A2.3.2) в случае нелинейного взаимодействия электронных ленг-
мюровских колебаний тождественно равно нулю. В этом легко
убедиться, если вспомнить, что оно описывает слияние двух про-
продольных волн в третью продольную, а для электронных ленгмю-
ровских волн подобный процесс невозможен. Последнее слагаемое
уравнения A2.3.2) проявляется в таких процессах, как слияние
двух ионно-звуковых волн в третью либо слияние продольной
13* 395
электронной волны с ионно-звуковой. Здесь, однако, не будем рас-
рассматривать все многообразие нелинейных эффектов взаимодейст-
взаимодействия продольных и поперечных волн в изотропной плазме и тем
более в плазме, находящейся в магнитном поле; по этим вопросам
имеется обширная литература.
В заключение приведем еще одну широко распространенную
форму записи нелинейного уравнения, описывающего взаимодей-
взаимодействия волн в плазме. Рассмотрение этих вопросов сопряжено с
большими математическими выкладками, но принципиально не от-
отличается от изложенного выше. Отметим только, что нелинейное
уравнение, описывающее взаимодействие продольных волн в плаз-
плазме, имеет вид
*?Lj?L = Wl(k) Jdk'Q(k, k')Wl(k'). A2.3.23)
Часто вместо спектральной плотности энергии Wl(k) вводят
число колебаний (число плазмонов)
§ <12-3-24>
где ш(к) —частота продольных волн. Легко видеть, что Nk удов-
удовлетворяет уравнению
^==№jdk'Q(k, k')#k'<o(k'). A2.3.25)
Совершенно аналогично для описания взаимодействия волн
разного типа в плазме (продольных и поперечных) вводят соот-
соответствующие числа плазмонов.
§ 12.4. Нелинейные трехволновые взаимодействия
в плазме в поле сильной электромагнитной волны
В предыдущем параграфе развитую общую теорию взаимодей-
взаимодействия волн в плазме мы применили для анализа нелинейных яв-
явлений низшего порядка с точностью до квадратичных членов по
энергии электромагнитного поля. В этом приближении нелиней-
нелинейные процессы свелись к трехволновым взаимодействиям типа рас-
распада, слияния и рассеяния волн на плазменных колебаниях. Урав-
Уравнения, описывающие эти процессы, оказались весьма сложными,
и нам удалось их проанализировать лишь качественно. Вместе с
тем, если амплитуду одной из волн в трехволновом взаимодейст-
взаимодействии считать заданной и достаточно большой, так чтобы можно
было ограничиться учетом нелинейных слагаемых по полю только
по отношению к волне с заданной амплитудой, анализ трехволно-
вого взаимодействия в плазме можно значительно упростить. Та-
Такой анализ можно проводить по аналогии с параметрическим
взаимодействием высокочастотных полей с плазмой (см. гл. 7),
исследуя устойчивость плазмы в поле заданной электромагнитной
волны с большой амплитудой.
396
Пусть изотропная плазма находится в поле монохроматической
электромагнитной волны накачки:
Е0(г, 0=IEoCOs(coo/—kor),
Во (г, t)= — '[koEo] cos (<*><>*—kor). A2.4.1)
Пренебрегая столкновениями, для функции распределения час-
частиц1 в основном состоянии /(р, г, t) можем записать
•*¦+v~%г+е{Е°(г* °+Ivв°(г> t)]}ii=°- A2-4-2)
Так же как и выше, будем1 решать это уравнение методом после-
последовательных приближений, считая, что волна вызывает слабое от-
отклонение распределения частиц /(р, г, /) от равновесного распре-
распределения fo(p), имеющего вид распределения Максвелла A2.2.2)
либо Ферми A2.2.3). Тогда с точностью да членов второго поряд-
порядка по полю A2.4.1) получим
/(Р, г, f) = h(p)
0О — k0 v
A2.4.3)
где
(С00-к0УJ ¦¦"¦" % " A2ЛЛ)
Здесь мы опустили квадратичные поправки по полю A2.4.1), из-
изменяющиеся во времени с удвоенной частотой, поскольку в дис-
дисперсионном уравнении они приводят к поправкам более высокого
порядка по сравнению с учтенными в A2.4.3) слагаемыми.
Для того чтобы равновесное состояние плазмы было полностью
определенным, мы должны найденное решение A2.4.3) согласо-
согласовать с уравнениями Максвелла для поля. Поскольку волну на-
накачки мы считаем слабой, при таком согласовании достаточно ог-
ограничиться линейным приближением. В результате находим связь
между частотой соо и волновым вектором к0 волны накачки:
e'(coo,k0) = 0, A2.4.5)
если поле Ео продольное, т. е. Е0||к0, и
k2- — е'г((©0, ко) = О, A2.4.6)
О С2
если поле Ео поперечное, т. е. E0_Lk0. Здесь ег(соо, ко) и е*г(со, к0) —
продольная и поперечная диэлектрическая проницаемости изотроп-
изотропной плазмы D.1.14).
Теперь мы можем исследовать устойчивость найденного рав-
равновесного состояния, рассмотрев малое отклонение б/(р, г, t) от
397
распределения A2.4.3), вызванное возмущенными полями 6E(r, t)
и 6В(г, t). Функция б/(р, г, t) удовлетворяет следующему урав-
уравнению:
ot or
+ eFE+[v6B]) */№¦*¦') =0> A2.4.7)
dp
где / определяется соотношением A2.4.3). Представляя все воз-
возмущенные величины в виде разложения Фурье
А (г, t) = 2 Л (со + пщ к + як0) е-^-
п
из уравнения A2.4.7) получим
к, vNEj(v>f к)
<©-kvN/(®, k,p)+-^f ay К, к0, v)?o^[6f((o + coo, к + к0, р)
2 dpj
— {ащ(^ + соо, к + к0,
-ад1 (со-соо, к-к0, vN?l,(c°-ft)o» k-ko)}?oix
а Г^К> ко> у) ifo,] = о. A2.4.8)
др^ L со - к0 v dpi J
Уравнение A2.4.8) зацепляет гармонику (со, к) возмущенной
функции распределения с гармониками (со±о)о, k±k0) возмуще-
возмущений функции распределения и электромагнитного поля и в этом
смысле представляет собой систему зацепляющихся уравнений.
Она легко решается, так как поле Ео мало и б/(со, к) находится
с точностью до квадратичных по полю Ео и линейных по возму-
возмущению 6Е членов. Мы здесь не будем выписывать функцию 6f @,
к) ввиду ее громоздкости и выпишем сразу найденное с ее по-
помощью выражение для плотности неравновесного тока:
), к)
^гij((ot k)-8u]8Ej(<>>, k) +
~-lSiij(G>,k; соо, ко)8?*(со-со0,к-ко)
9 к; -со0, -koN?i(a) + coo, k+ko)] +
к)[Кы/К к; ©Of K) + VisU((o, к, -<оо, -
A2.4.9)
Величины Siji(со, к; соо, к0) и VijSi{(u9 к; соо, к0) определены соотно-
398
шениями A2.1.21) и A2.1.22), e;j(co, к) — тензор диэлектрической
проницаемости, изотропной плазмы D.1.9), а
>, к, v) и1Л1 w . A2.4.10)
dpi
Подставив выражение A2.4.9) в уравнения Максвелла, по-
получим систему однородных зацепляющихся уравнений, но уже для
возмущения поля 6Е:
7\v(g), kN?7-K k) = —[Sm((>)y k; -coo, -ko)x
о, к + к0)+ S|/t (о, к; со0, к0) 8 ?,(<•>-«о к-ко)к,
A2.4. Ц)
где
7\,(со, к) = %(со, к) + Дг1}(со, k)-^-Fy-
Cir \
Cir \
+ ESsIsL[yIM((Ot к; (оо, ко) + Кы,(ю, к; -<о„, -к,)]. A2.4.12)
Условие разрешимости однородной системы A2.4.11), запи-
записанное с точностью до членов второго порядка по полю Ео, пред-
представляет искомое дисперсионное уравнение малых колебаний изо-
изотропной плазмы в поле электромагнитной волны накачки
A2.4.1):
\Тг (со, к) ^^ [Silxv (со, к; соо, к0) Г"/ (со - соо, к - к0) х
xSlj8(<u — соо, к-к0; -со0, — ko)-f Sl|lv(fd, к; -со0,~к0)Х
хГ-/(со + ю0, k + k0)SWa(© + ©0, k + k0; со, кв)]| = 0. A2.4.13)
Это уравнение значительно упрощается в случае низкочастотных
возмущений, когда соо>со. Если, кроме того, считать, что фазовая,
скорость волны накачки намного больше тепловых скоростей
электронов плазмы, т. е. coo^&of-re, kvTC, то оно распадается\на
два уравнения, одно из которых описывает поперечные низкоча-
низкочастотные возмущения поля, на которые волна накачки не оказы-
оказывает влияния, а другое описывает продольные потенциальные нйз^
кочастотные возмущения, с которыми только и взаимодействует:
волна накачки. Последнее имеет вид
xf (ОрЩ? + (О + Ц..Г +
(k — k0Je' (со — oH, k — k0) (k + k0J el (o + сэ0, k -f k0)
| [(k-k,)v?]2 I |
399--
k + kfJ2 ^ ((° + ^ k + ko) - C* (k + koJ (<° + ^o) Г1 } = 0.
^ + of
A2.4.14)
Здесь \Е=еЕо/(гп(йо)—амплитуда скорости осцилляции электро-
электронов в поле волны накачки.
Заметим, что уравнение A2.4.4) можно легко получить, если
с самого начала низкочастотные возмущения поля считать потен-
потенциальными. Более того, это уравнение оказывается справедливым
и в случае магнитоактивной плазмы в условиях, когда высоко-
высокочастотная волна накачки удовлетворяет неравенствам соо>?2е, со;
koVTe, kvTe. При этом, однако, под ег(сок) и 6е^,г((о, к) следует по-
понимать соответствующие продольные проницаемости йг^-е^(ю,
к)/&2, kikjbe^Ujiio, к)/*2.
Заметим также, что в уравнении A2.4.4) первые два слагае-
слагаемых описывают взаимодействие продольной волны накачки с
плазмой, а последние два — взаимодействие поперечной волны
накачки с плазмой. Поэтому в зависимости от поляризации вол-
волны накачки существенными в этом уравнении оказываются толь-
только первые либо только вторые слагаемые.
Наконец, заметим, что в пределе однородного внешнего поля
(т. е. при ко->О) и учете только потенциальных возмущений (т. е.
при со2<С&2с2) уравнение A2.4.4) переходит в G.5.22), описываю-
описывающее параметрическое взаимодействие высокочастотного электри-
электрического поля с изотропной плазмой.
В качестве примера применения дисперсионного уравнения
A2.4.14) для описания нелинейного взаимодействия волн в
плазме рассмотрим задачу рассеяния высокочастотной попереч-
поперечной волны (соо>сои?, koEo = O) в изотропной плазме. Как было по-
показано в предыдущем параграфе, в процессе рассеяния выпол-
выполняются соотношения
G>o = a>e±ta>, ko = ks±k, A2.4.15)
где cos и ks — частота и волновой вектор рассеянной волны, при-
причем, согласно условию применимости уравнения A2.4.14),
<Os~o)o±cd>>о), а поэтому рассеянная волна также является по-
поперечной. Рассеянную волну с частотой (юо—ко) называют
«красным» сателлитом или стоксовской линией рассеяния', рассе-
рассеянную же волну с частотой (со + соо) — «синим» сателлитом или
антистоксовской линией.
Прежде всего рассмотрим случай, когда со ^ a)Le^>kvTe и вкла-
вкладом ионных слагаемых в уравнении A2.4.14) можно пренебречь.
При этом говорят о рассеянии электромагнитных волн на высо-
высокочастотных колебаниях плазмы — комптоновском либо раманов-
ском рассеянии. Уравнения A2.1.14) для такого процесса с по-
появлением «красного» сателлита записываются в виде*
¦Ввиду полной симметрии все сказанное для стоксовской линии рассеяния
с появлением «красного» сателлита справедливо и для антистоксовской линии
рассеяния.
400
* *)
40J (к _ коJ [((й _ щJ ztt @) _ Шо) _ с2 (к _ к(>J]
A2.4.16)
где
бе^со, k)= --^?_ + i ]/4--^-exp| ^—\ A2.4.17)
k*v3Te \ 2k* %е)
0J
&tr (о) _ @0) Г>/ 1 — е- ~ 1.
((О — @0J
Из уравнения A2.4.16) видно, какую важную роль в процессе
рассматриваемого рассеяния играют высокочастотные продоль-
продольные колебания плазмы, описываемые уравнением 1+S8ze(co, k)c^O
и обладающие собственной частотой со^соье- Рассеяние носит су-
существенно различный характер в зависимости от того, где нахо-
находится частота со — вблизи или вдали от резонансной частоты соье-
Вблизи резонансной частоты, т. е. при со~соье-И6, где б — малая
поправка, из уравнения A2.4.16), пренебрегая экспоненциально
малой черенковской диссипацией, получаем
Это означает, что собственные продольные колебания плазмы, а
вместе с ними и поле рассеянной волны в этом случае экспонен-
экспоненциально нарастают со временем с инкрементом A2.4.18), дости-
достигающим своего максимального значения при рассеянии «назад»,
когда k~2koc^2<j)o/c, а поэтому бтах^ -о—V®0(dLe- Именно такое
резонансное рассеяние называют вынужденным римановским рас-
сеянием.
Резонансное рамановское рассеяние имеет место в относитель-
относительно СЛабыХ ПОЛЯХ, ПОКа ВЫПОЛНеНЫ УСЛОВИЯ U)Le^>8^>kvTe, ИЛИ, ЧТО
то же самое *,
с у ши
A2А19)
В сильных полях, когда нарушается левое из этих неравенств, но
все еще vE<ic, резонансное рамановское рассеяние переходит в
*В /более слабых полях при нарушении правого неравенства A2.4.19) рас-
рассмотренная гидродинамическая неустойчивость переходит в кинетическую, ког-
когда существенным становится черепковская диссипация волн. Максимальное зна-
значение .инкремента нарастания кинетической неустойчивости порядка б~:
V "~8 2 ^СМ* также заДачУ 12.2).
¦2
401
комптоновское (часто такое рассеяние называют также модифи-
модифицированным распадом). В этом случае *о>сои?, причем
1/3
A2.4.20)
8соо
т. е. неустойчивость приобретает апериодический характер — низ-
низкочастотное поле в плазме нарастает со временем апериодически.
Максимальный инкремент нарастания здесь также достигается
при рассеянии «назад», когда &~2&о~2—, причем 6mdX~Im8max~
с
2 V 2с2
С таким же инкрементом нарастает амплитуда рассеянной
волны.
Рассмотрим теперь случай рассеяния поперечной электромаг-
электромагнитной волны в неизотермической плазме (Te^>Ti) при очень ма-
малых изменениях частоты, когда со<Ссои, kvTe. В этом случае суще-
существенным становится резонансное рассеяние на ионно-звуковых
колебаниях плазмы, известно^ под названием рассеяния Мандель-
Мандельштама— Бриллюэна. Уравнение A2.4.14), в котором уже ион-
ионными слагаемыми пренебречь нельзя, в указанных условиях при-
принимает вид
со
v. i |,\" i -и/ -?j; i /J2 4 21)
2 сооH + с2 (k2 — 2kk0) (k -f- koJ [2oKOo — c% (&2 + 2k ko)J J ' '
При написании этого уравнения мы полностью пренебрегли экс-
экспоненциально малыми слагаемыми, обусловленными черенкрвс-
ким поглощением волн на ионах, считая со»&УТг. Отметим, так-
также, что учтенные в правой части ура(внения A2.4.21) слагаемые
отвечают в A2.4.14) членам с резонансными знаменателями;
(o)±o)o)Vr(co±co0)— c2(k±k0J=0, A4.2.22)
соответствующими «красному» [стоксовскому (соо—со)] и «сине-
«синему» [антистоксовскому (шо+'со)] сателлитам в рассеянной попе-
поперечной волне* В рассматриваемом нами случае относительно ма-
малых полей волны накачки эти системы сдвинуты по отношению к
частоте о>о на частоту ионно-звуковых колебаний, т. е. (u?~kvs,
где vs=YTefM< Учитывая малость мнимого слагаемого з урав-
уравнении A2.4.21), обусловленного черенковской диссипацией волн
на электронах, легко находим и инкремент нарастания ионно-
звуковых колебаний G)-Ho + i6, а следовательно, и рассеянцой-
волны. Максимального значения этот инкремент достигает в резо-
402
нансных случаях k2^±2kk0 соответственно для «красного» и «си-
«синего» сателлитов, причем
i 1/2
A2.4.23)
В заключение заметим, что с помощью уравнения A2.4.14)
можно исследовать трехволновые процессы также и в магнито-
активной плазме, если под ez(<o, k) и бе'е^оо, к) понимать соот-
соответствующие продольные диэлектрические проницаемости магни-
тоактивной плазмы. Многообразие трехволновых процессов при
этом оказывается весьма обширным, но принципиально новых фи-
физических явлений не возникает.
Задачи к гл. 12 ,
Задача 12.1. Вывести выражения для двух- и трехиндексных тензоров ди-
диэлектрических проницаемостей холодной изотропной электронной плазмы в
модели независимых частиц.
Решение. Исходим из системы уравнений непрерывности и Эйлера:
dN
—- +divJVV = O,
dt
дУ __?_
dt m
Поля Е и В удовлетворяют уравнениям Максвелла
дЕ
с2 е0 rot В = е0 —— + j, div В = 0,
at
rotE=— —-, divE = p/e0,
dt
где
В равновесном состоянии в отсутствие полей Е и В считаем
i\fo=const, Vo=O. D)
Под действием полей возмущения возникают переменные 6N(t, г) и V(/, r),
причем в случае малых полей Е и В можно записать
где
В линейном приближении по полю имеем
После преобразования Фурье для Фурье-компонент отсюда получаем
^kE(co, k), V1(u)k)=-L^-?(cok). (8)
m со4 /и со
403
При этом в линейном приближении по полю имеем
it (со, k) = eN,Vltia, к) = аг/(о), к)?у(«, к),
m©
ИЛ'И
в*/(©, к) = в|/+-^-а|/(ю, к) = ( 1 — -^- ) в</* A0)
80© \ ©* /
Здесь 8ti(o), к) — двушндексный тензор диэлектрической проницаемости хо-
холодной изотропной электронной плазмы.
Чтобы получить выражение для трехиндеконого тензора диэлектрической
проницаемости, запишем плотность тока с точностью до членов второго порядка:
/(г, /)=dV0Vi(r, *)+«ЛГЕ|(г, 0^(г, t)+eNoV*{r. t). (И)
Здесь #i>(r, 0 и Vi(r, t) определяются уравнениями G), а
¦^- + (V1V)VI = -^-[V1fl].l . A2)
Исключая 'из этого уравнения поле В с помощью уравнения Максвелла и
производя преобразования Фурье, поручаем
V2i (о), к) = — jdю' d к' do)" dk"k6 (© - о' — о") 6 (к - к' - к")X
хГ—««/•(<»", Ю?/(аЛ Г) + ^^а>\ к"Iк18(а)', к'), A3)
l m -J
(со, к) = — (kt kj8 — ^8 да).
со
Подставляя далее Vi(co, к) из (8), находим
е2 ki — &l
K( k) jd'dk'
О) — СО 0СО
", к"), A4)
причем со^—со—со', а к"=к—к'.
Из ){П) окончательно находим Фурье-компоиенту плотности тока с точ-
точностью до членов второго порядка по полю:
/ , k) +Jdo'dfc'tffM©, к; со', к')Я7-К, к")Л8(со', к'),
еъ м i ( k; k' \
о(Л(». к; о', .*,= --^i-—^_вл + _в|/). A5)
ИЛИ
^(со, к) = 808гу(©, к") ?/(<*>, к) +
j» к; «', к')?7(со", k)?s(»r, к'), A6)
8e/s(o), к; ©', к')= —
/п ©ю'©" \ ©
404
Тензор 8tsj(co, к; со", к") получается из в^в(о>, к; со', к') путем замены
со'^со", к'=^к", s*^j. Наконец, для их симметризованной комбинации [ом.
A2.2.20)] .имеем
\ е
к; со'. к')= - —
Аналогично находим четырехиндексные тензоры eiajhfa, k; о/, к'; <о", к")
и Fiaib(co, к; со', к') [см. A2.1.21) и A2.2.22)].
Задача 12.2. Исходя из уравнения <( 12.1.20) исследовать процесс вынужден-
вынужденного комптоновакого рассеяния поперечной волны в изотропной плазме (ки-
(кинетическую неустойчивость).
Решение. Будем учитывать лишь кулоновсжое рассеяние на флуктуациях
продольного поля и считать фазы падающей « рассеянной волн случайными.
При этом, подставляя в уравнение AB.1.20) коррелятор полей !A2.3.1) и считая
отличным от нуля лишь
для вынужденного комптоновского рассеяния поперечных волн, получаем [ср.
с A2.3.5)]
{±^11 =r'r(k)fdk'Q(k, k')Wtr(W), B)
at )кул
где
[2
2 ^
Здесь о)"=<»)—оэ', k"=k—k', причем co2=Jfe2c2+aJLe.
Антисимметрия ядра уравнения C) относительно замены k+*kr сразу же
приводит к закону сохранения полной энергии поперечных электромагнитных
волн в процессе рассеяния:
J dkrtT (k) = W^ = const. D)
Таким образом, рассеяние носит упругий характер, возможна лишь перекачка
энергии из одной области спектра в другую без изменения полной энергии поля.
В случае рассеяния волн на флуктуациях чисто электронной плазмы вкла-
вкладом ионов в C) можно пренебречь:
E)
405
Оценим это выражение для рассеяния высокочастотных поперечных волн со,
со'>соье в обратном -направлении, к'=—к. Имеем
Из уравнения B) при этом получаем характерное время рассматриваемого про-
процесса:
т « 103 " . G)
< К
gtr2
Здесь W*q =¦• BяK 80 gn — 'интенсивность падающей волны.
Амплитуда рассеянной волны растет во времени как
(Etr2) ас^(?'г2)па е^Т> W
т. е. т — время нарастания неустойчивости.
Задача 12.3. Исследовать вынужденное комптоновское рассеяние высокочас-
высокочастотной поперечной электромагнитной волны на замагниченном моноэнерге-
тическом прямолинейном электронном пучке (лазер на свободных электро-
электронах).
Решение. В системе координат пучка процесс рассеяния будем представ-
представлять как распад падающей волны с частотой со'о на. рассеянную волну с час-
частотой co's 'И волну пространственного заряда пучка со' (в системе пучка все ве-
величины обозначаются штрихованными символами):
(о'0=со'5+со'; k'0=k's+k'. A)
Используем формулы преобразования Лоренца (см. § 6.1) и учтем, что для вы-
высокочастотных поперечных падающей и рассеянной волны
При этом для компоненты волнового вектора вдоль оси Oz (направление дви-
движения пучка и внешнего магнитного поля) находим
где (dho,s=k±osc> a Ф(м — Угол между вектором k0)S и осью Oz.
Волны с /г2>0 называют попутнымщ а с kz<i0 -— встречными.
Из соотношений A)—C) находим частоту рассеянной волны:
юв = ю17а 1± —I/ 1 ——— , D)
где щ = со0 1 + cos ф0 —
\ с
Два знака в формуле D) отвечают рассеянию «назад» и «вперед* соответст-
соответственно.
Дисперсионное уравнение для исследуемого трехволнового распадного про-
процесса согласно A2.4.16) в системе координат пучка записывают в виде
406
Здесь у'я^еЕ'о/Стсо'о), а
2 *' 2
Проанализируем уравнение E) в простейшем случае одномерного рассеян-ия,
когда к'о и к' коллинеарны. Уравнение E) допускает существование решений
с 1пко';>0, соответствующих нарастающим во времени амплитудам пучковой,
а поэтому и рассеянной волны, в двух случаях: _
а) рамановское рассеяние (резонансный распад), когда <o'=cd&/Vy + *б', где
6' =
4с2
б) комптоновское рассеяние (модифицированный нерезонансный распад), когда
<о'>соь/У\>, причем
Теперь не представляет труда перейти в лабораторную систему координат
и записать для рамановского и комптоновского рассеяний соответственно
c). (9)
Здесь также два знака отвечают рассеянию «назад» и «вперед» соответственно,
причем v'E(i = VE(t = еЕ0/(т соо).
Задача 12.4. Пусть в изотропной электронной плазме в моменты времени
/=0 и /=т внешним источником последовательно возбуждаются гармони-
гармонические возмущения поля E{i(zf t)=*Ex sin kxzb(t) и E2{z, t)=E2 sin k2zb{t—t),
длины волн которых ^i = l/«! и Я2=|1/&2 меньше ларморовского радиуса
электронов, в результате чего такие возмущения в плазме быстро затуха-
затухают; время х намного превосходит время затухания полей возмущений.
Найти отклик системы по прошествии времени, когда указанные возмуще-
возмущения полей в плазме затухнут (эхо в плазме).
Решение. Отклик системы на первый сигнал находят из уравнения
dh e а/п
Я ±iM/i = —*1-^-еЧ>(± *МЖ0, A)
ВДе /о — невозмущенная функция распределения электронов. Решение A) име-
имеет вид
f1 = e(t)E1—^L-expl±ik1(z~vt)], B)
пг dv
где 0(/) — функция единичного скачка [S(t) = l при ?>0 и в(/)=0 при <].
Интеграл от выражения B) по скоростям из-за «быстрых осцилляции во
времени ир/и больших t стремится к нулю, т. е. модулированный поток элект-
электронов, создаваемый первым источником по прошествии большого времени t,
уже не возмущает электрическое поле в плазме, хотя возмущение самой функ-
функции распределения не исчезает.
Второй источник действует на уже возмущенную первым сигналом функ-
функцию распределения электронов, т. е.
407
Отсюда
/2=в(/-тч — ?,-5Lexp{±
' т ov
+ в (t) в (/ - т)-1- ?х ?2ехр {± i k2 [г - о (t - т)]} X
тй
X -^-exp^ik^z-vt)]-^-. D)
OV OV
Возмущение, вызванное первым слагаемым D), по прошествии достаточно боль-
большого времени, как и выше, не возмущает поле в плазме, т. е. поле затухнет.
Второе же слагаемое D) при условии
E)
не зависит от скорости, а следовательно, не содержит быстрых осцилляции. В
результате в системе оказываются отличными от нуля возмущения тока и за-
заряда, а следовательно, и поля.
Таким образом, в момент времени, определяемый E), в плазме возникают
макроскопические колебания плотности электронов и электрического поля, что
называют эхом в плазме.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I
Основные операторы теории поля
в цилиндрической системе координат
В книге часто (использовалась цилиндрическая система координат, в которой
x=rcosty, y=r sin ф, z = z. A)
В цилиндрической системе координат
grad4f(r, ф, г) + ег -=тг + — дпГ~^~е2~§г~'
d d Am dA
divA(r, ф, 2) =
дАг Ат
rot А (г, Ф, z) = er[ — ^--
(дАг dAz\ td\ Ay_ j^
еф\ дг ~ дг )+ez\ дг + г "~ г
(г, Ф> г) =
= er, e2 = e e.3 = ez — направляющие орты.
Пример 1. Считая ось Oz направленной вдоль вектора В, вычислить one-
д
ратор [vB] — в цилиндрической системе в пространстве скоростей их =
dv
д ф д д sin ф
— cos ф __
dvx дф dv^ • t>^
= V^ COS ф, Vy-
Учитывая, что
d
dvx ~~~
д
dvy
легко находим
-V ± i
*х
dvx
dvy
ЗШф
д
д
д(р d д cos Ф ^
! =r sin ф + —
dvy дф dv L v L d у
d I d d \ n d
[vB] — = B[vy- vx—)=:-B—.
dv \ dvx dvy ) dy
Пример 2. Расписать в цилиндрической системе координат вектор (v v)v.
Используя тождество (v v )v=V2grad v2—[vrotv] и выражения B) для
grad v2 и rot v в цилиндрической системе координат, легко находим:
dvr уф dvr dvT v^
{(W)v}, = ,, —+ — —+,, ^- — .
409
Приложение II
Элементы тензорного исчисления
Понятие о тензоре тесно связано с преобразованием систем координат. В
книге использовалась в основном трехмерная ортогональная декартова система
координат Oxyz, которую далее будем записывать в симметричной форме Ох\Х2Хг.
Пусть заданы две декартовы системы координат Ох\х2х% и Qx\x'2x'% с общим на-
началом координат О. Тогда координаты любой точки в .нештрихованной и штри-
штрихованной системах связаны между собой соотношениями
*fc=e*j*'i, x'k=e-lkjXj=ejkXj, A)
где eij—косинусы углов ;между осями штрихованной и нештриховаеной систем:
B)
*1
х2
х3
х[
Чх
*31
Х2
е12
^32
*3
^13
^23
^33
а по повторяющимся (немым) индексам везде далее подразумевается суммиро-
суммирование от 1 до 3. Легко показать, что имеет место соотношение
\ ПрИ 1 =
C)
Преобразование A) называют ортогональным аффинным преобразованием, а
матрицу
D)
— матрицей преобразования.
Поскольку с точкой М связан вектор х с компонентами Хи х2, х$ либо х' с
компонентами х'и х'2, х'г соответственно в нештрихованной и штрихованной сис-
системах координат, соотношения ('1) выражают законы преобразования векторных
величин при поворотах системы координат. Более того, совокупность трех чисел,
преобразующихся согласно A), является вектором.
Если заданы два вектора а=(аь а2, #з) и Ь={Ъи Ь2, &з), то их скалярное
произведение, определенное соотношением
{ab)=aibi—aibl+a2b2+azb3f E)
оказывается инвариантным при преобразованиях системы коардинат A), т. е.
aibi=a'ib'i. F)
410
Действительно,
a/ib/i-=-ekiaheSibs = 6hsahbs = asbs,
что -и требовалось доказать.
Свойство инвариантности скалярного произведения F) часто используют в
качестве определения вектора. Так, если заданы вектор х=\х\, Х2, #з) и сово-
совокупность трех чисел ui=\au a2, а3), причем линейная форма
Fi = aiXi G)
инвариантна при преобразованиях системы координат (I), то совокупность а*
образует вектор: (аг)=а=(аь а2, #з).
По аналогии определяется и тензор второго ранга: если заданы два вектора
х= (хи х2, хг) и у= (уи У2, Уз) и квадратичная форма
F2=dijXiyj (8)
инвариантна при образованиях системы координат 'A), то совокупность девяти
чисел da называют тензором второго ранга.
Легко показать, что совокупность б^-, определенная соотношением C), явля-
является тензором. Действительно,
=const. @)
Из определения (8) следуют формулы преобразования для тензора второго
ранга:
j, A0)
ij. A1)
Аналогично получается формула
ij. A2)
Таким образом, тензор второго ранга преобразуется как общее произведение
двух векторов: а\Ъ$. Поэтому часто тензор второго ранга определяют к<ак со-
совокупность девяти чисел, преобразующихся как общее произведение двух век-
векторов.
Аналогично определяются тензоры более высоких рангов. Так, тензором
третьего ранга Рцъ, называют совокупность 27 чисел, оставляющих инвариантом
при преобразованиях A) кубическую форму
Fb^iihXiyiZhf A3)
когда х, у и z — вектор, либо совокупность чисел, преобразующихся как общее
произведение трех векторов аи bj, Си и т. д. При этом скалярную величину
можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а векторную — как тензор
первого ранга.
Компоненты тензоров могут быть как действительными, так и комплексными
числами. Поэтому в общем случае говорят о комплексных тензорах. При этом
важное значение имеет понятие об эрмитовости гензора. Так, тензор второго
ранга называют эрмитовским, если (звездочка означает знак комплексного со-
сопряжения)
а*9ц = а*ц. A4)
Если же
а**ц = —а*ц, A5)
то тензор называют антиэрмитовским. Очевидно, что любой тензор можно раз-
разложить на сумму эрмитовской и антиэрмитовской частей.
Ранее говорилось о тензорах как о совокупности комплексных чисел. Ком-
Компоненты тензора, однако, могут быть функциями как скалярных (например,
411
времени CLij(t)), так и векторных (например, координат CHj(r)) величин. По-
этому в общем случае следует записывать:
q>(?, г) — скаляр (тензор нулевого ранга),
o>i{ty г) — вектор (тензор первого ранга),
CLij{t, г) —тензор второго ранга,
Pijfc'"(*i r) — тензор третьего ранга и т. д.
Аналогично определяют тензоры как функции многих скалярных и векторных
(а также тензорных) переменных.
При дифференцировании тензора по скаляру ранг его не меняется; диффе-
дифференцирование же тензора по вектору увеличивает ело ранг. Так,
—3LLjl_?L~ вектор (первого ранга),
drt
* v' г'— тензор второго ранга,
drj
y&ij ( > r)— тензор третьего ранга и т. д.
дгъ.
Это обстоятельство следует, учитывать при разложении тензора в ряд по сте-
степеням векторной величины:
а<"^Г) d*2Jlrl ... A6)
Разложение в ряд по степеням* скалярной величины проводят обычным образом.
До сих пор говорилось о повороте системы координат и определялись тен-
тензорные величины, как обладающие определенной симметрией по отношению к
преобразованию поворота A). Введем преобразование зеркального отражения
осей симметрии координат. При этом все тензорные величины следует делить
на истинные и псевдовеличины. Так, истинным скаляром называют величину,
которая инвариантна я«е только при поворотах системы координат, но и при
преобразовании зеркального отражения. Если же величина не меняется при по-
поворотах системы координат, но меняет свой знак при зеркальном отражении, ее
называют псевдоскаляром. Подобным образом определяют истинные и псевдо-
псевдотензоры любого ранга. Истинный тензор четного ранга не меняет знака при пре-
преобразовании зеркального отражения, а псевдотензор меняет. Истинный тензор
нечетного ранга меняет знак при преобразовании зеркального отражения, а
псевдотензор не меняет.
К числу истинных векторов в трехмерном пространстве относят радиус-век-
радиус-вектор г, векторы скорости v и импульса р, волновой вектор к, векторы напря-
напряженности Е электрического поля Е и электрической индукции D, вектор плотнос-
плотности тока j и др. Истинными скалярами являются время /, плотность заряда р,
энергия частицы S'(p) и частота со (к), причем
dp • °гр~
до (к)
v
У~ At 'dp • °гр~ dk *
Псевдовектор можно образовать как векторное произведение двух истин-
истинных векторов а и Ь, т. е. [ab] является псевдовектором. Наоборот, векторное
произведение истинного вектора а на псевдовектор d дает истинный вектор [adj.
Поэтому магнитное поле В является псевдовектором — его векторное произ-
произведение на вектор скорости v дает истинный вектор силы F~[vB].
Особую роль в электродинамике материальных сред играет единичный пол-
полностью антисимметричный тензор третьего ранга eijk, определяемый соотноше-
соотношением
412
0, если какая-либо пара индексов i, / и к совпадает,
1, если индексы i, j <и к образуют правильную последова-
последовательность чисел 1, 2, 3, A8)
1, если индексы t, / и к образуют неправильную последова-
последовательность чисел 1, 2, 3.
Правильной называют циклическую последовательность чисел 1, 2, 3, непра-
неправильной — нециклическую последовательность этих чисел.
Тензор eijk является псевдотензором третьего ранга. Поэтому векторное
произведение двух векто-ров а и b можно записать в виде
Скалярное произведение истинного вектора а на псевдовектор d в отличие
от скалярного произведения двух истинных векторов является псевдоскаляро.м:
(ad) =aidi = aieijkbjCk.
Здесь di = eijkbjCk — псевдовектор, a b и с — истинные векторы.
Сказанное справедливо не только для числовых и функциональных векто-
векторов аг(г) и тензоров atj(r), &ць.(г)> но также для векторных и тензорных
операторов. Как отмечалось, при дифференцировании по векторному аргументу
ранг матрицы увеличивается. Теперь можно ввести оператор дифференцирова-
д д
ния как вектор —— = —— = vr <и определить операцию дифференцирования
art о г
как векторное, либо скалярное произведение:
) (г) = Аг ф (г) = grad ф (г),
-^-Mr) = Ara(r) = diva(r), B1)
drt
д
tUk — ak (г) = [vr a (r)]t = rot a (r) и т. д.
orj
При этом если ф(г) — истинный скаляр, а г — истинный вектор, то первая из
величин B1) — истинный вектор; если же ф(г) — псевд оскал яр, а г — истин-
истинный вектор, то эта величина — псевдовектор; псевдовектором она будет также,
если ф(г) — истинный скаляр, а г — псевдовектор. Аналогично расшифровыва-
расшифровываются и другие величины B1), а также высшие производные и операторы выс-
высшего порядка. Например,
д
)
ф(г) = Аф(г)^^ + +
д д
rot rot а (г) = [Аг [Аг а (г)]]* = eimn enjk — ak =
д д а2
() d di a(f)~^a (г) и т. д. B2)
drt drj
Изложенную теорию трехмерных тензоров легко обобщить на четырехмер-
четырехмерный случай. В четырехмерном пространстве времени и координат (tt г) преоб-
преобразованием поворота являются преобразования Лоренца, которые и положены
в основу определения четырехмерных векторов и тензоров. Четырехмерными
векторами кроме (t, г) являются платности тока и заряда (j. p), волновой век-
413
тор и частота (со, к) и др. Теорию четырехмерных тензоров, однако, здесь не
будем излагать, поскольку в книге они, по существу, «е использовались.
Пример 1. Сократить единичный тензор второго ранга.
Сокращением тензора по двум индексам называют суммирование диагональ-
диагональных элементов квадратной матрицы тензора по этим индексам. При сокращении
тензора по двум индексам его ранг уменьшается на два.
Сократить единичный тензор второго ранга 6г;/ означает найти 6ц:
Пример 2. Воспользовавшись тождеством еш?тпг=6гт6ьп—бгпбь™, дока-
доказать равенство
[А[ВС]] = В(АС)—С(АВ).
Воспользуемся тензорной записью
—6indkm)=Bi(AnCn)-Ci(AnBn),
что и требовалось доказать.
Пример 3. Составить общий тензор второго ранга 8;j(k)=8zj(—k) из одно-
одного истинного вектора к и сократить его по индексам.
Запишем
в« (Ю - % «„ + о, h k} = (в„ - *& ) в"
т. е.
в« (Ю - % «„ + о, h k} = (в„ - *& ) в
В пределе к—э-0 отсюда имеем 8ij(O) = ai6ij, а ег=8<г = 8. Таким образом, об-
общим тензором второго ранга в отсутствие какого-либо вектора, к->-0, является
(ON
Пример 4. Составить тензор второго ранга 8zj(B)=8*j(—В) из одного
псевдовектора В и сократить его по индексам.
Запишем
ец (В) = ах Ьц — a2 h dj + a3 em bh = e± 6i7- + ( 8 „ — e±) 6,- 67- + i geijh bh,
где b = B/B. В матричной форме этот тензор имеет вид
«1 '« °\
= 1 -ig e± 0 .
Здесь ось Ojc3=Oz направлена вдоль вектора В. В отсутствие вектора В имеем
ей @) =
Наконец,
Пример 5. Составить тензор второго ранга 8ij(k, B)=8ji(—k, —В) из ис-
истинного вектора к и псевдовектора В и сократить его по индексам.
Запишем
8ij(k, В) =ai
+ (lbeimneir&kmbn
414
где Ь=В/В. Напротив ось Oxz—Oz вдоль вектора Ь, а ось Oxi = Ox так, чтобы
вектор k=(Aj_L, 0, &ц ), получим
/ 8П 812
8jj(k, В) = 1 — 812 822
\ 613 — 823
Здесь
бц = «1 + «2 ?2Х. е22 = «1 + а5 k2L,
Big = а4 + а6 ^, е23 = — аб k ± ^ ц,
ei3 = оьяЛ± Ли, 833 = «! + а%k\ + а3,
Сокращая полученный тензор по индексам, находим
ей (к, В) =в
Пример 6. Составить связь Bi=\Lij(VL)Hj между псе вд о векторами В и Н.
Очевидно, что M-ij(H) при этом должен быть истинным тензором. Поэтому
где h=H/#. В результате искомая связь запишется в виде
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамян Е. А., Альтеркоп Б. А., Кулешов Г. Д. Интенсивные электронные
пучки. — М.: Энергия, 1980.— 231 с.
2. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. — М.: Атом-
издат, 1979.— 320 с.
3. Ахиезер А. И. и др. Электродинамика плазмы. — М.: Наука, 1974. — 719 с.
4. Валеску Р. Статистическая механика заряженных частиц.— М.: Мир, 1967 —
514 -с.
5. Басе Ф. Г., Гуревич Ю. Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные
волны в плазме полупроводников и газового разряда. — М.: Наука, 1975. —
399 с.
6. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физи-
физике. — М.: Гостехтеориздат, 1946. — 119 с.
7. Виноградова М. В., Руденко О. В., Сухорукое А. Р. Теория воли. — М.: Нау-
Наука, 1979. —383 с.
8. Владимиров В. В., Волков А Р., Мейлихов Е. 3. Плазма полупроводников. —
М.: Атомиздат, 1979.— 254 с.
9. Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича.—М.: Атомиздат,
1963—1979. —Т. 1—10.
10. Гершман Б. П., Ерухимов Л. М., Яшин Ю. Я. Волновые явления в ионо-
ионосферной и космической плазме. — М.: Наука, 1984. — 392 с.
11. Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактишюй плазме. — М.: Нау-
Наука, 1070.— 208 с.
12. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М:
Наука, 1967 —683 с.
13. Голант В. Е., Жилинский А. П., Сахаров И. Е. Основы физики плазмы.-—>
М.: Атомиздат, 1977.— 384 с.
14. Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. — М:
Наука, 1971. —544 с.
15. Гуревич А. В., Цидилина Е. Е Сверхдальнее распространение коротких ра-
радиоволн.—М: Наука, 1979.— 246 с.
16. Давидсон Р. Теория заряженной плазмы. — М.: Мир, 1978. — 216 с.
17. Ерохин И. С. и др. Неравновесные и резонансные процессы в плазменной
радиофизике. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
18. Иванов А. А. Физика силы-юнеравновесной плазмы. — М.: Атомиздат, 1977. —
352 с.
19. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. — М.: Атомиздат, 1975.—
287 с.
20. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976. — 238 с.
21. Климонтович Ю. Л. Статистическая физика.— М.: Наука, 1982. —608 с.
22. Климонгоеич Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной
плазмы. — М. Наука, 1975.— 352 с.
23. Кондратенко А. Н. Плазменные волноводы.—М.: Атомиздат, 1976.—231 с.
24. Кондратенко А. Н. Проникновение поля в плазму. — М.: Атомиздат, 1979. —
231 с.
25. Кролл Н, Трайвелпис А. Основы физики плазмы. — М.: Мир, 1975.— 528 с.
26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Нау-
Наука, 1982.— 623 с.
27. Лифшиц Е. М.} Питаевский Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.—
528 с.
28. Ломинадзе Д. Г. Циклотронные волны з плазме.— Тбилиси: Мецниереба,
1975. —222 с.
416
29. Лоусон Дою. Физика пучков заряженных частиц. —М: Мир, 1980.— 438 с.
30. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. —
М.: Мир, 1984. —432 с
31. Митчнер М., Кругер Ч. Частично иоштзованные газы — М.: Мир, 1976 —
496 с
32. Михайловский А Б. Теория плазменных неустойчивостей. — М.: Атомиздат,
1975.—Т. 1. —271 с; 1977. —Т. 2. — 360 с
33. Незлин М. В. Динамика пучков в плазме. —М.: Энергия, 1982. —263 с
34. Основы физики плазмы/Под ред. Р. 3. Сагдеева и М. Розенблюта: В 2 т. —
М.: Энергия, 1983. —Т. 1. — 640 с; 1983 —Т. 2. — 632 с; 1984. —Допол-
—Дополнение к т. 2. — 240 с
35. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердых тел. —
М.: Мир, 1975 —436 с.
36. Пожела Ю. К Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках.—М.:
Наука, 1977. —367 с.
37. Пустовалов В. В., Силин В. П. Нелинейное взаимодействие волн в плаз-
плазме. — М.: Труды ФИАН, 1972. —Т. 61. —С. 38—198.
38. Рухадзе А. А. и др. Физика сильноточных релятивистских электронных пуч-
пучков.— М.: Атомиздат, 1979.— 168 с.
39. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов.—М.: Наука, 1971. —
332 с.
40. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмо-
подобных сред. — М.- Госатомиздат, 1961. — 244 с.
41. Силин В. Я. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на
плазму. — М.- Наука, 1973. —288 с.
42. Ситенко А. Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плазме. —
Киев: Наукова думка, -1977. — 248 с.
43. Смирнов Б М. Физика слабоионизованного газа. — М.: Наука, 1978. — 416 с.
44. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. — М.: Изд-во иностр.
лит., 1957. — 112 с.
45. Стикс Т. X. Теория плазменных волн. — М/. Атомиздат, 1965. — 344 с.
46. Цытович В Н. Нелинейные эффекты в плазме. — М.: Наука, 1967. — 286 с.
47. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы — М.: Атомиздат, 1971. —422 с.
48. Шеффилд Дж Рассеяние электромагнитного излучения в плазме. — М.:
Атомиздат, 1978 —280 с.
49. Шкаровский И . Джонстон Т., Бачинский М. Кинетика частиц плазмы. — М.:
Атомиздат, 1969. — 396 с.
50. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы.—М.: Мир, 1974. — 432 с.
51. Эллис В., Буксбаум С, Берс А. Волны в анизотропной плазме.—М.: Атом-
Атомиздат, 1966. —311 с
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокоррелятор 319
Вероятность перехода (рассеяния) 48
Взаимодействие нелинейное 377, 390
•—• параметрическое 198
— резонансное параметрическое 199
— трехволновое 396
— циклотронное 156, 166
— черенковское 156
Верхняя гибридная частота 112
Возбуждение волн 296
— циклотронное 166, 301
— черенковское 158, 297
Волна альфвеновская НО, 132, 237
— 5-типа 288, 314
— быстрая магиитозвуковая 110, 135,
237
— винтовая 110, 118, 131, 238
— встречная 168
— дрейфовая 239
— ?-типа 288
— иошю-звуковая 78, 139, 274
объемная 78
поверхностная 274
— квазипродольиая 159
— конвективная 160
— магнитогидродинамическая (МГД)
ПО
-— магнитозвуковая ПО
— необыкновенная 109, 111, 164
— неоднородная 33
— обратная 34
— обыкновенная 109, 111, 136, 139,
164
— однородная 33
— отраженная 33
— плазменная 77
— плоская 28
—- поверхностная 266
— поперечная 28, 82
— попутная 160
— продольно-поперечная 176
— продольная 29, 77, 112
— прямая 34
•— с отрицательной энергией 26
—- спиральная (геликон) ПО, 118, 131,
153, 238
—t циклотронная 119, 140
—• электроакустическая 194
—• электронная плазменная 77
Время релаксации 55
418
Время релаксации квазилинейной 365
кинетической пучковой неустой-
неустойчивости 371
• неустойчивости 365
Гидродинамика двухжидкостная 59
— одножидкостная 60
Глубина проникновения 84, 121, 123,
304
Давление гидродинамическое 228
магнитное 228
Декремент затухания 32, 81, 93,
131—133, 137, 139
Дебаевская экранировка 80, 82
Дебаевский радиус 11, 80
Дисперсия пространственная 16
— частотная 16
Диэлектрическая проницаемость 19, 40
многоиндексная 378
¦ поперечная изотропной среды
21
продольная 21
— анизотропной среды 29
Дрейф гравитационный 255
— ларморовский 231, 243
Законы сохранения 55
— преобразования векторных величин
409
тензора 411
Затухание Ландау 77, 162
— временное 32
— пространственное 33
— черенковское 161
Захват электронов 376
Захваченные (запертые) колебания
223
Излучение волн магнитотормозное 105
— — циклотронное 105, 166, 172
¦ черенковское 70, 105
Импеданс поверхностный 271, 306
— слоя плазмы 305
Инкремент нарастания колебаний 32,
160, 162, 166, 167, 208
Интеграл столкновений Батнагара —
Гросса —Крука (БГК) 55
Больцмана 48
Ландау 53
Ионно-звуковой солитон 376
Квазигидродинамика 46
Квазинейтральность 10
Концентрация частиц 7
Колебания дрейфовые 239
—• дрейфово-дисоипативные 244
— надтепловые 357
— ионно-звуковые 78
Коррелятор 318
— временной 319
— парный 375
—- пространственно-временной 318
—• тройной 375
Коэффициент диффузии'51, 139
—• затухания волн 141
—• отражения 315
— -поглощения 120
— трансформации волн 352, 355
— трения 51
— усиления 300
— вязкости 45
— переноса 45
— Фоккера — Планка 340
Критическая опалесценция 337, 351
Кулоновский логарифм 52
—- потенциал 38
Лазер на свободных электронах 406
Линия рассеяния антистоксовская 400
стоксовская 400, 402
Магнитная гидродинамика 45
Магнитная гидродинамика одножид-
костная 60
• двухжидкостная 59
— проницаемость 40
Магнитное удержание 228
—• зеркало 255
Материальные уравнения электроди-
электродинамики 17
—• соотношения Минковского 148
Метод Вентцеля — Крамерса — Брил-
люэна (ВКБ) 218
— Чемпена — Энскога 179
— геометрической оптики 218
Модель гидродинамическая 45
—• двухжидкостная 46
¦— независимых частиц 43, 133, 211
— общая кинетическая 46
¦—• плазмы как ионизованного газа
.(общая) 46
— поверхности плазмы 266
— трехжидкостная 46
Мода верхнегибридная 112
— нижнегибридная 112
Моды Бернстейна 136 ,
—- Ван-Кампена 101
Неустойчивость 24, 144, 148
— абсолютная 168
Неустойчивость апериодическая пара-
параметрическая 213
— гидродинамическая (диссипатив-
ная) 161
—¦ — апериодическая 152
— — бунемановская 182
— — дрейфово-температурная 245
— — желобковая 169, 258
— гидродинамическая параметричес-
параметрическая 200, 204
— — перестановочная 258
• пучковая 366
циклотронная 43Ч&- кJfc* f^t
• — дрейфово-диссипативная 175,
244
—• диокотронная 313
—• диссипативная 162
— дрейфовая 240, 242, 253, 262
— дрейфово-диссипативная 244
— ионно-звуковая 183, 188, 208
— кинетическая (диссипативная) 153,
161, 207
—• диссипативная пучковая 174
¦—• дрейфово-диссипативная 244
— пучковая (черенковская) 161
циклотронная 174
— конвективная 254, 256, 263
—• — винтовая 261
—• — желобковая 313
сносовая 160
— пирсовская 295
— поверхностных волн 313
— slipping 264, 311
—• токово-конвективная 260
—• циклотронная 162
—• — абсолютная 170
~ — на аномальном эффекте Допле-
Доплера 170, 171
— сносовая 170
— черенковская 154—162
¦ электронного пучка 158
Нижняя гибридная частота 112
Нулевой звук 81, 119, 175
Обращение флуктуационно-диссипа-
тивной теоремы 326
Плазма 5, 6
— анизотропная 143
— вырожденная 9
—. газового разряда 6
— звездных атмосфер 9
— изотермическая 8
— ионосферная 6
— квазинейтральная 10
— магнитоактивная 102, 116
—• невырожденная 8
— неизотермическая 8
419
Плазма неравновесная 143
—• низкотемпературная 9
— полностью ионизованная 7
— релятивистская 98
— слабоионизованная 7
— твердотельная 6, 9, 11
— турбулентная 356
—¦ ультрарелятивистская 98
—¦ холодная 107
Плазменная частота 10
Плазменный волновод 284
— параметр 12
Плазменное эхо 407
Плазмоны 396
Плато функции распределения 364,
370
Плотность частиц 7
— спектральная (корреляционной
функции) 319
энергии 391
Поглощение волн 104
— — диффузное 209
— — циклотронное 105, 140
— — черенковокое 73, 116
Показатель преломления 120, 138, 141
Поле виртуальное 394
— Драйсера 65
— захвата 375
Поляризуемость среды 29
Порог неустойчивости 214, 215, 294
Правила квантования квазиклассичес-
квазиклассические 222
Правила обхода Ландау 73
Предельный ток 310
Преобразование афинное 412
—• зеркального отражения 413
— Лоренца 146, 415
— поворота 412
Приближение адиабатическое 181
—• бесстолкновительное 72
— борновское 50
— геометрической оптики 224, 225,'
226
— изотермическое 246
— квазилинейное 356
— линейное 356
—• электростатическое 211
Прозрачность среды 222
Пространственно-временная корреля-
корреляционная функция (коррелятор) 318
Псевдовектор 414
Псевдотензор 413
Радиус Дебая ионов 14
— — электронов 14
— ларморовский 137, 227
Рассеяние волн 317, 343
— —^ запаздывающее 391
—- — индуцированное 391
—¦ комптоновское 400
420
Рассеяние воли индуцированное ра-
машювское 401
• кулоновское 391
Мандельштама — Бриллюэна
402
— — томсоновское 347
Расстройка частоты 199
Распад волн 349, 391, 407
модифицированный 391, 402
Резонанс Доплера 156
— параметрический 212
—• Тонкса — Датиера 235
— циклотронный 105, 156
—• черепковский 156, 158, 162
Релаксация 55
—¦ анизотропии импульса 55
— — температуры 66
— квазилинейная 359, 363
— неравновесного состояния плазмы
143
— скорости 66
— температуры 65
— функции распределения 67
Сателлит «иошю-звуковой» 349
— «красный» 400
— плазменный 349
— «синий» 400
Сдвиг частоты 199
Сечение рассеяния волн дифферен-
дифференциальное 347
эффективное 346
Сила Миллера 68, 133
— Лоренца 16
— центробежная 69
Скин-эффект аномальный 84, 96,
121—123
— нормальный 96
Скорость альвеиовская 109
— гравитационного дрейфа 256
— групповая 34
— ион но-звуковая 61, 135, 183
— критическая дрейфовая 183
— фазовая 34
— эффективная скорость дрейфа 239
— электрического дрейфа 179
Слияние волн 354, 394
Сокращение тензора 415
Солитон 376
—• ионно-звуковой 376
Спектр ионно-звуковой 139
Спектральное распределение прост-
ранственно-вре,ме.»ной корреляци-
корреляционной функции 318
Средняя частица 43
Стартовый ток 301
возбуждения резонатора 315
Степень ионизации 7
Температура 67, 98, 146
— эффективная флуктуации 333
—. ¦— — неравновесной плазмы 331
Тензор 411
—• вязких напряжений 45
— диэлектрической проницаемости 20,
102, 123, 126, 143, 155, 226
¦ — анизотропной плазмы 150
— многокомпонентной плазмы
148
— —¦ — неравновесной плазмы 149
— комплексной проводимости 20
— многоиндексный 383, 385, 389
Теорема Бора — Ван-Левена 40
— флуктуационно-диссипативная 324
Точка поворота 221, 235
— сгущения 236
Трансформация волн 317, 343
Убегание электронов 65, 178, 207
Удержание магнитное 228
Усиление пространственное 34
Уравнение дисперсионное 28
—• Власова 47
— Матье 212
—• Пуассона 13, 14
— укороченное 380
— Фоккера — Планка 51, 340
— Шредингера 217
— эйконала 218, 225
— Эйлера 59
Уравнение кинетическое Батнагара—
Гросса —Крука (БГК) 55
— — Больцмана 48
—• —• Власова (кинетическое уравне-
уравнение с самосогласованным полем) 47
Уравнения квазилинейные 360, 372
Условия резонанса Доплера 156
— — циклотронного 156
черенковского 156
Фазовый интеграл Бора — Зоммер-
фельда 222
Финитные решения 223
Формула барометрическая 13
— Крамерса — Кронига 22
— Ландау 52
Функции распределения 8
Функция распределения Максвелла 8
• Ферми 9
Частота столкновений эффективная 44
— ларморовская 60
— дрейфовая 243
— леншюрюеская электронная 10
Число плазмонов 396
Шир 263
Электронный дебаевский радиус 11
Энергия поля колебаний 368, 371
Эйконал 218
Эхо 407
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Предисловие к первому изданию 4
Часть 1. Электромагнитные свойства термодинамически
равновесной плазмы
Глава 1. Основные понятия физики плазмы 5
§ 1.1. Определение плазмы 5
§ 1.2. Параметры плазмы 7
§ 1.3. Квазинейтральность. Плазменная частота и дебаевский
радиус 10
§ 1.4. Газовое приближение. Плазменный параметр .... П
Задачи к гл. 1 12
Глава 2. Основы электродинамики сред с пространственной и вре-
временной дисперсией 15
§ 2.1. Уравнения электромагнитного поля в среде и граничные
условия J5
§ 2.2 Тензор комплексной Проводимости и диэлектрической
проницаемости 19
§ 2.3. Энергия электромагнитного поля в среде 22
§ 2.4, Электромагнитные волны в среде L7
§ 2.5. Начальная задача 30
§ 2.6. Граничная задача 32
§ 2.7. Электро- и магнитостатика 35
Задачи к гл. 2 37
Глава 3. Уравнения динамики плазмы 43
§ 3.1. Простейшие модели плазмы 43
§ 3.2. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем . . 46
§ 3.3. Кинетическое уравнение Больцмана 48
§ 3.4. Интеграл столкновений заряженных частиц .... 51
§ 3.5. Модельный интеграл упругих столкновений частиц . . 54
§ 3.6. Обоснование простейших моделей плазмы .... 57
Задачи к гл. 3 Ь4
Глава 4. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний одно-
однородной изотропной плазмы 70
§ 4.1. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной
однородной изотропной плазмы 70 N
§ 4.2. Спектры продольных колебаний бесстолкновительной не-
невырожденной плазмы 75
§ 4.3. Продольные колебания бесстолкновительной вырожден-
вырожденной плазмы 80
§ 4.4. Поперечные волны в бесстолкновительной изотропной
плазме 82
§ 4.5. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний
слабоионизованной плазмы с учетом столкновений частиц . . 85
§ 4.6. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний
полностью ионизованной плазмы с учетом столкновений час-
частиц 90
Задачи к гл. 4 94
Глава 5. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний одно-
однородной магнитоактивной плазмы 102
§ 5.1. Тензор диэлектрической проницаемости однородной бес-
бесстолкновительной магнитоактивной плазмы 102
422
§ 5.2. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний хо-
холодной бесстолкновительной магнитоактивной плазмы . . . 107
§ 5.3. Влияние теплового движения частиц на характер коле-
колебаний беостолюноиителыюй магаитоакт.ивн-ой плазмы . . . 113
§ 5.4. Циклотронные волны в плазме 119
§ 5.5. Тензор диэлектрической проницаемости слабоионизован-
ной магнитоактивной плазмы с учетом столкновений частиц 123
§ 5.6. Тензор диэлектрической проницаемости полностью иони-
ионизованной магнитоактивной плазмы с учетом столкновений час-
частиц 126
§ 5.7. Влияние столкновений частиц на затухание электромаг-
электромагнитных волн в магнитоактивной плазме 130
Задачи к гл. 5 133
Часть 2. Электромагнитные свойства неравновесной плазмы
Глава 6. Взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой . . 143
§ 6.1. Тензор диэлектрической проницаемости однородной не-
неравновесной анизотропной плазмы 143
§ 6.2. Неустойчивость плазмы с анизотропной температурой
частиц 148
§ 6.3. Взаимодействие прямолинейного электронного пучка с
плазмой. Черенковская неустойчивость 154
§ 6.4. Взаимодействие вращающегося электронного пучка (по-
(потока осцилляторов) с плазмой. Циклотронная неустойчивость 162
Задачи к гл. 6 169
Глава 7. Плазма во внешнем электрическом поле 176
§ 7.1. Функция распределения заряженных частиц плазмы во
внешнем электрическом поле 176
§ 7.2. Устойчивость незамагниченной плазмы во внешнем пос-
постоянном электрическом поле 181
§ 7.3. Влияние магнитного поля на устойчивость плазмы во
внешнем постоянном электрическом поле 186
§ 7.4. Плазма в сверхвысокочастотном электрическом поле . . 190
§ 7.5. Параметрическое взаимодействие сверхвысокочастотного
электрического поля с плазмой 198
§ 7.6. Параметрическая неустойчивость плазмы по отношению
к непотенциальным возмущениям 201
Задачи к гл. 7 207
Глава 8. Электромагнитные свойства пространственно неоднородной
плазмы 216
§ 8.1. Неоднородные среды без пространственной дисперсии.
Приближение геометрической оптики 216
§ 8.2. Приближение геометрической оптики для неоднородных
сред с пространственной дисперсией 224
§ 8.3. Тензор диэлектрической проницаемости слабонеоднород-
слабонеоднородной плазмы в приближении геометрической оптики . . . 226
§ 8.4. Спектры высокочастотных колебаний слабонеоднородной
плазмы 233
§ 8.5. Дрейфовые колебания слабонеоднородной бесстолкнови-
бесстолкновительной плазмы 239
423
§ 8.6. Влияние столкновений заряженных частиц на спектры
дрейфовых колебаний слабонеоднородной плазмы .... 246
§ 8.7. Конвективные неустойчивости неоднородной плазмы . . 254
Задачи к гл. 8 261
Глава 9. Линейные электромагнитные явления в пространственно ог-
ограниченной плазме 266
§ 9 1. Поверхностные электромагнитные волны в полуограни-
полуограниченной плазме 266
§ 9.2. Неустойчивость границы плазмы, удерживаемой магнит-
магнитным полем 27/
§ 9 3. Плазменный волновод ". 284
§ 9.4. Устойчивость пространственно ограниченной неравновес-
неравновесной плазмы 292
§ 9.5. Возбуждение плазменного резонатора релятивистскими
электронными пучками 296
Задачи к гл. 9 303
Часть 3. Основы нелинейной электродинамики плазмы
Глава 10. Электромагнитные флуктуации в плазме и рассеяние волн 317
§ 10.1. Корреляционные функции системы заряженных частиц.
Общее рассмотрение 317
§ 10.2. Флуктуации в равновесной плазме. Флуктуационно-
диссипативная теорема 324
§ 10.3. Спектральное распределение флуктуации в равновесной
бесстолкновительной плазме ....". 326
§ 10.4. Флуктуации в неравновесной плазме. Неизотермичес-
Неизотермическая квазиравновесная плазма и плазма с пучком .... 333
§ 10.5. Флуктуации и столкновения частиц в плазме . . . 333
§ 10.6. Рассеяние электромагнитных волн в плазме . . . 343
§ 10.7. Трансформация волн в плазме 351
Задачи к гл. 10 354
Глава 11. Основы квазилинейной теории колебаний плазмы . . . 356
§ 11.1. Уравнения квазилинейной теории колебаний плазмы 356
§ 11.2. Квазилинейная релаксация плазменных колебаний . . 363
§ 11.3. Квазилинейная релаксация пучковой неустойчивости в
плазме 366
Задачи к гл. 11 371
Глава 12. Нелинейное взаимодействие волн в плазме 377
§ 12.1. Основы нелинейной электродинамики материальных
сред 377
§ 12.2. Многоиндексные тензоры диэлектрической проницаемос-
проницаемости однородной плазмы 383
§ 12.3. Нелинейное взаимодействие волн в изотропной плазме 390
§ 12.4. Нелинейные трехволновые взаимодействия в плазме в
поле сильной электромагнитной волны 396
Задачи к гл. 12 iO3
Приложения 409
Приложение I. Основные операторы теории поля в цилиндрической систе-
системе координат 409
Приложение П. Элементы тензорного исчисления 410
Рекомендуемая литература 416
Предметный указатель 418