Электродинамика - Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П.

Автор: Терлецкий Я.П. Рыбаков Ю.П.

Теги: физика электроника электродинамика учебное пособие

ISBN: 5-06-001543-2

Год: 1990

Похожие

Основы электродинамики

Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие

Классическая электродинамика

Текст

Я. П. ТЕРЛЕЦКИЙ, Ю. П. РЫБАКОВ
ЭЛЕКТРО-
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов физических
специальностей университетов
Москва «Высшая школа» 1990

ББК 22.313
Т 35
УДК 538.3
Рецензенты:
кафедра теоретической физики НГУ им. Ленинского комсомола (зав. кафедрой
В. Г. Зелевинский); кафедра теоретической физики КГУ им. Т. Г. Шевченко (зав.
кафедрой А. М. Федорченко)
Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П.
Т 35 Электродинамика: Учеб. пособие для студентов физ.
спец. университетов.— 2-е изд., перераб.— М.: Высш. шк.,
1990.—352 с: ил.
ISBN 5-06-001543-2
В пособии дается изложение классической электродинамики. При изложении
электродинамики Максвелла — Лоренца помимо традиционных вопросов рассмотрены
явление сверхпроводимости, магнитогидродинамические волны, магнитная кумуляция,
излучение Вавилова — Черенкова. Раскрываются релятивистские представления о простран-
пространстве— времени, значительное внимание уделено релятивистской формулировке законов
сохранения, полевой теории массы, теории тахионов и другим принципиальным вопросам.
В пособии много оригинальных задач, углубляющих и дополняющих излагаемый материал.
т1604050000D309000000)-269
001 @1)-90 537
Учебное издание
Терлецкий Яков Петрович
Рыбаков Юрий Петрович
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Зав. редакцией учебно-методической литературы по физике и математике
Е. С. Гридасова. Редактор Г. Н. Чернышева. Мл. редактор Н. П. Майкова.
Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор
Н. В. Яшукова. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 8566
Изд. № ФМ-931. Сдано в набор 31.07.89. Подп. в печать 21.03.90. Формат
60x88/16. Бум. офс. № 2. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Объем
21,56 усл. печ. л. 21,56 усл. кр.-отт. 20,23 уч.-изд. л. Тираж 20 000 экз.
Зак. №378 Цена 1 руб.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
Д. 29/14.
Отпечатано с диапозитивов ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Государственного
комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28 в Московской
типографии № 4 Госкомпечати СССР, 129041, Москва, Б. Переяславская ул., 46.
ISBN 5-06-001543-2 © Я. П. Терлецкий, Ю.П.Рыбаков, 1990

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга является отражением многолетней практики преподавания
электродинамики на физических факультетах Московского государственного
университета имени М. В. Ломоносова и Университета дружбы народов имени
Патриса Лумумбы. Перед авторами стояла вдвойне трудная задача. С одной
стороны, необходимо было отобрать из множества чрезвычайно интересных
и глубоких результатов, достигнутых в электродинамике к настоящему времени,
только самое существенное и необходимое для понимания предмета и для
дальнейшей самостоятельной работы студентов в этой области. С другой стороны,
пользуясь ограниченными математическими средствами, доступными студентам-
физикам младших курсов, нужно было дать строгий вывод ряда фундаментальных
положений, составляющих основу современной теории электромагнитного поля.
Чтобы выполнить эту программу, авторы решили прибегнуть к помощи самого
читателя, рассчитывая на его активную работу по усвоению излагаемого материала.
С этой целью в книгу включен ряд задач, зачастую составляющих неотъемлемую
часть текста, решение которых представляется необходимым для понимания всего
последующего. Хотя наиболее трудные задачи и снабжены решениями, помещенны-
помещенными в конце книги, читателю рекомендуется заглядывать в них лишь после того, как
многократные попытки найти самостоятельное решение не дали результатов.
Предполагается, что читатель знаком с элементами теории дифференциальных
уравнений в частных производных и с основами векторного и тензорного
анализа. Однако для удобства в конце книги имеется математическое приложение,
в котором дано краткое изложение всех необходимых для понимания основного
текста математических сведений. Поэтому, чтобы освежить их в памяти и вместе
с тем привыкнуть к обозначениям, используемым в книге, рекомендуется сначала
ознакомиться с приложением. Очень хорошим дополнением к настоящему курсу
является «Сборник задач по электродинамике» В. В. Батыгина и И. Н. Топтыгина.
Некоторый дополнительный материал, который при первом чтении может быть
опущен, набран петитом.
Авторы благодарны д-ру физ.-мат. наук О. С. Иваницкой и проф.
Ю. М. Лоскутову, которые внимательно прочитали рукопись и высказали ценные
критические замечания, способствовавшие улучшению книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании книги произведены некоторые сокращения и дано более
компактное изложение ряда вопросов, исправлены неточности и опечатки.
Включены также новые задачи и добавлен материал, посвященный излучению
Вавилова — Черенкова.
Расширены также исторические комментарии, в которых, в частности,
отдается должное силе предвидения О. Хевисайда, предсказавшего основные
свойства излучения Вавилова — Черенкова почти за 50 лет до создания теории
этого явления (и задолго до его обнаружения), описавшего скин-эффект,
неискаженные волны в двухпроводной телеграфной линии и многое другое.
В книгу включен дополнительный материал, относящийся к молекулярной
оптике: помимо известного линейного эффекта магнитного вращения плоскости
поляризации света, открытого Фарадеем, обсуждаются нелинейные оптические
явления — эффекты Керра (электрооптика) и Коттона — Мутона (магнитооптика),
имеющие широкие практические применения.
Специальные задачи посвящены тороидности (анапольному моменту), сущест-
существенная роль которой в электромагнитном излучении быстроменяющихся токовых
систем была по достоинству оценена лишь сравнительно недавно.
Авторы глубоко признательны д-ру физ.-мат. наук В. Г. Зелевинскому, д-ру
физ.-мат. наук Э. А. Кураеву, доц. И. П. Пинкевичу и проф. А. М. Федорченко
за конструктивные критические замечания.

ВВЕДЕНИЕ
Почему возникают электрические силы? Как они передаются? Что при этом
происходит в пространстве? Подобные вопросы возникают сами собой при первом
же знакомстве с электричеством. Даже сегодня, когда картина во многом
прояснилась и человечество достигло грандиозных успехов в изучении и использова-
использовании электричества, все еще нельзя дать на них исчерпывающие ответы.
Электродинамика, изучающая электромагнитные процессы, является сейчас одной из
самых разработанных областей человеческих знаний, а уравнения Максвелла,
описывающие электромагнитное поле и получившие многочисленные подтверждения
на опыте, не могут не вызывать чувства восхищения своим изяществом и красотой*.
Электродинамика находит применения в таких разделах современной физики,
как нелинейная оптика и физика плазмы, теория ускорителей и физика атомного
ядра. Учет квантовых свойств материи привел к созданию квантовой электро-
электродинамики, предсказания которой отличаются высочайшей точностью. Что же
представляет собой электродинамика?
В буквальном переводе «электродинамика» — это учение о движении и вза-
взаимодействии электрических зарядов. Но такая трактовка не отражает существа
дела, ибо главное содержание электродинамики есть учение об электромагнитном
поле и его связи с зарядами и токами.
Первоначально делались попытки свести все электрические явления к прямому
взаимодействию электрических зарядов, т. е. предполагалось, что электрические
силы мгновенно передаются через пустоту, а само их существование является
прирожденным свойством заряженных тел. Все внимание при таком подходе
было сосредоточено на электрических зарядах и токах, поле же вводилось по
аналогии с гравитационным полем лишь как удобное математическое понятие.
Эти взгляды разделяли Ампер, Риман, Вебер, Кирхгоф, Гельмгольц и др. Это
была эпоха господства теории дальнодействия.
Нужна была проницательность М. Фарадея, чтобы искать причину не в самих
зарядах и токах, а в окружающем их пространстве. Он представлял себе
силовые линии как вполне реальные образования и провел множество хитроум-
хитроумнейших экспериментов по их обнаружению. Один из них привел его к открытию
электромагнитной индукции. Но умозрительные представления Фарадея явно
проигрывали в сравнении с безупречно математически оформленной электроди-
электродинамикой дальнодействия и поэтому не могли рассчитывать на признание.
Нужен был гений Дж. К. Максвелла, чтобы увидеть в неуклюжем языке
фарадеевых силовых линий гармонию математики. Тщательно проштудировав
* История создания уравнений Максвелла очень поучительна, и читатель
может ознакомиться с нею, например, по увлекательно написанной книге В.
П. Карцева «Приключения великих уравнений». М., 1986.

труды Фарадея, Максвелл сумел сконцентрировать все их содержание в восьми
коротких уравнениях, которым суждено было стать краеугольным камнем теории
электромагнитного поля. Так благодаря трудам Фарадея и Максвелла стала
пробивать себе дорогу теория близкодействия, в основе которой лежало фарадеево
представление об особом материальном носителе электромагнитных сил — эле-
электромагнитном поле.
Эволюция представлений об электромагнитном поле имеет долгую историю.
Отметим лишь наиболее значительные ее вехи.
Максвелл был сторонником механистической точки зрения и представлял
электромагнитное поле в виде натяжений и деформаций особой всепроникающей
среды — эфира. Исторически эти представления сыграли положительную роль,
так как помогли Максвеллу найти правильную математическую форму для
уравнений электродинамики. Одним из следствий этих уравнений было пред-
предсказание Максвеллом электромагнитной природы света.
Творец электронной теории Г. А. Лоренц тоже был сторонником эфира.
Считая, что электромагнитное поле — это особое состояние эфира, он тем не
менее уже не наделял последний какими-либо механическими свойствами.
Напротив, в конце концов он пришел к выводу, что присутствие эфира не
может быть замечено ни в одном электродинамическом опыте. Эфир у Лоренца
оставался непознаваемой «вещью в себе». Сознавая его бесполезность, Лоренц
все же не смог сделать последний решительный шаг — отказаться от эфира.
Это было сделано создателем теории относительности А. Эйнштейном. Позже
постепенно сложилось представление об электромагнитном поле как о самосто-
самостоятельной материальной сущности, являющейся носителем электромагнитных
взаимодействий и распределенной в пространстве. Это представление полностью
разделяется и современной наукой.
Сейчас мы обладаем многими несомненными доказательствами разнообраз-
разнообразнейших материальных проявлений электромагнитного поля. Сюда относятся
и опыты Г. Герца A887) по обнаружению электромагнитных волн, и опыты
П. Н. Лебедева по измерению светового давления A901), и прецизионные опыты
Р. Паунда и Г. Ребки A960) по «взвешиванию» света, и многие другие.
В настоящее время помимо электромагнитных сил известны также и наиболее
универсальные, присущие всем объектам гравитационные силы, и мощные ядерные
силы, действующие на чрезвычайно малых расстояниях порядка 103 см внутри
ядер, и сравнительно небольшие, но важнейшие в микромире, слабые взаимодей-
взаимодействия, вызывающие распады элементарных частиц. В первом (классическом)
приближении современная атомистическая картина строения материи может
выглядеть следующим образом: материя состоит из заряженных и нейтральных
элементарных частиц (электронов и нуклонов) и различного вида полей (элек-
(электромагнитного, ядерного, гравитационного и др.), обусловливающих взаимодей-
взаимодействие элементарных частиц. При более детальном (квантовом) описании материи
полям также нужно сопоставлять особые частицы — кванты поля (кванты
электромагнитного поля — фотоны, ядерного — мезоны и т. д.).
Однако в отличие от короткодействующих ядерных и слабых сил электромаг-
электромагнитные и гравитационные силы являются далекодействующими, т. е. наиболее
медленно убывающими с расстоянием между частицами. Именно это позволяет
рассматривать электромагнитные и гравитационные поля как макроскопические
объекты и ограничиться лишь классическим (а не квантовым) описанием.
Уравнения Максвелла как раз и представляют собой математически строгое
и полное выражение законов движения электромагнитного поля как макрос-
макроскопического объекта.

1
ГЛАВА
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
КАК РЕЗУЛЬТАТ ОБОБЩЕНИЯ
ОПЫТНЫХ ФАКТОВ
В данной главе, следуя индуктивному методу и опираясь на
небольшое число опытных фактов, будут выведены основные
уравнения макроскопической электродинамики—уравнения Макс-
Максвелла. Вместе с тем для более глубокого усвоения основ
электродинамики и для уяснения ее места среди других физичес-
физических дисциплин безусловно будет полезен анализ взаимосвязи
ряда экспериментальных фактов и таких фундаментальных
физических законов, как законы сохранения энергии и импульса.
Применяя эти законы к системе заряженных частиц и порож-
порожденному ими электромагнитному полю, мы приходим к необ-
необходимости сопоставлять полю такие физические характеристи-
характеристики, как плотности энергии и импульса, что позволяет рас-
рассматривать электромагнитное поле как самостоятельную ма-
материальную сущность.
§ 1. АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ОПЫТНЫХ ФАКТОВ
Электродинамика возникла на основе анализа и обобщения
многих экспериментальных фактов. Перечислим наиболее важные
из них, сыгравшие решающую роль в процессе ее становления.
Закон сохранения электрического заряда. Уже в простейших
опытах по электризации тел трением и через влияние было
установлено, что все они прекрасно согласуются с гипотезой
о существовании двух видов «электрических жидкостей» — поло-
положительной и отрицательной (Ш. Дюфэ, Б. Франклин, Р. Симмер,
М. Фарадей)*, взаимно притягивающихся, но отталкивающих себе
подобную. Количество содержащейся в наэлектризованном теле
«электрической жидкости» стали называть электрическим зарядом
Q этого тела, а о величине его судили по степени электрического
влияния данного тела на другое.
Как выяснилось, электрический заряд не может быть унич-
уничтожен—при непосредственном контакте заряженных тел он лишь
перераспределяется между ними. Это как раз и составляет содер-
содержание закона сохранения электрического заряда, физический смысл
которого стал ясным лишь после открытия в 1897 г. английским
* См.: Тиндалъ Дж. Лекции об электричестве. СПб., 1885; Льоцци М.
История физики. М., 1970.

физиком Дж. Дж. Томсоном
первой элементарной частицы —
электрона. В классических опы-
опытах Р. Милликена A909) было
установлено, что заряд любого
тела кратен заряду электрона
(е= -4,803242 х 100 СГСД так
что роль «электрических жид-
Рис j j костей» должны играть свобод-
свободные электроны и ионы. Обозна-
Обозначая их заряды еь найдем, что полный заряд в некотором объеме
V равен
где ie V означает, что суммирование проводится по всем зарядам
из объема V.
Если объем V окружен замкнутой поверхностью 5, то закон
сохранения электрического заряда означает, что Q может изме-
измениться только в том случае, когда заряды ег пересекают
поверхность S. Вводя силу электрического тока /, равную
количеству электричества, вытекающего из объема К за 1с,
закон сохранения электрического заряда можно записать в виде
dQ/dt=-L A.2)
Задача 1.1. Пусть через ванну с электролитом течет постоянный ток
I (рис. 1.1). Если процесс установившийся, то положительные ионы нейтрализу-
нейтрализуются на катоде К приходящими туда электронами. Поэтому сила тока
положительных ионов равна 1+=1. Аналогично, отрицательные ионы нейтра-
нейтрализуются на аноде а, и поэтому их сила тока равна /"=/. В результате
через сечение АВ ванны проходит ток 1+ +/" = 2/, что явно противоречит
закону сохранения заряда A.2). В самом деле, если окружить катод замкнутой
поверхностью, то сила входящего в нее тока равна 2/, а выходящего — /.
Таким образом, на катоде должен накапливаться положительный заряд.
Однако ничего подобного на опыте не наблюдается. Как можно разрешить
этот парадокс? Указать ошибку в рассуждениях.
Закон Кулона для электрических зарядов. Этот закон был
установлен французским ученым Ш. Кулоном в 1785 г. и определя-
определяет силу взаимодействия двух точечных покоящихся электрических
зарядов ех и е2, находящихся на некотором расстоянии г друг
от друга в точках гх и г2 соответственно. Тогда сила, действующая
на первый заряд со стороны второго, равна
Ff] = ^2r/r3, A.3)
где г = гх—г2, г = |г|.
Здесь и в дальнейшем при изложении законов электродинамики
мы используем абсолютную систему единиц Гаусса (СГС).
В основу этой системы положены механические единицы (сан-

тиметр, грамм и секунда), а единичный заряд
определяется из закона Кулона, записываемого
в форме A.3).
Интересно отметить, что Кулон установил этот
закон довольно i р>бо, непосредственно измеряя силу
взаимодействия двух зарядов с помощью крутильных
весов. Однако еще в 1771 г., т. е. за 14 лет до Кулона,
английский физик Г. Кавендиш с помощью необычай-
необычайно простого опыта сумел вывести закон 1/г2 с гораздо
большей точностью, но результат свой не опублико- Рис- 1-2
вал. Сейчас опыт Кавендиша известен каждому школьнику, однако не
все догадываются, что из него непосредственно следует закон Кулона.
Кавендиш взял металлический шар и две плотно облегающие
его металлические полусферы с ручками из изолятора (рис. 1.2).
Зарядив шар, он обжал его полусферами, а затем разнес их.
Заряд шара, измеренный после этого, оказался равным нулю.
Отсюда Кавендиш и сделал вывод, что между двумя точечными
зарядами должна действовать сила вида 1/г .
Задача 1.2. Предположив центральный характер взаимодействия двух элект-
электрических зарядов, т. е. записав силу взаимодействия в виде F12 = <?1<?2/(/')I7^>
найти вид функции f(r) на основании результатов опыта Кавендиша.
Исследовать, как изменились бы эти результаты, если бы закон взаимодействия
не подчинялся зависимости 1/г2.
Закон Кулона позволяет ввести понятие электрического поля,
задаваемого напряженностью Е, т. е. силой, действующей на
единичный положительный заряд. В частности, всякий неподвиж-
неподвижный точечный заряд е окружен электрическим полем с напряжен-
напряженностью
Е = ег/г\ A.4)
Опыт показывает, что напряженности электрического поля
от нескольких неподвижных зарядов складываются как обычные
векторы. Это означает, что для электрических сил справедлив
четвертый закон механики, или принцип независимости действия
сил. Обычно это положение формулируется в виде гипотезы
о линейности взаимодействия, больше известной как принцип
суперпозиции.
Задача 1.3. Очень наглядным является изображение электрического поля
с помощью линий напряженности, т. е. линий, в каждой точке которых
направление касательной совпадает с направлением вектора напряженности
Е поля. Воспользовавшись принципом суперпозиции, найти картину линий
напряженности электрического поля, создаваемого двумя равными и проти-
противоположными по знаку точечными зарядами el= —е2= —е, разнесенными на
расстояние I (рис. 1.3). Рассмотреть предельный случай асимптотического
поля (г»/).
Взаимодействие магнитов и токов. С удивительными свойст-
свойствами магнитов люди познакомились еще в далекой древности,

Рис. 1.3
Рис. 1.4
но первое их систематическое экспериментальное изучение было
проведено английским врачом и физиком В. Гильбертом в конце
XVI в. Результаты его исследований были обстоятельно изложены
в труде «О магните», вышедшем в 1600 г. В числе многих
других Гильберт отметил два следующих свойства магнита:
а) магнит имеет два полюса: положительный (северный)
и отрицательный (южный), причем одноименные полюсы оттал-
отталкиваются, а разноименные — притягиваются;
б) невозможно получить магнит с одним полюсом.
Количественный закон взаимодействия магнитных полюсов
был установлен гораздо позже A785) Кулоном одновременно
с законом A.3) для электрических зарядов. Эти законы оказались
совпадающими по форме. А именно: если взять две достаточно
длинные магнитные спицы (рис. 1.4) и пренебречь влиянием
далеких полюсов, то сила взаимодействия двух ближайших
полюсов
F^2 = m1m2r/r3. A.5)
Здесь т12 — магнитные массы (или заряды) полюсов. Кроме
того, мы' ограничились взаимодействием в пустоте, так как
среда существенно искажает его.
Закон A.5) позволяет по аналогии с электрическим полем
ввести магнитную индукцию (не совсем удачное название, сложив-
сложившееся исторически), равную силе, действующей на единичный
магнитный заряд. Так, точечный магнитный заряд т оказывается
окруженным магнитным полем с индукцией
B-mr/r3. A.6)
Однако аналогия с электрическим полем здесь и кончается,
ибо уже второе свойство магнитов, отмеченное Гильбертом,
говорит о существенно различной природе магнитного и элек-
электрического полей. В самом деле, в отличие от электрических
зарядов магнитные заряды невозможно отделить от их антиподов.
10

В том, что это действительно так,
можно убедиться очень просто: отломив
северный полюс магнита, мы увидим,
что в месте разлома опять появляются
полюсы противоположных знаков s N s N
(рис. 1.5). Это свойство очень просто Рис 15
объясняется с точки зрения представле-
представлений о молекулярной структуре вещества. Действительно, до-
достаточно лишь предположить, что каждая молекула представляет
собой элементарный магнитик с магнитными зарядами полюсов
±ть чтобы убедиться, что в любом объеме К, заключающем
какое-то число молекул, суммарный магнитный заряд оказывается
равным нулю:
I m-0. A.7)
Но истинная природа магнетизма стала проясняться лишь
после знаменитого опыта Г. Эрстеда A820), обнаружившего
магнитное действие электрических токов. Поднеся компас к про-
проводнику с током, он увидел, что магнитная стрелка устанав-
устанавливается перпендикулярно проводу (рис. 1.6). Дальнейшие ис-
исследования французских физиков Ж. Б. Био и Ф. С авара показали,
что магнитное поле спадает обратно пропорционально рассто-
расстоянию от провода. П. С. Лаплас, узнав об этих опытах, высказал
предположение, что, по-видимому, каждый элемент тока создает
магнитное поле, индукция которого меняется по закону 1/г2.
В дальнейшем эта гипотеза была подтверждена и положена
в основу закона Био — Савара — Лапласа A820), определяющего
магнитную индукцию элемента тока /dl (рис. 1.7):
dB = -[dlr]i A.8)
с г
где с — электродинамическая постоянная, имеющая размерность
скорости и равная 299 792 458 м/с*.
Однако все исследователи исходили из неверного представ-
представления, предполагая, что проводник с током сам становится
магнитом, почему и проявляет магнитное действие. Вскоре
в опытах Фарадея A821), а затем Эрстеда и Ампера было
обнаружено и обратное воздействие магнитного поля на токи.
Именно: оказалось, что сила, действующая в магнитном поле
В на элемент тока /dl, равна
A.9)
* Исходя из этого значения, решением Генеральной конференции по мерам
и весам 1983 г. принято новое определение метра.
И

dl
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Этот факт уже никак нельзя было объяснить, задавая
какое-либо распределение магнитных масс вдоль провода, так
как сила, действующая на них, была бы направлена вдоль
В в противоречии с A.9).
Здесь-то и выступил с необычайно смелой гипотезой Ампер.
Он предположил, что не проводник с током является магнитом,
а сам магнит эквивалентен системе замкнутых токов (гипотеза
молекулярных токов Ампера). Правильность своей точки зрения
Ампер сумел доказать рядом убедительных опытов по взаимодей-
взаимодействию токов между собой. Постулировав некоторый закон вза-
взаимодействия двух элементов тока, он вывел с его помощью закон
Био—Савара—Лапласа и закон Кулона для магнитных полюсов.
Кроме того, он сумел показать, что катушка с током ведет себя
как прямой магнит (рис. 1.8) и что круговой
ток эквивалентен магнитному листку (зна-
(знаменитая теорема эквивалентности Ампера).
Закон взаимодействия двух элементов
тока (рис. 1.9) может быть непосредственно
Рис. 1.8
Рис. 1.9
12

выведен из A.8) и A.9):
dF12=^V2[dl1[dl2r]]l A.10)
Очевидно, что он не согласуется с третьим законом механики:
Однако никакого противоречия здесь нет, ибо (по закону
сохранения заряда) все реальные токи должны быть замкнутыми,
а при взаимодействии двух замкнутых контуров Сх и С2 действие
уже равно противодействию, поскольку
и поэтому, согласно соотношению cj>(dlV)(p = O, имеем
с
Таким образом, с точки зрения Ампера, магнитные заряды не
существуют, а единственным источником магнитного поля является
электрический ток. В связи с этим магнитное поле В физически более
правильно определять не из закона Кулона A.5), а из формулы
Ампера A.9) как силу, действующую на элементарный ток.
Одним из важных следствий закона Био — Савара — Лапласа
является следующее правило, или закон Ампера, утверждающий, что
работа, совершаемая магнитным полем над единичным магнитным
зарядом при обнесении его вокруг постоянного тока / по любому
замкнутому контуру С, ориентированному по току, равна 4я//с, т. е.
I A.11)
с с
Задача 1.4. Вывести закон Ампера из закона Био — Савара — Лапласа, пред-
предварительно показав, что индукция магнитного поля, создаваемого замкнутым
током /, может быть вычислена по формуле
B=--/gradQ, A.12)
с
где Q—телесный угол, под которым виден контур тока из точки наблюдения.
Задача 1.5. Записав получающуюся из опыта Эрстеда силу dFm, действующую
на магнитный заряд т со стороны элемента тока /dl, в виде
d¥m = ml [dlr ]f(r)/r, найти функцию f(r), использовав тот опытный факт,
что магнитное поле вне равномерной тороидальной обмотки с током
отсутствует (если пренебречь составляющей тока вдоль тороида).
Задача 1.6. Вывести из формулы Ампера A.9), что на точечный заряд е,
движущийся в магнитном поле со скоростью v, действует сила Лоренца
¥ = е[уВ]/с. A.13)
13

Рис. 1.10
Рис. 1.11
Закон электромагнитной индукции Фарадея. В 1831 г. вышла
работа английского физика М. Фарадея, в которой он описал
ставший теперь классическим эксперимент, открывший новую
главу электродинамики. В этом эксперименте, обнаружившем
единство и взаимосвязь электрического и магнитного полей, мы
впервые встречаемся с качественно новым объектом — электромаг-
электромагнитным полем.
Фарадей взял железное кольцо с двумя обмотками, в одну
из которых включил гальванометр G, а в другую—источник
тока (рис. 1.10). При замыкании или размыкании ключа К стрелка
гальванометра отклонялась. Токи, появлявшиеся при этом, Фа-
Фарадей назвал индукционными. Их появление он связывал с тем,
что линии магнитной индукции, возникавшие вблизи первичной
обмотки при замыкании ключа К, расширяются, стремясь
заполнить железное кольцо, и при этом пересекают вторичную
обмотку.
В правильности этих заключений Фарадей убедился, выполнив
еще один опыт (рис, 1.11): в металлическом диске, вращающемся
в поле постоянного магнита, также обнаруживаются индукци-
индукционные токи. Много раз повторяя свои опыты в различных
вариантах, Фарадей пришел к выводу, что при всяком пересечении
проводником магнитных линий индукции в последнем появляется
индукционный ток, причем протекший заряд AQ пропорционален
числу пересеченных силовых линий АФ и обратно пропорционален
электрическому сопротивлению проводника i?, т. е.
ЯА<2 = АФ/с. A.14)
Следует отметить, что за несколько лет до Фарадея амери-
американский физик Дж. Генри провел похожие эксперименты
(рис. 1.12,^,6), но, считая, что накопленных фактов еще недо-
недостаточно, не торопился опубликовать свои результаты*.
Сформулированное Фарадеем положение A.14) получило назва-
название закона электромагнитной индукции. Но надо сказать, что
формулировка Фарадея при всей своей общности страдает рядом
* Так, еще в 1829 г. Д. Генри наблюдал явление самоиндукции. См.: М.
Уилсон. Американские ученые и изобретатели. М., 1964.
14

недостатков, затрудняющих ее ^^^^^
использование. Прежде всего Р^^^П
в A.14) смешиваются две сущест- [ ^
венно различные причины, по-
порождающие АФ. Именно: пере-
пересечение проводником магнитных
силовых линий может происхо- РИС \ \2
дйть либо вследствие движения
проводника, либо вследствие изменения магнитного поля. В каж-
каждом из этих двух случаев ЛФ считается по-разному. Наконец,
входящее в A.14) электрическое сопротивление R — совершенно
конкретная характеристика проводящего контура — не позволяет
использовать этот закон для описания процессов в окружающем
пространстве, к чему так стремился сам Фарадей.
Последний недостаток можно исправить, если привлечь от-
открытый в 1827 г. немецким физиком Г. Омом закон, в котором
сопротивление R контура выражается через силу / тока и эле-
электродвижущую силу (э.д.с.) S, равную работе, совершаемой над
единичным зарядом при обходе им замкнутого контура:
R = SIL A.15)
Чтобы исправить первый недостаток, т. е. унифицировать
определение ЛФ, ^ Максвелл ввел связанный с контуром С маг-
магнитный поток
Ф = |(Вп)A5, A.16)
s
где S—натянутая на контур С правоориентированная поверхность
(см. задачу 14 приложения), и предложил отождествить ЛФ
с приращением Ф. В таком случае [если учесть законы A.2)
и A.15)] вместо A.14) получится
с dt
A.17)
Это и есть максвелловская формулировка закона электромаг-
электромагнитной индукции Фарадея.
Задача 1.7. Показать, что формулировки Максвелла и Фарадея закона электрома-
электромагнитной индукции эквивалентны только для четко определенных и топологически
неизменных (односвязных) конту-
контуров. Рассмотреть в качестве при-
примеров опыт Фарадея (см. рис. 1.11)
и опыт с тороидом (рис. 1.13;
тороидальная обмотка с током
охвачена металлическим челноком
D, позволяющим перевести щупы
гальванометра G, не разрывая его
цепи, из точки А в точку В). Каким
будет показание гальванометра? Рис. 1.13
15

Лробод
Рис. 1.14
Рис. 1.15
Заметим, что знак минус в A.17) отражает правило Ленца
A834), устанавливающее направление индукционного тока или
э.д.с. индукции ё. Согласно ему, индукционный ток направлен
так, что противодействует вызвавшей его причине.
Задача 1.8. Вывести правило Ленца из закона сохранения энергии, предположив,
что энергия электромагнитного поля положительна.
Задача 1.9. Объяснить опыт Араго A824), в котором вращающийся медный
диск увлекал подвешенный над ним магнит (рис. 1.14).
При анализе экспериментов с магнитным полем Фарадей
уподоблял магнитные силовые линии тонким и упругим резиновым
шнурам, стремящимся сократиться и одновременно расшириться
в поперечном направлении. Таким образом, по Фарадею, линии
индукции испытывают продольные натяжения и оказывают
поперечное давление на своих соседей. На основе этих представлений
Фарадей установил два правила, которые нашли широкое примене-
применение в электротехнике и известны как правила «мотора» и «динамо».
Чтобы их сформулировать, рассмотрим проводник с током
в магнитном поле Во. Полная магнитная индукция В, очевидно,
В В б
о у ,
складывается из Во и индукции Вх собственно тока, т. е. 8 = 0 ^
Тогда правило «мотора» гласит: проводник с током в магнитном
поле движется в сторону слабейшего поля в его окрестности (из
рис. 1.15 видно, что соответствующая сила обусловлена стремлением
линий индукции «выпрямиться»). Согласно правилу «динамо», ток,
индуцированный в движущемся проводнике, стремится увеличить
индукцию магнитного поля в области, куда движется проводник.
Задача 1.10. Обосновать правила «мотора» и «динамо».
Задача 1.11. Показать, что закон Ампера A.11) следует из закона электромаг-
электромагнитной индукции Фарадея и закона сохранения энергии.
Указание: обнести магнитный заряд вокруг провода с током и рассчитать
работу э.д.с. индукции.
Электромагнитные свойства вещества. До сих пор мы рас-
рассматривали взаимодействие зарядов и токов в вакууме, не
16

учитывая влияния окружающей среды. Однако это влияние весьма
существенно. Чтобы понять поведение вещества в электромагнит-
электромагнитном поле, необходимо принять во внимание его молекулярную
структуру и прежде всего то, что заряды, входящие в его состав,
могут под действием внешних силовых полей либо перемещаться
в пределах одной молекулы, т. е. оставаться связанными, либо
переходить от одной молекулы к другой, т. е. быть свободными.
Обычно свободными являются электроны в металлах и ионы
в электролитах и ионизованных газах. Они-то и вносят основной
вклад в ток проводимости. В случае внешних электрических полей
Е, малых по сравнению с молекулярными полями, ток прово-
проводимости удовлетворительно описывается линейным законом Ома
I=U12IR129 A.18)
где приложенное к образцу между точками 7 и 2 напряжение
£/12 = J(Edl). A.19)
1
Важной характеристикой образца является его проводимость
R1%. Отнесенная к образцу длиной 1 см и площадью поперечного
сечения 1 см2, она называется удельной электрической проводи-
проводимостью или электропроводимостью ст. В общем случае а зависит
от температуры Т, концентрации примесей, напряженности Е поля
и других факторов. По электропроводимости а все вещества
условно делят на три группы: проводники (а>1016с~1), диэлек-
диэлектрики (а<102с~1) и полупроводники A02с~1 <а< Ю^с).
Поскольку диэлектрики имеют относительно низкую элект-
электропроводимость, их поведение в электрическом поле в основном
определяется связанными зарядами. Последние, смещаясь под
действием внешнего поля Ео, созданного, например, конден-
конденсатором, между обкладками которого помещен исследуемый
образец, приводят к поляризации вещества, проявляющейся
в ослаблении напряженности Е поля внутри диэлектрика:
Е0 = еЕ, A.20)
где 8 — диэлектрическая проницаемость вещества.
Зависимость A.20) является очень грубым упрощением, спра-
справедливым лишь для не очень сильных полей и изотропных
сред. Гораздо чаще связь Ео и Е является тензорной и нелинейной
Е\> = гЛ(Е)Ек A.21)
или еще более сложной*.
Для большинства газообразных веществ диэлектрическая про-
проницаемость 8 лишь немного превышает 1 (е- 1 ~ 10~4-н-10~3), но
в жидкостях и кристаллах она может быть весьма значительной
По патцу правила суммирования см. Приложение.
17

(е~102). Особый интерес представляют сегнетоэлектрики, име-
имеющие е~104. Для них характерно наличие областей с чрезвычайно
высокими внутренними полями — доменов. При наложении элек-
электрических полей, превышающих некоторое критическое значение,
может произойти пробой диэлектрика, в результате чего он
превращается в проводник (резко растет а).
Магнитные свойства сред также весьма разнообразны. Вещества,
искажающие приложенное внешнее магнитное поле Во, называются
магнетиками. В отличие от диэлектриков здесь принято выражать
внутреннее поле В образца через внешнее поле Во, т. е.
В = цВ0, A.22)
где (I — магнитная проницаемость вещества (хотя по аналогии
с диэлектриками более естественно было бы назвать так величину
1/ц). Как и A.20), соотношение A.22) является очень грубым
приближением, верным лишь для слабых полей, и в большинстве
случаев должно быть заменено более сложным.
Надо отметить, что всем веществам присущ диамагнитный
эффект, т. е. эффект ослабления поля (для чистых диамагнетиков
\i< 1). Обусловлен он тем, что при включении внешнего магнитного
поля Во в веществе наводятся индукционные токи, которые по
правилу Ленца ослабляют поле. Но эффект этот обычно очень слаб
A — ц~ 10~6ч-10~4), и на него накладываются более сильные,
вызванные молекулярными токами {парамагнетизм). Последние
всегда ориентируются по внешнему полю и усиливают его (для
парамагнетиков |i>l). Для большинства веществ парамагнитный
эффект тоже очень слаб (ц— 1~10~6-^10~4)и существенно зависит
от температуры. Однако имеются вещества с резко выраженной
доменной структурой {ферромагнетики), для которых |i~103
и зависимость В от Во сильно нелинейна. Некоторые из них сочетают
ферромагнитные и диэлектрические свойства (ферродиэлектрики).
Особого внимания заслуживает явление сверхпроводимости,
открытое голландским физиком Г. Камерлинг-Оннесом A911).
Проявляется оно при чрезвычайно низкой температуре у неко-
некоторых металлов и сплавов и состоит не только в полном
исчезновении сопротивления (ст = оо), но и в выталкивании из
образцов магнитного поля {эффект Мейсснера). Тем самым
сверхпроводник ведет себя как идеальный диамагнетик (В = 0
эквивалентно ц = 0). Удивительные свойства сверхпроводников
получили объяснение лишь совсем недавно A957).
§ 2. УСЛОВИЕ МАКРОСКОПИЧНОСТИ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА
Ознакомившись с основными опытными фактами, лежащими
в основе электродинамики, их необходимо, следуя индуктивному
методу, сопоставить друг с другом, проверить взаимную со-
согласованность и установить минимальный набор фундаменталь-
18

ных уравнений, из которых следуют все остальные. По существу,
именно это и было сделано Дж. К. Максвеллом A864).
Но сначала обратим внимание на то, что все опыты
проводились с макроскопическими телами, т. е. с телами,
содержащими большое число заряженных частиц (#~ 1023).
Поэтому и уравнения, которые могут быть выведены из
этих опытов, тоже должны быть макроскопическими. Чтобы
приспособить к новым условиям уже известный математический
аппарат, проще всего положить в его основу понятие
физически бесконечно малого объема А К. Под последним
обычно понимается объем, достаточно малый по сравнению
с объемом V макроскопического объекта, но вместе с тем
содержащий достаточно много частиц, чтобы отношения
типа AQ/AV, где AQ= ]Г е{ — полный заряд внутри А К,
ieAF
мало менялись при изменении AV. Последнее означает,
что характерный размер АК1/3 намного превосходит среднее
расстояние между частицами /. Если ввести характерный
размер макроскопического объекта (L=K1/3),to станет ясно, что
13<^AV<^L3. B.1)
В дальнейшем, называя теорию макроскопической, мы будем
подразумевать, что так введенный масштаб АК1/3 является в ней
минимально возможным, т. е. все рассматриваемые расстояния
Ах превосходят его: Ах^АК1/3.
В макроскопической теории отношение AQ/AV является вполне
определенной функцией точки г (которую естественно считать
центром области А К) и называется плотностью электрического
заряда р (макроскопической). Таким образом,
Р«.Ф»^2>,. B-2)
При этом заряд в произвольной области V равен
B.3)
Введем теперь еще одно важное понятие — плотности элек-
электрического тока j. Для этого рассмотрим площадку AS с нор-
нормалью п (рис. 2.1) и подсчитаем заряд А<2, пересекший ее за
промежуток времени At. Выделим сначала заряды ei9 имеющие
скорости vr, лежащие в некотором интервале /v = (v — Av/2, v+Av/2)
со средней скоростью v. Тогда все такие заряды, находящиеся
в призме с высотой (nv)Ar и основанием AS, пройдут за время
At через площадку AS. Учитывая, что плотность выделенных
19

электрических зарядов равна
1 v-<
Рис. 2.1
находим заряд, пересекший пло-
площадку Л5 за отрезок времени At
со средней скоростью v:
fieAV\
Теперь, чтобы найти полный заряд Ag, достаточно лишь
просуммировать AQy по всем возможным интервалам /v:
B.4)
где введена плотность электрического тока
Из B.4) сила тока сквозь поверхность S равна
/=f(nj)dS. B.6)
S
Запишем теперь закон сохранения электрического заряда A.2)
для некоторого объема К, окруженного замкнутой поверхностью
S (рис. 2.2). В этом случае B.6) и теорема Гаусса — Остроградс-
Остроградского дают
S V
В предположении, что поверхность S не изменяется со
временем, A.2) примет вид
v v v
Так как объем V выбран произвольно, то
dp/dr + divj = O B.7)
(закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме).
Задача 2.1. Показать, что при бесконечно малом смещении зарядов на вектор
5г их плотность р изменяется на
5p=-div(p5r). B.8)
20

Мы уже говорили о делении зарядов
на связанные и свободные. Сохраняя
обозначения р и j для плотностей сво-
свободных зарядов и токов, полные плотно-
плотности, очевидно, можно представить в виде
Иногда* встречается несколько иное деление
зарядов: на собственные (принадлежащие веществу)
и внесенные (или сторонние), причем первые удов-
удовлетворяют условию нейтральности среды
Рис. 2.2
где интеграл берется по всему объему вещества. Мы, однако, не будем
отличать собственные заряды от связанных, т. е. будем полагать рсоб = рсвяз,
хотя такое отличие иногда бывает существенным (например, при описании
ионизованной среды — плазмы). Если же связанные заряды не удовлетворяют
условию нейтральности
JpCMW=0,
B.10)
то избыточный заряд можно условно объявить свободным.
В большинстве электродинамических задач предполагается,
что закон сохранения имеет место как для свободных, так
и для связанных зарядов в отдельности, т. е. исключаются
процессы перехода связанных зарядов в свободные и обратно.
Поэтому разумно принять, что
dpnojIH/3/ + divjnojIH = 0, B.11а)
dpCB*3/3/+divjCB*3 = 0. B.116)
Задача 2.2. Показать, что из условия нейтральности B.10) и закона сохранения
связанного заряда B.116) вытекает следующее представление для связанных
зарядов и токов:
B.12)
B.13)
где введенные поляризованность Р и намагниченность М исчезают вне
вещества**. Выразить через Р и М дипольный р и магнитный m моменты
образца, определяемые следующим образом:
= |рсвязгёК,
B.14)
==- Wc"]dK.
B.15)
* См.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.
1982, Гл. 2.
** Физический смысл векторов Р и М будет выяснен в § 7, 8.
21

В дальнейшем мы изучим сначала наиболее простой случай,
допустив, что распределение зарядов и токов задано, т. е. рполн
и jnojlH суть известные функции t и г. Поскольку здесь не
выделяются связанные заряды, этот случай эквивалентен элек-
электромагнитному полю в вакууме. В последующем мы максимально
приблизим задачу к реальной, приняв, что известно лишь
распределение свободных зарядов и токов, т. е. р и j. Этот
случай является наиболее общим и соответствует рассмотрению
электромагнитного поля в веществе.
§ 3. ЗАКОН КУЛОНА И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Рассмотрим совокупность точечных зарядов eh помещенных
в точках Г;. По закону Кулона, каждый из зарядов ег создает
в окружающем пространстве электрическое поле
() 3 C.1)
где R; = r — г*. Согласно принципу суперпозиции, полная напряжен-
напряженность поля равна
EW-SE.-SiLR,. C.2)
Для перехода к макроскопическому описанию разобьем
все пространство на ячейки AVk с центрами т'к и перепишем
C.2) в виде
С другой стороны [см. B.1)], Rf = r — r^r — гк = ТШк, и поэтому,
вводя, согласно B.2), макроскопическую плотность заряда р(г),
найдем
k l
Заменив суммирование по ячейкам AVk объемным интегралом,
вместо C.2) получим
C.3)
где R = r — r'. Выражения C.2) и C.3) являются исходными для
установления одного из важнейших уравнений электродинамики,
которому подчиняется электрическое поле Е(г). Рассматривая
Е(г) как объективную реальность, мы как бы забываем о силовом
происхождении Е, о лежащем в основе C.2) законе Кулона.
22

Принимая полевую гипотезу, мы
предполагаем объективное сущест-
существование в окружающем простран-
пространстве физической величины Е(г)
независимо от того, помещается ли
в точку г пробный заряд или нет.
Подсчитаем поток поля
Е; сквозь замкнутую поверхность
(рис. 3.1):
Nt = § (nEt)dS.
s
Вводя телесный угол
Рис. 3.1
под которым виден элемент поверхности dS из точки г,-,
заключаем, что
4пе( при г,- е F,
О при г[ёУ,
где V—объем, заключенный внутри S. Поэтому поток полного
поля
i ieV
S
где Q — заключенный внутри поверхности S заряд.
Используя макроскопическое представление о распределенном
заряде, получаем
C.4)
(теорема Гаусса в интегральной форме).
Применяя теорему Гаусса — Остроградского
,f(nE)dS=JdivEdK
S V
и учитывая, что объем V произволен, приходим к дифференци-
дифференциальной форме теоремы Гаусса:
divE = 47tp. C.5)
Будем считать это уравнение справедливым для электромаг-
электромагнитного поля независимо от границ применимости закона Кулона,
23

т. е. не только для статического, но и для зависящего от
времени поля Е.
Выясним теперь, не противоречит ли C.5) уравнению C.3).
Решение этой задачи, как и многих других, значительно облег-
облегчается, если использовать введенную английским физиком
П. А. М. Дираком 5-функцию 5(х).
Это обобщенная функция*, т. е. нельзя говорить о каких-
либо ее значениях, определены лишь интегралы от ее произ-
произведения с какой-либо достаточно «хорошей» (например, непрерыв-
непрерывной) функцией f(x). При этом для любого е>0
+{f{xM{x)dx=f@). C.6)
-8
Трехмерная 5-функция определяется с помощью аналогичного
равенства
j/(rM(r)dF=/@), C.7)
где r 0F
В связи с анализом свойств 5-функции здесь уместно привести определение
5-функции, данное Л. Эйлером. В своей классической работе «Метод нахождения кривых
линий ...», посвященной решению изопериметрической задачи, он приходит к следующей
формуле для вариации функционала 1[у(х)] в окрестности некоторой точки х°:
bi=d\z(y, y')dx=fiy(x-x°)[z;- (z;);]dx,
где &у(х — х°)— «треугольная» функция, график которой имеет вид равнобедрен-
равнобедренного треугольника с основанием dx и высотой a/dx, восставленной в точке х°.
Полагая в пределе dx->0, Эйлер из условия 5/= 0 выводит свое знаменитое
вариационное уравнение Z'y = {Z'y)'x. Нетрудно видеть, что при этом «треугольная»
функция переходит в 5-функцию, т. е.
lim -3y(x-x°) = 3(x-xQ).
Задача 3.1. Выразить 5 (г —а) и 5 (г) через одномерные Ъ-функции в декартовых,
цилиндрических и сферических координатах.
Задача 3.2. Показать, что если функция ф (х) имеет набор однократных
нулей {xt}, то
Задача 3.3. Показать, что справедливо следующее представление для Ъ-функции:
(з-9)
* Истоки теории обобщенных функций относятся к работам Эйлера, Коши
и Пуассона по расходящимся интегралам. Однако строгая теория обобщенных
функций была создана лишь в нашем веке трудами Н. М. Гюнтера A924), С.
Л. Соболева A936) и Л. Шварца A946), двухтомная монография которого
«Теория распределений» A950—1951) подытоживает все эти исследования.
24

его физически можно интерпретировать как плотность точечного заряда.
Убедиться с его помощью, что C.3) является решением уравнения C.5),
удовлетворяющим условию потенциальности
rotE = 0. C.10)
Задача 3.4. Сфера радиуса а заряжена равномерно зарядом Q. Найти
напряженность Е поля вне сферы, внутри нее и на ее поверхности.
§ 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
Для получения основного уравнения, которому подчиняется
индукция магнитного поля, порождаемого постоянными токами j (r),
воспользуемся законом Ампера A.11). Запишем его с учетом B.6):
D.1)
где S—правоориентированная поверхность, натянутая на контур
С. Применяя теорему Стокса, находим
=^ | (nj)dS.
s s
Так как поверхность S произвольна, то
D.2)
(закон Ампера в дифференциальной форме).
Так как закон Ампера является следствием закона Био —
Савара — Лапласа (см. задачу 1.5), то, очевидно, последний как раз
и дает готовое решение уравнения D.2). В самом деле, согласно B.4),
/dl=jdK. D.3)
Поэтому если элемент тока /dl помещен в точке г', то
вместо A.8) имеем
с
где R = r-r'; j'=j(r).
Интегрируя D.4) по всем распределенным токам, находим
£• D-5)
Задача 4.1. Показать, что D.5) есть решение D.2), удовлетворяющее условию
соленоидальности
divB = 0. D.6)
25

Согласно D.6), магнитные заряды в свободном виде не
существуют. В самом деле, взаимодействия электрических и маг-
магнитных зарядов тождественны. Поэтому можно применить те-
теорему Гаусса C.4) и к магнитному полю. Тогда магнитный
поток Ф сквозь замкнутую поверхность S с учетом A.7) равен
D.7)
Отсюда по аналогии с C.5) следует D.6).
Из уравнения D.7), выражающего факт неразделимости маг-
магнитных зарядов противоположных знаков, вытекает, что маг-
магнитные силовые линии всегда замкнуты. В связи с этим можно
считать D.6) справедливым не только для статических, но и для
зависящих от времени магнитных полей В. Что же касается
закона Ампера D.2), то (см. § 6) он нуждается в дальнейшем
обобщении на нестационарный случай.
§ 5. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ФАРАДЕЯ
Найдем теперь дифференциальную форму закона электромагнит-
электромагнитной индукции Фарадея. Для этого воспользуемся формулировкой
Максвелла A.17) и ограничимся случаем неподвижных контуров
(как учесть движение контура, мы установим в § 50). Так как,
по определению, э. д. с. индукции в контуре С равна
E.1)
то, применяя теорему Стокса, преобразуем A.17) к виду
(C(Edl)= f(nrotE)dS= - i [(n^W, E.2)
где S—правоориентированная поверхность, на-
натянутая на контур С. Ввиду произвольности
S из E.2) следует, что
rotE= - - —
с dt
E.3)
Рис. 5.1
(дифференциальная форма закона электромаг-
электромагнитной индукции Фарадея).
Согласно E.3), переменное магнитное поле
В порождает в каждой точке пространства
вихревое электрическое поле Е (рис. 5.1) с от-
отличной от нуля циркуляцией E.1) (в проти-
26

воположность потенциальному электростатическому полю, для
которого $ = 0, так как rotE = 0). Взаимосвязь электрического
и магнитного полей, выражаемая уравнением E.3), позволяет
рассматривать их как различные проявления единого электромаг-
электромагнитного поля.
Задача 5.1. Показать, что уравнение D.6) можно рассматривать как начальное
условие, которому удовлетворяет магнитная индукция В.
§ 6. ТОК СМЕЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ
Уравнение D.2) не может быть справедливым в нестационарном
случае, поскольку из него следует, что divj = O, тогда как,
согласно B.7),
divj= —dp/dt.
Противоречие исчезает только в стационарном пределе, когда
dp/dt = O. Поэтому уравнение D.2) необходимо обобщить, добавив
справа некоторый вектор, исчезающий в стационарном случае,
т. е. вектор вида dC/dt, названный Максвеллом током смещения:
7(¥J FЛ)
Учитывая B.7), получаем
f )= -divj =
или, согласно C.5),
Лу( ¥~*Г F-2)
Самым общим решением F.2) будет 4n(dC/dt) = /
где а — произвольный вектор. Простейшее предположение rota = 0,
сделанное Максвеллом, было обосновано им, пожалуй, лишь
соображениями эстетического порядка*. В самом деле, в этом
случае появляется некоторая симметрия основных уравнений,
поскольку уравнение F.1) приобретает вид
rotB = c^7 + 7J <6'3>
и внешне (при j = 0) становится похожим на уравнение E.3). Конечно,
справедливость уравнения F.3) в конце концов обосновывается
экспериментальным подтверждением вытекающих из него следствий.
* Памятная надпись, сделанная Дираком 3 октября 1956 г. на стене кабинета
теоретической физики Московского государственного университета, гласит:
«Physical law should have mathematical beauty», что означает: «Физический закон
должен быть математически изящным».
27

Итак, естественно сделать предположение, что в простейшем
случае, когда электромагнитное поле возбуждается в вакууме
заданными зарядами и токами, уравнениями для определения
поля являются C.5), D.6), E.3) и F.3). Эта гипотеза была
выдвинута Максвеллом, и вытекающие из нее следствия оказались
в блестящем согласии с опытом. Система уравнений
+ о 1 дЕ 4я. _ , 1 дВ Л
rotB--— =—j, rotE+-— = 0,
с дг с A) с dt (П) F 4)
divE = 47tp, divB = 0
называется уравнениями Максвелла для электромагнитного поля
в вакууме при наличии заданных зарядов и токов. Уравнения,
содержащие источники р и j, обычно называют первой группой
уравнений Максвелла, а уравнения, не содержащие р и j,— второй
группой.
Задача 6.1. Убедиться в непротиворечивости системы F.4), доказав, что
уравнение C.5) можно рассматривать как начальное условие на поле Е.
Систему уравнений F.4) можно записать и в интегральной форме,
если воспользоваться теоремами Стокса и Гаусса — Остроградского:
F.5)
(nB)dS=O.
с s s
Выписанные уравнения выражают соответственно обобщенный
закон Ампера, теорему Гаусса, закон электромагнитной индукции
Фарадея и отсутствие магнитных зарядов*.
Задача 6.2. Доказать следующие теоремы Дж. Дж. Томсона: 1) если
электромагнитное поле порождается системой зарядов, движущихся с посто-
постоянной скоростью v<c, то
B = -[vE]; F.6)
с
2) если электромагнитное поле порождается системой постоянных токов,
движущихся с постоянной скоростью v<c, то
E = i[Bv]. F.7)
Задача 6.3. В 1949 г. итальянский физик Э. Ферми предложил теорию
ускорения космических лучей, предположив, что причиной ускорения заряжен-
заряженных частиц может быть их взаимодействие с блуждающими магнитными
* Поверхность S в F.5) предполагается не изменяющейся со временем.
28

«облаками», т. е. гигантскими скоплениями межзвездного газа, пронизанного
магнитным полем. Обосновать механизм ускорения Ферми, пользуясь F.7).
§ 7. ДИЭЛЕКТРИКИ. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Переходя к наиболее общему случаю — описанию электромагнит-
электромагнитного поля в веществе, мы сразу же сталкиваемся с серьезными
трудностями. Сложность проблемы обусловлена тем, что, рассма-
рассматривая реальное вещество, мы имеем дело с громадным количе-
количеством заряженных частиц, движение которых невозможно точно
описать. Чтобы продвинуться в решении вопроса, приходится
строить определенные модели вещества, делая при этом упроща-
упрощающие предположения о поведении составляющих его частиц.
В первую очередь нас будет интересовать поведение в эле-
электромагнитном поле связанных зарядов и токов. В этом от- •
ношении наиболее просты в описании идеальные диэлектрики
и магнетики.
Диэлектрик, как и любая другая макроскопическая среда,
состоит из совокупности тесно связанных между собой поло-
положительных и отрицательных зарядов. В среднем диэлектрик
электрически нейтрален, но иод действием пронизывающего его
электрического поля Е положительные и отрицательные заряды
смещаются в противоположные стороны, т. е. происходит по-
поляризация вещества. Пользуясь только условием нейтральности,
можно установить (см. задачу 2.2), что возникшая при этом
плотность связанного заряда рсвяз допускает представление
где поляризованность Р исчезает вне вещества. Попытаемся
выяснить физический смысл вектора Р.
Так как под действием поля Е в каждой молекуле происходит
смещение положительных зарядов et+ относительно отрицатель-
отрицательных е[~ = — е?, то молекулы поляризо-
поляризованного диэлектрика можно рассматри-
рассматривать как электрические диполи с диполь-
ными моментами Vt = et^h гДе
qf — смещение зарядов в молекуле
(рис. 7.1). Сам же поляризованный ди-
диэлектрик макроскопически удобно пред-
представлять себе как совокупность двух
взаимопроникающих сред, состоящих со-
соответственно из положительных и от-
отрицательных зарядов и смещенных одна
относительно другой в каждой точке на
некоторый вектор q(r). Если при q = 0
заряды компенсируют друг друга и ре-
результирующая плотность заряда равна Рис. 7.1
29

нулю, то при q#0 в неоднородном диэлектрике
может появиться плотность связанного заряда
Заметим, что смещение q имеет порядок
размера молекул и поэтому в макроскопической
теории, где |q|<^cAF1/3, может считаться бес-
бесконечно малым. В связи с этим результирующая
плотность заряда рР, возникающая вследствие
смещения положительно заряженной среды на
Рис. 7.2 вектор q + , а отрицательно заряженной — на
вектор q~, может быть найдена из формулы B.8). Полагая
в ней соответственно 5r = q± и р = р±, получаем 5р±= — div(p±q±).
Таким образом,
P/> = 5p++5p- = -div(p+q+ + p-q-)=-divP, G.2)
откуда с учетом приближенного равенства р+^—р~ найдем (с
точностью до ротора произвольного вектора)
P = pV + p-q-*p+(q+-q-) = p4 G.3)
Несмотря на малость q, вектор Р далеко не мал из-за
чрезвычайно высокой плотности р+%—р~.
Заметим, что формула G.2) допускает следующую очень
наглядную иллюстрацию. Предположим, что смещение положи-
положительно заряженной среды* на вектор q+=q произошло в не-
некотором объеме V (рис. 7.2). Тогда ясно, что в этом объеме
возникает заряд Q, равный убыли положительного заряда:
S V
что в точности соответствует G.2).
Задача 7.1. Сопоставив G.2) с B.8) и B.7), показать, что вектор q может
быть представлен в виде
где суммирование ведется только по положительным зарядам.
С помощью G.4) и G.3) приведем поляризованность к виду
* Заметим, что в реальном диэлектрике смещаются электроны, т. е. «от-
«отрицательно заряженная среда».
30

что позволяет интерпретировать ее как среднюю (макроскопичес-
(макроскопическую) плотность дипольного момента вещества. Заметим, что
только на основании условия нейтральности B.10) дать такую
интерпретацию вектору Р еще было нельзя (см. задачу 2.2).
Очевидно, что электрическое поле Е создается как свободными,
так и связанными зарядами. Поэтому внутри диэлектрика
уравнение C.5) должно быть записано в виде
или с учетом G.1)
Вводя обозначение
D ее Е + 4тгР, G.6)
получаем
G.7)
где D — электрическая индукция. Она может быть интерпрети-
интерпретирована как напряженность электрического поля, которое создавали
бы свободные заряды плотностью р в вакууме.
В общем случае поляризованность Р может очень сложно зависеть
от напряженности Е поля. Однако для большинства диэлектриков при
не слишком большой напряженности эта зависимость линейная.
В самом простом случае изотропного диэлектрика
Р = хЕ, G.8)
где х— коэффициент поляризации вещества, или диэлектрическая
восприимчивость. С учетом G.8)
В = A+4тгх)Е = 8Е, G.9)
где 8=1+4ях—диэлектрическая проницаемость. Нетрудно видеть,
что это определение 8 согласуется с A.20). В самом деле, для всех
простейших диэлектриков х>0. Поэтому 8>1 и D>E. Согласно
G.7), поле D, создаваемое точечным зарядом е, совпадает с полем Е,
создаваемым тем же зарядом в вакууме [см. A.4)]. Следовательно,
напряженность поля, создаваемого зарядом е в диэлектрике, в 8 раз
меньше напряженности поля, создаваемого тем же зарядом
в вакууме. Поэтому закон Кулона в диэлектрической среде имеет вид
г3). G.10)
§ 8. МАГНЕТИКИ. НАМАГНИЧЕННОСТЬ
Магнетик, или намагничивающуюся среду, удобно описывать
как совокупность элементарных внутримолекулярных токов
31

Рис. 8.1
Рис. 8.2
(гипотеза Ампера), часто называемых токами намагничения*.
Так как каждый молекулярный ток замкнут, то эффективно
его можно представить в виде линейного тока /,-, охватывающего
некоторую площадку St (рис. 8.1) с геометрическим моментом
В таком случае магнитный момент молекулярного тока
Ii9 по определению, равен
т( = 1&/с. (8.1)
Задача 8.1. Показать, что формула (8.1) согласуется с определением
магнитного момента B.15).
Макроскопически каждую точку магнетика можно харак-
характеризовать намагниченностью
г 1 у
У ieAV
Е^
ieAV
(8.2)
равной, очевидно, средней плотности магнитного момента в среде.
Для выяснения роли, которую играет этот вектор в описании
магнетиков, удобно воспользоваться моделью двух сред. Иначе
говоря, по аналогии с диэлектриком будем рассматривать магнетик
как наложение противоположно направленных распределенных токов
j+ и j", компенсирующих друг друга при отсутствии намагничения.
Эти токи можно представить себе в виде стационарных потоков двух
сред, заряженных соответственно положительно и отрицательно. При
намагничивании (например, под влиянием внешнего поля Во) токи j+
и j" сместятся в каждой точке друг относительно друга на
некоторый вектор q, в результате чего появится полный ток / через
поверхность 5, натянутую на некоторый контур С.
* Эти токи обусловлены как движением электронов вокруг ядер в атомах,
так и собственным вращением электронов (спиновый магнетизм).
32

В самом деле, элемент dl контура С опишет при смещении
на вектор q площадку udS = [qdl] (рис. 8.2). Но |q| имеет порядок
размера молекулы и в макроскопической теории может считаться
бесконечно малым. Поэтому убыль потока j+ через S, которая
и определяет ток /, равна
(8.3)
Воспользовавшись теоремой Стокса, приведем (8.3) к виду
/=J(njM)dS,
S
где
— плотность тока намагничения. Пользуясь модельной формулой
(8.4), можно уже сравнительно просто показать, что
(8.4)
улой
(8.5)
Для этого по аналогии с представлением
AV
введем сначала плотность ]t молекулярных токов, т. е. положим
ieAV
AV
После этого введем смещения qt «положительных» молекуляр-
молекулярных токов с плотностью ^ относительно «отрицательных»
ji~ и применим (8.4) для вычисления jM. Тогда М в (8.5) имеет
вид (с точностью до градиента произвольного скаляра)
AV
или [см. D.3)]
(8.6)
Рис. 8.3
2 Зак 378
33

Предположим, что контур Ct+ получается смещением из
С Г (рис. 8.3). Тогда, поскольку геометрический момент замкнутой
поверхности равен нулю, т. е.
находим
§ [4idl]= J n+dS+ J nrdS^S^
С s,+ st
Поэтому (8.6) с учетом равенства /*=/Г=Л примет вид
что совпадает с (8.2).
Задача 8.2. Показать, что плотность тока намагничения (8.5) не дает
вклада в полный ток через какое-либо сечение образца.
§ 9. УЧЕТ ТОКОВ НАМАГНИЧЕНИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИИ
Если воспользоваться представлением B.13) для плотности связан-
связанных токов jCB*3, то видно, что
fMS=Jp+JM, (9-1)
где jM = crotM — плотность тока намагничения, a jP — допол-
дополнительная плотность тока, названная плотностью тока поляри-
поляризации:
]P = dP/dt. (9.2)
Физический смысл этого тока проясняется, если восполь-
воспользоваться представлением G.5) для вектора Р:
=J_ у ^=_L у е + ^
*rthv* ^hvl dt'
Очевидно, что плотность jP тока связана с изменением
относительного расположения зарядов в молекулах, чем и обус-
обусловлено ее название.
Если имеется намагниченная и поляризованная среда, то
в уравнении F.3), содержащем плотность тока jnojm, необходимо
учесть токи намагничения и поляризации. Очевидно, это уравнение
следует записать в виде
34

Используя (8.5) и (9.2), получаем
rot(B-4rcM) - I|(e + 4tcP) = ^j. (9.3)
Вводя обозначение
Н = В-4тгМ (9.4)
и замечая, что [см. G.6)] E + 47cP = D, приводим уравнение
(9.3) к виду
TOtH--cJF=->> (9'5)
где Н — вектор напряженности магнитного поля.
Отметим, что в общем случае намагниченность М весьма сложно
зависит от магнитной индукции В. Это хорошо видно на примере
ферромагнетиков. Однако существуют и такие магнетики, у которых
для не очень сильных полей намагниченность пропорциональна
магнитной индукции В. К ним относится большинство диамагнетиков
и парамагнетиков. Для них можно положить М = аВ, т. е. [см. (9.4)]
Н = A-4тса)В = В/|1,
где 1/A=1— 4яа. Эти линейные зависимости можно записать
в виде
М = ХН, (9.6)
) = цН, (9.7)
где х = ац = (ц)/() A)/()
Исторически первоначально магнитное поле вводилось посред-
посредством закона Кулона для фиктивных магнитных зарядов, поэтому
% названа магнитной восприимчивостью, а \х — магнитной проница-
проницаемостью*.
Как мы уже отмечали, существует два вида простейших
магнетиков: диамагнетики и парамагнетики. Для диамагнетиков
0<|1<1, т.е. — 1/Dя)<х<0 (а<0), а для парамагнетиков ц>1,
т. е. х>0 (а>0).
§ 10. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ
Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля
в среде в виде
(i) c5t (П) (юл)
divB = 0,
* Однако ясно, что логичнее было бы, по аналогии с х и 8 для диэлектриков,
назвать так соответственно —а и 1/ц, так как вектор В, а не Н, служит для
непосредственного описания магнитного поля.
2* 35

причем
D = E + 4ttP, Н = В-4тгМ, A0.2)
где Р и М зависят от Е и В.
Для простейшего, но широко распространенного класса диэлектри-
диэлектриков и магнетиков Р и М пропорциональны Е и В. Для таких веществ
D = eE, В = цН, A0.3)
где 8 и ц, вообще говоря, суть функции координат и времени.
Система уравнений A0.1), A0.3) является уравнениями Ма-
Максвелла в том виде, как они первоначально были сфор-
сформулированы. Решая эту систему при заданных р, j и 8,
ц, можно определить Е, D, В и Н. В интегральной форме
эта система переписывается так:
CSS
(t(Edl) +Х-~ Г(nB)dS=0, A0.4)
с s
(j)(nD)d5=47c pdF, (j)(iiB)dS=O,
S V S
причем правоориентированная поверхность S, натянутая на контур
С, считается не зависящей от времени.
§ 11. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
В макроскопической физике и в инженерной электро- и радиотехни-
радиотехнической практике токи создаются в проводниках под действием поля
Е и сторонних э. д. с, характеризуемых некоторой напряженностью
£стоР Сторонними называются силы, отличные от сил, действующих
на заряды в электромагнитном поле, но способные перемещать
заряды и создавать токи. Сторонние силы могут быть химического,
диффузионного, механического и другого происхождения. Возникают
они при наличии градиента плотности, температуры и вследствие
других факторов. Сторонние силы действуют, например, в галь-
гальванических элементах, аккумуляторах, термопарах и т. п.
В широком классе проводников сила тока / пропорциональна
напряжению С/12, т. е. справедлив линейный закон Ома A.18).
Однако при наличии сторонних э. д. с. этот закон должен быть
обобщен и заменен законом Кирхгофа для участка цепи*:
* Как и в A0.4), проводник в A1.1) считается неподвижным.
36

где, по аналогии с A.19),
t/12 = |(Edl), <f12 = f(ECT°Ml). A1.2)
1 1
При вычислении интегралов в A1.2) пред-
предполагается, что они мало меняются при
изменении положений точек 7, 2, взятых
где-то на поперечных сечениях проводника
Slj2 (рис. 11.1). Поэтому закон A1.1) справед-
справедлив только для квазилинейных проводников, Рис- И-1
для которых можно пренебречь поперечными размерами по
сравнению с продольными, т. е. y/Slt2 ^hi- Тогда, выбрав
бесконечно малый участок проводника 112, имеем
S
Так как j||n||dl, то из A1.1) и A1.2) выводим, что
j = a(E + ECTOp) A1.3)
(дифференциальный закон Ома).
Здесь мы воспользовались определением электропроводимости
а, согласно которому для цилиндрических проводников
i?12 = /i2/(cr5'). В случае анизотропных сред вместо а следует
писать тензор электропроводимости а, т. е. полагать
Г = о1к(Ек + ЕГр). (П.4)
Следует отметить, что, хотя закон Кирхгофа A1.1) верен
лишь для стационарных токов, не зависящих от времени,
соотношение A1.3) часто обобщают и на нестационарный случай.
Задача 11.1. Показать, что для квазилинейных проводников сопротивление
участка может выть вычислено по формуле
где S(r) — площадь поперечного сечения, всюду нормального к линиям тока.
Получить аналогичную формулу для анизотропных проводников.
Добавляя A1.3) к уравнениям A0.1) и A0.3), получаем систему
уравнений, позволяющую вычислять Е и В, если заданы сторонние
э. д. с. и распределение зарядов на отдельных элементах рас-
рассматриваемой системы проводников, диэлектриков и магнетиков.
Следует, однако, вновь отметить, что линейный закон A1.3)
и соотношения A0.3) справедливы лишь для узкого, хотя и весьма
распространенного, класса проводников, диэлектриков и маг-
магнетиков. В более общем случае все эти «законы» не верны
и должны быть заменены более сложными функциональными
связями.
37

§ 12. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
До сих пор предполагалось, что 8, ц, а являются произвольными
функциями / и г. Однако, как правило, они оказываются
кусочно-непрерывными функциями координат, т. е. претерпевают
разрывы на некоторых границах раздела. Обусловлено это тем,
что применяемые на практике технические устройства включают
в себя элементы, обладающие различными 8, ц, а.
В связи с этим можно получить решение уравнений Максвелла
лишь в отдельных областях пространства, где коэффициенты е,
ц, а непрерывны. Полученное таким образом общее решение
системы дифференциальных уравнений содержит некоторые произ-
произвольные функции. Чтобы их определить и получить решение
для всей совокупности областей, необходимо наложить граничные
условия, или, как говорят, «сшить» решения на границах областей.
Эти условия «сшивания», налагаемые на векторы Е, D, В,
Н, легко вывести, используя интегральную форму уравнений
Максвелла A0.4). В самом деле, применять в пограничной
области уравнения в дифференциальной форме нельзя, так как
поля на границе могут терпеть разрывы, поэтому пространст-
пространственные производные от них могут не существовать. Однако
уравнения в интегральной форме, безусловно, должны выпол-
выполняться, так как они являются непосредственным следствием
экспериментальных фактов.
Используем, например, интегральную теорему Гаусса C.4)
в применении к вектору D [см. A0.4)]. В качестве объема
V возьмем бесконечно малый цилиндр с основанием S и высотой
/*, верхний и нижний торцы которого лежат соответственно
в диэлектриках 2 и 7 (рис. 12.1). Так как цилиндр мал, то
уравнение
запишется в виде
(nD2)S- (D
где п — нормаль к поверхности раздела, /—длина окружности
основания, <£>> — среднее значе-
значение нормальной к боковой по-
поверхности составляющей D.
Пусть h -► 0 при фиксирован-
фиксированном S. При вычислении предела
учтем, что D всюду ограничено,
так что слагаемое <7)>/Л исчеза-
исчезает. Однако в пограничной об-
области могут существовать столь
Рис 121 большие скопления заряда, что
38

даже в пределе А -► 0 заряд внутри
цилиндра на элементе dS граничной
поверхности может быть отличным
от нуля и равным
A2.1)
где г\—поверхностная плотность эле-
ктрического заряда. Окончательно при А
Рис- 12-2
0 имеем
()) A2.2)
Следовательно, нормальная составляющая вектора электричес-
электрической индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух
диэлектриков только в том случае, когда на последней нет
свободного поверхностного заряда. При наличии же поверхност-
поверхностного заряда нормальная составляющая D изменяется на границе
скачком на 4пц.
Аналогично получаются граничные условия и для вектора
магнитной индукции В. Согласно последнему из уравнений A0.4),
откуда
(^-(пВ^О, A2.3)
т. е. нормальная составляющая вектора магнитной индукции не
имеет разрыва на поверхности раздела двух магнетиков.
Применим первое из интегральных уравнений Максвелла A0.4)
к контуру С (рис. 12.2), получающемуся при рассечении цилиндра
(рис. 12.1) вдоль нормали п:
где k=[nt]; т — единичный вектор, касательный к поверхности
раздела. Пусть теперь А -> 0 при малом фиксированном /. Тогда
Примем во внимание конечность Н и дТУ/dt, а также то,
что в пограничной области могут протекать столь большие
токи, что даже в пределе А -► 0 сила тока, протекающего сквозь
контур С на участке d/ поверхности раздела, может быть
отлична от нуля и равна
d/= lim (kj) Ad/=(ki) d/.
h —* 0
A2.4)
39

Вектор i называется в таких случаях плотностью поверх-
поверхностного тока. В результате имеем
(тН2)-(тН1) = 4тс(к1)/с. A2.5)
Подставив т=[кп] в A2.5), найдем, ввиду произвольной
ориентации к в касательной плоскости,
[пН2]-[пН1] = 4га/с. A2.6)
Таким образом, касательная проекция [пН] вектора напряженно-
напряженности магнитного поля непрерывна на границе раздела двух сред, если
отсутствует поверхностный ток проводимости. При наличии же
последнего она испытывает на границе раздела скачок, равный 4т/с.
Аналогично выводится граничное условие для касательной
проекции вектора напряженности электрического поля. Оно
следует из второго уравнения A0.4) и имеет вид
[пЕ2]-[пЕ1] = 0, A2.7)
т. е. касательная проекция вектора напряженности электрического
поля не имеет разрыва на поверхности раздела двух сред.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред
с различными 8 и \i имеют вид
= 4тсл, [пЕ2]-[пЕ1] = 0;
A2.8)
[nH2] - [nHij^i, (nB2) - (пВ1) = 0.
§ 13. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ
Рассмотрим макроскопический элементарный объем dF, которому
соответствуют некоторый распределенный свободный электричес-
электрический заряд dQ = pdV и элемент тока /dl=jdF. Тогда, согласно
закону Кулона и формуле Ампера A.9), на этот объем в эле-
электромагнитном поле будет действовать сила
W A3.1)
что позволяет ввести плотность силы f=dF/dF, действующей
на распределенные заряды и токи:
f=pE+I[jB]. 03.2)
Естественным следствием A3.2) (см. задачу 1.8) является
выражение для силы, действующей в электромагнитном поле
на отдельный точечный заряд е и получившей название силы
Лоренца:
40

A3.3)
По аналогии, выражение A3.2) называется плотностью силы
Лоренца в электромагнитном поле.
Задача 13.1. Показать, что при отсутствии вещества плотность силы
Лоренца может быть приведена к виду
f=-dg/dt + divt, A3.4)
или в компонентах
где
8 = [ЕВ]/Dяс), A3.5а)
Т — тензор натяжений Максвелла, имеющий компоненты
Tik = — \ Е1Ек + В*Вк--(Е2 + В2)&к\. A3.56)
4я|_ 2 J
Для выяснения физического смысла g и Т1к воспользуемся законом сохранения
импульса и покажем, что электромагнитному полю необходимо приписать
механический импульс. Пусть источники электромагнитного поля, т. е. свободные
заряды и токи, сосредоточены в некотором объеме F, окруженном неподвижной
поверхностью S, и обладают механическим импульсом Р. Если через G обозначить
импульс электромагнитного поля в том же объеме, то ясно, что суммарный
импульс системы «поле + источники» может измениться лишь в результате
перетекания импульса электромагнитного поля через поверхность S. Поэтому
можно записать
A3.6)
где ^ — плотность потока импульса электромагнитного поля в /-м направлении.
В то же время, по второму закону динамики, сила, действующая на
источники со стороны электромагнитного поля, равна
или с учетом A3.4)
F=-^ lgdF+ IdivfdF
Преобразуя последний интеграл к поверхностному с помощью теоремы
Гаусса — Остроградского BП.6), находим
41

Сравнение этой формулы с A3.6) показывает, что
G= gdK=-M[EB]dF, A3.7)
V V
т. е. g—плотность импульса электромагнитного поля, а — Т1к — плотность потока
к-й компоненты импульса электромагнитного поля в г-м направлении.
При рассмотрении электромагнитного поля в среде необ-
необходимо учитывать еще и силы, действующие на связанные
заряды и токи. Однако их уже нельзя рассчитывать по формуле
A3.2). В самом деле, макроскопическую плотность силы Лоренца
естественно определить (см. § 2) как
где Ei9 В; характеризуют электромагнитное поле в точке нахождения
/-го заряда за вычетом его собственного поля. В случае свободных
зарядов, распределение которых мало меняется в пределах AV,
можно заменить Ef, Bf на их средние (макроскопические) значения Е,
В, так что из A3.8) с учетом B.2) и B.5) сразу вытекает A3.2).
Однако в случае связанных зарядов их распределение существенно
меняется уже в пределах одной поляризованной молекулы, так что
подобную замену сделать нельзя и, следовательно,
fCM3#pCB"E+[jCM3B]/c. A3.9)
Если обобщить соотношение A3.4), выражающее закон со-
сохранения импульса, на случай электромагнитного поля в среде,
т. е. положить
f nonH = f+f свя3= _3y/3f+div®, A3.10)
то, согласно A3.9), выражения для у и 0 будут уже отличаться
от A3.5). Чтобы найти соответствующие изменения, необходимо
вычислить fсвяз, т. е. плотность сил, действующих в электромаг-
электромагнитном поле на электрические и магнитные дипольные моменты
молекул. Но даже и в этом случае у и 0, так же как g и Т,
еще нельзя определить однозначно.
Задача 13.2. Воспользовавшись законом сохранения момента импульса, пока-
показать, что тензор натяжений 0 должен быть симметричным, т. е. 0lfc = 0*'.
Задача 13.3. Рассчитать подъемную силу постоянного магнита, использовав
тензор натяжений Максвелла.
§ 14. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Выясним теперь, как формулируется в электродинамике один
из важнейших физических законов — закон сохранения энергии,
и покажем, что электромагнитному полю, как и всякому другому
материальному объекту, можно приписать энергию.
42

Рассмотрим электромагнитное поле в системе, состоящей из
неподвижных проводников, диэлектриков и магнетиков, т. е.
в среде, характеризуемой определенным образом распределен-
распределенными и не зависящими от времени а (г), 8 (г) и ц(г) или же
соответствующими тензорами а (г), 8 (г) и Д(г) в анизотропной
среде. Под действием силы A3.3) заряды в проводниках перемеща-
перемещаются и за 1 с поле совершает над каждым из них работу
(Ffvf). Плотность мощности, затрачиваемой на перемещение
свободных зарядов, равна
А V ieAV A
т. е. работа совершается только электрическим полем.
Задача 14.1. Как понять, что магнитное поле В может совершить работу
над проводом с током или над железным шариком и в то же время не
может изменить энергию отдельного заряда?
В стационарной системе по закону сохранения энергии совер-
совершаемая полем работа будет рассеиваться в виде теплоты, т. е.
выражение A4.1) должно представлять собой плотность выделя-
выделяемой тепловой мощности q. Так как рассматриваются свободные
заряды, то (см. § 13) можно заменить в A4.1) Ег на его
макроскопическое значение Е. Тогда с учетом B.5) найдем, что
A4.2)
Если же проводники подчиняются закону Ома, то
д = Щ = оЕ2=]2/а. A4.3)
Это дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца, опре-
определяющего плотность тепловой мощности, выделяемой в про-
проводящей среде*.
Общее количество теплоты, выделяемое во всем объеме
проводников за 1 с, равно
) A4.4)
V
Преобразуем теперь (jE), используя уравнения Максвелла
A0.1):
Учитывая, что (ЕrotН) = (НrotЕ) — div [EH], и используя урав-
В присутствии сторонних сил, очевидно.
43

нения второй группы A0.1), получаем
Ф4 A45)
Если выполняется простейшая линейная связь D = eE, В = цН,
где 8, [i не зависят от времени (неподвижная среда), то A4.5)
преобразуется к виду
t — divS, A4.6)
где w=l[(ED)+(BH)], S = £[EH]. A4.7)
Подставляя A4.6) в A4.4), с учетом независимости поверхности
S от времени находим
р= _ A LdF-(j)(nS)dS. A4.8)
d/J Г
V S
Последнее соотношение позволяет раскрыть физический смысл
w и S. В самом деле, так как левая часть A4.8) представляет
собой работу за одну секунду, совершаемую электромагнитным
полем в объеме V над свободными зарядами, то, очевидно,
правая часть A4.8) в соответствии с общим законом сохранения
энергии должна быть связана с убылью энергии электромагнит-
электромагнитного поля в объеме V или с притоком ее к этому объему.
В частности, если рассмотреть стационарный процесс, когда
dw/dt = 0, то энергия электромагнитного поля в объеме V не
изменяется и джоулевы потери компенсируются притоком эле-
электромагнитной энергии извне. Таким образом, мы убеждаемся,
что вектор S имеет смысл плотности потока электромагнитной
энергии в среде.
В другом частном случае, когда система не излучает
и ^(nS)d5 = 0, выделение джоулева тепла связано с убылью
s
энергии электромагнитного поля в объеме V. Таким образом,
w может быть интерпретирована как плотность энергии элек-
электромагнитного поля в среде*.
Теорема A4.6) впервые была доказана английским физиком
Дж. Пойнтингом в 1884 г. и называется теоремой Пойнтинга,
a S — вектором Пойнтинга. Следует отметить, что теорема
Пойнтинга является частным случаем более общей теоремы,
* При этом очевидно, что только часть энергии w следует отнести собственно
к электромагнитному полю, другая же часть ее запасается средой в виде энергии
связанных зарядов и токов. Аналогичное замечание в общем случае справедливо
и для вектора S.
44

доказанной русским ученым Н. А. Умовым в 1874 г., т. е. раньше
Пойнтинга, для любого вида энергии, распределенной в простран-
пространстве с некоторой плотностью w. Умов впервые ввел в науку
понятие плотности потока энергии S. В том случае, когда
теплота не выделяется,
<9w/3f + divS = O, A4.9)
т. е. энергия ведет себя подобно распределенной субстанции,
способной вытекать и втекать в заданный объем сквозь окру-
окружающую его поверхность. Введенный Умовым вектор плотности
потока энергии получил название вектора Умова. Поэтому вектор
Пойнтинга для плотности потока электромагнитной энергии
часто называют еще и вектором Умова — Пойнтинга.
Задача 14.2. Сформулировать теорему Пойнтинга при наличии сторонних э.д.с.
§ 15. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
Мы употребляли до сих пор абсолютную (гауссову) систему
единиц СГС, основными механическими единицами которой
являются сантиметр, грамм и секунда, а единица количества
электричества определяется из закона Кулона A.3). Но главным
в системе Гаусса является форма записи уравнений электромаг-
электромагнитного поля и выражения для силы, действующей на заряд:
rotH— =—1, divD = 47ip,
с dt с
-^ = 0, divB = O, A5.1)
с dt
где с = 2,99792458 • 1010 см/с. Преимуществом этой системы яв-
является то, что уравнения имеют симметричный вид и содержат
лишь одну размерную постоянную с, имеющую физический
смысл скорости света в пустоте, и один безразмерный множитель
4тс. Кроме того, в вакууме е = ц=1 и векторы индукций
и напряженностей не различаются, что имеет простой физический
смысл.
Хевисайд и Лоренц пользовались «рационализированной»
системой Гаусса, в которой единицы количества электричества
и силы тока выбраны так, что в основных уравнениях не
содержится безразмерный коэффициент 4тс. В системе Хевисайда —
Лоренца уравнения поля и выражение для силы имеют вид
rotH—-t-=-J, divD = p,
с dt с
45

rotE+i—=0 divB = 0,
с dt
A5.2)
= E+P = eE, В =
причем для вакуума 8 = ц = 1.
Эта система отличается от системы Гаусса лишь тем, что в законы
взаимодействия зарядов и токов входит множитель 1/Dтс) [к примеру,
закон Кулона имеет вид F12 = e1e2/Dnr2)] и поэтому единица заряда
в у/4п раз меньше, чем в системе Гаусса. Соответственно единицы
напряженностей полей в у/4п раз больше, так как сила, действующая
на заряд в поле, имеет одинаковый вид в обеих системах.
В последнее время в электро- и радиотехнике используется
рационализированная система МКС А. В ней, как видно из
названия, используются основные единицы — метр, килограмм,
секунда и ампер и, кроме того, из уравнений изгоняется
коэффициент 4тс (как это делали Хевисайд и Лоренц). Однако
главное отличие этой системы состоит в том, что в уравнениях
Максвелла отсутствует множитель с, но при этом для вакуума
выбираются отличные от единицы £ и ц, т. е. векторы напряжен-
напряженностей и индукций различаются между собой. В качестве единиц
количества электричества, силы тока и напряжения выбираются
соответственно кулон, ампер и вольт (так как они взаимоза-
взаимозависимы, то достаточно выбрать лишь одну из этих единиц,
например кулон).
Вместо A5.1) в рационализированной системе МКСА имеем:
rotH-^=j, divD = p, rotE+? = 0, divB = 0,
dt dt
A5.3)
Чтобы выразить Е, D, В, Н, j, p через соответствующие
величины Ег, Dr, Br, Hr, jr, pr в системе Гаусса, т. е. найти
коэффициенты в уравнениях
где т — масса заряженной частицы, перепишем A5.1) в новых
единицах и приведем к виду A5.3), выбрав для этого соответ-
соответствующие коэффициенты э, d, Ъ, h и считая, что i?=102; М=103;
6 = 2 997 924 580.
46

Уравнения первой группы для вакуума в новых единицах
примут вид
ddD 4n Q .
с dt с R2*'
^-2p, сП) = эЕ, A5.4)
R
ш=ьв> f-s
Чтобы A5.4) было эквивалентно A5.3), необходимо положить:
ch/d=l, R2d/DnQ)=U сэ/Ь=1;
A5.5)
/ h/b
Подставляя с = 299 792 458 м/с и указанные выше значения
i?, M и Q в A5.5), получаем:
э =29 979,2458; 6=104м/с; h = 4n-10 с/м;
J=4ti-299 792,458; 8~1=40тсB9 979,2458J; |ло = 4тг • 10~7 с2/м2.
Таким образом, в рационализированной системе МКСА
выполняется соотношение eo[io = l/c2.
Задача 15.1. Построить систему единиц МКС на основе уравнений A5.2) при
е = (I = 1 для вакуума.

2
ГЛАВА
СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ
Стационарные электромагнитные поля, т. е. поля, не изменяю-
изменяющиеся со временем, поддаются наиболее полному описанию
и чаще всего встречаются на практике. Для решения
соответствующих задач электростатики и магнитостатики
были разработаны эффективные математические методы.
Большое значение имеют различные приближенные методы
(типа мультипольного разложения), применение которых
неизбежно при решении большинства практических задач,
возникающих, например, при расчете структуры поля постоянно-
постоянного магнита, емкости конденсатора сложной формы или
сопротивления некоторой системы электродов. Чрезвычайно
поучительны и методы магнитостатики сверхпроводников,
изучение которых стало особенно актуальным в связи
с открытием в 1987 г. высокотемпературной сверхпроводимости.
§ 16. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Простейшими задачами теории электромагнитного поля являются
стационарные задачи, когда все входящие в основные уравнения
A0.1) величины не зависят от времени t. В этом случае
производные по времени равны нулю и система A0.1) разбивается
на две подсистемы — (Э) и (М):
div D = 4л р, rot Н = 4тц/с,
rotE = 0, (Э) div В = 0, (М)
D E 4P B H4M
(в простейшем случае D = eE). (в простейшем случае В =
При решении электростатических задач используется система
(Э), а при решении магнитостатических—система (М). Однако
плотность тока j, входящая в (М), в наиболее распространенном
случае определяется из закона Ома: j = a(E + ECTOp), т. е. зависит
от Е. В этом случае для нахождения j необходимо использовать
решение системы (Э).
Из-за наличия токов проводимости магнитостатические задачи
в общем случае относятся к стационарным, но неравновесным
системам, так как в последних происходит непрерывное выделение
теплоты. Электростатические же задачи относятся к равновесным
системам. Перейдем к рассмотрению электростатических задач.
Уравнения электростатики (Э) позволяют определять напря-
напряженность электрического поля:
48

1) во всем пространстве по заданному распределению зарядов;
2) в некоторой области V по заданным условиям на ее
границе S и заданному распределению зарядов внутри V;
3) в диэлектрической среде при наличии заряженных проводников;
4) в диэлектрической среде при наличии внешнего поля
с напряженностью Ео.
Рассмотрим первую задачу. Уравнения электростатики в ваку-
вакууме имеют вид
divE = 47cp, rotE = 0. A6.1)
Эти уравнения можно использовать и для определения
напряженности Е поля в диэлектрике, если задано распределение
связанных зарядов рсвяз= — divP, которое надо добавить к плот-
плотности р свободных зарядов*.
Так как rotE = 0, то
E=-grad(p=-Vcp, A6.2)
где ф — электростатический потенциал. Подставляя A6.2) в A6.1),
получаем
Дф=-4тф, A6.3)
т. е. уравнение Пуассона для потенциала ср. В случае р = 0 оно
превращается в уравнение Лапласа
Дф = 0. A6.4)
Уравнения Лапласа и Пуассона суть дифференциальные урав-
уравнения в частных производных эллиптического типа. Как известно,
для их решения необходимо задавать определенные граничные
условия, т. е. значения ф или (пЕ) на границе S рассматриваемой
области. В физике наиболее важно решение задач при естест-
естественных граничных условиях, когда 5->оо. В этом случае обычно
полагают, что ф(г)->сош1 при г->оо. В простейшем случае ф->0.
При решении многих задач приходится использовать общее
решение уравнения Лапласа. Чтобы найти его, изучим некоторые
свойства этого уравнения.
Задача 16.1. Убедиться, что функция ф^ = (аг)' является решением (в общем
случае комплексным) уравнения Лапласа, если при /^2 считать, что
а —постоянный изотропный вектор, т. е. я2 = 0.
Чтобы удовлетворить условию а2 = О, выберем декартов вектор
а = (/, 0, 1) и запишем ф^ в сферических координатах:
ф, = г1 (cos 0 + / sin 0 cos ос)К A6.5)
Заметим, что ф/г~/ можно представить в виде конечного
ряда Фурье по ос
* В случае однородной диэлектрической среды, когда е = const, divE = 47ip/e,
т. е. можно использовать все результаты, вытекающие из A6.1), осуществив
в последних замену р -*• р/е. Имея это в виду, далее мы будем рассматривать
лишь случай вакуума.
49

(cos 9 + isin 9 cos a)' = P, (cos 9) +
+ 2 I $=^/T(cos»)cos»ia, A6.6)
m=l \l + m)'
коэффициентами которого являются полиномы Лежандра
P@) = P|)(cos0) и присоединенные полиномы Лежандра
(cos 9 + / sin 0 cos a)' cos ma da. A6.7)
2я/!
0
Задача 16.2. Вычислить PJ"(cos$) при 1=0, 1, 2.
Задача 16.3. Доказать, используя A6.7), справедливость разложения
A6.8)
|г-а| Ёо Л
из которого вытекает еще одно представление для полиномов Лежандра:
A6.9)
где cos 0 = (аг)/(яг), а — постоянный вектор.
Задача 16.4. Доказать, что если q> (г) —решение уравнения Лапласа, то
г~1ц>(гг~2) также его решение при гФ§ {теорема Кельвина). Показать, что
другими его решениями будут (aV) ф(г) и (a IrV])cp(r), где а—постоянный вектор.
Указанных свойств уравнения Лапласа вполне достаточно для
построения его общего решения. В самом деле, по теореме
Кельвина, решением, например, будет функция (г#0)
r9i(rr) = r~/~1(cos9 + /sin9cosa)/. A6.10)
В частности, при 1=0 находим простейшее решение ф = 1/г,
отвечающее полю точечного заряда. Выражение г"' i^(cosO),
согласно A6.9), также является решением при г#0, так как оно
получается из \\г /-кратным действием оператора (aV).
Если рассмотреть оператор (е3 [rV]) = д/да, то с его помощью
можно выделить из A6.5) любую компоненту Фурье. В самом
деле, если подействовать на A6.5) оператором
П
т'=-1
{т'Фт
то останется лишь член, содержащий exp(z'ma). Таким образом,
каждый член ряда Фурье в A6.5) или A6.10) является решением
уравнения Лапласа. Поэтому, используя принцип суперпозиции,
общее решение уравнения Лапласа можно записать в виде
00 I
ф(г)= £ (аУ + Ь^'1'1) X iT(cos$)(cmcosma + dmsinma), A6.11)
1 = 0 т = 0
где аь Ъь ст, dm — произвольные постоянные.
50
A8.4)

Задача 16.5. Предположив, что потенциал ср не зависит от одной из координат,
показать, что общее решение соответствующего двумерного уравнения Лапласа
в цилиндрических координатах имеет вид
L), A6.12)
m=l
где am, bm, cm, dm — произвольные постоянные; m = 0, 1, 2, ... .
§ 17. ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТРАНСТВЕННО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ
Потенциал точечного заряда е, помещенного в начале коор-
координат, согласно C.9), равен
Убедимся, что это решение можно использовать для нахож-
нахождения потенциала пространственно распределенных зарядов.
С этой целью представим с помощью 8-функции плотность
произвольно распределенного заряда р в виде
p(r) = Jp(r')8(R)dK', R^r-r ,
и подставим в уравнение Пуассона A6.3):
Aq>(r)=-47iJp(r')8(R)dF'. A7.1)
С другой стороны, из C.9)
AA//?)=-4k5(R), A7.2)
поэтому A7.1) можно переписать:
Следовательно, решение уравнения Пуассона A6.3) во всем
пространстве имеет вид
Jp£Wr), A7.3)
где фо(г) — некоторое решение уравнения Лапласа. По своему
физическому смыслу потенциал ф0 должен задаваться распределе-
распределением бесконечно удаленных зарядов, не входящих в р (г). Поэтому
если считать, что в плотности р(г) учтен вклад всех имеющихся
зарядов, в том числе и находящихся в бесконечности, то можно
положить фо(г) = 0 и
J£^ A7.4)
Такой выбор согласуется и с законом Кулона C.3), который
не противоречит A7.3) только при условии Уфо = 0.
51

Задача 17.1. Записать решение уравнения Пуассона в случае сферически-сим-
сферически-симметричного распределения заряда р(г).
Задача 17.2. Показать, что решение A7.4) удовлетворяет естественному
граничному условию ф->0 при r-юо, только если р(г) убывает при г-+оо
быстрее, чем г~2.
В физических приложениях часто приходится искать решение
уравнения Пуассона в некоторой области V, ограниченной замкнутой
поверхностью S. В этом случае по аналогии с A7.3) положим
A7.5)
Как видно, A7.5) является решением уравнения Пуассона
и удовлетворяет заданным граничным условиям на S, если ф0
удовлетворяет уравнению Лапласа и определенным граничным
условиям на S. В итоге задача сводится к решению уравнения
Лапласа в области V при некоторых граничных условиях на S.
Как мы убедимся позже, в физических задачах могут встречать-
встречаться три типа граничных условий:
1) на S задан потенциал ф (задача Дирихле);
2) на S задана нормальная составляющая поля (пЕ) (задача
Неймана);
3) на одной части S задан потенциал ф, а на другой ее
части—нормальная составляющая поля (пЕ) (смешанная гранич-
граничная задача).
Покажем, что в любом случае эти условия определяют
напряженность Е поля однозначно. В самом деле, если это не
так и существует два разных решения уравнения Лапласа
ф@1} и ф£2), то их разность м = ф@^ — ф@1} также удовлетворяет
уравнению Лм = 0, причем на S либо м = 0, либо (nV)w = O.
Поэтому если применить теорему Гаусса — Остроградского к век-
вектору wVw, для которого div(wVt/) = (Vt/J, то
V S
что возможно только при Vw = 0. Доказанная теорема единст-
единственности очень важна, так как вызывает уверенность в правиль-
правильности найденных частных решений, если они удовлетворяют
граничным условиям.
§ 18. ПОТЕНЦИАЛ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ЗАРЯДОВ
Если заряд сосредоточен на некоторой поверхности S, то, вводя
поверхностную плотность заряда г|(г)? определяющую заряд на
элементе поверхности dS согласно формуле dQ = r\dS, легко
52

получить из закона Кулона выражение для потенциала
pdS'. A8.1)
Но A8.1) можно вывести и из общей формулы A7.4). Так,
если поверхность S задается уравнением /(г) = 0, то удобно
ввести новые координаты м1, и2, и3, в которых новое уравнение
поверхности есть м3=0. С этой целью положим
м3=/(г) A8.2)
и будем считать r = r(w1, м2, и3). Но элемент объема dF=dSd/,
где d/—смещение вдоль нормали к поверхности, которое с учетом
A8.2) равно
A8.3)
Теперь ясно, что для согласования A8.1) с A7.4) необходимо
положить
() () A8.4)
При практическом использовании формулы A8.1) ее удобно
записывать в координатах и\ Для этого можно исходить из
выражения для объема (см. задачу 9 приложения):
dV=J~gdu4\\2du3=dSdu3\Vf\-\ A8.5)
где
(££) A8-6)
Но на поверхности и3 = 0 вектор дг/ди3 совпадает с нормалью,
а векторы дг/ди1, дг/ди2 лежат в касательной плоскости. Поэтому
и из A8.5)
^12 /gJ2dn1dii2f A8.7)
т. е. гауссова форма элемента поверхности, которая удобна, если
поверхность задается параметрически уравнением r = r(w1, и2).
Тогда A8.1) принимает вид
Если заряд оказывается сосредоточенным вдоль некоторой
линии С, то вводится линейная плотность заряда х(г), опреде-
определяющая заряд на элементе длины d/ по формуле dQ = KdL Тогда
53

из закона Кулона
C"'pdl\ A8.9)
С
Задача 18.1. Показать, что объемная плотность заряда в случае, когда заряд
с линейной плотностью к (г) распределен вдоль линии, задаваемой пересече-
пересечением двух поверхностей /х(г) = 0, /2(г) = 0, равна
Задача 18.2. Найти потенциал равномерно заряженного кольца радиуса а и за-
заряда е. Результат выразить через полный эллиптический интеграл первого рода
я/2
K(k)
= I /
§ 19. ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
(МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ)
Рассмотрим систему зарядов, сосредоточенную в некоторой
области V, т. е. предположим, что р#0 только внутри V. Пусть
область V конечна и может быть включена в некоторый шар
радиуса а. Поместим начало координат О в центр этого шара
и введем обозначения: г—радиус-вектор точки наблюдения,
г' — радиус-вектор произвольного заряда (рис. 19.1).
Очевидно, что потенциал данной системы зарядов может
быть вычислен по формуле A7.4):
£ A9Л)
Однако пусть нас интересует поле на больших расстояниях
от системы, т. е. при г»а. Поскольку на таких расстояниях
р = 0, потенциал ф удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому
представляет собой убывающую часть общего решения A6.11):
ф(г)=Х X r-'-'PTicos^a^cosma + b^smma). A9.2)
Такое представление потенциала называется мультипольным
разложением, коэффициенты а1т и ЪХт — мулыпипольными момен-
моментами порядка (/, т) данной системы зарядов, а число п = 21 —
мультипольностью. Очевидно, потенциал 2^-поля имеет вид
^Щ ) A9.3)
т = 0
54

и убывает при г-»оо как г 1 1.
В частности, при /=0 (п = 1) получа-
получаем поле одиночного заряда (моно-
поля), при 1=1 (п = 2)— поле ди-
диполя, при /=2(и = 4)— поле квад-
руполя и т. д.
Коэффициенты мультипольного
разложения A9.2) зависят от харак-
характера распределения заряда р(г).
Чтобы установить эту зависимость,
обратимся к общей формуле A9.1)
и произведем в ней разложение в ряд Тейлора:
Рис. 19.1
справедливое при г>а>г'. Тогда
A9.4)
A9.5)
или в координатной форме
1 = 0
1
s 1
A9.6)
где введен тензор 2*-польного момента
A9.7)
Одним из неудобств координатного мультипольного разложе-
разложения A9.6) является то, что не все слагаемые в нем независимы,
так как, согласно A9.3), потенциал 2*-поля должен содержать
только 2/+1 произвольную постоянную, а число независимых
компонент у тензора Qli-li равно
Задача 19.1. Доказать формулу A9.8).
.Таким образом, между потенциалами типа A9.6) должны
существовать тождественные соотношения — по /(/—1)/2 соот-
соотношений на каждый 2*-поль. Чтобы понять, в чем здесь дело,
изучим поле отдельного мультиполя подробнее. Сначала постро-
построим 2'-поль. Перенесем заряд е на вектор ах и в точку, где он
55

-e Tz +e находился, поместим новый заряд—е. Так стро-
строится диполь (/=1). Сместим теперь диполь на
вектор а2 и в точки, где размещались прежние
заряды, поместим заряды противоположных
знаков. Так получается квадруполь (рис. 19.2),
соответствующий значению 1 = 2. Совершив ука-
указанную операцию / раз, мы и получим 2'-по ль.
Рис. 19.2 _ 1ft<1 _
Задача 19.2. Показать, что потенциал построенного выше
21-поля на больших расстояниях от него равен
] A9.9)
Очевидно, что число различных 2*-полей определяется числом
независимых комбинаций / векторов а15 ..., а2. Допустим, что
к векторов мы установили вдоль оси Z. Тогда 1—к оставшихся
векторов можно установить либо вдоль оси X, либо вдоль оси
Y. Таких комбинаций возможно / — fc+1, так как вдоль оси
X можно установить 0, 1, 2, ..., 1—к векторов. Следовательно,
полное число комбинаций равно
к = 0 L
и совпадает с числом независимых компонент тензора Qh h.
Однако не все эти комбинации приводят к независимым
потенциалам. В самом деле, при /^2 среди / векторов могут
встретиться два одинаковых, т.е. а1=а2=яе5, где es — один из
базисных векторов. В этом случае между потенциалами A9.9)
появится линейная связь, основанная на тождестве
X>sVJ; = aQ = O. A9.10)
Таких тождеств, очевидно, столько же, сколько существует
возможностей выбора двух совпадающих векторов, т. е. Cf.
Отсюда ясно, что число независимых потенциалов (^ равно
JVl = JVr-C,2 = 2/+l, A9.11)
как и должно быть согласно A9.3).
Задача 19.3. Показать, что если для .некоторой системы зарядов Qh "lk = 0 при
/г</, то результат вычисления Qly-l{ не зависит от выбора начала координат.
Вычислим теперь напряженность Е электрического поля,
создаваемого диполем с дипольным моментом р. Полагая в A9.9)
/=1, а^р/е, имеем:
I K A9.12)
pr2]r-5. A9.13)
Картина линий напряженности этого поля изображена на
рис. 19.3 (см. задачу 1.3).
56

Задача 19.4. Найти с помощью A9.9) напряженность
Е2 электрического поля квадруполя.
Рассмотрим более подробно квадруполь-
ный член разложения потенциала произволь-
произвольной ограниченной системы зарядов. Согласно
A9.6), имеем Рис- 19-3
09.14)
Учитывая тождества A9.10), к тензору квадрупольного момен-
момента Qik всегда можно добавить единичный тензор вида аб'*, где
а—постоянная. Поэтому при расчете Qik вместо A9.7) удобно
использовать формулу
e* = Jp(r')(jcVk-8V2/3)rfK'. A9.15)
Построенный тензор Q удовлетворяет инвариантному условию
A9.16)
и поэтому имеет не шесть, а только пять независимых компонент
в полном согласии с A9.11).
Задача 19.5. Получить двумерное мультипольное разложение, справедливое для
распределений заряда р(г), не зависящих от одной из координат и со-
сосредоточенных внутри некоторого цилиндра конечного радиуса а. Найти
двумерный аналог формулы A9.9).
На практике, пользуясь мультипольными разложениями A9.2)
или A9.6), обычно ограничиваются лишь первыми несколькими
членами ряда. Для выяснения точности такого приближения
воспользуемся оценкой, вытекающей из A9.6):
^J^r-'-^axlG1-'1!^-!-) > A9-17)
{h-h} r \r/
где kt = max | Qii il\a~l. В частности, если плотность заряда
ограничена, т.е. |р(г)|^р0, то, согласно A9.7), ^<47сроа3/3.
Сравнивая потенциалы ближайших мультиполей q^ и (pj + i,
замечаем, что если кх и к1 + 1 одного порядка, то
|ф/+1/ф/1~я/''- 09-18)
Поэтому, ограничившись первыми неисчезающими членами
разложения в A9.6), мы получаем тем лучшее приближение,
чем меньше а /г.
§ 20. ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ
Среди систем, не имеющих полного электрического заряда,
представляет интерес совокупность распределенных по некоторой
поверхности S электрических диполей. Такую систему можно
представить в виде двойного электрического слоя, т. е. в виде
57

двух близких поверхностей, смещенных одна
относительно другой на малое расстояние /(г)
и заряженных противоположно. Пусть п —
вектор нормали к поверхности S, направлен-
направленный от отрицательных зарядов к положитель-
положительным. Тогда в точках, соединенных вектором
смещения 1 = п/, поверхностные плотности за-
заряда отличаются лишь знаком (рис. 20.1):
т| + = —т|_=т|. Поэтому элемент двойного
слоя dS обладает дипольным моментом
dp = л И5 B0.1)
и потенциал в точке Р наблюдения [см.
Рис. 20.1 A9-12)] равен
r')^dS', B0.2)
s
где R = r — r'; x = r\l—мощность двойного слоя, численно равная
поверхностной плотности дипольного момента.
Замечая, что dS"(n'R) = i?3dfi, где dfi—элемент телесного
угла, под которым видна из точки наблюдения площадка
dS", имеем
(p(r) = jxdfi. B0.3)
s
В частном случае однородного двойного слоя, когда т = const,
Ф = тП, B0.4)
где п — телесный угол, под которым видна из точки наблюдения
вся поверхность S. При этом знак О, положителен, если смотреть
со стороны положительных зарядов, и отрицателен, если смотреть
с противоположной стороны. Поэтому для однородного двойного
слоя при переходе через поверхность потенциал испытывает
скачок, равный
Ф+-Ф_=[ф] = 4тст. B0.5)
Это нетрудно понять, так как в использованном нами
дипольном приближении следует считать /->0, а при этом
напряженность электрического поля внутри двойного слоя, со-
согласно A2.2), должна неограниченно расти, если считать т фик-
фиксированным:
-(пЕ) = 4тсл=4тст//^оо. B0.6)
Из B0.6) нетрудно получить, что разность потенциалов на
слое равна [ф]= — (Е1) = 4ят.
Задача 20.1. Показать, используя B0.3), что формула B0.5) справедлива и для
неоднородного двойного слоя.
58

§ 21. ПОЛЕ СВЯЗАННЫХ ЗАРЯДОВ
Рассмотрим поляризованный диэлектрик, заполняющий некото-
некоторую ограниченную область V. Зная поляризованность Р(г), можно
определить, согласно G.1), плотность связанных зарядов
рР=—divP, а затем по формуле A7.4) вычислить потенциал
создаваемого ими электрического поля:
B1.1)
V V
где использовано обозначение pP=pP(r'J, div'P' = divP(r').
Однако пользоваться формулой B1.1) не очень удобно, так
как поляризованность Р может испытывать разрывы на границах
между различными диэлектриками, а это, как известно, приводит
к появлению связанных поверхностных зарядов, учет которых
представляет дополнительную трудность.
Задача 21.1. Показать, что сингулярные части divP и rotM, обусловленные
разрывами векторов Р и М. на некоторой поверхности S\ заданной уравнением
/(г) = 0, имеют вид
B1.2)
B1.3)
где [Р] и JM) — скачки Р и М на S'.
От указанной трудности можно избавиться, если восполь-
воспользоваться тождеством
div/- = -div/P/+M B1.4)
R R R3 V J
и показать, что вклад в B1.1) div'(P'/i?) равен нулю.
Нетрудно видеть, что это действительно так, если в нашем
случае применима теорема Гаусса—Остроградского, так как
согласно ей
^ h^p B1.5)
V S
поскольку на поверхности 5, охватывающей объем V и прохо-
проходящей вне диэлектрика, Р = 0.
Задача 21.2. Доказать соотношение B1.5).
С учетом B1.1) и B1.5) получаем следующее выражение для
потенциала связанных зарядов:
V
Принимая во внимание соотношения G.5) и A9.12), нетрудно
59

убедиться, что это суммарный потенциал всех диполей из V:
В некоторых случаях бывает удобно представить решение
B1.6) в несколько ином виде, введя электрический вектор Герца П:
<p=-divll. B1.7)
Нетрудно видеть, что электрический вектор Герца П связан
с поляризованностью Р простой зависимостью
V
Повторяя вывод условия A2.2) в применении к соотношению
рр= — divP, находим связь поверхностной плотности % связанных
зарядов со скачком поляризованности [Р ] на некоторой повер-
поверхности S":
B1.9)
С помощью соотношения B1.9) представляем вклад поверхност-
поверхностных связанных зарядов в общий потенциал в виде
фпов=
R
5" S'
Задача 21.3. Используя соотношения B1.2) и B1.3), получить граничные условия
A2.8) с помощью уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
§ 22. ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ
Рассмотрим систему заряженных проводников, помещенных
в диэлектрическую среду с проницаемостью 8 (г). Внутри каждого
проводника, обладающего конечной электропроводимостью а (г),
справедлив закон Ома j = аЕ, из которого следует, что в статичес-
статическом случае, когда j = 0, внутри проводника
Е = 0. B2.1)
Учитывая потенциальность электрического поля, т. е. полагая
Е=—Уф, выводим, что внутри проводника и на его поверхности
потенциал ф постоянен:
Ф = const. B2.2)
Кроме того, заряды в проводниках располагаются только
на их поверхностях, поскольку объемная плотность заряда,
согласно B2.1), исчезает:
47ip = divE = 0. B2.3)
В то же время в диэлектрике в соответствии с G.7) потенциал
60

Ф должен удовлетворять уравнению
div(eV(p)=-47ip B2.4)
и граничным условиям A2.8):
РИС. 22.1
[п(Е2-Е1)] = 0. B25>
Но последнее условие вытекает из
непрерывности потенциала на границе
раздела S*. В самом деле, если функция
/(г) = <р2 —q>! обращается в нуль на
поверхности S, то уравнение последней
есть, очевидно, /(г) = 0. Поэтому с уче-
учетом выражения для нормали n = V//|V/| условие [пУ(ф2 — <Pi)] = 0
удовлетворяется тождественно.
Рассмотрим теперь оставшееся условие B2.5) на границе
S проводника с диэлектриком (рис. 22.1). Поскольку в проводнике
D = E = 0, в диэлектрике вблизи границы с проводником выпол-
выполняется равенство
()() B2.6)
B2.7)
позволяющее записать полный заряд проводника в виде
g=-i.(|)e(iiV)<pdS.
Итак, граничные условия, отбирающие нужные решения урав-
уравнения B2.4), имеют вид:
а) на поверхностях проводников St (i=\, 2, ...), несущих задан-
заданные заряды Qt или поддерживаемых при заданных потенциалах <р£,
(p = (p. = const, Qi=-~(bz(nV)(pdS; B2.8)
j
б) на граничных поверхностях между диэлектриками при
отсутствии свободных поверхностных зарядов
[Ф] = 0, (n[eV(p]) = 0. B2.9)
При этом возможны две постановки основной задачи:
1) заданы потенциалы проводников ф1? найти их заряды Qt
и потенциал ф(г) в диэлектрике;
2) заданы заряды проводников Qi9 найти их потенциалы фе
и потенциал ф(г) в диэлектрике.
Докажем единственность решения этих задач. Будем исходить
из противного, предположив, что имеется два разных решения
* Непрерывность потенциала необходима для конечности напряженности
Е поля.
61

фг и ф2. Тогда их разность и = (р1 — ф2, согласно B2.4), удов-
удовлетворяет соотношению
div(ewVw) = e(VwJ. B2.10)
Интегрируя B2.10) по объему V диэлектрика, ограниченному
поверхностями St проводников, находим с помощью теоремы
Гаусса — Остроградского
fc B2.11)
Замечая, что для первой постановки задачи на поверхностях
St будет м = 0, а для второй постановки и — const, но в то же
время |e(nV)wd5r=0, убеждаемся, что правая часть в B2.11)
исчезает. Ввиду положительности 8 это возможно только при
условии, что Vw = 0, т. е. напряженность Е поля определяется
однозначно, а потенциалы ф; и ф — с точностью до общей
постоянной.
Задача 22.1. Верно ли, что поверхностная плотность заряда на проводниках
максимальна в точках наибольшей кривизны поверхности? Показать, что
вблизи проводника
(nV)ln(nD)=-2#, B2.12)
где п — нормаль к поверхности, Н—ее средняя кривизна.
Задача 22.2. Показать, что замкнутая проводящая оболочка является экраном
от внешних электрических полей, а в случе ее заземления, т. е. при ее
контакте с проводником очень больших размеров,— еще и от внутренних.
Показать также, что поле вне оболочки отсутствует, если она охватывает
нейтральную систему зарядов.
Задача 22.3. Внутри металла вырезана сферическая полость радиуса а. Верхняя
и нижняя ее половины заполнены диэлектриком с проницаемостями ех и е2
соответственно. В центре полости помещен точечный диполь с моментом
р. Найти потенциал (р в диэлектрике и распределение заряда на поверхности
полости. Рассмотреть случаи ориентации диполя вдоль плоскости раздела
сред и перпендикулярно ей. Рассмотреть также двумерный вариант задачи,
т. е. цилиндрическую полость и двумерный диполь.
§ 23. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Получим выражение для энергии электростатического поля,
создаваемого произвольной ограниченной системой зарядов, на-
находящихся в диэлектрической среде. Выделим произвольную, но
достаточно большую область Vo, включающую систему зарядов
и ограниченную некоторой замкнутой поверхностью S. Тогда
энергия электростатического поля, содержащаяся в Ко, согласно
A4.7), равна
lj B3.1)
62

Полагая Е=—Уф и интегрируя в B3.1) по частям, находим
Wt = — | «pdivDdK-—f<p(nD)dS. B3.2)
571 I 571 Т
J J
Vo S
Будем теперь считать поверхность S сферой бесконечно
большого радиуса R. Тогда при Л-юо потенциал ф убывает
как 2/(8^7?), где е^—диэлектрическая проницаемость среды на
бесконечности, a Q — полный свободный заряд системы, равный
по теореме Гаусса
Все это позволяет получить следующую оценку для поверх-
поверхностного интеграла в B3.2):
1
s
Таким образом, при Л-юо B3.2) упрощается и с учетом
G.7) принимает вид
W=-\p(pdV, B3.3)
2 1
v
где V—область, занятая свободными зарядами.
Учтем теперь, что потенциал ф удовлетворяет уравнению
Пуассона Аф= — 4л(р + рР) и поэтому может быть записан в форме
V
где V — область, занятая свободными и связанными зарядами.
Подставляя B3.4) в B3.3), получаем выражение для энергии
электростатического поля в среде:
we=\[ f£i£^Wdr. B3.5)
V V
В частном случае системы зарядов в вакууме (рР = 0) из
B3.5) получается обычно используемое симметричное выражение
£n B16)
V V
63

Если заряды считать точечными, то B3.6) будет содержать
расходящиеся интегралы, отвечающие собственным энергиям от-
отдельных зарядов. В самом деле, если заряд е равномерно
распределен по поверхности шарика радиуса я, то энергия
электростатического поля, очевидно, равна
Wlo6 = e2/Ba) B3.7)
и при а-+0 оказывается бесконечной. Поэтому при рассмотрении
системы точечных зарядов из B3.6) обычно исключают бес-
бесконечную собственную энергию, оставляя лишь энергию вза-
взаимодействия разных зарядов. Нетрудно видеть, что энергия поля
в результате такой операции принимает вид
B3.8)
где ф;—потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме /-го,
в точке нахождения последнего.
Задача 23.1. Используя формулу B3.8), показать, что система зарядов не
может находиться в устойчивом равновесии только под действием элект-
электростатических сил (теорема Ирншоу).
Изучим теперь более подробно вклад среды в электростатическую
энергию. Используя связь D = E + 4rcP, его можно записать в виде
= ~ | (EP)dF.
B3.9)
Чтобы выяснить физический смысл этой величины, восполь-
воспользуемся представлением поляризованности Р в форме G.5):
Р = ^ Z etrt=± £ е,Ч, B3.10)
*v ieAV ^v ieAV
где \qt\— эффективное расстояние между зарядами ег в /-й
молекуле-диполе. Рассматривая молекулы как квазиупруго связан-
связанные заряды и вводя эффективный коэффициент упругости к,
условие равновесия упругих и электрических сил можно записать
в виде et'Ei = kqi9 откуда вытекает следующее представление для
энергии B3.9):
Wp^heti^J-^kql B3.11)
Таким образом, энергию электростатического поля, запасенную
в диэлектрике, можно интерпретировать как потенциальную
энергию растянутых упругих молекул.
Однако даже без привлечения каких-либо модельных пред-
представлений о молекулах-диполях, в предположении лишь линей-
линейности связи Р(Е) = хЕ, можно показать, что B3.9) представляет
64

собой работу, которую необходимо затратить, чтобы создать
в среде поляризацию Р. В самом деле, используя B3.10) и считая,
что напряженность Е поля мало изменяется в пределах ячейки
Л К, элементарную работу электрического поля над связанными
зарядами среды можно записать в виде
| B3.12)
откуда в предположении линейной зависимости Р = хЕ и вытекает
B3.9). Таким образом, можно с уверенностью сказать, что
выражение B3.9) представляет собой энергию, запасенную в ди-
диэлектрике при создании в нем электрического поля Е.
Задача 23.2. Показать, что если в поле заданной системы зарядов внести
нейтральный диэлектрический образец с проницаемостью, отличающейся от
проницаемости среды на малую величину 5е, то в первом приближении энергия
системы изменится на
^ B3.13)
Показать также, что при внесении незаряженного проводника энергия системы
уменьшится.
Энергия электростатического поля данной системы, очевидно,
зависит от ее геометрических свойств, т. е. от некоторых
обобщенных координат ql9 q2, ... . Поэтому знание функции
We(ql9 q2, ...) позволяет вычислить обобщенные силы Fi9 дейст-
действующие между элементами системы. Действительно, по принципу
возможных перемещений,
5И^е=-Х^8^, B3.14)
i
откуда
F^-dWJdqi. B3.15)
Задача 23.3. Вычислить силу F и момент сил L, испытываемые диполем
р в поле другого диполя р', расположенного на расстоянии а от первого.
§ 24. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ
Так как в проводниках статический заряд распределен только
по поверхностям, потенциал вдоль которых не меняется, то
энергия такой системы [см. B3.3)] равна
-Y<f>iQi> B4Л)
где ф; и Qt—соответственно потенциал и заряд /-го проводника.
Решив основную задачу электростатики, т. е. найдя распределение
потенциала ф(г) в окружающем пространстве, всегда можно,
3 Зак 378 65

согласно B2.7), вычислить заряды Q( проводников. В то же
время, по теореме единственности (см. § 22), функция ф(г)
однозначно определяется потенциалами проводников ф^. Поэтому
и заряды проводников Qx — некоторые однозначные функции всех
потенциалов ф1? ф2, ... . Из-за линейности уравнений поля B2.4)
эти функции могут быть только линейными. Поэтому должна
существовать связь вида
& = IC№q>k, B4.2)
к
и обратно: Ф/ = Е^лбк- B4.3)
Постоянные коэффициенты Cik называются емкостными ко-
коэффициентами системы проводников, a Sik— потенциальными
коэффициентами. При этом коэффициенты С и называют соб-
собственными емкостями, a Cik при 1Фк — коэффициентами взаимной
емкости или коэффициентами электростатической индукции.
Задача 24.1. Показать, что емкостные коэффициенты Cik могут быть
представлены в виде
i0, Clk=-aik (/#*), B4.4)
где aik, 1фк, определяются конфигурацией векторных линий поля D. В ча-
частности, если среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости
8 и векторная трубка, начинающаяся с площадки dSt i-го проводника, имеет
нормальное сечение dS(r) = dSi/f(r), то
fltt = f[4jEf(i-E-1-i)/(r)d/]-1d5,, B4.5)
где линейный интеграл берется вдоль векторной линии D = tZ), а поверхност-
поверхностный— по той части поверхности 1-го проводника, с которой начинаются
линии Dik, связывающие i-й и k-й проводники; ai0 представляет собой вклад
линий D, уходящих в бесконечность.
Из B4.5) следует, что aik>0, поэтому [см. B4.4)]
Сц>09 тогда как Cik<0, 1фк. Последнее обстоятельство
является выражением того простого факта, что на проводниках
всегда наводятся заряды противоположного знака. В самом
деле, если заземлить все проводники, кроме &-го, то
наведенный на i-м проводнике заряд [см. B4.2)] равен
Qi = Cik(pk. Но если Ф/с>0, то очевидно, что собственный
заряд Jc-ro проводника Gk>0, тогда как наведенные заряды
Qt<0 при 1Фк.
Наконец, из B4.5) с учетом связи /d5' = d5rl вытекает, что
коэффициенты aik симметричны, т. е. aik — aki. Поэтому симмет-
симметричными являются и емкостные коэффициенты:
Cik = Cki B4.6)
(соотношение взаимности). Его часто формулируют в виде
теоремы взаимности Грина, смысл которой состоит в следующем.
66

Рассмотрим два состояния одной и той же системы проводников.
Пусть в одном из них заряды и потенциалы проводников Qb
<р£, а в другом — Q'i9 ф-. Тогда, используя B4.2) и B4.6), имеем
ZeJ9i = ZClikViVi = XCwV^i = XCk9k. B4.7)
i i, к i,k к
Это и есть теорема взаимности Грина.
Для одиночного проводника
б = Сф, B4.8)
где С — собственная емкость проводника. В частности, для
металлического шарика радиуса а, находящегося в однородном
диэлектрике с проницаемостью в и несущего заряд Q, получаем
Ф = <2/(еа), т.е. С=еа. В случае двух проводников, несущих
равные и противоположные заряды Q^ = — Q2 = Q> из B4.2)
е = С(ф1-ф2). B4.9)
Такая система проводников обычно называется конденсатором,
а коэффициент С—его емкостью.
Задача 24.2. Показать, что емкость конденсатора выражается через ем-
емкостные коэффициенты по формуле
С=(С11С22-С?2)/(С11 + 2С12 + С22). B4.10)
Если обкладки конденсатора расположены очень близко друг
от друга, то в соответствии с B4.5) имеем я12»я10 и я12»я™,
так что приближенно можно считать С11С11 — С\1^а11{а^ + а2о),
тогда как C11 + 2C12 + C22 = ^io + a2o- Таким образом, согласно
B4.10), емкость конденсатора примерно равна
Задача 24.3. Два одинаковых проводящих тела, одно из которых имеет заряд Q,
далеко отстоят друг от друга. При помощи первоначально незаряженного третьего
проводника заряд переносится с одного тела на другое. Какими будут окончательные
заряды всех трех проводников после многократного повторения операции переноса,
если при первом контакте заряд Q первого тела уменьшился на 1/п?
Выразим теперь энергию системы заряженных проводников
через их потенциалы или заряды. Подставляя в B4.1) после-
последовательно B4.2) и B4.3), находим
LUk Li,k
Отсюда следует еще одно явно симметричное представление
для емкостных и потенциальных коэффициентов:
Из условия положительности квадратичной формы B4.11)
получаем полезные неравенства
Си>0; CuCkk-C?k>0, 1Фк. B4.13)
67

Задача 24.4. Найти емкость конденсатора,
образованного двумя большими плоскими
пластинами площади S, наклоненными под
углом р друг к другу. Минимальное и мак-
максимальное расстояния между пластинами
dY и d2. Краевым эффектом пренебречь.
Задача 24.5. Как изменится емкость сфе-
сферического конденсатора с радиусами оболо-
оболочек а и Ъ>а при малой деформации внешней
оболочки? Как изменится емкость при ма-
малом растяжении конденсатора на рассто-
расстояние d в одном из его центральных сечений?
Задача 24.6. Найти емкость конденсатора,
обкладки которого представляют собой усе-
усеченные конические поверхности с углами
раствора а и р>а, вложенные одна в другую
(рис. 24.1). Радиусы усечения а и Ь^>а.
Краевым эффектом пренебречь.
Задача 24.7. Показать, что распределение
поверхностного заряда на проводниках таково, что энергия электростатичес-
электростатического поля минимальна (теорема В. Томсона).
Рис. 24.1
§ 25. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Можно выделить особый класс задач электростатики, относящих-
относящихся к случаю, когда поле на бесконечности не исчезает, а стремится
к некоторому постоянному однородному полю Ео. Рассмотрим
два простейших примера задач такого рода, когда во внешнем
поле Ео находятся проводящий либо диэлектрический шары.
1. Поместим начало координат в центр проводящего шара
радиуса а и выберем сферические координаты (направление Ео
соответствует 9 = 0). Для простоты заземлим шар, тогда внутри него
потенциал (р = 0. Вне шара при г->оо потенциал совпадает
с потенциалом внешнего поля — 2?or cos 9. Чтобы удовлетворить
граничному условию ф(г = а) = 0, из общего решения A6.11) уравнения
Лапласа необходимо выбрать часть, пропорциональную cos 9:
(p = £0rcos9(fl3/r3-l). B5.1)
Из полученного решения видно, что во внешнем поле Ео шар
поляризуется и приобретает дипольный момент р = Еоя3. При этом
поверхностная плотность заряда на нем оказывается равной (рис. 25.1)
1 дер
= — Ее, cos 9.
4тг °
B5.2)
2. Рассмотрим диэлектрический шар с проницаемостью 8 во
внешнем поле Ео. По аналогии с предыдущим случаем потенциал
вне шара (область 1) будем искать в виде
91 = -£'0rcos9 + (C1/r2)cos9, B5.3)
тогда как внутри шара (область 2) дипольный член должен
отсутствовать, поскольку он расходится при г = 0, а поле внутри
шара должно быть конечным. Поэтому полагаем
68

ф2 = C2r cos 3. B5.4)
Подставляя потенциалы HZZZ
B5.3) и B5.4) в граничные н
условия B2.9), получаем си- Ео
стему уравнений для определе-
ния неизвестных постоянных
и I • /ч /7 —1— f / /7 — I /7
■j «I V_^ 2. Х-/ Q %Л | V^ 1 / W V^ 21*,
E0 + 2CJa3= — eC2. Разрешая
ее, находим C1=^3£'0(8— l)/(e + 2), C2=—3^0/(8 + 2), что со-
соответствует следующему виду потенциалов:
B5.5)
Рис. 25.1
которая соответствует дипольному моменту шара
г 8 + 2 и
и поверхностной плотности связанных зарядов
Анализируя решение B5.5), убеждаемся, что напряженность
поля внутри шара постоянна и равна
Е2 = ЗЕ0/(е + 2). B5.6)
Это означает, что шар имеет постоянную поляризованность
^8-1^ з е-1-^ B5.7)
B5.8)
B5.9)
Обратим внимание на то, что в пределе е--юо решение
задачи с диэлектрическим шаром переходит в соответствующее
решение задачи с проводящим шаром.
Физически это объясняется тем, что при
е->оо связанные заряды становятся сво-
свободными и диэлектрик ведет себя как
проводник.
Задача 25.1. Проводящий шар радиуса а окружен
диэлектрической оболочкой радиуса Ъ с проница-
проницаемостью 8 и помещен в постоянное внешнее поле
Ео. Найти потенциал ф во всех областях и повер-
поверхностную плотность заряда на шаре.
Задача 25.2. Бесконечный проводящий цилиндр ради-
радиуса а помещен на плоской границе двух диэлек-
диэлектриков с проницаемостями е^^ и е2. В среде
с проницаемостью е.^ задано постоянное поле
с напряженностью Ео, перпендикулярной плоскости
раздела (рис. 25.2). Найти потенциал (р во всех
областях и распределение заряда на цилиндре.
Рис. 25.2
69

§ 26. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
Изучим два популярных метода решения задач электростатики,
основанные на использовании некоторых свойств симметрии
исходных уравнений и граничных условий.
Метод отражений применяется в тех случаях, когда гра-
границы раздела сред плоские. Проще всего понять этот ме-
метод, рассмотрев случай проводящего полупространства.
Пусть плоскость z = 0 разделяет проводник (z<0) и диэлек-
диэлектрик (z>0) с проницаемостью 8, в котором задано распределе-
распределение свободных зарядов р(г). Для нахождения потенциала
Ф в диэлектрике необходимо решить уравнение B2.4) с гранич-
граничным условием (p(z = 0) = 0. Предварительно произведем сим-
симметричное продолжение функции 8 (г) на область z<0, т. е.
положим
ec(r) = e(x,j;, |z|). B6.1)
Допустим, что известно некоторое решение фс уравнения
B6.2)
во всем пространстве (обратим внимание на то, что р = 0
при z<0). Рассмотрим функцию ф'= — фс(*> у9 — z). Используя
свойство инвариантности оператора div(8cV) относительно от-
отражения z-+ — z, нетрудно убедиться, что ф' удовлетворяет
однородному уравнению
div(eVq>') = 0 B6.3)
в области z>0. Очевидно, что ф' — потенциал, созданный
отраженными источниками с плотностью р'= — р(х, у9 — z).
Таким образом, решением исходной задачи является функция
Ф = Фс (*, У, z) - фс (х, у, - z). B6.4)
Физический смысл решения B6.4) ясен из самого способа
его построения: потенциалы фс и ф' создаются соответственно
распределением заряда р при отсутствии проводящей среды
и поверхностными зарядами, сосредоточенными на границе
раздела z = 0.
В качестве наглядного примера, иллюстрирующего метод
отражений, рассмотрим следующую задачу. Пусть плоскость
z = 0 разделяет два диэлектрика с проницаемостями 81(z<0)
и 82(z>0). В точке А@, 0, я) в области z>0 расположен
точечный заряд е. Используя метод отражений, потенциал
поля будем искать в виде (рис. 26.1)
Ф1 = е7(е1г2), Ф2 = е/(е2г2) + е7(е2г1). B6.5)
70

Иначе говоря, кроме истинного
заряда е мы взяли еще два фиктив-
фиктивных заряда ef и е\ помещенных
в симметричные точки. С помощью
этих фиктивных зарядов как раз
и описывается поле поверхностных
зарядов, сосредоточенных на границе
раздела z = 0. Подставляя B6.5)
в граничные условия B2.9), получаем
систему уравнений для определения
неизвестных постоянных е' и е":
(e1) a
0
a
w
Л
-Я
P
\г
\ .
e(e')z
Рис. 26.1
Решение этой ' системы имеет вид
С его помощью можно вычислить поверхностную плотность
г|Р связанных зарядов на границе раздела (рис. 26.1):
B6.7)
Подсчитаем силу взаимодействия внесенного заряда е с эти-
этими связанными зарядами. Энергия взаимодействия равна
е 2
B6.8)
4яе2 4яе2
откуда находим силу взаимодействия («силу изображения»):
F = — е-
да i
B6.9)
Метод инверсии основан на применении теоремы Кельвина
(см. задачу 16.4). Суть его состоит в следующем. Допустим,
что мы знаем решение уравнения Пуассона Аф=— 4л р в не-
некоторой области V. Совершим теперь преобразование инверсии
радиуса а с центром в некоторой точке г0:
= a2R/R\ B6.10)
где R = r—r0. При этом преобразовании область V перейдет
в некоторую другую область F', а уравнение Пуассона,
согласно теореме Кельвина, примет вид
Лф' = (я/ЛMД'ф(г')= — 4тс(я/i?Mp(r'), B6.11)
что эквивалентно введению в области V нового распределения
зарядов с плотностью
р(г'). B6.12)
71

Таким образом, преобразование ин-
инверсии связывает между собой решения
двух разных задач электростатики.
Используем метод инверсии для ре-
шения следующей задачи. Пусть име-
имеется заземленная проводящая сфера
радиуса а и вне ее задано некоторое
распределение зарядов P+(i*J- Введем
обозначения V± для областей простра-
пространства вне и внутри сферы (рис. 26.2).
Согласно A7.6), будем искать решение уравнения Пуассона
Аф=_4тср+ B6.13)
в области V+9 удовлетворяющее граничному условию ф = 0
на поверхности сферы, в виде
B6.14)
Рис. 26.2
где ф0 — некоторое решение уравнения Лапласа.
Для нахождения ф0 поместим в области F_ инвертированные
заряды, плотность которых, согласно B6.12), равна
р_(г)=-(а/гMр+(я2г/г2), B6.15)
и рассмотрим создаваемый ими потенциал
B6.16)
Чтобы убедиться в выполнении граничного условия, вы-
вычислим потенциал ф0 на поверхности сферы в некоторой
точке А (рис. 26.2). Для удобства введем обозначения (ОР±=г±,
AP±=R+) и воспользуемся тем, что условие инверсии
г+г_=ат эквивалентно подобию АОАР_ и АОАР+, из
которого следует, что
r+/a = a/r_=R+/ R_= const. B6.17)
Этот факт не удивителен и является выражением известного
свойства окружности быть геометрическим местом точек, для
которых отношение расстояний до двух заданных точек посто-
постоянно (окружность Аполлония). Используя B6.17), а также
закон преобразования при инверсии элемента объема
для точек на поверхности сферы имеем
72

fp-(f'-)dF>- fp+(f'+)r-dr- fp+(f'+)dr
J x- J aR. J *+
что эквивалентно выполнению граничного условия ф = 0. Таким
образом, решение задачи имеет вид
Задача 26.1. На расстоянии I от проводящей плоскости параллельно ей
помещен бесконечный проводящий цишндр радиуса а с зарядом к на 1 см
длины. Считая окружающую среду однородным диэлектриком с проница-
проницаемостью 8, найти в ней потенциал (р и силу притяжения F цилиндра
к плоскости.
§ 27. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИКИ
И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Так как в проводниках объемная плотность электрического
заряда равна нулю, то в электростатическом поле на них
действует только поверхностная сила с некоторой поверхност-
поверхностной плотностью t. Очевидно, что сила, действующая на
элемент поверхности dS, может быть представлена в виде
dF = tdS=r\E'dS, B7.1)
где Е' — напряженность действующего поля, равная напряжен-
напряженности Е полного поля за вычетом вклада элемента dS. Таким
же методом, как в задаче 3.4, можно показать, что Е' = Е/2,
и поэтому
t = riE/2. B7.2)
В то же время [см. B2.6) и B2.8)]
^ E = nE. B7.3)
Все это позволяет представить поверхностную плотность
сил, действующих на проводник, в виде
(DE)n = Wen. B7.4)
Таким образом, проводники в электростатическом поле
испытывают растяжение, очевидной причиной которого явля-
является расталкивание поверхностных зарядов. Интересно, что
численно это растяжение совпадает с плотностью электроста-
электростатической энергии н>е.
73

Перейдем теперь к вычислению сил, действующих в эле-
электростатическом поле на диэлектрическую среду. Для этого
воспользуемся выведенным ранее соотношением B3.13), со-
согласно которому изменение энергии системы при малом
изменении диэлектрической проницаемости среды равно
5Ж=-— £25edF. B7.5)
е 8тг V }
J
В общем случае диэлектрическая проницаемость 8 является
сложной функцией плотности вещества х(г), температуры Г,
напряжений в среде и многих других параметров. Для простоты
предположим, что 8 зависит лишь от плотности вещества
и явно от точки г, т. е. 8 = е(г, х). В таком случае для
вычисления сил, действующих на диэлектрик, можно восполь-
воспользоваться принципом возможных перемещений и рассмотреть
бесконечно малое смещение диэлектрика на вектор 5а (г)
в некоторой малой области V. Тогда
58 = е[г-5а, т'(г)]-е[г, т(г)] =
= 8[г — 5а, х(г —5а) + 5х] —е[г, т(г)]^
« — EaV8) + 5xC8/3x), B7.6)
где 5х = х' (г) — х (г — 5а)« х' (г + Sa) — х (г).
Воспользуемся законом сохранения массы вещества при
деформации r->r' = r + 5a, согласно которому
Преобразуем элемент объема dV к старым переменным,
введя якобиан преобразования ,/, т. е. полагая dF/ = ,/dJ/r, где
з
~П [l+3jEfl'")]«l+div5a. B7.8)
i= 1
Подставляя B7.8) в B7.7), получаем
5x=-xdiv5a. B7.9)
Таким образом, из B7.6) находим
5е= -EaV8)-xE8/5x)div5a. B7.10)
Подставляя B7.10) в B7.5), находим изменение энергии
6WQ = ~ £2rEaV8) + x^div5aW. B7.11)
о7Г I ОТ
J *— —'
V
С другой стороны, B7.11) должно быть пропорционально,
согласно принципу возможных перемещений, элементарной
74

работе внешних сил. Вводя плотность сил flB*3, действующих
на диэлектрик, имеем
5Же=-|(^вяз8а)с1К. B7.12)
v
Для того чтобы привести bWQ к виду B7.12), выполним
во втором слагаемом B7.11) интегрирование по частям.
Возникающий при этом поверхностный интеграл обращается
в нуль, поскольку вне области V, по условию, 5а = 0. Таким
образом,
(T£EaVeMaV^£YW. B7.13)
Сравнивая B7.13) и B7.12), находим выражение для
плотности сил, действующих на диэлектрик в электроста-
электростатическом поле:
£V8 + VT^£\ B7.14)
Задача 27.1. Показать, что при электризации тел трением или при их
близком контакте положительно заряжается вещество с большей диэлек-
диэлектрической проницаемостью (закон Кёна).
Для разреженных диэлектриков выражение для плотности
силы B7.14) упрощается. В этом случае 8 можно считать
линейной функцией т, положив z^l+cx [см. E8.25)]. В этом
приближении т(<Эе/<Эт)^г— 1 и B7.14) принимает вид
у£ {21Л5)
Формулу B7.15) можно получить и в микроскопической
теории. В самом деле, как следует из решения задачи 23.4, на
диполь р в электростатическом поле Е действует сила
F = V(pE) = (pV)E. B7.16)
Суммируя B7.16) по всем диполям р£ из физического бес-
бесконечно малого объема AF и считая напряженность Ef дейст-
действующего поля совпадающей с напряженностью Е среднего поля
в среде, что справедливо для разреженных диэлектриков
с 8 — 1 «с 1, находим
*У ieAV ^y ieAV
jp I (P;V)E^(PV)E. B7.17)
75

Нетрудно видеть, что B7.17) сводится к B7.15), если учесть, что
4тсР = (е— 1)Е, и использовать тождество BП.4д), согласно которому
( /2, B7.18)
поскольку rotE = 0.
Если в диэлектрике имеются свободные заряды, распределен-
распределенные с плотностью р, то плотность сил, действующих на среду
в электростатическом поле, равна
f =pE-l£2Ve + ~v(£2T~y B7.19)
Иногда бывает удобно, поступая так же, как при решении
задачи 13.1, представить B7.19) в виде
fe = divf(e), B7.20)
где Т(е) — тензор электрических натяжений, имеющий компоненты
8 pipk * г2
Согласно B7.20), полная сила, действующая на диэлектрик
в некоторой области V, равна
Fe = JfedF=Jdivf(e)dF. B7.22)
V V
Используя теорему Гаусса — Остроградского в форме BП.6),
сведем объемный интеграл в B7.22) к интегралу по поверхности
5, окружающей объем V:
B7.23)
§ 28. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКОВ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Перейдем к рассмотрению магнитостатических задач. В этом
случае исходными уравнениями являются
divB = 0,
В = Н + 4лМ (в простейшем случае B = |iH).
С их помощью можно определить индукцию В магнитного
поля, возникающего в магнетиках при наличии:
1) токов с заданной плотностью j;
2) постоянных магнитов;
76

3) внешнего магнитного поля с напряженностью Но;
4) сверхпроводников (с заданными полными токами).
Найдем сначала индукцию магнитного поля, создаваемого
заданными токами в вакууме*, т. е. решим систему уравнений:
0. B8.1)
Плотность тока j(r), согласно первому уравнению B8.1),
подчиняется стационарному закону сохранения:
divj = O. B8.2)
Чтобы удовлетворить второму из уравнений B8.1), восполь-
воспользуемся тождеством divrotA = 0 и положим
В = rot А, B8.3)
введя векторный потенциал А.
Подставляя B8.3) в первое из уравнений B8.1), имеем
B8.4)
или с учетом соотношения BП.13)
AA-VdivA=-47cj/c. , B8.5)
Заметим, что из уравнения B8.3) при заданной индукции
В магнитного поля вектор-потенциал А определяется неодноз-
неоднозначно. В самом деле, согласно тождеству rotV\|/ = 0, вместо
А всегда можно взять другой вектор А', отличающийся на
градиент произвольного скаляра \|/**:
B8.6)
Но последний всегда можно выбрать так, чтобы divA' = 0.
Для этого достаточно подчинить \|/ уравнению
А\|/= — divA.
Таким образом, всегда можно положить divA = 0 и находить
вектор-потенциал А как решение системы уравнений:
ДА=-4тд/с, divA = 0. B8.7)
Замечая, что в декартовых координатах любая из компонент
вектора А удовлетворяет уравнению типа Пуассона, можно по
аналогии с A7.4) записать решение уравнений B8.7) для всего
пространства в виде
ijJ^W', B8.8)
* Случай однородного магнетика получается умножением j на \i.
** Преобразование B8.6) называется градиентным или калибровочным преоб-
преобразованием вектора-потенциала А.
77

где R = r—r'. При этом нетрудно убедиться, что B8.8) удовлет-
удовлетворяет условию divA = 0. В самом деле, переходя в B8.8) к новой
переменной интегрирования R, имеем
л- а л- fj(r—R) ,г, fdivj(r-R)
cdivA = div J-A___WR= yj—'-
dV
R9
что действительно обращается в нуль [см. B8.2)].
Отметим, что к решению B8.8) можно добавить вектор Ао,
удовлетворяющий уравнению Лапласа ДАо = 0 и условию divAo = 0.
Однако если система токов ограничена и физически приемлемыми
считаются только решения, исчезающие на бесконечности, то ясно,
что Ао = 0. Это следует из того, что Ао является векторной
гармонической функцией и по принципу максимума может
удовлетворять граничному условию НтАо = 0 только при Ао = 0.
г-юо
Применяя к B8.8) операцию ротора, находим индукцию
магнитного поля:
=Л Irot
С
откуда следует закон Био — Савара — Лапласа:
dF'. B8.9)
В итоге доказана эквивалентность B8.1) и B8.9). Для однород-
однородного магнетика в B8.9) вместо В нужно подставить Н.
Задача 28.1. Найти вектор-потенциал А и индукцию В магнитного поля,
создаваемого: а) прямым током I; б) бесконечной прямой катушкой с током
силой I, имеющей п витков па 1 см и радиус а.
Перейдем теперь к задаче о нахождении индукции В в неод-
неоднородном магнетике, характеризующемся магнитной проница-
проницаемостью |i(r). В этом случае необходимо использовать уравнение
B8.10)
B8.11)
Допустим, что требуется найти индукцию В в некоторой
области V, ограниченной замкнутой поверхностью S. При этом
можно выделить три типа граничных задач:
1) на поверхности S задан вектор [пА], где п — внешняя
нормаль к S;
2) на поверхности S задан вектор [пН];
подставляя в которое B8.3) находим
j
78

3) на части поверхности S задан вектор [пА], а на другой
ее части — вектор [пН].
Покажем, что во всех этих задачах магнитное поле определя-
определяется однозначно, а векторный потенциал — с точностью до
градиентного преобразования.
Предположив противное, примем, что существует два разных
решения Ах и А2. Тогда их разность u = Ax — A2, согласно B8.11)
и BП.4а), будет удовлетворять уравнению
divT-rotuU-frotuJ. B8.12)
[_м- J и-
Интегрируя B8.12) по области V и применяя теорему
Гаусса — Остроградского, находим
-(rotuJdF=(C-([nu]rotu)d5. B8.13)
V S
Очевидно, что поверхностный интеграл в B8.13) исчезает с учетом
наложенных граничных условий, так как во всех случаях либо [пи 1,
либо [nrotu] обращаются в нуль на поверхности S. Но тогда из B8.13)
вытекает, что rotu = 0. Это и доказывает теорему единственности.
Наконец, остановимся на граничных условиях A2.3) и A2.6),
которые должны накладываться в тех случаях, когда магнитная
проницаемость испытывает разрыв на некоторой поверхности
5" внутри области V. Прежде всего необходимо наложить
условие непрерывности касательной составляющей вектора-потен-
вектора-потенциала А на поверхности 5":
[[пА]] = 0. B8.14)
Это делается для того, чтобы индукция В была конечной.
В самом деле, если принять, что А может иметь скачок [А]
на 5", то, согласно B1.3), индукция на 5" имеет сингулярную часть
где/(г) = 0 — уравнение поверхности 5". Таким образом, индукция
В принимает бесконечные значения в точках поверхности 5",
что физически недопустимо. Если же выполнено условие B8.14),
то Всинг = 0, так как n = V///
Задача 28.2. Показать, что граничное условие (п|В]) = 0 является следствием
B8.14).
Таким образом, с учетом A2.6) на границе раздела двух
магнетиков должны выполняться следующие условия:
^i, B8.15)
где i — плотность поверхностных токов проводимости на границе
раздела.
79

§ 29. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ТОКОВ
(МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ)
Предположим, что токи с плотностью j сосредоточены в не-
некоторой области пространства F, которую можно заключить
в сферу конечного радиуса а. Подставив в общее выражение
для вектора-потенциала
HjiSjdr B9л)
V
разложение A9.4), найдем для г>а>г'
А(г)= £ ^ (j'(r'V)'Idr= £ ЫЛГ""X..AI,
/ = 0 Ll' J r 1 = 0 '• г
V
где введен тензор 2'-польного магнитного момента
B9.2)
B9.3)
каждая компонента которого является вектором.
Вычислим низшие мультипольные моменты Л^) и М^
[которыми на основании оценки типа A9.18) можно ограничиться
при определении А, если г»а ]. Для этого удобно воспользоваться
соотношением B8.2) и условием ограниченности системы токов,
согласно которому j = 0 при г>а. Умножим B8.2) на произволь-
произвольную функцию /(г) и проинтегрируем по области V, применив
теорему Гаусса — Остроградского:
j/(r)divjdr=-j(jV)/dF+ | /(r)(nj)dS=O. B9.4)
V V S-*oo
Но поверхностный интеграл в B9.4) исчезает, так как j = 0
при г>а. В результате получается тождество
J(jV)/(r)dK=O. B9.5)
V
Подставляя f(r) = xl в B9.5), находим
V V
Иначе говоря,
^(o) = jjdF=0. B9.6)
v
80

Выбирая в B9.5) f(r) = rxk, имеем
k)O. B9.7)
V V
С помощью B9.7) первый член мультипольного разложения
B9.2) преобразуется к виду
V V
или, если ввести магнитный момент системы токов
m=-4[rjW, B9.8)
V
к виду A^fmrj/r3. B9.9)
Используя тождество (справедливое при г>0)
^^ B9.10)
доказанное при решении задачи 1.5, индукцию, соответствующую
векторному потенциалу B9.9), можно записать по аналогии
с электростатикой:
B1 = -V^=-V^, B9Л1)
т. е. введя магнитный скалярный потенциал \|/1? отвечающий
магнитному диполю с моментом т:
<h=(inr)/r3. B9.12)
Нетрудно видеть, что, повторяя процедуру построения элек-
электрических мультиполей и взяв за исходное векторный потенциал
B9.9) магнитного диполя, можно прийти к магнитостатическому
аналогу формулы A9.9):
^V]^. B9.13)
В качестве конкретного случая системы оганиченных токов
рассмотрим замкнутый линейный ток силой /, текущий по
некоторому контуру С. Так как для линейного тока jdF=/dI
81

и сила тока / постоянна в любом сечении контура С в соот-
соответствии с B8.2), то формула B9.1) в этом случае примет вид
B9.14)
Применяя теорему Стокса BП.8а), приводим B9.14) к ин-
интегралу по правоориентированной поверхности S, натянутой на
контур С:
B9.15)
с I u -'К с - "-
s s
Очевидно, что B9.15) можно представить как вектор-потенциал
двойного магнитного слоя (магнитного листка):
A=feft B9.16)
S
где элементарный магнитный момент равен
dm' = IndS' /с, B9.17)
что соответствует мощности двойного магнитного слоя тт = //с.
Нетрудно видеть, что если ввести скалярный магнитный
потенциал \|/, отвечающий B9.15), то он будет иметь такой же
вид, как и для двойного электрического слоя:
B9Л8)
S
где Q — телесный угол, под которым виден контур С из точки
наблюдения (см. задачу 1.5). Очевидно, что потенциал \|/ не
является однозначной функцией точки — при обходе вокруг кон-
контура с током он испытывает приращение
[\|/] = 47ТТт = 4тт//с. B9.19)
Но если в случае двойного электрического слоя скачок
потенциала на его поверхности обусловлен тем, что внутри
бесконечно тонкого двойного слоя напряженность электрического
поля оказывается бесконечно большой [см. B0.6)], то отмеченная
неоднозначность магнитного скалярного потенциала обусловлена
двусвязностью области определения функции \|/ (все пространство,
за исключением контура с током). Эту область можно сделать
82

односвязной, проведя разрез по некоторой поверхности S,
натянутой на контур, и считая, что на ней потенциал \|/ испытыва-
испытывает скачок B9.19). Но так как поверхность S можно произвольно
сместить так, чтобы точка наблюдения не попала на нее, то всегда
оказывается справедливым преобразование B9.15) и представление
скалярного магнитного потенциала в виде B9.18).
Таким образом, мы пришли к выводу, что магнитное поле
замкнутого линейного тока I тождественно полю магнитного
листка мощностью хт = 1/ с, натянутого на контур тока (теорема
эквивалентности Ампера). В пользу этого утверждения говорит
и результат задачи 8.1, согласно которому магнитные моменты
замкнутого линейного контура с током и магнитного листка
оказываются одинаковыми и имеют вид
=Л ndS. B9.20)
Задача 29.1. Показать, что если ограниченная система токов имеет маг-
магнитный квадрупольный момент JPlk= — D/3)T5lfc, то
где j = crotM. Вектор Т называют тороидностью или анаполъным моментом.
Показать, что для тороидальной катушки с током I, имеющей N витков,
тороидность равна T = ezVNI/Dnc), где V—объем катушки. Положив M = rotx,
убедиться, что т— плотность тороидности.
Задача 29.2. Найти индукцию магнитного поля линейного кругового тока. Резуль-
Результат выразить через полные эллиптические интегралы первого и второго рода:
я/2
Г dP Г
= Р2 д ; £(*) =
K(k)= K ; E(k)= dpv/l-^2sin2p. B9.21)
Найти асимптотическое выражение для поля вблизи контура с током и вдали
от него.
§ 30. ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ
В постоянном магните отсутствует ток проводимости, однако
в каждой его точке существуют намагниченность М(г) и обус-
обусловленный ею ток намагничения с плотностью jM = crotM.
Поэтому вектор-потенциал, создаваемый этим током, может
быть определен как
C0.1)
83

Однако использование этой формулы представляет значитель-
значительные неудобства, вызванные необходимостью учета поверхностных
токов намагничения, возникающих на границах раздела двух
магнетиков. В связи с этим (см. § 21) преобразуем формулу
C0.1), воспользовавшись тождеством
]^ C0-2)
С учетом соотношения B1.3) можно обосновать применимость
в данном случае теоремы Остроградского BП.5в), по которой
C0.3)
J R
поскольку вне Mai нетика М = 0. Поэтому, интегрируя тождество
C0.2) по объему магнетика V и используя C0.3), имеем
J R
V
что совпадает в соответствии с B9.9) с векторным потенциалом
распределенного магнитного момента с плотностью М.
Формулу C0.4) иногда записывают и в иной форме, полагая
А=| VIM' |dF' = rotZ, C0.5)
v
где введен вспомогательный вектор
C0.6)
называемый магнитным вектором Герца. Согласно C0.6), вектор
Z, очевидно, удовлетворяет уравнению
AZ=-4tiM, C0.7)
с учетом которого магнитная индукция может быть представлена
в виде
C0.8)
Отсюда следует, что напряженность магнитного поля равна
H = B-4rcM = VdivZ. C0.9)
84

Рис. 30.1
Рис. 30.2
С другой стороны, для того чтобы выполнялось уравнение
rotH = 0, справедливое при отсутствии токов проводимости,
можно ввести скалярный магнитный потенциал \|/, положив
H=-V\|/. C0.10)
Сравнение C0.10) с C0.9) показывает, что
\|/=-divZ, C0.11)
т. е. знание магнитного вектора Герца Z позволяет вычислить
как векторный, так и скалярный потенциалы магнитного поля.
В качестве иллюстрации отмеченных выше особенностей поля
постоянных магнитов рассмотрим конкретный случай цилиндри-
цилиндрического магнита, однородно намагниченного вдоль оси. Так как
намагниченность М внутри магнита постоянна, а вне его исчезает,
то ток намагничения с плотностью jM = crotM течет только по
поверхности. Плотность поверхностного тока намагничения нахо-
находим так же, как в задаче 21.1, используя уравнение jM = rrotM:
1м = ф[МЦ. C0.12)
Таким образом, цилиндрический магнит эквивалентен солено-
соленоиду с током iM = cM на 1 см (рис. 30.1).
В то же время (см. § 29) поле линейных токов соленоида
совпадает с потенциальным полем магнитных листков, если
точка наблюдения не попадает на их поверхность. Следовательно,
для расчета индукции В вне магнита можно заменить его
стопкой магнитных листков. Вследствие постоянства М внутрен-
внутренние магнитные заряды компенсируют друг друга и вся стопка
оказывается эквивалентной поверхностным магнитным зарядам,
расположенным на торцах цилиндра (рис. 30.2). При этом
плотность связанных магнитных зарядов может быть введена
по аналогии с G.1) и B1.14):
pM=-divM =
, riM=-(n[Ml),
C0.13)
свободных же магнитных зарядов не существует, так как div B = 0.
85

На практике расчет поля постоянных магнитов представляет
значительные трудности, поскольку зависимость М(Н) зачастую
описывается сложной нелинейной функцией, значения которой
к тому же определяются способом достижения заданного поля
Н (гистерезис). Вот почему иногда бывает полезным иде-
идеализированное приближение, когда полагают
В = цН + 4лМ0, C0.14)
где М0(г) — известная функция, задающая постоянную (остаточ-
(остаточную) намагниченность образца. Очевидно, что вектор (|i—1)Нх
хDп)~1 представляет собой индуцированную намагниченность.
Если воспользоваться методом скалярного магнитного потенци-
потенциала, положив Н = — V\|/, то уравнение div В = 0 дает
div(|iV\|/) = 4л div Мо. C0.15)
Таким образом, задача оказывается аналогичной соответст-
соответствующей задаче электростатики. При этом граничные условия
на поверхности раздела двух магнетиков имеют вид
№1 = 0, (п[цУ1|/]) = 4я(п[М0]). C0.16)
Задача 30.1. Магнит представляет собой шар радиуса а с постоянной
намагниченностью Мо и проницаемостью ц. Найти индукцию магнитного
поля вне и внутри магнита.
Задача 30.2. Маленький магнитик с моментом т находится на расстоянии
а от стенки из мягкого железа (ц:»1). Найти индукцию магнитного поля.
Нетрудно видеть, что задачи на определение индукции маг-
магнитного поля в магнетиках при наличии однородного внешнего
поля Но аналогичны соответствующим задачам электростатики
и их решение поэтому достигается заменой е->ц, E->H, D->B
в известных решениях электростатических задач.
§ 31. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Поведение сверхпроводников в магнитном поле обладает неко-
некоторыми особенностями, изучению которых мы и посвятим данный
параграф. Впервые сверхпроводимость была обнаружена Г. Ка-
Камерлинг-Оннесом в 1911 г. при исследовании электрических свойств
ртути в области низких температур. Оказалось, что при тем-
температуре Гкр = 4,19 К сопротивление ртути становится неощутимо
малым, причем спад сопротивления очень резок (рис. 31.1).
Впоследствии сверхпроводимость была обнаружена у многих
металлов и сплавов (белое олово, цинк, алюминий и др.).
Для того чтобы проверить, действительно ли сопротивление
сверхпроводников строго обращается в нуль при Т< Гкр, анг-
английский физик С. Коллинз провел следующий опыт. При тем-
температуре, превышающей критическую G\>Гкр), он помещал
оловянное кольцо в магнитное поле и охлаждал его до некоторой
86

h
Ню, (Г)
Нормальный
прободнин
Сверх-
прободник
кр
Рис. 31.1
О Т
Рис. 31.2
температуры Т2<Ткр, при которой олово становилось сверх-
сверхпроводником. После этого магнитное поле выключалось и время
от времени проводилось измерение наведенного в кольце тока.
Это измерение осуществлялось косвенно: к кольцу подносилась
небольшая обмотка, и по силе тока, наведенного в ней, можно
было судить о силе тока в самом кольце. Никаких изменений
силы тока в кольце не было обнаружено в течение 2,5 лет.
Поэтому для оценки сопротивления кольца Коллинз взял за
основу предел точности измерительной аппаратуры и нашел,
что удельная проводимость сверхпроводящего кольца не меньше
ст^З-Ю22 Ом^-см-^З-Ю^с, C1.1)
т. е. примерно в 1016 раз выше, чем у меди. Таким образом,
сопротивление сверхпроводников действительно обращается
в нуль при температуре, меньшей критической*.
Вскоре выяснилось, что на критическую температуру Гкр,
которая обычно меньше 20 К, сильно влияет внешнее магнитное
поле**. Если для определенности брать образцы цилиндрической
формы и помещать их в магнитное поле, параллельное оси,
то при заданной температуре Т<Ткр и некотором поле Нкр(Т)
сверхпроводимость пропадает. Для сверхпроводников зависимость
Нкр(Т) аппроксимируется параболой (рис. 31.2):
Якр(Г) = Якр@)A-Г2/Гк2Р). C1.2)
Таким образом, сверхпроводимость наблюдается только при
температуре и напряженности внешнего магнитного поля, не
превышающих некоторых критических значений. Обычно напря-
напряженность критического поля невелика и составляет сотни эрстед
(за исключением некоторых сплавов — сверхпроводников второго
* Последующие измерения методом ядерного магнитного резонанса показали,
что время затухания тока не меньше 105 лет.
** В 1987 г. с открытия швейцарских физиков К. Мюллера и Ж. Беднорца
началось изучение высокотемпературной сверхпроводимости. Известны соединения
с Гкр>100К.
87

т рода, примером которых мо-
может служить сплав ниобия
с оловом Nb3Sn, имеющий
#кр = 2 105 Э и Гкр=18,1 К).
В первые годы изучения
сверхпроводимости многие ис-
исследователи склонны были
рассматривать сверхпроводни-
сверхпроводники как идеальные проводники,
т. е. проводники с бесконечной
с. 31.3 проводимостью (а=со). Одна-
Однако в 1933 г. немецкие физики В. Мейсснер и Р. Оксенфельд
открыли явление, которое опровергало эту гипотезу: ими было
доказано, что сверхпроводники являются идеальными диамагнети-
ками. Это означает, что сверхпроводники полностью выталкивают
из себя магнитное поле, т. е. внутри них всегда В = 0 (или
формально 11 = 0). В идеальный же проводник (а = оо) магнитное
поле проникать может. Чтобы понять, в чем здесь дело,
рассмотрим подробнее опыт Мейсснера — Оксенфельда. Они вы-
выбрали сферический образец из сверхпроводника и при Т> Гкр
поместили его в магнитное поле. При этом поле полностью
проникало в образец, поскольку он находился в нормальном
(несверхпроводящем) состоянии и имел ц»1. Затем температура
была понижена до критической, так что образец стал сверх-
сверхпроводящим. Если бы это был идеальный проводник, то он
сохранил бы захваченный магнитный поток, поскольку при а = оо
и конечной плотности тока j было бы E=j/a,= 0 и, по закону
электромагнитной индукции Фарадея,
C1.3)
Поэтому при выключении внешнего магнитного поля наведен-
наведенные в образце токи создали бы в точности такой же магнитный
поток, как прежний (рис. 31.3, а). Однако измерения конфигурации
линий индукции вблизи образца при включенном внешнем поле
Но показали (рис. 31.3,6), что поле в образец не проникает.
В то же время при выключенном внешнем поле никакого
собственного магнитного поля у образца не оказалось.
Задача 31.1. Убедиться, что отсутствие сопротивлении у сверхпроводников
является следствием эффекта Мейсснера.
Более детальные исследования показали, что магнитное поле
все же проникает в сверхпроводник на небольшую глубину
А,^10~5см, затухая в нем по закону ехр( — х/Х). Однако если
ограничиться макроскопическим описанием массивных образцов,

размеры которых значительно превышают глубину проникновения
магнитного поля в образец, то можно считать, что внутри
сверхпроводников В = 0 (и точно так же Н = М = 0). Поэтому из
основных уравнений магнитостатики
C1.4)
следует, что сверхпроводящие токи текут лишь в тонком
поверхностном слое образца. При этом поверхностная плотность
тока может быть найдена из граничных условий A2.3) и A2.6),
согласно которым
(nB) = 0, i = ^[nH]. C1.5)
Это означает, что вблизи сверхпроводника вектор индукции
В направлен касательно к его поверхности, а касательная
составляющая Н определяет силу и направление поверхностного
тока.
Так как в сверхпроводниках rotH^O, то следует пользоваться
методом векторного потенциала, а не скалярного. Полагая
В = rot А, находим, что внутри сверхпроводников rot А = 0, т. е.
A = Vx. C1.6)
Если сверхпроводящая область V односвязна, то скалярная
функция х однозначна. Это видно из того, что в этом случае
на любой замкнутый контур С, проведенный в К, всегда можно
натянуть поверхность S, целиком лежащую в V. Но тогда на
S будет rotA = 0 и приращение х пРи обходе контура С, согласно
теореме Стокса, оказывается равным
0. C1.7)
Учитывая однозначность % и то, что вектор-потенциал А задан
с точностью до градиента, можно считать, что внутри односвяз-
ного сверхпроводника
А = const. C1.8)
Если же область V многосвязна (например, кольцо), то не
на всякий контур С можно натянуть поверхность, целиком
лежащую в V. Поэтому, используя C1.7), убеждаемся, что
функция х оказывается неоднозначной. В этом случае необходимо
пользоваться представлением C1.6), а не C1.8), т. е. избавиться
от Vx с помощью калибровочного преобразования B8.6) невоз-
невозможно.
Уравнение C1.8) наводит на мысль, что роль сверхпроводников
в магнитостатике аналогична роли проводников в электростатике.
Однако тот факт, что в магнитостатике сверхпроводников
89

Л/L
приходится пользоваться векторным,
а не скалярным потенциалом, приводит
к некоторым существенным отличиям.
Особенно наглядно это проявляется
в задачах с плоской сверхпроводящей
границей, в которых работает метод
отражений. В качестве примера рассмо-
рассмотрим классический опыт В. К. Аркадъе-
Рис- 31.4 ва с «парящим» магнитом.
Если небольшой магнитик уронить на поверхность сверх-
сверхпроводника, то он не долетит до нее, оттолкнется вверх и,
немного покачавшись, застынет на некотором расстоянии от
поверхности. Причина такого поведения магнитика очень проста:
при падении магнита его поле наводит в сверхпроводнике
вихревые токи, а магнитное поле этих токов препятствует, по
закону Ленца, проникновению внешнего магнитного поля в сверх-
сверхпроводник. Поле этих токов и выталкивает магнит наверх.
То же самое получается и при использовании метода от-
отражений. Чтобы выполнить граничное условие (пВ) = 0 или C1.8),
необходимо, чтобы отраженные магнитные заряды (рис. 31.4)
имели те же знаки, что и отражаемые (заметьте, что в методе
скалярного потенциала заряды отражаются в свои антиподы).
Нетрудно видеть, что при соответствующем отражении токов
[nj]->— [nj] в согласии с B8.14).
Задача 31.2. Найти вектор-потенциал магнитного поля небольшого магнита
с моментом т, расположенного на расстоянии а от сверхпроводящей стенки.
Сравнить результаты задач 30.2 и 31.2.
Задача 31.3. Два сверхпроводящих провода радиусом а расположены на рас-
расстоянии 2/ друг от друга в среде с проницаемостью ц. По проводам текут
равные и противоположно направленные токи I. Найти вектор-потенциал
в окружающем пространстве.
Задача 31.4. Сверхпроводящий шар радиусом а помещен в однородное внешнее
поле Но. Найти индукцию магнитного поля вне шара и плотность поверх-
поверхностных токов на нем. То же, в случае цилиндра в поперечном поле Но.
Задача 31.5. Показать, что в односвязном сверхпроводнике при отсутствии
внешних магнитных полей не могут протекать стационарные поверхностные
токи.
Рассмотрим влияние формы сверхпроводящего образца на его поведение
во внешнем магнитном поле. Если, скажем, взять сферический образец, то из
результатов задачи 31.4 следует, что во внешнем поле Но, удовлетворяющем
условию
C1.9)
Рис. 31.5
напряженность поля на экваторе будет превышать
критическую Якр. Но тогда в экваториальной
области сверхпроводник должен перейти в нор-
нормальное состояние (рис. 31.5, заштрихованная об-
область), причем на границе нормальной и сверх-
сверхпроводящей областей внутри шара напряженность
поля, очевидно, равна Якр. Но это обстоятельство
90

тотчас же приводит к противоречию. Действительно, в области V, включающей
в себя все пространство вне шара и нормальную зону образца, очевидно,
rotB = 0. Поэтому с учетом уравнения divB = O имеем
AB = VdivB — rotrotB = 0, C1.10)
т. е. В является векторной гармонической функцией. В таком случае, согласно
принципу максимума*, она должна принимать свои экстремальные значения на
границах области V. В соответствии с результатами задачи 31.4 на границах
V имеем
max£=tfKp, min£ = 0. C1.11)
Но тогда всюду в области V справедливо неравенство 0^В^Нкр, из
которого следует, что заштрихованная область должна быть не нормальной,
а сверхпроводящей.
Чтобы разрешить указанное противоречие, Р. Пайерлс и Ф. Лондон в 1936 г.
высказали гипотезу, согласно которой в интервале C1.9) образец переходит
в особое состояние, названное ими промежуточным. В этом состоянии весь
образец распадается на очень мелкие чередующиеся нормальные и сверх-
сверхпроводящие области, причем в нормальных областях В = Нкр, а в сверхпроводящих
В=0. В 1937 г. Л. Д. Ландау сделал дальнейшее предположение о ламинарной
структуре промежуточного состояния. Согласно Ландау, должны существовать
отдельные нити в нормальном состоянии, пронизывающие толщу сверхпроводника
параллельно друг другу и выходящие на поверхность образца. Вскоре такая
структура действительно была обнаружена на опыте.
§ 32. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
Рассмотрим ограниченную систему токов, погруженную в маг-
магнетик с проницаемостью |i(r). Выделим некоторую область
Ко с границей S, включающую систему токов. Тогда [см. A4.7)]
энергия магнитного поля, содержащаяся в Ко, равна
[(BH)dK. C2.1)
Полагая В = rot А и применяя теорему Гаусса — Остроградс-
Остроградского, с учетом тождества div [НА ] = (A rot Н) — (Н rot А) находим
C2.2)
Для ограниченной системы токов, согласно B9.9), асимп-
асимптотическое поведение вектор-потенциала А при г -► оо имеет вид
A = [mr]/r3,
где m — полный магнитный момент системы. Отсюда нетрудно
получить следующую оценку для поверхностного интеграла
в C2.2), приняв, что поверхность S представляет собой сферу
* См. Приложение.
91

как угодно большого радиуса R:
1
(b(n[HA])dS
C2.3)
s
Таким образом, при R -> оо поверхностный интеграл в C2.2)
исчезает и выражение для энергии магнитного поля с учетом
уравнения rotH = 4rcj/c принимает вид
«.
V
где V—область, занятая токами проводимости.
Замечая, что поле В создается как токами проводимости,
так и токами намагничения, можно записать следующее уравнение
для векторного потенциала А:
Решение его [см. B8.8)] имеет вид
7jdF' C2-5)
Подставляя C2.5) в C2.4), получаем выражение для энергии
магнитного поля постоянных токов:
C16)
v г
где V — область, занятая токами проводимости и намагничения.
Для однородного магнетика с постоянной проницаемостью
|i вместо C2.5), очевидно, имеем
•»-<r C17)
v
и поэтому C2.6) упрощается:
■JSl-dKdK'. C2.8)
V V
Интересно отметить далеко идущую аналогию между магнито-
и электростатикой, которая, в частности, проявляется в сходстве
92

формул C2.6) и B3.5), а также C2.8) и B3.6). В обоих случаях
энергия взаимодействия элементарных токов или зарядов изменя-
изменяется с расстоянием по закону \/R.
Обычно токи текут по проводникам, занимающим некоторые
области Fi, F2, ... В то же время из условия стационарности
токов divj = O вытекает, что линии тока являются замкнутыми.
Выделяя области Vt, отвечающие полным токам /,-, можно
положить jj = /jfi(r) и переписать C2.8) в виде
wm=±{£LMb
ic i,k
где введены коэффициенты
!(imi C2.Ю)
называемые взаимной индуктивностью при \Фк и индуктивностью
при i = k. Для квазилинейных проводников подстановкой jjdK= /^dl
каждый объемный интеграл в C2.10) сводится к линейному:
c\ck
Однако такое упрощение допустимо только при вычислении
взаимной индуктивности Lik непересекающихся квазилинейных
проводников, когда г^гк. В противном случае необходимо
пользоваться общим выражением C2.10).
Задача 32.1. Полагая в C2.10) f, = rotg,, где divg^O, показать, что для
Llk справедливо представление
A* = 47iiif(glfo)dK. C2.12)
v
Для квазилинейных проводников смысл коэффициентов
Lik становится особенно понятным. В самом деле, в этом случае,
вводя магнитный поток Ф; через контур Ct /-го проводника, находим
C2.13)
V С,
Сравнение с формулой C2.9) показывает, что
Ф 11Л
c_ _ ... C2-14)
C к к
где <X>ik = LikIk/c — магнитный поток, создаваемый током
1к и пронизывающий контур Q. Таким образом, для
93

квазилинейных проводников коэффициенты Lik можно определять
либо из энергии [см. C2.9)], либо из магнитного потока [см.
C2.14)].
Задача 32.2. Рассчитать индуктивность L тороидальной катушки, имеющей
N витков. Максимальный и минимальный радиусы тороида равны соответ-
соответственно b и а.
Посмотрим теперь, как изменится выражение для энергии
магнитного поля в присутствии сверхпроводников. Если сверх-
сверхпроводящая область V односвязна, то внутри нее [см. C1.8)]
А = const и поэтому ее вклад в энергию равен
V V
на основании B9.6). Это означает, что одйосвязный сверх-
сверхпроводник не может быть самостоятельным источником маг-
магнитного поля в полном соответствии с задачей 31.5.
Допустим теперь, что сверхпроводящая область V многосвяз-
многосвязна. Ясно, что, проведя достаточное число разрезов Sh область
V всегда можно сделать односвязной. В этом случае, полагая
[см. C1.6)] A = Vx, имеем
=li J(nj) fcbdS^i
J(jVx)dFl J(nj) fcbdS^/, [х1ь C2.15)
V St
где [xli—скачок х на разрезе Si9 It—сила тока через разрез
St. Сравнение C2.15) с C2.13) показывает, что в квазилинейном
случае скачок [xli соответствует магнитному потоку Ф;.
Задача 32.3. Вычислить индуктивность L тонкого сверхпроводящего кольца
радиуса а. Радиус сечения провода го<з:а.
Задача 32.4. Тонкое сверхпроводящее кольцо находится в магнитном поле
с напряженностью Но, перпендикулярной его плоскости. Найти зависимость
силы тока I в кольце от напряженности Но, меняющейся от нуля до
критического значения Нкр и затем вновь спадающей до нуля.
Найдем еще выражение для энергии магнитного поля в присут-
присутствии постоянных магнитов. В этом случае уже нельзя полагать
wm = (ВН)/(8л), поскольку В^цН. Рассматривая идеализированное
приближение C0.14), для изменения плотности энергии магнитного
поля, согласно A4.5), получим
Таким образом, можно считать, что в случае идеализирован-
идеализированных постоянных магнитов
Wm = !_#2 = _L(BH) -I(M0H) C2.16)
94

и полная энергия магнитного поля
равна
. C2.17)
Первый интеграл в C2.17), как
и C2.1), сводится к C2.4) и исчезает,
если j = 0, т. е. если поле создается
лишь самим магнитом. Таким об-
образом, полная энергия магнитного
поля постоянных магнитов равна
Рис. 32.1
C2.18)
Нетрудно видеть, что Wm>0, так как Мо и Н антипарал-
лельны.
Наконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления
не позволяют ввести однозначную функцию В(Н), нельзя опре-
определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь
вычислять ее изменения. Замечая, что
47t5wm = (H5B) = 5(HB) - (В5Н),
при изменении напряженности поля от Нх до Н2 получим
следующее изменение энергии:
dK. C2.19)
- |(B5H)]
При возвращении в ту же точку, т. е. при обходе гистерезисной
петли (рис. 32.1), в 1 см3 ферромагнетика, согласно второму
началу термодинамики, должно выделяться количество теплоты
(jMvvm=-l(j)(B5H)>0.
C2.20)
Это происходит потому, что при перемагничивании домены
поворачиваются, что сопровождается разрывом сцепления между
ними, т. е. работой против сил «трения».
Задача 32.5. Показать, что если в магнитное поле, созданное заданными
постоянными токами, внести магнетик с проницаемостью, отличающейся
на 5ц от проницаемости окружающей среды, то изменение энергии поля равно
C2.21)
Показать также, что при внесении сверхпроводника энергия поля уменьшается.
95

§ 33. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СВЕРХПРОВОДНИКИ
И МАГНЕТИКИ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Начнем с вычисления силы, действующей на сверхпроводник.
Так как в объеме сверхпроводника j = 0, то исчезает и объемная
плотность силы Лоренца fm = ЦВ ]/с = О, тем более что внутри
сверхпроводника В = 0. Поэтому ясно, что на сверхпроводник
могут действовать лишь поверхностные силы. Очевидно, что
поверхностная плотность силы Лоренца равна
t = [IB']/c, C3.1)
где i = с [пН ]/Dя) — плотность поверхностного тока, В' — индукция
действующего магнитного поля. Так как внутри сверхпроводника
В = 0, то, повторяя рассуждения задачи 3.4, нетрудно убедиться,
что В/ = В/2, где В—-индукция магнитного поля у поверхности
сверхпроводника, удовлетворяющая граничному условию (пВ) = 0.
Таким образом,
t = [lB]/Bc)= -п(ВН)/(8я)= -nwm, C3.2)
откуда видно, что сверхпроводник в магнитном поле испытывает
поверхностное давление, численно равное плотности энергии
магнитного поля (магнитное давление). Причину этого давления,
очевидно, следует искать во взаимодействии поверхностных токов.
Для того чтобы найти силы, действующие в магнитном поле
на магнетик, характеризующийся проницаемостью ц(г), восполь-
воспользуемся соотношением C2.21). Как и в § 27, рассмотрим бесконечно
малое смещение магнетика на вектор 5а (г) в некоторой малой
области V. Тогда из C2.21) по аналогии с B7.11) получим
bWm=-- |#2rEaV|i)+T^div5a]dK. C3.3)
8я I ox
j ■— —'
V
Однако, как было выяснено в задаче 14.1, энергия системы
зарядов может измениться лишь за счет работы ЬАе вихревого
электрического поля, возникающего при смещении магнетика.
Эта работа равна и противоположна по знаку работе ЬАт
магнитного поля над молекулярными токами. В итоге, прирав-
приравнивая уменьшение энергии магнитного поля работе вихревого
электрического поля, имеем
bWm=-bAe = bAm. C3.4)
Вводя плотность сил f^*3, действующих на магнетик в маг-
магнитном поле, можно записать
6^m = J(f™8a)dK C3.5)
v
96

Подставляя выражения C3.3) и C3.5) в C3.4), имеем
fr = _ g^+ 1 у(х^н2\ C3.6)
что по структуре аналогично B7.14).
Для разреженных магнетиков, когда |i^l+ci^l [см. E9.15)],
формула C3.6) упрощается и принимает вид
fr*(n-l)V#2/(84 C3.7)
К этому выражению можно прийти и в микроскопической
теории. В самом деле, из соотношения C3.4) следует, что если
известно выражение для энергии Wm магнитного поля как
функции некоторых обобщенных координат ql9 q2, ..., то
обобщенные силы Fx могут быть найдены по формуле
F{ = dWJdqi. C3.8)
Задача 33.1. Найти силу и момент сил, действующие на точечный магнитный
момент m в магнитном поле Во.
Представим теперь магнетик как совокупность молекул, об-
обладающих магнитными моментами т*. Тогда плотность силы,
действующей на магнетик в магнитном поле В, следуя результату
задачи 33.1, равна
fr^T^ZK^B,. C3.9)
аУ igAV
Заменяя индукцию Bt действующего поля на среднюю ин-
индукцию В, что допустимо для разреженных сред, и вводя
намагниченность
из C3.9) с учетом тождества (HV)H = V#2/2, справедливого при
rotH = 0, находим
что согласуется с C3.7) для |i«l.
Нетрудно видеть, что в соответствии с C3.7) парамагнетики
(|i>l) должны втягиваться в область сильнейшего магнитного
поля, а диамагнетики (|1<1)— выталкиваться из этой области.
Наконец, в том случае, когда в магнетике текут токи
проводимости, плотность сил, действующих на магнетик в маг-
нитостатическом поле, очевидно, равна
4 Зак 378 97

Поступая так же, как при решении задачи 13.1, иногда
бывает удобно представить C3.10) в виде
fm = divf(m), C3.11)
где Т(т) — тензор магнитных натяжений, имеющий компоненты
^=s"'H"-e("-^M* <33-12»
С помощью формулы C3.11) полную силу, действующую на
магнетик, занимающий некоторую область F, можно свести
к поверхностному интегралу по границе S области:
S. C3.13)
§ 34. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
До сих пор мы считали токи проводимости заданными,
не останавливаясь на причинах того, как практически можно
поддерживать их неизменными во времени. Однако ясно,
что в проводящей среде, в которой, согласно закону Джоуля —
Ленца A4.3), происходит постоянное выделение теплоты, ста-
стационарный ток может поддерживаться лишь сторонними эле-
электродвижущими силами. Вводя напряженность Естор поля этих
сторонних сил, запишем основные уравнения, определяющие
плотность тока j и напряженность Е электрического поля
в среде, характеризуемой электропроводимостью а (г) и ди-
диэлектрической проницаемостью е(г):
divj = O, j = a(E + ECTOp), div(eE) = 47tp, rotE = 0. C4.1)
Как и в электростатике, решение уравнений C4.1) сводится
к отысканию потенциала ф, поскольку уравнение rotE = 0 удов-
удовлетворяется подстановкой Е= — Vcp. В итоге система C4.1)
сводится к одному уравнению
div [a (- Уф + Естор)] = 0, C4.2)
тогда как уравнение div(sE) = 4np используется для определения
плотности свободного заряда р уже после того, как найдено
электрическое поле Е. Ясно, что любая задача магнитостатики,
сводящаяся к решению уравнения C4.2), аналогична соответствующей
электростатической задаче, ибо получается из последней заменами:
e->a, D-+-oVq>, 4лр -> -div(aECTOp). C4.3)
Как уже отмечалось, для обычных проводников при не очень
большой напряженности Е поля электропроводимость а можно
считать не зависящей от Е. В простейшем частном случае
однородных проводников а является постоянной в каждой точке
98

Рис. 34.1
Рис. 34.2
заданного проводника, и тогда уравнение C4.2) сводится к сле-
следующему:
Аф = ё1уЕстор, C4.4)
т. е. к уравнению Пуассона с плотностью «сторонних» зарядов
рстоР= _divECTOp/D7t). C4.5)
Весьма распространен класс сторонних сил, для которых
в отдельных областях можно ввести сторонний потенциал, т. е.
положить
Естор = — Уфстор. C4.6)
Примером таких сил могут служить диффузионные силы
ECTOp = aVx, термоэлектрические силы Естор = |$УГ и др. Используя
C4.6), вместо C4.4) в соответствующих областях найдем
Д(ф + Фстор) = 0. C4.7)
Очевидно, что во всем пространстве соотношение C4.6) не
может выполняться, поскольку циркуляция Естор по любому
замкнутому контуру, т. е. сторонняя э. д. с, оказалась бы тогда
равной нулю. В качестве примера возьмем термоэлектрические
силы Естор=р\/Т. Пусть замкнутая цепь С образована двумя
кусками разных металлов 1 и 2, спаи которых А и В нагреты
до температур ТА и Тв соответственно (рис. 34.1). Характеризуя
каждый металл своей постоянной C, для сторонней э. д. с.
находим выражение
В большинстве практических задач приходится определять
потенциал ф и плотность тока j в системе однородных провод-
проводников с электропроводимостями af, соприкасающихся по неко-
некоторым границам раздела (рис. 34.2). При этом сторонние э. д. с.
99

появляются лишь на границах раздела, исчезая в толще провод-
проводников. Поэтому внутри проводников и граничащих с ними
однородных диэлектриков выполняется уравнение Лапласа Дф = 0.
При сшивании решений в разных областях необходимо исполь-
использовать граничные условия, вытекающие из C4.1). Так, уравнение
rotE = 0 приводит к граничному условию
, C4.8)
которое (см. § 22) эквивалентно условию непрерывности потен-
потенциала ф или условию ф1 — ф2 = const. Уравнение divj = O приводит
к граничному условию
ЫЧпЫ, C4.9)
т. е. к непрерывности нормальной составляющей тока.
Задача 34.1. Найти поверхностную пиотность свободного заряда и закон
преломления линий тока на границе двух сред с удельными проводимостями
сгь сг2 и диэлектрическими проницаемостями еь е2.
Наконец, третье условие получается из уравнения
] = а(Естор-Уф) C4.10)
интегрированием вдоль линии, перпендикулярной поверхности
раздела S (рис. 34.3). С учетом C4.9) находим
ф1-ф2+ |(E^dI) = |D0^Di)|f. C4.11)
111
Устремляя точки 7 и 2 друг к другу и вводя сопротивление
s 1
поверхности раздела по отношению к протекающему нормально
ей току /, перепишем C4.11) в виде
/*12 = <Pl-q>2 + *12, C4.13)
где введена сторонняя э. д. с.
2
^i2 = J(ECTopdl). C4.14)
1
При этом предполагается, что <f12 постоянна на поверхности
S. Обычно это условие хорошо выполняется для квазилинейных
проводников, в сечении которых (f12 меняется весьма не-
незначительно.
100

Рис. 34.3
Рис. 34.4
Суммируя соотношение C4.13) для ряда последовательных
участков некоторой квазилинейной цепи, получаем второй закон
Кирхгофа для участка цепи:
ХЛЯк = ф1-ф2 + ХУ*- C4.15)
к к
В частном случае замкнутой цепи, полагая Ф1 = ф2, находим
= S. C4.16)
Если цепь изолирована и имеет полное сопротивление Я, то
получаем закон Ома $ = 1Я.
Наконец, если проинтегрировать уравнение divj = O по неко-
некоторой малой области V, в которой сходятся несколько квазилиней-
квазилинейных проводников (рис. 34.4), то с помощью теоремы Гаусса —
Остроградского найдем
C4.17)
где S—граница области V. Соотношение C4.17) называется
первым законом Кирхгофа и, очевидно, выражает закон сохранения
электрического заряда.
Полученные выше граничные условия имеют разный вид на
поверхностях раздела проводник — проводник и проводник — ди-
диэлектрик. В первом случае уравнения C4.8) и C4.10) при
дополнительном предположении
ЕП = 0, C4.18)
означающем, что сторонние силы действуют только на границе,
приводят к скачку касательной составляющей плотности тока
на границе:
[njij/a^nb]/^. C4.19)
101

Из условия C4.9) находим
) () (, C4.20)
что позволяет [см. B2.5)] выразить поверхностную плотность
заряда на границе через нормальную плотность тока:
C4.2!)
В случае границы проводник — диэлектрик (nj) = O, откуда
с учетом B2.6) находим
(пЕпров) = 0, е(пЕдиэл) = 4ял. C4.22)
В то же время из условия C4.8) следует, что
[пЕдиэл] = [пЕпров] = - [nj]. C4.23)
§ 35. СИСТЕМА ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ
В СРЕДЕ С МАЛОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ
Рассмотрим систему хороших проводников-электродов с удельной
проводимостью ао-> оо, погруженных в плохо проводящую среду
с удельной проводимостью с<^:E0. В этом случае определение
потенциала ф в проводящей среде сводится к основной задаче
электростатики. В самом деле, поверхностная плотность заряда
на электродах [см. C4.21)] равна
(nj)/£ ео\ e(nj)_£(nE)
r\— —— I— — — \~- —, ^j.l;
4n\a aoj 4no 4k
как и в электростатике. Кроме того, токи /;, стекающие
с электродов, обычно бывают известны, поэтому плотность тока
j является ограниченной величиной, порядок которой j'~Ii/Si, где
St — площадь поверхности электрода. Отсюда следует, что внутри
электродов напряженность поля оказывается исчезающе малой, т. е.
и потенциал можно считать постоянным:
ф = ф. = const;. C5.2)
При этом силы токов /;, стекающих с электродов, зависят
от напряженности поля в окружающей среде:
/. =
C5.3)
Таким образом, задача нахождения потенциала ф в прово-
проводящей среде сводится к решению уравнения div (стУф) = 0 с гранич-
102

ными условиями C5.1) — C5.3). Но в § 22 для этой задачи была
доказана теорема единственности, по которой потенциал ф од-
однозначно определяется либо заданием потенциалов электродов
фь либо заданием стекающих с них токов It*. В связи с этим
ясно, что между силами токов It и потенциалами фЕ- должна
существовать линейная связь, аналогичная связи зарядов
Qi и потенциалов ф; в электростатике:
<& = £**/*■ C5.4)
к
Коэффициенты Rik, определяемые геометрией электродов и удель-
удельной проводимостью среды а (г), называются коэффициентами
сопротивления.
Задача 35.1. Показать, что обратная матрица сопротивления R^1 для
случая проводящей среды, характеризуемой тензором проводимости а (г),
может быть представлена в виде
Ли=*ю+1*л, Ri^-bu, i¥=k, C5.5)
где
^, C5.6)
Jik
а интеграл берется по всем линиям тока, соединяющим электроды номеров
i и к. Смысл обозначений разъяснен в задаче 24.1.
Если среда однородна и изотропна, т. е. ее электропроводимость
а и диэлектрическая проницаемость 8 постоянны, то сила стекающего
с электрода тока может быть выражена через заряд электрода:
C5.7)
C5.8)
s, s,
Подставляя C5.7) в C5.4), находим
Ф £ Д&
Сравнение C5.8) с B4.3) показывает, что коэффициенты
сопротивления для однородной среды оказываются пропорци-
пропорциональными потенциальным коэффициентам Sik:
Rik = ESik/Dnc). C5.9)
Рассмотрим теперь важный случай двух проводников-элект-
проводников-электродов. Задавая силу токов /i = — /2 = /, мы предполагаем, что
В последнем случае потенциал вычисляется с точностью до постоянной.
103

Рис. 35.2
проводники имеют «стоки» (рис. 35.1). Используя соотношение
C5.4), нетрудно найти, что в данном случае
ГЛ гг. т( D О J? _i_ D \ TD A^ 1 (W
что по форме совпадает с законом Ома. Введенная здесь величина
R^Rll-2R12 + R22 C5.11)
называется полным сопротивлением системы двух электродов.
Нетрудно видеть, что в однородной среде сопротивление системы
[см. C5.9)] обратно пропорционально ее емкости:
Л = е/DяаС). C5.12)
Если электроды 1 и 2 заземлены и поверхность земли является
плоскостью симметрии системы (рис. 35.2), то вместо C5.12) имеем
Л = е/BяаС). C5.13)
В заключение подсчитаем тепловую мощность, выделяемую
в проводящей среде при наличии системы идеальных проводников-
электродов. Если проводящая среда занимает область V, то
выделяемая тепловая мощность A4.4) равна
P=$cE2dV=$()E)dV.
C4.14)
Делая подстановку Е=— Vcp и интегрируя C4.14) по частям,
находим с учетом уравнения divj = 0 и граничного условия C5.2)
i st
Полученная квадратичная форма должна быть положительна,
откуда вытекают полезные ограничения на коэффициенты Rik, т. е.
Rtt>0, RuRkk-(RikJ>0,
C5.16)
104

а также еще одно важное представление этих коэффициентов:
\**- C5Л7)
Задача 35.2. Показать, что в проводящей среде распределение токов, стекающих
с идеальных электродов, таково, что тепловыделение минимально.
§ 36. ПОЛЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПРОВОДНИКА С ТОКОМ
И ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Поставим задачу об определении поля бесконечного цилинд-
цилиндрического проводника с током. Ее можно рассматривать как
идеализацию реальной задачи, в которой проводник с током
является замкнутым и в некоторой его части включена сторонняя
э. д. с. Пусть проводник находится в вакууме, имеет радиус
а и постоянную электропроводимость а. Выберем цилиндрические
координаты, направив ось Z вдоль проводника. Тогда простей-
простейшим решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим условию
Ег = 0 внутри проводника, является
ф(г<я) = ф! = — Ez, j=jz = cE, £=const, C6.1)
т. е. напряженность Е поля и плотность тока j постоянны внутри
проводника и направлены вдоль его оси. Потенциал вне провода
ф(г>я) = ф2 также должен удовлетворять уравнению Лапласа
т£=0 C6-2)
dzl
и граничному условию при г = а
ф2 = ф1=_£2. C6.3)
Из C6.3) выводим, что ф2=— Ezf{r), где /(д)=1. Поэтому
из C6.2) следует, что /(г) удовлетворяет уравнению (rf')' = 0
с очевидным решением
где С—произвольная постоянная. Полагая С= — 1пг0, получаем
окончательное выражение для потенциала вне провода:
<p2=_£z^. C6.4)
In (a\r)
Таким образом, появляется некоторая поверхность г=г0, где
Ф = 0. Физически она соответствует поверхности проводника, по
которому течет обратный ток. Появление этой поверхности —
одно из следствий идеализации задачи, т. е. предположения
о бесконечности провода. По сути дела, решение C6.4) описывает
потенциал в коаксиальном кабеле: по его внутренней жиле
105

(радиуса а) течет прямой
ток, а по внешней оболочке
(радиуса г0) — обратный.
Из C6.4) с помощью
C4.22) находим распреде-
распределение поверхностного за-
заряда на проводе:
дг
Ez
4тш In (a/roy
C6.5)
Следовательно, заряд распределен симметрично относительно
плоскости z = 0.
В решении был исключен из рассмотрения участок провода
со сторонней э. д. с. Предположим, что она действует в некотором
сечении провода на малом участке длиной А/. Тогда на этом
сечении потенциал испытывает скачок Шц — ^н- Пренебрегая
сопротивлением участка (Л^-^О), можно считать, что
[<Pli2^ -<^i2= -£сторА/. C6.6)
Участок с э. д. с. подобен конденсатору, в котором вектор
напряженности Е имеет противоположное по сравнению с другими
частями проводника направление. Картина такого поля изоб-
изображена на рис. 36.1.
В то же время линии индукции представляют собой систему
колец с центрами на оси проводника. Следовательно, на повер-
поверхности провода вектор Пойнтинга направлен внутрь проводника
и равен
|о| =— LB = = х~- ypb.l)
4тг 4я а са 2а
Поэтому на длину / провода приходится поток электромаг-
электромагнитной энергии
\S\2nal=na2lj2/a,
равный тепловой мощности, рассеиваемой в объеме V=na2l
провода в согласии с законом Джоуля — Ленца. Однако в области
действия сторонней э. д. с. вектор электрической напряженности
имеет противоположное направление при неизменности вектора
магнитной индукции. Поэтому на этом участке вектор Пойнтинга
направлен от проводника наружу. Таким образом, область
действия сторонней э. д. с. является источником энергии, которая
впоследствии поглотится в толще проводника. Для замкнутого
проводника картина векторных линий вектора Пойнтинга S изоб-
изображена на рис. 36.2.
106

Рис. 36.2
Проведенный анализ этой задачи
обнаруживает ошибочность распрост-
распространенного мнения, будто энергия пе-
переносится движущимися электронами
вдоль провода с током. На самом
деле она поступает в проводник из
окружающего его пространства в виде
энергии электромагнитного поля. При
этом источником электромагнитной
энергии, из которого она поступает
в окружающее пространство, является
область действия сторонней э. д. с.
Таким образом, электромагнитная энергия переносится от ис-
источника тока к омическим сопротивлениям, где она превращается
в теплоту, не по проводу, а в свободном пространстве*.
Задача 36.1. Как изменятся результаты данного параграфа, если учесть,
что на движущиеся в проводнике электроны кроме электрического поля
Е действует также и магнитное поле тока!
§ 37. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ОМИЧЕСКОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ
Электрический ток в проводящей среде образуется движущимися
электронами и ионами. Следуя определению плотности тока
ieAV
и считая для простоты, что носителями тока являются поло-
положительно заряженные ионы с зарядом е+ и отрицательно
заряженные электроны (или ионы) с зарядом е_, находим
AV ^ AV ^
v ieAV LXV ieAV
Вводя среднюю скорость зарядов
1 V- -L
C7.1)
У±=-
N+AV
ieAV
где N±—средняя концентрация частиц, имеем
j = e+N+\+ +e-N-\~.
C7.2)
При не слишком большой напряженности Е средняя скорость
ионов линейно зависит от приложенного поля (закон Ома), т. е.
v± = P±E, C7.3)
* При этом энергия поля передается сначала электронам в процессе их
ускорения, а от них в результате столкновений— атомам.
107

где C+—подвижность ионов. Ее физический смысл проясняется,
если рассмотреть стационарное движение зарядов в проводнике
под действием поля Е и эффективной силы трения — yv. Тогда
из условия стационарности выводим:
Yv = 6>E, p = e/y, C7.4)
т. е. подвижность C обратно пропорциональна коэффициенту
трения у.
С учетом C7.3) находим
откуда получаем выражение для удельной проводимости:
G = N+e+V++N-e-$-. C7.5)
Если носители тока ионизованы однократно, то е± = ±е и
a = eGV+f3+-7V-f3_),
или с учетом C7.4)
/y-). C7.6)
Итак, удельная проводимость среды определяется средними
концентрациями ионов N+ и их коэффициентами трения у±.
В металлах и твердых проводниках с электронным механизмом
проводимости у+ = оо и C7.6) сводится к
G = e2N_/y_t C7.7)
Учтем теперь, что чаще всего проводники электрически
нейтральны. Они не имеют свободного избыточного заряда, так
как в среднем концентрация свободных зарядов
TV- компенсируется зарядами кристаллической решетки:
N-&N+= N. Если все же избыточный заряд р и имеется, то
он обычно очень мал (см. задачу 36.1), т. е. можно положить
р = е(N+ —N-)<^.eN и считать
J (£)<,„, C7.8)
где co = e2N/y; y = y-. Таким образом, практически электропро-
электропроводимость а не зависит от р. В предыдущих параграфах мы
использовали именно это предположение.
Согласно вышесказанному, для вычисления удельной прово-
проводимости а нужно знать коэффициент трения у. Одной из
простейших моделей металлического проводника, позволяющей
вычислить у, является электронная модель Друде. В этой модели
ионы кристаллической решетки считаются неподвижными, харак-
характер же движения электронов предполагается следующим. В про-
промежутке между двумя последовательными столкновениями с ио-
108

нами решетки электроны ускоряются действующим электрическим
полем Е, однако в процессе столкновения вся приобретенная
ими энергия теряется. Пусть /—средняя длина свободного
пробега электрона, v0 = (ЗкТ/тI/2 — его тепловая скорость,
t = 1/v0 — среднее время свободного пробега. Тогда средняя направ-
направленная скорость свободного движения электрона
и = еЕт/Bт), C7.9)
откуда находим среднюю плотность тока:
j = Neu = Ne2xE/Bm) = сЕ
и удельную проводимость:
а = Ne2xjBm) = Ne2l/Bmv0) = Ne2l/Byj3mkT). C7.10)
Полученная оценка а основывалась на предположении, что
t = 1/v0, т. е. м<си0 или еЕ1<^.кТ. Очевидно, что модель Друде
оказывается несостоятельной в области низких температур и силь-
сильных электрических полей.
В заключение рассмотрим один интересный эффект, связанный
с предположением справедливости закона Ома j = aE. Если среда
однородна и изотропна, т. е. обладает постоянными 8 и а, то
из уравнений
j = O, j = aE;
нетрудно получить, что
др/дг + 4яар/£ = 0. C7.11)
Очевидное решение этого уравнения:
p(f, r) = po(r)exp(-47ia;/e), C7.12)
где ро(г) — распределение заряда в момент ^ = 0. Из этого решения
следует, что в проводящей среде всякое локальное скопление
заряда рассасывается за характерное время — время релаксации,
равное
,рел = 8/Dла). C7.13)
Чем больше удельная проводимость среды, тем быстрее
происходит рассасывание свободных зарядов, очевидной причиной
которого является их кулоновское расталкивание.
Задача 37.1. Проинтегрировав соотношение C7.12) по всему пространству,
получим
Q = j pd V= exp (- Anat/e) j pod V= Qo exp (- 4тгаг/е), C7.14)
что представляется противоречащим закону сохранения заряда Q. Выяснить,
в чем здесь дело.

3
ГЛАВА
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ
ПОЛЕ
Предсказание электромагнитных волн является самым впечат-
впечатляющим достижением электродинамики Максвелла. В этой главе
изучается структура решений уравнений Максвелла, описыва-
описывающих электромагнитное излучение, порождаемое самыми раз-
различными источниками: одиночным произвольно движущимся за-
зарядом, электрическим и магнитным вибраторами Герца, линейной
антенной. Исследуется обратная реакция электромагнитного
излучения на источник и обсуждается проблема начальных
условий в задачах электродинамики. Фундаментальную роль при
этом играет физический принцип причинности, выделяющий
направление времени.
§ 38. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ИЛИ ВАКУУМЕ
Перейдем к изучению наиболее общего случая изменяющихся
во времени электромагнитных полей, подчиняющихся системе
уравнений Максвелла A0.1) в однородной среде с постоянными
8 и \х (или в вакууме, если e = |i=l). Соответствующая система
уравнений имеет вид
rotH =—j, divD = 47ip,
с dt с
rotE+i—=0, divB = 0,
с dt
D = eE, B = |iH.
Сначала рассмотрим электромагнитное поле в той области
пространства, где отсутствуют свободные токи и заряды. Тогда
выполняются уравнения:
-^ = 0, divD = 0, D = eE,
С ' C8.1)
1 ЯК
i— = 0, divB = 0, B = \xH.
с dt
С учетом постоянства 8 и \х перепишем эти уравнения
в таком виде:
110

rotH=-—, A) divE = O, C)
C C8.2)
rotE=-^, B) divH = O. D)
С Ot
Дифференцируя первое из уравнений C8.2) по *, имеем
rot
или с учетом второго уравнения
--rotrotE = =-.
|ii с dt1
Так как div E = 0, то rot rot E = V div E — ЛЕ = — АЕ и поэтому
^ 0, C8.3)
где
1>ф = с/Уф. C8.4)
Таким образом, мы получили волновое уравнение, описывающее
распространение волн со скоростью v$. Нетрудно убедиться, что
вектор Н подчиняется такому же уравнению
ДН-^ = 0. C8.5)
Итак, можно сказать, что любая компонента векторов Е,
Н подчиняется общему волновому уравнению
А*-^ = °- C8.6)
Решение этого уравнения записывается наиболее просто в слу-
случае, когда \|/ зависит лишь от х и t. Тогда уравнение C8.6)
сводится к следующему:
= 0. C8.7)
\ ил иф ui j
Замечая, что
д2 _ 1 д2 ( д _ 1 д\(д 1 д\
дх2 vldt2 \дх Vbdt/Xdx v^dtl'
сделаем замену переменных с, = х — v$t, r\ = x + v$t, в соответствии
с которой
д_\{д_ 1 д\ д _\{д 1 д\
д^ 2 \дх иф dtl' дг\ 2 \дх гф dtl'
и C8.7) принимает вид j^- = 0.
ill

Отсюда следует, что общим решением волнового уравнения
C8.7) является функция
*(/, д:)=Л(^)+/2(л)=Л(^-»ф/)+/2(^ + !?ф0, C8.8)
где fl9 /2 — произвольные функции. Полученное решение пред-
представляет собой суперпозицию двух возмущений, распространя-
распространяющихся соответственно вправо и влево со скоростью v$.
Для электромагнитных волн в вакууме уравнение C8.6)
принимает вид уравнения Даламбера
0, C8.9)
где введен оператор Даламбера П=Л — -^--j.
Изучим свойства решений уравнения Даламбера в трехмерном
случае в некоторой области V. Прежде всего докажем, что
всякое решение уравнения Даламбера однозначно определяется
заданием в начальный момент времени t — О двух функций (\|/
и 3\|//3f), а также заданием на границе области S для t>0
либо функции \|/, либо (nV)\|/. В самом деле, предположим, что
это не так и что найдутся два различных решения уравнения
Даламбера х^ и \|/2, удовлетворяющие одним и тем же начальным
и граничным условиям. Тогда их разность w = \)/1 —\|/2 также
является решением уравнения Даламбера Пи = 0 с нулевыми
начальными и граничными условиями. В то же время интеграл
V
сохраняется во времени, поскольку
1
v
d/
V S
так как на поверхности S для любого момента времени ^
m(iiV)w = 0. Однако и = й = 0 в момент ^ = 0, т. e. Vw = 0 и /=0,
что возможно только при w = 0, откуда и следует единственность
решения.
Итак, общее решение уравнения Даламбера содержит две
произвольные функции, соответствующие заданию в начальный
момент времени \|/ и d^jdt. Однако нахождение этого общего
решения упрощается, если заметить, что всякому решению
v|/ можно сопоставить независимое от него решение d^fjdt. Таким
образом, достаточно найти решение, содержащее лишь одну
произвольную функцию.
112

Если разыскиваемое решение \|/ уравнения Даламбера сферичес-
сферически-симметрично, т. е. \|/ = \|/(г, г), то C8.9) принимает вид
Н 0
При этом для функции г\|/ получается уравнение типа C8.7).
Пользуясь общим решением C8.8) этого уравнения, убеждаемся,
что любое сферически-симметричное решение уравнения Далам-
Даламбера имеет структуру
*('> r) = -r[f(r-c*)+g(r+<*)l C8-Ю)
где / и g — произвольные функции. Следует только отметить,
что, за исключением выбора g(x)=—f( — x), функция C8.10)
имеет в точке г = 0 особенность и поэтому удовлетворяет
уравнению Даламбера всюду, кроме этой точки.
Если же разыскиваемое решение уравнения Даламбера не является сферически-
симметричным, то для его нахождения приходится пользоваться специальными
методами математической физики. Ознакомимся с одним из них, предложенным
Пуассоном и получившим название метода сферических средних*. Делая под-
подстановку ty=tv, приведем уравнение Даламбера к виду
^Ь^7,т{ш)- C8Л1)
Сравнение C8.11) с BП.16) показывает, что v можно считать сферическим
средним от некоторой функции/(г) по сфере радиуса a = ct, т. е., согласно BП.15),
C8.12)
Второе независимое решение получается дифференцированием C8.12) по t,
и, таким образом, общее решение уравнения Даламбера имеет вид
Задача 38.1. Получить сферически-симметричное решение C8.10) с помощью C8 13).
Особую роль в теории электромагнитного поля играет частное
решение уравнения Даламбера, обозначаемое D0{t, r). Оно яв-
является сферически-симметричным и удовлетворяет следующим
начальным условиям:
£>0@,r) = 0; ^Do
= 5 (г). C8.14)
См.: Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964. С. 694.
113

Пользуясь представлением 8-функции в сферических коор-
координатах (см. задачу 3.1) 8(г)=-Bяг)~18/(г), с помощью C8.14)
и C8.10) находим, что для Do
f(r)=-g(r), -r[-f(r)+g'(r)]=~&'(r),
откуда /(г) = 5(г)/Dяс). Тогда
Задача 38.2. Показать, что решение уравнения Даламбера, отвечающее началь-
начальным условиям i|/|t=o=/(r); dty/dt\t=o=g(r), есть
, r)= ![D0(t9 R)g(r')+jtD0(t, R)f (r')]dV9
C8.16)
где R = \t-t'\.
Задача 38.3. Найти решение уравнений Максвелла в вакууме, описывающее
аксиально-симметричный монохроматический пучок света (луч лазера).
§ 39. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле зависит
лишь от x — Vftt, т. е. распространяется со скоростью v$ = c/y/z\i
вдоль оси X. Тогда уравнения C8.2), записанные для компонент
векторов Е и Н, примут вид
_дН£ = гдЕ1 дЕ^^Ш, дЕ^ = дЕ^ =
дх с dt9 дх с dt ' dt дх К }
дНу_едЕ2 дЕу_ \idHz дНх_дНх_
дх с dt ' дх с dt ' dt дх
Решение этой системы:
fcW() £x = const, C9.2)
-Vtt), Hy=- -
где ЕA\ ЕB) — произвольные функции x — v^t. Исключая неин-
неинтересные с физической точки зрения постоянные поля Ех и Нх,
находим два независимых решения исходной системы уравнений:
Ex = Ez = Hx = Hy = 0; C9.3)
Направив вдоль оси X единичный вектор s, убеждаемся, что
векторы Е и Н должны быть связаны соотношением
v v[], или B = v/^[sE] = c[sE]/tv C9.5)
114

Полученные независимые решения уравнений C8.2) отвечают двум
возможным видам линейной поляризации плоской электромагнитной
волны. Особенностью этих решений является поперечностъ электромаг-
электромагнитного поля, выражающаяся равенствами (sE) = (sB) = 0. Используя
C9.5), плотность энергии электромагнитного поля и вектор Пойнтинга
для указанных решений можно представить следующим образом:
( C9.6)
Частным случаем этого решения являются монохроматические
плоские волны, для которых функции ЕA\ ЕB) выбираются в виде
Acos\_k(x — v$t)-\-q>],
где А и ф—некоторые постоянные. При этом А называется
амплитудой волны, а ф — фазовой постоянной. Часто используют
более удобную комплексную форму, замечая, что физический
смысл имеют соответственно действительная или мнимая части
решения, объединение которых возможно вследствие линейности
исходных уравнений. С учетом этого монохроматическую плоскую
линейно поляризованную волну удобно описывать следующим
образом:
E = EoeIHk'bffl'+4 Eo = Eo, B = -[sE], (sE) = 0, k = s-. C9.7)
Аналогично, для монохроматической плоской эллиптически
поляризованной волны
Жф)^-"'^, El^2) = E^2\
C9.8)
B = qsE], (sE) = 0, (ETO2)) = 0, k = s°,
причем в случае |Е^1)| = |Е@2)| получается волна, поляризованная
по кругу.
Задача 39.1. Рассмотреть суперпозицию двух эллиптически поляризованных
плоских монохроматических волн, распространяющихся в противоположных
направлениях:
Е« = е,£?>, (eres) = 5rs, r, s=\, 2.
Вычислить усредненные по времени плотность энергии w и вектор Пойнтинга
S, понимая под усреднением по времени операцию
т
/ston у Г
у Г/•(/)(!/. C9.9)
О
Итак, монохроматическая плоская волна всегда может быть
представлена в виде суперпозиции линейно поляризованных волн,
каждая из которых характеризуется амплитудой Ео, единичным
вектором поляризации ег (г=1, 2) и волновым вектором к. При
115

этом два возможных вектора поляризации elt e2 и вектор
к образуют ортогональную тройку векторов. Каждому вектору
к соответствуют два возможных значения частоты со = + kv$,
отличающиеся лишь знаком, что приводит к изменению направ-
направления распространения волны. Следовательно, для получения
общего решения уравнений Максвелла без источников в однород-
однородной среде достаточно взять суперпозицию решений вида
[Е1(к)е-^ЧЕ2(к)е-Л^]е'(И, C9.10)
т. е. рассмотреть интеграл Фурье
+ 00
E(t, r)=JJJ[E1(k)e"ietf + E2(k)etot]eI(kr>d3Jk, C9.11)
где со = |к|1?ф, (кЕ12) = О, d3k = dkxdkydkz. Эта формула описывает
действительное поле Е, если
Е^Е^-к). C9.12)
В последнем нетрудно убедиться, взяв комплексное сопряжение
от C9.11) и сделав замену переменной интегрирования к->— к.
Воспользовавшись соотношением C9.5), находим индукцию маг-
магнитного поля, отвечающую решению C9.11):
JJetor}eI<k')^. C9.13)
— оо
Во многих физических задачах приходится рассматривать
волновые пакеты, представляющие собой решения уравнений
Максвелла типа C9.11), C9.13), которые достаточно быстро
спадают на бесконечности. Очевидно, что волновые пакеты
описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие неко-
некоторые ограниченные области пространства. Для описания движе-
движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс,
т. е. точки с радиусом-вектором
Задача 39.2. Найти закон движения центра масс волнового пакета в однородной
среде; убедиться^ что его скорость не превышает иф. Показать, что если
волновой пакет не расплывается, перемещаясь в вакууме как единое целое,
то его скорость равна с, а между энергией W и импульсом G существует связь
c2G = cW. C9.15)
Обратимся теперь к знаменитым опытам Я. Я. Лебедева по измерению
давления света. Этими опытами впервые была доказана электромагнитная
природа света. Если поместить некоторое поглощающее тело в поле электромаг-
электромагнитной волны, то, согласно A3.4), на него действует сила с плотностью
f=-dg/d/+divf. C9.16)
Если соотношение C9.16) усреднить по времени, то dg/dt, очевидно, исчезает
и для средней плотности силы имеем
?=<iivf. C9.17)
116

Интегрируя C9.17) по объему V гела
и применяя теорему Гаусса — Остроградс-
Остроградского в форме BП.6), найдем полную силу,
действующую на тело: S"
F = jfdF=$(n T)dS. C9.18)
v
Итак, электромагнитное поле оказывает
на поверхность тела давление
C9.19)
Если тело занимает полупространство х>0 и электромагнитные волны падают
на его поверхность нормально, то с учетом A3.56) и того, что £х = 2?х = 0, имеем
p=px=-fxx = w. C9.20)
В другом частном случае изотропного излучения, когда вследствие статистичес-
статистической независимости различных компонент полей
Рис. 39.1
= (п Т).
электромагнитное давление равно
p = w/3. C9.21)
Пользуясь полученными результатами, уже нетрудно объяснить и опыты
Лебедева. В этих опытах на поглощающее тело некоторой массы Л падает
пакет электромагнитных волн, занимающий некоторый объем V=Sl (рис. 39.1).
Так как пакет поглощается телом в течение времени //с, то импульс, сообщенный
телу согласно соотношению C9.20), справедливому в пренебрежении расплыванием
пакета, т. е. при условии Ex<zE, Bx<zB, равен
P = Fl/c= Vp/c= Vw/c= Wjc= W/c,
где W=wV—энергия волнового пакета, не зависящая от времени по закону
сохранения энергии. Вводя массу |iif волнового пакета, т. е. принимая его импульс
равным G = |iif<:, из закона сохранения импульса получаем
Q = VLfC=lY/c. C9.22)
Отсюда вытекает важная связь между энергией и массой волнового пакета,
которая независимо могла быть получена и из соотношения C9.15):
W=\ifc2. C9.23)
§ 40. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
Изучим распространение электромагнитных волн в пространстве,
заполненном двумя однородными средами, разделенными плоско-
плоскостью z = 0 и характеризующимися постоянными проницаемостями 8, \х
(z<0) и е', |i' (z>0). Скорость распространения плоских электромагнит-
электромагнитных волн в каждой из сред, согласно C8.4), равна соответственно
v^ = cly/E^9 v$ = cly/zf\if. D0.1)
В простейшем частном случае при наличии плоской границы
раздела z = 0 электромагнитное поле описывается тремя моно-
монохроматическими плоскими волнами: в области z<0 имеются
падающая Е, В (волновой вектор к) и отраженная Е", В"
(волновой вектор к") волны, а в области z>0 — преломленная
117

волна Е', В' (волновой вектор к'). Падающую волну будем
считать линейно поляризованной, т. е. представимой в виде
E = EoeIKkr>-e4 B = v/sji[sE], (sE) = 0, к = 8ю/иф. D0.2)
При этом на границе z = 0 с нормалью п должны выполняться
граничные условия A2.8), которые при отсутствии свободных
поверхностных зарядов и токов проводимости имеют вид
"), (nB ) = n (B + B ), D0.3)
[] [( )]. D0.4)
Замечая, что в этих уравнениях векторы Е и В содержат фазовые
множители типа exp[/(kr) —zW], мы приходим к выводу, что
граничные условия могут быть выполнены только при совпадении
всех фаз. Это означает, что для любого вектора г, лежащего
в плоскости раздела, т. е. удовлетворяющего условию (nr) = z = 0,
должны выполняться равенства
(kr) = (k'r) = (k*r). D0.5)
Из D0.5) следует, что векторы k', k" лежат в плоскости
векторов к, п. Вводя углы падения а, отражения ос" и преломления
а', перепишем условие D0.5) в виде (рис. 40.1)
к sin а = kr sin а' = к" sin а".
Замечая, что к" = к, и вводя показатели преломления сред
п = у/г\х и n' = y/&\i\ получаем известные законы геометрической
оптики:
а" = а, ?21 = * = 0Л = *, D0.6)
sin а' к v$ n
т. е. равенство углов падения и отражения и закон Снеллиуса.
Для разрешения уравнений D0.3), D0.4) удобно различать
два возможных случая в зависимости от того, лежит ли вектор
Е в плоскости падения k, n или перпендикулярен ей.
В первом случае, когда вектор Е лежит в плоскости падения
к, п, очевидно, (пВ) = 0 и уравнения D0.3) и D0.4) с учетом
D0.2) и закона Снеллиуса дают (рис. 40.2)
откуда после несложных преобразований находим:
, _ 2£0(tt/V)sin2ot , _ ()ф')sin2a-sin2a'
0 sin ^° ^
При |i = |a/ эти формулы упрощаются:
2£0sina/cosa „„ „ tg(a-ar)
sin(a+a')cos(a-a) t
118

Рис. 40.1
Рис. 40.2
Во втором случае, когда вектор Е перпендикулярен плоскости
падения к, п, т. е. (пЕ) = 0, граничные условия (рис. 40.3) приводят
к соотношениям
откуда
Е»=Е
9 ° °
При |i = (i/ эти формулы упрощаются:
7„=Е sin (а'-а)
sin (a'+а)
cos a sin a'
D0.9)
D0.10)
sin (а Ч- а )
Очевидно, что падающая волна с произвольной поляризацией
может быть представлена в виде суперпозиции линейно поля-
поляризованных волн, векторы поляризации которых либо лежат
в плоскости падения, либо перпендикулярны ей. Таким образом,
к рассмотренным выше двум случаям сводится любая задача
о распространении электромагнитных волн при наличии плоской
границы раздела двух сред*.
При нормальном падении следует положить а->0 и в соответствии
с законом Снеллиуса а' = ап/п'->0. Тогда из формулы D0.7) получаем:
Е'о = 2Ео1A+к), ££ = £0(х-1)/(х+1), D0.11)
где х = ци'l{y!n) = yjz'\il(z\i'). Пользуясь выражением C9.6) для
вектора Пойнтинга S = s— —Е2, нетрудно подсчитать коэффици-
коэффициенты отражения 0t и прохождения О), которые определяются
* Соотношения D0.8) и D0.10) называют формулами Френеля.
119

соответственно как отношения интен-
сивностей отраженной или прелом-
преломленной волн к интенсивности пада-
падающей волны. Таким образом,
= El
IS | \e0
В частности, для нормального па-
падения, согласно D0.11), находим:
Рис. 40.3 \X+V Vx+1/ V£^'
D0.13)
Нетрудно убедиться, что в соответствии с законом сохранения
энергии М + Ф = \.
Рассмотрим теперь случай, когда \i = \i' и волна падает на
границу под углом Брюстера ос=|3, определяемым условием
tg$ = n'/n. D0.14)
Очевидно, что
Иначе говоря, выполнено соотношение
а' + Р = я/2. D0.15)
Так как в этом случае tg(a + oc')=ao, то, как видно из D0.8),
Е'о = 0, т. е. отсутствует отраженная волна, поляризованная в плос-
плоскости падения, Таким образом, если падающая под углом
Брюстера волна имеет смешанную поляризацию, то отраженная
волна будет поляризована перпендикулярно плоскости падения,
удовлетворяя условию (пЕ") = 0. Указанным явлением можно
воспользоваться для получения плоскополяризованных световых
пучков.
Другое интересное явление наблюдается при падении волны
из более плотной среды в менее плотную (п>п') под углом
ос = a0 = arcsin (ri /n). D0.16)
Тогда sin ос'= 1, т.е. ос'= я/2. Это означает, что преломленная
волна идет вдоль границы раздела двух сред. Отмеченное явление
называется внутренним отражением. Исследуем поле в области
z>0 более подробно. Если ос>ос0, то
, . и sina ,
sin a = sin ос — = -—>1,
ri sinoc0
120

откуда
/ • 2 \ 1/2 / . 2 \ 1/2
со8а' = A--^) =+|(^-1) . D0.17)
у sin2a0y \j>in2a0 J
физически это означает, что в полученном решении, описы-
описывающем поле преломленной волны, волновой вектор k'z является
мнимым. Так, считая плоскостью падения {X, Z), убеждаемся,
что поля Е' и В' содержат множитель вида
exp \ik' [х sin a' + z cos a')] =
= exp [±k'z(sin2 a/sin2 a0 — 1I/2] exp \ikfxsin a/sin a0]. D0.18)
Решение со знаком плюс соответствует растущему на бесконеч-
бесконечности полю, и поэтому оно должно быть отброшено как физически
нереализуемое. Оставшееся решение D0.18) описывает электромаг-
электромагнитную волну с затухающей в направлении Z амплитудой. При
этом волна распространяется вдоль границы раздела двух сред.
Задача 40.1. Для случая внутреннего отражения найти поля Е\ В' и вектор
Пойнтинга S' в менее плотной среде.
В заключение отметим, что вся развитая выше теория
отражения и преломления электромагнитных волн легко обобща-
обобщается на случай комплексных проыицаемостей г и |i (см. § 61).
Как легко убедиться, в этом случае амплитуды электромагнитных
волн содержат затухающие множители такого же типа, как при
внутреннем отражении.
Задача 40.2. Найти коэффициент отражения света от металлического зеркала
и оказываемое на него давление при нормальном падении.
§ 41. ПОЛЕ ЗАДАННЫХ ЗАРЯДОВ И ТОКОВ В ВАКУУМЕ
Ранее нами было установлено, что уравнения Максвелла
допускают существование решений, описывающих свободное эле-
электромагнитное поле и представляющих собой суперпозицию
электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме со ско-
скоростью света с. Рассмотрим теперь электромагнитное поле
в присутствии зарядов и токов.
Предположим, что известны плотности зарядов р(/, г) и токов
j(^, r), удовлетворяющие закону сохранения электрического заряда
— p(t, r) + divj(/, r) = 0. D1.1)
Для нахождения полей Е и В, порожденных этими источниками,
воспользуемся уравнениями Максвелла F.4):
D1.2)
121
rotB —— = —1, (а) divE = 47ip, (б)
с dt с
-? = 0, (в) divB = 0. (г)
С Ot

Чтобы удовлетворить уравнению D1.2г), положим
В = rot А. D1.3)
Тогда уравнение D1.2в) примет вид
/ \
rotf E + -—1 = 0
с очевидным решением
E=-Vq>-- —. D1.4)
с dt
Подстановка D1.3), D1.4) в уравнения D1.2) приводит к урав-
уравнениям для потенциалов ф и А:
д*А тп(л:„ а , 1 д(А_ ^i D1.5)
divA= —4яр.
с dt
Однако равенства D1.3), D1.4) определяют электромагнитные
потенциалы ф и А неоднозначно, так как Е и В не изменяются
при замене:
A = A' + V\|/, ф = ф'-19, D1.6)
с dt
где v|/—произвольный скаляр. Преобразование D1.6) называется
калибровочным.
Неоднозначностью потенциалов можно воспользоваться для
упрощения полученных уравнений D1.5). Например, можно по-
потребовать, чтобы потенциалы удовлетворяли условию
divA + l^ = 0, D1.7)
называемому условием Лоренца (по имени датского физика
Л. В. Лоренца). Если первоначально введенные потенциалы ф', А'
не удовлетворяют этому условию, то новые потенциалы ф, А,
связанные со старыми калибровочным соотношением D1.6), будут
ему удовлетворять, если скаляр v|/ считать решением уравнения
При этом очевидно, что v|/ определено с точностью до решения
v|/0 уравнения Даламбера П\|/о = 0.
Если потребовать соблюдения условия Лоренца D1.7), то
для потенциалов получим следующую систему уравнений:
□ ф=-4тгр, DA=--j, divA + -^ = 0. D1.8)
с с dt
122

Задача 41.1. Использовать «вывернутые» потенциалы (р, а, А, сделав подстанов-
1 да
ку Е = — Уф + rot а, В = -— 4-rot А. Получить для них уравнения, предположив
с ot
выполнение дополнительных условий diva = div А = 0.
Заметим, что вместо условия Лоренца можно наложить на
потенциалы и любое другое условие. Например, часто встречается
условие кулоновской, или поперечной, калибровки
divA = 0. D1.9)
В этом случае из D1.5) вытекают следующие уравнения для
потенциалов:
□ А=--( j + lv^), Дср=-4яр, divA = 0. D1.10)
С \ 471 Ot I
Как видно, уравнение для потенциала ф оказывается статичес-
статическим, чем и обусловлено первое название использованной калиб-
калибровки—«кулоновская». Второе название показывает, что для
плоских волн, когда А~ехр[/(кг)], D1.9) эквивалентно условию
«поперечности» (к А) = 0.
Несмотря на множество возможных дополнительных условий,
система уравнений D1.8) используется чаще других, так как
содержит одинаковые уравнения для ф и А. В связи с этим
вполне достаточно решить только уравнение для скалярного
потенциала ф, а векторный потенциал А получится в результате
формальной замены р—>j/c. Таким образом, описание электромаг-
электромагнитного поля, порожденного заданными источниками, сводится
к решению уравнения
□ ф=-4тгр. D1.11)
Существует несколько методов его решения. Воспользуемся
наиболее простым и физически наглядным методом функций
Грина. Функцией Грина оператора Даламбера называется функция
G(t — t\ r —г'), удовлетворяющая уравнению
DG=-b(t-tf)b(r-rf). D1.12)
Нетрудно видеть, что знание функции Грина позволяет
получить решение уравнения D1.11) простым интегрированием:
+ 00
<р(/,г) = 4тг J dt'lG{t-t',r-T')p(t',T')dV' + q>Q, D1.13)
— оо
где ф0 — некоторое решение уравнения Даламбера.
Физически функция Грина представляет собой потенциал,
порожденный точечным мгновенно действующим источником.
Заменой переменных R = r — r', T=t — t' всегда можно добиться,
чтобы этот источник находился в начале координат R = 0
и включался в момент времени Т=0. Поэтому простейшая
123

функция Грина является сферически-симметричной по переменной
R и удовлетворяет уравнению
где мы воспользовались представлением трехмерной 8-(Ьункции
в сферических координатах (см. задачу 3.1): 8(г)= — Bяг)8'(г).
Сделаем теперь замену переменных, уже использованную
в § 38:
^ = R-cT, ц=Я + сТ, u = RG. D1.15)
Тогда уравнение D1.14) примет вид
Нам достаточно указать какое-либо частное решение их
уравнения D1.16), что легко сделать дважды проинтегрировав
его правую часть. Однако результат будет зависеть от выбора
пределов интегрирования, для установления которых нужно
привлечь некоторые дополнительные сведения об искомом
решении.
В частности, если принять физический принцип причинности,
согласно которому поле порождается источниками и до их
включения должно отсутствовать*, то необходимо наложить
условие G(T<0) = 0. Соответствующая функция Грина называется
запаздывающей. Для ее получения нужно выбрать частное решение
и19 исчезающее при Г-» —оо. Замечая, что при фиксированном
R и Т-+ — СО имеем £-> + оо, ц-* — оо, искомое решение ui можно
получить повторным интегрированием правой части D1.16):
D1.17)
Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой,
вытекающей из свойств 8-функции:
J Г{хЩх'-у)йх' = Ь{х-у)/\у\ D1.18)
— оо
где Q{x—y)—ступенчатая функция Хевисайда [G(x) = (l+signx)/2].
С учетом D1.18) находим
* Наглядный физический анализ следствий принципа причинности приведен
в Фейнмановских лекциях по физике (Вып. 6. Электродинамика. М., 1966).
124

Выполняя интегрирование по частям и замечая, что согласно
D1.18), 9'(x) = 5(jc), получаем
Возвращаясь к переменным R и Т и учитывая C8.15), находим
^ T, R).
Поскольку м1(Г<0) = 0, функция Грина G = ulR~1 является
запаздывающей и имеет вид
G™U(T, R) = c2Q(T)DQ(T, R). D1.19)
Так как при подстановке D1.19) в D1.13) вклад в интеграл
будет давать только область Г>0, в которой Э(Г)=1 и D0(T, R)
= 5(R — cT)/DnRc), то D1.19) эквивалентно представлению
Сзап(Г, R)^^b(R-cT), D1.19а)
которое обычно и используется. Полученное решение описывает
сферическую волну, расходящуюся от источника.
Приведем еще другой метод решения уравнения D1.12), использующий
преобразование Фурье по времени. В теории интеграла Фурье доказывается
справедливость следующего представления для 5-функции:
-if--
Используя его и записывая преобразование Фурье для функции Грина
+ 00
G(r,R)=l|e—rG.(R)d«),
— 00
находим, что G^R) удовлетворяет уравнению
Соответствующее однородное уравнение (при R^O) имеет простые решения
вида exp(±№R/c)/R. Поэтому метод вариации постоянных подсказывает под-
подстановку G(O(R) = v(R)/R. Учитывая C.9) и свойство 5-функции, выражающееся
соотношением /(RM(R)=/@M(R), находим, что v(R) подчиняется уравнению
- i „ ю2 1
-lv"+^rv)=-l
г>2
которое, в частности, удовлетворяется, если
Таким образом, частное решение уравнения для (/^(R) имеет вид
125

где постоянные А и В связаны условием А + В—1. Для А = \9 В=0 это решение
приводит к функции Грина
Замечая, что уравнение D1.14) инвариантно относительно замены
Т-+ — Т, другое его решение можно получить из D1.19) указанной
заменой. Оно будет соответствовать опережающей функции Грина
Сопер(Г, R)=-c2Q(-T)D0(T, R) = ^b(R + cT), D1.20)
исчезающей при Г>0, а при Т<0 описывающей сферическую
волну, сходящуюся к источнику. Очевидно, что такое решение
противоречит физическому принципу причинности и на этом
основании обычно отбрасывается. Однако следует заметить, что
разность запаздывающей и опережающей функций Грина [см.
C8.15)] равна
G3an-Gonep = c2D0, D1.21)
т. е. соответствует решению уравнения Даламбера, которое фи-
физически можно интерпретировать как влияние бесконечно удален-
удаленных источников. Поэтому, если такое влияние не исключено,
отбрасывать опережающие решения нецелесообразно.
Очевидно, что произвольную функцию Грина G оператора
Даламбера всегда можно представить в виде
G{T, R) = G3an(r, R) + G0(T, R), D1.22)
где Go — некоторое решение уравнения Даламбера. В частности,
можно рассмотреть функцию Грина
G{a) = Gm-ac2D0, a = const, D1.23)
которая при а = 0 совпадает с запаздывающей, а при а=\—с
опережающей. Если принять физический принцип причинности
и ограничиться запаздывающей функцией Грина, то, согласно
D1.13), получится частное решение уравнений поля D1.8)
-£. r-)^, A(«.,)-Jj(,-f f)£, D1.24)
описывающее запаздывающие потенциалы.
Аналогично, если в D1.13) использовать опережающую фун-
функцию Грина D1.20), то получится другое частное решение —
опережающие потенциалы,— отличающееся от D1.24) тем, что
в подынтегральных выражениях стоит t + R/c вместо t — R/c.
Задача 41.2. Показать, что запаздывающие потенциалы удовлетворяют условию
Лоренца.
126

Чтобы получить общее решение уравнений Максвелла, необ-
необходимо к запаздывающему решению D1.24) добавить произ-
произвольное решение ф0, Ао уравнения Даламбера, удовлетворяющее
условию Лоренца. Например, если воспользоваться представле-
представлением C8.16) для решения уравнения Даламбера, то наиболее
общее выражение для скалярного потенциала ф, удовлетворяющее
уравнениям поля D1.8), можно записать в виде
D1.25)
где / и g — произвольные функции. Аналогичное выражение
можно получить и для векторного потенциала А.
Выбор того или иного решения обусловлен характером
физической задачи, принятыми граничными и начальными условия-
условиями. В обычной постановке задачи зависящая от времени часть
р и j включается лишь в некоторый момент времени t0. Естественно,
что влияние такого включения источников должно проявиться
несколько позже, т. е. при t>t0 (принцип причинности), и поэтому
физически допустимым решением является лишь запаздывающее.
Однако не исключена и другая возможность, когда электромагнит-
электромагнитное поле порождается бесконечно удаленными источниками.
В таком случае соответствующее решение будет выглядеть как
свободное и должно добавляться к запаздывающему решению.
Физическая выделенность запаздывающих решений обуслов-
обусловлена тем, что в обычной постановке задачи мы хотим описать
будущее некоторой системы, зная ее прошлое. Однако вполне
допустима и другая постановка задачи, когда прошлое системы
необходимо восстановить по ее настоящему и будущему, т. е.
рассмотреть обратную эволюцию системы. Нетрудно видеть,
что в этом случае должны использоваться опережающие решения.
Одно из интересных проявлений опережающих решений будет
рассмотрено нами позже в связи с задачей о реакции излучения
(см. §47).
В заключение отметим, что наличие двух типов равноправных
решений — запаздывающих и опережающих — у системы уравне-
уравнений D1.8) связано с инвариантностью оператора Даламбера при
отражении времени. Выбор же запаздывающего решения выделяет
направление течения времени, что неизбежно при описании
макроскопических электромагнитных процессов.
Отбрасывание опережающих потенциалов можно обосновать исходя из
более общих — термодинамических — соображений. Согласно второму закону те-
термодинамики, невозможно создать тепловую машину второго рода, которая
непрерывно совершала бы работу за счет охлаждения единственного резервуара
теплоты. Если окружающее излучатель пространство, заполненное электро-
электромагнитным излучением, рассматривать как тепловой резервуар, то излучатель
может извлекать из него полезную работу лишь при отрицательном среднем
127

потоке электромагнитной энергии (т. е. при потоке энергии к излучателю)
и будет затрачивать работу на излучение при положительном среднем потоке.
Но средний поток энергии положителен в случае использования запаздывающих
потенциалов и отрицателен в случае опережающих (см. § 43). Второе начало
запрещает отрицательный поток энергии от излучателя, поэтому можно считать
опережающие потенциалы запрещаемыми вторым началом термодинамики.
§ 42. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ВЕКТОРЫ ГЕРЦА
Если система источников нейтральна, т. е. удовлетворяет условию
jpdF=O, D2.1)
то (см. задачу 2.2) закон сохранения заряда D1.1) будет
тождественно выполнен, если ввести поляризованность Р и намаг-
намагниченность М, положив
p=-divP, ) = dF/dt + cYOtM. D2.2)
В таком случае электромагнитные потенциалы ф и А могут
быть найдены из уравнений
= 4ndivP, ПА=--^-4тгго1М, divA+-^ = 0. D2.3)
с dt с dt
Чтобы выполнить условие Лоренца, удобно ввести элект-
электрический П и магнитный Z векторы Герца, сделав подстановку:
q>=-divn, A^-^ + rotZ. D2.4)
с dt
Тогда уравнения D2.3) приводятся к виду
~(Dn + 4nP) + rot(DZ + 4nM) = 0, div(DII + 4nP) = 0. D2.5)
Из второго уравнения следует, что
где а—произвольный вектор. Тогда первое из уравнений D2.5)
сводится к следующему:
rotf □Z + 4nM + --
Из него, в свою очередь, вытекает, что
□ Z + 4jiM=---+Vx,
с dt
где х — произвольный скаляр.
Воспользуемся теперь неоднозначностью векторов Р и М (см.
задачу 2.2), замечая, что подстановка
P-+P--rota, M^M--Vx + —^
4я 4л 4лс dt
128

не меняет источников р, j и полей, ими порож-
порождаемых. Поэтому без ограничения общности мож-
можно положить а = 0 и х = 0. В результате уравнения
для векторов Герца П и Z упростятся:
□ П=-4тгР, DZ=-47iM. D2.6)
Выбирая запаздывающее решение этих уравне-
уравнений как наиболее соответствующее физической
постановке задачи*, имеем
D2.7)
-e(t)
Рис. 43.1
Легко видеть, что в статическом пределе (с-юо)
формулы D2.7) переходят соответственно в B1.8) и C0.6), т. е.
векторы П и Z переходят в соответствующие статические векторы
Герца.
Используя решение D2.7), по формулам D2.4) нетрудно найти
потенциалы ф, А, а затем Е и В. Последние можно выразить
непосредственно через векторы Герца:
E=-47iP + rotrotII---rotZ, B = rotrotZ+--rot П. D2.8)
с dt с dt
§ 43. ПОЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО
ВИБРАТОРОВ ГЕРЦА
В качестве полезного применения векторов Герца опишем эле-
электромагнитное поле, создаваемое изменяющимся во времени
дипольным моментом р(г). Конкретной реализацией такого
переменного диполя может служить, например, поляризованная
молекула с переменным расстоянием l(t) между ее разделенными
зарядами или простейшая антенна — электрический вибратор Гер-
Герца, длина которого / постоянна, а заряд отдельного полюса
изменяется со временем (рис. 43.1). Если рассматривать поле
вибратора на расстоянии г»1, то его можно считать сосредоточен-
сосредоточенным диполем и положить Р = р(г)8(г), М = 0. Тогда из D2.7)
находим векторы Герца:
z=o.
D3.1)
* Предполагается, что векторы Р и М изменяются со временем лишь
начиная с некоторого момента времени tQ.
5 Зак 378
129

Для вычисления напряженности Е и индукции В используем
формулы D2.8) с учетом того, что вне вибратора Р = 0, т. е.
E = rotrotn, B = --rotII.
с dt
Согласно BП.4в), имеем
где р — функция запаздывающего аргумента tf = t — r/c; точкой
обозначено дифференцирование по времени. Используя BП.4г),
находим
С ГС
В результате получаем выражения для Е и В:
D3.2)
где введен единичный вектор п = г/г. В D2.2) выделим три
составные части:
— в зависимости от степени их убывания при г-»оо. Первая
часть, убывающая пропорционально г, соответствует полю
квазистатического диполя в ближней (квазистационарной) зоне:
Е@) = 1[Зп(пр)-р], В@) = 0. D3.3)
Вторая часть, убывающая пропорционально г~2, отвечает полю
1 дР
квазистатического тока поляризации :
с dt
^ ^] D3.4)
Но если магнитное поле ВA) возникает в полном соответствии
с законом Био —Савара—Лапласа A.8), то появление элект-
130

рического поля ЕA) Ъбязано исключительно запаздыванию. Не-
Нетрудно видеть, что на малых расстояниях этот член можно не
учитывать, так как
и слагаемое в Е, пропорциональное г, исчезает.
Наибольший интерес представляет третья часть поля виб-
вибратора, описываемая векторами ЕB) и ВB), зависящими от
р и убывающими на больших расстояниях пропорционально г:
Е<2>=-1[„[„р]], B<2>=--L[np]. D3.5)
Векторы D3.5) определяют поле излучения, соответствующее
дальней (волновой) зоне. Так как при достаточно больших г это
поле является преобладающим, то именно им определяется
поток излучаемой вибратором электромагнитной энергии.
Для оценки размеров ближней и дальней зон введем харак-
характерные длины:
1/2
{<} IPl W \|р|
где po = maxp(t). Тогда с помощью D3.2) можно установить, что
ближняя и дальняя зоны определяются соответственно неравенствами
{ai, a2}, r^(a2/ai)max{al, а2).
Замечая, что векторы ЕB), ВB), п образуют ортогональную
тройку:
[p], Еизл = [Визлп], D3.6)
— нетрудно подсчитать вектор Пойнтинга (рис. 43.2):
Интегрируя D3.7) по сфере радиуса г, находим мощность,
излучаемую вибратором:
D3.8)
2
Г
с
Особенность формулы D3.8) состоит в том, что р необходимо
брать в запаздывающий момент времени t' = t — rjc.
Задача 43.1. Показать, что импульс, уносимый электромагнитным излучением
вибратора Герца, равен нулю.
Формулу D3.8) можно использовать для вычисления мощности
излучения медленно движущегося одиночного заряда. В самом
5* 131

Рис. 43.3
деле, для этого достаточно рас-
рассмотреть диполь, один из зарядов
которого неподвижен. Примером
такой системы может служить атом
водорода, в котором легкий элек-
электрон движется вокруг практически неподвижного тяжелого про-
протона (рис. 43.3). Так как неподвижный заряд создает лишь
статическое поле, то вся излучаемая энергия определяется по-
подвижным зарядом е. Поэтому, полагая в D3.8) р = ^(/), для
мощности излучения одиночного заряда находим
Рис 43.2
t-r-
с
2е2
y\t-
D3.9)
(формула Лармора).
Практический интерес представляет гармонический вибратор
Герца, когда зависимость р(г) имеет вид
p = p0cosotf. D3.10)
Используя D3.2), находим
где амплитуды Ео и Во удобно представить в виде разложения
по степеням kr=(or/c = 2/X
D3.11)
Во = [пРо]A-*/сф7с/г2.
При этом в ближней зоне (kr<^:\) получим
Eo=-V[(por)/r3], Bo = 0,
тогда как в волновой зоне (fcl)
* Нетрудно видеть, что при этом а1=а2 =
132

В этом случае мощность излучения равна
D3.12)
или после усреднения по времени
Р1 = ш^^/(Зс3) = BяДL(/7^/3). D3.13)
Отметим важное для практики обстоятельство: мощность
излучения вибратора обратно пропорциональна X,4.
Полученные результаты можно применить и для расчета
излучения простейшей антенны, для которой p{t) — le{t\ p = ll.
Считая ток возбуждения в антенне периодическим (I=/Ocos(ot),
для средней мощности излучения найдем*
D3.14)
где ^=^- = ^1^1 D3.15)
называется сопротивлением излучения антенны или ее эквивалент-
эквивалентным сопротивлением, поскольку потери на излучение эквивалентны
тепловым потерям на омическом сопротивлении Rv
Задача 43.2. Рассчитать энергию, теряемую электроном при рассеянии на
ядре с порядковым номером Z.
В качестве другого применения векторов Герца рассмотрим
магнитный вибратор Герца, представляющий собой, например,
небольшую рамку с током, обладающую магнитным моментом
m(t). Рассматривая поле рамки на большом расстоянии от нее,
магнитный момент можно считать точечным, т. е. положить
М = ш(^)8(г), Р = 0. Тогда с помощью D2.7) находим следующие
векторы Герца:
Z=-m(t--)9 П = 0. D3.16)
Вычисление характеристик электромагнитного поля по век-
векторам Герца D3.16) аналогично расчетам для электрического
вибратора Герца, что позволяет использовать результаты послед-
последних, если в них совершить подстановку: p->m, E->B, B->— E.
В итоге находим
[] + 2[],
crL J czrL J
-U3n(nm)-m \ ^ [3n(nih)-ih] + ^[n[nm]]l. D3.17)
* В данном случае дипольное приближение применимо, если \^>1 (см. § 44).
133

При этом мощность излучения равна
Л = 2(шJ/Cс3). D3.18)
Для монохроматического магнитного вибратора Герца
m = m0cosa>f, 'E = Re(Eoei(kr-(df)), B = Re(Boei(kr~mt)),
где
E0=-[nm0](l-*/cr)*/c/r2,
Усредненная по времени мощность излучения, очевидно, равна
Р1 = (о*т%/(Зс3) = (гп20с/3)Bп/\у. D3.20)
Если в качестве примера взять рамочную антенну с током силой
I=IQcoscot и постоянной площадью рамки S, то ее магнитный
момент равен m = IS/c, а средняя по времени мощность излучения
Р1 = /22ш452/(Зс5) = /27?1, D3.21)
где введено эквивалентное сопротивление антенны
§ 44. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ
ПОТЕНЦИАЛОВ
Рассмотрим систему источников р, j, занимающую некоторую
ограниченную область К, которую можно заключить в сферу
конечного радиуса а. При подсчете мощности излучения этой
системы уже на основании оценок типа D3.14) и D3.21)
можно заключить, что следует исключить из рассмотрения
статические части р и j. Поэтому систему можно заведомо
считать нейтральной. Кроме того, если задаться некоторой
минимальной допустимой мощностью излучения (порог чу-
чувствительности детектора), то следует исключить и низко-
низкочастотную составляющую источников р и j, т. е. можно
считать, что их разложения в интеграл Фурье начинаются
с некоторой минимальной частоты ю0:
p(f, r)= j exp(-/cof)pffl(r)da>;
D4.1)
j(f, r)= j exp(-ifflf)jffl(r)da>.
I со | ^ coo
Из закона сохранения заряда D1.1) выводим, что
-Hope + divjm = 0, D4.2)
134

т. е. справедливо верное для нейтральных систем представление
г
р (t, г) = - div ^jffl (г) ехр (- Ш) dco. D4.3)
Производя также разложение в интеграл Фурье запаздыва-
запаздывающих потенциалов D1.24), представим их фурье-образы в виде
V V
D4.4)
Если нас интересует поле вне системы источников, т. е. при
г>а, то можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора
{ikR)_ у 1 / r/.yyexp(ib)^ ^445^
Подставляя D4.5) в D4.4), получаем мультипольное разложение
запаздывающих потенциалов, которое с учетом нейтральности
системы принимает вид
D4.6)
1 = 0 U-
V
Вводя фурье-образы тензоров электрического и магнитного
мультипольных моментов
6!j-'' = fpe(r')^...^dK', D4.7)
Цт')х"\..х'ЧУ9 D4.8)
v
разложение D4.6) можно переписать в координатной форме:
00 / .ч;
D4.9)
135

Рассмотрим теперь поведение потенциалов в волновой зоне,
т. е. в области, где выполнено неравенство
fer» 1. D4.10)
Так как |со|^юо = А:ос, то D4.10) вытекает из условия
V» 1, D4.11)
при выполнении которого можно положить
где n = r/r, k = fcn. Но тогда разложение D4.5) принимает вид
~ikR °° I „ikr _»(kR)
Подстановка D4.12) в D4.4) дает представление фурье-образов
потенциалов в волновой зоне:
', D4.13)
откуда преобразованием Фурье получаются сами потенциалы
D4.14)
V
а также их мультипольное разложение:
Задача 44.1. Показать, что в волновой зоне между потенциалами (р и А,
й также между их мультипольными членами (р, м Af выполняется связь
Ф = (пА), ф^^-О. D4.16)
Из D4.13) следует, что ряды в D4.15) сходятся тем
быстрее, чем лучше выполнено неравенство £я<с1, поскольку
отношение последовательных мультипольных членов по порядку
величины равно
136

где предполагается, что частота со = кс дает наиболее существен-
существенный вклад в фурье-разложение потенциалов.
Используя полученные представления для потенциалов, нетруд-
нетрудно вычислить в волновой зоне векторы Е и В. При этом [см.
D4.14)] можно пользоваться правилом
V=-=|. D4.17)
В итоге получаем
Визл=--[пА], Еизл=-[пВизл], D4.18)
где А определяется выражением D4.15). Аналогично получаем
в волновой зоне и вектор Пойнтинга:
S = — ГпА]2. D4.19)
Задача 44.2. Показать, что если в разложении D4.15) ограничиться двумя
первыми членами*, что допустимо при выполнении условий типа |р|д<сс|р|,
то мощность излучения может выть представлена в виде суммы элект-
электрического дипольного, магнитного дипольного и электрического квадрупольного
излучений:
^ ^ ^- D4.20)
Исходя из соотношений D4.2) и D4.16), можно утверждать,
что электрический 2/-поль будет давать мощность излучения
того же порядка, что магнитный 2'-1-поль, при условии, что
соответствующие мультипольные моменты отличны от нуля.
Это обстоятельство имеет большое практическое значение и часто
используется при оценке мощности излучения реальных систем.
§ 45. ИЗЛУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АНТЕННЫ
Пусть имеется линейная антенна длины /, в которой возбуждается
ток частоты ю. Направляя ось Z вдоль антенны и замечая,
что на ее концах j = 0, исследуем тот простейший случай, когда
в антенне возбуждена гармоническая стоячая волна тока плот-
плотностью
j = Iosin[nJV(z//+l/2)]8(jc)8(^)exp(-i(or), D5.1)
где Io = /Oez; N— некоторое целое число, определяющее тип
возбуждения антенны. Особый интерес представляет резонансное
* Как заметил В. М. Дубовик, необходимо учитывать и третий член
в разложении D4.15). При этом в системах с тороидностью Т .(см. задачу
29.1) возникает дополнительная мощность излучения />1' = (8/27)сТ-(Т —Зр).
137

возбуждение, когда k = co/c = nN//. В этом случае N представляет
собой число полуволн тока, укладывающихся в длине антенны.
В соответствии с D4.3) можно принять
p=-divP, } = dP/dt, Р = ч/ш D5.2)
и ввести электрический вектор Герца П, который в волновой
зоне [см. D4.14)] может быть записан в виде
- D5-з)
Подставляя D5.1) в D5.3), находим
+ 112
n%-Ioe-f(dt Г sin\nN(-+-)~\cl{kR)dzf. D5.4)
©г J [_ ^ / 2/J
-1/2
Используя сферические координаты, начало которых помещено
в середину антенны, имеем (kR) = k(r — z'cosQ), и D5.4)
принимает вид
+ 1B
( + \]edz. D5.5)
\1 2/J
-1/2
Вычислим интеграл D5.5):
и^7ю71ое е (nN/lJ-k2cos4 ' ^'b)
Заметим, что A = tl/c= — ikH. Поэтому [см. D4.19)] усред-
усредненная по времени угловая плотность мощности излучения равна
или с учетом D5.6)
df,_ Ц Л,nN\2
4
1" У [(nN I If-к* cos* В]* ■ DЬ-°
В дальнейшем нас будет интересовать случай резонансного
излучения, когда k = nN/l и D5.7) принимает вид
d>!_/g sin2 [nNsin2@/2)]
dQ 2tic sin20 ' l ' }
Из D5.8) видно, что минимумы излучения определяются
условием sin [nN sin2 (9 / 2)] = 0, откуда
3m = 2arcsinv/m/JV; m = 0, 1,..., TV, D5.9)
т. е. число минимумов равно N+l9 а число максимумов совпадает
с N и равно, таким образом, числу полуволн, укладывающихся
138

в длине антенны. Уг-
Угловое распределение
мощности излучения
(диаграмма направлен-
ности) для N=\9 2,
3 изображено на
рис. 45.1.
Если Л^ велико
(N» 1), то первый мак-
максимум излучения при-
приходится на угол 0^01
Рис. 45.1
В этом случае
в то время как для центрального максимума (если N=
3 = 7t/2, т. е.
sin [tiN sin2 @/2)] _ .
sin 0 ~~
Поэтому интенсивность первого бокового лепестка излучения
антенны больше интенсивности центрального лепестка в JV/2 раз,
т. е. в основном излучение идет в направлении проводника антенны,
который играет в этом случае роль ведущей линии (волновода).
Усредненная по времени полная мощность излучения антенны
[см. D5.8)] равна
U/2» D5.10)
D5.11)
где сопротивление излучения
i = - I siir
с
2 у sin 0
Заменой переменной 2nNsin2 (9/2) = х D5.11) приводится к виду
2яЛГ
D5.12)
оо
/»
где у = 1,7811... — постоянная Эйлера, а С\(х)=— cosx ——ин-
J х
X
тегральный косинус.
Пренебрегая при Л^>> 1 малым членом CiBnN), получим
D5.13)
139

§ 46. ПОЛЕ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА
Пусть точечный заряд е движется по заданной траектории r = ^(t)
со скоростью \{t) = ^(t). Для описания электромагнитного поля,
порождаемого таким зарядом, введем плотности заряда и тока:
р(*, г) = еЬ[г-Щ]; i(t, г) = еуA)Ь[г-Щ]. D6.1)
Кроме того, предположим, что применимо запаздывающее
решение уравнений поля, т. е. отсутствует как излучение, при-
приходящее из бесконечности, так и тепловое излучение («тем-
(«температура» вакуума равна нулю).
В данном случае удобнее записать запаздывающие потенциалы
в форме D1.13), воспользовавшись запаздывающей функцией
Грина D1.19):
(tr) = cSp(t\r>)R-ib(R-cT)dV>dt>;
где T=t — tf, i? = |r—r'|. Подставляя D6.1) в D6.2) и выполняя
объемное интегрирование с учетом свойств 8-функции, находим:
, r) = e [blt'-t+l-R{t\ г)Ъ -*(*', r)df;
D6.3)
где R{t\r) = \r-^{t')\ = \^\.
Используем свойство C.8) 8-функции, согласно которому для
всякой функции /(*'), имеющей однократные нули t' = ti9 справед-
справедливо представление
] = Ef^- D6-4)
В данном случае
f(t') = t'-t + R(t',r)lc9 D6.5)
поэтому
f'{t')=l-(m)/c, D6.6)
где n = R/i?. Если считать, что заряд движется со скоростью
v<c, то f'(t')>0. При этом функция/(Г) монотонна и уравнение
f(t') = O имеет единственный корень *' = £:
С = t-R(С, г)/с. D6.7)
Таким образом, согласно D6.4) и D6.6), имеем
8[г'-Г + Л(^г)/с] = 8(^-С)[1-И/с]-1. D6.8)
140

Подставляя D6.8) в D6.3), преобразуем запаздывающие потен-
потенциалы:
[4 D6-9)
(потенциалы Льенара — Вихерта). Здесь индекс £ означает, что выра-
выражение в скобках берется в запаздывающий момент времени, опреде-
определяемый уравнением D6.7). Особенность формулы D6.9) состоит в том,
что электромагнитные потенциалы в точке наблюдения г в момент
времени / определяются положением и скоростью заряда в некото-
некоторый предшествующий момент времени £ (/, г), вычисляемый из D6.7).
С помощью потенциалов Льенара — Вихерта нетрудно вычис-
вычислить векторы Е и В.
Замечая, что
[l-(m/cy\ VC=-n[c-(nv)]-\ D6.10)
находим последовательно, опуская индекс запаздывания £:
R2[c-(m)]2
1 д А 1 (ЗА dt, ev
с dt с dl dt R\c-(n
ey
г [nv] e[nv]
R[c-{m)Y R2[c-(nv)YL
B результате получаем
f(c2-,2)(cn-v) [n[(cn-v)v]]
B = [nE]c. D6.12)
Для подсчета мощности, теряемой неравномерно движущимся
зарядом на излучение, нужно составить выражение для вектора
Пойнтинга S и оставить в нем члены, обратно пропорциональные
Л2, поскольку интегрирование будет производиться по бесконечно
удаленной поверхности. Иначе говоря, необходимо рассмотреть
141

волновую зону. Так как в ней поле поперечно, т. е. удовлетворяет
условию (пЕизл) = 0, то вектор Пойнтинга имеет вид
S = ^n(EH3JIJ, D6.13)
где
к
Подставляя D6.14) в D6.13), для углового распределения
мощности излучения dPI/dQ = (nSO?2 находим выражение
dfi 4
Интегрируя D6.15) по бесконечно удаленной замкнутой повер-
поверхности, можно получить полную мощность излучения Pl9 однако
она не совпадет с истинными потерями энергии заряда на
излучение. Чтобы понять, почему это так, окружим заряд
некоторой замкнутой и жестко связанной с ним поверхностью,
например сферой радиуса R с центром в точке нахождения
заряда в запаздывающий момент времени £. Очевидно, что
поток энергии сквозь такую поверхность и определяет истинные
потери энергии заряда РЕ. Но так как поверхность перемещается
в пространстве со скоростью v заряда, то поток энергии сквозь
нее определяется не только вектором Пойнтинга, но еще
и переносной плотностью потока энергии, равной — w\. Таким
образом, результирующая плотность потока энергии сквозь
поверхность определяется вектором
S' = S-wv. D6.16)
Замечая, что для поля излучения плотность энергии равна
для скорости потерь энергии зарядом в данном направлении
найдем
) ()[^] ^[^] D6.17)
или с учетом D6.10)
Таким образом, если некоторая порция электромагнитной
энергии была испущена зарядом за время d^, то в точке
наблюдения она регистрируется за время df = d^[l — (nv)/c].
Это обстоятельство позволяет записать скорость потерь
энергии зарядом на излучение в виде
(Jr\ изл
%) ■ D6Л9)
142

Задача 46.1. Показать, что полная мощность излучения и скорость потерь
энергии на излучение точечным зарядом е имеют вид
2c2 + v2 }
D620)
Соотношение D6.21) впервые было получено А. Льенаром
в 1898 г. Нетрудно видеть, что в пределе г/с->0
JWb-^Wc2, D6-22)
т. е. получается уже известный нам результат Лармора D3.9).
В этом случае в волновой зоне
л]с, D6.23)
что соответствует дипольному излучению, описываемому век-
вектором Пойнтинга
В том случае, когда v-+c. наблюдается резкая анизотропия
излучения. Так, Еизл~A — v/c)"*->оо в направлении движения заряда,
т. е. при n = v/v9 и Еизл конечно при п= —\/v. Это говорит о том, что
излучение в основном направлено вперед, будучи сосредоточенным
в узком конусе вблизи вектора скорости частицы. Примером такого
направленного излучения может служить синхротронное излучение,
испускаемое ультрарелятивистским зарядом, движущимся в магнит-
магнитном поле со скоростью, приближающейся к световой.
Задача 46.2. Показать, что максимум излучения ультрарелятивистской части-
частицы приходится на направление, составляющее с вектором скорости у угол
Э«д(а)A-и2/с2I/2, D6.25)
где я (а) — коэффициент, зависящий от угла а между векторами у и \.
В частности, если а «л/2, то а —(у/34— 1I/2/х/3, если же а#я/2, то
Задача 46.3. Найти потенциалы ф, А электромагнитного поля, создаваемого
точечным зарядом е, движущимся с постоянной скоростью у. Рассмотреть
также гипотетический случай сверхсветовой скорости v>c.
§ 47. СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрим заряженную частицу с энергией Е и импульсом Р,
взаимодействующую с электромагнитным полем, занимающим
некоторую область К, граничную поверхность которой 5* мы
впоследствии расширим до бесконечности. Запишем, основываясь
143

на теореме Пойнтинга, закон сохранения энергии для данной
системы:
D7.1)
где W—энергия электромагнитного поля в области V, а Р{ —
мощность излучения. Для оценки Р{ воспользуемся дипольным
приближением, допустив, что вклад высших мультипольных
моментов ничтожно мал. Наконец, будем считать скорость
заряда малой по сравнению со скоростью света (v «с с). В таком
случае [см. D3.9)], приняв, что поверхность S—сфера бесконечно
большого радиуса /?, в центре которой расположен заряд е, имеем
С другой стороны, при i;<^cc, согласно D6.10), d^d/, что
позволяет перейти в D7.1) от времени наблюдения t к времени
испускания излучения tt = t — R/c:
(E+W) £№)Y. D7.3)
Наконец, используя результат задачи 43.1, запишем еще
и закон сохранения импульса для системы:
^(P + GH^p + GbO, D7.4)
где G — импульс электромагнитного поля в области V. Из
соотношений D7.3) и D7.4) вытекает, что всякий излучающий
заряд должен испытывать дополнительную силу со стороны
испускаемого им электромагнитного поля. Согласно D7.4), эта
сила, обычно называемая силой реакции излучения, равна
FR = dP/dC=-dG/dC, D7.5)
где G—импульс электромагнитного поля, порожденного зарядом.
Замечая, что, по теореме живых сил, d£=(vdP), из D7.5)
и D7.3) выводим
Так как левая часть D7.6) имеет вид полной производной,
то наиболее общее решение этого уравнения относительно FR есть
FR = Vf/(r) + [vK] + |;^, D7.7)
144

где К — произвольный вектор, U(г)— произвольная скалярная
функция точки. Но, согласно D7.5), FR=—dG/d£, т. е. имеет вид
полной производной. В связи с этим в D7.7) следует положить
U=K = 0 и оставить член 2e2v/Cc3), определяемый состоянием
движения самого заряда и описывающий силу реакции излучения
FR = 2e2v/Cc3). D7.8)
Если заряженная частица имеет массу т и движется в поле
внешних сил F, то с учетом силы реакции излучения D7.8)
уравнение ее движения можно записать в виде
mv = F + 2e2v/Cc3). D7.9)
Чтобы проиллюстрировать, к каким изменениям в характере
движения частицы приводит учет силы реакции излучения,
рассмотрим случай однородной внешней силы F = F(f). Вводя
обозначения 2е /Cmc3) = x, F/m = g(f), перепишем уравнение дви-
движения D7.9) в виде
v-xv = g(f). D7.10)
Для решения этого уравнения найдем сначала функцию Грина
задачи Ь(Т), где T=t — t'. Последняя удовлетворяет уравнению
G-xG = 5(r). D7.11)
Замечая, что G задана с точностью до постоянной и при
7V0 удовлетворяет однородному уравнению G — xG = 0 с ре-
решением
будем искать функцию Грина в виде
GG) = C1er/x + e(r)(C2er/x + C3). D7.12)
Подставляя D7.12) в D7.11), находим С3=— С2=1, т.е.
G(r) = Cer/x + 0(r)(l-er/x), D7.13)
где С—произвольная постоянная, выбор которой приводит
к важным физическим последствиям. В частности, если ограни-
ограничиться запаздывающим решением, исчезающим при Г<0, то
Сзап(Г) = 0(Г)A-ег/х). D7.14)
Физически G3an представляет собой скорость покоившейся
при Г<0 частицы, на которую действует импульсная сила §(Г).
Однако G3an=l—ег/х при Г>0, т.е. частица начинает самоус-
самоускоряться в направлении, противоположном действию силы. Такое
решение, очевидно, не поддается физической интерпретации.
Поэтому выберем функцию Грина из условия ее ограниченности
при Г>0. В таком случае необходимо выбрать С=1, т.е.
r/x. D7.15)
145

Решение уравнения движения D7.10), отвечающее такому
выбору функции Грина, имеет вид
+ 00
▼('Но+ J g(t')G(t-t')dt\ D7.16)
— оо
где vo= lim v(f), если считать, что g[t) достаточно быстро
f-+-oo
убывает при t-^ — co [в большинстве физических задач g(f) = O
при t<t0]. Подставляя D7.15) в D7.16), находим
*@ = vo + J g(t')dt' + ]g(t')e(t-t'V*dt'. D7.17)
- оо t
Если первые слагаемые в D7.17) имеют обычный ньютоновский
вид, то последнее слагаемое несколько необычно. Нетрудно
видеть, что оно соответствует учету опережающих воздействий,
появление которых связано с высшими производными в уравнении
движения. Если бы при оценке мощности излучения Рх мы
учитывали высшие мультипольные моменты (магнитный диполь-
ный, электрический квадрупольный и т. д.), то эффект опережения
был бы еще более сильным.
Появление опережающего воздействия можно было бы понять,
если бы частица была протяженной. Так, например, заряженный
шарик радиуса а испытывает воздействие электрического поля
Е(г) в тот момент, когда его центр находится на расстоянии
а от точки г. В данном же случае время опережения по порядку
величины равно к, а эффективный размер кс = 2е2 /(Згпс2). Таким
образом, излучающий точечный заряд ведет себя как протяженная
частица, эффективная структура которой обусловлена полем
излучения. Например, электрону, масса которого т = 9,1 • 10~28 г,
соответствует эффективный размер, получивший название клас-
классического радиуса электрона и равный
го = е2/(гпс2) = 2$ • 1(Г13 см. D7.18)
Задача 47.1. Найти затухание скорости заряженной частицы в постоянном
магнитном поле В, считая силу реакции излучения малой.
§ 48. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
СВОБОДНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ (ФОРМУЛА ТОМСОНА)
Рассмотрим произвольную неизлучающую систему зарядов и то-
токов. Если эта система окажется в поле электромагнитной волны
с заданной плотностью потока энергии So, то под действием
поля волны в системе возникнут изменяющиеся во времени
мультипольные моменты, а это [см. D4.15)] приведет к тому,
что система начнет излучать.
Очевидно, что мощность излучения dPl в некоторый телесный
угол dfi пропорциональна |S0|. Поэтому одной из важных
146

характеристик такой системы
зарядов и токов должно быть
отношение
do = dP{ + |S0|, D8.1)
имеющее размерность площа-
площади и называемое дифференци-
дифференциальным сечением рассеяния си-
системы. Если воспользоваться
квантовыми представлениями
об электромагнитном поле,
т. е. ввести кванты света —
фотоны, то da будет численно
равно площади, на которую Рис- 481
падают фотоны, рассеянные в телесный угол dQ (рис. 48.1).
Интегрируя D8.1) по всем направлениям, получаем полное сечение
рассеяния
dfi
I So
D8.2)
В качестве примера рассмотрим рассеяние электромагнитных
волн свободным электроном. Уравнение его движения в поле
волны [см. D7.9)] можно записать в виде
т\ = е(Е + [\В]/с) + 2е2\/(Зс3). D8.3)
Считая движение электрона достаточно медленным, т. е.
полагая v<^cc, и учитывая, что для плоской электромагнитной
волны |Е| = |В|, можно пренебречь [vB]/c по сравнению с Е и пе-
переписать D8.3) так:
т\яеЕ + 2е2\/(Зс3). D8.4)
Полагая в D8.4) Е = Еоехр( — i(ot), v = voexp( — icot), т. е. рас-
рассматривая только вынужденное движение электрона, и пренеб-
пренебрегая зависимостью Е от г, находим
т
Ътс6
Е
D8.5)
Так как для плоской падающей волны |S0| = c|E|2/D7i),
а мощность излучения в телесный угол dQ [см. D6.24)] равна
dPr = -^-, I fnv12 dQ, D8.6)
Апсъ L J
то с помощью D8.5) нетрудно найти дифференциальное сечение
рассеяния
л~- ^ 1["Е]12_
l+/2coro/Cc)|2 |E
[2coro/Cc)]2'
D8.7)
147

где 9 — угол между направлениями
излучения п и вектором поляриза-
поляризации е = Е0/£0 падающей волны,
г0—классический радиус электрона.
Теперь уже нетрудно подсчитать
и полное сечение рассеяния:
o(<o)=-
—8^ 2.
Рис- 482
зависимость его от частоты пред-
ставлена на рис. 48.2. В предельном
случае низких частот, когда юг0 <: с, находим
lim а (со) = а0 = Ыг § / 3. D8.9)
ю->0
Эта формула впервые была получена Дж. Дж. Томсоном
и названа его именем. Из нее следует, что полное сечение
рассеяния электромагнитных волн свободным электроном имеет
порядок площади круга радиуса г0. Поэтому го = е2/(тс2) можно
вполне обоснованно рассматривать как характерный размер
электрона, его классический радиус.
Задача 48.1. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния эллиптически
поляризованных плоских электромагнитных волн свободным электроном.
Задача 48.2. Найти выражение для полного сечения рассеяния линейно
поляризованного света частоты со упруго связанным электроном с трением.
Объяснить с его помощью голубой цвет неба и красный цвет Солнца при закате.

4
ГЛАВА
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И ПОЛЯ
При решении многих электродинамических задач весьма полезным
оказывается приближение квазистационарного поля. Его применяют
при анализе линейных цепей переменного тока, при расчете длинных
линий, в магнитной гидродинамике и в других областях. Чаще всего
это приближение эффективно в тех случаях, когда характерные
частоты изменения токов и полей не очень велики и поэтому длины
волн, которые могут излучаться системой, значительно превосхо-
превосходят ее линейные размеры I. Иначе говоря, если ввести характерное
время Т изменения полей, то предполагается выполнение условия
которое можно назвать достаточным условием квазистационар-
квазистационарности. Электромагнитное поле в этом случае напоминает по
структуре поле вибратора Герца в ближней зоне и получило
название квазистационарного. Уравнения для полей в квазистаци-
квазистационарном приближении оказываются более простыми, что позволя-
позволяет эффективно использовать их для решения широкого круга
задач.
§ 49. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ
Квазистационарное приближение, основанное на условии (IV. 1),
соответствует предположению о медленности процессов. Это
означает, что всякое изменение поля в какой-либо части системы
практически мгновенно передается в любую ее точку, т. е. фаза
изменения поля во всех точках системы практически одна и та
же. Иными словами, при анализе процессов в системе можно
пренебречь запаздыванием, заменив, например, в выражении для
запаздывающих потенциалов D1.24) аргумент t — R/c на /.
В результате потенциалы ф и А можно записать в виде
откуда следует, что они являются решениями уравнений
Аф= —4л;р, АА= — 4щ/ с,
не отличающихся от стационарных. Особенность этих уравнений
состоит в том, что время t все же входит в них параметрически —
149

через источники р и j. Поэтому при вычислении Е и В вос-
воспользуемся обычным определением
E=-~-Vq>, B = rotA, D9.2)
с ct
учитывающим вихревой характер электрического поля.
Таким образом, уравнения для полей в квазистационарном
приближении действительно упрощаются. Для получения этих
упрощенных уравнений в случае неоднородной среды с проница-
емостями 8 (г) и ц(г), а также при наличии проводников с удельной
проводимостью а (г) воспользуемся методом электромагнитных
потенциалов в специальной калибровке
div(eA) = 0. D9.3)
Тогда уравнения Максвелла принимают следующий вид:
div(eV(p)=— 4л;р, rot( -rotA) =—j---( VcpH V D9.4)
v Y/ v \\i ) с cdt\ Y с dt J v y
Если в области с линейным размером / рассматривать решения
этих уравнений, существенно изменяющиеся за некоторое время
Г, то при выполнении условия (IV. 1) в среднем по области
8 д2А
rot - rot A »
D9.5)
В самом деле, в среднем по области | rot (l^ ~x rot A) | имеет
порядок Aj{l2\i), тогда как порядок \гс~2д2А/дг\ есть гА /(с2Т2).
Поэтому D9.5) является следствием (IV. 1). С учетом D9.5) уравнения
Максвелла для квазистационарных процессов можно записать в виде
cJ c д> D9.6)
rotE=— , divB = 0.
с dt
Они отличаются от полных уравнений Максвелла A0.1) тем,
что в первой группе уравнений сделано пренебрежение вихревой
частью Е по сравнению с потенциальной частью, что можно
выразить неравенством
%■ <49-7>
Это неравенство можно считать определяющим условием
квазистационарности вместо (IV. 1). Такое предпочтение оправдано
тем, что, например, для длинных линий условие (IV. 1) нарушено,
тогда как уравнения D9.6) справедливы, так как выполнено
неравенство D9.7).
150

Наконец, для хороших проводников уравнения D9.6) могут
быть подвергнуты дальнейшему упрощению, если предположить
выполнимость неравенства
аГ»8. D9.8)
Согласно закону Ома, j = a(E+ECTOp), и D9.8) сводится к пред-
предположению о малости плотности тока смещения по сравнению
с плотностью тока проводимости:
^|«lj|. D9.9)
С учетом D9.9) уравнения D9.6) принимают такой вид:
D9.10)
rotE=--—, divB-0.
с dt
Как видно, индукция В подчиняется уравнениям магнитостати-
магнитостатики, что позволяет использовать все результаты этого раздела.
Вместе с тем необходимо учитывать, что электрическое поле
Е не является безвихревым.
§ 50. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ
В ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКАХ
Из общих уравнений Максвелла для квазистационарных процессов
нетрудно получить основные уравнения для токов в системе
квазилинейных проводников, обычно используемые при расчете
линейных цепей, содержащих такие элементы, как резисторы,
конденсаторы и катушки индуктивности. Однако проще всего
эти расчетные уравнения вывести из закона сохранения элект-
электрического заряда и закона электромагнитной индукции Фараде я.
Но если в A0.4) закон Фарадея был сформулирован в виде
где Ф — магнитный поток сквозь неподвижный контур /, то
наиболее общая его формулировка A.17) предполагает произ-
произвольно деформирующийся проводящий контур (см., однако,
задачу 1.9). При этом э. д. с. в контуре оказывается равной
*=-—. E0.2)
С Qt
151

Покажем, что уравнение E0.2) может
быть выведено из E0.1), если учесть
движение контура. Для этого введем ско-
скорость и движения произвольной точки
контура (рис. 50.1). Так как за время
dt элемент контура dl опишет ориен-
ориентированную площадку
udt
Рис. 50.1
то вызванное движением контура изменение магнитного потока
равно
8O=-df§(B[dlu]).
E0.3)
В результате полная скорость изменения магнитного потока
дФ
dt
E0.4)
С учетом E0.1) соотношение E0.4) можно переписать в виде
E0.5)
где
' = Е+-[иВ]
E0.6)
— эффективная, или действующая, напряженность электрического
поля в движущемся контуре. Очевидно, что если
<y==§(E'dl), E0.7)
i
то E0.5) эквивалентно E0.2). Легко понять, что в движущемся
проводнике истинная э. д. с. описывается именно формулой E0.7),
поскольку на заряды, создающие ток в движущемся проводе,
действует полная сила Лоренца
Задача 50.1. Найти э. д. с. $ униполярной машины, представляющей собой
постоянный сферический магнит радиуса а, вращающийся с угловой скоростью
со. Один из подвижных контактов расположен на полюсе, а другой — на
экваторе (рис. 50.2).
Итак, будем исходить из уравнения E0.5), которое применим
для описания токов в некоторой системе квазилинейных провод-
152

ников (включающих различные
омические нагрузки, катушки само-
самоиндукции, трансформаторы, цепи
электродвигателей и тому подо-
подобное), которые могут содержать
и разрывы в виде конденсаторов.
Заметим, что внутри движуще-
движущегося проводника, согласно закону
Ома, j = a(E'+ECTop), или
E'=-ECTOp+j/a, E0.8)
а внутри конденсатора, по условию
D9.7),
E'=-V(p. E0.9) Рис. 50.2
Используем E0.8) и E0.9) для вычисления контурного ин-
интеграла в E0.5). При этом для проводящего участка контура
А/ с сопротивлением R
| (E'dl)= - | (ECTOpdl)+ I ^ = -
E0.10)
М Al AI
В то же время для участка с конденсатором емкостью С (рис. 50.3)
2 2
^ E0.11)
где e(t) — заряд конденсатора. Зная силу тока, проходящего
через конденсатор, и принимая для простоты е@) = 0, имеем
e(t)=-\l(t)dt.
О
С учетом соотношений E0.10) и E0.11) для некоторого
замкнутого контура ls
E0.12)
где сумма распространяется на все элементы контура. Вводя
взаимную индуктивность Lik двух элементов, по
которым протекают токи /{ и /к, для магнитного
потока Ф5, связанного с контуром ls и входящего [см.
E0.5)] в левую часть E0.12), получаем
E0.13)
-16/, к
Рис. 50.3
153

В результате E0.12) принимает вид
W E0.14)
i€la
О
Мы получили второй закон Кирхгофа для линейной цепи
переменного тока: сумма сторонних э. д. с, взятая по некоторому
замкнутому контуру, равна сумме падений напряжений на всех
индуктивных, емкостных и омических элементах этого контура.
Наконец, для разветвленных цепей уравнения E0.14) следует
дополнить первым законом Кирхгофа. Для его получения вос-
воспользуемся соотношением
являющимся очевидным следствием D9.6) и выражающим закон
сохранения электрического заряда в квазистационарном приближе-
приближении. Интегрируя E0.15) по некоторому объему, включающему
точку разветвления цепи, и используя теорему Гаусса — Остро-
Остроградского, находим
или
14 = 0, E0.16)
к
где сумма берется по всем ответвлениям, сходящимся в данной
точке, а под токами 1к понимаются как токи проводимости,
так и квазистационарные токи смещения. Соотношение E0.16)
и представляет собой первый закон Кирхгофа: сумма сил токов,
притекающих к точке разветвления цепи, равна нулю.
Итак, для расчета линейных цепей с квазистационарными
токами достаточно составить и решить систему уравнений
Кирхгофа E0.14) и E0.16). В наиболее распространенном случае,
когда токи и э. д. с. зависят от времени гармонически:
г Г О р — ia>t е> стор е> О р — i cot
а Сг и Lik не зависят от времени, второй закон Кирхгофа
принимает вид
1/,° = Х^,9, E0.17)
ye/s k jels
где введена матрица комплексного сопротивления (импеданс)
ZjbZzRjbjk + ildjbiaCj)-1-®^/ с2], E0.18)
154

Рис. 50.5
действительная часть которой содержит активные сопротивления 7? ,
а мнимая—реактивные сопротивления Xjk = 6jk((oCj)~1 — (oLjkc~ .
В качестве примера рассмотрим простую цепь, состоящую
из последовательно включенных индуктивности L, емкости С и со-
сопротивления R (рис. 50.4). В этом случае
^° = /°Z, E0.19)
где
Z=R + iX, X=((oC)-1-(oL/c2. E0.20)
Очевидно, что между током и э. д. с. появляется сдвиг фаз ср:
' = — e
x
1
coL
E0.21)
что принято изображать на диаграмме ток — напряжение
(рис. 50.5). Если подсчитать выделяющуюся в цепи тепловую
мощность, то найдем
E0.22)
В связи с этим сдвиг фаз ф [см. E0.21)] часто называют
углом потерь. Будучи весьма важной характеристикой линейной
цепи, позволяющей определить в ней тепловые потери, coscp
обычно всегда указывается в паспортах различных технических
устройств, например электродвигателей переменного тока.
Замечая, что импеданс Z системы является функцией частоты
со приложенной э. д. с, нетрудно определить ту частоту со0, при
которой сила тока в цепи максимальна, т. е. наступает резонанс.
Согласно E0.21), при этой частоте \Z\ минимально, откуда
ImZ=0, т. е.
(o0 = c(LC)~1/2 E0.23)
(формула Томсона*). Нетрудно видеть, что при резонансной
частоте ф = 0, т. е. потери в цепи максимальны — контур отбирает
от источника максимальную энергию.
* Речь идет о В. Томсоне (Кельвине).
155

Рис. 50.6
Часто в реальных конденсаторах и катушках индуктивности
также наблюдаются потери, что связано с проводимостью
используемых материалов. Эти потери удобно описывать с по-
помощью формализма комплексных проницаемостей* 8 = 8' + is",
ц = ц' + /ц". Полагая С = гС0 и L = |iL0, импедансы конденсатора
и катушки индуктивности можно представить в следующей форме:
S /с2. E0.24)
Тогда соответствующие углы потерь имеют вид
cpc = arctg(E7e"), cpL=-arctg(ti7^")- E0.25)
Задача 50.2. Записать уравнения Кирхгофа для линейной цепи, изображенной
на рис. 50.6.
§ 51. ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ЛИНЕЙНЫХ
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ.
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
Из уравнений Максвелла в квазистационарном приближении
нетрудно получить теорему Пойнтинга, которая выглядит так
же, как и в общем случае:
(]E)=-dw/dt-divS, S = c[EH]/Dtt), E1.1)
но с тем отличием, что выражение для плотности энергии
электромагнитного поля равно
т. е. оставляется лишь потенциальная часть электрического поля
Е=— Уф. В связи с этим we отлична от нуля практически
только в конденсаторах, т. е. полная электрическая энергия равна
,dV=l-Y$, E1.3)
* Формализм комплексных проницаемостей применяется при описании рас-
распространения электромагнитных волн в поглощающих средах (см., в частности,
задачу 40.2).
156

в то время как магнитная энергия Wm имеет обычный вид,
как и для системы постоянных токов:
mdK=-L 1ЗД4- E1-4)
ZC i,k
Запишем теперь интегральную теорему Пойнтинга:
i(iE)dV=-±(We+Wm)- j (nS)dS. E1.5)
S
S->oo
Поверхностный интеграл в E1.5), описывающий потери си-
системы на излучение, в квазистационарном приближении исчезает,
так как [см. D9.6)] на поверхности S, которую будем считать
сферой бесконечно большого радиуса /?, имеем:
E~R~2, H~R~2, |S|~7T4.
Наконец, преобразуем интеграл в левой части E1.5). Полагая
в соответствии с законом Ома
где и—скорость движения проводников или обкладок конден-
конденсаторов, находим
J(jE)dK=J[/2/tf- (J'ECTOP) + (uf)]dK E1.6)
Здесь j'=j — pu—плотность тока в неподвижных проводниках,
f=pE + c-1 £jB] — плотность силы Лоренца. Так как для линейных
токов j'dF=/dl, то
Наконец, последний член в E1.6) представляет собой мощность
силы Лоренца и в соответствии с теоремой живых сил может быть
приведен к виду J(uf)dK=dr/d/, где Т—кинетическая энергия
системы. В результате уравнение E1.6) можно преобразовать:
() E1.6а)
к
Подстановка E1.6а) в E1.5) позволяет записать закон со-
сохранения энергии в системе квазистационарных токов в виде
^^) тор-42^). E1.7)
i,k 1 к W к
Структура этого уравнения говорит о существовании далеко
идущей аналогии между системой квазистационарных токов
157

и механической системой с диссипацией. В самом деле, если
заряды в\ рассматривать как обобщенные координаты, то силы
токов Ii=—ei должны играть роль обобщенных скоростей. При
этом уравнения Кирхгофа E0.14) и E0.16) можно записать
в форме уравнений Лагранжа
d(dA\ д\__д9
в которых функция Лагранжа и диссипативная функция Рэлея
имеют соответственно такой вид:
^1^ E1-9)
E1.10)
Итак, энергия Wm магнитного поля играет роль кинетической,
а энергия Wt электрического поля — роль потенциальной энергии,
что полностью согласуется с выражениями для обобщенных сил
B3.15) и C3.8).
Отмеченное обстоятельство позволяет легко вычислять меха-
механические силы взаимодействия токов и зарядов, обычно называ-
называемые пондеромоторными силами. Так, если коэффициенты Q или
Lik9 входящие в А, явно зависят от некоторых геометрических
параметров qs (обычно размеров или расстояний), которые могут
изменяться со временем, то соответствующие им обобщенные
силы находят по правилу
аЛ_у 1 dLik_ye? д / 1\
Если к лагранжиану Л добавить соответствующую механичес-
механическую часть, зависящую от qs и qs, то нетрудно получить
и уравнения движения для параметров qs с учетом пондеромотор-
ных сил E1.11), действующих на элементы системы со стороны
электромагнитного поля.
В качестве примера возьмем катушку самоиндукции длины
/, поперечного сечения пг2, с обмоткой из N витков провода.
Тогда сила, действующая на катушку в направлении /, равна
I2 d{4n2N2r2\ I22n2N2r2 Л /ci юл
{ " -^-<0' EU2)
т. е. соленоид стремится сократиться, что качественно объясняется
притяжением двух соседних витков с током. В то же время
сила, действующая вдоль г, равна
158

т. е. соленоид стремится растя-
нуться, что качественно объяс-
няется отталкиванием тех эле-
элементов витков, токи в которых
противоположны. Так, в извест-
известных опытах 77. Л. Капицы по со-
созданию сверхсильных магнитных
полей сила тока достигала мил-
миллионов ампер и часто катушки
разрывались, не выдерживая на-
нагрузок.
Задача 51.1. Катушка индуктивности рис 51.1
массы т, подвешенная за один конец,
подключенный к источнику постоянного напряжения с э. д. с. $ (рис. 51.1),
свободным концом опущена в ртуть. Найти закон движения свободного конца
катушки и закон изменения силы тока в ней.
Задача 51.2. Рельсотрон представляет собой две параллельные металли-
металлические шины длины s, уложенные на расстоянии I одна от другой
и находящиеся под напряжением U в поперечном магнитном поле В.
Подвижный стержень длины I и массы т замыкает шины на левом конце.
Найти предельные значения скорости и0 разгона стержня и к. п. д.
г|о рельсотрона, считая заданными сопротивление цепи R, индуктивность
L и коэффициент трения к.
§ 52. СКИН-ЭФФЕКТ
Рассматривая в § 36 задачу о поле прямого провода с постоянным
током, мы обнаружили, что ток равномерно распределен по
сечению провода. Но оказывается, что для переменного тока
это уже не так. В самом деле, магнитный поток сквозь контур
в продольном сечении провода (рис. 52.1) в случае переменного
тока изменяется со временем, а это означает, что циркуляция
напряженности Е электрического поля по этому контуру отлична
от нуля. Отсюда следует, что напряженность Е поля изменяется
в радиальном направлении, поэтому распределение плотности
тока j = aE также оказывается неравномерным по сечению
провода. Расчеты показывают, что практически ток протекает
в тонком поверхностном слое провода, откуда и происходит
название этого явления — скин-эффект*.
Для высокопроводящих материалов толщина скин-слоя ока-
оказывается очень малой. Если она мала по сравнению с радиусом
провода, то расчеты, выполненные для цилиндрического провода,
незначительно отличаются от расчетов скин-эффекта в прово-
проводящем полупространстве. Рассмотрим поэтому именно эту задачу.
* Это явление было описано английским физиком О. Хевисайдом в работах
1884—1885 гг. и впервые обнаружено на опыте его соотечественником Д. Юзом
в 1886 г.
159

Пусть однородная проводящая
среда занимает полупространст-
полупространство z>0, обладает электропрово-
электропроводимостью а, проницаемостями
8, |i и граничит с вакуумом
Рис 52 j (рис. 52.2). Запишем уравнения
Максвелла в квазистационарном
приближении внутри проводника:
= -aE, (a) divE = 0, (б)
E2.1)
=-^—, (в) divH = 0. (г)
с ot
Здесь р = 0, так как рассматривается установившийся процесс
и все внесенные свободные заряды [(см. C7.12)] должны рас-
рассосаться за время релаксации т = е/Dл;а).
Дифференцируя по t уравнение E2.1а), находим
ХШ 47ГСТ дЕ с ^ с
rot—- = -=--rotrotE = -
ot с ot \x \i
откуда
Аналогичное уравнение получается и для напряженности
магнитного поля:
AH^f. E2.3)
Задача 52.1. Показать, что уравнения E2.2) и E2.3) допускают в области V при
граничном условии [пЕ] = 0 или [пН] = 0 только затухающие во времени решения.
На основании результата задачи 52.1 можно сделать вывод,
что квазистационарное поле в области z>0 может существовать
долгое время только при условии, что на границе области z = 0
поддерживается некоторое внешнее поле (в случае задачи о про-
проводнике это соответствует заданию внешнего напряжения, при-
приложенного к проводу), В частности, если на границе задано
периодическое электрическое поле с напряженностью
Еоехр( — i(ot)9 направленной по оси Х9 то решение задачи следует
искать в виде
Е = (£, 0, 0); j = aE = (y, 0, 0).
Тогда из divE = 0 выводим, что дЕ/дх = 0, т. е. Е зависит
только от t, у и z. Но так как нас интересует задача
о распределении плотности тока в цилиндрическом проводнике,
которую мы упростили, то зависимость от у можно не рас-
рассматривать, имея в виду лишь азимутально-симметричные реше-
160

ния. Поэтому полагаем
E=E(z)exp( — i(ot) и запишем
E2.2) в виде
E"(z)= -i4noiiac-2E(zy E2.4)
Решение уравнения E2.4) оче-
очевидно:
Рис. 52.2
Отбрасывая нарастающее в глубь проводника поле как
физически неосуществимое, выбираем решение с Rex<0, т. е.
х = (|-1)/8, 6 = с/у/2па\ко. E2.5)
Таким образом, напряженность электрического поля в провод-
проводнике изменяется по закону
E(t, z) = E0^zl4{zl^m\ E2.6)
Как видно, она экспоненциально затухает в глубь проводника.
При этом роль эффективной глубины проникновения поля
в проводник играет параметр 5, называемый толщиной скин-слоя
и определяемый формулой E2.5). Числовые оценки, выполненные
для меди (A=1, а = 5*1017с~1) при частоте 50 Гц, показывают,
что 8^2 см. Поэтому в проводниках обычных сечений скин-
эффект проявляется лишь при гораздо большей частоте.
Для нахождения напряженности магнитного поля в проводнике
воспользуемся уравнением E2.1 в), из которого получим
[=-/_rotE.
|1G)
E2.7)
Подставляя E2.6) в E2.7), находим:
Н = @, Я, 0); Я=£сA + |)/(цш8). E2.8)
Используем это решение для расчета сопротивления 1 см
цилиндрического провода радиусом а. Если а<^.5, то очевидно,
что результат будет такой же, как при постоянной силе тока,
так как плотность тока почти постоянна по сечению провода.
Если же а»5, то результат будет иным и получить его можно
с помощью E2.6), положив
E(t, г)« Ео ехр [(а - г) (i-1)/8] ехр (- Ш). E2.9)
Прежде всего вычислим на основе E2.9) полную силу тока
через сечение провода:
1=2по] Ег&гъ(\ + 1)пао6Е0е-ш. E2.10)
о
Теперь воспользуемся законом Джоуля — Ленца, согласно
которому тепловые потери в 1 см провода определяются его
сопротивлением R и равны
6 Зак 378
161

= 2n](r/a)pdr =
2. E2.11)
Замечая, что Р = (паа5Е0J, нахо-
находим сопротивление 1 см провода:
(b)~1. E2.12)
Анализ этой формулы показывает, что фактически нужно
учитывать лишь сопротивление самого скин-слоя (рис. 52.3), т. е.
в обычной формуле для сопротивления R = (gS) ~* вместо попереч-
поперечного сечения S = na2 нужно подставлять площадь кольца тол-
толщиной 5. Приближение такого рода, основанное на неравенстве
а» 5, обычно называется приближением Рэлея.
Задача 52.2. Подсчитать внутреннюю индуктивность 1 см провода радиусом
а в рэлеевском приближении.
Однако опыт показал, что зависимость сопротивления провода от частоты
типа R~yf&, как предписывает формула E2.12), сохраняется далеко не для
всех частот, удовлетворяющих условию квазистационарности D9.8). Оказалось,
что в области достаточно высоких частот, при которых глубина проникновения
поля в проводник и длина свободного пробега /о электронов в металле сравнимы,
т. е. 5</0 или
E2.13)
наблюдается более быстрый рост сопротивления с частотой. Это явление,
получившее название аномального скин-эффекта, объясняется тем, что при 5</0
перестает быть справедливым локальный закон Ома j = aE. В самом деле, если,
например, воспользоваться электронной моделью Друде, то электрическое поле
будет разгонять электроны не в течение времени их свободного пробега, как
предполагалось в этой модели, а в течение времени их пребывания в скин-слое,
причем напряженность поля существенно меняется на протяжении этого слоя.
Таким образом, электроны будут находиться в области ускоряющего их поля
гораздо меньшее время, что приведет к уменьшению силы тока или эквивалент-
эквивалентному возрастанию сопротивления. Как можно показать*, длина свободного
пробега электронов растет с убыванием температуры Т быстрее, чем Г, так
что условие E2.13) выполнено и для обычных частот, но при низких температурах.
Таким образом, условия для проявления аномального скин-эффекта выполняются
как при высоких частотах и нормальных температурах, так и в области обычных
частот, но низких температур.
Удовлетворительное объяснение аномального скин-эффекта было дано
Г. Рейтером и Э. Зондхаймером в 1948 г. Они пришли к следующей нелокальной
связи j и Е, обобщающей локальный закон Ома:
где R = r — г'. Таким образом, согласно E2.14), плотность тока j(r) определяется
напряженностью Е поля в некоторой окрестности точки г с размерами порядка /0.
* См.: Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М., 1963. С. 338—342.
162

Задача 52.3. Показать, что в пределе /0 -*0 закон Рейтера — Зондхаймера
E2.14) переходит в обычный закон Ома.
Задача 52.4. Показать, что в рэлеевском приближении сила, действующая
на проводящее тело в переменном магнитном поле частоты со, может
быть записана в виде
= — (b[EB]dS,
j
E2.15)
LC J
S
где S — поверхность тела.
§ 53. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ
Рассмотрим длинную двухпроводную линию (рис. 53.1). Введем
емкость С, индуктивность L и сопротивление R линии на 1 см
которые будем считать постоянными величинами. Тогда для
участка Ьх линии эти параметры, очевидно, равны:
Найдем уравнения для силы тока / и напряжения U в линии,
являющихся некоторыми функциями t и х. В качестве исходных
возьмем уравнения D9.6), из которых, в частности, вытекает
закон сохранения заряда в обычной форме: 5p/5/ + divj = O.
Заряд bQ = bxCU участка линии 5х может изменяться как
из-за разности сил токов в точках х и х + 5х, так и из-за
утечки (разряд линии). Таким образом,
~bQ = bxCd-^ = I(x) -I(x+5x) -G8xU, E3.1)
где последний член, в котором G = const, описывает утечку в линии
согласно закону Ома. Переходя в E3.1) к пределу 5х-*0, находим
CdU/dt + dI/dx + GU=O. E3.2)
Наконец, запишем второй закон Кирхгофа для участка 5л* линии:
5xRI= -bxLc~2dI/dt+U(x) -C/(x + 5x),
откуда после перехода к пределу 5х -> 0 выводим
IR= -Lc~2dIldt-dU/dx. E3.3)
Уравнения E3.2) и E3.3) называются телеграфными и являются
основными при описании процессов в длинных линиях.
Дифференцируя E3.2) по х, а E3.3), умноженное на С,— по
t и вычитая полученные уравнения одно из другого, находим
Подставляя в E3.4) dU/дх, взятое из E3.3), приходим
к уравнению
c2RC)~ +c2GR~}l=0. E3.5)
163

и
\
1 „^
1
1
Замечая, что уравнение E3.5)
содержит волновой оператор, от-
вечающий скорости распростра-
нения волны
1/2, E3.6)
Рис 5з 1 попробуем искать решение этого
уравнения в виде
I(U x)=/(*-vHW> E3-7)
что соответствует неискаженной волне, форма которой сохраня-
сохраняется, а амплитуда изменяется вдоль линии.
Подставляя E3.7) в E3.5) и приравнивая нулю коэффициенты
при независимых функциях / и /', имеем
откуда
^(х) = е-^Шх, -2c2(GR)ll2v^i+GL + c2RC = 0. E3.8)
Последнее соотношение в E3.8) с учетом E3.6) принимает вид
и поэтому неискаженная волна существует только при выполнении
условия
c-1^/L/^ = ^/RIG=a. E3.9)
Как видно из E3.8), амплитуда неискаженной волны экс-
экспоненциально затухает вдоль линии*. Для определения волны
напряжения [/(/, х) воспользуемся уравнением E3.3), подставляя
в которое E3.7) имеем
откуда
U(t9 x) = atj=al(u x), E3.10)
т. е. вдоль линии сохраняется постоянным отношение
U(t9 x)/I(u x) = a = c-1y/Z/C, E3Л1)
называемое волновым сопротивлением линии.
Если на конце линии поставить нагрузку i?H, то для непрерыв-
непрерывности U и 1 необходимо выполнение условия
E3.12)
* Неискаженные волны были предсказаны О. Хевисайдом в 1887 г.
164

называемого условием согласования нагрузки с линией. В этом
случае в линии по-прежнему нет искажений, т. е. отсутствует
отраженная волна.
Итак, мы нашли волны тока и напряжения в двухпроводной
линии без искажений. Однако в произвольной линии условие
E3.9) может и не выполняться. В этом случае форма волны
оказывается более сложной. Для ее нахождения удобно восполь-
воспользоваться методом Фурье, положив
I(t, x) = j/(co)exp[/A:(co)x — /co/]dco, E3.13)
где fc(co) — неизвестная функция, подбираемая так, чтобы I(t, x)
удовлетворяло уравнению E3.5). Нетрудно видеть, что это
выполняется при условии
c2k2(a) = a>2LC+ia>(GL + c2RC) -c2GR. E3.14)
Уравнение E3.14), называемое дисперсионным уравнением двух-
двухпроводной линии, имеет для к (со) два очевидных решения,
отличающихся знаком и соответствующих двум типам бегущих
волн в линии — прямой и отраженной.
§ 54. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ
ДЕФОРМИРУЮЩИХСЯ ПРОВОДНИКАХ
(МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА)
Одним из важнейших приложении теории квазистационарных
полей является описание электромагнитных процессов в движу-
движущихся проводящих жидкостях и газах (астрофизика, физика
плазмы). Если среда характеризуется значительной удельной
проводимостью а(обычно а~10 с) и магнитной проница-
проницаемостью |i«l, то уравнения Максвелла в квазистационарном
приближении примут вид
E4.1)
= 4тср, divB = 0,
с ot
где u(f, г) — локальная скорость движения среды. Эта скорость
подчиняется гидродинамическим уравнениям движения, в которых
кроме обычных сил давления, вязкости, тяготения и других
внешних сил необходимо учитывать и силу Лоренца
f=pE+[jB]/r. E4.2)
Если ограничиться наиболее простым случаем несжимаемой
среды и пренебречь силами вязкости и тяготения, то основные
уравнения гидродинамики запишутся в виде
x[du/dt+ (uV)u] = -V/7 + pE+ [jB]/c, E4.3)
divu = 0, т = const.
165

Здесь х — плотность массы; р — давление, определяемое из урав-
уравнения состояния среды как некоторая функция плотности х и тем-
температуры Т: p=p(t, Т).
Если допустить, что среда квазинейтральна, т. е. р^О, что
оправдано в случае высокой проводимости (эффект рассасывания),
то можно положить
j = с rot В/Dя)« а (Е + [иВ]/с)
и выразить напряженность электрического ноля через скорость
и жидкости и индукцию В магнитного поля:
E=-([uB]-vmrotB)/c, E4.4)
где введена магнитная вязкость ут = с2/Dяа). Подставляя E4.4)
в уравнение crotE= — дВ/dt, находим
dB/dt = rot[uB] -vm rot rot В,
или с учетом уравнения divB = 0
rot[uB] +vmAB. E4.5)
Как видно, уравнение E4.5) кроме диффузионного члена
vmAB, присутствие которого приводит (см. задачу 52.1) к зату-
затухающим во времени решениям, содержит еще вихревой член
rot [uB]. Поэтому вполне можно ожидать, что при соответст-
соответствующих движениях среды уравнение E4.5) будет допускать
и незатухающие решения. Поиск таких решений представляет
собой сложную математическую задачу, известную как проблема
генерации магнитного поля. К решению этой задачи сводится,
в частности, объяснение земного магнетизма.
Задача 54.1. Показать, что вращательное движение среды не приводит
к генерации магнитного поля.
Соотношение E4.4) позволяет исключить напряженность Е эле-
электрического поля из исходных уравнений, в результате чего
получается следующая система уравнений для определения ско-
скорости и движения среды и индукции В магнитного поля:
х [du/dt + (uV) u] = - Wp - [В rot В]/Dя),
rot[uB] +vmAB, diu divB O
Разрешив ее, можно найти напряженность Е электрического
поля и плотность заряда р = div Е/Dя), используя E4.4). Приближе-
Приближение, основанное на уравнениях E4.4) и E4.6), называется в связи
с этим приближением магнитной гидродинамики.
Характер решений уравнений магнитной гидродинамики, как
и в обычной гидродинамике, существенно зависит от числового
значения одного безразмерного параметра, получившего название
магнитного числа Репнольдса. Это число возникает при оценке
166

диффузионного члена в правой части уравнения E4.5). Если
область характерного изменения индукции магнитного поля имеет
размер /, а средняя скорость движения среды равна v, то
порядок вихревого члена rot [uB] есть vB/l, тогда как порядок
диффузионного 'члена v^AB есть vmB/l2. Отношение этих двух
величин и есть магнитное число Рейнольдса:
Rm = vl/vm=4Kavl/c2. E4.7)
В качестве примера оценим магнитное число Рейнольдса для
солнечного пятна с характерным размером /~104км, средней
скоростью солнечной плазмы v ~ 1 км/с и электропроводимостью
а^1013с. Подстановка этих данных в E4.7) дает i?m=107.
Оказывается, что для большинства космических объектов маг-
магнитное число Рейнольдса велико. Оно становится малым лишь
в равновесии, когда малы скорости движения среды.
В дальнейшем мы ограничимся случаем больших чисел Rm,
когда магнитно-диффузионным членом можно пренебречь, т. е.
считать vm -» 0. В этом приближении, согласно E4.4), можно
положить
Е' = Е+[иВ]/с = 0. E4.8)
Но это означает в соответствии с законом электромагнитной
индукции E0.5), что для всякого контура С, связанного со средой,
E4.9)
т. е. магнитный поток сквозь такой контур остается неизменным.
Отсюда следует, что в процессе движения среды магнитное поле
не отстает от нее, т. е. линии индукции оказываются как бы
привязанными к веществу, или, образно говоря, «вмороженными»
в него.
Эффект «вмороженности»
магнитного поля в вещество
играет чрезвычайно важную
роль во многих астрофизи-
астрофизических явлениях. Например,
американский астрофизик Э.
Паркер использовал этот эф-
эффект для объяснения проис-
происхождения магнитных полей
на Солнце (теория солнечных
пятен). Согласно ему, гене-
генерация магнитного поля на
Солнце обязана нерегулярно-
нерегулярному турбулентному движению Рис. 54.1
167

солнечной плазмы. Качественно это объясняется тем, что
при турбулентном движении линии индукции, увлекаясь средой,
сильно закручиваются, что и приводит к увеличению ин-
интенсивности поля (рис. 54.1). Чтобы понять, почему это про-
происходит, рассмотрим участок магнитной силовой трубки длиной
/ и с поперечным сечением S. Учитывая закон сохранения
массы вещества в трубке и магнитного потока сквозь ее
сечение, имеем
xlS = const, BS = const.
Отсюда выводим соотношение
Я/(т/) = const, E4.10)
из которого следует, что при всяком удлинении векторной трубки
и незначительном изменении плотности среды должно происходить
усиление индукции магнитного поля. Нетрудно видеть, что при
турбулентном движении среды как раз и происходит удлинение
векторных трубок вследствие сильного закручивания линий индукции.
Еще одним важным следствием эффекта «вмороженности»
магнитного поля в вещество являются магнитогидродинамические
волны, или волны Альвеена, названные так по имени известного
шведского астрофизика, впервые предсказавшего их. Физическая
природа этих волн такова. Если проводящая жидкость (или газ)
находится в постоянном магнитном поле Во и перпендикулярно
вектору индукции этою поля в жидкости возникли некоторые
локальные смещения, то вследствие «вмороженности» поля в ве-
вещество линии индукции должны изогнуться. Но при этом в среде
возникают силы, препятствующие этому изгибу, в чем нетрудно
убедиться, проанализировав структуру силы Лоренца в магнитной
гидродинамике.
Задача 54.2. Показать, что плотность силы Лоренца в магнитной гидродинами-
гидродинамике молено представить в виде
пВ2 В дВ (В\
+ VU) E4Л1)
где R—радиус кривизны линии индукции, п — главная нормаль к ней, s —
координата вдоль линии. Дать интерпретацию каждого члена в E4.11).
Таким образом, мы убеждаемся, что линии индукции со-
сопротивляются своему изгибу и ведут себя как упругие струны
(вспомните наглядные представления Фарадея о магнитных
силовых линиях—шнурах). Поэтому неудивительно, что вдоль
магнитного поля в проводящей жидкости могут распространяться
волны искривления. Для их количественного описания восполь-
воспользуемся основными уравнениями магнитной гидродинамики E4.6).
Предположим, что невозмущенная жидкость движется с постоян-
постоянной скоростью и0 в постоянном и однородном магнитном поле
Во. Для возмущенной жидкости
168

где возмущения скорости v и индукции b магнитного поля
подчиним условиям
(vBo) = (bBo) = 0, [bv] = O. E4.12)
Для того чтобы удовлетворить уравнениям divv = divb = O,
предположим, что все величины не меняются при смещении
вдоль v или Ь, т. е. будем рассматривать возмущения типа
плоских волн, зависящие лишь от одной из координат плоскости,
перпендикулярной v или Ь. Иначе говоря, примем, что
(vV)v = (vV)b = 0. E4.13)
С учетом E4.12) и E4.13) уравнения E4.6) примут вид
[* ]( £)
(
E414)
[0] +rot[vB0] +vmAb.
Умножая первое уравнение E4.14) скалярно на В и принимая
во внимание E4.12), находим (BoV)[p-\-b2/(&n)] = 0, откуда вытека-
вытекает, что
/7 + />2/(87i) = const, E4.15)
т. е. сумма гидродинамического и магнитного давлений для
рассмотренного типа возмущений остается постоянной. Учитывая
E4.15) и замечая, что rot [vB0 ] = (ВоV) v, rot [uob ] = — (u0V) b,
преобразуем E4.14):
[8/dt+ (u0V)] v = (B0V)b/D*t),
[d/dt + (u0V)] b = (B0V) v + vm Ab.
Действуя на второе уравнение E4.16) оператором djdt+ (u0V)
и учитывая первое уравнение, для индукции b получим
[ ()] Ab E4.17)
и такое же уравнение для скорости v.
Предположим сначала, что магнитное число Рейнольдса
Rm достаточно велико и поэтому магнитной диффузией можно
пренебречь, положив vm = 0. В таком случае, полагая, что волны
в жидкости распространяются в направлении s со скоростью
vA, имеем
v = v[(sr) - (suo)f-t;Af], b = b[(sr) - (suo)/-iv]-
Тогда из E4.17) выводим
^(J (J E4.18)
169

Замечая, что (B0V) b = (Bos) (sV) b, из E4.18) находим скорость
распространения волн Алъвеена:
vA = (В08)А/4тиГ = cos 0 Во Л/47гГ, E4.19)
где 0 — угол между направлением распространения волны и век-
вектором индукции Во. Таким образом, скорость волн, распрост-
распространяющихся вдоль линий индукции магнитного поля, оказывается
максимальной и равной Bol^j4nx . Особенность волн Альвеена
состоит в том, что они поперечны и могут иметь как угодно
большую амплитуду, так как нигде в процессе вывода не
делалось предположения о ее малости.
Если же не пренебрегать магнитной вязкостью, то волны
Альвеена должны затухать. Так, рассматривая монохроматичес-
монохроматическую волну вида
b = b0 exp [/ (kr) — mt ],
из E4.17) получаем дисперсионное уравнение
[со- (ku0)]2- (ВокJ/Dят) +ivmk2 [со- (кио)] = 0. E4.20)
Полагая со = со' + гсо", со"«:со', из E4.20) находим
со'«(кио) + (кВо)/У4^, (o"*-VmA:2/2, E4.21)
что соответствует волне Альвеена, амплитуда которой затухает
по закону
Z>~exp(-vmit2?/2). E4.22)
Задача 54.3. Во многих астрофизических исследованиях делается гипотеза
о существовании в космическом пространстве бессиловых магнитных полей
В, обращающих в нуль силу Лоренца и поэтому не нарушающих равновесия
среды. Бессиловое поле подчиняется уравнению
rotB = aB, E4.23)
где а — некоторая постоянная. Найти общий вид бессилового поля и показать,
что в пренебрежении магнитной вязкостью оно реализует минимум энергии
магнитного поля в области, на границе которой поле стационарно.
§ 55. МАГНИТНАЯ КУМУЛЯЦИЯ
В 1952 г. была теоретически предсказана возможность генерации
сверхсильных магнитных полей (десятки миллионов эрстед) при
быстром пластическом обжатии проводящих оболочек, охватыва-
охватывающих магнитный поток. Достаточно быстрое обжатие оболочек
предполагалось осуществить с помощью направленного (куму-
(кумулятивного) взрыва. Впоследствии были сконструированы и прак-
практически реализованы специальные взрывомагнитные устройства,
в которых сходящаяся взрывная ударная волна производила
пластическое сжатие и деформацию проводящего цилиндра или
170

иного вида массивного контура, охватывающего магнитный
поток*.
Открытое явление, получившее название магнитной кумуляции
и основанное на действии закона электромагнитной индукции
Фарадея, может осуществляться и в естественных условиях.
Например, сверхсильные магнитные поля пульсаров, по-видимому,
возникают в результате взрывоподобного сжатия (коллапса) звезд.
Чтобы понять суть магнитной кумуляции, рассмотрим неко-
некоторый деформируемый проводящий контур, имеющий сопротив-
сопротивление R(t) и индуктивность L(t). Тогда, по закону электромаг-
электромагнитной индукции,
откуда
L/=Lo/oexp(-;/T), E5.2)
где Lo = L@), /о = /@), т — эффективное время релаксации контура:
L(t)
О
Допустим теперь, что контур сжимается за время t<^x. Тогда
из E5.2) следует, что LI&L0I0, т. е. магнитный поток Ф,
связанный с контуром, практически не успевает измениться за
время сжатия. Так как
то при сжатии контура, когда уменьшается площадь охватыва-
охватываемой им поверхности S, должно происходить возрастание ин-
индукции магнитного поля:
B*B0S0/S. E5.4)
В качестве проводящего контура возьмем медный цилиндр
с начальным радиусом г0 = 5 см, толщиной стенок do=l см
и некоторой высотой /, которая не войдет в окончательные
расчетные формулы (рис. 55.1). Тогда сопротивление цилиндра
вихревым токам, очевидно, равно
RK2nr/(adl), E5.5)
* См. работы: Терлецкий Я. П. ЖЭТФ, 1957. Т. 32. С. 387; Fowler С. М.,
Gam W. В., Caird R. 5., J. Appl, Phys., 1960, v. 31, p. 588; Сахаров А. Д.,
Людаев Р. 3., Смирнов Е. Н. и др. Докл. АН СССР, 1965. Т. 165. С. 65.
171

если считать, что d<^:r. Оце-
Оценивая индуктивность по форм-
формуле L = 4n2r2/l, находим
c2RIL = Bnvrd)-lc2. E5.6)
Так как при сжатии метал-
металла плотность его почти не
меняется, то из постоянства
объема цилиндра выводим,
что rd= const и отношение R/L
также неизменно при сжатии
цилиндра. В итоге время ре-
Рис- 55Л лаксации оказывается равным
x = 27cor0rf0c" 2^0,02 с. E5.7)
Отсюда видно, что единственный путь для осуществления сжатия
медного цилиндра за время, гораздо меньшее вычисленного,— это
использование кумулятивного взрыва. Только взрывная волна
может обеспечить столь большие скорости пластической деформа-
деформации металла и создать давление, способное противодействовать
магнитному давлению рт = В2/($п), оказываемому на проводящую
среду магнитным полем (так, /?т=106атм при Б = 5 106Гс).
Магнитная кумуляция представляет собой концентрированное
превращение химической энергии взрывчатого вещества в энергию
магнитного поля, создаваемого вихревыми токами, протекающи-
протекающими в сжимаемой взрывом проводящей оболочке. Соответст-
Соответствующий энергетический расчет элементарен:
1. Плотность силы, действующей на проводящую среду в маг-
магнитном поле, линии индукции которого почти прямолинейны,
согласно E4.6) и E4.11), равна
f= - Vp- [BrotB]/Dic)« - V(p+pm).
2. Чтобы противодействовать магнитному давлению рт, во
взрывной волне должна быть сконцентрирована энергия с плотно-
плотностью w=pm. В частности, w = 4-1010 эрг/см3 при В=Ю6 Гс. Такую
энергию можно высвободить при взрыве 1 г тринитротолуола.
Практическое применение магнитной кумуляции весьма многообразно:
а) создание компактных магнитно-кумулятивных ускорителей элементарных
частиц на энергии свыше миллиарда электрон-вольт (хотя подобный ускоритель
может быть использован всего один раз, стоимость получения импульса ускоренных
частиц оказывается гораздо меньшей, чем в обычных стационарных ускорителях);
б) получение сверхвысокотемпературной плазмы при сжатии магнитного
потока с «вмороженной» в него плазмой магнитно-кумулятивным способом
(такая плазма может быть использована для осуществления управляемого
термоядерного синтеза);
в) использование магнитной кумуляции для передачи сверхвысоких давлений
на металлические поверхности и для разгона небольших металлических объектов
до космических скоростей, что неосуществимо другими известными методами.

5
ГЛАВА
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ СРЕД
В основе макроскопической электродинамики Максвелла, как мы
убедились в предыдущих главах, лежит описание электромаг-
электромагнитных процессов в средах, свойства которых задаются фе-
феноменологически с помощью соотношений
Р = Р(Е, В), М = М(Е, В), j=j(E, В),
рассматриваемых как результат обобщения данных макроскопи-
макроскопических опытов. Однако в конце XIX в., когда с открытием
электрона стало ясно, что в состав атомов входят заряженные
частицы, заряд которых кратен заряду электрона, возникла
задача «объяснения» макроскопических параметров типа е, \i, а на
основе моделирования атомной структуры. С исчерпывающей
полнотой эта задача была поставлена и в основном решена
замечательным голландским физиком Г. А. Лоренцем A853—1928).
§ 56. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ ЛОРЕНЦА
В главном своем труде «Теория электронов», говоря о недостаточ-
недостаточности описания вещества с помощью коэффициентов 8, ц, а,
Лоренц писал: «Если мы хотим понять, каким образом элект-
электрические и магнитные свойства зависят от температуры, плот-
плотности, химического строения или кристаллического состояния
вещества, то мы не можем удовлетвориться простым введением
для каждого вещества этих коэффициентов, значения которых
должны определяться из опыта; мы будем принуждены обратиться
к какой-нибудь гипотезе относительно механизма, лежащего
в основе всех этих явлений»*.
С точки зрения Лоренца, фундаментальная роль в этом
механизме должна отводиться «электронам», под которыми он
понимал все заряженные частицы, входящие в состав атомов,
т. е. отрицательно заряженные электроны и положительно за-
заряженные ядра атомов. Для построения «электронной теории»
в соответствии с намеченной программой Лоренц сформулировал
в 1888 г. следующие исходные гипотезы:
* Лоренц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света
и теплового излучения. Л. — М., 1934. С. 21 —22.
173

1. Все вещество состоит из положительно и отрицательно
заряженных электронов. Никаких других материальных объектов,
кроме электронов, не существует.
2. Электроны находятся в электромагнитном эфире, состояние
которого описывается электромагнитным полем, подчиняющимся
уравнениям Максвелла в вакууме.
3. Электрон можно представить себе в виде заряда, рас-
распределенного с некоторой плотностью р в очень малом объеме.
4. Движение электронов определяется действующей на них
электромагнитной силой плотностью f=p(E4c [\8]).
5. Макроскопические поля суть средние по времени и про-
пространству от микроскопических полей.
6. Эфир неподвижен в определенной инерциальной системе
отсчета.
Не все из этих постулатов могут быть оправданы с со-
современной точки зрения. Прежде всего следует отметить, что
для описания структуры атомов уже нельзя использовать законы
классической механики, их место должны занять новые закономер-
закономерности— квантовые. В частности, помимо заряда необходимо
учитывать и такие характеристики микрочастиц, как спин,
магнитный момент и т. д. В основном квантовые эффекты
проявляются при описании взаимодействия микрочастиц: наряду
с известными электромагнитными силами существуют еще об-
обменные силы, спин-орбитальные, спин-спиновые и др. Наконец,
совершенно излишней является гипотеза Лоренца о неподвижном
электромагнитном эфире, анализ которой дан в части курса,
посвященной теории относительности.
Будучи ограниченными классическим описанием материи, мы
не в силах исправить все недостатки схемы Лоренца, но для
получения основных следствий электронной теории вполне до-
достаточно следующих исходных постулатов:
1. Вещество имеет атомистическую структуру. Его электромаг-
электромагнитные свойства обусловлены легкими отрицательно заряженными
электронами с зарядом е= —4,803242 CTCq и тяжелыми поло-
положительно заряженными ядрами с зарядами, кратными заряду
электрона.
2. Эти элементарные заряды являются источниками микро-
микроскопического электромагнитного поля, которое вне зарядов
подчиняется уравнениям Максвелла — Лоренца, т. е. уравнениям
Максвелла в пустоте.
3. Модели атомов, молекул и самих электронов нельзя
построить без допущения сил неэлектромагнитного происхожде-
происхождения, структура которых должна разумно постулироваться.
4. Макроскопические поля Е и В суть средние по пространству
и времени от соответствующих микроскопических полей е и Ь.
5. Наконец, забегая несколько вперед, следует потребовать,
чтобы уравнения Максвелла — Лоренца для полей е и b и урав-
174

нения движения зарядов были ковариантны по отношению
к преобразованиям Лоренца. В связи с этим введение неподвиж-
неподвижного электромагнитного эфира оказывается излишним.
§ 57. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА —ЛОРЕНЦА
И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Согласно вышеизложенным постулатам, уравнения Максвелла —
Лоренца для микрополей е и b имеют вид
1 Яр. Л*
rotb=-- + -jM1IKp, dive = 47tpMmtp,
С Ot С
E7.1)
rote= , divb = 0.
с dt
При этом микроскопические плотности заряда и тока могут
быть представлены в форме
рмикр^ г) = £р.(/, г); j™*(/, г) = ХМ*, г),
i i
где pi9 ]t — плотности заряда и тока для отдельной заряженной
частицы номера /. Если частицы считать точечными, то
Pi = pr(t, г) = е,6[г-г,(*)],
h=$°4{t, r) = ef.vf6[r-rf-(/)],
где Ti(t) — радиус-вектор положения частицы, yt(t) — ее скорость,
е{ — заряд. Но в таком случае не учитывается, например, тот
важный факт, что заряженные частицы могут обладать собствен-
собственными магнитными и электрическими дипольными моментами.
Используя представления B.12) и B.13) для плотностей связанных
зарядов и токов, учтем подобные структурные эффекты, добавив
к р|°ч и }]04 следующие источники:
pfi=-d\vnh j'i = dni/dt + crot\Li,
где щ и щ — вспомогательные векторы, исчезающие вне частицы
номера / и в практических расчетах принимаемые 5-образными.
Таким образом,
Так как заряженные частицы движутся по сложным, запутан-
запутанным траекториям, то порождаемые ими микрополя е и b имеют
нерегулярную, случайную структуру. В то же время макрос-
макроскопические поля Е и В, подчиняющиеся уравнениям Максвелла
A0.1), являются регулярными функциями, так как порождаются
макроскопическими источниками рполн и jn0JIH, получающимися
усреднением соответствующих микроскопических источников
175

E7.2). Поэтому и макроскопические уравнения Максвелла должны
получаться усреднением микроскопических уравнений Максвел-
Максвелла— Лоренца E7.1).
Под усреднением какой-либо микроскопической величины f(t, г)
мы будем понимать усреднение по физическому бесконечно малому
объему А К, определенному соотношением B.1), и по физическому
бесконечно малому интервалу времени At, определение которого
мы сейчас дадим. Если усреднение по объему необходимо потому,
что в макроскопической теории рассматриваются объекты, состоя-
состоящие из большого числа частиц, то усреднение по времени вызвано
тем, что микроскопические поля, даже усредненные по пространст-
пространству, остаются хаотически изменяющимися во времени в связи
с беспорядочным движением порождающих их частиц. Если
v0 — средняя тепловая скорость движения частиц, а /—среднее
расстояние между ними, то характерное время изменения микро-
микроскопических величин имеет порядок to = l/vo. С другой стороны,
всегда можно ввести характерное время Т изменения макроскопи-
макроскопических величин, в качестве которого обычно берут время
релаксации системы C7.13) либо период колебаний в случае
периодических процессов. В таком случае физический бесконечно
малый интервал времени А/ должен удовлетворять условию
to^:At^:T. E7.3)
Тогда усреднение некоторой микроскопической величины /(/, г)
определяется следующим образом:
d>'dr. E7.4)
At AV
Отсюда видно, что операция усреднения <...> линейна и об-
обладает свойствами
V</> = <V/>, |</>=/f\ E7.5)
Применяя операцию усреднения E7.4) к уравнениям Макс-
Максвелла— Лоренца и используя E7.5), находим:
rot = i-<e> +-<j™kp>, div<e> = 4jr<pMmtP>,
cdt c, , E7.6)
rot<e>=-~, div = 0.
С Ct
Сравнивая систему уравнений E7.6) с уравнениями Максвелла
A0.1), убеждаемся, что для их согласования необходимо по-
положить:
<е> = Е, <рмикр> = рполр = p-divP,
дТ> E7.7)
<Ь> = В, <jMHKp> = jnojlH = j + -^ + с rot М.
176

Выясним теперь более подробно, пользуясь представлением
E7.2) для микроскопических источников, какова структура р,
j, Р и М.
Прежде всего, пользуясь свойством 5-функции, найдем вклад
точечных источников в рлолн и j"OJ1H:
E7.8)
ieAV
At
где символ ieAV означает, что суммирование проводится по всем
зарядам, которые в момент времени t + t' оказались в объеме А К
с центром в точке г. Отсюда видно, что выражения E7.8) отличаются
от B.2) и B.5) только дополнительным усреднением по времени.
Оценим теперь вклад в E7.8) связанных зарядов, которые
будем обозначать индексом а. Пусть некоторая молекула номера
к имеет объем Vk. Чтобы найти ее вклад в рТ04 и jT04, заметим
(на основе неравенства Fk<^:AF), что для всякого заряда номера
а, принадлежащего молекуле, |rJ3«:AF, если начало координат
поместить в центр масс молекулы. Так как в дальнейшем будет
производиться усреднение по объему А К, то в рТ04 можно
провести разложение по степеням га. В таком случае, обозначая
р(£L вклад молекулы номера к в рТ04, имеем
что соответствует обычному разложению по мультиполям. Если
же учесть условие нейтральности молекулы, согласно которому
aeVk
ТО
Р(*°?('> г)= | И X М)Ч§(г) = -divP^4, E7.9)
где
Р<*Г = Z Z ^~1!" lg«r«(r«v)n"l8(r)- E7.10)
Задача 57.1. Показать, что вклад отдельной молекулы номера к в jT04 может
быть представлен в виде дР}™/dt + crotMJ™, где
Мточ _ V* V* v / а Гг v I (r X7\n~l t\(r\ (^l \\\
(к) ~ Zj Zj / i\i L а aj\ aV/ v )' \J/.ll)
177

Теперь уже нетрудно получить явное выражение для поляризован-
поляризованное™ Р и намагниченности М. Для этого достаточно просуммиро-
просуммировать E7.10) и E7.11) по всем молекулам и учесть в соответствии
с E7.2) собственные магнитные и дипольные моменты заряженных
частиц. В результате после усреднения получаем
i 1 f «.[>■*.]> E7Л2)
где волнистой чертой обозначено усреднение по интервалу времени
At. При выводе этих формул мы, используя неравенство |га|*<$:ДГ,
пренебрегли высшими членами разложения (п>1) в E7.10)
и E7.11), относящимися к высшим мультипольным моментам.
Из вида формул E7.12) следует, что векторы Р и М,
возникающие в электронной теории, отличаются от векторов
G.5) и (8.2) практически лишь дополнительным усреднением по
времени. Это обстоятельство позволяет интерпретировать их как
средние плотности дипольного и магнитного моментов среды.
Наконец, очевидно, что р и j получаются при усреднении
точечных частей микроскопических плотностей свободных зарядов
и токов. Обозначая свободные заряды индексом |3, имеем
р = Х*р<8(г-гр)>, j = lep<vp5(r-rp)>, E7.13)
Р Р
что после усреднения приводится к виду E7.8).
Таким образом, установлено, что макроскопические уравнения
Максвелла для электромагнитного поля в среде получаются
в электронной теории при пространственно-временном усреднении
соответствующих микроскопических уравнений Максвелла — Ло-
Лоренца. Теперь остается выяснить, как в электронной теории
могут быть получены конкретные уравнения состояния вещества
типа Р = Р(Е), М = М(В).
Задача 57.2. Введя микроскопические потенциалы электромагнитного поля,
т. е. положив е = — Уф — с дл/ dt, b = rot а, показать, что уравнения Макс-
Максвелла— Лоренца E7.1) могут быть получены из вариационного принципа
2
b2)+-(ajMHKp)-cppMHIcp d/dK=0 E7.14)
при условии, что вариации 5(р и 5а исчезают на границах области интег-
интегрирования. Вывести отсюда выражение для силы Лоренца.
§ 58. ДИЭЛЕКТРИКИ В ПОСТОЯННОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Особенность диэлектриков, т. е. сред, поляризующихся под дей-
действием электрического поля, состоит в том, что их молекулы
обладают электрическими дипольными моментами р, в общем
случае зависящими от действующего на них поля Е'. Как будет
178

ниже показано, действующее на отдельные молекулы поле Е', часто
называемое локальным, отличается от среднего поля Е = < е > в среде
и совпадает с ним лишь для достаточно разреженных веществ.
Считая поле Е' слабым по сравнению с внутримолекулярным,
можно произвести разложение функции р(Е') в ряд Маклорена
и' ограничиться линейным приближением:
= ро + а-Е', E8.1)
Е' = 0
где а — тензор поляризуемости молекулы, имеющий компоненты
cnik = dpt / дЕ'к |е'=о. E8.2)
Таким образом, в общем случае в дипольном моменте
молекулы можно выделить постоянную часть р0, не зависящую
от поля Е' и называемую собственным дипольным моментом
молекулы, а также часть а-Е', линейно зависящую от поля
и называемую в связи с этим индуцированным дипольным
моментом. При эюм, вообще говоря, направление индуцирован-
индуцированного момента не совпадает с направлением поля Е', что является
проявлением анизотропии молекул. В простейшем случае изо-
изотропных молекул можно положить
а» = а8л, E8.3)
поэтому
E8.4)
Подобная зависимость наблюдается, например, тогда, когда
заряды ±е, разделяемые в поляризуемой молекуле, удерживаются
в положении равновесия квазиупругой силой, пропорциональной
смещению: F=—kr. Нетрудно показать, что в этом случае
поляризуемость а = е2/к, поскольку при равновесии кг = еЕ'
и индуцированный дипольный момент равен ег = Е'е2 /к.
В связи с зависимостью E8.4) интересно выделить два крайних
типа изотропных молекул, наблюдаемых в природе:
1) квазиупругие молекулы, у которых ро = 0, т. е. р = аЕ' (в
качестве примера можно указать молекулы СН4 и СС14);
2) дипольные молекулы, у которых Ро^О, а квазиупругий член
схЕ' мал по сравнению с собственно дипольным р0 (примером
являются молекулы Н2О, НС1, СН3С1).
Диэлектрики, состоящие из квазиупругих молекул, называются
диэлектриками I класса (или неполярными), а состоящие из
дипольных молекул — диэлектриками II класса (или полярными).
Поляризация диэлектриков I класса возникает за счет растягива-
растягивания зарядов в каждой из молекул под влиянием поля Е',
в диэлектриках же II класса она возникает за счет поворачивания
«жестких» диполей по направлению вектора Е\
179

Для нахождения поляризованности Р среды необходимо
в соответствии с E7.12) просуммировать дипольные моменты
01 дельных молекул по физически бесконечно малому объему AV
и произвести усреднение по времени. В статическом случае, когда
время усреднения At велико по сравнению с временем установле-
установления термодинамического равновесия, усреднение по времени
может быть заменено усреднением но равновесному статистичес-
статистическому ансамблю систем, находящихся в различных состояниях, как
это доказывается в статистической физике. В рассматриваемом
случае, когда взаимодействие молекул друг с другом и с внешним
полем может быть представлено в виде суммы взаимодействий
отдельных молекул с некоторым эффективным внешним полем
(роль которого в данном случае выполняет локальное поле Е'),
для усреднения величин, относящихся к отдельным молекулам,
можно использовать распределение Болъцмана*. Согласно этому
распределению, вероятность встретить молекулу в состоянии
с обобщенными координатами q, лежащими в некоторой области
конфигурационного пространства с объемом dg, равна
dW=ZQ-U{q)fikT)dq4 E8.5)
где U(q)~ энергия взаимодействия молекулы с эффективным
внешним полем, Z -постоянная нормировки, к — постоянная
Болыдмана, Т - температура среды.
Для нахождения энергии взаимодействия U(q) заметим, что [см.
B7.16)] сила, действующая на диполь р в электрическом поле Е', равна
F = (pV)E' = (PoV)E' + a(E'V)E',
откуда просто вычислить потенциальную энергию взаимодей-
взаимодействия**:
г
С/- - f(Fdr)= -(РоЕ')-?(Е'J- E8.6)
Для вычисления поляризованности Р нужно найти среднее
значение дипольного момента молекулы:
»Jpd^=Z-1{pe-l/^)/(kr)d^. E8.7)
Считая поле Е' однородным и замечая, что постоянная
нормировки. определяемая условием JdW=l, равна
Z=\e~Uiq)l( ]dq, убеждаемся, что
 = E'(a+p0<cos3>/£'), E8.8)
где 9 — угол между векторами р0 и Е'. При этом
* См.: Терлещий Я. П. Статистическая физика. М., 1973, § 15.
** Потенциальность силы легко установить, положив Е'=— Уф' и учитывая
B7.18).
180

( ] , E8.9)
о \o /
где V=p0E'/(kT).
Интеграл E8.9) легко вычисляется дифференцированием по
параметру C:
где L(|3)— функция Ланжевена (рис. 58.1), имеющая следующее
асимптотическое поведение при малых и больших C:
fPA
E8.10)
Если среда однородна и плотность числа молекул (концентра-
(концентрация) равна N, то [см. E8.8)] поляризованность оказывается равной
E8.11)
Для обычных условий, когда Т~Ш К, ро~№~18 СГСЭ,
£"~1СГСЭ, получаем C~10~4<^:1. Поэтому можно восполь-
воспользоваться приближением L(C)^C/3 и привести E8.11) к виду
P = NE/[<x+p%/CkT)]. E8.12)
Тогда критические поля, при которых приближение E8.12)
перестает быть справедливым, определяются условием C~1
и имеют порядок Екр~ 104Т В/см. Из E8.11) следует, что при
сверхнизкой температуре, когда C^>1, может наступить насыщение
диэлектрика, т. е. поляризованность примет максимально воз-
возможное значение
Е'). E8.13)
При комнатной температуре насыщение практически неосу-
неосуществимо, так как достигается при столь высокой напряженности
поля, что в диэлектрике наступа-
наступает пробой.
Формулой E8.11) можно вос-
воспользоваться для вычисления ди-
диэлектрической проницаемости
среды, если известны поляризу-
поляризуемость молекул а, их собствен-
собственный дипольный момент р0, а та-
также связь действующего поля Е'
со средним полем Е. Что каса-
касается поляризуемости молекул, то Рис
181

она может быть обусловлена как деформацией под действием
поля Е' электронных орбит, так и смещением ионов, состав-
составляющих молекулы. Считая смещения электронов и ионов малыми,
можно предположить, что они сопровождаются действием воз-
возвращающей квазиупругой силы F=-fcr=-w(o2r, где со — соот-
соответствующая резонансная частота поглощения, которая в случае
электронов лежит в оптическом диапазоне, а в случае ионов — в
инфракрасном. Суммируя дипольные моменты всех зарядов,
составляющих молекулу, нетрудно вывести следующее выражение
для поляризуемости:
Квантовая теория подтверждает справедливость формулы
E8.14), причем в большинстве случаев основной вклад в поляризу-
поляризуемость дают электроны.
Таким образом, выяснить природу поляризуемости можно, если
привлечь некоторые модельные представления о молекулах. Из
E8.14) следует, что поляризуемость а имеет размерность объема
и поэтому должна быть пропорциональна объему молекулы, т. е.
а~я3, E8.15)
где а — радиус молекулы. Этот результат в самом деле получается
во всех известных модельных схемах, как классических, так
и квантовых.
Задача 58.1. Вычислить поляризуемость ос для следующих моделей молекул:
а) молекула—металлический шарик (Мосотти); б) молекула—пудинг
(Дж. Дж. Томсон); в) планетарная модель Бора — Резерфорда.
Вычислим теперь напряженность Е' действующего поля. По
определению, Е - напряженность поля, действующего на заряды
внутри некоторой выделенной молекулы. Ясно, что EVE, так
как в Е' существенный вклад дают ближайшие молекулы, тогда
как Е получается усреднением молекулярных полей по достаточно
большому объему А К. Для нахождения Е' воспользуемся ме-
методом, предложенным Лоренцем. Окружим молекулу сферой
некоторого радиуса R, такого, чтобы вне сферы распределение
молекул можно было считать в среднем равномерным, а сам
диэлектрик рассматривать как непрерывную среду, т. е. рас-
рассчитывать в нем поле методами макроскопической электроди-
электродинамики. Таким образом, напряженность Е' поля, вычисляемую
в центре сферы, можно разбить на две части:
E8.16)
где Et—напряженность поля, создаваемого всеми молекулами,
расположенными внутри сферы, а Е2—напряженность внешнего
поля и поля молекул, расположенных вне сферы. При этом,
182

конечно, нужно исключить и напряженность поля самой выделен-
выделенной молекулы, так как его действие на поляризуемый заряд
учитывается в квазиупругой силе F=—kr.
Нахождение Е2 сводится к решению известной задачи о поле
внутри сферической полости, вырезанной в одородно поляризован-
поляризованном диэлектрике с поляризованностью Р и напряженностью
Е поля на бесконечности. Электростатический потенциал ф2 для
этой задачи может быть найден методом, изложенным в § 25.
Очевидно,
ф2(г<Д)=-(Е2г), ф2(г>/?) = (Сг)г-3-(Ег)9 E8.17)
где С—дипольный момент поверхностных зарядов на границе
полости, равный, как нетрудно видеть, дипольному моменту
вырезанного шара, взятому со знаком минус, т. е.
С= — Dтс/3O?3Р. Поэтому из условия непрерывности потенциала
на границе шара выводим
Е2 = Е-С/Л3 = Е + 4ттР/3. E8.18)
Вычисление Ех представляет гораздо большие трудности.
Считая, например, молекулы точечными диполями с моментами
р, ориентированными по вектору Е, для напряженности в центре
шара находим выражение
ieVR
Результат вычисления этой суммы существенно зависит от
расположения молекул внутри шара. Если считать, что молекулы
расположены симметрично (например, в случае простой кубичес-
кубической кристаллической решетки) или же хаотично (газ, жидкость),
то все слагаемые компенсируются, так как сумма сводится
к сферическому среднему вида
$[p-3n(pn)]dQ = 0.
В других случаях (например, для кристаллических решеток
с некубической симметрией) это, однако, не так и Е^О. Для
простоты будем полагать Ех = 0. Тогда
Е' = Е+4гсР/3. E8.20)
Для большинства изотропных сред формула E8.20) достаточно
хорошо описывает связь действующего и среднего полей.
Задача 58.2 В методе Лоренца напряженность Е' действующего поля вычис-
вычисляется в предположении, что дипольные моменты молекул ориентированы
по полю Е. Это предположение можно считать оправданным для неполярных
сред или же для полярных веществ в относительно сильных полях. Если
же поле слабо, то дезориентирующее влияние соседних молекул в полярных
средах может оказаться значительным. Чтобы его учесть, американский
физик Л. Онсагер предложил в 1936 г следующий метод. Если рассмотреть
183

сферическую полость столь малого радиуса R, чтобы внутри нее могла
поместиться лишь одна молекула, то напряженность поля в полости и есть,
очевидно, Е\ Вне полости она описывается выражением E8.17). Показать,
что в этом случае*
Е' = ЗеЕ/Bе+1). E8.21)
Подставляя E8.20) в E8.12), находим
ЕеехЕ, E8.22)
1-4тсЛГосп/3
где осп — полная поляризуемость молекулы, выражаемая формулой
Ланжевена — Дебая
*П = а+р20/{ЗкТ) E8.23)
и включающая в себя наряду с электронной и ионной состав-
составляющими еще и ориентационную часть po/CkT), обусловленную
средней проекцией собственного дипольного момента р0. Зная
восприимчивость х, нетрудно подсчитать и диэлектрическую
проницаемость:
В предельном случае малых плотностей, когда 7Van <^ 1,
E8.25)
что фактически предполагает совпадение напряженностей среднего
и действующего полей.
Разрешая E8.24) относительно N(xn, получаем более удобное
для проверки на опыте соотношение Клаузиуса — Мосотти:
(e-l)/(e + 2) = 47iJVan/3. E8.26)
Замечая, что концентрация N связана с массовой плотностью
т вещества соотношением xNА/ M = N, где Л — молекулярный
вес, 7VA — постоянная Авогадро, перепишем E8.26) в виде
^^ = |iVAan, E8.27)
где 47iiVAan/3 = 2,54- 1О24осп — молярная поляризуемость вещества.
Ее линейная зависимость от обратной температуры, вытекающая
из E8.23), хорошо подтверждается на опыте (рис. 58.2). Однако
выяснилось, что формула E8.27) непригодна для описания чисто
полярных веществ, обладающих значительными собственными
* С другими методами расчета действующего поля можно ознакомиться
по монографии: Фрёлих Г. Теория диэлектриков. М., 1960.
184

дипольными моментами. В этом
случае можно считать выполнен-
выполненным неравенство
/>§/Cfcr)»a, E8.28)
с учетом которого E8.24) при-
принимает вид
E = l+4nNp%/[3k(T-Tv)], E8.29)
где
801
60
40
20
0
л+2 TfL
-
-
0,0025
_^-—-
^-*—
ороъо
Рис. 58.2
0,0035 Г/град
E8.30)
Отсюда видно, что формула E8.29) неприменима в области
температур, близких к критической, где 8 может принимать как
угодно большие и даже отрицательные значения. Отмеченное
явление получило название поляризационной катастрофы.
Как было показано Л. Онсагером, причина возникновения
этой «катастрофы» лежит в неприменимости метода Лоренца
для вычисления напряженности действующего поля. Как следует
из E8.29), это выражение имеет смысл лишь при v = AnNplj{bkT)
<^с 1, когда оно сводится к следующему:
2 E8.31)
Поэтому метод Лоренца может быть оправдан лишь при
l. Если же v~l, то этот метод не работает и должен быть
заменен другим. В частности, если воспользоваться методом
Онсагера, то в соответствии с E8.21)
e=1+3ev/Be+1). E8.32)
Разрешая это соотношение относительно 8 и выбирая поло-
положительное решение, имеем
E8.33)
Как видно, выражение E8.33) имеет смысл при
всех значениях v, т. е. исключает поляризационную
катастрофу, а при v <^c 1 дает
/3, E8.34)
что незначительно отличается от E8.31).
Задача 58.3. Цилиндр из диэлектрика с полной поляризуемостью
осп вращается с малой угловой скоростью со вокруг своей оси
в постоянном магнитном поле Во (рис. 58.3). Найти напряжен-
напряженность Е электрического поля и распределение связанного заряда
рсвяз в цилиндре, пренебрегая краевым эффектом, т. е. считая,
что длина цилиндра намного превосходит его радиус а.
Рис. 58.3
185

§ 59. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ
Приступая к объяснению магнитных свойств вещества в рамках
электронной теории, следует отметить, что строгая теория магнетизма
может быть только квантовой. Тем не менее наглядные полуклассичес-
полуклассические представления электронной теории оказываются очень полезными
для понимания физического механизма намагничивания. Нашей
задачей будет вычисление намагниченности М, возникающей
в магнетиках под влиянием внешнего магнитного поля Н:
()(, E9.1)
причем, согласно E7.12),
™ = jp Z М0> E9-2)
где n\t(t)—магнитные моменты отдельных молекул вещества,
усредненные по времени. Замечая, что в плотность молекулярных
токов основной вклад дают легкие электроны, а не тяжелые,
почти неподвижные ядра атомов, магнитный момент отдельной
молекулы можно представить в виде
где тс — сумма собственных магнитных моментов зарядов, состав-
составляющих молекулу; е — заряд электрона. Второе слагаемое в E9.3)
обычно называют орбитальным магнитным моментом молекулы,
поскольку он обусловлен движением молекулярных электронов
[см. E7.12) ]; вектор тс называют спиновым магнитным моментом.
При вычислении намагниченности М мы будем различать
слабо- и сильно магнитные вещества. В первом случае магнитным
взаимодействием ближайших молекул можно пренебречь и счи-
считать индукцию В' действующего поля практически совпадающей
со средней индукцией В = <Ь>. К этому классу веществ относятся
диа- и парамагнетики, обладающие малой магнитной воспри-
восприимчивостью х- В то же время в сильномагнитных веществах,
к которым относятся, например, ферромагнетики*, магнитное
взаимодействие ближайших молекул настолько велико, что имен-
именно оно в основном определяет индукцию действующего поля
ВрВ. Описание магнитных свойств сильномагнитных веществ
требует дополнительной гипотезы о взаимосвязи индукций сре-
среднего и действующего полей и дано отдельно (см. § 60).
Итак, начнем с простейшего случая слабомагнитных сред.
При помещении такой среды в магнитное поле В последнее
* Из других сильномагнитных веществ можно назвать еще антиферромаг-
антиферромагнетики и ферриты.
186

оказывает на нее двоякое воздействие. С одной стороны,
магнитные моменты молекул будут стремиться повернуться вдоль
вектора В, а с другой стороны, возникающие при включении
поля вихревые молекулярные токи несколько изменят сами
магнитные моменты молекул. Чтобы учесть этот эффект, заметим,
что при включении магнитного поля В возникает вихревое
электрическое иоле напряженное 1ью E=—c~ldA/dt, которое
разгоняет электроны, сообщая им дополнительный импульс
t
Pf = $eEdt=-eA/c. E9.4)
о
Если поле В однородно, то А = [Вг]/2 и поэтому допол-
дополнительный импульс E9.4) принимает вид
Р' = /ие[£2г], E9.5)
где
П=~-еВ/Bтес) E9.6)
— ларморова угловая скорость*.
Соотношение E9.5) составляет содержание знаменитой те-
теоремы Лармора A897), согласно которой при включении маг-
магнитного поля электроны в молекулах приобретают дополнитель-
дополнительное вращение с угловой скоростью П.
Задача 59.1. Показать, что £1— вектор угловой скорости прецессии элект-
электронных орбит в магнитном поле, если произвести усреднение по бы трым
движениям электронов в атомах.
Для того чтобы учесть эффект ориентации магнитных момен-
моментов молекул в магнитном иоле В, воспользуемся, как и в § 58,
статистическим методом, i. e. запишем энергию взаимодействия
молекулы с магнитным полем и произведем усреднение магнит-
магнитного момента молекулы по распределению Больцмана E8.5).
Принимая во внимание теорему Лармора и учитывая результат
задачи 33.1, согласно которому лагранжиан взаимодействия
спинового магнитного момента шс молекулы с индукцией В равен
(тсВ), составим i амильтониан:
^ = Z^(p.+«e[«r,]J-KB), E9.7)
1де Pt — невозмущенные импульсы электронов. С учетом E9.6)
и E9.3) это выражение можно преобразовать к виду
^p, E9.8,
где т0—невозмущенный магнитный момент молекулы. Возмущен-
* Здесь и в дальнейшем те — масса электрона.
187

ный магнитный момент, учитывающий ларморову прецессию, равен
f[r,.[nr,]]. E9.9)
Из E9.8) легко получить энергию взаимодействия* молекулы
внешним магнитным полем В:
^]2, E9Л0)
которую мы используем при составлении распределения Больц-
мана E8.5). Сравнение E9.9) с E8.4) и E9.10) с E8.6) показывает,
что при вычислении среднего магнитного момента молекулы
можно воспользоваться результатами § 58. Таким образом,
усредняя E9.9), находим
<m> = B^<cos9> + E~<[rI-[nrJ]>, E9.11)
где 9 — угол между векторами т0 и В. Пользуясь аналогией
с диэлектриками, заменим (cos 9) функцией Ланжевена
L [| т01 В/(кТ)^ хотя, строго говоря, такую замену делать нельзя, так
как в квантовой теории показывается, что магнитный момент может
иметь лишь дискретный набор проекций на направление магнитного
поля, причем две ближайшие проекции отличаются на eh/Dnmec)
—магнетон Бора. Таким образом, можно сказать, что замена < cos 9 >
функцией Ланжевена допустима лишь при выполнении неравенства
ес), E9.12)
т. е. при достаточно больших магнитных моментах, когда
дискретный характер их проекций становится неощутимым. Кроме
того, полагая, что каждая молекула содержит Z электронов,
которые распределены почти сферически-симметрично, получаем
оценку
В результате для среднего магнитного момента молекулы
найдем следующее приближенное выражение:
В частности, если |mo|B<z:kT, т.е. если достаточно высока
температура Т магнетика или же слабо поле В, то можно
* Следует отметить, чю это не потенциальная энергия взаимодействия, ибо
она включает в себя и дополнительную кинетическую энергию, возникающую
в соответствии с теоремой Лармора.
188

воспользоваться приближением L(x)^x/3 и, умножив E9.13) на
концентрацию N молекул, записать намагниченность в виде
M = iW££--^<r2>Y E9.14)
3 \кТ 2тес )
Отсюда нетрудно найти и магнитную проницаемость среды:
E9.15)
В частности, если при отсутствии магнитного поля молекулы
вещества не обладают магнитным моментом, т. е. т0 —О, то
среда диамагнитна и магнитная проницаемость ее описывается
формулой Ланжевена — Паули:
[i^[l+2nNZe2(r2}/CmQc2)yi<\. E9.16)
Если же молекулы обладают при отсутствии поля отличным
от нуля магнитным моментом т0, то обычно всегда выполняется
неравенство
т20 Ze2 ( 2.
кТ 2тес2
и, согласно E9.15), магнитная проницаемость среды равна
ц = [1 ~АпИтЦ(ЪкТ)у1> 1. E9.17)
Таким образом, такое вещество оказывается парамагнитным.
Если учесть, что обычно ц — 1<с1, то магнитную восприимчивость
парамагнетика можно представить в виде
Х = С/Т, E9.18)
где C = Nml 1(Ък) — постоянная Кюри. Зависимость E9.18) пара-
парамагнитной восприимчивости от температуры была впервые 'эк-
'экспериментально обнаружена французским физиком П. Кюри
в 1895 г. и известна как закон Кюри. Теоретически этот закон
был обоснован П. Ланжевеном в 1905 г.
Задача 59.2. Вычислить магнитную проницаемость с лад о магнитной среды
с учетом отличия индукции В' действующего поля от средней индукции
В поля. Убедиться, что вычисление В' соответственно по методам Лоренца
и Онсагера дает следующие выражения:
В' = В-8лМ/3, В' = ЗВ/BИ1). E9.19)
§ 60. ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ПО ВЕЙССУ
Из сильномагнитных веществ мы рассмотрим только ферромаг-
ферромагнетики, основным свойством которых является способность
намагничиваться почти до насыщения даже в относительно
слабых магнитных полях порядка 100 Э. Ферромагнетики широко
распространены в природе, хотя из чистых химических элементов
189

м
Рис. 60.1 Рис. 60.2
только шесть обладают ферро-
ферромагнитными свойствами. К ним
относятся железо, никель, ко-
кобальт, гадолиний и при очень
низкой температуре — эрбий
и диспрозий. Ферромагнитными
являются многие сплавы, в том
числе и сплавы из неферромаг-
неферромагнитных элементов, получившие
название гейслеровых.
Перечислим главные свойства
Рис 60 з ферромагнетиков, обнаруженные
на опыте.
1. Ферромагнетики обладают чрезвычайно большой магнитной
восприимчивостью %~103-М05 и уже в слабых полях приходят
в состояние насыщения (рис. 60.1, где Ms и Я8 — намагниченность
и напряженность насыщения). Экспериментально зависимость
%(Н) (рис. 60.2) впервые была измерена А. Г. Столетовым, ко-
который во избежание размагничивающего влияния полюсов ис-
использовал тороидальные образцы.
2. Для ферромагнетиков характерны гистерезисные явления,
обнаруживающиеся при перемагничиваний образцов. Это означа-
означает, что зависимость М(Н) оказывается функциональной, т. е.
М зависит от всей предыдущей истории изменения U(t). В ча-
частности, при выключении внешнего магнитного поля наблюдается
остаточная намагниченность Мг = М@), для уничтожения которой
необходимо приложить противоположно направленное поле #с,
называемое задерживающим полем (или коэрцитивной силой)
(рис. 60.3). Нс может быть порядка 1 Э для магнитно-мягких
материалов (железо, пермаллой) и порядка 100 Э для магнитно-
жестких материалов (хромистая сталь, кобальтовая сталь).
3. В монокристаллических ферромагнитных образцах были
обнаружены области самопроизвольного (спонтанного) намаг-
намагничения, получившие название доменов. Обычно это области
правильной формы, намагничение в которых достигает насыщения
190

Рис. 60.4
Рис. 60.5
даже при отсутствии внешних магнитных полей. Однако образец
в целом, содержащий много по-разному намагниченных доменов,
практически не обладает намагниченностью, поскольку магнитный
поток каждого домена замыкается на ближайших к нему соседях
(рис. 60.4). Реальность существования доменов была подтверждена
многими опытами и, в частности, методом порошковых фигур
(метод Акулова — Биттера). С помощью этих фигур можно
проследить распределение намагниченности на поверхности фер-
ферромагнитных кристаллов. Кроме того, детальный анализ хода
кривой намагничивания на ее крутом участке показал, что
намагниченность меняется скачкообразно при плавном нарастании
Я (скачки Баркгаузена, 1919). Возникают эти скачки при перемаг-
ничивании отдельных доменов (рис. 60.5).
4. Магнитные свойства ферромагнитных кристаллов оказыва-
оказываются сильно анизотропными. В частности, в монокристаллах
существует направление легкого намагничивания, обычно со-
совпадающее с кристаллографической осью. При намагничивании
кристалла в этом направлении кривая намагничивания идет
наиболее круто. Например, в монокристалле кобальта направ-
направление легкого намагничивания совпадает с гексагональной осью
(рис. 60.6; ось ООГ). Ход кривых намагничивания при намаг-
намагничивании кристалла кобальта вдоль этой оси и перпендикулярно
изображен на рис. 60.7 (кривые 1 я 2 соответственно).
\о'
м
\ /
\0
Рис. 60.6
Рис. 60.7
Рис. 60.8
191

5. Ферромагнитные свойства образцов (в частности, спонтан-
спонтанное намагничение) наблюдаются лишь в кристаллическом со-
состоянии при температуре, не превышающей предельной тем-
температуры Тс, называемой ферромагнитной точкой Кюри. При
нагревании выше этой температуры спонтанное намагничение
исчезает (рис. 60.8) и ферромагнетик становится парамагнетиком,
восприимчивость которого меняется по закону Кюри — Вейсса
х = С/(Т-&), F0.1)
где 0 — парамагнитная точка Кюри, С—постоянная Кюри [см.
E9.18) ]. Опыт показывает, что &>ТС и разность &-~Тс со-
составляет 15—40 К. Значения Тс для некоторых материалов
приведены в следующей таблице:
Материал
Гс, К
Fe
1043
Со
1400
Ni
631
Cd
289
Dy
105
MnBi
630
СгТе
336
В области низкой температуры (Т«.ТС) спонтанная намаг-
намагниченность изменяется по закону «трех вторых» Ф. Блоха:
MsG) = Ms@)(l-a73/2), F0.2)
где постоянная а ~ 10 ~ 6; Ms @) — намагниченность абсолютного
насыщения, устанавливающегося в образце при помещении его
в чрезвычайно сильное внешнее магнитное поле.
6. В опыте Эйнштейна — де Гааза A915) было установлено,
что при перемагничивании ферромагнитного образца он приоб-
приобретает дополнительный момент импульса
АК = Am (mQ с) / е
вокруг направления перемагничивания, где Am—изменение маг-
магнитного момента образца. Таким образом, отношение |ДК|/|Дт|
оказалось равным отношению собственных механического и маг-
магнитного моментов электрона. Все это указывало на спиновую
природу ферромагнетизма. Позднее, в работах Я. И. Френкеля
и В. Гейзенберга A928), было установлено, что это действительно
так. Ими было показано, что учет квантовых обменных сил
приводит к следующей энергии взаимодействия U двух атомов
со спиновыми моментами St и S2:
U=-2S{S1S2),
где «/ — обменный интеграл, который оказывается положитель-
положительным, если в атомах имеются внутренние незаполненные элект-
электронные оболочки, радиус которых меньше радиуса атомов более
чем в 1,5 раза. В таком случае, согласно распределению Боль-
цмана, наиболее вероятным состоянием будет то, когда спины
192

атомов (а значит, и их магнитные моменты) направлены в одну
сторону. Таким образом, оказывается выгодным образование
областей, в которых магнитные моменты атомов одинаково
ориентированы (домены). Очевидно, что беспредельный рост
доменов также невыгоден, так как при этом возрастает энергия
магнитного поля, порождаемая магнитными моментами атомов.
Поэтому в конце концов устанавливаются некоторые промежуточ-
промежуточные размеры доменов, в общем случае зависящие от размеров
образца.
Итак, мы убедились, что ферромагнетизм является коллек-
коллективным эффектом: если бы в парамагнетике существовало
взаимодействие, заставляющее магнитные моменты атомов ори-
ориентироваться в одном направлении, то получился бы ферромаг-
ферромагнетик. Последовательное описание такого взаимодействия (об-
(обменного) возможно только в рамках квантовой теории, однако
неплохие качественные результаты получаются и в классической
полуфеноменологической теории, с самого начала принимающей
гипотезу о существовании этого взаимодействия и определенной
его структуре. Описанием ферромагнетизма в рамках такой
теории мы и ограничимся.
Впервые представление об особом молекулярном поле, выстра-
выстраивающем магнитные моменты атомов в ферромагнетике, было
введено в 1892 г. русским физиком Б. Л. Розингом. Позднее,
в 1907 г., французский физик П. Вейсс построил теорию, ос-
основанную на предположении о том, что индукция действующего
магнитного поля в ферромагнетике, названного им внутренним,
имеет вид
В =Н + уМ, F0.3)
где у — некоторая постоянная порядка 104. Здесь следует от-
отметить, что если бы молекулярное поле Вейсса имело магнитное
происхождение, то [см. E9.19)] было бы у = 4л;/3<^: 104.
Оценить индукцию В' внутреннего поля можно из следующих
соображений. Очевидно, что тепловое движение атомов проти-
противодействует ориентирующему влиянию поля В' и при температуре
Т=ТС эти эффекты должны быть равными. Допуская, что
Гс^1000 К, а магнитный момент атома имеет порядок магнетона
Бора |iB = 0,9 • 10" 20 эрг/Гс, приравниваем тепловую энергию энер-
энергии магнитного взаимодействия:
\iBB'~kTc,
откуда Я'~107 Гс.
В том, что на самом деле в ферромагнетике таких магнитных
полей быть не может, убеждает простой расчет. Так как среднее
расстояние между атомами /~10~8см, то индукция магнитного
поля примерно равна
3~103 Гс.
7 Зак 378 193

В опытах советского физика
Я. Г. Дорфмана A927) по рассе-
рассеянию электронов в намагничен-
намагниченном до насыщения ферромагне-
ферромагнетике было прямым путем пока-
показано, что молекулярное поле
Вейсса имеет немагнитную при-
природу (по квантовой теории оно
представляет собой часть куло-
новского взаимодействия элект-
электронов, зависящую от ориентации
их спинов).
Итак, примем гипотезу Вейсса F0.3) и используем ее для
описания отдельной области спонтанного намагничения, или
области Вейсса (домена). Если т0 — собственный магнитный
момент атома, а N—концентрация атомов, то намагниченность
абсолютного насыщения равна М00 = Мп0. Дальнейшие рассуж-
рассуждения такие же, как в теории парамагнетизма Ланжевена.
В частности, для намагниченности М (в предположении, что
М и Н параллельны) получаем
F0.4)
Рис. 60.9
Соотношение F0.4) можно рассматривать как трансцендентное
уравнение относительно М. Для анализа этого уравнения его
удобно представить в параметрической форме, введя новые
переменные:
Тогда
у = ах — b = L(x) = cth x — х ~ 1, F0.5)
где а = кТ/{у|т01М^) = кТ/(ymoN), Ъ = H/(yMaD) = H/(y\mo\N).
Графическое решение уравнения F0.5) сводится к нахождению
точки пересечения кривой Ланжевена y = L(x) и прямой у = ах — Ь
(рис. 60.9). Замечая, что
рассмотрим две области значений параметра а: а>г/3 и а<г/ъ.
1. а>1/3 (Р>а).
В этом случае существует единственная точка пересечения,
отвечающая парамагнитной восприимчивости, т. е. отсутствию
спонтанного намагничения (если Я=0. то М=0). Поэтому
температура, определяемая условием а= /3, должна играть роль
точки Кюри:
= ym20N/{lk).
F0.6)
194

Рис. 60.10
Рис. 60.11
В частности, для высоких температур Г»ГС, когда ,
можно положить Ь(х)ях/Ъ9 что соответствует у = ЪЬ(Ъа-1).
В результате получается намагниченность
М=М^у = ЪНТс1\у{Т-Тс)\ F0.7)
изменяющаяся с температурой по закону Кюри — Вейсса F0.1),
в котором ферромагнитная и парамагнитная точки Кюри со-
совпадают (последнее говорит о грубости теории Вейсса).
2. fl<V3 (P«x). /7 1Ч
В этом случае при малых магнитных полях (b«.l) возможны
три точки пересечения (рис. 60.10), но из них только одна
термодинамически устойчива. Так, при Я^0 устойчива точка,
отвечающая М>0. Это и есть область спонтанного намагничения.
В частности, если #=0 и Т«ТС, т.е. 6 = 0, я<<<1 и х:»1, то
получается уравнение
ах = L (х)«1 — х ~1,
М=МОО[1-77C7С)].
откуда хяа~х — 1 и ^ = ях ss 1 — а, что соответствует линейной
зависимости спонтанной намагниченности от температуры:
F0.8)
Таким образом, в теории Вейсса не получается закон «трех
вторых» Блоха.
Если изменить направление приложенного внешнего поля,
т. е. взять Я<0, то термодинамически устойчивой становится
точка, отвечающая минимальному значению М<0. Иначе говоря,
область Вейсса будет перемагничиваться. Далее, поскольку при
достаточно больших Я<0 решение с М>0 пропадает, зависи-
зависимость М(Н) будет разрывной (рис. 60.11), чем и объясняются
скачки Баркгаузена.
Таким образом, уже для элементарных областей Вейсса
возникает явление гистерезиса. Если же предположить, что
7* 195

реальный макроскопический образец состоит из многих областей
Вейсса (доменов), то нетрудно видеть, что при его перемагничива-
нии также наблюдается явление гистерезиса, хотя оно и осложнено
эффектами анизотропии, наличием дефектов кристаллической
решетки и т. д. Гладкая кривая (петля гистерезиса) получается при
этом усреднением по многим областям Вейсса (см. рис. 60.5).
§ 61. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ
И ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В оптике хорошо известно явление дисперсии света, т. е. зави-
зависимость скорости гф распространения света в среде от его
частоты со. Так как [см. C8.4) ]
то показатель преломления среды п = ^/г\х также зависит от
частоты. Подобная зависимость наблюдается не только в оп-
оптическом диапазоне, но и для электромагнитных волн любых
других частот. Первое удовлетворительное объяснение явления
дисперсии и одновременно поглощения электромагнитных волн
в средах было дано в рамках электронной теории Лоренца.
Очевидно, что явление дисперсии в первую очередь связано
с влиянием электромагнитного поля распространяющейся в среде
волны на дипольные моменты молекул: р = ро + аЕ'. Для упроще-
упрощения примем, что молекулы достаточно массивны, а частота
со достаточно велика, поэтому можно пренебречь изменением
р0 со временем. Таким образом, будем учитывать лишь ин-
индуцированный дипольный момент аЕ'.
В качестве модели молекулы рассмотрим отдельный электрон
с зарядом е и массой те, смещенный на г(^) относительно
положительно заряженного остова. Если скорость электрона мала по
сравнению со скоростью света, т. е. | г | <§с с, то в выражении для силы
Лоренца е(Е' + с~г [гВ']) можно пренебречь вкладом магнитной
индукции В' волны, поскольку В'~Е'. Принимая еще, что электрон
удерживается в молекуле квазиупругой силой — кг, и учитывая силу
реакции излучения, запишем уравнение движения электрона в виде
mer+kr = eE' + 2e2'r /(Зс3). F1.1)
Решение этого уравнения можно использовать для вычисления
полной плотности тока jnojIH в среде, если предположить, что
основной вклад в нее дают электроны. В частности, считая
среду однородной с электронной концентрацией 7Ve, имеем
jnoJIH = <jMHKp> = 7Veer. F1.2)
Запишем теперь усредненные уравнения Максвелла—Лоренца
E7.6):
196

= i—+—Голн, divE
С Ot С
rotE=-i—, divB = O
с 8t
и будем считать все величины в них периодическими во времени:
В = Вв(г)е-'и', Е = Е„(г)е-'",
Рполн=Р«,(г)е"ги'' Глн=Цг)е~ш-
Учитывая, что, по закону сохранения заряда,
p(O=-/divja)/co=-divPa),
где Р. = Ч,/<о F1-3)
— поляризованность, запишем уравнения Максвелла в виде
c = 0, divDe = 0,
rotEe-i<aBe/c = 0, divBe = 0. V }
Здесь
F1.5)
Для нахождения поляризованности Рю воспользуемся уравне-
уравнениями F1.1) и F1.2). Именно: рассматривая лишь установившееся
движение электрона, т. е. полагая
г = гое-"* F1.6)
и считая, что напряженность Е' мало меняется в пределах
молекулы, из F1.2) выводим
Р„ = #е«О- F1.7)
Наконец, принимая напряженность действующего поля равной
и учитывая F1.6) и F1.7), находим из F1.1)
г 2—:
Юс- СО — i
Здесь у = 2е2со2/Cтес3); со2 = coq —С0п/3, Шо = /:/те,
со2 = 4яЛ^ее2/те, где у — коэффициент лучистого трения; соо — со-
собственная частота колебаний электрона в изолированном атоме;
сос—собственная частота электронных колебаний в атоме в среде
(т. е. измененная под влиянием полей окружающих атомов); соп —
плазменная частота, соответствующая колебаниям свободных
электронов в квазинейтральной среде (плазменные или ленг-
мюровские колебания).
Задача 61.1. Показать, что поляризационная плотность заряда рР, воз-
возникающая при малом смещении электронов в квазинейтральной плазме,
подчиняется уравнению колебаний рр + ЮпрР = О.
Имея выражение F1.8) для поляризованности, нетрудно найти
и вектор электрической индукции:
197

F1.9)
где введена комплексная диэлектрическая проницаемость
ф)=1+ю^/(шс2-ш2-гусо). F1.10)
Здесь уместно заметить, что у в F1.10) можно считать
коэффициентом лучистого трения только в предположении, что
столкновения молекул друг с другом и со свободными элект-
электронами маловероятны. В самом деле, в результате столкновений
часть энергии электронов переходит в энергию движения самих
молекул, т. е. в теплоту. Эти потери энергии электронами
необходимо добавить к чисто электромагнитным потерям на
излучение. Феноменологически это делается добавлением к у не-
некоторой не зависящей от ю части.
Полученное выше выражение для 8 (со) характерно для одно-
резонансной осцилляторной модели вещества, в которой пред-
предполагается, что собственные частоты всех электронов одинаковы
и равны сос. На самом же деле это не так, тем более что
нужно учитывать еще и колебания ионов, собственные частоты
которых обычно лежат в инфракрасной области. Для того чтобы
учесть все электронные частоты, обычно вводят функцию рас-
распределения дисперсионных электронов по частотам/(сос). Нормируя
ее на единицу, т. е. полагая
J/((Dc)dcDc=l,
О
7Ve/(coc) dcoc можно интерпретировать как концентрацию электронов,
собственные частоты которых лежат в интервале (юс —dcoc/2,
coc + dwc/2). В таком случае выражение F1.10) принимает вид
Fi.li)
Юс- СО — iy(O
о
Интересно, что такое же выражение получается и в квантовой
теории, где /(сос) называется силой осциллятора.
Каков физический смысл комплексной диэлектрической про-
проницаемости? Для выяснения этого выделим действительную
и мнимую части e = e' + ze". Тогда
ои
Л
ll \ 1 , 2
I гп i = I -4- m I
\ / — [ ' ШП I
v f J
B 2\2 i 2 2'
' г F1.12)
198

Из F1.12) следует, что г' является четной, а е"—нечетной
функциями частоты:
е'(-а>) = е'(а>), е"(-сэ)=-Б"(а>); F1.13)
и, кроме того, справедливо неравенство
00
!»=|^
F1.14)
Как было показано еще в § 50, г" связано с тепловыми
потерями. Для того чтобы убедиться, что это действительно
так и что тепловые потери пропорциональны явно положитель-
положительному значению сое", подсчитаем среднюю за период Т=2п/со
мощность силы «трения» FTp= — meyr, действующей на отдельный
электрон:
Выделяемая тепловая мощность получается умножением этого
выражения на концентрацию электронов Л^е/(сос) и интегрирова-
интегрированием по сос:
о
Учитывая выражения для |го|2, вытекающие из F1.7) и F1.8),
получаем
00
?--шпсо |EJ j^_7F_?_,--e |EJ . F1.15)
О
Сравнивая F1.15) с выражением для джоулевых потерь
приходим к выводу, что электропроводимость а(ю) среды и г"(со)
связаны между собой:
F1-16)
О
В частности, для металлов, в которых основной вклад
в проводимость дают свободные электроны с сос = 0, имеем
а(ш) = уюп/[4л(ш2 + у2)]. F1.17)
Это соотношение называется формулой Друде — Зинера и вы-
выражает зависимость электропроводимости металлов от частоты.
199

Заметим, что с помощью F1.16) выражение для 8 приводится
к виду
г(ш) = г'(ш) + /4ла(ш)/ш, F1.18)
откуда следует, что для металлов в статическом пределе 8 имеет
полюсную особенность типа
е(а>->0)«14яа/а>, F1.19)
где а — статическая электропроводимость.
Особый интерес представляет структура 8 для плазмы, в ко-
которой основную роль играют свободные электроны с шс = 0,
т.е. можно положить /(юс) = 28(сос) и, согласно F1.11),
е(ю)=1-ю2/[ю(сэ + гу)]. F1.20)
Очевидно, что такое поведение диэлектрической проницаемости
характерно для любой среды в пределе чрезвычайно высоких частот,
поскольку при ш-юо все электроны можно считать свободными.
Если в F1.20) пренебречь потерями, т. е. положить ю»у, то получим
8(со)=1-(шп/соJ. F1.21)
Изучим теперь распространение электромагнитных волн в дис-
диспергирующей среде. Начнем с самых простых плоских моно-
монохроматических волн, т. е. положим в уравнениях F1.4)
Еш = Еое'Н Вш = Вое'<Ч
где Ео и Во — постоянные векторы. Тогда с учетом F1.9) имеем:
[кВо] = -со8Ео/с, е(кЕо) = 0,
[кЕо] = соВо/С, (кВ0) = 0. F1.22)
Исключая из этих уравнений Во, приходим к волновому
уравнению
22 2(, F1.23)
которое допускает два типа решений, соответствующих попереч-
поперечным и продольным волнам.
Поперечные волны удовлетворяют условию (кЕо) = 0, т. е.
векторы Ео, Во, к образуют правую ортогональную тройку
(рис. 61.1). В этом случае из волнового уравнения F1.23)
выводим, что
£2 = ю28(ш)/с2, F1.24)
волна
меем
к = со у/г]с = юг| /с, F1.25)
где
ц=п + т' = у/ъ F1.26)
— комплексный показатель преломления.
200
т. е. волновой вектор к является комплексным. Считая, что волна
распространяется вдоль оси Z, т.е. полагая к = @, ОД), имеем

n,n\
/
f
Рис. 61.1
Рис. 61.2
Для выяснения физического смысла п и ri рассмотрим
плоскую электромагнитную волну:
E = Eoe~2™'zAoe~M'~nz/c), в = Вое-2™~Дое~м'~П2/с), F1.27)
где Х0 = 2пс/ю — длина волны в вакууме. Отсюда следует, что
п' определяет затухание амплитуды волны на расстоянии порядка
длины волны Хо и поэтому называется коэффициентом поглоще-
поглощения. Что же касается я, то это обычный показатель преломления,
определяющий скорость перемещения поверхности постоянной
фазы Ф = со(/ — nz/с) = const, т. е. фазовую скорость волны v^ = cjn.
Разделяя действительную и мнимую части в соотношении
находим:
у.__ j~ 1/2 л pI I p'\i/2 и'= 9~1//2Пг1 f'^1//2 = f"lG.n\ F1 28)
Зависимость л^) в простейшем случае, когда вблизи частоты
со имеется лишь одна изолированная собственная частота сос
и поэтому можно ограничиться однорезонансным приближением,
дана на рис. 61.2 [и (со) — кривая 7, я'(со) — кривая 2]. Анализ
зависимости л' (со) показывает, что коэффициент у, обычно
удовлетворяющий условию у<^ссос, имеет смысл ширины линии
поглощения.
В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдал^
от линии поглощения, когда е"<^;е' и можно положить п
и п'жг"/Bу/е'У в однорезонансном приближении
A22^8r^l-fco2/(co2-co2). F1.29)
Вспоминая, что co2 = coq —со2/3, и разрешая F1.29) относитель-
относительно Шп, приходим к соотношению
^+2~3(со^-ш2) со^-со2 l j
(формула Лоренца — Лоренца). Она была выведена независимо
друг от друга в 1869 г. датчанином Л. В. Лоренцем, в 1873 г.—
Дж. К. Максвеллом и в 1879 г.— 7". А. Лоренцем (результат
201

Максвелла остался при этом незамеченным). Согласно F1.30),
при заданной частоте (л?2 —1)/(/?2 + 2) оказывается пропорци-
пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула
Лоренца — Лоренца является обобщением (при со^О) соотношения
Клаузиуса — Мосотти E8.26).
Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в сре-
среде— продольных. В этом случае [кЕо] = 0, поэтому из уравнений
F1.22) следует, что
B0 = D0 = 8E0 = 0, F1.31)
т. е. эти волны чисто электрические и могут существовать только
для тех частот <% которые являются корнями уравнения
еЦ) = 0. F1.32)
Если со достаточно велико, то в пренебрежении потерями
можно воспользоваться упрощенным выражением F1.21), из
которого следует, что шг = шп. Таким образом, в соответствии
с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поля-
поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто
называются волнами поляризации или волнами Бора, который
впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной
частицы, движущейся в среде.
Задача 61.2. Показать, что в области прозрачности средняя по времени
плотность энергии периодического электромагнитного поля в среде имеет вид
F1.33)
В реальных физических задачах часто приходится исследовать
распространение в среде не только плоских электромагнитных
волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей
среде можно построить по аналогии с C9.11) и C9.13). Ограничив-
Ограничившись поперечными волнами, имеем:
+ 00
r) = ReJ{{]
- oo
F1.34)
где d3k = dkxdkydkz, (kEo) = 0, w(k) — решение дисперсионного урав-
уравнения F1.24).
Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т. е. примем,
что функция |Е0(к)| имеет резко выраженный максимум в не-
некоторой точке k = k0. Для описания поведения такого волнового
пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно
202

считать совпадающим с радиусом-вектором
Z>(t) = \rE2dV/$E2dV, F1.35)
где усреднение производится по периоду Т0 = 2п/(ск0).
Задача 61.3. Показать, что скорость центра волнового пакета совпадает
с групповой скоростью, которая может быть вычислена по формуле
»=4(')=5- . F1.36)
ok k=k0
где со'= Re со (к). Предполагается, что время t удовлетворяет неравенству
*,^»(Лг \^ou. co" = Imco(k).
Таким образом, практически для любого времени вычислять
групповую скорость по формуле F1.36) можно только в прозрач-
прозрачной области, в которой со"<^;со'. В этом случае, дифференцируя
по к соотношение F1.24), находим
2кс2
"(d/dco)(coV)'
г/ ,VL ,Л л- F1-37)
V (d/dco)(mo) 1 + [(ш/л)(с1л/<1ю)]"
Отсюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда
dfl/dco>0, групповая скорость не превосходит фазовую, т. е.
v<Vfo = c/n. Однако в области аномальной дисперсии, когда
с!я/ско<0, будет £>>£>Ф, а так как при этом возможны значения
л<1, то групповая скорость может превосходить скорость света.
Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномаль-
аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой
пользоваться формулой F1.36) нельзя и выводы из нее непра-
неправомочны.
Задача 61.4. Показать, что в области прозрачности групповая скорость
совпадает со скоростью центра масс волнового пакета, т. е. является
скоростью переноса энергии.
Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются
еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под
сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограничен-
ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно
показать, что скорость фронта сигнала в любой среде равна
скорости света в вакууме [теорема Т. Леви-Чивиты A913)].
Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области
фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою
очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля
бесконечно больших частот. Но, согласно F1.21), е(ш->оо)->1,
поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям
поля как вакуум. Очевидно, что это связано с инертностью
заряженных частиц.
203

Структура фронта сигнала
в диспергирующей среде была
подробно изучена А. Зоммерфе-
льдом и Л. Бриллюэном в 1914 г.
Они обнаружили, что в среде
с поглощением в промежутке
между фронтом и основной груп-
0 ьГс *ш пой можно выделить две области
с заметно повышенной интен-
Рис- 61-3 сивностью поля. Бриллюэн на-
назвал их первым и вторым предвестниками*. Как и следовало
ожидать, скорости их не превышают с, а скорость основной
группы, или скорость сигнала, отличается от групповой
скорости v, вычисленной по формуле F1.36), только в области
поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схе-
схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной
модели).
Интересное явление, связанное с влиянием вещества на
электромагнитное поле, было обнаружено в 1934 г. советскими
физиками 77. А. Черенковым и С. И. Вавиловым. Они наблюдали
узкий конус излучения, испускаемого быстрыми электронами
в среде при условии, что их скорость v = c$ превышала фазовую
скорость с/п света, т. е. при
C28(со)>1, F1.38)
если рассматривать область прозрачности, где е" <$с s' ^ £, \х = 1.
Угол 9, образуемый волновым вектором к и скоростью электрона,
определяется соотношением
cos» = (wP)-1, F1.39)
из которого следует и условие F1.38). Излучение имело сплошной
спектр, было поляризованным в плоскости k, v и более
длинноволновым ближе к оси конуса. Последнее вытекает из
F1.39), так как в области нормальной дисперсии
2pi9d9/d b/d0
p/ /
Теория излучения Вавилова — Черенкова была создана в 1937 г.
советскими физиками Я. Е. Таммом и И. М. Франком, хотя само
явление предсказано и описано (правда, без учета дисперсии)
еще в 1888 г. английским физиком О. Хевисайдом, впервые
получившим формулу F1.39). Излучение оказалось ничем иным,
как электромагнитной ударной волной, аналогом известного
в акустике конуса Маха, сопровождающего всякий сверхзвуковой
объект. Возникает ударный фронт в согласии с принципом
Гюйгенса: волны возбуждения от движущегося электрона рас-
* С некоторыми подробностями этих расчетов можно ознакомиться в кн.:
Рыбаков Ю. П. Электродинамика сплошных сред. М., 1988.
204

лространяются в среде со скоростью
v^ = c/n и интерферируют, образуя
конический фронт. В соответствии
с этим на рис. 61.4 OA = v^t. OB = vt,
откуда cos§ = v$/v = (nfi) i [см.
F1.39)]. Интересно, что гипотетичес-
гипотетический случай заряда, движущегося со
сверхсветовой скоростью в вакууме,
был рассмотрен в 1904 г. немецким
физиком А. Зоммерфельдом (см. за-
задачу 46.3), рассчитавшим силу тор-
торможения, испытываемую таким зарядом вследствие излучения.
Для количественного описания излучения Вавилова—Черен-
кова рассмотрим точечный заряд е, движущийся с постоянной
скоростью v = vz в однородной изотропной среде с ц=1, е = е(ю),
е"->0. Принимая условие Лоренца в форме cdivA + £d<p/dt = 6,
приводим уравнения для потенциалов ф, А к виду
Рис. 61.4
F1.40)
A\-(elc2)d2Aldt2=-Dn/c)ey8(r-\t).
Задача 61.5. Применив преобразование Фурье, показать, что запаздывающая
функция Грина для оператора еЛ —(е/с) д2/<3/2 имеет вид
+ 00
ехр[|(кК)-/юГ]
С(Г, К) = Bтг)"
е(со)[&2-е(со)оУ7с2]
dcod3A:,
F1.41)
где контур С в комплексной ^-плоскости асимптотически (при оо-+ ± оо)
совпадает с вещественной осью и охватывает сверху все особенности
подынтегрального выражения F1.41).
Зная функцию Грина, запишем скалярный потенциал в виде
+ 00
<р(*, г) = 4яе { G(t-t\ T-vt')&t\ F1.42)
- оо
тогда как А = 8~Чф/с. Подставляя F1.41) в F1.42) и замечая, что
+ 00
J ехр [ — i(k3v — (o)t'~\dt' = 2я5(k3v — ю),
— оо
приводим F1.42) к виду
\к2. F1.43)
205
С -оо

Интегрирование по kl9 к2 в F1.43) легко выполняется в поляр-
полярных координатах к, ос, если вспомнить определение функции
Бесселя:
J0(kr) = Bn)-1 fexp(flfcrcosa)da, r = (x2+y2I12
о
и учесть преобразование Фурье — Бесселя для функции Мак-
дона льда:
, Rex>0.
т Л
Тогда для потенциалов ф, A = AZ имеем представление
V\=\( ]exp[/(z-i;/)co/i;]dco, F1.44)
с
где я(ю, г) = е(ЗФ(со, г) = е(пс)~1 К0(кА к= ± A —ер2I/2оэ/t;, а знак
к выбирается из условия Rex>0. В частности, в области F1.38)
имеем к= —/(eji2 —II/2co/f, так как, согласно F1.14), cos"(co)>0.
При этом на больших расстояниях от заряда, когда кг»1
и ^0(кг)^ехр( —кг)[я/Bкг)]1/2, имеем
) -^)co/i;]dco. F1.45)
с
Из структуры фазы поля F1.45) в области F1.38) выводим
т. е. вновь получаем выражение F1.39) для угла наклона фронта
волны.
В заключение подсчитаем потери энергии зарядом в среде
при прохождении 1 см пути, т. е. dW/dz = v~ldW/dt. На практике
обычно вычисляют потери энергии на излучение и на поляризацию
среды вне некоторого цилиндра радиуса г, осью которого служит
траектория заряда. Эта величина равна потоку вектора Пойнтинга
сквозь боковую поверхность цилиндра:
+ оо
206

Задача 61.6. Используя представление F1.44) для поля заряда, движущегося
в среде, получить из F1.46) формулу Ферми A940) для полных потерь
энергии зарядом вне цилиндра радиуса г:
F1.47)
Если нас интересуют потери энергии только на излучение
Вавилова — Черенкова, то достаточно положить в F1.47) г->оо,
поскольку потери на поляризацию среды [при этом берется
область, дополнительная к F1.38)] экспоненциально затухают,
как это видно из F1.45)*. В результате нетрудно получить
известную формулу Тамма — Франка A937):
еC2>1
со>0
* Более подробный анализ потерь с учетом поглощения см. в кн.:
Рыбаков Ю. П. Электродинамика сплошных сред М., 1988.

6
ГЛАВА
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
В предыдущем изложении основных законов электродинамики
умышленно обходились вопросы, связанные с выбором системы
отсчета координат и времени, к которой эти законы относились.
Не затрагивалась и проблема перехода от одной системы
отсчета к другой, движущейся относительно первой. Приступая
к анализу этих вопросов, следует признать, что опираться
при этом можно лишь на достижения механики, под влиянием
которых и формировались представления человечества о про-
пространстве и времени. Развитие механики убеждает в полном
равноправии всех инерциальных систем отсчета, что нашло
свое отражение в известном принципе относительности Галилея.
Согласно этому принципу, уравнения механики Ньютона имеют
один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета,
или, как говорят, являются ковариантными* относительно
преобразований Галилея, осуществляющих переход от одной
инерциальной системы отсчета к другой.
В связи с этим было бы естественно ожидать, что
и в электродинамике равноправие инерциальных систем отсчета
не будет нарушено, т. е. уравнения Максвелла—Лоренца имеют
одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Однако
положение оказалось не столь простым, как это представлялось
на первый взгляд, и расширение принципа относительности на
электродинамику потребовало пересмотра установившихся пред-
представлений о пространстве и времени**. Чтобы понять суть
возникших противоречий, рассмотрим более подробно принцип
относительности Галилея в классической механике.
§ 62. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
И ГИПОТЕЗА ЭФИРА
Принцип относительности Галилея опирается на два основных
допущения:
1) время является абсолютным, т. е. единым для всех инер-
инерциальных систем отсчета;
* О понятиях ковариантности и инвариантности см. приложение, а также
в кн.: Бергман П. Г. Введение в теорию относительности. М., 1947. Гл. 2.
** Отметим, что под принципом относительности здесь понимается общее
утверждение о равноправии при описании законов природы всех инерциальных
систем отсчета вне зависимости от используемых преобразований пространственно-
временных координат.
208

2) скорости складываются как эв-
эвклидовы векторы.
Из этих допущений и вытекают
известные преобразования Галилея,
связывающие между собой две инер-
циальные системы отсчета. Пусть,
например, система отсчета Е' движет-
движется относительно системы отсчета Е со
скоростью v. Считая оси координат
в обеих системах параллельными и со-
совпадающими в момент времени / = 0
(рис. 62.1), имеем
О /О1 X X'
или, направляя ось X вдоль v,
x' = x-vt, yf=y, zf = z, t' = t. F2.1)
Нетрудно убедиться, что преобразования Галилея F2.1) явля-
являются прямым следствием соотношения /' = /, выражающего аб-
абсолютный характер времени, и закона сложения скоростей:
ux = u'x + v, uy = u'y, щ = и'„ F2.2)
или в векторной форме
где u = dr/d/ и u'^dr'/d/'— скорости материальной точки в си-
системах Е и Е' соответственно.
Рассмотрим уравнения механики Ньютона для замкнутой
системы материальных точек с массами ть между которыми
действуют силы ¥ik(i^k), зависящие от относительных расстояний:
F2.3)
кфг
Замечая, что ускорения точек, а также относительные рас-
расстояния являются инвариантами преобразований Галилея
d2rf/d/2 = d2rj/dr'2, т-тк = т\-т'ъ F2.4)
убеждаемся, что уравнения F2.3) инвариантны относительно этих
преобразований. Однако в случае действия произвольных сил
уравнения Ньютона только ковариантны по отношению к преоб-
преобразованиям Галилея и неинвариантные силы следует при этом
рассматривать как внешние, т. е. механическую систему нельзя
считать замкнутой.
Задача 62.1. Из требования ковариантности силы Лоренца относительно
преобразований Галилея вывести закон преобразования электромагнитных
полей Е и В.
Что касается уравнений электродинамики Максвелла — Ло-
Лоренца, то они оказались нековариантными относительно
209

преобразований Галилея, а все попытки получить желанную
ковариантность, как-то изменив форму уравнений, не принесли
успеха, ибо приводили к противоречию с опытом*.
Задача 62.2. Убедиться в нековариантности относительно преобразований
Галилея волнового уравнения и уравнений электродинамики Максвелла — Ло-
Лоренца.
Нековариантность уравнений электродинамики по отношению
к преобразованиям Галилея представлялась, однако, естественной
с позиций «эфирных» теорий, вводивших гипотетический элект-
электромагнитный эфир и рассматривавших электромагнитное поле
как особого рода натяжения в нем (по аналогии с натяжениями
в упругой среде). Подобное представление об электромагнитном
поле было еще у Максвелла. Фактически его придерживался
и Лоренц, считавший электромагнитное поле особым состоянием
электромагнитного эфира, покоящегося относительно некоторой
выделенной системы отсчета.
Если принять существование электромагнитного эфира, то
очевидно, что уравнения Максвелла — Лоренца могут быть спра-
справедливыми лишь в единственной системе отсчета, связанной
с эфиром. Во всякой другой системе отсчета эфир будет
двигаться, а это должно сказаться на уравнениях поля. Иначе
говоря, в любой «эфирной» теории предполагается существование
«эфирного ветра», а это означает, что в уравнениях поля должна
содержаться в качестве параметра скорость рассматриваемой
системы отсчета относительно эфира. Таким образом, представ-
представление об эфире оказывается несовместимым с принципом от-
относительности Галилея, в чем наглядно убеждает следующий
мысленный эксперимент.
Рассмотрим электромагнитную волну, порождаемую точечным
источником света в момент времени f = 0, и выясним, как будет
выглядеть ее распространение в двух инерциальных системах
отсчета, движущихся друг относительно друга со скоростью v.
Пусть, скажем, система Е связана с неподвижным эфиром,
а система Е' движется вдоль оси X со скоростью v, так что
в момент t = 0 их начала отсчета совпадают с положением
источника. Тогда в момент t = T>0 свет достигает точек,
расположенных на расстоянии R = cT от начала координат г = 0.
Поэтому в системе Е уравнение фронта волны имеет вид
= 0. F2.5)
* Об одном из таких обобщений уравнений Максвелла, предложенном
в 1890 г. Г. Герцем, см.: Франкфурт У. И. Специальная и общая теория
относительности. Исторические очерки. М., 1968. С. 6. Очень обстоятельно
история создания релятивистской электродинамики изложена в кн.: Мандельштам
Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., 1972.
210

Однако в системе S' к момен-
моменту t=T положение источника
сместится вдоль оси X на от-
отрезок— vT и уравнение той же
волновой поверхности примет
вид (рис. 62.2)
(x' + vTf+yf2+z'2-c2T2 = Q. F2.6)
Таким образом, в системах
£ и Е' уравнение волнового
фронта выглядит по-разному.
Но, как хорошо известно из
теории дифференциальных урав-
уравнений в частных производных,
волновая поверхность является
характеристической и ее вид определяется только коэффициен-
коэффициентами соответствующих уравнений. Поэтому уравнения электро-
электромагнитного поля, в результате решения которых и получаются
соответствующие волновые фронты F2.5) и F2.6), также должны
выглядеть по-разному, что говорит об их нековариантности*.
Итак, «эфирная» концепция электромагнитного поля отрицает
принцип относительности Галилея и допускает возможность
опытного обнаружения эфирного ветра. В конце прошлого века
«эфирная» концепция считалась единственно возможной и для
обнаружения эфирного ветра были поставлены многочисленные
эксперименты, на важнейших из которых мы и остановимся.
Рис. 62.2
§ 63. ПОПЫТКИ ОБНАРУЖЕНИЯ ЭФИРНОГО ВЕТРА
Вопрос о возможности обнаружения движения относительно
эфира стал обсуждаться еще в первой половине прошлого века**,
т. е. до создания Максвеллом электромагнитной теории света.
Возник этот вопрос в оптике, где к тому времени на смену
корпускулярной теории света Ньютона пришли волновые пред-
представления Гюйгенса — Френеля, согласно которым свет рассмат-
рассматривался как возмущение в эфире, распространяющееся в нем
наподобие волн в твердом теле. Из многочисленных эксперимен-
экспериментов, касающихся проверки «эфирной» концепции, мы остановимся
лишь на двух — опытах А. И. Физо и А. Майкельсона.
Опыт Физо был поставлен в 1851 г., т. е. до появления
теории Максвелла, с целью обнаружить возможное увлечение
светоносного эфира движущимся телом. Схема опыта следующая
(рис. 63.1). Световой луч от источника S с помощью полупроз-
полупрозрачной посеребренной пластинки а расщепляется на два луча,
* См. также задачу 62.2.
** См.: Лоренц Г. А. Теории и модели эфира. М.— Л., 1936.
211

5*—
-лллЛ/ v/vw~£
Рис. 63.1
которые системой зеркал направляются по замкнутому пути
навстречу один другому. На этом пути световые лучи проходят
водяной поток, движущийся со скоростью v, и на выходе
образуют интерференционную картину /.
На опыте обнаруживается смещение интерференционных полос
в зависимости от скорости потока v9 что соответствует частичному
увлечению эфира водой. При этом скорость света в движущейся
воде оказывается равной
иф = с/п + (\-\/п2)р, F3.1)
где с/п — скорость света в неподвижной воде (п — ее показатель
преломления). Формула F3.1) и, в частности, выражение для
коэффициента увлечения
а=1-1/л2 F3.2)
были теоретически выведены Френелем, исходившим из пред-
представлений об эфире как непрерывной среде, заполняющей все
тела с плотностью, пропорциональной п2. В связи с этим
ос назван коэффициентом увлечения Френеля.
Задача 63.1. Объяснить опыт Физо: 1) с помощью электронной теории Лоренца; 2)
исходя из квантовых представлений о свете как о совокупности частиц—фотонов.
Как видно, опыт Физо позволяет определить скорость среды
по отношению к прибору (в данном случае—интерферометру), но
не по отношению к неподвижному эфиру. Позднее Лоренц показал,
что во всех опытах первого порядка*, в которых наблюдаемый
эффект пропорционален скорости v, измерить скорость эфирного
* О других экспериментах см. в кн.: Вавилов С. И. Экспериментальные
основания теории относительности. М. —Л., 1928; Франкфурт У. И., Френк А.
М. Оптика движущихся тел. М., 1972.
212

,/л т*
Рис. 63.2
Рис. 63.3
ветра невозможно. Такое измерение можно провести лишь в опытах
второго порядка, в которых наблюдаемый эффект пропорционален
v2. Классическим примером последних является знаменитый опыт
Майкельсона.
Опыт Майкельсона впервые был поставлен в 1881 г., а затем
повторялся в 1887 г. и 1904—1905 гг. (рис. 63.2). Измерения про-
проводились с помощью специально сконструированного для этого
опыта интерферометра Майкельсона, располагавшегося вместе с ис-
источником света S на массивной каменной плите, плавающей в ванне
со ртутью. Если у—скорость движения Земли относительно эфира,
то вращением плиты можно так ориентировать интерферометр,
чтобы либо плечо /1? либо плечо /2 было направлено вдоль v.
Луч света, испускаемый источником 5, с помощью полупрозрачной
пластинки а расщепляется на два луча, которые после отражения
от зеркал т1 и т2 вновь возвращаются к пластинке и, взаимодействуя,
образуют интерференционную картину L
Если плечо /2 ориентировано вдоль скорости v, то, следуя
«эфирной» концепции, нетрудно рассчитать время /2, которое требу-
требуется второму лучу для прохождения плеча /2 туда и обратно:
1. F3.3)
2 c-v c+v
Время tl9 требующееся первому лучу для прохождения плеча
/t туда и обратно, легко находится из рассмотрения треугольника
ат^а! (рис. 63.3). Длина основания этого треугольника равна смеще-
смещению пластинки а за время tl9 т. е. vtl9 и поэтому длина боковой
стороны равна L = (l{+v2t2/4I12. Так как свет следует вдоль
траектории ат^а! длиной 2L = ctl9 то
2\ -1/2
) • F3-4)
213

Теперь легко можно подсчитать разность tl — t2, определяющую
вид интерференционной картины:
Если же вдоль скорости v ориентировать плечо /1? то лучи
7 и 2 поменяются местами и получится другая разность
в результате чего интерференционная картина изменится. При длине
волны X света смещение интерференционных полос определяется
изменением разности хода лучей (в долях X)
Для оценки 8 разумно предположить, что скорость v порядка
скорости движения Земли вокруг Солнца, т. е. v/c~ 10~4. В таком случае
F3.8)
В первом опыте Майкельсона сумма длин плеч интерферометра
1х + 12 составляла 25 м, а в последующих—еще больше. Поэтому
для А,= 10~6м из F3.8) следует, что 8>1/4. Такое смещение
интерференционных полос может быть надежно зарегистрировано
визуально, однако в опытах оно не наблюдалось. Таким образом,
эфирный ветер обнаружить не удалось, что послужило основанием
для сомнений в справедливости «эфирной» концепции.
§ 64. ГИПОТЕЗЫ ФИЦДЖЕРАЛЬДА И ЛОРЕНЦА
В 1891 г. для объяснения отрицательного результата опыта Май-
Майкельсона ирландский физик Дж. Фицджеральд выдвинул гипотезу,
согласно которой все тела, движущиеся относительно эфира со
скоростью v, сокращаются в направлении движения по закону
l=loj\-v2/c\ F4.1)
где /0—продольные размеры тела, неподвижного относительно
эфира. Подстановка F4.1) в F3.5) и F3.6) дает
fl= ^i-b) =ffj F35a)
откуда 8 = 0 в соответствии с опытом.
Но даже примирившись с гипотезой Фицджеральда, несмотря
на всю ее искусственность, все же нельзя было исключить воз-
214

можность обнаружения эфирного ветра в каком-нибудь другом
опыте. В самом деле, заметим, что скорость v в F3.7) может
быть представлена в виде
где vc—скорость Солнца относительно эфира, v3—скорость Земли
относительно Солнца. Так как в течение года v3 заметно меняется,
то при 1±ф12 [см. F3.5а)] интерференционная картина также меняется.
Такой опыт по наблюдению интерференционной картины в течение
длительного времени был поставлен в 1932 г. американским физиком
Р. Кеннеди, но дал отрицательный результат.
Отрицательный результат опыта Майкельсона Лоренц считал
убедительным аргументом в пользу пересмотра концепции эфира,
которую он до этого защищал. Не удовлетворившись формальной
гипотезой Фицджеральда и своими собственными доказательствами
ее, основанными на некоторых допущениях о характере сил вза-
взаимодействия атомов в веществе, Лоренц стал искать такое обобщение
преобразований Галилея, которое гарантировало бы невозможность
обнаружения эфирного ветра в любом оптическом или электроди-
электродинамическом опыте второго порядка. В 1904 г. ему удалось найти
такие преобразования. Первоначально он их представил в таком виде:
/=У> z'=z> t' = t/y-yvxTlc2, F4.2)
где xr = x — vt—координата х, преобразованная по Галилею;
у = A —t?2/c2)~1/2 — множитель, отражающий сокращение тел по гипо-
гипотезе Фицджеральда. Но самым ценным в предложении Лоренца
было введение нового времени /', не совпадающего со старым
временем t вопреки представлению об абсолютном времени*.
Исключив из F4.2) переменную хг, найдем:
x' = y(x-vt)9 у'=у, z'=z, t' = y(t-vx/c2). F4.3)
Следует отметить, что подобные преобразования рассматривались
еще в 1887 г. немецким физиком В. Фохтом в статье, посвященной
принципу Доплера, а в форме F4.2) их впервые описал в 1900 г.
Дж. Лармор в книге «Эфир и материя». В 1904 г. эти преобразования
в виде F4.3) были использованы А. Пуанкаре и по предложению
последнего были названы преобразованиями Лоренца.
Однако Лоренц считал новые координаты х\ у\ z' и время t'
лишь формально вводимыми переменными, использование которых
удобно, так как позволяет сохранить неизменной форму уравнений
электродинамики**. Истинными же координатами и истинным
временем он считал исходные переменные х, у, z, t. Таким образом,
* Комбинацию t — vx/c2 Лоренц называл местным временем.
** Лоренцем была доказана неизменность при преобразованиях F4.3) лишь
свободных уравнений Максвелла, а обобщение этого свойства на уравнения
Максвелла с источниками было дано Пуанкаре.
215

Лоренц не смог до конца отказаться от концепции эфира и признать, что
принцип относительности справедлив и в электродинамике при условии
замены преобразований Галилея преобразованиями Лоренца. Он не сумел
распространить принцип относительности на все физические явления, как
это сделал в 1905 г. А. Эйнштейн, доказавший универсальный характер
преобразований Лоренца, выведя их из принципа относительности. Если
бы Лоренц четко указал, что новые переменные х\ у\ z\ t' так же реальны
и столь же полно описывают пространство и время, как и старые
переменные х, у, z, /, то он первым утвердил бы принцип относительности
и первым обратил бы внимание на относительность одновременности
пространственно разобщенных событий, следующую из предложенных им
преобразований. Все эти и последующие достижения принадлежат
Эйнштейну, построившему теорию относительности.
§ 65. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Отрицательные результаты опыта Майкельсона и ряда электроди-
электродинамических опытов (типа опытов Траутона — Нобля, Эйхенвальда
и др.*) поставили под сомнение концепцию эфира и дали основание
к распространению принципа относительности на электродинамичес-
электродинамические явления. Необходимость возврата к принципу относительности
была глубоко осознана Эйнштейном, который впервые предложил
исходить не из концепции эфира, а из утверждения, что электромаг-
электромагнитные явления описываются одними и теми лее уравнениями
Максвелла—Лоренца во всех инерциальных системах отсчета. Но
поскольку уравнения электродинамики нековариантны по отношению
к преобразованиям Галилея, Эйнштейн поставил задачу—отыскать
новые преобразования, по отношению к которым уравнения элек-
электродинамики были бы ковариантными и которые соответствовали
бы новым, измененным представлениям о пространстве и времени.
Такими преобразованиями оказались преобразования Лоренца.
Эйнштейн вывел преобразования Лоренца, исходя из двух основных
постулатов—относительности и постоянства скорости света, используя
при этом некоторые общие представления о свойствах пространства
и времени. Постулаты Эйнштейна содержат следующие утверждения:
1. Во всех инерциальных системах отсчета все физические явления
протекают одинаково, га. е. по одним и тем же законам (постулат
или принцип относительности).
2. Скорость света не зависит от движения источника света
и одинакова во всех инерциальных системах отсчета (постулат
постоянства скорости света).
Если первый постулат является распространением принципа
относительности Галилея на все физические явления, а не только
* См.: Беккер Р. Теория электричества. М.— Л., 1941. Т. 2. § 45; Мандельштам
Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.. 1972.
216

X1
на электродинамические, то второй
постулат фактически содержится
в первом, поскольку процесс рас-
распространения электромагнитной
световой волны, согласно первому
постулату, должен во всех инер-
циальных системах отсчета проте-
протекать одинаково. Однако второй
постулат представляется особо
важным, так как он в явной форме
отрицает «эфирную» концепцию
в оптике и электродинамике и од-
одновременно раскрывает фундамен-
фундаментальную роль электродинамичес- Рис- 65Л
кой постоянной с в общей теории пространства и времени.
Если исходить из концепции электромагнитного эфира, опира-
опирающейся на преобразования Галилея, то постулаты Эйнштейна
представляются противоречивыми. Чтобы убедиться в этом, до-
достаточно рассмотреть мысленный опыт со светом (см. § 62). В самом
деле, фронт световой волны в системе X в момент времени t=T
будет иметь вид сферы 01 радиуса сТ с центром в точке г = 0.
Однако в системе 1/ фронт той же самой световой волны должен,
согласно постулатам Эйнштейна, изображаться сферой 01' того же
радиуса сТ, но с центром в точке г' = 0 (рис. 65.1). Таким образом,
волновые фронты одной и той же световой волны в разных
системах отсчета не совпадают!
На первый взгляд кажется, что для разрешения этого «очевидного»
противоречия нужно либо отказаться от принципа постоянства
скорости света, т. е. считать, что скорость света зависит от скорости
движения источника, либо отказаться от обоих постулатов и принять
«эфирную» концепцию. Однако более внимательное рассмотрение
парадокса показывает, что причина его возникновения лежит в неяв-
неявном использовании укоренившегося в нашем сознании представления
об абсолютном времени, когда мы молчаливо полагаем /' = /
и отождествляем принцип относительности с требованием ковариан-
ковариантности по отношению к преобразованиям Галилея.
В самом деле, если отказаться от условия t' = t и считать, что
tf=f(t,x), как это было, например, предложено Лоренцем, то
становится очевидным, что сферы 01 и Ж не должны совпадать,
поскольку каждая из них является геометрическим местом одно-
одновременных событий* в своей системе отсчета, а одновременные
события в системе Е, вообще говоря, не являются таковыми
в системе Е', и наоборот. Таким образом, в системе £ сфера $'
* Событием здесь является приход световой волны в точку г в момент
времени t. В дальнейшем, независимо от рассматриваемого процесса, событием
будет называться совокупность (t, г).
217

также является фронтом световой волны, но каждая из его точек
взята в свой момент времени.
Итак, кажущаяся противоречивость постулатов Эйнштейна устраняет-
устраняется, если отказаться от представления об абсолютном времени и считать
одновременность пространственно разобщенных событий относительной,
т. е. связывать пространственные координаты и время в движущихся
друг относительно друга системах отсчета не преобразованиями Галилея,
а иными преобразованиями, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна.
Как выяснится, таковыми являются преобразования Лоренца.
§ 66. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННОСТИ
Для вывода преобразований Лоренца нам понадобятся некоторые
общие представления о свойствах пространства и времени.
Пространство и время суть формы существования материи. Эти
формы являются всеобщими: никакая материя не существует вне
пространства и времени, как и пространство и время немыслимы без
материи. Поэтому, говоря о свойствах пространства и времени,
необходимо иметь в виду, что они являются отражением наиболее общих
свойств материи и законов, управляющих ее движением. Опираясь на
законы, лежащие в основе механики и электродинамики и не вызывающие
в настоящее время сомнения, можно выделить следующие наиболее
общие свойства пространства: трехмерность, изотропность и однород-
однородность. Важнейшим же свойством времени является его однородность*.
Для пояснения этих свойств отметим, что наглядно пространство
изображается координатной сеткой, служащей для регистрации всех
возможных положений, которые могут занимать материальные
объекты. Координатная сетка может быть привязана к некоторому
избранному материальному телу, называемому телом отсчета. Если
тело отсчета абсолютно жесткое, то его точки могут считаться
изображающими точки координатной сетки. Для нумерации послед-
последних используются три числа—координаты (в простейшем случае—
декартовы), что и является выражением трехмерности пространства.
Равноправие всех трех декартовых координат отражает изотропию
пространства, а произвольность выбора начала координат—его
однородность.
Отвлеченным изображением времени может служить упорядочен-
упорядоченная от прошедшего к будущему последовательность моментов
времени, которые могут отсчитываться некоторыми идеальными
(стандартными) часами. В каждой пространственной точке могут
быть установлены свои часы, отсчитывающие время в данной точке.
При этом все идеальные часы считаются тождественными, т. е.
* Из механики известно, что перечисленные свойства пространства-времени
проявляются в законах сохранения энергии, импульса и момента импульса
замкнутых систем.
218

ритм их хода при переносе часов в одну и ту же пространственную
точку должен быть одинаковым. Свобода выбора начала отсчета
времени является отражением его однородности.
Координатная сетка, связываемая с избранным телом отсчета,
и упорядоченные последовательности моментов времени, сопоставляе-
сопоставляемые каждой точке пространства и отсчитываемые помещенными туда
стандартными часами, образуют в своей совокупности то, что называют
системой отсчета. При этом само тело отсчета (или их набор) совместно
с установленными в каждой пространственной точке стандартными
часами образуют базис системы отсчета*. Среди всевозможных систем
отсчета физически выделяются инерциальные системы отсчета,
движущиеся по закону инерции, т. е. связываемые с телами отсчета, на
которые не действуют никакие внешние силы (практически такие тела
отсчета могут быть реализованы лишь приближенно).
Выбрав некоторую инерциальную систему отсчета, исследуем
понятие одновременности событий. Как было замечено раньше,
понятие одновременности относительно, поэтому необходимо дать
строгое его определение, согласованное с постулатами Эйнштейна.
При этом речь буде1 идти о пространственно разобщенных событиях,
поскольку для событий, происходящих в одной точке, одновремен-
одновременность не отличается от галилеевской.
При определении одновременности пространственно разобщенных
событий воспользуемся конкретным физическим процессом—рас-
процессом—распространением света в вакууме, скорость которого, согласно второму
постулату Эйнштейна, постоянна и равна с. Пусть имеется два
события, происходящие в точках Мг и М2 соответственно. Для
синхронизации часов С1 и С2> помещенных в этих точках, пустим
световой сигнал из точки MY в момент времени tx (по часам С\).
Предположим, что этот сигнал пришел в точку М2 в момент t2
(по часам С2), мгновенно отразился и возвратился в точку Mi
в момент t\ (по часам С\).
Очевидно, что время, затрачиваемое на путь туда или обратно,
должно быть одинаковым (вследствие постоянства скорости света).
Поэтому необходимо считать, что t2 — t1 = t'1 — t2, или
F6.1)
* Следует особо различать систему отсчета и систему координат. Последняя,
включающая в себя координатную сетку и способ отсчета моментов времени
и не включающая тела отсчета, имеет вспомогательный характер и в значительной
мере может быть выбрана произвольно, хотя, конечно, существуют и приви-
привилегированные системы координат, наиболее просто и точно отражающие свойства
рассматриваемого явления. Этот вопрос особенно важен в общей теории
относительности (Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.,
1955. § 1—2). Отметим, что, выбрав некоторую систему отсчета, привязанную
к реальному телу отсчета, можно рассмотреть другое, воображаемое, тело
отсчета с заданным законом движения и связать с ним новую систему отсчета
(однако в общей теории относительности принято систему отсчета связывать
только с реальными телами).
219

Иначе говоря, часы С2 должны быть
установлены так, чтобы в момент прихода
сигнала в точку М2 их показание было t2
[в соответствии с F6.1)]. Такого рода све-
световая синхронизация часов и была положена
Эйнштейном в основу определения одновремен-
одновременности пространственно разобщенных событий.
Очевидно, что возможны и другие способы
Рис- 661 синхронизации часов. Например, световой
сигнал может высылаться в точки Мх и М2 из некоторой
равноудаленной от них точки Мъ (рис. 66.1). Тогда время, показываемое
часами Сг и С2 в момент прихода сигнала, должно быть одинаковым*.
§ 67. ВЫВОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА—ЭЙНШТЕЙНА
При выводе преобразований Лоренца будем считать принятыми
следующие положения:
1) однородность пространства и времени, означающая, что вид
преобразований не должен зависеть от выбора начала отсчета
пространственных координат или времени;
2) изотропность пространства, т. е. равноправие всех простран-
пространственных направлений;
3) принцип относительности, т. е. полное равноправие всех инер-
циальных систем отсчета;
4) постулат постоянства скорости света, т. е. одинаковость
скорости света во всех инерциальных системах отсчета.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета Е и Е', с которыми
свяжем декартовы системы координат. Систему отсчета £ условно
назовем неподвижной, а систему Е' (также условно)—движущейся
в системе Е со скоростью v. Если рассматривать пространственно-
временное описание некоторого материального процесса в системах
Е и If, то эти описания должны быть эквивалентными, т. е.
связанными между собой. Иначе говоря, в различных системах
отсчета лишь по-разному изображается один и тот же простран-
пространственно-временной континуум, свойства которого являются отраже-
отражением свойств материи. Поэтому должны существовать формулы
преобразования от одной системы отсчета к другой, которые мы
сначала запишем в самом общем виде:
/' = <р(*,г); r' = f(/,r), F7.1)
где ф и f—некоторые неизвестные функции. Для определения их
конкретного вида воспользуемся сформулированными выше четырьмя
требованиями.
* Нетрудно убедиться, что подобную синхронизацию часов можно осущест-
осуществить и с помощью частиц равной массы, выбрасываемых из точки М3, если
только обеспечить равенство их импульсов.
220

1. Если рассмотреть два различных события (tl9 rx) и (/2, г2), то
разности f2 —1\ и г'2—г 1 могут зависеть только от t2 — tx и г2—г15 как того
требует принцип однородности пространства-времени. Таким образом,
F7.2)
где Ф и F—некоторые новые функции. Принимая, что в момент
/ = 0 начала отсчета в системах ЕиГ совпадают, имеем ф@, 0) = 0,
f@, 0) = 0. Поэтому, полагая в F7.2) ^=0, гх=0, находим:
ф(*2> Г2) = Ф('2, Г2); Ч<2> Г2) = %, Г2)-
Тогда уравнения F7.2) преобразуются к виду
ф('2> г2)-ф('1> *i)=<p('2>-'i, r2-^i);
F7.3)
Ц*2,*2)-Ц*1,*1) = Ч*2-^,Т2-*1),
из которого следует, что функция ф и f линейны по t и г.
2. Будем теперь считать оси координат в системах £ и 2'
параллельными и совпадающими в момент времени t = 0. Тогда
вследствие изотропности пространства единственным выделенным
направлением будет направление скорости v. Иначе говоря, единст-
единственным вектором, от которого параметрически могут зависеть
функции преобразования ф и f в F7.1), является вектор скорости
v. Ориентируя ось X вдоль v и учитывая линейность функций ф,
f, а также совпадение плоскостей х' = 0 и x = vt, заметим, что из
параллельности осей координат в системах 2 и Е' следует пропор-
пропорциональность х\ /, z' и соответственно х — vt, у, z. При этом
коэффициенты пропорциональности в у' и zf одинаковы вследствие
равноправия осей Y и Z. Наконец, t' может зависеть лишь от
t и х вследствие выделенности направления X. Учитывая все
сказанное, запишем преобразование F7.1) в виде
x' = y(x-vt), y' = ccy, z' = olz, t' = [i(t-vx/r[\ F7.4)
где коэффициенты а, у, ц, г| могут зависеть лишь от v2, поскольку
при изменении направления осей X и X' на обратное и одновременном
обращении знака скорости v преобразование F7.4) не должно
меняться, как это следует из изотропности пространства.
Нетрудно понять, что эти рассуждения эквивалентны утверждению, что г' —
полярный вектор, a t'—скаляр, линейно зависящие от t и г. В самом деле, г'
может быть только линейной комбинацией векторов г, v(rv) и \t, a t'—комбинацией
скаляров t и (vr):
r' = ar-fPv(rv)-yvf, r' = jir-fe(rv), F7.5)
где а, р, у, ji, s, как скаляры, могут зависеть лишь от v2. Далее, поскольку
в системе Ъ система И! движется со скоростью v, то г'=0 эквивалентно r=vt. Но
тогда из F7.5) следует, что a-fpi;2 —у = 0, и F7.5) принимает вид
r' = ar-f(y-a)v(rv)/i;2-Yvr, /' = jif-fe(rv), F7.6)
что эквивалентно F7.4), если считать ось X параллельной v.
221

Ki,
I t
О' X X'
0' X X'
z
Рис. 67.1
3. Воспользуемся принципом относительности и рассмотрим об-
обратный переход—от системы Е' к системе Е. Вследствие равноправия
систем отсчета Е и Е' этот переход описывается теми же формулами
F7.4), но с заменой v на — v (рис. 67.1):
x=y(x'+vt'), y=uy\ z=olz\ t = ii(t' + vx'/if]). F7.7)
Подставляя F7.4) в F7.7), находим:
x=y\y(x—vt)+v[it—[iv2x/if]], у=и2у,
z = oc2z, t=[i2t — \i2vx/r\ + [ivy(x—vt)/r\.
Так как полученные соотношения должны выполняться тождест-
тождественно, то функции а, у, ц, г| оказываются связанными между собой:
а2 = 1, y(y-\w2/r\)=l,
Отсюда сразу находим, что <х= + 1. Однако случай а= —1
соответствует преобразованию у'=—у9 z'=—z; мы же предполагали
направления осей координат в S и 2' одинаковыми. Поэтому
остается единственный выбор
Далее, поскольку v
ос=1.
и у^О (иначе х'=0), то
F7.8)
Ц = У, у2=A-172/л)- F7.9)
В результате преобразование F7.4) принимает вид
x'=y(x-vt\ y'=y, z' = z, tf=y(t-vxlr]l F7.10)
где y2=(l-i;2/r|)~1.
Итак, нам осталось определить только одну неизвестную функцию
T[(v2). Для этого воспользуемся еще раз принципом относительности
и рассмотрим новую инерциальную систему отсчета Е", движущуюся
относительно 1/ вдоль оси X' со скоростью v'. По принципу
относительности преобразование от системы S к системе YJ' также
должно иметь вид F7.10) с некоторой новой скоростью v и новыми
значениями у=у(£2), f\ = r\(v2):
222

X"=y(x-vt), y"=y, z"=z, r = y(t-vxlT\). F7.11)
мое преобразование можно
2 к Е', а затем от Е' к
x"=yY[x-vt-v'(t-vxlr\)\9
Однако то же самое преобразование можно получить, совершив
сначала переход от 2 к Е', а затем от Е' к Е"*. При этом
F7.12)
Сравнив F7.11) и F7.12) и, в частности, коэффициенты при
х в выражении для х" и коэффициенты при t в выражении для
t", найдем
Отсюда следует, что
г|/ = г| = const, F7.13)
т. е. г| не зависит от v. Таким образом, согласно F7.9) и F7.13),
7 есть функция v2 и фундаментальной постоянной г|:
У=±A-!>2/лГ1/2.
Однако решение, отвечающее отрицательным у, следует отбросить,
так как при v=0 должно получаться тождественное преобразование,
т.е. 7@)= 1. Окончательно
у=A-и2/л)~1/2. F7.14)
4. Для определения постоянной г| воспользуемся постулатом
постоянства скорости света. Рассмотрим плоскую световую волну,
распространяющуюся вдоль оси X. Уравнение волнового фронта
этой волны в системе отсчета 2 имеет вид
x-ct = 0. F7.15)
Однако в системе Е', согласно постулату о постоянстве скорости
света, уравнение волнового фронта должно выглядеть точно так же:
*'-tf' = 0. F7.16)
Преобразуя левую часть F7.16) с помощью F7.10) и учитывая
F7.15), находим
Так как v^O и 7^0, то
ц = с2. F7.17)
В итоге преобразования Лоренца, выведенные на основании
постулатов Эйнштейна, принимают вид
* Это является выражением группового характера разыскиваемых преоб-
преобразований.
223

U /* , z^. F7.18)
J\-v2jc2 J\-v2jc2
Обратные преобразования получаются заменой v на — v:
x' + vt' , , , t' + vx'fc2 ,£П 1ПЛ
x = , v = v, z = z\ t= —. F7.19)
J\2/2 Vl2/2
С помощью F7.6) нетрудно получить преобразования Лоренца
и в общем случае, когда скорость v имеет произвольное направление.
Тогда в векторной записи имеем
r' = r-YW + (Y-l)(rv)v/i;2, *'=у[)-(гу)/с2], F7.20)
где y = (l-i,2/c2)~1/2.
Итак, нами получены преобразования координат и времени,
осуществляющие переход от одной инерциальной системы отсчета
к другой. В этих преобразованиях в концентрированной форме
и содержатся новые представления о пространстве и времени,
вытекающие из принципа относительности, распространенного на
все физические явления, включая электродинамические.
Задача 67.1. Убедиться в инвариантности оператора Даламбера □ относительно
преобразований Лоренца [установить на основании этого ковариантность волнового
уравнения □ \|/ = 0 и уравнения Клейна—Гордона (П — га 2) \|/ = 0 (m = const) для
скалярного поля \|/]. Показать, что уравнения механики Ньютона нековариантны
относительно преобразований Лоренца.
§ 68. ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
Рассмотрим некоторые следствия преобразований Лоренца, выявляющие
то новое, что они вносят в представления о пространстве и времени.
Предельный случай медленных движений (г<сс). В механике
макроскопических тел, имеющей дело со скоростями, гораздо
меньшими скорости света, хорошо подтверждается принцип от-
относительности, основанный на преобразованиях Галилея. Поэтому
в пределе медленных движений преобразования Лоренца должны
сводиться к преобразованиям Галилея. Однако если считать v/c-^0,
т. е. у->1, то преобразования F7.18) принимают вид
x' = x-vt, у'=у, z' = z, t' = t-vx/c2. F8.1)
Как видно, они отличаются от преобразований Галилея тем,
что вместо абсолютного времени t' = t вводится местное время
Лоренца t' = tMGCT = t—vx/c2. Однако для реальных физических задач
пространственные координаты можно считать ограниченными. По-
Поэтому, исключая бесконечно удаленные точки, т. е. полагая vx<:c2t,
убеждаемся, что преобразования F8.1) в самом деле переходят
в преобразования Галилея.
Таким образом, новая теория пространства-времени, основанная
на преобразованиях Лоренца, удовлетворяет принципу соответствия,
224

переходя в пределе медленных движений в старую теорию Ньютона—
Галилея. Выполнение принципа соответствия является необходимым
условием, предъявляемым ко всякой новой теории, поскольку старая,
хорошо проверенная теория обязательно должна содержаться в новой
в качестве предельного случая, т. е. при изменении входящих
в теорию параметров в некоторой ограниченной области.
Преобразования Лоренца теряют физический смысл при v>c.
В самом деле, в этом случае у = A— v2/c2)~1/2 становится мнимой
величиной, а вместе с ней мнимыми оказываются и новые координаты
х' и время t'. Но результаты любых измерений пространства
и времени выражаются в действительных числах, поэтому физический
смысл имеют лишь действительные координаты и время. Следо-
Следовательно, системы отсчета, движущиеся со скоростью, превышающей
скорость света в вакууме, не имеют физического смысла и должны
быть изъяты из рассмотрения. Вместе с тем преобразования,
осуществляющие переход к таким системам и рассматриваемые
формально математически, безусловно могут оказаться полезными
при решении некоторых задач.
Задача 68.1. Рассмотреть комплексное преобразование Лоренца вида
x'=y(x-vt), y' = iy, z' = iz, t' = y(t-vxlc2),
где 7= [(v2jc2) —1]~1/2, v>c, и убедиться, что относительно этого преобразования
остается инвариантным уравнение Даламбера, но не уравнение Клейна—Гордона*.
Относительность одновременности. Ранее, анализируя распрост-
распространение световой волны в двух инерциальных системах отсчета
Е и X', находящихся в относительном движении, мы пришли
к выводу, что постулаты Эйнштейна непротиворечивы только при
допущении относительности одновременности пространственно-разоб-
пространственно-разобщенных событий. Убедимся теперь в этом с помощью преобразований
Лоренца. При этом для упрощения картины вообще не будем
рассматривать координаты у и z.
Пусть в неподвижной системе отсчета £ зафиксированы два
пространственно-разобщенных события GЬ хх) и G2, х2\ х2фхх.
Посмотрим, как будут выглядеть эти события в системе Е',
движущейся со скоростью v. Применяя преобразования Лоренца,
имеем
Допустим, что в системе Е события одновременны, т. е.
t2 = tv F8.3)
* О более общих преобразованиях, оставляющих инвариантным волновое
уравнение, см. в кн.: Бейтмен Г. Математическая теория распространения
электромагнитных волн. М., 1958. § 13, 51. В связи с преобразованием в задаче
68.1 см. кн.: «Tachyons, Monopoles, and Related Topics» ed by E Recami,
Amsterdam, 1978.
8 Зак 378 225

Тогда в системе Е', согласно F8.2), справедливы соотношения
ti-t[=-{x2-x1)vy/c\ х'2-х[ = у{х2-х1\ F8.4)
откуда
*2-'J=-(*2-*iWc2#O. F8.5)
Таким образом, события, одновременные в системе 2, становятся
неодновременными в системе Е', т. е. одновременность пространст-
пространственно разобщенных событий относительна*. Это обстоятельство
является тем существенно новым, что вносится преобразованиями
Лоренца в наши представления о пространстве-времени.
В самом деле, в классической механике Ньютона, основанной
на принципе относительности Галилея, время считалось абсолютным
и признавалась лишь пространственная относительность, т. е. от-
относительность одноместности событий, разделенных во времени.
Так, если в системе Е события (/ь xx) и (/2, х2) происходят
в одной точке (xi=x2) и в разные моменты времени (ti^t2), то
в системе Е', согласно преобразованиям Галилея, они будут разделены
отрезком х2—x[ = v(t1 —12)^0. Что же касается одновременности
событий, то она считалась абсолютной: t2' — t{ = t2 — t1.
Чтобы нагляднее представить себе относительность одновремен-
одновременности, рассмотрим ее проявление на конкретной модели. Допустим,
что в системе Е' одновременно вспыхнули расставленные вдоль
оси X' лампочки. Тогда в системе Е вспышки не будут одновремен-
одновременными и лампочки зажигаются последовательно одна за другой,
причем фронт вспышек, согласно F8.2), перемещается со скоростью
u = (x2-x1)/(t2-t1) = c2/v.
Эта скорость связана с относительной скоростью v систем 1иГ
соотношением
uv = c\ F8.6)
использованным в свое время Луи де Бройлем для описания «волн
материи». Де Бройль предположил, что со всякой неподвижной
частицей массы т0 связан некоторый периодический процесс частоты
щ = тос2/Ь, где 2nh = h—постоянная Планка. Иначе говоря, он
постулировал существование волнового поля
изменяющегося по гармоническому закону одновременно во всех
точках пространства. Если же частица движется со скоростью v,
* Время t'2 — t[ можно назвать, по предложению О. С. Иваницкой, временем
десинхронизации, так как события, синхронизированные в одной системе отсчета,
десинхронизируются в другой. Это время является количественным выражением
относительности одновременности. Отметим, что эффект десинхронизации имеет
первый порядок по v/c и вытекает уже из приближенных преобразований F8.1).
226

то, считая поле \|/ скалярным, найдем, что (thxt) сигнал (tz,x2)
в системе Е', связанной с частицей, поле де • ~^
Бройля имеет вид Рис
а в системе Е, согласно преобразованиям Лоренца,
где u = c2/v, co = cOoY, Y = Q~v2jc2)~m.
Таким образом, с каждой движущейся со скоростью v частицей
связано поле де Бройля в виде плоской волны, распространяющейся
в пространстве с фазовой скоростью и, определяемой соотношением F8.6).
Ограниченность скорости распространения сигнала. Формулы F8.2)
позволяют также сделать вывод о том, что скорость любого сигнала,
т. е. возмущения, переносящего информацию, не может превышать
скорость света с. В самом деле, пусть сигнал, посылаемый из
точки Xi в момент времени /ь принимается в точке х2 в момент
времени t2 (рис. 68.1). Очевидно, что момент испускания сигнала
предшествует моменту его приема, т. е. /х < t2, а скорость распрост-
распространения сигнала равна
В то же время в движущейся системе отсчета Е' [см. F8.2) и F8.7)]
faMwJc2). F8.8)
Так как для всех реальных систем отсчета v<c, то при vc<c
всегда vvc<c2 и поэтому из F8.8) t[<t2, т.е. последовательность
моментов испускания сигнала и его приема сохраняется неизменной
во всех реальных инерциальных системах отсчета.
Однако если vc>c, то найдутся системы отсчета, удовлетворяющие
условию
для которых vvc>c2, поэтому t2<t[. Но такое изменение последо-
последовательности моментов испускания и поглощения сигнала в зависи-
зависимости от выбора системы отсчета (всегда произвольного) несов-
несовместимо с принципом причинности, по крайней мере в той форме,
в какой он выполняется для всех макроскопических процессов.
Согласно этому принципу, всякая информация сначала посылается
(причина), а затем принимается (следствие), менять причины и след-
следствия местами невозможно.
Итак, принимая принцип причинности, мы вынуждены признать,
что скорость передачи информации не может превышать скорость
света с. Однако этот вывод не следует переносить на все без
исключения физические процессы, поскольку не все процессы можно
8* 227

превратить в сигналы, т. е. использовать для передачи информации.
Примером таких процессов могут быть, скажем, волны де Бройля,
распространяющиеся с фазовой скоростью, превышающей скорость
света. Это связано с тем, что бесконечная монохроматическая волна
не несет никакой информации и поэтому не может быть сигналом.
Передать информацию можно лишь с помощью группы волн,
центр которой распространяется с групповой скоростью F1.36).
В частности, для волн де Бройля, как можно показать, групповая
скорость совпадает со скоростью v частицы, ассоциируемой с этой
волной, и связана с фазовой скоростью и волны соотношением
F8.6). При этом и>с, так как v<c и предполагается, что с частицей
всегда можно связать систему отсчета.
Допустимо существование и реальных частиц, движущихся со скоростью, большей
скорости света, если отказаться от обычно подразумеваемой независимости процессов
их испускания и поглощения. Для обычных, досветовых, частиц (и<с) процесс
испускания (эмиссии) во всех возможных системах отсчета предшествует процессу
поглощения (абсорбции). Для сверхсветовых же частиц (и>с) последовательность
процессов эмиссии и абсорбции зависит от выбора системы отсчета [см. F8.8)],
т. е. произвольна. Таким образом, если допустить, что сверхсветовая частица,
испущенная в точке х1 эмиттером Е, поглощается в точке х2 регистрирующим
прибором—абсорбером Л, то в некоторой другой возможной системе отсчета
процесс абсорбции в точке х'2 предшествует процессу эмиссии в точке jci. Тем
самым нарушается макроскопическая причинность, гак как следствие (регистрация
частицы) предшествует причине (испусканию частицы). Если же для сверхсветовых
частиц не противопоставлять процессы поглощения и испускания, а рассматривать
их как единый процесс эмиссии—абсорбции, или абсорбции — эмиссии, т.е. не
считать возможной регистрацию лишь одного процесса поглощения частицы,
а полагать осуществимой только регистрацию всего процесса сразу в обеих точках
*! и х2, то противоречия с принципом причинности не возникнет.
Таким образом, теории относительности не противоречит допущение о сущест-
существовании точечных объектов, движущихся со сверхсветовой скоростью, испускаемых
и поглощаемых обычными частицами в различных пространственных точках. Однако
последовательность процессов эмиссии и абсорбции для этих объектов относительна,
т. е. зависит от выбора системы отсчета. Такие гипотетические сверхсветовые частицы
(тахионы) представляются в одной системе отсчета движущимися от точки хх к точке
х2, а в другой—от х2 к хх. Подробнее о свойствах тахионов будет сказано в § 96.
Помимо эффекта десинхронизации имеется еще два кинематичес-
кинематических эффекта теории относительности (уже второго порядка), наиболее
поражающие воображение: это эффекты сокращения движущихся
масштабов и замедления хода движущихся часов.
§ 69. ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
Пусть некоторое тело движется относительно неподвижной системы
отсчета Е со скоростью v. Свяжем с ним подвижную систему
отсчета Е' и допустим, что сравнением с эталонными масштабами,
установленными в той же системе, найдено, что длина тела равна
/о*. Под длиной же движущегося тела следует, очевидно, понимать
* Длину /0 обычно называют собственной длиной тела.
228

У,
Чг
г
у,
--—#
i
iff
z'
О' X
ttl.x,')
tt,.x,l (tt4,,xt)
X'
Рис. 69.2
расстояние между положениями его концов, зарегистрированными
в неподвижной системе отсчета в один и тот же момент времени.
Одновременность измерения положений концов тела является сущест-
существенно необходимым условием опыта. Нарушение эгого условия
привело бы к тому, что измеренная длина могла бы оказаться
какой угодно, в том числе даже отрицательной.
Если концы тела расположены в плоскости, перпендикулярной
вектору скорости v (рис. 69.1), то измерение его длины в обеих
системах 2 и 2' даст одно и то же значение /0, поскольку [см.
F7.18)] у'=у и z' — z. Выбор момента измерения тоже никак не
сказывается на измеряемой длине, так как подстановка x2 = *i
и t2 = h в F8.2) дает *2 = *ь т-е- регистрация положений концов
тела производится одновременно как в системе Е, так и в системе Е'.
Однако картина существенно изменится, если тело будет вытянуто
вдоль оси X, т. е. вдоль направления движения (рис. 69.2). Если
в системе Е моменты регистрации положений концов тела совпадают
(h — h), T0 из-за относительности одновременности пространственно
разобщенных событий в системе Е' эти моменты уже не совпадают,
поэтому результат измерения длины отличается от /0, так как
/0 может получиться только при условии t[ = t2-
С точки зрения наблюдателя в системе 2 длина тела,
очевидно, равна
1=х2-х1 F9.1)
при условии t2 = tl. Так как х2 —xi=/0, то [см. F8.2)] имеем
I () = yh откуда
j2 F9.2)
l=lojl-v2/c2.
Таким образом, движущееся тело сокращается в направлении
своего движения. Формула сокращения F9.2) имеет такой же вид,
как и формула Фицджеральда F4.1), но входящая в нее скорость
v является уже не скоростью тела относительно эфира, как в F4.1),
а относительной скоростью систем отсчета Е и 1!. Поэтому
229

в отличие от формулы сокращения
^^ Фицджеральда соотношение F9.2)
В имеет относительный, обратимый
характер.
Рис. 69.3 Действительно, если связать
с телом систему Е, а длину его измерять в системе Е', то надо
считать 10 = х2—х1 и
l=xr2-x'u t'2 = t[. F9.3)
Теперь уже для нахождения связи между / и /0 нужно использовать
не формулы F8.4), а аналогичные соотношения, вытекающие из
обратных преобразований Лоренца F7.19):
F9.4)
Полагая, согласно F9.3), в первой из этих формул t2 = t[,
получаем х2—Хх=у(х2 —х'Д т- е- опять l=lOys/l—v2/c2.
Таким образом, при измерении длины движущегося тела всегда
обнаруживается его сокращение. В то же время по формуле
Фицджеральда F4.1) тело сокращается лишь в том случае, когда
оно наблюдается из системы отсчета, связанной с неподвижным
эфиром; если же тело покоится относительно эфира, то из движущейся
системы отсчета оно должно представляться удлиненным. Итак,
в эфирной теории эффект сокращения абсолютен, тогда как в теории
относительности он относителен и обусловлен относительностью
одновременности пространственно-разобщенных событий.
Задача 69.1. Стержень собственной длины /0 движется вдоль оси X неподвижной
системы отсчета £ со скоростью и. Каким будет результат измерения его
длины Г в системе Е', движущейся относительно Е со скоростью vl
Задача 69.2. Стержень А В собственной длины /0 скользит со скоростью v вдоль
стенки, имеющей отверстие той же ширины /0 (рис. 69.3). В тот момент,
когда стержень поравнялся с отверстием, он получает извне некоторый импульс
по направлению к стенке и проходит через отверстие. Как будет выглядеть
этот процесс в системе отсчета Ъ', движущейся вдоль стенки со скоростью v*l
Задача 69.3. Два электрона помещены в постоянное электрическое поле Е плоского
конденсатора. В момент времени / = 0 электроны неподвижны и расстояние
между ними равно I. Каково расстояние между электронами в момент, когда
они приобретут скорость vl
§ 70. ИЗМЕНЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ
Для измерения хода часов С, движущихся со скоростью v относительно
неподвижной системы отсчета 2, свяжем с ними систему отсчета Е'
и сравним их показания с показаниями синхронизованных часов С\ и С2,
помещенных соответственно в точках хх и х2 системы 2. Сравнение
будем производить в те моменты, когда часы С проходят через данные
* Стержень считать безынерционным и неупругим.
230

точки (рис. 70.1). Пусть в эти
моменты показания часов
Сх и С2 равны соответствен-
соответственно ti и гъ а показания часов
С —1[ и t2. Вводя соответ-
соответствующие промежутки вре-
времени* X0 = t2-t[ HT = t2-t1
и замечая, что в системе Е'
положение часов С не изме-
изменяется, т. е. х2 = х[, из F9.4)
выводам t2-1\ = Y(t2-1[),
или
T=-
G0.1)
Рис. 70.1
Таким образом, проме-
промежуток времени, отмечаемый движущимися часами, оказывается
меньшим, т. е. ход часов замедляется. Это означает, что в непо-
неподвижной системе отсчета все процессы в движущихся объектах
протекают замедленно. Вследствие равноправия систем I и Г этот
эффект должен быть обратимым, т. е. не только ход часов С
замедляется по отношению к ходу часов С системы Е, но и,
наоборот, наблюдение в системе Е' должно показать замедление
хода часов С по отношению к ходу часов С". Непротиворечивость
этого утверждения можно пояснить следующим образом.
При измерении хода часов С системы Е из движущейся системы
Е' мы должны иметь в Е' двое часов С[ и Съ расположенных
в некоторых точках х\ и х'ъ и сравнивать их показания с показаниями
часов С в те моменты, когда положения последних суть
х[ и х2 (рис. 70.2). Так как эта процедура не отличается от
предыдущей, проделанной в системе 2, то не удивительно, что
получается тот же результат, что и в G0.1). Как видно, все вновь
сводится к относительности одновременности пространственно-разоб-
пространственно-разобщенных событий: совпадающие показания часов С[ и С2 не будут
таковыми в системе Е, и, наоборот, совпадающие показания часов
Сх и С2 оказываются различными в движущейся системе отсчета
Е'. Обратимый характер соотношения G0.1) наглядно иллюстрируется
следующими задачами.
Задача 70.1. Часы движутся вдоль оси X системы Е со скоростью и. Каков
их ход при измерении в системе Е', движущейся относительно X со скоростью vl
Задача 70.2. Выберем в качестве модели часов цилиндрическую полость высоты
I с отражающими стенками, между которыми циркулирует световой импульс.
Период колебаний для этих часов, очевидно, равен т = 2//'с. Показать, что если
часы движутся со скоростью v (рис. 70.3), то период колебаний вследствие
изменения формы полости станет равным х' = у21/с.
* т0 обычно называется собственным временем подвижной системы отсчета.
231

Рис 70 2
Рис 70 3
Как мы убедились, эффект замедления хода движущихся часов
можно получить из эффекта сокращения движущихся масштабов,
и поэтому относительный, обратимый характер обоих эффектов
обусловлен одной и той же причиной—относительностью одновре-
одновременности пространственно разобщенных событий.
Формула G0.1) впервые была экспериментально проверена при
исследовании космического излучения. В верхних слоях атмосферы
оно представляет собой в основном быстрые протоны. При их
торможении происходит интенсивное рождение более легких заряжен-
заряженных частиц, в частности электронов е~, позитронов е+ и [i+-мезонов
(мюонов). Последние нестабильны и распадаются по закону
переходя в пару нейтрино-антинейтрино w и электрон (позитрон). Период
полураспада для медленных мюонов составляет примерно т0 = 2,2 • КГ6 с.
За это время мюоны, даже если бы они двигались со скоростью света,
сумели бы проникнуть в атмосферу лишь на глубину /=сто~0,66 км, т. е.
не достигли бы поверхности Земли. На самом же деле интенсивный поток
быстрых мюонов обнаруживается и вблизи Земли, что говорит об
увеличении времени жизни быстрых мюонов по сравнению с медленными.
Замедление времени, выражаемое формулой G0.1), повседневно
проверяется при измерениях времен жизни нестабильных элементар-
элементарных частиц, порождаемых в экспериментах с высокоэнергичными
частицами, получаемыми на ускорителях.
§ 71. ПАРАДОКС ЧАСОВ
В § 70 мы установили, что эффект замедления хода часов, равномерно
движущихся относительно системы отсчета наблюдателя, сам по
себе еще не является парадоксальным, так как объясняется от-
относительностью одновременности пространственно разобщенных со-
232

бытии. Однако забвение этого об-
обстоятельства или слишком вольное
с ним обращение иногда приводят
к противоречию, обычно форму-
формулируемому в виде парадокса часов,
или парадокса близнецов. Суть его
состоит в следующем.
Пусть имеется двое часов
А и В, причем с часами А связана Рис 71 *
инерциальная система отсчета Е, считающаяся неподвижной. Часы
В первоначально находились вместе с часами А, но затем были
отнесены от них на достаточно большое расстояние / и вновь
возвращены к часам А. Для простоты допустим, что часы В удалялись
и возвращались с одной и той же постоянной скоростью v, а время,
в течение которого их скорость изменялась, мало по сравнению
с 2l/v (рис. 71.1).
В этом приближении время путешествия часов 5, измеренное
часами А, очевидно, равно
z = 7J/v. G1.1)
Между тем часы В [см. G0.1)] отсчитают время
Tq — XII—V /6 1, у/ Y.L)
если считать, что испытываемое ими ускорение мало и почти не
влияет на их ход. Следовательно, по возвращении из путешествия
показания часов В будут меньше показаний часов А на
А 2/Л \ V\
Дт = т-то=- 1- 1-~2 . G1.3)
Л V с2)
Если расстояние / достаточно велико, то это время может быть
весьма значительным даже при движении с нерелятивистской ско-
скоростью v<:c. Действительно, в этом случае
Axxlv/c2. G1.4)
Парадокс возникает, если в соответствии с принципом от-
относительности повторить рассуждения, принимая неподвижными не
часы А, а часы В. Тогда представляется, что на то же самое
время Дт показания часов А должны быть меньше показаний часов
В. Но в действительности отстать должны лишь вполне определенные
часы, поскольку в конце эксперимента часы А и В оказываются
в одной точке и связь их показаний является реальным фактом,
не зависящим от процедуры измерения.
Если меньшими оказались показания часов В, то это означает,
что в системе Е', связанной с ними, все процессы, в том числе
и биологические, шли замедленно. Поэтому если одного из двух
233

близнецов поместить в систему
Е, а другого — в Е', то второй
близнец вернется из путешествия
более молодым, чем первый. Од-
Однако при выборе в качестве ис-
исходной системы Е' более моло-
Рис. 71.2 дым должен оказаться именно
первый близнец.
Парадокс разрешается тем, что в действительности системы
2 и 2' неравноправны, так как система Е' неинерциальна
вследствие изменения скорости часов В. Поэтому при описании
эксперимента в системе Е' нельзя уже использовать формулу
G0.1), выведенную в предположении инерциальности системы
отсчета наблюдателя. При торможении часов В, очевидно, должна
быть по-новому произведена синхронизация часов в системе Е'
и возникшее таким образом рассогласование приведет к замед-
замедлению хода часов В по сравнению с часами А.
Чтобы в этом убедиться, установим в системе Е' часы В и В'
на расстоянии /^/l— v2/c2 (именно на такое расстояние в системе
S' должны удалиться часы А), показания которых мы будем
сравнивать с показаниями часов А. Вследствие симметрии
процесса рассмотрим только первую его половину, когда часы
удаляются друг от друга и тормозятся (рис. 71.2). Пока система
Е' движется с постоянной скоростью v и является инерциальнои,
показания часов В и В', измеренные в системе Е, должны
различаться на At, определяемое формулой F9.4):
At = yl(l-v2/c2y/2v/c2 = lv/c2. G1.5)
Именно это рассогласование и должно быть учтено при
торможении системы Е'. В самом деле, в момент торможения
часы В\ очевидно, должны показывать время xf0 = (l/v)-s/l—v2/c2,
тогда как часы А, совмещенные с ними, в соответствии
с формулой G0.1) должны были бы показывать время
x' = {ljv){\ — v2jc2). Однако, как мы уже выяснили, при торможении
системы Е' пользоваться этой формулой нельзя, так как син-
синхронизацию часов В и В' необходимо произвести по-новому.
Поэтому истинное показание часов А в момент торможения
отличается от т' именно на величину рассогласования G1.5)
и равно
x' + At = l/v. G1.6)
Отсюда легко вывести, что разность показаний часов
А и В с учетом второй половины процесса вновь описывается
формулой G1.3). Этот эффект был подтвержден прямыми опы-
опытами, в которых сравнивались показания цезиевых часов, нахо-
234

дившихся на реактивном самолете, облетевшем вокруг Земли,
и таких же часов, остававшихся на Земле*.
§ 72. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
Пространство и время всегда выступают неизменными спутниками
при описании физических процессов. Поэтому мысль об их
объединении в единое четырехмерное многообразие возникла
довольно давно. Еще в 1764 г. Ж. А. Даламбер писал об этом в своей
статье «Размерность» во французской энциклопедии. Однако
геометрическое описание такого многообразия во времена Даламбе-
ра выглядело бы очень искусственно, так как при своем физическом
обосновании оно могло опираться только на классическую механику
и лежащий в ее основе принцип относительности Галилея. Замечая,
что относительно преобразований Галилея остаются инвариантными
как расстояние между двумя точками 7? = | г2 — гх |, так и промежуток
времени между двумя событиями Т= t2 — tuB качестве «расстояния»
между двумя пространственно-временными точками (tl9 г^и^, г2)
можно было бы взять некоторую положительную функцию R и Т.
В частности, выбор «расстояния» в виде
2 2I/2, G2.1)
где а — некоторая постоянная с размерностью скорости, отвечал
бы эвклидову варианту геометрии пространства-времени. Физичес-
Физический смысл постоянной а в этой схеме остается неясным, что
и подтверждает ее искусственность.
Совершенно в ином свете предстает эта проблема, если привлечь
принцип относительности Эйнштейна. Оказывается, что, хотя
величины R и Т изменяются при преобразованиях Лоренца, из них
единственным образом строится инвариантная квадратичная форма
52 = с2Г2-Л2 = с2(г2-/1J-|г2-г1|2. G2.2)
Задача 72.1. Убедишься в инвариантности квадратичной формы G2.2) при
преобразованиях Лоренца.
Опираясь на этот факт, известный геометр Г. Минковский
построил новую геометрию пространства-времени. Так, в своей
статье 1907 г. и в выступлении 1908 г. в Кельне на собрании
немецких естествоиспытателей и врачей**, он предложил в качест-
качестве «расстояния» между двумя пространственно-временными точ-
точками взять величину
з = [с2A2-AJ-\г2-Г1\2у12, G2.3)
* Hafele J. С, Keating R. E. Around-the-World Atomic Clocks: Observed
Relativistic Time Gains—Science, 1972, v. 177, №4044, p. 168.
** См.: Минковский Г. Пространство и время.— В сб.: Принцип относитель-
относительности. М., 1973. С. 167.
235

получившую название интервала. Так как фундаментальная форма
G2.2) является знакопеременной, то геометрия Минковского
существенно отличается от четырехмерной эвклидовой геометрии
и, чтобы отметить это различие, часто называется псевдоэвк-
псевдоэвклидовой.
По терминологии Минковского, пространственно-временное
многообразие, т. е. совокупность всех возможных значений х,
у, z, t, называется миром, а отдельное событие, происходящее
в пространственной точке х, у, z в момент времени t, — мировой
точкой. Множество мировых точек, изображающее движение
отдельной материальной точки, называется мировой линией этой
точки.
В геометрии Минковского интервал s, связывающий два
события, т. е. две мировые точки, может быть действительной
или мнимой величиной в зависимости от знака квадратичной
формы G2.2). В связи с этим выделим следующие качественно
различные интервалы:
1) времениподобный (s2>0);
2) пространственноподобный (s2<0);
3) нулевой (s2 = 0).
Происхождение этих названий связано с тем, что вследствие
инвариантности интервала при преобразованиях Лоренца суще-
существует такая система отсчета, в которой при s2>0 оказывается
R = 0 и s = cT, т. е. длина интервала измеряется при помощи
часов. Аналогично, при s2<0 существует такая система отсчета,
в которой Т=0, но ЯФО, т. е. длина интервала измеряется
масштабной линейкой.
События, разделенные пространственноподобным интервалом,
очевидно, не могут быть связаны причинно. В самом деле, если
в некоторой системе отсчета Г=0, но 7?#0, то сигнал, связы-
связывающий эти два события, должен был бы распространяться
с бесконечной скоростью, что невозможно (см. § 68).
Если события разделены времениподобным интервалом, то
они могут быть связаны причинно. Это позволяет ввести порядок
следования событий, остающийся неизменным в любой системе
отсчета, несмотря на относительность одновременности.
Выясним теперь, что представляют собой в геометрии Мин-
Минковского преобразования Лоренца. Вводя обозначения
x° = ct4 xx=x, x2=y, x3 = z G2.4)
и полагая
tVc=P = th\|/, G2.5)
запишем преобразования Лоренца, отвечающие движению систе-
системы отсчета вдоль оси X1, в виде
y° = ^°ch\|i-jc1sh\|/, xrl = -x°shy\f + xxchy\f, x'2=x2, x'3 = x\ G2.6)
236

где, очевидно,
chv|/ = Y = (l-p2)-1/2, shi|/ = py. G2.7)
Не рассматривая для простоты координаты х2 и х3, изобразим
преобразование G2.6) на обычной декартовой плоскости X , X1.
Плоскость Х°, X1, на которой расстояние между двумя точками
измеряется интервалом, называется плоскостью Минковского.
Очевидно, преобразования G2.6) представляют собой переход от
прямоугольной системы координат к косоугольной с допол-
дополнительным растяжением. Так как при таком переходе каждая
точка плоскости занимает некоторое положение на соответст-
соответствующей ей гиперболе
^-(x^const, G2.8)
то преобразования G2.6) иногда называют гиперболическим поворо-
поворотом. Так как ch \|/ = cos д|/ и sh v|/ = — / sin д|/, то гиперболический
поворот можно еще представить в виде поворота на мнимый
угол <х = п|/ в плоскости X4, X1, где x4eezx°:
x'4 = x4cosoc — x^inoc, x'1=x4sina + x1cosa. G2.9)
На плоскости Минковского могут быть наглядно проиллюст-
проиллюстрированы все следствия преобразований Лоренца. Но пред-
предварительно полезно выяснить некоторые особенности псевдоэв-
псевдоэвклидовой геометрии Минковского. Прежде всего отметим, что
роль окружностей на плоскости Минковского играют гиперболы
s2 = const, т.е. кривые вида
(x°-aJ-(x1-bJ=±d2,
с центром в точке (а, Ь) и с минимальным расстоянием до него d.
Задача 72.1. Показать, что во всяком треугольнике ABC на плоскости
Минковского, вершины которого соединены интервалами одного рода {либо
пространственноподобными, либо времениподобными), большая сторона превос-
превосходит сумму двух других. Например,
\АВ\>\ВС\ + \СА\. G2.10)
Изучим теперь свойства гиперболического поворота G2.6).
На плоскости Минковского Х°, X1 новые оси координат Х'°
и X'1 имеют вид прямых
причем биссектрисой угла между ними является прямая х^х1
(рис. 72.1). Пусть единичные отрезки \ОА\ и \ОВ\ изображают
соответственно масштабы измерения времени и длины в непо-
неподвижной системе отсчета 2. При гиперболическом повороте
точка А перейдет в точку С, лежащую на гиперболе
(х0J—(х1J^ 1, а точка В—в точку Z), лежащую на гиперболе
237

X1
(x0J— (x1J= — 1. Так как гиперболы
играют роль окружностей, то
\ОС\ = \ОА\ = 1 и \OD\ = \OB\ = l, т.е.
новыми масштабами (в движущейся
системе отсчета Е') будут единичные
отрезки \ОС\ и \OD\.
Задача 72.2. Показать, что хорды типа А А"
(рис. 72.1), проведенные параллельно оси X'1,
рассекаются осью Х'° пополам (аналогич-
(аналогичным свойством обладает, очевидно, и ось
X'1 по отношению к хордам гиперболы BD).
Из указанной теоремы, в частности, вы-
вытекает, что касательная к гиперболе в точке С параллельна оси X'1. Нетрудно
видеть, что эта теорема является псевдоэвклидовым вариантом известной теоремы
эвклидовой геометрии, гласящей, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит
ее пополам. В самом деле, гипербола АСА" играет в псевдоэвклидовой геометрии
роль окружности с центром в точке О, а ось Х'° является ее диаметром.
Следовательно, отрезки \АА"\ и \ОА'\ должны быть ортогональными в псев-
псевдоэвклидовом смысле. Это действительно так, поскольку их скалярное произ-
произведение [см. G2.6)] исчезает. Забегая несколько вперед, укажем, что псевдоэв-
клидово скалярное произведение двух векторов а = (а°, а1) и b = (b°, b1) на
плоскости Минковского Х°, Xх определяется следующим образом (см. § 73):
ис' '
) = a°b°-a1b1.
G2.11)
Рассмотрим теперь на плоскости Минковского эффекты со-
сокращения длин движущихся масштабов и замедления хода
движущихся часов. Начнем с измерения длин. Пусть единичный
масштаб \ОВ\ (рис. 72.1) неподвижен в системе 2, т. е. мировые
линии его концов суть прямые х1 =0 (ось Х°) и х1 = 1 (касательная
к гиперболе в точке В). При измерении длины этого масштаба
в системе X' мы сравниваем его с масштабом | OD \ в момент
х'° = 0 (ось X'1). Пересечение мировой линии хг = 1 и оси X'1
дает точку В'. Таким образом, измеренная длина есть \ОВ'\.
Подставляя в G2.6) х'° = 0, хг = 19 находим х'1 = \ОВ'\ = у~1
в соответствии с F9.5).
Чтобы убедиться в обратимости этого эффекта, рассмотрим
единичный масштаб \OD\ в системе £''. Мировые линии его
концов суть хг1=0 (ось Х'°) и хг1 = 1 (касательная к гиперболе
в точке D). При измерении длины этого масштаба в системе
2 мы сравниваем его с соответствующим масштабом | О В \
в момент х° = 0 (ось X1). Пересечение мировой линии х'1==1
и оси X1 дает точку D'. Подставляя в G2.6) xfl = \ и х° = 0,
получаем \ODf\ = y~l в соответствии с F9.2).
Перейдем теперь к измерению промежутков времени. Возьмем
часы в системе Е (мировая линия — ось Х°) и для измерения
их хода в системе YJ установим в последней еще двое часов
(мировые линии — прямая О'А и ось Х'°). Пересечение мировых
линий неподвижных и движущихся часов и определяет показание
неподвижных часов — отрезок времени \ОА\ = 1, который, очевид-
238

но, нужно сравнивать с отрезком \ОА'\—
О
показанием
| о А ' | = | О'А |
туда xfl=0
\ОА'\ = х'° = у
Если же
движущихся часов. Отрезок
найдем из G2.6), подставляя
и х°=1. При этом получим
в соответствии с G0.1).
имеются часы в системе Е'
(мировая линия — ось Х'°), то для измерения
их хода в системе Е установим в последней
двое часов (мировые линии — ось Х° и прямая
О"С). Пересечение указанных мировых линий
и определяет показание движущихся часов —
отрезок | ОС | = 1, который следует сравнить
с \ОС | —показанием неподвижных часов.
Отрезок \ОС\ найдем из G2.6), подставляя
туда л:'1 =0 и х'° = 1, что дает |0C'| = x° = Y,
как и должно быть.
На плоскости Минковского наглядно разъ-
Рис. 72.2
р
ясняется и парадокс часов. На рис. 72.2 изображены мировые
линии часов А {ОВ'В"А) и часов В {ОБА). Длины этих мировых
линий, деленные на скорость света, и определяют показания
часов А и В. Так как отрезки, образующие треугольник ОАВ,
времениподобны, то можно применить неравенство G2.10), из
которого выводим, что
\АО\>\АВ\ + \ВО\
G2.12)
т. е. часы В покажут меньшее время, чем часы А. В нашем
примере (рис. 72.2) \АО\ = 7, \АВ\ + \ОВ\ = 6, причем линии син-
синхронизации (одновременности) для часов А изображены штрих-
пунктиром, а для часов В — штрихом.
Так как неравенство G2.12) содержит лишь интервалы, т. е.
имеет инвариантный характер, то эффект отставания часов В от
часов А также инвариантен, т. е. должен наблюдаться в любой
инерциальной системе отсчета. Однако система Е', связанная
с часами В, неинерциальна, поэтому, строго говоря, парадокс
часов может быть разрешен только в результате распространения
понятия интервала на неинерциальные системы отсчета (неинер-
циальное движение тел), что достигается заменой G2.2) выраже-
выражением для бесконечно малого интервала ds = (c2dT2 — dR2I2.
Тем не менее на плоскости Минковского можно отчетливо
увидеть, как проявляется этот эффект неинерциальности. В самом
деле, на участке ОВ, где система Е' инерциальна, ход часов
А отстает от хода часов В, так как \ОВ'\<\ОВ\. Однако
в окрестности точки В, где скорость системы Е' изменяется,
происходит поворот линий синхронизации часов В на угол В'ВВ"
и при этом возникает поправка | В'В" \ в оценке показаний часов
А в системе Е'. Ее учет и позволяет разрешить парадокс, так
239

как, несмотря на дополнительное отставание хода часов А от
хода часов В на участке В А (| В" А \ < \ В А |), окончательный
результат определяется неравенством G2.12).
Здесь, пожалуй, уместно привести слова известного немецкого
физика-теоретика А. Зоммерфелъда, который в примечании к оче-
очередному изданию статьи Г. Минковского «Пространство и вре-
время»* писал: «Как отметил Минковский в одной из бесед со
мною, элемент собственного времени dx не есть полный диф-
дифференциал. Таким образом, если соединить две мировые точки
0 и Р двумя различными мировыми линиями 7 и 2, то
jdi^jdi. Если первая мировая линия проходит параллельно
1 2
оси t, вследствие чего первый переход в координатной системе,
положенной в основу, означает покой, то легко видеть, что
jdi = f, jdx<^ ... Для того чтобы можно было сравнивать
1 2
движущиеся часы с часами, покоящимися в мировой точке Р,
первые, конечно, должны быть ускорены (путем изменения
скоростей или направлений). Отставание движущихся часов указы-
указывает, следовательно, не столько на «движение», сколько на
«ускоренное движение». Поэтому здесь нет противоречия с при-
принципом относительности».
§ 73. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ
Преобразования Лоренца представляют собой действительные линей-
линейные преобразования координат х°, х1, х2, х3, сопоставляемых каж-
каждой точке четырехмерного пространственно-временного континуума:
*"* = t Av*v; H = 0, 1, 2, 3. G3.1)
у = 0
При этом матрица преобразования Л, называемая иногда
матрицей Лоренца, для перехода к системе отсчета, движущейся
вдоль оси X1, имеет вид
У
-ру
0
0
-Py
У
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
О 0 0 1
где Р = г/с, у = A — Р2)~1/2. Обратное же преобразование осущест-
осуществляется с помощью матрицы Л (Р) = Л(— Р). В дальнейшем
* Минковский Г. Пространство и время.— В сб.: Принцип относительности.
Л., 1935. С. 208—209.
240

для упрощения записи мы будем принимать правило суммирова-
суммирования Эйнштейна с условием, что латинские индексы /, j\ к, /,
... нумеруют пространственные координаты (компоненты) 1, 2,
3, а греческие ц, v, а, т, ...— пространственно-временные 0, 1, 2, 3.
Закон преобразования G3.1) можно положить в основу
четырехмерной классификации всех физических величин совер-
совершенно аналогично тому, как это было сделано в трехмерном
случае (см. приложение). Начнем с определения четырехмерного
вектора (сокращенно — 4-вектор). Именно: контравариантными
компонентами 4-вектора а назовем совокупность четырех величин
а0, а1, а2, я3, которые при преобразовании Лоренца изменяются
так же, как координаты хи, т. е. по закону
G3.3)
Контравариантными компонентами 4-тензора ранга п назовем
величины TVl-\ которые при преобразованиях Лоренца изменя-
изменяются так же, как произведения соответствующих компонент
4-векторов:
r^« = A^...A^rVl \ G3.4)
Используем теперь важную особенность физического простран-
пространства-времени, открытую Минковским и состоящую в том, что
геометрия пространственно-временного континуума является псев-
псевдоевклидовой. Согласно Минковскому, мерой расстояния между
двумя близкими точками х и x + dx является элементарный
интервал ds, квадрат которого равен
ds2 = (dx0J- (dx1J-(dx2J-(dx3J=giiydx^dx\ G3.5)
Здесь мы ввели псевдоевклидов четырехмерный метрический
тензор g^v, определяемый диагональной матрицей
||^v||=diag[l, -1, -1, -1] G3.6)
и, очевидно, совпадающий со своим обратным:
Задача 73.1. Показать, что метрический тензор G3.6) инвариантен при
преобразованиях Лоренца.
С помощью метрического тензора g^v можно ввести ковари-
антные компоненты 4-вектора а, полагая
a^ = g^a\ G3.7)
т.е. ао = а°, а{=—а{. Закон преобразования ковариантных ком-
компонент следует из инвариантности интервала относительно преоб-
преобразований Лоренца. Вводя соответствующую матрицу преоб-
преобразования Л
< = ЛХ, G3.8)
241

с учетом G3.7) имеем
ds2 = d^^ yjg
Отсюда
&Ж = К, G3.9)
т. е. ковариантные компоненты преобразуются с ^помощью
обратной транспонированной матрицы Лоренца Л=[Л~1]Т.
Из этого результата 'сразу же следует, что псевдоэвклидово
скалярное произведение двух 4-векторов а = (а°, а) и b = (b°, b),
определенное как
(ab) = a°b°- (пЬ) = а^ = а^ G3.10)
является инвариантным при преобразованиях Лоренца.
В зависимости от знака своего квадрата а2 = (аа) 4-вектор
а называется времениподобным (я2>0), пространственноподобным
(а2<0) или изотропным (а2 = 0).
Задача 73.2. Показать, что два ортогональных изотропных 4-вектора
параллельны, т. е. из a2 = b2 = (ab) = 0 следует, что яи = А,£и, где X — некоторый
скаляр.
По аналогии с G3.7) нетрудно определить ковариантные
компоненты тензора ранга п:
Т =2 2 TVl v- G3 11)
а также его смешанные компоненты:
т^1-и/ = р g TGi-Gmvi-vi G3 12)
Vj...Vm UVjC?! *•* 6VmOm Л •> y/^.lZ.J
где n = rn + l. Закон их преобразования очевиден:
Т' =AVi AV"T T^i-^i—X^i ACT-"AHi AhTTl"T/ Г73 \V\
1 Ц1 ■■£„ IV\it '" \n V!...vn? 1vl...vm l\t " vmJ'VT1 •*• VTt 1 at...Gm' У'^'1^)
Из структуры G3.6) метрического тензора g^v вытекает, что
при опускании или подъеме некоторого индекса v компонента
тензора не меняется, если v = 0, и меняет знак, если v = /=l, 2, 3.
Тензор ранга п^2 называется либо симметричным, либо
антисимметричным по некоторым индексам vr и vs, если при
их перестановке его компоненты не меняются либо соответственно
меняют знак, т. е.
rTvl.. vr.. vs. vn _. i 'T'Vi... vs... vr... vn
Задача 73.3. Показать, что при преобразованиях Лоренца свойство симметрии
или антисимметрии тензора сохраняется. Подсчитать число независимых
компонент симметричного тензора ранга п.
Имея два тензора М и N- рангов тип соответственно,
можно образовать новый тензор ранга т + п с компонентами
242

Эта операция называется внешним или тензорным умножением.
Ее можно дополнить операцией свертки, когда некоторые верхние
индексы полагаются равными соответствующим нижним индексам
и по ним производится суммирование:
1 v, ..vB s ~iKi iVv1...vB ,a, . as-
Очевидно, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на
2. В частности, свертка в тензоре второго ранга приводит
к скалярной величине, называемой шпуром или следом этого
тензора:
Построенная нами четырехмерная классификация физических
величин, т. е. представление их в виде компонент релятивистских
тензоров различных рангов*, не является, однако, полной,
поскольку мы ограничились собственными преобразованиями Ло-
Лоренца, представляющими собой лишь частный случай общих
преобразований Лоренца. Последние обычно определяются как
линейные преобразования вида G3.1), оставляющие инвариантной
фундаментальную квадратичную форму G3.5). Очевидно, что
общие преобразования Лоренца включают в себя помимо чистых
преобразований Лоренца типа G3.2) еще трехмерные повороты,
задаваемые ортогональными матрицами вида
| = detA=l,
а также отражения пространства и времени, для которых
соответственно
A=±diag[l, -1, -1, -l]=±||g,v||.
Задача 73.4. Вывести из инвариантности ds2, что |Л|= + 1 и
(Л8J=1+ £ (ЛЬJ>1. G3.14)
1=1
В связи с неравенством G3.14) общие преобразования Лоренца
разделяются на два класса:
а) ортохронные (Aq^I), сохраняющие направление времени;
б) антихронные (А§< —1), изменяющие направление времени
на обратное.
В большинстве физических рассмотрений обычно ограничива-
ограничиваются ортохронными преобразованиями Лоренца, которые в свою
очередь делятся на собственные преобразования Лоренца, от-
отвечающие | Л | = + 1, и несобственные преобразования Лоренца,
* При этом надо, конечно, иметь в виду, что многие физические величины,
например углы, не являясь сами компонентами релятивистских тензоров, тем
не менее представляются функциями от них.
243

выделенные условием | Л | = — 1 и включающие отражение про-
пространства.
Так как дважды повторенное пространственное отражение
эквивалентно тождественному преобразованию, т. е.
A2 = /=diag [1, 1, 1, 1 ], то поведение любой физической величины
при пространственном отражении допускает лишь две возмож-
возможности: либо она ведет себя при этом как соответствующая
компонента тензора, либо приобретает дополнительный знак
минус, преобразуясь как компонента псевдотензора [см. AП.9)].
При классификации физических величин относительно простран-
пространственных отражений полезную роль играет четырехмерный пол-
полностью антисимметричный псевдотензор Леви-Чивиты еЦУСТТ, ме-
меняющий знак при перестановке любых двух индексов и связанный
с трехмерным символом Леви-Чивиты гф условием
eOl'W*. G3.15)
Задача 73.5. Показать, что тензор еЦУСТТ инвариантен относительно ортох-
ронных преобразований Лоренца.
Если имеется некоторый несимметричный тензор не выше
четвертого ранга, то его можно свернуть с eMVCTT. Полученный
гаким путем новый псевдотензор называется дуальным исходному,
а сама операция — дуальным сопряжением. Так, скаляру ф,
вектору фц и антисимметричным тензорам фцу, фцуа, фИУат можно
сопоставить дуальные им псевдовеличины:
Важным примером дуального сопряжения является вычисление
объема 4-параллелепипеда Q(a, b, с, d), построенного на четырех
линейно независимых векторах а,
п(а,
с, d:
а0
Ь°
с0
d°
а
b
с
d
1
1
1
1
а2
Ь2
с2
d2
а3
Ъъ
с3
d3
G3.16)
§ 74. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Основные операции трехмерного векторного анализа легко рас-
распространяются и на четырехмерный случай. Так, четырехмерным
аналогом оператора Гамильтона V является оператор дифферен-
дифференцирования {^-градиент)
J_^M = (IA, V), G4.1)
дтц \с at )
244

который при преобразованиях Лоренца ведет себя как 4-вектор,
в чем можно легко убедиться*, рассмотрев дифференциал скаляр-
скалярной функции (см. задачу 67.1):
Очевидно, что величины Зцф являются ковариантными компонен-
компонентами 4-вектора. Векторные свойства 4-градиента сохраняются и в том
случае, когда он применяется к произвольному тензору. Объясняется
это тем, что матрица преобразований Л не зависит от координат:
Производя свертку в выражении д^Т^"\ получаем четырех-
четырехмерный аналог дивергенции
д^Т»" = ХУ1уТ". G4.2)
В результате этой операции возникает новый тензор, ранг
которого на единицу меньше. Так, в применении к вектору
получается скаляр (tL^^inv), а в применении к тензору второго
ранга —4-вектор {dJr^ = Bv).
С помощью 5Ц оператор Даламбера можно представить в виде
U = -d^=-g^d»dv. G4.3)
Четырехмерным аналогом ротора некоторого 4-вектора А яв-
является антисимметричный тензор
(. G4.4)
Перейдем теперь к некоторым интегральным теоремам в че-
четырехмерном случае. Прежде всего построим элементарный
4-объем dQ как объем 4-параллелепипеда с направляющими
4-векторами cdt, dx, dj, dz:
dO = - %^cAt »dxvdyadz\ G4.5)
Отсюда очевидна инвариантность 4-объема относительно соб-
собственных преобразований Лоренца. Если выбрать направляющие
векторы ортогональными, положив
cdt* = (dx°9 О, 0, 0); d^ = @, dx\ 0, 0);
d^ = @, 0, dx\ 0); dz^ = @, 0, 0, dx3),
то получим обычное выражение
dQ = dx°dx1dx2dx3. G4.6)
Задача 74.1. Убедиться в инвариантности 4-объема G4.6) при собственных
преобразованиях Лоренца Вывести отсюда инвариантность четырехмерной
Ъ-функции:
Ь(х) = Ь(х°Щх1)Ь(х2Щхъ). G4.7)
245

Соотношение G4.5) можно также переписать в виде
(Ю = сс1/Мац, G4.8)
введя направленный элемент гиперповерхности
da,= -8,vaTdxvdjCTdzT. G4.9)
Так как все физические величины (заряд, масса, энергия,
импульс и т. д.) получаются как интегралы по 3-объему от
соответствующих плотностей, то чаще всего приходится иметь
дело с пространственноподобными гиперповерхностями, для ко-
которых псевдовектор ёац является времениподобным, т. е.
ёацёац>0. В таком случае можно ввести инвариантный элемент
гиперповерхности (псевдоскаляр)
2 G4.10)
и записать da^ в виде
da, = ^da, G4.11)
где n^do^/do—единичный времениподобный вектор нормали
к гиперповерхности.
Задача 74.2. В приложениях часто используется инвариантная трехмерная
Ь-функция 5 (х | а), заданная на пространственноподобной гиперповерхности
а (с нормалью им) и связанная с четырехмерной Ь-функцией соотношением
5(*) = 6(иц*"M(*|а). G4.12)
Убедиться, что 5 (х | а) обладает обычным свойством Ь-функции
и показать, что ицдм5(.х|а) = 0.
Задача 74.3. Доказать справедливость следующего интегрального представления
4-градиента:
G4ЛЗ)
где о—замкнутая гиперповерхность, охватывающая 4-объем п, стягива-
стягивающийся в точку.
Из представления G4.13) вытекает важная в приложениях
четырехмерная теорема Гаусса — Остроградского:
J^TVl v»dQ = §Ti v»dcv G4.14)
Q о
где a — замкнутая гиперповерхность, окружающая 4-объем Q.
246

Задача 74.4. Доказать четырехмерную теорему Стокса:
$ |() G4.15)
где S—правоориентированная поверхность, натянутая на замкнутый контур
С, dS^v — ее элемент, определяемый двумя бесконечно машми касательными
к S векторами dx и Ьх:
§ 75. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
В пространстве Минковского всякая движущаяся материальная
точка изображается мировой линией (рис. 75.1). Так как элемен-
элементом длины такой мировой линии является элементарный вре-
мениподобный интервал* ds = (dxVidxilI12, то единичный касатель-
касательный вектор к мировой линии имеет компоненты
dx^/ds = dx»/^/(dx°J-(dxJ . G5.1)
Вспоминая, что собственное время т в системе отсчета Е',
связанной с материальной точкой, определяется длиной интервала
dx = ds/c = dt jl-u2/c\ G5.2)
где и — трехмерная скорость точки с компонентами dxl/dt, можно
ввести 4-вектор С/, имеющий размерность скорости и пропор-
пропорциональный касательному вектору к мировой линии:
С/»1 = cdx^/ds = djc^/dx. G5.3)
Этот 4-вектор называется четырехмерной скоростью точки
и имеет следующие компоненты:
V G5.4)
В предельном случае медленных движений, когда и <^с с, получим
и*п(с, и),
т. е. 4-вектор U фактически сводится к трехмерной скорости
и и удовлетворяет, таким образом, принципу соответствия.
Очевидно, компоненты 4-скорости С/ц преобразуются по закону
G3.3), т.е.
Важным свойством четырехмерной скорости является посто-
постоянство ее длины:
-V2 = c2. G5.6)
* Рассматривается частица, движущаяся со скоростью, меньшей скорости
света.
247

Дифференцируя G5.6) по т, найдем ин-
интересное соотношение
С/ц<1С/»7<1т = О, G5.7)
выражающее факт ортогональности четырех-
четырехмерных скорости и ускорения точки. Послед-
Последнее тоже является 4-вектором и имеет сле-
следующие компоненты:
(иа)
и (аи)
dx \сA-иг1с2)г' \-u2lc2 с2A-«2/с2J„
G5.8)
Рис. 75.1 где а = dw/clr — трехмерное ускорение точки.
В предельном случае медленных движений, очевидно,
СХС_У /CJX'^iv/. а),
т. е. 4-вектор ускорения пространственноподобен.
Задача 75.1. Ракета' движется прямолинейно с постоянным собственным
ускорением а и без начальной скорости. Найти скорость ракеты как функцию
лабораторного и собственного времен.
§ 76. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
Так как \J = uU°/c [см. G5.4)], то из G5.5) вытекает следующий
закон преобразования трехмерных скоростей:
их = -
l-uxv/c2
U'=-
—uxv/c
2'
G6.1)
Обратные преобразования получаются из G6.1) заменой
v -+ —v:
ux = — *, uv = ———r, uz = —-—r. G6.2)
x l+uxv/c29 y \+u'xvjc2' z \+uxvlc2 K }
Иногда бывает удобной и векторная запись формул G6.2):
u = [l + (u'v)/c2][yu4v+(l-Y)(u/v)v/i?2]. G6.3)
Если при v^.c из G6.3) вытекает нерелятивистский закон
сложения скоростей (u«u' + v), то в области v&c законы эвк-
эвклидовой геометрии в пространстве скоростей оказываются уже
несправедливыми*.
* Знаменательно, что закон G6.3) сложения векторов около 150 лет тому
назад был исследован гениальным русским геометром Я. И. Лобачевским,
доказавшим возможность логически непротиворечивого построения новой геомет-
геометрии, в которой уже не выполняется постулат Евклида о параллельных.
248

Из G6.3), в частности, следует, что если v-*c9 то и и -> с.
Иначе говоря, если складывать две скорости, близкие к скорости
света, то вновь получается околосветовая скорость. Здесь особен-
особенно отчетливо проявляется отклонение релятивистского закона
сложения скоростей от нерелятивистского. Другой его особен-
особенностью является некоммутативность: результат сложения двух
скоростей и' и v отличается от результата сложения скоростей
v и и'. Очевидно, что это обстоятельство обусловлено нерав-
неравноправием складываемых скоростей, среди которых выделенную
роль играет относительная скорость двух систем отсчета.
Из условия инвариантности интервала dxiidx*l = dx'Vidx'il, которое
можно переписать в виде
(c2-u2)dt2 = (c2-uf2)dt'\ G6.4)
следует, что
sign [с2 — и2) = sign [с2 — и'2).
Это означает, что при переходе к любой инерциальной
системе отсчета досветовые скорости {и < с) остаются досветовыми
(и'<с), световые скорости (ы = с) остаются световыми (и' = с),
а сверхсветовые скорости (и>с) — сверхсветовыми (и'>с).
При сложении параллельных скоростей удобно пользоваться
не скоростью, а быстротой 0, т. е. полагать
Тогда преобразование G6.2) эквивалентно прямому сложению
быстрот:
Релятивистские формулы сложения скоростей позволяют легко
объяснить результат опыта Физо (см. § 63). Здесь необходимо
сложить две скорости: скорость света в неподвижной воде и' = с/п
и параллельную ей скорость v водяного потока. Применяя G6.2),
получаем скорость распространения света в движущейся воде:
Учитывая малость отношения v/c, нетрудно вывести подтвер-
подтвержденную в опыте Физо формулу Френеля
§ 77. АБЕРРАЦИЯ И ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
ДЛЯ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ
Суть этих классических эффектов состоит в том, что если
источник света и наблюдатель находятся в относительном
движении, то наблюдаемый закон движения источника и частота
испускаемого им света изменяются при изменении скорости
249

Рис. 77.1
Рис. 77.2
наблюдателя. Посмотрим, как объясняются эти явления в теории
неподвижного эфира.
Начнем с явления аберрации. Пусть световая волна рас-
распространяется под прямым углом к скорости v наблюдателя
по отношению к неподвижному эфиру. Световой луч (рис. 77.1)
достигает глаза наблюдателя только в том случае, если последний
наклонит зрительную трубу по направлению движения на угол
cp' = arctg(i;/c). G7.1)
Что касается изменения частоты света, то его происхождение
также нетрудно понять. Так, если наблюдатель А движется
к источнику В со скоростью v относительно эфира* (рис. 77.2),
то за 1с он, очевидно, насчитает больше гребней волн, чем
неподвижный наблюдатель, в l + v/c раз. Таким образом, на-
наблюдаемая частота света ш' связана с частотой ш, регистрируемой
неподвижным наблюдателем, соотношением Доплера
ю' = юA+!;/с). G7.2)
В отличие от классических «эфирных» теорий, которыми
указанные эффекты объясняются раздельно, в теории относитель-
относительности они оказываются связанными и описываются единым
образом. При этом выясняется, что происхождение этих эффектов
чисто кинематическое.
Если источник света достаточно удален, то порождаемые им
волны можно считать плоскими. Рассмотрим поэтому распрост-
распространяющуюся в вакууме плоскую монохроматическую электромаг-
электромагнитную волну. Введем две инерциальные системы отсчета 1 и 2',
оси которых будем считать параллельными, а скорость системы
Е' относительно Е— направленной по оси X и равной v = $c.
Пусть в системе £ волна распространяется в направлении
* При этом источник сам может двигаться относительно эфира с некоторой
скоростью и.
250

s (рис. 77.3). Тогда каждая компонента
электромагнитного поля содержит фа-
фазовый множитель
ехр( — /Ф) = ехр[/(кг) — ш\ G7.3)
где k = sco/c — волновой вектор. Со-
Согласно принципу относительности,
уравнение поверхности волнового
фронта ёФ = 0 ковариантно относите-
относительно преобразований Лоренца. Это Рис. 77.3
означает, что левая часть уравнения,
т. е. фаза Ф, представляет собой некоторый 4-тензор.
Z'M
Но
ф , р р р
единственным 4-тензором с одной компонентой является 4-скаляр,
поэтому фаза Ф должна быть релятивистским скаляром. Ее
действительно можно представить в виде скаляра
Ф = ш*-(кг) = £цх»\ G7.4)
если ввести волновой 4-вектор
k» = (a/c, oos/c), G7.5)
важным свойством которого является изотропность:
k^ = k^ = Q. G7.6)
Получим теперь компоненты 4-вектора кгук в системе отсчета
Zr. Очевидно, в системе S
k = (-£°sin(p, -^0cos9, 0); к° = (й/с9
и преобразованием Лоренца получаем:
Л:/0 = у(А:0 —РА:1), кл =у(к1-$к°), к'2=к\ к'ъ = к\ G7.7)
Так как в системе £'
', 0); к'° = а'/с,
то из G7.7) находим
co' = (OY(l+.psin(p), sin9r = (p + sin9)/(l + psin9). G7.8)
Эти общие формулы и дают объединенное описание аберрации
и эффекта Доплера. В частности, при ф = 0 получаем чистую
аберрацию, а при ф = тс/2 — чистый эффект Доплера (продольный).
Так, при ф = 0
sin<p' =
G7.9)
Видно, что релятивистский угол аберрации 9' = arcsinP от-
отличается от угла аберрации arctgP в «эфирной» теории. Со-
Совпадение получается лишь для малых скоростей v<^c. Другим
важным отличием релятивистской аберрации от классической
251

является изменение частоты света ш =соу, часто
называемое поперечным эффектом Доплера.
Задача 77.1. Показать, что в «эфирной» теории получается
правильный угол аберрации, если учесть сокращение Лорен-
Лоренца— Фицджеральда.
Задача 77.2. Источник света движется относительно
наблюдателя со скоростью v. Как связаны между собой
видимое и истинное положения источника? Рассмотреть
случай двойной звезды, неподвижной относительно наблюда-
наблюдателя и вращающейся с некоторой угловой скоростью
(рис. 77.4). Можно ли утверждать, что в соответствии
с формулой G7.8) в том положении, когда компоненты
звезды находятся на одной линии с наблюдателем (ф = 0),
Рис 77 4 они будут казаться пространственно разделенными?
Для описания релятивистского эффекта До-
Доплера предположим в G7.8) ф = тс/2 и найдем
' = тс/2, ®f = G)y(l + $) = G)j(c + v)l(c-v). G7.10)
Очевидно, что релятивистская формула для продольного
эффекта Доплера совпадает с классической формулой G7.2) лишь
в пределе медленных движений.
Задача 77.3. Найти закон отражения света от движущегося зеркала,
скорость v которого ориентирована произвольно относительно зеркала.
Задача 77.4. Описать аберрацию и эффект Доплера для света в прозрачной
среде с показателем преломления «(со). Найти поправку к коэффициенту
увлечения Френеля, обусловленную эффектом Доплера.
Задача 77.5. Описать аберрацию и эффект Доплера для полей y\f± (х),
подчиняющихся уравнениям (□ +w2)v|/±=0.

7
ГЛАВА
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
И ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
В этой главе мы дадим ковариантную формулировку уравнений
Максвелла и изучим движение точечной заряженной частицы
в электромагнитном поле. Последовательно распространяя при-
принцип относительности на те или иные физические явления,
т. е. придавая соответствующим уравнениям ковариантный вид,
можно убедиться, что различные физические величины, которые
в трехмерной формулировке теории выступали как независимые,
теперь оказываются объединенными в самостоятельные струк-
структуры (четырехмерные тензоры), поскольку при переходе из
одной инерциальной системы отсчета в другую они взаимно
преобразуются. Наглядная геометрическая интерпретация те-
теории относительности, предложенная Минковским, оказалась
чрезвычайно плодотворной при построении релятивистской
формы уравнений динамики материальных частиц, в том числе
с учетом силы реакции излучения.
§ 78. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА
В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ
Ковариантность какого-либо закона природы по отношению
к преобразованиям Лоренца, очевидно, соблюдается, если этот
закон удается представить в виде системы четырехмерных
тензорных уравнений. Попробуем представить в явно ковариант-
ной форме уравнения Максвелла в вакууме:
divE = 47cp, divB = 0,
rot В — — = —j, rotE + --— = 0
с dt с с dt
Но сначала обратим внимание на то, что из уравнений G8.1)
вытекает уравнение непрерывности
dp/d/ + divj = O, G8.2)
выражающее закон сохранения электрического заряда. Этот закон
универсален, т. е. выполняется в любой инерциальной системе
отсчета, и поэтому уравнение G8.2) должно быть лоренц-
ковариантным. Это возможно лишь в случае, когда его левая
часть является релятивистским скаляром. Такое представление
253

yOk
левой части G8.2) оказывается дейст-
действительно возможным, если ввести 4-
вектор плотности тока j с компонентами*
i); cp=j°. G8.3)
Тогда уравнение G8.2) принимает вид
dJ» = 0, G8.4)
т. е. его левая часть является четырех-
J мерной дивергенцией.
Закон сохранения электрического за-
заряда можно записать и в интегральной
Рис 78 j форме, если проинтегрировать G8.4) по
некоторому 4-объему Q, окруженному
замкнутой гиперповерхностью а, и использовать четырехмерную
теорему Гаусса — Остроградского G4.14):
G8.5)
Предположим теперь, что заряды и токи, как это обычно
имеет место, сосредоточены в некоторой ограниченной области
пространства. Тогда в качестве четырехмерной области Q можно
взять 4-объем, заключенный между двумя пространственнопо-
добными гиперповерхностями ах и а2 (рис. 78.1). Поскольку
вклад бесконечно удаленных областей в интеграл G8.5) будет
исчезающим, равенство G8.5) примет вид
G8.6)
„ 2 1 „
Оно означает, что инвариантный интеграл
G8.7)
оказывается не зависящим от выбора пространственноподобной
гиперповерхности а. Поэтому в качестве последней можно,
например, выбрать гиперповерхность х° = const, для которой
вектор нормали имеет компоненты иц = A, 0, 0, 0), поэтому
da^ = (dF, 0, 0, 0). Тогда равенство G8.7) принимает вид
Q = $pdV= const G8.8)
(интегральный закон сохранения электрического заряда).
Из структуры 4-вектора плотности тока уи = (ср, j) нетрудно
вывести закон преобразования плотностей заряда р и тока j при
преобразованиях Лоренца F7.18):
* Здесь еще раз проявляется присущая теории относительности тенденция
к объединению компонент различных трехмерных тензоров в один четырехмерный
тензор. Эту тенденцию мы неоднократно будем наблюдать и в дальнейшем.
254

P = y{p'+jnv/c2), j^yif
J2=j'2, J3=f3. (V8.9)
В частности, если в системе отсчета
£' заряды были неподвижны и рас-
распределены с некоторой плотностью р',
то j^ = (cp\ О, 0, 0) и поэтому в системе
X, относительно которой заряды дви-
движутся СО СКОРОСТЬЮ V ВДОЛЬ ОСИ X, Рис. 78.2
согласно G8.9), имеем
P = YP'> J = YP'v = pv. G8.10)
Таким образом, появляется конвекционный ток с плотностью
pv и вследствие лоренцева сокращения масштабов в направлении
движения происходит увеличение плотности заряда.
В другом частном слудае, когда в системе отсчета £' имелась
лишь плотность тока j#0, а плотность заряда была равна
нулю, т.е. 7и = @, j'), в системе 2 найдем:
jx=yj'\ ]2=Г\ 3ЪЧ'\ p^'^v/c^jh/c2. G8.11)
Если увеличение плотности тока можно объяснить тем же
лоренцевым сокращением масштабов, приводящим к уплотнению
движущихся зарядов, то появление некоторой плотности заряда
р представляется на первый взгляд парадоксальным и проти-
противоречащим закону сохранения заряда. Однако на самом деле
никакого противоречия здесь нет. Действительно, если р' = 0
в системе 5У, то из уравнения непрерывности G8.2) следует,
что div'j' = O, т. е. токи должны быть замкнутыми (рис. 78.2).
Поэтому, если проводник с током привести в поступательное
движение со скоростью v, то согласно G8.11) на участках
с противоположными токами возникнут и противоположные
плотности заряда*. При этом результирующий заряд Q в проводе,
очевидно, равен нулю, что следует уже из инвариантности заряда:
Задача 78.1. Вычислить электрический и магнитный дипольные моменты
плоского линейного кругового тока I радиуса а, перемещающегося со
скоростью v.
§ 79. КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Так как в уравнения Максвелла G8.1) кроме источников р и j,
образующих 4-вектор, входят только векторы электромагнитного
поля Е и В, то лоренц-ковариантность уравнений G8.1) может
лишь означать, что пара векторов Е и В при преобразованиях
Лоренца выражается сама через себя. Иначе говоря, векторы
* См. задачу 6.2.
255

электромагнитного поля являются компонентами некоторого четырех-
четырехмерного тензора. Единственным 4-тензором с шестью компонентами
является антисимметричный тензор второго ранга. Обозначая ком-
компоненты этого тензора F^v, попытаемся определить его структуру,
приведя к явно ковариантной форме левые части уравнений G8.1),
Начнем с первой группы уравнений Максвелла. Для удобства
запишем их в декартовых координатах*:
*
Нетрудно видеть, что уравнения G9Л) можно представить
в четырехмерной форме:
д^ = 4пПс. G9.2)
При этом контравариантные компоненты тензора F^v, обычно
называемого тензором электромагнитного поля, изображаются
антисимметричной матрицей
О -Ех -Е2 -Е3
J7 О Я Я
G9.3)
тр ту f\ n
С/2 Jj3 U — D л
Е3 -В2 Вх О
Что касается второй группы уравнений Максвелла, то, пред-
предварительно записав их в декартовых координатах:
убеждаемся, что они допускают ковариантное представление:
dpF»v = 0, G9.4)
где компоненты тензора
матрицей
изображаются антисимметричной
О -В, -В2 -В3
Bt О Е3 -Е2
В2 -Е3 О Е,
В?. Ej —Ел О
G9.5)
* Напомним, что у трехмерных векторов Е, В ковариантные и контравари-
контравариантные компоненты совпадают, те Et = El и Bt = Bl.
256

Легко проверить, что тензор F^ является дуально сопряжен-
сопряженным тензору F^v, т. е. связан с ним соотношением
i^v = ^VGTFaT/2, G9.6)
и поэтому G9.4) можно переписать и как уравнения для F^:
5,Fva + 5vFa|i + д^у = 0. G9.7)
Задача 79.1. Убедиться в эквивалентности уравнений G9 7) и G9.4).
Итак, ковариантная запись уравнений электродинамики Мак-
Максвелла в вакууме дается системой уравнений G9.2) и G9.7).
§ 80. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Для получения формул преобразования векторов Е и В элект-
электромагнитного поля при переходе к движущейся системе отсчета
можно, безусловно, воспользоваться законом преобразования
компонент тензора F^:
Однако существует и более короткий путь, основанный на
использовании свойства антисимметрии тензора электромагнитного
поля. Заметим прежде всего, что компонента тензора второго ранга
F^v преобразуется как произведение соответствующих компонент
двух 4-векторов А1"В". Поэтому если направить ось X вдоль
скорости движущейся системы отсчета v, то вследствие инвариант-
инвариантности поперечных компонент 4-вектора А2 и А3 компоненты F2v
и F3v должны преобразовываться как 4-векторы. Это обстоятельст-
обстоятельство с учетом свойства антисимметрии р^=—Р^ позволяет
установить закон преобразования всех компонент тензора F^y,
кроме F01. Однако [см. G9.6)] —F01 = F23, т. е. F01 преобразуется
как инвариантная составляющая дуально сопряженного тензора
F23. Учитывая все сказанное, можно записать следующие формулы
преобразования для тензора электромагнитного поля:
р'2ъ=р2ъ ^12-y(F12-pF02), F'13 = y(F13-pF03), ( * }
или с учетом G9.3):
'2=y(E2-№3l E'3 = y(E3 + №2),
Е)
Эти формулы можно записать и в компактной векторной
форме:
в;,=в„, bi=y(b±-[ve]/c),
9 Зак 378 257

где символами || и 1 обозначены соответ-
соответственно продольная и поперечная состав-
составляющие векторов. Обратные преобразова-
преобразования, очевидно, получаются заменой v-> — v.
В полученных законах преобразования
(80.3) отчетливо выявляется тесная взаимо-
взаимосвязь и глубокое внутреннее единство элект-
электрического и магнитного полей, выступаю-
выступающих как различные проявления единого
электромагнитного поля. В частности, од-
одним из ярких свидетельств этого единства
являются уже известные нам теоремы
Рис. 80.1 дж. дж. Томсона, (см. задачу 6.2), вытека-
вытекающие из (80.3). Так, если в движущейся системе отсчета £' имеется
только магнитное поле В', то в неподвижной системе Е, согласно
(80.3), появится поперечное электрическое поле Е=— [vB]/c.
Аналогично, если в системе £' имеется лишь электрическое поле Е',
то в системе Е появится поперечное магнитное поле B = [vE]/c.
В качестве важного применения формул (80.3) рассмотрим
задачу о нахождении электромагнитного поля, создаваемого
точечным зарядом е, движущимся с постоянной скоростью v.
Очевидно, что в собственной системе отсчета £' заряда имеется
лишь электрическое поле с напряженностью
Ъ' = ех'1г'\ (80.4)
Применив формулы преобразования, обратные (80.3) и пред-
предварительно записанные в компактной форме:
[vE']/4
найдем, что в неподвижной системе Е
/(;2, В = [уЕ]/с. (80.6)
Подставляя (80.4) в (80.6) и учитывая, что, согласно F7.20),
после несложных преобразований находим
'-^^'"■[<.-ЛЖ->'д«- (80'7)
Анализ этой формулы показывает, что при больших скоростях
v, когда Р^1, поле практически концентрируется в плоскости,
перпендикулярной движению (рис. 80.1). Показателем релятивистс-
релятивистского сжатия поля является отношение
E(x-vt = a, y = z = 0)/E(x-vt = 09 y = z = a
258

Задача 80.1. Металлический шарик радиуса а и заряда е движется с постоянной
скоростью v. Показать, что сила Лоренца, действующая на элементарный
заряд на поверхности шарика, может быть представлена в виде F=— V\|/,
где v|/ — конвекционный потенциал. Найти форму эквипотенциальной
поверхности v|/ = const (эллипсоид Хевисайда).
Задача 80.2. Найти электромагнитное поле точечного электрического диполя
с моментом р, движущегося с постоянной скоростью v.
§ 81. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Во многих приложениях неоценимую пользу может оказать
знание инвариантных комбинаций, составленных из компонент
электромагнитного поля. Можно указать две такие инвариантные
комбинации
J1=-F^F^I2, J^-F^F^/4, (81.1)
в которых для удобства выбраны числовые коэффициенты —1/2
и —ги. Воспользовавшись матричными представлениями G9.3)
и G9.5) для тензоров F^v и F^ электромагнитного поля,
инварианты (81.1) можно выразить через Е и В:
Jl = E2-B2, ^2 = (EB). (81.2)
Отметим, что, согласно (81.1), только J\ является истинным
скаляром, тогда как J'2 является псевдоскаляром, т. е. изменяет
знак при пространственном отражении.
Задача 81.1. Показать, что характеристические числа матрицы F% выража-
выражаются через инварианты (81.2).
Из существования инвариантов (81.2) можно вывести ряд
полезных свойств электромагнитного поля. Например, из явного
вида J\ следует, что с помощью преобразования Лоренца нельзя
перевести чисто магнитное поле в чисто электрическое, и на-
наоборот. Это связано с тем, что инвариант J\ изменил бы при
этом знак, что невозможно. Далее, из явного вида инварианта
J\ вытекает, что если векторы Е и В ортогональны в некоторой
системе отсчета, т. е. </2 = 0, то и в любой другой системе
отсчета они будут оставаться ортогональными. Таким образом,
свойство ортогональности векторов Е и В является инвариантным
относительно преобразований Лоренца.
Интересной особенностью обладает плоская электромагнитная
волна. Так как для нее Е=В и (ЕВ) = 0, то У1=У2 = 0. Поэтому
в любой инерциальной системе отсчета плоская электромагнитная
волна остается плоской волной.
Задача 81.2. Каким условиям должны удовлетворять векторы Е и В, чтобы
существовала система отсчета, в которой либо Е = 0, либо В = 0?
9* 259

Существует и другой способ вывода инвариантов (81.2), основанный на
использовании формул преобразования электромагнитного поля (80.3) и позво-
позволяющий просто установить отсутствие других инвариантов, кроме Jx и J>2.
Именно: применим формулы (80.3) к комплексному вектору
Х = Е + /В, (81.3)
впервые введенному английским физиком Л. Зильберштейном в 1907 г. Тогда
для преобразованного вектора X' найдем
Xf^X,,, X'1 = y(Xi-,-[vX]/c). (81.4)
Воспользуемся теперь комплексным представлением G2.9) для гиперболичес-
гиперболического поворота, положив
Y = cosoc, /ур = sin ос, oc = /arthp.
Тогда формулы (81.4) примут вид
Xf| = X,', X'1 = cosaX1-sina[vX]/i?. (81.5)
Нетрудно видеть, что преобразование (81.5) представляет собой трехмерный
поворот вокруг направления v, при котором, как известно, квадрат вектора
остается неизменным, т. е.
X'2 = X2 = inv,
или
(E + /BJ = £2-£2 + 2/(BE) = inv. (81.6)
Разделяя в (81.6) действительную и мнимую части, убеждаемся, что
существуют только два независимых инварианта (81.2) электромагнитного поля.
§ 82. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
По аналогии с введением трехмерных скалярного ф и векторного
А потенциалов электромагнитного поля, для решения системы
уравнений Максвелла в четырехмерной форме удобно ввести
четырехмерный векторный потенциал А электромагнитного поля,
положив
F^d^-d^. (82.1)
Нетрудно видеть, что уравнение (82.1) является ковариантной
записью соответствующих трехмерных уравнений Е = — Уф —
— c~1dA/dt, В = rot А, если считать, что 4-потенциал А имеет
компоненты
A» = {q>,A). (82.2)
Заметим, что подстановкой (82.1) автоматически удовлетворя-
удовлетворяется вторая группа уравнений Максвелла. В самом деле,
как свертка антисимметричного тензора e^VCJT с симметричными
тензорами д^даАх и д^дхАа.
Обратим внимание на то, что соотношением (82.1) 4-потенциал
А определен неоднозначно, а именно: новый 4-потенциал с ком-
компонентами
260

отличающийся от старого на 4-градиент произвольного скаляра
Ф, тоже удовлетворяет (82.1), поскольку
F]lv = d}lAv-dvA]l = d]lt9/v-dvts/ii.
Это свойство 4-потенциала является выражением градиентной,
или калибровочной, инвариантности электромагнитного поля
Чтобы уменьшить произвольность выбора 4-потенциала, на
него можно наложить некоторое дополнительное условие. Если
считать это условие линейным и лоренц-ковариантным, то оно
определяется однозначно и известно как условие Лоренца
-д^А* = О. (82.4)
С Ot ^
Очевидно, ему всегда можно удовлетворить, совершив калиб-
калибровочное преобразование (82.3) с подходящей скалярной функцией
Ф. В самом деле, подстановка (82.3) в (82.4) дает
т. е. скаляр Ф удовлетворяет неоднородному уравнению Далам-
бера, решение которого задается с точностью до произвольного
решения Фо свободного уравнения Даламбера ПФо=^0. Таким
образом, даже при наложенном условии Лоренца (82.4) 4-
потенциал А^ остается определенным с точностью до 4-градиента
3ЦФО, где Фо—скалярное решение уравнения Даламбера.
Перепишем теперь в терминах 4-потенциала первую группу
уравнений Максвелла в вакууме. Подставляя (82.1) в G9.2), имеем
или с учетом условия Лоренца (82.4)
ПА*=-Dп/с)Г. (82.5)
Очевидно, что уравнения (82.5) являются ковариантной за-
записью трехмерных уравнений D1.8) для потенциалов электромаг-
электромагнитного поля:
Пф=-4яр, □A=-D7t/c)j.
Задача 82.1. Показать, что запаздывающее решение уравнений (82.5) может
быть представлено в форме, ковариантной относительно ортохронных преоб-
преобразований Лоренца:
А»(х) = - \Цхо-х'о)д[(х-х'Jу»(х')<1а\ (82.6)
j
или в эквивалентной форме Ко нее я — Герглотца:
(82.7)
261
пс)(х-х'J
с

Imx"
С
x°-R xu+R
где контур С в комплексной плос-
плоскости х изображен на рис. 82.1.
Задача 82.2. Найти ковариантное
представление для потенциалов Лье-
нара — Вихерта.
Задача 82.3. Дать ковариантную
формулировку метода векторов Герца.
Задача 82.4. Показать, что из (82.1)
вытекает представление
Рис. 82.1
§ 83. КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ
УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ
При наличии среды, очевидно, изменится лишь первая группа
уравнений Максвелла, содержащая плотности связанных зарядов
и токов. Поэтому нам следует записать в ковариантной форме
только уравнения связи между поляризованностью Р и намаг-
намагниченностью М, с одной стороны, и плотностями связанных
зарядов рсвяз и токов jCB*3— с другой. Как известно, эти уравнения
имеют вид
=-divP,
(83.1)
Вводя 4-вектор плотности связанного тока 7^вяз = (ср
и антисимметричный тензор поляризации — намагничения
заданный матрицей
связ, jCBH3)
о
р2 ръ
Рх О -М3 М2
Р2 Мъ О -М1
Ръ -М2 Mt О
(83.2)
уравнения (83.1) можно переписать в явно ковариантной форме:
Задача 83.1. Показать, что диэлектрик с поляризованностью Р, движущийся
со скоростью v, приобретает намагниченность M = [Pv]/c.
Так как электромагнитное поле в среде порождается плот-
плотностью полного 4-тока j+jCB*\ то в соответствии с G9.2) имеем
или с учетом (83.3)
(83.4)
(83.5)
262

где введен новый антисимметричный тензор
G^ = F^-4nS»\ (83.6)
Соотношение (83.6) представляет собой ковариантную запись
известных трехмерных уравнений:
Н = В-4яМ.
Поэтому структура тензора Сцу задается следующей антисим-
антисимметричной матрицей
(83.7)
Предположим теперь, что нам известны трехмерные тензоры
диэлектрической и магнитной проницаемостей г и Д, входящие
в феноменологические уравнения состояния неподвижного вещест-
вещества (система отсчета X'):
0
/I
D
D3
— D1
0
-н2
— D2
— Нъ
0
Ht
— D3
H2
— Hi
0
(83.8)
Очевидно, что этими уравнениями, записанными предваритель-
предварительно в ковариантной форме, и следует дополнить системы уравнений
(83.5) и G9.7). Поскольку уравнения (83.8) задают линейную
связь двух 4-тензоров G^ и F^9 их ковариантная запись должна
иметь вид
G^ = X^Fm. (83.9)
Введенный здесь 4-тензор проницаемостей Х^, очевидно,
антисимметричен по верхним и нижним индексам*. Чтобы
выписать его компоненты в собственной системе вещества X',
воспользуемся соотношениями, вытекающими из структуры тен-
тензоров G^ и F^v:
G'Oi=-Dfi9 F'Oi=-E'\ Gfik=-zikjH'j, Bfi=-EikjFfkjl2. (83.10)
С помощью (83.10) уравнения (83.8) можно представить в виде
G'0i = 4F'°\ G'ik = EikjElmn(vL~1)ljFmn/2. (83.11)
Сравнивая (83.11) с (83.9), находим следующую структуру
тензора A,£v в собственной системе Ё' среды:
Г$ = еЦ2; X'kf = X'ok! = 0, ^ = ещ81и1|(ц-1M/2. (83.12)
В частном случае изотропной среды, когда 8^ = 85^ и \xlk = \iblk,
$ 1 (83.13)
* Релятивистский тензор проницаемостей впервые был введен советским
физиком И. Е. Таммом.
263

Переходя к системе отсчета Е, относительно которой среда
движется с некоторой скоростью и, с помощью (83.12) или
(83.13) всегда можно восстановить компоненты тензора
А,{£ в системе Е и записать, таким образом, уравнения Максвелла
в среде в ковариантной форме:
0. (83.14)
В случае изотропной среды, как было впервые показано
Минковским, уравнения связи (83.9) могут быть значительно
упрощены. В самом деле, используя 4-скорость U среды, введем
4-векторы
обладающие тем свойством, что в собственной системе среды
они сводятся соответственно к Е', В', D', FT, между которыми
существует связь
В' = цН', D' = sE'.
Однако известно, что если два 4-вектора параллельны в не-
некоторой системе отсчета, то они параллельны и в любой другой.
Поэтому, вводя скалярные величины 8 и |i, определяемые
соответственно как диэлектрическая и магнитная проницаемости
среды в ее собственной системе отсчета, уравнения связи (83.9)
можно заменить следующей парой уравнений:
или
GaP£/p = eFaP£/p, Fap£/p = ^Gap£/p. (83.15)
Уравнения (83.15) известны как уравнения Минковского для
движущихся сред. В трехмерной форме они принимают такой вид:
D + [uH]/c = e(E+[uB]/c),
B-[uE]/c = n(H-[uD]/c). C '
Задача 83.2. Показать, что из уравнений Минковского (83.15) вытекают
следующие соотношения между тензорами GaP и F*^:
=(G«P-g^)(Fot|)-nGclP)=0, (83.17)
или в трехмерной форме:
(В«еЕ)-(еВ-Н) = (В-цН)-(Е-цВ) = О,
(D-eE)-(E-fiD) + (B-fiH)-(sB-H) = O. ( j
Задача 83.3. Показать, что ковариантной формой дифференциального закона
Ома в среде с изотропной электропроводимостью а является уравнение
yM = (a/c)^MVGv. (83.19)
Задача 83.4. Записать граничные условия A2.8) в ковариантной форме.
264

§ 84. УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО
Уравнения динамики материальной точки, предложенные Мин-
ковским, внешне имеют ту же форму, что и уравнения Ньютона,
но оперируют с четырехмерными величинами D-координатами,
4-скоростями, 4-ускорениями и 4-силами), характеризующими
движение частицы в псевдоэвклидовой геометрии Минковского.
Уравнения Минковского имеют вид
ЛГ —= ^»\ (84.1)
dx
Скалярная числовая величина Л в этих уравнениях харак-
характеризует инерционные свойства частицы и называется ее соб-
собственной массой. Роль времени в уравнениях Минковского играет
инвариантное собственное время т частицы, роль скорости —
4-скорость £/, а роль силы — 4-вектор силы J*, являющийся
обобщением трехмерной ньютоновской силы F.
В предельном случае медленных движений, когда м<^сс,
пространственные компоненты 4-скорости U переходят в обычную
трехмерную скорость и, а собственное время di = cU(l — и2/с2I12
перестает отличаться от ньютоновского времени <\t. Поэтому
если потребовать, чтобы пространственные компоненты 4-вектора
силы 3F также переходили в этом пределе в ньютоновскую
силу F, то пространственные уравнения Минковского, очевидно,
будут удовлетворять нужному принципу соответствия с уравне-
уравнениями динамики Ньютона.
Остается лишь выяснить смысл временного уравнения
Минковского (|i = 0). Для этого воспользуемся тождеством
UixU» = c2^ ИЛИ
цAт = 0, (84.2)
с учетом которого из (84.1) выводим
U^»=Uo^o-(lJ^) = 0. (84.3)
Соотношение (84.3) позволяет выразить ^° через 3F\
^° = (^U)IU° = (^u)lc. (84.4)
Таким образом, с^° при и<^.с совпадает с мощностью
внешней силы, т. е.
Это обстоятельство наводит на мысль, что временное урав-
уравнение Минковского является ковариантным обобщением теоремы
живых сил в механике Ньютона. Чтобы проверить эту догадку,
запишем JicU0 в предельном случае и<^с\
^£ + X-J{u2+ ... (84.5)
265

Поскольку Me2 является постоянной величиной, временное
уравнение Минковского в этом приближении принимает вид
т. е. в самом деле совпадает с теоремой живых сил.
Итак, мы пришли к выводу, что уравнения Минковского
выражают закон изменения энергии и импульса частицы под
влиянием внешних сил. В связи с этим введем понятие 4-импульса
частицы
(84.6)
компоненты которого удобно представить в виде
&* = (тс,ти)9 (84.7)
где
Д (84.8)
Тогда уравнения Минковского записываются в следующей
ковариантной форме:
(84.9)
Замечая, что di = cU(l — м2/с2I/2, и вводя обозначение
F = J^yi-w2/c2, (84.10)
уравнения Минковского можно записать и в трехмерной форме:
±(mc2) = (Fu)9 ^(mu) = F. (84.11)
Трактуя первое из уравнений (84.11) как теорему живых сил,
мы видим, что энергией частицы в релятивистской механике
следует назвать величину
Е=тс2, (84.12)
а релятивистским импульсом — вектор
Р = ти. (84.13)
По аналогии с ньютоновским выражением для импульса
величину т называют инертной или динамической массой. В от-
отличие от собственной массы Jt частицы она переменна, т. е.
зависит от скорости и частицы в соответствии с (84.8) и, кроме
того, является не скаляром, а временной компонентой 4-вектора.
Таким образом, в трехмерной интерпретации уравнения реля-
релятивистской динамики описывают движение частицы с переменной
массой m(w), которая оказывается связанной с энергией Е частицы
266

соотношением (84.12). Последнее было впервые получено Эйн-
Эйнштейном и часто называется соотношением эквивалентности
энергии и массы.
Задача 84.1. Вывести соотношение эквивалентности Эйнштейна, воспользовав-
воспользовавшись допущением, что взаимодействие между частицами передается со
скоростью света, а также приняв, что в дополнение к закону сохранения
энергии выполняется закон сохранения инертной массы. Получить отсюда
зависимость (84.8).
В связи с соотношением эквивалентности Эйнштейна обратим
внимание на важную особенность релятивистской энергии Е=тс2:
для неподвижной частицы она не обращается в нуль, как
нерелятивистская кинетическая энергия тм2/2, а оказывается
равной постоянной величине
Е0 = Лс2, (84.14)
называемой собственной энергией частицы. Если в нерелятивистс-
нерелятивистской механике энергия материальной точки определяется из
теоремы живых сил dE=(udP) с точностью до аддитивной
постоянной, то в релятивистской теории отбросить постоянную
Ео, не нарушив тензорных свойств Е, очевидно, нельзя. В самом
деле, разность Е—Ео уже не является компонентой какого-либо
4-тензора, поскольку Ео — скаляр, а Е—временная составляющая
4-вектора.
Отметим, что, согласно определению (84.6) 4-импульса сво-
свободной частицы ^ ц = (£/<;, Р), его инвариантная длина связана
с важной характеристикой частицы — ее собственной массой М\
Л = @>^у/2/с = (Е2-с2Р2I/21с2 = тч. (84.15)
Задача 84.2. Показать, что элемент объема
dT = d0>1d0>2d0>3dx1dx2dx\ (84.16)
фазового пространства частицы с собственной массой Ж является инвари-
инвариантом ортохронных преобразований Лоренца. Показать также, что инвари-
инвариантом собственных преобразований Лоренца является величина
^0. (84.17)
§ 85. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА
ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Если материальная точка обладает электрическим зарядом е и на-
находится во внешнем электромагнитном поле, то на нее действует
сила Лоренца, которую необходимо записать в четырехмерной
ковариантной форме, т. е. выразить 4-вектор силы 3F через
тензор F^ электромагнитного поля и 4-скорость U частицы.
Известно, что всегда можно однозначно восстановить 4-вектор
силы 2F по нерелятивистской силе F. Существует несколько
методов такого восстановления. Самый наглядный среди них —
267

прямой метод. Он состоит в следующем. Допустим, что в не-
некоторый момент времени t0 частица имеет скорость и. Тогда
можно рассмотреть ее движение в инерциальнои системе отсчета
Е', движущейся именно с этой скоростью.
Ясно, что для моментов времени, бесконечно мало отличаю-
отличающихся от момента t0, скорость частицы близка к и, т. е. движение
ее в системе Е' заведомо нерелятивистское. Поэтому уравнения
движения в системе S' имеют известную нерелятивистскую форму:
dE'/dt' = (u'F'), dP/df' = F', (85.1)
где предполагается известным вид силы F'. Теперь, чтобы найти
4-вектор силы ^, достаточно лишь совершить переход к непо-
неподвижной системе отсчета.
Задача 85.1. Найти прямым методом 4-вектор силы Лоренца 3F'.
Восстановим 4-вектор силы Лоренца на основании принципа
соответствия. Замечая, что нерелятивистская сила Лоренца
F = e(E + [uB]/c) (85.2)
линейна по электромагнитному полю, попытаемся построить
4-вектор силы 3F так, чтобы он был линеен по тензору FMV
электромагнитного поля. Так как из других тензоров, согласно
(85.2), можно использовать лишь 4-вектор скорости U частицы,
то единственное приемлемое выражение для #^ имеет вид
J^ = olF^v£/v, (85.3)
где постоянная а должна определяться из принципа соответствия*.
В пределе медленных движений выражение (85.3) сводится
к следующему:
и его сравнение с (85.2) показывает, что необходимо выбрать
а = е/с, т. е.
^» = eF^UJc. (85.4)
Таким образом, уравнения Минковского, описывающие движе-
движение заряда в электромагнитном поле, принимают вид
ji^^iF^U,. (85.5)
dx с
Отделяя в (85.5) временную и пространственные компоненты,
находим
^^!=f(UE), J?™ = e-{U°E + [VB]}, (85.6)
dx сv f dx с L J
* Другая возможная комбинация F^Uy, также линейная по F**v, отпадает,
так как является псевдовектором.
268

или после подстановки di = cU(l — и2/с2I12 и введения инертной
массы т
A A ( I) (85.7)
Временное уравнение в (85.7), очевидно, представляет собой
релятивистскую теорему живых сил и получается из простран-
пространственных уравнений скалярным умножением на и.
Задача 85.2. Найти закон движения заряженной частицы массы Л в парал-
параллельных электрическом Е и магнитном В полях, которые считаются
постоянными и однородными.
В заключение отметим, что в полученных релятивистских
уравнениях движения заряда во внешнем электромагнитном поле
не учитывается собственное поле заряда, т. е. сила реакции
излучения считается пренебрежимо малой. Такое предположение
оправдано только для движений в слабых электромагнитных
полях, когда ускорения, испытываемые заряженной частицей,
малы. В дальнейшем мы снимем это ограничение и получим
релятивистское выражение для силы реакции излучения.
§ 86. ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Полученные выше релятивистские уравнения движения заряженной
частицы в электромагнитном поле, так же как и соответствующие
нерелятивистские уравнения, могут быть выведены из принципа
наименьшего действия, т. е. записаны в лагранжевой форме. Как
известно из классической механики, для голономных систем,
подверженных действию консервативных сил, можно построить
главную функцию Гамильтона, или функцию действия,
S=lL(q,q)dt9 (86.1)
выражаемую через лагранжиан L системы, являющийся некоторой
функцией обобщенных координат q и скоростей q. В частности,
для точечной частицы массы Л, движущейся в силовом поле
с потенциальной функцией V(r), лагранжиан равен
L(r, r) = .#r2/2-F(r). (86.2)
При этом основные уравнения механики имеют вид уравнений
Лагранжа
*(°Ь)К (86.3)
которые могут быть получены из вариационного принципа
6S = 0 (86.4)
при дополнительном условии §q(t1) = §q(t2) = 0.
269

В релятивистском случае вариационный принцип (86.4) должен
быть представлен в лоренц-ковариантной форме. Для этого
необходимо, чтобы действие S было релятивистским скаляром.
Если рассматривается движение частицы во внешнем поле, то,
как известно из классической механики, элементарное действие
dS можно записать в виде
dS = (Pdr)-Hdt,
где Р — обобщенный импульс частицы, Н—гамильтониан. dS
можно представить в форме скалярного произведения:
dS=-P]ldx*, (86.5)
если ввести 4-вектор ^ц = (Я/с, Р). В частности, для свободной
частицы собственной массы М имеем 0> = J(U, поэтому
dS= -Ли^х»= -J?UilUiidT= -Mc2dx.
Таким образом, для свободной релятивистской частицы
Vl-wy. (86.6)
В нерелятивистском пределе (и<^:с) лагранжиан сводится к
т. е., с точностью до аддитивной постоянной, к кинетической
энергии частицы.
Чтобы установить структуру обобщенного 4-импульса ЗР для
заряженной частицы в электромагнитном поле, заметим, что
лагранжиан L, отвечающий нерелятивистскому движению заряда
е в электростатическом поле с потенциалом ф, содержит слагаемое
— еср. Таким образом, обобщенный 4-импульс & должен быть
линейным по электромагнитным потенциалам. Единственным
таким 4-вектором будет лишь комбинация вида
0> = JtU+u.A. (86.7)
Следовательно, — еср появится в лагранжиане при ос = е/с.
Итак, в присутствии электромагнитного поля
0>* = JtUll + eAll/c, (86.8)
что приводит к функции Лагранжа
L=-J(c2y/l-u2/c2-eq> + e(uA)lc (86.9)
и функции действия
S=- \( Jtct+t-A^uAdx. (86.10)
Задача 86.1. Показать, что лагранжиан (86.9) приводит к правильным урав-
уравнениям движения заряженной частицы в электромагнитном поле.
270

В качестве поучительного примера использования релятивистс-
релятивистских уравнений Лагранжа рассмотрим классическую задачу о бета-
бетатроне, т. е. задачу о движении заряженной частицы в переменном
аксиально-симметричном магнитном поле В. Пусть в цилинд-
цилиндрических координатах г, a, z компоненты магнитной индукции
В имеют вид
Br = Br(t9r,z); Ba = 0; Bz = Bz(t, r, z).
Введем вектор-потенциал А, положив Ar = Az = 0; Aa = A(t, г, z);
Br=-dA/dz; Bz = r~1d(rA)/dr. Тогда
^^y, (86.11)
О
где Ф — магнитный поток сквозь окружность радиуса г; (Bz} —
средняя индукция магнитного поля внутри этой окружности.
Запишем теперь лагранжиан (86.9) в цилиндрических коор-
координатах:
С его помощью получаются следующие уравнения Лагранжа:
(86.12)
(пгг) гпт2 + агВ, — ( тг2а-\--гА 1 = 0,
at у с I
где точкой обозначена полная производная по времени и введена
инертная масса
Выясним теперь возможность существования стационарной
круговой орбиты z = 0, r = R. В этом случае уравнения (86.12)
будут удовлетворены, если Вг = 0, т. е. BZ = B, и
гпа + -В = 0, ±(mR* + -A) = 0. (86.13)
с dty с J
Отсюда с учетом (86.11) находим необходимое условие
существования стационарной круговой орбиты, получившее назва-
название бетатронного условия:
(в(В)\ 0. (86.14)
Оно означает, что индукция магнитного поля на стационарной
круговой орбите меняется в два раза медленнее, чем средняя
271

индукция внутри орбиты. Если в начальный момент времени
В = 0, то из (86.14) получается более простое условие Видероэ:
2В=(В}. (86.15)
Найдем закон изменения энергии частицы Е=тс2 с измене-
изменением индукции В магнитного поля. Для этого достаточно
воспользоваться теоремой живых сил
и исключить d с помощью (86.13). Тогда
-{Е2)= -2emcR6iA = -(e2R2B\
dr f dr '
что соответствует следующему закону изменения энергии с ростом
индукции магнитного поля:
E=(e2R2B2 + constI/2. (86.16)
§ 87. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном
поле можно также представить в форме канонических уравнений
Гамильтона:
(87.1)
Для этого следует, пользуясь лагранжианом (86.9), определить
канонические обобщенные импульсы
Pi = dL/dqi9 (87.2)
разрешить уравнения (87.2) относительно обобщенных скоростей
qt и, наконец, построить гамильтониан системы
(87.3)
выразив его через обобщенные координаты и импульсы qi9 pt.
Однако в декартовых координатах эту процедуру можно
сократить, воспользовавшись соотношением (86.8) и тождеством
Jjjj^ = c2. Учитывая, что обобщенный 4-импульс 0> имеет ком-
компоненты SP^ — [H\c, P), находим
(87.4)
= (Н-е(рJ/с2-(Р-еА/сJ.
Разрешая (87.4) относительно Я, получаем
H=c[(P-eA/cJ + Jt2c2yi2 + e(p. (87.5)
272

Найденное выражение и представляет собой функцию Гамиль-
Гамильтона, соответствующую релятивистскому движению заряженной
частицы в электромагнитном поле.
Задача 87.1. Получить канонические уравнения Гамильтона, отвечающие гамиль-
гамильтониану (87.5).
Замечая, что Р — (e/c)A = Jf\J9 в нерелятивистском случае
выражение (87.5) можно упростить, воспользовавшись малостью
отношения
(?-eA\cf\{Jt2c2)<^\.
Ограничившись первым нетривиальным членом разложения,
имеем
>--А
с
что при отсутствии магнитного поля (А = 0) совпадает с обычным
нерелятивистским гамильтонианом с точностью до аддитивной
постоянной Jic2.
На основании выражения (87.5) нетрудно получить и реля-
релятивистское уравнение Гамильтона-—Якоби для функции действия
S. Для этого заметим, что [см. (86.5)]
^=-д^. (87.7)
Поэтому подстановка (87.7) в (87.4) дает
(87-8)
(релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби для заряда в эле-
электромагнитном поле).
Задача 87.2. Исследовать методом Гамильтона — Якоби движение электрона
в кулоновском поле ядра с порядковым номером Z.
§ 88. СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Как уже отмечалось выше, в уравнениях движения (85.5)
учитывается лишь внешнее электромагнитное поле F^, дей-
действующее на заряд е, но игнорируется поле излучения самого
заряда. Иными словами, в этих уравнениях не учитывается
сила реакции излучения, которая в нерелятивистском случае,
согласно D7.8), равна
FR = 2e2ii/Cc3). (88.1)
В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима
со скоростью света, это выражение должно быть обобщено
273

и заменено 4-вектором ^R, сводящимся к (88.1) лишь в пределе
медленных движений.
Имея в виду, что всегда можно однозначно восстановить
4-вектор ^к по его нерелятивистскому аналогу FR, применив
прямой метод (см. § 85), попытаемся выявить структуру реля-
релятивистской силы реакции излучения, наложив условие, чтобы
в мгновенно сопутствующей системе отсчета она имела ком-
компоненты
^IHO,FR). (88.2)
Из структуры FR следует, что ^R может зависеть лишь от
характера движения заряда, но не от вида внешних сил. Иначе
говоря, в J^R могут входить различные производные от £/, но
не выше второго порядка. Всем этим условиям, очевидно,
удовлетворяет 4-вектор
^R = «0+P^+Yt/, (88.3)
где а, C, у — некоторые скалярные функции, зависящие от
dU/dz и U*.
Заметим теперь, что J^R, как любой 4-вектор силы, должен
удовлетворять условию (84.3):
£/ц^К = 0. (88.4)
Поэтому, подставляя (88.3) в (88.4), находим
Отсюда с учетом тождества (84.2) и вытекающего из него
соотношения
получим
у=_4^=4^. (88.5)
с2 ц dx2 с2 dx dx
Таким образом, нам остается определить лишь две скалярные
функции: а и C. Воспользуемся для этого свойством нечетности
J^R при отражении времени:
^r(-x)=-^r(x), (88.6)
* Еще одна возможная комбинация г^аХи^—-^ ——т- нами отброшена, так
dx dx2
как является псевдовектором.
274

вытекающим из аналогичного свойства FR. Для того чтобы
структура (88.3) была согласована с (88.6), необходимо, чтобы
функции а и C обладали следующими свойствами симметрии:
а(-т) = а(т), Р(-т)=-Р(т). (88.7)
Поскольку а и C можно строить только из U и (Ш/dx, из
(88.7) следует, что C должно быть пропорциональным
С/ц(Шц/с1т = 0, т. е. C = 0, а а может быть произвольной функцией
от инварианта (сШ/ётJ, который в нерелятивистском пределе
сводится к — и . Однако сравнение с (88.1) показывает, что
в этом пределе а совпадет с постоянной 2е2/Cс3), т. е. не
может зависеть от и2. Таким образом, а = 2е2/(Зс ) и с учетом
(88.5) получаем окончательно
Задача 88.1. Получить формулу (88.8) прямым методом.
Теперь уже нетрудно записать и релятивистские уравнения
движения заряда в электромагнитном поле с учетом силы
реакции излучения. Для этого достаточно добавить 4-силу J^R
в правую часть уравнений Минковского (85.5):
l (88.9)
Эти уравнения движения впервые были получены в 1938 г.
английским физиком П. А. М. Дираком и обычно называются
классическими уравнениями движения Дирака — Лоренца.
Задача 88.2. Показать, что скорость потерь энергии заряженной частицы
на излучение является инвариантом и определяется формулой
В качестве полезного примера использования уравнений движе-
движения (88.9) рассмотрим задачу о синхротронном излучении, т. е.
об излучении ультрарелятивистского заряда, движущегося в силь-
сильном магнитном поле В. В этом случае скорость заряда близка
к скорости света, т. е. иже и t/°«|U|»c. В первом приближении
примем, что заряд е движется по окружности некоторого радиуса
R поперек магнитного поля В, а сила реакции излучения
оказывает незначительное влияние на характер его движения,
т. е. ее можно считать малой по сравнению с силой Лоренца.
Запишем в указанном приближении пространственную часть
уравнений (88.9):
ЛГ^ = -[ЦВ]. (88.11)
dx cL J
275

Так как (UB) = O и для движения по окружности радиуса R
то из (88.11) выводим
dU ,^, ^1ЖТ1 (8812)
Таким образом, энергия частицы оказывается связанной с ра-
радиусом орбиты соотношением
E=JfcU°*Jic\U\ = eRB. (88.13)
Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме
|iFR| |dt/0/dx| -
следует, что отношения —^—Ц—, —- должны быть одного
e|[UB]|/c | dU/dx |
порядка малости. Поэтому скорость энергетических потерь на
излучение, согласно (88.10) и (88.12), приближенно равна
dE2e2
dU
2 2e2{eB\2.Ju2
или в другой форме, с учетом (88.13),
dE 2e2ci
dt 3R2 \Мс
Таким образом, скорость потерь энергии на синхротронное
излучение пропорциональна четвертой степени энергии заряженной
частицы*.
Практически важным показателем являются относительные
потери энергии частицы на излучение за один оборот:
Д£ dE 2nR 4пеъ
Е dt Ее ЪЛ2сА \Мс
В частности, для электрона с энергией £=10 ГэВ в магнитном
поле с индукцией £=104Гс имеем — АЕ/Еж2,5 • 10~3, т.е.
относительные потери энергии на излучение составляют 0,25%
на оборот.
* См.: Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. М., 1974,
§ 10; Schott G. A. Electromagnetic Radiation. Cambridge. 1912; Иваненко Д. Д.,
Померанчук И. Я. О максимальной энергии, достижимой в бетатроне//Докл.
АН СССР, 1944. Т. 44. С. 343.

8
ГЛАВА
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ
В этой главе мы дадим релятивистскую формулировку законов
сохранения энергии и импульса для электромагнитного поля,
для системы зарядов, взаимодействующих посредством элект-
электромагнитного поля, и для произвольной системы взаимопрев-
ращающихся материальных частиц.
Пример электромагнитной теории массы, явившейся исторически
первой полевой моделью протяженной частицы, позволяет на-
наиболее отчетливо увидеть принципиальное различие между
двумя распространенными точками зрения на преобразования
Лоренца: активной и пассивной. При этом выявляется фундамен-
фундаментальная роль принципа устойчивости и законов сохранения
энергии и импульса. Применение принципа наименьшего действия
в теории поля позволяет достичь наиболее общей формулировки
как уравнений движения, так и законов сохранения.
§ 89. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Начнем с релятивистской формулировки теоремы Пойнтинга,
рассмотренной в § 14 в трехмерном виде. Введем 4-вектор
/ плотности силы Лоренца, положив
/и = с-1^7у. (89.1)
Подробно расписав это выражение, убеждаемся, что 4-вектор
/ имеет следующие компоненты:
/" = {(jE)/c, PE + [iB]/c} = {q/c,f), (89.2)
т. е. его временная часть пропорциональна плотности тепловой
мощности g = (jE), выделяющейся в проводниках с током, а про-
пространственная часть совпадает с плотностью силы Лоренца f,
действующей со стороны электромагнитного поля на распределен-
распределенные заряды и токи.
Преобразуем теперь выражение (89.1) с помощью уравнений
Максвелла — Лоренца. Получая из G9.2)
имеем
111

или после тождественного преобразования
AKf^ = d^FmF^)-F^Fw (89.3)
Перестановка немых индексов oc«±|i с учетом антисимметрии
F^ позволяет привести второе слагаемое в (89.3) к виду
F^d F =Fm(d F +д F )I2
Но [см. G9.7)]
d»Fva + daF^ = - dvFaVL = д^а,
так что
F^Fm = F^dvFJ2 = dv{F"Fat)l4.
В результате соотношение (89.3) принимает вид
/v=-^©vM, (89.4)
где введен тензор 0 с компонентами
©5 = — F^Fav + ~6^(F^F^) , (89.5)
важным свойством которого является исчезающий след
(89.6)
Для дальнейшего будет более удобным перейти в (89.4)
к контравариантным компонентам
/*=_дц0^, (89.7)
где
(89.8)
Очевидно, что тензор 0 симметричен, т. е. 0ЦУ = 0УЦ. Распишем
его отдельные компоненты:
(Е + В), 0 0
(89.9)
(89.10)
Таким образом, тензор 0 имеет следующую пространственно-
временную структуру:
w eg
S/c-f
где w — плотность энергии электромагнитного поля, S — вектор
Пойнтинга, g = S / с 2 — плотность импульса электромагнитного
поля, Т — тензор натяжений Максвелла. В связи с такой струк-
структурой тензор 0 получил название тензора энергии — импульса
электромагнитного поля.
278

Разделяя временную и пространственную части уравнения
(89.7), убеждаемся, что оно является ковариантной записью
известных соотношений A3.4) и A4.6)
fk=-dgk/dt + diTik, q=-dw/dt-di\S9
анализ которых позволил нам в свое время выяснить физический
смысл w, g, S и Т1к. Повторим теперь те же рассуждения, но
уже в четырехмерной ковариантной форме.
Допустим, что источниками электромагнитного поля являются
движущиеся заряженные частицы, сосредоточенные в некоторой
ограниченной области V и обладающие полным 4-импульсом
^8п) = (£(т)/с,Р(ш)).
Тогда теорему живых сил и второй закон Ньютона для
системы зарядов можно записать в виде
(89.11)
V
Однако эта запись не является релятивистски ковариантной. Что-
Чтобы сделать ее таковой, введем понятие центра масс системы зарядов,
который движется как материальная точка с собственной массой
«^ = (^u(m)^gn)I/2c, равной собственной массе системы, и 4-импуль-
4-импульсом ${тУ 4-скорость центра масс, очевидно, равна U=SP{m)jJi,
и поэтому можно считать известной мировую линию центра масс
х^(т\ параметрически определяемую его собственным временем т.
Построим теперь гиперплоскость а(т) с нормалью n=U/c, т. е.
ортогональную мировой линии центра масс. Если ёхц — элемент
этой мировой линии, а ёац — элемент гиперплоскости а(т), то [см.
G4.8) и G4.11)] элемент 4-объема dfi можно представить в виде
cto = cd*dK=djc»1da|1 = cdTda. (89.12)
Вспоминая, что dx = dt(\—u2 /с2I12, где и — скорость центра
масс, из (89.12) выводим
da = dV(l-u2/c2)-112. (89.13)
Таким образом, чтобы получить ковариантную формулировку
уравнения (89.11), достаточно поделить его на A — и2/с2) /2:
(89.14)
Проинтегрируем уравнение (89.14) по т от момента хг до момен-
момента т2, которым соответствуют гиперплоскости ах и а2 (рис. 89.1),
и учтем соотношения (89.7) и (89.12). В результате получим
в^AП, (89.15)
279

Рис. 89.1
т. е. 4-вектор
где Q — 4-объем, заключенный между
гиперплоскостями ох и а2. Если считать,
что в промежутке времени t2~xi эле"
ктромагнитное поле сосредоточено в не-
некоторой ограниченной области простра-
пространства*, по теореме Гаусса — Остроградс-
Остроградского G4.14) имеем
J 5ц0^сЮ= J 0^vda,- J ©■iVda|1, (89.16)
поскольку вклад гиперповерхности, за-
замыкающей 4-объем Q на пространст-
пространственной бесконечности, равен нулю. Под-
Подставляя (89.16) в (89.15), получаем
(89.17)
не зависит от выбора пространственноподобной гиперплоскости
а и, следовательно, сохраняется во времени. В связи с этим
равенство (89.17) естественно интерпретировать как закон со-
сохранения энергии — импульса системы «источники + электромагнит-
электромагнитное поле», а 4-вектор
(89.18)
рассматривать как 4-импульс электромагнитного поля. Выбирая
гиперплоскость а ортогональной оси Х°, получаем
(89.19)
т. е. 4-вектор &>у{) = (Е{/с9 Pf) имеет следующие компоненты:
= G. (89.20)
Задача 89.1. Показать, что 4-вектор &>(f) является времениподобным или
изотропным.
Обратим внимание на неоднозначность^ выбора тензора энер-
энергии— импульса электромагнитного поля 0. В самом деле, если
* Системы с такими свойствами обычно называют островными.
280

рассматривать (89.7) как уравнение относительно 0ЦУ при задан-
заданном /\ то наряду с тензором © [см. (89.8)] этому уравнению
будет удовлетворять и всякий другой тензор вида
(89.21)
если Xa[iV = — X^v. Справедливость этого утверждения вытекает
из очевидного тождества д^даХа^ = 0.
Задача 89.2. Показать, что преобразование (89.21) не меняет величину
4-импульса (89.19) для островной системы.
Отмеченное обстоятельство имеет общий характер и присуще
релятивистской теории поля (а не только электродинамике).
Это объясняется тем, что в релятивистской теории поля закон
сохранения энергии — импульса описывается уравнением типа
(89.4), допускающим калибровочное преобразование (89.21). Обычно
это преобразование используется для симметризации тензора
энергии — импульса, если первоначально найденный гензор
© этим свойством не обладает. При этом для замкнутой системы
полей всегда можно подобрать такой вспомохательный тензор
Jfanv, что будет справедливо равенство ОЦУ = 0УЦ (см. § 95).
Однако построенный нами тензор (89.8) уже является симметрич-
симметричным, поэтому отпадает необходимость в выборе вспомогательного
тензора Xацу. рказывается, можно строго показать, что симметрич-
симметричные тензоры 0 не допускают калибровочного преобразования (89.21)
и, таким образом, определяются однозначно. Для доказательства
воспользуемся следующим простым алгебраическим результатом.
Задача 89.3. Показать, что тензор третьего ранга X^v, антисимметричный по
первым двум индексам и симметричный по последним, тождественно равен нулю.
Таким образом, мы приходим к выводу, что требование
симметрии тензора энергии—импульса определяет его однознач-
однозначно. Остается лишь выяснить, на чем основано само это
требование. Как было установлено в задаче 13.2, требование
симметрии тензора натяжений Максвелла Tlk = Tki вытекает из
закона сохранения момента импульса, поэтому остается доказать
только равенство @О1 = 0Ю? или его векторную форму
g-S/c2 (89.22)
(теорема Планка).
Задача 89.4. Доказать теорему Планка, исходя из симметрии тензора
натяжений Максвелла.
Нетрудно видеть, что по своему физическому смыслу теорема
Планка является выражением эквивалентности энергии и массы
для электромагнитного поля. Это особенно ясно при сравнении
(89.22) с релятивистским соотношением
Р = £и/с2, (89.23)
вытекающим из (84.12) и (84.13).
281

§ 90. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ МАССЫ
Тот замечательный факт, что электромагнитное поле обладает
энергией и импульсом, составляющими 4-вектор
'lvdaA, (90.1)
привел многих физиков и, в частности, первооткрывателя эле-
электрона Дж. Дж. Томсона к заманчивой и простой идее об
электромагнитном происхождении массы электрона*. Качественно
электромагнитный механизм появления инертных свойств у эле-
электрона действительно выглядит очень просто: если неподвижный
электрон окружен только электрическим полем, то движущийся —
еще и магнитным, на создание которого необходимы некоторые
затраты энергии. Однако более пристальный анализ проблемы
показывает, что чисто электромагнитное объяснение массы эле-
электрона все же невозможно. Причин для этого несколько.
Прежде всего для вычисления электромагнитной массы эле-
электрона необходимо рассмотреть конкретную его модель, т. е.
задать распределение зарядов и токов внутри электрона. В про-
простейшей статической модели электрона, предложенной Г. Лорен-
Лоренцем и М. Абрагамом, p = p(r), j = 0, т.е. распределение заряда
считается сферически симметричным**. Однако ясно, что от-
отдельные элементы такого электрона, будучи одинаково заряжен-
заряженными, должны расталкиваться и для их сдерживания необходимо
вводить какие-то дополнительные силы неэлектромагнитного
происхождения. Очевидно, эти сдерживающие силы должны иметь
какой-то материальный носитель, т. е. кроме электромагнитного
должно существовать по крайней мере еще одно поле, взаимодей-
взаимодействие которого с электромагнитным и приводит к появлению
сдерживающих сил. Но всякое материальное поле обладает
4-импульсом ^(т), дающим вклад в полный 4-импульс системы
() ()
С отмеченным обстоятельством связана и другая трудность
электромагнитной теории массы. Именно: при вычислении эле-
электромагнитного 4-импульса (90.1) обнаруживается, что результат
зависит от выбора гиперплоскости интегрирования а, т. е. не
является однозначным. Чтобы понять причину неоднозначности,
достаточно проинтегрировать уравнение (89.7) по некоторому
4-объему Q, заключенному между двумя пространственноподоб-
ными гиперповерхностями ах и а2 (рис. 90.1), и преобразовать
* Thomson J. J. Recent Researches on Electricity and Magnetism. Oxford, 1893,
p. 24.
** M. Абрагам A902) считал электрон жестким, согласно же Г. Лоренцу
форма электрона при движении менялась, а именно: сферическая поверхность
переходила в эллипсоид Хевисайда (см. задачу 80.2).
282

интеграл в поверхностный с помощью
теоремы Гаусса — Остроградского.
В результате, предполагая островной ,
характер системы, находим ®
Отсюда, поскольку /v#0, и выте- рИс. 90.1
кает, что электромагнитный 4-им-
пульс ЗР^ в общем случае зависит от выбора гиперповерхности
интегрирования а.
Однако указанный недостаток легко устраняется, если ввести
вспомогательное поле, обусловливающее сдерживающие силы.
Сопоставляя этому полю тензор энергии — импульса 0(т) и 4-
импульс
{Soda,, (90.3)
можно определить сдерживающие силы равенством /1цср=— /v
и по аналогии с (89.7) положить
Подставляя (90.4) в (90.2) и применяя теорему Гаусса —
Остроградского G4.14), находим
j Т^&о^= j ГцМац, (90.5)
где ^ введен полный тензор энергии — импульса системы
Т = 0(т) + 0, согласно (90.4) и (89.7) удовлетворяющий дифферен-
дифференциальному закону сохранения
^7^ = 0. (90.6)
Равенство (90.5), вытекающее из (90.6) в предположении
островного характера системы, известно как теорема Беккера.
Оно выражает закон сохранения полного 4-импульса системы
(90.7)
и независимость последнего от выбора поверхности интегрирова-
интегрирования а. В частности, считая а гиперплоскостью а0, ортогональной
оси Х°9 получаем обычно используемое выражение для 4-
импульса:
г г
C)+©Ov)dK. (90.8)
283

Таким образом, на основании теоремы Беккера указанное
выше противоречие разрешается.
Между тем если не вводить сдерживающие силы, но условиться
о выборе единственной поверхности интегрирования а, например
гиперплоскости а0, ортогональной к оси Х°9 то противоречие все
же возникнет [и вновь в связи с уравнением (90.2)]. Чтобы лучше
понять причину этого, полезно сначала ознакомиться с двумя
распространенными точками зрения на преобразования Лоренца.
Пусть некоторый объект Ф описывается набором физических
величин Х={А, В, С, ...}, являющихся компонентами некоторых
4-тензоров. При преобразовании Лоренца набор X перейдет
в новый набор Х' = {А\ В\ С, ...}, являющийся некоторой фун-
функцией старого. Возникающие при этом отношения между на-
наборами X, X' и объектом Ф могут рассматриваться с двух
различных точек зрения, отождествление которых приводит
к принципу относительности*.
1. Пассивная точка зрения, или точка зрения двух наблюда-
наблюдателей, рассматривает наборы X и X' как соответствующие
одному и тому же объекту О9 описываемому двумя разными
наблюдателями в своих системах отсчета Z и Г. Таким образом,
получается соответствие
2. Активная точка зрения, или точка зрения одного наблюда-
наблюдателя, рассматривает наборы X и X' как соответствующие двум
тождественным объектам Ф и Ф'9 находящимся в различных
состояниях и описываемым в одной системе отсчета Z. В этом
случае имеем соответствие
В первом подходе преобразования Лоренца, связывающие
наборы X и Х\ осуществляют лишь «перевод» физических
величин с языка наблюдателя в S на язык наблюдателя в Е\
При этом уравнения для X также должны «переводиться»
с одного языка на другой и форма их при этом может
существенно меняться. Лишь с принятием принципа относитель-
относительности, который в данном случае является дополнительным
постулатом, из всех возможных уравнений отбираются те, форма
которых при преобразованиях Лоренца остается неизменной.
Во втором же подходе вследствие тождественности объектов
Ф и Ф' наборы X и X' должны соответствовать разным решениям
одних и тех же уравнений. Таким образом, активная точка
* Bargmann V. Relativity — Reviews of Modern Physics, 1957, v. 29, p. 161.
284

зрения предполагает, что преобразования Лоренца образуют
группу инвариантности исходных уравнений, т. е. переводят одно
их возможное решение в некоторое другое возможное же решение.
Преобразования с такими свойствами были хорошо известны
в физике еще до создания теории относительности. Классическим
их примером являются канонические преобразования в механике,
переводящие один возможный набор канонических переменных
X={q,p; t, Я}, подчиняющихся уравнениям Гамильтона с гамиль-
гамильтонианом H—H(t, q, p\ в другой возможный набор канонических
переменных X' = {q\ p'\ t\ #'}, также подчиняющихся уравнениям
Гамильтона, но с новым гамильтонианом H' = H'(t\ q\ p'). Мож-
Можно сказать, что с активной точки зрения, одним из ярких
представителей которой был Лоренц, преобразования Лоренца
рассматриваются как особого рода канонические преобразования,
выделенные из всех других своей универсальностью.
Так как при активном преобразовании Лоренца система
отсчета остается неизменной и физический смысл придается
лишь непреобразованным координатам и времени, то становится
понятной ошибочность широко распространенного мнения о том,
что активная точка зрения содержит в себе принцип относитель-
относительности Эйнштейна. На самом же деле последний предполагает
единство активной и пассивной точек зрения, когда преоб-
преобразованным пространственно-временным координатам придается
такой же физический смысл, как и непреобразованным.
Вернемся теперь к электромагнитной теории массы, ограничив-
ограничившись статической моделью электрона и приняв, что при вычислении
4-импульса (90.1) выбирается фиксированная гиперплоскость а0,
ортогональная оси Х°. Очевидно, такой выбор соответствует активной
точке зрения на преобразования Лоренца, когда система отсчета
остается неизменной, а преобразуются лишь полевые величины, т. е.
©ц\ Покажем, что так определенные компоненты 4-импульса
°МК (90.9)
не образуют 4-вектор*. В самом деле, если считать, что 4-импульс
(90.9) соответствует движущемуся электрону, то для неподвижного
электрона
* Во избежание недоразумений следует отметить, что при пассивных
преобразованиях Лоренца 4-импульс ^ всегда ведет себя как 4-вектор по
определению входящих в него 0MV и daM как компонент соответствующих
4-тензоров. См.: Широков Ю. М. Релятивистская теория системы частиц.—
Кандидатская диссертация. МГУ, 1951, Гл. III.
285

или после переобозначения переменных интегрирования (г->г')
0>{Ъ = 1- 0'Ov(r')dK' = I ©'^(x^da',. (90.10)
Напомним, что а0 — гиперплоскость, ортогональная оси Х'°.
Отсюда, используя тензорный закон преобразования 0фу и da^
через 0аР и daa, находим
(90.11)
где Л — матрица Лоренца, а гиперплоскость а связана с а0
преобразованием Лоренца. Сравнивая (90.11) с (90.9), убеждаемся,
что правильный закон преобразования SP'^ = K^SP\{) получается
лишь в случае, когда
J0^vda,= J0^vdaM. (90.12)
a a0
Анализируя это соотношение в рамках статической модели
электрона, немецкий физик М. Лауэ пришел к утверждению,
ставшему известным как теорема Лауэ, которую можно сфор-
сформулировать следующим образом.
Для того чтобы электромагнитный 4-импульс &>§)9 вычисленный
для статической модели электрона по формуле (90.9), преоб-
преобразовывался как 4-вектор при активных преобразованиях Лоренца,
необходимо и достаточно, чтобы в собственной системе отсчета
электрона выполнялись условия
J©ikdK=O. (90.13)
Задача 90.1. Доказать теорему Лауэ, опираясь на соотношения (90.2) и (90.12).
Однако из существования нулевого следа у тензора энергии —
импульса электромагнитного поля
3
вытекает, что в любой электромагнитной модели электрона
з
т. е. условия теоремы Лауэ не выполнены. Поэтому компоненты
электромагнитного 4-импульса Й^, вычисленные для движущегося
электрона, не удовлетворяют правильному релятивистскому соот-
соотношению (89.23).
Задача 90.2. Вычислить 0^\^ в моделях электрона Абрагама и Лоренца.
Убедиться в нарушении соотношения (89.23).
286

Итак, мы убедились, что электромагнитная теория массы
без введения сдерживающих сил противоречива. Впервые в рамках
статической модели электрона сдерживающие силы были введены
А. Пуанкаре, который, по аналогии с гидродинамикой, предложил
записывать их в виде
ЛдеР=-Ч©Г (90.14)
При этом в собственной системе отсчета электрона
®F = dmg[09 р,р9р], (90.15)
где р — давление Пуанкаре. Таким образом, в собственной системе
сдерживающая сила равна fwp = — Ур и условие равновесия имеет вид
pE-Vp = 0. (90.16)
Переписав (90.16) в произвольной системе отсчета как
/v=—/сдер, получаем дифференциальный закон сохранения энер-
энергии — импульса
дц@^ + 0Г) = дцГ^ = О. (90.17)
Таким образом, полный тензор энергии-импульса Т = © + ©Р
удовлетворяет условиям теоремы Беккера, что позволяет записать
полный 4-импульс в виде
} . (90.18)
Вычисляя его в собственной системе электрона, где Р = 0,
находим собственную энергию Ео электрона, которая вследствие
(90.15) оказывается совпадающей с электростатической энергией:
Ео= ГToodV= | 0oodK=l |E2dK. (90.19)
Представляя электрон в виде шарика радиуса а, заряженного
по поверхности зарядом е, имеем
Е0 = е21{2а\ (90.20)
что позволяет вычислить собственную массу электрона:
Л = Е0/с2 = е2/Bас2). (90.21)
Обратно: задавшись собственной массой Л, с помощью
(90.21) можно получить характерный размер
ro = e2/(J?c2)*2£-l0-13 см, (90.22)
условно называемый электромагнитным радиусом электрона.
Очевидно, в произвольной системе отсчета, в которой электрон
имеет 4-скорость С/, в соответствии с (90.18) и (90.21) полный
4-импульс электрона может быть записан в виде
2 (90.23)
287

При этом помимо электромагнитного 4-импульса ^@ сущест-
существенный вклад в 2Р дает 4-импульс <^Р, обусловленный давлением
Пуанкаре. В соответствии с вышесказанным каждый из этих
4-импульсов порознь не является 4-вектором относительно ак-
активных преобразований Лоренца — таковым является лишь пол-
полный 4-импульс. Что же касается собственной массы электрона
(90.21), то в схеме Пуанкаре она является чисто электромагнитной.
§ 91. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ
В предыдущих параграфах мы получили законы сохранения энергии
и импульса для системы зарядов, взаимодействующих посредством
электромагнитного поля. Рассмотрим теперь произвольную совокуп-
совокупность частиц, взаимодействующих посредством некоторой системы
полей, которой, по аналогии с ^электромагнитным случаем, припишем
тензор энергии — импульса ®@ такой, что плотность 4-силы /v,
действующей на частицы со стороны полей, оказывается равной
р=-д^у (91.1)
Если, с другой стороны, по аналогии с (90.14), эту плотность
4-силы представить в виде дивергенции некоторого ^«материаль-
^«материального» тензора ®(т), то для полного тензора Т = ®(f) + © (т),
очевидно, справедливо равенство
д^ = 0. (91.2)
В таком случае выполняются условия теоремы Беккера, что
позволяет записать сохраняющийся полный 4-импульс в виде
))dK. (91.3)
Обычно в полном 4-импульсе выделяют 4-импульсы отдельных
материальных частиц ^(п) и 4-импульс полей ^(f), полагая
(91.4)
или в компонентах:
(91.5)
(91-6)
где Еп — энергия п-и частицы; Рп — ее трехмерный импульс; Е{
и Pf — соответственно энергия и трехмерный импульс полей,
переносящих взаимодействие.
Производя такое разбиение полного 4-импульса, следует
помнить (см. § 90), что каждый из 4-импульсов ^(п) или
288

^(f) в отдельности, вообще говоря, уже не является 4-вектором
в отличие от полного 4-импульса ^. 4-векторами они будут
лишь в случае, когда частицы практически не взаимодействуют
друг с другом и с рассматриваемой системой полей. В самом
деле, только тогда каждую частицу можно окружить некоторой
замкнутой поверхностью Sn, в точках которой выполнено
равенство
Т^ = 0. (91.7)
Нетрудно видеть, что условия (91.7) и (91.2) эквивалентны
условиям теоремы Беккера, поэтому можно определить 4-импульс
частицы как
(n)~~~c
т. е. произвести интегрирование по объему Vn9 ограниченному
поверхностью Sn. Из той же теоремы Беккера следует, что
компоненты 8Р\п) образуют 4-вектор, т. е, справедливо соотноше-
соотношение (89.23).
Аналогично строится и 4-импульс полей, переносящих вза-
взаимодействие:
где V{ — все пространство за вычетом областей Vn. Очевидно,
что компоненты ЗР\{) также образуют 4-вектор.
Указанные выше условия (91.7) можно считать всегда выпол-
выполненными в реальных физических экспериментах с элементарными
частицами. В этих экспериментах обычно изучается взаимодейст-
взаимодействие частиц, выводимых из ускорителя, с частицами неподвижной
мишени. Сам процесс взаимодействия падающих частиц с ми-
мишенью занимает ничтожные доли секунды, а большую часть
времени частицы находятся в свободном состоянии. Поэтому
если рассматривать состояния нашей системы частиц лишь
в моменты времени, достаточно отдаленные от момента непо-
непосредственного взаимодействия (т. е. рассматривать либо сближе-
сближение частиц, либо их разлет), то все частицы можно считать
практически невзаимодействующими. Такие состояния принято
называть асимптотически свободными.
Каждой системе взаимодействующих частиц можно сопоста-
сопоставить инвариантную сохраняющуюся величину — собственную массу
этой системы
Л=Х-{0>^уи = ^\^Еп + Е^-с2 (jX + PfJ]1'2. (91.8)
10 Зак 378 289

Если же состояние асимптотически свободно, то можно
определить и собственные массы поля и отдельных частиц:
Ле = —=(Е{ — С Pf ) ' , Лп = ^:(Еп — С Рп ) ' . (91.9)
с ' с v '
Нетрудно убедиться, что имеет место неравенство
Л^-^п + ^о (91.10)
п
выражающее неаддитивность собственной массы, т. е. несовпаде-
несовпадение собственной массы системы с суммой собственных масс
составляющих ее частей.
Для доказательства неравенства (91.10) выберем систему
отсчета, связанную с центром масс системы частиц (коротко —
система центра масс), в которой Р = 0. Тогда собственная масса
системы равна
Jt = Y,J?nyn + Ef/c2, (91.11)
п
где у„ = A —Рп) 1/2> Фп = ип — скорость п-и частицы в системе
центра масс. Отсюда с учетом очевидных неравенств уп ^ 1
и Е{^М{с2 и следует (91.10).
В современной теории элементарных частиц каждому полю
сопоставляются особые частицы — кванты этого поля (в част-
частности, электромагнитному полю сопоставляются фотоны — кван-
кванты света). Предполагая кванты поля асимптотически свободными,
можно произвести разбиение:
к
—и таким образом свести систему частиц, взаимодействующих
посредством поля, к совокупности свободных частиц. В этом
случае неравенство (91.10) принимает вид
Ь (91.12)
где Л{— собственные массы асимптотически свободных частиц,
включая и кванты поля*. Так как скорость фотона и = с9 то
убеждаемся с помощью (89.23), что для него
P = Eu/c2 = Es/c, (91.13)
где s — единичный вектор, направленный вдоль импульса фотона.
Следовательно, собственная масса отдельного фотона равна нулю:
Л = ±(Е2-с2Р2I/2 = 0. (91Л4)
* Разность M — Y^^i обычно называется дефектом массы.
i
290

Поэтому для совокупности фотонов неравенство (91.12) при-
принимает вид
(91.15)
т. е. собственная масса произвольного поля излучения, вообще
говоря, отлична от нуля, хотя собственные массы отдельных
фотонов, составляющих это поле, равны нулю. Этот результат
легко понять, если с учетом (91.13) записать собственную массу
совокупности фотонов*:
Это выражение равно нулю только в том случае, когда все
векторы S; одинаково направлены, т. е. все фотоны движутся
в одном направлении. В общем же случае произвольно движущих-
движущихся фотонов (s;Sfc)<l и Л>§.
Задача 91.1. Частица с массой Л1 налетает на неподвижную частицу
с массой Л2 (мишень), и в результате их столкновения рождаются частицы
с массами Л\ф§ (/=1,2,...), т.е. идет реакция Л1+Л2~*^Л\. Найти
i
порог реакции То, т. е. минимальную кинетическую энергию налетающей
частицы, при которой данная реакция может идти.
Задача 91.2. При описании реакций типа Л\ + Лг2-+Л'3 + Л\ удобно исполь-
использовать инвариантные переменные Мандельштама
Показать, что они удовлетворяют тождеству s + t + u— £ Л^с1, в свою
очередь эквивалентному тождеству
(^Л)-(#Л)-(ад)=И1-^Ь^2-^^2/2. (91.17)
Задача 91.3. Найти порог реакции Л1 + Л1-*^Л\ +у, в которой рождается
фотон у с энергией Е и частицы с массами Л\фО.
§ 92. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Изучим более подробно релятивистский закон сохранения энергии
для системы частиц и полей, выражаемый равенством (91.5):
Y,En + Ef = E=const. (92.1)
п
Чтобы выяснить физический смысл входящих сюда величин,
запишем ££п в нерелятивистском приближении, полагая Рп<^с1:
.2/2). (92.2)
* См. также задачу 89.1.
10* 291

Что касается полевой энергии Еь то ее всегда можно
представить в виде энергии взаимодействия источников, если
предварительно выразить поля через источники, решив уравнения
поля. Поэтому в нерелятивистском приближении полевая энергия
Е{ переходит в потенциальную энергию U взаимодействия частиц,
как это имеет место, например, в электродинамике в квазистаци-
квазистационарном случае (см. § 51) и как это видно из выражения (87.6)
для гамильтониана заряда во внешнем электромагнитном поле.
Таким образом, в нерелятивистском приближении
^, (92.3)
где £нер — обычная нерелятивистская энергия системы взаимодей-
взаимодействующих частиц.
Отсюда следует, что если не наблюдается превращений частиц
друг в друга, т. е. 2^Мп остается неизменной, то в нерелятивистс-
п
ком приближении справедлив обычный закон сохранения энергии:
£нер=; const. Однако в том случае, когда наблюдаются взаимопрев-
взаимопревращения частиц, ^Мп может измениться и закон сохранения
энергии должен формулироваться в виде (92.3.).
Учитывая все сказанное, в релятивистском случае удобно
ввести понятие активной энергии
£ = E-\ic2, (92.4)
где \i = Yj^t (все поля заменяются соответствующими части-
i
цами—квантами поля). Нетрудно видеть, что в нерелятивистском
приближении при отсутствии превращений частиц активная энер-
энергия играет роль полной энергии и в различных макроскопических
процессах именно она переходит в тепловую энергию. В связи
с этим активную энергию вполне обоснованно можно назвать
энергией в термодинамическом смысле.
При превращениях частиц активная энергия изменяется на
величину
(92.5)
называемую энергетическим выходом реакции. Таким образом,
всякое уменьшение суммы собственных энергий системы частиц
сопровождается увеличением активной энергии. Этот закон порож-
порождения активной энергии системы за счет собственных энергий
составляющих ее частиц лежит в основе всей ядерной энергетики.
Для его иллюстрации обратимся к некоторым простейшим
примерам.
Начнем с наиболее важной в практическом отношении ядерной
реакции деления, которая осуществляется в топках атомных
292

электростанций — атомных реакторах. Эта реакция происходит
следующим образом. Ядро урана-235, поглощая медленный
нейтрон, переходит в короткоживущее ядро урана-236, которое
делится на два тяжелых ядра-осколка, испуская при этом два-три
нейтрона. Например, если испускаются два нейтрона и образуются
ядра стронция-94 и ксенона-140, эта реакция записывается сле-
следующим образом:
Применяя формулу (92.5), для энергетического выхода реакции
получаем выражение
-J(ST-JlXt-Jtn). (92.6)
Формулу (92.6) можно упростить, если ввести понятие энергии
связи ядра Есв, которая только знаком отличается от активной
энергии ядра, рассматриваемого как совокупность нуклонов. Так,
если ядро имеет атомный номер А и состоит из Z протонов
и A—Z нейтронов, то его энергия связи равна
2-JrAc29 (92.7)
где Mv и Лп — собственные массы протона и нейтрона соответ-
соответственно. С помощью (92.7) формулу (92.6) можно привести
к практически более удобному виду:
A<f = <fu-<fSr-^xe. (92.8)
Используя опытные данные по энергиям связи интересующих
нас ядер [235UA746 МэВ), 94SrG99 МэВ), 14ОХеA141 МэВ)], для
активной энергии, выделяющейся в урановом котле при каждом
акте деления, находим А^^194МэВ.
В качестве второго простейшего примера рассмотрим реакцию
аннигиляции электрона и позитрона, т. е. их превращение в два
фотона:
Очевидно, Д|Л=— 2Jtt, так как фотон не имеет собственной
массы. Таким образом, выделяющаяся активная энергия равна
2ъ\ МэВ. (92.9)
Часто в физической литературе процесс порождения активной
энергии при превращениях частиц, сопровождающихся изменением
суммы их собственных масс, называют «превращением массы
в энергию». Однако подобная терминология не выражает содер-
содержания данного процесса и может привести лишь к ошибочным
философским выводам о якобы исчезающей материи или унич-
тожимом движении. На самом деле во всех таких процессах
не изменяется ни релятивистская энергия Е, ни релятивистская
293

собственная масса системы М, т. е. никаких превращений массы
в энергию не происходит. Если все же процесс порождения
активной энергии обозначать термином «превращение», то можно
лишь говорить о превращении скрытой внутренней энергии
системы в ее активную форму. Мерой скрытой внутренней
энергии системы является при этом сумма собственных энергий
отдельных составных частей системы.
Задача 92.1. Фотонный звездолет массы Jt', работающий на реакции е + + е ~ -*2у,
имеет параболический отражатель с фокусом а и радиусом раствора R. Каждую
секунду вблизи фокуса происходит N аннигиляции электронов и позитронов,
поступающих туда навстречу друг другу со скоростью v. Найти силу тяги
двигателя и закон изменения скорости звездолета со временем.
§ 93. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВСТРЕЧНЫЕ ПУЧКИ
Одним из основных источников получения частиц высоких энергий
в лабораторных условиях являются ускорители элементарных
частиц. Современные ускорители представляют собой грандиозные
сооружения, строительство и обслуживание которых требуют
колоссальных затрат средств и энергетических ресурсов. О масшта-
масштабах этих затрат можно судить на основании элементарной формулы
вытекающей из (86.16) и выражающей энергию Е ультрареля-
ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся в магнитном поле
В. Из этой формулы видно, что размеры ускорителя R растут
линейно с энергией частицы, поскольку технических возможностей
для увеличения магнитных полей в настоящее время почти не
существует. Все это заставляет физиков либо искать новые
методы ускорения элементарных частиц, либо более эффективно
использовать частицы уже достигнутых энергий.
Последнее как раз и осуществляется в ускорителях на
встречных пучках. Если в обычных ускорителях пучок ускоренных
частиц направляется на неподвижную мишень, то здесь осущест-
осуществляется лобовое столкновение двух встречных пучков (это могут
быть либо пучки от двух отдельных ускорителей, либо, если
это частицы разных по знаку зарядов, два встречных пучка
в одном накопительном кольце). Оказывается, что таким спо-
способом— при заданной энергии ускоряемого пучка, значение
которой ограничивается параметрами ускорителя,— можно мно-
многократно увеличить долю активной энергии, идущую на порож-
порождение новых элементарных частиц.
Чтобы проиллюстрировать возможности ускорителей на
встречных пучках, рассмотрим процесс лобового столкновения
двух частиц с массами Л1 и Л2. Пусть ^1? 2Р2 и ^'ь 2Р'2 суть
4-импульсы наших частиц соответственно в лабораторной системе
отсчета, где Р2 = 0, и в системе центра масс, где Р\ = — Р'2.
Запишем в обеих системах очевидный инвариант
294

{&&г) = {Р\9'г\ (93.1)
Тогда
откуда, замечая, что
(P'iJ = (P'2J = (£
находим
E1J?2 = (E\+E'2J/Bc2)-(J?21 + J?22)c2/2. (93.2)
Вводя активные энергии частиц, т. е. полагая
из (93.2) получим
с2. (93.3)
Для анализа этой формулы удобно перейти к безразмерным
переменным z = S\{M2c2), г' = $ 1{Л2с2). Тогда (93.3) принимает
вид
(. (93.4)
В нерелятивистском случае е' <^с 1 и поэтому
(93.5)
что для частиц одинаковой массы соответствует хорошо извест-
известному учетверению кинетической энергии при удвоении скорости.
Однако в ультрарелятивистском случае, когда е'» 1, можно считать
е^2е'2, (93.6)"
т. е. 8» 8'. Это означает, что относительно незначительные
затраты активной энергии Bе') при столкновении встречных
пучков оказываются по своей эффективности эквивалентными
намного большим (в е' раз) затратам активной энергии (е)
в случае падения на неподвижную мишень. Это обстоятельство
говорит о чрезвычайной эффективности ускорителей на встречных
пучках в ультрарелятивистской области.
§ 94. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как и уравнения механики, уравнения Максвелла могут быть записаны в лаг-
ранжевой форме, часто применяемой в современной теории поля. Для вывода
полевых уравнений Лагранжа экономнее всего воспользоваться принципом
наименьшего действия, или вариационным принципом. Важным преимуществом
вариационного подхода является единообразие вывода как уравнений поля, так
и вытекающих из них законов сохранения. Ради общности разумно сформулиро-
сформулировать вариационный принцип для произвольного поля, а электромагнитное поле
рассмотреть в качестве примера, иллюстрирующего общий метод.
Пусть некоторое поле описывается п независимыми функциями us{x), s=\,
2, ..., я, пространственно-временных координат. В основе вариационного подхода
295

к теории поля лежит выбор гамильтонова действия S, которое должно быть
некоторым функционалом от поля и обычно берется в виде
S[us\Q] = - \&(и„ dvus)du. (94.1)
п
Здесь Q — некоторый 4-объем; if — плотность функции Лагранжа, или лаг-
ранжева плотность, являющаяся релятивистски инвариантной функцией от поля
и его первых производных.
Для формулировки вариационного принципа* зададим произвольное бес-
бесконечно малое преобразование координат и полей:
Ьх»(х) = х'»(х)-х», bus(x) = u's(x')-us(x). (94.2)
Кроме полной вариации поля bus нам понадобится еще вариация формы
полч, определяемая как
lus(x) = u's{x)-us{x). (94.3)
Из (94.3) следует важное свойство вариации формы:
Ъд^и,(х)^и'.{х)-д^и,(х) = д^и.{х). (94.4)
Ограничиваясь величинами первого порядка малости, имеем
Ьщ(х) = и'8(х')-щ(х)-(и'8(х')-и'8(х))^Ьщ(х)-д^и8Ьх^.
Таким образом, полная вариация связана с вариацией формы соотношением
Ьи8 = Ьи8 + д^и88х^. (94.5)
С помощью (94.4) и (94.5) нетрудно установить, что
&dMws = dM§ws + 6jcvdMdvws. (94.6)
Получим, наконец, вариацию элементарного 4-объема 5dQ = dQ'—dQ, пред-
предварительно найдя якобиан J преобразования координат с точностью до величин
первого порядка малости по Ъх\
з
h^5jcv||» П A +dv5;cv)
откуда
5dQ = dQ(t/- l) = dQ^5jc^. (94.7)
Теперь у нас есть все подготовительные формулы для вычисления вариации
й
действия:
bS=S'-S=- \&(и'Лх'),
1
(^5dQ + 5^dQ) (94.8)
Вводя обобщенный полевой импульс
<94-9)
* См.: Боголюбов Н. #., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных
полей. М., 1976; Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М., 1961.
296

и используя соотношения (94.5) и (94.6), находим
n V f\C£
что с учетом соотношения
преобразуется к виду
Подстановка (94.10) и (94.7) в (94.8) даег
Первое слагаемое в (94.11), имеющее вид четырехмерной дивергенции, можно
привести с помощью теоремы Гаусса — Остроградского к интегралу по замкнутой
гиперповерхности а, окружающей 4-объем Q. В результате получается следующее
выражение для полной вариации действия, известное в вариационном исчислении
как формула Адамара:
1 Г/ \ 1 Г (д££ \
J)l J>f8 S?8* )Л I id^\bdil (94.12)
\ 1 Г " (д££ \
)Ло„+- I i—-d^\busdil.
Исключая из поверхностного интеграла 8ws при помощи (94.5) и вводя
канонический тензор энергии — импульса
Т»*= t nWus-<tg»\ (94.13)
можно привести 55 к форме, наиболее часто используемой в физике:
i
f/" \ if" (д<£
(Ь1 I n»bus-T^bxv jdaM + - J] I — -
I sv jM J] ^ss (94.14)
Формула Адамара (94.14) является основой вариационной формулировки
теории поля и позволяет получить как уравнения поля в лагранжевой форме,
так и вытекающие из них законы сохранения. Для этого необходимо принять
следующий вариационный принцип.
Уравнения, которым подчиняются полевые функции м„ таковы, что их
решения реализуют экстремум функционала действия S [us |Q J среди всех функций,
принимающих заданные значения на границе области Q.
Согласно этому принципу, объемный интеграл в (94.14) должен исчезать,
а так как вариации bus произвольны, то для этого необходимо, чтобы выполнялись
равенства
ия = 0 (s=l, 2, ..., и), (94.15)
297

которые, согласно (94.9), принимают вид
)~ = 0 (*=1, 2, ..., п). (94.16)
Это и есть лагранжева форма уравнений поля.
Очевидно, что с учетом уравнений (94.15) формула (94.14) упрощается
и вариация действия 85 оказывается зависящей лишь от вариаций поля
и координат на граничной гиперповерхности ст:
$( t ж,W. (94.17)
с
Применим теперь изложенный формализм к электромагнитному полю. В этом
случае роль полевых функций будут играть 4-потенциалы Лц, а в качестве
лагранжевой плотности можно использовать инвариант
X=—^F*F4-^A». (94.18)
Чтобы убедиться в том, что предложенная лагранжева плотность является
правильной, вычислим сначала обобщенный полевой импульс я£. Учитывая, что
Гар-даАр-дрАа, находим
dF
поэтому
С другой стороны,
£Sei6Ax=-jJc,
так что уравнения Лагранжа (94.15) принимают вид
После поднятия индекса X эти уравнения, очевидно, совпадают с G9.2), т. е.
с первой группой уравнений Максвелла. Что же касается второй группы уравнений
Максвелла G9.4), то она, как известно, эквивалентна соотношению Fa^ — daA^ — d^Aa.
§ 95. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЕ ВАРИАЦИОННОГО
ПРИНЦИПА
Формула Адамара позволяет получить не только уравнения поля, но и явный
вид всех сохраняющихся в силу этих уравнений величин. При этом выясняется,
что каждый закон сохранения оказывается тесно связанным с инвариантностью
действия относительно некоторого преобразования координат или полевых
функций. Чтобы установить эту связь, рассмотрим N различных бесконечно
малых преобразований вида
5(r)xv = ^(vr)(xM^ bir)us=UV(x)bK (r=h 2, ..., TV), (95.1)
где ХУ и U(p — некоторые функции координат, Ь\ — постоянные бесконечно
малые параметры. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема Нетер. Если действие S инвариантно относительно N бесконечно
малых преобразований (95.1), то существует N сохраняющихся в силу уравнений
поля величин
^ I/ jda,. (r=l, 2, ..., TV), (95.2)
298

не зависящих в случае островной системы
от выбора пространственноподобной гипер-
гиперповерхности ст.
Доказательство теоремы основано на
использовании формулы Адамара. Из инва-
инвариантности действия относительно преобра-
преобразований (95.1) следует, что 8(r)S = 0. Поэтому
при подстановке (95.1) в (94.17) находим
Рис. 95.1
daM =
(95.3)
Для островной системы в случае 4-объема Q, ограниченного двумя простран-
ственноподобными гиперповерхностями ах и ст2, из (95.3) следует равенство
ЛЫ = ЛЫ, (95.4)
полностью доказывающее теорему.
Поскольку пространственноподобная гиперповерхность а в (95.2) совершенно
произвольна, ее можно немного деформировать в окрестности некоторой точки
х (рис. 95.1) и записать равенство (95.4), выбрав g1 = g, ст2=ст+5ст:
Jr [а + 5а] -Jr [a] = 0.
Отсюда, пользуясь формулой G4.13), нетрудно вывести соответствующие
дифференциальные законы сохранения:
= 0.
(95.5)
В качестве иллюстрации теоремы Нетер рассмотрим преобразования сдвига
и поворота в четырехмерном пространстве, предполагая, что действие S ин-
инвариантно относительно этих преобразований. В случае бесконечно малого сдвига
на постоянный вектор 55i имеем
Zia) = 5;, U{^ = 0. (95.6)
Подстановка (95.6) в (95.5) приводит к дифференциальному закону сохранения
^7^ = 0, (95.7)
что соответствует интегральной сохраняющейся величине
4J'
(95.8)
В конце этого параграфа на примере электромагнитного поля мы убедимся,
что 4-вектор (95.8) является 4-импульсом системы.
Рассмотрим теперь преобразование бесконечно малого четырехмерного по-
поворота
Ьх^8Х^х\ (95.9)
где 55iMV — бесконечно малый «угол» поворота в плоскости А^м, Xv. Очевидно,
что индекс г в (95.1) соответствует в этом случае двойному индексу (jiv) = r.
Таким образом, 85iik — обычный угол трехмерного поворота, а—сЬХ01 — ю( —
относительная скорость двух систем отсчета, задающая некоторое бесконечно
малое преобразование Лоренца.
299

Задача 95.1. Показать, что 8A,MV= — 8А,УЦ, воспользовавшись инвариантностью
интервала относительно преобразований (95.9).
С учетом антисимметрии 5?1ЦУ представим наше преобразование координат
и полей в виде
где A^mv) = 8?jcv — 8^xM; t/'MV) = — U(svli) — некоторая функция, определяемая тензор-
тензорными свойствами полей us. Тогда соответствующий дифференциальный закон
сохранения (95.5) имеет вид
0, (95.11)
где введены обозначения
о*.цу_ у тг^.г/(цу)_ оЬц /пс 1 о\
о = ? Д, s СУ s — — о . ^"J.IO^
Сохраняющаяся величина, очевидно, имеег вид
ох. (95.14)
Физический смысл ее мы выясним на примере электромагнитного поля
в конце параграфа.
Заметим теперь, что канонический тензор энергии— импульса Т, вообще
говоря, не является симметричным, т.е. т^ФТ"*. Поэтому подстановка (95.12)
в (95.11) с учетом (95.7) дает
ajLlS^v=rvM-rMV. (95.15)
Оказывается, что равенство (95.15) можно использовать для построения
нового тензора
&^=Т^ + дкХ^\ (95.16)
симметричного и удовлетворяющего дифференциальному закону сохранения
<?M0"V = O, (95.17)
если Хх^= —X^Xv. Именно: оказывается справедливой следующая теорема.
Теорема Белинфанте*. Тензор (95.16) удовлетворяет дифференциальному закону
сохранения (95.17) и симметричен, если
y^nv (с>Х\\\ о\А.ц CM^V\//1) (Q^ I Q\
Л —^О —О —<3 }//.. \yJ.lO)
Для доказательства убеждаемся, что Xx^v= — XmXv, поскольку SK^V=— 5Хуц
[см. (95.13)]. Поэтому (95.17) является следствием (95.7):
Далее, с помощью (95.15) тензор 0 можно привести к виду
(у — (/ -\-1 )/2 — о^ (о -\~ & )\*-"> (95.19)
откуда очевидна его симметричность. Теорема доказана.
Из теоремы Белинфанте с учетом результата задачи 89.2 следует, чго
сохраняющийся 4-вектор ^ может быть записан в виде
* Belinfunte F. J. On the spin angular momentum of mesons — Physica, 1939,
v. 6, p. 887; Rosenfeld L. Sur tenseur impulsion — energie — Memoires de l'Acad.
Roy. Belg., 1940, t. 18, fasc. 6, n° 1536.
300

MVdaM. (95.20)
Покажем, что и М^ также может быть выражено через тензор 0. Для
этого образуем новый тензор
М^ = ^0ь-^0Хм, (9521)
который вследствие (95.17) и свойства симметрии 0ЦУ = 0УМ удовлетворяет
дифференциальному закону сохранения
дкМх^ = 0. (95.22)
Подставляя (95.16) в (95.21), имеем
Но [см. (95.18)] xvX»-X»Xv = Sx»\ поэтому
Mx»v=~Mx»v-dxKxX»\ (95.23)
где
KxX*v = x»rkv + xvXxXlt= -Ku»\ . (95.24)
Благодаря антисимметрии тензора (95.24) можно использовать результат
задачи 89.2 и с учетом (95.11) и (95.22) получить
if— If
с с }
(95.25)
Итак, с помощью симметричного тензора энергии—импульса 0 можно
вычислять сохраняющиеся величины ^v и Jt^. Чтобы выяснить их физический
смысл, рассмотрим конкретный пример свободного электромагнитного поля (/ц = 0).
Прежде всего на основании (94.19) и (94.13) вычислим Гцу:
р-= __±F»«dvAa + _L(F«tFa )gnv (95.26)
47Г 1ОЯ
Так как т^ФТ1*, то необходимо строить симметричный тензор 0. Замечая,
что А является 4-вектором, найдем вариацию bA\i при преобразовании (95.9)
по аналогии с 5хм:
^ (95.27)
Сравнением (95.27) с (95.10) находим
f/^v) = 5{Mv-STMM. (95.28)
Поэтому, согласно (95.13),
S^ = nx I/t(MV) = (FxM»l-Fx»l^v)/Djt), (95.29)
что позволяет найти тензор Белинфанте (95.18):
(95.30)
Теперь уже нетрудно с помощью (95.16) и уравнений поля <\.Р*"и = 0 вычислить
симметричный тензор энергии — импульса 0:
очевидно, совпадающий с (89.8). Таким образом, 4-вектор (95.20) совпадает
с 4-импульсом ^(f) электромагнитного поля.
301

Рассмотрим сохраняющийся антисимметричный тензор ЛРУ=—^VM. Для
выяснения его физического смысла вычислим сначала его пространственные
компоненты
Jlik = - \MOikdV. (95.32)
с)
Замечая, что zikjMOkj /Bc) = [rg ]£, где g—плотность импульса электромаг-
электромагнитного поля, имеем
^кУ, (95.33)
т. е. М—вектор момента импульса электромагнитного поля.
Что касается J$°\ то, вводя радиус-вектор центра масс электромагнитного
поля
с учетом (95.20) получаем
(°О11оо)хо0>1-К10>0. (95.35)
Дифференцируя (95.35) по времени, находим
6Я1/<И = с0>ЧР° = и\ (95.36)
т. е. сохранение величин Jt°l выражает не что иное, как закон равномерного
поступательного движения центра масс электромагнитного поля.
Сохраняющийся антисимметричный тензор Л обычно называют релятивистс-
релятивистским тензором момента импульса полевой системы, а соответствующий тензор
третьего ранга МХцу—релятивистским тензором плотности момента импульса.
Возвращаясь к фундаментальной теореме Нетер, лежащей в основе вариаци-
вариационной формулировки законов сохранения, можно сказать, что сохранение
4-импульса 0> является следствием инвариантности действия относительно 4-
сдвигов, а сохранение релятивистского момента импульса М — следствием
инвариантности действия относительно 4-поворотов, включающих в себя как
пространственные повороты, так и собственные преобразования Лоренца.
§ 96. ТАХИОНЫ
Как отмечалось в § 68, гипотеза о существовании частиц, движущихся со
сверхсветовой скоростью, физически приемлема и не противоречит теореме
Эйнштейна о предельности скорости сигнализации, если отказаться от одного
привычного представления. Имеется в виду представление о возможности создания
эмиттера, испускающего сверхсветовую частицу в заранее обусловленный момент
времени из заданной пространственной области, и абсорбера (детектора),
регистрирующего поглощение такой частицы в определенной пространственной
области. Иначе говоря, сверхсветовые частицы физически допустимы как точечные
объекты, удовлетворяющие принципу переключения, согласно которому абсорбер
становится эмиттером, а эмиттер — абсорбером при переходе к системе отсчета,
в которой изменяется последовательность момента поглощения и испускания
в пространственно разобщенных точках.
На возможность существования сверхсветовых частиц было обращено внима-
внимание* в 1960 г. Впоследствии A967 г.) американским физиком Дж. Фейнбергом
эти частицы были названы тахионами. Соответственно обычные, досветовые,
* См.: Терлецкий Я. П. Принцип причинности и второе начало термодинами-
термодинамики//Докл. АН СССР, 1960. Т. 133. С. 329.
302

частицы называют брадионами, а частицы, движущиеся со скоростью света,—
люксонами.
Если тахион, как и всякая реальная физическая частица, имеет импульс Р,
энергию Е и собственную массу Л, причем, согласно (84.13) и (84.15),
Р = Еи/с\ Л2с2 = (Е/сJ-Р2,
то
уМ2 = (Е/с2J(\-и21с2)<0, (96.1)
так как для тахиона и>с. Иначе говоря, собственная масса тахиона — не
действительная, а мнимая величина. Последнее очевидно также из определения
4-импульса (84.6), так как компоненты £/м при и>с суть мнимые величины,
и поэтому при действительных ^ц собственная масса Л должна быть мнимой.
Мнимость собственной массы тахиона не представляется чем-то более
удивительным, чем мнимость пространственноподобного интервала. Для тахиона
собственная масса Л уже не имеет смысла массы покоя, так как эта частица
во всех реальных системах отсчета имеет сверхсветовую скорость (см. § 76),
т. е. не может не двигаться. Поэтому интуитивно наглядные представления
о собственной массе обычных частиц не могут быть перенесены на случай
тахионов.
Вместо мнимой величины Л для характеристики тахиона можно ввести
действительную величину ц, положив
Л = щ. (96.2)
Тогда основное соотношение (84.15) для тахиона и компоненты 4-импульса
(84.6) примут вид
P2-(E/cJ = \i2c\ (96.3)
т. е. будут явно действительны при и>с.
Согласно последним формулам, энергия тахиона стремится к нулю при
U-+QO и бесконечно растет при приближении и к наименьшему предельному
значению с. Что касается импульса тахиона, то |Р|->цс при м-юо, |Р|->£/с
при и-* с. Таким образом, в отличие от обычных частиц (брадионов) импульс
тахиона всегда превышает |ic, а энергия не имеет нетривиального наименьшего
значения.
Следует еще раз отметить принципиальное отличие тахионов от обычных
частиц, состоящее в том, что тахион никогда не может находиться в покое,
т. е. не существует реальной системы отсчета, в которой скорость тахиона
обратилась бы в нуль. Однако существует система отсчета, в которой скорость
тахиона бесконечна. В этой системе отсчета тахион можно представлять себе
не как движущуюся точку, а как на мгновение возникающий и исчезающий
объект, вытянутый вдоль прямой линии, соединяющей точки абсорбции —
эмиссии*.
Экспериментально тахионы еще не обнаружены. Однако неизвестны и те-
теоретические опровержения возможности существования тахионов, которые были
бы логически неуязвимы.
* Эти свойства тахионов напоминают свойства виртуальных частиц, вводимых
в квантовой теории поля. Тахионы можно рассматривать как реально пред-
ставимые виртуальные частицы с пространственноподобным 4-импульсом. Под-
Подробнее см.: Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. М., 1966.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
1П. Классификация физических величин. Тензоры
Все физические величины поддаются простой и естественной классификации,
возникшей исторически и основанной на использовании одного из важнейших
методов познания—метода аналогий. Начнем с описания простейшего физичес-
физического явления—движения материальной точки. Положение точки по отношению
к некоторому телу отсчета задается тремя числами х1, х2, х3, которые определяют
радиус-вектор г точки и называются его компонентами или координатами. Закон,
по которому устанавливается соответствие между положением г точки в простран-
пространстве и числами х'(/=1, 2, 3), определяется выбором системы координат
(декартовой, цилиндрической, сферической и др.). Иначе говоря, задание системы
координат равносильно заданию одно-однозначной векторной функции
т = т(х1, х\ х3) = т(х). AП.1)
Если бы мы выбрали другой способ задания положения точки, скажем, с помощью
чисел x"(i=l, 2, 3), то из-за однозначности соответствия должно было бы быть
г(х') = ф), AП.2)
откуда сразу же следует, что х' и х связаны между собой, т. е.
х'*=/Чх). AП.З)
Принято говорить, что соотношение типа AП.З) задает преобразование
координат.
Рассмотрим бесконечно малое смещение точки dr. В этом случае из AП.З)
следует, что
Здесь мы ввели обозначение для частной производной дк = д/дхк и исполь-
использовали очень удобное правило суммирования Эйнштейна, согласно которому
по повторяющимся верхнему и нижнему индексам всегда производится сум-
суммирование.
Мы видим, что соотношение AП.4) позволяет вычислить бесконечно малое
смещение точки в любой системе координат и задает, таким образом, закон
преобразования бесконечно малых смещений dxl (или скоростей) при преобразова-
преобразовании координат. Ввиду универсальности соотношения AП.4), которое справедливо
для произвольных преобразований координат AП.З), удобно именно его положить
в основу классификации физических величин.
Прежде всего дадим определение вектора. Три величины а1 (/=1, 2, 3)
образуют трехмерный вектор а, если они при преобразовании координат
изменяются так же, как и dxl, т. е.
Числа а1 называются в этом случае контравариантными компонентами
вектора а. Примером вектора может служить вектор скорости материальной
точки v = dr/df.
304

Если мы возьмем п векторов аA) аB), ..., а(п), то из их компонент
можно образовать произведения вида a\U <iA)...a"n) , где /а=1, 2, 3; ос=1, 2,...,
п. Величины Г'1 ■•■'% которые при преобразовании координат изменяются так
же, как эти произведения, т. е. закону
Т'11~л' = дк1/11...дк/1пТк*"\ AП.6)
определяют тензор ранга п (или валентности п) и называются его контравари-
антными компонентами.
Полезно отметить, что с этой точки зрения радиус-вектор точки г не
является настоящим вектором (тензором первого ранга), поскольку его закон
преобразования AП.З) совпадает с AП.5) только для линейных преобразований
координат вида
где Лк— не зависящая от х матрица. Компоненты ускорения d2r/dt2 также
образуют вектор только по отношению к линейным преобразованиям.
Частным случаем преобразований AП.7) являются вращения, включающие
в себя повороты координатных осей и отражения. В частности, преобразование
отражения в декартовых координатах принимает вид
поэтому для тензора ранга п
Г'. ••'" = (-1)ПГ'- Л AП.8)
Однако встречаются еще и такие физические величины, которые при
отражении приобретают дополнительный знак минус по сравнению с AП.8).
Подобные величины получили название псевдовеличин (или аксиальных величин).
Для псевдотензоров, обозначаемых Т'1 -'", получается тогда следующий закон
преобразования при отражении:
Г"- ■■'■■ = (_ i)«+if'-i--л (щ.9)
при поворотах же они ведут себя как нормальные тензоры.
Рассмотрим теперь закон преобразования координат AП.З) в том случае,
когда координаты х'—декартовы, а х — произвольные другие. В декартовых
координатах всегда можно ввести ортогональную тройку базисных единичных
векторов е,- и положить
r = etxfi. (ШЛО)
Если заданы два вектора а и b с декартовыми компонентами а1 и Ь[
соответственно, то ортогональность базиса позволяет записать их скалярное
произведение в виде
з
(ab) = а ■ b = | а 11 b | cos (a, b)= £ alb\ AП.11)
i=l
Выберем две близкие точки г и r-fdr и вычислим квадрат расстояния
между ними, воспользовавшись произвольными координатами х. Из AП.4)
и (ШЛО)
где Ък = е(дк/1 — локальный репер. Поэтому квадрат расстояния
d/2 = {dvdr) = (\ii\ik)dxidxk=gikdxidx\
где
0ПЛ4)
305

Величины glk образуют метрический тензор, характеризующий выбранную
систему координат х1 В частности, в декартовых координатах
т. e. g;k = 5lfc = 5fc — символ Кронекера, равный 1 при i-k и 0 при 1фк Координаты,
для которых glk-0 при 1фк, называются ортогональными.
Задача 1. Найти локальные реперы \ и компоненты метрического тензора
glk в цилиндрических и сферических координатах.
Очевидно, что ортогональные координаты характеризуются тремя парамет-
параметрами /^ = 111,1, называемыми параметрами Ламе. При этом
з
d/2= £ h2(dx1J. AП.16)
i = i
Заметим, что d/2 можно всегда привести к инвариантной, т. е. не зависящей
от вида используемых координат, форме, если ввести обозначение
dxt=glkdxk. AП.17)
В таком случае для декартовых координат дх[ = &х'1, и поэтому
dl2 = dx[dxn = dxldxl (Ш 18)
Подставляя в AП.18) закон преобразования AП.4), находим
откуда
dxk = dx[dkfl. AП.19)
Величины д,, преобразующиеся так же, как dxn т. е. по закону AП.19),
и совпадающие с а'1 в декартовых координатах, называются ковариантными
компонентами вектора а.
Задача 2. Показать, что ax—glkak.
По аналогии с AП.18), квадрат длины вектора а и скалярное произведение
двух векторов а и b можно определить как
a2 = ald=glkaiak, (ub) = aibl = glkalbk. AП.20)
Задача 3. Показать, что скалярное произведение двух векторов а и Ь не
зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом.
Инвариантные величины часто называют скалярами или тензорами нулевого ранга.
Задача 4. Показать, что величины dt(p, где ф(*) — скалярная функция точки,
являются ковариантными компонентами вектора, обозначаемого Уф = grad ф (х)
(градиент). Здесь V (набла) — векторный оператор Гамильтона. Убедиться,
что Уф = Ь151ф и dф = (drVф). Записать Уф в цилиндрических и сферических
координатах.
По определению, ковариантные компоненты Th 1щ тензора ранга п преоб-
преобразуются как произведения ковариантных компонент "п векторов а\1^, а\2).. a\nJ
и совпадают с T'h ln в декартовой системе координат. Таким образом,
в соответствии с AП.19)
Г„ ,„ = 5,/*....^/"»^ *.. AП.21)
Аналогично определяются смешанные компоненты тензора Т , т. е.
m раз ковариантные и п раз контравариантные. Они преобразуются как
306

произведения соответствующих компонент векторов аУ^...а?та1£+1)...а\п) и в декар-
декартовой системе координат совпадают с T'h l\
Задача 5. Показать, что Th , =g/l*1 ...g,^ Г*1 k"-
Задача 6. Показать, что преобразование, обратное AП.21), имеет вид
dxJi dxJ»
Задача 7. Получить закон преобразования смешанных компонент тензора
и показать, что
Из определения тензора сразу следует, что произведение компонент двух
тензоров М vi N рангов тип дает компоненты нового тензора Т ранга
т + п При этом, например,
м„ ,.**■ w*; I-.
Такой способ получения новых тензоров называется внешним или тензорным
умножением. Кроме того, применяется еще и дополнительная операция, называ-
называемая сверткой и состоящая в суммировании по некоторым парам индексов
разной вариантности. Внешнее умножение, дополненное сверткой, называется
внутренним умножением тензоров. Примером внутреннего умножения является
образование скалярного произведения двух векторов.
Задача 8. Показать, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2.
В частности,
Mh lmNh '^ *-=гЛ1 *\
Чаще всего л приходится иметь дело с тензорами второго ранга Tlk,
обозначаемыми Т. Внутреннее^ умножение в таких случаях показывается точкой,
а свертка в самом тензоре Т — знаком Sp. Тогда, к примеру, равенства
al=Tlkbk, iv = Tlkaibk, Tlk = MlJNk, ^ = MlJNJt
перепишутся следующим образом:
a = fb; q> = a-f-b; f = MN; 9 =
Из тензоров третьего ранга нам понадобится единичный псевдотензор
Леей—Чивиты zljk, который полностью антисимметричен, т.е. меняет знак при
перестановке любых двух индексов, а в декартовых координатах е/123 = 1. В силу
псевдотензорности при отражениях zljk остается неизменным. С помощью zlJ
можно двум векторам а и b сопоставить псевдовектор [ab], называемый их
векторным произведением
[аЬ]' = еукаД. AП.23)
Задача 9. Убедиться в тензорных свойствах символа Леей—Чивиты zljk
и найти его выражение в произвольной системе координат, исходя из того,
что инвариантный элемент объема может быть записан либо в виде
dV=gi/2dx1dx2dx3, где g = det||glk|| = |glk|, либо как элемент объема, постро-
построенный на трех векторах dx, dy, dz, m. e. dV~EljkdxldyJdzk.
По аналогии с AП.23), каждому вектору а можно сопоставить псевдовектор,
обозначаемый [Va] = rota и называемый ротором или вихрем вектора а. Его
контравариантные компоненты образуются по правилу
(votu)l = Eljkdjak. AП.24)
Задача 10. Убедиться, что формула AП.24) определяет компоненты псев-
псевдовектора. Записать rot а в цилиндрических и сферических координатах,
используя физические компоненты htal (без суммирования) вектора а.
307

Мы ознакомились с двумя дифференциальными операциями векторного
анализа — взятием градиента и ротора. Существует еще и третья операция-взятие
дивергенции вектора, обозначаемая diva = (Va) и определяемая следующим образом:
divas^-^a^g^fl1'). AП.25)
Задача 11. Показать, что diva является скаляром. Выразить diva в цилин-
цилиндрических и сферических координатах.
В заключение этого параграфа разъясним смысл часто используемых в физике
понятий ковариантности и инвариантности уравнений. Уравнение принято называть
ковариантным относительно некоторого преобразования координат, если в резуль-
результате преобразования оно не меняет своей формы, т. е. левая и правая его части
преобразуются одинаково. Если же еще окажется, что преобразованное уравнение,
будучи выраженным в новых координатах, не содержит параметров преобразования,
то оно называется инвариантным относительно этого преобразования*. В этом же
смысле используется и понятие инвариантных тензоров. Именно: тензор называется
инвариантным относительно некоторого преобразования координат, если преобра-
преобразованный тензор, будучи выраженным в новых координатах, оказывается
неизменным, т. е. не зависящим от параметров преобразования. К примеру,
относительный радиус-вектор г2 — rt двух точек инвариантен относительно сдвига
r' = r-f а, а тензоры Ъ\ и sljk инвариантны относительно вращений E*=5ь eMjk = £uk).
2П. ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Для получения практически важных соотношений, используемых в векторном
анализе, оказывается полезным следующее интегральное представление для
оператора Гамильтона
V = lim-(pndS.
Смысл этой записи состоит в том, что три основные дифференциальные
операции grad, div и rot могут быть представлены в следующем виде:
grad ф = Уф = lim — ф ncpdS, BП.2а)
S-+Q VJ
S
diva = (Va) = lim-(p(na)dS, BП.26)
s
rot a = [Va] = lim -ф [па] dS. BП.2в)
s
Здесь V—бесконечно малый объем, содержащий точку г, в которой
вычисляются gradф, diva, rota; S—замкнутая поверхность, окружающая К;
dS— ее элемент; п — единичный вектор внешней нормали к S; lim означает,
что поверхность S стягивается к точке г. Формулы BП.2) проясняют смысл
* Например, уравнение плоскости (пг) = а только ковариантно, а уравнение
сферы г2 —а2 еще и инвариантно относительно вращения.
308

обозначений (Va) и [Va]. В связи с представлением BП.1) оператор Гамильтона
V часто называется оператором объемного дифференцирования.
Задача 12. Убедиться в справедливости представления BП.2), взяв в качестве
объема V шар с центром в точке г.
Задача 13. Пользуясь BП.2), вычислить divr, rot r, grad(ar), rot[ar], gradcp(r),
div A (r), rotA(r), где & —постоянный вектор, г=|г|.
В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем пользоваться
декартовыми координатами, в которых оператор V выглядит особенно просто:
3
V= I e,4. BП.З)
/= 1
Если объект лействия опеоутопу V загЪиксипова". то в соответствии с B^.Ъ
с ним можно обращаться, как с обычным вектором. В то же время [см.
BП.З)] он является оператором дифференцирования. В частности, в соответствии
с правилом d(AB) = (dA)B+ AdB имеем
\{ЛВ)-~{\А)В г ,lVi>\
или, помечая объект действия оператора V жирной точкой (.) внизу, условимся
писать
Вычислим, к примеру, div[ab]:
div[ab] = (V[ab]) = (V[ab] + (V[ab]).
С каждым слагаемым, помеченным точкой (•), можно работать уже по
правилам векторной алгебры, т. е.
(V[ab]) = (b[Va]) = (brota), (V[ab])=-(a[Vb])=-(arotb).
В результате находим
div[ab] = (brota)-(arotb). BП.4а)
Аналогично можно доказать и многие другие полезные тождества:
div (фа) = ф div a + (а Уф), BП.46)
rot (фа) = ф rot a + [Уф а], BП.4в)
rot[ab] = adivb-bdiva+(bV)a-(aV)b, BП.4г)
grad(ab) = [arotb] + [brota] + (bV)a+(aV)b, BП.4д)
где в последних двух тождествах использовано обозначение (uW)-aidi для
оператора дифференцирования вдоль вектора а.
Из представления BП.2) выведем некоторые полезные интегральные теоремы.
Выберем некоторый объем V, окруженный поверхностью S, и разобьем его на
достаточно большое число N ячеек. Пусть /-я ячейка имеет объем AVh
окруженный поверхностью AS,. Тогда, по теореме Лагранжа*, внутри AVt
найдутся такие точки rin, r\2), г\3\ что будут справедливы соотношения
AVlV<p(r\1))= § i^dS, AK,-diva(if >)= j (na)dS, AKIrota(ri3))= § [na]dS.
AS, AS, AS,
Произведем теперь суммирование по всем ячейкам и положим jV-»oo. Тогда
в пределе левые части перейдут в интегралы по объему V, а правые части — в
* См.: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. М., 1966. Т. 1. § 112.
309

интегралы по внешней поверхности S, поскольку интегрирование по внутренним
поверхностям ASt производится дважды с противоположными значениями нормали
п. В результате получим следующие интегральные соотношения, являющиеся
различными вариантами общей теоремы Остроградского:
BП.5а)
BП.56)
v s
JrotadF=$[na]dS. BП.5в)
V S
Наиболее часто используемое соотношение BП.56) известно как теорема
Гаусса — Остроградского.
Теорему Остроградского можно применять и к компонентам тензора.
Подставим, например, в BП.5а) вместо ф компоненту тензора Tik. Тогда
SdjTfkdV=§nJTikdS.
V S
Свертка по / и j дает
BП.6)
V S
где divT — вектор с компонентами dtTlk.
Если в BП.5а) положить ф = ш>, то получается широко используемая формула
интегрирования по частям:
BП.7)
V S V
Отметим, что здесь и и v можно считать произвольными тензорами.
Задача 14. Получить с помощью BП.5а), BП.5в) теоремы Стокса:
J[nV(p]dS=$T(pd/, BП.8а)
s с
J(nrota)d5r=f(ta)d/, BП.86)
s с
где S—поверхность, натянутая на замкнутый контур С; т — единичный
вектор, касательный к контуру и направленный по правому винту относительно
п (т. е. поверхность S является правоориентированной относительно контура
С). Вывести BП.8а) из BП.86).
Указание: выбрать в качестве объема V бесконечно малый цилиндр.
Задача 15. Вывести из теорем Стокса тождества:
rotgradcp = 0, BП.9)
divrota^O. BП.10)
Вектор е, удовлетворяющий условию rote = 0, называется потенциальным
или безвихревым. Как следует из BП.9), в этом случае е=—Уф, где ф —
произвольный скаляр (скалярный потенциал). Вектор Ь, удовлетворяющий условию
divb = 0, называется соленоидальным. В этом случае b = rota, где а — произвольный
вектор (векторный потенциал).
Задача 16. Убедиться, что для уравнений
Vq> = e(;t), rota=b(x), divd =/(*),
310

где е(*), Ь(х) и f(x) суть заданные функции, наиболее общими решениями
являются соответственно:
1 1 1
9 = Jr-e(Ajc)dA, + const, a = JX[b(Xjc)г]dA, + V\|f, d = r j^2/(b;)d^ + rotc
0 0 0
при произвольных v|/(x) и с(х). Найти условия на векторы е(х) и Ъ(х),
при которых эти решения существуют.
Изучим теперь важнейший для приложений оператор Лапласа A = (W).
Его особенность состоит в том, что он является инвариантным (скалярным)
оператором как в применении к скалярной, так и к векторной функции.
В применении к скаляру ф(х) он определяется так:
Аф = div grad ф. BГЫ1)
Используя определения div и grad в произвольных координатах, имеем
С другой стороны, dkq>=gkidlq>, откуда
fc=l
где glk — контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые
условием gikgkj = b). Итак,
Дф = *-1/201(*1/2*'Чф). BП.12)
Задача 17. Записать Аф в декартовых, цилиндрических и сферических коор-
координатах.
В применении к вектору а оператор А определяется следующим образом:
Аа = grad div a—rot rot а. BП.13)
Задача 18. Показать, что в декартовых координатах (Аа),- = Aat = div grad at,
т. е. BП.13) согласуется с BП.11). Найти физические компоненты вектора
Аа в цилиндрических и сферических координатах.
Задача 19. Используя разложение скалярной функции ф в ряд Тейлора
фЖ)= Z А(№р(г),
доказать справедливость следующего представления для Аф:
Дф(г) = Шп ^АаФ(г), BП.14)
где Ааф — среднее уклонение функции ф в объеме шара радиуса а с центром
в точке г, т. е.
В приложениях часто приходится иметь дело с гармоническими функциями.
Функция ф называется гармонической в области V, если внутри нее она
удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0. Важным свойством гармонической
в области V функции является то, что она принимает свои наименьшее
и наибольшее значения на границе области V {принцип максимума).
311

Задача 20. Доказать принцип максимума, пользуясь BП.14).
Обратим внимание на важное свойство сферических средних, часто исполь-
используемое при решении уравнений, содержащих оператор Лапласа. Сферическим
средним некоторой функции ф(г) называется величина
у т \- i —э/ с,' \Zll.LJ)
представляющая собой среднее значение функции ф(г) на сфере радиуса а с цен-
центром в точке г.
Задача 21. Показать, что
Д ( ф >а = _ —--{а < ф >в). BП.16)
Замечая, что ф(г) = Нт<ф(г)>а, выводим из BП.16) еще одно интересное
представление для оператора Лапласа:
АФ(г)=Нт-^|><ф(г)>й]. BП.17)

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.1. Следует учесть, что вблизи электродов диссоциация молекул идет более
интенсивно, чем рекомбинация ионов. Пусть сила тока ионов, рождающихся у катода,
равна /к+ =/~, а у анода /а+ =/а~. На катоде нейтрализуются рожденные положительные
ионы /к+ и приходящие от анода /а+, т. е. сила катодного тока равна /*+/*=/.
Аналогично, на аноде /~ 4-/к~ =/, и через сечение АВ течет ток /а+ + 1~ =/а~ +/к~ =/.
1.2. Приравнивая нулю силу, действующую со стороны равномерно заряжен-
заряженной сферы радиуса г на заряд в точке А[го<г\ имеем
Кг \f(R)
I--*]—d* = 0,
где Я = (го4-г2 — 2rroxI/2, ;c = cos$. Переходя к переменной интегрирования R,
сводим уравнение к следующему:
д
дг0
f-
где Ф'^)=/^). Решение этого уравнения дает Ф(Л) = я-|-&/Л, где я, £ —
постоянные интегрирования. Таким образом, /(.#) = — b/R2, и при всякой другой
зависимости шар в опыте Кавендиша оставался бы заряженным.
1.3. В полярных координатах (рис. 1) уравнение линий напряженности имеет
вид [г^^+гг 1)[/2-(r2-r1J] = const, где
ri,2 = ^2/4 + r2±r/cos$I/2; вдали от зарядов
г ~l sin2 0 = const.
1.4. По закону Био — Савара — Лапласа, в точ-
точке Р контура С1? охватывающего проводник С2
с током, индукция магнитного поля равна
где г = г1—г2, т2 — единичный касательный вектор
к С2. После скалярного умножения на постоянный
313

Рис. 2
вектор а это выражение с учетом л те-
теоремы Стокса принимает вид
(аВ) = - (nrot2[ra]r-3)dS2,
где г^О, т. е. Р не лежит на поверхности
S, натянутой на С2. Из BП.4г) выводим
rot2[ra]r~3 = — (aV)ir~3, так что
(Л)=--
Отсюда, вводя элемент телесного угла dQ = dS2(nr)r 3, получаем A.12).
Учитывая неоднозначность функции О (г), изменяющейся на 4тг при обходе С1?
приходим к закону Ампера:
1.5. Приравнивая нулю индукцию магнитного поля вне бесконечного прямого
цилиндра радиуса R, приходим к уравнению
Я 00
2_M2\l/2~' -v>
О и
где Ф'(г)=/(/-), M = (i?2 + a2 + 2itasinaI/2, a>R (рис. 2). Решением этого уравнения
является гФ(г) — Ь — const, т.е. f(r)=—br2.
1.7. Если проводящий контур является четко определенным и топологически
неизменным, то эквивалентность формулировок Максвелла и Фарадея следует
из того, что при всяком изменении магнитного потока, связанного с контуром,
линии индукции пересекают его. В противном случае верна лишь фарадеевская
формулировка. Так, в опыте Фарадея (см. рис. 1.11) контур не является четко
определенным, так как неизвестно, по какому пути следуют электроны внутри
диска. Если же связать магнитный поток Ф с воображаемым контуром О AGO,
то dФ/df = O, но э. д. с. индукции ёфЪ, так как диск пересекает линии индукции,
т. е. ЛФт^О. В опыте же с тороидом контур С гальванометра не является
топологически неизменным, так как к нему прирастает петля челнока D.
Поэтому, хотя dФ/df^O, все же <^ = 0, так как контур С не пересекает линий
индукции.
1.8. Если бы правило Ленца было неверным, то ток индукции был бы
направлен так, что, взаимодействуя с магнитным полем, обеспечил бы дальнейший
свой рост, а значит, и неограниченный рост связанной с ним энергии в про-
противоречии с законом ее сохранения.
1.11. Приравняем работу А, совершаемую магнитным полем тока / над
магнитным зарядом т при его медленном обносе вокруг тока, и работу А'
возникающей при этом э. д. с. индукции:
314

A=mj(Bd\)=A'=
где Ф = 4пт — магнитный поток полюса т.
2.1. Положить в B.7) j = p5r/5/.
Г 1 f) С С
2.2. р= PdF, m = HrPldF+ MdK.
J 2cdtI A J
2.2. .
V V V
3.1. В сферических координатах из C.7) выводим:
Ь(г) = Bкг2)'l b(r)= -Bnr)-lbf(r); 5(r-a) = 5(r-«M@-0flM(a-afl)/(r2sin0).
3.3. Заменяя сингулярное выражение гг~3 на lim r[r(r2 +a)] и замечая,
что div(rr~3) = 0 при г^О, преобразуем C.7) по теореме о среднем и теореме
Гаусса — Остроградского:
3.4. E=Er = d(r — a)Qr~2, где 6(х) — ступенчатая функция Хевисайда, т. е.
9(х>0)=1, 9(х<0) = 0. Для нахождения Е(г = а) вычисляем силу dF, действующую
на элемент заряда dQ со стороны всех остальных зарядов, т. е. E(r — a) = dF/dQ.
Но dF/dQ = E-Eco6, где E=Q/а2 — напряженность поля вне сферы, Eco6 = Q/Ba2)
— напряженность собственного поля элемента заряженной поверхности, совпа-
совпадающая вблизи этой поверхности с напряженностью поля равномерно заряженной
бесконечной плоскости.
5.1. Взяв дивергенцию от E.3), найдем c5(divB)/d/ = 0. Поэтому, если D.6)
верно при £ = 0, то оно верно всегда.
6.1. Полагая K=divE—4тгр, из F.3) находим дК/dt— — 4rc(div} + др/dt) = O
с учетом B.7). Поэтому если £=0 при / = 0, то К=0. С учетом результата
задачи 5.1 убеждаемся, что для отыскания полей Е и В достаточно решить
уравнения E.3) и F.3), т. е. система F.4) непротиворечива.
6.2. В первом случае j = pv и р, Е, В суть функции от г—\t. Поэтому
вектор Х = В —с-1[уЕ], согласно F.4), удовлетворяет уравнениям rotX = 0,
divX = c~2(vV)(vX) или X = Vcp и A(p = c~2(vVJcp. Для ограниченной системы
зарядов Х->0 при r—юо. Поэтому умножение последнего уравнения на ф и ин-
интегрирование по частям дает j[(VcpJ — c~2(vV(pJ]dF=0. При v<c подынтег-
подынтегральное выражение строго положительно, т. е. Vcp = X = O.
Во втором случае для вектора Y = E-fc-1[vB] получаем уравнения
divY —c-2(vV)(vY) = 4tt[p —c~2(vj)], rotY = 0. Однако для равномерного движения
зарядов необходимо, чтобы в тех точках, где р^О, было F = e(E-fс [vB]) = 0,
или Y = 0. Но тогда в этих точках p = c~2(vj), и всюду divY — c~2(vV)(vY) = 0.
Тем самым все сводится к первому случаю.
6.3. Согласно F.7), в магнитном облаке, движущемся со скоростью и,
существует электрическое поле Е = с~1[Ви]. На частицу заряда е, входящую
315

в облако со скоростью v0, действует сила (е/с)
[(v0—u) В], и прирост кинетической энергии по
выходе из облака равен АГ= — (^/с)(и[ВАг]). Но
e(vo[BAr])>0 (рис. 3), и поэтому signAT= — sign(uvo).
Таким образом, частица будет приобретать энергию,
двигаясь навстречу облаку, и терять ее, его нагоняя.
Однако первое более вероятно, и в среднем частица
ускоряется. Это видно из следующего. Пусть рас-
распределение облаков по скоростям изотропно и зада-
задается функцией/(м). Тогда число столкновений частицы
Рис. 3 с облаками за 1с пропорционально f(u)\u—vo|,
а среднее значение (uv0) пропорционально j/(w)|u—vo|(uvo)d3w<0.
13.2. Умножая A3.10) векторно на г и интегрируя по объему F, занятому
источниками (включая среду), находим
=£°k Ua,eldK
V V
Последний интеграл преобразуется интегрированием по частям:
-z
ijk
0)
B)
Левая часть A) по второму закону динамики приводится к виду (d/dt)
[Л \т) + Л\ f)), где Л(т) и Л( f) суть моменты импульсов источников и поля. Поэтому
правая часть A) должна сводиться к потоку момента импульса поля через окружающую
поверхность S. Но тогда объемный интеграл в B) должен исчезать, откуда 0lk = 0*,.
г
13.3. Интегрируя по поверхности S тела, находим F=F3 = (bniQlidS—
s
$&В2S0/(%n), где So — площадь полюсов магнита.
14.1. Если и — скорость перемещения провода с током, иг = У;—и — скорость
свободного заряда et относительно провода, то плотность мощности силы
Лоренца равна
Первое слагаемое, очевидно, характеризует видимую работу магнитного поля
над проводом с током, а второе — его невидимую работу по смещению зарядов
в проводе, которую можно еще рассматривать как работу вихревого элект-
электрического поля Е = с ~1 [иВ ].
14.2. q = ()Ecrop)-dw/dt-divS.
17.1. ф(г) = 4тг | p(r')r'dr' + y Гp(r')(r'Jdr'.
316

18.2. В сферических координатах (рис. 4)
, оЧ екК(к)
фМ) = -
z,
Так как К(к)я\пD/у/ \—к2) при fc«l, то вблизи
кольца (8 «я/2, г «я) ф« — [<?/(яя)]1п[>7(8я)], где
введено расстояние от точки наблюдения до
кольца rf = (a2 + r2 — 2arsin3I/2.
Если А:«1, то #(А:)«A+А:2/4 + 9А;4/64+...) х
х я/2, и вдали от кольца (гу>а)
а2 Ъа2
Рис. 4
г \ 2г2 Аг2
19.4. Используя A9.9) и A9.13), находим
Е2 = 3гг-7{5г(а1г)(а2г)-г2[а2(а1гL-а1(а2г)-г(а1а2)]}.
19.5. Если заряд сосредоточен в цилиндрической области с поперечным
сечением S, то из A9.1) находим
Ф{г) 2jp(r')In|r-r'|dS',
S
где г—двумерный радиус-вектор. Отсюда по аналогии с A9.6) получаем
мультипольное разложение (г > а > г'):
где тензор мультипольного момента равен
Очевидным аналогом формулы A9.9) является
20.1. Согласно B0.3), вклад элемента dSar поверхности двойного слоя
в потенциалы ф+ справа и слева от слоя равен ±2ят(г). Если ф' — вклад всех
остальных элементов, то ф+ = ф/±2ят(г), откуда и вытекает B0.5).
21.1. Учесть, что вблизи S' Рсинг = [Р]0{/(г)}, Мсинг = [М]9{/(г)}, и ис-
использовать формулу 0/(х) = 5(х).
22Л. Запишем для элемента векторной трубки поля D (рис. 5) теорему
Гаусса: (njDjdSj =(n2D2)d5'2. Вводя главные радиусы кривизны Rr и R2
поверхности проводника (рис.6), имеем: d5'1 = i?1i?2da1da2, dS2 = (Ri + dl)(R2 + dl)
daida2. Поэтому (n2D2)—(nlT>i )= -2H(n2D2)d/, где H=(R Г1^-/?^1 )/2 — средняя
кривизна. При d/->0 получаем B2.12).
22.3. Используем сферические координаты @ = 0 — направление р). Если диполь
ориентирован вдоль или перпендикулярно плоскости раздела, то имеем соответственно:
317

Рис. 5
2рcos9 / г2
(ei+e2)'2\ ~а*
Рис. 6
6/7 COS О
(/=1, 2);
(/=., 2).
В двумерном случае (цилиндрические координаты):
1. ср =
Ар cos a
12/? cos а
(<=1, 2);
6/?
-?} Ч-?со.« A.1, 2).
23.1. При смещении заряда et на вектор 5г энергия системы W'e изменится
на £(-EгУJф(-/2. Полученная квадратичная форма знакопеременна, так как сумма
диагональных элементов ее матрицы равна ^Дфг./2 = 0. Поэтому положение
равновесия системы зарядов не может быть устойчивым.
23.2. Пусть Е, D и Е', D' — соответственно поля до и после внесения
диэлектрического образца. Из теоремы Гаусса — Остроградского jE-(D'--D)dF=
= 0, так как div(D' — D) = 0. Поэтому изменение энергии поля равно We—We =
=— [(D'E')-(DE)]dF=— (e-e'WEE')dF, откуда и следует B3.13). Если в об-
8tiJ 8tiJ
ласть Vo вносится незаряженный проводник, то
W',-W^ (DE)dF+ — [(D'E') - (DEI dF,
8тг 8тг
«/ %>
где V\ — область, не занятая проводником. Применяя теорему Гаусса — Остро-
Остроградского к области Vi с границей Si, имеем
J E'-(D'—D)dF= j q>'&\v{p' — D)dF— ^ф'п-(Б' — D)dS=0,
V\ v\ si
так как div(D' — D) = 0 и проводник нейтрален. Поэтому
W't-Wt=-~ (DE)dF-— (D'-D)(E/-E)dK<0.
8я J 8я J
318

23.3. Из B3.8) и A9.13) находим энергию "«а
взаимодействия двух диполей W't—— (рЕ') = *
= — 3 (ра) (р'а)/я5 + (рр' )/а3, где Е' — напряженность
поля диполя р' (рис. 7). С помощью B3.15)
находим:
F=l{5a(pa)(p'a)-a2[p(p'a)+p'(pa)-a(PP')]}, *™- 1
L = [рЕ'] = 3 [ра] (р'а)/а5 - [рр']/а3.
24.1. Построим векторные трубки поля D, соединяющие проводники с потен-
потенциалами фь ф2 и зарядами Qu Q2 соответственно. По теореме Гаусса,
(nD)dS(r) = 47ir|1dS1, где г^—поверхностная плотность заряда на первом провод-
проводнике. Поэтому D = 47rxri1/(r) и E = e~1D, что позволяет записать разность
потенциалов .в виде ф2 — ф2= f (Ет) d/=47rr|1 j (т-ё • т)/(г)d/. Суммируя по всем
D12 D12
взаимным векторным линиям D12, находим связанный с ними заряд первого
проводника Qi2 = $r\idSi = ai2((pi — (p2). В случае системы проводников, аналогич-
аналогично, б,* = я*(<р, — <рД откуда получаем соотношение Qt= £ Qlk= £ д^(ф1 —фЛ), из
которого и вытекает B4.4).
24.3. Qi=Q2 = Q(n-\)lBn-\), Q3 = Q/Bn-\).
24.4. В цилиндрических координатах ф = яа + Ь, где a, b — постоянные. Поэтому
емкость равна C=5'sin(C/2) [2тф(</2-<^i)]~2 ln(d2A/i).
24.5. Если при деформации конденсатора объем, занятый полем, изменился
на 5F, то изменение энергии поля равно 50^= [£2/(8tt)]5F= — Q2bC/BC2).
Поэтому bCi = -a4V[4nb2(b-aJ]-1; bC2 = d(a + b) [А{а-Ь)}~1.
24.6. В сферических координатах q> = Ci lntgC/2) -f С2, где Cl2 — постоянные.
b-a\ tg(C/4)~| l
Поэтому емкость равна С— In—)—[
2 L tg a/4 J
24.7. Изменение энергии поля при произвольном изменении распределения
зарядов в проводниках равно
^ |'E') - (DE)] dF,
где Ко — область, занятая проводниками, а Fx—диэлектриком. Как и в задаче
23.2, JE-(D'-D)dF=O, откуда
't-Wt = — Г (D'E')dF+— |8(E'-EJdF>0.
8тг J 8тг J
25.1. v\ = 9XEocos0/Dтг); ф(г<^) = 3^£'огсо5 0(а3/г3— l)9(r — a);
25.2.
319

Рис. 8
26.1. В диэлектрике ф= — Bx/e)ln(r/r')
(рис. 8), т. е. эффективно поле создается двумя
параллельными нитями с зарядами ±х, положе-
положение которых (OOi=l, d=l—yjl2—a2) находит-
находится из B6.17). Потенциал цилиндра
(ро=Bх/£Iп(я/йГ), что позюляет вычислить энер-
энергию поля 1¥е=щ0/2 и силу притяжения
цилиндра к ГО1ОСКОСТИ (на 1 см длины)
F= -dWjdl= -K2al(bjl2-a2 ).
27.1. Допустим, что под действием элект-
электрического поля в пограничном слое некоторое
количество электронов Ш перешло из области
Kt = F в среде 1 в область V2=V в среде 2, вызывая локальное изменение проницаемости
&~5N, т.е. &i = —бе2<0. Так как поле при этом совершает работу, то его энергия
уменьшится, т.е. [см. B3.13)] mWt=-E2&lVl-E2l&2V2=D2\fel$£;2-£22)V<0. Отсюда
8l>82-
28.1. В цилиндрических координатах имеем:
аO=у;, B=Ba=2I/(cr\ A=Az=-B1/c)fon
6)j=b В=В2=Dк/с)пЮ(а-г\ Л=А=#/2+е(г
29.Z В сферических координатах (рис. 4) имеем:
Вдали от тока (k<:$: Къ[\+к214+9к*/Ы](п12), Еъ [1-^2/4-3^4/64](тг/2), т.е. ^ =
rSm Вблизи от тока (къ\): Еъ\, K^\nDU\-k2\ т.е. Aw
с(а2+г2+2агжЩ3/г
B1/с) [In (&з//) — 2 ], где г'=(а2+г2—2ш sin 3I/2—расстояние от точки наблюдения до контура.
30.1. Магнитный потенциал имеет вид \|/(г>я)= — я3(Ног)г~3, \|/(г<я) =
= -(Ног), где Но=-47гМо(ц + 2)-1=Н(г<«).
30.2. v|/ = (mr)/r3+ (m'r')/(r'K, где 111'= — mH-2n(mn); n — нормаль к стенке; г,
г'—расстояния до магнита и его отражения соответственно.
31.1. Магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим контуром С, не
может измениться, ибо в сверхпроводнике В = 0 и линии индукции не могут
пересечь контур. Поэтому справедливо равенство C1.3), откуда R = 0.
31.2. A=[mr]/r3+ [m'r']/(r'K, где m' = m-2n(mn).
31.3. A = Az=-BI\i/c)\n(rl/r2) (рис.9; d=l-Jl2-a2 ).
31.4. ВшаР = ^е(г-«){Но[1+«3/Bг3)]-Зг(Ног)«3/Bг5)}, Вцил = ц9 (г - а) [НоA +
+ а>2)-2г(Ног)я2/г4].
31.5. Применим теорему Стокса к одной из линий индукции С, касающейся,
согласно граничному условию (пВ) = 0, поверхности сверхпроводника. Имеем
так как поверхность S можно расположить вне образца благодаря его
односвязности. Отсюда В = 0.
320

32.2. £ =
32.3. Согласно результату задачи 29.2,
вблизи кольца А = Аа = B1/с) [In (8a/r0) - 2 ],
откуда Ь = 4ка [1п(8а/г0) —2].
32.4. Вначале сила тока растет линейно
с напряженностью Яо поля (рис. 10; участок
О А), поскольку Ф = па2Н0 — Ы/с, где
L = 4na [In (8а/г0) —2]. Но при Н0 = НА напря-
напряженность поля вблизи внешнего обода кольца,
где она максимальна, станет равной Якр и коль-
Рис. 9
цо перейдет в промежуточное состояние. При
этом Якр = [2//(сто)] + 2Я0, т. е. поле складывается из поля тока 2//(<т0) и искаженного
внешнего поля 2Я0 (см. задачу 31.4) — участок АВ. Отсюда НА = - Якр I 1Н I . При
2 у LrQ j
Но ^ Якр/2 кольцо перестает быть сверхпроводящим и наведенный в нем ток отсутствует
(участок ВСВ). С убыванием поля, т. е. при Я0<Якр/2, кольцо вновь переходит
в промежуточное состояние, когда напряженность поля вблизи внутреннего обода равна
Якр = 2Я0 — 2//(ст0) (участок BD). В самом деле, если бы при этом кольцо было
сверхпроводящим, то магнитный поток через него был бы постоянным:
Ф = ка2Н0 — Ы/с = па2Нкр/2, откуда I=BH0 — HKp)na2c/BL), и вблизи внутреннего обода
Я=2Я0-2//(сг0) = 2Я0- BH0-HKp)na2l(Lr0). Оценим разность Я-Якр = BЯ0-Якр) х
х [1— na2/(Lr0)]. Положив х = а/Dг0), имеем y = na2l(Lr0) = x(\n32x — 2)~1>
>х(]пх+\,5)~1, так как In 32 < 3,5. Таким образом, уже при х>3 будет у> 1 и Н>Нкр,
т. е. достаточно тонкое кольцо не будет сверхпроводящим.
32.5. Так как при внесении магнетика rot (Н'— Н) = 0, то Н' —H = Vx
и jB-(H'-H)dK=-JxdivBdK=O. Аналогично получаем JB' (H'-H)dK=0, от-
откуда и следует C2.21).
Если в область Vo с границей So вносится сверхпроводник, то
,-fvm=--\(BH)dv+
где Vi — область, не занятая сверхпроводником.
Поскольку (nB')|So = 0 и Н—H = Vx в области
Vu то
J В (H-H)dF=- J x&vB'dF- § (nB')xdS=0.
vi vi so
В результате
If If
W'm-Wm= (BH)dK (B'-B) x
8я 8тг I
j j
x(H'-H)dF<0.
Рис. 10
11 Зак 378
321

33.1. Сопоставим точечному магнитному мо-
моменту m плотность тока j = crot{m5(r)}. Энергия
его взаимодействия с магнитным полем B0 = rotA0
1Г
равна И/„ = - (jAo)dF=(mB0). Отсюда (см. задачу
23.3) F = V^; = (mV)B0, L=[mB0J.
34.1. Из уравнений C4.8) и C4.9) находим
(рис. 11)
())
Рис. 11 _ _ л — - -
35.1. Для любого сечения трубки тока, со-
соединяющей проводники с потенциалами фх и ф2,
(nj)d5=(n1j1)d5b где d5i—элемент поверхности
первого проводника. Выбирая п = т =j//, находим Е = a ~* • j =j\f(r) (d ~i • т), где
/(r) = dSi/dS(r). Интегрируя Е вдоль линии тока, находим
Суммируя jx по всем линиям тока, связывающим проводники, получим
J./id<Si=/i2 = (9i —Фг)^12» где ^12 задается C5.6). Для произвольного набора
проводников /| = £/Л = фЛ bi0 + Y, ^»*) ~ Z ^»Ф*> гДе ^«о относится к линиям тока,
уходящим в бесконечность. Отсюда и вытекает представление C5.5).
35.2. Если заданы силы U токов, стекающих с электродов Sit то при любом
изменении распределения токов в проводящей области V
V V iS,
Поэтому изменение джоулевых потерь равно
f [(j'E') - (jE)]dF= ja(E'-EJdF>0.
v v
36.1. Записывая закон Ома в виде j = a(E + c~1 [vB]), где v = @, 0, —v) —
скорость электронов проводимости, находим поле внутри провода в цилинд-
цилиндрических координатах: B=Ba = 2nrj/c, Er= — 2nrjv/c2; Ez=j/o,— и вектор Пойнтинга:
Sr= — г/2/Bо), Sz=—nr2j2vlc2, что соответствует плотности заряда p = (vj)/c2, где
I/ ?ч ъ /na2v z\ ln(r/r0)
j=jz = I/(na ). Потенциал вне провода ф=у( —= I—7 \» что соответствует
\ с а/1п(я/г0)
поверхностной плотности заряда т\ = —j(na2v/c2—z/o) [4na In (a/r0)}"i + ajv/Bc2).
37.1. Противоречия с законом сохранения заряда не возникает, если записать
C7.4) в виде — dQldt = 4KoQle = o§(nE)dS—сида тока сквозь бесконечную сферу.
38.3. В цилиндрических координатах имеем ненулевые компоненты поля:
j exp (-
0 (ImX-f +0)
322

где Ф = Ш-(к2-Х2I/2г, Y = (i(k2-X2)il2Ju -;
— XJ0, ik, /Д к=со/с, Jo,i(^r) — функции Бес-
Бесселя, а функция /(X) определяется из X(z = 0).
39.1. w = ^- У (£?>J,
te^»rhi ' ' Рис- 12
39.2. Учитывая, что энергия волнового паке-
пакета W=^wd V есть интеграл движения, и исполь-
используя теорему Умова—Пойнтинга dw/dt+div S = О,
имеем y = dR/dt=W-1Sr(dw/dt)dV=-W-1$YdivSdV=W-1$SdV, т.е. центр масс
пакета движется с постоянной скоростью v (так как JSdF—интеграл движения).
Так как \S\^cEH/Dn) = 2^/ejTEHv^l(Sn)^(eE2 + \iH2)v^/(^n) = v^w, то v^v$.
Если волновой пакет движется в вакууме как единое целое, то E = E(r—\t),
B=B(r — v/), где v^c. Если v<c, то из теорем Томсона F.6) и F.7) выводим:
сЕ= [Bv], cB= [vE], т. е. E(t;2 — c2) = v(vE) = 0, или Е = 0, что невозможно. Поэтому
остается принять, что v = c. Но в таком случае S = cw, (EB) = 0, Е=В и плотность
импульса g = S/c2 = wc/c2, откуда и вытекает C9.15). Заметим, что если пакет
движется вдоль оси Z, то напряженность E(r—cf) поля удовлетворяет уравнению
(д2 /дх2 + д2 /ду2)^Е = 0, т. е. двумерному уравнению Лапласа. Поэтому если
Е(х, у-* оо) = 0, то по принципу максимума Е = 0. Это означает, что в поперечном
направлении пакет не должен быть ограниченным, т.е. Е(х, у-> оо)фО. Как
следует из A6.12), такое поле должно иметь вид E(z — ct) (плоская волна).
40.1. Если Ех0 = А — амплитуда падающец волны, то £i = y!cosexp(—x),
E'z = — Ех tg Ф A — sin2 (х0 /sin2 а)/2, В' = В'у = п'А (sin2 а/sin2 а0 — 1) ~1/2 sin Ф ехр (— х),
где х ^ ^ ^ (sin2 cx/sin2 oc0 — 1I/2, O = ^x(sinot/sina0) — Ш.
Векторные линии S' = cBf( — E'z, 0, Ех)/Dп) описываются уравнением
Х = A—8т2а0/8т2аIп|8тФ/8тФ0|, Фо = const. Таким образом, энергия периодичес-
периодически [с периодом Ax = Gr/fc')sinao/sina] втекает в менее плотную среду и вытекает
из нее, перемещаясь также вдоль границы раздела.
40.2. Для монохроматических волн металл можно рассматривать как среду
с комплексной диэлектрической проницаемостью 8 = е' + /4тга/со. Поэтому, полагая
в D0.13) х = ч/Т, имеем $ = \{^/г — \)j{^[z +\)\2 или для а:»сэ $«1 — у/2(й/(по).
Для расчета давления света на зеркало используем C9.20), полагая
В= [sE]hB"= [s"E"]= - [sE"]:/? = vv = (E + E"J/(8tt) + (B + B"J/(8ti)= £2A+^)/Dтг).
43.1. Согласно A3.4) и A3.56), импульс, уносимый излучением в одну
секунду, с учетом D3.6) равен
§ (п • f) dS=§ п [В2/Dк)] dS=jn [np] 2dQ/Dnc*) = 0.
s s
43.2. Орбитой электрона будет гипербола (рис. 12) /?/r=l + ecos($—$0), где
£ = A+4£262/а2I/2, р = 2Ь2Е/и, ai = Ze2, E=mo-v%J2, tg%= -2ЕЬ/л. Считая излуче-
излучение слабым, используем интеграл движения r2S = bv0 и запишем потери энергии
на излучение в виде
И"
323

Рис. 13
Рис. 14
I t
+ 0C
4
AW= | —з |vrdr = r
4е2
ZV° |~n /3
3£fr
В случае рассеяния на малые углы ЕЬ^>ос и получается известная формула
Бора AW^nZ2e6/Cm2c3b3v0).
44.1. Используя потенциалы Герца, из D4.14) выводим ф = с~1(пП),
А = сП —г [nZ], откуда и следует D4.16).
44.2. В указанном приближении Кк,(МЛ-с~^М'1п^)\г^ откуда PY =— (МI+
1
+ -^<[nJT]- [nJ^k]/?t/?fc>, где <...> означает усреднение по углам. Умножая D4.2)
на х1 и интегрируя по объему, находим J? = p/c, а после умножения D4.2) на
х1хк и интегрирования получаем Jtlrii=— [nm] + n• Q/Bc), где Q — тензор квад-
рупольного момента системы. В результате второе слагаемое в мощности
излучения преобразуется к виду -^<[nm]2H ■= [nQ-n]2+ -(m fnOn])>. Но послед-
с Acz с
нее слагаемое исчезает, так как с учетом симметричности тензора Q и равенства
3<Л;Лк> = 5;к оно сводится к QikmlEkh = 0. При вычислении скаляра /C=<[nQn]2>
используем в качестве осей координат главные оси тензора Q, в которых Qlh =
\ 2 I
5, так как \5(п2п^) =
* Поэтому A'=
= 1+25,-*. Отсюда и вытекает D4.20).
46.1. Для получения Р, и Ph нужно проинтегрировать по сфере выражения
D6.15) и D6.17). Из сферического треугольника, натянутого на векторы v, v,
п (рис.13), находим cos % = cos 0 cos a + sin 0 sin а cos ф. Поэтому усреднение по
углу ф дает <(nvJ>9 = (vJ(nvJ/i;2+ [I -3(nvJ/u2 ] [vv]^2), <(nv>v = (nv)(vv)/i;2.
Наконец, после усреднения по 0 получаем D6.20) и D6.21).
46.2. Исследуя на максимум выражение <d/>E/dQ>9, полученное в задаче
46.1, приходим к уравнению Хи2(k+ I)'1 + $u/3 + v2/c2 — 1 =0, где и=\ — (nv)c/u2,
^ = [c2(vJ/[vv]2} — Зс'2/Bи2) —1/2. Из этого уравнения с учетом того, что
при v&c (рис.13) X«ctg2a—I, X+ l^ctg2a — 2 A — v2/c2), получается нужный
результат.
324

46.3. Используя цилиндрические координаты и полагая v = vz, x = z — vC»
приводим уравнение D6.7) к форме y(x) = (r2 + x2)v2/c2 — (x — z + vtJ = 0.
Проанализируем его решения в двух случаях: v<c и v>c.
1. v<c. В этом случае корни равны
xi.1=y2{{z-vt)±{v/c)[{z-vtJ + r2lf]112}; y = (l-v2lc2)-1'2.
Так как y(z — vt) = (v2/c2) [r2+ (z — vtJ ]>0, то x2>z — vt>Xx, и условию запаз-
запаздывания ^Kt удовлетворяет лишь х2. Подстановка этого корня в потенциалы
Льенара — Вихерта дает
ф(г, r) = ey[r2 + y2(z-vtJy112; А = фу/с.
2. v>c. В этом случае корни равны xlt2 = v2 {(vt—z) ± (v/c) [(z — vtJ — r2/v2 ]1/2};
v= [(v2/c2) —1]~1/2. Так как y(z — vt)>0, то условию запаздывания удовлетворяют
оба корня, если 2 (х1+х2) = — v2(z — vt)>z — vt, или z<vt. Отсюда
(p = 2ev [(z — vtJv2 — r2 ]~l/2Q(vt—z — r/v), А = фу/с. Это поле представляет собой
коническую электромагнитную ударную волну, аналогичную сверхзвуковой удар-
ударной волне — конусу Маха.
47.1. u = u0Qxp[-2e4B2/Cm3c5)t].
48.1. Для эллиптически поляризованной плоской волны
E = £o(e + /a[se])exp[/(kr)-/cof], k = sco/c, (es) = 0, a^l.
Согласно D8.1), D8.5) и D8.6), дифференциальное сечение равно
полное же сечение совпадает с D8.8).
48.2. Добавляя силу —кт — туоу в правую часть D8.4) и повторяя выкладки
§48, вместо D8.8) получаем сг(со) = аосо4 [(а>о — со2J + со2у2 J, где соо = &/т,
у = уо + 2со2го/Cс). Для атмосферы сг(со) максимально при со^соо»1016 с (слабый
ультрафиолет), а плотность потока |So(co)| солнечного света максимальна
в зеленой части спектра. Поэтому мощность рассеянного света Рх (со) = а (со) | So (со) |
имеет максимум в промежуточной (голубой) области. Красный цвет заката
объясняется тем, что в прямом солнечном свете сильно ослабляется после
прохождения атмосферы фиолетовая часть спектра. Отметим, что в реальной
атмосфере свет рассеивается на флуктуациях диэлектрической проницаемости.
50.1. Согласно E0.7) и задаче 30.1, $ = (тю)/(ас), 1де т = М047М3(ц + 2)~1 —
магнитный момент шара.
51.1. Обозначая через z координату свободного конца катушки и считая,
что разрыв цепи происходит при z = 0, имеем
где L = a(l—z) *, a = 4n2N2r2. Уравнения движения имеют вид
Зу2/(та), y+y(l—z)Rc2/a = (oQ(—z)i y = LI/c2.
График процесса представлен на рис. 14.
51.2. Из уравнений движения
\п = Щс-ки
325

находим для скорости стержня и к.п.д. оценки:
= [cUI(Bl)][\+kRc2l(B2l2)Y
52.1. После скалярного умножения E2.3) на Н и интегрирования по частям
учетом граничных условий находим
=- (rotHJdF<0, т.е. dH/dt<Q.
J
52.2. Записав E2.10) в виде /=2ьоехр( — mt)Z~1, находим импеданс
Z=BnaaS)-l(l-i), откуда LBHyTp/c2= -ImZ/co = B7raa5co)-1.
54.1. Полагая в цилиндрических координатах w = wa, для Вг и Bz, согласно
E4.5), получим уравнения dBr/dt = vm(A — r~2)Br, 3Bz/dt = vmABz, из которых, как
и в задаче 52.1, вытекает, что Д., Bz затухают с течением времени. Таким
образом, при ?-► оо [иВ]->-0 и E4.5) принимает вид dB/df = vmAB, т.е.
в соответствии с задачей 52.1 В->0 при t-+oo.
54.3. В = (a + rot) rot С, где С удовлетворяет уравнению Гельмгольца (А + а2) С = 0.
Согласно E4.23) и E4.5), векторный потенциал А удовлетворяет уравнениям
rotA = aA, dA/dt= [urotА]. Поэтому для его реальных вариаций 5А= [urotA]5f,
EArotA) = 0 и вариация магнитной энергии в области V с границей S равна
= — B
J
(rot5A-a5A)dF=— 5A (rotB-aB)dF.
v
Здесь выполнено интегрирование по частям с учетом того, что 5А|5=0. Поэтому
с учетом E4.23) 5^ = 0, т. е. бессиловое поле реализует минимум энергии
магнитного поля.
58.1. 1. Согласно B5.1), дипольный момент металлического шарика радиуса а равен
р = я3Е, т. е. <х = а3. 2. Считая, что в атоме Томсона положительный заряд равномерно
распределен по объему шарика радиуса а, находим возвращающую силу, возникающую
при смещении электрона: ¥=—ге2/а3. Отсюда а = а3. 3. Усредняя по времени и по
ориентациям орбиты уравнение движения электрона в атоме mj:'= — e2rr~3 + eE
и полагая <гг~3>^я~3<г>, где a = h2/(mee2) — боровский радиус атома водорода,
находим <г> = Еа3/е, т.е. опять а = д3. Строгий квантовый расчет дает а = 9а3/2.
58.2. Подстановка в граничные условия B2.9) потенциала q>(r<R)= — £Vcos$,
ф(r>R) = cos§(C/r2-Er) дает уравнения E' = E-CR~3, E' = e(E+2CR~3), разре-
разрешая которые приходим к E8.21).
58.3. Учитывая действие силы Лоренца и центробежный эффект, находим
напряженность действующего поля Е'=Е+ D7r/3)P+mecor(Q+to)/e, где Q.=eB0/(mec),
и поляризованность Р = NfOjEf = Ne%{ \E+mecor (Q+со)/е ] A — 4тсЛгеап /3) ~х. Отсюда
рсвяз_ _27Ve(Xn(meco/e)(со+Q)A +871^0^/3)-1, Е = 2тфсвязг6(а — г), т|СЙЯЗ= — рсвяза/2.
59.1. Момент силы Лоренца представим в виде (е/с) [г [vB ] ] = [ПК ] +
Н—I —[Г[ГВ]]1, где ft= — eB/Bmec), K = me [rv]. При усреднении по быстрым
326

электронным движениям последнее слагаемое исчезает и получается уравнение
прецессии момента К с угловой скоростью £1 (теорема Резаля): К= [ШС].
59.2. По Лоренцу и Онсагеру, имеем соответственно ц = C + 2v) C — v),
]i= [3v+l+3(l+2v/3 + v2I/2]/4, где v = DnJVe/3) [тЦ{кТ) -Ze2<r2>/Bmec2)].
61.1. Пусть qG, г) — отклонение электрона от среднего положения г. Тогда
поляризованность равна P = Neeq и P = ENee2/me. С учетом квазинейтральности
плазмы имеем рР= — divP=divE/Dn), т.е. рР+со2рР = 0.
61.2. Учитывая, что энергия отдельного электрона равна гае(со2 + со2)г2/2,
при усреднении получаем
U|Eco|+ |Bco|) + ^iVe |(co2 + co2)|r0|2/(coc)dcoc,
1071 4
что приводится к виду F1.33) в области прозрачности.
61.3. Выражение Jr£2dF, пользуясь представлением 5-функции 5 (к—к') =
= Bтг) \ е'Г(к"к() rd V, запишем в форме
Е0(к)■ Е0(к')е<1»^-»ыЧ^к-к) rd3kd3k'dV=
■{
* , д
Е0(к)- Ео(k')eItl<D(P0-e(kIi —5(k-k')d3A;d3fc\
ok
что после интегрирования по частям сводится к следующему:
4л:3/ J| Ео(к) |2ехр [2ю"(к) f ](dco'/dk) d3fc. Если со'7<^2я, то ехрBсо'7)^1, поэтому
§(t) = ——z—-—2 3 . Учитывая, что функция |Е0(к)| отлична от нуля лишь
J | Ео | d к
в малой окрестности точки k = k0, приводим £(f) с помощью теоремы о среднем
к F1.36).
61.4. Согласно результату задачи 39.2 и с учетом сильной локализации
функции | Ео (к) | вблизи к = к0 скорость центра масс волнового пакета записывается
в виде v=W~l JSdF=S/vv, где в соответствии с F1.22) и F1.33)
2кос2
Поэтому v =
62.1. Е' = Е + с-1 [vB], В =В.
63.1. 1. Поляризованность и плотность тока в диэлектрике, движущемся со
скоростью v, имеют вид:
где qi(t, г)—смещение заряда ег относительно точки г образца, выбранной
центром ячейки А К. Поскольку dqI- = qI-(r+dr, r+vdO -q,(^, r) = d^ [d/dt+ (vV)]q£,
327

то }n0JlH = dP/dt+ (vV)P—vdivP и уравнения Максвелла принимают вид:
rotB = (Е + 4тгР) + —[(vV)P-vdivP],
1 дВ
rotE= —, divB = 0,
с dt
Отсюда, пренебрегая членами порядка v2/c2, получаем уравнение
АВ г—т+2—5~(vV) — = 0 с решением в виде плоской волны B~eI(kr)~l(u', где
с dt с dt
со Г 2л / 1 \Т/2 г-
k = s—п\ 1 (sv) 1 г , n = Jz, s—единичный вектор. Фазовая скорость
с [ с V п )\
волны равна
2. Если рассмотреть движение отдельного фотона в неподвижном диэлектрике
в течение времени At, то в среднем в течение времени At/n фотон находится
в свободном состоянии, двигаясь со скоростью с, все же остальное время он
находится в поглощенном состоянии в атомах. Поэтому средняя скорость фотона
равна с/п. Если диэлектрик движется со скоростью v, то время свободного
движения фотона в том же направлении равно cAt/[(c — v)n], длительность же
поглощенного состояния останется прежней, т.е. At(l — l/n). Таким образом, за
с At ( 1\ с At ( \\
время АТ= \-Atl 1— фотон пройдет путь А/= с+Лп 1— )v,
c — v п \ п) c — v п \ пJ
т.е. его средняя скорость равна v^ = Al/AT^c/n-{-v(l — п~2).
69.1. lf = lo(\-v2lc2)l/2(l~u2lc2y/2([-uvlc2yl.
69.2. В системе I' ширина отверстия lo^/l — v2/c2 <l0 и, казалось бы, стержень
не сможет пройти сквозь него. Но если в системе I моменты прохождения
концов гстержня А и В через отверстие совпадают, то в системе I' они
отличаются на lov/c2, т. е. сначала через отверстие проходит конец В, а затем
А. Очевидно, что стержень при этом изогнется.
69.3. Расстояние останется неизменным. Преобразование Лоренца здесь
неприменимо, так как начальное и конечное состояния системы, как не отвечающие
тождественным объектам, не могут быть им связаны.
70.1. xf = x(\-v2/c2)-ll2(\-uv/c2l т = тоA-м2/с2Г1/2.
70.2. Для движущихся часов вектор 1 (см. рис. 70.3) переходит
в Г = 1 +sinav(у — 1 )//[>, и для промежутков времени t+, затрачиваемых световым
импульсом на прохождение цилиндра соответственно туда и обратно, получаются
уравнения c2tl = v2tl+ {l'J±2(y\)t±. Отсюда t+ + t- = Tf = 2yl/c.
72.1. Пусть сторона АВ в треугольнике ABC на плоскости Минковского
(рис. 15) — наибольшая. Проведем через точку С две гиперболы CD и СЕ
с центрами в точках А и В соответственно. Тогда G2.10) вытекает из того,
что \AC\ = \AD\ и \СВ\ = \ЕВ\ по построению.
328

Рис. 15
Рис. 16
73.2. Любой 4-вектор вида см = ац — Х№, где X — некоторый скаляр, является
изотропным. Если в некоторой системе отсчета Ь°фО, то, взяв Х = а°/Ь°, в той
же системе отсчета получим с° = 0, с2 = (с°J = 0, т. е. см = 0, или ац = ХЬц.
п
73.3. Согласно A9.8), N= £ С?+2 = С*+3.
5=0
75.1. u(t) = at(\+a2t2/c2yll\ и(т) = сth(ах/с).
11 Л. Вводя векторы 1 и Г, задающие положение неподвижной и движущейся
зрительных труб соответственно, с учетом сокращения Лоренца — Фицджеральда
имеем r = H-v(y~1 — l)(vl)i?~2. Из треугольника АО В (рис. 16) находим
cos2a = (vl'J/(i;2//2) = (p2 + 2psin9 + sin29)(l + p2 + 2psin9). Отсюда, полагая
(vl) = vlsin ф', выводим основное уравнение аберрации sin ф' = (Р + sin ф) A + C sin ф).
77.2. Различие в видимом А и истинном В положениях источника обусловлено
запаздыванием светового сигнала. Из треугольника АО В (рис. 17) находим
lgф* = (p + sinф)/cosф. Как видно, угол ф* отличается от угла ф' в G7.8),
определяющего в собственной системе источника (в положении А) направление,
в котором должен быть испущен световой сигнал, чтобы достичь наблюдателя.
В частности, в примере с двойной звездой, если скорости ее компонент равны
v = рс, то в положении, когда они находятся на линии наблюдения, в соответствии
A vt В
Рис. 17
Рис. 18
329

с G7.8) sincp'=+C. Но это вовсе не означает, что видимый угловой размер
звезды должен быть равным 2 arcsin C. Напротив, в этом положении он равен
нулю, а под углами ф' = + arcsin C должны быть испущены фотоны, чтобы
попасть к наблюдателю под углом ср = О (см. рис. 18).
77.3. Пусть п—внешняя нормаль к поверхности зеркала, v—его скорость.
Если в неподвижной системе падающий луч задается волновым 4-вектором
&и = (со/с, so)/c), то отраженный луч описывается 4-вектором к с компонентами
- ^(nv)[(ns) - У-(т) + ^V)
) - I(nv) + ^
77.4. В среде с показателем преломления п (со) волновой 4-вектор к для
{со со 1
—, s—л(со)>. Если
с с J
среда движется относительно наблюдателя со скоростью v и волновой 4-вектор
в ее собственной системе есть к\ то в системе наблюдателя к° = ук'° [1+ (\s')n'/c],
k = kf0 [sfnf + vy/c+ (у — \)n'(s'y)y/v2 ]. Отсюда находим фазовую скорость света
в системе наблюдателя при [s'v] = 0 и в линейном приближении по $ = v/c:
со 14-3«(со') с ( 1 со dn
ГЦ2+ 1 +
ф к и(со')+р п \ п2 п dco
Полученное выражение для коэффициента увлечения а отвечает условиям
опыта Физо и впервые было найдено Г. А. Лоренцем. В общем случае
а определяется способом вхождения света в движущуюся среду. Так, в опыте
Физо свет сначала попадает в переходный слой неподвижной воды, прилегающий
к трубе, т. е. можно считать, что источник света находится в самой среде.
Однако в опытах с твердыми телами свет сразу входит в движущуюся среду.
Поэтому в собственной системе среды для света вне ее к° = ук'° + ук'0 (s'y)/c,
или со' — со« — (s'v)co/c. Так что при [s'v] = 0 a=l— n~2+ [(d/t/dco)co]/«2. Если же
(s'v) = 0, то в линейном приближении а=1— п~2.
78.1. В собственной системе кругового тока у''и = @, j'), а в неподвижной
системе j и = {(vj') у/с, j' + (у — 1) (vj') v/i>2}. При вычислении дипольного момента
p = JprdF кольца с током делаем замену переменных интегрирования
г = г'+ (у — l)(vr')v/u2, dF=dF'y и полагаем j'dF' = /'dl'. Простые вычисления
дают р = /'с5" [vn'] = c [vm' ], где m' — собственный магнитный момент кольца
с током. При вычислении магнитного момента учитываем конвекционный ток
с плотностью pv, т.е. т = —I [r(j + pv)]dF=m'+ (у — l)(vm')v/t;2.
80.1. Согласно (80.6) и (80.7), на элементарный заряд q действует сила
F = ^(E + c-1[vB]) = ^-3[r,,-v^r1(l-P2)]=-V^, ^ = eq{\-$2)l^ где t? =
= (x—vtJ+ {y2 + z2){\ — p2). Поверхность \|/ = const является эллипсоидом Хевисай-
да: S2=a2(l-p2).
80.2. Если р' — дипольный момент в собственной системе диполя
и % = 4-y
330

81.1. Характеристическое число X, матрицы F$ является корнем уравнения
81.2. В первом случае В = с~1 [vE], а во втором E = c~l [Bv], где |v|<c.
82.1. С помощью D1.19) запаздывающее решение уравнений (82.5) запишем
в виде АЦх) = 4пс-2$С™(х-х'УЦх')<№. Но с учетом C.8) Gзап = 6(ГM(с2Г2-
— R2)c/Bn), откуда и следует (82.6).
Контурный интеграл в (82.7) сводится к вычету в полюсе x'° = x° — R, что
приводит к обычному выражению для запаздывающих потенциалов.
82.2. Пользуясь инвариантной трехмерной 5-функцией (см. задачу 74.2),
плотность 4-тока для точечного заряда е можно записать в виде
jlx(x) = eUlx(T)8(x—£(т) | ст (х)), где т—собственное время частицы, хи = ^(т) — ее
мировая линия, а(т)— пространственно-подобная гиперплоскость с нормалью
пц=и*1с, проходящая через точку ^ц(х). Учитывая, что [см. G4.8)] dQ' = cdx'da',
преобразуем (82.6) к виду А»(х) = 2е$Ъ [х°-^0(т')] С/М(т'M [(х-^(т')J ]dx',
где выполнено интегрирование по do'. Но [см. C.8)]
0 [х°-^°(т')
С/Дт)Г\ где т(х) — запазды-
запаздывающий корень уравнения (х — ^(т)J = 0. В результате получаем следую-
следующее ковариантное представление для потенциалов Льенара — Вихерта:
A»(x) = eU»(т) [(xv-^v(т)) Uv(т)]"l.
82.3. Вводя антисимметричные 4-тензоры
О Pi P2 Ръ
-Л 0 -Мъ М2
-Р2 Мъ 0 -Mi
-Р3 -М2 М, О
о пд п2 п3
-пх о -z3 z2
-П2 Z3 0 -Zx
-П3 -Z2 Zx 0
запишем уравнения D2.2), D2.4) и D2.6) в виде: jv = cdvlSiiV,
83.1. Из закона преобразования тензора (83.2) выводим:
I[vM]
' = y( M+ -[vP]
Поэтому если в собственной системе среды М' = 0, то в неподвижной
системе M = c-1 [Pv]. To же получается и из уравнений Максвелла — Лоренца.
Так, согласно задаче 63.1, в движущемся диэлектрике }nom = dPldt+ (vV)P —
-vdivP = dP/df + rot [Pv] = dP/df + crotM, откуда М = с [Pv].
83.3. 4-векторы j* и F^VUV параллельны, так как в собственной системе
среды они сводятся соответственно к векторам j и сЕ, связанным законом Ома
j = aE. Отсюда и следует (83.19).
83.4. /iM[Gpv]= — Dtt/c)/v, ^[^mv] = 0, где 4-векторы i, n имеют в собственной
системе вещества компоненты /M = (cr|, i), им = @, п).
84.1. Рассмотрим произвольную частицу с инертной массой га, энергией
Е и импульсом Р. Согласно предположению о распространении взаимодействия
со скоростью света, любой акт взаимодействия включает в себя некоторый
элементарный процесс с участием частиц, движущихся со скоростью света и = с
(рис. 19). Так как для такого процесса выполняются законы сохранения энергии
и инертной массы, то d£"+d8 = O; dm + d|i = 0, где 8, \i и р = цс суть соответственно
331

энергия, инертная масса и импульс «свето-
«световой» частицы. Так как с2 = с2 = const, то
(cdc) = 0 и из теоремы живых сил имеем
de = (cdp)=c2d|a. Отсюда dE= — de= — c2d\i =
= c2dm, т. е. соотношение эквивалентности
Эйнштейна. Далее, из теоремы живых сил
рис J9 выводим dE=(udP) = u2dm + 2~1mdu2 = c2dm.
Решение этого дифференциального уравнения
имеет вид (84.8), где Jt — постоянная интегрирования.
84.2. Рассмотрим элемент dIM гиперповерхности ^м^ = ^2с2 в ^-пространст-
^-пространстве, построенный на 4-векторах d^v, d^°, d@\ Так как &ild&vl = &tld£vl = &tld&il = O, то
dZM= -8MVOTd^vdJ°d^T = iVMdI, где И^ = ^^{Лс) — 4-вектор нормали к гиперповерх-
гиперповерхности. Таким образом, времениподобные 4-векторы d!M и & ц параллельны, поэтому
отношение их временных компонент есть инвариант. При этом dL0/^° = da<?, если
выбрать d^v = (d^°, d^1, 0, 0); dJ° = (dJ°, 0, d^2, 0); d^T = (d^°, 0, 0, d^3).
Далее, рассмотрим гиперповерхность в х-пространстве с элементом
daM= — 8MVOTdxvdj°dzT, построенном на пространственноподобных 4-векторах dxv,
dya, dz\ Если выбрать dxv = @, dx1, 0, О); d^° = @, 0, dx2, 0), dzT = @, 0, 0, dx3),
т. е. считать d<rM элементом гиперповерхности с нормалью иц = A, 0, 0, 0),
85.2. Пусть Е = @, 0, Ё)\ В = @, 0, В), а начальные условия при т = 0 имеют
вид хи = 0; ^ = (<fo/c, р). Вводя обозначения (д = еВ/(<Жс); \ = еЕ\{Мс\ запишем
уравнения Минковского (85.5): х° = Ъс3; х^сох2; х2=—сох1; х3 = >-х0, обозначая
точкой дифференцирование по т. Интегрирование с учетом начальных условий дает
ср3/сЪХт— 1
87.2. В данном случае Aii = (Ze/\r\, 0) и движение является плоским. Запишем
уравнение Гамильтона — Якоби в полярных координатах г, а:
= с2( —) +с2(—) +«/#2г4.
\дг J \rdoij
Используя два интеграла движения: энергии dS/dt= —E=const и момента
г
Га С / /г 2 \
импульса dS/dai = K=const, находим S=Kol — Et+ \ — \г2\— — М2с2\ +
+ 2Е-^гГ + {—\—1
Для определения траектории электрона положим dS/dK=uo = const, т. е.
1-1/2
f d^-M2c2 + 2E^
332

рис 20
1. Если Ze2/(Kc) = p<\, то траектория имеет вид
г=р1 [1+8! cos v/l-p2(a-a0)]~1, где сх = p-1 [1 —
-^/V(l-p2)/£2]1/2; Pl = Kc(\-p2)lpE. Если
Е<Мс2, то 8Х<1 и траектория «эллипсовидна»
(вращающийся эллипс). Если E=Jtc2, то ех = 1 и трае-
траектория «параболовидна» (инфинитное движение). Если
E>Jfc2, то 8!>1 и траектория «гиперболовидна»:
электрон приходит из бесконечности, совершает неско-
лько оборотов вокруг ядра и уходит в бесконечность.
2. Если р>1, то траектория имеет вид r=/72[82chx/p2 —1 (а — а0)— I], где
e2 = p-1[\-{-J^2c4(p2-l)lE2y12; p2 = Kc(p2-\)/(pE). В этом случае траектория
закручивается вокруг начала координат. При Е<Мс2 движение финитно (s2>l),
а при Е>Лс2 — инфинитно (82<1).
88.2. Согласно D6.19), РЕ = — (&Е)изл/с1£, причем в мгновенно сопутствующей
системе отсчета Р'Е = [2е2 /Cc3)](du' /dt'J. Далее, (d^)H3J1 = y(d^)/H3J1 + y(udP/H3J1)
= у(с1Е)'изл, так как, согласно задаче 43.1, dP'H3J1 = 0. С учетом равенства
dtf = dx = y~1d^, отсюда следует, что Р'Е = РЕ. j
°м-0Оц)х
89.2. Используя (89.21), составим разность 5M = ^)}1f) — <?fa = -
i r
xdV=~ \dJ(a0^dV. Но так как ХаОц= — ZOaM, то a = /=l, 2, 3 и по теореме
Гаусса — Остроградского с учетом островного характера системы имеем
5й = lim - (bniXiOlidS=0. Очевидно, что для островной системы любой тензор
S— оо С J
s
К" со свойством хХт = —KzX удовлетворяет соотношению J^A^^"da^ = O, где
a — пространственноподобная поверхность.
89.3. Циклически переставляем индексы: XaiiV= -ZMav= -ZMVa = Zv^ = ZvaM =
89.4. Пусть /^v = 2~1@MV-0ni). Если 0lfc = 0kl, то в любой системе отсчета
Alk = 0, что возможно только при условии, что Al0 = 0.
90.1. Запишем соотношение (90.2), считая, что электрон движется со скоростью
v, и выбирая в качестве поверхностей о1? сг2 соответственно гиперплоскости
а(х° = 0) и ao[x° = (rv)/c] (рис.20), связанные друг с другом преобразованием
Лоренца. С учетом (90.12) имеем
В собственной системе отсчета электрона /v= — d,0'v(r), т.е.
М/с
С 1
dx°fv(r)=—-
J
о
Предполагая систему островной (так как E~r~2, 0~r~4 при r-юо), после
Г Г
интегрирования по частям находим J^v = — 0IvdF=O, или 0IvdK=O, что
J J
эквивалентно (90.13), так как в собственной системе электрона j0lOdK=c^(f) = O.
333

90.2. Для электрона, движущегося со скоростью v, имеем:
= c[vE], w = (l+p2si
где $— угол между векторами r—\t и v. Считая электрон
поверхностно заряженным эллипсоидом Хевисайда (модель
Лоренца) |г—\t\ = ay~1(\ — p2sin2$)~1/2, поле Е определяем из
(80.7). Интегрирование w и g по объему дает: Ef = (\+t$2 /3)
е2у/Bа); Pf = \2e2y/Cac2). В модели Абрагама напряженность
ис' поля рассчитывается более сложно и сводится к напряженности
поля эллипсоида*.
91.1. Порог реакции соответствует минимальной энергии системы, когда
в системе центра масс все образовавшиеся частицы неподвижны. Запишем
поэтому сохраняющуюся собственную массу системы до реакции в лабораторной
системе, а после реакции — в системе центра масс: [(Е1+Л2с2J — Р2с2У12 =
^Л'А -(Л1+Л2J\.
/ J
91.2. Из закона сохранения 4-импульса ^I + ^J = ^з + ^4 и условий &2 = Л2с
з
выводим 0>l = Jflc2 = @>l+0>2-0>?J= X Л?с2 + 2[(Р1Р2)-(Р1РЪ)-(Р2РЪ)].
1 = 1
91.3. Если Л'— собственная масса системы частиц Л и то полная энергия
системы минимальна, когда частицы Л\ относительно неподвижны. Тогда
Л' = ^Л\ и реакцию можно представить в виде Л\ + Л'2-+Л'ъ + Л4, где Л3 = 0у
Л4 = Л'. Из тождества (91.17) выводим с2Е1Л2-Е1Е+сР1Есо$§-ЕЛ2с2 =
= (Л'2 — Л2 — Л2)с4/2, где 0 — угол рассеяния фотона в лабораторной системе.
Отсюда dE1/d& = Esin&(PleJ[EElcos§ + cP1^2c2-E)]~1, т. е. минимальное зна-
значение Ех соответствует углу ^=0, если ЕЕ1 + сР1(Л2с2 — Е)>0, и углу $ = тг, если
сР1(Л2с2-Е)-ЕЕ1<0. В обоих случаях cos23=l и (ЕР^J = [к + Ех[Е-Л2с2)]2,
где Х = (Л'2 — Л2 — Л2)с4/2-{-ЕЛ2с2. Корни этого уравнения относительно Ег
имеют вид (для Х>0)
Отсюда видно, что если Л2с2>2Е, то Е^ >Е{ >Х/(Л2с2)>0, а если 2Е>Л2с2,
то Ei >Х/(Л2с2)>0>Е1 . Таким образом, T0 = Ei —Л^с2.
92.1. Рассчитаем силу тяги двигателя в собственной системе звездолета.
При подсчете импульса вылетающих фотонов следует иметь в виду, что по
свойству параболического отражателя лучи, выходящие из фокуса, при отражении
становятся параллельными. Область зеркала разобьем на две части: /—где
отражаются все фотоны; //—где отражается половина фотонов (рис. 21). Замечая,
что импульс фотона Р'у = Лес(\ — v2/с2)~112, и считая распределение рождающихся
фотонов изотропным, в областях I и II имеем соответственно:
1; dPu/dt'= -2-1p;7V(l
где tg§l = 4aR/(R2 — 4a2). Поэтому сила тяги равна
* См.: Лоренц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света
и теплового излучения. Л.— М., 1934. С. 329.
334

F'T= -\
Чтобы составить уравнение движения звездолета, заметим, что сила тяги
является инвариантом. Разделим импульс Р звездолета на две части: импульс
корпуса Рх и горючего Р2, т.е. Р = Р1 + Р2. Рассмотрим два близких момента
времени t и t+At, выделив долю горючего, сгорающего к моменту времени
/ + Ал Тогда из закона сохранения импульса имеем
+ AP§r)(f + Af), где, очевидно, Y'(t) = Jt{t + M)V, ( )( )
Отсюда получаем уравнение движения Jt(t)d\Jldt = — d(P§r) — P%))/dt = FT = F'T.
Полагая Jt(t) = Jf0 — ост, где OL = 2J/eN(\— t>2/c2)~1/2, и интегрируя это уравнение
с начальным условием м@) = 0, находим:
и = с(\-1)/(\+\), Х = [^0/(^Г0-ах)]х; x = 2FT/(ac).
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ПРИЛОЖЕНИЯ
1. В цилиндрических координатах xl = r, *2 = а, x3 = z (рис. 22) имеем: h1=er,
h2=ear, h3=ez, git = diag[l, r2, 1]. В сферических координатах xi = r, jc2 = ^, x3 = a
(рис.23) имеем: h1=er, h2 = ear» h3 = earsin^, gik = diag[l, r2, r2sin23].
9. Запишем элемент объема в произвольных координатах:
dV-dx>ldxf2dxf3 = Jdx1dx2dx3, где J = \dtfk\ — якобиан преобразования. Взяв
детерминант от матричного соотношения AП.14), находим g = \gik\ = \difi\2 = J2,
т.е. dV=gll2dx1dx2dx\
Закон преобразования £,д вытекает из инвариантности элемента объема,
построенного на трех векторах dx, dy, dz:
d V= (dx [dydz]) = e^
= e 'i-
ldy mdzn =
dzn = zlmndxl dymdzn.
Таким образом, Simn = dlfidmfidnfkEfijk = \dkfi\e'imn=gll2E'imn. Аналогично получим
10. В произвольных координатах rotu=hi(rot2)i = hieijkdjak.
11. Выведем AП.25), исходя из декартовых координат: diva = dja'l =
= dj {dkfak) dxj/dxd = дкак + акдкд/дх}1дх'\
Прямым дифференцированием якобиана J убеждаемся, что J~ldkJ =
= dkdjfidxj/dxfi, так что
Рис. 22
Рис. 23
335

13. divr = 3, rotr = 0, V(ar) = a, rot[ar] = 2a,
= ф'п, divA(r) = (nA'), rotA(r) = [nA'], n = r/r.
14. Запишем соотношение BП.5а) для цилиндра
(рис. 24):
1
2hASn
n(pdS=-— фп'фA/+по(поУ)ф.
Отсюда после векторного умножения на п0 и сле-
следует BП.8а). Аналогично, BП.86) вытекает из BП 5в):
rota =
Рис. 24
после скалярного умножения на п0. Заметим, что
если в BП.86) положить а = сф, где с — постоянный
вектор, то получается BП.8а). Поэтому теоремой Стокса обычно называют
только соотношение BП.86).
16. Условия существования решений: rote = 0, divb = O.
17. В произвольных ортогональных координатах
Aq>=
19.
[
20. Допустим, что гармоническая функция ф принимает максимальное значе-
значение (рэ в некоторой внутренней точке О. Рассмотрим шар малого радиуса
а с центром в этой точке. Среднее уклонение ф в этом шаре Авф = 0(а4), в то
время как ц>(а) — ц>0 = О(а2). Поэтому внутри шара найдутся как точки, где
так и точки, где (р>(р0, что противоречит исходному допущению.

ДОПОЛНЕНИЕ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
Предметом молекулярной оптики является выявление связи
между молекулярной структурой вещества и его оптическими
свойствами. Мы рассмотрим электро- и магнитооптику—раз-
магнитооптику—разделы молекулярной оптики, в которых изучается влияние на
оптические свойства вещества внешних электрического и маг-
магнитного полей. Эти разделы находят широкое практическое
применение.
1Д. Электрооптика (эффект Керра)
Начнем с изучения явления, открытого в 1875 г. английским физиком
Дж. Керром. Суть его состоит в том, что оптически изотропное вещество,
будучи помещенным во внешнее электрическое поле, становится оптически
анизотропным: оно ведет себя как одноосный кристалл, главная оптическая ось
которого совпадает с направлением поля. Это означает, что в таком веществе
наблюдается двойное лучепреломление, т. е. показатель преломления света
оказывается зависящим от его поляризации.
Для объяснения этого явления рассмотрим так называемую ячейку Керра,
т. е. диэлектрический образец, помещенный в поле заряженного конденсатора.
В дальнейшем будем различать постоянное поле конденсатора с напряженностью
Ео = @, О, Ео) и поле линейно поляризованной световой волны, распространя-
распространяющейся поперек поля конденсатора. Обозначим электрическую напряженность
поля волны <f = @, &T Sz).
Будем считать, что поляризационные свойства отдельных молекул вещества
известны. Допустим, что молекула обладает постоянным собственным элект-
электрическим дипольным моментом р0 и, кроме того, под действием внешнего
поля Ео она может приобретать индуцированный дипольный момент а0 • Ео,
где а0 — симметричный тензор статической поляризуемости молекулы. Итак,
полный дипольный момент молекулы равен [см. E8.1)]
Чтобы вычислить поляризованность Р вещества, нужно усреднить вектор
р по всем возможным ориентациям молекул и умножить среднее на концентрацию
N молекул. Вероятность той или иной ориентации молекулы можно определить,
использовав распределение Больцмана E8.5):
где $ = (kT)~1. Чтобы воспользоваться формулой AД.1), вычислим в соответствии
с E8.6) энергию U взаимодействия молекулы с электрическим полем Ео:
С/=-(роЕо)--Ео-ао-Ео. AД.2)
Ориентацию молекулы относительно системы координат XYZ будем задавать
с помощью углов Эйлера $, ф, \|/, для чего введем систему координат 123,
жестко связанную с молекулой, а ее оси направим по главным осям тензора
поляризуемости &0. Будем, кроме того, предполагать, что вектор р0 совпадает
с главной осью 3, что обычно выполняется.
337

Для вычисления постоянной Z в AД.1) из условия нормировки
где dQ = sin$d$d(pd\|/; $е[0, тс], ф, \|/е [0, 2тг], заметим, что обычно (для
нормальной температуры) C£/<^1, и поэтому, ограничившись членами не выше
второго порядка по Ео, найдем с помощью AД.2)
Интеграл в AД.З) сводится к сферическим средним:
>n=-,
AД.4)
= 5ik/3, <cos4(/z)>n=-,
<cos2(/z)cos2(fcz)>n=—, <cos20>)cos2(A:z)>n=—, гфк,
где, например, (ix)—угол между главной осью / и осью координат X. Заметим,
что в главных осях ао,7=а<н5.7> и поэтому
Подставляя AД.5) в AД.З) и учитывая AД.4), получаем
Посмотрим как изменится напряженность & электрического поля световой
волны при прохождении ею вещества. Пусть при х = 0 она имеет вид
Под действием поля волны каждая молекула приобретет дополнительный
дипольный момент я, который можно определить, зная тензор а(со) = &
поляризуемости молекулы в переменном поле частоты со:
* = &■*. AД.6)
Усредняя вектор AД.6) по распределению AД.5), получим переменную часть
поляризованности
а используя связь 0 = / + 4тс^ = е-^, найдем тензор ё диэлектрической проница-
проницаемости и с его помощью из волнового уравнения типа F1.23) вычислим
возможные значения фазовой скорости световой волны в среде. Это и позволит
построить картину поля при ;с>0.
Приступим к осуществлению этой программы, сделав естественное допущение
о совпадении главных осей тензоров поляризуемостей а и а0, т. е. приняв
aLij = OLi8ij. Используя AД.6), находим
В то же время по закону преобразования тензора [см. AП.22)]
azz = a£ cos2 (iz), azy = af cos (iz) cos (iy).
С помощью AД.4) и AД.5) легко получить, что <cos(z'z)cos(/y)> = 0 и
338

Поэтому
х
Совершенно аналогично вычисляем
Поскольку
х
то получаем
Наконец, <7ГД. > = 0, и в итоге тензор ё оказывается диагональным, со следующими
интересующими нас главными значениями: ez = e + , ey = e_, где положено
Предполагая поглощение малым, т. е. считая d и d0 действительными,
12
,
1'2
определим показатели преломления для обыкновенного луча: nQ = ny = (\izy)
и для необыкновенного: /te = /tz = (|iezI/2. С их помощью вычислим волновые
векторы ко = по(д/с и /се = иесо/с, определяющие фазу волны в среде:
= [(*о, + *о,) cos т + i (*<,*-*<>,) sin т]е!х, AД.7)
где обозначено т = (ке — ко)х/2, % = ш — (ке + к0)х/2.
Если падающий свет поляризован под углом тг/4 к Ео, то |<^о*1 = 1^оу1>
и формула AД.7) описывает эллиптически поляризованный свет. В этом Легко
убедиться, заметив, что векторы ^oz + ^oy ортогональны, а так как они входят
в AД.7) со сдвигом фазы я/2, то их линейная комбинация как раз и определяет
вектор ё, который при фиксированном х описывает с течением времени эллипс.
Как видно из AД.7) , главные оси эллипса направлены вдоль векторов &ог + &оу>
а полуоси равны a = <fo|sinx|, 6 = <f0|cosi|. В зависимости от значения угла
Ф свет будет лево- или правополяризованным. Это легко установить, взяв
реальную часть в AД.7):
Отсюда видно, что свет будет правополяризованным, т. е. вектор $ будет
вращаться по правому винту вокруг оси X, если угол т лежит в нечетных
четвертях, и наоборот,—левополяризованным, если т лежит в четных четвертях.
В тех точках, где т = яг/4, г=1, 2,..., свет будет поляризованным по кругу,
так как тогда а — Ь. Минимальное расстояние, которое должен пройти свет,
чтобы сменить линейную поляризацию на круговую, определится равенством
Ф = я/4, откуда находим
339

Таким образом, величина эффекта Керра определяется разностью показателей
преломления пе — п0 = |i1/2D/e^ —^/е^). Если ограничиться первым неисчезающим
членом разложения по степеням Е\, то получим
где ^О = 27гс/со— длина световой волны в вакууме, а & — постоянная Керра, равная
Здесь 8 = 1 — DтгЛуЗ) Sp a — диэлектрическая проницаемость при отсутствии поля
Ео. Подстановка AД.9) в AД.8) дает для минимального расстояния, на котором
наблюдается круговая поляризация, выражение
Из формулы AД.10) следует, что эффект Керра проявляется только
в веществах, молекулы которых обладают неизотропной поляризуемостью, когда
atJ^a5ir Действительно, иначе 3a3 = Spa = 3a и, кроме того, 3Sp(a-ao) = SpaSpao,
так что J# = 0. Заметим еще, что так как постоянная J> пропорциональна
концентрации N молекул, то эффект Керра в газах незначителен и наблюдается
только в жидкостях и твердых телах, когда N велико.
На практике эффект Керра применяется для получения модулированного
светового потока Пожалуй, одно из самых широких его применений— звуковое кино.
Действительно, если за ячейкой Керра поставить анализатор света, то интенсивность
света на выходе будет зависеть от угла х поворота плоскости поляризации, т. е.
в конечном итоге — от Е J. Поэтому, если напряжение на конденсаторе будет меняться,
то точно так же будет меняться и световой поток. Фиксируя его на кинопленке, мы
получим «световую запись» звука, синхронную с изображением. Прочитать эту
запись, т. е восстановить зависимость можно с помощью обычного фотоэлемента.
2Д. Магнитооптика (эффекты Фарадея и Коттона—Мутона)
Выясним теперь, как влияет постоянное магнитное поле Во на оптические
свойства вещества. Здесь следует различать два эффекта. С одной стороны,
внешнее магнитное поле влияет на магнитную восприимчивость молекул, приводя
к магнитной анизотропии вещества. Этот эффект полностью аналогичен эффекту
Керра, и поэтому мы не будем специально на нем останавливаться, отметив,
что сильнее всего он проявляется в тех средах, молекулы которых обладают
значительными магнитными моментами (ферромагнетики). У обычных же веществ
наведенные магнитные моменты весьма малы, так как содержат множитель
v/с <^с 1. Для упрощения анализа мы не будем учитывать магнитной анизотропии,
полагая \1ч = \1Би.
С другой стороны, магнитное поле оказывает непосредственное воздействие
на атомные электроны (сила Лоренца), и именно это обстоятельство оказывается
решающим во всех магнитооптических явлениях. В дальнейшем мы ограничимся
простейшей осцилляторной моделью вещества (см. § 61), задавшись целью
выяснить существо отмеченных явлений. При составлении уравнений движения
атомных электронов нужно еще учесть, что напряженность ё электрического
поля световой волны отличается от напряженности &' поля, непосредственно
действующего на атомные электроны (см. § 58). Обычно для напряженности
действующего поля получается выражение $' = $ + *,&, где &—переменная
поляризованность среды, а х«4я#/3 (как в методе Лоренца).
340

Наконец, при составлении уравнений движения электронов будем пренебрегать
индукцией $ слабого магнитного поля световой волны по сравнению с Во.
С учетом всего сказанного запишем следующие уравнения движения (см. § 61):
^=-(^ + х^+-[гВ
т\ с
Введем в BД.1) вместо г поляризованность 0> = Nex\
Ne2 в(о
^(юе2-1ую-ю2) = /-i_[^B0]. BД.2)
т тс
Здесь мы учли зависимость г от времени типа е~ш\ а также ввели новую
собственную частоту. сос = (ю2-Л^2х/тI/2.
Разрешив уравнение BД.2) относительно ^, выразим поляризованность
и электрическую индукцию @ = £ + 4п@> через 8\
0 = e^ + i[g^]-£g(g^), BД-3)
где введены обозначения:
8=1-Ьсо2А(А2-02ю2)'1, A=<o2-iyco-co2,
П = еВ0/(тс), Q = \il\, w2
Вектор О. представляет собой вектор угловой скорости вращения электрона
в магнитном поле Во. Вектор g называется вектором гирации, так как член
i [%& ] в BД.З) приводит к эффекту вращения плоскости поляризации света.
Среда с уравнением состояния типа BД.З) называется гиротропной.
Рассмотрим теперь световую волну, распространяющуюся в направлении s.
Запишем для нее волновое уравнение F1.23):
которое с учетом BД.З) принимает вид
y2S(Sfi) = 0. BД.4)
Решения уравнения BД.4) дадут нам возможные типы волн, характеризующиеся
определенными значениями у и волнового вектора k=s&. Умножая уравнение
BД.4) скалярно и векторно на g, исключим из него комбинации [g<? ] и (g<?):
Как вскоре выяснится, волны в такой среде могут быть поперечными
только при распространении в определенных направлениях. Поэтому рассмотрим
сначала общий случай, когда (s^)#0. Умножим BД.5) скалярно на s и для
величины х=у2 — г найдем уравнение
Его решение дает возможные значения у2:
BД.6)
341

Таким образом, в каждом возможном направлении могут распространяться
две волны с разными фазовыми скоростями. Исследуем некоторые частные
случаи подробнее. Начнем с эффекта Фараде я. В этом случае свет распрост-
распространяется вдоль магнитного поля, т. е. g = sg, и из BД.6) получаем
yli = e±g. BД.7)
Подставляя эти значения у2 в уравнение BД.5), убеждаемся, что оно выполняется
только при (s<^) = 0, т. е для поперечных волн. Подстановка BД.7) в BД.4)
дает соотношение
*±i[s*] = 0, BД.8)
из которого следует, что волны поляризованы по кругу. В самом деле,
соотношение BД.8) означает, что две ортогональные проекции вектора 8 сдвинуты
по фазе на тг/2 и имеют равные амплитуды, т. е. конец вектора S описывает
окружность. При этом корень >>i = (£+gI/2 отвечает левополяризованной волне,
а корень j^2 = (е—5гI/2 — правополяризованной. Так как фазовая скорость обратно
пропорциональна у, то правая волна опережает левую. Это приводит к тому,
410 для линейно поляризованного падающего света наблюдается вращение
плоскости поляризации по правому винту при прохождении света через образец.
Физическую причину этого понять нетрудно: так как волна поперечна, то
она вызывает колебания атомных электронов поперек Во, магнитное же поле
закручивает электроны по правому винту (из-за отрицательности их заряда),
что и приводит к повороту векторов поляризованности 0* = Ner и электрической
напряженности &~&.
Получим формулу для угла ф поворота плоскости поляризации. Для этого
примем, что Во = @, О, Во) и в точке z = O напряженность электрического поля
волны имеет вид ^(z = 0) = <^oe~i(Ot. Представим это поле в виде линейной
комбинации левой и правой круговых волн:
^ftiK])^ iK])
Поскольку волновые векторы к12 для круговых волн нам известны, то
электрическое поле в среде при z>0 описывается вектором
где <p = (k1—k2)z/2. Это линейно поляризованная волна, плоскость поляризации
которой повернута относительно $0 на угол
Ф = Ц1/2 g()'i-^J=n"gz[(e+*)+(8-gI'2]-1. BД.9)
Ограничившись случаем малого поглощения (у»0) и учитывая, что обычно
Q«:co и d|a/dw«:de/dw, в первом приближении по Q из BД.9) получим формулу
Беккереля для вращения плоскости поляризации:
Ф«П^ ^22 = Мо2, BД.10)
ic dco
где & = (dwo/dco)|e|w/Bmc2)—постоянная Верде, а п0 — показатель преломления
при Во = 0.
342

Фарадей, который впервые в 1845 г. наблюдал это явление и обнаружил
закономерность BД. 10), заставлял луч света проходить образец много раз,
используя систему зеркал. Это приводило к многократному усилению эффекта,
так как вращение плоскости поляризации не зависит от направления луча
и происходит всегда по правому винту вокруг вектора Во.
Рассмотрим теперь случай, когда свет распространяется поперек вектора Во
индукции магнитного поля. Тогда (gs) = O и соотношение BД.6) дает следующие
значения у2:
Выясним свойства волн, отвечающих этим значениям. Из BД.4) для первой
волны находим, что (s<^)= [g<^] = 0, т. е. она является поперечной и поляризован-
поляризованной вдоль вектора Во. Что касается второй волны, то из BД.4) заключаем,
что (g<^) = 0, но (s^)t^O. Таким образом, она уже не является поперечной, но
поляризована поперек магнитного поля.
Итак, значения ylt2 отвечают волнам, распространяющимся поперек маг-
магнитного поля и поляризованным вдоль и поперек Во соответственно. Так как
показатель преломления n=y\il/2, то из-за различия пх и п2 будет наблюдаться
двойное лучепреломление, полностью аналогичное явлению Керра [за исключе-
исключением того, что, вообще говоря, (s£)#0]. Как и явление Керра, этот эффект
квадратичен по Во и характеризуется разностью
eW(e0-lK u
где Ж — постоянная Коттона — Мутона, названная по именам французских
физиков, впервые наблюдавших в 1905 г. двойное лучепреломление света
в замагниченном веществе.
В заключение попробуем нарисовать качественную картину распространения
света в среде, помещенной в магнитное поле. Мы обнаружили, что при
распространении света вдоль магнитного поля возникают две волны, поляризован-
поляризованные по кругу и имеющие разные показатели преломления, т. е. наблюдается
двойное круговое лучепреломление. Однако при распространении света поперек
магнитного поля поляризация остается линейной, т. е. наблюдается обычное
двойное лучепреломление. Очевидно, что при распространении света в промежуточ-
промежуточном направлении, когда g2>(gsJ>0, тоже возникнут две волны, но поляризация
их будет уже эллиптической, т. е. будет наблюдаться двойное эллиптическое
лучепреломление.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А—вектор-потенциал электромагнитного поля; Ац — 4-потенциал электромагнит-
электромагнитного поля; а —трехмерное ускорение
В—индукция магнитного поля; В' — индукция действующего магнитного поля;
b—напряженность (индукция) микроскопического магнитного поля
С—емкость конденсатора; С1к — емкостные коэффициенты; с—скорость света
в вакууме
D — индукция электрического поля; & — диссипативная функция Рэлея, коэффици-
коэффициент прохождения электромагнитной волны
Е —напряженность электрического поля; Е' — напряженность действующего электри-
электрического поля; Естор —напряженность сторонних электродвижущих сил; Е—релятивистс-
Е—релятивистская энергия; Ео -собственная энергия частицы; 8- электродвижущая сила, активная
энергия; е —напряженность микроскопического электрического поля; е,— базисные
векторы; ег — электрический заряд отдельной частицы; е —заряд электрона
F—трехмерная сила; FR—сила реакции излучения; 3F*—4-вектор силы; FMV —
тензор электромагнитного поля; FMV — тензор, дуальный FMV; f—объемная плот-
плотность силы; /м — 4-вектор плотности силы; </">- среднее по углам или по
статистическому ансамблю от /; /—среднее по времени от /; [/] — скачок /
G—импульс электромагнитного поля; G—функция Грина; g—плотность им-
импульса электромагнитнот о поля; gMV — метрический тензор
Н—напряженность магнитного поля; Нкр—критическая напряженность магнит-
магнитного поля; Нс — коэрцитивная сила; Н—гамильтониан
/—сила электрического тока; J — якобиан преобразования; i—плотность повер-
поверхностного тока проводимости; iM — плотность поверхностного тока намагничения
j—плотность тока проводимости; jP—плотность тока поляризации; jM — плотность
тока намагничения; ум—4-вектор плотности тока
к—трехмерный волновой вектор; к—волновое число; к* — четырехмерный вол-
волновой вектор
L — момент сил; L—индуктивность, лагранжиан; Llk —взаимная индуктивность;
<£ — лагранжева плотность
М— намагниченность; Ms—намагниченность насыщения; Мг—остаточная намаг-
намагниченность; M*"MV—релятивистский тензор плотности момента импульса; Л —
собственная масса, молекулярный вес; М^—релятивистский тензор момента
импульса; Jih h—тензор магнитного мультипольного момента; m — магнитный
момент; тс—спиновый магнитный момент; т0 — невозмущенный магнитный
момент молекулы; т — инертная масса, магнитный заряд
N—концентрация (плотность числа частиц); п—единичный вектор внешней
нормали; п—показатель преломления (действительный); п' — коэффициент по-
поглощения электромагнитных волн
Р—поляризованность, трехмерный импульс; Р—тепловая мощность (джоулева);
Р{ — мощность электромагнитного излучения; РЕ—скорость потерь энергии за-
заряженной частицы на излучение; ^м — 4-вектор импульса; р—электрический
дипольный момент; р—давление, обобщенный импульс; рт — магнитное давление
Q— полный электрический заряд; Q'1 '«—тензор электрического мультипольного
момента; q — плотность тепловой мощности, обобщенная координата
344

R — электрическое (активное) сопротивление, расстояние между двумя точками;
Rlk— коэффициенты сопротивления; RY— сопротивление излучения; Rm~ магнитное
число Рейнольдса; $— коэффициент отражения электромагнитной волны; г
радиус-вектор; R = r — г'
S — вектор Пойнтинга; S—гамильтоново действие; Slk— потенциальные коэф-
коэффициенты; s—единичный лучевой вектор; s— пространственно-временной интервал
Г— температурах T=t—t'; Ткр — критическая температура; Тс — ферромагнитная
точка Кюри; Т — тензор натяжений Максвелла; ГМУ — канонический тензор
энергии-импульса; Т — тороидность; t—поверхностная плотность силы; t— время
С/м = (£/°, U) — 4-скорость частицы; U—электрическое напряжение, потенциальная
энергия; и — трехмерная скорость частицы
V—объем; А V—физически бесконечно малый объем; у— относительная скорость
двух систем отсчета, групповая скорость, скорость частицы; гф—фазовая скорость;
vc — скорость сигнала
W— энергия электромагнитного поля; w— плотность энергии электромагнитного
поля
Xjk — матрица реактивного сопротивления; х1— пространственные координаты
точки; хм — четырехмерные координаты точки
Zjk — матрица комплексного сопротивления (импеданс)
а—поляризуемость молекулы, азимутальный угол; а—тензор поляризуемости
молекулы; ап—полная поляризуемость молекулы
р — угол Брюстера; fi = v/c
у — коэффициент лучистого трения; у = A— v2/c2)~112
5 — толщина скин-слоя; 5lk—символ Кронекера; 5(х) —дельта-функция
8—диэлектрическая проницаемость (в том числе комплексная); e' = Res; e" = Ime;
8 — тензор диэлектрической проницаемости; zljk — трехмерный символ Леви —
Чивиты; 8ЦУС1Т — четырехмерный символ Леви Чивиты
Z — магнитный вектор Герца; £ — запаздывающее время
г| — поверхностная плотность свободного электрического заряда, комплексный
показатель преломления; г|Р — поверхностная плотность связанного электрического
заряда
0 — парамагнитная точка Кюри; 0MV — симметричный тензор энергии — импульса;
6(х) — функция Хевисайда
х—диэлектрическая восприимчивость
Л — электромеханическая функция Лагранжа; Л£—матрица Лоренца; X — длина
волны; А,{£—4-тензор проницаемостей
[I — магнитная проницаемость (в том числе комплексная); \i' = Re \i, \\!f = Im щ
Д—тензор магнитной проницаемости; цв — магнетон Бора
vm—магнитная вязкость
П — электрический вектор Герца; я?—обобщенный полевой импульс
р—плотность свободного электрического заряда; рР — плотность связанного
электрического заряда
X — инерциальная система отсчета; а — электропроводимость, полное сечение
рассеяния; а—тензор электропроводимости
т — единичный касательный вектор; т- мощность электрического двойного слоя,
плотность массы, время релаксации, собственное время; тт — мощность двойного
магнитного слоя
Ф—магнитный поток, фаза электромагнитной волны; ср—скалярный потенциал
электрического поля, угол потерь
X — магнитная восприимчивость
ф — скалярный потенциал магнитного поля
П—ларморова угловая скорость; Q — телесный угол, четырехмерный объем
со—круговая частота; сос — частота собственных электронных колебаний в атоме;
соп—плазменная (ленгмюровская) частота

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация 249
Вектор волновой 115
— Герца магнитный 84, 128
электрический 60, 128
— Пойнтинга 44, 119
— поляризации 115
— Умова 45
Пойнтинга 45, 106, 142
Векторы четырехмерные 240
Вибратор Герца гармонический 132
магнитный 129
электрический 129
Волны Бора 202
— магнитогидро динамические 114, 117
— поперечные 200
— продольные 202
— ударные 204
— электромагнитные 114, 117
монохроматические 115
поляризованные линейно 115
эллиптически 115
Восприимчивость парамагнитная 194
Время абсолютное 208
— десинхронизации 226
— местное 215
— релаксации 109
— собственное 231, 247, 265
Гипотеза Ампера 12, 31
Гистерезис 86, 196
Градиент 77
Давление магнитное 46, 172
Диамагнетики 18, 35, 88
Диполь 55
Дисперсия аномальная 203
— нормальная 203
— света 196
Диэлектрики 31, 68, 178, 179
Домены 18, 190, 196
Закон Ампера 13, 25, 28
— Био — Савара — Лапласа 12, 78
— взаимодействия двух элементов тока
12
— Джоуля—Ленца 43
— индукции электромагнитной 14, 15,
26, 28
— Кирхгофа 36, 101, 154
— Кулона 8, 12, 22, 31
— Кюри 189
Вейсса 192, 195
— Ома 17, 36, 37
— Снеллиуса 118
— сохранения заряда электрического 7,
8, 20, 101, 253, 254
энергии 42, 144, 291
импульса 287, 298
— «трех вторых» 192
— Фарадея 151
Заряд системы полный 63
Заряды внесенные 21
— свободные 17
— связанные 17
— собственные 21
— электрические 7
Излучение антенны линейной 137, 138
— Вавилова — Черенкова 207
— синхротронное 143
Изотропность 251
Индуктивность 93
Индукция магнитная 10, 76, 116
— электрическая 31
Катастрофа поляризационная 185
Квадруполь 55, 56
346

Кумуляция магнитная 171, 172
Линия мировая 236
Листок магнитный 82
Магнетизм спиновый 35
Магнетики 92, 96
Магнетон Бора 188
Масса инертная 266
— собственная 265, 267, 289, 291
Метод инверсии 71
— Лоренца 185
— отражений 70
— сферических средних 113
— функций Грина 123
Модель вещества резонансная осцил-
ляторная 198
— Друде электронная 108
— электрона 282
Момент анапольный 83
— дипольный 29
индуцированный 179
собственный 179
— квадрупольный 83
— магнитный 32, 80, 91
орбитальный 186
спиновый 186
— мультипольный 54, 146
Монополь 55
Мощность излучения 132
вибратора 133, 134
Мультипольность 54
Намагниченность 21, 32, 195
— абсолютного насыщения 192
— остаточная 190
— спонтанная 195
Напряженность 9
— поля действующего 73, 182
магнитного 35, 84
электрического 152
Окружность Аполлония 72
Оператор Даламбера 112
Отражение внутреннее 120
Пакет волновой 116
Парадокс часов 232
Парамагнетизм 18
Парамагнетики 35
Плоскость Минковского 237, 240
Плотность зарядов магнитных 85
линейная 53
электрических 19
поверхностная 39, 52, 102, 109
— мощности излучения 138
— потока импульса 41
— — энергии электромагнитной 44
— силы 40
Лоренца 41
— тока намагничения 33
поверхностного 40
поляризации 34
электрического 19, 77, 107
Поворот гиперболический 237
Подвижность ионов 108
Поле Вейсса молекулярное 193
— зарядов произвольно движущихся
140
связанных 59
— локальное 179
— магнитное 10, 76, 80, 83
— проводника цилиндрического с то-
током 105
— проводников заряженных 60
— электрическое 9, 10, 22, 31
вихревое 26
— электромагнитное 5, 6, 27, 28, 42
переменное ПО
Поляризация 29
Поляризованность 21, 30, 180, 197
Поляризуемость 184
Постулаты Эйнштейна 216
Потенциал векторный 77
— запаздывающий 126
— зарядов поверхностных 52
пространственно распределенных
51
линейных 52
— Льенара — Вихерта 141
— магнитный скалярный 81
— опережающий 126
— системы зарядов 54
— слоя двойного электрического 57
— четырехмерный 260
Правило Ленца 16
Преобразование Галилея 209, 224
— калибровочное 77, 122, 281
— Лоренца 223 -225, 235
Эйнштейна 220
Приближение гидродинамики магнит-
магнитной 166
— Рэлея 162
347

Принцип вариационный 270
— действия наименьшего 295
— максимума 311
— относительности 220
Галилея 208, 216
— переключения 302
— суперпозиции 9
Проводимость 17
— удельная 17, 108, 109
Проводники 68
— квазилинейные 37
Пучки встречные релятивистские 294
Радиус электрона классический 146
Разложение мультипольное 54, 80, 134
Распределение Больцмана 180
Рассеяние волн электромагнитных 146
Резонанс 155
Сверхпроводимость 18
Сверхпроводники 88, 96
Сегнетоэлектрики 18
Сечение рассеяния 147
Сила коэрцитивная 190
— Лоренца 13, 40, 41
— осциллятора 198
— реакции излучения 144
Силы пондеромоторные 158
Система единиц Гаусса 8, 46
рационализированная МКСА 46
— координат 219
— отсчета 210
инерциальная 219, 222
собственная 228
Скин-эффект 159
— аномальный 162
Скорость групповая 228
— передачи информации 227
— распространения сигнала 227
— света 216, 227
— четырехмерная 247
Соотношение взаимности 66
— Клаузиуса — Мосотти 184
Соотношение эквивалентности энергии
и массы 267
Сопротивление активное 155
— волновое 164
— излучения антенны 133
— реактивное 155
Тахионы 302
Теорема Белинфанте 300
— взаимности Грина 66, 67
— Гаусса 23, 28
Остроградского 23, 246, 310
— живых сил релятивистская 269, 279
— Ирншоу 64
— Кельвина 50
— Лармора 187
— Лауэ 286
— Леви — Чивиты 203
— Нетер 298
— Остроградского 310
— Планка 281
— Пойнтинга 44, 156
— сложения скоростей 248
— Томсона 68
— эквивалентности Ампера 83
Теория близкодействия 6
— дальнодействия 5
— относительности 216
Ток индукционный 14
— квазистационарный 151
— намагничения 31
— смещения 27
— электрический 107
стационарный 98
Тороидность 83
Точка Кюри 192
— мировая 236
Уравнение волновое 111, 200
— Гамильтона — Якоби 273
— Даламбера 112, 113, 126
— Дирака — Лоренца 275
— дисперсионное линии двухпроводной
165
— Лапласа 49-51, 72, 105
— Пуассона 49, 51, 52, 72, 99
Уравнения Гамильтона 273
— движения заряда 267, 269, 272
— Лагранжа 271
— Максвелла 28, 35, 149, 262
Лоренца 174, 175
макроскопические 175
— микроскопические 175
— Минковского 264, 265, 268
— телеграфные 163
— электродинамики релятивистские 256
Условие Видероэ 272
— калибровки 123
— квазистационарности 150
— Лоренца 122, 205
— нейтральности 21
348

Условие согласования нагрузки с ли-
линией 165
Условия граничные 38
Ферродиэлектрики 18
Ферромагнетики 18, 95, 189
Формула Адамара 297, 298
— Друде — Зинера 199
— Ланжевена — Дебая 184
— — Паули 189
— Лармора 132
— Лоренца — Лоренца 201
— Тамма- Франка 207
— Томсона 148, 155
Формулы Френеля 119
Функция Грина 123
запаздывающая 124
— — опережающая 126
— Лагранжа 158
— Ланжевена 181
— распределения дисперсионных элек-
электронов 198
— Хевисайда 124
Число Рейнольдса магнитное 166
Электропроводимость 37
Энергия активная 292
— поля магнитного 91, 92, 95
электромагнитного 42, 277
электростатическою 62—65
-- системы заряженных проводников
62, 67
— частицы 266
— — собственная 267
Эфир 6
Эффект «вмороженности» поля магнит-
магнитного 167
- десинхронизации 226
— диамагнитный 18
— Доплера 251, 252
— замедления хода движущихся часов
228, 230, 232, 238
— Мейсснера 18, 88
— рассасывания 166
— сокращения движущихся масштабов
228, 229, 238

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 3
Предисловие ко второму изданию 4
Введение 5
Глава 1. Уравнения Максвелла как результат обобщения опытных фак-
фактов 7
§ 1. Анализ основных опытных фактов 7
§ 2. Условие макроскопичности и закон сохранения электрического
заряда 18
§ 3. Закон Кулона и электрическое поле 22
§ 4. Магнитное поле постоянных токов 25
§ 5. Закон электромагнитной индукции Фарадея 26
§ 6. Ток смещения и уравнения Максвелла в вакууме 27
§ 7. Диэлектрики. Электрическая поляризация 29
§ 8. Магнетики. Намагниченность 31
§ 9. Учет токов намагничения и поляризации 34
§ 10. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде 35
§ И. Закон Ома в дифференциальной форме 36
§ 12. Граничные условия 38
§ 13. Силы, действующие на заряды и токи 40
§ 14. Энергия электромагнитного поля 42
§ 15. Системы единиц 45
Глава 2. Стационарные поля 48
§ 16. Электрическое поле, создаваемое заданным распределением
зарядов. Уравнение Лапласа 48
§ 17. Потенциал пространственно распределенных зарядов 51
§ 18. Потенциал поверхностных и линейных зарядов 52
§ 19. Потенциал ограниченной системы зарядов (мультипольное
разложение) 54
§ 20. Потенциал двойного электрического слоя 57
§ 21. Поле связанных зарядов 59
§ 22. Поле заряженных проводников 60
§ 23. Энергия электростатического поля 62
§ 24. Энергия системы заряженных проводников 65
§ 25. Проводники и диэлектрики во внешнем поле 68
§ 26. Некоторые специальные методы решения задач электроста-
электростатики 70
§ 27. Силы, действующие на проводники и диэлектрики в электро-
электростатическом поле 73
§ 28. Магнитное поле, создаваемое заданным распределением токов.
Векторный потенциал 76
§ 29. Магнитное поле ограниченной системы токов (магнитное муль-
мультипольное разложение) 80
350

§ 30. Поле постоянных магнитов 83
§ 31. Магнитные свойства сверхпроводников 86
§ 32. Энергия магнитного поля постоянных токов 91
§ 33. Силы, действующие на сверхпроводники и магнетики в посто-
постоянном магнитном поле 96
§ 34. Стационарный электрический ток 98
§ 35. Система идеальных проводников в среде с малой проводи-
проводимостью 102
§ 36. Поле цилиндрического проводника с током и превращение
энергии в цепи постоянного тока 105
§ 37. Простейшая модель омического сопротивления проводников ... 107
Глава 3. Переменное электромагнитное поле 110
§ 38. Переменное электромагнитное поле в однородной среде или
вакууме ПО
§ 39. Плоские электромагнитные волны 114
§ 40. Отражение и преломление электромагнитных волн на плоской
границе раздела двух сред 117
§ 41. Поле заданных зарядов и токов в вакууме 121
§ 42. Электрический и магнитный векторы Герца 128
§ 43. Поля электрического и магнитного вибраторов Герца 129
§ 44. Мультипольное разложение запаздывающих потенциалов 134
§ 45. Излучение линейной антенны 137
§ 46. Поле произвольно движущегося заряда 140
§ 47. Сила реакции излучения 143
§ 48. Рассеяние электромагнитных волн свободными электронами
(формула Томсона) 146
Глава 4. Квазистационарные токи и поля 149
§ 49. Уравнения Максвелла в квазистационарном случае 149
§ 50. Квазистационарные токи в линейных проводниках 151
§ 51. Превращение энергии в цепи линейных квазистационарных
токов. Электромеханическая аналогия 156
§ 52. Скин-эффект 159
§ 53. Длинные линии 163
§ 54. Квазистационарные поля в медленно движущихся деформирую-
деформирующихся проводниках (магнитная гидродинамика) 165
§ 55. Магнитная кумуляция 170
Глава 5. Электронная теория сред 173
§ 56. Основные положения электронной теории Лоренца 173
§ 57. Уравнения Максвелла — Лоренца и макроскопические уравне-
уравнения Максвелла 175
§ 58. Диэлектрики в постоянном электрическом поле 178
§ 59. Электронная теория намагничивания 186
§ 60. Теория ферромагнетизма по Вейссу 189
§ 61. Электронная теория дисперсии и поглощения электромагнит-
электромагнитных волн 196
Глава 6. Релятивистская кинематика 208
§ 62. Принцип относительности Галилея и гипотеза эфира 208
§ 63. Попытки обнаружения эфирного ветра 211
§ 64. Гипотезы Фицджеральда и Лоренца 214
§ 65. Постулаты теории относительности 216
§ 66. Общие свойства пространства-времени и определение одновре-
одновременности 218
§ 67. Вывод преобразований Лоренца — Эйнштейна 220
§ 68. Общие следствия преобразований Лоренца 224
351

§ 69. Изменение длины движущихся тел 228
§ 70. Изменение хода движущихся часов 230
§ 71. Парадокс часов 232
§ 72. Четырехмерная геометрическая интерпретация преобразований
Лоренца 235
§ 73. Четырехмерные векторы и тензоры 240
§ 74. Четырехмерный векторный анализ 244
§ 75. Четырехмерные скорость и ускорение точки 247
§ 76. Теорема сложения скоростей 248
§ 77. Аберрация и эффект Доплера для световой волны 249
Глава 7. Релятивистская электродинамика и движение заряда в элект-
электромагнитном поле 253
§ 78. Закон сохранения электрического заряда в ковариантной
форме 253
§ 79. Ковариантная запись уравнений электродинамики 255
§ 80. Формулы преобразования для электромагнитного поля 257
§ 81. Инварианты электромагнитного поля 259
§ 82. Четырехмерный потенциал электромагнитного поля 260
§ 83. Ковариантная запись уравнений Максвелла в среде 262
§ 84. Уравнения Минковского 265
§ 85. Уравнения движения заряда во внешнем электромагнитном
поле 267
§ 86. Лагранжева форма уравнений движения заряда в электромаг-
электромагнитном поле 269
§ 87. Гамильтонова форма уравнений движения заряда в электро-
электромагнитном поле 272
§ 88. Сила реакции излучения 273
Глава 8. Энергия и импульс в электродинамике и релятивистской меха-
механике 277
§ 89. Энергия и импульс электромагнитного поля 277
§ 90. Электромагнитная теория массы 282
§ 91. Законы сохранения энергии и импульса для системы частиц
и полей 288
§ 92. Закон сохранения энергии 291
§ 93. Релятивистские встречные пучки 294
§ 94. Принцип наименьшего действия для электромагнитного
поля 295
§ 95. Законы сохранения как следствие вариационного принципа 298
§ 96. Тахионы 302
Приложение. Основные сведения из векторного анализа 304
1П. Классификация физических величин. Тензоры 304
2П. Важнейшие формулы и теоремы векторного анализа 308
Решения и ответы к задачам 313
Дополнение. Молекулярная оптика 337
Список принятых обозначений 344
Предметный указатель 346