/
Автор: Лурье А.И.
Теги: физика математика операционное исчисление механика интегральные уравнения электрические цепи
Год: 1951
Текст
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
А. И. ЛУРЬЕ
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
ВТОРОЕ
СОВЕРШЕННО
ПЕРЕРАБОТАННОЙ
ИЗДАНИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕР AT У РЫ
МОСКВА 1961 ЛЕНИНГРАД
12-5-4
Редактор А. И. Чекмарев Техн. редактор К. М. Волчок
Подписано к печати 15/1 1951 г. Т-00821. Формат бумаги 84Xl08/3S. Бум. л. 6,75
Печ. л. 22,14. Уч.-пзд. л. 22,18. Тип. зн. в печ. л. 32 860.Тираж 10000 экз. (5001—10000).
Цена 13 р. 30 к. Переплет 2 р. Заказ № 2057.
4-я типография ии. Евг. Соколовой Главполпграфиздата при Совете Министров СССР.
/ Ленинград, Измайловский пр.» 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 11
Глава I. Основные определения и теоремы
операционного исчисления
§ 1. Начальная'функция и изображение 15
§ 2. Основные свойства изображений 19
1°. Свойство линейности (19). 2°. Изменение масштаба
независимой переменной (19). 3°. Изображение
производной (20). 4°. Изображение интеграла (21). 5°.
Теорема запаздывания (22). 6°. Теорема смещения (23).
7°. Теорема свёртывания (24). 8°.
Дифференцирование изображения (26). 9Э. Поведение изображения
Р{р) при |/>|-*оэ (28). Таблица 1. Сводка основных
правил и определений операционного исчисления (29).
§ 3. Изображения некоторых простейших функций ... 30
1°. Единичная функция Хевисайда (30). 2°.
Изображение целой степени переменного (32). 3°.
Изображение показательной функции (33). 4°. Изображение
гиперболических функций (35). 5°. Изображение
тригонометрических функций (35). 6°. Изображение
с"*- cos m/, e,jt sin Ы (35). 7°. Функции ch t cos t, ch t sin t
и т. д. Функции A. H. Крылова (37). 8Э. Функции
поперечных колебаний стержня (40).
§ 4. Теоремы разложения 41
1°. Первая теорема (41). 2°. Вторая теорема
разложения (45). 3°. Обобщение второй теоремы
разложения (51). Таблица 2. Изображения некоторых
функции (53).
§ 5. Изображения некоторых кусочпо-пепрсрывпых
функций. Изображение периодических функций 54
1°. Ступенчатый ход (55). 2°. Периодическая
ступенчатая функция (56). 8°. Периодически повторяющиеся
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
импульсы (56).4°. „Равноскатная крыша" (57). 5°.
Изображение функции f(f)=g(t) при 4</<4 и
обращающейся в нуль вне этого промежутка (58). 6°.
Изображение графика трапеции. Частные случаи
(таблица 3) (60). 73. Изображение одной полуволны
синусоиды (63). 8°. Изображение периодической функции (63).
9°. Изображение выпрямленной синусоиды (66).
10°. „Пилообразная" функция и другие примеры (67).
11°. Применение к разложению периодической
функции в тригонометрический ряд (67).
§ 6. Импульсивные функции
1°. Единичная импульсивная функция at (t) (70).
2D. Единичная импульсивная функция второго
порядка (72).
Глава II. Применение операционного исчисления к
решению дифференциальных и разностных
уравнений
§ 7. Интегрирование однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
1°. Изображающее уравнение (76). 2°. Основная
система решений и построение общего решения (77).
3°. Нулевой корень, замечание о кратных корнях (81).
4°. Пример (82).
§ 8. Интегрирование линейного неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами
1°. Переходный процесс при единичном возмущении
и переходный процесс под действием единичного
импульса (84). 2°. Решение при произвольной правой
части /(/) (85). 3°. Оценка модуля отклонения
динамической системы от равновесного состояния (87).
4°. Решение в форме определённого интеграла (90).
5°. Разыскание периодического решения при
периодической правой части (91). 6°. Особые случаи (93).
7°. Периодические решения, меняющие знак через
полупериод (95). 8°. Пример построения
периодического решения (97).
, § 9. Интегрирование однородной системы линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с
постоянными коэффициентами
1°. Изображающая система (101). 2°. Основная
система решений (102). 3°. Замечание о случае кратных
корней характеристического уравнения (106).4°.
Примеры (108).
§ 10. Малые колебания материальной системы вокруг
положения устойчивого равновесия
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
1°. Дифференциальные уравнения малых колебаний
консервативной системы (110). 2°. Рассмотрение
кратных корней характеристического уравнения (111).
8°. Составление решения для случая простых
корней (112). 4°. Замечание о форме решения при
наличии кратных корней в случае системы с рассеянием
энергии (113).
§ 11. Составление характеристического уравнения по
методу А. Н. Крылова 115
1°. Решение изображающей системы методом
исключения неизвестных (115). 2°. Замечание о случае
кратных корней (118). Пример (118).
§ 12. Интегралы от произведений решений 121
1°. Постановка задачи и приведение её к
вычислению сумм 5 (121). 2°. Произведения R и Rx (124).
3°. Сведение задачи к вычислению некоторых
симметрических функций коэффициентов полинома А (р). -
Случай полиномов третьей и четвертой степени (127).
4°. Доказательство обращения в нуль сумм 52/c+i (130).
§ 13. Интегрирование неоднородной системы линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с
постоянными коэффициентами 132
1°. Решение для произвольных правых частей (132).
2°. Действие единичного импульса (133). 3°. Действие
периодических возмущающих сил. Построение
периодического решения в замкнутой форме (133). 4°.
Условия существования и форма периодического решения
в исключительных случаях (нулевой корень, пара
чисто мнимых корней характеристического
уравнения) (137). 5°. Случай периодических сил, меняющих
знак через полупериод (139). 6Э. Каноническая
система уравнений теории автоматического
регулирования (140). 7°. Вынужденные колебания
консервативной динамической системы (143).
§ 14. Основные формулы операционного исчисления для
ступенчатых функций 145
1°. Теорема упреждения. (147). 2°. Теорема
запаздывания (148). 3°. Изображение e^^f\x] (148).4°.
Теорема свёртывания (148). 5°. Дифференцирование
изображения (149). 6°. Изображение [х\п (149). 7°. Фак-
ториальная функция (149). 8°. Показательная
функция (150). 9°. Аналог первой теоремы
разложения (151). 10°. Вторая теорема разложения (151).
15. Решение линейного разностного уравнения с
постоянными коэффициентами 153
1°. Построение изображающего уравнения (153),
2°. Примеры (155).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Приложения операционного исчисления к
задачам механики и сопротивления
материалов
§ 16, Колебания простейшего вибратора
1°. Движение материальной точки под действием
силы, зависящей от времени. Графически заданный
закон изменения силы (трапеция). Повторяющиеся
импульсы противоположного направления. Общий
случай периодической силы и условия возникновения
периодического движения (159). 21. Свободные
колебания вибратора (163). 3°. Вынужденные колебания
вибратора. Действие синусоидальном силы и случай
резонанса (163). 4°. Движение вибратора под
действием периодически повторяющихся импульсов.
Разыскание периодического движения. Выделение
свободных колебаний (164). 5°, Случаи импульсов
противоположного направления (167). 6°.
Вынужденные колебания вибратора под действием
выпрямленной синусоидальной силы. Выделение свободных
колебаний (171). 7°. Общий случай какой угодно
периодической силы. Выделение вынужденных и
свободных колебаний (174).
§ 17. Движение вибратора при наличии силы сопротивлении
1°. Свободные колебания (178). 2°. Вынужденные
колебания. Случай синусоидальной возмущающей
силы (179). 3°. Оценка модуля отклонения при
произвольной ограниченной по модулю возмущающе!!
силе (181). 4°. Свободные колебания вибратора при
наличии силы сопротивления, пропорциональной
первой степени скорости, и силы сухого трения (182).
5°. Вынужденные колебания под действием
периодически прикладываемых импульсов. Исследование
движения (185). 6°. Случай импульсов противоположного
направления. Автоколебания в схеме маятника со
спусковым механизмом (191). 7°. Действие на
вибратор возмущающей силы, имеющей постоянную
величину при движении вибратора „вперед" и
обращающейся в нуль при движении „назад". Разыскание
автоколебательного режима (194). 8°. Расчет качки
корабля на неправильном волнении (198).
§ 18. Применение операционного исчисления к задачам об
изгибе стержней
1°. Основные уравнения теории изгиба стержней.
Изображение сосредоточенных сил и моментов (202).
2°. Примеры. Консольный стержень ступенчатого
поперечного сечения. Опёртый по краям стержень
ОГЛАВЛЕНИЕ
ступенчатого поперечного сечения. Консольный
стержень с промежуточен опорой (204). 3\ Изгиб
стержня, сжатого продольной силой (209). 4°. Изгиб
балки, лежащей на сплошном упругом основании (211).
§ 19. Применение операционного исчисления к задаче
изгиба тонкой плшы 214
1°. Симметрично нагруженная круглая плита (214).
2°. Несимметрично нагруженная круглая плита.
Круглая плита с защемлённым кнаем под действием
сосредоточенной силы (218). 8°. Пример расчёта
кольцевой круглой плиты (224). 4°. Изгиб прямоугольной
плиты, два параллельных края которой опёрты (226).
5° Представление нагрузки в форме ряда по синусам.
Случай нагрузки, распределённой по прямой (228).
6°. Бесконечная полоса, нагруженная
сосредоточенной силой (23')). 7°. Полоса, нагруженная
бесконечным рядом сил (231).
§ 20. Деформация кругового кольца 234
1°. Плоская деформация кольца (2^4). 2\
Интегрирование уравнений равновесия (237). 3°. Интегрированче
уравнений для перемещений (242). 4°. Неплоская
деформация кругового кольца. Интегрирование
уравнении равновесия (248). 5°. Интегрирование
уравнений для перемещения и угла закручивания (250).
§ 21. Применение разностных уравнений к решению
некоторых задач сопротивления материалов 254
1°. Задача Н. Е. Жуковского о распределении усилий
на нарезках винта и гайки (254). 2°. Обобщённая
задача Н. Е. Жуковского (261).
Глава IV. Механические системы с конечным числом
степеней свободы
§ '22, Струна с сосредоточенными массами , . 268
1°. Задача Лагранжа о свободных колебаниях п масс,
закреплённых на невесомой струне (268). 2°.
Вынужденные колебания масс (274). 3'. Фильтр
механических колебаний (277). 4°. Задача Н. Е. Жуковского
о распространении натяжения в сцепных пружинах
при пуске поезда в ход (280).
§ 23. Крутильные колебания однородного двигателя с
маховиком .' 286
§ 24. Продольное движение самолёта 295
1°. Свободные колебания самолёта при малом
возмущении режима горизонтального прямолинейного
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
полёта (295). 2°. Вынужденные колебания (299).
3°. Периодический режим движения самолёта при
действии на него периодических сил (3Q2).
Глава V. Механические системы с бесконечным числом
степеней свободы
§ 25. Колебания струны. Продольные колебания стержня. 305
1°. Свободные колебания струны (305). 2°. Движение
точечной массы, закреплённой на натянутой струне.
Определение движения по последовательным этапам.
Представление решения в форме ряда (313).3°.
Колебания струны под действием перемещающейся вдоль неё
силы (317). 4°. Продольные колебания стержня с
грузом на конце (320). 5°. Случай приложения к грузу
периодически повторяющихся импульсов (322).
§ 26. Продольный удар цилиндров 324
1°. Составление и решение изображающих
уравнений (324). 21 Пример одинаковых цилиндров (326).
3°. Второй пример: ударяющий цилиндр имеет вдвое
большую длину (328).
§ 27. Продольный удар груза по балке 330
1°. Решение изображающих уравнений (330). 2°.
Нахождение усилия в месте удара. Выражение решения
с помощью специальных полиномов, выражающихся
через полиномы Лагерра (332). 3°. Определение
перемещения (334). 4°. Продольное усилие в заделанном
сечении (335). 5°. Стержень со свободными концами
(336).
§ 28. Гидравлический удар в трубопроводе 336
1°. Уравнения одноразмерного течения идеальной,
слабо сжимаемой жидкости. Изображающие
уравнения (336). 2°. -Простейшая задача о гидравлическом
ударе в трубопроводе (338). 3°. Гидравлический удар
при наличии в выходном сечении пружинного
клапана, регулирующего сток жидкости (340). 4°.
Движение клапана в случае резкого изменения давления
во входном сечении трубопровода (343). 5°.
Периодическое изменение давления во входном сечении (345).
Глава VI. Общая формула обращения и её приложения
§ 29. Формула обращения 351
1°. Формулировка задачи обращения и формула
обращения ^351). 2°. Вывод формулы обращения из
интегральной формулы Фурье (352). Зэ.
Представление изображения в форме интеграла Лапласа как
следствие (определении начальной функции с помощыо
ОГЛАВЛЕНИЕ У
формулы обращения (353). 4°. Независимость
значения интеграла в формуле обращения от выбора
постоянной о (355). 5°. Обращение начальной
функции в нуль при )f<0. Первая формулировка леммы
Жордаиа (356). 6°. О необходимости проверки
результата, получаемого по формуле обращения (358).
7°. Изменение пути интегрирования в формуле
обращения. Вторая формулировка леммы Жордана (359).
§ 30. Изображение дробной степени и логарифма. Правило
Хевнсайда 361
1°. Изображение дробной степени (361). 2°. Частный
случай: степень равна целому числу с половиной (363).
3°. Изображение логарифма (365). 4°. Правило Хеви-
сайда (366). 5°. Начальная функция для е~ р.
Интеграл вероятности (367). 6°. Некоторые другие
изображения (368).
§ 31. Асимптотическое представление начальной функции 369
1°. Ограничение рассматриваемого класса
изображений (369).2°. Разложение в области особой точки (373).
3°. Случай точки, разветвления {г = 2, т = 0) (374).
4°. Случай полюса (375). 5°. F(p) = 7^=- Асим-
Р
птотическое представление интеграла вероятности.
р Ур
ское представление (375). 6°. Асимптотическое
представление функции Бесселя Ja(t) (378).
F(p) = з J_ g. Интегралы Френеля. Их асимптотнче-
§ 32. Изображение некоторых функций 379
1°. Определение начальной функции для
изображения F{Yp)> когда известна начальная функция
f(t)++-F{p) (379).2°. Та же задача для /=Y-) (381).
3°. Преобразование А. М. Эфроса (382). 4°
Изображение бесселевой функции Jn{t) (384). 5°. Началь-
ная функция для изображения —— е J
(386). 6°. Начальная функция для изображения
■tfrnFifiP+l) (388),
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глав а VII. Различные приложения
§ 33. Приложение операционного исчисления к решению
одного класса ннтегро-дифференциальных уравнений
1°. Интегральное уравнение с переменным верхним
пределом и с ядром, зависящим от разности
аргументов (389). 2°. Обобщение на случай интегро-дифье-
ренциального уравнения (390).3°. Задача Абеля (391).
4°. Применение к задачам наследственной теории
упругости (391). 5°. Падение шара в вязкой жидкости
при сопротивлении по закону Буссинеска (393).
6°. Маятниковые колебания шара в вязкой
жидкости (396). 7°. Задача Н. Е. Жуковского о
прочности велосипедного колеса (399).
§ 34, Поперечные колебания стержней
1°. Дифференциальное уравнение поперечных
колебаний стержня (403). 2Э. Колебания двухопорной
балки при внезапном загруженин сосредоточенной
силой (404). 3°. Действие внезапно прикладываемого
изгибающего момента на балку неограниченной
длины (4(9) 4°. Случай мгновенно прикладываемой
силы (412). 5°. Поперечный удар груза по балке (414).
6°. Колебания бесконечной балки, лежащей на
упругом основании (416).
§ 35. Поперечные колебания неограниченной круглой
плиты
1°. Общее решение изображающего уравнения (419).
2°. Колебания неограниченной "плиты под действием
сосредоточенной силы (421). Зэ. Начальные
функции для изображений К0(2 Ys), ker(2"|As),
kei (2 Ys) (422). 4°. Частный случай мгновенно
прикладываемой и остающейся постоянной силы (423).
5\ Неограниченная платана упругом основании.
Движение точки приложения силы. Действие
синусоидальной силы. Интегралы Вебера (425). 6^.
Нахождение начальной функции в любом месте. Случай
синусоидальной силы. Вычисление некоторых
интегралов, содержащих бесселевы функции (427).
Литература по операционному исчислению , , . .
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание этой книги, написанной в 1936 г., вышло
в свет в 1938 г. Примерно в течение десяти лет она и книга
А. М. Эфроса и А. М. Данилевского „Операционное
исчисление и контурные интегралы" служили основными
руководствами на русском языке по операционному исчислению и,
повидимому, в значительной мере способствовали
популяризации в широких научно-технических кругах этого простого
и могучего средства математического исследования
прикладных вопросов, В последние два года на эту тему появилось
несколько отечественных и переводных книг, в том числе
превосходная книга М. И. Конторовича „Операционное
исчисление и нестационарные явления в электрических цепях".
В последние годы автор неоднократно читал курс
операционного исчисления инженерам, работавшим в различных
областях машиностроения и приборостроения и
интересовавшимся главным образом вопросами исследования систем
автоматического регулирования. В настоящем издании отражен
этот опыт преподавания, а также личного участия автора
в работе в указанной технической области.
Книга состоит из семи глав, содержание которых передано
в подробном оглавлении. В первой главе даётся определение
лапласова преобразования и вывод его основных свойств и
приводятся изображения простейших функций (целой степени,
показательной и тригонометрических функций). Во второй
главе рассматривается задача интегрирования линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
и систем таких уравнений. Два параграфа этой главы
посвящены приложению операционного исчисления к функциям
целочисленного аргумента и разностным уравнениям. Третья,
четвертая и пятая главы трактуют разнообразные приложения
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
и иллюстрируют многообразие и богатство технических задач,
разрешимых с помощью указанного выше весьма
ограниченного класса функций. Эти главы преследуют цель показать
операционное исчисление в действии, приучить и привлечь
читателя к практическому овладению этим методом и показать,
что этого легко добьется всякий, кто не поскупится затратить
на это „необходимое время. Интересно отметить, что на
протяжении первых пяти глав вычислен лишь один интеграл:
со
р Г e-p*dt= 1.
о
Более сложный по математическому содержанию материал
изложен в шестой и седьмой главах. От читателя этих глав
требуется знакомство с основными положениями теории
функций комплексного переменного и знание некоторых
специальных функций. Ни объем, ни характер этой книги не позволили
развить поставленные в этих главах задачи с большей
полнотой. Здесь ставилась скорее цель дать читателю
необходимую ориентировку в вопросе, чем приучить его к
фактическому использованию этих более сложных средств
операционного исчисления.
Настоящее второе издание является по существу новой
книгой. Многое из того, что было в первом издании, здесь
исключено, но зато добавлен ряд новых параграфов. Наиболее
важное дополнение представляет изложение метода
построения в замкнутом виде периодических решений
дифференциальных уравнений и многочисленных приложений этого
метода. Из других добавлений укажем на упомянутые выше
задачи, относящиеся к разностным уравнениям, на задачу
о вычислении интегралов от квадратов решений системы
линейных уравнений и на ряд новых задач теории колебаний
и сопротивления материалов. По существу, вся книга
написана заново: от текста первого издания не осталось ни одного
параграфа, который не был бы целиком переработан.
Во всем изложении строго проводится точка зрения на
операционное исчисление как на средство обращения операций
анализа в области начальных'функций в алгебраические
операции в области изображения этих функций. Слово „оператор"
в тексте книги употребляется в осторожной форме; автор
ПРЕДИСЛОВИЕ
13
стремился всеми средствами привить читателю взгляд, что
р — это такое же число, как и всякое другое;
последовательное проведение этой точки зрения представляется весьма
важным, так как во многих работах она часто не
подчеркивается с достаточной определённостью, от чего происходят
многие недоразумения, а иногда и прямые ошибки.
Книга написана инженером для инженеров. Поэтому автор
старался не выходить за ту грань, за которой
математическая полнота и строгость доказательств становятся
обременительными для читателя и теряется преимущество простоты
и доступности метода. Вместе с тем, там, где это нужно,
указывается, что данный вопрос нуждается в математическом
уточнении и дается источник, из которого читатель может
получить необходимые дополнительные разъяснения.
Первая цифра нумерации формул указывает номер главы.
При ссылке на формулу данной главы номер главы не
указывается. Номер указывается полностью при ссылке на формулу
предшествующей главы.
Автор приносит искреннюю благодарность Г. Ю.
Джанелидзе за ряд сделанных им ценных замечаний.
Ленинград
декабрь 1949 г.
Автор
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ *
§ 1. Начальная функция и изображение
Под операционным исчислением понимается совокупность
методов прикладного математического анализа, позволяющих
наиболее простыми, экономными и непосредственно ведущими
к цели средствами получать решения линейных
^дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными
производными), а также разностных, дифференциально-разностных и
некоторых типов интегральных зФавненип- Известно, что
именно эти задачи наиболее часто возникают в самых
разнообразных технических вопросах.
Построение операционного исчисления в настоящее время
базируется на идее функционального преобразования:
рассматриваются функции вещественного переменного t,
определенные при положительных значениях аргумента; этим
„начальным функциям", или „оригиналам", с помощью линейного
интегрального преобразования сопоставляют функции другого
переменного р, называемые „изображениями". Оказывается,
что указанное преобразование „оригинал—изображение" можно
осуществить так, чтобы операциям дифференцирования и
щтегрирр.вания начальных функций соответствовали
алгебраические операции в области изображений. Это позволяет
находить с помощью простейших алгебраических действий
изображения решений предложенных дифференциальных
уравнений (или аналогичных задач); остающаяся часть
задачи—разыскание соответствующей начальной функции, т. е.
самого решения, может быть во многих случаях
непосредственно доведена до конца с помощью „каталога" изображений
16 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. '
наиболее часто встречающихся функций и некоторых простых
правил. В более сложных задачах приходится прибегнуть
к обратному функциональному преобразованию
„изображение— оригинал".
Имея в виду прикладную цель этой книги и не желая
затруднять изложение более общими предположениями, мы
ограничим класс рассматриваемых начальных функций кусочно-
непрерывными функциями f(t) вещественной переменной t,
определёнными при t > 0 и принимаемыми равными нулю
при / < 0.
Напомним, что кусочно-непрерывной функцией /(/)
называется однозначная функция, имеющая в любом конечном
интервале (0, Т) конечное число разрывов непрерывности
первого рода в точках tv, t%, ..., tn. В каждом из интервалов
(к~\> Q функция f (t) — непрерывна; она стремится к
конечному пределу при приближении изнутри интервала к его
границе (рис. 1).
I
I
I
1 : ^1
Рис. 1. Кусочно-непрерывная начальная функция.
Из этого определения следует, что если t=t4
представляет точку разрыва первого рода, то /(^ —0) и /(^-j-0)
не равны друг другу и разность этих чисел /(^ + 0) —
— /½ — 0) представляет скачок f{f) при t=>t{. Заметим,
что / (0) в дальнейшем обозначает / (~\- 0) = lim / (t) и что
tf-H-o
по определению /(-0) = 0.
Из класса кусочно-непрерывных начальных функций
выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций,
характеризуемых определённым порядком роста при весьма
больших значениях аргумента t. Предполагается, что можно
ПО)
§ 1] НАЧАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ 17
указать такие, независимые, от t числа М и s0, что каково
бы ни было t
|/(0|<Afe".*, (1.1)
т.е. что при любом />0 модуль f{t) растёт медленнее,
чем некоторая экспоненциальная функция.
Пусть далее p = s-]-io— некоторое комплексное число.
При указанных ограничениях, накладываемых на функцию fit),
интеграл
со
je-ptf(t)dt (1.2)
о
существует и представляет функцию от р, называемую лапла-
совым интегралом функции fit); его обозначают обычно через
со
L{f(f)} = je-P*f(t)dt. (1.3)
о
Можно доказать, что лапласов интеграл является регулярной
функцией от р в полуплоскости Rep >s0. J Иными словами,
эта функция имеет производные всех порядков в указанной
области и все ее особенности расположены в комплексной
плоскости р слева от прямой Rep = s0.
По причине, которая станет ясной ниже,
предпочтительнее вместо лапласова интеграла рассматривать функцию
F(p)=pL{fW). (1.4)
Итак,
со
Ур= ]j e-P*fV)dt. (1.5)
о
Функцию F(p) мы в дальнейшем будем называть
изображением начальной функции, или оригинала fit). При этом
во всём последующем изложении условимся обозначать
начальные функции малыми буквами латинского или греческого
алфавита, а их изображения — соответствующими прописными
буквами.
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, IV, § 69, 1941.
2 Зак. 2057. А. Лурье.
18 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. 1
Для обозначения того обстоятельства, что F {р) служит
изображением /(/), будем применять символ
F{p)-^>f®- 0-6)
Точно так же запись
f(t) <-+ F(p) (1.7)
будет обозначать, что f{t) служит начальной функцией для
изображения F (р). Острие стрелки направлено к оригиналу.
Из сказанного следует, что отнюдь не всякая функция F{p)
является изображением некоторой начальной функции.
Например, не существует начальной функции, имеющей
изображение F{p) = tgp, так как полюсы тангенса расположены на
всей вещественной оси, а не слева от некоторой прямой,
параллельной мнимой оси комплексной плоскости p = s-j-ia.
Но можно доказать, что если F(p) является изображением,
то соответствующая начальная функция является единственной
в некотором смысле. Именно: две кусочно-непрерывных
функции /j (7) и /а (7), имеющие одинаковые изображения, могут
отличаться лишь в точках разрыва непрерывности; иными
словами, если F (р) является изображением некоторой
непрерывной функции/(^), то последняя определяется
единственным образом. х
Класс начальных функций, указанный выше, охватывает
кусочно-непрерывные функции, растущие при /'■->• оо не
быстрее, чем некоторая экспоненциальная функция. Поэтому
разрывная функция/(/) = --, функция /(0 = 6^ и т. д. не
могут рассматриваться как начальные функции—-для них
соответствующие интегралы Лапласа не имеют смысла. Вместе
с тем ограничение рассматриваемых начальных функций
указанным классом не является необходимым, так'как, например,
для не принадлежащей к нему функции f{t) = -^=-. (или
более общо: f(f) = tk, — 1 < k < 0) интеграл Лапласа сходится,
и изображение этой функции существует.
1 L е г с h, Stir un point de la theorie desfonctions generatrices. Acta
malhematica, 27, 1903, стр. 339. См. также X. К a p e л о у и Д. Е г е р,
Операционные методы в прикладной математике. Гостехиздат, 1948,
стр. 266—268.
§2] 1°- СВОЙСТВО ЛИНЕЙНОСТИ 19
В заключение отметим, что в последующем f(f) иногда
будет представлять комплексную функцию вещественного
переменного t:f{t)=fx(f)-\-if2{i), где/j (^), /2(0 — кусочно-
непрерывные функции с указанным выше порядком роста при
§ 2. Основные свойства изображений
1°. Свойство линейности. Из определения
изображения, даваемого формулой (5), непосредственно следует,
что изображение суммы конечного числа начальных функций
равно сумме их изображений, т. е. если
п
/(0=2 /«о (1.8)
и
ft(t) <_*- Ft(p), (/=1, 2, ..., п), f(t)^F(p),
то
«
^(P)«S^(P). (1.9)
Доказательство очевидно.
2°. Изменение масштаба независимой
переменной. Пусть а >0 и пусть известно изображение F (р)
начальной функции /(f). Найдём изображение f(at). Имеем:
со со
/,{/(«/)} = Ге-**/(«/)<#=-- f е~*"* f («*)*(**)•
о о
Вводим новую переменную интегрирования at — t'; так как
а > О, то пределы интегрирования по ^ будут снова 0, оо.
Получаем
со
м/(«о}=4/е-~£'7ю^.
о
и, значит, по (4) изображение функции/(а/) будет:
со
0
» 2*
20 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [гл. I
так как, конечно, переменную интегрирования можно снова
обозначить буквой t. Далее, по (5) имеем:
оо
F{p)=p j e-P'f(t)dt.
о
Заменяя здесь букву р на —, получаем
f (£.)-*--►/(«/). (1.10)
3°. Изображение производной /(/!). Имеем:
со
М/'(')} = /*-"*/'(9<«.
0
откуда, интегрируя по частям, получаем
со со
L {f'{t)} = e-P*f(t) | +Р / е-Р*№ dt.
о о
При условии (1) и при Rep>s0
lim (?-*>*/(*)=«0
£ -~> со
и приведенное выражение даёт:
Вспоминая зависимость (4) между лапласовым интегралом
и изображением, находим важнейшее соотношение
операционного исчисления:
/(/)«-*-/> [F(p)-f {О)]. (1.11)
Если, в частности, /(0) = 0, то
f(t)<r+.pF(p),
т. е. дифференцированию начальной функции соответствует
Умножение изображения на число р.
§ 2] 4°. ИЗОБРАЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 21
Обозначим для краткости правую часть (И) через F.%(p),
F*(P)=P IF (Р)-/(0)1
Снова применив (11), получаем:
/№V)*+-plF*(p)—f(0)].
Заменив Fy. (р) его значением, находим:
/*(0^ра|>(р)_/(О)-£^]. (1.12)
Продолжив это рассуждение, получим для любого целого п:
^(¢^[,-(,,-,(0)-04-...-/^(,.,,)
и, в частности, при
/(0) =/' (0) = .. . =/(»-!) (0) =0, (1.14)
/(»>(/)-«-г- p»F(p). (1.15)
4°. Изображение интеграла. Рассмотрим функцию
t
^(t) = j/(t)dl-^-W(p).
о
По определению имеем:
Y (0=/(0. ф (о) = о ?
и, значит, на основании (11):
' F(p) = pW(p), т. е. W(p)=^p-.
Мы получаем, таким образом, соотношение:
t
J f{t)dt<~F-±p-. (1.16)
о
Последовательно применяя это соотношение, найдём:
J^J/^)^-^-^,
о о
22 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. !
и для любого целого п:
fdtn J *„_,... J/(/,)^1 <Ч-~ F (/>)• (1-17)
0 0 0
Выражения для изображения производной и интеграла
имеют основное значение в операционном исчислении:
действиям анализа — дифференцированию и щтегридованию над
начальными функциями — соответствуют алгебраические
действия— умножение и деление на целые степени числа р
в области изображений. Само число р приобретает, таким
образом, характер оператора.
5°. Теорема запаздывания. Смысл этой теоремы
заключается в следующем: пусть функция / (t), равная нулю
при /< 0, определяет течение во времени некоторого
процесса; рассмотрим функцию
( О при t < т
(где т > 0), определяющую течение того же процесса, но
протекающего с запаздыванием на время т (рис. 2). Зная
Mty*rfirt
<«-
график процесса f It) t
—„—___^_г
#00«///запаздывающего процесса fx{p)
Рис. 2. /
изображение ^(р) функции /(£), найдём изображение Fz(p)
функции fx(t). Имеем по (5): /
/
со /
FAp)=-pfMt)e'ptdt= /
о
% СО
= P\$fAt)e-ptdt+$fAt)e-ptdt],
§ 2] 6°. ТЕОРЕМА СМЕЩЕНИЯ 23
или по (18):
со
■и
Вводя новую переменную интегрирования t'~t—-т и
замечая, что пределы интегрирования по ней будут 0 и оо,
получим:
со со
Fx(p) = p \ e~v[t'+^f(t')dt'^pe~px fe-ptf(t)dt
о о
и, следовательно, по (5):
Fx(p)=;e~pxF(p).
Итак, вспоминая (18), получаем:
f 0 при t <х
. ^«^ {/(/-<) , (>, (1-19)
6°. Теорема смещения. Эта теорема даёт возможность
найти начальную функцию для изображения F (р-\- К) в
предположении, что известна начальная функция f(t) <-r- F(p).
Заменяем в основном соотношении (5) р на p-j-X:
со
OJL+21^ J" e-{l,+l)tf(t)dt.
о
Переписывая это в форме
со
J^PiP + ^^P / e-pte-uf{t)dt,
о
заключаем на основании (5), что
_ij_F(p-H)-H>e-XV(0- (1-20)
Здесь предположено, что
Rep>50 — Re X,
24 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. 1
где s0 определено по (1). Формула (20) будет многократно
использована в дальнейшем. Переходя к выводу теоремы
смещения, заметим теперь, что из (20) и (16) следует:
о
Используя теперь очевидное тождество
F (Р + A) = j^j F(p + A) + ^ F (р + К),
получаем:
t
Г (р + X) —* в-х*/ (/) + A J <Г*/(0 rf/. (1.21)
о
7°. Теорема с в ё р т ы в а н и я. Складкой двух
начальных функций /j (/) и /8(0 называется функция
t
/(*)=/Д(т)/а(/ —x)rfx. . (1.22)
о
Операция получения складки называется свёртыванием
функций. J Вводя вместо х новую переменную интегрирования
Xj = tf—х, можем написать также
дг) = /л(^х)/2(х)йГх.
о
Здесь мы снова вместо \ обозначили переменную
интегрирования через т.
Докажем теперь теорему: если
fi(f)*+-Fi(P) " Ш++-Г»(Р),
то складка этих функций имеет изображение.
jFdp)^(p)-
■ 1 В, И. Смирнов, Курс высшей математики, IV, § 70, 1941,
§ 2] 79.. ТЕОРЕМА СВЁРТЫВАНИЯ 25
Для доказательства напомним формулу перемены порядка инте«
грирования в двойном интеграле: *
ах а а
j dx ff(x, y)dy = J dy jf(x, y)dx, (1.23)
о о
о у
справедливость которой непосредственно следует из рис, 3:
областью интегрирования служит равнобедренный
прямоугольный треугольник, причём в одном случае (интеграл
Рис. 3. К выводу формулы перемены
порядка интегрирования.
в левой части равенства) интегрирование сначала
производится по полоскам, вытянутым вдоль оси у, а потом —по
всем подобным площадкам; во втором случае (интеграл
справа) первое интегрирование производится по полоскам
вдоль оси х.
В нашем случае имеем
О
со t
1 Г. М. Фихте и голь ц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, {II, 1949, стр. 193^
26 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Применим (23), Здесь а — оо, x=st, у =т, f(x, у) ~
=^е~Рь/х{х)/2^—х). Получаем:
СО СО
1 F (р) ш= Г dx Г е-Р% (x)f2 (t — х) dt^m
О х
со со
^ff1(x)dxfe~P%(t-~x)dL
О -с
со
Преобразуем интеграл I <?~^"/2 {t—х) dt введением новой
переменной ^ = ^-т. Получим:
оо со
i а
и, следовательно:
со
/; J •/ 1 W р рЪ
о
Итак, получаем:
t
/ /i W/a (t—x) dx+i-±F1 (/;) Fa (p). (1.24)
о
Это весьма важное соотношение определяет начальную
функцию для произведения изображений через начальные функции
сомножителей.
8°, Дифференцирование изображения. Для
начальных функций f(t) рассматриваемого класса, т, е.
кусочно-непрерывных и удовлетворяющих условию (1),
Лапласов интеграл сходится равномерно относительно р, если
Rep>s0. Действительно:
СО 00
| L {f{t)\ | = |J *-*'/(*) dt\< f e—*\№\dt,
§ 2] 8°. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 27
так как
Используя (1), получаем:
со
|Ч/(')}|<Ж /в-<.-^Л = _£-<_^, (1.25)
о
где Sj > s0.
Полученная оценка доказывает сходимость лапласова
интеграла; эта сходимость — равномерная, так как оценка
остаётся справедливой, каково бы ни было р, взятое в
полуплоскости Rep^Sj.
Заметим теперь, что при ^~»оо по (1) имеем:
IРЧ (О I < (п Ме'"Ь ~ Min e~"lt e{t'0+x) f,
где a—произвольноеположительное число. Обозначим через Мп
максимум функции Mtne~ut. Получаем:
ИЛОК^4"'*»
т. е. tnf{t) также принадлежит к рассматриваемому классу
начальных функций. Значит её лапласов интеграл
со
о
также сходится равномерно относительно р к области
Reр > s0-{-« или, что то же самое, в области Rep > s0, так
как а можно взять произвольно малым.
Замечая теперь, что под знаком интеграла в выражении
со
f е~Р*( — f)nf{f)dt
о
стоит производная /2-го порядка по букве р от <?~р*:/(0;
/in
±- (e-P*f(t)) - (- 1)" tnf{t) е~Р\
28 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
можем на основании известной теоремы о
дифференцировании определённого интеграла по параметру 1 написать:
со
ИЛИ
t4{t)^r-{-\Yp~-n\Pf\ (я = 1, 2,...)(1.26)
9°. Так как для изображений рассматриваемого класса
начальных функций имеет место оценка (25), то:
11111^(/(0)=1011^ = 0. (1.27)
Запись р ~»оо здесь и в последующем надо понимать в том
смысле, что |/?|->-оо, тогда как ^ < kxgp < у , т. е.,
что р, неограниченно возрастая по модулю, остается в
правой полуплоскости.
Предположим теперь, что я-ая производная/^ (t) является
кусочно-непрерывной функцией, возрастающей при t —■ оо
не быстрее, чем некоторая экспоненциальная функция. Тогда
соотношение (27) будет иметь место для изображения
производной /(")(^). Заменяя поэтому в (27) изображение F{p)
его выражением (13), получим:
lim р11-1
p-J-co
Р(р)-№-У'(о)-
-7ir/^-^(0)]-0. (1.28)
В частности, при /2=1, т. е. если производная/'^)
принадлежит к рассматриваемому классу начальных функций,
имеем:
F(oo)=. HmF(p)=f(0). (1.29)
р->со
Этим мы заканчиваем перечисление основных свойств
изображений. Поскольку в последующем на них будут делаться
постоянные ссылки, полезно свести все сказанное выше в одну
таблицу.'
1 Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, II, 1948, стр. 730.
§ 2] сводка основных правил 29
Таблица 1
Сводка основных правил и определений операционного
исчисления
I. Основное соотношение между изображением и
начальной функцией: •
со
F(p)=*pfe-P'f(f)dt, f(t)++.F(p).
о
II. Если
4 = 1
то
п
№<+• ^Fi(p) = F(P).
. III. Изменение масштаба аргумента начальной функции:
f(at)<~F{^), «>0.
IV. Изображение производной:
fwtf++.pn[F{p)-/(0)- j/(0)-... _^L/с»-о(о)
V. Изображение интеграла:
* * .
о
VI. Теорема запаздывания для х>0:
О при t < т
Г^-^ 1/(* —т) , ;>х.
VII. Теорема смещения:
F(p + \)-^e->-tf(l)+\fe-™f(t)dt.
о
VIII, Умножение начальной функции на экспоненциальную
функцию:
30 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
IX. Умножение начальной функции на целую степень t:
X. Теорема свёртывания:
t t
\ Pi (/0 ^ (р) «Ч~ / Л (ОА V — т) rfT == J /, (t - х)/а (т) rft.
6 о
XI. Поведение изображения, когда |/?|->оо и
— |-< Argp < |-:
i,mp»-ir^(p)_/(0)_l/(o)-...--i^/(»-i)(o)]=o,
р-*оо L 1' У J
причём /(")(0 — кусочно-непрерывная функция, допускающая
при /->оо экспоненциальную оценку
|/») (01 < Же**;
в частности, при //. = 1 получается:
/Чоо)=/(0).
§ 3. Изображения некоторых простейших функций
1°. Единичная функция Хе в и сайд а. Так
называют в операционном исчислении функцию от (, равную нулю
при КО и равную единице при ?>0 (рис. 4); её
обозначают через а0 (():
{ 0 при t<. О,
-ь(0-d в ,>0. О.зо)
Изображение находим непосредственным вычислением:
со со со
2о(р) = р f е-Р*в0(£)(И = р j1 e-i}tdt= — е~1>*
0 0 о
и, значит, при Rep>0:
о0(*)«*~-1- (1.31)
Из соотношения, выраженного этой формулой, тотчас же
следует, что любая постоянная С является изображением этой
§ 3] . " 1°. ЕДИНИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ХЕВИСАЙДА 31
же постоянной; но надо иметь в виду, что „константа"—
начальная функция — должна фактически рассматриваться как
функция от t, обращающаяся в нуль при ^<0 и равная С
при /> 0. Точно так же, говоря ниже об изображении
степени tn, показательной функции eat и т. п., мы фактически
a0(t)
■t
Рис. 4, График единичной функции <т0(/).
строим изображения функций, равных нулю при (<С 0 и
равных tn, eat .и т. п, при ^>0, т. е. функций a0(t)fib, a0(7)erf
и т. п. Поэтому приводимые ниже формулы, дающие соот-
/•
GglL-T)
Рис. 5. График запаздывающей единичной
ФУНКЦИИ ¢()(/--1:).
ветствия изображений и начальных функций, нужно было бы
писать не в форме F(p)~^.f{t), а в форме F(p)_^>a0 (t)f(t),
но, чтобы не усложнять дела, мы будем придерживаться
первой записи, постоянно помня, что /(Y) = 0 при ^<0.
Обобщим определение единичной функции следующим
образом: рассматривается функция от (, равная нулю при
^<т(где т > 0) и равная единице npni>t (рис. 5). Эту
32 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. 1
функцию обозначаем a0(t — х). На основании (31) и теоремы
запаздывания (VI табл. 1) получаем:
a0(t — x)4~e-p\ (1.32)
Для нывода формулы (31) мы прибегли к непосредственному
вычислению (правда, совершенно элементарному) лапласова
интеграла. В последующем вывод формул, дающих
изображения наиболее простых и важных для приложений функций,
основывается на общих свойствах изображений,
представленных в табл. 1, и не требует вычисления интегралов.
2°. Изображение целой степени
переменного t. Основываемся на свойстве IX (табл. 1); полагаем
f (t) = а0 (t). Получаем:
^(0-:-(--1)^())-
или, вспоминая сформулированное выше условие записи
формул:
• рп
Итак, при целом положительном я
тй*-^ (" = °. !> 2>---) С1-33)
В частности, при я —0 получаем:
1 -i-> 1
(точнее, 1 _f-> a0(t), как указывалось уже выше). Это
объясняет, почему изображением F (р) функции f(t) мы называем
не Лапласов интеграл L{f(t)}, а произведение pL{f(t)\; при
таком определении константе — начальной
функции—соответствует та же константа — изображение (с приведённой выше
оговоркой).
Как пример применения (33) рассмотрим изображение
§ 3] 3°* ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 33
и используем теорему свёртывания (X); получаем
t
о
Отсюда по (17) находим известное выражение для
повторного интеграла:
J dtnj dtn^ ... J /ft) ^-
о 'о о
-=-(^=1)1 j (!—Ф-Ч№. (1.35)
0
3°. Изображение показательной функции.
Примем f(t) « 1 и используем свойство VIII табл. 1; тогда
или
(1.36)
е«* ч^_—i^—. (1.37)
По свойству IX далее получаем:
^^.(-1)^^(-1-).
Замечая, что
(_iy.il (-1.^- -
V ; dpn\p—a) (p—ayi + l>
находим
К этой же формуле еще проще притти непосредственно,
используя свойство VIII табл. 1. Действительно, в данном
случае f(t) —■ -г и, следовательно, по (33)
т. е.
5e"w^o7rW- (L39)
3 Зак. 2057. А. Лурье.
34 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
В качестве примера найдём еще начальную функцию для
изображения
т-Ш"-"
Р
Начальная функция -г е~и для изображения-;—.,.-,, при
TJ п\ (р-\~ч
^= О обращается в нуль вместе со своими производными до
(и—;1)-го порядка включительно. Поэтому на основании IV
табл. 1:
I (p-\-l)n+1 0у + Х)"+1 ~^ dtn\ п\)'
dn I j.tn\
Функция rrpg\e~ -;) может быть представлена в форме
произведения e~xt на некоторый полином и-ой степени от
/— так называемый полином Лагерра, обозначаемый 1п{Щ.
Итак,
Нетрудно составить ln(kt) для и=1, 2, 3 ... ; его общее
выражение будет
п
v = 0
где Сп — биномиальные коэффициенты..
Чтобы найти изображение 1п{Щ, воспользуемся
свойством VIII табл. 1. Имеем
где Ln (р) — искомое изображение. Итак,
и окончательно:
1п{Щ<^^~)П^^п(Р)-
:h«f =^ («"*+«-"*)-H-^-(j
c]j Ci f z. ( aiT-i-.д - as \ ., • — | ; 1 i I —- £_
§ 3] 4°—б°. функции ch at, sh at, cos со/, sin со/ и т. д. 35
4°. Изображение гиперболических функций
chat, sh at. Они получаются, конечно, сразу же по (37) и II
табл, 1:
\p-~a. ' />-|-а,/ jp~_a2-
Итак,
Cha^<-^7CT О-40)
и аналогично
shotf-f-^- -т^-г. (1.41)
б3. Изображение тригонометрических
функций cos со/ и sin со/. Достаточно в предыдущих формулах
положить а = /со и заметить, что
ch /а>/= cos со/, sh/со/=/sin со/;
получаем
cosco/<-| г£—. sin со/<-^- —rv—в. (1-42)
Воспользовавшись, например, свойством IX табл. 1, далее
получаем:
/ Sin СО/ч-f-T-s—-5s, , /COS СО/ <-^- ~~. ^-/,
(р2 -\- 0)3)2 • (р2 _|_ т^2
6°. Изображение функций е«* cos со/, е«* sin со/.
Воспользуемся свойством VIII табл. 1 и (42). Имеем
«++-p$lP<P + V
и в нашем случае по (42):
'О»-7^. т--^ + х) = (7^±|-_
Итак,
•-""»«'^6¾¾¾. с1-43)
и аналогично:
e_Wsin^^rTTlS4^V С1'44)
(р + Х^ + вЯ-
3*
36 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. Г
Можно также написать:
а«* cos mf 4-1-, р {р~^ ., g«« sin at 4-^- -, ^-т—г • (1.45)
• (/? — а)8 -(- <° ' (/> — а)2 + w
Конечно, эти формулы можно было бы получить и
непосредственно из (37), заменяя в этом соотношении а на a-J-/co
и приравнивая вещественные и мнимые части слева и справа.
Аналогично получим:
В качестве примера найдём начальную функцию для
изображения
F ^) ~ pi + 2тр + п? '
где т и к—постоянные. Имеем:
1 Л р* + 2тр
F(p)=±(l- Р+2'ПР W
i[-
р(р + т) рт "
(р _|_/В)2 _|_ л2 —/в* (р + «)* + л» —/в^
Далее рассматриваем случаи
а. и2 —т9>0; б. и2 —от2<0; в. к8 = м2.
а. Обозначаем иа — от2 = и2. Имеем:
Ffr>\ — -L\i Р (Р + т) тР 1
' <w „41 (р+ «;«+«; {p+mf+ni\
и по (43) и (44) находим:
б. Обозначая от9 — и9 = ое9, получаем:
f(P)^^[i—e-»*(ch«H--78he')"
в. В случае /и = и имеем:
Р(Р) = £3 L1 ~p~+Ti~QH^J
§ 3] 7°. функции ch t cos t, ch^sin^ и т. д.
и по (36), (38) находим:
37
Итак,
F(p)-^~[\-e-«t(l + nt)].
iy[l_e-»*(cosV + -gshi«i')]
1
jg3_|_ 2m/7 -{-лй •
ф
при п2 — т2 — «1 > 0;
Jsri_e-»*(chaf-l-^-shorf)l (1.47)
при от2 — и9 = а2>0;
s[l — e-nt(l-\-nf)] при т — п.
'Начальную функцию для изображения а i g _l а можно
было бы получить, дифференцируя по t правые части
соотношений (47) и имея в виду, что они обращаются в нуль
при ^=0 [см. (12) и (29)]. Но, конечно, проще
непосредственно записать, например, в случае „а":
Р _ Р ~
рл + 2«Р + я (Р + ту + п\
РП\
-z--1-*— e~mt sin и,t.
«1 (p + mf + nl • - *
2
7°. Функции ch^cos^, ch^sln^ и т. д. Найдем
изображения функции cht cost. По II табл. 1 и (45) имеем:
ch ^cos t = I Се* 4- в-*) cos *ч-^- - Г ^-1) i Р (Р + 1) ]
cnrcosr 2ie-t-e jcosr«-. 2 |_(/>--1)2+1 4/>4-l)s + lJ
и после упрощений найдём:
»4
ch ^cos^-<~ ~—;.
Аналогично получаем:
ch^sin^-*-
sh tcost*-
sh ^sin^-f-
P(£!±2).
p*4-4 '
P(p3-2).
pH4 '
2p*
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
38
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. I
Отсюда получаем формулы, дающие изображения функций,
введённых А. Н. Крыловым для решения задачи об изгибе балки,
лежащей на упругом основании 1 (функции А. Н. Крылова):
К9 (t) = -g- (ch t sin t -j- sh t cos t) ■
/„(*)=: ish* sin f+^-^jij^;
YiV) = T (ch * sin t—sh t cos t) -
P3
p*+ 4'
P
P' + 4'
Воспользовавшись свойством III табл. ], имеем:
(1.52)
Y2(aty
У8(«0-
/>*-{-4<x<"
api
р4-\-Ы>
a^2
/>*-)-4a<'
.«p
р*+4а*' ,
(1.58)
Основные свойства этих функций можно получить,
рассматривая их изображения. Имеем по (29) и (11):
г*(0) = о,^ч
/><• -(- 4а4 • 3 ч '
Далее,
/,(0) = 0, 2¾^
ад = о,^^
«2p3
flW
р4~\-4а
ар4
V+4e*
-4-7-^ « ^2(0,0
-^-> « У, (а/).
1 А. Н. К р ы л о в, О расчете балок, лежащих на упругом
основании. Собр. соч., т. V, 1938.
§ 3] 7°. функции А. Н. Крылова
Наконец, из (29) следует, что
^ (0) = 1, *™>++р(^-1).
39
dt
4а4р
pi _)- 4а^
■4«74К).
Из сказанного получается табличка, дающая
последовательные производные функций А. Н. Крылова:
Производные функций А. Н. Крылова
F(t)
ViV)
у*м
rB(t)
yt(0
F'V)
-4Yi
y±
У*
r3
F"(t)
-4Y3
-4F4
Yx
Y4
t"'(t)
-4F3
-4F3
-4F4
n
Fiv (<)
-4K!
-4K»
-4F8
-4K4
Таким образом, каждая из этих функций является
решением дифференциального уравнения четвёртого порядка
;/!V
>7(0 + 4Кв(9 = о.
Начальные значения этих решений и их производных до
третьего порядка включительно образуют единичную матрицу:
У\
Yz
Ya
Yi
F(0)
1
0
0
0
F(0)
0
1
0
0
F" (0)
0
0
1
0
F'"(0)
0
0
0
1
Это,следует из сказанного выше, но может быть также легко
найдено по изображениям (52) и на основании свойства XI
(табл. 1).
40 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
8°. Функции поперечных колебаний стержня.
Эти функции, введённые в рассмотрение также А. Н. КрыловымJ
для решения задач о поперечных колебаниях стержня,
определяются так:
r(/) = I(sh*+8inO;
U(f) = j(cht—cosf);
Нетрудно получить их изображения; по (40), (41), (42)
получаем:
■ p4~V • Pi-V \ (1.54)
Как и выше, рассматривая эти изображения, заключаем:
V'(f) = U(f); U'(t)*~T{t); T'{t)^S(t); S'(t) = V(f),
откуда получается следующая таблица:
Таблица производных от функций поперечных
колебаний стержня
F(()
5(0
ПО
U(t)
V(t)
F'{t)
V
s
т
и
F"{t)
и
V
s
т
F'" (0
т
и
V
S
fiv (0
s
т
и
V
1 А. Н. Крылов, Вибрация судов. Собр. соч., т. X, 1948,
стр. 231.
§ 4] 1°. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 41
Таким образом, рассматриваемые функции являются
решением дифференциального уравнения:
Flv (t) — F(0=0.
Начальные значения этих решений и их производных до
третьего порядка, как это легко получить из приведённой
таблицы или на основании (28), также образуют единичную
матрицу:
S
г
и
V
/40)
1
0
0
0
F'(fi)
0
1
0
0
F"(0)
0
0
1
0
F"(0)
0
0
0
1
§ 4. Теоремы разложения
1°. Первая теорема. Предполагается, что
изображение F(p) является аналитической функцией от р при \р | > —.
Иначе можно сказать, что F (р) — аналитическая функция
аргумента — при-—г < р. Выше, в § 1, указывалось, что
изображение кусочно-непрерывной функции /(/), имеющей
при t->oo экспоненциальный порядок роста, определяемый
формулой (1), является аналитической функцией от р при
RqP^>s0. Иными словами, функции указанного класса имеют
изображения F(p), аналитические при достаточно большом
|/71 и —-^- < krgp < -»•. Теперь же требуется, чтобы F(p)
было аналитическим при \р \ > — и при всех значениях Axgp.
Ясно, что это обстоятельство делает класс соответствующих
начальных функций более уаки'м; действительно, ниже будет
показано, что / (t) в этом случае является целой
трансцендентной функцией t, т. е, функцией, представимой степенным
42 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
рядом во всей комплексной плоскости t. Эта функция имеет
при t-^-oo экспоненциальный порядок роста.
Итак, по условию F(p)— аналитическая функция
аргумента—при \р 1 > — . Поэтому F (р) представима
степенным рядом
со
Нр)-«о + ^Ч-£+...=2£, 0-55)
1с = о
сходящимся при — < р, причём, согласно известному
неравенству Коши для коэффициентов степенного ряда:
Ы<-т,
Pi
где pj < р и М — максимум \F(p)\ при — =р3. Имея
в виду, что по (33) -jc -н> -г:, заключаем, что ряд
2ж'й ^-56)
7с«я0
формально является начальной функцией для изображения,
представимого рядом (55).
Но нетрудно убедиться, что ряд (56) сходится во всей
плоскости t, т. е. представляет целую функцию t.
Действительно:
со со со I t |
|2<.£l<2i^<*2s^=*~-
7j=0 Й = 0 7s=*0 Г1
что и доказывает утверждение. Обратно, изображение целой
функции, модуль которой не превосходит Me?, разлагается
в сходящийся ряд по степеням — в круге
Р
<Р-
1 См., например, Б. А. Фукс и Б. В. Ш а б а т, Функции
комплексного переменного. 1949, стр. 239.
§ 4], 1°. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 43
Но вследствие равномерной сходимости степенного ряда
(56) можно, умножив этот ряд на е-р* dt} произвести
почленное интегрирование. Имея еще в виду, что вследствие (33)
■{£}-.
. /* 1
получим
и значит:
со
1 \ 2d С,с Id)
У с*
7£=>0 7с = 0
1с=о fc = o
Это предложение составляет содержание первой теоремы
разложения (Хевисайда).
В качестве примера приведём представления функций
А. Н. Крылова в форме степенных рядов. Имеем при — < —г=;
р _ 1 _ 1 A i 16___64 i
Р* + 4— р3Л + _4_\ //» pi'Tpii Ра-Т---
и, значит, при всех t имеют место разложения:
£___№ , ШЯ 64/1
31 71 "г 111 15!
r*W ~~ Я! 71 ~T 111 1,¾ I
Аналогично получим:
'a W — 2i 6! "+" 10! 14! +---5
V .,. 4/5 16/9 64/И
r.
,(0= 1-^--+-
5! ^ 9! 131
4/4 . 16/8 64/12
8! 12!
44 , ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Как второй пример найдём начальную функцию для
изображения:
i ^ 1
и при — < 1 получаем:
F , , _ ., 1 1,1-31 1.3-5 Г,
г (р) — 2 р21~2-4р* 2-4-6" рв "г
Поэтому
7(^—1 2 2 "Г 2-4" 4! 2-4- 6 ' 6! "+" ' ' '
или
v = 0
Этот ряд представляет функцию Бесселя нулевого порядка/0 (/).
Итак,
/>
Л> (0- (1-59)
|/= f/0(x)7o(/—т)Л.
У>2 +1
Укажем на одно интересное следствие. Имеем
Р ■ _ 1 Р , I
pa+i р у>-и * v>3+i
и по теореме свёртывания X табл. 1 получаем:
t
sin i'
о
В качестве ещё одного примера найдём начальную функцию
для изображения
J со . со
F(p) = e ^ = 2j РЩ ~^ Zi (k\y *
й=0 й = 0
Мы снова получили ряд (58), в котором вместо г!2/4 стоит t.
Поэтому
_ 1
е~Р-т->У0 (2.1/7). ^L6°)
§ 4] 2°. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 45
2°, Вторая теорема разложения, С помощью этой
теоремы строится начальная функция, когда изображением
является рациональная функция, т. е, отношение двух
полиномов:
F (п\ = Fl(-p\ ^ aoPm+aiPm"1 + ■ ■ ■ + am ,, Rn
КР) ЫР) hpn + blPn-l+,,. + bn ' ^-^
где п^>т. Случай т > я не может иметь места, так как
начальная функция, соответствующая целой положительной
степени р, представляет некоторую разрывную функцию
особого рода, о чём будет сказано ниже (§ 6).
Предположим сначала, что все корни полинома F2 (р)
в знаменателе (61) —простые, причём нуль не есть корень
этой функции, т. е. Га (0) отлично от нуля. Обозначим эти
корни через р „ р2, ..., рп.
Разложим — F (р) на простейшие дроби. Полагаем:
I/>(p)=±.£MeS> + Y_£s_. (1-62)
р р Fi(p) р ^dp—pk v '
leal
Для определения коэффициента С0 умножаем обе части (62)
на р и затем полагаем /7 = 0. Получаем:
Со-=¾¾. (Ь63)
Точно так же коэффициент Cs получим, умножив (62) на
р — ps и затем положив p = ps. Находим:
Cs^ lim \JL=&l*M].
Замечая, что
Hm 4=£f = Нт ^^-
P+Ps F^ Р^Р8Р2(Р)~^(Рь) К(Ра)'
ибо по условию F2 (ps) = 0, находим:
С _£li£sL. (1.64)
P.faP*)
46 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. !
Подстановка в (62) даёт искомое разложение рациональной
функции на простейшие дроби:
п
Flip) = Fi(0) I у FiiPb) , Р (li65)
Воспользовавшись теперь (37) и II табл. 1, находим
начальную функцию:
и
^т+улм_^, (1.66)
Эта формула составляет содержание второй теоремы
разложения (Хевисайда). Если, в частности, F1(p) и F2 (р) —
чётные полиномы, то каждому корню F%(p) соответствует
корень такой же по абсолютной величине, но обратный по
знаку. Группируя в (66) соответствующие этой паре корней
слагаемые, получаем:
и
Ш. _^ &I2L + 2 V _M^L_ ch PhL (1.67)
Предположим теперь, что /'(р) нечётно, что возможно,
если Fi(p) нечётно, a F2(/7) четно, так как по условию
F2 (0) ф 0. Тогда Fj (0) = 0 и, группируя в (66) слагаемые,
соответствующие корням F2(p) противоположных знаков,
находим
п
WL_^2V -A^L. shPkt (i .68)
Пусть теперь нуль является простым корнем F2(p), т. е.
/;и = 0; при этом можно считать F^ (0) ф 0, так как при
Fj (рп) = 0 мы имели бы после сокращения на общий
множитель уже рассмотренный случай. Нужно выделить
слагаемое, соответствующее нулевому корню знаменателя. Полагаем
^2(/7)=/^2(/7) причём Fa(0)Jp0. Можно написать:
Fi(P) ^ Fi(p) ^В , А "у Ск (1 gv
pFi(p) „гр/„ч Я ~/>2 ' >J P—Pic' ч' '
PV8(P)
A- = l
§ 4] 2°. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 47
Коэффициенты Ск определяются, как и выше, по (64). Далее,
умножив обе части (69) на pq, для нахождения А полагаем
/7 = 0, а для нахождения В предварительно дифференцируем
по р, а потом делаем р = 0. Получаем:
л-М, в-[£(5Щ
и, значит:
Л>(Р) \»Р /¾ (р) -1р -» 0 /гз(0)
да—1
Н fi(P)1 | Л(0) 1 !
Соответствующая начальная функция будет:
+ y_M£*L_^_. (1.70)
^Pk^iPk) Р—Ръ
П(Р)
п— 1
1 (Р> _^_^ Г rf А(Р)1 | ff <0> f | у ft^fc) дР**. /1.71)
\{р) • \_dp ■% , . L . 0 ^ rm ^ ПьКХРъ)
P-+V /=2(0) j^Ph^APic)
?ъ (Р) L»r f2 (р)
Более сложен случай кратных корней. Пусть р1,р2, . . .,Pjt—
корни /^(р) с кратностями v1( v2, ..., vft (где Vj -)-v2-(-...-\-
-|_Vj.e=«), причём нуль не есть корень F%(p). Разложение
на простейшие дроби теперь нужно искать в форме:
pi*\{p) P ^ ^U ip ps)x' *• ' '
Как и ранее, находим С0 по (63):
4 _ ^(0)'
Обозначим далее (5=1, 2, ..., k)
= 2 Сх,Лр-РеУ°~Х + М(р-рвУ*, (1.73)
Х = 1
где М остаётся конечным при р = рд. Полагая р = рв,
находим
*"s \Ps) == "•»„, »•
48 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Дифференцируя далее последовательно обе части (73) и
полагая р=ра, находим:
^S (Ри) == (-"Ч— 1,S) Lg (ps) = 2l Сч —2,3, • • •>
C>~X)(/7s) = (v8 — X)!CU
Подстановка в (72) даёт теперь искомое разложение на
простейшие дроби:
РЛР) _^ fi(0) | уУС/ (Ра) Р п ?4)
^8 (Р) /=8(0) 8^х~ К —X)l {P—Pef К'
Соответствующую каждому слагаемому начальную
функцию находим по (38); получаем
рЛр) . fi(Q) | у уФ~Х)и>») ^1 j>j п «.
^О0 "^ ^2(0) "Г^У id К-Х)1 (Х- 1)1 ■ l j
,5 = 1),=1
Рассмотрим некоторые примеры. Найдём начальную
функцию для изображения:
F № z=~pi + 4р*~ (4 — 2я2)р» — 4п2р + л4 — 4я2 "
Корни знаменателя суть:
Pi = ". Ръ = — п, /73 = и —2, р4 —— и—2.
Пусть я > 2; тогда все эти "корни простые и среди них
нет равного нулю. Имеем по (66):
еШ g—nt g{n — 2)t g~-(n+2,)t
и, проделав вычисление, найдём:
h (P)-f->8n [й-fl ~T~ n— 1 «—I «+1 J"
При я — О изображение будет:
49
F(p)
§■ 4] 2°. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
и на простейшие дроби следует разлагать функцию
Имеем:
Умножая обе части на /;2, получаем
jJ^-Ap + B + Mp*,
где Ж — выражение, остающееся конечным при р = 0. Тогда
Аналогично находим
1
|"d 1_
Up (р +
2)s
7) = 0
1
'1'
С (/) + 2)+-/)+.^(/)+-2),
причём N остаётся конечным при р ——-2. Получаем:
1
^ 4 ' V//' Рг
j)=—а
4 "
Итак,
Р (Р + 2)2
if-1
+
р +/, + 2 "' "(/>+2)»~,
_;_^(_1+,+ в-*_|..,,,-«).
Если /г — 1, то /jj = 1, р2 = /)3 = — 1, /?4 ■
^00 _
1
Л
В
= — 3 и, значит:
i + r-£.4~ D ■
v ' 0' -1) (р + № +з) "" /> -1 т (р +1)* ^ р +1 п /> + з •
" J 1 =!'•
_(/) + l)«(/. + 3)J})==1 16'
С
L(p-i)(p+3)JJ>e_1
[dp (р-\)(р + 3,\р = _,
D = \ * 1
1
:0:
4 Зак. 2057. А, Лурье.
50 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Следовательно:
Наконец, при и = 2 имеем р1 = 2, р2 =— 2, ра=*0,
р4 яа — 4 и, разлагая —— на простейшие дроби, получим
после аналогичных вычислений:
16 \3 ' 3
В качестве второго примера рассмотрим более общий
вопрос. П;сть
F{P) = x^j-. Д(р) = а0р»-{- alPn~i + • • • + в«.
где а0 Ф 0. Полагая, что все корни полинома Д (р) простые
и что нулевого корня нет (ап ф 0), получаем по (66):
7« = 1
Применим теперь к построению начальной функции
первую теорему разложения. Имеем:
^-(- + ^-
а~
atiP
п ,
avP^Y
а\
аоР" '\ аар Г
причём разложение по степеням — сходится в круге
некоторого радиуса. Начальная функция будет:
1 W а0 (я-1)1 «J «!"'""•
и из этой формулы следует, что /(f) и её производные до
(в — 2)-го порядка обращаются в нуль при tf = 0:
/(0) = 0, /(0) = 0,...,/(4-2)(0) = 0.
Далее имеем:
:/(,.-1)(0) = 1, /0(0) = -4,...
V "о
§ 4] 3°. ОБОБЩЕНИЕ ВТОРОЙ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ 51
С другой стороны, эти величины легко найти по (76).
Таким образом, приходим к важным алгебраическим
соотношениям :
fc=i
;0, 1, 2 п
7«=1
(1.77)
3°. Обобщение второй теоремы разложения.
Теорема предыдущего пункта, дающая возможность
разыскать начальную функцию, когда изображение является
отношением двух полиномов, может быть обобщена на случай
любой мероморфной функции (отношения двух целых
трансцендентных функций). Примером мероморфной функции
может служить th р — отношение целых функций sh р и ch р.
При некоторых ограничениях, точную формулировку
которых моншо найти в курсах теории функций комплексного
переменного,1 мероморфная функция разлагается в ряд по
простейшим дробям:
F(P)
~ъШ. — ЛШл.
Fi <р)
ь2
ЪШ
Р
М°) £xPuFMP-Pi,
(1.7Й)
Здесь принято, что целая функция в знаменателе F%(p)
имеет только простые корни ри р%, ps, ..., причём она не
имеет нулевого корня; предполагается далее, что
вещественные части всех корней ограничены; иными словами, все
полюсы F (р) лежат слева от некоторой прямой,
параллельной мнимой оси плоскости р. Впрочем, можно ограничиться
требованием, чтобы справа от этой прямой лежало лишь
конечное число полюсов F(p).
1 Например, В, И. Смирнов, Курс высшей математики, III,
Гостехиздат, 1939, стр. 443.
4*
52 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Начальная функция, соответствующая изображению (78),
будет
оо
Если, u частности, /^(/))— чётная функция, то её корни
можно разбить на две группы: рй и рь причём Ръ~ — Ръ-
Предполагая, что и Fx(p)— чётная функция, и группируя
в (79) слагаемые, соответствующие парам корней, получим:
со
F{p)==WL ^ИШ+2 V JliaLchp»/. (1.80)
п i\{p) ^2(0)^ ^PjAApi)
Здесь суммирование ведётся по всем корням рк, по не рк.
Если же Fi(p) — нечётная функция, a FQ(p) — чётная, то
со
F (р) •+* 2 У Р1У*\ sh Рк t, (1.81)
поскольку теперь F{ (0) = 0. Суммирование также ведётся
по корням рк,
В качестве примера найдём начальную функцию для
изображения
w р pchp'
Здесь можно принять /^ (р) =—~- , F2 (р) =з cli /;, Имеем:
Pu = ^zLm (А= 1,2,3,...)
и, поскольку FjO) и jF,2(/0— четны, можно применить (80).
Получаем
(2k — 1) к .
о COS -^ тг-t—t
_~->1_-_2^ (2/е—1)2 . • (1-82)
В заключение для последующих справок приведём таблицу
основных формул, полученных в § 3 и 4.
§ 4] ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ 53
Т а б л п ц а 2
Изображения некоторых функций
I. Единичная функция Хевисайда:
II. Изображение степени:
С» . I , ч
—-<~г~—~ (ц — целое положительное число).
nl рп '
III. Показательная функция:
j-M
№
Р .
р + \'
Р
п\ ^- (р + Х)»+1
IV. Тригонометрические функции:
COS(at<~ —у—.—-у, SltKo/
pi -\- (О15
j j Р (Р2 ~ <°2) л ■ 1
e"wcos со^ч-
te~u cosatf
V
(pi -(- 0)2)2
« (И -I" X) _)./-• JL
u>p
(P + X)2 + "в*
^^ [(^+X)2+(d3]2
P 1
(P+X)" + o>»
, re sin o)i ч-г- [(р+х)»+ш»]«
p« -[- 2/яр + lfi
P
p* -f 2mp + я2 '
1
p8 + 2mp + n2 '
I
p3 + 2mp + «a
> — e "l* sin nxt («j = ]/я2 — яг2);
1
■* sh at (« = ]/«T2 — Ф);
—j- 1— e""»* fcos «^ + — sin nxt
64 ОСНОВНЫЕ ОПРВДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ, I
VI Fl(р) ■ > Fl(0) 4 У Fi{-Plc) ерк*
' JVP) ' ^(0) АргЛ(Рь)
(PvP& ■•■' Рп~-простые корни уравнения F$(/>) = 0; среди
них не должно быть нулевого корня).
оо
vii. M^M + V„m.^,
F\(p), F%(p) — целые трансцендентные функции; ри р2, . ..—
корни уравнения Р$(р)~0 (нулевых корней нет);
предполагается, что корни лежат слева от некоторой прямой,
параллельной мнимой оси.
§ б. Изображения некоторых кусочно-непрерывных
функций. Изображение периодических функций
Весьма ценным преимуществом операционного исчисления
является простота действий над функциями, имеющими
различные аналитические выражения в различных промежутках
значений аргумента. Средством для построения изображений
таких функций является теорема запаздывания, имеющая
в этих вопросах особо важное применение.
Рассмотрим функцию
/(t) = ^0,,(/)4-(02-at) <з0(*-^,) + (%-%> o0(t—xj+. . .+
+ (^-^-1)^-^-1)- С1-83)
где аи а2, ..., ап — заданные вещественные постоянные,
т]? т2, ..., хп_1 — также заданные положительные числа.
Вспомнив определение единичной функции Хевисайда, легко
заключить, что функция f(t) равна аь пока t < хх\ она равна:
а\ + (ай — ау) — а2 ПРИ Ti < i' < Ч>
% + (<% —%> = fl=3 « Т2</<Т3
и т. д. Наконец, при />t„„i функция f(t) остаётся равной
ап. Изображение f(t) по I табл. 2 будет:
/(t) <-+- а, 4- (а2 — а,) е~п + (а, — щ) е-Р** + ■ ■ ■ +
+ {an-an^)e~PTn-" (1.84)
§5]
Г. СТУПЕНЧАТЫЙ ХОД
66
Графически f(t) изображается ступенчатой линией (рис, 6).
Приведём некоторые примеры.
Рис. 6. Ступенчатая функция.
Рис. 7. Ступенчатая функция <{ц (<) •
1— е-Р-
1°. При ах = 1, <ц. = 2, а3 = 3, ...; %r = х, t2 = 2т, ...
имеем бесконечный ступенчатый ход со ступенями одинаковой
высоты и ширины (рис, 7):
?i(0=l+°o('—*) + ао(*—2*) + ...<-+-
4—f- 1 -j-е-Рт-[■ e-qPT~j-. ..
56
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. I
или, суммируя геометрическую прогрессию:
1 1
<Р! (О <"*- Ф!(/7):
,^4-(1 +*!)• (L85)
2°. Пусть теперь ^=1, а2 — — 1, а3=1, ...; х1 = х,
та=2т, ,.,; тогда f{t) представляет периодическую сту-
2%
зх
1Л
~*~L
Рис. 8. Периодическая ступенчатая функция
<Рг(0 <—*- 111
У>
пенчатую функцию периода 2т (рис. 8):
% (t) = 1 — 2а0 (t— х) + 2а0 (/— 2т) — 2а0 (/ — Зт) +
+ ... -Н-1~2е-^ + 2е-8^—2е-8^+ ••■
или
<ра(*)*4-ФаС0) = «1^. = -
/'^
1~е~^
2 1 + е-'»*
(1.86)
3°. Рассмотрим ещё функцию, график которой дан на
рис, 9:
,W=/oll--°o('-
,(/-7)-^(^-7--^) +
+ ...]«-г-/0(1 _„-** +
*" _1_ Л-0Г »-V <r+T)
-(-...) =
= /0(1 -6-^^)(1+6-^^+6-^^+ . .
§5]
4°. РЛВНОСКАТНАЯ КРЫША
57
и, значит:
<р8(0<-г-Фв(р)=/ '
1-е
-р%
1-е
—рТ
(1.87)
Можно трактовать ера (0 как последовательность
периодически повторяющихся с периодом Т сил величины /0,
Рис. 9. Периодическое сообщение импульсов:
1 ™е~^
<Рз(0 <—ь/о
1 —е"
^Г
действующих и каждом периоде в течение промежутка
времени т.
Рис. 10. „Равиоскатшш крыша": <р*(/)-<—r-~th~-.
4°. Путём интегрирования, что соответствует умножению
изображения на — , можно получить ряд новых результатов.
58 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Например,
t
«p4(0-J<PeWrf<-H-lth4p- (1.88)
о
даёт периодическую функцию, график которой изображён
на рис. 10 („равноскатная крыша"). Представление этой
функции тригонометрическим рядом было получено с помощью
второй теоремы разложения:
(2ft —1) я ,
то cos _\ I t
r \ <c , 4т VI t
ftra>l
5°. Рассмотрим теперь более общий вопрос. Введём
функцию f{t), определяемую соотношениями:
f{i)-
О
g(t)
0
при
J5
»
t<tx;
h<t< к,
t>k-
(1.89)
Изображение такой функции, согласно основному
определению, даётся интегралом:
1^£L= Г e-ptf(f)dt= Г е-**' git) dt. (1.90)
о *j
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае (когда t%
конечно) изображение F'ip) будет целой трансцендентной
функцией р, так как оно представимо рядом по степеням р,
который можно получить заменой е~Рь разложением в ряд
1-рН-зг (/*)"-...
с последующим почленным интегрированием.
Если желательно избежать вычисления интеграла (90),
то можно поступить так: допустим, что известно изображение
функции g (t-\-х)-*-т-Gx ip). Тогда легко составить и Fip):
F ip) = е-РЬОф) — «-1*0«, (р). (1.91)
§5]
5°. ИЗОБРАЖЕНИЕ РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ f (t)
59
Действительно, по теореме запаздывания имеем:
( 0 при t < t{,
о . * „ t<t2;
g(*-\rt» — h)^g(0 „ t>t<,
и, следовательно:
О при t < ^;
{g{t)~g{t)^0 „k>t,
т. е, в соответствии с (89):
что и требовалось.
f °
\ ь
Р(р)
I
аС0*Ь
£в
Рис. 11. Отрезок прямой /(<) <—ь (1 — e~vh) ( 1- ft) — atue-Ph,
Пусть, например, требуется построить функцию (рис. 11
f(f\~latJrb ПрИ t<to'
\ 0 „ t>t0.
Здесь ^ — 0, ^2 — ^0, g(£) = at-\-b и
g(t-\-x)-=z,a(t-\-x)-\-b <~- — -\-ах-\-b = Gx(р)
60 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
п по (91) находим:
F (Р) = j + Ь - е-РЬ (f + at0 + b) -
'— + b)41 — e~ph) ~ at0e-~P<'. (1.92)
Этот результат нетрудно проверить, пользуясь теоремой
запаздывания.
Заметим, что, в соответствии со сделанным выше
замечанием, F{p) является целой трансцендентной функцией р, ибо
легко убедиться, что точка р = 0 не является ее' полюсом.
6°. В качестве ещё одного примера найдём
изображение функции, графически представленной на рис. 12, /
(трапеция):
/(*) = {
f —
/о
о
при t<X1)
»• t2 < * < %;
(1.93)
х,л < /.
Можно представить / {() в виде суммы:
/O=/i(0 47a(Q+/8C).
где
/i(0=n
/,со=-
/в (0=-
U
10
0
/о
1 0
'
/о
*
•Ч
0
х8-
•с3 —
0
-*
4¾
при
»
при
»
»
при
я
»
1<Ч>
-H<t< т2;
t > *2>
t<4,
^<t< ч>
t>4-
§ 5] 6°. ИЗОБРАЖЕНИЕ ГРАФИКА ТРАПЕЦИИ 61
II
2) ■
{ А
/1
т,
(t,
\
\
\
г, т,
•0)
7)=¾-¾
Рис. 12. Общий случай трапеции и отдельные частные случаи
(к табл. 3).
62 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
По (92) получаем:
[гл. I
рЛр)
.А
' РЧ
О
~р\
4)-/о*"л.
Изображение /2(0 легко найти, например, по (84):
MP)—/о(в'
, , _рч
-рч
')•
Наконец, изображение /8(^) строится по (91):
Ыр) *=/<>[*-**•
и, следовательно:
1
1
J«l
е-*х» -
/>(*8
^ 1 е~
-е-™
— Т2)
^¾ _ е~
I
J
-^¾
^)-^^(1-.-)+-=^=-]. (•■»«)
Таблица 3
Изображение FQ?)
-зп» 1
/o(l-e-^)
4+-¾½^]
/o(±z^!L„^)
р^л
/ 1 е—рч \
fJ\—±—! )
\ рч !
Примечание
Рис. 12, /
Ч ~ 0> тз — Т2
(рис. 12, 2)
т1==0
(рис. 12, 3)
ч — ч
(рис. 12, 4)
ч — ч
(рис. 12, 5)
Ч = Ч = 0
(рис. 12, 6)
ч — ч~ ч
(рис. 12, 7)
§ 5] 7°. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОЛУВОЛНЫ СИНУСОИДЫ 63
На стр. 62 приведена табл. 3 изображений нескольких
интересных для приложений функций, показанных на рис. 12;
формулы изображений получены из (94) при частных
значениях величин хи -eg, t8.
7°. Найти изображение одной полуволны
синусоиды, т. е. функции времени, определяемой так:
/(О'
sin tot при 0 < t < —-
t>
top
S -U o)3
pa -\~ (ЗУ
В (91) имеем /fj = 0, tq = ~; далее
git -|- —J = sin (atf-j~ t:) = — sin «of «H-
и no (91) получаем:
/W^-j^(l+* m )^^)- 0-95)
F(p) также является целой функцией, так как и при р =
= ± ы она имеет конечное значение.
Аналогично находится изображение полуволны
косинусоиды, т. е. функции времени, определяемой так:
те
fit)'
cos <at при 0 < t <
Получаем:
кр
8°. Изображение периодической функции.
Пусть ty(tf)— периодическая функция периода Т; через /(£)
обозначим функцию, равную ф (0 при 0 < £< Г и равную
нулю при t^> Т. Изображение функции / (t) даётся
формулой (91), причём в рассматриваемом случае ^ = О, /а—Г и
далее Оф) « W (р) Ч-> ф (0, G*a(/;) = «V(/>) -т+ «К*+7).
Но цо условию периодичности ф(^) ==ф (*-|- Т) и, значит,
*!"(р) =5=1^(/7). Подстановка в (91) поэтому даёт:
F(p)~*W(p){l~~e~pT)
64 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ, I
и, следовательно,
*(р) = 7Г^- (L97>
Эта важная формула дае'т выражение изображения
периодической функции i])(f) через изображение функции /(/),
совпадающей с <Ji (/) на протяжении периода и равной нулю
вне его. Можно установить и обратное предложение:
начальная функция, изображение которой имеет, вид (97),
причём числитель F (р) представляет изображение
функции f(t), равной нулю при t>T, является периодической
периода Т; эта периодическая функция i|> (t) при О < t < Г
равна начальной функции /(/) изображения числителя F (р)
формулы (97),
Для доказательства заметим, что по (90)
т
F(p)=*pfe-ptf(t)dt, (1-98)
о
т. е. числитель в выражении (97) является, как уже
отмечалось выше, целой трансцендентной функцией, обращающейся
в нуль при р = 0. Поэтому изображение W (р) представляет
отношение двух целых функций и для построения начальной
функции ф (t) можно применить вторую теорему разложения
в её обобщённой форме. Полюсы функции W (р), т. е. корни
знаменателя, суть
Pb^^f (* = ±1, ±2, ...).
Нуль не является полюсом, так как при /7 = 0 числитель
выражения W (р) также обращается в нуль. Таким образом:
Г / (V) at и .и -^Хр -=-^(/(0 <«;
J р~>0 1-й j
т Т
0 0 ь
А(0)
^.(0)
Fi(Pjc)
§ б] 8°, ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 65
и по (79) получаем:
•кя=т S е т f^e т dt <L")
7с=:~со О
Полученное выражение представляет ряд Фурье для
функции периода Т, принимающей при 0<£< Т значения f(f);
это доказывает предложение.
Пусть, в частности, ty (i) — периодическая функция
периода 27', меняющая знак через полупериод:
ф(/+Г): Ц.(0- (1Л00)
Как и выше, через f(t) обозначим функцию, равную
нулю при /> Т и принимающую при 0<£< Т те же
значения, что и ty (t). Для построения изображения/(^) можно
воспользоваться (91), полагая t1 = 0, /2 = Т и далее 0^ (/?) =
=^(/7)-^^(/), G*a(p)==4Mp)-^><K*+7> По (100)
теперь ЧР"(/7) = — Фу(р); получаем:
F(p) = W(p)(l^e-i>a)
и, значит,
W(p) = rfS^- (1Л01)
1 + е"
Как и выше, доказывается обратное предложение:
изображение периодической функции периода 27', меняющей
знак через полупериод Т, имеет вид (101), причём
числитель F(p) представляет изображение функции f(t),
обращающейся в нуль при t > Т; эта периодическая функция ^(0>
равна при 0 < t < Т начальной функции f{t) изображения
числителя (101),
Приведём несколько примеров.
Знаменатель изображения (87) имеет требуемый вид,
а числитель представляет функцию, обращающуюся в нуль
при £> Т (даже при />т, где х < Т). Поэтому
функция срз(0 — периодическая периода Т, принимающая при
0 <J. < Т значения:
/л.ч f/о при t<%,
как мы видели ранее.
й Зак= 3057. А, Лурье.
66 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
Изображение синуса можно представить в форме:
vp (p) ^JL^L L__^_ _ <~~ SII1 wf.
1 + e""
Но синус —периодическая функция периода —,
меняющая знак через полупериод. Поэтому числитель в
приведённой формуле должен изображать функцию, равную нулю
при г>~-■ и равную sin ш/ при t <,. —. Это было
установлено ранее-—см. формулу (95).
9°. Построить изображение выпрямленной
синусоиды, т. е. функции
«1» (t) = | sin Ы | =
sin cat 0 < t < —-,
о»
•sin(or — < t < —.
0) 0)
Эта функция — периодическая с периодом 7= — . В
формуле (97) вместо F(p) следует подставить выражение (95),
Получаем:
кр
1-й
10
В качестве следующего примера построим изображение
синусоиды, нижние полуволны которой срезаны, т. е. перио-
дической функции ^ (t) периода -—, равной sin mt при
О < £ < --^- и равной нулю при -J- < t <~. По (97) и (95)
теперь получим:
вр
Ч/Ц) 1 \HJ~~ р2 + и)2 %кр — рЭ^-ща „^*l ^
1-е ш 1-е '"
§5] 10. „ПИЛООВРАЗНАЯ" ФУНКЦИЯ И ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ 67
10°. Изображение представленной на рис. 8
периодической функции ty (*) периода 2Г, меняющей знак через
полупериод Т, получается по (101), причём F(p) берётся из
второй строки табл. 3. Получаем:
2
что ул<е было получено выше иным путём [см. (86)].
Аналогично по (97) с помощью приведённого в пятой строке
табл. 3 изображения легко получить изображение (88)
функции <р4 (/), показанной на рис. 10.
Рис. 13. Периодическая „пилообразная" функция.
Периодическая „пилообразная" функция, представленная
на рис. 13, имеет изображение
(l_e-*»)_L_e-i»
^00=/0 : Sa? ^<К0, (1.104)
!•
-Рт
что следует из (97) и последней строки табл. 3. В
частности, при т = Т получаем:
00=/о('
W (р) =
i_
-ръ
\—е-1п
+>ф(<)-
Очевидно, что число подобных примеров молено
значительно увеличить.
11°. Выше было показано в общей форме, что
применение к построению начальной функции по изображению (97)
или (101) обобщенной второй теоремы разложения даёт
№
(38 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ. I
представление этой функции в виде тригонометрического
ряда. Это очень удобное средство построения
тригонометрических рядов заданных периодических функций, не
требующее нахождения коэффициентов их с помощью вычисления
интегралов.
Найдем, например, представление | sin mi j в форме
тригонометрического ряда.
Применяя (78), получаем по (102):
м,>)=~^Ь1
р~
/^(/)) = 1- е~~.
Напомним, что Fj(p) —целая функция,
Полюсы функции \Р (/?) суть:
pJe=2km, /e = rhl, db2, ...
причём нуль ие является полюсом, так как при р — 0
отношение р!(р)1Р^(р) конечно. Имеем:
Fi(pic) _ ' 2
рь „>(1—4/е«)'
О)
ЛШ. — 1.
/=а(0) ~ *
и, следовательно:
7(ES=—оо
ИЛИ
со
|-"|-1('-»2т5£г> о-106)
ft=l
§ б] РАЗЛОЖЕНИЕ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 69
Ё качестве последнего примера найдём представление
в форме тригонометрического ряда периодической функции ^(/)
периода Т=\, составленной из отрезков парабол (рис. 14).
Рис. 14. Периодическая функции ty (t) — t~ № (при 0<£<. 1)
с периодом 1 н вспомогательные функции: g(t) = t—ft,
f{t) — t — fi при 0<г<1 и /(0 = 0 при ^>1.
В соответствии со сказанным выше строим изображение
функции
[ t~P при 0<^< 1,
Для этого пользуемся (91), причём ^ = 0, t%=a\ и
g{t+ l)~*-fl -('+ 1)" =
■t-e^-jt-^OuW.
70 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ [ГЛ, I
Находим
^00==7(1-И-")-$(1-*-*0
и по (97) находим искомое изображение периодической
функции <J» (f):
1(1+е-да)_2 (1 __,,-,)
В числителе стоит целая функция, принимающая при
p=s 0 значение:
i(1+i_p+4
2 . „3
■(1-1+Р-4-+
и, значит, в формуле (79) -pqJ: = -g-- Далее имеем:
p„ = 2ftiu; /e = rtl, =t2, ...
"77"e?5 —"IPS?» fWft) —ь
Искомое разложение в тригонометрический ряд будет:
§ 6. Импульсивные функции
1°. В § 3 была определена единичная функция
(О при *<0,
«o(Hl „ t>l <Ы07>
или в более общем виде:
О при / < х,
Оо(/-т)=| х ( <>г_ (1.108)
Изображения этих функций даются формулами:
<т0СО -К- 1, °о(* —■О-^е-'"- (1.109)
§6]
1°. ЕДИНИЧНАЯ ИМПУЛЬСИВНАЯ ФУНКЦИЯ 0^(()
71
Следуя сказанному в § 5, рассмотрим теперь функцию
(рис. 15):
*,(<; А)
МО —o0(f—A)]
( т при £ < А,
10 „ <> А.
(1.110)
Можно трактовать aL (t; h) как силу постоянной
величины -г-> действующую в течение промежутка времени А.
Импульс этой силы за промежуток времени её действия равен
единице, каково бы ни было А. Если длительность
рассматриваемых процессов движения велика
по сравнению с А, то
целесообразно считать, как это делают
в теоретической механике при
построении теории удара, силу
a, (t; А) действующей мгновенно.
Это приводит к введению в
рассмотрение предельной функции _J . Ul t
(1.111)
Рис. 15. К определению
единичной импульсивной
функции. Функция al (t; А).
: 0; при <=а0 она обра-
0,(0=» lim ai(*J /г),
71 Н> О
называемой единичной
импульсивной функцией. Эта функция
равна нулю при всех t, кроме I-
вдается в бесконечность, но так, что
limAc^ (t; А) = 1.
и -> о
Изображение а1 (t) естественно определить как предел
при А-»-О изображения функции <з1 (t; А); но по (84)
последнее будет:
.е-рК)
и поскольку
то
lim 1(1-6-^^) =
ft -> о
(О
(1.112)
Функцию Oj^Ct — x), равную нулю при Ьфх и
бесконечности при t = x, можно трактовать как силу, мгновенно
72
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
[гл. I
сообщающую в момент t— х точке единичной массы скорость,
равную единице. Ее изображение по (112) и теореме
запаздывания будет:
oi(*-—s)4-j-*-»Tp. (1.113)
2°. Переходим к определению импульсивной
единичной функции второго порядка. Рассмотрим
для этого функцию (рис. 16)
т. е.
(
,('; *)Н -I
i
А«
1
/«а
0
при t < А,
„ А < < < 2/1
„ 2А < *.
1
Будем рассматривать а2 ((; Н) как силу величины -^,
меняющую своё направление на
прямо противоположное при
t = h и прекращающую
действовать при t = 2А. Если такая
сила будет действовать на
точку единичной массы, то за
промежуток времени А точка
f
1
b
гь
h
Рис. 16. К определению
импульсивной функции второго
порядка. Функция о8 (t\ К).
1,1. Л2
равным -^-.И-Ш:
приобретёт скорость 2 —
Л3 1
и получит перемещение щм — -п\
в течение следующего
промежутка времени (Л, 2А)
скорость будет убывать от -т~ до
нуля при l~1h; перемещение
точки в этот момент времени
по известной формуле
равноускоренного движения станет
1. Функцию аа(<; К) можно
поэтому трактовать как силу, сообщающую покоящейся точке
%
§ 6] 29, ЕДИНИЧНАЯ ИМПУЛЬСИВНАЯ ФУНКЦИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 78
единичной массы за промежуток времени 2ft перемещение,
рапное единице, и не сообщающую ей скорости.
Полагая ft-* О, получаем совокупность двух
последовательно действующих один за другим импульсов, направленных
в противоположные стороны, мгновенно сообщающих
покоящейся точке единичной массы единичное перемещение и не
сообщающих ей скорости; это можно пояснить ещё таким
вычислением:
lim аа(<; ft) = lim r
7* ->0 7г->0 "
gp (O-gQ (t-h) a0 (t — ft) — aa(t~ Щ
h h
= lim T [<jj {t; ft)-™ at(t — ft; ft)].
Л->о "
Этот предел называют единичной импульсивной функцией
второго порядка и обозначают а2(<), Изображение функции
аа(<) естественно определить как предел изображения о2(<; Л)
при ft —>■ 0. Но мы имеем
М<; ft).«-f--gf(i—2*-»b+«-9,,ft).
и указанный предел легко вычисляется
1
7i-> О
lim Jg. (1 —Ъе-рЬ-^-е-ърЪ)
Итак,
°а(*)-Н-Ра. (Ы15)
Сообщение импульсов может происходить не в момент
£ = 0, а при £ = ■:; это определяет функцию a%{t—%),
изображение которой по теореме запаздывания будет
a2(t — t) -<-f~ р2е-р~\
Плодотворность введения в рассмотрение импульсивных
функций можно иллюстрировать простым примером.
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения точки
единичной массы, на которую действует сила /(£):
* =/(0- (1.116)
74 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРВМЫ [ГЛ. I
Пусть начальные условия будут
х=>х0, x~v0, при < = 0. (1.117)
По IV табл. 1 находим
'x(t)++-p*[x(p)~x0~f\
и изображение уравнения (116) будет
p*X(p)^F(p) + p*x0 + pv0. (1.118)
Но к этому же результату можно притти, принимая
нулевые начальные условия и предполагая, что в момент t = О
к точке прикладывается импульс, сообщающий ей скорость v0,
а также совокупность двух последовательных, направленных
в противоположные стороны импульсов, сообщающих точке
перемещение х0. Определение импульсивных функций таким
образом вполне соответствует правилу учёта начальных
значений функции и её производной при составлении
изображения второй производной.
Заметим попутно, что по (118)
^(Р)==^0>)+*о + у
и по (34) получаем искомое решение:
■ х (0 = f / (т) (t — -с) (к + х0 + V. О • И »)
о
Способ, который был использован выше для определения
ai (0» °а(0> можно обобщить на импульсивные функции более
высокого порядка
МО <~ Ps. °i (0 ч~ р4 и т. д. (1.120)
Введения в рассмотрение импульсивных функций можно,
конечно, избежать и пользоваться в каждом частном случае
вместо них функциями Oj(<; /г), а2(£; /г), определёнными
выше. Предельный переход /г-* 0 может быть сделан в
окончательных результатах решения задачи. Однако это усложнило
бы без нужды ход вычисления: процесс решения всегда
§ 6] 2°. ЕДИНИЧНАЯ ИМПУЛЬСИВНАЯ ФУНКЦИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 75
существенно упрощается при введении импульсивных функций.
Заметим, что эти функции широко применяются в
теоретической физике. 1
В этой главе изложены наиболее простые, но вместе
с тем наиболее важные методы операционного исчисления.
Этих средств будет вполне достаточно для решения задач
динамики, теории колебаний, теории автоматического
регулирования и сопротивления материалов, сводящихся к
линейным дифференциальным уравнениям и линейным разностным
уравнениям с постоянными коэффициентами, рассматриваемым
во второй главе. Решение задач, сводящихся к уравнениям
в частных производных, потребует знания изображений более
сложных функций и соответствующего расширения методов
вычисления. Это будет сделано в шестой главе настоящей
книги.
1 См., например, Д. Иваненко и А. Соколов, Классическая
теория поля. Гостехиздат, 1949.
ГЛАВА II
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 7. Интегрирование однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
1°. Рассмотрим дифференциальное уравнение
*<»> (0 + a^n~V (t) + .. . + ап _ ,*' (0 + апх (t) = 0. (2.1)
Здесь х (t) — искомая функция; х', х", ..., х^— её
последовательные производные по t; аъ й2, . . .,ап — не
зависящие от I вещественные постоянные. Задача, состоит в
отыскании интеграла Коши, т. е. решения уравнения (1),
удовлетворяющего начальным условиям: при ^—О
>-а)= v(«--i) (2.2)
х ■■
v0>
X ■— Xq,
X
■— Хо
Лп-Л)
• • I -½
где л'0, х0, ...,х0 ' — заданные числа.
Через Х(р) назовём изображение искомого решения:
*(р)-г>*(0.
По теореме об изображении производной (IV, табл. 1)
имеем:
х{п) ф <4~ р»
ХЫ~~1)Ц)
,я—1
Х(р) — х(0)~
Х{р) — х(0у
Р
х'ф)
(л-1)
х'(() --*+р[Х(р)-х(0)].
(2.3)
§ 7] 2°. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ 77
Воспользовавшись начальными условиями, получим, вместо
дифференциального уравнения (1), алгебраическое
соотношение:
(f + «,/>»-1 + ---4- «w_ ,р + ая) Л" (р) - *0 (р» + в,р»-»+
4-...4- ап_3р) 4-■*» (ри_а -f ajp"-34- .--4- «n-a/O +
Л-хЪ (^ + ^/^+ • • • 4-««-8/0+ • • • +4И^Р, (2-4)
которое условимся называть изображающим уравнением.
Для составления последнего используются не только
дифференциальное уравнение (1), но и начальные условия; таким
образом в записи изображающего уравнения содержатся все
условия, накладываемые на искомую функцию x(t).
Дальнейший ход решения ясен: из (4) получаем Х(р),
после чего, используя установленные в первой главе правила,
находим начальную функцию x{t).
Обозначим через Д(р) коэффициент при Х(р) в
изображающем уравнении:
Д (р) = р» 4- аиГ-* 4- «2РИ"24" .••+*„- iP 4 «„• (2-5)
Правило написания этого полинома относительно буквы р
очевидно: в исходном дифференциальном уравнении (1) надо
заменить производные искомой функции соответствующими
степенями р.
Для сокращения письма обозначим ещё:
д0(р) = рй4-й1ри"14- ••• 4-fln-iP = а(/>)—««;
Ai (р) = р*-14- «iP"~a 4----4- «»-аР =
= (До(р)—p<v.i) v;
(2,6)
V-i(P) = P = (дп-в(Р) —/»1)7 •
Тогда
улл-ч- А°(/') -1 ^^4- -J г(^-1)Дп-1^> ,о7^
*(Р) — Л:0Х(]0+-Х0Т(7Г+ ••• + *° ■ Д(р)"- (2,7)
2°. Таково изображение искомого решения. Рассмотрим
его слагаемые по отдельности; обозначим:
78
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
Соответствующие этим изображениям начальные функции
назовём ф0(0» 4»i(0» ---.+,.-1(9:
ФИО •«+- ЗД) (1 = 0, 1, .... я- 1) (2.9)
и будем говорить, что функции 4»» (t) образуют основную
систему решений дифференциального уравнения (1). По (7)
выражение интеграла Коши через основную систему будет;
х (()« *0ф0 (0 + x'fa (0 + ... + х(Г\^ (0 • (2.10)
Из этой записи очевидно, что, поскольку решение х (t)
должно удовлетворять начальным, условиям (2), решения
основной системы удовлетворяют начальным условиям,
записываемым в форме единичной матрицы:
(2.11)
Это можно проверить, воспользовавшись первой теоремой
разложения. Действительно,
Ф0(о)=1, +;(о) = о, ...
+1(0)=0, ¢{(0)==1,...
,ГЧ(0)-0
,^(0)=0
4»»-i(о) = о, 4^-1(0)=0,..
.,+^(0) = 1..
т (п\ — До (Р) _ Д (Р) — ап __ i
an
1
*(Р)
М/>)
i +
«i
On
i_f»(l_£l_ ^
причём ряд в правой части сходится при достаточно малых
Соответствующая начальная функция пред-
значениях
\р
ставится рядом, сходящимся при всех ft
Ы*)
1
«1
■г+
(2.12)
Мевыписаиные члены содержат t в степени не ниже (я-f- 1),
поэтому 4»0 (if) удовлетворяет условиям в первой строке (11).
§71
2°. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ
79
Аналогично получаем:
Мр) _ J. _ fl»-i
Р А (Р)
Wi(j>)--
ап
М/0
*aW~ Д(р)-~рг
1 Яя,_2
Ди-а
Ж/О
Cln~i
Яп-i
рп
MP)
P*
ph(p) P4(p)
/f.i
*«-,(/>)'
M/>)
1
"nl "I"
fn-1
(t).
(2.13)
Эти выражения указывают, что решения основной системы
удовлетворяют начальным условиям (11).
Перейдем к построению функций <J»fc (t) в замкнутом виде.
Для этого нужно использовать вторую теорему разложения.
Неизбежным является знание корней уравнения
А (р) = pft H-fliP""1 +... +e».iP + «» = 0, (2.14)
называемого характеристическим. Пусть эти корни будут
/?!, /;2, ...,рп. Остановимся сначала на простейшем пред*-
положении: все эти корни простые и среди них нет равного
нулю, т. е. Д (0) = ап ф 0.
Найдем %(t). В теореме разложения VI табл. 2 имеем
^1 (Р) = до (Р)> fsO) — М/>) и> поскольку Д0 (0) = 0,
первое слагаемое -~4^г в разложении на простейшие дроби
отсутствует. Тогда
Тем же путем получаем:
и я
(2.15)
(2.16)
а = 1
Яв" 1
80 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
н, наконец,
8 = 1
Выражая, что решение tyn~i(t) ПРИ ^ = 0 удовлетворяет
начальным условиям последней строки (11), получаем
алгебраические соотношения (1.77), уже найденные ранее (а0 = 1).
Эти соотношения имеют место для любого полинома Д(р),
все корни которого простые.
В добавление к этому, замечая, что из
дифференциального уравнения (1.) следует ty$—i) (0) = — «lty»—i4 (0) = — «i >
находим:
^(0)-21^5 = -^ (2Л8>
8=51
Дифференцируя далее (1) по t один раз, два раза
и т. д. и, полагая затем t = 0, получаем:
8 = 1
^+^(0)--11^ = -^+20,0,-¾ (2.18-)
8=1
и т. д.
Общее решение уравнения (1) на основании (7) будет:
х (0 = х9^9 (t)-j-x'fa (f) + ... + 4и-%»-1 (О
или по (15)--(17)
П р t »1 — 1
^0-2,^½ 2 ^А* (Я.)- (2-19)
Полагая для краткости
я —1
'c«-/tfpW2^A*<A)' ' (2,20)
§7]
3°, НУЛЕВОЙ КОРЕНЬ
81
где s= 1, 2, ..., п, находим решение уравнения (1) в
общеизвестной форме:
x(f)=Cle"lt+Ciep*+ ... -\-Сп/п*. (2.21)
Легко проверить, что любое слагаемое этой суммы удо-
р t
влетворяет уравнению (1). В самом деле, полагая х.е = Cse ь'
и подставляя в (1), получим:
Сй (р? + ър?-1 + ... -|- «„_!/>„ Н- «„) Л* = С8Д (Рд ер»* = О,
так как pg по условию является корнем уравнения (14). •
Преимущество изложенного способа решения, конечно,
заключается в том, что здесь сразу получен интеграл Коши
уравнения (1), так что отпадают вычисления, связанные
с определением произвольных постоянных по начальным
условиям; формулы (20) дают выражения этих постоянных
через начальные данные. Обратно, по (1.77) легко выразить
начальные данные через постоянные Ct, С2, ..., Сп.
3°. Случай простого нулевого корня (рп = 0),
когда все остальные корни рх, р2, ..., рп_1 —-простые,
заключается в предшествующих результатах; в самом деле,
при этом ап~0. Значит, Д0(/_?) = Д(р), и одно из основных
решений будет:
<Fo(/0 = l-r>l-.}o(/).
Далее получим по (6):
Ч? I,л =- Aii£) _ />»~» + Д|р"-я + • • -_±£ii=3.
lUJ ~ А(Р) "рл-^ + Я!Рп~"+ .".. -|-ff„-i'
ц>- , (Р) == Ь^Ш == L _
и "соответствующие начальные функции определяются
формулами:
e*j 1Ъ —-1. r*j
ь (о -4^- + У-^л<,
где через Д (р), Aj(p), ..., Дй-1 (р) обозначены полиномы
степени (п—-1), («— 2),..., О, получающиеся из Д(/>),
(> Зак. 2057. А. Лурье.
82 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ, !1
Aj(p), ..., Ап_1 (р) делением на р. Тогда вместо (19)
найдём:
И — 1 г- Я —1 ~/
xW^Xo+yxpl^+Y.-QE^SJ]. (2.22),
*Ti L д (о) f^lPs д' (Pt) i
Более сложен случай кратных корней и, в
частности, нулевых кратных корней. Для построения начальной
функции здесь нужно пользоваться второй теоремой разложения
в форме (1.75). Вычисление легко доводится до конца в
каждом частном случае, но общие выражения не получаются
отчётливыми и простыми. Отметим, что в случае нулевого
корня кратности v в решение войдёт полином степени (v— 1)
относительно t, в случае же кратного корня рд, отличного
от нуля, решение будет содержать произведение e^s* на
полином относительно t степени, на единицу меньшей чем
кратность корня.
Здесь уместно сделать одно общее замечание: при
решении каждой конкретно поставленной задачи методами
операционного исчисления не следует пользоваться
окончательными формулами; предпочтительно итти по пути,
намеченному в их выводе, используя попутно все возможности
упрощения, которые возникают по ходу вычисления.
Например, при наличии комплексных сопряжённых корней
характеристического уравнения (14) можно часто сразу выделить
слагаемые, отвечающие парам комплексных сопряжённых
корней, и составлять соответствующие начальные функции,
используя формулы IV табл. 2, тогда как при вычислении по
формулам (15) — (17) выделяются слагаемые, отвечающие
каждому корню по отдельности с последующим приведением
начальных функций к вещественной форме. Аналогично
упрощаются вычисления при наличии кратных корней.
4°. Приведём один пример. Проинтегрировать
дифференциальное уравнение
x!v -f-2х"-+- Зх" -f 2х + х = О
при начальных условиях: х—х0, х' = х" = х'" = 0 при
*=0.
§7]
4°. ПРИМЕР
83
Изображающее уравнение будет:
*(р)0>4 + 2/>Ч-ЗрЧ-2р+ О =*о(Р4 + 2р9 + Зра + 2/,),
откуда следует
Х(р)=*х0 — ^у (2.23)
где
А (Р) = Р" + 2р3 + Зр2 + 2р + 1 = (ра +/, -|- Г)'.
Дело сводится к разысканию начальной функции для
изображения
Характеристическое уравнение имеет двукратные
комплексные сопряжённые корни:
Рх
1 JL V3 .. _ 1 Уз.
2 i 2 '' ''2_ 2 2
Можно применить для отыскания начальной функции
общую формулу (1.75), но это сопряжено со сравнительно
сложными выкладками. Повидимому, проще всего здесь
поступать так: найдём начальную функцию для изображения
1 1
С"*-?)'*-
cos
Sin 1/ а ■
■|/"в-
(2.24)
где а — некоторый параметр.
Дифференцируем теперь обе части этого соотношения
по айв результате полагаем ос = 1. Этот прием соотпет-
ствует дифференцированию по а лапласова интеграла от
функции, стоящей в правой части (24), и является вполне
законным. Получаем:
1
(Р2+Р + 1)*
—->. 1 _
1
Уз
ут
3 ' / 2 ' V 3/ 2
6*
84
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. !!
■ь , Д . 1ЛЗ ,. , Л t\... '/3
и следовательно:
х (/) =» л-0е я -£= (- + t) sin JLJi /+1 — - 1 cos ~'-^1
' ° L/3V3 / 2 ' ^ ЗУ 2
§ 8. Интегрирование линейного неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами
Перейдём к рассмотрению неоднородного уравнения
*(«) -f <?!*:<«-1) -J- ...+ a„_iA:'-+ апх =/(/) (2.25)
и будем искать его решение, удовлетворяющее начальным
условиям:
х<=х0, х'^-х'о, . .., л(я-1) = лг0(п_1) при * = 0. (2.26)
1°. Начнем со случая, когда все начальные данные нули:
д:№)_0 (/г = 0, 1, 2,,.., п—1) и /(/) — единичная
функция a0(t). Соответствующее решение обозначим Ф,4 ((')'•
4п + </$-]> + • ■ • + an-rfn + «А = «о (0 (2-27)
и
<W. (0) = °> Ф» (0) = 0,..., -$' ~1} (0) = 0. (2.28)
Изобража!ош,ее уравнение будет:
(рп + алР^ + • • • + «„-i/> + «,,) ^» 00 -: 1. (2-29)
или по (5)
А (/О
^(/0 = 57^-^^,(0. (2-30)
Вспомним теперь, что решение фп-1 (/) имело
изображение
Vlf--i00 = д^) = Л W ■->'^-i(0 (2-31)
и, поскольку ^и(0)=:0, имеем:
^,(0 = ^-1(0- (2-32)
§ 8] 2Э. РЕШЕНИЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ /(f) 85
Мы будем говорить, что фи (f) описывает переходный
процесс в динамической системе, поведение которой
определяется дифференциальным уравнением (1), при воздействии
на неё единичного возмущения а0 (t). Формула (31) для
изображения Wn_1(p) показывает далее, что фи-1 (t)
представляет переходный процесс в системе под действием
единичного импульса ai (t) <-±-р. Аналогично могут быть
определены переходные процессы под действием
импульсивных воздействий более высокого порядка. Не следует, однако,
думать, что, например, ty№_2(/') представляет в чистом виде
переходный процесс от импульсивного воздействия второго
порядка; в самом деле:
т< е. переходный процесс от импульса второго порядка
а2 (t) <~Ч-Р2 даётся функцией ^_2 (f) — «i^n-1 (О-
2°. Возвращаемся к общему случаю; изображающее
уравнение для дифференциального уравнения (25) и начальных
условий (26) имеет вид:
«—1
Д (/0 Х(р) = 2 4*)Д/( (р) + Р{р), (2.33)
где использованы обозначения (5) и (6) и F(p) -^~> f(().
Получаем:
«—•1
Х W ^ 2 Хо4) ^ (Р) + -¾¾ ■ ^-34)
Рассмотрим последнее слагаемое
При д-№)=0 (/г = 0, 1,...,п— 1) имеем ,*:(<) =2(0,
т. е. z(t) представляет решение дифференциального
уравнения (25), удовлетворяющее начальным условиям:
2 = 0, я' (0) = 0, ..., ^С1-1) (0) =--= 0 при / = 0. (2.36)
86 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ, II
Для составления z(t) применим теорему свёртывании
(X табл. 1). Тогда по (17):
Z(p) = yF (р) jf-p) = -i-F (р) ¥„_, (р) -Ь>
-н- J /W-W»-,(^-t)dt-«C0- (2-37)
о
Этой формулой выражается весьма общее и важное
свойство динамической системы, поведение которой описывается
линейным дифференциальным уравнением (1): знание
переходного процесса ty,l_1 (i) в такой системе, обусловленного
действием единичного импульса <зх (t), позволяет
определить поведение системы при произвольной правой части
f(() — при произвольной „возмущающей силе".
Нетрудно проверить непосредственно, что (37)
удовлетворяет нулевым начальным условиям (36), а также
дифференциальному уравнению (25). Действительно, из (37)
следует, что г (0) = 0. Далее имеем:
*'(*) = f /(*) ф;,»! с - *) л* +/ V) ф„ _ 1 (о)
о
[второе слагаемое получается при дифференцировании
интеграла (37) по верхнему пределу]. Но по (11) имеем^,,^ (0) — 0
и, значит:
*'(0 = j/Wti^-^dT' (2'38)
о
Аналогично получим
t
г"(*)= J/(x)^_i(f —t)dx,
о
*
^-^) = J'/Wfc1^-')^- (2.39)
о*
§ 8] 3°. ОЦЕНКА МОДУЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ 87
Итак, 0 (t) удовлетворяет начальным условиям (36). Далее
*(») (0 = J ^1, (t — т)/(х) Л + ¾^ (0)/(0
о
и, значит:
Z(n) (t) в J ^ (/ __ х) /(т) Л + / (*). (2.40)
о
Из выражений (37)-(40) тотчас же следует, что г (t)
удовлетворяет также и дифференциальному уравнению (25);
действительно:
*(») (0 + а,г(»-Ц (0 + . .. + а.п_,г> (t) + апг (t) =
= /(0 + J / W Nn-i ('-*) + «ite4 С—0 +
о
+ ...+0^1^-1(^-1) + 0^,,.^^-1:)1^=/(0,
так как ty^-i W является решением однородного уравнения (1).
3°. Будем говорить, что нулевые начальные условия (36)
определяют начальное равновесное состояние
рассматриваемой динамической системы; тогда z(t) даёт отклонение этой
системы от её равновесного состояния в любой момент
времени, вызванное действием возмущающей силы f(t).
Оказывается возможным дать некоторую грубую оценку модуля
этого отклонения при весьма общем предположении о
характере изменения возмущающей силы. Действительно, по
(37) имеем:
* t
И')1 = ЦЧ»-1('-10/О0л|< /Mfc-iC—o/wi*.
о о
Предположим, что функция f(t) („возмущающая сила")
при всех значениях t ограничена по модулю:
\/(Щ<М. (2.41)
Тогда можно написать:
* t
\z{t)\4,M $№„_&—x)\dx = M J" | ^i'(6)| Я. (2.42)
88 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Промежуток изменения (0, t) независимого переменного
разобьем на промежутки, в которых «j^-i (0 сохраняет
знак: (0, /Д (*„ fa), ..., (/,,, t), где tt(i=l, 2, ..., k)~
корни функции 4"»—1 (О в промежутке (0, t). В первом из
этих промежутков фк_1(/)>0, так как tyw-iW при t~0
обращается в нуль, а её первая, не обращающаяся в нуль
производная при ^= О положительна. Итак,
^-1 (0 > 0, т. е. | <!»„_! (/) | - фм_ j (/) при 0 < t < t,
Ф»-1 (0 < о, т. с. 14-,,.., (01 = - <!•„_, (/) „ /, < /< *а
и т. д._ Поэтому (42) можно переписать в форме:
1
Ж
о *, 4
Вспоминая теперь (32), получаем: '
й I * С) I < Ф« Ci) - М* Са) - Ф« (',)]+■■• +
+ (-1)4^,(0-¾½)]. (2-43)
Предположим теперь, что интеграл
со
/|^_,(x)|dx = Z. (2.44)
о
сходится; это будет иметь место, если все корни
характеристического уравнения (14) имеют отрицательные
вещественные части, т. е. если коэффициенты этого уравнения
удовлетворяют известным условиям Раута — Гурвица. 2 Тогда
/. = 4,„ (¾) - [Ьп (/2) — ф№ ft)] -+ 1фп (4) - фге (¾] + .. . (2.45)
Ясно, что это число L больше правой части неравенства (43)
при любом I; поэтому получаем оценку
\z\t)\<.ML. (2.46)
1 Напомним, что tyn (0) = 0.
2 См., например, А. Г. Курош, Курс высшей алгебры. 1946,
стр. 310.
§ 8] • 3°. ОЦЕНКА МОДУЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ 89
Эта формула дает оценку максимума модуля возмооюного
отклонения z(l) динамической системы, 1 описываемой
дифференциальным уравнением (1), при воздействии на неё
„возмущающей силы", ограниченной по модулю, но
изменяющейся по какому угодно закону во времени. Для
составления оценки (46) нужно по (45) знать корни выражения,
дающего переходный процесс под воздействием единичного
импульса а1 ((), и значения в этих точках переходного
процесса от единичного возмущения о0(().
В частном случае, когда все корни характеристического
уравнения (14) вещественны (и отрицательны), то, как
показал Н. Г. Чеботарев, 'j^-i (0 не обращается в нуль при
t ф 0. 2 Имеем тогда
1+..-1(01 = +,,-1 (О
и, значит:
оо со
I = /4»»-, (0 *= f Чя (0 dt= фя (оо).
о о
Это число легко определить. Действительно, по
определению лапласова интеграла
со
4+,.-1-(0)==-^7^==/^+,,-,(0^ (2.47)
о
и так как интеграл справа сходится при р = 0, то по (6)
и (8)
со
Г ф№_ .(f) dt = фп (сю) => lira IiirliEl ^ 1 . = _L.
о
Итак, в рассматриваемом случае
1=± и |,(/-)|<f
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
^'l-j-e^»-1)-|~ ._.. -ф «„_;,*'4" апх ~ /W>
'В предположении, что соблюдены условия Раута—Гурвица.
2 См. „Письмо Н. Г. Чеботарева об одной математической
задаче".. Журнал „Автоматика и телемеханика", IX, № 4, 1948.
90
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ, I!
где М-—-постоянно. Оно имеет очевидное частное решение
М
х = —, которое можно назвать статическим отклонением
«»
системы. Мы получили следующее предложение: если
отклонения в переходном процессе под действием единичного
импульса не меняют знака, то при любом законе изменения
во времени „возмущающей силы" f (I), действующей на
систему, отклонения не превзойдут по модулю статического
отклонения под действием силы, равной максимуму модуля
возмущающей силы.
Попутно заметим, что из выражения (17) для "]»«_! (0
и из (47) следует, что
о s=l
4°. Возвращаясь к (34), будем для простоты
предполагать, что характеристическое уравнение (14) имеет
простые корни ри р2, .. ., рп, среди которых нет равного
нулю.
Тогда
и
1 Р
и по теореме свёртывания
s = l о
Далее по (21) имеем:
п — 1 п
У ^ЗД) -*-■* Ус/.',
It =0 а=1
где постоянные Cs определяются через начальные данные
по (20). По (34) теперь находим:
*W«S«,,''[c.H-2PraJ/W«"v^-
8=1 , 0
§ 8] 5°. РАЗЫСКАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 91
В конкретных примерах нет нужды для построения
решения прибегать к этой формуле, так как часто можно
непосредственно найти начальную функцию z (f) по её
изображению 2(р), не пользуясь теоремой свёртывания.
б°. Рассмотрим важный частный случай, когда f (t) —
периодическая функция от t периода Т. По (1.97) её
изображение может быть представлено в форме
г^)-
1<{р)
i—в-*,а"
(2.49)
где К(р) — изображение функции k (t), равной нулю при
/>Гв/(<) — при 0 < t < Т. Изображение решения х(t)
теперь можно записать в форме
или же в форме
где обозначено
в(р)
Р—Ра
(2.50)
. (2.51)
По теореме § 5, 8° начальная функция х (t),
соответствующая изображению (50), будет также периодической
с периодом Т, если начальная функция b(t) 4—н 9(/7) при
/> Т обращается в нуль; тогда x(t) — $-(f) при 0<^<!7\
Поэтому для разыскания решения дифференциального
уравнения (25), имеющего тот же период Т, что и его
правая часть f(() —■ возмущающая сила, нужно так подобрать
постоянные Cs или, что то же самое, начальные данные х[ ,
чтобы Ь(1) обращался в нуль при £>7\ Покажем, что за
исключением некоторых особых случаев это можно сделать.
92 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !
Используя теорему запаздывания и теорему свёртывания
можем по (51) написать при t < Т:
s = l о
или, имея в виду, что к (х) = /(х), пока х < Т,
*
»w=2 •*' f с«+sro J/ (т) ^ Н • (2-52)
S=l "О '
При £> Г имеем:
_2L_ (1 „ е-лТ) ^ eV_ „»»„ ¢¢-2) _ eP„t п __ е-~^')
Р—Рв К J У
и далее
t т
Ш ^JL^ ^ Г k (х) е^ ('-т>'Л = *V Г Г* (х) e-"*Trfx+
о о
+ [ k (х) e~V rfxl = А' | / (х) e~?V </т,
г о
так как /г (£) = 0 при £> Г. Поэтому при /> Т:
т
6 =t о
Это выражение обратится в нуль при всех t, если
коэффициент при каждом из множителей ер*% обратится в нуль.
Получаем систему уравнений (s=l, 2, ..., //);
т
Cs (1 _ е-»,т) + ^ j / (х) <Г'^х - 0. (2.54)
о
Пусть
^Г^фО (5=1,2,,..,/0, (2.65)
§8]
6°. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ
93
тогда из (54)
1
Д'(/>в) I
-9 J
e-Ps-f^dx, (2.56)
и подстановка в (52) даёт искомое периодическое решение:
x(f) = *(t)
(2.57)
Этой формулой можно пользоваться для вычисления х (I)
в промежутке времени (0, 7); но этого и достаточно, так
как вследствие, периодичности функции х (t), её значение
для любого t вычисляется из условия
x(t-~nT) = x(t). (2.58)
Из (2.57) легко получить, что
х(0) = Л:(7>
J
е p^f(z)(h
-(1-
■е "<?)&'(Р„)
и далее,
х' (0) == х' (Т), ..., яР»-1) (о) = а- (»->) (Г). (2.59)
Итак, при t= Т функция х (I) и её производные до
(п —• 1)-го порядка включительно имеют те же значения,
что и при ^== 0; иными словами, начальные значения
решения x(t) дифференциального уравнения (25) для интервала
(Т, 27) те же, что для интервала (0, 7). Поскольку
коэффициенты уравнения не зависят от времени, а свободный
член- представляет периодическую функцию периода 7, это
показывает, что х (/) принимает при 7 <^ t ^ 27 те же
значения, что и при 0<1£<^7; сказанное распространяется
на интервал (27', 37) и т. д. Это ещё раз подтверждает
периодичность полученного решения.
6°. Предположим теперь, что условие (55) не имеет
места. Это случится, если
е-рат=1, (2.60)
94 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [гЛ, И
т. е. если при некоторых s
ра=0 или /?s = dz-~, (2.(31)
где к — целое число.
Рассмотрим сначала первый случай, т. е. что
характеристическое уравнение (14) имеет нулевой корень. Обозначим
этот корень через рп и пусть для s=\, 2, ..., я—1
неравенства (55) соблюдаются. Как следует из последнего
уравнения (54) для s = и, уравнение (25) может иметь
периодическое решение лишь при условии
т
[/(*) «?т = 0. (2.62)
о
Соответствующая постоянная Сп остаётся при этом
неопределённой, а постоянные Cs при s = 1, 2, ..., я—1
находятся, как и выше, по (56). Подстановка в (52) даёт:
t
Х(*)=*Сп+£±щ J/ (x)dt-
и—1
+
4' (р.)
| e-"e7(x)rfx-
«=i -•- о !~й
(2.63)
Предположим теперь, что характеристическое уравнение
имеет пару чисто мнимых корней
Pn-i=1~Pn==—fL> С2'64)
тогда как для всех остальных его корней ри р2, ..., рп-%
соблюдаются неравенства (55). Можно сказать, что в этом
случае в движениях, совершаемых динамической системой,
описываемой уравнением (1), имеются свободные колебания
с частотой —у- . Условия (54) будут соблюдены при s = я— 1
и s = я, если
о
§ 8] 7°. РЕШЕНИЯ, МЕНЯЮЩИЕ ЗНАК ЧЕРЕЗ ПОЛУПЕРИОД 95
ИЛИ
J/с
2кп ,
х) cos-~-tat
j.
= о, f / (¾) sin —^ г Л = 0, (2.65)
т. е. если в разложении „возмущающей силы" / (t) в ряд
Фурье отсутствуют гармоники /г-го порядка, имеющие частоту
свободных колебаний системы. Если условия (65) не
соблюдены, то периодического решения дифференциального
уравнения (25) не существует: имеет место резонанс /г-ой гармоники
возмущающей силы со свободными колебаниями системы.
Если условия (65) соблюдены, то Сп_1 и Сп остаются
неопределёнными (они комплексные и сопряжённые), а Са при
s=I, 2, ..., п — 2 находятся из (56). Подстановка в (52)
даёт искомое периодическое решение:
t
Snlk
X(t)
С
1
д'(3р)„
2гс£й
Чк1Ь
+ «"
СЛ
1
2wS7t ,
и—2
+
Л
s=l
&'(ps)
г
Je-V/(.
J/W
t
J/(x)e* '</*] +
V) fi?T -
(2.66)
7°. Для приложений представляет интерес случай, когда
возмущающая сила f (t) является периодической функцией
времени периода 27, меняющей знак через полупериод.
По (1,101) изображение такой функции даётся формулой:
F(p)-
К{Р)
1-1-й-
-рТ>
(2.67)
где, как и выше,
j/W "РИ '<т,
w \ 0 при t > 7'.
96
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. !!
Построение периодического решения x(t)
дифференциального уравнения (25), имеющего тот же период 2Т и
меняющего знак через полупериод Г, делается так же, как и выше.
Если предположить, что для всех корней характеристического
уравнения (14) удовлетворено неравенство
""^фО, (2.68)
1 4- в'
то искомое периодическое решение при 0<^<Т будет:
т
t Г c~V/(t)rft
x(t)
1 е
■PJ
8 = 1
Л'(P.)
J
-psT
'/ (%) (к -
о
1 -f- с
-*.т
(2.69)
Это решение нечетным образом продолжается в
промежуток (Т, чту.
x(t-\-T)^~X(i) (2.70)
и далее находится по условию периодичности
x(t-\-2T) = x(f).
(2.71)
Неравенство (68) не будет соблюдено, если в числе корней
характеристического уравнения (14) имеется пара
сопряженных мнимых корней
— _ __„(2fe+l)w
Pn-l ~* ' Рп -р "" >
(2.72)
где А — целое число. Предположим, что остальные корни
характеристического уравнения р1г р2> • • •, р«_2
удовлетворяют неравенству (68). Дифференциальное уравнение (25)
будет иметь периодическое решение периода 2Г, меняющее
знак через полупериод при условиях:
т
.f
1
J /(,)SinL2±til* xdx=o,-
(2.73)
§ 8] 8°. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 97
выражающих обращение в нуль амплитуд соответствующих
гармоник в разложении возмущающей силы в ряд Фурье.
При соблюдении условий (73) соответствующее решение
при 0 < t < Г будет:
(2fc +1) и»
(2fc + l)lti
x(t) = e
(№ + !)'"' t
vV Л'
с.
l
»~i
2/¾+1
Г ''
t-и г
).
f (2ft + l)iti _
/(x)rft
,/ 2ft +1 \
/ (г) <fc
iae ti i jy g J
-PS
f(x)dx-
f «-V/(x)dt-.
-p/J-'
(2.74)
Аналогично строится периодическое решение уравнения (25)
в тех случаях, когда характеристическое уравнение (14)
имеет кратные корни. Запись результатов в общем виде
становится громоздкой, но в каждом частном случае не
представляет затруднений провести приведённый выше ход
рассуждений. Напомним вкратце соответствующий порядок
действий.
Составляем выражение числителя 0 (р) в формуле (50)
для изображения Х(р) искомого решения; затем выписываем
выражение начальной функции %■ (t) ■*-— 9 (р) для £ > Г;
это выражение надо сделать равным нулю тождественно,
для чего необходимо обратить в нуль коэффициенты при
ераь, ie1's\ ..., fs"~V's*, где vs—-кратность корня ps и s
принимает значения 1, 2, ..., /г, причём Vj -|- v2 -\- ... -f-vft = к.
Таким образом, получаются п уравнений, определяющих и
постоянных Са> которые и нужно подставить в выражение
b(f)=x(t) при 0 < t < Т. Исключительные случаи наличия
нулевых и чисто мнимых корней характеристического
уравнения, кратных частотам возмущающей силы, трактуются так же,
как в приведённом выше рассмотрении.
8°. В качестве примера на случай двойного нулевого
корня рассмотрим задачу о разыскании периодического
решения дифференциального уравнения:
х1ч-\~ ®Ч" = f {t), (2,75)
7 Зак. 2057. А. Лурье.
98
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. !!
где / (t) имеет период Г и её изображение даётся
формулой (49).
Изображающее уравнение будет
р2 (р* + «2) X (р) = рз (р* + «2) *0 + р (р2 + «9) < +
Тогда
где обозначено
9(,)-' №
*00
_ во»)
,+
>Чр?+ш2) ' V'"° гр ' р3+»2 р(р
Для последующего заметим, что
_L__ = lfi ^2 -
Р2+<
1
p<i _|_ (0^
р(р2 + (о2) (0¾
и, значит, по теореме свёртывания:
К(р)
^(1—сое «О,
1 Л sin (оЛ
SaV (77
pi. (р-i ц. со2) /?
1'СМ '
ij'/w
р (р2 -f- (02j
^— -с -sin»
(t — x)\dx при t <Т
и
у
о i
При ^< Г получаем:
* t
о 0
x"n Xn l Sin (оЛ
+ д# + ^(1_Ю8в0 + ^__|, (2.76)
§ 8] 8°, ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 99
а при />7', использовав теорему запаздывания, найдём;
т т
о о
2*
—"~з /('OsincofY—x)ch-[~
+*0(i_i)+*;;[/_(*_ 7¾ +
+ ~ {1 — cos да/— [1 — cos да (/ — Г)]} +
'" f
sin <о£
(/-Г) —-sin «(/—7)
или после упрощений:
т
»(/)
/(*)* +
, хп Т 1
а;'г-1
(Оа (£>'
xf(x)d-z
+
+ sin да/
1
^-sin«7' + ~ (cos «Г—-1) ■
СО* ' со» ч '
/(т) cos дат: лЧ + cos да/
» (cos «Г-1)-
sin да7
+ i//(^) si
sin дат dt
(2.77)
Периодическое решение может существовать лишь при
условии (62):
J7(x)rfc=0.
(2.7
Предполагая, что это условие соблюдено, далее
потребуем, чтобы выражение (77) обращалось в нуль тождественно.
Для этого надо приравнять нулю его свободный член, а также
коэффициенты при cos да/ и sin да/. Получаем три уравнения
7*
100
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ, !!
для определения постоянных а;', х"0, х". Решив их, получаем:
2
1 / , , а>7\
т
<=3r ^/(x)rfx
о
где для краткости записи принято обозначение:
т
с=г- I /(г) cos дат их,
I
: I /(т) sin
дахйх.
(2.79)
Постоянная х0 остаётся неопределённой. Подстановка
в (76) даёт теперь выражение для искомого периодического
решения в интервале времени (О, Т). Получаем:
t t т
X (*) = С + ™ \t J /(х) dx- J /(x)xdx + 4 j */C0 ^] +
0 0 0
2 / (t) sin дат dx ■— s — с ctg -^- —
0
Г U if (x) cos дах ch + s ctg ^- c] , (2.%0)
COS (0^
SU1 (at
2ю»
где С—неопределённая постоянная. Нетрудно теперь
непосредственным вычислением проверить этот результат, т. е.
убедиться, что
х(0) = Х(Т), х'(0)=х'(Т), х"(0)^х"(Т),
х'"(Ъ)^хт{Т).
§ 9] 1°. ИЗОБРАЖАЮЩАЯ СИСТЕМА 101
§ 9. Интегрирование однородной системы линейных
дифференциальных уравнений первого порядка
с постоянными коэффициентами
1°. Мы будем рассматривать однородную систему
линейных дифференциальных уравнений с. постоянными
коэффициентами {ailt), разрешённую относительно первых
производных:
dx\ . . |
— = апх1 ~р й12А-2 --]-...-)- аых%
— — иплх ~р «12л2 -г . . . -р и1плп,
йХъ
dt
аЧ\Х1 "~Г~ а22ЛГ2 ~Г • • • ~Г а2пХн.<
dx
~%г = a»i*i + ашЧ + • • • + апаХп-
(2.81)
К системе уравнений первого порядка, как известно,
приводится любая система дифференциальных уравнений,
разрешимая относительно старших производных искомых функций.
Ищется интеграл Коши системы (81), т. е. ее" решение,
удовлетворяющее начальным условиям:
дг1 = лг?, хг — х\, ,,., хп= х°п при t = 0. (2.82)
Коротко мы будем записывать систему (81) в виде:
п
W = l>^ (А =1.2,...,»). (2.83)
Вводим в рассмотрение изображения искомых функций и
их первых производных:
хк (*) ч-г- *fc (р), ** (0 «Ч- Р № (Р) — 4] (2.84)
и составляем алгебраическую систему линейных
изображающих уравнений:
п
рХ* (р) =• 2 atjXj (Р) + рЛ- (2.85)
л"=1
Можно предложить два способа дальнейшего проведения
вычисления: первый, удобный для общих выводов, но
приводящий к сложным выкладкам при доведении вычислений
102
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. I!
до конца; второй, идея которого принадлежит А, Н. Крылову,!
более удобный для численных расчётов, но менее пригодный
для выводов общего характера. Начнём с первого.
В развёрнутом виде система (85) будет:
(«И — Р) Xl (^)+^2¾ (Р) + ••■ + «1»Л» (Р) =—р4
Ч\Х\ (Р) + («22—Р) ХЧ (Р) + • • • +°W*M (Р) = —Рх»
} (2.86)
о
««1*1 (/0 + 0=/,8¾ (/>) + • • • +(«»»— Р) А'« (/>)= —/«г». J
Обозначим через Д (/?) определитель этой системы:
Д(р)
■Р, ai
*31»
*22"
'!»
<'2«
42!
(2.87)
и через kitj(p) — минор элемента k строки и у столбца
этого определителя, т. е. взятый со знаком (—-1)'«+У
определитель, получающийся после вычеркивания в Д(р) строки к
и столбца у.
Пользуясь известным правилом, составляем теперь
решение системы линейных уравнений (86):
^aKPJ Р Zj-H. д(^) •
2\ Рассмотрим изображения
Vke(p)=-P
& li s(P)
А(Р)
(2.88)
(2.89)
Соответствующие им начальные функции (]¾ (t)
удовлетворяют начальным условиям, образующим единичную
матрицу:
0 если к ф s,
Ъ (0) =
Jbs-
1
k = s.
(2.90)
1 А, Н. Крылов, О численном решении уравнения, которым
в технических вопросах определяются частоты малых колебаний
материальных систем. Собр. соч., т. V, 1937.
§ 9] 2°. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ 103
Действительно, при составлении числителя выражения (89)
при k ф s в определителе (87) были вычеркнуты два
диагональных члена, именно: a]s— р и af!l — р; поэтому полином
kjcs(p) имеет степень, не превышающую л —2, и степень
числителя дроби W]C!t(p) будет по крайней мере на ед"ницу
ниже степени знаменателя. Ввиду этого разложение Whs(p)
по степеням — не содержит свободного члена и по первой
теореме разложения (§ 4) <]>,,„ (0) = 0. Определитель Д^,(р)
имеет степень (я—1) и его старший член будет (—р)11-1,
откуда следует, что разложение Ч/"н (р) по степеням —
начинается со свободного члена, равного единице, и, значит,
<Ы0) = 1.
Таким образом, в таблице начальных функций
МО, М0> •••> МО
\ (2.91)
Фш(0. МО, ••••» 4w(0 J
(первый индекс — номер решения, второй — номер
переменной) решение номер k характеризуется тем, что для него
начальное значение переменной этого номера равно единице,
а начальные значения переменных остальных номеров равны
нулю.
Через эту основную систему решений по (88) линейно
выражается всякое решение, определяемое произвольно
заданными начальными условиями (82м
7г=1
Переходим к построению функций <]>7cs(0- В первую
очередь следует найти корни характеристического
уравнения
Д(/>) = 0, (2.93)
для чего предварительно необходимо развернуть определитель
по степеням р.
(04
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. II
Рассмотрим простейший случай —■ все корни pv pz, ..., рп
характеристического уравнения простые. Воспользовавшись
второй теоремой разложения, имеем:
УМ--
V ДЙЬ.Ы /'
х=1
Д' (Р\) Р —Pi
и, значит,
ф, (л = _ уЪАРйеръ.
(2,94)
(2.95)
Это же решение остаётся верным, если среди корней
имеется один, равный пулю (рп — 0):
«ЫФ
Д'(0) т Zd А'(рх)
Х — 1
(2.96)
На первый взгляд представляется, что для нахождения
всех tylcs(t) необходимо для каждого рх вычислить п2
определителей:
■дц(/>0» А1э(Л)> ■••. Д-1«(Ри) )
ДвгО»).). А2а(Л), • ■ ■, Д2«Ы
\
Д,пЫ, Ая2(Л)> ■•■» Д,тЫ
(2,97)
но фактически это вычисление упрощается, так как, поскольку
/\ обращает в нуль определитель (87), то между минорами
(97) имеются соотношения вида 1
или
Д/>8 (Л) Ate Ы = Д7«« 00 AJs (/¾)
bkaipy) _&кт(Р>,)
*te(Pl) blmUh)'
(2,98)
1 Л. Я, О куне в, Высшая алгебра, ОНТИ, 1937, стр. 68.
§ 9] 2°. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ 1 Об
т. е. элементы строк таблицы (97) пропорциональны;
поэтому можно написать, например,
Д91 (Р>) = CfAn (Pi), ■ • ■. Кп (Рх) = ^%« (Л)
a»i(pO = c£w)a,i(/>x), •■■- Д„п(Рх) = с1я)Д,пЫ
(2,99)
и для определения всех коэффициентов cff) нужно для
каждого X найти значения только п миноров:
дпОх)> ДЯ1 (Рх). ■••> \iOx)-
Вводя еш.ё для упрощения записи обозначение С[ = 1,
приводим (85) к виду:
♦«(о— Ё^Ш"'- (2ЛО0)
Х = 1
По (92) получаем далее:
и и
= 2^-(*>•*• (2Л01)
Х=1
где для краткости введено обозначение
и
с> = -ЕлГ(Ь*Р'. р.НВ)
7с=1
Решение системы дифференциальных уравнений содержит
таким образом я постоянных Сх. Они выражаются через
начальные данные по (102), где С\с) вычисляются по (99).
Пока мы не ставим себе цели разыскать решения,
удовлетворяющие заданным начальным условиям, эти постоянные Сх
остаются произвольными.
В формулах (101) слагаемые, соответствующие
фиксированному номеру X, представляют частное решение системы (81).
Действительно, полагая
106 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ, II
получаем после подстановки в (81):
я п
2 as0k — % = ^ 2 «„Ал (/'>.)—/>Ав (Рх)]
ft=l 7«=»1
= *"** KAl Ы + а*2Д12 (Р>.) + • • • +
+ Кя—Рх) Aie Ы + • • • + я«А» 0»х)]-
При s=l величина в скобках равна Д (рх) и, значит,
обращается в нуль; при s =[= 1 она представляет разложение
по минорам первой строки определителя, получающегося из
Д (/?,,) заменой в нем первой строки строкой s, т. е.
определителя с двумя одинаковыми строками; но такой
определитель также равен нулю, что и доказывает предложение.
3°. Сделаем теперь некоторые замечания, относящиеся
к случаю кратных корней, Пусть, например, один
из корней будет второй кратности; рп_1=рп. Могут
представиться два случая: а) по крайней мере один из миноров
первого порядка Дй8(рп) не равен нулю, б) все миноры
первого порядка A/fS(/?ra) равны нулю.
В случае а) множителю (р—рп)2 полинома Д (р) в
знаменателе (89) по крайней мере в одном из изображений
^Ks(P) не соответствует множитель р—рп в числителе,
сокращения не произойдёт, и по второй теореме разложения
(§ 4) решение будет содержать не только слагаемые вида epnt,
но и вида tevnb. В случае же б) все полиномы Д*8(ри)
содержат множитель р—рп, и по сокращении, на этот
множитель в знаменатель изображения Whs, (р) разность р—рп
войдёт лишь в первой степени, и независимая переменная
в общем решении будет стоять под знаком показательных
(в частности тригонометрических) функций.
Аналогичные заключения можно сделать в более общем
случае: пусть рт является корнем кратности v и среди
миноров первого порядка ДЙ8 (рт) имеется хотя бы один
отличный от нуля.
Тогда решение будет содержать слагаемые вида:
f_1 -2V5 -111 рт* ... tepm* (?™ь-
1)1 ' (v — 2)1
§ 9] 3°. ЗАМЕЧАНИЕ О СЛУЧАЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ 107
Если все миноры первого порядка обратятся в нуль, но
хотя бы один из миноров второго порядка при р = рт будет
отличен от нуля, то р — рт будет простым (а не кратным)
корнем хотя бы одного минора первого порядка (в
противном случае все первые производные всех миноров первого
порядка по /; при р = рт были бы нулями, а эти
производные выражаются линейно через миноры второго порядка,
которые по условию не все равны нулю). Для этого минора
соответствующее изображение xlri-s{p) по сокращении
числителя и знаменателя на множитель р — рт будет содержать
в знаменателе (р — ртУ~~ , и в выражение решения системы
дифференциальных уравнений войдут слагаемые:
(v 2)! ' ' ' ' ' '
Это рассуждение можно продолжить и дальше. Пусть
при р~рш, являющемся корнем кратности v, обращаются
в нуль все миноры первого, второго, . .. , (v— 1)-го порядка.
В числе миноров порядка v будут отличные от нуля (хотя бы
один)—в противном случае производная Д (р) при р=рт
обратилась бы в нуль (так как она линейно выражается
через миноры v-ro порядка), что противоречит условию,
что р = рт есть корень кратности v, а не более высокой.
Для каждого из миноров первого порядка р = рт будет
корнем (v — 1) кратности, и по сокращении на общий
множитель {р—'/?m),_1 числителя и знаменателя выражения
W]l3(p) найдём, что начальные функции, соответствующие
решению, будут содержать t лишь под знаком
показательной (в частности, тригонометрической) функции.
На первый взгляд может показаться, что случай, когда
для корня кратности v обращаются в нуль все миноры
первого, второго, .. ., (v—1)-го порядка, является редким
исключением. Однако именно это имеет место в классической
задаче о малых движениях консервативной системы около
положения равновесия. В решение этой задачи время t
входит лишь под знаком тригонометрических функций, на что
было указано О. И. Сомовым и К. Вейерштрассом,
независимо друг от друга, исправившими ошибку, которую
в этом вопросе сделал Лагранж (§ 10).
108 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Ограничимся сказанным относительно случая кратных
корней и не будем выписывать соответствующих достаточно
громоздких формул, так как в каждом частном случае,
разыскивая начальные функции по изображениям (89) с
помощью второй теоремы разложения, мы не встретим
никаких затруднений и при наличии кратных корней.
4°. Рассмотрим несколько примеров.
1°. Найти основную систему решений системы
дифференциальных уравнений
dx
В данном случае
Тх-\-у,
%—Ъ-Ьу.
Д(р) =
и но (89):
■7-р,
■2.
= ра--]- 12/7+37
%(/>)
__ р(5+р)
>2+12/; +37
p{p+Q)-p
{р +6)2+1
^21 (Р)
waa(p) =
Р*+12р + 37
Р(7+Р)
рч + \2Р + 37
„ е—ef(cos^—sin 0 ==4*11 (0.
-> — 2e-6'sin^ = ^12(0,
-> е^6* (cos t~\-sin if) = фза(0-
Интеграл Коши для рассматриваемой системы уравнений
будет:
х= [x0(cos^—sin ^) -\~у0 sin t] e—ut,
у — [ — 2х0 sin t-\-y0 (cos£-|- s\nt)]e-u.
■ 2°. Построить интеграл Коши системы дифференциальных
уравнений
§9]
4°. ПРИМЕРЫ
109
Определитель изображающей системы имеет вид:
-(1+/0. 1. о
Д(р)= 0, -(1+/0. 4
1, 0, -(4+/7)
Находим:
= _р(р + зу».
w u с/?; (Т+зр > w 12 ^ — {р + 3f •
^,8(/0 =
(Р+З)2'
vir ( \ — 4+£_
* 21 ^J ~ 77+3)2 '
*-ср)---^даа
^28 00
1
(Р+3)»'
w81(p)=
О» + 3)8'
«"8В(Р):
О+Р)'
(p+3)V
Проверкой может служить то, что при /7 = 0 и /7= — 3
отношение элементов двух строк имеет одинаковую величину
для всех элементов строки.
Для нахонсаения начальных функций рассмотрим
изображение более общего вида:
ар2-\-Ьр +с
Р ■+
и но III табл. 2 получим:
а/;2 -I- Ьр + с .
(р + а)2 "^
йр2 + аар +(b — aa-^)p + -£- (р + а)
~« ' V а/(Р+«) ' с
/) -|- а
ae-«*_j_f£
-<ш-
э
*е
--а£
+ ^(1-^~а0
110 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Пользуясь этим соотношением, найдём ^3 (I) и далее
интеграл Коши:
9 3
„st i_ +0-
9 9
4 4 __ш 4 ,„_ЯЛ , .. /5 __а/ ,4,2
Наличие кратного корня ни в какой мере не затруднило
хода вычислений.
§ 10. Малые колебания материальной системы вокруг
положения устойчивого равновесия х
1°. Обозначим через qt (/=1, 2, .... «) обобщённые
координаты системы, отсчитываемые от положения
устойчивого равновесия, через ^ — обобщённые скорости.
Выражения кинетической и. потенциальной энергии системы будут:
П П 11 11
■2=1 fe = i » = i ft = i
где инерционные и квазиупругие коэффициенты aift и cifc
при рассмотрении малых движений считаются постоянными;
Т и Л являются знакоопределёнными положительными
функциями своих аргументов qk и соответственно qk.
Подставляя Т и П в уравнения движения в лаграижевой
форме*
A i£_il+*£.«<), (2.103)
dt dq{ dqt dqt
1 См,, например, Л. Г. Л о й ц я н с к и й н А. И. Лурье,
Курс теоретической механики, т. И, §§ 165—166, Гостехиздат, 1948.
§ Ю]
имеем
2°. РАССМОТРЕНИЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ
111
2 («W» + ctrfh) == 0 (/ = 1,2, . . ., я). (2.104)
Ищется интеграл Коши, т. е. решение, удовлетворяющее
начальным условиям
4i = 4i< ki — ql при t—0.
Изображающая система уравнений будет:
(2.105)
2 Ыр' + сп) % (Р) = 2 aik{fql + pql)% (2.106)
где Qjc(p) -Н- <7& (0- Её определитель имеет вид:
Д(^)
a2iP2+csi. ай2Р2 +¾. . .., e^+ft
2»J
«»lPa + c»l. ап2Р* + СИ2>- • •. апИР2 + С«
(2.107)
Важно заметить, что в рассматриваемом случае aik = аы,
Ci]c = Cjci. Поэтому и миноры определителя (107) имеют это
свойство симметрии Дй ( р2) = Дм (р2).
В курсах теоретической механики доказывается, что,
вследствие симметричности определителя, уравнение Д(р8) =0
имеет (относительно р2) все корни вещественные и
отрицательные (при рассмотрении движения около состояния
устойчивого равновесия). Пусть—-р2р —р\,..., —р^ будут эти
корни (считаем пока их различными). Через Дй(/?2)
обозначим определитель, получающийся из Д(/?2) путём
вычеркивания k первых строк и k первых столбцов. Можно
доказать, что между двумя последовательными корнями Дй_1(/?а)
лежит один корень Д7с(р2); в частности, между двумя
корнями Д0 (р2) = А С/?2) лежит корень Д^/?2).
2°. Допустим теперь, что уравнение Д(/?9) = 0 имеет
корень—/7^ кратности v. Этот случай можно
рассматривать как предельный; между каждой парой корней
(—P*-P*e+i)>(-fi+1, —/£+„),•••, (-/1+,_а. — Р'-и-J
112 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
лежит один корень А1(р2), т. е. всего (v — 1) корней.
Когда в пределе указанные корни станут равными друг
другу, то —р% будет корнем кратности v —1 для Д^/?2).
Сказанное справедливо не только для минора Aj(р2) =
= Дц (ра), но и для любого диагонального минора Д.й (р2),
так как строки и столбцы можно располагать в таком
порядке, чтобы диагональный минор Аи(р2) стал на место
^i(P2)- Но из (98) следует, что для каждого корня /?2 =
"е-
откуда следует, что—р\ является корнем кратности v — 1
любого первого минора.
Решая изображающую систему уравнений (106}, получим:
п п
Qs(/»=l>4+/<,) S^w- (2Л08)
После сокращения ~Т",г\ на общий множитель
(р2 -\~р1У'~~1 знаменатель будет содержать лишь множители
вида (р2~{-р1), и в решение независимая переменная t
войдёт лишь под знаком тригонометрических функций.
3°. Напишем решение в предположении, что все корни —
простые; разложение на простейшие дроби берём в виде:
д(р2) ~7+7Гр2+рГ"■ + рЧЗГ { }
Умножая на {р2-\-р2) и полагая затем р2 =—р3, получим:
Лй= lim \,>a(P2)(P2+Pl) = \пЛ-Р«) (2.110)
р*+-р1 Д^ (**&)
Тогдя
- - - Д. (—р1)
l»lfclB=l
X k^ + П^Ь (2.111)
§ 10] 4°. РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ ИЗ
Переход к начальным функциям даёт (s = 1, 2,».., и)
" ™ " д (~р1)
«°® = 2 И 2 й»'й [дчйи^ х
Й = lft=lwj=l
x(^cosp«^+?isinp^j. (2.112)
4°. При наличии рассеяния энергии в случае кратных
корней в решения задачи о малых колебаниях войдут слагаемые,
содержащие t вне знака показательных функций. Для
иллюстрации приведём пример: пусть кинетическая энергия,
потенциальная энергия и диссипативная функция1 заданы
выражениями:
T*=^(ql + ql), Я=4" (?i + 2<7i<72 + 3<7!),
Дифференциальные уравнения движения
d^dT дТ> , дФ | дП;_0
d< dqi dq{ dq^ dqi
в рассматриваемой случае будут: - , . '
q\-\-q1-Jrq1-\-q2 = 0, <?а + 3ft + ft+'3ft = О-
11 Соответствующая изображающая система будет:
'-:• - (Pa + P+l)Qi(Pi> + QB(p)=P??,
:' "-, Qi (Р) + (Р2 + Зр + 3) Q2 (/7) = о,
причём для сокращения выкладок мы "приняли. q\=r* ft ==
= q2 = 0.
Характеристическое уравнение будет
.\Д 07) = (/?? + /? +-1 )■(/»».+ 3/7 + 3) - 1 =
...... т .•■ . =(ря + 2/7 + 2) (р+1)2, п
1 Л. Г. Л о й ц я не к и й и А. И. Лурье, Куре теоретической
механики, II, § 159, Гостехиздат, 1948. -'■ ■ -
8 Зак. 2057. А. Лурье.
114 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Оно имеет двукратный корень р = —1. Далее находим:
4i КР) — qy {р + 1)2(^3+2^ + 2)'
Q2(Р) = qi (^ + 1)2(^3 + 2^+2)-
Имеем разложения на простейшие дроби:
Р» + Зр+3 _ 1 . 1 р + 1
(Р + 1№ + 2р + 2)~~(р+1)"~Гр + 1 р* + 2р + 2'
1 1__ 1
(P + 1)4P* + 2P+2)~(P + W Р* + 2р + 2
и, следовательно:
Р _ i Р l(P--H)
{p + lf-Tp + l р* + 2р + 2
Qi(p) = ql[
■о Ij. —t i — * — * л
-r-> qi (re -f-e —e cost),
Q2 (p) = ql [(-^¾¾—>«+2^+2 ] -^-> ^ (&"'—«"* sm 0-
To обстоятельство, что при наличии кратных корней
в решения уравнений малых колебаний консервативной системы
время / вошло лишь под знаком тригонометрических
функций, конечно, не случайно: рассматриваются движения около
состояния устойчивого равновесия, и отклонения системы
долншы быть ограниченными; поэтому слагаемые вида ih . pj
должны отсутствовать. При наличии рассеяния энергии корни
характеристического уравнения имеют отрицательные
вещественные части, и присутствие (в случае кратных корней)
в решениях членов вида /*е-«' . (3/, стремящихся к нулю
при /-*• оо, не приводит к противоречию с предположением
об устойчивости состояния равновесия.
§11] 1°. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ 115
§ 11. Составление характеристического уравнения
по методу А. Н. Крылова 1
1°. При вычислениях значительную трудность представляет
процесс раскрытия определителя (87). Если, например, я= 5,
то определитель содержит 5! = 120 слагаемых, и раскрытие
его надо вести алгебраически, так как буква р расположена
на главной диагонали; поэтому даже при численном задании
коэффициентов ailc дело не сводится к вычислению только
числовых определителей.
Последнего можно достичь, решая изображающую систему
путем исключения неизвестных. Будем из системы (86)
определять неизвестную Х1(р). Имеем при k=l, 2,..., п:
• п
РХЬ (р) = рх\ + 2 ацХл (Р) (2.113)
и, в частности,
рХ, (р) = /^+2 а^ (р). (2.114)
Умножая обе части (114) на р и воспользовавшись для
замены рХ^(р) уравнениями (ИЗ), получим:
п п
p*Xt (р) = р\\ + р 2 aijXaj -j- 2 afJXj (р). (2. i i 5)
Здесь для краткости написано
п
du = 2 «y«/s = alAs + «I2«2s + • • • + «IAs, (2.116)
после чего индекс s заменён на j. Повторяя этот процесс,
получим:
и п
р'х^-р'хЧ+р* 2 w+p 2 Щ+
и
+ 2«Sfy(p), (2.117)
1 См. примечание на стр. 102.
8*
116
где
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. И
Л3).
№п. =Ж
,(з).
J*)„
аи = 2 aijajs = «ii«is'+-«ia2fl8s + • • • + «*»«»№ (2-.118)
и т. д. Изображающая система приводится, таким образом,
к виду:
„ш
.(!)■
(a^-p)X1(p)^a\U,(p)+ ... + «,(/0 =
--/i(/0,
.(2)
(c№—P*)Xi(p)-t-<№x*(p)+ ••• + «,00 =
.(2)-
7а0>)> }' (2.119)
(^-^1(/0+43^(/0 + ... + а&Ч»(/0 =
= —/»(/0»
где обозначено
о$ = ay, й(# = 2 «ЙГЧ, (* = 2, 3, ..., и).;- (2.120)
8=1
И
.г/*. ft 0 | -v о /• (1) * — 1 I (2) ft—2 | №—1) \
Л (/О = Р *1 + >J */ (аУР + «Ш» + • • • % /О-
(2.121)
Пусть, далее,
D(p) =
Ji) „ „(1) „(1)
„(2) . „2 „(2) „(2)
„(») „ч „(»)
Яц —/7 , Й12 ,
„С»)
(2.122)
будет определителем системы (П9). Если
характеристическое уравнение (93) не имеет кратных корней, то D (р) не
обращается тождественно в нуль. Для написания Dip) в
развёрнутом виде требуется вычисление определителей, элемен-
§11] 1°. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ 117
тами которых являются заданные числа. Действительно, если
обозначить через D0 определитель
Dn
«11.
«11,
„(»)
«11 >
„(1)
«13 , . .
(2)
«13 , • •
„(«)
«12 > • •
„(1)
• 1 «1М
(2)
• > «1)1
Лп)
• > «1»
1(:2 Л 23)
и назвать E)q минор первого столбца.и /—строки этого опрех
делителя, то D (р) представится в виде;
b{p)=D0-pDloi)~p3D^~ ... -pnDf\ (2.124)
где D1^ •(/ = 1-, 2, ..., и) —числовые определители,
вычисление которых значительно проще, чем разворачивание
алгебраического выражения (87).
Из (119) и (123) получаем:
w-л .-4^+4-1(^)^+:- +/1(^ Г919„
ХЛР)— ^^)^-1^-^-+^-¾ • (2Л25)
Заметим, что соотношение
D^x^^Df^xf-1^ ... +/«-/5^ = 0
представляет то дифференциальное уравнение, которое
получилось бы, если бы мы решали систему (81) способом
исключения неизвестных х%, х3, ..., хп.
. Полученное значение Х1(р) подставляем в (119).
Получаем систему уравнений:
+«fe (/>)=-Л(Р)-
-(a{$-p)X1(p) = W1(p)
-(сШ-р^Х^р)
<fc (Р) -h
afflXi (p) +
^e(p)
»
«W (/^)+-.--4- ВД» (p) = - /» (p)
c» -
(«ff-/)^i(P) = vF«(rt
(2,126)
118 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Решив остающиеся (и — 1) уравнений, найдём из них
Х2(р), ..., Хп(р), причём вычисление опять-таки сведётся
к нахождению только числовых определителей. Разыскание
начальных функций, после того как получены изображения
Х±(р), Х% (р), . .., Хп(р)и найдены корни уравнения D (/7)=0,
проводится по второй теореме разложения.
2°. Определитель D(p) может оказаться равным нулю
тождественно, если характеристическое уравнение (93) имеет
кратные корни. Это будет иметь место, когда при наличии
кратных корней в общее решение системы
дифференциальных уравнений (8i) независимая переменная входит лишь
под знаком показательных функций, например, в задаче о
малых колебаниях консервативной системы. Решение задачи
по указанному здесь методу в таких случаях не только не
усложняется, но даже упрощается. Тогда исключение
неизвестных нужно производить не из всей системы п
уравнений (119), из коих одно или несколько являются теперь
следствием остальных, а из меньшего числа их.
Приведём, следуя А. И. Крылову, один пример. Найти
решение системы дифференциальных уравнений
—тг = 5xt -j- 30х2 — 48.х3
dx<i
~dt
dxa
dt
= 3x± -\- 14x2 -
= 3x± -j- 15x2 -
24x„
ZoXo
1 —" "^i»
(2.127)
:0 при * = 0.
при начальных условиях:
Изображающая система будет:
рХх (р) = рх\ + 5^ (р) + 30^а (р) - 48^3 (р),
рХМ= 3X1(p) + UX2(p)~24Xs(p), (2.128)
рХъ (р) = ЗА-! (р) Н- 15Х2 (р) - 25^3 (р).
Составляем второе уравнение (119):
р^Хх (р) =р*х\ + 5 [р*?+ 5ХХ (р) + 30^а (р) -48*, (р)] +
+ 30 [3*! (р) + Н*2 (р) -24.Y3(р)]-
- 48 [3^ (р) + 15*2 (р) - 25Х, (Р)]
§ 11]
2°. ЗАМЕЧАНИЕ О СЛУЧАЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ
119
или
р>Л\ (р) = (р2 + 5/7) х\- 29*х (р) - 150*а (р) + 240*3 (р).
Таким же способом находим третье уравнение (119):
/>ВВД) =
= (Р3 + 5р"- 29/7^ *» + 125*t {р) + 630*2 (р) + 1008*3(р).
Итак, получена система трех уравнений:
(5 - р) *х (р) + 30*а (р) ~ 48*3 (р) = - /,*?,
- (29 + р2) *, (р) - 150*2 (р) + 240*3 (р) =
= —(p" + 5p)xj, (2.129)
(125 —р3) *t (р) + 630*2 (р) — 1008*3 (р) =
= -(р2 + 5р — 29р)х».
Её определитель
D(p) =
5
-29
125
• 48
— Р, 30,
-Л—150,
— р3, 630,
5-р,
— 29—р2,
125 —р3,
— 48
240
— 1008
1, 1
-5,-5
21, 21
тождественно (независимо от р) обращается в нуль. Это
является следствием того, что *2(р) и -^3(/7) ВХ°ДЯТ в
уравнения (129) в одной и той же комбинации
** (р) = 30*2 (р)~ 48*з (/>)• (2.130)
Взяв два первых уравнения (129), получаем:
(5-/0^(/0 + ^(/0 = -/^,
- (29 + р2) Х1 (р) - 5** (р) = - (р2 + 5р) *°,
откуда найдём
Л" Ы = ^-^+10р • .YVpV= л:0 54jP
120
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. !!
Для, определения Х$(р) и Хй (р) используем (130) и
второе уравнение (128); получаем-. - .
54р
.зох
.4НХ — — х°
П4 — п\X — 24Л- -= - vo3M±JM
откуда
^(Р)=^6(Р) = ^
Ър-
р» + 5р + 4 Л1-
Остаётся найти начальные функции:
Л1^ —«1 (Р|+ 4)(р + 1) -
2р.
Х2(р)=Х,(р)
р+А
Зр
■) Ч-> jc»(3e-* — 2в-«*),
р*+Ър+4 !
iV^ + i
х»,—
р + 4
):■++ *?(<
-4*
)•
То обстоятельство, Что определитель системы (129)
обратился тождественно в нуль, не случайно. Определитель
системы (128),. записанный в обычной форме (87), в данном
случае будет:
5 —/?, 30, —48
3, 14 — р, —24
3, 5, —25-/7
и, значит,
Д(-~1) =
б, 30, —48
3, 15, —24
3, 5, —24
= — 2- 3-15-24
1 1 1
1 1 1
1 1 1
т. е. двукратный корень р = — 1 определителя Л(/7)
обращает в нуль все его первые миноры, что объясняет, почему
в вышеприведённое решение / не вошло как множитель перед
показательными функциями,- Уравнение же D(p) =» о не может
§12]
1°. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
121
иметь кратных корней, ибо, если такие корни имеются в
случае одного дифференциального уравнения и-го порядка, то
£ обязательно входит в решение как указанный множитель,
в чём. и заключается коренное различие между системой.я.
уравнений первого порядка и одним уравнением я-го порядка.,
Поэтому, если из системы уравнений (127) исключить х% и хъ,
то дифференциальное уравнение для х1 должно иметь не
третий порядок, а второй. У нас и получилось, что исключение
неизвестных Х2(р) и Хь (р) было сделано из двух
уравнений (129), а не из трёх, это и снизило степень D(p) на
единицу, что как раз соответствует потере одной кратности
корня р = — 1 уравнения Д (р) = 0. Мы ограничимся
приведением этого примера, так как подробное выяснение всех
возможных здесь случаев достаточно сложно.:
Заметим в заключение, что практически весьма удобный
приём вычисления определителя Д (р) предложен Ш. Е. Ми-
к ела две.2
§ 12. Интегралы от произведений решений
1Э. В этом параграфе рассматривается следующая задача:
дана система дифференциальных уравнений (81). Пусть
xs(t)— решение этой системь! (s= 1, 2, ..., я),
удовлетворяющее начальным условиям (82). Требуется определить
численное значение интегралов
со
Js, = J,s=jxs(t)xAt)dt (2.131)
о . . .
(s, о = 1, 2, ,'.., я). Предполагается, конечно, что эти
интегралы сходятся; это будет иметь место, если все корни
характеристического уравнения (93) имеют отрицательные
вещественные части, т. е. коэффициенты этого уравнения
удовлетворяют условиям Раута —Гурвица.
Решение этой задачи имеет' важное применение в теории
автоматического регулирования для построения критериев
1 В. В,. Степанов, Курс дифференциальных уравнений. Гос.*
техиздат, 1.940, стр. 274—277.
2 Ш. Е. Микеладзе, Некоторые задачи строительной
механики. Гостехиздат, 1948, стр. 256,
122 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
оценки качества переходных процессов в регулируемых
системах1.
Прямой путь решения состоит в следующем:2 сложим
s-oe уравнение системы (81), умноженное на x„(f), с
уравнением для xa(t), умноженным на xs(t). Тогда
— («ei-«e + ав1х8) х1 -f ... -J- (asnxa + ааПха) хп.
Интегрируя это соотношение по t в пределах (0, оо)
и замечая, что
со
\±Vax) *=*-*№. (2-132)
о
так как по условию xs (оо) = хд (оо) =0, получаем по (131)
as\h\ ~Ь a»l/sl ~\~ • • • Л~ asnhn~\~ аи»Л»1 = —хахя, (2.133)
где s= 1, 2, ..., и; о= 1, 2, ..., и. Остаётся решить эту
систему -п и (и -|- 1) линейных уравнений относительно
такого же числа неизвестных (131). Эго вычисление весьма
громоздко, например, при и = 3 приходится решать
совместную систему шести уравнений, при я = 4—десяти
уравнений и т. д. Поэтому ниже излагается другой способ решения
поставленной задачи, приводящий к цели менее прямым
путем, но требующий в конечном счете более простых
вычислений. а
1 См. А. А. Ф е л ь д б а у м. Интегральные критерии качества
регулирования. Журнал „Автоматика и телемеханика", IX, № 1,
1948, стр. 3—19.
2 См. Я. В. Б а л к и н д, Количественные характеристики
асимптотической устойчивости самолёта. Записки семинара по
устойчивости движения, № 4, 1948, изд. Военно-воздушной акад. им. Н. Е.
Жуковского.
3 См. также Б. В. Булгаков, Колебания, т. I, Гостехиздат,
1949, стр. 188.
§ 12] 1°. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 123
Подставим в (131) вместо xs{t) его значение по (92)
и (95):
со чг п
11 11 со
ft = l Х = 1 о
Но по определению изображения имеем:
со
Х,(Р)
р
= je~ptxa(f)dt,
где Rep>0; поскольку в нашем случае по условию Repx<0,
то можно написать
X, (-рх) .
Р\
о
JV**je,(Qrf/. (2.135)
Воспользовавшись теперь значением Х„(р) по (88),
получим:
СО 11
/^(O^-S^-tfuP (2Л36)
j=i
а подстановка в (134) даёт:
П П 11 .
j — V V J> J> у &ks (px>&i°( ~^X) /O ,Q7)
^°- 2d ZiXlcX:> Id Д(— Px)A'(Px) ^aa'J
ft=ij=i x=i
и дело сводится к вычислению сумм
5w-=-2j д(-^х)д>х)"- -(2Л38)
Х = 1
Вспоминая, что
х» (0 = 2 *»«Ы (0.
124 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
легко видеть из (131), что
S,cjs, = f^s(t)bAt)dt,
гДе 'hs(t) — функции, образующие основную систему
решений (§9).
2°. Вычисление по (138) не составляет труда, если корни
характеристического уравнения (93) известны численно. Но
для задач теории автоматического регулирования
представляет интерес изучить влияние изменения параметров системы,
т. е. коэффициентов ailt в уравнениях (81), на движение её.
Поэтому возникает задача выразить суммы (138) в общем
алгебраическом виде через коэффициенты определителя А(р)
и его первых миноров. Будем обозначать:
С-1)»А(р) ^"-Л/Я-Ч-ДР"-2- • • • 4- (-!)'*/,» (2Л39)
Q(/0=-a*8(p)M-/>) =
= ^oP«»-» + ^p*.-e+ ... -|_£-2и_2, (2.140)
так как степень первого минора не превышает а—1. Чтобы
облегчить последующие ссылки, соберём ещё здесь. формулы
(1.77), (18) и (48), выведенные выше: ... ;:
Л8
Х = 1
п
А'0>х)
Р'Г1
Х = 1
п
А'(Л)'
Pi1
Х = 1
Д'0>х)
= 0 (s = 0, 1, 2, ..., я —2),
-1)»,
= (-l)ft/i.
= (-1)'Ч/?-Л).
Х=1
П „П + 2
(2.114)
Х = 1
Д'(Рх)
= (■
lf(/?-2/i/,-f/3),
§12] 2°. произведения R и /?х 125
■" „«+3
^:1 [ (S.Hi)
1 1
1.
При выводе этих формул в § 7 левая часть
характеристического уравнения записывалась в форме (5), тогда как
здесь она имеет вид С139), чем объясняется наличие в (141)
множителя '(—1)и. Итак, речь идёт о вычислении сумм
п
S^2u&'(P))&(X—Px)- (2.142)
Ниже будет доказано, что суммы вида
. п „aft+i
SP\
&'(Pi)&(—p\)
x=i
при 1% = 0, 1,..., п—2 обращаются в нуль. Поэтому при
вычислении 5 в полиноме Q(p{), стоящем в числителе (142),
можно вычеркнуть слагаемые, содержащие нечётные степени ри
и писать, вместо (140):
Q(p) = goP*n-*~\-g*P*n-i+ --+SW-2. (2.140')
• Мы имеем
b(p)=(Pi-p)(Pz—p). ■ -(Рп — Р) (2.143)
и, следовательно.,
д(—Px)=(Pi+Px)(Pa+A) ••• 0»п + Л) =
п
= 2/>хП*0.7Ьа), (2.144)
а = 1
где звёздочка при знаке произведения указывает на пропуск
множителя, для которого а = \.
1 В § 33,6° приведены формулы для сумм
и
1
^PtA'(Px)
(5 = 2,3, ...).
126 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Введём в рассмотрение произведение сумм пар корней
полинома Д(р):
Я = (Р1 + Ря)(Л+Рв)--- [Pi-\-Pn)X
Х(Р2+Рз) •••(Ра + Р^Х
Х(ри-1+ри). (2.145)
Произведение
# i = (Ра + Ре) (Pa + Pi) • • • (Pa + Р J X
X(Pb + Pi) •••(Pe+PiOX
XOC-i+pj (2.146)
может быть, очевидно, получено из (145), если в последнем
произведении вычеркнуть все множители, содержащие р1.
Аналогичное значение имеет обозначение /?х: это
произведение получается из R, если в последней зачеркнуть
множители, содержащие рх.
Выше указано, что R есть произведение сумм корней
полинома А(р), взятых попарно; очевидно, что R} представляет
аналогичное произведение взятых попарно сумм корней
полинома (143), если в последнем вычеркнуть множитель р\—р,
Чр)
т. е. полинома —^-+-.
Р\—Р
В развёрнутом виде этот полином запишется так:1
+/2(Рх).Ри-3+ • • • +fn-i(Px), (2.147)
где введены обозначения ([л = 1, 2, ..., я—1):
Д(Рх) =Р^-/1рГ1 + /аРГа-- • • +(-1)% (2.148)
Выражение для сумм S теперь записывается так:
и
с — JL V Q {р^ i?
* — 2R Zi Д'(/>х)Рх ^ (2.149)
x=i
1 А. К. С у ш к е в и ч, Основы высшей алгебры. ОНТИ, 1937,
стр. 227.
§ 12] 3°. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА А (р) 127
3°. Дальнейшее вычисление можно вести так.
Произведение R представляет целую рациональную симметрическую
функцию от корней полинома (139), так как его
выражение (145) не меняется при любой перестановке букв
PiiPa> •••> Рп- Н° из высшей алгебры известно, что всякая
такая функция представляется, и притом только единственным
образом, как целая рациональная функция от так называемых
элементарных симметрических функций, т. е. коэффициентов
/м/а. •••-/» полинома Д(р):
/i =3 2j Ръ /а — ,2j Px/V /з == 2jP\P\/Pi> • • •»
1п=Р\РчРъ--- Рп- (2.150)
Итак,
Я = Я(Л, /а, ••.,/«)• (2.151)
Сказанное можно повторить и в отношении величины /?х,
являющейся симметрической функцией корней pj, р2, .. ., рх_1,
Pi+i> • > •> Рп полинома (147). Поэтому /?х может быть
представлена целой рациональной функцией коэффициентов этого
полинома:
*x = *x[/i(Px). ДЫ /»-i0>0l
или, имея в виду (147),
#x = /?x(/i,/a /»-i, А)- (2.152)
Числитель выражения (149) под знаком суммы в
результате оказывается полиномом от рх с коэффициентами,
зависящими от gQ, glt ..., ^2и_2 и /1(7а, ..., /w_i- Остаётся
воспользоваться формулами суммирования (141), чтобы найти
окончательное выражение 5 через /t, /2, ..., /„, g-0,
gii •••> ёп-ч —эт0 будет некоторая дробная рациональная
функция этих коэффициентов, т. е., в конечном счете,
коэффициентов aile системы (81).
Ход вычисления покажем для случаев и = 3 и п = 4.
а) я = 3. Имеем полином
f(p)=p3-fiP*-\-f*P~fb- (2Л53)'
Требуется выразить произведение
# = (Р1+Ра)(Р1 + Рз)(Р2 + Рз) (2-154)
128 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
через /j, /2, /3. Заметим, что R является однородной
функцией третьей степени от ри р2, р3, причём степень каждой
из переменных в R не превышает двух. Это даёт основание
утверждать, что R может быть выражена линейно только
через произведение /j/2 и через /3: ...
причём, постоянные А и В не зависят от /,, /2, /8, т. е. от
вида полинома. Но слагаемое р\р^ входит в (154) с
коэффициентом 1; поэтому А = 1. Далее возьмём полином
(р_1)в = /,8_3ра_|_3р—1,
для которого /3 = 3, /2 = 3, /8 = 1 и /;3 = /?2 = р3 = 1. При
этих численных данных
/? = 23 = 9 + S, т. е. В = -1
и, значит,
R°=fJa—U (2-155)
Перейдём к вычислению Rx. Заметим, что для полинома
второй степени
/■(р)=Ра —/"iP + z-a
имеем, конечно,
R=Pi + P* = r1. (2.156)
Но при и — 3
^~-x = P2 + (Px-/i)P + (px-M + /2)
является полиномом второй степени и, значит,
, , •• .' Ях^/i-Px а=1, 2, 3). (2.157)
■! Выражение (149) для, 5 получает форму (и = 3):
*=2ш1-Ы 21(]½^-^ ^ + ^ + ^)-
Х = 1
Дальнейшее вычисление делается по формулам (141);
получаем •■ - -
о g%fs — ggfifs — 8i.fi /о ikq\
§ 12] 3°. случай полинома четвёртой степени 129
б) Для полинома
Пр) =Pi-/iP"+Ap2-f3P+fi
вычисление R по теории симметрических функций даёт1
R —/1/2/3 —hfi —/з-
Далее имеем по (147) и (148):
/¾ = ps + (a -h)p% = (а2 -Лл +/> +
+ Рх — /iPx + /aPx— /з=Р —/lP +Лр —/a
и по (155) находим
#х =/1/а — /з =А/а —Л +/iPx —/iPx-
Остаётся сделать подстановку в формулу (149), в
которой теперь по (140')
Q(p) = 5о/>6 + ftP* + g^2 + £e-
Элементарное вычисление даёг
S = i ^оКЛЛ "Л) °б + Л°7 —Aj +
+ ^1(/1/2 -/3)^3+/1^5 —/k] + g"4/la3 +
+ ^(/1/2-/3)^1). (2.159)
где для краткости введены обозначения сумм
- р,с
^Ш)=°* (*~1. о. 1 7)'
Х=1
вычисляемых по (141). Получаем после простого вычисления
по (141) и (159):
S = ~2Wi ^оЛСЛЛ —А/в) + g-2/аЛ —
-^-4/1/4 + ^(/1/2-/3)]. (2.160)
1 См„ например, Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский,
Сборник задач по высшей алгебре- Гостехиздат, 1945, стр. 99.
9 Зак. 2057. А. Лурье.
130 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Заметим, что величины /?/3 и Rfit стоящие в знаменателях
выражений (158) и (160), положительны на основании
критериев Раута — Гурвица для полиномов третьей и четвертой
степени, выполнение которых было существенной
предпосылкой всего исследования; поэтому полученные выражения дают
конечные значения 5 (знаменатели отличны от нуля).
При вычислении сумм 5 предполагалось ещё, что все
корни ■ характеристического уравнения — простые. Но эти
суммы зависят лишь от коэффициентов уравнения и являются
их непрерывными функциями в области, где соблюдены
критерии Раута — Гурвица. Можно утверждать поэтому, что если
при непрерывном изменении коэффициентов в указанной области
полином приобретает кратные корни, то форма выражения 5
не изменится. Поэтому сделанное при выводе предположение
об отсутствии кратных корней не является существенным.
4°. Чтобы завершить исследование, нужно еще показать,
что суммы вида
входящие в 5 от нечетных слагаемых полинома
(140), все обращаются в нуль. Для этого рассмотрим
изображение
По первой теореме разложения
1 £3»-2fc-2
F (Р) = jy2M-.2ft-.2- + • • • -r> @^T2F^2)! + • • •
откуда следует, что при /г <^ я — 2 начальная функция (и её
первая производная) обращается в нуль при t = 0:
/(0) = 0. (2.161)
Применим теперь вторую теорему разложения; корни
знаменателя суть: pv />„, ..., рП) —р„ — р2, ..., — Рп.
§ 12] 4°. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБРАЩЕНИЯ В НУЛЬ СУММ S2i£+1 131
Поэтому получим:
и
3U+2
F
«-2
Х=1
рТ
р
Pi
арЦр)И-Р)
(-/>х)2"+а
1=^
.-Рх)[фА(Р)М-Р)^
^— Рх
Р+^х
#=-^
, (2.162)
^1(0)
так как постоянное слагаемое •cwm в формуле VI табл. 2
в нашем случае равно нулю.
Имеем
^Д(р)Д(-р) = Д'(Р)М-Р) + Мр);|Д(-р) =
= А'(Р) М-Р)-А (Р) [А'(*)],= _„. (2-163)
Подставляя сюда р = ръ получаем
[^Д(Р)М-Р)1 =А'(Л)Д(-Рх).
так как А (р>) = 0.
Подставляя же в (163) р — —рх> найдём:
^Мр)Д(-р)_
= А'(-Рх)А(рО-
М-р0(^),_,г-а(-рОА'(р0.
Возвращаясь теперь к (162), получаем
« „2Й+1 / „
F(o) V Рх 1 Р
W ^ Д'(рх)Д(_рх)^р_рх
, значит,
/ /*\ о V< ^Х .
'
1 Р+Рх,
. 4-
lei
g*
132 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Полагая теперь ^= 0, по (161) найдём:
^ = 2д^*ё*Г0 (2Л64)
x=i л
для всех целых k^.n—2, что и требовалось доказать.
§ 13. Интегрирование неоднородной системы линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с
постоянными коэффициентами
1°. Рассматриваемая система дифференциальных уравнений
имеет вид
и
^Н2я**'+'*ю- (2Л65)
Она отличается от однородной системы (83), рассмотренной
в § 9, наличием в правых частях „возмущающих сил" fjc(t).
Изображающая система при начальных условиях (82) будет:
и
рХи (р) = рх% + 2 амХл (р) + Flc (р). (2.166)
3 = 1
Она отличается от (85) заменой х°]с на х°1с~\ Fn{p)-
Поэтому для написания решения системы (166) достаточно
сделать эту замену в формулах (88); тогда
и
*.<ri— oS(*S+T)W (2Л67>
ft=l
Применив теорему свёртывания и использовав (92),
получим выражения начальных функций:
п г * 1
хв (0 = 2 4к (0 + ) Д 00 К С —t) л • (2.168)
Слагаемое
г. (О = S 17*00 «М' — *)* (2.169)
ft=i J
о
представляет решение системы (165), обращающейся в нуль
при ^—0. При рассмотрении частных задач предпочтительно
§ 13]
2°. ДЕЙСТВИЕ ЕДИНИЧНОГО ИМПУЛЬСА
133
не прибегать к вычислению входящих в (169) интегралов,
а непосредственно составлять начальные функции zs (t) по
их изображениям:
я
ft=i
2°. Рассмотрим в частности случай действия на
систему единичного импульса: пусть
тогда как
Получаем
и, значит,
/*(')=°i(9«-r-p.
fk (t) = 0 при k ф т.
Zs(P)=-PAf^L-XKla(p)
(2.171)
*.(0 = <U('). (2.172)
Из этого соотношения следует, что основная система
интегралов определяет переходный процесс под действием
указанного единичного импульса.
3°. Наибольший интерес представляет случай
периодических „возмущающих сил" fj(f). Положим
/,(/+7)=/,(0^^(,)= KjiP)
\~e-i'T'
где, как и раньше,
KAP)-^kAt):
/,(/) при t<T
Изображение (167) напишем в форме:
(2.173)
(2.174)
(2.175)
где принято обозначение
е.о.)—£ [*',гЧш{'--,т>+'-шкМ- <2-™>
j'=i
134
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. !!
Применив теоремы запаздывания и свёртывания, получим
соответствующие начальные функции &g (f) ч~- 9g (р); при
t<T:
Mfl = 2 [*5Ы') + {%в(*-*)/Л^^] (2-177)
и при t > Г:
».w= i й[^(о-^(^-п]+
+ /^(^-^(^)^}. (2-178)
о
где принято во внимание (174).
Как следует из (175), решения xa(t) будут
периодическими функциями t с периодом Т, если, в соответствии с
теоремой § 5, 9s(p) являются изображениями функций,
обращающихся в нуль при ^> Т. Поэтому для отыскания
периодического решения системы (165) следует определить
постоянные xj так, чтобы тождественно обратить в нуль
правые части (178); эти значения xj надо потом подставить
в (177). Таким образом, система функций xs(t) будет
определена её заданием при t < Т;
*«(*)"= МО (2-179)
и условием периодичности при t > Т:
х8 (t) = xa(t— пТ). (2.180)
Проведём это вычисление для случая простых корней
характеристического уравнения. Заменяя в (176) выражение
, дл(/>)
АО»)
его разложением на простейшие дроби, получим:
J'=l
X
F AJ8 (Рх)
Х=1
Д'(Рх) р—Р\ '
(2.181)
§ 13] 3°. ДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ „ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ" 13В
что по (99) и (102) записывается ещё в форме:
e.CP)~2;nfeAi.CPjNi-.-'*>-
\=2
-,1^-^- <2-182>
Имеем
Р
Л*
при t < Т
Р~Р\
t
—Р\ ' J 3 ч '
Р-
откуда по (174) находим:
Kiip)
Р~Р\
-> {
/хг J e-iVfj (х) dx при / < Т
о
т
&*je^Mx)dx „ '/>Г.
Воспользовавшись этим, пишем выражение начальной
функции для изображения (182):
при t < Т:
».(')-2Ai.(P0-* h"~Sl4) J '"^(х)*] (2.183)
х=а i=i о
и при ^> Г:
;/«=! о
Х=1
136 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I!
Правая часть (184) должна обращаться тождественно
в нуль; поэтому приравниваем нулю множители при eV под
знаком суммы.
Получаем систему и уравнений (Х = 1, 2, ..., я):
п г(Я ?
QO-.-^-E^Jr^V^)*. (2-185)
3=1 о
При условии
1—е-1>хтф0 (2.186)
отсюда находим неизвестные Сх:
2 2^Ы •"**/, м*
а — j=1 °
(2.187)
Подстановка (187) в (183) даёт искомое периодическое
решение при 0 < t < Т:
X=l" е j = l о
_ (1 „^х1) je-Wfj(%) rfc] . (2.188)
При этой записи использовано соотношение Сх^Д^Рх) = Д/в(рх)'
о
4ГПШРНМР Г'У'А. (п* ^ = /_.
Выражение (188) можно записать также в форме:
Х=11 е у=1 *
4- «~**Г J <^x7j М <*=] , (2-189)
о
из которой сразу видно, что хд = (0) =ха(Т), т. е.
полученное решение является периодическим (см. § 6).
§ 13] 4°. ФОРМА РЕШЕНИЯ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ 137
4°. Предположим теперь, что в числе корней
характеристического уравнения имеется нулевой корень: рп = 0.
Неравенство (186) для этого корня обращается в равенство, и
периодическое решение системы дифференциальных
уравнений (165) будет существовать лиш.ь при выполнении
условия, получающегося из последнего (А. = п)
соотношения (185) при рп = 0:
Л c<j) г
У=1 о
или
J=i о
Постоянная Сп остаётся при этом неопределённой.
Искомое периодическое решение имеет вид (при 0<^< Т):
п~~1 ( Р t п г п
t
4- е~^ ■' J e^fj (х) dill +
о
я J
+ ^-2^1/,00^(2.191)
/=1- о"
Остаётся рассмотреть случай, когда характеристическое
уравнение имеет два сопряжённых чисто мнимых корня,
обращающих в нуль левую часть (186). В механической
интерпретации это обозначает, что одна из частот
свободных колебаний динамической системы, поведение которой
описывается дифференциальными уравнениями (165), оказы-
вается кратной Частоте -^г „возмущающих сил" f^t).
О
0. (2.190)
138 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
Итак, по условию имеем:
Рп~1 — Рп
2т>
-т,
[ГЛ. !!
(2.192)
где от— целое число.
Периодическое решение системы (165) при этом может
существовать, если при А = я— 1 и А = и правые части (185)
обратятся в нуль; получаем два условия:
-•=1 О. —jfr- о
2nimv
й,(.
2%im \
-т~)°
dx = 0.
(2.193)
выражающих требование обращения в нуль гармоник от-го
порядка в разложении в тригонометрический ряд
„обобщённых возмущающих сил"
VI c«-i
2d ' ,.(2nm\ hW
^^{~Щ
Условия (193) можно написать также в виде:
/ 2nlm \ т \
4 д.,
д/(-т~) (
'?ь*{—f~) [ ^г
VJ1
/ 2%im \
{--Т-)о
/
Л(т)<*с = 0,
(2.194)
причём достаточно им удовлетворить для 5 = 1, чтобы,
вследствие (99), они удовлетворялись для любого s = 2, 3, .... я.
§ 13] 5°. СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ, МЕНЯЮЩИХ ЗНАК 139
Постоянные Сп_1 и Сп остаются неопределёнными — это
произвольные комплексные сопряженные числа. Искомое
периодическое решение системы (165) при условии (192)
будет:
*,(') =
у
Х = 1
А*
i С" Л
1 "Г—е-
Д* (Рг)
^^4'(Л)
-А
г
+ е~^т J e~^7j (т) <**]! + (2 •195)
2ri«t
и Д
с
ьм-1
/ 2я/т \
%-Rimt
с
_ д,
2я/ш\
~Т~7 °
2к1ш\
Два последних слагаемых можно объединить, представив
их в вещественной (тригонометрической) форме.
5°. В важном для приложений частном случае, когда fj (t)—
периодические функции периода 2 Г, меняющие свой знак
через иолупериод, следует исходить из формулы (67) для
изображений этих функций. Решение xa(t) системы
дифференциальных уравнений (165), также имеющее период 27" и
меняющее знак через полупериод, существует при условии
1-f е-**2, ф 0. (2.196)
При О <^<Г оно даётся выражениями, аналогичными (189):
-^//. W-
-^ rfx
Jj
(2.197)
140 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Это решение продолжается в промежуток (Т, 27') с
помощью условий
xs{t-T) = -xa{t) (2.198)
и далее определяется условиями периодичности
xs(t—2nT) = xs(t). (2.199)
Если характеристическое уравнение (93) имеет два чисто
мнимых корня
Рп-г — Рп-ЩЫ; (2-200)
где от— целое число, то условие (196) не соблюдается и
для существования периодического решения „возмущающие
силы" должны удовлетворять требованиям, аналогичным (194);
в этом случае периодическое решение системы (165) будет
определено с точностью до выражений, содержащих две
произвольные сопряжённые комплексные постоянные и может
быть составлено в форме, аналогичной (195).
Мы не будем останавливаться на рассмотрении случая
кратных корней характеристического уравнения. Ещё раз
заметим, что при рассмотрении частных задач рекомендуется
не прибегать к общим формулам, а использовать метод
рассуждения, с помощью которого они получены. Это позволит
попутно внести в вычисление многочисленные упрощения,
которые приходят сами собой, после того как приобретен
некоторый опыт применения приёмов операционного
исчисления. •
6°. В качества примера рассмотрим систему
дифференциальных уравнений:
*»в — Р»**Н-«К') (k =1,-2, ..., п),
* = Pi*i + Р2*2 + • • • +Р»*« —гф(9. (2-201)
где pv ра, ...,ри, Pj, ра»"••■»?») /" — некоторые постоянные,
ty (t) — периодическая функция периода 27\ меняющая знак
через полупериод. Задача состоит в отыскании решения этой
системы, имеющего тот же период и меняющего знак по
прошествии полупериода. Разыскание такого решения имеет
§ 13] 6°. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ 141
значение для широкого класса задач теории автоматического
регулирования. 1
Изображающая система уравнений имеет вид:
(Р + Р*) X* (Р) = Р** + W 00.
/7^(/7) = /7Х0+ Р,^ (/0+...+ РА (Р)-ГТ (/>).
По (1.101) имеем
(2.202)
y(*°sl + i-i>g" (2,203)
где F{p) _!_>./(^), причём
/WH? 0<;^ (2-204)
^w=7fS-' (2-205)
Тогда
__ % (Р)
1+е
где обозначено
^ = ^+^+^) + 7^- (2.206)
Подстановка (206) в последнее уравнение (202) даёт
*(Р)-7Т^"' (2-207)
причём
7(=1
п
+ ^(1 + .-^) + £SU(2^_,). (2.208)
7( = 1
1 См. А. И. Лурье, Автоколебания в некоторых
регулируемых системах. Журнал „Автоматика и телемеханика", VIII, № 5,
1947, стр. 337-348.
142 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
При £< Т получаем:
е
* (Р) -г* К (() = xle-h*4- в~f^ J Лт ф (О dx,
п о „о
.(р)-44. »(o=^+S-^(i—-*') +
й=1
+ J+W [El:*1-'"'*^)-']*- (2-209)
0 /( = 1
При /; > Г имеем:
ftfc ¢) = х\е~ ^ (1 -j- в'*2) + в-р^ [ ер*т ф (г) d*.
о
+ J^Wf^T5"^ — е~ ^-^- Adx. (2.210)
ft=i
Надо потребовать, чтобы Ьк (t) и ■& (/;) тождественно
обращались в нуль при .(> Т. Это позволяет найти значения
постоянных xl и х0:
** = -*
Г ер7<тф (х)
dx
ft 1 + еЧт '
I dx
7( = 1 r/e ^ 7c = 1 0
§ 13] 7°. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТ. СИСТЕМЫ 143
Подстановка этих значений в (209) даёт выражение
искомого периодического решения для 0<^<7":
— o,.t
**0 = в-р*
jV*>(T)
dx
/ft л (т) d'c -
1+/
:(o = (S-fc~0lJ*(t)rf,:-J*(x)dT
7(=1
7(=1 ft
f <|> (х) ер*т
J4w
A dt
с?т ■
l+ehT
(2.211)
Значения решений при t~>T находим по (198) и (199).
Рассмотрим, в частности, случай функции <\(f), заданной
графиком рис. 8:
МО==/оМО —2°о('-Т) + 2оо('—27}-...]-
Для t < Т имеем:
t t
U(x)dx=f0t, \ ф(т)еР*т</т = A(/**_i)
i i р"
и (211). принимают вид:
xk(f)--
А
(1_e-P;/)_Athl|^e-p7/;
*«>-/. 2(£-0(<~И-
7(=1
(2.212)
_/0 24(l-e-p*'-e-p*'th££l'
7( = 1 Рк
Теперь нетрудно проверить, что хп(0) = — хк(Т), д:(0) =
= — х(Т), как и требуется.
7°. Как второй пример рассмотрим задачу о
вынужденных колебаниях консервативной
динамической системы с конечным числом степеней свободы.
144 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !!
Свободные колебания " такой системы были рассмотрены
в § 10; для простоты положим д° = д° = 0 и примем, что
обобщённые силы fi (/) изменяются по синусоидальному закону
с частотой со.
Тогда вместо (104) получим систему дифференциальных
уравнений:
я
S (aik<jk + ^^)=/^(0 = At cos cat.
Её изображение будет:
n
7c=l
откуда находим
я
^b(,4^wl!AMp% (2>213)
где Д (/72) определено по (107). Знаменатель имеет корни
/?2 = — pi (А = 1, 2, ..., я) и р2 ===== — со2. По второй теореме
разложения, полагая р^ ф со2, получаем
+ 23^¾4°^ <2-214>
Вторая сумма в правой части представляет чисто
вынужденные колебания — колебания, происходящие с частотой
возмущающих сил.
Рассмотрим теперь случай резонанса co = /?s.
Согласно сказанному в § 10, кратный корень полинома Д (/?2)
является корнем кратности на единицу меньшей всех
миноров Д№(/72); поэтому /?2==—со2=—p2s можно считать кор-
§ H]
1°. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
145
нем второй кратности знаменателя выражения (213). Полагая
Д (р2) = (р24"<°а) Д1 (Р2). получаем по (1.74):
Q*(p)=*
(p» + »s)»4l</>«)
Aibik(p') =
w Р2 I Р*
йг
2 ^vw*)
АА-к (- ц?)
X
М*)
1г= — ш"
.+
Л
д«(-^х)
"^K-^riAiWl,
-рх
У+Л"
где звёздочка указывает на пропуск при суммировании
слагаемого к = s.
Соответствующие начальные функции по IV табл. 2 будут:
п
2 ЛА*<*)
»=1
Д.1 (»)
я=—ш«
X
*
X cos со; + ITS
л..
Ы-ру
Х-Ц-!-'-/'! KW1.—rf
cospx/. (2.215)
Наличие в решении слагаемых, содержащих t
множителем при тригонометрической функции, указывает на явление
резонанса.
§ 14. Основные формулы операционного исчисления
для ступенчатых функций
Для изложения теории разностных уравнений будет
целесообразно развить предварительно некоторые простые
предложения, относящиеся к приложению операционного
исчисления к так называемым ступенчатым функциям.1
1 См. М. Гарднер и Дж. Бэрнс, Переходные процессы
в линейных системах, гл. IX, Гостехиздат, 1949, или Я.З. Цыпкин,
Теория прерывистого регулирования. Журнал „Автоматика и
телемеханика", X, № 3, 1949, стр. 217—223.
Ю Зак. 2057. А. Лурье.
146 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Пусть дана непрерывная функция f (J), определённая для
положительных значений аргумента t и имеющая при
достаточно больших t экспоненциальный порядок роста:
|/(0 |< Ме3°К
(2.216)
Этой функции сопоставляется разрывная, ступенчатая
функция (рис. 17), обозначаемая f[t], которая принимает те же
значения, что f(t), когда аргумент равен целому кратному Т,
Рис. 17. Функция/(0 и соответствующая ей
ступенчатая функция f[t].
и имеет постоянное значение при изменении аргумента в
замкнутом слева интервале kT, (k-\-\)T:
f[t\=f(kT) при kT^t<(k-\-\)T, (2.217)
где к =-- 0, 1, 2,...
По (1.84) § 5 сказанное можно записать в форме:
/ И =/ (0) % (0 + [/ СП -/ (0)] а0 (t-T) +
-H/(2T)-/(^a0(*--27-)+...-2/(&r)[a0(^&7b-
fc=o
— o0(t—kT-- T)\. (2.218)
§ 14] 1°. ТЕОРЕМА УПРЕЖДЕНИЯ И?
В отличие от F(p)-Jr>/ (t) назовём через F (р)
изображение f\t); получим:
№^Р(р) = ЪПкТ)(*-*»-в-™*>) =
СХ>
^(1-е-*>т)%/(к^е-^>. (2.219)
Этот ряд вследствие (216) сходится при Rep>s0.
В дальнейшем для упрощения записей вводим новую
независимую переменную л —-~. Тогда f [х] будет ступенчатой
функцией, точки разрыва которой представляют
последовательность натурального ряда чисел 0, 1, 2, ...; поэтому
вместо (219) получаем:
f[x]«+-F(p) = (l-e~*) 2/(*)«~''р. (2.220)
7( = 0
Перейдём к рассмотрению некоторых свойств
изображений ступенчатых функций.
1°. Теорема упреждения. Согласно (218):
/ [*+1]=/(1)°0(*) + [/(2)-/(1)] а0(х-1)+...--=
СО со
= 2/(*)Ы*-а-Н)-°о(*-*)]«-ь2/(*)х
7(=1 7(=1
СО
х [0^-0=^0-0 [2/(*)«-**-/«>)]
и по (220) * .
f[x^-l]<^epF(p)-(l-e~")e"f(0). (2.221)
Аналогично получим:
/^ + 2)-^^^(^)-(1-0^/(0) + ^/(1)]
и вообще для целого «:
/[* + «]«+-«"*? (р) -11 - О [*п7 (0) +
_j_e(»-D*y(l)_|_ .. . 4-б^/(я— 1)]. (2.222)
148 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Доказанное положение можно назвать „теоремой
упреждения". Для разностных уравнений оно имеет то же значение,
что и формула, связывающая изображение производной с
изображением функции для дифференциальных уравнений.
2°. Теорема запаздывания для ступенчатых
функций формулируется обычным образом (IV табл. 1):
„п * (О ПРИ х < и
e-npF(p)~>{ ft . ^ (2.223)
причём, как всегда, предполагается /(х) —0 при х < 0.
3°. Изображение e^j[x]. По определению имеем
ет/[х]^(1-е-П^Пк)е*ке-к»
со
7=7^1 ~'"*'"! 2/<*>*'
7( = 0
Заменив в (220) р на (р — ^), можем написать:
7( = 0
и, значит:
-5=7^-^- (2,224)
4°. Теорема свёртывания. По (220) находим:
Z7! (Р) f*(p) = (1 - ^) 2 /i № в"7* ■ Л (Р),
7(=0
откуда по (223):
^^^¾^) Л [*-£], (2.225)
7( = 0
где [х] обозначает целую часть х.
§ 14] 5°. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 149
5°. Дифференцирование изображения. По (220):
% оо
Ряд справа по (216) можно дифференцировать по р любое
число раз. Поэтому
откуда, имея в виду, что
00
(i-02ft*/(4)«-*-^[^/[x],
fc=0
получим
М7М^-(-1Г(1-^)^7^. (2.226)
dp' \—&р
Переходим к построению изображений некоторых
ступенчатых функций.
6°. Изображение [х]п. Изображение постоянной, как
известно, есть эта же постоянная; это легко проверить и
по (220):
СО
1 =[l]^f-(l-e-f)2r'*=:l.
fc=0
Отсюда по (226) находим:
\х]++- — (1-е-*)
-ж d 1 е~Р
dp 1 — ё-Р 1-е-* еР—1
и т. д. Получаем формулы:
И т. д.
7°. Ф а к т о р и а л ь и а я функция. Так называется
функция
ТпИ^£<*^Ь^»±1}. (2.228)
150 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Имеем:
и, следовательно:
T»fr + О- т«(*) = ^^^¾^¾^1^ = -г,-. (*)
или, переходя к ступенчатым функциям:
Tfnl-K+1] —T»M«Tn-iW- (2.229)
Обозначая Тп(р) ~г-> ^и [л] и имея в виду, что fn(0) = 0,
но (221) получим:
(вР-1)Гп(р) ==^,(^), т. е. ?п(р) = -^£р. (2.230)
Но по (228) и (227):
значит,
(eP^lf' ■•■'Tf»^1 ^^7^-1)
8°. Показательная функция. По (224) имеем
ЪМ -Н-т^ТТ. ---.^W ^-7^-тт^- (2-231)
По (224) и (227) находим:
йИа,1^-£^Л' (2-232)
eP(ei
°-1)
■1)(в" +
вР)вР
W''W^^y^ (2.233)
И т. д. Точно так же получаем изображение:
ЪЛ^^<^~^к- (2-234)
§ И]
9°. АНАЛОГ ПЕРВОЙ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
151
Полагая в (232) р = гда, получим, после выделения
вещественной и мнимой частей, изображения ступенчатых
тригонометрических функций:
cos» [х] ■
sin со \х]
{eV~\){e" — cos и)
еаР —2e^coscD4-l
(ер — 1) sin <в
COS ш -(- 1
(2.235)
90: Аналог первой теоремы разложения. Для
нахождения начальной ступенчатой функции по её изображению
может быть применён способ разложения изображения в ряд
по степеням е-Р с последующим применением теоремы
запаздывания (223). Например,
i-liLbLlL^e-p-j-e-ap) (1_|_2е-*+'Зв-*Р+4в-вр+.
(1
')"
•)=
= е-Р + Зе ~Ь> -J-5е-ъР -|~ 1е-Ч> =?
откуда следует:
е-Р(1 +е-Р)
(1
-Р)2
О
1
1 +3 = 4
4 + 5 = 9
при
0<х< 1
1<><2
2<х<3
3<х< 4
и т. д.
Мы проверили таким образом соотношение
^ + 1__^U12
10°. Вторая теорема разложения. При решении
разностных уравнений постоянно приходится разыскивать
начальную ступенчатую функцию по изображению,
представляющему отношение двух полиномов относительно еР:
P(eJ>)
0V)
(2.236)
причём степень знаменателя не ниже, чем степень числителя,
152
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. I!
Корни полинома Q(p) относительно еР обозначим
Л А ..., &
и будем предполагать, что они простые и что ни один из
них не равен единице. Как в § 4, ищем разложение на
простейшие дроби выражения
Р(еР)
(Ц,еР)(еР — 1)
_А l у
оР 1 ' JasA еР
в.
- еР>,
Коэффициенты разложения А и Д, находятся с помощью
приёма, который применялся в § 4. Тогда
Р(еР) _Р(\)
Р (Л)
е^ — 1
Q{e*) 00) ^ ^ О'{ер") (/-> ~ 1)
, (2.237)
где штрихом обозначена производная по еР. По (232)
получаем: i
Z(£!L ^?Ш+ V_^__^!l___^w. {%2Щ
Q{eP) Q(l) Г^ Q'{eP4){eP4__{)
При наличии у полинома Q(eP) корня еР = 1 пишем:
Р(е^) P(f?)
(eP-l)Q(eP) (eP — lfQ^eP)
А , Я
п—1
(eP—lf ' еР—1
4 = 1
Коэффициенты А и В находятся по формулам:
Qi(i)
В:
Получаем:]
Р(еР)
0(в")
Р(е^)
rf Р (еР)
, Я(1)
e^=i
1
_л_
Lrfe" <?i (е") J e"-i Oi(l) вр~1
Р(Л) е»—I
+£
,-.</'~.!>«V"> '"*-<?-
§ 15] 1°. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ 153
и по (227)
Р(еР) _^_ Г d р(еР) 1 | Р(1)
deP Qi(eP) JgP^i ' Qi(l) L J '
+ 2 -Т-^-Г-^ W- (2-239)
Аналогично находится начальная функция при наличии
кратных корней полинома Q(eP). В её состав войдут
слагаемые вида чп[х] ер-> ^, изображения которых даются
формулами (234).
§ 16. Решение линейного разностного уравнения
с постоянными коэффициентами
1°. Линейное соотношение
у [х -|- я] 4" aty [х 4- и — 1] + • • • +
+ ап_]У[х+1}-\-апу[х}^/[х], (2-240)
связывающее значение ступенчатой функции у [х] в (п~\-1)
точках [х], [х]-{-1, ..., [х]~\-п, называется линейным
разностным уравнением. Свободный член этого уравнения f[x]
задан, коэффициенты аи аа, ..., ап мы будем считать
постоянными, т. е. независимыми от х числами.
Предполагаются заданными значения искомой ступенчатой
функции у [х] при лг = 0, 1, 2, .. ., п— 1:
.У(0)=.Уо. .У0) = У1, •••> .У(я-1)=^«-1- (2-241)
Иными словами, мы решаем для разностного уравнения
задачу, аналогичную задаче Коши в теории дифференциальных
уравнений (§ 7).
Составим изображающее уравнение аля разностного
уравнения (240) и условий (241). По (222) получим:
Yip) (е»Р + afto-O v 4-.. . +ап^еР-\-ап) =
_ (еР — 1) \у0 (e(n-i) р _|-а1е(»-2) р._|_ ...-{- я,^) 4-
+fVl(e(«-eP_l_,.,4-^^4- г, 1 +^-ii-f ^(р). (2-242)
154 ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
откуда найдём:
У (р) = (еР— 1) \Уп ——-+ У\ —^— + ■ •
гл. II
+
(2.243)
где введены обозначения:
Д (г) = г» -f я^»-' + • • • + ап- \z + ап
До (г) «г»" '+я,г»-а+... +en_i
Aj (^) = z»-2 4-ai^~3 + • • • + ап-2
(2.244)
Начальные ступенчатые функции для изображений
. 4»кМ (2-245)
i(p)-^--^^-
Д(е^)
(й = 0, 1, 2, ,.., я— 1) находим с помощью второй теоремы
разложения (238). Очевидно, что фА [я] является для
однородного разностного уравнения частным решением,
удовлетворяющим условиям
Ы*)-0 *:£*, Ы*) = 1. (2-246)
Слагаемое, соответствующее изображению
$00
-к
' Д (еР)
<рМ.
(2.247)
представляет решение (240), удовлетворяющее условиям:
<p(fc) = 0, £ = 0, 1, 2,..., п—1. (2.248)
Функцию ср [х] можно найти или непосредственно по таблице
изображений или по теореме свёртывания (225). Имеем;
Ф (/>)«*
(е*
М«")
■F(/>)
**—1
§ 15]
2°. ПРИМЕРЫ
155
и замечая, что по (245), (246) и теореме запаздывания (223)
{еР~~1)е~Р-=-е-^п-Лр) -Н- 4-«.! [х- И,
ty{eP)
получаем
М
(2.249)
2°. Ограничиваясь этими замечаниями общего характера,
приведём для иллюстрации несколько примеров.
1. _у[х + 4]-1-2.У[-* + 3] +
+ Зу[х~\- 2] ~\-2у [х + 1] -\-у [х] = 0 *
В данном случае
Д (^) = elP + 2е8^ -f- Зе2^ -f 2е*> 4-1 = (е2^ 4" ^^ 4" * )2-
Да (еР) = 6^4-2 •
Разложим на простейшие дроби выражение
«4-2 А . В , С , D
(г — а)\г — р)2
Здесь
(2 —а)2 I (г —Р)2 ' г —а
г + 2
(* —P)*J
а + 1
(е-
[Лг (г — Р)2_|г=и (« —Р)3 '
Коэффициенты 5 и D получаются отсюда переменой
местами букв аир. Итак,
г + 2
1
(г —а)2(г —fl)2 (а—Р)2
- а+2 , Р+2
(г — а)* ' (г — р)з
о + р + 4 / 1 1
В рассматриваемом примере
(e?J— l)(gg + S
(^4-^4-1)2
Г(р) = ЧГ„ (/7) = \„2я /J. , <Ч2
(а — р)3 \г — я г -
{еР — l)(g?-f 2)
2i»\2/ __ at«\8
i А. А. Марков, Исчисление конечных разностей, 1910»
156
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. !1
и по приведённой выше формуле
еР — 1
У(Р)
4sin2^L
2«i
„ 3
+ 2
е 3 +2
2гс*\2
е*-е Ч
\fiP-
+
2 cos -=- -(- 4
8/ sins
2it
(е*»—-1)
2ta\2
1
|2пг
ie^ — е
Начальные функции, соответствующие этим изображениям,
находим по (232), (233). После простых вычислений получим
. . 2[х-1] . 2к[х]
у [х] — —-р^-1- sin ——
Уз 3
О при х — Ш
- х + 1 ,, x — 3k-\~l
{ х — 1 „ ж = Зй + 2
2. Найти общее выражение для коэффициентов
разложения дроби
bn-!tn-i- + Ъп^.4п-ч _[_ ... + bit + Ьп
antn + «n-i^-1 + • • • + а4 + «о
в ряд по степеням Л
Покажем, что эта задача сводится к решению разностного
уравнения. Записывая искомый ряд в форме
Л+Л'+Л^Н— +yJ°°+ ■■■>
имеем
= (Уо+У1*+ • • • +Л>*" + • • •) (^+^+^-1^ + ^)-
Сравнивая коэффициенты при t7c (й = 0, 1, 2,..., и— 1),
получаем систему уравнений;
Уоао = 1>о
^0«1+Л«0=&1
_Уя-1ао+.У»-2а1 + • • • +Лап-а+Лв»-1 = ьп-и
ид которой, последовательно находим у0, yv ,,.,yn„v
§ 16]
2°. ПРИМЕРЫ
167
Сравнивая далее коэффициенты при р>+>\ получаем
«оУ»+» + аЛ+»-1 + • • • + ««-Л+1 + ««У» — 0.
Поставленная задача сводится к решению этого
разностного уравнения при указанных начальных условиях.
Пусть, например, ищется разложение в ряд по степеням t
выражения:
F+7+T = Л> +-^+ •'' +У«?° + ' • •
Поступая, как указано, приходим к разностному уравнению:
у[х-\-2]-\-у[х-}-1]-^у[х] = 0
с начальными условиями
.у (0) = 1, j/CD 1.
Изображающее уравнение будет
Г (р) (е2Р -f- ер + 1) == (ep — 1 )^
и, значит:
v/v e2?» + e^+l
По (235) находим начальную функцию для изображения
« , о (е*»—l)sin-|l
e»f» + ef»+l /3e2„_2cos2K,e„+1 • уз8ШТМ
о
и по (221) получаем:
( 1 при x = 3k,
У(р) -Н> ~=sin — [* + 1]=» ) — 1 „ х«3£-+-1,
^3 3 | 0 , х*=3&-Ь2.
3. Найти решение неоднородного разностного уравнения
.у Г* + 2] —Зу[х-HI+2У М = 2М
при условии у (0) —_у (1) = 0.
Имеем
^)(^-3^ + 2)=¾. Г(р)== 1
ер~2 чг (е*—2)«
158
ПРИМЕНЕНИЕ К 'РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. II
Находим разложение на простейшие дроби
1 11,
(ер — 2)Цер — 1)
и, следовательно:
ер—1 ,
(el'-2f
е*'—1
у(р)<
1
el' — i
{е"~\
-H-1-2W + ^M2
N
4. В заключение приведём пример системы разностных
уравнений:
у[х-\- \\ = z[x\-\-u [х]
z[х-|- 1] = и[х] -\-у [X]
и [х -[- 1 ] =у [х]~\- z [х]
с начальными условиями у (0) == 1, z(0) = и (0) — 0.
Изображающая система будет
■A(P) + Z(p) + U(p):
Y(p)-e*Z(p) + U(p)<
Y(p) + Z(p)-e>U(p)*
--(^-1),
,0,
:0.
Из неё получаем
(й*--1)(й**—1)
*
у(р)
(ер-1)*
(ер Л- \f (ер — 2) (ер +1)(ер~2)
Составляем разложение на простейшие дроби
и т. д.
1
{ер+\){е" — 2)
1 + 1
1 е.1
и находим
* 1
вР+1 +е*
.1(2(-1^+2^)=^4
Аналогично находятся а[х], z [х].
ГЛАВА III
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И СОПРОТИВЛЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ
§ 16. Колебания простейшего вибратора
1°. Движение материальной точки под
действием силы, зависящей от времени.
Дифференциальное уравнение движения имеет вид:
mx=f(f). (3.1)
Его изображение будет:
тр2Х(р) — тр2х0~\- mpx0-\-F (р), (3.2)
где х0 и х0 — начальные значения х и х. Это же
изображающее уравнение можно получить, предполагая, что при
нулевых начальных значениях координаты и скорости к точке
в момент /=i0 прикладывается импульс тх$х (t), сообщающий ей
скорость х0, и два направленных в противоположные стороны
равных по величине импульсивных толчка, сообщающих ей
мгновенно перемещение х0 (§ 6).
Из (2), переходя к начальным функциям по (1.34),
получим:
*
x^=x0-\~x0t~\--^jf(x)(t—x)dx. (3.3)
о
Конечно, этот результат столь же просто получается без
применения операционного метода, но даже и в
рассматриваемой простейшей задаче можно указать класс сил, для
160 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
которых операционное решение наиболее просто и быстро
приводит к цели.
Рассмотрим, например, действие силы, закон изменения
которой во времени задан графически (трапеция на рис. 12, /).
Изображение F{p) даётся формулой (1.94):
_j—i—(e-JK._e-J».)
./(О- (3.4)
при ^<^1
\ (3-е)
Полагая для простоты письма л;0 — .х0 = 0, получаем
*0>)~1$' ^3-5)
и закон движения даётся формулами:
1st
^{1^-(,-^.,+
+ ^~-[('-^)e-('-^el}e
= A [xj — xg — xj — x,x3 + 3 (x3 + T3 — X,) ,]
при x8<£
Как и следовало ожидать, при t^zit т. е. когда сила
прекратила действовать, движение происходит с постоянной
скоростью, величину которой -^- (^2 + ^3--1½) можно было
бы определить, как частное от деления импульса силы за
время действия её (т. е. площади трапеции) на массу.
Как второй пример рассмотрим движение точки при действии
повторяющихся через промежуток времени Т импульсов S,
направленных в противоположные стороны. Полагаем х0=>
= х0 = 0; уравнение движения можно написать в виде:
mx = Slo1(t) — o1(t—l) + a1(t—2T)—...], (3.7)
§16] 1°. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 161
Изображение искомой функции x(t) по (КПЗ) будет:
По (1.88) имеем:
+ *""* — ■••]■■
2mpV ^ 2J-
in 2 .
Р
■?А*),
где график функции (si(t)—„равноскатная крыша" —
изображён на рис. 10. Получаем
*(') = £ И-?*(')]»
(3.8)
График движения изображён на рис. 18; его можно было
бы построить также из простейших механических соображе-
тх
, S1
2Т
ЗТ
Рис. 18. Движение точкр! под действием периодических
импульсов, направленных в противоположные стороны.
ний: получив первый импульс в момент t = -\-0, точка начи-
нает двигаться с постоянной скоростью — ; в момент Т = -|~ О,
когда сообщается импульс 5 противоположного направления,
происходит остановка до момента 2r~j-0 сообщения
следующего импульса и т. д.
Рассмотрим теперь более общую задачу. Предположим,
что действующая на точку сила <Ji (t) является
периодической функцией времени с периодом Т, принимающей при
И Зак. »57. А. Лурье.
162 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
0<£<Г значения f(t). При £< Т закон движения точки,
очевидно, выражается формулой (3), а её скорость будет
t
*(0 = *о+^//(^- (3-9)
о
Движение не будет, нообще говоря, периодическим. Оно
станет таким, если значения х и х в момент £= Т окажутся
равными их значениям в начальный момент времени:
х(0) = х(Г), х(0)=х(Т). (3.10)
Второе из этих условий. после подстановки в (9) даёт
условие осуществимости периодического движения
т
//(x)dx = 0, (3.11)
6
выражающее, что импульс силы за период времени Т должен
обращаться в нуль — н противном случае, конечно, скорость
при t=T не может получить значения х0. Первое
соотношение (10) при соблюдении условия (11) даёт теперь
значение х0:
т
*о = ^(^/(0^- (3.12)
о
Постоянная х0 остаётся неопределённой и искомое
периодическое движение по (3) и (12) при 0 <£ < Т определится
формулой:
т т
х(0=Хо+~//(х)^т + -1//(х)(^-т)^. (3.13)
■- - о о
На этом простом примере выясняется смысл формального
приёма отыскания периодического решения, изложенного
н § 8, 5°; в частности, становится ясным выведенное там
условие (2.62) существования периодического решения при
наличии нулевого корня характеристического уравнения.
§ 16] 3°. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВИБРАТОРА 163
2°. Рассмотрим задачу о колебаниях простейшего
нибратора: к концу ненапряжённой пружины, массой
которой пренебрегаем, внезапно подвешивается груз P — ing,
причём одновременно этому грузу сообщаются отклонение
х0 и скорость х0. Уравнение движения груза, н соответствии
со сказанным в § 6, можно представить в ниде:
тх -\-сх = mgo0 (t) -f- тх(р1 (t) -j- тх0а% (t), (3.14)
где с— жёсткость пружины, х — её удлинение. Изображение
этого уравнения будет:
(mpq -\-с)Х (р) — nig -j- тх0р -j- тх0рй,
откуда
*(Р)
— pi + k* ' pi-\-№
где k = у частота свободных колебаний. Замечая, что
p-r+W = F- (1 ~~p~r+W)-^Ш (1 ~cos*^'
воспользовавшись IV табл. 2, получаем известное решение:
х (0 = fs(l -~cos^)H-xsinW+xocos^- (3-15)
3°. Теперь рассмотрим случай приложения к грузу
силы /(£), зависящей от времени: будем
отсчитывать х от положения равновесия груза; тогда уравнение
движения будет:
£+ *** = —,
1 т '
значит:
ЭД^^Ч^(р)^- (зле)
По теореме свёртывания X табл. 1 сразу же получаем:
t
х = x0cos kt-\- if-sin kt-\—j /(t)sin&(£— x) dx. (3.17)
о
11*
164
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Этот результат обычно получают более длинным путем,
применяя метод вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим (полагая для сокращения л:0 = л:0=0)
частный случай действия синусоидальной силы:
/(0 = /osin(a>*-f-a).
Не следует прибегать к вычислению интеграла (17), так
как гораздо проще непосредственно найти начальную
функцию для изображения (16); последнее в данном случае будет:
чг' т
шр
>2+/>2)(Ра+А2)
/о
cos a
Pl
(<»* + р*)(.р* + к*)
sin а
т(А2 — о)2)
шр
+
W4-P* />2 +
2+р'* p'* + k
Р2 \ •
г)
cosa4
/о
" т (/г2 — ш2)
X
X sin (mt-\-(x)— (-^-sin &£cos a -j- cos ktsin a J
(3.18)
Таково решение при кфт. В случае резонанса (<ю = /г)
имеем:
X
(Р) = Тг[
шр cos a
p'sma
ЛрЧ-^)*
По IV табл. 2 имеем:
(Р3+ 0)2)2
(3.19)
Р*
t sin <В^
р0у2
(Ра+Ш«)«
о") _ р
2ш
2ш2р
(p2^-mS)a р2-|-0)2
и, следовательно:
W+p*)*'
1 /Sill ш(
_-^-> ^cost»^
"2ш
^cos <at
(3.20)
Итак, при резонансе движение происходит по закону:
x(t) = ^~ [sin (oleosa — <»£cos (utf-f-'a)b (3.21)
4°. Рассмотрим теперь задачу о движении
вибратора— груза, подвешенного к пружине — под действием
§ 16] 4°. ДЕЙСТВИЕ ПОВТОРЯЮЩИХСЯ ИМПУЛЬСОВ* 165
периодически понторяющихся импульсов
величины 5. Уравнение движения имеет вид;
* + fta* = §[o,(0 + °i(f—Г)+ •••]• (3-22)
Изображающее уравнение при начальных условиях
х (0) = х0, х (0) = х0 будет:
и, следовательно,
ЗД=+^г, (3-23)
где
в о»=ед? а - •-">+i,-4ir • е-24)
Применим общий приём разыскания периодического
решения (§ 8, 5°) к рассматриваемому случаю. Нужно чак,
определить х0 и х0, чтобы начальная функция 0 (t) -+-^- 9 (р)
обращалась тождественно в нуль ири £> Г. Имеем при £>Г:
О (0 = x0[cos« —cosft (* — 7)] + ^ [sin ftf— sin 6 (f— Г)] +
-j—^ sin/«£ = cosiW x0(l —cos<%r) + ^-sin/eГ +
+ sin kt
и, значит:
■ x0 sin ^7- + ^-(1- cos ЙГ) + A]
*0(1 — cos ft?)+ ^-sin 67=0,
— i0 sin йГ+^(1— cos ftT) = -^-
Отсюда при -я- =|= "гтс \т — целое число), т. е. при
несовпадении частоты свободных колебаний с целым кратным
частоты импульсов (при отсутствии резонанса), получаем:
*о = §!ас^Т' Ч = ~Ш- (3-25>
166
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
S
link
\( р" eta-*7"
\\р*+№ L 2
pk \а е-рТ)
1 2рк 1
1 />2+£3
Эти значения х0 и х0 подставляем в (24). Тогда
в(р):
"""v \_\Г "Г" ■* Г ~Г "- /
(3.26)
Теперь найдём соответствующую начальную функцию b(t)
при 0 < t < Т; это определит значение искомого
периодического решения для первого периода
x(i)==2mk\cosktcteT~^~siakt)' (3-27)
Чтобы найти х (t) в любой момент времени, достаточно
график функции (27) продолжить периодически в
соответствующий промежуток. Полученная формула выделяет те
слагаемые общего решения, которые соответствуют чисто
вынужденным колебаниям, т. е. движениям вибратора, имеющим
период прикладываемых импульсов. Это движение возникает,
таким образом, при специально подбираемых начальных
условиях (25). --^-^ ^-—
Заметим ещё, что но (26) и (23) изображение чисто
вынужденных колебаний даётся формулой
^(р) £.f>_£LTCtg^4._£fL_i + -^.\ (з.28)
^J 2тк\р% + к" S 2 ~ р* + & 1 — е~рТ ] v '
Поставим теперь вопрос, как будет протекать движение
при начальных условиях, отличных от (25), например, при
^о ^^ *^о г~~^ '
Изображение х (I) в этом случае будет:
х(р)-~-~т^-т~^- (3-29)
Соответствующее движение содержит как чисто "
вынужденные колебания, имеющие изображение (28), так и
колебания свободные, имеющие частоту к. Изображение этих
последних К1(р) поэтому получится, если вычесть (28) из (29);
получаем:
у , ,_ S / pk р* й7\
Л^Р> — 2mk \р* -\-№ р*-\- №■ С g 2 )
§ 16] 53. СЛУЧАЙ ИМПУЛЬСОВ ПРОТИВОПОЛОЖНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 167
и, следовательно, колебания частоты к даются выражением:
*1(0 = 2ж(81п« —costtctg^). (3-3°)
Резюмируем: под действием периодически прикладываемых
импульсов движение вибратора слагается: из свободных
колебаний частоты к, даваемых формулой (30) для любого /,
и из вынужденных колебаний, имеющих- частоту импульсов,
определяемых при 0 < / < Т выражением (27), а при
любом t—из условий периодичности этого выражения.
При произвольных начальных значениях х и х к
выражению свободных колебаний (30) добавляется слагаемое
х0 cos kt -f- —- sin Ы.
5°. В качестве второго примера рассмотрим задачу
о колебаниях вибратора, когда
прикладываемые через промежуток времени Т импульсы 5
имеют противоположные направления. Период
импульсов равен 2Г. Будем искать периодическое движение
вибратора этого же периода, меняющее знак через
полупериод Т.
Дифференциальное уравнение движения будет:
х + £2* = -§ [0,(/)-0,(/-7)+0,(/-270-...]. (3-31)
Его изображение имеет вид:
(р« + fe3) Х{р) = р*х0 + рх0 + -^^е-рТ)'. (3.32)
Применяя указанный выше приём нахождения периодиче»
ского решения, напишем:
Х(Р)~ l + e-рт »
168 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. Ш
Нужно потребовать, чтобы при .£> Т начальная функция
&(/).*_1_в (р) обращалась в нуль тождественно:
xQ[coskt-\-cosk{t— 7)] -j-
_j-*L isJnfe/+sinfe(/— Г)]+^ sin # = 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при coskt и s\akt,
получаем значения х0 и х0:
Х° 2mk ig 2 ' ft ~* 2/ий *
Эти решения х0 и х0 подставляем в выражение 0(р),
после чего находим изображение искомого периодического
решения:
vi \ S ( pk \—е-Рт ръ , кТ\ ,„ „..
х(Р> = Ш{~р~*Т^J^W~p^T^ g~z)' { }
и при t < Т соответствующая начальная функция будет:
(3.35)
S / kT\ Ssin^(^— 2")
*® = -Ш (slnfe/-cosWtgTj = -— ^
2/ий cos —
При 7*<^<2Г значение #(^) находится из условия
.*(*) = — x{t— Т), (3.36)
и далее, при любом Т определяется из условия
периодичности:
x(t) = x(t—2mT). (3.37)
Периодический режим движения получается, таким
образом, при определённых начальных значениях х0 и х0. Он
может иметь место при отсутствии резонанса, т. е. при
kT
(m — целое число), когда tg-~- в выражении (35) сохраняет
конечное значение.
§ 16] 5°. СЛУЧАЙ ИМПУЛЬСОВ ПРОТИВОПОЛОЖНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 169
При произвольных начальных значениях нужно
возвратиться к выражению изображения, полученному из (32):
Х{р)
р*х0+рх0
pt + k*
Sp
т
(p» + ftJ)(l + e-*T)-
(3.39)
Вычитая из него правую часть (34), получим
изображение свободных колебаний (частоты к):
ХМ-
р*х0 + рх0
р* + А8
pk
Р
^__ kT
2mk V_|_#s~"i р^Ц-к* g 2
Т
• Sslnft( t + ±)
-^,x0coskt-]-^-slakt-] Ь А> (/>о). (3.40)
2m k cos
kT
Рис. 19. Вынужденное колебание вибратора под действием
противоположно направленных периодических импульсов
Г =
2k)
График вынужденного колебания при Г = -° и Т = Т0
2тс
где Г0 = -у — период свободных колебаний), полученный на
основании формул (35) и~(36), представлен на рис. 19 и 20.
170
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ .
[ГЛ. Ш
Наличие угловых точек на графиках объясняется, конечно,
разрывами скорости в моменты приложения импульсов.
.Щ^$*$Ш-Щ^№иТ)
Рис. 20. Вынужденные колебания вибратора под действием
противоположно направленных периодических импульсов
Т =
2п
Особенно прост случай, представленный на рис. 20.
Имеем Т~Т0, и выражения для свободных x1(i) и
вынужденных x2(t) колебаний по (40) и (35) будут:
*i (0 :
S
2mk
S
sin ~ (0 < / < 7)
■ si
Т
2nt
2mk
и т. д.
in— (T<t<2T)
В результате наложения этих колебаний возникает движение:
*(/) =
[ 0 (T<i<2T)
(3.41)
и т. д.
§ 16] 6°. ВЫПРЯМЛЕННАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ СИЛА 171
что можно получить также, найдя начальную функцию для
изображения (32) при х0 = х0 = 0.
Полученный результат легко было предвидеть: первый
импульс 5 сообщает вибратору начальную скорость — , в
результате чего возникает движение, даваемое первой стро-
кой (41);вмомент^=7'имеем д;(Г)==0, #(7)-—и под
действием импульса (— S) вибратор останавливается до момента
t = 2T-\-0, когда ему снова сообщается та же скорость •—,
и т. д.
6°. Рассмотрим движение вибратора под действием силы
(|) (t) =/0|sina)tf|. Формула (1.102) даёт изображение этой
периодической (с периодом —) функции:
_ Щ)
-р I • j I -у • /■ ШР 14-й ш
/0|sma>*|-^-/0^q^ _.
1-й ">
Уравнение движения будет
1 т ' '
Соответствующее изображающее уравнение даёт
значение Х(р) -т-> х (t):
ХЧ>) ЗЁГ- (3.42)
1-й ш
где обозначено
■оРг-
р* + №
в(Р)-^+§£Г1_Г^ +
/0 «р\1 + е ш) (3.43)
1 т (р* + <u2) {jfl 4- й2) *
Для разыскания периодического движения с периодом —
(вынужденных колебаний) определяем x0 и х0 из условия
172 ' ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
тождественного обращения в нуль S (t) -Н- 6 (р) при ^>— :
О (/) = *„
— sin kl t -j
COS kt COS k(t
It \
Jfo
^ ft
' m (*a — ш2) \
sin &tf-
sin mt-\-
-j- sin со (^
Находим:
x0
sin A^-j-sin kit
Xn
/ош
. k-к.
0.
Подстановка в выражения (42) и (43) даёт искомое
изображение вынужденных колебаний вибратора:
/о» , kit р2
Х (р) ~ т (ш» — Щ k Cig 2ш pa+
lit
■+
iyj
(op Vl -|-e
тер
(3.44)
(ра+ш')(Ра+А2)\1—e
Отсюда при 0 < t < — находим:
* (0 = T^fe^) [j(sIn A' + cos «ctg £) — sin «] . (3.45)
„ kn k k
При p- равном целому кратному тс, т. е. при со = -^-, -
и т. д., имеет место резонанс, и периодическое решение не
существует; при ш = к выражение (44) принимает
неопределённый вид; раскрыв неопределённость, получим:
x(t).
/о
2тй8
sin kt~\~
kt)coskt
(3.46)
Наличие множителя kt вне знака тригонометрической
функции в данном случае не указывает, что имеет место
резонанс, так как выражение (46) даёт значения х (t) лишь
для 0<^ < т-. Действительно, х (t)—-периодическая
функция, имеющая при ш = k период -т-; построив её график
§16] ' 6°. ВЫПРЯМЛЕННАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ СИЛА 173
для 0 < t < -г, мы определим тем самым её значение
в любой момент времени; поэтому амплитуда вынужденного
колебания, несмотря на наличие множителя М, остаётся
ограниченной.
Выражение (45), дающее вынужденные колебания,
представляет частное решение исходного дифференциального
уравнения при определённых начальных условиях,
полученных выше.
Чтобы получить решение при любых начальных
условиях, нужно вернуться к общим выражениям (42) и (43)
x-J^Uo
sin(3,5ujt~~)\
Рис. 21. Вынужденные колебания вибратора
под действием выпрямленной синусоидальной
силы (k = 3,5 о)),
для изображения Х(р). Соответствующая ему начальная
функция представляет движение, являющееся наложением
вынужденных и свободных колебаний (частоты k). Поэтому
можно получить изображение Хх{р) свободных колебаний,
вычитая правую часть (44) из (42):
хм--
. хар* + хпр
/>
у;2 + /г2
Ы ;;2
I £ 9m 7>V
mk (ш* —A*) s 2<лр*-\-№
k
-Н* х0 cos Ы -|- Чг sin kt
f>
Ы
mk{a
^щ ctg'£ cos « = *,(/) (3.47)
174
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. Ш
(для любого ^>0). В частности, при ш^=к, раскрывая
неопределённость, найдём
Хп -^о71
X^t) = XqCOS kt-\--& Sltt kt -^r^COSkt.
На рис. 21 и 22 приведены графики вынужденных
колебаний под действием „выпрямленной синусоидальной силы",
построенные по (45) при й = 3,5<» и по (46) при £ = 0).1
'2тш2
\sLniut *{^-u>t)cosiot]
Slfl tot I -SbPLOt
' si / S 1
2k
г
со
Рис. 22. Вынужденные колебания вибратора
под действием выпрямленной
синусоидальной силы (k = <в).
7°. Обобщая сказанное, рассмотрим в заключение задачу
о разделении вынужденных и свободных колебаний
вибратора, находящегося под действием произ-
ей силы:
(3.48)
вольной периодической
<!>(/) =«!<(/+Г) «-
где по (1.97):
в озм у ща!
^ ^(Р)
- 1—е-рТ
при г < 7Л
„ t>T
1 Большое число аналогичных примеров рассмотрено без
применения операционного исчисления А. Н. Обморшевым
в работе „Вынужденные колебания системы с одной степенью
свободы в случае прерывистого изменения возмущающей силы". Труды
Московского механико-машиностр. ин-та им. Баумана, № 65/5,
Машгиз, 1940.
§ 16] 7°. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КАКОЙ УГОДНО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ силы 175
Дифференциальное уравнение движения вибратора будет
£+^ = 14,(/)
и изображение Х(р) -г-> х (/) искомого решения будет:
е (о) ., *0Р* + jog /! _ в-,Т) i 1 _QZL
(3.49)
Для выделения той части решения, которая имеет период 7
возмущающей силы, нужно в соответствии со сказанным
в § 8, 5°, так подобрать начальные данные х0 и х0, чтобы
функция 0(/) <-— в(р) при /> 7" обращалась тождественно
в нуль.
Но по теореме свёртывания:
FJP)
Ь
j \ty(x)s\nk(t — x)dt при/<Г
о
т
1_
k
\ о
«1» (t)sin/e(/ — т) их
(3.50)
/> Г
и, значит, при /> Т:
&(/) z=xQ[coskt—cosk(i — Г)] +
+ §[sln« — sin /2(/-7)1+ -L | <V(t) sin^(/— x)dt.
Нужно обратить в. этом выражении коэффициенты при
cos&/ и siakt в нуль.
[гл. HI
(3.51)
176 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
Это даёт систему двух уравнений:
(1 — coskT) х0-\~-j sin kT—
ty (т) sin k% dx = -r- st
-x0 sin kT-\~(l —coskT) j- =
т
= — j J ф (t) cos (At) tft = -jC
Предположим, что её определитель
A = 4-sin2^ (3.52)
отличен от нуля, т. е. йф-=- (и — целое число). При этом
условии лс0 и х0 находятся из (51):
1 / . , kT
\ f , kT
sctg-
c\. (3.53)
'2m\" "s 2
Изображение вынужденных колебаний получим теперь,
заменив в (49) постоянные х0 и х0 этими значениями. Тогда:
kT\ ,Г_. kT
Х{р)^
1
2/гт
/>2(s+cctg-^-) pk^sctg-^—c'}
р* -(- /г2
/>2 + *г
1
W
1 mk {1 - е-1>т) {р2-\-k2)
и при ^< Т получаем искомое периодическое решение:
(3.54)
X{t):
1
1km sin
kT
s sin k(t -\~ -к) ~\~ с cos k (t -^ -^
_L
/гад
ф (г) sin й (^- i)dx. (3.55)
§ 16] 7°. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КАКОЙ УГОДНО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ силы 177
Конечно,"эта формула должна применяться для
вычисления вынужденных колебаний только для t < 7Y При t > Т
вынужденные колебания находятся с помощью периодического
продолжения значений х (t), определяемых по (55), в
соответствующий интервал.
Чтобы выделить из изображения (49) изображение Х1 (р)
свободных колебаний, нужно вычесть правую часть (54) из
(49). Находим:
*i(p)
.■*оР8+*оР
рЪ + Й2
p[s-\
Nctg-^) +
2km(pt + №)
-\-k(sctg-x c)\ ~т-> x0cos kt-\-■—- sin lit
2mk sin
kT
ss'mki I-[--^ )-{~ccosk(t -f-
(3.56)
причём это выражение пригодно при любом / > 0.
Определитель (52) может обратиться в нуль при А = 0;
этот случай был рассмотрен выше в 1° этого параграфа:
периодическое решение может существовать лишь при
условии (11) и имеет вид (13). Остаётся рассмотреть случай
к--
2%
я, где п — фиксированное целое число. Левые части
уравнений (51) обращаются в нуль, и периодического решения,
вообще говоря, нет. Оно может существовать лишь при
условии обращения в нуль и правых частей уравнений (51). Это
приводит к условиям:
<h (%) sin —jr- ск ■■
-.0, c = Гф(х)со8^1</х=0,(3.57)
выражающим, что в разложении периодической силы ф (0
в тригонометрический ряд должна отсутствовать гармоника
с частотой -jr = k, т. е. та гармоника, которая действовала бы
в резонансе со свободными колебаниями вибратора.
При соблюдении условий (59) постоянные х0 и х0 остаются
произвольными, и решение дифференциального уравнения
12 Зак. 2057. А. Лурье.
178 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
движения вибратора, взятое в форме (17), будет периодиче-
ским с периодом Т=—г-'
2-n.tlt , Хп . Iv-nt
X = XnCOS- ■ -1 id" —
t
J_
/гей ,
0
^(x)sin2-~(t~~x)dx. (3.58)
§ 17. Движение вибратора при наличии силы
сопротивления
1°. Начнем с рассмотрения простейшей задачи о
свободных колебаниях вибратора при наличии силы
сопротивления, пропорциональной первой степени
скорости. Дифференциальное уравнение движения имеет вид
mx~{-fx-{-cx==0. (3.59)
При начальных условиях х (0) = х0 и х0(0)=х0
изображающее уравнение будет:
X (р) (р* + 2пр + /г2) = Хор* + (х0/-\- 2пх0) р, (3.60)
с В
где k2 = —, 2я = —. Получаем:
уг.л — хоР (Р + п) + йо + пх0) р .„
*(/>) — ^+2йр+р ■ (3-61)
Далее нужно различать три случая:
а) Случай малого сопротивления /е > га. Обозначим
&*== й2—я2. По IV табл. 2 получаем затухающее
колебательное движение:
Х(р) -т-*- дс (/) = е~»* Гх0 cos V-f х° + "*о sinktt\. (3.62)
61 Большое сопротивление: й<я. Обозначаем я2 — /еа~ я?.
Находим решение, соответствующее апериодическому
движению:
Х{р) Ч-> *(*) = «-»* х0сЪп^-\-х°^х° shaA (3.63)
§ 17] 2°. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 179
в) Случай n = k; получаем предельное апериодическое
движение:
у/„у_- хоР I {ха + пх0)р _. ,
• = «~""[*o + (*o+«*o)'J- (3-64)
2°. Далее рассмотрим случай наличия в правой
части (53) возмущающей силы f(i). Для
сокращения письма полагаем х0 = х0 = 0 и ограничимся написанием
формул для случая k > п. Изображение решения
получающегося дифференциального уравнения
"х + 2пх + №х ==~/(0 (3.65)
будет:
Х(п\=> F(p) _ 1 . 1 Ff ч Ph
УИ) т (/)а -+- 2пр + ft2) mft1 р ки' (р + nf + k'f '
и но теореме свёртывания получим
jr(f) = -J- e-wC-^sln^^—т)/(т)а!т. (3.66)
о
Рассмотрим частный случай синусоидальной
силы
f(t) =/0 sin ш* «-^ р^/о • (3.67)
Конечно, вычисление можно проделать по формуле (66),
но проще непосредственно определить x(t) по его
изображению:
^ да (/>2 + <"2) 0>2 Л- 2пр 4- /г2)
Разложение на простейшие дроби предпочтительно, не
прибегая к (1.78), искать в форме
Х(р)__Ар+В Ср + Р
р - ръ.{-<0*~Гръ + 2пр-\-№ '
12*
180
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
определяя А, В, С, D, например, методом неопределённых
коэффициентов. Получаем:
*(р) =
/о
т [(А2 — »2)2 +4n.2(o2]
f (2лв —-/e2~j-c»2;
^-,-2/1,^
о»+")"+*;
(Р + л)" + aj
4 + Й?1 •
/о
/к [(/is — ш*)2 + 4л2ш2]
{(ft'
"Г
~ni
(2/гц — ft2 -f °>2) J-sin <V+ 2«щcos V } == д; (/).
Вводя обозначения
Х =
1
■-£/+«(£
tg-f =
можем написать
x(t)
2ш
ft2-
2и^1
*2«2---й2 + «>2 '
/гей2
[sin (o>* + Т) + j: e~nt sin i.k\t + 8)
(3.68)
(3.69)
Второе слагаемое в скобках, представляющее свободные
затухающие колебания, с возрастанием t быстро убывает, и
при установившемся режиме получаем движение
*(0=^stn(a>f + T), (3.70)
происходящее с частотой возмущающей силы — чисто
вынужденные колебания вибратора.
Мы могли бы добавить к решению (69) слагаемые (62)
и затем так выбрать х0 и х0, чтобы обратить в нуль все
слагаемые, имеющие частоту k1 затухающих свободных
колебаний. Иными словами, движение при установившемся
режиме, даваемое формулой (70), представляет частное
решение уравнения (65) при надлежащим образом подобранных
начальных условиях. При I достаточно большом это
движение фактически и реализуется.
§17] 3°. ОЦЕНКА МОДУЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ 181
3°. Возвращаясь к уравнению (65) и предполагая, что
действующая на вибратор сила / (t) может изменяться
во времени по любому закону, но остаётся
по модулю меньше некоторого значения /их,
определим высшую границу смещения х,
вычисляемого по (66). В более общем виде эта задача была
рассмотрена в 2° § 8. Для решения ее нужно в первую
бчередь найти корни функции <jij (t), определяющей
движение вибратора под действием единичного импульса; далее
требуется нахождение закона движения вибратора <\2 (t) под
действием единичной возмущающей силы <з0 (t). Зная
последний, определяем величину L по (2.45).
Очевидно, что ^ (f) легко найти, полагая ]
лг0 = 0,
х0 = 1 :
и корни этой функции будут
— tit
SK
sin ki/,
Для определения ug(О
/^2 +
при нулевых начальных
ЗД)
(5 = 0, 1,2,...).
уравнения
нужно найти решения
РФа + сфа —°о(0
условиях. Получаем по V табл. 2
1
1
т
р* + 2пр + *а
_l_ JL
т/г2
1 — е—n* (cos А,/^+ •
и, следовательно:
ФаГ'в)'
_L_
1
( —1)*], "1
■ shikxt
юг
Т
= %(t)
L=>
Теперь по (2.45) получаем
1
„^O + 'iHi + 'i + 'f-f
1 1-П_, I
т№ 1 —
— cth
с
и по (2.46) находим искомую оценку:
l*(0K%cth
2fti
или
l*(fll
< cth
пи
2k]'
(3,71)
182 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
где xst обозначает отклонение вибратора от положения
равновесия под действием статически прикладываемой
постоянной силы, равной по величине максимуму модуля
возмущающей силы. Такая оценка имеет место в случае „малого
сопротивления" (п < k); при я>& по .(2.47) имеем:
'*W!-<1. * (3.72)
■"■at
В случае очень малого сопротивления (я «С, /г) можно
приближенно принять
7,= 1-^, 1£1Ш< 1^=,0,64 А,
' k ' хл я п п
тогда как под действием синусоидальной возмущающей силы
г. г- Л
в случае очень малого сопротивления имеем .vmax=",5 — xst.
4°. Рассмотрим движение вибратора при действии
н а него, кроме силы сопротивления,
пропорциональной скорости, ещё силы сухого
трения, постоянной по величине и имеющей направление,
противоположное скорости. Уравнение движения (полагаем массу
равной единице) имеет вид:
x-}-2nx-\-k\x = — fsgnx, (3.73)
где / — постоянная сила трения при движении, а через sgn х
обозначен знак скорости, т. е. sgnx= 1 при х> 0 и sgn х ——1
при х < 0. Силу трения покоя (при х = 0) назовем /0;
известно, что /0>/.
За начало отсчета времени примем один из моментов,
когда скорость обращается в нуль; в этот момент х=*х0
и можно, надлежащим образом направляя ось х, считать
х0 > 0; итак, начальные условия будут:
при t = 0 х = х0>0, x = 0 (3.74)
и движение начнётся, если восстанавливающая сила,
направленная по отрицательной оси х и рапная k2xn, больше, чем
сила трения покоя: й2х0>/0.
§ 17] 4°. КОЛЕБАНИЯ ВИБРАТОРА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 183
Скорость в этом движении до момента остановки будет
направлена по отрицательной оси х, т. е. sgn лг = — 1. Итак,
на этом этапе уравнение движения будет:
x-\-2nx-{-k2x^f. . (3.75)
В некоторый момент времени tlt заранее не известный,
скорость снова обратится в нуль; пусть х (tt) = х^ и
предположим, что
k2\x1\>f0. (3.76)
Ниже будет показано, что при этом условии х^О.
Дальнейшее движение от момента ^ будет происходить по
положительному направлению оси х, т. е. при sgn х = 1.
Уравнение движения теперь надо писать в виде
x-f 2ялг-{-£ал: = — / (3.77)
и решать его при начальных условиях
при t = tt х = х1<0, х==0. (3.78)
Это рассуждение можно продолжить дальше; пусть
скорость обращается в нуль в моменты 0, tlft^ ... , а
соответствующие отклонения будут лг0, лг1( лга, ... Они убывают по
абсолютной величине, так как в системе имеется рассеяние
энергии. Поэтому при некотором t окажется й2|х^|</0, и
движение прекратится.
Уравнение движения вибратора на основании сказанного
можно записать в форме:
"х + 2пх + №х = / [о0 (0 — 2а0 (t — fj) -f-
+ 2о0 (* — /„)—...] (3.79)
и решать его при начальных условиях (74). Значения tu t^...,
конечно, заранее не известны —их будем определять в
процессе решения задачи.
Изображающее уравнение имеет вид:
Х(р) (р* + 2пр + й2) = х0 (2пр + р2) +
~\- f (1 — 2е-М + 2е~РЬ — ...). (3.80)
184 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Найдём далее изображение производной:
i (0 <~рХ (Р) - Рх0 = ХоР (-^¾^ - 1) +
Соответствующая начальная функция будет:
х (/) = — i- (х0/е2 —/) e~ra*sin V 0 < / < tx
х (t) =r — I (х0й2 —/) e-«'sin -V ~-
_ ^ e-n (*_tj si„ £ ^ _ f ) ^ < / < ^,
и Т. Д.
Из первой строки находим k1t1 = Tz; подстановка во
вторую строку даёт &1/a = 2it и т. д. Вообще получаем, что
моменты обращения скорости в нуль выражаются формулой
*e = s/0, 4, = ^. (3.81)
Подстановка в (80) даёт теперь:
-{- / (1 — 2е~?';» + 2е~-%'<» — .. .) 1
-|- 2пр + №
хо—ъ(1~ 2е~Р*«-{-2е-№<> — .. .)
Р {р + п)+рп _|_
■f fa (1 — 2е-A -f- 2е~ **» —-...)•
Соответствующую начальную функцию можно получить
на основании теоремы запаздывания по отдельным этапам
§ 17] 5°. ДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ ПРИКЛАДЫВАЕМЫХ ИМПУЛЬСОВ 185
движения (О, /J, (tt, /2), ... Для этапа (ts, tM), т. е.
st0 <Г. t <; (s ■+■ 1) /0, найдём
х (t) = е-'1* (cos kxi -f- |~ sin /etA ><
0 _ / (i + 2e»*o + 2*»*. -f .. . + 2^»«)] + (- 1)" I =
3 „a pa—y—J e~n* (cos ^ + ^- sm /^) +
+ (-1)в^. (3.82)
Соответствующие отклонения в конце первого, второго
и т. д. этапов будут:
х2 = [*0 - £ (1 + 2в»*-)] в-^ - (2 и т. д. (3.83)
Как указано выше, движение на втором этапе будет
происходить при условии (76); нужно ещё убедиться, что хх
будет отрицательным; для этого предположим обратное, что
л^Х), т. е. 1^1=¾.¾^ тогда по (76) получим:
#» | хх | = — £%«-»*» + / (1 + e-ft*«) >/о.
и это неравенство усиливается, если заменить /0 меньшей
величиной /; тогда —№х0 -\- /> 0, т. е. / > k2x0, что
противоречит условию, наложенному на х0. Итак, хх < 0 и
условие (76) приводит к неравенству, которому должно
удовлетворять х0, чтобы движение продолжалось на втором этапе:
k2x0 > f(ent«-\~ l)-\~f0enf°.
Аналогично рассматриваются следующие этапы движения.
5°. Рассмотрим теперь случай действия на
вибратор периодически прикладываемых через
промежуток времени Г импульсов 5,
направленны х • в одну и ту же сторону. Уравнение движения
вибратора имеет вид:
X _(-. 2пх -\- k4 = |. [а, (0 + а, (/- Т) +
+ 0l^—2r)+...]• (3.84)
186 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. !!!
Оно было уже рассмотрено (§ 3, 4°) при отсутствии
сопротивления (я = 0). Изображающее уравнение будет:
X (р) (р2 + 2пр + й2) = хоР {р + п) -\-
+ (х0 + пх0) /7 + -^-- —-^¥ • (3.85)
т 1 — й ^
Из него находим:
Я Гг>% — ^(^ + п) + {'х° + ялг"^ П »-рТ\Л-
+ ^•^+2^ + **' (3"86)
Желая выделить из решения его периодическую часть
(имеющую период импульсов Т), мы должны так подобрать начальные
данные х0 и х0, чтобы начальная функция S (/) «-f-0 (/?)
тождественно обращалась в нуль при />Г, но при этих
значениях t имеем:
»(t) = x0e~nt [cos kxt — и cos kt (t— T)\ -\-
I xa+nx0 ,.
, e-»* [sin^- « sin ^(/—7)1 +
+ ~-e-^sin/e^ (и = е«у).
S_
Приравнивая нулю коэффициенты при cos kxt,- sin kxt,
получаем:
(3.87)
x0(l—a cos kxT) -|~ £l±iEu й sin ^7-==0,
— x0« sin ^7--f ^t_H«L (1 _ «cos ^Г) = — Ш1.
Определитель этой системы
Д = 1 — 2acosk1T-\- и2 '(3.88)
не обращается в нуль при яфО. Тогда:
S usin^T х0 -f- ил?0 S 1 — и cos k^T /о qq\
Х()„ _ ( _ _ . ^.бу;
§ 17] 5°. ДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ ПРИКЛАДЫВАЕМЫХ ИМПУЛЬСОВ 187
Подставляя эти выражения в (86), находим изображение
вынужденных колебаний вибратора:
Х(р):
ткф
pk
IP
Р (Р + ») , , Т
2 + 2„р + /г2 и ьш "1 ръ + 2пр + №■
1 „Т^^'рЧ^у; + F
X
X (1 — «coskxT) -\- —
(3.90)
и при /< Т получаем:
x{t).
Sg-'K«-T)
[sin/г^ rcos/e^-f^-cos^^sinVJ. (3.91)
Полученное движение, подчеркиваем еще раз, будет
периодическим, а отнюдь не затухающим, как это может
показаться по внешнему виду формулы (91); последняя по способу
её получения пригодна для вычисления х (I) только для
промежутка времени (0, Г); для любого другого момента
времени находим вынужденные колебания, периодически
продолжая функцию, определяемую выражением (91), в
соответствующий интервал времени.
Чтобы выделить из изображения общего ргшения
изображение свободных колебаний Хх (р), нужно, как это многократно
пояснялось, вычесть правую часть (90), т. е. изображение
вынужденных колебаний, из выражения Х(р), даваемого
формулой (86). Полагая теперь для простоты л:0 = л:0 = 0,
получаем:
Хх(р)^-
т/гЛ
Р (р + »)
р2 -\- 2лр -f- й2
Mi
,(1
р3 + 2пр + ft3
X [(1 — и cos ftj Т) sin kxt
a sin kx T -
и cos kx T)
mkiH
-, — ut
X
и sin kt '/"cosk^] = xx (0,
причём это выражение xx (t) пригодно для всех /> 0 (а не
только, скажем, для промежутка 0^/<^Г). Поэтому
свободные колебания являются затухающими, и по истечении
достаточно большого промежутка времени вибратор будет
совершать чисто периодическое движение с периодом Т
прикладываемых импульсов, вычисляемое по (91). Выделение
периодического решения в данном случае имеет совершенно
отчетливое физическое значение: таким образом находится
188 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. II!
режим движения, фактически реализуемый при достаточно
большом t (установившийся процесс).
Обратимся к исследованию движения при установившемся
режиме. Для упрощения письма введём безразмерные величины:
0 = -2 иГ0, r~z, To=,xt где /-0 = ^-.
Здесь 8 — логарифмический декремент затухающих
свободных колебаний вибратора, Т0 — период этих колебаний,
z — отношение периода импульсов к периоду свободных
колебаний, т — безразмерное время (вычисляемое в долях Т0).
Выражение (91) приводится к виду:
Х ^ " 2тои I — 2e*8* cos 2ад -|- efe Х
X [sin 2тсг cos 2тст ~\- (e%:i — cos 2-кг) sin 2тет],
что можно записать также в более удобной форме
х (т) = Hi _^==£=====^^ sin (2ж% 4-«), (3.92)
2wm "|/2(ch28z—cos2tcz)
где 0 < т < г и а определяется условиями:
e-8asin2jcz
sin а:
cos а
У2 (ch 25г — cos 2itz)
й5г — fi-8j!COS 1кг
\ (3.93)
У 2 (ch 26z — cos 2nz) ' J
из которых следует, что —„- < а < у (так как cosa> 0).
Экстремумам -V (т) соответствуют значения т = тт, обра-
dx „
щающие в нуль т-. Получаем:
ctg (2тето + <*)=-, 2irrw -f з = arc ctg - -f sir,
где arc ctg — < -н- и 5 — целые числа, выбираемые так, чтобы
хт заключалось в интервале (0, г).
§ 17] 5°. ДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ ПРИКЛАДЫВАЕМЫХ импульсов 189
Замечая далее, что
sin (2ях,„ + a) = -^=¾ ,
Vi+I
находим экстремальные амплитудные значения х(х);
S(S+'re"_S)
х Ы- (- 1Г S т-у^^щ-, (3.94)
где для краткости обозначено:
5 5
иго otg —
к к
««) =
/>+£
Определим, как будет изменяться х(х,т) в зависимости
параметра
замечая, что
dx (Ч )
от параметра г. Вычисляем для этого производную —^-^;
, sin 2nz 1 da d I sin 2m
tg a • — '
g2Ss — cos 2tiz ' cos2a dz dz \eif>- — cos 2-kz
после несложных выкладок получим:
sh 2bz sin 2itz
d I , a\ %
Tz{Z + ^)
ch 2bz — cos 2nz
Дальнейшее вычисление уже не представляет затруднений.
Находим
tfz 2 у 2да \ и2/
sin 2пг
X
(ch 2oz — cos 2-kz)
% -
Поэтому экстремумы амплитудных значений х (т) дости-
1 3
гаются при 2 = г, 1, уит, д. Параметр а при этих
значениях г по (93) будет равным нулю и из (92) следует,
ъ
что х (т) при z= ус (где & — целое число) меняет знак (k — 1)
190 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. Ш
раз за один период и имеет k экстремумов при значениях хт:
jo)_ , Ь («(о) , _1_ _№-и_ Jo) \_L(k— П
соответствующих s =s= 0, 1, 2, 3 k—1. Выражения .х (т)
и х (?'») при этом будут:
при нечётном k — 2n-\-l (я = 0, 1, ...):
*(*)■
sr,
-— - —\^-ГгГ- e-2ST sin 2-гст fo<x<?^-V);
*C#)=(-1)S
K-MilfL. (S-Q 1 2«V
2tcjw 1 Ц- fi
при чётном /г —2я (я=1, 2, ...):
*(t)
1
' 2дая 1 —-е-2'»5
_e^asTSIn27rx (0<х<я);
* (С) = (-1)'
6Т0 ф(5)а~"5
2кт 1 — е-а«5
(s = 0, 1,...,2я—1).
(3.95)
(3.96)
Рис. 23. Установившееся движение вибратора под действием
периодически прикладываемых импульсов для различных
— L
То
Из этих формул легко заключить, что наибольшее
отклонение вибратор получает при г—1, что соответствует
§ 17] 6°. ИМПУЛЬСЫ ПРОТИВОПОЛОЖНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 191
первому резонансу (Г = Г0); это отклонение получается из
(3.96) при s = 0:
*--£?/.(•>. Л(»>-£„*9=>Г <3-97)
При s=1 получается второе экстремальное значение
(минимальное):
*mfn=-irA(8). /2(S)-^s/i(8). (3.98)
которое по абсолютному значению меньше, чем хшш.
В приводимой ниже таблице даны значения функций
"И^)> /i (<0> ^(^> а на Рис- 23 показан примерный вид
графиков движения при резонаисах первого (z = 1) и второго
1 3 -1
{z = 2) порядка, а также для значений z, равных -^ и -к-.
Каждый график построен на протяжении соответствующего
периода (для O^x^z).
Установившиеся колебания выбратора под действием
периодических импульсов. Функции | {Ь), /i (8), /2 (§), /3 (В)
В
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ф(»)
0,952
0,907
0,865
0,825
0,788
/if»)
0,836
0,438
0,305
0,239
0,199
/2(¾)
0,756
0,358
0,226
0,160
0,120
/з (5)
3,185
1,592
1,062
0,797
0,638
В
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
ф(Ь)
0,754
0,722
0,692
0,664
0,638
/i(S)
0,172
0,153
0,138
0,127
0,117
/»(»)
0,094
0,076
0.U62
0,051
0,043
Л(»)
0,532
0,457
0,400
0,356
0,321
6° Рассмотрим теперь случай, когда к вибратору
через промежуток времени ^прикладываются
1 В первом издании этой книги был рассмотрен случай
совпадения периода импульса Т с периодом т'0 свободных колебаний
при отсутствии сопротивления (йГ0 = 2л) и получены формулы для
хшах и xmin. Они имеют более сложный вид, чем (97) и (98), и,
к сожалению, содержат арифметическую ошибку (в знаменателе
должно вместо 4 стоять 2). Поэтому числа таблицы на стр. 77,ука-
занного издания нужно увеличить в два раза.
192 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. Щ
импульсы одинаковой величины, но н а
правд е нн ые противоположно. Установившееся
движение вибратора будет иметь период IT и менять своё
направление через каждый полупериод. Для разыскания его
применим тот же метод, что и выше. Изображение Х(р) -ь-> х(1)
в данном случае будет:
в(р)
Х(Р)
1 + е
-])Т>
0 (п) = х°р (Р + ") + ^° + пх^р (1 + е~~1)Т) +
' \-Р' рг -}- 2пр -f- №
~T'lTi~ p*+2np+W (3-99)
и при /> Т имеем:
0 (р) -?---> » 0) = e~~nL { х0 [cos V + « cos kx (I— Т)] +
.+^±^L[sInV+«sln*1(f—701+^sInv}, (3.100)
где, как и выше, еп = и. Определяя х0 и л:0 из условия
тождественного обращения в нуль этого выражения, найдём:
S и sin k\T их0 + ^о . S_ l_-f^H_co_s ^Г ]
0 /ЙЙ! Д ' kv mkx Д j. /g jqjs
A=l-j-2«cosA!ir+?/2. J
Изображение искомого периодического решения получим,
подставляя эти значения в (99):
*W = ~ да • ^{1^Г+Ж [" *« й1 ?> (/> + ") +
+ (1 + и cos ^ Т) klP — ----=¾ /'/«1
1 -|- <? J
откуда
~ n{T-t) ■
х (t) = —=-7,-1¾ г-¥-т—?;[" sin Ы— sin/г, (Г— Л], (3.102)
при 0</<;Г; значения х(^) для Т<^<2Г получаются
нечётным продолжением (102) в этот промежуток; зная
же x(t) для первого периода (0, 2Т), находим его значения
для любого t по свойству периодичности.
§17] 6°. ИМПУЛЬСЫ ПРОТИВОПОЛОЖНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 193
Выражение для свободных колебаний x^f) вибратора
при нулевых начальных условиях находится с помощью
неоднократно применявшегося выше приёма; получаем при
всех £> 0:
х* W = *ЩГ tsin V+ »si" ki У—~П1- (3.103)
Эти колебания, конечно, затухают.
Предположим теперь, что импульсы сообщаются при
прохождении вибратором среднего положения (х = 0). Но, по
условию, моменты сообщения импульсов (считая, что
установившийся режим движения уже имеет место) равны 0, Т, 2Г,...
Итак,
х (0) = — х (Г) =. х (2Г) =,...= 0.
Приравнивая нулю приведённое выше значение х0, получаем
соотношение, определяющее Т\
т. е. импульсы должны сообщаться через полупериод
свободных колебаний вибратора. Подстановка в (102) даёт
теперь:
*® = ~T=F**mT' (ЗЛ04)
Таково будет одно из решений, именно периодическое
решение, отвечающее начальным условиям (101),
дифференциального уравнения движения вибратора при действии
импульсов постоянной величины и противоположного
направления, сообщаемых вибратору при прохождении им
среднего положения (х — 0). Как уже указывалось выше, именно
это движение и реализуется в установившемся режиме, так
как возникающие с самого начала процесса свободные
колебания затухают.
Следует отметить, что внешнюю силу (импульсы) мы
можем считать функцией не времени, а положения, так как
импульсы сообщаются каждый раз в определённом месте
13 Зак. 2057. А. Лурье.
194 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
(при прохождении равновесного состояния). х Поэтому
дифференциальное уравнение движения вибратора можно
записать в форме
•■ S
х -4- 2пх -4- №х = — <з1 {х) sgn х,
и в предшествующем изложении дан приём, позволяющий
в некоторых частных задачах обходить трудности,
возникающие при разыскании периодических решений подобных
уравнений. Эти периодические движения называются
автоколебаниями; колебания этого рода, несмотря на наличие
силы сопротивления, не затухают, а поддерживаются за счет
сил, зависящих от состояния движения самой системы;
амплитуды автоколебаний определяются свойствами системы, а не
начальными условиями.
Для определения амплитуды заметим, что х {I) обращается
в нуль при
, , Т , пТ
^ = ^ = —arcctg —,
'" 71 ь ТС
т
откуда следует, что tm < -у.
Подстановка в (104) даёт:
8 8
arc ctg —-
= !± L_e =1±/(8), (3.105)
■*max m% 1-й-8 Г 5» mJiKJ
V l + &
где Ъ — пТ—логарифмический декремент затухания
(напомним, что через Т теперь обозначен полупериод свободных
колебаний).
Значения /3 (8) приведены в таблице на стр. 191.
7°. Рассмотрим вибратор, на который действует сила,
имеющая постоянную величину/0, при
движении вибратора со скоростью, направленной
1 Рассматриваемое движение можно осуществить, снабжая
маятник спусковым механизмом, при действии которого маятнику
при прохождении им равновесного положения сообщаются импульсы
определённой величины, направленные в сторону движения (схема
часов).
§17] 7°. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ В ТЕЧЕНИЕ ПОЛУПЕРИОДА 195
в положительную сторону оси х; сила
обращается в нуль, когда вибратор движется в
противоположную сторону.
Пусть t — О, t = t2, t = tit ... —моменты времени, когда х
становится равным нулю, переходя от отрицательных
значений к положительным, a t==tl, t = t%...— моменты, когда,
обращаясь в нуль, х переходит от положительных значений
к отрицательным. Тогда
/(9=/о[°о(') — °о(' — fi)+°o(' —'а)— ■••]. (3-106)
и уравнение движения вибратора (считая его массу, равной
единице) будет:
х -|~ 1пх ~|~ №х =
=/о[°о(0-°о(' —М + ооС —У—•••].' С3-10?)
где tu tu ... заранее не известны. Это же уравнение можно
было бы записать в виде:х
x-\-2n'x-\-k4 = \fQ{\-\-sgxix), (3.108)
но для применения операционного метода решения следует
взять форму записи (107), в которой правая часть
представлена как функция времени.
Рассматриваемая система неконсервативна, имеются как
диссипативная сила (слагаемое 2пх в уравнении движения),
так и сила, поддерживающая движение и возникающая
вследствие этого движения. Это даёт основания предположить
возможность существования автоколебательного режима, в
котором расход энергии будет равен её притоку.
Итак, предположим, что (107) имеет периодическое
решение с периодом Т; тогда скорость х будет обращаться
в нуль через одинаковые промежутки времени. Пусть tQ —
момент времени (t0 < Т), когда х переходит от положительных
1 К этому уравнению сводится задача о колебаниях в ламповом
генераторе в случае /-характеристики. См. А. А. Андронов
и С. Э. Хайкин, Теория колебаний. ОНТИ, 1937, стр. 164—177.
13*
196
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. Ill
значений к отрицательным; в (106) имеем t1 = t0, (2 = Т,
ts = t0-\-T и т. д. Получаем:
1_е-Л
/(')«+-/о-J—^т
Изображающее уравнение имеет вид:
(3.109)
1 __ о—/"-о
(р*+2пр + к*)Х(р)^х0(р*±2пр)±/0±-^. (3.110)
Слагаемое, содержащее х0, отсутствует, так как при
t = 0 скорость по условию обращается в нуль. Получаем:
Х(р):
в(р)
1-в-*2"
(3.111)
@(р)
с КР) — Ч pi+2np+k* u }^Jop*+2np+№' J
Для построения периодического решения ft (t) <-
должно обращаться в нуль тождественно при t^> Т:
& (t) = xQe-wt {cos kxt — и cos kx (t — T)\ -\~
■\--j- {sin/e/ — и m\kx (t— T)\
J$e~nt {COSA^—«qCOS^^—^0)} -\-
-f-^-{sin krt — tt^\xikx(t —t0)} , (3.112)
где обозначено u = enT, u0 = ent\ Приравнивая нулю
коэффициенты при cos£^ и sin kxt, получаем два уравнения,
связывающие три неизвестных х0, t0, Т:
Ч — -к%
№
, 1-(¾ {cos kxt0 — —- sin k^A
1 — a (cos ^i Г—j—slnkxTj
, 1 — «o (cos kttu + -jj- sin /¾ J
- a (cosftxr-j—— sin Ai7"J
(3.113)
§ 17] 7°. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ В ТЕЧЕНИЕ ПОЛУПЕРИОДА 197
Отсюда после некоторых преобразований получаем
соотношение, связывающее t0 и Т:
HQSink-jiQ
и sinkj^T
1—«Ocos^p 1 — ucosk-^T'
Из (113) теперь находим:
___ /0 Щ Sin k-jtg
х°~~ № uslnkxT'
Подстановка в (111) даёт изображение Х(р):
(3.114)
(3.115)
■ р2 -\- 2пр ( и0sin kxtu
1 — e~pt» ч ■
(3.116)
1 р2 -f 2пр 4- к2 V и sin kt Т
откуда находим при t^.t0:
x(t) =
ft2
X
(0-^(1-?^)«-*^^ (3.118)
и ^, определяется из условия, что я (^) = 0. Получаем:
^4, = те. (3.119)
Из (114) теперь следует
^7 = 2^, (3.120)
т. е. период автоколебаний равен периоду затухающих
колебаний вибратора. Далее, из (115) и (114) находим:
Xq:
1
А
(3.121)
198 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. Ш
где Ь = -^пТ—логарифмический декремент затухающих
колебаний. Возвращаясь к выражению (116) для Х(р), получаем:
1
Х(Р)~%
р5 + 2пр
рТ
р1+2пр+1г2
рТ
1+е
(3.122)
и начальная функция будет:
x{t) =
А
1
/о
ft2 <?5—Г
и// 2itf , 6 . 2пЛ Т . . ^ _,
(3.123)
Эти формулы определяют режим автоколебаний. Максималь-
Г
ное отклонение вибратор получает в момент ^ = --:
&--?— (3.124)
х„
№ <?3—Г
8°. Рассмотрим, следуя А. Н. Крылову,1 пример
колебаний корабля на зыби, когда последовательно
проходящие волны разнятся по своим периодам и амплитудам.
Качка на такой системе волн имеет существенно иной
характер, чем на правильной зыби. А. Н. Крылов объясняет
это тем, что „для каждой волны начальными условиями
служат значения ср и ® (угла отклонения корабля и угловой
скорости) в конце предыдущей волны. Эти же значения
образуются не только от свободных колебаний, но и от
вынужденных. По этим значениям определяются для каждой волны
соответствующие произвольные постоянные. Таким образом,
свободные колебания с проходом каждой волны как бы
обновляются за счёт вынужденных".
Уравнение колебаний корабля интегрируется для каждой
проходящей волны по отдельности и произвольные постоян-
1 А. Н. Крылов н Ю. А, К р у т к о в, Общая теория
гироскопов, 1932, стр. 93.
§ 17] 8°. РАСЧЕТ КАЧКИ КОРАБЛЯ 199
ные последовательно определяются по начальным условиям,
вычисляемым из рассмотрения движения на предыдущем этапе.
Чтобы просчитать таким образом эффект действия я волн,
нужно определить 2я произвольных постоянных. Метод
операционного исчисления позволяет избежать этого и тем
значительно сокращает вычисление.
Назовём через 7\, Та, . .. периоды первой, второй и т. д.
волны, через av ай . . . —соответствующие волновые склоны.
Отсчёт времени ведём от начала прохождения первой волны;
.у-ая волна проходит в промежутке времени
7\ + Га+. • • + ^-1 = ^1^-^ = ^1+^ + • ■ • +7V
Возмущающий момент, создаваемый этой волной, можно
представить в виде
Л V) = &ЧК V—*e-i) sIn °>s ^-^.-i)—°0(*— *в) sincos (t—Q],
где cos = -~r- и k2 — квадрат частоты свободных колебаний
корабля.
Из этой записи следует, что при t<^ta_1:
Л (0 = 0;
при ^s_i<tf<£8 имеем:
/в(0 = йалвапмя(/—/e_j)
и, наконец, при t > ta = t . -| :
(Og
/„ф == tfto^sln me (* — <,_!) — sin ^^--^„i— —.) =0,
что и требуется. Но по теореме запаздывания:
о0 (/- tx) sin со, (i - tx) ^-. e-Ph -|~Ц
Р +шк
и, следовательно:
/ДОч-^а^-Р'^а-*-^)-?, ,
;!
200 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. Ш
Уравнение колебаний корабля записывается в форме:
п
ф + 2щ + k?y = 2 Л it), (3.125)
8=1
и соответствующее изображающее уравнение при ®0 — ®0 = 0
будет:
Ф(/?)(р2 + 2я/7 + /г2) =
- »
.4ШЭ пй -J- о)""
6=1
я» + .
(3.126)
(в этой записи t0 = 0).
По (69) имеем:
po>s
^ ^ [sin К*+ Тв) + -^ е-»' sin (^ + У] .
где Xg, ys, 8g даются формулами (68) с заменой со на cog
Обозначая теперь
(^ + ^)(^+2^ + ^)
находим:
0 при *<*g_j;
«Л {sin К С— 4-i) + Т«] +
+ |le-.(*-*e_1) sin [ft] (/-^,)+8j}
при 4-i<^<4;
«Л -¾ в~яC-'«-i) {sin [ft, (*-*._,) + 8„] ~
— e"ys sin [/г, (г — ts) + 8S]} при *s < t.
Поэтому при tm_x^.t^.tm имеем:
»s—i
?(0== 2 ?я(0+ ?»('),
• ?. (0.
% (0 ■■
(3.127)
(3.128)
§ 17]
8°. РАСЧЁТ КАЧКИ КОРАБЛЯ
201
причём последнее слагаемое вычисляется по второму
выражению (127), а слагаемые под знаком суммы — по третьему.
Из этой общей формулы можно получить ряд
интересных частных случаев, задаваясь тем или иным законом
изменения возмущающей силы.
Просчитаем, например, следуя А. Н. Крылову, процесс
прохождения нескольких волн с одинаковыми волновыми
склонами, но разнящихся друг относительно друга по периодам:
7^ = 8,2 сек., Т2 = 7,7 сек., :Г3 = 7,5 сек., Г4 = 8,5 сек.,
Гв = 7,7 сек.
Период свободных колебаний корабля примем равным
Т= -£-= 12 сек., п — 0,05k = 0,026 1/сек. Значения
постоянных X, у, 8 и других, вычисленные по этим данным,
приводятся ниже.
№
1
2
3
4
5
<os 1/сек
0,767
0,816
0,838
0,741
0,816
ШИ ^ <°S
kt k
1,46
1,55
1,60
1,41
1,55
h
0,89
0,74
0,67
0,01
0,74
Ys
—3,01
—3,03
-3,04
—2,90
—3,03
6S
0,088
0,071
0,064
0,101
0,071
enTs
1,51
1,47
1,45
1,53
1,47
hfs
4,31
4,05
3,93
4,46
4,05
По (128) получаем:
а) при 0<!^-<!8,2 сек. (первая волна):
^= 0,89 sin(0,767*—3,01)-f 1,30e~°.oaMsin (0,525^ + 0,088);
б) при 8,2 сек. <^<! 15,9 сек. (вторая волна):
-^-= l,30e-°-038[sin (0,525*4-0,088) —
— 1,51 sin (0,525/1 + 0,088-4,31)] +
-(-0,74 sin (0,8Ш — 3,03 4-0,816 • 8,2) +
— l,73e-°'02Msin (0,525^4- 0,071 —4,31),
202 ПРИЛОЖЕНИЯ к задачам механики [гл. Ш
в)-при 15,9 сек. <^-^С 23,4 сек.:
-3^ = 0,89 • l,46e-°'MM[sin(0,525/ + 0,088)-
— 1,51 sin(0,525/ + 0,088 — 4,31)] +
+ 0,74 • 1,55е-0'02(Н'-8'3> [sin (0,525/ + 0,071—0,525 • 8,2) —
— 1,47 sin (0,525/ + 0,071 —4,05)] +
+ 0,67 [sin (0,838/- 3,04— 0,838- 15,9) +
+ е-о,озв(*-1Б,9) 1,60 sin (0,525/+ 0,064 — 0,525 • 15,9)]
и т. д.
§ 18. Применение операционного исчисления к задачам
об изгибе стержней
1°. Основные уравнения теории изгиба
стержней. Приведём в возможно краткой форме вывод этих
уравнений.
Ось х направим по оси стержня, т. е. по линии центров
тяжести поперечных сечений, ось у — по одной из главных
осей инерции. Будем
1 1 —-—— jc рассматривать изгиб
у ь+du стержня в плоскости
' ' ху, вызываемой рас-
' р/У т
-*-—A^v.?: ! ^ пределённой
лч.™ i пределённой попереч-
Tjm^^^L,, ной нагрузкой q и рас-
„^j ' ппе/те.лённой момент-
' t+dt
9
пределённой момент-
ной нагрузкой г на
единицу длины оси
стержня. Напряжения
в любом поперечном
сечении стержня ста-
Рис. 24. К выводу уравнений статики тически эквивалентны
стержня. растягивающей силе я,
перерезывающей силе /
и изгибающему моменту т. Поэтому на выделенный
элемент стержня dx в деформированном состоянии будут
действовать силы и моменты, показанные на рис. 24 (если силы
и моменты имеют направления, показанные на этом
рисунке, то п, /, т подржитрльны). Составляем три уравнения
§18] 1°. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ 203
статики — два уравнения проекций на оси х и у и одно
уравнение моментов:
dn — 0, dt-\-qdx — 0, dm — tdx -j- я dv -\~ r dx — 0
или
я— const, f-\-q — Q, m' — t-\~nv,-\'r = 0.1 (3.129)
К этим уравнениям присоединяется основное соотношение
теории изгиба, выражающее пропорциональность кривизны
оси изогнутого стержня изгибающему моменту
EIv" = — m. (3.130)
• Средства операционного исчисления позволяют с большой
простотой трактовать случаи загружения стержня нагрузками,
не описываемыми единым аналитическим законом, по длине
стержня, сосредоточенными силами и сосредоточенными моментами.
Пусть на участке стержня (£, £ -f- я) действует равномерно
распределённая нагрузка q0; это можно выразить такой
записью:
д (X) = q0 К (х — \) - а0 (х - X - я)] чЧ- q0e'f* (1 — в"**).
Допустим, что отрезок я, по которому распределена
нагрузка, стремится к нулю, но при этом одновременно
интенсивность нагрузки возрастает так, что произведение q0h
сохраняет постоянное значение Q0; в пределе при /г->0 мы
получаем то, что называется силой, сосредоточенной в точке
х~%; итак, действие такой силы можно учесть, включая
в распределённую нагрузку слагаемое
цт qh ftti£=Jlziji£=i=A). =
== Q<y°i С-ж — 0-4- Qp«-**. (3.131)
Рассмотрим действие двух сосредоточенных сил: силы Q0
в точке х =i и силы (— Q0) в точке x = Z-{-h; в этом
случае в нагрузку q(x) нужно включить слагаемое
QoM* —0—°i (* — * — *)]• (ЗЛ32)
1 Применение обозначений т, t и т. д. вместо
общеупотребительных прописных букв объясняется тем, что последние будут
обозначать изображения соответствующих величин: М(р) —$->■ >п {х),
Т{р) -=-> Цх) и т. д.
204 ПРИЛОЖЕНИЯ к ЗАДАЧАМ механики [гл. III
Эти силы образуют пару с моментом R = QJi. К
понятию сосредоточенного момента в точке х = $ приходим,
полагая, что h-+0, но Q0 возрастает так, что Я сохраняет
неизменное значение; совершая в (132) этот предельный
переход, получаем:
HmQoAM£ZZ«)-M£=blAI_
?t=o
h
= /?а2 (х — S) чЧ- #Р2<? -**• (3.133)
Итак, сосредоточенные силы и моменты можно включать
в распределённую нагрузку, используя импульсивные функции
первого и второго
порядка.
2°. Рассмотрим
несколько простых
примеров.
а) Построить упругую
линию консольного
стержня ступенчатого
поперечного сечения; стержнь
нагружен в точке х = £
сосредоточенной силой Q0
(рис. 25).
В данном случае
tf(*) = Qo°i С*—*) -н-
Рис. 25. Консольный стержень со
ступенчато-изменяющимся
поперечным сечением.
и дифференциальное уравнение для перерезывающей силы
будет:
^¢0 = -Qo°i (* — &)•
Его изображение записывается в виде:
pTip) = ptq — Q0pe-P\ T(p) = t0 — Q0e-Pt.
Ясно, что опорная реакция t0 в данном случае равна Q0.
В уравнении моментов (129) в рассматриваемом случае я = 0,
/■ = 0. Поэтому
рМ(р)=*рщ+Ь— Q0e-iA,
W, следовательно,
(QqX при х < i.
■ QpS при х > 5
§18]
2°. ПРИМЕРЫ
205
При х = / (на правом краю стержня) должны иметь
т — 0; значит, m0 =— Q05.
Итак,
— <20($ — х) при х<$
О при х> £
/и(х) =
Теперь получаем:
v (х) = ff-
т (х)
т (х)
при х < /0
при /0 <х < /
и надо различать случаи: 1) /0>$ и 2) /0 < $.
В первом случае
„,, [&$-*) прих<5;
V (х) = •( £/0
^ 0 при х > \
и, что само по себе ясно, наличие изменения момента
инерции не влияет на форму упругой линии. Во втором случае:
'$„<«-*)
*'(*) ==/(*) =
&(«-*>
при X < /0
при /0 < X < $
_ 0 при 5 < х
Изображение правой части строим по (1.91):
Eh IV " Р
и изображение уравнения изгиба будет
р
так как для консольно закреплённого стержня v (0) = v' (0)=0.
206
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. Ill
Получаем
6
v (х) = •
£/<Д2
при 0<х </0
Я/,Д 2 6;"+"VE/0 ElJ 2 *
X ^-10 — j(x — lo) при/0<х<$
, Q (х — ?)з . . .,
то же самое -+- 57- -—^—^ при i; <. х .^. /
£/1 6
б) Второй пример представлен на рис. 26
Рис. 26. Балка на двух опорах со ступенчато-
изменяющимся поперечным сечением.
Вследствие симметрии достаточно рассмотреть половину
балки 0 < х < -п .
Изгибающий момент будет
откуда следует
f
v"{x)^f{x)=\
г \ Qx
Q х
2 Eh
Q х
2 '£/„
х< 2
^<*<Т
18] 2°. примеры
Имеем по (1:91):
207
F{P)
Q Я 1
Д,
!_1 ' —4Л.-
р ' 2
р (г—г0) _,
i+
'о
~Р1
Замечая далее, что v (0) = 0, получим:
^) = ^ + 7^(/0-
Остаётся перейти к начальным функциям:
о (х) = г/0х-
Q*3
12Я/„
при X <
/ —/п
WW = ^-W„+1^0-^^- 2
W. '~'<Ла
(х + /—/0)
при
I—I
'й-<х<4>.
Постоянная v0 определяется из условия v (-^)=0.
Получаем
i QPx f\ __£ x-
WEIa
3 P
1 '^Qlpxfj k
/J 8£/<A 2
при X <
/ — /n
*(*)-={ П/2
Off Л _±*!Л_| Л _Z»
16£/Д 3 /!/1 V h
M QV-k>
48£70
при —2~ < a: < j,
в) Третий пример представлен на рис. 27. Отбрасывая
опору, заменяем её действие сосредоточенной силой Qv Это
•позволяет составить выражение нагрузки в форме
д (х) = Qa3 (х — ~j — Ql0l (л - 0 «-г- Qpe а — Q
ipe-P1.
208
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[гл. iii
о<*<¥
Изображение уравнения моментов будет: •
р*М(р) = р*щ-\-рщ—р(<2е * — Qje-P').
откуда следует, что
т0 -\~ гщх
(х) = . т0 + щх — Q(x— -0 2"<х</
т0 -f- т0х — Q (х — -к) -Ь Qi ix — 0 / <! х <; 2/
Постоянные т0 и т0 определяются из условий на
т>
~Ъг.
4 1.
Т"
-I-
Рис. 27. Консольный стержень с промежуточной
опорой.
свободном конце стержня m0 (2/) = 0, т(21) = 0; получаем
что, впрочем, ясно из -простых соображений статики. Теперь
находим:
1 • —
Р
М (р) = Q
„< + ^-(1- е-)
-Qi[-t + j(i—->1)]-
Учитывая, что v (0) = 0, v'(0) = 0, получаем
изображение уравнения изгиба (130):
1/(//),
М[р)
ЕГрЪ '
§ 18] 3°. ИЗГИБ СТЕРЖНЯ, СЖАТОГО ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ 209
Переходя к начальной функции, получим:
El v (х) ==
'-«(-т+Й+^-т+Й "-''
0<х<-
п\ lx* , х<> (^-0,5/)3] , п I 1х* . х\ I . w
„ Г 1х9- . х*> (х — 0,5/)'Л . „ Г 1х* -л* (л: — /)31
— Q{-~ Х+-6 6—J + Q4~"2~+"6 6~=J
/<л"<2/.
Неизвестную Q3 определяем из условия v (/) = 0; нахо»
5
дим Q1 = Y^ Q и далее
И3'*2-И .
16
Q
32 £7
_5
96 £7
32лЛЛ '
/ < Л < 2/
3°. Как ещё один пример рассмотрим задачу об
изгибе стержня, сжатого продольными силами
I-
Рис. 28. Изгиб стержня, сжатого продольными силами.
и нагруженного в середине сосредоточенной силой Q. Из
(129) и (130) получим дифференциальное уравнение изгиба:
Elv™ =q-\-nv".
(3.134)
14 Зак. 2057. А. Лурье.
210 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. !!!
В данном случае (сжатие) имеем:
п = —Т, q(x) = Qaj ^х — -jj ч-f- Qpe а ,
и изображающее уравнение будет
■ p4p*+V)V(p)=-§-/pe~^ + v'(0)p(p* + )fi)+pv'"(0),
где приняты во внимание условия на левой опоре v(0)=« О,
■я"(0) —О и обозначено \2=-р-.
Тогда
у(пЛ. Q е 3 ,У(0), У"Щ
и, имея в виду, что
1 1/1
55=^)-Н-р(*-ТГ81пХл:)
получим, ограничиваясь по симметрии рассмотрением левой
части балки,
v (х) = ^ (0) х И- гГ (0) • х*-упЧ.
Для определения постоянных v' (0) и v'" (0) используем
условие v'(-^)== 0 и уравнения (129) и (130); последние
Q
в нашем случае при t = ~ дают
гГ(0) + XV (0) = -5¾
2£Г
Получаем
г, Г) l ~C0S "9
о'" (0} = ^ о' (01 = —" -
w OE.r X/' w ^ 2EA* X/
2£7 cos у cos -=■
и, следовательно:
w f«I _ ^£1 _L_ /Jinx* , >
v W — 2EI (X/)« cog U _ X
§ 18] 4°. ИЗГИБ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 211
В частности, прогиб в середине балки будет:
I 1\ ы ig£ — 5 (4 QP , Щ
°(l) = 3/V, (/ = 4817- $=2J>
где / обозначает прогиб при отсутствии сжимающей силы
При £=-н-, т. е. когда Т достигает эйлерова крити-
ческого значения —*-, прогиб неограниченно возрастает.
4°. Все рассмотренные выше примеры были весьма просты.
Они приводились лишь с целью пояснения метода, так как
решение их обычными средствами сопротивления материалов
не представляет затруднений. Экономия труда, достигаемая
применением операционного метода, становится вполне
наглядной при переходе к более сложным задачам. Из них в
первую очередь рассмотрим задачу об изгибе балки,
лежащей на упругом основании, тем более что всё
необходимое для этого уже подготовлено в 7° § 3.
Во внешнюю нагрузку q (х) теперь надо включить
реакцию упругого основания. Уравнение изгиба (134) будет иметь
вид:
Eh™ {x) = — kv{x)-\-q{x) (3.135)
и его изображение будет
V(p)(pi-Jr-4ai) = v(0)pi-Jrv'(0)pt-^.
+-^(0)^ + ^(0)/7+¾). (3.136)
k
где обозначено 4а1 = -щ; две из четырёх постоянных
v (0), ..., v'" (0) сразу определяются из условий на левом
крае балки. Итак,
i '" Р ■ Q(P) Р rq107^
+ v° рт+ы + -трГ-£ПЕШ> (ЗЛ37)
141!
21.2 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. l!i
откуда по (1.53) и по теореме свёртывания сразу же
следует известное решение А. Н. Крылова:
f It
v (х) == VoY, (ах) + ™ Г2 («х) + -¾ Г8 (ах) +
'" 1 р
Л-^УЛ^)^Шл\У,(аХ-~а1)д(%)йЧ. (3.138)
о
Две остающихся постоянных определяются из условий
на правом крае балки.
Конечно, частное решение, т. е. последнее слагаемое
в (138), назовем его v* (х), не обязательно находить по
теореме свёртывания — часто гораздо проще его составить
непосредственно, зная изображение нагрузки Q (р) -; > q(x).
Пусть, например, q (х) = q0— const. Получаем
V*(p) = M. 1 = ~Я*-(\ SLJ)_^
KFJ El р* + 4а* 4<x*£/\ p4 + 4aV
-^4^11-^^)1 = ^(^)-
Если равномерная нагрузка распределена по части
пролёта (хи XrJ, т. е.
q = ?о К (* — «,) — °0 (х — х2)] <-~ % (в-ри' — е~ря>),
то найдём
^* (/О = 5Й7 [0 - рГТЗ») e-№ - (1 ~ FT^) е ^]
и, значит:
0 при 0 < х < xt
1 — Y1 (ах — axt) при xi < л; >< х2
Kj (ax—«х2)—Kj (ax—aXj) при x2 < x < /
0* (x)
<?0
Наконец, при наличии в сечении х =£ сосредоточенной
силы Q0 и сосредоточенного момента /?0 имеем:
q (X) = QqOj (х — 5) -|- /?0a2 (x — ft ч-Ь- (Q0p + R0p2) e~v%
§ 18] 4°. ИЗГИБ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
и соответствующее частное решение будет:
213
при х<£
Elv* (
.3.
У^(ах— «Ю + ~т Уа(«х-+-а£) при Ч < х
Как пример, рассмотрим схему загружеиия, приведённую
на рис. 29; края балки свободны (железнодорожная шпала).
ШШШШ%ШШ?тЯ?Ш5Ш%\
L»- а •—I
■Л
I— й
Рис. 29. Пример изгиба балки на упругом основании
(железнодорожная шпала).
Достаточно вследствие симметрии рассмотреть лишь
половину балки; по условию имеем v" (0) = v'" (0) = 0. По (137)
получаем:
f О х<а
•о(х) = о0 К, («х) + ^ Г2(«х) +1 Jp_ у4 (ях_аа) а<х<1
Остающиеся постоянные находим из условий •»' (/) = О,
if" (/) = о, выражающих, что в середине балки прогиб и
изгибающий момент достигают максимума; по таблице
производных функций А. Н. Крылова получаем:
4ю0У, (а/) -^ У, («О =~ Уь{а1-аа),
4vn
Оо
Тогда:
v.
4«<Л («О 4""Г Гв(«О = ее-, ^ («'- ««)•
Qo _ 4FB (а/ — ад) Fa (а/) + Ft (а/ — ад) Yt (а/)
Sh 2а/-|-Sin 2а/
_ 4Q0 Ft (a/ — ад) F4 (я/) — FB (а/ — аа) F2 (а/)
V° ~ Ё№
О ' Д/ч«
sh %a.l -(- si(i 2а/
214
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. !!!
и нахождение числовых результатов при заданных al и ail
теперь не представляет труда.
Заметим, что к полученному выше значению v (х) следует
добавить слагаемое Qjkl, выражающее смещение балки как
твёрдого тела.
§ 19. Применение операционного исчисления к задаче
изгиба тонкой плиты
Дифференциальное уравнение изгиба плиты имеет вид:
ЛДто = 1<7(х, у), (3.139)
где N—-цилиндрическая жесткость, q(x, у)—-нагрузка на
единицу площади плиты, w (х, у) — смещение точек средней
поверхности плиты; через А = —+ ^т обозначен оператор
Лапласа. Найдя w, далее выразим по известным формулам
изгибающие и крутящие моменты и перерезывающие силы.
В полярных координатах г, ср дифференциальное
уравнение (139) имеет вид:
^ + 7^ + ^^ + ^^ + ^-^)-^^(^7).(3.140)
1°. Начнем со случая симметрично нагруженной
круглой плиты: q = q (г). Дифференциальное уравнение
изгиба будет:
(<Р 1 d\(d?w . 1 dw\ 1 ., ,„,.,,
Ka^ + Tdr){w^JrTw) = N(l{r). (3.141)
Вводим новое независимое переменное
г = Гое-*, (З.Н2)
где г0—-радиус внешнего края плиты; при возрастании г от
нуля до г0 переменная t убывает от оо до нуля. Получаем
формулы дифференцирования:
dw 1 , dhi) 1 of г tr i r\
dr r0 dr* /"o
. ., d2w . 1 dw 1 „, „ d . 1 ,.,, да . n „■.
«VJ /■ rfr rj dr го
где штрихами обозначены производные по (,
§ 19] 1°. СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННАЯ КРУГЛАЯ ПЛИТА 216
С помощью этих формул получаем выражение
изгибающих моментов gr и gy и перерезывающей силы я,.:
\dr*
dw\
mr dr J
N
2* [ w"
•w');
g9:
:—N
cPw
1 dw
mdr2
•V
r dr J
N „t ( 1 „
/И 1
■W
(3.143)
. ,d&W N „, , m , n rr\
nr=-~ N = -g- e8* («Г -f- 2и>"),
dr r0
где /» — число Пуассона. Дифференциальное уравнение изгиба
(141) примет вид:
4 4
wiv _|_ 4«Л -f 4w" -~jje-**q (г0е~ь) = ,-^- е-« q* (t). (3.144)
Рассмотрим случай загружения плиты силами,
распределёнными по окружности радиуса р = /-0е-т. Чтобы найти
изображение этой нагрузки, сначала предположим, что плита
равномерно нагружена по площади кольца с внешним
радиусом р-(-й и внутренним р:
р = Гое-\ р + А = Гов-С—)«Гое-«(1+в), s^A-
г
Далее можно написать соотношение:
Я* (0 = % 1°о С— т + s) — °о {* — т)],
выражающее, что
О при 0<^О—-е или /■0>/">р + А,
<7о ... *—t<t<x „ р4-й>/->р,
„ х < * < оо „ р > /• > 0.
<7* (О
_|
О
Получаем:
q*(f) ч-1- %[е-?1 О-») — е-?"] »» 2«* «-*" *!!LziL
216
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Полагая теперь, что s-»0, причём lim q0k = S, где 5
обозначает нагрузку на единицу длины, получаем:
д* (t) ++. -?-ре~Р*
и, следовательно, по VIII табл. 1:
-it л*
Я*® ++-J.f+-4 (р + 4)*-<*+* = 2е?р*-Р*. (3.145)
Изображение дифференциального уравнения изгиба (144)
будет:
р» (р + 2? W(p) = ^ ре-Р* + w0p*(p +2)»-f w'0p(p + 2)2+
+ Wop (p -f- 4) -J- w'o'p,
rrr
где w0, ..., Wo —значение w и его производных no t при
г — /"о. т. е. на внешнем крае плиты. Тогда:
Sff
QVSHpl
*(Р)-ЪриФр + ч +
Wn
, _5 , " р + 4
(3.146)
Из (143) имеем;
«/о=-
го5»- , да—1
N ' m /"0«о;
J „о о,и
(3.147)
«Г го«° ,2/-02^ 2(« —1)
где gv, и,.' «о —значения на крае г = г0 изгибающего момента,
перерезывающей силы и угла поворота; из четырёх величин
w0, gr, nr, а0 две известны; поэтому в (146) из четырёх
постоянных w0, ..., Wo неизвестны будут только две.
Начальные функции для изображений в выражении (146)
были построены в § 4 как пример на применения второй
§ 19] 1°. НЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННАЯ КРУГЛАЯ ПЛИТА 217
теоремы разложения. Воспользовавшись приведёнными там
результатами, получаем:
при 0</<т, т. е. л0>л>р:
w = w0 + w0/+ w"o(t— 4- + -3 te~2t + Je"^J +
+ j wo" (/— 1 +fe-« + e-«);
при т</<оо, т. e. p>r>0:
w = w0 + «& + w0(f— -§ ^+ -g- fe-«*+ §«-*) +
1
+ -^ w0 (/—1+*«-«* +e-*) +
4/V
+ ¾ ['-x-1 + (/-'c) *-2 (*-) + в-9(*-т)].
• (3.148)
Две остающиеся произвольные постоянные определяются
из условия на внутреннем крае г = гь т. е. при t = t1 =
:1П
[о
В случае сплошной плиты, в её центре, т. е. при t -* со,
должны оставаться конечными прогиб w и его производные
по г до третьего порядка; это приводит к требованию
обращения в нуль слагаемых, содержащих t и te-2t, и даёт два
условия:
w0 + w0 +^- wo
1 " , 1 '"
-j Wo + j Wo ■■
Sp»
Sp'o2 1
(3.149)
AN
Рассмотрим, например, сплошную плиту, внешний край
которой защемлён. Имеем w0 = Wo = 0 и из (149) находим
tt in
w0 и Wo . Подставляя в (148) и возвращаясь к переменной г,
получим:
w (0 ^ $[^(1-^) + ^ (л р)'
(3.150)
218 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
где для простоты письма принято г0=1 и введено
обозначение
w, . [(P^^lnp-p'+z-9 r<P,
Имея это выражение, легко составить выражение прогиба
сплошной плиты с защемлённым краем под любой
симметричной нагрузкой; для этого в (150) заменяем S на q (р) dp
и производим интегрирование по р в пределах (0, 1).
Получаем:
1
6
)• 1
+ 1п г J (ря + л») q (р) р dp + /'2 J (1+ In р) pq (p)d? +
О )•
l
+ J(lnp_l)p8^(p)dp
г
Аналогично рассматриваются другие случаи закрепления
краёв плиты.
2°. Рассмотрим теперь задачу об изгибе круглой
плиты несимметричной нагрузкой:
оо
Я (г, <р) = ?„(,) + ^ [q% (г) cos iiy^qtfir) sin пу]. (3.152)
я = 1
Прогиб w будем искать также в виде
тригонометрического ряда:
оо
w (г, <?) = w0 (г) + 2 [™п (О cos «ср + w%a дар]. (3.153)
Первое слагаемое w0 (г) определено в предыдущем пункте.
Для определения коэффициентов при cos и» и sinwcp
получаем дифференциальное уравнение:
^J-ii_'^4 + i*?!L_iLl (г) (3 154^
§19] 2°. НЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННАЯ КРУГЛАЯ ПЛИТА 219
причём для простоты мы отбросили индексы (с) и (s). Это
уравнение подстановкой г = е~* (мы опять полагаем /-0=1)
приводится к виду:
wl„ -j- 4% -j- (4 — 2я2) w'n — in2w'n-\- (и4 — in2) wn —
= ^e-«^(e-*). (3.155)
В случае нагрузки, распределённой по кругу радиуса
р = е-т, можно, как и выше, написать:
где 5(<р)-—■ нагрузка на единицу длины. Нужно разложить
5(ср) в тригонометрический ряд. Мы рассмотрим случай
силы Q, сосредоточенной в точке г = р, зд = 0. Тогда р5(<р)
можно представить как периодическую функцию периода 2тс,
изображаемую при 0 < со <; 2к с помощью единичного
импульса Q0°i (?)■ Поэтому изображение 5(») по (1.97) будет:
где буква s (вместо р) применена для составления
изображения по переменной ср.
Чтобы найти начальную функцию для этого изображения
в форме тригонометрического ряда, воспользуемся второй
теоремой разложения. Поступая, как объяснено в 11° § 5,
получим:
со со
71=1 П = 1
причём ряд в правой части, конечно, расходящийся; но им
можно пользоваться в дальнейшем решении подобно тому,
как мы пользуемся понятием единичного импульса.г Итак,
в сл)чае сосредоточенной силы:
со
?(r,cp)^^-2(l + 2 ^cosn^pe-p-- (3.156)
n = l
1 Этот ряд суммируем в среднем по Фейеру. См.
Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, III. ОНТИ, 1949, стр. 751.
220 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ механики [гл. III
и, значит:
и по (155)
e-«qn(e-*)*+-№pe-t»
Пусть внешний край плиты защемлён, т. е. wn (0) = О,
Щг (0) = 0. Определив Wn (р) из изображающего уравнения,
соответствующего (155), получим:
xvr 1 \ Ой?гре~Р^ , "/пчР2+4» , "'т\ Р
Пи (р) = pi -f 4р3 + (4 — 2/г2) р2 — 4я2р + и4 — 4и2.
Начальные функции были получены в примере § 4: при
иф 1 получаем для ^>т, т. е. г<р:
,»(*—О P-n(t~i) „(я-а)(*-т)-
и—1 и—1
w»^ 8«Nn L и+1
в-(» +М(*-т)-| да"(0) Гп + 4 я —4
я + 1 J ' 8я L я + 1 я — 1
"+2 е(п~2) t _|_ "~2. е- (я+2) Л i
и — 1 ' я + 1 J '
, »"'(0)Г «"* •в"""* в(и~а)* е~(и+а)П
+ -^17+1 + ^^--^^--^71-1- (ЗЛ5?)
В случае сплошной плиты постоянные wn (0) и wn (0)
нужно определить из условия конечности прогиба и его
производных до третьего порядка при t—*- оо. Приравнивание
нулю коэффициентов при ent и е(п~3)* приводит к двум
уравнениям для определения указанных постоянных; из них
находим:
w»(o)-^(i-p3). <C(0)--g£[« + 4-(«4-2)pa].
§ 19] 2°. НЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЁННАЯ КРУГЛАЯ ПЛИТА 221
Подстановка этих значений в предыдущее соотношение
приводит к формуле:
«п О) :
8«/V
п(п — 1)
и (и 4- 1)J V ?) ' п
п-\-1 п — 1
■}, (3.158)
при г<р. При t<C%, т. е. г > р, начальная функция для
изображения W(p) будет отличаться от (157) отсутствием
первой строки. Подставляя значения «уи(0) и wn (0),
получаем при г^>р:
,гч go (Г * Ра УрУ» I
^ " 8иЛ/\[и(и— 1) п(п—1)]\г)~т
"W „
р2+Га
(гр)«
(гр)
и + 2
и+1
_М1\
я —1)'
(3.159)
Нужно ещё определить wl (г). Проще всего это сделать,
раскрыв неопределённость, содержащуюся в (158):
lim
я(я-1)
Получаем при г < р:
-|(T)3—}f-~2rplnP
и при г > р:
(3.160)
2 г
■ 2лр In Л ,
(3.161)
Остаётся заметить, что в выражении (150) для w0(r)
нужно ещё заменить р5 на ^:
•wn
"oW^-^^a-^a+p'j+wc-, р)], (3-162)
где W(r, р) определено по (151).
222
Приложений к задачам механики
[гл. Ill
После подстановки этих выражений в (153) получаем:
М', ^) = -^^(1-^)(14^) +
(гр)
>Ы 2
+ (?' 'Г I ) У, ~^~ cos wo — / . , ,
n = i «=i
оо
(грГ
COSWtp-
— rpcos®.— У y~z~y cos «со-j-о (г, р; ср) , (3.163)
?»=2
где принято обозначение
v(r, р; (р)= IF (л, р) + о*(л, р; <р)
и при г < р:
v* (г, р; ср) = — 2/-р In р • cos ср —
ij Vp/ я(я + 1) r '
COS Щ ^£_Y[
л (л-1) w;
и, далее, при г > о:
0* (лг PI <р) = — 2/р In г • cos о -—■
оо
а V ! Р Yl cos w'f
-р'
г У я(я + 1)
я =1 я = а
JLk \ г ) п (я — 1) '
Полученные ряды можно просуммировать. Для этого вос-
Рис. 30.
пользуемся хорошо известными рядами (рис. 30):
*■■ Я т ^J „
Я = 1
я=1
§ 19] 2°. НЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННАЯ КРУГЛАЯ ПЛИТА 223
Например, из рис. 31 имеем
(£р)2 = (>р)2 — 2лр COS tp -f 1 = Л2
и, следовательно:
00
S-^- cos щ =■ — In Rp.
it
n = l
Точно так же найдём:
2^-со8Я(Р==/-рсо8«р2т=Гс08(я-1)<Р
г\ (гр)»-1
И=2
- __■■.—sin (я —1)<р——rpcoscp In Rp—rp<b sin cp
и = з
Рис. 31.
и т. д. Проделав все эти вычисления, получим:
•С T)-T|^[^ln(-^ + (l-rt(l-r«)]. (3.164)
Таково выражение прогиба плиты с защемлённым
краем, находящейся под действием сосредоточенной силы,
224 ПРЙЛОЖЙНЙЯ К "ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Этот результат хорошо известен; здесь он получен прямым,
хотя и довольно утомительным вычислением, тогда как
обычно его находят с
помощью более тонких
соображений.
3°. Дадим ещё
пример расчёта
кольцевой круглой
плиты. Рассмотрим
плиту, внешний край
(л = г0 —-1) которой
заделан неподвижно,
а внутренний край
(г=л1<1) также
заделан в абсолютно
жёсткую шайбу (рис. 32).
К последней приложен
внешний момент R
(относительно оси у),
сообщающий ей поворот
на угол &. Край шайбы,
а следовательно
внутренний край
рассматриваемой плиты, при
этом получит
перемещение в. направлении,
перпендикулярном
плоскости плиты, равное
Вместе с тем внутренний край плиты повернётся
относительно касательной к окружности г — гъ направленной
в сторону возрастания со, на угол Scoscp; но этот поворот
представляет как раз значение производной от w по г при
(-Т-) =fl'COS<f>.
V dr A=n
Рис. 32. Кольцевая круглая плита с
защемлённым внешним краем и
скреплённая по внутреннему краю с жёсткой
шайбой.
Итак, нужно разыскать перемещение точек плиты:
w ('"> ?) = wi (r) cos 9 = ¾¾ (0 cos cp,
§ 19] 3°. ПРИМЕР РАСЧЁТА КОЛЬЦЕВОЙ КРУГЛОЙ плиты 225
где w1 удовлетворяет дифференциальному уравнению (155)
при и= 1:
■wli + 4«y'i" -f- 2ги[ — iw[ — 3¾¾ a» 0, (3.165)
и краевым условиям:
Wi (0) и 0, ivj. (0) == 0, Wi (ti) =
== %e~\ w[ (h) = — &*-*.. (3.166)
Составляем изображающее уравнение; из него получим:
Dl (р) =р* +4р»+-2/;» —4/7-3 = (/7-1)(р-И)в(Р+3),
откуда по теореме разложения находим (см. § 4) начальную
функцию:
Wl(Q = ?!l^.(5e*—12fe-* —4е-* —е-»*) +
а/" (0)
16
(е* —4fe-*~e-8*).
Остаётся удовлетворить второй группе краевых условий
(при t = t-i). Это вполне элементарное вычисление довольно
громоздко; поэтому приводим только окончательное
выражение для прогиба (вернувшись к старому переменному г):
где обозначено:
wx (г) = w + v3 +Тз 7 + Т4*" ln '>
(3.167)
2 1 — г? -4- (1 + rf) In гл'
Т2 =
2 1-/-2 + (1+/-¾ lnr/
Тз = — Ti— Та» Т4 = — 2Tl — 4nf2.
15 Зак. 2057. А. Лурье.
(3.168)
226 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Призодим табличку числовых значений этих величин:
Г\
0,5
0,6
0,7
0,8
7i
— 3,225
— 5,824
— 11,577
— 30,024
"\Ч
4,30
9,10
22,70
83,40
fii
— 1,075
— 3,276
— 11,123
— 53,376
T.i
- 10,750
— 24,752
— 67,646
— 273,552
Определение изгибающих и крутящих моментов и
перерезывающих сил теперь делается по формулам, известным
из теории плит. Зная их, можно также определить внешний
момент R, производящий заданный поворот плиты; он
окажется равным:
# = — 41^©. (3.169)
4°. Переходим к рассмотрению задач, относящихся к
изгибу прямоугольных плит. Мы будем рассматривать
случай плиты, два параллельных края которой у — 0 и у — b
опёрты; можно удовлетворить граничным условиям
«(0)=0, U=0 (3.170)
на этих краях, если выражение прогиба w (х, у) представить
в виде тригонометрического ряда по синусам:
оо
w (х, у) = 2 w» W sin "IT• (3,171)
и= 1
Нагрузку q (х, у) на единицу .площади плиты также
представим в форме такого же ряда:
со
П — 1
1 Н. Reissner, Ober die unsymmefrische Biegung diinner
Krefsplatten; Ingenieur Archiv, Bd. I, 1929, стр. 72—83.
§ 19] 4°. изгиб прямоугольной плиты 227
Из уравнения изгиба плиты (139) -.следует, что wn(x)
должно быть определено из дифференциального уравнения
w™ (х) — 2$w'n (х) + рХ (х) = 1дп (х), (3.173)
пи
где для краткости написано р„=-т-
Изображение этого уравнения будет:
(р*-рп)*]1Гп(р)=-Я$1 + р*(р*-$)-а,п(0) +
■±р(р*— 2(¾ w„ (0) + РВ«« (0) + pw'n (0). (3.174)
Две из четырёх постоянных wn (0),... , wn (0)
определяются из условий закрепления края х—0. Например, для
опёртого края:
- wn(0) = 0, «£(0) = 0;'
для заделанного края:
даи(0) = 0, ^(0) = 0)
наконец, для свободного края;
что приводит к условиям (при X = 0)
да» (0) =4 Р»w» (°). w» (°) = •——L Р>« (0) •
Две остающихся постоянных определяются из условий на
крае х = а.
Для построения начальных функций по полученным здесь
изображениям исходим из формул
2%ръ . . о Р (р* + й) . , о
легко получающихся, если продифференцировать по
параметру (Зи известные изображения гиперболического косинуса
и синуса.
; 15*
228
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Преобразуя вторую из приведённых выше формул, имеем:
P(P* + fn) _ р
,2\2
(Р2~Кг)
следовательно
Р
Р'~& Г(Р2-Й)2'
■ х ch $пх
{p'-fnf
'К
(hXchhX — ShM.
Теперь получаем:
РЧР*-2&)
а „2
Кр
(р2~Р;
2,2
'п>
а2чй
р(р*
■К)
р2-К (р2-{
I(2chp„x —(3„xshj3Mx);
Р
fnP
{Р*
&
-^> — (3 sh $пх — %пх ch рядг).
(3.175)
5°. Для фактического вычисления по (175) необходимо
уметь представить н а г р у з к у </ (я, У) вформеряда
по синусам вида (172). Нетрудно проверить, что
функция, определяемая этим рядом, удовлетворяет условию
я(х, у) = — д(х, 2Ь—у)
(3.176)
и имеет период 2Ь. Поэтому для получения искомого
тригонометрического разложения нужно по (1.97) построить
изображение Q* (л:, s) функции q* (х, у), которая при
О <Су < b равна q (х, у), при Ъ <_у < 2Ь определяется по
(176) и равна нулю при у > Ь. Тогда
будет изображением функции, разложение которой в
тригонометрический ряд имеет вид (172) и которая при 0 <_у < b
совпадает с q(x, у). Коэффициенты ряда (172) после этого
найдутся по второй теореме разложения в её обобщённой
форме (см. п. 11° § 5).
§ 19] 5°. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАГРУЗКИ РЯДОМ ПО СИНУСАМ
229
Рассмотрим, в частности, случай нагрузки q (х, у),
распределённой по прямой у = ч\. Имеем:
О 0 <у<ч\ — в
q(x) ч\ — в <У<1\
<1*(х,у)=~ I О Ч <У <2Ь — ч]
— q{x) 26 —г] <у<2Ь — -ц-\-г
О 26 — 71 -\-г <у
или, пользуясь единичной функцией а0(у):
Я*(х, у)=Я(х){[о0(у — ч\-\-е)—о0(у — ч1)] —
— [о00> — 2Й+ ■»!)— a0Cv — 2Й + -Л— в)]}.
Полагая теперь, что s -> О, но так, что lim q (х) е остаётся
конечным и равным интенсивности нагрузки г (х),
распределённой по прямой у = г), и вспоминая, что по определению § б
lim
е->0
ооСу—т)-Н) — v0(y —1\)
= ^0- ч).
получаем:
чч- г О) [е-81) — e-e(ab-i)] ■?
и, следовательно:
Q(x, s) = r(x) -1————J- = r (x)F(s).
Остаётся применить вторую теорему разложения к
функции F (s). Свободный член в ней отсутствует; корни знаме-
—-jri где л = 1, 2, . .. Поэтому:
230 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Итак, для нагрузки q(x, у), распределённой по прямой
у = г] с интенсивностью г (л:), представление в форме ряда (172)
будет:
,(„.,)-££> 2-=?-"=? (3.177,
»1=1
и, значит:
qn(x)=^r(x)sin^. (3.178)
Ряд (177) — расходящийся, но им можно пользоваться
подобно тому, как мы пользуемся импульсивными функциями:
предельный переход э -> 0 можно было бы сделать в
результатах решения задачи, тогда мы имели бы в ходе вычислений
дело со сходящимися рядами, но само вычисление было бы
без нужды усложнено.
6°. Рассмотрим, например, случай бесконечной
полосы (рис. 33) О^у^Ь, опёртой по краям у = 0, у = Ь
40,7])
Рис. 33. Изгиб полосы сосредоточенной силой.
и нагруженной сосредоточенной с и л о й Q вточке
х = 0, у = Y]. Вследствие симметрии <wn (0) = 0 и «у,/ (0) = 0,
и можно рассматривать только правую часть полосы, относя
к ней силу -н Q.
Мы можем написать теперь:
г (*) = 2 Qoi М ~*^~ "2 QA
qn{x) «Н-TQp sin рпц
§19] 7°. ПОЛОСА, НАГРУЖЕННАЯ БЕСКОНЕЧНЫМ РЯДОМ СИЛ 231
и по (174) получаем
wu
+
(р) =
Щг (0)
Q
bN
(Р2
slnp„»i
Р2
- №
™«(0)
ь2ч2
(Р2~Й)2 ' " (P2~fn)
^ Чь%Г {Кх ch ^х -sh ?« х) +
+ 2 '®п (0) (2 ch р,,* - р,,* sh рйлг) + ^г «я (0) $пх sh рих.
Постоянные wn (0), «>„ (0) нужно определить из условия
обращения wn (х) в нуль при х -> со; для этого следует
приравнять нулю коэффициенты при е^»1" и $пхе^пх в
полученном выражении. Тогда находим:
w» (°) = ^Г w« (°) = ~S ^n p„ ri
К 2bNf„
и подстановка дает:
, . О sin 6,,-(1 — й X ,i i л \
«/ (х) — SL qp е р» (1 4- л;
следовательно:
оо
w(*' ^=1^2^^(1 H-MJsinp^sinp^. (3.179)
7°. Рассмотрим задачу об изгибе бесконечной
полосы с опёртыми краями у = 0, у = Ь
бесконечным рядом сосредоточенных сил в точках,
находящихся на расстоянии 2/ одна от другой и на
расстоянии^- от опёртых краёв полосы. На рис. 34 эти точки
названы ...,— 1, 0, 1,... Вследствие симметрии вдоль
прямых ОО, делящих пополам отрезки между точками
приложения сил, должно быть ¢2/=0, «Л=0. Можно
ограничиться рассмотрением прямоугольника ABCD; начало
координат поместим в точке А; тогда <w'n (0) =щ1 (0) = 0;
координаты точек приложения силы будут: х= (2k -j- 1) А
£ = 0, ±1,..., .У «-j-
232 ПРИЛОЖЕНИЯ к задачам механики
Поэтому в рассматриваемом случае
[гл. ш
Qe'
r(x)=-pQ[o1(x — /)+-^-3/) + ... ]^-pj3
-pi
-2pl
sin pn-ri = sin-^ = (-1)
и слагаемые, для которых п четно, нужно отбросить.
Получаем:
2Q
п—1
ре
,-pl
ИЧР) = щ(-1) v-e-*pi)U,*-&?
■|-».<о)-ё^+»:<о,(,
в(р)
2_ Вй
У 1-е
-•ipl
(3.180)
Нужно найти периодическое решение этого уравнения,
имеющее период 2/. В соответствии с многократно
применявшимся приёмом для этого определяем постоянные «уя(0),
Рис. 34. Изгиб полосы бесконечным рядом
сосредоточенных сил.
Wn(Q) так, чтобы начальная функция 0 (дг) -Н-в (р) при
х > 2/ была тождественным нулем; тогда & (л:) при 0 < х < 2/,
т. е. в интересующей нас области будет давать искомые
значения wn(x).
§19] 7°. ПОЛОСА, нагРУЖЕННАЯ БЕСКОНЕЧНЫМ РЯДОМ сил 233
Имеем при х > 21:
»(*) = (—!)
п-Х Q
ЬЩ\
[р„ (х-Г) ch ря (*-/)-sh ри (х-/)] +
+ ww(0){[chp„A:—сЬря(д: —201 —
-1 [р„* sh ря*— ря (* — 2/) sh ри(х- 2/)]} -|-
2¾
+ ^w»(°)[Pn*shPn* —М* —2Qshpw(* —2Q]=3 0.
Нужно приравнять нулю коэффициенты при ch (Зилг, sh $пх,
$nxchfynx, $nxsh$nx. Получаем четыре уравнения,
содержащих два неизвестных wn(0) и «уи(0), но, как следовало
ожидать, два из четырёх этих уравнений оказываются
следствием остальных. Получаем
,„ч / и2? Q P»/chp„/+ehp„« . Ч
«»»,(0) = (- 1) * ГТ^в —Ж20=Т— '
ьщ:
'ms t i^T Q WchW~shW
w» (0) = (-1) щ-п Е1ГЩТТ
(3.181)
Теперь, можно построить начальную функцию для
изображения (180). Достаточно это сделать для 0 < х < /, так как по
симметрии ясно, что wn (х) =wn(2l — х).
Получаем при 0 < х <! I'.
«>»(*) = (-1) а
и, следовательно:
Q
2ЬЩ>1 %Щп1
[pw/ch pw/ ch р„дс-Ь
-f sh ри/ (ch §пх — $пх sh §пх)\
я—1
3
+ sh pw/(ch §пх - рях sh рих)]. (3.182)
234
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Например, в точке приложения силы [у = -=-,
* = /)
получаем значение прогиба:
d Ь\ Qb*
Ш
■sh2p„/
Ф sh« В,,/
Я — 1, 3, 5, ...
§ 20. Деформация кругового кольца
Задача о деформации кругового кольца распадается на
две независимых друг от друга задачи: плоская деформация
кольца силами, лежащими в его плоскости, и неплоская
деформация, создаваемая силами, действующими
перпендикулярно плоскости кольца. Каждая из этих задач приводится
к интегрированию системы шести дифференциальных
уравнений первого порядка весьма простого вида; тем не менее
фактическое доведение всех вычислений до конца сопряжено
с кропотливыми выкладками, особенно при действии
нагрузок, не описываемых единым аналитическим выражением по
всей окружности кольца, в частности при действии
сосредоточенных сил. Были предложены приёмы, упрощающие
в некоторой мере ход вычисления, * но потребовавшие
введения некоторых вспомогательных понятий, не требующихся
по существу дела. Мы покажем здесь, что вполне
эффективное решение можно получить
естественным и прямым путём,
применяя способ построения
периодического решения системы линейных
дифференциальных уравнений,
изложенный в § 13.
1°. Плоская
деформация кольца. Радиус кольца
обозначим через а, систему
подвижных координатных осей
определим так: ось х направлена по
радиусу кольца к его центру,
ось z — по касательной к
осевой линии кольца в сторону возрастания угла со, которым
определяется положение рассматриваемого сечения; ось у
Рис. 35. К задаче
деформации кольца. Подвижная
система координатных осей
xv г.
1 К. Б. Бицено и Р. Граммель, Техническая динамика.
Гостехиздат, 1950, гл. V, § 2 и 3.
§ 20] 1°. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОЛЬЦА 235
перпендикулярна плоскости zx, причём оси хуг образуют
правую систему (рис. 35).
Уравнения равновесия элемента кольца, когда силы
действуют в его плоскости, имеют вид
«Ъ+ «. + «/» = 0, ^-^, + ^ = 0,4 + ^ = 0. (3.183)
Здесь точкой обозначено дифференцирование по углу ср;
vx обозначает перерезывающую силу, vg—-растягивающую силу;
L. — изгибающий момент в сече-
Pzlf)
нии кольца относительно оси у,
вызывающий изгиб кольца в его
плоскости. Через /да и /я
обозначены проекции на подвижные оси х
и z внешней нагрузки, отнесенной
к единице длины оси кольца. На
рис. 36 показаны направления
действий перерезывающей и
растягивающей сил и изгибающего
момента в сечении ср при
положительных vx, Vg, ly.
По существу дела, /х и fs
заданы для значений ср в интервале
(0, 2тг). Ничто не мешает считать
их периодическими функциями
периода 2тс.
Искомые решения для сил и
момента, равно как и решения
для величин, определяющих
деформацию кольца, о которых речь
будет ниже, также должны быть периодическими функциями
to периода 2тс.
В соответствии с § 5 введём в рассмотрение
функции gx (<р) и f'n ('-?), равные нулю при ©>2тг и при
0<tp<2ir совпадающие с функциями /д,(<р)-и/г(ср),
определяющими закон изменения нагрузки на кольцо. Если
а» (?)«+- оа (р), g, (<р) -н- os (р),
то по (1.97) изображения периодических функций /х (ср) и
Л (?) будут
О-АР)
Рис. 36. Силы и моменты
при плоской . деформации
кругового кольца
/»(?)^i^%,/.(?)-
(3.184)
236 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [гл. III
Рассмотрим некоторые частные случаи,
а. Кольцо вертикально, угол ср отсчитывается от
наинизшей точки; нагрузка — собственный вес; получаем:
о2
/* (?) = —Т cos <Р "Н T^qrx'
/. (?) = — Т sin <р -К- — т ^qri
и, следовательно:
0.0,)--^ + ^ °М = =Щ^?^, (ЗЛ85)
где •[ — вес единицы длины кольца.
б. Пусть /(ер), т. е./^(ср) или/2(ср), постоянно и равного-!
имеем
в. Рассмотрим теперь случай, когда /(<р) имеет
постоянное значение q0 для <p0<<p<<pi и равно нулю вне этого
интервала; тогда
g (?)^q0[о0 (ср— (р0) — 0l ((р — срО]-Н-^о(е~?;<р0 — е~№)- (3-186)
г. Из предыдущего путём предельного перехода
получается случай сосредоточенной силы /0 в сечении ср0. Пусть
нагрузка q0 распределена по дуге as, так что aea0=/0.
Получаем
gto) — fs К (? — <Ро) — ao Op — То — s)l •
Чтобы получить сосредоточенную силу, нужно совершить
предельный^переход а->0, Получаем (§ 6):
Я №-7°! (?-<?<>) «+4^-^- (3.187)
д. Несколько более сложно определение функции
нагрузки от сосредоточенного момента. Рассматриваем действие
двух сосредоточенных сил: силы /0а,, действующей в
сечении <ро> и ей равной и противоположно направленной силы,
действующей в близком сечении <ро4~8 (рис. 37). Эта
§ 20] 2°. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ 237
система двух сил представляет пару с моментом, вращающим
от оси х к оси г; момент этой пары будет:
так как момент считается положительным, если создаваемое
вращение направлено от г к х.
it
Рис. 37. К определению сосредоточенного
момента.
Заметим теперь, что сила, действующая в сечении <о0-\-е,
даёт по осям х и г этого сечения составляющие
/0, = -/(
г'оу
Ох '
/г /оже —
то?/
Поэтому по (187) нагрузку от рассматриваемых двух
сил можно задать формулами:
Sx = fjf [°i(? — То) — °i О — % — s)l =
^ gi(? — Чп) — ai(4 — Чо ~ е)
— Я2 ' е '
/огв ,
= ■ 80, ( СО ■
a 1Vl
в)
: г О, (СО ■
■«)•
Перейдя к пределу (s —> 0), получим:
Щу
QJP)-—$?'-**, 0.(р) = ^р.-™. (3.188)
2°. Переходим к интегрированию уравнений
(183). Конечно, искомые решения можно получить, составив
уравнения статики для конечного участка длины оси кольца;
238
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
но для сохранения единства метода прибегнем к
операционному решению. Изображающая система для (183) будет:
-VM ~VpV,{P) = Pvl-a^£Lrp, \ (3.189)
где vx, Vj,, lv—значения перерезывающей силы,
растягивающей силы и изгибающего момента в сечении и —О (рис. 36).
Решение изображающей системы, как это неоднократно
делалось, запишем в форме:
у„(р) = -
el(p)
~2кр )
Lv (Р)■
v„(pY-
%(р)
©2 (Р)
1_е-з^»
-2пр ,
(3.190)
где обозначено
vip4 — vlp pG„ (p)~G. (p)
<Р + *У
Pl + 1
Ga,(P)+PGS(P)
+ a2
(3.191)
eB(P) = (i—--*) (4 + ^-«^rr") +
p»+l p •
Надо потребовать, чтобы начальные функции,
соответствующие этим изображениям, обращались в нуль при ср > 2тг.
В дальнейшем будем писать:
я
0Ар) = 0Ар)+р-^
а ^\?1<а> а Р)е к>
76
*=•!
§ 20] 2Э. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ 239
где слагаемые G^ (р) и G2 (р) соответствуют изображениям
непрерывно распределённых нагрузок /да (ср), f3 (ср), а
изображения, соответствующие сосредоточенным силам и
моментам в сечениях cpj, ср3, ..., <ря, выделены отдельно и
составлены по (187) и (188),
Имеем:
pGy(P)—Gs(P) _^pGx{p)-Gz(P) i
р8+1 " />»+1 ~г
- JL V (P^fbv—Pfbz _ „ ^л ,,-?%.
+1¾
,»+1 -о—Г
й = 1
« и
Gco(p)+pGs(p) __ Gx(p)+pGls(p) _,_ _1_ ^ />/te +/¾ е-Р9й _
р2+ 1 Ра+1 ' я М ра+1
Заметим, что
и, следовательно, при <оф(ои и, в частности, при и > 2тг
ре-*9» -+> 0.
Применив далее теоремы свёртывания и запаздывания,
получим при ср>2тг:
®i(P) ~^" ^i(?) =¾ [cos со — cos (ср — 2т:)]—г»г[япср—■
2гс
— dn(«p — 2^)J — a J* [/«,(6)со8(ч>—£)—/ee(5)sin(<p — 6)1 Л—
о
п
— 2 [/*» c°s (<? — %) —/л» sin (<р — %.)]•
ft =2 1
Слагаемые, содержащие vx и •»", конечно, пропадают, и
условие обращения &i(<p) в нуль при ср > 2т: приводится к виду
an
а/[/„(£)cos (ср —6)-/,(5) sin (ср-£)] Й +
о
и
-f2[/taCos(cp — срй)_/fesin(cp — cp7c)]=o. (3.193)
к= 1
240 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ механики [гл. III
Выражая условие обращения в нуль начальных функций
»а(?)«к-еа(р), »,(?)^е8(р)
при ср > 2тг, аналогично получим:1
2тс
a j \fa (6) sin (ср -6)+/. (S) cos (с? - 6)] й(6 +
о
+ 2 [/*« sin (ср - ср7с) +/fe cos (ср — ср,)] = 0; (3.194)
Й=»1
1, »
J/.(6)^+S(/ta + ^) = o.
(3.195)
Й = 1
Условия (193) и (194) должны выполняться тождественно
при любом ср; поэтому нужно приравнять нулю в этих
выражениях коэффициенты при cos? и sin ср. Вместе со (195)
получим три уравнения:
an
a J (4 cos 6 +/„ sin 6) dS + 2 (A* cos 9¾ +
+/feSincp7,) = 0;
a J (/„ sin 6 —/, cos 6) dS + 2 (/^ sin
2« „
«//.*+2(/».+!
7fecoscp7c) = 0;
0.
ft=i
(3.196)
Конечно, здесь получены уравнения равновесия кольца
как твёрдого тела под действием внешних нагрузок.2 Эти
1 Приводимые ниже формулы можно было бы объединить в одной
записи, пользуясь понятием „нагруженного" интеграла (интеграла
Стильтьеса).
2 Реакции опор включаются в число внешних сосредоточенных
сил и моментов.
§20]
2°. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
241
уравнения, естественно, и служат условиями существования
периодических решений уравнений (183).
Остаётся составить выражения 1^ (ср), vs (to), ly(w) по их
изображениям (190) при и < 2тс. Находим:
vtB (?) — V°a C0S ® — ^г Sin ср -f- Was (?),
% (?) =^sin<p-j-^cos(p -f-^ (?)>
1ч (?) = 'z/ + аг,° — avl sin <p — a^'coscp -)- 4 (<p),
(3.197)
где слагаемые со звездочками обозначают решения,
соответствующие внешним нагрузкам. Каждое такое слагаемое состоит
из двух частей: части, соответствующей непрерывно
распределённой нагрузке, и части, происходящей от сосредоточенных
сил и моментов.
Получаем:
а) для распределённых нагрузок:
ц>
vl (<г) = — а( [/ш(£)со8(<р-6)-/я(£)81п(?-&)] <Й;
0
9
v. (?) = - a J [/„(*) sin (?-£)+/.(«) cos(?-6)l Л;
о
^(Т) = «я/ [/«(e)sln(cp—E)+/e(e)cos(<p-E)]rf£—
о
<р
-а8//.(£) Л;
о
б) для сосредоточенных сил и моментов при <ps_!< <р <?s>
где s = 2, 3,..., и-)- 1:
S—1
*»« (?) = - S Xfi<x cos (<р — <Рй) — /». sin (<р —. <рй)] 4-
(3.198)
+~a_1 °i(<p—<Рв-Л;
««(?) =—2 1Л»sln (?—?*)+/'л.cos (?—?*)];
7c = l
(3.199)
16 Зак. 2057. А. Лурье.
242
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
1"у (со) = а 21 [Да, sin (со — со7с) -f/7fi3 соs (ев — сой)] —
в-1 } (3.199)
-«2(/*+i»'»)-
При <р<ср1 имеем:
<(?)==<(?) = ^(<Р) = о.
Первое из выражений (199) показывает, что приложение
сосредоточенного момента создаёт точечный бесконечный
разрыв непрерывности значений перерезывающей силы vx. Этот
результат станет понятным, если вспомнить," что к понятию
сосредоточенного момента мы пришли путём предельного
перехода, полагая, что силы, составляющие пару, неограниченно
возрастают. Никакого значения в дальнейшем указанное
слагаемое в выражении vx (со) не имеет.
Три произвольных постоянных Vй,,, v°, Iй входящие в (197),
не могуть быть получены из рассмотренных уравнений статики;
эти статически неопределимые лишние неизвестные будут
найдены из рассмотрения десрормации кольца.
3°. Обозначим через (3 угол поворота сечения кольца при
деформации, через a, w — проекции перемещения точки на
осевой линии кольца на оси х и г. Эти три величины в
случае кольца с нерастяжимой осью, которое ниже
рассматривается, связаны соотношениями
a$ = u-\-w, u — w = 0. (3.200)
К этим геометрическим соотношениям нужно присоединить
формулу, связывающую изменение кривизны кольца [3 с
изгибающим моментом.
Р = 7^Ы. (3-201)
где /—момент инерции поперечного сечения кольца
относительно оси у.
Изображающая система для уравнений (200) будет
aB(p) = PU(p)-\-W(p) — pu0,
U(p) — pW(p) = — pw0. (3.202)
§ 20] 3d. определение перемещений
Из неё получаем:
и(р) —р^+Т~ + V+1 '
Из (201) имеем:
aLy{p) 64(/>)
—Щ hPo или Б(р) = ~Х-е-2Ч>
pi
Б(Р)
где по (191):
64 (/>) = (!-г-**)
243
(3.203)
(3.204)
,а „о
I рШ \hj Г uvz) EI p2Jrl
, «8 0,,(/0+^0.(/0
1 £/ />(/>2 + 1)
При <р > 2тс соответств}'ющая начальная функция должна
быть тождественным нулём:
2л;
ft* (?) = %?(# + fl^) + F/ J {/«^[1 -cos(?-01 +
0
2iu
+/.(?)sin(<p-£)}de—gj(?-e)/,(«)d6+
0
n
+ lb S ^ [1 ~~ cos (?~" ^] +/»«sin (<P — ?*)) "~
ft=i
-bS(»-^+¥)--
fc=i
Использовав (193)-(195), отсюда получаем первое
соотношение для определения лишних неизвестных:
27U
2*
о
а
2п
г
S [Л. + ».(*.+ ^-). (3.205,
Й=.1
16*
244
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Периодическое решение для В (<р) по (204) при 0 < со < 2тс
будет:
-4- «-я sin cpl -4- р* (tp), (3.206)
где слагаемое (3*(<р), соответствующее нагрузкам, будет:
а) для распределённых нагрузок;
.Р*(<р)Нг/1 {/«(Q[i-cos(?-Q]-
—/.О) [<р — 6 — sin (<р — S)]} Л;
б) для сосредоточенных сил моментов при cps_1 ^ ср <^cps:
а«
а—1
Р* (?) = ■?? 2j {/»«t1 -cos Op " ?*)! +Л-sin (<р - ?*)) -
ft=i
5S(^+^-)(»-*d
и (3* (ср) = 0 при со <; «pi-
Переходим к определению перемещений. Полагаем
U(P):
~#Ъ-' w=t^#W' (3-207)
где по (203) и (204):
6в(р)=:(1 —е-**)
El (р«+1)« .
вв(р)-(1-е-2^)
а3 ^ + К
д4Ощ(р)+pQ«(p) «* Q.O0
~>£/ (р2+1)2 £/ />0>2+1) '
>м0+Р3(да0—ар0) я2 ^ + а»°
£/(;;2+1)2
£/ р(р8+1)Я
£/^(^ + 1)
§ 20] 3°. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 245
Для проведения вычисления нужно использовать соотно»
шения:
(7чЛТ2-Ь>-2-?5Ш<р, -JL^-i-* (sincp—cpcoscp), ]
j [ [ (3.208)
{p2 + i)i-^1~cosy — -j Tsincp. I
Нужно потребовать тождественного обращения в нуль
начальных функций
\0р)^@6(р), \(<Р)^-@в(Р)
для <р > 2тс. Проделав вычисление, которое можно опустить,
так как оно в значительной мере повторяет предшествующие
выкладки, получим по использовании (205) и (193—-195):
2гс
*" ~ _ й J и°> ^* cos s +/*(S) (S sin s +cos S)] ^ -
0
"~ й S I ^f» C0S '* +^te (?* Sin ?* + cos ?*) +
+ ~F~.C0S^
; (3.209)
«2 = £ J [4 (¾ 6 Sin 6 -/, (6) (5 COS 6 - Sin 6) ] <% 4-
0
n
+ 5k 5 (/*•?*sln ?» ~^fe (?*cos ?» ~sin ?») +
sin<pft]. (3.210)
. 2mft?/
По (205), (209) и (210) определяются неизвестные силы
и момент в сечении ср == 0.
246 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Остаётся составить выражения и (со) и w (со) для 0 < со -^ 2тг.
По (207) получаем:
и (со) = и0 cos со — (wu — ар0) sin ср + 4j (4 JT av°) 0"'cos ?) 4"
-j~2£j [г»ж (со cos со — sin cp) — vlw sin cp] -\~ u* (cp); (3.211)
w (со) = u0 sin cp -(- (too — apo) cos cp -(- -^(/,° -(- av°g) (cp — sin cp) —
— £7^(2 — 2 cos cp— cpsincp) — vl (<p cos cp—sin cp)] -(-
+ ap0 + te;*(<p). (3.212)
Для распределённой нагрузки имеем:
«i
й* (?) = A J ^ ® Isin ('f - 6) - (? - 6) cos (со - £)] +
0
+/■ (£) [(Т-У «in (cp — 6) + 2 cos (cp - 6) - 2] | tf;
О
]
6
W*(T) = Й/ J {/e(£)[2-2cos(? —6)-(T —?)sln(T-6)]-
о
—/,(£)[(T —0cos(T—6) + 2(<p—6)-3sln(T-6)]}d6.
Для сосредоточенных сил и моментов при <р8_! <С <?<l<ps,
где я =■ 2, 3, . .. , п -j- 1, получаем:
S —1
и* м=й? 5 {^[sln (ср -^ ~" (?—%)cos в~~^ +
Й=»1
-l-/te [(<Р — <Р* sl» (<Р — %) + 2 cos.(«р — срй) — 2] —
-[2-2cos(cp-?ft)]}-^};
S —1
w* № = Ш S {Л*[2 ~~ 2 cos (?—?*)—(?—%)sin (?—?*)!—
—/fe [(?—?fc)cos(cp— <pfc)4-2(cp—cpfc) — 3sin(cp— cpfc)] —
— [2 (<P - ?*) - 2 sin (cp- cpfc)] ^L |
и и* (cp) = 0, w* (cp) = 0 при CO <^ <Pj. .
§ 20] 3\ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 247
Полученные формулы решают задачу о плоской
деформации кругового кольца. Они могут быть применены также
к задаче о деформации части кругового кольца (круговой
арки).
Через три постоянные и0, w0, (30, входящие в решение,
выражается перемещение кольца как твёрдого тела (малые
поступательное движение в поворот).
к О
Рис. 38. Кольцо, нагруженное тремя одинаковыми силами,
действующими в его плоскости под углами 120°.
Рассмотрим один простой пример. Круговое кольцо
загружено тремя одинаковыми силами Q, действующими под
углами 120° (рис. 38). В этом случае:
/кв —/;
2а:"
=/*» = -Q
/1г=/аг =/зг —0;
и по (205), (209), (210) находим:
5л;
*. <Рз=Т
¢¢. <-=о,
причём последний результат должен был получиться
вследствие симметрии.
248
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Найдём радиальное перемещение. Постоянные w0 и (30
положим равными нулю, постоянную и0 выберем так,.чтобы
получить одинаковые перемещения в симметрично расположен-
ных точках (о = 0 и <р = —. При -q-<! <р <! 4 имеем:
в = «о cos о -f £7 [gr(l — cos ^ (Г ? S1" ? +
2я
Подставляя ср = — , найдём:
"о ~ ж \я ~ 18 ~J ~ °'01 d тт •
Подставляя это значение в (211), найдём при О ^ <р-^-^-
(этого достаточно, так как дальнейшие значения получаются
по симметрии):
, ч Qa.n 3 (к , Y3\ ,, УЗ- . 1
В частности, в точке приложения силы получаем:
тех QcfifZ *_ V£\ nn1oOff
4°. Неплоская деформация кругового кольца.
Расположение осей возьмём то же, что и в первом случае
(рис. 35); предположим, что кольцо нагружено
сосредоточенными силами fky(k=l, 2,..., и) в сечениях <р1( <р2, ..., <р7с
и равномерно распределённой нагрузкой интенсивности q.
Рассмотрение сил, распределённых по любому закону, также
не представит ничего нового.
Уравнения равновесия элемента кольца имеют вид:
^ + «Л = °. ** + '. = а*у. 4 — /» = 0, (3.213)
§ 20] 4°. НЕПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
249
где fy — нагрузка на единицу длины осевой линии кольца;
^в> 4—изгибающий и крутящий моменты; vy —
перерезывающая сила. Будем полагать
t г \^ • с- t \ ау(Р)
(3.214)
и в соответствии со сказанным выше о действующих силах
,(?)«+-0„(р) = ?(1-*-**) +
a Ad JlcV
7f=l
/*/"«ь (3.215)
Составляем изображающую систему уравнений для (213)
и пишем её решение в виде:
vy\P)\__е~2г.р' ^се(Р)— l_e_2t
q — 2к2) '
I fp)= ез(Р>
^z \Р1 — J е~2хр
Здесь оббзначено:
01 (р)= (1—-«•)*» --^- 2 /*•-**;
ea(p) = (ie—2^)
(3.216)
ft=i
ра£-рся°-Ч>
а\
Р2+1
Р2 + 1.
ejy
Ра+1
SV-"»;
*!=1
*8(р) «а-«-**)
pX+p(/,u-«^)
P24-1
-аг>'
а2#
г/ />(//+!).
Й = 1
e-rPfjt.
Требования тождественного обращения в нуль при <р >2тс
начальных функций, соответствующих этим изображениям,
приводят к трем уравнениям статики кольца как твёрдого
тела, находящегося под действием внешних нагрузок,
представляющих в данном случае систему параллельных сил.
250
Находим:
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
2*«<7+ 2/*„=0
ь=1
7f = l
/i7/cosi%co = 0,
2 /j„sinft(p = 0.
ft=l
[гл. Ill
(3.217)
При соблюдении этих условий уравнения (213) имеют
периодическое решение. Получаем при 0 < ср < 2тс для
да. . <" со <■ ев,:
3 — 1
7«=1
/ =/о cos со — (Р — аг> ) sin со-
s—1
— ей/ (1 — cos <р) — а 2 /*„ sin (ср — %)
ft=i
/ = /° sin cp -4- (/° — а» ) cos 9 4- a1»
cy
8—1
(3.218)
— a^q (¾ — sin cp) — a 2j !щ [1 — cos (со — <pfc)].
*=i
Три постоянных /^,, /°, Vй—изгибающий и крутящий
моменты и перерезывающая сила в сечении <р — 0, конечно, не
определяются из уравнений статики элемента кольца. Для
определения этих лишних неизвестных следует рассмотреть
деформацию кольца.
5°. Обозначим через v проекцию перемещения осевой
линии кольца на ось _у, через f и ас — углы поворота сечения
кольца при деформации вокруг осей г и соответственно х.
Имеют место геометрическая зависимость
v = — aa (3.219)
и два уравнения, связывающие изменения кривизны и
кручения кольца с изгибающим и крутящим моментами:
а -j- ч = —
al.
(3.220)
£V Т а~ С
где /д. — момент инерции сечения относительно оси х, С
жёсткость при кручении.
§ 20] 5°. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УГЛОВ ПОВОРОТА 251
Составив и решив соответствующую изображающую
систему, представим, как мы всё время это делаем, результаты
в форме:
« (?) <
ТОР)"
Здесь обозначено:
в4(р) = (1-«~ад)
«V. 1
■А(р)--
-Г(р) =
-1/(//) =
®i(p)
9б(р) .
1_в-яч»'
1 — й- 2ч> '
««
(3.221)
рэ+1 I £/шр» + 1
я3#
С />*+1 £/ж /»(^ + 1)
\Е/Х~Г С ) (^+i)2
я
а
"EI.
» А/,/-к"
£/«
С J р(р*+1)*
e6(p) = (i-
■Знул
V\P
Рао + Р2Ъ
. Р2-Н1
, а а
+ Ыг + ТГ
^!) v fki,e
й = 1
£/,
Р2+1
£^
С /,я + 1
Я3 . Я3\
Жх ' су с»2
Я2 . й2\
с? Г ~п I ,
Д/'а.-т Cj(p*+1)* AlJby
(P2+1)2
(Р2+1)4
п
Лг/е~
e,(p) = (i-r^)i.0-^e4(p).
Условия существования периодического решения
уравнений (219), (220) приводят к требованию тождественного
обращения в нуль начальных функций &^(<p) для i==4, 5, б,
соответствующих написанным изображениям, при а> > 2тс,
252
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. III
Опускаем вычисление, которое делается с помощью уже
многократно применённых приёмов, и приводим результаты:
я
,о а
1се — ~~ъ1
ft=i
та
,0 О Я ^Л г
l^ — avV=2^,2d **№ C0S %'
*=i
■кад-
1 V f
■ ~ У, Ытст
й=1
(3.,222)
Эти уравнения определяют лишние статически
неопределимые неизвестные.
Теперь остаётся составить выражения углов поворота а
и f и перемещения V, для 0 ^ со ^ 2% находим:
а/
я (ср) = а0 cos ср — 7о sin ср -j- -pj- sin о —
г^а—cos<p)+
Ч- -f (Jjr + ■§•) [& (<P cos <P —sin Ф) —
— (4 — fltfj,) cp sin cp] -j- а* (со);
T(?) = aoslntP+ToCoscp.
. _ .. Л . еч
Elm
sin cp-j-
_|_ -^1 Sin со + y ущ + ^j [/„cp sin со _
— ill — wl) (<p COS <p + sin cp)] -j- T* (cp);
г»(ср)=.г»0 —a[«0sincp-~ f0(l — coscp] —
я2/0 л3«0
~1/f (1 — C0StP) + -c1 («p —sln ?) -
~7(jjr + g-)[&0psin<p —2 + 2cos<p)-f-
^-(/£--^- «%)(? coscp -—sin cp)] -\-v*(w).
(3.223)
§ 20] 5°. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УГЛОВ ПОВОРОТА 253
Слагаемые, непосредственно определяемые по нагрузкам,
будут:
a*W = -i£^-sin<p)+l^(C+S^C0Stp+2<p-~
8—1
— 3 sin со) — fj~ V fby [1 — cos (<р — <р,£)] -\-
fc=l
8—1
+ K£ + 3S^[2-2cos(?-?ft)-
?с=1
~ (? —?ft)sln(«p —<рй)];
т* (?) = — - q (—- + у (2 — 2 cos <р — <р sin <р) -]-
з—1
+ Т & + 5") S /%f (т—?*)cos (? — %) —sln («p — TikM;
fc=i
s-l
+ 4 cos <p -f <p2) + ±j- 2 Ay [(? — <p*) — sin (<p — <p,c)] -
S—1
-т(й;+?)Ил"[(т~"?*)С08(?""р'()+2(?~,р*)'"
ft=i
— 3slfi(<p — »„)].
Эти выражения имеют место при cps_ t ^ » <!<ps; при <р ^ ?i
нужно отбросить слагаемые, соответствующие
сосредоточенным силам. Полученные формулы дают полное решение
задачи о неплоской деформации кругового кольца. Три
произвольных постоянных a0, f0, v0, входящие в решение,
соответствуют перемещению кольца как твёрдого тела.
Общность полученных формул и метода их нахождения
позволяют решать самые разнообразные задачи о неплоской
деформации кольца; можно внести в эти решения некоторые
дополнения, которые позволят также применить их к
рассмотрению задачи о деформации части кругового кольца.
254
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ." III
В качестве примера рассмотрим простейшую статически
определимую (в смысле определения опорных реакций)
задачу: горизонтальное кольцо на трёх точечных опорах,
расположенных под углами 120°, несёт нагрузку q, равномерно
ропределённую по осевой линии кольца.
В формулы (222) нужно подставить
t —f — f — 2Kaq
Jly /22/—J by 3
: —- , CDr, = 7Г, CO,, =
ore
J
получаем
,o 9 (2 У"3л
l) = 0,21a89, £ = i»°=0,
lx = a-q
причём последний результат, конечно, объясняется
симметрией расположения опор относительно выбранного начала
отсчёта углов. Подстановка в (223) даёт теперь искомые
выражения.
§ 21. Применение разностных уравнений к решению
некоторых задач сопротивления материалов
1°. Задача Н. Е. Жуковского о
распределении усилий на нарезках винта и гайки,1 Возможны
два расположения,
показанные на рис. 39:
в первом — болт
растянут, а гайка,
опирающаяся своей нижней
поверхностью на
неподвижное основание,
сжата; во втором—
гайка входит в
цилиндрическую обойму,
между нижней
поверхностью гайки и
основанием оставлен зазор,
и гайка удерживается заплечиками. В этом случае растянуты
и болт и гайка. К болту приложена растягивающая сила Q.
Рис. 39. Болт и гайка: а) болт растянут,
гайка сжата; б) болт и гайка растянуты.
1 Н. Е. Ж у к о век и й, Распределение давлений на нарезках
винта и гайки. Сбор, соч., VIII, ОНТИ, 1937, стр. 48—50.
§ 21] 1°. ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О РАСПРЕДЕЛЕНИИ УСИЛИЙ 255
к
4
Требуется определить, как распределятся усилия по отдель
ным нарезкам.
Согласно Н. Е. Жуковскому, задачу сводят
к расчётной схеме, показанной на рис. 40.
Правый стержень на этой схеме изображает тело
болта, левый — тело гайки. Выступы, в
которых соприкасаются стержни, изображают нарезы
болта и гайки. Нумеруем нарезы снизу вверх:
(0), (1), ..., (и), а соответствующие поля
между ними: 1, 2, ..., п. Искомые усилия на
нарезах обозначим через р0, ри ..., рп.
Рассмотрим сначала игру сил в болте.
Растягивающее усилие, действующее в поле
болта номер i, очевидно, будет
Q-(A> + Pi+ ••• +Pi-i) = st. (3,224)
3
(?)
2
И)
I
^...-Л—:
№
и
Под действием этого усилия г'-ое поле болта
увеличит первоначальную длину на 8,г = ~р ,
где h-—расстояние между двумя выступами,
F — площадь поперечного сечения болта. Нарез
болта номер i под действием силы pt
поднимется относительно тела болта на величину,
пропорциональную этой силе fi — ср,„ где
коэффициент пропорциональности с зависит
от геометрических размеров и формы нареза;
он принимается одинаковым для всех нарезов.
Обозначим, далее, смещение (направленное вниз) тела
болта, расположенного ниже всех нарезов, через 80; теперь
нетрудно сообразить, что /г-ый нарез сместится вниз всего иа
1;
а
Рис. 40.
Схема
распределения усилий
по нарезкам
винта и
гайки.
К = °о —
Л—/ft = 8o
■2=1
h
EF,
к
■ cph,
(3.225)
где k — 1, 2, .. ., п.
Переходим к рассмотрению гайки сначала для первого
расположения (рис. 39а). Реакция неподвижного нижнего
основания, очевидно, направлена вверх и равна Q. Поэтому
сжимающее усилие в г'-ом поле тела гайки будет, очевидно,
Q — (flo~{~Pi~{~ *•■ ~\~Pi--i)~si и эт0 поле сократится на
256 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
длину щ — утр , где гг — площадь поперечного сечения гайки.
Нарез гайки номер / опустится относительно тела гайки на
величину fi = с'р^
Учитывая, что смещение нижнего основания гайки
отсутствует, находим теперь, что смещение вниз А-го нареза гайки
будет:
L'k = S 8* + /ft = Ш Е s* + c'Pft»
1С
i
где A = 1, 2,..., и. Ho Aft = А/с, откуда получается
соотношение:
к к
b0—FP^si — cPk = -Fp^ St + C'ph
*=i *=i
или
Заменяя в нём А на A-J-l, найдём:
ft+i
8о=т(т+йг)2в«+(с+с')р*+1,
*=i
Вычитая из этого соотношения предшествующее, найдём
теперь:
4(т + К) s»+i + (c + 0(P*+i ~Р/с) = 0. (3.227)
Заменим здесь s7c+1 его значением по (224), получим:
|(^+^=|(~+^)Ел-(-ьо^+1-Р,с).
Снова заменяем А на А-j-l, получаем:
1с+1
§ 21] 1°. ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О РАСПРЕДЕЛЕНИИ УСИЛИЙ 257
Из этого соотношения вычитаем предшествующее; находим
(7? + J~) Pft+i — (с + О (Pft+2 — 2pft+1 + Рь) = 0.
Введём теперь обозначения:
^(т+к)~к> l+Y = ch>
Задача приведена к разностному уравнению:
Pft+2 —2pfc+iChp4-Pft = 0. (3.228)
Переходим ко второму расположению (рис. 39 б).
Реакция нижнего основания гайки теперь равна нулю;
растягивающее усилие в I поле тела гайки будет:
Po + Pi4- ■•■ +pi-i = s't = Q — s{, (3.229)
где st определено выше по (224). Это полз удлинится на
8» hs'i
величину bi = gpr.
Как и в первом случае, нарез гайки номер / сместится
вниз относительно её тела на fi = c'pi; перемещение
нижней поверхности гайки назовём Д0) считая его
положительным, если оно направлено вниз. Общее перемещение А-го
нареза гайки теперь будет:
ft к
%=1 i—X
Приравнивая это выражению (225) для А7с, получаем:
к ft
*о-А = ^2*-Д2*! + (<+0/ъ. (3.230)
Заменим здесь k на k-\-\ и вычитаем (230) из
получающегося соотношения. Находим
WF 5»+1~' £^S'C+1 + (с + с') (Pft+i — Рк) =°-
17 Зак. 2057. А. Лурье.
258 ПРИЛОЖЕНИЯ к задачам механики [гл. III
Заменяя теперь s'+1 его значением по (229), получаем:
(А + щ)^+1 + (с-ЬО(Рй+1-Рй)-~Р. (3.231)
Это соотношение заменяет в рассматриваемом случае (227).
Теперь с помощью того же приёма, что и в первом случае,
получаем снова разностное уравнение (228).
* Переходим к решению этого уравнения. Полагая *
Рк «-г- Р(Г),
получим по (2.242):
Р(г) (е2'- — 2 ch ре'Ч- 1) = (^—1) [р0 {#—4. ch'p) + pj,
и по второй теореме разложения (2.237) найдём:
*
Р{г)
.Pi—Рое
-9 </_1 рх — рйе$ ёг — I
2shp е»-_ еР 2 sh р ег—е-$
2 shр 2 sh
/Ч — ;у-Р e;cp _ pi — p^ e-i$
Итак, получаем:
откуда по формуле разности гиперболических синусов
найдём
Р7,и-Р,-= V ,В ^ -^- (3-233)
ch2
Переходим к определению постоянных р0) рг Сначала
рассмотрим первое расположение (рис. 39а). По (227)
имеем:
2 sh р sh ^-
[plCh(*4-i)p-p0ch(a-!)p].
1 Чтобы не создавать путаницы в обозначениях, здесь вместо р
пишем г; через р (с индексами) обозначены искомые усилия на
нарезах.
§ 21] 1°. ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О РАСПРЕДЕЛЕНИИ УСИЛИЙ 259
Выражая, что snU = 0, найдём:
Я1 = Ро '
ch я —
ch (и
' + *)>
и подстановка в (232) после упрощений даёт:
Рк^Ро-
ch (н — k -\- —
ch ( и + -g
Остаётся найти р0. Возвращаясь к выражению sk.hl и
подставляя в него значение ру, получаем
si<+1 —
I sh(n — k)\
~~Pq-
2sh|"ch^+l)p'
Замечая теперь, что
Si~Q — р0 =
1
sh «р
2sh|- ch^n+i-jp
получаем
Q=-Po
и, значит:
1 +
sh «В
2sh-£-ch(n + -5-
= Ро
sh(H + l)P
2shi-ch(n+l)p
2sh-£-ch(n + -j-)p
^0= й(и + 1)р ^'
Окончательно находим:
й ch(« —ft+-^р
p7c=2QshT sh(n +
_ 8h(B-ft+l)P^8h(W-A!)P „_ .
— У sh(«+l)p ■ K6-***)
Переходим к рассмотрению второго расположения. По
(231) имеем:
sh+i — —Г (Рл+i — Pit)
F.
F+Ft
Q
17*
260 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
и по (233):
[гл. III
•S/r-H — '
р Pich(A+l)p-p0ch(ft—j)p
F + Fi
2sh-^-shP
Требование обращения в нуль sn+l приводит к
соотношению
Pi=Po
ch ( и — -j
<*(« + -!
2FQ sh^hT
I
ch (n + -
и, значит,
Pu = Po-
ch (я — й +-
sft+i
ch^"+-5-JP
_ Pq sh (и — /г) p
^1+^
2QF ah ■§•"**"
Q/7
2 sh -^- ch ( n -f -y ' fi '
ch k
1--
'+*)''
ch(«+^-)P
Выражая теперь, что sy = Q — p0, получим:
^ Fi 2sh|-ch(« + l)p ^ shp
Po— У F+Ft sh(« + l)P 1-^/*! + /=■ sh (и+ 1)P
и подстановка в выражение /jj. даёт:
2Qsh-|-
Рк
sh(» + l)P
brfVh ("-*+"*> +
F
+ 7T7Tc4fe+i)^- (3-235)
Рассмотрим частный случай Fy — F. Тогда полученная
формула приводится к виду:
^e15^w[ch(»-* + T)P + ch(*+T)p] =
0sh|-ch(f-*)p
sh
и + 1
§ 21] 2°. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО 261
п
UJfhI
1!
°>ip.
Число витков, ранее обозначенное через я-j-l, теперь
обозначим через 2пх -4- 2. Тогда получим:
Q sh|-(*(«!-£ + !)£
Полученная выше для первого расположения формула (234)
отличается от этой множителем 2. Получается вполне
естественный результат: при втором расположении и при
удвоенном числе нарезов на каждый из наиболее нагруженных
(крайних — верхний и нижний) нарезов приходится усилие
вдвое меньшее, чем в первом расположении падало на
наиболее нагруженный нижние нарез.
Конечно, это строго верно лишь при
Fl = F.
Из (235) нетрудно заключить, что
во втором расположении наиболее
нагружены крайние (нижние и верхние)
нарезы, усилия падают по мере
приближения к середине
сверху или снизу; в
первом расположении
усилие монотонно
уменьшается по мере
увеличения номера
нареза, т. е. к верху.
(1^ 2°. Обобщённая
1^ задача Н. Е.
Жуковского.
Рассмотрим теперь задачу о
распределении усилий
по нарезам болтового
разъёмного
соединения, изображённого на
рис. 41. Гайка снабжена внешней нарезкой, которой она
ввёрнута в стенку из более податливого материала. Такие
соединения применяют в машиностроении, чтобы избегнуть
непосредственного воздействия болта на стенку.
В основу расчёта примем схему рис. 42,
представляющую очевидное обобщение схемы Н. Е. Жуковского.,
и;
U
(?)
'%
2
Рис. 41.
Болтовое разъёмное
соединение
(гайка с
внешней вырезкой).
г
Рис. 42. Схема
распределения усилий по
нарезкам болта, гайки
и стенки в случае
болтового разъёмного
соединения.
262 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Как и выше, имеем выражение усилия в А-ом поле тела
болта:
s*=Q-SW (3.237)
¢ = 0
Смещение вниз /е-го нареза болта представится
формулой (225):
ft к
д* = 8о-28<-Л = 8о-;Й51л-ср*' (3<238)
где приняты те же обозначения, что и в случае 1°.
Смещение вниз А-го правого (внутреннего) нареза гайки
будет:
U к
Д* = До-Ц^+Л = До-1^21«* + сЧ- (3-239)
¢=1 *=1
Здесь Д0—смещение (вниз) нижней поверхности гайки,
at — усилие в /-ом поле гайки; из простых статических
соображений следует, что
fc — 1 /,- — 1
°* = 2 (Pi — 4) = 2 (Pi - U), (3-240)
*=о г=о
где ti — усилие на /-ом левом (внешнем) нарезе гайки.
Из (238) и (239), замечая, что Aft = Aft, получаем:
«• = 1 »=1
Вычитая это уравнение из такого же уравнения, в
котором А заменено на (А -[- 1), получаем:
M*+i — Vftn+Pfc+i — Pft = 0, (3.241)
где для краткости введены обозначения
, h , h
1 ££(c + c')' 2 ££i(c-bc')'
Написав теперь соотношение (241) для номера (А-J-l) и
вычитая из него (241), получим по (237) и (240)
разностное уравнение:
Рн+,- (2 -|- К + h)Ph+t +Р/.+ V*+i =0, (3.242)
§ 21] 2°. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО 263
содержащее две неизвестных функции целочисленного
аргумента k (номера нареза). Второе разностное уравнение
получим, составив условие равенства перемещений внешнего
нареза гайки и нареза стенки, в которую гайка ввёрнута:
Перемещение вниз /е-го левого нареза гайки будет:
А*=А° - S8« -/*=Ло - ik 2 ^ -с"^
■£ = 1 4 = 1
тогда как равное ему перемещение (вниз) соответствующего
нареза стенки равно
lit ut
Д» — с tk>
где с", с'" —коэффициенты, зависящие (как с и с') от формы
размеров и материала соответствующих нарезов. Получаем:
Написав это соотношение для номера /е-|-1, после
вычитания получим:
Vi+i-K+i —'* = 0, (3.243)
где обозначено Х3 = ^ГтГГТГлГТмГ
EF1(c" + c'")-
Снова повторив указанный выше приём, по (240) найдём:
■ VfcH + ^-9— (2 +У 4+1-1-4 = 0. (3.244)
Решение системы разностных уравнений (242) и (244)
будет содержать четыре неопределённых постоянных р0, ри
t0, t{. Они определятся из краевых условий, которые нужно
сформулировать следующим образом: из (241) и (244) имеем:
°*+i — Т., (^ 4+i)>
(3.245)
и, значит, ои+1 и 5,[И выразятся через указанные
постоянные; уравнения для их нахождения будут;
°»+1 = °> s»+i = 0. 0,=^0-¾. s, = Q —/)0. (,3.246)
264
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
[ГЛ. Ш
г(3.247)
Переходим к решению полученной системы разностных
уравнений; изображающая система будет:
р (Г) [е* _ (2 + xt + Х2) ег + 1] + ^Л(г) =
= (ег— 1) Шег- 2 — X, - л3) + р, + у0],
К*Р (0 + Г (О [«*• - (2 + Х8) ег+ 1 ] =
= (е>'-1)[л8р0+^0(е>- — 2 —Х8) + *,].
Её определитель представляет возвратный полином
четвёртой степени относительно ег:
Д (вг)==зв4г_евг(4 + Х1+ Х9 + Х8)+ ^(6 + 2(^,+ Х9+
= 4А
Обозначим
ch81==l
ch р2 = 1
ch3 л-2 ch г (1 +ktkh*s)+1 +*i±M^+
щ.
^1 + ^2 + ^3
4
4 + ^2 + ½
^ 1 -+- «2 4- ^3
^;
^1+^2 + ½^2
*
Нетрудно убедиться, что правые части этих выражений
больше единицы, т. е. 8. и
■вещественны. Получаем теперь
Д (ег) = (ег — еР,) {у — е~Ц (ег— е?=) (ег — е-Р»).
Из (247) имеем
,Qt(gQ> f(r) = Si(e>")
Д (е?) ' vv Д (ег) '
где обозначено:
Qi И = (Ро [в*1 —2 (ch в, + ch Ра) в»"+ (4 ch р, ch й9+1) ^-
— (г + Х. + ХаМ+р.Гв*—(2 + Х8)в»- + 1] +
4- Vo—Vier} (вГ—!);
%(0 = {hPo-hP^r + to [^-2 (ch р, + ch р9) в*- +
+ (4 ch p, ch p2 + 1) e»-— (2 + X8)] + f, [e^ —
§ 21] 2°. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО 265
Начальные ступенчатые функции находим по второй
теореме разложения (2.237). Получаем:
e(ft-i)P.
Р* ~ 4shMchPi-chfir ^0 [2 ch (33 - (2 + X, + Хй)] +
+ р, [в*'—(2 4-^)^ + 11+^0-^1^) +
+ 4shp2(chfe-ch-Fo-{Po[2ch^-(2 + x' + X2)1 +
+Pi[esp—(2 + Х8)вР. + 1]+Х^-Хя^Р.}- .
- Tsh P^ht-ch W fa> [2 ch р„ - (2 + Xt 4- X.)I +
+Pi [«-=*' -(2 + x8) e-PH- И + Vo - 4s~4 -
- -lib mZT- chM" {Po [2 ch p, - (2 + X, 4- X3)] 4-
+ Р,[в-яр—(2 + Хв)г-Р.+ 1] +
+ ^-у,*-&}; (3.248)
e(ft-i) Pi
^=34shp1(chp1-chfe)-{X8Po-M^' + ^o[2chp2-
-(2 + A8)H- /, [«* - (2 + X, 4- X3) eP. 4- 1 ]} 4-
e(ft-i) P2
+ 4shfe(chfe-chpT {X^o-W" + 'o [2 ch p,-
— (2 4- X3)] -|- /, [e% — (2 4--X, + Xg) eP. 4- 1 ]} —
-4shMchp1-chp^"{Vo~X3Pie~Pl+^[2chp3"-
-(2 + X3)] + (y [e-aPi -- (2 4- X, 4. X9) e-P. +1]} —
e-(ft-i)p3
~ 48hh(chp8-chpT{XaPo~X8P'g~ft' + ^[2chp'~
-(2 + ^+^1^^-(2 + ^ +
+ X3)e-P=-f 1]}. (3.249)
Остаётся определить по (246) постоянные р0, pj, /0, tx.
266 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ [ГЛ. III
Вычисление в общем виде весьма громоздко. Его нужно
проводить для заданных числовых значений параметров л,, Х3, Х3.
Предполагая, что число витков очень велико, можно
получить сравнительно простое приближённое решение задачи,
потребовав, чтобы в выражения рк и tk не входили слагаемые,
содержащие е*?* и е%.' При этом первые два условия (246)
будут удовлетворены, но не для конечного, а для
бесконечного числа нарезов (lim s-w = 0, lim ои = 0), и ошибка при
п -» со п -> СО
достаточно большом числе нарезов будет весьма мала.
Приравнивая нулю коэффициенты при е/с?' и е'(А в формуле
для /?,., получим величины t0 и tx, выраженные через р0 и рх:
К*у = ~ Ро (1 ~ в-0'+Р<>) + Pl [А + вР. - (2 + Х3)].
(3.250)
Приравнивая же нулю коэффициенты при е'$> и е'*
в выражении tk, получим:
^0 = 4)(2 + ^-^-^) + ^+^-1),
(3.251)
Эти же соотношения получим, решая (250) относительно р0
и ри если учтём связь между корнями характеристического
уравнения (chfj, и ch(3.2) и его коэффициентами; так и должно
быть, поскольку выполнение требования обращения в нуль
при к —> со усилий рк должно автоматически привести
к обращению в нуль при к -> со и усилий 4-
Теперь постоянные определяются из двух остающихся
ещё в нашем распоряжении условий (246):
°i = A) —*о. si — Q — Po>
которые по (245) можно также преобразовать к виду:
*B/>0 = 'oO + *8)-'l. (3-252)
MPo-pO + ^o-M + VePo^AQ- (3-253)
1 Н. Е. Жуковский ограничивается этой степенью приближения
при решении задачи о распределении усилий по иарезам болта
и гайки для первого расположения (рис. 39д).
§ 21]
2°. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА H. Е. ЖУКОВСКОГО
267
Из (252) и (251) находим:
tx = t0 (е-Р» -f е~Рз — в—Э»—Р.),
Х3Ро = ^(1+^-^-^ + ^^),
ХвР1=/0 [1+вР.-Р.+вР.-Л-(3+Х,+Х9) (в-Р.+е-
Подстановка в (253) даёт теперь:
МвО _ _
'°— 2[8h(p1+p2)-shp1-8hpj
M«Q
8shli+bsh4sh^
■-я.
(3.254)
причём для вывода этого соотношения была использована
формула:
Х,-гЛ-И8 + ЬЛ = 4сЬ,31С11ра — 2 (chp, + chp9),
легко получаемая из зависимостей между корнями и
коэффициентами характеристического уравнения.
Остаётся составить выражения tku р1е. Подстановка в (249)
и (248) даёт после несложных, хотя и громоздких,
преобразований выражения:
hhQ
tk~~ " .Pi + fe„ь Pi — Р»
8sh!
"5-J8hLi2
MO
<*+?)* -(*+t)p.'
ft"2sh Ш-PshM^
sh!
8,1-r*
sh!
-(*+*-)?._
(3.255)
sh* ,-(* + ?)*
+ /„. (3.256)
Эти формулы дают решение обобщённой задачи Н. Е.
Жуковского при достаточно большом числе витков нарезок.
ГЛАВА IV
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
§ 22. Струна с сосредоточенными массами
1°. Натянутая струна несёт сосредоточенные равные
массы т, расположенные на одинаковых расстояниях.
Требуется определить движение, происходящее вследствие
сообщения массам начальных отклонений из положения
равновесия и начальных скоростей. 1 Массой струны
пренебрегаем, её натяжение Т неизменно при движении масс.
ГЛ
•4. Г 2
§ — —•" —•— *-
т4-^ ( i Ум v
Т "W
'«.ян
Рис. 43. Струна с сосредоточенными массами.
Равнодействующая вертикальная сила, приложенная к массе
яг,с+1, как видно из рис. 43, будет
^+1,2/= ^(sinaft + i, й+з—sin aftift + i)-
1 Л а г р а н ж, Аналитическая механика, стр. 278—288 русского
перевода (ОНТИ, 1938).
§ 22] 1°. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 269
Заменяя синусы этих малых углов их значениями
-^(Ук+ъ—Ли)) — (Ун+1—Ук\
получим
^.+ ьг/=^(Л+3—2Л+1+Л)-
Т
Называя далее X3 = — одинаковую для всех масс no-
am J
стояниую, имеющую размерность квадрата частоты, получаем
дифференциальное уравнение движения (&+1)-ой массы
в форме:
Уш — ^(Л+з — 2у,т+Л) = °- (4.1)
Уравнения движения первой и последней (га) массы
можно считать заключающимися в этой записи, если условиться
считать
■Уо = 0, А+1 = 0. (4.2)
Нужно проинтегрировать систему уравнений (1), считая
заданными начальные отклонения и скорости всех масс:
У3=У% y8=y°s при ^ = 0 (4.3)
для s=l, 2, . .., га.
Изображающая система уравнений будет:
- W* 00 + (2л3 + Р2) Yb+1 (р) - Х2Г,с+2 (р) =
~Р2У°п+1 + РУ\+1- (4-4)
Получили разностные уравнения для целочисленного
аргумента к. Его надо решать по (2) при краевых условиях:
Го(Р) = 0, Кя+1(р) = 0. (4.5)
Для упрощения письма введём временно обозначения:
*н=Ун(р), -J?Lyl_JL.yl = H, (4.6)
Получим разностное уравнение
^+9-(2 + -^5-)^+1 + ^ = ^+1 (4-7)
270 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
и краевые условия
*о = 0, *п+1 = 0. (4.8)
Уравнение (7) встречалось в § 21. Как и там, для
решения его удобно ввести вспомогательную величину а".
ch а = 1-(^ + ^)==1+^- (4'9>
Изображающее уравнение будет
Z(r) [е*-.+ (^+ е-«) ег + 1] =(ег— 1) zt -\-М(г) е?, (4.10)
-х-
так как z0 = Q, [л0 = 0. Через М (г) обозначено
изображение ступенчатой функции \ir
Имеем:
е>- — 1 1 / ег — 1 е»- — 1
=0
е2'' — (е"—\~ е-')е>'-{~ 1 2sha\er—е° е»' —е-
* е~1са он »л
Применяем далее теорему свёртывания для ступенчатых
функций:
-х~ . -х-
егМ (г) егМ (г) й»'— 1 .
е2>' —(е«-[-е-«)е'-~|-1 ' е»'—1 ' е*»'—(е°■ + е~п) е»' + 1 '
;с
Zd sha С'*-»-
s = 0
Можно пределы суммирования принять равными 1 и
/г—Л, так как слагаемые, соответствующие s = 0 и s = k,
обращаются в нуль. Получаем теперь:
7с — 1
sh ka , VI sh so.
_ sh ka , VI sh so.
Z* "~ zl "7ЫГ + 2u "ihT |J,'''-s-
Выражаем теперь второе условие (8):
та
*»Ц —*! sha Т- ^ sha ^»+l-s— и>
§22]
1°. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА
271
откуда находим z{.
2,=
я
■2
8 = 1
sh sa
sh (//+ 1)0^ И-я
и подстановка ■ в выражение .¾ даёт:
и
1
sh a sh (я + 1) а
Sh*3 1 «*»-.+ ! S,,Sa-
s = l
»-
■ sh (л -J- 1) а V [i;._g sh s« .
8=1
В прежних обозначениях это записывается так:
ад =
sh ka
?(Р
sh a sh (и + 1) а
Р.
sh(»+i)eSshsa(&0*-8+ftJ'ft-«
-f^j/,°,_g+i)shsa
1С— 1
(4.12)
где ch а определено по (9). Теперь нужно найти начальную
функцию по этому изображению. Задача представляется на
первый взгляд непростой, так как правая часть зависит от р
через посредство а. Но это затруднение может быть
устранено.
Чтобы упростить письмо, примем, что отлично от нуля и
равно единице только начальное отклонение массы номер р,
а начальные скорости всех масс равны нулю.
Соответствующее Y}e(p) назовём Fftp(p); через У»р(р) назовём Y}c(p),
полученное в предположении, что отлична от нуля только
начальная скорость массы номер р, тогда как начальные
скорости прочих масс и начальные отклонения всех масс равны
нулю. Очевидно, что
Уп(р) = Ъ[у\у*Лр)+у%Лр)}
0 = 1
(4.13)
272 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
и аналогичное соотношение можно написать также для
начальных функций.
Из (12) получаем:
p*shkash(n — р-Н)« ппи ъ^п
__ >.«shnshl«+I)« "РИ к <р'
YU9 (Р) — \ p2shpash(„_/5_L.I)a (4-14)
■ „ .—£-.—г-т^—•— ПРИ к > Р-
A2sh ash (я-f- I) a r ^ '
Запись выражения Y* (p) отличается от (14) только
множителем р, вместо р9.
Заметим, что из (14) следует
У*,(р)=У,*(р)--
Достаточно найти начальную функцию для первого из
изображений (14). Пусть z=c\\a; числитель и знаменатель
в (14), т. е. sh ka. sh (и — р-)-1) а и sh ash (п-\- 1) а суть
полиномы относительно z степени п-\-к — р-j-l и n-j- 2,
причём степень числителя меньше степени знаменателя; это
легко понять, вспомнив, что ch sa представляет полином s
степени относительно ch а, и представив произведения
гиперболических синусов через гиперболические косинусы суммы
и разности аргументов.
Корни выражения
sh a sh(/z-f- l)a (4.15)
суть
и нас интересуют те из них, которые дают различные
значения z = c\\a; поэтому нужно взять (й-|~2) значений о:
о — 0, 1, 2, ..., п, п-\-1,
коим соответствуют
^=сЬ^ГГ = С087ТГ (^=1. 2,...,я),
г= —1.
§22]
1°. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА
273
Здесь перечислены все корни полинома (15), так как его
степень относительно г равна п-\-2. Теперь составляем
разложение на простейшие дроби
shkash(n— р-{-1)а А
В
sh a sh (Я -|- 1) а
■+S
а
«-I 'г+1 ■ и %а
а=1 Z — СОЗ ■
л 4-1
Определяем обычным путём коэффициенты
Л = lim (g~ l)shfesh(H— Р4- 1) а
a->l, «-»0 shash(n.+ l)a
5 = lim (г + 1) sh ka sh (и — p -|- 1) a
3 -> — 1, a -> ret
sh ash (я 4-1) a
= 0,
= o,
С =sh-^sh a™'(»-P + l)
1
«4-1
Я+1
\rfishash("+1)a}
9 + 1
1 . #ita . pita
Sit! — Sit! —--
Я+l »-M Я + 1 '
так как
| jz sh a sh (я + 1) a } ^ = ^ [ch a sh (я + 1) a 4-
n + l
-j-sh a (я-f l)ch(/z4- 1)«] __*«_ =
" 71+1
= (я+ l)coso7t = (— 1)°(я-{-1)
n 4-1 л 4-1
«ait , apit
Sin —r—; Sin ait r
■fl + l
Я+ 1.
, * ,ч . kait . pan
: (— IF Sin-——f Sin —T-T.
v ' Я + 1 Л + 1
sh/eash (/г— p 4- 1)«
sh ash (я4- 1) «
1
n , тор . %ka
sin -—pr sin ■
П-\-1 И -(- 1
й-fl / I , ica
1 •<M™ Ch a — cos —r-f
' = 1 «4-1
(4.16)
18 Зак. 2057. А. Лурье.
274 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Подставляем теперь вместо ch а его значение (9). Тогда
п . кар . тор
2 \i г я -+• 1 л + 1
1 -<«—Л р2 -4- 2а. sin -fr;—гтг
»=i L 2(н +1) J
2
—>
Simp . яа/г Г_, . тсо 1 ,
=^Р(0- (4.17)
Буквы /г и р входят в это выражение симметрично; оно
имеет место поэтому и при к > р.
Аналогично получим F® (р):
п . пар , пай
р Sin ■ р-у sin ■
Ъ(Р)-— ^ «-+-1—«-+-1-
'Я + 1 / , „ .
2Х sin
Х(и+1)
пар , яа/г
I sin —гт sm —г-~т
1 л + 1 и + 1
2(« + l)J
а = 1 2 (И +1)
= -4(0- (4Л8)
Эти выражения дают решение задачи. Движение
представляет наложение колебаний с частотами
k^2ksinY^TV)' <4Л9)
пропорциональными ординатам п точек, делящих четверть
окружности на (я-j-l) равных частей.
2°. Рассмотрим, в частности, случай, когда к массе номер
р первоначально покоившейся струны прикладывается в момент
t= х импульс S. Масса, к которой этот импульс приложен,
получит начальную скорость 5//«, и по (18) движение любой
/г-ой массы можно будет представить в форме
76
§ 22] 2°. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАСС 275
Действие силы / (f), приложенной к массе т номер р,
можно свести к наложению непрерывно распределённых во
времени бесконечно малых импульсов / (х) dx в течение
промежутка времени (0, t) действия силы. Поэтому
уравнение движения любой массы рассматриваемой системы
под действием силы /(/) может быть составлено на
основании (20) в виде:х
п
У На (Ч — —? Г"ГГ У, ТГ Sin 7-1- SItl ГТ X
<г = 1
t
Xj7(*)sta*„(* — x)dx. (4.21)
о
Изображение этого выражения будет
В частности, при действии синусоидально изменяющейся
во времени силы имеем:
и подстановка в (22) даёт:
п
МЯ) = ,771¾ 2Si" ^?Гsin 7FTT • ^Ьг X
V / ml № Pk° \ ■ у 2/n V
U-4-» Кр Л-К) m('H-i)
У*
><2sin7^sln7r?T'-77=^(sinW"£sinW)- (4,23)
1 Способ рассуждения, приведённый здесь, в сущности
повторяет сказанное в § 13 гл. II, что знание переходного процесса
в линейной системе от единичного импульса позволяет построить
решение для любого закона изменения сил, действующих на систему.
18*
276 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Таково движение рассматриваемой системы масс
(первоначально покоившихся) под действием синусоидальной силы
частоты со. Рассмотрим, в частности, чисто
вынужденные колебания, т. е. колебания, имеющие частоту со;
находим:
„, , рая . kvit
п sfn J. sin
y»v)=****»*> ^-^Ir-nS- "V-J+l- (4-24)
a.
Подставляем в выражение allf значение k„:
fe3 = 4Xasina7r7-^r = 2X2fl —cos- "°
2 (и + l) \ и + 1
Получаем
pita , kita
sin r ,--, sm ■
_ fa VI я+I я + 1
<7cP (и + 1) тк* Za . ад* то
i—ll—?f^t — cos
alf„ = -
°el 2X2 " w"nfl
Введём (формально) обозначение:
1~-e-=cha- (4'25)
Тогда получим по (4.16):
йь„ =
,, . kait . pita
n sm sin —!——-
/o VI _ И 4- 1 И + 1
0=1 ""*" ™" Й + 1
йр wX2(«+l) j4T ""' " an
1 T=i ch «—cos
[ /o shfash()i-p + l)a fy?^^
I «X2 shash(« + l)a ' УК^Г>
I ISL shpash(« —fe+l)a ,, ч
( mX2 shash(n+l)a v -^ > ;>
Нужно различать два случая:
(4.26)
а) 1—2W>""1; б) 1—W< —L
а) Пусть имеет место первый случай, т. е. со<2Х; число
а будет чисто мнимым (а=/[3). Поэтому, определив вели-
§ 22] 3°. ФИЛЬТР МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 277
чину р так, чтобы cos (3 = 1—-кр, мы можем выражение
амплитуды вынужденных колебаний представить в форме:
/о sin A? sin (я— р+1)Р
ащ, = ■*
мХа sin В sin (и + 1) В
/о sin pBsin(«— k -|- 1) |
wX2 sin p sin (я+ 1) В
(*<P)
(*>P)-
(4.27)
Если, например, сила приложена к первой массе, то
/о sin (я — k -[- 1) В
ай1 = ^ 8Й1(я+1)Р' ' Т* 6' амплИтУды отДель"Ь1Х масс
будут сначала убывать, потом опять возрастать и т. д.
б) со > 21. Число а будет комплексным вида йс -£av
Действрггельно, при таком а имеем:
ch a = ch (гтг -)- aj — — ch a.t = 1 — ^,
т. е.
ch at
'2Х2
1>1
и, значит, cf.t вещественно. Получаем:
, i\S + p+i_/o_ shfeaish (я — р + l)gi
*• ' отХа sh aj sh (и
*йр-
■+1)«1
(*<Р)
/ isfr+p + 1 /о shpo^shQi —Ai-|--l)«i /«, -^ \
*• ; т№ sh«! sh (и + 1) at \К^У>-
(4.28)
Если, например, сила приложена к первой массе, то
. л., /n sh (и — й + 1) а,
^==(-1)¾ sh(H+l)«i ' И амплитУДы вынужденных
колебаний масс будут монотонно убывать по мере удаления
от места приложения силы. Если число масс велико, то
вынужденные колебания достаточно удалённых масс будут
практически пренебрежимо малыми. Рассматриваемая система
не пропускает колебаний частоты со >• 2Х, но передает
колебания меньшей частоты. .
3°. Фильтр механических колебаний. На рис. 44
изображена та же схема т масс на невесомой струне,
но теперь каждая масса ещё, кроме того, подрессорена
278 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [гл. IV
пружиной жёсткости с. Уравнения движения (1) примут вид:
' Уш-yx -^Л+8+(2Х2 + ^)Л+1 -Х3Л=0, (4.29)
где введено обозначение v2 = —.
т
Решение задачи ничем не будет отличаться от
приведенного выше, если вместо (9) теперь ввести обозначение
cha=l + g + J. (4.30)
Это изменение нужно будет учесть при обратном переходе
от вспомогательного обозначения а к букве р, т. е. при
подстановке в (16) вместо ch а его значения—■ теперь (30),
та< ns <К у? Е? &
Рис. 44. Струна с сосредоточенными подрессоренными
массами.
а не (9). Получим те же формулы для отклонений
движущихся масс, но с изменённым выражением частот колебаний;
действительно, вместо (17) теперь находим:
п , стоя . айп
Ж~Ч P2Sin TT-Sln —Г~Г
Si1 "■ + '' +[а "" 2(^4-]1 '
п
-^>—г~-Г 7,sln—7-Tsin—[—rcosM>
^^я-f-l Ad п +1 и+1 "
где /г„ определяется из соотношения, заменяющего (19):
kl=f + [2Xsiafr^]%-* + 2X»(l -cos^). (4.31)
Обращаемся к решению задачи о чисто вынужденных
колебаниях под действием синусоидальной силы, приложенной
к некоторой массе (номер р) рассматриваемой системы;
очевидно, найдём то же самое выражение (24) для ампли-
§ 22] 3°. ФИЛЬТР МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 279
туды вынужденных колебаний. Заменяя в нём ka его
значением (31), теперь получаем:
и , яра . ' я/га
sin ——- sin
а = Л X1 « + 1 « + 1 r4 32¾
Чтобы произвести суммирование, снова примем, подобно
(25):
сЬа=1+2ХТ-5Р ^-33)
и по (16) получим опять выражение (26); но здесь ch а может
быть и вещественным, и чисто мнимым, и комплексным.
Разберём три случая, которые могут представиться.
1 2 2
а) • 1 +^2—£?>1. т. е. v>o).
В этом случае ch а >• 1, т. е. а вещественно и амплитуды
колебаний масс даются формулами (26). По мере удаления
от массы, к которой приложена возмущающая сила,
амплитуды убывают; практически достаточно удалённые массы
останутся неподвижными.
б) -1<1+2^-2^<1, т.е. T/4Xq^5>»>v.
Теперь | ch а | <1, т. е. а — чисто мнимое число. Полагая
а — г|3 и определяя |3 равенством cos j3 = 1 -j , получим
для амплитуды вынужденных колебаний выражения (27).
При удалении от места приложения сил не происходит
монотонного уменьшения амплитуд колебаний.
в) l-f^=^<-l, т. е. »> lAF+Л
Теперь а будет комплексным числом вида m-j-aj и, опре-
О)2 — ч2 ,
делив «j из соотношения ch at = —^Гя *> получим
выражения амплитуд в форме (28). Амплитуды убывают монотонно
по мере удаления от места приложения сил.
280 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Таким образом, рассматриваемая система является
фильтром механических колебаний; если к первой (например)
массе приложить периодическую силу, то удалённые массы
будут реагировать только на те гармоники этой силы, частоты
которых заключены в пределах v и |А2-|-4А2.
Если X взять достаточно малым, то можно получить весьма
узкую область частот, пропускаемых фильтром.
4°. Пуск в ход поезда. На рис. 45 изображена
схема, которую рассматривали. Е. Жуковский для
исследования вопроса о натяжениях в сцепке при пуске в ход
поезда:1 («-(-1) материальных точек (вагоны и паровоз)
одинаковых масс т соединены упругими пружинами; к
крайней массе приложена сила (опорная сила паровоза) q{t).
О 1 ?*> ■ п
Рис. 45. п масс, соединённых упругими пружинами
(схема поезда).
Составим дифференциальное уравнение для натяжений
пружин. Уравнение движения (/г-{-1)-ой массы будет:
»iXk + i = sx-w — sk+v (4-34)
С другой стороны, обозначая через с жёсткость пружины,
имеем:
s* + i = c(** + i — **) (4-35)
и, следовательно:
Sft+i = "J- (**+а— 2s*H + sk)-
Для крайних масс (0 и п) получаем:
si = -~ 1¾ — 2¾ + 7(01. s„ = •£•(— 2¾ -4- s^j).
1 Работа (усилие) русского сквозного и американского
(несквозного) тягового приборов при трогании поезда с места и в начале
его движения. Собр. соч., Y1I1, ОНТИ, 1937, стр. 221--255.]
§ 22] 4°. ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ НАТЯЖЕНИЯ 281
Получаем систему дифференциальных уравнений
s*+i = *9(sft+li —2ss+1 + sft), *9 = £- (4-36)
т
Число k можно считать принимающим значения 0, 1, 2, ...,
п—'1, если условиться, что
so = 7(0- *»+i = 0. (4.37)
Изображающая система уравнений будет:
Sic, (Р) - (2 + 4) 5* и (Р) + Sk (Р) = 0, (4.38)
так как, поскольку в начальный момент перемещения и
скорости всех масс равны нулю, то по (35) обращаются
в нуль натяжения и их первые производные по времени.
Полученное разностное уравнение нужно решать при краевых
условиях:
S0 (Р) =Q{p)~>q (t), Snu (р) = 0. (4.39)
Повторяя ход вычислений п. 1°, примем для упрощения
письма
$к(Р) = *к, i+^f^cha.
Получаем разностное уравнение:
^+2- 2^+-1ch « + zk = °.
изображение которого, учитывая первое краевое условие (39),
будет:
Z{r) [б3»-— e'-(ea + e-K)-f-l] =
= {?—\)\*Q(p)-\-zl—2Q<p)cba\.
Отсюда находим
гк = -г— {^sh fea-J- Q(p) [sh(fe-j- l)a — 2ch a sh Ace]} =
sh/w shJA; — 1) a
282 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ, IV
и второе условие (39) позволяет определить zx:
„ , s Sh lia
*i = Q (р) -
Sh(n-f- 1)а '
Подстановка в выражение гк даёт:
.t-St(,)-Q0,)*Sfc$p. (4.40)
Имеем разложение на простейшие дроби:
sh(H— k + \)a _ А , _В , у Сд
' a = 1cha — cos—j-j
Определяя обычным способом коэффициенты, получаем:
sh
Л = 0, 5 = 0
(п — k-\~ 1)№3
-, п А- 1 1 . kitv . it?
С„ = -, , , . г-гт-^ = г—г Sin r—r- Sit]
fdsh(n + l)a)
I d ch a ju.
я -j- 1 n ~j- 1 n -f- 1
'f'rccj
Я + 1
Заменив ещё ch a его значением, находим:
11 Sill —r- Sin ■
0=1 ^ ' a
где fe, определяется no (19).
Применив теорему СЕёртывания, получаем:
,,. 2h* \Ч . тай . тса
^(0 =^+т^8Ш7ГГГ8,п^ТТХ
t
Xy I ?(т)81ПЙ„(*-т)Л. (4.42)
0
§ 22] 4°. ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ НАТЯЖЕНИЯ 283
В частном случае постоянной силы q (t) — Q0 получаем
непосредственно по (41):
•и '
,Л 2A2Qo V • та/г • па 1— coskj
sk(t)= -^ Л sin sin- -■■" —
п + 1 ** п + 1 п 4- 1 1г°
Со V с« J^L
= TfTLSlnT+Tdg 2Т7г-=ПТ(l-cosM- (4.43)
Эта формула даёт точное значение натяжения в любой
ветви в любой момент времени. Чтобы создать
качественное представление о характере изменения натяжения в
случае большого числа вагонов, примем следующие допущения:
ft„ = 2Х sin 27^q7T) ~1Г+Т>
что, без сомнения, допустимо для низших частот (при
малых а); но такое упрощение является приемлемым и для
больших частот, когда а близко к п, так как
соответствующие слагаемые в (43) вследствие наличия мало отличающе-
. яз
гося от нуля при 0:¾/г множителя erg -^—ц—п не М0ГУТ
существенно исказить величину суммы (43). Эти же
соображения делают допустимой замену
1 , тез 2
я-j-l s 2(и+1) ™ ■
Ооозначим далее —г—г = х, —-—г = с и суммирование
П -]- 1 tl ~т~ 1
распространяем по всем целым п. Таким образом получается
предложенное Н. Е. Жуковским приближённое решение,
годное для большого числа масс:
со
,л 20л \Л Sill T.Q X ,л ,.
sk U) = —iS- V (1 — cos -ка ct).
**42
si пах _jf^ представляет периодическую функ-
а
4 = 1
цию х периода 2, которая при 0<л:<2 равна
/(*) = !—*. (4.44)
284 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Замечая далее, что
sin tzgx cos tic ct = -н- [sin тш (x -\- ct) -j- sin ire (д: — ct)],
получаем
s*(t) = Q0[f(x) — jf{x — ct)-±f(x + ct)].
Эта формула указывает на волновой характер
распространения натяжения.
А" А А'
Рис. 46. Графическое построение распределения натяжения
в пружинах ct<C 1.
Построим иа отрезке оси х длиной 1 прямую MN,
уравнение которой даётся выражением (44), и ломаную
...SABCDEF..., отрезки которой ... АВ, CD, EF...
имеют уравнения:
АВ /_1(х)=-
CD /„(*)=-
EF /,(*)«=-
-^/(* + 2) =
-т/W —
-±/(*_2) =
и т. д.
=4(*+i),
-2-(^-!)>
= _i.(3_,
X)
Передвинем теперь указанную ломаную линию вправо на
расстояние ct в положение .. . S'A'B'C'D'E'F' ... и влево
на такое же расстояние в положение . .. S"А"В"С"D"Е"F". ..
Складывая ординаты прямой MN с ординатами этих
ломаных линий, получим в масштабе Q0 натяжение в
рассматриваемой точке в момент времени t.
§ 22] 4°. ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ НАТЯЖЕНИЯ 285
Возьмем, например, указанное на рис. 46 положение,
когда ct < 1. На участке 0 < х < ct нужно сложить ординаты
прямых MN, А'В' и CD":
Ч (t) = Q0 If (*) +/. i (* — «О +/o (x + ct)] =
■Qo
1 —■ X + у (1 + JC — ct) —■ -к- (x —■ ct — 1)
Qo.
т. е. на всём этом участке имеется одинаковое натяжение.
На участке ct < х < 1 складываем ординаты MN, CD'
и CD":
ч (0 = Qo
1-х-
1 (1_ x-\-ct)~ 1(1— х — сО
:0.
Здесь натяжение покамест нуль. Таким образом при
О < ct < 1 натяжение постоянной величины Q0
распространяется от паровоза и при ct = 1 достигает хвоста поезда.
Рис. 47. Графическое построение распределения натяжения
в пружинах при 1<с^<2.
Рассмотрим теперь интервал времени 1 < ct < 2. В игру
вступают звенья ломаной А'В' и C"D"E"F" (рис. 47).
Пусть 0 < л; < 2—с^; нужно сложить ординаты
прямых MN, А'В' -и CD":
s*(0 = QoI7(jO + /_i(*-cO+/o(* + c/)] = Qo-
Остаётся рассмотреть отрезок 2 — c^<;x<l, теперь
складываются ординаты MN, А'В' и E"F":
su (0 - Qo I/ (*) +/-1 (* - f О +Л (* + cfl] = о.
При ct —- 2 натяжение становится повсюду равным нулю
и получаем исходные условия задачи.
286 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Таким образом, натяжение Q0 будет передаваться от
головы поезда к его концу, потом натяжение пойдет от конца
поезда к его началу, при ct—2 натяжение будет повсюду
равным нулю, при 2 < ct < 3 натяжение Q0 снова
распространяется от головы поезда к концу и т. д. Постоянная с
выражает „скорость" распространения натяжения — это доля
общего числа вагонов, охватываемых возмущением за единицу
времени.
При решении задачи мы считали массу паровоза равной
массе вагона. Если отбросить это допущение, то решение
несколько усложнится, но при приближённой трактовке задачи
окажется, что от головы поезда к его концу будет
переноситься с той же „скоростью" с натяжение величины
Qo я + 1
1+ЛИ п '
тп
где Q0-—-опорная сила паровоза, М — его масса, тп — масса
всех вагонов. Как и выше, эта волна возмущения отразится
от конца поезда, после чего от конца к началу начнёт
распространяться натяжение нуль и т. д.
§ 23. Крутильные колебания однородного двигателя
с маховиком
Изображенная на рис. 48 схема представляет вал
многоцилиндрового однорядного двигателя с маховиком. Двигатель
считаем однородным, т. е. предполагаем, что приведенные
0 12 п-1
Л} с I £ I. I ,,- |.„- —L „
1 i i
'о
Рис. 48. Расчётная схема однородного двигателя '
с маховиком.
к оси вала моменты инерции кривошипных механизмов
отдельных цилиндров и жесткости на кручение участков вала
между цилиндрами одинаковы. Рассматриваются крутильные
колебания, которые возникнут в системе при нарушении
§ 23] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВИГАТЕЛЯ С МАХОВИКОМ 287
равновесного режима вращения с постоянной угловой
скоростью.
Составляем уравнения движения системы,
схематизированной в виде ряда дисков на упругом, лишённом массы валу:
уравнение вращения маховика:
/<$ = —с0(<1< —?о);
уравнение вращения первого диска (ему удобно приписать
индекс нуль):
l"fo = — с0 (<р0 — <|») — с (<р0 — <рц);
уравнения вращения второго, третьего, ..., п — 2 дисков:
% 11 = — с 0*+1 — %) — с (?ft+i — %)>
где /г = О, 1, ..., я — 3;
уравнение вращения последнего диска (номер п—1):
hn-1 = —с («Р«-1 — ?»-я).
Составляем изображающие уравнения:
¥ (р) (р«+с£) = g ф0 (р)+р^ (0) +рф (о),
Ф0(Р)(> + Ч^) =7^+7 *iOO + p4(0) + P?o(0),
Фй+1(Р)(рМ-27) = 7[Фй(Р) + Ф/с+2(/')]+ -
+ P9?ft+i(0)+P?ft+1(0),
Ф»-1 (Р) (р2 + 7) =7 ф»-2(^ +P2tP»-i(°) +/>¥»-! (0).
Из двух первых уравнений исключаем W (р); получаем
зависимость между Ф0 (р) и Ф1 (р):
*о (Р) - у -дн^У ф* (/,) +7 д*Гр! г
[рг?о(0) + Р«Ро(0)](р»+|
288 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
где
Вводим обозначения:
£ _ ia ?о 1 а /
Л , у = Ло, -у =з X.
Получаем разностное уравнение:
^+2-2(l + ^)^+1+^ = -^+1 (4.45)
и краевые условия к нему:
р* К р% р .
х* + х? , xgp + (0) + F*(0)
г° = Т7^Т(*1 + [Л°)+^ 77^ ' (4,46)
*n-i = =r*—(*n-a + P»-i>» (4.47)
— -4- 1
где обозначено:
а(р\ p*p*L,^+l\
>2
Р2 /П\ I Р
* tr\ /111 _L_ t—
Ч = ф'с (Р), 1½ =5 Y2 % (0) + р <Р* (0)•
Как и выше, вводим в рассмотрение вспомогательный
параметр а:
cha= 1 + 2р*
Изображающее уравнение будет
Z(г) [e2r — ег (е* + е-») + 1 ] •■=
- ^ (ег __ 1) (егг0 ■\-г1 — 2z0 ch a) — е*М (г) + (V — 1) \х0
Его решение было получено выше; оно имеет вид:
к
, , .shfc sh (/г — 1)« Vsh,?aM
«и = (*i + Ро) 1НТ ~ *° ih^ ^ sh a Pft-8-
s = 0
§ 23] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВИГАТЕЛЯ С МАХОВИКОМ
289
Заменяя z0 его значением по (46), получим:
^ = (^+1½)
sh/га sh(fe— l)a W__
9h а
А2
sh а
'(«J
X» pt(0) + ^nO)sh(^-l)a; ^shvra
^J sha ^-
xA2
№
sh a
(4.48)
Чтобы сделать последующее вычисление менее громоздким,
примем сначала, что начальное возмущение сообщается только
маховику, т.е. что fAft = 0 (/г=0, 1, ..., п — 1). Временно
обозначим также
_
:Ф(0) + т.Ф(°)
= А(р).
Получаем
сп-\
= г,
El 1^
sh (п—1)а_ sh (и — 2)о А2 + А2
sh a
sha
'(*)
■4 (р) sh (и — 2) а
sh a
(*)
и с соответствующими заменами — выражение ги_2. Остаётся
по (47) определить гу Имеем:
^ { Д (f) [(g-(- l)sh («_ 1) «_ sh (« — 2) a] —-
-(^+5Щ&+1)8Ь(я-2)а-8Ь(я-зН}в
= ^(P) (f?+l)sh(n —2)a-—sh(« —3)a].
Замечая, что
(f$-\~ 1J sh ma — sh (m — l)a = (2 ch a— 1) sh ma—
— sh (m—1) a = sh (m-|- 1) a—sh ma = 2 sh у ch (m-(--=-] a,
19 Зак. 20B7. А. Лурье.
290 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
найдём
А (р) Ch ( Я — j) а
zlt
д(£)С1, («--а)«-
новка в (48) даёт:
А {р) ch in
д(т)сЬ(и-т)а-
— А
\Х2
+
_
+
тch ("_
т)а
xr)ch(«-
4)-
4)-
Преобразуем знаменатель D* этого выражения, подставляя
14
вместо Д(у-) ег0 значение:
o-g+R1
X2'
"X2 % уН~Х2
3
ch (п — -тг ) а -
х5ч
■+йсь("_^)а==(^"+Эх
x[(5f + l)ch(«-T)«-ch(«—2)«]-|-
— —- ch(«—■•
х;
+ JJ *
X* ~г Х2
X
(2 choc—1) ch (п — y) а — cIl(" — "2*)а ~Ь
-4-^sh«Tch
хХ^
я-т)«.
= 2shT|(^-{-I!Jshm+~[shM — sh(rt—1)в]
• Наконец, подставляя ^-= 2 (ch а — 1), получаем:
D* — 2 sh ~ sh (я -f 1) « + (^ *~ 2) sh да -f
+(i-^)»b(»-i)«]-
§ 23] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВИГАТЕЛЯ С МАХОВИКОМ 291
Возвращаясь к исходным обозначениям, находим:
где
D=sh«[sh(«4- 1)а + (тз ~Т 2)sh«x +
+ (l-^)sh(«-~l)«]. (4.50)
Рассмотрим теперь случай сообщения начального
возмущения дискам. В (48) полагаем равными нулю ty (0) и ty (0).
Проделав аналогичное вычисление, получим, принимая, что
отлично от нуля только [л, :
Фйр(Р)=^[сь(^4)«+(|у41-2)сЧА+т)а+
+(1-5)сЬ(А-т)*а]сЬ('г~р-т)й (4-51)
при р>&; при р</г нужно поменять под знаком
гиперболических косинусов буквы р и к местами.
Остаётся перейти к начальным функциям. Знаменатель D
в выражениях (49) и (51) представляет полином (я-|-2)-ой
степени относительно ch а; два корня этого полинома очевидны:
ch а — 1, choc — — 1, что соответствует а = 0 и а = тс/.
Остальные корни чисто мнимые. Чтобы найти их, полагаем
a s= /р в выражении (50) и находим корни уравнения:
sin(«+l)P-(2-T2-Hsln^+ '
+ (!—S?)sln (я—1)Р-0, (4.52)
заключающиеся в промежутке (0, тс). Остальные корни будут
повторять те же значения величины ch а и потому не
представляют интереса.
19*
292 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [гл. IV
Обозначим эти корни (^,(33, ..., Ри. Существуют
практические способы нахождения их с помощью специальных
таблиц.х
Составление выражения для <рЛр (t) теперь не представляет
труда. Полагаем, как уже неоднократно делалось:
Ф* (Р) ==
А
В
cha-—'1 I cha-J~l ' ^ ch а — cos (¾
3=1
S;
С.
fV
Постоянная 5 окажется равной нулю, так как числитель
в (51) при ар=тг/ будет содержать косинусы от нечетного,
кратного -я-. Определяем постоянную А:
А = lim
= то- Нт
ch а — 1
D
1-j-
*5*+1
Л2 %
»)+>-£]'
о г
я+1+яу__2)+(я-,1>1 •
(«Ч---0
1
2(« +
Замечая далее, что
cha-l~.£,, ^ = Тр (0)¾+ ТР (0)^,
найдём теперь, что слагаемое, соответствующее нулевому
корню в выражении Ф1ср (р), будет равно
—У?р(0) + 7Ч>р(0)].
1С. В. Biezeno und К, G г а m m е 1, Technische Dynamik,
гл. XIII, § 2. См. также А. М. К ац, Некоторые новые формулы для
расчёта крутильных колебаний валов многоцилиндровых двигателей.
Прикл. матем. и механ., т. I, № 1, 1933, стр. 78—86.
§ 23] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВИГАТЕЛЯ С МАХОВИКОМ 293
Это же слагаемое в разложении Фй (р), даваемом
выражением (49) (при сообщении начального возмущения маховику),
будет
+ (0) + 1+(0)
Складывая все эти выражения, получим:
и—1
1
■{ф(0) + ^(0)] + 2[<?р(0) + 7%(°)])-
,1,.-, е , — ,
« + - J р=0
Я —1
я+— р=0 р = 0
Таким образом, нулевой корень уравнения (59)
соответствует вращению вала с дисками и маховиком, как твердого
тела. Если, например, всем массам сообщены одинаковые
возмущения:
Ф (0) = ъ (°) = т (°). Ф (°) = i (°) -т(о).
то совокупность указанных слагаемых даёт
?(0«?(0) + ?(ок
как и должно быть.
Коэффициенты С„ легко составляются, если вычислены
корни (3¾ характеристического уравнения (52). Конечно, можно
написать выражения этих коэффициентов в алгебраическом
виде, предполагая |3Й известным, и далее составить выражения
для начальных функций .%(£). Выписывать эти громоздкие
формулы мы не станем. Вычисление упрощается в частном
случае маховика бесконечно большой массы, т. е. если левый
конец вала заделан.
Найдём движения дисков, предполагая, что заделанному
концу вала сообщается поворот ф(0) и угловая скорость ф(0Ч
При /0 -» оо имеем
294 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [гл. W
и выражение (50) примет вид:
D = sh а |[sh (я-f 1) а— sh па] — (1—7) tsh rta~sh (й—1) «]1 •
Пусть корни (чисто мнимые) этого уравнения будут
0., = ^,, где о=1, 2, ..., и. По (49) имеем:
г s -,ch(n— k -4- n-) о ch -я-
Фй(Р)-=?[&Ф(О) + ^Ф(0)]-Ь ^ -i-
в?[§Ф(°)+&*(°)](5Е^ГТ +
""" ch a + 1 > АЛ ch a — cos B„/'
ch a + 1 ' AJ ch a — cos pe
Как выше указано, получаем:
А =тг — i £«в*0.
2 с0«
Далее находим:
С(?> -* ^ cos (я — А + -у) P. cos |.
где обозначено
Ао ши («-{- 1) cos (« +1)(3,,-- исоз«рв—-
_м__£°Л ttcos«(3„ — (л—1)cos(h — l)fU.
Заменяя теперь ch а его значением, получаем:
фй (р) ш. <j» (0) + -— + 2 •
0=1 ' /'ч J
Слагаемое ф (0) + ф (0) / соответствует вращению всей
системы вместе с заделанным сечением твёрдого тела.
§ $4] 1°. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ САМОЛЁТА 295
Частоты главных колебаний (после того как корни $в
найдены) определяются соотношением:
р0 = 2Ып|-.
Амплитуды колебаний отдельных дисков при главном
колебании частоты р„ относятся как cos(«-
■k-
где
It — номер диска.
§ 24. Продольное движение самолёта
1Q. Мы рассматриваем продольноедвижение
самолёта, происходящее при малом возмущении
режима горизонтального прямолинейного по-
Рис. 49. Продольное движение самолёта.
Расположение осей, связанных с самолётом.
лёта с постоянной скоростью. Уравнения
продольного движения в безразмерной форме при пренебрежении
некоторыми второстепенными величинами можно записать
в форме: 1
«2 = 2их -\~ b2u2 — q,
i~q,
q = h2u2-\-h6q.
Здесь ах и ма — проекции на оси х и у (рис. 49) вариации
вектора скорости, выраженные в безразмерной форме; <р—угол
1 Р. Мнзес, Теория полёта. Из-во иностр. л-ры, 1949, стр. 648.
296 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
тангажа; q — величина, пропорциональная угловой скорости
тангажа; дифференцирование производится по безразмерному
времени. Через а2, b2, /z2, /?в обозначены постоянные величины,
вычисляемые по аэродинамическим характеристикам самолёта,
скорости невозмущенного движения и радиусу инерции
самолёта относительно оси, перпендикулярной его продольной
плоскости симметрии (плоскости ху) и проходящей через
центр тяжести самолёта. Коэффициенты а2, 62, /?в
отрицательны, коэффициент /?2, пропорциональный мере продольной
статической устойчивости самолёта, положителен, если самолёт
статически устойчив.
Изображающая система уравнений будет:
рилр) =
«2^3 (Р) — ф(Р)
+ Р«10.
pU% (р) = 2U, (р) + ВД (р) — Q (р) +/>«20,
рФ(р)= Q(p) + P<P0.
PQ (Р) = ад (Р) + AeQ (Р) ■+
Распределитель этой системы равен:
-Р, аа, —1>
(4.53)
А(р)
2,
О,
О,
*2 — Р. °>
О, — р,
К
О,
О
— 1
1
К — р
=P4-(£2+W+PW6-2^+/g+2a2V+2A2. (4.54)
Все коэффициенты этого полинома положительны; все
корни его будут иметь отрицательные вещественные части,
если /?3 не будет превосходить некоторой предельной
величины. Обычно полином А(р) имеет две пары комплексных
сопряженных корней. Этот случай мы в дальнейшем будем
рассматривать:
Л,2 = —а1 + '?1, Рз,4 =
. + #«
В динамике самолёта разработаны способы, позволяющие
довольно быстро находить приближенные значения этих
корней.
§ 24] 1°. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ САМОЛЁТА 297
Чтобы придать последующим записям более компактную
форму, введём новые наименования искомых величин:
ux — xv и2 = х2, <p===xs, q~xv
и, как в § 9 —13, будем обозначать через Art(p)
алгебраическое дополнение элемента / строки k столбца
определителя (54). Тогда по (53) полз'чим:
*.(р)=-р 2 ^-^-^.0. (4-55)
Применение второй теоремы разложения приводит к
громоздким вычислениям с комплексными числами. Некоторого
упрощения можно достигнуть, представляя полином А (р)
в виде:
Д (Р) = (Р2 + 2а,Р + «? + Pi3) (Pa + 2«ap + аЦ + Р«)
и разыскивая разложение отношений \\ \ на простейшие
дроби в форме:
А (Р) рЧ 2<w + 4 + fi Р2+2*2Р+< + Й '
Речь идёт, таким образом, о представлении дроби
Д(Р)
в форме
АМр+В® , л№р+В«
; Н
(4.56)
Заметим, что коэффициент а0 при / ;£ /г равен нулю,
он равен (—1) при i = k.
Разыскивая Л'1), ..., 5<2) методом неопределённых
коэффициентов, получаем систему четырёх уравнений:
Ат + А® = а0 (1)
2а2Л W -+• 2¾ Л<3) -+• SW + БР» = аг (2)
(«2 + Ра) А(1)+ (<*? + Р?) Л(3) + 2a2S(1)+ 2Kl5(3) = a2 (3)
(a» + p|) 5(1) + (a? + pj) 5(2) = a8 (4)
298 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВ01ЮДЫ [ГЛ. IV
Первое уравнение не содержит неизвестных В^\ В^\ а
последнее — неизвестных А^\ AW, Поэтому решение можно
упростить, применив способ множителей.1
Вводим неопределённые множители kv А2, \i.v [ла и
составляем комбинации:
(2) X, + (3) Х2 + (1) = ХЛ + Х2а2 + %, )
(2) 1*л + (3) [л2 4- (4) = ад + Н-2«9 4- Ч- )
Выбрав Xj и А2 так, чтобы первое из этих уравнений
не содержало Л'1) и Л'2), решаем его совместно с (4)
относительно неизвестных S'1), 5'2). Выбираем также [^ и [а2,
чтобы второе уравнение (57) не содержало £№ и В@\ после
чего решаем его совместно с (1) относительно Л'1) и A^h
Множители X при этом приходится находить из уравнений:
2а2А14-(^Ч-Й)Х2=1,
2aA+(«i + Pi)*9=l.
а множители \l — из уравнений:
Pi + 21¾^ + аз + ?2 = °.
!*i + 2ai!*a + «1 + fi = °-
Для нахождения неизвестных 5'У и S'3) имеем (4) и
уравнение
(*х + ^ЧК) 5(1) + (*, + 2а А) В® = ХЛ + Va 4~ а0,
а для нахождения Л*1) и Л*3' — уравнение (1) и
[2«2fh + (¾ + (¾ Ы ^(1) + [2«^! 4" («? + Р?) ^] Л<2) =
==^^4-^2 + ^8)-
По этому способу вместо системы четырёх уравнений
приходится решать четыре системы по два уравнения, что
менее громоздко.
1 См., например, А. Н. Крылов, Собр. соч., т. X, 1948,
стр. 311—313.
§ 24] 2°. вынужденные колебания самолёта 299
Имея теперь в виду соотношение:
(Ар+В)р А(р+а)р + (В-Аа)р .
р2 + 2ар -|~ а» -|- pa (j7_]_a)a_]_p2 ~^
•Н-> е-«*[л cosp/+y(B — Ла)^/],
получаем по (55) и (56):
4
*» (0 -= — У 4 Ь""1* ЛИ cos ptH-
7f= 1
+ -£- (ЯЙ - 4¾) sin р^] + е-"'* [Л$ cos ра* +
■ (ВЙ — ЛЙ«а) sin ра/]|, (4.58)
1
где s =з 1, 2, 3, 4.
Этот ход вычисления, повидимому, наиболее экономно
ведёт к цели — нахождению параметров продольного движения
самолёта при произвольном начальном возмущении.
Если ввести обозначения:
cS0-- S *№> ^ =-г Е *SU#--?-cm (4i68)
7{ет1 7с=1
где а==1, 2, то можно также записать (58) в форме:
Xg (t) = e-««* (C?}cos М + ^в} sln PiO +
+ е~"4 (Ф cos у~\- Df sin ВД. (4.60)
2°. Рассмотрим теперь вынужденные колебания.1
В правые части уравнений продольного движения войдут
свободные члены, в соответствии с чем изображающая
1 Я. Г. П а н о в к о и Н. П. Б о р и с о в, Основы теории плоских
вынужденных колебаний самолёта. Труды Ленингр.
военно-воздушной академии, № 4, 1943, стр. 28—47.
300 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
система (53) (полагаем теперь, что начальные возмущения
отсутствуют) примет вид:
pU^p)^ али2(р) — Ф(р) ■ +fi(p).
pU2(p)^2U1 (р) + ВД(р) - Q(р) + /=2 (р).
рФ(р)= Qip)
р (р) = VaO>) -fAeQQO + ^GO,
| (4.61)
где /=", (р) -^ Д. (/), F2 (р) _^ Д (О, F4 (р) -^> т (t) -
изображения проекций главного вектора возмущающих сил
на оси х и у и момента их относительно центральной оси,
перпендикулярной плоскости симметрии самолёта. В третье
кинематическое уравнение, выражающее связь угла тангажа
с угловой скоростью, конечно, силы не входят.
Подобно (55), получаем:
ft=i
Afa (Р)
Д(р) '
(4.62)
если условимся считать Fa (р) = 0. Начальные функции можно
получить, применив теорему свёртывания. По (58) получим:
Xs(t):
4
Й = 1
1е~«
-«1* I eKi'
414
Лйсовр^/ —т) +
+ j-t (B'jll — 4¾¾) sin pt (/ — т)1 Д (т) rft +
4- e'V I ev ГЛ/Й cos {32 (/ — т) +
o
+ -~ (B'U - Лйа2) sin (32 (/- т)] Д (,) d,}. (4.63)
Применение теоремы свёртывания, конечно, не обязательно.
Пусть, например, возмущающие силы постоянны. Начальная
§ 24]
2°. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ САМОЛЁТА
301
функция для изображения (56) находится по V табл. 2:
KJP)
ks
М)
Ы
B<i]
Нр)
....e-«,*sinfixt , „ , 2
1
«1
. e—«,*( cos |V4 sin [
1 Pi
-«2*
COS I
2H-^sinp „Л
так что продольное движение самолёта при действии
постоянных сил будет:
*„(<)'
JfJ^e^sin^t-
*й
— е"и1* ( cos ptH- ~sin ^
«J+P?
1
-«„*
sin у-{-
■"ft j
4+°а
2 L
1
cos(32^-l 'Sin (3af
P2
, (4.64)
причём /8 = 0.
При t~>oo отсюда получаем значения параметров в
новом установившемся режиме продольного движения:
Й = 1
«?+pi
«I+P22
Эти же значения можно было бы получить непосредственно
по изображениям (62) [в которых нужно заменить Fk(p)
постоянными /д]. Действительно, если все корни знаменателя Д (р)
имеют отрицательные вещественные части, то из второй
теоремы разложения следует, что значение начальной функции
при t~> со равно постоянному слагаемому в разложении
изображения на простейшие дроби. Поэтому
х8 (оо) = — V fk
Й = 1
Д»8(0)
Д(0>
(4.66)
302 системы с конечным числом Степеней свободы [гл. iv
Тождественность выражений (65) и (66) следует из того
что
(«9;-f р1)с<4+рЗ)-Д(о),
и из уравнения (4), которое служило для определения
величин Sfti и 5/2, так как а3 есть не что иное как Aftg(0).
3°. Разыскание режима переодических
движений самолёта при действии на него
периодических сил производится по методу § 13. Пусть период
возмущающих сил будет Т. Можем написать
где, как многократно объяснялось, Gk (р) -f-=- gft (t)
представляют изображения функций, равных нулю при t > Т и
равных fk (t) при 0 < t < Т.
Изображающая система уравнений будет по (55) и (66):
Й=1
I Gft (р) Л ДЬа (р) __ &8 (Р) и К7ч
+ р'~\ HP) ~ 1-е-*3" { п
и для разыскания периодического режима нужно так
подобрать начальные данные xict чтобы начальные функции &в(^)-<-7-
-*-г- 0s(p) обращалась тождественно в нуль при t > Т.
Рассмотрим частный случай действия периодических
импульсов, что, например, соответствует действию сил отдачи от
периодически повторяющихся выстрелов. Отнесенные к единице
массы проекции импульса на оси хну обозначим 1Х и /2,
а момент импульса относительно центральной оси,
перпендикулярной плоскости ху, отнесенной к единице момента
инерции самолёта относительно этой оси, назовём /4; /8 = 0.
Имеем:
Q* (Р) =3 Vh -Н- 4°i (О
и, обозначив аналогично (59) через Е%\ Fa нам известные
величины
^=- i ^, ^—s ^ - г а& (4-68)
§ 24] 3°. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЁТА
303
где о=1, 2, a s = l, 2, 3, 4, получим по (60) при t>T:
bs (/) = е-"'* { C[l) [cos pi/ — e*,a,cos pi (/— 7)] -f £#> [sin fr/ —
— e"lTsin p! (if— 7)] +£?}cos pi/+ /=^ sin px/} +
+ e""'* { Cf [cos pa/— e^cos p3 (t — 7)] + D<3) [ cos p2/ -
— e*sTsm$2(t — 7)]+43)cospa/ + /7fsinp2/}.
Нужно приравнять нулю коэффициенты при е~я<» cos $J,
е~х^ sin Pff/. Получаем уравнения для нахождения Су', Da0;:
CW (1 _ A2, cos pff 7) + D^e *°T sin pff7+ £(aff) = 0;
— C^V^sin р„Г + D<e) (1 -- <Aycos pa7) + Ff = 0.
Из них находим
,(8) е
—« у
•COS I
2(chaff7—cospff7)
■ *8
slnS„7
2(cho„r—cosPjf)'
D
,W.
sin $J
2(^(^7-cos р^Г)
/7
(») e "g —cosftg7
2(cha,r— cos ^7) "J
(4.69)
Искомое периодическое движение при t < 7 даётся
выражениями:
0. (О = *в(?) » е-"** I(C?} + 41}) cos pi/+
+ (Д?> + F<P) sin ДО + *-■* [(Cf > + 42)) cos pa/ +
откуда, подставив приведённые выше значения C(sff), D^\
найдём после некоторых упрощений:
3 «„(У—*)
*• ^==212lchif=^P) (^ С03 М + ^ sln М> +
s=i
—« *
"Г2(chaff7—созрЛ) [~~^ C°S $°(Т—{) +
+ F(;)sinpff(7—/)]}• (4.70)
Эти формулы пригодны для вычисления движения только
при /<Т. Значения xs(t) при />7 находим по условию
периодичности этих величин; можно, например, построив по (70)
304 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [гЛ. IV
графики xs(t) при 0<^<7, продолжать их в следующие
интервалы времени (7, 27), (27, 37) и т. д.
Из (70) получаем:
*.(о)=*.(г+о)=% [E*\;fa-rjsiT)+
"ГГа 2[chaffr— cospff7)
v (т— о) - У l£(ff) .С0*Ьт-е~''т _|_
xs(.Y "J —^ с* 2(сЬа„Г— cosp.71)^
» = i
, _i_ p(ff) sl" №
i s 2(chaffr— cos^fjj
Таким образом, в моменты сообщения импульсов наши
переменные претерпевают разрыв непрерывности:
ха(Т-\-0) — ха(Т— 0) = S40) = -24 (41 + 4¾•
0 = 1 /с = 1
Вспомним теперь, что величины лЦ, Aul определялись
системой уравнений (1) — (4), причём из первого уравнения
этой системы следует, что
,a)_l_^)_,^i ° "РИ k*S>
{ — 1 „ k = s.
Находим поэтому
xs(T + 0) — xa(T—0)^I8,
причём /3 = 0. Получили ожидаемый результат: в моменты
сообщения импульсов проекции скорости самолёта xt = иь
х2 — и.г и его угловая скорость х4 = 7 изменяются
скачкообразно на величины соответствующих импульсов, тогда как
угол тангажа х3 = ср, конечно, остаётся непрерывным.
ГЛАВА V
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
§ 25. Колебания струны. Продольные колебания стержня
1°. Натянутая струна, края которой закреплены,
выводится из положения равновесия путём сообщения её точкам
начальных отклонений и начальных скоростей. Через v(x, t)
обозначим отклонение в момент времени t точки струны
с абсциссой х; известно, что v (х, t) определяется
дифференциальным уравнением в частных производных
cV'O, f) = v(x, t), (5.1)
где штрихами обозначено дифференцирование по х, точками —
Т
по t; с3=—, где Т—постоянное натяжение струны, р —
масса единицы её длины; с представляет, как мы увидим
далее, скорость распространения по струне поперечных
возмущений .
Дифференциальное уравнение (1) должно определить
функцию v(x, t) для 0 <!#<;/ и для любого момента времени t.
К нему присоединяются, во-первых, краевые условия: при
Л = 0 и при х = 1 и при любом t имеем v = О или
г» (0, 0 = 0, v(l, 0 = 0. (5.2)
Во-вторых, имеем начальные условия, выражающие
задание отклонения точек струны и их скоростей в момент
времени t= 0:
v(x, 0) =/(*), v(x, 0) = g(x). (5.3)
20 Зак. 2057. А. Лурье.
306 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ (ГЛ. V
Будем считать f(x) и g (х) непрерывными функциями,
заданными в интервале (0, /) и в соответствии с (2)
обращающимися в нуль на концах этого интервала.
Пусть
оо
V(x, p)r=p j e-ptv(x, t)dt -L+ v(x, t) (5.47
о
представляет изображение искомой функции. Из (2) следует,
что при х~0. и х = 1 интеграл Лапласа в (4) обращается
в нуль, т. е.
1^(0,/0 = 0, V(l, р) = 0. (5.5)
Имеем далее по (3):
v(x, t) <-— pV(x, p)—pv(x, 0) = pV(x, p)~~pf(x),
v(x, t)+±.p»V(x, p)-p'f(x)—pg(x).
Дифференцируя далее интеграл Лапласа дважды по
параметру х, получаем:
V"(x, р)^р [e-*W(*, t)dt ~н* v"{x, t).
0
Здесь предположено, что функция e~P*v (х, t)
удовлетворяет условиям, при которых возможна перемена порядка
интегрирования по t дифференцирования по х.
Изображающее уравнение для (1) будет:
V4*. р)-£у(х,р)~-&(х)-§ге(х)- (5'6)
Для струны с сосредоточенными массами (§ 22) мы
получили разностное уравнение; естественно, что при переходе
к струне с непрерывно распределённой массой разностное
уравнение перешло в дифференциальное.
Построение решения для любых законов и задания
начального отклонения f(x) и начальной скорости g(x) не очень
значительно осложнило бы ход рассуждений и вычислений;
ограничимся, однако, рассмотрением частного случая, так как
§25]
1°, СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
307
преимущество операционного метода при этом становится
более наглядным. Полагаем
/(Л)-
Ъ
| Рр(/ — х)
\ l — b
0<x<6
g (х) = 0,
(5.7)
т. е. примем, что в начальном состоянии струны точке х = b
сообщается отклонение v0 от положения равновесия, тогда
ветви 0 <; л:<; b и b <^ х <] / расположатся по отрезкам
прямых, уравнения которых приведены выше.
Разностное уравнение в § 22 решалось средствами
операционного исчисления; естественно и здесь применить те же
средства. Нужно теперь составить изображающее уравнение
по переменной х; полагаем
оо
V (х, р) _н» ф 00 = r / v(x> р) е-«"' dx.
Конечно, ф(л) параметрически зависит от р; далее имеем
по (5):
V"(x, р) н-> г*$(г) — г*У(0, р) — rV'(0, р) =
= /*<!<(/■) —лV (О, р).
По табл. 3 изображений имеем (рис. 12,5):
1 е-гЪ — е-г1'
/(*)
г
(1-е-*)-
}■
и изображающее уравнение для (6) будет:
Имеем:
p*v<t
(1—е-гь)
-гЪ — p-rl
l — b
с, ,рх
р с '
-(--¾
с ,рх
-> х— ~sh —.
р с >
20*
808 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ-ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
и, значит:
V(x,p)=*±V'(0,p)shp-£ + \
vox vucz\1Px
b bp с'
0<x<6
v0 (I — x) vQc s^px .
bp с г
/ — b
+1
clv° -sh^(x~&)
6<x</
l 1 pb(l-b) с
По второму условию (5) теперь определяем V (0, р):
p{l-b)
VqI
v'^P)=^-TiprW
sh-
с
Подстановка даёт теперь;
при о <; х <; b
Щх
У(*'Р)-*$—ь7&
; shP£sh£lL=±L
vjc с с
il-b)p
shP-i
с
(5.8)
и при ь <; v <; /
сщ1 8h££.Bh£i£=^)_sh£*Bh£ifLz*>.
с с с с
pb(l~b) ъ\\Р~ .
Имея в виду, что
sh££shiLiLzil_sh££ sh£i£=» ^sh£Ji=--£lsh^1
С С С С С -С
можем также написать при Ь^х4^1:
V(xbp)^^^l
, ch£iiziiish£i
/_й p(l—b)b
sh^i
(5.9)
§25]
Имеем:
1°. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
309
Bh££sh£fc£
с_ с
> ° -+- е
. рб , р {1-х)
sh ■£— sh -— ^
2 Vl
-M\ P
'-{Ъ-х)
i(b + a>)
.£(2j-_&4-ce)
Gi(/»)
2Vi—e °;
(6.10)
sh
Si
с
1
SLfN\ P
с B
• e 9
G«(/>)
— £•(«-&—art , —£(2J + b-art"l__.
2U-e a)
(5.11)
He нарушая общности, можно считать, что b-^-^,
Пусть х <^ 6, введём обозначения:
6__ д:
I '9
'6 +л:
. 41
2/ —й —*
, '*
2/-u-f*
Очевидно, что t1^.t2*Cts*^ii. По теореме запаздывания
получаем:
0^)-+-+0 .
„ с (r3 fj) = 2¾
при ^<^t
. V<«<8 J (5Л2)
я *3 ^ / ^ 4
Таким образом начальная функция gt (t) <-н- Ох (р) при
f^tv а значит и-'-п^И)-/> 2/, обращается в" нуль. Это
310 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
позволяет утверждать, что начальная функция для изображения
2pl
ь
2/
является периодической и имеющей период —. Такое же
вычисление показывает, что периодической с периодом ——
является также начальная функция для изображения'
4pi '
1
Из сказанного следует, что движение струны будет
периодическим с указанным периодом. Достаточно поэтому
11
рассмотреть движение для промежутка времени 0^/^—.
Возвращаясь к (8) и (10), имеем при 0 <;.*:'<; 6 и ct^.21:
V(x,p) = VoX
L _J!oL_ (e-pt, __ e~pt„ _ e-pt, _|_ g-ptq 1.
b 2 b (l — b)
По теореме запаздывания (12) получим:
v(x, 0 = ^у при 0<*<^
1 »„/
VqX
" T 2 b(l-b)
(t—ti) — щЪь) [{-2~~
— -j)x — j> (ct -— b) при tx < t < t2
VnX vnlx
T~~bJT^¥)
Vox
l — b
VqX
1
vnl
l—b i 2 b(l — b)
b(l — b)
щх
b
при 4 < t < t%
(c/ —2/+ & + *) =
при 4<'/.<'^
,.при _^<^<2lil"
■ (5.13)
§ 25] 1°. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 311
Поясним эти результаты. Рассматриваемый участок струны
0^Сх^.Ь разобьём сначала на две области: первую, в
которой 0<; х ^.b — ct, и вторую, в которой b— ct-^x^. b-\-ct;
в первой области t^t1 и по первой формуле (13)
смещение v сохраняет начальное значение, т. е. возмущение,
распространяющееся со скоростью с, еще не достигло точек
этой области. Во второй области t~^ t1 и пока t^t2, т. е.
ct^b-\-x, в ней смещение точек струны даётся вторым
выражением (13); это разделение рассматриваемого участка
струны на две области будет иметь место, пока ct<J b; если
же b <J ct <; b -\- x, то ^<^<^3, и псе точки нашего участка
будут смещены сообразно второму выражению (13). Пусть t
увеличивается, оставаясь меньше tb; участок струны (О, Ь)
снова разобьётся на два участка; в одном из них х^ ct—b,
в другом x^.ct—b. В первом из них всё ещё tl^.t^t^
и v (х, t) даётся вторым выражением (13). Во втором участке
^<^<^8 и v определяется по третьему выражению (13)
и т. д. Аналогичное исследование этим же путём проводится
для последующих промежутков времени. При ct=z 21, как
выше указывалось, весь участок (О, Ь) вернётся к исходному
состоянию, и процесс начнётся снова.
Переходим к участку Ь^х^.1. Нужно разбить его на
две области:
a) 6<x<7 — b; б) /—6<x</.
В области а) полагаем:
<;=
2/4- Ъ — х
причём ^<^а<:£;<^. По (9) и (11) имеем:
V(x,p)
1 — Ь
-ът0=ц е-"[—-*^'-**'+*-<);,'. (5.14)
312 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
и по теореме запаздывания получим при Ь^.х^.1—Ь'.
v (х, t) = ^-^- при 0<*<4
при ■ t[-<Ct^t'?i
. t_b . „t'2<t<i'B i (5.15)
при ^<!^-<^
" b{l—V)
vnx
Vq{1—x)
" l—b
В области б) надо принять:
,Н it ,11 , £1 X О
. *:<<<
21
t:-.
b_+£
■ С :
t:
<.
где снова tt <; t"% < t"b <; t"v
Производя соответствующие замены в (14), получим теперь
по теореме запаздывания при /—Ь^.х^.1:
v(x, 1)^Щ=Л . при 0<^<^'
>(т~т)-т(«-'>]
при £<*<£
b(i—b)
b{l — b)
Qq (^ — A')
l — b
X
при /;<*<:£
r4^r^- с
(5.16)
Эти формулы дают всё необходимое для расчета формы
СТ]рунЫ в любой момент времени. ...
§ 25] . 2°. ДВИЖЕНИЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ 313
На рис. 50 построение
этих форм дано для b — -j-
через одну шестнадцатую U0
21
периода колебаний Г=—.
Как видно на рисунке,
достаточно произвести
построение для одного
полупериода.
2°. Решение задачи
предыдущего пункта
потребовало тонких
соображений и довольно
длинного вычисления; поэтому
преимущество
операционного метода не было
достаточно очевидно. При
рассмотрении более
частных вопросов это
преимущество становится
вполне наглядным.
Приведём некоторые примеры.
Определить
движение частицы массы
т, закреплённой на
натянутой струне
длины 2/ в ее середине;
частица начинает
движение из состояния покоя
под действием импульса S.
Начало координат
расположим в середине
струны; вследствие
симметрии можно
рассматривать участок струны
0<x</. Через уф) =
=='V (0, f) назовём
отклонение частицы от её
равновесного положения;
гъ
зь
Рис. 60. Формы колебаний струньи
314 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
уравнение движения её будет:
iny^2T[v'(x,t)ls^-{-Sa1(t).
Соответствующее изображающее уравнение имеет вид:
mp*Y(p) = 2TV (0, p)-\~pS. (5.17)
Изображающее уравнение (6) в рассматриваемом случае
будет
V"(x,p) — ^V(x,p)^0,
причём
Получаем:
V(0,p)=*Y(p),
V(/,p) = 0.
V(x,p)^Y(p) £—, (5.18)
sh —
с
и подстановка в (17) даёт:
Г(р-) = §- -г
г ' с с
Обозначая отношение массы струны к массе частицы
2р/ Т
через а = — и вспоминая, что — = с, получаем:
F(») = — __-i_— (5,19)
^' mc г + a cm г ' v '
о/
где для краткости принято /-=£-, что соответствует в на-
ct
чальной функции переходу к безразмерному времени т=:-у.
Переход к начальной функции осуществим двумя
способами. .... - ■.,.'.....
§ 25] 2°. ДВИЖЕНИЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ 315
а) Определение движения частицы по
последовательным этапам. Представим полученное изображение в виде:
1 1—е-зг 1
Г + a cth Г г 4-а Г — а
1 ' 1 ■—е—%г
г -\- а
со
»1 = 1
В п. 5° § 3 мы имели соотношение (" A -f-> ln (\f), где
1п(х) — полином Лагерра номер п. Чтобы использовать это
соотношение в настоящем случае, полагаем
и, следовательно,
По VIII табл. 1 (по теореме смещения) получаем:
Теперь легко построить изображение скорости v(t)
частицы в нашей задаче. Имеем по (19):
так как ^(0)-0. Получаем:
%m^J_4.yjL ll'LzilY __ (izH\n-' J в - s»r"
Иет1
Пусть 0 < x < 2. Получим
Пусть теперь 2s < г < 2 (s-f-1), где s —целое число
(1, 2, 3, ...). В соответствии с теоремой запаздывания нужно
316 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
составить начальную функцию, учитывая лишь S первых
слагаемых в сумме, стоящей в формуле (21). Получаем
оо
'±v (t) = в-«+ У е-* (<~й») {/ [2а (т — 2я)] —
—/w_,[2a(t —2я)]}. (5.21)
Например, при 2 < х < 4 получаем:
i%(*) = e-«" —е-«(т-а)2а ('с —2);
О
при 4<г < 6:
jt)(t) = е-« — е-« (--2) 2а(г- — 2) —
— е-« (т-4) [2а (х — 4) + 2*2 О — 4)3]
и т. д.
Интегрированием можно получить у (t):
при 0<г<2:
,А /S 1-е-"'
V (Л = ,
при 2<г<4:
^(^^{1^f^-4+Ve-H(T-3)f1+«(^2)]}
и. т. д. „ .
Конечно, эти результаты можно получить и без интегриг
рования, непосредственно находя начальную функцию по
изображению (20) с помощью теоремы запаздывания для
последовательных этапов 0 < г < 2, 2 < т: < 4 и т. д.
б) Представление решения о форме ряда. Чтобы его
получить, воспользуемся второй теоремой разложения.
Перепишем (19) в виде
- тОО^-^-п^Ц-. "■"'■■ (5.22)
кг' тс г in г -\- и ч '
Трансцендентное уравнение
rth /•-}-« = 0
не имеет вещественных корней; полагая г — ф, получим
уравнение, встречающееся во многих задачах теории колебаний;
§ 25]- - 3°. ДЕЙСТВИЕ- ПОДВИЖНОЙ СИЛЫ НА СТРУНУ 317
имеющее нулевой корень и бесчисленное множество
вещественных корней drpft, где й=1, 2, 3, ... Эти корни легко
находятся графически, а для низшего (первого) корня имеется
таблица, дающая его по аргументу a.J
По второй теореме разложения получаем:
оо
{P) mc 2 Ah %£ + JSn) ih V- ~ ** r + W
й=1 V iK^ ch2% J VK
OO
CO
2^V tg fa sin fat
~> «c л рй [tg pfc+pft a+<g2 ы\'
7c=l
Воспользовавшись уравнением, определяющим корни j3;„
можно это выражение представить также в виде:
оо
y(t)^2J^y JIILM . (5.23)
Можно улучшить сходимость этого ряда, замечая, что
1 J_ a + a2
Получаем
« + «»+Р* Pft a+a2 +
со оо
3°. Рассмотрим задачу о колебаниях струны
под действием перемещающейся вдоль неё
с постоянной скоростью а силы Q. Уравнение
движения струны можно написать в виде:
pv(x, t) — Tv"(x,t)z=Qa1(at — x). (5.25)
1 См., например, С. П. Тимошенко, Теория колебаний
в'^инженерном деле. ГНТИ, 1931, стр. 209.
318 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
Правая часть обращается в нуль при х ф at; в точке
х —а/ она представляет сосредоточенную силу. Вспоминая,
что
роя
ТР.,
а
ох [at — х) -f->. е
получим изображающее уравнение в виде:
PZ?V(X,P)—V»(X, р):
рс2 а
Решение этого уравнения, обращающегося в нуль при
х = 0 и х = 1, имеет вид:
V(*,P) =
Qa
р (С2 — <?2)
sh
р(1 — х)
,Р1
р sh —
sh
рх
р sh
pi
-PL
е а
1 -ЛИ
— е а
р
(5.26)
sh
По второй теореме разложения получаем:
pjl — x)
(l — x)t . 21 Y1 ( —1)я
/>sh
pi
I
71¾
sin
It Я (/ — JC)
Sill
KtlCt
Точно так же находим:
sh
рх
pi
i Pl
при t < ■—,
OO
.2* V (-:
7t2C ^J «2
iiVlz^ksin!!Hsin
nttc t
при />■
§ 25] 3°. ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ СИЛЫ НА СТРУНУ 319
и,
наконец,
рх
~е а —
Р
п Г
-> о
-> <-
а
при (<~,
» <>Т"
Складывая эти соотношения, получим решение задачи
в рядах. Сходимость их будет весьма медленной. Поэтому
следует предпочесть решение по отдельным этапам,
получающееся путем разложения изображения в ряд по степеням
показательных функций с последующим применением теоремы
запаздывания.
Имеем:
р sh
pi
= \е
раз
с .
р (1~ 3!)
е с
и по теореме запаздывания:
/,(■*, 0 = 0
t —
х
2 (1-х)
с,
4(/-л")
с
, 5.v
ipi ipi
1 —J- е ° -f « ° Ч"
при ct<^x
„ х <С ct<C2l — л:
„ 2/ —л: <c/<2/-)-jc
„ 2/-|-х<сг'<4/ — х
„ 4/ —x<c/<4/'4-Ar
„ 4/ + *<c'< 6/— х
и т. д.
Подобным же образом находим:
/b(*i 0 «-
sh —
pi
р sh
p/
X
4pS
+ ...)
320 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
и, следовательно,
1с
/2 (x,t) = 0 при ct < — + / — х,
2х ,-£ + /+*<'<<-|+3/-*'
с
/ 3(1 —х) к , o,_v^w/i£
а
„^ + 3/-.к<с*<-+3/+*
и т. д.
Наконец,
1 iljflj £JQ
- е~ -Н- /8 0> 0 = 0 при с/ < -
а
Смещение даётся формулой
•° (*. 0 = 7(^¾¾-^(*' ° +/з (*' ° +/s (х'01, (5,27)
по которой форма провисания струны легко может быть
построена для любого момента времени.
4°. Задача о продольных колебаниях стержня
сводится формально к тому же самому уравнению, что и
задача о струне:
Е ш и" (х, t) = ри (х, t)—q (х, t). (5.28)
Через и (х, t) обозначено продольное смещение сечения х;
со и р — площадь поперечного сечения и погонная масса,
которые считаем постоянными; q (х, t) — погонная нагрузка.
Продольное усилие (положительное при растяжении) в стержне
определяется формулой:
N(x, t) = E<au' (х, t). (5.29)
Если конец стержня свободен, то на нём N= 0, т. е. и' = 0;
если конец заделан, то и = 0.
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях
стержня с грузом на конце; верхний конец стержня
заделан, к нижнему прикреплён груз Q, стержень растянут
§ 25] 4°. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ стержня с грузом
321
силой S. Рассмотрим колебания, которые возникнут при
внезапном удалении этой силы.
Имеем дифференциальное уравнение колебаний
сЧ" О, t) = а (х, t) (с* = —) (5.30)
при граничных условиях
«(0,0 = 0, Qu{l>t)*=—N(ltt)=—E<aa'(x,t). (5.31)
Начало координат взято в заделанном сечении. Второе
условие представляет уравнение движения груза под
действием реакции стержня, которая равна и направлена
противоположно усилию в стержне. Этому уравнению можно
придать вид
Hi, ^-т»'(',0; <* = р^,
если обозначить через а отношение весов стержня и груза.
Искомое решение должно удовлетворить также начальным
условиям:
s* 0.
(5.32)
(5.33)
(5.34)
" (*,0)=g-, U(X, 0):
Изображающее уравнение будет
U"(x,p)-P~U(x,p) = -P~S£,
причём по (31), (32):
U(0,p) = 0, Р2[и(1,р)-Щ^-а^и'(1,р). (5.35)
Решение дифференциального уравнения (34) при этих
краевых условиях будет
ash re
"(*.p)=S
е-
r {г shr -f-a ch г)
(5.36)
где введено безразмерное переменное ? = -т" и обозначено
г = ~, что соответствует переходу в начальных функциях
ct
к безразмерному времени т = у.
21 Зак. 2057. А. Лурье.
322 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
Если ограничиться разысканием движения груза, то дело
сведётся к построению начальной функции для изображения
shr thr
г (г sh г -\- a ch г) г (г Ш Г + а) '
которое отличается лишь множителем — от (22).
Поэтому по (23) получим:
оо
где pft — корни уравнения (3 tg (3 — а. Перемещение любого
сечения даётся выражением
ОО
« (x.t)~-n-\ 6 — 2а2 >, „2 . Г7 ;—ГТТ^Г ,(5.38)
V ' ' Em I At PftSinpft(a4-a2+py J'v '
получение которого не составит труда.
Построение решения по отдельным этапам на основании
теоремы запаздывания делается с помощью уже описанных
выше приёмов. Найдём, например, натяжение в конце
стержня N(l, t). Имеем по (31):
N (/, t) ч-l- ЕМ' (/,») = S (\ ~С}ЛГ . -W —г^ттг-.
что отличается лишь множителем г от (20). Решение будет
иметь вид (22).
б°. Чтобы дать пример составления
периодического решения, рассмотрим задачу предыдущего
пункта, предполагая, что к первоначально покоившемуся грузу
периодически прикладываются импульсы величины /; период
импульсов обозначим Т. Имеем дифференциальное уравнение
продольных колебаний стержня
с*и" (х, t)=*a (х, f)
с начальными условиями
и (х, о) = о, а (х, о) = о
и краевыми условиями
и (0, 0=0, | й (/, 0 = —Emu' (/, /) + / [a, (t) +
+ о,(*—Г) + о, ¢-27)+...].
§ 25] 5°. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГРУЗУ ПОВТОРЯЮЩИХСЯ ИМПУЛЬСОВ 323
Изображающее уравнение будет
U"(x,p)^U(x,p),
а краевые условия к, нему:
U(0, р) = 0, p*U(l, р) =-^(/(1, p)+Ig
Q 1 - е-Рт ■
Получаем
U(x,p) = Ash&,
причём для определения А служит уравнение:
Находим:
Знаменатель имеет две группы корней: во-первых, корни
гь — i$k, где к = ± 1, rfc 2,.. . и j37c — уже указанные выше
корни уравнения |3tgj3 = a, и корни уравнения 1 — е—'^=0,
равные при к = rt 1, ±: 2,. . .
Разложение, соответствующее первой группе корней, даёт
свободные колебания груза их (/, f); получаем
. „ „ ,. а у u '(!!Г^х). (5.40)
В» ^ ^ • Qc ^j (1 + а + h ctg Pfc)Pft г* + р| *■ '
Чтобы найти чисто вынужденные колебания груза, т. е.
колебания, имеющие период х0 импульсов, заметим, что
достаточно знать соответствующую им начальную функцию
только для т < х0. Но для т < х0 изображение
ОО
__ 21 gl у 1 г^__
— (?С 2j (1 + а -[- pfc ctg h) h ri _|_ q| С5"4! )
21*
324 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
соответствует начальной функции, представляющей
наложение свободных и вынужденных колебаний.
Поэтом}'-, вычитая (40) из (41), получим изображение
чисто вынужденных колебаний £/2 (/, р):
u*V,p) =
ы v 1 '(fe+rctgef)
и, следовательно, для i<t0:
иа(/, 0 = #- > — ^-¾ • (5-42)
QC fa* (1 + « + P* ctg рй) sin -2^-
§ 26. Продольный удар цилиндров
1°. Цилиндр длины Z], двигаясь поступательно со
скоростью vv настигает второй цилиндр длины /2, имеющий
скорость v2<Cvi. Требуется определить распределение
скоростей и продольных усилий по длине того
и другого цилиндров в течение акта
соударения и х.
Момент начала соударения примем за начало отсчета
времени; ось х направим по оси цилиндров, причём начало её
поместим в свободном основании первого цилиндра:
основанию, по которому происходит соприкасание цилиндров при
ударе, соответствует х=1{, наконец, х = lt ~j- /2 на
свободном основании второго цилиндра.
Продольное смещение сечения первого цилиндра
обозначим «! (х, t), второго—через иа (х, t). Дифференциальные
уравнения продольных колебаний, служащие для определения этих
функций, будут:
й, (х, t) = с\и[ (х, t).
(5-43)
й2 (X, t) = С2«2 {.X, f),
где С{=]/ —^ (/=1,2) — скорости распространения про-
' р.;
дольных возмущений (скорости звука) в первом и втором
цилиндрах.
§ 26] 1°. СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ИЗОБРАЖАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ 325
К этим уравнениям присоединяются начальные условия:
г, (*, 0)=.^,, i-z(x,0)=v2
и, (х, 0)==0, и2(х, 0) = 0
и краевые условия
«1(0,0 = 0, "a(/i + /а. 0 = °;
«1 (V 0 = «2(;1. 0. -El^l"! (^. 0 = ^2^(/1, 0-
(5.44)
(5.45)
Первая группа условий выражает отсутствие напряжений
на свободных основаниях цилиндров,
вторая—непрерывность продольных усилий и перемещений в основании, по
которому цилиндры соприкасаются.
Изображающая система уравнений будет:
^ £/,(*,/>) =£/!(*, />) +
РЩ
4и2(х,р)=и:(х,р)-\-^;
¢/,(0, р) = 0, £/а(/, + /в,р)=0,
£/, (/„ р) = £/„ (/„ р), £,<о,£/1 (/,, р) = £>2£Л (/,,р).
Получаем:
(5.46)
(5.47)
£/, (х, р) ^=
•Л, ch
«1
и2(х,р)~^ + А2сЬ^Й±^1А.
(5.48)
Для определения констант Аг и Л2 получаем систему
уравнений:
р • ' * Ci р ' J са
Д>°>а
Cl
Ci
A9sh
P_k
(5.49)
В дальнейшем будем считать, что поперечные .сечения
и материалы цилиндров одинаковы: ct-=c2 — c, El=*E<i,
326 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
ш, = <о2. Получаем после определения констант и подстановки:
Ux (х, р) =
О] V-i — Щ
sh
Pik + k)'
с
shEhchPSh±k^l
U2(x,p)^^+f±=^. с- —^ • (5.50)
с.
Изображения скоростей, вследствие второй группы
условий (44), будут:
з11ТсИТ
г<, (х, t) «И- pU{ (х, р) = vx —(v1 — v2) - ° , [ ,
sh - v * r 2;
с
w9(*.0 *+-/>Ц>(*,р)=» (5.51)
81,^1,^-^ + ^--^
^ + ^-^-^^-
с
Изображения продольных усилий даются формулами:
sh&shP-
с
zhPhzhP ik + k — x)
^(х,^~^(щ ^)-^-^^. (5.52)
sh —-*-!—'——
с
2°. Рассмотрим частные случаи. Пусть /) = /3 = /; для
упрощения будем писать -=г, т. е. перейдём к безразмер-
ct X
ному времени т = -у-; примем также % = -у .
Получаем:
• / л ^ • / \ sh г ch гЧ
цх{х, f) «-г- vx — (¢,,--¾¾) sh2r ^
1/ Лг'М + г'С+ЦЮ-г11')
§ 26] 2°. пример одинаковых цилиндров 327
Числитель Fy(r, £)=(1- е~*г) [е-г (i-Ц 4-е-'1 О + О]
является изображением функции, обращающейся в нуль при
т > 4. Действительно, при т>3 + £:
/?,(,-, £) = 6-^(1-5) + 6-^0+0-
_e-r (8-0_е-г(в+о -н- 1+1—1 — 1=0.
Поэтому wt (л:, /) является периодической функцией пе-
4/
риода t = 4, т. е. t= Т = —, и достаточно знать ее
значения при х < 4.
Получаем:
г, (л:, 0—^i при 0 < т < 1 — £
.. -2-(^1 + ^) » 1-£<т<1+£
' . «4 . 1 + 6 < х < 3 — 6
» уК + О я 3 —£<т<3+£
Для второго цилиндра, обозначая 2 — £ = £j, точно так
же получаем:
м9(х, О = г>а при 0 < т < £(
-.-5-(^1 + ^2) » 1 —?i<t<l+5i
*, *»i , 1 + ^<т<3 — \х
. Y^i+^) » 3 —S,<-u<3 + ?,
Изображение продольного усилия по (52) будет:
^^^-^^^('-^^^«iS
-2с
Аналогичное выражение получается для изображения
w2 (х, О-
Получаем:
JV,(x, 0==0 при 0 < т < 1"— £
„ -J-Eo,^,-^) , 1-£<т<1+£
■ . О „ 1+£<т<3-£
„ —^-£о)(г»,—г»а) ■■ , 3 —£<x<3+f
328 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
11
Таким образом, при ^>—, т. е. х > 2, Nl(x,t)
оказывается положительным, т. е. цилиндры не давят друг на
друга, и процесс удара нужно считать закончившимся. В этот
й(Х,0)
-/1//1,0)
£ = 0
1й(х,Тс)
-J 4-^-^1
6 1С
ГГ~1_
№iw
-wijy
1
uft-|)
t = -,
-Ш,т)
даЛ?
Л,
?г
\а(х'Тс> г=й
u ^,44)
.й
■NU,fc)
,-N11,-1
Рис, 51. Распределение скоростей н продольных усилий при ударе
двух одинаковых цилиндров.
момент цилиндры, как видно из приведённых формул,
обменялись скоростями. График распределения скоростей и
продольных усилий для ряда моментов времени представлен на
рис. 51.
3°. Рассмотрим в качестве второго примера случай
4/ 21
/sss-g-, /2 = — , так что /j-{-/2 = 2/. При обозначениях
§ 26]
3°. ВТОРОЙ ПРИМЕР
329
r Зс '
—2-я -
x = -^-1\—-для первого цилиндра и x—2l—
О
-для второго, где 0 < '% < 1, 0 < £, < 1, получим:
sh г ch 2/-S
и у (х, t) *-
TV, (*, 0 <-
N2 (х, t) <-
sh 3r
«i—(«i —«и)
. . . sh 2r ch /-«1
^ + (^1-^)- 8h3r '■
Em , . sh /• sh 2/-ij
--(^1-^) sh3r -
Яш . . sh2rsh /-¾
-—fai-^a) sh3r ■
Находим
» 2-(«i + wii)
приО<-^-<1~ТТ)
» l 4 I ^ 4/ ^ A I 4 /
И Т. Д.
га(л;, 0 = г»9
при 0 <
4 /
3d
4/
<-1+тт.
. T^i + ^a)
2
4 /
з х_ . зи . 9 з*
4 / ^ 4/ < ^ 4/
Зл: Зс^ ^ , , Зл:"
<ТГ< J- i—тг
» -1 + тт<^т<2
и т. д.
Удар заканчивается в момент t
4/ ^ 4/
4/
4/
•о-, когда скорость
ударяющего цилиндра в сечении, по которому цилиндры
соприкасаются, меньше скорости ударяемого цилиндра; в этот
момент первый цилиндр сжат, а продольное усилие во
втором цилиндре равно нулю.
Скорости цилиндров после удара оказываются равными:
^1=2-(^1 + ¾). *»8=*»1-'
Пользуясь элементарной теорией абсолютно упругого
удара, т. е. выражая равенство количеств движения и
кинетических энергий системы до и после удара, получили бы:
«Г = "2 Oi + 2¾). vl = -g- (Avt ~ ©a).
330 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ, V
Разница результатов объясняется тем, что элементарная
теория не учитывает запаса энергии в момент окончания удара,
имеющегося в первом цилиндре. Этот запас равен;
4/ ^ 1 ,, , ч9
Уравнение энергии теперь принимает вид:
■g р/ (vt — г»а)2 + j ptoi" -{- ^ ph's2 = g- pto? + g- p/vj
и нетрудно проверить, что оно удовлетворяется при
подстановке значений v[ и v\.
Площади, ограниченные графиком скорости и осью
абсцисс, остаются неизменными в любой момент времени—это,
конечно, является следствием теоремы сохранения количества
движения системы при ударе.
Конечно, все приведённые выше результаты можно было
бы получить, руководствуясь тем, что возмущение при ударе
начинает распространяться со скоростью с по обоим
цилиндрам от основания, по которому они соприкасаются, затем
волна возмущения отражается от свободного конца цилиндра
и т. д. Операционное исчисление позволяет обойти эти
рассуждения и заменить их весьма простым, прямым
вычислением, по ходу которого легко проследить за всеми
обстоятельствами процесса удара.
§ 27. Продольный удар груза по балке
1°. Эта классическая задача, рассмотренная Сен-Венаном *
и Буссинеском с помощью тонких рассуждений теории
распространения волн, представляет весьма наглядный пример
тех упрощений, которые достигаются при применении
операционного метода.
аСеи-Венан изложил решение этой задачи в примечании к § 60
французского перевода „Теории упругости" К л е б ш a (Clebsch,
Theorie de I'elasticite des corps solides, trad, par Saint-Venant. 1883,
стр. 480). См. также E. Л. Николаи, К теории продольного удара
упругих стержней. Труды Ленингр. цндустр. ин-та, № 3, 1934,
стр. 85—92.
§ 27] 1°. РЕШЕНИЕ ИЗОБРАЖАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ 331
Нижний конец (л; = 0) балки заделан, падающий со
скоростью г» груз ударяет по верхнему свободному концу (х= /).
Задача ставится так: требуется найти решение
дифференциального уравнения продольных колебаний стержня
с2 и" (х, 0 = 0 (х, t)
при краевых условиях
и (0, t) =. 0, Мй (/, 0 = — Еш' (/, 0
и при начальных условиях
и (х, 0) = 0, и (х, 0) = 0,
причём последнее условие соблюдается при 0 ^ х < /,
тогда как
и (/, 0) = — v.
Удар будет происходить до момента, когда продольное
усилие N(l, t) на верхнем конце балки обратите»! в нуль и
из отрицательного станет положительным.
Изображающая система уравнений будет:
c*U"{x,p) = pW(x,p)t }
Мр*
Получаем:
U(l,p)—-
= -£<■>{/(/, р), £/(0, p) = 0.
(5.53)
U(x,p)=Ash^-
и постоянная А определится из уравнения:
MP* (A sh 4 + -) -= ~ Яо. 7 A ch IL,
Называя, как выше, a = -£p получим:
г/(л;,р) = -^- 8h/s (5.54)
Где S=-y-, r=—, что обозначает переход к
безразмерен г,
пому времени %■=.—■, Далее имеем:
Ж*, 0 ч^- ZW (х, р) « - рс* T^u^p—i™ • (5.55)
332 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
23. В соответствии со сказанным, нужно начать
исследование с рассмотрения усилия в месте удара
- N(l, t) +-Г- Pcv 7IF7T^TF7 = ?cv
1
1r
r-\-a
,-2(-
+
Г (r + a)2 " (r + a)3 И" • • •
= pcv
(Г -(- a)3
Г
r-j-a
r-f- a
о 2 V (г-a)"-i
2л2 >, -—:—f—рг е
j_a«+i
n — i
{rJr«)
- 2ar
Имеем:
(г„п)'*-1га Г (/• — <*)'*-! (/■_« +a)
_, (r —g>
= /■-
-aV*+1 ~T~ Г-
r(r — a)u-l
Выше, в § 25, мы получили соотношение:
(г_|_«)»+1 й *- ;'
Далее по теореме свёртывания:
(5.56)
rir^feSF1-^/-'-0'--^.^)*-
— 2а й"
UJV.4
J ln-i(x)
dx.
Получаем:
О ayt-1/-2
где введены в рассмотрение полиномы:
Л. (a:) ~ /« (*) + у J *я -1 О)
«toil
Вспоминая, что
(5.57)
(5.58)
10(х)=1, 1х(х) = 1—х, /а(л;) = — — 2л:+1.
2
/„(*) = 1 — Зх+-|л^-~ i*8 и т. д.,
2
1
6
§ 27] 2°. НАХОЖДЕНИЕ УСИЛИЯ В МЕСТЕ УДАРА 333
получаем
р, с*)=1 — 4-*, pa(x)=|x2-yx+i,
Р8(л0 = 1—§-* + **-
12 х
и т. д.
Возвращаясь к вычислению усилия N(l, t), получим при
О < т < 2:
-«=-■ О--)
Допустим теперь, что
2s<t<2(s+1),
где s — целое число; s=l, 2, ...
По теореме запаздывания и по (57) получим:
-:5f—=»e-«+2 5;e-«(-a«)Pft[2a(t —2я)]. (5.60)
м = 1
Пусть, например, s== 1, т. е. 2 < т < 4. Получаем:
__ Юкй = е-« _|_ 2в-« <*-*) [1 — а (т — 2)].
При 4 < х < 6 имеем:
-^ = е-«+2в-<-Ч[1-в(т-2)] +
+ 2е-« <*-*) [1 — 3 (т — 4) + «а(т —4)9]
и т. д.
Из (60) следует, что усилие N(l, t) претерпевает разрыв
непрерывности в моменты т = 2, 4, 6, ... В эти моменты
времени усилие уменьшается на величину
2pcvPn (0) = 2pcvln {0) = 2pcv,
так как ln (0) = 1, в чём легко убедиться, например, по
изображению (56), воспользовавшись первой теоремой
разложения.
При 0 < т < 2 усилие N{l,t) сохраняет знак, и процесс
удара не может закончиться в течение этого периода.
334 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
При 2 < х < 4 усилие обратится в нуль, если уравнение
/, (т) = 1 + 2е2а [1 — « (х — 2)] = О
будем иметь корень в этом промежутке. Имеем
/j (2) = 1 4- 2е9« > 0, /,(4)=1+28^- 4«е2* .
и наличие корня обусловливается выполнением неравенства
/i(4) <0, т. е. е-& + 2<4«.
Последнее же имеет место при 0,5787 < а < оо.
Итак, если отношение массы стержня к массе ударяемого
груза больше чем 0,5787, то удар прекращается в момент вре-
21 4/
мени t0 в промежутке — < t < —-, причём t0 определяется
приведённым выше уравнением.
Допустим теперь, что а< 0,5787; удар прекратится в один
из моментов времени промежутка 4 < х < 6, если
уравнение
/а (т) = 1 + 2е2< [1 _ « (т — 2)1 +
+ 2е4* [ 1 — За (т — 4) + а2(х — 4)2] = О
будет иметь корень в этом промежутке. Но
/3(4)-Л(4) + 2^>0,
/2(6) = 1 + 2е2* (1 — 4а) + 2е'« (1 — 6« + 4а2).
Вычисление показывает, что /2 (6) окажется
отрицательным, т. е. процесс удара закончится в рассматриваемом
промежутке времени, если 0,2409 < а < 0,5787. Далее также
доказывается, что удар прекратится в один из моментов
времени промежутка 6 < т < 8 при 0,136 < « < 0,2409
и т. д.
3°. Переходим к определению перемещения. Имеем:
,,, ч i>l sh г%
U (х, р)—-- ■—-—i г— —
v ' ' ' с rsh r-\-a ch г
= — — [е-'' (1-¾) — е-'-(н^)] X
§ 27] 4°. продольное усилие в заделанном сечении 335
отсюда находим:
~ U и 0> 0 = °
при 0 < т < 1 —$,
„ 1_{ 1_в-«[т-(1-«1 }
при 1_£<т< l-f«,
я JL{ е~« h-(i+6)l — е-а [т_(1-е)1 }
при l-j-£<t<3 — £,
J_ (е_«[т_ (1+5)1 — е-« [т-(1_е)1 )_1_
а ' ' '
_|_2[т —(3 — £)]e-a ^-(3-4)1 _
_±(1-_в-«[т-(8-«)1 }
при 3 —£<т< 3-J-&
и т. д.
Пусть, например, а = 1. Удар прекращается в момент
времени
с \ ' 2 У -'"--■ с
Уравнение движения ударяемого конца стержня будет:
—-|у//(/,/) = 1-е-* при 0 < г < 2,
п _1_е-т_)_2(т-1)е-^2 „ 2<т<3,202.
4°. Продольное усилие на заделанном крае (х = 0)
находится из соотношения:
//(0,0 . г _
pCW
г sh г -pa ch г
е-''-
Г — а
Г-\-а
.ЬГ
Г— а
+ 74^
Лг _1_
Г -f- а
и, следовательно, при 2s -j- 1 < т < 2s -j- 3, где s = 0, 1,2, ..
а при т < 1:
Л/(0, 0 = 0.
336 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
5°. Если нижний конец стержня свободен, то изменяется
краевое условие на этом конце;
и' (0, t) = 0.
Изображения перемещения и продольного усилия будут:
,, i ч vl ch rS
U (х, р)~~ г : г—,
4 ' ^' с г ch г -\-ash г '
N<X, t) <-т- OCV г ; .
v ' ' r r ch r -f- a sh r
Дальнейшее вычисление ведётся тем же путём, что и выше.
В приведённом примере операционный метод позволил не
только путём прямого и простого вычисления восстановить
известные результаты решения классической задачи, но даже
получить и некоторые новые результаты, именно дать общие
выражения для продольного усилия в любой момент времени.
Это легко было бы сделать и для перемещения а (х, t), но
сами выражения получились бы несколько более сложными.
Указанные результаты отсутствуют у Сен-Венана; в другой
форме и без указания на связь с известными полиномами
Лагерра они были получены с помощью сложного и тонкого
анализа в цитированной работе Е. Л. Николаи.
§ 28. Гидравлический удар в трубопроводе
1°. Рассматривается одноразмерное течение идеальной, слабо
сжимаемой жидкости. Предполагается, что вначале скорость и0
и давление р0 жидкости одинаковы по всей длине
трубопровода. Ось х направим по оси трубопровода и предположим,
что абсциссе х —0 соответствует входное, а х — 1 —
выходное сечение трубопровода.
Вследствие некоторого возмущения, сообщаемого в
начальный момент, указанный стационарный режим движения
жидкости нарушается; в возмущённом движении скорость и
давлгние будут некоторыми функциями времени и положения
сечения:
и = и(х, t), р —р(х, t).
Введём безразмерные величины
и— Щ Р —Ра /с п\
0 = —--2-, q ~ у / (5.61)
Щ Ро
§ 28] 1°. УРАВНЕНИЯ ОДНОРАЗМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ жидкости 337
и, полагая, что возмущение невелико, будем считать v(x, t)
и q (х, f) малыми величинами.
Имеем следующие уравнения: уравнение одноразмерного
течения жидкости „(уравнение Эйлера)
(5.62)
ди , ди
-зг+ззгй==-
уравнение неразрывности
др ,д (ри) _
dt г дх '
1 др_
р дх '
= 0
(5.63)
и уравнение, связывающее плотность р и давление р. При
малых изменениях плотности это уравнение будет:
Р=Ро(1+4 s = -|, (5.64)
где Е — постоянная величина.
Далее введём безразмерные время х и абсциссу %:
Т ——, 4— t ,
где постоянная с представляет скорость звука в жидкости:
" РО
При указанных обозначениях уравнения примут вид:
^£. _4_ £» i£ —. _ 1Л _ £i\ ^i
tk "Т" с dS " ' Ч ' EJ д% '
*+?Й —т(>+*)*- (5-65>
где введено обозначение А. — ~—.
Мы заменили при этом в (62) члены -*— и на -=— м0,
-f- на — 1 — р)-^~ и аналогичное упрощение ввели
р ох ро \ ^-* / ^-^
в (63). Можно пойти ещё на дальнейшее упрощение, именно,
ограничиваясь рассмотрением медленных по сравнению ' со
скоростью звука движений жидкости, отбросить в первом
22 Зак. 2057. А. Лурь«.
338 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
уравнении слагаемое, содержащее множитель —-.
Пренебрегая ещё отношением -~ по сравнению с 1, получаем
уравнения распространения возмущений при одноразмерном
течении жидкости в форме:
2°. Рассмотрим простейшую задачу, подробное и полное
решение которой дано в классическом труде Н. Е. Жуковского
о гидравлическом . ударе:' входное сечение
трубопровода соединено с источником питания
неограниченной ёмкости, так что давление в нём можно
считать постоянным и равным р0. По (61) это даёт краевоэ
условие:
9(0,0 = 0. (5.67)
В выходном сечении скорость (расход)
жидкости меняется заданным образом во
времени с помощью задвижки. Поэтому второе краевое условие
можно записать в форме:
v(l,f)^tytf = JLlLJkz»2.t (5.68)
где ty(t) — относительное изменение расхода.
Будем считать, что нарушение стационарного режима
произошло в начальный момент времени только вследствие
перемещения задвижки, и примем поэтому простейшие
начальные условия:
v (х, 0) = 0, q (х, 0) = 0. (5.69)
Изображающая система уравнений будет:
Краевые условия к ней:
Q(0,r)=*0, V(l, r)^W(r) -г*-К*), (5.71)
1 „О гидравлическом ударе в водопроводных трубах", Собр. соч.,
VII, ОНТИ, 1937.
§ 28] 2°. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 339
где вместо р, написано г, что соответствует переходу в
начальных функциях к безразмерному времени х.
Её решение имеет вид:
V-4?»-§7-> Q=-4-4?»-§^. (5.72)
Удобнее отсчёт абсциссы производить от места
возмущения, т. е. от выходного сечения трубопровода:
6, = 1-5.
Получаем:
У (6, г) =(1 — е-*-{-е-4* — e-«'- + ...)(в-*» +
_|_ e-r (2.-(=0) qr (r) = [e-)-E, _j_ e-r (2-5,) _e-r (2+5,) __
_ e-r (4-5,) _j_ e-r (1+5,) _|_ e-r (s-5,) _ , , , ] xp (>)
и по теореме запаздывания находим:
при 0 < х < 6,
„ 5, <*<2 — 6,
„ 2~?1<х<2 + «1
„ 2+5,<т<4 —^
„ 4—5,<т < 4 + 6,
и т. д.
Аналогично получаем выражение давления:
при 0 < х < 6, — Х<7 (я, 0 = О,
„ 6, <т<2-6, -^(^)== + (^6,) = -/,,
„ 2 - 6, < г < 2+ 6, - X? (х, () = Х,-ф (т-2 + 6,) - Ха,
„ 2 + 6,<т<4-61 -^,0 = ^-^-2-5,) = ^,
„ 4 —5, <-и < 4 + 6, -Х7(д:,0 = у3++(т-4+ 6,) = /,
и т. д.
Основываясь на этих результатах и имея график 4+")>
можно дать графическое построение скорости и давления
в любом сечении трубопровода.
22*
v{x,t) = 0,
v(x, 0 = <Kt-5+
v{x, 0 = +1+^(-=-
г» (a:, 0 = +3 —+(*-
v (x, t) = 4¾ — 4. (t -
= +„
-2 + 6^ = 4¾
- 2-6,) = 4»B:
-4+6,) = ¾
340 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
8°. Рассмотрим теперь более сложную задачу: в
выходном сечении трубопровода имеется запорный
пружинный клапан (рис 52), регулирующий сток
жидкости (масла). '
Пусть первоначальный натяг пружины, при котором клапан
закрыт, равен F0 и пусть С обозначает жесткость пружины
— I
\г"—■
У
Рис. 52. Схема трубопровода с запорным
клапаном.
клапана. При установившемся движении жидкости открытие
клапана задается величиной у0, определяемой из уравнения
равновесия клапана
p0Q~F0+Cy
0'
(5.73)
где, Q — площадь сечения клапана.
При возмущенном движении жидкости уравнение
движения клапана будет:
Му'-|-ту.-]- Cy = pQ — F0=*(р —pj)Q + pQQ,
где значение р (х, t) берётся при x~L
Обозначая
У'~Уо — щ
Уа ' '
и пользуясь (61), получим:
Ч +.-
"п-г
с „_ЙА>
7 С f)+Th(P<P—Fo-tyJ,
М '' ' М ' Му0'v ' ' ' Му0
причём последнее слагаемое в правой части по (73)
обращается в нуль.
1 Эта задача рассматривалась автором и А. И. Чекмаревым
в 1938 г. Дальнейшее исследование было проведено А. А.
Соколовым в работе „Критерий устойчивости линейных систем
регулирования с распределёнными параметрами". Инженерный сборник,
т. И, № 2, 1946, стр. 3—26.
§ 28] 3°. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР ПРИ НАЛИЧИИ КЛАПАНА 341
Переходя к безразмерному времени х и вводя обозначения
2п"=а~Мс'' ЖГ2' Wo^ ' П0ЛУчаем УРавнение
Движения клапана в виде:
^ + 2»£+А,=4*(',0. ■ (5:74)
Нужно еще связать величину т] со значениями v (х, t)
и q(x, t) на конце х = 1 трубопровода. Для этого составим
уравнение расхода жидкости через окна клапана:
Ы^аЬу^Ц-,
где b — ширина окон, а — коэффициент расхода.
Переписывая это соотношение в форме
9«о (1 + v) = aby0 (1 + yj) 1/¾ Vl+7h
' Ро
отбрасывая степени и произведения малых величин v, q, yj
и замечая, что по уравнению расхода в установившемся
режиме
Ц> = «*Уо]/^-°,
Ро
получаем:
¢==7)-)--2- Ч, т- e.vj = «—j-?. (5.75)
Уравнения (74) и (75) дают краевые условия в выходном
сечении трубопровода.
Краевое условие при х — 0 возьмем в форме
7(0, 0 = ^00. (5-76)
т. е. будем считать давление во входном сечении заданной
функцией времени.
Начальные условия движения жидкости возьмем в
простейшей форме:
v(x, 0) = 0, q(x, 0) = 0. (5.77)
Нужно ещё принять некоторые начальные условия
движения клапана. Предполагая, что в начальный момент клапан
342 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
находился в покое, примем также наиболее простые условия:
-/1(0) = 0, 4(0)=.0. (5.78)
Итак, задача сводится к разысканию двух функций v (х, t),
q (х, t), удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (70)
при краевых условиях (74), (76) и при начальных
условиях (77) и (78).
Изображающая система уравнений будет:
гу(6,г)„Х*0|^, ^(1,г)в-{^1 (5.79)
при краевых условиях:
Q(0, /-)=W(r) -4->ф(т), (5.80)
(г2 + 2r,r -f о*) Н (г) = °1 Q (1, г), (5.81,)
где
H(r)=V(l,r)—^Q(lir)-~^^). (5.812)
Решение системы (79), удовлетворяющее условию (80),
будет:
Q(S, r) = W(r)chd+Cshrt,
V (5, г) = — XW (г) sh л5 — ХС ch ii,
где С—пока неопределённая постоянная; подстановка во
второе уравнение (81) даёт:
Я (л) = — V (/•) (х sh л -|~ 1 ch Л -f С (х ch л+ i sh г
(5.82)
Остаётся определить постоянную С, для чего следует
воспользоваться первым уравнением (81), т. е.
изображающим уравнением движения клапана. Найдя С и подставив
ей значение в (82), получим:
Н (г) = ^Ц___. (5.83)
В(г2+2иМ-а2Л X ch г-f-Tj-sh г) -fg*shr
В дальнейшем ограничимся рассмотрением движения
клапана, т. е. будем строить начальную функцию для изображе-
§ 28] 4°. РЕЗКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ВО ВХОДНОМ СЕЧЕНИИ 343
ния (83). Чтобы упростить вычисление, проведение которого
в общей алгебраической форме привело бы к очень
громоздким формулам, примем X — -д-
других параметров зададим ниже.
Получаем:
а численные значения
Я (Л):
-rxV(r)e-r
r*+2nr+^(l-^-±-) + ~e-*r
: л2 + 2ar + Р
-¾- \—1
л24-2иг+ Р
где для краткости написано p = a2fl -f--r), а = ~.
Начальная функция будет строиться по отдельным этапам;
разлагаем для этого выражение Н(г) в ряд:
Н (г) = W (г)
й = 0
4°. Рассмотрим случай
¥(/■) = ?<,
aft + le-(2ft+l)c
(г2 + 2и/-+Р)й+1
!4-. (5-84)
?о°о(9.
соответствующий резкому изменению давления во
входном сечении в начальный момент; примем сначала,
что движение клапана не демпфируется, т. е. я = 0.
Имеем изображение:
1
г24-р2
1
(г2 4- р2)2
1
(г2 + Р2)3
1
(л2+р2)4
р(1-
f('-
*['-
^
— cospi),
— cos (3? —~ -н- (Зт sin р-с),
- ('1 — 1 j3ai2)cqs рт — -| рт sin £т
-(г —^pyVospt —'
~(ш^ —4l^3)SinH И Т> Л'
344 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
Имея эти соотношения и пользуясь теоремой
запаздывания, получаем:
0<т<1 -1=-/)0,1 = 0,
1<?<3
з <: т < 5
5<г<7
1—cosp(* —1)],
1 — cos р (х —■ 3) —
— -^ Р ('—3) sin р с-с — з>],
-М-
— j |32 (т -- 5)2 cos р (г — 5) —
— 4р(т — 5)sinp (т — 5)1
И Т. Д. й I
На рис. 53 построен график движения для случая о2 = 2,5
и 8 = 0,1.
71 = 7)1|8=.
, <7оа*
4=43,5 = 41,3+%
4=48,7 = 43,5 + ¾
Рис. 53. График движения клапана при повышений давления
во входном сечении трубопровода.
Получается быстро расходящийся колебательный процесс.
Аналогично ведётся вычисление и при п, отличном от
нуля.
§ 28]
5°. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ
345
На рис. 54 приведён график движения при указанных
выше значениях о и 8, но при п — 0,3.
Рис. 54. График движения клапана при повышении давления
во входном сечении трубопровода.
5°. Как второй пример рассмотрим случай
периодического изменения давления во входном
сечении; ограничиваясь случаем синусоидального измене-
ния, примем:
Р(0, 0=='Po + APosinQoif.
т. е.
4 (т) = ^5 sin ?sL т <-
-я-.* <-r- q0
/-2 -L. о)2
где обозначено ш= —, q0=Po
Ри
" (0-^2^+^+^- <5'85)
346 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
Выражение (84) примет вид:
ак+1 e-(2k + l)r
7t = 0
Пусть п = 0, тф$. Получаем
1<Ч<3 -п = Y!1>s = ^ -—^ [sin ш (т-^-1) — ^- Sin р (т—1)],
1*
№*
3<г<5 Yj = Yj3jB = Yj1)3 + ^
1 — яг
,3\2
;
sin со (т— 3)-
тт
(l_j£)sin {)(.-3) +
+ -3-7(1 -р)Р(т-3)С°8р(1:~3)",
5<х< 7 ^=^ = ^ + 2^--1 {sin<о(т--5) +
V1 PV
4(1 ——
+ (l-J?)S{l—g-P8(^-5)B}]slnp(t-5)}
и т. д.
Процесс движения представлен на графике рис. 55 сплош-
ной линией при со = -^ 8 и при прежних численных
значениях параметров о3 и 8.
Случай со = 8 (резонанса) приводит к построению
начальной функции для изображения
7с = 0
§ 28] 5°. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ 347
Получаем:
<т<3
■Л в '%,! = °-
ч\ = ч\
1,3
3<t<6 ^] = ^3,5 =
= |J[sInp(T-l)-
— р ("С — 1) cos р (х 1)]
_„ 1 3?0«2ГЛ 1 g^
Xsinj3(t~-3) —р(т —
i(t —з)аХ
55 соответствующий график изображён пунктиром.
56 приведе-
и т. д.
На рис.
На рис
ны еще графики
начальной функции ч\(х),
построенные для случая
синусоидального изменения
давления во входном
сечении трубопровода, но
при «фО.
Из всех приведённых
графиков движения
запорного клапана следует,
что для значений
параметров а и 8, которые
были взяты для расчёта,
отклонения клапана от
положения равновесия
увеличиваются с течением
времени; наличие
сопротивления (и ф 0)
несколько уменьшает размахи, но
не позволяет получить
затухающего процесса
колебаний. Возникает
поэтому вопрос о
выборе указанных
параметров, обеспечивающем при
нарушении
стационарного режима затухающий
■3)]
Рис. 55. График движения клапана
при синусоидальном изменении
давления во входном сечении трубопровода.
Движение клапана не демпфируется.
348 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. V
процесс колебаний клапана. Возвращаясь к (83), 'отметим,
чтЬ соответствующую начальную функцию ч\ (г) можно было
Возмущение <pix)=%slnwt
а2 =2,5 $=0,1
п10,3 —- v
Рис. 56. График движения клапана при синусоидальном
изменении давления во входном сечении трубопровода.
Клапан снабжён демпфером.
бы найти для всех положительных значений х, а не по
отдельным этапам, использовав вторую теорему разложения.
§ 28J 5°. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ 349
Для этого нужно, однако, знать корни трансцендентного
уравнения
{г- + 2пг + р3) (X ch г + i sh г) +y sh г ---- 0, (5.86)
получающегося при приравнивании нулю знаменателя (83),
Чтобы колебания клапана, возникающие при нарушении
стационарного режима, были затухающими, необходимо, чтобы
все корни уравнения (86) имели отрицательные
вещественные части. Возникает задача о разыскании критериев
устойчивости для целых трансцендентных функций, аналогичных
критериям Раута — Гурвица для полиномов. Первая попытка
решения ее была дана А. А. Соколовым в цитированной
выше работе, познсе она стала предметом ряда исследований.1
Уравнение, к которому приводит задача о запорном
клапане, является частным случаем более общего уравнения
(а0 -j- а\Г + оу2) ch г + (¾ + lhr + <V3) sh л = 0, (5.87)
подробно рассмотренного в главе VII (§ 5) книги Н. Г.
Чеботарёва и Н. Н. Меймана. Взятые выше для расчета
значения параметров лежат вне области устойчивости,
определяемой для уравнений типа (87).
1 Н. Г. Чеботарёв и Н. Н. Мейман, Проблема Раута —
Гурвица для полиномов и целых функций. Труды Математич. ин-та
им. В. А. Стеклова, т. XXVI, 1949; Л. С. Понтрягин, О нулях
некоторых элементарных трансцендентных функций. Изв. АН СССР,
сер. математ., 6, 1942, стр. 115—134.
ГЛАВА VI
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ
И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
В первой главе были выведены основные теоремы
операционного исчисления и даны изображения нескольких
простейших функций—целой степени, показательной функции,
тригонометрических функций. Этого оказалось достаточным
для решения большого числа задач динамики и сопротивления
материалов, сводящихся к обыкновенным линейный
дифференциальным и разностным уравнениям с постоянными
коэффициентами.
Простейшие задачи, относящиеся к уравнениям частных
производных, как было показано в пятой главе, также
решаются с помощью этих же скромных средств.
Изображение определяется по заданной начальной функции
с помощью интеграла Лапласа:
оо
Lif№~^= ]je-t*f(f)dt. (6.1)
6
Для решения обратной задачи, т. е. нахождения начальной
функции по её изображению, служил „каталог изображений"
и основные теоремы операционного исчисления— свёртывания,
запаздывания, смещения и первая и вторая теоремы
разложения.
Но многочисленные задачи приводят к изображениям, не
сводящимся с помощью перечисленных приёмов к имеющимся
в каталоге. Необходимо поэтому располагать общим средством
построения начальной функции по её изображению, Речь идет,
таким образом, о решении интегрального уравнения (1)
относительно неизвестной функции f(t). Оно даётся формулой
§ 29] Г. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ 351
обращения Римана — Меллина, на фундаментальное значение
которой в операционном исчислении указал в 1916 г.
английский математик Бромвич.1
§ 29. Формула обращения
1°. Напомним, что рассматриваемые начальные функции
суть функции вещественного переменного ty обращающиеся
в нуль при t < 0, кусочно-непрерывные при f>0 и имеющие
экспоненциальный порядок роста при больших значениях t
\f{t)\<Mes<t.
При этих условиях интеграл Лапласа (1) сходится абсолютно
и представляет функцию комплексного переменного р,
регулярную в полуплоскости Rep^Sj > s0, а и если р
неограниченно возрастает по модулю, оставаясь в этой
полуплоскости, то
Ига Ш а о. " (6.2)
Формула обращения, дающая выражение начальной
функции f{t) по её изображению F (/;), имеет вид:
f{t)=~ [ **FlP)*f, (6.3)
а — -юо
причём число о может быть произвольным, но большим, чем s0;
иными словами, интегрирование в (3) производится по любой
прямой в плоскости р = s -f- /со, параллельной мнимой оси и
расположенной в полуплоскости Re p^sx > s0. В дальнейшем
для краткости будем обозначать этот путь через 1^ (рис. 57).
Заметим, что
f(t) = ±je*F(p)df = ±JunJ_ e^F(p)df. (6.4)
1 T. J. Bromwich, Normal coordinates in dynamical systems.
Proc. Lond. Math. Soc. (2), vol. 15, 1916, стр. 401.
2 Эта форма записи указывает, что границей полуплоскости
является прямая, проходящая справа от прямой Rejy =s0. -
352
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
ппр=$+ш
,.L,
Нужно доказать два положения. Во-первых, что из
представления F (р) в форме лапласова интеграла (1) следует
формула обращения. Во-вторых, надо убедиться, что обратно
из (4) следует представимость F(p) в форме лапласова
интеграла (1).
Требуется ещё' убедиться, что значение интеграла (3)
не зависит от выбора постоянной о в полуплоскости Rep>s0
и что при t < 0 этот интеграл
обращается в нуль.
Конечно, всё это будет, иметь
место лишь при некоторых
ограничениях, накладываемых как на
f(t), так и на F(p).
2°. Доказательство первого
положения основывается на
интегральной формуле Фурье,
которую мы считаем известной
читателю. х
Введём в рассмотрение
функцию
ф (<)««-•*/#), (6.5)
причём а > sQ.
К перечисленным выше условиям, определяющим
принадлежность f{t) к классу рассматриваемых начальных функций,
добавим требование дифференцируемости / if) в точках, где
она непрерывна. ,
Тогда будут соблюдены более чем достаточные условия
представимости ty(t) в форме интегралов Фурье:
So
Рис. 57. Путь
интегрирования в формуле обращения.
«КО
ии
If
2я J
dm <Ji(t)e~u>(T-*^d'c,
(6.6)
причём в точках разрыва нужно левую часть заменить на
i[<K'- о)-Н(/ + о)].
1 См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
■г. И, ГТТИ, 1937, стр. 392.
§ 29] 3Э. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛА 353
Подставляем в (6) значение (5) функции <|i (t) и умножаем
обе части на е"*; получаем:
со оо
—00 О
оо оо
JL Г е(«+<«>)*d<o Г e-(« + <«')t/(^)rf'c- (6-7)
2'
Обозначая теперь
о -|- /со = р,
заменим внутренний интеграл в (7) его значением (1); при
фиксированном о путь интегрирования представит прямую Z„
параллельную мнимой оси и отстоящую от неё на
расстоянии а; замечая ещё, что dp = id<a, получим из (7) формулу
обращения (4):
3° Переходим к доказательству второго положения: если
f(t) определено формулой (4), то F{p)
выражается через f{t) с помощью интеграла
Лапласа (1).
Достаточными для этого являются следующие условия:
а) F (Р) — регулярная функция в полуплоскости Rep^-Sj >s0,
б) отношение —— при любом Rep^st > s0 и при Jmp~
= <о-*оо стремится к нулю, в) интеграл
I
FiP)f
<j—ico
при a^>51>50 сходится абсолютно, т. ё. интеграл
J
F (a 4- г'ш) I ,
—-■■:■-■;—- \d<a
СХОДИТСЯ.
23 Зак. 8057. А. Лурье.
354 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [гЛ. VI
Заметим, что, как говорилось в § 2, изображения
рассматриваемого класса начальных функций удовлетворяют условиям
а) и б), причём б) представляет иную формулировку
свойства изображений, о котором упоминалось выше —см.
формулу (2).
Умножим обе части (4) на е~~Р^, где Rep > а, и
проинтегрируем по t в пределах (0, оо); получим
ОО ОО 3-{-iOO
dp
T
При условии в) в интеграле справа можно переменить
порядок интегрирования, поэтому
ОО ОО ОО
J е-*.*/ tfdt^^L-JF (р) Ц. J «НЛ-Ю* dt
О 0 0,
Но Rep!>Rep>o, т. е.
!
e4pl~p)tat=- 1
рх—р
и значит,
<j-\-ico
0 a—io3
Рассмотрим теперь интеграл по замкнутому контуру рис. 58,
составленному из дуги окружности Г и отрезка прямой,
параллельной мнимой оси между точками a-f-iw и о — гш;
a—-tfu>
I "
Г * " « + 4'Ш
(Г—-*ш
Г Г /*(/;)<*/; , Г F{p)dp 1 , g.
Подинтегральная функция имеет полюс в точке p = pjj
это её единственный полюс, так как функция — F (р) в
§ 29] 4°. НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 355
области, ограниченной рассматриваемым контуром, регулярна.
На основании формулы Коши поэтому имеем:
1Ы.
7 =
Pi
(6.10)
Перейдём в (9) к пределу: с» —> со, а следовательно,
R—>oo. Использовав условие б)
или, что то же самое, (2), нетрудно
убедиться, что
lira -=-,
В-»со т
\
F(P)dp .
P(P—Pi)'
0.
Далее имеем
lim
ы L p(p—pi)
a + ta
P(Pi-P) '
По (8), (9), (10) теперь
получаем:
J е pff{i)dt j-1-, (6.11) pHCi58. К выводу интеграла
0 Лапласа из формулы обра-
,. щения.
что и требовалось доказать.
4°. Независимость интеграла (4) от выбора
постоянной о1 легко устанавливается из рассмотрения
интеграла
'-■ktS^wf
по контуру прямоугольника, представленного на рис. 59.
В области, ограниченной этим контуром, подинтеграль-
ная функция регулярна, и по теореме Коши 7=0. Пусть
теперь со~->оо; интегралы по горизонтальным участкам дадут
1 Конечно, при условии, что прямая L\ остаётся в полуплоскости
Rep ^sx>s0.
23*
356 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
в пределе нуль, так так путь интегрирования конечен, а под-
интегралыюе выражение по условию б) стремится к нулю.
Таким образом:
J F(p)0*f -\- / F(p)ePt(li-]^0,
lim
ш-> оо
т. е.
а ■■{- ioo
<3i-{-ioo
м=тк J пр)**Ц-=ш J m*1
dp
p
ОЧШ
O.UW
что и требовалось доказать.
5°. Нам нужно ещё проверить, что функция f(t),
определяемая по формуле обращения (4), обращается в нуль
при t < 0. Для этого
воспользуемся известной леммой Жор-
дана, которая будет в
дальнейшем иметь и другие важные
приложения.
Лемма Ж орд а на. Пусть
г —- p = Re*9 и — ^-<<р<-|-,
пп p=S4.w т- е. Rep > 0. Рассмотрим
функцию F(p) такую, что
lim ZiEl^Q (6.12)
В->оо Р
причём стремление к пределу
равномерно относительно
аргумента ср; это значит, что при
R > R0 можно указать
независящее от ср, принадлежащего указанному промежутку,
такое число е, что
а-ш
а, - ид
Рис.59. К доказательству
независимости интеграла от выбора
прямой /■!•
<в.
(6.13)
Через С\ обозначим полуокружность радиуса R в правой
полуплоскости р с центром в начале координат. Лемма состоит
в утверждении: при t < 0
lira
.В-»оо
о,
Р
(6.14)
§ 29] 5°. ОБРАЩЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В НУЛЬ ПРИ ^<0 357
Доказательство. Вдоль С1 имеем
| ^ | «= ет иоа \ \dp\ = \ iReh d? | = R сЩ
и по (13) имеем
J>*
c^F(p)
dp
<
Ci
с,
p l
<./?/
e T rfcp =
Полагая
в виде:
= 2s/? Г
emao&,fd-f.
■<f, переписываем это неравенство
с\
e^F(p)f
< 2еЯ е
Ш sin ij
City.
(6.15)
При 0<;^<!-к- синусоида проходит выше, чем прямая,
соединяющая начало координат с её вершиной, т. е. имеет
место неравенство sinty^~.
Поэтому неравенство (15) будет при t <0 усилено, если
заменить в нём sinty указанной меньшей величиной. Получим
о,
Ф ^- о г> —*— J 1 2zRii tU ч ч - ETC
<2e/?J e - ,*}, = _-(, --IX-jrp
о
что и доказывает лемму, поскольку е можег быть сделано
произвольно малым.
Из хода доказательства леммы следует, что она останется
справедливой, если интегрирование вести не по всей
полуокружности, а по её части, например по дуге Г рис. 58.
Возвращаясь к замкнутому контуру на этом рисунке, имеем;
а—ш
I
ы
j^-F(p)dp + J ^F(p)dPy^Ot
«4-*ш
358 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
так как подинтегральная функция регулярна в области,
ограниченной этим контуром. Первый интеграл в этом выражении
при R~>oo, на основании леммы Жордана, при £<0
обращается в нуль. Получаем:
lim 1 Г ^fMrfp==o
2яг J р '
при I< 0, что и требовалось доказать.
6°. В предшествующем было доказано, что из лапласова
изображения (1) функции f(t) следует формула обращения
(4) и что обратно из (4) при условиях а), б), в) п. 3°
следует представимость f{t) с помощью формулы (6.3).
Была показана независимость функции / (t) от выбора
прямой интегрирования Ll в плоскости Re/>^>> Sj > s0 и
проверено, что функция / (t), определяемая по формуле обращения,
при t < 0 оказывается равной нулю.
Итак, допустим, что полученное при решении некоторой
задачи изображение F(p) удовлетворяет указанным условиям
а), б), в). Обозначим через / (t) функцию, определяемую
с помощью F(p) по формуле обращения (4). Согласно
п. 3° можно утверждать, что — F(p) в этом случае пред-
ставима интегралом Лапласа от /(/). Но можно ли к эгому
добавить, что формула обращения (4) даёт искомую
начальную функцию /(/)? Утвердительный ответ может быть дан
лишь при условии, что f(t) удовлетворяет требованиям,
которые ставились при выводе формулы (4), т. е. что /(()
представима с помощью интеграла Фурье. Но тот факт, что
F (р) удовлетворяет перечисленным условиям а), б), в), еще
ничего не говорит о такой представимости функции f(t).
Создавшееся противоречивое положение не имеет, однако,
существенного значения по крайней мере для прикладных
целей, которые ставит перед собой эта книга. Оно обязывает,
получив решение задачи, т. е. найдя/(Л, проверить, что
эта функция представима интегралом Фурье, а это класс
функций достаточно широкий, чтобы можно было a priori
предполагать, что подавляющее большинство прикладных
задач приведёт к решениям, заключающимся в этом классе.
§ 29] 7°. ИЗМЕНЕНИЕ ПУТИ интегрирования 359
о-nto
7°. При практическом использовании формулы
обращения (4) путь интегрирования Lx часто заменяют другими
путями и контурами, допускающими вычисление
интеграла с помощью теоремы Кош и о вычетах.
Важное значение приобретает при этом преобразовании
пути интегрирования формулировка леммы Жордана, несколько
отличная от приведённой
в 5°. Пусть р = ЯеЧ где JL В
-к--— s ^ ср ^ к и
—it<;со<;—-я-4~s и s
может быть взято сколь
угодно малым. Если при
этом 1^ <CR-k, где
С и /г > 0—постоянные,
то ^eptF(p)^-, взятый
вдоль дуг ВВ'С и АА'С
окружности rlf стремится
к нулю при условии, что
t>0 (рис. 60).
Интеграл по дуге ВС разобьём на два; по дуге ВВ' и
по ВС. Для второй из этих дуг нужно повторить с
понятными изменениями рассмотрение п. 5°. На дуге ВВ' имеем:
1^1 = ^0°*,
Замечая еще, что dp — Rdw, получим:
0-101
Рис. 60. К доказательству леммы
Жордана.
11вв> | =
а
= Cfl-fc+Vs = CR-be°tRe.
Ho lim Rs — а и, значит, lim Ibb' ~ 0
B-»oo
B->oo
Подобным же образом рассматриваются интегралы по
дугам СА' и А'А. Очевидным следствием этой формулировки
леммы Жордана является возможность при условиях,
указанных в начале этого пункта, замены пути интегрирования Lx
360 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ, VI
в формуле обращения замкнутым контуром АВСА при
R—>oo и (о-~>оо. Для краткости этот контур будет в
дальнейшем- обозначаться L — Lx -1- Tv Формула обращения (4)
принимает при этом вид:
(6.16)
Пусть p=pg, где 5=1,2,..., я—-изолированные
особенности— полюсы или точки разветвления функции F (р);
по построению прямой Lx все
они расположены внутри L.
Как указано на рис. 61,
проведём из точек ра друг с
другом не пересекающиеся
разрезы, углы наклона которых
можно выбирать, сообразуясь
с удобством и простотой
дальнейшего вычисления (на
рис. 61 разрезы показаны
пунктиром).
Каждую из особых точек
окружим далее контуром Са,
составленным из прямой,
параллельной разрезу и идущей
на бесконечно малом
расстоянии от него из
бесконечности по нижнему краю,
кружка f8 радиуса р8
вокруг точки ps и прямой, параллельной первой и уходящей
на бесконечность по верхнему краю разреза.
В области, ограниченной контуром L и контурами Са,
подинтегральная функция однозначна и не имеет особенностей.
Поэтому
Рис. 61. Замена прямой Ьг
совокупностью путей Cs.
fw-ki!*ptFwf-
2к1А
iZl^Fipyf. (6.17)
8=1 О
Конечно, если особенностью является полюс, то нет
нужды в проведении разреза —■ контур Cs заменяется кружком fs,
§ 30] 1°. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДРОБНОЙ СТЕПЕНИ 361
и соответствующий интеграл будет равен вычету подинте-
гральной функции в этом полюсе. Заметим, что число п
может неограниченно возрастать при R->oo и, если все
особенности — полюсы, т. е. F (р)—-мероморфная функция,
то на основании (17) сразу можно получить обобщённую
вторую теорему разложения Хевисайда (§ 4), которой мы
пользовались выше, но привели без доказательства.
Отметим ещё частный случай: начало координат является
единственной особенностью —точкой разветвления функции
F(p). Формула (17) принимает вид:
/(?)=4л\eP1F^ Ч-> (6Л8)
с»
где контур С0 показан на рис. 61.
§ 30. Изображение дробной степени и логарифма.
Правило Хевисайда
1°. Рассмотрим изображение
/>(р)вр-«,
где Re а > — 1. Имеем:
Пр) = 1
р р**1
и при Re (a-(-1) > 0:
Р
В-»оо
т. е. условия возможности применения формулы обращения
в виде (18), перечисленные в п. 7° § 29, выполнены;
получаем:
о»
Делая замену р£ = £, что при ^>0 не влияет на путь
интегрирования, получаем:
f(t)=±- & —ет. (6.19)
1 W 2к1 J Ca+1 ;
362 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЙ ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. VI
Если ввести обозначение
■*ы-£,[*-&• (6-2р)
то можно написать, таким образом, что при Recc>—-1:
Х(«)*"«-Ь-т. (6.21)
р
Остаётся вычислить интеграл (20). Разобьём его на три
интеграла: Д — по кружку f0, /2 и /8 — по нижнему и
верхнему краям разреза.
Примем сначала, что Rea<0. На окружности f0:
L =rpQ e*<f>, dQ = p0 etf idf
и, следовательно,
к
/, = J— Г e<: -A- = J- f ep,(cos?+»siii?)n-«(|m
1 2n/ J Ca41 2rc J K° Y
To —«
и при р0-э-0 имеем Д-> 0, так как Re a < 0.
На нижнем крае разреза £ = xe~tK, где лг = |С|;
получаем
Ро . °°
, e**i Р п- dx е"н С „ dx
2"~ 2ж1 J л;0*1 ~ 2w J *«+i •
00 Ро
На верхнем крае аналогично найдём:
оо
/..==-я-г- е-«>
а"~ 2« J ^+1
Ро
Итак, при Re а < 0 получаем:
оо
sltt( — arc) [' _ йл:
, . sm( —arc) I т dx fn пп\
§ 30] 2°. СЛУЧАЙ СТЕПЕНИ ЦЕЛОГО ЧИСЛА С ПОЛОВИНОЙ 363
Вспомним теперь определение гамма-функции Эйлера. 1
оо
Г (s) = J е~* xs"i dx, (6.23)
о
где Res>0. Полагая s = —a, получим:
оэ
0
при Re а < 0; подстановка в (22) теперь даёт:
у («) = -L Г JL dC = 5^1=^1Г ( — а). (6.24)
с„
Эта формула получена в предположении, что Re а<^0;
но такое ограничение было вызвано только способом
вычисления, а не существом дела. Действительно, интеграл
в левой части (24) сходится при любом а и
дифференцируем по а любое число раз; он представляет поэтому целую
функцию а и формула (24) как раз и дайт представление
меромзрфной функции Г (— а) в виде частного двух целых
функций: х(а) и sin «ir.
Теперь воспользуемся известным соотношением теории
гамма-функций:
к
Г (s) Г (l-s) = -£- или Г(-«)Г(1+а) —
sin its v ' v ' ' sin (—о it)
позволяющим записать (24) в форме:
( \ — JL Г eKdt° ~ 1
XW 2*1 J tB+1 ' Г(1 + «Г
о„
2°. Соотношение (21) принимает теперь вид:
ta • 1
Г(« + 1) "*_г~ />«
(6.25)
Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции. ОНТИ. 1935, стр. 3—10.
364 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ. ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
и оно имеет место при Re«> — 1, так как только в этом
предположении можно было формулу обращения (4) писать
в форме (18). Иными словами, формула
_L Г ept JJL = <! (к 2бч
Ы j p«+i Г(« + 1) ^'г°>
справедлива при любом а, но лишь при Re а > — 1
±. Г ePtJP.ssaA. ( eptJjL
т. е. соотноп1ение (25) имеет место лишь при этом
ограничении.
Вернёмся к важной формуле (25), дающей изображение
степени. При целом положительном я:
Г(п+1) = я!
и мы снова приходим к хорошо известному соотношению
£1 • J_
и! *~^ рп '
Другой важный случай, когда а равно целому числу
с половиной. Пусть сначала а = —■«-. Имеем
Г (1) = У^ (6.27)
и, значит,
Vi ■+»•$-. (6.28)
Из (27) и известного соотношения теории гамма-функций:
sr(s) = r(s-J-l)
получаем:
'(4)~Wt)-*i^
г(4)-И4)-Н^
§30]
и вообще
Находим
Зэ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛОГАРИФМА
365
г (.+4)-
1-3..,(2//--1)
2»
Уя.
и вообще при я = 1, 2, 3, .
VI
1
рп Yp
2»+i t» 1 /~ г
.3...(2я+1) г я
ЬЗ...(2я+1)
Заметим ещё, что из формулы
г(л+т)г(--л
(6.29)
(6.30)
sin(/i+-j)ic
(—1)»1Г
и из приведённого выше выражения Г(й-|—g-j следует:
М \ . (-1)» уа»
1 \2 ' AV" 1-3-5...(2//-1) •
Полагая поэтому а= — п =- в (26), найдём при
я = 1, 2, ...:
£ f -.,-*-*-^%^!=» (-1)./1. (6.3.)
с»
3°. Прэдифференцируем обе части (21) по параметру а;
получим:
t* In / Г' (a + 1) ft . J, /J_
I> + 1) Г(«+1) * Г(а+1) ^~р" \р,
Умножая теперь обе части соотношения (21) на
W (а 4- 1) = ^+1)
и складывая с только что полученным соотношением, найдём:
ft In t . 1
Г(« + 1)
Р"
rii»J- + W(a+l)
(6.32)
айдём:
(6.33)
366 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Пусть, в частности, «=0. Получаем изображение
логарифма
In*-И-In —— С, (6.34)
где
С=НР(1) = 11Ш= 0,57722..
iepoea постоянная. Замечая дал
ч?-(« + 1)== 1+1+Т+• • ■ ^т"-6"1-
'(1)
известная Эйлерова постоянная. Замечая далее, что при п
целом:
получаем также из (33):
£1п*^£(1п1 + 1+£+Т-{- -.+~С). (6.35)
4°. Снова предположим, что — F (р) удовлетворяет
требованиям леммы Жордана в формулировке п. 7° § 29 и что
начало координат (р = 0) является алгебраической точкой
разветвления функции F(p), а других особенностей на
конечном расстоянии эта функция не имеет. Можно
представить F(р) рядом
F(p) вр«(Л0 + ^,р* + Лвр«*+ ...).. (6.36)
где к — рационально и положительно, причём этот ряд
равномерно сходится во всей плоскости р.
Применив формулу обращения в форме (18), имеем:
оо
/ ю - ы / •* FJf dp - S Ь J -^+-1 dp-
По (26) теперь получаем:
00
F (P) +► fit) - 1 2 T—^--^^, (6.37)
причём в этом разложении нужно вычеркнуть слагаемые,
для которых
. - * ^о
Г (1 _ « — пк)
§ 30] 5°. начальная функция для e~aYp 367
т. е. те, для которых a-\-nk является целым положительным
числом. Это правило принадлежит Хевисайду, но не было им
достаточно обосновано.
6D. В качестве примера рассмотрим изображение
F(p)^e-aVJ (fl>0).
Имеем вдоль дуги ВС А рис. 60:
\ Р
1 —aVRoos-
а
На этой дуге cos-—>0 и, следовательно,
lim Шв0,
В->со Р
т. е. применение правила Хевисайда законно. Имеем далее:
~aVp г~ (ау7)» (аУ7)з
в -1 — а|/р+—2J зГ~+•••'
т. е. в рассматриваемом случае в (36):
1 а8
а = 0, & = у, Л0=1, Л1 = ~-а, Л3 = —gj- и т. д.
Получаем по (37):
.-^/(0=1- S ^"Т-1-.(6.38)
,-=1,8,5,... ч?,)
Полученный ряд может быть выражен через известный
интеграл вероятности:
х
. 2
Ф (х) = -!=• Г в-«"</я = 4= f£-L do. (6.39)
о о
Заменяя е-и0 его разложением в ряд и интегрируя
почленно, получим:
со
__ 2 у (-1)^^+1
-1/-^-^ лЦ2га+1)
и = о
368 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЙ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
С помощью тождества
2(—1)" 1 2^+1 _^ 1 2г
ТЛГя!(2й+1) ~'т(*-а\ (2й +1)1 *"" T(l~L\ rl '
где я = О, 1, 2, ... и соответственно г = 1, 3, 5. .., можем
также написать:
Ф(х)= у &L—1
,=1,3,5,... г^-т;
и сравнение с (38) даёт:
а
2ТТ
== 1 Л= f е-«5йи. (6.40)
К* J
о
Дифференцированием по параметру а получим отсюда:
_ 1 _2!
Уре~аУР —у — е «. (6.41)
Можно переписать это соотношение в форме лапласова
интеграла (1):
s|V^+5Jj« (6.42)
о
Делая здесь £ = х2, получаем известный интеграл:
/«J р '
о
также принадлежащий Лапласу.
6°. Соотношение (41) или, что то же самое, (42) было
выведено в предположении, что а положительно. Но
поскольку его правая и левая части являются аналитическими
§ 31] 1°. ОГРАНИЧЕНИЕ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА ИЗОБРАЖЕНИЙ 369
функциями а, это соотношение останется справедливым при
любом а.
Примем, например, а=\—i. По (41) получим:
Ур е-уР (!-*)_
и, следовательно,
Yp~e-vP cos VT -
Ype-Vv sin VF ~
Аналогично получаем из (40)
1
= е*
Y%t
1 1
-r^COS.1
1 . 1
— sin ■
Y*t 2Г
.-4-™/,^i-c(^)-s(^
(6.43)
(6.44)
(6.45)
(6.46)
где
С (x) = cos -g- rf«, S (x) = sin
■KU'
du
известные интегралы Френеля.
§ 31. Асимптотическое представление начальной
функции
1°. По определению ряд
0 ' х ' л:2 ' ' '" ' х»"">
вообще говоря, расходящийся, даёт асимптотическое
представление функции <?(х), если при любом п
lim х"
X -> оо
Т(*)-«о-?-...-Й]-
0.
Это записывается так:
й-у . Й2
?W~^+j+p+-
24 Зак. 2057. А. Лурье,
370 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Асимптотические представления дают весьма удобное
средство вычисления значений функции при больших
значениях аргумента. Важным вопросом операционного исчисления
является поэтому построение асимптотического представления
начальной функции по её изображению.
Ограничимся рассмотрением случая изображения F(p),
удовлетворяющего требованиям леммы Жордана в левой
полуплоскости (7° § 29). Начальную функцию при этом
можно определить по формуле (17):
/(0== Saw, fs(t) = wi\ePtF^p- (6-47)
с„
Пусть разложение функции —— в области особой точки
p=ps имеет вид:
A$(p-pJ'. (6.48)
При л=1 особая точка является полюсом, при /м = 0 —
точкой разветвления; в общем случае имеем точку
разветвления, являющуюся одновременно полюсом. Ряд (48)
сходится в круге радиуса р°, не содержащем других особен-
ностей, кроме р = ps. Имеем:
h If)
4- \"Ур-*Р
>>
»
(6.49)
где через Г^ и Ig обозначены пути, идущие соответственно
по верхнему и нижнему краям разреза (рис. 61); yg —
окружность малого радиуса ps< р° с/центром в особой точке.
Вдоль разреза
Р = Ра ~\~ ^e'°s • dP — е^в dl,
§ 31] Iй. ОГРАНИЧЕНИЙ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА ИЗОБРАЖЕНИЙ 371
где Х-~ вещественный параметр, изменяющийся в
пределах ps, со; 8, — угол наклона разреза к вещественной оси;
будем считать, что разрезы проведены, как указано на
рис. 61, т. е. 6S—-тупой угол (cos8g<0),
Оценим значение интегралов вдоль Г» и Г«. Имеем
r(i)
У
оо
= А' [ F(ps4-^68) gX (cos 0g + i sint)s) ^ __ ^8*Д1).
Пусть Г?,1' не проходит через особые точки функции -^.
Кроме того, эта функция удовлетворяет условиям леммы
Жордана, т. е. при X -» со стремится к нулю. Можно
поэтому определить такую постоянную Ks, что при любых X:
р8 4- ХЛ
<2^s.
Оценивая теперь по модулю интеграл А8 , получим:
00
| 4Ч |< К. j eXt оа° W = --^ А ооа °«,
так как ^cosQ3<0; отсюда следует, что при любом п:
lira ^4^=0, (6.50)
t -> от
т. е. л!1' убывает быстрее любой отрицательной степени t.
Конечно, аналогичное предложение доказывается для
интеграла по нижнему краю разреза.
Переходим к вычислению интеграла вдоль круга у3. Пола-
гаем p=pg-\-q и заменяем функцию —H-t. её
разложением (48).
24*
372 ОбЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Получаем:
+ 4^^+2^/^^+
+ (' RN {q)e*dq\, (6.51)
т
где через RN (q) обозначен остаток ряда и у — окружность
в плоскости q с центром в начале координат. В интегралах
iJW^ (6.52)
т
единственной особенностью является начало координат q = 0.
Поэтому путь интегрирования f может быть заменен
кругом С радиуса R—>оо; но между последним и контуром,
названным выше С0 (рис, 61), также не имеется
особенностей, и из сказанного следует, что интегралы (52) можно
вычислить по формуле (26). Получаем:
eatq rdq*s*-Jb\t (ft =-1, 2, .... m) (6.53)
2*i _
1 x\r,
7c
1
hl^^dq
^-,(^=-0,1,2,...,^-1)(6.54)
-tV
+ i
k
причём для —, равного целому числу или нулю, послед»
ние интегралы будут равны нулю.
Нужно ещё произвести оценку интеграла
SlJRaWdq,
§31] 2°, РАЗЛОЖЕНИЕ В ОБЛАСТИ ОСОБОЙ точки 373
но мы не будем останавливаться на этом, а ограничимся
указанием, что можно доказать неравенство:
ш5*»ы
e*dq
<
const
N
+1
(6.55)
* f
2°. Соединяя полученные результаты, имеем:
ь
- т
J
/,(9-=^
т
—1
+
7£=1
N—1
Л
Г
43)
7£ =
k
t'
: + 1
+ 0
N
tr
+ 1
(6.56)
где последний член обозначает совокупность таких
слагаемых, что
1
:0.
(6.57)
Поэтому, исходя из приведённого в начале этого
параграфа определения асимптотического разложения, можно
написать:
»_,
4S)
г,-, - . .. -,.., (6-58)
a~i>j
Л (О'
А{$/'
+S-
-4)'
1-м'
Мы будем обозначать правую часть этой формулы
через Нр (t) и называть разложением в особой точке р8.
Назовём через р*, р*, .... р\ особые точки, имеющие
наибольшую вещественную часть (может быть несколько
особых точек с одинаковыми вещественными частями). Ясно,
что в асимптотическом представлении начальной функции
нужно учесть разложения только в области этих особых
точек. Получаем по (47):
374
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Резюмируем полученный результат: пусть изображение F(p)
удовлетворяет следующим требованиям: 1) F (р) имеет только
алгебраические особенности (полюсы и точки разветвления),
2) при Re/; < 0 функция —^- равномерно относительно
аргумента да стремится к нулю, когда |р|-»оо, 3) в обла.
сти особых точек /? = /?* (s=l, 2, . ..,1) с наибольшей
вещественной частью
Пр)
представляется рядом вида:
7с = 1 7с=0
При этих условиях асимптотическое представление
начальной функции /(/) <~т~ F(p) будет:
1 *
X*
8 = 1
4^'7"
4'
»
т)'
4+1
(6.59)
3°. Пусть, в частности, все особые точки, кроме начала
координат, имеют отрицательную вещественную часть, а начало
координат является точкой разветвления, для которой г =2
(/и = 0). Нас должно интересовать разложение только
в области р = 0; предположим, что оно имеет вид:
Р(Р)=ЪВпР>, т.
ПР)
и=1
Асимптотическое разложение f (t) по (59) будет:
по~%
в,
и=1 г (I
f <т
В..
»»=1
Г(1—«)*»»
+ 5
в
1W1+1
dr(l-/«)^|A7
§ 31] 4". случай полюса 375
!ЛЯ
, = 0 (/«=1,2,...)
Вследствие наличия множителя
!
Г (1-й)
1
слагаемые с четными индексами пропадают, «заменяя
его значением, получаем:
со
/(q~ * 2(- 1)«д9|11+1 LMj^L^l). (6.60)
4°. Рассмотрим второй частный случай, когда р = Ь —
полюс т-го порядка (/-=1) функции ——, а другие
особенности имеют меньшую чем Re b вещественную часть.
Разложение Hb(t), относящееся, к этому полюсу, будет
по (58):
т
так как прочие слагаемые содержат коэффициенты
г (-ft)
и должны быть отброшены. Получаем:
VI
и, в частности, для полюса первого порядка функции —^-':
Гф-х&А.ь Нь = А_и (6.62)
т. е. разложение в области полюса первого порядка равно
вычету функции —^ в этом полюсе.
5°. Рассмотрим в качестве примера изображение:
F{p) = ^ ^P^Vll,
Г ■к Р— к
1 + Ут
376 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
По теореме свёртывания и (28) имеем:
*
р — я ' J т/~г
^ о '
и по (39) получим:
1
1 +
/т
О
■»*(l_ f i^dt)=»e«*[l —Ф(У^7)], (6.63)
где Ф(л:) — интеграл вероятности.
Найдём теперь асимптотическое представление начальной
'функции. Если рассматривать ту ветвь квадратного корня,
которая положительна при вещественном положительном р,
то единственной особенностью F(p) является точка
разветвления в начале координат. Разложение (48) в области этой
особенности будет:
Й^=]А|^+©%
f(p) = -^_ = V £-£+(£) -••• (6-64)
причём этот ряд сходится при |р|<7Г.
В (60) имеем В2т+1 = -==. и, следовательно,
егл [ 1 _ ф (\/щ = е*щ (Y^t),
1 Y< (- 1)"!1 • 3 ... (2м — 1)
1^ V
7^ "I/ ^ ^^ш
УТ U (2^)я
т = 0
(6.65)
Заметим, что формально этот результат можно было бы
получить, пользуясь правилом Хевисайда (37), но надо иметь
в виду, что это правило выводилось в предположении
сходимости ряда (36) во всей плоскости; в рассматриваемом
случае ряд (64) расходится при |p|>ir, а разложение (65)
расходится при всех t; им можно, однако, пользоваться как
всяким асимптотическим представлением для вычисления при
больших значениях t.
§ 31] 5°. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 377
Обозначая itt—x2, находим теперь известное
асимптотическое представление интеграла вероятности
1—Ф (*) = «(*).
==- 1
1
1-3
Как второй пример рассмотрим функцию
По теореме свёртывания и (28) имеем:
(6.66)
COS la (t—т)
р и2 н- />2 у ж J
о
= |/2ш cosWCj'l/'^-WsitKo^^]/^) ,(6.67)
где введены в рассмотрение интегралы Френеля (6° § 30).
Найдём асимптотическое представление f(f). Вычеты
F(P)
в полюсах zizm суть
Уы
у:
0г
и асимптотическое
21 ' 2г
представление в области этих полюсов по (62) будет:
2г
21
y.oocosTatf—~j.
В начале координат имеем далее:
Г(Р):
<°р V р _ i
pVp(i
.£!
О)2
+'
...)
и по (60) имеем Вх ~ Вь= ... = 0, 53 = —, £, = ——
и т. д.
Получаем:
noV)~ Y^tl2mt (2»08 ^ (2»05
378 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Складывая эти выражения, находим:
/(0 = /2^(^¾^ cos со* f s(|/~^)sino)*
~l/.cos(^-Tj^7=(2--T2^r +
6°. Найдём в заключение асимптотическое представление
функции Бесселя; по (1.59) имеем:
Р
Функция
УрЧ-1
1ЧР)__
1
///4-1
имеет точки разветвления р ~±. I. В области полюса р *=* /
имеем разложение в ряд (48):
Yl+P*
уяУ*+рй*Ур~*
1
(p-i) Г
Г1 1 р-*,1-3/р-Ла ]
_ 2 21 'Г2-А\ 21 ) "•]
Здесь л = 2, /к—1. Разложение начальной функции
в области полюса p'~i по (58) будет:
«.«-TbO+i- "■* '
1¾ ■ З2 • 58 1
3!г (803
2! (8*)а
и аналогично выражается H_{(t). По (59) получим:
J0 (t) ~ Я, (0 е» 4- Я_, (0 е-« = 2 Re [e**Ht (*)], (6.69)
и вычисление даёт:'
^(0~]/~^[cos(/--J)P0(0-sin(^-¾ Qo(0], (6-70)
Р0 (*) = !• _|_ # , , j Q0(*) = -gj ТполЖ ~г
128^2
8* 1024^
§ 32] 1°. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 379
§ 32. Изображения некоторых функций
1°. Выше была получена формула (41):
Уре-^Р
«
Ynt
или, что то же самое:
_ °° г'
^е "" = е « ~. (6.71)
о
Пусть f (t) <~ F(p). Воспользовавшись (71), нетрудно
найти начальную функцию для изображения F (Ур). По
определению имеем:
on <х>
FiPl— I e-P*f(t) ch, т. е. £11^1 = -1= Г е-- 1^Т/(г) dt.
о ' ' о
1
Заменяя под знаком интеграла —7=о~'с'^р его значением
¥Р
(71) и предполагая законность перемены порядка
интегрирования, что нужно проверить в каждом случае особо,
получим:
np.= p(4)dxje-
«-"* JL
Ynt
о
откуда следует, что
со та
1
F(l/p)-^>^_|e «/(т)Л. (6.72)
о
Пусть, например,
F{p)--P-
р+а •
380 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЙ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Получаем: •>
У р -\- а у %t J
О
Этот интеграл подстановкой
приводится к интегралу вероятности. Получаем:
-~^£_ _^> «*** [! _ ф (ау7)] = е»н Ь (а )/7),
что согласуется с (63).
Другой интересный пример дают изображения
F, ф-р) = J^, />а (р) =. Vp cth Ур •
В этом случае
sh /> 1 — е р
~2р(е-Р-\-е-3Р-\~е~ъР-\- . ..)_:->
_H-2[o,(f—l) + o,_(f—3) +о, 0 — 5)+...];
-iW)+2o,(* —2)+2o,(f—4)+.;.,
где o,(i) — единичная импульсивная функция; по (72)
получаем:
-*-£= -^> -|= Г е~« [о, (у— 1) + о, (т — 3) +
о
+ о,(-и —6)+...]d-u =
= -^(в " + в «+е «+...);
у яг
§ 32] 2°. начальная функция для F(ljp) 381
оо xi
Vf cth Vp -Н- ~= f е~« [а, (т) 4- 2а, (т -- 2) +
о
+ 2а1(т—-4)+---1^ =
_£ —А. _£.
— (Н'-2е * + 2е *4'2е * 4----)-
Yvt
Мы воспользовались здесь соотношением
оо
О
непосредственно получающимся из определения импульсивной
функции (§ 6).
Если ввести в рассмотрение известные из теории
эллиптических функций тета-функции: '
i_ _9_ 35
02(у| q) = 274cos т. -\-2д* cosSvk -^-Iq^cos bviz-\- ...,
9-B(w \q) — 1 -j-2(7Cosi»ir-|-27*cos4t'iT-[-279cos6^7r4- • • -j
то приведённые выше результаты представятся в виде:
0= ^ ±Ш'~к Vpctb Vp-^^MOle-h
2°. Аналогичный результат можно получить, применив
изображение (1.60):
оо
в р ^ J0(2YH), -е Р= \ e-P*J0(2Vt":)dt. (6.73)
Снова полагая Ь (р) -4~> f (t), найдём начальную функцию
для изображения ГУ — у Имеем:
F(P\
Р
оо са
= J «-*70О dt, pf(l) = jW/(*) dx
382 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОбРЛЩЕНЙЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. V'
и, следовательно,
оо оо
/"(-) = | / СО dt | e-i»* J0 (21/70 <# =
о о
оо оо
e~P*dt [i0 (2У6)/(т) dt,
о
предполагая законность перемены порядка интегрирования.
Получаем:
оо
pF(i)-^>J/(T)J0(2l/S)^. * (6.74)
о
Искомую начальную функцию для изображения Р[~)
теперь получим, интегрируя правую часть (74) по t в
пределах (0, t); имеем:
J J0 (2УЙ) dt = 1J J0 (*) a: dx = j/^ Ji (2 У £)
о 0
и, следовательно,
оо
f (у) +> J7« |/"4 a (2^) *• ' (6-75)
0
Можно доказать более общее соотношение:
п
оо —
^F(j) ++ J/(t)(t) J»(*V*)*- (6-76)
0
3°. Результаты, полученные в пп. 1° и 2°, представляют
частные примеры общего преобразования, данного А. М.
Эфросом. ]
1 А. М. Эфрос, О некоторых применениях операционного
исчисления к анализу. Математ. сб., т. 42, № 6, 1936. См. также
А. М, Э ф р о с и А, М. Данилевский, Операционное
исчисление и контурные интегралы. ДНТВУ, 1937, стр. 126.
§ 32] 3°. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ А. М. ЭФРОСА 383
Предполагая известной начальную функцию для
изображения и(р)(._(р)е-^):
U(p)L(p)e-«<P)^,Ht, ,), (6.77)
имеем
£/(/7)/7ГС(/>)] -h>J <К*. х)/(т)Л, (6.78)
где F(p)-^f(t).
Чтобы убедиться в этом, заменим в соотношении
со
F(P)=--P Г e-Pif(x)dx
о
букву р/'на С (р); получим:
/ от
F [С (/>)] = С (?) J е- «&»)/ (т) Л.
о
Но по (77):
СО
U (р) С (р) е—*т = р fty (*, т) е-Р* dt
о
и, следовательно,
оо со
U (Р) F [С (р) ] = р J7 (т) Л f e-p*if (t, т) л
о о
или, меняя порядок интегрирования,
со со
о о
откуда и следует (78).
Например, в п. 1° мы имели С(р) = "|/р, U(p) = l,
в п. 2°, как видно по (73), С(р) = —, U(p)—-p.
В качестве ещё одного примера возьмём
1 1
C(p) = P + i, */(/>)
384 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Имеем:
£/(/?) С (р)е~(р+Т)т = е"2" е™._
По теореме запаздывания и (73) имеем:
_рт „JL _ { 0 t < х
6 Й * '* ' Л[2]/(^ф] *>т,
и из (78) следует соотношение:
~>
f J0 [2Y(t —%)*]/(*)dz. (6.79)
. 1
P+j
4°. В первой главе была приведена формула (1.59),
дающая изображение бесселевой функции нулевого порядка J0(t):
У0(0"*-т-—7^=- (6.80)
Изображение функции Бесселя первого порядка Jt (t)
получим, пользуясь тем, что
Л,(0 = — Л(0. -/о (0) = 1
и, следовательно,
ш ^~ -^ywrr^Ttm^4^-''1 (6-81)
Переходя теперь к построению изображения бесселевой
функции любого целого порядка п, воспользуемся
рекуррентным соотношением (и=0, 1, 2,...):
dJn±^L) = ^4(0--^ Уп+а(0. (6.82)
Полагая
Jn{t) <+-Qn(p)
и замечая, что Jn(0) = 0 для и=1, 2, 3, ...,
представим (82) в форме:
Q,h а (Р) + 2pQ„+1 (р) — Q„ (Р) = 0 (6.83)
§ 32] 4°. ИЗОБРАЖЕНИЕ БЕССЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ Jn(f) 385
и задача будет состоять в решении этого разностного
уравнения при начальных условиях (80) и (81):
От уравнения (83) перейдём к его изображающему урав»
нению по целочисленному аргументу я, полагая
Q«(p)*+-z{r),
*
где Z(r), конечно, параметрически зависит от р. По
правилам § 14 получаем:
Z (г) (в*- -f 2рег — 1) = (в' — 1) [Q0 (р) (? + 2р) + Q, (р)Ь
Полагая
еХ=р-|-У"р2+1, е~х = ~ Р +Ур2+ 1, (6.84)
получим:
% м . (^-1) [2(?о(Р)sh * + QiOO + *Щр)1
e<'—1 ,
;{[Qo(p)*4Qi(P)]
2chXll4Co^/" i ^iuvj er_e-x
+ [Qo(rt^-Qi(p)]-5+i}-
Подставляя значения Q0(P) и Qi(p) и пользуясь (84),
найдём далее:
Qo(P)^l-Qi(P)^°, Qo(P)^+Qi(p) = 2p = 2shX
и, значит,
w chX <?r—e~>-
Итак,
7W0) «+- -^= []/p2+ 1 -pi» (и- 0, 1, 2, .. .)• (6.85)
25 Зак. 2057. А. Лурй<?.
386 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Изображением (85) можно воспользоваться для
суммирования некоторых рядов по бесселевым фунциям.
Ограничимся простейшим примером:
оо
4-2[1/р+Т-р]4+---} =
т. е.
•А)(ОН-2 2Х(0 = 1-
б°. Имея в виду некоторые дальнейшие приложения,
рассмотрим далее изображение:
F (о) = —-£■ e-*(vi+p'-P) —
У>2+1 —
Ч^(ПТ?-р)«
У »а i 1 ^d и!
и по (85) получаем:
оо
_^_ -4f^t] ^ 2 (_ ,^,^ (мв)
Ряд в правой части можно представить в конечной форме.
Воспользуемся для этого формулой дифференцирования
бесселевых функций:
■&[* Чг(1/*)]= — тг* 2 n + 1)Jn+i
1Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции. ОНТИ, 1936, стр. 120.
§ 32J 5°. НАЧАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 38?
Из неё последовательно получаем:
dtJo(Vx) = —т х~~J, (]/Т),
Л (/^) = —j^ [*"Л(V^)] = ys*~./а(1^),
л м/7\= LJL \v~~ i 1л/Т\\—_L v~"
dx'1
и т. д. Вообще:
*L ,л|Лл_ (-1)" „~т
Это соотношение позволяет представить ряд Тейлора для
функции ./0 (ух --j- h) в форме
со оо
Полагая теперь x~t2, —— = т, получим:
Соотношение (86) поэтому принимает вид:
оо
Р .—'(Vl+P'-P) _:_. V (-l)n in г f+\ -
V>4-i .-^„ и!
п = о
= Jo (VC + t)8-^ (6.88)
Воспользовавшись теоремой запаздывания, можно также
написать:
V>2 + ie . ■>1j0(1/^=^2) />т. С6'89)
388 оёщая формула ойращёния и ее приложения [гл. VI
6°. В преобразовании А. М. Эфроса (77) примем теперь
c(p) = i/^+T. г/(р) = ^-.
По (78) и (89) получим:
Г^у2F (УрЧ^) -^ / /« Jo (/^=^) Л, (6.90)
о
или по (87):
оо t
rfariVF+b-^ imFj/W^C-')*. (6-91)
п=о о
ГЛАВА VII \
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 33. Приложение операционного исчисления к решению
одного класса интегро-дифференциальных уравнений
1°. Метод операционного исчисления позволяет дать в
простой форме решение интегрального уравнения
с переменным верхним пределом
? (0=/(0+ fb(t, x)9(x)dx (7.1)
о
в предположении, что ядро k (t, х) является функцией
разности аргументов t и т:
k(t, x) = k(t—x). (7.2)
Пусть
k(t) ч-н К(р), <?(*) «4- Ф(Р). /(0 <~ Р(Р).
По теореме свёртывания
*.
jjk (t—z)<f (т) dx 44- }^(Р)Ф(Р),
о
вследствие чего изображающее уравнение для (1) будет
Ф(/0 = ^(р) + уВДФ(р)- (7.3)
Отсюда находим изображение
_/'
^ = ^,/ . (7.4)
390
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Остаётся найти соответствующую начальную функцию со (t),
т. е. искомое решение.
2°. Сказанное непосредственно обобщается
на интегро-дифференциальное уравнение
более общего вида:
срС») ф + д1? <»- 0 (*)+... + аи? (0 +
та *
,7=0 0
Разыскивается его решение <?(t), удовлетворяющее
начальным условиям
<Р (0) - ср0, <р' (0) = %,..., ?<"-]> (0) = <р[Г Ч
Вспоминая изображение производной
<f(A(f)==pJ
¢(^)-90------
р р
по теореме свёртывания получим (/ — 1, 2, .. . , я):
W—0^00^ =
=р>-%-*(р)
Ф (/?)-- <Ро-
fo
тУ~д)
рГ1
Изображающее уравнение для (5) будет:
я
ф (р) \РП+fljp»-' + ...+«„ +2 *»-* (р) ^"ч =
,/=0
м
= То [Pw + «iP**1 + • • • + Ч-tP + S/c«-i(p)^"1] -Ь
,7=1
H- «оГр*-1 + «iP"-a+ • • • +а»-в/>+ S'W^"81 +
H?t~%P + tfo(P)] + ^'). (7-6)
§33]
3°. задача Абеля
391
Отсюда находится Ф (р), а вслед за этим
соответствующая начальная функция.
Зэ. Классическим примером является обобщённая
задача Абеля, заключающаяся в определении со (t) из
функционального уравнения
т-Ц
ё$, (0О<1>
где f(f) — заданная функция.
В данном случае по (6.25)
k(t) = t-v- <-f- Г(1 — p)pv-,
и изображающее уравнение (3) даёт:
*
(РУНО по (6.25)
Р(Р)
1
Г(1— ^pV-1
fr-1
pV-l -г* r(^
и по теореме свёртывания
*
УР) Р р Г(1 — |*)рИ--1 ^* Г (|л) Г (1 — [a) (ft J (t — -с)1-И-
или
*
о
4°. Аппарат теории линейных интегральных уравнений
вида (1) применяется для описания физических
процессов, сопровождающихся последействием.
Известно, что при линейном напряженном состоянии
(например, при растяжении стержня) связь между
напряжением о и деформацией s даётся в случае идеально-упругого
тела законом Гука:
о=£г.
В теории „наследственной упругости" учитывается, что
напряжение a{t) в данный момент времени зависит от
предшествующей истории деформирования; одной из форм записи
392 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VII
зависимости между напряжением и деформацией, заменяющей
в такой среде закон Гука, может служить линейное
интегральное соотношение вида (1):
*
o(t) = E\s(f) — *fk(t—%)s(x)d%\. (7.7)
о
Ядро релаксации k(t—т) обычно принимают зависящим
только от разности аргументов t — х; при этом условии
напряжение a(t) не будет зависеть от изменения начала
отсчёта времени.
Задача состоит в обращении соотношения (7), т. е.
в том, чтобы выразить а (t) через a (t) в форме:
t ' '
e(0 = -g-[°(0 + *J\('—'ОвСОл], (7.8)
о
где "К (t — х) называют ядром последействия. Дело сводится,
таким образом, к разысканию функции ^(t).
Рассмотрим частный случай ядра вида:1
k^-TV+V)> (7-9)
причём «>— 1. Обозначим
5(р)ч->°('), £(/>)-н>"(0-
По (6.25) имеем:
и подстановка в (4) даёт:
со
Но по (6.25):
1 /(«■+!) я-1
,(« + !) n-i —г*- Г(па + п) '
1 Ю. И. Работпов, Равновесие упругой среды с
последействием. Прикл. матем, и механ., XII, № 1, 1948, стр. 53.
§ 33] 5°. ПАДЕНИЕ ШАРА в вязкой жидкости 393
откуда по теореме свёртывания получим решение требуемого
вида (8) с ядром последействия:
/л V y.'a-^O' + l) «-1 /„ил
Г (аи -f- п)
»=1
1
При а =— у решение, как показано в 4° § 31,
выражается через интеграл вероятности. В (Ю) имеем:
S(P) 1 _S(p) . %S(p) 1 __,
f?(p)=..
Е % Е ' Е У'р-
-%
Yp
где Г(р)—-изображение ядра последействия:
т^Г(р)--?Л—=р^ + *\ (7Л2)
У Р — X р — "А2
Нужно найти начальную функцию для изображения
f£-Vp(} +,-^.)-^ + ^,-¾.
По теореме свёртывания и (6.28) получаем:
я J Yi Ynt -
p—r? ' Ynt ' y« J /5 у**
где Ф(а') даётся формулой (6.39).
По (12) находим выражение, полученное Ю. Н. Работ-
новым в указанной выше работе:
T(/)=^L-f хв^ [1 +Ф (х/Г)]. (7.13)
5°. Известно, что при весьма медленном движении
(точнее: весьма малых числах Рейнольдса) сопротивление вязкой
жидкости прямолинейному движению в ней шара даётся
формулой Стокса:
к = — бщшу,
394 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VII
Эта формула выводится в предположении, что движение
жидкости установившееся. При неустановившемся двиэюе-
нии она заменяется формулой Буссинеска:i
к = — -о- irpa3w (t) — б1Т]л,а v (t) -f- -^7=-
" L у кч J
t
ут-
— 2a2|/~W v(0)l . (7.14)
Здесь v(^) и w (f)—скорость и ускорение шара, р. и р —
коэффициент вязкости и плотность жидкбсти, v= — —
кинематический коэффициент вязкости, а — радиус шара. Первое
слагаемое в этой формуле служит для учёта присоединённой
массы жидкости. *
Из формулы Буссинеска следует, что при t= 0 и v (0):^ 0
сила сопротивления становится бесконечной: нельзя шару,
погружённому в вязкую жидкость, мгновенно сообщить
конечную скорость. Поэтому следует принять v (0) = 0.
При вертикальном падении шара уравнение движения его
будет:
у upi^w (t) = k {() + -3- тг (Pj — р) а%,,
где pj — плотность материала шара," а второе слагаемое
в правой части представляет силу веса с поправкой на
архимедову силу.
Проектируя на направление движения, получим интегро-
дифференциальное уравнение:
;(о+*со+3=да
= /о.
где введены обозначения
£ . 2р = -4^-, /o = Si^=L£l
2«'(Р1+!)' 2в(Р1+■&.)' Р1 + |
1 С. W. О s е е п, Neuere Methoden und Ergebnisse in del'
Hydrodynamik. Leipzig, 1927, стр. 134. Вывод формулы Буссинеска
приведён в первом издании этой книги (стр. 209 — 216).
§ 33] 5°. ПАДЕНИЕ ШАРА в вязкой жидкости 395
Поскольку v (0) = 0, изображающее уравнение будет
Пр)(Р + 2РУр + «в)=/о.
и задача сводится к разысканию начальной функции для
изображения:
V(v)= ~ = - ■ — =
.___h | /о П . ч 1, ? ]
где ^1 и 7з — корни знаменателя.
По § 32 имеем:
ч Ур ^А*
-йУТ
->еч*ь 1 i= е~и da) =
Ч~Чв Ур—Чв ' ^ У« -0'
= *<#»(-?,.У7). (7Л5)
При Р>«, т. е, р>1,6р15 оба корня qt и q2
вещественны и отрицательны, и функция &( — ФьУ" t) вычисляется
по таблицам интеграла вероятности; при р < l,Qpt корни
будут комплексными сопряжёнными; для вычисления можно
пользоваться рядом, приведённым в 5° § 30, а при
больших t—-асимптотическим представлением (6.66), *
Соответствующая начальная функция будет:
• со -5+а-у£=| [ vHsz?*8<-"^+
1 Практически эти ряды мало пригодны для получения
надёжных числовых результатов. Более удобные способы вычисления
интеграла (15) при комплексном аргументе даны в работе
А. М. К а ц а, Вынужденные колебания при прохождении через
резонанс. Инженерный сборник, Щ, N° 2, 1947, стр. 100,
396
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Для определения скорости шара при весьма больших
значениях t воспользуемся асимптотическим представлением
(6.66). Сохранив только первое слагаемое в нём, получим:
w(/)_4 + -/o---2P- ' -
У rtt
**{il_.Vl+-i,W.... (7.17)
9v V р /ч y«v/.
s
где невыписанные члены имеют порядок t 2.
6°. Более сложна задача о малых маятниковых
колебаниях шара в вязкой жидкости. Уравнение
движения имеет вид:
4 2
-тг irpja°JC (t) = ^-т:ра3х (t) — 6-к\шх (i) —■
If
бтс.иа2 Гjc'(x) d-c 4 о/ ч g
~^7=" -,/V— —Г TCfl (Pi ~ Р) 7 *»
у™ J у
где последнее слагаемое представляет слагающую силы веса
(с учётом архимедовой силы) по направлению движения,
/—длина нити маятника.
Обозначая Х(р) ~~> х (t) и имея в виду, что х(0)*=х0,
л: (0) = 0, найдём изображающее уравнение:
3 3
Х{Р) 0>9 + ftBP + %" + /г2) = хо 0>2 + а2Р + 2^Р¥). (7-18)
где обозначено
kir_ g(Pj-P)
Вводим в рассмотрение полином
Этот полином не имеет ни положительных, ни чисто
мнимых корней; условия Раута — Гурвица не могут быть
удовлетворены, так как отсутствует слагаемое g первой
§ 33] 6°. КОЛЕБАНИЯ ШАРА в ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 39?
степенью переменного q. Поэтому возможны только два
случая: во-первых, случай двух вещественных отрицательных
корней и пары комплексных сопряжённых корней с
положительной вещественной частью, во-вторых, случай двух
пар комплексных сопряжённых корней, причём одна пара
имеет положительные, а другая — отрицательные,
вещественные части.
Возвращаясь к (18), имеем:
X(p) = x0 — f^=x0 — x0k*
1
1
"^Д'Ы Ч — Чв
Д(0)
J м л.Д' |
Vp
™^д/(%) YJ—4s'
где qs — корни полинома Д (q).
По (15) теперь получим:
*М~-*^1&ТГзкл'* 4-4,Vt). (7.19)
LAqeb'{qa)
Фактическое получение числовых результатов сопряжено
с затруднениями, указанными в предыдущем пункте.
При весьма больших значениях t, удерживая в
асимптотическом представлении (6.66) лишь два слагаемых, получим:
х (0 <- j=-
__ i_y !__
Xuk\ \ у _
(7.20)
Полученные суммы могут быть выражены через
коэффициенты полинома Д (q).
Для этого разложим в ряды по степеням q обе части
тождества:
1
1
1
Д (q) Д (0)
6=1
(«еД'Ы q — qs'
(7.21)
398
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Имеем:
1
Д {(1) Д (0) + А'(0) Я + ± Д" (0) я» + -щ- Д'" (0) «" + ..
:J_{
А (0)1
2!
А'(0) , А*(0) о | А"'(0) в
Д(0)
н-
2Д(0)
<ГЧ~
6Д(0)
+
L <д (о»» q ^
А'(0)А"(0) .
{Д (0)}*
7«+...
.{Д(0»в* ^'"
+ ...}.
С другой стороны,
<7 —<78
1 —
_ = _-£-(] -Li_i_- + ■
?s
Сравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях q
справа и слева в тождестве (21), получим:
А'(0)
^д*А (дв) ГД (0)1"
у 1 = А"(0) [А'(О)]2
■ &<№'W 2[А(О)]3 ~[Д(0)]3'
Ь 1 = А'" (0) __ А' (0) А" (0) , [А'(0)]
} (7.22)
^л'
«^Д {qs) 6[Д(0)]'
[Д(0)]а
[Д(0)Г
И Т. д.
Возвращаясь к интересующему нас асимптотическому
выражению (20), имеем:
Д'(0) = 0,
y_L_ = 0 ^ !
Zj 2л'/ ч '
Ы" (0) _ 2J)
^Д'(^Г~6[Д(0)]3~ А*
и, следовательно,
*С0'
А2* Уя7
§ 33] 7°. ЗАДАЧА О ПРОЧНОСТИ ВЕЛОСИПЕДНОГО КОЛЕСА 399
7°. Выше были приведены примеры построения решений
интегро-дифференциальных уравнений с переменным верхним
пределом при заданных начальных условиях.
В качестве примера краевой задачи приведём
рассмотренную Н. Е. Жуковским задачу о прочности
велосипедного колеса;1 этот вопрос имеет более широкое
техническое значение, чем указывается в его наименовании,
так как речь идет об общей задаче изгиба стержня с
круговой осью, покоящегося на сплошном упругом основании.
Колесо представляет кольцо с круговой осью радиуса а,
подверженное действию радиально направленной силы Q
(реакция земли) и реакций спиц. Число последних столь велико,
что можно их реакции считать распределённой нагрузкой,
интенсивность которой пропорциональна изменению длины
спиц; но последнее равно радиальному перемещению и (со)
точки колеса в месте присоединения спицы к ободу; поэтому
дело сводится к задаче о плоской деформации кругового
кольца, имеющего упругое основание, реакция которого
/а,(со) определяется соотношением:
/«(?) =-*«(?). (7-23)
причём коэффициент пропорциональности с можно определить
формулой
С ~~ 2ка1 '
где N— число спиц, /р»а„—длина спицы, со — площадь её
поперечного сечения, Е1—модуль упругости материала.
Угол <р будем отсчитывать от точки приложения силы Q.
В формулах § 20 будем иметь:
fix — Q>
/«OP)*3 —C«(?)i
1 Н. Е. Жуковский. Собр. соч., т. VII. ОНТИ, 1937,
стр. 57—68.
400 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
и по (3.205), (3.209) и (3.210) получим:
[гл. VI1
v°x ~ ~2л I и <^HC0S^ ^)
*2 = —-g-j яфЫпеЛ.
(7.24)
Заметим, что вследствие симметрии
Я(6)=:Й(2ТС —6)
и, значит,
[ я (6) 6 cos %d\ = J i< (6) cos US + J« (6л) (2тг — SJ cos ^ ^=
= 2it J«(S)cosUS.
Но по первому уравнению равновесия (3.196)
Яге
■acJfl(6)cosEd£4-Q = 0,
откуда
о 1 „
что, впрочем, следует также из соображений симметрии.
Соотношения (24) принимают вид:
it ~>
о
<=- ~ [ к (S) s sin us.
(7.25)
§ 33] 7°. ЗАДАЧА О ПРОЧНОСТИ ВЕЛОСИПЕДНОГО КОЛЕСА 401
По (3.211) теперь составим выражение для радиального
смещения, причём отбросим перемещение колеса как твёрдого
тела, т. е. примем постоянные «0> w0, (30 равными нулю.
Получим:
" (?) = ш {(1 —cos ^' U " ®аг
-\- <р sin v • — и (¾) \ sin \ eft
2ас
sin» — 'fCOSO (1—cos 9) —
— ) a (¾ [sin (<p — Q — (<p — ^ cos (<p — Q] ЛI. (7.26)
6
Пришли к интегральному уравнению вида (1) с
переменным верхним пределом и с ядром k(<o — ?), где
k (<р) = sin да — «оcos<р -И- 7J5+T)2 = Л"(/')• (7-27)
Для краткости введём обозначения
it. iic
— \ и(<о)с1<? — А, — и (да) да sin да dec — S.
ТС J \ i ■» ■ тс J v' •" ' ' '
(7.28)
Постоянные А и В будут определены после того, как
будет найдено выражение искомой функции #(<р).
Изображающее уравнение для (27) имеет вид;
2Sjy2
(Р2 + I)2
(р»+1)»
кра + 1] (ра+1)^(Р)}.
26 Зак. 2057. А. Лурье.
402 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VI!
откуда следует, что
U(P) = J Х2 { А (pi _|_ 1)«~J + 2В (р2+1)2 + Х2 +
-4--Q Г * --1 ^ + 1 11 (7 29)
^ас L(p2+l)4^_xa я 0>a ■+!)*-{-x»Jr
Нужно найти теперь начальную функцию для этого
изображения. Корни знаменателя
Д (р) = (р* 4~ I)2 + *2 = Р4 4-2р2 + 1 + *2
удобно представить в следующем виде. Полагаем
Тогда
! «i±: i _,-i±!i
У COS ф У COS ф
и выражение всех четырёх корней дается формулой
рк = ± а ± $,
где обозначено
« = -7=sm-, Й = —= cos—.
Ycosb 2 усоэф 2
Постоянные аир связаны соотношениями:
а2 + Р2~^' 2^P = tgiV —А, р« —««=±=1.(7.30)
Теперь можно написать:
Д (р) = р* + 2р2 + О2 + Р2)2 = (Р2 — 2«р + аа + р2) X
X (р2 + 2«р + «2 + Р2) = [(Р — «)2 + Р21 [(Р + «)2 + PL
Получаем:
__£_ 1_ _ Г ^ -г 2ар р? — 2ар "I .
Д(р) 4а (а* + р5), L (Р + «)* + Э*" (/>-a)»+p»j."^
-^ 2аР(а« + р») ^ СЬ аСр Si" Р? ~~ Р Sh а? COS ^ =
cos ф Vcos ф / . ф . . 0 ф , ~ \
== ^-7-—- (sin о"c!l асР sin Р? — cos -i sh аср cos p»),
P% _ 1 Г ' j? j? 1 _._^ 1' • О _
Д (p) ~ 4a [. (p + «)*:+ p8 (p _ в)8 + p»J • §Sp S" а<Р S1" P? -
= ctg ty sh a<p sin B*
§ 34] 1°. УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ 403
и, наконец,
»2 4-1
1 f i р' + [2-№ + Р)г)р*
- Р,2\2 "» Х „(Д. 9«2 -4- (a* -I- R34S
1
рЧ-2р- + («2 + |33)2
(«2 + р2)2 + а2 Ч- Р2 — 2
(«2+Р2)'
И
|_^.
2а
/>*
(«2 -4- ft3)3 + «" + Р -
2«
= COS2<M 1 =-
_^-> cos2 ty (1 — ch а® cos pep — tg ib sh a<p sin (3cp)
'p(p + a)+p$tg<\i . p(p — cQ-pfttgf
, (P + «)2+F ^ (p~«)2+P2
Теперь можно осуществить переход от изображения (29)
к начальной функции; найдём
и (ф) == — (А --)sinaty (1—ch oncosis© —tg^ sh ay sin p«)-f-
-4- 5 tg ty sh a«p sin (}<p -|-
-|- J^-sin ib (a ch as sin [3cp — [3 sh atpcos (З'-р). (7.31)
Остаётся определить постоянные А и В; для этого нужно
подставить в (28) только что найденное выражение (31)
для и(<р); выполнив интегрирование, получим два уравнения,
определяющие эти постоянные. Вычисление вполне
элементарно, но громоздко. Мы не будем его приводить.
Ясно, что, располагая решениями § 20, легко
распространить предложенный здесь способ на дрзггие задачи
о плоской и иеплоской деформации кругового кольца на
упругом основании, реакция которого пропорциональна
перемещению точек осевой линии кольца.
§ 34. Поперечные колебания стержней
1°. Дифференциальное уравнение изгиба стержня при
отсутствии продольной силы и распределённых внешних
моментов можно получить, исключая изгибающий момент т из
(3.129) и (3.130); в случае стержня постоянного поперечного
26 *=
404
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
сечения это уравнение будет
EIvw (х) = q(x).
Уравнение поперечных колебаний получим,
заменяя v (х) на v (х> t) и включая силы инерции в число
внешних нагрузок; это сводится к замене интенсивности
нагрузки q (х) на — pv(x, f)~{-q{x, t), где р — масса единицы
длины стержня. Получаем:
EIvlv (х, f)-\-pv(x, t) = q(x, t),
или
vW(л:, t) + m'i(.г, /) = 1^, (7.32)
где обозначено:
2°. Как первый пример рассмотрим задачу о
поперечных колебаниях двухопорной балки (длины 21)
под действием мгновенно прикладываемой
в её середине силы Q в дальнейшем остающейся
ПОСТОЯННОЙ.
Взяв начало координат в середине балки, ограничимся
вследствие симметрии рассмотрением половины балки (О «С
Речь идёт, таким образом, об интегрировании уравнения
vlv(x, t)-\-mi;o(x, 0 = 0
при начальных условиях
v(x, 0) = 0, v(x, 0) = 0 (7.34)
и краевых условиях
•«(/,0=0, «"(/,;) = 0, «'(0,0 = 0,
V"(0, 0^2§7°о«' (7-35>
§ 34] 2°. КОЛЕБАНИЯ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ 405
Изображающая система уравнений будет:
dW{x, р)
с1х±
■т*р*У(х, р)=0,
(7.36)
1/(/, /,)= О, !/"(/, Р) = О, V (О, р) = О,
Заметим, что такие же уравнения и краевые условия для
прогиба (истинного, а не изображения его) мы получили бы,
как это следует из (3.135), решая задачу об изгибе
(сосредоточенной силой Q при тех же условиях закрепления краёв)
балки, лежащей на сплошном упругом основании с
коэффициентом оседания k = га4/?2. Изображающие уравнения
динамической задачи о колебаниях стержня, таким образом,
эквивалентны уравнениям статической задачи об изгибе этого
стержня при наличии упругого основания. * Возвращаясь
к нашей фиктивной задаче о балке на упругом основании,
применим к её решению также операционный метод, теперь
по переменной х. Полагаем:
оо
V (х, р) -н- ф (/■) = г Г е -™ V (х, р) dx,
причём 'Ь(г), конечно, зависит параметрически от /;.
Получаем:
А (г)— V(0, р)-
7^(0,/0-^(0, р)-
■^•'"(о, Р)
+ /^/7^(/-) = 0,
1 Сведение динамической задачи к фиктивной статической
используется в динамике сооружений. См. Я. Г. Па но в ко, К
построению общего решения задачи о вынужденных колебаниях системы
с несколькими степенями свободы. Прикл. матем. и механ., т. V,
№ 1, 1941, стр. 103.
Можно обобщить сказанное на уравнения движения теории
упругости в перемещениях, рассматривая их изображения как
уравнения статики упругого тела с добавочными объёмными упругими
силами. На этом пути Н. А. К и л ь ч е в с к и й получил ряд
существенно новых результатов в теории удара упругих тел. См. его книгу
„Теория соударения твёрдых тел" (Гостехнздат, 1949), в частности
§§ 5 и 6 гл. Ill и гл. IV.
406
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
откуда, воспользовавшись (37), найдём:
№■
V(0,p)ri , У" (0, /))г2
т -|
Q
т±р'г -\- г
т->рг
2EI т*р2 + rJ-
Обозначив т*р2 = 4а4, по (1.53) и таблице производных
функций А. Н. Крылова, приведённой в § 3, получим:
V(x, /7)=1/(0, p)Y1(ax) +
Q
+ ^^.(0, Р)Уь(^) + 2Е!^У,(ах)
V"{x, P) = —V(0, p)4aaK8(«*) +
-\-V"(0t p)Y1{ax)-
Q
2Ela
Y2(ax).
(7.38)
Нужно теперь определить 1/(0, p) и V"(0, p), для чего
используются условия (37) на правой опоре балки (х = /).
Найдём:
Q/3
V (О, />):
У" (О, р) =
где обозначено
sh s — sin 5
' EI s8 (ch 5 -f- cos s) '
Ql shs-f-sins
2EI s (ch 5 -]- cos s)
2a/:
w/ ]/2p.
(7.39)
(7.40)
Нужно подставить эти выражения в (38), а затем ещё
решить задачу перехода к начальной функции v(x, t). Но
если требуется найти прогиб и изгибающий момент только
в месте приложения силы, т. е. в сечении х-—0, а эти
величины представляют наибольший интерес, то достаточно найти
начальные функции для изображений (39). Возможность
непосредственного получения интересующих нас значений
решения в определённом месте (в данном случае при х = 0),
не сопровождающаяся необходимостью решать задачу в целом
(для любого х), даёт очевидную значительную экономию
труда и представляет одно из существенных достоинств
операционного метода.
Построение начальных функций для изображений (39)
осуществим, применяя вторую теорему разложения. Пред-
§ 34]
2°. КОЛЕБАНИЯ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ
407
ставим для этого 1/(0, р) в виде частного двух целых
функций:
1/(0, р).
' El Fiis)'
„ , s shs — sin s т- / \ i i
^i(s)= js ' F20)=chs-fcoss'.
Нужно найти корни знаменателя; для этого представим его
в форме:
с / \ о (1+05 (1 —t)s
/*2 (s) — 2 cos ^—k-2- cosi—=-i-,
из которой ясно видно, что искомые корни будут:
sk^± ^±1«(1±») (А = 0, 1, 2,...).
Далее имеем:
^(0)=f ^(0) = 2, ЛМ. = 1
^(¾)
47.
и искомое разложение будет:
оо
^0^(^-¾) J
Q/3
'б£/
1 Qf V—±—-1—1—
"Т" Я/ .£ / 2ft + 1 V \(l + 04
1
2ft + 1
it(l 4-/)
к (1+0
2ft-
«(1-0
X
408
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Заменяя s2 его значением (40) и замечая, что (1г*гг)*= —4,
получим далее:
V(0 „)=,W
1 -* 71
1
1L
тА ^=i (2k + 1)4
ft=o
'■+СЙ-'-)'
Первое слагаемое представляет смещение /g( при
статическом действии силы Q. Окончательно находим:
«(о, 0=/«
1
_Убу
7f = 0
cos Xjet
(2A + 1)4
(7.41)
где XA — частоты свободных колебаний опёртого по краям
стержня, определяемые, как мы видим, формулой:
К
(2й+1)*_а
4/я«/2 "
(й=0, 1, 2, ...).
Аналогично находится начальная функция для
изображения изгибающего момента Ж(0, р) — — EIV" (0, р) в
середине балки. Получим:
т (0, t)
тя
1
8_ 'Vl cos Xft/ 1
к1- Za 75ft"+T)4'
(7.42)
ft«=o
Заметим, что при рассмотрении задач о продольных
колебаниях стержня и о колебаниях струны (§ 25) мы имели
всегда два способа построения начальной функции по её
изображению; первый заключался в применении второй
теоремы разложения, он приводил к решению в форме
бесконечного ряда; второй был основан на применении теоремы
запаздывания и давал решение в замкнутой форме для
отдельных промежутков времени. Это соответствовало приходу
в рассматриваемую точку возмущения от его
источника за конечный промежуток времени от момента
приложения возмущения и последовательному прохождению через
неё возмущений, отражённых от краев стержня (струны).
В только что рассмотренной задаче о поперечных
колебаниях стержня применение второй теоремы разложения
представляет единственный способ получения начальной функции
и причиной этого является то, что дифференциальное урав-
§ 34] 3°. ДЕЙСТВИЕ ВНЕЗАПНО ПРИКЛАДЫВАЕМОГО МОМЕНТА 409
нение (32), коим определяются эти колебания, не допускает
волновых решений; * оказывается (это будет видно из
разбираемых ниже примеров), что решения этих уравнений
соответствуют мгновенному распространению возмущения по всей
длине стержня.
3°. Изгибающий момент М, в дальнейшем
остающийся постоянным, внезапно
прикладывается в точке бесконечно длинной балки.
Найдём изменение во времени и по длине балки прогиба и
изгибающего момента.
Точку приложения момента примем за начало координат;
достаточно рассмотреть половину балки (х^>0); нужно найти
обращающееся вместе со своими производными по л; в нуль
при х —> оо решение дифференциального уравнения (32)
при q (х, t) — 0, при начальных условиях:
v (х, 0) = 0, v (х, 0) = О
и при краевых условиях на левом конце:
г-(0, 0=0, *"(0, ¢=--^0^).
Решение изображающего уравнения (36), удовлетворяющее
условиям
V (0,/7) = 0, v"(°.'P) = -il
и при х—»оо обращающееся вместе со своими производными
в нуль, будет:
У^р) = -Щ^е sii.flix-j/ 4р (7.43)
1 Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня,
составленное с учётом влияния на прогиб перерезывающей силы
и инерции вращения элементов стержня, допускает волновые
решения с двумя скоростями распространения волн. См. Я. С. Уфляид,
Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и
пластин. Прикл. матем. и механ., XII, № з, 1948, стр. 287. При
достаточно большом значении времени t, протекшего от момента
приложения возмущения, эти „строгие" волновые решения переходят
в неволновые, полученные из обычно применяемого классического
уравнения (32), за которым остаётся, конечно, преимущество
простоты.
410 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [гл. VII
причём рассматривается ветвь функции У р, имеющая
положительную вещественную часть. Из (43) далее получаем:
М(х, p) = —EIV"(x, р) =
1 —тху J -./~~о (7.44)
= тг/Ие cos/ил ]/ %-• V'™>
Вводим обозначение
тх у £■ = У7Л
что соответствует переходу к новому независимому
переменному
Тогда:
М (х, р) = -~Ме~у7 cos V~.
По (().45) имеем:
/ 1
(7.46)
е~Уг cos
у^1~с(^)~3Ш
e-YrsinVr -^ c(-^=)~~S
у™) "\уъ
откуда следует, что
о
— е"1 '" siiil/ /• —
А-Ы-кМ*
= J dM (cos-2 ^"Tj*
о о
34J 3°. ДЕЙСТВИЕ ВНЕЗАПНО ПРИКЛАДЫВАЕМОГО МОМЕНТА 411
Область интегрирования в плоскости и, Ч. ограничена
кривой и ■■
- и прямой £—t. При перемене порядка
Рис. 62. Перемена порядка интегрирования в интеграле
_L
W
cos -у- а и.
интегрирования эта область разбивается на две области / и II,
показанные на рис. 62. Получаем:
1 1
db cos — du = cos ~du d\\-
0 0 о 0
1
со TiVr со KU~
1 0 _1__
Интегрированием по частям находим далее:
oo
1 Г 1 mfi. ,/~T 1 1 Q(J_\
l
Итак,
С (-77=) dZ = xc(-1
Yi
•\Y~*
0+/¾
l l
С08£—2
+ 5lys.
412
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
и аналогичное вычисление даёт
S(-
куя
&:
*Ш+^т**+*-сШ)-
Возвращаясь к (45), теперь находим:
t) = A4
/п (х.
•v (х, t) —
1 — С
It
mx
УНы
-s(wr)l ^
MX*!
\V2nt) \Y2*t/} '
+ s
trfix2
I COS-.,
mx \ At
nix \ , ^,/ mx
— sin-
m-X'
At
2Kt/ ' V Y2ntJ j
Y2nt.
(7.47)
При t~^ 0 и хфО аргумент интегралов Френеля стремится
к бесконечности и поскольку
С(оо) = 5(оо)=1,
получаем
т(х, 0) = 0, v(x, 0)=-.0.
Но при t} отличном от нуля, хотя бы и сколь угодно
малом, и при х ф 0 и сколь угодно большом т (х, t) и v (х, t)
будут отличны от нуля, хотя и сколь угодно малы. Это
значит, что возмущение, приложенное в некоторой точке стержня,
мгновенно распространяется по его,длине. Заметим ещё, что
полученные здесь решения при достаточно большом t
совпадают с решениями волновых уравнений поперечных
колебаний (см. подстрочное примечание на стр. 409), но существенно
отличаются от них при малых t.
4°. Аналогично трактуется задача о колебаниях
бесконечной балки под действием мгновенно
прикладываемой в некоторой ее точке (д; = 0)
силы Q, которая в дальнейшем остаётся неизменной.
Краевые условия при х = 0 будут:
v'(0, о = о,
'(0, t)
§ 34] 4°. СЛУЧАЙ МГНОВЕННО ПРИКЛАДЫВАЕМОЙ силы 413
Получаем:
Qx« 1
" VE! rYr е
По (6.43) и (6,44) имеем
X
--Le-^^cos 1/7-Н- Г
У> .1
0
cos
^eos у г
1 rfc
23 УТ5
-Ус
^-^-"•sinj/V -h* J йп-яу^-
1 _)_ 2 т/3 cos- -4- 25 f—L
1 У к 2-. V/tcx
Т
о
1 + 2 l/"- sin 1 — 2С(-1=)
и повторное интегрирование, проводимое, как указано в
предшествующем пункте, даёт начальные функции для
изображений -i=.e-1/"Fcosl/7, ~-r-=e-y~r sin j/T.
гу г г у г
Проделав это вычисление, получим:
Ч){Х
а <?л:8 f 4/2/У i / /иЗл:2 . да2д2л
12Я/| ' у%1Фх'* \ 4/ ' 4^
-Г1—I/ — sin cos —С
тх У. п \ 4t to J \ V2itt
„, тх \ , 6£ Гг./ 'я-*
Кте)-сШ
В точке приложения силы прогиб будет
(7.49)
.(О, /)=/4-3¾^. (7.50)
Конечно, этот результат можно получить, не делая
указанного выше сложного вычисления прогиба для любого аг.
414
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Нужно принять х = 0 непосредственно в изображении (48);
найдём:
К (0, p) = —rS-
2 \ГЪФЕ( р Yр'
откуда непосредственно получается (50) по (6.30).
5°. Рассмотрим теперь задачу о поперечном ударе
груза о балку; считая балку бесконечно длинной,
предположим, что груз Q падает на балку со скоростью с в точке,,
которую примем за начало координат; вследствие симметрии
можно ограничиться рассмотрением половины балки (х^-0).
Нужно рассмотреть дифференциальное уравнение
поперечных колебаний балки
vIV (х, t) 4- тЧ) (х, 0 = 0
при краевых условиях
v' (0, 0 = 0, §^'v (0, t) = - EIv'" (0, t).
Первое условие должно иметь место вследствие симметрии,,
второе представляет уравнение движения груза, на который
действует реакция балки, равная и противоположно
направленная перерезывающей силе в точке х = 0. Весом груза
пренебрегаем.
Начальные условия задачи будут
v(x, 0) = 0, v(x, 0) = 0,
причём последнее условие имеет место при всех х > 0;:
вместе с тем мы примем, что падающее тело сообщает
в момент падения свою скорость той точке балки, с которой'
оно вступает в соприкосновение. Поэтому
^(0, 0) = с.
Решение изображающего уравнения (36), обращающееся
в нуль при х —»• оо, имеет вид:
V
{х, р) = е тХ V 2 (A cos тх у -^ -4- В sin тх у ~-j
§ 34}
0°. ПОПЕРЕЧНЫЙ 5'ДАР ГРУЗА О БАЛКУ
415
Определив постоянные А и В из условий:
v'(o,P) = o, |р«[у(о,р)-^.
■EIV" (О, р),
найдём
я, значит,
V(x,p) =
А = В:
Р +
^
lP£i/ £
mQ
„yi
p~l
lA
cos mx
/*+
-)- siti mx|/ ^
fy-
Построение начальной функции для этого изображения
сложно. Но, чтобы найти движение груза, достаточно
построить начальную функцию для изображения:
V(0,p) =
p + PYp
чем мы и ограничимся. Имеем:
с с
2/2р,?
)■
ср 1
p + ?Vp р-
Yp р-Р
и далее:
1
1
*
2
-(*?Ч-1),
У7 р — Р2 ' /й
о
Находим
■г»
(О, /) ==-^-1+-^0/ ^+^ ЦрУ О] , (7.51)
416 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VII
где принято обозначение
рУ7
у 1С ..'
о
Дифференцированием по t находим скорость груза
v(0, t) =C(F*b$Y7)
и его реакцию на балку:
3-v (О, t) = 9^1 Г L^_ е-¢4^(^7)] . (7.52)
g
р У я/
6°. В двух предшествующих примерах прогиб оказался
функцией, неограниченно возрастающей с течением времени.
Это объясняется тем, что балка считалась имеющей
бесконечную длину. Рассмотрим теперь бесконечную балку,
лежащую на сплошном упругом основа ни и;
результаты исследования в этом случае не будут иметь
указанного недостатка.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний
получим, полагая в (32)
q (х, t) = — kv (хь t).
уравнение при нулевь
KIV (х, р) + (a4 -f т*р*)У(х, р) = О,
Изображающее уравнение при нулевых начальных
условиях будет:
где а4 = —, Его решение, обращающееся в нуль при
х —> со, будет:
V (х, р) = в-9* (Л cos fix ~|- В sin >lv), (7.53)
где обозначено
^ = y=V^+>nY- (7.54)
Рассмотрим случай мгновенного приложения к бесконечной
балке силы Q, которая в дальнейшем остаётся постоянной.
§ 34] б1. КОЛЕБАНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ВАЛКИ 417
Постоянные А и В нужно определить из условий:
V'{0,p) = 0, V" (0^) = ^-.
При х > О получим:
О е~$х
V(x,p) = -^f-jr(cospx-\-sm$x). (7.55)
Построение начальной функции при любом х весьма
сложно. Ограничимся рассмотрением движения точки
приложения силы:
v (о, р) = ^%-/«4+Р»/«*Г т -
б у ul.1 a" v
где введено обозначение
5
т% •» /~ Р
что соответствует переходу к безразмерному времени
Можно получить представление начальной функции в форме
ряда, сходящегося при всех значениях t, разлагая
изображение V (О, р) в ряд по степеням — . Имеем
■ 3-7 1 3-7-11 1 . \
' 2!42 ' s* 314^ s6 i" '• V *
По (6.30) получим:
- у r _ n» ^ 1
27 а«ь 2057. А. Лурье.
418
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Формула (50) даёт, как следовало ожидать, первое
слагаемое этого ряда.
Чтобы найти движение при большом t, воспользуемся
методом асимптотического представления начальной функции,
изложенным в § 31. Имеем:
Q
v (0, t)
2 У"2 ЕМ
Нужно найти разложения функции
F (s) 1 1
F(s).
s s (1 +s2)J/l
в области её особенностей: простого полюса .9 = 0 и точек
разветвления s = zti. Составляем разложение в ряд по
степеням (s — г):
1 111 1 1 =
3 8
s(l-j-s?)4 (2г)4 + i {s — г)4
+т)
-н
V^ <.-„*
S—1
X
х['-!-^+ё(^-')'+-]-
— — т 1
пуп .д «
и по (6.58) соответствующее разложение будет:
7 .
ядо=
1/2 У2
11
„.-%
'(4)
&
1
)
F(s)
Замечая ещё, что вычет функции —— в полюсе s = 0
равен единице, получаем:
Q
v(0,t).
2 У 2 ЕМ
[1+^ЯДО + б-"Я_,(0]-
§ 35] 1°. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ИЗОБРАЖАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ 419
Имея в виду, что Г(—)==1,226, найдём:
v(0, /)-0,3536^
4,
cos ( % -|~
0,970
ут
где отброшенные члены имеют порядок т~~5'4. Первое
слагаемое 0,3536 ~^ даёт прогиб при статическом действии силы.
7°. Рассмотрим ещё в условиях предыдущей задачи случай
действия периодической силы Р cos <at. Как выше, получим:
__8
v (о, t) «-г- v(o, ,) = —fi £i- f i + ^ T
Чтобы найти чисто вынужденные колебания, т. е.
колебания, имеющие частоту <о возмущающей силы, достаточно
удержать в асимптотическом представлении начальной
функции разложения Н±ш;((), относящиеся к полюсам dzrni
функции —1/(0,/;). Вычеты в этих полюсах будут:
__8_
при -J- < 1
4 /2/7/0
'AtzI
Р /т*о)а ,\ * ± Т т"-т ^ ,
4 /2 £/а'
В первом случае находим:
г>(0, Л г — (I —■ ) cos <at,
v ' 2 |/2£7«Л a* J
во втором:
а*
-t/(0, 0 —-L—р-^-— l COS (ш*4--
§ 35. Поперечные колебания неограниченной круглой
плиты
1°. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний
тонкой плиты имеет вид:
Л/ДДда (х, у, 1) = q (х, у, t) — pw (х, у, t). (7.56)
Оно может быть получено из (3.139), если в число внешних
нагрузок включить силу инерции—• pw (х, у, t), отнесённую
27*
420
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
к единице площади средней поверхности плиты. В
частности, при разыскании форм колебаний круглой плиты,
имеющих симметрию вращения, это уравнение приводится к виду:
_j_ JL А^\ Г ^еЛлЛ л_ 2.dw (г- Щ j_
~i /■ дг) L дг*- 1 г дг J "1
, р d*W (Г, 0 „/А /"7 К7\
Изображающее уравнение будет:
<PW(r,p) , 1 rfr(rfJu)
d«_ , 1 rf
dr2
r rfr/ _ rfr2 ' г rfr J '
+ |fPa[ W(r, p)- w(r, 0)-w (r, 0)] = Q(r, p), (7.58)
где w(r, 0) и w(r, 0) определяют распределение прогибов и
скоростей точек плиты в начальный момент времени.
В дальнейшем рассматриваются задачи о колебаниях
первоначально покоившейся плиты, вызываемых приложением силы,
сосредоточенной в её центре. Тогда
Q(r, р) = 0, w (г, 0) = 0, то (л, 0) = 0, (7.59)
и уравнение (58) принимает форму уравнения равновесия
плиты на упругом основании:
/rf2 , 1 d\/cPW , 1 dW\ , о aiv// \ а «ш
(rfTJ+Trf-rXrfPr + TlFj + t*"РЦУ^ ^ = 0' (7-6°)
где 1>-2 = ^-
Общее решение этого уравнения может быть выражено через
функции Бесселя и Макдональда f0(r]/\j.pi) и Kq^WpO и
сопряжённые им величины. Пользуясь известными
обозначениями, полагаем:*
/0 (г VWi) = ber (л Vw) + 'bei О" Vw»).
/<о (г У1^р7) = ker {г Vv-P) + ' kei (г "|/^).
1 Р. О, Кузьмин, Бесселевы функции, стр. 48.
§ 35] 2°. КОЛЕБАНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ плиты 421
Общее решение уравнения (60) будет;
Щг, р) = С, ber {г Vw) + С2 bei (г УЙ>) -f-
+ Cs кег (г 1/№) + Q kei (/■ /^). (7.61)
Постоянные должны быть определены из краевых условий.
2°. Рассмотрим простейшую задачу о колебаниях
неограниченной плиты под действием
сосредоточенной силы Qf(t). В общем интеграле (61) следует
удержать лишь слагаемые, обращающиеся в нуль при г—> со.
Поэтому надо принять Сх = С2 = 0. Далее, при весьма
малых г:
кег г — — In -к---}- ...,
kel*=-(.l)"lnf-i+..., (7.62)
где невыписанные члены обращаются в нуль при £=0.
Поскольку прогиб плиты в точке приложения силы должен
оставаться конечным, нужно принять С3=0. Остающаяся
постоянная Cj определяется из условия равенства силы Qf(t) и
равнодействующей перерезывающих сил, вычисленной для
окружности бесконечно малого радиуса с центром в точке
приложения силы. В области изображений, т. е. для плиты
на фиктивном упругом основании, это требование выражается
условием:
} =±QF(p).
Подставляя сюда:
W(г, р) = С4 kei (г V'W) = -{ CiV.pr* In г + ...,
найдём С,4 и далее W(r, р):
^.P) = -sSp'^kel(rV^). (7.63)
Задача сводится, таким образом, к разысканию начальной
функции для изображения
kei (г ]/Jp) = kei (2 ]/s),
{*~h
cPW{r, p) | _1_ dW{r, p)
dr* I r dr
422 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VII
где s = -j- r\p. Переход к этой переменной соответствует
введению в начальную функцию безразмерной величины
4./
х = ~. (7.64)
Предположим теперь, что найдена начальная функция
— kei (2 у7) -Н>- <|> (х). (7.65)
Тогда по теореме свёртывания и (63) найдём искомое
решение в форме:
X
w (г' 0 = Ш / + («)/[ ir (* ~ У ] ^. (7.66)
о
3°. Для построения начальной функции ^ (х) будем
исходить из представления функции Макдоиальда К0 (2 j/s)
в форме определённого интеграла: '
/C0(21/F)^|J^H)?-
о
ID 1
Вводя новую переменную интегрирования х — — ,
получим:
<? х
/<0(2l/F)=-ije--e"^^-.
о
Отсюда по определению преобразования Лапласа следует,
что
sl<0 (21/7) -h» ^: «"
и, значит,
О 1
1 Р. О. Кузьм и н, Бесселевы функции, стр. 95.
§ 35] 4°. СЛУЧАЙ ВНЕЗАПНО ПРИКЛАДЫВАЕМОЙ силы 423
или по свойству III табл. 1:
K0(2Vsa)-r+ 2
du 1
du
2_
X
Полагая теперь а — /, найдём:
Ко (2l/s7) = кег (2 |/7) -f i kei (2 У7)-±
2 j и
но
du.
Отделяя вещественную и мнимую части, получим таким
образом:
оо
\_
со
оо
По (66) теперь находим:
ев
^-(х —6) Д. (7.69)
4°. Рассмотрим частный случай силы,
мгновенно прикладываемой, а потом остающейся
постоянной; тогда f (t) = a0(t) и по (69):
О) оо
W
(г> о=м J 8!(т)д==та]* J sin"^ =
Qr2 j staw
I61.W J и
Я)
i
и
0 1
С
oo
-QH. f
16icW J
CO
1 \ .. rf«
л; —— sin и —.
и J a
424
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. Vft
причём при перемене порядка интегрирования применён
способ, указанный для аналогичного случая в 3° § 34.
Замечая далее, что
с
1)
1
!»
sin и
находим
w(r,
du
ifi
0
xsm
1
cos и
и
da
■ 1 i ./1
-x sm —ь ci
v 1
Qr*
16it/V
x si
x sin -L + ci (-1)].
Возвращаясь теперь к прежним обозначениям, получим:
w(r, 0 =
(«
4tc/V]j.
.-($)■
■sin
4^
4^ Cl
(7.70)
Нетрудно проверить, что полученное решение
удовлетворяет начальным условиям. С другой стороны, при а -»0
функция da имеет особенность вида 1п|и|. Поэтому при
любом конечном t и при л-»0:
причём
w('~> 0 = -^14/- + ^,(/-, О
d /d2K/t . 1 6»i
dr V dr'z
r dr
»■-»0
0.
Используя далее асимптотические представления
si.
CI JO
cos х
х
■ sin X { 1
1 . _21_i \ | sinx t 1 3!_ ,
2!
+ •••
COS JC
3!
')•
легко убедиться, что при любом конечном / и г->оо
прогиб ге/-»0.
Таким образом, полученное решение удовлетворяет
краевым условиям и условиям иа бесконечности; удовлетворены
также и начальные условия'. Вместе с тем нетрудно убедиться,
что при любом конечном г^-0 и 1—>оо прогиб w возрастает
ггеограниченно. Кроме того, при любом г > 0 значение w(r, i)
получается конечным, каково бы ни было t Это значит, что
§ 35] 5°. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛИТА НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 425
возмущение из центра г = О передается по пластине мгновенно.
Выше уже было отмечено,' что этот недостаток элементарной
теории поперечных колебаний устраняется при учёте влияния
перерезывающей силы и инерции вращения.
5°. Рассмотрим теперь ту же задачу, что и выше, но для
плиты, положенной на сплошное упругое основание, В
уравнении (56) нужно принять
Ч С-*", у, t) = — kw (х, у, t),
где /г—-коэффициент оседания основания. В случае
симметрии вращения общий интеграл изображающего уравнения:
(Л i 1 А \Г d*W{r,p) , 1 dW{r,p)'\ ,
\dr^~r г dr) dr* ~Г r dr \ Г
-\-(V.y+m*)M(r, р) = 0, (7.71)
где /й3=-тт-, выражается формулой (61) с той лишь
разницей, что аргументом стоящих в ней функций, вместо i'Yl>-p,
теперь будет г yni* -j- [*2р3.
Поэтому, вместо (63) получим:
w ('. р)=-ш ymwkei [г с*'+^^ • (7-72)
Рассмотрим сначала движение точки приложения силы
(г = 0). Вспоминая, что keiO = —~, найдём:
Замечая, что
Ftp)
/"■+^
p-Z—
' т
Л
]/ 1+р
но теореме свёртывания получим
mt\
V'^mS'tif)™-^'
См. подстрочное примечание на стр, 409.
426 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть, в частности,
[гл. VII
/ (t) —COS (at.
Тогда
та» (0, /) =--
8ЛГ,л
COSCO/ У0 (—-JCOSCOT^T-j-
J J° (7) Siil
<от dx
(7.73)
Чтобы получить вынужденные колебания с частотой
возмущающей силы при установившемся режиме, надо положить
верхний предел в интегралах равным бесконечности.
Приходим к интегралам Вебера:
00 оо
1 J0 (ах) cos <ах dx, I J0 (ах) sin an dx.
6 о
Для вычисления этих интегралов вспомним, что
со
Р ... . Г _ „* Г /_Л л, 1
J0(at)<-^—FJ=, т.е. Г e-P4Jat)dt =
о
Полагая в этом равенстве р = ш, найдём;
оо
Jn(at) (cosmt—■ isin <а£) dt = -.
0
Поэтому при a > <o:
J0(a/)cos oi^fitf:
Урз + а2'
уяа_(оа'
j JQ (at) si
sinatfatf = 0,
(7.74)
§ 35] 6°. НАХОЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В ЛЮБОМ МЕСТВ 427
При а < <о получаем:
Г J0 (at) cos Ыdt = О,
J0 (at) sin Ы dtz=:
Y«
(7.75)
Возвращаясь tc (73), находим вынужденные колебания при
установившемся режиме: при т > \>,<о:
«/(о, о =
а при т < \>.<а:
w(0, t) =
О COSci^
ал/ y^zfp^r'
Q sin ш^
8#у?
?m2-
(7.76)
(7.77)
6°. Вернёмся к случаю любого г, т. е. к изображению (72).
Перепишем его в форме:
QFtp)
' т
W(r,p)=-^-- ^(т
\ т
Ф+№'
Xkei
/У'« 1/^-1-(¾3]. (7-78)
Временно введём обозначение />, =-LL и положим
1(Pi) =
л
гУ1+р?ке1(гУ/«У1-|-р?)-
1+Pi
Имея в виду воспользоваться преобразованием (6.90),
положим:
т. е.
F(V\ -^-pi) = -- У 1 +р* kei(ryml/l+pi).
^(р[) = -~Р[ке!('-У«"ф[)-
428 РАЗЛИЧНЫЙ ПРИЛОЖЕНИЯ
Но по (68) и (64):
[ГЛ. VH
kef г ]/ тр1
1 ' . du
2 J и
r'Jm
«Г
lilt'
и поскольку правая часть обращается в нуль при /,==0:
00
— /?[ kef rY'llPi
d 1 ' . da 1 . /2«
1 dtx 2 гг 2¾ 4^
По (6.90) теперь находим
Ь
А
(рд+> \**<Уь—$>ъ-**^*г
ИЛИ
Л(р,)-^>«(0 = 7 f ^o(f-V?a-
•tJ sin —
4г г
Ы?/"-
а3[л\2 I sin г/
2>
\4м / гг
rf«.
Возвращаясь к (78) и воспользовавшись теоремой
свёртывания, получим:
w (г, ()■■
о . гУ
sin гг
rftf,
§ 35] 7°. СЛУЧАЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ силы 429
откуда, меняя порядок интегрирования, найдём:
w(r, f) =
=^.1 тН mi/Me/j*'-'9*- ("9)
71. Рассмотрим, в частности, случай
гармонической возмущающей силы /(/) = cos mt. Тогда для
установившегося режима получим:
w(r, 0 =
Q ( , Г sin и . Г г Гот ,/~ 0 //'W2]
:_|C0S«tfJ _d«J J0[_-|/ ,—(_)Jcos
<OT Jx
4u
-f-sin<o/ rfa JQ _ у t2 — (t~) siikot^V. (7.80)
ry.
ill
Для вычисления получившихся интегралов вспомним, что
по (6.§9):
У>3 + 1
Полагая здесь р~тх, получим:
рЧ0(УР — х*)М.
оо
= Г JQ (|//йТГр)(cos w^-p/sin «o^fiW, (7.81)
430
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VH
откуда следует, что при (oj < I:
Vi-»1 ;
"i с г
0= J0(Vt2 — **)sin <а^dt. (7,82)
Если же ml > I, то из (81) найдем:
У0(]//а—ta)COS<D^rf/:
Jo(Vfi— ta) sin <o^ rf/ =
sin У coj-— It
COS У a)j— It
(7.83)
Возвращаясь к (80) и полагая — > <о, по (82) получим
Q cos a>f
да (л, 0 =
4я[а/У
/"?•
sin
_ I /"ffl'
И " 1>-а"
r-JJ.
da. .(7.84)
Остаётся вычислить интеграл (84); воспользуемся для этого
соотношением (68), которое запишем в виде:
kei (2 Ys) ■■
e~s™ dx
С sin»
J «
da ■
CO ОЭ CO
* Г sin tl . С , if
« . du
e sin и—
и
§ 35] 7°. СЛУЧАЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ силы 431
Заменяя букву s на -.-]/ (—■) —«2, получим теперь
вместо (84):
/л Q COS wt ,.1 V—о 9~я1
w(rl 0=__^____rke,^/ffl-_^j. (7.85)
При г—О отсюда находим уже ранее указанный результат.
Аналогично трактуется случай т < \м».
ЛИТЕРАТУРА ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
1. А. М. Э ф рос н А. М. Д а и и л е в с к и й, Операционное
исчисление н контурные интегралы. ДНТВУ, 1937.
2. М. И. К о н т о р о в н ч, Операционное исчисление и
нестационарные явления в электрических цеиях. Гостехиздат, 1949.
3. X. К а р с л о у и Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной
математике. Гос. из-во иностр. л-ры, 1948.
4. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Б э р н с. Переходные процессы
в линейных системах. Гостехиздат, 1949.
5. Д. Р. К а р с о н, Электрические нестационарные явления и
операционное исчисление. ДНТВУ, 1934.
Далее можно указать на главы, посвященные операционному
исчислению, в книгах:
6. Б. В. Булгаков, Колебания, ч. 1, гл. 2. Гостехиздат, 1949.
7. А. В. Л ы к о в, Теплопроводность нестационарных процессов,
гл. VIII. Гостехиздат, 1948.
8. К. А. К р у г, Переходные процессы в линейных электрических
цепях, гл. 1. Гостехиздат, 1948.
9. Т. Карман и М. Б и о, Математические методы в
инженерном деле, гл. X. Гостехиздат, 1948.
Строгое изложение основ и аппарата операционного
исчисления дано в работе:
10. В. А. Диткин, Операционное исчисление. Успехи математ.
паук, т. 11, вып. 6 (22). щ