ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
(КРАТКИЙ КУРС)
Допущено Министерством
высшего и среднего специального
образования СССР
в качестве учебного пособия для втузов
Издание второе
517.2
Ш.78
УДК 519.47
Р. Я. Шостак
Ш.78 Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп
Учебное пособие для втузов М. «Высшая школа», 1972.
280 с. с илл.
Книга в краткой форме излагает основы операционного исчисл* -
ния и его применения к интегрированию линейных дифференциал -
ных уравнений и систем таких уравнений. Кроме того, в книге дает1
понятие об импульсных функциях и их применениях. Даны меюдЛ
решения задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с ку ч
сочно-аналитическими и периодическими функциями в правой части.
В книге содержится достаточное количество примеров, иллюст-
рирующих теорию, приведены типовые задачи с подробными реше-
ниями. Каждая глава снабжена упражнениями для самостошельнсй
работы студентов.
Рецензент: кафедра высшей математики МИРЭА.
2-2—3	517Ё
43-71
Предисловие
Настоящее пособие предназначено для студентов
старших курсов и аспирантов втузов, а также для инже-
нерно-технических работников, не изучавших ранее опе-
рационное исчисление и желающих познакомиться с его
основами.
Автор предполагает, что читатель знаком с основами
математического анализа в объеме обычного втузовского
курса, а также элементами теории функций комплексно-
го переменного (примерно в объеме гл. I, ч. II, т. III кур-
са «Высшей математики» В. И. Смирнова). Некоторые
дополнительные сведения по математическому анализу и
теории функций комплексного переменного, не содержа-
щиеся в обычных курсах анализа для втузов, но на ко-
торые автор вынужден опираться при изложении опера-
ционного исчисления, приведены (частично с выводами,
частично без выводов) во введении.
В первой и четвертой главах приведены доказатель-
ства теоремы обращения и третьей (обобщенной) теоре-
мы разложения, которые являются более трудными для
усвоения, чем остальной содержащийся в этой книге ма-
териал; читатель, не интересующийся этими доказатель-
ствами, может их опустить вообще, а тот, кто желает воз-
можно быстрее перейти к практическим применениям,
может эти доказательства опустить при первом чтении.
Во всей книге принята следующая нумерация фор-
мул: первое число в обозначении формулы указывает
3
ВВЕДЕНИЕ
главу, второе — параграф этой главы, третье — порядко-
вый номер формулы в этом параграфе. Так, формула
(2; 3; 5) —это 5-я формула § 3, гл. второй.
Автор приносит глубокую благодарность всем, кто
познакомился с рукописью книги, за ценные советы, уч-
тенные им при доработке рукописи: профессорам
П. М. Ризу и Г. Л. Лунцу, доцентам С. В. Фролову,
Е. Н. Мирославлеву, К. К. Гахария и ст. преподавателю
М. И. Ершовой (последнюю также и за ряд предостав-
ленных автору и использованных им в книге задач).
Автор также заранее благодарит всех, кто по выходе
книги в свет укажет на замеченные в ней недочеты и тем
поможет устранению их в дальнейшем.
J f(x)dx:
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами; абсолютная сходимость; равномерная
сходимость несобственных интегралов, зависящих от
параметра
Несобственными интегралами с бесконечными преде-
лами называются интегралы вида
оо	b	-}-оо
^f(x)dx, § f(x)dx,
а	—оо	—оо
(Функция f(x) предполагается непрерывной на всем ин-
тервале интегрирования.)
00
Интеграл J f(x)dx определяется следующим образом:
а
оо	7V
[f(x)dx= Hm (f(x)dx. (0; 1; 1)
J	Ar->oo J
a	a
Если этот предел существует при произвольном способе
стремления N к бесконечности и1 конечен, интеграл назы-
* Здесь и всюду дальше в книге, где это касается вещественного
аргумента, под символом «ор» следует понимать «4-00».
5
вается сходящимся-, если этот предел не существует или
бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Необходимый и достаточный признак сходимости та-
кого интеграла следующий. Для всякого малого е>0
существует такое число N (е) >0, что при любых
A2>A^N(®) справедливо неравенство
J f(x)dx
г
(0; 1; 2)
Необходимый и достаточный признак
абсолютной сходимости
При всяком е>0
л3
С |/(x)|rfx<e,
Ai
если А^Д> А1^> Лг(е)^>0.
(0; 1; 5)
ь
Интегралы J f{x)dx
— 00
и J f(x)dx определяются ана-
—со
Только достаточные признаки
абсолютной сходимости
логично
b	b
С /(x)dx=lim f f(x)dx,
L	^°° -IV
C f(x)dx = Нот I f(x)dx
J	Ni^oo J
-00	N.^-oo t
(0; 1; 3)
(0; 1; 4)
(пределы ATj и W2 стремятся к бесконечности независимо
друг от друга).
Интеграл J f(x)dx называется абсолютно сходя-
а
оо
щимся, если сходится интеграл J | /(х) ] dx.
а
а)	Интеграл J f (x)dx сходится абсолютно, если
а
при x'^>N'^>a, | f (x)|<;<f>(x) и ^tf>(x)dx сходится.
N
СО
б)	Интеграл ^f(x)dx сходится абсолютно, если
а
lim —1  = г>0 и С <р(х)dx сходится.
Х->оо <р (х)	£
(В обоих случаях, естественно, <р(х)—-положительная на
интервале интегрирования функция.)
Несобственный интеграл, зависящий от параметра, I (а) =
== J/(x, а)дГх называется равномер!- о-сходящимся ка
а
отрезке [а1, а2] изменения параметра а, если при всяком
малом е > 0 и любом а €[04, a2] справедливо неравенство
7
6
8
при А > N (г)^> о
(О; 1; 6)
(N зависит только от е и не зависит от а).
Определение распростаняедся и на те случаи, когда
ct2 = oo или cti =—оо или одновременно «2=00, ai =—00.
Необходимый и достаточный признак
равномерной сходимости
ОО
Интеграл J/(х, a)dx сходится равномерно на
а
отрезке [a15 а2], если при всяком малом е)>0, любом
а € [«1, а2] и любых Д2)> А1^> N(e)>0 справедливо
неравенство
2
Г f (х, a)dx
At
(0; 1;6*)
(N зависит только от е и не зависит от а).
Достаточный признак
равномерной сходимости
Интеграл J f (х, a)dx сходится равномерно на
а
отрезке [а1, апрели при любом а £ [a1, а2]« х^> N р>аг
ОО
] / (х, а) | < <р (х), и -интеграл J<f>(x)rfx сходится.
N
Свойства ра вномерно-сходя щихся
интегралов
1.	Если f(x, а) —непрерывная функция своих ар-
гументов х и а для значений хра и а б [ах, а2] и
ОО
интеграл / (а) = § f (х, a)dx сходится на отрезке
а '
[а1,а2] равномерно, то интеграл 1(a) — непрерывная
функция параметра а на этом отрезке.
2.	При выполнении условий свойства 1 интеграл
/(а) можно интегрировать по параметру а на отрезке
[«1, аг] под знаком интеграла:
а2	оо	оо	а 2
J da J /(х, a) dx— \dx § f(x, a) da (0, 1; 7)
at	а	а	ах
(если а2=оо или аг = —оо — требуется сходимость од-
ного из этих интегралов, при этом второй также будет
сходиться и будет равен первому).
3.	Если на отрезке [ab а2] f (х, а) —дифференци-
руемая функция параметра а, а производная fa(x,
а) — непрерывная функция аргументов х и а, когда
СО
х^а и a£[alt а2], интеграл J f (х, a)dx сходится
а
оо
на отрезке [als а2] и интеграл ^(а) — ^ f„\x, a)dx
а
сходится на этом отрезке равномерно, то интеграл
(а) можно дифференцировать по а на этом отрез-
ке под знаком интеграла:
8
9
/'(a)—J/(x, a)c/x==J/Дх, a)dx. (О, 1; 8)
а	а
§ 2. Интегралы, зависящие от комплексного параметра
В операционном исчислении широко используются не-
которые свойства интегралов по вещественному аргумен-
ту, зависящих от комплексного параметра. Сформулиру-
ем и докажем две основные теоремы, описывающие эти
свойства.
Теорема 1. Пусть f(t, z)—непрерывная функция
двух переменных t и z, причем вещественное переменное
t изменяется на отрезке [й, &], а комплексное переменное
z — в замкнутой области D, ограниченной контуром L.
Если для рассматриваемых значений t uz f(t, z) —регу-
лярная функция от z, то интеграл
ь
I{z) = y{t,z}dt	(0; 2; 1)
а
будет также регулярной функцией от z внутри области D
и производная I'(z) будет определяться формулой
ь
I'{z) = ^f'z(t,z)dt.	(0; 2; 2)
а
Доказательство. Запишем функцию f(/, z) при
помощи интеграла Коши (что возможно, поскольку
f(t, z) в области D и на контуре L — регулярная фупк-
10
ция от z):
f(t, z) =
1 С/(/, СИС
2nt j t, — z
L
В силу этого имеем следующее равенство:
(мы изменили порядок интегрирования, что законно, по-
скольку функция f(t, £) —непрерывная функция обоих
аргументов).
Последнее равенство показывает, что функция /(г)
представима интегралом типа Коши и, следовательно,
является регулярной функцией от z внутри области D.
Ее производная по z поэтому определяется по формуле
С* ь
zk f/(A
Г (z)= —	2---------йщ
v 2л/ J	(« —г)2
L
откуда, снова меняя порядок интегрирования, находим
Выражение в фигурных скобках под знаком интеграла в
травой части последней формулы определяет z) и
* Здесь и в дальнейшем символом §f(z)dz обозначен интеграл
|по контуру L, взятый в положительном направлении
11
поэтому
I' (<?) = [ /г (Л Z)dt
а
— этим теорема доказана.
Теорема 2. Пусть все условия предыдущей теоре-
мы выполнены не при tG [й, &], а при tz^a, и пусть, кроме
оо
того, § f (t, z) сП сходится равномерно, когда z при-
а
надлежит замкнутой области D. Тогда интеграл
©о
I (z) = j f (t, z)dt будет внутри области В регуляр-
а
ной функцией г, причем дифференцирование по z можно
и в этом случае производить под знаком интеграла:
В силу теоремы 1 члены этого ряда — регулярные в
области В функции, производные которых внутри обла-
сти В определяются по формуле
% ,
= J /2(/, Z)dt.
ап-1
Сумма ряда (0; 2; 4) равна
оо
J/(/, z)rf/ = /(z),
а
(0; 2; 6)
так как
ап
5п{г)="^ uk(z)=§ f(t, z)dt,
ОО
I f z(t, z)dt.
а
(0; 2; 3)
“fl	ОО
lim S„(z) = lim	f /(/, z)dt=<\ f (t, z)dt
n-^-oo	n->co	J	J
Л	n
Доказательство. Для доказательства возьмем
произвольную возрастающую бесконечную последова-
тельность чисел а=ао<й1<й2<...<ап<..., где lim ап=
п^-оо
= оо, и рассмотрим функциональный ряд
ОО
п = 1
(0; 2; 4)
где
= J /(Л z}di.
(0; 2; 5)
и ряд этот сходится в замкнутой области В равномерно
ОО
(в силу равномерной сходимости J f (t, z)dt). Но тог-
а
да, по теореме Вейерштрасса о равномерно сходящихся
рядах, построенных из регулярных функций, сумма этого
ряда I (г) будет регулярной функцией от z внутри обла-
сти В. Этот ряд можно будет внутри области В почленно
дифференцировать и полученный после дифференциро-
вания ряд будет также внутри области В равномерно
сходящимся. Для ряда производных имеем
Л=л	ап
= 2	= У /Ж z}dt,
й=1	а
12
13
an	,	оо
S* (z)=lim S* (z) = lim C fz{t, z}dt—\ f'z (/, z) dt.
n-^-oo	n->co J	J
a	a
Следовательно, в силу теоремы Вейерштрасса находим
окончательно
S*(z)=/'(z),
или
ОО	00
J / (Л z) л= 5 Л z)dt- (°: 2; 7)
а	а
Теорема доказана. Подчеркнем, что в силу этой тео-
ремы при выполнении ее условий интеграл в правой час-
ти формулы (0; 2; 7) всегда сходится.
§ 3. Эйлеров интеграл второго рода — функция Г(г)
Функция комплексного переменного Г (г) определяет-
ся для значений, удовлетворяющих условию Re(z)>0
следующим равенством:
оо
rW=f
е~х xz~xdx.
(0; 3; 1)
Этот интеграл называется интегралом Эйлера второ-
го рода. Для значений комплексного параметра z, опре-
деляемых неравенствами
0<^e<^Re(z) С^<оо,
(0; 3; 2)
этот несобственный интеграл удовлетворяет условиям
теорем 1 и 2 предыдущего параграфа (доказательство
этого утверждения читатель может найти в курсе «Выс-
14
шей математики» В. И. Смирнова, т. III, ч. II, гл. III,
§ 71). Поэтому Эйлерова функция Г(г)—регулярная
функция комплексного переменного z в правой полу-
плоскости и ее производная определяется формулой
е~х xz~x Inxdx,
(0; 3; 3)
получаемой дифференцированием равенства (0; 3; 1) под
знаком интеграла; при z=<l
Г' (1) — е~х lnxdx= — у,	(0; 3; 4)
6
где у = 0,5772157... •—постоянная Эйлера.
Приведем без вывода некоторые важнейшие свойства
функции Г (г) (вывод их читатель найдет в уже упомя-
нутой книге В. И. Смирнова):
1.	Г(г+1)=гГ(г).	(0; 3; 5)
2.	Г(п+1) =n! (п — целое положительное число).
(0; 3; 6)
3.	Г(г)Г(1 —z)=—.	(0; 3; 7).
sin лг
Из этих формул, в частности, следует, что
Г(1).=Г(2)=1;
4.	В точке z=0 функция Г (г) имеет простой полюс.
Аналитическое продолжение функции Г(г) в левую по-
луплоскость дает функцию, регулярную на всей плоско-
сти комплексного переменного за исключением точек
z=0, z=—1, z = —2, ..., z = —n, ..., лежащих на отрица-
15
тельной части вещественной оси, в которых Г(г) имеет
простые полюсы. Формулы (0; 3; 5) и (0; 3; 7) верны и в
левой полуплоскости.
5.	Формула (0; 3; 1) остается верной, если х — комп-
лексное переменное, а интегрирование по х производит-
ся по произвольному, уходящему на бесконечность пути,
на котором Нщ Re (х) = -фоо.
X—
§ 4.	Интеграл Фурье
Из курса математического анализа известно, что вся-
кая функция f(t), которая на отрезке [—I, Z] удовлетво-
ряет условиям Дирихле, а именно:
а)	ограничена на этом отрезке;
б)	кусочно-непрерывна на нем (имеет лишь конеч-
ное число точек разрыва непрерывности первого рода *);
в)	кусочно-монотонна (в частности, имеет лишь ко-
нечное число экстремумов) — может быть на этом отрез-
ке представлена сходящимся к ней тригонометрическим
рядом
(0:4: 1(
X лшл \	*	* J
Й=1
* Точкой неустранимого разрыва первого рода называется такая
точка /о, в которой у функции существуют конечные, но не равные
друг другу, односторонние пределы:
/(/о — О) = lira/(О, /Go + 0) = lim/(0. f (4) — °) / (4) +°) •
Разрыв первого рода называется устранимым, если в точке раз
рыва выполняются условия: f(to+O)=f(t0 — O)#=f(fo).
16
Коэффициенты ряда ак и Ьк
формулам Эйлера — Фурье
«й— -д (i) c°s -~dx
—I
bk=~Y~ J/(*)sin
-i
определяются при этом по
(6=1, 2, 3,..).
(О; 4; 2)
(fc=0, 1, 2,...),'
Напомним, что в силу теоремы Дирихле сумма ряда
(0; 4; 1) в точке t0 разрыва непрерывности функции f(f)
равна полусумме ее предельных значений слева и справа
от точки разрыва
4-{Ж-онж+о)}.
Ряд в правой части равенства (0; 4; 1) можно записать в
иной форме; внесем в него из формул (0; 4; 2) значения
коэффициентов ah и bk, подведем под знаки интегралов
k"t . k~t
cos — и sin— (что возможно, поскольку переменная ин-
4	4
тегрирования обозначена буквой т) и используем форму-
лу тригонометрии для косинуса суммы:
—I	—i
(0; 4; 3)
Если функция f(t) первоначально была определена
на интервале числовой оси, большем, чем отрезок
[—I, Л (например, на всей числовой оси), то разложения
(0; 4; 1) и (0; 4; 3) воспроизводят значения этой функ-
ции только в промежутке ( — I, /), продолжая ее на всю ос-
тальную числовую ось как периодическую функцию с пе-
риодом 21. Поэтому, если функция определена на всей
числовой оси, в формулах (0; 4; 1) или (0; 4; 3) можно
попытаться перейти к пределу при /->оо. Этот переход
к пределу сделан может быть только при выполнении
двух условий: 1. Функция f(t) удовлетворяет условиям
Дирихле на любом конечном отрезке оси оЛ 2. Функция
f(t) абсолютно интегрируема вдоль числовой оси, т. е.
+ 00
| f (/) | dt= А<Ух>.	(0; 4; 4)
—ОО
При выполнении условия (0; 4; 4) первый член правой
части равенства (0; 4; 3) при Z-+oo стремится к нулю. В
самом деле,
I	+°о
—I
I
этой показывает, что при /—»оо, — J f (x)dx —>0.
-i
Второй член правой части равенства (0; 4; 3) преоб-
разуем.
Введем обозначение t)= J /(r)cosB(Z — x}dx.
—i
Тогда, полагая	(k — 1, 2,..имеем
= J /Ncos^^dr,
—I
A^ = ^+i-^ = -7 , откуда	•
l	in
Используя эти обозначения, находим
оо	I	оо
—i
(0; 4; 5)
при I—>oo имеем д£Л=-у—>0;
+ oo
fz(£,	> J /Wcos *)dx.
—co
Что касается суммы в правой части равенства (0; 4; 5),
которая по структуре аналогична интегральной сумме,
то можно ожидать, что при 1—>оо и Д$й—*0 эта
сумма обратится в интеграл
00	00
—t)di =
Л	Л J I -> оо
/?=1	О
оо оо
—— f dl С /(r)cos£(7 — x)dx. (0; 4; 6)
Л J J
О	—оо
Это нестрогое заключение позволяет ожидать, что ес-
ли функция f(t) удовлетворяет оговоренным выше усло-
виям, то для нее будет справедливо равенство
00 -фоо
/(/)=—Cdg С /(т)созЦ/— x)dx. (0; 4; 7)
Л J J
О	—оо
При этом во всякой точке t — tQ, являющейся точкой раз-
рыва непрерывности первого рода функции f (7), значе-
18
19
ние интеграла, стоящего в правой части формулы (0; 4;
7), в силу теоремы Дирихле будет равно не f (/0)*,
а	°НЖ+0)}.
Для обоснования равенства (0; 4; 7) рассмотрим ин-
теграл
а	4-ао
/(а)=—	f /(r)cos£(/ —rjcfr,
Л J	J
О	—oo
В силу абсолютной интегрируемости функции f(t) в
этом интеграле можно изменить порядок интегрирова-
ния, после чего внутреннее интегрирование выполняется
без труда:
4~оо	а
/(а) = — f/(r)rfr fcose(/-r)rfB =
л J	J
— оо	О
4-оо
1 р ,, ,sina(^ —т)
—	/(т)-------7—
•ГС J	t —— т
— оо
dx.
В последнем интеграле положцм а(/ —т) = —«. Инте-
грал преобразуется к виду
sin и
и
dti.
* Впрочем значение /Д) в самой точке разрыва непрерывности
f=fo может быть и не определено.
20
Разобьем полученный интеграл на два (от —оо до
нуля и от нуля до +оо) и в первом из них заменим и на
—и\
Устремим а к бесконечности:
оо
lim 7(<х)-=—lim	+—
a->oo	Л a-> oo J (	\ Ct j \ a I j U
0
Можно строго доказать, что в данном случае возмо-
жен переход к пределу под знаком интеграла, в силу
чего предыдущее равенство примет вид
00
lim/(a) = — ( lim \f[t+	^JLdu==
a^oo	Я J a-> oo I \ a j \ a / U
0	'
oo
л J	u
0
___/ (^ — 0) + /Д + 0) (* sinn
Л	J U
о
dii.
21
00
Ho	= — . Поэтому находим окончательно
Ju	2
о
lim/(a)=— f rf? f /(t)cos$(/ — x}dx =
a.->oo	JT J J
__ / (^ — 0) + / (^ + 0)	/Q. 4. g)
2	'	k
(В точках непрерывности функции f(t) правая часть об-
ращается в f (/).)
Тем самым доказана справедливость формулы (0; 4;
7). Эта формула называется интегральной формулой
Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегра-
лом Фурье. Интеграл Фурье можно преобразовать к дру-
гим формам:
4-00
а)	так как j _£(r)cos — x}dx является четной функ-
цией аргумента £, то
j di J /(t)cos$(/ — x}dx =
0	—00
=-i- J di J /(t)cos£— x)dx.
—co —00
Поэтому интеграл Фурье можно записать так:
/(/) = — С di Г у (t)cos$(7 — x)dx\	(0; 4; 9'
2л J J
+ ОО
б)	так как J /(r)sin$(/ — x)dx является нечетной
функцией аргумента $, то
+ оо 4-оо
J di J /(r)sin£(7 —т)б/т —0.
— СО	—оо
Запишем равенство
4-со	4-оо
0==2л	/(r)sin^ — x)dx
— СО	—со
и, умножив его на мнимую единицу i, прибавим почлен-
но к равенству (0; 4; 9); найдем
4-со	4-со
J J Лт){С08ф —	т)} dx,
— 00	—00
или в силу формулы Эйлера (eix —cosx-|-7siii х) находим
4-oo 4-oo
f di f <<-T> f (r) dx =
J J
— co —co
4-co	4- co
I eii‘d* j* e~K'fWdx- (°; 4> io)
—co	—00
Это—’Интеграл Фурье в комплексной форме.
22
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1.	Преобразование интеграла Фурье
В операционном исчислении рассматривается класс
функций (их называют «изображаемыми по Лапласу»,
просто «изображаемыми» или «оригиналами»), кото-
рые удовлетворяют следующим трем условиям.
1.	При отрицательных значениях аргумента соответ-
ствующая функция тождественно равна нулю, т. е.
f(t) = 0 при /<0.
2.	При положительных значениях аргумента порядок
роста абсолютных значений функций при возрастании ар-
гумента не превосходит порядка роста некоторой пока-
зательной функции
I /V)! 'С Me°at при />0.
(Здесь М и оо постоянные, М>0, оо^О.)
3.	На любом конечном отрезке положительной полу-
оси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле.
Примечание. Выбор этих условий связан с рядом причин.
1. В класс рассматриваемых функций должны попасть все функ-
ции, получаемые в качестве частных решений линейных неоднород-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
в правой части которых стоят функции того же класса при произ-
вольных начальных условиях, заданных для некоторого начального
значения аргумента, за которое всегда можно принять значение
24
/=0; это позволяет наложить условие 1, поскольку поведение иско-
мого решения нужно знать лишь для значений аргумента, больших
(более поздних) начального, а также и второе, поскольку для реше-
ний линейных дифференциальных уравнений рассматриваемого вида
оно всегда будет выполнено автоматически.
2. Ко всем функциям рассматриваемого класса нужно иметь воз-
можность применять преобразованный интеграл Фурье. Это, при вы-
полнении условия 2, снова требует наложения условия 1 (чтобы
функция? (/) = е ~~<lt f(f), где <т>Оо, при всяком <т0 была абсолютно
интегрируема вдоль всей осн at, включая ее отрицательную часть)
и условия 3.
К функции f((), удовлетворяющей трем перечислен-
ным условиям, нельзя применить формулу Фурье (0; 4;
10), поскольку эта функция не является абсолютно инте-
грируемой вдоль всей оси 0t. Но если ввести вспомога-
тельную функцию <р((), положив
?(/)=r’W),	(1; I; 1)
где o^oi>Oo, то эта функция ф(() будет абсолютно ин-
тегрируемой вдоль всей оси 0t и, следовательно, к ней
можно применить формулу (0; 4; 10). В самом деле,
J 1?да*=7|<р(*)|Л
—со	О
(так как <р(/) =0 при /<0).
Используя условие 2, находим далее
б	о
ос
М ^e-ate^dt=-^—
J	а —а0
0
(1; 1; 2)
25
что и доказывает абсолютную интегрируемость функции
ф(/). Поэтому по формуле (0; 4; 10) имеем
4-00	4-00
«>(/)=—!— ( e^di f e~l^<f(r)dr =
2л J J
—оо	— оо
4-оо	оо
е1& di J е-'£т5р(т)с/т
— оо	О
1
2л t
(поскольку ф(£) sO при /<0).
Заменяя в этом равенстве функцию ф(£) ее выраже-
нием из равенства (1; 1; 1) и умножая левую и правую
части на еа(, приходим к следующему равенству для ис-
ходной функции
/(/) = -^—J erJ di^ е~'г'е~”/(г) dr.
— оо	О
Подведем множитель еа<
(поскольку он не зависит
£ит):
под знак внешнего интеграла
от переменных интегрирования
(j e(°+W ‘dtje-W^f^d-t.
—оо	О
Наконец, положим = когда о остается постоян-
ным, а | изменяется от —сю до 4-оо, s изменяется от
а—too до o+ioo, пробегая в комплексной плоскости s
прямую Re(s)=o, параллельную мнимой оси. Так как
на этой прямой ds = id£, то при такой замене предыду-
26
щая формула принимает окончательный вид
<34-Zoo	оо
— J estds ^e~sxf(r)dx —	(1; 1; 3)
<з—too	О
это преобразованный интеграл Фурье.
В формуле (1; 1; 3)
интеграл Фурье при-
меним ко всякому «ори-
гиналу», т. е. ко всякой
функции, удовлетворя-
ющей трем условиям,
перечисленным в нача-
ле этого параграфа.
Внешний интеграл
по комплексному аргу-
менту 5 в правой части
формулы (1; 1; 3), как
было указано, берется
вдоль прямой Re(s) =
— ст, параллельной мни-
мой оси и лежащей
справа от прямой
Re(5)=oo, поскольку
<т^о'>оо (рис. 1).
§ 2. Оригинал и изображение, связь между ними
Выделим в преобразованном интеграле Фурье (фор-
мула (1; 1; 3) предыдущего параграфа) его внутренний
и внешний интегралы. Поскольку внутренний интеграл
зависит от комплексного параметра s, он будет функци-
27
ей комплексного переменного s, для которой мы введем
обозначение f(s). Итак,
СО
(1; 2; 1)
6
(поскольку обозначение переменной интегрирования
теперь уже роли не играет, мы ее обозначили через I).
Внося в формулу (1; 1; 3) принятое обозначение внут-
реннего интеграла (1; 2; 1), приводим преобразованный
интеграл Фурье к виду
аЦ-Zoo
J eStf^ds- (1:2;2)
ff—/со
Формула (1; 2; 1) осуществляет так называемое интег-
ральное преобразование Лапласа функции f(t), сопо-
ставляя всякому «оригиналу» f(t) некоторую функцию
комплексного переменного f(s). Эта функция f(s) назы-
вается «Лапласовым изображением'», или просто «изоб-
ражением» данного оригинала. Тот факт, что функция
комплексного переменного f(s) является «изображени-
ем» функции вещественного аргумента f(t) (ее «ориги-
нала»), в операционном исчислении обозначается одним
из символов
777)=7(0»или 777или 77*7= l{/(/)}.
В дальнейшем будем придерживаться первого из этих
обозначений. Формула (1; 2; 2), в которую превратился
преобразованный интеграл Фурье, позволяет восстано-
вить «оригинал» по его известному «изображению» и на-
зывается интегралом Римана — Меллина, или формулой
обращения.
28
Таким образом, обе эти формулы вместе устанавли-
вают прямую и обратную связь между двумя функциями:
функцией вещественного переменного f(f) («оригина-
лом») и функцией комплексного переменного f(s)
(«изображением» этого оригинала).
Свойства изображения f(s)
Если функция вещественного аргумента f(t) является
оригиналом, т. е. удовлетворяет трем условиям изобра-
жаемое™ по Лапласу, перечисленным в начале § 1 этой
главы, то интеграл Лапласа, стоящий в правой части
формулы (1; 2; 1) при значениях переменного s, удов-
летворяющих условию Re(s) =<т^О]>(То, сходится абсо-
лютно и равномерно; это следует из оценки
СО	оо
6	6
<	.	(1; 2; 3)
.1
о
Так как при этом подынтегральная функция интеграла
Лапласа в этой области плоскости s является регулярной
функцией комплексного переменного s, то в силу теоре-
мы 2, § 2 введения функция f(s), определяемая интегра-
лом Лапласа, сама в этой области будет регулярной и,
кроме того, ее производные можно находить, выполняя
дифференцирование по s под знаком интеграла. Под-
черкнем, что в силу этого, все особые точки функции f(s)
лежат слева от прямой Re (s) = сто-
29
Теорема. Если функция вещественного аргумента
f(t) является «оригиналом», то интеграл Лапласа со-
поставляет ей в качестве ее «изображения» единствен-
ную функцию комплексного переменного f(s), которая
является регулярной функцией от s в полуплоскости
Re(s)>o0-	____
По своему изображению f(s) оригинал может быть
восстановлен по формуле обращения (1; 2; 2), причем в
точках разрыва непрерывности оригинала его значения,
определяемые формулой обращения, окажутся равными
полусумме предельных значений оригинала слева и спра-
ва от точки разрыва^-^-	+ с учетом
этого обстоятельства можно утверждать, что связь меж-
ду оригиналом и изображением взаимно однозначна,
иными словами, не только каждому оригиналу соответ-
ствует единственное изображение, но и каждому изоб-
ражению— единственный оригинал.
В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким
условиям должна удовлетворять функция комплексного
переменного f (s), чтобы .ее можно было принять за
изображение'некоторого оригинала f(t). Ответом на этот
вопрос служит следующая теорема обращения. Пусть
функция комплексного переменного f(s) удовлетворяет
следующим трем условиям:
1)	она регулярна в правой полуплоскости s, опреде-
ляемой неравенством Re(s)>a0;	___
2)	в этой полуплоскости функция f(s) равномерно
стремится к нулю, когда s стремится к бесконечности,
т. е. при всяком малом е>0 можно указать такое боль-
шое 2?=Р(е), что |/(s) | <8 при |s| >Д(е), если Re(s)
^О1>0о;
3)	функция f(s) абсолютно интегрируема вдоль вся-
кой прямой, параллельной мнимой оси, лежащей в полу-
глоскости Re(s) ^О|>о0, т. е.
o-f-Zoo	4-00
J IWl|rfs|= j 1/(° + «|^=А<оо.
О—Zoo	— 00
При выполнении этих условий функция f(s) является
изображением оригинала, которым служит функция ве-
щественного аргумента f(t), определяемая по f(s) при
томощи формулы обращения
а4- Zoo
/(0 = ~ J estf&ds, (1; 2; 2)
а— Zoo
где путь интегрирования — любая прямая, параллель-
ная мнимой оси, лежащая в полуплоскости Re(s)^o1>
><Jo-
Для доказательства этой теоремы надо доказать спра-
ведливость следующих четырех положений:
1.	Интеграл Римана — Меллина, стоящий в правой
части формулы (1; 2; 2), не зависит от выбора о, лишь
бы С^О|>Оо.
2.	Функция f(f), определяемая формулой (1; 2; 2),
удовлетворяет первому условию изображаемости: при
3.	Функция f(t) удовлетворяет также и второму ус-
ловию изображаемости: при
4.	Функция f(t), определяемая формулой (1; 2; 2),
действительно имеет своим изображением функцию f(s).
Переходим к доказательству этих утверждений.
30
31
1.	Для доказательства независимости интеграла Ри-
мана— Медлина от выбора о рассмотрим интеграл от
той же подынтегральной функции, взятый по перимет-
ру Г прямоугольника (рис. 2), образованного дву-
мя прямыми, параллельными мнимой оси плоскости s
[Re (s)=a1>a0 и Re(s)=a2^>sj, и двумя прямыми, па-
раллельными вещественной оси (frn(s) = ± R).
Интеграл по этому замкнутому контуру будет равен
нулю в силу теоремы Коши, так как внутри его и на нем
подынтегральная функция регулярна. Итак,
$>estf(s)ds~ J estf(s)ds-\- J estf(s)ds-\-
Г	a2— IR	a2+z/?
Ci—IR _____ ^—IR _________
+ J estf(s)ds-\- J estf(s) ds = 0.
Vt+IR	°i—iR
Произведем оценку второго слагаемого: в силу 2-го
условия, которому удовлетворяет функция f(s), каково
бы ни было малое е>0, при достаточно большом R, бу-
дем иметь (s) | <е на соответствующем отрезке прямой
Im(s) =R. Поэтому
__	а2
J eslf(s)ds < jl^||/(s)|^<
а2+/Я	ах
< J eatzda (a2 — aj
(так как в силу условия о1<о2>	при при
t<0 в оценку вошел бы член е^‘).
32
Эта оценка показывает, что
»,+//? _____
lim С es//(s)ds==0.
/?->00 J _
О о Z $
Аналогичную оценку имеет и четвертое слагаемое.
Но тогда, переходя к пределу при	находим
са + /со 	ах—/оо
j es</(s)^s+ j estf(s)ds=0,
oa—/оо	о,4- /со
ИЛИ
в; 4- /оо _ о, 4-/ оо
estf(s}ds — j estf(s)ds.
os—/оо	о,—/со
Таким образом, первое утверждение доказано.
2.	Для доказательства второго утверждения рассмот-
рим estf(s)ds, где контур Г (рис. 3) состоит из прямой
г
2—3209
33
Re(s) =<j^<ji>oq (здесь всегда можно полагать, что
<7>0, поскольку выбор о, по доказанному, роли не игра-
ет) и опирающейся на эту прямую и лежащей справа от
нее дуги CR окружности радиуса R с центром в нулевой
Рис 3
точке. Этот интеграл также равен нулю, так как внутри
контура Г и на нем подынтегральная функция всюду ре-
гулярна. Итак,
«	__ ___________ if	___
§esi /(s)^ = Je57(s)rfs+ J estf(s)ds=Q (1; 2; 4)
r	c%	a+'p
(через	±p	обозначены	ординаты точек	пересечения дуги
CR с прямой Re(.s) =о).
Оценим интеграл по дуге С%; на этой дуге имеем
s = Rez,f = R (cos ср —j- Z sin ср); ds ~ R e’4 it?.
34
Угол ф меняется от значения —------ка в нижнем кон-
2
це дуги (в точке а— гр) до значения —а в верхнем
конце дуги (в точке
В силу 2-го условия, которому удовлетворяет функ-
ция f(s), каково бы ни было малое s>0, можно выбрать
R настолько большим, чтобы | f (s) |<е всюду на дуге Сд.
Но тогда имеем
eRt (cos <н I sin “>) / (s) Rie^dy
CR
I g/г/(cos Ж sin т) 11 / (s) I< 2/?e f e/?Zcosf//<f><
2
<2/?e eRt ‘°8’’dtp
6
(поскольку | eRt (cos f+z Sin т) | ~-=eRt cos ?, и функция eRi cos
четная).
Положим в последнем интеграле —ф; получим
2
е₽/ со»?^
ТС
2
eRt ,ln
2*
35
Мы приходим к оценке
est /(s) ds
2
< 2А?е e^sin 4-^.
6
(1; 2; 5)
Но при 0<Ф < у- имеем
-i . sin<b . 2	..2
1 > ——	, откуда sin ф > — ф.
ф n	л
Поэтому при t<0 будут 'справедливы следующие не-
равенства:
9	2
A Rt!i	_ — т?|ф
Rt sin ф —/?/ф, eRt sln	=е
в силу чего
\ eRt sln + (/ф I е * dty =-------[1 — е
о	о
Оценка (1; 2; 5) примет вид
I f е“ T(s) ds | < 2/?e -5- (1 - e-^in) .
IJ J k	2R\tV	HI
CR
Эта оценка показывает, что lim 1 e3lf(s)ds=0 (при t<^
<0), в силу чего (см. 1; 2; 4)
сг-J-Zp __ «4-Zoo ________
lim C estf(s}ds= C estf (s) ds~Q, если /<0.
aJfoo
36
Итак, мы доказали, что при /<0, f (Z) =0.
3.	Докажем, что функция f(t), определяемая форму-
лой обращения (1; 2; 2), при t>0 удовлетворяет оценке

В силу 3-го условия, которому удовлетворяет функция
f(s), имеем
J | f (s)| | ds | =	+	=
Но тогда
1/(01= Л f estf(s)ds f |^||/«|rfs| =
f e’'|/(s)||ds|=^ f |/(s)||rfs| </ е°*=Ме°»
J	2л J	2Л
a—/co
c—zoo
Поскольку же выбор о произволен и о можно взять
равным 0|(о^0|>оо), приходим к оценке
|/(01 < Ме^.
(1; 2; 6)
___4. Докажем, что при оговоренных условиях функция
f(s) является изображением оригинала /(/), определяе-
мого по ней формулой обращения (1; 2; 2), т. е., что
/ (s) == I e~stf (0'di, где Re (s)=a>e1>a<. (1; 2; 7)
37
Внесем под знак интеграла в формулу (1; 2; 7) значение
f(t), определяемое формулой (1; 2; 2)
0J+/00
J dt=
1 j e^t f(q)dq dt
2ni о*-/»
(здесь через q обозначена переменная интегрирования в
формуле (1; 2; 2), чтобы отличить эту переменную от па-
раметра s внешнего интеграла, причем будем считать,
1	’’Ч*' '	*	-МИД —
что Re(s)=a_> a1=Re(7)>a1>a0).
В правой части последнего равенства порядок интег-
рирования можно изменить:
\e~st f (f} dt ==
*
Gj + ГСО
f (q'>dq . (1; 2; 8)
s-q
Здесь
dt-S—., так KaK Re(<7)=aJ, Re(s) = s>4
о
и поэтому Re(s —^)=s —a*i>Q.
Рассмотрим теперь интеграл
38
где контур Гд (рис. 4) составлен из отрезка прямой
Re(<7)=oi* и опирающейся на эту прямую и лежащей
справа от нее дуги CR окружности радиуса R с центром
в нулевой точке. Поскольку можно считать, что при дос-
таточно большом R точка
q = s лежит внутри контура
Гд (в силу условия Re(s) =
= о><Т|*>Оо), этот интеграл
является интегралом Коши
для функции f(q), регулярной
внутри контура Гд и на нем, и
поэтому равен значению функ-
ции f (q) в точке q = s, или
2; 9)
<7 —s
Это же равенство сохранится
и в пределе при iR->oo.
С другой стороны, имеем
1 ф / (?) аЧ
2ш J q — s
1 С / (?) dq
2шJ q — s
CR
(1; 2; 10)
(здесь через ±р обозначены ординаты точек пересече-
ния прямой Re (7)=si с дугой окружности Сд). Нетруд-
но показать, что Игл ф dt} = 0. В самом деле, ка-
J q _ $
CR
ково бы ни было малое 8>0, R можно выбрать настоль-
ко большим, чтобы всюду на дуге CR удовлетворялось не-
39
равенство |f(<y) |<е (см. 2-е условие, наложенное на
функцию f(s)). Но тогда имеем оценку
/ (?) dg
J q-s
'"R
E
^\f(q)\\dq\
1 \ q — s\
CR
e \dq\
R—\s\
{C$}.
Здесь использована оценка
I q-s\>\q 1--1 s|=/?- I si,
и в силу этого
1 1
I q — s I R — | s I
Через L{Cr} обозначена длина дуги CR, очевидно,
L{CR} <2nR, поэтому предыдущая оценка приводится к
виду
I Р у	2эт/?е __ 2зте
I J q •— s < R Is I , Is I
откуда и следует, что
lim f / <£>/.£ =0.	(1; 2; 11)
/?->оо J q — s
CR
Переходя в равенстве (1; 2; 9) к пределу при R-^-oo и ис-
пользуя равенство (1; 2; 10), находим
/(S)=J- lim f
2ni r-юо J q ~s
_Liim
2л/ r-к» J q — s
CR
40
=₽	ч» .
Oj —/р	zoo
C f(4}dq 1 r f {q)dq 
2л/ £->co J q — 5	2л/ J q — s
<?J 4-/p	014-/00
*
<71+ /ОО
= _L C TT^dq .
2nz J s — q
* >
Oj— joo
Сопоставляя этот результат с равенством (1; 2; 8),
находим окончательно
7W = J
что и завершает доказательство как 4-го из перечислен-
ных утверждений, так и, следовательно, самой сформули-
рованной теоремы.
Итак, при выполнении оговоренных условий функция
комплексного переменного f(s) может рассматриваться
как изображение оригинала f(t), определяемого по ней
при помощи формулы обращения (1; 2; 2)
a-j-Zoo
/(0=i J estTW)ds, (1; 2; 2)
где путь интегрирования — прямая, параллельная мни-
мой оси и проходящая справа от всех особых точек функ-
ции f (s).
//(С == fj(s) 2,..k) следует соотношение
j-ъ	j-* _______
(2; 1;3)
>1	j-i
где С, = const.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1.	Линейные свойства преобразования Лапласа
Из линейных свойств определенного интеграла, оста-
ющихся справедливыми и для несобственных интегралов,
в частности и для интеграла Лапласа, вытекают следую-
щие следствия в отношении преобразования Лапласа.
1.	При умножении на постоянный множитель ориги-
нала изображение также умножается на этот множи-
тель, т. е. из соотношения	следует соотноше-
ние
(2; 1; 1)
где C=const.
2.	Сумме оригиналов в качестве их изображения со-
ответствует сумма их изображений, т. е. из соотношений
/1(С = /1 (8), /2 (С = /г($) следует соотношение
ЛМ+Л(^)=/1(8)+/2(8)-	(2; 1; 2)
Из приведенных двух предложений вытекает как след-
ствие третье.
3.	Любой линейной комбинации оригиналов в каче-
стве их изображения соответствует такая же линейная
комбинация их изображений, т. е. из соотношений
§ 2.	Теоремы дифференцирования и интегрирования
оригинала и изображения
Дифференцирование оригинала
Допустим, что оригинал f(t)—'Дифференцируемая
функция и его производная f'(t) также является ориги-
налом, причем
I /(СК МеК 1 f (С К^е ° при />0. Пусть /(С=
= /(4 /'(С =/Д4 ______ ______
Найдем связь между f (s) и Д (s). Имеем
/1(8) e~stf (t)dt.
о
Выберем здесь s так, чтобы одновременно выполнялись
неравенства Re (s)>a0, Re (s)>oo. Выполняя в правой
части интегрирование по частям, причем u = e~st,
dv = f (t)dt, находим
/К)=/ (С	+ Л e~stf (/) di =
0 О
оо	____
= -/(0)4-sje-^/(C^=-/(0)4-s7F)
о
43
42
(в силу условий I f (t) I < Ме^‘, Re (s)=o > ax> а0, поэ-
тому lim e~st /(0=0). Таким образом, мы получили еле-
/-*00
дующий результат: из соотношения f (t) f (s) следует
соотношение
/'W = s/(s)-/(O)	(2; 2; 1)
(при условии, что f'(t) также является оригиналом).
Предполагая, что оригинал f(f) дифференцируем п
раз и что f(n)(t) также является оригиналом, методом
индукции из формулы (2; 2; 1) получим следующий ре-
зультат: из соотношения f (t) ==f(s) следует соотношение
/<") (/)=s« 77?) - {s"-7 (0)+S"-2/' (0)+...+/(«-»> (0)}
(2; 2; 2)
Интегрирование оригинала
Убедимся прежде всего в том, что если f(t)—ори-
гинал, то оригиналом будет служить и <р(/)	/(т)«?г.
Очевидно, для функции (р (0 первое и третье условия
изображаемое™ (см. гл. 1) выполняются автоматически:
1) при /<0, <p(Z)=O, 2) интеграл от кусочно-монотонной
и кусочно-непрерывной функции сам будет функцией ку-
сочно-монотонной и непрерывной. Остается доказать вы-
полнение 2-го условия.
Из оценки | / (/)| < Л4еа^ следует, что
о
dx
< J|/(r)|rfT<
о
44
t
< 7И Г =—Де’0*—1].
J	°о
о
Отсюда находим:
а)приоо>О |<р(0|<—
°о
б) при а0<0 |?(С1<-^7
I °о I
(если оо = 0, заменяем его большим числом и использу-
ем оценку а). Полученные оценки показывают, что выска-
занное утверждение справедливо: интеграл от оригинала
также является оригиналом.
Найдем теперь изображение функции <р(/)= J f(x)dx.
________________________________________ о
Так как /(/) = /(/), то, полагая <р (/)=:?(s), по фор-
муле (2; 2; 1) находим связь между <p(s) и f (s):
/(s) = s^)-<f>(O) = s<f>(s)
(ср (0)=0). Отсюда
^sj=: А-ТТ?).
Мы пришли к следующему результату: из соотношения
следует
/(т)</т = ±7Я	(2; 2; 3)
S
45
Дифференцирование изображения
В главе 1, § 2, говоря о свойствах изображения, было
установлено, что изображение является регулярной функ-
цией комплексного переменного s в полуплоскости
Re(s) =<j^oi>oo и что в этой полуплоскости дифферен-
цирование изображения можно выполнять под знаком
интеграла Лапласа. Поэтому из равенства
do
/(s) = e~st f (t)dt следует
b
= J e~st (- tyf (/) dt.
ds" о
Но в правой части мы имеем изображение функции
( —	которая является оригиналом, если оригина-
лом будет f(f). Таким образом, приходим к следующему
результату: из соотношения f(t)===f(s) следует
(2; 2; 4)
Интегрирование изображения
Допустим, что оригинал /(/) удовлетворяет условию
|	<^А при /—нетрудно убедиться, что в этом
случае функция - также будет оригиналом. В самом
деле, при этих условиях на [0; 1] функция
будет ограниченной (I^-^-1 а при t^> 1 будет
46
справедлива оценка
/(О
t

Остальные два условия изображаемое™ в проверке
не нуждаются. Полагая условие j < Д при i —*
выполненным, проинтегрируем равенство
00
/ (») = J e~slf(t)dt
о
по переменной s вдоль любого пути, лежащего в полу-
плоскости Re(s)^Oi>r>0 от произвольной точки s до оо
(причем Re($)->+<х>)
00	00 оо
Г J^s)ds= f ds f e~stf(t)di.
S	S Ь
Меняя порядок интегрирования в правой части, находим
j f (s)ds=^ f (t) dt J e~sids =
s	Os
Поскольку последний интеграл в предыдущем равенстве
равномерно сходящийся (ибо он определяет изображе-
ние оригинала изменение порядка интегрирования
было законно (см. примечание к формуле (0; 1; 7) § 1
47
Введения). Полученный результат можно формулиро-
вать в следующем виде: если
/(О
t
<4 А при /—*4*0 е. если функция
оригинал), то из соотношения /(/)zr/(s) следует со-
отношение
ОО
/ 7. J f (s) cis.
s
(2; 2; 5)
§ 3. Теоремы смещения и запаздывания
Теорема смещения
Если функция f(t) является оригиналом, то при лю-
бом вещественном или комплексном а оригиналом будет
являться и функция е”4 f (t), так как из оценки |/(/)|<
.Me" °* гытекает
|ea7(/)|<2Wel°,1+R'(’)’i при />0.
Найдем изображение этой функции
e^f (i) =: 'f e~sie^f (/) dt = 'f e~(s~"}t f (t) di.
о	6
Интеграл в правой части последнего равенства отличает-
ся от интеграла Лапласа, определяющего изображение
f(s)±zf(O лишь тем, что в последнем аргумент изобра-
жения s заменен на s—а. Таким образом, полученный
результат можно формулировать в следующем виде: из
соотношения f(t) ^f(s) следует соотношение
(2; 3; 1)
48
т. е. при умножении оригинала на е** в плоскости изо-
бражения происходит смещение аргумента на вектор а
(рис. 5), что и объясняет наименование данной теоремы
(мы пользуемся в данном случае изображением комп-
лексных чисел векторами).
Рис. 5
Теорема запаздывания
Введем предварительно понятие единичной функции.
Единичной функцией, для которой мы примем обозначе-
ние u(t), называется функция, определяемая следующим
образом:
«(/)=! при />0, |	(2; 3; 2)
и (/) = 0 при t <0. J
Функцию u(t—г), где т — положительная постоянная,
которая в силу равенств (2; 3; 2) будет иметь значения:
u(t — т)=1 при />т, )	р, д. з)
«(/ —т)=0 при /
49
называют единичной функцией запаздывающего аргу-
мента. Графики функций u(t) и u(t—т) изображены на
рис. 6.
Найдем изображение «запаздывающего» оригинала.
Имеем
/(/ —t)=:J e~stf (/ —т)di.
В интеграле, стоящем справа, подынтегральная функция
равна нулю при /<т, так как для таких f, имеем
Рис. 6
Рис. 7
Для любого оригинала f(t) можно построить соответ-
ствующую функцию запаздывающего аргумента
полагая
/,(/) = /(/-т).	(2; 3; 4)
Функция, определяемая равенством (2; 3; 4), равна ну-
лю при /<т и принимает те же значения, что и функция
f(t), но на т единиц аргумента «позднее»: ее график по-
лучается из графика функции f(t) сдвигом вдоль оси t
на т единиц вправо (рис. 7).
/(/—т)=0. В силу этого предыдущее равенство приво-
дится к виду
J e~st f (Z-т) di.
Заменим переменную интегрирования в последнем ин-
теграле, полагая t—x = ti; найдем, поскольку dt = dt[, а
пределы интегрирования станут 0 и оо
50
51
=e-«f e“^*/(/1) dtl = e~sx
где, как всегда, через f(s) обозначено изображение ори-
гинала/(0- Таким образом, из соотношения
следует соотношение
/(/-T)=Le-"/(s)-	(2; 3; 5)
§ 4. Теоремы свертывания
«Сверткой» двух функций вещественного аргумента
fi (0 и МО называется третья функция F(t), определяе-
мая следующим образом:
(2; 4; 1)
Совершая в интеграле справа замену переменной инте-
грирования по формуле т== Z— Ti, нетрудно убедиться,
что от перестановки функций fi(t) и МО их свертка не
изменяется:
f Л(т) f2(t - '}dx = f /х^-МЛ^хМП- (2; 4; 2)
о	6
Покажем, что свертка двух оригиналов ib свою очередь
будет оригиналом. Первое условие изображаемости для
свертки двух оригиналов выполнено всегда: F(0=0 при
t<Q, поскольку в этом случае в интервале интегрирова-
ния ZsCrsCO и поэтому обе подынтегральные функции
равны нулю. Проверим выполнение второго условия.
Пусть оригиналы fi(t) и МО имеют при i>0 оценки
1/xWKMx/0'; \Ш\<М2е0< .
Усилим одно из этих неравенств, заменяя меньшее из
чисел о'о и о"0 большим из них (обозначим его через оо)
<з0=тах [а0, <зо],
После этого находим следующую оценку F(t):
t
</И1М2 j
dx =
< Jl/i (т)||/г(/-т)|й
О
j dt =	t
о
(поскольку при £>0 /<£')• Эта оценка показывает, что
свертка двух оригиналов в свою очередь будет оригина-
лом, поскольку третье условие (выполнение условий Ди-
рихле) для свертки будет выполнено всегда, ибо интеграл
от произведения кусочно-монотонных функций, имеющих
конечное число точек разрыва на интервале интегрирова-
ния, будет функцией непрерывной и кусочно-монотонной.
Теорема свертывания оригиналов
Докажем, что изображением свертки двух оригиналов
служит произведение их изображений, т. е. что из соот-
ношений
Л (0 = ЛОО
52
53
следует соотношение
( А(т)Л(/ - г)Л =	(2; 4; 3)
Для доказательства запишем изображение свертки через
интеграл Лапласа
о	оо
Меняя в правой части порядок интегрирования (что воз-
можно, так как интеграл Лапласа абсолютно и равно-
мерно сходится), находим
СО	t
§ e~sldt /i(r)/2(/ —r)di =
о о
= С dr С e~st ff —x)dt. (2; 4; 4)
tf г
Для пояснения расстановки пределов при перемене
порядка интегрирования воспользуемся рис. 8. Интеграл
в левой части равенства ('2; 4; 4) можно рассматривать
как повторный, полученный при расстановке пределов в
следующем двойном интеграле:
/ =	^7i(T)/2(/-r)d/dT,
(О)
где областью интегрирования служит часть плоскости
tor, ограниченная положительной полуосью ot и бис-
сектрисой первого координатного угла x = t (на рис. 8 об-
ласть D заштрихована). Но тогда изменение порядка
интегрирования приводит как раз к интегралу, стоящему
в правой части равенства (2; 4; 4).
Итак,
°°^e-stdt А(т)/2(/ —i)dt =
о о
= f /1 (т) dr ( e~st f — х) dt
'о
Рис. 8
(множитель [1(т), не зависящий от t, можно вынести из-
под знака внутреннего интеграла правой части).
Совершим теперь во внутреннем интеграле правой
части замену переменной, полагая t — x=t\, тогда, по-
скольку dt = dt{, при / = Т1 Л = 0, при t = oo /i = oo, найдем
54
55
00	00
6	0
= J ^-ет/1 (t) di f
о	0
(здесь снова вынесен множитель e~sz, не зависящий от
/1, из-под знака внутреннего интеграла). В правой части
последнего равенства получено произведение интегралов
Последнее утверждение вытекает из следующих оце-
нок: если при
V
lAWK^i* ,
“o'
1АЛ1=<^ ,
'10
(’о+’о)'
I^HAAAWK^m/ (2; 4; 6)
Для изображения F (s) оригинала F (/) = A W А (О
имеем
00
/1(*) = У	di и
о
оо
/2 (s) = J е stlf 2 (^1) di\.
^АЛЛА dt,
(2; 4; 7)
Итак,
J e~sidt J /1(т)/2(/ - т) di —	(s)-/2 (s). (2; 4; 5)
о 0
где Re (s) = 5 > аа > а04-а0.
Тем самым доказано, что изображение свертки двух ори-
гиналов равно произведению их изображений:
Под знаком интеграла Лапласа в правой части равенства
(2; 4; 7) заменим оригинал f2(0 его выражением по фор-
муле обращения
У AM	(2; 4; 3)
<3*+/оо
А(0=^. f epif^P}dp,
2Ш J
<3*— I ОО
(2; 4; 8)
Теорема свертывания изображений
где
Найдем
А(Р)=АЛ и Re (/>) = -* >оо.
Найдем изображение произведения двух оригиналов.
Предварительно заметим, что произведение двух ориги-
налов всегда в свою очередь является оригиналом.
00
AF)=Л f ^fi^di f eptf^p)dp.
2Я1 J	J
0	a*-—
56
57
Изменяя в правой части последнего равенства порядок
интегрирования (что возможно в силу равномерной схо-
димости обоих интегралов), находим
а*-|~/оо	00
7ф)=— f	(2; 4; 9)
2tu J	J
i оо	0
Если принять Re(s—/?) = з —a*^>a0, что допустимо,
поскольку при этом и подавно будет выпол -е ю тре-
буемое для а нера енство
о > г0-фо* > r0-j-a0,
ТО
Совершая в формуле (2; 4; 10) замену переменной ин-
тегрирования по формулам
S—p = q, Re(9) = a** = a — a* >
преобразуем формулу (2; 4; 10) к виду
0**4 ZOO
f 7dq)fAs-q)dq- (2; 4; 10*)
a**—zoo
Это показывает, что свертка изображений, так же как
и свертка оригиналов, обладает свойством симметрии.
Формулы (2; 4; 10) и (2; 4; 10*) и составляют содержа-
ние теоремы свертывания изображений.
7, (/) rZ/=A(s-^,
о
§ 5. Теорема подобия, теоремы о связи начальных
и конечных значений оригинала и изображения
1 де, как всегда, через fi(s) обозначено изображение ори-
гинала Л (0- Но тогда равенство (2; 4; 9) приведется к
виду
о* 4- Zoo
^А)=^ f	dp,
2Ш J
a*—/со
или
0*4- Zoo
Л(А'ЛМ = ^ j Ms-p'jfJ^dp. (2; 4; 10)
0*—JOO
Здесь
Re(p) = a*> ao, Re(s —p) = <3 — a* > a0.
Теорема подобия
Если функция f(t) является .оригиналом, то оригина-
лом будет и функция f (at) при произвольном веществен-
ном а>0.
Найдем изображение функции /(а/), полагая, как
всегда, /(Z)== /($). Имеем
ОО
/(а/)4 J e~stf(at) dt.
о
Здесь, исходя из оценок | f (/)] < Л4е’«/, | f (а/)| < Me™** ,
следует положить Re |s|=a>a1> а«0.
Б8
59
Совершим в интеграле Лапласа замену переменной
интегрирования, полагая
od=r, dt = — dr;
а
находим
ОО	Т	ОО	5
/(а/)щг—Се	а	/(r)dr = — С	е	л	f(x)dx.
a J	a J
о	о
Но последний интеграл	в	правой	части	предыдущего ра-
венства отличается от интеграла Лапласа, определяюще-
го f(s), лишь тем, что аргумент изображения s заменен
s „	_
на —. Поэтому предыдущее равенство может быть за-
а
писано в виде
/М== —/(—)•
а \ а /
Таким образом, мы приходим к теореме подобия: из
соотношения f (()=r f (s) при а>0 следует
/М= —/(—К	(2; 5; 1)
а \ а /
Для дальнейшего нам понадобится изображение еди-
ничной функции, которое легко находится при помощи
интеграла Лапласа
u(t)== и ($) = f e~st и. (t)dt= f e~stdt —
о	6
CO
=____Le-^l =_L
s I s
о
(поскольку в данном случае Re(s)>0, так как для функ-
ции u(t) МОЖНО ПОЛОЖИТЬ Оо = 0)-
Итак,
«(/) = —.	(2; 5; 2)
S
Отсюда следует (см. § 1, формулу (2; 1; 1), что изобра-
жением постоянной (точнее функции cu(t)) служит функ-
с
ция —	.
5	си(О= — •	(2; 5; 3)
S
Связь между начальным значением
оригинала и конечным значением
изображения
В равенстве (‘2; 5; 1) устремим а к нулю:
lim / (cd) = lim —/(—V	(2; 5; 4)
а->0	а-*0 а \ а 1
Но lim f (at) =f(0) и по формуле (2; 5; 3) изображением
постоянной НО) служит ^21, т. е.
s
/(0)^2121.	(2; 5; 5)
С другой стороны, имеем
lim_L/Ш = ^Пт— /[-U-lim S1f(S1)
а.-^о а \ а / s «**0 а \ а / s
(2; 5; 6)
здесь положено —=Д, при а—>0 $х —»оо, оставаясь
i правой полуплоскости, поскольку а>0).
60
61
Итак, равенство (2; 5; 4) можно переписать в виде
/(0)=—lims/Ts)	(2; 5; 7)
5 5~>оо
(мы отбросили индекс «1» в обозначении аргумента под
знаком предела в правой части последнего равенства, что
не существенно). Сопоставление равенств (2; 5; 5) и (2;
5; 7) и дает нам требуемое равенство, составляющее со-
держание теоремы о связи начального значения ориги-
нала с конечным значением изображения:
/(0) = lim s/(s).	(2; 5; 8)
$~>оо
Связь конечного значения оригинала
с начальным значением изображения
Если для оригинала f(t) существует конечный предел
limf(t)= /(оо),то для него можно принять сго^СО, и нуле-
t-+co
вая точка плоскости комплексного переменного s будет
находиться либо в области регулярности изображения
f(s), либо на ее границе, в силу него как в правой, так и
в левой частях равенства (2; 5; 1) возможен предельный
переход при а-> + оо. При этих условиях имеем при а->
—>+ оо
lim /(a/) = lim — f(— Y	(2; 5; 9)
a->-|-co	a-*4-oo Ct \ Ct J
Аналогично предыдущему, имеем lim /(a/)=/(oo),
причем	«-»+«
/(oo)= —/(oo)	(2; 5; 10)
s
(поскольку f(oo) —постоянная).
Кроме того, имеем
1-	1 /• / S \	1 ,.	S .f [ s \
lim — f\— =— lim —/— =
a-^4-oo Ct \ Ct J S a->-}-oo Ct \ Ct J
= — lim Si /(sj	(2; 5; 11)
5 s, -o
когда u—>	— =s1—*0) .
k	a	/
Сопоставляя равенства (2; 5, 9), (2; 5; 10) и (2;
5; 11), приходим к равенству
/(oo) = lims/(s),	(2; 5; 12)
s->0
которое и составляет содержание теоремы о связи ко-
нечного значения оригинала f(t) с начальным значением
изображения.
Подчеркнем, что эта теорема применима не ко всяким
оригиналам f(f), а лишь к оригиналам, удовлетворяю-
щим условию: существует конечный предел
lim/(/) = /(°°)-
§ 6. Дифференцирование и интегрирование
операционных соотношений по параметру
Интегрирование по параметру
Допустим, что оригиналом служит функция f(t, а),
зависящая от параметра а, которая для значений а, при-
надлежащих отрезку [щ, «г], является непрерывной функ-
цией от а. Если для всех значений а, принадлежащих
этому отрезку, второе условие изображаемости выполне-
62
63
но равномерно, т. е. если при 0|/(/,а)|	7Ие’»,',где М
и (?о от а не зависят, то интеграл Лапласа от функции
f(t, а) будет по отношению к а равномерно сходящимся
на отрезке [ai, аг]. В силу соответствующего свойства ин-
тегралов, зависящих от параметра (см. § 1 введения),
изображение данного оригинала можно будет интегриро-
вать по параметру а на отрезке [aj, аг] (или любой его
части) под знаком интеграла Лапласа, т. е.
J/(s, a}da — J e~stdt^ f(t, a)da. (2; 6; 1)
cq	0	ai
Это показывает, что при оговоренных условиях, операци-
онное соотношение
/(Л a)==/(s, a)
можно на отрезке [си, аг] или любой его части интегри-
ровать по параметру а:
а2	а 2_____________
j f {t, a) da = § f (s, a) da.
6tj	Kj
(2; 6; 2)
Дифференцирование по параметру
Если оригинал f(t, а) будет на отрезке [ai, аг] диффе-
ренцируем по параметру а и его производная fa(t, a)
будет также являться оригиналом, причем для всех а,
принадлежащих отрезку [ai, аг], будет выполнено условие
\Л(Л а)|<ЛДеС° , где Л?! и оо от а не зависят, то на
этом отрезке будет равномерно сходиться относительно а
интеграл Лапласа от функции/а (t, а). В этом случае
64
(см. § 1 введения) изображение данного оригинала
можно будет дифференцировать на отрезке [щ, аг] по па-
раметру а под знаком интеграла Лапласа, иными сло-
вами:
— /(s, а)= С e~stf'a (/, а) dt.
(2; 6; 3)
Это показывает, что при оговоренных условиях, операци-
онное соотношение f(t, a)==f(s, а) можно на отрезке [аь
аг] дифференцировать по параметру
а)=	(s, а).
(2; 6; 4)
Примеры применения некоторых из доказанных в этой
главе теорем даны в следующей главе.
§ 7. Переход к пределу в операционных соотношениях
Пусть имеется бесконечная последовательность ори-
гиналов fi(t), ..., fn(t), ..., равномерно сходящаяся
на любом конечном отрезке оси ot к оригиналу f (i). Если
существуют такие две постоянные М>0 и оо^О, что все
эти оригиналы (включая и f(t)) одновременно удовле-
творяют при £>0 неравенствам
\fn(t)\<Me°°‘,	(2; 7; 1)
то последовательность изображений этих оригиналов
fn(s) сходится к f (s) — изображению /(t): Иш/Л ($)==
П-+со
= /(«) .
3—3209
Иными словами, при выполнении указанных условий
справедливо операционное соотношение
Нт /л (/) = Ит /„ (s).
Л->оо	Л->ОО
(2; 7; 2)
Докажем это.
В силу равномерной сходимости последовательности
оригиналов на любом конечном отрезке оси ot имеем при
всяком фиксированном Т и произвольно малом положи-
тельном г)>0:
IMO “f(0 |<П при n>N(x\) и 0</<Т. (2; 7; 3)
С другой стороны, в силу неравенств (2; 7; 1) имеем
следующие оценки при Re(s) ^oi>o0:

г>	Ale-3°'г
< М e-^e^dt ------------
31 — °о
и, аналогично,
т
Ме-^-^ т
3J — з0
(2; 7; 4)
Очевидно, можно выбрать Т настолько большим, что-
бы при фиксированном Oi>Oo и произвольном малом по-
ложительном е выполнялись неравенства
(2; 7; 5)
т	т
* Эти условия достаточны для существования данного опера-
ционного соотношения. Вопроса о том, какие условия для этого необ-
ходимы, мы касаться не будем.
66
Выбрав, таким образом, Т и зафиксировав его, оценим
теперь интеграл
Имеем при Re (s)=o	в силу неравенств (2; 7; 3):
I [ e~s> . Л Щ - / О dt < f e~at | fn (t) -
б	б
-/(О
т
dt С f e-°h\dt =-5- (1 - е~^\ < JL < 6. (2; 7; 6)
J	о	а
О
(Можно считать о>0 и, в силу произвола ц, принять ц<
<О8.) Отсюда приходим к следующей оценке для моду-
ля разности fn (s) — f (s):
|77F)-7Ts)| = |	dt\ =
0
e~st {fn W-f {t)} dtf-^ e~st {fn {t)-f (/)} | <
CO
< | J	(t)} di\+\ j e-“fn (t) d/| +
(использованы оценки (2; 7; 5) и (2; 7; 6)).
3*
67
Полученная оценка доказывает, что
lim/„(s) =7(4
П-+СО
Таким образом, при выполнении наложенных доста-
точных условий выполняется операционное соотношение
Ит /„(/)== Um /„(4
л-*оо	л->оо
(2/ 7; 2)
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Изображения основных элементарных функций
В силу 1-го условия изображаемости все рассматри-
ваемые в операционном исчислении функции равны тож-
дественно нулю при £<0. Поэтому в операционном исчис-
tn
лении следовало бы писать не —, sin а
п\
u(t) — , и (/)еи, и(/) sin р/....
п I
Но для облегчения записи множитель м(0 обычно опус-
кают, сохраняя за всеми функциями их обычное обозна-
чение с учетом, что все эти функции при £<0 тождествен-
но равны нулю *.
* В.о избежание недоразумений при обозначении оригиналов,
являющихся соответствующими функциями запаздывающего аргу-
мента, опускать этот множитель — единичную функцию — не реко-
мендуется. Так, для обозначения оригинала показательной функции
запаздывающего аргумента с запаздыванием т следует пользоваться
записью u(t—т) в11.*—') , а не записью е“(<—х) . Последнюю
легко спутать с записью оригинала незапаздывающего аргумента
е~лх eat содержащего постоянный множитель е—и отлич-
ного от нуля при />0.
69
В § 5, гл, 2 мы нашли изображение единичной функ-
ции
и(/) = 2._,	(3; 1; 1)
$
Применим к операционному соотношению (3; 1; 1) тео-
рему дифференцирования изображения (формула (2; 2;
4) гл. 2). Найдем
п\
s
или, сокращая общий множитель (—1)п, деля обе части
полученного соотношения на п\ и опуская, согласно при-
нятой договоренности, множитель «(/), находим опера-
ционное соотношение
Применим к операционным соотношениям (3; 1; 1) и (3;
1; 2) теорему смещения (формула (2; 3; 1) гл. 2).
Найдем (опуская множитель и (/))
—Ь,	(3; 1; 3)
s—а
1
—-----------1----,	(3; 1; 4)
' (s— а)л+1
еРН_е-1Ш
Используя формулу Эйлера sinp/=----—-----, форму-
лу (3; 1; 3) (при а=!±рг) и свойство линейности пре-
образования Лапласа (см. § 1, гл. 2), найдем изображе-
70
ние sinp/:
sinp/= —i.	(3; 1; 5)
’ S2 + ₽2	1	7
Аналогично, используя формулы
Jilt , -flit
cos p/ *= e-—----> Sh р/ = Л--1-----,
chp/ = £-P/ + e~P< ,
найдем следующие операционные соотношения:
cos Р/ ==			, • S2-H2	(3; 1; 6)
sh р/ = —-— , • S2 — ₽2	(3; 1; 7)
Ch8/ = —. Г ‘ $2 __ ^2	(3; 1; 8)
Применяя к операционным соотношениям (3; 1; 5) и
(3; 1; 6) теорему смещения, найдем изображения функ-
ций e“*sinp/ и e’zcosp/:
е'4 sin р/
• (s__a)2 + p2 ’
e,z cos 8/ =г —-—-—
• (s__a)2+p2
(3; 1; 9)
(3; 1; 10)
Снова, используя формулы Эйлера и исходя теперь
уже из формулы (3; 1; 4), найдем изображения функции
71
tn
	sin. р/ и	cos3/-.
n\-----------n!
—|______I______
n\	n\ ‘21	’ 2» ( (s_p/)/!+1
_______1	1 = 1 (s + pQn+1 — (s — pZ)n+1
(s + $i)n+i J 2»	(S2 -|_ p)«+i
Числителю последней дроби можно придать иной вид,
если условно рассматривать s как вещественное число.
Тогда разность ($ + ₽f)n+1 — (s — 3Zj«+’ будет разностью
двух сопряженных комплексных чисел и поэтому будет
равна 2i Im {($-]-
Таким образом, приходим к соотношению
Щ51„р/=!М<£+е±>.	(3; 1; 11)
п!	(s2 4- P)«+!
Аналогично найдем
— cos ?/ = Re_{(^ +Р0я+1} '	(з; 1; 12j
П1	(s2 + £2)«+’
Применяя еще раз теорему смещения к двум последним
операционным соотношениям, находим
(3; 1; 13)
п!	•	[(j _ а)2 + р2]«+!
2L^cosp/^^-«) + ^+1}.	(3; 1; 14)
 и!	[(s — а)2 + ₽2]«+1
* Обозначениями Im и Re подчеркивается, что мнимая и веще-
ственная части соответствующего комплексного многочлена берутся
условные (т. е. считая s вещественным числом).
72
§ 2. Расширение класса оригиналов. Изображение
степенной функции (при произвольном показателе
степени) и натурального логарифма
Класс оригиналов может быть расширен за счет функ-
ций, которые в конечном числе точек на положительной
оси ot обращаются в бесконечность, но так, что интеграл
Лапласа от такой функции (который будет теперь не-
собственным интегралом как первого, так и второго ро-
да) остается сходящимся. Для таких функций 2-е усло-
вие изображаемости примет следующий вид:
если все точки разрыва второго рода функций f(0
лежат на отрезке [0, ^], то для значений	долж-
но выполняться условие
|/(/)|<А^<
Условие же сходимости интеграла Лапласа будет теперь
дополнительным, 4-м условием изображаемости. Можно
доказать, что на такие оригиналы распространяются все
теоремы операционного исчисления, доказанные нами в
гл. 2. Доказательство этого утверждения опустим, так
как оно потребует более строгого обоснования интеграла
Фурье. Принимая это утверждение без доказательства,
заключаем, что теперь к числу оригиналов можно отне-
сти функцию t (при произвольном вещественном ц>
> — 1), а также функции In t и t Нп t, поскольку инте-
грал Лапласа от этих функций будет сходящимся.
Найдем изображения этих функций. Для функции
(и> —1)
tv=. j
6
73
полагая в интеграле st —у.	— y di—-У-, приходим
S	S
к следующему результату:
00
С ег-»уЫу.
О
оо
Но если Re{i/}^>Oj то ^e-»yv-dy=V(v-[-\), где Г(р.-|-
0
-ф 1) — гамма-функция Эйлера (см. Введение, § 3, п. 5).
Таким образом, приходим к соотношению
(при|л>-1),	(3; 2; 1)
или, деля обе части этого соотношения на постоянный
множитель Г(ц+1), находим окончательно
У 1_________
Г(р-+ 1) ~
(3; 2; 2)
Отметим, что формула (3; 1; 2) предыдущего пара-
t п
графа, определяющая изображение функции —, является
частным случаем формулы (3; 2; 2), когда у — п (п — це-
лое положительное число), поскольку Г(п+1) =п\. При-
меним к операционному соотношению (3; 2; 1) теорему
дифференцирования по параметру (гл. 2, § 6, формула
(2; 6; 4), найдем
S(X+1	stx+l
74
или, деля обе части на Г(ц + 1), приходим к операционно-
му соотношению
In /	1 Г Г' (р. + 1)
Г(р + 1) ~ s^+1 Г ((Л + 1)
1ns .	(3; 2; 3)
Полагая в этом соотношении ц=0, учитывая (см. Введе-
ние, § 3), что Г(1) = 1, Г'( 1) = —у (постоянная Эйлера),
получим
lnf= — - s + 7 .	(3; 2; 4)
S
Применяя теорему смещения к операционным соотно-
шениям	(3; 2; 2) — (3; 2; 4), приходим к следующему:
1'>ел* In t .	1 г г' (р + 1)	, .
-------—-----------_ ----—L------In (s -
Г(р+1) ’	(5-аГ+г [ Г(р + 1) k
^1п/ = - l+1-n(s-a) .
s — а
(3; 2; 6)
(3; 2; 7)
П р г	[мечание. Заметим, что в формулах (3; 2; 1)—(3; 2, 3)
под функ	:цией комплексного переменного	понимается та из вет-
вей этой тельной словами,	многозначной функции, которая на вещественной положи- оси плоскости s принимает вещественные значения; иными —-—= е~(н+nins	(3, 2; 8) sp+i
где 1ns — главное значение натурального логарифма комплексной пе-
ременной s. Аналогичное замечание относится и к формулам (3; 2; 5)
и (3; 2; 6).
75
§ 3. Применение основных теорем операционного
исчисления к отысканию изображений некоторых
неэлементарных функций
Очень часто теоремы интегрирования оригинала и
изображения позволяют найти изображения функций,
определяемых интегралами от элементарных функций,
не выражающихся через элементарные функции. Рас-
смотрим несколько примеров.
1. Пусть требуется найти изображение функции
о
Прежде всего найдем изображение е*—1. Это изоб-
ражение равно
1 1_
5 — 1	S
Поскольку lim 6 ~ ]- = 1, функция 6 ~ 1 является ори-
t -»о t	t
гиналом и для отыскания ее изображения следует при-
менить теорему интегрирования изображения (см. фор-
мулу (2; 2; 5), гл. 2, § 2)
5
t
rr	С -- 1 .
Для отыскания изображения \ ——ах остается приме-
J т
о
нить теорему интегрирогания оригинала (формула 2; 2; 3),
§ 2, гл. 2)
t
f ^±dx=- — Infl-— .	(3; 3; 1)
J Т	S \ s )
о
76
t
2.	Найдем изображение функции F (/)—\ sin т-</т.
J т
о
_	,.	s in t	,	,	sin/
Так как hm ------= 1, то функция ------является ори-
t^o t	t
гиналом. Поступая так же, как в первом примере, на-
ходим последовательно
I sinx , .	1	,1
\-------dx = — arctg — .
J	т	s	s
о
(3; 3; 2)
t
3.	Найдем изображение функции F (t)— С sln2-l
J
О
Находим последовательно
sin2/
1 — cos 2t . 1
2
1_
s
<• sin2/	_	..	sin2/
так как hm----------------==0, lim--------------= 1 ,
t-+0 t	/->0	/2
77
то можно применять два раза подряд теорему интегри-
рования изображения:
sin2/
t
s 1 ,	1 , s
-----\ds = — In - -
S2 + 4 J	2	/$2 + 4
1 In1^2*4
2 s
, 1/^2 _L 4	\ .
так как lira In-——— = 0 I >
£->OO	S	/
sin2/
"fl
<30	__________ ___________________________________
2 J s	2	s
£
1	/$2-1-4	.	2 1°°	.	2	s,/s2+4
— sln I—-C-------arctg — ~ arctg--------------In t———
2	s	s $	s 2 s
так как lim s lni^-iJ-=O и lim arctg— — 0
£->oo	S	S-^oo S
Остается применить теорему интегрирования оригинала
fsin2r	, .	1	,2	1	. /s’2'+"4	,о. о. о.
I------dx == — arctg--------In ~. (3; 3; 3)
J	$	$	2	$
о
78
4.	Найдем изображение интеграла вероятностей
лу г - -
Ф (/)=!/ — I е 2 dx.
о
Для этого предварительно найдем изображение функ-
р
2 .
ции е
Г “*	t2 s2 °° — (s+02
е 2 = \е	2 dt=e2 Ve 2	dt.
о	о
В последнем интеграле сделаем замену переменной, по-
лагая s + t=x; пределы интегрирования по т станут s
и оо,
«1	S2 03 т2	* т2	/----
е 2 == е2 е 2 dx, но J е 2 dx —	— Ф (s);
s	О
(здесь Ф(«) —интеграл вероятностей от аргумента s).
Итак, находим
е 2-==1/ -^е2 {1-Ф(«)}.	(3; 3; 4)
Отсюда,умножая на —и применяя теорему интегри-
рования оригинала, находим изображение интеграла ве-
79
роятностей
ЛТе --	1 -
1/ — \<? 2 й?г = Ф(/)^—<?2 {]-Ф(х)}. (3; 3; 5)
г л J	S
о
§ 4. Изображение периодического оригинала
Пусть требуется найти изображение периодического
оригинала j(t) с периодом 2/ (при t>0, f(t+2l) = f(t)).
Введем вспомогательную функцию fo(O, определен-
ную следующим образом: на полуотрезке (0, 21), f0(t) =
Рис 9
= f(t). Вне этого полуотрезка fo(f)s=O (рис. 9). Ее изоб-
ражением будет служить функция fo(s), определяемая
следующим образом:
оо	21
=	=	=	(3: 4; 1)
о	о
80
/гак как при Z>2Z /(|(^) = 0, а при 0<t<2Z /0(Z)s=
= /(/). Но функцию /(/) в свою очередь можно выра-
зить через f0(Z) следующим образом (напомним, что f(t)
оригинал и, как всякий оригинал, равен нулю при Z<0):
/W = /o(0 + /(^-2Z)	(3; 4; 2)
(здесь f(t— 21) —та же периодическая функция, но с за-
паздыванием на один период, равная нулю при t<2l).
Переходя в равенстве (3; 4; 2) к изображениям и ис-
пользуя теорему запаздывания, получаем
/(s)=/o(s) + 6-2ZV(s).
Отсюда находим /(«) = —-° 5 
Таким образом, изображение периодической функции
f(t) с периодом 21 определяется следующими форму-
лами:
1 _ e-2is
_________	21
где f0(s) = ^e~stf{t)dt.
о
(3; 4; 3)
В качестве примера применения этой формулы най-
дем изображение функции | sin Z|.
Так как период функции (sin t\ равен л, применяя
вторую из формул (3; 4; 3), находим fo(s):
f0(s) = j" e~si | sin t\dt = e~st sintdt,
о	6
81
поскольку на отрезке [0, л] sin/^О и поэтому |sin/| =
— sin/.
Но
sin $tdt
=а2 + ^2 (asinPZ — ₽cos + o
поэтому
X
g st
e~st sin t dt —---------(— s sin t — cos /)
S2 + 1
0
1 + e~™
1 4“ $2
----	1 4.
Таким образом, /0(s) = -pq—.
Отсюда по первой формуле (3; 4; 3) находим окон-
чательно
поскольку
, . ,,	1 + e~*s 1
(3; 4; 4)
ns
2
ns
cth —
1__e—“ s2 + 1 s2 -|- 1
its
2
1 + e~M
1- e~ ™
82
§ 5. Изображение кусочно-аналитического оригинала
Кусочно-аналитическим оригиналом мы будем назы-
вать функцию f(t), определенную следующим образом.
1.	При /<т1/(/) = 0 (тх>0).
2.	На отрезке	/(0=Л(*)-
3.	При t>xm+1 0.
Здесь k=\, 2, m; функция fk(t)—аналитическая
на отрезке [т^, Тй+1], т. е. может на этом отрезке быть
разложена в сходящийся к ней ряд Тейлора. В частности,
эта функция на отрезке [т^, Тй+1] представима рядами
ОО
л5)
Ап) fa)
п!
(3; 5; 1)

----*----(z-b+i?-	(3; 5; 1')
л = 0
Число т, в частности, может быть равно бесконечности.
В этом случае предполагается, что при t>T выполняется
неравенство
Заметим, что определенная таким образом кусочно-
аналитическая функция удовлетворяет всем условиям
изображаемое™
Для отыскания изображения запишем функцию /(/)
следующим образом:
т
=	(3; 5; 2)
/-1
83
Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства; в
самом деле, на каждом отрезке [т^, tfe+i] оси ot отличен
от нуля только один член суммы, стоящей в правой час-
ти равенства (3; 5; 2), а именно тот, для которого j = k;
ПОСКОЛЬКУ T/1<^<T/i+i,
ti(f — Tft+1)=0
и соответствующий член суммы обращается в /&(/):
[«{I - т J - и (i-т*+1)] Л (/) = fh (/).
Если j<k, ТО t>Xj+i>Xj, поэтому U(t— Tj) =>1 и
u(t— Tj+i) = l и соответствующий член суммы (3; 5; 2)
обращается в нуль. Наконец, если j>k, то ^<т3-<тз+1,
поэтому u(t— т3-)=0 и u(Z — Tj+i) =0 и соответствующий
член суммы тоже равен нулю. Таким образом, на отрез-
ке [тд, tfe+i] имеем /(0 =/ь(0- В «узлах» xh(k = 1, 2, ...)
функция f(t) имеет правые и левые производные любо-
го порядка, причем как сама функция, так и все ее про-
изводные в этих узлах претерпевают разрыв непрерыв-
ности первого рода. Введем для «скачка» производной
в узле Xk обозначение
Д/(я) Ы = /(п) (Ч-фО)-0); (3; 5; 3)
но
/(л)(^+0)=/Г(ъ); /л)(тй-0)=/&(т*)
(поскольку слева от точки т;[ имеем f(t)	а спра-
ва от нее f (t) =fk(t)) • Отсюда следует
Д/(П)Ы = Лп)(т,)-Д"Д(гД (3; 5; 4)
Равенство (3; 5; 2) перепишем в следующем виде:
т	т
(3; 5; 5)
/=1	?=1
84
В первом члене правой части заменим fj(t) ее разложе-
нием (3; 5; 1), во втором члене — ее разложением (3; 5;
Г), заменяя в каждом из них k на /; найдем

т	оо (п>
п=0
(3; 5; 6)
Учитывая, что	слева от точки /=т; и справа от
точки t = xm+\, положим fo(t)=O, fm+i (О = 0, и в равен-
стве (3; 5; 6) будем вести суммирование в первом слагае-
мом от 1 до т + 1, а во втором — от 0 до т (в силу при-
нятых соглашений это сумм не изменит). Кроме того, во
втором слагаемом правой части равенства (3; 5; 6) изме-
ним индекс суммирования, полагая / = /'*—1, тогда сум-
мирование в нем будет вестись не от нуля до т, а от
/*= 1 до j* = m+\, и равенство (3; 5; 6) можно будет за-
писать в виде
f(jn) (т/)
п!

Отбрасывая звездочку в индексе суммирования второго
слагаемого, объединяем обе суммы в одну
т-}-1	оо
7^

n!
85
или в силу формулы (3; 5; 4) находим окончательно
т Ц-1	оо
/ - Т;) _ TJ)« =
л5>
m + 1	oo
r^O
ril
(3; 5; 8)
Представление кусочно-аналитического оригинала в
виде (3; 5; 8) позволяет сразу найти его изображение,
пользуясь теоремой запаздывания и формулой (3; 1; 2)
для изображения функций —
п\
т+1 оо
/т=т = ^^^г--У.	(3; 5; 9)
При применении этой формулы следует помнить, что в
силу условия fo(/)=O для скачков Д/<П>(Т1) по формуле
(3; 5; 4) имеем
Д/(Л)(П)=/1Л,(Н)-Лл,(ч)=/1(л,(^. (3; 5; 10)
Поскольку же =0, то для скачков АЛп)(тт+1) по-
лучим значения
Д/( ' (Тт+1)~/т+1(Тт+1) fm> (тт+1)= —/т' (Тт+1)-
(3; 5; 11)
86
Рассмотрим пример. Функция f(t) задана следующим
образом:
/(/)ет/2	на [0, 1],
/(/)=2-(/-2)2	на [1,2],
/(/) = 2	на [2, 4],
/(/)=-2-(/-4)2	на [4, 5],
/(/)=(/-6)2	на [5,6],
при />6 /(/) =0 (график x=f(t) изображен на рис. 10).
Легко видеть, что как сама функция f(t), так и ее
первая производная f'(t) непрерывны во всех точках
«стыка» 1 = 0, 1, 2, 4, 5, 6. Вторая производная в этих
точках имеет следующие скачки:
Д f (0) = Д /" (2) = 2; Д f" (4) = Д/" (6) = - 2;
д/"(1)=—4; Д/"(5)=4.
Все дальнейшие производные f(t) равны нулю.
По формуле (3; 5; 9) находим следующее изображе-
ние f(t):
2
/ («) =' — [ 1 — 2e~s -ф e-2s — e~is -ф 2<?-5i —	=
=—(1-е-ф2(1-е-4ф.	(3; 5; 12)
S3
Формулой (3; 5; 9) для изображения кусочно-аналити-
ческой функции целесообразно пользоваться, вообще го-
воря, только в том случае, когда график этой функции
состоит из конечного или бесконечного числа отрезков
прямых и парабол (любого порядка); в этом случае внут-
87
ренняя сумма в' формуле (3; 5; 9) автоматически обры-
вается на членах, содержащих наивысшие, отличные от
нуля, производные функции f(О-
Рис. 10
Рис. И
Если же график кусочно-аналитической функции со-
ставлен (хотя бы частично) из отрезков графиков беско-
нечно-дифференцируемых функций с отличными от нуля
производными любых порядков, то для отыскания изоб-
ражения такой функции иногда оказывается более целе-
сообразным использовать представление этой функции в
форме (3; 5; 2), т. е. в виде
т
(3; 5; 2)
Покажем это на следующем примере. График функ-
ции f(i) составлен из отрезков двух прямых и дуги си-
нусоиды (рис. 11)
/(/) = -^-/	приО<;/<т;
88
h sin ~
zT
/(/)==л(/_4т)
/(M
при т < t < 3т;
при 3т < t < 4т;
при />4т.
По формуле (3; 5; 2) имеем
f	(£>)— tt(i — т)] — i-\-[u(t—x) — u(t—Зт)]й8Ш — +
т	2т
-ф [и (t — Зт) — и. (t — 4т)]	(/ — 4т )1.
I т )
Перепишем /(/) в новом виде, учитывая следующие оче-
видные преобразования:
1)	— t = h+— (t-x),
т	т
2)	h. sin-^- = h sin [(/ — т)Ц-т] =
—h sin
2
,	л (t — t)
= /ZCOS —i------
2т
и, аналогично,
3)	h sin-g-= — /icos (/ — 3т),
4)	A(/_4t)=-A-]-—(/—3т).
T	T
Внося эти выражения в предыдущую запись /(/) так,
чтобы при каждой единичной функции стояла множите-
89
лем функция того же аргумента, и собирая затем члены,
содержащие множителями единичные функции одного и
того же аргумента, приводим f(t) к следующему виду:
/(f) = K(f)-—	+ — (f-r)-
т	1т
- cos Я-(/ т) I _ hit (/- Зт) (1 - — (t - Зт) -
2т )	( т
— cos	(/—Зт)1 — hu(t — 4г)-——.
2т J	т
Такая запись f (£)> в которой при каждой единичной
функции u(t— /,т) стоит множителем функция того же
аргумента t — /,т, позволяет немедленно, используя тео-
рему запаздывания, найти изображение функции f(t):
f(t) = f(s)=-.- Ле-” Г — +---------—
J k ' • J ' ' T	S ~ TS2	Л2
— he~
’J----J----------£—1 _ he-^s • —
S	TS2	Jt2	T$2
«2 + ----
4t2
или, окончательно,
/(s)=—
J	TS2
(1 — e—e-3w — e-4™) —
—* (e-« в-з« j -----------
S	S2 + —
4T2
90
§ 6. Изображение полигональной функции
Полигональной функцией называется кусочно-анали-
тическая функция, для которой все ее «элементы» —
функции —линейные функции:	—a-kt+bh.
Таким образом, график полигональной функции со-
ставлен из отрезков прямых (рис. 12). Для скачков функ-
Рис 12
ции f (/) в узлах «стыка» введем обозначения:
Л Л(тй) — (akxk +	— (ak-\xk “Ь bk-1) = Л,
Л/'	=
(при этом 5i = aiTi + &i,	поскольку при t<r f(t) =
= fo(f) =0). Поэтому изображение полигональной функ-
ции запишется на основании формулы (3; 5; 9) следую-
щим образом:
т+1
= У	(3; 6; 1)
( s , s2 I
»,1
Здесь,как и раньше, принято, что при t>xm+\
т. е. график полигональной функции состоит из т отрез-
91
ков прямых; для скачка в точке t = xm+i следует положить
поэтому
®т+1= — (йпгТт+14"^т);	ат+1~ ~ ат‘
Пример. Найти изображение полигональной функции,
график которой задан на рис. 13.
Рис. 13
В данном случае нет необходимости записывать урав-
нения прямых, отрезки которых образуют заданный гра-
фик. Непосредственно по рисунку определяем 6^ и сц:
в точке	тх=1:	81== 0,	ах=1,
»	т2 = 2:	В2 = 1,	а2= —1,
»	т3 = 3:	83=	1, о3=	—	,
„	т4=5:	84=0,	а4=-£-	•
92
Поэтому имеем по формуле (3; 6; 2)
f(s$= — (e~2s —	(e~s — e~2s —
s	S2
---— e~3s 4- — 5' ).
2	2	/
(3; 6; 2)
Частным случаем полигональной функции является
тупенчатая функция, график которой образован из ко-
нечного или бесконечного числа отрезков прямых, парал-
Рис. 14
4ельных оси ot (рис. 14). Для ступенчатой функции, со-
храняя обозначения, принятые для полигональных функ-
ций, имеем все <хй=О. Поэтому формула (3; 6; 1) приво-
дится к виду
пг+1
7F) = ^T-6-V,	(3; 6; 3)
93
причем следует помнить, что число ступенек не ш+1, а
т и 6m+i=— hm, где hm — ордината последней сту-
пеньки.
Пример. Найти изображение ступенчатой функции,
график которой приведен на рис. 15.
Рис. 15
По рисунку имеем:
в точке гх = 0	В1=1,
»	т2 = 2	В2 = — 1,
»	т3=3	8з = 2»
»	т4=4	В4= — 3,
»	Т 5 = 5	8 5 = 1.
По формуле (3; 6; 3) изображение данной ступенчатой
функции записываем в виде
/7s) = —Г1—e-2s + 2e-3j—Зе-^+е-51]. (3; 6; 4)
94
Формулы (3; 6; 1) и (3; 6; 3) остаются в силе, если число
звеньев т на графике полигональной функции или число
ступенек т на графике ступенчатой функции будет бес-
конечно большим.
§ 7. Отыскание изображений при помощи рядов
Пусть функция f(t) разлагается в степенной ряд на
всей оси ot:
-оо</<оо.	(3; 7; 1)
л«=0
Пусть, кроме того, коэффициенты разложения ап при
всех п удовлетворяют условию
где оо — некоторая положительная постоянная. Тогда
функция, совпадающая с f(t) при 1^0 и равная нулю
при t<0 (сохраним для нее то же обозначение яв-
ляется оригиналом и ее изображение может быть найде-
но как сумма ряда
ОО
(3;7;3)
члены которого являются изображениями соответствую-
щих членов ряда (3; 7; 1).
Докажем это. Прежде всего, в силу оценки (3; 7; 2)
имеем при
•в	во
л»0	л —О
95
Эта оценка доказывает, что функция f(t) является ори-
гиналом.
Докажем теперь, что ряд (3; 7; 3) абсолютно сходит-
ся при |s|>оо. Рассмотрим частичную сумму п первых
членов ряда модулей членов ряда (3; 7; 3) и используем
снова оценку (3; 7; 2):
Эта оценка показывает, что ряд (3; 7; 3) сходится при
|s|>о0. Переходя же к пределу при п->оо в операцион-
ном соотношении *
находим
ОО	оо
тф"=77«)-
Пример. Найти изображение функции Бесселя перво-
го рода с нулевым индексом /о(О> разложение которой,
пригодное для всех значений t, имеет вид
О
* Степенные ряды сходятся внутри интервала сходимости равно-
мерно, поэтому условия, оговоренные в § 7, гл. 2, выполнены и пере-
ход к пределу в этом операционном соотношении законен.
96
Условие (3; 7; 2) выполнено; в самом деле a2n-i = 0, а
для | а2„ | имеем оценку
1 2	22я (п!)2	[2-4-6... 2л]2
1-2-5 .. (2л — 1)	1	1
~~	2-4-6... 2л ' (2л)!	Д2я)!
02л
Итак, | а2„ | < М , где М = 1 и <?0 — 1. Используя до-
казанную теорему, находим изображение 70 (/) —функцию
•W:
00
л = 0
- 1 У ( 1? 1-3-5---(2»--1)	1
s	}	2-4-6...2л	‘ s2n
п=0
Нетрудно убедиться, что в правой части
1 л.	1
ние по степеням — функции
при 151 > 1; в самом деле
стоит разложе-
,которое пригодно
У «2 + 1 S \	«2 )
1 Уг
s	>	2-4. ..1п
л=0
1
7^-
4—3209
97
Итак, окончательно приходим к операционному соотно-
шению		 1
	--j0 s)=-=4=^. 0	у s2 + 1 Упражнения
1. Найти изображения следующих функций:
a) f(t) = /2 sin 2t.			12s2—16 Ответ:	- ($2	4)3
б)	= t cos /2 В) /(0= -у sbt			16s2 —4 Ответ: 		3s2 + 1 Ответ: f(s) - (s2_1)B;
г) f(t)~ te~2> sin3i			6s -j- 12 °"'"'"'' /<S)- l(S + 2T + ЭР !
t2 t Д)/(0=у« cos			S3 — 3s+ 2 Ответ: f(s)- (52_2s+2)3 •
2. Найти изображения следующих функций:
t C l—e"T a) 7(0-j T dr.	Л — 1 ! 1 \ Ответ: f(s) = — In 1 4- — ;
0 t C sh т 0			1 s+ 1 Ответ: /(s) = In	; 2:8 S 1
98
ч Г ch т — 1
в)/(/)=(
0
---	1 S + 1
Ответ: f(s) ~ — !п —— ф
2s s — 1
)Л2_1
-I In------
S
3.	Найти изображения периодических функций, заданных графи-
ками на рис. 16, 17, 18 и 19 Результат проверить, использу я формулы
для кусочно-аналитических, полигональных и ступенчатых функций.
Ответ:
- h rs
Рис. 16
Ответ:
?V) =
h
~s(l +в-”)’
Рис. 17
99
Рис. 18
____ h 1	h
Ответ: f(s) = — • -----------— — —
7 v -r.s2 1 + e	s
e“2TS
1 -e-2"
Л
Параболы 2го порядка
O' r 2T ЗГ «Г t
Рис. 19
___	2Л	2h
Ответ:	f(s) —	—-	cth rs —	——.
v	Ts2	Т2$3
4.	Найти изображения кусочно-аналитических, полигональных
и ступенчатых функций, заданных графиками (см. рис. 20, 21, 22
и 23):
100
Ответ: f(s) — — (1 — е'
s
Рис. 20
;) + — (e“'t’s — е~T,s);
s
(e~
101
h
1-Л
\-0
Параболы 2 го порядка
с вертикальной осью
6Т t
nput>6n,f(t)s0
Ответ:
Рис 22
л (* - - ;В(1 -2е-2” + 2е“4” -
TS2	Т2$д
Синусоида
Рис 23
Ответ:
П(	( Л (/ — т)
f (t) ~ hu (t) sin — — hu (t— t) (cos-----------— 1
t — T)	„ ( t — Зт я (t — 3т)'
+	+ *«(/— Зт)! 1 4- —-— — cos ——-----------
T J	l. T	2T
4 я (t — 4т)
— hu (i — 4т) sin ——-------.
102
h
------— (e~rs + е~3«:
s2-b ----
4т2
л
h —
--- 2т	, .
/(*) =--------------- (1_е-4«)_
s2 +--
4т2
+ — (е-« + е-3«) _ А_ (е-« _ е-3«.
S	T.S’2
5.	Пользуясь теоремой § 7, найти изображения следующих функ-
ций Бесселя:
Ответ: J«s) = дат (Д да =1 --7^=Т’
J/1+^
VI
б) Iq^~ 22п(п!)2
п —О
(функция Бесселя
первого рода чисто
мнимого аргумента с нулевым индексом).
Ответ: /0(5)=-7==
Ответ: h (s) = -;r „ .-т~—
м /«2 —l(s + /s2 —1)
103
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ
ИЗОБРАЖЕНИЮ; ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
Для отыскания оригинала по известному изображе-
нию в операционном исчислении используются так на-
зываемые теоремы разложения и, когда это возможно,
теорема свертывания оригиналов.
§ 1.	Первая теорема разложения
Пусть требуется найти оригинал для изображения
f(s), которое для значений s, удовлетворяющих неравен-
1
ству — <р, разлагается в сходящийся к нему степен-
|s|
ной ряд по отрицательным степеням s:
(4; 1; 1)
ьо
Используя формулу (3; 1; 2), формально можно сразу
записать оригинал функции f(s) для значений t>Q в ви-
де ряда

(4; 1; 2)
104
полагая, что при /<0, f(t)=O. Но нужно доказать, что
этот формально найденный ряд действительно определя-
ет оригинал функции f(s). Для этого нужно убедиться
в справедливости следующих трех положений.
1.	Ряд в правой части равенства (4; 1; 2) сходится
для всех t, т. е. на всей оси ot.
2.	Его сумма f(t) удовлетворяет второму условию
изображаемости -
3.	Между функциями f(t) и f(s) имеется операцион-
ное соотношение
Докажем эти положения.
Поскольку ряд (4; 1; 1) является рядом Лорана для
функции f(s) и он сходится при |s , то при вся-
ком s из области сходимости в силу необходимого при-
знака сходимости имеем Иш ~Wn = 0. Но тогда все
оо | S |
члены ряда для любого значения s, удовлетворяющего
неравенству | s |	, в свою очередь, должны
Si е
удовлетворять неравенству
77% <1^1 Р1+ЧМ,	(4; 1; 3)
I 6 I
где М — некоторая положительная постоянная. Из не-
равенства (4; 1; 3) находим оценку модулей коэффи-
। I м
циентов ряда (4; 1; 1):	а поскольку pi
Pi
105
можно взять сколь угодно близким к р, отсюда вытекает
и оценка
м
Qft+1 ‘
(4; 1; 4)
Отсюда следует, что абсолютные величины членов ряда
(4; 1; 2), формально определяющего оригинал, удовле-
творяют оценке (при />0)
ck —
п k\
М ?
gft+1 ' k\ ’
и VT м tR м 1 / t \*
н ряд сходится на всеи
4=0	s=o
t
оси ot и его сумма равна — е °. Это доказывает, что
о
и ряд (4; 1£ 2) сходится на всей оси ot и его сумма f(t)
не превосходит по абсолютному значению суммы маж-
орантного ряда, т. е.
t
\Ш< — е°.	(4; 1; 5)
е
Таким образом, первое и второе из требующих дока-
зательства положений доказаны. Для доказательства
третьего напишем операционное соотношение (вытекаю-
щее из свойств линейности преобразования Лапласа),
справедливое при любом п
(4; 1; 6)
106
Если в этом операционном соотношении положить
]«]>-—, то в силу равномерной сходимости обоих сте-
Р
пенных рядов по доказанному в § 7, гл. 2, можно здесь
перейти к пределу при п->оо, — тем самым убедиться в
справедливости третьего, требовавшего доказательства
положения
7F)=/(*)•	(4:1; 7)
Тем самым мы полностью доказали первую теорему раз-
ложения.	___
Пусть изображение f(s) разлагается в ряд по отрица-
тельным степеням s, сходящийся для значений s, удовле-
।	1
творяющих неравенству |$ _>—, т. е.
е
fe-0
Тогда оригиналом для функций f(s) служит функция
f(t), определяемая при t>0 сходящимся на всей оси ot
рядом,
При этом второе условие изображаемости для функции
f(t) выполняется в виде
t
с
Пример. Найти оригинал для функции	е s
107
Функция f(s) = — е 4 разлагается на всей пло-
S
скости комплексного переменного s с выколотой нулевой
точкой (для всех s=H=O) в следующий ряд Лорана:
1
— е
&
(4; 1; 8)
Поскольку условия первой теоремы разложения выпол-
нены, оригиналом для этой функции служит функция
О°	ft
/И=У(-1)*-~р	(4,1; 9)
Сумма этого ряда легко может быть выражена через
функцию Бесселя первого ряда с нулевым индексом
Z0(z), разложение которой в ряд по степеням z име-
ет вид
00	! Z
(4: 1; 10)
В самом деле, ряд (4; 1; 10) превращается в ряд (4; 1;
9) при z=2j/Таким образом /(^)=/о(2У и мы
приходим к операционному соотношению
4 (2 /7)==У Г	(4; 1; И)
108
§ 2. Вторая теорема разложения
Пусть требуется найти оригинал для изображения
1 7 Q(s)
где P(s) и Q(s)— многочлены относительно s степени
соответственно тип (т<п):
P(s)=a(jsm-}-a1sm
Q(s)=sn + V"4---+^
Допустим, что все корни знаменателя Q(s) известны.
Разлагая Q(s) на линейные множители, запишем f(s) в
виде
=	----->	(4; 2; 1)
П (S— Sfc/*
Й=1
k=r
где ^[ай = й, а числа sh— различные вещественные
й-1
или комплексные корни знаменателя. Разлагая правую
часть равенства (4; 2; 1) на простейшие дроби, прихо-
дим к следующему представлению f(s):
k^r j=y.k
 <4;2;2>
k=l J-l
Для определения коэффициентов AJtk этого разложения
фиксируем некоторое значение k и умножим левую и
109
правую части равенства (4; 2; 2) на (s —$й)н-а. Выделяя
в правой части члены, относящиеся к этому значению k,
найдем
___ ,_г
(s -	f(s)^ А)>к (s-s J +
7=1
/ = г / = ;j7
Aj,t
Z=1,Z^S у-1
Продифференцируем это равенство /—1 раз по s. Про-
изводные всех членов первой суммы, содержащих (s—sft)
в степенях ниже /—1, обратятся в нули; производные же
всех членов этой суммы, содержащих (s—s*) в степени
/ и выше, а также производные всех членов второй сум-
мы будут содержать множитель (s—sh) в степени не
ниже первой. Таким образом, найдем
~jZrA^-skTkT^ =(>- 1)! Ai,kMs-~sk) <Р(«)
ds‘
[здесь через (s—Sk)<p(s) обозначена совокупность всех
остальных членов в выражении производной].
Переходя в этом последнем равенстве к пределу при
найдем
ЛЛй=—(4; 2; 3)
Определив по формулам (4; 2; 3) все коэффициенты
разложения (4; 2; 2), найдем оригинал для f(s) в виде
ПО
k—r j —
J **	Р-J,—
7«^)=£2л'’*-й=^е‘‘'(4;2;4)
Am>1 j'= 1
/	1	. /V-* c ,
( поскольку .	л~>+!	------~ eSfc —см. формулу
\	Is — sk)	— j) i
(3; 1; 4) гл. 3). Формулы (4; 2; 1), (4; 2; 2), (4; 2; 3) и
(4; 2; 4) в совокупности составляют содержание второй
теоремы разложения.
В том случае, когда все корни знаменателя Q(s) про-
стые, разложение f(s) упрощается:
Т^ = У-А_.	(4; 2; 5)
Коэффициенты этого разложения определяются форму-
лами
^ft=lim{(S-Ss)77F)} = -^-.	(4; 2; 6)
Оригинал f(t) находится по формуле
(4; 2; 7)
'й=1	1^1
Примеры. 1. Найти Горигинал изображения /($)=
_ $2 + S + 1
$ ($4 — 1)
Знаменатель изображения имеет простые корни Si = 0,
S2,3=±l, s4>5=±Z. Коэффициенты разложения (4; 2; 5)
ill
определяются формулами (4; 2; 6), в которых следует
положить P(s) =s2 + s+ 1, Q'(s) =5s4—1:
P(-i) __ i
Q' (-1)	4 ’
Q' (0)

-i,	4
Q‘ (1)	4	3
л. P(-0
Qr (i)	4	Q' (- Z) 4
Отсюда по формуле (4; 2; 7) находим
/W = -1+Jp +Ле-/+А(е//_е-г/)==
= -i+_L(3e‘+e-o—^sin/.
2. Найти оригинал изображения f (s)—	•
Имеем (s2—1)3=(5—l)3(s+ l)3, поэтому разложение
f (s) будет иметь следующий вид:
s2 ___	^41,1 j	A,i । ^з,1 ।
(S2 — 1)3 — (S _ 1)3 ' (S — 1)2 s — 1 Г
i Лт,2 I ^2,2	| _ ^3.2
(S + 1)3 (s + 1)2 S + 1 ’
По формулам (4; 2; 3) находим коэффициенты раз-
ложения:
1	(	1 г v*^ "I 1
1,,д^гй1дт^]=т-
А __ГцшА[^ 1_Иш[-2!----------------------—1—i-.
2,1	1 1 5 -Л ds L (s + И3 J s-’1 L(s+1)3	(s+1)4 J 16
112
^1,2---
.	1	</2 Г ,S2	.
Д31=—hm— ----------- =
3,1	2!	rf«2[(S + 1)3 J
= -Llimf-2__________+
2 s-И L (s + I)3	(s+l)4 (s + l)5j
14 S2 I 1 • Г s2
)3------- = lim ----
(«2— 1)3 J	—
«2	1	. Г 2s
---- = lim----------
1
16
2_
8 ’
.	1 .. d
Д„„ = —r lim —
1 ! ,5—i ds [(«— I)3
3s2____I _£
(S — 1)4 J 16
•^3’2----
==— lim
2 s^-i |_(s — 1)3
2
rf2 Г S2 I
im — I-------------- =
->-1 dj>2 [ (s _ 1)3 J
12s	.	12s2 1	1
(s — 1)4 ' (S —1)б]~ 16
1
s — 1
Окончательный вид разложения заданного изображе-
ния будет следующий:
S2 __ 1	1	,	1	1	1
(«2—1)3 ~ 8 ’(« — Гр~Г 16 ’(S— 1 )2~ ’16
____1_	1.1_	1	I__1
8 (S + I)3	16 (S +1)2	16 S + 1
Отсюда находим оригинал
«2	.1/21	1	1/2
(«2 — 1)3 • 8 2	' 16 е 16 е 8 2
е
16
1
16
>—t
или
«2	. /2 — 1	/
-----------—	sh t Л-ch t.
(«2 — 1)3 '8------------------------1 8
113
§ 3. Третья теорема разложения (обобщенная)
Пусть требуется найти оригинал для изображения
f(s). Относительно функции f(s) будем предполагать,
что она однозначная функция комплексного переменно-
го s, регулярная справа от прямой Re(s)=<Jo, имеющая
на плоскости s лишь конечное или счетное множество
изолированных особых точек (полюсов или существен-
ных особенностей), и что, кроме того, выполнены следу-
ющие условия.
1. Существует бесконечная возрастающая последова-
тельность вещественных положительных чисел Ri, R2,
Rn, — >л^0^л=оо> таких, чтодля точек, лежащих на
окружностях |х| —Rn, функция f(s) равномерно стре-
мится к нулю при н->оо. Иными словами, каково бы ни
было малое положительное число е, существует такое
У=М(е), что при n>N(e), во всех точках окружности
|s | =Rn выполняется неравенство |f(s) | <е. Это усло-
вие выполняется в левой полуплоскости (в которой ле-
жат особые точки В правой же полуплоскости
f(s) стремится к нулю равномерно при произвольном
способе стремления s к бесконечности.
2. Функция f(s) абсолютно интегрируема вдоль вся-
кой прямой Re(s) = 3 при аа0> иными слогами,
а—Zoo
При выполнении этих условий оригинал f(s) может
быть найден по формуле
Ж) = f W = 2 Res ^Ж),	(4; 3; I)
114
где суммирование в правой части распространяется на
все особые точки f(s).
Равенство (4; 3; 1) и составляет содержание 3-й
(обобщенной) теоремы разложения.
Докажем эту теорему. Функция f(s) удовлетворяет
всем условиям, при выполнении которых ее можно счи-
Рис 24
тать изображением некоторого оригинала (см. гл. 1,
§ 2), поэтому ее оригинал можно найти по формуле
обращения
<r-f- Zoo
7(sj = /^)=^-. f estf(s)ds,
Zni J
a—Iqq
где <з^а1'^>а0.
Для вычисления интеграла Римана — Меллина, сто-
ящего в правой части последнего равенства, рассмотрим
1	f (с} С	„
интеграл 2nz у	J ' ' ' где замкнутый контур 1п
Ги
115
составлен из отрезка прямой Re(s)=o, лежащей внутри
окружности |s|=i/?n, и дуги этой окружности, располо-
женной слева от этой прямой (при этом окружность
|s|=/?n принадлежит семейству окружностей, фигури-
рующих в 1-м из вышеприведенных условий). Контур Гп
изображен на рис. 24.
Покажем, что интеграл по дуге окружности |s| =Rn,
входящей в состав контура Гп, стремится к нулю при
/г->-оо, если />0.
а) На дуге АВ имеем
\f	е°1, lim —= 1.
п->со <5
В силу этого получаем равенство
С est f(s)ds I '' ea‘s АВ = e’zea- —.
J	|	a
AB
Эта оценка показывает, что lim С estf (s)ds = 0, посколь-
n-+<x> J
AB
ку множитель остается постоянным, г —>0, а
г Ав ,
lim —=1.
fl->CO о
Аналогичную оценку имеет и интеграл по дуге BiAj.
б) На дуге ВСВ{ имеем
l/(s)l<Ce> s=ftn(cos <p-]-Zsin<p), ds=RnelHdy,
\e‘t\=eR"tco*\ \ds\ = Rnd^
поэтому
Зтс/2	z
| j e“ /(I) ds | J eRn‘ C0SMA= Je*"' C0SW
BCB,	71/2	77,2
116
Положим <р=-^--|~ф, cos — sinф, тогда получим оцен-
ку
| J estJW]ds\<Z 2Rne	(4; 3; 2)
BCBi
тт	гл ,- , л	, . sin Ф . 2
Но при 0 < t < — , 1 > —1- > — , или sm Ф
*	2	Фге ’
Умножив это последнее нерагенство
ный множитель—/?„/(/> 0), придем к
2
—/?„/sin<p<-----и, следовательно,
JT
-ф-
л
на отрицатель-
неравенству —
к неравенству
_ Д. р /ф
e-Rni^<e - л
Используя это неравенство, усилим оценку (4; 3; 2):
BCBi
est f (s) ds
(4; 3; 3)
Оценка (4; 3; 3) показывает, что при п->оо интеграл
по дуге ВСВ1 также стремится к нулю (поскольку при
этом е->0, /?п-»-со). Что касается интеграла по отрезку
прямой Re(s) = ст, лежащему внутри окружности |s| =
= Rn, то этот интеграл имеет вид
*+//?ncos а
1
2ш’
а—/ft^coS а
est /(s) ds
117
и при п->оо в пределе обращается в интеграл Римана —
Меллина (так как Rn->oo). Это позволяет нам устано-
вить следующее предельное равенство:
— lim f (s) ds=— lim f est f (s)ds-[-
2ni n —>00 J	2nz n ->00 I J
г
n	\AB
+ J est f (s') ds-]- J est f (s') ds-\- J estf(s)ds
BOB,	В'ТД,	’-'V’SI
04- /00
es‘ f(s) ds~f (i).
G—Zoo
С другой стороны, по теореме вычетов имеем
(4; 3; 4)
(4; 3; 5)
где сумма в правой части равенства (4; 3; 5) распрост-
раняется на все особые точки функции f(s), лежащие
внутри контура Гп. Когда же п->оо Rn->oc, и поэтому
суммирование в правой части равенства (4; 3; 5) будет
в пределе распространяться на все особые точки функции
f(s), поскольку справа от прямой Re(s)=<y функция f(s)
особых точек не имеет. Сопоставление правых частей
формул (4; 3; 4) и (4; 3; 5) и приводит нас к третьей
теореме разложения
f =	Res И /($)},	(4; 3; 1)
где в правой части суммирование распространяется на
все особые точки функции f(s).
118
Третья теорема разложения применима, если выпол-
нены все условия, наложенные на функцию f(s) в нача-
ле этого параграфа.
Пример. Найти оригинал изображения f ($) = - —•
Применим для отыскания оригинала третью теорему
разложения (применение ее, как легко видеть, законно:
limf(s)=0, при этом стремление f(s) к нулю равномер-
но на всей плоскости). Заданное изображение имеет два
полюса второго порядка в точках s = ±i. Найдем
Res [es/ /(«)]•
Вычет однозначной регулярной функции F (s) в по-
люсе s = a кратности т определяется по формуле
1	/У™—1
Res {F (s)} = --— lim-—, [(s-a)mF ($)],
s~a	(m — 1)1 s->a dsm
поэтому в данном случае находим
Res {est f ($)} = — lim —
<_(	1 ! к-.i ds
(S-2)2
(«2 + 1)2
2est
= lim —
«. и e	1,	tt:	tt:
lim— ------- =lim----------------
s->l ds	L(s+O2 (s+03
te^ . e^_
4 ' 4Z ’
Вычет в полюсе s = —i находим как комплексное чцсло,
сопряженное с вычетом в полюсе s = i:
119
Поэтому оригиналом для f(s) служит функция
+тС“7~) =
t 4 ।	1	• i
=------cos t -4---sin t.
2	2
Итак,
2
I _________
(s2 + 1)2 ~	2
Результат легко проверить по формулам гл. 3; имеем
по формулам (3; 1; 5), (3; 1; 12):
...	1	,	, .	82 — 1
sin t —-----; t cos t =--------- ,
S2 /j- 1	(S2 + 1)2
поэтому
t , , 1 . , .	1	«2 — 1	. 1	1	1
----cos /4---smr=---------------—.------=--------
2	1 2	•	2 («2 +1)2 1 2 S2+ I (S2 + 1)2
§ 4. Применение теоремы свертывания оригиналов
для отыскания оригинала ло заданному изображению
Пусть заданное изображение может быть записано
в виде
f = (S)‘/2(S),
причем для функции fi(s) и f2(s) оригиналы известны:
7TF)=/i(0._AF)==/a(0.
В этом случае оригинал f(s) может быть найден сразу-
по теореме свертывания оригиналов (см. гл. 2, § 4, п. 1)
= f Л(т)Д(/-т)Л.	(4; 4; 1)
б
120
1
В качестве примера снова найдем оригинал для 2 +
(см. предыдущий параграф), пользуясь тем, что эту
функцию можно записать в виде
s2 + 1
____1
«2 4. 1
П	1	-	.	.
Поскольку-------= sm/, имеем
«2 4. 1 •
по формуле (4; 4; 1)
о
<	1 г I • t
=— — sin/ —
о 2 I 2
1
/ (/)== J sinт • sin (/ — x)dx =~~ J [cos (2т—/) —cos/] dx—
о
1 Г sin (2т — t)	,
—---- ---------- — т cos t
2 L 2
---— sin(— /) — (cos /1= ——/cos/4- — sint,
2	'	j 2	2
2
тот же результат, что и ранее.
В качестве второго примера применения теоремы
свертывания найдем оригинал для функции /(•$) =
= ---------. В этом примере непосредственное приме-
(s2 4-1)2
некие теоремы свертывания невозможно, поскольку
S3	S2	S
	=----------и оригинала для первого множи-
(S2 + 1)2------------«2 + 1 S2 + 1
теля мы не имеем, но в данном случае можно поступить
следующим образом. Запишем /(s) в виде
s3 Г 5	« 1
------------------ == s-.
(S2 + 1)2--------------[4 + 1 S2 + 1J
Оригинал для произведения, заключенного в скобках,
найдем по теореме свертывания оригиналов, а затем
121
применим теорему дифференцирования оригинала, по-
скольку перед скобкой стоит множитель s:
s s
S2 + 1 S? + 1
t
J cost cos (/ — t) dr.
о
Поскольку правая часть обращается в нуль при / = 0
имеем далее по теореме дифференцирования оригинала
(см. гл. 2, § 2, п. 1):
Г «2
s --------
L(s2+ 1)2
t
— ( cost cos(t — r}dt.
dt J
о
Но
t	t
J cos т cos (/ —t) dr =	[cos/-|-cos (2r — t)\dr =
о	0
1	, , . 1 . ,
= — t cos t -4-sin /,
2	'2
поэтому
s3	. d Г 1 , i । 1	• Л i 1 i  ,
-------= — —/cos/ч	sin/ =cos/	/sin/.
(S2 +1)2  dt [ 2	1 2-2
Проверка:
S3 ________________s3+s — s__ s	s
(S2 + 1)2 — (S2 + 1)2 — S2 + 1	(s2 + 1)2 *
S
№ + 1
Ho
cos/, ----------— /sin/ [cm. (3; 1; 11)1.
(s2 + l)2 • 2	1	1	7J
Таким образом, приходим к тому же результату
s3 .	, 1 , . ,
	— cos /-----/ sm t.
(«2 + 1)2--------------’	2
122
Сделанная проверка показывает другой прием отыс-
кания оригинала для данного изображения, который
иногда может с успехом применяться в аналогичных слу-
чаях.
Упражнения
1. Применяя первую теорему разложения, найти оригиналы для
следующих изображений'
___ 1 - —
3) /(s)= — е
S
VI	t2n
л = 0
— 1	1
6) /(s) = — sin —.
s	s
VI	f2/!+’
Ответ: f(t)~ у , ( — 1)"--------------;
ZU [(2л + 1 )!]2
п — Ъ
B)77sj = sln 11 +-7).
\ s2 /
00
VI	t2"
Ответ: f (t)= \ .(— 1)”---------------.
ZZ (n + l)(2n)I
n—Q
2.	Применяя вторую теорему разложения, найти оригиналы для
следующих изображений (результат проверить по третьей теореме
разложения):
----	s
"	(s2 + 1) (S2 4.2s + 2)
Ответ: /(t)= “(cos t + 2 sin t) — ~~e~z(cos t + 3 sin t);
123
___	«2—1
6)	f(s)—--------.
' V ' S (s2 +4)2
Ответ: f (t) = — {cos 2/ + 5t s;n 2t—1};
16
---	«2 + s + 1
в)	f(s) =----------------.
(S-1)3(S2 + 1)
3f2—1	1
Ответ: f (t) = —-------e + —(s'n/ + cos/).
3. Пользуясь теоремой свертывания оригиналов, найти оригинал
первого из заданных в каждом примере изображении. Оригиналы
остальных найти по оригиналу первого, пользуясь теоремами диффе-
ренцирования или интегрирования оригинала:
--- s 1	1
a) f(s) —-----, --------, ---------.
$4 — 1 S4 — 1 -s(s4 —1)
1 1
— (ch t — cos/),	(sh t—sin/),
(ch t + cos t — 2);
s	1
(S - l)(s2 + 1) ’ s(s —l)(s2 +lj-
1 ,
[e + s'n t—cos/],
— [ef + cos t — s'n t — 2];
____	_________s__________
(s + 1) (№ + 2s + 2) (s + 1) (s2 + 2s + 2)
_________1___________
s (s + 1) (s2 + 2s + 2)
Ответ:
1
6) /($) —
(S-1)(S2 + 1)’
1 f
Ответ:	[e — s n t — cos /],
124
Ответ: е * (1—cos/), е ^sinZ+cos/—1),
1 -У	„х 1
— е (cost — sin/—2)4- —
2	£
ГЛАВА ПЯТАЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИСТЕМ ТАКИХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Интегрирование линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть требуется проинтегрировать уравнение
(5; 1; 1)
при начальных условиях:
при/=0 х = х0, х' = хо,..., x(n-1)= лоя-1)‘> (5; 1; 2)
коэффициенты уравнения а^(й=1, 2,...,п)—постоянные,
функция /(/), стоящая в правой части уравнения, являет-
ся оригиналом (изображаема по Лапласу).
Примем, что изображением неизвестного решения
уравнения (5; 1; I), удовлетворяющего начальным усло-
виям (5; 1; 2), является функция x(s):
x(/) = x(s).	(5; 1; 3)
По теореме дифференцирования оригинала (см. гл. 2,
§ 2, п. 1) в силу начальных условий (5; 1; 2) находим
х' (/)== sx («) —х0,
х" (/) == ssx (s)—xos — хо,	(5; I; 4)
126
(п) / .X  n / \	n—1	' л—2	(n— 1)
X (/) = s x (s)— XqS — XqS — . . . — Xq j.
Кроме того, имеем (поскольку f (t) задана)
(5; 1; 5)
Так как линейной комбинации функций отвечает в
качестве изображения аналогичная линейная комбинация
изображений этих функций (см. гл. 2, § 1), а равным
функциям соответствуют равные изображения, находим,
внося в уравнение (5; 1; 1) вместо всех входящих в него
функций их изображения, следующее так называемое
«изображающее» уравнение, которому должно удовлет-
ворять изображение x(s) искомого решения:
___ п—1	____
(s”4~ais” 4"• • • х (s)	(5> 1; 6)
о
Ф1 (s) = sn 1-[-a1sn 2-ф- • 4~йл-1>
'MS)==S,, 2~Ьйх5 34~- • • 4“ дл-2,
'h(s)=s"-ft4~ais,!~ft 1+---+ал-й
фл(з)=1.
Изображающее уравнение — алгебраическое уравнение
первой степени относительно x(s) и поэтому x(s) из него
немедленно определяется в следующем виде:
------------------------ Л—1
f (S) + 2 xoft) ’Vft+l
X (s) ------------------_
1 7	ФоО)
(5; I; 8)
127
Здесь в соответствии с обозначениями (5; 1; 7) для ко-
эффициента при x(s) в уравнении (5; 1; 6) введено обо-
значение фо («)
(5; 1; 7*)
Для отыскания самого решения x(t) остается по од-
ному из методов, изложенных в гл. IV, по найденному
изображению (5; 1; 8) найти оригинал. Такой метод
отыскания решения уравнения (5; 1; 1), удовлетворяю-
щего заданным начальным условиям (5; 1; 2), позволяет
сразу найти нужное частное решение данного уравнения;
если бы мы интегрировали это же уравнение классиче-
скими методами, нам пришлось бы сначала найти общее
решение уравнения и затем определить все входящие в
общее решение п произвольные постоянные по заданным
начальным условиям, что потребовало бы большой до-
полнительной работы. В то же время отыскание решения
уравнения (5; 1; 1) по его изображению (5; 1; 8) не ли-
шает нас возможности, если в этом встретится потреб-
ность, найти и общее решение уравнения (5; 1; 1): в са-
мом деле, достаточно в изображении (5; 1, 8) положить
x0(ft) = Cft+i, т. е. считать начальные значения x(t) и его
производных произвольными, чтобы найти решение урав-
нения (5; 1; 1), содержащее п произвольных постоян-
ных, т. е. общее решение этого уравнения.
Мы увидим (см. гл. V, § 4), что операционные мето-
ды интегрирования линейных дифференциальных урав-
нений обладают и другими преимуществами перед клас-
сическими.
Примеры. 1. Проинтегрировать уравнение
x"(t) — 3x' (/) + 2х(/) = /^
при начальных условиях х0=1, х0= —2 при 1=0.
128
Находим изображение правой части (формула (3; 1;
4), гл. 3):
te‘	.
(З—1)2
Полагая x(ty=zx(s), в силу заданных начальных условий
находим
x' (t}=s X (s)—1,
x"(/)=sax^-s-f-2.
Заменяя в предложенном уравнении все функции их изо-
бражениями, находим изображающее уравнение
Определяем x(s):
—т—с  s — 5 j_________1________s3 — 7s2-f- 11s — 4
Х	~ s2—3s+2^ (s — 1 )2 ($2 — &• + 2) ~ (№-1)3(5—2) '
Оригинал для %($) ищем по второй теореме разложе-
ния:
..Al. 1 ... ^2,1 -ДАУДА. .
1 ' {s — 1)3 (s — 1)2 s — 1 1 S — 2 ’
41,1=-^M(s- 1 )3^)}-lim	7s2-+-11- •-?) = - 1,
0!	( s — 2 J
A2)1=-^lim-^-{(s- lp7(s)} =
I i s-*i ds
_lim [ 3s2 —14s + 11 __ S3— 7s2 + Ils —4)_
S —2	(5—2)2 J~
—3209
129
.	1	z/2 <	——г,	1	(6s—14
Дч, =—lim — (s— l)3x (s) = — lim {---------
3,1	2! s^dS2и	k "	2 5^11 s —2
_2 3s2—14s + n । 2 (^3 —7s2 + 115 —4)] _3
(s —2)2	(s —2)3 J ’
я 1 1 • i / q \ 7 v i i • ($3 — 7s2 4- Ils — 4) q
Al,2 =TT I’m {(s - 2) x (s)} = hm ---—----- =—2.
0 ! Л ,2	5^2 I,	(S — 1)3	J
Таким образом, имеем
(s— 1)3 (s— 1)2 's— 1 s —2‘
Находя оригинал каждого слагаемого правой части, по-
лучаем решение предложенного уравнения:
х (/) = — — е* — te1 4-Зе* - №.
2. Проинтегрировать уравнение x"-|-4x = 2sin2/ при
начальных условиях х0 = — 1, хо=0 при /=0.
Имеем по таблице изображений
Полагая x(t) = x(s), находим в силу начальных условий
х" = х («) + «.
Внося в предложенное уравнение вместо функций их изо-
бражения, приходим к изображающему уравнению
Отсюда определяем x(s):
—-s г 4
х (s)=---------------.
’ ’ S2 + 4 ‘ (s2+4)2
130
Для отыскания решения не будем правую часть по-
следнего равенства приводить к общему знаменателю,
поскольку для первого слагаемого оригинал известен
(~2~-р. 4 cos » а °Ригинал второго слагаемого легче
всего найти по теореме свертывания. Имеем
___2
S2 + 4
=г= sin 2/,
поэтому
4	2 ____2
(s2+'4)2~ s2 + 4’s2 + 4
t
j* sin 2т sin 2 (t — т) dt.
о
Находим последний интеграл
t	t
^sin2r sin 2(/—t)ch =-i- {cos (4т—2/) —cos 2/} ch=
6	6
1	fs'n (4t — ‘It)	t s и 2/ t ci
= —) —i-------1 — r cos 2/1  --------cos 2t.
2	I 4	J о 4	2
Окончательно,
x (s)-=-x(t)= — cos 2i-\—sin 2/—cos 2t.
Итак, решение предложенного уравнения следующее:
х (/) =— sin 2/ —	2 cos 2/.
1 1	4	2
3. Найти общее решение уравнения х"+2х'+5х=
=i/ez.
Имеем по таблице изображений
5*
131
Полагая x(/)=-x(s), находим в силу произвольности на-
чальных условий
х' (t)^sx (s) — x0,
х" (/) == s2 х (s)—xos — х'о
(здесь х0 и х® играют роль произвольных постоянных).
Внося в предложенное уравнение вместо функций их
изображения, находим изображающее уравнение
(s2 + 2S + 5)x(S)-x0(S + 2)-^=—1—
(S— 1)2
Определяем x(s)
7 („ \ v 5 + 2 । J 1 j________________J_______
1 ’	0s2+2s+5	s2 + 2s+5 1 (s —l)2(s2-f-2s + 5)
Пользуясь формулами (3; 1; 9) и (3; 1; 10), гл. 3, нахо-
дим оригиналы для первых двух слагаемых в выраже-
нии x(s):
х s + 2 _ х ( 5 + 1 । 1____________2 1
0s2+2s+5	0 l(s+ 1)2 + 22^ 2 '(s + 1)2 +22/ 
= хое~* ^cos 2/	sin 2/| ,
xo-----1— = A_______2-----= e~l sin 2t.
s2+2s+5	2 (s + 1)2 + 22 ’ 2
Для отыскания оригинала последнего слагаемого раз-
ложим его на простейшие дроби по обычным правилам,
применяемым в интегральном исчислении при интегриро-
132
вании рациональных дробей *,
(s — I)2(s2+2s+5) (s + 1)2 ' s + 1 "rs2+2s + 5
Умножая на знаменатель левой части, приходим к
следующему тождеству для определения коэффициентов
А, В, CuD:
1 = 4(s2^2s + 5) + 5(s-1)(s2 + 2s + 5) +
+(Cs + r>)(s-l)2.
Положим в этом тождестве s= 1, тогда 1 = 8Л, отку-
да А =	.
О
Затем положим s = — l+2t, тогда
1	[С(- 1 + 2/) + £>] (-2 + 202
= [(£>-С)+ 2С'1(-8^)= 16С-8(£>-С)/,
откуда
С = —, D-C=O, или D=C= — .
16	16
Коэффициент В определяется из условия равенства
нулю коэффициента при s3 в правой части полученного
тождества
в+с=о,
откуда
* В данном случае это проще, чем применять вторую теорему
разложения.
133
Итак,
____________1_________1	1 j_1___
(S — 1)2 («2 + 2s + 5) “ 8 ’(5—1)2“ 16 * S— 1
I 1 S + l
16 ’(s + I)2 +4
— tef---— e* -I—— e~{ cos 2/.
8	16	1 16
Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение
уравнения
х —	1 е1 -\re~t	-j-—'j cos	-—- sin 2/!,
k '	16	1 Н 0 1 16)	2 J
или
х (0 = -^ 1~g< {Cxcos 2t С2 sin 2t}
(в последнем выражении для x(t) мы приняли х04~
§ 2. Интегрирование систем линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами можно интегрировать опе-
рационными методами совершенно так же, как и отдель-
ные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что
вместо одного изображающего уравнения приходим к си-
стеме таких уравнений, причем система эта в отношении
изображений искомых функций убудет линейной алгебра-
ической. При этом никаких предварительных преобра-
зований исходной системы дифференциальных уравнений
(например, преобразований к нормальной форме) произ-
134
водить не требуется: всякую систему можно интегриро-
вать в ее первоначальном виде.
Метод интегрирования таких систем покажем на не-
скольких примерах.
Примеры. 1. Проинтегрировать систему линейных
дифференциальных уравнений
х' -фЗл — 4у=9е2<
2х -ф-у' — Зу =3е21 ’
при начальных условиях
х0 = 2, уо = О при / = 0.
Имеем
e2f = —.
' s — 2
Положим
x(0 = x(s),	=
В силу начальных условий найдем
х' (t) = sx (s)—2, y'(t)~sy(s).
Строим изображающие уравнения
(« + 3)хф$У—4 y(s)-2=^2^ ,
27(r)+(s-3)^)=-^,
или
(5-гЗ)7^)-4^Г=^±|,
2T^)+(s-3)FW,=^-
135
Решая эту систему относительно x(s) и y(s), находим
——	2s2 — S — 3	2s — 3
x(s) =-----------—----------— ,
(S2_1)(S_2)	(s—l)(s—2)
—pc _______s + 1	___________1_____
y ~	(s2-l)(s-2)“	(s-l)(s-2) ”
(в обоих случаях произведено сокращение на общий
множитель числителя и знаменателя, а именно, на (s +
+ 1)). Разлагая найденные изображения на простейшие
дроби (элементарными способами или используя вторую
теорему разложения, что одно и то же), находим
—гд 1 1 1	“гт 1	1
v7 s—11s—2	s-1 s—2
Это позволяет сразу записать решение предложенной
системы в виде
x{t)=e( 4~е2*; у	— e2t.
2. Найти общее решение однородной системы
x" + 2x + y'=Q,
Зх'-у" + 2у=0.
Поскольку требуется найти общее решение предло-
женной системы, начальные условия задаем в виде
х = х0, х'=х’о, у~Уй, у'=у'ъ при 1=0.
Полагая, как в предыдущем примере,
%(/)== х (s), y(i) = y(s),
136
находим в силу принятых начальных условий
x'(/)=sx(s)-x0> y’(t) = sy(s)— у0;
х" (t}==s* х (s) — xos — х'о, у" {^==82у (s) - yos — у'о.
Внося в уравнения системы изображения вместо функ-
ций, приходим к следующей системе изображающих
уравнений:
(s2 4- 2)Зф)+S у (s)=xos + Хо + у'о,
3sxp) - (s2 - 2) 7(sJ = — yos + Зх0 - y'Q.
Решая ее, находим следующие выражения для x(s) и
77):
——	(s3+s)x0 + («2 — 2)Хд — 2У0 — sy'Q
X (s) =---------------------------- ,
(S2-l)(s2+4)
—- — 6_Tq + 3sx0-|- (s3 -f- 5s) yo + (s2 + 2) y0
У ~	(S2- 1)(S2 +4)	
Для отыскания оригиналов здесь проще всего восполь-
зоваться следующим приемом. Имеем
1	_ 1 Г_______1 _
(s2— 1)(S2 +4)~ 5 [s2 — 1
1
s2 + 4
= — fsh /---------7 sin 2/
• 5 L	2
Отсюда по теореме дифференцирования оригинала по-
следовательно находим (добавочные слагаемые вида —
/(0) в левых частях не появляются в силу того, что каж-
дый раз /(0) =0)
s
(s2-1)(S2+4)
7. [ch/—cos 2/J,
5
137
------------=—[sh/4-2 sin 2/1,
(s2-l)(s2 + 4) • 5 1 1	J’
------------= — [ch / 4- 4 sin 2/1.
(s2 _ 1) (S2 + 4) • 5 i 1	J
Используя эти формулы, находим по вышеприведенным
выражениям для x(s) и y(s) решение предложенной си-
стемы
...	2*о-у’о	*о+2уо
х (/)=------ch /---------sh / -|-
5	5
. Зхо+^о	Зх0 + у0 .
	cos 2/ 	sin 2/,
5------------------5
у (/) = .3(*о+2Уо) ch t-(2х0 — у'о) sh / —
5	о
— -^-(Зх'+ y0)cos2/ + -^-(3x0 + po) sin 2/.
э	о
Подчеркнем еще раз преимущества операционных ме-
тодов интегрирования перед классическими:
а)	возможность найти частное решение системы (удо-
влетворяющее заданным начальным условиям), минуя
общее (см. пример 1);
б)	более удобная форма представления общего реше-
ния системы, позволяющая сразу, прямой подстановкой
любых заданных начальных условий, выделить нужное
частное решение (см. пример 2).
В самом деле, если бы мы решали систему из приме-
ра 2 классическими методами, то нашли бы ее общее
138
решение в виде
х (/)—Сх ch t С2 sh t ]~CS cos 2/ -фQsin 2/,
у (/J = — 3C2 ch t — 3CX sh t—C4 cos 2t C3 sin 2t.
Для выделения нужного частного решения пришлось бы
найденное общее решение дифференцировать, подстав-
лять начальные^ условия в полученные выражения для
х, у, х' и у' и решать систему четырех линейных урав-
нений с четырьмя неизвестными С2, С3 и С4; вся эта
работа становится излишней при решении системы опе-
рационными методами.
§ 3. Передаточная функция и ее оригинал.
Интеграл Дюамеля
Пусть требуется проинтегрировать линейное диффе-
ренциальное уравнение n-го порядка
х("’+а1х^-’’ + ... кййХ==/(/)	(5; 3; 1)
при нулевых начальных условиях х0 = хв' — ... = хо(п-1)=О
при £=0. Коэффициенты ak(k=\, 2, п) —постоянные,
функция f(t) —оригинал.
Поскольку начальные условия — нулевые, изобража-
ющее уравнение, в соответствии с обозначениями, при-
нятыми в § 1 этой главы, запишется в виде
'p0(s)-r(sj=7(s)-	(5; 3; 2)
Поэтому в данном случае изображение искомого решения
определится по формуле
x(s) = ——/(s).	(5; 3; 3)
139
Функция
_Л—, (5; 3; 4)
4о(«) s +«i«	+а„
на которую нужно умножить изображение правой части
уравнения (5; 3; 1) для того, чтобы получить изображе-
ние решения, отвечающего нулевым начальным условиям,
называется передаточной функцией уравнения (5; 3; 1).
Понятие передаточной функции широко используется в
теории автоматического регулирования, причем, по упо-
требляемой в этой теории терминологии, функцию /(/)
называют «входным», а само искомое решение x,(t) —
«выходным» сигналом. Передаточную же функцию опре-
деляют как отношение изображений «выходного» и
«входного» сигналов. Аналогично вводится понятие пе-
редаточных функций для систем линейных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами и ну-
левыми начальными условиями как коэффициентов, на
которые нужно умножить изображение входных сигналов
системы, чтобы получить (после сложения по всем вход-
ным сигналам) изображение соответствующей функции
на выходе.
Используем понятие передаточной функции для отыс-
кания решения уравнения (5; 3; 1) в общем виде. Нач-
нем со случая уравнения с нулевыми начальными усло-
виями. Изображение его решения (5; 3; 3), используя
передаточную функцию, можно записать теперь в виде
x(s)=n(s)/(s).	(5;	3; 5)
Пусть
л(х)==л(/),	(5;	3; 6)
140
тогда по теореме свертывания оригиналов решение x(t)
может быть сразу найдено в виде
t
x{t)=Jл(т)/(/—x)dx.	(5; 3; 7)
о
Интеграл в правой части (5; 3; 7), определяющий ре-
шение линейного уравнения при нулевых начальных ус-
ловиях в виде свертки оригинала передаточной функции
и правой части уравнения, называется интегралом Дюа-
меля.
Интегралу Дюамеля обычно придают иную форму
записи. Найдем по формуле (5; 3; 7) решение хД/) диф-
ференциального уравнения (5; 3; 1), отвечающее (при
нулевых начальных условиях) функции и Д) в его правой
части, т. е. решение, отвечающее единичному «входному»
сигналу:
t	t
хД/) = j л (т) и (t — т) dx = § n(x)dx.
о	о
Дифференцируя это равенство, находим
Л(/) = Х1(/).
Таким образом, оригинал передаточной функции ра-
вен производной от Xi(t) —производной от решения дан-
ного уравнения, отвечающего единичному «входному»
сигналу при нулевых начальных условиях. В силу этого
формуле (5; 3; 7) можно придать вид
t
хД)=р;(т)/Д-т)^т.	(5; 3; 7')
о
141
Преобразуем интеграл в правой части, выполняя инте-
грирование по частям,
О
= xx(0/(O) + J f (т) хх(/ —i)dc.
о
(Здесь учтено, что Xi (0) =0 и что свертка функций не из-
меняется от их перестановки.)
Таким образом, находим окончательно
t
x{t) = x1(t)/(0)4- j /'(т)х1(/ —т)Л. (5; 3; 7")
о
Формулы (5; 3; 7') и (5; 3; 7") дают интеграл Дюаме-
ля в общепринятой записи. Они выражают решение диф-
ференциального уравнения (5; 3; 1), отвечающее (при
нулевых начальных условиях) произвольному «входно-
му» сигналу f(£) через решение хДО этого же уравне-
ния, отвечающее единичному «входному» сигналу.
Оригинал передаточной функции можно использовать
для отыскания решения уравнения (5; 3; 1) и в случае
не нулевых начальных условий. Прежде всего, исполь-
зуя равенства (5; 1; 3) и (5; 1; 4), запишем изображаю-
щее уравнение для уравнения (5; 1; 1) при начальных
условиях (5; 1; 2) в ином виде, чем это было сделано в
§ 1, а именно, соберем в членах изображающего уравне-
ния, содержащих начальные значения х0, х0', ..., хп-1, все
слагаемые с одними и теми же степенями з. Изображаю-
142
щее уравнение примет следующий вид:
(sn+asn-1 +•. .-J-a„)x(s) —
-(Д0 + Д15 + ...+ Д„_18"-1) = т	(5; 3; 8)
Здесь
Ло==хо”	’-И • • •_Ьйл-1-*'о>
А1=хоп 2)-~1~а1хоп 1<2„_2хп,	(5; 3; 9)
ДА = хо" *	й 2>Н~" • •Jran-k-ixo>
Ап-1 == х0
Поскольку —-------------------=ji(s), находим следую-
s 4- #1$	+ ... 4- dn _____
щее выражение для изображения x(s) искомого реше-
ния:
____	л—1
x(s)=n(s)-/(s) + 2	(5; 3; 10)
*==о
Оригиналом для первого слагаемого правой части равен-
ства (5; 3; 10) служит интеграл Дюамеля. Оригиналом
для n(s) служит л(/). Но так как тф^хД^Дгдех^) —
решение исходного уравнения, отвечающее единичному
«входному» сигналу и нулевым начальным условиям),
то л(0)=л' (0) = n"(0)=.,я(л~2) (0) = 0. Поэтому по
теореме дифференцирования оригинала находим
n'(/)==sn(s),
п" (f) ==Лт(8),
(5; 3; П)
л;(',г-1) (/) = 8,,_1л (s).
143
Используя равенства (5; 3; 11), находим решение
уравнения (5; 3; 1) в следующем общем виде:
t	п—1
(5; 3; 12)
О	й=0
где n(t)—оригинал передаточной функции, а коэффи-
циенты Ak (6=0,1, ..., п—1) определяются по начальным
условиям и коэффициентам исходного уравнения равен-
ствами (5; 3; 9).
Пример. Проинтегрировать уравнение
х" — 2х' -ф2х = /е*.
Имеем
л ($) =--------- л (t)=е‘ sin t =---------,
1 ’	S2_ 2s + 2 v	• (s —1)2 + 1
л (/)=e<(sin/-|-cos /);
t	t
J л(т)—r)dt — Jexsint(/ —r)e<-TrfT=e/(/—sin/);
о	о
A 0 — x0 -ф- axx0=Xq — 2x0,
— xo-
По формуле (5; 3; 12) находим общее решение предло-
женного уравнения
x(t)=е( (/ —sin/)4-(%o —2x0)e' sin/-U
-|-x0ez(sin/4-cos /),
или
x(t) = el </ + (xq— х0— l)sin/-|-x0cos/}.
144
§ 4. Интегрирование уравнений, в правой части которых
стоит кусочно-аналитическвя функция
Опираясь на теорему запаздывания и найденное в
гл. 3, § 5 изображение кусочно-аналитической функции,
можно операционными методами без труда проинтегри-
ровать линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами, в правой части которого стоит
некоторая кусочно-аналитическая функция. Это являет-
ся еще одним важным преимуществом методов операци-
онного исчисления по сравнению с методами классиче-
ского анализа: при использовании последних подобные
уравнения (правая часть которых имеет различный вид
на разных интервалах изменения аргумента) пришлось
бы интегрировать по этапам, т. е. на каждом таком ин-
тервале по отдельности. При этом на каждом этапе при-
шлось бы искать свое решение неоднородного уравнения,
отвечающее данному виду правой части, определять свои
начальные условия и по найденным начальным условиям
определять свои значения произвольных постоянных Ci,
С2, ..., Сп, входящих в решение. От всей этой утомитель-
ной, а часто и громоздкой работы мы полностью избав-
ляемся, применяя операционные методы.
Примеры. 1. Проинтегрировать уравнение
x"+x=f(t)
при нулевых начальных условиях, если функция f(t) за-
дана графиком, изображенным на рис. 25.
Изображение функции f(t) было предложено найти
в упражнении 4 рис. 21 к третьей главе. Это изображение
(см. ответ к этому упражнению) следующее:
s2 L
-------(е-T2S —е~~т,л’
*3 — Т2
145
В силу нулевых начальных условий изображающее
уравнение будет иметь вид
(s2 +1) x(sj = — Г— (1 — е-^)----— (е—— е~ ^)1.
§2 Xj	Т3 — Т2	J
x(s)
Определяем отсюда изображение искомого решения
h
«2 ($2 + 1)
=0 при t>Z3
Рис. 25
Находим оригинал для основного слагаемого изображе-
h
ния, т. е. для ------------ :
«2 ($2+1)
•--------- ---------------- 4- —— jiLLl'K
$2 ($2 + 1)	$2	$2 + 1 •
Оригиналы остальных слагаемых изображения, отличаю-
щихся от первого слагаемого множителями вида е ~xs (с
постоянными коэффициентами), определяются при помо-
щи теоремы запаздывания, а именно:
hp-'s
Г. iT =F/?»(^-T)[(/-T)-sin(/-T)].
S2 ($2 4- 1)
146
Таким образом, окончательный вид решения заданно-
го уравнения будет следующий:
(t — sin/)-—	Tj) — sin(/— tJI —
Ti	Ti
—~	T2) [(^~ 4) - sin (/ - r2)] +
T3 — T2
H-------«-T3) [O' - T3) - sin (/—ts)].
T3— T2
f(t)=Onput >6T
П g	,
Г Z'
h - 4 /	\z2
У	xf
Г 2Г3Z 5T 6z"t
Рис. 26
Найденное выражение для x(t) позволяет определить
значение решения данного уравнения для любого значе-
ния аргумента t.
2. Проинтегрировать уравнение
xv+₽2x=/(/)
при нулевых начальных условиях, если функция f(t) за-
дана графиком, изображенным на рис. 26.
График /(/) состоит из дуг четырех парабол второго
порядка с вертикальными осями, имеющих вершины со-
ответственно в точках О, В, С и Е, и отрезка прямой,
147
соединяющей вершины В и С второй и третьей пара-
бол. Первая и вторая параболы касаются друг друга в
точке А (т, h), третья и четвертая — в точке Z)(5t, h).
Аналогичный график рассматривался в гл. 3 § 5). Нельзя
ли определить значение т, указанное на этом графике так,
чтобы при t>f>x, x(t)=6 (т. е. чтобы движение прекра-
тилось, как только исчезнет возмущение)?
Для нахождения изображения функции f(t) исполь-
зуем формулу (3; 5; 9) гл. 3. Имеем следующие уравне-
ния парабол:
х = -^-/а (первая),
х = —у(/—2т)2-|-2/г (вторая),
х— —	(t—4т)2Д-2/г (третья),
х=— (t — 6т)2 (четвертая).
В точках «стыка» кривых, т. е. в точках t = 0, т, 2 т, 4 т,
5т и 6т сохраняется непрерывность f(t) и разрыв
претерпевает в этих точках лишь вторая производная от
со следующими скачками:
Д/"(0)=Д/"(2т)=-^-, д/"(4т)=д/"(6т) = -^
Т2	т2
Д/"(т)=-^-, Д/"(5т)=^-.
Т2	Т2
148
Все производные порядка выше второго от f(f) равны
нулю. Отсюда находим изображение f(t) по формуле (3;
5; 12)
f (0 == Ж=-” {1 - 2e-xs +е~2™-	+
Изображающее уравнение запишется в виде
(«нм=ж
Определяем x(s):
x(s) =---—----[ 1 — 2e~TS + е-2« — e~4w 4-
’ T2S3 (s2 + £2) 1	1
.ф2е-5тЛ —e-6'4’].
Находим оригинал основного слагаемого изображения
2/г	1	_ 2/г Г_02__1_ . s 1 ,
т2 ’ S3 (s2 + ₽2) “ £4Т2 [ s3 S S2 + ji2J
= _2£_Г£. /а-i+cos^l.
’ ^4т2 |_ 2	'
Отсюда, используя теорему запаздывания, находим реше-
ние предложенного уравнения в виде
fe=6
*W=Д J} Cku{t-kr)\^-{t-kxY- 1 +
"ЯГ
4-cos£(f—Ат)],
где коэффициенты Ch имеют следующие значения:
С0=С2=1; С1=-2; С3 = 0; С4 = С6=-1; СБ=2.
149
При ^>6т, все функции u(t — kx) = 1; выражение для
x(t) после элементарных преобразований приводится к
виду
х(1 — cos ₽т) sin	cos (3(/—Зт),
А2
поэтому, если т =-^- >
где k — любое целое положи-
тельное число, = Q при />6т.
§ 5. Интегрирование уравнений, в правой части которых
периодическая функция
Наличие простой формулы, определяющей изображе-
ние произвольной периодической функции (гл. 3, (3; 4;
3)), позволяет с успехом применять операционные мето-
ды при интегрировании линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, в правой час-
ти которых стоит периодическая функция. Покажем это
на конкретном примере.
Пример. Проинтегрировать уравнение
х" -ф 2х' -ф 2х = | sin 11
при нулевых начальных условиях.
В § 4, гл. 3 мы нашли изображение периодической
функции ]sin£] (формула (3; 4; 4)):
Поэтому (с учетом нулевых начальных условий) изобра-
жающее уравнение для предложенного уравнения будет
иметь вид
150
(s2 * + 2s-|-2)x(s)
 1 + e~™
1 - e-«
1____
1 + s2 ‘
Отсюда находим изображение искомого решения
1	1 + е~^
x(s)
(s2 + l)[(s+ 1)2+ 1]
Для отыскания самого решения применим третью
теорему разложения (условия ее применимости выпол-
нены, поскольку lim х(s)=0, причем x(s) стремится к
$->ОО
нулю равномерно на всей плоскости, если s остается на
последовательности окружностей, не содержащей полю-
сов x(s)). ___
Полюсы лз(«)
s=±i, s=i— l±z, s=2ni
(n— любое целое положительное или отрицательное
число или ноль). Все полюсы x(s) простые.
Определим вычеты функции estx(s) в этих полюсах.
1. Res {esf x(s)} = lim — ~
s— I	s-> I Ls 1
1 +
1 -
(s + 1)2 + 1 X
= 0.
Аналогично, Res !est x (s)} =0.
,y--i
2. Res {est x (s)j = lim Г—-—
S—1+I	V	s__l+,-h2 + l
S + 1—l-e^x
(s + 1)2+ 1
(e!f.
151
Какчисло, сопряженное с найденным, определяем вы-
чет в точке s= — 1 — I *:
Res {estx (s)} = — th — 2 + - е~'- e~lt.
s—i-i	'	2	10
Складывая эти вычеты, находим
Res {estxRes {estx(s)} =-------------—th — e~‘X
s—l-i	5	2
X{2cos/-^sln^}»
—	( i	est
3.	Res {esZJc(s)} =lim {---•---------X
s=0	s-*0 (s2 Ц- 1 (S -f- 1)2 + 1
4.	Найдем вычет в точке s = 2nt, /г>0:
—	f i	Pst
Res {estx(s\}— lim 1------------------(1 + е-1И)Х
' s^nl	^2«Ms2+1 (S + 1)2 + 1	1
X S — 2ni 1— <2"2 - О + 2»* . J_g2nl7
1 — e~KS J (4n2 — 1) (4rt2 + 1) ‘ л
При отыскании предела последнего множителя в скоб-
ках можно применить правило Лопиталя, которое, как
легко видеть, сохраняет силу для регулярных функций
* Если функция комплексного переменного для комплексно-
сопряженных значений своего аргумента принимает комплексно-соп-
ряженные значения, то и ее вычеты в двух комплексно-сопряжен-
ных особых точках будут сопряженными комплексными числами.
152
комплексного переменного, отношение которых обра-
0
щается в — :
lim ? — 2ш-
1 — е
= lim 	-
s-*2nl ле
1
л
Как число, сопряженное с найденным, находим вычет в
точке s= —2 nt:
Res {estx (s)}
,s--2nl
= (2n2-l)-2nZ . J_ e_2n„.
(4n2—- l)(4n< + 1) л
Складывая эти вычеты, находим
Res {estx (s)} 4- Res {estx(s)}=-------------X
s=2ni H i	V Я (4n2_l)(4n2+l)
о
X — {(2na — l)cos 2nt — 2n sin2n/}.
OT
Суммируя вычеты по всем полюсам функции x(s),
находим решение предложенного уравнения в следующем
виде:
х(/) = —---— th-^-e_/ {2cos/ + s*n0 +
л 5	2
(2п2 — 1) cos 2nt — 2n sin 2nt
(4n< —l)(4n<+ 1)
§ 6. Физические задачи
В заключение настоящей главы рассмотрим несколь-
ко примеров применения операционных методов к реше-
нию физически? задач, приводящих к линейным диффе-
153
ренциальным уравнениям с постоянными коэффициен-
тами.
1. Груз р находится на горизонтальной плоскости и
прикреплен к пружине жесткости k, массой которой пре-
небрегаем. Конец пружины закреплен на плоскости; ко-
эффициент трения при движении равен ц, коэффициент
трения покоя — р0. В начальный момент пружина сжата
на а единиц длины. Найти закон движения груза; опре-
делить моменты наибольших последовательных удлине-
ний и сжатий пружины и величину их. Когда движение
прекратится и сколько колебаний сделает груз?
Решение. Чтобы груз пришел в движение, нужно
чтобы в начальный момент восстанавливающая сила пру-
жины была больше силы трения покоя:
откуда а
k
Введем обозначение — = ша. Движение может на-
чаться, если а>^-. Движение будет происходить
(д>2
вдоль прямой, по которой направлена пружина. Эту пря-
мую примем за ось Ох, поместив начало координат в ко-
нец нерастянутой пружины. Силы, действующие на груз:
а) восстанавливающая сила пружины/"]=—kx; б) сила
трения F2~ ±рр= ±pmg. Сила трения направлена в сто-
рону, противоположную направлению движения; знак пе-
ред ней противоположен знаку х', поэтому ее можно за-
писать в виде F2 — —pmgsgn х'. Функция sgn х опреде-
ляется следующим образом:
1 при х>0,
О при х~О,
sgnx =
— 1 при х<Д.
154
Уравнение движения груза будет иметь вид
тх"— —kx — ^.mg sgn х',
или, после деления на т, переноса kx влево и использо-
вания обозначения — = «/,
т
x"-^-<i?x——[xgsgnx'.	(5; 6; 1)
Пусть последовательные моменты наибольших удли-
нений и сжатий пружины будут тщ тг, В начальный
момент то==О пружина сжата х0= •—а. В момент тп дви-
жение груза прекращается в силу того, что восстанавли-
вающая сила пружины в этот момент окажется меньше
силы трения покоя.
Так как первоначально пружина была сжата, то в
промежутке 0<^<ть скорость х'>0, в промежутке ti<
</<т2 х'<0 и т. д. В силу этого функцию sgnx' можно
выразить через единичную функцию «(/) следующим об-
разом:
sgn х' =[ 1 — и (t — tJ] —	—	—
+ [«(/ —т2) —«(/—т3)] —— I?-1 [«(/- r„_J —
- и (t - т „)] = 1 + 21 J ( - I (' - И)+(- 1Г и {I - т„).
j=i
Внося это выражение sgnx' в уравнение (5; 6; 1), при-
ходим к следующему окончательному виду уравнения
движения груза:
-jig 1-4-2	(~l)W-4) (5; 6; 2)
I >i	J
(мы отбросили последнее слагаемое в выражении sgnx',
так как приняли, что в момент 1=хп движение прекра-
155
щается; поэтому при движении £^тп и u(t— тп)=0).
Находим изображающее уравнение, используя на-
чальные условия (при rf=0, х0 = —а, хо'=0):
___	I	j-n-i	.
(s2 + <o2)x(s) + sa=	1 + 2	.
I ЛЛ	J
Отсюда
x(s)=---------------------11 +2 V (-	=
V	S2 + ш2 S (S2 + 0>2) I '
= _ as _ p.g Г J__________s	у
§2 _|_ q)2	q)2 |_ S	$2 -|- o)2
C	/=«—i	\
X I +2 2 (-1)^6.
I j-i	)
По изображению находим закон движения груза
x(t)= — a cos at—— (1 — cos at) —
0)2
j-n—1
-2-J 2 (-iW-r/Hl-coso^-T,)]. (5; 6; 3)
Для отыскания моментов остановки движения (мо-
менты наибольших удлинений и сжатий пружины) нахо-
дим x'(t) (при дифференцировании по t единичные функ-
ции ведут себя как постоянные множители)
х’(t)==(aw ^jsinw/' ——т/)Х
X sin <о (/—Xj).	(5; 6; 4)
156
Последовательно находим для промежутков времени
(О, тх), (тх, т2).. .
1) 0<t<тх; u(t — ту)—0 (у = 1, 2,..п — 1).
х(/)= — a cos <о/ —	(1 — cos w/), %'(/) =
0)2
= ( аы-— )sinw/, х'(тх)=О,
\ /
причем тх —наименьший положительный корень урав-
нения х'(/)=0. Отсюда тх=— , х(т\)—а —	;
2) — = ТХ</<Т2, и{1— тх)= 1, м(/—Т;) = 0
О)
(/=2, 3,1).
х (/) = — a cos и/ —— (1 — cos <о/)
0)2
Г1 _ cos <!> (/ ——'ll ,
ш2 L	\ <о /]
х' —	—^-1 sin urt	sin io (t ——1 ,
\	0) J	0)	\	0) /
х'(т2) = 0, причем т2—наименьший корень уравнения
x'(/) = 0, больший тх=—. Отсюда т2 = —— , х(т2) =
О)	О)
= —и т- А-
(О
157
j—т	о	ОН	JUl
ПоследоЕательчо найдем: т3 = —v т4=—,...,тл= —,
СО	(О	(О
*(тз)=+«-^, -*(т4)=-а+^7...........
*(*«) = (-1)’-1
со^
Так как по предположению движение прекращается при
t—'Xn, то в этот момент времени восстанавливающая си-
ла пружины, равная £| х(т„) | = /п<о21 х (т„)1, должна быть
меньше силы трения покоя, равной iiotng
Итак, число колебаний п определится из условия
т<о21 х (тл)| = mw2 (а —< и,оШР>
\	«о2 /
откуда
д>—(5; 6; 5)
2р-£
При этом п — наименьшее целое положительное число,
удовлетворяющее неравенству (5; 6; 5).
2. Математический маятник длины I выводится из
положения равновесия тем, что точка его подвеса совер-
шает в горизонтальном направлении п полных гармони-
ческих колебаний с малой амплитудой а и частотой со.
Найти закон колебаний маятника Рассмотреть случаи:
а)	ф ш; б)	(резонанс).
Решение. Если обозначить через x(t) отклонение
маятника (по горизонтали) от начального положения
равновесия, а через y(t)—соответствующее отклонение
158
точки подвеса, то уравнение движения маятника будет
х"= -~^-(х-- у)= -k2{x- у).
По условию
р = а^1 — tt {t —sinwt = a sin «я!—
!.	2л,п \	.	/,	2лп \ /	/,	2nn \
— aa /------1 sin <o t--поскольку sin он/-------=
\ w /	\ to / \	\	co /
= sin(<o/— 2л/г) = sin ш/j,
поэтому уравнение движения маятника может быть окон-
чательно записано в виде
х 4- №x = k2a sin — и t-----i sin ш I /--
L \ o> /	\	“ /J
(5; 6; 6)
Поскольку при / = 0 хо=О и х</ = 0, изображающее урав-
нение запишется в виде
 „	2itn
Отсюда находим

x(s)=---------------------II — е *) . (5: 6; 7)
1 '	(S2 + £2) (S2 + Ш2) Х
Рассмотрим отдельно случаи <о ф k и w =
а)	<а ф k
I	2itn \
ka [ fe(0_____________ku> 1 1 _ e~ ~s
17	<o2 — *2 [ S2 + *2	,S2 + M2 J V	7 ’
159
По изображению находим закон колебаний маятника
b/у	(	/
х (/) =---------------] [<о sin kt — k sin <o/l — и (t
ы2 — *2 I.	\
• ill	2?T/Z \	ya f I
w sin kit--------------— k sin W 1 г
\	(0 j	\
или после
, , 2лп	,
очевидных преобразовании для t<----------и t>
u>
при	— x(t) =---------——(<o sin kt— k sin
Сй	Ы2 -— *2
„„ , \ 2лп ,,,, 2kd.a . knn , лп \
при --------- x(t) =---------- sin----cosklt-------
u>	«a2 — Й2 u>	\ ш /
6)	W=k
k^a
(S2 + *2)2
a k
2 [~s2 + k2
k^-k^) -1(1	-2-%s
(S2 + *2)2 J V
Отсюда по изображению находим закон колебаний маят-
ника
x(/)=-Msin& —fc/cosfc/) — и (t— — 'l[sinfc (/ — —
2 (	\ k / L \ k
160
или
при 0< / <С —
х(/)=-^- (sin kt ~ kt cos kt),
2лп
k
x(/)= ~nna cos kt.
3. На вал AB насажены два маховика А и Неодина-
ковыми моментами инерции I; жесткость вала Л, момен-
том инерции его можно пренебречь. В начальный момент
/ = 0 маховику А сообщается принудительное вращение
с постоянной угловой скоростью со, которое поддержи-
вается в течение времени Т, по истечении которого систе-
ма предоставляется самой себе. Определить закон дви-
жения обоих маховых колес.
Решение. Обозначим углы поворота маховиков Л и
В через ф и ip. Для промежутка времени	имеем
для маховика A: q> = <s>t. Дифференциальное уравнение
движения маховика В будет
/ф"4-Х (ф- <of)=0.	(а)
При t>T дифференциальные уравнения движения махо-
виков будут
Лр"4-Х(<р-ф)=0 и /ф"+Х(ф-<р)=О. (р)
В данном случае нецелесообразно пытаться объединить
обе системы (а) и (р) в одну; проще, решив первую из
них, определить по найденному решению начальные ус-
ловия для второй (в момент времени t = T).
Решение первой системы дает для угла ф (при нуле-
вых начальных условиях) значение
ф=(ц/—— sin kt
т	k
6—3209
161
(через k2 обозначено отношение—). Отсюда находим на-
чальные условия для системы (р)
(р0=(о7', ср0=со; ф0 = и>7'—— sinkT',
k
фо=ш(1 — cos kT).
Перенесем начало отсчета времени, полагая t = t\ + T, что-
бы начальные условия для системы (р) были заданы при
/1 = 0. Перепишем систему (р) в виде
—	+<]>"+£2ф=0.	(5; 6; 8)
Изображающая система (по аргументу ti) будет иметь
вид
(а2 &2) ср—А2^=su>t
— &2cp-]-(s2-r k2)ty— stoT4~(о—— sin#T — cos kT.
k
Исключая поочередно ф и ср, находим
а2 (а2 + 2 А*)ф=(а2 + 2Л2) (асоГ+<>)- s^k sin kT - ®k* cos kT,
a2 (a2 + 2Л2) ф=(a2 + 2A2) (a<»r + co) -
-(а2+Л2) Г— sin £T+®cos kT \ .
L k	j
Отсюда определяем ср и ф:
шТ । ы cosinW Г 1	s'
ср =----------------------->------- —
s 1 s-2 2k L s s2 + 2$. .
ш cos kT Г 1	1 j
2	L s2	s2 + 2£2 ] ’
162
s
u>T , co co sin kT
7Й 2k~
co cos kT Г 1
2 IV
s
s ' s2 + 2£2
1 I
«2 + 2fe2 J ’
По найденным изображениям определяем ф и ср:
со s 1 n kT г	1 - । г г-i , -1
——-[l-cos^ |/2 /J —
<f=U>T-\- и>1г
co cos kT
'	2
ф = U>T -|-
Л----Ц— sin	2 Л ] ,
. 1 kY2	1 j
to s in kT г 1 t tn лй 1 i
—Yk—[l + cosfcp^/J-
co cos kT
2
—— sin M/2 Л
£j/2 r 1
4
Чтобы вернуться к аргументу t, надо в этих формулах
положить ti = t — Т. Окончательный ответ (для t>T) бу-
дет иметь вид
t = 0)/_J1^2L[1_Cos^/2(/-7')]-
-~cos kT-\t—T----sin Л ]/2 (/ — Г)] ,
2 L kV2 у 'J ’
[1 4- c°s k /2 (/-Г)]-
<ос^£[/_г+ 1 sin^2(/-nl .
2,	R у 2	J
4. К электрической цепи, в которую последовательно
включены самоиндукция L, сопротивление Д и емкость
6*
163
С с начальным током и зарядом, равными нулю, прило-
жена электродвижущая сила, равная Ei при Q<t<T и
Е2 при t>T, где fi, Е2 и Т — постоянные. Найти ток в
цепи.
Решение. Обозначая через i (f) ток и через Q заряд
конденсатора, приходим к уравнению
L^+W~^ = [l-u(t-T)]E1 + a(t-T)E2.
Но = z и поскольку начальный заряд равен нулю,
t
Q=^idt. Уравнение приводится к вид^
о
t
о
Переходим к изображающему уравнению, полагая
i(t) ±:i(s). Так как i'o=0 получаем уравнение
(Ls+R+ 7?)	e~Ts.
Находим г(з):
£1 Е2—Е\ —Ts	Е2 — Е\ -Ts
_|_ —————л	-j-	л
ф) =	= Л_________.
„ , Е ,	1	(s + fe)2 + /12
s2 + Ts + TI
Здесь приняты обозначения k=
(ограничимся рассмотрением только этого, наиболее об-
164
щего случая). По изображению находим ток
Z (/) = A. е-ьт sin nt _l _Ё2—Ej_	e-k (t-T) sin (/ _ 7).
Ln	Ln
5. Две одинаковые электрические цепи, состоящие из
самоиндукции L, сопротивления R и емкости С, соединен-
ных последовательно, связаны взаимной индукцией М,
причем ^имеется идеальная связь, при которой M = L. На-
чальные токи и заряды равны нулю. К одной из цепей в
момент времени t=0 прилагается постоянное напряже-
ние До- Найти токи в обеих цепях.
Решение. Вводя обозначения z'i и г'а для токов, Qi
и Q2 для зарядов конденсаторов, приходим к системе
уравнений
L	di\		Qi		rfz2	= £0,
	di		c		di	
L	di% di	4*44	q2 c		dii di	= 0.
t	t
Поскольку Qx= lidt, Q2= f hdi (начальные заряды рав-
6	б
нынулю)и, кроме'того, |/=о—Ц |/=о=0, переходя к изо-
бражениям, приходим к системе
С* s /	s
Lsl^s) + ( Ls + R+4") Ш=0.
\	Cs /
165
Отсюда находим

До
2/?
До
4£
До
2R
S + ~ДС
1№
2LC 16Z.2
/2(S)—
До
_______4Z,
R 1
"2 + 2L S + 2LC
Предполагая, что
обеих цепях
п2>0, находим токи в
р	р
lAt) — —-е RC Ч-----— е 4L sin nt,
1 ’ 2R 1 4£л
p ___£_ p __ R *
iJt)=—— e лс j__E2_e 4£ sinra/.
2k ’ 2R	‘ 4 Ln
Примечание. При подборе задач для этого параграфа ав-
тором частично использованы упражнения к главам 2 и 3 из книги
X. Карслоу и Д. Егер «Операционные методы в прикладной матема-
тике». ИЛ, 1948.
Упражнения
1.	Найти решения следующих дифференциальных уравнений
при заданных начальных условиях:
a)	x"-j-2x' ф-х=е — 1 , Хо = 1, Xq = 0 при / = 0.
Ответ: х = е ’ I l-f-H
166
б)	х" — 9х = sh t, х0 = — 1, x'o = 3 при Ь-- 0.
25	1
Ответ: х = — sh 3t — ch3^— — sh t\
24	8
в)	X'" — x" = ez , x0 = 1, x0 = 0, x'Q = 0 при t — 0.
Ответ: x = 3 + t + (t — 2) e*;
r) xlv—x" = sh/, x0 = x0 = x0 — 0, Xq = 1 при / = 0.
Ответ: x = cM — sh 0-
2.	Найти общие решения следующих дифференциальных урав-
нений:
а)	х" + 9х = cos 3/.
1	, 1
Ответ: х = х0 cos 3i + — xQ sin 3f + — t sin 3t\
3	6
6)	x" — 4x' + 5x = e* .
/ 1 \ 1 /
Ответ: x= ^x0 — — j e cos t + ^x0 — 2x0 + —J e sin t + — e ;
в)	x" — 2x' = e2z
xo 1	/ xo t 1 \
.Ответ: x = x0- — + т - — + - ---
r)	x"— x’ — 2x = t.
167
Ответ: х~ — I х04- х'о + — ) е11 + —- (2х0 — Хд — 1) е ' 4-
о \	J	о
1 1
4 ~~2
3.	Найти решения следующих систем линейных дифференциаль-
ных уравнений при заданных начальных условиях:
а)	х" + у' — sh t — sin t — x ~ 0, x0=2,
у" -|-x' == ch t — cos t.	J y0 = 1, y0’ ~ 0 при t = 0.
ft
Ответ: x = sh t 4- i; у ~ cos t ——;
6)	x" — x' + y' — e~f + cos t,	1	x0	= 2,	Xq	= 1,
x' — у "— у' —2sz sin t.	I	//o	= O,	y'^	= 1 при	t = 0.
Ответ; x = 2e( — sin у = — e~ z4-c.os
в)	x" + у' + у ~ e* — t,	1	x0	= 1,	x0	= 2,
x' — x + 2y" -- у — — e~*.	I	yt)	= yQ	= 0 при	t	=я	0.
Ответ: x — t+e( ; у — 1 — t — e~f.
4.	Найти общие решения следующих систем дифференциальных
уравнений:
а)	х"— у' — 1, 1
у " — х' = 0. J
Ответ: х= (х0 — Уд — 1) 4- Xq sh t + (1 4- iQch t\
у = у0—х0— t 4-(1 4-г/g) sh ^4-xoch i;
168
б)	х" -|- у" = 0,	|
х' 4- у = 1 +	/
Ответ: х = (х0 + у0 — I + х’0 + y'Q) + ^l — yQ — х0 — уа) е1 +
+ (хо + Уо) , У ~ (хо + Уо + Уо~ 1	) е< — (хо + Уо О-
Примечание. В решение этой системы может войти лишь
три независимых произвольных постоянных, так как сумма порядков
уравнений системы равна трем; легко видеть, что в силу второго
уравнения системы начальные значения х0 и у$ связаны условием
хо + Уо ~ 2 , поэтому в решении остаются лишь три произвольных
постоянных*0, Уо, и Уц.
Окончательная форма ответа для этой системы будет поэтому
следующая:
х— (хо + Уо + 1) — (^+'Уо)е<+(2 — Уо + Уо)
«/= (1 +у'0 — ^е( 4-(г/о— Уо— 9-
5.	Проинтегрировать следующие уравнения, в правой части ко-
торых стоят кусочно-аналитические функции, при нулевых начальных
условиях:
а)	х"—x=f(t), где f(t) —задана графиком (рис 27).
169
Ответ: x = h {ch t — 1}—T){sh(^—t)—
h
— (t — т)} + — и (Z—2т) {sh (t—2т)—
— (*— 2т)};
б)	x" + x ~ f (t), i де f (t) задана графиком (рис. 28).
<27
Л
0
Параболы 2гопорядка
с Вертикальной, осью,
касающиеся оси Ot
t 2r t
Рис 28
Ответ: х -= — — и (t — т) {(t — т) —
,,	2/i {I &
- sin(Z -т)} +—	— — 1+ cos t
(\ 2
„(1_2т)[<£=2г
+ cos (i — 2т)
170
В)2Х” + х' = f (0> где f (t) задана графиком (рис. 29).
Парабола 2гогюряока
с Вертикальной осью,
касающаяся оси Of
f(t)-0nput>2n
2Р 7
Рис 29
h Г
Ответ: х= — 1 — t + — — е
Т	2
z2 Н-
2 “ J
3ft	Г	(t— Т)2
— — и ((—Т) 1 — (/ — т) + '—-—
Т	I	2
— е
2k
+ „ и й т) 2-
Т-!
(* —т)3 _
+	6
(t— Т)2	1
2Л	Г	(/ — 2т)з
(/ — 2т)2	1
- ---^-+(/-2т)-1 1.
6.	Используя оригинал передаточной функции и интеграл Дюа-
меля, проинтегрировать следующие уравнения.
171
a)	x" — 2х'+х=е* при нулевых начальных условиях.
t
Р	fi
Ответ; х~ I reT el'i~^dx=^-^~et ;
о
б)	x"4-x=stU при произвольных начальных условиях.
Ответ: х — — (sh t — sin t) 4-x0 sin t + x0 cos t\
в)	x"4-2x' +‘2.x = e~t при начальных условиях Xg = 0, x0=l
при t = 0.
Ответ: x — (Г — cos t 4- s n t) e~f.
7.	Проинтегрировать следующие уравнения с периодической
функцией в правой части при нулевых начальных условиях:
а)	х" —где f(t) задана графиком (рис. 30).
Л —	—	—	--
Z7 Т 2Т ЗТ 4Г 5t ’t
Рис. 30
-------	h ----- h
°"""'-' /w-s(1 + ^,). -(О-s(s—+е-и)
Л Л г
х=--+ — ------- + - _
2 т 2 L 1 + е-	1 +е
172
00
2Лт2,
л
sin (2^+1) —
т
(2fe-H)[T2 + (2£-hl)n2j’
Л2
б)	х" 4- — х ~ f(t), где f (t) задана графиком (рис. 31) (так
т2
называемая «равноскатная крыша»).
Рис. 31
--- h 1 — e“ts ---------
Ответ: f(s) = —- — —; x(s) =
ts2 1 g
1 — e~xs
1	л—" '"
Лт2 2йт
х=-------------t sin
2л2 лз
nt 5Л/2 nt
cos —
т
Т л4
. Лт2
т-------
JV<
k(k + 1)(2Л + 1)2
xt
cos (2fe + 1)—
г
h
173
Полюсы s = ± — — двойные полюсы x(s). Вычеты в них опре-
деляются по формуле
Res	= lim — [ (s =F — ei<x(s)l.
J ,’idsH т/ J
s-+—	»“±-
Значение вычета в точке s = — I (приводимое для самопровер-
т
ки) следующее:
•nit	nit
„	, е,---г, hx "V 5Лт2 —
Res {е ‘x(s)} = — — te	— — е
r.i	л3 г	2 л4
5 « —-
8.	Проинтегрировать при нулевых начальных условиях уравнение
х" + х = | sin /|.
Ответ: x(s)
1	1 + е~™
(«2-1)2	1—е-«'
2	л
X (t) = --- —----- COS t +
л	4
4 yi cos 2nZ
л ^J(4n2—1)2
n = l
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Импульсная функция первого порядка
Рассмотрим функцию	определенную следую-
щим образом:
(/)==— в промежутке (0, т),
прц t<^Q и	(6; 1; I)
Рис. 32
График этой функции изображен на рис. 32.
Площадь S, ограниченная графиком этой функции,
как площадь прямоугольника с основанием т и высотой
175
— равна единице. Иначе этот результат можно записать
т
и так:
-j-oo
J 8t(/)rf/=l.
—©О
Механически эту функцию можно истолковать как си-
лу постоянной величины и направления, действующую в
течение малого промежутка времени с импульсом (за
время действия), равным единице. Эта сила, будучи при-
ложена к материальной точке с единичной массой, сооб-
щит этой точке за время своего действия скорость и=1.
За время действия силы материальная точка переместит-
ся на отрезок длины -^,а дальше будет двигаться с по-
стоянной единичной скоростью.
Найдем изображение функции 6Т(/). Для этого запи-
шем ее в виде
8Т (/) = ц19_~	х)..	(6; 1; 2)
т*
1
Так как (см. гл. 3 (3; 1; 1))	—, a it(t—-т) =------
s	s
(по теореме запаздывания), то изображение функции
8т (/) будет следующее:
----	1 — p~xs
8t(/)t=8t(s)=-—-—.	(6; 1; 3)
xs
Импульсную функцию первого порядка получим как
«предел» 6Х(/) при £->0 (предел не в строго математи-
ческом, а в физическом смысле). Механически ее можно
истолковать как мгновенно действующую бесконечно-
176
большую силу с импульсом, равным единице. Она сооб-
щает материальной точке единичной массы единичную
мгновенную скорость. Введем для импульсной функции
первого порядка обозначение 5(/). Итак, по определению
8 (/)=lim (/)=lim и (<} ~ и(- ~ г) .
т->0	Т
(6; 1; 4)
В силу определения и свойств функции 6(0 имеем:
1)	8 (/)=() при t ф 0
2)	&(0)=со
+ о°
3)	J = 1.
— 00
(6; 1; 5)
Равенство (6; 1; 4) показывает, что формально функцию
6(/) можно рассматривать как производную от «(/)
8(/)=й'(/).	(6; 1; 6)
Изображение функции 6 (/) мы найдем, переходя к пре-
делу при /->0 в операционном соотношении (6; 1; 3)
-- ---------- 1 __ ,>-^s
8 (/) = 8 (s) = lim 8x(s) = lim --= 1.
Итак,	___
8(/)=8[s)=l.	(6; 1; 7)
Заметим, что последнее равенство хорошо увязывает-
ся с равенством (6; 1; 6), поскольку u(t) ±z-—.
Умножение импульсной функции первого порядка на
постоянную не требует пояснений.
177
Запаздывающая импульсная функция первого поряд-
ка — т) определяется равенствами, аналогичными (6;
1; 5).
8 (£— т)=0 при t ф 8(/ — т) = оо при /=т,
+ оо
j 8(/-T)d/=l.	(6; 1; 8)
— оо
Изображение б(/ — т) определится по теореме запаз-
дывания:
§ (/—т) =	(6; I; 9)
Используя определение импульсной функции первого по-
рядка, нетрудно доказать справедливость следующих ра-
венств (/(/) —непрерывная функция):
WW=/(<W),	(6; 1; 10)
+ °°
j 8(/)/(/)Л=/(0),	(6; 1; И)
—• оо
8(z —т)/(/) = /(т) 8(/—-т),	(6; 1; 12)
н оо
)	(6: 1; 13)
Для доказательства равенства (6; 1; 10) запишем его
левую часть в виде
8 (/)/(/) = lim 8t (/)/(/).	(6; 1; 14)
•t-,0
Положим в правой части последнего равенства
/(*)=/(0ЖЛ(/)-/(0)1.	(6; 1; 15)
178
Заменяя в равенстве (6; 1; 14) f(t) этим выражением и
переходя к пределу при т->0, находим
8 (/) f (/) = lim 8Т (/) {/ (0) + [/ (/) - / (0)]} = / (0) lim 8Т (/) +
1->0	т~>0
+ [/(*)-/(0)] Ит8т(/) = /(О)8(/)
(поскольку при /#=0 имеем lim6Т (г!) =0, а при t = Q имеем
f(O-f(0)=0).
Аналогично доказывается равенство (6; 1; 12).
Для доказательства равенства (6; 1; 11) используем
доказанное нами равенство (6; 1; 10) и последнее из ра-
венств (6; 1; 5):
8(/)/(/)^ = +j 8 (/) f (0) dt = f (О) +J 8(0rf/ = /(0).
—oo	—oo	—oo
Наконец, равенство (6; 1; 13), если в его левой части
сделать замену переменной интегрирования, положив
t — x = t\, немедленно получается из равенства (6; 1; 11).
§ 2. Импульсная функция второго порядка
Рассмотрим теперь функцию SV^/), определенную сле-
дующим образом:
ew=-4- 8<‘М=0	в промежутке (0, т), в промежутке (т, 2т), при / <^0 и /)> 2т.
График этой функции изображен на рис. 33.
179
Механически эту функцию можно истолковать как си-
лу постоянной величины — действующую в течение про-
межутка времени т в одном, а в следующем промежутке
той же длительности — в прямо противоположном на-
правлении. Полный импульс этой силы за все время ее
действия равен нулю.
Рис. 33
Если такую силу приложить к материальной точке еди-
ничной массы, то она вызовет перемещение этой точки за
время своего действия на единицу длины, причем в мо-
мент времени / = 2т движение остановится. Чтобы в этом
убедиться, проинтегрируем уравнение движения этой
точки (напомним, что масса точки равна единице), пред-
полагая, что движение начинается из состояния покоя
(6; 2; 1)
— =8<П (Н.
dt т 1 ’
180
Для выполнения интегрирования выразим функцию
8(Р(/), исходя из ее определения через единичные функ-
ции,
8(1)(/)=-1_{и(/)_2а(/-т)+и(/-2т)}.	(6; 2; 2)
Теперь уравнение (6; 2; 1) перепишется в виде
{«(/) — 2«(/—т)Ц-и(т — 2т)}.
Интегрируя, находим (поскольку и|/=о==О)
t
и —J{« (/) — 2« (7 — т)— 2т)} <7/=
о
t	*	1
=-у. J «(0 dt — 2 J u(t — т) dt-\- и (t— 2т) dt
(о	о	о
Но в силу свойств функции u(t) имеем
t	t
J и(/) dt = u(t) J <// = «(/)/,
о	о
t	t	t
^ii(t — x}dt = ^ u(t — x}dt = u(t — x} ^dt = u(t — x'}{t — x)
ox	x
(поскольку»(/ —т)==о при /<т, а при/>т u(t — т) = 1).
Диалогично,
t	t	t
C «(/ — 2r)rf/ = J u(t — 2x)dt = u.(t — 2t)Jdt = u{t — 2т) X
5	2т	2т
Х(/-2т).
181
Итак
т)=—	— 2u(t — т)(/ — rl4~w(/ —2т)(7— 2т)].
т2
(6; 2; 3).
Нетрудно убедиться, что при /^2т, и=0. В самом деле,
для таких значений t все три единичные функции в пра-
вой части равенства (6; 2; 3) равны единице и поэтому
имеем
и=— [t — 2{t — x] 4-(/ — 2т)} =0.	(6; 2; 4)
X2
Итак, в момент времени ^ = 2т движение прекращается.
Найдем перемещение точки за это время, для чего в ра-
(7S
венстве (6; 2; 3) положим v=— и проинтегрируем еще
раз; имеем
ds =— {и2и(t— т)(/— т)А-и{I — 2т)(t — 2т)} dt.
х2
Выполняя интегрирование и снова учитывая свойства
функции u(t), найдем
t
s = -i- С — 2u{t — т)(/ — т)4-«(г'— 2т)(/~2т)} di =
Т2 J
о
/	t
= — u(t} [ tdt—2u(t—x) С(/ — x)dt-\-
T2 J	J
о	T
t	1
— 2t)J(Z — 2x)dt L
2t	J
182
или
s=— {u(t)t2 — 2u(t —	— r)2	— 2t)-(/ — 2t)2}.
2t2
(6; 2; 5)
Пола1ая ^2т, находим
s=^{/2-2(/-t)2 + (/-2t)2}^1.	(6; 2; 6)
Заметим, что найденные нами равенства (6; 2; 4) и
(6; 2; 6) можно записать в виде
f / = 0,
4~О0	/
у 1'Л J
— 00	—оо
(6; 2; 4*)
(6; 2; 6*)
В самом деле, равенство (6; 2, 4) можно записать сле-
дующим образом:
t
(/) dt = 0 при /^>2т,
6
но так как д(1) = 0 при всяком /<0 и ^>2т, то из этого
равенства вытекает равенство (6; 2; 4 *).
Аналогично равенство (6; 2; 6) можно записать в
виде
t* t
dt J 8(J) (/J dt± — 1 при
о о
183
Но тогда снова в силу того, что 8р>(/)=0 при t<0 и
£>2т из этого последнего равенства вытекает равенство
(6; 2; 6*).
Найдем изображение функции	используя ее
представление в виде (6; 2; 2).
=	{«(О — 2м(/ — т)ф-и(/ — 2т)} =
т*
JJJ_______2е~™ д e~2zs
т2 \ S $	s
или
—
(6; 2; 7)
8<i)(/) = 8(i)(s) = Al_r
Импульсная функция второго порядка, обозначаемая
di (0, определяется как «предел» 8*1’ (t) при т-»0
81(/)=Иш8<5)(0-	(6; 2; 8)
т>0 т
В силу этого определения и на основании свойств функ-
ции 8р\/) приходим к следующим свойствам функции
61(0--
1)	(/) == 0 при t Ф О,
2)	М0)=±°°,
3)	J 81(/)о7=0,
—эо
4-00 t
(6; 2; 9;
—со —оо
Механически функцию 61(0 можно истолковать как
две мгновенные последовательно действующие противо-
184
положно направленные бесконечно-большие силы, вызы-
вающие мгновенное перемещение материальной точки с
единичной массой на расстояние, равное единице длины,
и не сообщающие этой точке ни скорости, ни ускорения.
Изображение импульсной функции второго порядка
6i (t) мы найдем, переходя к пределу при т-И) в опера-
ционном соотношении, определяющем изображение8т(1) (/)
----	----- (Т — e~zs}2
Ч W = 5i (s)=lim8^(s)=Ит ----------==s.
VS
Итак,
(6; 2; 10)
Равенство (6; 2; 2) показывает, что функцию 6i (t) мож-
но определять следующим образом:
S^^litn
х-*0
и (/) — 2и (t — т) + и (t — 2т)
—
Но правая часть последнего равенства формально опре-
деляет поэтому можно положить
(6; 2; 11)
а на основании равенства (6; 1; 6), в силу которого
и' (Z) = б (/), имеем одновременно
8х(/)«8'(/).	(6; 2; 12)
Так же как импульсную функцию первого порядка, им-
пульсную функцию второго порядка можно умножать
на любой постоянный множитель, а также вводить в рас-
смотрение функции запаздывающего аргумента di(t—т).
При этом мы, очевидно, получим следующие операцион-
185
ные соотношения:
A\(T)=^s,	(6; 2; 13)
81(/ —т) = хе_”.	(6; 2; 14)
Аналогичным образом определяются импульсные
функции более высоких порядков 62(0, $з (t) и т. д.,
изображениями которых будут соответственно s2, х3ит. д.
§ 3. Применение импульсных функций
Рассмотрим примеры.
1. Проинтегрируем (при нулевых начальных услови-
ях) операционными методами следующие два простей-
ших дифференциальных уравнения:
а) л"=5(/-т), б) л:"=81(/—т).	(6; 3; 1)
Строим для них изображающие уравнения:
a) s2x(s)~e~~s, б) s2x(s)=se~zs. (6; 3; 2)
Находим изображения искомых решений:
a) x(s) = — e“TS, б) x(s) — — e-xs.	(6; 3; 3)
s2	s
Используя теорему запаздывания, находим решения
предложенных уравнений:
а) л(/)=и(/—т)(/—т), б) х (/)=«(/—т). (6; 3; 4)
Полученные результаты подтверждают приведенное
выше истолкования свойств импульсных функций с точ-
ки зрения механики:
1) запаздывающая импульсная сила первого порядка
б(/—т) сообщает материальной точке единичной массы,
186
находившейся первоначально в покое, в момент времени
t—т постоянную скорость v = 1;
2) запаздывающая импульсная сила второго порядка
6j (t—т) сообщает той же материальной точке в анало-
гичных условиях в момент времени t = x мгновенное пе-
ремещение единичной длины, не придавая ей ни скоро-
сти, ни ускорения.
2. Проинтегрируем дифференциальное уравнение гар-
монических колебаний (при произвольных начальных
условиях) с запаздывающими силами первого и второго
порядка в качестве возмущающих сил (для общности
при импульсных силах вводим множители ц0 и h):
а) х'=	— б) x"-J-oj2x=/zoj(/ —т)
(6; 3; 5)
при начальных условиях
х=х0, х' = х'о при / = 0.
Строим изображающие уравнения:
a) (s2-p2)х(i') = xni'б) (s24-to2)x(s) =
= xos + xg + hse-™,	( 6; 3; 6)
Находим изображения решений:
—-	x0s + x0 + v0e ”
a)	x(s) =---------------------
$2-|_ 0)2
——.	x0 (s)+x'Q 4- hse~~s
6)	x(s) =----------r-—.-------
(6; 3; 7)
187
По найденным изображениям находим решения предло-
женных уравнений:
а)	х(/) = х0, cos 10/4—— sino>/-|“
G)
4-— u(t — r)sinw(/ — т);
*	(6; 3; 8)
6)	x(/) = x0cos orf 4—— sinwZ-L
u)
-\-hU(t — r)'cos w(/ — r).
Как видно из полученных решений, до момента t = x
оба гармонических колебания (как и следовало ожидать)
тождественны, а в момент t=x в первом случае движу-
щаяся точка получит мгновенную дополнительную ско-
рость v0, а во втором — мгновенное дополнительное сме-
щение h, в обоих случаях — с вытекающим отсюда из-
менением характера дальнейшего движения.
3. Решим аналогичные задачи при наличии сопротив-
ления движению, пропорционального скорости. Уравне-
ния движения (при прежних начальных условиях) будут
а)	х"4-2лх'4-<о2х = ,п(|8(/—т), б) х" 4-2пх' 4-о>2х =
= /1&г(/-т).	(6; 3; 9)
Ограничимся случаем затухающих колебаний
(0<n<to).
Строим изображающие уравнения:
а) (s2 4- 2res 4- <о2) х (s)=(s 4- 2л.) х0 4- Хц 4- voe~'"
б)	(sa4-2«s4-w2)’x(s)=(s4-2n)^o + xo + Ase_XI(6;3; 10)
188
Находим изображения решений:
—__	(5 + 2zi)x0 + х'о + voe~TS	s + п
а)	х (s) =---------------------=х(.-----------------И
' 1 1	s2+2ns + <»'2	0 (s+'t)2+((>>2—я2)
пх0 + х0 + woe~,s
(S + n)2 + (щ2—n2)
——-	(s + 2n) x0 4- Xq 4- hse xr
6)	x(s) =----------------------—
,	( ,	,<л s + «	+ nhe~xs
= (Xr. 4- he~xs)-------------- 4------y.
(S + я)2 + (“2—ft2) (s 4- n)2+ (<o2 —П2)
(6; 3; 11)
По найденным изображениям находим решения предло-
женных уравнений:
а)х(/) =е- )X((cosУ»2— я2 у--------°=+ ° =sin~yи2 — д24+
I.	У о>2 — п2	J
+	~ к т(/ -х) sinyw2 —д2 (t — т);
У щ2 — п2
б) х [t) = e~nt |л0 cos )Лсо2 — л21 4-
пх{}
4- -у=^- sin 1/ ®2-а2Л 4
' Уы2 —«2	'	j 1
4 u(f—т) е~а	cos ]/ш2 — n2{t—т) —
-----7——— sin У<о2 — /г2 (t—т) I.
V ш2 — п2	1	' J
189
В обоих случаях, как и раньше, до момента t=x дви-
жения тождественны. В момент t=x первая точка под
действием импульсной силы первого порядка получает,
как и при отсутствии сопротивления, мгновенную допол-
нительную скорость v0. Но в движение второй точки, на-
ходящейся под действием импульсной силы второго по-
рядка, наличие сопротивления вносит дополнительное
искажение: в момент t=x эта точка получает не только
мгновенное дополнительное смещение h (как и при от-
сутствии сопротивления), но и мгновенную дополнитель-
ную скорость, равную —2nh (чего при отсутствии сопро-
тивления не было). Чтобы в этом убедиться, достаточно
продифференцировать х по t и положить t — x: множи-
тель при u(t—т) в выражении для x'(t) обратится при
этом в —2nh.
Таким образом, наличие сопротивления не оказывает
влияния на действие импульсных сил первого порядка,
но изменяет характер действия импульсных сил второго
порядка, придавая им, в дополнение к своим, функции
импульсных сил первого порядка (не только смещение,
но и изменение скорости!).
4. Задача. Груз массы т г подвешен на пружине жест-
костью k г/см. В начальный момент (t=0) груз выведен
из положения статического равновесия, ему сообщена на-
чальная скорость по вертикали и он предоставлен само-
му себе (начальное отклонение от положения равнове-
сия х0, начальная скорость х0'); сопротивлением среды,
в которой происходит движение, — пренебрегаем. Какие
импульсы первого и второго порядков по направлению
движения надо приложить к грузу в момент t=x, чтобы
его движение прекратилось?
Направляя ось Ох по вертикали вниз и помещая на-
чало отсчета в положение статического равновесия груза,
190
имеем следующее уравнение движения груза:
тУ, + ^х=Л8(/-т) + В81(/-т).	(6; 3; 13)
Разделим на т и введем обозначения
k 2 А	В I,
—=<о2, — = 'vn, —— h.
т	т	т
Уравнение (6; 3; 13) приведется к виду
х" + <о2х = ^0В(/-т)+А81(/-Г).	(6; 3; 13*)
Составляем изображающее уравнение
($2 -|-о>2) x(s) = xos -[-x'Q-}-voe-xs-^-hse~xs. (6; 3; 14)
Находим изображение решения
r(s) = xos + хо + е^Чур + Й8)	/g. 3. 15)
52 + 0,2	'	'
Наконец, по изображению находим само решение
х (t) = х0 cos 4>t -f—— sin и/
to
—т)[/гсоз<л(7—т)-(-~sin(/—x)l. (6; 3; 16)
I	co	)
Преобразуем выражение для x(i) при t>%, т e полагая
u(t—т) = 1, соберем члены с cos at и sin at:
х(/) = (л04-hcos ®т — —sinют j cos w/-f-
—^--j-Asinror—coster ) sinoi/. (6; 3; 17)
\ <0	to	/
191
имеем следующее уравнение движения груза:
tnx" -^kx—А8(/——т).	(6; 3; 13)
Разделим на т и введем обозначения
k „ А	В .
—=<о2, —=v0, —— h.
т	т	т
Уравнение (6; 3; 13) приведется к виду
л"-~о)2л = г'4(/ — т)-j-ZfBj(/— t).	(6; 3; 13*)
Составляем изображающее уравнение
(s2 +<о2) x(s}=xos	-^hse-^.	(6; 3; 14)
Находим изображение решения
x(s) = хо4 5 + xQ + е TS(y0 + fes)
s2 + ш2
(6; 3; 15)
Наконец, по изображению находим само решение
Хп
х (/) = ха cos -]-sin ш/ -
(О
4«(^—т)[лсо8®(/—т)sin(/—т)1. (6; 3; 16)
I	(О
Преобразуем выражение для x(t) при t>x, т. е. полагая
и (t—т) = 1, соберем члены с cos и sin
х (/) = ( х0 4-h cos <от — —sin шт) cos <о/ 4
4 —-4Asin(0T 4—cos (or ) sinoi/.
\ <0	ш	/
(6; 3; 17)
191
в) х" 4- 2 х' 4- 2х (f) = aet + v08 it — т).
a t a t
Ответ: x (t) = e — —— ec {cos t 4-
<3	&
4- 2 s'n t} 4- Vo it (f — r) el x sin(i —t).
2. Убедиться, что решением уравне! ия
х"+а1Хл“’4-. . .+апх = Ъ(1)
при начальных условиях х$ =х'о = Хд = =, . , = х^а~1 ’ =0 при f=0
служит функция л(/) (оригинал «передаточной> функции n(s).
7—3209
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ИНТЕГРИРОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ
КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Вычисление несобственных интегралов
Рассмотрим три способа вычисления несобственных
интегралов методами операционного исчисления.
I.	Значения интегралов вида
j =	(7; 1; 1)
о
где f(t)—оригинал, для которого известно изображе-
ние, можно вычислять, используя теоремы: а) об инте-
грировании оригинала и б) о связи конечного значения
оригинала с начальными значениями изображения (см.
гл. 2, § 1 и 5). В самом деле, пусть имеется операцион-
ное соотношение
/ю=т
тогда по теореме интегрирования оригинала имеет соот-
ношение
t
J/(r)rfT = -i-m	(7; 1; 2)
О
194
Применяя же к операционному соотношению (7; 1; 2)
теорему о связи конечного значения оригинала и началь-
ного значения изображения (см. гл. 2, § 5, (2; 5; 12)),ко-
торая применима, если интеграл (7; 1; 1) сходится, на-
ходим
lim
о	о
lims /(s)l=lim /(s)=/(0)
s-<-0 Is J s->0
и, следовательно,
f/(/)d/=7(0).	(7;1;3)
Примеры. 1. Мы имели раньше (см. гл. III, § 3) соот-
ношение
sin t .	.	1
= arctg—.
t	s
Отсюда, по формуле (7; I; 3) находим
ОО
f* sin t fi	1	1
I-----rf/=limarctg— a—.
J i	s-я s 2
2.	Там же мы нашли формулу
sin21 .	.2	1	.	У& -|- 4
----=arctg	sin •
Р •	s 2---s
195
Отсюда, применяя снова формулу (7; 1; 3) и учитывая,
что
1-	х 2 л	-	]/«2+4
lim arc tg— = —; lim sin-----------1—=0,
S 2 s-»o	s
найдем
OO
p sin21 ,, Л
\-------at=—.
J f2	2
о
3.	Используем операционное соотношение
g— a-t _-2—____1___ _1__.
s + a s + p '
Применяя теорему интегрирования изображения, полу-
чим
= f (_J-------L_|rfs=in S_±J.
t	J Is + a s+?J s-f-a
s
Отсюда, по формуле (7; 1; 3) имеем
о
(Предполагается, что a>0, р>0, что является условием
сходимости рассматриваемого интеграла.)
II. Рассмотрим интегралы вида
(7; 1; 4)
о
где F{t\ и) —оригинал, зависящий от параметра и, для
всех значений и^О удовлетворяющий третьему условию
196
изображаемое™
|F(/; м)|<Л4е’“'
(7; 1; 5)
(М и оо — постоянные, не зависящие от и).
Если функция f(u) такова, что / (t) также является
оригиналом, то операционное соотношение
F (/;	(7; 1; 6)
молено, после умножения на f(u), интегрировать по па-
раметру и в пределах от нуля до бесконечности
u)du== Ju)du. (7; I; 7)
о	о
Поскольку это последнее соотношение определяет изо-
бражение искомого интеграла J (t)
J(t)==J(s) = ^ f (и) F (s, и} du,
о
(7; I; 8)
то, если интеграл в правой части равенства (7; 1; 8)
можно вычислить, для отыскания J (t) достаточно при-
менить один из известных способов отыскания функции
по ее изображению.
Примеры. 1. Вычислить интеграл
Г cos tu ,
\-------du.
j а2 + u2
о
Условия применимости предыдущего способа пол-
ностью выполнены. Имеем
, . s
cos tu =---------,
 «2 + М2
197
поэтому
оо	оо
cos tn du . 1*____sdu___________л 1
a?+«2 ' J (a2 + и2) (s2 + и2) 2a s 4-a
о	0
В самом деле, имеем
оо	оо
sdu	S
р----------L_
J 1а2+и2 s24-m2
(s2 + «^(a2 4- «2)	s2—a2
о	о
S f 1 L и 1	±«"1
-—-1 — arc tg-----arc tg —I
s2—a21 a	as	s j
__ S ( 3t Л ) Л 1
S2—a2 (2a	2s J 2a s + a’
но ——== e~at,
s+a
CO
P cos tu du	л .
отсюда I------------= — е~л*.
J a2 + m2 2a
о
OO
2. Вычислить интеграл J sin(/M2)fita.
0
По таблице изображений имеем
sin7«2 =---------,
 S2 + «4
поэтому
sin/я2rftt== j
о	о
л
2 ]/2s'
198
(Значение интеграла в правой части последнего равен-
ства может быть легко найдено либо элементарными
методами, либо с помощью теоремы вычетов.) Но по
формуле (3; 2; 1) гл. 3 имеем (при т— —
1 г	, / л
j/Т ' УТ	у s
(мы использовали приведенное во введении значение
Тогда
л 1
2/2s — ~2
л 1
Т' Vi '
поэтому находим окончательно
21 ’
о
р полагая £===!, находим значение интеграла Френеля
о
III. Третий рпособ вычисления интегралов основан на
применении теоремы Парсеваля. Пусть имеются опера-
ционные соотношения
(7- 1: О)
199
причем оба изображения fi(s) и f2(s) регулярны при
Re(s)>0. Тогда справедливо равенство
СО	оо
(7; 1; 10)
о	6
Для доказательства этого равенства в обеих частях
формулы (7; 1; 10) заменим функции fi(v) и /г(»)> исхо-
дя из соотношений (7; 1; 9), их выражениями через ин-
теграл Лапласа:
ZiO) = J
о
оо
77R = ( e-vtf^dt.
о J
Интегралы, входящие в равенство (7; 1; 10), преобра-
зуются к следующему виду:
ОО	оо	оо
j e-^f2(i)dt==
О	0	0
оо оо
= f ^f^f^dvdt,
6 6
co	oo	oo
f Л(®)71('и)^ = f ( e—vtfx{f)dt~
6	0	0
oo oo
= [ j e-v,fr{t)f^v)dvdt.
6 oJ
200
Поскольку интегралы в правых частях последних ра-
венств отличаются друг от друга только обозначением
переменных интегрирования, равенство (7; 1; 10), выра-
жающее теорему Парсеваля, доказано. Теорема Парсе-
валя позволяет заменять вычисление одного из интегра-
лов (7; 1; 10) вычислением равного ему другого.
Примеры. 1. Имеем операционные соотношения
1
sin t	,
 1 + s2
По формуле (7; 1; 10) находим
ОО	оо	00
Р	sin v	,	С	и	(v) dv	С	dv	л
--d® = ——-= -- =— •
J	v	J	1	+	J	1	-|- v2	2
ООО
2.	Имеем операционные соотношения
e-"sin₽/=---------- (а>0, р>0), «(/)=—.
• (s + a)2+p2 k	s
Аналогично предыдущему находим
ОО	00
Г е~sinpvrfv ___С
J v	J (v + a)2 + Р2
о	о
= arctg
СО
л , a , В
=------arctg— = arctg —.
2	В	а
3.	Используя операционные соотношения
cos аг! — cos₽/=—-----—, zz(f) = —,
г • s2+a2 s2 + p2	• s’
201
находим по формуле (7; 1; 10)
1 . v 2 + а2 00	. В
— In——---- =1п —.
2 v2 +р2 о а
§ 2. Интегрирование одного класса линейных
дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами
Используя теоремы о дифференцировании оригинала
и о свертывании изображений (см. гл. 2, § 4), можно
построить изображающее уравнение для любого диффе-
ренциального уравнения с переменными коэффициента-
ми, лишь бы сами коэффициенты этого уравнения были
изображаемыми функциями (оригиналами): Но в общем
случае такое изображающее уравнение будет интеграль-
ным и, следовательно, более сложным, чем исходное диф-
ференциальное. Исключением является случай, когда ко-
эффициентами исходного уравнения служат многочлены
относительно аргумента t, в силу чего при построении
изображающего уравнения можно применить не теорему
свертывания изображений, а теорему дифференцирова-
ния изображений (см. гл. 2, § 2). В этом случае изобра-
жающее уравнение также окажется дифференциальным
(коэффициентами которого будут служить многочлены
относительно аргумента изображения s), причем его по-
рядок будет равен показателю высшей относительно t
степени коэффициентов исходного уравнения.
Не будем касаться весьма сложного вопроса о том, в
каких случаях применение операционных методов к оты-
202
сканию решения исходного дифференциального уравне-
ния законно, иными словами, в каких случаях искомое
решение изображаемо. Отметим лишь, что если при по-
мощи изображающего уравнения удастся найти изобра-
жение искомого решения, и это изображение будет удо-
влетворять всем перечисленным в первой главе условиям
существования для него оригинала, то оригинал этого
изображения будет искомым решением исходного диффе-
ренциального уравнения.
Наиболее целесообразно применять операционные
методы к интегрированию линейных дифференциальных
уравнений типа Эйлера, т. е. к уравнениям вида
2*<"-*> (/) = /(/),	(7; 2; 1)
fe-0
где ak и bk — постоянные коэффициенты, f(t)—ориги-
нал. Это уравнение формально в качестве изображаю-
щего уравнения, всегда имеет линейное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, т. е. уравнение, интегри-
руемое в квадратурах (хотя далеко не всегда в конечном
виде). Если в результате интегрирования изображающе-
го уравнения получим изображение искомого решения,
по которому может быть найден оригинал, то задача
решена, в противном же случае операционные методы
бессильны.
Заметим, что постоянные интегрирования в интегра-
ле изображающего уравнения как в общем случае, так
и в случае уравнения Эйлера (когда эта постоянная од-
на) легко могут быть определены по начальным услови-
ям для исходного уравнения на основании теоремы о
связи начального значения оригинала с конечным значе-
нием изображения (см. гл. 2, § 5).
203
Рассмотрим пример. Пусть требуется проинтегриро-
вать уравнение
(/ + 1)л"-(3/ + 4)л:'+(2/ + 4)л: = 0	(7; 2; 2)
при произвольных начальных условиях
х = х0, х'—х'о,
если t=0.
Построим изображающее уравнение. Имеем соотно-
шения:
Jc(/) + x(s),
Х' (/) == 8 X (s) — Хо,
x'\t) = S2X (s) — 8Л0 — х’о.
Перепишем исходное уравнение в виде
/(%'-3%'4-2%)+(%"--4%/+4%) = 0. (7; 2; 3)
Находим изображения
х"—4х' -|~4x = (s2 — 48-^4) %(s) — (8— 4) х„ — х'о,
х"— Зх' -\-2х ==(s2 — 3s+ 2)х (s) — (s— 3)x0 — %q.
Применяя к последнему операционному соотношению
теорему дифференцирования изображения, находим
Цх"—Зх' + 2л)= -y-|(s2—3s + 2)A(s) —
— (8—3)ЛО—+),
204
или
t(х" - Зх' + 2х)=- (s2 - 3s4-^г~~ --
— (2s—3)x(s)-|-x0;
Внося в уравнение (7; 2; 3) вместо функций их изобра-
жения, находим изображающее уравнение
(s2 — 3s-|-2)^^— (s2—6s+ 7)х (s) = — sx0+(5х0 — xo)-
ds
Общее решение этого уравнения имеет вид
—т________Ces  з2*0 + 5(*о —4х0) + х0
(s-W-2) +	(s-l)2(s-2)
Из условия (вытекающего из теоремы о связи началь-
ного значения оригинала и конечного значения изобра-
жения)	___
lim sx[s)=x0
s->co
находим С = 0.
Таким образом, окончательно находим изображение
искомого решения
52х0 + s (xq —4х0) + х0
(S- 1)2(5-2)	‘
По найденному изображению без труда с помощью треть-
ей теоремы разложения находим и само решение предло-
женного уравнения:
х (/)=(2х' — Зхс) е2/ +(2х0 — х') е‘ (/ + 2),
x(s)
205
или, полагая в силу произвольности начальных условий,
2%о	a^q=C2,
+С2е' (/+2)
— общее решение данного уравнения.
§ 3. Интегрирование линейных дифференциальных
уравнений с запаздывающим аргументом
Во многих прикладных вопросах, в частности в тео-
рии автоматического регулирования, в последние десяти-
летия все чаще возникает необходимость в интегрирова-
нии так называемых дифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом. Такое название в матема-
тике дается дифференциальным уравнениям, в которые
входят не только значения неизвестной функции и ее про-
изводных, соответствующие значению аргумента t, но и
их значения для некоторых предшествующих значений
аргумента t—ti, t—тг,..., t—хь- Лишь старшая производ-
ная неизвестной функции входит в уравнение только с
аргументом t. Запаздывания ti, тг, ...,Xk в свою очередь
могут быть заданными неотрицательными функциями
аргумента i. (Существуют и другие типы уравнений с
отклоняющимся аргументом — уравнения с опережаю-
щим аргументом, уравнения нейтрального, или смешан-
ного типа, но мы их рассматривать не будем.) С точки
зрения операционною исчисления интерес представляют
только линейные дифференциальные уравнения с посто-
янными коэффициентами и постоянным запаздыванием,
т. е. уравнения вида
j^n
<7; 3:
206
где все коэффициенты ад и все запаздывания тг посто-
янны (rfe>Tfe-i> ... >Г1>то = О), а функция f(i)—ори-
гинал.
Операционными методами уравнения вида (7; 3; I)
можно интегрировать в двух случаях:
если считать, как это принято в операционном исчис-
лении для всяких оригиналов, чтох<л——тг) = 0 при
t<xr, т. е. если уравнение (7; 3; 1) можно переписать
в виде
j^nr=k
+	=	(7;3; 1*)
>1 г=0
где u(t—хг)—единичная функция запаздывающего ар-
гумента. Это допущение вполне соответствует характеру
некоторых задач, которые приводят к уравнениям с за-
паздывающим аргументом (члены с запаздыванием — это
дополнительные регулирующие силы, которые включают-
ся по мере того, как включаются соответствующие запаз-
дывающие сигналы);
если считать, что данное уравнение описывает про-
цесс лишь для значений t>xh, где тд — наибольшее из
запаздываний, а для значений значение x(t) зада-
но в виде некоторой, п раз дифференцируемой функции
х(/)=ф(/) при	Функция <р((Х называется в
этом случае начальной.
Разберем оба случая:
1. Используя теорему запаздывания (см. гл. 2, § 3),
нетрудно построить изображающее уравнение для урав-
нения (7; 3; 1 *) и из него найти изображение искомого
решения. Но найти по полученному изображению ориги-
нал в конечном виде чаще всего не удается. Поэтому
обычно в этом случае пытаются построить решение, раз-
лагая его тем или иным способом в бесконечный ряд.
207
Покажем на двух примерах идею интегрирования
уравнений указанного типа.
Примеры. 1. Дано уравнение
х" (/) -|- 2ах' (/) -|- v?x (/) 4~ {t—г) {x'(t—т) 4- ах(/—т)} =0
с начальными условиями при t—О х=х0, х'=—ах0.
Строим изображающее уравнение
х" (/) 4- 2ах' (/) 4- а?х (/) = (№ 4- 2а$-|- а2) х (s) — (s 4~ а) хо»
Хи (/ — т) [х' (/—т) 4~ ах (/—т) = Хе-” [(s 4-а) х (s) — х0].
Таким образом, изображающее уравнение приводится
к виду
[(№ 4- 2as 4~ a2) 4 4s 4~ak~TS]х (s) = l(s+a) + e-TS] xo-
Отсюда находим, что
—77т	(s + a) + Xe~"	xQ
' (s + a)2 4- X (s + a) e~™ 0 s + a ’
и, следовательно,
x(/)=xoe-aZ.
Нетрудно убедиться, что найденная функция действи-
тельно является искомым решением предложенного
уравнения.
2. Дано уравнение
х" (/) — 2ах' (/)4~а2х(/) -\-~ku — т) х (/— т) — 0;
начальные условия — произвольные, т. е. при /=0, х=х0,
х' = х'о.
Изображающее уравнение имеет вид
[s2 — 2as 4- a2 4- Xe-xs] х (s) = (s — 2a)x0 4- Xo,
208
откуда
——	(s — 2а) х0 4 х'о
X (S ) =-----------------------.
(s — а)2 + Хе TS
(7; 3; 2)
а+Z
%(/)=— С
v 2nz J
Используя формулу обращения, искомому решению мож-
но придать вид
(s — 2а) х0 + х'о
---------------— est ds,
(s — а)2 4- Хе-т
но выразить его через элементарные функции не удаст-
ся. В то же время по изображению (7; 3; 2) оригинал
можно построить следующими двумя способами:
а)	Пусть корни знаменателя изображения (7; 3; 2)
будут s = Sj (;= 1, 2, ...). Примем, что все они простые и
что тем или иным способом мы их нашли. Вычет функ-
ции x(s)es( в точке s = s} будет определяться формулой
т> r-TJszi (s, —2а)хо 4-*о st
Res |х(s)e ] = —— е J ,
s=sj	2(Sj — а) — Хте
в силу чего решение предложенного уравнения по треть-
ей теореме разложения запишется в виде
(7;3;3)
2 (sj — а) — Хте 1
Для определения вычета функции комплексного перемен-
ного j	в ее простом полюсе s=s2, т. е. простом
корне знаменателя ф (s), мы воспользовались формулой
Res	.
s = 3j Ф(«) Ф' (SJ)*
8—3209
209
Примечание. Уравнение (s — а)2+Хе—TS =0 может иметь
двойной корень s = s0 только тогда, когда одновременно выполняют-
ся условия
(«о —a)2 + Xe~w“ = O,
2(s0 — а) — Хте-= 0.
2
Таким образом, s0=a— —, т. е. двойной корень может быть
т
лишь один, и условие его существования, после исключения s0,
приводится к виду 4 + 7.т2е2~та =0. Если это условие выполнено,
то вычет в двойном полюсе s = s0 надо определять по формуле
Res [x(s)esZ] = lim — [(s — s0)2 x(s) est].
s—Sq	s-*s0 ds
б)	Запишем изображение искомого решения (7; 3; 2)
в следующем виде:
x(s) =
(s—a) xQ + (*’— ах0)
(s— а)2+Хе TS
(s —а)2
х0 — ах0
(s — а)2 .
и развернем первый множитель правой части по степе-
ням
ОО
п=0
( — 1)ЛХЛ
(s —а)2л
*о
s — a
х0 — ахй
(s — а)2

210
Применяя теорему запаздывания для отыскания ориги-
нала правой части, находим
оо	.	2Л
Х (/) == X ( “ 1 )ЛW ~ ПХ} | ° (/72п)! ~ (t~n^ +
+ (хп-ах0) ^~ПТ)-Л+-	).	(7; 3; 4)
Это другая форма записи решения предложенного урав-
нения, которая может оказаться более удобной в прак-
тическом отношении.
2. Интегрирование линейного уравнения с запаздыва-
ющим аргументом в случае постановки задачи второго
типа (с начальной функцией) рассмотрим на примерах.
Пусть дано уравнение
%" (/)-]-—т)=0,	(7; 3; 5)
с начальным условием х(/)=фф) при 0^/^т. Предпо-
лагая функцию <р(/) дважды дифференцируемой на от-
резке [0, т], заменим уравнение (7; 3; 5) вместе с его
начальным условием следующим:
х" (/) -фax' (/)-(-₽«(/—г) л (/—т) =
=	(7; 3, 6)
с начальными условиями при i = 0, х=хо = ф(О), xz=xr/=
= q/(0). Нетрудно убедиться в равносильности уравне-
ний (7; 3; 5) и (7; 3; 6) (каждого с его начальными ус-
ловиями). В самом деле при 0^/^т в силу того, что
= l и u(t—т)=0 уравнение (7; 3; 6) приводится к
виду х"ф)-Ьах'ф) =ф"ф) Ч-аф'(/) и, в соответствии с
теоремой Коши, имеет единственное решение х = ф(/),
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
При />т уравнение (7; 3; 6) превращается в уравнение
8*	211
(7; 3; 5), поскольку u(t)=u(t—т) = 1. Таким образом
уравнения (7; 3;5) и (7; 3; 6) равносильны.
Строим для уравнения (7; 3; 6) его изображающее
уравнение. Изображение правой части определится сле-
дующим образом:
{и(/) — «(/ — т)}{?" (/) + аср' (/)} == J e~st{и —
о
X {T"(0 + <W)} dt= \	dt=
0
= [e-54<p'(/)-|-(s-l-a)<p(/)J	(s2-I-as) f e~st<p(/)dt=
0	о
=e-t4{?' (r)-j-(s ф-а) ? (i)} — {?' (0) + (s + a) ® (0)} ф-
о
Введем обозначение
<p(s) = J e~sty [t'ydt
о
(таким образом, через <p(s) обозначено изображение
функции, равной начальной ср(/) на интервале запазды-
вания [0, т] и равной нулю вне этого интервала). Вводя
для изображения искомого решения, как всегда, обозна-
чение x(s) приходим таким образом к следующему изо-
бражающему уравнению:
{s2 4- as ф-$е~™} х ($) — {7' (0) ф-$<р (0) ф- a? (0)} =
=е~” {T'(T)4-fs4-a)<f>(T)}—2cp'(0)-b(s4-a)<f>(0)} +
-|-(s2-|-as)®(s),
212
или, после отбрасывания равных слагаемых в обеих ча-
стях уравнения,к уравнению
{s2-|-asx(s) = e~xs <?' (т) + (« + a)?(т)} +
+ (s’4 as)V^s).
Отсюда находим изображение искомого решения
+ (s + a) ? (т^ + (s2 + а<)	(7- 3; 7)
s2 + as + Ре-”
Само решение предложенного уравнения может быть
записано либо при помощи формулы обращения, либо
если это возможно, разложено в ряд одним из тех двух
способов, которые были рекомендованы для уравнений
первого типа.
Рассмотрим два примера. 1. х" (t) +x'(t) +
-|-]/r2xU—= при	x(/)=sin/.
В данном случае а = 1, р = ]/2; т = —
У 2	4
1—(s+ 1)е
Найдем ® (s); <p(s)= 1 е	—
213
Вносим все эти значения в формулу (7; 3; 7), находим
s2 + s + 2 е 4
TCS
+ s + у'* 1' 2 е 4	1
TCS \	—“ •
~ Т) s2 +1
(s2+ l)(s2 + s+ /2е	)
Таким образом, x(t) =sin t (при всех />0) (в правиль-
ности полученного решения легко убедиться подстанов-
кой в исходное уравнение).
2. х" (/)-)- k2x (t— т) = 0; при	х(/)=1.
В данном случае а=0, 8 =/г2; <p(s)= i e~st dt =
ср' (т) = 0;
1 — e~xs
_____ s2 -------+ e
x(s) =---------------
k ’	S2 + A2₽-xs
 s
S
s2 -j- fe2e~'
---	---- i A’2
Перепишем x(s) в виде x(s) = J 1 +~	।
1
S
и развернем в ряд
п =о
ь2"
к p-r-.i
S'ln + X
214
Применяя теорему запаздывания, находим решение пред-
ложенного уравнения
п — 0
х
k2n (/-ПТ)2”
(2и)1
К задачам второго типа относительно линейных диф-
ференциальных уравнений с запаздывающим аргумен-
том особенно часто приходят в теории автоматического
регулирования; при этом исследователя часто не интере-
сует само решение полученного уравнения, а лишь во-
прос о его «асимптотической» устойчивости; иными сло-
вами, исследователю достаточно получить ответ на во-
прос о том, будет ли решение полученного уравнения
удовлетворять условию
lim л(/}=0.
Чтобы ответить на этот вопрос нет необходимости искать
само решение, так как решить его можно опираясь толь-
ко на изображение искомого решения (которое, как мы
убедились, найти всегда можно). А именно, можно до-
казать, что решение будет асимптотически устойчиво,
если все полюса его изображения лежат слева от мни-
мой оси плоскости з, т. е. удовлетворяют условию
Re{sy}-<a<0 при / — 1,2,....
Существует много различных методов исследования рас-
положения полюсов данной функции комплексного пере-
менного на плоскости, причем все они достаточно сложны.
Излагать мы их не будем, отсылая читателя к спе-
циальным руководствам по теории функций комплексно-
го переменного и по теории автоматического регулиро-
215
вания. Некоторые указания по этому вопросу читатель
может найти в книге проф. Л. Э. Эльсгольца «Качест-
венные методы в математическом анализе», гл. V. В этой
книге, кстати, подробно излагаются некоторые общие
вопросы качественной теории дифференциальных уравне-
ний с отклоняющимся аргументом.
§ 4. Интегрирование линейных уравнений в частных
производных
В связи с тем, что операционные соотношения между
оригиналами и их изображениями можно дифференциро-
вать по параметру (см. гл. 2, § 6), операционные методы
можно применять для интегрирования линейных диффе-
ренциальных уравнений в частных производных. Имея,
например, линейное уравнение, в котором неизвестная
функция зависит от двух аргументов, можно по одному
из аргументов построить соответствующее изображаю-
щее уравнение, которое окажется уже обыкновенным
дифференциальным уравнением в отношении изображе-
ния по второму аргументу исходного уравнения. Инте-
грируя изображающее уравнение (непосредственно или
снова операционными методами), находим изображение
искомого решения, по которому затем обычными мето-
дами — и само решение.
Рассмотрим примеры. 1. Требуется проинтегрировать
уравнение малых поперечных колебаний струны конеч-
ной длины I
д%и_____& (Р-и
(7; 4; 1)
Граничные условия
и(0,/)=-«(/,/)=0.
216
Начальные условия
«(x,0)=fW;	=о.
dt /=о
(7; 4; 2)
(Для упрощения задачи принято, что в начальный мо-
мент, т. е. при 2 = 0 струна выведена из состояния покоя,
но точкам ее никаких начальных скоростей не сооб-
щено.)
Строим изображающее уравнение для уравнения (7;
4; 1) по аргументу /; положим
и (%, /) = и(х, s),
д'2 и	cftu(x,s)
дхЛ ' дх~ ’
ll[x,s) — SU(X,0) — — I =
dfi ’	‘ ,a ’ dt Lo
= s2 u(x,s) — sf (x).
Внося изображения в уравнение (7; 1; 1), находим
S2H(x,S) — s/(x) = Q2 — ДА*	,
или
Получили обыкновенное линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с аргументом х, в котором s
играет роль параметра.
9—3209
217
Общее решение этого уравнения (7; 4; 3) имеет вид
и(х, «) = (?!ch — x-|~C2sh — х—
а	а
— — С/(y)sh — (x-y)dy.
a J	а
о
В силу граничных условий имеем (поскольку изображе-
нием нуля является нуль):
^(0, s)=<?1=0,
i
^/^T=C2sh — Z —— f/(y)sh — (l — y)dy—Q.
a a J	a
о
Таким образом,
i
c.=-----1\ /(y)sh -(l-y)dy.
s , ]	a
a sh — I . I
а У
Итак, изображением искомого решения служит функция
______ sh — х С
u(x,s)=—----- I /(y)s-h — (Z — y}dy —
s ]	a
a sh — I tJ
a о
----- f/(y)sh - (x-y)dy.
a J	a
о
21S
Для отыскания решения воспользуемся третьей тео-
ремой разложения. Полюсами функции и(х, s) служат
только корни уравнения sh — Z=0,
Т- е’ Sn=n^- («-0, +R +2, ±3,...).
Все эти полюсы — простые. Находим вычеты в них:
Res \est и(х, s)) =lim Rs —s„)est u[x, s)l =
s=sn I J	J
sh •— x
a
I с
, e'n> I /№h	(I— y)dy;
S fol	|	Q,
a
при s„=0
(л-0)
о
.s7
=0;
nnia
при s„=—
Res
nnia
_Le“
i
sh ™iV-Jrt.dy =
nntat
r~
e
nnix A
sh------ I
-----— /
ch nni J
о
nnx
i sin--------
1)nZ j f (У) i sin ”?c(Zz~^) dy.
0
219
Но
пл (I—и) .	пли	. пли
Sill -S---V— =S111 ля cos —- COS «Л Sin —- —
I	I	I
поэтому	______
Res {est ti(x, s)} —
mtla
s=~r
. n-xiat	I
1	—. ППХ {	\ . ПЯЦ ,
= ~e 1 sm— /(y)sm-^-rfy;
о
Аналогично
Res \est u(x, s)} =
nr.ia
S= —
. nxlat	*
1-----;— • плx г ,, , . пли j
=-^-e	' sm— /(y)sm-^rfy
0
в силу того, что
. пли \
= —sin —2-1.
I /
nitiat
Сумма этих двух вычетов, после замены е 1 -|-
пк lai
т	ила/
4-е	=2 cos-----, может быть записана в виде
1
Res {/' к(х, s)} + Res \est х{х, $)| =
nuia	nnla
 I	s~ I
. . пл x	пла-t
=bnsm — cos---------,
" I I ’
220
где
i
(7; 4; 4)
6
Суммируя же вычеты по всем полюсам, т е. по п от
п=1 до п=оо, находим по третьей теореме разложе-
ния решение исходного уравнения в виде
ОО
,	,,	\1 ,	. плх nnat
«(х, t)—	bn sin——cos —-— ,	(7; 4; 5)
где коэффициенты Ьп определяются формулами (7; 4;
4), т. е. являются коэффициентами Фурье функции f(x)
при разложении последней на отрезке [О, I] по синусам.
Нетрудно видеть, что мы получили как раз ту фор-
му решения задачи о малых поперечных колебаниях
струны, к которой обычно прцходят при применении ме-
тода Фурье—решение в форме тригонометрического
ряда.
2. Решим задачу о нагревании стержня, ограничен-
ного с одного конца, при отсутствии отдачи тепла во
внешнюю среду.
Направим ось Ох вдоль стержня, поместив начало
координат в начале стержня. Пусть в начальный момент
(/ = 0) температура вдоль стержня постоянна и равна
нулю. Кроме того, в начале стержня (х = 0) поддержи-
вается постоянная температура 7= То- Задача сводится
к интегрированию одномерного уравнения теплопровод-
ности
дТ „ &Т
—=а2-----
dt дх?
(7; 4; 6)
221
при начальном условии Т(0, х) =0 и граничном условии
T(t, О)=7'о
Перейдем к изображающему уравнению по аргументу
t, полагаяТ(t, x)-=T(s, х).
В силу нулевого начального условия имеем
= sT(s, х);
dt
кроме того,
д2Т __ г)2Г(.У> X)
дх?	дх?
Изображающее уравнение можно записать в виде
-d2T-{S1 х}-s-rlT^)=0.	(7; 4; 7)
дх^ &	’
Интегрируя это обыкновенное линейное дифференциаль-
ное уравнение, аргументом которого является х, находим
его общее решение
______	УТх	_ Vsx
T(s, x)~C1(_s)e а -\-C2(s)e а .
В силу начального условия, используя теорему о связи
начального значения оригинала с конечным значением
изображения, имеем
tx ^7	_ -у ~1
Ci(s)e 6 4-C2(s)e а ]=>
> —оо	s—оо
=Т(0, х)=0.
Чтобы удовлетворить этому условию следует положить
C1(s)=O (принимая, что limsC2(s)e а =0). Строя для
222
граничного условия (T(t, О) = 7о) изображение, находим
Т (s, 0)=—, откуда С2 («) = —.
S	S
Итак,
T(s, х)=-^-е а .
S
По справочной таблице (стр 275, № 64) имеем
—	/7 = j _ ф	,
s	\ 2 V I)
где Ф
1 —Ф _±—
\2д Vt,
2 dr —интеграл вероятностей,
о
Отсюда находим
21 е а =Т0
S
Итак, мы пришли к следующему решению поставлен-
ной задачи:
T{t, x) = Te 1
(7; 4; 8)
3. На одном конце однородного стержня длины I под-
держивается постоянная температура То, на другом про-
исходит свободный теплообмен с окружающей средой,
температура которой равна нулю. Через боковую поверх-
ность стержня теплоотдачи нет. В начальный момент
температура стержня равна нулю. Найти распределение
температуры вдоль стержня для любого момента време-
ни />0 и предел, к которому стремится это распределе-
223
ние при /->оо (так называемый «установившийся ре-
жим») .
Направим ось Ох вдоль стержня, поместив начало
координат в тот конец стержня, на котором поддержи-
вается постоянная температура То. Задача снова сво-
дится к интегрированию одномерного уравнения тепло-
проводности
при начальном условии 7(0, х) =0, 0<x^Z и граничных
условиях Т (t, 0) = То (левый конец);
дТ
дх
+ hT(t, Г)=0,
Х=1
(7; 4; 9)
где h — коэффициент внешней теплопроводности (пра-
вый конец).
Изображающее уравнение (по аргументу t) имеет
тот же вид, что и в предыдущей задаче:
— V»	Л)=о.	(7; 4; 7
дх? cfi	'
Решение этого уравнения теперь удобнее взять в виде
7(s, х) = СХ(«) ch + С2 (s) sh . (7; 4; 10)
а	а
В силу условия на левом конце имеем
T(t, O) = 7o = 7(s, б),
поэтому
7(^0)=Cx(s)=^ .
224
Из условия на правом конце получаем
^-^1 -\-hT(s, /)=0.
дх |х_г 1 k
Но с учетом найденного значения Cj имеем:
77^7T)=21ch’-L^± + C2(s)sh
s ~ а	а
(7; 4; 11)
dZS^L = i	shJ_L±_^c2(s)ch .
дх х-l У а \ s а	а /
Внося эти значения в уравнение (7; 4; 11), находим
C2(s):
Vs I Vs l Vs
----sh----+ h ch-----
,__ Tq a a	a
a a	a
Наконец, внося найденные значения Ci(s) и C2(s) в
уравнение (7; 4; 10), находим после элементарных пре-
образований следующее окончательное выражение для
TisTxy.
~ V Г -? . , .	, (z - х) V s
У s ch ----------1+ ha sh ------------
У s ch----- + ha sh —-—
a	a
.(J\ 4; 12)
Для отыскания оригинала используем третью тео-
рему разложения, для чего следует найти все особые
точки изображения T(s, х). Особыми точками Т($, х)
служат нули знаменателя. Этот знаменатель имеет про-
225
стой* ноль при s = 0 и, кроме того, все корни уравнения
а
Последнему уравнению можно придать вид
th —
а
ha
(7; 4; 13)
Полагая в нем - -- —iz, преобразуем его к виду
tg2 =
(здесь обозначено р=— и учтено, что thtz = itgz).
\	hl	j
Покажем, что уравнение (7; 4; 13)' при ц>0 имеет
только вещественные корни. Положим z = u + iv. Учиты-
tg (к + Ь) = -^u±^iv = tg? + nht’
1 — tg и tg iv	IJ— i tg a th v
уравнение приведется к виду
tg zz + z th и	.	, . ,
----з-----= _ p (u + iv\
1— i tgu tgu
вая, что
Пт
* Ноль этот простой, так как
!/- ь	ц (1—х)]/Т
у s ch---------+ Ла sh-----------
__________а _____________а = 1+Л(/ —х)
1 + hl
.— сил	i у л
у s ch---4- ha sh--
а	а
226
Отделяя в полученном уравнении вещественную часть от
мнимой, приходим к уравнениям
tg« = — I* (я -[-х.’ tg и th -о), th,u=[x(KtgKth'u— v).
Исключая из этих двух уравнений tgu, приходим к сле-
дующему уравнению:
и2 _ _
[Л2 th V
Но при иу=о и ц>0 правая часть всегда отрицательна:
v и tgy всегда имеют при вещественном v один и тот
же знак. Итак, уравнение (7; 4; 13) не может иметь
корней с отличной от нуля мнимой частью: все его кор-
ни вещественны. Для отыскания же вещественных кор-
ней уравнения (7; 4; 13) можно применить графический
метод — найти точки пересечения тангенсоиды w=tgz
с прямой w = —цг (рис. 34).
Пусть абсциссы точек пересечения при z>0 будут
zi, z2, ...,zh,..., тогда, поскольку уравнение (7; 4; 13) не
изменяется при замене z на —z, его корнями будут
±Zi, ±z2,.... ±2fe,...; все эти корни простые. Обозначим
соответствующие полюсы изображения (7; 4; 12) черев
а2 2
Sfe; очевидно sk~—причем полюсы Sk также
простые. Кроме того, мы раньше нашли простой полюс
«о=О.	_____
Найдем'вычеты функции est Т ($, х) в полюсах so=O,
s=sk (k = \, 2,...).
Вычет в полюсе so=O:
Res {est T(s, x)j = lim 7Д«л)} =T0 L±A(h^> .
S-0	s-0	1 + hl
227
Для определения вычета в полюсе s = sk воспользуем-
ся (поскольку полюс простой) формулой
Res Л(5)	.
?(S)
Рис 34
В данном случае
F(s) = -^-eiZf/sch —i/s'-'-Aash-—V si ;
s L a	a J
<p(s)= }/sch s-\-ha sh—}/s;	(s) = —ch — l/s-4-
a	a	2 } s a
228
-4- — sh — У s
2a a
hl ,	/ -«/	1 + № r, I -i /	1
—-= ch — V s = ch — V s-+-
2 Уs a 2y s a
2a a
Res [es< T (s, x)] =
„ skt ysk ch—— ysk + ha sh—— /s*
Tq e R ______I__________a_____
1 + hl	I	r—	I	I	,—
---ch — у Sb + — sh — У sk
2 У sk	a,	’ *	2a	a '!
I — x ,—	ha I - - x ~
ch---у ss+—=-sh----ysk
9ТЛ< a____________}Sk a_________
°	I - I — ch 1 * ГГ»
(1 +AZ)ch Jzs»+ У sk
a	a	a
Если здесь снова положить 1^5*=/ -у- zk (можно ограни-
читься только положительными корнями уравнения (7;
4; 13), так как отрицательные приводят к тем же значе-
ниям Sk), то после элементарных преобразований послед-
нее выражение можно будет привести к виду
__4t
Res [estT(s, х)]=2Тае р zk
s~sk
l — x hl I — x
cos —— Zk+ — Sin —— zk
I__________Z_k________I________
(1 + hl) cos zk — zk sin zk
229
e
—
Отсюда по третьей теореме разложения приходим к сле-
дующему решению поставленной задачи:
-Т 1 h	I
0	1 + hl	'
I — х	hl	I — х
COS —   Zk +   SHI -- Zk
1________£»_____I
(1 + hl) cos zk — zk s;n zk ’
(7; 4; 14)
корни уравнения (7; 4; 13).
>и /->oo получаем установившийся режим:
lim T(t, x) = 7ntUx) = 70 -1	 (7; 4; 15)
f —> oo	r	1 + hl
где Zk — положительные
Легко проверить, что установившийся режим удовлетво-
ряет обоим граничным условиям:
7’пред(О)=7’о,	4-Л7пред(/) = 0.
ах lxLl
Подчеркнем, что если бы нам требовалось найти толь-
ко установившийся режим, не было бы необходимости
находить оригинал по изображению (7; 4; 12), т. е. ре-
шать задачу до конца. Имея изображение решения (7;
4; 12), установившийся режим можно было бы найти по
теореме о конечном значении оригинала
7'пред(х) = Um Т(/, х) = limз Т’&Т)=Т0
*	/-*оо	$->о	1 4- hl
230
§ 5. Решение интегральных уравнений
Методами операционного исчисления чрезвычайно
просто решаются интегральные уравнения Вольтерра
первого и второго рода в том случае, когда ядро урав-
нения— функция /С(/, т) зависит только от разности
аргументов i—т: K(t, т)=/С(/—т). Соответствующие ин-
тегральные уравнения имеют, таким образом, вид
t
х (/)=/(/)+( К (t~x)x(x)dx
6
(уравнение Вольтерра второго рода);
t
С K[(t~Т) X (т) dx=f (/)	(7; 5; 2)
о
(уравнение Вольтерра первого рода).
В обоих случаях функция x(t) — неизвестная, a f(t) и
K(t—т)—известные функции, предполагаемые оригина-
лами.
Переход к изображающим уравнениям в обоих слу-
чаях не представляет труда, поскольку для отыскания
изображения интеграла можно воспользоваться теоре-
мой свертывания оригиналов. После этого из полученно-
го алгебраического уравнения сразу находится изобра-
жение искомого решения. В самом деле, изображение
уравнения (7; 5; 1) имеет вид
откуда
x(s) =
1 - к (s)
(7; 5; 3)
231
Аналогично для уравнения (7; 5; 2) изображение его
решения определяется формулой
^=ТШ-	<7:5:4’
Возможность применения операционных методов нала-
гает условие, чтобы правая часть равенств (7; 5; 3) и
(7; 5; 4) могла служить изображением некоторого ори-
гинала, т. е. удовлетворяла условиям, перечисленным в
первой главе.
Примеры. 1. Решить уравнение
t
(/—т)2х(г)dx — sht — sin/,
о
Имеем:
поэтому изображающее уравнение будет
2 —I 1	2
s3 v s2 — 1 s2 + 1 s4 — 1
откуда
--S3 1 Г S I S 1
x ($) =---=—--------------1 •
k	1	2 Ls2— 1 s2 + 1 J
Таким образом, решением исходного уравнения слу-
жит функция
х (/) = -—- [ch/Ц-cos/].
232
2.	Решить уравнение
t
х(/) = sin /-J-J et~zx(x') dx.
Переходим к изображающему уравнению
S2 + 1 S — 1
откуда
—7~Г	S— 1	1	1	1 S . 3	1
X (S) =-------------------------------------------- .
(s —2)(s2 + l) 5 s — 2	5 524-1 1 5 №4-1
Таким образом, искомое решение есть
х (/)==— е21---— cos t -I—— sin t.
k 5	5	' 5
Упражнения
1. Вычислить следующие несобственные интегралы методом,
описанным в §1, I (формула (7; 1; 3)):
ОО
Г е~,х sin fixdx
а) \ ----------------- (®>о)-
J х
о
Ответ: arctg₽,a;
Г	dx ,!>т
J	X
о
УХНЗ'
Ответ: In ----------;
a
233
в) J
хе axcospxrfx(a>0).
а2 — р2
Ответ-. „	.
(а2 + Р2)2
2. Вычислить следующие несобственные интегралы методом, опи-
санным в § 1, II (формула (7; 1,8))
ОО
а)^* cos (ia2)rfa.
6
Ответ:
ОО
р и sin t и du
б) J а2 +а2
О
JX	_п f
Ответ: —е ;
2
в) е tu* du.
6
Ответ:
л
2 VT '
3. Следующие несобственные
теоремы Парсеваля (§ 1, III):
интегралы вычислить при помощи
ОО
Г е-«
а) 1-----т=------dx
’ J	Ух
о
(«>0, ?>0).
Ответ:

234
f sin ax—sinSx
6) \ ------ dx (a>0, 8>0)
J x у x
0
Ответ: p^2n{y"a—УТ);
00
в) j-------—------dx (a>0, p>0).
0
Указание. Предварительно применить подстановку x2=t
Ответ: ]Лп;{у^— y^a}.
4.	Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения
Эйлера прн произвольных начальных условиях:
а)	(1 — 2i) х" + 2х' + (2t — 3) х = О,
Ответ: х = Cje* + С2 Ze-*;
б)	tx" — (2t + 1) х' + (t + 1) х = 0.
Ответ: х = Cit2el + С^е*
5.	Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения
с запаздывающим аргументом:
а)	х" (t) — х' (t) + Ха (t — т) {х' (t — т) — х (t — т)} =0
(начальные условия — произвольные прн /=0)
Указание. Использовать теорему свертывания для отыска-
1
ння оригинала ~+1($------р)’
Ответ: х (t) = х$е1 + (х0 — х0) х
ОО	f—nx
х У ( 1)Я Х"а(^пг)?-"т х J e-'^dtr,
а!	О
й-0
235
б)	х" (t) + х' (t) — 2ет x(t — т) = О,
если при	x(t) (начальная функция).
Ответ: x(t)=e‘.
6.	Проинтегрировать уравнение малых поперечных колебаний
д2а д2а
струны конечной- длины = а2 :
а)	при граничных условиях ц(0, t)=u(l, t) =0 и начальных усло-
ди (х, t) I
виях а(х; 0) =0, -—---	= g (х).
dt |/=о
ОО
VI ллх nnat
Ответ: и(х, t) ~ Ьпят—j—sin—j—,
л = 1
I
,	2 Г	nay
где bn =--- \ g(y) sin —dy,
naa j	I
о
б)	при тех же граничных условиях и начальных условиях
лх ди (х, t) I
и (х, 0) - ft s'n —------- — 0 (0 < х < Z).
v 1 I ’ dt |/_o
лх nat
Ответ: u(x,t)=hsm— cos—;
в)	при тех же граничных условиях и начальных
условиях
и (х, 0) =
2ft	I
—j~ х при 0 < х <
2ft	I
— (I — X) при — < X < I,
ди (х, t) I
dt о
236
(середина струны в начальный момент оттянута на расстояние h н
отпущена без начальной скорости).
О твет:
и (х, t)=
°°	11
8А УК—1)л+1
Л2 (2п — 1)2
Л = 1
(2л—1)лх (2п— l)naZ
sin ---------соч----------
Z	I
7.	а) Вязкая покоящаяся жидкость заполняет все пространство
между двумя горизонтальными плоскостями, находящимися на рас-
стоянии h друг от друга. Одна из плоскостей в момент t—О начинает
двигаться с постоянной скоростью из, направленной параллельно вто-
рой неподвижной плоскости. Пренебрегая действием силы тяжести
и считая давление всюду постоянным, найти закон движения жидко-
сти между плоскостями.
Указание. Если неподвижную плоскость принять за плоскость
хОу, ось Ох направить по направлению вектора скорости и0, ось Oz
направить в сторону движущейся плоскости, то движение жидкости
будет происходить по направлению Ох. Если скорость движения
обозначить через и, то и будет функцией только от t и z, удовлетво-
ряющей уравнению в частных производных
ди	д2и
— — k----,
dt	dz2
где k — коэффициент, зависящий от свойств жидкости (от ее вяз-
кости) .
Начальное условие: а(0, z)=0, 0^г<й.
Граничные условия: u(t, 0)=0, u(t, h)=u0(t>0). (К этому же
уравнению при тех же начальных и граничных условиях сводится
задача о распространении тепла в стержне длины h при заданных
температурах на его концах, если боковая поверхность стержня изо-
лирована.)
оо	h 1
п ,, . г 2и0уу—1)л . nnz ~~h
итвет: u(t, z) ~ и0 — + — у .---sin---е
h h п h
п = 1
237
б) Найти решение той же задачи при условии, что одна из пло-
скостей движется со скоростью, являющейся заданной функцией
времени t(ut=v(t)), и движение начинается в момент i=0.
Указание. Использовать решение предыдущей задачи и инте-
грал Дюамеля (см. гл. 5, § 3).
„	и(0) и (t, г) 1
Ответ: u(t, z) =------------f- —
ио “о
v' (х)и (t — т, z)dx.
где u(t, г) —решение предыдущей задачи.
8. Решить следующие интегральные уравнения Вольтерра пер-
вого и второго рода:
t
а ) J ch (t — т) х (т) dx ~ ch t — cos t.
О
Ответ: х (t) =2 sin г!;
t
б) J cos(i — т) x (t) dx ~ t cos t.
о
Ответ: x(i) = 2cosi—1;
t
в) .r (0 = + j* e(~Xx (t) dx.
о
Ответ: x (i) = e2<;
t
r) x (i) = 1 — cos t+ § sin (t — x) x (r) dx.
0
<2
Ответ: x (i) = —.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭФРОСА И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ
ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В этой главе будет выведено преобразование Эфро-
са, а также несколько вспомогательных формул, позво-
ляющих находить* изображения функций, зависящих от
аргументов /2,	,если известны изображения функ-
ций основного аргумента t, а также оригиналы функций
от аргументов )Кх, —, хф-—, 1пх, когда известен ори-
$ $
гинал для функции основного аргумента х.
§ 1. Преобразование Эфроса
Пусть даны операционные соотношения
и F(t,	(8; 1; 1)
причем | f (/)[<Me”»1 и при Re(x)>o0 справедливо нера-
венство Re[g(x)]>(To- Кроме того, предположим, что ин-
теграл Лапласа, определяющий изображение функции
F(t, а), сходится равномерно относительно а при а^О.
При выполнении этих условий справедливо операцион-
ное соотношение, называемое преобразованием Эфроса,
a)da=<(x)/[^(x)].	(8; 1; 2)
о
239
Докажем это. Имеем равенство
/ ($) = \e~5\f (a)da, Re(s)>a„.
6
Заменяя здесь s на q(s), находим
-----—	(Re(s)>a0,
f [q ($)] = C у tZod
о	lRe[<? («)]>%
С другой стороны, имеем равенство
<Р (s) е~r’4 <s) = e~stF (t, a)dt.
6
Умножая левую и правую часть этого равенства на
f(a) da и интегрируя по а от 0 до оо, что возможно,
находим
ср (s) f (a) da = j* f (a) da f e~st F (t, a) dt.
о	oo
Но левая часть равна <p(s)	а в правой порядок
интегрирования можно изменить в силу равномерной
ОО
сходимости по а интеграла e~stF(t, a)dt, поэтому
6
приходим к равенству
<p(s) f [Ч (s)] = e~aclt ^	a) da.
о 6
А это равенство равносильно операционному соотноше-
нию (8; 1; 2).
240
Пример. В § 1 гл 4 мы нашли операционное соотно-
1
шение 7(j2 ]//}=='-—<? \где/о(О—функция Бесселя
первого рода с нулевым индексом. Применяя к этому
соотношению теорему подобия (гл. 2, § 5 (2, 5, 1)), на-
ходим
а	а
Jo (2 /а7)= —- ё 7 =— ё s .
a s	s
Пусть теперь /(/) произвольный оригинал, для ко-
торого выполнено условие |f (f)J < Ме°У где а0< 0.
Принимая за F (/, а) функцию У0(2]/а/), имеем ?(«) =
= — , q ($)= —; при Re(s)>O>ao имеем Ref—
S3	\ 3 /
>0>а0.
Поэтому преобразование Эфроса применимо.
Итак, из соотношения f(/)T±f(s) (оо^О) вытекает
соотношение
С/(а)У0(2уа^а=А./Ш,	(8; 1; 3)
J	S \ S )
о
Применим формулу (8; 1; 3) к функциям е~& (₽ >0),
sin 0/, cos₽t
00
1.	е-р'=	f e-»₽J0(2]/a/)rfa = —— =-----L_
• s+ ₽ J 0X	1 + ₽s ₽ s + ±
Отсюда следует, что
OO	___t
С е~а$ Jo (2 У at) da =-^- e ₽,
J	P
о
241
00
2.	sin p/-== 2~^'^2 ’ j" S*n Л (2	=
0
1	?	__ fis _______________________ 1 s
1	— 1 + 32.52	ЁГ ’	1
« ---+ Й2	i г	H 2 +-
«2	'	^32
Отсюда следует, что
J sin a|V0 (2 Уat) da—— cos -y-.
3.	cos == —; J cos оф ./0 (2 УoU1) dazz.
0
1	1
• 1 s 1	1________1_ p
~ S ’ 1	„ ~ 02 ' ’ 1 ~ В '	1'
	 +32 r s2 + 	 H S2 -j-
S2---------------------------------₽2-T t32
Отсюда следует, что
CO
ycosa3./0(2 yai)da = — sin—.
§ 2. Изображения функций от аргументов t2, yi и —
Для дальнейшего нам понадобится изображение
функции £'(/)— -L_. g Найдем его.
' ' Ут
242
Имеем
4/ dt
V7 ’
/(s) = -L \e~ste
у л J
о
Для вычисления этого интеграла положим t=ui:
оо / _ а2
____ о Р — 5И2Ч	
Z> \	4а»
du.
о
вычисление этого интеграла опускаем, значение его на-
ходим по справочнику*
Р -р*г-—2
I е dx —
{Re/?>0, Re?>0}.
о
а2
Полагая в этой формуле p—s, q=—, находим
/(s)=-Me
du = —U e~a
I' s
о
31	___ - л
— < arg a < —
4	4
Итак, приходим к операционному соотношению
4z=-^-e
1
-7= 6
Ynt
а
^Carga<-^ .(8; 2; 1)
* См., например: И. М. Рыжик и И. С. Градштейн-
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. ГТТИ, 1951,
243
Изображения функций от аргумента t2.
Предполагая известным изображение /(O±r/(s),
найдем изображение f (/2).
Имеем
/(/?) = j*
О
Сделаем под знаком интеграла замену f2 = i:
оо
(8; 2: 2)
О
Но из формулы (8; 2; 1) вытекает равенство
оо	а2
1	5___ 1 С sa du
УТ
г о
Заменяя в этом равенстве 5 на т и а на $, находим
00	Л19
— e-s ^=-Lf е~™~^ Л!Ь
Ут	Кл J	'
о
Делая соответствующую замену в равенстве (8; 2; 2),
находим
ОО	оо	S2
1 ZJ	zj  ТЦ----J
f е 4“ V=-
i у л J	I	у a
0	0
Изменим в правой части порядок интегрирования (это
возможно, если функция f(t2)—оригинал, поскольку в
этом случае сходится интеграл в правой части равенст-
ва (8; 2; 2), кроме того, внутренний интеграл в правой
244
части последнего равенства сходится равномерно отно-
сительно параметра т при т>0):
оо s2	оо
1 Г -Tudu_
о
уГ/2) — ------1. I е
' 2 V л .)
о
Но
оо	_____
=/(«), поэтому находим окончательно
о

00 У2 ______
g-to / (u)du ,	(8; 2; 3)
/«
_____	о
где /(«) = /(*).
Делая в формуле (8; 2; 3) замену u = v2, придаем ей бо-
лее симметричный вид:
оо _£*_
/(^) = -LC е~4г'2 Tffidv. (8; 2; 3*)
у л J
о
Формулы (8; 2; 3) и (8; 2; 3*) верны, если функция
f(t2) является оригиналом одновременно с f(t).
Изображения функций от аргумента-^
Зная изображение функции f(t) найдем изо-
бражение функции —J — (предполагая
t \ t /
хотя бы обобщенным).
Имеем
ее оригиналом,
о
245
Сделаем под знаком интеграла замену переменной, по-
лагая
0	5	ОО	5
— /[—( е~ Тт/(т) ( — ~^= f е~ ~ /(T)rfT .(8; 2; 4)
t \ t ) ' J	\ Т2 / J	т	k
со	0
Но мы имели ранее операционное соотношение
70 (2 /Т/) = — е~~,
S
в силу чего
—	е s = С e~suJ^ (2 у'ай) du.
s	J
о
Полагая в последнем равенстве s=x, a = s, находим
—	е т = С e~xaJо(2]/su) du.
т	J
о
Делая соответствующую замену под знаком интеграла в
правой части равенства (8; 2; 4), получаем
оо	оо
j e-'V, (2Vsu)du=*
о	о
— Г J0(2 ysu) du - Г e~xaf (x)dx.
246
(Мы изменили в правой части порядок интегрирования,.
что возможно, так как функция —у I — ] является ори-
ОО
гиналом, а интеграл J e~™J9 2]^sudu сходится равно-
мерно для всех значений 5, удовлетворяющих условию
Re(s)^0.) Но, поскольку имеем равенство

находим окончательно
~ f	= J f («) Л (2 Vsu) du.
о
(8; 2; 5)
Обращаем внимание читателя на полную взаимность
формулы (8; 2; 5) с выведенной ранее формулой (8;
1;3):
= j"/(а) У0(2 Vsu)du; (8; 2; 5)
о
—	(а) 4(2 Уа/)йГа. (8; 1; 3)
s \ s / J
О
Первая из них (определяющая изображение функции
-L/7-Цпо известному изображению функции f(t) ±:
t J \ t I
~t(s)) справедлива, если— /I—(является оригиналом
247
одновременно с f(t). Вторая (определяющая оригинал
,	„ 1	7Т\	.
функции — у — по известному оригиналу функции
S	\ S /
f (s) f (/)) имеем место, если для функции f(t) выпол-
нено условие |/(С|<С^е°о/, где °о^О.
Изображения функций от аргумента У t
Зная изображение функции f(s), найдем изо-
бражение функции
Имеем
о
Делаем под знаком интеграла замену переменной, пола-
гая /=т2:
/(/7) = 2 J e~^f (т) xdx.	(8; 2; 6)
Снова используем операционное соотношение
1 _—
е 4/	_1_ е—а Vs < Применяя к нему формулу
обращения,имеем равенство
а8	а-|-/оо
g 4/	( gUt—aVu
У nZ	2ш J	У«
а—/оо
(для удобства мы обозначили в правой части перемен-
ную интегрирования через и вместо s). Делая в преды-
248
дущей формуле замену а = г, — —s, приходим к равен-
ству
________________	сг+1 оо и „г—
2 1 e~sz~‘ = — С е4*	.
I/ л	2лг J	у и
Г	<3—1 ОС
Выражая отсюда e~sz~‘ через интеграл и внося это значе-
ние в правую часть равенства (8; 2; 6), находим
_____	оо	а-4-foo	д г-
I/	$	2лг J	J	у	и
*	0	«—Zoo
Здесь также возможно изменение порядка интегрирова-
ния в правой части, поэтому отсюда получаем равенство
/ (VJ) = j" /f; Р « Т/М Л.
*	<3—100	О
оо
Но j	dr — — f (s) (по теореме дифференци-
o
рования изображения, см. гл. 2, (2; 2; 4)), поэтому
J e~xV~arf(r)dr=-f (]/и).
о
Таким образом,
----	С+'ОО И	--у——
=	f e4s	du. (8; 2;	7)
I/ s 2лг J	у и
'	а—Zoo
10—3209
249
В том случае, когда f У+— однозначная функция
комплексного аргумента и и когда при эта функ-
ция стремится на всей плоскости к нулю равномерно, к
вычислению интеграла в правой части формулы (8; 2;
7) можно применить теорему вычетов:
f (/7) ==_ р/Л-	Res {Л f^-u^ ,	(8; 2; 7*)
где суммирование распространено на особые точки функ-
/' (/й)
ции -—~, множество которых предполагается ко-
V «
нечным.	_
Примеры. Найдем изображения функций sin У t и
sh }/ t, используя ф.ормулу (8; 2; 7*).
1. Имеем
-77-Т	1
в данном случае	,
/' (/“) _ _ 2/ц . 1_г-
J ’	(«2 + 1)2 ’	У и	(« + 1)2’ УU.
2
“	(« + 1)2
Итак,
sin]/F= +21 f — Res je4* •------——I
У S и------1 V L(« + I)2 )
так как функция	имеет единственный двойной
,	Vй
250
полюс u= —1). Но?
ц	ч	г	JL
45	11	I	45
Res —  =— lim — H«-|-l)2 ——
a--11 (« + 1)2 )	1!„^-Irf«l?	(« + 1)2
4s
_ 1
Таким образом, sin)//== e 4s,
2. Аналогично, используя формулу sh/==—i— , най-
«“•“"I
дем
sh^-z-^e41-
*	• 2s Уs
Применяя к обеим найденным-формулам теорему по-
добия (в виде / (a2/j=— /)., находим:
sinal// = —1/ —е
к ' 2s У/ s
(8; 2; 8)
sh0)/7=i|/ fe4'.
Применяя теорему дифференцирования
отбрасывая появляющийся при этом общий множитель
в левой и правой частях операционных
находим еще две формулы:
cos а
(8; 2; 9)
оригинала и
соотношений,
4s
(8; 2; 10)
ch а >^7
yt
а1
£
(8; 2; И)
251
§ 3. Отыскание оригиналов функций от аргументов
—, ]/$, S-|—- , Ins
s	s
Оригинал для’ функции j
В § 2 этой главы мы, используя преобразование Эф-
роса, получили формулу (8; 1; 3)
00	____
(7(а)Л(2	— /(—L	(8; 3; 1)
J	s \ $ /
о
где /(a)=/(s).
Эта формула решает вопрос об отыскании оригинала
функции от аргумента — > когда известен оригинал
функции от s.
,	f (тЛs)
Оригинал для функции 7	-
В § 2 этой главы мы установили операционное соот-
ношение
-±=-е 4/=-L-e-alZ^, - —<argac: —.
V nt	4	4
Используем теперь преобразование Эфроса, полагая в
нем
F (/,-«) = е 4/; но тогда <p(s)=p=- и ^(s) = ]/s.
По формуле (8; 1; 2) находим
оо	а2 
J у л/	у s
о
252
Итак, приходим к операционному соотношению
____________________ оо	а-
-^/(75)= 1 С/(а)Г4Т^а.	(8; 3; 2)
У S	У Jtt J
о
Сделаем в интеграле замену переменной, полагая
а= предыдущее соотношение примет вид
00
-77(]4)=JL fe-₽7(2₽ WM. (8; 3; 2*)
У s	У п J
о
Полагая в этой последней формуле	а следова-
-7V5	1
тельно, f (s)=-----, находим
4 s + 1
оо	оо
I—г=-^=- С	JL С е-(Р+уг)2ар'
Ys(y s+1) ’ /я J	/л J
о	о
Положим в последнем интеграле	пРеДы‘
дущее соотношение преобразуется в следующее:
о® г/2
, Л f г 7	(1 -® </2)},
где Ф(^=т/Л“ У 2
' о
dv — интеграл вероятностей.
Итак,
 L . =ef{1 -Ф(/2?))	(8; 3; 3)
Ks(y7+l) 1	1
253
Рекомендуем читателю в порядке упражнения, ис-
пользуя теорему смещения, вывести отсюда формулу
Ф<^7(7ЭДГ-	(8:3:4)
В качестве второго примера использования этих фор-
мул положим в формуле (8; 3; 2) f(s) = ~™e~?s; ориги-
налом для f(s) служит единичная запаздывающая функ-
ция u(t—р). Тогда
(Щ)= ‘	‘ ё-> L е-> ” .
У s	У s У s	s
Находим по формуле (8; 3; 2)
оо	а2	со а2
— е~? L_ С м/а _ р) е 4'^а = . -1_ . С е 41 da
s	у mt J	у nt J"
о	₽
(так как и (ос—р) =0 при а<р).
Под знаком последнего интеграла сделаем замену
переменной, полагая
-^х=-о; будем иметь д?а= y^tdv, при а=ф .
Предыдущая формула преобразуется в следующую:
__________________ ОО V*
s  I/ Л J-	\y2t J
'	?/V2t
где Ф(0, как и ранее, — интеграл вероятностей.
254
Итак, приходим к операционному соотношению
— е~е - Ф (~Ц .	(8; 3; 5)
Это соотношение было нами использовано в гл. 7 при
интегрировании уравнения охлаждения полуограниченно-
го стержня.
Оригинал для функции — f(s-\——) .
s \	5 /
со
В интеграле Лапласа / (а)=у е~”/(<х) rfa заменима
о
I 1
на s -j--:
S
_________ 00	— /
/(s+~)=p ' *'7(<x)da.	(8; 3; 6)
о
Но ранее (см. (4; 1; 11)) мы нашли операционное соот-
a
ношение /0 (2 ]/а/)== — е s. Запишем это соотноше-
ние, используя интеграл Лапласа,
а оо
— е s = С e~sxJ0 (2 У ах) dx.
s	J
о
Умножая равенство (8; 3; 6) на — и делая в правой
s
части соответствующую замену, находим
_______________	00	00
—/ (s-|——С e~sa f(a) da С e~xxJ0 (2 ]/ат) dx.
s \ s 1	j	J
о	о
255
Положим во внутреннем интеграле x = t—а; предыду-
щее равенство примет следующий вид:
________ оо	оо
— f (s-j—С (a) nfa С	a))dt~
S \ S / J	J
О	а
= j / (a) ofa j e~stJ0 (2 У a (/—a)) dt.
О	а
В силу равномерной сходимости внутреннего интеграла
по параметру а в правой части можно изменить порядок
интегрирования. При этом новые пределы интегрирова-
ния по аргументу а станут 0 и t (см. гл. 3, доказатель-
ство теоремы свертывания оригиналов); таким образом,
мы придем к следующему равенству:
j e~stdt j / (a) JQ (2	a)) da.
о о
Это равенство равносильно операционному соотношению
________________ t
— f (s-j——	f/(a) Jo(2 Уa(t — a)) da. (8; 3; 6)
s \ s / J
о
Полагая в этом операционном соотношении
где u.(t)—единичная функция, имеем в силу того, что
«(0
- = J Л (2 /a(/-a)) da-,
S о
256
но
s
Таким образом, приходим к известному в теории бес-
селевых функций равенству
t	_______
j J0(2 Уа(1 — a)r/a = sin/.
о
Оригинал для функции — /[1ns]
Найдем изображение функции F (/) = J
==^(s), где /(a) —произвольный оригинал, а Г(а-|-1)—
Эйлерова функция второго рода: Г (a-J-l) =
ОО
= J e~~xx*dx. Используя интеграл Лапласа, находим
о
оо	оо
F (f)~ ~FTs)=J\ e~stdt f Д2/Е1/Е1.
J	J	Г(а+	1)
о	о
В силу равномерной сходимости	внутреннего интеграла
по аргументу I, можно в правой части изменить порядок
интегрирования:
оо	оо
F(s)= f ^(a)—- f e~stF dt.
J Г (a -f- I) J
0	0
257
Во внутреннем интеграле положим st=v, тогда
оо	оо	оо
С e~stFdt=	V —=—L fe~p-pIIrf-p=-(°+1l) .
J	J	к s / S	sa+1J	sl+1
0	0	0
В силу этого предыдущее равенство приводится к виду
ОО	оо	_
С	-Г f е-"‘f (a) da = ХЙЩ.,
о	о
где, как всегда, через f (s) обозначено изображение функ-
ции /(/).
Итак, приходим к операционному соотношению
— /(Ins) == f zg/(a)rfa .	(8; 3; 7)
s	J Г (a + 1)	v
0
§ 4. Преобразование, взаимное преобразованию
Эфроса
Преобразование Эфроса (см. § 1 настоящей главы)
является преобразованием, осуществляемым над изобра-
жением. Но в операционном исчислении все теоремы
идут взаимными парами: если существует какая-либо
теорема, касающаяся некоторой операции над оригина-
лом, то имеется и взаимная ей, относящаяся к аналогич-
ной операции над изображением. Легко установить пре-
образование, взаимное в этом смысле с преобразованием
Эфроса.
Пусть имеется оригинал F(/) (|F(/)|<^Af^o<npH t~^> 0)
и, кроме того, при />0 задана некоторая положитель-
ная, непрерывная или кусочно-непрерывная функция
258
q(t), порядбк pocta которой при /->4-оо не превосходи!
порядка роста некоторой линейной функции: при t>N,
q(f)^kt (&>0).Тогда функция/7 (/)еа9 (() при произволь-
ном комплексном параметре а с положительной вещест-
венной частью [Re(a)>0] также будет оригиналом.
В самом деле, имеем при t>N‘.
\F(t)ea9ity\ = \F(i)\e^^9WC
а! С
= Me 0 ,
где aJ=a0+ARe(a).
Обозначим изображение этой функции через F(s, a):
F (s, a) = J e~st+^F (i)dt. (8; 4; I)
о
Пусть дан еще один оригинал /(/)(|/И[<^Л/1е111<' при />0,
изображением которого является f(s), причем аб-
солютно сходится интеграл
з-}-7оо
С 7(Г). F (s, и) du,
2711 - J
а— /оо
в котором путь интегрирования — прямая Re(u) = <т>0
лежит в области регулярности изображения f(u) :a>a1.
Тогда справедливо операционное соотношение
а-}-/со
± f 7№7^^)da=F(l)f{q(t)]. (8; 4; 2)
2711 J
о—/оо
Для доказательства в левой части соотношения (8; 4; 2)
заменим F(s, и) ее значением по формуле (8; 4; 1):
259
о-]- Zoo
J /(и)^ (s, u)dii=
X J e-^+^^F (t)dt.
6
В правой части, в силу равномерной сходимости внут-
реннего интеграла по параметру и (как интеграла Лап-
ласа), можно изменить порядок интегрирования:
О-pZoO	ОО	С-|-/оо
— С f(u)F (s, u)du — Г e~st F (t)dt — C eaQ (0/ (ji)du.
2лг J	J	2лг J
О—/оо	0	в— /со
Но по формуле обращения, при Re(u)>cr1, имеем
— f eu^f(ii)dti = f[q(t)]
2.Ш J
[поскольку <?(/) ^0], поэтому
J /(«)F(s, u)dii —
= J e~stF (/) f [q (/)] dt = F (/) f {q (/)].
о
Таким образом, справедливость формулы (8; 4; 2)
при перечисленных условиях доказана.
Пример. Найдем изображение функции
260
где
1
Vi
обобщенный
оригинал; q(t} = V и при
i,
Имеем
. L. g^VTС е—st+«vr У1_.—e4s ( е (	2
Vt ’ J	yi J	Vi
о	0
В последнем интеграле сделаем замену переменной, по-
лагая
Отсюда, в соответствии с преобразованием (8; 4; 2), ис-
ходя из соотношения /(/)i^/(s), приходим к соотно-
261
шению
__«+ Zeb 1Г‘
ТГ/(1/7)=^1/f J e" {’ +Ф(Й)}^da- —
a—/co	№
(8; 4; 4) n-n-
a2
Функция eis |14~Ф стремится в левой полу- i j
плоскости плоскости и к нулю равномерно. В силу этого, ___
если f(u) удовлетворяет условиям третьей теоремы раз-
ложения, для вычисления интеграла в правой части фор- 2
мулы (8; 4; 4) можно применить теорему вычетов. Учи-
“!( , .. --------------------
тывая при этом, что функция е45(д_|_ф	на плоско-
сти и имеет единственную особую точку — существенную
особенность на бесконечности, вместо формулы (8; 4; 4)---
придем к формуле
2	4
-- Й= т fe
Л-1	-
(8; 4; 5)
где суммирование распространяется на все полюсы функ-----
ции f(s). Применяя формулу (8; 4; 5) читатель может 6
еще раз убедиться в справедливости формул (8; 2; 10)
и (8; 2; 11) (следует лишь учесть, что функция Ф(£) —
нечетная).
262
Справочная таблица	формул операционного исчисления	
Оригинал	'	Изображение	Номер формулы
	/(s) = e~si f (t) dt Q	(1; 2; 1) (интеграл Лапласа)
а~^[со /(0=^ J eS‘^>ds S—[со		(1; 2; 2) (формула обраще- ния)
	k = n— 1 snT&- s'!_ft~7(ft)(0)	(2; 2; 2) (дифференцирова- ние оригинала)
J f (т) dx 0	1 — — f(s) s	(2; 2; 3) (интегрирование оригинала)
(-1)" tnf(t)	dn 		(2; 2; 4) (дифференцирова- ние изображения)
f(t) t	l7(9)dq s	(2; 2; 5) (интегрирование изображения)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
7	ел‘ f(t)	/(8— а)	(2; 3; 1) (теорема смещения)
8	/(* —*) (т>0, const)		(2; 3; 5) (теорема запазды- вания )
9	/(«О (а > 0)	<о | В	(2;5;Д) (теорема пЪдрбия)
			
10	t J /1 (Т) /2 (J — Г) ах 0	/1 (8)-/2(8)	(2; 4; 3) (теорема свертыва- ния оригиналов) fj
11	/1 (О /2(0	j °+<оо a—loo	(2; 4; 10) (теорема свертыва- ния изображений)
12	а2 J f (t, a) da а1	(Хо J f(s,a)da а1	(2; 6; 2) (интегрирование по параметру)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
13	Л(*. а)	д 	 7— /(8, а) Оа	(2; 6; 4) (дифференцирова- ние по параметру)
14	/(0 = Ит /я (0 Л-*оо	7(8)= 1’т/л(8) Л-*СО	(2; 7; 2)
15	u(t) (единичная функция)	1 S	(3; 1; 1)
16	tn nl	1 5Л+г	(3; 1; 2V
17	ел*	1 5 — а	(3;1;3)
18	tn L- п!	1 (s—а)п+г	(3; 1; 4)
19	sin р/	__L_ S2 + р2	(3; 1; 5)
to 8 № П. П.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
20	cos	s S2 + p	(3; 1; 6)
21	sh	P •S-2 — ₽2	(3; 1; 7)
22	ch	s 82 — ₽2	(3; 1;8)
23	eat sin	(S-a)2 + p2	(3; 1; 9)
24	eaZ cos fit	s —a (s —a)2+p2	(3; 1; 10)
25	/О) 	 sin fit n'	Jb{(s+pzy+1}, (s2 + p2)« + !	(3:1; И)
26	tn 	COS fit nl	Re {(s + рг)л+1 } (s2 + p2)« + l	(3, 1; 12)
27	tn 	e“zsin fit rd	Jm{[(s—a) + P/]B+1} [(s— a)2+₽2]'!+1	(3; 1; 13)
№ П. n.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
28	tn —- eaZcos n\	&{[(л-а) + р/],!+1} [(s-a)2+p]n+1	(3; 1; 14)
29	Г (p, > —1) r^+l)^	1 sh+i	(3; 2; 2)
30	Z'1 In t Г([х4-1) (fx>-1)	1 Г г' (p- + 1)	I r(p+i)	ns]	(3; 2; 3)
31	In t	_	q = 0,5772157 ... s < . . —постоянная Эйлера)	(3; 2; 4)
32	Гел* ‘	(p. > —1)	1 (s — a)p'+1	(3; 2; 5)
33 to 2	t* In t p , , n (p->— 1) г (p. -f- 1)	1	Г Г' (p+ 1) (s-a^+i [	Г(И4-1) — In (s — a) J	(3; 2; 6)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы	
34	In t	_ 7 +ln (s — a) s — a	(3; 2; 7)	
35	t Сет — 1 \	dx J T 0	— — In fl ——) s \	s )	(3; 8; 1)	
36	t C sinr \	dx J т 0	1	1 — arc tg— s	s	(3; 3; 2)	
37		/	_T2 $(/)= 1/ —C e 2 dr » л J 0	s2 1	2 — e {1-Ф(5)} s	(3; 3; 5)	
38	Периодический оригинал f(t' lf(t + 0=7(0 при t > 0]	I 	 \e-stf(f)dt fo (s)	_o_	 1 — e~ls	l—e-ls	(3; 4; 3)	
№ п. п.	Оригинал	Изображение		Номер формулы
39	Кусочно-аналитический ори- гинал f (t) 1Л0=Л(0 при xk< t< Tft+1, k = 1, 2	m-,f0 (0 = = /m+i(0 = 0]	7^2^- J-I л-0 (T.)_		(3; 5; 9)
40	Полигональная функция f (t) “k* + bk при хк < t < <	k = 1,2, . . . , m\ f0(i)= fm+l(t) = 0].	m-H s=t pft = Ay(Tft) (приращение op- < динат), ak = A f (хк) (прираще- ние угл. коэфф.)		(3; 6; 1)
41	Ступенчатая функция f (f) f(f}=hk при xk<t<xk+x, = 1,2	и; Ло = A,„+i=0.	Ai т ? 1 1 +£^Ti it ii i'- c fe		(3; 6; 3)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
42	/(о= Л-0 (ряд сходится на всей оси ot, ТИо* \ »| )•	ОО s*+l iSo	(3; 7; 4)
43	Л» (0	1 У + 1	(3; 7; 5)
44	70(2/сП)	a 1	5 — e s	(4; 1; и)
45	Импульсная функция первого порядка 3(<)	1	(6; 1; 7)
46	Импульсная функция второго порядка 81 (<)	s	(6; 2; 10)
№ п» п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
47	F (t, а) ОО /(а) F(t, а) da 0	<p (s) e~°"7 ?(s) /[?(«)]	(8; 1; 2) (преобразование Эфроса)
48	f(fl)	oe	s2 1 C ~ 4»2	 j e	f(v2) dv •	(8; 2; 3)
49	тО	oo f (u) /о	Vsu) du 0	(8; 2; 5)
50	оо J f (а) Jt (2]Fat)da	t'(-9	(8;1;3)
51	f(^n	i	e-f-Zoo U -]/ Т2Ш- J e X a—Zoo X r- du * у и	(8; 2; 7)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
51а	/(/Г)	f (/«) | x Vu J	(8; 2; 7*)
52	оо	а2 1 Г	""4Г Г— 1 /(а)е da у fit J 0		(8; 3; 2)
52а	1U 2 Р	— '7Г=' \ £—а2/ (2а Уt ) da у л J 0	7/- /(Ks) V s	(8; 3; 2*)
53	t j f (а) Jo (2 У a (t — а) da б	If	1 \ — / s+ — a \	si	(8; 3; 7)
54	i f (а) da J Г(а+1) n		 fQns) s	(8; 3; 8)
№ п. п.	Оригинал		Изображение	Номер формулы
55	(<7 9	А(/)	(0 (0 > 0 при i > 0 (t)<kt при t>N)	<p(s,a) «4-/00 — J /(«)? (а,и) du «—/оо	(8; 4; 2) (преобразование, взаимное преобра- зованию Эфроса)
56	77		X ЬЭ 1 + © Sй Is 1 J 1 с	 ^1	8	8 X	(8; 4; 4)
56а 1			.	2 у.	И = т ад V fS'^x А-1 (	/ йь \А		 Xl1+*(r5“Jh’/W (aft—особые точки / (а))	(8; 4; 5)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
57	1 ~й ! л	п \ — <arga<	—-— e—“‘Fs’ Vs	(8; 2; 1)
58	sin а У t	аУл	4s “2,sVs e	(8; 2; 8)
59	sha^Z	_ a2 аУ л 4s 2syTe	(8; 2; 9)
60	cosa ]/~/ VT	.—	a’ , / Л	4s 1/ 	« r 4	(8; 2; 10)
№ п. п.	Оригинал	Изображение	Номер формулы
61	ch ay"t FT	f	 a*  / Л 4s 1/ 	* F 5	(8; 2; И)
62	e*< 1 — Ф[/2?]}	1 s + Vs	(8; 3; 3)
63	Ф(/2/)	1 s У s 4-1	(8; 3; 4)
64	i—ф (-4=^ \2]Т J	_L e-«F? s	(8; 3; 5)
65	Vi	1	4s (	/ a 1/ 	e )1+ф1"7^'Н V s I	\F^2s /J	(8; 4; 3)
Литература
Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э.
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео-
рия устойчивости. М. «Наука», 1965, 1968.
Ван-дер-Поль Б., Бремер X. Операционное исчисление
на основе двустороннего преобразования Лапласа. М. ИЛ, 1952.
Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразо-
вания Лапласа. М. ГИФМЛ, 1960.
Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчис-
ление. М, «Высшая школа», 1966.
Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по опе-
рационному исчислению. М., «Высшая школа», 1965.
Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобра-
зования и операционное исчисление. СМБ. М., ГИФМЛ, 1961.
Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчис-
ление по двум переменным и его приложения. М., Физматгиз, 1958.
Карслоу X., Егер Д. Операционные методы в прикладной
математике. М. ИЛ, 1948.
Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационар-
ные явления в электрических цепях. М. ГИФМЛ, 1953.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчис-
ление, устойчивость движения (задачи и упражнения), М., «Наука»,
1964.
Лурье А. И. Операционное исчисление М. — Л., ГИТТЛ, 1950
Микусинский Я- Операторное исчисление, М., ИЛ, 1956.
Шелковников Ф. А, Такайшвили К- Г. Сборник
упражнений по операционному исчислению, М., «Высшая школа»,
1961, 1968.
Эфрос А. М., Данилевский А. М. Операционное исчис-
ление и контурные интегралы, Харьков, ДНТВУ, 1937.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие........................................... 3
Введение.............................................. 5
Некоторые понятия, формулы и теоремы математического
анализа и теории функций комплексного переменного, исполь-
зуемые в операционном исчислении ......................... 5
§ 1.	Несобственные интегралы с бесконечными преде-
лами; абсолютная сходимость; равномерная сходи-
мость несобственных интегралов, зависящих от па-
раметра ............................................ 5
§ 2.	Интегралы, зависящие от комплексного параметра 10
§ 3.	Эйлеров интеграл второго рода —функция Г(г) . . 14
§ 4.	Интеграл Фурье..................................16
Глава первая. Исходные положения операционного исчисления 24
§ 1.	Преобразование интеграла Фурье..................24
§ 2.	Оригинал и изображение, связь между ними . . 27
Глава вторая. Основные теоремы операционного исчисления 42
§ 1.	Линейные свойства преобразования Лапласа ... 42
§ 2.	Теоремы дифференцирования и интегрирования ори-
гинала и	изображения...........................43
§ 3.	Теоремы	смещения и запаздывания................48
§ 4.	Теоремы	свертывания............................52
§ 5.	Теорема подобия, теоремы о связи начальных и ко-
нечных значений оригинала и изображения ... 59
§ 6.	Дифференцирование и интегрирование операцион-
ных соотношений по параметру.........................63
§ 7.	Переход к пределу в операционных соотношениях 65
277
Стр.
Глава третья. Изображения некоторых функций................69
§ 1.	Изображения основных элементарных функций . . 69
§ 2.	Расширение класса оригиналов. Изображение степен-
ной функции (при произвольном показателе степе-
ни) и натурального логарифма......................   .	73
§ 3.	Применение основных теорем операционного исчис-
ления к отысканию изображений некоторых неэле-
ментариых функций...............................76
§ 4.	Изображение периодического оригинала.........80
§ 5.	Изображение кусочио-аиалитического оригинала	.	.	83
§ 6.	Изображение полигональной функции............91
§ 7.	Отыскание изображений при помощи рядов	...	95
Упражнения............................................98
Глава четвертая. Методы отыскания оригинала по известному
изображению; теоремы разложения.....................104
§ 1.	Первая теорема разложения.......................104
§ 2.	Вторая теорема разложения.....................109
§ 3.	Третья теорема разложения (обобщенная)........114
§ 4.	Применение теоремы свертывания оригиналов для
отыскания оригинала по заданному изображению . . 120
Упражнения...........................................123
Глава пятая. Интегрирование линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и систем
таких уравнений методами операционного исчисления . . 126
§ 1.	Интегрирование линейных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами....................126
§ 2.	Интегрирование систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами .... 134
§ 3.	Передаточная функция и ее оригинал. Интеграл
Дюамеля...............................................139
§ 4.	Интегрирование уравнений, в правой части которых
стоит кусочно-аналитическая функция................145
§ 5.	Интегрирование уравнений, в правой части которых
периодическая функция..............................150
§	6.	Физические задачи.............................153
Упражнения.........................................  166
£78
Стр.
Глава шестая. Импульсные функции, их изображения и при-
менение ...........................................175
§ 1.	Импульсная	функция	первого	порядка..........175
§ 2.	Импульсная	функция	второго	порядка..........179
§ 3.	Применение	импульсных функций................186
Упражнения........................................192
Г лава седьмая. Применение операционного исчисления к вы-
числению несобственных интегралов и интегрированию
некоторых классов дифференциальных и интегральных
уравнений..............................................194
§ 1.	Вычисление несобственных интегралов..........194
§ 2.	Интегрирование одного класса линейных дифферен-
циальных уравнений с переменными коэффициента-
ми ...............................................202
§ 3.	Интегрирование линейных дифференциальных урав-
нений с запаздывающим аргументом..................206
§ 4.	Интегрирование линейных уравнений в частных про-
изводных .........................................216
§ 5.	Решение интегральных уравнений...............231
Упражнения , .....................................233
Глава восьмая. Преобразование Эфроса и некоторые другие
формулы операционного исчисления...................239
§ 1.	Преобразование Эфроса........................239
§ 2.	Изображения функций от аргументов и у- 242
§^3. Отыскание оригиналов функций от аргументов
—, Ув, s + —, 1ns...............................252
s	з
§ 4. Преобразование, взаимное преобразованию Эфро-
са ............................................258
Справочная таблица формул операционного исчисления . . . 263
1итература.............................................276
279
Родион Яковлевич Шостак
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Редактор А. И. Селиверстова
Худож. редактор Т. А. Дурасова
Техн, редактор В. Г. Александрова
Корректор I. А. Алымова
Сдано в набор 26/V—71 г. Поцп. к печати 3/1—72 г.
Формат 70Х108’/з2- Объем 8,75 печ. л. 12,25 усл. п. л.
8,71 уч.-изд. л. Изд. № ФМ—474. Тираж 30.000 экз.
Цена 35 коп.
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы на 1971 г.)
Позиция № 43.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7. Зак. 3209.