/
Текст
А.П. ПРУДНИКОВ
ю. А. БРЫЧКОВ
О. И. МАРИЧЕВ
ИНТЕГРАЛЫ
И РЯДЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
22.194
П 85
УДК 519.6
Интегралы и ряды. Прудников А. П, Б р ы ч -
ков Ю. Д.МаричевО И. — М - Наука Глав-
ная редакция физ и ко математической литературы,
1981.
Книга содержит неопределенные и определенные
(в том числе кратные) интегралы, конечные суммы,
ряды и произведения с элементарными функциями.
Ома является наиболее полным справочным руко-
водством, включает результаты, изложенные в ана-
логичных изданиях, а такие в научной и периодиче-
ской литературе, опубликованной в последние годы.
Некоторые результаты публикуются впервые
Книга предназначена для широкого круга специ-
алистов в различных областях знаний, а также для
студентов вузов.
Библиотека
Иистгту-а баерноЯ
фжэмкы со A*i rccr
. мнв.
20203-063
П 053(02)-81
70-81. 1702070000
@ Издательство «Наука*.
Главная редакция
физико математической литературу jggj
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................... 22
\Л ‘ >
* I
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ........ Z............... 23
11. Введение ........... .................
1.1 L
1.1.2.
1.1.3.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
1.2.6.
1.2.7.
1.2.8.
1.2.9.
1.2 19.
Г.2.11.
1.2.12.
1.2.13.
1 2 14.
12 15.
Предварительные сведения . f г. . . . » г ». » г . ..........
Основные‘интегралы .... 24 .... * »-Л‘?.............«.............
Общие формулы ...................................................
• д *»**’ t .
Степенная и алгебраические функции . . . *.<
Введение ...........................................
Интегралы вида Jxp(aV dx................................... •
Sxm dx
—z...................
xn+ an
~. £ xp dx
Интегралы вида 1.....-................
3 (* + а>?
„ C dx
Интегралы вида \ —-----g...........................
JxP(x + a)9
Интегралы вида ( (x-t-c)p 6t~4-?V dx .........
J VT*/
„ C x? dx
Интегралы вида \-------s....... ...............................
3 (x + a)* (х + йГ
Интегралы вида J R(x, ax*-{~bx-^c} dx ......................
Интегралы вида J R(x-^d, ax*+bx-|-c) dx ......... ................
f x* dx
Интегралы вида J .......................................
г dx
Интегралы вида J ..........* ‘ *....................
, r x±mdx
Интегралы вида \ ----—-................................ .
J (x +a3)"
„ Г x—m dx C x—m dx
Интегралы вида \ 77---j". I 7—7---=...........................
J (x4± а4)л J (ax4 + fix2 +c)*
Интегралы вида J #(x, ax2* 4- fix* -j- c) dx..................
Интегралы вида J ^(x1/2, ax-F-b)<fr...........................
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.2.16. Интегралы вида | R (х^2, x2_«.a2)dx..............
1.2.17. Интегралы вида J х- т (ах -j- b)п + V2 dx ...................
С хт dx
1.2.18. Интегралы вида \--гт-а .............................
' (ах 4- Ь)п + 1/2
Sdx
——---------г-гп; .....................
хт (ах+Ь)п+и2
1.2.20. Интегралы вида J R (х, j^ax + ft. Vcx-J-tOdx..
1.2.21. Интегралы вида J r(x, ах 4-b) dx .....................
1.2.22. Интегралы вида J R [х, (ах+&)^и] dx........... » • •
С / /йх 4- b 1
1.2.23. Интегралы вида \ R{ х, у -- 1 dx.. .............
j \ г сх д/ ,
1.2.24. Интегралы вида | ^(xl/n, x2;i a2)dx
1.2.25. Интегралы а вида X fR(Yx — a, Vx — b, Vx — c)dx a 00
1.2.26. Интегралы вида Г R (Vx — а, У~х — Ь, Vx— c) dx ......... . . * i > X a . . "4 .»
1.2.27. Интегралы вида J R (V a — x, У x — b, Vx — c)dx X *
1.2.28. Интегралы вида X ___ J R <Va — x, V x — b, У x — c) dx b
1.2.29. Интегралы t 4 » вида b , , j R (y a — x, У b — x, У x — c) dx ............ X X
1.2.30. Интегралы вида | R (]/a — x, У b — x, Yx —c) dx . c
1.2.31. Инте! р алы вида c t J RiVoT^x, yb — x,yc — x)dx<.^ x x x
1.2.32. Интегралы вида J R(Va — x, У b—x, У c — x) dx ......... . — oo «Д ’• x p
1.2.33. Интегралы вида J R(Vx — a, Ух — b, У x — c, У x — d) dx ....... a
1.2.34. Интегралы вида a JR(Va— x, Ух — b. Уx—c, Уx — d) dx ....... X
1.2.35. Интегралы вида X j R(ya — x, У x—b, У x — c, У x — d) dx ....... b b
1.2.36. Интегралы вида'| R (Va—х, Уb — х, Yx—c, У"х— di) dx ...... . X X
1.2.37. Интегралы вида J R (V а—х, УЬ — х, Ух—г, Ух — d) dx . . . . . . .
с
49
49
51
52
52
55
55
56
57
57
59
61
63
64
66
68
70
72
74
76
78
80
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
с _____ _____ ___
1.2.38. Интегралы вида |/?(Уа—х, Vb— х. Ус — х, Ух —4) dx .......... 82
х
х _______ _______ ______ ______
1.2.39. Интегралы вида J ^(У? —х, УЬ—х, f' с—х» Ух—d) dx. ......... 84
d
1.2.40. Интегралы вида d J«(ya — х. Vb — х, Ус — х, У<7 — х) dx . *. 86 X
1.2.41* Интегралы вида jxm(xzLa2)a + i^dx 88
1.2.42. Интегралы вида Г(х2 га2)п + ’/2 \ LL-LfL-' dx . 89 » Xй1
1.2.43. Интегралы внда C dx .... 91
1.2.44. Интегралы внда f 12 3x«(x2±a2)n+‘/2
1.2.45. Интегралы вида f dx . f **- ._ 93 J (* 4- b)n Vx* ± a* J (х*±5®)Ух«±а*
1.2.46. Интегралы вида f xm (a2-xz)n + i/2dx 95
1.2.47. Интегралы вида Г («! x*lft4- 1/2 V 12—£2 dx ....... 96 J xm
1.2.48. Интегралы вида f dx Q7 J (a*—х2)л + 1/2
1.2.49. Интегралы вида C dx лл \^(a*-x*^ + '^ - ®8
1.2.50. Интегралы вида C dx C dx M J (r-f- b)a Уа» —x® J (x*± b*} ha* — x*}n +,/2
1.2.51. Интегралы внда (ax* + 6x4-t)n+ 1/2 dx ................ 100
1.2.52. Интегралы вида r x? m dx ~ V 102 j (ах*4-6х+Оп+ 1/2
1.2.53. Иите1ралы вида J /?(x4-p, ax* + bx+c}dx ............ ...... 104
1.2.54. Интегралы вида | f(x, Ух*—*4" О dx .................... 106
х ________
1.2.55. Интегралы вида J R(x, Ух* + а*. Ух*4-58) </х. ...... ......... 107
О
оо ___
1.2.56. Интегралы внда J /?(х, Ух*-%-а*. У^хг4-5») 4х . ••••••«•••••••• 109
х
X ___ ______
1.2.57. Интегралы вида J R(x, Ух*-(-а*, Ух*—Ь*) dx . •••••••••••••• 110
b
оо
1.2.58. Интегралы врда J 7?(х, Ух* + а*, Ул®—51) 4х. 112
х
х ________ _____
1.2.59. Интегралы внда J /?(х. У х® 4- в8. У7>8—х*) dx ..•••••• •••••••• 113
О
Ь ________
1.2.60. Интегралы вида J R(x, Ух*-fa*, Vb*—х*) dx .•••••..•••••••• 114
х ‘
б
ОГЛАВЛЕНИЕ
х , _______
1.2.61. Интегралы вида J R(x, Ух*—и*. Ух*—0*)dx . .'. ..............*. " 116
а
со ___________
1.2.62. Интегралы вида J R{x, Ух*—а*. Ух*—tfidx...................... • И7
х
а ___________
1.2.63. Интегралы вида J R (лс. Ул*—хя, Vx* — ^ dx............
х
х ______ _____
1 2.64. Интегралы вида j R(x, Уй«—х*. У^-ЧЙ») dx ................
Ъ
х _____
1 2 65. Интегралы вида J Я(х, У а* — х*, Уб*—х*) dx........
О
Ь ___________
1.2.66. Интегралы вида J J?(x, Уа*— х*. Уб*—х*) dx ...... ....
х ________________ Г
1.2.67. Интегралы вида J r(x. р*) (x*4p*)dx ............
1.2.68. Интегралы вида J Я(х, Ух* 4- 0 dx ........ . ........
ДЛ.69. Интегралы вида J R(х. Ух*—j)dx..............Ч ..... ...
1.2 70. Интегралы вида J R(x, У1 —х*) dx.................
1.2.7) . Интегралы вида J R(x, Ух* +0 dx .......... .........
1.2.72. Интегралы вида J R(x, У±х*4^1)<1х ................
1.2.73. Интегралы вида j f (х, Ух4-х*) dx ......................
1.2.74. Интегралы вида J R(x, Ух — х*) dx ............ .......
1.2.75. Интегралы вида J R(x, Vx*-^3b*x*-j-a*) dx ................ .
1.2.76. Интегралы вида J R ‘х, Ух* 4* 1) dx ....... . . ........ .....
1.2 77. Интегралы вида J R(x, У Г—х*) dx ......................
J.2.78. Интегралы вида J R(xt x*_L 1) dx ............
1.2.79. Интегралы вида J Я (г, |/х* ± 1) dx. J R(x, у 1—x*^dx.
1,2.80. Интегралы вида J R (^^1 (х—а). у <х — б)) .........
1 2.81. Интегралы вида J /?(|/х*4- 1) dx .....................
ИЗ
119
121
122
123
124
125
126
128
12»
130
130
ш
132
133
134
134
136
136
1.3 . Показательная функция............................................... 136
1.3.1. Интегралы вида J f (ех1х) dx .......................... 136
1.3.2. Интегралы вида J I (х, еах) dx ....................... . . 137
1.3.3. Интегралы вида J /(х, e~*a2xS)dx.......................... 139
L4. Гиперболические функции .............................................. 14!
1.4.1. Введение..................................................... 141
1.4.2. Интегралы вида -J sb₽x dx, J ch^xdx ....................... . 141
1.4.3. Интегралы вида J sh^xch^xdx.................................. 142
1.4.4. Интегралы вида - dx, ( * dx ............................ 144
* ch* х J sh₽ x
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
М.5. Интегралы- вида- I —--- . . ,............................г.
< * J sh^ х ch* X
1.4.6. Интегралы вида J thp х dx, J cth^ x dx . ..................
1.4.7. Интегралы вида f R(shx, chx, thx. cthx)dx ...............
1.4.8. Интегралы внда J R (sh (ex 4- Н» ch [ex + dH dx.................
f.4 9. Интегралы внда J sh₽ x gjdx. JcfaPxg^Jdx..................
1.4.10. Интегралы вида J R (sh 2av, ch 2ax, Vsh 2ax) dx..........
1.4.11. Интегралы вида J R(sh2ax, ch 2ax, Veh 2ax) dx...................
1.4.12. Интегралы вида J R(sh x, ch x, Va 4-6 sh x) dx..........
1.4.13. Интегралы вида J R(sh x, eh x, Vb ch x —a) dx, b >a .......... .
1.4.14. Интегралы вида | R(sh x, ch x, V6 ch x—a) dx, a > b ............
1.4.15. Интегралы вида J R(shx, chx, Via — 5 ch x) dx ...........
1.4.16. Интегралы вида f R(shx, chx. Va 4-6 ch r) dx . .................
1.4.17. Интегралы вида J R(shx, chx, Va2sh*x±6*, Vft*—e*sh*x,
V a* chfx+b*, Vb2 —a2 ch* x) dx.................................
1.4.18. Интегралы вида J R (sh x, ch x. Va sh x 4- b ch x) dx . . . . ..
1.4.19. Интегралы
1.4.20. Интегралы
1.4.21. Интегралы
1.4.22. Интегралы
1.4.23. Ййтегралы
L4.24. Интегралы
1.4.25. Интегралы
1.4.26. Интегралы
1.9.27. Интегралы
вида j r tn x ax, j i
S^{chxf^
P 1 (sh x) ,
вида J dx
вида \ хр { .. dx . . ,
J Veth xj
вида J xr sh₽xch^xdx .
Jxp р xp
—dr, \—r~dx
dhfx J ch«x
вида ( r(x₽. *k a4-6
dx
внда J(ftx + C)^«|chexJdx ..
вида ( R (х, е®-*, sh bx, ch fix) dx
M6
147
147
151
151
153
154
155
156
156
157
156
159
160
160
let
162
163
164
164
166
166
167
1.5. Тригояометрнчесние функции......................................... 163
L5.1. Введение............................-............................ 166
1.5.2. Иитегралы вида J sin^xdx......................................... 169
1.5.3. Интегралы вида | cesPxdx ...................................«... 170
1.5.4. Интегралы вида J sln^ х cos^ xdx............................... 172
1.5.5. Иитегралы вида -—77— dx ......................................... 174
' cosy х
Scos7 х ,
-—jr-dx .................................... 176
sm^x
1.5.7. Интегралы вида \ —...................................... 178
Jsinpxcos<x
4.5.8. Интегралы вида J xdx, j ctgPxdx........................... 179
•8
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.6.9. Интегралы вида J R(sinx, cos г, tg к, ctgx) dx . ... «’.. . .
- Г (sin (ах 4- b) sin (сх4-d) 1 ,
1.5.10. Интегралы вида \ ! . Т . , \ > dx,
J (cos (ах 4- о) cos (сх 4- a)J
j sin (ах 4- Ь) cos (сх 4- d) dx........................
1.5.11. Интегралы вида J sinpx sin ах dx ...... . ...... . .........
1.5.12. Интегралы вида J sinpx cos ах dr.................................
1.5.13. Интегралы вида J cospxsinardx....................................
1.5.14. Интегралы вида J cosp х Cos ах dx^.......................
, _ ,, с (slnx}m (sin arl-1 .
1.5.15. Интегралы вида J dx . .....................................
1.5.16. Интегралы вида J R(sin ax, cosax, Vsin 2ax) dx.i..........
1.5.17. Интегралы вида j 7?(sin ax, cosax. Уcos2ax) dx . . . .* 4........
1.5.18. Интегралы вида J R(sinax, cosax. V—cos2ax) dx . . ? J. .
1.5.19. Интегралы вида J R(sinx, cosx, Уа +5 sin x) dr.......... 1 .
1.5.20. Интегралы вида J R(sinx. cosx. У a ± bcos x) dx..................
1.5.21. Интегралы вида J R (sin x, cos x, if a 4- b sin x 4- c cos x) dx.
1.5.22. Интегралы вида J R (У 1 — k* sin*x) dx...........................
1.5.23. Интегралы вида J R(sinx. УТ— № чп*х) dx . . . '. .......... . . .
1.5.24. Интегралы вида J R(cosx, Vi—fe2 sin* x) dx . . . 4.’i...
1.5.25. Интегралы вида J sinm x cos® x 1^(1 — fe2 sin2 x)p dr . t ...........
—-— Kl — fe* sin* x dx . . . . . ........... ...
cos” x
1.5.27. Интегралы вида V sn> fCOS x fa..................................
J Г (1 — k* sin2 x)r
Ssinp x dx Г cosp x dx
-------!------------, \-------- . . .
cos'?xv (I — й* sin* x)r sin^ x г (1 — fc* sin* x)r
.. f V(1—fe2sin2x)r
1 5.29. Интегралы вида \---=---------dx .....................
2 sin x cos x
f dx
1.5.30. Интегралы вида \ —-------- — — ......................
J sinmxcosnxr (1—fe2sin2x)r
1.5.31. Интегралы вида J R(sinx, cosx. У 1 —p*sin*x, V 1 —fl*sin*x) dr..
5 (a 4 sinx)p .
—-, 4— dx......................................
У 1 — &2sin*x
5(1 +a sin2 x)p .
_ . . fa..................................
1<1—fe*sin2x
1.5.34. Интегралы вида f /--^cos'rj_ dx.................................
J/l —fe*sin*x
1.5.35. Интегралы вида ? —— dx.......................< *...........
J У 1—fe2sin*x
1,5.36. Интегралы вида J R(sinx. cosx, Vl —р2ып*х) dx ...............
1.5.37. Интегралы вида J R(sinx, cosx, У 14-p*sin*x) dx ..........................
1.5.38. Интегралы вида J R(sinr, cosx, V'a*sin2x—1) dx ..............
1^0
18^5
185
186
187
188
189
190
192
194
195
197
199
200
20b
202
204
206
207
209
211
211
212
213
214
*216
217
218
219
220
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
1:5.39. Интегралы вида J f(tgх)dх, |/(ctgx)dx
fa (sinx}a ,
1.5.40. Интегралы вида \ хн 4 ) dx . . .
J ICOSXJ
SI fsinxi? .
~n A f dx . . . .
xv (cosx J
1.5.42. Интегралы вида xp|^^}^rfx , . . .
1.5.43. Интегралы вида J xrsinpxcos^xdx . .
C xp dx
1 5 44. Интегралы вида \ —-—..........
J sin’ x
1.5.45. Интегралы вида 1-—
J cos" x
1.5.46. Интегралы вида sinx, cosx, a-kbsinx-kccosx) dx........
1.5.47. Интегралы вида ( dx...............................
* *V(l-kWxF
1.5.48. Интегралы вида \ (x-kb)— n Jsina*l dx ....................
J (cosaxj
221 .
223
225
226
227
223
229
230
231
231
232
234
234
235
540
15.49. Интегралы вида J e®* sinpxcos^ xdx ..........................
1.5.50. Интегралы вида Г ax fIff* j \ еЧ . ? dx . . . . j IctgxJ
1.5.51. Интегралы вида jj?(x, е^, sinbx, cosbx) dx
1.5.52. Интегралы вида Г jsh (ax k- b)lhi (sin (ex 4 jtch(ax-kb)f tcos (ex -k rf) J
1.5.53. Интегралы вида С О (sinx’l J \xp{ „ 3dx J IcosxM
1.6. Логарифмическая.функция.................................... tjt • 240
вида J x in tax . .
C x? dx
вида I —-— ....
' In*7 X
вида J (x-ka)9 Inxdx
f xm Inx ,
вида I t-t----~—tx dx
242
242
243
0
<4
f
1.6.1. Интегралы
1.6.2. Интегралы
1.6.3. Интегралы
1.6.4. Интегралы
J Ua±xa)"/2
1.6.5. Интегралы вида | хр In (ах-kb) dx....................................... 243
1.6.6. Интегралы вида х—01 In dx ............................................. 245
1.6.7. Интегралы вида J x*mln (xa+a2)dx...................................... 245
1.6.8. Интегралы вида | х—т In (x-f-^ха+a2) dx ............ ..... 247
1.6.9. Интегралы вида С ,~^L=. In (x-k x2 ± 1) dx, £ ln^ (x Ч-Хx2rt l) dx . . . 248
JVx!ll J
l,Q«10. Интегралы вида J f (x, Inx, eox, sjnx, cosx, ...)dx . ............ 249
1.6.11. Интегралы вида dx ...... ......................
1 7. Обратные тригонометрические функции .................................. 253
1-7.1. Введение.......................................................... 253
1.7.2. Интегралы вида J dx........... v........................ 253
16
ОГЛАВЛЕНИЕ
t 7.3. Иитегралы вида »±п ......................... 254
1.74. Интегралы вида £ (l±x)+rt+1/2(arCSinr|rfr....................... 255
j i&rccosxj
1 7.5. Интегралы вида *Х.......*................ 256
1 7.5. Интегралы вида £ я? /arcsec Id*.............................. .259
J iarccosec(x/a)J И
17.7. Интегралы вида £ (хч-1)—n + */2 farcsec* \dx .................. 561
J larccosec x J
178 Интегралы вида £ xm (xs—fj±« + l/2 farcsecx ............ 262
J (arccosec xj
1.7.3. Интегралы вида J xp **..........»...................... 264
1 7.10. Интегралы вида £ x₽(x24-e2)? |arct® dx. ........ ...... 266
J larcctg(x/fl)J
1.8. О^мГГйЫе гийерболичбскне функций ....................... 268
Гл а в a 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ . .............. 270
2.1. Введение .......................................................... 270
2.1.1. Предварительные сведения
2.1.2. Общие формулы........
270
271
2.2. Степенная и алгебраические функции
2 21.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
279
2.2.6.
2 2.7.
Введение......................
Интегралы общего вида.............
Интегралы от (х^^а^М* и
Интегралы от ха G^ixHjp..........
Интегралы от (а^+х*1)^ (6v+xv)flr . .
3
Интегралы от (в^±х)^й . • • .
fe l
3
Интегралы от П .
п
279
279
295
296
298
301
304
2.2.8.
306
2.2 9.
Интегралы от х“ (ах44-5*+с)^ А (х).....................
2.2.10. Интегралы от ха(ах44-2Ьх2Ч-с)*> .....................
2.2.11. Интегралы, содержащие А (тлах±4-Ф«+с) • .............
2.2.12. Интегралы, содержащие разности алгебраических функций
308
313
313
317
2.3. Показательная функция................................................ 318
2 3.1. Введение ................................................... 318
2.3.2. Интегралы общего вида........................................... 318
2.3.3. Интегралы от ха’е~~рх.......................................... 322
2.3.4. Интегралы от (х+а'ре'Р*.................................... ' 322
2.3.5. Интегралы от (хп±ап)ре~рх..................................... 323
2 3.6. Интегралы от хв (х+а)Р е~рх ................................. 324
ОГЛАВЛЕНИЕ
2-3-7. Интегралы от х“(х2±а2)ре Рх и ха (а2—*3)^ ............. 3£6
2.3.8. Интегралы от хЛ nU’’**^*е~РХ................................ 328
k
2.3.9. Интегралы от xa(V\x±z+ax*x4-bzu')pe~^'*..................... 329
2.3.10. Интегралы от ха(Угх® 4-2s 4-е*+ bz)pe-pJf......... . 329
2.3.11. Интегралы от ха [(1^ах*14- b ± cxv-j-± О^ах^+ЬЙР ex'*4-
2.3 12. Интегралы от хх (е^х + гУ“е~Рх .......................... 333
2.3 13. Интегралы от ха(е?х—г)^е~^х........................... 337
2.3 14. Интегралы от (ae~^x-^be^x+c}~^f <х).................... 341
2.3.15. Интегралы от А (х) е~Рх*~ Vх ....... . ................. 343
2 3.16. Интегралы от А(х)е Рх Ч/* .......... . . . ... . 344
2.3.17. Интегралы от А(х)е b Ух®±а* рх .................. . 345
2.3.18. Интегралы от e^,JC>f(x) ................................. 346
2 3 19. Интегралы, содержащие разности алгебраических и показательной функ-
ций ......................................................... 347
2.4. Гиперболические функции .............................................. 349
2 4.1.
2.4.2.
2.4.3.
2.4.4.
2.4.5.
2.4.6.
2-4.7.
2.4.8.
2г4.9.
2.4 10.
2,4.11.
2.4.12.
2.4.13.
2.4.14.
2.4.15.
2.4 16.
2-4.17.
2.4.18.
Введение ...........
Интегралы общего вида . .
» л , »fsh bx)ff
Интегралы от А (хн . . }•
VCK1 оХ)
Интегралы от
Интегралы
от
349
350
351
353
354
356
359
360
361
361
363
364
365
366
367
369
369
370
sh c^xl
ch
от A(x){a-|-hch”6x 4-rshrtbx)p J |
Интегралы от (a4-£ch®6x-boahnftx)f>^J^
Интегралы
. . . . . (sh/a*—х®1
от A (x) ch bx 4 r____У ................................
IchVb®—x®J
Интегралы, содержащие th ax, cthax и разности гиперболических н алгеб-
раических функций .................................................
__ a ~рх Г**1 bx)°
Интегралы т хе р*4 . 4 ........................................
Интегралы
Интегралы от е~рх и гиперболических функций.........................
Интегралы от Л(х), е~Рх и гиперболических функций...................
Интегралы от xa(eJf4-a)pe“^’Jf|sh &Х1...............................
ten oxj
а -рх fb-4-shaxlo
Интегралы от хе ** 4 ' У ....*
(b+chaxj
Интегралы от xae ах* — сх . ... ,
Интегралы от А(х)ехр(— pVx»-j-z®)
Ивтетралы от xagflxt ...........
»> г, . fsb bx)
Интегралы от ;(х}ехр 4 ...........
12
ОГЛАВЛЕНИЕ
‘2.4.19. «Интегралы от А(х)е рх V лх_4-6х4-с|..............................
Ich Кох* 4- bx+cj
2.4.20. Интегралы от А(х)е^(х} ~х ?И ..............................
(ch [сх/(а«—x2)]J
2.4.21. Интегралы, содержащие А(х), efiX}, shg(t), chg(x)....................
2 4.22. Интегралы, содержащие разности А(х), 6х}...................
371
373
374
375
2.5. Тригонометрические функции.............................................. 373
2.5 I. Введение
2.5 2. Интегралы общего вида
2 5.3. Интегралы от п (sin Ьх)а X < Г *•••••••*»**• (cos bx)
2.5.4. т (sin X) — п Интегралы от х ( ) .... (cosxj
2.5.5. Интегралы от , , ц [sin 6x1 <х+г) {cos 6xf
2.5.6. Интегралы от (x2+a2FlSin Ьх\П (a2 — x2)Ufsinbrln ' ~ ' (cos6x) ’ ' r (cos6tj
2.5 7. Интегралы от «“(«±•^1“"?*). *“o- (cos6xj (cosfcxj
2.5.8. Интегралы от ха(х*-«№П -xa(a2-r2)H Fin bx\ («ъбх) (cos6Xj
2.5.9. Интегралы от xa [sin 6x(«
(r24-z2)₽'Uos&xJ ‘ x’* [sin 6xH | { '
2.5.10. Интегралы от
anxn+an jX® 14-...4-a0 (cos6xj ’ >
2.5.11. Интегралы от xa(Kx2±224-ax+62)VA(x)El“tx} .
2.5.12. Интегралы от l f pin a.xi W’ftfsin 6.x> л „ v 111 L f • 1 1 *OfcXCOS kb.x (cosa^x) ^cos6^xj A^L к я
2.5.13. Интегралы от xasin^nxcosv6x .........................................
2.5.14. Интегралы от ; sin^oxcos'ftx..................................
х* + 2«
---- г
2.5.15. Интегралы от ха JJ sin^a^xcosvfe^x.................................
k
2.5.16. Интегралы, содержащие ^а -f- b |cos схJ) .........................
2.5 17. Интегралы, содержащие (a cosх4-6 sin х 4 .........................
2.5.18. Интегралы, содержащие {acos2х4-6sin2х 4 с)~п . .....................
2.5.19. Интегралы, содержащие (acos2x4- 6sin2x4-c)*^ .......................
о _ „ ... (sin ax') р (sin(6x4-c))v ., . (sinaxlp (cos(6x+c))v
2.5.20. Интегралы от A(x) 1 f '4 , A(r)l I f. . ,4
' (cosax) (cos (6x4-0) (cosax) (sin (6x4-0)
_ _ я, „ (sin(axp4-fcx^4-
2.5.21. Интегралы от 4 , „ „ Л.......................................
‘cos (axp 4- bx44-e)J
„ _ __ ,, a (sin axp sin 6x)
2.5.22. Интегралы от x ! >,
Icosax^cos bx)
{sin(ax4-6/x)l
cos(ax-|-6/x))
о C o. .... a (Sin(a/v) sinbx)
2 5.24 Интегралы от x 4 .г.
(cos (a/д) cos oxr
378
378
386
388
389
389
391
393
394
396
399
400
404
409
411
412
420
422
425
429
429
430
432
43?
a (sin axp cos 6x(
x 4 >•••*•.............
Icos axp sin bx)
a (sin (a/x) cos 6x(
x ( cos (a/x) sin bx f
ОГЛАВЛЕНИЕ
13
„ _ „ ... (sin (t Vas + xs) sin ftxl _ г , (sin (сУа* *-xs)cosfexl
2.5.25. Интегралы от А(х) { ' ~ ' к А (х) 7 ' , ~ \ > •
(cos (cVa2+x2)cos fexl (cos (с У a2 J_x2) sin bx)
2.5.26. Интегралы, содержащие | 1.......................................
(CtgflXj
2.5.27. Интегралы, содержащие тригонометрические функции от тригонометриче-
ских функций.................................................................
2.5.28. Интегралы, содержащие ха и тригонометрические функции от тригономет-
рических функций .... .............................................
2.5.29. Интегралы, содержащие разности тригонометрически^ и алгебраических
функций...................................................................
2.5.30. Интегралы от е~рх {*'о“ £*}“ .....................................
2.5.31. Интегралы от хаё~рх -Р*П .........................................
(cosbvj
2.5.32. Интегралы от А(х)е~рх $ Ш ........................................
(COS bx)
_ _ «_ ,, а рх (sin ат) ц. (sin fexlv _cz. пх -u v.
2.5.33. Интегралы от х еи1 } 4 , } , х^е1^ site ах cos Ьх...........
(cos ах J (cos ox J
2.5.34. Интегралы от xaJ? (У1*) fs,n ....................................
tcosbxj
2.5.35. Интегралы от f (х, е®*, sinbx, cosbx) ............................
л .. __ (sin 5x1
2.5.36. Интегралы, содержащие е м сх i ....................................
(cos ox)
2.5.37. Интегралы от хае Рх .............
2.5.38. Интегралы, содержащие е а/х\ е^^х, ....................
„ н .. л (sm 6x1
2.5.39. Интегралы, содержащие ея'х> и jcosjxJ.............................
2.5.40. Интегралы, содержащие показательную функцию от показательной и три-
{sin 5x1
cosbxi.........*..............
_ _ ,, i ffti (sin (ax2J-ftr—* + «)(
2.5.41. Интегралы, содержащие A(x), ei W, { '
(cos (axa4-5x=t,4-r)J
. _ __ .. . -ox ЫпУвх’ + йх-i-c)
2.5.42. Интегралы от A(x)e p 4 __________> ..................
. lcosVat24- ftx-i-cj
2.5.43. Интегралы от A (x)/lx> |Sin ................
' (соз[схДх*^ a*)JJ
2.5.44. Интегралы, содержащие показательную и тригонометрические функции от
Тригонометрических функций....................................
434
436
438
440
441
444
446
447
448
449
451
451
453
454
455
456
457
459
462
463
465
467
2.5.45. Интегралы, содержащие разности функций А(х), е рх1
2.5.47.
2 5.48.
2.5.49.
2.5.50.
2.5.51.
„ а П Г* (sin V* a ГТ (sh afexlU* (cos6fexi
Интегралы отх^||{. > 4 . } J ® у
V l“VJ JL£ (cha^xj (sinfcftxj
tt k
Интегралы, содержащие A(x)(e4-bchx)v JSin ..............
1 COS CX }
Интегралы, содержащие A(xl(e+5ch2x)'> (s*ncxI .............
(cos ex)
Интегралы, содержащие A (x) (chaxi cos bx)-1 |S,n “I....................
I CO S CX j
Интегралы, содержащие ax} ^costx} .....................*
469
470
472
472
473
u
ОГЛАВЛЕНИЕ
2 552. Интегралы, содержащие А (х), sh bx, ch bx, sin ах*. cos bx1......... 476
л e „ „ r , , . (sh (lra2 — x2) sin 6*1 (sh (lAa2 — x2) cos ftxl •
2.5.53. Интегралы от A (x) < ' t' }, A (x){ ; .______' f ... 477
tch (y a2 — x2) cosbxJ |ch (r a2 — хг) sin bx J
2.5.54. Интегралы, содержащие тригонометрические функции от гиперболических
функций ........................................................ 478
2.5.55. Интегралы, содержащие гиперболические функции от тригонометрических
функций .................................................................. 479
2.5 56. Интегралы, содержащие е ?х, sh ах, ch ах, sinJjx, cosj>x......... 480
2.5.57. Интегралы, содержащие е^,Х), shax, ch ах, sin bx, cos&x . . ....... 481
2.6. Логарифмический фуикция................................... <«...., 483
2.6.1. Введение........................................ . . » . . t . . . . . . 483
2.6 2. Интегралы общего вида .......................................... 483
2.6.3. Интегралы отха1п°х................................................. 488
2.6.4. Интегралы от —-п--ггтх hr х......... ...» . . ............. 488
(х^ + о )р
ха л
2.6.5. Интегралы от — ---—- hr х ...................................... 490
•(аи —хкТ • » »
ха 1н° г
2.6.6. Интегралы" От —7-j-r—— ... ....................................... 492
т ax24-6*4-c
2.6.7. Интегралы отха(а2— x2)Pjn®x . ......................................495
2.6.8. Интегралы от А(х)1п”х.............................................. 496
2.6.9. Интегралы от ха in® (ах -f- 6)............................. . 498
2.6.10. Интегралы от ха (ах 4- In® (cx-^-d) ............................ 499
2.6.11. Интегралы от ха (ах2 ln(cx-J- d)................................. 606
2.6.12. Интегралы от ха(а1Х4-61)^(а2х-(- 62p’ln® (cx-f-d)............... 507
2.6.13. Интегралы от ха In® j .......................................... 510
сх 4- d
'245.14. Интегралы от Л(х) 1п(ах2-|~6х+с)................. ...... » . . 512
Р
2.6.15. Интегралы от А(х)1п ——i.......................................... 514
Q (*) ...
2.6.16. Интегралы от A(x)lnff (Иах*1+W*-|-cxv) . ......................... 515
2.6.17. Интегралы, содержащие Л(х> и —2— . . . .......................... 520
In® х
2.6.18. Интегралы от ..................... 524
In^x + a
2.6.19. Интегралы от произведений логарифмов............................... 525
2.6.20. Интегралы, содержащие Inlnx ...................................... 527
2.6.21. Интегралы от xae”^vP 1п®х .................................. . 527
2.6.22. Интегралы от хасал;2 + ^х^“Чп®х.................................. 528
2.6.23. Интегралы от хае~^х In (a Ц-Ax).................................. 529
2.6.24. Интегралы от А (х) е~&х In (ах2 4- bx -f- с)....................... 530
2.6.25. Интегралы от е~&х 1п А (х)....................................... 531
2.6.26. Интегралы от Я(ех)1пх.............................................. 532
2.6.27. Интегралы, содержащие ха, е~рх И у"у............................. 532
2.6.28. Интегралы от ха In (a Ье~$х) ................................... 533
2.6.29. Интегралы от xajR(shx, chxjlnx ................... ............ 533
4j!.6.30. Интегра ты от А (х) R (sh X, ch х) In Л (х)..................... 534
ОГЛАВЛЕНИЕ
15
2.€Л1. Интегралы^ содержащее логарифмическую функцию от гиперболических
функций.................................................................... 535
2.&.32. Интегралы от А (х)|^^|1пях......................................... 53$
2.6.33. Интегралы, содержащие Л (х)Р’”^11пА (х)............................ 537
(СОЗ DX)
2.6.34. Интегралы, содержащие lnfSin^X|.................................... 539
( COS OX j
2.6.35. Интегралы, содержащие ................................. 543
2.6.36. 'Интегралы от Л (х, shix, cosx) In (a cosx-f-5sinx4-c) ............ 544
л „ „„ . aiCosx + fttSlnx + c,
2.6 37. Интегралы, содержащие In-*--1—-................................. 546
аг cosx -f- Ъг sin х + са
2 6.38. Интегралы, содержащие In (a cos2x4- &sin2x-J-c)................ 547
2 6 39. Интегралы, содержащие In^(igx)..................................... 549
2.6.40. Интегралы, содержащие показательную, логарифмическую, тнперболичес*
кие и тригонометрические функции........................................... 550
2.7. Обратные тригонометрические функции .............................. . 552
2.7.1. Введение............................................................
2.7.2. Интегралы общего вида........................... . а .............
.. farcsinfex)
2.7.3. Интегралы, содержащие |arccos^xr....................................
. _ . ... farctgx 1»
2.7.4. Интегралы от Л (х), jarcclgx)............-..........................
2.7.5. Интегралы от A (х), |arctt»®* 1.....................................
к 1 ' larcctgftxj
л в <sin ах) farctgbxil X
2.7.6. Интегралы от Л (х), < }, < .Л........................................
IcosaxJ (arccfg*x±M
2.7.7. Интегралы, содержащие arctgax и логарифмическую функцию.............
{arctgf(x) )
arcctgf (г)}...................................
т. _ , //arctgax )\ г/
2.7.9. Интегралы, содержащие f (jarcctgaxJ) • ........................... *
552
552
556
557
559
560
56»
56»
562
2.8. Обратные гиперболические- функции ...................................... 563
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ . . . ..........................<.............. 564
3.1. Двойные интегралы.................................................. 564
3.1.1. Введение ......................................................... 564
3.1.2. Общие формулы; интегралы от алгебраических функций................. 565
3 1.3. Интегралы, содержащие показательную функцию........................ 567
3 1 4 Интегралы, содержащие гиперболические функции .............. 572
3 1 5 Интегралы, содержащие тригонометрические функции................... 573
3 1.6 Интегралы, содержащие логарифмическую функцию....................... 579
3.1.7. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические и обратные гипербо-
лические функции..................................................... 580
3.2. Тройные интегралы.................................................... 580
3 2.1. Введение................*.......................................... 580
3.2.2 Общие формулы; интегралы от алгебраических функций ................. 583
3.2.3 Интегралы, содержащие показательную, гиперболические и тригонометри-
ческие функции ................................................... 584
16 ОГЛАВЛЕНИЕ
3-3. Многомерные интегралы . ..................... -......... 585
3-3.1. Введение............................................ 585
3-3.2. Интегралы по области ...4-*д^г2....................... 585
а. аа а„
х 2 х п
3.3.3. Интегралы по области -J-+ |-+- + .......................... 588
12 П
3-3.4. Интегралы по области х. ^0, х.^0, .... х„^0, xt +х9+ ...4-ж_ . 590
12 Л 1 а Л
b ь
3.3 5. Интегралы вида J ... J f[x) dJC....................... 593
а а
Глава 4. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ............................ 596
4.1. Введение ............................................................. 596
4.1.1. Суммы вида У] (+1)^Р (ft)...............................................................
* V'l ( ь 1)^
4.1.2. Суммы вида >,------------—..............................................................
А ft (
4.1.3. Суммы внда V* •.........................................................................
1 (k±af
4.1.4. Суммы вида £ ...................................................
V( •“ 1)^ *
х-J (ft + a) (k + ft) (ft -f-c) о t
P (k\
4.1.6. Суммы вда 2j и другие...................................................................
4.1.7. Суммы вцда ................................................................
4.1.8. Суммы вида (±1)* 1-^-1 .................................................................
596
599
600
600
601
602
603
605
4.2. Биномиальные коэффициенты .......................... ч и.......
4.2.1. Суммы видя (_ь1)^ { ак\
Ы -
V~1 4.2.2. Суммы вида > а. 1
у J kXc^j
4.2.3. Суммы вида У1 aL ( & \д»
у- J | г
4.2.4. Суммы вида У1 а.( I-1
\ Ri
4 2 5. Суммы вида ."У1 (+1)^ ( ”-ае о
Л/ \dkJ
4 26 Cvmmh тшпя у * O.I & \1^\
4.2.7. Суммы внда у. а. | \ck \ /dk\ ft )Uf
4.9.Я. Cvmmh пяпта 1
b\ck. / Vfe /
606
606
608
612
615
616
622
624
628
ОГЛАВЛЕНИЕ
17
(bb\(dk\(W
kVk)\ek)Vk) ...............
4.2.10. Суммы вида
Li • •
/ >
• ••••••
л
4.3. Гиперболические функции......................................... .
чгч (sh (kx 4- e)l u“~
4.3.1. Суммы вида 2j“*lch(Jfex+a)f.....................................
4.3.2. Суммы, содержащие sechx и thx...................................
4.4. Тригонометрические функции
630
633
636
635
636
637
4.4.1. Спты «т 2 Мс£(£+?>}............................................. 637
4.4.2. Суммы вида ..................................... 639
R [COSkX)
fsjti & X 'Ъ
4.4.3. Суммы вида ..................................... 641
1 к 9
...............................................
4.4.5. Разные суммы, содержащие sinx и cosx.......................... 642
4.4.6. Суммы, содержащие sec хи cosec к ............................... 644
4.4.7. Суммы, содержащие и clga^....................................... 646
4.4.8. Суммы, содержащие логарифмы..................................... 647
4.4.9. Суммы, содержащие арктангенсы................................... 649
Глава 5. РЯДЫ
5.1. Числовые ряды
5.1.1. Введение ,
5.1.2. Ряды внДа
5.1.3. Ряды вцда
5.1.4. Ряды вида
5.1.5. Ряды вида
5.1.6. Ряды вида
5.1.7. Ряды вцда
5.1.8. Ряды вида
5.1.9. Ряды вида
5.1.10. Ряды вида
5.1.11. Ряды *вида
у (П)*
Z-L (fe+a)s
у (±Dfe
(2fe+ l)s
у (-*>*
Z-l kn-j- m
V (to*
Zjt <fe-f-a)(fe-f-6)
у (±1)*
Z-L k (kn + mJ
V (-’ ’>ft
(fe 4- Z) (kn 4- m) ( H)fe * *
(2fe-f-Z) (kn+m) <±Uk
650
650
650
№1
652
653
654
* 655
656
657
659
660
661
Vi (tOfe
(4k -f- Z) (fen
Л
IB
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.1.12. РЯДЫ вида 5.1 IX Ряды вида S S (±1)* (5fc + 0 (ftn+m) ------ - - - (+D* p *4 • • ** •
<6& 4- D(kn + m)
5.1.14. Ряды вида S (±l)fe
(6k + /) (kn 4- m)
5 1 15. Ряды вида S (±Dfe (fca 4- b) (fca -|- c) (fee -f-<0 • • •••••
5.1 16. Ряды вида S (*!)*
k (knt 4- mi) (kn, 4- mi)
5.1.17. Ряды вида 2 (+!)*
(ft 4-1) (ktii 4- mi) (kn^j-n^
5.1 18. Ряды вида S (11)*
(2fc 4-m) (ferti 4-mJ (*«8 4- • • • + •
5.1 19. Ряды вида S (4 D* *
(3ft 4-m) (3k f- mt) (3ft 4- /й») *>*• *• Д • • • ♦ *
5.1.20. Ряды вида 2 ✓
(4fe 4-m) (4k 4- mO (4ft 4- тг)
5.1.21. Ряды вида S (H)fe (knt 4- га») (knt 4- m.) (knt 4- ma) (ftn4 + «l*) • •••••
5.1.22. РЯДЫ ВИД3 S (J l)ft
(kni 4- ffli) (kn2 4- m,) . (feej 4- »»s)
5.1.23. Ряды вида 2 (M)* (ft«l + mi) (kn2 + ... (kn. 4- ' 1=6, 7, 8» 9
”24- ’*“* 2 (»...................................................................
S...25 . Ршш « V ...............................................
(ft2J a2)s
S(-t l)ft(2ft4-l)+m
.............................................._••••,..........
S.1.J7 . Р«и ™. У . . . ........................[Z..............
5.1.28- Ряды вида У -------———...................................I...............
[(2fe+ 1)4±а«}®
5.1 29. Ряды вида > Ь -----—
• 1 * в*°
663>
663
664
665
666
fttiA
Шр
670
673
674
674
679
680
682
685
688
694
692
693
5 1.30. Ряды вида V1 ....................................................................-..................... 691
5.1.31. Ряды вида V' .......................... У........... 694
* К *«>>
/N (ft) X
5.1.32. Ряды вида ^Ш/ ••••*••••••••••••••••••••• 695
5 2. Степенные ряды .............................................. . 695
5.2 1. Введение......................................... 695
5.2.2. Ряды вида £P(k)xk ............................. 6$6
k
5.2.3. Ряды вида V1,................................. 697
(&+*)*
ОГЛАВЛЕНИЕ
VI (* 0^ л
SA4. Ряды вада .......................... • • — •*•*•*•• «
5.2.5. Ряды вида J] ...................................
fe * fe
6А6. Рады вада J] +'(кЯ; />2 . • ‘ • • - - .
VI (-Ы)^лЛ V, (tl)^xA S
5.2.7. Ряды «яда 2j (п*_|_т)Г Zj г (fee 4-S) • • • • .................
VI ал л *
5.2.8. Ряда Вйда >,-------------Гхг ...............
tnfe + mPffrW z
Vi fe” k
S.2.9. Ряды »дя 2ju+75jT* ...............................-f...........
6.2.10. Ряда мда 2 г (ДаН-6) г (te-|-<0 ••••••••• • • •...............
Sa^r (ka 4* И <
-rWTrfF^ ...............................’/...........
*
Г (ka-jb)Г(fee + d) Г (fee + ft * ...**...........
Vi oJ(ta + &) .
5.2.13. Ряды ввда г (fee+d) Г (fee + ft * ' * ' '......*>.............
„ л .. л Vi Г(&а + 6)Г(й₽ + Л Jt u~
5.2.14. Ряды вада °fe-----ПйГП)---------*............./ ’ ..........
cfric V» „ г (fea + b\ Г (fee -f- d)
S.’Sr.iS. Ряды вада 2/* Г (fee + ft Г (feg-j-ft) .....* “ ............
52 16 Рядыша y„ r(feftHC1)..r(fefe,±gf> ...........................
5.2.16. РЯДЫ вада 2j ak г (fedt + ej... Г (kdf + ry> * ............‘ ’
5A17. Рады >«*> J a J J ** • - - * • • • • . • • * . • * ‘ . * • •
H \ I /
6.2.18. Разные ряды вада J] ................................. ••••••
68T
699
7te
7D3
705
706
707
709
711
711
713
714
714
715
717
5.3* Ряды с показательной н гиперболическими функциями ............. 7L&
6.3.1. Ряды вида 2 ..................................... 716
5.3.2. Ряды вада + ...................................... 719
5.3.3 Ряды, содержащие sha^r н cha^t..............................720
5.3.4. Ряды вада У д cosech пх ............................. 721
5.3.5. Ряды вада Я cosech feat . 721
5.3.6. Ряды вида sech Ьв«................................. 722
5.3.7. Ряды вида У ofc sech Ькя.............................. 723
5.3.8. Ряды вида .......................... 724
5.3 9. Ряда вида У, cth feat ............ ........ 725
5.4. Тригонометрические ряды................................. 725
5.4.1. Введение.......................................... 725
5.4 2. Ряды вида 5}^“{со"Э.............. ‘ ‘ .............. 729
20
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.4.8
54 4
5.4.5.
5,4.6.
5.4 7.
5 4.8.
5.4.9.
Ряда вида 2 ( »1)* pin (kx + &) ) (fe + e)s lcos(Atx-b&)J
Ряды Ряды вида 2 (tD* I (krti + mt) (knt 4-m») 1 (±0* pinfexl fsin fax'! fcosfexj
(fa2 j a2)"1 I cos fax J
Ряды вида 2 pin (2k-}- l)xl *(cos(2fa-}- 1)jcJ *
Ряды вида 2 1 fsin fax) № (cos fax/
Ряды вида 2 pin (far + a)) fe) cos (fax -j a) J
Ряды вида 2 r* pin faxl (fe + a)s 1 cos fax J
_ . _ v~i fsin (fax-к all
5.4 10 Ряды вида ; ’}•........................................
** ki (cos(fax-ba)J t
f 1.11 Ряды „ 2 »z“’{»"£}....................i.................;ч.......
S.4.12. Ряда вяда 5{ХЭ.......................?..........................
_ , „ V* ь fsin fax 1OT » *
M.13 р»да »«• 2j V teosfe,} .......................-,1*.................•_.......
„ nn' " ,1
_ . ,, „ V “n9 fsin > j
л XJ ц Qm«.lcosnxJ -ц & * *•
5 4 15 Ряда вида У аь П sin fax, П coafep,.......................................
к / * f If ’
5 4 16. Разные ряды, содержащие тригонометрические функции .....................
Tit
729
730
731
734
735
736
738
739
739
740
741
743
745
5.5. Ряды с логарифмической и обратными тригонометрическими функциями «. . . 746
5 5.1 Ряда вида У gfr In 5^................• . • ....................... 746
5.5 2 Ряды вида У] arctg t>k ........................................ . 749
5.6. Кратные ряДы...................................................... . . 750
4
Глава 6. ПРОИЗВЕДЕНИЯ....................................................... 752
6.1. Конечные произведения...........................>“*. ................ 752
6 11. Степенная и алгебраические функции ................................... 752
6.1.2 Тригонометрические функции...................... и................... 752
6.2. Бесконечные произведения .............................................. 753
6.2 1. Степенная и алгебраические функции .................................. 753
6 2 2 Произведения, содержащие (1±хв)®*..................................... 755
6 2 3 Показательная функция ............................................. 756
6.2 4 Тригонометрические функции ........................................ 757
Приложение 1 Некоторые элементарные функции в их свойства............ 758
*
1.1. Тригонометрические функции.......................................... 758
1.2. Гиперболические функции............................................ 765
1.3. Обратные тригонометрические функции ................................... 767
ОГЛАВЛЕНИЕ
21
I 4 Обратные гиперболические функции............ . ................. < 770
I 5 Биномиальные коэффициенты.......................................... 772
I 6 Символ Похгаммера ................................................... 772
Приложение II. Некоторые специальные функции и их свойства.............. 773
И 1. Гамма функция Г (г)............................... . 773
II 2 Функция ф (z).................................................... 774
II 3 Функция 0 (z) ..................................................... 775
II 4. Дзета функция Римана £(z) ........................................ 776
Н 5. Многочлены Бернулли Вд (х).......................................... 776
II 6 Чиста Бернулли вд................................................. 777
II 7 Многочлены Эйлера £д (х) ......... ................................ 777
II 8. Числа Эйлера Ёд.............................................. • 777
Приложение III Таблица функций Vj и V~i~ ............................... 778
Литература............................................................ 783
Указатель обозначений функций и постоянных............................ 787
Указатель обозначений символов.......................................... 794
Указатель разложений некоторых функций в ряды............................ 795
Указатель интегральных представлений некоторых специальных функций через
элементарные . ..................................................... 793
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга содержит неопределенные и определенные (в том числе кратные)
интегралы, конечные суммы, ряды и произведения с элементарными функ-
циями Она написана с целью удовлетворения запросов широкого круга спе-
циалистов в различных областях знаний и включает результаты, изложенные
в аналогичных изданиях, а также в научной и периодической литературе,
опубликованной в последнее время. Ряд результатов публикуется впервые.
Отметим что, интерпретируя некоторые интегралы и ряды как обобщенные
функции, интегральные преобразования обобщенных функций или рассматривая
их регуляризации, можно придать им смысл в более широкой области изме-
нения параметров.
Достаточно подробное оглавление позволяет ознакомиться с содержанием
книги и отражает ее отличие от ранее выпущенных справочных руководств
в этой области математического анализа.
Найти вполне оптимальную систему упорядочения материала книги вряд ли
представляется возможным, но мы надеемся, что с помощью оглавления чита-
тель сумеет отыскать нужные формулы.
Применяемы^. обозначения, как правило, общеприняты в математической
литературе и приводятся в указателях в конце книги. При ссылках запись
вида 5.1.4.3 обозначает формулу 3 из пункта 5.1.4; k, I, т, л=0, 1, 2, ...,
если не указаны другие условия.
Для компактности изложения в ряде формул используется сокращенная
запись. Например, формула
J (arccosxj 2а ЦШ у л Ц+а/2 Jy L 10Л
представляет собой сокращенную запись двух формул:
1
С Xе-1 arcsin xdx= — fl----- Г ^f2]) [Rea>—1Ь
J 2а\ Ул U+a/2
(берется только верхний знак и верхнее выражение в фигурных скобках) и
1 V~
arccos х dx—~^ Г Г *2^1 [Re х > 0].
2a |Д+а/2 J
(берется только нижний знак и нижнее выражение в фигурных скобках^.
Следует также отметить, что для некоторых интегралов имеется несколько
различных представлений, которые записываются под разными номерами,
но без повторения левой части. ч
Книга содержит три приложения, которые могут быть использованы при
вычислении рядов и интегралов, а также при приведении их к виду, содер-
жащемуся в книге.
При составлении настоящего справочного руководства использованы
литературные источники, список которых приводится в конце книги.
Мы будем весьма признательны всем читателям, которые обратят наше
внимание на неизбежные в работе такого объема недосмотры.
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
1.1.1. Предварительные сведения.
В этой главе содержатся неопределейные интегралы от элементарных
функций; постоянная интегрирования для краткости опущена. Например,
вместо
J sinxdx——созхф-С
пишем
sin xdx*nt—cos г.
В ряде формул, где при интегрировании возникает логарифм абсолютной
величины, знак абсолютной величины для простоты опущен.
Некоторые формулы при определенных значениях параметров теряют
смысл. Если эти значения следуют из структуры формулы, то соответствующие
разъяснения опускаются. Выражения для интеграла при этих значениях
параметров, как правило, даются в последующих формулах.
Ниже используются следующие обозначения:
х, t, s, и, v — независимые переменные,
A g—функции,
Р, <?. Pt, Qf—многочлены,
п Р .
R=— рациональная функция,,
а, Ь, с, d—действительные числа,
р, q, г, а, к, р, V —комплексные числа,
k, I, т, n=0, 1, 2, 3, ...
В случаях, когда имеются ограничения на значения параметров, делаются
специальные оговорки.
1.1.2. Основные интегралы.
С - , х?-+1
•'Т1
[К=#-Ц.
— In | к |.
e*dx=ex,
[а>0, egtlj.
5. Jsinxdx——cos г. в. £cosxdx=sin х.
24
ГЛ4ВЛ ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1 1 3.
7 f dx
J sm2x
ctgx.
= tgx
sin x ,
—r-dx==secx.
ccs2x
cosx ,
-—s— dx=— cosec x.
sm2x
— In ' COS X j
= ln
1 , x
= — arctg —
a a
dx __
x2—a2 ~
dx
1 . Jt 1 . |x—a
— Arth— = —In ——
a a 2a x+a
---- —arcsin —
- x2 a
18. f -T-===Arsh^ —In (x-f-VxM^)
J Kx2+a» a
19. f -7=^==Arch—^InJx-f-Vx2—a2[
J V Xя—a2 a
20. jshxdx=chx. 21. jchxitx=shx.
22. cthx. 23. C-^-=thx.
J sh2x J ch2x
24. J th tdx=ln chx. 25. Jcthxdx=ln |shx|.
M- f E=ln |thd- я- J ж=2агс1^-
[a^O]
[e£0]
[«^0].
[a^OJ.
1.1.3. Общие формулы
28. J (af (x)+bg (x)) dx=a J f (x) dx+b J g (x) dx.
29.
^|/(x)dx=/(x).
30. J g (x) dx=f (x) g (x) — J f dx
[интегрирование по частям].
31. p (x) dx=y (g (y)) g (y) dy
[интегрирование подстановкой, x= £ ({/)].
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.2.1. Введение
В этом пункте кратко изложены некоторые сведения общего характе-
ра, которые могут быть использованы при вычислении неопределенных интег-
ралов
1. Если Рг(х) и Qj (г) —произвольные многочлены, то их отношение
может быть представлено в виде
Р1(х) р х , Р(х)
12 1]
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ
25
где Р%(х), Р (х), <?(х)—многочлены, причем степень Р(х) меньше степени Q(x)
Пусть а,, 1 = 1, , /и,—‘Корни многочлена Q(x),
нести корней Тогда
Р(х> 4° . у <) .
Q(x) (х— arf* + (х—a^k +
—соответствующие крат-
д On)
V
(х—ат)к
Л = 1
где
.ю____1 к [-PW ,
aa-4 Q(x) 1
Если rii — l для всех i, то
т
Р (х) _ у Л»>
Q(x) ~ Zi х—а,
t~ 1
где А,1>=Р (а^/О1 (at)
При объединении пар слагаемых, соответствующих комплексно сопряжен-
х Ах * В „ , ,
ным корням, получаются дроби вида -у /—;, где трехчлен Х“-\-Ьх |-л имеег
Х“ ox -f-c
р Р (л)
действительные коэффициенты Поэтому вычисление интеграла I dx сво-
J 4W
л . Г dx г Лх-t-B
дится к интегрированию рациональных дробей J J
2. Интегралы вида \хР (axr-\-b)9 dx (р, q. г — рациональные числа) выра-
жаются в виде конечной комбинации элементарных функций только в сле-
дующих случаях
a) q целое число,
б) (p-j-l)/r—целое число; тогда
(at+b^dt
в) —Р q—целое число, тогда
xP(axr+b)Qdx=
'di
в «. С п / [ах-$-Ь\Р /ax-J-bV \ .
3. Интегралы вида J , )dx где р, д, —ра-
циональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций под^
становкой
где m—общий знаменатель дробей р, q,
4. Интегралы вида
С Ri(x)+R,wKfWfa
J R8(x)+R4(x) VP(x) ’
где Rlt R2, R3, /?4—рациональные функции, а Р (х)—многочлен Зй или 4й
степени с действительными коэффициентами и простыми корнями, приводятся
к виду
26 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1-2.1.
_ (х) ₽8 (x)-R2 (х) R4 (х) Р (х)
Rl(x)-Rl(x)P(x)
._(₽а (х) R3 (x)-₽t (х) ₽4 (х)) Р (х)
RIW-RIWPW
Эллиптический интеграл y'^dx при помощи замен переменных кото
рые указаны ниже, может быть приведен к форме содержащей рациональные
функции от эллиптических функций Якоби. Интегралы от эллиптических
функций Якоби см. в [24]
1) Пусть Р (х)=а0 (х2 ± а2) (х2 ± ft2). Тогда интеграл
dx может
Л
быть представлен в виде линейной комбинации трех интегралов: I
J ¥Р(х)
С x2dx С dx
Выражение 1^Р(х) можно записать (после вынесения множителя 7^1 аь|)
одним из следующих шести
/(а2—х2)(х2—ft2)
У (а24-Х2) (x2-ft2),
где a*, ft2—действительные
В первых пяти случаях
способов:
/(a2-x2)(ft2—х2), /(а2 4-х2) (ft2—х2),
/(х24-а2)(х®+62), К(х24-Р2)(х24-Р2Ъ
числа, р2 к р2—комплексно сопряженные числа,
подстановка
^=-ф4-тг^- (0^«^К).
В4 4- В2 sn2 и -
где зле—эллиптический синус Якоби и А& А2, Ви В2—некоторые постоян-
ные, приводит интегралы к виду 7?6(snu)du, где2?6—рациональная функция.
В шестом случае следует использовать замену
4" #2 СПИ
где спи—эллиптический косинус Якоби и41, А& Вь В2—некоторые посто-
янные
2) Пусть Р (х)=ц)(х4-а1) (х4~о2) (х4-ва)> гДе все а, различны. Интеграл
j у «х может быть представлен в виде линейной комбинации трех интегра-
С dx Г xdx С ___________________dx_____
лов‘ J УР(Г)’ J УЛх) * J (х-р)/рсо'
Выражение КР (х) можно записать (после вынесения множителя "KfaTi)
одним из следующих пяти способов »
/(х—а)(х—Ь)(х—с), У*(а—х) (х—ft) (х—с), V(а—х) (ft—х) (х—с),
nx-eMx-ftjF-t-ftJ, /(а-х)[(х-61)24-6Ц,
где а, 6, с, ftv ft2 действительны и а>6>с. В первых трех случаях к инте-
гралам от эллиптических функций Якоби приводит подстановка
_ Дг4~^25п2ц
Ж—' В14-В2$п2н
(*)
JJ2.2J К2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАМИ. ФУНКЦИИ 27
где Лц Л2, Bt, Вз—некоторые постоянные. Если два корня многочлена Р(х)
комплексны, то следует сделать замену
Л,4-Ласпм
= В^ВзСпи
(0^«=^2Я).
(♦♦)
3) Пусть Р (х)—^ (х 4-6^) (х 4-«а) (*+яа) (*+<*«)» где все at различны.
(* R (х)
ИнТб^рал J рД=£=4х может быть представлен в виде линейной комбинации четы-
С dx С xdx С x?dx f dx
рех интегралов: I -? __t г - . I -7- I ---------------r
J /P(x) J /P(x) J YP(x) J (x-p)/P(x)
Выражение /Р(х) можно записать (после вынесения множителя /ч)
одним из следующих шести способов:
из следующих шести способов:
У(х—а)(х—b)(x~с)(х— d), У\а—х) (х—6) (x—c) (x—d),
/(а—х) (6 —х)(х—с)(х—d), ]/(х—а) (х — b) [(х—^+^1»
V(x-fl) (b—x) [(х-МЧ-ЭД, И(*-Ь1)*+Й1 [(х-*3)2 + ftf],
где fl» b, c, d, blt b2, b3, bt действительны и а > 6 > с > d.
В первых трех случаях следует сделать замену (*), а в остальных—за-
мену (♦*).
1.2.2. Интегралы вида jx^(flxr4-&)?dx.
1. f х? W4-dx= f xP&f+bY^dx.
J vr+p+1 F4-P4-1 J '
2»
3.
4.
5.
&
хР+Чах^И41 , _^4-г+р4-1 f p (axr+bYI+i
(<74-l)r& + (<7 + l)r& J* («ГФ») dx.
xP+1(axr4-bW qra f
= —— , , ; S—T I xP+r(flxr4-&)ff’'1^.
p+1 P4-1 J v ’
хР-'"И(йхг-Ч)?'н
— (?4-i)ra
хР-т+Чах^+&)?+*
— (<r+p4-l)a
xP+4a*r+fr)gn
(?4-1)гд J
(Р-Г4-1)
(?r+p-H)
(P +1) b
(P+I)b
_ C xPdx ______ x₽+i (g—l)r— p— 1 f x^dx
J “(flxr+b)^ ~ (q-l)rb(axr+b)9 i+ (q — l)rb J (axr+b)^
9______________—xP Гт1______, p—г + 1 Г xf~rdx
~ (q — l)ra(axr+b)^~l ^~(q— l)ra J (ax^+b)^*
1» С xr ldx — — 1
J (oxr4 6)* (?—l)ra (axr 4-&)«-!•
C xr ldx 1
11. I 2L^ = -Lin|ax'-4-6l.
j ахГ+b ra 1 r *
28 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.3.
12 f __.
J хр(алг+&)^ (<? — 1) rbxP 1(ахг4-6)?~1 ’
—!)/•—1 С dx
+ (д—1)г6 J x₽(ox'-4-Z>)«-4 “
f dx 1 a (* dx
3* J xP(axr4-fr) ~~ (p—l)bxP 1 ~ ~b } xP-r(axr+b) '
.. f dx 1 . I xr I
И. I , - , .< = —J- In jr-r-T I•
J xfax^+o), rb axr-±-b |
i «* о ы C xmdx
1.2.3. Интегралы вида 1 --.
J x«±ae
n—1
dx 1 V 2*4-1
x^4-aM “ 2/iaM1 21 COS 2n
k—Q
л in lx2—2oxcos
n—1
1 V s„ 2*44
no8"-1 i 2n
*=o
2*4-1
x—a cos—4—-л
, 2n
narctg---7ВД—
asm—-zr—л
2n
C ‘ i i „ । „i
J х8я^4-а2я11 ~ (2л4-1)а2я ,X+a‘
—z<j—"ТГ"2л У cos-Sil-я In (x2—2oxcos +
(2л-|-1)«Р« 2л4-1 \ 2л4-1 /
fc—о
, 2 V • 2^+1 вС0Ч+1я
b (2«+l)a^ 2i Sm 2n-M ЯЗГСб 2*44 *
fe=:0 ® "гГ~ 1 Г
к. —- v i
dx
jfln—a%n
1П
x—a
2ла2я~1
fc=i
n~ 1 ч
2 cos — In fx2—2axcoe -^-+a8
n \ n
. 1 , x—a cos —
1 V • i «
дат 2 “> т arrfe—ns-
1 a sm —
* л
X2«4i_ a2in (2n4-l)a8n
n—1
In | x—a | —
(2п44)а2я
Л=о
л In (x24- 2ax cos -x—r-r
\ 1 2n4-l
n-1
2 V
(2л4-1)а2« 2а
fe=0
2*+l , х+ЛСОв2л+1“
24тяагс‘8 “----»+TT
аЯП 2л4-1 Я
1.2 4J
1Л СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ
29
1
2аа2я“т-1
Xя» . 1
. ------ах=—=------
| д2Л
2п
х—асов—-4—я
. * 2п
ЯаГС>« .2^1
a sm —---л
2а
п—1
V (/л-Н)(2А+1)л { о 2*4-1
' cos -——~'—-— In ?- 2ах cos —
2п \ 2п
fe = 0
я 4-а2
_ _ (~0т 1й 1 х+аI-
Х2П 14- а2й+1 (2а 4-1) &п~т 1 1
п—1
1 V (т4-1) (2*4-1) , (- п
та—. п оА'^г. 7 cos -—ri--\ т-2—- я In [jfi—2ах cos
(2п4-1)а2я-т 2а 4-1 \
к = 0
п —1
2 ’ V
+ (2а4-1)а2«-,я Zj
*=о
((а+1)(2*+1)
2а 4-1
2*4-1
х—а cos л ~ , , л
л arctg-------
a sin
[ls£m<2(nTl)J.
л
[1 ^т^2л—1].
Р xm dx 1
’• J 111 I х-а I + (-1)» Чп I x+a I] +
n—1
. 1 V («4-1) kn . / 9 _ kn . A
+ о—M-m-i / cos~'—ln x2—2ax cos------bas I —
2na?nm 1 a \ a /
A = i '
n—1
1 V • (т4-1)*л
> 2 s"’—\—
k=i
kn
x—acos —
_ , a
ardg-------
a sin —
a
ll<m^2(n — DJ.
H
f xm dt 1 i„ । „ । ।
J x‘“« i—a2«n ~ (2a4- 1)ай'л °1 X a
я—1
, (—l)m+1 V (m4*l) (2*4-l)3i . / _ , n 2*4-1 , ,
+ "7n —/ 9» m / cos —-o ‘ , t—'— In {x2 4- 2ax cos -t; ; л 4- a2) 4-
’ (2a-|- 1)а2яОТ jU 2a 4-1 \ 2a-k-l J
fc=0
n-l , 2*+l
2(—l)m+1 V - (m + l) (2*4-l)« . * x+ac0S2M?TJl
+2 -° -—£+1Н-31 clg —r^*+T—
*=° ДЯП2^+ГЯ
ПСи1<2л-1].
t л . r> f xPdx
1.2.4. Интегралы вида т ;
J (x-M9
xPdx
(x4-n)9
xP
(g-l)(x4-a)«-i
p P xP~* dx
+ q— 1 j (x4-a)« x*
0
[Re*>0; x<aj.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[!.2Л.
о
Л xK1dx X^~v D . , flt\
X
ГП
g f xmdx VI fm\ (—a)fe(x+g)OT-g-fe+1.
3 (*4~®)tf ~ \fe/ m—Q—feH-l *
IReX>01.
[ReX<Rev].
если fe—tn—^4-1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять
G- О 1,11*+<и-
xmdx V (т\ (—а)т~л
(х-1-а)Ч~ Zi V*/ («7—fe—1) (x+a)9^-i ;
ft = 0
если k=q— 1, 'то вместо соответствующего члена в сумме следует взять
^2 j J (— а)*^1 In | х+а I.
7‘ У (х4-а)л = ~ (Я— 1) (х+а)я-1 • 8’ J 1п।
xdx 1 . 1
(х+ау» “ (« —2) (x-|-a)«-« + (я— 1) (x-j-a)» -» *
х2 dx 1 2а а8
(х -}- а)* (п - 3) (х 4- а)«-8 + (я—2) (х 4- а)«* (я — 1) (х 4- а)«~1 *
х3 dx _ 1 За
(х4-ау» — (я—4) (х4-а)«-4 + (я—3) (х+ау»-« “*
_________За2_________________а8
(я—2) (х4-2)«^ + (я—1>(х4-а)«-1 *
- £
1Л Г x^dx <С (— I)*afex'*“fe . t f ,
*2- J 7+7= L -- 4-t~+<-«)”,fa|*+‘»l-
fe=0
tS> f TZ^=i*“alnlx+<xl- M* ( ax4-aaln|x4-a|.
j x-f-a jr x-|-a a
<e. f x®Jx x3 ax2 , , , ,
15. 1 •—:— = ----x—bax—c3lnx4-a.
J x4-a 3 2 1 1
m—I
f Xя» dx V, ft feafe-1xm'fe (—l)m 1ая* k
16’ J (x4-a)2— Zk ( m-fe + x4-a + -»
fe=l
4- (_ i)m-i mam~i In I x4-a
"• Уда = 7Т7+1п1‘+а1-
,8-У^=х-7Т7-2“1"^+“!-
3,2.5-J 12. СТЕПЕННАЯ -И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ > 31
С x?dx X* _ , fl® , „ .
w; J тг+^“^-2а1+^+3о?1п|х+а|-
(• xdx 1 , а
23, J 7*+й)3 х+л + 2 (х+а)* *
21* J ~(*+*)* ~^+а J(x+ap + lnl*+«H-
f х8 dx За* . e& _ t ,
И- J сй^?=х"1+? + 2(J+^~3“,n|l+e|-
1ЛЛ. Интегралы вида С х,^д)9 •
Г dx _ —1 р4-<7—2 С dx
L j хР(х+а>« ~ (р—1)ох₽-1(х4-а)»-1 (р— 1)а J хР-»(х4-в)«*
9________________1________, Р+<?—2 Г dx
~ (q— 1) ахР-1 (х-f-е)*-1 ^ (7 — 1) а J хР (х4-а)*1 *
т+п—2
« С 1 V nfe+i (т+Л~2^ (х-Ьа)”-*1 . .
J хт(х4-а)« ат+п~1 £ ' ' \ k J<л»—ft—1)хт ь 1 *
если fe=m—1, то вместо соответствующего члена в ерше следует взять
(_1)»(“+«~2}1п[г+±4.
' ' \ т—1 / х
п— 1 '
. С dx У 1 ___! . I х+а I
J х(х4-в)*= Ae®“*(x+®)ft а® | х j*
____dx_________(пЦ-1)х—а п(д4~1) С dx
х®(х4“а)я 2aaxa (x-j-e)®"1 2аа J х(х4-а)я*
dx = "у1 (-l)fe (-1)^ in] x+g I
Xя* (x 4-e) (m—k)akxm~k am | x ]’
f dx 1 . I x
j х(х4-а) a | x-|-a
f dx 1 -L 1 In
J х®(х4-а) ax + a*1
Г dx 1______________1__
j x®(x4-a) a*x 2ax2
dx 1/1
x(x4-a)* ~ a \x4-a
з?
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1 2.6.
dx________/ 1 1 _2 I х4-а |\
xa(x+g)a ~ ga\x+g"^”x а П| х |/‘
dx_______f 1
х®(х+р)8 а? \x4~a
dx__________1 ._____1_______1_. х4~Д }
х(х+а)3 а2(х-}-а) ' 2а(х-}-а)а а3 П х Г
dx _____________1___________2________1_' 3
x8(x+<j)s 2аа(х4-а)2 а5(х+д) р’х д4 П
dx _____ I Г 3 . а 1 3 _ а _____ 6 .
^(х+а)8 “ а4 1х+а 2(х+а)а ‘ х 2х3 а П
__ (*+a)g _ц &(х-Ьа)? . ^{(<7—1)(Д—6)—2&] С / x4-a\g-t .
2(х4-6)^ (0 —1)(х+b)9-i f 2(47 — 1) J \х + Ь/
(х4-д)?+1 <7(6—g)4-g-f-& f/х-ЬвУ,,..
~2(х+6)*-х 2 И *4-6/
f (х-Н)р _ _ (х+д)р , Р f (х+д)р~* .
J Ж* ОУ-ЩхЧ-Ь)?1 “Г q — 1 J (х+&)*-1.
- f (х+д)р __________1 /х+а\<н-1
J (*4-6)p a (p+1) (6-g) \x+b) '
f (x+fl)p (x+g)P^ [x+(p+l)(6-g)+6j
J (*+6)p13 (P+i)(p+2)(6-a)a(x+6)^a ‘
7 i 1 /<x+aV dr -1 ! 1 (x+P)g+*
J (x + «?)p \x+bj (p-1) (g—c)(6-c) l(x+c)P-i * (x+b)9-K
+ [(p-2)(a+»-2c)-,(6-o)l J —
. . C 1 /x + g\<7 , 1
+ (₽_3) J (x+c)P-a(x+&)
n — 1
C 1 fx+a\f* _ V! _______1 17д—g\fe J/x+gy»-*
J x+c \x + &/ X~ jLi n—fe[\b—cj l\x + 6/
= — V —------T-------п~ i, t - + n (х + д) — n (6 — g) In I X + 6 I.
(n—k)(n~k— 1) (x+&)«’ 4 /III
fc==o
12 71
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ, ФУНКЦИИ
33
10. п — 1 = 2 G+i)l(«+»)*+x+"(e *>ini»+»i- fe= 1
11. У х+Бdx=x+(a~&)1п|х4-6|.
12. f x^—?dx=^-+(a-6)(x-frln|x+&|).
IX f x»5±5<fe=^+(a-6)(j-ta+4»ta|*+6|).
14. f dx=^ to 1 * t ~~F~ *n I *+fr I* J x(x-f-b) b 1 1 b ‘
15. J (x+&) d*“x (х+Г+2(а &)ln;x+&|.
16. f dx— 2+2(« &)*+(a *)[ 1 3ft)to|x-b&|l. J \x-|-»/ z l x-f-o j
17. j *(^)2*=4+(‘-»>*+^p+ 4-(a—b) [(a—3b) (x+b)—2b(a—2b) In | x±b |].
18. Г I /х4-а\2 . (a—6)2 . а2 . , . /а2 Д. , ... i — “TT dx= 1, , a~+ to x — l)ln x-f-0 . J x \x+b/ 6(x4-6) 1 ‘ \&2 J
19. f fct^-d»=^+(2a-6)x+(e-fr)*ta|x+»|. •r * “
20. f xfet^ rfx=^+(2a-ft) +(a-s^ (x—»In | x+6 (>.
21. f ?-»*+»* to | х+» |). J A’-f-tF О \ Л J
22. f ^^<te“x+T<*to|x|-(a—b)2 in | x-f-ft |).
23. hxX+6^- .x4+to|x+*'-
24. Р(х7^л-х+%*>+<в »>toix+»u
25. Р(хХ+^Л'-2+<“ h(2“
26. C x-f-a . a—b a. Ix-f-^l J x(x^aX~b(x+b) & n| x Г 1.2.7. Интегралы .яда J (x+a),(x+(>r.
1. j (x^a)9(x+by p—q—r+l ((x+a)« i(x+&K^ A ./ xP-^dx .4 . C xP-24r 1 -«P r)a+(p ,)»] j (x+a)9 (x+6), (p P^Jtx-HO.tx+jJ-
Л
А - ГК / »
34
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
<1.2.7.
аь'9
(Ь _д)т+я-р-9-Х
(—1)® v fk\ (т-[-п—р—q—2\ (-—b)k~Q
p(x+b)P Zi \q)\ m-1 )
L ^=0
m — 1
+(-•)-« 2 ЫХ+-1+
p=0
n — 1
p=0
dx _
(х+ау?(л+6Г“
1 2) Г d*
(r— l)(a—0 (x4-a)?~* (л-НУ » (r— 1) (a—b) J (x+a)9 (xWT
* 1
1 ,
= («-» 0-6)<Х+в)»->(х+»Г-> T
q^-r—2 C______________________________________dx_____
+ l)(a-b) J (x+a)^(x+^-
5.
dx _______
(x-^-a)m(x+b)n~~
m4- n— 2
(—1)®+я-2 у (—1)* fm+n—2\ /х+лу»-*-х
—л)®*»-! Z л—л— 1 \ k > )\x+b! +
л=о
кфп- 1
/«4-л—2\ (—Ip»1 .
«—1 /(&—a)M+»-x
m—1
Z(—l)m+fe k—2\ __________1__________
k \ n—1 J (b—a)®+»~*~i(x-{-a)ft
x4-a|
x-f-b j*
_/_n® V _Lpn+«-fe-2\__________________1_________
1 *\ m—1 J (b—a)«+«-*-X(x4-0»T
(—l)m+1 //n-J-n—1\’ )*4-а|
+ (6 —ap»+«-i\ л—1 /П|х+&Г
dx__________ 1 . x-|-a
(x4~c) (x-pb) ~ a—bn x+b
* f (*+<)£+») ==^<alnl <+«|-»“|^+»|)-
£* y2 //у 1
9. I 7—:—7-;—Пд =x4---1 (^2 1и I *+& I —Л8 in I •
J (x+«)(x^-i>) 1 a—b* । т i t i -Г 4/
1.2.8]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
35
1 . , , 1
—г 1п IX 4-----«Т
ab * ' а (а—Ь)
7—.-7г1п[х + £|
Ь(а—Ь) * 1 1
----К----
abx сРЬ2 1 *
а2(а-Ь)Ш|Л'1
Г dx . 1 1
I2‘ J (x4-«)(x4-^F (a-b)(x+b) + (a—bp m
Г xdx __________ b a , . j
I3‘ J (x4-a)(x+bP - (a— b) (x + b) (a—bp j
(• x2dx —b2 , a2 . ,
Ь2(а—Ь)
I4‘ J (x+а) (x+bp (a-~b)(x+b)*(a—bp
_ C dx I . I
b*—2ab
(а—Ьр
16.
17.
18.
х(х4-а)(х4-Ь)2
dx _________
(х+а)2(х+6)?“
b(a-b)(x+b) а&
а (а—Ь)2
. , 2Ьа
а1+ Ь3(а~ Ь)
2 . х -4*<
(а—д)з |х+1
b \ a+b . I
(х4-л)2 (х4-Ь)2 (а—&)2\х+а1х+&У (а— b)2 to|
х2 dx 1 / a2 b2 \ 2ab
(a—bp \x+a~r x-t-b) (a—bp
(х+а)2(х+Ь)2
а
1.2.8. Интегр алы вида R (x, ax^-J-bx-j-c) dx.
1. J (ax3 4- bx+ с)” 2 (2n4-1) a ^2ду+4~ bx4~ с)”—
—-n (b2—4ac} J (ax24- bx+cp~^ dxj.
2.
(nl)2 2ax4-b
(2n4-l)l 2a
2 («^+<«+4‘.
С (ах24-^х4-с)л dx__ (ax24-bx4~c)**t ,
J x^ (m— l)cx"** ‘
b(a—m4~2) C (ax84-bx4-c)” dx . a (2a—m.4-3) P (ax2-|-bx4-i)” .
‘ c(m—\) J Xя»-! ‘ c(m— 1) J x®^2 X‘
xmdx _____ ________xm~3____________.
(ax24-bx4-c)« “ (2л—m—l)a(ax24~bx4-c)«~i ’’’
। (m ~ Оc Г x”-2^ (n—m) b C xm ldx
(2n—m—l)a J (ax24-bx4-c)« ~ (2л—m—l)a J (ax24-bx4-c)* *
g Г x^^dx __________ If х2лЗ dK___________
J (ax24-6x4-c)n a j (ax24-bx4-c)*~i
__с C x&t-^dx b Г j^-^dx
a J (ax24-bx4-c)ff~’ a J (ax24-bx4-c)“*
2*
36 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.8.
„ С xdx_______________________1____________A f_____________
3 (ох2+6х+с)л 2(n—1)а(ох2+6х+е)я~1 2а J (ох2+6х+е)п*
_ ____________6х+2с____________,
в (п — 1) —4ас) (ах2+6х+с)я~1
(2п —3)6 С _______dx_____
(л— 1) (62 — 4ас) 3 (ах2 + 6х+с)п~1 ’
Г х2 Jx _______ (62 — 2ас) (2ах + 6) — 6 (62 — 4ас)_
3 (ах2 + 6х+с)а 2 (п — 1) а2 (62 — 4ас) (ах2 + 6х+с)л-1
__2 (2п—3) (Ь2 —2ас) —2(л—1)(62—4ас) Р___dx_____
2 (п— 1)а (62 — 4ас) 3 (ax2 + 6x+<jn-li *
Г_______dx________________________1____________
3 хт (ах2 + 6х+с)" ~ (m—1) ах171-1 (ах2 + 6х+с)л-1
(m + n—2) 6 С ____dx________ (т + 2п — 3) а С dx______________
(т— 1) с 3 Xя»-2 (ах2+6х+с)« (т— 1)с J х”1-2 (ах2+6х+с)я *
С dx 1
3 х (ах2+6х+с)п 2 (п— 1)с(ах2 + 6х+с)л-х
6 f dx 1 Г dx
— 2с J (ах2 + 6х+с)л ‘ с J х (ах2 + 6х+с)л"*’
f dx ___________
3 (ах2+6х+0л '
___________—2ах—6_________________2 (2л—3) а С___________dx______
(п— 1) (62—4ас) (ax2-j-bx-j-c)n i (п— 1) (62 —4ас) 3 (ах2+6х+с)л~1 *
12.
_ 2ах +6
“ 2а—1 Х
п —2
V 2fe(2n—1) (2п —3) ... (2й —26—1)а»
(п—1)(п—2) ... (п-6—1)(4ас—62)*Ь1(ах2 + 6х+с)«“* 1 +
к = О
(2п —3)!! (2а)л~г f dx
+ (п-1)! (4ас—Ь2)п~1 3 ах2 + 6х + с’
13.
14.
15.
dx _ 1 । I 2ах+6—~Кб2 —4ас
2 + 6х+с У^б2—4ас 12ах+&+)^62 — 4ас
_ 2 . 2аг + 6
2
[61-4ас>0].
[i>2 — 4дг<0].
[6* = 4вс].
16.
где
Р,
— > 1п 5~Р1
а(р —<?) х—$|*
q—действительные корни многочлена ах2+6х+с.
dx _ 2ах+6________. 2а (
(ах2+6х + с)2 ~~ (4ас—62) (ах2 + Ъх+с) 4ас—62 ,
dx
( 2 8 ] L2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ 37
С dx _ 2ах4-6 ,
lR* j (ax*+bx+cP “ 2(4ас—62)(ах24-6х4-с)2 +
____________________________За (2ах+6)________6а2 С dx
"* (4ас—б2)2 (ах2-|-6x4-с) ' (4ас—б2)2 J ах2 4-6x4-с “
|в С 5-4^-------=J-ln 1ах*4-6х4-с1 —
1 J ах2 + Ьх+с 2а 1 т ।
!1 , 2ах4-6—Кб2—4ас I л ,
— 1л ---!-----------1 [M>to]
2 2ах4-б4-У6а—4ас J
aretg-^+L
I У4ас—б2
f x2rfx х 6 , 62—2ас f dx
2^* J ах24-6х4-с а 2а2 *+cl+ 2а2 J ах24-6х4-с*
С x^dx _______
2 * ' ах24-6х4~с
ах2—26х , 62—ас , _ . . , , 6(62—Зас) Г dx
= —г»-»-----1---сгг~ 1н ах84-6х4-с---' -6-a—- \ _ , . ,
2а2 2а? 1 * 2а? J ах24~6х4-с
xdx_______________6x4-2g_______6 Г dx
(ах24-6x4-с)2 — (б2—4ас) (ах24-6х4-с) ’’’ б2—4акг J ах2-4-6х4-а*
tfdx__________(2ас—62) х—Ьс________2с С dx
(ах2 4-6x4-с)2 а (62—4ас) (а.г24-6х4-с) б2—4ас J ах24-6х4-а*
22.
x®dx _с(2ас— 62)4-6(3ас— 62)х
(ах2 4- 6х-}-с)2 а2 (4ас—62) ’
. 1 . . . а . । f (Gac—b2) Г dx
+ 2а21п * au^+&x+<r I + 2а2 (б2—4ас) J ax*+bx+o'
Г dx__________—Ji ___________________
J х(ах24-6х4-с) 2с П | ах24~6%4~с |
!1' 2ах4-6—Кб2—4ас _
— In-----’— ^г.------- (М > 4ас],
2 2ax-l~b-}-V d2—4ас
I lz4ac—62
Г______dx__________1___6 । x2______________б2—2ac Г dx
J x2(ax24-6x4-c) ex 2c2 nJax24-6x4-c| "* 2^ J ax24-6x4~c*
C dx _
j x8(ax2-|-6x4-c)
__________26x—с б2—ас. x2______6 (Зас—б2) Г dx
‘ 2с3 П|ах24-6x4-сI 2t? J ах24*6х4~с *
С______dx______________1_______Г. 6(64~2ax) 1
J х (ах2 4-6x4-с)2 2с (ах2 4~ 6x4-с) L ’ б2—4ас j "**
, I х2_______________6^ / 2ас \ Г dx
"*"2с2 njax24-6x4-c| 2с2 \ б2—4дс) J ах24~бх-f-с*
38
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.2 9.
C dx__________________(b2—3ac) (b 4- 2ax)_________c-\-bx________
J x2 (ax2 4-6x4-c)2 c2(4ac—b2) (ax24-6x4-c) c2x (ax2 4-6x4-tj
b^ x2 , 1 /b* 662a 6a2 \ Г ___dx
a3 * n|ax84-6x4-c| •*b2—4ac\c3 c2 c /'ax2-^.
__ Г dx
ЯЛ \ _________________ —
3 x3 (ax24-bx4~e)2
3bx— c
3b2—2ac
2c2Jfi (aX24-bx4“C)
с2
9ab f dx ____________
xfax2-i~bx-j-c)2 1 2c2 J (ax34-bx4-c)2*
dx
1X9. Иптегра лы ви да (x4-d, ax24-bx4-c)dx.
+ (m4-n) (2ad—b) (x4-d)n»-;i (ax24-b*+c)° dx—
— (m—1) (ad2—bd4-c) J(x4-d)m~2(ax24-bx4-<:)s * *<^]»
Г (ax24-bx4-e)« . _ (ax24-bx4-c)«
J (x-j-d)”1 (m-2n — l)(x4-d)'»i
2л (dd2—bd-|-c) (* (ax24-bx4-c)®^ . n(b—2ad) Г (ax2-f-6x4-е)”*1
m-2n—1 J (x-t-d)"1 /п^-2я—1 J (x-|-dy» i
(ax24-bx-|-c)n*1 г
(m—l)(ad2 —bd-F^ [ (x-J-d)"1 1 *"
, . m л л Г (ах24-Ьх4-с)я . , . _ f (ax24-bx+cX* j 1
(ax24-bx4-e)” ,
= 1) (x-j-d/»-1 ~1"
t л(Ь—2ad) f (ax2 4-6x4-е)»-1 f (ax24-bx4-c/»“1
+ m-1 J (x4-d/»i dx4-2naj
5, C dx= (ad8 - brf-F c)« In I x-f-d 14-
Гв— i ”]
1
3.
"fe= 0 J
(x-j-d^dx (2ad-b) (2ax4-b)4-(lac—b2) (x-|-d)OT^
(ax24-bx4-c)” 2 (n— 1) (4ac— b2) (ad2—bd-j-c) (ax24-bx4~c)»-i
.___________2(m—2n-j-4)a________________(x-l-d)^1
(n—1) (n—2) (4ac—b2) (ad2—bd-j-c) (ax2-j~bx^-c)n^2 "**
Г 4(2n—3)a 2(/n —«4-2) 1 C (x4-d)mdx
L(n — 1) (4ac— b2) (n — 1) (ad3—bd-j- c) J J (ax3+bx4~ c)nl
_______2(/n—2«-j-4)(/n—2«4~5)Д_______ Г (x-f-d)”
(л— 1) (n—2) (4ac—b2) (ad2—bd-|-c) J (ax24-bx-
|Л-2*
7.
(т—2n4-l)a |(ax2-|-6x4-e)ai
) (2ad- b) f _ (m-
J (ax2-|-bx4-c)» '
(x4-d)*”-2dx 1
(ax24-bx4-c)” J*
1.2.10-1
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
39
. 1______ (2ах-|-Ь)
(п—1)(4ас—Ь2) _ (аха4-6х4-с)й-1
-2(т-2«+3)а f от (
к J (ах24-6х4-с)п * * 1 J
(x+d)m~ldx ~|
(ах2 4- bx -f-r)”4 ] *
С _ -- 1 V
J (х+<0«(ах24-6х-|-с)« — (т— 1)(<иР—bd+c) Х
Х [(x-bd)ml (ах2+Ьх+с)л^2 (т+п—2) (& —2od) X
Г___________dx___________. ( i9n_qx f___________dx__________
X J (x4~d)'nJ’(ax2+bx+c)lt ‘ 4m~r JaJ (x-f-d)m-2(ox2+6x-]-c)n
— 2 (ad2—bd+c) [ (n—1) (x4-d)«i (a^+bx+c)^ + 2(ad
X J (x4-d)m-i(ax24-6x4-c)n "* a—1 J (x4-d)OT(ax24-6x4-c)n-1j*
= 1 [ 1 -L '
2 (m 4- л — 1) (ad — b) l(x +d)m(ax2 4- bx+c)a 1 ‘
+(m+2«-2) a Ij (gxq^ppr] W-M+.-»
_________dr_____________ 1 Г___________________1____________
(x4-d) (ax24-&x4-c)n ad2 — bd+cL2(n — 1) (ax2+bx+c)n~i
j-f/bf—M Г dx________L ( ___________—__________
' J (t^+bx+c)11 j (x4-d) (ax24-&x4-c)n-i.
_________dx_________________________1 . (x4-a)2
(x4-rf) (ax24-&x4-i$_____________________2(оиР — bd+c)_|ax24-6x4-c|
[&*— 4ac<0J.
[Ь* —4ас>в].
14.
1 Г 1 2ad—b , (x4-a)2 ,
ad2—bd+c^x+d * 2(ad2—bd+c) n |ax24-^x4-c|
2c(ad2—bd+c)—(2ad—b2) f dx
2(atP—bd+c)2 J aa^4"&x+c.
1.2.10. Интегралы вида I .
J (x2±a2)n
f* Xя»dx _ xm+1 _(m—2ft4-3) C x^dx
J (x2 2(n—l)a2(x2±a2)n 4 + 2 (л —I) a2 J (x2 + a2)a~* *
_________xM~4__________ (/ft—1) a2 C x”1-2dx
(m—2»4-1) № ±.az)n~l + m—2n+1 J (X2 _L a2)®20
— Xя1-1- tn—1 C xm-2
2(n— 1) (x2 jt a2)«-l +2(n — 1) J (x2±a2)"-i *
Jx^^dx __ 8 Г xm~2dx
(x2±a2)«-4 ~^a J (хзн^а2)»*
.40 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.10.
г ximdx х®«+1 г i
j (х2-^)» ~2(n— 1)а2 L(*2+e2)n~1 +
а—2
VI (2л—2m—3) (2л —2m—5) ... (2л—2m—2k—1)______1_____
2*(n—2)(л—3) ... (л — k — 1) (х24-а2)л* *
|( pn-2m-^(2n-jini-5)..;(3-2m)(l-2m) х
—1)1
v Г V <~ 1)» / * У» *
L as—j \а)
U=i
X2® dx X2m+1 Г 1
(x2— a2)» ~ 2 (n— 1) a3 [(x2—a2)»"2
n— 2
V , «ь (2л—2m—3) (2л—2m—5) ... (2n—2m—2ft—1)
Zm
t=.i
2‘(п — 2)(п-3) ... (п— k—1)
fl2fe (X2__o2)n-ft-lj
+(_ i)ii+ifl^«+A (2п—2m—3) (2л—2m—5) ... (3-2m) (l-2m)
2«i (л-1)!
m
v 1 tx yfc~*_______
Z 2ft— 1 \a / 2 j x~a
Li—1
m
x2ra-n J*___V! ft/щ\_______________aVt______________
(x2 ± a2)» — } \2 (Л —m+A — 1) (x2 ± :
a—m—2
г^а2)»-™-! Zi ' 1 \ k )m+k+l A
k= о
j jfl \m+fc+l
X ( X2±^7
&mdx
tn — 1
~ 2 <*1)4
A=0
2m—24—1
4-(ч= lyna2®-*
arctg^-,
4-bl-^-l
2 j x ~j~ и 1
X
m— 1
C x2®+ldx 1 V /— n*°2fcx2m^* 1 1 /- I а «I
* J =Y 2 (+1Я-==г-+у(+вЧ"1п|*»±<1«|.
A=0
f X2® dr уЗ/л+l I
П* J (x2^^ = 2а2 (x2^^)+ 2 (1 “2^ aaW-5 X
1.2.10)
1.2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
4)
С dx________t х r 2л—3 C dx
,2- j (x2 ±a2)4 “ “ 2 (n — 1) a2 (x2±it)*-* ~ 2(n—1)a2 J (x2 + aa)«-i *
В—1
f d* = x V (-*- 1U (2л—1)(2л—3)... (2 л—2fe-}-l)
I3* J (х2±а3У» 2n—Y^- Г 24n-l)(«-2)...(n-Jfe)a2*(x2±a2)» * +
a
arctg —,
+(±1)«
(2л—3)!!
2« 1 (n— 1)!
arctg-^,
15.
dx x 1
(X® ±a2}2 “ 2a2(a* +x2) + 2a®
x 3x 3
* 4a2(x2±a2)a 8a4(x2±а2) "^ва5
x ж
arctg—,
1 . Ix—а
2 х+а
arctg —
tfdx ( a2
(xa^a2)2 — ~ 2(x2^a?)
F-l ln|x»±a»|.
£
42
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.2.11.
1.2.11. Интегралы вида j —
f dx = ___________________1___________
J х2® (х2 _к а2)® "* (2m— I) &х?т~г (х2 ± a2)n~i "*
_2тЦ-2п—3 С dx
(2т^1)а* ' х2®'2(х2 zk а2)«*
(2m-J- 2n— 1) (х2 ± а2)«-1
(ч2!)6 (2т-}-2я— 1) (2m—2ft—3) ... (2m-|-2n—2fe-|-l)
(2m— 1) (2m—3) ... (2m—2k+1) a2*
j_r— nm (2”~0(2»+l) (2n+2m—3) Г dx
M • (2m— l)i»a2® J (x2 zb a2)»
2Л+1
[cm. 1 2.10].
dx
x2®+1 (x2 ±2 a2)«
2ma2x2® (x2 zt a2)«i
m+n—1
ma2
______dx_____
x2®^(x2 it a2)tt’
я1~Ьл— 1
_ _ 1_____ У ____1____
2(Ta2)®+« Zj 1 r I k 1 k—«+1
fe=o
/ x2 ± а2 \*~я+®
\ J
C dx 2+2I 1 Г dx
J x(x2± a2)n~ 2(n— l)a2 (x2 zta2)”-1 — a2 J х(дв 2fca2)«-* *
n—1
= ± V (±1)* 1 c— *)“ In
2 ."] (n—*)o“ (*‘±a’)»-‘ 2a» |x2ia>|*
m—1
dx VI
^«•(x^zka2) ~ j—j)
(+ l)m~fe
(2k+ l)a2‘m^x2*+l
. Dm
' a2m+l
i X
arctg—
(X
m—1
8.
x««+i (x2 2k a2)
2(+ (+ l)m^ b______
(m—k)auk+lixi(m~k> *" 2a2(<B+l> [x2±
_______dx
X2® (x2 ± a2)2
(цг (m~k)
(afe+Oa2®-^^2^*
(2f 1)®+1X
2a2®+2(x22kas)
(T l)"(2m+l)
2a2m+^
arctg —
lyta
1.2.12.]
1.2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
43
10.
____dx________1 . _________x?_
x (x2 ± a2) “ ~ 2a2 П | x2 zt
dx
__ 1 _ 1
’ j x2 (x2 ± a2) dftc 4~ a3
Г21п
dx _ _ 1 1 .
хЗ(х2±а2) ~ + 2а2х2 2а4
X X
arctg —
х — а
х2
13.
dx
_L_+JL + ±
За2х3 cfix ~ а8
X X
arctg —
14.
dx
______!_____+ JL
2a2 (a2 ± x2) T 2a4
X2
dx
х3 (х2 ± а2)2
С dx
17 I -------—-------—
J х^ + а2)2
1
а4х
х
3
2а8.
4in
- J_1n_
2a4x2 2a4 (x2 ± a2) + a4 |
1
arctg Л
х—а
X2
1 2 х 5
За4*3 а6х ~ 2а® (х2 + а2) ‘ 2а’
______dx_________1 ’
(x4~t>) (х24-а2) a2-f-t>2
19. I dX
J (х+Ь)(х2 —a2)
1 X , . tl .
18.
2.
a2—b2
arctg
х 4- а
х—а
^1П
In I |—у In (х2+а2)+-^- arctg
м *•
к-7—In [ х—а Ц--7Г-;---------гг to I х-\-а I.
2а(а4-6) 1 1 1 2а (а — Ъ) ' 1 *
f x~WI dx
1.2.12. Интегралы вида t -т-Vi—
J (x34-a3)«
f xmdx xm+1 m — 3n-J-4 C xmdx
J (x3+a3)« ““ 3(n— l)a3 (rJH-a3)« i “ 3 (n — 1) a3 J (x3+a?)»-V
___________x№ ~2__________(от—2) a3 Г xm 3 dx
~~ {tn — 3n-f-1) (x34-a3)«-* m—3n-{-i J (x34-a3)« ’
f xmdx xm~2 „ C x”1-3^
J x3~|-a3 "
x t 3n—4 C dx
~ 3a2(n—ОСхЗ+о3)»-! + 3a3 (n — 1) J (x3 4-a3)»-*'
& 3/1—5 £ xdx
(хз+а3)» “ 3a3(n— l)(rf4-a3)« i +3a3(n—1) J (х3+а3)л1'
3. i ---------------------
J x3-}-a3 m—2
dx
(x3-f-a3)n
xdx
4.
5.
44 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ fl 2.13.
6. С dx 1 . (хЧ-а)2 . 1 . 2х—а 1 in—-—!—- f yr- arctg т-— J х3Ч-®8 6а2 х2—ахЧ-аа а^уЗ агЗ *
7. С xdx 1 , х2—ах-4-а2 . 1 . 2х — а 1 — —1п 1 т- arctg 7=-. J х®4-а3 6а (х+а)2 а/3 аУз
8. S^=lin^+o’i-
9. С x?dx . а . X2—ах-к а2 I . 2х—а 1 =х-|— In ! у— arctg т—. J х^-|-а3 6 (х+а)2 /З а^З
10. С dx 1 . | х3 | J х(^4-а«) ЗазШ|х3+а3Г
11. Г dx 1 , 1 . (x-j-а)2 I . 2х—а J х2(х3+а') cfix 6а* x2—ax+a* а*УЗ аУЗ
12. С dx 11. (хЦ-а)2 I . 2х—-а J x^^-t-a3) 2а3х2 бей x2—ахЧ-а2 ейуЗ аКз
13. С dx х . 1 * (х4-а)2 . 2 . 2х—а J (х34-а3)2 За3(х3Ч-а3) 9а®. x2—ах-J-а2 За®УЗ аКЗ
14. С xdx х2 , 1 . х2—ах+а2 , 1 . 2х—а 1 _ 1 in j 1 arctg J (х’Ч-а3)2 За^Ч-а3) 18а* (хЧ-а)2 За*УЗ а^З
15, С 1 J (хзч-а3)2 3(х3 4-а3)‘
16. Г dx 1 ! | х3 | J х^Ч-а4)2 За3(х3Ч-а3) 1 За* 1П| х®-Ьа3 Г
17. Г dx 1 4 J х2(х“Ч‘а8)^ За3х(х34-а$) За®х , 2 (хЧ-а)й 4 . 2х—а Ч In—-—!— arctg r^r-. 9а7 х2-ахЧ-а2 За7КЗ а ^3
18. f ! 5 __ J л^(х3Ч~а3)а За^х2 (х3Ч-а3) 6а6х2 5 (хЧ-а)2 5 . 2х— а 18а® х2—ахЧ-а2 За3 КЗ а 1^3 С x—mdx С x—mdx 1.2.13. Интегралы вида 1 -гт—-тс=-> 1 . . . , , , .д-. J (х* + а*)я J (ах*Ч-&х2Ч-с)я
1. С х>и^г xm+1 4я—/п—5 С x”djr ' (х4:’^4)3 — 4(л— 1)а*(х* ±a4)rt t ~ 4(n—l)a* J (х^+ю4)” **
2. С xmdx х”13 . (m—3)а* С x^^dx J (х*±;а4)я (т—4лЧ-1)(х4±а*)я~*+ (т—4лЧ-1) j (х*±;а*)я*
3. С x”dx Xя*"3 _ С x^-^dx j х^^а* т—3 • *" j х^ + а*4.
45
4.
1.2 13J 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ
dx _____________________1______________
хт (х4 ± о4)» (m — 1) а4х® 1 (х4 ± а4)”-1
__4а-|-/п —5
(т— 1)а4
dx
5.
dx
“a4 j xm (x4 ±. a4)”-1 a4
6.
1 _ln*+«K2+e> 1 _
4a91^2 x2—0x1^2 + a2 2a3 K2 a2—л2
•to liti
\4a3 I x—a
x
a
2d3
7 С х^х —
J х4±а4
1 x2
2^аГС'8^
1 , lx2 —a2|
—— In J----1
14a2
x2 + a2 .
1 1д * Г ** Iе* I *
x2dx _ |4а ^2 х2+ахИ2 +а2 2а/2
1 , х
-к- arctg —
2а а
--й— 1П ---
' 4а х—а
х9 dx 1 , . . ।
-------3- = ~ In x4 ±1 a4 .
•4 -1- Z7< Л ' 1
arctg
C dx_____________1 . x4
J x (x4 ± a4) ~ “ 4a4 n | x4 dt a41 •
dx _ __ 1 _ 1 f x2 dx
xa (x4 ± a4) b a4x a4 j x4 ±. a
io C I
' x3 (x4 ±: a4) b 2a4 x2 T 4a6
j 2 arctg -2
_ “ I*
lx2—a2| •
ln x24-a2J
Xя» dx ___ xm+1 3 — m Г xm dx
±; a4)2^ ~ 4a4 (a4 ± x4) “ 4a4 j x4 ±, a4
14.
dx
(x4 ± a4)2
x
4a4 (a4 ± x4) ±
3
16a7/2
3 i
16a7ln
In x2-}-ax 1^2 4-a2
x2—ахУ2+a2
x+fl .3 . x
—!— +-бт arctg—
x—a 8a7- b a
3 .0X^2
----7— arctg
8a7 /2 a2-x2
15.
xdx _ x2
(x4 zt a4)2 4a4 (a4 _t x4)
1 r • . x2
^згсЧгГ
1 x2+a2
,8a« |x2—a2}.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.13.
16.
x*dx ___ х® _
(х4 ± а*)2 ~ 4а4 (а4 ± х4) “
1 . х2—ахУ^+а2 , 1 . ах 1^2
------7=- in-----7=r-!-1----7= arctg-----
х2-|-ахУ2+аа &&K2 a2 —x2
“’ll . x—a |.l . x
16<Л x4-a I1 &Й 5 a -
dx _____________1_______. 1 . x4
x (x* ±i a4)2 ~ 4a4 (a4 ± x4) 4a8 n [x4 ± a41 *
dx __________ 1 x3__________________5 Г x2dx
x® (x4 ± a4)2 a8x 4a8 (x4 ± a4) 4a8 j x* -ь a4 *
x”1 dx__________________xw~8_____________
(ax4+&xa4-c)» (m—4n4-l)a(ax44-6x24-c)e“^’~
_ (т—3)с P xCT~4dx_____________(m—2я—1)b Г x*”"2^
(m—4n+l)a J (ax4-|~bx2-}-c)n (m—4n-|~l)a J (ах*4-Ьха4-с)л*
1 C x”*4 dx___________c f x™~*dx __
a J (ax44-bx24-c)»~4 a J (ах4-]-Ьх2+с)я
__ A f xm^dx
a J («4Ч-йжЧ-с)* *
C dx _ abxi’ + Cb2—2ac)x
' J (ax4+^x2+0n ~ 2(n —l)a(62—4ac) (ax44-6x24'C)B_l +
._____(4л—7)ab C______x2dx_____,
"* 2(n—l)c(62—4ac) J (ax44-&x2+c)e'i *
2(л—1)(&2_4gC)4-2ac—б2 f dx
"** 2(n—l)c(62—4ac) J (ax44-6x2+c)n-i •
Г______dx______________—1__________________
J Xя» (ax4-f'&t24-c)« “ (m—(ax44-fex2+c)ft_i‘’”"
t m4-2n—3 f dx n m-|-4n—5 [* dx
(m—l)c j хЛ1~а(ох44'&ха4'С)в a (m—l)c J Xм"4 (ax44-bx24-c)® *
f — 20 [ C_______dx________
J ax4-f-bx2-(-c p^b2—4ac \ J 2ax24-b—y^b2—4ac
f 2ax* + b+V&^4ac) [b*>Mk
25.
1 Гдп 06 [д х&+2х»'/Г a/ccos(a/2)+Ka7c .
3a sin a L 2 x?—2ху^а/ссоз(а/2)-{-Уц7с
4-2cos— arctg--x^—]/a/c-----1 |m<4ocj cosa=.— —
2 2x Кa/c sin (a/2) j t 2
______dx______________abx® 4- (fr2 — 2ac) x
(ax*4~bxa+c)s 2c (b2—4ac) (ах*4-Ьха+с) **
b2—>6сю C dx_________________________{_______ah Г x8dx
2a(ba—4ac) J ax44-bxa4-c + 2c{b^—4ac) J ax44-bxa4-e*
1.2. И.]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
47
х^х _ 1 jn 12ах2+b — Vb2—4ac
ax4 + bx2+c 2 Vb2—4ac j 2ax24~b 4-Уь2—4<к
1 , 2ax24-b
= r —- arctg _ -
pr4oc—b2 У4ас—ba
x*dx _ b-j-Уь2—4ac Г_________dx________
axi-^-bx2-\-c УЬ2—4ac J 2ах24'Ь4-Уь2—4ac
b—Vb2—4ac C dx
У b‘2—4ac J 2ах24-Ь—УЬ2—4ac
[6>>4ecJ.
[P<4oe].
[Ь*>4ас].
__________1________/ C_______________xdx________________
4а(Уc/4a—b/4a)1/2 \ J x2—2 (Уc/4a—b/4a)I/2x4'2 Ус/4а
_ f ________t*a<
J х2Ч-2(Уcj4a— bl4dyi2x^-2 Уc{4a )
2.
1.2.14. Интегр алы вида R(x, ax2k-]-bxk-}-c)dx.
« С т/ «аь . t b . чп Л xte+4ax2*+6x*+^**’1
1. j х« (ax8 * * **+bx*+с)» dx =-—L--------------
— С хт^(бхх2й+6х*+с)я^х —
_ («+2afe+2fe+1)a J(ах**+Ьх* +с)«dx.
^(а^+Ь^+^ Г (atU+4x»+c),-idl_
«+1 1 J
---Г xm+2fe(ax2fe_|_bxfc_|_cjn-idx.
8.
xm-afru (gyzfe c)nn __ (m—2fe-j-l)c
(m-j-2nk-l~i)a (m-i~2nk-i-l)a
X J ^^(ох^+^+ф^х —^^2л^У1)д&~ J x“~* (a*2*+ bifi+c)adx.
^n+1(aifik-{-bxk-^£)n 2nkc
jB~t’2afe~|~ 1 in "4“ 2nk -|-1
X f Xя*(ax2* +&х*+^)п1^+ ". otb_i_~f f
Jxmdx _ xm-2fc+i
(ax2*+ йх*4~с)я (m—2n£-f-l) a (ax2* 4~&x*c)n-1
(m—2&4-1) с P xP-^dx_____________(m—nk—k+l)b f xm~kdx
(m—2nJfe+l)a J (ai^*4-&x*4-c)» (m—2nk-\-\)a J (ax2*-f-dx*-H)**
R C _________dx_________________ —1_____________________
* J xm + bx* 4-c)« (m—Ocx®'1 (ax2*4~6x*4~c)e“1
(zn4~n^—fe—1) b C dx __
(m—l)c ' xm * (ax2* 4- bx*4~c)” •
m-{-2nk—2k—1 Г ' dx____________________
(m—l)c J X®”2* (ax2*4-^*+c)n °
48
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Г 2.16.
1.2.15. Интегралы вида JR(xlZ2, ax-f-b)dx.
1. f («+»)’ <te=2^+W У (") ‘<.
fe=O
С (ах^6)л , 2 ХЛ fn\ аМр-ЬхР
J j/n+l/2 7, [kJ 2fe-2m+l*
Xm+ 1/2^
(ax +i 6)я
xm+t/2 2m + l f x”-1/2dr
(n— i) a (ax it by1 * ^2 (n— 1) a J (ax ± b)«'1 °
2 (•
an J (t2 it bjdy1
[f=> Vxi см. 1.2.Ю].
xCT+lz2dr g у (т 1)*бМ~й+|/2 / Ь\”г+ Г dx
ax±.b (2m—26+1) aftn \ a) J £,/2 (ar±frf
______dx______________________2_____________
x”4*1/2 (ax ± b)a (2m— 1) bx"1-172 (ax ± b)*'1
— (2^+-2n—3)g C________dx_________2 Г_______dZ
(2m— 1) b ' Xя1-1/2 (ax x b)n ~ a^ J (/* + b/e)«
2 arctg
b^-(ax)^ ’
xV2dx 2rt/g _ {JbW*
ax ±ib a I a3 /
x5/2 dx __ 2ax3'2 йг 66x1/2
ax ±. b ~‘ 3aa
(ax ± 6)a
10.
In
!_ .fax \ V2
2arctg -j-)
\ b J
In
frV2_(ax)V2
far\V2
a(ax±b) (&Ь)^2 1 |я
^2
x3/*dx _______________
(ax _t by ~ a2 (ax _1l b)
2axs/2 zt 3bx1'2 q / b \ V2
\a«4
b
bl 4(«x)va
. ( ax X1/*
arctg I-^-1
If*
~ iab^
In
— In
<2
ax \V2
^-(ax)1'*
6V2_(ax)V2[J
1.2.17-1
1J. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
49
ах \V2
dx __________ 2 _ r a \l/2
x3/2 (ax zt d) dx1/2 + \lp}
In
д1'2 —(ах)1/2 4
ах Х1/2
f dx
1 ’ J x^^id)2
t_ х1'* 1
— b (ах ± Ь) (ад3)1/2 А
—In
2
U Г = —^«4= 2d n Г a \ V2
J x*/2 (ax ± d)2 d2x,/2 (ax zt b) \ d§ /
— In
^2
d^-tax)1* P
/axW2
д1/2—(ах)1/2 | *
d1/2+(ax)1/2
1.2.16. Интегралы вида ^(x1/2» x? + aT)dx,
Условие: a>0.
л jjffUl/2
J (x2 _t a2)«
_4д—2flt—7 f
ax—~ 2(n — l)a*(x* + a*)*-i 4(л—l)a2 J (х*_ь.а*)* Y1**
rfx==_2—jjm-i/2 qp да C
2m—1 J x^ + a2
J* .
fe=l
x2 _±i a2
fe=o
x3/2Jx
xT2dx ( x-|~a—У2ах 1 . Y^ax
xz-f-a2 2 У 2a x^a^-Y^ax У 2a x—a
a 1 . Га
xl/2dc I , lYx-
x2—a2 2Ya J Ух 4
(* xP^dx л,г— , У2а’ . . г «♦ . г
I --------=2Ух In—------т 4------------- arctg--
J x2^^ 4 x+a-|-K2ax 2 x—a
1 )^t2dx
x2 —a2
x-f-LA. in
2
1.2.17. Интегралы вида Jx—m(ax-{-b)n^‘l^dx,
f 2^+6)"+3/2 V (—!)*&* .
) ^<“+« +/ л=---------SS4--- 2
f («+»>"+,у2<ь= рйТз^<“+*>"+3/2-
50
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.2.17.
3. J xm (ax+b)m л® (ах4-6)3/2 —
2т6 Г „ . 2(ах4-6)3/2 V fm\ (— 6)®“ft , . ,ч*
—&1+3& J + - -атЯ...- 2 J12Fnr<flX+ft)ft-
k = 0 v '
4. C (ax+6)“+l'2rfr=_ (д»+*)“+3/2 .
J x® (m—l)fexm-i **"
(2л-2m+5) д f (gx4-6)n+V2
‘ 2(m—1)6 J xmi
dx.
2(аг+6)**-,/2 (2n+l)6 f (ах4-5)п-,/2 .
“ (2л—2»4-3)x«-a + 2д —2m-j-3 J x™
л С (дх4-6)я+1/2 . 4{ax+b'}n + '12 tC (ах+б)®-1'2
в. J - dx~ 2МЧ +6J ----------------------------x------
[(oxH-fc)1/2^ (ax4-6)3'2 , (5—2m)a f (ox4-&)1/2 .
J x® (m—Обх’»-!'*' 2(m—1)6 J *»»-i
8. f (ax4-6)172£tr=: ~(ахЧ-6)3/2.
#. J х(<и+Ц|д<Ь=^-р-”+*------------^J(<ur+»)3's.
10. J x«(«+0)V3<fc= _ »l«+2.+
11. C z® (ox4-^)I/2^r=
2 Г(ах+0? 3»(«+»)» 3J2ft«+*) 4»T, . ..»»
= -JT [--9---------7~— +-------S-------3 J (ЯХ+Ч ’
12. С (ах+»)8/2Л=^-(<«+»)'/а.
11 J x(a»+6)s/’<ir=^-[^±^- —^(ах+ьЛ2.
14. j x« (ах+Ь)’/2 dx= A [^£+^ _ 26 (“+b> + * ] (ax+S)^.
15. j ^(«х+О^Л- ^.[(!^fc*g._ »(«+»)» +
+ з^±о)_^]и+д)5/г>
Ь1Д1П| (ax+t)1/2-»'/2
18. C l?J±«!l=2(ax+»),'2+
,/9 (ax-j-bW2
—2(—6),/2 arctg A (_byi2~
»>0].
[6<q.
f (ax-|-6)1/2 . _ (ox4-5)V2 , ° f dx
J • X x 2 J x (ax4- b)^2
1.2.18]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ, ФУНКЦИИ
.51
^±^Lax=^^sllai+b)w_^. с—* .
л? 46х® J х(ах4-&)^2
19. f .(g*±fr) ' dx =-1(аА;+г,)3/2+2&(дх+6)1/2 + &2 Г “ 1/2‘•
С (^-Ь^372 (ax-f-fr)572 , За Г (ax+bfV
J х2 ах~ bx + 2b J х а '
21.
(ax4-fr)3^ ( 1
л? а \ 2Ьх* +
—(м+М5'г+— f («+»)372
4IAc j ( + 4 + ер J » “
2.
4.
1.2.18. Интегралы видаС ---------X ^X. :ta'.
J (ax+6)”+172
f xmdx =________________2________ V (—0ft&fe [tn\ , . Vm_A
' (ax 4-6)"+1/2 am+1(ax+fr)"-1/2 2m—2л—2 k 4~1 \fe /
R — v
______dx________ 2
J (ax+&)"+I/2 (2n— t)ar(ar4-&)" —1/2
C j^dx = 2 (ajr.6)i/2 _ ЪпЪ C ^dx
J (ax4~6)172 (2m4-l)a (2m4-l)a J (ax4>6)^2
2(ax+b)w V (—1)‘»‘ (m\, , .
°" ' ±-— '2m-2fe+l U)(°x+fr>
am+X jW
fe=0
5. I ----= — (ax+&>,/2.
J (ax + &)l/2 ®
ft C xdx
J (ax+6)172
f x*dx = 2 Г (ax+6^
J (ax4-6)ljf2 a3
x’Jx 2
8.
= 2(«-J»)(at4_fr)l/a-
»(«+») + 6,1 (аж+цУ».
31>(я*+Ь)*| bi (ax + 6)— f>sj<ix4»)l/2'
9.
10.
5
__________________(ar 4-6)3
(ax+6)1/2 “ “* L 7
dx ______ 2
(ax 4-b)3/2 a (ax + 6)1/2
xdx __ 2 (ax 4-26)
(ax-\-b)3!2 e?(axH-6)t72
x2dx
(ax-|-6)3/2
x3 dx
= _2_Г(ох-{-_&Р _25(ах+б)_бЛ-----L_.
o’L 3 J (ax+6)1/2
------372 = Г1ах+>)<—>(ax+b)»+3^ («+») + </| -^-13-
(ax + &)3/2 L 5
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1 2 19.
3. «= 2ат~1 f =——г-
J рп(1*—Ь)т
р=Уах+Ь. см. 1.2 1QJ.
f d* — _ (Д*4-Ь)1/а _ (2/л—3)g f dx
3 xm (ax-J-b)1/2 (m—ljbx”2"1 2(m—l)b 3 x*"1 (ax+b)1/a*
[9>0],
[fc<Qb
_ (ax 4-&)1/8_____о C dx
bx 2b J x(ax+b)1^*
of dx _ 3«x-2b , tu/2 , За* f dx
4b2? (йХ+6) J "х(ах+Ь)^ ’
9 f d* = 2 j. 1 f dx
3 x(ax4-b)3^a b(ox4-b)^a b 3 x(ax+b)^a*
10 C______dx_______—3ax—b_____________За C_______dx_____
3 x2 (ax-f-b)3/3 bax(ax+b)1/a 26a 3 x(ax-i~b)1^ *
11 f dx / 1 5а 15а2 \ 1 .
3 x3(ax+&)3jfa \ 2&X2 4hax 4o3 ) (ax4~b)1/a
, 15a2 C dx
8&3 3 x(ax+b)1/a *
J (ax-|-b) ' -f-d a
1.2.20. Интегралы вида $Я(х, Vax-j-b, y^cx-\-d)dx.
1. f (zir_py»W2 (/?r4_rfyt+i/2 dx =. (ax+b)ma/2 (cx+<+3/2
J (m4-n-|-2)c
~ ^ш+Иа^' ((<“+Ч”“м(«+‘О’и*/,‘Ьг.
1 2 20iJ
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
53
2.
3.
- <rrV (-0*(2я+0(2»»-1) -(2»<-2*-|-3>(<«<-М* v
ipx-t-af (да+д4-2)(т-|-л-|-1)...(т+л—fe4-2;a*+*
ft —о
х(<«+»)-*^ + -^;тгЮТх
I—
V (2«Ч-О(2д—О -.(2д—2fe+3)(ad—у
Zj, 2fc(m-f-fl4-2)(m+n+l)...(fl—fe4-l)a*+i
fe = о
v । тЦ пП И-М"4”4* f dx
Х(сх+а) Ф (т+п+2)1(_2с)«в+1(2а)»п } Г(^)(«4^’
яг’1/3 __ 1 (ax-}-b)m
П41/а (да—п-М)с (cx4-d)ft-1/a
(2m4-l)(ad — &с) С (ах+&)от~1/а
2(да-д4-1)с J (cx+d)B+^a
(ax4-&)m"3/2 ,
2
(2л—1) (ad—be)
2(n—m—2)a
(2n — i)(ad—be)
5.
п—т—2
-(ax+bfW
fe=O
в.
(п—т—2) (л — т—3)... (я—да—k— 1)2ЙН5а*
(2л—1) (2л—3)...(2л—2k— 1) (ad—bc)*+l Х
X (cx-|-d)a-fe V»>«+4.
—2
2 (m-Ья— 1) С____________dx__________
(2m—1) (ad—be) J (ax+bf*-1^ (cx-(-d)a+yi '
m—1
(m+л—1) (да 4-л—2)...(да 4-л—й)(—2)^1с*
(2т— 1) (2m—3)... (2m —2fc — 1) (ad — 6с)*+1 Х
&=о
п—1
(ax4-6)OT-*-1/a
(m-Ья —1)(т-|-д—2)...(л—
&i=e (2n-l)(2n-3)...(2n-2k-l)(ad-bc)a+k+t Х
Г (a»+*) («+<) = FS to (/c(“+»)+F«(«+<0)
[ac>0; х>тах(—&/a, — rf/c)].
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.2.20.
9. -----j— In (V-—с (рх+Ь)+V—a (cr-^d))
У ас
- [а₽>0; х<тах(—Ь/а, —d/c)}.
1 . c(dx4-6)4-a(cx4-d) , м
10. = — ----arcsin —-—Z_ZZL__1—L [®?< 0].
V—ac \ad—6c|
J (x—p) V(ax+b)(cx+d)
1 1n [K7cp+d)(ax+6)— V^p-bbXcx-^d)]8
K(aP+*)(<P+4)' | x—p |
[(ap+&) (cp+d)>0; (cp+d) (ax+W>0; (ap+b) (cx4-d)>0J.
1 In[K— (cp+dj^x~+b)~—V^—(др4-6)(сх~Й)Р
^(ap+b) (cp4-d) | x—p |
[(ap+&) (cp4-d)>0, (cp-i-d) (ax+b) < 0. (ap-f-b) (cr-J- d) <0].
«= 1 arcsin <cp + rf) (ax+6) + (ap+b) (cx-j-d)
У-~(ар+Ьу(срЦ-d) | ad—£ю| | x—p |
[(ap4-ы (cp4-
* Xя
i -----------7=dx=
I А У ах-{-Ь-}-ВУ cx-\-d
” аЛ»-сВ» (p" f “*+ 2 J X‘-1 ~
_____ n \
₽• f <fc+ 2 p"'4 j x»->vs+3^i
J x p k=l v J
r _ — bA*±dB 1
«А-» —cB’ ]•
1S- f fYat+ddx
[aAl—cB*=0J.
17.
[ap4-b>0],
&W4-6<0J.
P7 n„+i>)(cx+d)+
7X0x4-64-6 Vex 4~d 72a4-62c
+ 2v8^-M^Mln |v/_^+6/_(_
_(Vaa4-62c)(a6—Py) (ad—be) C . . dx
2(y2a—W)a J V(ax+b)(cx+d) *
1.2.22.]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ, ФУНКЦИИ
55
1.2.21. Интегралы вида J Я (х, у/ ax+b) dx.
1. J R(x, ах-}-&) tfx—~ J R^- д~~~» tjt^dt [f = ^/а*+л].
2. $хр (ax-^-b)ilndx=
«A » xP (ax+b)1 +i/n— C xP'1 (ах4-6)1/я dx.
(np4-«4-l)a ' 1 ' (np+n+l)aj \ ii
m
3. $ ^(ах+1»У dx=Jg (ax +»)'+ ',n2m-k+ ?+ Un (") <«+»>**•
4. f (ax+b)1'" dx—j—^-(ах+&)| + 1/я.
J V»TV»
С (ах~Ь&)!/я , _ (ях + &), + ,/п (mn —2n— 1)л C (ax+b)t/a .
5* J x™ (m-l)6x"»i (m—l)nb J' xml
6. J ——dx=b(ax+b)l/n+nbifn J I/=(<rZ&-M)!/eJ.
7. f ?----x^ax+b)1-^------------f -^-dtX.
J (ax4-&),j/ (/пл4-п—l)a («/»+«—l)a J (ax-]-b)^n
®* ~ ~ дан +&)! 1/я У -------ПТ—(ах+6)т~*.
fe=O
f dx n «I/-
*• J •
1.2.22. Интегралы вида $£[*, (ах-Ь&)₽7л] dx.
1. f xm(ax-j-b)p/n dx~-.-r-^-r—r—xm(ax4-6)l+p/ft—
J k r r (тп+»+р)а k ’
----r~i—T“ f х'в-1(<2х4-&)р/л dx.
(mn+n+p)a J л /
2. «=у(ох+&)1 + р/яХ
Vt f bn\b
л Xi (яш4-р4-л)(/пл-|-р) ...(nm-[-n+p—kn)\ a}
k=o
tn
s-
fe=O
«. У (a«+6)W"rfx=^> („+Ц1+Р7.,
, Г (gx+by»'" 1 (ax+t)1-!-^"
(x—a)»1 (m— l)(aa+&) (x—a)ml
[(m—2) л—pjg Г (дх4-^)р7я
(m— 1) л(«а+&) J (x—a)m-1 dX’
56
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[> 2 23.
6. =(ох+Ь), + р/лХ
Я —1
V , пь (m—Р—2д)(тп—р—Зп)...(дш—р —nfe)q*~> 1_____
’ (ш—l)(m—Jfe)nfc-1(aa4-6) (х— а)т~ь
k — 1
Р(р+1)--.(р+/п-0 a”"1 f (ax4-fr)P/e
— l)r (aa + 6)« 1 J x—a
----”g”7* (ax 4- b)1 -«+pm
(m—1)л —
£aa4-i>=<n.
s. J j
k=(Srl)1/n; ₽=±i-±2--: « i23]-
1.2.23. Интегра лы вида f /? (x, 1/ т~?) ^x-
J \ T CX-pa J
f n L i/e*+5\ ti(ad—bc) С Г—adtn~ybc //al inl ..
cx+dj™ ac J [ ac((«—!) ’ V cJ(/« —])*d/
t._ ?/g (ax + fr)l
" a(cx-f-d)j
₽/“ . fax+b\p/n .P(ad—bc) fa \Pf» C /льр-i
1 — a \cx-ydj ' ас \~c) A £л — I
cm 12 3
3.
ax+6\p/« (ar+ b) (cx-\-d)хт~г lax4-b\p/n
cx-ydj ~~ (m~yi)ac \cx4-d J
__ (ad—bc)p-ymn(ad-y-bc) Г [ax~yb\p/n .
(m-J-l) пае J \cx4-d/
_ (m—l)fed f tax+bypfn
(/n+l)acj \cx-|-d/
4 C я _(а*+&) (с*+Ф (ax-j-b\pfn
J X\cxJ-d/ X~ 2ac \cx-l-dj ~
(ad-bc)p-]-(ad~J-bc)n C lax-\-b\pfn
2nac J \cx+d)
5 f * (ax-)-b\Pln , _ (ax+&)(cx-f-d) fax+b\p/p ,
* J (ж—a)m+1 \ex4-rf/ x~ (x—a)« \cx+d)
t д Г 1 [ax+b\p/n f 1 lax+b\pln
J (x—a)™ \cx4-dj J (x —a)”1"1 \cx4-d/ Xt
- _______—1_________ _ —n(m—1) (ad+bo-r2aca)+p(ad—bc)
m(aa-^b)(ca+d)'* ~ mn(aa-±-b) (ca-^-d) *
D _ — (/n—2)oc
m (aa -J- b) (ca -j- d) ’
ax-J-b\P/“ « laa-$-b\pln f /Р-1 „ / a\pfn f
&+a) ‘‘'“'*^^+37 J
Г# = £ f <с«+д) (ax+ <>), __ C (ax + b)
I 1/ s O(cx4-*d)’
1 225]
. 1.2 СТЕПЕННАЯ И АДГЕБРЛИЧ. ФУНКЦИИ
57
1.2.24. Интегралы в и д а $ R (х^а* xa±a2)dx.
’ xr,”dx ±х1,Р/« (2m—3)я—р С xp/ndx
(л2 ± а2)® ~ 2 (m— 1) а2 (х2 ± a2)ml ± 2(т—1)а2п J (л2±а2)я»-1’
т—1
„1+р/я V (2тя—Зя—р) (2тп—5л—р)... (2тп—2nfe-J-n — р)
= jr Za (т—1)(т—2)...(т—А)я*-1(± 2а2)* Х
1______. (я—р)(3я—р)... (2тя —Зя—р)
(ха ± а2)т~* (т— 1)! (_t 2а2п)*й-1
xp!ndx
х2±а2 ’
xp/”jx я u)/»-i _ 2 f x?In~2dx
х2 + а2 р—п J х2 + й2'
dx______ ± nxHpln _ 1 С_________dx______
х₽/я (х2 ± а2) ~ (я—р) а2 + а2 J хр/я"а (л2 ± а2) *
4- cos ———
’ 2я
dx=-j* ; У I sin - ря In | х1/д—а,/я| +
k=0 '
х,/я—а1/я cos^^—я
'’““‘*8---v„~. ik + Г
а Ш,-2Й*Я
Ь>=1, 2. ... > я —1: а>0].
хр/я
х2—а2
^р/я-1 Z. ^Я+р-1 ^р/п-1 « /В+р-1
2 J <« — 1 а 2 J Р»+1
k = U/fi)1/e; Р=±1, ±2 ; О>0; СМ. 1-2 31-
di
1.2.25. Интегралы внда
а
Условие: х>а>Ь>с.
Обозначения: ф=arcsin 1/*—
dx
о
=Г(Ф, Л).
л —1
а
2.
3.
t J"* ' ' = к(а-ЦП(ф, 1, 4)+W№, »)].
J У (x—a) (x — b) (x—c) br a—c
a
2]fa—c .v 2 г/ м
, .... -------— = ---------— E (ф, k)-------; . F (ф, Л).
У(х—a)(x—• fr)3(x—c) (a—b)(b—c) (Ь—с)Уа—с
а
а
. ax _.,.дта = = [F (®, fe)—E to, jfe)] -I-
V\x—a)(x—b)(x—ty (b—c)Va—c
х—а
Ос—Ь)(х-с)в
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.2.25.
5 С
* J (х—р) V (х—а)(х—6) (л—с)
=----------2 ---- Г(£—а) П Ар, , fe\+(a—р) F (ф, Л)1 [р^а].
(ft— р)(а—р) Vа— с L \ а—b / J
в. с rfx
J И(х-а)(х-6)3(х—ср
а
=-----2 ,.v----4)-2(a-6)F(q>. 4)1 +
(а—&) (6—с)аУ а—с
2 ,/~ х—а
+ (а—с)(4—с) т (х—Ь)(х—с)
7‘ f /(х-Щх-^-^=-2/^£(ф. Л)+2/<Х-4^>.
а
!
8. f 1Л----Х~Ь , dx=^z5-f(<p, »)-2У7Г^Е(ф,4)+
J г (х—а)(х—с) У а—с
। п1/~(х—а}(х—с)
+ У ~ х—Ь '
»• f Vj—^-й<4х=2К^[Р(ф, 4)-Е(ф, 4)14-2 )/ -<Х-^>
у Г (*---«ДХ--V/ Г *-°
а
<0- J <
а
х_____________
11. С 1/ 7-TV7~-
J Г (х-6)(х—ср
л
= 2£±=£.£(ф, k)--2(а17^ У(ф, $-2 1Л7—^=-а -7.
Ь—с (Ь—суУа—с Г (х—Ь)(х—с)
X __________ _____________________________________
«« С >/ х—Ь , 2 пЬ—с-\/ х—а
12. I I/--------dx=-T=E(®, k)—2------ I/ т-£77--
J V (х—а)(х—ср У а—с а—с г Iх—^)(х~4
л С 1ЛI .^dx=^— a^E(^ Ц,
J У (х—а)(х—4>р а—Ь *
а
х __________
14 $ У fc^^irfx=|/S=F[(a4-6-2c)E(9, 4)1 +
а . . _
+2(х+2с_а_2й)т/<^><х-х>'.
О у Л“““<У
1.2-26-]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
59
IS. f 1/ (5-т)(г~7 " к«+д—at>)Д(ф. 4)-(e-S)F(<M)J +
J f Л--V О U~ V
а
.|2(g^)fa1ft д с) 1/(х-а)(х-с)
+ 3(&-c)tX+ft а C)V> Г~Ь‘
16. f y^^^^dx~V^l2(a-b)F^ k)+(b+c-2a)E(q,k)) +
a
। 2 i / (x—a)(x—V)
+ ~3 (x+2a-25-c) у '-
co
1.2.26. Интегралы вида J R (Yx—a, Yx—b, Yx—c)dx.
» X
s
Условие: x^a>&>c.
Обозначения: _<p = arcsin y~~~ t k= j/
1. f = -^2 F(<p, k).
J V (x—a) (x—b) (x—c) Уа—s
co
P Яу 2
2. I -7=^= =-------------------*-------E(q>,fe)-F
J У(х—a)3 (x—b) (x—c) (b— а)Уа—c
, 2 x—b
^~a—br (x—a)(x—c) * °'
о Г = 2Va-c
3‘ } V(x-a)(x-bf(x—c) (a—b)(b—c) tf>’ J
2 _. 2 i/ x—a
y- F(<p.fe) I/ —’ -
V a—c a—br (x — b) (x—c)
CO
dx 2
4. I A._ .-=------- r_____- [F (q>, k)—E (<p, A)].
J Y(x—a)(^—b) (x—cf (b — c)Ya—c
X
________dx__________
Y (x—a^ (x—bf (x—c)
==------------=_[(а-б)£(ф, k)-(a+b-2c)E((f>, ЭД +
(a-b)*(b-c)Y^c ,
2x—a—b , . -
J-------. . ~ tx>ej-
(a—b)*Y(x—a) (x—b) (x—c)
60
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(1.2.26
в. С _ dx
J ]f(x—аР(х —6)(х—с)3
_________2________
(а—6) (b—c) У^(а—ср
«а+с—26) Е (ф, 6)—(а—6)Г(ф, 6)] +
+_____2____-1/ _*-!..-
~ (а—Ь)(а—с) у (х—а)(х— с}
(х>а].
'___________________=__________2_________х
/(х- а)3 (г—6)3(х—cP (д—6)2(6—с)2/(а—ср
Х((д—6)(2а—6—с)Г(ф, 6)—2 (а2+624-с2—об—ас—6с) Е(ф, ЭД +
2[х(а4-6—2с)—а(а—с) —6(6—с)]
(а—бр (а—с) (6 —с) V (х—д) (х—6) (х—с)
(х—р) К (х—а) (х—6) (х—с)
2 ГгтЛ_ Р—с
т г—7= I 111 ф.
(Р с) У а—с |_ \ а—с
k -Е(ф, 6)
10. f lA,--....
J Г (х—ар(х—6)
к
2 с
= г<=Г(ф, 6)------—-
У а—с а—Ь
Е(Ф, 6)4-
X—6
(х—д)(х—4
"• [ У .... -<ir=-7J=r[F(<l, *)-£(ф, *)]+2Т/ - -х Ь
J * (х—ар(х—с) у а—с т (х—а)(х—с)
X
(x>aj.
сэ __ _ _
|2’ [ 1А—
J f (х—а)(х—6р а—6
х—а
<х—6) (х—с)
,х J У(ф- ч-£(ф’ *)1+2
X
[ж>в].
C2.27.J 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЁБРАИЧ ФУНКЦИИ 61
14. С |/"---------Лс=-7=^=Е(Ф» А).
J F <х-а)(х-сР Ya-c W '
»S. ( V~—\~g t Д-~-£(ф.*)--------------2(a~^L_ F(9.t)
v г (x—b)(x—c)3 b—c (b—с)У a—c
a
1.2.27. Интегралы вида J fl (Ke—x, Vx—bt Vx—c)dx,
x
Условие: a>x~>zbz>c.
Обозначения: ф=arcsml/ -—v. А=1/ °
Г a—b* f a—c
a
- C dx 2 _. ..
1. i ,r_ .-= -- .• = —— F(<p, fek
K(e—x) (x—b) (x—с) У a—c
2. ( J* =-^=F(4,,
J V(a—x)(x—b)(x—с) V a—c b
3. f -7== =-----2-„—F((p, A)—
J y(a—x)(x— b)3(x—c) (a—b)Va—c
____2J-a—.c E(© A)4_____-____~\f (Д—x)(x—g) [x>bl
a
. f_______dx______________2
3 У (a—x) (x—b) (x—c^ (b—c) Уа—с
_________________________________2 1/^353
(b—c) (a—c) У x—c
5. f------. _ -----— ------2-____n ftp,
J (x—p)V(a—x)(x-b)(x-c) (a—p)y a—c \ a—p J
a
6 C ______dx________ e
3 V (a—x)(x—bf(x—cf
'=,--\i/---------№-^(Ф. Ч-2(2а-»-е)£(ф, 4)] +
(a— b) (b-cpY a —c
, 2(д—fr—c+x) -i/~ a—x „
”r (a—b) (b—c) (a—c) У (x—b)(x—c)
!• f Ч-£(ф. »)1.
X
ГЛАВА ПЕРВАЯ."НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.27.
»• f V ^=2^^(я>- *>•
X
9. \ л[--—г^=21ла —с£(ф, fe)—2JL^?F(<p, k).
J г (a—x)(x—с) У а—с
’°- J У (x-^xfj^^K-b" E<>l- 4+
< * fl / a—x j lVa—c _, ..
J f (x—6)(x—c)3 b—c '
--4=f№. 4_Aj/ES.
У a—a b—c v x—c
,2- V7~\7* *)-£(<₽, вд+
J F (a—x) (x—c)3 У a —c
,__2 -i f (a—x)(x—&)^
a—с у " x—c
,s- f V (Ф- *’-£^ «1+
+ 2 1/(2=^=3 [X>H
* a—b r x—b
a ___________
14. f j/ (дТЗИ^.£Лах=c [(e-J-fc—2с)£(ф, k)-2(b-c)Fte, ЭД —
X i
— /(a—x) (x— b) (X —c) .
a __________
15. J ~|/-~^Xb~^dx=^ /^[(«+с-2&)£(ф, ЭД4-(&-с)Г(ф,ЭД-
X
—^V(a—x) (x—b) (x—c) .
1». j dx=| Va-C [(2о-»-е)£(ф, Л)-(»-<>)F(<p, *)] +
X
4-2.^—x) (x—c).
1.2.28 ]
1*2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕ&РАИЧ. ФУНКЦИИ
63
1.2.28. Интегралы вида |я(Уа—х, Ух—6, Ух—€)<&.
ь
Условие: а>=х>&2>с.
. 1 /~(а—с) (х— Ь) , Гв—Ь
Обозначения: го=arcsin I/ £= \/-----.
У <в—b)(x—с)* у а—е
X
1. I ...л -=z'. - .— ~7=7—: F (ср, И.
J У(а—х) (х—Ь) (х—с) Ул—с
V
X
2. f .--- —...... =yl={(*-c)n (ф, 4», 4)+сР(ф, *)].
J У (а—х) (х—6) (X—с) У а —с
х
*• f vr-z«r—^=^ ~к. К'^—lf <Ф- *>-*(» *)J+
J У (a—xf (x— b) (x—fa—b) У a —c
, 2 -j Г x—b
+ a-bV (a-x)(x-e) **<вЬ
X
4. f r. ..-л _ ------^=E(<p, Л).
J У(в— x)(x— b)(x~cf <$>—c)Va—c
V *
X
C_______dx_________
y^(a—x)3(x—b)(x—c)3
= —— 2 -==-№-с)Р(Ф, 4)-(26-а-с)Е(ф, 4))+
(a—J) (b — с) У (a — c)3
+_____2____1/ -2-»—- [Ж<.Ь
(a—b) (a—с) V (a—x) (x—c)
x
6. f _ z-
g (x—p)Vfa—x)(x—b)(x—c)
---------—^=Г(с—&)П^ф, k\+(b—p)F(fpt fe)"| [p^tb].
(c—p)(b—p)ya— c]_ \ fr— P / J
’• 5 У к» +2/(а~х-Г~-
|/(Э=^Ь)‘1х=2У^£(ф’ ‘>-2/-41йА
64 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {1.2.29
10. f дГ-------dx=—*>+21^ —Х—---------------- £*<«1.
g V (а— х)3(х—с) Уа—с У (а—х)(х—с)
11. f 1/ - Х~С = dx=*—2(&-^L^F(<p, fe)_
g У (а—хР(х—Ь) (а—Ь) У а—с |
2Уа—с*,. .. , ла—с -л / х—Ь
— —Г—Е(ф, fe) + 2-г|/ г--Т7--Г £««].
a—b v ’ 1 а—Ь г (в—х)(х— с)
12- ( V,— -<Ь:=^1=(Н(Ф, 4-Е(ф. 41.
J У (а—х)(х—су* у а—с
is. f 1/"-—6tr=2 Т<-а ~с£,(ф. 4—JL=-F(<p. 4"
j Г (х-Ь)(х-ср Ь—с w ' Ya—с w '
и. iy<a х-с 4-2(»-c>f (ф. 41 +
+ |(х+с_а_Ч/М^.
О f *—<?
IS. J |ЛC> <l*= I Ка-с[(»-ОР(ф. 4+И+о-24£(ф, 41 +
+ j (2Ь-а-2с+$ J/r<a~*H^-4-
1в.
(X —&)(х—С)
а—х
2 ^—
dx—^-У а—с [(2а—6—с)Е(ф, k}—(b—c>F(q>, fe)J+
О
+1 (4+а?-2в-4 У<“ *>2* fr>-
1.2.29. Интегралы вида J/?(Уа—r> V&—г» Ух—c)dx.
X
Условие: а>6>х^с.
Обозначения: ф=агсаш 1/" ~6=1/^^^.
v у (Ь—с)(а—ху у а—а
ь
Jdx 2 г.,
1 Г -- __= -/ -f (ф, fe}.
У(а—х) (Ь—х) (х—с) Vа —с
ь
2 . f ==^====т= 2=.((»_С)П(Ф, №. 4+«Пф. 4Ь
J У (а—х) (Ь—х) (х —с) у а —с
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ, ФУНКЦИИ
65
1.2.29.]
»
Ъ
I* <fx*______ f
J |(3-Л'г(£? t)(V — С)?
= -— -----Ь)Г(ъ k)+(2b-a-c)E(Vr W4-
(£—<7(’ - b) | (л-сг
, 2___ -| Г Ь—х
+ (Ь—сЦл — с) Г (а—х)(х—с) \
ъ
. f dx
1 । .. f —;---------- —
3 (р—х)) (a ~xt(b — С) (л* О
———_____ I (Ь - :i) П 1 ф, /? 4- (р - b) F (ф, fr)l (р =£= А].
(;> — <0 (р — b) I а—с[ \ р—ь ) I
8. ( I/----— К- dx~ 2 }га —с £ (ф, k) — - р(<₽, k) —
F (a — х)(х—.) > а -с
» 21/(г>~ХЖ
! у а—х
ь ____ ._____.
•• J «-£(», ад+
X
Г (&—х)(х—с)
а—л
Ь________________________
ю. С 1/------------^±1к1-1££(ф> ф------Х=£(ф, А).
3 > а-b ™ ) а—с ™ '
ь ____________
”• V-.—IT7L '|—Pff’ *)—^(<F. *)!
•’ “ (fl-.f)'(x—с) I а—с
3 А Р П Ч Н'!Ы>В >1 д*>
6S
ГЛ \BA ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
П 2.ад.
12. J (&-x)(x-O,dX а—b 2 lza— с а—с - Г b v = 2 —Д= Г(<р, k}- Е (ф, k) -г2-—-]/ (6 с)} а—с b—c b — cr (a a) (t -c)
13. b f l/ dxr J_^E(<p, k) |-2 1/ •’ f (a—a)(< — c)1 ! ) a — c V (a—x)(x—c)
14. b ( -XJ 3 l'«-‘4(a-H-2c)£(<|>, «}+ ; , + * (2C-2J-Z.+X) l/‘P=iL<^._ о «у <* — л b
15. С ]Л- Еа-< Kc-Mf(<p. k) + (2b-a-c)£(<f, t)l +- 4- 2 (2а 4- c - 2b- x) 1Z~- (x 3 х * г 4 a—x
16. b ‘ f p dx^~- Va-c р(Ь-а)Р(Ч. »)+(2j-I>-0E(9, A)] + J f & — л о X r +^(2C-b-x)V'(l,-f(r-f). < о F a—x X 1.2.30. Интегралы вида — xt J^6—x, J^x— c) dx, e ’ 1 Условие: a > b x > c. Обозначения; <p—arcsin iXf—- • ~\/ ~ v F b—c f a—c
1. X f dx 2 „ . .. 1 — = P (<P. 1 (a—xj(b—x)(x—c) l a—c
2. X f = -^==F(4>, k)-2Va-cE(^ k). J |/(a-x)(6-x)(x-c) Va-c Г dx 2 „,
X 1 — £ (<p fr) — .» V (а—х)3(Ь—x) (x—c) (a—b)Ya—c 2 -| / (6—x)(x —4 (a — b) (a—c) f a—x
1.2 50 J
fctXCTEflEWMAfl И АЛГЕБРЙИЧ ФУПКШШ
67
Г 2 4?z t4
I------------------------ —------------— F (ф, ft)—
' У (a — л) (b — x)’ (x—с) (b— с) I- a—c
c
2 I'd — c . 2 -j /~(а — a) (r — c)
(a — b)(b — c) £ <p’ b)(b — c) f b—x * '
dx_____________
) (a — x):t (b — x)! (л — (j
=*-----— * 2 v»/ *)-(а + 6-2(?И(ф, *)1 +
(a — b/ (b - с) Y a — c
2 p3 f-fe3 —ac— be—x (я + 6 — 2c) | । x — c
(a — b)1 (b — c) (a — c) f (a—x)(b —x)
C dx
»’ (P-л) К (fl—x) (b — x) (v-c)
(p— c)/w — c \ ’ p—c ) f ^р^с1’
7- У
€
8. f I ----dx-=2 E (Ф, k) F (Ф, ft).
? ' 4»— x)(x— c) Va—j
r ____________
9- ( I ;^=2Г^[Р(ф, 4)-£(ф, t)].
Ф7 f \U Л/ 1</ А,) * |
С I
W. С t/ ..х~с 'dx^
J > (а — х,'(Ь — х)
2 Va —с , t4 2 г/„ 2 л/~(р -х)(\-с)
=-------В(Ф, k) — _^F('P, k)------- I/----------.
a—b уa—c a—b~ ax
11. fl^----—------dx=^J=[F(<p, *)-£(<₽. «1+ ’ •
? F (fl—x)*(x—c) ya—c
,__2 -|/~(& —л)(г -c)
~i~a—c f a — x
’’ J k)-c^ *,1+
+ 2 -|/<±^<5z^ (,<4.
b— c r b — x
G3 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.31.
х _____________ ______________
1-1 С1/ х~с Л 2 Ул— с .
IX 1 I/ -----—г--S<fx=----------г—Е(ф, 6)4-
J у (а—х)(&—х)* а — Ъ 7 г
с
14.
/а-сКа-Ь&-2 )Г(<р, fc)-(a-&iF(<p, ЭД 4-
С
2 ,_________________
+ 3 Iх (а—х) (Ь — х) (х—с) .
15. j *—— tfx=^ У а— с [(2f>— а—с) Е (с\ fe)-f- (а—&) F (ф, ЭД —
с
2 .-----------------
— 3 I (а-х)(Ь-х)(х—с).
х----------_____
16. (1/ ^&^dx=*V^c№ ~b—c)E(ptk)—2(a—b)F(^tk)] —
J г ** л О
С
2 <________________
— з I' (а-х)[Ь-х)(х—с).
с
1.2.31. Интегралы вида J х, J'b—xt Vc—x)dx.
X
Условье. а > b > с > х.
Обозначения: ®=arcsnl/*к~л/~а .
Г Ь—х 1 а~с
С dx 2 ..
I -——--------------— ~~J=l г («» k).
J У (а—х) (b - л) (с—х) F а— с
с
2> f Xdx______
‘ J к(а-х)(&-х)(с-х)
*> -» Г(а—х) (с—х)
= ^= [CF<<P. t)+(e-OE(<P. ад-зуL . —
г а— с г ®—х
Г_________dx________я
Л К(а^-х)3 (Ь—х) (с - х)
<* 2 1Г с—х
--- -{Г(ф- k)—Е(<р, *)Н у -г—
(д^Уас w’ а-сГ (а-х)(Ь-х^
I 23I.J 1 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ 69
А_________tfx________
4* i У (а — х) (& — хр (с — х)
! = гЧг^Т£(ф’ *>-;.......mV— F(<t’ к}-
(a — b)(b—c) (a — b) fa—с
с
C dx _
5’ J У(а^хР(Ь- х)'(с- х)
x
-тг^-~= l(«+* - 2c) £ (<f>. 4) - 2 (4 - с) F (<p. 4)| +
(a — b)r(b - c)t a—c
. 2 -ж / c - x
(a -b) (a—c) f (а—х^(Ь—хУ
‘ * f________Jx _ __ _______2(c_-fr)__x
i (p —х)У(а — x)(b — x) (c — x) (р — Ь)(р—с)Уа—с
XП;Ф, , 4) + -- 2 __F(Ф. 4) (₽te).
к p — c / (p—b)\ a—c
7. f P'S»' W x> ^-2f^[f (Ф, 4)-£(ф, 4)l + 21/(a ~^(‘-~A>.
J r (<s — xf^c—xf f и — л
г
c r__________ ...
8. С 1 ‘ —,l---dx^^\===-F^ k) — 2 Уа— cE fe)-b
J r a—x)(c—x) | a—c
+ 2 Г b-x
( lA-----------rfr = -2/r=^E(<p, +
J F (a—x)(b — x) ’ I b x
10.
C I/—dx=-^£(<p,
J f (а__х^цс_х) j a — c a — c r (a—x) (b — x)
f 1 /” C — X , _2 У a — c
J F (a-x)\b-x)C'X^ a-b
E (<p, k)—
--^”-Г=£(Ч>. 4)-2lZ
, (a —b) r a —c r
f 4)-£й, 4)J.
*8- j *’•
X
70.
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11.2 32.
14. |A(fL_^L_±>t/x=|/a-cl2(6-c)F(<p,fe)-|-
х
+ (2:~а-Ь)Е($, А)) + ’^ (a^-2b~2c~x}
& f v Л
15.
j | /а-с [(2Ь-а-с)Е(ф, k)-{b-c)F ft, k)] +
3 (<»+«—»
с-х}
X
I.
2.
16.
dx~ У а~ с [(2а—b—с) Е (<р, k) — (ft—с) F (ф, ЭД 4-
О
1.2.32. Интегралы вида
Ъ славно: а
— со
. а / а — с
Обозначения: ф--arcsin |/ — -
г а—х
а— с’
х
Г dx _ 2
.^^(а—x) (b — x)(c-x) rZa— c
*)-
— со
x)dx.
1 •
• dx 2
„ ю--------z. l-_-[F(<p, k)-Eft, ЭД.
V(a—x)1 (b - x) (c—x) (a— b) a — c
dx
, r.-r; ... = ------- £ (ф, ft) —
-co ~~ХУ <a — &) (b “C>
2
X
r,/ .» 2 i f c—x
___________F(<p, fe) 1/ —-----------—
(a—b) F a—c b—er (a—x)(b—x)
Г ________dx___________
Ю У \fL-x}{b—x)(c-xy
? ‘ 2
Ь — х
(x<cj.
5.
dx
(p—x) V (a—x) (b —x) (с—X)
2
(а—р)Ка—с
ф.
а—с
1.2.32 ]
I 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЁБРАИЧ. ФУНКЦИИ
71
6.
dx
' У (а—xY(b—x)f(c—x)
—оэ
2
= Кд + &-2с)Е(ф, k)-2(b-c)F(v, ^)1-
(b — с) (q —bY г а~^с
_______g_____
<a—b)(b—c) f (a-rx)(b—л)*
8.
9.
to.
12.
dx
Д ) (a —xX(fr—xY(c—xY
2
, v../ - *)-^ + fr-2;)EC₽, *)] +
(a—b)(b— с)3 К a—c
2(& + c-2x) , _
-------7 [X < Cl.
(b—cYl (a—x)(b~x)(c—x)
dx t
V [a — xY(b— x) (c — xy
2
---------------^[(25-а-с)£(ф, k)-(b-c}Fto, ЭД ~H
(a — b) (b — c) F (a-cp
dx
2
До I (a~xY(b — xY (c-*-xp (a — bY (b—cY V (a—cp
X[(& — c)(a-|-6—2c)F (>p. k)~ 2(c2-f-as-~d2—ab —ac— bc)£ (ф, &)]4~
2 [c (a — c)4b (a — ft) —x (2з —r —&)]
(a — b) (a — c) (b—cp V(a x) (b — x) (c —x)
.[x<c].
9
— oo
b — x7
9
dx= —-E (ф, k).
(a—x)3(c—x) J a—-c
с—х . 2> а—с 2(& —с) ..
-------------------- £ (ф, k)--Ь--7—^=5= F (ф, Л),
(a — xY(b—х) a—b---’ (a—b) V а— с
Л, ____1_ _
И/ а—х , 2 2) я—с- ,
/ -----------. dx = ___- F (ф, k)------Е (ф, k)4-
(&_х){с_х)з Уа-с
b — c
.2 (я— с)
b~c Y (а— х)(с—х)
b—x
[x<d-
. 2Ya — c .. na—b^f T~—x
dx- b—c £(ф’ 2Ь:-сУ (а-хЦЬ-х)'
X
13.
72
ГЛАВ I ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
U >33.
Г л Г ь~х
14. I I/ ------77---
J V (а—х)(с—х)’
—оо
= Т7^- [Fft>. k)-E(<f. 4)1+2 1/---*"*—
У а—с г (а—х)(с— х)
* ,-----------
15. 1 1/ -—-------.-т^Х—
J у (а—х)(6 —х)*
— 00
*>’+2/
1.2.33. И и тег р а л ы вида ^/?(Fx—а, Ух —bt V х—с, Ух—d) dx.
а
Условие: х> а> b > о d.
1/'(b — d)(K—a) (b — c) (a d)
Обозначения: ®=arcsm I/ , k= I/ ------г——+<•
r } (a — d)(x — by Г (a— c)(b —d)
X
. Г dx с гл
1- 1 -у ' ... ' —— = -+==========Г (ф, ki.
J У(х —a) (x —b) (x—c) (x—d) У (a — c)(b — di
2. f Xdx =
J V(x—a) (x—b) (x -c) (x—d)
=_=«Wcp. *0.
I (a—c)(b— d) L \ b—d } J
X
X f rfx =
J xK(x-«)(x—6)(x—c)(x—d)
2 С, чттГ b(a— d) ,1 , _z .Л
> Г’ ^o’ J+ <’• r
4. f . ________2_ _y
J (p—х)У(х—a)(x b)(x—c)(x—d) (р—а)(р — Ь)У(а—с)(Ь — Л)
х{(«-»>п[ф. *]+(/>-«)F«p. *>}.
_ C 1/ x^a i 2 (a—ft) Г / a—d Л e
5. I I/ ------------dx=-7T=i_.- Л—|П[ф, ——, k)—r(®, fe)|.
J V (x—b)(x- c)(x—d) У(а—c)(b—d)l \ b—d J J
a •
_ f-в/ x—b . 2 (a—b) „/ . a—d \
6. I I/----•--------dx—y __________П|<р, --. fcl.
3 F (x—a)(x—c)(x—d> V (a—c)(b—d) \ b—d /
1.2 33 J
1 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
х г-------—-------
7- J ]/ (х-и) (х-о)
а
°.-, 2>,r-^ha~t)n^-Р4 *>1.
) (a—c)(b—d)|_ \ 6 —d } |
X__________________________________________
а
-л С хГ х- а . %V (a—c)(h—,i)
°’ J V (x-feXx-cHr-d)^" {b-c){^d) E(№t к)
а
------^>.—Ft,. 4)_^_ /ЕйЭ,
[b —с) V (a—c)(b—d) c—d г (х —b)(x—с)
11. fl/"----------------dx=
J F (x-b)(x-c)(x-d)*°*
A
— 2 >/"a—c r. 2 A(x —aifx—c)
c—d? b—d'^’ dV (t— b)(x— d)‘
_______-|/z'(x-a)(v^c)
J F (x—a) (x—c)(x—d)1 (a—d) (c—rf) F (x—fcMx-d)^
х—Ь
2<a~b} ,gf<r tlp-tQ
(ft—d)F(ft-c)(b—d) ’ ‘ (ft-d)(c-d) Ф’ )'
(x—ft) (x—c)‘ (x—d)
x—b
2 -^Tb-d
X — c
2
(x—a)(x— *)a(x—d)dx a~b к b—dE^
X ____________~
i 1 (x—«) (x—b) (X—
2 I/ a—c .. _ . , 2 -» / (x—g)(x—e)
a—d F b— Л) £(<P> ЭД+Д_ df (x— b)(x—d)
74
ГЛ4ВЧ ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[I 2.3<
16. i 1/". .-7- =
J F (r — a)(t — Ь)-*(хс)
=£ (ф, k) - ——2(<; j f (7, k\
(a — b) (b e) (b — c) > (a—c) (b — d)
(x—a)(v—b)(x -c?dx
2 if b—dlp .. 2 if (r — a) (x d)
b— ср a—c ^^”a—сТ (к — £>)(x— c)’
1.2.34. Интегралы вида x, fx— bt У x—c, ) x — d) dx.
A
Ъ c iob u a> x~> b> о d
т/"(/> — d){a — x) , -uf (a b)(" d)
Обозначения q; = arcsin 1/ 3----dA-' 6=1/ '-—т-t
Г (a-&)(x-df F (3-c)(b-d)
a
(*_________xdx
J I (a — л) (x - Z>) tx—c) (x - d)
_ 2 Г f Ь-a л t 1
k]+d^- «]•
(. , --------------F(T,
<’ F (a- x) (i — 6) (t—c) (x—d) F ja—c)(b—d)
f.........- rfc , I .
J t| (a-*0(t-Z>)(t-t)(x—d)
— .. V-. ... -Gd —а)пГф, ——— fcl+aFfq;,
adV (a-5)(6-J)C t a&-dy | ™ J*
a
Г dx 2 I
i. I -------- . - ----— --------------“------- I , x
J (r?—a.) F (a—t) (i, b)(x—c)(x — d) (p — a) (p — d) V (a — t) (b — d)
x|(a —d)II^, Л4(Р — a)F(<p, [₽/a]
I* I (b — d)(p — a) J J
П \v,7T~l,k} A>T
. k b-d / |
—=4==l(d-a)n/'<l>, Ak}^{b-d)F(<f, *)1.
I {a—c)(b—d)|_ \ b— d / ]
1 2 31 1
12 СТЕПЕННАЯ И ТЛГЕБРМ1Ч ФУНКЦИИ
75
f Vfc-xf(x-ft)(x- d)dx
X
«= -----—t- - I (а-d) П (ф,
К (а—Д) (ft — d)L \ ft — d
ftj4-(d—с)Г(ф, ft) j.
a
x d
. 2(a — d) „ ! b—a _\
a r= r- — —г П. ®, -----------, ft).
(a — x) (x — b)(x — с) у (a — c)(b — d) \ b — d j
I
. 2 »/ a c .. ,
dx = I/ — £(ф, ft) +
c—br b—d
+ -- ?/(«--*) —
b—c у (r — b)(x- d)
[x>b].
Г - Г a—x! 2 V(a —t)(ft-lrf) „ t
10. I 1/ — .y-------<y;---~zdx ——.? - xj. 7 E (ф, ft) —
J F (x — ft) (x—tp(x d) (b—c)(c—d)
x
---------. F(T
(c—d)V (a—c) (b — d) b—cr (x—c)(\—d)
a__________________ ___________
,E ) Г (x-b)(x-c)(x-d^dx=^dyrb^diF (4>’
x t
i
» a_________________
12. С TГ----X -~^ —-dx=
J F (a—x)(x — cY(x — d)
X
2 if b—d 2 / (a-\)(v- ft)
= ^dV (Т-ЕЙГ^Г)
13. f yf--------—-------dx=
J V (a-x)(x-c)(x-dy
x
-----f(lp. *).
(a-d)(c-d)( (c-d) V(a-c) (b-d)
a
X—C
--------------dx^
(a-x)(x — byt(x — d)
/ V£ «₽•
76
ПИВА Г’ЕРВХЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ШПЕ1Г\ЛЫ
fl.2 33.
а ________________
«с f I / r d , 2 (а — d> и
16. I Г -------------d>:=-------\=====F(fp, k) —
J ' (It—x)(x — —c) (a — b)}(a—c)(b—d)
л
2У(а-<ЦЬ -d) , 2(b — d) ^/(a^xjfx ~0
(/- b)(b — c) 'b *' ‘ (a — b)(b—c) | (x—b)(x—d)
(X>4-
X
==_2 1Гb>- 2(C~ d} 1Z1 (t'~^
b — c f (fl_r)(6-c) f (x-e)(x-d)*
* I i j
tr *
1.2.35. Интегралы вида |/?Уа — x, Ух—b, Ух—с, Ух — d) dx.
, ь
Усл« вис- в 2? х > & > с > d.
Обозначения: q>= агсчп |Z—~i, ft=lZ
Г (a —£)(x—с) Г (a~c)(b~d)
C 2 г / /л
• I Гл'У —. — — -7~—- F (ф, k).
•’ У (a—x)(x-z>) (1 -c)(v-d) > (a—c) (b—d)
, Г__________xdr____________
J У (a—X) (x- b) (x. - cj (x ~d) | Г
= •-=.. 2 : : r | (Ь —С) И (ф, —- , 4- CF (ф, »1.
F (a—c)(b— d)L \ a—с / I
zf *
, Г__________dx______________
J xV (a—x) (x —jb) (x"- c) (x—d)
0
=------=J—= J(c-6) П к -(g~. *1+ bF (Ф, fe)k
be I (z — c) (b—d) I |_ b(a — c) | j
* л
i C ____________dx__________________________2____ .
J (v —p) У (а- x) (x— Ь) (x — c) (x — d) (Ь—р)(р—с)У (e c)(b d)
x|»-0o[*. *]+(₽-»И<ф. *>}
'' J I (£-6)(x-0(* -<0<te=
2 _ л , -—f. *]+(в-сИ(<₽> *>]•
> (a-cHb~d)l \ a-fc / I
f 1Г x-b ___________2(b~£L^ Ink
J r (a—x)(x—c)(x—d) У(а—c)(&—d)L \
a- b
a—c*
L2 35 J 12 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРЛИЧ ФУНКЦИИ
77
Г 1Г х - с 2 (а с) > а - b . \
I I/-------------dx—~~----—— Н.ф» -- Л). »
г (а—х} (v-b) (x d) | (а —с) (b — d) \ а—с* }
ь
) V(а- (»-<)*'
ь ,
=. -?^==[ (&-с)п ^ф. а—, (с—а)А(<р, k)
I (а—с) (6 —rf)L «- с
J <X-W<X
(ф. Ч.
(b— с)(с — d) (с—d)ty (а—с) (b—d)
Н* f (х — b) (х - с) (к - d)<dx “
12.
f |// (a—x)3(x —c)(x—d)rfx
b
__2 j <EI? rita -9/(x- b)ix~d)
d—a r a—c (a x)(x—c)’
X ______________________ ,________________
13. f 1/ —- --------------7dx=-^—, 1/ —^|Г(<р» fc>—£(<P, fe)b
J r (a—x) (t—c)^(x—d) c—d Г a—er " w n
b
14.
X I(o-c) (b-d) E(<p, k)-(a-d)(b-c)F^, fc)J
2 ।/ (a - x\{x—b)
a — dy (X — c) (t—d)’
15. i --------—--------dx=--------2^=C\==-F(^ /)-
J r (a — xp(x — b)(x—d) (a — b) J- \a -c)(b — d)
b
2У (a-c)lb-d) 2(a-c) у/ (x-b)(x d)
(a—b)(a—d) (a — b)(a—d) r (a—x)(x-c)
[*<«).
78
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕ1 РАЛЫ
(1.2 46.
,в' J V *)(»—!>) (ж—<0,Л:
П. J *Ь/»
b
1.2.36. Интегралы вида |/?(Ка—х, Уь—х, ^х—с, Yx—d)dx
х
Условие: a>b>x>c>d.
(b—c)(a — d)
(a~c)(b—d)‘
л/Xa~c)(b—x)
Обозначения: ф = arcsin*1/ -
Г (6-с) (а-л)’
ь
(* dx 2 _ . ,.
1 —- .-. —- -„. — — - = . - - -F (g>, k).
J У (a—x)(b —x)(x—c)(x —d) V(a—c)(6 — d)
, C___________xdx_________
* J V (a-x) (b—x) (x-c) (x-d)
- -^-2-------Г(6-а)п/ф, —, jA+oFfr, *)1.
И (a — c)(b~ d)L \ a—c / J
b
t C dx __
J x Г (a—x|Tb—x) (x - c)<x ~ d) |
Jb
=-----. 2 _ Л(д-6)пГф, k)\.
ab V (a—c) (b~d)\ b(a—c) J $ * A
b
Г_________ dx_____________ ____________2___________
J (p—x) Г |й—X) (b-x) (x-c) (x-S) (p—a) (p — b) K(a — 0 {b—d)
X
Ц^-?2,*|+(р-»)Р(Ф.*)}
. 2(«-b) b-c A
dx=- . П Ф, ---, k .
V (a—c)(b—d) \ a—c /
b— x
(a—x)J(x—c)(x-J)
______2(o — b) _
dx~V{a^c) (b~d.
k\-F(4., ft)
a—c j
ь__________________
7*J J (а-x) (b — x) (x—d)^”” :
X
= , t2-—=[(6—a)ni%. *j + (e—с)^(ф, ft)
Z)(b-d)t Д a-£ J, .
J 2 36 1
1 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
b ________________
e* f Г (a—xj(b—x)(x—c)dx~~ *
X
2 Г f b — c \ 1
,и (»• —. *)+(«-<о^(ф. *)]•
’• J if(Ь -X) (х-х)> (х -Я> ” (fr-c) ~(Ь -f)F
X к
2K(a-c)(t-<0 , 2(а—с) ~.f (t,-x)(x-<Q
z с)(с—d) 1 (Ь-с>(с-а> V (а-х)(х-с) 1
ь_________________
10. f I't?--ГТ~—Т7----
J Г (о-х)(х —с)(х —<ф
X t
= 2?_,1/’^г(ф м 8(»~<0
c—d у b—d (b — d)(c —d) у (a—x)(x—d)‘
1L f (a-x)^ (x- c)(x-d)dX E
12. 1 I/ ---? - r—-----
. J r (a — x)(x—c)»(x—(i)
x
= 1/'~ £ (Ф, k) +-l/,( — fx>d*
d—с у a—c T c—d у (a—x)(x—c)
ь _______
1& f 1/ ---- А Д-- itidx=
J F (a—x)(x—c)(x—d>‘
X
----—-----Л====[(<|-г)(6-<0Е(Ф, »)-(a-6)(c-d)F(<p. ВД-
(a—d) (c—d) у (a~—c) (b—d)
‘ -я /r(b—x)(x—cj
c—d у (a—x)(x—d)’
§ P (a—x)‘(b—x)(x—dfdx=a
^JSES3E(v,k}--------.гсф.»).
(a—b) (a—d} (a—d)V (a—c) (b—d)
J (a^x) (b —x) (x—dfdx=“ {
8-Э
1.1ЛВ\ ПЕРСИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(I 2.3Г.
Ь___________________________________________________
к
b ------------------- --------------
17. [ 1/ ---- (ф> й)-Е(ф, fe)|4-
J у (а —х)(Ь —х)(х —01 Ь—с у а—с 'т ’ ‘
х
2 t/~0-x)(x-d)
Ь—с у (а—х)(х—с)
1.2.37. Интегралы вида ^А?(Уд—х, У&—.г, Ух — с, Ух—rfjrfx.
с
Усю^ае: a>b'.x'>od. |
rvr • 1 ^(5—rf)(v -с) . -л/~(Ь — с)(а J)
Обозначения: q> = arcsm 1 ' 6=1/;----
I (6 -e)(x-rf>* Г <a-00-d)
x * I
C d* 2 „, ,ч
• I T=-— .. -.- ~ F (ф, k).
•» I (e— x)(b—хЦх—e)(x — rf) У(a—c)(b — d)
<
C__________xdx__________
J F (a—хГ(^—(х~-^ёГ(х — rfj
c
2
= Г7=^:=йi<c-d)гЛ- k}+dF<4’ *>]•
I (a — c)(b— J)F \ b~d / J
У «
dx 1
xy (a—x)0 — x)(x —c)(x--rf)
= —7=X^-[(rf-c)nL, feVcFft, £)).
erf | (л-l)0— rf) I ( c(b — d) J J
4 C__________dx___________________2_______
} (p—x) V(a г- x)(b - x) (x о (x — d) (p — c) (p — d) \/ (a - c) (b — d) *
c
X f(c-rf)n |<p, JL1-^+(р-0Е(ф, fe)j (p^c].
* f (x -e> (F-rfj l‘X
c
= г-!=А====Ги-^П (<t, к\+(а-<Г)Р(Ч, 4)1.
I (a - c)0—rf)|_ \ b—d / J
П/ b x
' -1---\---TT-»
(a — x)(x - <)(x—d)
c
1=-==4^=4Г(<г-4п(ф. Ьт=^. *}+(!>-№ ft, 4)1.
F(a-00 — rf)[ \ b — d / J
j.2.37.} 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ 81
7. с /.——;л=^-^=гп(Ф.
J г (а—х)(Ь — х)(х —d) У(а—с)(&—d)l \ b—d } J
о Г лГ x—d Г. 2(c—d) f b—c Д
(a—x)(b-x)(x—c) Т (а— с) (b—d) v b—d /
Л f (b-xy(x~c)(x-d)dx=zF—~c b^d\F^' —*>1 +
c
_i_ 2 1 Г(а-х)(х^€)
b — cf (b— x)(x—^
X --------------- t--------------
П/ fl — X , 2 1/ fl —
^x)(x-c)ix-dfdX~ c-df b-dEto'
c
V________________
11. f 1/ у —ту-у—"V7-Ji dx=? ’•
J I (a—xHU—t)(x—d)
c
1/"— [F (ф, k)—E (ф, /г)Н—— 1/
a —dr a—cl w 7 v T a— cr (a—x)(x—d)
12. I I/ -—------dx^-------ет===Х
F (a—x)(x— c)(x—df (a—d)(f:—d)l {a—c)(b—d)
X[(a—c)(b—d)E(fp, k)—(a—j)(c—d)F($, ЭД.
ta Cl Г x c av — 2И(а—€)(&—d> z
J f (a—xY{»-x)(x—d) (a—b)(a—d)
-----2 (c~^. ...^ F (q>, k)-- ДГ( --X).
(a—d) У (a—c) (b—d) a—b F (a—x, (x—d)
M- J V*)+
. 2 'l/'(g —Vv(x —cj
"га-6Г (b-x)X-d)'
> [ ____________ ।'
16 j (fl~(b—x) (x—c) dx~
_ 2' M 2 (fl -rf) t Д& - xj (-V-4
<a-b)(a-c)V (a-x)(x-d)'
62 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {1.2.38.
17- I ------~~------dx --- = F (ф, k) —
. J г (а—х) (Л — х)’(х —с) (Ь — с)F (а—c)(b — d)
(а—6)(Ь—с) Г (Ь— х)(х—d) |
С
1.2.38. Интегралы вида х, V b—x, Ve x, Vx—d)dx.
Условие: «>fe>с >х >*d.
Обозначения: <jp = aresin j/^
T f (c—d) (b—x) F (a-c)(b-d)’
1 f d* 4= 2 p ( k\
J У (a—x)(b —x)(e—x)(x —d) ' И(«—с)(6 — ф
c
л f xdx 2
2 . I — . - ..— . - — —— — x
J I7 (a — x)(& — x)(c—x)(x—d) } (a—c) (b—d)
x
. I k)+bF(<f, »)].
s C_________<?x____________=
J x F(a—x)(b—x>(c—x)(x— d) *
* ' «= 1 -= ((& -с) П L , Л-j-cF (ф, *)T
be F(a—c) (b—d) ( [ c(b—d) J f‘
* !
4 C____________dx_______________________2_________
J (p—x) V(a^-Wb~—xj (c—x) (x—d) (p — b)(p—c) У (jd^)(b—d) X
«• t
X |(C—Ь) П ^Ф, , fcj +(p—C) F (Ф, [p^c].
5* I (&—«) (c—x) (x—d)dX'~
X
2 Г / c___d \ T
ТИ-С>0-4>Г~ОП(У- ITi’ *>}
> 4
6. С 1Л-----— ------dx= 2(h~cl—-п(ф, Л.
J r (a—x) (c—x)(x—d) V (a—c)(b~d^ V b—d /
_ ft/* €—x . 2(b—c) c—d ,\ „ 1
x ) V (a-x/оГх)rrd- *)-F^ *>]•
1.2-38 j 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ 83
„ С -» / x^d—
8. I I/ 7---ГТ?--77—•—rdx =
J У (а—х)(Ь—х)(с—х)
х
2 Г f • X Т
“ vT===ra==71hc-*)n (’’• *]+P-<DF(Ф. « •
‘ у (a — c)(b—d)| \ b—d / J
л f i / a—x , 2 ~t Г a—с „,
9‘ J Г (b-xY(c-x)(x-d)dx~b^c Г b^dE®>
10. f 1' Р—-TT^ -Vz—
J J &—х)(с—х)(х—d)‘
х
+ Л. т/<»-*>(?-*) (, > fl.
тс-4 (&-x)(x-d)
с *--------------1--- I
£ Г7------ГГГ—~Г7---7л dx^
J У (a—x)l(c — x)(x — d)
х
= 2 1 /~г (т м___________2(а-Ь) /*(c-r)(x2 d)
a—dy а—с w> ' (а—с)(а — d) у (а—х)(Ь — х)'
е____________________
12. С 1/ ----
J У (а—х)(с—х)(х— d)}
X *'
=-----—---- f - ^=-=^-^-77 [(6 - е) (а - d) F (ф, fe) - (а - е) (6 - d) Е (ф, ЭД +
(а—d) (с—d) V (а — с) (b — d) _
' \ 2(ь~^ 1Л(а_^А) ffx > <л.
(а—d) (с—d) у (b— х)(х — d)
13 f 1 ‘ ' с-х~ ~ __2У(Т- с) (Ь~ d)-F( k)__
1л J I (a-xy(b-x)(x-d) Х~ (a — b)(a—dj
---------.=. -г(ф.
(a — b) I (a—c)(b — d) a—dr (a—x)(b— x)
j i /:-d *-e®’ f
____±-----------dx==
(a—x) (b — x) (x —dy
b-dE'®’® •< (&-x)(x-d)j
(x>d].
84
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11.2-39.
J V (а—х)ЧЬ —х)(с—х)^
. С 1/~———*L dx=
J У (а-х)(&-х^(с-х) • - -
X
2У>« — с) (5 и.} „, .. 2 (a —d) г ..
=--------'---- £ (ф, М------р (ф, k).
(a—b)(b —С) (а — Ь) J (a—c)(b—d)
£ <
Л ___ _____ ,
1.2.39. Интегралы вида ^/?(Уа—х, Уь — х, Ус—х, }^x—d)Jx.
d
Условие: o>b>f5 x?y>d.
. ъ*/~(а — с) (x—d) . i Г (a— b) (c—d)
Обозначения: ф^агсзт^--^—, k=ty
. С - . ,- - - -v-—— = 2 - - F (ф, k).
J У (a —x)(b — х)(с—x)(x—d) V (a—c) (b—d)
О
> f Xc‘x_________________
* J У (a - X) (6 - X) (c - -V) (X - d)
Л
= -7^=4=г===Г(<«-о)п(ф, k\+aF(<f, 4)1
У (a—c)(fe—d)t к a—c / J
x
, Г dx _
J x у (a—x) (fo - x) (c—x) (X—4
«—^=Х=/(л-<опГф, —t *1+аР(ф, А-Д.
adl' (a—c)(b—d) I d(a—c) J J
I. f _ _________2 , V
(p—x)V(a—x) (b -x) (c—x) (x—d) (o- a) (p—d) V (a—c) (b—d)
x{«J-<on[v. 4)|
fl/ a —x . ~ , 2 (a—(I) „/ d—c \
I I/ -----------------dx= П! <p, ----, fc).
3 r (b— x)(c—x)(x— d) V(a—c)(b—d) \ a—c /
f (a~x)(c-x)(x-d)dx
d
_____ 2 .....[<«-rf)n(y. —. (Ф. 4)
У (a—c)(b—d)|_ X л— c J
1.2,39.] . 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
85
!j (a—x)(b—x)(x—d)‘b
.= гз==^=5;Г(а-<0п(т. —. Й-(а-ОР(». *>
г («—c)(b —d)L \ а—с /
8.
(в—х>(д—х)(с—х)
x—d
2(d—а) Г' d—c '
И(а—c)(b — d)\_ a—c t
d
___?_-|/Г«Еа£й|> H 2Й-») -./Чх-лнс-х)
b—c f b~d w’ ’ <»-c)(6-d)r (a-x)(l>—x)
t * *
i
П/ a—x ‘ , 2 (a—d) ..
/ ---------------dx=-----F (ф, £)—
(b—x)(c —xP(x—d) (c—d)I (в—c)(&—d)
d> M+2 . ?"c________-l/gESSES lx<c]
2 0-c)(c-d) W* *'+2(&-c)(c-d)r (л-х)(с-х)
IE f V <a-xp (c-x) (xa- d VT^c £ (<P’
d
x _______. . - - - ____-
,2- J k>-E^’ *«+
+ 2 тЛгЗиЕ® „.<*
c— d F (a—x)(c—X)
X--------------------
t3* f 1Z {a—x^{b—x)(x—d)dx~‘
a
e(ф, k)------2(b-c) F
(a — b)(a—d) (a—b) У (a—c) (b—d)
14. f -------.-7f • %гт ±s.dx—
J F (a—x)(b—xy’(x—d)
d
2 i/ a—c rf? . 2 -i/"(c—x)(x—d)
= ~ Г |/ T A [F («Р» k) — E(^, ; I/ J--V77 -r.
a — bf b—d1 T ' . . w b—d F (a—x)(b—x)
X ___________________
15. f iZ..... -----dx^=— (ф, k)-E (Ф, fe)J.
J F (а—х^(Ь — x)(c—x) a—b f a—cv w / v
86
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
П 2 40
is С x—d 21 (а —с) (b — d) с
J г (а—х)(Ь—л)*(с-х) ~ (а — b)(b — с)
d
-______„}л.Л- -|/
(a—b)V(a—c)(b—d) b~cf (а —л)(Ь — л)
”• У V 1
в^2 1/О£(ф j)+2f№«
Ь—с г а—с ' b—c у (а—х)(с—л)
d ,_____________ ।
1.2.40. И нте гр а лы б и да Ч К&—х» Кс—х, К d*~x)dx.
X
Условие. a'^b>cZ>d'> х |
г\л Т Г(а~0(d —v) l Г(Ъ- i) (a — d)
Обозначения Ф—arcsin I/ k— I/ 5--'
т F (a—d)(c — х) ’ f (а —с) (b—d)
d I
(• dx 2 1 *
. I -7^= - c~---------- =----=4-= Г (<p, k)
J V (a—x) (b—x) (c—x) (d—X) I- (a—c) (o — d)
d
a dx
— x)(c — x)(d — x) g
2
a & Л — (c — d)F(«p, fc)l.
____________ сП 'ф, ----
P ( —c)(b — d]L \ а—с
И
d
t
dx
‘x yr(a—x) (b —x) (c—x) (d—x)
2 ( .. т, Г c (a—d)
~ cd I/ ta^c\ (b—d\ 6C~ LT’ <Ца—c)
_________d*__________________________ _ x
(p—x) /^xjT(b—x) (c—x) (d—x) (p—() (p—d) /(а-c) (b — d)
x {(4-С)п[ф, *]+<'’-‘Wf- *»}
IP-£</].
d - _______________
5 V (b—x)(c—x)(d—x) dX=*
X r f —d \
«= 2 -—-J(c—d) П (<p, —-» k )+(a— c) F(tp, k)
V(a-c)(b-d) L \ a-c )
12 4'*j 12 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ Ф> НКЦИИ
87
) J (а—л) (с —х) (d — г) d*
х
=,- ^-к-фиГф, ^1, ?>+ (*_,)Г(ф, 4)1.
У (а- с) (b — d) L \ а с / J
а ______________
( 1/___________ас=. 2£Л--пЬ,^, й.
J г (а—x)(b—x)(d—x) У(а—c)(t>—d) \ а—с J
2(с —d) Г„/ a — d Л Р. ,Д
— -I ~=^-~=— П <р, -------, k — Г(ф, £П.
К(1—c)(b — d) [ V а~с / J
d -----------------
к I а — л
j I 1&^ф(с-х)(5-0 -
2 лГа~с tn/ t.\ tn «.н I 2 * l/~(« ——4
~b— V b-d^'V £(<₽’ W+b-dV (b-x)(c-y'
10. f 1A-----гг~}гй---
X
2V(a—c)(b — d) a — b 2
- 1----S L. E (ф> k) -—T=— r (Ф» k)
(b^-c)(c—d)-------------------b—c (a—c)$ — d)
d —
1L j 1 (a — (c — r) (d — ’) dv s
“г^й Vb^F
d _________________• ___
w Cl/" b~~x 2 «.4
J r (a — 4) (c—x)i{d—t) X c—df a—cF^
a_______________
f 1/----£^___rfx=-------LC-jQ ....е(ъ k}
J Г (a—xy(b—4(d—x) (a —d) v (a—c)(6—d)
2K(a-c)(b d)
(a — b) (a — d)
£(<p, *) +
2(a-c) л Л(b -x)(d-x)
(a — b)(a—d) f (t—x)(c—
— 2 l/~a~c Ci «
a- b V b—d E^>t
2 (b—c) 1/‘(a-r)(d-x)
(a~b) (b — d) f (b—x) (c—x) *
88
ГЛ IB А ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
fl 2.41.
*5. I 1/~ "7-ггтг—~Т7-r-dx =
.* у (a—x)*(b—x)(c-v>
X
= _2_1АНС(Ф й+_2_1/?Н>Й70
b-a V а-с (<р’ *, + e-J (а-лНс-х)’
«с Г 1Л d х 2) (a -с) {b—d) г,,
J F (а—х)(Ь — х)\с—х) (a — b)(b—c) '
X
------ 2 <с - <!>-F (ф, k) —?-1/ E3SE3.
(о-c)l (a -c)(b — d) a-bf (&—х)(с—х)
d________________________________
17. ( I/ ----dx = ]/[F(<р, k)—E(Ф, ЭД.
J Г (л—х) (о— х) (с—хр Ь—с у а—с **
х
1.2.41. Интегра ты вида £ х® (ха jta3)arl/2
... *... -—_____ zf ______У ‘ " 1 хп 2 (х2 д2\«+1/а хх
т | 2n i 2 4 т , 2г -2 J Х (
2.
X
m—1
v3"*+2
fe=l
(x2 « ay+32
2n4-2m-i-2
_(2m-l)(2mr3) (2т-2*4-П х
2fe(m-i -I) (т^_п_i j)
пи---------?S-m ________ C as -t-
> 2m(n ^-m-pi)(n-i m) (n-}-2) J K '
x2m41 (X3 -j- a2^«rl 2 Jx —
fm\('K &\m *(v2 I C2)»u»a/«
Zd \k) 2n Ь2>4-3
C i (хл »- a2l"+3/a
4. I X (t* F dx = { -----
J 2n+3
- f 2(n + i) - 2(«4-l) J <•
_ x(x2 « a2)* 2
“ 2«+2 X
fc=l
(Н)" 1
1 2 42 )
12 ОСИПШАЯ И А<11 ЕЬРАИЧ ФУНКЦИИ
89
7.
. (г2 » а-)А 2
dx~ 2ут+1)
V , гП» <2« - I) (2* -3) (2-» - 2к -I I) а t
' 2*т (т — 1) (m — k г1)
k= 1
8.
(v2 ta«)v>dx = х(х* * «2)1/“ •
п„, д2от<2т 1)1*
' 2«»(м НУ
» I»1 l* + (*2
*
I
9. Г х (х2 jr д-)1/2 dx = * (х2 ±. а2)2 3.
Л о
10. § х2 (л2 J а2)1 2 dx =
«*= ! r(»2 *й2)3 2 4 aQ r(x2 fra2)1'3 —
4 о о
И. С х3 (Vs а2)1/2<1х = * (х2 J. а2)5 2 ч (х2 L а2)3 а.
Л & о
IX J (х2 ьа*/3 2dx =
— х (i2 ± а*)*!2 ± | а2х (л2 ± а2)172 -J- a* In {х+(х2 _t а2)17* j.
13. f х (х2 fc a2)®'2 dx = 1 (X2 а2)6/3.
Л о
14.
6
5 2_fl2
4 21
* l
lb
a”
lb
15.
7
5
X
1.2.42. Интегралы вида | a—^__
fl/2 . (x2 +a-)aii 3 2n — m^-i /
4 (m — l)a2xm l~ (m—))&.- J
x2 i д2)аДз 2n — I f (x2 A a-f 1 г
(m—1) t,H 1 ’ m—1 J л™ 2 М
f (x2 4 e')®+1/2 _ (x2 _t a*)4’4/11
j xin ~4 (2m—1) a2 X
m—1
J____, V (Tl)fe2ft(m—n—2)(m—д—3) .. (m—д—fe—1) 1
x2m 1 ' (2m—3) (2fli—5) (2m —2fe? l)a2* x2« 2* 1
, (ч ly» 2» (m—«—2)(m—«—3) ..(— n)y— n—
dx.
Xя*
Xя* 2
aim (2m—1)1!
l«+12dx
90 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1 2 42.
т—п —2
(л‘ ь а )п 3,2
g. а1) т я 1 х-ЛЪ{
(- D*
(т—п — 2' I (х* ь а3\*
\ k / 2л~г2^4-3 v /
(г3 »- а2)**1/2
(m > n -J- 2j.
(2л4-1)(<2 + a3)" k 12
((2л —2ty3—IJx1» -* 1
+ (2/»4-1)
(х2 А а2)1*2^.
С (х2 • я2)” 1 2 ,
I ------;---------ах—
1 д2Л> 1
(х2 •- а’)я 3 г
2n—2m 4-Г
(2л-2т+0(2л—2/»4-3) (2я —2n-|-2fe—1)
2*m (т — 1) (т — k 4-1> а-к xim 3* *3
(2л 2m | 3)(2n- 2m 4-5)
(t3 » а2)я+1 2
------r-----i—dx.
8.
(r i a ,n lli ,
-----------------a v =
ly (« a2)fr (x2 ь а2)* *+1/2
In — 2/?4-l
H * bna *+I ’
I аг
I
„ i i
n
V x — a
V i3 j-a
a I *
v I
In
arccos
a
(x- a-)1 2 (x1 ъ a )1/2
“ ’ ’ (XA ~ "
X- X
1 2
IO. f ‘_°8>
J xJ
2t-
2a
In
art tos
X
a
x
rfx =
= * (x2 ± a3)^2 t a2 (x2 + a2)1/2
«5
j as
In
arctjs
X
a
x
(X2 ь G°)3 2 J
------------—
X
(V b a2)3 2 . 3
-----------x------+ 2
1 2 43)
12 €1 [.ПЕННАЯ И АЛПЬРАИЧ ФУНКЦИИ
91
Л 2
13.
х1
1 2
14.
(a2 » as
2xJ
. л-)я,1/г
—гг;-----dx =
s(x!io2)w_^
In
х
1л I
I
X I
п
15.
1.2.43. Интегралы вида
1 /х2 t _г2\Я-&т1/2
в— Aw 2п — 2А+1 \ xi j
* = о
* а2)*П/2 _ _ (X2 А в2)Я43'4 /
х2"4* ах — (2д4-3) а2х24ы ’ —
х® dx
. „9\Я 1 2*
2.
хт dx ____ — а® 1 т — 1
(х3 X д2)я *1/2 ~ (2л —1)(х2 ± о2)" 1/2 2п — 1
_ х®41 ь 2л—т-2 Г хт dx
~ ± (2я—1)л2(х22 а3)"'1 8 “ (2л —1) а2 J (х^ J- л2)" 1/2‘
_ X®1 _(Л1— 1)л- Г* Xм 2dx
“ (т -2п) (х3 ± а3)ж‘1/2 4 т^2л~ * (x2_t аг)"11/2’
х2® dx _ х2®11 f^x2 ♦ а2
(x2 2 а2)я+1/2 “ (2л —1) л2
п — 1
— а® 1
х® 2dx
9. 2 2
(л2_»_а2)" г
л— 1
(» 1)" 2" (л —m— 1)(л — т — 2)
+ л2я(2л —1)»1
я—т—1
2fe (п — т— 1) (п — т — 2) (n — m — k) a~2k
(2п—3) (2л — 5) (2n—2k — 1) а3У
х2® dx
5.
л — tn—
m+ktl 2
2тН-2Л4-Ц k
[я>т + 1]
X X2® 1
х2т dx Vx2 • л2
72 « а3 ~ 2т
“?'<Л l^^-Dgm-S) (2m-2»+l) „ а ,1
2k(m -1)(т —2) (m — k)
к = 1
(2т— 1)М
2«/л»
f а3” 2rfx __________X2" 1___________
' (х2 х л3)"41/8 “ “ (2л -1) а2 (х2 х а2)*-178 ‘
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТ! ГРАДЫ (1 2 44.
т
f A2",f,dx __ V t___ А а~т *
3 (г- « ал)п 1/2 \к ) (2п -26—1) (л2 _t а2)”-*-1 2
Г dx_______________________ х____________ 2л —2 С dx
3 (г3 » а-)п"Х/2 “ (2я Ьл®(л2 ьл2)""1^ 41 (2л—1) а2 3 (г±а2Л1/2’
Г dx_________*- х (х- *- а2)1/2
3 (г2 • й2)в+1'2 ~ (2л—1)а3
I____ . У ( „h> 2*(я-1Нл-2)...(л-£)_____________________1
(х* to2)’ г (2д — 3)к2л —5) (2n-2k — !>' а-’*(\2 fce2)« * *
L. fc =1
п —I
1У» У (—1)* Г/1-lW X2 \*ч!/2
л3» Z* 2£-г1 \ Ь Дх2 » а2/
!=0
12. f xdx ______________________________!___________
3 (г- » о-)Л41/2 (2n-1) (г2 * О2)л1/2*
,3- \-----"~ЛД = In J г 4- (г2 _t д-)1/21.
J (Г- » а2/7*
14 С _—I£S_— — (х2 t а£)1/Ъ.
3 (л2 ь н1'2
«е f t2rf' *(х2 1 fl2)1/8 _ | „ „Д/2
,S- -2 * 2 Mx+^-roV4..
|в- ( —-^T7?-= * (*2 * fl2)3?2
J (r2 * а2)1/3 3 ' K
---------+!n lx+ (X2 ± a2)1'2!.
(f2 fr a3f/2
v1 dx _ x- * ?a2
(a2 i a j3 2 (r3 •
1.2.44. Интегразы вида t------------------•• -
J X® (X2 L u3)n 1/8
P dx ______________ z
3 xm(x- ь
1 m \-2n — 2 P dr_____________
~~ ± (2n - i>a2x«i-i (x2 t o2f 1/2 * (2я - 1)й2 J xm (x3 i а3у»-1Л
__ — I m -j- 1 P________dr________
~ (2л — 1) tm 1 (x2 t аг/"1/2 2л — 1 J xm+2 (v ± q2)b-1/8 ’
1 ° 45 J
12 СТЕШ ИН ХЯ И ХЛГЕЕР4ИЧ ФУНКЦИИ
____________—1 2n — 1 Г dx.
(m — 1)х« 1 (\2 *-аа)" 1/3 m—1 J х,п •*(х2±а2)я 3^г
dx ________
л2*'' (л2 J? а2)г 1 2
tn + 1~ I
__( » 1)пг’я (—l)fe //«4-Л—|W t2 Y лг+1/2
aL-n in 2k -2т -1 \ к ] \х2 t а2]
i ~=0
Z —1
dx \ ______________(< l)fe 1___________________
х (х2 х а2)'1 1 * ~ (2я - 2£— 1) д2* 2 (х2 L в2>,,-л lf‘
(• ])« ‘
и-п i
6.
dx ________ J
к (л2 л а2)1 2 а
fin
I
>
far
_______х _____
л-Нл24 йз]Г?
I « I
С(Г* J
х I
агссо<
7.
8.
arccos
10.
£ dx _ 1_____________1
J х (х2 t й~)л г ~~ а3 (V2 » а2)172 а3
Г________dr______________2х2 » а2
J Г-(\а » a2;32 cflx (Л2 х fl2)1/2 *
i dr _____________
J х*(х2_» a2)3'2
_ 1__________________
2a2v2 (r3 » a2)lf2
1.2.45. Интеi ралы вида > -----------------------, I ---------------—.
J (х4-&/*р v2 » a2 J (%2 J l2) |/.х2хл*
J' x- • a2
(x+by* 1
— (2n—3) I f---------^£___ _ -г (л - 2) (--------
3 tx+&)“ J V x2 _* fl2 J (л -}-Ь)я 2V x2 ± a3
М ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1.2.45.
а* - Ах — У (а2 4- А2> (х2 + ag)
х4-Ь
[а2 > Ь2].
1 . ,
[а2 > Ь2 j.
arccos —!——
а (х -|- Ь)
, С dx________________ _ 1 -и Л х }-а
J (х — а)|лл2 — а2 а г х—а
С dx i . t
J (x3-|-A2)OT (x24- a2)”11/2 ~
~~ 2 (m~l) (efl—ЬЬ & (x2 4-Ь2)тЛ (*2~F «2)и',/2 +
(2m — 3) a2 — {2n 4 4m — 6) b2 Г_______dx______________
2(m-l){a2-b2)b2 ' (x24-A2/” 1 (x24-а2)Пл 12
m-^-n — 2 C_______________dx______I >
(m -1) (a2-12) b2 J (x2 4- fc2 (x2-b&2f^/a*
_______dx _____________________- -x_________
(х34- Й Ь*+Йя,’1/2 ~ (2л - -1) (fl2 —^) a2 (r • 4-o2/1 v 4
(4« —3)д2-(2л-2)Л2 Г_______dx' _ f
(2л — 1) (a2 - Й2) a2 3 (л2 -I- b2) (x2 4- a2 * 1/2
_______2я—2______ (*_______dx________
(2л — l)(u2 — ^>a2 J <х24-62)(х->4-а-)я'3/8*
dx = 1 ‘xKb2—«24-6 И'^Ч-а8 !
(x2 4- fc2) x2-fa- ~ & Г b2—"a2 |/x2-H2
(b* > c*].
[*г>а»1.
[a- >
1.2.46.J 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ 95
15.
1 . &/х3-а2
16. = — -----arctg —. —-
6|/а2—х|/д2 —
[а* > Ь!].
|в» > *»].
2.
4.
1.2.46. Интегралы вида х"» (а* —х2)”41''2 dx.
‘ Х« Чв2-Х2)я4а/2
х* (a2 -x2/*+vz dx=------J-.--а , '-
xm+i(fl2_x2 «tV2 (2л4-1)а2
m4*2nH-2 г /я4-2л4-2
х«(а2—xa/_1/2dx.
х L.. +”У' <2т—1>(2»»—3>...(2д.—2fe + l) e,»<M>.„.1l+
fe 1 2к (m-j-n) (mj-n—1) A4-0‘ J
+ 2«(т+«4-1)И4-п)-.-(«4-2) C ’
Zi 2Л4-2&4-3 U/( '
A =0
• т -р лЛ'-*- £ j
5.
6.
x a2 —x2)"+l/2 dr=— 5—^—5 (a8 - x2)"43'2.
dx = s^-5 (□> C/(a2 _X2)" V1
£П “j— £ £fl —j- £ аДви^
(a8 - x8)"41/2 Jx=*(- X
(a^n+ у
fc=i 2*л ("-!)•-(«-* 4-1)
, (2/14-1)!!^’2 x
4-^-a;-. z .-•.-er- arcsin ?—г
8. ( (a2 — x®)1/2 dx = -J (a8 — x2)1/2 4- a* arcsin ~
j £ z I a
6. *f x(a2—x8}1'2dx=—
i «Э
16. f X2 (a2—x8)1/2 dx=(2X2—a8) (a2—x2/72-)-^ arcsin
j о о j a |
11. f xJ (a2—X2)V2 ftx=4 (flS— х2Л8 — C ("®
Л о **
96 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИР11НИЛЫ 11.2.47.
... {* » a a\Sz2 j X J „ ov3 2 I / a —O\l/2 t Зв* • X
12. I (а2—x2)3 dx — . (a2—x2)** 4—^-(e2— x2)' 4~c arcstn r—
1 4 о о | u |
13. f 1 (a2—x2)a/2.
V &
14. f x2 (a2 — r2)3'2dx= - * (8x* — 14a2\2 4- 3a*) (a2—x*)1'34-5* arcsin Д.
J 4o Iv 101
15. f x'(a-~x2)3/2dx— | (a2—x2)6/a.
(* (a2 _
1.2.47. Интегралы вида 1 ----------------dx.
J (a ” — л-з)я+1/2 _ (a- - х2)я 13/2 2n—/и 4-4 C (a2 — tf)a+vt
xm X~ (tn—l)azxrtt 1 (tn— 1)a2 J Xя1 2
__ (a* — 2я4-1 f (a2-x2)**1''4
~ m~! j Xя» 2
f (a2— x f U "
<a-~XSflS' 4Z
J x2*« (2m— I) a2
[41— 1
। 1 V 2*(m—a—2) (m —a—3)...(m—«—fe—1) ar2*
X&»1 (2-17—3)(2/я — 5 ...(2m—2' —1 x2-« 2T 1
f 2a(»i— n—2) (.ii— n — 3)...(—л^(—n—1/
т в2л (2m— i)H
(a2— x-)ni2dx.
J X
= V w 1„
— 2*+l 2 a + (a=— .r2|12
_ f (о-—х2)Л,1/? V (—l)feu /tfi-xV-MV» . t . X
5. | ----dx== т g-i— < . -----—) -I-/—I)*+i arcsm i—
J x2nJ- 2n —2&4-l\ xa / * ' |a|
л С(л--х2Г1/4, (^-^з/г
6* J (2a+3)a2x-«
_ C (a1— x2)l/i i/2 I a 4-(a2 — x-)1/4|
7, 1 ------L— rfr=(a-—x2y' —a In ——------------— .
J x K ' I x I
_ f (a- - x-)l/2 dx (a2—X-)1'2 x
J x2 x a
9 С (^-х^л=_ I 1/г 1 a+fa2-^ .
J x* 2x2 ' ' ' 2a x
10. f * (a-— x43/24-a-(a-—x2)1/2—a-1 in t?+lgZ ~-У2>^ .
J X о X
1.2.48]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕЬРЛИЧ. ФУНКЦИИ
97
1 л** х & £ । а I
С tak^2dx=_<^2_ 3 (aI_ i±(^£2‘’’l
1 XJ 4 £* Л j
р х® dx
1.2.48. Интегралы вида 1 -----—v~7•
J (а2—Xй) 112
хт dx_________________Xя» 1_________т— 1 Г Xя* 2dx
(а2 -х3)я7^2 ~ (2л — 1) (а2—х3)я"1/2 ~ 2л—1 J (а2—х3)я~1/2
xml , 2п — т~2 р __ xmdx
(2а—1)а2(а2 -х-)я 1 2+ (2я—1)а2 J (а2—х2)я 1/2‘
________х” [_________(т — 1) а2 Г Xя* 2 dx
(т—2л)(а2 — хл)я-^2__! т—2л J (а2— х2)Л|1^а
x2(”*Wx у (— 1)* азя> 2* /от \ 1
(я2 — х-)п л 2 “ 2л—2ft -1 ft ) ( 2 —х2)""*-^2 ’
X3gtrfx Х3”»'1 K«-* —X2 к
(а2 — ж2)”'1' 2 (2л -1) а3
п—-1
I д у 2*(л — Л1— 1)(л—от—2)...(л —от—а*2*
(а3—х2)я (2л—3)(2л—5)...(2л —2ft—1) (а-—х2)® *
2я (л ~/л—1)(л —от- 2)...(—от4-1)(—от) f х2,н dx
а2я(2л—1)1! J у
п— т -1
3flmdx 1 у 1 (п—т—1\( х2 ynift.i/i
(а3 ~х2)л 1'2~ Л‘2К 2m-|-2ft4-l\ ft Да2 —х3/
' k —О
[«>«+!].
хзя 2dx х2и 1
(a2 1.3)»-V2~ (2л—1)а2(а3 —х®)я-1/2 ’
x2w dx _ (а2—х2)1'2
(а2 - х2)1 2 ~ 2/я
х2т 1
+' v‘<2т- l>(2«-3)...(2«.-2fe+l) я
>„,(2от—1)Н • х
+ а2от —s=r-.— arcsm 7—г.
1 2тот! |а|
С dx__________х(а2—х3)1/2
J ^а2_лз)л fV2 2л — 1
“ п —I
X 1 , V 2fe (л —1) (л—2)... (л—ft) а 2*-2
(а2-х2,«а2'Г (2л-3)(2л-5)...(2л-2&-1) (а2-х2)я“*
[л>1].
4 А- П Прудников и др.
98 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.49.
10.
16.
Я—1
__ 1 у 1 (fl— П/ X2 \Н!/2
а2» Zi 2£+1 к k Дл2-х2/
k=o
Г xdx___________________I________
J (a2 - х2)" *1/2 ~ (2 л — 1) (а2—х2)я 1 ’л ’
С dx ____________. х С xdx
J 7]- ,3- )
=_r
J (а2—х2),/8 2
С х3^х —
' (а2—х2)1'2 ~
С ^х~____________________
' (а2— х2)3/2 а2 (а2 — х2),/8‘
J (а2—х2)1*
а2 . х
- arcsin — -.
2 !а|
(а3—х2)3'8—а2 (а2 — х2)1/2-
3
х
17.
xdx 1
—х2)3/8 = (а2 —х2,1/8’
Xs dx ____ X
(а2— х2?3/2'~ (а2— х2//2
. X
arcsin—.
)а|
x‘dx _____ 2а2—х2
{д2 _ Х3)3/2 (а2 — Х2|>/2 *
1.2.40» Интегралы вида
dx
х«(а2—х2)иа/8*
1.
______dx__________
Xя* (a2—x2)"ll/2
_______________________1______________m-f-2n~ 2
~~ (2а— 1)а2хот1(а2—х2)я-,/2 / (2п- 1)а2
dx
х»»(а2— х2)"1 2*
__ —1 . т^2п — 2 Г__________dx_______
(т-1)а2х«*1 (а2 — х2)* 1/2 + ~(/п—1)а2 ' х™~2 (а2—х2)"11/2 ‘
__ 1 агЦ-1 Г________dx
“ (2л —l)xn,tl (а2—х2)"*2^ 2л -1 ' хЯ112 (а2—х2)л-1/8 *
_______dx________
x2rn(a3—xz)aa/i~
m-l-n—1
_ — 1 у 1 //«-(-я—1\/а2—x2\«-ft-i/2
“айя+лп 2/л—2k—1\ k }\ х2 /
л-1
с _ V
* J х (а2 — х2)я+1/8 ~ fc^0
__________ 1
(2л — 2k— 1) а^+2 (а2—x2)”“fe_iy2
1.2:50.1
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
99
-----Г3 =-----------
x3^2—х2)* 1'2 2а2х2
dx _____________1 I
x (a2— x2)3/2 ~ a2 (a2—x2)1/2 ~ a2 ”
dx_______2xg—a2
x2 (a2—x2)3/2 ~ a«x (a2—x2)l/ 2 ’
1 In g S (a2 ~ x2)1/2
2a3 x
04- (a2 — x2)1^
x
Г dx __________ 1
J x’J (a3—x2)3'2 ~ 2a2x2 (a2—x2)1/2 +
, 3_________3 k аЧ-^-х2)1^
~^2а2 (a2—x2),/2 2д5 x
1.2.50. Интегралы вида I ------------ - - -
J (х4-&)л J-a2—x2
dx
(x2±&2)(a2 —x^1/2 ‘
(* dx 1
i _________ —_________________x
J (x4-6)«Fa2—x2 (n— 1)(b2— a2)
_________dx_________
(х-|-6)я 2 Fa2—x2
1 Vfa2 —x2 . .. Г dx 1
_---------1----------(n— 1) i ------- ,=• I
(2л—l)a[(x^a)« J (x—a)* 1 F«2 —x2]
dx = —1 bx[a2 4-У^2 - H (a2—x2)
(x-|-&) Fa2—x2 Fa2 —b2 x-f-6
[& = - a].
_ 1 .^..У
Ft2 —a2 a2-j-bx
(a2<&4.
.— arcs in
F*2—a2
a2-j- bx
a • x4~6 |
______dx______ f I /_g~ x
{x + a)Va^-x2~________________a V g+x
______dx______ 1 -|/^a-Px
(x—a) Fa2—x3_________a ' g x
[a>oj.
8e>ei-
-x _________________________x______________________
(63 _ X2jm (a2 __ X2)^ V2 ~ 2 (m -1) (a2 - b2) b2 (b2 - x2)m l (a2 - x2)n"1/2
— c)a2-2(m4-2/i -3)^ Г__________dt_______
2(m—l)(a3—&2)fe- J (62 —x2)m Ч^-х3)" 1/2
m 4* ,n —.2 C dx ________
+ (OT-l) (a2-63) b2 J (d2-x2JH« 2 (a2 -x2)"*1'2*
100
9.
10.
It.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
П.2.51.
dx
— X
(ft2—x’)(a2- х2)яа/2 (2n —l)(a2 —62)а2(а2-х2)л1/2
(4n — 3) a2—2 (n — 1) ft2 C________dx___________
(2n-l)(a2-ft2)a2 J (ft2-x2)(a2-x2f-1/a"“
_______2(a—1) C ________________dx__________
(2n— 1)(a2-ft2)a2 ' (ft2-x2) (a2—x2)n 3/2 *
1 , |x p a2 — ft2-L ft у a2—
,______ —- In -—
(ft2—X2)}' a*-x’ ft p a2- ft2
1 . x fft^a2
— — -— arctg----—. . .
ft у ft2 — дЗ ft J a2 — x2
I . xK&2— a2
= —r--——- arcstn —-- —
bVb2—a2 apft2—x2
dx 1
arctg _________
ft I 0L-— Xa
dx
Pzx3-ft2
х |za2 }-/>»
(ft2-|-x2) la2— x2
1.2.51. Иитегралы вида ^x—m (ax2 + bx±c)nv1^ dx.
Обозначение: X = ax2-{-bx-\-c.
f . « ./п~1ук-а,2
I * A---------
J (m-}-2n^2)a
(2m+2n±l)b f m i я+1/2 (m-l)c f
2 (/n-j 2n4-2)a J (/n-| 2,z+2)aj
«.a V«t3/2 ft
xXn+1/2dx=-A—--------A
(2л-|-3)а 2a
v»xi/2 . 2ax-\-b vn+i/a
<Xn+l/2dx.
_(2axjft) *t/? .
4(л-|~1/а X
,/v (2в~Ю(2я—1) ...(2к—2fe-|-l) /4а~-ЬГЫ I
8k,1n(n— l)...(n — k) \ a /
(2«4~ 0-- l 4an—b2 «+1 C dr
+ 8« Ч«-Н)! \ ® ' Я*7*’
fc=0
X -A"’- I
(m+2)a 2(m4-2)a j л ax
, 4ac — b2 .
+-^~ln
b1 — 4ac
--arcs in -7
8a Kj a I V b2— 4ac
_<^Л£ ( dx.
(m — 2) a
2ax-L b
i~ л
2 У a
2ax+ft
la>OJ.
Io<0j b*>4acj.
1.2.51-J
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРЛИЧ. ФУНКЦИИ
101
8.
J А» I*
#. f Л1',л='й‘гД Xм 54’-4oc
J 24a2
16а2
10. f ^-^+3W-32aC л3^_ 7»3-^
~ о/a3 j
210а2
уЯ+1/2
______•_____у ЛЧЗ/2 t
(m — 1) ex"1-1 пг
(2n-2m-\-5)b f Xя41/2 (2n-m4-4)a f X"41/2
2(m~ 1) c J Xм * X-h (m—l)c J Xм2
л T^n+l^ lz2
12. I ----dx=^———
Xn"1/2dx4-c
у я-1/2
-------dx
X
(a^+M"412 fc.
(2л—2m+3) Ox”' (ax!+6x)'43rt+
2(m-2n —3)a С («х2'-6х)я+1у2
+ (2л-2m 4-3)6 J
dx
|-c
dx
xX1'2’
xl/з . yl/2 f dx , 5 f dx
1> x +"J X*« + 2 J xX'!3'
№ 1‘ (“’+M1;2 2(«х’4М*Я , „ f dx
io. I -----------ал — —-------— t« i---------------T7S“*
J x2 x «’ (ax24 MV2
17 f Л<АА:_... / 1 | » WV>. la'- rfx
J x’ к 2x3 + 4cx J + \ 2 8c) J xX1/a
««• i^^dx^-^+bx^.
19. +
, (12tfc—62)6 C dx . _C dx
+—i^Jx^J^
20. C j^2+”+»x»<»+ 3(2яу ,M x‘-»+
J xs ex c 4
3(4аг4 б2) C dx 36c C dx
+ “ 8 ' ~ J xXT2 *
21. f (<^+Hy*rft=;(«**+»*)*'ii + 34 <ах*+Ъх)1'г+ f-_z .
J X2 2x 4 8 J (ax24-6x)l/“
Ю2
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1 2 52
22 Г 2е____dx — 1 1 Ь \х6'2 I
J де3 \ 2сх2 *” 4с2х /
. af>x+2ac+ba Y3 2 . i(abx+2ac^b2)
’ 4с2 ' 4с ’
?ab Г dx 3(4ac~pb2) С dx
** 2~ ' Х1'2^ 8 J xXl/z ’
__ С (ал^+бх)®12 , ( 2Ь\ . , , .1/2 . 3ah С dx
23. 1 -----!—-—dx= a— j (ах2-рйх) z -----------*- I----------гйг*
J х« V х/ 2 J (ах2+&х)1/2
1.2.52. Интегралы вида
x*-mdx
L AvU-z'k'141»'8
Обозначение X—au^-phx ре.
С х™dx _______xwl____ (2m— 2л — 1) ft Г xffl *dx_
' Л',+12 “ (т-^аХ"-^ 2(т-2л)л J Xя 1 2
__ (т—1)с Г хт 2dv
~(m-2n)aJ хм12.
— 2х*”____2 (2л—т — 1) С хт ldx 2с С х dx
— (2n-phX*~1'2 (2 л — р b J Л"12 ~ b J Х"ь1а ‘
_ 1 f хот adx_с Cx'ffl2dx_&f х*” ldx
“7 J ”хя 1/2 ~ a J Xn+1^ a J Xя41'2 ’
x2”dt
у л, 1 2
л dx
х2» 1 _ b f х2”-1 dx 1 f x2>i~3dx
(2л-1)^Хя’1/2 2a J X-12 + a J Xя 1/2 *
______1__________dt
(2n-l)flXnl/a 2a J Xе44/2 ’
dx___________2 (2ax~ph)_______8(л— 1)д C dx
“ (2л—1) (4oc—h2) X^l/2 + ^2л- 1)(4лс-Н J Xя 1 2 *
2(2ox+b) _ x
(2л— l)(4ac—b-)Xn 12
п —1
9.
№.
11.
dx _ 1 .
I 1,2 ~ 1/« 1
= ——Arsh
Va
8* (л-1) (л-2) (л-Л)
(2а—3) (2л—5) (2n-2k— 1)
акХ*
(4ас — Ь^
И>е.
*=1
2^а
2ах pb
У 4ас — Ь3
2лх-рЛ
arcsin — -
F—а | &2—4ас
-4~1п(2ах+6)
к<0,
£а>Д ^=4ас).
1 2 52 I
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРЛИЧ ФУНКЦИИ
103
xdx X12 6 f dx
X1 2 ~ а 2а ) Х1/2 *
x*dx _ 2ах —36 „12 ! 3b* — 4ac С dx
~Х12 “ 4а* + 8а2 J Х&
x*dx _ 8д^х2 — Юобх-}1562 — 16ас 56s— 12а6с С dx
X12 24а3 16^ J Х1/3'
Г dx 2(2ахЧ~6)
' Т32 ~ (4ас — b*,Xil2'
С xdx _ 2(6х-}-20
' X3 2 “ (Ь*—4ас)Х1/2‘
x2dx _ (4ас —262) х— 2Ьс 1 С dx
I А32 а(Ь* —4ас)Х12 ~а ' X12*
xPdx а(4ас—62)х2 }-6 (IQac —362)x4-g(8og—362) 3b С j/r
A3 2 “ а2(4ас-63)Х1/2 la2 J X1'2 ’
dx___________________1____________
x^X’+i 2 ~ ~ (m -1) схя,-1Хя-1 3 ~
(2tn-\-2n — 3)6 C dx (2n |-m — 2) a Г dx
2 (tn— l)c ) ^F^2 (m- 1)c J х^~2Хп 12
b Г dx 1 C dx
2c J Xя4 ^2 c ' xXtt-12
dx__________________________2______________
хш (ax* -Ь 6х)я+1/2 (2m 4- 2n — 1) bx"1 (ax* + bx)a 1/2
2(m~\-2n—l)a Г__________dx
(2m-F 2n —1)6 ' x”1 Г(ах2-ЬМ
24.
25.
26.
« u 2c4-6x
Arsh---- - ±-
x V 4ac—b*
x
l'c I 2l-|-6x
1 2c4-6x
7— arctg —~r==—nr
kr— c 2^—cX1'2
27.
2c-f-bx
arcsin---r- !- --
x F 62—4ac
bx
[e>0].
[O0J.
[e>0. М<4дс].
[e>0, b*=4ae]
[e<0].
[e<0, 6®> 4ac]
(c=0. d^O]-
104
29.
30
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
1.
2.
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1 2 53
№х ]
1___1_, Wv* . а \ Г- dx
\ 2сх2 4с2х / \ 8с2 2с / J хХ12
dx 2/ 1.4а 8а2 ' , , , ч1/2
------------ = —----4--------------- (ах3 -j- bx)^.
х’(ах24-&х)1/2 5\ bx3 З^х2 WxJ
dx _ 2(а&х—2ас4 Ь2) 1 Г dx
хХ3/2 ~ с(&2-4ас)Х1'2 с'
dx _ 2 / 1 4а . 8я2х^ 1
х (ах2 4-&х)3/2 ~ 3 \ 17 + Ь2 7’ / (ах3 ! &л )1/ 2 *
dx Г 1 2а& . а(ЗЬ2—Зас)х 11 ЗЛ Г dx
с(4ас~&) + "73 (4ас-&2) |X* 2
/___1__. 2а _ 8а3 _ 16а3х\___________
77’1’ 62х б3 &* )
5& , 15М-С2шб2 |-24а2<?2 ,
2с2х
ab (1562 — 52ас)х1 1
2Л (63
f 1 , 8а 16а2
2с2 ' хХ1/2'
v2V3/2 I rr
Л Л Сл
dx_________
х3 (ах24 М3/2 ~
dx Г 1
х®Х3/2 I сх3
2
5
2г3 (б2 — 4ас)
52^; „11
— 4ас) j 2Х1/2
15&2 —12ас С dx
8с3 ' Я*'
dx________ 2 / 1 8а 16а2 64а*
х®(ах2+&х)3/2 7 \ Ьз^ 5&2х3 5&’х 55*
128а*х \ 1
5&л j (ах24-&х)1/2 *
1.2.53. Интегралы вида $₽(*4-P» ах24~&х4~с)dx.
Обозначение X — ох24~&х4~£-
С dx______________________________— 1________________
' (х4- р)т Xя41 '2 ~ (т - 1) (ар2 - Ьр+с) (х 4- р)т ~
__ (2/rt -t 2д — 3) (& - 2ар) Г dx
~ 2(т --1)(ар2—6р4- с) J (х + р)т лЛя+,/2 ~
__ (т4-2а — 2) а С dx
(т-1)(ар2- bp+c) J (х4-7)’я-27и+1/2 ’
_ ~ .______________—2____________________
”(2m4-2n-1) (Ь -2ар) (х4- р)тХя~1/2
_______2(т4~2д — i) a С__________dx______
(2/п4-2л—1)(& —2ар) J (х+р)я,-1Хл+1/2
[ар*—Ьр4-с=0; Ь—2ар^0].
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ НКЦИИ
105
р dr ___________ 1_____________,
* J (х + Р)Х» 1,г~ (2п-1)(а^-6р+с)Х" 1/2 +
________1_____ С_______________dx_2ap—b С dx
ар-—bp]-с J (х-]-р) Xa~lf2 2(ap-—bp]c)j xa+lf2
— 1 b^2ap f dx
<• — (2rt 4-1) XB+,/2 2 J XA+3/2 fap«-hp+e=0].
Л 1/2 _^«+3,2
k J (x-h p)m d* (m— 1) (ap* 2- bp-]-c) (x+p)m l
(2n ~ 2m-i-5) (b-2ap) Xя41/2 , (2n-ni j-4)a f Xairl/2
** 2(/n~l)(«p3 * * * *— bp-]-c) J (хл~р)т 1 + (m — IXap3 — bp-]-c) J (x4-p)«~2’
2 Я4-3/2
6* = (2n~2rn+3)(b—2ap){x+Dfm ~
2(2n—m + 3)a f Лв+1л .
(2л — 2m-]-3)(b — 2ap) J (r f pp ldX
[ap2-bp-f-c—O, 62 зр 0].
f XBbl/2 . XB+l/2 , b~2ap C y/,-1/2 j , , a . , л Xй
7‘ J -rTFdX=-2MT + -2“ J X dx+(ap^-bp+c) — dx.
8. C X1/2dx =_________X1/a 1 C {b+2ax)dx
& '(t+p)n (л-1)(х+р/» 2(n—1) J (x+p)”-1*1'2*
ax Uft— ap . , , . P dx.
__^dx+(a^bp+c^
dx _______________-X1/2____________
(x-t-p)B X1/2 (я — 1) (ap2—bp+c) (x+p,n 1
(2n — 3) (b —2ap) C ____dx_______
2(«-IHap2-6p + c) J (x-J-p)""1 X1A2
(n — 2) a C dx____________
(я—l)(ap’—frp-J-c) J (x4-p)" 2Xl/2
___________2X*ft_________2(я —l)a Г______________dx_____
~ (2я — 1) (2ap - b, (л+P)a + (2я-1)(2ар- Р) J (x+pf *X1/2
tap2— f-c— 0, 2 p—fr-£0J
dx _ f ___________________tn ldt____________ I 1 1
(x-j-p)aX1'2 J [a + (Z>-2ap)^+(ap8—dp+c)/2jV2 L ЧЙРJ
13.
14.
15.
dx ______________1 b (ap2~bp+c)l/2+XV2
(x -bp) X1/2 (ap3—bp+c)1/2 x 4- p
, . ft—2ap
5 Z—;—372 tap*-b^+oOJ.
2 (ap? — bp-j-c)f
_ 1 In (а^-бр+^-Х1'2 . b-2ap
2(ap2~bp-j-c)yi x+p 2(ар- — Ьр + с^а
[ap- -bp4-c>0}.
=--------—raarcsin
(bp—ap^—c)1^ (x4-p)(fr2—4ac)1/2
[apf—bp-f-c<0; ba>4ac].
106
16.
17.
18.
i.
2.
3.
4.
.5.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(1.2.54.
2Х1/2
(Ь-2ар)(х+р)
[ар* — Ьр-$- е=0].
dx
dx
dx
2
| . г — 6 а
( ~ а—~х' 05 в * определяются из системы уравнено.!
fr(a 1 0>4-2с— 2дрг=0. а$-|-р*=0
2а
(gr-|-P)rfx а Г du. 2ра -аЬ Р (1 —av^'dv
(РН-Х)ЯХ,/3 “ а ' (p-j-a2;«+ 2а J (р4-с-та~aov2,n
г=в1Ц« 1
L 2аХ V* ] ’
1.2.54. Интегралы вида f (х, Ух2 — x-f-1)dx.
Условие: «>1.
Обозначение: Ф — arcsin .
Fx2-x4-l
СО Z / к
С dx J 1'3\
J Vх(х— 1) (х2—x-pl) \ 2 /
____________dx _____________—6 £ f ф )______
(2v- Г)* Ух (х-1) (х2-х-Ь 1) “ 27 V’ 2 /
1 р I Уз \ 8(5ху—5х~Ь2) / х(х— П
27 V’ 2 / 9(2х-1)3 F х—х Ы'
1.2-551 .1.2. СТЕПЕННАЯ-И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
Г (2x~J)2rfx I f Гз\ F3\ .
J К^(Х—I)8 (X2-X+0 L \ 2 / \ 2 / /
*
2t-1
' 2Ух(х-1)(х»-х4-1>
f <*-»•* , ..y£3).
8.
1 1 /* x(x—l)
2(2x — 1) г x»-x4-l *
f 1 .. l/~ *8 —X+1 £с--е(ф ___3____f/ X(x —1)
J (2x-I)2 У x(A- l) 2 J 2(2x~ 1) F x2-x^T*
X
IL
0
E arccos
у 3 \
2
12.
0
xdx^~± E arccos- T*J x..
x+1)3 y27 \ ' 1+Xl+K3)x 2
у "27 . \ 1+(1+F3)x 2 /
_ 2(2 + F3) l+(l-F3)x ^/~ x(l-hx)
; Vi -144144/3)x F X2-x4- >
о
Условия: x>0, e> b >
Обозначения: <p = arctg ~, E—
1. i - 7.......................(<ь fe).
•J K(*4~e*) (x2+^2) a
f x2dx xS+g2
J Я(хг4_Л2) (*24- ^) x V x24-ba
— b*
a
dE (<p, k).
10G ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИП1ЕГРАЛЫ (i.^.55.
к
3. С________ dx • =
J (р—X2) V (X- + а2) (л2+Ь-}
= о(»41^)1 У11 (ф’ ’ПГ"’ *)+F(*’ *>] ь’*0)
4 с dr__________________
------? [(а2+й2) Е (ф, k) ~ 2&F (ф, ЭД----Х......--• — .
а^(а-~-Ь2,2----------------------------------------------• а2(а2-&2)к(л2+а2)(х’£4-Н
& (*________dx_________
Л H^TaW1»w “
=-----1---[F (ф, k)—Е (ф, ЭД 4-- х---------..
л(а2-&2) аЧ (л-4а2)(х- Ь&-)
в. f ........... -^ =----------[а2Е (ф, *)—Z>2r<<p, ЭД.
Л J (х2-Н^)(х24 a&(a2-b^
X
С i*dx 1
7. i z z ; - :----[д2Е (Ф, k)-b*F (ф, k)}-
Л K(x24-fl2P(x24-62) «(a2-ft2)
X
8. f ~= —-— (F (ф, k}-E (ф, ЭД.
Л Г(х2+а3) (x34-62>3 a2-ft2
b
«>• j /^4? *= -i ” <ф. (<₽• *>+* j/15-
0
0
Г 1 A *2 L J 1с/ Ai fl2-68___________£________
Л I (х=+«-У <Ь" a E а’ К(х=+а‘) (^+^5 ‘
13. I' (x24-a2) (x2±b2)dx= “ [262Е(ф, k)-(a2 [ b*)E(^ ЭД4-
x24-^ *
1 2 56 J
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
109
dx
ч- р! arccos
1 К ' r (х i-V ар—(а 1 l)t (Га-МУ
2|'а(л4-1)1 \ (хЦ-| я)2- (я-|-1)х 2(а-\- 1)
(а + 1)х (Ия- 1)2\1 Г io
--------, -------- -/I |х. а>0: (
(а+1)х 2(а-|-1) /1 L I»
)/(х’+1)(^4а2)
=----I г* arccos —
2Vfl-H 1 \ (х
— pfrn (х-Va}z-(a l~i)x
qr F arccos —----— -----—
-(Д-И)х
Г (а ' Их ’
2(а+1) /
«о C dx 1 „ ... ~i/"x ~л/~c~a\
16. I -.= —------— -y— F ’ 2 arctg I/ , I/ -----
J V х[(х4-а)д-Ь&2] Vc\ r c r 2c i
[x>(h c=Va*4-M}.
17. f -------
Vx(x+o)((t4-Z>)s+c2l
= Ffaaretgl/-- V 1 1Л
VPQ \ P(x-\-a) 2 r pq i
Lx>0, </8=(5+а)4+с*).
x
18 C___________dx____________
* .] Kx(a-x)l(x-H)2+c3l
= ‘ F/2Mcctgi/’’SE2, 1
V pq \ r px 2 Г fjq I
jc>v>0, p -={b~a)' | c«; q1— bS-J-c^J,
oo
1.2.56. Интегралы вида £ R(x, Vxi-}-ait HxM^Jdx,
X
Ус товья x О, г > Ъ > 0.
Обозначения: m=arcctg , k =
y & а
оо
С dx 1 с.
1. I --—•= Г(ф, *).
J И(х34-а2) (х2+Ьл) а
ОО г_______
2. f = —1/-----------Е®, Ч [х>«1.
J х2 И(х2+яг) (x24~t2) Ьу-х г х2+я2 я&2
ПО ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 112 57
оо
_ С ____________dx_____________1 Г / _{_ Р \ 1
* J (р—х2) V(r-+a2) (х2+» а (а2+р) L V ’ ~а^~*
оэ
4. i . . =£;.--------г =-----1---[F (<р, k) — E (<р, *)1.
J К(х2+а2)^ (л2 4 b2) a(a2—b2) w
СО
g С _________dx____________
’ J У (x--rfl2)(r’+&2/ ~
Ли
=------------ка£ (Ф, k)-&F (ф, kA-------Х ---------------
a&fab-b-) т ' ^К(«24-аа) (х2+62) *
оо
6 f — dx —
J Р (х2+а-)3(х2 + Ь2)3
= —----------[(л2 I- &2) Е (Ф, k)-2&F (ф, *)]---------г*...........—-.
ab-(a-~ 62)2 й2 ^2 _ fc2) Y(Х2 + д2) (Ж2_|_
со
С х2 dx 1
7- 1 2' . = ", . ,-»*)]•
J V (х’+<гг)»(»-+6-) а (д’—4-)
ОО
f . = —— [F (ф, k)-E (ф, £)] Ч— х .
J У(Х2Ч-а2)(х2 + &2)2 <2_6а1 W У (г2_|_д2)(х2 + 62)
9.
£ (Ф, k)
^=^£(ф,
(а~-Ь*)х
б2 V (х- 4-а2) (х2+^2)"
10
k).
СО--------- ---------------------------------------
«« С 1Лх2+а2 dx 1 и, *ч в с/ АЧ , °2 > Лх2 Ь&-
,Е J У х-4-6- х- “ a F (ф’ $2 £(Ф’ *>+ bix У Xi^a.
X
/J®
X
X
12 57. Интегралы вида ^#(х, 1^х2-1-а2, Vx2—b2)dx.
ь
Условие х > Ь > 0.
b . а
Обозначения ю=агсс<к , k-- г=^----
х /a3-t &2
х
- С dx I г. ,,
1 1 - - - яг----- - - - /* /ф
J У(г24-О2) (х2-62) Va2 + &2
[х>0].
[*>0]
। 2 57} 12 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ Ш
xzdx ____________
2* j > ~~
ь
= --^= F<$> *)-УаЧ^£(<₽, А)+-/(х24-«2>(х2-^).
у а2-}-& х
х
3. ( -^75^77=5° ш .Arrs K‘»,+»i)Д (» *)-«Р(Ф. ед.
J х2У (x--j-a2) (х2 Ь3) а2Ь2 У а2-[-62
ь
х
4 С________dx
(p-i5)K(xJ+o’)(r= ед
= -—тАгТГ^Р11 *)] «-*‘4
р(р~ 62) У a2 \~b2 L \ р — № ] J
X
Г_____dx_______________
J ^р+й2Р (х3*2) “
= -tV -L^ [F(ф, t)-е(ф, ед + , .-’-т-1/
а2Уas~yb2 (а2Ч 62)х F х--га2
ft С xid< 1 ₽/ м ®9 т /~”^а - ь2
y(xz-f-a3)2 (х3— b2) V&+& х(а3±&2) Г х24-а2
х-------
’• J У *>-£(<р. ед+^/^+в2» (^-ед.
»
_ Г 1 ЛГ Х2 + О2’ . У~С^У^с. ы
8. I — I/ —г—гг^=---------zr—k).
J х2 У х2 — Ь* Ь2
ь
х
9* Г 1 ^+ai) (ф,
,о- Н К*)-Е(ф’ *”•
к
И. f b-^dx^
} Г (х2 га-у
=Л‘^±Е.£(Ф, k)
а2
Ь3 1 -,Л Р-&*
в*Ка2 + &а ’ х2-\-а2*
112
12.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ГЛ \ВЛ ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.2 58.
х
f | (х2-*-д=) (х»-ЭД dx = ’ I1(*2 - и®) Е (ф, k) ~ b2F (ф, ft)} 4-
J О
*
t Х24"°2 — Ь* I/ ~®-ST"z—>—Tvt
4------------V (х- га-) (х—Ь2).
ОО
1.2.58. Интегралы вида j #(х, У х- -}- а2, У x2 — b3)dx.
V
Условие, х _ b > О. '
. -i / о2 г ft2 а
Обозначения. <p = arcsin I/ -----!, k=—--------------
Г х3 ,-а* ) а2 4-й2
ОО
С 1 С / «А
I ...... - -- =------. — Г(ф, Я).
J J (х2+а2) (х2-62) М24~^
х3| (х2 4 а2) (х2-*2)
=----- L=x. [(а2+ЭД Е (q>, k)-&F (ф, ft)]--—
I a2ft2 1 а2 t-б2 &х У х24-а2
<х>
С dx _
J (х2-р)Ур2+а2)~(х* Ь2)
(а2+•»)!'аЧ-62 J \ a2\b2 ] J
в»
( - 1F (ф, k)-E (Ф, ЭД.
J ^(х2+а2)3(х3-&2) о4в- + 62
x2dx
Е (ф, ft).
ОО
f dx --------------------==------ х - -—-------------------Е (ф, ft).
J 1 (х2 j-в2) (х2 - 62)3 />2к(х2 | а3) (х2 *2) Ь2М2+^
ОО
С----- xidx = L — [F (ф, k)~E (ф, ft)] +
J I (х2-|-а2) (х2—ft2)'* ' V а2 4-ft2
। — Х ^- [х > П
У (Х3+а2) (х3-62)
---=^___ =-------------- . ^-Е(ф, fr)-
(х2 + а2)-* (х2- &2)1 а3Ь2 У (а2-! Ь1^
* I х
_ ‘-----1—— F («, Ь) Ч----------? ..... ..... (х > «й
а2 Г (а- m3 Ь2 (а2 ~^Ь2) У^а2) (х2-У2)
1.2 5“ J
1.2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕВРАИЧ ФУНКЦИИ
ИЗ
1ft
11.
СО
-------dx=
(х-— 62/»
о»
оэ
f 1
Г(ф, 6)--La~;Lza £(ф> *)+
6-
£*>*]-
1
х3
х-Ч-а3 .
dx =
X3- 6-
- 6а
6-
х3—62 . У а1 1-62
— ----dx—------'—
х-4-а3 aJ
х3—62 «
х®-4-а!
1.2.5°. Интегралы
я
вида J₽(x, Vx2-f-а2, Уб3—х9/4л
о
Условие: 6^х>0.
Обозначения: ф—afcsin
k^= *. - - -.
У а- 4- б3
1. f —L F (ф, 6).
Л | (Х3+а2) (Ь2-л-) I a- | 63
г
Г* х" dx - г- л2
2. I ====^=- = У а2 4-62 £ (ф, k)-----Л==г F (ф, 6)—
Л У (х34-а4 (62-х3) w Уа-+62
-» Лб3—«2
““ 9/ > > э •
f х--{-а-
к
С t_________dx__________
‘ I (P-x2)Ha4°2)(*2-y2) ~
----------z -j=-^ Ja-U j Р» —a , б14-рР(ф, 6)1 Ь>^0].
p(p + «s)l' aJ+62 I t p(e2+62) j )
X
4. f =^===r -------------rzi=- E (ф> *).
Л У (x-4-a-)J (62—x1) а2 V a^-yb^
X
5. f -[£ (ф, k) - E (Ф, 6)].
И4 ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1.2.60.
6. С ——^—=- = . L : [Е (ф, k)~Е (ф, *)] + ,
Л V(x2+a*)(b*—x2y МКа«Ч-**
. х
ч----- - -... :— [x<bj.
b2V (х2Ч*а2) (62- х2)
X
_ (* x2dx х - I
7. | . --- . — —.......-—— < F (ф, Л) • U<i»J.
Л F(x24-a2) (b2—х2у |/(х2Ч-й2) (Л2—х2) J/a*-j-63
<
X
«• ( ,>, 4-(^-^)Е(ф, 41+
Л |И(ха4-д3Р(Ь2—х2У а2Ь% г (а2Ь2У
, х
Ч----------;•- --- • [х < н
b* (a2-\~b’) V (хН а2) (Ь2 — л2}
(К^±^Л-У^+Р£(Ф. 4-х У
о
«л С ч / А ' Г / 1Л «аЧ b2 z_ t
10. \ I/ dx = • Г (ф, k) -----------!— Е(ф, Л)Ч“
J г (62-х2)3 b2
. . (а2Ч&3)* г
Ч--1 / ——1 -А— .... г [х < bj.
fc«F(x*4-a3)(b4-*e)
X_________ ______________________________________
”• J V 5r^dl=r?+*5|f<’>' 41+x у
О
12. f ]/" -^-Т.^_4х^Уа2+^Е(ф, *)_ ’=£(ф, jt).
Л F <х2-у&у & Va2±l,2
к
13. ( V (х«Ч-«а) (b2-x2)dx= * V^Ч^ [a2F (ф, jfe)—(a2-ft2) Е (ф, Jfe)]Ч-
J
о
+ з<х!+2в’-»2>Кда-
» ____________
1.?.60. Интегралы вида $#(х» Ух3Ч-«2. V 1^—х2}йх.
X
Условие: &>х^0.
х , Ь
Обозначения: ф=агссоа- , k=—/
b У«2ч-^
ь
1. С dx------------- = -- J F (ф» *).
Л 1\х2Ч-аа) (б2-*2) Va*4-&2
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
115
1.2.60.]
b
2. f —— : г == Уаг+62 Е (ср, k)------— F (<р, k).
J |/ (хЧ-д2) (Ь*-*2) 1а24 62
ь
С dx 1
з. I У7=^=--а = - =------>—[&F (ф, fe) — (а2 4- 62) Е (ф, £)] +
J х2/(х24-а2) (62—х2) а262Ид24-62
+ /(х24-а2) (62—х2) £ж >0].
ь
4 Г __________dx .........
’ «’ (р—х2) И**+«2) (&2 ~ »*)
1 „ I & д
=-------• П I ф, ---------, k\
(д-62)>а24-62 V bi~P /
ь ______
J F(x2-H2)3 (62-x2) ^У^+б2 а2(а2+62) Г х2-Ьа2
ь _____
и (* 1 ГГ/ М Cl Ml I х — &
J V(х«+а!)»<»г—х») /а=+д» Ф' Ф’ Лг+а^'
’• J рЛ-^±^‘й=^°,+62-Е(ч>- *>
ь ______ .______
*• (i yr^±$-<te=-^.—*>i+
I Л у U _п~“ Л £/
X -
. H62-X2j~(x2 4-fl2)
62х
[X >(Ч-
9.
Ъ_______
f l/-^^-dx==V^+^[F (tpt й)-Е(Ф, 6)1-
X
h
10.
а-х
<^+°2) _ V°“ + g E «Р, »)
а2
[x>0j.
11.
b ____________
J F (x=+a2)3
а2
Е (ф, fe)
X i/ 62 -X2
а2 г хЧа3
ft
12. J И(x24~a2) (62—x2) dx= £ /a24-62 [a2f (ф, k) + 2 (б2 — a2) £ (ф> fc)j 4.
x
4- 5 F(x24-a2)(62--*2);
О
116
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(1.2.61.
1.2.61. Интегралы вида J R (х, V х2—а2. ^'x^-b^dx.
а
Условие: х >- г. > Ь > 0.
Обозначение: ф = aicsin J/
Г dx \ (
I —; - - ------- = Г !ф,
J У (Х2 _ О2) (Жз _ ьл) а \
X
f x~dx I с I
J У(х2-а-) (x2 —b2) L к
b
a
b\ f b VI . i/ x2-e*
- l—E/ф, I |4-x I/ ----
a/ \ a/\ r Xs—b2
t
J*___________dx______________
\ (p-x2)^(x2-a2)(x3-&2) ~
= ---КгГ I <a-~b2)n } -h(P-a4) F f«P> Ь']
a(p — a2)(p—b2) p—a2 a} a /]
Lp7-a«. М].
Г a cf b\ 1 к I b\
l --7z==============- —---------E ф.----------F I ф, -
J V(x2—a3) (x2—bi)t \ a ab* \ a)
a
___________________E{ b
P (X2—a3) (x2—b2f a2-b2 V a
a
Xi J 1 r- f b
-s---5-ax= -Е(Ф. -
x2—a2 a \ a
x2 — a2
x2—b2
1.2-62 J
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
117
х
12. J /(х2—а2) (X2 —ft2)dx=
а
(a2 + ft2)£'{<p, j —
14.
х2—а2
х2-62 *
Кх(г2—1)(х-—а2)
___1 ГF (arcsin ^(х-ПСх-а) I
2а(a+1)1 \ x+J а F2(a+l)/
. r. I 1 (x—l)(x-a) VI
±F । arcsin -A=
1 rF/arcffn /(x-l)(x-fl> !>g-i|\
V(^-l)(xz~a^ 12(a + i)[ \ “ x+Ke >2(a+l)/
arcsin И*-0(х~Д) VI
|x-Ha | f2(a+l)/J
[ lmax(l. a)^x^cojj"
a>
1.2.82. Интегралы вида J/?(x, Kx2—a2, Fx2—ft2 ) dx.
X
Условие: x 5= a > b > 0.
MZ а
Обозначение: ® = arcsin —.
x
co
i Г dx 1 r / ft \
1. 1 — == — F ф, — .
K(x2—a3)^2-*2) a V a/
oo
C__________dx__________
J
1 FL/ ft\ c/ 6 VI
Г ф’ "-)“£’Ф» )|-
aft2 L \ a) \ a /]
co
о £* dx 1 Г b \ _ / ft \
3. I --------27'-"~ ' = —- I ii > Ф, - - ’ — F I <p, — }
J (x3-?) F(x~-a-)(x2-ft2> flp[ V fl2' aj a/
iPLO]-
C dx________1 Г£ / b\ _ а -ъГx2 —fc2 1
K(x2—a2)3(x2—ft2) a (ft2—a2) | \ a/ x F x2—a2]
f_______*frfx_______ а Гa 1/^x2—ft2 _E I ft \1
J F'(^L-fl2)3(X2_^ O2_62 [x | X2_a2 L Q - I
I
a
F {<p,
ft
a
118
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
fl 2 63.
оо
6.
dx _________
V (х2—а3 *) (х2— ft2)2 —
_____!_____ а£/ф?
ft3 (а2—ft2) £ V’ а
1 Ч
~-rrF ф, ).
аб2 к а 7
се
7.
x2dx ] Г / ft, Ь2ъГ&—&'
У (х2—а2) (х2—62Р а2— ft2 £ V
Х2-62
оо
8.
dx
-----------—---------------Г (ф,
У (х2—а2)3 (х2<- ft3)» aft2 (a3— ft2) \
a24-ft2 c/ ft\ ,
а
9.
>9.
11.
aft2 (а3-ft3)2
х (а2—b2) V (л2 — а2) (л2 — Ь2)
x2—a2 , a ,, f b\ o2 — ft2 f b\
-s—dx~-г, E Ф» j-----------г»—F ф,
x2—ft2 ft3 \ a] ab2 к «7
С1/ *2—°2
J V <X2-ft2)3
X
СО
1 x2—ft2 j \ Ef b\
—I/ —~-^dx — - E Ф, - .
x2 f X“—a2 a \ a j
12.
CO _ _
X2 — ft2 = 1
(x3—a3)3 ax~ a
ь\
— £(ф, I
V <*/
ie>4
х2 —а2
х2—Ь2‘
x2 —ft2 t
V-Э tA>**
a
1.2.63. Интегралы в и да R(x,V^a2-~ х\ Ух2—ft^rfx.
Условье: «>хЭ-Ь>0-
-- Г cP — х2
Обозначения- ф—atcsm 1/ ~
Г — ft-5
a2 —ft2
a2
I. f 1Х^ , = = -Лф.
J у (а2—х2)(х2-Р) я
2. I .. j:=l— =аЕ(ф, k).
J У(а2-х2)(х2—62)
3. f----- dx----------= — Е (ф, k)----— /(a2—x2)(x2 — ft2).
J x2V(<^-x2)(x2~ft^ aft2 &b2x
1 2 64 ]
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ
119
С dx 1 п ' а2~Ь2 Д
4. I -----т—=7-===— =-----------П ' ф,----, k | [р т^а*].
J (А3-р)У(а2-х2)(к3-62) л (а2—р) \ «2~Р /
а
5 f _____dx =
' J V(a‘—Xs) (X2— S2)’
1 Г __ /"*д2 *-2~1
° ^(<£.6?г41* *>+ot V x-drj
Г____ x-dx 1 Г а2 —х21
J f («2—х2) (х3 - Л2)3 “ a2 — b2 [aF^’ k)—aE(4, k)+x & &2|
[*>«.
а ________
г. J у к>-Е^- *>>•
8. f _'_1/^>=£ £«р, *)- 1 F«p,
J х2 | х3 —Ь2 Ь2 ' а ' b2x
X V
л С -\Г а2—х2 , х . Г а2—Xе а „ . ..
9’ J У (х2 — b2)idx~ b2 Р х2— Ь2~ Ь2 £^ф’
X
,0- J *).
X
11 Г 1 1Л х2~Ь2н ’гр/ м с/ МЧ /(^-^ХхЗ-Ь2)
" J ? V -a^dx=olF^- k>~E^ *)1+—'--------а‘х-----•
а
12. i | "(а2-х2) (х2- Н <*« = о [(а-4-62) Е (<р, k)~2&2F(<p, £)] —
J о
X
- i
«J
X
1.2.64. Интегралы вида Jj?(x,Уа2 —x2, Ух2 —62)dx.
b
Условие a - x > b > 0
Обозначения ф = агсып a 1/ Уй2 ~ ^2
x у a2~b2’ a
f dx 1 ₽/ м
I —. T-:—===:-------- — F (®, k).
J I (a2~x2)(#-bz) a V
120
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11.2 64.
с
£* Ay I r ___ -
I *)-
У (а®—л2) (л2 — Ьг) х
О
г
Г dx 1 „ .
I —-у-^—.... "— - —------£(ф, k).
? х2 V(а2 - х2) (х2 - б2) об2
С dx _
} (р ~ х2) К(а2 “
О
=----Г—ш [ф> -S’ *1+(Р—Ь*И(Ф»
ар(р — &) I I/ д2(р—fr2) ] * ' 7 'J
.f -z- ..dX=^-^ =-------1----(<p, fe)—E(<p, Jb)4- a
Л У(а2-хф(л*_-62) а(&—ЬП] x
b L
x2 — ь2"!
ft2—x21
[х<а].
C______x*dx________
J x2)’ (x2 —Pj “
1 Г л3 Г v2 —Aal
= 1 &p (ф, м—агЕ (<p, k) 4-a 1/ I [x <e).
л(а2-^-^) L ™ ,чх у ft2—x2J
X ____
J У*)-£(<?* *)]+ i K(«2-x2)(x2-d2>.
&
f з k>-~ F®>
J x2 У x2—б2 о2 a
&
г __
С 1 - Лх2 —62 1
I i 1/ vAdx= -ичФ. *>-£(ф. ед.
’ х2 У ft2—х2 а
Ь
t ___
(V 5^л=а£<ф’
ь
f lA л2 —62 , 1 л/~х2-Ь* 1 ₽/ м г
I |/ 7", «5^— |/ -5 -о-------£(ф. *) (х«0-
J У (а2—х2)2 х У а2—х2 а
ь
Г
f /(а2-х2)(х2-&2) dx = ® [(ft2+b2)Е (ф, k) -2&2F (ф, ЭД +
J о
1 2 65 ] 12 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ 121
1.2.65* Интегралы вида 7? (х, Уа2—х2, У b2—x2)dx,
о
Условие* а>5?=х>0.
• х
Обозначение: ф = агсът —,
dx 1 Ь\
—тг=^=_________- = Г I ф, — 1.
У (а2—х2)(62-х2) а \ а}
С___________dx____________ 1 п { М
J (р —Xй)/(а2—л2)(*3 —х2) ар р * а)
f dx = 1 ГаЕ I А\ х 1/гИЕ2]
У (a2-xy*(bz-x2) а2(а2-62) [ V а/ ХУ a2-x2J*
С x~dx 1 Г„/ тА2-!3] । /
I . — . г =-----|аЕ ф, — ) — х I / -1— Е|ф,
•’ р (а2—х2/4^2-х2) а2 — &2[ \ а/ т а2—x2J а \
Г dx 1 „Г М
I ~ — =----г ф, -) —
а У (а2— х-)(Л“‘—х2/* ab2 \ а/
1 Г Р/ б\ ,/^z^q
- »У(5У=5у[“Е(ф а/"*)7 6^] &<»
X ___
J Г х2Jx____1 Г Л/~С2-Х2 /
J У^-х^-л2? а2-^[ V Ь*-х2 аЕ 1ЧФ’ а/]
я Г dx 1 Е! Ъ\
У (а—х-)^ь-~х-)л alf2(a2~b2) \ а/
_ a2 + bz Ei b \ +
aby-(а2—Ь2)2 а/ а2Ь2(а2-Ь2)2 У(а2-х2) (^-х2) 1х<ЬУ
«• J К^л=“£(ф- 4)-
о
in fl/" °2—х2 . а Г b\ Ь V] . х -«/"а2—х2
°*J (Ь2-Х2Р Ь2 V V* a) £V’ ajj+b2? t^-x2 к<Ь1*
о
122 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1 2 66*
Ь\ &—Ь2 Ь\
--------F | ф, - L
а} а \ а}
Ь \ х
а / ' а
ft2—хЛ
а2 —х2]
13.
/(а2-л2)(62—x2)dx= “ ра2 + &2)Е^ф, —
о
— (а2—-|- * У(а2 —х2) (ft2 —х2).
1.2.66. Интегралы вида ^7?(х, У а2—х2, Уь2—х2)4х.
Условие а>Ь >х^0.
а т Г Ь2~х2
Обозначение. cp = arcs.n . I/ —-
т b f а2 — х2
x2dx
V(a2-x3) (ft2—х2)
ь ______
J x- V (a2—x2) (ft*—x2) ab2 L \ a / \ a /j t^x r a- — \J
[v>0L
C__________dx___________
J (p - x2) /(a2 - x2) (&2—x2) ~
X
— 1 ахттГ Ь2(Р~&) 61 ,
a (p—a2) (p—IP) V П L^’ a2 (p - b2) ’ a H
+ (p-62)F^,
»
C dx i c! ь \
J F(a2 —x2)2 (62—x2) a (a2-ft3) \ aj
b
Г a f b\ 1/ 6\
J V(a—хг^^з-х2) a2—ft2 \ aj a \ a]
1.2 67 J
Л
1.2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕВРАИЧ ФУНКЦИИ
123
1
X2
ДД - х2
Ь2-л2
dx
a2 — b*f b\ а с[ b\ t а* ъГЬ2—*2
~ ab2 V* а/ Ь2 а / ~^ Ь2х г в2—st2
[х>о;
л ,_____
л Г / Ь2-^ л М a2-b2 vt
»• ) У ^=i^=aE^- aj----— F[*
X
b\ -ifb*~x2
a) Xf a2 — x2'
ь____________
«л f i Г & ~*г a 1 I о ( b\ ( b \1
ГО- I I/ 7-5----Tr-dx=- |Е1ф, - )—Elq>, }|.
Л Г (fl2—*2)1 a L \ a I \ a /]
X
[x>0].
b
12. f V la2-x2)(b2-x2)dx= “ Г(а2+ b2) E ftp, - V
•J “ L \ л /
X
f b\l x -» Г—
-(a*-b2)F ф,-П + 3 (х2-2В2-Н|/
1.2.67. Интегралы вида (x2+P2))
xi — PP . 1
Обозначения- y —arccos—- "?_ •, k— „
J^+PP 2
но сопря генные числа.
, p и p —комплекс-
1. f -7===^==== - F (<p,
J K(x2+P2)(a2+P2) Fpp
•co
2 f___________
’J (X2— pp)3 И(хЧ P2)(x2iP2)
_ 2tK(x4 P2)(x*4 p*) 1
(p+p^^-p^p-) (p+p)4 s *Kpp <₽’
3. C ---------- ----------- 7=Г l/7 (Ф» V-E (Ф, k)].
J (x2 4- pp)2 /(x2 bp’) (x2 + p2) (p—p)3 V PP
4. f -----=.x2dX.^ r = - Л1®-E (ф, k) 4----------— F (ф, k) -
/ 4 (хЧ-рД)> (x24-py (pa-p2)2 (P -P)2 Kpp
____________2r(xs —pp)_________
(P+P)3 t^+PP) К(x2 + p2) ^ + p2) *
124 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.68.
оо
5.
(x2—pp)dx _
_ ±LeL (/? (ф, k) -E (ф, a)14---------(^£?L=====
(p-p)8 (x2+p.o)I/U-4-P2)(-V24-p2)
во
6.
(х2—pp)2dx
>--------z.. . . -.. . —--------£ (ф, k) 4-
J Ui+pW*K^+p*)(*, + f>) (p-pF
Л
7“^ *)•
(p—p)-1 pp '
оо
(x*4-pp)*dx 1 4 ,4
------------5--- — _ - П (ф, p2, A).
[(x3+ppF—4p2ppv2H (x2+p2)(x3+pa) Kpp
оо
8.
t/x=7pirf(<₽’
Условие: х5—1.
Обозначения: ф =
~— dx=—~— x" 2 Ka
2л — 1
г’гНф. k}.
r 3
dx
x .
dx—
4.
5.
6.
7.
A=sin = “— ---
12 2
—- 2л—4 f Xя a .
b j —--- I -—= dx.
F(i₽, *>4-2^ 3 Е(Ф, А).
t2 о -______
—==-dx— У x3 4- b
1 x*4-l 3
_____________— !____________F (ф A)—
(x -р)Гх3-ь!_| 3(p4-14-/3)
1 ip x| - |'3 n/ , f
cvsxdx
J (14 pi sin2 x) > I — A2 sn2 x I
—1, -1—/З.см 1 5 33. 12—14 1.
dx
dx
-(pLl’bi)
Pi— .—----—
41 3 ( -i 1)
______ i o *4
---= — - — Г (ф, /г) 4- —— arcsm (k sm ф).
>4-16 6A
• ~2^Г'.,Л -If (V. Ч-2E(*. W
Из x+ x+l+B 3
2.
*) См. также 1.2.73.
f 2 09] 12 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ
125
Г dx
8’ ) X k Л3 + 1
/г)^К5п^ 3+2 ИГ х 1 InX*+2+2t^+T
2» 3 2f 3 \ 6 / 4 х*-+2-~2Ул? + 1‘
1.2.69. Интегралы вида § R (х, Их3— 1) dx *).
Условие’ v 2> I.
ГЗ+1—х _ х1Из
Обозначения. ш=arccos——!, ф=arccos---------~
ИЗ- 1 +х х-1+Уз'
k — sm —1^2— к 3
12 2
2 Их*—I
ИЗ-1+х ‘
со
£* dx 1
4. 1 ----?7= = Г" lF (*» *>-2Е (ф, ЭД +
Л(х-1)Их3-1 {27 Т
+ 2 ИхЗ+~х+1
+ > 3(х— 1 + Из)Их^"1
5 С (х-1)dr________2(УЗ-2) У^1 _2 —ИЗЕ
) (1+ИЗ-х)2 Их^—1 рз х2—2x 2 {27
6. ( (X-I)dx_______ 2(2-Из) Их*- 1
’ J (1+ИЗ-х)2 к х^Л ИЗ х2-2х-2
18.
со
С_____(х— 1) dx
J (х—1+Из)2Их3—1
Г_____(х—l)dx
(х-1 + Из)2И^-1
[F((p, k)~Е(ф, ЭД.
= *)-£(*. *)J.
к 27
Г (xa-4-x+Qdx
’ (х— 1 _1_ ИЗ)2 Их^Л
= Д-Е(ф, к}.
1 з
10.
= A Е (Ф, k).
*) См. также 1 2.73.
12в
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(I 2 70.
11.
Г (х—l)rfx 4 ,ч
I -------—----- - = тт— Е (ф, k) —
J (х^4-х+0У^—1 у 27
12.
dx
= ?П«Ра>^).
оо
13.
dx
t(x-l-|-l/3)2-4K3pa(x- IjjF'xS-i ^3П(*’ ₽S’
1.2.70. Интегралы вида
Условие: х^1.
Обозначения: <p = arccos-— tf = arccos
х_1-/3
t=.sin®i = V2±n
12
С хт dx — 2хот-2 К1 —х3
2
2 (т—2) С xm~adx
2m —1 J И1 —х3
2m —1
2.
dx
— оо
1
* dt 1 ..
к *>•
J г 1 —х3 у 3
4.
1
Г xdx 7 1 trA
I Рг^~(Гз~^3Л(*’ к)+2г 3£('1’’ к)
5.
х3 dx 2
V 1 —х3 з
6.
----... ------!--- F (ф, fc)4-
(х-р)/1-х® | З(р-1~КЗ> W
1 |р 1 M 3„. , f c&ixdx "1
/ I---------П (ф,—Р1Д)+ I •"• •' . — I
2> 3(p —1) Ip—1 43 J (1+P,an2x)j 1 -ft-sin2x|
|p1 = ^P~1~1 p^l. 1 -| КЗ; см 1533. 12-1A
7.
dx
__1 'З
------F (ф, 4-—- arcsin (k sin <р).
6 6k
•) См. также 1.2.74.
1.2 70 ]
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ ФУНКЦИИ" *
127
8. I ------------—-----гл. ~ 7т-*.~1____
J (х-1)Х1-хз Уз(х-1-) 3)КТ=^
(Ф» *)~2Е(ф, ЭД
[х<1].
9.
dx
_i е>_yq f
^Г(9, ‘)+тгГпк
6
Ч‘"
л’
10.
(х~ 1) dx
Е(Ф, k)
— л>
11.
КЗ—2
/------./ ®т/-= ----1р(Ф. Ь)-Е(Ф, *)]-
(х—1 —^З/2 Iх 1 — х3 i 27 п
<з г
(rl)rfx
1
12.
С_____(х -1) dx
J <х-1-ГЗ)2к
IT—1Л(Ф» ЭД.
у 27
13.
(x34x;i)dx
J (х— 1 — Г з)2 С~х> - г 3 Е (<t' к)'
— иО
1
И.
15.
С , з? L. п /л «а й,
' [(x-l-V 3)2 | 4 F3p2(x O] К1Х‘ /3 ' ’
16.
17.
_ ... _ _(х~— K3)gdx___________1 П(<р р3 Л).
[(х-1-ГЗ)2+4^3р3(х-1)]ГГ=^ “ 3 W’ b
1
( кТ~~7* dx =^[^27 F (ф, k) -2х Уь=^].
18.
о
х dx
1 —х31—х
arccos
х
—2EI arccos
2
2
128
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(1-2-71.
1.2.71. Интегралы
Обозначения: <р = arccos
320'2-1).
1. Г Xя dx Xя 3 г п—3 С Xя 4 . 1 ~7- - = V X4 + 1 | -7=^ dX. 3 кх‘|1 л—1 п— iJr^ + i
2. С dx 1 п ! 1 — Xе 1л2\ г _ 1 —= -F arccos , -1 [*<ц. J 1 х4 4-1 2 \ 1 -h х“ 2/ ОО г
3. с dx 1 _/ ) 2\ _ 1 = - F 9’ fx^,J- J F x4 Ь 1 2 к 2 / X ' 1 *
4. J р^==(2-К2)Г(Я>, k) (O^X<1J. X
5. f = - In (x*+Kx* + 1). J J r4 | l 2
в. x-dx х(Ух*+1 . 1 „/ 1—x2 K2\ J J X*+1 x34-i 2 \ 14-JC2 2 1 ! i x2 — E 1 arccos рпгх>* 2 J (°^x< 4-
7. C jfidx хУх4-*-! 1 x2 — 1 12' , J ГгЧ 1 x34-l 2 \ x3 j- i 2 ‘ { x3-! )^2\ r 4-E ( arccos -o- i [x> 1]. \ X r » “ '
8 f = 1 /хЧ7!- 9. f = 1 in-z-zJL—. •’ J x4 + l 2 JxFx*+l 2 >6c44- 14-1
10. f —1 Ь(ф, ^-2)-2е(Ф, *-2 LJL^-CL .’xOx»+l 2L \ 2/ \ 2/1 x(x34-l)
И - I ---- L [F де _ £ де fe)J
№-хУ2-[ 1)| х*-Н У2 '
X
=3J2±iE(t.*>
Л»
3^2 -<₽/к м
-----------Г(ф, k)
At
[0<х<1].
1.2.72.]
1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
129
1
13.
= (2+Г2) Е (ф, k)
(jfi— хК2-М)У> + 1
£0<дг<1].
14.
&dx
1 /2\ I р/ К2\
=— Е ю, —1--------F [ф, '—| —
2 V 2 J 4 Г 2 /
0О
15.
x*dx
1Гр^^2\ pL^2'
тп’’тг£ *т,
ж>1].
16.
17.
18.
19.
20.
со
_______________х/~х4 + 1 Le(9 1^2
(х2 — 1)2/х* + 1 2(х*—1) 4 V 21
x^dx
[*>И-
оо
-------Л
[(х®4-1)2—4р2х2]Кх4 + 1 2 V
F (x*-l)2dx / /2\ 1 _/ Ут
' (х24-’1)2Кх*4-1 кФ* 2 / 2 V* 2j
оо
>+ldx 1 / /2'
(х24-1)а ~ 2 \ф’ 2 ,
1 dx
—Е Ф,
£*> П-
х
1.2.72. Интегралы вида
Обозначения: <р—arccos—, ф = arccos х,
1
dx 1 J У2\
. - = —^Р(фг —I
^-1 12 V 2/j
[*>1].
jfidx 1 „/ У 2
х
3.
f* x^dx 1 с( У2\ V2 -.f-r—г
Ьта=зЧ’-т)+ТхГж,-‘
1
[х>1].
<2
2 ,
[*<1].
R АП Ппуппиупй «г ип
130 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [Е 2.73.1
1
Г x*dx
тл>рЛ, 1 РЛ /2\
У2£^- тгпч* т)
[х<гр.
1
—) J- x
2/+~3
Е*< 11-
1.2.73. Интегралы вида
Условие: х>=0 или х^-т-1.
Обозначения: <р= arccos
. . 5л УТ+КЗ
k = sm — = -Ь——
12 2
1.
dx 1 Е- / «Л
=====4^(4), k).
2.
xdx 1 ,
....—= — In
2х— 1
1PVF(4>’ k)~
2 у 3
2-УЗ„/ 34-2/3 Л
----гг~ ИIФ» --» k 1 •
2/3 \ 6 /
3.
.= ^.+x. + F (ф, A)—/ 3 £ (Ф> k},
Kx*+x x+l+/3x 2 УЗ *
dx
(х—р)|х44-х ->/"3 (l+p+K3p)F
cos xdx
— .—------- --------7^=— 11 (ф,—01, K) -+- 1 -----....-— -T-- I
2^ 3(l+p) pLl 4-p + /3p J (1 +Pi sm2x) V1— k2 sin2x J
r^Q + P+^Lg*!; 0*0. -1. i=2S.. о», 1Л.ЗЗ. 12-111.
-4/3 0(14-0)’ 2 J
5.
dx
6.
dx
7.
----- --- £(ф, Jfe)4
(2x+/3—l)/x4+x 6 L
dx_________2/x*4-x
x|/rx*+x (x4“ 14~/Зх) x
ЕАр(ф, »)+Е(Ф, »)].
3
——— arcfiin (k вад ф) L
k J
4)-2КЗ£(ф, A).
1.2.74. Интегралы вида § R (x, /х— x4) dx.
Условие: 0 x 1.
Обозначения: ф= arccos
1-(/34-Qx
l + (/3-l)x’
_]/2-/з
2
dx 1 _,
^= = — £(ф, k).
1.2
12. СТЕПЕННАЯ И АЛГЁБРАИЧ. ФУНКЦИИ
чз<
С ^dx _____ (1—1^3) Кх—X4
8* J Ух— х4 .КЗх-^х-(-1
(ф, Ч+/ЗЕ(<р, к).
4 'у 3
С dx -У 3 + 1
J (х-р)УТ^“уз(1-р+Гзр) ?(ф’ }
1
1— р — УЗр^. ,. . f cosxdx *1
-- —тг-2-П (ф,—ръ Л)+1 -----------г~ — |
1—р+УЗр J (1 +Pi sin2 х) Ki— A2em2x ]
_1+£з. м. ,.5.33.12_,Л
L -4 /3 р (1 - р) 2 J
___dx_______2 Ух—х4
(х-1)УГ=&~ /3(х-1)(/Зх-х+1)
_2 гз[т1Лф1 ч_£(ф, л
С dx УзГ,,, м, 2-Уз • . Л
6. I -т---- ,L-2i_==- в — F (ф, k) Ч--arcsin (k sm ф) .
J (2х+1+У 3) У х-х4 6 L k V J
_ f dx —2prx—x4 1+V5_. .
7. 1 —Tr= = -------г + -T/~ F (ф, k) — 2 Уз E (ф, k),
J x/x-x4 х(УЗх-x+1) уз ' F w '
1.2?75. И н тЪ г p а й ы b м д»а Я<(х, >/'x4+2Z?2x2+a4) dx.
Условия: a > b > 0, x + 0.
_.x x2—а2 Уа^ — Ь^
Обозначения: ф = arccos-------, k =--7^--,
x2+a2 аУ2
00
9 1 с,* / <a
1. I -------- ------= --^(ф, k),
J yx4+2&2x2+d4 2a
«С d^ 1 гр/ м op/ .. >z’x4 + 2&2x2 + a4
2. I ---- — = — [F (ф, k) —>2E (ф, fe)J 4----------------------*
J x2Kx4+2fe2x2+a4 2a3 a2x(x2+d2)
U > 01-
3. f ----------X*dX_____• = --------- [F (Ф, k)-E (Ф, ед.
J (х2+а2)2Ух4 + 2&2х2+а4 * 4a (a2 — 62)
4> F___________&dx________________ хУх4 + 2Ь^^а4________!___ E k.
' (л2 — a2)2 y"x4 + 2Z>2x2+a4 2 (a2 + b2) (x4 — a4) 4a {a2 + b2)
lx > «У
CO
5. f_________m.
J (x2 + a2)2 Ух4+2&2х2+а4 a2—+2 2a (a2 — b®)
ЭС
R*
132
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{1.2.76.
6 С __________(xa-f-d*)adx 1 а
J [(л®+о2)»—4аараха] УхЧ-Зб^+а* 2а W’ '*
7. f г г—^... = ---------~----£(q>, Jfe)--1----F(ф, k)~
J V(x^+2^-^a*f 2(о*-М) 4а (а2—62) '** '
____________х(х2—а2)___________‘
2 (аа+^ (ж«-Ьа2) Ул*+262х2_|_а4 *
я. f (х2+а*)Мх a (д2-62) х(х2-а2)
J К(х*Ч-26ах2+а«р а*4-да (а84-62)(х2+а2)Кх4+2^х24-а»‘
g Г (xz—az)2dx_____
* J у^-ьгб^+о4)3 ~
“ аь-р (Ф‘ fe>”£ <Ф> (^4-л2) УхЧ-2&аха4-а*’
11.
Л=Й1Р(Ф. *)-Е(ф.
12.
Угх*+262х2+а<
—?е—-г F arctg
с^ — Ь2 а
а2—
К24-/аа-&2
2.
а.
1.2.76. Интегралы вида
Обозначения: ф—arccos^--у——-1—. ф=arccos
(14-Уз)хЧ-Г Y
12 .2
^=3F(’- 4)-
-F===dx=—r>F(t» fe).
УхНИ 2><3
-/X=dx=^ln(x3+/F+1).
УхМЛ 3
1.2 77]
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
(33
«• S k)~E(*‘ *4
e. f * *+Ц^(т. 4)_£?£(ф, ч.
J /х®4-1 2(1 + /3)х2+2 4уЗ 2
С ----(------------------1~—Гг=Р ($, *) —
J (х-р)/х» + 1 гу З^-м-ь/з
----—V 1Z-. п (4, - ръ k) 1—I (+ ръ *)}+
2(p2+l)(p2-M+V3) 2(р24-1) w
{--4=4 —F((p ft)-----п (ф, - p1B jfe)—
2j/ 3V+1 +>3p2 2p2(p2+l)(pa+14-/3 p2)
~~~ 2pa(p2-|-l) I СФ»
[9
i (<₽, p. fe) = (-— - —- *>о» p Ф 0;
j (1 + P SUl* ф) /1 — k2 ИГ? ф
(p*4-14-/3)2 _~(р«+1+ГЗр»)2 1
Pi = ———------J Ps = --. cm. 1.2 501.
4/3 (p4 4-1) 4/3 p4 (p4 + 1) J
л f dx М12-/3ПЛ 3+2/3 \
8. I —•> - = гт—Flip, R) + —r=-HW,-tk)—
Jx/xe + 1 4f<3 * ~ 4y 3 V 6 /
_ 2. in x*+2+2Kx» + l
8 x4+2—2/хб + Г
1.2.77. Интегралы вида § R (x, /1 — Xе) dx.
Условие: O^x^l.
ы (l+/3)x2—1 . . я У2^-
Обозначения; <р = arccos ! , Ь sin — == '--------
(—1+/з)х2 + 1 12 2
Х2_ 1+/3 , . 5л /24-
ф = arccos----7—, sin — = -—~
х2-1-/3 12 2
1. f ;т=£— = ~гк Р (<Р> Ы 2. f ;?2L^.dx^-4=f (Ф,
З/1-j* 2|/3 w J/1-X® 2уЗ V
3« С - /-Х- - dx=— arcsin (л3).
J /1-х» 3
уЗ т/" |ув 1^3 1
5.
х4 . (1— /з) %/1 — х® , 1+/з_. /з,,, , „
Х 2(/Зл2—х2+1) + 4|<3 Ф‘ 2 Е Ф’
dx=—/Г^.
3
134 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.2.78.
dx _ 1 Г di
7х-р)УГ^""Т J (/—р2 3) У1^>
df
(t-p2) Vt^
[f=jt*:cM. 1.2.70 и 1.2.74].
dx У 3—1 .
--/— =---Г7=~ F (Ф, ^2)
хУ1-х® <УЗ
3+2УЗ . \ .
---~---» *2 ) "1
6 /
1 lnx*4-2—гУТ^х»
*" 8 х44-2ф-2 УГ^х»
1.2.78. Интегралы вида ^/?(x. l)dx.
1. J₽(x, y^+l)dx=
_9 4/97 С p /о «пфУ1 — feasing<p (Уз— 1)со8ф+УзЧ-1\
₽ J \ 0—cosq>)2 * 1—cosq> f
2+СО8ф—2k2 sin2q>
(1 —COS ф)2 У1 — k2 Sin2 ф
2 уъ (Ух»Ч-1 — 1)V2
’/'х’ч- 1 — Уз— 1
COS ф = '——-------;
|/х«+1 4- у 3 — 1
2. $Я(х, У^=Л)4х=
« 9 4''97 f Р /о */’97 ®п Ф1 — «иЧ (1 +Уз) COSф4-Уз— 1\
2у 27 J «^2>/27 (1_с-ф)а---»-------------------)*
2-|-со8ф—2fe2 я1п2ф
(1 — cos ф)2 У1— A2 sin2 ф
2|r?(yF^T+i)V2
|<х«—Т-1-1-}-Уэ
ух2 — 1 + 1 — Уз
cos ® = д / ...........7=-;
1 ф-14- Уз
1.2.79. Интегралы вида Ух®±: l)dx, Jl?(x, У1 — jfi) dx.
Обозначения: ф= arccos
1
У^+Т’
.к _ 1-Ух2-1
ф=arccos ., , ; ;
1+Ух2-1
Х= arccos?/ 1 —х2.
1х>8].
2.
С -=У9р/т -У
J У(х*+1)* г А
X
3. f 4/. ==2У2£/ф, -У)-У2р(ф, -Ц
J У(х2+1)% V У2/ V У2/
1*>0Ъ
U>0*
k>q.
1.2.»»]
х
1 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧ. ФУНКЦИИ
S.
'dX
Г hfc
—2Е ф,
2**/х®—1
6.
J<(x2-l)s v /2
7.
X
f ------*Xi — = F.
1
-2Г *’ WF
1+Ух2^Т
8.
4х
—Е [ ф
9.
x2rfx
х2
уТ
? -
10.
х
(* dx
И.
О F
х
С X?dx
1, 4=)-Fl,
/ V2J \
о
—Г|Х, ~
V У»
12.
dx
13.
П.
15.
О
х
х
о
^dx 2/Г „ A 1 \ _ 2
V(l—х2Я 3 F \ ’ V2 ) 3
dx
1-bKl— X»
J i+yi-x2 i/(i-x2> L к /2
135
[х>1].
[х>П.
[х>1].
Гх>1].
£*>1].
[0<х<1].
[О
[0<х<1].
[®<х^Ц.
[0<ж<1].
/2
[0<*<П.
136 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1 2 80.
1.2.80. Интегралы вида ±: (х— а), |/(х—dj )dx.
а — b—2 К(х —а) (х—Ь)
Обозначения, ю = arecos----? 'х ,
a-b-j-2) (х—а) (x — b)
M>=arccos 1/ 4 («-*)(*-&) .
V V (а-b?
2. f — ------= У2
J /[(x-a)(x-b)J3 Va-b V Ш
3.
X
C______dx_____
g V(a-x)(x-b)
=Va-b /2Ге -X-Y| —
I L \К2/ \ K2 JJ
k(wH*ft)}
4. C’ Гк Ш+f к -JU]
J J/[(a-z)(x-»)p Ka-»L \К2/ V F2 /J
£«>x>0).
1.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1.3.1. Интегралы вида
f f(bx)dx= f f(erln&)dx
J / (e°x) dx*
I* >0;
fo>0j bgfclj.
1,3 2 J
1 3 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
137
f dx 1 , -> Г h \
6. | ------------ —7= arctg ie<** 1/ „ ]
J ^ах^.се-ах aybc \ r c /
1 « e4-e°A —be
= -- -> =. - In —3_-' . ---
2a У—be c—е°л У —be
t- 5 <*= 4 >”
л f dx 1 , Vb+cef1* —Vb
J УЬ-t-c^ ayb Vb-±ceax+Vb
2 . Vb+ce<^
1.3.2. Интегралы вида §/(*> e^^dx,
1. С xM*dx=—лМ*— — f j^'ie^dx.
J a « J
л C 1 ««.j £<x* a f
X J (Л—+ X—1 J
3. J cur)
о
co
4. f dx= Jr г (X, ax)
j w»
X
co <®
5. f dx—-----------гг-Л~-?——t:—rv C xi~,«~€Uf dx+
J (Л—A)(n—A—1)...(1— A) J
X x
Л—1
e~«* _______(—l)*(ax)fe_____
*»" дл-л Xj^(n--A)(n—1—l)...(n—k—b)
[fcoq.
I^<o>
[*>4
[Ь<0].
[Rel>6].
[Rea>€>
[Rea> 0]
6. f x«4«* d№€®«l -~ + 2 ~^n ^ccft+i* X«-*
J L fc=l
7. f xe*xdx=efu'(— -Ц.
J \ a a2 J
о f _c/x4 2r • 2 \
8. I A:Wztr=faj--------r+ —»-)•
J \ a a3 r a3 /
9. p(z)^<ix=^
fe-=0
где P (x)—многочлен степени m.
138-
глава ПЁРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1-3.2.
W. j dx = (2п—1)!! уerf (Уах) —
п — I
__^л-^z ^ах V 1)1! (2ах\~^
a 2* (2п—2k—1)11 *
ь=о
п— 1
VI d*_i а«-1
dx е<** 2 (П-1ЦЯ_2) + (n-lj! Ei (аХ)>
fe= 1
[а^О].
[4 ><$-
«• j ^=/£ eft (УЯ)
1£ f -~w=-dr=l/"A erf (Ках)
J }х Га
17» Г — ^js'dx—-^ге~а*—2'Угла erf (У^ох)
J х,3/8 Vx
,8‘ f X^^e^dr^ -erfc
х
п— 1
> О е^ах V (2n—2k—3)П (—2ах)к
xn'1/i 2к (2й—1)11
л=а
[Ь>0].
14 >^.
£о>4.
ч
[в>оу
[а>0].
22. 1 --г-г-=е-а6 Ei (а64-ах).
J х4-&
т
J 2 (Г) j
' А=0
Р = х + &].
1-3-3J 14 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Ш
Л4 1 [* хеах dx _ _ е°х Р1 /zrv . 1 /*«А\.
24. ) х+& а
С х2еах dx ах—аЬ — 1
25. J ' ~7-^у~ “------еах+&2е ~ab Е i (ах+а&).
С еа1С dx еах
№- J +6-+<K'”‘Ei(“+“»)•
(* vpax Av hoax
“• J v+ffi=(4—гт» )e“+(afta_2i,^# Ei («+“»)•
29- f—Sx3_ = 'i-l<“Ei(—»+te)-e-«Ei(a+ix)].
й/ л ~ j u> «с»
[* voix Av 1
80* \ -4TS-==T[e-°Ei(a + w)+e«Ei(-a+ix)].
C p* rir I
8L J -^—Ita^EUx-^
®- f ^^-=Re[e'«Ei(x-ia)).
33. ( С*~1 <fa=BiW— C-lnx
lo
34. J t1 ~gJ,x) =<;+inJg^ci (X)+i Si 04.
0
1.3.3. Интегралы вида §f(ж, e-e^2)^.
1. | e-0^ dx=~-i0^
2. J ee*x* dx— erfi (ax).
3. f dx= # erfc (ax).
J
X
4. f x^e-^dx.---+
J 2a 2a j
Su
X2«-Wx2 (2n-1)11 f i
*= — ------Z 2*(2n-2fe—l)M(ax)^
1=0 _
t Ул (2л —1)11
*1 2я4^а2л+1|
erf (ах).
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.3.3.
1*0
4
6 * g у Я1
е. J х е dx— 2а £ (п-/г)!а*х*
к=о
7. ^xtT^dx^---
8. j^e^^dx^-^xe-^^ + ^-^lax).
Л j л-"’ Л=- ^1е-в1’.
С в-ахв я е~ах* 20 С g-et* я
°* J хР х~ (р-1)хР1 р— 1 J хР-» d
р о—а*х* 1 ЖЛ / 1 \
1 >• 1 ^=й-21ГГ-Г-ГюГ в-**** 7 (— 0* Г (п-Й+4-) а2*л2*-«я-1-Ь
1 х2« 2а2Г(д4-1/2) Ай к 2/
fe=l
+ 2Г(«+1/2) erf(^’
С -—а1** 1 _.rf V! .. (—а2^Л
?* j 2<-1)*1“-ч,в“х“’2’,+
х fe = l
(• а**в I
13. I £----dx^ - Ei (-а2х2).
J х 2 ' - й '
14. 1 -s—dx——-е~ах —а erf (ах).
J х2 х '»
«е f e~°ttS dr— 1 -а=х» ea CJ / л
15. j —— ах------—е — — Ei (-а^х8).
16. J f (х) dx=
= f f -< д h-/5(«+s). *>•]•
ya J \ 2a J L
17. f g-<axS+t>x 4-c) rfx== 1 -гЛя’ g^-4ac)K4a) erf L y~ _p -Л=).
J 2 f а \ 2 г в/
[f=c(x—6), c^O]
1.4.2.]
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
141
20. С
о
Ге2®* erf lax-j- 4- е-2®* erf lax——
4а L \ 1 xj 1 \ х)
[Re Ь» > ©1.
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.4.1. Введение.
Если R — рациональная функция своих аргументов, то интегралы вида
$R (shx, ch х, th х, cth x) dx приводятся к интегралам от рациональных функ-
ций при помощи следующих формул:
«. f R(shx, chx.thx.ctM<U r(V. Sir- £Ч)т
b=e*J.
2. ^R(shx, ch2x)chxdx=J R(t> l+t2)dt [t^shxj.
3. ^R(sh2x, chx)shxdx= J R^2—1, t)dt y^ehxj.
4. f R (Hi X, cthx)dx= f R (f, y)В =* thxj.
1.4.2. Интегралы вида ^sh^xdx, ^ch^xdr.
_ f (shx)P 1 fshx)₽1 (chxl _ p— 1 f (shxV>-s j
’• J U х/ Idixf U xf * — J fch xf “*•
_ (• fshxl2"* . x .
2- Hchx} +
m— 1
. 1 V (+1)* f2m\ fsh (2m—2£)xl
+ 22®"1 Zi 2m—2k \ k / tch (2m—2k) хГ
fe=0
C (shx)2m+1, V (+ 0m+* ZmX/chxpft+i
3,JUxf z 2Л-Н Wlshxf •
ft=O
1=0
(+ 1)* /2m+1\ /ch (2m—2k-f- l)x)
2m—2*4-1 \ k /(sh(2m—2*4-l)xJ
SEIZES-
чез’‘-т“’-г-
f ph x|3 . _ 3 Jch x| , 2 Jch 34 — - /chxl _L_ _L lchxV
7* j tchxj “x—+ 4 (shxj + 12 lsh3xj * (shxf 3 Ishxj *
•• $ U:T*U*U,,h2)t+stsh4ji=
’4^1Лхс1,х+т{аЗ’{й5
442
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
9.
10.
~P . _ 1 (sh xVp+1 (ch xl p— 2 f (sh xW+2
<te“*?=TVh*) (л4 + P=1 j t*4
shxl^m+1 ,
shx)'2"1, 1
chxj dXx2m-l
tn^-1
2fe (m— Q (д 2) .....(от—fsh xl^+2*+1
II.
fc= 1
Hsh xV2™-1 .
, > dx**
chxj
m-1
shxi-зл*
ch xj
k=l
(2/n—1) (2/n—3)...(2#t^2fe^l) fsh xr****»
2*рй—l)(m—2>...^n—6) ftehxf
(2m-1)1! fin th 4
£t
arctg shx
12
13.
ln[th|
arctg shx
“2 , (cth x)
dx=T{,, >.
I thxj
dx=
I , dix—Г
2 chx-M
2arctg<ex
2
-j£r
fshM-® _ 1 fin th * [
(chxj Ч 2 | I .
( {arctg sh x
3 j- *1
’* f th x г
1.4.3. Интегралы вида j shpx ch? x dx.
1. f shPch?xdx==^^4n“—* V Sh^ch^xdx.
J P+<7 P+tf J
e sh^xch^x p— I C ., , _
2. =------------—— i sh^xdtfxdX
p-t-4 P+Q J
_ shp~]xch?+1x p— 1 (* . e+_ .
3. e= -------------------, • I shp-2x ch ?+®x dx.
<7-H <7-H J
. sh^ixch?-1» q— I f .
4. =----------r-i-----~-r 1 shP*2x ch?-2« dx.
P+l P+l J
§hP+ixch?+,x p+q+2 f .
5. = *—-------г-c---- — ' I sh₽^x ch«x dx.
. P+1 P4-4 3
e shp+1xch?+1x , p+4+2 C ,o , .
6. --------------—:---Ь T .T 1 shpxeh?+2xdr
0-H СГ-Н J
f {eh^xchxt 1 (shxl*^1
J W*xshxJ “irpl *(dixj
143)
1-4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
143
Г Jshpx сЬ2ях|
J (ch^xsh^xj
2га+р
п — 1
V С±1)*(2«—1)(2л—3)...(2n-2fc-M)
Zi (2л+р-2)(2п4-р—4)...(2«+p—2fe)
[р^—2,
(±0я (2п-1)Ч f
(2«+p) (2n+p—2) ...(Р4-2) J (chxj
—2д].
nshpx ch2n+1x | . 1 [sh x|p+i Г Jch дЛ?*»
chPxsh2«hlxJ X~*2л4-рЧ-1 Ichxj LtshxJ
V —l)...(n—fe + П, fchxi2»-2*-]
+ Zi (2»+P-0 (2«+P-3)... (Зл-Ь-р-2$+l) (shxj J
[pgfc-u -3, .... - (2/i-J-l)].
10. Cdi»chtoto=^±^ + S£=^.
J autt*vu</*“* 2(a+b) 2 (a—b)
sh ax ch ax dx= ~ ch 2ax.
4a
Hsh x chp xi . _ 1 Jch x)p>1
chxshpxj — p+1 (shxj
13. J sh2 xch2xdx=—-b^sh4x.
14 f Jsh2x ch3x) ._lfch2x sh3x1 2 fsh’xl
14‘ J |ch2xsh3xj 4X”- 5 tsh2x ch3xj ± 13lch*xj’
nsh2x ch4x) . _x 1 . . 1 . . . I' i, c.
}dx=4:7H — ftsh2x ± sh4x4-77^5sh 6x.
ch2xsh4xj W 64 64 192
16. f sh^ch3!» dx==-^shex4--?-sh4x==^ chex—|-ch4x.
J 6 4 6 4
f (slftc ch4xi__L J51» x)2 __ J jsh2x<№x¥
j (ch3xsh4xj 6tx— 7 ichxj 33(ch2xsh5xj
18. J sh‘x ch«x<to=^ - i sMx + sh to.
f v U К 1. ch(a+fr-H)x ch(—a4-l>-F4M ..
19» j shaxsh bxshexdx 4^6_|_cj ~T(^a+&+cJ
ch(a—&4~c)x ch(a4-&—c)x
4 (a—b~j~c) 4(a4~fr—<9
20.
sh (л 4-^4-^) *
sh ax sh 6x ch ex dx—- . , , .
sh (a—b4-c) x sh (^4-b—g)x
21.
sh ax ch bx ch ex dx—
ch (a4-^+4*
4(a4-&4-4
ch (—д4~64-с) * j
4 (—a4-&+0 +
ch (a— &+c)x ch(fl+b--c)x
4(a—b-f-c) 4(a4-6—c)
144
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.4.4.
л ах ф »х ch ex <fx= sh,^+i,+V + +
‘ 4(а4-&+с) 1 4(—а4-/>Ц-г) г
sh (g—&-}-с)х sh (g-f-&—i)x
** 4(а—£>+<?) * 4(а-|-6—с)
. . . .- Г shPx , Г ch? х ,
1.4.4. Интегралы вида I -г^— dx, \ -r=— dx,
j ch?x jshPx
Г shpx > 1 shP^x p—1 C shP^x ,
J ch? x ~p—q ch*-1* p—q J ch? x
1 shP+1x p—q+2 C shP x .
= 4 —1 ch?-ix q—l J
______1 shP ix p—1 f shP~2x ,
q—1 ch?~ix^~^—1 J ch^^x^’
(*ch?x. 1 ch?~xx , q — 1 f ch?~2x ,
| -r»— dx=-----+ '-------- l —ей—dx,
J shPx q—p shP-1x q—p J shpx
1 ch?+1x 4—p+2 C ch?x .
p—1 shP~1x’’’ p— 1 j shp’2x
__ 1 ch?-1x . q — 1 C ch?~2x .
p^-Tsh^Tx + p^T J shP^x^*
Г fshP x ch-^*xi . _ 1 [sh x)P+1 Г[ch xV2n+1
’ -J (chPxsh-^xJ ~ — 2я—1 (chx) LlshjcJ
2(±I>* (2n— p—2) (2n~p~4)... (2rt—p-2k} (ch xV2«+2fe+1|
(2n—3) (2л —5) ... (2л—2fe — 1) Ish x) ]
Пя (2»-P-2) (2л-р-4)... (-p+2) (-P) Г jsh x)f
l' (2n —1)!! J \chxj
8.
nshP xch-2»-^ = + 1 fsh xW* Г (ch xV^1
chPxsh-2«~*xJ ~ 2n(chxj Ltsh*J
2(±l)ft(2ft—p—I) (2n—p—3)...(2л—p-r2fe+l)
2* (n— 1) (л—2)... (n—k)
ch ху^п+2к
i sh xt
fe= 1
(2n—p— 1) (2л—p—3)... (3— p)(l —p) f jshPxch1^
chPxsh1*
2«n!
9.
sh^xch-1
ch2/Bxsh~i
(Tl)m+fe (shxV^-i ( arctgshx 1
2fe—1 tchxj (in | th (x/2) | J
sh2/n+1xch~ix'J
ch2/n+1xsh~ixl
chx
| shx |
k=i
m
(+l)m+fe fshx)aft
2k (chxj
chx 1
1 sh x |
|ЛЛ.]
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
145
11. т t* (sh9m+1xch~inxl._ Vi (Tl)”4* Zm\ (chxj 1 lch2m+1xsh-2»xj “' 2k—2л 4-1 \k) Ish xj * J 4 fe=o
12. m C fch^^xch-®»-**) . _ V (+l)m+ft fm\ (ch xj26"2» J (ch2m+»x sh-2»-» xj dX~ Zi 2k—2n\k) (sh xj + l> k—0 k Ьф.п +(«)»«(“) m
13. m V (+ l)m+ft frn\ (ch x) " Z 2k-2n \k) (shxj la> mb fe=0 л
14. Г (shx ch“₽xl . 1 (ch хрУ*’1 J (chxsh_Pxj ~ p—1 (sh xj *
15. Г fsh₽ x ch-₽-2x( 1 (th x J (chpxsh_P~2xjd*_*“p-H (cthxj *
16. (* (shxch-1x) J , ( chx 1 J Uxsh-ix/‘fa=InUx|J-
17. Г (sh2 x ch-1x| _ (sh xj _ j arctg (sh x) j J (ch2xsh-1 xj X~ (chxj "* (in 1 th (x/2) |j *
18. Г (sh3xch-1x) , 1 ,, (chx) I s . . 1аг=-зг-сЬ2хТ ln{. , J (ch3xshlxj 2 (|shx|J
19. f jsh4x ch-1xj . _ 1 (sh x)3 _ (sh xl j arctg(sh x)l J (ch4x sh-»xj x~~ 3 (chxf (ch xj (In j th (x/2)|j
20. Г (sh x ch~2x| . (ch x)-1 J tchxsh-2xj — IshxJ
21. (* (sh2xch 2x( . _ _fthxl J ich2xsh~2xj X~X \cthx)
22. (* jsh3xch"2x) . (chxl t (chxr“* J (ch3 x sh-2 xj ~~ (sh xf “ (sh XJ
23. f fshQch^xi . _3 1 ^.fthxi J Wxsh^xr 4' 2 x+4 sh2x-{cthxr
24. (* (shxch-3x| . |__Lphx(2 J tch x sh-3 x] 2 (cth x f *
25. C (sh2 x ch-3 x( . 1 (sh x ch*2 XI 1 j arctg (sh x) ) J U^xsh^xf^” 2 (chxsh-2xf 2 1 ln| th(x/2)| J*
26. f (sh3 x ch-3 x( . 1 j th x )2 j ch x 1 J Uh3xsh 3xJCtX~ 2 (cthxj ~|“ш (|shx|j
27. f (sh*xch-3x( . Jfshxclr^xl Jshx(_ J3( arctg(shx) 1 ' (ch4xsh-3xKX—“ 2 (ch xsh~2xj'f(chxj ** 2 (ln|th(x/2)[ j’
28. C (shxch“4x1 . l_ (chx(~? (chxsh-4xj 3 (shx)
14&
ГЛАВА IWMtML НЕОТИ«ДВЛЕМНЫ® ИНТЕГРАЛЫ
П + 5.
f (sh2 х ch-4x) 1 f th xV
J Wxsh^xf*^ 3 |ethx>
лл f (sh3xch"4x) , (chx)-1 1 (chx)"2
30. I i u-д \dx= —{ . 1 ±~s-t . } •
J Ich’xsh 4xJ tshxj 3 (shxj
Hsh4 x ch-4 x) . 1 ( th x 1» ( th x ) .
ch4 xsh~4xj 3 Icth x г t cth x J
1,4.5. Интегралы вида C ***.=•
r J shFxch^x
t C ***_________________1__________P+<7~2 C dx
J shPxch?x (p—IJshP^xch^x p—1 J shP"2xch?x*
,_________________1_______, P+<Z—2 f dx
' [Я — 1)sh1*-1 xch?1x g—1 J sh^xch? 2x*
я С — "V ------( 1\
J sh^xch^x 2m—2k—l \ k )
k = 0 i
т-4-п
«• j аз=ч£р^- 2
k =0
f fsh-anxch~1xl ,
5* J tch ^xsh-ixf
_ V v)fe р&хГ2”1*2*-1 , z„ f arctg (sh#) I
— 2m-2fe4-l IchxJ “rt+V (x/2) |J*
k=i
a f (sh-^xch-1#! . V (sh ду2”^2* 2 t /_
®* J {ch-^-Jxsh-1#} dx" 2i 2m-2fe+2 Ichxf +(* Ь)®11фМ«
7. ( nA--------ln|tb*|.
J shxchx
Hsh1 x ch~2 x) . _ . jch x)'1 jIn I th (x/2) h
ch-1 x sh~« xj “ Ish xf I arctg (sh x)J
o f (sh-xxch'^xl_________L/thxV^ln H thX| .
9* J {ch *xsh~*xj 2 {etbxf * |tcfchxf
И str1 x ch~4x) . _ (ch xl 1 1 (eh xy3 Па I th (x/2) |1
ch"1 x sh~4 x]dX~ ish xf - 3 Ish xj I arctg (sh x> f
11.
12.
-_-r±—»=-2cth2x.
sh2 x ch2 x
rsh-2 x ch~3 x) . Uh XV1 J_ fchxch 2 xl 3 (arctg (sh X) j
{ch"2xsh"3xj ^=”{chx> ~ 2 fchxsh"M 2 Цп | th (x/2) ||
jsh"2 x ch"4 x^ X (ah-1 x,ch"3 xt _ 8 dh2jt
{ch 2xsh"4xK * 3 >h Mah"3 4
_ ___= — th2 x —cth2 x—2Jn | th x |.
sh3xch3x 2 2
147]
1.4. ГИ6ВРБОЛИЧКЖМЕ ФУНКЦИИ
nsh~3 х ch-4 x( _
dr3xsh~*xlax~
e +2?* *VS___L/Ch*l"* — x fch x sh2x) _ 5 (In I thД/2) П
%&faxf 3 IshwJ 2 uhxch 2x| 2 t arctg (sh x) J ’
ft* Г • —— 8cth2x—cth3 2x.
J sh4xch4x 3
^ffihwdx, ^cthP.xdx.
1.4.6. Интегра л<а Эй да
nthx|2« X1 1 fthx)2«-2*+i
cthxf * 2L 2n—i*4-1 (cth xj
fe=i
f Jthx|2«+1 _ у 1 f th x) 2*^-2 [chx a
J (cthx/ Z 2rt—2*4-2 (cth xf +ftli|shx|f*
(-» l)k f n \ Jdi x(-2* f ch x (
k \ * / (sh xj + (|shx|J*
f [thx(2
J
dx=X—
thx(
cth xf
1.4.7. Интегралы вида Jj£(shx, chx, thx, cthx)dx.
C -A-l-Bchx-f-Cshx
J (a-|-* ch x-f-€sh x)“
Be — C64-(Xc—Ca) chx4-(46 —Ba) shx 1________
~ (1— п)(а? — &2+c2)(a4-hchx4-cshx)«*1 "* (n— 1)(a2—й»4-с2) X
C (n— 1) (Aa—Bb-j-Cc) — (n—Q)(Ab—Ba) ch x—(n—2) (Де—Ca)sh x .
J (a4-& ch x4-cshх)л1
Вс—£6 —Ca chx—Bashx
e (a—l)a(a4-6chx-|-cshx)<*’'
+ M !^Ь.-Сс11 (C chx4-6^h *) /("--inr x
^| a ~ (n— l)a2 J4 1 '(2n—l)!l
n —1
v У ________ Га*+c*= й*1-
Zt (n— k—l)!a& (а4-6сЬх4-съЬх)я~*
fe =0
Л4- В ch^+^ shx . _ O>—Be
aA~b chx4-cshx c2
In(a4"^chx4-cshx) +
t Bb—Cc , ( . B& —Cc \ С Лх
г bt—(^ \ ~a J J a4-&chx4-c&x
10.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
A4-^chx4-Cshx
А (В 1~С) Ь
а 2а2
[1.4.7.
2^— (chx + shx)4-
:±в А (Ств)гл. . ,. . t к ,
“26“ “~а~ ' ^2~ ]111 <а+bлх~Ь
[ofc^qj.
dx ~ .
-------------- - f-— —— arctg—.—
8'4~£chx4-cshx г а8—4® у&2_а2_
(d—b) th A—c +Уа8—
If____ л»
/в8—h^+c8
(a—b) th ——с—К^—бз+с*
£
(achx-f-b shxy* (аР—b8)”^2
1
(68-а8)я/2
[6*>а84-Л e^bl.
[6’<а84-с1; a^bj.
[в=Ь, t^O}.
[Л>|МЬ
с \
2
2
2
2
U*=at4-«*J.
А
А+В ch x+Cshx _______
a ch х4-Ь sh х Va2—b2
иР—Ь2
[а>|Ь[Ъ
12.
-г;-- -—- m
Vb2 —а2
b8—а3
13.
14.
х-f-Arth —
th----------Ъ-
2
|(СЬ-Ва) x+(B6—ta) Insh (x+Arth у)]
В~С
4
[о—fcj-
1 ГВ-С
а I 2
[а~—Ь].
р>1«0*
2
15.
dx
a-l-bdhx
In
л
1.4.7.1
16.
17. J
18.
19.
20. f
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ t49
J
= - - Arth —г .
)/й2_|-Ь8 Уа2+Ь*
dx 1 . 64echx
-------- = -7= arcsin---—— [6*>а«; г <01.
a46chx У b2—a2 л4-6сЬх
1 . &Ч-ЛС11Х
= — "у.".- arcsin — ----- [Ь‘>а«; х>0].
Vb*-a2 a+b chx
а+Ь+^а2—Ь21Ъ~
= —г. . In-------------------- Го* > 6*1.
—62 а + &_|Ла2_62 th А
А 4-Я chx-f-C shx .______В shx С_____________1_____
(1 ±chx)® — (1—л) (1 ±chx)« “ 1—л(1 Jzchx)®1"^
п—1
+(JL_B±A\ (”-.P!.Shx у <2n-2fe-^______________1_____.
\я-1 у(2я—1)!! (л-fe-l)! (l±chx)«*
21. f ± Bx ± С In11 ± ch х |+(А + В) ^±-1.
J 1 ±chx 1 1 1 ' 7 shx
_________A-4_Bchx4£_^2E____________f(K__
(0^4- ch x4*Ci shx) (аг+62 chx 4-c2shx) ~
_ л ln fli+6ichx4cishx A C__________dx________
e24-62chx4-<^shx *" xj ai461chx4£ishx"‘~
4A« f --______________
2 J O24^achx-f-Cfcshx *
где
Oi 6X Cl
ABC
«1
I ci I
IB Я
«2
Д1 bi
62
bl Cl
Ci «ill «1 bt |
C AjJ A B|
bi______Cj_______
bt ct la__ ct Ol I2 ’
bi C8| Ci в2(
«1 bi Cl
C BIIC A IB A
ci b^ 11 c2 162
______g2 b% C2_______
Oi bt I2 . | 6i ci |2 __ I Cl Ol
®2 Ь^ J I 6a C& | | C2 ®2
Dai 6i|* , pt *t j* Я4t ®i|»l
Ol 6j I I 6» Ci I I Ci Ui I J
J5Q ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ £L 4.7.
С A ch2 х4-2В sh xch х-4- С sh2 х . _
J ach2x4-2bshxchx-|-csh2x —
-ibi-(a+c)‘ {^Bb-(A+Q (a+c)]x+
4-[(Л + С)Ь—В («4-с)] In(ach2x-|-2bshxchx-]-csh2x)4-
4-[2(Л-С)Ь2 + 2В&(а-с) + (Са-Лс)(а+с)1/(x)}»
где
,. . 1 . cthx-J-b—УЬ2—ос
2J/&2—ас cthx4-&4~y&2—ос
arctg
cthx4-fr
Уас—Ь2
1
cthx4-h
{$*грас]>
С Л+ДсЬхЦ-Cshx . _
J shx(a+£shx)
=—Гл In I th In
al 2 I *
- j11.*.- |+(C«-Ah) C
a4~bshx| ' J
dx 3
a4-bshxj*
shx(a4-6chx)
a-j-b ch x
sKx
a4-behx
sh x (1 ± ch x)
th (x/2):
cth (x/2)
shx
f ЛЧ~Д chx-|-Cshx , _
J ch x (a 4-^ shx) ~~
= ~2j тг2 Г(Ла4-С&) arctg (sh х)+(Л£—Ca) In
U —I С/ | _
a-f-b sh x
chx
dx
a-j-bshx*
on f ЛЧ-Д chx+Csh^ .
J chx(a4-bchx)
== — [Л arctg (shx)—C In I -^1—(Л&—Ba) f ,
a|_ ' ' I ch* I ' v e+och*j
29. f----—----= ---arctg (1/^-— 1 th x) > lb
J a-J-bsh2x Уа(Ь—а) a I
30. =-z 1 Arth (]/ 1-A thx)
У fl (a — b) \» a /
[0<t>/a<l] или [6/д<0. sh*x<—fl/bj.
31. ^2_Arcth(l/r 1—— thx| &/a<0. sh»x>-a/61
Уа(а—6) q /
32« =J- thx [fl=b].
I 4
1 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
151
1 fArth (V2thxh
aK2lArcth()/2thx)J
[в——6, sh*x<gn.
34. ( =тл- *, (V''~ (1 *"“)cth x) гм«<-и.
J a-\-b№x у—a (a 4-6) \F \ aj /
35. « ^-.Л, tisArth \ 1/ 14- —j cth x) I— 1 < b/a<0, ch*x>—e/&J.
ya(a~i-tf) \“ a 1
36. = r * Arcth (1/ 14-— cth x)
Ka(a4-6) \r в /
(6/A>0] или [— 1<6/в<0. chfx<5~a/6J.
37. = ‘Jtfc Arcth (K2 cth x) [a =61-
ayz
38. = — cth x [a=—bj.
a j
M- f(“+6{chx})’‘‘te=
= M^[±dshxC1,x(a+6{*x}T+<6*a') f (в+На$Тл]-
C dx 1 1 -iFb !~lFb
40- I —гтйл“ = —rrl*+1/ — afctg 1/ — thx}|
J a 4-6 th2 x a4-&L 'Fa kr a /J
.. 1 Г i * t F=^-6thx]
41. =.--I x4 7=== In ^7===--1
a4-6L 2 К—db Y— 064-6 th xJ
=^х+ёЛ2х
[a&>0. a+65^6]-
[a&<0,
[a+6=01.
1.4.8. Интегралы в ид h /? (sh (toc-j-b)i ch (cx4~</)) dx,
j f /sh (ax+ 6) sh (ct 4- d))
\ J ich(4fc4-ft) ch(et4-d)J
= 2(^4.C) l(«+c)*4-*+d] + 2^=^8,1 U«—c>x-b-<
2. ^h (ax+6) ch (ex 4-^0 dx=
= 011 [(a+c)x+*+dl+2(?=4 Лi(“-C>
_ f (sh (ax4-6) sh (ax4- d)) . — x « , 1 . zft . , A
3> J {ch(ax4-6)ch(ax4-d)J^~4‘ 2 ch<6— «O+^sh(2ax4-&4-<*).
4. f sh(ax4-6)ch(ax4-d)dt=-^sh(6—d)-b~ch(2ax4-&4-d).
1.4.9. Интегралы вида C shPxf8?0^
(chaxj
th ax)
ishaxj
. _ fshax!
ch₽ x { .
Ichax
dx=
sfaP^x
152 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {1.4.9.
л С , „ (shax) . 1 Г Ln fchax) , С , „ . fsh(a— 1)х) , 1
2. 1 chPx{ . >dx=—г- ch*x{ . >4-р I chP-1*^ . ) idxi.
J (ch ax J P+aL (sh axj J (ch (a— l)xj J
о fun fshx(P, /21» (Г1 fshx)^2
3. I sh2nx < . > dx—<. |—rsA . > +
J (chx/ ((—l)n+1/Lp+2 (chx/
yl nl>(4n«—22) (4n2—42)...(4n2 — W) /shx^^»]
+ Zi ) (2Й+1)! (2fe4-p4-2) (chx/ ]• 4
4. f ch2nx|sJ Vdx=(±l)« f Is? Vdx+
J (chx/ J (chx) T
। V, l4fc4n2(4n2—22)...[4n2—(2fe—2)2] f fshx^P л
+ Z U (2fe)! J jch xj
5. CshPx^^+^l^^sh^xff^tP/k
J (ch(p4-2)x/ p4-l (ch(p4-l)x/
f-‘-eSi3:)'--Fh"-es:8:)-
. V /4- ,W К2»+1У-1«Н<2»+1)»-ЗЧ...[(2в4-1У-(»-1Я v
,A'-r (2t+1)1
nshxjMHpH л
M *}
r jshPxch(2n+l)x) . (ztl)ra (shxjp**
J (chPxsh(2/»4-l)x/ P4-1 (chx/ ”*
. У na+ft [<2«+ l)a—1 al l(2n+ l)a—3«1...Ц2П4-1Р- (2fe—IpJ
+ (2А)! (2Й+Р+1) X
k=l
(sh xl зл+p+i
X (ch Xj [P^-3. -5, ... . -(2л+ 1>K
9. f o* 5h^~^)J+(± о"*-
J (ch(2n4-l)xch“1xj v 1 2n^2k ' f
k=Q
N C (sh(2«+l)xdi-ix1 y‘ ch(2n-2t)x te ip In/ L
J (ch(2»4-l)xsh_1xJ ’ 2n—24 ' \jshx|J
k— 0
» f Sh2nx/Sh Vdx=2 V _J±nL_fsh(2«-2t-i)x)
1 sh^uk^s dx-2 й-a-i ich(2n-2»-l)xJ*
ft = 0
1.4Л0)
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
153
12. С . о (sh х) 1 . 1 ch2nx{ , 1 ах= J IchxJ n—1 -9 V t± 1)* (<* (2n- 2^- 1)X) , ?fin 1 th (x/2) 1) 2n—2fc—1 \sh (2я—2fe—' t arcsinthx j k = 0 f _ (shx)~w , 2 fshxP'®
13. 1 sh2x(, ) dx=s { . } . J IchxJ 2—я (chxj
14. f . (sh x)-4 . n. (| sh x П 1 di2x{ , > dx— 21n{‘ . J (chxj I ch* i
15. f ch 2x Is?T’ dx=2 ± I1” 1,h ™ 1). j IchxJ IshxJ t arcsinthx J
16. Г . л (shx)-4 . fcthxl , л i ch2x{ , У dx=— )+2x. J IchxJ IthxJ r
17. f , (shx)-8 j 1 (chxsh^xi 3 (In [ th (x/2) 1) lch2x(. > dx—— } + - /к к J IchxJ 2 (shxch2xj 2 (arcsinthx J
18. f (sh3xsh-1x) . . 1 < , „ , , >rfx=sh2x±x. J (ch3xch-ixj
19. f jsh 3x sh-2 xi . . jch X| . * Jin | th (x/2) ft J Ich 3x ch-2 xj tsh xj ““ i arcsin th x j
20. f tsh3xsh~8x) . . (cth XI J Uaxch-*x}‘fa='u-3U4-
21. f Jsh 3x ch~« X| 4 (ch xl®~« _ 1 j ch x J tch3xsh nxJ 3 — n|shxf 4~ 1 — ntshxJ
22. f (sh3xch'ix) . _ . _ . fchxi l-Juo.. t.-i z^*=2sh2X4pln (,. ,1. J (ch3xsh *xj l|shx|J
23. C Jsh3xclr«xl . IJthxl® ' Jchx*! J tch 3xsh"®xJ 2 (cth xj + J|sh x|f 1.4.10. Интегралы вида J/?(sh2ax. ch2ox, yr^x2ax)dx. Условие: ax>0. Обозначение: q>=arccos ? -r 1 4~sh 2ax
1. 1Гг/ 1 \ f Ml i ]/sh 2ax (I + sh2 2axj Jo (’• n) Г5-)]+ « l+sh2« “
2. Г rshZaxdx / 1 \_E(9. -XJ]- J(I+sh2ax)4 4a[_ \ F2/ V ^2/J
154
глава Первая, неопределенные интегралы
, f dx 1 _ / I \
3 . I —---Г I®, —7=1.
J ]/sh2ox 2а \ V2 J
х
4 С ch82axdx__________— \
J (1 + sh 2ах)2 Ksh2ax 2а \ V2 ]
5 f 0 ~sh 2ax)2rfx _ 1 г / I \ / 1 VI
J (1+sh2ax)2 j/rsh2ax 2aj_ [ ’1^2 J \ ‘ V2 / |
6 . f -____(l+sh2^. ^=lnfyt^t
J [(14-sh2ax)2 — 4p2sh2axjKsh2ax 2a \ У2/
1.4.11. Интегралы вида J/?(sh2ax, ch2ax, "Kch 2ax)z/r.
Условие: ax>»0.
Обозначение: ®=arcsinl/ SL^LzzJ.,
V ch2ax
x
1. f |^ ch2ax dx = —Г/7 fф. -r=\ —2e (m, —Y| + -.
J «K2L \ /2/ V /2/1 аКЕЕШ
7 УсЬгахЛх 1 / _ 1 \
I---------------------П { ф, О2, -7= J .
J p2_|_(l_p2)ch2ax a/2 V /2/
3.
x
C dx I „ 1 \
J Vch2ax df2 \ V2j
C sh 2ax dx 1 r r------ ,
5.
Csh»2ax<fe_ _/2g7 1 \ +lsh2atyS2S:
J Kch2ax 3a к У2/ 3a
jlh22axdx _ /2“ f 1 \ th 2gy
J Kch2ajc За \ ’ К2/ 3aKch2aa*
7. f - = —M2E (ф, -LA (ф, J=Y|-
J УсЬ32ах aK2L \ У2/ \ О ] j
K4.12J
>Л ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
165
14*12- Интегралы вида J/?(shxt chx, Ya + bsbx)dx.
Условия: а, Ь > 0, х > xt.
]/д2 4- ba — а — & sh х
Обозначения: ф=arccos л. ,
Уа2-4-624-в + ^8Ьл
, /д + Ка2 + &а
у 2 Ка2 + &а ’
в
xt~—Arsh'jp
I. [ &==¥&+&if to, k}-2Eto, + + .
J V <&+b* + a + bshx
Xi
_ £ У^дЧ- b sh x . i/—T~i~Sa p / + &a — о „ . ..
2- J • •• X, -ix-ta' + VEto' *)- F(*- *>-
Xf _____ ________ ____________________
_ д Ч7 У^2 4~ ^}^az ~Ь b2 — Д — b sh x a -|- bshx
b yra2-|-b2-]-a4-bshx ch<x
3. \ЛхУ1+.^*^2\Г^--^Arctbl/y<“+?*3
J p 4-0 shx Г f T aq — bp
[6 sh x > ft (a?—bp)/9 >• 0].
4. „2Т/Г^^Arthl/ j-<a + tsHI)
f g V aq — bp
JbshxCft (00—1p)47>0J.
g. C yfa4-&isfixdx___
3 [Ka24'&2—°—bshx]2
X1
=-... I. Eto. »)+-7=^=--------------ЛхУа+Ь^х
^д^Ч-^С^Н-б2—a) Уд*4-Ь2_a fl?4-b2-(o4-bshx)2
X
7. f 7- = .-FJ =.-.F(<pt A).
J /a-fbAx У a24~b2
xt
________ ^ixdx _ - - =------1- E (9, Й.
(yra84-b24-e4-bshx)2Vra4-bshx b2^/^+i®
10. f cthxdy_ = 2 ArdhlA-f—s10 11*
J Уд4-ЬзЬх Ya
*1
ffrshxXfe10>O).
IS6
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.4.13.
II. =j^Arth/ 1+>х
IX ArthJ/r— (14-j-sh*)
[ft sh x < 0; a > ffl.
P<OJ.
1.4.13. Интегралы вида |R(shx, chx, chx—a)dx.
Условия: b >> a > 0, x > 0.
Обозначения: ф—arcsin ~\Гx.~
Y У bdux—a 9 Г 2b
1. C yrbchx-adx=(b—a)'l/~F(ff, Jb)-2/2ft E (<p, _
s' * ° У bchx—a
2- j ?"arf=r’,fc=l|'“+5lF (ф. ВД-
0
-/fn».
3.
j/fr chx—odx
pfy — a-yb (1 —p2) ch x
p*. *).
dx -i/~ 2
KPchx—a V b
F (<p, k).
5.
chxdv
Yb chx—a
|Л^-[Г(ф,Л)-2£(ф, t)J
2 shx
Yb chx—a*
X
л C shxdx 2 r.r.—;------ -.Г-.-1
6- \ VT=T= = T Wb ch x—a—Г aL
J У b chx—a b
к __
7. f r = = —Ц Т/ — [26£ (<p, k) - (b-a) F (q>, fe)J.
J Y(b chx-a)® 6a-a2 F b - w ’
8.
e (Chx-M)rfx 2 ,/*2
I \ — — = —— I/ — E1Ф» я),
j 1^(6chx—a)3 b—a r b
1.4,14. Иите гр алы вида R (sh x, ch x, ]/hchx—a) dx.
Условия: fl>fr>0, x>xt. _____
- i / 6 ch x—a . -tf 2b — Arch—
Обозначения: ф = arcsin у Ь(сьХ— [у k=" у ^b 1 1- 6 *
X
X£
Ybchx—a dx=— 2Ya+b E (<p. fc)4~2 cth% Yb ch x—a.
1.4.15-1
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
157
х
*1
I
4. f------ == (Ф*£ (Ф» *)J+
J (сЬх4-1)УЬсЬх—а Уа-yb (a-yb) shx
xt
5. ( ------^== = E (Ф, k) —T-JL-- F (<p, k).
J (chx— 1) Уb chx—a a—b Уа-±-Ь
X
e. ( ** .rv/JmK“+»)F(Ф.Ч-И+ЭДЕ(<p.*))4-
J (сЬх4-1)аУ bchx—a ЗУ(в-|-Ьу
if»
, /bchx—а /oa+3b .. a x \
3(z?+b)shx\ a+& 2/*
я
7. ( ------=
J (chx— l)aFbchx — a
*»
“ 77---l<°’-26) (“-»>''(». *>+ P»-W (»+») В (Ф- 41+
3(a — Ь)&Уа+Ь
, e+& ch (x/2) ,/—r-
+ Ы (a- b) sh3 (x/2) ^bchx^
1.4.15. Интегралы вида ^/?(shx, сЪх,!^»— bchx)dx.
Условия: o>b>0, 0<x<xt.
Обозначения: <p=arcsinl/
T F a—b
k=l/~, x1=Arch
F a-f*» *
Xt
I. j /a-6chxdx=2 У^+Ь [F (ф, k)—E (ф, fe)].
X
Xt
f dx 2 _. ..
V r-.— . = = —7= F (ф, &)•
'У a—bchx Уа+Ь
_ f shxrfr 2 ; "j'“
3. I ~7 - ---—У a—bchx
J У a—bchx b
ch xdx 2/a4-b M
—------------—£(ф, k)
ya—bdix b
9
= У(Ф,М
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
<(Ы. IG.
Л Уа—bchx ЗЬУа-}-Ь
4qYa + b
ЗЬ»
Е (<р, #4-
+ shх Yd—b chx.
С ____dx_____2b f a—b \
J chxKa—b chx aYa-j-b v a * /
x
C dX 11 *л 1 M*
J (l-f-chx)Ya—bchx Ya-j-b a-f-b 2
8. ? ———^=== = —?=== ((“+») £«P. ft) - bP (V, *)] -
J (14-chx)aFa—bchx 3p(a4-b)3
. th—Уа —bchx
-5(5+SF “ Ax-H Р-МИ-И-3»)**
t dx 2
J >(e=^b—ap34-bpachx)chx (a—b)Y^-^b
1.4.16. Интегралы вида J/?(shx, chx,Xa+6chx)<£r<
Условия: a>b>0, x>0.
ОбьзвЯченйя: Ф =» arcsinг th j t •
x
1. J Ka-b'bch xdx=2Y&+b [F(q>, k)—E (ф, b)]4-2 th^-/а+ЬсЬх#
о
2.
X
e
3.
- К ^=2
p-\-q chx
Arctfa
[(<?<?—bp)!q>V\.
5.
6.
^Arth
[(a? —
f 2 r. l\
I —r _ fr— =Jt -yrte-:— F (Ф, »f.
J K<»4-hchx У a~fb
J Га+6сь* b
= 2
1Х17-Ъ
E4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
159
х ___
_ f* chxdx 2 2Ув-|-Ь 2 .. x —г
7- i i7—,~т -r— = F ----------Z--£ (Ф. + — И» -r Ув+Ь chx.
J Уа-l-bchx ya-f-b b b 2
X
8. Г--5*1*7 L .dx=—[th ~ Va+bchx—Va+b E (ф, *)].
£ V a+bchx b L 2 J
». At=4 *^7 !(<+3») e (ф, *)-»г(ф, ед+
J V a+b chx
+ А [б ch’~ -(o+34)lth iУо+4сЬл
Ж f-7==—±=—=^2Vo'Arcth"l/~l +—chx.
J ra-j-bchx Г a
C th2 (x/2) . 2|/а+6г₽/
11» t r-——-———dx— [F (ф» b) E (ф,
J V a4-bchx a—b
X ____
1O f dx у a+b 2b г/ M
*2. I ------ - -=----м----------------т=Р(ф, Jfe).
J (chx~H)pGi-l-bchx* a—b (a—b)Va+b
X
13. f-------^__==-----------L—=[b(5fr-a)F(ф, jfe)+
(chx-M^Fa+bchx 3(a-^)2/a+b
+(а-34)(о+»)£(Ф.
X
1. f (l~Kchx)dx 2
14. I ;--------1-----—^r- - —.= = к — П(ф1 P8» b).
H+P*-H1 -’~Pa)chx|)^a4-bchx l^a-j-b
1.4.17. Интегралы вида
^/?(shx, chx, Ka2sh2x±W, l^b2—^sh^Xi ±6^t
У^Ь2 — a2 ch^ x) dx.
« C 1 (shX) . . /(chx) , l/-r=-=
2. I z — / y.dx=ln(< l+rsh2x—a2
J V sh2 x — a2 (ch x) \lshxj
j Г 1 Jsh *1 dx—farcS in °2 + H
J К a2—sh2x kh xJ Urcsin [(sh x)/a] J
[sh*x>e*J.
fsh*x<e*].
4. C -_l==Jshj4dx=ln(,|chx]+Kch2x4-a2\
J Kch2x4-a2 (chxj \lshxj /
5. f r 1 /sh *1 dx=In (F1 Xl + Kch2x-a2
J У ch2x—a2IchxJ \lshxj
160
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.4.18.
6. f 1 fshjrt dx=( arcsin [(ch x)la] |
J Уа2—ch2 x Ich x) iarcsin [(sh x)/Kd*~-UP
X
7‘ f Fir/a i,~2 ; “ F (arcsin th x> Vi—ft?)
J V l-4-fc2sh2X
[ch2x<alJ.
£*<!].
x
8* £ г/-- - ^ . = = F (arcsin th x, k)
J F#+(1-A2)ch2x v '
[*>0; fe«<lj.
x
0. f 77= =i F /arcsin - p^l—jfc2^
J FT—jFch2x \ Kl—£2 )
[o<x<ch(l/V i-fc*)*» fe*<«L
CO
« rfx
10. I -у - — — F (arcsin sech x, kj [x> 0; k* < Ц.
J Vch2x—fe2
oo
11. f -.= = F (arcsin sech r, F^l—A2)
J K^x+Jfe2
[x>0; й*<1].
1.4.18. Иятегралы вида J#(shx, chx, y"ashx4~6chx)dx.
Условиям b > a > 0, x > xx.
a
Обозначения: <p=arccos -r — .=. =;?, xx=—Arsh-7==.
Kashx4-hchx ^2-a2
xt
2.
dx
P Ф.
— 2E l ф,
2 (a ch xj-ftshx)
4 ₽/ 1 \
-----F [ф, 77= J.
&2—a2 к F2/
Г (Vb2—a24-ashx+6chx)dx n -**/ 4 ,L\
ft ft J 1 ф
J lAashx-t-bchx)3 r b2—a2 \ У 2/
Xt
1.4.19. Интегр алы вида JXthxdx, JKcthxdx.
1. JKthxdx^ArthKthJf—arctg/thx.
2. ( Kcthxdx—ArcthУсШх— arctgVcthx.
1.4.20]
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
161
1.4.20. Интегралы вида
2.
dx=
(shxP«
(chxj
sh?1 x ch x]
[ch?-1 x sh x]
₽(P—0 f
<72
l)« Pn___________
r \n/22n(m4~l)
n — I
+zsk 2 (* f t'"ch(2n-2*)j:A‘-
fc=0
<7 — 1
Q
sh xi ?-2 ,
. } dX‘
chxl
xm
[sh
'chxj
rfjc=2^ 2 1)4
* = 0
2«+l\ f Jsh(2n —2fe4-l)x)
k J J tch(2n—2fe+l)xJ
n — 1
4. f жЙТ««=7Лт У (TD><2"+1)(?n-1> -e«-i*+Dx
J |chxj 2n+l^v 2s1 ^(n— 1) ... (n—k)
Г —1 fshxp’-®* , jsh2»-2*-1 x ch xH . ..n (2n—l)!!*x®
X|2n—2felchxf +*ich2«-2*-*xshxj]‘K*' 2‘
_ f [sh x)2/1+1 ,
5. I x{ . 4 dx=
J (ch xj
1 Vr-n* 2*(«+D« ... («-*+!) Г —I (shxV^-2*11
= n+lZl(4 j (2n+l)(2zi—1) ... (2i—2H-l)L2n—2H-1 Ichxf
k=0
fsh2»-2Axchxn
"•"X \ch2n-2fe x sh xj ] *
n
x»-r«{**}<fx=(2B+J)t 2
A.= 0
Г x2*+1 fch x|
|(2H- l)i tshxj
x«* ishxH
<ayi tchxf j*
6 А. П. Прудников н др.
MS ГЛАВА ПЕРВАЯ' НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
мл Г (sh хР . х , л 1 . п &
12. I х{ , > dx——sh2x—g-cb2x^=——.
J Ich xj 4 fk 4f
n. f *Г?*Г<&=+(— «*+-Ud,Jl+f-+-Ud,H±:
J IchxJ \4’ ' 2 ; IshxJ ' \Г2 54/(sh 3xJ
.J f0Xt jerfshSn
. 2; *lcbirr l&W&fr
1Л.2». Ивт^гй^лы вица J Дж,
t f _L Is11 *V dx—___1 (sh *\9 '______(sbff^xdiлМ;
j xPlchxj — (p—IchxJ (p—1J(P—2)x^2 |ch?~i.xshxj “
. ?(<?—1) , f t (shx)?^^, ф C 1 (shxH.
(P-1)(P-2) J aIchxj b(p^ l)<p-2) J IchxJ
fc4.2feJ 1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ '163
п — 1
4- 2 (*D‘(2;)ehi(2n-2t)*+^^n)ln|x|.
J к Jt=O
С 1 jshxi*»** , 1 V, r^nfc72/i-hl\ jshi(2n — 26~H)x1
®* j x Ichx j 22л Zi \ k / ichi (2n—2fe4-l)xJ*
• k=0
(* 1 (shx)2® . (т1)»/2л\
”* J x2 Ichxj ' 22лх \-n]
n — 1
- 1 1Хг/^ГсЬ(2л—2fe).x .. ,n O1A 1
2^л~1 (* 0 Ш1 x ~ (2^ 26) shi (2/1 26) xj.
• *=’0
1 |shx)2n+1
x2 Iclrxj
J_ /sh (2/1—264-1) x) 9b.n jchi(2n—264-l)x11
X Jch(2/1-264-1)xj И»--® +1) |sh.
x 1
JI fsh x) , (shl xl л (* sh x . ,.
—{ u -Hfr=’{ t* •• I ----------dr=shix.
x Ichxj (chixj .J x
, q
X
<л f chx— 1 . «
10. I ------dx —chtx—lax—C.
J x
0
J^(shx|^____ 1 fsh^H (chi xi
xa Ichxj x (chtj -(shi-n ’
1.£22; Интeгр а-л ы вида
xPth^dx= V x^t+p
(264-p) (26)!
fe = i
оо
’ЗЛ:
У 22^afe_x^p
•Zi (264-p)(26)!X
й=о
3.
cht)2fe 2/I .
.4 dxt
thx)2»^
k
2
‘ п — 1
Л —I.
\ Г • f ch x(«*-««
2n—26 Vfc'M.’ 4shxj
fc = 0
164
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ц.4.23.
1.4.23. И нтегр алы вида JxrshPxch«xdx.
J xrshPxch? xdx=-^-~^ [(p+9)xrshP+*xch9-Jx—
— rxr"*shPxch?x+r(r+l) jxr-8shPxch?xdx+
+rp Jxr~ishP~»xch5-*xdx+(9—1) (p+9) J xrshPxch?~2xdxj.
* (pTw l(p+9) *shP"1 x ch9+1 x~
— rx^ shPxch?x+r (r—1) ^xr-2 shPxch^xdx—
—rq J xr~JshP~1xch8r~lxdx—(p—1) (p+9) J xr shP"*xch?xdxj.
m
f _ [sh8,"xch_«x) . V / m\ C - [chx)8*"» ,
JHch^xah-xj^Z^^ Jj^UxJ
fc=O 1
m
J_ (sh2«l+1 x ch-» xl . V /— ь ( m \ Г »[sh x ch8*-» xl .
X {ch2«+1xsh «x} 2» (ч* \ k ) J X lchxsh2*"xf
Л— 0
C _ fshx'ch"»x) . xP (chx)"«+* p f [chx)~n+l .
J lchxsh-nxj n— llshxj —1J tshxj
f Jshxch^xl . (chxr-* [arctgshx 1
J \chxsh~8xj*tshxj ‘ Unth(x/2)J*
pxP"1
(9-l)(9-2)
p(p—0
“(9-1) (9-2)
sh xr~P*a xP Jch x sh“9+1 x) +
ch xj 9"—1 |sh x ch-9+i xf
fsbx^ . „9-2 f rfjshx^
1 , ? 9x4----г V
Ichxj 9—1 J (chxj
dx.
у
(2fe)!(p+2fe)*^
fe=0
[|х|<я; p>OJ-
J chx Zi (2fe)l (p+2^+1)
fe=o
f ^dx==~xPcthx+p 2 (p+2fe-l)(2*)!xP+2*”1
v fe=0
f dx-xoaix-» У
47 fe=l
[|х|<д/2; p>4g.
[1х|<я; ₽>Ц.
IlxlOtffr. Р>П«
j 4.24.]
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
165
Г (shxV2» =±\* п* 2п(2п —2) ... (2Л-26+2)
<>• J х (ctix) 2n 14 (2n— 1) (2п—3) ... (2/1-264-1)
* k= 1
г (chxsh2* 2я1х) , 1 (shx)2* 2«1 , (2/1-2)!! f phxp2
X|_х (shxch2*’2” ^/ 2п—26 (chxj ' (2n—1)!! J X (chxf
n
f (sh X] -2«-i
7- I u г «*=
* J Ich xj
(2n4-l)(2n-l) ... (2/i-2fe-|-3)
2n (2/1-2) ... (2/1-264-2) X
ft=i
chxsh2* 2,1 2 xi 1 Jsh x|2fe 2n ll ,
shxch2*-8»-2xj *** 2n—26-f-l Ichxj J *
f (shx(-«
+<-I>’iWrJx{d>x) л
Г 1 Jshx(~? __ p Jsh xi ~?!-2___
J xP (chxj X’~~(0—1) (0 — 2) x^+1 (chxj
__ 1 fchxsh 0+1x( 0—2 Г 1 {shx(^2
(g— 1) xP tsh x ch'^1 xf ““ g—1 J xP (ch xj ~
P(P4-1) f 1 (sh xi *«+2
~ (0 — 1) (0—2) J xp^ (ch xj
e- $ж=-‘,+<-,*"|?^г2в'-,п1х1+ 2
fc=O
k^n{2
ikK*
IQ. f _.^У - =- V ^2fe x2*-n+l_L
”‘Jx«chx (26)! (26—n-H)
4=0
—1)/2
,L f = U-(—
J xn sh2 x Xя 1 4 («4-1)1 + 1
“x^4 2 (26)!(26—n—l)^2*
4= 0
(.n +1)/2
[|х!<я].
ft C rfX - thx t П / «W2"(2/t+1—0” q Inlxl-U
J xKch2x x« +( ( (n-f-1)! “+1
. JL у (g*-!)^ ft
"Г X«+1 pjt (26—n — 1)1 r
(|х|<Л/2].
= 2ww^*
fe=0
(1*1
П*1<яК
166
14.
15b.
16.
17.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
5.
6.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(L4.25.
xdx V EaftX2*48
cffx“ Zi (2fe)l(2*+2)
k = o
(shx)~2 __ fcthx) . (IshxD
x{ , У dx=^x4 x, . >.
(ch xj I th xj I ch x J
/shxl-3 _ _ x/chxsh~2xl _ 1 fshxr"*_
*(cl»x/ * 2 (skx ch ^^r J 2 (cbxf
Hix)-*
xf, 3 dx =
х £chxsh*3x'
3 (shxch~3x
dx.
sh x
chx
„ f nf „ fshx) , t£shx)\.
1.4.25. Интегралы вида \ R(xP,< . })</x.
j \ (ch xj (ch xj /
f xbchxdx _ _________xP____________p f xP-irfx
J (fl -f- & sh x)9' (#— t) & (a-f- 6 sh x)9~l (?—()& J (a + bshx)^_i>*
C x^bh xdx___________________xP____________t p Г xP~* dx
J (a-f-&chx)tf “ (q~ Ijft^-j-dchx)®1^- (q~~ l)b j (fl-|-b chx)^i’
t xdx = r ftIr (x& I _ о in J ch <x/2> I
J 12 ch x (cth (x/2)J (| sh (x/2 |)J *
| x sh x dx ___ x J th (x/2) 1
j (I t ch x)% ch x Jt 1 “ (cth (х/2)Г*
1 Jshflx) , ___
(6x4-c)« (chaxj
__an 1 / . ас С 1 jsh Л
W\C^~b J’MehO
di — sh—-
о
$да«)
~t = bx + c
1 (sh ax) , __ 1 , ac jshi (ах-f- flc/b)Y 1 . ac fchi (ax -f-ac/t>)l
&x-|-c(chaxj ~b 6 (chi (ax+ac/fr)j 6 s b (shi<(ax-{-ac/&)J
- 1Ei (a»+®/») 5= J Ei f- «» -“)•
1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ «ФУНКЦИИ
167
1.4.27. Интегралы вида К (х, sh&r, ch bx) dx.
C .ax /sh (6x4- c)| . _ e** [ /sh (6x+c)\ _ h /ch (6x+c)H
J |ch(6x-|-c)J cP—'ft2L |chfi(&x-|-c)f vh(6x4-c)JJ*
P fch hv\ 1 (* 1 F
4. I xPea* Г? тЧ<&=~ 1 x^(®+6»*dx^ -s- I
J IchftxJ 2 J- • 2 J '
Icm. 1.3
X
C &лх—4=4^4-^ T (a. ax 4 MI
J ^Cu CMrJ Ли
0 *
|^Rea > — в, C == |J.
oo .
J xa-je-eMr|^^j.<it==2.[(e_^)-ar (a, ax—bx)^ (а+&)~аГ (a, ax+&x)I
X
[a>& >0].
J Ichftxj —d2 L\ a2—62/lchZ?xj
/ 2a& \ Jch ftxil
— j»*— В2__62 ) <jsh bx] ] •
в - Lt» 2'(°‘+^ x| a.(»,+3^)l(3h»xi
J • 4<лЫ «*—(>«(. a»-.»» Jfoh-txl
e®* Г g 4a6 2b (3a2 -|- Ьг) 1 /ch bx\
“ да2_^|/х “x t ^2_/^a J (jhrfrxj •
X
168 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1 5.1.
х
fl 1 аД~Ь 1
13. I <ra*shbxdx=-x-ln—™- -J--s-[Ei(&с—ах) — Ei (— ox—bx)]
J X лг л О Лв
о
14. Г -pk axjdx=-i-[Ei (2ах) 1пх]*
J х [char] 2 '
15. f — e±xshxdx=±-^[Ei(±2x)—(C+ln2x)J.
J X
0
16. f —r-л* /SJ “*1^=4- Iln x + Ei (— 2ax)].
J x (ch axj 2 '
17. f * eaxpj axldx—aEi (2ax)-4~(d&x + 1).
J x2 [ch ax] ' ' 2x ' f
M. fvIrt^F411 — 2 2<±1>‘ЕЦ-(а+,)®1-
x к— О
21. С—^L.— = -JL—Fl (®“v)-L(s+4 V2L(4)1
\ cos/—ch ах a2sin/\ 2/ \ 2/1 \2/J
£e= arctg^thctg *y, *=0»+1, ±2,
f xch(ax/2) 2 Г,р-П J»+H
J cos/-ch ax a2 sin (//2)L 4/^4/
о
(|)+^
|б—4arctg^th ££ctg^y i|j=4arctg^cth ctg^y k—0t ±1, ±2, ...J.
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.5.1. Введение.
Если R — рациональная функция своих аргументов, то интегралы вида
R (sm х, cos х, tg х, ctg x) dx приводятся к интегралам от рациональных функ-
ций при помощи следующих формул:
1. ^R(smx, cosx, tgx, ctgx)dx=
_ f I-*8 2/ 1-/П L=te£|
J KV1+*2* l—/2* 2t ) 1-Ы* L 2Г
Если
R(sinx, cosx)— —R(— sinx, cosx),
152 ]
1 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
169
ТО
2. С R(anx, cosx)dx=— f R(K 1—Г2, /) 77 l/=cosxb
J Jr 1—Я
Если
R(sinx, cosx)=—Я(siii x, — cosx),
to
3. J R(sin x, cosx)dx= J R(/, У1—/2) P=Hnxj
Если
R(sinx, cosx)=R (—sin x, — cosx),
TO
4. j R(«in*. «»*)= j R(y=. P=*'1'
1.5.2. Интегралы вида Jsm₽xdx.
1. C sin^xdt=—— anP~Ixcosx+ V sinP^xdx.
J P P J
2. У sintexdx=
[n—1
У (2л-1)(2п-3) ... (2^264-1)^^x +
A 2* С”—1) (я~2) • • (й~*)
(2д-»!1
2ял!
п—1
ч _ 1 (-1)" V/ £Й1(2л-2&)х
~ 23» V Д) 22я-1 Xi 1 Г\Ь) 2n~2k
k—o
4. J sin2/,+lxdx=
[n—1 1
an^x-L. У_______^«(«-D - (»-*) ^й-амх
X (2л-1)(2л-3) ... (2Л-2Л-1)
fc=o J
5. iy»+i— У /_ па/^+Ц cos(2«-2fe+l)x
1 v 2» X 1 1 \ / 2n-2fe + l *
fe=0
Л—0
7. J siirxdx=—cosx.
8. f sin2X(£c——sin 2x4'4'x=—sinxcosx4—x.
J 4 2 2 2
. . . Зх
sin4 xdx=-Q-
t>
1*^ ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1.5.3.
Г 13 1
9. I sin3 xdx—cos Зх—- cosx=-^-cos3х—cosx.
л] л.£ %
—|sin2r-{-^sin4x—
3 . 1 . , ,3
=---з- Sin X COS X-Т sin3 X COS X-J--x- X.
о 4 о
5 5 1
sin® xdx=—g- cosx 4- cos 3x—5jreos’5x=
o 4o oU r
1 . . , 4 _ 4
—---=-SIH4XCOSX-4—7=-COS3 X—=<osx
Э 1& о
. * . 5 15 . o . 3 . . 1 . _
sin® xdx=-rE- х—-^-г sin 2x+~^r sin 4x—sm 6x—
16 64 64 192
1 5 -5'5
= — — sin® x cosx-—sin’acosx—sin xcosx+-t=- x.
O 24 Io io
~_ Г dx _______________cosx______p—2 Г dx
J sin₽X [p—1) sinP 1X ‘ p—1 J SinP 2X *
C dx *
14. \ —~~ = . •
J sin 2/1X
Г n —1 Я
=_____cosec’»->x+ V г»(л-0(«-2) ••(»-»)
&n — 1 + Zi (2л—3) (2/z—5) ....(2Л-2А-1)
L lfc=>l
e C d«
J Sin2n+tx
,Г я —1
cosx (2n—l)(2n —3) ... (2«—2fe4-l)
—---------cosec2® x+ j -------—--------—----------J—- cosec2®-2^
2n L k~i 2*(n—l)(n~2) ... (n—fe)
tfc, ( 1 cosx । 1 । L x I + '21п|‘8-2|-
S1113X 2 sin2x
19 l cos X •2 1
* V sin4x 3sui3x CigX— J XСц£ X»
20 I dx cosx 3 cosx 3 . 1 x I
sin^x 4 sin4x 8 sm2x ‘ 8 ln|tg 2 Г
dx cosx 4 ‘4 1 2 , „
21 i -yCtg’X—ctgx.
sin6x 5 sin1? x ' 15Ctg X~5 gX~ 5Ctg'X
1.5.3. Интегралы вида JcosPxdx.
1. I coeP xdx=~япxcos₽~ix-k XxwP-^xdx.
J P P J
>.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ*
Ш
cos2® xdx—
~ 2л
Л —1
cos2»~ix+ 2 (2ft~l)(2n-3)...(2n-2fe-M)
fe=i
2*(л—2>... (л—k)
2®пЬ 41
_ 1 /2»Х
— г2® \
3.
п—1
У Рп\ sto(2rt—2fe)x
b \ kf 2»—2k
£ (2п~ 1)(2л-3) ...(2п-2А-1)
*=о
1 V /2л+П sin(2n—2Й4-1)х
2*» Zi \ k ) 2п—2fe-H •
k=Q
п
Jt=O
7. |cO8XdXs=9»X.
C 1x1 1
®. I cos2x dx=-,-sin 2x4--^ = sin xeosx-f-^ x.
J 4 A A A
C 1 F
9. 1 co^xe&=-^sin 3x-|'-i-sinx=^sinx—=r-siB*x.
J 12 4* ®
p 3 1 1
10. 1 cos* xdx— ^x4~/rSfti2x+-™-sin 4x=
Л о 4 OA
3i ф ]
== -o’ x:+ o etaxeewH—j-tmxcosftx»
11.
P 5 5 1
I cos5xdx=-g-saix4--g-sta3x4t^si^5x=s= 4 5
4 4 1
t=--sfflx—— sei^x-p^r cos*x sm x.
5 1& &
12.
€0в>х<Ы=А.*+-^ап2»+А.Л»4»+1^
5,5. ,5
“Те ж+7в anxcO8-t+M‘
f dx
J cos^x
sin.x
(p1- l>cos^x
д—2 C dx
p—1 j cosP^x ’
siBfix=
sin x cos? x-F-l-sinxcos&x.
172 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.4.
14.
dx ___
cos8"*
~ sm х
2п— 1
У 2» («-!)(«-2) - («-*) ,х
Z. (2л—3)(2л—5) ... (2л— 24-1)
л= 1
dx ______
cos2"*1*
n —1
Z(2n-l)(2n-3) ... (2n—2k+l)
k=i 2*(n-D(«-2) ... (n-k)
. (2n—l)!t
2"n!
16.
17.
dx
cosx
dx
cos2x
= -2ln
1—sinx
18.
19.
dx
cos3*
dx
cos4*
1 sin x 1 . I. /я_|Х\|
2 cos2* +¥Jn|tg\T+2 Д’
sinx , 2 . 1 . _ , .
3^T+3tgx=3^x+‘gx'
х
2
C dx sinx , 3 sinx ,3,1, /х*я\1
J cos5 x 4 cos* x * 8 cos2 x *8 j B \ 2 ~ 4 /1
dx sinx , 4 . _ , 4 , 1 . . . 2 , , , .
——— = -— -------1- —- tgs *++- tg x=-=- tg5 *+ o tg3 x-Mgx.
cos®* 5cosftx 15 5 5 ‘ 3 5
1.5.4. Интегралы в и да \ sin^xcos? xdx.
1. I sinPxcos?xdx=
7+1 7 + 1 J
= _ ship txcosf«x л-£ C ^xcos)xax.
p+q p+q i
x
4.
5.
6.
7.
= sjnWxc^ix . £±£+2 Г ^гхюЛх11х.
p+i p+1 j
= y«xco^25 ,-t Г
P+1 p+iJ
^ gnPHxeosS ix ^-1_ C m,-,xdx_
P+q p+q J
sinPUxcos^ix р+л+2 C xdx.
4+1 T ч+l J
smP1 x cos?1 x f . , q—l \.
------;------{sm2 x---« I +
p+7 \ P+<7—2/
□_. f sinP^2 xcos?-2xdr.
(p+7) (p+q—%) J
1.5-4.)
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
173
8. I sinPxcos2rtdx=
sinP+1x
"" 2n+p
Л—1
1
(2л-1)'!
(2n—l)(2n—3) ... (2n—2jfe+l)cos2«-2* *x
(2л+р—2) (2«+p—4) ... (2n+p—2A)
(2л+р)(2л+р-2) ... (р+2)
sinPxdx
l>£—2, —4, .... —2л].
9. I sin^xcos 2n+1 xdx—
п
rin^x
~ 2»+p+1
k= 1
2*n(n—1) ... (n—fe+1)cos2"'2*x
(2л+p— l)(2n+p—3) ... (2л+p— 2fe + l)
[₽t£—I» "'3,
(2n + l)J.
cos^xsin2'1 xdx
cos^+1x
2n+p
n—!
rintt-ivj. V <2л~ 0 (2«~3) -. (2n-2k+1) sin^^x
Zi (2«+p—2) (2n+p—4) ... (2n+p-2Jfe)
k=i
i__________(2л—1)** C cosPxdx
h (2л+р)(2«+р-2) ... (p+2) J C0S^X<W
LP^t—2. —4,
2л].
<x®p x sin2,1+1 x dx=
cosP¥1x
Л».+ V 2*1.(Л-1) - (»-*+!)
т (2n+p— J)(2»+o—... (2a+ir~2»+l)
fc=l
tpgt-i. -3.
smxco6^xdr=
1— cos^ix
(2« + D)
sin px cos xdx
sin^X
Ipgt-lj.
14. i sm2xcos2xtfx=—s-(-rsin4x—x
J О \ J
sin2 x cos? xdx——A- f4* s® Sx+4* eo3x—2 an x] =
lo \o о j
. 9 . . x
an2xcos*xdr—-jg-
rin3x /5 . « '
-^-(--яп x
17.
18.
19.
f sin3xcos2xdx=—f Acos5x—~cos3x—2cosx) = 4-cos5x—Aces?x.
J JO \ а о /о о
л 1/1 3 \
I sin®хcos?хdx ==-£=-{-б-cos6Х—-Х-cos2xL
J 32 \ 0 a j
л 1/2-3 \
I sin3XCOS*xdx=-y-COS®x4 — -g-—.-g-sinax+sin*xk
Ilk
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ННТЯПРАЛЫ 1[4 5 5.
20. f sin4 х cos1 2 * 4xdx=-— x—Д- sin 2x—sin 4x4—7]L6x»
J 16 64 64 192
/* f / 2 3 \
21. L sin4xce&xdx^- ria9 x[-=-+-=-cos2x—cos’x’J.
JI 7 \ О Э /
(* 3 11
22. I sin4xcos4xdr=—x—-^sin4x4--j^sin 8x.
23. I sin ax sin bxsinexdx—
t.___1Гcos (д—6-{-c) x cos (6 4-c—a)x t cos («4-ft—c)x cos (a 4~ 6-HO*!
4 l -a—&4~*. b4-c—a «4-6—c a+b+c J
24. J sin ax cos bx cos ex dx—
1 Га»(а4-&Ч-ф£ cos(64-e—д)х cos (a4-6—c)x , cos («4-е—
= — T „TaT^-------------ГП—Z------1---z. I A x.-i----xt
cos ax ял bx wi£X dx=
1 psjfl^H-6—e) x sai(a4-c—6^x sin («4-64^)x sin
ГГ x. I A x. I Z. I Z. - A z. I At „
26. J cosaxcosbxcoscxdx=
___1 fsin («4*64-c)s , sin (64-g—a)x sin (a4-c—6)x
4 I a4-b4-c b4-c—a a4~c ~~b
U>S. "Ийтетрялы вида Лс.
j -«COS* X
£ sin^x . sinP'1x , p—1 £ smP-2x
1 ‘-x-‘••дх^—-r*—r—— k— t —
J cos?x (p—qr)cos?_ix p—q J cotfx
rsjnPnx______p—q4~2 f* sin^jc .
(q— l)cos?~ix 1 J [cos9‘2x ,
3.
_ sinP-ix _ p—1 £ sin? 2x .
“ (q— l)cos«~ix q— 1 j cos?-2x ’
sin^x . _ sin^x
cos^+ix 2л
n-i
г.» V (2n—p—1) (2л—p—3)... (2n—p—2fe4-l)
2fe(n—l)(n—2) ... (л—ft)
(2n-p-1) (2л-p-3) ... (3-p) (1-
fe=l
2»nl
sin^x
cosx
SinP X , Sin^X X
—--------------г- X
cos^x 2n—1
/1—1
м»2л—1 v_t_ V (2« —p—2)(2«—p—4) ... ^n — p—2k)
(2л—3)(2n—5) ... (2n—2k— 1)
fe=i
tat-,-2) (2.-P-4) ,..(-p+2)(-j>) f
r (2л-1)11 J
Ь5Л1
L8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
175
sin2m н х
€qs2b+1 х
fm\ cos2fegttx
\k] n—k
+*(— I)®*1 In | cosx |
pi<m].
m
k=0
о 1
J cos? x (q— j)oos?-lx ’
<л f sin^x , 1 .
10. I Sr-—dx=—r-rtg^X
J co&p|2x p-H
n
f sin2n+1x . v sin4** . ,____ь
И. I ------dx—— 7 —xr-----In cosx f.
J cosx 2k 1
jfc=i
IX -* 2 “5F“(/)COs2*X“ to | cosx |.
k= 1
я
1в Г sin4»* , V sin2*1* , . 1,. Ая x
”• J -ЙГГЛ=- 21-2rrr+tet‘*U+air
fc=l
f sinx , . , ,
M. I ax——In cosx .
• J cosx
-- C sin*x . . . * F. /я , x\l
ls- j
$g, C _^2E._]n|cOSX|=-^COe3X —ln|cosx|.
j cosx 2 1 1 2 11
n- $7^л=-4™’х-^х+ЧЧт+г)|-
<л C sm₽ X . $Rp 1 x . A C • M .
18. i —г— dx=— (P—1) I sm₽-2xdx.
J cos3 x cosx J
f sinx . 1
1Й. 1 —— dx=---•
J C0S2X cosx
20. f ^ln^dx=igx-x.
J COS2X
21. f ^^-dx=
J COS2X С/ COSX
22. f-^^Лс=^х+^85ПХСО8Х—|*X.
176
23.
24.
25.
26.
27.
29.
30.
1.
2.
3.
4.
S.
0.
1.5.6.]
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
С sinx . 1 I
J cos3x — 2cos2x ~~2 &Х‘
Jst'n2x sin 1 . . [я , х\1
cos3x 2cos2x ~~ 2 Ш tg \ 4 + 2) |*
C sin3x , 1 , ,
J ^зтАг“2^т+1п1авж1-
Г sm4x . 1 sinx , . 3 , L fx л\
\ ---Т~ ------5--bsinx--x-ln tgf — 4-—IL
J cos3x 2 cos2x r 2 | 6\2T4/|
C sinx , 1 f sin2x . 1
I —r-dx=^——. 28.-1 riLidfc-* fg3x
J cos4x 3cos4x J cos*x 3 45 *
f ____________1 ] 1
J cos*x cosx 3cos*x
Г sin4x , 1 . . .
j ^‘,Х=У,8,Ж-‘<Х+Ж-
(* COS^ X
1.5.6. Интегралы вида I -—dx.
v j sinpx
C cos4 x . cos?-1x , q—1 f cos^2x .
1 —dX=7-----. ------- I —-----dX.
J sm^x (q—p)smP~^1x q—Pj sm^x
______cos?+1 x____g—p+2 C cos?x
(p— l)stn0-*r p~ 1 ' smP~2x
_ cosg lx I/—1 C cos^~2x
(p —IJsinP+x p—1 j sin^ 2x’
cospx , cosphlx _ .
—~—— dx—-------------я-----[cosec2» x+
sin3/lllx 2n 1
(2n-p—l)(2n—p-3)...(2n^p-2fe+l) 2n_2fe
, (2n—p—l}(2n—p—3)...(3—p)(l—p) f cospx
sinx
2«n!
^1. dl=_ [cosec«-«x+
sin^x 2n — 1
, ”v (2n-p-2)(2n-p-4)... (2n-p-2fe) J 4.
+ (2n-3)(2n-5)...(2n-2fe-i)
_i_(2n-p-2)(2n-p-4)...(2-p)(—p) C cogpxdx
(2л—1)!!
sni+iju 2 K r \kj m—k 1 \mj 1
fc=0 ‘
k^tn
1.5-6.1
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
177
п
7.
sin2* 2fflx
m—k
I
[m > nj.
12.
cos^^x
~sin2/71 x
п
=о
п\ sin2fe2m+,x
2k—2m-f-l'
COSX J 1
sin₽x (p—IJsiflP^x *
cos^x . I .
sin«+2x dx~ tf+TClg9 *’
CO$2”+1X
sinx
A
cos2*x , . . . .
£ -^-+ln|smx|.
fe=4
= f 2 ~F"(Z)sta8*x'HnlsM
k= i
cos2ttx
smx
n
V cos^^x
Zi 2Jfe-l,
*=1
14. t ^^-dx=ln|sinx|.
J sinx 1 ‘
C COS2X . , i I 1 X I
15. I——dx=cosx4-ln tgtj-I.
J sinx 1 | 2J
C cos3x . cosPx .... .
16. 1 -.-dx=----=--kin Sinx .
j smx 2 * 1 1
C cos4x ,
17. i —--dx—-.
j smx :
lo f cos₽x .
18. I ——dx=
J sm2x
COSX J
. y - ax~
sin2x
cos3x . .
—-~dx^—sinx
sin2x
CO6lX , . _
- dx=—ctgx
sin2x
cosP^x
sinx
___1_
sinx *
sinx
cos2x . .
— dx=—ctgx—x.
sin2* &
1 . 3
sinxcosx——x,
A A
L COSX J
1------<ix=
J sm3x
f cos2x .
I ^-dx=
J sin*»x
C cos3 x .
1 -^—dx=
j sm3x
2sin2x
cosx
2sin2x
2sin2x
2
In | sinx|
ГЛАВА, ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ
В-5,1.
26. C cos*x . 1 cosx 3.1. X 1 . dx~—--7-5 COSX—-s- Jnl tg— L J sin3x 2 sm2x 2* | 6 2 |
27. f cos X . 1 C COS2X , 1*0 I •—*— dx=— -A-. .—• 28. i -^—dx^=—x-ctg’x. J sm4x Зяп3х J яп4х 3
29. C cos3x . 1 1 J sm4x sinx 3sm3x
30. J sta**4*- 3 <*«’*+<*«*+*• 1.5.7. Интегралы внда | J sin^xcos^x
1. C dx — 1 , p4-q—2 S dx J sm^xcos^x (p—l)sin^_>xcos?~l« p—1 J «вдР^хсов*x *
2. 1 р-4-р—2 f dx (g—IJsin^xcos^x * q— 1 J sin^xccs^’^x (см. также 1.5 A}, m-f-n—1*
3. C dr У /m+п—J\ tg3» 2g^Hx j sin^xcos^x 2^ \ k J2k—2m+l * fc=O m-i-n
4. J 8Ш3®+»ХСО6^+»Х 2л \ k ) 2k-2m ' \ m 7|П1«ХЬ Jt^O tn m C dx y? ]
5. J sinam+lxcosx — (2m— m
6. J sta^xcosx- Лл (2m—2й4-^Я8^ ’ ^^(«4 2^ k— 1
т I
7‘ J ЯПxcos^+ix = 2 (2m—2%+2)cee3OT-2*+3x+^tgX^
k~ I
m
®* J sinxcos2mx 2 (2m—2&4-l)cos2m2fetJx |*
л C dx t и . «л Г 1 и L >
9. 1 —-.------= ln tgxL 10. | -г- ... j =e—----bUillg—
J ЯПXcosx 1 1 J* sinxCOS2X COSX F j 2. 11 * 13
11. ( . ^"3 — o~tL------J-in|tgx|.
J sinxcos3x 2cosax * 1
. f dx______________1 . 1 . I .xl
’ ' sinxcos4x ~ cosx 3cos3x ’ |*®2 |*
• лС 1 I * l Я I X \ i
13. i -r-s----=«ln tg I т + -х-) — cosecx»
J sm2xcosx | \4 * 2/1
155384
1.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
•m
14.
15.
16.
f —-j—2efg2x.
J sin2 x cos2 x
C —% * 3\ 1 3 . I [я л_^\
J 'sin2xcos3x ~\2cos2x 2/ sinx 2 |*(4 ”’"'2/
C d*______—_____!_____— ctg2x.
1 stances4» Зяпхясоз*х 3
sin3xcosx 2sin2x ।
dx____________1 f 1 3\ 3 | xj
sin3 x cos2 x cosx \2sin2x 2 2 ln|
,л C dx 2cos2x .
W’ J sin’x cos3 x — sm’2x +2,e1t®rl-
20. f___<*?_ . . = _g_ + —!_____+ 8 taltg—I.
J sm3xcos4c cosx * Scos’x 2sin2x '2 ( & 2 I
2L J sin4xcosx = ~ stax “"зЖГ[*6(y + x)j*
22. Г - . «---— ctg 2x.
J sin^xcos^x 3cosxsin3x 3
OQ f dx 2 M 1 sinx S x ISV
J sm*xcos3x sinx 3sin3x ‘ 2co$*x * 2 1O‘| *®\2 4j|
M. . fa / -»ctg2x—4 ctg32x.
J on4xcos*x Б 3 6
1.5.8. Интегралы вида J t^xdx, J ctgPxdfc.
*• №’“-«Л1£ГЧ £Г*
Л= 1
3. X!(tgxl2''+,<ix=B3: У ( 1)> 1 (tg*>3—M+3
J*lclgxJ Ai ' ' 2n—2^4-2 ictg»J
k= I
— / nal 4flCO9Xll
ZT(—l)nln{ . }«
4 ' I sinx J
180
a.
о.
i.
2.
3.
4.
5.
в.
7.
8.
9.
10.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1 5 9.
tgx dx=—[in (sin x4-cosx—Vein 2x)4-arcsin (sinx—cosx)].
V 2
= । [j ta i-/2tei+tg* vW 1
/2 L2 “ l+/2tg*+tgx+ 8 1—tgxj
1.5.9. Интегралы вида J Я (sin x, cosx, tgx, ctgx) dx.
(a4-6cosx4-csinx)« =
(Вс—С&)4-(Ле—Ca) cos x— (Л&—Bq) sm x___________1________
(n—l)(a2—б2—c2)(a4-&cosx-J-csinx)B~i ' (л—l)(a2—b*—e2)
Г (n — 1) (Aa—Bb—Cc) —(n—2) [(Л6—Ba) cosx—(Ле—Ca)smx]
J (a J-& cosx-f-c sin x)«~i
[n>2, a«:£b*-fc*J.
Cl> —Be 4-Ca cosx—Ba sinx M л(В&4-Се) \
e (n—I)a(a4-6cosx4-csmx)« (n—l)a* )
n—i
. z . к . v (л—1)! V (2л—2k—3)’! 1
X(— CC(BX4-&sinx)-3-----tttt 7 /-----Z---, , .-------:-----r==r
' (2л—1)П (л—A—J)!a* (a-f-ftcosx-f-csmx)» *
*=0
[n>2, a«s=6’4*e*l.
. Be—Cb , . , . , . . ,
fra.Zj-fa' bi (a4-o cosx4-csinx)4-
Bb+Cc [ Bb+Cc \C_______________dx
6а4-с2 x”*\ &2_|_ca aJ J a4-0cosx4-csmx
________dx__________Г d(x—ct)
(a+freoexH-esmx)'» — J [a4-rcos(x—a))«
dx 2
a4-&cosx4-csmx~ ya2_^2_c2
(О_»)18|+С
arctg -- - -г—
Ka3—
[e»>0’4-c’J.
t (a-6)tg__|_c_/b3+c3_a2
= ;z--—___=- to-----------------------
r&24-c*-^ (a-fe)tg|4-c4-K624-c2-a2
= -J-to(a4-ctgyJ
—2
c4-(a—
[6= Г COS (X, Casrsioa].
[a«<b»4-ceJ.
[e=ij.
[a1—b24-cy*
______dx__________1
(acosx4-й sinxp у
[см. 1.5.2.].
Л4-Всобх4-Сз1пх . _Ba4-C&
acesx4-6sinx ~ a24~&2
. Bb—Ca. f , , a\ , А ..Г1/ .gYI
+ -?+jrta« (x+aretg^+p^tatg^^+arcU-p-Jj.
1591
1 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
181
С 1 {smx}. 1 Г (bl — (a) z . . . Л
it 1-----п:----1 >dx=—ггтгЕр -*-{.}1п(а со8 *+b smx) |.
>Ь J acosx-f-bsmx IcosxJ a2-)-b2 [laj (bj ' 'J
r* dx __________ 1 a sin x—bcosx
12* J (a cosx 4* b sm x)2 a2-f-b2 a cos v-|-bsmx *
, Л_____________2- . al^+b
|3, J a-f-bsmx )/fl2—&2 аГС g fa*'
atg Vb*—a*
.^2^- in—--------------
Vb*-a*
&
dx
a+b cosx
2 .
—- — arctg-----г-?----
У a*—b* a+&
la* >6’]*
t Ybi-a‘tg^+a+b
— In--------------
> b*-a* Vbz-a*tg^—a-b
£
A-|-Bcosx-f Csinx 1
(l + siu/< “X— 2я 1
1
(IdLsmx)"-!
[n^2]
18.
19.
= Л Cx 4- (A + Q tg (4 + 4) - B ln 0 ~ sin *>
к • /
n-2 bt(2fe+1)X-
f A + Bcosx-t-Csinx 1 у (n—2\ s 2
J (l_tcosx)« 2« 1 jU \ k J 2fe-H “
k=0
£п= 1].
iff±(2fe + l) Л/
s 2
2fc-|-l
C________1
~ n— 1 (1 _t COSXp_l
20. =±Bx± (A ^B)tg±l4TC In (I i cosx) [л = I].
A
C A-4-В cos r4-Csinx .
1 —!!----------dx =
J smx(a4-bsmx)
A . . x В a-\-bsinx ,
= — in tg --In —:-----1
a 2 a smx
Ca—Ab
a
dx
a4~6smx ’
f A-p^cosx4~Csinx^_
J sin x(a-f~b cosx)
= -3 Ц-8-f(Aa-Bb)Intg4 + (Ab—Ba)In_j_C f &-------------------
a2—b2 L ' 2 1 ' z smx J ' J a-{-bcosx
[л>2].
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1Л.Я
23. M+BcosxJ-САж^Л^В х_ВтЛ J--------------±c(tg4F.
j sinx(l±cosx) 2 2 2 1 rfccosjt \6 2/
л. (* Л-ЬВсоех-рСктх .
В * г । ж • \ dx
J cosx(a-j-b sinx)
J Г/ а z^. ± /л , *\ 1 а^ лм a-|-isinxl , „Г dx
tv)- (М-са)т———j+в
25 f Л4-Всо8Х-|-См1х^, _
J cosx (1 it sin х) “
A±C . . /я . х\_АтС 1 D. /я x V
2 h g(4^2/+ 2 ’(i±Sfflx)^Stgxi ~ 2)*
„ C A~j-Bco6X~i-C sinx *
26. I ——-—r-r--;— ax=»
J cos x(a 4- 0 cosx)
A . . fn , x\ . C . a-k^cos* . /-« Г
=-intg^r+ 2)+-taJ-—-Ца-—) j
и. C—= L=->-»l
j fl+b lsal42 /a(a+&) П a V*g*J/ *• -P
Icosxj
n. »*"< .лн>ЬЛл+?(<»п\
t—»^»+4) \F a \ctsd>
е(в1 1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1$3
1 5’J
=8^[(3-| + |) Аг«’(^*>+
д_(з 2 3\ gtgx I fl 1 2 г 1 2<ytgx -1
+ V <?) 1 -<7а tg2 х V <72 «Р 8 ) (1 - <72 tg2 х)2]
[e*=—1——>0, sin*x<*^x при sin®x>- £-
а о о
следует Afth(qtgx) заменить на Arcth(fltgx)^.
»• j ^+^F = -8^[(3+?+^)arclg('’‘,^+
. fз . 1 _£\ pctgx+f 1 _A_ 1 ctfi2xj -2p.cte*
+\+p2 p*/i+Wx+V p2 p2 8 /(i+p^g2*)2!
। гг о a \
37- = -^[(3-^+^)Arth<’dsx)+
, fq_A _ _£ЁЙ£— 4_fi _L J. -L J_ rt«2 2?ctgx 1
"|-v I— <72ctg3x~r\ '*\2’r qi Д1—g2ctg»x)2J
[Ъ и л
q*^=—1-2>0; ces*x<—kbhcos!x>- ,-
•u о о
алрзт Arth (9 ctg x) заменить на Arcth (^ctgx)J.
ад C___________Л 4-B cos x+C sinx______Лс=='
’ * « (ax4-&tcosx4-ctsinx)(aa+^coexH-Cjsinx)
_ j. - cosx-f-Cj,sinx д C_____dx_______
~~ ° naa+^£0SJt+c2s®x'^' 1 J ai+&tCrisx~|-Ci sinx"^
"4~ А® ж *
J Oa+fta cosx-f-Cg sinx*
где
А В C
1S4 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.9.
Г___________dx___________
J a cos2 х-|-6 sinx cos х+г sin2 х“
___ 1 in 2ctgx4-6 — Y Ь2—4ac
yrb2—4ac 2c tgx^b-^-У b2~4ac
У^4ас—b2 }^4ac — b2
2c tg x -f- 6
[fe*>4ecj.
[И<4де].
[**=4вс].
f A cos2 x4- 2B sm x cos x4~C sin2x .
42. I ---5—!~5t----------г-?— dX=
J acos2x-|~2o sm xcosx4-c sinax
“ЙГр£^«4ю+<л-О(»-01*Ч4(Л-С)»-В(а-с)) X
X In (acos2x4-2b smxcosx4-csin2x)4-
4-[2 (Л 4-C) b2—2Bb (a4-c)4-(aC-Ac) (a-c)]f (x)J,
где 4
1 t ctgx-\-b—Vb2—ac „
f(x)=......,in —. ... . [ь»>дг],
2pft2 —ac ctgx4-i>4-V&2—ac
1 , c tg x 4- b
~V^=^VCeVac-^
=-c-tgT+6 . »’=“’•
______________dx_________________
(a cos2 x4~b sin x cosx4-c sin 2 x)2 —
__ b cos2x4~(c—a) s’n 2x
(4ac—h2) (acos2x4~6 sinxcosx4-csin2x) "**
' , 2 (a4-c) C____________dx_________
't~4ac — b2 J acos2x4~b sinxcosx4-<?sinax
[Ь2^4ас].
_______dx_______
(2acosx4-b sinx)4
[<Я=4ас].
C tgxdx 1 r . . , .
J tiT^^^47i[x“flln(acosx+8mx)I*
ftgx — a 1— a2 2a . .
4 J tiT4^^“r+^x-T4^Insn,<x+arctgfl)-
„ C dx x 1 x tgx
‘ J a24-tg2x~a2 — l (a2-l)aarctg a ’
48. f dx = —_________________1 in igx-a
j a2 —tg2x a24-l 2(a24-l)a tgx4-a
Г dx x . 1 . _
49- J ьда = -2+ Tsm2x-
Sfl C tgxdx _ In (a2 cos2 x 4-sin2x)
J a24-tg2x~ 2(1—a2)
1.5.» J
1.5. тригонометрические функции
185
1.5.10. Интегралы вида
И sin (ах 4-5) sin (cx4~d)1 .
cos(ax4-5) cos (ex 4-d)/ X
sin (ax-f-b) cos (cx-f-d) dx.
‘ jsin (ax-l-Ql __ Д (cos (ax 4 5)1
(cos (ax 4-5) J — a (sin (ax 4-5) J *
f (sin(ax4-5) sin(cx4-dh . =
* J Icos (ax4-5) cos (ax4-d)1
1 ... . , . „ sin [(a4-c)x4-5+dJ
“2(5=?)ап —!
3. J sin (ax4-5)cos(cx4-d) dx=
__ cos [(o—5)x4-5—d] cos f(a4-c)*4-54-d}
2 (a — c) 2(a4-c)
4.
5.
f (tin (<«+») tin («х+ф| dx= x _ rinpax+b+d)
J (cos (ax4-b) cos (ax4-d)J 2 v 4a
(* . . ... , , А . x . .. \ cos (2ax 4-54-d)
I sm (ax4-5)cos(ax4-d)dx=y sm(5—d)----5-------J
4a
1.5.11. Интегралы вида sin^x sinaxdx.
„ —14-sin P x cos ax , p C . . .. .
| smPxsinaxdx =--p^a---------^pTa J
____sm^xcosax p sin*71 x sin (a— 1)x __
“ ф P4-* + (р4-л)(р+л—2) x
““ г t ~7'"-—ox f яп₽-а X Sin (a—2) x
(p+a) (p-j-a-2) J
3. j sin^x sin 2oxdx=
+ "v ПЛ (4»2-22) (4»2-42)...[4n^-(25F] Д
j p4~2 4 (254-1)! (254-P4-2)
[pj^-2. —4.....—2л]
4. J sin₽xsin (2n4-l)xdx—(2n4-l) {J sin^xdx-J-
4- V (_ 1)Л [(2п4-П8-1*1 E(2ra-4-1)8—3g]... t(2n4-l)*--(25-l)*] *
xj sin2fc+^xdx|.
5. J sin^ lxsin (p4-l)xdx=-^- sin^x sinpx.
6. C sinP-Ixan Г(р4" 1) 6^--*HdX=—sin^xcosp/——X
7.
sin ax
sin₽x
dx=2
cos (a—l)x
dx4-
sin (a—2)x
sin^x
186 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ‘[1 5 12.
Р sin2/ix _ V! sin (2k—l)x
8’ J 'sinx'**”2 2* 2fc-l •
fe=l
9 f »п(2д+1)-УДу_2 у sin 2kx x
J sinx 2k * *
k=i
(* sin2x, 2
10. I —— dx=— .
j smnx (n—2)sinn~2x
C sin 2x , _ . । . , 4_ (* sin 3x , , . _
Tl. I —5“ dx—2 In sin x . 12. i --- Jx=x+ sin 2x,
j smax 1 1 J sinx *
4e f sm3r . o. I . x I , .
13, J ^dX==31n|t62’|+4c0SX*
.. C sin 3r o .
14. i—~dx——3ctgx—4x.
J sm3x
1.5.12. Иатеграла вида Jsinp xcosaxdx.
* Г _ . ship x sin ar P C „ . . ,
1. I sinpxcosaxdx=--------------r~ t smP^xsin (a—1) xar.
J p+a p+& J
2 ______sinp x sm ax p smP-1 xcos (a— 1) x_
~ p+a + (p+a) (p+a—2)
—i ~ f sinp~2xcos(a—2)xdx
(/>+«) (p+«--2) J 1 1
3. J sin₽ x cos 2nx dx => J sinp хг&+
n
+ У {_!)» f
fe=l
4. j sta₽xcos(2n+t)xdx=^-pp +
n
+ 2 (-»>*
t_ i
(Рл+У-РНРл+^-ЗЧ- [(2»+iy-(M- 1)»I,
(2») । (24+p+I) “ *
4p^—I. -3» —5, .... -(2fl+DJ
5. I sinP ixcos (p+l)xdx—— sirtpxcospx.
v ft
skiP~ixcos
J 1 • n • f Л
dx—------smPxsin pl ——x
p \ 2 i
cosox ,,___9 f sin (a— I) x f cos (a—2) x
smpx 2 J sinP-ix d +J smP
8.
cos 2ax
sm x
dx—2
cos (2k — 1) x
2k— 1
.1 1» x I
+ in l tg у I.
1.5.13 ]
1& ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
п
С cos (2л 4-О* у, <x»2fex , . । . ,
9. I —-—L-dx= 7 —r---------pin sfflx .
j sin x k 1 1 1
k=i
fcos2x, _ ,il. *1 fcos2x. . л
* J «тл'=2“»ж+,п|Шу|. ”• J —«te*-2*-
C cos 2x . cos x 3,1. x I
J sin3x 2sin2x 2 j s 2 I»
f cos3x .______4___________1_____
J sinrax *“(»-3) явя'3х («*— l)sina^x*
14. C dx—— 2 sin2x-|-In I sinxI.
J sm x >ii
f cos3x . 1 ., - . 1
15. I -—=— dx— — =—5--4 In an x .
j sm3x 2sm2x 1 1
Г.5.13. Интегралы вида ^cos₽xsinaxdx.
1. f cos₽ x sin ax dx— — 4- C cosP^x sin (a— IJxdx.
J p+a P+«J
f* f cfsP^2 X
2. I cra^xsin 2tixdx—(r—l)n J-r~ 4-
j | P4*2
n—1 \
4. У ( 1).Ип»-2»)(4П>-Я.. )
Ал' ' (ан-0ЧаНф+2>' I
. О#— 2. —4/ ••• . —2nJ.
3. C cosP x sin (2л 4- 0 x dx=(— Цв+> 4*
J l Р“у* 1
. -V / .»(<a»-HF—»4«fcl+»)*-3,l „|<2n+l)>-(2»- 1Яч.
Ал' Г (2fc)l(26+p-f-l) *
к— 1
XtfcB^PnxJ U -3. -5, ..., — (8M-l>k
4. J COSP Jxsin (p4'l) xdx=—^cosPxcoSpx.
- Сяпах. ftfsm(a—l)x. Csin(a—2)x.
5. 1 ----ax=2 1 — „ , rfx— 1 —------— dx.
J cosPx J cosP“ix J cos₽x
n
л C sm(2л4-1)х . V . ... ...cos2Ax , . ,
I " ro«r k-----K-O’nln|cosx|.
«I Wo Л W
Л=1
sn2nxj^_2 V (—ip-tn №______Ilf.
cosx A 2fe—Г
P sin 2x , _______2______
J cosnx X~ (n—2)cos*-2x*
sm2x, .
—^-dx=— 2}n|‘cosx|.
198
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5 14
sin Зх . 4 [
_____ Q£ — - ——
cos’x (л—3)cosn Зх (n— l)cos’ ix*
И. С ———— tfx=2 sin® хIn I cos х I«
J COS X 1 *
. _ (* sm 3x . l л»! ।
12. I —=— dx= — s—=------4In cosx|
J cos3x 2cos®x ‘ '
1.5.14. Интегралы вида cosPxcosaxdx.
. f „ j cos^xsinax , p C _ _ . .
1. I cos₽xcosoxdx—------------1—I cosP~*xcos(a— l)xrfx-
J p-j-a p4~h J
2. cosPxcos2/ixdx—(—[)«. J cosPxdx-f-
V , 4Л»(2Л*-^ ^-(24-2)4 r
At ' (2k) I J
fe=l
3. Jcospxcos(2n4~l)xirfx—(—1)я (2л4~1){^ cos₽+1xdx+
, V , .u, [(2п+1)»-Р]К2Л+1)»-3»]...[(2л+1)=-(^-1Я..
r (24+1)1 x
xJcos2ft+*+ixdx}
4. У cosP-1xcos(p-|-1) xdx=-^ cospxsin px.
s. f ^jx=2 f ^~Ухах- f <УК-2>Л^.
j cos^x J cosp lx j cosPx
n
«• J 2 (-'У *-M-I1- +(—lyirjte+1)1.
fe=l 1
7.
n
cos(2rt4-l)x . у (—n« fe s?n2feg .
cosx Zj ' ' k "**
fe=l
(—l)»x.
fcos2x. _. . . /я , x\l
I ----dx=2sinx— In tg.4-^11.
J cosx i \4 2/1
f cos 2x . _ .
I —-z—rfx=2x—tgx.
J cos2x b
f cos 2x , япх t
л cos3x 2ccs2x
3 1
21П
Ccos3x . . _
H. I ----dx=sin2x—x.
J cos x
. Ccos3x, . . I. fji , x\l
12. I —t—dx=4 smx—3In tg
J cos2x j \4 2
fcos3x. . n..
13. I —5—dx=4x—3tgx.
J cos®x ”
J.5.I5.J
1 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
189
3.
6.
. - С fsinxi”1 (smnxl~*.
1.5.15. Интегралы вида 14 У 4 У dx,
r J kosxj (cos ад
sin”1 xdx
sin (2 л-f- О *
2n
= 2n+T 2 (~,)Я+* [2 (2n+1)Л]ln
k~0
t(k—л)я , xl
2(2n+l)+ 2J
““щгл+о” 2]
[in 2 л].
л—1 1
fsm2OTx, (—1)» __ v z пь I о . efai|l
J lnl«»-»l+ 2 In cos’z-sm’^ l
fe=l J
(msg л].
sin2OTHx . _ (—1)«
sin 2nx 2n ‘
In
Л —1
+ 2 (-Ipcos^+igta
*=1
sin2”1 x dx
cos(2n~H)x
*==1
sin2OT+1xdx
<#s(2n4-l)x
«-y 1 tg
рЖУ»].
inltefa,+2*+1« *M!
a+i |'U₽»+4 2/lg\4(2n+l) 2/||
n
ln|cosx|+ 2 (~Bfe«^2m+l2Sjln|cos2x~sill82irT7i
*=1 1
{magnj.
2n— !
sm®xdr 1 v / m/2^+1 \
~^2iS-= 2Б- 2 (->)***“*" ~1ЬЯ)Х
k=Q
Xln
. (2k—2ft4-l , x\
“(----8п Л+2>
P cos2OT+1xdx
J an(2n+l)X
' . I 2&-4-2n-4-l x
sm\T-8iT-n-Ti
[т<2л].
<
n
n
ln|stax)+2 (—0*a*^+1 2^T
fe=i
fat
In sin2x— sin2 „—.
I 2n-f-l
(msg nJ.
190 ГЛАВА* ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
П.5.16.
co&mxdx 1 f 1 х
8ш(2п+1)л “ 2n-H Vn|*g 2
п
+ V (-^ccsW^ln
*=1
fat \ . / X
4п+2)^\2
kn \ |
4^+2Д’
[mCnj.
cos®7^1* ,
—-я—dx=
яп 2пх
п— 1
= <SF | + 2 <-0»«*я**£ф(т
ft=l
{n—1
In | sin x 14* У (—I)A cos®71ln| siH3x—sin2^S{
1 । 1 \ / 2a i 2n I
*=1
E/nC"]>
cos,mx
cos nx
•n —1
(“ 1)*cos'”
A=0
2fe-H
2n
1.5.16. Интегралы вида (/?(sin<zx, jcosex, Уяп 2ax)dx.
Обозначение: ip«=arftsfti
2 sin ex
l-f-sinox-i-coso’x*
g^»H-i/2 2дг J8*11 2Л+3/3
(cosxj
/2 (2n+m+2>
2. fSin^2x(SeCX V"+‘dx =
J (cosec x)
— 2»l+3/2 {Cig xV/2 у /п~.т— П 1______fc(g 3n4-2fe
I tgx/ \ fa / 2m—4д4-4й4-1 (tgx J
3. f fsin *УД fcosrl f ^tgt+2> dt
J (cosxj (Sinx/ ‘ J 04-/4yi+«n+2
НЭТ
+ [in (sin x-f-cos x zfc Кsin2x)+arcsin (sin x—cog x)].
1.5ЛМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ/ 4
1914
Г 1 pin дЛ2т4-1
J «n«+V29r аХ~
v Sill ZA (COS XJ
n—tn—1
=+ 2-n+i/2 ftg x V/2 у (n ~m~1X______________1_______|tgx V m“ a+ 2fe
~ lctg*f I * / 4m—2n4-4fe4-3 (ctgxf
fe—0
/я-|- 1J4
= [in (sin x-|- cos-x ip 4-arcsi»(«in x—cosx)};
I fsecx Vm+1 j
---=-r=—< > ax=
sin41^a 2fc (cosec xj
m+ n
__ + 2va-n f*8 x У /2 У (m+n\______1______(tg x IM*-*»
““ (ctg.xj Zi I 1 / 4m-|-2n—4fc-f-l (ctgxi
*~=o
10.
sinx
япЯ41^2 2x
соб-2лх<Ьс=
n-t m-*l
2
k—0
(n+jn—1\
V k ) 4fc—2я4-3
cosx
япя+1/2 2x
sh^2mxdx=s
n-f-m— 1
^-^Pct^X 2
fe=0
/n<Pm—1\ ctgafi n x
\ k- ) 46—2&+3
ft tg£*xdx _
J sin2n,+1 x sin”+1^2 2x
____(m+n\ c^+^l->»z
z CTg- x к J 4да+2п+21-4*4-1
л=о
f_____tg±?Xdx ^о-пч-ХЛtcl/» T"y" /»+n\ nx
J cos2”*1 x sin"^1^2 2x \ * J 4k ±.21—2a-41'
Л—0
— ft япахЛс 1 \ 1 V|
13. V. —... - ----> " 1 ---1 г I <p> —7=>}—£ {ф,. y--
J (14-sinax-b<xsax)FsiR2ax a [_ \ - r2// \ F2/J
1^2
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1 5.17.
С sin at dr У2 Г, г?- „ / 1 VI
I ---------------- - = -— V igax—E I ф, -7^11
J (1—sin ах4-cos ах) У sin 2ax a \ У 2 /J
[ах^л/2].
f(l 4~ cos ал) dx У2 / 1 \
—. 7 ' ~ 1 I 1 . — ~ • *
(14-sin ах 4-as ах) V sin Чах а \ У 2/
X
О
16.
_______(14-cosax) dx_______
(1 — sin ах 4~ cos ах) Узш 2ах
=—р (у, Д=А—е А₽, Д-А 4- Vtgaxl
a L к У2/ к У2/ J
[вх^5л/2].
f (1— sin ах 4- cos ах) dx У2 Гпг,[ 1 \ „/ 1 V
I --1---------!• . = 12Е (ф, 1 — FI ф, —
J (I+sin ах+cos ах) Fsin2ax a L \ У 2/ \ У 2/
_______(14~ яп ах4-cos ах) dx______________ УЗ ц/_1
[1—cos at 4* (1—2г2) sin ах] У sin 2ах___________а \ Уч
1.5.17. Интегралы вида (sinax, cosax, Усоз2ах)dx.
Условие: 0<ах^л/4.
Обозначение: ф = arcsin (У2 sin ах).
1. J R (sin ах, cosax, Усоз 2ах) dx=^ £ /?(sinf, cos Л У1 —2 sin2/) dt
* р=ац си. 1.5.361.
2. J ЮТл=-^г(,, 72}
0
„4.1/2 Л (sinx) . __ Усоз2х (cosx
cosn+lza 2x ] >dx= T77-.— 1Г < . „
(cosxj 2(a4"l) um*.
Г n-l
(2a4-1) (2o-l)r.(2a-2fe+l)
----2» >n(a-l)...(n-k) ““ a
fe=O
„ (2д4-1)Ч Jln(cosx4-y -
(2a 4-2)1! У2 (arcsjn 0<2 sin x)
(, / . 1 / о» 2x\
J_/--^-fsinxl . 1 1/——(cosx) 1 In cosx4-y —5—I
Уcos 2x1 ldx=^T — ycos2x{ ' 2 4*
(cosx; 2 (sinxj 2У2 (arcsjnx)
5. C ^K^-dx^—ГрГф, -Д=А— -X-^4- —^а*Усоб2ах.
J co&ax a L к У2/ \ У2/Л a
1 5.17.]
1.5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
193
Г dx
’ F^cos 2ах
о
1
а^2
1 fsmx] , _ 1 fcosx] ,
-----773---> ’ ах -------------------775---J У X
cos"+1/32x (cosxj (2л—I) cos'1 1/2 2х Ism х/
2*10-1)0-2) .0-^-1)
(2л—3) (2л—5)... (2л — 2k—3)
cosfe+12x
п —1
1 JCOSXl yi (+ l)n+fe+1 2fe /л—1\ 1 (COSX)2fe
Vcos2x' \sin x) 2ЙЦ-1 \ k } cos* 2x (sin xj
11.
cos2 ox
Ycos 2ax
1 ₽/ 1 \
-— c®, —— 1
aV2 V /2/
П.
f tg2qx
J Vcos2ax
— Fi(p, —------tgoxKcos2ax.
2 V ^2/ a
13.
Г tg*ax .
I --b ----dr
J Ycos2ax
1 _ / 1 \ sin ax
---Гг=~ F [ Ф, —7=~ ] — -------
3a V 2 \ r 2/ 3acos3ax
.. C dx Y? _ / 1 \ tgax -------5—
14. I ---------! — —--E (qp, —-) — —— У cos 2ax-
J cos2ax Feos2ax a \ У 2} a
«> 1* dx 1 TT / —9. 1 \
15. I ------------------• — —г- ПI <p, r2, —^r ].
(1—2r2 sin2 ax) Ycos 2ax ay 2 \ y2/
w. C----------dx =
J cos4 ax У cos2ax
— 2)^2 _ / 1 \ — Y2 pf 1 \__________ (6cos2ax-|-1) sin ax
V * Y 2 / 3a \ ’ Y 2 / 3a cos3 ax
4* 1 1 \ K2 1 \ , sm2ax
— —-7— FI <p, —7г- j--El ф, —7=- -4---у—....
l^cos? 2ax ar 2 \ /2/ a \ Y 2 / a У cos 2ax
I T > Л
a \ F 2
194
18.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
ГЛАВА ПЕРВАЯ* НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{1.5.18.
sin2 ах
Усо&2ах
dx~
sin 2ax
2aVcos2ax
~^~E f<p, -4-\.
а/2 V ^2/
о
1.5.18. Интегралы вида ^7?(sinax, cosax, Fr—cos2ax)dx»
Условие: л/4 ax < л/2.
Обозначение: ф—arcsin (У2 cos ax).
(sin ax, cosax, V—cos2ox)dx=«
— ~ J /?(sin A COSA УГ2яп2/—l)dt [t=ar, cm. 1.5.38].
Л/(2а) -
i X—cos2oxdx = “I 2Я|ф, —— Fly,
j аУИ V У2/ V У2 ]
л/(2а)
л/(2д)
C stnfiaxdx 1 _/ 1 \
Л У— cos2ax ay2 \ Y2J
л/(2а)
C cos2axdx 1 Г / 1 \ / 1 \1
J V-boeito ~ aV‘l[(*' V2) Г /2/J
— ~ ctgax У— cos 2ax*
nJ (2a)
Г costaxdx 1
J — cos 2ax
x
=----Ц=гГ—- -Д=А—ЗрГф, —H—— sin 2аг К— cos 2аж.
Зд/2|_2 V К2/ V K2/J 12а
я/(2а)
f ---------—т=А-----------------------------ctgax]A—cos2ax.
J sin2 ax V — cos 2ах a \ V 2 / a
X
X/(2a)
( dx 1 pt / g 1
I ---------------------- ---------=------7^=r И I ф, Г2, —
J (1— 2r8 cos2 ах) У — cos2ax аУ2 \ У 2
f Г I 1 \ / 1 VI
J sin4 ax K—cos2ax 3a 1^2 |_ \ ’ V 2 J \ V% / J
X
— ^COSC^C- (6 sin2 ax-}-1) У— cos 2ax.
3a sm3 ax
IjMM
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
IS5
Я/(2а)
ti.
dx
sin 2ах
12.
яЛ2в)
C cos2 ax dx
г
1-7 1 \ sin2ax
EI Ф, —1-----------------
J^2 \ К2/ 2ajK—cos2ax
1.5.19. Интегралы вида J I? (sin х, cos х, У^а ±Гб sinx) dx,
__ . т/ 1 —sinx
Обозначения: ф—arcsin I/ -g——,
Я/2
2.
i|?=arcsin
— sinx)
. а я I
—atcsin-£-<x<-g-j.
я/2
f dx
==rF(№. *>
Я/2
5.
sin xdx
= ^(ф, k)
р^£(ф, k)
a>6>0;
/ 1 \
2£(t, 4)—f
V ** f
. a rt|
— arcs! n < x < у I.
я/2
7.
sin2 xdx
VaJ-b .4 , 2(2a2 + &2) .
—~~ ^(Ф. ^)+-~Г7^=^((р, *)+
362 36л ГВ 4-6
2
3b
--E
36
2
3b
arcsin
196 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.19.
Я/2
л Г tg2xdx —1 .. а с/ «л.
9. I ;- - — ---- -----Г(ф, k)---------z__— E(<p, &)4-
J Va-bbsmx Va-l-b (a—b)V a-j-b
, b— a sin x ,/—r-r--- .. я «1
+ vs—---------ya-j-bsmx p<b<a, —
(a2— b2) cosx 1 2 2 J
m 1Д/ 2a+b И । ab _f 1Ц,
®* Г b (2(a-rb) F(*’ fc)+a2—62 £ £/J +
, 6—a sm x , r—r-i~- - r , , . . <i _nl
+ "7"5-------ra + ^sinx p< a <b; — arcsin.<x< I.
(a2—b2) cosx L • 2 a
x/2
. . f fix 1 YT . t ..
11- I -----------------— ....— П (ф. p“t k)
J (2—p24_P2 SIn x) V a-'rb sin x у a-}-b
|о<Ь<о; — *<x<*j.
я/2 __
12. f --------------—----- — = —1—1/- П|ф, p2, —)
J (a4-b—p26-|-p26 sm x) у a-f~b sin x a4"b r b \ kl
[а л!
0<ia|<b; —arcsin 1.
x/2
«« Г 1—sinx dx 2 ( ,/—-Tr, ...
13. t .—------- — ----—-------у a_|_ь E (ф,
J l-f-sinx yn-J-bsmx a~b (.
x/2
f ----. ^ =------^.C0SJL. -4------Г(ф, k)
J y(«4-bsinxP (aF—b3)rn4“b smx (a—b)ya-^b
[o<b<a; —f <*<£]•
T<2 (_!_F1A--------»_ Efo, IM-------7=^=
» b la4“b \ kJ b^—a2 \ kJ} b2—a2ya-}-b^nx
|0<|fl!<b; — arcsin^ <«<-y I.
16. C (1 + Sin axf+l'14r= +1 Vl + an X V (-1)* (") 2»-*« °
J Л \к/ лк~х~ 1
k=0
f ~ __
J (1 ±. sin ПХ)И+1^
»- n—2
_________cosax________ 2»-*4- У (2я—l)(2n—3)...(2n—2fe —1)
na2"(1 ±smax)B+1/*___+ (2n—2) (2n —4)... (2n—2fe—2) X
X 2И&'2 (1 zt sin ах)т I ——
I (2n)!l
1 ln^24-Kl + sm ax
2«/2a /2— KTHhSin ax
i J 20.]
15 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
197
1.5.20. Интегралы вида
Обозначения: <p = arcsin
— cos х)
. -1/ (a-\b) (1— cosx)
*=arcsin I/ _ . .----~
v f 2 (a—b cosx)
о
[a>6>0j 0<х<л].
2.
Л Г if---т--- . Л лГ—ГТ Г. / . .V sm х
3. I У a — &cosxdx=2r a-{-b Е (ф, k)-f- —
J У а—6 cosx
о
[а>&>0; О^х^я].
f 1Ла-Ьс№х dx=-^a-bl_ П(*,_________, *\
j' г 1+pcosx (l+p)Va+6 \ (a+6)(l-t-p) j
[а>6>0. О^х^я; рф—1].
i^;|a|>0; 0^х< arccos
[a>ft>01 0<х<я].
[a>ft>0; О^ж^я].
cosxdx 2 (, , ,ч _ f x
r . — =-------—— < (a 4- b) E -s-
ya-f-fccosx \2
*))
/ \ лл 1J
[a > b > 0; 0 к я].
*• =/М2£(ф4Н (’•!)}
> I a | >0; O^x < arccos
x
10. f -7^4^=- = —£==-{(6-a) П (*, 4». 4)+aF(*. 4)}
$ I a—bcosx bya-t-b
[а>Ь>0;0<х<я].
198
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11X29.
x
Г cos* xdx____________2
rKfl + &cosx ЗЬ*У a-]-b
{ра*+Р)р(±, k\-2a(a+b)E[^, fe)} +
2
3b
[a>b>0; О^х^я].
т)}+
+ ^sin xV^a + fecoSX |b> | a I >0; 0< x< arccos ~
a—bcosx 362Ул4-Л
, 2 . a+&cosx , _ n. _,
4-------------------sin x -~ [a>ft > 0; 0^x<«l.
3b V a—bcosx
f (1 zL cos«4n+1/2 dx= ± Kl cos ax V (—1)" (?) 2«'*w '*
l^y X/v“J“" J
fc=0
x
____________dx_____________— - 1 Ilf * p« Л
(2—p2 4~ p® cos x) Fa 4bcosx Уа^Ь \2* /
[a>ft>0; o^x<wj.
dx /2 „/ » 1\
----------------------- , - =----------s----П f ф, p8, — l
(a4-6—ргЬp-bcosx) \ <74-6cosx (a-f-b)Vb \ k/
[b > I a 1 >0; Osg x< arccos (—
*<^il 1-to
l-^A dL^ = -g-tg^/a+»c*x—2/a±M~, 4
14~<Я®ж ro4~^C0SJC a—b 2 a—b \2 /
[a>b>&, о«^л<л].
x
f dx_________2 Ijt Л _ 2b______sinx
J ^(«4-6 cosxp (a—bjYa-j-b \2* / a2—б2 1^04-^cosx
[o>ft>0. о^хСя).
!)+«(* 4)}+
. 26 sinx г n
4------- - » -- • I b I a ] Z> 0, 0 x < arccos
bi—a* Va4-6cosx L
X
f Ffib Ы
J У(а-6сю£Я~(a-6) lb+b W’ 1
(
0Cx<a&
iJL ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ *УИЖЦИИ
199
г dx __ sin ax
J (1 ± cos ax)"*У* na2n (1 4* cos ax)^11/2
П—2
0-1. V (2n-l)(2«-3)...(2n-2fe—1}O„ b e/1
* 2 + 2^^ (3h-<) .k-2^2) 2 ° ± C0S aX) “
L л=о
rJ2fr-l>T i ln /2+/1 чь совах
(2«)t! о2я У"2? K2—К1 cosax
Обозначения: q> = arcsin
1.5.21. Интегралы
, xt=arcsin
L j )^а-|-Ь sin x-f-c созх dr =2 ]/ а-]-Уь*+& £($»£)
х
[0< УЛй24-#г<« xt—tt^x<xj.
2. - 2 /2 (ф, t) - — tl~a) f <* **
у 03-j-C<
[0< [а |< У&24-с2, xj—atccos ( а . ] ^х <хЛ.
\уЬ*+4*1 j
С__________dx
' j/a-f-6sfflr-{-ccosx
й>
Y a4-y
1^2
4/JL=F(q>, k)
a \
==-}Cr<x*
sin xdx_______
a -f- b sin x-j-c cos x
1/ 2 2л —. -. . --.
5=== [2£ (<₽, &)-F (<p, W 4- —— /a+sin x+c a»x
Y (624-(^ 624н^
|0< I a I </fr*+c«; xt—arccos ( Д ) x <xt
L к V ft*+^7
(b cosx—csinx)dx olr—;---------------
\ —=2 У a4-b sm x4-c cosx.
Y a 4- b sin x4' t css x
. 2(a-1^R) F(t k}
V a4-F62-f-c*
Xt—zc<x<xj-
200 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.22.
xt ---------
« С + sin x-f-ccosx , _—-
8. \ - ,7е;'T.—------------------dx = 2 /2 624-c2 E (ф, k)
J у a-\-b sin x-|-c cosx
[o< I a | сУТ»* + c*; Xj—arccos (--a- । ^x<xt
1.5.22. Интегралы вида & sin2x)dx.
Условие*. 0 < Й2 < 1.
Обозначение: A = — fc2 sin2 x.
1. J ABdx = ^-~(2—fc2) J AB 2dx—
n—2 P №
-----—(1— k2) I AB-4dx4- — AB-2 sin xcos x.
9 f -
£’ J Дп+1-
k2 sin x cos x (n—2) (2—й2)
e= —(«-!)(!-fc*)An 1 + («-!)(I—*2)
dx
A« *
n—3 C dx
(n-l)(l— k2) J A«-i*
P 2 1— be k2
4. 1 A3dx — у (2 — k2)E(x, k)--5—F (x, fe) + ~^ Asinxcosx.
J о о о
e C dx .. „ f dx I .. fc2 sinxcosx
5. J T=f (X. *)• »• ) дз *>- A----•
1.5.23. Интегралы вида J?(sinx, Y1 —sin2x)dx.
Условие: 0 < Л2 < 1.
Обозначение: A=—ft2 sin2 x.
fsin xdx —cosx p—3 fsin xdx
J ДР — (p—2) (1 - k2) A*1 + (p-2)(l-#) J АР1 ‘
n—l
fsin xdx cozx у _________2^ (n—1)(д —2)...(n—1—1)_________
J A2»+i (2n — 1) (2n-3)... (2«-21 — 1) (1 -^У+1 A2«~2*-i *
t --V
n — 1
1 у /Л—1\(— fe^COS^X
(1—F)bjL\ k /#4-1 Ай+1
д f sinPxdx _ —sin0-3xcosx
** J AP+2 “ (p4-1) k2 (1 —A2) AP+1 +
2(p— 1)k2 — p4-2 Г sinP~2xdx P—3 Г sinP_4xdx
+ (P-M)#(l—*z) J AP™ ’-(p-H)fe2(l— A2) J ДР-5 *
5. C A sin xdx=— —-2s* — -Ц—-In (fecosx4-A).
r A 1__bi 9M— 1
8. j A sin2xdx=— sinxcosx4- -F(x, fe)4-^3—E(x, k).
j 5 23 ] 1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 201
f „ J 2ft2 sin 2 x 4-3ft2 —1 A , 3ft*—2ft2—1
7. I Asm3xdx=------------------------Acosx4----------------In(ftcosx4-A).
C . , . 3ft2 sin2 x 4-4ft2 — 1 A .
в. I A sin4 xdx=-----------геЛ-------A s,n x cos x~
1 1Э/2*
2 (2ft4—ft2—1) c. .. . 8ft4 —3ft2 —2 c. .x
~ ------F (X’ *) +---15ft*--E <X’ *>'
J 2ft2sin2x4-3ft3-5 . _ 3(1-^. .. ...
9. I A3 sin x dx=-----------------A cos x------- Q. — In (ft cos x4- A).
1 О 0/2
f . * „ , 3ft2 sin2 x 4-4ft2—6 A .
10. I A3 sin2 x dx=------------------A sm x cos x+
, (1 — ft2) (3—4ft2) .. 8ft4-13ft2 4-3 p,
+'--------&-----------------------------£(x* k}-
ft... 8ft4sin4x4-2ft2(5ft2—7) sin2 x 4-15ft4 —22ft24-3 A
11. I A3 sin3 x dx—---------5-------*------тгт?-----!-----------— A cos x—
J 48ft1
- 5У-9П+^+1'1п(^х+Д).
C smn х dx sin"-3 х . ,
12. I-----A---= ------iVfca A cos «+
J A (n—l)ft2
n—2 l-|-ft2 Csin^x . n—3 C sinn~4x
+ n-1 & J ~A dX“ (n-l)ft2 J .A ;
Pan xdx 1 , A—ftcosx 1 , .. , .. 1 , /A . .
13. I —7------= In . ,-r---------= —r In (ftcosx4-A)=— In (A—ftcosx).
J A 2ft A-f-ftcosx ft . ft
.. f sin2xdx 1 .. 1 ₽. ..
14. j —-------= _ _ F (x, ft) - E (x, ft).
sin4 xdx A cosx 14-ft2 ... , A.
—Д-----да-----2F-ln(»cosx+A).
sin1 xdx A sinxcosx , 24-ft2 .. 1
—да—+ W f(J- *>—
E (x, ft).
20.
sin xdx
A3
cosx
(1- jfe8)У
sin2 xdx 1 .. 1
ДЗ £8 p_________£2) *x’ £2 (X’
sin xcosx
1-ft2 A
sin3xdx cosx , 1
A3 ~ ~ ^^(1 —ft2) A
sin4 xdx 2—ft2
A3
A dx
sin x
___________E(x k\____~F(x k} xcosx
ft^l-ft2) f
— ln-----------1_£ ]n (fc cos x4-A).
2 A—cosx ' '
J 4 Лу
ft)-E(x. Ц-Actgx
oil I Л
A dx A cosx . 1—ft2 A4-cosx
sin3x 2sin2x "* 4 П A—cosx'
202
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5.24.
f A d*__
j sin*x
= l[-Actg®x+(A«-3>Actgx4-2(l-ie)F(x, Е (х, ОД.
О
О. (-*!—=
J А sin" х
_ _ Acosx (я—2>(14-fe2) С dx _ (я—3>6а С dx
(я—1) sinfflx л—1 J Asin» 2х л—1 J Asin"4x‘
2в. Г * = -'1" ° * ~ •
J Asmx 2 A—cosx smx
»• J Ж” I >+'AS‘X <lx=F(x, И)-Е(х, t)-4ctgz.
28 С *** __ Acosx _ 14-У . А 4-соз х
J Asin3x 2sin2x 4 П A—cosx*
dx __
A sin4 х ~
= -|-[— Actg»x-A(2^+3)ctgx+(£2+2)F(x, Jfe)-2(624-l)£(x, 6)|-
1.5.24. Интегралы вида ^J?(cosx, — fe2 sin2x) dx.
Условие: 0 < ft2 I.
Обозначение: A = VI —&2 sin2 x?
f cosxdx __ sinx t p—3 £ cosxdx
J ДР ~ (p —2)A₽^ +p—2 J AP 2 *
n—1
f cosxdx у 2'(n — 1) (n—2)... (я — 14~ 1)
J A2n l f^(2rt—l>(2n—3)...(2я —2/ —1) А2»
n—1
_ у /л —1\ k*1 sin^^x
~ Z„i \ I / 214-1 A2f+1
. . Asmx.l . . „
A cos x dx = —--1- ^7 arcsin (k sin x).
« Л1П
(* Д |_be MX]
5. I Acos2xdx= - sin xcosx-----F(x, ^)4—E (x, k).
л C. , . 2^cos2x + 2A«4-l . . ,4^—1 . .. . .
6. I A cos’ x dx=------575---!— A sm x-i—573— arcstn (k sin x).
J 8л2 8л3 '
4 3&2 cos2 x 4-36*4-1 . .
7. I A cos4 x dx=----7P75---1— A sin x cos x4-
J l&fe2
+ ,t).
a —2fe2sin2x4’5 . . . 3 ... .
A3 cosxdx=------g-----A sin x 4-arcsin (ft sm x).
j 5.24 J 15. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 203
9. С л, , J —3fe2sin2x+fe24-6 . . 1 A3 cos8 x dx — A sin x cos x— J *5
10. i A3 cos* xdx— 8Л* sin4x—2fe8(6fe84-7)sin2x4-30fe24-3 . . , 6fe8—1 .... > = Ш2 - А^х4-^^ал*»(*8»пх).
11. f cos" xdx ах^~*х . . , n—2 2fc2—1 C cose-8x , , i * 7 test A sm x H 7 —— 1 j— dx 4- J А (я— IJfe2 n— 1 £2 J A 1 , n — 3 1—Й® f cos®-4x , H ;—1 —* dx. n—1 k2 J A
12. (* cos xdx 1 . .. . , 1 . k sin x 1 т — -j- arcsin (k sin x)=-r- arctg —r—. J A k 1 ' k A
13. f cos2xdx 1 .. 1—Л8 j Д =*.*<”•« t> F<x-«-
14. C cos3xdx, A sinx , 2k2—1 . .. . . J A да-*- 24»
15. P cosxdx sin x J A3 A *
16. f cos2xdx 1 _ , ,. 1 „ . ,. , sin xcosx J A3 k!s£(x,kH д .
17. f cos3xdx (1—^leinx ,1 . .. . . J дз = 4>д + arcsm (4 sm x).
18. Ccostxdx 2—£2 . .. 2(1— k2) .. (1—fe2) sin xcosx J дз ft. и M
19. f cos4xdx Asinxcosx 4^—2 .. . 3fe4—W+2 _ . .. J д да +-да-£(х-*и да F(x-*)-
20. f Adx V i— k2 . A-j-’Kl— k2 sinx . .. . . 1 = — In — - h k arcsin (fe sm x). J cosx 2 A — yl—й2 япx
21. J^7“f(x’ *)-£<х> *)+л‘«х-
22. C Adx A sin x 1 A4-)^I—#2 sinx J cos3x 2cos8x 4K1— k2 A —F^l—Ji^sinx
23. (* Adx 1 (R, 2fc2—3 . 1 . , .. , ^—2 J cos*x = 3 !-«* ,gXj4+2f <X’ 4+T=^£(X- «)•
24. Г dx 1 А —У 1—Jb2 япх 3 Acosx 24^1—A2 A+V^l— k2 sin x
25. f a-^—=F(x. *)-т-Цг£(x> J Acos2x I—A2 ' ' 1— k2
26. f A sinx 2fe2—1 —fe3sinx ' Acos3x 2(1—Jfe2)cos2x 4(1—fe2)3^2 A-yp^l— k2 sinx
204
27.
28.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
П-5-25.
A cos4x
=3(Г=я[4‘«”:-Т^А<«ж-{да-2’г(4'- *>+гТ-^|)
с
J Acos"x~
A sin х
____________________________(я-2) (2fe2— 1) f dx
(n — 1) (1 —fe2)cos’* 1 * («—1)(1—fe2) J A cos'* 2 x '
, (n—3)fe2 f dx
(n—1)(1—fe2) J Acos"4x‘
1.5.25. Интегралы вида J sin"* x cos'* x}^(l —k* sm2 x)p dx.
Условие: 0 < k*<Z 1.
Обозначение: A=pr 1—fe2sin2x.
SAP sin"* xcos" x dx= -—;—~—r-гх f ДР+2 sin'"3 x cos'*4'1 x4-
(m-|-n4-p) fe2 I
+ —2-J-(/n-f-p— l)fe8] J AP sm*"-2 x cos'* x dx—
— (m—3) J AP sinm4 x cos" x drj.
— 7—;——rz? f AP^2 sin»*+1 x cos" 3 x4-
(т4-п-|-р)к2 I 1
4-[(n-bp— I)*2 — (m-j-n — 2) (t — £2)]^ AP sinm xcos""2 xdx-f-
4-(n — 3) (1 — fe2) AP sin”* XCOS’* 4xdx| (m-l-n-bPTfc®].
f AP sin xcos" xdx= — ~ T-c08”-2 sinxdx.
J (« + P4-l)fe2 (n-bp-H)fe2 J
f ля • m j AP+2sm’B-1x , m— 1 C 9 ,
I AP sm"* xcosxdx — —~— --- -i- -— -- T I APsm^^xcosxdx.
J (Pi+P+I)fe2 (m4-p4-l)fe2 J
Jap sin3 x cos" xdx—
- &+P+ 0 fe2cos3 x+Kp+2) feg+n+1] AP+2 ensn_i r
[(pH-2)ft34-/i-HJ(n—1)(1— k*) С А_ п9 . .
— ,—Ц- -Т. —у—, 'f-д—- I АР cos'12 х sm х dx.
(«+р+1) («+p+3)fe4 J
J АР sinn* х cos3 х dx=
_(/n + p+l)fe2sln2x_[(p_/n+l)fe2 + ffl+1]
(m+p+l)(m-HH-3)* a sm X-t*
[(p —m-f- l)fe2 + m-|-lj (m—-1) f .
+ ~~—. , t ' , , ovri I APsmm~*xcosxdx.
(/n+p-H) (m 4-p 4-3)fe4 J
f . . . A® .
1 A sin xcosxdx——
J -
f . . ‘ 2fe2COS2X4-l~k* . Л—*2)2
I A sinxcos2x dx—------^2------A cosx+v p.3 In (fe cosхЦ- A).
• ofc*
8k*
j.5 25 ]
15 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
205
(• А , . 3A4sin4x — fc2(5fe2+l) sm2x4-5fe2—2 .
9. 1 A sm xcos3xdx—---------------—---------------A.
15fe4
10, J A sin x cos4 x dx=
— 8fc4sm4x + 2£2(7£24-l)sin2x- 3fe4-8fe24-3 .
—----------------1---------------------— Д cos x—
48k4
"_^W^ln(feco8x4'A)-
Г . . _ . 2fc2sin2x — 1 . . .1 ... .
11. l A sm2 x cos x dx =----------A sin x 4- arcsin (к sm x).
J Cn ofe*
C A • <, , , 3fe2 cos2 x — 2&2 4* 1 A .
12. 1 A sin2 x cos2 x dx — —----1— A sm x cos x—
(1_fe2)(2_^) 2(fe4-fe24-l)£,
15A4 1 ) + 15fe4 £ (X, KJ,
13. A sin2 xcos3xdx =
— 8&4 sin4x4-2&2 (6fe24-1) sin2x — 6fe24-$ * • .
=-----------------------------------------A sin x+
, 2fc2-l . .
4—arcsin (fe smx).
. . , . 3&4 sm4x — № sm2x — 2 .
A sm3 x cos x dx —-----------------------A,
15fc4
15. A sin3 xcos2 xdx =
8fe4sin4x—2fe2(fe2 4-1) sin2 x-ЗА4 4-2^2 —3 . ,
------------!—wtc—--------------' ™ x+
+a-^ff+l)ln(tcosx+A).
•л C a • л j 8&4 sin4x—2fc2 sin2x—3 1
16. \ Asm4xcosxdx—---------------------Asmx4-arcsin(кsmx).
(• Ab
17. 1 A3sinxcosxdx=—_т».
J o«“
18. A3 sin x cos2 x dx=
- 8&4 sin4 x4-2fe2 (fc2 4-7) sin2x-H3fe4 —8fe2—3
-------------------4^3-----------------л с“х+
+in (*cosx+a>-
19, A3sin2xcosxdx
= д dn ?+ 1 {k 4
206
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Р5-26.
1.5.26. Иде т-ет р в л-ы в и да f s*n——У1—dx.
r J cosBx
Условие: 0 < fe2 < 1.
Обозначение: A — У1—£2sin2x.
e (* sin x . C . . .. , , У i —я2. A^yi^F
1. I ----Arir= 1 A tgx2x= — Д+--------In
J cosx J 2 A-Xl-fe8
2. Г Adx=—-----------k In (k cosx-j-A).
J cos2x cosx '
o f sinx .. A . fe2 . А+УГ^Л?
J cos?x 2cos2x 4 pl — № A—У1 — fe2
л f sinx sin2X“4-3jH—ft24-1 д
** J cos«x X“ 3 (1-^.A2) cos^x
sm2x . .
---Adx=
cosx
A sinx . 2&2—1 . . У'ПлР'. А4-УТ—Fsnx
---------1-----arcsin №.sm -----11.
2 2 A-Yl-^sinx
6.
A«tg® x dx= A tg x4-F (x, jfe)—2E (x, k)
8.
9.
10.
sin2x sinx . , 2k*—l п_А4“У1—i
cos3x 2cos2x 4 У1—Z? .A—У1—A
sin®x * j fe2sinx4~3F— 1 . , У1—F.
cosx 3fe2 2 А — У1— &
sin3x. я shi2x—3 . ЗА2—4. A.
—s—A dx—-----s------A—cos x4-A).
cos2 x 2 cos x 2fe
sn0x . j '2fe2 sin2x-|-W —1 . .
-----Aax~ — “ '
cosx
fcarcsia (k sin j$.
8*2 “ ““ ~ i
8Й4—4&2—1 . . У1-Ж. -А-Ч-УГ^Жsin x
—----------arcsin (&«n x)4~--—in----------- =-
8A? 2 А — И — £2sinx
11. * Г cosx . , 1 —:—Adx = J sinx f Actgxdx=A4-^-ln|—A. «J X 1 £1
12. 1 P COS2 X . л 1 Adx = J sin X A cosx . A24-l ... -,*4,11 A4-cesx 2 +—SF,D<4<:0SJ:+4)+2ln4=^
13. 1 (* cos3x' „ L — Айх — J sinx *Fsin2x—Эй2 —J - л .1 . a—A
3fe2 ’ 14-A’
14. 1 Г co^x _ , I — Adx = J sm x —Wsin2x4-5A?4-l * 1— A cos x 4~
to^+c«x
2 A—cosx 1 8k* ' 17
15.
cosx
sin2x
--------k arcsin (k sin x).
sinx----4 7
15-27.]
1 5. ТРИГаНвйИЕТРМЧЕОКИе ФУНКЦИИ
16.
18.
19.
^^ДЛс= £ ct^xAdx^— A^tg^4-(J-A?)J?te~^r-2F(x, ft),
ullll At -J
cos’x sin2x-fr2 2ft2-]-1 . .. . -
-<-j— A dx=----n- a------------— arcsin (k sm x).
sm2x 2 smx 2k ' z
cosx A __ A , ft2 1-H&
sin3x 2 sin2x + 4 n] — A ’
cos jr . . A3
A dX = — X- ; „ .
sm4 x 3 sin» x
20.
COS2 X • . cosx . A-f-cosx .. .. ,
> „ A dx=— . A--------j— In ~----------k In (fe-cos x+AL
sm3x 2sm2x 4 Д—cosx '
1.5.27. Интегра даж вида £ -^Р * C-S<?
J У (1 — ft2 sin2 х^
Условие: 0 < ft2 < 1.
Обозначение: A=yrl~^sin2x.
f smPxcosflxdx
J Ar “
__—ft2 sin**1 x cos'?41 x
~ “(Г—2)(1—ft2) A' 2
sin^xcos^x . ,
—j—Л+
4 Г sinPxcos^x fa
__ 1 C sin^'2 xcos? x , 1 C sinP-®xcos?x ,
—-pr J dx—J дттз ax.
_kz— 1 Г simpдымв^”2xdx 1 Г sin^xcm^r
J Д' + Л2 J Ar ‘2 ‘
sin x cos x dx 1
(r—2) fc2 Д^-®*
_ f sinxcosxdx A
5- J-----Л---=-»•
e j*2®Ix*=^ + !^ln(tal+4).
7_ r sinxcm3xdx =_ ' (t»eos»x_2+ai»)A>
J А 3л4
Л Гйпхс^х<1х = ^-5^+2Уяп.хожхА 1п<4соах+АК
C sin2xcosxdx A sinx arcsin (ksinx)
} Д “ 2fe2 + *
ln f sin2xcos2x^ Asinxcosx 2—й2 2fe2—2.^. .r
,0* J ---A-------------3^---+ ~3&~E^
[* sin2 Xs®o^xdx- 2ft2 cos2 x-|~2fe2—3. . 4k&—3 . .. . -
11. К н —— ------------z^sm x-b———агскяЦ&до^.
J Л о®4 ОЙЧ
208 ГЛАВ 4 ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.27.
12. | * sin2xcos4xdx 3£2cos2x-|-3&a—4 . . L —L. Д Sin X COS X 4- J Д lofe4 , ^-lW+8 3^-13^+8 н iaJS *) 15И Е(х. k).
13. |
14. 1 Г sin3xcos2xdx 2Jfc2cos2x—F—3 ^4-2^ —3 ... , д = 8^4 Acosx , 1п(Асовх+Д).
15. 1 Г sin3xcos?xdx 3fe4sin4x—(5A4—4fe2) sin2x—10&24 8 A | A - 15H— ’--4-
16. 1 Г sin3xcos4xdx 1 A ~ 8k* sin4 X—2Й2 (7F — 5) sin2 x+3fe« — 22fe2 +15 . W> Acosx й« + 3^-9й2+5 ... 16£7 In COSX4-Д).
17. 1 P sin4xcosxdx 2^zsin2x43 . . ,3 . „ . . 1 A = — A sin x-4--,- arcsin (k sin x). J Д 8k* 8k5
18. 1 [* sin4xcos2xdx 3fc2cos2x—2Л2—4 . . i — —— д Sln x cos x_i_ J A 15&4
19. 1 Г sin4 x cos’ x dx J A ~ 8fe4 sin4x—2Л2 (6fe2 —5) sin2x—18йа4-15 . . , № -5 - 4g,<6 A sm x- arcsin (7: sin x).
20. (* sinm x cos'1 x dx sin"'^1 x cos”-1 x J ДЗ Z-2A m — 1 Г sinffl 2xcos”xdx n~ 1 Г sin^xcos” 2x . fe2 J Д 1 *8 J д dx'
21. 1 Г sin xcosxdx _ 1 J A3 fe2A *
22. 1 Г sin xcos2xdx cosx 1 , | Аз ~ *2д--jpM'cosx+A).
23. ’ f* sin xcos3xdx __ IP a^x^-fe2—2 J A3 ' ^A *
24. С 515^£*. = Ё^^^1с«1х+^!^1п(4со5х+Д).
25.
26. Г sin2xcos2xdx 2—fc2 M 2 p/r » sin xcosx J дз & ( ’ ’ k* 1 ’ ' 1 й2А *
27. C sin2 x cos3 x dx fe2 sin2 x-b2fe2 —3 . 2fes—3 . fb . . i Д. 2fA ЯПХ № агся"№ап*)-
1.5 28.]
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
209
С sin3хcosxdx 2 —fe®sin2x
J A3 ~ fe*A
_ f sin3xcos2xdx —^3sin2x4~3 , б8—3,
29’ J-----A3------------2^A T-cosx+-^rln(fecosx+A).
C sin4 x cos x dx — sin2 x4-3 . 3 . .
3®. I -To----=------пТП——Sinx— RTF arcsin (Asin x).
J A3 2&4A 2A§ ' '
1.5.28. Интегралы вида f _^пРЛ. .._. ***-----
J cos9x r (1— A2sin2x)r
Г cos₽x______dx_____
J sin9 x 1^(1—A3sin2xK
Условие: 0 < A3 <: 1.
Обозначение: A = K 1—A2 sin2X.
C sinpx dx_ sinp *x
' cos9 x A ~~ (q— 1) (1 — k2) cos9-1 x Ar~® *~
p —g4-2 — (p~-2q~r4-5)£2 C sin₽x dx (p—q—r-{-4)A? f sin₽x dx
fa —1)(1—A2) J cos^A7- (</ —1)(1—A3) J cos9 *x Ar ‘
cos9 x dx____— cos9+1x p—qr—24-(p4-r—3) A3 v
sjnpxAr ~ (p— l)sinp 1xAr-2 ' - *
C cos9 x dx
X J smp 2x A7-'
p—I
P-1
COS9 X dx
^еар -*х ЛГ ’
sinx dx
cos21”x A2" ~~
hhm+n-T>
__п/в+л _________
1 ’ (1—A2)"1™
n»-f-n—1
VJ //»+« —1\ (-
jL \ I ) (2fl —
,COSX\2B*2i-l
.“A“/
1 = 0
m+n-^l
COSX dx __ n fe2(m+n-I-l) ^sin x\2n^a~l
sm2"* A2«hx~ Zi \ I J 2n—2/^T \~A“J
z=o
sinx dx _ C dx _ 1 ln A+l^l —Jfe8
cosx A J 6 A ~2/T^F ”a —
sin x dx A
cos2 x A (1 —k2) cos x
_ C sin x dx C . 4 dx
J co&x A J A
== A_________________——in
2(1—fe2)cossx 4(1—fe2)3/^ д—
Я. C s*n x dx_ 2fe8cos2x—1+^ Л
J cotfx A 3(1—fe2)2co8®x
Л C sinsx dx 1 . A4-К1—£8 sinx 1 . »
9. * ----- - in—L—_____------------arcsin (A sin xL
J cosx д 2K1—» A—Kl—A!2 sinx k
2$ ГЛАВА ПЕРВАЯ ЫВДНРЕДЭДБШМЖ ИН8ЕГРАЛЫ
-л f sin2x dx ftg2x. A . 1 E-z «
10. 1 -о-----Г“= I ~~A~dx=^ —-Е5Г tgX — t;—Л=-Е(х» H.
J cos2x A J A (1 — fe2) & (1 —
p яп2х dx A sin x 1 , A4-V^l — fe2 smx
J cos?x A 2(1—fc^coePx 4(1—fe2)3^2 A —V^l—A’smx
12 Г sin3x dx__A 1 A-y)fl—fe2-
* J cosx A ~ k* ПД—
,e C sin3x dx A , 1 , ,, . Av
18. I 5 — геьт-—— -------[«. ~~ 1hJ& cos x4- A).
J cos2x А (T—Z^cosx 1 % 1 *
Г sin*xdx
14* 1 —— ~T~——
J cosx A
A sin x 1 А-4-jf 1—AFsinx. 2fe2-H a (brt
==-------1----_— —— in------------------arcsin (« sin xi.
2fca 2K1-*3 A-ZT^smx 2Jfe®
f* cosxdx (* . dx 1 . 1 —A
jsinxA J & A 2 14-Л
*_ C co&xdx 1 . A+cosx , I , .. , Ач
16. 1 —------— — -x- In -Ь-j— In (kcosx-Ь A).
J smx A 2 A—mb» fe v
C cos3xdx A 1 _ 1+A 4
J smx A £2 2 Г—A
(*cos*xdx Acosx , 1 . A+cosx , 3&2—Г. .. ,
18. I --------T- — c>T3- + -x- In -T-2-1-XT3— In (fecosx4-AJ.
J smx A 2ka * 2 A—cosx 1 2Й3 '
a. f cosx dx &
1 ... - - _ — -nL-*
J sin2x A sou»
__ C cos2x dx C ctg2x . . . „ . ..
W’ J Л1= J -V4z=-Adgx-£(»,
21. f 1 ansMbsinx).
f cosx dx______A _____№ . 1+A
J sin3xA 2 sm^» T 1—A*
C cos2x dx A cosx 1—fe2 . A-f-cosx
23‘ J sin3 x T 2sin2x** 4 nA—cosx*
C cosx d*__sfoZx-p 1 д
* j sm**: A — ~ 3sm3x
(• x _ dx tgn 3x A
25. J tg«X д—l)Q_fe2) cos^x
(n-2) (2-fc2) C tg«^x . «-3 f tgn~**dv
-(^D^ j —Д—A “**
26. )ctg«xy--------S-J. —
x С
J А Л*— b J A
1X30.1 15. ТМтЖОЯЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
211
« к ол тл f У(1 — A2 SHl® x)r .
1.5.29. Интегралы вид-а 1 - — -----=—— ах.
г J sm XdQSn X
Усювие: 0<А2 <J.
Обозначение: -A^pCi—A2tin2x.
3.
2.
Adx 1 , 1—A
— In
Sin XXDSX 2 1-Ч-А
Adx A 1
sin X СОЙ2 X cosx + 2
Adx .A
—4n
sinx cos8 х 2cos2x 2
-----In —~ -----
2 А-Ул-А2
Л У cosx
A—cosx *
2—А8
----“—In —-——--
УГ=^ а-УТ^Г2
C Adx________(2A2—3) sfrPx—3A2-4-4 . 1 . A-|-cosx
J sinx cos4 * * x“ 3(i—A2)co^x n A—cosa*
5 f Ad* = —д _ _1±^_ to fA—TT^Fsinx
' sin2xcosx sinx '2УТ—А2 А -f-УТ— fc2sinx
P д dx I 1 \ 2 Л2
7e C Adx _ 3 sin2x 2 д_ 2A2 3 A 4-У 1 —A2 sin x
' sin2xcos3x 2sinxw«i2r 4У1 — № д_у} —A2 sin x"
8. f &dx _ А д pTTjpA^/f^fe2 ff—2ln 14-A
J sin3xcosx 2sin2x 2 A—У1—A2 4 4—<A
C Adx 3sin2x—1 A2—3 in A—cosx
J sin3xcos2x 2sin2xcosx 4 A 4- cosx*
Л f A dx <3—A3)sin2x4-1 . УТ^Р. A—yT^Fsinx
J sin4xcosx 3sin3x 2 А-|-У 1 — A2sinx
1.5.39. Интегралы вида 1 --------------г .
J sin^jc ccs” хУ (1 — A2 sin2 xY
Условие: 0 C A2 < 1.
Обозначение: A= V1—IP tin2 X.
А яп x cosx
1-A
А+У1-A2
In--—- - .
А—УТ^А2
A
2.
3.
A—cosx
A sin x cos2 x (1—A2) cosx 2 A + cosx *
-f (ctgx4-2tgx+tg3x)~ =
A sm x cos3 x J Д
A 1, 1+A, 2-ЭА2 ^А+УГ^А2
2(1-^COS2X 2 1-A 4(1- wy* A-p^l-A2
212 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.31.
- С_____dx_______(5fe2—3) sin2x—6fe2+4 . _ 1 . A-{-cosx
J A sinxcos4x — 3(1— fc^co^x 2 П A— cosx*
_ f dx A 1 , A—Kl —/г2 sinx
J A sin2 x cosx sinx 2K1 ~k2 A-f-yi—fe2Smx
6. f л •-2- = (ct6A +т^e(*. E) +2F(X, k).
J Asm2xcos2x \1—fc2 J 1—A2 ' ' '
Jdx
. — I - ss
A sin2 x cos3 x
= (3—2fe2)sm8x-2(l-fe3) д 4fe2 —3 ]n A{-}T^sinx
2 (1— A2) sinxcos2x 4(1 —A2;3/2 A ——Jfe2 sinx
Г dx A 1 ^4-2. 14-A
J A sin3 x cos x 2 sin2 x 2 у 1 —A2 A — у 1 — A2 4 1 — A
Г* dx____________(3—A3) sin2x— 1 fe2 . Aa4-3.• A-—cosx
J A sin8 xcos2x 2(1— A2) sin2xcosx 4 nA-f-cosx*
Ю f dx_______________(34-2A2) sin2x4~ 1 д_1 j A —Kl — А2 sinx
J Asin4xtosx 3sin3x гКГ—A2 A-j-Vl—
1.5.31. Интегралы вида
J R (sin x, cos x, Kl — p2 sin2 x, Kl—g2sinax) dx.
Условий 0 < p2 < q2 < 1, 0 < x я/2.
. V1 —p2 sin x
Обозначение: m = arcsin
У 1 — p2 sin2 x
1. c ------------*----------= >—f L, т/
J У (1— pssinax)(l — q2 sin2x) У1-Р2 \ r 1-p^J
2 f__________tg2xdx_________e
1^(1 — p2 sin2x) (1 —q2 sin3 x)
_ tg x y1*-1—^2 sin2 x___________е(ф, 1/"
(1—?2)/l — P2sin2x (1—92) V1 1—P2/
Г sin2xdx Kl —P* F/_ 'if
£ У^(1 — p2sin®x)(l — ^2sin2x)3 (1— ?2) (g2—P2) ' 1—p2/
1 n I sinxcosx___________
“(g2—P2)Ki—p2F кФ’ r [T^p2/ (1 —g2>K(l — p2sin2x)(1 —g2Sin2x)
x
f____________cos2 xdx_______
J К(1 — p2 sin2 x)3 (1 — g2 sin2 x)
=L ъ^З1!-------------------------Ц£=р (ф. К-)-
g2—р2 U Г 1—р2/ (qt—pi)V^'~P^ ' 1—р2/
1.5.32.] 1.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 213
„ Г 1 I Л1— <?2ЯП2Х^ 1 [ 1/72—
5’ 1-р2ЯП2Х V I-P2Sln2x ГГ=^ V4 V I-?)*
R С 1/~ 1—P2sin-x JX=
J F (l-?2sin*x)3
— ?8—р2\ _q2—pa ________sinxCOSX____________
1—^2 F 1—p2/ 1—g2 K(I—P2 $ш2х)(1—92sinax)
X *_______________________
_ f 1 1/ 1— p2sin2x ,
7. 1 ------------------- I/ —---------• dx=^
J l-j-(p*rz—p2—r2)sin2x r 1 — fl2 sin2x
> nb,i/E3.
J<l-p2 V’ F 1-p2/
<
1.5.32. Интегралы вида f -/g^-sindx.
J /1- fe2sm8x
Условие: 0< kz < 1.
Обозначение: A—Y 1 —£2 sin2x.
1, C<a+.sin,xlf><te==
J A
~T—\i~fe2 [(a4-sinx)P~3cosxA4-2 (2p— 3)akz f (M-sin*)^ dx-}-
+(p-2)(l+^2-6e2fe2) J (д+X)P^2dx-q (2p - 5) (1 + fe8 -2д№)x
? (a+sin x)^ 3 , . «... „„ _.Л (* (a-j-sinx)^4 . 1
X 1 T д- • — dx—(p —3)(1 — a2)(l — flflfe8) 1 - - --dx]
[a8^!. при p=-1. —2, ...j.
„ Ca-|-sinx . , 1 . A—kcosx
2. I ------dx~aF (x, k) + In -r-r-r---.
J A v * 2fe A + ^cosx
_ C (a4-sinx)8 , l+k2^ - 1 „ a A—fecosx
3. t)+_in2—_
C dx_____________________1________Г cosxA _
J (a+ бшх)" A ~* (»—!)(!—fl2)(1— a2A2)[ (a + sinx)"'1
(* dx
— (2/i-3) (1 + fe2-2a%2) a | t .--.-A —
v '' ’ J (fl-f- sin x)n l A
£* dx
—(n-2) (6a2ife2- A2-1) I ——^L-— —
' ' j (a-|-sin х)я-2 A
-(10-4«)aF f — /< - - — (n-3)fe2 f -- 1.
' j (a-j-sinx) 3A ' J (a 4 smx)'14 A J
5, f d*
J («-bsinxJA^
— 1 aVi * i 1Л — a2A —)Л1—fe^cos*
a \ a* J /1— a2A-b/l-j^cosx
214
ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5-33.
Р dx_________1 Г & 00S X ____________
J (а 4-яп я)2 А — <1—а8) (1 —л2#2) £ а 4- smx
аа+^-ал») С r^-^-2ak‘ f f Й+***].
J («4- smx) A J A J A J
Г dx__________
J (a 4- яи XY A“
_______!______Г _ Acosx _______ .[ i £2_2a2^2) £___________ —
2(1-aa)(l-а’Л»Н (a+sinxp к 4 («4-sinx)2 A
— (6a2#5-#5—1) f у--, ; jr+2ak2F(x, k)
1 'J (a4~ sin x) A
P dx__________1 f _ A cosx
j (1 ± sin x)n A ~ (2n — 1) (1 — t 0 — x)*
+ (я_0<1_5^ J _^_4.2(2n_3)^JIT^^--
—(n-2)^ J (1 ± sin Х)Я-3 д
J (1 dz sin x) A = (1—#9(1 dz sinx)+F(X’
_ C dx_______________I Г (1—fe^Acosx _ (1— Sfe8) Acosx
J (1 zt sinx)a A~ 3(1 —fca)aL (l±sinx)2 1+sox '
4-(1-3^)(1-й«)£(х, fe)-(l-5fe8)E(x, #)
u. f-----—------=x
J (1 ± k sin x)« A
— 1 Г-4- ^t^CO&X ,( 1\/C A2X f dx •
“ (2n-l)(l-#){-(i-+£ sin х)л “НЯ H 'J (1 zfcjfesinxy^A
—2(2n—3) J xje-2 д + (л“2) J 0 ±fesinx)«2A
jP dx ____________ ^Acosx 1 p . ..
Z‘ J (l±fesinx) A ~“(1—#9(1 sinx) +1—#**'*’ *'*
_ P dx________1 Г fe(l—i^) A cosx r «4
J (1 ±ksinx)a A~ 3(1 — fe2)al~ (1 Az k sinx^
±^n^^?£-2(1-t,>F(x. 4+(5-^)E(x. t)].
1.5.33. И нтегр a л ы в я да С 2~a.s”1>x^ Jr.
J У 1—A2 sin3x
Условие: 0 < А® < 1._____
Обозначение: A =Y 1 —fea sin2 х.
1, f г”- Х^Р~dx=Tr—— т 73 [аа(14-е sin2x)P"a A sinxcosx4-
+ (2p-2) (ЗА»4-^4-«) J E±a..^a^~-dx—
-(2p—3)(3Jfea+2afe24-2a4-na) J 1L+Qs^l^*dx4-
4-2(p-2)e(e4-Q(JP4-a) J
L&33.]
15. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
215
f 14-а sin2x J Л , а \ .. а
2. J ----dx=ll+&\F(x, Ь)—&Е(х, fe),
С (14-е , а2 . ,
& ] -^-dx=^ A sin xcosx4~
+[1 +г+®^]'<-. ‘<-Й+!-^]«к »
С dx 1 Г A sinxcosx ,
J (a4-sin2x)rtA ~ 2$»-
+ (2n~3)^+2a+^+3^ f №s£fr-lS-
-(2n-4)(«,+e+3^ f <1+да£х)^д +
+^-5>4 0+ts^]-
f (l-J-o sin’xjl =П
7.
8.
1 fa^Asinxcosr , . t _, „ , M .
“2(14-а)(й?+А!2)[ 1-Ь*яю*л M+aE(*> Д)+
4-(a2+2e4-2afe24-3A2)ll(x,—a,fe)J.
Г smxrfx__________________I_______Kt+а A — ]/fe24~ acosx
J (14-a sin*x}A У(1 -J-e|(A®4~a) (Kf-f-®—+«) К14- ® sin2-*
[д>—fe«J.
2/-(14-a)(Aa+a)
vf^in 0+a) A2 4-(A2 4-a) cos2 x 14-2a4-
[ (1—fe2)(14-asm3x) l—k2
_ 1(&2 4-a>co&x— У—(I +д> A
f-Кд <-**].
fK-h O^sin’x<— 1/aJ.
X
Г sin xdx ______ A 1
j (1 —sin2X) AT “ (1 —F) cos x 1—Л2’
о
x
£ sin xdx tosx r 1
J (i — fe2 sin2 x) A — — (i —fe2) A + Kfe2 ’
0
cosxdx _______ 1 . yrfe24~®sinx
(1 -f-a sin* x) A Kfe2 4-a A
216 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1 5.34.
13. е= 1 1п А+Гг— (fe8+a) Sinx
2 К—A— Y—(fe24-a)smx
[а<—fe*; O^sin’xc—1/а].
х
t С cos xdx _sinx
4‘ j (1— fe2sm2x)A~ A
о
J' (a-|-cosx)P ,
У l-^fe2sm2x
Условие 0 < &2 < 1.
Обозначение: A = Y 1 —A2 sin2 x.
« C(a+cosx)P. 1 Г, . ,
j t —£_ dx=___ ^(a-j-cos x)₽ з д sm
4-2 (2p— 3) aft® J dx-(p-2) (1 -2F+6a®fe2)x
f (a+cosxV’-2 . , f (a+cosx)P-3 . ,
X I - A —dx4-(2p—5)a(l—2й2Ч-а2Й2) l -—1——dxj-
4-(p—3) (1 —a2) (1 -tfa2) J dxj [p^l; a*7fcl. — (1—
2. f «+cos x fe)4-X arcsin (fe sin x).
J 4\ К
о Г (a4-cosx)® , a2^4-fe2—1 r. .. . 1 . 2a . .
3. I -——-r——dx=---------------F (x, fe) + E (x, fe)4—7 arcsin (k sm x).
J А Кл к
я C dx 1 Г A sm x
4* J (a+cosx)» A “ (n^ 1)(1 — a?)(l-fe2+a2*®) |(a+cosx)« *
-(2a-3) (1 -2A24-2a%2) a f — - - — ---
v /v 1 'J (a 4-cosx)1» 1A
(* dx
—(n-2)(2F-l—6a2*2) \ —
' '4 'J (a-]-cosx)n2A
—(4л—10)оЛ2 f -4-(n_3)^ f TI.
v J (a4-cosx)n3A ' J (a-|-cosx)e 4A J
e 1 [ sin xA ,
5‘ es(2n—l)a(l—afe®4-202^)1 (a4 cosx)» +
4-(л-1)(1-2^+6а2*2) C-————
1 ' ' j (a4-cosx)n 4A
—2(2n-3)#a f . , ...4-(i>-2)jb2 f ——
' J (0~bcosx) ^A ' j (a4-cosx)n 3 A J
h = 11. ±УТ—**/(«)]•
л f dx _i_. 1 — cos x * । _.. z ..
*• J (I ztcosxjd------STr A+F<*- *)•
7. f __________dX,_ _ -
v (1±совх&/У 1— &2) A •
A2smxcosx(1 q:cos M/xKl—F) _ ki . . r
t=-----------------------•—------l. zp. ... - д sm x-f-E (x, «).
A Fl-*2
j 5 35 ] 15 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
217
*** _ а п (х * - fe^ 4-
(аЧ cosх) Л ~ a2—1 V а2-1 ’ )
1 У 1- а2 Л 4 fe У^! + k2a2 — k2 sin x
+ 2 /(1 — а2) (14 k2a2—k2j /Т^а2 A —feV\^k2a2—k2 яп x *
dx_____________1_____Г sin xA _
(n-|-cosx)£A (1—a2) (1—k2+a2k2) Le+cosx
-d-^+^a j J Л+^£Л-
J a
dx_____________1_______Г A smx
(a4-cosx)3A — 2(1 — a2) (1 — k2-\-a2k2) (a-jcosx)2
-(МЯ-1-6M0 J (з+^^д--^(х. *>
1.5.35. Интегралы вида
Условие. О < Jfe® < L_____
Обозначение. А^У^ Г—&а sin2x.
С <°-±*ех>,> dx=
J А
sin2x
____1 [(g+tgx)P-3A } Г (q+tgxy>-i
— (р—2) (24-6а2—А8—Ы№) -а4?1д-Р -<fr+
+(2р—5)a(2+2a2-jfe®-ftfe2a2) J -ft+M*)*.* _
-(p-3)(l+a2)(l4-aa-W) (
X . , I д + г I—ft-4
— dx=aP(x, fe)4—-7=.— In —
' 2K1-*2 А—У1—fe2
1 At , 1Л I T-, > a 1 A-f-K 1—ft®
A tg x-f- a2F (x, k) E (x, fe) 4—, -—— In-- rz—--.
1-fe2------------------------------------------1-# 1 У1-А2 Д_У1-А2
С dx ______ 1
J (a-f-tgx)« A ~ («-1)(J 4-n2) (1 +a*-Pa2) X
x [- C+tg-ж^-?+<2B~3> ° x
x J МлЙ^-(“-2И2+6а2’А,-<*,аЧ J (o+tg^x). .A +
+(4n-10) a (1 -F) C ——-_(n-3) (1 -fe2) C Д-—1
j (a-f-tgx)n 3A ' J (a-j-tgx)" 4A J
[n^l. а»ф—1. - 1 (1 -£*)!•
218
ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5.36.
5’ J (a+tgx)A= 14-а2 * LJ
_ 1 In ^1+»2 —fe2a24-K 14~»й A
2 Ко+a2>(l + a2—fe2^) Kl 4-a2-W—/Т+а2 A ‘
„ Г dx___________a а2 Л __
J (a-|-etgx)A~ 14-a3 \X’ /
________1________j ______К 14-Д2 Аео&лЧ-д K»24~ 1—fe2___
V04-a2)(a24-l—fe2) (/14-a2A4-/a24-1— fe2) f1-|-e2—fe2 sin2x
Г dx__________ 1 Г —A
J (a4-tg x)2 A +»2> L(a4- tg x) cos2 x
C dx
+H»+»-M-2«* j ^^д -
J n-^gx-<fe-Hl-**) f <а+*8х)* dxj.
_ Г dx___________________1_________Г —A___________
J (a+tgx)3A 2(14-яаУ(14~°*—fe2»2) l(»4-tgx)2cas2x
Г dx
+3a(2+2a2-fe2-2feM j
_(24-6a2-fe2-6fe2a2) J ^^^4-21 (l-fe2)^ (x, fe)].
f (a4-tg*x)P 1 Г (a4-tg2x)P 2 tg xA
J A (2p-l)(I—fe?) L cos2*
+(2p-2)(2—3a—fe24~3fe2a) f dx+
<F *<
+(2p-^[l-4a4-3a84-(2a-3a2)fe2] J .^+t^x^dx+
+2(p-2)a(l-a)(l-a4-fe«a) f
W J
Го- tgx+ar(x, K).
** f (a+t^j^A = e=rf(*’*+a(r-aj B(**' ~л~' *)•
1.5.36. Интегралы айда ₽(sinx, cosx, К1—j»2sn2x) dx
Условие: p2>l.
Обозначение: ф—arcs» (jssirx).
1. £ Kl-p2sin2xdx=/*F(j, —I9"1 f L _L\
J \ PJ P V Pi
dx
V1—p2sin2x
P \ Pi
1.5. 37-]
1 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
219
Г__________dx___________= X n / J_\
J (1 — ^-sn^x^l p2 sin2x p V p2 ’ p/
Для вычисления интегралов вида
R (sin х, cos х, /1-p2sin2x) dx
при р2>1 можно пользоваться формулами пп. 1.5.22—1.5.30, произведя
в них следующие замены [5]:
1) £(*,«- If (ф.-А-);
f t \ n2_ 1 / I \
2) £ (х, Ь)->рЕ(ч>, -Lj~E-_Lp
3) k^p.
1.5.37. И н тс г f а л « и м д а ^7? (sin х, cosx, Y l-4-p2sm2x^ dx.
__ . V14- р2 sin х
Обозначение: ф = arcsin —.
' F14-P2sin2x
1. f Ki4~P2 sin2x dx=K 1 4~P2 £ (ф, • ) — P2 у5’” —
J \ /1+Р2/ Vi-lP2^!2*
2 f ^+Pssin2xdx _ 1 n7 r2 p \
J l+O^-'V-'^sm2* /14-Р® \ ’ ’ /Т+Р®/
_ (* sin xdx 1 _ ._ / p cos x \
4. I - - ----= — — arcsin -7-—• .
J pl 4-P2 sin2 x p \v 1-hP2/
5. C • r---^5 x = — In (p sin x-f- Kl + P2 sin2 x).
J У1+р2яй!х p
Л f dx 1 , ’Kl 4- p2 sins x—cosx
J sin x у 14-P2 sin2x 2 V 14-p2sin2 x4-cosx
_______dx______________1 jn V14-раяп2х4~УЛ14-р8^» x
cos x V14- P2 sin2 x sV^l-j-p2 V14-P2 sin2X—V 14-p2sinx
tg xdx_________1 jn 1^1 + p2 sin2x4-yr 14-P8
4-p2 sin8x 2}^ 14-P2 Ю 4-P2 sm2x— Y1 -fp*
ctg xdx __ 1 |n 1 —~К14-P2 sm2x
"K14- p2 sin2 x 2 14- V\ 4-p2 sin2x
Для вычисления интегралов вида
R (sin х, cosx, 14-pa,sin2x) dx
можно также пользоваться формулами пп. 1.5.22 —1.5.30, произведя в них
следующие замены [5]:
1) ^2-,.—р2;
210
ГЛАВА ПЕРВАЯ* НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11.5.38.
,/•“—г, г* / р \ „ sin xcosx
3) Е (х, k)-+V 1 + р'Е (ф,--7Л^.= ,') — р2 -у =.=.._.т=-
V ’ \ /1+Р2/ Vl+p2sin2x
.. 1 . , .. 1 . pcosx
4) — In (k cos x4-A) -* — arcsm ~s— — ~ J
fe p Vl+p3
5) I- arcsin (fesin x) -> - In (p sin хЦ- V41 + P2 sin2x).
1.5.38. Интегралы вида С(sinx, cosx, —T) dx.
Условие: а8>>1.
Обозначение*. ф = arcsin
acosx
p r_______ 1/V a3 1 \ / Vo2 __ j
1. I Vassinax— J dx=— Г(Ф» --! — аЕ(Ф» ----
J a \ a/\ a
t. f dx
J Va3sm2x—1 a \ a /
3, f sinxdx ___ф
J K«2sm2x— 1 a
л C COS XdX 1./* i tr-X-T-a---------П
4. 1 —-F—--------= - In (a sm X-j-V a2 sm3x— 1).
J ya2sm2x—1 a
Jdx . cos x
-----, - „ — =— arctg >._ .
sin x F a1 sm ’ x— 1 ya2 sin2x— 1
k C_______dx________1 Vo2— 1 sin x-j-Vo2 sin8x— 1
J cosxVa2sin2x— 1 2У a2~l V a2— 1 sinx— Ka2sin3x— 1
, f____________d*/.---------_ । nfm,
J (1 — r2sin2x)Fa8sm2x— 1 a(r2—1) \ a2(r2-1) ’ a /
[r«>l
& C tgxdx______________1 Va2 — 1 Vo3 sin2x — 1
J Va2sin2x — 1 2/a!-l Va2—1 —V«2sin2x—1
C ctgxdx . 1
9. I _ ——= — arcsin-----------.
J у a2 sm2 x— 1 a sin x
Для вычисления интегралов вида
$ R (sin x, cos x, Va2 sin8x— 1) dx (a2 2> 1)
можно также воспользоваться формулами пп. 1.5.22 —1.5.30. Для этого надо
произвести в них следующие замены [5]:
I ( у л2____1 \
1) F(x, &)->--~f ^ф,
* / V a2 1 \ / «З—}
2) Е(х, K)^-F \ч, А о
3) -11п(4сов*+Д)->—
К «с*
। 5.39 j 1.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 221
4) arcsin (k sin x) -> — In (asin х4~Уа2 sin2 x—1);
1 , A —cosx 1 , cosx
5) — In------->-arctg .. ;
•2 A-fcosx i У a2 sin2 x— 1
1 . АЦ-У1- ft3sinx
6) —^—-^.In '—^2=^----
2 У 1—k2 A—У 1— &3sinx
1 , У «2— 1 sin x-f-Va* sin2 x— I
-> —In —7--------. •
2«У a3— 1 У a2—1 sin x—У a2sm2x—1
1 . 1A 1.1
7) In -j-r-->-r arcsin---;
2 1 -j A i asinx*
ox 1 . А+УК^3 1 , Уа2^й4“Уя2яп2х—1
2У1—fe2 -А-У1-*2 2tVa2-l У a2-1 -/a2 sin2x—1
9) Оставшиеся A->ty a3sin2x—1»
10) k~+a\
11) умножить полученные равенства на i.
1.5.39. Интегралы вида f (tg х) dx, f(ctgx)dx.
Обозначение: t (*)={cfg*|-
§ /?(sin2x, cos2x, tgx, ctgx, Уa2 ± b2 tg2 x) dx=
f n t 1 t2 1 lyr --\ dr
[x=tg*l-
2. j /?(яп2х, cos2x, tgx, ctgx, У a2 ± ft2 ctg2 x) dx=
f „ / T3 1 1 —j-—5\ dx
= J Тут2’’ t’ T’
3. i [fl2 4-62/2 (x)]n+l/2/(x)dx^=
+ V^-V^+b^
~ 2 * Уа2-624-Уа24 (x)
(_ i)n+! (62—a2)n+l/2
(T= ctgx].
[e*>b2].
[a*<62].
222
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5 39.
у [а2 - Ь2/2 (Х)]« 4- 1 /2 t ф Ле==
‘ ± (а=.|.^« > ln V^+bi-V^^i
2 Уа24-Ь2+Уа2 —ЪЧ2 (х)
С________t(x)dx_______
J (fi^ + &2/2(x)]«+*/2 —
1 П~1 1
==± Va2+b42 (xj (2fe-H) {&-&)*-* [а^+ЬЧ2 (x)J« +
1_____/да — &2 _ /аэ + fr2/s (x)
2 (a2—b*)n+1/2 " /Z^&2+/fl2+^2 (X)
[a«>6*l.
[a«<ft«J.
_______t (x) dx __
[fit2 —fc2/2 (x)]"+1/2 ~
n— 1
V&—b42(x) (2Л+1)(а24-&2)п-й[а2_62^(х)р —
-4-------------------—. [n r “ T'1' —ru W
2 (a24-fc2)« + l/2 /й24_62+у a^-b2^ (x) *
a.
dx = 1 ы У ba—a31 (t) _^У a2-|-62/2 (x)
У а2+&2/2 (Xj 2 V&—&• У h2—a21 (x) T /o2-|- W3 (x)
У a2 —1>2 у a2_|_ &2/e (X)
_____dx_______1 I ya2—b42(xj
Уа2~^2(х) Уа2+$а 1^^ У^'-ь"^ t (t)
I ° g У а2 -Й2 (X)
dx 1 Уа2Ч-^/(x) j± Уб‘¥2(х)—a2
У^(х)—a2 2У^+&2 Уi (r) Vb44x}—a2 *
{«<&*]-
[as>b*].
Iarctg-----r~ - i --
F 62—a2
Ka2 + &2/2(x)
/62_a2
[a«<&4.
1 5 40 ] 15 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 223
-------- — In - ........ , ...-л-2- [в*>И-
2^а2~Ь2 У а2 —Ь2 ±Уа? |-Ь3/2(х)
g (х) dx = 1 1п У а2-\-Ь2 + Уа2—Ь2Р (х>
Уа2—Ь212($ ~ 2 |/ а24-^2 V а2+Ь2 ± У а^—ЬЧЦх) '
. УьЧ2(х)-а2
arctg-——
t (х) dx_______1 г а2 -г &а
Уь212(х)-а2~ Уа*+Ь2 t Уж&У^ёГ
arcctg--------------------------. —
Уа2+^
t (х) dx______
~\&+ЬЧ*(х)}п + '& ~
п— 1
, 1 У -------------------------!--------------+
/а!±«’(х) (2*+1)(а,т»’)"-‘(а®± »»(*))»
1 С t(x)dx
(a2—ft2)” J Vo2 JL b2t2 (х)
1.5.40. Интегралы
вида
sin xi 9
cosxJ
Г (яп х'
Х ricosx
I Л'
cosx]
ism х]
Jsm xW1
(cosxf
?—1
Я
fxP г
cos xj q2 J
xfl1 cos (2n—2k) xdx.
xm
(мп x|2n+1
LcosxJ
(sin (2n—2fe-J-l)x1 .
1соб(2л-2k+l)xfax
cos (x+&i/2)|
[sin (x4-fai/2)J
sm x|
[cosx]
6 в I sin xl -
• I x3®*1 < >dxs=
J (cos XJ
Л
x2®-2*41 (cosx) V 1\ь Д*» 2fc isinx)
(2n—2fc-H)l tsm xj + Zi 1 (2л—2k)l (cos xi
/ —о
224
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1-5.40.
Fsin xi2,1
cosxj
n — 1
(2n—1)1! л? 1 у (2л4-1)(2л—1) ... (2л—2Jfe4-l)
(2л)!1 2 + 2n4 1 Z 2&+1л(л— 1) ... (n—k)
R —~ U
Г 1 (sinxi2®^24 fsinxY2/,H5&
V I - - J I X s r
12л—2k (cosxj icosxj
1
= 1 V 2*(/i+l)n ... (n—Й4-1)
;~«+l Zf (2n-M) (2n—l) ... (2n—2fe 4-1)
fe=0
Г 1 (sinx)2®2441 (sinx)2'
X ~k-----srvr S ? йй x s ?
L 2л — 2«4-l (cosx) (cosxj
'sin x)_ (cos x|
cosxj4" |sinxj'
_ (sin x) „ . _ o. (cos xi
2x< } (x2—2) < . J-.
icosxj ' UmxJ
л!
4
[п/2]
k = Q
(sin x)2 .
x < > ax -
(cosx)
„ (sin xl2
x2 < > dx
(cosxj
4 (sinx)2
x3 ] } d>
icosxj
л (sin x)® .
x® < > ox=
(cosx)
[n/2]
(Зх2—В) |ЯПЧ Г (^-6x)|C0SJ
x ' Icosxj 1 ' (Sin J
Хл11 J
[(«—1)/2]
<-n^r!isin2x+
2^{n~2k)\
fc==0
( l)fc'1xw 24 1 I
——-------------------- cos 2xj.
1)1 I
X2 X . л 1 n
vT. sm2x=p O cos2x-
4 4 о
x3 / x2 1 \ x
T" (t~ 8pin2x V 4 cos
x« /x® 3x\ . _/3x2 3\
= —+ —Jsm2x+^g 16 j 008 2*
2х.
(— I)4 X2» 4
(л—2Л)!
[(я-П/21
ft =o
(sinx)® , 3 (sinx) _
‘Urf л=4 Uxf -
xljs’nx
(COSX
cosx
sin х
(— j)ft хп'1кл г i pin 3xl _ g (sin x)
2fc—1)F[32^2 tcos3xj **" Jcosxj
1 (sin 3x1 , 3 Jcos X|
36 (cos 3xj "4 (sin xj
, (COS XI ,
xH“4 . }dx.
Isinxl
4
к 0
1.54Ы
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
225
19. J r{,j}l(,a)’4tV(H» М? (—*«)*?(!*, -Ml
^Re ц > x>ej.
* [Re ц < I; x>OJ.
21.
1 fsin X
X^
(COS x
dx=
S(x, |*Ц
C(x, n)j'
1.5.41. Интегралы вида
I (sinxw ,
xMcosxf .
_ I (sinxW
(p— I) xP 1 (cosxj
. ?(?—0 f _L
"* (p-1) (p-2) J XP 2
_________9_______fan xi q — 1 Jcos X) ,
(p — 1) (p—2) x₽“2 (cos xj (sin xf ‘
J sin x^~* ._____<72 C 1 (sin x\q .
(cosx) (p— l)(p—2) J x^-2 (cosx)
1 (sin x| t 1
(p—OxP"1 (cosxJ ~ p — 1
1 (cosx) J
“=rr 1 . }dx.
xP 1 (sinxl
1 (sinx)_ 1 (cosx)
(р—1)хР~х (cos xj + (p— 1) (p—2) x₽~2 (sin xj
________________________________1_____ С 1 (яп XI .
(p— l)(p—2) J xP 2 tcosxj
1 (sinxj (—I)711
x2» (cosx) a x(2n—1)!
n—2
V (—l)fe<2fe4-1)! (cosx
— (sinx
fc = O
n — 1
Z(—l)*+i(2fe)l (sin xl
x8* (cos X
fc = 0
-I (-l)^1 fci (x)l
(2л —l)!(si (x)f’
n — 1
s f —L_/Sinx\rf -(zzP"2 4- V (—(cosx)
J x^+itcosxl x(2n)l — x^ [sinx/
k =0
(—I)**1 (2^4-1)! (sin x|
x2&H (cosx]
(—l)afsi(x)1
(2л)! (ci (x)J *
« f ,. m—1
fe=0
Л Л1
7. C -U*,x)""*(te_-L V (Tnm+t('2"I+1\/si(2m-2* + l)xj
J x (cosx/ 2a« ' 7 \ k / (ci (2/n—2Л4-1)х/*
k = 0
8 А. П. Прудников и пп
236 ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.5.42.
С 1 Г sin х)2т . /2т\ 1
I z их—— I )-7йг=—-t
J х8 (cos х) \ т / 22ях
т — 1
1 V , Г cos (2m—2^) х , ,л . гЛ1Л ,1
2 (*1)”+‘+1( А)|------Нг-------+ Pm-»)si[(2m-2t)x]|.
fe= О
1 /sin (2m—26-4-1) х]
х (cos (2m—2k +1) xi
1 fsm x) . fsi (x)l
— { >dx—< .:
x (cosx) (ci (x|j
IL
CO
f Л /sin x) яг— Jsi
J x (cosx/ (ci (x)/
x
X
12. J •~^dx=Si (x).
о
«о f I —cosx
13. 1 -----dx=C+In x—ci (x).
-I
0
..1 fsmx) . 1 (sinx) fci (x)l
J x2 (cosxj . x (cosx) (si (x)J
ig f 1 1 /sinx! _ 1 (cosx)________l (si (x)(
‘ J x® (cosx)^ 2x? (cosxf 2x (sinx/ 2 (ei(x)J*
<л f 1 (sinx) 2 1 1 .
16. I — 4 У dx— _ ln x + -ci (2x).
J x (cosxj 2 11 2
17 f 1 J8®1 xl3 Аг 3 (si (x)( _ 1 J si (3x)i
J X (cosxj 4 (ci (x)J 4' 4 (ct (3x)J *
CO
i. jxPtgx*- 2
fe= 1
[p > -1; )x| <л/2].
[см. 1.5.44. 1.5.45].
1.5 43.]
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
227
С Jtgxl2 -L ln JlCOS%il—л3
• J letgxj IctgxJ Ij sinx[J 2
1.
2.
3.
1.5.43. Интегралы вида xfsinP xcas^ xdx.
J xrsinpxcos?xdx=^---p-^[(p-|-9)xr sin^xcos? £x4-
4~rxr 1 sinpxcos?x~—r (r— 1) xr 2 sinpxcos?xdr—
—rp J xr-£siBP 1xcos? rxdx-\-(q — 1) (p+<?)§ xrsinpxco8?2xdxj.
= Ip^TqPt— ^+<7) * x coe<?+1 x+
4-/лГ-1яйрха»9х—r(r—1) ^xr 2 sinpxcos?xdx4-
~j-rq xf-i sfaP^xcos^-1 xdx-f-(p —1) (p-f-i?) xrsinp2xcos?xdx|,
V xsinpxcos? x dx=—[xsinp+1xcos?-1 x—
J P+<7L
—£ sin^*1 x coe?~r xdx-f- (Q— П | x smp x cos?-2 xdxj a
— £— X sinp_* X cos?+1 x+ J sjnp“lXcos?11 xdx-^
4-(p— 1) £ x sinp“2xcos? xdx^.
[cm. 1.5.45].
m
~ C „Sin^'^X. V z nb/®\ C /sinx ,
6. I xP----- dx= 7 (—1)* . ) |
J COS® X JW J COS -2ftX
fc=0
- C - sinx . xp p f xP-1 .
<• I x₽——— dx—T-—rr------—т------—T I —=-t— dx
J eosnx («— l)coe’^1x n—1 J cosn lx
[cm. 1.5.46].
[см 1Л.45].
m
(cm. 1.5.44].
9.
cos2®**1 x .
-----—dx=
sin«x
m
fe = 0
Sffls^X
[cm. 1.5.46].
10.
XP
n COSX ,
dx~ — ;-----------ТГ- . -~r
sin" x (« — 1) sin"1 X
----1—dx
sm«“1x
[cm. 1.5.44].
11
xcosx
sin2x
X
sin x
Hn tg
12
xsin x
COSsX
228
ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5.44.
- , .. С xPdx
1.5.44. Интегралы вида \.
J sm’ х
x?dx______хР~* [psin х4-(<7"~2)хсо5х] t
sin?x (<? —1) (</—-2) sin? 1 x *
. q—2 £ xPdx p(p—1) £ xP~2dx
~^q — 1 j sin4, *x (<?—!) (q — 2) J sin?~2x'
fxPrfx^ xP V / пыл 2(22fel~D
J sinx p ' r (p+2k)(2k)t
1
BikxP'*b
[|х|<л; p>0].
CO
JSS—1
1
[|х(<я; р>1].
xdx _ xcosx ____________________________1_________
sin? x~ (q — 1) sin?"*1 x (? — 1) (tf—2) sin? 2 x
q — 2 £ xdx
q — 1 J sin?-2x*
5 £ xdx ________
J sin2rex
n—1
1 \1 2n (2n —2)... (2n —2Jfe4-2) (sin х4-(2л —2Jfe) xcosx] .
~ 2n X, (2л — 1) (2л—3)... (2л—2k4-3) (2n^2k 4-1) (2n —2k) sin2»-2**1 x +
k~ 1
+ ~*(Гп- W (to I <*> * I -* <*8 *>•
Г x<ix —
J sin2"4-1*
л—1 г
1 V <2я+ О (2л— 1) -" (2n—2fc-f-1) (sin х+(2л—2fe—1) xcosx]
2л+1 2л(2л—2)...(2n“—2fe4-2)(2n—2/г)(2л~2Л—Osin^^x
(2л~1)П f xdx
*** 2ил! J sin x ‘
Jdx p____________________cosx_____
xPsin?x — (q— 1) (q — 2) xf^1 sin?"2 x (q— 1) xP sin? 1 x
, q—2 f dx , p(p4-0 _ C
+ g — l J x₽sin?~®x + (q— !)(</ — 2) J xP+2sin?“ax’
J Xя sinx nxn
_ У (—[)* -2 B^feX2*-» [rt > 1; I * I < «1
2i 1 ' (2jfe)!(2fe~n) 2fe^
fc= 1
k^n/2
1.5 45.]
1 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
229
x"sin2x х» ’i"(n+l)xe+1
-(1 - (-l)»l (-1)'" + 11/2 вм In x-
« V <-1)*(2*)и „
x«+1 Zrf (2ty(2k-n — 1) 2fe
*=-1
fe^(n+l)/2
(' *1 <«].
sinx Zi 1 ' (2£-f-l)f
*=1
С Xй dx _ x2
j sin x 2
vx О2Л 1_1
+ 2
k~ 1
xdx
sin2x
xctgx-f-in, sihx|.
‘ xdx __
i anex ~
Г x^x —
I srn4x ~~
sin x-f-x cosx , 1
2sin2x 2
xdx
sinx ’
xcosx 1 2 . . 2 , , . .
-o—. a g-. „ - xctgx- --^-In . Sin X ,
3smsx 6sm2x 3 ъ 1 3 ‘ ‘
4 „ C xpdx
1.5.45. Интегралы вида I —— <
J cos? x
f __ [P^cosx—(£— 2)xsin x]
J cos?x~
(q — 1) (q —2) cos? 'x
q — 2 C xPdx p(p—1) C xP^dx
’’’tf—1 J cos?_*x ’’’ (g — l)(q — 2) ' cos? ax*
•a
xp dx___ V,
cosx ~ Z*
fe = 0
(₽4-2£-H) (2fc)l
£|*|<Я/2; р>0].
xPdx
CGS-X
oo
tgx+p 2
k=l
22* (2й* — Dx^2*1 ~
(p+2k-1)(2^)! 2k
4 f xd* =3
J COS^x"3
fl -1
2n-|-i yi (2я-|-2)2п...(2п—2fe4-2)[(2n — 2fe)xsinx—cosx]
~’(2^4-2)2n Z (2n-bl)(2rt—l)...(2n—2A4-3)(2n—2*H-i)(2n-2ft)cos2«
t=o
+ 2^(” nif x+ln 1COSX|>•
[p>l; |x|<«/2i
23J
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.5.46.
Г xdx _
J COS2/l+1X
п—1
1 у (2я4-1) (2n—1)... (2«—2А+1) [(2л—2^+l)xsin х—cosx]
2л+1 Z 2n (2n—2)... (2rt—2A+2) (2n—2k) (2n—2k—1) cos2« 2fe x +
fc=o
(2n—1)1! Г xdx
2“n! J cosx *
C dx ___________________p___________________sin x______
j xPcos®x (q — 1) (q—2) x₽+1cos®2x "* (q — l)xpcos® Xx '
4. g~~2 f dx -L P(P + O f fa >
q—1 J xpcos9 2x^ (<7 — l)(<7—2) J xPiScos®-2x*
7.
f 1 <1 / 11-1 |£-11 -nr I V 1^1*“-»**
J Xяcosx 2 1 1 ZJ(n—1J! Z *(2k—n+l)(2k)l
fe = 0
fc^(n-l)/2
[|x| < л/2].
f = -У—{1 - (—1)»] (—1/я + w* У” (2»+x-1) Вя+1 In x—
j Xя cos2 x Xя v J ' («4-1)1 +x
n V (—L)fe (22fe—l)(2x)2fe
x«+1 Zd (2k—n — 1) (2*)!
k= 1
1)/2
fix,' < Л/2].
xdx = у |£2fejx2^2
cosx Z (2*4-2) (2/5)’ ‘
k — Q
,л f xdx . , , .
10. I —^——x tg x-]- In cos x
J cos2x 1 1
(* xdx xsinx—cosx , 1 f xdx
J cos3x 2cos2x ' 2 J cos x'
12.
xdx x sin x I
cos4 x 3>cos3 x 6 ON2 x
2 2
4- -xtgx+~ In |cosxj.
4 о
1.5.46. Интегралы вида § R (x₽, sinx, cosx, a+^sin x4-ccosx)dr<
’ xPcosxdx___________xP_____________P f xP xfa
| (a-j-/» sin x)® — (0-~l)6(a~hbsmx)®-1 (q — l)fr J sin x)®-1*
xP sin xdx____________xP__________ P f xp 1 Jx
(a-|-6cosx)® (q—l)b(a-j~bcosx)^~1 (q — i)b J (»-|~6cosx)®-1 *
xdx
tg [(я —2x)/4]
ctg [(л— 2x)/4]
cos[(n—2х)/4П I
sin [(л—2x)/4]J |
4.
xdx
1 ±cosx
tg (^/2)) , 9 ln (cos (х/2П
.ctg (x/2)J "* z ш (sin (x/2)f’
5.
x^osxdx __ x
(1 ± sin x)2 *" 1 ± sin x
tg [(2x— л)/4Н
etg[(2x—л)/4у*
xsin xdx_______ x _ (tg (x/2) |
(1 it cos x)2 1 ± сев x ~~ (ctg (x/2)i*
is. 48]
1.5- ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
231
С xdx I., . ч . tax—а
1 J (oosx-f-fltsmх)2 а2 4*1 ' ' (a24~f)(14-atgx)
(* ________x2dx_____________________х sin х-|- cosx____
®' J [(ах—6) sin х-Ь(а-|-6х)cosx]2 ~ 6[(ах—6)sinx4-(a-f-6x)cosx] *
f______cos? xdx______________tgx______
9* J fdcesx+ (ax 4-6) sin x]2 ~ a [a4-(ax4-6) tgx]"
„ _ „ „ C xsinmxcosrtx л
1.5.47. Интегралы вида! — l- ar,
J У (1— k2 sin2x)r
Условие: 0 < k* <C 1.
Обозначение: Д =1^ 1 —A2 sin2 x-
. f x sin x cos x . хД . 1 _ . ..
1. j --Д— dx--------^ + ^E(x, №).
fxsin8xcosx. 1— k2 „ . , 2F4-5 . ..
2- ) ---д-----*-----И-
— ktx [3(3—Д’)х4-42 sin xcosxj A.
„ Cxsinxco^x, 1— k2 . .. । 7#— 5 . ,4
X j ----д-----dx=--^-F(x, 4)+-^ Eix, E)-
* —g|gt3(A*—3+34®)x—4s sin xcosx] A.
4. Cxsinx, xcosx , 1 . - J А» (1-4«)A+ *(!-**) ™(''SinX>-
5. J 4--LfI1(fcCcsx4-A).
6. С X sinx COSX . X 1 _ , .4 J if M pE^k).
7. £ <-51!5-с”.*<1х=ха~^д~» 1£<ж- Ч+е^’ W
8. J +l^-Г(x, 4-^В<x. E). - C , . m+ n [sin ax) j 1.5.48. Интегралы вида I (x4-6)~ ! „Л^Х’ j ico&axj
1. i (x 4~6)n (Ta*| dx= j (cos ax) Г [«/21 _ n! 1 _ VI , n* (l_\2k (x-\-b)n'^k (cosax) ~e{ **" Zj \a J (n—2^1 tsin ax] * L k = 0 [(n—1)/2] t t yi t f\_yfe+1 (x4-6)"~2fe~1 fsin ax ' \a I (a — Ik— 1)! (cosax^ 4=0
2. С /VI (sin ax) , _ 1 . (cos ax] 1 (sin ax] J (cosax) b a (sin ax) a2 (cosaxj ’
232
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
fl .5.49.
sin ах]
cosaxl
1 (sin ax] . f fl smf
7~-, Гх - { } ax=a® 1icosa6 — (
(x-|-b)« (cosaxj \ j /« [cost
_ . .fl
+ sin ab I —.
[/=й(х + Ь)].
сю
J (x4-b)«
х
n— i
= V (fe~1)lfx 1 &1Ч a)"-*-1 frx*[»(«~-*)/2-~a*n „
Zc (n—1)!'*^ ' ' > (sin [л (n—£)/2—ax]/
k ~ 1
[ [cos (ab+л л/2)) , . . . . . (sin (аЬ+лл/2)11
— д/—4\r ci(a64-ax){ . ' '} ± si (ab+ax) < '
(л—1)! v ' tsm (аб-}-nn/2)J ' 1 1 (cos(a64-«n/2)JJ
1 (sin ах] , . (si (ax 4-ab)] „ . , [ci (ax+ab)]
—-=-{ \dx= cos ab< ' -+- sin ab\ .;
x-bfr (cosaxj (ci (ax-J-ab)J lsi(ax4-ab)J
I (sinax] , 1 (sinax] Г 1 (cosax) ,
-——rrs\ >ax==------—r-c ? -* a 1 ——. >dx.
(x+b)* Icos ax J x-{-6 icosaxj j x-f-Z> (sin axj
1 (sin axi ________1 (sin ax) _ a (cos ax)
(x+b^ Icosaxj ” 2(x4~b)2 (cosax) 2 (x-J-b) (sin axj
x(x-|-b) sin ахЛс= у [cos ab si (ab+ax)—sin ab ci (ab 4-ax)—si (ax)].
1.5.49. Интегpалы вида Je®*sinPxcos^xdx.
J e®x siaPxcosSx dx—
= г —w x,vasfi~xx [acosx-h(p+0) sin x]—
a8+(o+^)2 I
— pa^ e°x sinP xxcos?-lxdx4-(0 — 1) (₽+?) ^e®*sinPxcos0_2xdx}.
= -ft'/ .—jsf®®-*sinP ixcos-?x [asinx—(p+q)cosx]4-
a2+(P4-<7r i
- f qa J sin^-* xcos?"1 x dx+(p — 1) (p-J-g) J e®* sin₽~* x cos? xdxj.
= /* ।—(e®* sinP'1 x cos?1 x [a sin xcosx+g sm2x —
«2+(p+<7)21
— pcos2x]4-g (g^l) Je®*sinPxcos?"2xdx~|-p(p— 1)\eaxsinP^xcos?xdx|.
1.549]
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
233
— о . ? ,—п; (eev япР"1 х cos?1 х (a sin х cos х+
я2+(Р+9)21
4- q sin2x—р cos2 х) 4-</(<? — 1) еах sinP 2xcos?’_2xdx—
к
—(<?—р) (р4*<7— 1) § еал'sinP-2xcos? х dx}.
5.
6.
;—rz 1е°х япР-1 х cos?-1 х (a sin х cos х4-0 sin2 л—
а3 + (р+^)Н v
— pcos2x)4"P (р — 1) е°х sinP2xcos?2xdx4~
+ (<7—Р) (₽ + ? — О J eaxsin₽xcos? 2xdx|.
(sm bx\P .
e°x 4 , } dx=
icos bx}
— a a v /sin bx\p — ax Jcos &x\. Js’n ।
a2+p26a6 (cos&x J *l’a24-p2&2e (costa J (cos bx}
p(p—1) fr2 C fsin bx\P"2
a2-±-p2b2 J (costaj
Г „v Isin bx\2n
I MX I I
j Icos bxf
n— 1
(2ft)! b2keax
(2n — 2k)l[a2 + (2n)2b2][a2 + (2n-2)2b2i ... [a2+(2n-2k)2b2] X
л=о
[(sin bx} _______ (cos bx} (sin bx}2n~2ll~y
.к г ^(2n—2k)bl . . И c
(cos bx} r (sm bxj (cos bx)
(2n)l b-neax
[a24-(2n)a &2J [a24-(2n—2)2 b2] ... [a24-4&2j a ‘
f2n\ e°x
\ n +
n
+ 22»-1 2 (n _ и a2-i-4b2k2 C0S sin 2bkx).
k=i '
9.
sin bx\2/111
„ , ? dx=
n
v_______ (2n4-l)U2M*
Zi (2n — 2k+1)! [a24-(2«4- 1)2&2J l«24-(2n-1)262]... [a24-(2n-2A4- l)2fe2]
X Mdn. tT^‘+1 + (2Л-24+1) I” *4“’“
I icos&xl v ' Isin bxl Icosdxl
n
Gr l)fe /2n4-l
22« a24-(2fc4-l)2&2\ n—k
k= о
Г (sin (2A4-1) _ jcos(2k4- 1)6хП
X Iе (cos (24+1) taj + <2A+ »‘ (sin (24+ DftJJ-
234
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1-5.50.
«« C^-fsmbx), е01* Г (sin bx\ _ . (cos6x)l
11. I e^i . \dx— t }-*-&{ • cf-
J (cos bxj a*4-&2L IcosoxJ I sin ox J J
<« C (sin bx\* . e°x _ е?х fa \
12. 1 e°*{ . } dx—-=r- -4-~г~гл1л( « сов26х4-6яп 2bxi.
J (cos bxj 2a a2-J-4 b2 \ 2 /
13. JeffJfsHi6xcoscxdx=
e®x [asin (&4-c).x—(&4~c)cos(64-c)x , asia(6—c) x—(b—c) cos (6—c)x
“2"[ a®4-(64-c)« + a«4-(6—c)2
f^x sin2 bx coscx dx=
e4* a cos ex 4-c sin ex a cos-(2b 4^) x+(2b+c) sin (2b+c)x
~T[2 a24-c2 ~ a2+(2b-f-c)2
a cos (26 —c) x4- (26—c) sin (2b —
a2+(26—cf
15.
enx sin bx cos2 ex dx—
e°x[^a sin bx—bcosbx a sin (6+2c) x—(b-|-2c) cos (6-J-2c) x
~T[Z aS-f-b2 + a2 + (64-2c)2 ~ +
, a sin (6—2c) x—(6— 2c) cos (6 — 2c) x
a3+(6-26)*
16.
C (sn 6x)”P .
r rfx=
J [cos 6x|
___________________Г (sin bxY'P**
~ (p—t)(p —2)b2ta [cos bxj
: (p-2) U"* bx\~'M
X (SM bxj (cos bxj
aa + (₽-2)2b2 f ~ (sin bx
(p — I)(p —2)6® J (cosbx
e-A 2 (sin axl __ я ^-ц^+Гт erf (x—ia/21
tcosaxf 2 )4?e erf 0r— iaf2J
1.5.50. Интегр алы вида
(* Г igx)P.
I ea -ч , \ dx=
t I dx-
etg x]
2.
3.
I.
_____ef*x ( tgx'|P~1_
p— 1 (etg XJ ”*
< . s > dx
lctgxJ
cosx) 2 .
? dx.
smxj
dx.
ctex.
eax-
a“
1.5.54. Интегралы вида ^£(x, e°x, snbx, cot-bx}dx.
Обозначения; sin Ф=---- -- - -, cos<p= ——.
Fa2+62 Уаа+б2
J (cos bxj a2+b3 [ (cos bx) (sin bx) J
a2+62 J I (cos bxj
cosbx]
.sin bx'
J.5.52.J 1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 235
\ 2. = /8in (6х+ф)1 - р f хР 'е™ Jsin (6х+ф)1 dx.
V а2 4- ft2 (cos (6x4- Ф)/ Та2 4- b2 J {cos (bx -j- ф)1
X
3. f хК1е ах lsin ?*Xldx=4-1!>1 [(«+«6)_?L у(Х, ax4-i6x)+:
J (cos bx) 2 (1J 4
о
(a — ib)~^v(k, ax—i&x)] [Rei'>{~o}]’
co
4. ( (Sin bX\ dx= — | j 1 (X, ax-}- ibx) чй
J (cos&xj 2 11J
X
T (a — ib)Г (X, ax — ibx)].
л-4-l
e f „ nl-ls’n j rtV V (—1)*+1 n! xn-fe+t (sin (6х4~Ф&)1
J (cos bx) jeJ (n, _ k +1) I (a2 4- b2)fe/2 (cos (bx 4- Ф&))
n, — 1 /
*
л (* „v (sin bx} ,
6. 1 xe°x < , У dx —
J (cos bx)
— *** 17 _ a2~~fr-\ (s’n M — It. \ fcos M]
a24~62L\X a24"bvJ (cos bx) \ X а2-}-Ь2) (sin bx) J*
„ f (sin fexl
7. i x2^*-! к , > dx=
J (cos bx)
' e«x [ 2 2(a2 —b2) 2a(a3 — 3b2)l pin bx\
a2_|_fr2[ax fi2 + &2 x+ (a2 + b2)2 Jtcos&xf’1'
„ еах г s 40& 2& (3a2—&2)1 (cosixi
Ч‘а24-&2[ОХ" fl2 4-&2x+ (й24_&2)2 Jlsin&xj'
8 f Jsin^+C)bx =
B. j x"<~ |cos(6x_|_c)jax
«4-1
у Z мь-1 («4- В Я •• (n-k-i-2) x„_b+t (sin (&x4-c4-fap)|
n +1 (a2 4- b2)№ teas (bx -J- c 4- 6<p)J
A f (sm (6*4-c)l .
9. I xe°x i ' ;>dx=
J (cos(6x4-c)J
= 1 xgax (sin (bx 4- c+Ф)1 _ 1 eax (sin (bx 4- c 4- 2ф)|
p<a24-&2 tcos (&х4-с4"ф)1 a2 4-6s Vos (6x4-е 4'2cp)J
X
10. Г — eix sinxdx= Si(2x)4- i [C4-ln (2x)—ci (2x)J.
1 X
0
1.5.52. Интегралы вида
C (sh (ax-}-b)\m pin (cx4-d)p .
J (ch(ax4-&)f (cos(cx4~d)J X‘
1.
sh (ax 4- b)
sin (cx4-d)i
cos (cx4~d)J
j a
dx= --.i . -A
— c
a24-c2
sh (ax 4-6)
cos (cx-f-d))
sin (cx-|-d)J
236
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{1-5-52.
2.
3.
5.
6.
, a , tx fsin (cx4-d)l
л-?+3А<“+*(«.и+«Т’:-
4- ' ch(«x+6)|COS<“+5!
a24*^ ' T (sm(cx4~d)(
. (sinx) , I . (sinx) 1 (cosx)
shx{ >dx—7. chx< >^ shxl . V.
Icosxj 2 {cosxj 2 [sinxj
sinx) , I ... smx _ 1 - • (cosx
)dx=o shx{ >T-„-chx{.
cosx) 2 (cosx) 2 (sinx
2ri
Jsh«»(«+*)8ta»(at+d)ifc=yg^)^x-|.
+ З2»*2»-1 \ mJ (2л—26)c\ k ) 1(2 SftXcr-bd)]-^
6=0
.tn— i n — 1
. IsDt У у _____________|X
^2»«+2«-2 £4 (2m—2j)2a24-(2n—2fe)2c«*
/=0 / =0
X {(2m—2j) a sh [(2m—2/) (ex 4- 6) | cos ((2л — 2k) (cx-f- d)j 4-
4-(2л—26) cch ((2m—2/) (ax4-6)j sin ((2л —26) (cx4-d)|J.
sh2OT (ax 4-6) sin2""1 (ax4-d) dx—
n
(—i)«+i/2m\ V (—0* №+l\ r/o otliw . .
6 = 0
m — l n t______1V+* №m\/2n-^ 1\
, (~0“ у V - \ k ~
т^+й-! £ (2m—2/)2a24-(2n—264-l)2c2
/=ofc=o
X{(2m—'2j)ash [(2m—2/j (ax4-6)J sin ((2л — 2fe4-1)(cx4-d)] —
—(2n—2&4- l)c ch [(2m—2/) (ax4-6)J cos ((2л—264-1) (?*+<01Ь
7. JshaB+1(ox4-6) sin2" (cx-{-d)dx=
/2л\ м / 1ч./2т-И\
~ ch [(2m—2/ 4-1) (ох+6)] -Ь
22Я1+2П 2-j (2m—2
/=o
m n — l
2m 4-1\/2л \
-j..
/=ой=о
Х{(2/п —2/+1) a ch [(2m—2/4-1) (лх4-ЭД cos [(2л —26) (сх-Н)1+
+ (2п—2k) с sh [(2m—2/ +1) (ах 4- &)] sin [(2n—26) (ex+d)] (.
1.5.52.]
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
237
8. J sh2'”*! (ах 4-6) sin2”41 (cx4*d) dx=
m n (________iv+fc Ц /2л1\
_ (-1)® VI у * F I / )\ k }
28'”*2'1 Z Z (2m—2/4-l)*a*-|-(2n—264-l)*c*
/ 0 fe = 0
X{(2m—2/4-1)«ch [(2m—2/4-1) («*+6)] sin [(2л —26-f-1) (cx4-d)J—
—(2л—26 4-1) c sh [(2m—2j 4-1) (ax 4- 6)j cos [(2n — 26 4-1) (ex 4- d))K
9.
sh*« (ax4-6) cos*® (ex-[-d) ^=^2 ) (^) x+
/2л\ m_i(_jy/2m^
+ 2 (2^i®h[(2m-2/)(^+b)14-
/=o
(_!)<» (2m'\ »-l /2“'j
+ У Z, sm[(2n-2M(«+d)l +
2?m+*®-1 Li (2n—26) с л
fe=0
m — In — 1 (
i _ у у ___
T2*'»+2«-2 Z Li (2m—2Z)*a*4-(2n —26)*c*
/=o fe = 0
X {(2m—2/) a sh [(2m — 2/) (ax4-~6)l cos [(2n —26) (ex4- dj) -b
4-(2л—26)cch [(2m —2/) (ax4^6)] sin [(2n—26) (cx4-d)J}.
10. sh2m (ax4-6)cos2®41 (cx4-d) dx=
2^2M^Sto«2”-2ft+,><at+^+
fe=6
™-i » (-п/^и^+Ц
1 V У ( F\ i )\ » )
„ “r 23 * * * *®*+*®"i Zj Zi (2m —2/)2a24-(2n—264-1)*с*л
/=0 fe=0
X{(2m—2/)ash [(2m —2/) (ax-[-&)] cos [(2/1-264-1) (cx4-d)]4-
4-(2n—264-1)c ch [(2m—2/) (ax4-6)J sin [(2n—264-1) (cx-J-d))}-
II. J sh*®*+1 (ax4-6) cos*® (cx-f-d) dx=
3 " < - У —--к—I—Z ch [(2m-2/4-1) (ax4-6)14-
22mi2n zL (2m—2/4-1)а и /т /ч
/=0
« »-i z-tvY^+’W2^
"• 2**®-*®'1 Li Li (2m-2/4-l)a«2 + (2n-26)*c*''
/=0fe = 0
X {(2m—2/4-1) a ch [(2m—2/ +1) («*4-6)1 cos [(2n—26) (ex4-<01+
4-(2n — 26) c sh [(2m—2/4-1) (ax4-6)1 sin [(2n—26) (cx4-d)l}.
238
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[L552.
12. sh*”»4"1 (ах4-Ь) cos2®41 (cx-f-d) dx=
_____1 V V ( X i A k I ~
— 23Я+2Я Zj (2m—2/4 1)га2+(2л—2*4-1^^
f=0fe = 0
X{(2m—2/4-1) о ch [(2m—^4~1) («*4-6)] cos [(2л—2fe4-l)|!(ex4-d)14-
4-(2а— 2&4-l)csh [(2m—2/4- 1)(а»+6)] sin f(2®—2^4-1) (cx-J-d)]}.
13. ch2m(ax4-&)sin2®(cx4-d)dx=
(2“) f2") (-ip w ” - ’ (-1)4
= 2 ^^sh,l(2n-26)(«+d)]+
fe=0
/2n\ __ . /2m\
I I m ~~ i I i
+ 22т+2л-х 2 (2m—2/) a Sh ^2m ^2^ (°* + +
/=o
m — 1 я — I / nfe (2m\ (2n\
. (-1)” v v w /U/ ..
• 2ew+an-a Zi (2m—2f)2 a2 4- (2л —2Ж)2 с2 л
/ = 0 k 0
X {(2m —2j) a sh [(2m—2/) (ax+&)] cos [(2л—2k) (ex 4- d)J 4~
4-(2n—2&) c ch [(2m—2/*) (ax4-6)J sin [(2n—2k) (ex-J-d)]}.
14. J ch2"*4! (ax4-5) sin2" (cx4~d) dx~
i2n\ m /2т+Ц
“ У' To —L к - sh I(2m—2^4-1) (пх+ЭД +
gsm+ai ^2m—2/4-i)« 1 7' k 1
/=0
m n— t / nA /2m4~ 1\ /2л\
t <—О” у у ( \ / J\fe/ ~
IT2im+2n-i Zj (2m—2/ +1)2 a2+(2n—2A)2 c2
7 = 0fe = 0
X {(2m—2j 4-1) a sh [(2m — 2/ 4-1) (ax4“ &)} cos [(2n—2k) (ex 4- d)[ 4-
+ (2л—2fe)cch [(2m—2/4-1) (a«4-Z>)] sin [(2n—2k) (c*4-d)]}.
15. J ch2m (ax 4- b) sin2»41 (c*4- d)dx—
XJ b’H2"*"1)
= 7 -Tn--?-44v-2cos[(2'1—»4-0(ас+Ф+
Й2®42® Ал (2л—2«4-i)a v i/ti-zj»
fe=0
, .-» у v '-"-mfy1) ,
‘Т’г2»42®1 Ал (2m—2/)2a24-(2n—2*4-1)^^
; = 0 A = 0
X {(2m—2^ a sh [(2m—2/) (лх4~^)1 sin [(2л—2й4-1)(еХ4-ФТ—
—(2л—2fe-M)ach [(2m—2/)(ах-Н)]а»[(2л—2fe4~l) (cx-J-d)]}.
1.5.52.]
1JL ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
239
16. ch2ml1 (дх-[-6) sin2n+1 (cx-J-d) dx—
m n (_____________________________nfe /2т-}-1\ /2л-|-1\
(-1)" у у ( \ i 7{ & /
22m+2n Xfl X (2m—2/4- 6s а24-(2л —26-[- l)2c2><
X {(2m—2/4-1)ash [(2m—2/4-1) (ax4- 6)] sin [(2n—26 4-1) (cx-J-d)]—
— (2n— 2*4- l)cch [(2m—2/4-1) (ax 4-6)] cos [(2n—26-fl) (cx-j-d)!}.
17. ch2m (ax 4-6) cos2" (cx-j-d) dx=
/2m\ (2n\ /2m \ /2я\
\m /\п I \ m / v1 \k I
22яг+2я x~i~ 22я*+2я_1 jX (2n____2k)c Sin 2k) (cx4-d)]-J-
fc=o v
(**\ /2m\
\ n / \ / /
• 22'»+2n~i Z> (2m_____2/j a 2/) (®х+&)] 4"
j~o
m-ln-l (2m\(2n\
+_____у у \ i )\*1 r x
^ага+ав-а X X (2m—2/)2a2 4- (2л—26)^
;~0 k=0
X {(2m—2j) a sht[>(2m—2/)<(fl*+&)]cos [(2л—2k) (cx4-/014-
4-(2e— 2k) c cl [(2m—2/) (ax-b&fl sin [(2n—2^) (cx4-*91}.
18. J ch2m+1 (ax+b) cos2ft (ex -f- d) dx=
Pft\ m /2m4-l\
“^4 2 (44+^si,t(2'n-2'+i><“+6)i+
/=0
m rt_i /2m4-l\/2n\
. 1 у У A / )\k! -
t" 22m+2n-i X X (2m — 2/4-1)2a24-(2я—2fe)®ca
;^=0fc = 0
X{(2m— 2/4-1) ash [(2m-2/+1) (a*4-b)] cos [(2n—2k) (cx4-d)14~
+(2n—2k) c ch [(2m—2/4-1) (ax4-6)] sin [(2n—2k) (ex4-d)]}.
19. J ch2"1 (ax-j-Ь) cos2n+1 (ex4-d) dx=
/2m\ n /2n 4-1\
= A_2l2_ У V A- sin [(2д—2fe+1) (cx4-d)I+
— 22т+2я X (2n—264-l)c w -г /к i /j ।
fe=o
m_, „ Z2m\/2n-bl\
, 1 у у \ / Л k f _x
+ 227n+a»-i X (2m—2/)2аа4-(2л—26+1)2с«л
/=о fe=0
X {(2m—2/) a sh [(2m —2/) (ax-j-b)] cos[(2a—2k+1) (cx4~<0] +
4-(2л—264-1) e ch [(2m—2/) (ax4-&)] sin [(2n—264-1) (cx-bd)]}.
240
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(1.5.53.
20. ch8m+1 (ах 4- Ь) соь2л'1 (сх 4* d) dx—
т п (Ъп+\\(2п+\\
= Г у у - \j !\ k-)
. 22mi2« 2. (2m—2/4-1)2а24-(2п—2£-Н)2с2
/— 0 fc = о
X {(2m — 2/ +1) a sh [(2m—2/4-1) (ox 4- 6)] cos [(2n—2k4-1) (ex4-<014-
4-(2n— 264- l)cch [(2m —2/4-1) (ax4-6)1 sm [(2n-2*4-l) (<*+<0П-
C* (sin 1
1.5.53. Интегралы вида I xP [ 'Adx.
J (cos x2 J
1.
2.
„(sinx2) . xP 1 (cosx2) p — 1
(совх2) 2 (sinx2/ 2
XF~2
[cosx2!
(sin x2|
dx.
C „ (sm x2 .
I Xя < Jrfx=(n—1)!!
J (cosx2j *
(Л/4]
V ( & 46+3 (COSX®!
Zt 1 U \22*“»(n-4ife4-3)!! (sinx2|
A = 0
. (-I)"1'41 f f<*< *1 л.
^*(«-4*4-1)!!/ 22Гя/41(п-4[я/41-1)Н J (cosx2)
3. f Ma-V j £<3. 4. f х(ЙП^Л=3: 44C“^.
J (cosx2) r 2 iC(x2)J J (cosx2) 2 (sinx2)
- C „ (sinx2! . x [cosx2) 1 i/~я fC(x2)!
5. 1 x2 { 3dx=T a { . J ± o- I/ л ; /}•
J (cosx4 2 (sm r2| 2 r 2 (S(x3)j
« C j. (sinx2! . x3 (cosx3) . 1 (smx2!
6. 1 x2 { „} dx— + „ { . A 4- n {
j (cosx4 2 (sinx3) 2 (cosx2J
7 CX Jsin *4 dx= 1 /Si
,1 x (cosx2| 2 (ci (x2))
f I [sinx2! _ 1 (sinx2!
J x3(cosx2J x Icosx2! (S (x2)i‘
C f sin (ax3 + 6x4-c)( « i / я L™, Aac—b^ |S [(2ax4- &У7(4«Ж
•• J (cos (ax24-6x4-c)j “ V 2a[ 4a (C [(2ax4-6)2/(M|J ~
. 4ac—62 [C [(2ax4-6)2/(4a)[j I
±S,n 4a (S[(2ax4-6/3/(4a)j}j
[a>4.
1.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1.6.1. Интегралы вида ^xPla^xdx.
1. J f (x) Ing (x) dx=F(x) lng(x)— J F d*
2. J In g (x) dx=x Ing (x) - J dx.
3. 1 f (x) lnnxdx—F(x) ln«x — n 1 —^1пя1х^х
J $+1 9-H J
[F(x)=p(x)«fc],
[F(x)=ff(x)AfJ.
1.6. t.) 1.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 241
5. _ xPH in* x q r xP lng_x x 0 p+1 P4-1J
6. 1 n l х»1п«х<и=^ ’ fe=0
7. = 7TT e— 1-
8. J dx= li (x^1) Ц. inx ot>
ft. - In 1 inx |+ У ( ln*x. k=l
10. । Р1я*х. 1и*х q Г ln91x ' | х»л- (p-D^-f'p-tJ xo *
11. ’ Г In* x . ln*T1x i ax=—-v J x 6+1
12. 1 Г In*-1 V (n+l)n...(n-fe+l) t _ ) Xя» A (л+1)х®1 A • (m — i)kn X [«*‘1- fe=ft
13. J In* xdx—x ln*x—q J In9-1 xdx
14. ! n J ln“xdx=x У (— Inn~*x. *=G
15. A Inxdx=xlnx—X.
16. J । In2 x dx==x In2 x—2x In x+2x.
17. j । ln®xdt=xln3x—3xln2x+6x Inx—6x.
18. | • 1 xPinxdx—xP+1[^Vt — -— 1 Lp+1 (p+02]
io. i f xPln2xdx=xP+i P54 - Al'hT + ГТГпЛ J 1Д+! (p+02 (p+1)8J
20. ( * nt « a n+i f ln®X 31n2x , 6 Inx 6 1 [xPlnxdr x k+1 (p+1)2 1 (p+1)s (p+1p]-
21. i * Inx . ln2x f Inx . Inx I lx 2 J x2 xx
23. ( ‘ Inx . Inx 1 fln2x. ln3x , —-dx~— — -r—-. 24. 1 dx=—5—. 1 x8 2x2 4x3 J x 3
25. i ‘ ln2x . ln2x 2 Inx 2 . ——dx~ . lx2 X XX
26. i fa3* du——*n2jc _lnx L x3 “ 2x2 2xa 4x2’
242
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1^.2.
г* rfx
J.6.2. Интегралы вида 1 .
xPdx—xp+1 p-f-1 С xPdx
In? x ~*(<7 — 1) In9-1 x + g—j j In?-1 x'
*"‘lx _ -x"*1 v (m+ !)*-» (m+iy-1
ln»x л ji (<i — l)(n—2)...(n—4)ln*-*xT (a—1)1 1 •"
k= 1
= li (x®+1).
dx ___ —1 p-*-l £ dx
jfP ln9,x — (q—l)x₽~4n«-ix q—1 j xPJn?1**
n— 1
dx 1 у (—________________________________
X«* lnft X — nxm-1 ш Гл— 1) (я— 2)... (л—&) ]na~kx*'
k l
+ (—D"1
(n-1)!
co
f ill > I V 7 ,4*. (P—1)^1 b
4 ~»1Z~ 1ПX H" / (~0fe 1П* X.
3 x^lnx 1 1 4 7 klk
fe=l
—; 1П I 1П X I
xlnx 1 1
dx
x ln?x
1
(g-Oln^x'
1.6.3. Интегралы ви д a J4x+a)? Inxdx. z
С (x 4- a)m In x dx = —(x a)m+1 In x----f t*.4~g)”. *
J ' 1 rn~b 1' 17 m + 1 J x
m
“ squ Kx+«)*‘-«^4 m x- 2 (7)^TF-
fe = 0
1 x^
I (x4-a)lnxdx=- (xa-|-2ax)Inx—ax—
I £t
f* 1 X®
I (x-|-a)2 In x dx=-x- ^r34-3ax2-|-'3a2x) In x—-°2jc*
1 О V Лв
Г* 1 дзс® Зд^х^
j (х+а)з bi x dx== y I(*+<0*—a*] In x — — -3---------a®x.
C ln« x dx _____xln”x____________n C In”1 x dx
J (x-ba)m ~ (m — 1) a (x4- a)m~x (m — 1)л J (x+a)1»-1 "1"
t m—2 C lnaxdx
"Mm—l)a J (x-f-a)”1-1’
Inx
“ (n— 1) (X-j-a)”1 "Г (л — 1) a®"1
n—2
1П-Л-4- V
165]
1.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
243
С In хек f х+а . г. / х\
8. I —— = 1пх-1п—!-----кLc[------I.
J x-f-a а 1 *\ а]
q С Jnxdx _ _ Inx 1 х
J (Ha)2 * *~ r-f-a"** a x-|-a*
f to*<fr_______Inx . 1 I x
J (x4-a)3~ 2 (x-j-a)2 2u(x^-a) ' 2a2 n x-f-a‘
J (x-j-a)1/a L (x4-a)1/3f—a1/2J
12. =2 [(in x—2) (x4-a)1/a-|-2 (—a)1/a arctg
[fl<0].
1.6.4. Интегралы вида f—xmln r
J (a2 ± jflfP
Условие a>0.
« f Inx . 1 . . x 1 , .. fix\
1. i -n—5 dx=— Inx • arctg---- Im Lu — u
J x2-j-a2 a a a \a j
о
3.
x2 In x . a (л _ . x \
2 a,(2«ctg-) -
X
d7
6. C — —— - dx= In — arcsin — —- Cle/^2 arcsin —
J x2 2 a 2 \ a
7. V -7J^=dx=ln —-arccos —-И"^-С1а/л—2arccos—V
J ]/a2_ jfl 2 2 2V a*/
X
8. f
J p x2 zt e2 2 L e I
I 1 1п«ж+)/хг±^ +ino.inV^T5-
^2 2a
1.6.5. Интегралы вида JxFln(ox-j-6)dx.
1. f f (x) In* (ax4-6)*dx—C bi» t di
[1= ax 4-6].
244
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[16.5.
2. f х®"1 In(ax+b)dx=~ In (ax 4-6)4— »(1. a; «+ Г.
3. J x® In (ax4-h)dx=—Lj ^x®+4-(—1)® hi (ar 4-6)4- от 4-1 1 VI (—l)fe x»w-^2&fe-l m-j-l (m—&4-2)aft x * fc=i
4. | In (ax+b) dx= ~ (ax+b) In (ax-f-a)—x.
5. | xIn (ax4-6}dx===-^x2— In (ax4-6)—2~a)‘
6. Г „ , . . .. . 1 / . . 6®\ . . .% 1 /x8 бх3 , 6®x\ in (ax+Ч <U= 3 In (ax+6) 3 _ + J.
7. '* ln(ax4-6). In (ax-f-6) a C dx * xf (p— l)x0~l p—1 J (ax4-6)x₽-1*
8. r J X® Г m—2 -» = In (0x4-6) 1 a\®-1 . ax4-& . 1 f—b\k m—1 x®-1 m—1 \ b ) x ' k\axj L *=1
9. ? МД*±&> dx^ [n | fr |. In j x J-Li8 (^-X [ab&+ 1 x \ b I
10. =ln |*| -'in (л+ч-о J co
11. ₽ln |fr| 1 lnx|4- [|ax!<tb|J. 4Ы кг \O / fc=l oo
IX fc=l
13. г 1п(«*+Н^=« tai*!-^+4} ) x3 b 1 1 \ x b /
14. 1 * In (ax 4- b) . . . 41_/'x4"c\ i: ГД(Ж~ЬС)1 .i.u ( ^—5 —L_jr_ldx_ln(b ac)ln^ c j L,2[ ac-b J + L 2 \ac-&r
15. । ’ ln(x4-a) _ 1 . ex । [(a—b)2 4-<?2l “ (x4-b)24-e2 2c g b*+c*+bx и -^С18(2О4-2ф)+^С12^+2ф)^^С12(я-20)+
+ ^СЦ(л-2ад |^0=Чг’ J
1.6.7.]
1.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
245
1.6.6. Интегралы внда i х±я>In dx.
v J x—a
x^1 .
“5--*dx
x?—a*
хР fe dx— хР™ In
x—a p+1 x—a
xm In j(x®,+1—(—ay®+1] In (x^-a)—
3. f In ^i^dx=(x4-a)ln(x4-a)—(x—a)ln(x—a)=xln^^+aln(x2—a8).
X Q X *"" &
- I* - x4“fl J 1 , a 1 х~|~а .
4. I xln—— dr = -—(x2—a2) In——Lax.
J x—a 2 ' x—a
_ (* qi x+a1 .л. *x4-a ,1 lt .. „ , a#
5- I ^In—5—dr — q xHn a3 In (x8—a2)-}-^-.
J Л“Ц О О 0
1 . x-ha j 1 . x—a .
— 1П —!— dx — Г"----ГГТЗГл In —i—F
x® x—a (m— Цх*» 1 r-{-a
1—(—lpnfc-1
k
[я^О].
_ fl. a4-x. 7 x\ .. 7 x\
8. t in—-—dx= Lui —)— Lu ——)
J x a—x г\а / s\ a/
у 1 7 x \2*+л
Zi (2k+ir\a) ’
1.6.7. Интегралы вида ^x-mIn(x2zta2)dr.
1. C x®« in I x8 ±ja? | dx = ^- ~ x^1 In | x8 ±as |—
J ’ 1 2n4-l I
у (ч=1)«-*
Z 2fe+l
k=o
a2ntk^Zk+l
(—t)«2a2«+1 arctg —
a \
Ix~}~a |
x—al -
2. x2ra+1 In! x® jz a21 dx—
{n-kl
[x2B+2_(Lpl)B+ie2n+ajln|x8±a2[- V
fe=l
246
ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.6.7.
2а arctg —
л la
\ 1«—О 17
х In 1± а2 | dx = [(x2 ± a2) In | x2 ± a2 [ —x2].
2
9
2
3
S.
j 2а3 arctg —
3 1,. x+al
a3 In ——
х—а
fi. C x3 In | x2 ± a2 j dx=~ Г(х*—a4) In | x2 ±л2 Jr—~ ± ^x2
-I I м
f In | x2 -*- a21 — In | x2 ± a21
J x2™ “ (2m—1)10« 1 +
tn—2
(5=I)ot+1 V
(2m— 2^4-1 \xi
fe=o
(Т1Г
(2m— 1) a2"11
8.
In | Xе ± a21
ХЙЯ1+1 лх—
In | x2 ± a2 j
2mx2rn
Г m—l
, (+1)CT , V №)* p\2*
2ma2m x2 “* k \x J
_ (* In ! x2 ± a21 . I _ . f _ a2 \
В- I —L- ---L In* Li2 I -4- )
1<L
= In a2 - In x —- Li2
2 \ a8
Ka^O \1
x2>>a2J J*
HagtOVJ
x*<a2Jj*
11.
In x2±:a2 . 1 » । « 9i.l
—1— -----L dx =--In x2 ± a2 ± -
x2 x 'a
2 arctg ~'
I2 Jtal^ldt=^^lnl^i;oll;t^lnx.
18. f jHlL±^dx = ±Li2(_x’) + -‘-Li!(T^5-)-Li,(x)+
A 1 rr Z 1 -*j“ Л f
+ -1- Iri2 (1 + x2)—Id (1 -x) In (14-i2).
МхД-Рд2)
X24~a2 ’
21na . x . 1 . . . _ , .x 1 . fa-\-ix\
= _ arctg _ + _ in 4 (x»+o’) arcfg - - - Im Li Ц-^-j.
(x4«)ln[(x+^+6»b.
(x-ha^-j-c2
1 Г c®— 1,1, J (x+d^+^ I .... , .2 .
“21Чт+?]+т1п1^—JtaI*(x+aP+
16.8.]
feflr ЛОГАРНФМИ*£ЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
247
'«• J ‘"(гйчУ1 А = | In 2 [(а - CF+ У+d»J -1 а, («- 2Щ +
(8-Ф) |-УТ^ л /1-Гп=5Г\ 1
+ —г~ “ 2------~d " I--------) + йс11 (2п)+
+ й С1И« - *Р-2ч) - CI, (» - 4ф)
bd
8 . _ 2d (а—с}
[(а—c)?-j-b®4-d«J *
х>±с esin(20—2ф) 1
tg0 =—т—, tgn=------------'----——"'
а 1 + 8 cos (20—2ф)—+ 1 —е*1
1.6.8. Интегралы вида х—In (х+У^х2 ± a8) dx-
1. $НХ) In (x4-}/rx2+a2)dx=
nt Г 2аМ ^-н Л <т
= —2а Inaj ^—di~2a
f f/2a(y—1)\
У\у(у-2) )
у2—2y4-2
у2 (у—2]2
In ydy +
2a(z+D \ z2+2z+2
z(z+2) ) z2(z+2)2 02
2at .
5=T *=“
2. J f (x) In (x4-Kx?~-ea)Mx=
i
’^!zl2e±2)\ J=L_’ln ydu+
. У(У-2) /y2(y-2)21ny^+
,/a(z24-2z+2)\ z + 1 f .
Ц z(z4-2) /za(z-{-2)2 ltt2dZ
a r J*
3. f xP In (x-|- У^х2 zt а2) ln>(x-|-Vx2 ± a2)--— Г _xyh.^.. ._
J P+1 p+lJF^ia»
4. In (x+Kx2 ±a2) dx=x In (x-f- Kx2 ± a2)—’Kx2 +z a2.
5. f xln (x+Kx2 d_«2)^x = fC' ln (x-bXx®±-e®)—v-Kx? А: Д2*
6. хг1п (x-f-Vx2 +: c^\dx=
= in (x+fGc2 _ta2) — (^± g8)— -b ± O2.
О «7 0
7. C x3 In (x-| /x2 + a2) dx = In (x-f-F'x2 ± a2) —
— pGc2 -+- a2 -+ — a2x jAx2 » a2.
16 , “32 '
8 C tn (X+Kx2 + а2)^г _ _ ln (x+Kx^ +zfl2) , 1 Г dx
J xp ~ (p—l)xP-i p—1 J xP1 l^x2 a aJ*
248 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ - [1.6.9.
п—2
л=1
1п(х+Г^^) .
x®«+1
(2л— 1) х2«-1 (2л— 1) (2л—2)
k (2л—3) (2л—5)... (2л — ‘2k — 1) fa Х2»-2*
' 2* (л—2) (л —3)... (л—fe—1) \х/
(йР1)« (2л- 3)!!
(2л— 1)а**-1(2п-2)!!
1П
Ух2-Я2
arctg
а
In (x-f-Ух2 ±а2) чР Jf* х
tx2» ' 1 1 (2л—1)2л
1
аах2я-1
п— 1
, 1 у ,_п> 2*(л-1)(п-2)...(л—fe)
+ a2«+i ' ' (2л —3) (2л—5)... (2л—2fe—1)
fe=l
/ а \Ъп-Ы1-1
\х J
Сl!lh+£^+^).dx=ln|a|.ln|x|4. ' |п»|^|±
J х 1 1 2 I а 1
V/ iu (2fe—1)!! /лХ2* rj_ „
“ 2i ( (2fe—2)!! (2fep [ х) U Xi U‘
fe=i
12. “lnla|-|n|Ii+2(-1)‘‘(W^rriji(^r+1 B*KI«O-
fe—0
io f ln(x+/x2—a2) . , , . . । . . 1 . 2|2xj
13. I —J—L2--------- dx=In a • In x + s In - +
j x 1 1 1 ’ 2 j a }
2°° (2fe—1)!! /a\2*
(2fe—2)!!(2fep\x/
fes=l
14.
f ln ____1п(х4-Ух2±д8) _ 1
J x2 “ x *** a
Г ln(x-|-prx2±a2)^ In (x^-Kx2 ± a2) _ Ух2 iz a2
J x® 2x2 -b_ 2a2x •
1.6.9. Интегралы вида i ~~r - - . In (х-4-Кх? ± 1) dx.
J Ух2 ± 1
J InP (x+У± 1) dx-
1.6.10.J 1-6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
2. Г - 1 In (х4-Кх2 Jz 1) dx = * In2 (x-J-pGc2 + 1).
J Ух2 ± 1 2
3. [ -v^=-ln(x4-/FTT)Ac=F^±Tln(x4-Fj^±T)-x.
J Kx2Jtl
4. J InP (x-f-Kx2 ± 1) dx=x In? (x-f-Kx2 _t 1 )—
—pKF±T InP ^x+ZF+D+pCp-l) J 1пР 2(х+Их2 i Odx.
5. J In" (x+Vx2 ± l)dx—
И/2]
= _L_ У (n-i-1) n... (n-2Jfe +1) xln«~2* (x+J/х2 ± 1) —
k=0
[n/21
— 2 n (n— 1)... (n- 2Jfe) Kx2 + 1 ln»*2*-i (x+KxTtD-
ft=0
6. J In2 (x+Kx2±l) dx=xln2 (x-f-Гх2 ± 1) - 2 /x2 * 1 In (x+V^x2^ l)-J-2x.
1.6.10. Интегралы вида Jf(x, Inx, e®*, sinx, cosx, ...)dx.
1. xaIe"ax In xdx— s
=a-«y(a, ax) Inx—a~2xa2F2(a, a; «4-1, «4-1; —ax) [a, Rea>0].
X
2. e-ax jn xdx=^ [Ei(—ax)—Inx— Ina—С].
6
CO
3. J e-f^ in xdx=-^ [e-ex In x—Ei (— ax)} [ReaXJJ.
x
4. j -U-^lnxdx-y[(C4-lnax)2+^(2)-21nxEi(-ax)]+y
x *=0
x
5. Je-«*ln(x-|-fr)dx=
о
= [In b—e~ax In (x4~6)—e®* Ei (—aZ?)4-e«* Ei (—ax—a&)}.
X
• 6. ^e axln(6—x)dx —
о
= [In b—e~ax In (&—x)4-e~®* Ei (aft—ax)—e-eftEi (afr)) [b>ej.
X
1. J In (ft2—x2)e-®Jfdx=^-{21nP— e «-vln(Z>2—x2)—
о
—e~ab [Ei (ab)—Ei (ab—ax)]—e®* [Ei (—ab)—Ei (—ab—ax)]}.
250 ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.6 10.
8. С Шх(й,ах|л = ±1Пс1<“П-1пж(“в“еВ-1/,я‘,+С|.
J (cosaxj a [(si (ax)J (sinaxJJ а ( л/2 J
о
„ С . .. . (sin ах) .
9. I In (6— х) { } dx =
J ' Icosaxf
о
= X - in (»-х) J ± - [с. (об—ах)—ci (об)] {sin +
+ - [Si (а»—ах)—Si {a»)] f8”1 "?| + ~ I'»*!-
а к Icosaxj a I О J
ж
10. С — In(l-)-axn)dx—-- Li2(— ахп).
»х Л
о
X
Г finshx) . t , о . х8 _ л2 (2)
"• ) {tachxH = ^L,iХ to2+-2 *24 W-
О
12. С In (sin х) dx=— ~ Lia (е-2,х)—х ln2-j- —х\ .
J 0 Л J
ОО
43. =х1пх-х+^(-1)*^га(2х)^ ВхКяр
fes=l
14. f In (cos x) Л?=~~ Li2 (— e^x}—x In 2 —x2.
0 ‘ A
OO
'»• = 2 <-
fc=l
П In sin xl _ 1 f Cl2 (2x) 1
ldx=—xln2-T {_. /' '1.
In cosxj 2 1С12(л—2x)J
e
X
17. In (cos а—cosx)dx=CI2 (2а)—C12 (х-{-а)—Cl2 (x—a)— (x—a) In 2.
a
18. | In (sin a 4- sin x) dx—— i Li2 {е~* ь**0’—i Li2 (г~* «х-а+я»)
ft
+ i Li2 (e-‘«) + i Li2 (^ <«-*’)-x In 2+~ x(x—я).
&
X
19. J 1п(сова4-со8х)£(х=С12(л+а—х)4-С12(л—a—x)—xln2.
о
Я). J In (tgx4-tga)dx =
о
= — x In cos a — 4- C,2 (2x+2a) + 4 Cl2 (2a) - b Cl 2 (л - 2x).
A A 1
1.6 41]
1 j6. логарифмическая функция
251
}а d
In (1 + sin a cos x) dx *=x In sin? T) In tg2 — —
л «
—Cla (2x)+Cla (2x—2t0 4-Cl2 (2t]) Ite n= sin x/(tg (a/2) + cos x)j.
X
22. J In (1 — 2a cos x-j-a2)dx—Cl2 (2x-|~2®) —Ci2 (2x)— Cl2 (2®) — 2o) Ina
о
[igfi>=a^nx/(l —ecosx)].
x
23. pn(acosx-b& sin x)dx=
о
= x In-1 [Li2(- e2{ "₽-*>)-Li2 (- е*Ф)-x (x-2q>)]
Jtg<p=&/a; |ф|^л/2; (ф—х|^л/2].
24. £ In (1 — a2 sin2 x) dx=(n—26) In [(1 +1^1 — a2)/a]2x In (a/2) —
o
— ~ ln2+L(0+x)—1(0~х)-Н(л/2—2x)
A
[|xI < Л/2; ctgO = tgxV 1—д«;
25. =x Ina—L [л/24-х — arcsin (]/a)]4-L [л/2—x—arcsin (1/a)}
[]x| <Jl/2; a [ sinx | <1; a>0].
P sin 2x к» tg x .
I । - d* =
J 1—G?sin22x
0
1 I” л П
------ - I — tn2-[-L (0—arccosa)arccosa)—L (л/2 — 2arccosa) I
4aV 1 —a2 LJ
[tg0 =acas2x//T—a^ 0<х<я/2;
nsin In X) , X . . .________, .
[ dx = — (sin In x 4- cos In x).
cos In xj 2 ' ’
n — 1
28‘ f (lnx"+a)« = “ПХ 2 n(n—l)...(n-fe-|-l)(inx+a)»-* + (n —1)!11 *
fe — 1
29. | -i—— =e'‘aH(xe«).
J Inx-J-a '
1ЛМ1. Интегралы вида J (ax^)^(cx^9-dx.
1. C*^>dx =
J X
= In x In2 (1 — x) + 2 tn 0—x) Li2 (1 - x)—2 Li3 (1 —x)+2 Li3 (1).
252 ГЛАВА ПЕРВАЯ* НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (1.6.11.
х
2, С ,n2l!dx in х In2 (1 4-х) — In2 (14-х)—
J X о
О
-2 In (I +*) U, (|1_) - 2 U, (1^;)+ 2 U.0)-
X
Jlnxlnfl—X) , .. .. , , -
-----------dx=Lis (х)—In х L»a (x).
X
0
X
4. C lnxln<5~?>dx= | to3x4-lnxLia(l/x)—2Li3(l/x)4-2 Li3(l)«
J X о
x
5. ( dx——2Li4(x)4-2 to xLUx- to2xLia(x).
J X
0
t
x
Jin® IT
J!LA_dx=—6 LU (x)4-6 to x LU (x)- 3 In2 x LU (x) - to3 x to (1 -x).
о
X
_ C ln2xto(l—x) , _ГГ. . .. . . .. f —x \ t. ,t/l ,
7. J ---iTTJ---dx==2|Li4 (1 — x)—Li4(x)—L^jj—— Li4(1)J4-
o
4-2 £ln (1—x) Li3 x— to x LU (1 — x)4- Li3 (1) to 4-
4“2toxln(l—x)LU(l—'X)4-
4- In2 (1 — x) [6 to2 X4- 4 to X to (1 - X) - to2 (1 —x)—2n2j.
'i
g f ind-atad-ax)^ Ljj H-»\ Lij I \ u,(1 _x)_
0
—LU (1 — «X) 4- LU (1 /«) 4- bU (D 4- to (1 — ax) [LU (1 /a) — Lia (x)[ 4-
4-to (1 — x) [Lia (1 — ax)— LU (i/a)-|-n.2/6[ 4- Ina to2(1 —x).
JU
w+lns z L,(W+
+’" M+ JI» a -»> ln<‘ -M
[ft »(c/a) (bf —ag)/(df— eg); у =a (fx 4- g)Hag — bf); ag — bf ^iO; eg—df ^0].
%
le.
-lnc(og-60L',(S')+lne(<«-4nln */-og
~ 4ln w y+ Jв ln (1 %
toy—
[ag- bf^zQ;
cg-df = 01.
1.7.2.J 1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 253
И. = In -jK Li2 (г) 4- In •• In — In z—
a (eg—df) a (eg—df) df—cg
-4 to21n
= °S-W=0; cg-tfgbo].
L И» “I J
1 c i
12. = 6 In — In2 V+^- In3 O [V=a(fx + g)/g; ag— bf = ft eg— df = OJ.
л а о
1.7 . ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.7.1. Введение.
Интегралы от обратных тригонометрических функций сводятся к интегра-
лам от тригонометрических функций при помощи следующих формул:
1.7.2. Интегралы в и
arcsin (х/а)|«
arccos (x/a)J
£ jarcsin(x/a)|«^_ (arcsin(х/а)1«
J (arccos (х/а) f ~~ (arccos (х/а) J —
т* (arcsin (x/a)V»-i n Г (arcsin (х/аЦя-2
+ вУа>-»»|агас(к(х/в)} (arecosWa)/
[п/21
=* 2 (-»•(£) (“»
*=0
arcs in (х/аП « — 2fe
arccos(х/а) /
[(я + 1)/21
fe= 1
arcsin (х/а)1я-2*+*
arccos (х/а)J
Иarcsin (х/а)| (arcsin (х/аП ±
arccos (х/а) J (arccos (х/ а))
3.
254
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.7.3.
f (arcsin (х/а)|2 (arcsin (х/а))2 . _ jarcsin (х/а)( ~
J larccos(x/a)J larccos(x/a)J r (arccos (x/a) f
g C [arcsm (x/a)(3 _ (arcsin (x/a)| 3
J (arccos (x/a)) — larccos (x/a) J
± з larcs,n -6x (arcsin
(arccos (x/a)J larccos(x/a) J
T, ( -t-n IarcsinXI .
1.7.3. Интегралы вида lx— { } dx.
.1 I arccos xl
(arcsin (х/аЦ,
larccos (x/a) J
x«+1 (arcsin (x/a)\ . 1 f xn+ldX
л 4-1 larccos (x/a) j л 4-1 J ]/a2—x®'*
2. f -2» [arcsin (x/a)| x2**1 (arcsm (x/a)l
J " larccos (x/a)| 2Л-4-1 (arccos (r/a)J
r______ Г n-l
Va®-x2 Vt 2^л(л-1)...(л-£) /x\2«-2fe-2
“ (2«4-l)2 Zi (2л—1)(2л—3)...(2«—2fc—1) \a\
L k=o
з f X2n+1 faresin (x/a)| x^ (arcsin (x/a)\
J (arccos (x/a)J 2n-j-2 larccos (x/a) J —
y, (2„+ i)(2n-1)„ (2n-2fc+3)/’xy—»t + i _
“(2л4-2)2 Zi 2*л(л—l)...(n—£4-1) \a)
L fe— i
_______(2/14-1)*! 2ВУ2 j arcsin (x/a)|
(2n 4- 2) 2л+1 (n 4-1)! larccos (x/o)J
arcsin (x/aft &_________a2\ (arcsin (x/o)| x
arccos (x/o)| \ 2 4} larccos (x/a)J T
arcsm (x/a)
arcEOS (x/a)
(arcsin (x/a)i JL
Э larccos (x/a)J * 9
(x®4-2a2) /a2—x2.
6.
•arcsin ЭД dx= £ - /aresin W) ± ' (2ХЧ-ЗШЭ rra.
Larccos (x/a)) \ 4 32 / (arccos (x/a) J 32v
С 1 (arcsin (x/a)l =
J x« (arccos (x/a)j
, — 1 faresin-(x/gh 1 Г________________________dx_______
(n— I)x" 1 (arccos (x/a)J — n — 1 J xn 1 J^a^x2 *
C 1 (arcsin (x/a)(
J x2» (arccos (x/a)J
(2л—Ox2»
(arcsin (x/aH
1 (arccos (x/a))
r______ Г n — 2
V a2—x2 1 1 у (2л — ЗУ(2л—5)...(2л—2fe—1)
(2л—1)(2л—2) a2^ 2 ‘a2" Zi 2»(я—2)(л—k — 1) X
*- k— 1
Za\2n-2fc-2 _ (2л—3)” La4-Ka2—x2
X[xJ 4(2n — l)2«-1asn'1(n—1)1 x
[«>21.
1.74.)
1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ -ФУТЖИИИ
255
9 f 1 (arcsin (х/а)1 jx== _ 1 (arcsin (х/а)( _
J x2e+1 (arccos (x/a)f 2пх2л (arccos (x/a)f
_______ Г я —1
_ Vcfi-X* 1 1 у 2*(rt——2)...(n-fc) /a\2e-2*-l
2n (2n— 1) а2х2«-1 "Г-Д2П+1 £ (2n—3) (2/t— 5) ...(2n—2k— 1) \ x)
10 = _ 1 (arcsin (x/oh _
2ПХ2" (arccos (x/a)J *
n — 1
__ 1 у 1 fn—1\ fa* —x2 \n-*-l/2
-1'2йв2я Z 2n—2k—1 ( k J\ x2 j
k= 0
«« Cl (arcsin (x/a)) .
J x (arccos (x/a) J
= In x farcsinf 1л &+aVa*—& dfcte «+/д2—x2 __
(arccos (x/a)f 2 18 x
f. Ka2—x^ \ fx-Hg + tJ^a2—хЛ
ч- 2 Im Li2 - -2x-------j ± 2 Im Lj2 I —L 1.
12 =+ V (2fe-1)’! M\2fe + 1, MOI
“Z (2fr+1)8 \ a ) + 2 Unxj ’
k=Q
X
C arcsin x , 3
13. I ------ax=— Cl2 (2 arcsin x) 4- arcsin x In 2x.
X
0
1 (arcsin(x/a)( ___ 1 (arcsin (x/a)| __ 1 g-j-T^g2—x2
x2 (arccos (x/л)J ~ x (arccos (x/a)j a x
f 1 (arcsin ,
J x3 (arccos X
1
2x2
arcsin (x/n)(
arccos (x/a)f
1.7.4. Интегралы вида
(1 ±х)±я + 1/2
arcsin xi ,
\dx.
arccos xj
n + V2farcsinx'
(arccosx
— (14-хГ + 3/2 farcsdnxl 4-
4-3 ' ' (arccos xf
r----n + 1
ь 2«+зК1-х У Jn+1\ (1-x)fe
“ 2n-f-3 Zl '\ k /2*(2fe4-l)‘
A = 0
2. С (1-Л‘+<«|1ПА%,.________L_(1-x)»*3/2 (“Sinn
J (arccos xj 2«+34 * * larccosxf
r~ л 4“ 1
_2^K14-x у nftM+l\ (l+x)fe
— 2/14-3 Zl ' \ k ) 2*(2fc-H) '
256
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
£1-7.5“
JI (arcsin х) ,
-------------ГТтЧ }ах=
(1 + х)" + 1/2 larccos xj
_____________2__________(arcsinxi ________________х__________________
”(2/1— I)(1 -}-x)n ~1/2 larccosxf (2л— 1) (2n-2)2« 3(14-x)« 1
“y (2«-3)(2B-5):..(2«-2*-1)2.-_» +
(2n—4)(2n—6)...(2n —2fe—2) ит*Г|-
+ (2n-3)!! . 1 Уг2—УГ^х
±(2л-2)1! * (2n-i)2« s^2 № /ГР*
С 1___________(arcsin xi .
J (I—xy*-H/2 larccosxf
2
arcsin xl __ V1-F* L
(2n-l)(l—x)"“1/2 larccosxf + (2л—1)(2л—2)2л 3(1—x)« i[
, "v (2»-3)(2n-5)...(2«-2ft-l) t J
+ (2n—4) (2n—6) -(2n—2fc—2) ' ““
k— 1
(2n—3)11 1 .
---------------r=r In
(2s—2>!l (2n— 1)2«~з/2
5.
arcsin x .
---------dx=
(ax+bp
arcsin x
a(ax+b]P
— arctg
o/^-a2
[as<4sJ.
2
= _ arcsin x______1 In F(g+&) (1 4- И(Д—6) (1 —x)
a(ax4-&) aVa2—1>2 У(а+Ь)(1-|-х)—V(a—b) (1 -x)
_ C x arcsin x , arcsin x . 1
7, 1 ---------dx -----------------т==г- arctg -7^4=-
J (l-f-cx3)2 2c(l+cx?) 2сУс-Ь1 J/l—Xе
[0-1].
g, _____ arcs*n* J ___^Kl-^+xK-Cc+i) ‘
2c(14-cx8) +4cK—(c4-l)
(c<-a
4 „ f Л\в-к 1/2 f arcsin xir j
1.7.5. Интегралы вида 1х>(1-Я,+ / < > dx.
r J (arccos xj
Интегралы этого пункта выражаются через элементарные функции в еле*
дующих случаях:
1) р, г=0, 1, 2, (?=—1, О, I, 2,
2) r=l; р=0, 1, 2, ?-=—!, —2,
3) р=—2, —4,
4) р=0; q=— 1.
1.7.5.]
1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
257
,,«+1/2 (arcsinх]
Xя» (1— х2) + ' {
' 7 larccos х
(1 — х2)” 4 3/2 (arcsin х{ _______1 V
m 4-2л 4“ 2 larccosxf т4-2л4*2 £
k —
т—1
«4-1/2 [ arcsin х
л С z. М/1Х1/2 farcsinx) *
2. । х(1—х2)я+|/2{ л }«1х==
J ' ' larccos xj
т п -к 1
(1—х2)я+3/2 (arcsin х! 1 V1 &k+t
2 л-]-3 larccosxf ~ 2л4-3 2л ' ' \ k }2k-{-l‘
Х2)₽+ 1/2 {arcsin х) х(1 —ха)р4~1/2 fares in х|
* (arccos х/ 2/?4*2 (arccos xf
. А —xa)P+1 , 2/>4-1 f п _ ~ р -1/2 /arcsin х1
— 4./п_1_П2 ‘ 9>п_1_9 В* brrrncv
С 1 (arcsin х1 о, I (arcsin X) р+1
t ?- л г ах~±----------------гт—] г
j у I —jx2 (arccos xj р 4-1 (arccos xj
1 farcsin x) — 1 . - (arcsm xl
. z- - I dx=+ln< У.
у j__xi larccos xj larccos xj
V1 —x2 (arcsin x
x larccos x
arcsin x( _
arccos xj
1 farcsin xl ,
—z —v{ idx,
x у 1—x2 (arccos xj
(1 — x2)n +1/2 (arcsin xl ___
larccos xf a
(1 —x2)” + 3/2 f arcsinX( t 1 VI .____.<fe /я+ Ц xg*^m+2 _
~ (m—l)xm-i tarccosxj *" /п—1 Ai ' * \ k J 2k—m+2
fc = O
2л—m4-4 С (I — x2)”4-1/2 (arcsinX|
m— 1 J xm larccosxf
— fl —+1/2 JarcS!n *1 ,
(m — 1) xm l larccosxf
-t- 1 V (_ nt ac2fe~CT+2 2n4~l C (1 —x!^n-1/2 (arcsinx)
~~ m—1 2k—m4"2 m—1 J x”1-2 Iarccosxj^'
fe = 0
Если k=m/2—1, то соответствующий член в сумме следует заменить на
(-l/n/a-i—L_( "+1 \|пх.
т— 1 \т/2~1/
Q А. П. Прудников и др.
258
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.7.5.
(1—х2)я+1/2 jarcsinxi (1—x2)n + 1/2 jarcsinxi _
х (arc cosxj — 2n-|-l (arccos xj"1-
ZJZ___1__ У л i)fef№\__x2fe+1 . f (l-x8)" Л [ arcsin x)
* 2я-Н Z < '' \kj 2k-^l + J x (arccosxj *
k= о
x (arcsinxI , ----r-farcsinxi
— - J \ wX —— lr J — *2 J 1
Уi_____x2 (arccosxj (arccosxj
______1______farcsinxl x (arcs in x( __
(1—x2)₽ +1/2 (arccos xj ________1) (1 x2)p ~1/2 (arccos xj
_______________1___________. 2p—2 Г 1 jarcsinxi
* (2p-1) (2p-2) (1 —x2)P"1 ф 2p—1 J (j _xz)P-i/2 (arccosxj *
Г_______1 farcsinxl _____________x jarcsinxi
J (1 x2)3^2 (arccosxj уi xz (arccosxj
p xm (arcsinx) 1 ------ (arcsinx) xm ,
i । j. — -? > dx=-----у 1__________x2 л (_ь___________t-
J у 1 —x2 (arccosxj m (arccosxj
. tn—1 C x”1"2 farcsinx"
r и J jTf________xa (arccosxj
_____x_______jarcsinxi fa____
(1___X2)«+V2 (arccosxj
1
arcsin xl _ 1 f* dx
(2n—1) (1—x2)”^2 (arccosxj ~b 2n—1 J (l-x2)«
xm fa|csinx( fa____________x*”-1_______|arcsinx( _
(I _x2)«+i/2 (arccosxj “(2n—m) (1 — x2)n~1/2 (arccosxj
zp I C xCT1^x m—J C xm~2 (arcsinx)^.
4’ 2n—m J (1—x2)» 2n—m ' (1—х2)Л+1/2 (arccosxj
xm farcsinx) .
----------7Г=г- 4 }dx=
(1___X2yt+L/* (arccos xj
___________x711_________(arcsinx( _ 1 Г rf^dx __________
~(2n—1) (1 —x2)”-^2 (arccosxj ~2n~l J (1 —x2)» ~
— С х>я2 j arcsin x(,
2n—1 J (1________х2)я-1^2 (arccosxj
_______1_______(arcsin x( . __
x™ (1__________________________j^jn+i/2 (arccosxj
_________________1__________jarcsinx) IP dx__________________________
(m—1)x®-1 (1—x2)"-1/2 (arccosxj “ J x«*-l(i—x2)»
. 2n-J-m—2 Г ___________1________(arcsinx( .
m — 1 J хда-2(1 х2)я+1уГ2 (arccosxj
1.7 б.] 1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 259
Г______1_______(arcsin Jrt, _
J Х(1 ^)«+i/2 (arccosxj о*~
____________1_______fares inx)__ 1 Г dx
“ (2л—I) (1—x2)n~1/2 (arccosxj + 2л-1 J (1 — jflp
С 1 [arcs inx) .
+ J xd-x2)'11/21arccosxj
narcsinx) p , (arcsinx) p
У dx=x{ } ±
arccosxj (arccosxj
------------------------s-farcsinxlP —1 , Г (arcsinxjp — 2
±pF1-x2 У — p(p— 1) 1 4 > dx.
(arccosxj ' J (arccosxj
co
„„ (• dx , . . . V . arcsin2*x
20. I -----:—=In (arcsin x) 4- 7 (—l)fe - 7
J arcsin x ' Xj 2k(2k)l
fe=l
21 f ** У i 1^' ”””*****
J arccos x XJ ' ' (2&4-1)(2й-{-1)!
fe=0
. „ „ „ f n arcsec (x/a)) .
1.7.6. Интегралы вида I x?l ; , Лйх.
r J (arccosec (x/a) J
3 С х2я f arcsec W0) 1 Jx - %2/H1 f arcsec (x/a)
’ J (arccosec (x/a) J 2n+l (arccosec (x/a)
ax8®-1 p^x2 — a2
2л(2л+1)“
Z(2fl-1) (2n—3)... (2n-2k-1) / a \8^8
(2n—2)(2n—4)...(2n—2k— 2) \xj
5.
(2л-1)!!
(2n)i!
arcsec (x/a} 1 Jt~I
arccosec (x/a) J 2 J*
, ( arcsec (x/a) |
*+1i / i
(arccosec (x/a) J
__ ax2” )^2—a8
“* (2л-Ь1)(2я+2)
x2n’2 ( arcsec (x/a) 1_
'~2n-^2 (arccosec (x/a)J 4~
г л —1
2 2л (2л—2)...(2л—2k) fa\^
(2л — 1) (2л—3)...(2n—2k— 1) \х/
L k— 0
х2я+8 ( arcsec (x/a) (_ a2n+1j/<x2—a2
2л4-2 (arccosec (x/a)J 2л4-2
n
V) {n\ 1 /x®—a8\fc
Xj W 2^+1 \ /
&=o
[ Г arcsec(x/a) 1 л!
*4arccosec(x/a)2J'
260
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.7.6.
С 1 Г arcsec (x/a) 1 ( arcsec (х/а)
J xin (arccosec(x/a)J (2л—l)xan~i [arccosec(x/a)J —
r.______ n — i
Ух2—а2 у (— l)ft /л —l\/x2—a2^ Г f arcsec (x/a) 1 я 1
“ (2л— Ijcr^lx Xi 2fe-j-l \ k J\ x2 ) [ (arccosec(x/a)J< 2 J*
A=Q
arcsec (x/a)
arccosec (x/a)
_____ Г n — 2
2-ал и V (2л—1)(2л-3)
dx=
(2n)2 axM
1 j arcsec (x/a) 1
2nxia jarccosec (x/a)J “
(2л-2ft— 1) ZxX2**2
(2л— 2) (2л—4)... (2л—2ft—2) \ a )
* = o
(2л— 1)1! f arcsec (x/a)
г (2л)И2л [arccosec (x/a)
arcsec (
arccosec
X X
arcsec — dx=x arcsec —
a a
x . x
arccosec — dx—xarccosec — ±
a a
0 1^ x
} < arccosec — <
— n/2 f a
X , & X —
x arcsec — dx—~ arcsec— -ь
a 2 a
a
2
< arcsec
11.
X , X2 X a ^r—s,-—
x arccosec—rfx=-7j- arccosec — _fa - у x^—tfi
a 2 a 2
x
< arccosec —
a
«nV* x , Xs x ~ахлГ-----
12. I x2 arcsec — dx=-=-arcsec—4: —yx2—a’q:
J a 3 a 6
Ч In 1 j:+rx«-o» 1 ]{
С XX® x йх г- — -—
13. I x2arccosec — dx= arccosec — ± F x3—a2 ±
J a 3 a 6
± In I x+^-a2 I [{__ ®/2} < arccosec < {Я'2}].
41 x j я . i • । . a
14. I —arcsec — dx=~ In x H--
J x a 2 1 1 1 x
00
С 1 x . a V
15. 1 — arccosec — dx=---7
J x a x Xi
*= 1
V (2k— 1)!! f a Y*+X
~ Zji (2k)l! (2k-yiy\x)
[0 < arcsec (x/a) < л/2].
(2k— 1)!! /a\2ft+1
(2fr)n (2& 4-1)2 U;
[— я/2 < arccosec (x/a) <1Л/2].
, 1-7 7.] 1 7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 261
; С 1 х 1 х У^2 —
к 16. I — arcsec — dx= — — arcsec — ±-----
J х2 а х а ах
_ _ _ т — f* z tп _1_ 1/2 Г arcsec х 1 *
1.7.7. Интегралы вида I (x_tl)—/ >dx.
v J larccosecxj
Условие: О С
( arcsec х 1
larccosec xj
1. f (x+ If + '« J X } d,= ’ (x+1)»^ { araec 1 ) T
J v 1 larccosecxj 2л-|-3 larccosecxj
2 CT) f
& = 1
_ I)11+ W Г arcsec x 1 л= 2 + 3/2 f arcsec x j
larccosecxj 2n+3 larccosecxj
2(-l)« 1п^-£_4е-1Г24*(_!).(»+>) С fca-j)»*
2n+3 )<x+14-l 2n+3 4*. \ k / j
К ““ 1
b=vr+T]-
! [ arcsec x ) 2 ( arcsec x '
(X_p 1)« + V2 larccosec xj — (2л— 1) (x-f-1)“ ~1/2 larccosec xJ
241 2л—1 arCfg ^x~1 2л—1 2 f (jf2+2)« * I//==
fe=0
Г 1 j arcsec x | ______________2________
* ' (x—1)«+«/2 larccosec xj x~"~ (2n—1) (x—1)®~1/2
±g*-1»" In ^7+1-1 4(-iy “y f dV
2n~l Ух+1 + l 2n—1 J (^2—2)"-*
arcsec x 1
arccosec xj
[if=yx +1].
262 ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1.7 Л.
1.7.8. Интегра лы вида Сх"*(х2—1)— в+*/2 Г arcsecx |
r J (arccosec xj
ir л I arcsecx
Условие: 0<<
(arccosecх
я
2"
С ... . а ,.йд. 1/2 f arcsecx V , .
Интегралы I хт (х2—1) ? dx при целых т, л» I с помощью
j ^arccosec xj
( arcsec х ) sin u)2«+2
подстановок ^==|arccoeecxj сводятся к интегралам вида cosyj X
( COS У\ ~ (ЗяК'ЛН'З!
X < . 1 dy. Результат выражается в виде конечной комбинации эле-
(.SHI У)
мента рных функции в следующих случаях [18]:
1)1^1, —1, лг^—2л—3;
2) 1=1, п<— 1, т^—2л—3;
3) 1=1, т—нечетное, т>—2п—3;
4) т=—1, п=—1
С Г arcsecx ] fl+V2dx^_(х2— 1 )я+1/2хf arcsecx )
J (arccosec xj k ’ 2(n4-l) (arccosec xj
2(n+l) Zi 1 ' \k/2k+l
2»+l f ( arcsecx 1 , «.yt-i/a
2л 4-2 J (arccosec xj ' '
nn+i/2 J arcsecx 1 .
+' { У dx=
(arccosec xj
& x”-1 (x2—1)”+3/2 [ arcsec x \_ (—1)”+1 fn 4-1\ x»~^
& /n-J-2л+2 (arccosecxj +/и4-2л4-2 k k Im—2k— 1
k= о
m—1
йх4-2л-|-2
xm-2/X2_nn+i/®j arcsecx
' ' (arccosec x]
3.
jyi+1/2 f arcsecx |dx= (x2 —l)n+3/2 J arcsecx 1
' (arccosec xj 2л 4-3 (arccosec xj
Mil lnx+. M^ у
2л+3 ^2(2»+3) Zi
4. С (*2~1)я+1/2 f arcsecx ]
J xm (arccosec xf
_ (x2—l)"+3/a J arcsec x ( _ (— l)«n “y1 fn~\-1
(m—l)xm i (arccosec xf m—1 \ k
k=Q
2л—m+4 Г (X2—I)”*1/2 f arcsec x 1
m—1 J xm-2 (arccosec xj
x2Jfe-m+i
2&—m4-1
(x2— I)”4-1/2 у arcsec x ) (—1)" V z nfe fn\ x2k~m+1
(m— 1)x”1'1 (arccosecxj m—1 Zi \k)2k—m+l
*=o
. 2л 4-1 C (x2— I)”-1/2 j arcsec X1 .
nt—1 J (arccosec xj x'
1.7.8.] 1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 263
Г (х*—1)в+1/2 । arcsec х 1 l)n+1/2 f arcsec х )_
J х larccosecxj 2n-|-l larccosecxj4”
(—I)" lnr- (—1)" V (— — - f f arcsecx)
2д~Ь1 4”2(2n-J-l) ' \k) k J х larccosecxj
Ух2—I ( arcsec x ) , __ 1 ( arcsec x]2 ;—- f arcsec x ) ,
———л - r + Inx.
x larccosecxj 2 larccosecxj larccosecxj
J arcsecx arcsecx 1
V~X*— 1 larccosecxj m larccosecxj4”
__ x®1 , m—1 (* xm^ ( arcsecx ) ,
-4----------------I < У ax.
m(m— 1) m J Ух2—1 larccosecxj
_____x J arcsec x ]
(jja_larccosecxj
, —1 J arcsecx
ax=-------------nsl
(2n— 1) (x2—larccosec xj
(—1)« (—1)Л (n—1\ f x* 1)B Ух2—г
±2(2n — 1) Z k \k \^—ll 4 2n— 1 “ X ’
1
___________1__________f arcsec x 1 _____________1____________J arcsec x '
xm (xs_______________________________________________________jp+i/a (arccosec xj — _]) xm-i (X2 _ jjn~i/a larccosec x
1__f dx -
m—1 J xm (x2—l)n
2д4-т —2
m—1
_________1________J arcsec x J
xm 2 (x2_ jyi+i/2 larccosec x)
.. f 1 f arcsec x) , r x2 — 1 f arcsec x )
11. I -----7-----< lJx=--------------1 J-±
J xm r x2___1 larccosecxj _________])хя»-г larccosecxj
t ______1________, m~2 C________1______J arcsec x ]
,“(/n— J)2Xя»-1 —1 J x®-2Kx^T larccosecxjrfx
С 1 f arcsecx) , Ух2—I ( arcsecx) 1
I ---7— - I У dx= ----------------4 r ± —
J x2yx2____1 larccosecxj x larccosecxj x
x
arcsec x) . —г ( arcsec x
_____. ldx=l<xa—14
x2_l larccosecxj larccosecx
H 1 1 arcsec x 1 _____________x__________f arcsec x J _|_
J _____])«+!/* larccosec xj * _j) _ iy»-Va (arccosec xj
t 1 C dx_______________2n—2 С I J arcsec x)
“2n—1 ) (x2—1)« 2n—1 J (x2—l)"~1/a larccosecxj A
« C I ( arcsecx) , x ( arcsecx) 1 . x—1
j (x2_I)3/2larccosecxj larccosecxj 2 x-|-l
234
ГЛАВА ПЕРВАЯ- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1.7.9.
Xя*
arcsec х '
(х2— [)я+1/21 arccosec х
xm-i
17.
arcsec x [ t 1 (* xm 3 dx _
(2n—m) (x2— [arccosec xf * 2n—m ' (x2 — 1)«
__ m — 1 C xm~2 f arcsec x [
2n—m J (X2— 1)я+1/2 (arccosec xf
x*”1 ( arcsec x[ 1 C xm~sdx
(2д-1)(х2-1)я'1/¥ [arccosec xf * J (x2-l)* +
. m — 1 f Xя*-2 [ arcsecx) ,
4--------[ ---------тгттъ i f dx<
2n — 1 J (x2__ip-1'2 [arccosec xj
________I J arcsec х
х (х2 — [)я+1/2 [arccosec х
1
dx
19 Г 1 J arcsec x ]
J x K*2 — 1 [arccosec x]
arcsec х 1
(2n —1) (х2—1)я-1/2 brccosec xf ± 2п — 1 J х (х2-1)«
__Г_________1_______( arcsec х '
J х(х?~ (arccosec xj
t I [ arcsec x V
2 [arccosec xj *
1.7.9. Интегралы вида
1 f xP J aSctg I
J [arcctg (x/a)f
2. f x2" / arctg (x/a)
J (arcctg (x/a)
xP*1 ( arctg(x/a)[ _
p-f-1 larcctg (x/a)} 4
x2n+l j arcfg (X/a) ।
2n-f-l [arcctg (x/a) J
a C xP'ldx
a
2(2л-Н)
fe = 0
3. C f arctg (x/g)) x3”+2 (arctg (x/a) j •
J larcctg (x/a)} 2n -}- 2 larcctg (x/a)J
д2п+2
«4-1
| +(—!)«arctg— .
1
P I arctg (x/a) | ( arctg (x/a) | _ a
J larcctg (x/a)f larcctg (x/a)f 2 ( 4“ )•
5 . f x 1 arctg 1 dx=/ arctg l — l
J larcctg (x/a)} 2 (arcctg (x/a)| + 2^'
6 f xU arCtg I I - tn 3 „21
J (arcctg (x/a)f 3 [arcctg (x/a)f + 6 “ 6 Jn(x +a )-
7 f x3 I arctg ^xla^ I dx=^— J arctg ( _ ox3 . a^x
J larcctg (x/a)j 4 ( } [arcctg (x/a)J 12 ± 4 ‘
1.7.9.] 1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 265
С 1 j arctg (x/a) | _____— 1 f arctg (x/a) | a C dx
J x®l arcctg (x/a) j ~(a— l)x®"1 larcctg (x/a)J a — 1 J x«~i(x2+a2) *
f J j arctg (x/a) 1 . _________1 I arctg (x/a)) _
J X2® larcctg (x/a)) (2a— 1) x2®-* larcctg (x/a)J
rn— 2 t 1
t+1 \x) T' ' x* ’
fe=>0
1 t arctg (x/a) | 1 (arctg (x/aH
x2ni-i larcctg (x/a)J 2ax2® (arcctg (x/a)J
[n
V (— l)fe /a \2®“2*+1
Zi 2n—2fe-j-l \xJ
fr=i
1 t x . v (—0* ! x \2*+i
x arctg adx 2l (2fe+lF\«)
_j_(-n«larclg(x/a)l
f larcctg (x/a)J Г
12.
yi (—l)fe / a \2ft+*
L (2fe+i)4^/
л=о
eo
[± x/a > 1].
13.
2*+l
fc=0
V (—l)fe / a y***
Z (2fe4-l)« A «7
[x/a > 1].
16.
19.
eo
2(_l)fe /a\2fe+i
(2fc4-1)2 \ x )
fe = 0
arctg (x/a) |
arcctg (x/a) J
dx — ±. Im Lia
л fO |
2 ilnjxj*
C 1 f arctg (x/a) £ ( arctg (x/a)| jn x2
J x2 larcctg (x/a) J x (arcctg (x/a)J 2a x2+a2*
c _i j arctg 1 xv=_ 1 /A _l JLUarctg <x/a) I j- 1 .
J x3 larcctg (x/a)J 2 \x2 a2 / (arcctg (x/a)J 2ax*
1 j arctg (x/a) I
(x4-ft)a larcctg (x/a) J
а Г. x4-6 fl?—bx . xl
= ±--------1 in , —------------arctg — I
a24-62L r xs-|-a2 а(х4-6) a J
____*__M
2(x+») W
м Г aretg^+4dx=eln*l^t<+ 1 а1(2ф+2(9+±а2(я-2в)
Л cx-f-a coso z z
[tgqp=ad — be; tg0=ax + &]-
л
“ 2
Jln|x.'
&
1
X
266 ГЛАВА ПЕРВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [1 7 10.
1.7.10. Интегра лы вида С х₽ / агс^1 dx.
J (arcctg (x/a) J
Интегралы этого пункта выражаются через элементарные функции в сле-
дующих случаях [18]:
1) р, г —1, 2, 3, ... и — —
2) г=1, р—четное;
3) г=1, 2, р—нечетное, q——1, 0, 1, 2, ...;
4) р=0, 9=— 1-
Г т f я । f arctg (x/a) 1 ,
I xm (rf+a*)n { .s \ ' ' } dx=
J ' (arcctg (x/a) j
n
__ J arctg (x/a) \ fn\
~ (arcctg (x/a)J \&/ m4-2A4-l
Za2e-2fell /п\ P xm+2fr!l
m4-2A4-lWj 14-x2
fe —0
2. f x* 2® (x®4- a*) Iarctg (x/fl) 1 dx=x*”^ ( * + < J arctg \ T=
J ' ' larcctg (x/a) j \ 2m-|-3 2m 4-1; (arcctg (x/a)J
ax2®*2
(2m 4-2) (2m 4- 3)
(— 1)® V (— 1)* a2®’2**» Zm\ . _ . „.
(2m 4-1) (2m 4-3) 2t k \k)^^a^fc
k~ 1
_ (_ 1)Я1 a2m+3
4'(2m4-l)(2m4-3)
In (x24-a2).
3. C x2®+1 (x2 4- a2) / arctf Z?\l dx =
J (arcctg (x/a))
= J_ fa2*2"*2 . xam^* a2”-^ ] (arctg (x/a) | _
2 L «»+1 **"m-|-2 ’ (m4-1) (m4~2) J (arcctg (x/a)J b
m
_ ax?™*3 , a3 V n* a^x2»»-2^1
2(m4-2)(2m4-3) + 2(m4-l)(m4-2) Z 2m-2k+l 9
(x? 4* л2)я ( arctg (x/a) ] . _
Xя» (arcctg (x/a))
n ft
(arctg (x/a)] ’Y /n\ az/I“2Ax2fe^m+1 _ vi a2” 2fe+1 fn\ C x2k~m+1
‘ (arcctg(x/a)J jL \kj 2fe—m-f-1 4’ 2&—m-|- 1 \k) J x?4-a2
fc=0 fe=o
Если k=(m—1)/2, k=G, 1.........n, то соответствующие слагаемые в сум-
мах заменяются на О2Л-Я1+1 (^\ in — I ar^lg и ain~m+i (dx.
\kj a (arcctg (x/a)J \kj J x34-a2
к f J arrfS I Jr—
J (xM^)” (arcctg (x/a)J
___________xm-1_________( arctg (x/a) ] a C x®-1 dx ,
2 (n— 1) (Х24-Я2)*1 (arcctg (x/a) J “ 2(n—1) J (x®4-a2)» +
. m—1 С xm~a_ J arctg (x/a) | .
2 (n — I) J (x2 4- a2)n-1 (arcctg (x/a)) ‘
1 7.10 ]
1 7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
267
“ 1 { 3rctg 1 dx=
(л2+д2)я (arcctg (х/а))
_____________х______ J arctg (х/а) 1 _________1______________,
2 (я—1) а2 (х2 + д2)я-1 (arcctg (х/а)) ~~ 4 (л—I)2 а (j^-j-a2)®-1
2л —3 £ 1 (arctg (х/а) \
+ (2л - 2) a2 J р^+а2)»-1 larcctg (х/а) J
_ С 1 , х ,
7. I -7-5-1—arctg — ах=
J (х2-]-а2)я а
Ги— 1
х у (2а—2k—2)" (2а—3)’! х 1 (2л-3)4
-arctg а £ (2п—2)4 (2n—2k— 1)Н а2к (х2+а2)пк + 2а2”1 (2л—2)4
*-*=1 J
п—1
а V (2л —3)U (2а—2k—2)4 1
+ 2 L. (2а —2)" (2а—2k—1)4 (л—k) а2* (х2+д2)«-**
k— 1
Г х (arctg х1.
' (х24~а2)л larcctg xj
1
1 ( arctg (х/а) 'l Г (2л —3)4
2 (а — 1) I arcctg (x/a)J (2л—2)1! а2®-2
n—2
Ч- x . , у (2л—3) (2л —5)...(2n—2Jfe—1)/х2^-^*
“ 4(л— 1)2а (х2+ а2)я г 1+ jL (2л—4) (2л—6) ...(2л—2k—2) \ а2 )
*- k= 1
9 f x“ farctg I dx=
J x2+a2 (arcctg (х/а) j
= f f f dx
J (arcctg (x/a)J J x24-a2 larcctg(x/d)j
10 C / arCte (x/d) 1 .____________(— I)m a2*”-1 f arctg (x/a) ’I»
J X®4-a2 (arcctg (x/a)J ““ 2 (arcctg (x/a)J
( arctg (x/a) I у пт_й дам-^х2*"1 „
larcctg (х/а)) Zd ' ' 2k— 1
k=l
m
_ у (— 1)П»-*д2Я» 2Й+1 £ X2A1
Z 2ГТ1 J x^-l-a2
fc=i
11 f r2OT+1 ( arctg (x/a) | _
J 14~x2 (arcctg (x/а)j
m
s 1 ( arctg (х/а)1 у azm~zkxik __
2 (arcctg (x/а) f k
k=i
_± у (_ l)m-taw-U-l P f X fsrcterb-
2 k J a24-x2^' J a24-x2 (arcctgxj aX‘
12. C 1 J arctg l яч.= 4- X / arcts <x/a) V
J x24-a2 larcctg (x/a)J — 2a (arcctg (x/a)) *
268
ГЛАВА ПЕРВАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
У x2-^ a2 ( arctg (x/a)'
2a (arcctg (x/a)
x f arctg (x/g)).
x2 4- fl2 (arcctg (x/a))
_ i
-* 4
= 1 in fx24-a2)f arctg (x/a>U A f ln(*2 + a2) dx
2 larcctg (x/a)J 2 J x24~a2
. - i x2 f arctg (x/a)) .
15. 1 ———5- { Г ; , dx—
J x24-a2 (arcctg (x/a)}
arctg (x/a) ( a a ( arctg (x/a) (2
arcctg (x/a)f 2 I ' 2 (arcctg (x/a)j
x3 ( arctg (x/a) ( . __
x2 4- a2 (arcctg (x/a)J
= -v + l<xs+aa)
1 J arctg (x/a) \d
(x24-a2)2 (arcctg (x/a)j
n f О
8 (1п(х24~а2)
14.
х2
f arctg (x/a) l да Г x J arctg (x/a)
arcctg (x/a)f J x24~ a2 larcctg (x/a)
dx.
18.
— х J arctg (х/а)( t 1 J arctg (x/a) (3
2as (x2+a2) \arcctg (x/a)) ~ 4as (arcctg (x/a)J ~ 4a (x’4-a2)
Wdx-
-х
1
19.
f arctg (x/a) j2 . И x2 + a2 x /a 4- ix\ rta ( 0 )
“ (arcctg (x/a)J a 2a arc S a m ’a (“2a / "*” T (In (x24-a2)} *
(* 1 / arct8 (x/a) V 4- 1 / arctg (x/a)\r*x
J x2 4- a2 (arcctg (x/a)J — ~ (r 4-1) a (arcctg (x/a)J
f 1 / arctg -ь 1 in f arctg I
J *24-a2 (arcctg (x/a)J — a (arcctg (x/a )J*
f^=Prctg(x/fl)hx=
J У a2 — x2 (arcctg (x/a).
==— /a2’—x2
. . x ,/•= ( arctg [K2 x)(a2—x2)~1/2l(
4- a arcsin—ЬУ 2aJ r /- !«/»}•
a larcctg [p2x(a2 — x2) 1/2у
arctg x x arctg x
[a >6].
23.
x arctg x 1
= — ~ ..-j------------. In
b У ax- 4-6 2b p b—a
[b>a].
a
1.8. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Неопределенные интегралы от обратных гиперболических функций вычис-
ляются по формулам раздела 1.6 после следующих замен;
Arsh х — In (х4-рЛх2 4-1),
Archx= ±. In (х4-Улх2 — 1) [х>1].
1 8 обратные гиперболические ФУНКЦИИ 269
Arth x
Arcth Jr
Arsechx
Arcosech x
[1*1 <1].
[1*1 >1].
£*>о].
Г л а в а 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
2.1.1. П ре дв а р итель вые сведения.
В этой главе содержатся определенные интегралы от элементарных функ-
ций. Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования являются
переменными, в случаях, когда подынтегральная функция от них не зависит
(в частности, интегралы от иррациональных функций, сводящиеся к эллипти-
ческим интегралам), помещены в главе 1.
Указанные в формулах условия сходимости интегралов обеспечивают их
существование либо в обычном смысле, либо как несобственных интегралов,
либо в смысле главного значения [20].
В начале соответствующих разделов помещены интегралы общего вида,
зависящие от нескольких параметров и позволяющие получать более общие
результаты, чем содержащиеся в последующих пунктах. Эти интегралы выра-
жаются через функции Vj-, Vjt приведенные в приложении Ш; параметры,
входящие в них, указаны в каждой формуле в фигурных скобках.
В качестве примера вычислим интеграл
У а2—(fcx-f-c)
[а, Ь, с>0].
В силу формулы 2.2.2.5
_д а-2 ( V+4-V+
~ ъ \ vr
где y—cf(ab), г=2, р = 1/2, р=0. Пусть, например, (c^ab); тогда
а®-2
/=—Подставляя значения г, Р и р в параметры £f, и, а3, b3l с3, z
функции V7 н учитывая, что р — 2, q—l, получаем
V <- *)* г Г1/2> <а+А)/2’
1 —Zi Л!2 L 1, (14-а4-й)/2 -Г
Л=о
/1, А (2, 1+Л), А(1, (а+А)/2); (~вР\
Х^Ч_Д(2> Ц-А), Д(1, (14-а+Л)/2) J
_Кл Г а/2 ] / а . 14-а. Л_
“ 2У L(l + a)/2j2 Ч ’ 2* 2 ' * /
Кл Г(а-Н)/21 р Сб-H. ..I,
2у* L 1+а/2 Ja Ч * 2 * ‘ 2 /
2.1.2.}
2.1. ВВЕДЕНИЕ
271
Таким образом,
Р xP-^dx 1 z? Л « «4-1 а*Ьг\
J /а2—х2(6х+с) 2с L(l+a)/2j \ 2 2 с2/
э __
/яд“& г Г(а+1)/21 Л а+1 а с№ \
2с2 |_14-а/2]2 Ч ’ 2 ’’ 2 ’ с2 j
Гкез >0, а>0, larg-^-1 < я1.
Функции и Ур в формуле 2.2.2.5 аналитически продолжают друг
[! с I
— 1^:
с I
argyle л. Подставив, в частности, в эту формулу а=1 и
используя соотношения Г (1/2) == рЧг, Г (3/2) = Кл/2, 2Ч(а> &; 6; z)=(l—z)“®,
(3 \ z
1, 1; ; sin2 2)=^ г‘—, получим
f dx л Л \-*/2 1 f d№ \-V2 . db
J Va1—x2(6x4-c) 2c\ t? ) c\ & J c
[cm. 1.2.50.5].
2.1.2. Общие формулы.
Некоторые свойства определенного интеграла:
Ь а
а Ь
Ь с Ь
2. \f(x)dx==\f(x)dx+\f(x)dx.
а а с
Формула Ньютона—Лейбница:
ъ
3. J f (х) dx= F (х) ^=F(b)—F (a) [F' (*) =f U)1-
a
Интегрирование подстановкой:
ь 0
4.
a a
[a=g(a), »=g(fi), g(O, g'(0 непрерывны, «*(0^0 и a<x==g(i)<b при а</<0].
- Интегрирование по частям:
ь b
|5—S «wr
а а
Теоремы о среднем:
ь ь
в- (x)g(x)dx=f (%) J g(x)dx и непрерывна на [d. Ы. g(x)>0.
а а
272 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.1.2.
b f
7- $ f (*)g (х) dx=f (a)J g (x) dx [f>o, монотонна и не возрастает;
а а
Ь
8. (x)dx монотонна и не убывает.
b Sb
9- J f (х) g (х) dx=/ (а) J g (х) dx+f (b) \g(x)dx If монотонна; [а
а а 6
& Ъ
10. = Л$#(х)^хЧ-В\g(x)dx
a S
[А>:/(а + 0)» — 0), если f монотонно убывает; A(а 4-0)» B^ftb — 0). если f
монотонно возрастает, а Ь].
Дифференцирование интеграла по параметру:
ь ь
”• ф J/(ж-p>dx^'& ₽>ф+f Дм*. ₽)*•
а а
b b
12. § f IS. JJ У/(х)*=-/(а).
а а
Некоторые формулы замены переменной:
Ъ к d
Гг»и 6—а С tf , b—а \. Ь—а Г tfad—bc-{-(b—a)x\ .
14. 1 f (x)dx=—-j— 1 f —— x dx=-j---\ H------------—} dx.
J ' h J \ h / d—c J \ d—с I
a 0 c
b b
15. Jf (x)dx=Jf(a+Z>—x)dx.
a a
b co
. Cr/xj iCt^+И dx
16. j f (x)dx—(b fl) j^i+x)(l+xp-
a 0
a a
17. J f(x)dx=J(f(x)+f(— x)]dx=0 [H-*) = -Hx)L
—a 0
18. = 2 J f (x) dx V <—=f J*
о
a a \
19. f f (x) dx= f / (a—x) <**=-2 J (*) (a — dx-
о б 0J
2a a
20. p (x) dx=J [f (x) +f(2a —x)] </x=0 И (2a-x)= -f U)J.
0 0
2 1.2.J
2.1. ВВЕДЕНИЕ
273
л
21. =2$f(x)dx tf(2a-x)=f (r)J.
0
22 f f№)dx = f J 1—Уъ \________________dy
s И1”**) С1~ *a*2) J V - W/ K(1 —f) (1 —W) ’
b
23. Jf(x, Vx—at Yb—xjdx^
a
f|T ,4(»—a)s“ 2У'б—а» V»—a(l—s’) 18(6—a)y(l—y«) .
- J'L + U+V2? ' 1+»1 ’ l+JI2 J (1+0V
0
Я/2
24. =(6—a) $ /[»+(»—a) sin2q>, V^b—a sin tp, Fft—a cos tp] sin 2tp dtp.
0
00 r___________________
OS 1/ (b—a)y i/b—af dy
2». =(J_e) j , у —у i^J^jTj^r.
0
ft 00 , r~.
28. p(x.H^j(^)*=P-e)ffte.
a 0
27.
28.
29.
30.
a
ft ₽
Г f(x, Kx8 *—c2) dr= 4c §
t a
* 1 — Уа/(1 —P3)*
Va1 —c1
V
C ./ c
—c I / ------
J \costp
и
. \ sin <p .
[0<c^a<ft, cosa = c/a, cosv = c/b&
b
a
\ ft c0-^)\ fa
' J4i+^2’ 1+y2) a+^)a4r
a
[—e^a<b^c; a = a~*(c—Vc2 — a*)> P=ft~*(e—Vc*—ft*)J.
о
=c^f(csintp, ccostp)costpdxp
и
31.
co
f Z(xt r)
0
л^Л
[f (x, r)=ReF(z). z=r(cosx-f-isfrix)» F(z) аналитична при | 2г].
оо
32. С -^-dx=^[F (nr*) -F(0)]
j x- 4- a£ 2
[S(x, <)=ImF(2); см. 2.1.2.3Ц.
0
274
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.1.2.
oo
33. C«£i2Ldx=4[F(r)—F(0)]
J Л 4t
• 0
co
0
oo
35. J f(x)
0
oo
л/2
[см. 2.1.2,31].
[см. 2.1.2.31].
’ dx=2$ xf **•
36.
о
cosx:
[7(х + я) = ±Нх), Н-*) = /(*)].
37.
38.
0
f (0)-f (+oo)] ln-1
0
[p, <z>0; J(x) непрерывна на [0, oo), f {4-00)= lim f (x) —конечная величина'
x-*4-oo
= /(0)ln-£
со
р, Q > 0; f (х) непрерывна на [0, оо), н существует J х~Ч (х) dx, R> О
R
я/2
39. $ If(x)-/(2^]ctgxdx=f(0)in2
о
co co
40. f f(x)e“<fl*1+26x + tf>dx=4-e<fts-a<?)/a
[f(«-x)=-f(x)l
С 4ц
\Va al
6/lfa
[a>0J.
со
4L J
— co
со
f 'f V
—со
[a=l или /; а>0].
со
£
X
43.
О
со
c . _ 2 f xkf(x)
(2a)k J_Vx2—4ab
2 Vab
^=0- (2±l)/2 Fy-1/2
0
[fe=O или 1; а, 6>0].
со
О
[a, 6>0].
={^-1^} £ У'"'42 G2+3yra&iz+a&)e/G+2
[а, 6>0; б
2.1.2. J
2.1. ВВЕДЕНИЕ
275
45.
—) lnxdx=lna
х j
[a>0].
ОО 00
46. f —/f»+—arctgxdx—" f — ffx4~—^dx.
1 x \ 1 x ] b 4 J x ' \ 1 x /
о о
oo
48. f /(хр+дгр)7!^Лг=О.
•J ‘ 1” "
0
[a. P>0].
49. J xnf фхх —| J* j dx—
0
co
= wH(‘-)7?Ы) +
-l-OS’+^+y)" 6+j^gj)]*
tfbla ^x<coj |
50. J f^ax—J filfldg К *>4-
о о
. л ь _
a, 6>0; ax----~-i-y при
ОО GO
51. f x±2f flax—yj2)dx=|“I^ J
о о
в-g}],
о 0
[a, &>0].
co co
53. f ffax-^dx-Д f ftfdx
J \ X/ lal J
— oo —oo
54. J f(ashx-Hchx)shxdx=2e J f (sgnft/d2—a«dix) sh2xdx.
— oo 0
55.
— oo
276
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
60.
70.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.1.2.
Ъ b 4- 2лп
Jf(sinx, cosx)dr= J /(sinx, cosx)dx*
я а4-2лп
* Ь +(2/г + 1) л
= $ /(—sinx, —cosx) dr.
а+(2«+ 1)я
Ь + (л+ 1/2) л
J / ((— 1)л+1 cos х, (—1)” sin х) dx
a+(n+ 1/2) Л
(2/1+1) Я л/2
J /(sinx, cosx)dx= j /(sinx, —cosx) dr.
(2»+1/2)Я о
(2й + 3/2) я л/2
J /(sinx, cosx)dr== J /(—sinx, —cosx)dr.
(2/i+0 я 0
(2n + 2) Я л/2
$ /(sinx, cosx) dr— ( /(—sinX, cosx)dr.
(2/i+ 3/2) я 0
пл л/2
J x/(sin x)dx=nn2 j 7 (sin x) dx
о 0
Л/2
= лп(—I)®*1 j /(sinx)dx
0
[»=a ±i, ±2. -.j.
0(_X) = /(*)]•
[f(~X) = -/to].
Я/2 Л/2
/(sinx, cosx) dr= J /(cosx, sinx) dr,
о 0
я/2 Я/2
$ / (sin 2x) cos x dr = / (cos2 x) cos x dx.
о о
Л/2 я
f /(sin2x, cos2 x) dr I /(sin2x, cos2x) dr.
о 0
1 F ft У* 1 \ dy
~ 2 J ЧИ-У2’ 1+^/ i+y3’
— co
я/2 . . 1 \ j,,
(* . 1 C .f Vя * \ <*y
i / (sin2 x, cos1 x) cosa-2 x cos ax dx—I / i » l+-y2 j (1 —i0a *
0 — 00
2.1.2.] 2.1. ВВЕДЕНИЕ 277
я/2
• j № (®lJf cos х) 4- f (eix cos x)] dx—
о
Я Я
= 4- C (f (?ix cos x) 4- f (e~ix cos x)]dx= 4- f f (®tJf cos x) dx= nf
25 Z I Z I
0 — Я
[f z -j- 1\ Я
f I —J аналитична при | г I 1I.
\ A j _f
Я/2 Л
Г f (е>хcos х) 4~ f(e~ixcosx) . I C f (ecxcos x)+f(elXcosx) , ~
j a2cosax4*-&2sin*x 2 J a2cos2x4~62sin2x
о о
n
1 C f (eix cos x)dx __ n b \
= 2 ' a2cos2x-j-62 sin2x ab \a-j-b/
— л
fa, fr>0; /((x4- D/2) аналитична при [г j 1].
Л
73 f H«+**)+f(a4-<r‘*) 2л
73‘ J—E^2Z>cos x'4-62-------dx - T^ /(fl+Z,)
о
[|&J<1; f(z) аналитична в |x—a|^l].
74. f (I - 6 cos x) dx= Jt [f (a 4- b) +/ (a)]
J 1—26COSX4-&2 ' w \ • z I » x zJ
[| J|<1; f (z) аналитична в | z—a | 1].
•w C f(a4-e**)—f(a4-r-»*) .
75» t —- sin xdx=-r-Ff(a4-Z?)—/(a)l
J 1— 2bcosx-i~ba b u' 1 ' '4 71
о
[I b [ < 1; f(z) аналитична в |z—aj^lJ.
я я/2
76. p(sinx, cosx)dx — j [/(stax, cosx)4-f(sinx, —cosx)]dx.
о о
Л л/2
77. (sin x)4x== 2 j /<sin x) dx.
о 0
я л
78. J ft/l’ (cos x) sin2" xdx=(2/i —1)1! J f (cosx) cosnx dx.
о о
[Ib |> 1].
Я/2 я/2
80. /(sinx, cosx)dr = J [/(япх, cosx)4-/(—sinx, cosx)]dr.
— Я/2 0
278
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 1.2.
л/2 я/2
81. /(cosx) dr =2 /(cosx) dr.
— Л/2 О
2л л
82. J /(sinx, cosx)dx==^ (/(sinx, cosx) +/(— sinx, cosx)]dr.
о о
Я/2
83. = J (/(sinx, cosx)-f-/(sin x, —cosx)-]-
o
4-/(—sinx, cosx)+/(—sinx, —cosx)]dr.
2Я 2л
84. f (a sin x+& cos x) dx = J / sin x) dx,
о о
n
85. = 2 J / cofcx) dx,
0
co Я/2
88. f
’ x - J sin x
о 0
f (sin x)
SU12X
dx
lf(-x)=f(x)].
co Л/2
л_ f f (sin x) . f / (sin x) , .
88. 1 —------ cos x dr= I ^=——- cos2 x dx
J x J sinx
о о
tf(-X) = -/(v)J.
co Я/2
89. f /(sfa x) tg x dr = f j (sin xj
J X j
о 0
tf(-x)=f(x)].
со Л/2
f /(sinx) ,sh2z r /(sinx) .
J x2-^2 2г j ch2z—cos2x
о 0
ff(-X)=f(x)l.
co co
f f (COSJC) C / (cos x) cosX dr
J X24-Z2 2 J ch2 z—cos2x
о о
If(— x) = -/(x)l.
со Я/2 „
C xf (sinx)cos»X , J 1 ) f /(sinx)sinxcos26 x
s2- J “ \ch z/ j sh2 z + sin2 x
о о
p(-x)=-/(r); « = {$}].
Ь b
93. J/(*)[&(х)]х1пл£(х)(1г=(^ J /(z)[g(x)]xdx.
a о
222]
2 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
279
Ь Ь
94. J f (х) ln"£(x) dx=(^n J f(x) [g(x)]^dx
a a
h b
95. J f (x) In"xdx==(^n J x?f (x)dx |x_o.
a a
I 1/2
96. f (x) In (sin nx)dx=(l-^a) f (x) In (sin ях) dx
о о
[f(l-x)=afWb
2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.2.1. Введение.
Интегралы от стеленной и алгебраических функций представляют собой
широкий класс интегралов, к которым с помощью замен переменных сво-
дятся многие интегралы, содержащие различные элементарные и специальные
функции.
2.2.2. Интегралы общего вида.
В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить инте-
гралы, содержащие степенную и алгебраические функции Некоторые частные
случаи этих интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих
в них параметров, приведены в последующих пунктах. Интегралы общего
вида представляются с помощью функций Vp, Vj, / = 1, 2, 3.помещен-
ных в приложении III. Конкретные значения параметров, входящих в эти
функции, приводятся в фигурных скобках после каждого интеграла. Значения
интегралов этого пункта при | у 1 = 1 получаются предельным переходом при
Кроме того, r=p/q, где р и q—взаимно простые натуральные числа,
если не указаны другие условия.
Ш1П(1, у) v+
1. j х*-»(1 -хОР-1 bSV'11
О 1
1 F-—±гГР’ <a+A)/r 1
1 L0—Ь Y+п+оГ 1 т L3+(«+*)/<» Y—АГ
s~rf4-a-by—l, a=y—h— 1, a1=rj^-a, &i=I —0+/,
c1=Y4-r/4-a, a3=l~y-f-A, A3 = (a-hA)/r, c3=p-b(a-f-A)/r, 2=yP}
[Rea>0 и Rev>0 (при или Re|3>0 (при У>1), или Re (04--у) >1
(при у~ 1)].
[У>Ц
1Г ГР. Y. 1 —а—у)1
г Ц+г^Щ-А—а—у), у—A J*
гГР. Т. 1—у—аЧ-г(1—0-Г-/)1
Ь-j, 1-a+r (1-0+/) ]’
t=h, » = у4-а—1— г (1 — 0+/), аа==1—у+А, Аа=1 —P+^il—у—а-]-А),
с2=14-г 1(1— у—a-j-A), а4=1—у—a4-r(l —0+j), A4=l—0-Н,
с4=1-а + г(1~0-|-/), г=уР}
[Re(a-J- v4-r]J) <1 + г я Re£>0 (при 0<хг<1), или Re?>0 (при^>1),
или Re (f$ Ч- V) > 1 (при у= 1)].
280
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.2 2.
1
3. jcr)»1(x-y)v idx=V+ + V+
у
/г+-гГ&’ i—Y-a-nl F+—Jr ГР, Т> '"Чт+а—J—А) 1
1 1- 1Р-/, 1-а-г/ J’ *3~ г [0-г-1(1-7-а+л)’ У“ЛГ
s=r/+a+v—1, t=h, aJ=a+r/> &!=!—Р-|-/, с1=у+аЧ-г/,
0^=1— y+ft, &2 = 1—РЧ-г^О—у—а+Л), с2=1+'’"1(1—?—a+ft)» г=!/р}
[O<0<1; Rep. Rev>0J-
У
4. J x*1 (хГ— 1)P 1 (y-x)V i dx= Vr + V7
1
fp__J г ГР. У. 1— 3 — (a-f-ft)ZH p_ гГЗ. У. a—r(l— P + /) 1
11 " г 11-(а+Л)/г, у—ft J’ c* IP—/, y+a-Ml-P+ЛГ
«=у—ft— 1, v=y+a—r(!—£+/) —1, a3=l— y-f-ft, 63=(a+ft)/r
aj=P + (a+ft)/r, a4=l—a—y4-r(l—p+j), ft4=l—P+f,
C4=l— a-J-r(l — p-H), 2 = tfP} [y>l; Rep, Rey>0J.
5. Jx® 1(y+x)P~1dx=
о
[№<!]»
p, г/4-а, 1—p—a—r/1 +__Ip rp, r-i(ct4-P—Л—О, 1—P4
1~P, Р-/ Г г“ г [l-р, р+г-1(а+р_А-1)
1 г П*’ (a+A>/r« 1-Р+А1 rf_L„in 1
£1 г Ь-Р, P + (a+*)/r J’ s=r/+a+P“i>
aa=l—p+ft, bg=(a+^/rt C3=P+(a+ft)/r, z=~(— y)P}
[|arg^j<n; Rea, Rep>0].
6. f x«-1(l+x^-1(ff+x)P'1dx=/?C»j'v?
J И1+И»
и». >ij
{е+=г ; “
* [[-a, i—p
+_ Jr[(a+P—Л—l)/r, 1—(T+r-^l—a—p+ft), 1—p-f-ft
* r [1— or, 1—p
_ 1 r|(a+ft)/r, 1—a—(a+ft)/r, 1— p+M
£1 r [1— a, 1— p ]’
F__rp— °+7. a—r(l—ff+7), 1—p—a+r(l—а4-/)1
s~ U-e, 1-P J’
s=r/4-a+p—1, t—h, u=p — l—h, p=p4-a — 1— r (1— ст+7).
ai=r/4-a, ftj=l—стЧ~/, Q=p-|-a+r/, йз=1-p-j-ft,
ft3=l— tf4-r-1(l+ft—a—p), cz — 1 Ч-f1 (14-ft—a—p), Оз=1— p-f-ft,
^з=(а+Л)Л. c3=CT4-(a+ft)/r, a4=l—p —a+r(l—o+/), 64=1— o+j,
с4=1-а+г(1-ст-Н). z-(— l)^yP\
[|argy|<n; Rea>0; Re(a4-orr4-p)<I 4-r].
2.2 2] 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 281
1 _fvt+v* io<»ca
у~ х fo>l]
О
{Bt=nctg[(a+rflnjr[p₽ J, £+=----ув(р,
s=r/4-a—1, /=Л, и=~h— 1, <^=1 — Р+ь Оз=1—₽+(1+Л—a)/r,
&2=1 + (1+л~a)/f> «з=(<х+/О/г» &з=Р+(а+Л)/г, 2=ур}
[Кеа>0и Re£>0 (при уф 1), или Re0>l (при у= 1)].
8. f л®"1 (1 -ЬхТ»-1 t v-
J ' r y—x IVl+V*
О
Ю<Р< И.
[»> 1J
{£+=®ctg[(r/+a)«jrp
i-p+!+*^\ Яг«1в(5±*, 1-P-5±*V
Ет= л ctg [(a — г+ф) л] Г J1“P+'j,
s=ct-%-rj—1, t=h, u——h—1, v = a—1—r(l—p),
, , . t 1— а+Л t . 1—a-|-ft a4-ft
«1=1—P+h «2=1—РЧ------7^—» *2=14-----7^—, «3=—
^=p+E±*t a4=i-p+j, z=(—I)qyp}
[p>ft Rea>0; Re (a + rp) < 1 + rj.
co
9. f xa-i —,—--------=
J (1-х')(У-х)
о
[0<P < a
[p> 1]. [0<Rea< 14-r].
1
io. J
0 15
{£+—___2а+2а+2каГ Г^* 1г4“а» 1 о—2a 2/rl
’ LP—Ь 1—ст—a—/> j*
[ Ivl < О.
282
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 2.2.
Е-+ ° т>/« <т4“2а—2Л\ГГЛ—а/2, 1/2—ft!
2г Кл \ 2г / |_1 — a/2—h j
+ a a-4-2a—2ft—1\ г( (1—a)/24-ft, -1/2-Al
1 2г /л V 2г ) [(1~<0/2-Л Г
*Г=-у2^*в(₽. ^)г’=«/2+“+^.
t=h, ti=\}2+ht и=а/2—h, a^jr-f-a, 6l=a4-/r4~a»
q=l-Hb dx=14-d/24-jr+a, ^=(1+a)/24-jr4-a,
a^—h.—a/2, —o/2-}~ht c2= 1 — 3 + (2A—2a—a)/(2r), Aj=l/24-A,
e2=14-(2ft-2a-a)/(2r), аз=(1-о)/24-А, 63=(14-а)/2+й,
c^ = 1 —34-(2fc—2a—ff4-l)/(2r), d3=3/24-A, e3= 14~(2ft —2a—a-j-l)/(2r),
a^=h~a/2, &4 = (1 —a)/24~A, c4 = (a+^)/r, d4=l—a4-A,
e4 = P + (a4-ft)/r> Z=(— y)P} [|arg4F[<ji; Rea, Refr>Oj.
Л1.
о
{£+=—2-2в-»КаГ
3, 2a4-2/r, —a/2—a — jr
3—j, 1—a/2+a+/r
a+2a—2ft\ p [2ft—a 1
2r Г [1— a-J-ft]*
a4-ft\ Г 11/2— ft, A—a/2"|
t J [1— a/2—ft j
2a+2ft-H\r
2r /
— l/2—h, (1—a)/24-ft
_(1—a)/2-A
s==a/24-a-f-/G t=h, u=el2—h, «i —(a —1)/2—ft, a^jr-|-a,
frx= 1/2-f-jf-j-a, cx=l—34-/» 14*a/2-)-//-j~a, ex—1—a/2-j-f/’4_a,
03=*—a/2, ft2=(l— а)/24-й, c2= 1 — 34-(2ft—2a—a)/(2r), ^=1—04-*,
e2=14-(2ft—2a—a)/(2r), a4=ft—a/2, ft4=a/2-bft,
c4==(a4-ft)/f, <f4=l/24-ft, e4—p4-(a4-ft)/r, ag==(l4_(y)/24“ft,
ftB=(l-a)/24-ft, c6=(2a4-2ft4-l)/(2r), 4=-3/24-A,
e»==P4“(2a4“2ft4“ l)/(2f)> Z=(—[| argff[ <л, Rea, RepXJ].
co
12. f
J I » 5 “Г» 7
0
[|0l< 1L
[Ii4> П
{££= _2<»+2а+2#аГ
1— Р4-/, /г4-а» —2/r—2a—a
1—p, 1—a —a—jr
о „ /о-J-2a—2ft t a-|-2a—2h\ „ f ft—a/2, 1/2—ft"!
2rY л \ 2r 2r / [1—a/2—ft J
a „/а—14-2a—2ft 1 л a —14-2a—2ft\ x
--~~ f.— D | , 1 P ————— J X
2гУя V 2r 2r j
-1/2-ft
[(]_<j)/2—ft
r \r r / H—<*4-ftj
t
2.2.2] 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 283
£—___20f+sa-2rtl~₽+./’(rr Р / 0> 2г (1 р+/) 2a о]
7 Ll—Р. 1—a—a+r(l+j—р) J*
s=o/2+a+/r, t=h, 4=1/2+*, u=a/2—ft, u=a/2+a — r (I— p+j),
Ot=a4-/r, 61=a+a+/r, fi=l—p + j, 4=l+o/2+a+jr,
ei=0 + <0/2+a4-Jr> a2=A—a/2, &2=a/24-ft, c2= 1 — p+(2ft —a—2a)/(2r),
4=1/2+*, e2= 1+ (2ft —a—2a)/(2r), 03 = (1 —o)/2+*, 63=(1+o)/2+*.
^=1 —p + (2ft—a—2a+ l)/(2r), 4=3/2+*, e3= 1 + (2*—a-2a + l)/(2r),
a4=*—a/2, *4 = (1—a)/2+*, Q = (a+*)/r, d4= !—<*+*,
e4=P+(«+ft)/G at=r(l— P+/)—a—a/2, b6= r(l — p+j) — a+(l — a)/2,
Й=1“P+/> 4=1 — a+r(l— p+j), e6=l—a—a+r (1—p+/),
z= (—Ilargylcn; RecOO; Re (a-J-pr+ o/2)<r].
oo
,3’ f
0
№<У <1].
,<Тл
-dx—
{£+=(^1уН2®«“+’^а;1Г [“+^2.^2/>]’
ft—a/2, 1/2—ft]
l-a/2-ft ]’
(1- a)/2+ft, —1/2-ft
(1—o)/2—ft
\pT2ft — a ]
я Г к _ . , ,
2ft—2a—a \ _
--------“Г
'2ft—2a—a+1 i-,
2r
Ei=— — 2“-»*ctg
2r
Е,—{—l)/jl оя^+за-зг <i+/’Г Г ° 2“ * Г<1+/П»
—<*—a+'0 + /) J
s=a/2+a+/r, t=h, ti=l/2-f-h, и—а/2—h, u=a/2-l-a—r(l-l-j)r
al=a-^-jr, &!=a+a+jr, ^=1+/, ^=1+a/2+a+/r,
e1==(l+a)/2 + a+/r, <%=ft—a/2, 62=a/2+ft, ca=l + (2ft—2a—a)/(2r),
d2— 1/2+ft, e3=Gj, Оз = (1—a)/2+ft, 6з = (1 +a)/2+ft,
c3=l+(2ft—2a—a+l)/(2r), 4=3/2+*, e3=c3, a4=ft—a/2,64 = (1 — a)/2+ft,
c4=(a+ft)/r, d4=l—°+^» e4=c4, ae=/'(l + /) —a—<r/2,
e6= 1 —a—a+r (1 + j), m=2p или 2р-^1, z=(—y)p}
(if, Re a > 0, Re (x + a/2) < r).
и f y- Vt+Vj+Vt.
' ) (l+/l+*)v I Vj+Vf+V?.
IlyKH.
a+a/2, T-<J"-2al2aa^
{£+= — 2^+3“^ аГ a 2a
1 8 [1—a—a
£+_y+2a^-iWr[a+(a-1)/2’ l+Y-o-2a|
Et0-^ vol [1+Y_a+(1_a)/2 J>
E-=2a-Y+aa?Г2a|, £-= — га+жх-уCTr Г“~^/2,
8 1 U+v—a J Li—a—®+?/2 J
> 1>ai [з/2_а_о+т/2 J>
s1=a+a/2, «3=0, s3= 1/2, % = a+(a—y)/2, ss=a+(a—y—1)/2,
284
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 2 2.
%=о/2, at=a, bt = o-^a, Ci=y/2, d1=(l+y)/2, ег= 1 +п/24-а,
fi=(l+<0/2+а, £1=1+т, аа= —^/2, 62 = о/2, са=(у—ст)/2 —а,
=(I + у—а)/2—а, е2 = 1/2, /а = 1 + У—® —о/2, g2 = 1—а—о/2, я3 = (1 — о)/2,
*з=(1 +<0/2, <^ = (1+у—ff)/2—а, 4з= 1+(y —а)/2 —а, е3 = 3/2,
/З = (3 —<j)/2 —а-f-y, g3=(3 —<0/2 —а, а5 = (у—а)/2 —а, Ь& = (1 +у —а)/2—а,
с5=т/2, <4=—т/2, е5—1—а+у/2, /5 = 1 — а —а+у/2, g6=l/2,
e6 = (l+v—<0/2—а, *6=1— а+(?~<0/2, с6=(1+т)/2, d6=(l—у)/2,
ев=(34-т)/2—а, /6=(3+у)/2 — о—a, g6=3/2, а7 = — о/2, b7=(l—о)/2,
с7=а, d^a—у, е7=1 — а, /7=1+а—у/2, g7=(l — у)/2-|-а, z=y}
[!arg/H<rc, Rea>0, Re (2a + о—у)<0].
15 f (Ку+Уу+хГ rfr_ f Vt+Vf+Vf.+Vft
J (kx+Ki+S)’ I Vr+Hf
№!<»].
a +1/2
{Е|=-2-»«оГ [“• а ^l, Е, Г® + „ ’’
L1—g—оь j L*/*—&—
Е+=2 аа*а тлГ |2а + ст, (? о)/2 al
*10 2 1 L1+а+(?+<т)/2 J’
р+__21 s®-®-чпГ [2а+<т 1, (у <т+1)/2 а|
11 * [(1+?+<0/2+а ]’
£7=— 2°+2a~2V аГ Г®—у/2’ т—°2а1,
L1— о—а+у/2 J
2а, у/2—al
Е»
«i=a + a/2, Sa=a + (a+l)/2, ^ = 0, s4—1/2, s5 = (—y+a)/2-}-a, ^=0/2,
а2 —a, *x = tf4-a, q = — y/2, d1=y/2, е1=1 + а/2 + а, /1==(1 -j-a)/2+a,
gi=l/2, Oa=a+l/2, *2 = a+a+l/2, ca —(1—y)/2, da = (l+v)/2,
ea=(3+<0/2+a, /2= 1+<y/2+a, ^=3/2, a3=—o/2, *3=a/2, c3= (y— o)/2—a,
<4= —(Т + ^УЗ—a, e3=l/2, f3= 1 —a—ct/2, g3 = (l —<0/2—a, a4=(l—ff)/2,
*4=(l+<0/2, e4=(l+?—a)/2—a, d4=(l—?—a)/2—a, e4-=3/2,
f4=(3—a)/2—a, g4=l— 0/2 — a, <% = (? —o)/2—a, *5=(l+v—<0/2—a,
с&=у/2, 4в=(1 + т)/2, еь=1+т/2 — а, /6=1 — о—a+y/2, £6=1-|-у,
«в= — о/2, *6=(1—<0/2, г6=а, de=a4-l/2, ee=l—a, fe= 1 -|-а—у/2,
gifi= 1+<х+?/2, Z— — у} [|arg£f|<«; Rea>0; Re (2а+ «•—?)>0].
(Т^у+Ку+х)"
/у+х
16. I
о
УГ
{£+_ 20+2СС+2/7Р ГР» a+/r* 1 <г 2а 2jr
* IK 1 1 —— л' 1
F=_Lb!B g+2a-2/t-l\r[(l-p)/2+ft, 1/2—ЛП
8 rV л \ 2г / (1 — а)/2— h Г
£+=_1_в/о <г+2а-2*-2\ г Г1-р/2+ft, - 1/2-Й1
7 г/л ’ 2r ) —о/2—h ]
Ег=£-^ъ(л, 2±*')г[[-”+“1,5=(а-1)/2+а+/г, t=h,
ft—Л+1/2, и = (а—1)/2— h, c^—a+jr, *1=o+a+fr, Ci=l — Р+/,
22 2} 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 285
<4=(1+о)/2+«+/г, ел = о/2+а + /г, a2 = (l —o)/2+ft, 62 = (1 + a)/2+ft,
г2=1 — Р + (1—о —2a+2ft)/(2r), d2=l/24-A, е2= l+(l-o-2a+2ft)/(2r),
a^l-W+h, ba=l+G/2+h, с^ = 1 — Р + (2 —ст—2a+2ft)/(2r), d3=3/2+h,
е3= 1 + (2 — a—2a+2h)/(2r), а4=(1—a)/2+h, b4= 1 — ст/2 + ft,
с4=(а+*)/г, d4=l—о+Л, e4=p+(a4-h)/r, г=(—у)г>\
[|argy|<n, Rea, RefJ>0].
f (1 ^X+]^±^
J
[|y1 <11.
[ ly ^1]
2#гГР, 2a+2 * *^7’ (1—o)/2—а—/V
LP~ /. (1— <r)/2-ba-Hr
ст+2а—2Л—1\„ Г1—o+2ftl
2r j [ 1—o+ftj*
a+h\ г 11/2-ft, (1 -G)/2+h~
r ) 1(1— a)/2- h
1 в Л 2а+2^+П r Г— Ш-h, 1 -о/24-Л
’ гУ л \ 2г / L—®/2—h
s=(o— l)/2+a+jr, t=h, а = (ст—1)/2—Л, u4 = a/2— 1— h, a4=a+jr,
b1=l/24-a+jr, <?!=!— Р+/, <4=(1 — a)/2 + a+jr, e^fl+aW+a+jr,
a2=(l— o)/2+h, 62=1-а/2+h, c2= I —p + (l —o —2a+2ft)/(2r),
<4=l-o+ft, e2= 1+ (1 — o—2a+2ft)/(2r), a4 = (l-o)/24-A, 64=(1+ст)/2+й,
c4=(a+ft)/r, d4=l/2+*, e4=p+(a+ft)/r, a6== 1 — о/2+h,
ft5= 14-0/24-/1, cs=(2a+2h+ l)/(2r), <4=3/2+*,
₽5=P + (2a+2A+l)/(2r), z = (— [largyJCJC; Rea, Rep>0J.
(Уу+Уу+^)°^_( vt+vt+vt
Уу+х l У?+*7
[ Iffldl.
[|у|>11
j£+—2а+2а+2/гГ 1 d 2a 2/r, a+/H
1 s * 11— P, 1— a—a— jr J*
E-+ 1 „/o+2a—2h— 1 . o+2a—2ft —1\
£ и-тГТ— I "" > i P ——————— j x
2r
Г(1-о)/2+Л, 1/2-h
l(l-o)/2-ft
1 _ /o+2a—2ft—2 , o+2a—2ft—2\
гУ n \ 2r 2г/
vr Fl-o/2+Л, — 1/2—ft
X L — о/2-А
2ft p_ o+2/t]D fa+h , л a+ft\
E‘=— Г[1-а+Л lBl~’ ₽-------------
£-_21ж«-2r1l-)нлгГ1~'>+/ “-> <»-₽+/)• l-«+2r(l-₽+fl-2al
7” Ll-P. 1-<т-а+г(1-р+/) J’
s=(o—l)/2+a+/r, t=h, t^l/2+h, u = (a—l)/2—h,
v=(a— l)/2+a—r(l— p+/), a^a+jr, b4=a+«+/>, сх=1-р + /,
d1=(l + o)/2+a+/r, e1=o/2+a+/r, 02=(l—o)/2+ft, 62=o+(l —a)/2+ft,
286
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.2 2.
са=1-р4-(1 —ст—2a + 2/i)/(2r), d2=l/2-f-ft, е2= 1+(1 — о—2а4-2й)/(2г),
03=1—ст/2+ft, &3 = 1 + ст/2+Л, с3=1—р + (2—ст—2а + 2Л)/(2г), ^=3/2
е&=1 + (2—ст—2a4~2ft)/(2r), о4=(1—CT)/2-J-ft, 64=1 —ст/2Ч-6, с4=(а4-Л)/г,
d4=H—CT-|-/i, е4=р + (а-|-Л)/г, ав = (1—ст)/2 —а4-г(1—р-|-/),
fr6= 1-0/2—«+г (1—р+/), Св=1—р+/, de=l— а-f-г (1— р+/),
ев=1—ст—а-f-r (1—p-f-/), z=(—IX1*
[Iarg/r|<«; Rea>0; Re(2a-j-2rp-J-ff—1)<г].
1». f ха-t dx=f
J (1— хг)Ку+х I
vt+n+n-
^+V7
{£+=/___jW/f 2<r+Mt+2r/r P ° 2a 2^* a+r/
1 ' 11 — ст—a—ri
Et
я , /1—ст—2a-f-2A \p I (1— ст)/2-|-Я, 1/2—Al
7“ctg\ 2r / [(1—ст)/2—А I
F+„ 'Crt .a /2-ст-2а+2А \ П-ст/24-А, - 1/2—ft
£’----Г Clg I-----2?----- “ Г - 0/2—Л
E7=y2»-»»ctg^5±^
П— a+241
"Jrfl-a+ft J-
(_1VW/I 2®+2а-2та+/)гГ^ ° 2a-|-2r(1-f-/), а г(14-/Я
7 I V [1— a—a-f-r(l-H) J*
s=(ct— l)/24-a-f-/r, 4=ft-H/2, u=(ct—l)/2—A,
»=(o— l)/24-a—Oi=^a^-/rt b^o+a+fr, c^l-f-/,
<*1=(1+<*)/2-Ьа4-г/, ^^ст/24-a-f-r/, ajj=(l— a)/2-j-h,
^a=(o-f-l)/2-f-ft, 63=^2— l-[-(l—ст—2a-|-2/i)/(2T), d2=l/2-f-A,
вз=1—ст/24-Л, Z>3=l-|-CT/2-hh, c3=e3 = l-|-(2—ст-2а4-2Л)/(2г),
ds=3/2-|-ft, a4=(l— CT)/2-f-ft, 64=1—ct/24-/i, c4=e4=(a4-6)/r,
d4=l-CT4-ft, а«=(1 -ст)/2-a4-r(l4-Д 6в=1-ст/2-а-{-г<14-/),
ce==14'/» rfe=l—аЧ-^ОЧ-/)» ee=l—о—p&4"r(14"/)> z=(—y)p}
11 arg^ I <.JU 0 < Rea <7- 4- (1 — Re o)/2J.
20 f л<х-1 —УуЧ-РУм)° д / ПЧ-ПЧ-FJb
* п' (1Ч-Кьн)¥/у+х 1П4-П4-уГв
ll^KU.
[|у|>Ц
{Et=2ff+»x-¥B(a, 1 —ст—2а),
Я?о=2^^Тстг[“+5/2 а~2а1
«-^Ч-?—®—о/л J
£-_2ст>2а-ТтгГ“’ У~2“1, £7=2®+2а“¥в(а-^, 1+т-о-2а
р- 22а+о_¥_1 -»Г fa (v4-l)/2, 2—2а-|-Т—ст!
10 L1-®-оЧ-(тЧ-1)/2 ]’
St=(o—1)/2Ч-а, %=0, «3=1/2, ss=(o—1)/2, se = (ff—у— 1)/2Ч-а(
«7 = (ст—у)/2Ч-а—1, в!=а, 64=04-®, Q=?/2, <4=(1+?)/2»
et=(14-CT)/2-f-a, /х=ст/2Ч-а, £1—14-?, (%—(1—ст)/2,
2.2 2.J
2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ьа=(1+а)/2, ег=(1— а+у)/2—a, d2=l+(y —о)/2—а, «2=1/2,
/2 = (3 — а)/2 —а+у, g2 = (3—а)/2 —а, Оз=1-а/2, 63=1+а/2,
с3=1+(у~ <0/2 —а, ^=(3+у—а)/2—а, е3=3/2, /3 = 2+у—а —а/2,
§з=2 —а —а/2, <% = (1—а)/2, 1—а/2, <%=а, rf5=a—у, е5=1—а,
Д=1+а—у/2, §5=(1— у)/2+а, <%=(!— а+у)/2—а, 66=1+(у—<0/2—а,
с«=у/2, de=—у/2, е6=1+у/2—a, /«=1—а—а+у/2, §в=1/2,
Ду=1 + (у —а)/2—а, 67 = (3+у—а)/2 — а, с7 = (1+у)/2, d7 = (l—у)/2,
*7=(34-Y)/2—о—а, /, = (3+у)/2—а, §7 = 3/2, z=y}
[iargjf|<«; Rea>0; Re(2a-J-a—у —
2i [х«-> л_f n+vs-+F+.+n
J (Ki+Kl-hO’Vy-t-x Ivj+Vj
пккц.
{E£=2*+aaB(a, I—a—2a), E|=—2°+2a+1 yB[a+^, —a
2510 2 Y [а+(у+а+1)/2 J’
₽+__да a**2a уоГ Г2а+а 2» (“V °)/2+l «Л
Y01 L(Y+a)/2+a J’
£-=2a+2a-2YB (a—y/2, 1 — a—2a+y),
Sj = (a—l)/2+a, $2=a/2 + a, %=0, s4=l/2, s5 = (a —1)/2,
sb=(a—1—y)/2+a, ax=a, 6t=a+a, c1==y/2, <4 = —y/2, ^=(1+a)/2+a,
/х=а/2+а, g1=^l/2, <^=a+l/2, Z>2=a+a+l/2, c2 = (l — y)/2,
^=“(7+0/2, e2=l + o/2+a, /2=(<*+1)/2+а, §3 = 3/2, a3=(I — a)/2,
&з=(!+<г)/2, c3=(l—a+y)/2—a, rf3 = (l— a—y)/2—a, e3=l/2,
/з=(3 — <*)/2—a, g3=l—®/2—a, a4=l—a/2, 64=l + a/2,
c4=l +(y—a)/2—a, d4=l—(y+a)/2 —a, e4=3/2, f4=2 —a/2—a,
§4 = (3—a)/2—a, «5=^(1—a)/2, 65 = 1— a/2, c& = a, d5=a+l/2,
e5=l+y/2+a, /5=1—у/2+а, g5=l— a, Oe=(l—a+y)/2—a,
&6=1 — (a—y)/2—a, c6=y/2, de=(y+l)/2, «e=I+y, /«=1+7/2—a,
§3=1— a — a+y/2, Z=y} f|argi/|<n; Rea>ft Re(2x4-a—v-l)<0].
22 f x— y+VyA^°dx _ f П+П+П,
*J (i+Ki+x)v/(i+*)(H-x) lvr+^+v?e
[IkKU.
[|у[> П
{Е|=2«+2а-чВ(а, 1 —a—2a), Е+=2»+а-у-4В (a+(a—1)/2, 2 + y—2a—a),
£+=2-2-Y+ff+aaaB(a+a/2—I, 3+y—2a—a), Es=2a+2a YB(a, 1+y—2a),
E-=2ff+2“-T-1 В (a—(y+1 )/2, 2—a—2a+y),
ЕГо = — 2° ^~Y-2 yB (a — y/2 — 1, 3+у—a—2a),
si=(a—l)/2+a, s2=0, %= 1/2, s5=(a—1)/2, s6=a + (a—y)/2 —1,
s7=a+(a—y — 3)/2, ax=a, &i=a+a, ех=(1+у)/2, di=l+y/2,
ei=(l+<r)/2+a, /i=a/2+a, §i=l+y, 02=(l— a)/2> ^2=(1 + ^)/2»
c2= 1 +(y-a)/2-a, d2=(3+y—a)/2—а, «2=1/2, /2=(3-a)/2-a,
§2=(3~o)/2+y—a, 03^1—0/2, 63=l+a/2, c3=(3+y—a)/2—a,
4з=2+(у—a)/2—a, ^=3/2, f3=2—a/2—a, §3=2+y—a/2—a,
288 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.2.2.
о)/2, 6Б=1 —<г/2, *6=а, 4=а—у, а, /6=(1—у)/24-а,
g6=a—у/2, ав=14-(у—о)/2—а, 6«=(3-|-у—а)/2—а, св=(1+у)/2,
rfe=(l-y)/2, *6=(34-у)/2-а-а, /в=1/2, &=(3+у)/2-а,
а7 = (3—а-Ьу)/2—a, fr7 = 2+(y—о)/2—а, c7 = l-f-y/2, d7=l—у/2,
е7=2 — о — а-Ьу/2, /7=3/2, g7 = 24-y/2—a, z —у)
[|argjf|<«; Rea>0; Re (2a-f.а—у)< 1].
23. f x«l (Уу+Уу+х)а dx ( Vt+^+^lb+Vik
J (Kx+K*+x)V/(l+*)te+x) t
{E^=2®+»»B(a, 1 —ff—2a), E+= —2°+2“+1 yB (a-J-1/2, —a—2a),
£+=22-®-»»В (a-J-2a — 1, 1 — a-J-fr—a)/2),
£1\=23-2«^oB(2a4-<y—2, (34-y—a)/2 —a), £7=2®-2“+1B(2a, (l+y)/2—a),
E7=22“+®-2^-iB(a—(Y-hl)/2, 2+y—a—2a),
Si = (o—l)/24-a, s2 = a/24-a, s3=0, s4=l/2, % = (a—1)/2,
Se=a4-(a —y)/2 —1, a^a, &1=a4-a, Ci=(1+y)/2, di=(l—y)/2,
ei=(l-ba)/2-|-a» /i=o72-f-a, gi=I/2, a2 = a-|~l/2, b2 = a-|-a-|-1/2,
c2=1+t/2, d2=l-y/2, ^=14-<r/2+a, f2=(a + l)/2 + a. &=3/2,
o3=(l—a)/2i 63=(14-a)/2, cs~ 1-Hy — a)/2 — a, d3=l — (y4-a)/2—a,
e3==I/2, f8—(3—a)/2—a, g8=l —a/2—a, a4=l—a/2, Z>4=14~a/2,
*4=(34-y—o)/2—a, d4=(3—у—a)/2—a, e4—3/2, f4=2—a/2—a,
£*=(3—a)/2—a, Os=:(l—a)/2, b^—1— a/2, сБ=а, d6=a-f-l/2,
e5=I—a, f6=r(l—y)/2-f-a, й=?=(1 +?)/24-a, «6= 1+(y—a)/2—a,
*e = (34-y—a)/2—a, ce=(l-hy)/2, de=l+?/2, ee=(3+y)/2—a,
fe=(3+T)/2—a—a, gs=l+v, z^y}
[|argjr|<«; Re (2a + <y—?)<1; Rea>0].
24 rf,_j Vil+Vli ШКП.
J |0a4-2xycosY+*2 \ Vy, [
0
--- 1 Г Г P I
13 rsiny [(a-bO/r+PJJ
ll argff К. к Rea, ReP>0; |у|<л; r>0 — произвольное].
f ух-я _ (1+XT-* dx= 1 Ib+Vt.
J y24-2xycosy4-x2 I Vri+Vb
___?L_/l_p), £-=____1_гГ1-Р+(14-/-а)/Н
smy* Ph* is rsmy Ll-P J*
£-____L_ г P -p-^+^Vd f- „ Д
£13“r sin у L»-P J’ 18“ J
[}argjf|<n; Rea>0; Re (a + rp) <; r 4- 2; | у |<Л£ r>0—произвольное].
2g Г Xя 1___________dx__________
J 1—xr y*-\-2xyCOSУ4-Х2
2 2.2.] 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 28&
,,_____я V fsmKa+fr-Dy] ,г+а^
sin у Xi I sin [(a4-/r) л] * *
/=o
+ ~—~я^ sin (ty) [о < у < 0»
„ я V j sin [(a-r-fr-l)y] -
sin у Xi I sin [(a—r — Ir) л] y ~
Z=o
4- ctg sin (Zy+y) jr4-2} \y > 1];
(0<Rea<r4-2; Пчел; r>0—произвольное].
27 f r»-1 ? + [|ZH<1],
J y2+2xycosy+x2 ( Ум4-Уг3 [|У|>1]
{e+=—2a+2(a—2)/гл(—(T)2Z, £+=2e+2{a_2)/rar“1 Г[—o+2r’1(Z+l—a)],
Е;;=2а+2<а~2>/г’1ал, £^=~2ff+2<«-'2>/rar-1, z=2~2Jry, Л=-а}
[[argyjcn; Rejj>(h Re(2a+or)<2, |у|<я; г>0—произвольное].
28. f X0'1 — (i+ri+^r___________dt V'u+Vts Lyldl.
J V^l-J-x'(y24-2xycosy+x2) I I'b+VYs 11₽1>0
{£+==-2а+2<а-"2)/гл(1 -c)2b e+=—2<r+2<a“2>/rr-1 rll-o+Zr-ty+l-a)!,
£-=-2a+2fo“2)/r-4 Е-=2а+2(а-2)/ггЛ z = 2-2lry, ft=l-<4
[jarg^!<jt; Rea>0; Re (2a+or) <2 4-r/2; IvKjg r>0—произвольное].
f ,_______________x^~xdx__________________ ( Vt6+V+ Гр к 1].
J (l + 2xr cosl-|-x29 (y24-2xjf cos y+x2) l ^Гв + ^Г?
о
t|argp|<«; 0<Rea<2r4-2; 1 yj. |А!<л; r>0—произвольное].
чп г al f [igi<a
J ^24-2xycosy4-x2)2 l У^ + ^Гз (»i3sil
a
{£k=(—^"г Д“у(1 “P)zу~^ £“=— 2rsin3y г[^+(а-1-
£te== (— 0z у О ~Юл ^8= 2? [ p 4-(a—/ — l)/r] ’
£-_____1 pF P ly2 E~-----------------— Г Г 11
£12^2rsin3y L3-Ha+0Ar ’ 18~ 2r LP+(a + O/nf
[>argy|<jv, Rea. Ref)>0; [?|<л; r>0—произвольное].
C (1 _ ( Уь4-П.4-178+П9 Гу'
J (№4-2луcosy-f-x2)2 l ^134-И184-К184-У18 Гу
о
fa— 2^7 “ -₽>' = - 2^S3-7r [’ 1)fr]^.
Bfc-4(1 -₽)/. vr[I-₽-i-7'-w1’
4Л
А П Ппплчпулп it rrn
290
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.2.2.
£-_ * ГП—р—
18 2r sin3 у- j, 1-
и~2 р- у__________
У * 18 2 sm2 7 *
£l8"" 2гГ[ l-Р JJ
DaiffiTKrc Rea>0; Re(a+pr)<r4-4; ]?]<л; л>0—произвольное].
оо
/ft* 1
1—xr (y24-2xycos?4-x2)2 = ~2 & V> 2 v+U*
[см. 2.2.2.26]
’ Я У f(<x+fr-l)cos[T(tt + fr-2)I а41л_д .
2 sin27 sin[(a4~/r)n] 9
1=0
4- I сяв (у—/у) ctg [0<р < i],
я У Ш—a+r4-H)cosfr(a —г—/7—2)1 .
2 sin2 у sin [(a—г—rl) л]
4--^у— (?+1) cos (у/4-2у) ctg (-у г~я)у^~4} И.
[0<Rea<r-M; 1?1<я? г>0—произвольное].
J (у24-2ху cosy-J-x2)2 I
о
2«+2 (a.—2)fr 1Л
[liHdb
Е+=-
sin3 у
/у2 sin2 у '
£+ =2а+2 (а~4)/г-1я (— о)2Ь
^20
г+2(а-2)/г-2уЛ 2°+2<«-2^-V»
/Г“2ЛОГ, £^=2я+2<а—4)/r—’or-1, 2= 2“ 2/г^, Л=—о|
[|argp|<«; Reaz>0; Re(2а4-<?/•)<4; |?|<л; г>0—произвольное].
Y14-хг (у24-2л^ cosy-j-x2)2
[!»' <1].
(.0 2*Ц
{₽t.—^¥2°+,(“-’>Zr'1 а-’)-»-*.
е+=-----1_2а+2(а”2)/г~1г[1 — a4-2r_1(Z+1 —а)] у"8,
16 rsm2y
£+=2»+2«‘-'>А-1п(1 Е+=г-‘2®+2<а-4>^,Г[1-а+2г-1(1+1-а)1.
2221
2 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2М
F- — _ я 2°+2 (а-2)/г-2 -2 р—_ 1 2о-}-2 (а-2)/г-1„-2
Sin*? У ' £16“rsin2Y2 У *
Е-=2®+2(«-4)/'-2я> E-=_r-W2<a-4)/r-1, Z^~2>ry, ft=l-(A
[lare^l<Jt; Rea>0; Re(2a4-o/-)<r-]-8; |?|<я; r>0—произвольное],
oo
f* yOC^l /fr
g I _____________x ил_______________j
J (l-f-2xr cosX+J^O^+SxjfCcsv+x2)2 b
• о
t/1=2"1(y sin T)-![Vn+VSJ+V±+V£
HlffKni
[|argy|<л; 0<Rea<2r4-4; |у|, |М<Я> '>0-произвольное].
со
С дса—1 dx
36* j (14~2xr cos X-}-x2r)2(t/2-|-2%v cosy-f-JC2)2 “
о
= (2 sin2!)-1 C7f
[см. 2.2.2.35]
1 4 sin2 X sin2 у) sin {(a-|-/г) ji]
4=0
X
X [“" tT(^r -'H—(a+tr-l)cos[T(g+fr-2)l]i><»^‘+
S (_!/[(«_f—Q/r—11 „rjn-l-l Al ,
/L r sin [(a — Z— 1) n/r] [ \ r /J
1=0
X ^cos(v/— Y)— /“*1
n f V (-l)^cos(M-k)
1 4 sin2 X sin2 Y f £4 sin [(a — lr — rj я]
4=0
X [(a—fr-r-1) cos [у (a—fr—r-2)] —-Ш fY (<X~x
I olxl Y I
^м-r-i^j. V <~1>' [<«+0/f- II«»(«+<-гр1 y
x’ rsmK«+/)n/r]
1=0
X 1) cos (у/4-2y) + аП5й^^р~*~4}
[fargiHCJt; 0<Rea<4(г-Ы); |yl, |А|<те z>0—произвольное].
ХИ-. (1 _xOs-. (Гу+У7^У+у»-И1=1>1' л=
Vy-X
~[v^
I Vr+Уё
[0<ff<l],
kr>i]
{E+=(—1)/ 2V+M+2/r (1—p)z- В (a +/r, у+a+/r),
E-=:2^^ (T-2h)ft В (P, ,r-i (a+ft)),
£-=2^-2A/.-i(_Y_2ft)AB(p. r-i(a+Y4-fc)),
s=a+/r+(T—1)/2, « = (?— 0/2—h, «i=—(1 +v)/2—fi,
292 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.2.2.
О1=а-Ь/г, 61=а+т4-/г. Q=l—04-/, ^1=а+т/2+/г,
е1=а4-(у4-1)/24-/г, а4=1 — у/24-ft, &4=(1 — у)/24-А,
c4=(ct4-ft)/^, d4=l—y-l-ft, 0*=0“Ь(а4~А)/<, «а — 14~у/2,+ft»
*ь=(1+т)/24-Л, с&=(а+т+Л)/^ 4»= 1+74-й,
<Ъ=0+(а+7+й)/г, *=УР)
[у, Rea. Re(a-f-v)>0 в Re0i>l/2 (при y—1), или Re0>O (при y>l)J.
38. f x®"1 (Г — I)*"1 xf4-(Ky Vy x)Vy_ + y_+y_
J Yy—X
{£-=r-12V~2ft (y—2ft)A В (0, l_p-r-i(a+ft)),
£, =r-12~V-2* (- y-2ft)fe В (0, 1 -0-r-i («+?+&)),
£-=(— i)/2V+2a~sr(i4H/) (1 _p)zB (a-r (1 -£+/), y+<x—r (1 —0+/)),
«=(Т-1)/2-Л. «!=-(! +v)/2-A, o=a-HV-l)/2-r(l-p4-/),
^4 = 1—Т/2-bft, b*=(l—7)/2+А» c*=(a4-ft)/r, d4=l—y+ft,
e*=0 + (a-J-ft)/r, 05 = 14-7/24-/1, b5 = (l+у)/2+й, С5 = (а+у+^>
4j=I+y+A, е6=Р4-(а4-т4-й)/г, ов=1 —y/2—a+r(l —0+/),
be=(l-у)/2-«4-г(1 -04-/). c6= 1-P4-/> de=l-a4-r(1-04-Д
06=1-7-a4-'О—04-/), z=yp\ to>i. Refl>oj.
3». f^-i(<+ryi (Vy+Vy^+iVy-Vii-xY^
J V y—x
0 3
“l^+l'r+Vr I*>n
{E+=J1f««HW(l_p)/B(a+/r, т+а+к),
, .-р-г+гь*),
E7==2v*“-"-«-^/>(l-p)yB(a-r(l-p+fl, t+a-r (1-p+fl),
s=(T—1)/24-a4-/'. M=(T“ 0/2—Л, «t=—(14-y)/2—ft,
u=a-|-(Y — 0/2—r(l— p4-/), ai=a4-/>, bi=?4-a4-/>. 0i=l— Р4-/,
rfi = y/24-a4-/r, 0i=(74-0/24-a4"/'A «*=1—7/24-й, b*=(l— 7)/24-й»
e4=(a4-ft)/r, d*=l— у4-й, е4=р-|-(а4-Л)/г, <%=14-y/2-|-ft,
bfc=(l 4-7)/24-й, 05=(а4-7-Ьй)/г, J5=14-7+a, ^=P4-(a+7-b^)/r,
«6=1— 7/2—a4-r(l— p4-/), be = (l—y)/2—a4-r (1—p4-/), ce=l— Р4 /,
rf*=l—a+r(l—p4-/), ee=l—у—a4-r(l—P4-/), z=(— 0?yp}
[Rea, Re(a4-v)>0].
f jt®-1 (Vy+V^y—x)Y+(Yy—Vy—x)Y.
J 1— Xr Yy~X
-J
“I KF4-V?4-V7
(£+=(-!)//! 2v««+^B(a4-/r, y-f-a-HO.
^Г=у dg ( 2V-2a(7-2A)a,
[O^^l],
[»>i]
2 2.2Д 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 293
Ej=!>-•* (_ v- 2Л)л ctg ,
£/=(— iy+i/l2V+»« ^'/+1'В(а—г(/ + 1), ?+«—/•(/+!)),
«=а + (т—1)/2+/г, и = (у—1)/2 — ft, ar= —(14-у)/2—й,
»=(у—1)/24-а —г (/+1), ai=a+/r, 61=y4-a4-/r, ^=14-/,
di=T/2-{-a-f-/>, =(у 4~ 0/2+« + />, a4=l — у/24-й, 64=(1—у)/24-й,
c4=e4=l/2, d4=l-y+h, й6=14-у/2+Л, 6s==(14-T)/2+/i,
c6=;e6=l/2, d6=l+v4-A, ae=l—v/2—a+r(l-f-/),
&e=(l—y)/2 —a4-r(l+/), c4=l+/, de=l— a + r(l + j),
y—a + r (l-Ь/), z = f/p} [Rea, Re(a+v)>0b
41.
-1 (/у+^у-^+С^у-^у—*)Y dx=
[0<y<i],
{E|=22«4 Y+o В (a, y+a), E?=2Y+o+aa в (a 4-0/2, a 4~ T 4-a/2),
Eg = 2Y+®+**-ioB (a+(a — 1 )/2, у+a + (a -1 )/2),
Егй=— 2°+2а^агГ“’ a 2al, Er.=—2°+V2aGr
10 1—a —a I* 11
a-f-y, — a~ 2a—2y1
1— a—a—y J*
s1=a+(y—1)/2, %=а4-(у4-о—1)/2, se=a + (Y+°)/2—I»
s, = (y— l)/2, s8=—(1+y)/2. «i = a. ^=—0/2,
di=(l—a)/2, ei^Y/2+а, fi=(Y+0/2+a, &=! — ff,
fl5= 1—a—(y+<J)/2, 65 = (1 —y—a)/2—а, с&=о/2, d6=—(j/2t
e&=l— a—a/2, f&=l — y—a—a/2, £5=l/2, ae=(3—a—y)/2— a,
йв=1-(у+а)/2-а, c6=(l-a)/2, ^ = (1+а)/2, ee=(3-a)/2-a,
fe=(3—ff)/2—y—a, ge==3/2, а?^!—y/2, 67 = (1 —y)/2, c7=a-|-a, d7 = a,
e7=14-a/24-a, ft=(14-a)/2-j-a, g,= l—y, as = l+y/2,
&8=(1+v)/2, e8=a4-a + y, t4 = a+y, e8= 14-a/2+a+y,
/8 = (1 4-a)/24-a+y, ge=l+y, z = — y} [Rea, Re(a+V)>0].
42.
f va i (Уу-УУу-хУ1 + (Уу—УГу—хГ
) (/х+У l+x)~aYy — x
vt+vt
[0<уСП.
[tf>4
=2Y+2aB(a, y-f-a), £J=2Y+2«+iaB(a+l/2, y+a+1/2),
E-^2Y+2^2aB(a+a/2, y+a+a/2), £r=-2Y 2аагН“’ ~~а~^
2a+2y, —a—y—o/2
l-ba-J-y—a/2
Ета=—2 2«-зуоГ
Si=a+(y—1)/2, S2=a4-y/2, %=a+(a+Y— 0/2, se = (y—1)/2,
&г ——(1+t)/2> ai=a, 6i=a4“Y« ci=—c/2, i/i=a/2,
е1==у/2-|-а, /i=(Y+0/2+a, ^=1/2, a2 = a+l/2,
62=a+y4-1/2, Ca —(1—a)/2, d2=(a4-l)/2, ea=a+(Y+ 0/2,
f2=a4-l+Y/2, &=3/2, a6=l —(y+®)/2 —a, b5 =(l — y-a)/2—a.
ce = —a/2, dB=(l—a)/2, £>s=l —a—o/2, /Б= 1— у—a—a/2,
294
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.2.2.
&=1 — о, 06=1—7/2, be=(l—у)/2, ce=a, de=a+l/2,
ев=1—7, fe = l+ff/24-а, £в=1— tf/24-а, о7=14-7/2, Ь7=(1+?)/2,
с7 = а-|-7, d7 = a+y-|-l/2, е7=14-о/24-а-|-7, f7=l — о/2-}-а+7»
й = 1 + 7. 2=— ff} [Rea, Re(a+v)>0].
43 fx- (^+KjPx)V+(^-/F-^)Y .
43* J (1+/Т+1сГГ(Т+х) (y-x)
f V+ [0<у<1].
l Уг+^+УГо + Уй
{£|=2^+2«В(а, 7+a),
£-=2Y+2a+<r-iB (a-{-(o—1)/2, 7+a+ (a- 0/2),
E^ —2Y+8a+CT-2aB (a4-o/2—1, 74-a+o/2—1),
=2ai2a+YHB (a, l—o—2a), =2®+»^iB(a 4-7, I — a—2a—2?),
%=a+(7 —1)/2, s5=a-|-(74-ar)/2 — 1, se = a+(7+a—3)/2,
s,=(7—1)/2, s8=— (l+7)/2, Ox —a, &i=a4-T» <4=1—a/2, <4=(1 — o)/2,
^=7/24-a, fi=(7+0/24-a, £t=l—a, c5 = (3—7—o)/2—a,
65=1 — (7+a)/2—a, cs= (1 4“<0/2, 4=(1—o)/2,- %=(3 —a)/2—a,
f&=(3—o)/2 —7—a, g5=l/2, Oe=2 —(74-o)/2—a, &e=(3—7—o)/2—a,
ce—I4-O/2, d6 =1—0/2, e6=2—o/2—a, fe=2—o/2—a—7, £« = 3/2,
07 — 1—7/2, &7=(1— 7)/2, c7=o-|-a> d7=a, e7=(14-o)/24~a,
f7=o/24-a, £7=i— 7. 08 = 14-7/2, b8 = (14-7)/2, c8=o-}-a4-7,
4}=а4-7> *•=!+?» /в = (14-о)/24-а4-7> &==я/24-а+7, 2=—«О
[Rea, Re (a4-т) >0].
44.
f жа-1 х)¥ + (/у—Ky—Jt)Y ,
J (Kx4-FT+x) °У(14-х) x))
f Vt+Vt [0<»cn,
VK4-V«4-V7o
{Et=2'^2aB (a, 74-a), £|=2V+2“+1oB(a4-l/2, 7+a4-l/2),
£-=2Y+2o+2«-iB (a4-(o—f)/2, a+7+(O—1)/2),
£^=2Y-2a+1B(2a, (1— o)/2-a), £Л=21-“-«*В(2a4-27, (1 -o)/2-a-7),
Si=a4-(Y—0/2, «2=а+7/2, % = а4-(74-о)/2 — 1, s6 = (?—1)/2,
s7=—(14-7)/2, Ox=a, 6x=a4-7, Ci=(l — o)/2, <4=(14-о)/2,
ei=«+7/2, h=(74-0/2-ba, £i=l/2, a^a-H/2, d2=Y+a + l/2,
c2 = 1 — 0/2, 14-0/2, e2=a4-(74-0/2, f2=a+1+7/2,
g2=3/2, o5=(3—7—o)/2—a, 65=1-^(74-o)/2—a, <*=(1— o)/2,
1 — 0/2, e5=(3 —o)/2—a, f6 = (3—o)/2—a—7, £>=1— a, ae=l—7/2,
, &e = (l—7)/2, Q=a, d«=a4-l/2, e6=l— 7, f6 = (l+ о)/2-}-а,
£« = (1 —o)/24-a, 07 = 14-7/2, 67 = (14-7)/2, c7=a4-7,
J, = a4-T+l/2, ^ = 1+7, f7=(14-o)/24-a4-7>
£,= (1 —o)/2-|-a4-7, 2 = —J/} [Rea, Re (a 4-y) >0].
Л (14-2x cos 7 4-х2) Ку — x
_J Vts4-V+s4-^
[0 <><!]•
[4<> U
2.2-3-] 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
295
sm у
яГ
%—Z ]
Л—2ZJ’
F+ 2х + 2<ж~/-1>/г п ГЛ + (а-/-l)/r 1
“ г sin у [14-2 (а — I—1)/г]’
2г-*~2/я Г— l~K 1 _ 2K + 2(g+/)/f Г1+(а4-0/г 1)
sin у L~ 1— 2/J’ 18 г sin? IA4-2 (a-hO/rJ)
[Re a. Re (a 4-1) >0; IV | < я; r > 0 — произвольное].
46. f x«-i ^+^~x)X+(Ky-Ky-x)x
3 (14-2хсову4-л2)8Уу—x
=2-1 (y sin у)-2 y24-
FP^A^1}: «• 2.22.45]
14-(a —Z—l)/r I
14-2(a-Z-l)/rj*
P+___2-A-2f-ijiT F
£а-_/ Л1 £v__2(X + /)
oA.4-2 (a—/ —l)/r—1
E^£-------;-----г
r p+(*+a)/r 11
Ll+2(/4-a)/rJJ
[Rea, Re (a+A) > 0; | v | < я; r > 0 — произвольное].
2.2.3. Интегралы от и (Д*1—J^)P.
1. J 1/и)
о
[a, ц, Rep >0].
2. t«>4-
0
3. C (a8 -X2)" dx=д2«+1 79Й.~п,Г le>01'
co
4. J (xP—aJ*)P-1dx=p, M1 Ф-*>+1В (1—(J—!/[*> P)
a
la, ц >0; 0< ReP<l —l/ix]
S. J (AJi4-zP)-Prfx=p>"lzl“R>B(1^> P— W [n>0;|tiarg2|<rt;|*Rep>V
0
6.
0
dx = £ zi-2/I (2/1-3)!!
(x24-z2)« 2 (2л—2)1!
[Re 2 > 0; « = 1» 2, 3, ...'
296
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.2.4.
2.2.4. Интегралы от ^(а!1 ±д^)Р.
а
[a, Rea>0J.
2.
(а >01-
fe=l
3.
[о >01.
5.
а
Г Xе1
да-а
---(а-1)о“^₽(а)
[в, Rea>0].
о
а
! 1;—st dx=n (— а)« 1
J (л4-д)2 '
о
я—1
k= 1
(-1)"
2п
О
а
0
0
л
2|^а
[а >0; я—1. 2. 3. ...].
а
6.
7.
j т-в<*а)
о
f х"41.. = /д [a>OJ.
[а, Rea>0].
л
о '
/,=1п(1+У2), 71=а(/2-1), /.= ^[К2-1п(|+/2)]
/ 1— н\
\ 2 /* ,
(1-п/2)„ +
-- [(п-П/21
д*Г 2
fe—О
+ (_ + 1)/21дП
/1—л\
»-(-<)” \ 2 /К»+ЮТ |П (1+/Э-
2 (— в/2)[(„+ |1Я1
/1—д \
1—(—1)я \ 2 /((Л+1)/21
2(п + 1)
(—n/2)Kn4_i)/2j
8.
а
0
[а, ц. Rea. Re^ >0]
9.
,« - 1/2 л. (2т -1)1! (2л -1)»
2ш+л+1 (m-f- п)1
[а>0]
о
2.2.4.J 2 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 297
10. f x**+i(^^-u2dx==a^^m[ (2п- l)tt
J 1 ах (2т 4- 2я 4-1)!!
о
£ jg2fll-b6 А_дМ.^(2'” + Д-1)П( ' I
£ У О’—X» (2m+6)tl Vy2J
а
f х“~1(а—x)~adx=——
J sin out
о
11.
12.
(«>«.
[a>tt 6= {*}].
[a>0; 0<Rea< 1].
a
13. f x®~* (2a—x)a~1dx=~ (2a)2®-1 В (a, a)
</ *
0
[a. Rex >0}.
1
14.
dt=B(a4-l» Р4-П
[Rea, Re£> — 1].
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
0
1
0
0
1
0
1
0
1
’О
1
sin ал
[0< Ре a< 1].
Xя—x®
. I Л
dx—-------;----
a sin ал
хР~1-[-хтп-Р~г /m — 1 — p/n\ я
(x« 4- 1)да \m — 1 ) n sin (сл/л)
_ (p/n— 1)! (m— I —p/n)!
(m— 1)! n
[0< I Rea|< !]•
[m, n, p —1, 2, 3, ...; mn>rf pin—нецелое].
[m, л, p= 1, 2, 3,...; mn>p; p[n — целое].
a*- ™ ,f ,(g-f! ^о.1 в <a+'• •>+•>
ян 1(а4-Р)я/2]
[Re(a + 0)<O; Rea, Re0>—1].
^=^(P+l)-t(a+l)
[Rea, Rep>—1].
dx — nctgan
[0< Rea< 1J.
. * 1
dx—actgcut------
CL
[|Rea|<l].
о
298 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.2.5.
23.
f <fr=_i_L, fp-e-П „,/н-Р—»\]
' хР—xv H-VLk 1*—v / ’’’ \ ц—v /J
о
[ji>max(v, а 4-1. 34-1)].
24.
cn
.( T^jp л:=г“',>в(“- ₽-“>
о
[| arg г [< л; О< Rea< Rep].
f Ji®'1 , nz^~l
I ------ax— . — -
,] x4-z smaii
о
[| arg z | < n; 0< Rea < 1].
OO
f x“ Mx „ .
28. I -------—jta“1 ctg art
J x—a
о
fa 0< Rea < 1].
27.
o
x®1 att~P cos (a—p/2) я
| x—a |P ~~ cos (pn/2)
В (a, p—a)
[a > 0; 0<Rea< Rep< 1].
28.
oo
C A
i -----ax=
J (x—a)«
о
(— 1)д Jtag~«
(n— 1)! sin ал
П —1
JLI<«—*)
fe=l
[a >0; 0< Rea< ft; ft= 1, 3e 5,
...].
co
C X®-1
29. I x;.- ^==0
j (x-|~z)P
— oo
[0 < | argz | < я; 0 < Re a< Rep].
30. f --------f 1 я tg kl -77- I a la [Ima = 0; 0 < Rea < 1].
J x—a (sgnxj 2 1 1 ( 1 J
— оз
2.2.5. Интегралы от (aP±.xP)P(6V^Fxv)<T.
Условия, a, b, c, d—действительные числа.
ь
1 . J (x—a)»'1 (ft—x^dx={b— a^+fr-’BCa, И (Rea. Re£J >0].
a
b n
2 Г (x—a)06-1 (b—a)a yi MXBfa-l-fe, n—fe + l)
J (cx4-d)a+®<’1 ^^(ac+dXftc+d)®^ \k/ (ftc+d)*(ac+d)« *
[(ac 4- d) (be 4- d) >0; Rea > 0].
3 - f Ka₽ + d) (be + d) >0i Rea >0].
J (cx4-d)a+1 a (ac4~d) (ftc+a)“
a
4 f (ft-xjP-1 rfr (ft-a)P yfn\ B(k+1, P+n-ft)
J (cx-|-d)P+rt+1 (6c4-d) (ac-4-d)P (ftc+cQ* (ac4-d)"~*
[(ac4'd)(&ff4-d)>0; Re0 >0]
2.25.1 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 299
5 С (fe—х^1 (&—а)Р
J (ex4-d)&+1 fl (6c4-d) (oc4-d)&
a
j \a-f-x J sm pn
— a
[(at+d)(bc 4- d) > 0; Re 0 >5].
[O<Re0<2,
(a2—x2)”
(cx4-d)'n+1/2
m!2m+1
(2m 4-1)!!
(l^+d-Vd^)2,B+x
e Г (a2—x2)m J n/n fy\
8. 1 7-----4^+T dx=2 (2a)m Qm (—)
j (y—x)m+1 ' \a J
— a
[d>|ac| >0].
[|pl<o]-
10.
(d4-icx)m
p^a2 — x2
dx=л (d2 4- a2c2)OT^2 Pm
? (g2 —x2)^1/2
—a
x—y
d
Y d2-^-a2c2
+ l/2_jra/
10 !
[m=0, ±1, ±2, ...].
[— oo<s< —а или o<i/<oo).
11.
12.
dx
J /(a-x)(fz-x)
a
= In
[0<o< jfl.
dx
K(a—x)(x4-y)
2 . Va+Vi
--r- In --
f+y V У
[o>0; |argjrf<n].
a
u. J
о
dx________________
x(x—y) Vy—a
2 , a
arctg -------
y—a
[ff >a >0J.
С (я2—x2)—1/2 . f a\ (a-\-ny!2\
15‘ 1 x-u------^-ztsgn^2-^1/2 arccos--}
•J * “ \ IF./ \ ’
0
[— oo<y<—а или o<y<co]
16. =(d»-^^in д+К^|-|а+"у/21 (-«<„<«.
У I t J
a
С /М_rfi
17. i ^__^Ltk=flH[C+l|)(p4-l)I [ReH>-lJ.
0
0
300
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.2 5.
(<**+&)& *
(cx+d)3+1
(ad)P-(te)P
Р (ad— be) (cd)P
[c<f>0; ad^bc-. Re$> I].
f dx 2 /z + УТ^л
J ) x-(-z (х—а) V z-i-a yz—yz^a
fc>0{ |arg(l -f-a/z)l < л].
ot>
Г dx _____________ _________1 _______
J (х24-г2)® (x—y) 2 (n—1) z2® 2 (a2 4- y2) ~
о
(2/i —3)!’ул If
(п—1)!2аг^ *(z2+y2) + a24-y2 J (x24-a2)« J(x—y)
о
[ff, RezXh n=2, 3, 4, ...J.
f_______________________C* I)®"1 a»"1 f ул у \
J (x24-z2) (x±y)n (n — l)l (z2+y2) dy" 1 \ “ 2z z)
0
ReaXh { are„‘,l<
V > 0, n= 1,3, 5(
C________dx = 1 ln z (V^z24-y24-z)
J У'хг-Ьг2 (x4-y) /г24-уз “ у ()f z2+y^—y)
[Rez>0; largy|<«J.
oo ________
C dx _______________________I_____ , у z2 — y2
J 1^24.z2 (JC24-y2) у V4 z2—y2 a C g у
[Rez, Rey>0; | arg (z*—у*) | < л*, zqtyj.
= y~* (z = ff; Rey>0j.
1 In ^~zi
У И У2—a2 Z
[Rez. Rey>0; f arg(y* — z8) ’ < rt; z^y].
00
C __ n I Д’ ( 2
J (а2х24-Ь2)(с2х*4-сР) “2(a«d24-^2)L“&_“Va
0
b4\lf c 1
d ) Г 2d j
[a, b, c, d >0J.
dx
(Xi^z^(x-y)
—гКяГ
Гр+1/2
L p
уг* 1^20
У2 + г2
У2 \
у2+г2/
2F^l,I-p;
3
2
[Rez, Rep>0; Imy=0].
(х+г,ега*)р
dx=0
[rt, /«>0; o<iet|<x, o<ie»i<«; елей р>м.
2 2.6.]
2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
301
= е ехр [еиф - i (р - 0) (9t+М] —- - ------—
0rj ₽В(р, —0)
[гя. г, >0: 0>Р: r*=VA4 + Га4-2/1^005(01—(м, r»sinft=rgsin(02—0t),
со
31. f / . -ikL. -^-2fl(a+^l tl VdM+Vr Ч И» h+v>1].
J (a4-«x)^(& —tx)v 4 ' L Ь* 1
—оо
32. =0 t/ , [a*<(h Ji+v>i].
со V ’
С dx
33‘ J (a+«x)H(i + ix)v [Rea. Refr>0; g+v>ll
—со
3
2.2.6. Интегралы от П <•>**»•
А=1
Условия: а, 6, с, d—действительные числа.
е
ь
1. J (х—x)P“1(ex4-d)Ydx=
а
=(6-a)a+₽“i(ac+(0VB(a,0)2F1fa, -у; а+0;
[Rea. Re₽>0; |arg(d +cb)/(d-f-a») । <я].
2.
НГ.1М^.. <*~n)<l 8 1 — B(a, W
iff-a|»|ff-*i“
[Rea, Re₽>0; y<a<J) иля a<6<»].
3. f
a
[Rea, Rep>0; y<a<.b влв o<ft<y].
4. ==(y—o)a~1(b--£)3'1Jictgowi—
-4&_а)а+6-2В(а,0-1)аГф, 2-a-0; 2-0;
[Rea. Re0>O; a<y<bi
b ...
Г / x—a V1"1 dx • д Л a—у a _ A
* J \b—*J x—y sin ал \| b—у | J
a
[0<Rea<Sfe y<a<b или a<fr<yj.
4t Г f f>—д\а i t
6. =----:---jcosantl-x---) +lf [0<Rea<.2; e<><*].
smart [ \o—y/ J
f (x—a)®-1 (&"x) q 4r n | а~У Iе"1
J x—y^ sman(b—y) | b—y |
a
[0<Rea<l; у <a<b ялв a<b<yl.
302 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 2 6.
B><Rea<l; aci/cbj.
(х—g)g^(6—
(bc-f-d)“ (ac-J-d)₽ ^^\kj (bc-[-d)k (ac-j-d)nb
[(ac+d) (bc4-d)>0; Rea, Refl>0].
b .___________
». C &=/.
J (cx-f-d)® “
a
h= -Д- (l^ac-l-d—F 6c-fd)2,
f — d л (YacA-d—Y bc-[-d)2
2~ 2c2 /(ac-H)(te+d) *
ac + tl, bc-^dXt],
л (6-a)2
8 [(ac+d) (6c4-d)]3/2 ‘
11.
f M t 4- „ w . ml (b-a)^1
1 Xм (x—a> (b—x)P dx= -—г—H—т~гп
J r v («4-n+p+l)!
a
у fa-f-АУ И + Р-6)! a^kbk
kl (m~k)l
k—0
[m, л, p=Q, lt 2, ..J.
Ь
12. J xm (x—a)a^ (b—x)a/2 dx=>
a
r2(? + С (&-*)я+1 У ( ( Л/2 b акьт~к
(m+n-j-l)! \2‘/4 1 X*\ Л l\ m—k. /
fc=0
[m=i0, 1, 2, ...; n=— 1, 0, 1, 2, ..J.
b
n Г__________dx__________я ( 11 Г _рП
J x&V(x~a){b—x) Yob 121 (ar1-}-^1)/ L 12П
14 C
J (cx4-dX»+“+i
a
. (»-Д)» у »-*+!)
(ac + d)(6c+d)“ (6c+d)*(ac4-d)®-fc
[(ac4-d)(bc+d)>0, Rea>0J.
15.
x«-i(a—xjP-*(x+2)"₽^=a°tb^12'₽B(». ЮЛ(«. Pi «+fc — V
[|argz|<jt; a, Rea» ReP>Q].
2.2.6.]
2,2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
303
а
С ifl1
16. | --------^dx^
J [(а-х)(у-х)]а~,/2
=-(“-'2,/-3/2~a)
2 у л
[у>а; 0<Rea<3/2].
17.
dx
л
О
а
dx .
~~ —*а
18.
[a. Rea>0],
0
Л/4=«-5/4[«/2+К2К(1/К2)]. hn
hn----а- Ч* [л/2-/2 К (1/К2)].
а _
19. ( 1/—— = — [ /2(1+^)—2Е (“,
П a+xYl+Px jfe*L 7 \4 /]
fe>0; 0<ft< 1].
а—x\±l/2 dx
а+х) ~х^
л у—а ±V2 [ а'
т, ± — arccos I-------
2 У+а \ У <
О
[— co<s<—а или в<д<со].
. л , /д—у\±1/2 I а+УсР—у*
-J- “Jr- -j— i . | In I •
2 \a+yj 1 У
[—e<y<a].
о „ tn
Г x^b-x)^ (b-ap _ у fm\ bkam4t B(fe+1,
J (cx4-d)zn^+1 (bc+d)(ac-yd^ k^Q\kJ (bc-[-d)k (ac+d)m ^
[ffl£ + d)(bc+d)f Rep>0].
JC“-1 L/+z-}-2 (а—2)Угуг]УлгГ tt—3 ]
[(x+zHi+iOp-*'2 2 (Ку+П)2а~Л La-3 * * 6/2J
[| argz|.| argjr|<3q Rea>3].
co
24. J x®"1 (x4-z/)~P (x+z)-^ dx=
о
=г^“-РВ (а. р+Х—a)2F1^ct, 1; p+%; I~fj
Llargffi, |argz|<.jc 0<Rea<Re(p+X)J.
Г xQ^fx+y)®-1 . В(а, a)
J (2*+y)a“ 2y
6
[Re« > 0; [argy[<X|.
304
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 2 7.
oo
26. i х«-«(х+г)-‘—-=г1(-9Г‘В(а,1^+1)/, а1 V, Ц-Х; l+A) tz У \ Z / 0 [| arg(—y)i <л: 0<Rea< 1 -j-Relj.
27. = — л ctg (a—X) ng0-1 (z +y)~K — —?LLB(a,X-a)/'1(l, l-Х: l-f-a-JL; \ 2+У zA-y / [y>0; 0<Rea«^,14-Rek].
28. C x0-1 dt iGi рГ a— 1 I J 1(х+г)(х+у)р-‘я ~ (Тг+Гя)2”’ La-1/21 0argz|t |aroI<as Rea>l],
2.2.7. Интегралыот
k — i
Условия: a, b, c, d—действительные числа.
ь
* S <* 0) «•<«<»<” ™-0- 4 '• ±4-
a
М». a)=f (q>, *), a)=F(4, b)-E(ft, Ь)+«у
|.= .resin r^Fg],
I feKl— a* J
(2ffl-hl)9M(fe, а)-2/и0*+1)0т(*. a)-(2m-i)b4m t(b, a) =
«_aW+l _ay [/n= 1. 2. 3, .
a) = &-2[F((p, b)~£(ф, b)\-\-b*a 2 K(&2-a2)/(l-a2),
o)-2m (b2+1) Q_m (b a) + (2m-l) (b, ff) =
=а з®-1 )<(1—a2)(62—a2) [m = i. 2, 3, ...].
2. f (2a)<«+w/2-i в,1)
J + 2 \2 2/
[a. Rea. Re{}>0].
3. С(£±£? *----------------» [Wl<l;.>»
J \a—xj x24-z3 2zcos(Pn/2)
—a
f* x(a2—x2)m ______т*2.т (Т^+д^—PrK~^)8”+3
' (cx+4)m+,/* ~ (2/n + 3)(2m — 1,!!
[</>; ac !>0J.
а
5. f ^-7—У -^L-
J l—гхг ' (a+*r)«
0 k =0
[r. Rea>0; \zarj <1; л= 1, 2, 3.
2 2 7.]
2 2 СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
305
а п
С <xB—хи dx 2я1 у 2*
J a—x (a-i~x)n+t a hi k
о
[л =1, 2, 3, ...].
C x®“> dx
7‘ J (x2H-H)(x3H4-l) =
о
я Г t t о t/~ci _j—. ( • ^\ » • / 2ла я \1
— "2---------7TI 1 -f-3 F 2 Sin -jr— 4- — i — 4 sin I —--] I
6p sm (ал/р,)|_ \ 2ц 1 4 / \ Зц 6 /]
10<Rea<5|i].
oo
8 C__________x° 1dx___________ 3n 5/3 1—4 cos2 ал
tf (x+&) (x273-^73) 8 sin ал
[largy |<jc, 0< Rea <5/3].
xP \9 dx л
rra?) T^=o tiPi^-u.
0
10.
14.
oo
C *OT<^C
J (X24-Z2)(X
0
(+ 1)Л|+я-1 ^tk-1 1 / 0Я
\n—k— 1)! L 2®4-ya \ “ 2z
^Rez>0,
Л argy | <3<t n=0, I, 2,
(y>0; n = 1, 3, 5, ...
11.
^-dx^^-1
x—y
л sin цл_____
sin ал sin (a-f-p)11
[#>0; 0<Rea<l; 0<Re(a-]-p)<l].
oo
J ^~l£Lydx=2 (1 — 2лцctg2]Ui) IIRen]< 1/2].
0
id*—-ri*\ л sin (цлД)
x^—x~K / 1 [cos (ц л/Х) 4-cos (алД)[
[li—X<Rea<|i+Rea<M-
Fr*\n dx _
J x “
0 ' 7
[o<i*<M.
306
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.2 Л.
оо
15. i ria dx=n I* ctg Ал4-ц ctgpjc—(н+А-) ctg ([*+%) л] —1
J I* •/
о
[А-тЬ—р; |Re (ji4-A) I, |Re%|, | Re р |<1].
16. = 2 (яр ctg рл—1) [А,=—ц; |Repl<lJ.
п . •
2.2.8. Интегралы от Д (д£*±л/1*/*, п^4.
fe=i
Условия: a, b, с, d—действительные числа.
ь
, с (x-^4Lz^^+^Lix=
’ I (cx+d)a+^B
п к
_ (Ь-а^-1 у В(а+а, (Я-и-ft) у /mUn-mX у ,
(»с+<0“ (ас+<ДО (*c+d)‘(<*?+</)"* I ) + M + *
[(cc4-d) (Ьс + J)>0; m^n; Rea, Re0>O].
b
2. C(x-«)«-i(6-Z)-°Jr_
J (cjX 4" ^i) 4 ^2)
==______л________Г_ ca (ac2+fi?2)a~r
(М2—Mi) sin an L (^14d1)“ (^2+^2)“
(ac/4-d/)(fef/+d/)>0> /=1,2; 0<Rea<l].
b
f I(X—д) (b—x)]0^1 . лsgn (y~c) ctgan
J (*-0)l*-da“"r l^-сГ rKy-e)(6-5011~a
a
[r=0 или 1; а<усЬз a<c<zb} 0<2Rea<l + rJ<
Г [(x—a) (b—x)]a4sgn (x— c) ________(—l)rnctgan-______
J (x-g)|x-c|^ X \y-c\^arl(y-a)(b-y)]1-^
a
[г=0или1; a<jr<b; д<с<&1 0<Rea<(l + d/2].
a
5. x®-1 (a—x)P-1 (1 — ux)~P (1 — vx)~^ dx=
0
=a<i+P-iB(a, P)Fi(a, p, X, a-|~P; aa, va)
[|arg«|<n или а|л|<1; fai^o|<n или a J о | < Д; a, Rea, Rep>0].
aft—1 a. — 1 an—1
OgX ° ^OjX 1 —... — ОдХ n
1—Xй"
dx=
=X"1 [ait (ai/A) 4...+дя1|) (аяД)—дьЧ> (aoA)J
[а0=а1+а2+...+ад; А.» Rea^>0; i=0, 1, 2.л].
1—X
„„ал-1
ПХ
dx=n Inn
0
[Rea>0; n=l, 2, 3, ...}.
f.2.8.1
2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
307
1
С хт dx л * "
J l+x-f-xa4-...+x2«+2 "r=2m+3lg2(2m4-3)'
о
<• ^+^»2+...+х»+1 «
J 2(m+2) *2(т+2)
О
1 п
lo* J (х+1) (2х+1)... (лх+1) = *2 (“1)й+1(й) 1п (*+1)
[n= I, 2, 3. ...].
оо
11. j х®-1 (х—а)₽~Цх—а)~₽ (х—в)_^х=а<к+₽~л_?_1Х
а
хВ(14-Х+р— а—fM^iO+^+p —« — Р> P, X, 14-Х4-Р—а; и/a, v/a)
[а>0гIarg a {<« влн | а|<а; |atgo|<л или | о| <а, 0<Rep<Re(Л-|-р — а) + 1J.
оо
12 Г_________(Дх+Д)^х________= B^ — Adj. Cjd2 Всз—Ads Мй
‘ J (Cix+di)(Ca*+^a)(^4-^ W Яг с^3
o
[p—Ctdi—Cjdt, q=Ctdt — ctdi, r^c^—ctd», ctldt>ciJdi>ctldz'>Gi.
13. j ^=r—^=^dx=-~^[(j^+v—l)ctg(|A+v) Л—
0
—P** (yV~ 1) ctg Wl— (уй— 1) ctg рл+s*1 •“]
Цг>0; y^-l; хф— |x; |Rej*|, |Rev|, | Re(|*-f-v)| <1].
14. f ——— 2(0»*—l)ctgpnl
J x—у x—1 1— у L я J
о
уф 1; | Re № I < Ч-
oo
15.
о
1+ - + Дn
(cx4-d)«+a
1 Г Д, (nV* At /nV*
— (n+lMLc® W c»-1* U/ "1~--“t* \n] J
[cd>OJ.
f A^ + ^iX^-i + .-.-Man ,
J (x2+z2)n+1
0
n
__ я ЧП (2fe—l)H(2n—2Jfe—1)H
n! 2«+1z Zd z2*
fe = O
^2* + Я!&2 2 ki(n~~k
fc = O
[Rez>G]-
£08
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.2.9.
17 С (Аха+В1)(А2^+В2)...(Ля_д^ + Дл_1)
J (ci«8+d}) W+dJ... (cnx*+dn) °*
о
_ л ((А1*4 В^) (Agdi—^2fi) ••• (Ад_141 — Дд-iCi) ।
2 I /мГ (с2^1 — 4а) (^1—4^1) • (Mi—dnc^
। (Airfg — BjC2) — ^гсг) • • (Ая 1^2 — ВЯ-1С2)
У с2^2 (СА—djC^) (c9dg— 4^2) ••• (сп^2—dnc^
I (Aidn В1Сд) (А24д В2ся) • • - (Ая-1<?д Дд-1Сд) у
(Cida djCji) (Cgdn djC,^ ... (ca_jdn d^iCn) J
it /=1. 2. 3. ..., n; n=2, 3. 4, ...].
18.
f -----_ " _____dx=
J (?»(*)<?/»(—*)
00
[Вя(х)=А0х2® 24-A1xaB-<4-... + Ая_ь (?я(л) = Вохв4-В1хя“1+... + ВЯ; все корня
<2Я (х) лежат в верхней полуплоскости],
" Ao Ах А2 ... Ая-1
, _Я1МП В« - 0
Ai~д » 0 2?i Вя ... О •
О о о ... вя
В± вя в& ... о
Bq В% В^ ... О
О В1 в3 ... о
ООО ...вя
Afi=A0, At=BiJ М3 = —Aq-^-AjJBqB^*, A^=B^
Л13=— A^Bg-j^AjBq—BgBiAgBg1, A3=BgBg—B^Bg,
M^= Aq (— B1B4 4~ BgB3) — B0B3A1 + BoBiA2+BqB^1 A3 (BqB3—BjBgh
A<=B0B% -j- BjB^—В1В2В3.
(m-j-2) nj
л-|~ i J
[n>m + lj.
2.2.9. Интегралы от Xя (ax2 + 6x4~c)P A (x).
Условия: a, b, c~действительные числа.
1 00
i - -.£2_тф= у (-1)» StaTtctg-y+coeTfe tRea>0. |т)<л
J x*4-2xcosy4-1 «+«
0 Jb=o
Г X«-*(l— x)«-4+28
‘ J (ах84-2&х+с)а-3/2тв
_ [ь-|-С4-(а—24-е) V^c У'дЧ-г^+с] г8^8Кл Г (a—3+e) f(a4-2b4-c)-3/2|
“ (&_]_c_l/c /a4-264-c)“"2w!r(а—3/24-е) *
Ге» a + 26-J-с>0; a<(VrF + Vo + 264-c)8» Rea2>3 e, 8=={зУ|*
2.2.9.] 2 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 309
3. I ------------
J (ах24-26х4-с)®+1/2~°
_____________2-g+o/jt Г(а—g)___________/ с-1/а |
~ (&+с+/сКа+2Л-Ьб)“^аГ(а+1/2—ст) 1(а+26 + с)-1'2/
р, а4-26 4-0 0; а < (Ут" 4- У а 4-26 4-е)2; Rea>ff; Р=|а^2}>
1
4. J ха-1(1— х) «^х2-}-2ху ^^Vj4-^ ldx=
о
= 1СМ7\ \-а/»
яп ал [sh у J \ * (ch у} /
(sin [у—aarctg[siny(y4-cosy)-ijn Г (I arg у | < я; 0<Кеа<1;
х I sh[y—аArth[shу(yfechу)-1]] ) Lltargy[<n; 0<Rea<l 1J’
1 oo
С Xя-1 (l-}-xcosy)dx V / i\fe cos^Y
j х2-|-2хсо®у-|-1 ~ Aw ' а4-й
о fe—о
[|?1<л; Rea>0].
1
С x«+x « ляп (ay)
J x-4-2xcosy4-l sm у sin (ал)
о
[0<1?|<л; |Rea|<l].
00 5
7- У 2p-a)^i fe, P-^; P+|;
J [ил -f- Jlt/x-f- CJr \ Z Z Z UC j
0
[a>0; 6«<ec; 0<cRea<2 Re p].
CO
f dx—
J l(x4-a)2—62lp
о
= B(a.2p-a)(O»-4>)"‘^1(a, 2p-a; ₽+-' ;
[6<a; 0<Rea<2Rep].
co
9. f -----—————— = Л» [a, OO; Rea>2n—1; 6>—Уа
, /л гГ « 1 г____________________________________гГ «—1 1
a~V'c(2V'^+2b)a 1«+1/2Г 1 /а(2/^+2б)а-х [«-1/2?
_ [(a—2)Vrgc-f-6]yrn г Г а—3 1
8“ a3/2(2f^ + 2b)a-s La-3/2]’
(а —2) (а—4) ас-f-З (а—3) б^ос+Зб2 п-5 1
3 а5/г(2}|/ас4-2б)о_3 La~ 5/2 J
310
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 2.9.
м ^Л+2й+1/2
) (ох2+2Ьх+с)«
о
__ (—1)от+д1 л (2m—1)!!
“ Va22m+1/2 (п—1)!
[а, с>0; О^т-р^л—1;
finm-l
dakdcnmk2
n= 1, 2, 3, ... при Ь*<.ас и п — 1, 3. 5, ... при 6*>flc).
сю
J (ах2-|~ 2ftx-|-c)n
О
(— I)»’1 __т д'*-* ( 1 . b
(ft— 1)! a^ft^dc"®'* 1\J/ac—ft2 Vac—b2
[ft1 <ас].
(—ip*-12 a»-1 / 1 ln
dakdbmddt~m~k~l \У&2—ас b—У b2—ас/
fac<b*i.
ь_п (ffl+2fe)!(2ft-2fe--m-2)t (ac_
[0.6,00, 0<m-P<n-l; « = 1,2,3»...].'
CO
14.
X dx_____
(ax2-}-2&x4-c)“
— <—d”~2 (b
15.
16.
____________________________arcct _____b_
2 (л— 1)! dc« 2 V(ac—ft2)3/2 аГСС g Уас^
(-_iy»-i d»-2 / b . Уж
2(л —1)! &«-2\(62—ac)3/2 b+Vb2—ac ac—bz
_ an~z
“2 (n— l)(2n— 1) £>2«-2
ас— ft2,
[ас > 64-
[aa<6,J.
[a, b, <00; n=2,
[ac= б1!
3, 4, ...J.
18.
C _ (— I)""1 d”-1 f 1 rc t b \
3 (ах24~2&х4-с)я (л—1)! йсп-1\К«с—Ь2 Уас—Ь2/
[ac>b*l-
[ас<Ьг1
an 1
w- - pT-1)^ n la- b-c>t- я~ *•21 ’• ••1
(—1)« a»-1 ( i
= _2--£-----f — —. in
(n—В! дсп-Уг^—ас
ас
0
oo
C xm+2* dx __ (— 1)я+я»-12»-fe -ifft! dn m l (___________1_______1
J (ax2+26x4-c)”+1^2 (2n — 1)!I ddtd(/t'm~tt"x с (Уас + ft)”1*1,
LO<m+fe<n—1].
(_2)я-1 a»-1 / 1 \
(2n —1)!! йая-1 \Уа(Уас~^-Ь)/
[m4-26=20 — 1], [o, 6, OO; n= 1, 2, 3, ...].
2 2.9J 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЗИ
оо
С________dx___________ (—2)®-1 д'11 / 1 \
J (a&+2bx+c)n+W ~ (2/г-1)!!дс«-1 [УсУа^+Ь /
[а, Ь. с>0; n= 1, 2. 3, ...].
оо
f х»~*
J (xa4-2xycosY4-jr2)P
о
1 fo / а а \ _ / а а1
~ 2^Р-а Г \ 2 ’ Р 2 ) \ 2 ’ Р~ 2’ ~2 ' 008
/ „/а —1 а —1\ „/а —1 л а—1 3 , Y|
-(a-l)COSYB^—, р------------р-------------------cos2уД
[1 arg у | < jc, 0<|у|<л; 0<Rea<2Rep].
____ __rfjc==« sin [(1 —<x) yl
x24-2xf/cos y+«/2 ву2~аяпуяпал
[|argy|<«; 0<|yJ<fl; 0<Rea<2; a^fcl].
oo
P dx у
J x24~2xy cos у4~#2 ~ J/ sin у W < IVI < я]-
co
Г _______x06'1_____я {sig[(I— a)y] — (1— a) sin у cos [(2—а) у]}
j (x2 4- 2xy cos у -f- у2)2 2f/4-a sin3y яп ал
о
(I aiyyl < Л; 0<|у|<л; 0 < Rea <4; a#; 1,2,3].
OO
27.
C_______dx_______ 2y—sin2y
j (x24~2xycosy+£2)2 ~ 4^sin3Y
о
fo < Ivl <«]•
oo
C________xdx____________sin у—у cosy
J (x24-2xy cosy4~F2)2 ~ 2y2sin3Y
[0<|у|<л].
CO
Г_______jfidx_____ 2y—sin 2y
j (x2 4- 2xy cos у+У2)2 ~ sin3 Y
0
P________xq~'1dx_______
J (x24-2xi/ cosy4-y2)3 ~~
0
л {3sin [(1 — a)y] — 3(1—a) sin у cos [(2—a)y] — (1 — a)(2—a) sin2ysin [(3—a)?]}
8^® ° sin5 у sin ал
[|aig^K«, о<|у|<я; 0<Rea<6; аф 1, 2. 3, 4, 5].
OO
f (x24-2xj/ cos У4-У2)3 — *n
о
. 12y—8 sin 2y4~stti4y
32^яп5у
Xя dx
[0< !?!<«].
9 sin y4- sin 3y—12y cos у
32г/4 sin5 у
312
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 2.9.
___2y(2-|-cos2y) —3 sin 2у . _ 9 sin y4-sin Зу— 12ycos у
~ 16z/Jsin5y ’ 3 32у2 sin5 у
I___12у—8 sin 2y4~sin 4у
4 32у sin5 у
32.
00
(*______xndx______г
J (х24-2ху cos у 4-у2)*- “
о
[О < IVI < л].
15у — sin у cos у (154~ 10 sin2 у4~8 sin4 у)
48у7 sm7 у
15 sin у— 15у cosy—5 sin3 у—2 sin5 у
48у6 sin7 у
« п/ . 1 + 1\
33 Г xa-i|x-yp i (±1 —п/2 (Р “ 2 * ° 2 )
‘ J (х24-26х4-02у> (2^+26)“ °
[₽ = 2р — 2а4-1 ±1; Rea>(l±t)/2; Re (р —а)>(+1 —1)/2; у>Ъ, Ь> — у].
[(2р-а-Ц^Ь+(2р-2а + 1±3)б1
_„(± з — 3)/2 L\_ 2 / ____________ J У
У (р -1) (2у 4- 26)а - ° * 3)/2
хВн>-а 4-1^2, а— —
[Р—2р —2а4-1±3; Rea>(l + 3)/2; Re (р — а)>(Т 3 —1>/2; у, 6 + у>0].
«« Г а (у*-1—z®-1) л л sh [(1 — а) ф]
•R)» 1 ’ иХ —• . — 1 #х/2
»’ ах2 4-26x4-е a(z—У) яп ал" a ' sin ал ship
[0<;Rea<l; 0<ас<6»; ab>(k ay=b~~V 1>* —Ос, az—64-У&4—ас» ф=Arch(|6|/Уас)]*
36. — ---- [o<Rea<l; ас>&^ ф= arccos(ь/Увс)].
аа/ sin ф sin ал
____л(2а~14-У°~1СО8<ХЛ)
а(у4~г)8й1ал
[o<Rea<l; ac<0; az=b-^Vb2 — ac, ay=—b+Vb*—ac]-
«о л (з/“ 1—га1) . л sh [(1 —а) ф] са/2 1
38. = ——------------- ctg ал --- ------------
a(z—у) аа/а8Ьф
[0<Rea<l; &*>ас>0; ab<0; ау=—6—У&*—ас, а2== — t4-V&*— ас,
ф = Arch (| Ь |//аё)]-
оо
39. f гт=------------= * j_— [Ь*<ас; а, 6>0].
J У х (ах24- 2&х4-с) /2с У/ас 4-6
СО
Елх»+Вх»+Сх+Р 1
J 0x!-|2bx+c)s/J 3(Уас+Ь)г _
х [(2 ^+ь) ++А + Ь. »>_ га.
2.2.11.]
2 2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
313
_________dx_________= -1 in g(f
(gx+л) Vrax*+2bx+c r h(rVa+gb—ha)
[g, fc, a>0: c^Ot b>—Vrac; r=Vaht—2bgh + cg* >0].
1 Г Г» 1
42. = — arccos 11----7-7=----г I
r L
[g, a, fl>0; c>0: b>Vec; r =V —ah* + 2bgh— eg*>0].
2
43. =-----7=----7=- [eA*—2bgft-J-cg*=O; a, g, h>0; c>(fc gb —fte^O].
hya+gVc
co
С Xя* dx
**’ J (ajfi+2bx+cy*
—00
[rrc/2]
/___nm Лдп-m-lfc® XT 7m\
»= * " —----------^j-= > (™J(2fe-l)!.42n-2Jfe-3)!!(ac-fc2)Ab-*
(2ft-2)!! W'
[o>0; ac>b*; m=0, 1, 2..2л—2; n=l, 2, 3, ...].
C ______dx_________(2 л—3)!! яд”"1
* (a*2+2ta+c)« ~ (2n—2)!! (ac—62)"-1/a
[a>0; aO-lft n= 1, 2, 3,
2.2.10. Интегралы от x° (ох*4-26х3-|-с?.
Условия: a, b, c—действительные числа.
x2+l . л
------dx = -—7=.
x*±x2-]-l 2/2±l
00 00 1
C x^^dx _ 1 Г x^^dx 2 2 4 71
* J (ax«4-2&x2-bc>> ~ “2 J (ox2+26x4-е? lC“‘
0 0
co
(* x* dx .
4- J ax*+^+c = Z‘ t>0!
0
/e ---7====== [oo: b>—Kat]-
2 у 2c (b +1^ac)
t 1 . b+Vft2—ас . л
— —-r- — In —!—7=-----, /2 =----- _ -
2V^~ac Vac 2 V2a (&+ fac)
CD __
5 1+ I(<«2+*)-+c*2]_p<fc=2a(1;f [P p
[OO; Rep>1/2].
2.2.11. Интегралы, содержащие А (Ках2+6х+с)«
СР
x®-2rfx Га/2. v—tzl
/ <V = (2*)a~VГ \ [Rez>0; 0<Rea<Rev].
(V^+z^+z)v |v-H“a/2J
314 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 2 И.
со
2.
xmdx_____/z\m-n+i_______n(n—m—2)1________
Н^+г)я~\2/ 2(m + l)(m+3)...(2n-m— 1)
[Rez>0; m = 0, 1, 2, ... , n—2; n=2, 3, 4,
3.
xaldx = 2-a a_vr ra, (tv-a)/2
!4-z2±x)v L(— v4-a)/24-l
[Rez>0; 0<Rea<±Rev].
OO
x™dx
(л —m—1) (n—m-f-1)... («+/»+1)
[Rez>0; m=0, 1, 2, ...» n—2; n =2, 3, 4, ...].
5.
xa~ldx
Xmdx
= 21+av2a-vj г <2a)r (v—a) Г'1 (1 + a 4- v) '
v (2vr(2v—2a)r(a>r-»(l+2v—a)
[|argz|<«; 0<Rea<Revj.
oo
6.
= (лги-п+12-” (2m +1)! (n—m-2)t [(m+/> + 1)>]П
1 2n (2a)m~n+1 ml (2n—2m—3)» [(2л — m— 1)»] i J
[|argz|<;n; m=0, 1, 2.........n— 2, n=2, 3, 4, .. ].
00
7.
о
о
о
n
2«2m-n+1n • ml
< j| |
2'z“-'B (a.v-ahfj-t ± “
a
±-2
oo
8.
dx
i-v
>v v
Rev>OJ.
a
9 f_________=
• J {^jy
=2—z-b(|; ’^)a(' f-»b Ч1; v+I: '-dYB
\ & 1 £t \ Uf J ЛВ \ 1 J f
£Rey, Rez>0, 0<Rea<RevJ.
0. Г
J УхР-f-Z2 (Vx2-}-Z3-l-y)V
« . 2 —У
2 ’ 2z
=(2z)”-’->B
[Rei>C| arg(y/z+l)|<rt; 0<Rea<Rev4-1].
2.2.11.]
2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
315
С _______-----------—=(2г)»-*-1 В , 1 -hV-сА
J /x24-z2(Kx24-z2+z)v \2 /
[Rez>0; 0<Rea<Rev+1].
С________хт dx_________________гтп (n—m —1)!________
J Кх24-z2(P<x24-z24-z)“ (2л—m—1) (2л—m-|-l)...(m4-l)
[Rez>0; m=0. 1, 2, ..., n—1; n~ 1, 2, 3, ...].
oo
,s- {тй=г(/х‘я^+х^А:=
*=2-“z«-V“iB^a, a; °t±|±-1.;
[Rez>0; | arg(#4-l)f <я; 0<Rea<Rev4-li
14. ( ^~1У^±£А.^1ах=г.^12-.в(а,
J /x®4*z» \ 2 /
[Rez>0; 0<Rea< 1 t Rev]
С Xм (yrx2+z2 4-x)~n __________zm~»m!________
J lzx24~z2 (n—m) (n—m4-2)... (л4-»0
[Rez>0; m— 0, 1, 2, ..., n—1; л = 1, 2, 3, ...].
oo
16. C —*** ldxy-----—=2a~vz“~v-1/2B (a, 2v—2a4-D
J K2x4-z (x4-z4-z24-2zx)v
[fargz|<n; 0<Rea<Rev4-1/2].
Н f ___________xmdx__________ m! (2n—2m—2)!
J 1^2x4- z (x4- z 4- Kz2 4- 2zx)" “ (2г)л"'в’1/2 (2л — m — 1)!
[|argz|<A; m=0, 1, 2. ..., n—1; n=l, 2. 3, ...].
18. f -ff-L.- [x4- Z 4-У+2 Ky (x4-z)]~vdx =
J Kx4-z
_-2?a-2Vga-v-ij/^B(2v—2a4-l,a)>Fi^v4-l — a, v + ~^; 2v4-l—a; 1—
[|argz|, largjfl. |argto/z)I<л; 0<Rea<Rev4-1/2].
19.
f ......... lrfx —.^Qi/z-g^a-v-i/aR /2а^ v_a . I\
J Угх4-2г(x4-z4-lrx24-2xz)v \ 2/
[|argz|<a; 0<Rea<Rev+1/2].
___________x”dx______________________(2z)m^1/az~”(2m4-l)l_________
Kx4-2z (x4-z4-Ух2+2хг)п (2л —<2m—1) (2n—2m44)... (2д4-2m4-1)
[|argz|<n; m=0, 1, 2, ..., n—1; n=l, 2, 3, ...].
316 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.211.
ОО
2L ( ^-—Ь+ху+г+г^ху (x+z)]~v dx =
б’ *+2
= 2i-2a2o-v-1/2^Bf2at 1 +v_a}8F7a+1 v+ 1-sA
[Jaigzl. I arg#,'<«; 0<Rea<Rev + l/2).
22 ( _ x*1^______________
J К(х+г)2-Н*+2+К(М-*)2-02Г
==2-v2a-v-iB(a. 1+^;J+v;
(|yl<|*|; |argz!<ji; 0< Rea< Rev-J-1].
23 Г ^dx_________________
J K(x+z)a-xS^+z+V\x+z)2-xVT
=2^ztt^1B(a,v-a+1)2Fi(y, 1+v;
|argzj<n; 0<Rea<Rev4-1].
a
24. C -^=[(z4-Vra^x)v4-(z—K«—x)v]dx =
J V a—x
= 2КлгГ “ lza~1/2zv»F. f1—v —- 4-a•
F La-M/2j 21\ 2 » 2’2+ ,z2/
[a, Rea>ft z2«£[0, aj}.
a
25. f -7^=[(а+/^Б)''+(в_у^—v+^)
,1 у а2 — х? \£ x /
o
[a, Rea, Re(a4-2v) >0].
OO *
С Xя'1
26. I - • -r___ , dx =
I V (x3+z2) (x24-y2) (Kx2+z2+/*2+^2)v
= 2-V-l2a-1.-JB/|i Z+l; v+l; l_g.)
[Rez, Rejf>0; 0< Rea<Rev-J-2J.
oo
(* Xя4
27. I -y._ _.... =- r ___—-7==—dx =
J /(X2 4- Z2) (X2^2 4_ 22) [/i2 + z2 + У X2^ + Z2]*
« « v tn /v—a , . a\ „ /a v4-l . . . A
=2-v lza^~2B(—2~ 4-1, —; v4-l;
[Rej/, Rez>0; 0< Rea< Rev + 2].
28. ( ---Г - _ 1 — -4- -T-- - -1 dx = К (УТ^Й2)
J Kxej-z2 Lr (x—c)24-y2 y^(x4-c)24-y2J V yz
[u = o—Ус4—1, 2vyz = c*4y* + z*; c, Rez, Re#>0].
2.2.12.] 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 31/
2.2.12. Интегралы, содержащие
с к их функции.
2-
о
разности алгебраиче-
[|argXI<TU Rea, Re (а— Х)>0].
Uargz't<n; Rea. Reo>0}.
co
(|argz|<n; 0<Rea<l).
4- =
[|aigz|<n; Rea, Reo>0].
OO
5. J ^«-^(x+zJP-i-xP i]dx=z«+p-iB(a, 1-a-p)
о
[|argz|<n; Rea>0; 1< Re(a + p)<2].
oo
6- (₽-“)]
0
(largzlcit; Rep>(h Rep>Re<jj.
1
f /x®-1 JlxeA^X
7. 1 I---------jdx=lnX Цап?А|<я; Rea, Re(Aa—A)>0].
J \1— X 1—X*1 /
0 '
8. C_£1U_jhcli • у
J \ 1 ± xy у + xj sin ал (cos ал)
о
focRead.n^™ larS»l<4|.
L l^>o Jj
a
9. J [(«+a)Y-i (a_x)p-i+(x+a)p-i (a—x)Y-i] dx=(2a)₽+Y-i в ф, у)
о
[a, ReP. Rey>0].
1
10. J [^r®-1 (a4-6—axJP^+^xO-i (a^b—6x)a l] dx=(a4-b)“+₽1 В (a, p)
о
[a, b, Rea, Re$>0).
f (/l-xv
11.
1 \dx 2 , ft
---------j — — — In 2
14-x*1 / x i*
J X 6
fa . b, t>P; Rep<OJ
318
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.3.1.
14.
Г а (х-{-а)Р-1 Xе-1 + b (х+b)al хР'1 . В (а, р)
J [(а+&)х4-а&]“+Р ааЫ>
[а, Ь. Rea, Rep>0].
Н----) | —= (ев—1>1п —
\ qxj J х ' q
[а, р, в >0J.
[а, 3 — произвольные].
In Z f J___1 \ ф (—р) , Ф (— у)
Р ~Да 07 а ь 0
[а, 0, Rep, Rez>0; Reji, Rev<0].
2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
2.3.1. Введение.
В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения
которых входит показательная функция. Одним из способов вычисления таких
интегралов является сведение их с помощью замены переменной к интегра-
лам, содержащим степенную и алгебраические функции Кроме того, некото-
рые интегралы, содержащие показательную функцию, могут быть получены
из других интегралов с помощью предельного перехода по параметру; напри-
мер, если
СО
J (п + х)₽ ф (х) dx=f (д, р),
о
то при соответствующих условиях
оо хо
С Ф (х) е~рх dx= lim Г (1Ч
у +“Р
х \~ар
- ) ф(х)4!х= lim [aPPf(a, — ap)]
2.3.2. Интегралы общего вида.
В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интег-
ралы, содержащие степенную, алгебраические и показательную функции Не-
которые частные случаи этих ^нтпралсв, ссответствукщие конкретным зна-
чениям входящих в них параметров, приведены в последующих пунктах.
Интегралы общего вида представляются с гсмсщью функций V/t
= 1, 2, 3,..., помещенных в приложении III Конкретные значения параметров,
входящих в эти функции, приводятся в фигурных скосках после каждого
интеграла. Кроме того, r—p/q, трр р и q—взаимно простые натуральные
числа, если не указаны другие условия.
у
1. Jx»-1^—xr)P-1e s*dx=V2e
О
{ВивНВф, (а+Л)/г), a=a + r(0—
а=(аф-й)/г, Ь=0 + (а-]-Л)/г, ?=(— $У/р)р} Г». Rea, Re»oJ.
2.3 2 j 2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 319
2. ^-i(^_pO3-ie-«dr=y26+V27
{£26=r-iB(₽, i-p_(a-H)/r), £*-(-iy(W)/rfa-z(l-fr+/H,
u=a-|-r (ft — 1)4-A, Mi=n, Oi=r(l — P+j) —a, a=(a+6)/r,
6=p + (a+6)/r, ft1=l- a + r(l-p+/), z = (-sy/p)P}
f#. Rep>0; Res>0 (или Res=0, Re (a + r₽) < r-j-1)].
3. J jca1(i/r+^)P~1e-^dr=V26 + /27
О
{Еи=ув(^±А, l-p_S±*j, Е„=(1-р),Г[а-г(1 -₽+/)],
u=a-|~r (p—1)+A, u1=r/, »i=r(l— p+j)—a, a=(a+h)/r,
6=p+(a+A)/r, ai = l— p+j, &i=1—a+r(l—p+j),
z = (-l)P4(sy/p)P}
[Rea>Oj r|arg#|< л; Res>0 (или Res —0, Re(a4-rp)<r + l)].
4. Г ^-~re~sx «Ь^Ум+Ки
J jr— X
r 0
{£„ = " ctgfc±^ я), £»=(-ly« jIT [a-r(l+j)J,
u=a —r+Л, ui—ri, vL = r(1+j)—a, a=b = (a+h)/rt
0!=!+/, 6i = l —»+r(l+/), z = (—syfp)P}
[y, Rea>0; Res >0 (или Res = O, Re a <r+1)1»
S. \ ^1^+y7+^)°e-SIdt=Va, + Va+V3,
0
fp ° r[/—CT/2’ V2—/. a—r(j~cy/2)]
{£“~“2/л U-a/2-j J’
p <J „ f(l—a)/2+/, —1/2—/, a—r(j+(l—o)/2)]
29~~ГГл L(l- a)/2-j J’
E>‘=- 2"+’ “т)"Ъ (* +^- -"-7<“+л))-
u^jr, o2 = (/+1/2)'‘> u=a+ro/2+6, »!=(/ —a/2) r—a,
p8 = [j+(l—<j)/21r—a, ai=j—a/2, б!=/+а/2, cr=l—a+(j—a/2)r.
di=/ + l/2, O2=(l —tf)/2+/‘, 62=(l+a)/2+j,
c2=l—a + [/ + (l—a)/2]r, <4=3/2+/, <% = (a+6)/r,
63=а+(а+6)/г, c3=l + a/2+(a+A)//-, <4=(1 + а)/2+(а+6)/г,
z =(-!)₽+? (sy/p)P}
[Rea>0; r[arg#|<«; Res>0 (или Res=O, Re (a + ar/2) < 1)].
6. fx»-4z/2+yfF+5?)e^^=sVae+vM
a
{Ея=-<й«Л’ (/-0/2)],
[_1 •“OeT’ / I
320 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.3.2.
£“=-^s2-2<a+ (i+f («+»). -f -+5).
Ui—H, «=a+ro/2+A, ux=r(/ —a/2)—ct, at=i~er/2,
6i==i(l —o)/2 + /, ct=l—a+r(/—o/2), 4=1—о+/, a3 = (a i~h)fr,
6з=(а+А)/г+1/2, c3=l+<r/2 + (a+ft)/r, 4= I — er/2+(a+A)/r,
z = (-l)P+? (%/рУЧ
[Rea>0; r j argp| <?C Res>0 (или Res= 0, Re(a+<Jr/2) < 1)].
J X®-* e-«<fc= V„+V» + V»
____1_гГ(1-о)/2+/, V2-/, a-r(/+(l-<^/2H
{ *’Кл l(I-e)/2-/ Г
p 1 гГ1—o/2+/, —1/2—f, a—r(f+l— o/2)l
Em Vl rl-a/2-/ J'
Z»+»to+»>/r ,e+* 2.л,..\
• £зэ-------------В I—-—» 1—0—— (ct+ft) \,
ut=rj, «2=rG‘+l/2). u=r(0— l)/2+a+A, t^=[(l— o)/2+flr—a,
t>2 = (l— o/2+/)r—a, «! = (! —о)/2+/, 61=(l+o)/2+/,
q=l-a+r[(1— o)/2+fl, 4=1/2+/, a2=l—О/2+/, 62=l+o/2+/»
c2= 1—a+r(1—0/2 + /), 4=3/2+/, a3 = (a + ft)/r,
63=<r+(a + A)/r, c3=(l +c)/2+(a+A)/r, 4 = a/2 + (a+A)/r,
г=(-1)1Н9 (sj,/p)P}
[Rea>0. r|argy|<n; Res>0 (или Res=O, Re(a-j-ar/2)<r/2-f-1)].
«. f x»1 (^'!!+К^+,1ГУ’ e~^dx= v„+v„
0 *
{P п+2/, а—r(l—g+2/)/2
lc2s — Mi rtJ;
21-2 (a+ft>/r /2 1—о а+А\
£»= —------------BI —(а+А), -------
Ui=rj, и = г(с — 1)/24-а4-А, vt=r [(1— п)/2+/| — а, ^=(1— <у)/2+/,
61=1—о/2+/, et=l—а+г[(1—o)/2+/J, 4=1 — а+/, а3=(а+/1)/г,
63=1/2+(а+А)/г, с3=(1+<т)/2+(а+А)/г, 4 = (1-o)/2 + (ct-l-/i)/r,
2 = (-l)P<7(S4f/p)P}
[Rea>0; rjargy|<n: Res>0 (или Res=O, Re (a -f- ar/2) < r/2 4-1)].
?___________________________
J x2r+2 (xj/)r cos у +1/"' X~ 1
о
v (-l/sinh+Cg+Q/r-l)]
sin [(a+ /) л/d ' yr
U- . z
r sm у
1=0
(Z-l>
/=0
[Rea>0; |y|, 2r; arg<rt; Res>0 (или Res = O. Rea<2r + l)J.
2.3-2.] 2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 321
С_______sx dx___________
J (ха/Ч-2(х^усозу-|-03')3 —
о
U лу°-^ у (-l/(a+f_r)cMY((tt + 0fr--2)] ,
2 sin2 у 2/2 sin2 у П sin [(a-pl) л/г] l Л т
<=o
4- У (— 1/Г(а—r— fr)£®^&tz£.sr««»-a^(i-i»
* Zai 4 ' 4 2 Sin2 V y
1=0
[Rea>0, Iv1, 2r[ar2y|<rt и Res>0 (или Res=O, Rea<4r-f« 1); U см. 2.3.2.9].
II. f-^2=[(vr'2+V^=7y,+(!l''2-V7=^f]e-sl,<‘x=-Vi,
рУ-х-
{Езэ —
2^+2 (a-f- ft)/r /a+ h a_|_ м
В i * cj ~f*j — ) *
r \ r r /
u=r(G— l)/2+a-f-A, Оз=(а+Л)/г, 63=n+(a+ft;//-,
c3= c/2-f-(a-f-A)/r, d3=(cr-|- l)/24-(a4-ft'/r, г = (— $y/p)₽}
[y, Rea, Re (a 4-ffr) > 0J.
oo
12. f -7^^[(x’^+)<?=Zr+(z/2-V7^7)“]s-«i)t=ve+v2,+va,
J Vxf—if
У
{Гм= (a-2/), 2а-2/Г (a-r(l -ff+2/)/2],
EM=(— 0-2/),-2 ^iT [a-r(l-bff+2/)/2J,
2l-“2ta+A)/r _/1—a a+h 14-0 «4-Д\
------------—» "2
Ut=rj, r2=r(04-/)t u=r(G— l)/24-a4-ft, vt=r[(l—a)/24-/]— a,
»2=''[(14-«0/24-/]—a, ^=(1— a)/24>/, 6t=l—0/24-/,
c1=l-a4-r[(l-a)/24-H, 4==l-04-b ^-(14-о)/2+/, &а= 14-a/24-/,
<^= 1—a4-r 4-o)/24~/J, rf2=l+a+/, 03= l/24-(a4-/i)/r,
£8=(a4-ft)/r, c3=(14-o)/24-(a4-ft)/r, 0)/24-(a4-ft)/r, г=(~$у/р,р}
[^>0; Res>0 (иля Res = O, Re(a + ffr/2)<14-</2)l«
00
13. Jxa le“flxr”srdx=t/1 [2=(t)P(f)?; Re“> Rea R6S>°]>
0
Q— 1
„ _ У (-«)/ r . ,As-a-r/ F f1» A(Pr «4-'/); (-0’4
Z "IT" (a+ri)s )
/=0
[о;<г<1].
p — i
у (—1)A r/a4-A\ (a+ft)/A ft fl, A(<7, (a4-A)/r); (— l)^x'J\
U1= L -tor g+1 pU(P. 14-Л) /
6 = 0
j] А. П. Прудников н др.
322
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12 3 3.
СО
14. \х^е~ах~Г-*х dx=*
о
Q— 1
” 2 1-а+,/), Ай. 1 + /)) +
1= о
р — 1
у» ( 1)* у f_a-^-h\ (ац. дуг ь д. /1;
& Mr V г J 1 P*9\A(q, 1 + (а+Л)/г), А(Р. 1+*)/
й = 0
Гг= (-!)₽+« (- W-У; Rea, Res>o1.
I \ Р / \ <7 / 1
2.3.3. Интегралы от Л?*,
оо
1. дс“~¥ ДгЙг=Г (а) р а
о
tRea, Rep>0] или [0<Rea<l, Rep=OJ.
оо
2. хпе PJcdx=Mp a~1
о
|Re₽>0].
оо г
f И — (2rt—
J * е •*- P/f + H
[Rep>OJ.
ibo
4. f
•у— JOO
2.3.4. Интегралы от (х±о)Ре Vх»
оо
1. J (х—ар 1е-Рл-йг=р -₽г~Р°Г(р)
а
[a>0, Reg, Rep>0 (или C<ReP<>, Rep=O)].
оо
2.
tRep>0, |argzi<n].
3. J =
О
[Rep>0].
со
*• f 7 dx= V + t£pZBi
J (х4-г)а г
о
[Rep>0; }аг<г|<л).
у %4-z r p
( . dx=2 Yяр &z erf: (V pz}
oJ (x+z)3/2 Vz
[jargz|<«; Rep>OJ.
[|argz|<n; Rep>0].
2.3 5.J
2.3. показательная функция
323
оо
(• et>x
J х—у <^Х=~"е Ьг. Rep>0],
о
(•*£— Pl*l ( 1 |
[Rep>0. ff^O, Imy=0].
*
—oo
too
JerPg n0i (frt
(Т±й₽*=2,иГ®|‘'',“(”'”{1} b>,».Rep>OJ.
— (oo
2.3.5. Интегралы от (jc«jha*)0e~Px.
Условие: a>0.
a
1. J (a2-x2)₽-4-*-vdje=2S-i/21Z-Гф)(р/а)1/2-Э^_1/2(ар)
—a
[Rep>0].
a
2. $(a—x)$le px dx=p^e~aPy —ap) [Refl>oj.
0
a
3. J (а2-х*)&~М^4х=КлГф)(2аД)₽“,/2 Jp_1/2(al) [Reft>oj.
—a
eo
4. J (x2-a2)»-4-P-*(fc=^Lr ”1/2^_1/2 (ap) ReP>e].
d
eo
5. f 7^-^ГвЛ=в.Г?Г(₽)2’-*2^У'2_₽Я'%г-^ (la)
J (x2—a2)1 p ' \a / i/2 —p' 1 /
a
[е=+Л; Reg>0. J_Re(i’X)<0 (или 0<Reg<I, Re(l7l) = 0H.
oo
д Г e~pv Л —
J (ra+z2)P
0
=2-» ~ w Г (1 -p) (I)"2 ~ *pw (pi) - Y1/2 _ „ (^j]
[Reг, ReP>OJ.
oo
7- j (z»+zy <fe~2 ^р-1/2(1г)
—«о
[X, Re?>0; 0<Rep<lJ.
oo
P Л IL1«
в* I “^T 9-dx=~e [Rez>0; fmA.=9].
J JC®4-2^ z
—-0B -
11*
324
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.3.6.
оо
С е^* я _z IX1/2 • /г 1 I t л \
I ------dx=—e г,А1/2 sail—7^4----) [Rez«>0; ItnX=01.
J x*+& z3 \V2 41
•—oo '
oo __
f -dbc-2L 2- 1/2 sin 4 111^3 д- H
J xs-j-zb** 3z%e ^Зг5 М1г1А|Т+б)
— oo
[Rez*>0; ]mA=0],
2.3.6. Интегралы от x“(xztа)₽
Условие: а>0.
а
$x«~i(a-x)&-ie-P*dx==B(a, p) a^\Ft (a; tx-f-fl; -ap)
o
[Rea, RepXJJ.
a
J x*"1 (a—x)a~1e_px dx—Yn Г (a) (a]p)a~^2e~aPl2^a_ 1/2 (ap/2)
о
[ReaXH.
co
J^Cx—a)P-,e-P*dx=r(p)a«+&-’£-W(P, a+P; op)
a
[Re0, Rep>0].
J x®-1 (x—a^e-px dx Г (a) e~a^2Ka_ l/2
a
[Rea, Rep>0[.
( e~px - ** = erfc2 (V ap) [Re p > Ч-
J Y x—ax 2 V a
2a
ePxdx=V (a) z“-RY (a, a+1 — p; pz)
[Rea, Rep>0; |argz!<rtj.
10.
co
С x*1 (х+г)»-1 е~Р*dx= г (а) (р/г),/2 1/2 (дг/2)
J Ул
о
[Rea, Rep>0; jargz|<nj.
2.3.6.] 2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ функция 325
оо_______
11. J [Rep>0; |аг32||<Л].
О
12. | х”-1 (х+г)±1/2-“е"' Лс=2“ ,/2} г (ajt^D^ (К5Э
р?еа, Rep>0; |ai£z|<jc; с=={о}]«
13. f е~Рх dx = Г (a) 2«-M*T (1 — а, рг)
О
['argz[<Jt; Rea, Rep>0 (или Rep = 0, 0 < Re а <2)1.
оо л
и. f i)n^z^Ei(—рг)4- 2 (fe—1}!(—
О Х~^2 к = 1
[Rep>0],
15. I —v— e'pxdx= (—1)я лгп i^ep2 erfc (Ypz)-^
J
я— 1
4-2l-BYn pif2~n 2 (2л—2fe—3)!! (—2pz)ft fRepXh |argz|<nl.
k = 0
03
16. f e-Pxdx=r (a—a; — py)—n#08"1 cfgаягг^
J x У
о
[fft Rea, Rep>0; a^l].
oo у___
17. J x®-1 (x+ у^-1е-Рхdx=±Г (а) ,pfi/2X
о
XHa3-52,/2)(j) I* Rea’ Re₽>Ob
oo
18. §
=2л ! ^iFi (о; P+<r, -A.(z—
[{x<o}: Retr’ Re*>0: Re(p+o)>lj.
oo
19. (z 4- ixyP (y— ix)~° eikx dx=
—oo
=s&nX^^(j/4-z)1'^?“|M*Y(i_.fl, 2—p—a; |Л| &+?))
[Rey, Rez>0, Re(p4-o)>I; 6=a при A<0, б=р при Ь>0].
326
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 3.7.
2. 3.7. Интегралы от х? (х2 ±а^е'Р* и ха (а2—х2)е~Рх.
Условие: а>0.
О
-Арз^-Ч)^, “+*^,(“±1; А, ₽+£+*; [Rea, Ref»»).
2. f С. '^.с-рх&_(-1)”Тя » /ар\Г. Iep\ . /epVft
J V&-X* ™ 2 dp« V 7>/*V2/+
OS
3. J х®х(х2—а2^1 е~Рх dx=
= ’+₽; 2^)-
_ » ;wo<=d iB(fi, 1-у2-₽')л(Ца; Л, Ц^+0; ^)+
At \ At ! >с Л! A L ]
+(2₽)2 а-*Г(а+2₽-2)л{1-0; 2-0-“, 2=^-0;
IRep, Rep>0j.
СО
4. J x«+1(x2—а2)^-1^ Pxdx=
а
= (-’>,е^Т'Г(И£1*Ь «е,>н
5,
J? -Л—3/2
| - trP^^dx
fRej?>4.
6.
7.
— (—])П1 дП 1
~~ дп«~х
(—1>”й <>~2 [
Vfti др» 2|_
[Rep>0; я= 1, 2. 3, ...],
IRep>0; я=2, 3, 4, ...J,
со
&
р *а-1
Ъ ------e~Pxdx=
J (х®4-22)Р
0
/ а 1 — а , .
=рЗР-«Г (а—грЬГЦр; 14-р—g—ЬР‘. т) +
ла.гр / а а\ /а 1 «. -
+ '~2~В\Р 2* 2/^2\2’ 2* 2 Р’ 4/
Р а+1 а-Н\ р /«-М. А £±^_п. -&\
~ 2 2 \Р 2 * ' 2 / ’ \ 2 ’ 2 ’ 2 Р ’ 4 )
(Per, Rea>0, Rep>9; если Rep = 0, то добавляется условие Re (а — 2р)<Ц.
2.3.7]
2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
327
д
zdz
X
х{г®~2[е,дг+яои72Г (2—a, ipz)+e(2-а, -«>)]}
[Rea, Rep, Rez>0; я=1, 2, 3, ...].
Схк~ше~рх dk Г д \«~1
J (х24"22)л Х (л—W дрЬ\гдг/ Х
о
X {z-3/2 [cos (pz) (1/2 -S (pz)) - sin (pz) (1/2-С (pz))]}
[Rep. Rez>0; fe —9, 1, 2, ...; n=l, 2, 3, ...].
oo
p xme~Pje . (—1)я*+я ~121*n / d \я~х
J (x2-|-z2)« “= (n —1)1 dp* \z~dz ) X
о
X{Z x[sin (pz)ci(p?) — COS (pz) Si (pz)]} [Rep, Rez>0; n=l, 2, 3, ...].
12.
J (x24-z2)n + 1/2
д"1 / d \«
4(2re —1)11 dp^zdz}
X
13.
хКф1<)+Г1/4('/)]}
[Rep, Rez>0].
oo
(* xme_₽x , ж . Г . / ят
1 I* (»“—2
[m/2]
/ am
—cos I pz—~
V " j
fe=l
[Rep,
Re z>6].
0
0
— (epy-PCOS artg W) [p, Rea, Rep>0].
2 sin are' ‘
oo
15. C ^L^Ldx^=^((~l)m еРУ Ei (— py) -егРУ Ei (py)l 4-
J x2—g* 2
о
[m/2]
+pl-m 2 (т-2^)!{ру)2*^ u Rep>»L
в» _
16. f U-p!f Ei (py)+(—l)mhl «РУ Ei (— py) +
Л x*—y* * t
, л ., A . / rem\ o . . . f remU ,
4-2ci(p^ sinlpi/—2"j—2si (py)cos(pt/—2”)[ +
Im/4]
4-р3-я* 2 (m—^fe)l (py)4*-4 1у» ReP>°l-
k=l
328 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.3 8.
17. С
J х2+?2
— оо — if
[у, Rez>0; %<0, 0<Rea<.2],
2.3.8. Интегралы от *°У£(ам* ±xPlifke Рх.
k
а
1. —x)P-1(x4’Z)^>e"PJcd«=B (а, 0)z ₽да+Р-1х
о
ХФ1(а, Р, а + fk — a/2, ар) [a, Rea, Rep^O. ' arff(l 4-a/z) I <л].
2. J xa 1 (x4-z)“° (2x+z)~1/2 e~px dx=z~x,2epz/2r (a) [D_a (Kpz)]2
о
[a, Re a. Re p >0, | arg г | < л].
oo
3.
. ym 2 (• / । i> Г ( nm\ .
,+*+*+**"7? I • о L« (»--
[. / nm\ ( am\
sm [РУ—гг}—СО8\РУ—
— (—!)»»«₽» Ei(— py)} [Rep>0; lmp=0b
xme Px
~2J
P fikx Л -4- lz . V-<JT
4- J (^W*^*^**
— co
[Rep. Rez>0; ReO^l;
6‘ Ш
Ш<°}; "-1-г-3--}
ь J (**+“)“**'“**=— гяг-^г"* JJ (г+г,)''*
—оо—if fe—1 fc=l
R5e!iIV« *" Rezfe>0, fe=l. 2, .... я, Rea>-1; Re/a+ У a^<l"l
Ke*xw K \ « "J I
. oo—fy n ft
7. J ^^2 JJ (zk + ix)ake-iKxdx=3Ui~X£za-1 jJ(z+2*)“*
—oo—iv k=l k=i
[/ Я \
K, vt Rez, Rezb>0; k—1, 2.n; Re(a4- V ®ь |<2; Rea>—1
\ *=» J
2.3.10. J
2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
329
2.3.9. Интегралы от х“ (Ул ± z+axJ1+teH)₽ g-jw.
I. Fха-t е-»«Л=2^-“г^’А-г(-v)i-srx
J \хг2)г
0
v т, Г а, г—а + v/21/ 1 v . . _ v
xr[1+o_r_v/2jA^. «+2-; *+“±2~' 1+“+^-л /«) +
+ ’ 1±-’+г 1 + v, |+,-ат’;^
\ л» £ £ ' /
[г=0 или 1/2; Rea, Rep>0; |arg2|<«].
2. J х“ 1 —dx= (± v)-/а+ x
0
Л^,2^. |-2г,ЦХ-а; рг) + (±т)ь-р^’^Г^+|-2,)х
XZ»(2r+^, 2r—+2r, l+2r—-’-—a; pzW
I o^aj v v/i+a-r,- vU-2r rf a* 2r—v—2a ]
+ Г 2 (+ V) 1 [I -a-(v ± v)/2jX
/v •+ V 1-Г- V V \
X/^—+ a, a; -Х-4-а, l-j-a-hy—2r; pz\
[r=0 или 1/2; Rep, Re(2a-J-v+v)>0; i'arg2j<nj.
3. f ^^(/I+7+Kz)1^-₽A‘dx=21-aAp-a^r(a)^D_e(/2^)
о Vx+z
[Rea, RepXh |argz|<n).
<♦ f e~PX 2 (?) [Rep>0; |argz{<л].
J x \x~r2J \ Л !
0
2.3.10. Интегралы от x“(Ул24-г24-вх4-6г)*>е"Рлс.
1.
OO
I x®-1
(Ул2+г2 ± x)v
(x24-z2/
e~$x dx—
— O2r-a-i/x vU-s*’ 2«+v-2rr Г a* r (a — v)^21
2 J l+(« + v)/2 -r]X
/a a+1 1 , a ± v , , a + v p222
\ 2 —; 2" ’+-2--------*• 1+~2----'• ~~
__tKr-a-imi+a^i-ir «\1-2r г I ' — v ' >' I \z
pz l+vf (3+a + v)/2-r JX
P2z3\
+ 1 a 3 3+a±v 34-a
2 » 2+ ’ 2’ 2 r’ 2
+ 2±vp^+v-«zv+vr (a ± v-2r)x
Kx r. / _ v , , 1 + v . _
ХзРа( r + —, r4—; 1 + v,
a ± v 1 + v—a , p2z2\
2 ’ 2 +'; “4-/
fr=O или 1/2, Rea. Rep. Rez>CJ
330
ГЛАВА ВТОРАЯ* ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.3-11.
оо . ч
V Г* 4-3-2 sh УЛ
[J_v(pz)—J_v(pz)J
{Rep. Rez>0].
3.
J VxVxz + z2
1Я \3/2 — Г /pz\ -- /pz\ . lpz\ ..
= \ 2 ) ' p 2 I/1/4-v/2 2 ) I 2 ) — /- «/4-V/2 f 2 }Y 1/4-V/2 ( 2 Jj
[Rep, Rez>OJ
(Kx2-|-z2±z)v
(tf+zy
ePxdx=s*
— Vy- 2r2a+v iz<z+v 2r г
a/2, 2r—v—a 1
1— (v4-a it v)/2JX
— 2*+« (+ v)i-^pza*v~8r+ir
Г(а-|-1)/2, 2r—v—a — П
L (I-a—vTv)/2 JX
2 ’ 2 » 2 * : 2 ’ 2
+pi а-*(+^12гГ (v+a_i)x
./1-bv 1—’V. 3 л 1 v+a 3—a — v. ^2г2\л.
3\ 2 * 2 » ~2 1 2 ’ 4~/
_|_p4r-v-a (± гу)2г г (v+a—4r)x
хл(-| +2Г, l-^±2+>, l^ + 2r. 4 +2,;
[r—0 или 1/2; Rep, Rez, Re(a4-v+v)>0[.
5. F £^±z2+x)V e±/Xjfdx=4zv^’vrt/2Kv(M
J у x2 -4-z2
—a»
[A, Rez>0; |Rev{<!].
2.3.11. Интегралы от &[(УахР+Ь ± ±
±i (УaxP-l-b ч- Уcxv4~d)p]s~R*.
I. f И.-1 _
i
= 2aai vav/2+a“rvl'2rr Г v+a
[v4-2a —2r4-lJX
XeFe^a, ?4-a; ~ -f-a4-l—2/; — ap\
[r=0 или 1/2, a, Rea, Re(a4-v)>0].
2.3 11 J
2 3 показательная функция
331
2 f X* 1 ef)X
J (a2—х^у
о
, 2’* f х«-1 Ь+У*=*)'"г-(-1У1' (а-У^Я^
Z J (д2—х2)г
; о
[г=0 или 1/2; с». 2 3.11.3].
3.
. а_х (а+У>^х^¥—(—1)2г(д—/а2—x2)v рх
л (д2—x2f
__ 2a! V~iv1-2/'tfx+v~2rF Г v-f-tt/21
[v4-a4-l— 2rJ
_ D fa , а 1 v + a+1 v+a , , o__ a2p2\
Xars\2 ’ "T 2 ’ 2 ’ 2 * 2 ’ 4
(a-j-l)/2, (a-J-r)/2+v
a+v4-2—2r
— 2v+apv1-2ra1+a+v-2rr
3
2
*+<* , t v-Ьа+З a2p2\
’ “2^+^ 2--------T)
[r—0 или 1/2, a. Rea, Re(a+v)>0j.
4. f X.-1 x-y^'’e_w&=
J (x~ay
a
_ vi-2r22r-2aav/2+a-rp —a+v/2, r—a—
ХЛ^а, ^4-a; 1-j-a—r —i-f-a+y—П —«₽) +
+ (_ ])i-*e*rV+v/i4Xr fa-r - 4)x
„ / , v 14-v , , , T , , v X .
XAk+g» ~i~ + r’ 1 + v’ I+'’ + ‘2 -“a; ~ep) +
/ v 1 —v , v \
X^Fa f r—g , —2“+/-; 1— V» 14-Г—y —a; — ap)
[r=0 или 1/2, a, Rep>0].
1 (Kx+a+Kx—g)v—(—1)2/‘ (Т^х^-д—a)v
(x2—as)r
= г-ч* f U+lG^g)v^-(-ir (x-V^=^)v'i
X» Л ~ ~T1 t ~ OK a. -r -I (J gr U^f
J (x3—a2)r
a
lr~O или 1/2, см 2 3 11.7].
332
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.3.11.
7.
оо
а
~ (y)(2a)v/8 ^v/a
[я. Rep>0].
f л-i (x+y'x«-oy-(-l)^(x-yr^^?)v
J (х2-а2)'
_ 22^-i-«aa+v-2rvi-2rr ГГ V a)/2» r (v+®)/21
I I —a I
v f l±a. 1 , , a—v , i , ?+« а2Рл\
X2F3^2* 2 »2’ 2 r,1+ 2 r’ 4/
__22/’“ 2yt-2rpaa+vi-i-2rr R+(v a D/2, f (v-f-a+l)/2
I —a
1+® i । a. 3 3-J-a—v ~ S-f-a^v д2р2\
2~ ’ l+~2» 2’ 2 Л ~~2 П ~4/ +
+(—l)i-2r2-vfl2Vp2rw-a г (a_V—2r)X
, v 1+v , , , . , . v—a 1+v—a , a2p2'
2 1 -2-+r: 1+V> ,+r+—>----------2---+,: ~r.
4- (— 1)1-2г2¥а^-*-«Г (a+v—2r) X
c / v l~v
Ха^’\ 2 ’ 2
2 ’ 2 ’
[г=0 или 1/2; a.
Rep>0J.
8. С ^Ч-Кх2—д2Г+(х-Ух2—a2)vg_nedx_
J У'хКх2—a2 ,
a
=V~^(?) * Re,’>'1-
9. f (x 4- Kx2 - а2Г+(х—/х^_—2дУКу [a> Rep>0].
J /x2—a2
10. J [(x+Kx2—a2)v—(x—Kx2—a2)v] e~Px dx—2p^vavKv (aP)
a
[a. Rep>0].
f „^(Kx+z+y^T-f—l^iVx+z-^4 pxdx^
J x ---------------(x+zH « ax
0
f e_Mdr|
J Iх—a)
a
[r=0 или 1/2, Rep>0; |arg«|<jr, cm. 2.3.11.4].
2 3 12 ]
2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
333
12. J [(Их+г+Ух)' —O^x-f-x—Кх)'']х"»"'<1х=
о
=VP”* 1zv^Se₽^Kv;2(px/2) 1Нед>0; |argz|<n].
1з f a/T+^+v^v-(-iMr^+2F-/i)v д_.
(х+гИ-(х+2г)^ еР ах~
= W J x»->fc±lgEa.Vl-<=.y;^->ra)V/8^хЛ|м
а
[г=0 или 1/2; Rep>0; |argz|<n; см. 2.3.12.7].
1Л f (x+z-f-/x2 * *4-2xz)v—(—l)2' (x-f-г—/x2+2xz)v
14, J Х (x+z)i^(x+2z)^
= el* С xa-l (x+/^^)V-(-l^ (x-/^^)v
J (X2—&У ax\a~t
а
[г=0 или 1/2; Rep2>0, |argz|<;ji; см. 2.3 12 7].
15. J [(j/x24-za4-x)v ± (Кх2+г2—x)v]^*<fx=
0
e 1_2_----*vS(1±1)/a, v (M [Rep. Re*> 0].
16. С (У^+^ч-хГ
J Kx2+z2
=2zVV{1+1)y2S(±1_1V2j v (pz) [Rep. ReZ>0].
17 C va-1 i^-^+xz+c (C-b/x2 + 2zx+^)1'a rPX
(x+2z)yx2+2zx+c2
=/2 Г (a) ePzD_a(V 2p (z+V г^2)) D_a (]/2p (z-/z2-c2))
[Rea. Rep>0; Jargz|<Jt]-
2.3.12. Интегралы от
1 f x«-^ ? Г (a) у (*+1)я-1(-?)*
* J (effx+z)» (n—1)J Zi (p+vJfe-Rn)a
о fc=0
[Re?, Re(p+?n)>ft |z|^l; zgfc— 1, Rea>0, или z=—1. Rea>n; i»=l, 2. 3, ..,].
c xg-лх dx^1”2 U^m.
J (e-p*4-l)* ps
о
3. f xZae~Px ^__]у»-1р-2»>-1(23д~Д— 1) л^Вад [р^Ч-
334 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 3 12.
ОО
* 5 -^1гех**-г (°) [г (“• TS*) - С f«. й +1)1
о '
[Rea. Ref, Re<p+fl)>0I.
5* J e«x_|_[ ^X==\q) Zj (2Jfe+1)« tRea^.0. ffgtO].
o ft=0
oo
6- J = q~n~l <—1>Я (* +y) lRe*- Re(p+^>01.
C r2«^ , __ (—[)»/ it \a«+i
J e9x_^i dx— 2“ j E*n
0
fr£<4.
CO
C An
’ J p+(>),==
—<30
{z-₽-₽B(-p. P+P) [Inz+ФHp)-№+(>)]}
[|argz|<n. —Rep<;Rep<;0, л=1. 2, 3, ...].
11 f ^(-O^^CP+Om-t
J (eV+2)m (m—1)1 dp* srnpn
—eo
|argz|<«; —m<Rep<0; m=l, 2, 3. ...J.
oo / m—1 л—~m—1 к
tt. fу » у *1
J (е»-[-г)я (n—1)1 I jU « Li h I
—eo \ fe—1 k— 1 /
[|argz|<a, m=l, 2, .... n—1; n=2, 3, 4» ...J.
oo
P vamx
13. I
Х(е*+г)
(m—1 в—tn »
^+21-2X^r+2tai
fe=l ft=l /
[|argzt<n. m~ 1» 2.tf, n— 1. 2. 3. ...].
12]
2 3 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ функция
335
г» vp(m+l/2)JC
к --------dx
^4-2)^
/г\т-п(2т— 1) И
\2] (2n-1)!!
(л—т — 1)1
п,—т— 1
4— 2 In 2
к
[|argz|<n, m=0, 1, 2, ..
п — 1, r= 1, 2, 3, ,..].
15.
00
f xetnx
_J№(e*-Mn+e/3
dx—
(__цт^да-я-е/З
|argz[<jt, m=I, 2............ л=1, 2, 3,
3,о Л
н1пЗ±--7
2 2/
dx— 2т-лТ1/3В^т4-~, л —/п±-4^Х
\ О V /
хе(т+е/з)л
(^4-г)я+1-е/3
X
1
1
3^4-е-3
|argz|<n, т—0, I, 2, .. , я-}-1—S, л=8— 1. L 2,
х2етх , _ „(т — 1)1 (л —tn— 1)!
_______dr— *т~п J-----:----------с—ч/
(6*4-2)*“* г (л-1)! х
)2 щ—1 п—т — 1
_ У j_____у J . л2
2^ F А *а+ з
k= 1 *= 1
[|argz|<Jt, т—1, 2Г 3. ... , я—1, я—2, 3, 4, ...].
Xzemx
(е*4-2)я+1/3
4y ат^т-п-1/2(2п-2m-1) !! (m- 1) !
*v-2 a (2fc-l)H----Х
336
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.3.12.
x2g(ma/2)x _/г\т-л(2т—l)||(n—m —1)!
(ех + гГ1/2 Х~\2) (2п —1>!1
т л—т— 1 -j
jfe=l fe=l
[|аг@,г[<л; т=0, 1, 2....«—1; п~ 1, 2, 3,
(2л—2а—1) II (m —QI
{ех+г)"^ах-‘г z (2л-1)11 х
2.3.13.j
2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
337
[ ! аг* г | <л; m=0, I, 2, .... п— 1; п— I, 2, 3, ...J.
2.3.13. Интегралы от — z)ke^Px.
(-I)*"1
2—p-j-fe
[Re р<2, p^fel].
2. °ta *'(1 ~**>*И*(1 +<’>-4’<*+/>+*)I
0 k=l
3. —r-D~' 12 (I+rt+
fc=0
+ Т+да ~ +*>+*)+lfl ~O1++ O+p)
[0 <Za < In 2].
[a > ln2].
!д 2
Г xex , _л-2
J &TZlax~i2-
oo
®* J g2>. _ [ dx!— I (a)’
a
/ /щ l+rl \ = g -1 In* (Ks- 2).
GO
(* vtlp-pX (VI
«• j s+ij? ₽+₽>=
0
== (—I)"'1 (B (1 - P, p+p) (1+P) - Ф (p+P)1}
[Re (p + p) >0; Rep<«4-1; л= I. 2, 3, ...].
f —x- _ dx=—— (2л—1)H (2/n —2л —1)1! X
Л (^-l)V2-«a 2*1-*
(m — rt m \
ms- v ^ц+4 у +
k=l fe=l '
[n = 0, I, 2....mJ.
338 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12 3.13.
8. f dx_^ (2п-1)1! (т—п~ 1)1
J (е*—1)1/8-я (2m—1)1! 2» - и»-1
[n = 0, 1, 2. ... , т — 1; т=1, 2, 3, ...].
ео
С Х£*
\ ---=Л:=2я
(е*-1)3'2
ОО
10. (----^^п^<Ьс=21-*КЗл
J (^—])‘4+feV3
[fe=C ЕЛИ I J.
И.
ео
f ^g~mx л _ з r /
J (<?*—x~2(ml) V
X ln3
m — л-f-i m
. (—I)8» g V 1 , 2 V 1
ЗУЗ 3fe-2-H 3 k
[л = 0, 1, 2, ...» m-f-l; £=0или I).
12.
С хе~(ст"1/3 e/3)* 3 [ n-1/3-8/31. .,
J (e*— 1)'**)/» « 2 [m+2/3—e/3f ” 'X
[m—n m
1„3_ V >2 У
3V3 3
Я=1 л=1
[л=0> 1. 2. .... m; е=0 или 1].
13.
Z? xe- w/3) X
i dx= — Bfa
J _____j^<4+8)/3-n
m—n
[л=0. t, 2, .... m-|-8; 8=0 или 1].
f d.Y-n (2n~1)H
(ex~ l)1/2-» 2mm\ X
m m—n
(m—n m \2'
2 У огЦ- У 4--21П2 I
2k~l jLa k /
i=i k=i /J
[/3 = 0, 1, 2, .... m].
2.3.13.}
2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
ЗЗЭ
(2л—1)!! (m—л—1)! n8
1
15. \ dx=
J (e*— l)l/a'“ 2*-»« (2m—1)11
m lm — n
oo
и. у
0
Li (26-1)* \ Zi k "
k=t ' *=i
[rt = 0, 1, 2,
dx=s
т
т — п — 1
k=l
m
1
\2-
2*=Т+21"2
k= 1
, m —1; m= 1, 2, 3,
п — т — 1
=(_ir.«->2S«lwllP^^f3)!! 2|п2+ 2 ±-2 2
L fe=l fc=l
fe=
гЪ>(т+1) x
«7. I t.,.z
/9_₽
rfx=2(— mf Г
-----n
3
я—m —I
I 26—1
fc=i ।
я — lz n=l, 2].
2—e\
—m-----—IX
3
3 , _ . (—1)8 я
t x| -ln3-p—~~
; 12 2/3
m
»=l 3A-2+e
k=l
[/n = 0, л — к n= 1. 2; 8=0 или 1].
18. f dx=n(2л~1)H (2т~2п~*)n
J (gr_ l)t/2-« X mf2m x
[л=0> 1, 2, ..., m].
(гх__1)1/г-п
(2л —1)1! (m—«—1)1|”|й v (-I)6”1
2« m(2m‘—1)!! IO Li 6*
1 fe=l
[л = 0. 1, 2, ..., m — 1; m=l, 2. 3, ...J.
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.3.13.
со
Г Фе,т *'11 х
2»n+i
(2л—1)!!
(2л—2m—3)Пх
со
(* х® ге~Рх / о
21. I —dx==r (“) <Г“ Ф (г, а, — + 1
J еях —г ' V Я
о
[Re ipfq) > — I; | arg (1 — г) I < л, Re а > 0] или
[|г j1, z:/;!, Rea>0] или [z — 1, Rea > 1].
on
22. ( <•<**=Г (a) Я~а1 fa, •£+1) [Rea> 1; Re (p/<7)>-1].
j еч* — i \ Я /
о
oo
C xfy>~P* / D
23. I T J*= (— <7)’Л*ХФ(—+1
J eQx— 1 ' r \q 1
o
24.
? « г2» — 1 /2ЛХ2» । я ।
I —-----------------j-- — I а2Л I
J e9x — 1 4л \ q J
о
[Re (p/0>—1; n= 1. 2. 3. .. j.
[0:£O; n=l, 2, 3,
co m
f xe ^ J n2 V 1
2S* J — 6 F*
0 k= 1
oo m
лл f , я* _ V 1
26. I -=-Г^Х==ТЕ —6 Z H*
J £*—1 15 &
0 fe=l
CO
27. | ^^^=Г(а)[Ф(г, a-1, р+1)-(р+1)Ф(z, a, P4-1)]
[Rea>0; Rep>—2; |arg(l —z) |<я].
co ,
28- ( z^^^=r(aHUa-l, p+D-(P+lK(a, P+1)J
J (£* — 1)
0
[Rga>2; Rep>— 2].
oo
29. J ~^^^2»-1л*’|В2я| [n=i. 2. 3, ...j
o
oo
— 00
[a>0; —l<Rep<0; m=l, 3, 5.n=0, 1, 2, .... а^1(нли m=l, 3, 5.
m< n + 1. n~ 1, 2, 3t .... e= 1)1
2 3 14 ]
2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
341
2.З.И. Интегралы от (аг чх + Ье9х с)-1 f (х).
Условие: у—действительное число.
in 2
( __________=« И2
J ех 4- 2е х—2 8
о
2- f
о
i от
► з.
J e-fc4-l
о
00
С х2'1 1 п2я
О
[Rea>0].
[п=1, 2. 3.
5.
С х»-1 dx Г («)
J е*—z z
о
Lia (г)
[Rea>l; !arg(l — z)|<л]-
ОТ
в. C-£i<fc=r(<x)C(«)
fj С 1.
о
[Re а > I].
х2» 1
ev—l
dx=(—
v 4л
[п=1. 2, 3. ...].
7.
Вая
2«+Ч
МЛ"'1
[n= 1, 2, 3.
С a+ix^-a-ix)2» i(2n—о
»• J'-----[----------dx~ 2(2МЛ) [л-1,2,3...].
о
оо
I, f xdx___________=
J (х»+га)» (««"—1)
(л—l)!l\ zdz) L" \2л) Ц2л/] qz^ 1 J
[Re q, Rez>0; n—1. 2, 3, ...].
f xdx _ л2 V IB | (—V*
J (x24-z2)2(^-l) fla2* Z l 2ft+21 \qzj
0 k — 0
e-ux—e-vv dx Г Г(р+1)/2, 1 + v/21
\ ex+f x m L(v-M)/2, l + p./2j
[Re <7. Rez>OJ.
[Reg, Rev>— 1]
ЗД2
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 3.14.
«о eW+l’-r dx . f . ц\
,3- J *4-1 ~ж=1п\~tg
О
f—1<Кец<0].
f evxdx
[D< Re (ц/?) < 1; 0 < Re (т/<?) < 1].
— co
oo n л
*«• f Д=т11 *)т“ 2’<-1)‘1"Г(1+р+^+*(1+...+^)
0 1=1 fe = O
fri= J, 2, 3, ...; Rep>— 1; Re p> — 1 — Re v.^4- ... v.^- символ означает,
. . (n\ . .
что k-A член содержит 4 1 слагаемых, которые отличаются наборами индексов t,, i2> ...
взятых из множества 1=1 X .... л].
17. 1 - -— — = - In (Sin JUI) ie<Re Л < 1].
0
co m
p p-mx__1 vi 1
f ** dx=-ni 2
0 k=l
19.
21.
co
Г ei*x_Lefimx Я2
\ X----J--;---ax— . 9 r
3 6х—1 Sin 2 |Ml
0
[0<Rejt<l].
J «2Bf^EZ^2-^ = (2an-1)(2^)2”lB2nl
0
[n=l, 2, 3. .. J.
co
f ^-e-x+2
J (e*—I)3 3
o
OO
r xe*_______________dx _ 2л Jarctg (b/a) '
J a^'—(a2 ± Ь&) V6х—! ab (In (1 -j- bfa\
la, fe>QJ.
oo
23.
. b. In (c/&)
- dx a* “ In (c/d) [in (cjd)
0
[o, b, c, d>V\ max (a, b)<max (₽.
CD
24. f ——j = 1,1719536194 ...
J “j” 1
0
2-3-15-1
2.3. показательная ФУНКЦИЯ
343
25.
oo
f = 0,3118211319 ..
о
26.
oo
V —gVx _ i s*n
j e9v— 1 x ~ П sin [|Mi/(2g)]
[О с Re (v/fl) <1; 0 < Re (ц/fl) < 1].
!7.
18.
29.
30.
— oo
oo
— оо
оо
— оо
00
— ®о
оо
JK®" dK
x?dx
dx
(— 1)" (2п)! (2n)®«^
— (2л +1)1 s“l V 2n+1
у(я2—Y^l
3 sin у
____________________ V
а¥*4-е_'*-(~2ясобу a sin у
__ Y Ina
J a^'+e-*4-2acoey a sin у
— oo
xdx
2.3.15. Интегралы от AQQiF'****'**-
OO
El?l<rtb
[|?[<я; в>0].
£ 1 у 1 ся; а>4.
1. j (х-а)»-,е-',л' ^А:=Г(Р)(2р)^ехр1’|-|(?+ар)'1о^^2,^±?)
a
[Rep, Rep>0] или [Re 0, Refl>0, Rep=OJ или [Rep=Refl=O, ImpzjtO, 0<Re4J<2].
oo ,
2.
[Х> 0].
4.
5.
6.
о
J (a) (2p)-“/2 exp [fl7(8p)]
o
оо
о
p e-px*~qx
в
[Rea, Rep>0] или [Rea, Re®>0, Re p=OJ
или [0<Rea<2, Rep—Reg=0, Lmp^LO].
/q2\ t f q X
exp ( — eric i }
\4p) \2fpJ
[Rep>0] или [Rep=O, Refl^O]
11/<7 Z42\ir fqz\
—1/ — expl — )К1Л[—)
2T p v\$p) U*\fipl
[Rep>0] или [Rep=O, Im рфО, Re fl >0].
q W2
— j exp
' (q-\_r №
3^\fy>j A1/4\8pJ
[Rep>0] или [Rep=O, Imp^O, Refl^O]
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.3 16.
[Rep>0] или [Rep=D, Re^>EJ-
О
[Rep>OJ.
[Re р> OJ.
со
12. (ахг^2ЬхД-с)е~рх*~9Х dx^=
— со
= р 5/2 ^vqb+a (q*+2р)] exp
[Re р>0].
13.
— oo
|X>01-
2.3.16- Интегралы от Л (x) £ px 9^x-
1. J x^h-px^xdx=2^a/2Ka(2Vpqj
о
[Rep, Re$>QJ.
°° а
2. C ^-l^-Px-qix (_1)” (рГ^е^м)
i op®
о
co ,__
3. f x-tt-^px^/xdx^(-l)«y ~~е-21Гр9
[Rep, Ref>0].
[Rep, Re^>0t
co , p— *
L f —-------fTix-H* dx^^= e^+^erfc {1/ -^-4-Vpz)
Jjx(x+2) V 2 \Г Z /
[Rep. Re«>0; |argz|<л]
5. f e~p > x~^fx <V dx=~ p~l/v г( Д
J v \ v /
[v, <1, Re p>0].
— oo
2 3 17.] 2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 345
6. С г = 2К0 (2 /Лц) Ш, 03-
Z X
о
И» у--
7. V (14-1)1/- [V>G. и>0].
Ух г 2Ь
о
& У x®-,e₽*“ff/*<fx== 2ju 1 Jv(pypq) [p. q. ?>ft Read],
p—ioo
2.3.17. Интегр алы от A (x)e~bll<JC*—flS—
OO
1. f -r- — exp (— fe V^x2—g2—px) dx—
J У x—a
a
— b ~Г~7аexp (— aVp2—fe2) erfc (zj —- exp (аУр^—Ь2) erfc (jq!
[z±= Уa(p±VpI^T3}, Reft, Re(p + b)>o],
S? « _____ r~zr / s \ / s \
2. Г 5-====== exp (— 6 /x2—a2—px)dx^l/ — ^1/4 () #1/4 (—)
J (x2—a^3 г л X 2 / \ 2 /
Iz±=° O’ ± ft2); Re fe, Re (p 4- Ь) > 0].
co _
3. f — -. /-----exp (— b yxz—a2—px)dx—21/ — eH erfc (z_) erfc (z+)
J У x—a (x-j-a) * a
[г^аСр + Ур^Б5); Reft, Re(p + fe)>0].
4. f —---------exp (— b Ух2 —- a2—px) dx=
J (x2-a2/b3/4
== ^/^“^ Г ^2 ^2₽'l/2 Z+) ^2P-l/2 C^2Z-)
[z+=a(p±lf^~b2), Reb, Re (p+ &)>(>; Re0d/4].
5 f [(jf4-Vx2—e2)vexp (fe Ух?—a2)-f-(x—p/rx2^a2)vexp (— feУх2—a2)]
J y&=& x
Xe~*”dx=2av (p+b)v^(p-b)-v^Kv(ay^^ [Re (P±b)>o],
CO 'j _
” j ГхТЭ+^а|> <-‘У-,1+О’-'Я)Л;=Р<f *1/4 (Ф2)Xj/,(»l/2) .
[zV==a(fe3:Vfe*—Р*У. Rea, Reb, Re(p + b)>o],
Ж
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 3.18.
7 J ехр b _ рх) dx=
Г—еКр (—аУ&2—р2) erfc(z_)— ~ ехр (а Кб2—р2
Уб2—р2 U- z+
[zV = о (b+У b* —р2); Re a, Re Ь. Re {р 4- Ь)>о].
ОО* г_ .. . . /—
_ С ехр(—b У х24-а2—рх) , лт/2 , . . , . .
8. I -~==5------L______;.stfr=2 I/ — eyerie(xjeffcfzj
J Ух2+в2(в+Кх24-а2)^* fa 47
|z+= а (б ± Vb2 —p2); Re a. Re b, Re (p 4- b) > oj.
7i -20-1/2 ____ _______________
9. I f . -. (д4~Уx2-|-a2)2pexp (— б Их24-ва—px)4x—
J Ух2+а2
= Г ( L - 2₽) D>»-lrt (K2 z,) 0^ ,-5 (K5 zj
r <£ \ А у
[г^=ай»±У&г—p*>, Rea, Re b, Re(p4-fc)>0; Re £<1/4].
I». i [(Kx’+a’+xr^+fK^+a2—±)vg-6*]У «4-»* =
j> r«!+«‘
=й,(С+Ч’',(с-»)-’'!к,(4сг^) (ReiIi Re(OJ.t)>0)
2.3.18. Интегралы от eg(x)/(x).
1 oo
co
2. C x® dx= ~\
J B- \l* /
о
00
3. | e~psXdx— — Et (— p)
о
O, Rea. Rep>0].
[Rep>0].
4. j (a+6|xi)e-|gl + ^dt=2’^(^±5±‘
— 0»
OO
— oo
eo
6. £ xp*-®* dx = C.
— oe
[Ц. Rep>G].
2 3 19.]
2 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
347
2.3.19. Интегралы, содержащие разности алгебраиче-
ских и показательной функций.
1 ,
nre1~JC-r xP Xdx ... .
7^-r-xh=’H₽>-lnz
в
[г, Re р > 0].
2.
0
[Rep>0].
3.
----} — —— In r
1—Xl X
[г > 0J
4.
о
f 1 —e_Jf—е~i/x
< -----------dx—C,
J х
о
co
5.
п—1 1
2 (-=^-к=г(<х)₽“
[Rep>0, — n< Rea< 1 — п].
k=0
6.
&
[«г*- (x+1) dx—ty (p)
0
co
[Rtep>0].
7.
1 )*=]„«.-C
i+qxj x P
[Rep>0. I arg <71 < л].
8.
о
co
f л-pjr____ 1 1
1 7 ^ePZ E1 ltl
_1 X 1л"Т Zf Z
[Rep>0, |argz|<n].
9.
О
оо
J \ X Р
h*, Rep>0, g|arg#|<n].
0
co
г Ге~₽х— 1
J L рх
о
1\ ф(а)
Р/
[ц, Reff, Rep>0, й I arg в! < л}.
£
4
1 ,
co
П-Л________L
J —1 xe^*
0
oo
(* /e^*
i \dx
J \ 2
О
сю
-^1ПЛ.
1 я
= Tln 4
1
348 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.3.19.
оо
И 11 1 \ е Рх / 1 \ 1
2 “ х +ё^1)т"£йс==1пГ(Р)-(р~ 2) 1пр+/>—у 1«(2л)
о
[Rep>0].
оо
15- J G +^ + ё^=т)?Т~‘к=(р~4)1пр+1 1п(2л)— р—1пГ(р)
о
С {р%~х р 1—e~Px\dx р» . Зра
6* J 1~2-т + ~W~) х = 2 1п₽—Г
О
со
17. С to-g-ЩШ 4-
J *2 р+я р+я
о
оо
Пр-Х р-рх \
о
оо
19. f [(р-г)^+(г~7)^ + (9-р)е ^1^-
W "
о
=(Г—Я) Я1 п р 4- (р—г) q In q -J- (q—p) r In r
oo
I •9
0
=plnp—01П0—(p—g)(14-ln —
[Rep>0].
[Rep>0].
[Rep, Re?>OJ.
[Rep>OJ.
[Rep, Retf, Rer>OJ.
[m. Re p. Re q. Re г > OJ.
oo
e~rX \
4——j e~Px dx=Ч> (Я 4- P)—In (r 4- p)
о
[Re(74-p>, Refr+p)>OJ.
22. J X—^^^ег'ГЛС)4Г=1пГ[^^^1 [Rer. Rett+r)>-l].
0
OO
0
И°° а+Ье-Ях a+berP* \dx а±Ь q
ce^+g^-fte ?* cePx+g+te-Px) x c+g+h p
о
[Rep. Re?>0J.
2 4.1.J
2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
349
DO
25. |
0
— g-qnx e-pmx_^qmx \^х т
----------------------—(<7 — р) Ш —
п т J х2 ' ' п
т
[m. я, Rep, Reff>oj.
26. I
И о
оо
n
1=1
n
vx Adx 1 д^т
хт 1)1 дрп~тХ
F fe=0
[0<m<n; Rep>0; Rep>-Re(vil+via4- — +vj.A); символ означает, что fe-й член
суммы содержит слагаемых, которые отличаются наборами индексов iIf ... ,
взятых из множества 1=1, 2, я].
oo
27.
0
q г
[г, <7, Re р, Re о > 0, г । arg у | < я].
оо
л„ С / ~ л „.vrxdx 1ПЙ4-С ]Пр4-С
28. I (е~Рх<1—е-^) - =-------—--------
J х г q
о
С “* dr— <гХ'6'й г ГИ’ М
J ИЧ-W 1П(?/Р) [ Р J
—со
Г __ In (<х/Зр) . In (yp/q).
Iй-in(v/3) in (V/3) ’
[г, q, Re Л, Rep>0].
fl, b, p>0, 0<3<aMp<v|.
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.4.1. Введение.
Этот раздел содержит интегралы, в подынтегральные выражения которых
входят гиперболические функции Для их вычисления можно использовать
следующие свойства. Интегралы, содержащие гиперболические функции, могут
бьпь преобразованы к интегралам от показательной или тригонометрических
функции если воспользоваться соответствующими формулами, приведенными
fa приложении I. Интегралы, содержащие функции shn Ьх и ch*1 bx, сводятся
к интегралам от фу нкцгй sh bkx и ch bkx, если использовать формулы для сте-
пеней гиперболических функций (см. приложение I). В ряде случаев интег-
ралы от гиперболических функций с помощью замены переменной сводятся
к интегралам от алгебраических и других функций. Например,
а а а а
f Ф (х) ch2 йх dx =- * J<p(*)d*+-4 J <p(x)e2bxdx+~ § q> (х)е-^х<1х=
V 0 0 о
a a
= I ф (x) cos2 t7>xdx=- I ф(х)(14-сЬ25х)сЬс=
J & J
о 0
chafe . . --- ,x
1 Г /in (x + dx r .
В разделе «Гиперболические функции» а, &, с—комплексные числа.
350
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 4 2.
2.4.2. Интегралы общего вида.
В эгом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интег-
ралы, содержащие гиперболические, а также степенную, алгебраические «показа-
тельную функции. Некоторые частные случаи этих интегралов, соответствующие
конкретным значениям входящих в них параметоов, приведены в последующих
пунктах. Интегралы общего вида представляются с помощью функций Vy,
/=1, 2, 3, ..., помещенных в приложении III Конкретные значения пара-
метров, входящих в эти функции, приводятся в фигурных скобках после
каждого интеграла.
В п. 2 42 приняты следующие обозначения: r=pfq, где р и q—взаимно
простые натуральные числа, если не указаны другие условия;
{ 1, если взят sh6x,
I 0, если взят ch 6х;
(— если взят sh bx,
1, если взят ch6x;
{1/2, если взят sh“6x, п=1к 3, 5, ...»
0, если взят sh”6x, ю=2, 4, 6, ...»
0, если Взят chn 6х, п=1, 2, 3, ...;
6 = ^(п-2*).
£
У
1. f х« 1 -1 bAn dr=
J Ich 6xf
0
-у . 1 + (— 1)" ,x МЯ/2 Jr(fi-l)w 2 B /« Л
-------------2 I-»-1' » r[(«/2)!]2 \2r‘ ₽J
{^3i ( 0* (-«- 1)[я/83 ^>й лГ 0/2+2^ + h) •
u=a+2r(P-l), ax=g, 6^0+B, q=I/2+2?+*. ?=(6/p)2A
- [ff, Re0>O; Rea5-6a; |argfr|<n].
я (УГ+У^Г~^У+ Ish 6«|«
|Ch 6xj
/ I l-H—l)*,- ne/«cjv-n+a/r-i..онгу г [a/(2r)> *4-a/(2r)
'3ST~ 2 K-M » г((л/2)!р L v+a/r
Г* ( U ( » Г л r [v+2£, 1/2+2?+*
tt=a+r(v—1), = *i=v+s, ^i=v/2+|, di=(v+l)/2+|,
^=1/2+2?+*, z=(6/p)2p|
[#>0; Rea>—лб, Rea>—пб—2rRev; |argfr|<«j.
OO
. Г ~ 1 e.8r (sh 6xln
3. I rfx-'erS3'*' { ,,y
j (ch 6x1
о
, l+(—1)® пЯ/2о_А-1„-аЛ2г)
+ 2 2 S г[(л/2)!]21 \2r)*
U=Vn k>>i/U
843 ]
2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
351
[(«-1)/2]
V = 21иУл (ч= 1)* $ X
fe = 0
Га+2т1 fA<2' “+а);
1/2+2Г
tp(n—ад»'
S2
[r= V2J
{£»-( 1)£в/212лг Г[1/2+2У+л]’
и—— а/(2г), »г=2 (h + у), <р = 2 1 (л—2А) bs~lf f2r\
Д1=В, ^1=1/2 + 2у4-Л,
*Р j j
[Res>0; Rea>—fin; argb произволен при г>1/2 (n|Reb|<Res при г = 1/2)].
_ . _ „ j . . (sh bx}0
2.4Л. Иитегра лы от А(х) { . . >
r ' [ch bxj
Обозначение: 6=|^J.
со
(* JC®-1
I 2^-dr-Za
j shex
[Rec>0; Rea>l],
оо
2.
J ch ex
о
oo
'.“^rWt(a)=!rfrW У
fc=O
. _2^~l /Я\^ л2
зд 2» Ic) '2 4c2’
(2fe4-l)«*
'4=£t м ч-
[Rea. Rec>0],
co
w 2 (fenys"ir“2l 2“r<a),C(a’ mb.
k = 0 '
г _/Я\2я+1
2/141 “A 2c
л
2c*
Л \3
[cm. 5.1.4].
О
a
oo
3. f X“x |SJCX1 2dx=Ja [Re^>0. Re a >26],
J [ch ex)
о
/a=22~“c~« (1—2'2 a» (a) (a —1), 1^^л^с 2«1(1—2<2-®»a-e>)| B^il.
OO
C xdx _ In2
j ch ex c2
[Rec>0].
C dx _ (2r —2)'!(1—s) (2r-l)Hsrc
J chncx— (2r —1)1! c (2r)!!2c
[r=[n/2], s=n—2r; Rec>0; n =2. 3, 4, ...]i
352
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.4.3.
а
j (а-ж)»-*^^1л=2а»з ЧЛ(1; Р+1; а») + л(1; Р+1; -<й)1
ч
[я. Reg >0; | arg b | < к].
f /sh *4 fLS-V3 (<*)l
V X) 2 U/ ^Vn-vafa»)/
[a, RefJ>0; |arjft|<n].
a
(* .. . t , fsh ftxl .
I я®1 (а —x)P'4 . . >dX'=
J ' (ch ftxj
о
— X ла+₽-1в (a, p)[lF1(a; a+0; аЬ) + ^(a; a 4-0; —aft)]
лл
La, Re3>ft Rea>—ft; |argb|<jtJ.
a
f _ . , ._ , fsh ftr] . ,z— / a \a—1/2 ish (aft/2)) « . . . / ab \
I x®1 (a—x)®1 < . . } dx=y л г 1 1 ,Г (а) Г I/2Hr 1
j v ' (chftxj \ft J (ch(aft/2)J v ' V*\ 2 /
о
[a, Rea>0; |arg6j<fll.
a
C « < , a .хд t (sh 6x) ,
1 x®-1 (a2—r2)^1 < , , >dx=
J (ch ftxj
0
^дзе+а+6-2 /а+§ \ /а+6 I ,* a4-6 a^X
=------2------PJ1F2 V“2“; S'+ ’ P + ““T“;
. (a, Rep>0; Rea>—б; |аг«А|<я].
2a\0-V2
* J
Г(0)
pfl-f-l/2 (^1, / 0 1
14 + 1лИ)/+1г'1₽а*«
(a, ReP>0; iarg&|<rt].*
f 1 fsh J — 11 W r3 (°^\
J x) (chftxj ~ 2 ' ±1/4 2 /
о
oo
f X — Я ft ।
j (x2-{-z2) sh b>c ~ 2bz ~P л ’
о
= lii2—X
=F«
= 2~1/2[л-f-2In (1 + V2)] — 2
00
Г dx _____________1д / bz 1\
J (x^-f-z^chftx z P \ л 2/
о
= ±(2-n)
[a>0; |argft|<»].
[Rez>OJ.
[&г=я: Rez>0].
[2&г=я; RezXJJ.
f4bz=m Rez>0].
[Rez^>0].
[&z=n; RezXq.
2.4.4.]
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
353
19.
26 . о
= — 1п2
л
23. = 23/2Ь [1—2л1 In (1 +/2)1
21. С---—-----= - Ап2 -1 +--
J (Xе+sh bx 3 \ ch (л к 3/2)
[2fo- тг, Rez>0|.
[4Аг=л; Rez>0].
[bz=jt; 6jargz!<9t].
4.
5.
22.
0
(14-tx)«—<1—tx)«
sh (xk/2)
dx=2i —2i (— If/2
2.4.4. Интегралы от
Обозначение: б
oo
C sh bx , я . Ьл
J
0
S»|.
П/sh bkx\
(ch MJ’
Г sh26x c—лб ctg (6л/с)
J slPcx X—’ 2cA
о
f* 1 fsh Ък\._________________л____________о / b_+c \ И)
J ch ex [ch 6xJ 2c cos [6л/(2c)] c ** \ 2c / (0J
o
oo
C ch 6x , г***1 „/vc4-6\p fvc—b
J ciT^x “ сГ (v) V 2c ) \ 2c
о
OO
J ch" ex (л—1)1 (cosec
о
[(n —1)/2]
[Rec>|Reb|]-
[Rec>|Refr|J.
[Rec> | Reft |J.
[Re (vc) >| Reft|J.
b*
4ca
I__(_n®
nRec>|Reft|; A=- -
co
6. f shH-1 bxChn-1 dx=~ 7 B ft» 1 —!Mr^
0
[b>Os 0<Reu<2—RevJ.
7. C sh*”1 ax Is? dr=
J [ch bx)
о
_ 1 (sin [&л/(2а)П r r(v-b6)/2jp / 1—v b \ р/ 1—v _ b \
2а/я tcos[6n/(2a)]J [1 — v/2J [2 2а/ V 2 2a)
[a>Q; —6<;Rev<l—|Re&]/a].
12 А. П. Прудников и др.
354 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12 4 5.
СО
8. f shv~’ ах ch ar dx=
J Ich bx]
0
= -b b Jcos1Ьл/(2о)Ъг [(v+5V21 г (b~va\y (— b+xa\
~4а2У л tan [6n/(2a)]J L(l —v)/2j \ 2a ) \ 2a J
[e>0; —b<Rev<—|Reb|/e}.
9.
co
C ax phbx
J sh ex (ch bx
o
я f ал
— cos —
2c \ c
bn Voirin (Ьл/е))
C0S c ) (sin (an/e)f
№) Ч ГгЬ ffl+c~ M ( e+g-H \]
I 0 JLV\ 2c ] 4\ 2c Jj
[Rec > I Reai+ iRe b
oo
10 Г ish ax sh bx\ dx _
J IchaxchbxJ ch ex
о
я I sin (ал/(2с)] sin [Ьл/(2с)]) r . ,, ,
7 {cos[«/(2c)] cos [ta/(2c)]J [COS W4+«»(''-‘A>r
11.
OO
f sh ax ch bx . 1 Г,
I --------dr=— hb
j chcr 4c L
о
2л san (ал/су П
cos (an/c)-f-cos (&я/с) J
[Rac> f Reef-H Reb fl.
co
C shorsh ас A ла_______
j ch*ex — 2c2 cos |ал/(2с)]
о
[Kec>[Refl|].
2.4.5. Интегралы or
Обозначение: 5
3c—a—b\ .
—a-----)—Ф
Лл Л •
к
C>x«~1fshfex^. г (а) Г I 1 b\-r( 1 ।
Л shcr [ch bxf (2c)a V ’ 2 2c) \a' 2 + 2c )J
[Rex >1—6; ReO|»Refr[].
co
x=”+or (sh fex) . я bn
sh ex {ch bx) X 2c dbMia 2c
[ReOlRebJ; <F=(f}].
sh2 &r .________£
x sb ex 2
, bn
Ineos---
c
[ReO2, Reb |].
2-4.5.]
2 4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
355
Г z®-1 fsh bx\ . _
' ch ex (ch bx]
о
„„„ nrn / c—b\_.f e4-*\ -,f 3c4-&\ о/ 3c—*\1
=2-2“с ®Г (а) |_Ца, —-j-Ца,
[Rea>—6; Rec>|Re&|].
sh bx
xchcx
dx= In tgf
\ 4c j
[Rec>[Re6|].
Г* x2«+d |sh foA jt
6. t ----{ , . } ax=— ----— sec —
v ch сх I™ "xi 2c db®1*6 2c
ReO|Re*;; 6 =
«}]•
oo oo
x j 7Ег’Л:=г<в) 2 <-,)‘«<’₽Н-1)-*]-в+[с(2*+1)+Ч-в}
0 k = 0
[Rea>0; Rec>jRe&|].
oo
_ C shbx . я . . kxfa . im , Ья\ __ _ ,
в. I X — ax=:-.- 7Slir2 — 12cstn —-РЛСОЗ^— ₽Rec>|Re&].
J ch2 ar 4c3 2c \ 2c 2c 1
о
x®^dx
shexch-^z
Г (а) Г / 1 , a \ , _ / , 1 a Yl
(2fr)a L1^1 \ * a’ 2 26'/^"lfl \~1; a’ T~ 2f)J
10.
f Sher у (-1)*
J ch2 ex c® (2*4-1)®"1
0 ife=Q
{Rea. ReAX; Re<z>l].
(ReeXt Rea>—Ц cm. 5.1.4].
aa
11. f x<hHr‘1<xshaxrfz=— Г Г
J 2nd2 L(l—4*)/
|к>а; Rei4<0].
12.
Г ~ i ch ex j 2T(a) VJ 1
J &СХ c« Zi (2*4-1)“ 1
o k=o
[Rea >2; cm. 5.1.4].
oo
C sh^x^i *x ,_____1, cos[(g—*) n/(2c)J
J Xshcx ~ 2“П cos [(a4-*) я/(2с)}
G
[Retf>jRea|4*|Re&|].
oo
Г sh2axch*x ________A . ]n 14-<*»(.*я/с)
J x sfa ex 4 cos (2an/c) 4-cos (Ьл/с)
о
[Re<?>| Rea14-]Re6|.
OO
C shaxch*x . ______ 1 . cos{*n/(2c)| 4-sin [«n/(2c)J
J x ch ex ~~ 2 П cos [Ьл/(2с)1 — sin [an/(2c)j
0
[Rec > I Rea 14- j Reft |].
19*
356 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 4 6.
16.
17.
С _— V o*~lsto
J xa4-za shoe ~ 2 cz-^kn
о fc=i
(Rez>0; Rec>| Refill*
fibnit/c
=(-!)•»-55-
+(_1).^^1п(1+^/Э+_^^1[(м^1п(1+г)]Це,м/с
[сг=яп; Rec>|Refi|; Rez>0; n— 1, 2, 3, .. ].
«n b bn , c . bn. bn\
18. «=— —-cos------sm—ln(2coe x )
2 с л c \ 2cj
[cz=n; Rec>|Reb|].
19.
20.
21.
. bn 2c bn . .Jc—b \
~CSm —-----COS-x— Inctg( —J—Я] [2сг=л; Rec>Refi|J.
2c л 2c \ 4c j
co
C x shbx , a . bz , л . . ... . bz+n
J X»+ »chtoH^=-2™ T + 2 ante-chtelntg-j-
0
oo oo
C x ch&x . л____________ у, (—l)fe cos (frfat/c)
J x®4-zashcx ~2cz *'Л cz-j-kn
о k^l
[z>0; 2fRe&|<«]-
[Rez>0; Rec> I Ret fl.
22.
23.
bn . bn 1,1 bn . Г_ / , bflVI
-x- sm----x-+ -x-cos — In 2 l-}-cos — )|
2c c 2 2 «L\ c JI
n bn . , . bn . , fc-\-b \
= 2'c“2E-1+™ 1п‘Ц-5Г")
[CZ=JC ReOi'Rebft.
[2cz=x; Rec>|Reo|].
24.
co
С 1 chbx .
j xa4-za ch ex
(—1)« [ibf /1\ '
2n-H ^[с
n —1
k = 0
сехр [1*&л/(2с)]
л(2л-Ь1)(п-М)
А(п+1» 1; «4-2; -^c)
[сг=я(я+1/2); Rec>|Reb|J.
25.
26.
2c bn , /_ bn \ . bn
— — cosx-ln (2cos-x— l-J-fesinx—
л 2c \ 2c J 2c
lc2=3t; Rec> |Reb|].
[2сг=л, Rec> I Refi|].
2.4.6. Интегр а лы от (a4-&ch"&*4-csh«6x)₽
sh^x]
.chc*xj
Л -
f ch bx dx я r (1 —v) pv—1/2 ( ъ ч
j (Eha-chx)v 2 sh^a"Pb-^2(Ch )
0
[a>0; Revd: |algfi|<n].
2 4 6.]
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
357
л С dx 2 Уб2да
2 I ----------——— arctg------------.
J д+ftchx уб2—да д+&
з _ _L_ in д+^+'Гд2—62
“ |/д2 — 62 —/д2_&а
4. =а~*
5 F 1 in
J д-^^shx Уа2-}-^ a-j-b~V^a2~l~b2
(1Ы>1в|1-
[0<|ft|<|a|].
[6 = а].
[Дй7Ь0].
ОО
Jch bx , я bn . / b л , \
----------dx= ~ cosec — sh I — Arch a)
fl-f-chcx «у да—1 c \c /
[Ol; Rec>|Reft|j.
_ я Ья . / b '
7. = —7 — cosec — sin I — arccos a
- cyl—а2 c \G t
oo
P chftx , __ яЬ
j l-|-dicx ~ c?sm(bn/c}
[—1<а<;1; Rec>|Reft|].
[Rec >| Reft |].
oo ____
•• f I/-2 (“’-'),/4-v/2r [vVM v~b/cV^ <«•>.
[а<£[—1. 1]; Re(v±6/c) >0].
10.
ch bx
V a+ch ex
J 6Я n f \
л=л7Г 7 6/’-,/2(a)
[—l<a<l; Rec >2 [Reft]].
co
C ch bx dx ________я [Ь sin f cos (bf/c)—ccos f яп (bt/c)]
j (cos/-J-ch ex)2 с2 ыпЧ stn (on/c)
o
[2Rcc >|Re5|; UK я].
12
oo
fch6vchcx
11 -L ch citiV
2*-x
c
b^
c
b
V-----
c,
o
[Rev>0; Re(ve>>Rec+lReftЦ.
13.
oo
C cost—ch bx ______я sin [b (я— t)/c]
J cos/—char ‘ c sin/sin(ftn/c)
о
я—t
-----— COST
С8Ш/
[Rec>|Reft|; 0<т<я; 0<Г<я].
dx
co
Hshaxshftx) dx я f 26я 2ая\—1
l . , >------t— =----------7 (c08-----coe — J X
chaxchftxj cosf+chcx csinf \ c c /
о
fsin [д(я—/)/с] sin [b(n-|-/)/c] — sin [д(я-j-/)/с] sin [6(я—0/сЪ
Leos [д (я—;)/c] cos [6 (я 4- f)!c] — cos [а (я -|- t)(c\ cos (6 (я—/)/с] J
[0< U| < я. Rec>| Rea| +1 Re6|; я Rec > | Re (c<) |].
358
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{2.4.6.
СЮ
Hsh oxsh fcjrt dx _______ ________________2л_____________
ch ox ch bx] 1 -j-chcx c2 [cos (2Ьл/с)—cos (2ал/с)]
sin (дл/с) cos (Ьл/с)~\ (cos (ал/с) sin (Ьл/<?)1 "I
cos (ал/с) sin (bл/с)) I an (ал/с) cos (Ьл/с)f J
CO
C sh(cx/2)shbx .__________л sin (bt/c)
J cos /-f- ch ex X~2cxh(bn/c)sm(t/2)
0
OO
t C sh (ex/2) sh bx ____ nb
J 1 cli ex K~~ c2cos(pn}c)
о
co
18 C shrxshbx ________ bn sin (bt/c)
3 (cosi + chcx)z c2 sin t sin (Ьл/с)
o
co
19 . C----_,2 arctgV&-72
bchx+cshx у b2—i2 b-(-c
20 1 J
Уб2—й Ke®—&
21 . =c 1
oo
22 Г я*5*1 ^4 dX — Я J4
j [ch ax ch bxj ch 2ax-(- ch 2bx 4 (a2—b2) (a J
[Rec > | Rea 14-11 m b|^
[Rec>21Reb 0< |/|< Л].
[Rec >2 f Reb |].
[Rec>|Reb[; tf[<*b
[0< tb!<c].
lb=£l,
[Rea, Reb>0].
co ___________
C dx_____________________1 °4-b-f-C“r Vo2— b2-f~c2
J a-f-bchx+cshx Уa2—t24-c2 e_|_j>-f.£_y
2(a-b)
c(a—b—c)
[Ь*<л£+с»; fa^iani
[bs=a*+c*; c(e—b—€)<0}.
25. = -7- 2 (arctg /b2-a2-c2 \
Vb2—d~—c2\ a+b+c + j
[Ь*>аг+с». e=0 при (ft— a)(a+b4-c)>0. е=1 при (b— a. (a 4-b-|-e)<0, a<b±c; e=—1
при (b—a) Vi-t-b+c}< 0. a >b-f-c}.
26.
oo
f* ch ex ch bx
l + ch2cx
dr=—^sec— ch[—[пО+Уг)!
2cV2 2c L2c J
[Rw>»Reb^
f ch bx . л / . Ьл \-1 Ы
1 ЗГй* । ax—— tsh2/sm-к-1 sh—
J sh2f4-ch2cx c \ 2c / c
о *
[2Rec>|Re*g.
oo
f chbx . л Ьл _ ,.
[Rec>|Reb|l
2.4.7]
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
359
28. ---^-sh-l^shrAta(l+/2)]
J l+ch2cx 2cV 2 2с L2c J
OO
C dx 1 , c
I ------------ = —___ arctg—
J 6ch2x-(-csh2x Vbe Vbo
1 , c—if—be
= - In ----y——
2K— be b-[-V—be
PRe«?>fRe*ft
[te>0].
[6c<0J.
2.4.7, Интегралы or Л(х)(а4-6скл ftx-f-ssh* bxp JJ {ch^x}*
a _._
t (* xdx n V 2 . .t a
1. I --------> — =-------arcsmth — [a>oj.
J sh (x/2) У di a—ch x sh (a/2) 2
f Jc°t~1 — r
J cos/-{-chx ®
о
яа2«-*
®~ sinf sin(ctrt/2) [*\ a'
[Rex >0; |/|<л](
oo
_ 2Г (<x) VI sinfe/
sin/ A] A05 *
fc=l
3 C 1 fsh(x/2)l rfi:=_a22a-3рМ'/Зcos(a«/2)t-l
J cos/-{-chx |ch(x/2)l (cos (//2) sin (an/2)J
о
[Rea>0; ]Г|<я].
oo
. f xsh6x . л . -bnf . bn . bn\ rn
<• I Ti—;—-ax=-y sh'2 — (csin---Ort COS — ) - [Rec> Reft].
J 14-chcx & с \ c c J
о
oo
C xfr^shftx ________ ягГ —v 1 _______b
J (l-f-chox)v X c2 L v—2, 2v J db2n*± wa(bn/c)
[Re(w)>| Re&|].
oo
r xch(x/2)7x 4 Гя т (п+^ т(я~Al
J cos/+chx “cqs(//2)£2 к < / к 4 /J
₽^Я(2й+1); k=0. ±1, ±2, ...].
360
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.4 8.
оо
J (cos Z-J- ch сх)2 я
о
I = У (—l)fetcos&
п c2n+2sin/ £ fe^+i •
fe=i
._______f+я . _ tiyt—t2}
• с2sint * 1— c*sin£
[Rec>0; |/|<nj,
oo
Г_________ch&x_________ . __ ne~ibx
,) (x2 4- z2) (cos <4- ch ex) ~2z (cos cz 4-cos t)
о
oo
ел V (exp[— ibi[(2fe4~l)n—expf— й>л[(264-1)зх4-/]/[лс)][
+ shf Zi 1 ^z2—[л(2&4-1)— f]2 c2z2—[л(2&4-1)+ф J
Jt=O
[Reo^,Re6|; [/'<«; Rez>0].
9.
Г x“1/4
* **
J 14-2ch2cx
o
oo
k=i
kerV^k^c2—b2 W2 . kn
—/ ““ 3-
[2 Re.- >lReb;].
10.
Г x^^chcx ...
I —г , M----shbxdx=s
j 14- ch2 ex
0
11.
л d8**1 Г Ьл .
— ------- gee — ch
2cK 2 db2»*1 I 2е
a/2
[Rec > | Reb |J
oo
5x® 1 sh axsh bx , Г (a)
--------------ax=-------—
ch2ax4-ch2hx
2(a2—&2)“/2
CO
у (-1)*
^0(а+1Г»
[Rea, Reft>0, Rea>—2; cm. 5.1.4].
л—b
12.
f x” dx____________(2л)!
J £chx4-cshx“-(h4-c)2,l+1
о
(2л)! ф{с-Ь
1
2
[6. tf>4.
2.4.8. Интегралы от A(x)chbxx2|.
Ich/^-x2/
Условие: д>»0.
!. f (a’-x»)<S1V2chix/Sh^‘!iZ,l = --=^^т-/б(аГ55+3)
J lch(cZa2—x2)J 2(624-c2)e»2
НШ-
2. f 011 tx
J (tfi—xs)8^4 Uh (ep^a3—x2)/
' (t )3/2 FT/+1/i [f (»/3+*-»)] Z±w [J (^+4
2.4 Ю.J
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
361
а
3. р^а2—x2ch (с|Лг2—x2)ch6xdr=
0
= _зш2с2 Г/ (fl —fe2 ~cLT. .. j
2(Z>2-j-c3)[ ° a?Vb»+c*
л f ch (cjAz2—x2) , , .
4. I —/ __ -chftxax—
J Ух(а2-х2)
- (jf12 VH-Vt [4 (/^+3-c)]/_w [f (I'W+t)].
2.4.9. Интегр алы, содержащие th ax, cth ax и разности гипер-
болических и алгебраических функций.
00
1. С х®^ thaxdx=21“aa-a(21-a—$Г(а)£(а)
b
[Rea >0; —1 < Rea < 0].
a>0; Rea>
Oil
41’
оо
о
[Rep>IJ.
С th(cr/2)
J xchcx
о
dr=ln2
оо
С chftx—1 . . Ья
I ---г---ах=—Ineos <5-
J xshcx 2с
О
оо
О
оо
*• 5^ ^жг-4)Лс=2(1-2~“)Г(а)!:<а>
[Rea, Reb>0].
[| Rea | <1].
2.4.10. И нт егр алы от х^е’₽-*-{ ' S
ten bx)
ОО
i С -nt fsh &х) . 1 (6)
J 6 {ch &к| — fP—& {pj
о
Jsh bx\ 2 1 f 2b» Y
(chfrxf ax~p(p»—4h2) tp2—2b»J
[Rep > IRefrf].
[Rep >2 | ReЫ].
о
fc>0]-
[Rec >|Ret|J.
0
362
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.4.ГО.
оо [п/2]
3. e~Pxshabxdx=bap1 anl | | [Р2—й® (2fe4-o)2]~x
b k=o
[26= 1—<—l)rt; Rep>n|Reft|].
<33
4. f егрх Shv-x bxdx=2^XB (v,
•J \ /
0
[Rev, Re&>0; Rep>Re(vfr—6>J.
oo Rn-l)/2]
5. f e PJcchnbxdx=2L ft У (n}--------------u * ( n \_L_
J Z \k] p*-(n-2k)*b^ 2 Л+I 2«p
o fe=o
[Re p > я | Re b [; n — 1, 2, 3, .. J.
oo
(* e~Px
6‘ }~a^TdX=fa [Rep >—я| Rec|l,
0
r _ 1 ft/P + c\ / _ P a( P\ 1
1 e \ 2c / * 2 c2 \2c / c *
22/П2 1
W= —
7. Г*^'*{*£}л=££2-КР-*)-'
0
p e-px [
8. I ---shdxrfx= <^In
,) x 2 p—b
о
j Г- 4gr
9. 1 ---sl&bx dx— «In I/ 1---
J x 2 F p*
o
00
irt Г fsh bx\f* ,
10. 1 j&-*e~Px { , , > dx=»
j (ch bxj
0
Rm- 1)/2J
= (tx) (+ l)f"t/2] “* (^) Ид"
ft = O
+ -+(7~ 2 «p «r (a) / "
Z \ Л/2
^Rep > | Re Jj; Rea > — j.
[Rep>|Re6|],
[Rep>2|ReA|]
b{m—2fc)J a+[p±b(m—26)Г«} +
| Гйел >— П|; Rep>mjReft|l.
oo n
11. f Xme^Pxshnbxdx=2 ntnl V
J \kj (p—bn^-^ff^
o t=o
(Rep >nj Re 61].
oo
/* g~px
1 jfWt tn
[Rep>n]Re6(: m. л= 1, 2, 3, ...]«
0
2 4 11 J
2 4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
363
п — 1
А—О
In [р2 — 4 (Л — k)^J — (— 1 )я 2 2я InР,
к} \п
п
13.
к == О
ОО
Г р-V* oi-a /
H1£^‘u=Vr<“)4°’
о
2п-|-1\ р-]-* (2л-2*4-1)
* /р—* (2л —2*4-1)
4&2\
Р2Г
, 3*. р2 —*2
+ 8 1ПрЗ—3*2
[Rea>l. Rep>—JRec[].
2n |-l_2-2n-l
-j* In—!-т
2 p — b
(* ^~CJf л2я+2
14. х27111 dx= 2 ^с2л и-1 В2я+2 |
%
15.
оо я
С e 2псх t J 12 1
J *shcT^X—8 \ё/ с* Z(2*-l)*
о fe—I
[Rec > 0].
[Ree>B; ж= 1. 2, 3, ...].
ОО
1б- f xa~i^dx=212ar‘ar<a>[^ (“• 4+~ ь (“* 4+£)]
*0
[Re;z>0, Rep>—|RecQ.
со
р р-сх 91 а _ _
17. 1 хО1-.—-dx=^-g-(l-21^“)Г(а)^(а) [Rea. Rec>0].
1 СП сх с>
о
ев
/» р-сх 1_9 1ая
18- )^а^*=2(,+1)^”ИИ|Д‘»«| lRe‘>“1'
о
оо
и С е'—dx=________71--- [в. Re о 6].
J chcx с ch [ал/(2с)]
— 00
2. 4.11. И нтегр алы от е~Рх и гиперболических функций.
ОО
1. f е~Рх I sh bx I dx= - - -Га ctg [Rep>|Reft|J.
J 1 1 p2 — 02 20
0
oo
2. J e I ch bx I dr=[p — b cosech №« P> I Re b Q.
о
8. J e P*|sh&x|vdx (V4-i)2v+1* [Л 2b 2 + 2b* 1+ 2 2*)]
0
[Re p> Re v 1 Re b |).
364
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2 4.12.
оо
6.
sh bx , 1
-г—dx—-i-
shcx b
J ch2 px
о
1— In 2
?
[c, Rep>0].
[Re p > | Re b |—| Re e |L
p Re c > | Re b |J.
[Re p >0J.
л . Ья
О
2. 4.12. И нтегр алы от Л (ж), е~Рх и гиперболических функ-
ций.
а
— а
[й=0илн 1; a, Rep>0; |argb|<«].
2. f е-рх sh bx dx= (—1)" bp-n-1 У (~\2k L~ " - “ -1 (pz)
V \~Pf
0 *=0
[Re p>] Reft]; |аг£2|<л].
co
3. J thcxdx=21-2ac~®Г (a) k fa, fa, Г
о
[Rep>0; Rea >—1].
oo
4. f — e~P*thcxdx=ln#^21nrfA\ —2lnrf£4^ [c. Rep>0].
j x 4c \4c/ \ 4c /
o
co
5. f 3tP'-ie~PJ‘ cth cxdx=V (a) fa, ^-\ — р~л
v L v
0
[c. Re p >0: Re a > 1].
oo
(* . 1 /я2
6. i xe~Px cth px dx= — 1
о
7. £ — c-P*shaxshbxdjc==-Hn^—
J x 4 p2—(e4-c)2
[Rep >0J.
[Re p. > ( Ree I +1 Re b I].
0
2.4.13 ]
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
365
ОО
8. С sh axshbxdx—
J *3
о
“ in(P+6)2—а* . ь |п(р+а)2~62 , Р 1 Р2—(а + &)3
4 (р—Ь)*~а*"1г 4 (р—а)2—&2-ь 4 ръ_(а-Ьу
[Re р> | Rea 14-1 Re b [].
00
J— e~P*sharch bxdx=\
x 4
о
ip(P-bg)g—6*
(p-a)2-^
оо
fl nr sh2 bx , 1 ,
i _ g-px -----In —. .
J x shpx 2 p sin (6 л/р)
о
Ьл
[Re р > | Re Ь |].
oo
IL
f 1 л= ,n Г {?+*!} _ in Г ' In £
J x ch 2bx \ 8b / \ 46 J 2 8b
о
[Rep>0].
12.
co
(* 1 er*Px..px. OI л
I----=-—th — dx=21n—t=!
J x chpx 2 2K2
[Re р>0].
2.
3.
2.4.13. Интегралы от
CO
00
sh&.
sm
cos
(2a)~«
2
a—V
2a
2a J
I Rea >
6’
2a,
x®~1 /sh bx'
1 ich bx.
CD
C sh bx
a~b
2-Г(а)1ЦЯ, —
1 я 1 1
2b “ 2a sin (Ьл/а) (cos (bnj2).
[Rea>|Refc|J.
0
0
00
C xch &x .__________я8__________1~
J с®*—1 ax~ 2az sin2 (Ьл/а) 26*
[Re a > I Re b Q.
OO
£ sh86x
J e«*—1
‘te=-s[c+«e*(-|)]
[Re a >2 j Reb|J.
[Rea>2|Re»n.
0
366
ГЛАВА «ТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.4.14
оо
_ Г х'1 sh2 * * bx j 1 . / a . 26л\ m .
7. 1 £ax^l ^Sfa —) rRea>2{ Re 6 |j.
в
GO
Jg'-OX Jtb
ch bxdx — K-x-r -77 —f [Re a > | Re 6 Ц.
2aa sin (bn/a)
о
oo
C shhr . 1 Г./а—. fa4-6\1
9. 1 ~S77—-^dx=s^---гФ(------1—tb—-—)|
J e«x_^cx —e|L \a—cj T\a—c/J
e
[max (Re a. Re c) > | Re 61].
in f ^shbx _ Г n f tg [bn/(2c)]l
,u- J emcx_gim-3i ex ax db^ 4c (ctg {fen/(2c)]J
0
[(m- l)/2]
, 1 (0) V b 1
+ 2611J a2 (2fe —2A.)2—b2j
k= 1
[ReC^-WXh Re [(m—2)c—fr] >0; “=J; J- J ”}].
oo
/* feb hr) .
“• ) (^JpUw^ ....
— 00
^ = Г®Г^Т ‘=Г(«-»)Г(₽_а+Ч,
p_____ rt Jcos an sm 6л)
1 Fsifl(a—6) л sin (a4~6) л {sin an cos fen/r
-t- л Г . Jcos a.i sin 6л) Jsin ал cos fen) 1
2 *" sin (a—tyx sin {a6) л [ a' <sin an cos 6л/ icos an sin 6л) j *
=£=71<я-|-л) 'J-i-Wl-iI 1л=2- ’• 41 • -1-
2.4. U. Иитегралы or u f •
1. $ erPx (ch x—ch a)*-1 dx——i (v) shv-1^2 °Qp —1/2 e)
[e. Rev>®; Re/i>|Re*—1Ц.
» F б“рх л 1 Г1 . о V (—1)6е °*
2. 1 -г—-—j— dx=-r- [-2p / —5—rj~
J chr-t-cha sha p r р?—№
0 L ft=i J
[a >0; Re p > — 1; cm. 5.2.5].
oo 00
x f-----------dx=----°y- [Re p >—1; а^ + 2»« CM. 5.4.3].
J chx—cos a sina p+ak ,
6 k=i
2.4 15 1
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
367
ОО
. f х^херх (2л\а . . . \1Г /2а+ал\^
4. 1 тс---;-----dx= I — (я» a sm ал)-11 cos —х— X
J chpx-|-cosa \Р/ L \ 2 /
л4*п\ (2a—an\ t л—a\l
X4‘ “• to ) ™{-21 *(1—a, -s^-i [Rea, Re p >0; |e |< л], t 2Л / 1
к f j _ 2Г (g) у, sin afe
J chpx—cosa X~p“sina Xj (&4-1У*
о Jb=3
rRea, Rep>ft e^+2nn; cm. 5.4.3].
CO
6. f X2«+1 cos a dx^Ia [Re P> 0],
J ch px—cos a a
o
/„=2(2л+ 1)1 2 ^5 1см S1.21.
4 7 fe=l
00
C eP^+cosa _________ 1 / a
j (ch px-f-cose)2 ~~ p \sin в
о
1 \
14- cos a)
[Rep>ft IfilCrt].
00
8. (e-P*(chax-l)vdx=2 vc ib(^-v, 2v4-l)
г в. J
0
[Rec >0. 2 Re v.>— 1; Re p > Re («»)].
f* p-ibx inpiab . .
9. \ dx=— (chfai-c2»*»*)
J shx4-sha shoncha'
— eo
[e. fr>0].
n -/у-_у*-гу tsh Zjxi
2.4.15. Интегралы от xae a Icb&xr
[Ree>0; Rea>—10
( r«* (si ‘4 dx=T1exp p;' МАгГЗ))} (Re « > 01.
J (ch bx) 2 r a \4aJ I 1 J
e
ln+6? Vn 2-га-1-ба~я-1^/2 X
о
Xexp
Rea>0; >6
368
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.4 15.
оо Г~
4. f Л-"** sh bx dx=—Дг (2а 4- Ь2) exp f—) erf (- -— [Re а > 0].
J 8а6^а< \4а) \2 Ка 4а»
О \ / v » /
со
5. Г — e-a**sh&xdx=— erff—1 [Rea>0].
J x 2 \2Va)
* С fsh6л . a(b\W (t^\vr [b*\ . . /6*V|
6. j ? e (ch 6xPX~ 4 \2a) eXPwL/qpl/4 W + /±3/48a)J
о
[Rea>0],
oo
7.
x-l/2g-axt
rsh bxl
ch bx]
[Re a > 0].
8. f (Sh&X\dx=—l/'ZJexpR-^-lerfcf^') 4=
J Ich&xJ 4 V a \ I 4a 1 \2?a)
ERea>01-
oo
9.
о
= _£^Lexpf±H
2(2a)a/a - \ 8a
( bc\ [c—b
exp I — — 1D.
—I T exp
r 2a)
10.
f xe^^x/sh6xUx=
J [ch bx)
Q
'c — b
_(g-&)8
+ 4a
2 V a
4- (c-|-b) exp I -i-
f 0 1
l(2aH
[Rea >0].
rt ( i 1 „9t Г' (i яп &z) f лг- , ib \ , / ,r- ib
= — J I— erf [ г pa-}-^l+erffzya--------
4 V-1; Llcosfrzf \ 2V a) \ 2pa
j^Re a. Re z >0; d= { * J
12. j^’*K2»+9«j(*^-/2<}Pv4+ 2U!)*«₽(i*)].
о L fc— 1
[Re a > 0].
13.
—ax*-cx
tz
— oo
’sh &X1 , 1/^ fb2-}-c2\ (sh р~/(2аШ
,еЬбхИ=У Т^^-Е-Дсыма,)])
[Re a >OJ.
2.4.17.J 2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 369
2.4.16. Интегралы от А(х)ехр(—р К*24~г2)
ОО
1. f exp (—р]/x2-f-z2) chbxdx=-7~= Kip*—bty
J у p2—b2
[Re jt> >| Re&|; Rcz>0].
_ f ~ i exp (—pj^^-j-z2) ... t
2. I x®'1 _ sh bxdx—Ja
J Vx2+z2
о
[Rea > — 1; Rez>0; Rep>|Re6|].
/^=2 Г^== (г K/j^2)!,
^«^LKp2—6s J
/‘= 7T^ <3₽s+*’) к‘(г TT^b* *« <’
{p2—b2)2 (р*—Ь2Г*а
ф Л_
3. [ x®-1 eX^ '—^=~~^—chbxdx=la [Rea, Rez>0; Rep>|Re£|i,
J Kx’+z»
K1 (l +-^ *• W=?>-
(p*-^2)*»/ p8--
4. f «».(-gigEg) /* M
J ' V x*+z* leh&x/
"2 У р£—Ь2
[Re z> 0; Re p> I Rc Ь I; 6 |
2.4.17. Интегралы от &efljn fS!*
(ch bx)
OO •
*• f {ch 1/3 fe3 *”*72)* s>. V3 0]
0
[z = 2 (&/3)3/«a—1/2; Re д > о].
OO
2. f x?-h-px^'x№bX\dx=>
J (ch 6xJ
=«**[(PKa (2 П Vp^b) + (p+ b)^ Ka(2/? Kp+»)J
[Re p >| Re b |; Re q> 0].
3. f x-v*e-p*-ql* Jsl1 bx\ t x==t
J (ch bx]
о
= —~3V4ex₽ 2-T
X fp4-ft)(fe exp (— 2 Ktf (p4-£))J Ift== 1 или 3; Re p> I Re ft I; Re q>0].
3/U
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 4 18.
4. J
— оо
['“'"ТГтЫгг Rea>|Rei’1’-
2.4.18. Интегралы
Обозначение*. 6—{ >.
.. . (sh bx\
ОТ /«e’P(chJ-
оо
--ash х
а
sh Ьх1
di bxj
dx=
<= ±4 (»g ' [/» W-J»(а)]- у (Е» (а)+У8 (a)J=»«S.b »(о)
[Rea>0; b— нецелое].
60
,<< ch j? [sh &х) . . ~ .
2. I e^sn**{ . . Schxdx=—Si-fi,(o)
J (chbx) a t. v>u\ i
о
[Rea>0].
3. f
J (ch bxj
о
[Rea >0].
4. \e-aciiXchbxdx=Kb(a)
в
co
S. Г e~acilx sbbxsbxdx=~ K^)
1 ex
0
F -ach i /Sh Sh bX\^ _ — /*Im ^1/2-»
6‘ J (ch (x/2) ch bx) (Re/C1/2_ft(e)/
о
co ----
C -a ch x ch . 1 / a v {a\ IS I a\
7* J £ 2л K*/2+i/4^2)K6/2_1/*GJ
[Rea >0].
[Ree>0].
[a. b >0].
[Rea>0].
8.
e-achx
ch frx sh x
У chx к chx—1
dx=/<&(a)
[Rea>0&
9. f e^sh^dx=^[J₽(e)-Jp(a)I
6
[Rea >0].
2 4.19J
2 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ,
371
10.
oo
1 g-Л di x-px dx
J y^shx
__Л
“ 2
1/4~р/2
11.
09
J e-4»ch.V-pX^ =
о
oo
[ &\ I у (\y f ®
2/ *“ Y~2) /]
[Rea>0J.
я
f # 008 х cos pxdx— nJp (в)
Reoq.
12.
[Re а >0].
4
— оо
13.
[| Rej> |< h а>0].
14. e^chx ше—₽3W/2#^2^'1^ (a} I±Re(tof<0].
— oo
2. 4.10. Иитегралы от Л(х)е~Р*
a
f ~7=r^X=== dl (с Кв2—X3) dx
о
------f(M **/* (z+) (Ml
12?f =i/£«4-^±r, a, c>0]‘
2. f -- ch (c}^ax—x3) dx= пё"0*1*!^ ps-J-c3j [в. * >«]-
J V ax—x2 \£ /
3. jA-<>.sh{1;Vr^^*t==^-^^j7jK1«(e>r^:^)
[e—0 нлк 1; a>0; Rep>-|Re<?|].
4 f e px (sk (e xS~a24^c=s
J Ух4-a чзЬ(с Кx2 —«2р
a
= 1/"— — (У" p2—c24- p)T 1/2 exp (— a
r 2 У p2—c2
[«>8; Rep>lfte₽fl.
V x~a r 2 у ₽*—с»
[a>0; Rep>|Retf|I.
372
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.4.19.
6. С (х—а)®-1 (х+а)-®-1^"^(SJ ^}dx=s
U Ich (с У х2—а2р
2±Ш /
= л У?- Г К V/ ^1/4а-1/4 ^2+) -^i/4-а. ± 1Z*
[z-b= а(р ±Ур* —с2); л>0; Re р>! Reel].
Г е~Рх /sh (с Ух2—а2)/ . я __ . . . /erf (г_.)1
J Ух—а (x-J-a) kh (сУX2—У2а v 1 *
[г ^-=а (р+Vp*—-с*): a>0; Rep>|Recl].
„ F е~Рх (sh (сУ х2—а2)) , -л Гяс „
* J (^^(сЛп^Г-У т*^'±1лсо
[2г^=а(р+Уд1—с*); а>0, Rep >| Reel].
со
[2г-± —а (р ±Ур*—с4); а >0; Re р > | Re с |].
,0- J rTS
- [в=0вли 1; e>0; Rep>|Ree(t
F+ fsh(c>G?=tf8)) j
*'• J--------
= «'lF(?^—•vyi]Kv(a>^ps—с») |e>ft R<p>|Rer|J.
to f fsh (&^x2 + z2)l .
J УхУхР+z* ^sh(fr K*24-z2)j
ГГ1/4(z+)If (z ) + Л1У4<г+)1 J (z )]
4 V P llF1/4 (z+)J KV4 <zJ + V1/4 (z+) / JV< <г->]
[2zj_ = г (Vp*—b*± i&); Re г >0; Re p > । Re b |J.
OB
13. f e-Pxsh (&/хЯ^хг) dx = —J- -ePg^Kt(Vp*~&\
J 2F>-&2 \2 H у
[Rep>|RebJ; |afgz|<«).
co
14. f ~ e~Px ch (б Уд^+хг) dx =
о
= [-2 (P-/^5)]
[Rep>jReb|; |argz|<n].
2.4.20.]
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
373
14 f е~рх
_|Л ^в(^+/^^^2(ра-62Г^3ехр^ j
[Rep >| ReЬ Г, |argz|<Hj.
w. Г^1(х+4'^‘/2^Йау5^}Л:=
J 1 lch(6Vx*-]-xz)J
“ —TZF"Г (“ +'2') ^^^1/4-0,1/4 (z+) ^1/4-a, +1/4
г г о \ /
[2z±= г (p + Vpa—b*); 2Rea>—6; Rep>|Refr|; |argz|<n].
17. ^erfcfc)
J Vx (x+ г) 4:h (b ухР+хф V z
[2z4:=z(p+V’pi—F*): Rep>|Reb|; |aigz|<jt].
18. f * **-— ch (ft /xa+xz) б8)
J УхУх+z 1
[Rep>[Reb|; |argz|<«].
ж j ^+«Г*1^^>^§}л=уГ^к1/4^/±а1Лм
[4г±=г(р+;Ур»—6«); Rep>|Reb|; |argzj<«].
о»
(л (6 /х»+хгп <&=(’)’ V*/rk"W4-
(ch(6V^-f-xzP ' J *-\P \p j \2 /
[Rep>|Re&(; |argzj<n].
2.4.20. Интегралы от Л(х)e/f**-Я?X?Jl.
Е v lch [сх/(а*—x2)jf
Обозначение:
f exn(- b g2+*8\ Ish Маа-х2)П . _
i Va*—ж» V e8—x8/ lch [cx/(aa—x2)]J "
=2»+<a«Wl/?r(^hn^=3+206)V‘x
r \ w /
vD /T ZK!5^2^4-2a&\ //4^6^^—2ab\
XI>-« \ J/ --------j MV^a/2, +1/4 -25----j
[Rea>—6; 2ab>c>0; a>0].
374
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.4 21.
Г х®1 / b \ fsh [сх/(х2 —а2)П _
I -у expI-------------Ц . ' ' }ах ==
J Их2—а2 \ л2—а2/ Iе11 к*/(х—
(А)г
/у pQi*—а^+Ь \ fb—V Ь^—аЧ2 \
XMzi, - J Mi/4-a/2.4 1/4^ 2a2 /
[ReaCl-f-aj »ee>ft e>tj.
C expf- fsh к*/(х2-«*т
J x2-aVlchkx/(x2-fl2)]f
_=2М2а+1)/*л«-з/4с-1/2р ^1+^—(ЗаЬ-^Ула^Ь2—:2)^ x
/. /~2e»+V4a2fr2—c2\ (2ab—V4^b2—c2\
x ^a-i у -----------------j Жа/2-1/4, ±1/4 —----2u------)
[Read-J-6; 2a6>c>0, a>0].
5л“-» л I b \ fsh [fx/(x24-z2)h .
V X24-Z2 Xp ( x2-F z2/{ch [cx/(x2+z2)U
ум м
л V*-a/a, ±1M 2z2 у iWa/2-i/4, ±1/4^ 2z2 /
[*-6< Read + б; b, c, Rez>0].
K**+za \ 2«+xz/l<*(“/(z2+z2)]j"
2»-iy/ir /a+M r / l-tt+»\ •
y^sw \ 2 / \ 2 /
VM (У4t^2^C2+2bz\ M (y^+^-2bz\
л Ml/4-a/2, ±1/4^ 2z у/Wa/2- l/4, 11/4^ 2^ у
[—6<Rea<l-|-6; fr, c, Rez>0J.
, 2.4.21. Интегралы, содержащие A (x), rf1*', shg(x), ch£(x).
OO
« f ^fshatxh . eP— 1 (she 1
J (cha[x]J “ p (e2P— 2ePch a+1) {eP—ch aj Ptep>IRe«IJ.
CO
e-px ьм Ish a I *Л 1________(b sh a ’
[cha[x]J p{e-P~2bePzha-\-b2) |e₽—fechaj
[Rep>lnd+ | Re a *>IJ.
2.4.22.]
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
375
3. Ce^ff^lchAxdr^
J (ch сх2)
__ 1 >/ л”— аА (R phcA\_R fch сА|\ _ Ул _^A (sh Cl
“ч2 у а2—с2 С+(сксД/ (shrAV 2*/Ж^ [chCJ
[A=4fc£^r S±= {‘2 2С=|1п^-Дг, Rea>| Reel].
f x-Wp-Px-H/x fsh (**+c/x)l fa =
J e \ch(bx+c/x)j
_ У я / _ * /(р-Н)(?+с) _ rs 1 /(P~ &) (sh (fi
” г V (p-b)(q-c) V <p+b)(q+C))\&dj
f\ 1 ,_p + 6 , f*|/€p+6)(? + c)' \/ (p — b)(q—l)\
И 4 Iaf=b+rS\r V (р(1-Ь}(д^)Г
f~y p2—b*> s= |/ ij*—c®I Rep >| Йеb |; Rea>|Rec||.
sh&xl
chhrj
2.4.22. Интегралы, содержащие разности АДО, e~Pxt
оо
. Р 1—ch ах . 1 . г_ , „
1. 1 е~Рх-------dx = -x-ln(l-И [Rep>|Rea|].
J х 2 \ ра/
о
оо .-----
а Г „„ 1—-char . , у р2—сР a . »4-а
2. 1 е-Р«---5----$fc = —р In—---------«- in —~
J х2 • Р р—»
о
[Rep>| Rea |].
oo
3.
„ x—shx , ,
px——dx = In
m **
[Rep>l]
e
о
oo
f4 =---In - -j-. 72 = - In i-)
1 p 2 p—1 ’ * 2 \ p2/
, 1 Г . /. 1\ . P2—1 . p+1
Z, = T |₽ In (*+ ~2~ ta ^=T--P
2 p—1
1
4.
dr =2 In Г
dix/
-21пГ
I 4
[Rep>0].
OO
J ^pje
0
j 1
x shx
)‘fc='>(e4±)-|nf
[Re p >0[.
1
J x \
0
6. f e"Px f-—cthx\dr='$f~\ — In ^ 4——
J \x / 2 1 p
ao
7. J «a^e-Р* (cth ex— 1) dx= 2»-®trOT (a)fa, 1
Q
[Rep>0].
[Rea>l; Rep >—2].
376
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 4 22
оо Г(п—1)/2
f х-1 - ~g 2 V /_nfe-iv
J ch х-^ cos (тл/п) sinfmn/n) £ ' 7
о к=1
fe/пл Г(В-К-1/^+1)/(гп), („+(_1Г£+1)/(гп), (fe-|~2)/(rn), fe/(rn)1
п L(n+(-irW(rn)> (л+(-1)гfe+2)/(rn), (fe+l)/(rn), (fe+ l)/(/n)j
Г|г = 2, m -}-n= 1, 3, 5, . .)|
LV = b m~j~n—2, 4, 6, ...Jj
1Ц_(_l)«e-2mx
—L > ------dx—
ch2x “
11.
. 7/пл4 । 3 V z_nft CT~A
/s = "480"+2 Z ( ' * *
.I
l|Rea|<l].
p e-ax—e~cxchbx . 1 . e®—fe8
13, L ------------dx — In —-г—
J x 2 oa
о
[Rea>ft Rec>|Re&|]-
r g-ax_e-cx I C8—fe2
14. I -------ch &xdx=7rln-г——
J x 2 a1—tr
0
[Rea> ReOfRe^l].
OO
j' p-ax o-cx h л
-------— sh bx dx — у In 4
о
c-j-b a . a+b
F^b~2 a—b
[Rea. Re c >| Re b [J.
I6. f e-pxdx^2 In Г “ 2 ln Г иГ)- (Mr-)
J xshx \ 2 j \4} \ /
Q
[Rep>0].
iln
2Л 22 J
2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
377
J xshx * 1 1
co
_ f 1 / . ._^^shax\ . a , с4—а4 , c . c4-a
18. I — (ae~bx—e~cx----]&=-„ In—г»--1--Й-1П—-----a
J x \ X/ 2 b2 2 c—a
о
[RebXk Rec>[Rea|]
co n
„ f* 1 1— ch ax . 1 . 2c sin [an/(2c)J 1 v . / a2 \
®* 1 ^"e2ncx„^itn+i»cx & 2 I*1 an 2 Zj П\ ~4Pc^/
о
[a<2(« + l)c; a<2nc]
Г e-^—e-^ dx
J ch x—cos (тл/п) x ~
о
r(n —1)/2
2 V f-lU-isin —lnrP+^+("”1)rft)/(/'n)’ («+*)/('»)]
sm(mn/n) Zj 1 ' n L(»+a4-(—1У &)/(гд), (&+*)/(rn)J
k=i
[Rea, Refi>—1; (г = ,’ ,вЧ"я=*’ J ®’ —11
L [r=l, wi4-«=2, 4, 6, ...Jj*
co
21.
0
тл e~ax sin (тл/п) *1 dx______
2n ch x-f-cos (тл/п) j x
f (n—1)/2
22
= tg
fe==l
йп^л1пгИа+"+(-,>Г*М™)
. fr = 2, m + n— 1, 3, S, .. П
•«>-* {r=l. m+„_2, 4.6. ...}J
co
f „„ch ax—ch fix
I e~Px
X»
л
[Rep >| Rea), )Reb }],
0
1 p2_ja p pa—a4 b p—b a
/2“ *2lnj^^+2 1ПЯ=Ь+ 2
P—a
23.
e
„„ shx—xchx
'~PX---------
xP
n
[Rep>l],
2 p-1 p2—1 ’ Ja“1 2lnp-l
p—1
24.
co
I e~Px
shx—2xchx . . p .
-----=----sh x dx — In
[Rep >2].
0
OO
oc f 1 /shax _, \ , / an\ _/a4*l
№- jThhF--rto)<fc-lnf««.T)-S1i,r(-J-
QReai< lj.
0
378 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ £2.5.1.
оо
fae*xshcx—ce~ftxshax , ас. /-2—а2 , ch, h-{-a ab b-\~o
J x2 2 ft2—c2 2 ft—л 2 b—o
о
[Reft >| Rec j; Reft >| Rea |].
__ C I ch ax—chftx , _ 1 ГПа cos{6я/(1сЭД —Ineos [anf(2c)fi
J x e®cx_ean 2» ex ~ 2 [(In sin [ftn/(2c)J — In sin [an/(2c)J J
e
[(m-1)/2]
2. с2(2й—2X)2—ft2 J о 1
10 c2 (2ft—221)2—a2 + (In (a/ftJJ
&=1
oo
28. J (e+
6
[Rea» Reft >0].
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.5.1. Введение.
В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения
которых входят тригонометрические функции. Для их вычисления можно
использовать следующие свойства.
Интегралы, содержащие тригонометрические функции, могут быть преоб-
разованы к интегралам ог показательной или гиперболических функций, если
воспользоваться соответствующими формулами, приведенными в приложении I.
Интегралы, содержащие функции sinnftx и cosnftx, сводятся к интегралам от
функций sin kbx и cos ftftx, если использовать формулы для степеней тригоно-
метрических функций (см. приложение I). В ряде случаев интегралы от три-
гонометрических функций с помощью замены переменной сводятся к интегра-
лам от алгебраических и других функций. Например,
а
С ф (х) sin2 bxdx — ~
J &
а а
—i" J — X J dx =
о о
а а
I ф (х) sh2 ibx dx — - 1 ф(х)£1—cos2ftx)&=s
J Лл J
» о
[aft Л/2].
2.5.2. Интегралы общего вида.
В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интег-
ралы, содержащие тригонометрические, а также степенную, алгебраические,
показательную и гиперболические функции. Некоторые частные случаи этих
интегралов, соответству кщие конкретным значениям входящих в них парамет-
ров, приведены в последующих пунктах. Интегралы общего вида представ-
ляются с помощью функций V/t I — 1, 2, 3, ..., помещенных в приложе-
нии III. Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приво-
дятся в фигурных скобках после каждого интеграла.
2.S. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
379
|Л.2.]
В п. 2.5.2 приняты следующие обозначения: r=p!q, где р и q—взаимно
ростые натуральные числа, если не указаны другие условия;
, если взят sm bx,
если взят cosbx;
( 1, если взят sin bx,
ft | ’
\ 0, если взят cos bx‘
1/2, если взят sin”6x,
если взят
L 0, если взят
^=r-i (а/24-y+h),
у
л=1, 3, 5,
п=2, 4, 6,
л=1, 2, 3,
sin" bx,
cos'1 bx,
b=by (n—2fe)/2.
\cos6x
гГ (l/2+2y+h>* “ а+2/гФ
«1=5» ci= l/2+2y+&, z
[ff. Ref» ft Re a > —fin; | arg fr (,<«).
оо
У = < О,
о
У
^31—
8 =
-—1L.2-B-1
2
= v«+ V»+^^2-« в(>, J
”2 гГ(1/2+2у+Л)’ ” r С, J-
и=а+2гф —1), н2=2г(1—0+/)—а, я,=£, ^=^+5.
q=l/2+2y+A, «д= 1-Р+А ^=1-Т-а/2+г(1-0+;),
^=(1—а)/2+у+г(1—0+Я, з=(-
[». Ь, Rep>0; Re (а+ 2/₽) <(1 — (—1/9/2 + 2rJ
s.
о 7
а
= V2i + V«. 4- —— 2"n-1V2r ‘Р-Ь+а--------fif— 1 — p — -
-• y3i-r-«'aa-r 2 z y r [(n/2)?P \2r ’ ₽ 2rt
J—p—£> t- П— р+л. i—M
^31—/я 2 гГ (1/24-2y4-ft)’ £33 гя2- j,
«=2г (р—1)4-а, Рд=2г(1— р+/)—а, at=^, ht=p+£,
Cl=1/2+2?-|~A, «2=1—p-bi, ^=1—у—a/2-f-r(l—р-f-/),
c2= (1 — a)/2+v+r (1 —p-Ьj), z= t-tyW fePp-W
да-1
г — и2Г
--1)" Л „г П-Л i 001
z 9~л~1и<зь_2г__________pttf
2 r[(«/2)fp S 2r
380
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.2.
гр *3/2 _____ р _Кя гГ1—Оа1
* 38 2яг Г (l/2+2y+ft) ’ 34 2я L b* J’
и—а—2г, иа=2г а, 0^= 1/2-[-2у-[-Л, 02=1—?+/(!+/)—а/2,
62=([_a)/2+v+r(l+/),
к, &>0; Rea>—«и; Rea<(l—(—1)я)/24-2г1-
5. { х®11 х”—у*г I®'11®” bAn dx=
J 1 1 (cos bxj
= ^31 + ^32
1+(—!)« x (a_1)+Q, nt sin f(a+rp)/(2r)]
2 s r [(n/2)!]2 sin (яа/2)
XB
a
2r*
1 —
{&>!=
Krt2-*sin[(g/2+£)n]B(B, 1-q-a
r sin (na/2) Г (l/2+2y+ft)
^Ю = (-1К(1-а)//я2-«,
u=a~]-2r (a~ 1), »2=2r (1 — o+/)—a, aj—g, &i=o-bg,
ct= 1/24-2?-bft, 02=1— ®+/, ^2=1—Y—a/24-r(l—o-J-/),
c2=(l-a)/2+y+(l -a+i)r, z=(—
[», b, Rea>0; Rea>—вд; Re(a-f-2rff)<(l — 1)я)/2-}-2г].
F fsin &XV I
J (x2,'-j-^ar)i> (cos6xj p
[p=0, 1/2J,
—Узе 4-^36+V37 4-
, H-(—0я v_n_i + a/r .i-^p nt Г«/(2г), 2p—v—a/H
T 2 1 г[(«/2)!ру XL 1—v—a/(2r) J
V2+V2rfJ’
Езв=(_у)1-2₽22Р-1-«гГр+^ v/f’ 1/2 7’ 1
L 1—v/2—p—/, e3
E37=(— v)'2^122P-i~«r
P+/+(l-v)/2, —1/2—/, l-d3
(1—v)/2—p—j, ej
n=a4-r(v—2p), t>3 = r (2p—v-f-2/)—a, v3=r (2p4-l — v4~2/)— a,
oi = v+g, bL=t, C1=l-p-j-V/2-H, 4=(1-рр)/2-р-Н,
4?i=l/24-2?4-ft, Лг=р—v/24-/, ft2=v/2-bp+/, c2=1/2+/, -
<4=1—Y+r(p—v/2+/)—a/2, ea=(l—a)/2+v+r (p—v/2+/),
^=p+(l-v)/2+/, 63=(l+v)/2+p+/> ««-3/2+/, <4=<4+</2,
ез=е3+г/2, z=(-l)P+<?
[fr>0; 2r|argp|<K; — 6n<Rea<2rp — r Rev+(1 — (—1)я)/2/.
7 Г Isinftx)» .
J “ (x^+»’7> icosU <to=/»
[p=0, 1/2],
A>—^ЗБ+1^3б +
д? „rv szpHirfP-v/2-«/(2d, a/r]
r [(o/2)!p v L 1 -P -v/2+a/(2r) J
2.5.2.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
381
— /_ v)l-2p 22Р~2£~ЯГ Г Р V/2 £ 1
1 1 } г Ll-P-v/2+k l/2+2y+fcJ’
Ей=(- v)1^ 2*-2Л«Г [2р 1 ,
a=a4-r(v—2р), o2=r(2р—v4-2/) —а, ai=£> &i=E4-l/2,
c^I-p-v/2+g, dJ = i-p+v/2_g> в1=1/24-2у+й,
а»=р—v/24-/, *а=Р+(1—v)/2+/, са=1—vj-/,
4^=1—?4-г (р —v/24-/) —а/2, е2=(1—а)/24-у4-г ф—v/24-Д
z=(—l)P<-?(£/jp)3P}
[b>0; 2r|arg*if|<«: —fin<Rea<2rp —rRev4-(l —(—1)л)/2].
f va-i <yrHV^-x2r)v4-(!f-/^-x2r)v
J Vy^-3^
fsin 6x)« ,
< > dx
(cos bxf
-V I ^(-^оУ-л-тш/г-.^ n! rra/(2r), v4-a/(2r)l
“ 852 * r[(n/2)!]2 L v-ba/r J
2^,-n Г £,v4-£ 1
r |v4-2£, 1/24-2у4-А]’<
tt=a4-r(v—1), аг=£, *i=v4-S, c±=v/24-g, 4i=(*4-0/24-1»
®i= 1/24-2Y4-A,
[p>0; Rea>— пб; Rea>— n6—2rRev; |argb|<n]-
9 f ^-i(^+K^-y2r)v4-(xr-/x^-y^v (sindx)»^
J tfjpr—tpr (COS&rf
=Va+vM+v„+l±b^2-^V^,lwx
At
У n! г F(1 +^)/2-а/(2г), (1 - v)/2-a/(2r)
*r[(n/2)!]2 L I—air
rr(14-v)/2-a, (l-v)/2-ri
1 ж~ г 1—2g, 1/24-2у4-Л ]•
£M=2-«-v-2/yrn r[~v~j’. 1 ~d2l, E37=2-«+v-2/yrjir[v- j.1 ~^1,
» r L—v—2/, e2 J’ 37 ' Lv—2;, e3 J*
u=a4-r(v—1), »2=r (14-V4-2/)—a, v3=r (1— v4-2/)— а, ах=|,
*i=E4-l/2, Ci=(l-v)/24-g. <4=(1+*)/24-£, ^i=l/2-b2y4-A,
n2=(14-v)/24-/, A2=14-v/24-/, c2=14-v4-/,
1 ~T4-r [(14-v)/24-/]-a/2, e8=(l-a>/24-?4-r [(14-v)/24-fl.
вз=(1— v)/2-H, 63=1 —v/24-j, c3=l— v4-/,
1 [(1 -v)/24-j] -a/2, e8=(I -a)/24-?4-r «1 -v)/24-/b
2=(—IJP&Pp 2P} [p. b>0i Rea<r(l —I Rev|)4-(l —
00
Г __________x^-1__________[sin bx\«
j x3r4'2(jK2/)rcosP4-^2r (coeAxj =
0
= ^3в4~^3»
2
—3/2 ® p t)~n ”^”я л
---я' ——ot Езл=—2a——и=а—zrt
r Sinf} SinP*
2-s-i3M? sih№(a-r)/r]
a г [(л/2)!]2 sin p sm (ла/г)
2В2
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{2.5.2.
»i=2y4-2Z, tr2 = r(l4-/) — a, С/ —Р(2у+2/+а—Or-1,
= (2у+'2/+ а) л/r, cz= 1/2+2у+/, d/ = pl, £/ = !+/ — а/r,
fz=T4-o/2—г (1 + 0/2, Si = (1 — а)/2+у+г (1 +0/2}
[у, &>0; —лб<Кеа<2г4-(1 — (—1)л)/2: г>0—произвольное].
It V J8®1 dx— U I ( 1)” 2-я~1с~а/(2л) Г / а\
• r 2 2 'W2)’l2 W*
R>V2I.
k<i/2],
wrf“+Х]л(А(2> “+2v):
fc=o W [ 1/2+2Y I
[^=1/2]
{£<e = 2V rIi/2+2y+ft]’ “=~2r’ ^=2^+тХ
Ф=2Г1(я—tybs-W^, аг=|, Ьх=1/2+2у+/1,
прПя-2й)П2рд?я-9- f Г Г T+r/+a/2 1
г-(~°Р|~2^~1 Я ' £41^"2^ГЬ/2+?-г/-а/2]*
v2= —2г/—а, в2=т+г/+а/2, &2=(1 +а)/2—у+г/,
/ 1 чо+о Г(л—2fc) 61-2Р „ J
«2= (—1)^ р—2pj q *J
[Res>ft Rea>—fat; a*g6 произволен {при г>1/2), fr>0 (при г<1/2);
л Res (при г=1/2Я*
12. ( Х^1е-5А~2г/ЯП Hrtdx=
J tees ОД
__у » у 1 I’M 1)®9~л-1_а/(2г) п- р/ ®\
-И«+К„+^ g 2 s -R__r^--J
F =2ЛгГ 1 F —Ел г Г V—ri+aJ2 1
48 2«г [1/2+2У+Л]’ 13~ 2« L(l- ®)/2+т+^Г
<а=«/(2г), »1 = 2{У+Л), ps=2/-/—а, ф=2“^(л—2&)«1/(2и,
al=l/2+^+ft> ^=1 + ^, а2=1— v+rf—а/2, ^=(1— a^+y+rf.
1
g9tT9> f*. Re s > 0; Be а<(1 —Цп)/2].
oo
J^-1 m ^(яв1пЬх ] J -Г1 — (—1У»
JK®-1 smm eaf { }dr=7l-------Ц—'—
(cos —zri I 4 ’
о
X V x!m\f 2 ГГгГ P+“/(20 1
Aj \l LP+lf2—
r_ [<n—O/2J
l + я ь V! /л\/ 2 \«ГГ v+a/2 1
2 [(/n/2)']2 Zj Z\k)\7^2k) L¥+(l-a)/2]
k = 9
[r:£l (r= I CM. 2 5 13 20—21), с— 1 при n~2, 4, 6, ...; c = 0 при n— 1, 3, 5, ...J,
252 J
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
383
[(л—l>/2] Кят-П/2]
V fn\ V (m\ л Г«—2*
2 eW 2 TU)Au ~r-
U=2i-m-nn
k-o
1 = 0
fl —1
2
/ = э
Q1 1 r (b(p* a^’ л(р’ bJ> I; г
Д(^, С1)> Д(47> 1+/) ,
к>1]
p— 1
Л _ V (-1)* зегГ p+’ lx
Akl~ Zj rhl ф U/2+P-L 1/2-Ь2у4-Л|Х
h=0
Mfr, В-ЬР), Д fr, 1/2-p-H), 1; 2 1
Хад+i^ap^ Д(р> 1/2+2у+Л), Л(р, 1-Н)
{ot=?+a/2+r (/ +pj, *i=(l +а)/2—?+г (/+р),
С1=1/2+2р+/, ф^^~-И-> ((n_2^y jУ , (->ри »«фИ}
[а, 5>>0; — Ъп—arm — 2c<Rea<0 (при т-|-л = 2, 4, 6, . или
— 6п — arm—2с < Rea< max (1, г) (при т4-я=1, 3, 5, ...)]
14- cos® ахг[ &Х 1 dx=I (0, 0, 1)
J lcosnbx—cj ' '
[ем 2.5.2 13].
со
15. f x“~^sin® ax~rI bx | <fe=/Г1 , 1, +
J ^C0S’»&r — cj [ 4 ’ ' * J
0
[(n—1)/2] , X[(m-W2] , .
J (p, 0. т)=21от~«л JJ e( ) 2" T lx
0 — 1
b = o
XtFap^^’^ Qj A(pf &1>> Д(А Д l+/)) +
p — 1
. V P-S |v
+ L rh\ D/2+p+g, 1/24-2?4-Л]х
h=0
F f1;
1Г^+2ЦД(<7, 1-P+B). A (9. 1/2+P-F& A(P, 1+^X A£o, 1/2+2?+*);/
„ . л_ [(m- И/2]
_._П+ <-»)” я (ОИда/гКл VI -(m\
"гГ 2 2«[(я/2>Р k/J г 2т \//
1 = 0
Г р—аД2г) I
[1/2+р+а/(2г)]
/т—21\о./г
\ 2 /
l±f 2 «-«* а / я х
X
[(п-1)/2]
v mj V —2 \“г[ Vd-a/2 1
ХЦ/п/2МР c\k)\n-2k} Lv+0“«)/2j
fc—o
384
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 5 2.
{0!=l/2+2p4-/, 61=1— у — a/24-r(p4-/), ti=(l— a)/24-v+r(p+/),
л \ iS /
f\_f_nn 1__(_
-2e-6n~armc Rea<(~—V^-+-—
\ A £
с—О при я=1, 3, 5, .
с= 1 при я=2» 4, 6,
°® Г К
16. С &-1СОЗП ax-r{ s®"6* } dx=J (0, 0, 1)
J (совяЛх—cj ' *
[см. 2.5.2.15].
17.
OO
J x^^e~Sxr sin axr
о
sin bx}n . ....
, > dx=/(ff) L t
.cos 6x1 ' 1
[r>4.
r. . „ , 14-(— 1)я2~« .. , n /w a . a\
/(O) = W+J1L----_(^+л(Я) W__r^coe^--arctg-.j,
0/2]
2
* = 0
[(« —1)/2|
fe = O
уГГ Y+(ri4-a)/2
L?+(l— rl~ a)/2
(—1)* (no . aV„
L_a» / _2g arctg- X
ft=o
2fe\
ft—2&\2ft+«y
X
e
Ll/24-ft+2Y]^
._[(«-0/2]
л •(:)
/, n—2k \2
2=(b--r====r-]
2
[г=1Ъ
oo
Лй(2)=2 Ц^Г"С08[1Г—(2¥+2&4-a)arctgyjx
л=о
X 1/24-2Y4-AJ1 + } \ 2 )
. .. vj (—I/ /an i> i a \ т> Г ?4-(а+0/2 К,
Ak (г> — 2f И \ 2 +1 Mctg s ) Г [?+(! — a—0/2J X
1=0
X(s24-fl2)f/a(bnp® |z|>1
[a. Res>0. Rea> — <rr — 6n; b — произвольное (пркг>1), fIm6|n<Res (при r= 1)
и 6>0 (приг<1)] или [Res=0; a, b>-0, —or — 6«<Rea<n»ax.(r, 1) (при r^l)
или —Or—6«<qRea<0 (при r=i)].
18. ( xa-te'‘s*rcosaxr<8,11 ,X> dx=I (o)
J Icos 6xj v °
о 7
[/ (G) cm. 2.5.2.17].
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
385
^85 2]
t оо
°
, г_[(я-1)/2]
1
sin , ....
cosixf <т-ь
CUb 1>Л)
(=0
ал
т
k = 0
X
г
►
л—2fe\rZ'“
2
— [(n-W2j
г2я-1
k = 0
V (—1)* !<т . _ . л \
2 “АГ"c“h-+2;«rc‘gу] X
= 0
Т.Г —2; 1/8| ^</.«-2^+2*,
хГк+1/2+л](s +а (* —) +
1+(_1)я(5г+а!!)«Л2^Л! /ла а а\ ( а\
+----2 2« [(л/2)>]2 2 + г s)1 \ V)
[а, 6>0; Rea<»(J4-(l — 1>ге)/2 и Res>0 (или Res=0H Rea>—г — дб)].
20.
<J=0
(см. 2 5.2 19].
о
а=1
(г >0],
о
К(О)=(,+Ш=1221(Т1)^
0
__Дд rf® \ (s24-a2)-<Z/(2^ X
л [(л/2)!]2 \г){ + } Х
(по
~2
(0I-1V21
У
<ЭЬ
^-2garctj^)x
Л о /
Л = 0
к=0
ХГ [1/2+2v4-ft 1 <s2+e2)
[(я— IV2]
*=о
/. л—2ft \2
2= — 1Ь г ...= j
П —2fe\2ft + 2y
2~~)
Р=1].
оо
4s(*)=2 7ЙС“
л=о
Г*^—(2у+2Л4-а) arctg ^1X
L " ® -1
xrf 4-2Л4~а1 (s2 । цгрУ-Л-®/2 (__
Х1[1/24-2т+йГ + ' V 2
13 А. П. Прудников я др.
П —2fe\2ft + 2y
при
386
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.5 3.
Пяпсл \2 Bs/
1=0
Ч+«-«-о>+^(ь!^Г_' ™ |г|>*
[с—произвольное нецелое, a, Res>0, Rea >—стг — d/i; Ь —произвольное (при г>1; или
л|йе6|<Ке$ (при /=!)].
оо
22. f Jt®~Je"SJcrсое axr |S^ ^*Vdx= К (о)
J (ch6xj 1 /
0
[см. 2 5 2 21J.
2.
3.
_ n », _ [яп 6х)<г
2.5.3. Интегр алы оггч . >
* Icosbxj
Обозначение: 6—
я/2
Г рдпхИ . Ил Г(а-|-1)/2
J (cosx) 2 l a/24-1
о
[Rea>—1].
я/2
в
[m/2]
m!
[(Л-1)/2]
((!-»)«)>
к = О
[А=1 при д= 1» 3. 5. Л = л/2 при п=2( 4, в.
1
0
k = 0
n
jt\m—2fe—0
Я/2
4, С * [С+1ПЛ—«(л)].
J X »
о
* « A4rtKm-|-e-n/2]
г fsai/ixi. (-ir*» У /_Пй_________________х
5в J х Icosnxf^ L ( ' (т-2й-Ьб-1)! Х
О - fe = o
xOm)®*-2*46"1^^— l)Kw~6*1)/2J/n?zrm’1 [2 ,в+1 J—m -j- .
Я я Я
6. f х»~х ЯП" xdx=— (a~ !Н*~2) С j^-agnextfc-f-^LZlL Г 1sinn"2xdx
о 0 0
[Rea>2—л: л=2. 3. 4.
2.5.3.]
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
397
8.
9.
10.
11
12.
Г «„л (2/х-1)"л*
J 2(2#Г'-
О
*С . „ j Я(Л-1)” (Л&2
J XSm xdx 2 (л!.') Ш
о
2л1
00
m— 1
I 6!
| nfe|l
О
п=0, 2, 4,
л=1, 3, 5»
(т\ м- ь £+1
t . ) (2л/у* *cos л
\ fc i Л
[n, I = 1, 2, 3,
О
оо
Ь-|/2
J VC03 OXJ
о
оо
С sin Ьх , л „ ,
1 -----dx=-^3gnb
.) х 2
О
sin (ал/2)’
cos (ал/2)
[5 >0, —6< Rea< 1].
[1пт&= 0].
7
о
[6>0].
со
13. £ sin"i>xcix—7а,я
о
[lm6 = 0, -n<Rea<2X, n=l, 2, 3, ..X = (l — ( — l)n)/4],
[(и-И/2]
/«..=2“-<"l»r(sgn»)"F^+“/ia)/2} 2
/ = 0
при ,а =^ — 2(X+fe), k = Qt 1, 2» ...»
/-2J^-2fe. n= lim/а. л при а->— 2X — 2k,
h/2-т, 2Z-i = (— tfm'2Yn2m~2l+3'2 ц'рSgn&X
t
X У (—1)^X(?,"*.1 ,^(2/ —[0^m^2/-l],
V ~r / — * /
/=t
д, - i
/=i
[m= 1, 2.........211
Z-l/2, 1 == S®1 b> 1-312, 2 = Ь ^Я1 &l>
Z-V2,8 = s£n b>
i—1
7=0
13»
388
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5.4
(атц)Лгл+1)=2'2га^','1,/(2Л+1) В«2я1+1)/(4л+2). (2т+1)./(4п+2))
[»>0)й
Krt-D/21
f _ 2 я*”* у пИп-пджяК»-^
®’я т!7’(тл/2) 1
;=0
’ [fr>0, T(x)=cosx при я=2/—1: Г(х)= sinx при л=2Г, /=1, 2» 3, .
_ л;Ь|(2/-3)П о(2*-5)П
'-1,2/ 2 (2f —2)’!’ '-«.sz-i 4 v“ J\2l—2)!!*
la. 2 = — 2-»-*Г (a) [ b I -a cos (ал/2) (-2 < Rea < QJ,
7a, 3=2-21 b |-a (3—3~a) sm (ал/2) Г (a) sgn b [-3 < Rea< 1].
/«л = -J sgnb, 7_!3=^ b 1пЗ, /_2,з= ЛЙ|b |.
14. J xaXCos2«^xdx=
о
n
=2«-«->V5(a>+l)l»-“r[ “a)/2] 2
fe= 0
(2n—2Л-М)-«
A«(2n—Jfe-f-1)!
2.5.4. Интегралы от л®
fsin л)—«
icosxj
[&>0, 0<Rea<lJ.
л/4
f *"
J sm2x
о
4m
я(ш—1)
co
4m VI
T Я
Л—1
Л2*|В^|
22*(2fe)!(m4-2fe—1)
Л/4
f X*
J fsmx|2
a icosxj
[m=2, 3, 4, ...J,
j я. „_яа -
dx=* -5- In 2 -4- ± G.
4 10
Jdx
cos“x
0
[n/2]
L «1-п)/2)Л +1" 2L21/ (2[n/2D« ии + Г21
k= 1
[n=l, 2, 3. ...J.
л/2 Г co
f _Zl_£&SE=^m A+ V _2±Lz±_uafe)
J sinx \2j 42ft-X(m-b2Jfe) b}
[m=L 2. 3. ...J.
л/2
5. ( -±-dx=2G.
J sanx
0
л f2 xm /я\л1—1 1 (—l)*B2fe^2fe
j (m+2*-l)(2A)!
0 L k=i J
[m=2, 3, 4, ...J.
2 5 6 ]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
389
7.
л/2
О
Х2+2£Г
--п
яп2х
Л2<т , а 9л О
п 2 С (3)
(<Г=0 или I].
л
8. С —-—dx—— 4G.
J cosx
о
2.5.5. Интегралы от (х-4-zU1 /яп ^*1.
(cos bxj
Обозначение:
Р f sin hx\ t о
1. I (а-х)Р Ч А 1; 1+4,
.] 4 lcos6xj 3(3 + 1)° \ т2’
о
f (v—а)Э1 /sm М dx=£®L fsin (аЬ + 3^/2)}
J (cos bxj b$ [cos(ab + (}ji/2)J
1+3 , C.
2 + * 4 /
[a„Re0>O; |arg6[<«].
[e, 6>0; 0<Rep<l).
3.
00
lQ
1 (sin bx] ,
-------r-r < , > dx
(x + z)P icos bxj
^,4IH> z 3-p £
(p —l)(p—2)° 1 2\ ’ 2 ’ 2
+*C Р)" |яп (рл/2+6г)|
b*Z*'
4
(fe. Rep >0; |arg2К*]-
C I
J fx+zvmbx)
= КЙ [c“ Ьг * Ьг - 2C (te> {X 6;} - 2S ((,2) Cm 6z}]
[fe>0; |arg2|<«].
[fe>0; |argz[<«].
&
1
x— у
sm bx] .
, >dx=
.cos bxj
яп by\ ... «
7} ci(by}
cos by) 4 af
[b, fe>QJ.
oo
7,
мп bx] , (cos bz\
. >ax=n{ . .
cos bxj I sin bz
[fe >0, Im z ^=QJ.
2.5.6. И н т e г p а л ы о т (x2 ± а2)И bx\ , (a2—x2)P bx\
/2a\6 -1/2 (H₽-i/2 W
J (o2—x2)^-1
0
[a, Re£>o; |argfe|<«J«
390
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Р5 6.
3.
* "Л dx=± Г(Ю {'««-»<3
'COS bx) 2 \ b J
[e, 6>o, 0<Re£<l].
2 Р)(^г)1<,2_₽бР_1/2Пр-1/2(^г) — Ч/2-р(6г)]
oo
C cosbx f2z\i/2—pyji v
J (х2-|-г2)Р aX~\b) Г(р)К1/*-4>
о
[ft, Rep. Rez>0J.
[ft, Rep, Rez>ej.
OO
0
co m
r casbx . me~bz (2m—k)l(2bz)k
J (jl2+z2)«+* ax~(2z)^+iml 2л kl(m—k)l
о k=o
OO
.1 x>-j ц
oo
л f COS by . я . ,
« j
OO
1* 1 (sin bx\2 . Л . _
“• I —ч----г { « ox — *- -t- sin 2bu
,j л2— у2 \cosbjg ^y a
[b, Rez>OJ.
[ft, Rez >0).
[6. 9 >03»
16» P>CJ.
№ p>Q].
5? - ( n
t0- J-sq^*=^Hv|2“Etia’4«-2 У (-ipWshpfn-tjte]
b I *=o ' 7
OO
C sin2 fee . я .
«• j -x.+^-d‘=fc<1-^“0
0
[ft, Rez>0[.
[ft. Rez>0].
sin2n+1ftx
о
z2
IP1
22b+2z
e>txt*lAx
2«-[-l
2n~l)ftzH-
k
2л+1
^e-<2n+l>ftz Jp
t— 1
[ft, Rez>0J.
2 5 7.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
391
[5. Rez>0J»
[6. Rez>0].
[Ь, Rez>0].
2.5.7. Интегралы от х® (х ± а)и
[sm 6x1 п . (sin 6x1
, >, Xе (д—х)И{
cos ох] * 1 * (cos bx]
Обозначение: 6—
а
. .о « (sm 6x1 .
1. | xa l (л—х)р1 < , }dx—
J (cos bx]
о
iB (a, PKiFifa; a+fc a+£; -шб)]
[a, Rep>0, Rea>—6, |argb|<;nj.
a>
4. f x«-*-(x—a)M (Sm ?X) dx=B (P. 1 —8—0—6)бвдоННв-ix
I icos DXj
a
/a+t 1 + 26 . a+P + 1 a+P+26 1 . a262\ .
(“f"» 2 * 2*2 ’ 2 "h°’ 4 y"1*
। го i \ p I о o\ (sin [(ос + P) jx/2]1 L£-(x-p у
+(P -1) Г (a+₽ —2) |cog [(a+ я/2]| ab X
v p fl ₽. 3-P . А о 3-a-P . -Жх
X2F®V 2* 2’2’J 2 * 2 ’ 4 /'**
_«fz> . n Ka+ W я/2Я 61 <1-3*
Г ° fsin [(a+ P) Л/21Г ₽X
/ P 1-P.X . a+P 3—a—P
2 ’ 2 * 2 ’ 2 ’ ” 4 )
[a, 6, Rep>0; Re(a+P)<2j.
с C / v» i (sm &xl
о* I x051 (x—a)a i< .
J Icos bx!
l<rt/a\a-,/2 Г, /a6\ Jcos(a6/2)1 /a*\ fsin (ab№)\]
± ~2~\TJ 1 W 2/fsm (a&/2)J V2-a2 / (cos(ab/ty1
. [a. 6>0; 0<;Rea<l].
392 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.5.7.
ОО
о
/а+26 «4-1 . А, 1 А , а+1 — р 2+а—р bW ,
Х^—g-, —2~; «+т, «+--------------’--------2~^------Г) +
, ч (sin [(а—р) л/2]) , „ „
4-Г(а—р){ " " л{>Ь₽~аХ
' (cos [(а — р) л/2]/
ч, J? / р Р+1. 1 1 I Р—а 1—а + Р. ,
*2'^2’ 2 * 2 * 1 ’ 2 * 2 ‘ ~4~/"*"
• nz (cos[(р—а)л/2])
+рГ(а—р— 1) < . ' .о’Лг&Р+^х
г ' (sin [(р—а) л/2]/
V f fP±2 i_t_P.3 3+р—а р— а. Ь^\
а2г3^ 2 » 'Ч" г * 2 ’ 2 * ч” 2 * 4~)
[b>0; Rea>—б; Re (а—р)<1; |argz|<n].
оо
р jja-i [gin feA
7. 1 —— < . \dx=
J x+z (cos fed
0
= 1*2 Ф (а) z®1 [(Т^Г (1 — a, — ibz) т efter (1 —a, ibz)]
[&>0; Iargz|<«; —5<Rea<2).
co
« C x01’1 (sinbx) ,
8. V L ?dx=
J (x+z)l a (cosfevj
0
—f “1/2 Г /п\ Г J №.\ (cos (&Z/2)1 /6z\ (sin (&z/2)) ]
“ 2 \ b J ' ' I/V2-a \ 2 / (sin (6z/2)J ~ >'»-« \ 2 /(cos (fez/2)J J
[6>0; |argz|<«K —5<Rea<lJ.
Fx^fsinM / 1\ <^rns ге+’ЭДж
J x+z (eosfeg \ 2/ L |sm(&z+n/4)J
0
— T/9 r ih>\ I8® (fc4-Я/4)! . (sin bz\ 1 _ 1—(—ip /V
' Цсов(bz+л/4)ij (costejj H 2 r 2b
[о—0 или 1; b>0; |argz|<л].
10.
oo
f x®"1 (sin bx) . „ . . (sin bu\
I ----< . >dx=—ny0--1 ctg ал < —
J x—у (cos bxj (cosb^J
0
' ' (cos (an/2)J z \ 2 2 4 /
= П jcos (ал/2)) г Л. 3—a .a.
+ аГ(а —1) [sin (аду2)) \ 1 2 ' 4 )
[b, ff>0; —b<Rea<2].
oo
Ik f x^[(P+ix)-v + (P-k)-^/™^’dx=
0
= Tt^
[b. Re p>6; 0г^2л <-Re v].
2.5.8 ]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
393
оо
12. J 1 [(р lx)-v ± (Р - 1Х) Ч
О
“*Т$Г(1-* 1)! (»₽>
[6. Re02>O; —2—5<2n<Rev — 1].
2.5.8. И втегр а л ы от (х2—а2)*1
Обозначение: 6
о
ft5a2p+a+6-a \ /а+6 1 х _ а+fi а2Ь2\
------2----В (2~“’ ₽/1ГЦ“2“; У4"6’ ₽+-“Г:---------------------Г/
[a, Rep>0; Rea>—б; [аг£б|<л].
а
„ С , » —а\Й 1 (sin М j
2. I х(а2—х3)р Ч . }<fx=
J ' 1 (cos bx)
о
=± (у)’"Wr ®>fн+ ,й м
2 \ / V Нр+1/2 (ab, J 2
[a, ReP>0; largb|<«].
co
8. f x«-i(x2- 'o2)&-1fS,n
J ' (costa;
•=£а»*#+»-*в(₽, 1_Ц_“±«\Л(«+в. f+^±?, «+ 1 ; -^-) +
, V^/6\«-«fl-»rr(a+8)/2+P-l-| ( 3-a_R. *4^
* 2 \2J ' L(3-J-6—a)/2—0J1 3V ₽* P 2 ’ 2 P’ 4/
la, b, Re£>0; Re (a 4- 2₽> <3].
С /л 1 fsm ta) . К л /2в\3-1/2
1 X(x®—д’)Р~Ч . }<1г=Чг тг лГф)
J 4 7 (cos taj 2 \ b /
а
V_p_i/2 (aty '
la, b>0; 0<Re₽<l/2).
00
Г 1 pin bjQ
J Yx (X2— o2) (cos bx)
Л=_| Vbi±xlt^
[0. &>0].
J x
a
[a, 5>0i 0<Rep<3/2].
394 ГЛАЗА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ₽-5.9.
f 1 Р”1 dx = + — ва-i f tg ЯП М- —
' х2—f/2(costaj “ 2 ™ |ctg (свл/2) cos by]
-^’ет-л^н-^-т)
[6. »>0; —6<Rea<3J.
co
С ж (statal ((зт/2>аав.&й
j x*—^\ajsbx) ^(smby St (bz/) — cosby ci (by
!*. jr>0].
2.5.9. Интегралы от
Обозначение: б—{11.
х® fsin bx~\n
(x2-j-z2)P [costa]
oo
P д«1 jgjn ggi ___
J (x2+22)p |cosbxl —
= ₽-£+») A(2+»; 8Ц. U-t+Ц*; *£)+
At \ At At f \ At A. A. “ f
. .-«_«« / о \ fsin [(a/2— p) nl) - / 1 —a . . a , A &z2\
+W’-r(«-2p)^^_^ii||1F^P:-T-+p, 1—g+p; —)
1&» Hex>0; — 6<Rea<14-2Rep],
oo
Jxy1 (sin &Л . _nza*2 (cos (an/2)Y-1 Jsh bz\_
x24~z2 (cosbx] x~~~2 ism (an/2)J (ch bz]
0
^F- 2-l- T)
[6, Re&>0; —&<R&a<3].
oo
С х2я sin bxdx _
* J “
0
=(-1)" (I - p) (2г),/1-’ {6p-1/’[Vift<',2)-Li/2-0 <M}
Bu fcaXt
a. f ж2”4-6 f^n bxl . , jyt+б J^'n. fOz)1/2^ -^2П-1- [bp l/2K (bz)l
J (x2+z®)P (cos fix) 1 ir r(p)lz ' db*+ir ap-i/2<02']
0
l&.ReiaC»^
eo
f. /sin 4 2-“л f-A-Г V-^e-м
J (x2+z2)OT (costal (m— 1)! \Z^J ' 1
о
[b, Pez>9; л = 0, 1. 2. ..., m — 1; m = l, 2, Я, *—]*
[*>««>* «-{j}].
2591
2Л ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
оо
R. Re 2 >53.
$? . , К m-2
f xvnbx gfe-fa у (2m-fe-4)l (26?)»
J (x2+z2)® ~22"*-2(т-1)! Z Щт-2-fe)!
0 4 = 0
lb, Rez>fc «=2, 3. ...J.
сь
л C x sin bx . n Лг
9- J t/x==2 e bx V>> ***> OJ-
10.
oo
Г sin&x . я Г
J X(x24-22)2aX~2zr[1
o
£~°z i
^-(2+^J
[5, Rez>0].
11 f s«ta*« Нт- уГя /ьл
”* J (x2+z2)0 d*~Г(р) \b) ^з/г-р^2)
о
oo
•2- j 4 [<r“ Ei (te)+eta Ei (- te)J
0
[6, Rez>0, Ref» 1/3].
£5. Kez>0].
CO
<л C X cos bx .
”• J
0
“ 1Г₽Г <’ - P) -*»4 S.^ (ite)]
[5, Re«>4k Rep>1/2].
14.
f x sin2"11 bx . (— l)rt l к,
I .. ____zf у _ V- 9Л- (2/1+1) vg
1 + ад 22/1+2 Л
о
n
2л+Ц etkbz
ъ=л
lb, Re«>0].
oo
,5- f 7^^-‘,x=44,2lC+ln(te)l_If'teEi(te)+e’2Ei<_
0
£5. Rejs>0].
oo
-л f sin2frx , я , ._
le- J (x^+z2)rfxЛ (»• Re»q.
6
eo
(* xdx я
,7’ J W+zz) saibx^iMx [Rez>OJ.
о
396
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5.10.
оо 2л » 1
>«• f * <fc=--^~ 2 ,)e“#'Ei[(2n~2A+')i2l-
О fe=o
2д -р 1
2 (2'’tl)<,_ateE,i(2*~2n~I)tei “•Rc2>o1'
k=0 '
«гм М xtn fsinbx}1
апх+4-... 4- «о (cos bx)
да
р X2fe иб (gjn ьх\
1. I "5^-;—l. >dx=Q
J Х2я4-22л (cos bxj
0
[б>0;+ |argz|<^. b = {J}].
да n — 1
p x-k ° (sin bx) , _ It X v ( . . 2’4-1 \ (cos fl
2. I , ш=То г2*Н 2л б У exp —bz sin—5— ли. I
j х2л4-z-22 (cos bxj 2n V 2a / (sin t f
a z=o
(2fe +1~б>я + 62cos~" л; 6>°: larg*l<£; ®~Ш1.
|_ M ап 4 M (U J j
ОЭ
dx=fk
о
, л Г. f bzV
_• = — 11—exp---7- cos
2z* L к К2/
n f bz \ (sin (
‘“гг1*1 eXp\ Kl/lcad
да
0
x* cos bx
~x^F~
dx=Jk
|-b>0; |argz|<^j,
я V2
1±1-4г2Т1
r bz . bz
cos — ч= sm
. V2 Г2,
да я— 1
_ C x2*cosbx . ♦6+1-9» V ( «. - -л
»• i ------s=-“Jf=—ws’}1 2/1 7 exp —b»sm —
J x2»—y”n a ^i \ n
о z=o
[6, y2>0;
6.
да
P xfesin bx
J J^—y4
[b, ff>o; fe==—i, o. i. 2. 3]g
4y2+i
z-i=4^T (e~6y4-coe by-2),
[2 cos by Si (by)—2 sin by ci (by) T e6^ Ei (— by) ±_е~ьУ Ei (by)],
f2+ i=-Ду (cos by ± ег^У).
2.5 10 ]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
397
xbcosbx
х4—у*
dx=Jk
[Ь, у>0; Л=0. J, 2, 3].
71±1=—ЬуЪ
-i-j [2 cos by ci (by) + 2 sin by Si (by) ± erba Ei (by) ± e№ Ei (— ty)].
4y +
8.
sin x
x(x—z)
z
tfcImz>0).
9. = ~(cosy-I)
ar
[z—it. lmy=0|.
10.
x2 v Чтбх . = я_ A±b
(х2+г2)2+|/а 2y
± z1 +1 sin AJb+/у cos AJ>
[ 2Л+ = V z* j»* + z*; b, Rez. Rey>0].
. f x' + 'cosftx ,_я л+(,(4 . Л-1/Sv
”• J («*+*)*+»• 2» ' +у>
о
X ^±z1+1 (Л+8Ш Л_$4-Л_соб Л_6) */(Л+соэ A_b— J_sin
[2А$.= У*+!Г±2*; b. Rez, Rep>0].
eo
С сх-4-d fsin ОД . / , (cos ОД со—dl
12. 1 ------Т----) }dx=jiexp(— ЬУ р— 72)|с{ (±-^=1
J^x2+2qx+ р (cos ОД L (sin ОД У P~Q2J
[Ь>0*. р>^|.
СО
«п Г smMmxrt j л „ . л „
,3* J (1 -л2/12) (1 —л2/22)... (1 -x2/n2) dX”° [.т, л-1,2, , ...J.
о
Р sin2Z+1/nxrc . 1 —(—1)т лай»-?, 1 (2/)! /п!\а
”• J ЖИ_Х2/Р)(1—Х2/22)...(1-Ж2/Я«) 2 (2rt)|\nJ
о
[/, т, п= 1, 2, 3, ...].
оо
Р хт sin bxdx .
,5‘ J С8 ± Сйл4-сх2 ± х®~1т 1Ь* С>ОЬ
о
/1=(4с)-1 {я (е~®«—cos be) ± [е йс Ei (&с)—е*с Ei (— be)—
— 2 sin be ci (be) 4- 2 cos be Si (be)J},
/a=2~2 [e*c Ei (— be)—e~bc Ei (&c)4-2 ci (be) sin be—
—2 Si (be) cos ОД ± я (е^-У cos be),
oo
<e P xm sin bx . .
6* J x*-i-2a^+^dx~,m Ie’ bt C>°U
ГЛАВА ВТОРАЯ. ООНЕЛЕЯКЮШЕ МИЕГГАЛЫ
[а, Ь, О ОЬ
И_______!____-г 1
(х—а)2 -Ь г* + -Н2! (cos М 2 |cos а^1
[»>0; Re г > Цта |].
19.
са
Г Г х~а — х+а 1 . , , к (sina#
I —М2\17,й'ч~ । ^2 1&пЬХ(1х=>+ЯегЬл4
J ЦХ~“вг4-«’ (x+a)24-z2J ДршаД]
[Ь>0; Re2>)!ma|].
»
S dotard*
х(^+22)...(х2+Мв
0
Г «—1 л
2 2 <- «*
L ft=o ' ' ' q
l»01 »=1» 2. 3. ...J.
ot>
JCos6xdx
(x2-H2)(x24-32) ...[x24-(2n+ l)*i~
n
“ 2 <- * ГТ 'У»™* »>«•
k — 0
I «.5Л1.|
F*
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
399
2.5.11. Интегралы от z24-a*4-ta)v А (ж) Р®
fCOB cxj
Обозначение: 6==/_>.
00
x24’Za4-z)v
(ж24-^К
о
reos [(а 4- v) л/2]'
sin [(а 4- v) л/2]
_J_. _—2r 1
2’2 ’
X/il-j
2 ’ 2’4У‘
2Г+1; 4+2,. 2,+to. l+2,-^; *
4- &6za+'^e~2r2arv+8~1 (_v)1-2rr Г(а+^)/2, 2r—v—a—61
L 1—v—(a4~fi)/2 J
4~6 ., 1 14-*4-а4-8 ,.v4-a+6
2 ’ 2 ^’“Т/
[г=0 или 1/2; b, Rez>0; —C<Rea<—Rev+2r4-Ч*
2.
3 V X2 -j-Z* (cos bx)
= У jAy Г (“F”) 1/4—a/2. ± 1/4 (M МЛ/2 —1/4,.+1/4 Фг)
[ft, Ke200; RecC> —6].
X f ^ (К^28^2)172"6^ 4^=1/* е-Ьг
J )<х2_|_г2 (COS&XJ^ f 2fr
[»•««>»• Hl)}
C (pfx2-f-z24-^)V (sin &x]
J (х24-г2)г (cos&xj
_ ( ^.У^-а+у-гг+дг fa+«. r-(a+v4-6)/21
~ 2 1 2) L H-(a4-a— ^/2-r Jл
p /a 4-1 «,«.»>! » . a-f-б—v t , a4-v+6
Хг^з (2*2 2 ’ 2 G 14" 2
4-2v&2^-a-vr (a+v_2r) Is® ^9^J X
r ' ‘ ' {cos[(a4“V)/2—r] nJ
„ / * v 1— v , , , 1—v—a , , v4-a &2z2\
Хз^з^ 2~’ 2 v* 2 * r4“l 2 ’ 4 /
[r = 0 или tfti b, Rex>0; — 6<Rea< — Rev f-2r-f-lJ.
5.
yjSfxZ-j-Z2) (costa/ r 2 — 7
♦ 1/44-T/2
6z\
~2/
[ft, Rez>0; Rev<3/2).
400
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2 5.12.
(^x*4-224-x)v + (Их2-}-?2—x)v (sin ЬХ\ 2zv(S‘n Kv (frz)
]/xs4-za tcosbxj (cos(vn/2)j
[6. Rez >0; | Rev|< 1].
С (x+z4~Hx2-|-2xz)v-|-(x4-Z—prXa4-2j^)v Jsin frx) ,^
|J У x2-{-2xz (cosftxj
= n2v r/cos <b~ - nv/2A J (ЬЛ 4- fsin & ~ V^2A Y (hz11
Lisin (bz—nv/2)J v (cos(6z—vn/2)J v' J
[6 > 0; | Re V | < 1; | arg z I < Л].
Г 1 Ив8—л8)v 4- (x—i Va2 -^x2)v (sin 6x1 Jx—
3 l^a2—x® tcos&xj
aav (cosec (vn/2)1
= ~2 I sec(vii/2) J[Jv {a6) J vIa> : 1 адвb 1 < яЪ
f x8~a^v4~(^—xi~ai)v (sm bx\ fa
J x2—a8 Icosfcx/
(d. &>0; | ReV|<lJ.
1». f (*4-Kx*-<*)v4-(*-rx*-^)v pin»»| л,_ я T/i.„v
J p xfx2—a8) Icosftxf 2
v Гj v ((tb\ . j (&b\ y
x [Ji 1/4+*/ЦУу r ± 1/4 — v/2^2j “Г •’±1/4— V/21^ 2 / r ±l/4 + v/2 2 /j
[a, b>fk I Rev|<3/2j.
л- 1л „ ГГ (stna^xiUb (81‘п6*хр.
2.5.12. Интегралы от ||< I t . г .
Л I (COS flt*XJ (COS &£Xj *
JJ sin*1* cosVft Ьь*.
k
Я/4
* f ^йл₽2“"1в(2(1+,>
0
Л/4
2- J ^^‘fc=2*‘B0*+1’ •*+>
0
- pn-nn_
J co^”+1x 2(2л)!1 "•
0
Я/4
_ C sinm x cosv 2x , _ 1 R/m-}-I
*' A cos2V™+2x ax~2 ’ v+1
[-1/2 < Re U<OJ.
(Rev> —1].
[Reji>—1].
2.5.12.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
401
Г sinm х cos’1-1'2 2х . _(m—1)П (2n—1)!! pt/2, m~0t 2, 4, ...
j cos2ftlmllx X (m+2n)!t ( 1, m=l, 3, 5, ...
o
pl==l, 2, 3. ...J.
я/2
л f . „ . («+!)!! fl,
6. I sinnxrfx=-—
j nil (л/2,
0
»=!, 3, 5, ...
n = 0, 2, 4, ...
[n = 2, 4. ..
[e»u 3. 5. ...].
Л/2
10. C c°g/2<,+ 1>rdx=(-iy ”.
J cosx 1 ' 2
о
Л/2
11. f sm^xF”1 ^Xjdx==2 Hji 1г м/ol*
J Icos&xj ( L(l+p—(t+l*+0/2J
о
(sin (6л/2)( _ b f> ] (cos (tet/2)i
Л icos (6n/2)f + 2 [1 +G*+6)/2, I +(p—&)/2J (sin (6 л/2) J A
v с f Д
A 3'2 I 2 *
p-M
2 ’
(Re|i>—| aij»|<4
12.
Л/2
C «АП-i v Jsin G* +1) J_ ph (Рл/2)1
J tcos(p+l)rJ 1» (cos(|Mi/2)J
Reu>-{J}}
Я/2
J
sin&rt-fi
sin (2m-H) xl . (—1)”
.cos 2mx J 2an+1+3
{Hl
6
14. =0 [т>л; 6=={q}]-
15. ”f sta^‘-*x(sta <2ra+°
J (cos 2mx J
о
(—1)ст (2л— П» (n— 1)! 2й"1 (2n 1 г .6=(!ll
(2ti—2m—!)!! (2m-|-2n+l)H (2m4-2rt-f-1J (ojj‘
(_i)»(rt — l)i2«-1(2m—2n—1)1! (2n— 1)!! f 2n >
16‘ “ (2m+2л 4-1)11 (2m 4- 2n + if
[—{ill
4Q2 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
л/2
17. f
О
•t у ] -L у 1 V -4- b V_____b \
~2 • "2~• 4” дГ~» ^4 2 • Ч [Rev>ft |argi?|<;n].
? 1
18. I cosv-1Xffln (v4-l)x<fc=— [Rev>0].
о
«/2 *— 1
<л (* „ . , V nJ (m+n—2/— 2)Я n!(m—n—2Д1
19. i cos® x sin mxdx= 7 —7—--ц,4- 6 :—r„ --
j (n—;)! (m-J-ti)!! ‘ (m-{-«)!!
в j=0
[k=minfrn, n), 0=2 при tn — n=4l -|-2> 0; 0= 1 при m —n = 22-}~ l>0; 0=0 при
m—n= 4/^0 или m — n<Oj.
л/2 л
20. J cos«xsin 7 *
0 /=1
л/2 «
21. j cosvlxsin (2m + l)xdx=(— l)m [Rev>0].
0 /=0
я/2
22. f cos’-*xcO8&tIfx=2-^F[(1+v+6)/2J(J + v_6)/2J
0
lRev>0; |arj& |<л].
яД
£3. eosv-1xeos(v4-1) xdx=Q IRev^ej.
0
Л/2 , t , 4 rt p
? . n! ( 1, л—et=l, 3» 5, ....
24. J ‘сейвхсО8ЯаЛг-(Л_1и)П(л_^т)!!1л/2, n—m=O, 2, 4, ...
0
_ _______ nl_______________________
~ (m—n)<m—n+2) ... (т-Ьц)
[«<m; JB=O, eoiH-m—n четно; В=±1, £сли я»—»=</± 1, l—Q, 1,2, ...J.
Л/2 1 / \
30. snl^xcos^xdx—-g В yj fReii. Rev>0].
0
л/2
27. f fa>op
J \ smx j 2 2
0
я/2 .
28. j ^-,x<se’-14^j7v)3dX“
V
_ n (sec (p.rt/2) | p Г
2 tcosec (y.ii/2)j LH4"vi
v
Rev>0; Ren> —j*
L12-I
®J. ТРЯГОН8МВт1ЧЕ€КИЕ функции
«53
C sm**-1 x cosvl x /ЯП fe+v)x
J tcos (P' + v*
о
x
P sin nx cos mx
л sin x
dr-О
[n^m или n>m; m-)-n = 2k].
=s Л
[n>m: 1, ft=lv 2, 3,
sin”* xcos’ xdx—
[т4-й-0, 2, 4. ...].
2
2
2
a
я
sin x
----2----*
*
л n
34. f ^^=(_])Л4 V £=1L.
J cosx ' 2«—1
о k — 1
x
J COS X
0
_e f • п-i fsin _________21 Ия_________Г®11
36. J smH (cos6xj^~ ив ((н-Ь^Ч-(h-&+WVj»fca/2)J
[Re u >0; | argh | <я].
x я/2
” J— e£+,l‘)M -fX"?
О о
[CM. 2.5,12.13—16].
38. I sm2»'xcoe2mx4fc=i-^— [n_m]
dJ
39. =0
я r ‘ \
40 f cos’ x I8”1 dx= [1 T (—l)m+n] V cos’ x < mXl dx
w. i uus- л ।cqs г ил Li -»- v 4 j j ^CQS
о °
[n<m].
[еж. ЗЛЛЗ.Ю-ЗЗ].
C .j (—1)’sin 6л f 64-л. i 64~л. Л
41. j cos’xcos6xdx= gB n> ~~2~r 1--2~’ ~ 7
° [ft^<±u±2.
42.
я
J cosPxcosmxdx=0
[m4-n=l, 3L S, ... или m>n. ш + я = 2, 4, 6, ...].
0
404 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.5.13.
«• “ («+«)([-1)!----- «+«-».»-
в-}-2л
.. С . т „ . П+(—wn+t—1)я1о М4-! л+1\
44. I sm« х cos’* xdx=1———— В —t —x—).
v ~ \ * r
a
2.5.13. И нтегр а лы от x® sin^ axcosvbx.
л/4
(* smP-1x , я 1
j cosl*+1x 4ц 2ц \ 2 1
0 X
[Reu>— 1J»
2
л/4
Jsjn8x
XCOSn+2 X
о
I— (—!)« я
я
2
Ь^1п2)_ У <=!£
2 J n—2n
k = Q
3.
sinx . In2 я
-----dx= r
cos’x 2 4
я2
16
Л/4
л f _sin2x, !/. я. я я2 r\
4- Г‘^л=з (9 1-4-ta2_Y+T6+GJ-
О
Я/4
s. f —\т===4 'п <' +/«)•
J sin ху cos2x £
о
Я/2
f cosP-1x, 1 Гя ft/p + lV]
J smP+1 х 2ц L 2 \ 2 /J
л/4
л/2 ' ч
С fsin111 х cos xl . я (1 _ V я у Г(ц4-1)/21
* J Х\cosJ11 хsinхJ 2ц (0J 2ц [ц/24-1 J
о
л1* . . . 1 Г 2(2ft)!l 1
8. J xsm xcosxdx—^г^!)|л (2п+1)!!]в
о
9 С х an2B+1xcosxdx=—-——- Г1 (2я~Ь1)1П
9. j xsm xcosxox 4(n+i)[1 4-2)11]
[Re U>OJ.
10.
11.
Я/2
C cosx
1 . л
J * sin2x
0
dx=4G
я8
4"
Ц/2
C cosx . Зя, л Я*
J х’апл=т|п2-1б
0
13]
л/2
25. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
405
я!!
I „ - J .... ,1, «=о, 2, 4,
I XCOSn X Sin ХОХ— ----г Ауг .--р-тт^ . _ -
J (л+1)11 (п4~1) (л, п=1» 3» 5,
о
л/2
C (cos x)»^1 (sin x) "**“1
1 x{ . > < >
J Isinxj (COSXJ
0
_|_ л
— 2ji cos (рл/2)
[0<±Reu<f],
Л/2
4. xannxcos2m"1xdx =
о
Л/2
В (я/2, tn4~ 1/2) t n— I C . _ . t .
, T k- + n—i-------------г 1 *sm»"2xcos2”*-1 xdx
2(2/п4-я—1) 1 2m+a— 1 J
[m, я = 1, 2, 3,
л/2
С V-1 * n, xt(<v+*+l)/2)-M>((v—6+1)/2)
J xcos xsm6xrfx-2Viir (v) г ((у+*+1;/2)Г((ЖГ
о
LRevXt — 1—Rev< Re 6<1 + Rev].
16.
Л V~
Jx sin i*-1 xcosx dx^=—I—Г
I*
о
lReu>0J.
17.
Г . . л fz t. t 1 —(—l)«(2[(n+l)/2]-l)!!
J + -----(2i(H+Wl '
0
18.
л
Г sinx. . Л
I х---ах=—Л1п2.
J cosx
о
19.
л
J х sin2/1-1 xcos“xdx=
о
.в
2(2«4-m—1)
я
/л , 1 \ , m—1 C . t _ 9 .
-гг» л+тг +г7~1---г V xsm^^xcos^xdx
о
[m, n=l, 2» 3, ...].
oo
Vx®-1 sin1* ax sinm bxdx= /"*w,
> ЬЬ 1
0
[И-П/2)
m==yrn2t ~~m~~ n+a V
A’—О
[(m - l)/2]
Bt x
«I (n—*)1
m! a /a , («—2fe)2aa
д (m—QI Akl
406
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[23.13.
л. (0=(4/)*^(m-29-r а)/2] х
Х{Л(Ы-у+а/2, К-у+(Ц-а)/2; 2Х4-1/2; Z)4-21-1} +
+Ру-1)4«< ^V»-!»)-«r[*+T+“^e)/2] прв 0</<1.
АЫ »=«^<r«(»-»)^rg+’+^.a)/2] X
Х{Л(1+?4-а/2, V-Х+(14-а)/2; 2у-Ы/2; t i)4-2Y-l} +
+ (а-Щ4^4 “(т-ЗД-“г[^^+“^а)/2] при <>1.
Л*,<!>“«-“<» 2*)'a{yr“r[xiт-Х+(1—а)/2, Х+у-в/2]+
+ 4л (й-1) Г £+ Ц“%/2] + 4V (2?- 1) Г [Jt;+“^а)/2]}
Г 1 (—|i® 1
1Х= 5-—, у= 2— / — а, ь>0; -~т — жВеа-сВ <-*т — ЖЯед<-1, earn
L 4 4
одно вз чисел т, п нечетно или если т, п нечетны п а фЬУ, т, п= 1, 2, 3, ... ь
/»•« = 4 In -|^?-r =5 min (а, fa
л» I ** " 4/ I
^* = -J !6<2<fl. /?** = [b = 2a], Z2’» = 0 [b>2at
д,ь_л1п 2a-^h
— ^””5 *{ 2a—b] ~^ 4 1 S® ’
/l**=eln2 [6=2а]; №' = ~b(4a—b) [Ь^2аЪ
o
= 2 а2 I* > mln (a, b) ;
72,S_*aIn . *2ln I*2-*21 a+b ....
4 1П + 4 ,П----&-------~2 ln * * *
/^=а8Ь2 [b=fl]; /^=4-nn2(36—a) [a<«.
О
/1*1* = ^ ь [6<a], Л’1= ” (За—b) [аС6<&11. /11=0 [Ь>3а]>
4 о
{ [(яа —6)/(2а)] Л
аЯ—ЙГ [Ь^ги].
k=0 ' * J
/21 д="к аП [Ь —am, т>л. т=Л, 2, 3»
аа
21. V япя ахсо^1 Ьл4х= т
о
2.5.13.] 2J>. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ <&£
408
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.13.
Jlj=O [b>3a]; Л,я __. “ A ~ 4 [2&<a],
[2d=a]. J3.2 JL “16 [a<2&<3ab
[2b=3a], и <n <r^ [2&>3a];
4_31пЗ 3 19а2—4621 b (a—2b)3(За-|-26) |
1 8 а+1ба1П I а3—4b3 |+ 8 1п (а4-2Ь)3(За—2Ь) |
3 In 34-2 In 2 _ „ _ 3 о . _4
Jlf —------g------а [2d=а]. Л*® = — (In 3— In 2) а
== ~ (За3—2b2) [2d<а]. Л® = [6а24-(За-2Ь)2]
О
[26 ^а, 2&^Эа].
рь=3а];
[я <2&< За].
3
/1*| = тхЛа2 [26>3а].
16
12/4-1, т_ 1 о (} I 1 —
J» =2BV+2-’L~J+27
<2/—1)1! (2[(д+1)/2]-1)11
2/ +1 + [(m + НЛ)J (j 1)/2])!
>2/4- 1. — t _ п (2/~ - /2; 4 1, 2k 1 R . 1 ь . 1 \
№ “* J‘ TBV+’2,*+27
[d-a];
j2j, i___(2j 3)H ла
-1 (2/)!! 2
[d=a]:
[(ал—6)/(2а)]
2 [6<n“b
fe=O
?J.=0 '^^Lk+lin7a>~‘ »=« 1=1. 2.4.
Г sinH-ixcos^x 1 /[1—1 v \
22- J ----------‘fc=^B(~>’2)
0
[tt>l, v>tt n=2*/(2/4-l), V=2m/(2n4- 1>J»
23.
co
J x®-1 cos” ax cos?» bx <1х=Угл21~т п+аГ
о
f[(n-1)/2|
fe=0
a/2
(l-a)/2
[(m-l)/2[
л! V
Л!(л-Л)! Z
/=о
[(«—1)/2]
1 i
1 = 0
n! b “
. !+(-!)”________
Г 4 Цл/2)!]3
£«(0+
in^m-!U>-a+
[(n-l)/2J ' t
<rV' V5 n (n_________2kYXL
[(m/2)!]3 Zi kl(n~k)lv 1
k — о <
2-5-14.] 2-5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 409
(л—2fc)2a3
* —(от—202 о2’
С^(0 = (т^20~а&П2^1 ~~2~~ * 4 » 0 при 0</<1»
с„ (0=(n-a)-“a-Vi(4. ; 4; Н и» <>«
р \ Лл Л» & f
Ь>-0; 0<Rea<l; nt, n—1, 2. 3, .... кроне случая, когда man четны одновре-
менно].
Xе
2.5.14. Интегралы от ——smPoxcosv6x.
г X3 + Z2
оо
Г Xе"1
' 1 г81ппаХ8Ш bxdx==/"t6 [а==1, 2; а. Ъ, Rez>0].
о
’ ^-2>.=±^rLia-^M2)“-‘-'baz.
t.
i2fc-1 *Л Z гагj2fe-l
7t. (2fe—l)a— 2^2 ' 9
• 2fe—1 __ (—l)ft 1 Л /. _,-2a*\2fc-l_-2flZ
Jl, (2fe+l)a---2^2 U— e ' ’
^2u=j^iKl-*-2O0s‘-l].
/2* _ (~1)^ Л „-ЙДД /t ,-2OA2fe
* 2.2(fe4*l)fl— 22febl e U e / »
eo
sin" ax cos bxdx= J* b [a=i, 2; a, b, Rez>0],
»2fe -I _ (—1)*X г/. -2агу2Л-1 .1
* 2, (2fe—l)a 22* e ' —*-**
y2fe —1 _ ( l)fert г/, _-2az\2*-l ,i _az
J2, 2(Jfe— l)a——2%—LU—в ) —IJe а
>24-1 _ (—1)*Я /. -2<U
J2, (2fe+i)a--2^*—U—e ) e ,
4^-1).=-^ « Л»*1 ^1“-»“,
[(1 l]sh »,
4*0 ГЛАВА. ВЯОГАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Р^М.
j2fe _ (—!)*«- f.______o-bazx2k
•'1, 2ka ’ • ’ »
j2k _____ (—1)*я (ъ e-2«te\2fc„-2®r
**A 2r(fr-f-l)a 2вйт-1г ’*“*e f e *
/2* sh2* дг.
1, Aka
to
Jjpw-l
COS'* OK sin bxdx=[a>b [a.b. Rez>0].
0
n
Il.<ia— 2л+1г 2 G) le-!,“Ei
/-I
4 »+».= -£t (1 +»“?,
4.2^ (1 +
4.«.-1><>=-^Г (I+««“)*«
OO
4. V - «-; - ^Cf^naxco5bxdx=Ib
J x24~za v
0
/<»».«= 2^
(2faz)-e“<«Ei(—2te)l.
A»a=-j-e-’Mch«az.
[a, b, Rez>0]«
j xz—y2 \cos anxf ^{wianyj * ^°я
£1=*, 9, 3, ...; e>Q; e={JJJ.
oo
f 1 sin bx . я sh bz
J >+> ПХ»<Ж вег>4.
C x-1 sin bx . __rt —i*i t^bz
I -51—T----dx—^-^z — —г-------
J x24-z2 cosax 2 ch ax
о
OO
f x co&bx . лсЗ^Ьл
J x2 4- z2 sin ax 2 sh az
о
oo
JI cosfrx ,_____________я chte
x24-z2 cos ax x—2fc etoez
[0<fr<a; Rez>>0].
[0<b<a; Re2>og.
[0<6<e; Rez>0].
0
2.5.S.]
2.5. тригонометрические функции
оо
10 С 1 sin bx ._______________я sinz(feff/2)
J х®—у2 sin ах у sin ay
! ®
00
I - « А -Я*1 ЯП .
|И« л '_ _ tl
J х8—у8 cos ox
о
2.5.15. Интегралы от Xя sm^e*xeos*6fex*
Обозначение: 6=<Л.
I. х<^ sin6cxdx=0
О k = 0
со п п
2. f х »-1 J | smb&ax^? I J 6*
о *==о л=о
Р><Ь<«Г, »>Ч.
[0<Ь<а; Я>0].
я 3
Ьл>°!*е> ХЛЛ-
fe=l- I
я -|
с»
3. J Xя 1 sin ПК sin 6x«in£xdx=/a
о
' [— 3<Rex<l; а^&^с^О, исключая a=t»^e=O),
4,=Jl^-sta^j[-(a+6+c) «+И-»+0-*+
4*(аЧ-^~ с)а—в-|-в—ъ—с|"®]
~1, —2; e=sgn(a—&—с). е==0 при л=«*4-с],
/о=^*(1—е)»
/_!= in (a-b&H-c)— -—In fp—b±c)—
— ~ in(a-{-rd—c)4-————In | a—b—c |,
/^2=-^[(a+6+c)2-(a+fe-c)2-(a-&+c)24-8(a-6-c)a].
X
tt-f-m-f-l 3 3 1 1 ,
2 ’ ?> •" » P P ’ 2 ’
Pi*
m •
“1 * 1
g8 f *’* f * £2 J
-... вт, «г,.., Ъл, £>0; £>а1+...+лт+5|+-.- + *я: —m-6<Rez<q.
412
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.16.
со т п
5. J лс6-т+2/ | sin а,х cos ЬьХ dx=O
О t=i *=1
Iе!....ат' 61..*я> £>“1+ • •+%»+*!+••-+*п;
J-0. 1.2. .... [”L±]-ue-g}].
оо т п
J X я*-1 | | sin atx "j | cos b^x sin & dx= nat...
0 l=l k l
Pr bL, ...,ba, 6>ft б^+...+^+V—HnI-
<D fl
7. J' ~ J cosPfe a^x sin bx sin x dx— g-
o k=l
2.5.16. Интегралы, содержащие
n
*> £ eA’ pk
К =4
Обозначение: $
>
0
1. J (cosx—cos a)*”1 cosbxdx—Vn/2 sinv_1^aV (v) 1/2 (<*»«)
0
a
C cos(n-|-l/2)x , n „ f .
2. V A.T„^dx=-F-Pa(cosa>
J у cosx—cos a у 2
_ f dx 1 b
3, 1 ----------— -------- arccos —
J a~{-b sinx V a2—b2 a
. i .1 b+VT^f I
—a2 I a J
5. = 1/a
Л/2 Л/2
P sinxrfx _ (* cosxdx ___л __
’A 14- sinx"" J 14-cosx “ 2
о 0
[I*. fiev>0; 0<а<я].
(a >01-
[|»l <a].
[0<lfl]<|fr|J.
[6= a].
л/2 c®
S' I—0! COS 2лX . Л V f m\„ь . o-m-1-
-—scosCTxcosmxdx=^i2- 7 ( , la*4-2 m Jrt
1—2acos2nx4~a2 2ОТ+2 \kn/
fc=i
[]a I<i; Д=Ь 2. 3.
• J.
Я/2 4-l\n 1
Г cos" x sm лх sin 2x . я 11 14~а — у g-я I
J 1 — 2a cos 2x4-a2 X~ 4a 11 2 / J
0
[{|:&}=
/1=1, 2. 3,
2 5.16.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
413
sin2” х cos-2” x cos fix . (—1)дл(1-а)3” 1 (11
1—2acos2?4-u2 ~ 21 P(l+a)2n'Pbi |a&J
10.
я/2
dx
(a 4- bcosx)2
a b b\
a2—b2 \ Va2—b'1 a a)
1 /b a ln b-^/b2—a2
b2—a2 \a У b2—a2 a
13.
14.
15.
’«-Ч
lb>a>0].
я/2 n
f cosan~E xcos fix дх_ я 0 —a)-2®"1 у /fi\/2n—jfe\
J (1 -2acos2x4-a2)«+1 ~ 2^-P+i(a4-1 )₽-x
Я/2
f S^n^XCOSP xcos fix A __
J (1—2acos2x4-g2)“ X~~
0
(—1)>*л(1—g)2®»-2”*1 '
2^» P1 (14- a)2”^1 j
0<2n4-i).
n—1 я—k—1
[£=2л—2m—j*—[a|<1; u>— 1].
X/2
f X®*2 . / л\я+2 /я\“+1
1 -------dx—— (-Д-) +(«r) (n+2)
J 1—cosx \2) \2J '
V U2fe)
42*-x (n4-2£4-1) *
*=i
X—sinx . „ Л
-----dx — 2——.
1—cosx 2
7в|<П1
la.>1/1
xdx ___л
14-cosx 2
In 2.
(a>|b|).
2
Я/2
f .«?xdx=a|n2_2G
J 14-slnx
Я/2
f ;sto*<fa=T"in2+2C.
J Iztcosx 2
0
M f x2dx - . o- л3
21. I -г------==4G4-J*ln2---j-.
J 1—cosx 4
0
«I*
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2-5 16.
cosnx , я (У<& — b2—а
----------dx = —(.........——-
a-^-bcosx Уa2—b2 \ b
х
С
J cos а — cos х
в
л sin ап
sm а
fa 70].
25.
лтпх . о_ 1О/я—1
------dx=2« —77—
cosx \ 2
«4-1 \
2 /
[в=0].
[л=2, 3, 4, ...J.
f ‘У11-
=— ЯП
2
2 ’
k
e a V [ b2—a2 V-1 „
= 7 ) B
D* jU \ 4oa /
1=1
A=xfr**Ca— 4^ прм <*в=3&4‘2» Л=прв «== 2Й4-1.
К
С sannrsin xdx
п
О
27.
II
(• COS ПХ COS X
; П=1, 2.3
28.
я
С cosnx
J (a-V&cosxy*
(1—р)л
я
29.
( ______cosmx_______
J (1—2a 006*4-e2)1*
о
naf
п— 1
И—
*==0
а
k
£•>161].
|Л|>1
иг—2,
п
30.
Г cosnx
J (I—2acosx-j
о
«•ITO-
я
31. (1—aecoejr+o^eeemxtfccssO
о
H<«o>
[(я—m)/2] , .
32. =я(-е)»(1+а^
fc=0
£n>fltj.
2.5.16.]
2Л ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
415
л .
Г cos пх dx________ncPzn
J 1—2acosx4-a2 — |1— a2|
о
л
С sin пх — a sin (« + !) х , __
) 1- 2acosx-j-a2 U
[|а|<1].
л
f*
J (а + b cosx)2 (а2—Ь2)3'2
El
Г1М«Ф
л п
36. f (1— 2acosx4-a2)ndx=n У* а2*,
о k=o4
38.
-------——— = л (а2 - б2)-» пг/2 Ря I /-L—
(e-f-bcosx)-'” \К«2 — б2
39.
cosx______J sin 2пх | .
1 + («4-6 smx)2 l.cos(2«+1) xf x
__ л . ГЛ , (ОЙ . t/sIR /1
= *-»япЦ +uu 2jlgU
[s=a« — b«— l + /(a4—t2—1)«4-4a»; a>0( n=l, 2, 3. ...J.
40.
__________sin x ^n px dx___________
(a2— 2a6cosx+&3) (a2^—2a^coepx4-c^_2aF+1(e₽—&₽)
[0<o<e; 0<a<&; p>0]
41.
л
Г sfa2V~ljc dx —
* (a+bcosxX1
=2v-V> ,WVe-v j. (T) P'^lm (
\ r ab—/
[a> |b|; Rev>0].
л
Q
л
o
416
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5 16.
л
Г cos’1 xdx
j (а 4 6 cosx)*11
О
п
_______л________ у , nfc (2я-а&-1)Н(26—1)» (а+Ь\*
2» (a+b)n Vа*-Ья (л—Jfel \a-b)
[а> frf>OJ.
43
sirtf4 *х . tj/h 1
__ ________ _____л г — к г
(1-2acosx-f-a2)v \2 ’ 2
i-н
2
£|я1 <1; Re|*>oj.
л
.. f sin(n4-1/2)х . я п . .
44. I , .. ~= dx=-^ Рп (cos а)
J у cos a—cosx у2
а
.’ ya*r6cosx Va-j-b а4~6/
45 С dx — ya / \
J ГГ=Ж 4Гп \4/'
л
47. f -7==JL==~^2K(a)
»« V1 ь 2аcosx4-а2
(e>OJ-
[а>6>0].
ДЯ С * sin xdx _ (21 а |~Ц ГЛ а£>111
J 1^1 dt 2а cos х+4я 1 2 j
л
_л (* cos х dx 2 . . n . ..
49. I —- _ --• = — (К (a) — E (а)] (1«1<Ц-
J F 1 —2acosx-j-a3 a
ел Г COB (n4-1/2) xdx (—1)«л
J Fcosx4-i 2
о
C xdx = + 4 У (a—Ka2—
aj; hcosx 2 ~ (2fe+ l)a b***
о e—I
[a>6>0]-
C XSTn xdx____^Li
J 7i-4&cosx 6 П 2 (a—6)
te>|6| >oj.
53. C *^!L£dx=2.
Л 1—cosx
xcosx
14-sinx
dx=iiln2—4G.
о
0
2.5 16.] 2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 417
55. f я in (14-а-1) И* ° ’<* 1] J 1—2а cosx 4-а2 а Lila|>ljJ 0
56. а С х sin * . Л / 1 1 \ 1 ) (0<1&|<аЪ J (a4-£cosx)a b \а—b У а2—62/
57. л С xtdx . . _ 1 =4л In 2. J 1 —cos* 0 л
58. С „ acos*4-ft . 2л, 2(а — Ь) 1 X2 ——dx— In —L:.- №<»1<а]. J (а+6 сое*)2 b a+Ya* — b* 2л
59. С г. >» fsin лх) . . л (0) j -“•*>’(J( 2л
60. J (а 4-6 cosx)” sin nxdx—Q [а>|5|]. 0 2Л 4 п
61. С dx 2л у (л+^)г 1 + 2 _ | J (1— 2а cosx 4-а2)**4 11— а2(л+1 (kiy*(n-k)l 1 1 , 0 k=0 [{:'£}]• 2л
62. С (х^) + 1 rzi а)~2л » д)-2ят П'а*<• 1] J (1—2аcos*4-я2)"*1 2ла ' * 1 4" ? 1 0 2л
63. ( L'alTti; л=0. ±1. ±2, ...]. J 1—2асоб*4-п2 0 2л
64. f fsin 2nx ) dx л J (cos(2«4-l)*f a4-6sin* 1 1 1 •* 1 0
65. f fsin (2n4-1) x| dx = (—1)я^ 2л (a - Ka2 -fea)2"^ J (cos2nx j a-t-b sm* Ь2я 6 Ha2— [|a|> »|>q. 2Л
66. f fsin (nx/2) sin (x/2)} dx J Icos(л*/2)cos(*/2)J 1 —2acosx4*a2 0 2л
67. C sm (n—1/2) x sin (x/2) , ла” J 1— 2a cosx 4-a3 — 14-a 0 (m=n— 1 при Iei<l; m=— л яри |а[>1; л=1, 2, 3, ...J. 14 А. П. Прудников в др.
418
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.16.
2я
ао f cos (п —1/2) xcos (х/2) А __ яат
J 1—2а cosx 4-а2 11-а|
о
[m=n—1 при Iл|<1; т=— п при [а|>1; п—1, 2. 3. ...J.
«. F c+c,KI;|7,-dx----------
J (a—bcosx)3/2 b Fiа 4-6 L \F a±b J a—b \г а^Ь/Л
[а>ь><д.
70.
2Л _____
(* xsinx . 2л, а+г аг—б2
1 ——т------ах — ±-7-1п—------тг—
J а ± b cos х b 2 (а ± &)
о
[а>£*(>0].
х sm пх .
---т----dx—
a -tz b сое х
(Т 6)~л [(а 4-/^^)я - (а-Ка2-Ь2)Л] In
V а 4-6 4-V а—6
п—1
jW 1»-----К) I
fe==l '
2Л * _____
f xcos ах . 2л2 /а—F^a2—b3
72. I ---------dr— -'72—==^ 4---------*-
J a±.6cosx F°2—6* ' ±6
2л
f xsin xdx 2л, -Ц»
73. I ——s------гт = — ln(l— a~/‘
,5 1—2«cosx4-<^ a i f
о ’ 4
и^:п-
oo
J, sinx . я
X-1------------Jx _----- , _..
o e_t6cos2x 2Y a2—6*
76. =0
tk»ljc№
m С , япях , я 1—a-
77. I x~*-t—s----;—г“*=-п-7Т
J t—2acosx4-a2 2 (l-r-a)2
о
чо: C -i sinbx я 14-л—
78‘ J 1— 2acosx4-a2 """2 (1—a2)(l—a)
о
я eM-J-aW1— 2 _[6j
e2 a
[0<а<1; b^Qr 1. 2, ...].
.1 - ••-
(e>j; igte, !.£...].
2.5.16.}
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
419
81.
82.
4rt
С (тх&) dx
J (1—2аcosx4-о2)"
о
со
«>
fsin 2х
'cos 2х]
,] dx _
1 2а cos 2x4-е2
= (Т l)i-6 Msm
4а Icos
-l-6<Ren<l; 6={J}]«
f x~l a- n
J (1 — 2а cos 2x4- a2)”*1 (sin xj ** “ 2 Ц - a2 f2»*1
о
n
V We2*
Ца I
83. f «-I —----------dx = —г Я -
J a-f-6cosfcx 2} \2—62
(fe = 2. 4; fe|><6 Й-
: 84. 3=0
(fe=2, 4; |a|<|6|].
C X-1 sin2m+1 X .
----------------dx
J 1 — 2acosx-f-a2
6
2/n . .
(—l)"1 л (1 +«)*« f| 1 — a у (—I)* „ Г m4-1/2 ] 4*a* \ (
22m+2a2m+i \ 14-a Zi Я Ll/24-ffz—(l4-a)2*/
k=0
00
Jx~i sin2ffl+1 x cos” x . лп!
(1 -2acosx4-a2)v (2m4-n +1>1 (14-a)2vX
У (-D*(2m+2n-2t+l)!l„
X Zi £!(«—*)!
fe=5
1)1! 2Fjffz4-a —64-3/2, v; 2/n-{-a4-2; ^Г+а)2
I dx________n 14- aer*-^
1—2a cos ex 4-a2 x2 4-z2 2z(l— a3) 1 — ае*сг
t-Re2>e4ia'lS'}]-
1 dx ___ ________ла sin cy_______
1 —2acoscx4-a2 x2—у2 ~ у | 1 — a21(I — 2acosey4-«^
£c, £>0;
420
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.5.17.
С cosfec dx я е1 &z-f-ae-2(& с\
J 1 — 2а coscx-f-a2x2-f-z2 2г(1—д2) 1— ае* сг
со - -ч •
С 008 fr* л* ____________
j 1— 2а cos сх 4-а2 хъ—у*
о
я 11 —д2 | sin by+2a—ib+c^c sin су г г'а|<1П
“*~2уj I — а2| 1—2acoscy+cP Г’ с‘ у> ’ l|e|>iJJ*
a Г xsin 6х_________dx __я е Ьг—ае±ь^
J 1— 2а cos cx-f-а2 л2-}- г2 ~ 2 (1—ае^Сг)(1 — ае^) i
о '
р. ь. н«>о: {;;;$,*}].
во ...
92 f Ksfofr*_______dx _________я а~/с—rasfa/ fl)
J 1—2a cos ex-}- д2 x2—y2 2] 1—л2| 1—2acoscy-b«2 |д2/
о
[•—>4»
co
„.fl- cosax . sinаъ « . „
93. 1 —у----z-dx = — • (a>ft Im 0^=0].
J x(x—у) у
2.5.17. Интегралы, содержащие (acOsx-f-6sinx-f-cp.
a . . ' 4
.г x dx a . , ,
1. 1 -----—-—:---------— — -— In eos a
J cosx-f-tgasm x cosx tga 1 1
0
Я/2
of x dx /л , \ । ,
2. I ----—r----:----: — -o 4-a ln ЯПД
J cosx-f-tgasmx sinx \2 / ’ 1
a
Я/4
f A cos x-f- В sin x __ Ab — Ba , (a+&)2
j a cosx-f-&sin x 2(a34~6s) 2a2
Aa-j-Bb n
?V4
f cosx—sinx . я , rt G
I x~z:——dx= —ln2— — .
J cosx-|-smx 4 2
о
5.
яМ
C x (sinx)-1, я, „ , _ (П
t ----;—:i ? dx— чз „ In2 + G<.>.
j cosx-f-smx fcosxj 8 (0/
Л/4
f O-”to2.
J cosx—smx cosx 8
2.5.17.] 2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ {
421
Я/4
f xtgx dx я л . _ In 2
J cosx4-sinx cosx 4 8 2
о
Л/4
Г xdx 1 , a-4-6 , я a — b
I ------------------- ----------Ln —~ 4--------------------------
(a cosx + b sin x)2 a24-62 a}2 4 (a24-f>2) (a-|~6)
я/2 x
f cos r T sin x . я t _
1 X-----------— dx=±. — In 2— G.
J cos x Jz sm x 4
о
я/2
f xdx я . _ _
I 7---------:--Ci----— r In 2 dz G.
J (cos X zfc sin x) sin X 4
Я/2
f xdx Л
I -----------------.....— = »
J (a cos x4- b sin x) У sin 2x
Г НБ [arctg (K?+') + arc,g (K t1-') ~ arctg y]
[a, b>0].
[a, b>0].
я/2
2 C __________xdx______________я2
J (sin x-f- cos x) Isin 2x 4
Л/2
«о C xdx 1 f. b . яа\ r _ n,
13. 1 ---------------ГТ- = -S-T-TS in--h KT 1 [a, b > 0].
j (acosx-Ьб sm x)2 а24-&2,1 a 1 2b J
о
Я/2
.. f sin"~ixcosv lx . В (a, v) r t _
14. I 7-------.—<тгги«/х = —И. b> ^e**» Rev>OJ.
J (acosx4-sm x)U'v avb^
о
2л
15. J (acosx-O sin *)" 2л (a24’^2)"/a*
о
2rt
1,. f _________*________- 2"sgn°
J a-^ib cosx4-ic sinx Va24-634~c2
17. =0
03
18» x~n-,^2sinnx(cosax4-sinax)dx=»
о
r~ n
“ейп- 2 <-,)4©
fe = 0
422 ГЛАВА В1ОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 5.18.
2.5.18. Интегралы, содержащие (acos?x-hbsm2x4“C)~e.
Я/4
f ____________хsin xdx____________
J (a8 cos2 x-J- b2 sin2 x) Vcos 2x
я , /я arccos b\ я , . f it , arcccs b\
= ^ta«S^--------—J_i.tosm{g. + _—J
Я/2
г ________dx_________.
J (n2cos2x-|-b2 яп2 х)я ~ n
0
[a. ft>0].
, _ я , _ Я /1 , 1 \ r rt /3 , 2 ,3\
1 2ab* ** Aab\a2'~b?]t ’3~ 16ab\a< + e262 + b* )*
. _ я / 5 , 3 , 3 . 5\
*~32ab\& + aW
______cos2nxdx_______/2п\ (b2—a2)*
(a2 cos2 x-j-b2 яп2x)«41 ~ \ n / (Sab) 2»*1
о
fa. £>0J.
я, 2
f sin2»l"1xccs?v~1x . — <
J (a2 cos3 x+62 sm2 x)^* dX~ 2 s
о
pi. ft, Рец. l?ev>01<i
Я/2 n
JcosPi2nxcospxdx VI /2в—jfe\ /р4-£— Ц________________b*~l______
(a2cos2x-j-62 sm2x)e+1 Л \ n )\ k J (2д)2в *+1 (a 4"^)^*
[e, ft>0; р>-42я-1).
Я/2
? xsm2xdx______________я . e-f-fr
j aacos2x4~b3 sin2x «£—&2 n 2b
о
яД
f co8PJcco^lx л Я
J a2 cos2 x+ 62 sin2 x X ~ 2a (a-f- b^
о
Я/2
? яп [ixcosH-1 x sin x .______я
J <^cos2x4-62»n2x X~ 2b (a-j-b}1
K}2
f xctgx_________, я д*4-И
J a2cos2x—(—l)fe b2 sin2x0* 2ka2 b*
о
. Р». »<0.
(a, ft>0;
[a. ft. »>Ц.
1
(a. b>% k— 1 вли 2J.
л/2
f x sin xdx
J a2cos2x—ft2sin3x
о
oo
—7=B=r V —?-------ет» f(2fe 4-1) arcsin
b/^-j-ft2 "0(2bH)* L ¥&+b*j
k. 6>4.
>.5.18.} • 2J5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. 423
Jcos2nx = (—1)«я /[-V1—б2
1— 62 sin2 х b I
П/2
( A cos8x+B sin2x _________л /Л . В \
J (a2 cos2 x-J-62 sin2 x)a 4a6 \aa 62/
о
Л/2 -----
f sin2x . _ли + &-1
J X (1+6 sin2 x)2®*-26 1 + 6
Я/2
x sin 2x __ л
J (a2cos2x+62 sin2x)a — 2a62(a+6>
Я/2
(’ ______xcos3 xdx__________ я Л a \ я
j sin x(a2cos2x+6isin2x)2 2а* \ 6/~” 4а^(а+6)
о
16.
Я/2
f ^aCOSXQ — a2 + <in2x)
J (a2—cosax)2
о
sin [(26+1) arcsin a]
(26+t)2
л ___
f xsinxdx я . i/6
J a+6cos2x у ab v »
я ,„Ka+K|6|
=--- In r_ 1 ______•
Я
f_______xdx_______
j a2cos2x+62saiax — 2o6
о
л
Г xsin 2xd<___________2л .
J a2cos2x+62 sin2x a2—62 n
о
л
21 f xdx _ я*
J e8—cos2x 2a Ke2—-T
22. =0
Л OO
23. f xcosxdx 4 Vl sin[(26+1)arccoxj
J a2—cossx Kl—e2 fe~0 (26+1)2
я
И. f j ”” % - In [4 (1 -a8»
J —cos2x 11 "
116101.
(4. 6>0J.
[6 >-H-
[а. 6>0].
[e, &>0].
Oaf O|.
{a.
(e>—6>0].
la, 6>0],
[a.
B«I>1].
ОаЮЬ
(ЮКЦ.
flalOJ.
О
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12-5.18.
25.
== 2л In [2 (l — а24-a J^a2—1)]
ЦаГ>1Г
л
26.
Г х2яп2х __ л2 V a2— 1—a
J (a2—cos2x)2 “ У a (a2— 1)
0
27.
Г „ 1— a24-(2a2—l)sin2x . . ....
1 *2-------la-----l------dx= n in j4 (i —a®))
(а2—cos2x)2
28
29.
0
— 2л In [2 (1 —c? + [ a I l^a2—1)]
л
f „ cos x (a2—1 — sin2x) . я, 1-
l X2----7~-----5—ГЗ—- dx = — In у—
J (a2—cos2x)2 a 14
0
а
» Ц.
30.
co
Г 1 sin x cos2mx cos'1 x
J x a2cos2x4-fe2sin2x
0
Л J2m-1
2a (a 4-ft)2"*
[а. &2>0; п = 2т или 2m—-1].
31.
00
f 1 s*nfe x x d*
J x a2cos2x-}-&2 яп2х cos2x
0
[а, Ь>0],
со
32.
33.
34.
я b2—g2
2ab b2-j-a2
гас^+Ь2*
уз»» — — — a -
26a2+62*
1 dx________________л sh 2?____(b a 2 \
x24-z2 a2cos2x-j-62sin2x 4z(62sh2z—a2ch2z)\a b j sh 2z /
[a. b. Rez>C; tb2^a/b].
xsin 2xdx
(b—a
\ (x24-z2) (a2 cos2x4-62 sin2x) — 2 (b2 sh2 z—a2 ch3 z) \b4-a
0 ’
л
[а, Ь, Rez>0J.
sin^xcos^x
________________________= fM
J (a3cos3x4-ft2 sin2x)OT x m
0
I» —i = —.
2a6*
л
2b (a+b) *
IS. 0 __ 18. 0 ___5____
2b(a + h)
a
t = / V 2—_- —
1 2a (a 4-6)
zt. o_ /a. -j — .. я
'2 -fab2*
4 aW
p, s=JL- JU <=n. -I « За^+г^+зм
2 — 2 4&b' 9 6 16 O3^ *
р.-.-ПЗаН-б*
<3 —4 —16 a^» * ’ * 16 а^й3 ’
3i 5fl^4-3a*624-3a2644-5fte ft r,._t a 5a* + 2a2fea-j-M
32 Ж * * * 32 M
a№
2 5.19J
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
425
«.. «5^+^ ... я а,+ 2дг&2+5М * ~ * ”32 a367 • * * 32 a765 • /i. a ji. 4 31 a‘j4-562 t pt s л a-4-6^ * * 32 a76* ’ * ~ 4 32 a56& ’ 00
35. C 1 (1 —cos x) cos7 x dx _ ./ J x (a2cos2x-|-63sin2x)ffi sm x m 'e' '>C®'
/о = Л р=я_±_ Я^ + &8
1 2а6’ 1 2аа-}-Ь* 8 4 а1№ *
,2_ Л ,0_ л Зо<Ч-2а262+36* яа2+362
/а 4&Ь ’ 3 16 а56» ’ /а “ 16 а5^ •
? л а*Ч-2а262 +56* п_ла24-5&2
4 = 32 а76§ * /4“32 e’fr» *
2.5.19. Интегралы, содержащие (acos2x-f-6siiPx+c)1^.
а * ’* i
Г х dx л , , л—2а
I -. -----------: ---------1П tg--------
•/sin х |< tg2 а cos2 х—sin2x 2tga 4
[a ^4.
а )
С _______хяп xdx______
Л cos2 х У tg2 a cos2 х—sin2 х
V < * »
“ 1/ ’ !
—-—(1— cos а)
4 cos а
14 >0].
а * к
Г х яп х dx
л . „ а
I —т—-7^г=====- ----sm3 —
•' coS*xF sin2 а—sin2x cos2 а 2
[e>0].
а
С_____________х sin xdx
Л (1 — sin2 & яп2х)Х sin2 a—sin2 x
zo _ , «/;---•"» . . » • \_i t cos Ъ + г 1 — sin2 b sin2 a
= (2cqs6 у 1 —sin2 6 sin2a) хл1п----------------------------
» 2 cos a cos2 (6/2)
(e>OJ.
л/2
f xcoexdx л . 4
1 -V=r--j^ = — In (1 + COS а) [|в|<Я/2].
J rsm2x—sin2a 2
a
? _______xitoxdx = 1 ГF /Я yTZZjpl_ » 1
J cosxF'cos2x4-A3sin2x 1— jfe2 [ \4 * J 2yr2(l~f-62)J
10<fc<l].
7.
о
»<*<*= •-{;}]•
dx=(rt)«-1 К (Kl+*±2)
426 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 5.19.
я/2
9. С tg2 — — ...^гУТ^ — 2Е(£)-ЬК(4 [0<fe<lj.
•' 2 F 1—#2Sin2X
_ 1 ГЗл
9fe* Г2
л,з}+&'8к <*)-2о +**> Е (*)J Го<»< Is * =/b^-
Я/2
It. J cos2nx К1—Л2 sin2 x dr=
о
12
OO
-h«|2
/=0
(2« 4- 2/ - 3)!t (2л 4-2f—1)4
j!(2n+/)!
MSn-iV
2/
я/2
f -7=^=<Ьг=1(2Е(Ч-ЯГГ^1
J r 1— ft2 Sin2 X * t®
№<*<!]•
[0<ft< 1J.
13.
Я/2
C x sin 2x . I _ л_
1 /------ — dr = — [я—2E (k)}
J )zl— fe2cos2x F
U. T (-1У ± У t(2n+2/_~1>IIF
J >/l—*2sm2X 2 \2/
0 t=o
te<fr<i].
is. Г4* -------------------------------
J (cosxj \ (cosxj j >^1—A2sm2x
0
-2 (r)-“(sin 2f V
X[J-K(*)£((>. r)-E(t)F(₽, tO+K(S)f(3, F)1
«<*<*=
Я
16. J sin пх(^г1 —fe2CO62x)-1 dx—0 [0<fc < 1; «=2, 4, 6. ...J.
0
IT. -£(1-*)***л(т4, . i; «+£. i-~;
ft=l. 3, 5. ...J.
2л
18. J coeerfl^ 1—^^x)-1 dx=0 «=г. 3. 5....].
a
16.
Я(Д —3)11 кп j —1 1 r /0 + 1 n+ 1 , .
e=23fl/21(n/2)f VI—0 ^4 2 1 2 * n+>;
pr<fc<l; л==2, 4, e, ...J.
2 5 191
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
427
пл
20. f .==wi2K(fe)
J Fl — #smax
nn
(* xsinx . (—1)”ля , 1— k
21. I -r — dx = -— -----hi----
Jyi—^sin2* 2k 1+fe
OO ________ __
22. f -^LAl-^(SmXfdl=E^
J X r (cosxj ' 9
0
OO
23. ( \[ 1-*а/япгху <fc=E(fe)
J X F (COS/XJ ' 9
о
oo
24. f — 11 —& lsm ХГУ1/2 dx=K (fe)
J X \ (COSXJ / ' 7
0
oo
A_ Csinxf, , fsinxl2\-1/2 1 „/ 1 \
25. 1 (14-< > ) dx= ^K -vT- .
J x \ Ucosxf } У 2 \K2/
[9<fe<l|.
r.l, 2].
[0<fc< 1J.
26.
oo
0
x \ (cosrxj J '
[r=l. 2; 0<Л<а
27.
[яп rx)*V-V2
[cos rxj /
a 1 v/ 1 \
/2KW
P= 1. 2Ц
oo
> 28.
C sm xcos” x
J xK 1—fe2 sin2x
71= /a=fr-2[E (k) -fe^ (fe)],
;8==/4=3->*r< [<2- 3fe2) fe'2 к (fe)—2 (fe'a-fe2) E(fe)J.
29.
n
co
f яп x cos>> x
J x]41—feaCOS2X
J1=J2=fe-2[K(fe)-E(fe)b
J9= Л=3-Чг* [(24-fe*) К (fe)—2(1 Ч-fe8)E (fe)].
[0<*<l],
OO
3«. 14 sin же«Гх (1 +{“ - /2[E (j^) “7 Q K (j^)]
k=i. 2].
si. ,длс=4гК1+*'’)е(*)-»’к(ч]
J X \ ICO® Л J 1 Лс * «
0
[r=l, 2; 0cft<l;
428
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.5.19.
оо
f Sill’ xcosx , 1 ... _
3t- )лта^Аг=^,К(А)-Е(‘и
S3, <fe = -^[E(t)-(l-tf)K(t)l ю<кп
J x V 1 — ft2 cos* 2x 4ft2
(0<i< lj.
35.
36.
' C dx = — [K (ft) - E (ft)]
J x КI —ft2 sin2 x ft2
f _ sm’xtgx = - [E (ft)-(l -ft*) К (ft)]
J xTl-ftaco^x ft®1 ' ' 1 n
(0<fc<q.
37.
38.
39.
F 1 2^3 Л A. fsin 2xU\-i/2
I - cos2 2x tg x (1 — ft2 < _ > J
J x • \ (cos2xj }
0
[O^A<1J.
f ИгГк f-Ц - E f4-11
J xVl-|-sin22x t \X 2/ \F2/J
OO •*
f1 „Лб-*8&*)Т1/,л=
J x (cos4 xtg(x/2)J \ (sinxj J
о "I
= 4r [(2±3i’)fc,2K (fe>—4=> E (*)1
(0<fe< 1; fc' = yT^Fb
*• HU* 1(2+4 К(А,-2(1+^Е<ад
0
[0<fe< q.
oo
41. f 4n24*~-*—— {(2-ft?) E (ft) -2 (1 -ft2) К (ft)] P <fe< 4-
ЛхП^япагх 3ft4
oo _____,/ _, ; . ;
‘ F 1 Sill2 X j 1 л Г/ 1 а 1л\ TT t tai l&V /f*Y I
42* J ^Tz2 dr=2z ^2zLVsh27+VnV2’ sh2!’ k)~
0
[RezXfc 0<Л<1].
OO -.Г ' j !
43. f —----- • = —cthxnf^, — , ft1 P<fe<i; Re2>4.
$ с^+г2)^~^2®?ах г V2 sli2z /
2.5 21.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
429
со
44. t ----х™х.**. =^сЬгГк(ф-П^, —, *Y| [0<fe<l; Rez>oj.
J (x24-z2)K 1—jfeasin2x [ \2 sh2z /J
2.5.20. Интегралы от
sin axV* jsin (6x4-c)lv
cos ax J (cos(6x4-c)J *
a
f an dx=e {sm t [<Di(/-ас)-ф1 (OJ-cos t [Ф2 (f-дг)-Ф2 (/)]}
о
Ф1 (/)=Г1 cos/4-si (/), (0=/“1 sin f—ci (0
[f=c(2 4-fl); a, |argzi<n).
Ba
Л C xdx
2. 1 -----J--г =
J cosxcos (a—x)
₽ 0
a
sin a
In cos a
0<а<я/2].
3.
f sin^^xcos —xYl dX==2H-ir[^ a)'Z2> (tt4~flt)/2, [Renxg,
J L \2 /J L H—a> !*+a J
о
sinn 1 x cos [m (a—x)] dx—
2«JnB
' л cos [m (а—л/2) {
л—m4-l
—2 » 2
• [a^m; m, n — 1, 2, 3,
2л
„ C T , .< . (sin mx\ , 2ni3m . « . ,,Av/2 (sin cm\ nm ..
Л ICUo hmI t ’/Я1 lUUssL/filJ
о
Ic= alYd*+ 6*k
2л v
6. f [a-f-6 cos (c—x)]v (d+Лcosx)*-1 йх=2л /JL Pv ?
J yd2—Л2 \ g /
[g=/(a2-6s) |*|<4>
7.
co
0
'dTilu==4-«r
cos («x-f-c)J
(a)
sfti (c-]-oui/2)l
cos (c-}-а л/2) J
fb>0*. 0<Rea<l].
CO
8. x”-1 dx—^^g0l~^е№^^-—Ьу^ *&. b>(h o«x^2j.
'-_«s . fsin (axP*4-bx94-e)1
2.5.2L Интегралы От
14-0 -
1. f xa sin (ax2—2ax) dx—-—— {Si (aJ-ynfC2 (a)4-S2(a)]|
'^*-7 ~ •-• f
c
[0=0 или lj a>Щ-
ФО ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.5 22.
оо
2. f — sin (ах2— 2ax)dx=^ si (а) -|--к [1—С (a)—S(a)J fe>^.
J X £ £
1
И” sin(ax2+2Ml л НГ*! & - • &\ п .
/ « I/ «-сое— тан—1 <а>0].
cos(ax24-2frx)1 2 f 2a ( а а /
о
оо
4. f - sin (ax2 + 2ах) dx = £ [J-С2 (a)-S2 (a) T C(a) T S(a)J fa >0].
X Z I л
9
5. £ COS(xs^nx)dx=-^~5_(y'1ZSfe>o» c=2(a/^V9J.
F|«n(ax?+&x9)| . 1 у (-*)* -ug+i)frr /*?+ Ц i
JU(^+H pZ kl ° \ p /tcoscf
0 fe = 0
w a, fe p, ?>oj.
_ f Isin(ax24-26x4-c)i . -g/^jsindl
J lcos(ax24-2&x+.)J r a (cos a J
—oo
8. f ^И^*Л=соваПИ+е-*’та
J e* у
—oo
(я ac —•& «1
rf=^4-——X-; a>01.
4 a j
(a>fe Imp— 0].
2^.22. Интегралы от x«
Обозначение: 6—fH.
stnnxPsinfert £staaxPcos&f|
девах? cos W’ \cos ax? sin 6xJ
00
* C fsm ax2) . . .
1. I < .„>sui&xax=
J (cos ax2 J
о
~r 2a Lisin[W(MJ/ \®7 (саф’/СМ]/ \4»Л
ХЮ ”
A C _ - (sin ax2i . . ,
2. 1 x01-1! 9>an6xdx==s
J (cos ax2J
о
Ha41b/sr/a+iycos[(l— а)л/4П p /a-j-З <x-H . 1 3 6 , \ —
"2® V^Jlsin [(1-а)л/4]Р3\ 4 r 4 '2’4’4' 64a2/'*"
^а-(а+з)/2 /а+зХ/соМа+сОя^П ₽/5+а 34-a. 3 5 7 . M \
12 \ 2 / (яп((14-а)л/41/^3\ 4 * 4 *2’4’4* 64a2/
[a, fr>0j — 1 — 26<Rea<2].
(a. 6>0].
ST.8 22J 2 5, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 431
СО м »
5-1/2 I sin ах3) . , . - Л -1/ b / . S2 . & \ , 1b®V
х ' { 3smbxdx— + -г I/ —Lsm-g—±.cos-^-)Лл>(s— 1
(cosax3/ 4 r a\ 8a 8a} v*\8aj
[e. fr>0)
eo __
(* (sm ax2) . . 1 -if я / 6® __ . b*\
«• J U«4ae(,xdx=TV 2?^c“4a-*an^)
0
»6. C x0-1 fsin cos bxdx=
J (cos ax®j
I о
• _ 4"°^* r / a \ /sin (an/4)j g [ 2-f-a a I 1 3. b* \
~ 2 \ 2 Hcos(an/4)J2 3\ 4 ’ 4; 2* 4» 4; 64a®) *
- b® л-а/2-1г/а \/со8(ал/4П P (tJ* 2~b«. & 3 5_. b4 \
> *T \ 2+/(sin (an/4)J23 v’1’4 * 4 ’2?’ 4l4’ 64a2/
[a, b>0& —25<Rea <2].
7.
00
0
’sin ax?
cosax2
cos bxdx—
X
_ A - _L l/jL fJsin l*2/(4a)}\ cl b2 \ _ /cos 1Ь®/(4а)П s /
2а^2а F 2a L(cos [b2/(4a)}/ \4a/*** |яп [b2/(4a)y \4a/J
[a, b>0].
8.
eo
Jx-l/2 (ЯПЛХ!
Icos ax
9.
co
f 1/2 » (sin bx,
I х1,л cosax2< .
J icosbx
о
_ rt b /sine) - / b® \
~2 у 2a (coscj \ 8a)
fc—tb^jiej/tSofc a, b>fll
л / b \з/2|"(sin цуг — ла)/(8а)Д r ( b®\ L
8p2\a/ LW(*2+^/(eaW “,/4U/
'cos [(b®—ла)/(8а)й , ( b®
'sm [(Ь®4-ла)/(8а)П ±Ы*\8а
[a, &>0).
10.
CD
f -A sBtac1cosbxdx=~Fs
J x2 2 1
11.
oo
Г /яп aPx3 sin bx'
J (cosaVcosbx
о
к — л^/йв^/2; a, o).
12.
f X 1/2 яп (2aУх) sin ex
0
n
h
3
[a. b>9.
f л Г (sin h\ ... _ (cos ft) c
2f+^Li«»m (*-*Цл/ (4
[ObXb e>0}d=-^-, А=тл~г1'
c—о c+oJ
432
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Ю.
1.
2.
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (2 5 23.
_ - J -в/" я Г a2 r / а2 \ _ (cos [a2/(2c)D с /^У]
*" 2 т с L008 2с \2с/ (sin [a2/(2c)]J \2cjj
[с=8>0; а>0].
f х-1/2 sin (2a Ух) cosex fsift dx==
J ' (cos ox)
о
1 Г л Г (cos h\ ~ ... (sm h} „ .1
-F 2g+^LU4cw-U4swr
F 2(c— b) [(cos i) ' (sindj ' J
[аг аг 1
c>6>0, a>0. d=----ft— - , . I.
c—b c-}-6J
1 1/”rt’r(aefa2/(2c)n Л a*\ . a2 «/a2\l
“ 2 F c [(sin [a2/(2c)JJ \ 2c ) ~~ ЯП 2c \ 2c)J
[c=&>fc a>OJ.
oo
f x~i/2 a» (2a Ух) sm ex (sin dx—
J (сов bxj
о
“IF 2(Д?)(сов<1-*‘",>'‘Т 2 У2(FT4(*e*±sinA>
[c>6>04 a>0. d=-?!_, ft= ®L.I
c—fr c-t-frj
I t/^nf a2
= &=c>0* e>°b
oo
Г x"1/2 cos (2a У x) cos ex fsin dx =*
j (cosftxj
о
“ 2 F 2^ТЧ(ИвЛ T 8taA)+1У 2y^j(dn d*
[д2 aS t
O6X>. л>щ d-~=-r, ft=-=-— .
с—b c-|-& I
1 l/*rt { a8 _ • fl2\ - ~
-tF 7Гт+вг) »-«>«.>»
2.5.23. Интегралы от Л(х) fS,n
r ' (cos (ax-|-6/x)J
Обозначение-
OO
C X®-1 (sin (ax4-a/x)1 . / n\3/2
J У^+Т (cos («+e/x)J ЛС“ \ 2 ) ° a ~Fu ° Yv (в)1
[4ц= —1 —2a —2в, 4v = 3-f-2a — 28, a>ft —l<Rea<2].
1
C x®-1 (яп(ах—в/х)1 __-|/na
J )<pz^r(cos(ax—a/x)J Г У Ча+в-и/г W л(а-б)/2 W
о •
[Rea> — I; a>0].
2 5 24 ]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
433
I
Hsin (ах+a/x) sin (ах—a/x)) dx _ я fsin (—2a) )
cos (ax-}-a/x) cos (ax—a/x)f l+i2~ 4 (exp(—2a)J
a
(a>4.
OO
4. f ж«-* (dn <fc= ? (2 /<S) * /a (20)]
J (cos(ax4-6/x)j 2\a/ (sin (an/2)J L 71
[a, b | Re a* < ij.
f x-^fdn<“+^U='l/'^(sinl
J (cos(ax-}-6/x)J r a (coed
о
(c = 2/aft 4-л/4, a, 6>o].
6.
oo
0
'sin (axЦ- b/x)\ . __ i / я pin c)
jcos(ax4-6/x)J r b (coscj
(c=2/aft 4-«/4} a. &>0].
co
f fsin (ax—bfx)\
j (cos (ax—b/x)
о
6\а/2рЙ(ал/2Ъ , уъ
a j (cos (а л/2) J '
[a, ft>0} |Real< 1].
8.
f x-V*
J (cos (ax—b/x)) r 2a
9.
10.
fsin (ax—fe/x)2|
cos (ax—b(xy]
dx~2b
(a, 6>ei.
(a. fr>0],
I
(a. 6>0J.
11.
( 3(6 dx=-- z*-i
Л x24-z2 (cos(ax—b/x)j 2
a, b, Re?>0,
2.5.24. Интегралы от х“
’sin (a/x) sin 6x)
cos (a/x) cos bx) ’
(sm (a/x) cos 6x|
jcos (a/x) sm bx) ‘
I. fx«-*(8to^Sin^)^=
J (cos (a/x) cos bx)
о
“T ((2/5)-J-a (2/^)+2л~1 sin аяКа(2Ум)]
[aft >Or | Real <14-5, fi=
2.
1 (sin (a/x) sin 6x)
x (cos (a/x) cos bxj
dx=^±~ Ув(2 /й) -ЬКо (2 KS&)
&
(a. b >ад.
434
ГЛАВА ВТОРАЯ» ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.5.25.
6.
оо
Г -1/2 /яП (а/х) ЯП 6x1
j х (сое (а/х) cos bx J
=± V VlH™ <2/й)-са(2/й) zb*"2»'"]
4* Г **г
со
J -a/2 /яп (а/*) яп М jj,
\cos(afx}cosbxi
о
=zfc^|/^Msin (2 Усб)—cos (2 Коб) ±е'"2*Гл6]
<£» т ZU
[о» Ь>0).
(о, Ь>0].
00
J_s /cos (а/х) sin bx}
(sin (а/х) cos bx i
D
= т(т)а/2 с^~бк/2) Pa (2Va5)+ <2]/^) ± 2«’Jdnал Ka(2/а£)]
[a, 6>0; |Rea|<1].
f -1/2 fees (a/x) sin bx\ .
J (sin (a/x) cos bxj
0
—T cos(2l/ab) ± e”2
la» 5>0J-
" [a, b>OJ.
2Л.25. Интегралы от Л(х)
- . /sin (c V^a2 ± д^) cos 6x1
Icos (с У a2 + x2) sin bx)
/sin (c Y a® * Jt2) яп bx\
мхи (с К a4 x2) cos bxJ *
a
C sin (c cos bx dx = — -r== Jt (a К
2 f
k>ojs
С (<? У^а2—
J (fls-x2)3/4
cosfexdx=s
=£ У JVt [f O^+S'+O]
f £2^£ЕЭС08дх<д,=2£/.(а/Б5-нг
' J . Уаг-х2 2
|a>QJ»
[a>O.
2 .5.25 J
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
435
4.
J (fl2— «2)3/4
= (т)3/ 7-i/4,Rt(КН-Н^Ч*&)1
\“/ 1 л J L46 -В
[e>01.
a
5. Ke2—x2 cos (с У^а^—х2) cos bx dx—
0
= “ _е^_Г/о(а/^+^)+ _^=Л(аУ^р)]
,2*Ч-с®1 ac2F&2+c2 J
[а>0].
e.
J V x(a2 — X3)
-(£)^KS/-ш[£(КЯ+3-с)1 /v«[40<P+^+«>l t»»l-
\“/ L z J * L* ,1
_ f sin (c K*24-y2) . . n .
7. 1 "— an ex dx=—sin cy
J xKx24~y2 2y
8. f *» c^bxdx^ r>>
J (*®+K)a 2y
о
f ™к^Эсоз6хЛ=^/.&Г?^)Ш
J Kx2+«/2 2 W
(с. У>0].
(ft >0>O].
10.
cosfrxdr=i
/ л\3/2 ./y .
— ( 2’) r b J-1/4
(c>6>0; p>0j.
11 f sin (c К^ч-У2) cos bx Дх-.Я- e-«b sin (с К у8—с2)
* J (j^+fi^K^+y2 2a V'^—^
[fr>c>0; л if>0; а«^Я-
12. =jw(2a)-1<r°& (6>c>0; a—»0].
I3. Cx»S^l£lg±afsin6^<k=^^coS(cri5^
J x24-a2 tcos&xj 2a£~* •
[ft>e>0; ft »>0; •e.:{jQ.
436
ГЛ\ВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{2.5.26.
14.
У x2+j/a
co . --
( _i/2 cos (с V x2-J- tp) [sin bx'
0
-m/J# <Р-У&=Ь*)I yV4 Г9
lOiXC
15.
со
С cos
cos bx dx— Ko (у Vб2 —с2)
о
[с>Ь>0,
2.
2.5.26. Интегра лы, co держащие f I®*?.
v r (ctg ax J
Обозначение: 6=^.
л/4 l
V tgi>xdx= ! p(H+2^
0
л/4
(-l/lm+D/q J „ | f”'S, '
A =
(-1)»
т — 2k— 1
о
4
[Re »>-!].
Г®» 2. 4»
т~ U. з. 5.
n/4
3. J xtg«jfdx=/mt
о
A=V~ т1а2-
* о
, — ^12-2 > 313 Я\ I _ П 1 | Л . «__<£
8“ ^”’2"Г'32 ~4jf /з“'4 ¥+8ln 2*
Я/4 oo
f xngxdx = ±^\" V (4L-j™
J 2 4
* 1
Я/4
P I /л\»
I x*ctgxdx=—( — I
o’ 2W
£(4»-i(»+24)
4
oo
2
n
V C(2fe)
Zl 42*-1 (n+ 2k)
R= 1
[я= 1, 2, 3> ...Ь
I
[л = 1. 2. Зь ...{.
Л/4
.. . «i4 . л ^3
6. i xctgxdx= я-1п2-|-^-.
J о z
0
X/2
f tg*xdx= x~ ?—7ёл
J 2 cos (цл/2)
0 »
я/2 Г
1* / Я \я 1
1 хп ctgxdx=(—\-------2
\2) П
UReiiKl).
£(2fe)
4*(«+аь)
[я=1, 2. 3. .-1-
2.5.26.]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
437
Я/2 Л
9. I хctgxdx = ~ 1п2. 16. I xtgxdx=—я In2.
J м J
о о
оо л
i tl. С
| J X
Г 0
* Л/4
' «• i
J |yU3 XJ X \ X f
0
(Reu>—1].
13.
Я/4
C (л/l—
J cos2x
0
dx—~ — -5 In 2.
X о
14.
fsin 2x1 . _ fsin (pn/2)l-i
(cos2xj 2 (cos (ц л/2) J
[| Reц{<1+6].
15.
я/2
С i-л. . v_o fsinvxi __
I tgMxsinv~2x<_____ }dx=:*z
J Iе08 vx)
0
fcos cl _ . , . . .
{ ?B(p4-v—1, 1— u)
(sine J гг
16.
I2c=(y.+v)n; Reu<i, Re(u + v)3>i— 6].
f2 (x/2) , 1 ft (G*4-2)/31 — ♦((и+П/ЗП
J 2 1 sinx 3 (₽ ((p -{- 2)/3j + ₽ [(цЧ- l)/3jj
о
(ReM>—I].
a c......«eea_______*=
J 14-cos(/n/n) sin x
о
n — I
V (-0*1 sin -nU
2n sm Un/n) n L
fe=0
(n+m-bfe\ . /m-4-fe\1
[l+n=l, 3t 5,-...].
18.
1
n sin (/л/h)
[(n - n/2]
o*-*« 7Г» [*(—j—)-♦ (—)]
fe=0
[/ + «=0, 2, 4,m=l, 2. 3. ...j.
я/2 t
Г « 9 fsinvxl . lCOShin/2)} _ . t . . v ,
19. i ctgJ1 xcosV 2x{ }B(h+v— 1» 1—10
J (cos vxj (яп (рл/2) J
0
(Ren<l4-6; Re(u+v)>4-
Я/2
iH). J ctgxcos* 2xsmvxdx=n/2 (Rev>oj.
0
21.
Я/2
C xctex
J cos2x
. я
dx=
4
In 2.
о
438
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Р 5.2?.
23.
25.
Я/2
f ctg^'1X . Л
J sm2 x 2p cos (pn/2)
Я/2
_________________________52^3?
J (tg2/3x+l) (sinx cos2 x)2/s 4
Я/2 ...
f x(tg*)W>-t Я»'» |
J (Ig2^ *+1)2? cos? X P l
0
f *‘«x-----------dz
J V tg2 a— tg2 x (tg2b— tg2 x) cos2x
л Г . cost»
2/tg2*—tg*a
_____________________ л
P^sin (b—a) sin (b-|~ a) 2
26.
oo
(* tg*1ax . я ....
I —------dx—---------------
J x2+z2 2zcos(|in/2)
О
co
P x itgax я (th az 1
J x24- г2 (ctg axf ax— ** 2 (cth azf
о
Ю<Кец<1].
№<л<6<Я/2].
♦
la. Rez>0; |Reji|<l).
[a. Rez>Oj.
<»
Г О2Я 1
28. J x-** an a’-’xcos (2л— 1) x tg xdx= (—1)”~* } 2?"-in j |
о
1л=1т 2. 3.
oo
29. J x~n sin2® xcos 2mx tg xdx—Q [n= i, 2, 3...., 2m+1 j.
о
00
30. J лгп sin2®-1 x cos 2mx tg x dx=O (n= i, 2, з...., 2m).
0
2.5.27. Интегралы, содержащие тригонометрические
функции от тригонометрических функций.
Обозначение:
Я/2
i Г J sin (a sinx) sin (2л-|-1)х| ._я . .
J (cos(asinx)cos2nx Jdx—2'лнА(«)
0
2.
Я/2
S(sin (acosx)l . .
4 ' cosix ax=
(cos (a cos x)J
о
_ 1 f ab \6 (cos (ta/2)l /«4-1 Ь4-« 6—e2
b \1 — bzJ (sin (£>л/2)| 1 Ц 2 * 2 * + 2 ’ 4
= (_ W-« /“»s, , . (A
4b>q.
2.5.27.]
2£. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
439
Я/2
И sin (acosx)(
cos (a cosx)/
о
cos nxdx=
л [(sin (лл/2)(
2 Llcos(nn/2)j
J«(^ +
'cos (дл/2)|
sin (ftn/2)j
я/2
C fsin (л л sin x) cos x) . 1 . . . , (4: l)«+t
I x< . , ' >dx=±x- Л^л)4--——
J (sm (ля cosx) sin х/ 2л 7
[a=L 2. 3, ...j.
Я/2
5. sin (z tgx—vx) sinv~2xdx—8 ptevX target<я},
о -
л/2
6. j a»(ztgx-Tx)coSvxdx=^2J-v^p^q^q7^^Y/2.4vrt)/2<2^
0
[Rev>— к | arg г I < я, v+v?fe—2. —41, —6, ..J
я/2
7. COS (г tg x+vx) C0Svxdx=2 v lne~z (Rev>—1; ]arg2f<H].
0
Xf2
С я
8. i cos (z tg x—vx) cosV 2 x dx—^-^е~гг'*“х
о
я/2
л Г , , . , . cosv 1 х . я
9. V sin (п tgx+vx)——— rfx=T
1 will Л A
0
(Rev>l; I arg21<я].
[Rev>0; n=l, 2. 3,
Я/2
f sin (ztgx-nx)+sin
J sin x
(|argz[<ft; n=l, 2, 3. ...].
0
. .(wibx\, л _6л fstn(&«/2H
11. I яп^аяп(cosfejJ^—^coe-g" |coe(6n/2)J5*’ft^
0
я
12. f cos (a sm x) P”1 dx=—2b sin
Л (C06 OX J
0
bjt
~2
’sin (&n/2)t
[cos (fcn/2)J
13. Г/Л(«Л*«1 dl=u (_!)»] » 4 w.
J (cos(asinx)cosnxj 1 K 2
0
14. r/sMesta*’ ^"5 dx= ((-!)”> +lj£
j (cos (a sm x) sin nxl v 2
En(a).
Я sin (a cos x)( . (sm (лл/2)1 . , .
./COSftXflX—л< . ,о.Г/д(в)»
cos (a cosx)/ (cos (ftn/2)J
я
I». f
J (cos(vx—asmx)j Uv(e)j
440
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.28.
X
17. £ cos (nx—a sin х) dx= я/я (а),
о
я
Hsin(acosx)) . . л
} 'Asmnxdx^Q,
cos (а cos x)J
—я
Л
(* (sin (аcosx)) . n (sin (пп/2)) . .
19. П , cosnx dx=2n{ '
J Icos (a Cosjf)/ ' [cos(nn/2)f
— Я
2.5.28. Интегралы, содержащие x® и тригонометрические
функции от тригонометрических функций.
л/2
1. I х|ЯП?’!8Д* ldx-±-?e «[C-f-ln(2a) 2a)] [e>OJ.
J Icos (a tgx) tgx) 4 x '
о
л,2
2. f xcos(atgx)-^j-==—-?-Ei (—a) [a>OJ.
J ' sui2x 4 х
'0 'I .
я/2
3. f xsin(actgx)^- = l^—я te>4-
J ЗШ Л £AJb
0 " fr
я
4. x cos (пл cosx) sinx dx—fa йя.
о
5.
Л
1 xsin (пл cosx) sin xdx—— [(— 1)л — J0(nn)]
* ъ
co
6. f sin (a tg x) [ ’ 2
л Л IvUoAJi *** A
0
7. J |”(“'g^{CO8,7tg2(J£/2)}dx=f <1+а)<Г“Й
0
oo
/• | ( tffX ) Л
8. ) - sMa»g*)tg*(fg*/2)}<fr=2<>’«
0
oo
~ C 1 . , i . . ( япx ) , я/.
9. JxS,n (atgX)ct§X ltg(x/2)f dX^ 2 \
0
co
0
[n=J. 2. 3» ...].
|й>0].
г
[в>0].
fa>4-
ГаХП.
2 5.29.)
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
44*
11.
О
12. J xsin (atg2x)^^= " [ехр(— athz)-er«]
о
(—a th г)— e-ashz)
13.
сое (a tg2x) cosx = £z (ch г€ХР
оо
(* cos (a tg3 х) dx я . .. .
1 х ——- —9 -= == n--u ст exp (— a th г)
л sm 2х x24~z2 2sh2z r
о <
Ia>0).
[в, Rezxq.
(a, Retzxg.
p, Rez>0).
oo
15. J xcos(atg2x)tgx-^~—==g^[<rechz—exp(—athz)s>hz]
о
[a, Rez>0).
oo
i xcos(atg2x) ctg2*x-g^-j'±= [cth,2*zexp (—a th z)—
о 2«
[fe = 1 или 2; a, Rez>OJ.
2.5.29. Интегралы, содержащие разности тригономет-
рических и алгебраических функций.
а
С кЦ^£Л=с+1п(а6)-а(в6)
oJ х . .
If
а
2. f (-—ctgx^ ix=ln -Д—
J \х J smа
а
Ев. 6>0).
£а>0).
оо
в С 1 —cos’* х , пт /2т\
3- I ------5----( 1
J х2 4я* \ т /
< о
|m =г д=1, 2, з, ...J.
со п—1
4. J х.-.(оо^»ж-1)<<х=2-»Гп-»-»(г-.)1г[ “«)/2] 2
О • fe^-0
laXlT—2<Rea<0; л = 1, 2, 3, ...).
оо п — 1
• £*>0; 0<Rea<i; я=1, 2, 3. ...J.
оо
_ С хя—япях.
®* I ’ хл+2 dx^Jn [л=1, 2, 3, ...^
442
7.
&
9.
to.
It.
12.
13.
is.
к
16.
IT.
ж
f
19.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
РА».
Л
2я (п 4-1)1
((«—0/2]
. 13
/з-32Л*
со
cosx—1
х2
1 \dx С
2 (14-х)/ х ~ 2
оо
J(V
о
— =1—С.
оо
COSX
==—С
Xdx я
Х)~х~~2
9г
Л feXp £—
2 I sin а
6»>0]-
Я/2
14.
б
sin х
о
П/4
(• п/Ф^х-^я^ я
cos2x в
о
Я/2
Г (1 —xctgx)
J Ш12Х
о
а
С 1 —cos bx . С сов Ьх . „ . . . ,.
i -------dx— 1 —— dx=C4-ln (ofr)
О а
е»
Г cos ах—coebx . . b
I ----------ах=1п—
а
(а, *>е].
о
со
Г cos ах—cosbx
л»
£а, б >6].
оо
С" сое* ах—сое” бх
1-Н—!)»(*-*)«
2 nil
(а, 6>0; я=1, 2, 3» .-]•
о
I
о
П
л
3 ж
G
л
3
[fe-1, 2].
я
х
я
2
X
£
а
[а.*^0].
sm^ax—sm2n bx , (2п—1)1!. b
х (2n) II а
г
2 5 MJ
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
443
20.
со
С a sin bx—6 sin ах , . , а
i --------------ax=ab In-г-
J x2 b
о
la. OQJ-
oo
i‘ cosax—cos it .
-----7—
x(x+x)
к 0
I = — [ci (az) cos аг+si (az) sin az—ci (6z)cos6z—si (bz) shite-)-In —1
। z L a J
I [a, OO; |argz|<nj.
r 00
F-*».*• *»>«•
* о
23. [Rc2>0.
J x*1^2 (x24-z2) zYs
Г (sin x-xcosx)- .
i Xm
0
j»-|, a*=4-
•>.=f In3-t--g-, ^.= 32> Л=401пЗ— jjj,
n___Ljj ji = in 3» J3=~^-H.
’'7—192 ’ • 280 1120 9 2560
«e f 3 — 4 sin2 ax . „ . In 2
25. I ------—।—ffln2flxdr=-ff-
J л
26. f (cosaxicos—^y~“2=ji |€XP^
J \ x/1 i .x2 ( sm a J
о
». T»//j-j),
3 (яи2х)®/2 2)^2
Я/4
nGH)tgx-cigxl^—I1"2-
0
00 n n
29. (4* 2a*cos2e*
О Л=1 fe=l
[OQJ.
[003.
<30
C €0S” cos —CQ^t jr _ 0 _2*я) In —
[a, b>0i л—1, 2r 3» —J-
444
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.S.30.
со
в. Г (sin х—xcosx)" ... ,я
31. I 1------— sin bxdx— (6>0].
1 jrm w
о
P^LL^lin»*а 0=4 tt-it
* I 1 ' " VIA A
it / bz \ n
/•=4 Ц1—И (fr<4‘ /i==6" l&>4:
b. |4 —6«| , 2—ft2 *
4—4 In &2 +b(4_fr3)
4=^(2-^) (6<2j. 4- — ^ l*=2L /1=0 [6>2*
.. b(&-&). 62 , 1 , b+2 b n ,
Z* 24 ln|4—62|+ 6 ,n|ft-2| 6 lb^21r
n= * (In 2-1) [ft = 2J; 11 = b (&>-1264- 16) »<2].
О VO
/8=0 Ifr>2J;
/oft .... ft2 4—562 24-6 .2?4-fe2
• 480 f20 *),n|4—62|+ 60 ln|2—6J+* 120
1?-Д1п2 (fr=2k. ^=^(192Ь-806Ч-306*-6в)
OU 10 ZooU
’
h 18
[&<2L
eo
32.
1 Jf/lt w*
0
/S= 2 taТТ^+1 P*,l!
(*>01.
7j=^(l-68)
J‘=0 [fr>ll; = [&<2J. J®=0 [6>2J;
/j2_o t <r
O=£-8^lni4^|_T “*21: O=g('>’-6*+4)
J5=0 y= = g(I2-^lor5^R^|l„f|±|i + ^±5. р^ч.
'i-E-i1"2 №=21-
2.5.30. Интегра лы от e~Pxl&X\ .
r (cos bx)
я/2 f [n/2]
^~Pssmaxdx—pl~^nl (pa4-(2^4*^)2J’1X
0 fe=0
-J. . *V (>»+W)(!>*+«(*+0») - »»+4 »+*- l)g)
k = l
(2&4-2X)f
Л/2. n= 1. 3, 5,
=0, n=2, 4, 6,
2.5 30]
2.5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
445
я/2 [я/2]
2. j e~PxcxKnxdx=pi^n! || [p24-(2Jt4-2Xpj-ix
о fe = 0
Iя
[я/2]
,-рд/2. 9Л . , V (0а+4Х2)(р2+4(Х+1)2)...(р2+4(Х+Й-1)2)
i-f- (2*+21)!
1=1/2, я=1, 3. 5.
А=0, я=2, 4, 6
л
3. \ e₽xsinvrdx=--------
2*(v+1)B.-2
ле~яр/2_________
4-tp , t v—ip
2
[Rev>-1].
В 2®
г. С
I 4. I eimx] }ах=л
Л [cos nxi
та. л
xm [n/2]
5. J £TP* sin" x dx= nip1'231 [1 — (— 1)2^» e-®₽xj JJ [p2+(2fe+21)2J-‘
0 fe=o
К 1=1/2, л=1. 3, 5, ...] , , 1
1=0, « = 21 4, 6, ...J:
6.
я(т + 1/2)
я/2
e~P* cos71 xdx=
[л/2]
=л!е-рл/2(-р)1“2Л {exp [—тл (p+2il)]—1} ] | {р^Ч-(2J+2a.)2J~x
/=» с »
К 1=1/2. п=1, 3, 5; ]
1=о' л = 2, 4, 6, ..•]*
<» . * [л/2] ‘ ,
( е-рх Р‘п ХУ* dx= Ап\е~^ ТТ [р2+(2*+21)2] 1Х
.] [cosxj .1. В.
я/2 /г=0
.. h , ЯР2***2 , [Р2+^2][Р2+(2Х+2)Ч ,
Г'1’ 1(2+21)1 (4+21)1 *"—
t [р2+412][р2 + (21 + 2)21 ... [/>»+(«-2)2]
[{1:;'-”* аЛ ft :::}= *'>* ‘ЧШ-
Л = 1
О
о
[Rep>|Imfe|].
оо
9. J <?~Pxsin26xdx=262p*\(p2+4&s)_1 [Rep>2[lmblK
О
оо [л/2]
10. J е~Рх sin» fcxdx=b',p1^n' JPJ [p2+b3(2fc+21)4-*
о ь=о
446 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ £2.5.31.
11.
оо
J е~Рх cos’* bxdx—
о
((Л —0/21 ,
=21-« У (а\_________________£_______4.
Zj \k) p2 + (n-2fc)2*2 -Г
fe—О
I+(-!>»
2
[Rep>n| Im ft!; д=1, 2. 3.
1.
2.5.31. Интегралы от xfle~Px-Is*11 .
(cos ox J
Обозначение: б=|^| „
Я/2
J х*е~Р*
о
<&=(-!>» Х-t гЛ+(-
[cosxj ' ' dp1 L 1-Н>*
(Яер>Я>
OQ
Г (sift &й .
I х“-*₽-₽•*{ .1^-»==»
J (cosfrxj
=^тг(“+®)л(2у1
®+«; в+1._^\ =___________
2 2-' р2/ (624-р2)а/2 (cos d
(с=ас arctg (fr/p); Rea>—6; Re p>| ImA |],
°® > .
S. f f™ yt dx^(-ir-at. -
J < (cosfrxj ' T dp11
а
((e + t_(})/2]
₽ V**1 V
p2+fr2/
(Rep^ffmfrQ.
=0
efr
6. shi bxdx=fn (Rep>|Im61; n=-tt9, t, 2, 3. 4J.
0
1 ^rH0b 1- b f- *>b ж _2fr(3p2-&2)
p ’ fr2-|-p2» ,l~(p2_J_fr2ja • Г2— ^2_J_p3y» •
. _ 24frp(p2-fr2) 24fr
'S— ^2_J_p2Jt » (&2_j_p2^ (5P* lty£64-6).
OO
7. J x^erPxGQnbxdx=Jtt (RepXlmfrlb
• О
2.5.32.] 2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 447
, _ Р т_ Р*-Ь> ,_2р(р2-Ы*)
р2-|_*2 > (£2_|_р2)2’ ’'2— (*>2+р2)* *
A— (р«-6р^+П (Р’-Юр’^+ЫН).
00 ___
₽. x-3/2g-px sin bx dx—V 2л (У р2 4- b2 — р)1 /2 [Re р> | ImЬ |].
О
9. \х»-^-р«^п6Д Л=(-1)» т/i *
j Icosaxj ' ’ г 2 др* \ &24-р2 ;
о
[Rep>| 1тй 1].
сю
in f л I n>- fsin 6x1п .
10. I х^1е-Рх1 t \ dx—
J [cos bx)
о
[(«- П/2]
=2»-"Г (а) У (+ (6* („-И^+р^2 {™ +
л=о
+ 1+<2~1)'‘ ^rta)^)
[c=aarctg[&(n~2fc)/p]; Rea>—б; Rep>n|Imb|].
оо
jf p-рх _ _
Н. 1 ----sin bxdx—fn [Rep>«| «Ски, n=t>2, 3, ...J,
> Xm w
0
n —1
У (-l)*ffiln[p2+4(/i-6)2&2]-2^»/^lnpt
i 4» \ ® / A«/
л=о
n
^+,=-Ц^2 <_,)‘(2"tlJarcte[4<2n_a+l)]’
fe = O
>1 * fa I 1 ft t
/«= arctgfjae_in^l+—j,
»9 t i P i ft , 46a \
n=barctg— -4-m(i+-^-J.
rt e<1 „ . . , (sin bx\
2.5.32. Интегралы от A{x)e P* 1 , К
r л Icosbxj
Обозначение: 6=|^|.
1. С Va2—x2 e~Px ]sin ?*l dx=
J та» bxj ч.
— a
(4[д (p—fo)) + h [a (Р-МЖ} &»• ReP>0: largftt <a].
448 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (2.5.33.
— а
[a. Re p > 0; arg& |< л].
oo oo
3, f ?1.. e~Px sin bxdx=(— 1)л bp~R~x V (— 1)* £—n—2fe—1
J * \ *>P /
о
[Rep>|Im6|; |argz|<n].
oo
(* хе-A» л _nzV2
<• * (P>fc |argz|<n/4J.
0
OO
_ f XePx . Л .
6- J ~xiZ^'cosPxdx^~~щ£е~ру®пру к. р>0].
о
л/2
6. i &рх sinPxcosvxdx—2>lV~1x
6
v+iW-h/-^; i+₽-^; -1)+
/ \ /
X Lili (p — v — 1 )/2 g / p —Ц —V
p-j-p —v . _ Y|
2 ’ 7/
[Rep,, Rev>—1J.
2.5.33. Интегралы б т jflePx | S1'n J s*n j^ePx siuP ax cosv bx.
icos axj (cos bx) *
n/2
1. J e/(H4-v)xsjnP—> xcosv“Ixdx=ent^2B(g,, v) =
о -
= 2l-P-ve*Wl2Ft(l—v, 1; 1+n; - D+^fl-p, »; »+v; -1)1
\ Г* ’ )
[Ren, Rev>0j.
Я - . ш-еЯ1(р—v)/2 f <
( ^px sinP-1 x cosv"1 x dx =------------
5 2P+v-2piB (
X
2.
3.
X,Fx(l-v. 5=^+1;
f г-А» sta»-» xcos xdx=-"^~-e '”'Д-
i ^+₽«)b№,^\
oo
f e~Pxsin® ax(^n ^.X\dx=
j Icos bx)
[Ref*. Rev>0].
[Re ц > 0].
2-Я-2
a(rt-f-1)
exp
nt
(b—ip-[-na\~l
2
rt-f-1 /
Га, b. Rep>0; 6= f4]
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5.
2.5.34 ]
oo
J sin ex 2c L\ 2е / \ 2c
о
449
[6, Rep>0; с^О].
6.
eo
C -nv sin nx
I e-px-------
J sinx
[п/2]
2k
fe=l
[Rep>0].
7.
p’ 2n-M
j e-^cos(2n+l)xtgxdx=^-p^r-pTj^
0
л-t
V (-О* (2fe+D
Li p2 + (2fe4-l)2
fe=0
[Rep>0]
2
2
о
Р
8.
Fl . . t , 1 , p2+(a+6)2
J — e~P* sin ax sm bx dx= In
о
[Rep > [ Im a [ -f-1 Im b [].
9.
co
C ~ e~Px sin ax sin bxdx —
J x2
0
a , 2pb
= 2 "<='«7+^:
P ln P2 + (a-*)2
p2+62_fl2 -r 4 p24-(a-j-&)2
[Rep>| Ima| 4-| Im&|].
2pa
b
2
Cl , , I . Zap . I о l
10. I — e~Px sm ax cos bxdx=-% arctg
[Rep>|lme| + Ilmb|; *«<“*}]•
. __ fsin 6x)
2.5.34. Интегралы от *“^(^Krns/,rp
I VwO• Л I
Обозначение: 6 = (H.
f 15"1 А=Г (a) (»-« (sin
J eax_j_[ [COS bx) I [COS
6
a—ib\ db\ ib \1)
2a ) \ ’ ’2a*/ — ’ 2a /]}
[Rea> —6: Rea>|Im&|].
f Sin bX Jr—_______________П -
J eax-|-l 2b 2ash(Zm/a)
6
[Rea>) Imb|j.
3.
oo
(• x”-1
J —[
o
sin bx'
cos bx
dx=-~-e~aV (a)
A
14-t— ^тс(а, 1 — f-^-YI
\ a ] \ a/J
[Rea>l—6; Rea>|Imb|].
15 А П. Прудников и др.
450
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3*5.34.
оо
л С sin bx , л .. Ьл 1
4* в - dx—cth гы."
j еах—] 2а а 2Ь
о
со
к f xcosbx Av_ 1 л2
* J е«*—1 ~2аМ12(&л/а)
о
ОО
(* sin2 bx , 1 Гг I D к b \1
6* 1 K+Reib 2t — I
J 1 2a I T\ a /]
0
oo
p e-ax л1)
7* } (ё~одЧ-“1У C0S bX dX~ 2a2 sh (bn/2)
CO
8. f erP* (1 _e-ax)&-i (sm bx\ dx—
J (cos bx) 2a
о
co
_ C sin bx 1 Г / a4-j’b\
9. 1 --^Г'ОХ=ЪП-------Г $ (-----I -
J £e*—&x 2t (a—c) L \ a—c /
о
9„ ( sin bx )
co < >
\x cos bxf J
_______ — ax—
gmcx___eim-2icx
_ gan+i-fi л rth [bn/(2c)j I _ _1
— ' db2»^1-6 4c (cth [bn/(2c)]j
[Rea> | Itnb [].
[Rea>| Imb Q.
[Rea >21 Im b|].
[max (Re a. Re c) > | Im b I].
[(m-l)/2J
X ------------------
k^i Ь2+с‘л(^-2ХГ
a=l/2, m=l, 3, 5, ...П
’ 11=0, m—2, 4, €, ...jJ
co
С еД* (sin bxi , _.+
J (e*-j-l)₽ (cosbxj p
[Imp=0; 0<Rea-j-|ImfeKpb
~ Г (p) {ке г}* z~Г (а+«Ь)Г (p—a—ib),
г____________________л_____________(cos ал sh bn)
b sin2anch2bn-f-cos2ansh2bn [sin алсЬЬл/’
_____________л ____________ Г,.____ . |cos an sh Ьл 1
sin2 an ch2 bn-J-cos2 an sh2 bn [' ' [sin (—ал) ch bn)
, (sin an ch ЬлП
”* (cos an sh bn/j *
^a~ _____j '[(rt 1 a) 1 —1] [n—2, 3, 4, ...J.
2.5 36]
2А ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
451
2.
3.
4.
5.
6.
2.5.35. Интегралы от f(x, ea*t sinbx, cos&x).
OO
[* Я
I e~x sgn (sin x) dx——
о
OO
0
oo
J erPx | cos bx | sh [рл/(26)]}
о
co
J e-^|sin6x|vdr=^-^-
0
Г
[Re jlmb I].
[Rep>| Im Ь |].
рл
2fe
у- . ip
2 + 2Р
v ip \Т*
2 ~ 2b Л
[2Rep>ReVfImfr|].
у (Т l)ft e_fte
Zi p2+fe3
fe=l
f e~Px , p
i -----------dx-—?-— -
,) ch a jt cosx sha {.
о L
Л/2
£ (etx cos x)a 4- (e~lx sin x)B _ л /_b V»
J a2cos2x4-&2sin2x ab \a-f-b/
о
Л/2
C (fPx cost*-1 X {a4ix+Ь^е~*хУ dx=
—Л/2
[a, Rep>OJ.
[а, 6>0].
xc^F (—V, te + v 'Г р~ № (й-у±р+1)/2; (д2/^1)
2И~1|хВ ((± р+Ц—v + 0/2, (v+М- Р + 0/2)
[е=гаах(а, Ь); Reu>0; fJeJ*
L ll®!-'
х
8. f (a4-ct»x)v^«*dx=—(а»-1)^Р^(-7=^
Д (v+1)/
[а>1].
2.5.36. Интегралы, содержащие е “{ . >.
r r I cos bx]
Обозначение: S
оо
е-Ь’/(4а)
О
оо
[Rea>0].
sin fox] , .
, }ак=-7г~а
cos bxf 2
±«. 6+±. _62и
2 ’ ° ’ 2 ’ 4а/
О
_2-(а+3)/2
(«Я/2) 1о^/2ех„
ic (ал/2)/ Р
» \tD Z_L.\]
va) ^1
[Rea>(fc Rea>—6].
15*
452
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5 36.
5.
7*
ОО
f „1/2 -ex* fs,n
J (cos bx}
0
dx=
я I b \3/2 / f b*\ 7 /ft»V|
--TVs’) “Ц—V&d i3'4VSj]
eo
C X2n+6g-ax* /®п rfx —
J (cos bx}
0
₽(- 1)“KH 2-2я-»-ea-(2« + ,+6)/2exp
[Rea>0].
[Rea>0].
[Rea>oj.
sin bxdx— — erf
2
co
f xe™* cosbxdx—-f
J 2a
[Rea>0].
oo
С g-axs—ex (sin bxl
J (cos bx}
[Re a > 0].
eo
I. f (Sin J4 dJC=
J (cos bx}
0
С«Г(а) /с*—6«\r ltbc\n /с+й\.- ib"\r>
= -—exp (-----------) I exp f-) D_a --7— | -+ exp-—) D_a ~r=- j
2(2a)a/2 ( 8a /|_ (4a ] \1^2а/ \ 4а/ \ V 2a /1
[Rea>0, Re a >—6].
10.
f jre'e*t-cx(Sta!X)^=
j (cos bx}
0
[Rea>OJ.
2 5 37]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
453
оо .
С х(1+0/2 е ах jsinbxl ,
j x24-z2 Icosaxj =
о
== ни erbz erf f zV~a--—e6* erf fz Va 4—— ',4-2
4 |_ \ 2/a) \ V 2a' lch M |
[Rea, Rez>0J.
oo --Г a
12. p—sin(2»+l)z{”^'*:«/| ’_+2(tl)‘exp(T^
o L k—i
[Re a > 0].
13, C xe tgexdx=-^-J/ (—Dft k exp f— [Re(c7a)>0].
0 fe=l
f* e~ax* dx____________1 ЛлТ 1 I V f________________tk
J 1 — 2ccosx-[-ca ~ I 1—£2| r a 2 + Z exP^ 2a/
0 I- fe = l
["->»• {«:>!}}
a aa о n. — ole — a/x (sin 6x]
2.5,37. Интегралы от лге F <№ I l
r (cos bx)
Обозначение:
oo
Г Js®
J (cos bxb
0
, / a \a/2
-'‘(f
Ko Vqb) T exp Ka (te~’ult /«») |
[b, Re?>0, Read].
f x«- le-P«-«/z J™ *4 etx=
J (cos bx)
9 _______ r_ ____________________________
«=]б9а/2[(Р+‘ьГ“/2 K«(2/?/P+»6) + (p—i&fa/2 Ka &YqVP — tb)\
[Rep> Imfe , Re^>OJ
. F,-3/2.-pt-«/x[sta»xl . ЛГn 2/,zJs,n(22^O
’•Jx 6 [cosM“-y qe
0
[2zj_=V'p2-Hi®±p, Rep> Imb |; Re?>0],
f x-VSg-px-ff/x pm bx\ dx=t
j (cos bx)
0
— 1/ n 1 _ fsta (2z_ /<?)) ft OS (2z К?)П
Г pz+bs L + Icos (2z_ v sin (lz^ V д)И
^2г% = Ур® + 6*±p; Rep> Imbl; Re0>oy
454 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 5.38.
2.5.38. Интегралы, содержащие е a№ &^х /s’n
Icosbx
Обозначение: 6=
« с „ , (sm 6х| ,
1. \ *1 } dx—
J (cos bxi
0 v 7
_Г (a) Jsin (an/2)) / a, 1— a a№\
ba (cos (aл/2)) 0 2\ 2 ’ 2’4/"^*
+ ^W_^Wl+^+-5, 8+* ; <£)
[ft, Rea>0, Rea<l],
co
2. J x"2e"flx“2 sin bxdx=
0
oo
-ft 2 i^lji Ю(М+з)+2~1'н£+1)-In(6/5)]
ft=0
3.
oo co ,
J9 «v-2 l л я V (— by ar
X-ig-ax-^ cos bx dx =«= 7 .mr/,',
2^a ^Г[(6+П/2)
k=0
[6, Rea>OJ.
[6, Rea>0].
sm 6x) ,
, >dx —
cos 6x1
.O+p V4 »*3/2 !Г!п $ Г4--c«l * (cos 4 Fl-® <4
( 0 J r 2 ((cos zj L 2 J (sin z) 12 v 'Jj
[z=p2/(46); b, Rep>0].
sin bx'
cos bx
dx—
= i<5r (2a)(26)-“ Jexp Г— i (— + ^\1 D 2a f-Д-е- т
' П I FL \ 2 86/| \/26 Л
exp fi f — 4- — \ D_2a [b. Re p > 0; Re a> — fi].
L \ 2 86/J “^26 JJ
00 / . L 4
Г —3/4 — DVx lsin M л
6. \ x л‘*е pvx{ , >dx=
J (cos 6x1
Л * J
[с = рг/(8Ь)4-л/8; b, Rep>0].
co .—
p e~~ p y x г 1 12 г 1 "12
I -------sin bxdx= л -5- — C(z) -f-л —S(z)|
J X I 2 J 2. 1
0
[z = p2/(46); b, Rep>01
2.5 39.]
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
455
со
f S*n
[см. 2.5.38.9].
, 1 ,fn\ 1 ... 2—У2 ,.л . 1
7(0)~12» 7(-2) ~4л » 7(я)- з » 7<2n)-jg.
<ю
Схсов(лх/2) , _13 —4л
J _2лУх । dX~ 8л* *
СО
Г х cos 2лх _ 1 (1 __ 3 . 5 \
J з? + л2/*
со
Г x2cos2nx . 1 (, 5 5\
j е2лУж j 256 \ я л8/
f x*sin (лх/2) . 17 _ 8 _ 7 35 _ 105
J __________j 16 Зл ла 2л3 16л**
£л®сов(лх/2) __ 8 7 35 873
J «2л^_ 1 ЗЛ + л* "Г* 2л* + 16л**
о° . < X -Л-
о
[z = 2 (Ь/3)а/2 a-1/2; Re а > oj-
_ л ir\ Isill
±.5.39. Интегра лы, содержащие е' и < ь Z-
IVUo
Обозначение: б
СО
р дл-1 / Z2—X2
1. I --exp fe-----------
^/xa-l-z3 \ га4-х2
г111/*-372 Г /а4-6\ г ।
“ Клс К 2 / \ 2 ;
х7^а/2 —1/4, ±1/4 (Ь—УЬЪ C2Z2)
со
2.
dx=
1+6 ,/4> ±1/4 (» +/4>-Л») х
[&, е. Rez>0; —fi<Reo6 <1-|-вВ.
pz
К^+ь8
[fr, Rep. Rez>9^
456
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5 40.
3. i Xя 1 еХР-у~ — sin bxdx~Ja [6, Rep, Rez>0, Rea>—J],
J Kx2+z2
А2Я -2 Г A ______ П
An = (-1)-1*:— L==/G U/p2+b2) L
01)ЛП 2 [У J
4. ( cosbxdx = la [b. Rea, Rep, RezXty,
.1 /хг+г«
/м+1=(-1У [Ко (г
J \ Z / [LUS OXJ
0 ;
/2\« —1/2 a+ 1/2 г a 4-6/2 1,, „
z Г [(6+l)/2—aJ^oc+l/2(M [Rea>-6; b, Rez>OJ.
л С e —s \-bi/2exp(—pv л2 4-z2) (sin bx) ,
6. I X1"6 (F x2 4-г2 — г)-1/2 F \X L . U*=
J Vx24-za IcosM
-»»i/f ир г
Г 2 у р2 ^2 t
£5, Rep, Rez>0; ®= {q}]«
2.5.40. Интегралы, содержащие показательную функ-
цию от показательной и тригонометрических функций
I sin bx)
и < . >.
(cos bx)
1. \ ехр (ax-е*) { } dx- [ Г (а + »b) | J ]•
J [COS DXJ ICU& ф!
— ОО
[<р = arg Г (а + /&), arg Г (z) = — i In rfZlVi* Re а > | Im 6 | j.
1 * <ZJ 1
n/2
2. f xezsinxcosxdx=~[ch z—Ze(z)J [|argz|<^l.
-i/2 z
n
3. ezcasxcosnxdx—я!п (z)
0
я
4. f xe2^5* sin xdx=— [Ze (z)— етЦ
J z
0
л \
5. ^e‘zcosxcosnxdx=i”«Jfl(z)
0
[|argz|<n].
Dargz|<«].
(|argz|<nj.
J5.41.J
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
457
л
о
в.
.2 \2 '
[Re V > 0; | arg г |< л].
8.
9.
л
J e±i(vr - г Sinx) [Jv (г) ± lEv (г)]
о
л
X — гsinx]_gi[(v+ 1)х —2sinx]|
Г _________ dx____________
J 1— exp (—а—ibcosx—tcsinx)
— л
— 2л [Jv(2)4-iEC (z)]
со
fe=0
[|аг’2|<л].
[| argz|<n].
[а, б, «>0].
a -] 2л
10. el (nx—zsmx) fi(x_ 2njn
a
[|argz|<H; n—0, ±.1, ±2,...].
oo °°
о ' fc=l
[Rep>0; |ar*z|<n].
о
л
л/2
12. f co^t~lxc±f0— №>* — yctgx^y—
J sill2*1 X
0
= 4- 4-g+ ‘v/2?1рГ (ji) [Re V. Re H > 0].
2 f T " x*zm-*v* y Z у
л/2
?* sin 2nv dx_______(—I)"-1 ( n |
,3‘ J sin2”42xefenctgx—1 — 2«+l (2-2(2«-l)f
о
14.
oo
f — tg*x яп x^x
J e X COS2 X
0
2
2.5.41. Интегралы, содержащие Л(х),
Обозначение:
'sin (ах24-6х-14-ch
kcos (ax2-|-6x—1 + c))
jsin (bx+ch 1 / (sin cl & (coscl \
(cos (6x4-c)J p2_i_fe2^ jcoscj— (sincj/
(sina[x]l . eP—1 f ana 1
\cosa [x]j p(c2p—2ePcoea+1) [cP— cosaj
[a. Rep>0].
458 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 5.41.
ОО
Г /sin а _________gp—1_________/ 6 sin а )
J (cosa[x]J р(е2₽—26epcosa4-62) \еР—6cosaf
о
[а>0; 6>1; Rep>lnfe].
4.
oo
C _«v.fsin6x2'
I e px< . 2
J icos 6x2
5.
OO
(* _rt„ fsin 6л2) ,
1 x“ px< , „> dx=
J (cos 6x2J
о
= ~ Г (a) (26)“a/2 /ехр Г— i №
[z=p*/(46); b, Rep>OJ.
6.
7.
8.
9.
10.
4= ехр
/26 j
Rea> —25J.
OO
С „-1/2.-РЖ fsin M
J X (соьбх2;
о
co
C nr fsin 6л2) . 6
I xe~Px{ . Adx—-
J (cos 6л2/ 2b
oo
(* e ~P*
I ----sin6x2dx=
J x
COS С
sin cl
[с = р«/(8й)Ч-л/8; Ь, Rep>0],
_ (COS 2|
(Sin 21
12
2“С(г) И
[2 = р7(46); 6. Rep>OJ.
1г=рУ(4ЬУ, Ь, Rep>q.
f xp.-ig-px /sta (bx2+ p< dx= r<«) (_ 2₽!\ /sin (ССЛ/2П / p \
J (cos (6x2 + px)J (2й)°^2 Р\ b / {cos (ал/2)} -a\Vfr)
[6>C; Rea>—6; |atgp|<«/4].
оо
f fsin 6х* sin px
I ле~Р*{ . „ r
J (cos6x2 cospx
26
[6>0; |argp|<n/4],
о
О
о
0
n „ | P e— m/4
aW2b ,
11.
12-
OO
| x^erPx [sin (6x2 ± px) ± cos (6x2 ± px)J dx=
о
=2-^6 5/2Ул (6 —P2) exp [6>0; |aigpI<Я/4].
oo
C — ax* fsin CX2) . ‘ 1
\ e ax { 3cos6xdx==b-K
J (cos cx2j 2
я__p— aA Г » /яп cA
4-е2 I + (cos cA
0
A
_ B (cos МП = A (sin D)
(sinM/J 2»/a24-c2 (cosDJ
4 (а«й-|-сг) ’ B~= &а*+е*±в)1'*2» 2D = arctg (c/а) — Ac-, b >0; Rea> | Imc |]
2.5.42.]
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
459
„—1/2_— рх — q!x Р*П 4~с/х)( . У Я 2rs cos (А -|- В) /8*П Ф
х е (cos (6x+c/x)f г е (cos df
[d~ A + 2rssin (A Ч-B), r= p® + 6®, s= jfqg+c*,
2A = arctg (b/p), 2B == arctg (c/ff); Re p> | Im b |; Re q> | Im c j].
^pX~q/X (Shi (6X+C/X)} ^_УЯ 2rScos(Z+ B) /w fl
(cos^x-j-c/x)/^----re |cos/f
l/=B4-2rs sin (A +B), r, s. А, В см. 2.5.41.13; Rfcp>|Im6|; Re q> | Imtf (].
Л" (Д*8 + bX + C) I8’”
* e (cos(</x+r)|
-<» [H/2]
/fe2—4oc—<Z2\ V n-a - у
ех₽ "—4a ) (n—2k)\k\
4 fe = o
n fe ftl — 2fe\ Ыг-jqi Is®1 4 [h = r — ь?/(2а) — Л//2; Re a > 0].
X \ j J (cos h)
i^o
F s-lax’ + bx + c) J8® (Рх2+^+гЧяЧ: =
J (cos (px2+<7*+r)f
— 00
л [ a (ft2—4ac) — (aq2 — 2bpq+4cp2) 1
|/a24-p2 L 4(a2 + p2) ]
/sin Г 1 . p _ p (q2—4pr) - (ft2p—2abq+4д2г)
X (cos[ 2 C g a 4(a*+p*) JJ
[Rea>0].
17. f + Vb (™ Св]
J L (sin ex?) (cos ex3] J 2 (OJ
0
[c = 2/a&; a, 6>0].
2.5.42. Интегралы от A(x)e~Px
Обозначение: б
a
р е~Рх
j l^xp^a2—х2
л
2
а
2. С cos (сV^ax—x2) dx— яе~ap^J6 (—УсР—р2
у ах—х2 \2
[в, с>0].
460
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.42.
со
J xke~Px sin (с уЧ2—a2) dx —
а
a1+kcpk
(рЗ_|_^(»Ч-Л)/2
*1+* (а /рЧ^"2)
[jfe==0 или 1; ОО; Rep>| Imc|]
е~Рх fsfai (с ргх2—а2)|^
У х-{-а (cos(с рЧ2—а2)/
~ --^==5 (^р24-Р2+р)1/2 6 ехР (— а К р2+с2)
2 г р24-с2
[а > 0; Re р> | Im с 1].
f ~/=L= cos (г Кх2—а2) dx— 1/"— 1 /CgdhL-P ~hf! еХр(— аУ"pi+c-)
J У х—а г 2 у р2+с2
[a>ft Rep>|Imc|).
f (х-а)05-1 (х+а)-а-,/2е-Р^Р1П
J [cos (с у х2—а2))
2±1/2 / б \
= ТРТ Г (а + т) 1/4 (*+) ^а—1/4, ±1/4 (г-)
[Ч —а(Тр*Ч-с2 + р); Oft Re р> | Im с |].
С е-рх fsin(с/х2— а2)1 (— i)6n „п . . ,ferf(iz_)\
I -------------/ _____ } dx=^ v ggperfc (г.) { ' '>
J И х—а(х+а) (cos(e}^x2—a2)f У 2а I 1 J
[z^-—а(/р«4-с*±р); Oft Re/»|Imc;J.
оо
Г е^Рх
J (х2—а2)3/4
sin (с У^х2—а2)
cos (с У^х2—а2К
dx= j/”^1/4 (г+) ► 1/4 (z-)
а>0; Rep>|Imc]l-
L • J
oo
f 7—yf —cos (c yrx2—a2) dx~—.L^= ^1/4 (г+) ^1/4 (г-)
J ГхУх2—а2 У2лр
a
|?ь= A (>zpf+c*±p); a>0; Rep>|Imci
00
f -zX=re^coe(c/^^)dx=—(аур2^)
J Ух2—a2 (p2+c2)m/2
[т = 0нли 1; a>0; Rep>|Imf|].
f C^+P^x2—n2)v T (x—y^x2—a2)v e_px (sin (с У^х2—a2)|
J Кx2—a2 [cos (c yrx2—a2)j
= 2aV&^^v(aKp2+^) —varctg(c/p); a>ft Rep>|Imci].
2 5.42.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
461
е~р* (sin (b Кл^+г2)
Vx V л2 4- z2 [cos (b улх24-г2)
[2z+.=z(Kb2+p2J;b); Rez>0; Rep>|Imb ]•
со
13. f е~Р* sin (b V^+xz) dx— —J*2 — epzl2Ki ( * +
J 2K₽24-62 \2 /
[Rep>jlmb>; [argziCH].
14.
oo
1 —j— erPxcos (bV^+xz) dx=
о
exp[—
(Rep>|Im6l; |argz|<«].
15.
oo
C e~P*
dx—
о
,/2"6(p24-*2)"1/2exp| (/>4-62-p)j
[Rep>|lm6|; iargz|<nj.
eo
Л“-' (x+z)-“-,/2e-'”
sin (b }/Лх24-хг)1
►
cos (b K^+xz)
dx—
2e+l/2 / A\
= гУь Г \ ~2/ePZ,2W 1/41/4 Ma—± V4 (г-)
Гг±= (Vp2 + ft2±p); 2Rea> —6; Rep>|Im*|; |argz|<nj.
—T^-------S (—— eP^erfc (z4)< ' 7
|*(x-|-z) (cos(b у xs-j-xz)) Vz I 1 J
[zV= 2 (Vp*+ b* L д); Rep>|Imb|; iargz|<n
oo
18. f cos (b Vx2+xz) dx=ePzl<2K9 VP* 4- b2 j
J V xVx+z /
[Re д> | Im b |; |argz|<«].
19. ( (x*+»)-3/4-'"[Sin^K^lt^^<b=T/r^-^K1/4(z+)/tl/4(z.)
J (cos(6 V x24-xz)j '
I zj_= ~ (Ур*-)-Ь* ± p); Rep >| Im b I: i arg z ] < Л
462 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.5.43.
ОО
20. f - --1 f—(— 4-х—X
V (/x24-xz[\2 / \2 /J
х А (* К>+Т=)
[cos\2/ [cosdj \2 /
[d=v arctg (Ь/р); Rep>|Imb)*, |argz|<n].
2.5.43. Интегралы от Л (х) ef(x> f8”1 ~ И •
4 ’ [cos [сх/(х2 ± а2)]/ •
Обозначение: б—
1 f х*-1 (_ h аа4-х2 \ fsin [сх/(а2—х2)В
£ Ка*—хаеХ₽\ а2—х2 / (cos[cx/(a2—х2)]/
=2в-»<»-5>/«т/^Г (i+«\ (рСйда+<ji+М) 1/4 X
Г О* \ /
„ п (1/ V H»V^+2ab \ „ / |/4а2&2+с2—2а& \
Х D-« \ Г ----а-------/ Ма/2-V4, + 1/4 ------)
[а, Ь. 005 Цеа>—6J.
С ха-1 ( b \ (sin [сх/(х2—о2)])
J Ух2—в2 етР \ л2—а2 ) («»[гхДх2—а2)]/
=/-с gXTi/4-ч- ”Р (^)г •)0'»Ч-л*+»),/,х .
/ V р 42+aV+T\ (/ьа+аМ-*
х "я-1 \ а / м >/4 ~a&> ± 1/4 \-2а2-/
[a, b, с>0; Rea<14-6].
f &'1 ехо /_ л &+а2 \ f я*1 кх/(х2— а2)П .
J I х2-а2 Дсобкх/^-а2)]/^
=2»- ₽«+ l)/v - 3/4c- V2r 4-Ц2:°’) (Via^+c^+iaby» X
vn (1/~У4^+^+2аЬ M ff ~4a^+c2—2a6\
x ^a-i V Г a J MUi-a/2, ± 1/4 -----)
[a, b, OO; Rea<14-6].
» \ fsta [cx/(x2+2^]>
х24-г2Дсо5[сх/(х24-г2)]/ах
2^ г /1-а4-6\r Z64-a\
|л2лс V 2 / к 2 /
м / b-j-^b2—c2z2 к
и 1/4—a/2, ± 1/4 t-2г2 j
a^—’^expf--—\ X
\ 2z^/
.. / b—^b^c2^
Ml/4-a/2, +1/4 у-—2г2-
[b, c, Rez>05 —6<Rea< 14-61.
2.5 44.]
2 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
463
(» 1 / ?2__ х2 \ Гя-П [cx/(jt24-Z2)n .
5. 1 —>------expl — Ь------к *
J Kx2+z2 \ z2H-x2 ; lcos [CX/(X +^)1J
__ 21/2±,za“,/2 /a-J-б \ /1—a+6\
“ V^c \ 2 J \ 2 J
4, M ( Zzb+fabW—c2 \.. 12zb — /4b2z2-c2 \
X M1/4— a/2, ±1/4 -----2Z------у ™ 1/4—a/2, ± 1/4 у 2z /
[ft, c, Rez>0, —6<Rea<14-*J*
2.5.44. И н те г p а л ы, содержащие показательную и триго-
нометрические функции оттригонометрическихфункций.
Обозначение: 6—<*>.
IPj
Л/2
1. С f-EiW+ci(-*)1 , < |<я].
J [cos (z sinx) J si (—z) J
о
Л/2
2. f у Л1 x)l dx= (2 shi (z)>
,1 (cos (z sinx) J ( л J
0
я
f -zcosx (sm (2 Sin x) sin nx\ dx= nz^
.J e Icos (z sin x) cos nxJ 2n!
о
л
4. e2 cosx cos (z sin x-J-bx) dx—z-6 sin (Ьл)у (6, z)
0
л __
Б. § e200®* cos (z sin x-j-x/2) dx= eI^
b
[|argz|<A; n==l4 2t 3, ...].
[|argz|, largfiJCAJ.
[|argz|<«J.
6.
j (cos (z sm bx) cos (z sin ex))
о
co
Л V Jrfft+c*
2" Z Г(1+^)Г (14-сЛ)
k= 1
+£}
я
•7 f „zcosx sin (z sin x) , ,
'• I ® -----^dx=nshz
J sm x «ou«
о
.! srnx Zj(2A+1)1
u 16^=0
Л
»- C Z2006* sin (z sin x) tg-1 ~ dx=±n (1 -e^)
о
[|argz|<Ji].
[|argz|<fl].
[|argz|<ji].
464
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.44.
10. f е2 “S х C0S-^ an dx = ; е2 (y^=i -4
J cosx4-c ус2—1
[|argz‘<«;
Л 00
С -zcosx . , . . Sin bx , JI V akzkb
11. I rcusx sin (z sm x) j—=---—f—« dx = s- / -frZAfc , .r
J ' 1 —2acos6x4~a2 2a jLi Г(£&4-1)
о k=i
[|argz|<n;
л oo
f , . к 1— acosbx . л V a*zftft ,
12. J e2 cos(zsmx) j_ 2a cos ox 4-a2 2 2. Г (kb +1) + Я
о k=i
[iargz,<n; |aj<l].
2Л
13. f cos v M, sinx fsin(pcosx + <7sinx + nx)|^=
J (cos (pcosx + 7 sin x4-rex)j
о
H-Oen L(p—b)’4 («+a)!]-"/3i (A+iBF1114(/с^ю)т(Л-<В)"/г/„(1/С47о)|
[(p—6),4-(ff4-a),->0; A=a2—62+p2—<Z2, B=2 (ab4-pg), C=a24-&2—p2—g*, D=*2(ap)-bg)].
14.
2Л
f eacosx+6s1nx fan (* cos x-a sin x4-rex)j rfx=
J (cos p cos x—a sin x-j-nx)J
о
[ф=л arctg (b fa)J.
15.
OO
I -1 (flco&x sin (a sin x) cos rex dx =
re-1
2a*_
kl
a«
2гёГ
[a>0[.
16.
17.
0
oo
f* 1 JI
| — e a cos x cos (a sin x) sin nxdx—
J x v 2
о
OO
f _Lgecosx sin (a sin x-|-nx) dx— e
V X
0
V «ft , a«
Z *1 + 2re!
k^o
[a>0; n=4,2,3...].
[a>(0.
n—1
18. oo . f x°eacoscx (sin (a sm ex)] . я д» aca^ac fcos (a sin ac)) «6 J x2— y2 (cos (a sm ex)) 2 (sm (a sm ae)) 2 0 [a, c, p>0; «={$}].
19. f xfi(?aroscv fsin (a sin cx-J-ftx)) л . . 1 ———. '\dx= z° 1exp (—bx4-ae cz) j x24~z2 (cos (a sm cx-^-bx)) 2 . ‘ 0 b, c, Rez>0; ^{o}].
20. F xK?*™5™ (sin (asincx+cxh djc== _^_[ea_ (^^1 J (x2-f-z2) sin ex (cos (asm ex 4-ex) j 2shez *• 0
|a, c, Rez>0, 6= |q}].
2 5.45.J
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
465
21.
Г d*co&cx sin (a sin сх) л__________
J xa4*z2 sincx — 2zshcz
о
[е“—exp (ae'cz)]
[в, с, Rez>0J.
22.
со
л .acoscx
ж с
' X2 — у2
О
sin (a sin сх) _
sincx —
-—?—[—ce+cacoscy cos (а sin су)]
2у sin qr * 4 9/1
[а, с, р>0].
23.
оо
С х \_^fflcosex cos (а sincx) . л r „ ,
\ —=-----=-----------.— ------------- ах= ---------|е«—ехр (ae~cz)}
J х24 z3 sincx 2shcz 1 п
о
[а, с, Rez>OJ.
00
О
1 —fflcoscxcos (a sin сх)
sin сх
dx= — с®005 cv sin (a sin cy)
2 sin cy ' 9r
[а, с, j>q.
sin (a sin ex) tg—1 ex rfx— ± th—1 cz [exp (ae-*2) —c®]
oo
25.
o
[a, c, Rez>OJ.
л/2
f -fletex . v—1 „11-1 (sin [p/2—(и— 1)хП .
26. e sm xarf*-
Q
— п1/2-рг/,л [v=l/2—ц или v=l—2ц; p, Rep>0].
~ 2 P 1Уц-1/2(д/2)|
Я/2
27. J e-^t^xcosv-ixcos|2ptgX_(v_f_1)JC]£fx=—А Г р^2е~Р wa ~~-
[R3V<0; p>01.
2.5.45. Интегралы, содержащие разности функций А(х),
(sin
е~рх, < с
со
S> 1__р ах
-------sin bx dx=ln [Rea, Ь>0]«
Xя
r l a r ». 6 i i fi i ai\
Z1=arctgy, Z2 = aarctg— + 21п P+ 62 J’
oo
r i____e-ax 1 / a2
2. 1 ----------cos bx dx — ~2 In i 14-
о
do
3. ( (“V—T-----------'l cos bx dx = In b —- [ф (ib) + ф (—ib)J
J \ e* — 1 x J z.
a
[Rea, b>0].
[Ь>0].
466
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5.45.
оо
f --flje 1—cosax . 1 . л . a2\
]*"------i---*=2-
0
co
С „г 1—cosax . , a p . К , a2\
J ------Ji--dx=earctg--f Hl+^J
0
[Rep>|Ima|J.
[Rep>|Ima|],
ePx
[Rep>0].
arcctg p, /2=2-1 In (1 +P~2)+P arcctg p— 1,
4=2~1 [P In (1 +p2)+(p2+1) arcctg p—p].
co
f 1—cosax . a 1 . 1— e~a
J х(е2пх_ 1) dx—"4 + 2 1П a
0
[a>0].
co
J \ e*—1 x /
0
co
f cosax—e-®* , я f az \ . f аг
dx=------------------exp {----|sin(—~
2z* \ V2) \/2
J x(x«4-z4)
co
P g-ax_ g-cx cosbx , 1 .
' ---------------dx= j In
[a>0; |argz|<n/4J
0
00
COS
bx dx=-^\n
0
co
f* g-ax^g-cx b .
1 -----з------sin bx dx = in
J Xй x
c2+&2
a2
t^ + c2
&2J-a2
[Rea>0; Rec>|Imb|].
[Rea, Rec>|Im6|].
&2-Lc2 , . b . b
Г-?4~с arct6-----a arctg —
fc24-a2 c a
X
X
0
[Rea, ReO|Imb|].
CO а »
f ± ) dj[=| ln +C arctg |-a
0
[Reb>0; Ref>|Ima|].
00 n
f 1—cosax . 1 . 2csh [ajt/(2c)j 1 у . Л . а2 \
J __g2ln-l>CJC] 2 an 2 Zai \ /
0 k==l
[a, c>0; я—1, 2, 3,
cosax—cosftx
x«
dx=Zn
[Re p>|Imab
/ЯЧ-а2 ’
£±g. + t>ardg|-aardg|.
л=4 in
2 5.46] 2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
467
оо
§ g-pjt sin* -Уcosx ________j.
о
_ . р
Л=arcctgр— , /2= 1 — р arcctgр,
[Rep>0],
/з=|-[(Р2+1) arcctg р—р].
oo
<_ (* ae&xsincx—ce~hx sin ax . ac , a24-/t2 . . , h t , b
17. I -----------=-----------ax=-H- In , ,, -j-cft arcctg-ah arcctg —
2 c24-6a a & c
xa
о
[Re&>|Imc|j Reft>|Itnaf].
co
iq C cosax—cos 6x
,8* j x[gmcx—g(nt-a>£xj
0
[(m-D/2]
_ 1 [finch [&jt/(2c)l — Inch [ал/(2с)П vt &a4~c2 (2fe—21)a
— 2 [I In sh [6n/(2c)J —in sh [ajt/(2c)J J Zi W aa+ca (2k—2A)2
fe=l
t f A==W2, m=t, 3, 5,
a, Ree>o,{M ;
a> . J Л \
_ Г -m 2x cosx—sinx . . p * 1, , 4 \
19 I a p* —-----=------sinx dx= v'n H—? 1
J xa 4 \ p2/
o
[Rep>(g.
°° ’/’—
(• ~ 2xcosx—sinx , . г л /1
20. I e“x ------- sinx (1—e"1).
о
ШзЬ аъх№ь fsoi Ььх\Чь
cha^ (cos^J ’
|-r fsh a*x0 [cos Mlv*
J1 jch afpcj jsin M;
k
Обозначение*. d=
[(n+l)/2]
i. Тл-*»**»*—П ^+<й+^1-‘
О fe=0
г р.= 1/2, я=1, 3, 5, ...11
р argft |, Iarga |< л; 0> n= 2> 4 в> _ JJ-
со ,
С sin ЬхА_th pg. LReOlImblJ.
J shcx 2c 2c
f sin26x . cth (bnjc)—c [Rec>|im&|].
J 2c2
0
F L, ‘h tReollmfrll-
ichcx 2c\_ \ J \ /1
о
468
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5.46.
со
5.
О
л . Ьл
- sec h -
2c 2c
6.
CD
Г cos bx . _ 2V~2 / v ib \ / v _____ib
J chvcx сГ (v) \ 2 "* 2c) \2 2c
о
[Re (ve) > Im b |].
7.
oo |(/i-1)/2]
f COSbX dx^2n~2 3jt ftl 2>-c2A-2 J 56011 I6n/(2c)l
j ch® сх (n — 1)! (cosech [Ьл/(2с)]
0 fe='
[r. ,. ., A= 1/2. n= i. 3, 5,
aRec>Hmt>[; |х=0 n=2. 4> e
OO
C sh ax fsin bx) .
I “u----{ i.
j shcx (cosbxf
0
= [ch (Ьл/с) -f-cos (ал/с) j1
2c ' ’ 4 71 (sm (ал/с)
8.
—— tb .....Г
2c / Y \ 2c /J
[Rec > । Rea 14- [ Im b I].
9.
10.
11.
oo
(‘ ch ax . . , я
I "E---Sin bx dx — 77- ... , . ,----7--7-v
,j shcx 2c ch (Ьл/с) 4- cos (ал/с)
о
00
Ksh ax sin bx! dx _
ch ax cos bx) ch ex ~
о
__л Jsin [an/(2c)(sh [Ья/(2с)Д / , Ьл ая\—1
— c (cos [ал/(2й)] ch [Ьл/(2с)]{ ( c COS c )
00
Hsh ax cos bx} dx ______
ch ax sin bx) ch ex
о
sh (Ьл/c)
[ReO|Rear+|Im&|J.
[Rec > | Rea |4-1 Im b I].
/3с—a—ib\ /3с+a-{- i&\ f3c—a-^ib
\ 4c ) 4c \ 4c
+ 2л [cos (ал/с)+ch (b л/с)]-1
4c
[Rec > | Rea | 4-1 Im b |].
12.
13.
14.
co
nsin ax sin bx) dx ______
cos ax cos bx) ch ex “
о
_ я Jsh [ал/(2с)] sh [Ьл/(2с)П /
— c (ch [an/(2c)[ ch [Ьл/(2с)]/
co
Г sin ax cos bx _____________________________
j shcx — 2c[ch (ал/с)4-ch (Ьл/с)]
о
OO
f* sh ex sin bx . _______nb_______
J ch2 ex — 2e2ch [bn/(2c)j
л sh (ал/с)
0
Ьл 1
[Rec>|Imal + l Imbl].
[Rec > |Ima 14-] Im&|J.
[Rec>|Im&|].
2.5.47.] 2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
469
г оо
.г С .« . (sin dx) ,
15. I shv-1ax{ . >dx=
J (cos dxj
_ 1 (sh [dn/(2a)B „ F(v+6)/2] (1 -v ib\ fl -v ib \
“2аИл tch[ta/(2a)]J [l-v/2j f 2 2a) \ 2 2a)
( [Rev>—6; Re[(v——|Imb|],
™ r • x. ч
_ _ L « «« - f I Sin vXi <
16. I shvlaxchax{ , }dx=
, J (cos dxj
0
b (ch [dn/(2a)D pffv -Ь Ф/2] r ( ib —va \„f ib+va\
~4а2|Ля (sh[bn/(2a)]J [(1—v)/2] \ 2a )l( 2a )
[Rev>—6; Re(w)< —IlmhJ.
? 17. f Г1— f sin dxdx= 4 — £-( [b, Rea>0].
i J L (cth ax) J b 2a (cth [dn/(2a)]J
p о
„ w _ TT(sh a/xll*b (sin bbx\vk
2.5.47. Интегралы от xa||<. h } •{ , > B.
J.l.(ch a^xj (cosdfcXJ
x® TT Ph JCOS bkX\\
J.1. (ch atf) (sin bkx)
k
'( Обозначение: 6=^|.
f X»-1 (sin 6x) , Г(а)(*СГ 1Л,»\1 .Г IL id\l\
J shcx (cosdxj (2c)“ (ъ l’ 2 \ c )]"** WL ’ 2 \ c/Jj
о
[Rea>l—6; Rec>|Ilnb!].
f x2®*1-* (sin dx) . . л e .. dn
2. 1 ----— { . }dx=(—1)«------------th —
J shcx (cosdxj 2c dd2®^ 2c
o
Rec>limbi; 6
-w
3
co
j xshcx 2 c
о
[Rec >21 Imb|].
co
0
Xя"1 (sin dx) .
'~L--{ .
ch ex (cosdxj
3c—ib\
4c )
(a*
3c4-td\]
4c /]
[Rea>—6; Rec>|Imb>].
co .
p x2*i+o
J ch CX
sm*x)dx=(— On+6
cosdxj
Rec>| Imb I; 6
n d2®*® , drt
2c зьал+б ЖС 2c
co
Л C sin dx , _ . Г «. г Ья \) л
«• ]Ж7*:=2агЧе11>^Л_2
[Rec > | Im Ы].
470
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.48.
оо
„ (* sin bx . л . _ Ьл /, . Ьл Л , Ьл \
7. \ х -т-5— ах=—^ cosech2 тт-ол ch--------------2с sh —}
J ch2 сх 4с3 2с \ 2с 2с /
о
[2Rec> |Im6|].
оо
(* cos bx f th ax} . . (cth [&n/(4a)l)
J x (cth axi (2 sh [on/(2a)]J
0
[6, Rea>0].
oo
_ (* shaxsindx . , (. ал .. Ьл\ r_
9. I ------г-----dx= arctg tg—th-Д-) (Rec> Rea 4- Imb j.
,) x sh ex \ 2c 2c /
0
* GO
f sinaxsinftx , 1 Г. , fa-i-b \ . ,(a-—b \1
13, i -----------dx=-H-l In ch —^--л — Inch -5—л
J xshex 2 [ \ 2c j \2c/J
о
1 Re с > 11 m a | -J-1 Im b | ].
CO
.. f ch йх sin2 ax . I сЬ(2ол/с)4-со8(&л/с) r_ „
И. 1 ------------dx=—ln—* 1 • \------- (Rec>!Reft 4- Ima ].
J xshex 4 14-cos(&n/c)
OO
C shaxcos&x . _ 1 . ch [f>n/(2c)] sin [ал/(2с)]
J xchcx — 2 nch[6n/(2c)]—sin[anc/(2e)]
о
13.
co
(* cos ax sin bx . , sh [6л/(2с)]
J xchcx dr“arctgch[aV(2c)j
о
[Rec>]Rea[ + |liBft Q.
[Rec > j Im a | 4- | Im b |],
2.5.48. Интегралы, содержащие Л (x) (a-[-6chx)v<
(cos CXJ
a ________________
, C cosbx J т/лГП — v) „V—1/2 /I X „ „
L J (cha—chx)v<i*_y 2 sbv~1^aPib~if2^ha^ [a>0, Rev<Q.
0
oo
J cosbx . л .Ьл . / b . . \
------—ax=-——=±=-cosech —sm — Archa) [a>i; Rec>]imbi].
a-J-chcx eV a*—1 c \c /
3. =------/ - sech — sin I — Arch (— a)
сУа2—1 c Lc
л л .Ьл . /b \
4. = • : cosech — sh f — arccos a |
су 1—a2 c \c J
eo
_ Г cosbx . _____ nb
J 1-J-ch ex c*sh(tm/c)
[a<—1; Re j Im 6 |].
[—1 <a < 1; Re | Im b (].
[Re^>| Im b [J.
f CMbx <№, (—a -)
J (a4-chcx)v c L v J Ц^а2 — 1/
[6. Re (cv) > 0; a [—1, Щ.
2.5.48 ]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
47!
03
cosftx
Ka+chcx
dX~ cV'^ с Pib/e~1/2
(a)
[—l<a<l, Reci>2| Imfr |].
cosftx
(1+chcxf
ov-i
chcxdx=---В
c
ib
v------
c ,
[Re v>0; Re (vc) > Re c 4-1 Im Ь |J.
oo
_ f x sin bx j л .. bn {. . bn , ftn\
9. 1т—;—j—axcosech2— ft л ch----csh— I
J 1-f-chcx с3 с \ c c j
о
[Rec>| Imb |J.
Ю л лс2м+Й JsinftxJ^ (—[)”*a ijt г Г 2 —v “ ft
j) (1 4-ch cx)v(cos ftxj ca [v—2, 2v dft2®*4 sh (6n/c)
Re (vc) > | Im 6 |; 6
oo
nshaxsinftx) dx n f ,2bn 2an\-1
, L z —. > i.— = —ch ~--------------cos — ) X
chaxcosftxj cosZ-f-chcx csin/\ c c /
D
Jsin [a (л —/)/c] sh [ft (л+0/c] —sin [a (л+0/cl sh [6 (л—/)/сП
X [cos[a(n—0/e[ ch |6(n4-/ycJ—cos[a(n-H)/c] ch [ft (л —/)/cjj
[0< 111 < Л; Re c> [ Re a | + | Jm ft [; rt Re О | Re (cf) |]«
oo
C Jsh ax sin bx\ dx _______ 2л
J (ch ax cos bxj 14- ch ex c® [ch (2ftn/c)—cos (2an/e)J X
Jsin (ал/с) ch (ftn/c)]
(cos (an/c) sh (bn/c)j
(cos (an/c) sh (&л/е)П
|sta (ал/cjch (ftn/e)J j
[Re о | Re a | 4-1 Im b Д.
13.
oo
(* sh ex sin bx . л ,bt ,bn
i —r~i—г—dx= — ch — cosech —
J cos/-[-chex с с c
о
[6, c>0, 0<|f |<л].
14.
OO
Cchcxcosftx, n , bt . , .bn
l —Ti—r— a*=---------sh — ctg t cosech —
J cos/-f-dicx с a c
о
[6, c>05 0<| t f <я].
15.
00
f ch ex cos bx . nb .bn
I —, . dx—— -Tf cosech —
J 1-l-chcx с2 c
[ft> c>q.
OO
f sh (cx/2) sin bx^ nsh (М/с)
J cos/4-chex ~2cch (ftn/e) sin (//2)
о
[Re<?>2[ Im 6 |; 0<| /[<«].
OO
C sh (cx/2) sin ftux . nb
j 14-chcx =c®ch(ftn/c)
[Rec>.21 Im b |J.
o
472
18.
19.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 5.49.
оо
С sh ex sin bx . _ bn sh (М/с)
J (cos t -j- ch ex)2 “ c2 sin / sh (bn/c)
0
[Re c> | Im b I; HI <Л].
OO
(* cosbx ne bg
I -------------------dx—------------------1-
j (x®4-z2) (cosf 4-ch ex) 2z (cos ег-f-cos /)T
о
. ся V /ехр [— bn [(264-1) n —f]/(nc)l exp [— bn [(264-1) n-H]/(ne)]|
+ shf Zl ( c2z2 —[л (26 4-1) —ф c2z2 —[л(2б4-1)-Н]2 J
Jfe = O
[Re c >= | Im b I; 111 < л, Re z >0].
2.5.49. Интегралы, содержащие A(x) (a-}-b ch2 x)v Is*0
I COS CXJ
co _
f cosbx . n bn . 6In(14-r2)
\ -------dx=-----Cosec — sm--------—— -
2c у 2 2c 2c
J 14~ch2cx
OO
C chcx
J 14-ch2 ex
oo
J cos bx
sh2^4~ch2cx
[2 Re О । Im b |J.
. . л .6л 61п(14-У2)
cos bx dx=-—sech — cos--———
2c V 2 2c 2c
dx= — sh2/sh.- ) sm —
c \ 2c) C
[Rec>| Im A [].
[2Rec>| Imb I].
OO
[Rec>| Im6 I].
C x 1/2 (sin bx) . -ж /~2n V z nb+i fKc2624-b2 -i- teW* . kn
) r+2ffi^U4 У з 2 ж+sr-; «-3-
0 £ = 1
[2 Rec>| Im & |].
C x2,+1 ch ex . . .
\ -v-—гч— sm bxdx—
J l4-ch2cx
о
n I bn & In
--7^---1 sech — cos-
2cV2db^L 2a
[Rec>| Imbfl.
2.5.50. Интегралы, содержащие A (x) (ch ax ± cos bx) 1
f(sh<«smtaV _____A_______=_____* (»l tj.Re.xa.
J |chaxcosftxjch2ax4-cos26x 4(a24“62)(aj
0
C x00'1 sh ax sin bx j Г (a) . b \ V (—0*
I ----------— dx=------ sm [ aarctg —) 7 ———-—
J! ch2ax4-cos26x (a24-62) \ a) (2k4-l)a
[6. Rea>0; Rea>—2].
2.5.5!.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
473
1 sin ПХ . л
I —ГЕ i------Xdx — ~T
j x(chx-bcosx) 4
co
I* x sin bx . b b2 2c® ,6
I "s--« --------r~ тг,—=---arctg —
J x2—y2chcx—co&bx 2c 62+c3 s c
0
[b^ = 2«; 6, RecXTJ.
C x sin bx . . b t f — bc~l ]
J x3—i/2 ch ex ±. cos &x ± arc & c i |ftc (c3-|-h2)-1/
o
co
C x ch ax sin fex .
i ---------------------dx
j x2— y2 ch 2ox—cos 2bx
о
&
2a(a2+&2)
[ffb = JR b. Rc a>0].
2.5.51. И н те г p а л ы, содержащие (x24-z2k1< , > ! , >.
(ch ax) (cos bx) *
. « . . fshax)-1 fcosftx]
<?+**> U 4 U4-
C 1 sin bx .______n __ ле~&* _ V» (—l)fe e~bkJtic
J x2-|-z2 shex 2ez2 2z sin cz л3Л2—c2z2
0 k=\
[Rec> | Im b J; Rez>0; ez^rtre].
-ЬпЛ/с
= (-!)»»-2Й-
n—I
2^ 2^e-“”/C +
k = 1
+(—O’ тг~ ln <’ +«'!>"/c)+
1 ' 2nn
c d»-1 /(14-z)”-1
2nn{ dzn 1 \ z
In (1 z)M Ья le
/ I z = e
[cz=ли; Re О | Im b |; Re z > 0; n= 1, 2, 3, ..
[л — 1, 2. 3, ...].
[&lf = jR «/. Rec>0J.
„ b . bn , с . Ьл, fn , bn\
3. = — ch-------------sh — In 2 ch
2 с л c \ 2c}
, . bn 2c , bn . / , bn\
4. =csh7r--------ch — arctg sh _ =
2c л 2c ь \ 2с/
= 2£ [/«/(20 arete e-*rt/t2c>-e-*«/tacl arctg ?ЯЛ20]
л *•
[cz = n; Re c> | Im b ].
[2cz = jc ReO|Im5 [].
5. - - 2/2 ж-ЬяА«> In ± 4-
л 4c ch Рл/(4с)] — ify 2
4 2 6 л 1
4------C ch — arctg ----------- [4cz = JR Re c > | Im 5 |L
л 4c v 2 sh рл/(4с)1
f x rintx „V (t+|/2/e-*»_(t+i/2)e-J»<^1Wc
°- Jx2 + z3chcx Zi * ' n2(fe+l/2)2-^c2z2
о k=o
[Re c > | Im b |; Re г > 0; pz ф я (n -|-1/2)].
w „ . bn . л . bn n . bn . i. bn r ‘
7. — — 2sh-s-4- — sh-------2 ch — arctg th-- [сг = я; Rec>| Im ь j].
2c 2 с c 4c
474
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.51.
8, = я в~&л/(4с) , sh [Ьтс/(4с)J 1д ch[fat/(4c)]4-l/K2 _
И2 + ch[6n/(4t)]-l/K2
Ьл 1
— ^2 ch — Т~га „ [4сг = л; Rec>| Im b I].
4с У 2 sh [6n/(4c)J
Q С х cos&xjv — ле^г I 2 V (—l)fe
J x2-f-z2 shcx 2 sin cz ' 31 jU я2й2—с2?2
о fe=l
[ReО| Im b |; Re z > 0; сгфля].
ю. = _ 14- е-Ья1с 4- ch — In (14-е_&я/с) =
2 2c c
bn .bn 1 , 1 , bn. Г_/. , .tan
= — o sh--------4- - ch — In 2(14-ch —
2c c 2 2 c \ c/J
= 2 sh arctg (e i)+_ 1 =
2c 2
it .bn , , , Ьл , , bn
— ch -------14-sh л arctg sh —
2 2c ' 2c 2c
[cz — я; Rec>|Im6[].
[2cz = л; Re c > | Im b I].
12 C * cos6x , _ я "V, . ..fc я (fe4~ V2)2 e~*z—cze bit t8**1)/^)
J x2 4-z2 ch ex “z Xi I ' л2(й4-1/2)2—c^r2
0 k=-0
[Re c > | Im b i; Re z >0; cz ф л (я 4- 1/2)].
1X = ёл exp Г~ г <я+я] In 0 4-е~6Я/с)14-
Zrl “Г" 1 | </ J | Я» I
-»Л/(2с) ”2“ 1 , до -&Л/(2с)
+ Л(2п4-1)^ДО е +Л(2п4-1)(Л4-1)Г^+1, 1: "+2; ~е
[ег=я{я 1/2); Re с > [ 1щ Ь |].
14. = ch - eW arctg (e bJt/^)~e-b^c arctg (eblt^)
[cz —it; Rec>| Im b ![•
15. = be~b3il^ 4- — ch — [n ([ 4-e-2ftlt/c) [2сг=п; Re c> I Im b |].
3l c
10. = 2/2fi?-6“Aac)4-1135: sh — arctg ---------------
л 4c K2 sh [6л/(4с)1
2Уг2с . bn. ch[bn/(4c)]-i-lfyr2
----- -ch — In —1—-> 71 [Jez=jc Re О | Im b [1.
я 4c ch [6л/(4с)]—1/r 2
00
f th ax sin bx . . . bn 2a , bn. fn .bn\
1 ——5— dx—bch -------------sh n ln 2 sh ^r—I [&iz=n; b. Re z>0].
J x24-z2 2a n 2a \ 2a)
18* = — ^4-—-^ In cth ~ 4- ~ ch bz arctg
OO
— x th ax cos bx . .
19. J —^4^——fee~ft 4-shteln (1—
[4az=Oi b, Rez>0].
Paz = JK b, Rez>0J.
0
2.5.51.]
2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
475
20. ~ e^ch Ьг In cth 2 sh bz arctg еЬг
oo
_ f cth ax sin bx . 2a . bn .ubn
21. t ---=-v-5—dx=- sh- lncth4--
.) x34-z2 я 2a 4a
[4az=n; b, Rez>0].
[2az=n; b, Rez>0].
co
22. Г x^Jhaxcos dx= — 2 -j- e~bz+ch bz In cth -J- 2 sh bz arctg е~6г
J x24~z2 2 2
0
[4az=n, b, Rez>0].
23
24.
0
CO
Г 1 Jsh ax cos bx) dx ь л e°z fsin az
j x2-}-z2 (ch ax sin bx} sh ex ~~ ~ 2z sin cz (cos az
co
VI _____nft exp (— kbit/c) Jsin (akn/c}\ ( 0 (
2* ' n2fe2—c2z2 (cos (akn/c}] (я (2cz2)-1]
fe=i
[Re/?>|Bfee|-|-! Imb|; Rez>0; сг^яя].
1 f bn\l Jsin (an/c) ( jeos (an/c) ( I
2 CXP \ c /{_“ (cos (an/c)] a (sin (a.n/c)/J
g Jch (W4 etaW$| in Г] . о exo I- cos —-kexD (- ^Yl +
2л (sh (bл/с) cos (ал/с)J L \c/ c \ C/J
_ c Jsh (bn/c) cos (an/c) | . _______sin (an/c)
ч~ я (ch (Ья/c) sin (an/c) J 8 exp (bn/c) -f- cos (an/c)
[cz=n, Rec> | Rea ]-J-1 Im & | ].
25.
==ztcexp
_ c Jch [bn/(2c)j cos [an/(2c)]( . ch [6л/(2c)] sin [an/(2c)]
Ir (sh [bn/(2c)] sm [an/(2c)]J П ch [bn/(2c)J —sin [an/(2c)]
2c Jsh [bn/(2c)] sm [an/(2c)]) . cos [an/(2c)]
n (ch [bn/(2c)J cos [an/(2c)]J аГС18 sh (Ьл/(2с)]
[2cz=n; Rec>jRea] + | Im6|].
co
f 1 Jsh ax sin bx] dx _
j x2-t-2fi (ch ax cos bx} dicx
9
_ / bn\ Г Jsin [an/(2c)D _ (cos [ап/(2с)Ц 1 _
eXP \ 2c / [ (cos [an/(2c)]J ° (sin [an/(2c)j J J
c_ Jsh [Ья/(2с)] sin [ап/(2с)П Г / Ья\ ал /_ 2bn \
n (ch [6n/(2c)J cos [an/(2c)]j [ \ c ) c^\ c )
c ( ch [Ьл/(2с)] cos [an/(2c)j J . Г______________sin (an/c)________J 1
я (2sh [bn/(2c)] sin [an/(2c)]f g [14-exp (— bn/c) cos (an/c) (exp (— bn/c)J J
[2cz=jl, Rec>| Reaj-]-; Imfr|].
co
2? C x Jsh ax sin bxj dx ________
J x2-f-z2 (chaxcosbxj shex
0
ле~Ьг (sin a£
2 sin cz (cos az
co
4-я2^ (— ofe
fe=l
k exp (— kbn/c} Jsin (afcn/c)'
л2й2 — c2z2 (cos (afen/c)
[ReojReaRez>0; tz^tji/i].
476 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.5.52.
28.
л { _ 6л\ Г. (sin (ал/с) 1 _ /cos(ая/с)П_ 1__
2с с /[ Icos (ал/с) f + (sin (ал/с)/J 2 (1/ '**
_ 1 (sh (Ья/с) sin (ол/с)) . I. , / Ья\ ая ,
+ А / Р+2еХР1-------------------cos — 4-ехр
2 (ch (ол/с) cos (an/c)J \ с / с
ch (Ья/с) cos (ая/с)'
sh (Ья/с) sm (ая/с)
arctg яп (тЮ
8 ехр (Ь я/с)+cos (ая/с)
[сг~л; Re?>,Rea|4-|Imfr|].
_ f 0 1 . л f Ья\ /sin [ал/(2с)])
(—1/~^2 2с/jcos [ал/(2^П
I /cos (ал/(2с)] sh (Ьл/(2с)]) . ch fbn/(2c)]4-sin [ал/(2с)] _
"* 2 [sin [ая/(2с)] ch [&л/(2^)]/ n ch [Ьл/(2с)]— sm [ал/(2с)] **
__/sin [ал/(2с)] ch [bn/(2t.)]) , cos [ал/(2с)]
** (cos [ал/(2с)] sh [Ьл/(2с)] f 8 sh [Ьл/(2с)]
[242= л, Rec>| Rea |-|-| Imb,].
~ [(ch*4-Kch2x—l)v—(сЬх4-УсЬ2х— 1) ']cosbxdx=*
л sin ул
ch bn-j-cos vn
[b, Rev>0].
2.5.52. Интегралы, содержащие A(x), shbx, chbx, sinax2, cosbx2.
CO
С Xя (sin лх2[ , r_|_
J sh ЯХ Icos ЛХ2! n *
1 4rt* /a 16л* 1 8* ®“16U «2/
co
C x2 (sin лх21 ____1 f 1 I 1
J ch лх (cosnx2/ “ 8 (2л/ gp 2 *
eo
C sin bx /sin ax2) . _ л Ья Г/sin Р2я/(4с2)П _f О П
J sh ex (cosaX2/ 2ccosec 2c [(cos [62л/(4с2)]/ (ch (b л /с)/ J
[ал=с®; a. b, ReOOJ.
00
cos hx/sin ax21
ch ex 1 cos ax2;
OO
dX=~~T 2 O^exp
&=o
L \ + 2/ c Jicosdtf
Л b* c* / 1*2
Л*=4 “4^ + a\k +2l : fl’ b‘ Retf>°
00
cos bx (sin ax2) . л , bnCfcosd) 1
ch ex (cos ax2/ 2c 2c | (sin d/ * yr
ая=сг, a, 6>0J.
2.5.53.]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
477
5 оо
f Г sin bx (sin ju2) , + 1 sin [л/4 + 62/(4л)] )
* J th ju (cos ju2J ~2 2 (cos [л/4 -f- 62/(4я)[ — if
о
[h>0].
sh bx (sin nx2i __ 1 b ( sin [63/(4n)J
sh ju (cos nx2] 2 cosec 2 (cos (6/2) — cos [62/(4л)]
[IReft <«].
co
f ch6x Jsin djt= » ST3/2 sec * IV2 fCOS il
J ch лх {cos iu3j 2[ (sm [62/(4л)]/ J
[ I Re b |< л].
co
f cos bx (sin лх2) .
1 -------;--- < { Adx
J 1 + 2сЬ(2хл/Из) (cosЯv5J
[d=-
1 12
b*
4Л’
6>0J.
10.
co
f xsh (хл/%) sin (хл/2) sm ax2 1 d8j (z, e'201)
.1 chxn+cosxn 4 dz
[a>OJ-
z=0
0
rt - T, . . x (sh (K«2—x2) sin 6x1
2.5.53. Интегралы от Л (x) < ' ,____' ?,
kh(p a2-x2)cos6xJ
Л (x\ lsh a» bx\
W Ich (и Sin bxi *
a
1. Г sh (c f^^—x^) cos bx dx=—J100 - „ (a f^c2—62)
J ' 2/c2-62
0
JUJ2C
~4~
[0<b<c; a>0].
[fc = c>0;
ПОС
2У 62—C2
АСа^б2—c2)
a>4.
C sh (cV^a2—x2)
' (a2-x2)3'4
o'
cos6xdx=
=vi/b J2 <»-n>’-c’)U4£(4+/?r::^)l
[exg.
5. C —a- — — cos bxdx = ~ (a УсЗ—Ь*)
J Fa2—x2 2
0
ft .5.
7. =5-Je(a/6^^)
(0<5<c; eXJJ.
£5 = c >• 0; a > 0J.
[0<c<5; fl>0].
478
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5 54.
ch (eV&—х2)
(а2—х2)^*
cos&xdx=
[а >01.
а
9. Ка2—х2 ch (с Ка2—х2) cos bx ix=
о
= Г/0 (а/^=62)----&\+cL^4 (аУТ2^2 )1
2(с2—*2)L ас2^с2—-b2 J
в>0].
па2
10. ==—_(4-|-а262) [с=6>0; а>0].
««• =2^ч[/,(вуГ^=^)----------
Х[С О ) 1 ас2 у Ь2— С“ I
[0«?<Ь. а>0].
12 с
J Их (а2—х2)
= ^yz2Fl/_I/1[|(|^sz^_B:)jz_1/1[® y$5T?+fc>] [<.>4.
2.5.54. Интегралы, содержащие тригонометрические
функции от гиперболических функций.
ОО
f cos (a ch x) dx — — ~ Yo (a)
I M
[Ima=0; | Rev К1/2].
oo __
2. J shP xcos(a ch x) dx=----r-g/s &
[Ima = 0; | Re ц | < I].
cosbx (sin (a ch x)) , _ л8/2 - fa
Vzchx lcos(achx)J ~ 4^2^
x fJ f g\y (a \ I J (°\y f—\1
A [*'±l/AH5/t \ 2 / ±l/4-№/2 \ 2 ±V4-«5/2 \2 J \ 2 / J
[a, fr>0].
co
P sin bx fsin (a sh x)l _
J V^x icos (a sh x)J ~
о
_£-]ЛзшГ/ (--\к (a\ r fa\ie [ a W
2 У 2 L \ 2 / ±l/4+®/2 \ 2 f±V*+»&/2 \“2 / Л±1/4Ч5/2 ( / ]
[e, fe^O].
2 5 55] 25 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 479
оо
Г cosbx fan (a sh х)( _
J Kshx Icos (ashx)f ~~
= 2 j/”"2" jf) ("2 ) ^±1/4-1»Л
[а й>0].
oo
„ f fsh ex sm (a sh x)l . f sin (сл/2У\ „ . . , „ , „ _
6. И u /U ;>dx = { ) nW“ [a>0, Recj<l].
J (ch ex cos (a sh x)J (cos (сл/2)J
o
co
„ C . fsin (achx—ел/2)] , л (Jc (a)) ,
7. 1 ch ex I ) . ''}• dx — ± 'A [a>ft iRe«|<ij.
J (cos (a chx—cn/2) J 2 lre(a)j
о
2.5.55. Интегралы, содержащие гиперболические функ-
ции от тригонометрических функций.
Х/2
’ f ch(d(c№x})cos2"xdx"=(41)/12/2ft^)'
о
л/2
_ (* , / fsinx)\ fsin (2лЧ-1) г) . . 1Чи я , .V
2. I sh(a{ Ш ' ' >ax= (-i-l)e-s-/2a+i(a)-
J V (cosxj/(cos(2л-Н)2 +i'
о
л/2 г_
(* г л / 2 \Р ® /и Ч-1 \
3. I ch (fl cos х) sinl1 xdx— (— I Г (—) /„ (a)
1 л \Q / Y ^6 f ***
0
[Rea>0, Rejt>—1].
Л/2
. f fsh(acosx)] cosbx . /л\з/2 / a\_ / a\
* J U’)
la, b>0].
nl2
5. f ch(ecosx)cos(csmx)dx=^Jo(Kc2—aa) [a, c>0].
J A
0
л
6. f ch (a sin x) cos nxdx=(—l)n/2 nln (a).
1 M
0
Л
7. C ch (a cos x) sin^ x dx=Yл Г --) (a)
I у и у \ a J ***
[Ree>0; Reu>—И-
л
B. J xch (acosx) anxdx = -^-sho [л^о]-
480
ГЛАВА. ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2Г5 56.
оо
_ f sh (a sin х) . . _ .
9. I ---------- sin х sm 2пх cos (a cos х) dx =
1 Г д2 Т
= (— 0я-1 8(2п=П)Г[* +2я (2л 4-1 j J Iei>01-
00
<л С ch (a sin г) .
Ю. I —-----------sm х cos (2n — 1) х cos (а cos х) dx—
6
*тл2л -2 Г д2 "1
~ 1 8(2п —2)! L1 “2я (2п—1) J 1°>°Ь
00
11 . Sh ^д^*п cos х cos 2лх cos (a cos х) dx =
_Л у (— (— 1)«-1яа2»-1Г За2 1
2 Z (2*4-1)! + 8 (2/1-1)! L1 2/1 (п+1)] [в>01'
оо
12 f (а an М Jsfn (а cos 6х)) д* __
J х2—у2 (cos (a cos bx))
я (cos (a cos by)} , . . , . , , „
— =ГX- < , .:}sh(asaity) [а, b, у>QI»
2у (sin (a cos by)) '
oo
13 C xsh(asin bx) (sin (a cos &x)| _
J x2—y2 (cos (a cos b x))
о
__ л Г (cos (a cos by)} . . . . . f 1 11 r t
“Ts K- / z;}ch(asin by)—{ VI [а. ь, y>0].
2 Lls,n (a cos by)j ' (a cos by) J
OO
14 f ch (a sin 2x) (sin (2a cos2 x)l _ я fs,n
A b2 cos2 x4-c2 sin2 x (cos (2a cos2 x)) ~~ 2bc (cos d)
о
[d =2ac(b 4-c)-‘; a» b, ci»0].
15. C —n- sin (a ch x) dx = sin a [a > 0]
j sh x 2
о
2.5.56. Интегралы, содержащие e~Pv, sh ax, ch ax, sin bx, cos bx.
OO
. Г „ (sh ex sin ex) . p (2c2\ rr> , D
1. \ e~Pv ' , z dx == -~~n { « ? [Rep>| Rec| 4-|Imc[].
j (chcxcoscxj p44-4c4 (p2J
OO
C „ (shexcoscx) J с(/>2^ь2е2)
I e~px{ u > dx = -4-.
j (chcxsincxj p*4-4c*
о
[Re p > | Re с I -f-1 Im c |J.
2.5.57.]
2 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
481
оо
3. I shH сх /S”1 dx =
$ Iе08 Ьх)
0вГ(ц4-1) f Г (р~pc~ib)/(2c) I Г (р—цс-Н’6)/(2с) 11
- 2И+% V L(p+lw-^)/(a;) + ir L(p+|*c4-i*)/(2c) + 1JJ
^Rep>> Re(uc) |+ l imdi; Reji>—1 —6, 6 =
oo
(Rep>|Rec| + iImft|].
sm bx . л bn
-r--uX=- cth K-
sh ex 2c 2c
[6, Reci»OJ.
oo
5<h ax sin bx A __ b л____________________sh (2&n/c)_______
ec-v— 1 2 (а2 Ц- &) 2a ch (2Ьл/с) —cos (2ая/-)
+ i + 01 (6>O; ReO|Rea|].
£L l \ g j \ ** /4
00
_ sh ax cos bx. ___ a я___________________sin (aen/c)____/ch (Ля/с)1
J ^±1 x b 2(a24-fr2) ~each(2&я/с)—cos(2oji/c) ( 1 J
о
(^"{2}; Rec>|Reai
00
C ch ax sin bx . _ b ____________ я________sh (bon/c)_______fcos (ол/'Д
J eCJC Ji 1 X ~ 2 (a2-f-13) oc ch (2&n/a) —cos (2ая/с) ( 1 f
0
^a= &>0; Rec>|Rea
2.5.57. Интегралы, содержащие shax, char, sm^r, cosbx.
00
fsh ex sin bx}
ch ex cos bx\
4K“M₽(-
c8—fr2 \ (sin [te/(2p)D
4p ) (cos [be/(2p)]J
0
[Rep>0].
OO __
f x%-₽^*cxsin“U=l if5lM±rtl
J (chcxcoscxj 4 f p^lIcos»] (sinaJJ
[d=c*/(2p); Rep>0].
1‘ -1/2 -px* cx ®n a _ я l/"£. J J008 lc2/(4p)+Л/4П
\X e (ch cx cos exj x~25/4 t P "l^4\4p/(sin [с-/(4р)-}-я/4]/
[Rep>0J.
1R А. П. IIdvahhkob и ad.
482
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.5.57,
оо
« (chcx sin bx) ,
xe~px \ u a >dx =
(sh ex cos bx)
[d = be (Зр)-» (5» + c*); Re p>0].
2 (ch ex sin ex) , c t/ a f c2 . c2 \
jk~p* < , \dx — -r~ I/ — (cos^-± an^r-}
(shexcosexj 4p f p \ 2p 2p J
[Rep>9],
oo
f y-i/2_-px« /ch ex sin ex) _
j Eh ex cos ex)
i- n 1/ c J /cos Ic2/(4p)~ n/4J)
— 2&/a f p V4 \4p / (sin fc2/(4p)—31/4JJ
[Rep>OJ.
eo ' ,___
Г x 4 ~PX* sh px2 cos bx dx ~ Т/ ~ exp (— &} —
о
nb
T
[b, Re 00].
oo
C nv’ u (sin б*2! J Vn Г /и® 1 (sin d)
j c cx(cos&x2J ~~ 2(p*4-6*),/4eXPL 4(p2-f-62)j (cosdj
C x~1/2e~px* (shex + sin ex) dx = —
j x e (sh ex „ sm ex) ax 4 JZ 2p V* \8p) (sh [£a/(8r)] J
о
[Rep>0].
f x-1/2d~pJf2 (ch ex cos ex) dx — — 1/^— I ( c-C
jx e <cn ex _ coscx) ax— 2P -1/4 \8p / (sh [c2/(8p)]J
о
[Re p>0].
J e—a Ch X sh ^2) sin bx dx= Im К1/2+й (a)
0
[e, b>0).
J e—a ch x ch (x/2) cos bx dx=Re K1/2+fZ( (a)
о
co
f g~p*‘sh( . C-
» \chc—cosx
dx = ле^р к(2ept ~}+$з(2ср,
[e. 5>Q[.
[Rec, Rep>0],
x) =
2.6 2 J 2 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
2.6.1. Введение.
В этом разделе содержатся иитегралы, в подынтегральные выражения ко-
торых входит логарифмическая функция. С помощью замены переменной они
мотут быть преобразованы к интегралам от показательной и степенной функ-
ций. Некоторые интегралы от логарифмов можно получить путем дифферен-
цирования по параметру. Например,
<30 оо
J я?'1 In® (1 +%) dx=^ (е*— l)a l dx—
о о
со
Ля г» д® I
= I я00'1 (1 + х)р dx = В (а, — р—а) . [—n<Re а<0].
ф® J р-0 др® Ip-0
о
2.6.2. Интегралы общего вида.
В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интег-
ралы, содержащие логарифмическую, а также степенную, алгебраические,
показательную и тригонометрические функции. Некоторые частные случаи
этих интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих в них
параметров, приведены в последующих пунктах. Значения параметров, входя-
щих в интегралы общего вида, приводятся в фигурных скобках после каж-
дого интеграла; r=p(qt гдер и q — взаимно простые натуральные числа, если
не указаны другие условия.
и
1. С х®-1 w- [!n I dx =
,) (In lex —d।J
о
p—1 _
rd л-f- 1 \ г j \ a j г \r j
h=0
[|<wi <|d|J.
~ p—1
/i=0
q—1
V (1 +E)a [cosec [(«+M n]| / d W
\c) 2L h\ (et-^-hr) tctg[(а-фЛг) л] J \ey) +
л=о
4-, p^r In (су) 4- ф — ф 4- pjj [| cy i > । а I].
{Если r>0—произвольное, то p — q—co и Х/ = Ь /=1> 2, 3; если г>0 —
рациональное (r=p/q) то
_ р /1, (Л4-П/Р, A(я, («-Н4-Dr'1); z \
Xi-А (<у, p+(a+A+i)r-i)J’
„ _ ₽ f1* (A+D/P. 1—Й—г Ча—fi — 1)); z-Ц
Ха-’+аГ«г+1\14-(Л4-1)/Р. A(q, l-r 'la—h-l)) /’
у _ р Л» д(<7» 1-И—0)’ («4-М/Р; 2Г^\ 9_(-СУ\Р 1
1+Д)> 1+(а+Аг)/р /• dj 7
[Rea. Re₽>0, Л *»<«£?1 < * ”рН °< Х<
16*
484 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 6 2.
3. f
J 1 9 ' ynjcx—df
в
xrci-P»-a-i^r_xQfl i In (dr-}-с)dr4-
+ £в(1-р-2.,₽)[г1пУ-ф(1-₽-“) +t(l-“)]}
[<X Re ₽ < 1 — Rea/z; |<Я °P"
j xa l(xr+^7>1
о
dx =
qAft
. 1-p—
В
p —i
ft=0
, , 0—1 .
£ \r—rp—a (—iy*([ —p)A fcosac [(r—rp —anh fcy\rl* .
,dy Я hf (r—rp—a-|-r/i) (ctg[(r—rp —a-j-r/i) л] J \ d) ^2"*”
h==0
4-^ 7 " о » 1—p-y-^lnd flcpiCdll.
5. e tZ'P i> fl? я 4V U-pSf-l)* fcosec [(a +rh) лП ,
\c j h' (a-J-rft) 1 ctg((a-J-гй)n] j \cy]
h=0
p —1
2odrB(^.
+r-y<p-lHaB(l-p—jp-tafcjO+t^)-
{Если r>0—произвольное, то р=^=оо и х? = 1» /=1. 2, 3, 4; если г>0 —
рациональное (r^p]q), то
(А + П/Р. А(7, (а4Л-М)г х); г \
71 «+2 9+1^ +(Л+1)/р> д((?> р + (а+Л+1)г-1)У»
V = F f1’ А^’ 1 —р+а)> (1— Р+А)<7 ар х; z\
Ь $+2 «+1 ^А(<7» Л-Ь1), l+q-p + ft)^ 1—ар 1 ]•
v = р Л» А(0. 1—Р+А). (а+'А)р Ч 2ГХ\
Хз ^«+Цд(7> 14-й), j + (a-|-rft)p-i /’
гл= J? (К А^’ l-p + G+A-a)'-1). (A+D/p; z-П
Х ff+8^9+1U(<?. 1+(А4-1-а)г-1) 1+(й4-1)/р ;>
[веа>0. Кеи+rpxr: Ич,|<* |1^«+й|<«прВ 0<х«»П
26 2]
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
485
? Л*-1 (Ъ1(СХ-НП_________
* J x'-Z lln|cx-d|J
о
<7—1
Р~ 1
яуа-г+1с
rd jut
h—0
а=о
а—г —rft \ct g [(гr'i —а) П1 f \ d )
— — j^dg — Ind [|eiH*S|d|].
q — 1
r ( d\a V 1 Ка +rK> ЯП /d \rh v I
\с/ £ а4-гЛ {ctg [(а + rft) я] / \cy)
л=о
p— 1
,a-r-i Y! i /ft—a \/„d\A
7c Л4-1 C g\ r Jxcy )^*
A = 0
» „ , . ппГ , , , o 2a 1
— n/-2$a-rctg— |rln(cp) —2ясо'ес —я!
[leff >rf].
{Если r>0—произвольное, то p=q=co и 1, /=1, 2, 3, 4, если г>0—
рациональное (r=p/q), то
Xi=s^i(t (Л+Пр-1; 1+(Л+П/г-1; z),
Х»=ЛО» (г-ЬгЛ—а)/г-i; l + fr+rft-aXp-1: z),
X4=2Fi(1, (Л+Ор-1; l + (A+l)p-»; z-i), z=(TcyfdjP }
[o<Rea<r; ^>0, (|аГ’^ + ‘°1 * D₽H Л>°
L lc, a>»u
8. F^Bjg
J (гГ+У1
0
a+rv/2-pr+l p ~
dx=t/p
[p = 0kl/2j
vr
( _су о ( с
x(Td) *-n±h
1
я X
ft = O
xB
, 2p-v- —
q— 1
Л-^-Vnl V (-l)*«l-v)/2)H(l+v)/2)t
+v ni j у Л1(3/2-2р)4к(1-ч/2т/и—a]
h=0
(cosec [r (1 — v)/2+hr — a] я) icy \rh
* (ctg[r(l— v)/2 \-hr — а]я J\d/
Д v2₽n/±Vrp~a~^/2^9V r-l)*'2p-v/2)ft(2p4-v/2)ft
* \d/ hi (l/2+2p)A [(2p-v/2+70r-a] Л
A=0
(cosec [(2p—v/2+ft) r — а] я] fry\rh
* |ctg[(2p— \/24-ft)r—а]я J\d)
। lnd2v4-2a/r / vr У-2Руа-2рь/-у/2в/« , 2p —V— —
(' cv! < d 11»
486
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 6 2.
УГ \1 — 2р
П —&(^.\а,/v/a-pr17V Пй(С1 — vV2)ft (2Р — v/2)ft fcoscc(а+fh)я]
p \c j y Li A! (1—v)ft(a+z/z) Vtg(a+r/i)n i
л=0
X f—Y\a+ —tfa+rv/2~₽n"1 У -V+2<a7ft)/r
\cy) c A+l
fc=0
_,/a—A na— h,\f
XB(-2p—v—2 ——Д +
r-2 a^ry/i-rp^ia/r / vr V ~ 2p jj/ ®
y \vr+a/ \r
X [rIn(e#)4-2In2—2q> f^p—v—~)+4>f—)+$ fl
2(Х
{Если r>0—произвольное, то p—q—co и ^=1, /—1, 2, 3, 4, 5; если
г> 0 —рациональное (r = plq), то
%1— 204 2^2^+1 1 J l+*+ce\ */ , l+h+a\ A+l v A ^7, —T-^T-А^,у+-я^7~. ; z \ . ( 1 +v . A+a\ . / , _ , v , A+a t . A+l J* '¥ 4 / )• Ц?’ 1 *+2 -1——•1+ p J
Й2= 2 J+2^20+1 1 A(?’ A(?’ Цг^+А)> (гЦг+Аг“а) | • Л . д(9>4-2Р +’>'). A(«.»+l), 14-(4(|-v)+a,-“H 1 \\z / \£ / p /
/1, а(<7, 2р —4-а\а f<7,^-~|~2р + а\ f2p ——+^~
_ С I \ * J \ * f \ * i F Р
—20+2*20+11 ( - х // V \ \ 1
\Д(?, 4+2Р+Л), Д(д, *4-1), 14- (2р-'-J-ftjr-ajA
к к лл I к\ л» I J fJ
Af?,i^4-*V д(», 2р—^4-й'|, (a4-z*)i; v\
Х.=эдЛ+> ' ' V ' j Р I.
\А<0, 1—v+A), &.(q, 1+А), l + (a + /A)y J
Sfe— 2(H2^24+1
( 1—v . h— a\
. / , , h—a\
, A(q, 1—v4-— к
. ( v , A—a\
&[ч. Ф-2+—)
A—a\
Av* —~)
[»«« >0. 1№ I »><2rp; H-Wt** ** *>0}]-
2-6 2]
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
487
:_Дхг/244Лхг4-угГ (In (сх+<0 |
(*/’+*/r)p Цп!сх—d If
,2** М/7 2rv У-»у S—)х
+ г2 \rv-f-2pr —2а/ ^Ь1Р г 2’ г/
[. „ ь/ а v\ , п../„а\ .( , а v\ , 2г(1—2р)
г 1П,-21П2-М>^-Т- 2 ) +2ф(2T)-t^+--_^+-FL_^5
£р=0 или 1/2, Rea>0, Re (2а-f-vr) < 2rp; r{argffl<3t; П₽И x>Oj
ш.
Л Un|CX — «J
(cosec (а 4-Лг) л) fdrs\b , _a-а/т / а \ Г . < . . /а\1
Х<. , ,Т' > -зг ХаЧ-'' « Г — г Inc — lns4-ibi -} .
(ctg(a4-ftr) л )\^/} \r / L \г /\
{Если г >0—произвольное, то р=<?—оо и ^=^ = 1; если г>0 —рацио-
нальное (r — pfq), то
V_F /1, (ft+Dp-1; z \
Д(<п l+a+A-a)/-1)/'
fl, fa4-hr)p-1; z \ . t.a[ s\9 [_ d\p )
Ха~A+i\1+(a+hr)p-it Д(д, 1+*))’ 2“( \q) c) 7
I Rea, Res>0; P »P« *>0H
L U, rf>o J J
oo
11. f x«“1sin&x^/!nJCx+^l|dx = (/(6) ,
J (In lex—d |J K,6=i’
о
p — 1
y(8)»^2w^ 2 5тг1’Мав±^я(т^+
A=0
4—1
. ftaf^\a + re V /,cosec(a4-2fir4-Sr)nW6dr\2A
+я® 17/ ft'(6+l/2)A(a4-2hr+6r)tctg(a+2/ir+6r)«K2c'-/
fc=0
^,-a/r fa\ rb—a Го i /г*«0И1\|_'2в1
+ '2T»"1 (i7')cos“2r“,l[2rlnc~21n6+*|ir) + ltg27'y J*
{Если r>>0 — произвольное, то p = q~oo и Xi~Ха—i; если r>0—рацио-
нальное lr = p/(2q)), то
/1, (A-M)p-l; z\
ъ-АжЬ+Ш, aL • + > (Л+1_О)\ д{?, 1+*±^l-
488
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 6 &.
„ _ р Л. (а-И+гб)р'1; г \
Хз-2^Ц1+(а+Л+^рч Д^, л + ]), Д(7>
. d\₽
[-rt<Re«<r; 6>0. {^“+Л1<Я ”Р“ Х>°}]-
12.
С х®1 cos bxf /?П ^СХ dx = U (6)
J (In cx—dlj ' ' 6=o
о
2.6.3. И н те г р а л ы от
а
1. С х“-1 In® ° dx=aaa-^~lr (o-f 1)
о
(1/(6) см в 2.6.2 11].
[а, Rea>0, Reff> — 1J.
I
2. ^ха-11пях ix=(—I)*®-*"1/»! [Rea>0].
0
OO
C - In (1+H-ft in (!+<«) to a
J x3 b
о
[a, b>OJ.
2.6.4. Интегралы
°T (xH4-aP)o 1п*Х
OO
. - In® - dx=a«-w>r (a 4-1) У ьг/~1£“ьад+1
(x^-f-a*)11 x ' г ' M (а4~рЛ)®+1
л=о
[а, ц. Rea>0. Rea> — 1].
f xup/2 4nx , In z _/p p\
1 --------dx=——=B/—, )
J (xl4-z»l)P pz»*W2 \2 2/
bi, Rep>0; i4|argz|<«].
1
л Г x®1 Inx . ra
3- j iZp~jrdy=/S b*» Rea>0],
0
Г n—1
r»-±n7“\ 5’+ V (-!)*
ц2₽~ H2 12T Zl t2 '
L fe= i J
»ji/2__£ Г m/2 — 1 »ji/2 -j-1 ЯЙ sin (я/р)
'и p3 u 2i* p3cos3(n/p)*
1
/* yOC-^l Jn^ t? -к -
\ x. r\-dx^J^a [I*, Rea>0; л=1. 2, 3, ...^
J 14-хл и
о
't 2,-1 = L2$T ”“l I. »=(-!)« (^)“+* n'
V (-!)*
Zj (2fe+l)«+1*
fe=0
26 4 ]
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
489
2 1^2/1
ОО
V- р3 Z1
к= п
т/2.2_^_
fe3 ’ и 2|*5
•^и + JtT ‘ = “~л~ л3,
1* 1 I* ptf
[Л/2, 4 __ _ч гН. 5 _. 31
1* 2|15 ’ 1* 252р®
1
Р X®-11пя х , п
5* А7Г4^-^=;и
л®,
Jg/2.6 =
п — 1
7я4_|_в V <-’)*
120 ‘° Zl~fe*
L fe=l
"У m.7___________12
и ’ V. — 94
(ц, Rea>0, л= 1( 2, 3, .. ],
гпц,1__( 0я
И ~
т.1_ 1п2
~ иа »
mz 12
/Зц/2,1 _ 41п2
'и - ,*2 »
я—2 -|
4=1
О
Л3
2р3
[л —2
|(л-1)иЗ)+2 2^(»-‘-D-s
4=1
[п- 2
6 2
Л= 1
л—fe—1 7л4, 4.
—»-----
>М_ 7лД
Р ЗОрЬ
6.
оо
f хР-11пях .
I ---------ах=
J (хИ4-гН)«
о
п
za-WB(a , p— -Y|
\P P/J
[»l>0; ulargz|C?i; 0<;Rea<jiRep].
7.
Г 1° х а _2в~м* n (a
J (лн+гну’ — р2 \р
о
8.
и|аг£2|<я; 0<Rea<uRep].
со / tn—1 \
С xft'4nx dx-gObtIm(1~(y/Fl)m-13tLinz- V —L-ncfp —I
J (xP+zM)« (m- 1)1 p2sm (ал/р) Iй X 'p-a 8 p /
0 ' fe - 1 i
]ц>0, u[argz|<n; 0<Rea<um; m= 1» 2. 3. . .].
m—2 2m—3 \
S.
со
С Inx
б) (Х+2)”Н*Л
2т— 1
4=1 fe=m-l /
fl arg г | <л; т= 1, 2. 3. ...].
, Р-
10.
f ха 1 In2 х .
I --------ах—
J (Jd4-2M)P
о
р——} {[plnz-b$(a/p)— ф j»—а/н)18+ф'(а/Р)+Ч>'й>—а/р)}
р3 \Р Р/
[ц>0; u|argZ!<;n; G < Rea <_ц Rep].
490 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12.6.5.
11.
f х^'Чп^х
J (хя+1)р
о
ОО
* = 0
[ц, Rep>0].
13.
С *tl,2-1ln',xrfx= 2„<2 1+(-<У
J хЯ-f-i 2 2
ХЯ 1 ln2"+l X , л
—, „ , dx=O
do
£ x“ 1 In® x . ___n 9я z05 я
J хЯ-|~гЯ X p da* sin (out/p)
V (-0*
Z (2£-H)«4*
k^O
[B><h tt|arg2|<rt: 0<Rea<)*].
[ц>0].
bi>0].
ln!j-2"f*lnzctg V+3ii3^r)(1+<:^ ”)]
ilu>0; n|argzl<n; 6<Rea<i*J.
oo
J (дЯ-|-г*1)(л2-|-г2)ln д [г > 0; a- и < 2J.
6
2.6.5. Интегралы от -т-п-ттг-1пах.
r (дЯ— хЯ)Р
t Г x“~l ln« x . дЯ ‘fr-1» д* Г- /о a \1
1. I ---------- dx=----------1 a^B Ip, — ; I
J (оЯ—хЯ)1~Р p da* L \ H/J
[<e, u, Rea, Re0>4 (Re0>— n при a=l)].
a m
2. f x®-1 (aP—лЯ)« ln« x dx= (— 1)« n! У z ^7~
J 1 \k / (a+p&)«+1
о k=o
[a, u>0].
a m
3. f л®-1 (дЯ — хЯ)« ln° — dx=д®4я®Г (ff +1) У
J ' ' x »!(a4-pjfe)o+1
о k—о
[а, ц, Rea>0; Reff> —m—1].
P x“-1lnx ,
I ---------ax—-----------
J (дЯ—хЯ)А~₽ p^
B (f’ Htaa+* (p)(₽ + p)]
|e. ft. Rea, Re(J>0 (Re0>—1 при a — 1)J-
f jfl-l |n2 x
5. I -------------ax=
J (дЯ—хЯ)1-₽
aat|i0-M. / a)
------
и taa+»^-t(₽+^j +Ф' Д
[a. Ц, Rea, Re$>0 (Re(3>—2 при a = l)J.
2 6.5.)
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
491
1
О
6.
ln°— dx=
х
Г (о+1)
ра+1
z И*
рт-
ц>0; Rea> —1].
[Rea, Rea>0].
1
8- f to* -I ^=r (®+D <а+ о
J 1—лг x
0
[tt, Reff>0].
0
[u. Rea>0; n = l, 2, 3,...],
run, 1______L
J* [I2
n— 1
JI2
ffe ' k2 sin2 (nm/k)
ji/2, 1___уц/2 — 1, 1 । ni/2 +1, 1 = _
I* — «2р.2* 11 И
гЗц/2, 1__ £ fl _ЯЛ /И/6» 2__ 2:
14 “n2! 8/’ ц **
co
2 уч 1
ц® Zi (*+p)3
k — n.
Л2
|12 cos2 (n/p.)
[i3
I*
H4
I*
[p=l
или 1/2],
fc = O
n4
15
1
p-4
Zj (2^+l)4
Jfc=O
Л4
#1—Xй
1
О
& = 1
г n — 1
n —1
[/i=l, 2, 3, ...1
[fe>m].
f(n+l/2)H, 3
JVL, 5 _ _ 8 f Я Y* /I*. 5 = _ (_Я \8
“ ~ 63\И/ * “ isAh/
1
,0- D.>0;
0
11. f ^Aln2/Z-Ix£fr _{'211\2я1=^в Еи>0; д = 1, 2, 3, ...].
J 1— \ p / 4» m
0
^/2-i
1—XM-
In2» x dx=(2л)! p-2""1 (г2» — 1) r (2ft + 1)
о
[ji>0; n=l, 2. 3, ...].
492
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.6.
13.
1
r* yz-1
I __________ In® У fir jtL* ®
J m xax
0
[И, Rea>0; я«|, 2, 3, ...J
pi —2
J]J.'-/TO. • = !!-»
L* = l
л3
6 <n-1)
п— 1
ni/2, 1____j(n + l/2)u. 1
1* u
fe = l
n — k ЛЛ2
2Л—I)2 ~2~
JU. 2_2л^ .{п
u 3p3’ U
— (-----«r (3) 4- У —~
ps\3 £»
' *=1 i
(n—1 \
6 у "~fe — ял41
it* 15 I*
л = 1 /
(n— 1 \
96 У пл«1
Z. (2fe-l)* J*
k= 1 /
m. 4_ 4л4 ZW/2, 2m I j^/2, 2m /2л\ая22я1 1 ( „ .
“ПбрГ’ +/u ~Vp7 —
00
.. f x^li^x . (—IVя л да Г/. a' . an!
[0<^Rea<um; n^m; т» n = l, 2, 3. ...J»
P Й'/2-1 In” x 2®+I_1
«• J dx= (n+T)II ‘У)
00
Гх®-11пях. л дл/„„ . ал\ r
16. 1 ——--—dx=-------Ictg—I bi. »>0; 0<Rca<»J.
J лЯ—p, даа \ H /
0
00
Г x®-1 Inx . ли® Г я . . ал!
17. I —---— dx= я —7-4— U In у ctg — |
J xH—Ц3 Lsin (ot'JT'/p.) r PJ
[u. ff>0; 0<Rea<u]>
oo
Cxa'1ln2xJ jw® M Г 2л f . . ал\ ал!
18. I —п--JT- dx= — a -^ST,--ГГ ( P In у — л ctg —) — p,2 In2 у ctg — j
J xP—yu p® |_ sm2 (ал/р) у1*® Ц/ PJ
о
(|1. ff>Ol 0<Rea<uP
„ _ _ M X® In® X
2.6.6. Интегралы от л , .—;—.
г аа^4-&х4-с
ь
Г tox.fr...._ ln(a») (д+tg Р<»<»ь
J (x4-a)(x+d) 2(d-a) n 4a& 1
a
493
266 ]
2.
b
f ln2«x .
J (x4-l)3 l-2n
a
2 6. логарифмическая функция
n— 1
3.
a
Г In x . n . G
I —5ax== Ina--------
J x24-a2 2a a
b
!п + Ц (лЛ2® » f ln2*xd*
2* P ' J (x-M)2
a
[o = 0, & = co, или a = 0, b — 1. или a=l, Ь = оо].
[ОС].
4.
xa-i
x2—2axcos у 4-a2
in® — dv=Ll£±ll V sin № a k l
х sin у (a4-A— IF+i
fe=i
[a>l; 0<v<2jt, Rea>0; ReO — 1].
5.
C xa,ln®x . d* f „ -
1 ;—г ах=лсо8у^—<aa 2
J x2—2axcosy4~a2 rda«(
о
sin[(a—l)(y—я)]
sin ал
[а>0; 0<?<2л; Rea>0].
6.
f ln2x л ТС?—2дт)(У—л)
J x2—2x cos у 4-1 6 sin у
о
i
[0<Т?<2я].
7.
8.
о
1
(* xb In® x
xcosу4-1 30 sin у ' ‘ *
[0<?<2п].
0
1
о
1
1
О
/£1=—0,7813024129..., /’•»=— 1,17195361935
1 м = — 0,15766014915...» R-* =— 0,3118211319.
/0.8 _ /0»8 — Ю3*3
+ 81 /з* 81 УЗ*
1
9.
C (xP-—xa)lnx . nsm[(y—л) al. . . . . r . ...
I _!— ----—r dx=------—— {л ctg ал—(у—л) ctg [а (у—л)]}
J x2—2xcosy4-l sinysintwi 1
о
[0<у<2л; |Rea|<l]<
10.
С (Xй 4-х tt)ln2x
,) х2—2х cos у 4-1
о
= я яп {у2—2ул4-2л ctg ал {(у—л) ctg [а (у—л)]—л ctg ал}}
sin у sm ал *1
1
• [0<v<2re | Rea । с 1].
11.
*L «=аГ (a)-l
1— X JI — X T '
[Re a> 0].
12.
о
П. , xlnx\ dx _я2__1
1+Т=х71-х_6 *•
494
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2 6 6.
1
С ~ , П + («—1) In* , * ’п х 1 . ... . f
ts. J -+—
О
[Rea>Oj.
С lnffx Г (а 4-1).. /ч
14. I -------rdx=- - Li(ybl(z)
J Х(Х—2) 2
[I arg(t— г)|<л, Reff> —1] или [г*!, Reffi>4.
О>Ц.
СО
J1ri2 <r 1 Г / 1 \ ] jr2 "1
dx=~ Li31— ) - In»У+ In J [p> 1].
x(x— у) H \yj 6 3 J
17
co
f In" x dx
J (x+a)(x4-6) ” a
о
[Im a — Im b =0J.
•=^6ln
a
b
Z1===2(g~-6) (ln2 Iд I-ln2 И + Лsgng)
11 3(^6) й*I°I-»I*I+Впг>
(0s= bi|a/b 1 при a, ft>0; B = In(ad!) при a>0.
[Л = 0 при д6>0; А = Лг при о&<0]»
6<0; B=s—1п(а*6) при a<zO, b >0;
B = 21n|i/a| при a, 6<0|.
18. f л**"*1"”* dx=—__________La-2 sin Ka~n)ll
J x2—2ахсо$у4~а2 sin у dan ( sin ал f
[a>G; 0<?<2я. 0<Rea<2].
a»
f f X®-1 In x . ла® 2 . rz
i T5—гтт------;—5 s— {In a sm an sin [(a — 1) (v—я)] 4-
J x2—2axcosy-f-a2 smvsin2anI u 11
6
+у sin ал cos [(a— 1) (у—л)] -|- л sin [у (a — 1)]}
[a>0; 0<у<2л; 0<Rea<2, a^tlj.
co
ОЛ C !nx J (n—y)lna
2®- I "35 n~Z----i—---------------- [«>$ 0<Т<2я].
J x2—2axcosy4-a2 a sm у
oo
С (ж®—x~a)lnx . 2л sin [а (у—л)1 . . , . . r t
21- cos T+1. T sta {Я ctg ст -ft - я) ctgfa (V<- «)]>
[Q<V<2jt; |Rea|<lJ.
22 f (x®4-x-®)lnx
* J 'x2—2rcosy4-1 ax~~“
2л sin [a (y— л)1 f
sin у sin ал 2ул-{- 2л ctg ал {(у л} ctg [a (у—я)]—л ctg ал}}
[0<7<2я; | Reaf^ij.
2.6.7.]
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
495
23.
оо
(• 1п2х , Л — V
I -------------ОХ = ; -
J х2—2ахсову4-а2 asm?
In2 а + 4 л2
О
[а>0; 0<?<2я].
24.
In2»"1 х
х2Ч-&с-Н
dx—О
[| Ь | <2; п=1, 2. 3, ...].
2.6.7. Интегралы от х“(а2—х2)₽ 1п»х.
1.
а
f xV»-> (Да-to xdx=2-1п«Т в f±, J_\
J cos [л/(2п)] \2n 2n J
[а>0; п = 2, 3. 4, ...]
a
2. J x2 (a2—х2)я/2~1 In x dx—
о
r [»/2] -i
to°+5Ti-i 2*b-<’-'>to2
L • fe=i
[a>0; В=л/2, r=0 прн л=1, 3, 5, ... ; B = l, при n = 2, 4, 6, ...].
a
m
V (- *)ft
k
Г Xя1 In x . . _ (m— 1)!!
t —г-- -дг==Лд|»^--------—
J У a2—x2 ml!
L fe=l J
[«>0; А=л/2 при /Я=0, 2, 4, ... ; A=I при m=l, 3, 5, ...],
a
4. J xmyraz—x* lnxdr=
0
= Aam+z
г m 1
lna+(_1)m+iln2+(_1)««2
L fe=i J
i[e>0; A = 3ti2 при m ~ 0, 2, 4, ...; A=l при m=l, 3, 5. . ].
a x p [n/2]
f (a2—x2)”72"1 In X dx = 5a»-1 ln a ~~ S 2k—r— C1 ~ r),n 2
о \ 7 L fe=i
[a>0; B~n/2, r=0 при п=Г;-3. 5, ...; B=l, r=l при n=2. 4, 6, ...J.
6.
Xя» In2 X .
ar
^a2—x2
[a>0; А = Л/2 при m=o, 2, 4, ...; А = 1 при m = l, 3, 5. ...].
1
498
1.
2.
3.
4.
6.
7.
8.
».
10.
11.
12.
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.8.
2.6.8. Интегралы от Л(х)1пях.
Р_______In х dx ______
J Vr(x2—Cfi) (Ь2—х2)
a
f 1 Tv / a \t i \ n„( z
J V(a2-x2)(x2±z2) 2Ka2-H2L \Va*+z*J 2 \Уа2+г<]
[а, Rez>Oj.
1
Г In X . П , 2 r_ м
L -------- dx —------7—™Г In----- . [Reг > 0].
’ (х2 + ?2)У1— x2 2zVz2+l ?+Уг24-1
f № Inxdx _______ к2
61 (l-x2)(l+x«) “ 18 (2 + /2)*
2)]
[0< Repel].
C ^/21 jg 1П^х=± Д-М+
J /хи-l V|i2 L \
v\_ tf2rvn
4/ \ 4 Д
[±Rev<fr, p>0].
Р<а<&].
4
Г Inxdx________________ In (zy) ц / Kz8—
J Г (х2+ г2)(х2+//2) ~ 2г К z j
[г>*>0].
co
V Xя-1
Iv
— ln«xdx=a
_ (« VP 2r о* да Го^Л'г F <v T v)/2 + a/H. • 2r—v—2a/pl\
p дхл \ L 1— а/p—(v ± v)/2 J/
[r=0 нли 1/2; ji>0; nRe(_tv—v)/2 <Rea<jir—y>Rev/2].
GO
f 1 (/rf' + l t ) . И
1 x»1 • z , ,.r -inxdx—
J (xP+lf
0
— <T ч')г 2v+2a/(irI a/f*+(v T v)/2, 2r—v—2a/p1
p2 L 1—a'p —(viv)/2 J
x[21n2+^+^)+4-?-^)-2^-v-^)]
[r=0 или 1/2; ц>0: pRe(±v—v)/2 < Rea <pr—j*Rev/2J.
2 6.8.]
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
497
13.
О
= У)1 22г д® Л_2аЛ1Г[2а/]1, г v v/2—а/ц|\
р да/1 [ 1—г4-а/ц т v/2 ]/
[г = 0 или 1/2, ц>0; о< йеа<ч y.Rev/2+цг].
14.
In X dx
О
= 2*-*Ч»Г ;/2Г “*] Г-2 In 2+2* ( -
1*8 L 1—г4-а/|*ч V/2 ]| \ Н/
. /, , а _ v \ , . ( _ v а\1
-♦('-'•+7*2)+V*2-h)|
[г—О или 1/2; ц>0; 0<Rea<|*r_|. nRev/2J.
_ f „ ,(14-fTz^)v+H)2r4(l-Kl-<, „ J
15. I ха r— - ----£_L3 - ---------— ln®xdx=
J V
0
E 2V ,.1-^ d® /дДЛ*гГ v+a'l*
I* da® \ [2a/|x-f-v+l—2r]/
[г=О или 1/2; ц, Rea, Re(a f-jiv)>OJ.
16.
I
У *al
О
(1 +УТ=7йУ+(-1)2г10 -K1-xp)v
(ЬТхРу In x lx
r 1 /ln2+*
I*-4 [2а/н+м+^“2г11
[r=O или 1/2; |i, Rea. Re(a4~pv)>QJ«
17.
f W1 +A“+^1 -^)V+(-l)^ 1 (/1 +Х»-/ГТ^)У
J X (1_X2P)r ш xaz=
0
^v12roV+2r-2 a® / g/Urra/(2p), a/(2p)4-v/21\
p. da® \x. [ a/p-t-v/24-1—2r ]/
1л=О или 172; ц, Rea, Re(a-f |*v)>0].
1
(И +XP4-K1—x»*)v+(—iP^CKl+Jd*—Kl—xP)v
(1— x^y
In xdx=я
[г—О или 1/2; |t, Rea, Re(a-{-|iv)>0].
498
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
ГЛАВА. ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 6.9.
2.6.9. Интегралы от х“ 1пя (ах4-6).
а со
f «а-i 1п« (а+х) dx=аа У SfT (°^ГР1)
J (a+tykl др'1 \ L—PJ/p-e
a fc=o
[а>0; Retz>0 (Rea> — л при а=1)].
J х®-1 In (а+х) dx^cflar1 [In (2а) —р (а +1)]
о
[а>0; Rea>0 (Rea>—I три a=l)J.
[Л>0].
а г / n V
f ^la(a+x)dx=^- 2 In (2a) 4 (—1)" j n—4 V AzlH
o L \ k=o J.
a
С
\ In» (a-x) dx----a“^ [rfB (a. f 4-1)] |M
[a. Rea>0 (Rea> — n при a=l)].
j Ain» (l-x) d*=(-l)» nl С (П+1).
* X
^х®-11п (a—x) Jx=a-1aa [Ina—С—ф(а+1)]
a
[a. Rea>0 (Rea>—1 при a=l)].
In (1 ±x)dx=
в 4-1
(ч-1)«+* VI
и 4-1
fe=l
k
C ln L1.^ x) <fr=.g. (—1 ± 3),
J x 24 '
1/2
f In (1 -x) л ln*2
J x 2
Л*
12“
J x 3/2ln(l±x)dx=n{*j —Qjn2.
0
tf
J x0"1 In2 (a4-x) rfx=
о
1 I
=a«a-1 {2 (Ina-C) [In 2-£(a+1)]4-In2 a+2a £, fe^+~fe) (
[ *=1 J
[a>0; Rea>0 (Rea> —2 при a=l)].
2-6 10 1
2 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
499
13. J X®-1 In2 (a—x) dx=aaa-1 {[In a—С—ф(1 +а)]2Ч-я2/6—(1 +a)}
о
[e>ft Rea>0(Rea>—2 при a =1)].
1 co
m. C -!*№U=2 У fciy <9—g,
J X fc2 6
0 fe=l
15. J_!!l!IL21dx=2^(3).
о
1
Г ln2(l—x)dr л2
' x2 ~ 3 *
о
«4-1
17. £ In [x[ dx=In (nl),
1
co co
a k=Q
[a>0; Rea<0].
1».
a
[a>0; Rea<0J.
20. f^-iln(x+0)dx=^ 2-ЬТ^+1пО+-Ь^1п4
i Lfe^i J
[a >01.
<30
Г* Л f 1
21. I x®-4n| 1 +x|dx=---{ У [-К Rea <4.
J 1 1 asm ал (cosanj
о
°° Г t n~1 t\“
22. Cx-^'lnCx+a)^^^- 21n(2e)+(-l)“ я-<2 fcpT|
a L \ fe-0 /.
co
23. j xa-4n2(x+a)dx=a-1aa^2 ^C-{-^ —Ina) [ln2-bp(—a)] +
a
^€-ln2a-2 У
a
k=i
(-)* . o_ V (-»)*♦ (*)1
(k—a)»+ Zi k(k-a} I
fe=l
[a>0, Rea<0].
( Л2 1
4. 1 ха-Ч^Сх—a)dx=-a~1aa|[C+i|>(—a)-lna]24—g-+^(—a)|
a [a>0, Rea<0].
2.6.10. Интегралы от ха(ах4-6)Р1пя(сх+<0.
a 00
’• J 2 WT1)
0 k=0
[a>0. Rea>0(Rea>—n при а=0].
500 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 6.10.
а
(* - 1 ДЯ / 01-0 1 \
2. I —i—w»ln" (a-^x)dx—(—1)л^—(a1-P—;----) [о>0].
j (a4-x)p ' 1 ' v ' dpn \ 1—p j J
о
3. j(l ±X)P-1 In»(1 ± x) dx= + -by^-+(l± 1)»12&-1 2 (7n-^^-
0 k—0
[ReP>0 для ln« (1—x)].
a
*• 1-^р1п<а+х)лг=
0
oo
=o»-P0 (a) [lna+* (p)J-a“-o У *Г?иР?,* Ф(р+*)
лшш v* “j- fC)
£=>0
при 0 = 1)].
[e>Qs Rea>0 (Rea>—1
5.
f lnfc+*)
J (a+x)P ax~
o
д1~Р
= ~ (Г=^)2 U21-p-1) 11 + (P-1) In a] + (p-1) 2!-P In 2}
[a>ft p^l].
6. f i^i^ldx=ln21n(2a)
7 C x-i/2jn(e+*) J hi 2+ ~ lna-G)
J o-^-x \2 4 /
0
te>0].
[e>oj.
1
P In(l-|-x) dx _ л2 In2 2
J 14-x 'x"“*i2 2 *
о
0 k=A
10.
0
ln(l+x)
(14-x)*
1
1 f о \
^=“24(ln2+j)-
It.
In (14~x)
(14-x)<
1/25 \
^=^-(т-71п2)*
a
12‘ f Т757№1п2(а+х)^=ва_р₽<а)П1па4-ф(р))2-ф'(р)] +
J г xr
0
co
+a“"P 2 -^^rl^CP+^+^^+^-^tP+^dno+tCp))]
k=Q *
[a>0; Rea>0 (Rea>—2 при a«l)].
2.6 10 ]
2 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
501 '
|3* J 2 ^Г“[ф3(Р+А)“ч’,(р+/:)-24’(р+А:)^(р)]-
и k — l
М j -^|(1/ху ^”!vft>)-yft>)+
о I
оо
+ 2 ^+(П(^2)|1**(Р+*+2)+<|'(Р + *+2)-аФ(Р+*+2)»(Р)1
fe = 0 к
1 оо
1S Г »п(1-«) . V (р+РИ-Р* ... ... я«
*5' J л:(• 4-х)»» “ Р jZ. (fc+l)s4l <С+’Н2+*» 6*
0 k=0
16. J X1 ln(14-x)dx=j3Fa(l» 1. 1; 2, 04-1; -1)
о
[Rep>0].
17.
[• in2a—х)
) х(14-ху»
fc=0
18.
?n8.Q—dr==a-*-P /pijf (1)4- -$- +
x2(14-x) i/т 3 т
00 j
+<’«>+*> 2 [4 <2+*)-нс+* p+H-
fe=O '
19. J IL_2£2_ In® (1 -}-x) dx=>
о
oo "1
=« У (^^?Лп~-СаМ1’ *•1:2> I+f: -I) tReS>"1
0 AJ (1 +₽)*(*+>) 1
Lfe— о J
20. C IL^tLwa+x)^ 2 2 (p+1)^+2)lc+*(t+211
S k—o
[Re₽>0].
21. f Jj ±4 -iz- = л In 2-2G.
fx 14-x 4
502
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.1Q.
22.
J (cx-j-dJP
о
ас
d
Ля Г _ /
₽-Н)А(р, а; а+Р + Ъ . ...
с/р l \ “ /_|р—о
[я, Rea>0, |arg(cx-}-d) Г<я при О^х^а].
„„ (* л ! In (а—х) . «И’а® _ / , , асХ,.
23. I л*1-1 . 1 , * dx=—----2Fx р, а; а-}-1;--^-)(1па—С)—
j (cx4-d)P а \ d /
о
СО
-^“2 ^Rp.(-v)‘*(a+I+‘>
fe = 0
[а. Rea>0, | arg(ci +d) । <я при O^x^a, |ас| < | d Q.
а
24. J х®-* (а-х)Р'! 1п« (а—х) dx=<^*1-^- [а₽В (а, £)]
0
[в. Rep>0; Rea>0 (Rea> — п при а=1)]
а
25. х®-1 (а—х)^-1 In (а—х) dx=a®+P-1B (а, 0) [In я+ф (₽) —^ (а+Р)]
о
[a. Re0>O; Rea>0 (Rea>—1 при в=1>].
26. J [и (1 -X)dx= — ? (р) [Re0 >0].
О
Р х®"1
27. I ———- In2 (а-х) dx=
J (а-хГ-₽
а®+₽-1
=---П~Вф> а> (Р>-♦ (₽+а)+1па]2+^ (Р)-ф'(0+а)}
Г*
[в, Rep>0; Rea>0 (Rea>— 2 грн а=1)].
в
28. J х®-1 (а—х)₽-1 In” (cx-J-d) dx—
О
=а“+Р-«В(а, 0)-^pVi(-P. a; a+fc
[a. Rea, Re0>O; ,arg(ct-|- d) ( < л при О^х^а].
а а
29. £ (а—х)^1 In (cx4-d) dx=^ х^-1 In (<r;-[-d—ex) dx.
о о
i
Г . 14-x dx In32 л2
J 2 1-x 2 12’
о
a
31. Jx®“1(a—x)0-4n(cx4-d)dx==e®+B-iB(a, 0)lnJ-[-
о
4-аГ1да+₽В (a-H, P)aF2(a4-l, I, 1;2, a+P4-l; — acid)
[a, Rea, Re02>O; }arg(cx-|-4)|<;jl при О^х^а].
2.6.Ю.] 2 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
503
32. С 1п[(1-Ь)х/а+6] dx= 2 arcaK3/s
J yx a—x ya
о
a ---
33. f_Mg^.dr=2„inl+y|-c+nina
J УхУ—х 2
(д>0; 0<6<<].
[0<c<lJ.
34.
35.
36.
37.
ln(d+cx) djc= „д ln 4+У</(4+ас)
Vx 2
dx=2л (УТ^З-1)
YxYl~x
Anll~£?L dx=——2 arccos2 Yc
xfl-x 2
= л2/2+2 In (Kc4-Kc—1)
ла У~3—У d-f-ac
V fd+Yd+ac
[a. b, О0].
[0<S<l].
[0<c< 1].
[₽>!].
38.
co
a
39.
lntt(cx-f-d) , . 1V„ Га® Рс"Р „ f . . d\l
/ , dx=(— 1У» ч-z I------------^Fi p, p—a; 1 +p—a------------j
(cx-f-djP ' ’ dpn [ p—a \ ас/J
[Re(a — p)<0; | argfex-f-tf), <л ape *<<»[.
ln(cx+d) ,
(cx-j-d)P
= (p)h^i(p. p—a; 1+p—a;
co
i=0
[Re (a — p)<0; I arg (ex 4- d) | < л при a *<oo, | d |<| ac|J.
40. f А Ал L л in2-j-2G.
J Ух(х+1) 4
41.
co
lnn (x—a)
(cx+d)P
Ля г „ / л
аРв(Р-М, Р-а-₽)2Л(р. р-а-Р; 1+р-а; --)!
[Re (а—р)<0, e>0. | aqgfc* +d) |<л при а <оо)]
ао
49 In(х—а) . aa-PtrP г. т t
‘ J (cx+d)R р—а [/1па—с)г^1(Р. Р—а; 1+р—а
а
“<₽-а) 2
fe=0
[Re(a—р)<0. а>0, ,arg(cxprf) при а ^х<оо. [ d | < [ ас (].
504
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 6 10.
оо
t* л л
43. I х»"х(х-л)Р-х ln« (х—а) [дЗВ (р, 1 —а —р)]
а
[а. Rep>0, Re(a + p)<lJ.
оо
44. х06-1 (х —a)3-i ln(x—a) dx—
=aa+piB(p, 1—а-Р)[1па+фф)—ф(1-а—Р)]
[a. Re[J>0; Re(ajP)<lJ-
45.
оо
J x®“*
a
ln2(x—д) ,
----—~-dx
(x—д)1—3
=e«+S-*B(l-a-₽, Ю([ф(₽)-М> (l-a-fS)+lnap+i|>'(₽)+*'(l-a-₽)}
[e, Rep>0, Re(a4-3)<1].
ao
x“-1 (x—a)^1 In» (ex 4- d) dx =д^+3-i x
a
X [(ac)PB(P, 1—a—p—p)2Fx(—p, 1—a—p—p; 1— a—p; — d/(nc))]p4)
[a, ReP>0, Re(a4-p)<l. |arg(oc4-d)|<n при а^х<со].
47. J x®-1 (x—a)3-1 in (cx-f-d)dx=
₽fla+p-iB(p, 1-а-Р)[1п(дс)4-ф(1-а)--ф (l-a-P)] +
-bdc-i^+^BfP, 2 —a—P) 3F2 (2 —а —Р» 1, 1; 2, 2-a; — d/(ac))
Jo, Rep>0, Re(a-j-p)<l; | arg («-f-d)|<« при a <oo].
eo
Jri-i / d 3®
[Rea. Re (p —a) > 0; I arg (cx+ d) | < я при O^Cr<jaoJ.
oo
49. J ln dx=-^“B (a« P — a) [Ind-Ьф(p) —ф(p—a)J
о
[Rea. Re(p—a)>ft |arg(»4~d)| <я при O^x<oqj.
OO
/fob-Ijr
50. I ——г In (cx-J-d) dx=~—— [Ind—С—ф (1 -a)]
J cx-j-d ' 1 c®sman v
о
[0<Rea<l; [arg(cx-f-d) f <я при 0<2х<оо].
oo
51. J nind-C-td-aJP-^/e+t’ (1-a)}
0
[0<Rea<l; | arg(cx-f-d) [ <я при 0^x<oo]
S2- £=♦'<» [Rep>01-
0
2.6.10. J
2 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
505
оо
53.
1п*(х4-а)
(х4-а)Р
=й»-РВ (а, р—а) {[ф (р)—ф (р—а)+1па]«—ф' (р)+ф' (р—а)}
[large |<л; Re(a—рХО; Rea>0 (R;a> —2 при e = l)J.
54.
In2 (14-х)
x(14-x)p
dx=—ф’(р)
[Rep>0].
co
55. f ^±^-*=2«’(p+l)+P'K(₽+l)
0
[Rep>4«
56.
oo
f xa“1^Si^'dX;=aa“PB(a» p~а)[1п&+ф(р)— ф(р—a)—
j (x-f-ajH L
0
1. 1; 2, p+1;
[Re(a— p)<0; |argai, |arg6|<n; Rea>0 (Rea>—1 при 6=1].
oo
57. f ‘Ь~'Т'[рУ t>)-(»-<O.F. (I. 1. 1; 2, P+1; 1-a)J
0
[Rep>0; |arga|<A].
58.
j -^iFln’<et+d)‘&=
0
=(—p+a—a)/,i(<r» «; ct+p; 1—
lRe(a —o)<0, Rea>0; | arg (ex 4- d) |, | arg (/ix 4- 6) I < л при 0^х<со].
59. x®'1 (x—а)Р“* in (x+ a) dx=
=^+₽-i {B(p, 1-a—р)[1пд+ф(1-а)— ф(1-а-Р)] +
4-B(P, 2-a-p)3Fa(2-a-₽, 1, 1; 2-a, 2; —1)>
[a, Rep>0, Re(a4-0)<1]-
eo
6°- J In (cx4-d)dr=^V ft-®B(a, a—a) Mind—ф(а—a)J4-
o I
[Re(a—o)<0, Rea>0; |t—ad/(6c)|<l; I arg(cr4-d) | arg (ax 4-fe) | < л при 0^х<;оо].
C ln(cx+d) 2л J^y^ad+^bc
3 Ух(ах-}-Ь) УаЬ УаЛ—УЬс
[| arg (рх 4- rf) !• I arg (ал 4-Ь) | < л при 0<2х<оо].
506
62.
63.
64.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 6.11.
со
Г In (cx-f-d)
J Ух (ах— b)
dx— arctg
Vab
[а. b>0; | arg(cx-|~d) |<л при 0^х<оо].
C vT 1/2 ln(cx+d) , x ij- i/2b— 1 +1/2flnVbc-\-Vad V be \
J (ax4-6)2 ^“2 а у- -*-у^+уг^)
[[ arg(c-* + d) I. । arg(ar4-6) |<я при 0^х<ао].
~=ln(a+b)
[a, Ь>0].
2.6.11. Интегралы от х«(ах24-6)& ln(cx4-d). Д
а
с In (с24-ах) . 1 . а Г, . 1 t , , . «1
J —' Т 11п с+ 2 1п +с >]
о
[[a, OSJ.
In (1 ± х) , л , о (0
-ТОГ-Л=8 1п2-{0
о
( »±>2.
Г In (cx4-d) fa я d-j-J^d2—а^с2
J Уа2—х2 2 2
О
= (л/2) In (2ас/«₽)
а
f In (а ± х) , л . а
I —/. dt= — In—±2G
J У a2—x2 2 2
о
[a>0; d>a|₽|].
[0<d<ai<? |J.
[a>0].
—-j
In (cx4-1) dx^ Л*
хУа2—x2 8a
arccos2 (ac)
[a>0; |a₽| C Il-
in (cx4-<0
У a2—x2
dx=*
= -J-[n,(d—y^d2—aV)4-2 P^d2—aV arcsin (ac/d)-J~2a‘' (in d—1)1
[d>a|<7|, a>0J.
= -кН л4-2 У a^2—d2 In ———----------l~2ac (Ind— 1) I
Д- a J
[0<d <a|c I; a>0],
J x*+l 8 lOj J x»+x+l бКз
2 6 12.]
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
507
12.
be
d
co
ln(cx4-d) , 1 {c be d
\ dx=^------T —ln---------— In d
J (ax-|-b)a be — ad \a
о
b
a
[fee Ф ad, | arg (ex + d) | < it при 0 < x < co].
13. -^(tad+l)
[fec = od, [ arg (ex + d) | < л при 0^x<coj.
«4. C *l^<-ln2±G.
0
co
in Г in(ax+b) a ₽ A 1 _L. A 3. fl2g2\ ।
J X2 + C2 ax~ b 3 2 V’ 2 * 2 ’ 2 ’ 2 ’ b2 ) +
a
, 1 Г. b . b-{-ac л /, a2c2\ , t ,1
+ n In-------In —---- — -J- In 1--ГТ- я In b
1 2c L ac b — ac 2 \ b2 / ‘ J
[Re c > 0, | arg (ax + fe) | < n при x > 0].
16.
f 4 1/2 In f a — x I d Jib'1 1/2 1 za_LM 4-
JX (b + xy ax~ 2b in{a + 0)- a+b
o
[a, fe>0].
Г xln|cx4-d| . < ,_ fin fcz I _i_ALin Л
17, J (z2_j_x2j2 a*- 2 (d24-c2z2) \ ' 1 + 2cz + c2?2 1 J
о
[d, Rez>0. Imc = 0].
co
z2______x2 C
(54^jS-ln(“+‘i) *=•₽+??
[d, Rez>0, Imc=0]
2. 6.12. Интегралы от x01 (OiX-f-bjP (a2x-|-b2)Y lnra (cx-J-d)^
л CZ
dln s
С2Я
f In I x—у I J____In (ft— а)+ф (a)+c
J (x—a)*~a (b—x)a sin ая
a
+ctgowt(-|^-)a2Fi(l, a; 1+a; —
\ i/ / \ u Zf /
[e<p<fe, 0<Rea<l].
fe
_ f /х—a\a. , I . .. . ln(b —а)4-ф(а4-1)4-С—1
2- j {-t^j ini*=«»(*-«)-----•'-----------
a
-*^+п2£тГ^-‘,>м<‘~*>’М1’ “= 2+“= -7^)
[Rea,= 0, a^O, o<p<fe].
b
о C In lx—i/l . , b — a r _
3. I —— y|— dx=я In--- [a <?/<&]•
J У (x— a)(b — x) 4
4. jln(1_x)l^^=/f^21.
0 /=1 A=1
508
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[л/2] п + 1 /
[2 6.12.
5.
1
f ln(l+x)
•J 1 -t Л»
0
Zrf 2A>4-1 “ Z- I
k=0 J=l k=l
6.
k
=d-Paa-i^_[aPB (a> $)2Ft(p, а; а + р; — ac/d)]
[a. Rea, Rep>0; | arg(cx+ d)| <я при О^х^а].
i х®'1 to—xtf1 *n(g—dx=
J ( x) (cx4-d)P
о
=d-₽aM>-iB(a, р)р\(р, a; a+P; [Inа+ф(Р)1~
5? (P)*(a)> f I ft » m)
2 (£+PhM“~d) *<«+₽+*)/
fe==O
[a, Rea, Re £>0; I ac |<d; | arg (ex-{-d) | <я при 0 ^х^а].
8.
J ' (cx+d)P
^45{a, |a'p2^P. a; «+₽; —
[a, Rea, Re0>O; | arg (cx-j-d) | <л при O^Zx^aj.
9.
х®-1 (fl-x)P-tMC^^-dx=
' (cx-[-d)P
=tfx+»-iB(a, W<H>f[ln<f+t6>)]^i(p, a; ®+0;
V (Р)*(а)л (
- L (S+й^Г *(₽+t)/
Jt = O
[a, Rea, Ref}>0; | ac |<| d |; | arg(cx-{-d) |<Л при О^х^а].
10.
; (l-x*)ln(l+x)
| (ax-f-6)z(6x4-a)a
_____L 1 Гд+? tn zfl . м 1° 6 ln al . 4 In 2
ab lnla+6> a +
[a, fe>0; a^b}.
1
H‘ У (a2+x2) (a^ + l)^-2a(a2-J-l)[ 2 +0-2 arctg a Inn]
о
[a>OJ.
2 6 12] 26 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 509
12.
а
==^[a“+f$’₽'WB(₽’ »+р-а-Р)л(р. i+p-a-p; 1+р-а;
[Re (р — а — ₽)> — 1» Re р>0, | arg (cx + d) | <л при а ^х<оо].
13. ( хв-1 (х—а)^1 dx=
J ' * (cx-f-d)P
а
^^-Р’С'РВф, 1+р-а-₽) рч(р. 1+Р-а-р; 1+р-а; -^)х
х Цпа+* (₽)]- 2 ®7ГТ^^г-6(-“)‘‘♦(Ч-Р-О-Р+*)}
k=0
[Re(a + P—р)< 1, а, КёР>0, |ас |> | d |; | arg (cx-}-d) |<я при о<х<оо].
оо
«j С , / \R-i In” (с*+<0 ,
М. J х» 1(х-а)»
а
= [аат₽ Р~1<гРВ 1 +Р-а-Э) X
X2Fi(p, 1+р—а —р; 1+р—а; — jMl
\ ел» /I
[Refa-J-fJ—р)<1, Reg>6; [ arg (cx+d) |<я при а^х<оо].
15 . 1+р-а-р)х
а
x|2Fi(p, 1+р—а—р; 1+р—а; — —) [1п(вс)+ф(р)]—
I \ Ctt* J
00
- 2 ч »+*>+* <+Р—Р+*)-
fc = O
—^J(l+Р—«+*)]}
(Re(a-J-0—р)<1; a, Re0>O; | d |<| ас |; | arg(ax+d) 1<я при а ^х<со].
16 С x«-4n«(cx + d)
J (ax-f~b)a (сх+^Р
о
М—Р4-ст“«)2^1^, а; о+р; 1—
[Rea>0; Re (a—<r—р)<0; | arg(ax + b)l> I arg (ах4- d) | <я при 0^х<;оо].
*7’ J В (°’ ₽+о-а){л(а- а+‘,; *-^)х
х [Ind—Х> (р+а-а)]+ 2 (Яда(’-&)*’»(<’+₽+*)}
fe = O
[Re (а—-п — р) <0; Rea>0; 11—^ I arg (ах-[-&)< Л при 0^х<а>].
510 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.6.13.
СО
18. £ (x-f-a)* (*+2в)~Р In (х4-2а) dx=
О
= flfe+a-P2«-P(a+p—1)*Г |“’ Р~а~Лр1п(2а)+ф(р) —
—-ф (р—а—k) — k (а+р— l)-ij
[fe=0 или 1; Rea>0. Re (a—p)<—fe; | argai<«].
oo
C ln(ac+<0 j
19. I -7=-—------dx=
J V x(ax+b)(gx+h)
= 7=-^----! V^ln +
l^dfbg—ah)Lr h \ r dg/ '6k F da/1
л Ind
+ faWah+Ybg) °- ” e’ " к ‘><,b
20 f ^xlnfcx+d)
oJ (<«+») (gx+A)*-
—^_h/T h/i+(i+t^^YL ”ln'i r-
bg—ahXJf ad \ V ad/ r gd \ V gd/ J Vag^bg+yah)
[bg^ah; a, b. c, d, g, fe>0J.
F 1-x2 ln(14-x) . 1 , b
I < X ' П1Г------------ - In -_
J (ax-I-6)2 (6x4-a)2 ab (&—b*) a
2.6.13. Интегралы от x°In”
cx-j-d
b
i„ ^4"x dx л . 6 a\
с—хУ (я*—a2)(62—x2) 6 \ c bj
[афЬ, а, Ь>0].
[0<a<6].
[l&lcl el. e<6J-
* . . '[(«+ПД1
x I ln« —-^L= У (ш)^а« ln«4-1-2fe^=£
J x—ax—у ' 2fe y_a
a k = 0
a<zy<.b‘, находятся по рекуррентным формулам
fe
2 (2/ + l)^-V1=z(2i)> fe-°’ b 2>
=o
Г”+Г[ ( к Uol
L 2 J* \*+v— J
a
4. f In” -—- dx~
J x
0
n/2 — 1
14-(—1)я V Zn-f-I\
2 («4-1) Zi \ 2k J
k = 0
(га)”'2» J In^l^dx
0
[a>0].
2 6 13 ]
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
511
[а:£в].
Т<2 —1
7. f 1пИ^ — = ^-4-1п2(/2-1).
J 1— х х 8 2 ' *
о
Уб-2
8. !п>±^ = ^_|1пЧГ5-2).
Д Л Дг U
О
(/5 —1)/2
О
14-х dx я2 3 , ,/б-1
1=7 7 = 6—21п’~2— •
С -1/2. а-4-bx dx „ , . я—arcsin b
I х ' In—'----7= = 2л In ctg----------
J а—bx у a—x 4
[—!<&<!; OOJ.
, 64-х dx я а
In —!----т- = — arcsin —
6—ххуа2—х2 а 6
[0<а<б].
а оо
12. J Ino ^±|dx=2aT(a+l) У [Reff>0|.
о fe = i
а со
13. f 1п<^ г 2 ах0 = (2а)1-»г (а4-1) У +1 ~р)~—
Д а—х (а2—х2)Р ' ' k\
о fc=o
[Re 0—1, Rep<l; а>0).
a
и f . а+х лг-
14. 1 In —!--7— — = 4G.
J a—x r a2—x2
о
15.
OO
C 11 x+fl j <*“ГЬ
l Xе1 In—!—dx= lb
J x—a a
[Rea<l, a^f-O; a>0].
16.
17.
x-[-adx _ n2
x—a x 4
[0 0].
[(n-l)/2J
[(«-1)/21
+ ПН-1Н 2 s=T
k=l
[a>0: n = 2, 3, 4, .
512 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.6.14.
ОО
f* v —I— п.
IS. I 1п»-Х-Л=2аГ(а+1)С(а)
V Лк С*
а
[Re о > 1; a>OJ.
19.
(7ГГ^р = (2^Г(а + 1)
V (2p-fe-l)H-lP
L kl (k—p4-1)j+1
fc = 0
21.
22.
23
24.
25.
26.
00
С , x+a dx na
1 In ———
J x—a V x2 — a2 2
a
x“-iIn
ex-j-d , 3ic~a
——7 dx=----------
cx-^-b a sin an
00
J Xa—1 In
0
oo
i x«-i In
ex — b
x—a
Jt (d2 — &2 cos an)
ac2 sin an
о
OO
о
x-j-a dx __n2
x x-f-a — 4
x—a ! dx
x—b\x—y
. na? . an
dX —----- tg -77-
a 6 2
x4-a dx
x—a x ~ 2
27. =n
OO
Sx-l-a dx n . г
In —~ = -v arctg ~
x — a J x (x24-z2) z2 a
о
[a > 0; Re p < 1; Re (<T + 2p) > 1].
[fl>0].
[6, c, d>0; 0<Read].
[&, c, d>0; 0<Rea<l].
[a > 0; | Re a | < 1, a Ф 0].
[a>0].
[e>oj.
Ly<a<.b или
[a <&<&].
[a, Rez>0].
2.6.14. Интегр алы от A (x) In(ax*+bx-{-c).
Обозначение: k' 0<k< 1.
1 [n/21-1
1. f x« In (1 -J-x2) dx= -J-j £(— 1)[л/21 4-In 2----2 V
J v ' n-|-l 2' ' 1 n-H Li n — 2k— 1
о fe=o
УГ a . -л Г~Ь , be—ad
yarctg]/- + ^j^
, a-\-b л c ,
a de]
[a. b, c, d>0].
2.6.14.]
1
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
513
4.
In (1 — X2) л a+Vab — b2
f(e+Hrl-Jf2 Уд2 — b2 a + Va2 — b2
1 _________
In(1 -*k2x*)dx=(2-k2) К (k)-(2~lnkf) E (k).
[a. ajbb].
5.
0
1___________________
d
1
6.
C In (1 — x2)dx , k' ... n ..
J |Л(1-Х2)(1-А2х2) k 2
1
7.
8.
(• = 1 ln ?±2k n
J /(1-X2)(1-A2X2) 2 \k 8
f = In k' К (й).
J K(l-X2) (1-^X2)
1 ___________
9.
__£>2r2
y——1п(1 — A2x2)dx =
о
»= ~ {(— 2+1 lfe2-6^*4-3^2 In k') К (k)+[2-10^-3 (1 -2k2) In E (fc)}.
). f = X [(k*-2) К (k) 4- (24- In A') E (ЭД.
J Г (1-x2)(1-A2x2)3 k'. V k
f х=1п(1-^)& =-^[(24-1ПУ> Е(А)-(|+А'а+У* In*') К (<
(к к)“
12. x2
d
J K(l-X2)(l-^x2)3
’ In (1 - k2x2) dx
H.^(l-^=^(^~2+ln*') K w+(2-ta*>E <*»•
I Г In ft+feQ
J (c + dK)3
0
_ in ь ь /
cd ' ad14- be2 Я
И. С1п(а+»х--)фд « Jn
J c-f-dx2 1 bd
17 А. П. Поулников и лп.
с , с , ad, а
-- In , + г 1п т
a a be b
[я, b, с, d>0].
[а, b, с, d>0].
5В ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12 в-Ш»
оо
и- V ^к1(х»+г«)Лг=
О
nz®'1 Г. л • owi_/l—а\ алаЛ <х\1
“ars[to^-<|-e 2РН~)-#-а>а*-£*(’—2)]
J0<Rea < 1 при —2<Read ири 2 = 1, Rez>OJ.
is. f\n(i+2ta+x»>£=£-i“^ imob
•7 *
О
17. f ln(i+^a^&=2Klnyc + l±y.(l/j+1g±a
J Ух/1-х 4
0
»<»<«<!: c=i4-2&—a},
co
18. Г x®-1 In(1 -f-Sfrx-}-*2)dx== — i<Rea<0j.
® ЯП! CtJl
0
oo
19. f ln(a«—га&х+х2)-—-^ =--1п(г2-Ь2аеУгЬ^+Ла)
J * г 2 а
— co
[a, Re2>0; — 1 <&<!].
1/2
20. f ln»[x(l-x)J^~«/M [n = 1, 2. 3, ...].
•/ л
0
2я 1 1 Qn r П
7------^—inn+i± + ±£1 B(v, v4-l)--
n-f-l S' 2 dvn | ' “Vju-»
l,= '~ In» 2+8 [18C (5)-it»£ (3)1.
D
2.0.15. Интегралы от
К С х^"1 ki(14-x4-Jc*+ ••• 4ь-хР+1>(1ж=а-1|ф(a-f-J)—ф(—тл-мУ|
о
[Rea> —1. а^О].
2. =л2(п+1)/(6п-Н2)
[«=0}.
со
3. f х®-1 In(14-х4-х2-|- ••• 4-x®+1)dx=na_ifctg — ctgowA
J \ /
о
[—l<Rca<0J.
* (n^‘u=£<3±1,,n2-
J» k-j-X* о
0
x In (x-1 ± x)
r+x*
dx±= In 2
lo 4
0
2JB 16]
26 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
515
6.
оо
рЦ^Р^^о.пг.
I
7.
. я , n G
Л:=16|п2-Т-
8.
1
f х«-11В(«-М^+л)л_ »«»-!)*
J 1 (<"+*)’ a sin ал
О
IRea>—1; в>0].
9.
=1п2в
£a=ft а>0].
1
•. (1—ах)(1+вх2) Яг 1 , ^r-1 .
In ------L±—L---L------= — arcfgу a fn (14-e)
I (1—ax2)2 14-flx2 2fa
[а>0]
OO
1<K j ln ?+?dx=(a—b) я
о
lx2—a2
|x2 — 6®
dx
x—y
— ±я
№<a<|y |<6].
(±У [a. 6], 0<a<6].
О
[a, 6>q.
= 0
13 f Xя1 In (Х~ЬД)8^~СЙ dx—
J (x+*)2-H2
0
= — cos arctg — (a^+c2)afi cos arctg -^-jj
[0<Rea<l, a, b, c>0].
00
14.
C j. д^-ЬЗабхЧ-х2 _ 2лдД (cos (я arccos &) — 1}
J n (a-J-K)2 a шпал
о
II Rea|<!; — i<Kl. a>0]
OO
15. f 1„ <1+х^+д‘)=
J (x4-a)2 x
о
[a>0]
£.6.16. Интегралы от Л(х)1п<г(|/ГaxH-f-ta^-l-cx*).
i f In (УГt2—(ЯЧ-х) dx _
J
a
(л \ 1 1
arccosс-|-ф —1 Inc-f—(arccos аЦ-<p) —L (arccos a—q>) —L (q>),
j £ Ы
„ Г1__fl2
«»Ф=1/ т—А £с^о<1].
F 1 —са
2. = (arccos с—я12) In с fa—c< 1].
17*
516 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.6.16.
V» —_
3. С > In (Г^Г’+о) <4х=““ {in а+^5 Г Г. “nJ - 1} '
о
[а. Rea>0].
а
о '
= д* r2±v?±uv/2iltt (VT VJ/2 ( а . v ?У*Х
р dv“ L \ р * 2 /
_ ! а , v Т v 1 чv _ v . , а , v 5- v . а^Х"|
Хэ/\Й+ 2 ’ 2 ’ 2 ’ + у. ’ 2 ’ 1 V: “ za)jv=o
(г = 9 или 1/2; а, u, Rea>0; ujargz |<д>.
2
5. f -X"1- In (Их*14-& ± z^2) dx—
J V XH4-ZI*
oo
*» + aa (az)~v/s У Г1п(2ги/2) +
' ’ Li a-f-pJH z»1/ L
fe = 0
+ 2 (l + O^^J^-lnaj-tfat+D+iKt+l)]
[а, ц. Rea>0; y.| argz
a
6. $ Xе1 In (|/"xJi-j-jjli ь gU-/2) dx—
0
_a“ V (М2)* [ La«r, /a 1 + 1. , .J
2i (a+nfc)£fc!\ zJi) -a[ln(22^ И 2 (a,na
t=i
fa, у, Rea>ft u|argz|<n}.
a
7. In (Kx2+^+x)<fr==e[l — К24-1П (1-|~К2)4~1па] [а>0].
о
1 oo
«• f М/*+1+*)£= 2
o fe=o
». + [а>0].
у x^-f-t^ 2
10. f X dx=a [(^2 — 1) In 04-/2 In (y 24-1) —1] [Д > OJ-
J Kxs4-o2
f In (ax4-/1 —^x8) dx _ л . _ ZaresinoX /л—arcsin a\
J Vl— x3 2 \ 2 / \ 2 /
[а*4-6*=г П-
2.6.16.]
2 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
517
In (1 —
1 , г____________ .
> Г 1п(1 -t Уа~с2хЛ . I 17 . .
; 12. | —----------------- dx—-- < arcsin b ± v
I J 1— a2+t2V- 2c У 1-аз1\
S 4-2L(arcsin6) + [2L(y)—£ (arcsinfr-f-y)4-L(arcsinb~
I* Г& = —— C-----: t®<a*;cos?=— ; 0<6<a<ll.
L l<l + c* — a» a J
13. f ^--K1 * до_|_я (_ ± ± _lj к
J У(1— х®)(1— fe2x2) 2 \ 4 2/
[0<fe< I; fe'==y 1 —fe*]-
c 1.1 (fi+S ±yT^dx = fa«K w+» p_ ,и(y>
J F(l-x2)(l-fe2x2) 4 8 '
(6<fc< 1: fe' = Vt—fc«l-
I _______
15. f In *~*"a = nardsine [laKij.
Ci dx ла />*г1-|-г2+д4-гУг1 — д2'.1^
J 1— a V 1— x2 x2-j-z2 v1— a2\y l-j-z2—az— F 1— a2/
< (Ial<l; Re*>0].
Х4-У1—x2 dx _ ла
х^КТ^И T—x2 ~ 4
18.
f, ^x2 dx _z ------
J 1—e/l-fe2X2 К(1-х2)(1—fe2*2) '
I la [ <1; 0<fe <1].
19. f ln д+^(1-х2)(«2-х2) rfx я1д a&+Vr^+(1_|_/1_62)a
J a~ x2)(a2—x2) /1—x2 14-K1—fe2
(a>0; 1Ж1].
„ f. Va^—b^-x^T^ ] ПАКИ
20. I In ------------------- -x- arcsin2 b 11» I Ц-
J a—x x i 2
o
«• j *«-» In (x+r*>-n!) dx.-^{ln «+^- Г [(7“^)/2 ]}
[a>0; Rea-^0].
<»
an f z г. -v дг® / (n—2)11
22. j x-n-i in (х+^л2—д2Э rfx= -^-hn«4-B
a '
[a>0; B=it!2 при n=l, 3, 5, ...; B=*l при в—2. 4, 6, ...J.
51& ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.6.16.
23. J = -^[2-/2+111(14-1^2)4-Ь4 [*>efc
а
24. Jl^(,+F^)^^(,-=^r^+l)2-1^^F2^xr-
1 fe=o
[Re0<I/2; Re(ff-[+)>0].
2S. tlnU+y^l) ”-
1
f In («+>fX»+^>
£9» 1 j- _ . ~ - OX=x'
J xy X2 + «2
* Oi
co
--^In (1+VS) [In (1+Я)-2^ el+a-1 2 ТЕфПТр t“>,K
fc=6
27. $ xk (x _t Ух2—а2)* tn (x rt V^—atydx^
a
— (j- «^2~*~2а~1л'ч‘аа+*~1Г Р*' (1 4 V^2 aT v
' Г L(lTv+jfe)/2+a JX
-.Го1„л — V \ >_ I. / 1 v + ^ I \ , 2ft 1
X 12 m a 4- w (------s-a ) Jb ф I-—--1- a 14-1
L \2 / \ 2 / v J
lk=O или lj a, Rea>6; Re(2xXv)<Li—fe].
28. f ^£^^+£±^14,=
= 2ЛЛ-’В (4, v)[g ln г+^ (’ "2 k)~(‘ t °
“ x “ >* / L V И/ \ J* /J
bt>0, 0<Rea<fV2, ц| argx|<j«J.
29.
InO^+zP^x»^2)
yjdl+2P
^о^/ип га 1 a\[ . t /a«\j
-----2 -- —-----Hwhiz + nig - I
I* \|i ’ 2 \ H /J
[ц>0. |t|argz|<n; 0<Rea<i*/2, z^fcl (|2Rea|<{4 при-z=»l)j.
Г In (KxP +1 _i- xM/^ dx_
J Vj^+1
Ьк>4-
<30
31. J xa-1ln(K5i+7T±xlt/2)<x===p2”aa*06_1B(2a/|i, — a^*J
о
lu>0*. —»<2Rea<UJ.-
2&1М
2£. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
519
32. С|1,(^+*+*и
J xa-f-za 2z z
о
[Re z >1В].
84.
35.
36.
37.
z8 20 L Г p—1 rt
2(1—p) V 2 Ip-1/2JJ
[Rep>l; Rez>0]-
C xf*-1 ^n° (^x2 ~h 1 + x) J!x=21“ar (d 4-1) V
J K&+1 UO + U Zi M(2fe+l-aF+1
0 1 fe = 0
[Rea<;l; Йе(аЦ-2ег) >0].
f _р-о
(x2+z2)p Fx2+z2—x p~l
[Re г > th Rep> tj.
? x 1nfx4^+x. P-l\
J (x34-z8)P yx8+2z2— x P—I \ 2 2 /
[Re«>0; Rep>l].
oo r_________
(* . |/x2_l_2!3J.aS dx . a
I In r ——'------?......— =я arcsin —
J Kx24-z8—n8 Vx8+z2 z
Fx« 1 {in {fl2+&8+x8+ K[x2+(g-R)2] |x24-(a—6)q}-ln(2a&)}
J K[x2+(a4-6)2] [x2 + (a-6)2J
ab ^fa/2» (3—a)/2, (3-a)/21fl / 6s+a2 \
~|58-л2|а/2 Д 1—a/2 J^/2-i^i>2_a2[)
[0<Rea<l].
39.
f xa-« Щ ± Л=
6
_ zaHv-2r)p/2
p
xB(-2
f a v ± v \Zr-
ViT4 2~)
a o 2a
—, 2r—v-----------x
P H /
gV+Za/p-l
[0<a<|zf; Rez>0].
2 РУ ' J
{r=0 или 1/2; ц>0; 2Rea>u Re (+V—V); Re (nV 4-2a) <2j*r; >i|aigz4<n].
40. j x«-i 1 ta (У^+г» ± ^n)Л=
/« V \«r-* f * v _ a \
-------£ \H 2/ \ p 2
X [p to г + ф + у - ± t + ^4- ^+2v2r l (1 -2r)J
P=0 или 1/2; u>0; Re(2x±uV)<2n*; 1* Iafgz|<jc; Rea>0 (2 Rea>—и при 2=1)].
520
41.
42.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.17.
k
S j^^t(K^+^+x)vln(F^+?+x) +
4-(—1)* (У4^+ ?2—x)v In (Кх2-Ь za—х)] dx~
X [2 In —I—L+p^ — (p — 4- 2&v fel
I \ л» * \ it ! j
[fe —0 или 1; Rez>0; 2 Rep>fe + 1 -J-1 ReViJ;
xfc (2Z~(^'4-^jp~7 + 2г2+XV In (/x3 + 2za 4- x) -f-
4-(—1)* (Kx3+ 2z2-x)v In (/x24-2z2—x)] dx=
s+p-2fc-4zafe^v-2p f v \fe в /V—2fe4-2p 2p—v —2fe \
\p—1 / \ 4 ’ 4 }
I. ./v—2£4-2p\ . /2p—v—2fe\ , JI
2 In (2z2) 4- $ (- — — I — ф I ——2--------) + k I
\ 4 / \ 4 / .J
[fe=0 или 1, Rez>0. 2 Rep:>2fe J-| Rev; J
2.6.17. Интегралы, содержащие A (x) и ^д--.
i
J (X^-xV)= In(Rep, ReЦ
0
1 n
f (X“- D* = У (-1)"-* (j) In (1 +a*)
0 fe—1
[»Rea>—I; n~l, 2, X ...J.
1
f (x—0» dx Я
J x24-l Inx 4е
C - In (cos p n) [|Repl<i/21.
J x2—! Inx ' K '
0
с ^-^..д^1пе±» + у (»+*-« и]пш±>
Л (1—сх)« inx т4-1 \ k / ?+»’+1
о fe=i
[IcIcU Rep, Rey>—1J.
Рхб-xV dx _ Г(Р+р4-1)/(2и), (Y + l)/(2p)l
J x»*4-t lnx~|ni L(V+P-H)/(2P), (£+ l)/(2p)j
0
|j»>0; Rep; Rev>—1).
1
f Xе-1—xa dx . /. ая\ r
I —— i In tg — ) b*>0; 0<Rea<l].
J x*l4-l Inx \&2p/
0
¥
2 b.17.1
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
521
хН—1 dx л
ХЙ+Т Inx ~ ° 2
[Ц>0].
л т
= 2 (~п*С0 2 <-*>(7)10
fc—о /—о
[Rea>-max(0, — nRe0, —mRey, —л Rep—mRey)).
1 n
10. f -^^-(xP—1)»^-== v (—!)*+« In г
J xV—1 v * Inx \ v /
0 fe=Q
[Rea>max(0, Rey, — nRe₽, Rey—aRep)].
11. f t»-1 (x& — 1) (xV-1)~ = In
J ' bix (P 4-a) (V4-a)
о
lRea>max(0. —Reft — Rey, — Rep— Rey)]
I 1
fx—1 dx In 2 w fjx-t dx . л
12. i —глзт-т— “~o“« 13. 1 x*------------- In---.
J *4-1 (**+i) tax 2 j x4-l (x24-l) Inx 2 к 2
f (xP—1ЦхУ—1) dx . Г a/ц, («4-Р4"У)/И1
J xH—1 Inx l(a+P)/A (a+Y)/gJ
о
Rea>щах(0, —Rep. — Rey. — Re0 — Rey)J.
15.
„ . (n — lyr
(x-iy dx _____________1_ у ,_()» to
14-2хсоз(тл/п)4-х4 Inx sinf/nn'n) ' n. x
k^i
- n—(—irk-^i k+2 rJfe
2n * 2n * 2n * 2n
& 4-1 *4-1 . n-(-\Yk , n-(_lf^-|-2
2n ’ 2n ’ 2n * 2fi
XlnT
[m<n; r=l при 1, г=2 при « + л=2/. / = 1, 2, 3» ...J,
1
1A С /хР — ХУ л t \ dx «ГР-Н!
*• .1 U=T-₽+^Ш=1пГ[т+ij IReA ReT>-4-
0
[Rep. Rey>oj.
18.
’ /хРн — 1
1 \ XH-1
xP— 1 \ dx
x—1 / xlnx
= ц Inp
tn, Re0>«|.
522
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
23.
29.
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.6,47.
1
IGik+S)*’—♦<’>
о
I
Г xP—xY dx ___
J x^ dt 1 In X “
0
, f . P4-1 \ , f p-M . y+1 \ , 1 / ?-M \
= ± in Sin ---Л1 — In ICOSI-JT—л ♦- In sin —Л)4- In (cos }
\ 2|* / \ 2ц/ \ *& / \ 2ц /
[д>0; Rep, Rey>—1].
f X.~- = —2 In (COS рл) и Re ₽ 1 < 1/2].
*7 Xs 1 1Л X
0
\ 1 dx V ln(&4-l) (a—1\*
l In |a+(l—a) x] li?7= - 2 -4-------------------------{—) l«> >/n
0 A=1
1 co
p va-i—x₽-i Vic*, a + fe , . a
J йГ^ in (1 +cx) dx~ 1 Tta ж + to Г
6 fe=l
[Rea, ReP>0; |с|<1].
1
0 k=o
m
X IE (-1x(7)l«+(n-fe)P + («-/)vJm[«+(«-fc)P4-(m—/)?]
r=0
[Re go max <0, — л Re [J, —mRey, —nRejJ — mRey)].
J In’x
0
=a In <z—(a+P) In (a+P)—(a 4- y) in (a 4- t) 4- (a 4- P 4- у)! n (a 4- P 4- v)
[Rea, Re(a4-6). Re(a-j-7). Re (a-f-₽+-?)>0].
J 1П2Х
=(2у4-1)Ь1(2г4-1)-2(т4-Р4-1)1п(у4-Р + 1) + (2р4-1) ln(2p4-0
[Rey, Ref(>—1/2]
S [~ dz=c ~ v
0
0
2.6 17.}
1
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
30. I
о
(' - рЪ+хг-1 (р-<Ш =
=д(<7—г) Inp-J-g (г—p)lnq + rty—fl) In г
fp, »► г>0}.
31.
ИхР1____________, ХУ-*_____
(p—Q) (p—r) (p—s) + ft—p) tQ—r) (<7—s) + (r—p) (r—q) (r—s) +
।_____xsl____ 1 dx _ I Г___p2 In p__
~['(s~p)(s—q)(s—OJ ln2x ~ 2 | (p—?)(p —r)(p—s)+
._____4a In 4_______r2lnr__________s2lns___1
’*'(<? —P) (q — r) (q—s) + (r—p) (r—g) (r—s)^(s—p) (S—q)(s~r)j
[p> 9. r, s>6).
С /х—I \ dr . _ .
I -j---xb—=1п2— 1.
J \ Inx / Inx
о
.J \ х Inx J In X
0
[«>Ч-
1
34. f л®"1 Г™-4-1»Г(а)Ч-Га—Vhna—a4~
J |Jn* 2(1—x)j Inx \ 2/
о
JRda>0].
1
35.
о
„„ fr 1 .*(3-хП dx In (2л)
j |1Тх +2(Г^х)] xlnx ~ 2
о
f f 1 2 \ dx
J \xlnx 1—x? / In X
1 -J-*2 \ dx
f—/ Inx
= ln2-L
«• f [p-1
0 L
1 4-Г 1
1— x * \2
hk) х‘~] iH7 = \4-
1й (2л)
2
Ip><4
1
on Г , . xlnx 4-1— x . 4
39. I In (1 4-x)--r-T---dx =- In —.
J ' • ' x In2 x я
(* Г . x? — XP1 dx
40. |x«-4n(14-x^)[(p4-a)x/’-(g + a)^+-iKT‘l'taT==
6
i f,. ^рп
=-a,n(tg^ctg^
[p+a. «+a<0; p, q>91.
524
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.18.
41.
f
J \xln2x
о
1
42. i [fp--* YI-^_ = (’ pVlnp-l)
JL\ 2 / 2 ' \ In x / J In x \ 2 i
0
l
СГ/ , xM-i ХГ91 1 dx
J LV 2/ inx ”^1— xP Г 1—xr J Inx 33
о
=(p—r) [1/2—q—In Г (flf) + ln K&tJ
f _________?______У2___Л ^Х--Л3
J \x in3 x x In2 x 2x In x 6 / In x • 6 1 y 36
b»>4.
[«>©].
fc-4.
45.
[Re«<Q].
2.6.18. Интегралы от
A (x) 1пя x
lnmx-f-a ’
1
0
[<7>0].
1
C dx
1. I , - =e"«Ei (a)
J lnx-b«
0
[e^O].
t
j (in x j: d)a ="
।
Г n“l 1
= -jju Ei (_t an) - V (« -k -1)! afel (± a)*~« I
' ' L fc^t I
I fa, Rea>0. n = l, 3, 5, ..
Цд, Rea>0, n—l, 2, 3, ...}]•
3.
dx
x2 (In x4-«)
1
(* i In® x 1
4. I —:—5- dx = ч-s- [sin aa ci (eta) — cob cm» si (aa)J
1 In3x4-a2 a dan 1 ' 7
о
1
(* i In X
5. dx^sin aasi (aa)+cosaa ci (aa)
о
[a. Rea>0].
[a. Rea>OJ.
P хц/2 1 dx _ 1 - /ag + nA
) ln2x4-a2 14-xH ~'2a* \ 4л )
(aw>—я; n>0]-
= — e®Ei(— a)
[e^oj-
0
2 5 19.)
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
525
7. -^(4-л)
__ р In 2
2л
«• =-Л— [яЧ-21п(К2-0]
[0|» = 2 л).
[0Ц=Л]-
[2ац, = л].
[fl>•>, iReai<l].
1.
12.
L ______________— J (1 — 2 In 2)
) ln2x+a2 t—x2 4( 1
I
= * (2-»)
(а=л).
[2a — nJ.
13.
[2У 2-я4-21п(К2-1)] .
x In x
ln2x+a2
5l2
fl*
[4fl = Л].
[Reo>0].
In x dx
(1п2х~Ьа2)2 1—x
[ReOOJ.
o
16.
I
C fo(l~xM)dx __ _
J x(ln2x4*a2) ~~
о
lnr(5?+^
\ 2л
Л
a
[fl, ii>0].
2.6.19. Интегралы от произведений логарифмов.
>
с ч j. 1
1. I lnxln(l±x)dx=2-^i«2-(l±l)ln2.
1 ХЛ
о
2. J х« In х In (1 ± х) dx=
о
tl -J-1
_ (Т1)« у (Tl)fe b / 1____________. 1_\
Я -|- 1 Ашг k \Я *]-1 k /
fe=l
*" 2(я-р1)2
in 2.
In™ X 1ПЯ (I — X) — = 1т, я [т.п^ 1, 2, 3, ...J,
X
1^. = s^S-B(v, ^+1)1 . /„„=(-I)»+>m!5(m+2).
*»*« дут д^п '
—4 О лтв
/2t2=8C(5)-f^(3>. /з.а=бг?(3)-ж.
S@g
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4. f ln"lln(l ±х)~=-Г(о М)£(а Ь2)/2~<1 1 Ч Re<F>-n.
м " I • 9
о
1
R С 1 0» » /1 ч dv Л2П+822Я+1 р-2«-1 — П
* J х,п(1—*)х— (2Л-Н)(2л4-2) 1Вм4*1 { 1 }*
о
1
«. f ta® 4п<1 — fat*) ~ — Г -<.ig4.8(b) [»><!; Rea>-1:
ф J Л Л |Д>
0
1 oo
7. ta® In (i —26x»* cos 7 4- bW) ~ =—2Г (ff 4-1) ц-®1
0
[|l>0; Reaff>—1; |6|<1J.
oo
8. f x«-i in x In - -™----r =
J a(x—l)(x—a)
о
«2
= (a-1) an» an 1(e“*1+ >>lne ~ 2» - 0 ctg an]
[e>0; ogtl; 0<Rea<2, a^Llj.
oo
_ Г . . x dx Ina * , , _ .
8. 1 tax In- 7---J7-----г — ё-i--7Г (4^4-In2 a) [a>0, я^Ч-
3 a (x— l)(x—a) 6(a— 1)' 1 7 1 Л
dx=________Лп» a+/ 01)
4x4-0^ 2 (a jf l) V W/
OO
12. f ™ln(l+ax3)<ii=nKifl-^
о
C i t x24-a2 , Л . а^П
13. j lnxln^-p^dx=n a4-ta-& l
о
oo
«. f t t a24-2&«4-x2 dx n . . b
14. I In x in -7»——a.——о—=2n In а агсяп —
J a2—2&x4-x2 x a
л
OO
15. f In (14-a2x2) ta^H-cM =
0
Orr
= —((a$4-c) ln{a£4-r)—ofc taa—clnc]
fc>«.
[Rea>OJ.
[а, Ь>0].
(a. b, O0J-
2-6-21 J 2-S. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 50»
ео
16. С In (14-а2х2) in (1 +62x2) ~ =
•У
о
2л
= -=~(лс^+е)+в*1пв+«Чпе—(о’+в3) tefe+c)] [о, s>0L
О
%
со
17. f In (1 +а2х—*) In (&2+с2хт2) = — [(6+ас) In (6+ас)—b In b— яс]
о
{. Ь.
2.6.20. Интегралы, содержащие totox.
1 со
1. ^^у-у^-Д'888 e~t^,<C+lnfe) [ImX —в].
О Л=1
2. fmin — |^--Cln2+ У (-l)fell*.
j x 1 +x m «
о k—2
i
_ e, . i dx i /. ji д
3. I mm— 77-, -u = ъ ln o ~4-
J x (1 +x)2 2 \ 2 f
о
4. Ctal„l = « lnWM<”+2^1
J x l+2xcos?+x2 2 sin V v L(*“”W(®vJJ
0
1
_ f, , 1 x« 1 . л . л . 2л .
6* J nln x l+x2+x4 + ...+x2«dX 2n+2 te2rt+2 ta r +
о
ft/r
I я V / ов-iHn 1пГ l)rfc)/(2n+2ft
+;;+T 2 ялмпг1пГL rM2«+2) J
fe=l
(r = 2 при п=2/, г = 1 при л=2/—1, 1 = 1, 2, 3, ...J.
1
6. f x®1 m In — In® - dx=а-®-*Г (o+1) № (<j+ 1>—In aj
в/
0
[Rea>>0; Re <r>—1].
j
7. Clnln—-------У [In(24+1)4-2In2+0.
6> 1 (1 +x4 /Ш(1/x) ,",/2*+!
2.6.21. Интегралы от to®x.
«»
1. f х®-*в“Р*,‘ ln®x<&=— f «/nr (— Y| fn, Rea. Rep>0).
J p \да/ L \ |i /J
о
CO
2. J xa~1er~P-**ltaxdx=p_2p"a^,*r (a/ji) bf (®/|*)—Inp) to. Rea. Rep>0].
0
528
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.22.
оо / п «
3. f x"eP*lr xdx--"’ У * с-1пр
О 'fe = l j
во
4. J ePxlnxdx——^(C-|-lnp)
о
[Rep>0].
[Rep>0].
<® -•/ n "
s jx»-i»e-<u'lnx<ix-= 2 V □^-c-tn(4p)
о и L $=1
[Rep>0]«
6. In х dx=— у — [С + In (4p)J [Re р>0|.
6 I x p
9
OO ’ll
7. j* j^a-ig-px** In2 x djr=|*~sp“a^r j ~ (iOl
0
. [j*, Rea. Rep>0].
8.
OO
J xa-V'P-*1* In8 x dx=ц-<р"вЛ‘Г ® j {[^ \ ^ ) ~~ *n p]3
+3[*(Z)~i"'’1*'(h)+*’(h)}
[ц, Rea. Rep>0].
2.6.22. Интегралы от х“е°**+&х+1 ln«x.
co
1. x^le~ ~ In" x dx- [(4p)~a/2 Г (a) ¥ (a/2, 1/2; <?2/p)]
6
[Rea. Rep>0] или [Rea>0, Rep=O. Re^i>0] или [0<Rea<2, Rep=Re<?=0.
I m p -ф 0 J.
2. J ^\е-р^-2Чк inxdx=—2^а-,р-“/2Г(а)1пр¥(а/2, 1/2; ^2/p)4-
o
p-“'2 /a\ у («^(a^-hfe) (g^\k
4 \2) (l/2)*fe! \pj
fe = 0
_ q (a+i)/2r /a+l\ у ((a+ l)/2)feф ((a+ l)/24 fe) (q^
2P \ 2 / Z. (3/2)Afe! \p)
k = 0
[Rea, Rep> Oj или [Rea>0, Rep=O, Rep>OJ пли [0<Rea<2, Rep«Re^ = O, Imp#:©].
3. J xfpx3—qx—I)e p** + 2ffXlnxdx=
о
4p + 4p l/Apexp I1 +erf
[Rep>0].
2.6.23.]
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
529
оо
4. f *ё~Рх~^х [nnxdx=2(XV[(^
J \6zCt у |_\ р) J
о
[Rep, Re?>0].
5. >£—₽*—$/* |пxdx——2лctgал 0?/р)а/2Ка (2VРяУ—
о
г~г [1п р/_а (2 Vpq) + In qla (2 /р?) —
till Uw*
2 SrF^+i)*<t-a+,)-’“ 2 №(^+1)*<*+“+'>
A=O k=0
[Rep. Re?>0; ат^О, ±1, ±2, ...].
oo
oo
6. xBe_/,*“4/jr In x dx =L-~
6
X[ln*g-ln2 p-2 In (*4-n+2) -Н^4-п-Ь2)--ф2 (*+1)+
n
+^(*+0-t'(*+n+2)l+₽»-1 —*Г^<п-7’>!1*(я-*+1)-1пР1
k = 0
i [Rep. Reg>0; n=— i,o, 1,2»...].
7.
a»
f e-P^^ In x In Ke (2 Кй)
V P
о
[Rep, Re9>Oj.
8. J x * — l^e px ql* Inxdx=
о _
= 1Л л (гV1 *Г e-2^InЛ- + Ei(-4Vw)l
V P\Q! L2 P 4 j
[Rep, Re</>0].
oo г
St. f e~₽x-9?,v lnxdx=2Ke (2>лр^) [Rep, Re«>0].
6 x
2.6.23. Интегралы от x0^^ In (a 4>6x).
i
1- In (1 —x) dx= 1 — e.
о
oo
(* p px 1
2. i \n(bx—fl£)dx=-»-Ei2(—ap) — ln(a&)Ei(—2ap)
X a
2a
[a. 6. Rep>0].
oo
0
= (—1)” ( “ )*г (а) (Д)” [а-о* [a, 1 -p+a;
[Rep>0; t ап (a Ч-6*> I < я при л^О; Rea>0 (Rez > — n при a= 1)J.
530
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.24.
со
4. J In (а+&х) dr==»
о
= — (тРГ —"— а 4-1; ^+г (а) Р~“/Г1п а£—ф(а)1 +
\Ь J автол \ ' b J ' 1 |£ b J
f ^Р р (1
1; 2, 2—а; ^)]
[Rep>0; |адв(л4-Ьх)| <л при х>0; Rea>0(Rea> — 1 при д — ijj.
5. f е~Рх In dx— — Гlno-e±fl^ Ei (=»= -/’Yl
j (|a—ax|J p [_ \ b
о
6. f e— In(14-dxMc = ~ (in2 * +2C in+”Л-
J x 2 \ b b %/
VI 2H4-W)-lnp-Hn& fp\&
~ 2------Г--’ш — (6“) R«₽. R» < > «J-
Jb=l
co
7. f er»x In (*+e+^(rx^ +*7Тл) dx=(l + In a In b) In (a-J-b)-f-
0
_£e-ta+&>p ap) Ei (— fep)+[l—In (ab)] Ё^(—ap—bp)} [л, b, Rep>cj.
oo
8. f erPx In I I dx—— [shi (ap) ch (ap)—chi (ap) sh (ap)]
J 1 I p
0
[a, Rep>0].
2.6.24. Интегралы от A (*)e~P* in (ax^-f-bx-j-c).
a
C e~Px
1. i _^==- In [x (a—x)] dx=
J V x (a—x)
r.(^)+(b>t., bo»
L" \"/ \ О / \ x у j
co
C e~Px / 2n\
2. I г=1п(д^—a2)dx=— (C+ln^jK^ap) [a, Rep>oj.
J Г X2—аа V a J
a ' '
OO
Jg-px
——- In [(x—a) (x— b)]dx=»
a + &
= Ei (— ap) Ei (— bp)— in (ab) Ei (— ap—bp)
CD
4. f e-P‘ In ((a+x) (»4-x)] =
[a, b, Rep>0^
{Ei (— ap) Ei (— bp) - In (ab) Ei (— ap—bp))
[Hep>Oi |arg(a + W|<«j.
2.6.25J
2.S. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
&J1
оо
5. е~Рх ln(x24-a2) dx= — fin a— ci (ар) cosap—si (ар) sin ар]
о
. (Re a. Re р > 0].
оо
О
[Rep>°; {| Imai >о}]‘
оо
р е~рх f л
7. I — In (1 -f- a2x2) dx— ci2 ( £
Q
oo
8. f — In 11 —a2x2| dx=Ei f—Ei f——
J x 1 • \a J \ a J
о
2.6.25. Интегралы от e-Px In A (x).
CO
1. i e~Px In (x+Kx2 — a2) dx = — [Ko (ap)4-ln ae~aP]
•J P
a
(Rea, ReP>0].
[e, Rep>OJ.
[a, Re^>OJ.
oo —
2. i e~P« In (Кх4-«4- Kx—a)‘5x= —1KO (ap) 4-In (2a) e~aP] (a, Re p > Oj.
J
a
oo
3. f e~PX In (Kx + z^V^x) dx—^- [ерг^Кй (pz/2)4- in z]
J ^P
о
[Re p > 0; | arg z | < л].
OO
4. e~Px In (Kx 4-»& 4- Vx — dx=[Ho (bp) Уо (M + In K2&]
6
(6, Rep> OJ-
oo
5. f rex i„ (/^p72+x) dc= " (н0 О»)-Г,(рг)] +^-г.
•J P
0
oo
6* £ xne~Px In (/x2 4-z24-*)
о
=—{4 [но0°г)-го(рг)+41пг]} fRep- Re2>oi
A *^p \ p 1 **' Jj
§ xe~Px In (j^x2 4-г24*л) dx=
о
= 2^ [«о (Рг)-ув 0*)] (P*)] In г
(Rep, Rez>0].
532 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12.6.26.
СО
8. J <гР* In (Кха4-22х+х+г)Лс=^ [е₽гКв (pz) + In zj
[Rep>6; largzldij.
‘co
9. f j, • In (yrxa4-z®+x) dx=
о Гх2+г2
= In Z [Но (рг)—У а (PZ)I — S_1. о (pz) [Re p, Re z > 0J.
2.6.26. Интегралы от Z?(ex)lnx.
co Г 00
1. f dx^a-1 У t=^lnfe-Cln(l+a)
j £-v4-a k xi/
о fe— i J
fe=O
[Rea>0; n= 1, 2, 3. ...].
co
f lnx
J е^4- 2Й*СО6 Y 4-1
о
^-4— fy in (2л)—я In я4-х In cos-~ 4-2л In Г
2яп у v 2л \ 2л ,
[0< v< nJ.
f e*lnx , _ ____С 1 я
J (ex4-1)2^— 2 + 2 ln 2‘
о
2.6.27. Интегралы, содержащие Xй, сРх и
1 со
у Ц£1Л±|
J Inx ай kl 54-6
о fc=o
[Rea. ReP>0; |argp|<«[.
ОО
„ f r dx л
2. I е~х-.— ==0.
.) In к
о
ОО
3. I ^'l)e~px® —1)—Х(р, р—1)]
1 *п х р
[Rea, Re 6. Rep>e).
-со
4 fL-. хр+хГ^ИФ- [lteJ>Q1.
И ln(l+x)Jx ,n’
О
- И<*-о-+-(1±^г^]т=>"г<’>
о
[Re«>(Q.
2.6,29.]
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ функция
533
6.
OO
(*
J 1К+Й* dr=(—Ip 4v'«‘(p)-eP|
6
(RepXJj.
2.6.28. Интегралы от х“ In (аЦ-Ье₽х)
ОО
ла**Вя,ъ
3.
о
ОО
In
(«4-2) («4-1)
[а>0|.
dx
x24-z2 “
az
2л
— Г In (2ла?) ± in
2л
az
fa. Rez>0).
dx . a . p
- —In——rln —
x a*{-b q
(а+ b, pq>0].
а
4
я —
о
О
2.6 29. Интегралы от xPR(shх, ch х) InX.
оо
f sh тх. . я . тл , 2я ,
I -z—lnxdx== tg-jr-ln- 4-
J sh «х 2n 2« r *
(л-П/r
i «,•„ In Г Kn~ r1^
n L ^/(2n)
2.
fr = 1 при
ch тх. , я . /2я \ тл
-г—lnxar== ln(— sec «r—
ch nx 2n \ r J 2n
k= 1
m+ n—2l — 1. r = 2 при m + n — ?l', 1=1, 2, 3, ...J
л
п
3.
5.
(n-ltfr
~ 2
*-тя1пГ
2n
-(-!)'(2*-1)]/(4л)
г (2/г—1)/(4л)
1
[г = 1 прй m+tt = 2l — 1, г = 2 при m4-п — 21, I = 1, 2. 3, .
41пГ
[Rea>0|.
f -7l!l*-dx=2]
J У x ch x
о
f^-dx=ln^-C
J ch-x 4
о
oo
f In X
оо
[ln(2Jfe4-l)4-ln44-C]
2 In Г
О
k = 0
2
О
4-{/— 1) In я4-(f —1/2) In 2
(— Mf= arccosc]
5»
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.6.30.
7. f In* 1 1ЛП V ( 1М»C+ln W-in"* J 2ch2x+l 2 V 3 2 (’ ^ l/£ 3 ‘ 0 k= 1 F eo oo
8. C - .achx—xshx, , . V (—r„ йа 1пхс(х=2Г(а) У Д [Rea>OJ. J chax ' (2Л4-1)® » fc —0 co
9. f л (»+l) ch x—xshx . . (—1)я /1\ I Xя- - Inxdx^L—!_ ft(n> f . J ch2x 2® H \ 2 / eo
10. |х»В±П^р^1п^_(|р + ‘|£ю|. 0 co
11. f -nsh2ax—ax , , 1 / я\2я . _ . , „ n I дзл-l — ln xdx= I — J Bin I ta> 0; n= 1, 2. 3. ...J, J sh2 ax n \ a / 11 0 co
12. Г о» i 2ne~ejf sh ax—ax . . 1 (я \2® . e . 1 Га In xdx==— 5- - ) ®2Л J sh2ax 2»\a/ ' 0 [a > 0; n— 1, 2. 3, ...J» eo
13. f n„2axchax—(2n-4-l>shax . . 1 /я\2«- I х2и— A—— Inxax—— - Вгд ,] s№ax a \ a / 1 0 [a>0. n=l, 2, X ...J.
14. OO f 2axshax—(2n-H)chax , 2 , 1 x2" -j—— In x dx(22®-1— 1) I ^-) Вгп 1 j ch3 ax a ' \2a/ 1 4"’ 0 (g>0: л=1. 2, 3, ...J.
15. CO f „ .ax ch ax—flshar, . 2я*1—! /n\«ID , 1 x»-1 lnxdx= f ) B- J sh2ax a \aj 1 0 [a>0; /1=2, 4, 6. ...J.
16. *»>o; ®=h 3, 5k ...j, 2.6.30. Интегралы от A (x) R (sh x, ch x) In A (x).
1. f In (a+&x2) , _2л г[(2У^с-ЬЗя УЪ)/(4яК^1 Я1 с J ch * с L (2еКа+п/5)/(4яКб) J с 2я/б [а, Ь, с>Я-
2. С 1п(1Ч-6х2) . 2 Г. с , лУ^Ь f. , с \1 1 ——! '-dx—— In—^4-— л 14—т-ll (6.00}. J sh2cx с [_ 2с \ лУЬ/] со f chcx , Л , 4с8 Л . я—2
3. I —Га---1П114 =-X2JdXs=-------- fcxn.
j sh2cx I яа / с *
2.6.34.1
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
535
ОО
*• р^1п0+^х,)^=г1л^~4+2^21п<1+^1 *>«•
О
f sh (2лх Кb/з). . . . .
s-) aW») '"<а+^=
_-|/Т. г((/5+4)/е, (К5+5)/б] лГъ
' * 1(К<>+0/6, (И«+2)/61+ Г
(а. 1> >01.
rcbcx + yshc»,,/ 4^^\^=4С1П2
Д x2ch2cx \ л2 / л
о
(ОО].
оо
0
(ОО].
8. С - е~ -— sh (b Кх3—а2) In —— dx=
J /х2-а2 а
а
= !-InКо(аVр^-Ь*) (ОО; Rep>|Reb|J.
Л» f) “ V
9. С _£L= sh (b in £±±+JCT«
J Vx-^2zx z
, =егР Ko (zP^P2 — &2) (Rep>l Reb|; | arg at К л].
2.6.31. Интегралы, содержащие логарифмическую
функцию от гиперболических функций.
ОО
1. е~Рх In (sh ах) dx=* —
о
00
2. J е~^пах In (sh ах) dx=
о
2^ + 'n2-2H2«+D]
la, Rep>0].
[а > 0; n— i. 2, 3,
co
3.
(e, Rep>OJ.
С
o
co co
4 xlnchxdx=O. 5. 4 Inchx-;--;=0«
1 J 1 —
0
—oo
oo
„ Г . . dx G я . _
8. 1 In ch x . —Q~ In 2.
J ch 2x 2 8
00
7. I fathxdx=—л®/8.
о
536 ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2.6.32.
со
$пачо-а
x°-t In th х dx= a'an (*»i-1R(-a) tRea>0).
0
oo
л 1 X, dX Я . л
9. I In th x -r— = — — In 2.
J chx 2
о
Г , ». chax4-sh6. / 2\e na+1
10. 1 Xх 1 In -r— / dx—— i — 1 ——якx
J ch ax— sh b \ a ) a sin (ал/2)
о
г/ л — 2b\ л+26\.,7 Зл+26\ rf 3л—2611
X t—ar —r—i—— a, —j—— a, —J 1—c —a, —z--------------
| b \ 4л / • \ 4л / ” \ 4л J \ 4л /J
[Rea>0; 2b > nJ.
~ л , 4 (sin 6x1 . „
2.4L32. Интегралы от Л(х)< . Ипях.
r (cosoxj
oo
. Г ~ x (sin&xl, „ , d* Tt-^n (sin (ал/2)П
1^4 . Hn«xdx=^: 6-®Г(л){ / w
j (cos 6xJ oan L (cos (ал/2)| ]
о
£fr>0; j.
co
~ С., , (sin frxl, . Г (a) (sin (ал/2)1 Г. . . . . . л . viajxl
2‘ 4^(а»44ЬЖЛ“^Ч«(«^/1*<а)~1П*-'2‘в S’]
0
p>(h
a>
3. ^^l^lnxdx= — ^(C4-lnft) I6>0J.
d
4. f-4-(ЯП^)|пх<Ьб=='“1/Г^Г1п(4^+С:гт1 ft>4*
’ |/x lcos6xj r 26 l 2 J
о
CO
Г л-i (sin 6x) . * ,
5. 1 x® H t >lnsxax=»
j (cos bxf
0
Г (a) (sin (ал/2)1 (R . . . . « x„ti алГ . я> /®п (ая№\~*Х
—pr{a»(eUHt(“’_,"*J:2 * 2 J +* (а) ~ 4 U(«n/2)| )
|~,|<Rea<J j.
6. f ^!L^in2xdx=% (с2-Ь^+2С1пб4-1п2б\
J X " \ /
0
7. F^£inx<te=^^lC+ln(26)-l|
[P><8*
a
2 6-33.J
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
537
оо
о I* 1 fx sin bx} , . . .
8. I -Z5n—s { t ) In (ах) dx=
J x2-}-?2) cosbx I '
о
= * г(±1->)/2 in (az) т е&г Ei (_ bz) ~g-ta Ei (ft2)J
[ft, Rez>0; |arga|<«].
bx'
bx
co
f 1 lX S’n
J x2—#a(cos
)
= n y(±1^1)/s Г ± (®!* bA iln (M-« (mi -si (m (sm
29 L IsmM ' 9,1 ' (cos MJ
[ft. tf>0; large|<я].
co
.л Г cos ax—cosftx , . , л Г/» . 1 r
10. 1 ——------------- in x dx= In -j-1C-}- - In (ab) I [a, ft>oj.
J * ft L 2 J
о
oo
f cosax—cosbx. . я r/ .. , , . , . л,
11. I -----g----Inxdx=^ [(a—6)(C—l)+alno—ft InftJ [e. ft>oj.
•J *
0
2.6.33. Интегралы от Д(х)
sin bx'
Cosftx
In A (x).
a
1. I sinftxln(a—x)dr=^(ln«—sin aft Si (aft)-cosaft[ci(aft)—C—Inft}}
0
[a. 6>Q
co
_ Г cos ftx, , . . 1 Г -o / ft \ . •<> / ft \J
2. I —ln(l4-ax)<&= 2!|s,21 a '^’C12(a7l [л b>°l-
о 1
CD
3. Г sin bx In I I dx=^ sin oft [a, b>ej.
J lx—a| о
о
co
4. J cosftxInl^i^ldx—у ^(cosftc—cosafr)+
o
+cosftcSi (ftc)-j-cosaft Si (aft)—sin be ci (ftc)—sin aft ci (aft)j Iе* b*
oo
SC cosftx. x4-al . . . _ л
• I —— In £2-д|<Ьс = ~Jisi(aft) [a>0.
o 1
G* f cos bx in (a2—x2) dx= [ci (2aft)—C—- In -^1 — Si (2aft)
о
[a. fr>0].
7- f 7^=; Xo^-x^dx^Y^)-'£Je(aft) (c+In^) [a, *>«].
538
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.6.33.
8.
оо
f sin bx. „ , „ . / b
1 -----In (I-|-ax2)dx==—лЕ1(---2=
J x \ ya
[e. 6>8j.
9. J In (I -i-ajfi) dx—л £б Ei +У^ exp
co
to. f 5M^to<x8+^^ = -^C + ,nv)X*<to) 16. ltez>0].
J Jw*z** z у
0
oo
f* / 9% \ Я
11. I cos 6x In I l-Ь—zjdx— е~Ьг)
л \ ' x2/ b ' *
о
oo
12. I ces bx In 11—CJ <&=-?-[1—cos (6y)j
v * I 1 ®
0
OO
IX J cos&xln^±^dx=y^-fec—er**)
о
f&. Нег>(Ц.
t
(fe, у>01-
f
[6, Pea, Rea2>0].
ОЭ
14. J xsm6xln^q^dx=^[(l+fec)e-6c—(l+eO)e^*J
о
[6, Rea, Reooj.
OO 1
Г sin 6x. 6z2-{~x2g2 , f_.f ab\ c.f n&Y| t л
15. I ---In —— dx— л I Ei I — ,) — Ei---} 1 lb, g, Rea>0].
J x e24-x%2 L \ h J \ g/J
Jfli-i*(x4-cF 2л
sin bx in T_\__r...<- dx= e-ab sin фл Rea>0; | Imc| < Rea].
a3-|-(X—c)2 b '
0
oo
17. f 5=M=ln (x+/S4:?)*= "-!K<,(»2) + ln2[/,(6z)-L^z)]f
J У х2-|-г2 x
[6, Re2>oj.
oo
IS. f -Д^=1п(х+/^Ч^)Л= -*-(31.,(171г)+5_1.,(-»г)1 + 1ягК,(Ьг)
У x24-z2 x <
[6, Rez>0].
19. J £^ln
i
__L V 2*(fl+3fe ^2 in (6/2)/ 62\* 1 , Л2\
e 4 Zi ЦЙр A 4/ 4V+TJ
*=1 ' ' r
2.6.34.],
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
339-
2.6.34. Интегралы, содержащие
Я/4
С -л-i 1 (sin *1 j
V х® Чп! }4х=*
Л (cosxj
_ 1 (*\a
2а \ 4 /
V f 1
Zi 4afc~1 (a+2k) (22*-1 — 1
k— 1
Я/4
2.
. 7rk28,. Л Л2.
dx~ 128 8 G 32 n2.
3.
Я/4
C i (sinx) . л
I In < >ax= —-г
J (cos xj 4
о
Л/4
Г sin”x
J cos"+ 2x
о
dx=
5.
9.
G
2
In 2 X—1^1 f л 1 у
2 ' 4 i In 41 ’
k=0
11 ±2(—1)«
2 («+1)2
Я/4
j cos*"12x sin 2x In sin xdx=— (4V)1 [C4-ip(v4-1)4-In2]
о
? I
I cos*"12x tg 2x lncosxdx=£-p—P (v)
о
я, 2
£* 1 / Я \®
I Xе"1 In sin xdx =-
J a \ 2 /
0
Я/2
f , fsior) . я t
1 ln{ }dx=—Ti-ln2»
J (cos xj 2
0
л/2
f . (sinx). . 7
I xln{ }dx=±-|^^(3)— -fi ln2<
J (cosxj lb3' 8
0
Я/2
fanx?
x2ln<
I cosx
_L_ V
a jLi 4*(a4-2fe)
fe=i
л®
jC(3)-^in2.
(Rev>0].
(Rev>0).
[ReetXJj-
0
я/2
'4
e
CM 2
[Reffc>0].
540 ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (2.6.34.
12.
sinx)
cosxj
(д_п н
' лп
(А = 1, если я=1, 3, 5, ... ; А=я/2, если п=0, 2, 4,
...J.
IX
Я 2
ln(smXldr=ln2—1
(€08 XJ
О
И sin х)
COSXJ
Я/2
14.
о
г I
4 L(H + l)/2
[Reji>—2].
15.
Я/2
Иsinx)® . (cosrl . .
} ln{ . }dx=sZe
cos xj Ism xf
[л=-2, —1,0, 1, 2,
Г Л w f Л .A V
-s=—2 » ^-i=—g» h—---------2 ln 2*
((л-l- l)/2]
Л /1 I 2 In 9' / ____ А (П 1) П
-^(Ц-21п2), /„---------------------
Г2—+B| .
k—r 1 I
jfc=i J
(А=я/2, r=o, В—21n2, если я=2, 4, 6* ..., A=l, r=l/2, В—О, если n=l, 3, 5,
Я/2
f <w~*a»~,tof,taAU='
J (cosxj 4 \ 2 ’ 2 /LW (v/2)J \ 2 /J
16.
Reu=>0, Rev>—2)1
Rev>0, Re|4>-?2jJ‘
17.
я/2
f cosv lx, . 1 L,fv
I -----Incosxar-—.-4»
J sm x 4 Y \ 2
о
[Rey>OJ.
18.
Я/2
(* , (sinx
I coe2nxln{
J I COS X
Л ( 1 ,
4л l(—1)я
[л=1, 2. 3,
19.
0
X
sin x ।
cosx1
, (cosx) . A AV Л
ln{ . } dx=-± (In 2—2) — -.(! 4=1).
(sm xj ' ' 4 ' '
я/2
20. J cosv ixsin vxsmx lncosxdx=2_'v'2n[C+if (v) — 1/v— ln4J fv>OJ
о
21.
Я/2
f ________1_______। fsinx| 1 Г I a l±». |^|_ л]
J (asinx4-bcosx)2 (cosxJ а34-&2[ , | | ln | b | YJ
fa>0; b^Q, Imfe=0]
£.6.34] 2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
л/2
С 1 , (sinx) . л . Г 1 ton
’22. 1 9-9 TZ5--------5— in 1 > “= s-г In ! —T-т { } I
j a3sm3x-|-63cos3x (cosxj 2afr |a-|-6 (ajj
о
л/2
I 23 f s’” 2* i J8*11 XI — * P~l\ a
J (asin3x-{-dcos2x)3 ,n (cosxj dX-2to —a)(a M lnT
I 0
л/2
* C cfisin3 r —&2cos3x , Jsinxl . _ n /fr"1)
J (a3 sin2x4-d3cos2x)3 (cosxj 2(o-p)(a j
л/2
25. ( ---1..- In (ИП xl dx= - 4 К (k) In Jfe—
J Fl-Л2sin2x 2
- * К (Fl=F) + £ (1 т 1) In (1 - й3) К (*)
л
541
(a. Ь>0].
[e. b>Q|.
[a. Ь>0].
I0<fc<l],
26.
sm»-1* In sin xdx——F^ Г
u/2 1
0*-H>/2|
(Re|*>0).
27.
Я
I xsint*-1xlnsinxdx==—q^0(|O
•J £ \ ЛЯ & J
0
[Re|i>0].
л
__ f , f sin x ) . я2л
28. I xln< ydx=—;rln2.
J (|cosxjj 2
0
л
29. f x2 In sin xdx=—to2—
J о
0
rtn
OA Г . ( - I j Я2Я3 . л
ЭО. 1 xln | sinx|dx=----ln2.
J
0
я
31. sin 2nx In sin xdx—0.
о
32.
л / n — 1
C 2 f 1
I sinI(2n+ l)x]lnshixdx=^—lln2—2 £, 2FfT
5 ' t=0
я
33. cos[(2л 4- l)xj In sinxdx—0.
0
я
C ... я
I cos2flxlnsfnxdx=—
о
35. f яп^хсобГц!-^—xj I Insinxdx=—2"^*я1п2
-i L \z / J
0
[n=l. 2, 3. ...J.
&i>—1].
ж
542
ГЛАДА. ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2Ж.34.
56. я С sm®”2xcos2х In sin xdx= —. J 4n-f-2 (2n)I! 0
37. Я C In sin xdx я , У a2—b2 1 = -7== In t=— [a>0, a>«. 3 a-f-bcosx t£—b® e-f-ya2—ft2 ЯП
38. P 1 . (sinbxl, __ пл 1 ^a26» ,] 4— 2a cos x-f-fit2 [cos 6x1 x 11 — a21 2 0 [n=l. 2; q>=sgn(l—|a|), |a|^I].
39. Л C cosx In sin xdx _л|14~а2| лаФ1п2 J 1— 2a cos x-f-a2 ~2a l-a2Pn(I “ ' |l-a2| 0 (1 e|-#l; <p=sgn(l—jo})].
40. f ।~Г—г1п(8*П <&=-о-гг"—П № +a2)ln(l Ta»)—2a1+»ln2J J 1—2acosx4-a2 (cos(x/2)l 2a 11 — a2 *' * ' 1 « г [|a|#;l: q)=sgn<l—|a|)]. 2Я
41. (* cos (x/2) , fsmbx) , л I i—n—1—»In.< . >ax=Q rlentil, j 1 — 2acosx4-a2 [cosbx] 11 J 0 2rf ’
42. C 11„(1 ta 2 J 1—2acosx-f-a2 2a a—11 ' * a—1 0 . (lal^l; 9=sgn(i— |a|)].
43. C sin x , • . я . n 1 -In sin xdx in 2. Л V 14-sin2x 8
44. я C sin3x , . . In2—1 1 - lnsmxdx= . J V 1 + snFx 4 OO
45. C ln|cosx| . _ s J «2 2 • 0 oo
46. f ln{|staaxl|-^^ = ^lnl^4—“ Re2>Q3' J (J cos ax [j x24-2® 2z 2 0
47. OO ,] (| eosaxlj x2—«/2 8y 2 0 OO
48. C^2^- ln|cosax|dx=^-0Jn2— «0 is. 6>fl|. b
2.6.35.}
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
543
49. ео | In jcosaxjо!х= [chftzln(l-|-r'2e2)—r"62tn2J b [0<&<2а; Rez^>0J. оо
50. yn^+ggjln 1cos = Z« fe’ b- Rez>01. b /1 = - J z~2(sh bz In (1 + r-2°2) - (1 -e~bz) In 2J, 1<ь~~ z^[(bz -j-e-fes> In 2— аг— di bz In (1 + г***)]. & eo
51. I 2v~'i *~l sin bx In cos? ax dx—л In (1 + e~2B2) z~* sh bz— zr2 -i~ xz~2s~bzln 2 0 [0^6<2a; R«z>0].
52. CO f ~~ ln|cosxldx= — ln2. ,1 x 2 0
53. J 1П(2+2С<МЛ=^ ЦХ,} b [Rez:>0; 6<&<1].
54. C —!—(xsinM ln(2-2cosx)dx= + n J x24-z2 (cosftx J 4 (z 1chftzj 0 [Rez>0, 0<&<1]. . ~ fsinftx} 2.6.35. Интегралы, содержащие 1 Lvb (/XJ Я/4
1. f 92B 1 1 tg x In271 cos 2xdx— (2n)! g (2й +1) [n= h 2, 3, ...]. 0 Xj4
2. p | 02/1+1 1 tgx ln2B+1cos2xdx= 4(Й -~|y Л2л+21 B2n+al* 0 rt/4
3. f cosv-12xtgxln« cos2xdfc=-~- P'B’(vj [Rev>OJ. 1 £ 0
4. I sinH-i2x tg x\ ln« sin 2x dx =-fcft+1 ’ fRe J \ 4 / P u* f " 0 Я/6 я/6 4
5. f ln2(2sinx)dx=^. 6. 1 xln2(2s!nx)4fe=25^. о о
544
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.6.36.
Я/2
d*=4(ln22+S
Я/2
8. 1пп(2япх)Лг=/л,
0
. л , я® , Зл . 19 _
О» А 24» ?s 480 ** *
». ( xta>(2sto*)<fc=Li<(|) + ^ta‘2-^ln»2+^ln2C(3)-jggn‘.
6
Я/2
р / 1 \ л 7
10. I x®ln2(2sinx)dx=я Li4 (о) + <>;. 1п*24- Л1п2£ (3)
\ £ / я* о
о
37л»
2880*
11.
Я/2
f In2 (2 sin х) ln(2cosx) dx=-o я£ (3).
о
я
Г 7л®
12. I x2ln®{2smx)dx——
I «VI
о
2.6.30*. Интегралы от А(х, sinx, cosx)ln(acosx-|-&sinx4-c).
я/2
1. i ln(l ztsinx)dx—— ^-ln?±:2G.
s
Я/2
2. i ln(l ztcosx)dx= — -Jln2 J12G.
1 <L
0
Я/2
i. f Infl +4ЙПХШАТ'<и-42-1 arccos». J.K»
Л \ IcoexJ/ (cosxj 8 2
6
Я/2
(* cosxIn(1 -tzocosx)^ _
‘ J 1—a2cos2x
0
1 Г. / л \ arccos a , , 1 + 1 ... «Л
= —r '— I LI-------arccos a)-In (1 —a2) -]-л In (1 — o2) j
aKl-a2L \2 I 2 4 J
(0<e<lJ.
C /. a-l-Va2—6®
5. 1 In (a±bcosx)dx=a In — —-----
J «
b
Л
p . . dx . .
6. I ln(l+bcoex)----—я arcsin b
w COS X
0
[о. b >6].
[|*1<П-
2.6.36.)
2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
545
ОЭ
C 111(1 _tcosx)dx= — nshfezln(l ±c~z}~ ” ln2
о
Re zb. О].
О
+ cosx)dx~~ [ch&zlnfl Jre^)—-^-e-&2ln2
[6, Rez>0].
i 9. £ ln(a?—2a&cosx4-&2)dx=2nln(a|
10.
c
= л In, a | ± n/(2a)
f ln(l—-Загоб-УЧ-Д2)^__
J 1—2&сивх-|-Ь2 ~~ 11—б8!
0
14.
15.
ЯП
J ln(aa— 2аЬс<ях+&)4х==2яп]п\а[
о
ЯП
J cosr«xln(l— 2acosx4-a2)dx=—
о
[|в|<1].
; л—1, 2; m=l, 2» 3, .
16.
ЯП
? «nzstomxj ™ /
J (cosxcos/их) 2 \
0
^m+i ftm-i
W4-I 1
а,
17.
18.
19.
2я
J cos((m—l/2)xlln(l— 2acosx-be2)dr=O
d
2я
i £S^3in(,“2“c“j'+a!)<ii=o
J (COS(X/XjCOSrtXJ
0
2л
<• (sin(x/2) sin j(n- 1/2)хП ln (1 _2oco.x+o5)llt=„r± *!! _
J (cos (x/2) cos 1(« —1/2) xjj ' Ln n—1
0
a, |af<l
хл f«i>i
f
oo
f ln(l—2aoosx+<&)-£
J x "T
'0
ut А. П. Прудников в др.
= —ln(l—ae-^)
[lal^l; Rez>OJ.
546- ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [2 6 37.
21. =—1п(|л|—sgnae~*)
Rez>0j.
оо
22.
о
fla|<l; Rez>flJ.
23- ==2^ln{laS~Sgnfl^ir)_2^=^‘ [|а|>1. Rez>QJ.
® и k
24. I — 1п(1— 2acosx-|-a2)dx=—V ~ [14-sgn(b—fe)]
О ' *==1
Р>Хк 1«КЯ’.
' от 4 ♦
• 2^~II+sgn^~^~2InIfl[l ’
/г = 1
[Ь>0, |а|>1К
оо
f —2acosx-j-a2)dx=— {ch bz In (1 — ае~'г)-}~
0
от
,sh[z(b —fe)]} [)а|<1; b. Rcz>OJ.
*
fe=l
f ОТ k 1
27. = — <chbzln(|a| — sgnsee~r)4- V ^-sb(z(b—fe)]—shfezlnjaj
Z I Ani fc 11
I fc=l J
[|a|> 1. b, RezX)].
28.
Я/4
(* Л 1
i In(cosxrksinx)dx=----„ ln2zt-» G.
J 8 л
0
2« _______
291 I* In(a4~6cosx+canx)dx=2Kln[(a-J-yra2—ft2—c2)/2] [a»>6*4-c®j.
о
2.6.37. Интегралы, содержащие
я/2
4 , a4-bsinx dx
I 1П---i-7--------
J a—bsmx sinx
о
= it arcsin —
a
gt cos x-Ь &i ян x^-Q
g2cosx4-b2smx4-c2 *
ВЛК'лВ-
я/2
С , a4-bcosx dx . h
\ In — -г—--------- Jiarcsm —
j a—ocosxcosx a
о
IlbKIefl.
cosx fa 14-bcosx^ я fa l+ab + l^l—д3)(1—b2)
1—sPeos2x 1—bcosx 1—яЬ4-К(Г—a2)(l—b^)
[0<b<a<lJ*
38 ] 2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 547
» л
. (* . 1 + яп х dr _
; 4- I In-j-r------=arccos2a [|л|<1]
14-asmxsmx
о
5.
6.
Г /о > । 14-2acos «4-а2 , 2ла±(2п+,)
I sm (2n +1) x In . !-^--—» dx=(—1)" —x—r-r—
J ' 1 ’ 1— 2a cosx-j-a2 v ’ 2n-}-l
о
2-t
C , 1— 2acosx+as , 2л , -»-m/n +m\
1 cos mx In —x-------dx=---------{na- ‘ —a~m)
J 1— 2a cos/гх4~ a2 m
о
2Я
Г , x , 14-2acosx4-a2 , л
I Ctg ln7 - £---------;-rOX = 0
J 2 14-2a cosnx 4-fl2
0
/la'Ci
l|a|>l
[lr a = 0].
К a I < 11J
co
f , 14* sm x dx n2
I In ----------— ъ -
J 1 — smx x 2
0
OO
C In I СО5х^~ап x I _ д8
j I cos x— sm x j x “ 4
о
10.
oo
1—2a cosbx 4-a2 dx
1— 2a cos ex 4-a2 x
= 21n(l—a^1) in
— I П ~ l<a<i )j
b I или a= — 1 jJ
0
2.6.38. Интегралы, содержание In (acos2 x-f-b sm2x4~c).
Обозначение = 1 —йа, 0 < k < 1.
Я/2 _____
1. f In (1 -|-b sm2x)dx~nIn ~ [b>—1].
•J “
0
я/2 . _ . r_______
o f fsmx)2 5 , я (. 14-K14-6 —I 1—у 14-b\
2. i < > In(14-bsm2x)dx~— Ln —— !— -»--------------<=== J
J (cosxj 2 \ 2 2 14-У14-6/
о
[ft > - 4
я 2 r_____
s. f л=-^= m , l+fT7^ - В. I. I»I < U.
J 1—b2cos2x /l-Ь2 /l-b24-/l-a2
Л/2
4. ( In (ct2cos2x4-b2 sin2 x)dx=л In [ab ^0].
_1 M
0
Я/2
- f „ . ft .9 fsin х|2\-я»/2, f, fsin x)2\ . rn .
5. I xnsmxcosxi 1— ЛЧ I j In 11—j dx=J^9
о
JLl = 2^{3я {— 1^ 31П F)} — +6jfe4-3Jfe'S I" К (й) 4=
+ (2 - й2) (14 - 6 In й') E (fc)j,
IB*
548
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРХЛЫ [2.6 38.
J[=Jzk 2[(2-Г)К(ф-(4-1пГ)Е(4)[Ч-л4 4\(| 1ПА#)
[/ (Ь'‘) X ~1
^2 -Г-|" J InГ) К(k}—(2-Ink')Е (*)J,
JJ=+ Г2 (2+ In kf) К (*)+лГ2 lnkW
я/2
f . /1 + sin q>cos2x\ . , 14-sin(<P/2)
I In ’——X-------- ) dx— л [n _!--
J \1 — sin ф cos2 x/ cos(q./2)
11ф|<л/2Ь
GO
fsinx/. fsinxVX-i/2 . Л ,, fsinx)2\ .
I ---(1—£2{ l 1п11±Г{ > } dx=
J x \ (cosxj / \ (cosxj /
о
= 1п-(^ К(*)-£К(ИТ^).
* У k 8
С А /ап 4*)-'» in (1 -Н8”1 44 *=/»',
J к \ (cos к] ] \ (cos xj / Я1 >
о
/1!Г‘ =/V=(2-fc2) K(fc)-(2-ln£') Е(£), /[• • =/ь 1 = In ГК (4),
/,•••=±*-«^2—4»—К (ft)—(2—In 4'| Е (ft)J,
•=►* 2Г^_2+( *|1п4']к(4)+(2-1п4')Е(4)1,
L\ i / J
JU 0 = /ь -1 =г~г[(Г-2) К (£) + (2+ Ink‘) Е(*)J,
In Г К (k)-(2+In Г) Е (Л) ,
О == /9. -1 й-2}^2—г+ {Y} 111 *') к (Ф-(2+ In 4') Е (4)J-
оо
9. J ln(a2cos2cx4-&2sni2cx)^~“ = [In (achcz-}-5shsc)— ас]
о
[а, Ъ» с. Re г > О}.
10. С tg ln (sin5rx+rcos2X) Лв j_ h 2(Г)3* к
S V1— Гсов2х 2 1-И' 1'*
С ± (*2 х Iln (s»n2x+rcos2x) л=_L jn 2(/fez)3
J х (smx/ у j—rcos2x 2 1+4*
я/2 * г________________
Г In (sin х4-У sin2 х— sin2 ф) .
J 1—a2cos2x dX“
Ф ____
~ — -V J. Farctgf—In sin Ф+— In 2"— * ~g2 -----1
У1—a2 [ \Ki—e2/ 2 y^l —e24-]^l —а2со82ф J
[ a <1; 0<ф<я/2}.
2 6.39.}
2 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
549
2.6.39. Интегралы, содержащие In A (tg х).
я/4 я/4
Г Г 1
1. i lntgxdx=—G. 2. I sin 2x In tgxdx=— ln2.
•< “
о 0
Я/4
f ln tg* dx
J cos Six
0
Я®
V*
5.
Я/4
C cos 2x , . . arcsm a . _ . .
1 -=------г—ТГ- In tg xdx—------—, — (я qp arcsma)
.1 11 а яп 2x ъ 4a
о
Я/4
(* errs 2x In tg x ,
I -----------ax=
.» 1 ± a sin2 2x
о
(I а | < Ц.
tie | < 1].
Я/4
6. f ln(l _fctgx)dx= q ln2—
Л ®
0
Л/4
dx
я1
8.
Д dx
яа
о
Я 4
л
4
я
4
о
Я/4
£* fit X dx О2я+2—1
8. J Intg^ «»4 D(2»7i) ЯМИ|В^»!-
О
Я,4
(• /« \ 1_92/1+1
10. i lntg(J±»)(lnlgx)«-*^=±l^r4r{2/»IS(2«+l)
о
1я«1, 2, 3. ...}.
Я/4
11. f In tg(£±x}(lnsto 2х)"^+ = Ц!£п! Е("+2>.
е
я 4
12. ( &n Ц х__ fa-------------А._ ., п, (arcsin а) — arcsin а In 21
J 1— a2sin22x 2а У 1— а2
Pel < И-
£• sin >*х In tg х dx
13. 1-------------------------- ---- =
J (яп2ф 4- tg* v sin5 2x) V sin2 2x— sin2 q>
я cos2u , ant' + /l—cos2<pcos2i>
= — --------- jfi-----!----------X---—
2 sin ф sin v sm q> (1 -j- sin f)
я/2
U. j lntgxdx=0.
(6<ф<я/й 0<»<я/2}.
550
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2 В 40.
П/2
i* л
15. I cos^xcos (а-Р 1) xlntgxdx= —
о
я/2
16. i cos^xctgxsm (a-)-l)xlntgxdx=-^-[С-Ьф(а4-1)]
1 M
0
Л/2
17. tg x In tg (x/2) (In cos x)« dx = (—l)n 2~n~^nt £ (n+2, 1/2).
о
Л/2
18. f —faA* - dx= — In УТ^№ К (fe)
g /1—fe2sin*x
[e> 0].
[0 < fe< 1].
Л/2
19. ln(l+tgx)dx=^ In2-|-G.
о
CO
„. C In I tg x I . л , ..
21. | , -1 dx—-7Г- Inthz
J x2+za 2z
0
22.
114-tgx
11—tgx
dx _ я*
x ~ 4
Л
20. I x In | tg x | dx=0.
[Re z > CJ.
J \ (ctg ox) /x® + z2 Ж \ * (cth 02} J
0
2.6.40. Интегралы, содержащее показательную, лога-
рифмическую, гиперболические и тригонометрические
функции.
ОО
« Г „..fsinfex) 1 j
1. I е~Рх{ . У lnxdx=
J (cos bx}
о
= ^r[{_»}are‘e|-C{J}-|{^} >"<»’+/-’)] [Rep> limb'].
ОО
« Г v» i Г5*11 Ъх\ . .
2. 1 xfx’~1e~Px ( . } In х dx=
J (cos bx}
о
=Г (a) ln(^+^± Mdg A{c*;}]
|c=^aarctg45 RepXIm&f:
L IP I OJj
co
3. f e~Pv S*n In xdx=— arctg — Гс-|—In (р2^-^2)! [Rep>| lmt> Д»
J X p | 2t J
О
2J6 40 J
2.fi ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
551
GO
я С -О xsin bx , .
4. 1 е 4 ----In хdx=*
J х
о
“f ta (т) Пй1+
+ [Kft (йе1"/4 + Ke (2e"rt‘/4 Vft?)] [&. Re д > о].
оо
5. sin bx In (1 -he*-**) dx=*
Q
1 f\. л , Л , ib \ . К ib \ , . f a-}-ib\ . /a—ibVI
= 45Vta2-*V + s)-*V-2s)+*\-^')+'tk_^')l
[&• Rea >OJ
oo
Л. f sin ftxln(l —e*ax)dx—— *Гх+ф(1+—) 4-*ф fl ——
1 1 \ Q J \ flf
0
[ft. Rea>0j.
OO
7. J COS bx In (1 + €-«*) dx= 2^- — 26 sh (ta/ay (6яуд)}
о
(ft. Ree>0].
GO
о
[ft. Rea >0].
oo
9. ch ax cos bx In (1
6 <>
[ft. Ree >ffl.
oo
10. f COS&X In fl+^^=7-^7—fch^-dhafr) bftXfc IReaJ<it|.
J \ di x j b sh Ья \ 2 J
e
11.
co
cos bx In
6
chx-j-srci а
chx —sin о
j nsh ab
"“bch(bn/2)
[ft>0; 21 Rea|<ej.
oo
12. f QOS.ftxlnC1l*tCOS-a dx=—^--(chcft-chaft) [6>6j |Reo[, lRec|<H].
J chx+cosc p shaft
о
C/x-px1nf2[Sina*4/fr==—О V —
j [21 cos ax JJ V 2L b(p2-f-4a2^)
о fe—1
GO CO
U. j e~₽*ln |ctgax|dx=2p (2fe — 1) (p^+4 (2fe — I)2 a8)
o ft=i
[Re p > 0].
R₽P>fl-
552
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.7.2.
л
15. e°c<BX[ln(2asin2x)4-Cjdr=—лК0(а) [a >0J.
о
со
16* i Ух*—1 О ln (x+V*3 —1) dx—arctg КоР®-Ь6а)
1 [Rep> I Imb ц.
17. C -r- — -—sin (ьу\34-2дг)1п ~^2gX dx=s
Л/х*+2ах a
0
.=e°P агс1&1-~\Кв(аУ&+р?)
is. f I*1 <»!" ХП Л=IГ («+») I farg <“+®H
,j [cos(Alnx)J ' 1 [cos arg Г (a -f-ib)J
о
[Rea> | Im&|; aigr(r)=—
L I * I j
2.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.7.1. Введение.
В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения
которых входят обратные тригонометрические функции. Они могут быть пре-
образованы к интегралам от логарифмической функции п от степенных функ-
ций, если воспользоваться соответствующими формулами, приведенными в при-
ложении I. В ряде случаев интегралы от обратных тригонометрических функций
с помощью замены переменной сводятся к интегралам or тригонометрических
функций. Например,
1 1 _____ л/2
^arcsin xdx— — i In (ix-f-K 1 —xa) dx= J x cos xdx.
oo о
2.7.2. Интегралы общего вида. '
В эгом пункте помещены формулы, которые позволяют находить инте-
гралы, содержащие обратные тригонометрические, а также степенную, алгеб-
раические и тригонометрические функции. Некоторые частные случаи этих
интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих в них пара-
метров, приведены в последующих пунктах. Интегралы общего вида представ-
ляются с помощью функций У/, /=1, 2, 3, ..., помещенных в приложении III.
Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приводятся в
фигурных скобках после каждого интеграла. В п. 2.7.2 приняты следующие
обозначения* r ~ p!q, где р и q— взаимно простые натуральные числа, если
не указаны другие условия;
( 1, если взят sin bx,
[ 0, если взят cos 6х;
1/2, если
О, если
О, если
если взят sin Ах,
1 I, если взят cos 6x1
взят sinabx, п — 1, 3, 5......
взят ыпй Ах, л=2, 4, б, ...,
взят cos«6x, п— 1, 2, 3, ...}
o
fsin 6х)я . / х V . ., . |
< . > arcsin —I dx=I (o) ,
(cosbxj \yj o=r
2.7.2.)
2.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
553
w 2 2 a[(n/2)ipV 4 |_ l+a/(2r) J +
[(n- 0/2J P-1 .
(-1Г2-»-Чч у (n\ у (-!)_* £2у+м _ 1 fr
ry~* e[k) L W ^Г(2у4-1/24-Л) V
1/2 4-£
/1,В/<7. Aft, 1/2-H); z\
«к2 2p+9H Д(9( Д (p> 27+i/2+h)t A(p, 14-Л) J*1"
1 / 1 rr 1/^ rr P /1» ^/^7> ZYl
+ ( 1) ar я 2?4-1/2-|-Л)> A(p, 14-ft), 14-g/<?/J*
Z — (—i)Pb%Pp~2P [p.&2>0* Rea>— ro—йл].
V
A f r. , (sin bx}n f x\r . . . .
2. I xa-1 { , > arccos - I dx~I (a)
j [cos bx) \y}
о
CO
3. f л®-1 /S*n arcsin \ dx=J (a)
j Icos bx) \ x /
[см. 2.7.2.1].
(T=l
J(a) = [/
2 Z а[(л/2)!Г
[(a-l),2j _ p-l
1/2—a/(2r)
l-a/(2r)
k^o
/1, A (7, g);
Х0+2^2р+?41 I ? / 1 \ / 1
\1 -b J , A (P. 1 A [q, 2 4-1), A fp, --4
(-1)°» я у П\ у <1/2b
2» Z U)Zjt(i+2Bx
fe=0 /=0
v7Ml+20-arry+(a-<)/2-/> 1 x
X о 1 I . z« . , x/л I A.
1/24-2? 4-Я ]X
2y ’ U Д^’ 2
x 0+2г2р+9+11 l-l_9j
2?
4-±^
[(n —1)/2)
+(1-а)^22-«ЛаГ 1/2TX_a| 2 eU)^“
|_1/Л"Т"У U»J ЛШЛ \KJ
p— 1
__ПЛ3/^"*1— j2V+2ft -__?_____X
0JX 2 r feft! Г (1/24-2?+Л) X
ft = o
? = (— l)P&2Pp-2P
i, l/<z; z\
14-1/7, A(p, l/24-2?4-/t), A(p, 14-ft)/’
[0 — 1 — V + jr -Цг — a)/2; p, b > 0; Re a < Oj
& = o
z
554
ГЛАВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 7 2.
оо
4- 1 &{rmfcJ arccos v1 dx = /(°f)!<T-4» [см. 2.723J.
J ^l.U9 UaJ Д л j
V
У
_ C i <®ta Me • Г fx VI j вг / к I
5. i Xе1 < . } sm I v arccos f —) dx= К (a) <r_i»
J [cos 6xJ L \ у) J
о
к — V । *+(— 1)” o-w-a/r яп- / v \° tp*r (a-1) v
К (0) = ^+—2--------------2 г (рг/2)!]3 \2/ * X
xr a/r 1
La/(20 + (v + l+a)/2, a/(2r)+(l+o- v)/2j
/f = f-V Y* 31 2 2^>Г 1
1 36 \2J 2«-*r U + (l+o+v)/2, g4-(14-a-v)/2, 274-1/2+Л|’
a = a+r(o—1), at=^ *х=В+1/2, ^=£+(1 +«+*>/2,
<*i=l+(l+<J-v)/2, ^=2y+l/2+ft, z=(-*2//>2)4
[9, 6>ft Rea>—6/1].
у
6. J xttl (y2r -?r)’1/2 cos [v arccos j dx=К (ff) |<j_0
о
'[cm. 2.7.2.5J.
7. f x01-1 /sin Tv arccos [—1 dx—L (a) |a_lf
J (cos bxj L \ x / J ' iV 1
У
L (о) = V,+V„+1+(~1)Д 2^а/гX
у tfl-+r «У-1> Г Г1 a a/r . 1
U+v/2-a/(2r), [-^/2-d/(2r)J
na^va Г P a 2* 1
^ей-п v f [1+v/2-g, i-v/2-В, 2y4-l/2+/iJ’
38 (l/2)z U-O2. e2r
F_____ММ-п-о (— l)7 г Г1 —da 1
£k__ jt-v x gj.
u=a-}-r (a— 1), o2=r (1-04-2/)—a, v8—r (2—a+2/)—a,
ai=^-v/2, &x=^+W2, c1=(l + o)/24-g, 4-a/2+g,
^=274-1/24-/1, O2=(l—v—o)/24-/, &2—(14-v—a)/24-/,
c«= l/24-А 1 -T-a/24-r[(1 -<r)/24-/J.
«2=7+0 — a)/2+r [(1 — a)/2 +/], Oa= 1 —(a+v)/2 4-/,
63=l-(a-v)/24-/, c3=3/2+/,
<4= 1 — у—a/2+r (1— a/24-j), е3=т4-(1—a)/2-br(l —0/24-/),
г=(—62/ра)Р} [у. *>0; Rea<r (L — <т)].
8‘ J Х°С"1 to}"COS[V aFCCOS ( x Л dx=L
и
[CM. 2.7-2.7J.
2 7 2 ]
2 7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
555
9.
dx = M (о)
М((г)=К36-|-У36 + Из7+
1 -И- 1Г(- 1)®К« 20£Л“Л «I „a+rvr fa/2+a/(2r)t -v-a/r
2 F(-v)[(n/2)ip У l(H-a)/2-a/(2r)
e*
E.( |y V*-"* г Г ~V-25’ a/2+E 1
“» I ,r,r(-v) [0+<0/2-5. 2v+l/2+ftj’
9 v-д—I»» г n
£ — ПСГ+Л-1---2~v”lt_p Г Дз.
37 ( U r(-v)(3/2), М-*з»
u==a4-rv, o2=r (2/—v)—a, »3=г(2/-H —v)—a,
^=0/24-?, ^=(l-a)/2+^ C1=i+v/2-J-|,
di=(l+v)/2+£. e1==2T+ 1/24-Л, O2 = (a-v)/2+b
^2=(1—a—v}/2+j, 68=1/2-1-/, d8=l—u—a/2+r(/ —v/2),
62=(1 — a)/2+y+ r (/ — v/2), a3=(1 —v-j- o)/2 4-/,
fe3= 1-(a4-v)/24-/, ^=3/2-|-/, <4=l-Y-a/2+/-[/+(l-v)/2L
^=(l-a)/24-Y+r[/ + (l-v)/2], z = (— 1)рьфрр-2₽}
[1__________________t_n« 1
b, 0>O. —n6 —/O<Rea<-----rRevl.
A _f
W. j xa 1 (?r 4- yZyP b^n cos [v arctg dx=M (o)
о
< i (cm. 2.7 2.91*
H. j xa 1 (x2r-}-i72r)v/2 sin |v arctg ^yj dx= N (a Vi»
о
^ (°) = ^35 + ^36 +
, 1-К-1)я (- l)gКд Г^а^Я» -Га/г, (<r-v)/2-a/(2r)l
"* 2 Г (-v) [(fl/2)»p , [ (l-j-a4-v)/24-a/(2r) J
(f J-iF” о-и^гГ2В, (<i-v)/2-£ ]
I 35 гГ(— v) L(i4-a+v)/24-g, 2у-|-1/2+ЛГ
f»=Г7Z^Г2““!MГ^Г_2+2' ,_*1’
1 ( V) lc3» 3s J
u=a+vr, u2 = r(2/4-0—v) —a, at=l, *i = l/2-f-g,
Ci=(1+ff+v)/2+^, d^l-Hv-oJ/a-H, бг=1/2+2у+Л,
O2=(a—v)/24-y, &2=(l+o—v)/2-b/, c2=l/24-a+/,
1— T—a+r[/+(e-v)/2b ^2=1/24-y—a/2-|-r(/-b(<J—v)/2),
Z= (— l)P+?^Pp 2P} I*. P>0; —nS<Rea<(l—(—l]“)/2 4-/w —rRe v].
556
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(2.7.3.
12. f х®'1 (х^+/r)v/2 !£)* cos Tv arctg (-9-\ 1 dx = N (о) }„_«
J JCUb ил J L \ Л / J
0
[СЫ. 2.7.2.11].
2.7.3. Интегралы, содержащие
arcsin bx]
arccos bx
i _________
1. £ arcsin (в*Фх) dr=sgn (cos q>) arcsin (К 1 — sin <p) —
0
—'Cosq>+ К2 sin qpcos ['2<р4*я)/4] +»{in (К 1 -]-sin qp+Vsin
sin ф —V2sin ф яп [(2ф4- я)/4]| (0 <ф <Я].
t. (,^(теЬ*и=^[Ат4--г|<“+’>/211
J (arccosxj 2a|_(0J У я |J4-a/2 JJ
[Rea>-{J}]‘
f x (arcsin . я (In У 1—fe2)
•’ r(l— x2)(l-62x2) (агссозбх/ 26 tin (14-6) )
(P<fe<i).
i
4. ( arcsin x dx= ~ [/0(p) — Ц(р)—erff
J *P
о
(|'«вД|<«К
i
5. f xerP*arcsinxdx= ~ (Le (p)-/0(рНрЦ (p)-p/t (/>)] +
J P
о
Нв'ЯРКя).
1
a C* . z ___\ (arcsin xl . 1 х г . о >
& 1 ЯП(лхл)<агргпк JS-((T Ip-Л(япИ («= U 2» 3» .]•
J lalvvUD Jfrl лП
0 * 1
1
- C . (arcsin x) . z« . fл/21
7. I lnx{ >dx=±(2—ln2)—( ' >.
Л I arccos xi ' ' i 0 I
о
1 oo
Г arccos x . vt (26—1)H In (2fe-|-2)
J Inx jL 2*fel 2&4-1 *
о fc=O
j
®. I e«* Jarcsm 4 ^x= F ” [fch a|—/e(e)l
J (arccosxj a Li6*®} ' j
1
10. I ch oxarccosxdx =-” she (а#<Ф
J a
—1
11.
p Isi«(«^))arccosxdx=slf(-lP-^(««)
1 (cos(nxii)j n ( 0
— 1
[n = l. 2. 3» ...J.
F
2-7.4 )
2.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
557
2~ л т» . , . I elicit ЛI
.7.4. Интегралы от А (х), < . } .
' (arcctg xj
1
Г f arctg (e*’₽x)) . л cos <p , 4 <p .
’• J (arcctgfAr))*^ +-^ln(2c«iq>)T ’ «Ф*
0
i Г 1 . 14- яп ф , . . 1 , ,
±z'2 [ 2 ln 1^-~япф + яп Ч>ln (2cos ф)—Ф cosф I ПфКя/2].
1
2. f arctg2xdx=^ + ^ln2—G.
J lb 4
0
3. U.
J (arcctg (x/a)) 4a |_ \ 2 /J 1 10 Л
o
a
Г 1
4. I — arctg (x/a) dx—G.
о
[a>0>.
oo
6. § arcctgaxdx—79
e
/л\«-1Г 1 у (—l)*n2feB2fe
*п~п\2) n~l + Z. («4-2*—1)(2Jfe)! *
L k == 1
L-! (arctg X )Л=________________”
J (arcctg xj 2a cos (ал/2)
0
[a = 2, 3» 4, ...],
Z2=n In 2.
(0<-ьКеа<1].
8. f „afetg/y _ rfY=s In (ab-b/l-fa2^) [a, Reft>0).
J x У a?—x2 2a
о
9. f -7X -— f arctg dx=— (ab Jt 2 V1 + ab + 2) [a, Re ft XJJ.
J аз—Л2 (arcctg bxj 4b
to. f Xarctg6x__^„„^^rarcctgOg-arctgl^-l±g£-l
J У^а2—x2(x2—y2) 2yy2—a2i_ r ^2(y2—a2) ]
[0<e<^; Reft>0}.
558
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 7 4.
а
С х arctg х . .. .
1 “ ^=z <а’ с’
J У са—х2(х2—у®)
/ /_J_ j уз\ К? я2 j I 1 !
\/з’ ’ ) 576 ’ \/з’ /2
(Ут->М=
[0<вСе<Й.
г 2
— л2,
96
гт=, Кз)=Кю
'й- -% ъ >^=-£
/(1. Кг, Кз)=-^.
*тО
Р arctgB bx . .
,2* j Кег;
о
/‘=4[^-4ln2(l+te)-1г-МпУ Н Li’<'-*4
, лГяа - 14~6z of./l—6z\l
'=42le-tf^—2L4~ •
оо
13. f dx=^Lz [arctg(K26z4"0+arctg (K26z—1)“arctg 6z]
J fxlx'+z) У z
OO
л. (* arctgbx , я ,
14. 1 —,-Л -5xd*=o'«-ln(l+M
J x(x24-z2) 2г2 ' r *
о
[b>0; |argz|<«].
tfi. Rez>0[.
oo
C arctg ax—arctg bx я , a
J x “2nT
о
oo
16. I arcctg ox arcctg 6xdx=—In
<? 2
15.
[a, b > 0].
(a-i-b)1/a+1/b
a1^1^
la, fr>0].
4
ю C arctgat-arctgto^^^ 1 „sln a
J x 2 b
—eo
[a, 6» c>0].
oo r------
Г arcsin ax arctg 6x _fat a-f-У а2-1-Ь*
D
, ла, &4~Ка2+^2 лв t b
-t- -jr- In——--—------=- arctg — [a, b > 0].
T 2 а 2 а
«> .
J arctg ax arctg bx л_ я (а+&)а °
ax—in
»
[а. й>0].
2 7 5.]
2 7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
559
со
20. С (1 —— arctg х^ dx—.
J хЦ х 6 j 4
о
2.7.5. Инте гф алы от А (х), е~Рх, / аГс^ V
> ' ’ (arcctg bxj
ОО
« Г — (arctg . л (0) 1 Г. / Р \ • Р - / Р\ Р1
1. 1 , \dx--fi~ 1,} ± — |ci(^-sin~—Млг COS—J
J larcctg bxj 2р (If Р L \ b j b \bj b J
о ‘
[Л. Rep>OJ.
г.
t J (arcctg oxj
о
Я Г/«-П /J1 Г 3~а 1_“ 3-_______________
= 2раГ(аЦо| 2 ’* 2’2’ 4&2)
— ’ - /1-|-ае 3 3-|-а, р2\_
** 2(a-bl)sto(a«/^ 1,Р21 2 ’ У* 2 ’ 4Ь*)'*~
* atXaSm lf«(f; 4> I+f: —&) [6> Rep>0: Rc“>-'1-
0 ) , . ( р\ . р _ . /р\
,n> + ci -V- ) Sin -Г- -Ь si —- COS
я/2( \ b J b \ b /
о
_ 1 Г.(р\ . р • Р\^Р-У
й S1 г «п г?—СЧ г!0* г!
рр L \ ® \ о j ь j
р]__
/>1-ь
[6. Rep>«J.
4. jp-*? рх* arctg bx dx—
о
Яр-0,1* r>fa\_______р 1-L—• Р
4 \ 2 / 2а cos (ая/2) Х1\2’ 2 * 62 J
pt*-g)^ / 3 3~? . JL\ (a, Rep>0; Rea>-1).
2b \ 2 Л Ц2 ’ ’ 2 ’ 2 ’ 62 /
5.
С 1 ( *2 ( . Кл (41
1 . л i arctgxdx=—
J (х2-!-!)2 (х3—xj 8 (3J
о
в. " +-1--11П(2п)1
J gtx—1 с L \2лЛ/ 2л& 2л6 2лЛ 2 1 J
о
[b, Rec>0].
оо
_ С arctg х3 . 1 , /Л . я 1 . /. , — л/з!
7. I ---г—rfx=—In (2л)----27=---1пЦ4-е nv а).
J С2лх_j 4 4Хз 2
о
оо
a f-ar£^-dx=—ln(t2n)------3L-4- lln(l-e-2lx/S).
J e«t^—1 8 4J<3 4
о
660
ГЛ^ВА ВТОРАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2 7 6
оо
f (^arctg^—~=С+1п6
\ •« л / л
о
[&>0].
оо
ю. «щ«ЛсЛ11)Г/с \_|пГ('«±я»\_ 1п(21ЛЕ)1
J sh сх с I \ 2лА 1 \ 2лЬ I \ у с /1
0
[fe, Ree>0],
2.7.6. Интегра л ы от А (х), Is”1 /агс*б)
Leos ах) (arcctg bx-*)
Обозначение: =
oo
« С ~ , (sin bx\ .
1. 1^4 kJ arctg ax rfx=«
0
_ nfesaa-6 fsin (ат/2))-1 _ f a 4-6 . . , a-J-6 * 1 A2 \
“ * ~2~(a+6) (cos(ал,2)f 2 ; 1-1 2~’°+2’4a2/ —
. («®(ал 2)| г/«_п F ( I 1 3 3 a i a. 63 \ i
~ a [sin (ал/2)| 1 * ,as\2’ ’ 2* 2 rl 2 ’ 4a2/“h
, b ая . [sin (ал, 2)1
4---o“Г (a) < ; .[—6<Re«<i, в, б>0].
2 ' ' (cos (an/2)|
oo
_ Г cos Ax , . л / A \
2. I-----arctg ax ax=— 9 Eil — —] [e, fe>oj.
Л X c \ Q !
0
oo
3. sin bx arcctg ax dx
о
03
£ cos bx arcctg ax dx = * I e“bfa Ei f ) — eb^a Ei f —- )
J 2i? L \a I \ a/
о
[a, b >0].
[a, fe >0[.
a j
ar=
5.
OO
C „ , (sin Ax)
1 in* * < z ;
J (cos bxl
0
__ tfla'^b'i (sm (a r2)|-1 /a-j-6 # 1 , a+$ , fl2A2 \
1 2(a-b6) [cos(a-t/2jl 12\ 2 ’ ‘2’ ”* 2 ’ 4/'*’
- fci «г-z ii Jcos(а:1/2)1 и (t 1 3 a 3—a a2A2\
- ‘Г1,-|’|И(ИД/Л11’ 2 2 • 2 ’ — -4-)
[—fe < Re a < 2; a, fe > °1-
oo
(* , a * я _hVz»'2
I cosbxarctg~dx=^ e ovu^ssa
6
[a, fe>Dl-
sin ex , a . я. d+H-l^d2—1
----— arctg dx — — In — !--L—_
coscx4-d x c c_®c4-d4-d2 —1
[e, e>0; rf>iJ-
2.7 8]
2 7 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
561
оо
в С * а . я * Л । ь \
8. 1 тз—5—;—5—5—arctg -dx==-srs“ln( 14— the)
,1 Z>3sin2x4-c2cos2x 6 x 2b2 \ 1 c j
о
[a, b, C>OJ.
OO
9. arctg £—CO8 6x^~=C + lnft
6 7
2.7.7. Интегралы, содержащие arctgax и логарифмическую
функцию.
1 оо
г- f х '“'-*4аге‘«дх<£1=гм6 Z
О - fe=O
РЫ<1; Rev>0]-
I
3. In»-1 х (In х-f- п) arctg х dx—(— г)-»"1 й! (2“Л — !)£(«+!).
о
оо
> 4. i -i-In(14-в2х2)arctg*xdx= ~ [ab+(&— ha)to(a+b)+&2Infr— a2Ina}
•I
i 0
[a, b>0].
e f In^fr+y^+O . .
5. I------ ~ aictg xdx=
i Kx’+l
w
=--------------3/4)-£(-v, 1/4)1
v сов (тл/2) '
[—l<Rev<9].
2.7.8. Интегралы, содержащие
arctg f (x)i
.arcctg f(x)|
1. i sm bxarctgdx= ” e
J . x^-he2 b
°
co
2. x»-1 arctg(ar'x)dx=2~“_,ar(a)Ф(— d2, a+l, 1/2)
о
3.
arctg
a sin ex
i-^acoscx
Jt
dx— Infl+ae-^
[a, b. c>0]
[a, Rea>0J.
Ja>—c*b
[Ь>0].
<• J ( 1/2 arctg (tg X /1 — fe2*2) dx=
о
- [£(X, Jfe)-ctgk(l-/l-^sin2X)]
[0 <fe < 1].
562
ГЛАВА ВТОРАЯ- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[2.7.9.
Л
f fsin пх cosx) , a sinx . л / ап+1 ап“1 \
V < . > arctg --------dx=-. (—— rt----------г I
J (сотах sin xj 1— acosx 4 \n-f-l n—1/
я
Scosnx . a smx . л ,
—:---arctg----------dx= —n In [(1 —a) (1 -f-a)2^1]
smx 1—a cosx 2 V 1 1 1
ГкКЧь
[n=0, 1; tf>4.
Г /arctg (a — A® sin2 x) \ dx____________л (F (arctg a, k) T
J larcctg (a jA — fe2 sin2 x)/ К1—fc2sin2x 2 IF (arcctg (a Vi —Jfe2, kJ))
[0<fc<l].
2.7.9. Интегралы, содержащие ffx
(arcctg xf/
1. f ж’ (жЧ-1)’"’ «г” /йп <v arcc‘gJt+c>^=
J ' (cos (v arcctg x c)f
°
_ ^-у-У2па, . i J(sin (Р/2+сД v (P\. /cos(p/2+c)> j fp\\
— 2 P '~i~U]_lcos(p/2+c)/ у+у'2\2/“ (sin(p/24-c)| v+1/2(2/J
[Rep>0; Rev>—1J.
♦
t *
2. ------------------------------------CM. 1Rev>1].
J (X2+l)v/2(e2«*4-l) 2(v—1) 2V
t
i,
з f Sin (v arctg ar) _ (v, дг1) _ 1 _
J (a2x2+ l)v/2 (e2«*— 1) 2flt* 2a(v—!) 4
[Rea>0; Rev>lJ.
4.
e~Px casbx cos (v arctg Vx) dx=
5.
co
О
+r*/«D
\ /2р II
[6, Rep>0].
(ж’+гЧ-’/’ Z*1 (l* *“* Л [V arcte <X/Z)il <fc=
I -t-У ) I T ) ^cos arctg ^xfy)} cos [v arctg (x/z)]J
________л_____r|> + v—11
“ 2(y+z)H+v-i L p, v J
[ff. 2>ft Re(ji + v»l].
Г x®-1 /sin(2parctg[asinX7(x+acosX))))
J (x24-2axcos(cos (2p arctg [a sin X/(x-f-acos X)])/
о
=O»-2PB(a, 2p — a)(Sm [0<Rea<2Rep; a>^, OC*><«b
2.8.]
2 8 ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
563
2.8. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Интегралы, содержащие обратные гиперболические функции, сводятся
К интегралам, содержащим гиперболические функции, с помощью подстановок
вида I/ —Arshx, у~Агchx, y — Arthx, у = Arcthх.
Кроме того, они могут быть сведены к интегралам от логарифмической,
степенной и других функции, если воспользоваться формулами, приведенными
в приложении I. Полученные таким образом интегралы отнесены в соответ-
ствующие разделы.
Например, с помощью формулы
ch (v Arsh[(J^*2+1 +*)V + (И*а+1 +*) V1
получаем
од
х°^*г~Рх ch (vArSh х) dr =»
о
*х> °®
= 4 ( (Кх2 4-1 -фх)¥ dx f xa-ir-P* (Кх24-1 +x)~v dx
2 J 2 J
о о
[Rea. Rep>0].
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. двойные интегралы
3.1.1. Введение.
В этом разделе помещены два ные интегралы и указаны некоторые способы
их приведения к одномерным интегралам Кроме того, указаны различные
системы координат на птосмости, которые могут бьпь использованы при вычис-
лении двойных интегралов
Отметим, что основным способом вычисления двойных интегралов является
сведение их к повторным [20]. Например, для вычисления дьойного интеграла
ЭД f(x, y)dxdy его можно свести к одному или нескольким повторным
G
bxt(y) Ь х?(У> х b Xtitft
J J f(x, y)dxdy~^ I J f(x, y)dx\dy~^dy J f(x,y)dxt
axiiyj a xM / a xt(v)
или
Рй(г) P ,УгМ У P Уг(Х)
$ $ y}dydx~^ J f(xt y)dyidx== Jdx J f (*,»)&
«»iW a / a #t(x)
при этом сначала вычисляются внутренние интегралы.
В частности, если G —треугольник, ограниченный прямыми ^=0, у—х и
х=а(о>0), то
а /X а ,а у '
ЭД/(*. y)dxdy=^l $f(x, y)dy |ir==$( (X, y)dx\dy.
G 0 0 / O'-у /
Кроме того, часто используется метод замены переменных интегрирова-
ния [20].
Пусть задано взаимна однозначное отображение х=х(и, о), у~у(и, о)»
облает Г плоскости перемен г ых u, v на область G плоскости переменных х, у,
причем
а) х, у как функции и, v непрерывны в Г вместе с первыми частными
производными;
б) якобиан
j dxldu дх/д»
I ду/ди ду!ди
=/= 0 В Г.
Тогда справедлива следующая формула:
ЭД/(х, у) dxdy— ЭД f [х (и, о), у {и, о)] | A jdudv.
G Г
3.1.2.j
3 I. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
565
Приведем некоторые системы координат на плоскости ((// — элемент длины,
dS— элемент площади) (16].
1) Полярные координаты:
х— и cos v, у = и sin v,
0^н<оо, 0-<о<2л (обычно используются обозначения «=р, о=ф),
d/2 = du24-u2 dv2, dS-и dudv.
2) Обобщенные полярные координаты:
х-~аи cos и, у=bu sin и,
о, 6 >• О, 0 < оо, Осу< 2л,
dl2 = 02 cos2 о + h2 sin2 у) du2 4- (b2—а3) и sin 2v du dv 4- (fl2 s’n2 о 4- 62 cos2 v) u2 dv2,
dS — abu du dv.
3) Эллиптические координаты (x, y>0):
_ I (u 4- a2) (v 4- f (« 4~ *2) (» + b2) ]*/*
*“[• a2 — b2 ] ’ У I b2 — a2 j
0 *=S b2 <Z a2, — b2 < и <Z co, — a- < v<Z~ b2,
dl2 — * ___U~V________d2_________u~v dv2
4 0-bfl2)(w4-&2) " (n4-a2)04-62) *
dS = —............ 11 _v -- ----------du dv»
4 V — (u-±-a2) (u4-62) 04-a2) 04~b2)
4) Вырожденные эллиптические координаты:
x=chucoso, у — shusino,
О - u с oo, 0< у < 2л,
dl2—(ch2 и—cos2 и) (du2 -j- dv2), dS = (ch2 и—cos2 o) du dv.
5) Параболические координаты:
x = «2 —о2, y—2uv,
— со <z и<со, 0^v<oo,
d/2 = 4 0/> t,2) 0£l2+dv2), dS=4 (u2 4-o2) du dv.
6) Биполярные координаты:
.‘h и sin о
ch и 4-cos c * 9 ch и 4 cos a*
— co < и < oo 0 v С 2 л,
.. du2 4- dv2 . 1 , .
dl2 = —:-----------X . dS — —.---------------du dv.
(ch и 4- cos o)2 (ch и 4- cos o)2
3.1.2. Общие формулы; интегралы от алгебраических
функции.
В ^юм пункте предполагается, что все рассматриваемые интегралы суще-
ствуют; а, Ь>0.
*• И
X > О,
ar+cr*-
1
= ga^ г [а/р’ Р/<71 f / «)
pq La/o4-0/?J J ' '
fa. р. р, ?>01.
566
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3 12.
1
л» + «г<1 -1
[аг4-Рат^0; а, р. у—действительные числа].
1
3- Й f(x+y\dxdy= J
|х|4-1р|<1 -1
4.
1 1
J J f (ху) (1—х)®*1 у* (1 — yjP*1 dxdy—
о о
1
=В(а, P)J /(/)(!-0е*"1 Л
о
[Re a. Re р > О].
1 1
5‘ 5 5 хД^уР*1 (1 — x)Y-a-J (1 — y)V~B-i (1—xyz)-v dxdy=
о о
=г[а’ 3, Y-а» ?“Р1Л(а, Р; г» г)
> 1Т» V J
[Rey>Rea>Q; Rey>Rep>0; | arj (1 —г) |<я].
6. ЭД хР’Л/Р'-1 (1 —х—yjY-tf-P'-i (1 — их—оу)“^ dxdy —
х>0, р>0
= Г[у’ ₽ ’ ?_₽~₽ Р> £'> Г И> IReP’ ReP'- Re(V-₽-₽')><a>
7. ЭД ц ~х—^)v-P-P'-t (1 — ux)*® (1 — t>y)*®r dx dy—
x~^ 0, y^O
x-j-y^l
= Г[у * ’ a’’ f*» *'»
[Rog. Rep', Re (у-p-p*»©].
11
8. JJ xP-1^'-1 (1 — x)Y-P-J (1 —.y)V'-6'~i (1 — ux—vy)-^ dxdy=
00
_гр. r, Y—P. У—P'lr- . ft ft' 1
—1 [v Y Jf2 (а. Р» P , у, У; U, »)
[Rep, Re P', Re(y—p), Re(y'—P'»0].
1 1
э Г Г хД-ДуР-^! —x)»*®*1 (1 _______
‘ J J (1 —ux)Y+Y'-a-i (1— u^V+Y'-P-i (1 — ux—uy)®+P-T-T'+l “
вГ[ъ У V~~a* У p’ Y’«О-»),
[Rea, ReP, Re (y—a), Re(y'—P)>0].
Ю. ff x«-»yP-1dx4y=-^LrFa/p’lP/yl
Л J ay+pp La/p-bp/gJ
«>o,
(;)'+(!)'<*
[p, q, Rea. ReP>OJ.
567
3.1-3. J 3.1. двойные интегралы
ff
Гх!+«2 3<°+‘>
ЙГ + (*)’<•
ГС _____( _2L_ Ha2_Lz2n-a_a2(l-e)I
JJ (а24-х2+^)“ { 1~в
x!-IV^2 (nln(I+r8)
1а^Ц.
[о=1].
3.1.3. Интегрдлы, содержащие показательную функцию.
Условие, а, Ь, (?2>0.
1. f (ax-j-by)e~Px~9y dxdy=
о о
в со
pq(bp—aq) aQJ
2- ( \7(|х—у ^егРх-УУ dxdy —1„
о о Р<? (₽+</)
3. Wf(xy)e-Px~yy dxdy=2 f/Ce(3KpS)/<0«.
6 6 о
4. f f "7== f f егРя-ФУ dxdy— f e~ + ^)a# di.
У*+У \*±У1 Vpq(P+q)$
oo
f (x) e~px/a dx-bp J / (st) e^fb dy
о
ой co
p J er-yyf (y)dy+q J e^>xf (x) dx
- о о
00 oo
5- J J Фу* (х+уУ-егРх-уУ dxdy=
о 0
r(|i+l)r(v+l)T((i+v+l+2) D ( a .. , , o. p-q\
------rot+v+aj^V^1 Л(-*- н+1. i*+v+2. —)
[Rejj,. Rev, Rem + v + ^ + 2)><4*
oo oo
6. { | ^y^krpx-yydxth/^^^-
0 0
oo oo
7.
0 0
oo co
8. f C e^px-yydxdy =—^~In —
J J x+у p—q Р
о о
OO co
». f (1У)’’/’(х+»)-('г+‘)/!е-'ж-«»<1г<&=Г^+1
о 5 2
[Reji. Rev>в|.
[Re v>ffl.
V л
OO oo
Kn (g+g+Kw)
n(fv)!V2(Kp+lri)'
0 0
568
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17-
18.
19.
20.
ГЛАВА ТРЕТЬ». КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3 13.
со со
С Г ~7^=е-Рх~УУ dxdy— —-—т-.
00^К /*? О' р+ Кд)
Г f ¥^e-P*-wdx(fy=—z
^0' х±у Zfpqtfp+Vq)
со оо _ ____
П /. ?.: <ГР*-9У dxdy=21/*— к ( дГ 1 - — )•
Кху(х+у) Г р \г р/
оо ОО
И -у - erpx~qy dx du=
У У (х+у)
'р-Гк(угГ71)-в(/ !_«)}
V р(р — <?)L 'Г р/ \r p/J
со оо
ег-рх-9У dxdy=-~= Е
qv р
i f r- - e-px-qy dxdy=
? J fx(x+yy
1 —
оо ОО --
4 f —e-px-qydxdy=
Vit+yr V
_ f "0>+<!) K (-1/, _ \ F.fl/~ 1-1
Vpfp—yP ₽' tp—чУ p
00 оо
oo oo
----'-^ydxdy^jbrjWK
Q □ [xy’Cx + ^PJ17* P1J*
oo oo
о 0
к
_ 4/2Г (5/4) p1/4 E f / Q 't _
\rq(P~q) lr 2\ p p/ __________________________
2 Г2 Г (5/4) p-^4 v ,/TT 777Я
Vq(V^p—Vq) lr 2\ V p/J
О О
О О
3.1 3)
3 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
569
оо со
м- }}ЬтоГ'**а*-
_ 4 Г'2 Г (3/4) р1/4 „
р-я
P'J
со со
erPx-qv dxdy=
О О v 1 1 1
2v/a j/’л г
- I2<Кр+Г«)1
ОО 00
С С —— g-px-qy dxdl/— —г-------.
03J(x+^3 Ум^р+УяГ
оо со ,_
[Rev>—2J.
л
я
n——1------e-px-qydxdy = 7— ГТ—г-
Vy(x+y) Ур(Ур+Уя)
26. J J (xg4-l)'3/Vpx*^ydxdg=
о О
= — [cos (2 Урд) ci (2 У pg) —sin (2 Урд) si (2 Урд)]*
Я
00 00 -1/2
J J 4xy-f-l 2
О о
-1 — <rP»-ffy dxdy= у 1 —_ 1п +
Ух2+{/2 Урз-Ьд2 р4-д—Ур2+д2
оо оо
SO. f ( (r^+^-x)v8e-^”<fe<»=-l/~?Lf Y
J J 2 г рд^\р+У2ру+у/
si. Ур+Х2») v
Л J Уха4-«/2 Урд(р+У2рд+д)
32. f f Q^+^^le-px-qydxdy =y^—~==—-.
J J УхаЧ-у2 Уд<Р+У2рд+д)
5X0
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[313.
П -------7^+2^+^ Ур(р+/Г(.+1)й+й
0 О [а>-Ц-
e-px-qy+xg dx dy—e~PQ Ei (pq).
0 6
e-px-qy-xy dxdy=— eP9 Ei (— pq).
о о
о ft
oo oo
y^P*-9^ dxdy=
о °
Я878 2-v-3/2p(2vTl)/2942v+lV4[H_v-1/2(pVr?) — K-V-l/sG^<?)]
5111 nv [— l/2<v < 0].
F j г-px-^Adxdp^lsm (p/i) n (p/^)-cos (р/Й si 0/«)!•
0 0
dx <%,=-«» (p/«)«(₽/Э-“о(р/«) si (p/?)-
лр . , 1
f T (o^+2»x!/+w’)e-,‘,'!‘+2i’w+CS’><b:il»=
— 00 —oo
= ^-(са-2&р+ат)(ас-Ь2)-з/з [а>0, oc>6n.
OO oo
J J xttyne“<xS""2d*«'+»a>^2(i— ayidxdy —
— oo — oo
(|а|<Ц.
=йиЦ1 Ря ^==)
00 oo
J J e-px-«H«M<ie(4,=^₽Ei(-|) + i.
о 0
J j* _Le-px~w— Wif>dxdy=:-~eMPE
о Q
f f ’ dxdy= ~^e^Perfc (if
J J VV pq pf
oo
3 13]
31 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
571
co co
б 0
л
Barge |<я/4]
OO oo
П’ л d Л
OO oo
47. j j ху-^e-px-qy^x^y)
О О
[I arg а | п[4, а £ 0].
j I ‘ '
Z- ~^JL_sh (v Arch -?=)
66 sinnvFp8—q \ у q'
[|1?ev|<l].
as oo
2V+1M?V/2
00 co
4». i‘ f —!—(1 -c»") e-W-»
d’d’
— а
oo oo
50. I f ~L^e~px-^y-x&/(x+P)dx^i==~ xtfp-t-Vq)
0 gl Vxy pq [ 14- (]/ p 4- Уq)2 J1/2 •
л
oooo ___
51. f C l-W. e-px-gy+xy/(x+y} dxdy==________ e
x-f~y 2pq(p-^q^2ypq+l)3/2
co co ___ _
£ C L_^L е-Рх~9У-хУ/(х+У} dx da —_______я Р+У<?)_____________
11 * 2^[1+(^+Г№‘ ’
о
co co „
л [* /v»A(2v~1V2
53. I I ....... px-qy-a*xy/(xiy) dxdu —
J J (*+*/)Vil ax ay—
0 0
; __________пГ(2у)__________ v Г Гр+Г?
2»-><*>КГр +K«)2+oJP'S. L(Гр+Г«)?+аа
S4. J ( (хц^'ё-г^и-Ч^ dxdy=.
0 0
= <»^Kv I(2p ГЙ1/2 e*'1} К, [Й>
[Rev>-l/2].
OO 00
55. f
2
572
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(3.1.4.
56. dxdy=
о о
_ 2 Кя (W)V* в Гт / •
“ Pq-<* 1г 2*\ Кет/1
+гКй(и)-'/*<-/« ±») кГтЛ 1Л ± ° 4
pq—a* Lr 2\ Уру/J
57. J J (хуу^е~Р*-ы±<п1*9 dxdy=
О 0
=4Кя (w)"l/4 КГ1/" 1 (1 [₽<7>a,i-
LF 2\ Kw/J
oo oo
58. f f ------ e-₽x“ 9ff-aVx^ ^ dx d
Q J ,
— 1 in P-M+a+KP3+<?2—a8
Ур34-у2—a3 p+q-\~a—j/a2 ’
3.1.4. Интегралы, содержащие гиперболические функ-
ции.
Условие: a, b, с, р, q > 0.
СО <х>
1. J /' (ashx-b&chxshy-f-cch xchy)dixdxdy=
—<ю —oo
=----C—; f (sgn eVC3 —a2—&2) fcs>as4-ft*; Hm f(x) —0|
Уса_а2_£2 ' ' ~ I r -»-f-oo |-
In (14-У2) In (14V2)
г. f V ------------------------cbxchydxdy _
g’ J (1-i-fe2shxshj/) y shxsh0(l— shx)(l— shy)
Mi+yij ln(l + /2)
3 С C _____________________chxchydxrfy_____________ j\ 21
J J V(1 -sh3 xsh2 y) (I -sh3 x) (1 -sh3y> \ 2 )'
к oo
4. f
J J Fch2x-y3
Ь oo
®; J f eh» x/t^=7 41(2-*>E w -2 (1 -*>к (*и-
oo 00
6. I ( sh (x4-y) e~P*-qy dxdu — — - ------
3.1.5]
3.1. ДВОЙНЫЕ интегралы
573
СО СО
7. J jch(x4-y)e-P*-wrfx^ = _^_+^_
6 о
оо оо
8. I f ch Уху е~Рх~9У dx du =}—r4-4(4pa—1)“3/2 arcsin—£=-
3 3 4Р<1 1 2Vpq
оо т
lP9 > i/fl.
оо оо
9. i 1 - (ch V xy — 1) е~Рх~9У dxdy= —2 arcsin2—(p« > 1/4].
A1 3 2 И pq
OO oo
pi1 । r_______ 4 1
I к —sh у xy е~Рх~9У dxdy^------=-^ arcsin —
Л J Vxn * (4W-0Vi 2/w
tPd> MU
co oo
11. ( f ••• \,a (sh Vlcy—Vxy)е-рх-9'Jdxdy=*
g g W
= ~ |1 — (4pq — l)1/a arcsin - JJ [m > 1/4].
Рч L 2VpgJ
12. r ?±(EV£SLe-PX-9ydxdy... 1 . ln.
3 3 Ух24-у2 2Kp24-7a—a2 PQ-№¥ p2-t-q2—
co CO r----
13. f f ch(fl)G4-jp)^p¥_9//Jy =
3 3
1 + —a3—Qi2
2yrpz-h(^~ a3 p^-ypq-^-q^ — tp+qyV р2-гу2~а2^а^
3.1.5. Интегралы, содержащие тригонометрические
функции.
Условия: a, b, с, pt q> д', 1^< 1.
л 2л
1. / (a sin х sin 1/4-6 cosx sin z/4-с cos t/) sinydxdy=
о 0
1
«= 2л (функция f(0 непрерывна при
—1
я я
_ „ f , bcosy—c\ dxdy
2. /|a ctg x----------) -T-=—?—
sin X sin у j ЯП2 X ЯП у
c— j (sgn c}^{^—a?—
rc«2>a*+b«; lim /(0 = 01
i~*+<x> J
CO л
3. ( f /' (acosxshy-i-bchy)shуdxdy = — /(^n6(^б2—a2)
J J r 62—a2
о о
1&г>а«; lim /(0=0'
L t-4*oo
574
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1 .
15.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
13Д.5,
оо 2л
£ § f' [(a sin х-|-6 cos х) sh у-\-сch gr] sh г/ dxdy=
о о
—----2nsgnc ус2_д2_£2) I
оо Я
J f (acosxshy+bchу) sin xsh2у dxdy—
о о
hm НО = 01.
я/2 я/2
=2$ f(sgnb a? ch у) sh2 у dj
о
1йп НО=от.
т т
I 1 cos (2аsin х sin у) dxdy= — (а).
о о
л л
С Г___________dxdy___________ л £ /1 \
J J 4—а2 (1—cosx) (1 —cosjO ~~ 2сь \а/
о о
Я/2 Я^2
Г | cos2xyrl — sin2 xsin2 у dxdy — ~~К2\-
о о
[а> 1].
я/2 я/2 _ , /1/—\Т
£ £ cos2 xcos2 у К1 — sin2 х sin2 у dx dy = ~LI 20K2 (")— 9л2К~2(-<Л ) I •
•J J ** * I. / \“ /1
о 0
Y1 — sin2x sin2// dxdy = 4-| 4K2
о 1
Л/2 Я/2 г.....................
Г С sin 1/у 1—й2 sin2 х sin2// , , _ п
J J 1-й2 sm2 у МаУ~ 2^1^
0 0
Я/2 я/2 _________________
о о
я/2 я/2 , _ .
Г С dxdy _ R2 /К2\
-/ 3 1 —sm2 xcos2{/ \ 2 /
я/2 у
о о r
Я/2 я/2
f f sin у dxdy ла
I 1 ===• = — собеса.
J J У 1—sm2аsm2xsin2у 2
3-lJSb.]
3 1. двойные интегралы
575
л/2 л/2
16 С Г __________dxdy___________
J J A? sm2x—k1, sin2 if
о о 1 2
= 2 к *-*1-/Г-fej -а*\ /]<n^+/T=fefZ--fej\
i 14-/ПЩ \ 1+K1-k% 1 \ /
М + к®<11-
я/2л/2
17. • co? x dxdy .
J J V1 — sin2xsin2y °L \2/ \2/J
я/2 Л/2
18. i- ? x c<^ у dx dy _ 1 Г Ka /2\ ?.ж_а/У2\1.
о о — sin2xcos2y 8L \2/ \2/|
я/2 у
19. f С--------*29*.» .=_*ffil„(l-q.
o' О SU12 —fe2 Sffl2 х 4fe2
Ф У
20. f f dKdy
3 J 1^(1— feasm2x)(l — fe2sm2y) 2
Я/2 у
21 ? f__________dxdy_____________K2(fe)
6 6 ^(1— *asta8*H!—& яп2^) 2
л/2 л/2
22 f t [fe2 cos2 x -f- (1 — fe2) cos2 y] dx dy _ л_
J F(1 - fe2 sm2 x) [1 —(1 — fe2) sm2 y] ~ 2 ’
T f ., <1 -*» siiP X л. _ e w к (M to (1 -W
' J r 1—fe2 sin2y^dy— 2 4
о о
Л/2 У --------------
ал Г Г 1 / i—kz Sin2 X . _ . .
M- J J V F-^shPy51"^^
00
= {(2-fe2) К (fe) - [2?~ In (1 -fe2)] E (fe^.
Я/2 у ----------
С C i / 1—fe2 sm^x . j j я
25. I I I/ -— . . — smy dxdy—
J J r 1—fe2sm2y 3 3 2/1-fe2
о 0
Я/2 л/2 .______________ t
M i- f (l+?to.5>.( +.g”..») . ^ZhKW.
j ,j F sinxsiny 1 — fe2 smx smу
о 6
* Я/2 f
27. J J у Kl-У2 sm^dxdy = [(1 Ч-fe2) E (fe)-(l-fe2) К (fe)J.
о 0
§76
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3 1.6.
1 Я/2
28. I 1 1^1— у2 sin2xdxdy=G 4-
о о
I л/2
29. Kcos2 sin2 х dxdy—
о о
it ф
30. —у2 sin2 xdxdy=*
о о
= 4[(И-*2)£(Ф» £)-(1-&2)Г(ф, fe) -(1 -Ki -k2 sm3 ф) ctg ф].
О
1 ф
о б
k Я/2 г_________
П' F 1 —Л2 sin2 X . . ... ...
-----------dx dy—kK (k).
о о
I я/2 1 Я/2
33. f f dxdy - 34. f f dxdy -
o' о ^cos2*+^2 sin2* 4 J •• Kl— у2 sin2 x
kn/2
35. f f -Д^==Е(Ч-(|-*»)К(*).
Л J У 1— y2sin2x
A A **
I Ф
Г f У dxdy __ 1—совф
’ ' К1— у2 sin2x sintp
k ф
37. f f
J J V 1— f^Sin2*
£ (Ф, k)—(1 —F) F(Ф, fe)4- (П -fe2 sin3<p— 1) ctg ф.
k ф
38. f f-------------------------
J 3 (1 — a2 sin2x) I 1— t/2sm2x
=(^-а2)П(ф, a2, k)+E (q>, /г)-£(ф, fe) 4- (/1 -fe2 sin3 <p- l>*ctg ф-
k я/2
39. f f --------У dx dy ------= (Jfe2_CT2) д (л/2 aa ty-K(A)4-E(£).
J •" (1 —а2 ял2 x) V1 — y2 sin2 x
0 0'
40. ( f_________УЛхЛУ __________
J J (1 —a2 sin2 x) КI —У2 sm2 x
= (1— а2)П(<р, a2, 1)—а2П(ф, a3, 0)4-(l— совф)/япф—In^ф4-secф)-
3 L5J
3 1 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
577
41.
! л/2
Г С ______dx dy________ п?
J jj (I+SOV 1— p2sm2x 8
42.
оо оо
е—Р^хг +у2 cos ах cos by dxdy=~-
б б
Р
(а2+62+р2)3/2 ‘
ОО 00
43. (| j е-Р*-ЯУ а'п (х+у) dx dy= •
ОО оо
*»• J Р’₽,'тас®(х+^Их^=7^1Л?+ТГ’
б б
сю оо
45. е~Рх~9У cos (ху) dxdy = sin (pq) ci (pq) — cos (pq) si (pq).
о о
46.
00 00
-т- *— е~Рх~9У sin—dx dy —
g V x+y x+y
l/' Ур+^Я
* pq (Кр+У# + Г
Г i ........g~px-gt/cos x¥-—dxdy-
0 6) Vx+y x+y
oo oo
е~Рх~УУ sin (x Кy) dx dy = J/
6 6
00 00
49. ( ( g-pv-?y cos (x Kp) dxdy= — peptq Ei (—p2q).
б о
00 oo ___
59. J j е~Рх~9Уsin (y Yx)dxdy — J/ 2pD~*
о 0
ao oo
51. if yn-^g-px-qy gin
oo oo
47.
—лрер*9 erfc (p У?).
nip(^)/V^D_(a+1}GK^).
52. J J е~Рх~9У sin (2 axy) dxdy = —t^-^(pq-j-a) 3^a.
о 0
53. f i* yng-px-qy sin |/xy dx dy = Я (2a + ,
J .Г ft! (4p? +
54. Cl— е~Рх~9У sin (xl^y) dxdy =—ep*qerfc (p
0 d1 y p
578
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
{3.1.5.
со оо _____
55. С С — е~Рх~9У sm (2 Каху) dxdy= — —.
J .) У Р Г РЯ+<*
о о
со оо
56. i С erPx-wsin (хИу) dxdy=— е**4Ei (— р2т).
6 о
СО ОО г__
57. С f —1=г е~Рх~9У cos (2 Уаху) dxdy = —-
J .) У у ' я Р1+*
о 0 а
оо оо ____
58. f V —е-Рх-ЪУ sin (2Уаху}dxdy — —-— 1/ —.
J .) У» РЯ+а Г Р
со оо
59. f f -±=е~Рх~9У со&(хУу) dxdy = nepig erfc(р
i i Vy
W 4AZ 4 >
to. f f e~r*-t! cos Vxgdxdy = —~2”^~Si7s‘
j’J Г» nl(4W+irl/1
oo oo
61. ( ( -г—-е~Рх~9У cos (2Уаху) dxdy= -- ,.я - „.
J J Уху V РЯ+а
CO 00
g2. f С е~Рх~9У cos 2 Уху cos 2 У2ay dx dy =ji (pq -j-
6 о
63. J J (xy)“1/4e-pJC"^s [cos (2а Уху) _t sin (2а Уxz/)] dx dy —
о о
64. (ху)~*1*е~рх qy [cos (2аУху) ± sin (2аУху)]dxdy =
о о _____________________
oo co
e-px~«y sin xy dx dy=2л In
3.16.]
3 1- ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
579
оо Л
1 I e“tf^af4-<bcos*+fcs,ii*) jxtfv — —__________
J J
0 — я
oo oo
67. C ( — (cos Уху—l)e_P*_fi,rfxdi/=—2 Arsh2—
J J 2 У pa
OO oo
68. J У cos }Txy e~Px-^y dx — 4 + l)3i/2 Arsh —
00 00
69. I V —^=re~i>x~^y&nyrxydxdy=-------Arsh—l=r.
Vxy (4w+D 2VPq
70.
00 00
J (^У3)-1^2 erf»-Qy (Уду— sin Kxy) dx dg =
2У><7]
3.1.6. Интегралы, содержащие логарифмическую функ-
цию.
Условие: в, р, ?>-0.
во оо
1. J J (In xy+Stye-P^-vy dxdy=— ^ln pq
о 0
oo oo
2. j J [\n(x+y)+C\ff-Px^ydxdg^^^^~^.
о 0
oo oo
И. . 2 Г« . . 2p2(lnp — lnff)4-npo 1
In (x* 4- jf8) erPt-w dx dy=- - [C + In p-2 ^+^j ~j *
о 0
oo oo
«• J
0 0
5. у J y^J^.e~Px~9Pdxdy=k (qeP, a).
0 a
1 1 1
6. ln dxdy=J xx dx.
00 6
iOx
580 ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [3 1.7.
3.1.7. Интегралы, содержащие обратные тригономет-
рические и обратные гиперболические функции.
Условие: р, q>Q.
ОО оо
« С Г х У аг п» j J 2о(1п<7— 1пр)4-ПП
1. 1 \ arctg 9-е~Рх-^У dx dy=-—^-n+-,+~^~.
J J x 2q(p2 + q2)
0 0
oo co __
2. f f arctg 1/ — frPx-99dxdy——.
} •] ? X 2q(p+Vpg)
3. f f Arsh * егРх~9У dxdy = . -.- In
J J у PY p2+q* p+q — V P+q*
3.2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.2.1. Введение.
В этом разделе помещены тройные интегралы и указаны некоторые спо-
собы их приведения к одномерным интегралам. Кроме того, указаны различ-
ные системы координат в пространстве, которые могут быть использованы при
вычислении тройных интегралов.
Отметим, что основным способом вычисления тройных интегралов является
сведение их к повторным [20], которые находят nj гем последовательного
интегрирования по каждой из переменных в отдельности.
Кроме того, часто используется метод замены переменных интегрирования.
Пу ть задано взаимно однозначное отображение х—х(и, v, w), у=у(и, v, w),
z — z(u, и, ю) области Й пространства переменных и, v, w на область V про-
странства переменных х, у,
а) г, у, z как функции
z, причем
и, v, w непрерывны в Q вместе со всеми первыми
частными производными;
б) якобиан
дх/ди
Д= ду/ди
dzfdu
dx/dv
ду/до
dz/dv
dx/dw
dy[dw
dzldw
0.
\\\f [*(“• ®). у (и, v, w), z (u, v, a?)] । A | du dv dw.
Тогда справедлива следующая формула:
J (х, У, z)dxdydz=
v Q
3. Некоторые системы координат в пространстве (dl—элемент длины,
dS—элемент площади, dV— элемент объема) [16].
1) Цилиндрические координаты:
x=uccso, y—ussnv, z=w,
О^мСсо, 0^п<:2я, —оосшсоо,
dl2=du*+и* do2+did3,
dS2=(ti du du)*+(du dw)3+(u dv dco)2,
dV —udududw,
(обычно используются обозначения a = p, o=<p, w—z).
3 2.1 ]
3 2. ТРОПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
581
2) Сферические координаты:
х=и cosи яп t®, у=и sin и sin t®, z=ucosw.
О и <z co, 0 v С 2я, 0 w n.
dl2=du2 u2 sm2 w du2 4- u2 dw2,
dS2 = (u sm w du du)2 -f-(u du dw)2 4- (u2 sm w du dw)2,
dV ==u2 anwdududw
; (обычно используются обозначения a=p, ®=<р, 1®=ф).
3) Обобщенные сферические координаты:
I х=аи cosи sin w, y—bu sin о sin t®, z=cucosw,
O^uCoo, 0^о<2л, 0=^«®=^л,
dV —abcu2 sin t® du du dw.
3') x—aucos^u sin®®», y—bu sin® и sin® w, z=cucos4w,
dV = abcmnu2 cos®-1 и sin®1 v cos”"1 t® sin2"1t® du du dw.
4) Эллипсоидальные координаты:
2_(a4'fl2) (0+ «2) (» +«*) „а_(« + Н (»+ fr8) (t®+^)
X (б2—a2)(ca—a2) ’ J (a2—b2)(€2—&)
(«4-c8)(d4-c2)(«’+c2)
(a2—с2) (fe2—c2) *
O^Cc2 < fe2 <a2, —a2<t®<— b2<zv<z—<?<u<co,
dl®= [p (a) (u —o) (a—to) du2—p (u) (u—o)(o—ю)<&24~
4-1* (®) (u—w) (o—t®) dw2].
dS2 = jq (— p («) p (») (u—o)2 (u—to) (v—w) (du tfo)*4-
4-p (u) p (to) (a—d) (a—to)2 (u—to) (du dw)2—
—p (o) p (to) (u—v) (u — to) (v—w}2 (du dan)2],
dV=~]^— p (и) p (») p (to) (u—v) (u—w) (u—w), dududw,
P (0-1(*+«2) (t+b2) (^c2)!-1.
5) Вырожденные эллипсоидальные «вытянутые» координаты:
х—sh и coso sin w, y=sh и sin о sin t®, z—ch и cost®.
0и <Z co, 0<; w< 2л, 0 t® л,
d/2=(sh2u4-sin2a0 (ffu24-dH’2) + sh2« sii^swtfo2,
dS2=(sh2 «4- sin21®) sh2 и sin2 w (du.2~\-dw2) do24-(sh2 «4-sinat®)2 (du dw)2,
dV = (sh2 и 4- sm2 w) sh и sin t® du du dw.
6) Вырожденные эллипсоидальные «сплюснутые» координаты:
x=ch и cos и sin t®, y=cha sin v sm t®, z=shucost®,
0 a < co, 0 v < 2л, 0 t® л,
di2 = (sh2 и 4- cos21®) (du2 4- dw2) 4- sh2 и sm2 w dd2,
dS2=(sh2 u 4-cos2 to) ch2 и sin2w(du2-]-dw2)dd2-]'(sh2u~]~cos2w) (dudw)2,
dV — (sh2 u4-cos2 w) ch и sin w du dudw.
582
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3.2.1.
7) Сферо-конические координаты:
2_ u(t>+a2)(tt>4-a2) _и (v4-b2) (w 4- &2)
(a2—62)fl2 ’ у (b2 — a2)b2 * а2Ъ2*
— a2<Zw<Z — b2 <V<ZO<ZU<Zсо,
dl2 = —X (у) и (у — w) dt/2-f-X (ш) и (у—zy) dty2j,
dS2 = jg [— к (у) (v—ty) (du dy)2 -|- % (zy) (у—ty) (du dzy)2 —
—1 (у) 1 (ay) и2 (у—ty)2 (dv dty)2],
dV = ~ К — uk (у) л (zy) (у— zy) du dv div,
К(0 = Щ^+а2)(/+Ь2)Г1.
8) Параболоидальные координаты:
x=2uty cosy, y=2utysinu, z=u2 — w2,
О и < oo, 0 v < 2л, 0 zy <: oo,
d/2 = 4 | (ц2 (fa? _p dt£i2) u2W2 dy2],
dS2 s 16 [(u2 -|- w2) u2wfi (du2 4- dw2) dv2 -|- (u2 4- w2)2 du2dw2],
dV = 8 (u2 4- zy2) uw du dv dw.
9) Тороидальные координаты:
sh и cos у sh и sin у sin w
ch и—cosw chu — cosw ch a — cosur
O^ucco, (K<y<2.n, —
d[2=—-----J----- (du2 -I- sh2 и dv2 4- dw2),
dS2=—*С08 wyi lsh2 u (du2-}-dw2) dv^-j-du2 dzy2],
dV =7-r——-—tt du dv dw.
(ch и — cos zy)a
10) Биполярные координаты:
sin и cos у _____ sin « sin у _____ sh w
X~ chzy —cosV* chzy —cosu ’ ~ chzy—cosu *
0^м<л, 0^С-у<2л, —со<еу<оо,
d/2 — ----!----- (du2 4- sin2 и dv2 4~ dzy2)
(chzy—cosu)2' 1 '
dS2--------L—__ [sin2 u (du2 -J- dw2) dv2 4- du2 dy2],
dV = т-r-—------du dv dw.
(chw —cosu)3
3.2-2.]
3.2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
583
3.2.2. Общие формулы; иитегралы от алгебраических
функций.
Условие: а, b, с р, q, г, а, 0, у > 0.
I. у J + $'] dxdgdz^
X о, *у б, 2^0
-flq&PcY г Г а/р’ т/г1 С + А
“ pqr 1 [а/Р + Р/9+v/d J Г() *
о
[при условии, что интеграл справа сходится абсолютно].
ш
г 5=0, у^О, z^O
ur+ar<r
jc«-ly3-izY-i dxdy dz~
г Г a/P, P/<7. ?/'
X
aa—xa—x—y
3. $ $ X^1^12!Y_V(x4-y4-Z)^<fytfe=
0 0 о
a
-Г[„4-₽Л] (
0
[при условии, что интеграл справа сходятся абсолютно].
Шxyzdxdydz _
х3+у24-га ~
О» + с*
____________&Ъ№___________Г С 2 Д 4-a2fe2 [л —1.
8(а2—62)(&2—С2)(с2—а2)[ 6^ а]
z>0
dxdydz —
48л/2 '
7.
dxdydz
2ла&с / У о2 —ca
7~== г arcsin-----------
'а2—с2 \ а
[а > Ь > с].
584
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3.2 3.
dxdydz=
— tp
15
аЬ-\-Ьс±са
(a+fe)(&+c)(e4-a) *
3. 2.3. Интегралы, содержащие показательную, г и п е р •
болические и тригонометрические функции.
Условие: a, b, с, р, q, г 2> 0.
e X* * <Z dxdydz=
X*+#* + z*< r*
e n [g- <r + o)«/2 _ g- [r - a)*.
лэ/2
2
03 co oo
2. С f C-——-------—— e~Px~w~r!! dx dy dz =
HJ (xy+yz+xz)^
8яГ\ 2 j ___________j_______
v(v— l)(v—2) (/p+/<74-/r)v-a
[Rev>'—2].
3 г р г_________ch х ch у ch г dx dy dz__________
J J j (1 — shxshуsh z) /(1 —sh2x) (1 —sh2 y) (1 —sh2 z)
tt Ct CL
==4nK2 (&) [a= ln(/2 —1), ₽ = In (/2+1)1-
СО2ЯЯ
4. {[(acosy+6 sin y) sin x+-cchx] shz-|-dch z} sh2z sinxdxdydz=
обо
oo
«= 4л V f (sgn d Кd2—a2 —62—c2 ch t) sh21 di rd* > a* + b*+c‘; b m f (l)=01-
J [ i-»+<x> J
л л л
ш
ООО
______dxdydz_____
3—cosx—cosy—cosz
=4л (184-12 И2—10/3-7/б) К2 [(2-/з) (/З-/2)]-
л л л
ш
ООО
_____________dxdydz_____________=1/ГдяК2/sin л\
3—cosx cos у—cosx cosz—cos у cosz \ 12/
я я я
ООО
dxdydz
1—cosx cos у cosz
=4яК2
/2\
k 2 J*
3 з 2.]
3 3. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
585
3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.3.1. Введение.
Обозначения: x = (xlt х2, ...» хя), а=(ах, .... ал) х2=Х14-*а+---4-Хп»
|xl=]Ai + xl + -..+x^, ах-а^-Ь a2x, + ...+artxn, dx^dx1dxi...dxa.
Замена переменных (сферические координаты):
»
с*
Х]=рСОвфь
Ха=р sin ф! cos ф2,
Хэ—psin Ф1 sin ф2со8ф3,
хл-1=Р sin Ф1 sin Ф2 • • - Sin фд_2 СО8 фя_J,
хя=р sin ф! sin ф2 •. - Sin фд_2 sin фя_ь
Os$p<oo, О^фй^п, &==!, 2, л—2, 0Сфп1<2л,
dV=ря1 sin”-2 ф£ sin*3 ф2... ап2 фя_д sin фя_а ф d(pl d<p2 • - •
—элемент объема.
При х2 1 можно использовать формулу
л я
/(cos0b яп Эх cos92> sin 9j sin fij cos63, ...
x- i" oo
...» sin 6i sin 02... sin ert_j cos вя) sin* япя-10a... sin2 0Я_Х sin 0Я ddt df}2... dBa.
1.
^(xJdXiJ ф(ха)^... J ф(хя)4хя j f(f)di =
a a a a
X / X \ n
= J J Ф(У)4п di.
a /
X X1 Xn-l Xn X
^dx^ dxa... j dxn j f(f)df=~ f (x—^f(i)dt,
a 0 a Q a
1
dx. dx^... dx =________1
1 2 2П+1 ДОТ+2Л+1 л! (от-J-Л 4-1)!
[а>0].
3.3.2. Интегралы по области xi4-x24-...-|-xn
« (* (* (*
J JJ (" vp5)*.
Хг^г= 0
_ P p «(n—1)/2 X
2- I ... I f(ax)dx= ,-n 1
586
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3 3.2.
3.
2л(п-1)/2 « 2
—у-_.. I t*-1 dl 1 f (f2, | a [ t cos «) sm"-2 и du
TT / * \ J J
1 \—S““J ft 0
£Iffiatfc=O; k= I, 2, ... , nJ.
4.
J ... J f (ax+b) (r2—x2)® dx=
x*<r*
5.
V * 2
^ ... ^ /(x2, ax, bx)dx—
2лп/2"1
~Г(п/2-1)
У>—P—
I o'1-8/(t?+uz+uz, | a | f, +?«) du
'-«ft.
rrl * •
ае
6.
_2я(п-1)/2 А
7.
1
J g(i a|0(l-<2)('l-|>/M.
—i
oo ... . . . n oo
f eM+^duTT C
2л J
—00
k— I —oo
LOO—произвольный параметр].
п
9.
fe=-l
2n^n ^^2
~ r(n~[\
\ 2 /
nn/2rn
:Г(п/2-НГ
' 1
| F(p)i^dt
о
—1
10.
(ax)2” dx = (2m~ О” яп,г
Г(т-М+л/2)
H. J...J(ax)2'n*idjr=o,
x*^t
(1-и2)(п-3)/2
3-3.2.]
3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
587
12. $ ... J (М + а34 + - + Мл)'и (bx)21 dx =
JCS^1
я"'2 (20 ।
” 2^1 T (I -I- m +14- n/2) v
bl V
1-л*У
п
П<1-а'>"’/2
/=1
у—й
13.
яп/2 (2m)! | а *"
22m 1 (n4-2/4-2m) Г (m4-n/2)
f f (ДХ)2ОТ . яп/2 Г 2/и + 1 ]|л12т
j *" j |х |2т г"1'1/! [т4-1,‘ л/24-01] *
х!^1
Г Г(ax)*mdx
(61X14-^2*2+---*b^nxrt)V
гс”/ Г Г 2m 4- 1 If <V1 "I J" л _|_ j a-1/2 f V flfe—\ di
2™ [v. n/24-/n-v4-l, m4-ij J ? I I ( I ХИ+М
0 /= 1 \fe=l /
[m>l, 0<v<m+n/2; 6^>0, fe=l. 2.л].
е“й*=(2я)'!«|аГ"/2/„/2(1<»1).
17. $ ... 5 (1 -яуе“х (p + 1) I а (IО I).
X2^l
18. f ... f ld*= а Г',/2+1/„/2.1 (I о I).
x2^l
19. e~a/(1 xi' dx=J (a,
[a>0].
я(2т+1)/2
}(a, 2m+i)= /Stoi+T
x 2©(m k 2)“ a"-‘ - ЧО
fc=0
я(2т+3)/2
= <— 1 )m /2m4-l\ e'°’2 k-*m-i( о )>
2m)=(Д-Drae~<,^(a","(1+ae~',Ei(-‘1)П,
J (a, 2) = JW-«[14-ae-«Ei(—a)],
J (a, 3)=~ Г(2а4-1)К! (^-(2а+3)К°(4У*
f \ Zt J \“*/J
588
ГЛАВА. ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[3 3 3.
-1 I/Z Л
cosa^dx=~^~jY j (г2—
г« Й=1 Г\ 2/~г
* ч. [lma&=0, i=l, 2» ...» nJ,
t?1 У7*
3.3.3. Интегралы но области —-4- —4-...
«1 «2
Условие, г» ak, bk, ab, pfe, vfc>0, k=lt 2, ...» п.
в противном случае ^-‘-положительный корень уравнения
y©+ei ^в+4
_г Г Vj/Pi, Vj/Pg, ...» vw/p„ 1 Г| ak .
LVl/Pl + V2/P2+---+'Vn^Pn+Vi LL Pfe
n
r г V1/P1. VP8-v„/p„ 1 fl C / WfA+*A+-+’A',<e
Lvi/0i + v2^a-b**'"VVn^nJ Jl® Pfe J
If — 1. *0=4-°°. — <D<yk<.CO при Й (*t/ei)^1 + (^a/fl2)^2+—+ (ХП/Од) Я^*’ °’
1*1 ’ 2 1 ** 'a a
(j=l, v»>0 пр» О -+(V») "<'• k=si’ 2l -
“1
3 3 3 ]
3 3 МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
589
рпп/2
Г(р+1)Г(п/2-р-1)
[0<р<л/2; yt см. в 3.3.3.1].
А1 +*» + — +хп
— У” Г [V^ab ^/“2.....*и/ал, 0/2
2 L 0. (0+0/2
гГ*1/«1. *з/а8, ...» Vn/artt (0+0/21 ГТ „-i
L 0, (0+2)/2 J II а*
ч = 1
[&=Vai+Va2+ -+V%b
599
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
<3.3.4
f п
8. f.’* f II— 2 “fc8**/ f(Px)dX=
/*,\2 /t,\2 /*.\s ' *=1 '
(-1 +(-I +••• + (— <1
\ач1 \а9/ \а„/
\ 1/ \ а/ X Л/
/ Г 1*4—2~) -1
с =
3.3.4. Интегралы по области х^О, х2^0, ..., хп2^0> xt +
+х24* • ••+*« а.
1. $ Mxi)F2fe)- Pn{xn)dx^=
xt^ 0, х20. .., Хп О
х1+х2+" + хл^а
со п со
—оо fe = 10
[д>0; />0— произвольный параметр].
л
2. J...J F(x1+^+...-|-xn)ee* xkk 1dx=
r1>0. x2>Q. ..., хд>0 fe=l
*i+*a + —+ xn^a
° ~°° П •>+<“>**
k = l
[a>0; i>0 — произвольный параметр].
fe=L
+ ----b'iB + vft+i + v*+8 + - + vn’ fc=1« 2. U «Л=РЯЬ
3-3-4.]
ЗЛ МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
591
i
t
L
I
а я 1 _
О fe —2 О
|при условна, что интеграл в правой части равенства сходится; sk=vk +*^+1+-.+*я,
Imv^=0, k— 1. 2, .... n]«
__ДхДд • • •
п).
Еа(->-'0> 1 = 1, 2, .... л].
/Пь Vh — *
Ч‘
>r1 + *2 + -+Jf„^l
Vi, v2, .... vrt
У тк4- У1 v*+!
k=i fc=i
[У£= 4’4 + °i2>tf2 + ••• + epyp
592
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
£3 3 4.
10.
п
/л-’
ХА
= 1
2
П
Vl, V2.......v„
0 fe=l
11
Г Г (0x)m
-2^0, ...» X>5o(Cb + CX) 12
:a +
....v« 1
G> Lvi+vt+*-*4_Vn4-fft-|-1J <
n
xv*“*
xft
*=l
12.
______dx_____
t &вК^...л»(1—ox)
П
rv*i
' L=o
&=1
[aft^0, fe = l. 2...nJ,
„ f f (l-H—Хг— -x„)v--' g‘| v.-l.
”• J-J -----------------(Hi+Sj*----------11* rfx=
r^o, »25=0, *==1
х1 + х2 + — +*я<|
OO n
-г[ъД;:.’ J f ^'<'+wrv- IT "янмг’ч
0 fe = i
[% *. v* vk, »*>0; v.+vi+-‘-+v«>W ‘='.2. «1-
r[4, VV .... v„ 1
L vo+vA 4* • •+vB j
14.
n
ь~"’ П <a‘+A)_¥*
JL=l
(eft, b, vr vk, |*>ft ve+v14....+ve==n; fe=l, 2. .... nJ.
15. s= (—1)отгГГ°’ V1* lx
L4+V14- -+vs—mJ
OO Г П 4
x J IT |i+(|,‘+‘)'i”’‘r
0 I 4=1 J
Pfe.b* vv vtf «*>0: vo+vi+ -+vn<«*; *=*.*. «]•
3.3-5.]
3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
593
17. f . f в**4х= У-----------гт—Ле fe —1)
J J Хй «лФ (л*)
х1510. r2=s0.ХП^ k~{
+ *2 + ••• + хл I
[ф W = (Х-«2) (*-%)].
ь ь
3.3.5. Интегралы вида
а а
V2, ...
п
е-а^1 JJ (bk^a^~^dt
fc = l
tai. bk.
v, ц>0 в либо а9>0, либо ojj —0 и vi + va + ••• + *я>и].
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13.3 5.
оо п
С_____
J (До+вх)а Ц *
О * = 1
п
= r[Vi, V2..vn, р—Vi—v2—v„1 u TT fax vft
L U LI\aJ
ft = i
Hr * v*>0* *=1- "• •••. «].
eo n
1 ... f -____________1_______________ П
о О 11+(а1х1)Ц1 + (^И2+ --+(йв*л)’1яГ ДЛ
= r,piZl*i. Va/Рз, ...» Vpa, S—Vi/Pi—Va/Pa—...—
Is* аГ ***’ VA>0» = h 2, ...» n]
co 00
f f dk —
-OO — CO
ля/2Г(р-}-у—n/2) f____________________________________
r (P)r (v) J [p2/ (I — /)+r (1 -/) (a—&)2f hV-n/i
[Reji, Rev>0).
co co
Г f _______________________fix________________
J * J Ip^+Cx—a)2](n+1)/2[92+(x—b)2J(/21)/2=
-co — 00
я(я+,>/2 ___________1____________
= r/^±lf ’ Pl(P+^+(a-&HU'1)/2’
f f Г Q *2’ - ‘ ’Л++cdx = (^-\i/2e~BtA
J J \M|/
— op. —00
п
4- S
»»t — 1
evx*x/ “ положнтеЛьио определенная квадратичная 4 орма, а{/ = afj, А
= det Q = det (a В = det (-.И
' 4f
33 5 1
33 МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
595
1 1 я
и. f “* Sп^+-
й 0 k — 2
=гГ ’>;’>•••••-»« 1 f /W(l_d’l+’>+
LVi+va+...+v„J J
о
[при условен, что интеграл в правой части сходится абсолютно].
t 1 Л
12. $ .. ХпУ*-1 fj (1—XfcA"1
О 0 Л==1
п
п
Kl
2z
^ТТгП4-**' а+(й-1)г, ^+(fe-l)z-|
£1 Ll+z, a+p + (n+fe-2)g J
k — 1
[Rea, Rep>0, Re а > max (—l/д, — Rea/(H—ij, — Re 0/(zx—!))!•
13. C...C (*l+xs+...+xJ«It1(=5^+l>.
о 0
1 1 rt
I4*$'”Sn*** (I—x4Tft~e* (1—
о 0 fe = l
__рГ®1> a2» ••.» an> Pi—Ря Яв» •••» Рл a®lv
lb. Ра» .-.Ph 4 Г
Хл+1Рд (v, otj, ctg, ая; Рд, Pg, ..., ря; г)
[Re&*>Rea^X), |arg(l—
A A Jt?-" lxS~2 ...X_ . (tr п(я+1>/«
J •• j/ « \(fl + D/2 n| 2«+1Г (л/2 4-3/2)*
tl-h 2 xjx$...xfr
\ fe=l /
1
(«4-1) (л 4-2)
- , a -]{n4-i>/2
xi4- Ц
(n—fe-b 1) (n—&-f-2)
/л4-2Г(п/24-3/2)‘
Г л а в a 4. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе помещены некоторые конечные суммы, содержащие различ-
ные элементарны' ф\нкш*и. 01 метим, что для вычисления конечной суммы
£ ak можно ввести вспомогательную сумму £ (или привести данную сумму
к такой форме), записать ее в виде обобщенного гипер!еометрическсго ряда и
получить ответ в виде обобщенной гипергеометрической функции. Иногда
может оказаться полезной следующая формула замены индекса суммирования:
л» П~ «1
У ak= У ап~k*
k=nt k — n—пя
в частности,
л п
2 **= 2
k — 0 fe=O
Всюду в этой главе Z, т, n=0, 1, 2, 3, ...» если не указаны другие ус-
nt
ловия; кроме того, по определению при
k=tti
4.1.1. Суммы вида Е(± l)*P.(fe).
л т
’• 2 *"=^2 ("’t1)8* <«+!>”-«.
fe=-l fe = O
m fe
г. =2(-l,<(t+i)2(-,)'v)'”‘-
fe=l 1=^1
3. =-4гт !«„+,(« 4-!"=’• ’• *• ->
Ш-f- i
n m fe
4. 2 2 <-^*[(£!)-2^*(|ei+t) 2
fe = i k=l /=o
5. =4(-1)я+Ч£»1 (» + >) + (- 0я Em (0)] lm=l, 2. 3,...].
4.Ы.1
4.1. ВВЕДЕНИЕ
597
о. 2
n
7. У (-1)* *=(-»" [ЦЛ
A = i
здесь — чела я часть (я 4- 1)/2
8. V £*=
k = 1
|Я(л-М)(2л-Н).
9. у (_l)fe jfea=(_1)л
fe = i
n
го. 2^=|Я±(«+»А
A = l
11. У (—1)*#=4 (*— <— 1)“(1-6п2-4пЗ)].
4Ы в
t
rt f
12. V ^=^(п+!)(2п-|-1)(Зл24-Гп-1).
1
n
ix У (—i)*fe<=(—".
a
и. У A5 = ~ (Л 4-1)2 (2л2 4-2л—1).
fc = l
a
15. У (—1(1+(—!)«(5n2—5n«—2nS—l)].
fc = l
n
*6* У =• v~| (£/л4-1 («+1+в)—
Jt=O
fl
17. 2 (-l)*(*+oy" = |[(-l)"£m(o+«+l)+f«le)l-(-l)“a“-
k — 0
n
*8. J] (_tl)*(2A4-iy«=
m fe Гл
= 2^2 <-1)' (?)at& 2(±1FaW* •
к— 1 * = 1 L /=Q
19. (2fe+l)= (n-MF.
n
3 (-о‘(2*+«)=(-1)',и+1».
fe^O
598 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ H-1-L
21. У (2Л+1)2=1 (пЧ-1)(2п+1)(2н+3).
к=0
». (-в*<а+1у^(-1)»2(л+1у-1+(~1^.
k = 0
23. У (2*4-1)3=(п4-1)2<2л2+4л+1).
*=-о
24. У (fe4-a/(fe+6)« =
А=-0
I
=<a-W 2 traT^Fi)(‘_a)*‘fB,H”«(',+i+1)~J5‘+”,4’(4)1-
*=0
25. У (Z?+a)(fe4-fr) = ^n(n+l)|2n+l+3(a+*)I+n«*.
*=1
26. У А(*+1)...(А+т)^-^кп(п+1)...(п+/« + 1).
»Л I £t
к = 1
27. п(п-Н)(л+2).
I
28. МН-1)(М"2)=| пчй+1)(п+2)(п+3).
* = 1
Г
29. А(Л4-3)(Л4-6) = ^п(п+1)(л+6)(Я4-7).
k= 1
30. 2 ^4-W+8) = ^"(n+i)(n4-8)(n+9).
k= i
31. (2fe4-l)(2fe+3) (2^4-5)-=^+ |-(2п + 1)(2л+3)(2п4-5)(2л4-7).
к= 0
32. У (364-1) (364-4) (3£4~7)=’4 4- i (Зп4- 0 (3«4-4) (Зл4-7) (Зл4- 10).
к = о
33. У kk\ = (л 4-1)1-1.
к=а
IX]
4.1. ВВЕДЕНИЕ
599
34.
n
й (n Л)!=5И, Si = 2, 5Я==—
k=o
4.1.2. Сум мы в и да
л
2^=Us)-C(*. "+0.
fe=L
п
2- V ("+1)1
[т=1, 2» 3, ...J
3. 2 l=C+t(n+1)=S„,
Q-1 с_ 3 <г _Ч «г-25 <?_137 с-147
'» ^”2’ йз—6 ’ 12* ds~60*
„ _ 1089 «, 2283 7129 7381
Л7~ 420 * 840 * d®~2520* ^““2520*
п
«• 2^=?_’Ия+1)=Г”
Л=1
т . т _ 5 т _49 _205 5269
li I. 2а—4» 3-З6* *“144* /se3600'
а
ч- 2 ^=£(3)+^*'("+1)-
fr=l
л
в. У t^=pi-’-l)Us)-21,c6. -f-Hj+U®. «+0-
fe=i
п
z 2 ^sr-=taznjrf-i)“[f>‘",-,,(i)-(-i)*»,”-*,(«+i)l.
fe = l
n
«• 2 ^=j^=in2-(-i)«f (n+i)=a„
k=l
Ui=i, v3 = ^t ^4 —12» ^^eo* ^e=60*
n _319 П —533 tr _1879 IJ -*627
U?~420* Ua 840’ 9 2520’ 10 2520*
n
*• 2 (~<T~=^ ₽'<n+|)=i'<»
1Л _1 у _— y«.=±i— V ГЗЙ—~
И1—1» Vi— 4» Vg 3Q» h 144, »e 3e0Q.
600 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ [4.1.4.
2л п
10. 2 гЬ-
4 = 1 4=1
4.1.3. Су ммы ви да V
3 Z-(fc-ba)s
а
Е 2 T£+W =S(s> a)“Us’ л+а+1>.
fe=0
L k+a W(n+a + l)J
fe=0
n
*• 2 йтг=И*(я+2)+с]+,п2-
4=0
h = Q
ь у СЫН .._ _ №' <“П_(+(♦' (»+«+ >П
Zi (*+«)2 “b'WJ ' Ь'(«+ч+1)Г
fe = Q
* 2(2bhp=8p-2*'(2i',)l
4 = 0
4.1.4. Суммы внда J —<^3-.
1 V ten* _
L. £(A4-a)
fe=i
-Iffc 1_lрмн-т /.lvlft(«+e+i)“*(»+i)n
eLUn2f"l’U(a + l)/ U (n+fl+D-P^-HHf
n m
2 V 1 - ” V 1
k(k-j-m) m A(A:4-n)’
fe=i fe=i
n 2m
a V (-0* .. 1 V < p| 1
Z^klk-{-2m) 2m ^4' ' |_lfe ^4-nJ*
k=i fe^i
4. у_______!____=_2_"v__________!______ КЛ
(k+m)(k + l) m—i {k-^l){k+l-\-n)
4=1 k~1
s V__________1 J I
Zj (Ла-j-i) (Ла 4-a-}-6) ab a (aa4-a4-b) *
fe = 0
4-15] <1. ВВЕДЕНИЕ 601
i ft f n i m + n \
(ka-^b) (ka-j-ma+b) ma \ ka-^b to+Л/*
k = 0 'fe — 0 k = m /
A
7- 2>рЛ+ч=^1*<л+а+1)_*<а)_’1,(“+6+1)+'|,ад'
!• * = O
у (-1)» _
Z (*+«)(*+»)
к — 0
= 5=5{₽ w-11 W+<-’)’ IP ("+«+»)-₽ ("+»+>)»•
A
fe =0
10. У---1_= —~___.
Z 4£2-l 2a 4-1
fe= i
n
И. У ъг^=Ц^[0(л-в-М)-0(л4-«+1)]——A-
Z &—c.2 4a ' у2яп.та 2aa
fe=o
A 2(m—0
li. у_____<=V____= _J____ У (_IJ* f_J______Ы2А
Z (4-f-2m)(6+21) 2(m—I) Lt ' ' \&4-2i k+2l+«)
fe=1 k = l
At К П V (±1)*
4.1.5. Суммы вида у ..»•, . А-т-' ,. • , -. .
Z (£+«) (fc+Ь) (64-c)
V ti-1)*41 = 1 [/+ 1 m /♦ («+«+ 01
Z (A4-a)(fc4-b)(fc+0 (&-a)(£_a)P ' l₽(n+a+I)J
h— 0
_ J* (<] _|_ 1 Г/ ь ПАМ /Ф <«+* + П) _ Jt (&)\] 4.
IP <*)/J (a-fr) (c-b) p-ir U (« + & 4- 1)J u (b)J ]+
4- - 1 Г, НШ1 /Ч> (n + г)| _ Гф (c)H
^(c-a)(e-fr) ’ (P(n + c)J U(c)JJ
2.
~ l m
_______1 n 1 V' 1___________________1 1 1
k[k-[-m)____________________________________________________m—t I k(k~i~n) m Z
V 1 1 1
Z k 1) (*+2) “ 4 2 (я +1) (a+2) °
fc= i
602
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
И-1.6.
S (mk-[-t) (mk-j-tn-^-l) (m*4-2/n-f-0
к —О
= 1 Г I____________________1___________1
2m у (т 4-1) (mn 4-®4-0 (тл4-2m4-0J*
п
'у_____________1___________1__________________________1________
L (*4-л) (*4-а4-1) (*4-л4-2) 2а(а4-1) 2(д4-а4- 1)(л4-л4-^)’
к = о
п п
7 У _____________1___________« V 1 2Д + 2
Li (*4-1) (2*4-1) (2*4*3) Z.*4“»4-l 2п4-3’
*=о k=l
п
» V______________।_____________1____________1
Li (2*4-0 (2*4-3) (2*4-5) 12 4 (2л4-3) (2л4-5) ’
к = 0
о v 1 н 6л 4-17
’ Li (2*4-1) (2*4-3) (2*4-7) 180 12 (2л4-3) (2л4-5) (2л4-7)’
к~0
4.1.6. Суммы вида V и другие.
-« xW
п
1 у * ь 1_____________________т”*1
Xj (*4-т)1 m (tn—'l)t (1я4-я)1 ’
k = L
2 У r 1 Г 1___________________________________!__________1
Li * (*4-1) ... (*4-m) tn L ml (л4-1) (»4-2) ... (л-f-m) ]•
k= i
n
3‘ Xj (*4-a)(*4-«4-l)... (*4-a4-**) ~
к=0
= M________________1________________________________1______________1
m L о (a4-1) (a4-2) ... (a-j-m—1) (л4-л4- 1)(д4-а4-2) ... (n4-«4-m)J*
Vt Г (*-}-a) 1 гГ(ге+а4-1) Г (a) 1
” Li Г(*4-&) a—*4-1 L Г(л4-*) г (6 — 1) J*
- yi Г (a—*) 1 Г Г (a—л) r(a4-l)l
' L Г(&—*) “ a—1 [Г(&—л—Г) Г(*) J
4 1.7 ]
41. ВВЕДЕНИЕ
603
6.
n
2 *! (*+2)
fe=0
n
(»+2)!
k
oo
8.
k = \
VI kk\
L (2*4-1)!
fe i
= 1
m = l
0
9Л =------------------ ОЯ—1
2 (2л 4-1)! '
I 9.
n n-f-fe —1
у, n-* («+*-i)i у
Zi' ' (л—*)' (И)» т о* ‘
fc = 0 m=l
Пу1 2ft ( 1 1 = 1 ( Ц — 2" / 1 11
14-a2^ ta2feJ a—1 1—aJ я2®—1 la2®J
fe-=0
n-1
у _J___________________L.
j_o2fc + 1 1— a 1— cfia
k = 0
4.1.7. Суммы вада
Л
1 —x«+1
1—X
n
2. *x*=(l —x)~2 [x4-(nx— n— 1) x«+1].
k=l
3.
2 *2x* = (l —x)3 {x (14“JC)-X«rt [(П4-1)2—(2n24~2n — 1)x-J-^x2]}.
k = i
n
Л—i
+(3л’4-6л2—4) хя+1—(3л*4-3л2—Зл+1) хя+2+ «чх«+3]
5. J] *(*4-l)x*=
k = i
=(1 — х)-з [2x—(л 4-1) (»4-2)хя+14“2л (л 4-2) xn+2—n (л4-1) хя+3].
6. V *>xfe= f
Zj j 1 — xt
fe-0 0
n
7‘ (*+^г==Ф^* s’ a^—хя+1ф(х> s» «+«4-Л.
k=o 4
n 1
8. ’ x* = — In (1 — x)-*x«+i J f* (1 — x+xf)-a-ldt.
k=^l 0
604
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
14-1.7.
*• 2
fe=0 О
п
*’• 2 4=4(evr<“+*’*>•
k=d
11, V —I xfc— n> £V~ 1 (x)
Z T(A+v) “ г (л-f-v) « W*
k =0
P»/2|
<2. У —tz_y?— х2л~ JlL ff (_L
Z kl(n—2k)l nt Па{2к
k =o
13 у (- 0» .
’ Zi (2k+W(n~k)lX (2«+d)l м+б
k = 0
[6=0 или 1].
n
|4 2 £fc^+lZ2>x»=nj[« + '/2[H„+I/2(2r)-r„ + 1/2(2x)].
k=0
[»/2I
15. V JLz*zJ)LX2ft=lx«+io„(2x).
Kl /I
k=Q
16.
У = -----rfn+1, ^j-ertc
Jfc=o (2Й)! 2 LX11 (2«— l)lt \ 2 2/
l»0h
p»Z2]
У (2k~ I)»
Zi (2n- 2fe-H)!t
k=o
x2* = ~ ях« Г Ея+1 (-Ц+Ня+1 ( Д1.
I \ Л f \"*/l
(^/2[
2 (2^+i7i|l?" xtt=(~ IE—
fc=O
я
19 у 1 (>\
kt (n-k)l Vn n+li£ \2 /
2(-|>8^йг-^=гм^Ш-
fe=9
4.1.8.]
4.1. ВВЕДЕНИЕ
605
n
21. V (± 1)*-------------------г- X2* ~
М (л-*)!Г(±-л+А)
— 22а-1ЛХ2в+1___П~______ Р—n —1/2 (х) Iл 4-1/2 (г) у
(2л)! Г (у—W+ •/-«-1/2 (ху
Гл 2]
у (-l)fe(a-fe-l)! fc_2x" / 1 \
Z А! (л — 2k)l п а\2х/'
к—О
i23-
Л = 0
25.
= <~ 1)П2“вTOjir (Л+Т+в)',“^(2-)
V z ji* I* jfik 16=
Z 1 ' (2jfe+6)! (л-А)!
A=0
__ ( пб _______________pv—л —6
' ' sm nvr (л4-1+6—v) 2/14-0
f6=0 рлн 1].
[6 = 0 или I].
n
Vх*— (x“4)n
Z (2£).I [(л-£)!р (2л)!
fe^O
26.
n
(2*)1
x‘=
Л \
X
2
27.
V (-D* (<+»)'_,»_ I.»/! *\
Zj (24+l)!(n— 4)! я+l 2)
fe^-0
4.1.8. Суммы гида J^(_fc 0*^—j«
Всюду в этом пункте [л] означает целую часть а.
K2J
’• Z [4Н Ш+8 f- <- ”W2)>-
l~ 1
2.
1 <-'44Н [-2](I+(-
fl
3. V (- 1)№/ЗД [ 1^] = 'f - - {1 + (- l)°i {1 - (- 1)|я/г]} +
к=1
1)»} [„+(_ ])(<«+ DP)}.
606
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
И 2.1.
[/г/21
k =
в. 2 [ I]=4 <“ - *> <л+4> -PV1] -1 и- o'2"'31+(- о"+(в/зч •
£=1
п
«• У (~ 1)‘ [|1 - 4 {(- l)w3)+2 (- О1"”1 Г"]-1} -
fc=l
„К»-D/3J 1—<— 1)"+[я/31 Г «Г±1
1 Г 2 L 3 J’
п— 1
_ V Г . г t < * , .V . ,
7. Т — 1= [nx]~j—g (m—1) (п—1) [т, п—взаимно простые числа].
*=oL
4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Обозначения: а, b—любые комплексные числа, при которых биномиаль-
ные коэффициенты существуют (относительно определения и свойств биноми-
альных коэффициентов он. приложение 1); I, т, л=0, 1, 2, ...
п л
»• 2 <-1)4 С0=в“-- 4- 2(-1)4 (*)=(-1)4 (“г *)•
&=0 k^Q
k=tn
1+(—])« f п\
4 \n/2}'
’• 2 <- *»4 и)=^“» “ •
fe=0
4.2 1.1
4.2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
607
, »+(-»)" /2п—1\
2 \ п )
[п>П-
22 V [ 2л \=22я^24-(2л V
Zj \n-\-2kJ \ nJ
fe = 0
„ lv7«-*\ (i+ZsT^-O-rBr1
2>{ k )------
k = 0
608
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4 2 2.
24. У( (-р^-К-^ + П/З^
шял \ J 2
* 2 (‘+^ («+»/•).
fe = 0
29. 2 (_I)*(mT*)=(—1)в(/—п)’
о
[m <«L
4. V (— р* А» =(— I)" п!
il l)
S. ^(_1)^.W=lzL.p.(n+l)l
4.2 2.]
4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
609
7. 2»^
л=1
п п
*• 2‘2(»)=2^гп(л+,)-
А=1
я
2»-4п (л +1) (п2+5/1—2).
2л-М /2л\
2 \п1
п
43. V
\ ft я
! k— 1
' п
«• 2С4!)=<2п~1)2М"
fe = I
п
я. 2 (-|)6(*+“)m(")=°
/r к-0
(m=0, 1. .... я—1}.
16.
п
У (-1)4 (*+<»)“
к=0
17. V (—D* (*+«>"-"•
(m=l. 2. .... M-
W. У (-1)Ч(»+«)”"-(*4-Ч"и1(*)=(-0“("+ l)t(o-«.
* = 3
W. у (-1>*(л1+*)в«^«(’-1)я(т+^)(«+1И
fc=O
20. у (_1)Л(т+й)п«^=(_1)п-(?1+^1 [3/1*-Н12/и-Н)л-Ь12да21.
fe = O
• я. 2 <- d‘<"-»)-о="2<»+1>2<"+{!><?+з>.. »i
fe = O
20 А- п. Прудвнков и др.— 1603
[m<n].
f
610 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ [<2.2;
п
22. (-1)‘(‘+<0"-1'2(и =
оо
2лГ("~ 1/2 Г (л-^у) J tcos 1(Я+2»>Л — sin |(дг-^-2в}£}}^~я—V2sin"/d/
7 о
[а<—л<0).
23. 2 (я-^)±2т+' (*)=« [«=0.1,2....).
fc=O
k л/2
24. 2 (- <«-2J)“42m+1 (")=0 и=1. s. з. ...j.
* = 0
* А«/2
1(«~П/2] оо
25. 2 <->)*(«-»)* О = ^2«Г(»+1)й>-&=22 f <-«->Л1ЧЛ
А=0 t
[я—1, 2, 3, — 1’<5<д].
ln/2i
2fi. (- О* Q (n-2fc)«=2«-in!
h/2]
27* X (~ life («-2*)’+2 =* з 2п~^п (n+w
fc= о
2Zf\B-2^=^.
fe^O
л д
Я5. У (n-2Ap 30- У (" Ofe («“^У5
feto W *=о
si. 2 (-1)*(я-эдп(11У=о
fc^tn/2 [я»+л—нечетное число, т —0» ±1» ±2,
32. 2(-i)»(n-ftp(^)=
л=1 °
f6<S<2«Jfc
33. 2
к=о
4.2.2.]
4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
611
п
34.
л=о v 7
[m=l, 2, я—1].
я
36. "V ^(п-*-|-1)«^^ = й(Л+1)п-1.
[я>Ц.
40. (л-*>«-*(*-1)*"1 ----(л-1)».
Jt = O
41.
42.
у (— i)fc (a+Mfe-1 (&4-Ия** =
k=0
2 1 /«\ /._ П, л!(—5)m 2“ VI, mini
m4-6 \k) (гп4-л)! "" ml 2л (m—k)t (n4-fe)t
fe=o L fe=«l
43.
у (—
£ &4~&
fe=0
[ж=0. 1, .... я].
612
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4.2.3
п 2k
k= 1 m=l
[я/2]
V (-*)fe _ f (—1)л 2/n
ДЫ П — k \ k ) I (—1)и-1/п
fc = O
[я — 3m],
[я^Зт].
V 1 (a~k\_ 1 (а\,
Zsi a—k\n—k] a—n \nj
k=o
n
S7. 2 (- 0»
k = Q
[a^O, -1, -2. ...].
я n+1
58. 2 л+Т Z T’
* = 0 fe=l
я
fe—0
4.2.3. Суммы вида
* 2 О‘=<’+^-
k = 0
й=0 '
[(я —1)/2]
2
I " V (i+K^r-d-Kx)*
\2A+V x
«• 2<-3’‘(^={(^
й = 0
[(п-П/2]
5. V (-3)‘( “.) =
\Zrc ~j“ 1J
к = 0
0
2Я-1
—2я-1
[n = 3ml»
[л ф 3m].
[я — 3m],
pi 6m -}-1, 6m + 2]»
[n = 6m + 4, 6m + SJ'
4.2.3.]
4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
613
[л/2] t
6. У f"T^x*=2 «1(14-4x)"1/2[(4“KH-4x)n+1—(1—КГ+^ОЯ+1].
\ К /
fe = 0
l*gl / ’ , , к
7‘ 2(-0‘\к }х^=х"и"Ы)-
i=0
[й/2|
4 = 0
V* /2п—1 (2*+1 ± К* +4х)2яа+(2х)ад+1
’ \ k ) 2п (2x4-1 ± V 14- 4х)я ± К1+4х)
п
W. 2 ^tPn~k\=^n‘
k = 0
«• 2^f2'-*u2»+<
»ti *• i * )=~^->
n
k^o ( 2k
14 V 1 (n + k\ -2****+»
”* Zi 2k \ 2k j 3-2Я *
*=o
n
15.
Sc-o*
* = 0
. x \
jF*==sec (arcsin -=- j cos
. X
arcsin -5-
A
n
1«. У
fc = 0
n \ г
17. У1 {___])fe =S3C ^arcsin у sin |^2 (n-J-l)arcsin ^-
k=0
« m . . t A. j,.
•в. 2 2 2
kTo 1 z^°
V km [2k\ c
Zi 2^\krSait
fe=o
_ 2л4-1/2л\ „ n „ _п(Зл-|-2)
s.=-2H-4„J. s»----15-
го. 2 (i)x'=jr’f /“-"(1 + 0’Л
fc=0 6
x Я (15^+18n-f-2)
ПГ7
/
~1. ... , —ej.
614
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
SO.
31.
32.
33.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
Н-2 3.
я х
2 1]1пя —П J (1 + 0?* 1 In /dt
fe = l о
V 1 1п\хъ (1+х)я+1-1
Zj 6-j-l \k}X (п+1)х •
k = o
[1/2]
У 1 f П\у2< _(1+^П+1-0-^*Н
& 264-1 \2kJ 2(n4-l)x
fe -О
1(«-’)/2]
У .I f п \ - 0+^+1 + (1-х^-2
6-J-1 \ 264-1 / (zi4-l)x^
fe —о
|п/2]
у _(—l)fe Ztfc— k
Лл n — k \ k
fe=-0
2
= -xnTn
n
-L\
2я
F
“ 2nn
[(1+/r=w+(1
3” + (—0” 2”
n
\nm
У fn~~k
n—k\ k
fe - 0
4 2 4 ]
4 2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
615
616
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4 2 5.
4.2.5. Суммы вида £ (±»‘ (£)•
п [(л —1)/2]
V П'? » (2п\ 2 V (п\2 - 112п\ _ 1 +(-!)" [ п У
\kJ \nJ ' \kj 2\п/ 4 \п/2/ *
k = 0 k — о
У < «\
Zi к 4 \kj 2 \п12Г
4 2 5.]
4 2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
617
fe—О
^•(х^Ь^ХПСМ:)’]-
k—0
n
22.
2 «•(:)(
ft=O
2/i— a
n—k
n— i
fe=o
k=-0
» i(»=m =5- y(bVij=("to\
\kj\k+a J \ a-j-n j \kj\m-i-kj \n-[-m)
k — о k — о
26. y(’V ° W”+e\ 27. ^Ia\( a U'P'U-M*.
\k)\k—m) \n—mj л \k \2n-kj 2 \2n]^ 2 {nJ *
k^=0 k^O
2n
k —0
618
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
14 2.5
(2ti\f 2m X . j(2/n)t(2n)f
\kj\m—k] ' 1 mini (/n-pn)l *
fe=0
39 ”V" (k\(n~k\-( П+1 \
Zj \l \ rn )-\l-^m+ir
k = i
n — tn
k — m
V (n\(n + l\ n~m
4 ‘ Z W\ i I //+«+1*
Jt = O
to Zn+2^4-l\/n+2m—2й+1\ J_/2/n4-2»4-3\__2_/ra+n+l\
42‘ Z \ n )\ n J 2\ 2n+L ) 2\ «4-Г
fe=0
n * n
k=Q k=0
4..2.5.J 4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ; 619
44. V /»+№W"-«-«\= I ^Г,)^
“ 1\ o-k ) 1»-«1
п п
«• 2 = 4!к 2
Л = 0 1 k—m
: 47. у (-1)‘ W (“+“)=(-1)» „ [О < т < «*,
! * = 0
г
L я п
*• 2 <-”* © =Г п “)• «• 2 <-,>6 -
k— 0 k=m
п
^2<-»‘(:)(‘,+:=г1)=о-
, к-=0
\ п
2<-1>‘(л) О+'Пт',_*)==0 И<П
*=0
п л- о» М — т~~ Ц
__ОД—2Я11 I
т \ т—1 /*
к =0
fc=0
п .
fc—О
п
* 2 <-«‘С)(в» )=(-«)•
fe = O
V /4л\ (2n-kX 2М+1 ^п\
57‘ Wl » / 3 \пГ
fe=O
fe-=O
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ С1ММЫ
(4 2 5.
620
1п/2[
“ 2.
*
«•• ti (-о*(т)(4п^>(«+о2--.
«л - 0/2]
(On —1) (п— 1)/т]
69. V (—1)* mj = ^n4-n—2J
70. V (_()ft (n\(m~2k\=^0
ил \k/{n~l) 0
fe = 0 9
n
" .2‘-"rara-"1-- 11,2
№ V *
4 25]
4 2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
621
622
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ’КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
Р-2 6.
а-|-я \ 2п /
Г(«-1)/2]
k = m
41 V I 20 (a~k\ - 2д>1
£ \%г+1\а—п) 2я4-Г A 2rt Г
k = 0
[(л—2m)/2]
у ( П \( П— 1 \_ 1 /2/1—1 \ t(—1)« /Я—П
\2A4-1/ \2/п—2k) 2\2m*f-l/^ "2 \ т Г
k = 0
[(я-D/2]
fe O
[(п —1)/2]
м У ( ° \! ° \_ 1.W . (-1)^[1+(-D-JZ О \
L \2k+\)\n-2k-\)~V\4i) 4
fe — о
4.2.8. Суммы вида 2a‘(c‘),(e‘)-
Л
-• 2 ОСЫ:-’)-
k = 1
п
г- 2 ‘"(2)’=5-
А = 0
е _f2n\ С ” /2в\ _»/2n-2\ е «^(п+го/гя-гх
S,_Ur 51 "2 U/' Sx ~\п-ЧГ
К«-1)/2]
k = 0
п
У ju/g4-&\/я—м + W a /а—я\1
\ т )\ т )~ 2 LvM-'l/ \»+V »\ л-Hi /\jn4-4/J
4 26].
4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
62»
6.
п .
2[яи-<о+*> *j (*)(Z*)=
fc = O
2(—n\fn-\- k\ л V I
k \k)\ n L. k'
fc = l fe = l
[2n < m]
n. k
у (—1)* ( п\ M-f-fe' у F (~ ty*
n~\-k \k)\ n ) m na*
k —0 m—1
V 1 W /2л —2k\ = (2д-Ю(2д4-3> ... (2a~h 2n—l)
Zu о+ЦАД n—k ) o(a-|-l) ... (л+«)
= 0
n
У (— !)* /2Л\ fn + k\ 1)” fa— IWatj-nY-1
a+A \ k )\ 2k ) ~ a \ n )\ n )
n
у 1 f2k\ f2n — 2k\ _ n—m-j-1- f2m\ [2n — 2m^-2\
Xi fe+1 \ fe / \ л—fe j~ 2(n4" l> \ m }\ n — m-|-l /*
fe= m
!•> "У* 1 /2fe\/2n-2fe\ /2n-bl\
Xu fc-f-1 \ fe/\n—k—1/ \n—lj
0
16.
1
2k— 1
!2k\ (2n—2k\
\ kJ \ n—fe/~
у 1 I2k\ !2n—2k\ 2<« f2n^
2Л-Н\fe) \ ft—fe / 2n-frl\n}
k= о
18. V 1 /2feY?2nT-2fe\ (grr-i-2}!
Xi (fe+l)(n-k + l)\k)\ n-k Р*(л4-1)! («+2)Г
624
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4 2.7,
19.
20.
n
2 (2Jfe— l>(2rt —2Jfe— 1)
fe = 0
2 1 (2k\(2n-2k\ 1
(2k— 1)(2л —2&H-1>\Jfe Д n—k j ~n(2n-M)
k—0
21.
п
k = 0
ft—1
p+qk _ p(a -\-b—nc) 4~ naq fa 4- &\
(a-j-kc) (b—kc) ~ a(a-\-b)(b—nc) \ л )*
п—i
23.
24.
26.
л=1
ft
ft
na — ka\ _2a fna\ 1
L a—k J n\n] na-n-^k'
fc = l
a—k—1
k^O
n n — k
2 О 2
fc=l i=0
[fe/21
k=0
mn —m
n—
2 /24-тл
24-яш\ n
(n>q.
1 = 0
I.
4.2.7. Суммы внда 2e‘Cl)(t)
n n
2C)C)-
fe = 0
n
2.
k=0
n
3.
fe —0
n
fe=0
n
6.
(x— I)»-*.
k=0
k = 0
n
n
k = 0
n
4.2.7.]
4.2. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
625
п
4=0
». 2 <- 1р(ь)(п+*2)
4=0
“• 2 <-*>*(
. k=Q
f
• n
И2- i(2)('T)x‘=p”<'+2'>-
4=0
2* \k/\m+n) 2^
k~m
[rt—m—четное несло]
14-
п
4 = 0
n
u. 2<-«^(:)(ex+‘)-
fc=0
(—l)fl/2[l+(—!>"] /лЧ-2т\
2 \ я/2 Д tn )\ n ) ‘
n
16.
4=0
2m
m /2*
1 f m
2«+1\n/2
m—n
n
17.
k~ n — m
»+*\ p
2n-m/ 2^ 1 Цт/2
62& ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ»
[4 2.Z
2m
п
* £;->* 2a(:)(*z?)-<-<)'
26. V (—1)»2»(“)(-1)д/*[1Чг(—»Н/2а'
*Т. \bj\n—*/ 2 (л/2/
® , [л/2]
А {Ь/Хп-Ь} 2
29. V (— 2)*(n~f~*!~1\f2m+2n+t\ п
Д \ / U<»+i -кГ°-
п
* 1
4 2 7 J
4 2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
627
[л/2]
31. у (—У* &\ (—*)*"/»+1\
* b,L 2U \ k Am/ 2« \2m-bV
K=b/n ' / к / \ • /
32. £ (-!)« 2« ( * ) (n+k) - (-1)« (*'+'”) 2® ^£1.
n
33. (—l)*22ft
fe=o
| 34. У 22*
r fe^on+k
' ' \2m-j-l
— (_nn 1 92m [п^~г
2k ) ' ' n4-m \ 2m
У (-0* 9** ( k \ (n^k\ - <-*)” 92<n (n + m'
Zj 2fe+l \m)\ 2k J-2/Tpi \ 2m
fe —о
2J_/2fe\ Z2n—jfe\ _ 1 /4л 4-П
л = 022*\£/\ n / 22" \ 2» /
["/21
2 1 f n \ J2k\ = 1 (2n\
2^\2k)\k) 2«lrt/
fe=0 \ \ / \ t
n
9Q v /2fe\/2rt—2k\ -- wn я_ Г I / , 1 \1
“ 1 (*X n-k )*-2“^>{т(*+тЯ-
fe = 0
» 2 -(;)(7-?)-e)-
k=Q
40 V 9^1 ( «+1 \[а~2к\ _ (^+г\
^2Л4-1Д n—k) “\2«+V*
n
V {-^k(a\(2n-k\ Jn-l-af2\
2n—k \k/\ n ) \ n Г
V (—l)fen—2a \/n^k\2n/a\
2* n-J-feln—k)\ n ) \n/
k = Q
k^m (n—k)2ift\ k ]\m/ n \2m)
628
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4 2.8.
* 1
к=0
[л/2]
к = 0
4.2.8. Суммы вида 2“е(Ж»)1-
V, /а\МУ 8+1 Г/о X/bd-lV1 ! а \М+1\-П
Z \k)\kj ~Ь-а+11\шД т ) \tl+i)\n+l) ]•
k = m
п
- 2 <-*K:)(etT“4-.-
k—й
2 «ОГГ'Г— 2 А-
i=l л = 0
‘ 2 <-"•(:)('
i = 0
К V i nk(n\(2n\~1 II+(->)“]C2«+D
5- ------2HD
fc=0
n
r-J-jbV1
«• 2
k = 0
n
2k
(- 1)й~ 1
2 (n+2) ’
7- z
fe=O
n
k = 0
/2П + 1Х-1 [!-(-!)«]
V2fc-H/ 2(n+2)
9.
у, /п\/п+2а\-1 2а+я-}-1/2а\ 1
Z\feJ\fe4-(»J “ 2а-М \a)
*a=0
2«il
10.
2 (-*)*
/2п+Н/2п+2а+П-*
\ k )\ k+a )
2,1
»- 2
fe«0
2л 4-2a\-i = M+«\ /2в\-1 /га+глХ-1
s *+« / \ n )\a) \ 2n )
4 2 8.]
4 2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
629
13.
12.
1- (- 1Г1
2/i j*
^//(п—1)’
л=о
* Ь-*6Я(:Г-'
lt=o
г 2п
л 2(-<>**"(;)(вГГ“8*
k — 0
е ° <? - ~п
• а+п’ 1 2(2л—1)*
* 2 <-,),*“(Z)(“tT=e
k— t
it. У k (“ V ° Г -_я<1+д>
\^/\^/ (л— а — 1)(п—а—2)*
fc=l
ift У /.JnVaV- n(l+a)(a+/i+l)
\k)\k} ~ (п—а— 1) (д—a—2) (n—а~ 3) *
k= l
n
2 ‘(UrrT-ra-
k— i
(1<2т<2л—1].
630 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ- КОНЕЧНЫЕ СМММЫ И 2 Si
fe=l fc=l л=1
2л+1
м V /-ittoafcf 3/1+2 W^+^+H-^l/an+awiui+n-i
<• ^я+4+1Д д+£ у 3\п4-1Д п }*
k 0
л—1 т — 1 л — 1
* 2ЧЧ:)(:г-2-:--’2г «-<•
fe l к=1 k=l
п п + 1
9« V (пу, зсп+ругп+гу1 v J.W
Z^\k) 2л+3 У + н Zi k\k}‘
fe = 0 *=1
п
*> 1 и‘(*)(?Г“2"+1-а“(»г-
к= 1
а». 2 и‘,(^)Г\+,Г=2п+4“2“и(2'1пь'Г-
* = 1
4Л.9. Суммы вида
1.
(п\* - (-Qw/2Ii-fr(-iH I * \ /ад\
W ~ »г
1 ("(!*)-О’-
к — О
«• 2 С)*ГГ‘)"(17-
* = 0
п
fe = u
Y ZnW k \_(п\(п+т\
2а Ш \п—гл]~\т]\ т J
к = о
i wmoer-
2n
2 <-‘>*(T)(“t7=(n>
* = 0
«• i <-о(
k — Q
2n—2m\8 z lYm/SmX/2л—wy/Sn^my1
4 29 J
4 2 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
631
п
_ 1+(—1)я [ а \ /— о —1\
2 \п/2/\ п/2 )'
п
11.
— a \==fi\i(m+n\(a\
\ k-[-l / \т — I—' \m — l‘\mj
‘>‘0 (":+Л"') № (:)•
V /__। (т+п\[п+М 4-лг\ , (1-НЯ'НО!
1 ' \m+k)\n^kj\l-\-k) I! mini
k=—m
2n
13. У (— i)*f2nV 2m }f 21 =
J V k j \m—n-{-kj \l~-n-^-kl
fe=0
=/_lyi (/+w+n)>(2Q»(2ffi){ (2л)!
' } ttmlnl C4-m)!(l + «)!(m-|-n)t ‘
n
.. у fm\ fn\ _ /m+n\*
z»4-« / ~ \ л /
fe = 0
a
15 У fft\ /а+й1+я+^\ M+m+n\/e4-in4-n\
\kj\kj\ т+п n )\ m j
k^o
fl
16 У /л\/m\/m-f-n-l-!—_/«4-A
Zm \k}\kj\ m-\-n )~\ m j\ n ]
k=0
n
,7- I M(°+!i+r%(etTt"')-
\kJ \ftj \ П — к J \ fl j \ tl J
k^O
a
18 У (a\( n \(^\~(a\[a~^n~rn\
fe=^0
fc=0
«• i (:)(лхх?)=ш
fe = 0
«iin(yn, n)
21 У /aW Ъ \[^+b+n—-k\_fa^-m\fb^n\
Zi \k)\m—n+k)\ а-Ь& ) \ n )\ tn )'
fc=0
632
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4 2 9.
я т
п
fc = 0
я
у, fa\ — 2\ fa—k—1\
Zu \k)\k+m— 1/ \a — n — ij
k = 0
a-]-m—2\ ZaJ-n-f-m— 1
n+/n— I/\ n
n
1 <-»ХЖ)=<-Чп)(Л)-
£=max(/. m)
n
k—m
у (—l)fc/2nW2n—£\8_ 1 (2n\ f2n-^-a\ /a-J-nX-1
2. k-i-a \ k) \ n ) ~~a\n)\ n Д n j
/ = 0
n
У (_l)fe /2n\ f2n—k\i _ 1
Ju 2n—-j-1 \ k/\ n / ~ 2«4-l *
fe=o
[я/2]
V nW2fc\M\ _Lfn\(2n—2m\
L 2^\2k}\k)\m) 2» W\ n Г
k~m
у (_i)fe fn\ fn±k\ f 2k \ (—!)"+(—1)CT / n+m \f n—m \
Z 2^ \k)\ k )\k + m) 22«+1 \(n4-m)/2/\(n—m)/2/
fe-0
4 2 10]
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
633
V <—Ц* (п\ №\ fn+k\ __ i-H-D* I п \*
’ £ 22* \kj\k)\ п 22«т1 \п/2/
4.2.10. Суммы вида (£)(£) (£)’*•
1. V ( i^(n\2lmn+nY1
' \kj \ k j (тп—n)1 (mn-|-n)! *
k=0
п пт
k=l fc=l fc=l
* = 0
ft—о
в. 2 <-^(’Г)(Г-°
k^o
п п—1
’ 1<-»Я‘Г)(*ГГ ПО-тад-
fe=O fc=O
* = 0
я т—1 п
‘2^0(-Г)СГ=К-221
п
“• 2 (-п‘©2(2ГГ*‘=<-»»(пГ^(1-4)-
fe=^O
" 2 O'Pr-CT'i—
Jt=O
[m< я].
[l<ms£n-H].
га
•s- 2 (->)‘(3’(ТГх“=г»(1
л=о
х*\
2 )'
634
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
{4 2 10.
1 >- »(:) г? “ХГ »-©’(-
k—Q
п
2 ‘-‘’‘(Х) Г7+') (л)"‘(*? ')_1^о-,/2 а-*)-
i=0
ft
fe—о
ft
2 (*) (ТГ*“=С
fe=0
fe—0
{n/21
2 *»-<*+*
"ft «eft»
Г«/2]
fe=b0
[ft 2]
2 <-*>‘U)(T)(Z)
fe = 0
у (— l)fe fn\ Z2fe\/m4-%\-i 1 pm+2n\(2m\--L
Zd W \k)\k)\ k j ~ 2^\ m-[-n )\m) •
fe=0
k=0
2(—1)*22* /n\/a+fe\ Z2fc\-1 (-Л)« /2а\ /л\-1
a+ft \k)\ it )\k) ~ a \2n}\n) *
fe=0
n 2л л
k=l k=^L fe=l
4 a i.j
4 Эи ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
635
26. у ±^2»f"W'1+AW2*V1-i^-
Z1 2*+1 2 k )\к) ~2»+1-
I
п
(:) (2и+г1) сг=2* w-2t(»+n).
fc=l ' ' 7
4.3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4ЛЛ. Суммы вида
V ph (kx+а» = £ я+1 ph [(ПХ/2)+аП
2^ (ch (Ах+а)/ 2 2 Х ich [(ПА/2>4-ау,‘
'sh (Ах+а)1 _
!ch (Ах-4-а)| ~
_ sech(x/2> Г ph [а—(х/2)П , , п„
~ 2 [|ch [а—(x/2)]f^ 1)
sh [(2ях-|-х4 2a)/2Jll
ch [(2nx+x-|-2a)/2]j]*
n
fc=l
, fsh(Ax-l-a)l
‘Wto+4-
-—cosech2^
ph (пх4-д)) ph (nx+x-f-a)] ph aVI
(ch (nx-|-a)J П (ch (ях-Ьх+а)/ (chajj*
ph (Ax+a)|
k Ich (Ax+a)J
= sech2 * |(— l)«(n+l)
w I
'sh (nx+лП ph (nx +x+a)( ph all
ah (nx4* a)J ’ ' ’ (ch («x-bx-|-a)j (cha/j
R у /n\ ph (Ax+a)| = 2я x ph [(n r/2) + аП
Zd \kj (ch(Ax+«)/ 2 (ch [(n^2)+a)J •
=0
-2»-l sh" — 11 + (-1)«1 f* l(nJt/2) Ь“Ч -
-2 sn 2 U-H V j (ch Unx/2) i ajJ
ол-х he ' ii— i— nei/с|1Кях/2)+«]р
—2 sh 2 |1 ( 1) ] |sh f(nt/2)
n
636
7.
8.
9.
to.
11.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
(4.3.2.
п
—k)x=»
k=0 7
о»
e= 2"1 x24-4Z2 sin2«/df4-22”-1sh!W~.
&
sh (2/1—264-1) x=22« sh2rt+1x.
n—I
2(t1)*
n—k
k^=Q
/2я\ . . f (ch(x/2))2«
( , ) sh (n—6) x=2a*-114.; ' dx
J tsh(x/2)f
o
(±1)« f2n\,
2 \nj
2
fe=o v '
n X
2 2^rH(a’^l)sh(2“~24+,)x=2“fd,!’+,x<U
fe =0 О
h/2]
2 \k)ch (я-24) r=!’ri *»+] u +(-«h (Д)-
fe —0 1
n—I
V r»Phfc4 =
ich kxf
fe=O
________1 r^,« (sh (" - 0 4 _ rn fA “1 4. r /sh x| + Ml
1—2rchx4-r2L leh(n—1)xf (chnxj \chxf ‘ UJj
4.3.2. Суммы, содержащие sechx и thx.
n—1
23*sech22fex—cosech2 x—2м cosech22ях.
fe —о
n
V —1- sech2 cosech2 ~
22® 2* 22/l
fe=l
tosech2x.
2 2* th 2ft _'сИ|х 2л Cth 2я *
fe=i
n —1
2 2*th2*x=2«cth2«x— cthx.
fe=O
n
22^th22*=cth2x“'3'(l~^«) ~^n ctha2«*
4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
637
4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4.4.1.
Суммы вида
sin (Ax4-n)
Leos (Ax4-«).
VI Jsin (Ах4-дП
ак (cos (kx 4- a)J
n
d?™ у Jsin (Ax4-a)l
dx2™ (cos (fac-j-a)/*
k — o
9 V fsin (Ь-Ml _r V fcoe(far+an
(cos (fex4-fl)/ dx2m+1 (sin (Ax-j-a)/
fe=i fe=i
[e=+l, если m— нечетное; e = +l, если m— четное].
3 У <-n*F»lsta<fe":+“)l=(-»»— У <-n»JsiD(te+“)l.
Z * ' (cos(Ax4-a)j ' dx2m jU ' ' (cos (Ax-J-л)/
: о fe=o
4 V ( П»F^ifsin (**+*)!-с У /nfc/«»(**+e)}
‘ X * (cos(Ax4~«)J dx2m+1 Z ' ' (sin (Ax 4-«)J
fe=i *=i
[e = +l, если m — нечетное; e= + l, если m—четное].
У Jsin (fex4-a)l X (n4-1)x fsin [(нх/2)4-д](
°' Zi (cos(Ax + a)/ 2 2 (cos [(nx/2)4-a]J*
fc = Q
ft V / 1V> pin <*x+«)l X («4-0 (*4-я) /sin [п(х4-я)/24~дЦ
Z ' ' (cos(fcx4-a)J 2 2 (cos (n(x4-я)/24-a]J*
k = 0
n
у , Jsin (Ax-f-a)]
Z (cos (Ax 4~ a)/
k=i
=cosec» - f(n+ П /SiD <'“+“Я-л (“+х+“>1 _ /dn 41.
2 J* + ' (cos (nx4~<j)f (cos (nx4-x4-a)J (cosaJJ
n
8. У (_
’ (cos(£x4~e)J
fc = i
- sec2 X L-П» in+ П ("x+a>U f-iy» a ("x+*+ffn _ 41.
2 [(-1) (n+1^cos(zix4-a)f + l 17 " (cos(nx-f-x-J-a)/ (cosaJJ
у /л\ Jsin (Ax4-o)1 =2n
Z \A/(cos (Ax4-a)J 2 (cos [(nx/2) 4- ajj
k=о
10 V /_Г.44 J®10 11 (^+a>l = /— 1У»2»Й1« — f [Л <x+4/24-a] \
Z t ? \A; (cos (Ax 4-a)J < ' 2 ( cos [n (x4-n)/24-a] /
fe=o
638
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4 4 1.
[п/2]
11 V /n\Js,n^xl
\2kJ (cos kxj
1Г „ x fs,n (nx/4)\ , . 14„ . „ x (sm я 2л4-* /4 1
=2»-11 cos« -- < ; /,1Ж~0 sin /{ J in iJmiH*
4. 4 (cos(nx/4)J ' 4 ^cos[n(2«4-3t)/4]J J
[(n —l)/2]
V I n \ J sin (2feH-l)x1
(2*4-1/ (cos (2*4-0*1
k — о
= 2я41I cos’*
I Ш
sin (ftx/2)j _ x fain [я (л 4- х)/2П 1
cos (nx/2)J 1 2 (cos [n (я 4- x)/2]J J ’
Un -1)/2]
у / ft Wsin*xl_
(2*4-1/ (cos Axj
k—0
-2«-1Гсо8« X ?in [<«-3)х/4П _ л (sin [(2ПЛ+ЛХ-ММП1
L 4 (cos [(ft- 2)x/4|J ' l} SU1 4 tcos[(2ftn4-ftX-2r)/41/J
[л/2]
H- X*-*
n \ ^sin &x(
2fe; (cos/xj
"+* (sin [ft (я+х)/4П л + xfsin [(3nn+/Mf)/4ni
4 ’r' 7 4 4Ссв{<Зпл4-П!$/41) j"
[(a-D/2]
•6- 2
fcs=bO
~2*-4(~n« sin«2E±* [(3mt4-nx-2x)/4}| _
[j ' 4 \яп[(Зпл-[-пх—2x)/4]f
-r ms» я+х Jcos Кпл+nx^~2х)/4ПП
4 (sih [(ял-рпх—2x)/4]/j
« — 1
1». 2 (±l)‘(24“)cos(2n-a)x--------<-^М-н±1)« 2Ж^Ч*‘.
fe^O ' ' ' 1 '
17. (-^ 0*f2ft^" ^€08(2/1—2*4-l)x=(2z iy*22»/^^2n+l
fe=0 1 J
[n/2|
18. V “A.
fc=0 *
/ 2ft \ rf2»"i
19. У (-1)* ( .) ял 2kx=l—1)« 2®»-»» Л— sm2» x.
\n—k! * * dx9^1
k=i
n
20. 2 (n2/1
fe = l
4 4 2J
4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
639
n
2'- У (~1)‘ Н"+ь1') (2*+1)2 *™-1 сое (24+1) х=(-|)»н 2** й»,
аа \ п — к I ЛХаяг^*-
п
22- У (-1)* (^+^(^+l)^sia(2fe+l)x=bt)®2^^sin8«+ix.
^м \ Л — Л / ОХг*п
Иг = О
п— 1
У(± 0* /2в\ . . м
----1— L I Sln (П'-А)х =
^1 п— k \kj 4
л=о
Л-Ц^хП-
' J (яп (х/2)/ 2 \п)
о
24. У —P_!£_P>+l'|/Sm (2«-24+К)х> , f /««^'dx
Zj 2п —24+1 v 4 Hcos(2a-24+l)xJ 4 * J 1япх/
fe=O о
я
л_ V f2k\f2n—2k\ . о.. .л_ . .
25" / \JfeM n—k )coe(n~2^)x=4^« (cosx).
fe = 0 '
2 г (*+4Чл-4> *+а)' «»(«-&>*=га («) eg <** X).
I'* Kji
к=о
ri Дп (4х+а)1 (1_2/.i.oei+r2. ,Г ^Isinxl r (sin (x+o«
|cos(4x+n)J ' * t {cosx/n^ (cos(x j ‘
+rn+2 J8*1 <nx+fl))_/.»+i/sto Kn+ >)^+«П]
(cos (nx-|-a)J (cos [(n+1) x-J-a]) J
4.4.2.
Суммы вида
!sin Лх)m
[coskxf
J У (dn4xP« = _1_ у Im \
(cosAxf 22гЯ-1 ' \rn~k/
fe=l
cos.^i-f- sitt . n f2ra\
sin kx 2*™ \ m )’
n
Vt fsin _
(cos Ax J
k=i
1 V /— n* Z2m+Ц Z®” K2I+ 0 (n+ 0JC/2B sin ((2A+Q nx/2)
2 {+ J \ m—k)icos [(ЗА-H)(n-HKx/2)f sm I(2£-J-1)x/2| *
k=0
640
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
(4 4.2.
I ' r (cos fexj
1 V t— l\k{ \ cosfex+(—0al cos (2«+1) fex . 1 — (—1)” /2m\
2й + —k) coskx ”* 2am+1 \mj
fe = i
4 У (-1U-. Я” *Л*"+1=_!_ У 1>‘ (a"+,\ X
' (cos£xj 22mbl Z \т—k]
Л=4 k=0
fsin [(2*4-1) х/2П , /_Пл-Л®п ((2я +1) (2*+1) Х/2П
(cos [(2fe +1) х/21 J +' [cos [(2n+1) (2* -|-1) x/2tf
X cos [(2.e4-l> x/2 J
n
n
5.
k=l
smkx\m f d\p
cos rxI \ da
sin kx\tn
k = l
2 fcfa^2=TT4sinnxcos(n+i)xcosecx
t=iv
n
У fsin kx]? _ 3_ nx x_ fsin [(n +1) Х/2П
Zi kosfcxf “ 4 2 2 (cos [(«+!) x/2JJ
zr I sin Злх смес Зх Яп f3 <л+ !)
* 4 2 2 (cos[3(n~H) Х/21Г
V fsm£x)4
Zi icosfecj ~
fe=i
= ~ [3n T 4 sin nxcos (nJ-1) x cosec x-f- sin 2nx cos 2 (n 4-1) x cosec 2xJ.
8
n — 1
9. 2 C08'B V = 2 11
... *2 (-•>*«-
fe = 0
tn/2’ t V .
IE cos n ~2am+i\mj 2
fe = i
lm = 0, 1, 2» .... a- If
[m < ffj-
V . 1 , n (2m\
2й ЯП 2n “ 2 + 2am \ m )
k= 1
4.4.4.]
4.4. тригонометрические ФУНКЦИИ
641
п
1 U2яй/л) “H+(-O"l»W[ -2-Jlf
fe = l
[m, / = 1Ж % % ...; m/<n].
я-1
Zfsin (2лй2/я)) V nft , пл _ . яя\
{ zn = ~7T~ I 1 +«»-ST + Sin .
Icos (2nfc3/fl)j 2 \ 2 2 }
k = 0
2fskl bhXAm
n
' £ 2»sta«*=2"sta*£-*i«x.
k= 1
n
2* ?. ^-^-co6?3**s= |-Гсо5х+^Я-совзяИх]-
k = 0
n
3. У t^cos42tx=^ScoS22««*~ 4-cos2 2x4-^. (1— (—4)-«I.
2гя 4 Д)
k = l
2.
3.
4.4.4. Суммы вида
я —I
Ikn. . mfai л
— sm---------=0
я
к=0
п
[либо числа I-—т, 1-{~т ве делятся на 2п, либо оба делятся на 2л}.
П
~ 2
[I —m делится, t m не делится на 2л].
__ п_
“ 2
ft-pm. не делится, I -J-m делится на 2л].
п —t
V -
2 ап—
#л Л
cos — =0.
я
я — 1
_ v mkn ‘ kin л
5. у cos----cos — —0
я я
к— о
[яь / —целые; т+1. т—1 не делятся на я; тфЦ.
я —1
V2/&1 2т*сЛ Л „ . , „ _
COS---cos----=0 Р —Я1» 14-Я1 не делятся на л],
я я
• k—о
7. = л/2 [лишь цдцо из чисел I —т. 14- в* делится на л].
& —Я [f-m, l-t-m делятся на д].
[яь /<я].
21 А. П. Прудников и др.
642
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4.4.5.
2л— 1
«л V1 • kmjl kin л
10. 7 sin------cos—=0
Ld п п
fe=0
2я-—I
.. V* mkn kin л
11. 7 cos------cos —=0
n n
fe = 0
12. =»n
13. ’ = 2»
n — 1
.. V , isb 2ЛЛ1Л _ k
14. д (—l)fe cos------cos® -
fe=0
[nif I < ft].
[m^Q.
[m=Z не делится на п].
[т = 1 делится на п].
[1 п—1-J.
[л/2]
15. У (— 1)* SnaftXCOtf*~2ftX*5=CO6nX.
fe=0
[(« -1)/2]
16. 2 (““))* 1) ®п2*+1*Х cos®-2*-1 х— sin nx,
k^O
« I
17. 2 2‘stoi sta»^=2^an^--~sin2».
k~0
n
18. У (—2)fesin^cos^== Lsin 4x4-(—
4.4.5. Разные содержащие sinx, cosx.
n — 1
V ---->—‘ _ ^мт д=д sec nx sin2ffl x
Zj 2Л4-1 2n
cosx—cos—л
[т<л].
2. V ------( y.-Ti—sin ncosm~p-n=n sec nx cos* x
Z« •+-1 ZU Zrt
b_fl COSX—COS—K-“
к — и 2л
[пг<й].
n— 1
’• 1
*=1
---^-^—7—cos2* = 1 cosec (cosec £—2п cosec nx cos2* 1
kn 2n 4 2 \ 2 z
cosx—cos —
n
_____‘ *'_____COS2**^1 _—__=
2ka C08^ 2n4-l
COSX~COS2^+1
^ ’ .cosec j-l cosec J -(2n4-l) cosec (2П+1) * cos2* 2
i **
4 4.5]
ЛА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
643
п
fe=l
(—1)* kit . kn
----------—rrr----COS ----ГТ Sin2"* t;-—r =
2kn 2n4-l 2« + l
COSX — COS H1
2/i +1
l/o । (2/i4-1) x . , x
(2/i 4-1) cosec ~ - sin2"1’1 —
pn<2n-f-2],
n — 1
6. у
(-0*
fe-0
1 —2х cos —
2л
. 2£+l
sm —jr—
2n
ПХп~г
Я — 7—;--
я — 1
7.
V (—1)* 2^+1 . 26 4-1
--------------2ЫП— COS ~ 2д " тп Sin "~2п...Я = П C0S 860 ПХ
k=Q cosx — COS — л
[(Я-2//2]
[m < я].
8,
/г = 0
I *
cosx—cos [(2^4-1) л/n] = ~2 C0SeC xtg~2 ~ 8 11 ~ sec2 T
я — 1
9
2*
2«
Li 2cos (2*х) — 1 Sm 2«cos(2«х) +1 Sm 2созх4-1
k = о
10.
n k — 1
. тл o «4-2
s,n_=3-_
k = 2т= 1
n k— I
H V тл
11. 7 cos-£- =
k — 2т = 1
5-2я
n 2k
*2’ 2 IIsin 2TFT
k = 1 tn — 1
9 11
n
13. У
fe = l
2k
. тл
Sm2fe+
т=1
13+L4p(1»n+I3)]
Z > J
я 2k
k=1т=1
тл (—i)n 1
C0S 2^4-1 ~5-4« 5
n
15. У
k=l
__тл 1 1
СО82М4-1~зП^ — У
m~0
2k
я fe — 1
k — 1m = 0
21*
644
17.
18.
19.
20.
21.
22.
1.
2.
3.
4.
5.
в.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
Jfe-l
2 (-О”'1
3 3 • 2Л~1 ‘
п k — I
2 ГГ«
k = 2m=0
2т 4-1
2k
* = А!(-!)"“ -”Л|+з (-
О * X
VII, • 2”>+1 2 , <—1)г"/2) „ . ,
2 11 (-»“ » я= -5 [1 -2 (-1)»].
?=I
П k -1
у |Г^2т+1л- 2п*~1
i- 11 2k 2'n~l>l (2*—1)*
/г = 1 tn—0
n 2k
v I Г i J .w 22«^(— 1)«*
— llCOS2fc4-l * 22n/[22*—(-—1)*J *
k — 1 m — 1
n 2k — I
V IT cos'2", + 1.i-( 1У
Zj II 4t , 1 *“ 2|2«-1|<(22г—(— 1)’]
k = 1 m =- 0
4.4.6. Суммы, содержащие secx и cosecx.
n
V kn
7 sec — =0.
n
k .£ n/2
n
V / оя2л+1
1 sec2MT
fe = 0
n — 1
fk^t \
7 sec2 I--f-x I = n2 cosec2, _
Лш, \ П 1 J \ 2
1
~2 '
ПЛ
k^O
2 secav=^4',2-7)+tT?
A=1
n — I
k=l
cosec
kn _ ns -
~n~ 3
2^=|(n!-i)-4ii+<-i)nJ-
l(n-2)/3]
v 2 2*4-1 «2.1
* cosec2 —~— л = ~ т -г
2п 2 4
4 4.6}
4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
645
10.
л
cosec2
л=1
itife л (2 л+ 2)
2л 4-1 ~ 3
2 (sec [х4-(6л/я)1 Р _ 2 (cosec [л (2x4-л)/2П8
\cosec [x+(fei/n)]J — (cosec nx J
я— 1
у* (sec [х4~ (2Лл/л)|
jU (cosec [x4-(2fen/n)]|
__ _Ln / i\я]л2 (cosec[n(2x4-n)/2]l2
2 1 ' f 1 (cosec nx f
+^U+(-W*
cosec [(2nx4~ л)/4]р
: cosec (nx/2) j
&
2я
11.
*=i
i
[«>!]-
! n — (
Г «А V t IX , fatf \1 / • \ -X
12. > cos|(2/n4~ 1)(*4*—)Icosec 1x4------j=actgnx
fc=o 4 1
[m=0. 1. .... в—p l я я—взаимно простые числа],
s n
/ fen \
i 13. 7 cos x4----|coseca[x4—— )=n3cosnxcosec3nx.
fe \ nJ \ 1 n I
r &=1
g* yi (sec(fex4-«) sec [(fe4-l)x4-ol )_
* (cosec (kx 4-a) cosec K&4- ~
fe=i
=ms(r гГ+ /,g + 0*4-el) - J*gP4-«) П
L Wg [(«4- О x+a]f (c^ (*4-0)/J ’
В
15 V г n* Isec(*x4-a) sec [(Л4-2) x4-fl] )
В ' (cosec(fex4-a)c°sec[(fc4-2)x4-a]J
k=-0
В = 1 secxllsec(x"*'e) seca I —(—1У»/Sec^x+fl) sec[(rt4-l)x4-fl] П
В 2 [(cosec (x4-fl) cosec flj ' ' (cosec (nx4~fl) cosec f(rt4-0*4-fljfj"
^B
K6. 2 coscc2*==ctg2^_ctgx-
^B
B17. V jJ.- sec2 = cosec2 x—cosec2
к й2® 2® 22в 2л
В
в
В.о V 1 - . X X 1_____________________1 _________ х
В18 2 2*Sm ^C^C2*= 2 C^ 2^aK^2«'
В к = о
646 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ [4.4.7.
п
19. V Uz- sin Д sec3 *. = ~ cos,*-cosec3 *,—8 cos-2x созе^гх.
23* 2я 2* 23n 2я 2я
fc=O
4.4.7. Суммы, содержащие tga& и dga^.
n—i
! V (tg [х-|-(Ыл/я)] ) n fctg К2пх4-я)/2П
Xj (ctg [*+ (kmsi/n)]} "* (ctg nx )
k=Q
[m. n—взаимно простые числа].
2. V (—Dfe |tg K2^+ D я/(4я)1( /— oe~i
Z 1 ' (ctg[(2h+l)n/(4«)]J
k^° *>
2n— 1
3. У (-l^ctg2^1 n=2n.
.M on
fc = 0
4 V (tg к + (kЛ/n)] 12 = П8 _ д , Л2 fctg К2лх + n)/2V e
(ctg[x4-(Afl/n)]J -r (ctgnx J *
k=0
[(Я-1)/2]
fe=l
n — 1
*• 2 d8sv=4'(',_l)<n_2)-
*=1
[(n—l)/2]
7- 2 t‘82v = K('—I)(',-2)-
fe=l ’
8- 2
k=l
n
«• 2 ‘*‘йггт=т Ря+ч^+вя-!).
Й = 1
n
’°- 2 c‘e‘2^T = S!2',-1><4n,+I0',-e>-
k=l
n
2 it6^=ic,g^-2c,e2<t
A—0
н
K- 2 2S‘tg’2a-=3^<22“t2-li+4ctgS2x-2'Mctg!^-
t^o
4-4.8.J
4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
647
13 V (tg(fe*+a)tg((fe+l) х+а] 1 t R 1 „
(ctg (ftx-f-a) ctg [(Л 4-1) x4-a]J 8 Ц (ctg (дг4-а)/ + 8 1я-
k — 0
п — 1
М- 2 tg2fTrSec^=tgX~,g^-
fe=0
я—1
IS. 2 2‘smxtg»^r=tgx-2«tgA.
fe=O
[n/2]
k — J
[(n-O/Jl
"• 2 <-»‘(2*+l)*W1«“S?F-
fe=0
n 2fe
k — 1 m=l (I •
2m 4-1
2
20. 2 JJclg(**-*m) = S&13p
k~ 1 m=i
mgtk
n n n
2f. ct&xk JJ ct8 (xk~s® 4-(— l)»+i JJ ctg
fe = l /71=1 fe = l
myth
4.4.8. Суммы, содержащие логарифмы,
n
1. 1п(Ь+&)=п1па4-1пГ^4-п-м]-1пГ^4-1).
Л = 1
я я-Ц
2. (д4-*) In(«+*>= f 1пГ(а4-0Л4-(п4-1)п+^(«+1)(«-*»2л)
fe=0 о
я '1
3. (—1)* 1п (*а+$) = У (1 1^- &• 6><*
*=о о
я ' I ,
4. (—1)* Q 1П (»—И = Г (^“ 1>"Г*-ла-1 [a5fU 6>nxJ.
л«а о
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
[4.4.8.
5- 2 <»-*>*Г+w |п а °(-1)д,~12wwf
fe=-l fl
[n> mJ.
6.
v (— 1)* (2Й4-1 )37Hl
Xj («—*)! (n-H4-1)1
fe=0
In (2* 4-1) =
= (—l)m-1 22« J r2m"2 sin2B+11 dt
о
[m, 4 = 1, 2, 3, ...J.
n г- n
7. У B„,+1{„+l)ln(»!) - У Bmn(k)\nk
JtKA fit “j** A
fe = 2 L 4 = 1
8. У In (*I)=(n4-1) 1П (n4-1)1- У felnfe.
4 = 2 4=2
n n
9. 2 = У*(*-1)1п*.
4 = 2 4 = 2
t
n n
10. У *2 In (*!)=" (n4-l)(2n4-l)ln(n!) -1 У * (*—1) (2*—1) In*.
jmm) О D
4=2 4 = 2
n — 1
11. У In Г (*tz4-6)==
4=o
' . f n~l \ , П . 1— .ld(
6 — 14-jr— a ;ne‘—-----ea~&> I —.
2 / е* — 1 (1—1) ]/
n 1
12. У (—l)fe-1 In Г {ka 4- 6) == f (1 — t~a) 1па+^ n д. . [a< 0; ft > - naj.
4mJ J (1 -1) 1П/
л=о и
«— 1
13. У ri-(t + l)lng±’]-n_<,ln(2n+0+ln|^..
JMH I Д f tht лг
4 = 0
n—1 1/2
14. У cos kx In sin “ = — f sin 2nxi ctg Jti dt,
2n 2x J **
* fe=l 0
«е V 2mkn, . ka Г1 n , , ftn \ . , л . mx
15. J cos---------In sm— = — In 2/i-|- ib —- 4-C 4- ctg —
л n 2 I v \ я J J 4 6 n
k=i
[m = l, 2...................................n— I; n = 2,3, 4, ...]•
4 4.9.] 4 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 649
{(л-А)/2]
V т (2&4-1) 2fr4-l 1 т\ . п тх
cos—-—'—-Jilnsin——л= — ~ р — 4- cosec —
п 2п 2 \п У 4 п
k = о
[т = 1, 2, .... п—Г, п=2» 3, 4, ...J.
4.4.9. Суммы, содержащие арктангенсы.
п
2 л
1. > arctg £2 = “ 4 ~ arcct§ л—arcctg (n-J-1).
fc=i
п
„ VI . а .па
2. 2, arcfg ] (fe+ - arcte j])
k=l
n—1
3- Z i+«(to+b)+(to+»7=^+*)-3re(g»-
4‘ 2 arctg 2+y+F ° 2+t+•
*«•1
5.
2.1
V t I 2kn \
2 arctgV'seciMu;
=± arctg {sh (2л Ar$hx)sech [(2n +1) Arsh x{}.
л—1 x—cos^^-- л
У (—1)* arctg--2rrr~ = arctgX““"l П+(— 1H-
Д ап-^~-л
П—1 XSin--—r-n
(-1)*arctg-------------arctgx».
*=o l-xcos-^-л
Глава 5. РЯДЫ
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
5.1.1. Введение.
В этом разделе приведены суммы рядов вида У где ak—комплекс*
k
ные числа или функции некоторых параметров, причем зависимость от пара-
метров такова, что они не записываются в виде степенных рядов (см. 5.2)
или тригонометрических рядов (сч. 5.4).
В некоторых случаях для вычисления суммы ряда У ak можно «вести
k
вспомогательную сумму У а затем воспользоваться формулами (5.2)
k
и теоремой Абеля*.
со
Пусть ряд У ojfcX* сходится при |х j < 1. Если сходится также |>яд
fe=0
оо
0<х< 1, то
k—о
со ео
Кт 2 akXk = S «*•
ж-»1—0fe=0 *=о
При суммировании рядов могут оказаться полезными следующие формулы,
в которых функции f (х), F (х), G (х), М (х) и ф (х) связаны соотношениями
£(») = $
I
о
F(s)T(—s)—J
о
OO 00
t- 2F
Б. 1.2.}
5 I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
651
где
с»
оо
J Л (х, у) е~Рх dx=e~ysvt
со
2.
dx.
dx
к = 1
О
й=1
О
5.
7.
8.
9.
co c 4- too
2-c<fe+a)=^ f
A=0 c—ico
СО
оо
*=1
со
k^O
со
*=о t
оо
fe=l
где
5.1.2.
со
к = 1
оо
к = 1
[«>П.
со со
!N J
f 5 г&) (^-j)
о В -I
dg
Г^Ы j f(s)air(-s)<ls=v(ln^
C—ICO
0
oo
C t /a l—xsmai ..
J 1—2^coSjtrf4-xa *
0
Ряды ВИ
со
J /C(0cosxfd/
о
ks
со
, Г ts~r
= £(s)=^ t ------dt
r(s)J /—[
o
oo
I L (ft shi x/ dt
о
[Re s> Ip
[п=2, 3, 4. -].
22В-1Я2Л
[« = 1, 2. 3, ...L
тг2
£-="^=1,64493407,
о
S4=£ = 1,08232^23
УО
S3= 1,20205690,
S&= 1,03692776,
652
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.1.3.
= 1,01734206. S7= 1,008349277»
л8
5g== 1,00407736, =1,00200839»
94э0
5 • 2члДО
5«=^£^Г = 1‘00099458-
ОО * IV*
со оо
*• 2^==(2'"-1К(з)“-гЬУ77Гл=л
[л = 1, 2. 3,
7\=— In 2= -0,699314718, Т^— = — 0,82246703.
Т8=-0,90154268.
Тв=-0,97211977,
Г7=—0,99259382, К
Т9=—0,99809430»
Ы£^=«-11п2.
k 4 2
7л4
Т4=_^- =-0,94703283.
’••=-га=-0-9в555,ю-
г»-~гао”-0-99623300-
ь У «+ » Гп2.
ьл л 4-1 4 2
k~0
ОЛ154.
fe=i
2(ь l)fe
oo 00
*’ (fe+a)s =^(S’ f T=^
fc=0 о
[Reg>H*
2, V *)”„ ^МЯ-И/д)
L (t+ap* (л —1)1 U
1=0
oo I
». у _* —
ьл (^4-a)4 J 1— t
fc = 0 0
fc = —OO
(д=2, 3, 4, ...J.
5.1.4 )
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
653
CO
(s-lfi-ai
--------— dt
5 У _(-*)* Г Д\ ?fs a~nyi 1 f
21 (6+«)4 LT 2/ 4’ 2 /] T(s) j
t=Q 0
[Res>(q.
CO
в. у .ei)r=bDr2B1«-U(O)
ft+я)" (m—1)! ₽ w
[m — 1. 2. ...].
со
к =—со
Jn-l
(— 1)я-1 л. -i cosecan
' 7 da*-1
(« = 1, 2, 3»
со
A (*+*)*
k~ 0
О
/a-1
i-r-rlntdt.
5.1.4. Ряды
ВИ
оо
(1-2-*К(*)==л
£Res> 1].
2(51)!
A.= o =1,23370055,
О
^=^=1,01467803,
* 96
<ггв
*-9бг1-0Э1М708*
17t8
^йгЪг'-00015518-
Л3= 1,05179974,
Л5= 1,00452376»
Л3= 100047155.
А9 = 1,00005135.
4 "lnW
ZmS=35-81-1024
1,00001704.
со со
л ( О* в2-г«Гр /с ____________7 fс 3 YI__--1 i I* * di—А
2‘ 21 (2Й+1И г\ ’ 4/ к ’ 4 Л 2Г (S) J ch/ " As
4 = 0 0
[Res>0J.
^2ЛЦ —
2 (2п)!
Л1=4—°78539816’
А = ™= 1,96894615,
Ом
А6=-~^г«=0,99615783,
Да=Л=0,91596559,
А4=0,98894 55,
Ав=0,99868522,
654
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5 1 5.
“ 0,99955451, Лв=0,9^984999,
A =~Ki =0.99994968, Лм=0,99998316.
ди^** * о»
»• 2 к+тр - ®" Г2£ 4)+* (*> 1)-*“ р*-» s wl-c,
fc=0l 1 L \ / \ / J
[Res >0],
г_яИ2 Злз/2 19л5/2 - 307л7/2
С* 4 t сз 2? » 5— 24 ’ °7 5.2м *
V (_1)[№+П/21_л
Z»o (2fe+i)« -С«’
Л 1 Infi/lM-l) А ^^2 А 11л</2
С,=р=|Ь1(У2+0. С,_—, С.=——
А _361яб/2 а _24611118/2
**• 15-24 * С® 9-35-22» *
6.1.5. Ряды вида 7 4.
kn-j-m
оо 1
I У (—n* f fl -1 Rfb\
ka+b ~ J r«+l аР\®Г
fc = 0 о
°° , С(л-2)/2] _ -
« V (—О* « тя 2 V E«t . .л тлЛ, Г . . п я|
*• ltai+^=2ha,see-ir~T 2 cos[<2*+»)vJta^p^+Oal
fc = 0 fe^O
[л —2, 3, 4, ...; m=l. 2, ...» л—-1; ем. приложение IHJ»
(-о* < П/Г у (-П* V (-1)*
1 ka+m- kn-^-m
Lk=O k=0 J
<x> m —1
*• 2 ш=<-|’'+1м+ьг12 Чг-
*=0 fe^l
oo 00 oo
«13=2^-“ -.m-i.
* = 0 k=l k=0 ..
]
54. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
655
у „
1 / л
3 \/з
(—1)« In 2
«
[е=.г ИЛИ 2J.
у (-D*
^0«+2±1
Д^[ят21п(1+К5)].
5.1.6. Ряды В.Д6
ОО 1 1
V (±0* _ f . £ xbn-yt+cit-i
(ka-\-b) (fea-|-c) ~ j fix®
k — 0 о о
оо
fc = O
оо
V (—О*
Xj (fc+<0 (*+*) ”
k~Q
ao
oo co
у (-1)* у
Xj kJ-а
k = 0
*-k = 0
(ctg ла-ctg rt&)
[а=Ь см. в 5.1.3].
I
[cm. 5.1.5].
[a=& см. в 5.1.3.5].
fc= — оо
00
2 (&+а)(Ла+1) i+2P(a){l}‘
г~ о
co I 1
у________?_^=± у _J__________
Xj (bi+m)(^a+^+m) nl ** kn-]-m
i=0 k=0
co T
2 у <=£—L|.
kn+m tn I
k=o J
m— I
fe = O
co
у (-*)* _ 1
A=0
У 1 —
Z (k+l) (Л4-т) “
fc=i
OO
2 Ш2+
k=0
m-l l~\
, (-1)CT V (-1)* , у (-1)*
m—l к 1 r Xj й^+т—Л
fe=i fc=i
П<я^»
(Ы)& _ 1 /ip(a+l)+C |
jfe(&+a) a W
656
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
£5.1.7.
СО
12. V —?—_Л «с].
k(kn-rm) т |_ \ п / J
fc= 1
ОТ г I
у 1 _ » У 1 I
k = l 4t — i
I 1
ti лшл k(kn+m)
k= 1
oo
14.
OO
15. ьтйг^= "[(“ 0я-11 to 2
«„ k (k + n) n 11 ' J
fe = 1
. (-1)” у (-П\
ti £ fe
fe = L
1R V U 0* == 1 №
Z* (kn-\-m)2 n2 де' (tn/ri)) *
k=0
5.1.7. Ряди вида
OO
OO
!. 2^
t= 1
oo
= 1.
2.
= 1-2 In 2.
5.
9.
Z1 3
fe(fe+2)" 4’
k= 1
V 1 --11
fe(/f + 3) 18
к —l
<33
fc -- i
от
k = i
co
25
& V A v___________ .
A-(fe4-2) ~
k= i
OO
у (-!)»,_ 5 2
Zi 4(4+3) 18 3 A
k ~ 1
oo
4
= 2-2 In 2.
I
oo
„ v 1 3 2 . n
b 21 fe(2fed-3) 9 3 n2’
fe =-1
oo
l2. VC-»* - 4 I " 1 In;
4(24+3) ~ 9^6 3 ’
fe = 1
8. у — = 2_,
fe(fed-4) 48
fc = l
у (-1)» я
L 4(24 + 1) 1 2 1
fc=l
5.1,8.]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
657
СЮ
13.
14.
15.
|б-
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
1.
У —!—==з—~--1пз,
fc^.* (3*4-1) 2Кз 2
оо
у ^-~1^ =3—^=—2 In 2.
^*<34+4 Гз
ОО
У —— = А__?U_lin3.
^й(ЗЛ+2) 4 4ГЗ 4
у (-0* 3___«
к-"*(3*+3)~4 2^3'
ОО
У Г7лГТ-ТГ=4-Ъ -31п2*
jLi k (4*4-1) 2
fe = i
ОО
у < ,*)* ..„4—" 1п2-1<21п(144Г2).
Ь(4*+1) V2
К = 1
2 k(4k+3jx 9 + 6 “,П2,
k = 1
о°
у (~9fe ^А——L in 2+— in(i+K2>.
6(4*4-3) 9 3^2 3 3
оо $ 1
2 (/2+0-4»п2-К21п(1+Г2).
лшл К lOrt -р if
k— 1
00 г~~
2 А? (8&4-3)= 9 ~ 6 (^2~1)~У,п24--g- In(14-К2)-
fe = 1
1 t
00 '
2 £(8*4-5) “25 — Ю 1 —5 ln 2+“у in(l + V2)-
fe = i
00
2 1 _ 8 я
k (8*4-T)~49 + 28
A=t
4 1п2-^1п(Ц-Г2)«
5.1.8. Ряды ви
04~О (fcn+m)
со т — 1
2 1 __ 1
fc (*4-!)(*+«) ~т— 1
fe—1
сл
со
«
Ь9
Н*
И*
*
Ч О»
• • *
to
00
5.L ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
659
(-1>* Я 1 , 1
(*4-2) (2*4-1) — 6 3’3
5.1.9. Ряды (24+^(fa.+m)-
2 V (~0* я 1
’ 1л (2*4-1) (2*4*3) ~ 4
*=о
со
у_________1_________1
(24+1) (24+3) 2
fe = 0
со
V 1 - я
Q
2 In ИЗ.
t. 2
(2*4-1) (3*4-О
СО
----------------г — Ял4-2ДП 2 — — Ing.
я=0(2*-Н>(3*+2) 2/3- 2
со
V МУ
- ( 1 3 о
L (2*4-1) (3*4-2)~ \2 3 /+1пХ
fc=0
оо
2 (2М- О в* 4- 0^ 4 + Т1п 2'
fe = O L
00 г-
2 (2*4-^1) (4*4-0 = Т Ф 2"1п(/24-1)
k^Q
9.
10.
оо
2 1____Л_А1 <
(2*4-1)(4*4-3)~ 4 2-ЮА
fe = 0
ZG (24+П^+З) = Т<'+¥ta^-»•
00
11 V 1 2 Я 1 . -
Li (2*4-0 (4*4-5) =Т 12 6 *
fe = 0
Е 00
12. У ----------------------- -4-^(1+/^
J k=0 (2*4-1)(4*4-5) 15 20
k оо
V 1 —2 « я 1
Zi (2*4- 0(4*4-7) ~ 15 + 20 10111
t fc=0
к*
1-к
5/2
(Кг-1).
660
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.1.10.
оо __
14' (2*4-1) (8*4-1)= 12 ^2+ з 1п 2 + If НК24- 0*
оо
,s* -Z (2* 4-1) (8*4-3) = 4 ^2~ 1) 4- In 2-L2 In(К2 4- 0-
й==0
оо
’*• 2 ^H)W+5>=i(y'2“,)-ln2+vln<^+1)-
Jb = O
со
» 2 <2*4- lU8/'+7l^ 12(1<2+1)~4 |П2~^ ln(^+l)~
Anti [ZK -J- J) (О/. ~f- /J 1Z О о
* = 0
|Я V 1________1 I Я I 1 1П О
Z (2*4- 3) (4*4-1) “ 5 “Г 20 10
fe = 0
со
19. У ----Ы!------=_’1 +я (1+уг2)4-----L-infi^/S).
^(2*4-3) (4*4-1) 5 20 5 Г2 ' '
20 V 1 1 Я -L 1 Ь9
Z (2*4-3) (4*4-3) ~ 3 12 + 6
k=0
оо
21. У-----J=!^----= _ 1 + S. (lS+/2)---> 1П (I+/2).
(2* 4-3) (4*4-3) 3 12 3f2
5.1.10. Ряды вида У 76bXnVPfe-L А
Хе (3*4-1)(*П4-Л1)
со
у=
»_0<34+1><3*+2>
2. У- _______________2 Ш2.
t4j3*+ 0 (3*4-2) 3
У_________1 «.
Z, (34+ D (3*4-4) 3
«=0
У (-»>* » 2 ,г о " ^3
Zi (3*4-1) (3*4-4) “ 3 9 3 *
ОО
VI _______1_______ 1 Я
fc=о (3*+ (зл+5) ~ 8 +12
у (—l)fe________________Я 1
fe^o (3*4- О (3*4-5) “ 6 Кз 8 ’
6Л.Н.1
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
661
Z1 Я 2 fag
<ex=O(3fe+i,t6ft+,)e^7^+ 3
00 z r-3
у ------------= —fl — ——In2-4—^1п(24-/з).
ft~0(3&4-l) (6*4-1) 3\ 3/ з з/з
co
.. V------1------A(-5=-ta2
^„(M-HX^+S) 9 \/3
00 / У- 4
V —------------------’ In (7+4/3).
fe£<0 (3*4-1) (6*4-5) 9\3 / 18/3
OO
2 1 1 Л
B=a0(3*4-2)(3fe+4) 2 (Г/Г
2°° (—l)fc _ я 1_
в=0(3*+2)(3*+4) З/З 2*
03
у —иг—=a/» to2'
6_o(3t+2)(34+5) 8v3
I. У ----!-----1.
А<й+2и«*+э «
к — и
1
— •
6
со
Z1 2я , 2 . п
— /— *4“ 2»
(3*4-2) (6Л-М) 9/3 9
К V
у (—о* ."fi
fe“o(3ft+2)(6&+,)
In (24-/3).
2.
S.1.1I. Ряды вида
Ju (4*4~«) (4*4-4/+m) ~ 4Z 2 4*4-®’
й=0 fe = >>
00
V 1 _ я
2л (4*4-1) (4*4-3) 8'
й = 0
00
У -----иг---------‘ In (3+2/2).
|"0(«+1)(«+3) */2
СО
Y 1____________
Z (4*4-1) (4*+5) 4 й
к = 0
662
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
ГЛАВА ПЯТАЯ- ₽ЯДЫ
[6-1.11-
2, (^ЛХ+S) “-7+вП[я+1п (3+2Г2)]-
к U
оо
2 (4^41) (4*4 18^24’
*=о
У (—0* _ я 1
(4*4 1) (4*47) 12 F2 18*
2 сЕ+1даП)=Ф + Т,п2+1Г1п<Г2+|>-
k — 0
2 (4*41) (8*43)= 8 С2”О—I- ln2A lft 0 +^2)*
&=о
г 1 у?
У —л . f 4_к—*= ^2____L 1П 24-— In (1Ч-ХЮ.
Zi (4*41) (8*45) 24 12 + 12 ШЦ+У Z)‘
k—о
f
2 (4*41) (8*47)= 40 (2+^2)~ Вln 2~ 111
fc —0
oo 4 *-
У 1 =1 ”
Zi (4*43) (4*45) 2 8 е
k=L° * ' ?
2°° __(—Dft = я_______X
f (4*43)(4*45) 4><2 2*
L
CO
У —1——•
12
v (-D* _ «_______L_in(i+i<a-—
Zl (4fc+3)(«+7) 8/2 4/2 ' ' 12
k=^0
00 лГ~
2 (4*43) (8*41) = 40 +20 2+ln 0 +У 2)‘
fc»=0
2 (4*43) (8*43) = "^T +12 Ь 2~TJln
*—0
5.1.13.]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
663
оо
'*• .2 (4*+3)fo+5) = I + > |п(* +^>
00 г~
”• 2 "2-^13(1+пэ.
к = о
5.1.12. Ряды вида V 77Т~ДШтг—;—г*
(564-0 (kn+m)
ОО
1. У _____________!_ ...... :
Л* (56+т) (564-5/ 4- tn)
k —— 0
oo
2. V___________!_______= 1
(5* +!)(«+6) 5
fe —0
oo
4. У___________!______=. ±.
A. (544-3)(5fe+8) 15
к = 0
/ — 1
1 V 1
5/ iL 5fe4-m*
fe = 0
V 1 — 1
ZiQ (S&4-2) (5AS-4-7) ” W
CO
5 "V ________!_____—L_1 V24-1^5 ~
2, (56 4-4) (56 4-6)“ 2 r ° 10
k — 0
У (—0fe G 2л
kto (5fe+4) (5^4-6) 2 5 K10-2 p5 *
1 I
(564-4) (5^4- 9) 20*
2(±* 1)*
77, , n-;r -r •
(664-0 (kn+m)
00 1— 1
V 1 __ 1 V 1
Zd (6k+m)@k+6l+tn) 01 Zi 664-m*
fe=0 fe=0
oo
V 1 лрз
(664-О (664-5) 24
V 1 2
Zi (664-0(664-7)6
fe = 0
664
5.
6.
8.
9.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
{5.1.14.
оо
JL (6*+(^+7) 6 + 18 + 36 Из>П ^7+4
00 г—
21 1 яУЗ
(6* 4-5)(6* 4-7)“ 2 12~’
k-о
OO
у________1 _ 1
Zj (64+5)(64 +11) 30*
Jfe = O
co
i (6* 4-5) Д 4-11) = “ 30 + 18 1Я~ ln (2+^3)].
ft—о
2(-Ofe ____________
(6* 4-5) (6* 4-7) 6 2*
ft=O
Л 1
5.1.14. Ряды вида У дьТГл •
Хй (ок+0 (кп-t-m)
оо I — I
V 1 _ 1 V 1
Z (8*4-m)(8*4-814-m)“ Ы Z* 8*4-лГ«
ft—о ft = O
со л_
i (8*4- 1)(8*“-РГ)в 16 +16- ln(3+2
fe=^O
со
V 1 лУ 2 , V 2
(8Й + 1) (8*4-5)“ 32 + 16 2)<
fe = 0
OO
2 (8* 4-3) (8*+5) = 16 (^2~J)-
fc = 0
co
V _________1__________ J- Й
(8*4-1) (8*4-7)' 48 й z + 1/*
ft —о
У _________?________ ae — И2__In (1 4- И2).
Z (8*4-3)(8*4-7) 32 r
ft —0
CO
X u. = та - 111
м (0*4-5) (oft 4" 7) 16 о
ft = 0
00
V ________?_______-=J (y*24-l>—.
Z (8* 4-7) (8* 4-9) 2
fe=o
Z (8*4-7)(8fe+9)“ 2 ?
fe = 0
8 *
5.1.15]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
666
5.1.15. Ряды Вида V—ГТл"
Z-I (ka -г b) (ka 4- с) (ka 4- d)
(-t 1)* f e fxb(,— Jb+cOr—») + *—1
2i (ta4-b) (ka-t-c) (ka-j-d) = J J & J * ln2xdx
k~0 000
У (« 0fe _
Zi (b+e)(fc-rb)(*4-c)-
fc=0
= _ 1 ft («П _ 1 ft R _ I H (c)l
(b-a)(c—a)\&(dH (a—b)(c—b)\$(b)j (a—c) (b~c)\fi (c)j
2°° __(Ы)* ^-1 ft (b) -ф (<01 - 1 ftf R
(fe+a)(b+b)2 (b-flp№(b)-p(fl)/4 b-e№(b)f
k — 0
oo
(Ь4-а)(Ь4-в4-1)(&4-а4-2) 2a (a 4-1)
k=0
[e^o, -1» —2, ...].
5 V ______________f ~t)fe_________r - 2R 3 -I- 1
(%-be) Й4-Д-Г1) (^+<*4-2) * ' 7 2d 2 (a4-1)
[e^Q. -1. —2, ...J.
co
(fcn4-m) (kn4-m4-rt) (Ьп4~т4-2я) 2яш(т4-л)’
fc~l)
oo
T. у_________________________________=
(bn4-m)(bn4-m+n) (bn4-m4-2n)
k = 0
«2 У (-*>* 3 । 1
ла fe»4-m S/nr.2*-2(m4-n) n2
л = о
8. У С"1)* - я fa о____________я8 - »а у (-l)fe
l^(kn-{-m) пр 12m ~ та /л4-«*
k=i fe=i
[си. 5.1.5.2|.
[си. 5.1.5.2].
# у (±1)* _ 1 №(a+D4-c 1 1 ft'(e+m
k(k+a)*~ a3 U(a+0~ln2/ вф'(я+1)/
k=i
co
1Л V 1 2 я / . , ла \
2^ Ь(Ь4~с)а a* a2 ^^"shi3лау*
fc = —со
к^О
V —_2 я fl
Ь(Ь4-а)а а2 оплата2
= — со
4— ctgna
* ZB ®
666
1.
3.
5.
7.
9.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.L15.
5.1.16. Ряды вида Vftz—г^гтг—;-----г-
рй-мГг4 * Z щвд=2Ь2~12-1,
к = 1
оо
1 я* . VI (—О* я2
Щ+1р = 2~‘б' 4* ^2 k (* 4- j ja = 2“ jg ~ 2 2-
1 _ 1 (U V Hl)* 5
*(*4-l)(*4-2) 4’ * Zfe^+-l)(fe+2)-T
>v.5 ft = f
1 7 у (-1)* 1 1
£(*4-l><A-h3> 36* Zi *(*4-l)(*4-3) 12 3 ’
й = 1
J 5 у (-l)fe 19 i
Л(А4-2)(*4-3) 36’ ' fe(fe4-2)(fe4-31 36“ 3 ln2,
(2*4-1) = 3“ 4 ln 2-
j[b<68 1IM8 £|>?J8 iiJM8 £b^5s ltMs lb^8 ['.NJb
_3 „
*(*4-1) (2*4-1)
_______________—____In 9______
*(*4-1) (2*4-3) 3 9*
<-**_______=l?_«_±ln2
*(*4-1) (2*4-3) 9 3 3
1 _ яУз 9^
*(*4-1) (3*4-1) 4 41 ’
____=4—2 In 2-^
*(*4-1) (3*4-1) 4 2 е
1 _, ,яУз 9 t *
*(*4-1) (3*4-2) + 4 4
____<-!>* -'• _ «ТЗ , ,. ,
t(*+l)(3*+2) —T 2 +zmz-
5-1.16-J
Б.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
€67
19. У ПГГ Лл ц ,= 5-^-4 Ш2.
Ь (k 4-1) (46 4-1) 3
СО
»• 2 7(ГП5>+Т)=5~Фя“4,п2-??|"(1+/^
к — 1
21 У 1 ‘- У I 2я 11п2
6(64-1) (464-3) 9^3 м •
к~1
оо _
22- 2 цк+цм+з) =Ч3+1,п2+?г ми-кэ-
К *р 1J ^WpOJ О О о
k== 1
23 V 1 - -5 _ 1 in2
£ Zi k (264-1) (264-3) ”18 3
k — i
24 У <-')* -«iini-*
6(264-1) (264-3) 3 ^ 3‘
л=1 Л
СО г—
25' 2 6(264-1) (364-1) = ? 2“ + 41п 2~~2 1пХ
k = 1
оо
“• 2 м^^+гг 5+и(|~Гз)-41п2-
6=1 '*"* S
Я- 2 t(M+l)(3t+2)° ^ + Ф~41п2+т1п3-
,4вн 4С 1) уОгС л»1 _ *х ** тг
оо t
М’ 2 4(24+l)U+2) = T-n(l г)-21”2-
fe-= 1
оо
»• У ГТ>ППГЙЬ^п=6-я-4|п2-
Xj 6(264-1) (464-1)
k=l
оо
ад- 2?wijbo=e+i(1-2^-2/21n(1+/5)-
fe=l
31 V 1 -10 я
* 6(264-1) (4*4-3) 9 3 е
k= 1
668
32.
33.
34.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ £5.1.17.
со
2 *(2*+1)(4*+3) = У + У ^2— У 1112 —^2 1п 0 + К2).
k — I
оэ
*(4*+1)(4*+3) = У “У ~1п
У —— = * « +!21П(1+Г2).
Л(4*+1)(4*+3) 9 3F 2 3 '
5.1.17. Ряди вада 2(ШЙ^+.£(Ь.,+^
СО
2 (*+i) (2*+ 1)(2*+3) = 2 In 2“" h
k — 0
co
у (-D*_______________f_ln9
L (*+lj(2*+l)(2*+3) •
fc = O
V 1 nV$ At л . 9 . „
Z (*+ О (2*4-0(3*+1) = 6 4Ь2+41пЗ.
= 0
co
2 (*+1) (2*+1) (3*+1) 2 ln2-л(1 у)*
°° Д
У * Я Г 3 t 4 Ф
L (*+1)(2*+1)(3*+1) = “2“ + 41п2“У1п3*
k = 0
ОО
2 (*+1)(2Л+0(3*+2) “41п2+я О—/?)•
fe — о
оэ
2 1 _ я
(*+1)(2*+1)(4*+1) 3*
k=Q
2 (Д+1)^~+1)(4*+1) = Г(2П-3)+11п2+2р1«0+1^.
fc = 0
со
2 (*+1) (2*+ 1) (4*+3) = Я“41п2-
“• 2 (*+i)^+o^+3)“i(1-2rg)+ln2+2fS111(l+/2)'
fc = O
5.1.17.]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
669
Л у _____________1_____________л. . 1| 9__8.
(*4-1) (2*4-1) (4*4-5) 3 + 3 3 е
k~0
со
12, 2 fa4-l) (2*4-1) (4*4-5)= 3 + Л(б“~— 1я2—2^2In(14-Кг).
л=о
n V _____________1_____________±1 9 Л 8
'• (*4-1) (2*4-1) (4*4-7) ~ 5 15 45*
k~Q
ОО
14. V - --
£ (44-1)(2*+1)(«+7)
fc = O
= й +1 (' _х)ta 2+п?1П <*+^'
»
СО
15 V 1 — n _1_ 4 1 о 2
* Хй (*4-1) (2*4-3) (4*4-1)~ 15 + 5 5“*
1 fe==0
со
16. у__________(-9*____________ *
L (k+l)(2fe+3)(«+l)
Д—О
=4 - А (3-2 Кг)-” 1ч 24-У^ ш (I+/2).
Q OU О 1а
с©
17 V 1 —81оя2
I Zi (*4-1) (2*4-3) (4*4-3) 3 3 3*
fe = 0
is V ________ (—0*_____________2 । (К2— l)— In24-^-^ In (14-К2).
Г Z (*+l) (2*4-3) (4*4-3) ~ 3 + 3 *' W2+ 3 ,nV + F^
E k~°
К 00 -вГ—
Б V 1 __»r3 з 3
’ Z (*4-l) (3*4-1) (3*4-2) 4 4
*=^o
20. V__________----------------21n2--
(*4-1) (3*4-1) (3*4-2) 2
oo
21* 2 (*4-1) (3*4-2) (3*4^ 4) “ y(?n3-1>*
fe = 0
I 22 V __________(~ 1)*______= 21n2„
I Z (*4-l) (3*4-2) (3*+4) 2
1 k = Q
670
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
<5 1 18
ОО
V 1 —я
Z (&+1) (4*+1) (4*4-5) ” 6
fe —0
оо
28.
rt 1 t , V2 ,
---------------1п24~-—ln(lJ-V2k
(M-l)(4*+l)(4fe+5) 3/2 3 3 “U + F2/.
оо , '
У __________» .12
(*4-0 (4*4-1) (4*4-7) 3 27'
fe = 0
оо - г
2 (I+iiWFW(«+5)=31п2-2*
fe = 0
со
(-1)»
fc^0(*+l)(4fe+3)(4*+5)
оо
= 2—1п2—In (З4-2К2).
#
__, о я 1
(*4-1) (4*4-3) (4*4-7) ~ 1П 2~6 ~ 9 *
it=o
31. У --------------------= — Ч—— — In 2---------In (1+К2)-
fe"D (*4-!> (4*4-3) (4*4-7) S 6^2 3 3/2
со
32* Z (*4-1) (6*4-5) (6*4-7) = 2-,n3+2ta2'”3’
А = 0
оо
V------------------= з— in 2— in (2+Кз)«
i“o<fe+1)(66+s>^+7> Из
5.1.18. Ряды вида У---------------________________
д вида (2fe+m)(feI1+«i)(*n2+/n2r
00
у 1 1
£ (2fe-H)(2fc+3)(2fe+5) “ 12'
fc = 0
2 у (-Dfe________________________2L_1
* Zrf (2fe4-l)(2fe+3)(2fc-b5)~ 8 3*
fe = 0
5.1 18 ]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
671
со
з. у 1 -».
(24+1)(2&+-3)(2й+7) ISO
k = о
* 4 V (-0* Я 4
[ * £ (2k + l)(2k+3)(2k+7j 24 45*
[ k — о
5 V 1 Л I 1 1 9 1
Z (2*4-1)(2*4-3)(4*4~1) 10+ 5 10*
k=o
3. у-----ыг-----=/1 _1\„_1+^1П(1+Г2).
\3^2 10^ 10 3
оо
V 1 л 1 1
Z (2*4-1) (2*4-3) (4*4-3) 6 3 6‘
со г*-
8* 2 (2k-Н)(2*+ 3)(4*+3) "б +12^~23“
k~Q - <
оо
9 у__________i__________А—Л — li о
* (2*4-1) (2*4-3) (4*4-5) 6 6 3 *
I k=Q
t oo
(-D*
Zl (2*4-1) (2*4-3) (4*4-5) “
fe=O
----А+я/ ’ _l')+lln2+^-ln(l+/2).
6 U/2 8/6 3
,ео
у 1 7 Л 1
Z (2*4-1) (2*4-3) (4*4-7) “ 30 10 + 5
k = 0
ОО
12.
V ------------:-----------= — in 2.
(2*4-1) (4*4-1) (4*4-3) 2
k=Q
oo . ,
13.
(-Dfe
. ____________________=(!/ 2 — 1) —
Zj (2*4-1) (4*4-1) (4*4-3) 1 4
k — 0
14.
у 1________________л_ , A in 2 L
Z (2*4->) (4*4-1) (4^4-5) 12 + 6 6
fe = O
OO t r—
15.
1)*
л /У2
k^i (2*4-1) (4*4-0 (4^+5) 6 * 12 \ 2
^1п(1+Г2).
672
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
(5.1.18.
16. ОО k = 0 1 (2*4-1) (4*4-1) (4*4-7) я “30 + 10 1п2 45 *
17. 1 (2*4-1) (4*4-3) (4*-j-5) я “1Г“ -11п2— о 3
18. ОО V (-1)» (2*4-1) (4*4-3) (4*4-5) =Х_ 3 - — (1—2^2)4- 12 3/2 ,П(1+т
19. 00 у 1 _ я ю 1п2 зо •
(2*4-0 (4*4-3) (4*4-7) = 20
20. 03 У 1 __ 4 я 1 , л 15 30 П2’
Z k = 0 (2*4-1) (4*4-5) (4*4-7) “ 15
21. оо у 1 ___ я 30 |П 2 15 *
fc=O (2*4-3) (4*4-1) (4*4-3) “ 15
22. СО У (— 0* ’ 1 4- 1п(1+К2). 1U
Z fe = O (2* 4-3) (4* 4-1) (4* 4-3) 15
23. оо 1 3 я 1 » о 20 10 П 2*
Z (2*4-3) (4*4-1) (4*4-5) “ 10
24. со V k = 0 (-1)* (2*4-3) (4*4-1) (4*4-5) я / *20\ 3/2 \ 3 2 Д. 10 t--^- Щ(14-/2)-
25. ОО 2 fe = O 1 (2*4-3) (4* 4-1) (4* 4-7) _ 4 45 + 101”2
26. со V л-л k = 0 (-1)» (2*4-3) (4*4-1) (4*4-7) _ я “20 Л 2^2} 4 V 3/45 +^1п(1+ГЭ.
27. оо 2 fe = O 1 (2*4-3) (4*4-3) (4*4-5) -1 3 -6—6te2-
28. оо (-1)* _ я (2/2-0-4 + О 12.1П (1+/2)- 3
(2*4-3) (4*4-3) (4*4-5) “ 12
5.1.19.]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
673
29 У ____________I_______________ J__2L j__L 1п2
* (2fe + 3)(4Ai+3) (4А + 7) 6 12 6 '
k—о
30‘ Z (2 А 4-3) (4А -ь 3) (4*4-7)= 12 “б"1 б~ 1п +^*
fe=0
5.1.19. Ряды вида (± 1)‘
А 4~^) (ЗА4~/И1) ( ЗА4-/И2) *
оо 1. V. fe=0 1 пКз 1
(ЗА 4-1) (ЗА 4-2) (ЗА 4-4) ~ 18 6 *
оо 2 V (-1)* 1 Л ( 2 5 In 2.
k=0 (3^4-1) (3^4-2) (ЗА:4-4> 6 9/3 ‘
ОО «• 2 k = Q I _ 31 1
(3*4-1) (ЗА+2) (3*4-5) 12/3 24
ОО 4- (_])* I 7л 4-J5- in 2. 36
(3*4-1) (3*4-2) (3*4-5) 4 Зб/З
: ЭИОТ**' Г А • * " СП |М8 1 (2*4-1) (3*4-2) (3*4-7) — я — з/з 1_ 60 ’
| 00 «• 2 k — Q (-1)* 2 =а1п2 1
(ЗА + 1) (3*4-2) (ЗА 4-7) 40 •
«к м ♦ 1 1
(3* 4-1) (3* 4-4) (3* 4-7) - 24 ’
*
06 • 11 М 8 о" (-1? 2л 2 1п2——. 72
(3*4-1) (3*4-4) (3*4-7) “ 27/3 27
L 1 °° к •• к Ж fe = 0 1 1
(ЗА 4- 2) (ЗА 4-5) (ЗА 4-8) “ 60 •
к 00 1 *«• 2 Г fe = O (-1)4 2л 2 1 п 1п2 . 180
(ЗА 4-2) (ЗА 4-5) (ЗА 4-8) ~~ 27/3 27
А ГТ FTrw ntirttrnn it ттгк
674
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ (5.1.20.
S. 1.20. Ряды вида V -- ,—ч ... ,----------------------г.
(4*4-/п) (4*4-Ш1) (4Л4-Л1я)
СО
v 1 л 1
Z (4*4-1) (4*4-3) (4*5) ~ 16’ 8’
fe—о
У ___________( ___ А_____л In (З+2/о)
jfe=o (4*+0 (4*4-3) (4*4-5) 8 1б/2+ 1б/2 +
ОО у ! л “ 48 1 72 ‘
(4*4-1) (4*4-3) (4*4-7> л=о
У (~l)fe _ 1 я ( Н7^-1п(1+/2).
»^0 («+1)(4*+3)(4*+7) 72 48/2
СО V 1 7 л
(4*4-1) (4*4-5) (4*4-7) k = 0 в 72 48*
У--------ь*-----------“ " _ ^_+ ' щ(1+/2),
t=0 (4*+1)(«+5)(«+7) 48/2 72 8^2
ОО
VI 1 < <_ 5 л
Z (4*4-3) (4*4-5) (4*4-7) ~ 24 16*
fe=0
у (-0* = ге_________L . In л +/2).
(4*4-3) (4*4-5) (4*4-7) 1б/2 24 8/2
.л. I. х? (— 0^
5.1.21. Ряды вида (fc^-f-mj)(*^4-»,)(*Лз4-тз)(*nt4-m4 *
со
у_____________________!__________________________1
Zi (*4-а) (*4-а4-1) (*4-^4-2) (*4-«4-3) За(«4--0 («4-2)
k=o
ЬО
у_________________(—l)ft________________
Z (*4-fl) 4-«4-0 (*4~в4-2) (*4-а-|-3)
fe=0
— А V Ц* 7
3 Zi *4-в 6а
(и^О, —1, —2,
2 1 —
3(а+1) 6(аЧ-2)
fe=0
4=0
(Ь—ар
5.1 21 ]
5 I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
675
1 rt2
62(6+n)2~ 3n2
1
62
n
1 Vl
tv1 k *
fe=l
5, V —(— == [j _ (—l)rt] In 2------------------- fl 4- (—!)«] +
Zj 62(6+n)2 «8* 1 4 J-T
fe=l
« я
fc=l fe=l
1 n2-9
62(6+l)2 3 ’
7- iwiF=41"2-5'
fe= 1
8 У 1 11 Zj 62 (6+2)2 = 12 16 ’ fe=i О V (-0й - 5 я2 6«(* + 2)2 16 24 k = 1
00
10. У -'_______________________.-L
Z *(*4-1) (*+2>(fe+3) 18 •
k = 1
oo
II У <-'>* 8 4 IpO
Z *(*4-1)(*4-2) 04-3) 9 3
k — 1
00
12. V ------------------------- — — In 2.
Zi 6(6+0(26+0(26+3) 9 3* *
k— I
13 V1 (~1)> 5 я I 2 Ina
Z 4(4+1) (2*4-1) (2*4-3) 9 3^3
k= 1
oo
u. V_____________!_____________<-?___"
— 4 (4+1) (34+1) (34 + 2) 18 6 КЗ
л — 1
OO
15 V__________( 1)*_______— JJ__4 in 2.
£ 6(6 + 0(36+0(36 + 2) 4
k— 1
16 у____________!___________.-L-^
Zj (*+1)2(26+0(26 + 3) 2 24’
/г = 0
17 V (—0* я 1 Я2
Z. (6+ О2 (26+ 0 (26+3) 4 2 24’
fe=O
22*
0=4
.£,,,„£ € (S+yf)yfr)(I +У%) (l ~FУ) *"7 ,R7
y+Z 4 of—V- I A W
QO
0=3
. € , € fe+У*) fe+yg) (I+У2) (I -H) ^7
ёГ-г 1 оГ+“г~ i A K
co
•|-ЙЛ+')ч jj7+g/3-i)| =
ч 0= У
fe+yv) (£+yz) (l+yz) (l+y) 7
-----------ЛН A №
CO
- o=y £ _ fe+y*) fe+yg) (I +yg) (I+У) «2 I Л oo •9Z
•f (U+i)4jt+[i _e_\s_+zul£ = и i (i +y^) fe+yz) (i +yg) (i +y) У «(i —) A. co •sz
s si •gu] - — — Z «Z 0=4 + S _ (I +yt) fe4-yz) (I +yz) (l +y) J co •frz
‘ZW 0=4 1 _ .6 == te+yg) (i 4~yz) (z+y) (i 4-y) 7 Z S y(] —) л co "£Z
0=4 .6. a= fc+yz)(l+yz)(z+y)(l+y) 7 I I iX co ’ZZ
•Zutf- 0=4 € _.8 fe-Fyg) (l+yz) fe+y) (I +y) 17 « S «(I —) iX oo •IZ
._£ _ S s U] (14-yg) fe+y) (I +y) j’ oo •OZ
.801 _ Z _ £y(£ _ fr+ys)fc+yg)e(i+y) W
««I м — ,(!—) |\ ’6I
oo
и • L*9 z (f+ye) (z+уе) z(i+^) V
8« 1£ I l A M oo
•12 rs]
KXTKd -kviku vavirj
919
.Ж — _ 8,_ gfe-Hs) g(l +?z) ll ° I «(I ~) 8р<П «« ’I •»
. 6. _ 19 = g(s+yg) z(l +7E) I вм I o=v •»
. 8_ _ Z_ = gfe+?S) г/l +?g) « I »(l—) . Z__ 91 sfe+yg)g(l+re) 00 0=? z co 7 *<*л •ее a
1 8« I • 1_l7 T1I - Я - (S+¥0 fe-H?) (I +?») (I +9) I 1 w I iX 00 0=^ z *88 1
e . sAz z (t+^s) fe+^s) (1 +?e) <1 +?) co 0=? 7
•гч ik •Д8
t £At , z fr+ю) fc+?e)(i+?e)(i+?) 00 0=3T Г7
»+I- - f A *98
. j £ 1 1 _ (g+ет) fe-Ht) fe+?s) (1 +?) CO 0=^4 7 •S8 j
01 1 01 M 1 LX
-js __nl s , sl = (s+w) (i+?fr) (е+?г) (i+?) 8 2 1 9 MV 1 co 0=4 •z •к!
•111,,,, SI s _ fe-Hv) (1 +?v) fe+?z) (1 +?) г 1 и “ i II 8 *88 I
m 1 _ I - fe+У») (I + ?*> (I +& (l +»> 6 ”1 _ _ ~ * 00 0=4 7 •Z8 *
z z I ’<m+i)ui757 sui i (1 Л*)—= 1Л 2 I \ ?Л V / к fc+n) (1+?v) (1 +?г) (i +?) «(1 —) kX co 0=4 z •is
•E- , rn , _ fe + ?») (I +УУ) (I +?Z) (J +?) м I 00 0=4 z ’OS
00
US
HWd ЯГЧЯОТГЭИЬ TS
[•1Г1Ч
678
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
15.1.21.
Tb-Js Тмв £мв £Ь48 £М8 <№ ?№ 7txJ8 ТЬбВ ГМ8 »,М8
1 _ л л2
(2*4-1)2 (4*4-1) (4*4-3) = 2" ~ ~8~*
-------in (34-2К2)—-G.
(2*4-1)2 (4*4-1) (4*4-3) 4/2 4
1 1 , 4 о л
(2*4-1) (2*4-3) (4*4-1) (4*4-3) 30 + 15 30 •
(-1)*
(2*4-1) (2*4-3) (4*4-1) (4*4-3)
= -^ + ><вК2-7)-^1п(1+/2).
1 _ я 2 о 7
(2*4-1) (2*4-3) (4*4-1) (4*4-5) “ 15 *+‘ 15 30 ’
1 л 1
(2*4-1) (2*4-3) (4*4-3) (4*4-5) “¥ Т*
(2*4-1) (4*4-1) (4* 4-З)2 = °’112742’
1 1 I о Я , 1
(2*4-1) (4*4-1) (4*4-3) (4*4-5) “ 6 24 * 12 *
1 7л 1 , о И
(2*4-3) (4*4-1) (4*4-3) (4*4-5) “ 120 20 60 *
_____________!________________ JL /94-
(8*4-1) (8*4-3) (8*4-5) (8*4-7) 96 ' r
1 _ л (л—2)
(4*4-1)2 (4*4-З)2 “ 32
(4*4-1)2 (4*4-3)* = °*11037723•
1 я л2 1
(4*4- З)2 (4* 4-7)2 “ 16 + 32 “Т*
5.1.22.1
5 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
679
5.1.22. Ряды вида V-тт—:----------ч,, ----тг—;--г-,
Z- ••• (£«»+««)
_____________1__________7_5n2 41 о
(£4-1)2 -Н) (244-3)а 12 4т ’
fe=0
1
(£4-1) (244-1)2 (244-3)2
Q
= |-2 Ш2.
3.
6.
6.
7.
2 1 _ 22 4л 1
(£4-1) (244-1) (244-3) (444-1) (444-3) 15 15 15 *
л=о
V 1 __ 17 _ 211 14 I 9
Z (44-0(244-1) (244-3) (444-1) (4^+5) 15 15 15 ‘
fe=0
V 1 _ 19 2
Z (44-1) (244-1) (244-3) (444-1) (44+7) 135 15 ln
fe=0
21 7 10 1 2
(4+1) (24+1) (24+3)(44+3) (44+5) 3 3
fe=0
V 1 _ 2 14 1 о И
L (4+1) (24+1) (24+3) (44+3)(44+7) ~ 15 15 45 ’
л=о
. V______________!______________________±L+22te2-B
.4 (*+0 (2*4-1) (»+3)f«+S) (4*4-7) 15 15 45"
oo
yi ________________1_____________________4 . я 1
’* Z (4+1) (24+1) (44+1) (44+ 3) (44 +5) ~ 3 6 3 *
fe=0
у_____________(—0*____________
L (£ + 1)(24+1) (44+0(44+3)(44+5)
=T2n[f”-61n(3+2K?)+l(,-ta2)
»
2 1 8 . я 1
(4 +1) (24+1) (44+0(44+3) (44+7) ~ 15 10 135’
fe=0
VI 1 43 4 . 9 л
Z (4+1) (24+1) (44+1) (44+5) (44+7) “135 15 30 ’
A—o
680
13.
*14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
1.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.1.23.
оо у 1 л 16 . o , 15 ln2 + 29
Zj л=о (* +1) (264-1) (464-3) (4*4-5) (4*4-7) “ 30 " 45 *
00 2 k = Q 1 (6 4-1) (264-3) (464- 1) (4*4-3) (464-5) “ J3 15 л 16 30 15 n2.
оо у . I л 15 In2 + * 13
6 = 0 (k 4-1) (26 4- 3) (46 4-1) (46 4- 3) (46 4- 7) 30 135 ’
00 1 л 4- 15 1П2 91
6^0 (64-1) (264-3) (464- О (464-5) (464-7) “ 10 + 135 ’
8^1° Ai 1 (64-1) (264-3) (464-3) (464-5) (464-7) “ л 6“ ' •
СО 1 13 4in2-
6^0 (64-1) (464-1) (464-3) (464-5) (464-7) “ 54
со 1 4ta 2-^4-- 20 1 2
k^O (26 4-1) (26 4- 3) (46 4-1) (46 4- 3) (46 4- 5) “ 15*
оо 1 1 + iln2 i ?L
6^0 (264-1) (264-3) (464-1) (464-3) (464-7) “ 45 60*
оо 6 = 0 i ‘1 (264-1) (264-3) (464-3) (464-5) (464-7) л ~ 23 + ^1П2 _i 5 *
со 1 л + 15 ln2' 4
6 = 0 (264-1) (26’4-3) (464-1) (464~‘5) (4^4-7) " 60 45*
00 у 6 = 0 1 (264-1) (464- 1) (464-3) (464-5) (464-7) _ 7 “ 180 ( + 30 In 2 >_JL ' 60*
со 2 6 = 0 1 (264-3) (464-1) (464-3) (464-5) (464-7) л “60 "* 30 ln2 13 180 *
5.1.23. Ряды вида V(------------------------------------------------[ = 6, 7, 8, 9.
СО
У —!--------=ю*-л2.
Z *»(*4-i)e
fe=i
6.1.23.)
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
681
* 2 Л+1? ° io->2i»2-|sp).
fe=l
у________1_________ л« 39
4»(*-НЯ(*+2)» 4 16*
4 V - я* 7
* Z, А3(&4-1)2(&Ч-2)а 24 16*
к—1
со
V» 1 ла
5* 1 А2 (А4-1)2(2^+ 1^=2Л4+~3 23*
jfc=l
со
6* 2 43 (4-М)2 (24+О2=121п 2 ~ 23+16G.
к=1
ъ V______________________?________________= А1п2—---
Zj (£4-1) (2*4-1) (2*4-3) (44+0(44+3) (44+5) 5 15 5 е
к— о
8 У_______________________1_____________________2 л_______7
£ (&+1) (2£4- О (24+3) (44+1) (44+3) (44+7) 5 15 135 '
к- О
• у __________________________1_________________ 67 л 2.
Z (4 +1) (24+1) (24+ 3) (44+1) (44 + 5) (44 + 7) “*135 15 5 ’
. k==o
I со
I 10 ____________________-_______________________ -_____ Я__— In 2
| Zj (4+1) (24+1) (24+3) (44+3) (44+5) (44 + 7) 45 15 5
| k=°
I n У 1 2 , л 22
I11* Zj (4 + 0(24+1) (44+1) (44 + 3) (44+ 5) (44+ 7) 5 2 30 135’
E feo
Il «о у_______________________1_________________. я_____________— in 2.
В L (4+1)(24+3) (44+1)(44+3) (44+5) (44 + 7) “ 135 30 5
/2 = 0
H. V 1______________________1 g»2
(24+1)3 (24+ 3P 2 64 *
К
I I4 у (— 0fe _ _ _L I Зя________________
I jZ (24+1)3 (24+3)8 2^ 32 128*
£ A = 0
682
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
28.
24.
25.
1.
ГЛАВА ПЯТАЯ- РЯДЫ
[5.1.24.
200 1 Зя2 1
(2/г-Мр (26+3)2 (26 + 5)2 ~ 256 ~Т’
k= о
оо
____________________1________________________1 п
(26+1) (26+ 3) (46+1) (46 + 3) (46+ 5) (46+ 7) ~ 18 ~ 60’
k=o
1 Зя Зя2
(46+1)3 (46+3)3 “ 64 “ W“
я3
256 ’
V 1 _ 1 Зя Зя2 я3
Z (46+3)3 (46+7)3 “ Т ~ 64 128
k = o
СО
2 (6+1) (26+1) (26+3) (46+1) (46+3) (46+5) (46+7) =
fe=o
2 1 о 37
= У1" 2 ~ЙГ-
ОО
V 1 _ л« t 10л*
Z 64(6+1)4 “ 45 + 3
fc = l
оо
2 [6 (6+1) (6 + 2) (6 + 3)]2 =
k~ 1
оо
V I _ я2
Z (26+1)4 (26+3)4 768
fe —О
35.
5я2 197
54 216 *
(Я2 + 30)-1.
V! (—1)* _ я 7
Z [(26 + 1) (26 + 3) (26+ 5) (26+ 7)Р ~ 1728 4050*
k = 0
00
S (46+1)4(46+3)4 = 1536 31 —6л2 +30я - 60).
k = 0
у. 1 __ 35я2 6217
Z [6 (6+ I)(6+2)(6+3)F “ 648 11664’
*=1
VI 1)*
5.1.24. Ряды вида > -тг-—777-?—+-------------г.
(б+aj (6 + ог) (£+««)
оо п п
(6+а1)(6+аз) ... (6+a„) 2 П ak—at^
jfe^O л=1 1 = 1
l^k
[а{-^С, —1, —2, ...; a.^at при
Б 1-24.]
Б.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Ш
у_________________ (+ nfe________________________
<Xj (fea-j-fe) (faj-J-64-1) ... (fea-J-fe-J-n) n!
fe=0
J 1
О
[а. Ь>0].
oo
Zj (a4-])(2a-j-l) ... (fea-J-l) = a"
fe— 1
co 1
a(a+l) ... (a-f-fe) = J Л
у fe! f ta/21
a(a4-2) ... (a4-2fe) “A l-H
fe=0 о
1 1 1
-1’ “2*—3
[Йеа>0].
(Rea>0J.
V P(fe)
Zj <7i (k) q2 (k) t/з (fe)
fe—1
m r
=- 2 <%*(,+“й-2
i=l f=I
s
- 2 1«u’»0+t3-M>' (H-TiH-y-V C+rOl
1=1
где
9i(fe) = (fe4-ai)(fe4-a2) ... (fe+«m)»
% (fe) = (fe+po* (fe+p2)2 ... (fe+M*.
<?3(*) = (*+?1)3(*+Тз)5 ... (*+Ys)3.
p(fe) —многочлен степени не выше m-}-2r+3s— 2, все постоянные otj, 0,-,
различны и
p(fe) V «/ । VT tie , 62i 1
9М<Ь(Ь)<Ь(Ь) k+a{ “* X* Lfe+0, (£+fc)2J
»=1 i= 1
V Г Cli. 1_ _L C3i ]
+ Zj L4+Ti + (*+?.)’ (*+?.)• J’
1= 1
***+ S .S cii=0*
|=1 f = l 4 = 1
OO
2 [fe (fe+n... (*+«)]“ =Sro’B*
ft— I
c _ 1 с (2л-1)!!2«{яа OV (fe—1)!
» n!n > a. n [ 6 6 k2k (2fe- 1)!J
684
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
15.1.24.
а> л—2
* 2 *-(/+)» °(-1)д 2 (“+?_1)и—*>+
fe = l i = 0 *
т—2
+ 2 (-О‘("+*-1) 5(m-ft)+(-l)-i (т+"-'\.
fe—О
оо j
2 6« (£4-1)« =
6=4
[л/2]
_ (-1)" у (2n—2ft-1)1 (2я)» /2«-1\
(л—1)1 (n—2ft)l(2ft)t 1°24! + (—') л—1)-
И —2
fe=0
т—2
1)+(-i)w’1Ctt+n12hln2.
n—1 j ' ' \ m—1 /
(— 1)*+*
6«(64-1)«
[(n-l)/21
2(-l?-‘ 2 (2'‘n^l-2)(1-2-2t)C(2ft+l) +
fe=l '
+(-l)“ !) + t-l)”-1(2" ?)21n2.
oo
(264-1)’’» (2^4-3>* ~
1
2»i+n
n—2
(-!)” 2 (m+4-I)(2’-4-IK('*-«+
fe=0 '
nt—2
+ 2 4* ')£ (<»-*)+
fe=0
oo
2 (264- 0я (264-3)я =
fe = 0
[n/2]
(—1)» yt (2n—26-1)1 (2л)24 (23*-1) (—1)"~1
“22«(n—1)! Zi («—26)1(26)1 2&+ 2
fe=l
5.1 25]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
685
____ (-1)*
fe_0 (2а + 1)®(2й4-3)«
n —2
2«+2л хД k ] L \ 4/ b\ 4/J ’
л=о
m—2
+-askr 2 (-I)‘('‘+t-1)*[E(ra-i> 1)]+
k=0
n—1
(— i)m fm+k— n I 1 \* (— l)mln fm + n—2\
+ 2® k j\2j + 2®+" \ m— 1 /’
k=o
eo
V (- n*
Zi (2fe-J-l)« (2ZH-3)«
k=o
(~1)B .
2
[(я-1)/2]
(— 1)я+1л V (2я — k—2)!
22« (л-1)! (n~k— 1)! (2А)!
2
(tl)feA+®
5.1.25. Ряды
вида
(A2 + a2)s *
(2a)1/2~s
00
OO
* 2 [* <“+»’“♦ <“-ад-
fe=O
3.
1 _ п Г [ch 2л6 j о-лТ1 fsh I
(&-}-a)2±&2 “ ~b [icos 2nbj ~~ C0S ' ° J [sin 2nb J
OO
2 1______1 . л [cthna
fe2 _t a2 ~~ ~ ~ 2a [ctg jut
*=o
I _ 3
Jfe2—я2 4л*
[л=1. 2, 3.
(-l)fe _
*2±a2
1 n (cosech na|
~ 2д2 2a [cosec na ]
Ptes>l/2; |«|<H
686
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.1.25.
ео
7‘ 2-^=4НН2+<-1)"1 («=..2.3....],
А = 1
k^-n
8 V (~ofe -- 3
L k*—4n? 16na*
fe= 1
k^2n
co
». 2 —Чу=p+c- w [n=1-2-3- ••*
4=‘/2 4 T
in V / 14b k __ UP(t>Q)4-P(-ta)l
Li * ' fea±a2 ~ 2 U(a) + P(—а) Г
co CO
“• 2-Ь^=-°дабп. n. £ b^=_o,5I6I28.
fc=l fe=l
13 v (±0* 1 Г^а + га)+^(1-^)-2ф(1)1
• Li k(P+a*) 2aa (0(14-la) 4-0(1-ia)-20(1) J*
k— 1
oo co
M- 2 W)=0'671* 15- 2^r=-°-“
k=l fe = l
CO 00
«• 2 Tt^+i/4) °0,993317, ” 2 fwrzo =-°-708078-
fe=1 k=1
CO 00
,8’ 2 7^2l74)=4(21n2-1)- ”• 2та=-да1к
k—1 Л—1
co
* 2^2w=4(to3-«-
fe = l
1084-54 In 34-72 In 2.
co
22 У 1
Z. fe2 (*® ± a2)
k — 1
1 f_ Л8
2a4 6a2
л (cth ng,
2a3 (ctg naj
V (— l)fe _ 1 _ л2 я JshjwI'1
А2 (йа =t a2) ~ 2c^ 12d2 ~ 2a3 (sin ла) *
Б. 1.25.]
Б.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
687
оо
м- 2 <- 1)4 вТЭ = -т f (°)+| ₽ (“eto"3) +4- f> (ое4л//3).
IP’-ptr' о J о
со
у_____L_=J_
Ал (»±а*)* 2а*
fe = 0
я2 [cosech лар
4а2 I cosec ла /
со
26. V ________|____________л . 1 ! [cth _. [cth яа)\_____ 1___
ju (fe2 ± а2) (А2 ± А2) 2аЬ а2—b2\ (ctg nb / (ctg ла)) а2Ь2 *
2(-l)fe ... 1
(JPia2)2 — 2а*
fe=O
Ь 4дЗ
00
28- 2 <гг^р=4^»'(-M-t'Mi [«={;}}
fe=l
СО 00
“ 2 o4if=°'397117- * 2 ww=0’825042-
fe=l fe = l
31* 2 (&-w=2‘
fe=i
co
*2 k (k2-1/4)2 16 ( 2 2 ln2)-
: зз.
1 _ я* . 1 _ 3л [cth ла) __ Л2 f cosech лар
Л2 (£2 ± a2)2 6a* ~ ~cfi 4fi& (ctg na[ 4" 4a* (cosec ла /
jm V (—1)* _ 1 л2 _ я [cosech ла) К . fcthnaY\
fe2{k2±.a2)3 12a* 4 4a§ (cosec ла /\ *"Ла (ctg ла//’
к = 1
оо
__ V! F______________л / [cth ла) _ /cosech лар\
’ 2-j (J^ ±a2)2 ~ 4а \ (ctg ла/4 (cosec ла / у *
fe^i
со
’ 4а (ctg ла// (cosec ла J
37.
1
(k2 i: а2)?
1 Зя2 [cosech лар
2а* 16а* (cosec ла /
Зя [cth ла) л® [cosech лар [cth ла'
“ 16а§ (ctg ла/ a3 (cosec ла / (ctg ла
688
ГЛАВА ПЯТАЯ- РЯДЫ
[5.1.26.
fe® Л
(fe2 ± а2)® 16а3
cth ла,
ctg naj
я (cosech лар [ _ (cth лаП
16а2 I cosec ла J \ (ctg ла/ J*
(—l)*fe2 _
(fe2 ± a2)3
л
16a3
cosech nal f 9 9 Л _ _
И + лЗа2—2л2а2
[ cosec ла J \
'cosech лаР (cth ла) \
[cosec ла / + +nalctgnaf/
о V (=H)*(2fe-t-l)+
5.1.26. Ряды вида z -—/—- —-—
& [(2fe4-1)2 *- a2}
1 V 1 ph(na/2))
’ (2fe-M)2±a* 4a(tg(na/2)J*
k=0
CO
2’ 2 (2fe-H)2—л2 = 8л2 fI
fe =0
feyL(n-l)/2
3 V _____1 Г «________9йГа+Г\1
’ Z (2fe+l)2—а2 4a |_со8(ла/2) ₽\ 2 /]
k=Q -
4 . —q 425841
(2fe-M)2+l ~0, 2^ L
fe —о
*• 2 (zt+T)'-^-1-246450-
eo
S‘ 2# pFFWi?4=0'718649s6-
7 V (—1)* (2fe+1) _ Я fsech (яа/2)1
* Zj (2fe+l)2±a2 4\sec(na/2)r
OO
& Zj (2fe+l) l(2fe+l)24-l] =0’547701-
oo
9‘ Z (2fe+1) [(2fe+1)2+1/41 ==0’8a069754-
fe = 0
co
,o* Zi (2fe +1) [(2fe +1)2 —1/4] = 1 *386294’
H V _____________(—0ft ____________Я Г. Jsech (ла/2)1 1
'• Zi (2fe+l)[(2fe+l)2±a2J 4a2 [ Isec(na/2)JJ
5-1.26.]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
689
V __________?___________1 \ в\ кМ+«П
(2*4-1) [(2*4-1)2—аа] 4а2 L^\2/ 2
ОО
,3- 2 rawTwir’0’47238807-
k—O
у _ (-i)fe to
£ (2*4-1) 1(2*4-1)2-1/4]
15 V <~1)fe . 3 я
‘ (2*4-1) [(2*4-1)2-1] 4 4*
oo
ж у
fe=O
“^l _____________1_______________л2 _ л rth (ла/2))
Ld (2*4-1)2 [(2*4-1)2 Л а2] ~ 8o2 ** 4^ [tg (ло/2)/
OO
П. V <—«>*
4. (24+lF|(2/;+l;»-|-a’J
J-Гft _ « <_L±2^\]__LB7 1 \
-И>[₽\ 2 / \ 2 /J ТаЗ’Цг/’
oo
18* 2 (2*4-1)2 [(2*4-l)a4-1] =0’490124*
k = d
co
19, 2 (2*4-1)2 [(2*+1)24* 1/4] =0'789264*
k=0
oo
2 (2*4-1)2 [(2* 4-1)2—1/4J = 1’32193954-
fe—o
_. ^1 __________1__________ л j th (ла/2)1 _ л2 Jsech (лд/2)[2
[(2*4-1)2 a2]2-*~ 8a3 [tg (ла/2)) 4~ 16a2 ( sec (ла/2) J
k^Q
OO
и- 2 K^+^-W^1'766036-
2*4-1
[(2*4-1)2 X a2]3
WTIOT^0-293986-
—k'
ItaaL
[“=«}]
690
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.1.26.
со
25> 2 [(2*4-1)4- 1/4J2 =о’689623-
оо
26- 2
fe=0
2 VI (—1)* (2*4-0 = л2 Jsech (ла/2) th (ла/2)1
7‘ [(2* +1)2 ± а2]2 16а 1 sec (ла/2) tg (ла/2М ’
ь=о
со
28* 2 (2*4-1)2 [(2*4-1)2±о2]2 =
fe=0
_ л2 _ Зя (th (ла/2)1 . л2 Jsech (ла/2))2
8а® &й Ug (ла/2)) "* 16а4 (see (ла/2) J
„ VI (2*4-О4 ____ л Jth (ла/2)1 л2 Jsech (яа/2)12
jL [(2^4-1)2±а2]2 ~ 8а \tg(na/2)J + 16 (sec (ла/2) J ’
к—О
30 у (-0*
Zi (2*4-1) [(2*4-1)2 ± а2]2
k=0
__ л 11 — sech (ла/2)) _ л2 Jsech (ла/2) th (ла/2))
4а4 11 — sec (ла/2) / 16а3 ( sec (яа/2) tg (ла/2)| ’
el V (-l)fc(2£+D3 я Jsech (ла/2))/л _ _Jth (ла/2)) \
* [(2fe 4-1)2 ± а2]2 16 1 sec (ла/2) J \ (tg (ла/2))) *
k=0
Y (2fe4-l)2 _ я 12 Jth (ла/2)1 . Jsech (ла/2)12\
Li I(2fe4-1)2 i a2]2 16a V {tg (яа/2)/ 1 see (na/2) / }'
k=o
V» (_l)*(2fe + l)2 __
Li [(2fe4-l)24-a2P “
fe=O
M- 2 <-1}> к^+^'Ьг °0-184658-
k=0
й- 2 wpp+w‘°-56,2S&
fe=O
2 (-1»* w^W=1-687959-
*=0
5.1.27.]
5.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
691
оо
V 1
' Zi [(2^4-1)2 ±а2]з ~
= Г_Зла ?ech 4- 6 Ph (IW/2)14- л2а* ^/2)Г Jth («^41
64а5 [ (sec (ла/2)} + (tg (ла/2)) + (sec (Ла/2) / (tg (ла/2))]’
V (2*4-П2
[(2Jfe+1)2 ±а2р “
=_ _v г л /th (ла/2)1 __ л2 Г. 1th (па/2)Г| Jsech (па/2)12
~ 32а3 (tg (ла/2)) 64а2 т (tg (ла/2)/J ( sec (ла/2) /
S.1JW. Ряды вида 2(Л*У»-
ОО _ _
____1____1 , л sh У2 xa-f-sin У2яа
_ **4-о* 2а* 2а3 У 2 ch У2 ла—сев У2 ла
со _ _
2 V (—0fe — _________я sh У2 ла 4- sin У2 ла ,
—'0 А*4~а* 2а* 2Уг2с& chyli ла—cos]^2ла
. л sh (ла/р^г) + sin (ла/К2)
“ 2К2О3 ch (ла/К2)—cos (ла//2)*
со
* 2 ^(ctgfle+cHnw).
fe=O
оо
4. У -£ГТ = ЗГ ~ Т cth ”•
hr— 1 о 4
fe==2
со
5- 2 (cosec яа+совейни).
л=о
оо
Z (^4-а*)3 =
ь=о
___1 Зл sh/-^ ла 4-sin F2 ла л* sh 1^2 ла sin 1^2 ла .
~ 2tfl 8К2а7 chK2 ла—cos К 2 ла + 4а8 (chK2 ла—cosK2 ла)а
V (-0* -
Zj (£*4-а*)2
к = 0
1 Зя sh рг2яа4-^п >^2 ла
2& 8/2a1 ch/2 ла— cos 1^2 ла
Зл sh (ла/К 2) 4- sin (ла/У^2)
8 У 2 а7 ch (ла/У 2)—cos (ла/К2)
nS sh У2 ла яп ла
4а!® (ch V2 ла—cos У 2 ла)2
л2 sh (яа/У2) sin (ла/У2)
8а® [ch (ла/У 2) — cos (ла/У 2)]г
692
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.1 28.
со
8 V * -
(fe4 —а4)2 “
/г—О
= + -16-^- № ла 4- cth ла)+(cosec? ла+cosech2 ла).
СО
VI (—l)fe 1 Зл
®' Z 2^ + 'i6^-(c°SecJta+cosech ла)4-
ь=о
Ц> "Jg^e (cosec ла ctg ла+cosech ла cth ла).
|0 V ____________2fe-b2a+l__________ 1
A* [*2 + (2a4-l)^4-a34-a4-62]24-6® ~ a2-j-fe2’
*=о
И V fea-K2a+l)fe4-a24-a — 6® а
‘ i [^ + (2a4-l)fe+a2-|-a + 62]2 + 62 — а2_|_62 •
k=Q
▼
V (~1)Ч^+(2аЦ)^+а2+д+Н 1
‘ X 1^4-(2а+1)й4-а2+а—Н2т(26+2а4-1)62 2(а24-62) *
V (—l)feFfe2+(2a-bl)ifc-|-a2+a4-/>2J(2jfe+2a4-l) а
Z [&2+(2а4-])/ +a2_j_a_62j2_|_(2£+2a+l)&2 — fl3J_£2
fc=0
со
2 k = 1
4#+1 4*
k—1
Z2kz— 1 1
4A4+1 — 2*
fe=l
5.1.28. Ряды вида 2-|(»+ТЛ.*Г-
CO
V _____J_________л sh p 2 ла 4- sin У 2 ла
fe«0 (2^4~1)4+й* 2 У 2 cP ch У 2 ла—cos V 2 ла
__ л sh (ла/рг2) 4- sin (ла/У^
4 У2a3 ch (ла/И2) — cos (ла/У^)
со
2. у >1 = « /tg ла л ла
Z (2й4-1)*-а* - g^2 ~2~Г
к=0
со со
3- 2 wrrTT'0-489093- 4- 2 ^w^^0-930130-
k=Q fe=O
оо
5’ Z (2А+1)4-1/4 = 1,055602
)г=0
6.1.29.]
5 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
693
оэ
5‘ 2 [(2й4-1)*4-а<]з =
*=о
__ Зя sh)/2 fla-j-sinp^ng Зя sh (ng/p^^)-f-sin (ля/К2)
8)2а7 ch У'2 ла—cos К 2ла 161^2 a7 ch (ля/И 2)— cos(na/p2)
. л2 sh У~2 ла sin 1^2 ng л2 sh (ля/И 2) sin (ла/Х^)
4ge (ch V 2 ла—cos V2 ла)2 16а6 [ch (ла/К2) —cos («a/|/Z2)]a "
оо
г. у________!______=
Zl I(2*+1)4— а‘р
fe=0
= ~ 3л_ (tg - th —'U — (sec2— -sech2 ~}
32а7 \ 8 2 2 / + 64а6 \ 2 2 f
Zgmn
Ья '1 «” af« *
Обозначение: 7=exp (—лК' (Jfe)/K (А)]*
oo
*• 2 (l+r" = -1 + 2SS-K (*> Iе W-A’« Wl-
n=i
00
2-
n—1
00
* 2 T^» --^-KWIKW-E^l '[HK1J.
*=1
yi _^к/ы_±
* Zl 2яК® 4
д=0
00
s- 2=-4 + 2^-кго»w-*,Kwi-
n=l
•• £(^4 + iK'W'-KWb
Л=1
co
7- 1-(Г-^¥=^+б^К(6)1(2_/;!)К(‘)_ЗЕ<ад
я—1
co
n = 0
*• 1 7F^¥=2^KW1KW-EWI
0=1
[!?!<!].
[Iff I <!]•
(Iff! <4*
694
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
(5 1 30.
оо
у___________О2*_________ =
1 ± 2g2* cos2x4-g4*
fe=i
=й:1созес2*Г^<х’ ’>1 -
4 L l®i (X, g)/ дх К (x, g)J ~ (ctg xjJ
Elf <1]-
ЗГ 1 cosccarftfr д /М*. ?)1
1 ± 2g**n cos 2x+g**« “ 4 fa (x. g)f йГ fa (x, g)/
Il<zl <ll.
w -
«• У АИ
A i+Ai/
^{7}
oo
|g|<ni
,|g| >1JJ‘
5.1.30. Ряды вида
L -p- =1,291285997.
k=i
2«fe
Л* *
oo
2. 2 = —°’78343051-
fe=i
s. 2 7Г=1*879в5386- <• s ода8316°.
k=l fe=l
5.1.31. Ряды вида
^См. также ряды вида ^~^хк (в п- 5.2)при х=±1.^
fe=0
оо
, 2$-*.
к=0
$0.1=1. $2=2» $8=5, $4=15. $5=52. $8=203,
п
Sj=sn, S,=4140, S»+1=-A-2 KS“'4’
fe=0
»• 2 «-«‘-b-I4-
fe=0
Д)=1, Л1=—1, Л2=0, Лз=1» Л4=1, ^5=—2,
5 2.1 ]
5 2 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
695
/JV(fe) \
5.1.32. Ряды вида bm)'
00 f * \
*• 2-^
*=1 \m=l /
5.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
5.2.1. Введение.
! В этом разделе приведены суммы рядов вида ^аьхк. Ряды, в которых
' содержит тригонометрические функции, логарифмы и* т. д.» помещеш*
i в соответствующих разделах этой главы.
Мнот ие ряды могут быть записаны в виде обобщенных гипергеометрических
| рядов
2(fll)fe (аг)* х& _ р 1а. п л • h h Ь *
°2t blt b* ь* х)
k—Q
и суммируются тем самым к соответствующей обойденной гипергеометрической
функции. Отметим, что в теории степенных рядов естественно возникает понятие
гамма-функции, частным случаем которой является факториальная функция
(Г (й-J-1) = й!), в связи с этим было сочтено целесообразным поместить в этой
главе некоторые степенные ряды, коэффициенты которых содержат гамма-
696 ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ [5.2 2.
функцию. При этом могут быть полезными следующие формулы (см. также
приложение 1.6):
<0)‘=-г^=(-1)4та-7-\)=а(«+о -(«+*-а
41=0)*, (2»)1=(1)/1) 2“ (2fc+l)! = (l)t(-^ 2».
\ 2 /ft .2 /ft
w г (1)г (<) (I), (з )»з3‘+1/2-
(24)!!-(1),2‘, (24+1)1! = (-?) 2».
*+°=—, (a+l)(o+2)-.(a+*) = (a+l)t.
Если известна сумма ряда
У 04^ = 3 (X),
fe=O
то с помощью почлег’ного интегрирования и дифференцирования (в области
сходимости) можно найти также следующие суммы:
оо х
2—^7-----xnk+m = f xm-iS (х«) dx,
nk+m J '
fe=o о
oo
2 (n£-fm) akXnk¥m=x~ [xm+1S (хя)|
fe=O
и
oo
z, k«taftx^=(x-^Xl S(x\
k=Q
Другие способы суммирования степенных рядов изложены в (20, 23, 42].
5.2.2. Ряды вида ^Р(к)х*
Условие: jxjd.
ОО
Vi / d\п 1
2. 2 m-
k=0
5.2.4. J
Б.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
697
• i ---wsf
k-1
оо
оо
з. У*(Ц1)х'=Д
fe —1
х (х3-}-6х2 —х—2)
(1-х)5
9. У (*+l)^ = J±^.
fe=0 1
10.
2 (*+1) (*4-2)... (Н-и-1) t‘ = 7T=SS
fe=0
5.2.3. Ряды вида
со со
. v xk If ts-ie-ai
1. У 77—;—<T=tT7V I "1---------Г7^=Ф(Х, S, a)
(&4-a)* Г (s) J 1—xj 1 y ’
k=-o о
[Rea>0; — Rcs>0; если x = 1, to Res> 1].
OO
VI xk
2. 2 1>-
fe-1
[n > 2, 1 X j 5$ 15 n = 1, — 1 < x < 1].
[Rea>0; 1 < x < 1].
co
fe = — OO
_ eiknb _ л cosec ап еХр [f- ^2т — b 4-1) ал}
а
6.
оо
>1
. - etkn° — л cosec ал ехр [/ (2/п—Ъ) ал]
[m — целое чисю, для которого 2m < о < 2m 4- !]•
k— — oo
5.2.4. Ряды
со
xk — J. х~т!п
П
&=0
Г(л - 1)/2]
[т — целое число, для которого 2m — 1 < а < 2т].
(Я)* х.
nk-\~tn
- [И->>/ад xllnsin —
п Vi . 2km , п
2 г sin-----------л arctg-----------777— —
п ь 1/я 2Ал
1— X 1 cos----
а
fe — 1
2kmn
cos----
п
в и
* = 1
1
L
Н(_1)«+11+Ь1>1 1п (! +?/»)]
“ J
[I х | < 1; т nt т, п = 1, 2, 3, ...]..
698
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.2.4.
[(т - 1)/«]
„(щ-йя)/я
Л
m—kn
[(я -2)/2] х1/« ^+1
2 V - 2fe-H . л
— 7 sm —!— тп arctg-----------яг~г-;—
л я » i/я 2fe+l
fe = 0 " 1 —ХХ/Л COS—J —Л
n
[(в- 2)/2]
---— У COS^ii/ПЛ lnfx2/n — 2х1/Я.СО8
A A \ n J
k = 0
4-(_l)m-i 1 ~ 9." In (14-x1/e)l [m. я = 1» 2, 3. ... j —I <x С I].
oo m — 1
s- 2 d-'mxM’”=—ln(l-*)--l-Ж* [-ККП m-1.2.3..j.
fe—0 fe = l
oo oo
4. У /TTTxfe+1= У 4rXft=—ln(I—x)
Jhb 1" * лш **
fc=o e=i
x2jfe+m —
k = l
. . тл . 1 яш , ,, ov
4-sin —~— arctg x—cos In (1 —x2)
Л A!
[|X|< 1].
oo [(m —1)/3]
« V (—1)* »b+« V / 1ЧБ-1 . 2 . ЯШ . хуз
*• i2 <-«^-S=3F+3“-3-afrf8 2=r-
k=o k=l
1 Я1Л (_1
— cos In (x2—X4-1)4-i—I— In (14-x) [-1 <X < I].
Op о
CO . [(m —1)/4]
’ 2 S-“— 2 ‘-»“S+
fe=o fe=i
, 1 . ЯШ . X 4 sm arctg — 2 4 , 1 . Зяш , x — sm arctg -7= 2 4 К 24-х
—j-cos^-ln (x2—xK2 4-1)+4-cosIn(x?4-x K2+l) [1*1
4 4 4 4
8 v (-tnfc
2&4-1 I arctg x J
fe = 0
OO
fe=0
= ± in (x24-x4-1) —L In (1 - x) 4-X arctg-^|-
O □ T о x-f-л
[_Kr<4-
5 2.5.J
5.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
699
со
’*• 2 3^^*=
Л = 0
[-Кх<1].
n- 2 4STr’*M1-TtaI^5’+4an*'
k=0
[|х|<1].
,2-
* = 0
1 *„ x/2 , 1 , l+x/24-xa ri
«= -f~ arctg-------In --- / [ x < 1].
2/2 1-x2 4/2 l-x/24-x2
eo
,s- 2 «T3x“rt=TlnTii-4arctgI
I fe = o
1Л V (—1)* „Afc+a 1 x x/2 1 . 14-x/2-J-x2
A 4*4-3 2/2 1 -xa 4/2 l-x/2-J-x2
[-1 <x < 1].
15.
2®ТГ^,=
k=0
1 . 1+X ,1.1 4-X4-X2 , 1
e= — In —---In--!--!--1- ^7— arctg
6 1—x 12 1-x-J-x2 2/3
х/з
1—X2
Dxj < IJ.
16.
(— l)fexsfeH 1.1.x
-—£---------— — arctg x 4-----arctg-----
6fe-H 3 6 1—.
1__^1+х/з+х2
12/3 ” 1— х/34-х2
D x 1 1].
2Xk
k
Условие: |xj^l.
00
(nk+m) (lk+i)X
fc=0
2ikn
exp—v-
2/ 2ikia'
exp^-^y-
*=o
*^)ta (!-№,?£)+< 2 7^i-‘
k~0 ’ Л—1
[m C «i “/ — °1 s — целое число, для которого si <J < <s + 1) fj.
nj—Im
Ж.
n-1
1
1
$
700
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.2-5.
fe=l fe = l
ОО
V! Х*+«
£ (*+«)(*+«) в
К = 1
Г пт'
= 1п(1-х)-х"-»1п(1-х)+ 2 2 т
L fc=l i=i .
V ? Г 1п(1—0 .. .
2 ^ = ~) «—л==иа(х).
k = L 0
xfe+1—x-f-(l—-х) 1п(1—х).
2 Jfe(fe4-2> **** 2 + 4 + 2 *2)1п(1— *)•
fe = l
оо
2 л7Гйз)дЛМ=Г8(6г+ах,+21’+6<1-х’>1п(1-х)1-
k =1
оо
1 Ю-*10 ° * *
00
2 1 «ь+я 2х , 2Х3 х’ , .. 2 ,
k (2&4-3) х “ 3 + 9 3 -^arctgx.
S тг+пгйплт x2ft+a=±2*{^*h/)+In 0 + *2)*
(2ft-f-l) (arctg xj ’ 1
fc == э
У _______1 x»«.-
L (Л4-1) 4»4-l>
к =U
= -^-x*arctg^l + ±(x>+2)In(1-*)—| x>ln(!-*)•
2 (H^H^Ti)^’=^[±X+ta(1*X)+2x3/2tXZ/x}]’
k — 0
oo x
л=о о
5.2 5.]
6.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
701
V (—i)**2**1^ (
(264-1)2 .1
0
л=о
15. V____________________X2JH3 =
L* (264-1) (2*4-3)
б=о
со
у - - - y3fe~b2—?
L (364-1) (364-2)
k =0
==“ («“О [In(1 — х3)—31n(l — x)]+—-- (Х4-1) arctg
Ь к 3
>>. z------------------x3fc+4—.
Li (364-2) (364-4)
6=0
= 7 + ~(1 ~*2) I3 ln 0 -*)“Ь О -^1 О +*3) arctg
L
CO
18 V *
• Li (464-1) (464-3)
6=0 x
00
Tj-^+2 («24-1) arctg xl.
(-1)»
Li (464-1) (464-3)
k=0
1 . _ . ж У 2 , 1
= —-т— (ж2 — I) arctg----------
2/2 1-х3 4/2
оо
2 (464- О (4*4-5) 4 + 16(Х* 0" 1 ^ж+2 aFctg *)’
fe = O
21 V’ ( ____x*fe+5 =
Li (464-0(464-5)^
k — Q
x , 1 /t , .J. ха4-жг 24-1 - . x
~ 4---TT-(14-Ж4)! In —-—-y—5—4-2arctg —
4 16/2' V x2-л/24-l 1
00 I
2 (464-3) (464-5)
6=0
*23 _____( 1)6______£4fr+5 —
Li (464 3) (464-5)
6=0
1*1 1-Д- ic 1
- 4 (*2-1) In T (x24-1) arctg X.
Z о 1 — X *k
(l)ft
£ 4___L- (X3— 1) arctg £^---(x«4-1) In 1+x^2+xS.
2^4/2^ 1 l-xa 8/2 1-x/2-]-x2
702
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5 2 6.
оо
24‘ (46-|-3) (464-7) X<ft+! = T2 + 16^~ (ln 2arct8x)*
б = о '
25. У -------——----x«fe+7 =
Zj (464-3) (464-7)
6=0
= —~ (x4-1)^2 arctg
16/2 1 4 *l-x2
oo 1
№. У . L_x«=i_x f
L. &+i J i-rf •
6 = 0 0
ln 14-x/24-x2\
l-x/24-x2/’
5.2.6. Ряды вида У -т—---------------— />2.
Zi (^i 4" ^i) (6n2 4" ^2) • • • 4* ^/)
Условие: ]x|sgl.
00
L 2 62 (6^1) xfe+1== (X~ ln (I + * [L*2 (X)~
2.
1
6(.’;-H)2
xfe+1 _ 2x4- (1 ~ x) ln (1—x) — Li2 (x).
00
8’ *2 6 (64-1) (64-2) **+2eTx2“*2 “ T(I “*)2 ln (* ~*)*
00
4- I k{k+ l)(2t+1)^-3,-(z+l)ln(l-*)+2lnl^ tl.KU.
6=1
_________^fe____________x2ft+3!=s
(64-1) (264-1) (264-3) x
® ± X In (1 + X2) T x ± (1 ± x2) (Ar\h £1 * I < П-
4 ' \ / (arctg xj
o®
_______-------------x4*+5 =
(64-1) (464-3) (464-5)
6=0
_ 1 , r2x Jin [(14-x)/(l -x)l 1
2 ' + ' I2-1/2In[(x24-x/2-bl)/(x2-x/24-l)]J
±ln(l+x4)±(l-X2)Jar^fX r .
' ' ' (2~1/2 arctg [x V 2/(1 ~x
co
2
= (
_________t—17 х2*+б = -3 /1 + x2)2
(26-|-l)(264-3) (264-5J 24[ k 1
Arthx) _ Зх^бх3
arctg xj
Б.2.7.]
52. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
703
Z (4*4-1) (4*4-3) (4*4-5)
k — 0
ео
(-])*
12.
4-2(14-х2)2 arctgх—4х .
х«+5 = — У 2 (х*4-2х2-1) In
^ (4й+1) (4£+3) (4*4-5) 64L №-х/24-1
12 *— w
+2)/2{х*—2х>-1) arctg £
со
2 pfr+D*xtM=2 (х- °1П а-*)-з*+<*+0 Ы. (*)•
fe = l
2 W+V = T <*+«Li’ w+4 i) •" (i-*)-| -
k = 1 /
co
i *(*4-l)(*4-2)(*4-3) ^=36 Hix3—15x24-6x4-6(1—x)3ln(l — x)J.
fe = i
OO
13 у xk+i =
^^(й-Ь!)2 (*4-2)2
fe = » •
J =Z (14-4x4-4x2) Li2 (x)-4x-^x24-3(l-x2)ln(l-x)J.
' „ V (^l)kxk V (±l)fexfe
; 5.2.7. Ряды вида Л („*4-^)1 > 2i Г(*a4-&) *
Г yi e^1/n 1 ^)/Я1
Zi е"» n Za (m—nk)l
*-fe=l k fe = l J
|0^ — один из корней степени я из 1: 0^—
ОО
2Х*
*1
fe=0
у V.
л^о(л*4-7п)! nxm
v 2fen , , . 2feJt 2i /я 1
1 =cos--l-isin-= e‘aKnia |
n n J
co
V lnfta . „
Z -rr-x =a •
Al
fe=0
“-'"еэ-
к у y±±L- v2fe=) chx\ 6 У -JJzlH—X2fe+I^(sh
5* Zj (2*)! X \cosxj* ’ Z. (2*4-1)! tsinxj
*=o' fe=o
(-DtCfe+fil/zi fsh(x/»<2)cos(x/K2)y Ь=Ш1
jL (2*4-1)! Ich (x/^) sin (х/р^г)! * * '*
i fe=o
4.
704
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.2.7.
9, V -------!___X3fe+i — 1 ev_ е~х^ cos Х —1)8л\
L (364-е)!* 3 3 СОвГ2----------------3—} [е = 1или2]
k = о '
io. V (^)fe (chxj-cosx) |
k^0 (cos (x/p^a) ch (х/}Л2))
OO
IL 2 ~(4fe4-~f)i"' x3i;i=^(5,u+sinx);
k =0
12
OO
V (-!>*
X л X , . X . X \
—— s&s, -7—bch-7=- sm | .
V2 /2 /2 V2]
IQ V (^)fe y^^^fchx-cos^ )
(4fc + 2)! (sin (x/pr2) sh (x{V2)J
k =0
ОЭ
V (—l)fe .fc.e 1 f , x , x x . x \
14. > —J—I—X4fe+3==_sin—_ch—7--------cos —-r=-sh —J
(4^4-3)! K2\ /2 К2 /2 /2/’
k — 0 ' * >-
00
15, ra=4(sh^sinJC)-
(4й -f- 3JI 2
fe=0
00
16* 2 и11
fe=0
[p>0].
18.
19.
20.
17.
(t l)lft/2J
Г(*/2-Н)
x*=e±xt
'erfc (— x) 1
ll+erfi(x)J*
V (— *)fe v2fe + 1 __й±X2 Jerf (x) I
Г (k 4-3/2) \erfi(x)J’
fe^-0
V x4* + 2±l___
Г(2^4-2±1/2)
k^-0
= -J- [i?rt erf (x) e **erfi (x)].
£t
V ttO*—sfc- 1—X~ve±x fe+',Zvdt
L r^-f-v+O r(v4-l)X J
fe= 0 °
528J
5.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
705
с»
21. V _____(п-9*----Ок
Zi Г(2£+*-Н) 1 f
6 = 0
еле. Ряды ..да
* 2 -o+^-xi=jr^(e- *
6 = 0
оо
6=0
6/п
II argx|<qrt].
оо х
S. У lt^x»=-C-lnx+EI(+x)=f 1(е*'-1)л.
J/ШШ ЛС1 " Сг *
6 = 1 о
fe =0 L m=O
оэ оо
« 2 ‘ 2 *rax‘"=(’c-,)iI+L
6 = 0 6=0
ОЭ П — * . >.
7- 2
6 = 1 6=0
Zi kl (26 4- i) 2 (erf (x) f •
6 = 0
9.
10.
co
Zi (H-l)l (2t-H) r t erf MJ
k —0
"0«»<*+l K«
exp (xe **—
0
11. (P-f-g) j^*==^g 2a I Г сое яв— J costdl
fe=ol к X
12.
Zi (2k)l k
=2 /Chl. <*4-2 In x—2C.
\ci(x) f
04 А. П. TTnvHinnmA и лп.
706
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
15.2.9.
vi ил+i V л
13* X (2*)! (4fe4-1) = “Г [erf W+erfi («)]•
fe = 0
oo
H. у _________________
Zlo(24+l)l(*+a)
OO
/
00
дсЗ^гдг2" — Г(2а—l)tosna—f .
V (± l)*x2fe!1 (Shi (x)l
Z>o (2fe-|-1)! (2^4-1) “ \Si (x)
OO
1
д/ x2fe+I— f In # 1
(2*-H)!(2fc4-1)3x ~ j mr(sin^j
k— о о
V (— l^x4*41
Z (2A)!(4JH-1)
л=о
®° r~
18‘ 2 (2fe-b 1)/ (4^4-3) “4“[erfl W — erf (x)]«
k =• 0
1». У (—I)*****» - i^stn
Z (24+1)1 (44+3) “ f 2 * ' *•
k = 0 /
oo x
v2fe+3 /• _
k~ с 0
00 3
21 * 2 (2Й4-1) Г (2Й 4- 3/2) = erf етЬ
k= 0
co x/2
2 p4wxUtl=2K" Jги,(,)л-
fc= 0 0
23. У (?+ C +^7-’!+<2t+ 1УД(arcsinx)sec(arcsinж)-1.
k= D
(P—V2)(32—v2)...[(2fc—1)3-у3) 1 . .
' 11— —tx2«=—sui (v arcsin x) — 1.
(2k+1)!
Zjfen
(4+^i
Обозначение: x=oe^a.
00
fe=O
5.2 10 ]
5 2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
707
оо
2kn ь ( d\n о
й! Х \Xdx) е ~~Snt
fe=i
п
V (— 1)*
z kt
|m« x*e*
.»/
k—l Lm=l
Si=xe*t S2=r(x4-l)e* S2=x (x2+3%4-1) e*
оо
2
fe=l
с л e a e a e a (2a+1)
S_x-a, So--^, ^ = -(Г=^)Г-
оо
kk b ea—l t
x*=—-i.
к
*
2(6+1)!*“ a(l-a)
y, rk— 2«+4eea“-eae 1
7’ Z (fe-f-2)T^_ 4aa ~ У
i
» V I+2a«a—
’• (Л-+2>Г X =---Ж-------
5.2.10. Ряды ..1. 2r(fo4^-(fc+a)**-
l V (±D*
Z ша-Mi ~ Vn(2^)C
fe=O
2 V (— 0***_____________L 2(n+1)/’e^eD I
Zi kir[l+(n-k)/2\ "Й~Ч 2 Г
k = 0
a V (±0* 1 |Уо(2х)+Л)(2хП
Zi [(2ф]а ~2(2ber(2r) f‘
k = 0
, V (±0* 1 К1(2х) + Л(2х)1
Zi (2Д)!(2Л+ l)i ~2(2bei'(2x) j'
k = о
. у (*»)* 1 g,(2x)-J,(2^>
Zi [(2^ + l)ip 2(2bel(2x) Г
k = 0
OQo
.708
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
15.2.10.
6 V , 1 Р£(2х)+/И2*У
Zi (2й+1)!(2&4-2)Г ~2(2ber'(2r)
b= о
7 у (±1)*х» _ /М2хП
• Z ИГ(Ну+О Vv(2x)F
л = о
oo
8* 2 Ff (V—A4-1) **=r (v+1)(1 +дс)’
k—O
9 У (_tw* ^(Ьу(2х)1
* Г(*+3/2)Г(й-Н4-3/2) lHv(2x)J*
k —0
oo
2 Г (Й/24-П/2 +1) Г (A/2—л/2 4-1) = e~1Jn (2tx)+*E«
fe — 0
oo
1L 2 Г (A/2-J-1) Г (k/2+n+ i)=x"n^ft M—»H„ (2tx)l.
k~0
oo
12- r(jfe-f-v4-l)V(Jfe—v-j-l)=^av cosw+E2V (2x) sm vn.
fe = 0
,a- 2
k — 0
oo 2/x
k = 0 о
[Rev>0].
oo . /3v , 3k\ ’
15 у (—1)* 8ШИ + 2/Л
’ Z JWr(fcJ-v+l) /3v . 3k\
k==0 lC0S^4 + 2-),lJ
OO
1в. у _______(-‘У**
Z А1Г (fe4-v4-l) (£—n)
fe = 0
X3fe=x-4beiv(2x4
(berv (2x)J‘
co
= iTn^+V?ij’[2’<,(n+1)+4*<',+v+1>-,nx]-2^J£“ j
2x
[йец<1/2, u4*v =—!]•
oo
17. У ________till________xfe=2f^2v+V2x-v f
Zj r(H3/2)r(Hp)(Hv)X J
л = о о
[ReV><9>
5.2. IL]
6.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
709
« У ___________________ (-1)**8*______________
Li Г (Л4-3/2) Г (fe+v-J-3/2) (fe- П +1) ”
ft = 0
й^я — 1
__ 2(— 1)'1х2я~2 Г I .( , l\ 1 f 1YI
Г(л+1/2)Г(л4-?-Н/2)|_ Х 2 Т+2/’ 2^Vn+v+2/]~'
оо
-2-Рл^ J ^Hv (t) dt [Яем<1/2. ц+v--------------2л].
2х
5.2.11. Ряды вида **•
JbJ 1 £ЛС"|- UJ
оо т—п
I у fo+fe)1 ______________ml_______ у lVtfrn—л\ г*
* Li (n+ty! (л-1)!(1-х)«-«+1 Li \ k /К+k
*-=Э fc=xO
nil
к1 (1—х)®н’
И)»
= -J— у
(т—Q! Li
о
nfeZ«l fb-lnj.lUn
Li 6—ln+i
у sin rL (*4-1) Я arctg----J—
(Tt " l-x'^cos^n
[{n -1)/?]
-Ь ~ V cos—(fe+l) л In/x27®—2x1/ncos —я4-Л-Ь
n Li n ' * \ n 1 I
k — i
Л «9* 1
J m
<5. V _ « -x^
__ 1 [ V (_.])* fl ““ +(—-!/" P ~ - to (I — 4
(m—l)!l Li ( r J
710
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.2.II.
6.
со
k— о
ki
(2*)!
x2fe=l.±
» yp±xV4 /erf (x/2) 1
2 (erfi(x/2)j
7.
у (±O^L
Li (2&4-1)!
fe= о
х2*+1=/ле-А8/4
erf (x/2) 1
erf i (x/2) J
8.
00 _
V (-D*xU 0\
' (4fe)l 2 3/2 К ' ?
ft=O '
co
k = 0
10.
у Г(Лу + и) 1
ji* r(Av+|l-t-n+l) nl
ft - 0 s i
1
0
/Р--1
1 —xt»
[к r< >; я. *>0].
IL г (Av-f-T-H) xk~x f tV exp
ft— i о
[v>0].
co eo
<2. Г xk~ ( exP (xtv—t)(U
ft= & ©
[O<V<1].
CO
ft = O L
"co
J e^Ei(—xlv)ftt — (1 — v)C— Inx
[Re x>6; 0<Rev<l].
15. jp (±1)‘ ** = ГсУ f (1T»-W
ft = О о
[Rev, Res>OJ.
CO
16 2 Ц+21^=Г(у)(1-х)-»
ft=O
[[x|Cl; X^tl при V>0].
V (fe4-v)r(fe+2v)
rt_vr(2v)(l+x)
(1— xpv+i
• [|xj < 1; xgtl при v>l/2J*
5.2.13.]
5.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
6.2.12. Ряды .яда
У (±1)*х« _ |ber*(2r) + be<«(2xh
* Z fe!r(fc+v-bl)r(2£-f-v4-l) Vv(2x) Iv(2x\ J*
k — о
2. V _______________—_______________
fe! Г (fe+v+1) Г (2ft+v4-2>
(2x) bei' (2r) — ber' (2x) beiv(2x)].
OO
vt X4ft
8* Z fei r(fe-bv-bl)r (2fe4-v) =
fe = O
=2xl-2v|l>erv (2x) her' (2r)-{-beiv (2x) bei' (2r)J.
4 V (—cos [(fe+v) n/2] h r .
fe! Г (fe/24-v/2+1) Г (fe/2 —v/24- 0 «*v
6.2.13. Ряды ....
2. 2 ^y^^=(l-4x)“3/a
fe = Q
з. У (—l)[fe/2J^( bx)*=(14-16x2)-IZ2[(14-16x2)1/2_t4x]1/2.
fe=O
fe = 1
oo 2r
_ V / .4/. С2*)1 «ь 1 » «1 । л f fArsech f\ di
*• 2/*0 ‘=-2 In |X|“4 J (Arcosech Jr
OO
* 2 (fe!)2<(2fe-I) X* = ~ (1“4X) Г-1/4^<1/4].
k =0
Li 4 4 (fe!)2(2fe+lr 2 |Arsh (2r)/^4U J
fe = Q I
712
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.2.13.
оо
8‘ 2 xaW== — у (l-4x2)I/2-2arcsin (2х) [1*1<1/2].
л=о
СО
’•2
fe = O
xafe+1 = —
(A!P(2A+1)X 2
k = 0
“• 2 TOWxltI=iL2[<1~4x)a/’+61-11
k— 0
k = 0
»• 2 ЖП5^'хИ1=_,п11+(1~‘tt>,/’l+ln2
fe=0
oo
M- 2 ix>sq
k—0
,s- 2 ^4к-1-йчо-<^
fe=O
co
fe=O
oo
k =0
fix | <1/4].
[1ХК1/2].
И ж | <1/4].
IlxKl/4].
I|x|< 1/4J. ‘
(I x К 1/4].
[I x К 1/4].
[-1/4 <x< 1/4].
[|x|<l/4J.
OO
(2*)!
£4 kl (fc+1)! (2A+3) x2*+3~ 8 f4x 2* 0 — 4x3)l/2~arcsm (2x)]
k=0
OO
(2fe+l)l
W(2*+3)
= + J r2x M - 4x21-1/8 farcsin (2x)H
_8L2XU+4X) н-^h (2x)J]
OO
ж- 2 вдг'1=8(,“<и’[1+(|-^
[|x|<l/2J-
[_J/4 <x<l/4J-
Б 2.14.)
5.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
713
оо
2Ь 2 1<щШгХ‘=<|-^3/2[(1-4х)1/2+|Т2[8(1-4х)1я+4]
fe=0
2 Лтж’*”60-4*^
k =0
23- 2
fe = 0
оо
» 2 wSk--[ЩГ
; fe=0
[-1/4 <х с 1/4).
[— 1/4<х<1/4).
[ к К1/4).
!*=И1+й; 1ХК2/Э3/2].
D*t<l/4).
[-1/4 «С X < 1/4).
271
Г (6 4-v 4-1/2)
Л!Г(*4-2у-|-1)
х\
2/
СО 1
_______________________________J-fiX/2 f gXt/ip /Л*
Г (A—v4-3/2) Г (£4-V4-3/2) “2 J v~V2 W
k~ 0 _j
°° r(jh?4-|i)
klГ (kv~Jfe+ц)x (b-v)^+v |x|<l(v-l)*'1/»vil-
». 2
fe—о
И. у ________г ____L-rfM
L аг(ь-л-н»)(^4-й) н-н
fe =0
[х=(у — iyy9; |x|<|(V—l)v-1/VViJ-
М. у _____________г<*+»)____________„_
Г(»+н-»+1/2)Г(4+н-Н + 1/2) ~
fe= о
в___________Г<н)_________ (Х\- 1 -1» V/2, / х \
Г(|1—V—1/2) Г (н4-V-1/2)\ 2/ V3/a.v\Y;*
_ — *. n Г (Akj4“^0 Г* (йс4“Л ь
5.2.14. Ряды вида 7 а*—*—у/,/ . **»
iLi я Г(£е4-/)
ОО
1. У [+1р^^-_±_ + 4х<4Жя’Г*»/агсв1,,(ж/2Н rfxt^2t
1 \4»0V 4 41х^±4Х(4-’Х? (Arsh(x/2)J
714
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
оо
2. У (+ l)ft - =4 (4 ~г Jarcsin (x/2H
‘ } C^+Oi 4<4 + xZ> [Arsh(x/2)J
3.
OO
2 tt*»*
k = 0
(k,y (arcsin (x/2)|2
(26+2)! * (Arsh(x/2)f
[5 2.15.
tUl<4
f|x|<2].
OO
fc=0
(fe1)2
(26+3)!
v2M3_ ь4 (Л v2\i/2 (arcsin (x/2)\ Jarcsin (r/2)P
—_4(4 + x) {акЬ(х/2)У+2[агЛ(х/2) / +
[M <2].
oo
₽я„ B.aa
!. у я/дА
Zl (2И1(24+еИ 2\2/ ЧУ/
ft=0 „
[6=730 ВЛЯ 1].
ь 2
k=Q
3.
ост
л=о
Г 6! -р x2fe rt па_ ?
1(26+1)!] 26+1 “ 4 -Я J
х/2
н. (О
оо
^=0
оо х/2
5. У (ч-1)*---------___________к^г=2я Г
Zi 1 ' (26 + 1)! (26+2)! Х 231 J (МО/
k -=о о
оэ оо
*• 2 (-|>‘^Шрх,из=21пх—,+2с+" С мо*.
fe = 0 x/2
5.2.16. Ряды вида ^7 gfe
GO
*• 2 да-х‘=е“/«<м.
jA“ Vе1/
fe=0
Г (fefei+cQ... Г (66t+ct)
r(6rfi+e1)...T(6d/+e/)
OO
b 2 Ь0‘|Ш-х»=/!(2х).
k^O
5 2 I7-) Б.2 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 715
с° 2х
3> У (И)*_______&______X2&+1 = J f /arcsin Л Л r rtx^1/21
' [A! (2A +1)!]2 2 J lArsh/J t
k — 0 о
oo
4. У — (~')Д (И>1 *a - J to) 1 to) -
Zl (41)» Г ())+?+1) Г (4-v+1) ~ v (Л) J-y W-
k= 0
oo
В. У (-1)*Г(24+ц)*»» _
Z 41 Г (4 + |i) Г (4 + v) Г (4 + |l—v+1) •'h-v l'“' J'1-1 S'“)'
k — Q
oo
в. У1»£^=2к(4х)
Xj (А!)4 л v 1
k—d
00
у _J—IWX2ft______2E/4x)
Zs 2fc-l (A!)4 ” л ( )
k=o
[|x |< 1/4].
co
V Г (2fe)!
12 1 f 4r
LOW] *гМ2=2> + 4х)ЕУ1
л=0
OO
у P*)'WL^=»_ » E(M
Xj [At (fc + 1)!]2 4 2л v
[0 < 1/4].
CO
10 V r(2fe+i)tf
Lar (£4-2)1 j
fe=O
16л
5.2.17. Ряды вида 7
fe w
xft.
4x
je<x<i/4j.
CO z It .
1 Z4V=^(l-«)
1.
k= 1
[|X К !]•
[|x|<»/4].
CO tk-1 »
2- y-(21)^=41п!('~х)
k=2
716
Б.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.2.17.
оо
k 1
[Arthxia
[arctg xf
[| X |< tj.
к = 1
I
x2ft+1— In (1 -{-Xs) arctg x—x arctg® x-|-
arctg®//#
(1*1 <4.
oo / 2k \
2 Ht( 2
k-l Si=l /
[|х|<Ц.
oo
fe —0
no
2k ’
V (- Q”
La 2m-[-I
rn — 0
***"=2
arctg x In
1—x
flxiciJ.
k
La (&4-1)2 \ Li ml
k — 1 'm=l l
- In x In® (1 —x)4- In (1 -X) Li2 (1-x) —Li3 (1 -x) 4-Li8 (1).
oo / fe \
St -‘-'“MH-
fe = l 'm —1 /
OO к— 1
2x®ft Vi (—!)« _ к
kl Li 2m-bl ~~ 4
A —1 tn—0
m® I x* == xex (x« 4- 8x® 4- 14x4-4).
k — 1 '«I — I '
OO / k \
Inx®
th = 1
/ 2k
fe=l
oo
V (-*>*
Li t(2M’j®
fc=0
oo
у _fczll!L_( у ±}x«*»=
Li [(2fe4-l)!]2 \ Li ml
fe—0 'm=l /
m= 1 '
2*4-1
OO / fe \
у w* I у ±)x^=Aarcsin«A.
£| (2*+2)l \ Z «И 3 2
fe —1 VH=1 /
5 2 J 8.]
6 2 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
717
(-1?
(Jfe-hl)!
= i Kin х + 2С) Л (2х) - яУх (2х)1
2х2 Л f2*)-
5.2.18. Разные ряды вида а*х*.
V ______________(~1)»х^+1_________________. .
Z [(m-l)a-v®][(|i+3)2-v2]...[(p+2A+lF-v2J-^vW
fc = O
, v Рн+1)(2Ц+3)-(2|>+2»-Ц) _rfl+*+1_
IO4-l)4-v*lKl‘+2)1-va]- Kl4-*+»)i-v1] “
fc = O
=(2p+l)e^,v(x).
3. У a1<*X* = ^?^ I -----1—— <?—(bl‘fl)/(40 J/ 0<а<1].
2j/n J (x—-e*)/3'8
oo 1
«• 2^х‘=4гх<л-
*=1 0
( p \
\k—tn)
x2fe+i =(14- x2)₽ arctg x.
co
«2
co
’•2
* = 1
[(fe-D/Л ,ч, , Л
k—Im \tnj
m—0
rt*/2] i
2 тгтг(*й я**—1”(1-*+*ч.
k—tn \ m /I
m=0 '
co
VI
8‘ Ai
k = n
(2*)1
OO
k = 0
n
L,-Z1— 1
П
,~m=
V (~0*
Z/ (2*4-1)’
k=n
n
-m=0
f 2/1 m?k I x3*=22«-i sin2* 4
\n—mj I 2
x2k = 2a COS" X.
m/2«4-l\z2m I J42*И Х2*+1=22Яsin2n+1x.
In—m /
co
”• 2
k=n
n
X* = 7T 2
*=1
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
[5 ЗЛ.
718
оо р/я] х
оо
13, 2 ^Т=^~Г2ф1(а’ а; а* *>•
fc = l
м- 2 ^ет=4*Ф1(л’ ~1; ~а> *>•
оо
2 д2Ам_1 = а_j 2Ф* (®2’ а» а3>' *)•
оо
16.
л=о
oo »
1 f an (t In b)—x sm (t In ab) ..... 1
= l-frcoefllM+x»
[л. 6>0J.
2<
3.
5.3. РЯДЫ С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
1
gTlfat -J- I *
5.3.1. Ряды ви
оо
V kiail - В**4*
X (— 1)Л«в«к— 1“8л4-4
k=l
ОО
V ^ra+1 1
Zu g2rtk_ 1
Гп>01-
оо
V * _ 1 1
X е2«*—1 “24 8л
k = i
п
5.
oo
V W 1 ЛП*
Xi (e2fert— 1) (4Jt*4-n«) “ 96 *" 64 *
oo
6’ 2 (e***— 1) = ~ "2 (4rt+3)
k=i
(—1)д-fr ch nn yi 1
(—!}«—ch ля32 X 2fea—2^n+»^
k=l
2»+2
_ (2л)м»а у: /4Л^4\
(4л+4)1 4 X I 2k
k=o '
В.З 2.j Б 3 ПОКАЗАТ И ГИПЕЙБОЛИЧ ФУНКЦИИ 719
_ VI (2fe-}~ 1)*я+1_/^n+i_В ^4д4*
'* X е,2*+1‘ «4-1 ”' ' 8п+4 *
fe=o
со
V _________2^4-1___________
8* Z [е«*41’я4-1][(2^4-1)4+4п4] —
к=о
п— 1
я (—I)?—ch пл 1 VI 1
е 32я2 (—1)д 4- ch ял + 8л X (2^4-1)2 —2л (2*4-1)4-2л2*
fczzzO
t
5.3.2. Ряды вида У\ a^ka+b^.
Условие:
1. 2 ?‘м,’=®з(>и. ^/’"9)1п ’/’
=—ОО
£
» У (+п»Л=-+-^,<0,
* Zi ' q 2 + 2 1М0. 9»
к=0
to
*=0 4
4.2(а;,)‘^=ч:й(~1п,г’'2Р“₽(А){,?Й<“ 10<‘<|)-
4^=1 ¥ о
оо
6. У (_i)*f!t + l),»-»+«=l9-V‘a5eI(a, (й^.
к=Ь
со
в. V fl(2AW»1=^_82(0, <fi.
к=0
7. V /_lUa«*ti,» = 2j_C'. №<,<Ц.
Xi I 14 Ул J о34-2^cos4f у — In?4-l
k=Q о
co 00
8. 2 (2^4-1) <7,2fe+1)2 = -^y^(-ln9r3/2 cosec 2 У7л.
л=о °
e- 2 ^“=s«-
fc=l
So=O,38631860, S2 =0,37247207, S4 = 0,36902569.
72»
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.3.3.
k =1
Г.=0,34968710, Т2= 0,36331424, Т4=0,36673624.
оо
k=Q
(4=0,36800285, (4=0,36792058, (4=0,36789315, [/<=0,36788096.
12. У (— 1)* г"1,1 =0,36775603.
k — O
<х>
(4л£2—!)*-**• =|-
А
л=о
13.
14. У «*н>* —\=0,04321392.
Лл 2“/4л3'4 \ 4 /
k о ' '
ОО
is. у (±i)*eu4*1=(!’J 1!ПЯ’
Zu (в4(—i Ina, ?)J
k=—ал
16.
сю
2 (±1)Ь a&qb'k™
k =—Ot>
1 J02 (— i In a, q) 1
a v’0t (— i In a, q))
5.3.3. Ряды, содержащие sha^x и cha^x.
OO
I. у 1 Hl-^^([-ггсЬх+г2)®
Zj k (ch&xj \1 — rchx/(0J 2 v U>
*=1
(|л|е1 R®
9 V 1 rk lsh M —firchz (sh (r sh x) 1
(chAxf (ch (/-mix)j
ft-0
oo ___
з. 2 «^‘’'Ь^=4+-2^г''Иа‘,9»(ё1
t=0
oo
. v di nr 1 v ,.x л 1
4. 7 ------------= —........— К (fe) an u-----
ch2nx4-a x^2(a4-l) 2(a4-0
n= I
Гх=^'у, a=ch j Im Archa|<Re*l’
L К (к) л. (fc) л
oo
8* Zu ch =
jt—0
09
2 f cos at — r cos (a—b)t , .. . , „ плкП>
= r _____ I —j—5--------2 , sh ft arccos b) cosech ift di fl a! < •>
31 / « AA 1 1 _*?JT rvu? W _4 r2 v *
5.3 5 ]
5 3 ПОКАЗАТ. И ГИПЕРБОЛИЧ. ФУНКЦИИ
721
5.3.4. Ряды вида ая cosech bax.
Обозначение.
г—«£.(*)
К(Ч
fe2<l.
ОО
1. (—I)*-1 cosech — J j x= К (fe).
n=l
2. У n cosech nx=К (fe) [K (fe) - E (fe)J.
ft = 1
oo
3. £(-l)-'ncosechnz^^KWEW—
n = i
oo
: 4‘ X coscch o X = — In (t —fe2).
> n — 1
IS. £ cosech»TO = J +2£-j^.k4(*)- Дк(4)Е(Ч.
| n —1
6. V cosech2fn— 2) «=JiK(*)[K(fe)-E(fe)I.
n=l
f _ V (— 1)я+1 f U . пя\ 1 (л
[ 7. 7 -—-— {cosech na— cosech —) = — 1-------a
. n V a J 2 \a i
ft —I
i 5.3.5. Ряди вида V ай cosech йл.
1. 2 *c°sed,fat=3^ri(|)-sr
Jt=l
?
00
2. (—-O*fecoseehfert==—
' k =1
00
! 3. V (—l^fe4®** cosech fen=0
[a >0].
[n=l. 2, 3, ...]♦
> 00
! «• 2
fe=i
2n<2
=я«и У __________(i-22fr-1)(l—
Zt (2/?)Ц4я-2Л4-4)« 1
fc=0
[Д =, *, 2, 3,...].
722
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
[5 3 6.
5. 2 с^-со8ес|,4я=й- fe=l оо
6. V (— ])к+1 13л2 2 C°SeChfal=453600- fe=l со
7. У ^rr~rcosech — A Ich 0^2 ла) — cos (V^2 ла)]-1 — fe4_j~o4 2а2 4ла* 4=1 со
8. чп ( fe& sufi 7 - -г cosech fen = cosec ла cosech ла. fe4—а4 4 fc = i co
9. 2 “^’*«=6—2H- fe=I oo
10. V R«2fe4-1 1 , 1 ™/l\ 7 cosech2—s—я =“ о~ + тг~;Г4(-г)8 Z-j 2 2л 16л3 \4Jr fe = D co
11. 2 #-нн i)* cosech cosech (fe+0 n==t fe=l = — cosech л (24-2л cth л—л2 th2 ). CO
12. (—I)**1 cosech fen cth fen =-^. fc=i co 11 1 1 ! 1 \
13. cosech fen— до + зя + ^Ол*17 (4)’ t = i
14. V 2fe+l 1 1 r./’YrJ гя/Ц 21 cosech 2 Я Зя 24л3Г \4/^ 192л6 \4/* fe=0 5.3.6. Ряды вида VJ Од sech лК*(*) Обозначение: х — «2<1.
1. ©о • _ у sech(nx+a) = —K(fe)dn[^K'm ’ л = — to 00
2. У sech пх—~ К (fe).
п=—со
5 3 7.] 5 3 ПОКАЗА?. И ГИПЕРБОЛИЧ. ФУНКЦИИ 723
з. 2
л = —ОО
оо
4. sech (п-1) х=^ К ДО.
п= —со
оо
5. 2 кс»«=^К(»)Е(Ч.
Я — —оо
»». 2scch“("-4)*=|к wе к’ (ч.
► п= 1
| 7. 212я зесЬа2±лх = ± cosech2 х +*2 yj j.
I n=0
| 5.3.7. Ряды вида 3Rsech
К °°
11. 2 (— l)*(2fe+l)te+3sech ^-^л=0.
Bk fe—О
И. (—1)* (2fe+l)tol sech лУз =0 [n-1. 2, 3, ...J.
ВГ k^Q
| n V (—0* ».2fe+l 1 (л\*т V (4л\
I 3* 2i 2 Я 4(4n)!\2/ 2a \2k)E**£«n-*k*
V 1^0 fc=0
V tzl^seeh^^Hn- ".
L 2Jfc+t 2 8
fe = 0
S (—1)* .2fe+l _Jrt
2a (2fe+l)3Sech 2 768*
k = Q
e V JzzDLsech
6‘ Zi (2fe4-l)*^ft 2 1 720320
fc=o
724
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
£5.3 8
fe = O
у (-1)* йн-i yj_________*
”* Zi (2*4-1)7 2 Г3 “ 23 040*
fe=o
V (—l)ft (2*4-1? . 2*4-1 л яа , ла
10‘ Z (2*4-1)4—a4 2 Я“ 8 2 2 *
it=o
«1 V (—1)* o .2*4-1 я/ ла .паД
lL Z (2*4-1) [(2*4-1?—в4] h 2 *“8a*\sec 2 2“-J*
k = 0
И У <-'>* sech “+ ' »-
Z (2*+l)[(2*-M)44-e*J 2
fe = 0
л R______________2_________'
8а4 L 008 (яа/К2 )4rch (ла/V2)
oo
13. 2sed>’to=^-4+i^n(4).
oo
14. V seeh» “±* «=±.
h = 0
oo
15. V secMfai»—1 + rW-in^ гв(4У
2 * Зл * 24л3 \4 J 192л6 \4 J
k = i
oo
1в. 2
k=0
Я Зл 384л®
5.3.8. Ряды
OO
вида ak th bb.
V _____!___th?^
Z1 (2*4- 1)4л+3 2
k=o
Л=
2t
V (-nfc P2fc-n
2 (2*4-2)’ (4rt-2*4-2)! 2ft+
fc = 0
2
co
,. 24+1 я>
lh-^-n=32-
1
(2*4-1)3"' 2
*=o
OO
V 2*4-1 ..2*4-1 л . ла., ла
2 (2t+г- л=^- *g т th T-
k = 0
5 4 к]
S 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
725
< 2 ^th^cthx-1.
fc=i
5. У 2fe (1 — th 2ftx)=cthx—1
к=в
[х>4.
оэ
; ®* 2 2й6 ^Ь2^5 = С<ЬЯХ—
fe=l
5.3.9. Ряды вида Уcthfat.
СО л
2 ^Hcthft,l="2 <2я)ая+1 2 (2fe)» (L—2fe+2)l В8*5«-8*+а+
fe=l fe=l
(—1)Л ‘pft+lntn*2
* (2л ф-2)! Взви*
оо оо
2* S ^ cthfe3X=== 180п8' Х 2 F cth “56 700яГ*
fe=i fe = i
л. V k ofъ ья_____—ch i-008 )_____1
/*ф-а* 4а2 ch( ла V2 ) —cos (ла 1^2 )
k I
оэ
У T3-^—TCthfac=-s-^-z — -Actg ла cth ла,
AJ А4—а4 4ла* 4а2
fe-1
5.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
5.4.1. Введение.
В этом разд ле помещу ы ряды, содержащие раздичт ые тригонометрические
функции, в там ч^сле ряды Фурье Огстим, чтэ в некоторых случаях триго
нзмегрнческие ряды сводятся к рядам другого вида, напри лер, к степ^шым
рядам (5 2), к рядам, содержащим показагеявную и гиперболические функция
(5 5).
; При суммировании тригонометрических рядов могут оказаться полезными
1 следующие формулы.
f со оо
I I о
со оо
ife=l о
где
оо
> F(x)=$ НО «"*'<«•
о
Ряды, Содержащие логарифмы, приведены в 5 5.1.
726
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.4.2.
5.4.2.
Ряды вида
V* (±l)fe /sin fort
jU ks (cos кх) ’
00
V J
ks (cos kx
k=\
5? \ (cosx) U//
I 1—2e^cosx4-ea‘
о
[x ф 0, Re s > О или 1 x | 0, Re s > I J.
2 = (2Я)* Jcosec (rcs/2) \ Г / _ x \ _ Л X VI
4Г (s) ( sec (n.s/2) ) _ \ S’ 2л) "* Ц S’ 2л/J
[Res> 1; 0<xs^2n].
» , ,.b,. \ (cosxJ^lH/.,
Y' (—l)fe [sm fort 1 (-----------—------------—-dt
®‘ 2i nsS~(cosiU = _T(5 J l+2e'cosx-w« [f»s>0],
0
4 <2яН fcosec (ns/2)) Г / х+л\ f л—x\1
’ & 4Г (s) ( sec (ns/2) J Щ °' 2 ) 4 Ц1 S’ "Ы/]
[Res>I; — л<х<л].
co
5- 2 sm А’Х==2^2п+”1)! (2л)2й’1В2п+1 (^)
fe=i
f [0ОС2л при л = 1, 2, 3, ...; 0<х<2л при в = 0].
ОО
k - 1
[—я<х<я; n = 0, 1, 2, ...].
оо
7- У icosfex==fc5Kr (2^)2аВ2а/^- \
№ 2(2п)1 ' ' 2п\2л]
[0<х<2л; л=1. 2, 3, ...].
ОО
8. V ( У cos fog=
k2^1
*=1
2 (2n) I
(2л)а«В2я
[—Я^х ^л]>
ео
J_ J8®1 ____л—х [cos о) . Л . xWsinol
Zd k (cos (kx-}-a)j ~~ 2 {sin a) \ Sin 2)|cosa)
Р)<х<2Л].
00
in V f—l)fe-1/sin (fog-f-a)) x fcoso) , . /л x\ fsina)
W- 2( ~к~ U (/x+a)] “ ±T (sin a) + ln V2 C(e У) (cos a}
11.
Dsgx<rt 11
—Л<Х<ЛМ
oo
V (^costo = ^-^+2*
fe=l
0^х^2Л|1
— Л«^х^ лЛ
5.4.34
5.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
727
оо
ti)ft . , х (х3—Злх4-2л2
sin kx = i А < , .
А3 12 I х2—л2
* = 1
5.4.3.
Р яды вида
оо
dt
2 1 fsinfeci
Ik 4-e)s (cos Axj Г (s)
A =0
[Rea>0, Res>0 при Res>l при х=0].
ОО
2- 2
k=
'sin (я—х) а
cos [л—х) а
I f/Sint-Х«+(0-1/2)m 2.
2 J (cost—ло+(о—1/2)/])^^ 2
oo
v (—J8*” —
Z k-^-a (cosAxj ““
t=0
f («»[— xe+<a-I/2^RsecLm
**^(wsaxj 2 J (sin(—xa4~(a—l/2)/[j 2
о
oo
2 1 (sin feel (sin [(2«4~ 1) rt—x] o|
т-r— < , >=лсо8есла< ' }
fe-f-a (coskxj (cos[(2rt4-1) it—x[ aj
к =—oo
[2яя <x <^_2Я (« +1)].
oo
V (—l)fe fsin Ax) (sin (2пл—x) a)
7 \ ; { t }=n cosec ла { ' ' >
«4- a (cos far} tcos(2nn—x)aj
— oo
[(2л— 1) л<х<(2«4-1) j<|.
6.
oo-
2 1 fsta(/rx+<i)j _ rt * /sin [(2n 4-1) ла/х](
fet-(-a (cos (J6x4’«)j « sin (ла/х) (cos [(2л4~ 1> ля/^11
s —oo
[2лл <x < (2л 4-2) J(b
7.
oo
k = 0
1 Jsin (£x4-«)l
km+n (cos (Ax 4-
m—1
2 "+*i
*=0
[cos [a—(x 4-26л) л/mJ)
[sin [a—(x 4'2Ал) n/m]J
m — 1
1 /sin [a— (x4- 2Ал) л/mD f I x4-2fat |\
m Zi (cos [а—(х4-2Ал) л/m]/ ( | 2m U"*'
k=o
«л-П/ml
+6(n_m) у ^-(*<«-^1
* ' jU km—лков/а—kx)f
k = i
^«>0; 0<х<2я; 6{n —=
728
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.4.3.
оо
у 1 [sin (£x4~fl)(
km — п [cos(4x4-«)f
4=0
т —1
“s? 21(2*~ т>я+11
4 = 0
(cos [а 4- (г2fen) п/тП
(sin [а+(х4~2Лп) п/т])
т— 1
1 V ряп [а4-(х4-2bi) nlm]\. Г„| . x4-2fat 1
т (cos[a4-(x4-2fai) njm\] || 2т J"’"
k =o
[йЛп]
, v 1 fsin (Ах4-л)) . „ „ __ ,
+ 2 Б5=^са>(*Н-«М l*>* °<*<2я: ’• =• -J-
4 = 0
9.
(—l)fe fsin (Ax4*a)l
km 4- n (cos {kx 4- a)j
m—1
_ ±J V
— 2/n2
[(2£—m-J-l) я 4-*1
fe=-0
fcos [o—(х4-2йл4-л) л/тЦ
[sin [a—(x 4-24л, 4- л) n/m] j
m — 1
1 У (sin [a—(x4-2fai4-n) я/тП / | x4-(2fe4~l) Jt \
m (cos[a—tx4"2fen4-n)n/m]/ \ | 2m /
4 = 0
Rn —l)/m]
+8(„_m) у (=ам™(*-м)
km^-n\costa—kx)f
4=1
[m>0; -я<х<л; «(“-*) = { J; nJ™].
10. V (—0fe fsm (fex4-o))
km—n (cos (£x4-a)f
4 = 0
m—1
= £1 У [(2fc-m+l)«+xlf“sl“+(x+2fe,+“) “'“Ч -
2^2 7^ m+,'n^xJ(sjn[a4-(x4-2^+n)n//nJj
4 = 0
m — 1
___L V fsin fa4-(*4-2fot-M)n/mL j Л =8п|х-К2^4-1)я1\
m (cos (o4'(x4'2fere4-^) л/т]( \ I 2m /"**
fe=o
[n/m]
. V (—0* fsin(kx4-o)1 r . i
+ 7 < Y Г ;} [m>0; —я<х< л; n/mgtO, L 2» —1*
м km—n(cos(Ax4-a)J
4 = 0
OO
У1 f sin 1 . . fcos лх)
n—i *. ? —тг(я—•*){ - ? —
e-f-n (cosfexf 2 ' (sinnxf
4=1
я
sm^4- V —cosfex
2/ k
4 = 1 ,
[n = l, 2, 3. ...;0<*<2rtb
ft
ct 1 . . fcos nx] . fn
7 -5- sm kx < . 5-zt In 2
k (sin nxl (
'sinnXi
4=1
5.4.4.]
5.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
729
[л = 1, 2, 3, ...; —л<х<л].
ео
V * Jsin ЗД — — (cos — J®® (х/2 *)1 .
£ 2^4-1 (cos kxf ~ 4 (sin (x/2)/ (cos (x/2)] nc 4
fc = O
[0 < x < 2л].
oo
VI (—l)fe Jsin Ax)____1 jcos(x/2)). а7х4-л\_ л (sin (x/2))
2&4-1 (cos kx] i (sin (x/2)J n Cl* \ 4 J 4 (cos (x/2)J
k = 0
[—л<х< л].
_ . . V (± 0* (sin Ax)
5.4.4. Ряды вида 7 .. , .-/—;----r( . >.
(fe^t 4-^1) (Ал 2+^2) (cos Ax)
eo
. V 1 Jsfofex) «r. X (Sin (%/2R -Л-
& (fe+1) (cosfcr) — ) 2 (cos(x/2)(_
t —1
_ . x (cos (x/2)). /_ . x \ , (0)
±2sm2 U(x/2)}ln(’“jj + W
2.
(—l)fe (sin fex) _ v x jcos (x/2)|
k (k4-1) (coskx]~ X008 2 (sin (x/2)) ~~
±2«b|
'sn (x/2))
cos (x/2)/
ln(2cos
[— л <*<л].
k=l
fe=l
k=l
1 Jsin Ax)
A (A4^2) (cosAxj
== T 4- [ 14” (*—я) s® *1
*
sinx'
cosxl
1 fn • *\(cosx) . 1 (0)
sinxln 2 sin _ ( . ?4-^ nf
\ 2 J (sinx) 4 (1)
] fsin(A4~0x{
k (A4-1) [cos (A4-1) xf
x (cos (x/2)) . x
n-{ • / ,o;>ln{2sm a
2 (sin (x/2)J \ 2
(л—x) sin
£0<*<2л].
£ Jsin (x/2))
2 (cos (x/2)J
[0<х<2я].
(—1)* /sin (k +1) x) x^ Jcos (x/2))
fe (fe+1) lcos (*+ U XJ 2 csin (x/2)/
Sin xl— 2 cos — I8™ (x/2)l
cosxJ 2 (cos(x/2)/
ln(2cos-=-
[— л<*С л]-
730
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ГЛАВА ПЯТА». РЯДЫ
[5.4.5.
оо
V (—0* (sm£x) 1 ,, . v (sinx)
Z^ A(fe-[-2) (coskxj - 2 * ®“ X) {cosxj
[— X^X It].
oo
V 1 [sinhl 1 . x x (cosx)
Z (2A+1) (2A-f-3) (cosAxj 4 ЯП 2 lndg 4 (sinx)
ft=e
д re x J sin x) _ 1 (sin x|
4 2 [cosxj 2 (cosxj
V (—0* (sin Ax) 1 x . , sx4-
Zi (2A4-1) {2A-f-'3) (cos Ax) ~ 4 2 ° 4
fc =0
n x (smx) 1 (sinx
-cos-5< >±-k-<
4 2 (cosxj 2 [cosx]
tt a n Vj (0* (sin Ax)
5.4.5. Ряды вида / ~, }.
(A2 _t a2)m (cos kxj
OO
VI 1 cnc Ax— t ££ fch [(n—*) al cosech rea)_________ 1
>j ^±a2 — 2a (cos [(re—x) a] cosec rea / + 2a2
OO
2(—l)^-1 cogjkp 31 (ch ax cosech na)^ 1
fe2-|-a2 ’ 2a (cosax cosecna i
k = i
№<х<2л].
[0<r<2reJ.
[—re^x^rej.
OO
2 A2—a2COS^X=^
k= i
k^n
cosnx
4n2
(re—x) sin nx
2n
(0<л<2я1.
OO
Vt (—1)* , 11 X ЯП
2 ^Tcoste=2— 4MI-------2
k = 2
f— ге<х<я].
fe = i
k^n
cosech rea]
cosec rea 1
[Q<x<2rej«
Д><х<2я; д = 1. 2. 3. ..4-
OO
2 k 1 cosx , A . x’
^—-jCOsAx = —----------со8х1п(2апу
k = 2 V
[0 < x < 2Л1
Б.4.6.]
Б.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
731
2
Ь = 1
. , л (sh ах cosech ла]
smfex=—{ .
2 Ism ах cosec ла
ео
л V (—1)*£ • , sinx , xcosx
’• 2 !^=ГИПЬ'=-Г + —
Л = 2
СО
,0- 2 S^Icoefa:==_T-Tc“lIntgT
fe=l
[— ЛЛ*<Л].
[— я < х < я].
[О < X < 2Л].
1 я (cosech яа> Г (ch (л—x) a ’
2a* ”* 4a3 (cosec ла JI (cos (n—x) a
СО
11. 7 «к «» fex=
jLi (JPdta2)2
fc = 0
ю/Л(я-х)аП
|яп(л—x) of J ‘
яа (cosechЛА12jch ax'
* 4a2 (cosec ла J (cos ax
12.
2(iM^cosfai=
k = 0
1л (cosech ла'
2a* ' 4a3 (cosec ла
n2 (cosech ла (2 (ch (x4-*3i)aY
4a2 (cosec na J (cos(x-f я) a)
co
13. V a snfex—
X/ i^ + a2)2
k—l
___ л2 (sh ax ( (cosech ла)2 _ лх (ch (л—x) a cosech nd
* 4a (smaxj (cosecла J "*'4a (cos(n—x)a cosec ла
.. V (—IP* • t
I4- 7 ;2a . «па' smfe*=
, Хй (fe2 ± e2)2
I fc=l
I __ л4 (sh (х-]-я;) al (cosech ла|2„ л < Jchax cosech ла'
I b^4a (sin (x4-n)aj (cosec na j 4a (cos ax cosec л a
Z '—lr L jfe2-j-a2 J 3 ~\я) J 14-2ch(2 (sinaFJ
fc=i 0
« V (sin (2*4-1) x)
M.6. Ряды вида 2*‘V«0»+l)*r
t V 1 = 1 f®11 X1 f (I t
* Zi (*4-а)Ч«» (2fe+1) 4 Г (s) (cosxj J 1—2e-#cos2x4-^
A = 0 о
[Rea, Res>0].
732
ГЛАВА ПЯТАЯ- РЯДЫ
[6-4.6.
\i l jsin (2fc-|-1) х|_I Г \ |cos3xj \cosxf/
6s icos (26+0 xt Г (s) J —2^cos2x+l ~
k =1 о
LRes>6|.
oO
f (_n« п.2дН1 fx\ >
3* X (26+sm(2fe+I)Jf= 4^ji £2»(тг)
fe=O
р><х<я; rt—0. 1, 2, ...j.
> V (—1)* - rtUHl Н)^Я*Г /X, 1\
4’ (26+1)2* ®n^fe+ >* 4(2rt—I)! £~U + 2/
fe O
[—я/2<х<я/2; я=1. 2, 3,
2°° . 1 , .. (— 0я я2» „ [ x\
(26 +1)2« 005 <2*-Ь О X 4 (2« — 1)1 £ал~1 V я )
fe=0
[О<г<я; n=l, 2. 3, ...J.
* (2*+l)“« «•₽»+*) * 4(2л)1 Е”\я+2/
fe-0
(—я/2<г<я/% n = 0, 1. 2, ...].
7 V -JL_(A^+M_2LPl + lMiiicta«.£. B<«<^
'• Z 2*4-1 (Cos(24+1)xj 4 W+ 4 Ш 8 4 ,
fe — 0
у (-1)* (sin (26+1) x) л (0) 1 Л1 inctga/x+”\
L 26+1 (cos (26+1) xj~ 4 Ш 4 10J ,nCtg \ 4 /
fe=0
[—Я/2<х<Я/2].
OO X
’• 2т2Яйр-<*,<2*+1)х=-4
fc = O 0
oo
Ю. 2 (2*TipCO9(K+l>X=f(Я-2|Х1> (-«<«<♦
fe = o'
V (— 0* . ,n. . ,4 f «X/4 [—n/2<-c^rt/23«
“* 2. (26+ ip sm<2fe+,)x-{ я(я—x)/4 [яД<х<зя/Ч*
fe-0
<n я/2—x
,г-1 wfFcos(2*+,)*’=_4 J ,п"4л t-^x^
k=Q *0
г
”• 1 WFsin(2‘+,)x=T(n~|x|’
*=0
[-Л
5.4.6.]
6.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
733
14.
S (2&4-l)a сов(2й+1)ж 32 <я2
л=о
co
л/2 С х л/2].
15.
(2^+ 0 x~ ®n x—2 sin x In (2 sinx)
k=i
co
№ < х < л].
16.
sin (26 + l)x=sinx—2xcosx
[
л/2<х< л/2].
*=1
17.
сое (2k 4-1) х=cos х—л sin х+2х sin х
[0<х<л].
18.
19.
fe=i
со
2 ‘/^J]) сое(2fe4-l)x=cosx—2cosxIn(2cosx)
fc=i
00
2 (2fe—1)(2&4-3) ®n (2ft+ X== 8 8,0 2*
fc = O
co
2 ca-i)(2M-3) "^2х
k=0
л/2<*< л/2].
Л/2<х< л/2).
21
2 ₽Г?Т)У+зГ“<24+1)х=Т“821
*=0
оо
[0<хСя].
t
[0<х<л].
23.
24.
26.
1) (2Г+3) <”* С*+В х= ^cos 2*
2 C°e P*+1) x=^- arfx
fe=O
oo
fe=0
оо
л/2 С л/2].
Л/2<х<л/2].
—1 sinmni^fshaX sech (ал/2)'
(2&+1)2 ± а* ' ’ 4а (sin ах sec (ал/2) I
V 1 см (ЧЬ-L. п х== л Jsh (л-2х) а sech (ал/2)
(2Й4-1)2 zta2 ' ~ ' 4а (sin (л—2х) a sec (ал/2)
*=о
V 2fe+1 cin /9Ь_|_n (л-2х) « sech (ал/2)'
7 /о. » яп("+и2- 4 sec (ал/2) J
k = 0
я/2<х<л/2).
[0<х<я].
₽)<х<я].
734
27.
28.
29.
30.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
(5.4.7.
У ^±> cos («+1) X = 41Л ю
jU ' (2*4-1)2±аа 1 * 4 (cos ах sec (ал/2) /
fe = G
[— я/2 < г < Я/2].
у _______________I______________fan [(2* +1) x]l
Zj (*n4~*) (ka -J- b -j-1)... (*a4~* -f~ л) (cos [(2*4-1) x]J
л=о
1
1 [sinx] f + t<*\
“n! (cosxj J 1 —2/ecos2x-H2e Л [*, *>0; о<х<л].
0
yt (2*—1)!! pin [(2*4-1) x])____1 / sin [(2x4-л)/4]1 /sin xl
(2*)!! (cos [(2*4-1) x]J [Afsinx (cos [(2x4-л)/4] J (cosxj
[0<х<л].
Zf____|чЛ (2*—1)1! fsin [(2*4-1) xfl _ 1 /sin (x/2))______/cosx)
k=Ji^ ' (2*)!! Iе0®l)~Ffcosx (<»s(x/2)J (sinx/
[—Jtf2<x<K/2].
- . _ г» V 1 fsm*x)
5.4.7. Ряды вида 7 тг{
Zd*l (cos*xj
oo
у Jfsm*x'j ^совх /sin (sinx))
Zi *Г (cos kx) ~~ (cos (sin x)/’
jfe = 0
ОЭ
V (—o* fsin — — c— cosx pin (s>n x))
*1 (cos*x/ ** (cos (sinx)/’
fe=O
oo
yt 1 (sin *x1________/sm [ sm (x/2)] sh [cos (x/2)ft
(2*)! (cos kx) ~ (cos [sin (x/2)] ch [cos (x/2)]/’
k=0
oo
2(—0* /sin *x| __ /sin [cos (x/2)] sh [sin (x/2)])
(2*)1 (cos*xj *" (cos [cos (x/2)] ch [sin (x/2)]/’
fc=G
OO
yt 1 /sin *x] _ x /sin [sin (x/2)] ch [cos (x/2)]l —
Zj (2*4-1)! (cos kx) ~C0S 2 (cos[sin(x/2)]sh[cos(x/2)]/’b
fe = G
__ . x /cos [sin (x/2)] sh (cos (x/2)])
-ь sm g Ysin [sin (x/2)] ch [cos(x/2)]/
eo
Z(—1)* f sin *x( x fcos [cos (x/2) ] sh [ sin (x/2)]/ _
(2*4-1)! (coskx) “C0S 2 (sin[cos (x/2)] ch [sm (x/2)]/ 4“
fe=0
__ . x /sin [cos (x/2)] ch [sin (x/2)]]
ЯП 2 (cos [cos (x/2)] sh [sin (x/2)]J
5 4.8.]
G.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
73$
5.4.8. Ряды вида У ак /ЯП
X (cos (4x4-a) J
ОО
। VI __________1______(аш4х|_
X k (44~1) (44-2) (cos4xj ~
k = i
1 Z1 ЧГ_ (sinx) . ,n _ .. . fcosx)! , 3 fO] 1 (sinx)
= -x-(l —cosx) >1п(2 —2собх)ч-(л—x)< . . >
2 v 'L (cosx/ ' ' ' ' (sinxjj 1 4 (1J 2 (cosxj
[0<х<2л|.
n Vt (—lp (sin kx\
k (4 4-1) (£4-2) (cos 4xJ
k~ 1
1 (cosx) (sinx), .n , _ Я , 3 f 0) 1 (sinx)
= ~7Г (I 4-COS x) -4- X < . > it < Hn (24-2 COS x) 4- -J- < . { >
2 ' 1 '[ (smx) (cosxj ' J 4 (1J 2 (cosxj
t—n<X<Jt].
co
3 VI _________________1________________Jsin (4x4-a)) _
X (kr-^-Ь) (fer4-&+1) (4r+^4-n) (cos(fac4~e)j
, fc==о
0
. у _______________(—0fe___________ (sin (4x4~o)J _
X (4r4~&) (4r 4-4'4-1) ... (Zer4-fr4-n) (co8(fcx+«>J —
4 = 0
1
__ 1 С (1—Г/sin a J _ Jsin (x—e)F|
n! J 14-2/r cosx-H2*- [(cos af (cos (x—a)J J c, 6> ].
!®<х<2л].
eo
a V / 1)M «. (n x -
6* (2Л)!! C0SfeX=( 2/
4=1
[—»<х<я].
7 V K2fe)H2 (sin (2£4-1/2) x) 1 (K [sin (x/2)])
(n!)< 2** (cos (2k 4-1/2) xj л IK [cos (x/2)]J
k 0
[0<x<»t].
У (2k)l (2k 4-1) I (sin (24+3/2) x) __
Xi (4’)3 (k 4-1)! 2** [cos (24 4- 3/2) xj
t —о
___4 (E [sin (x/2)]/ _ 2 (K [sin (х/2)П
~ ~ л (K [cos (x/2)]J n (E [cos (x/2)]j
[0<х<я].
736
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
(5.4.9.
fe' (V)fc
k = 0
fan (n+v-|-2fe—l)x|
£os(|i-(~v-|-2fe — l)xj
r(v)«±,y2
2r(|i+v~l)
(2 sin x)l/2^*
pvZl/l («»*)!
2^Z,^(a)sr)|
Р<х<я].
10.
y(2fe-b2m)t (64-от+я)1 (^4-n4-l)-
_ if (fe+m)! (2k+2n 4-2)1
fe = O
=2^^to x)-MQjn (cos [0<r<rt; m. я=0, 1. 2. ...J.
11.
sin kz ____ л Г
fe*-|-4a2 ~ 16a4 l
ch ax cos а (я—x) -f-cos ax ch а (я—x)
ch ял+cos яа
(О^х^я].
12. V coate-
k — 1
— fcos (x/2) I
“ Г (2v +1) tsin (x/2) J
1
2ra(v-bl)
[Rev>- ’
V *
f— я<г<я)1
I 0<х<2л Jf
V _____________( « 0*__________(sin (2k 4-1) xl
£ Г (v -H+3/2) Г (v -fe+1/2) (cos (2k+1) xj
fc= 0
____22V^ fsinxyv [Rev>_l.f 0<г<я ц
Г (2v 4-1) (cos xf L 2 ’ 1-л/2<г<л/2)Г
5.4.9. Ряды вида У——, %.
Лл (k 4- а)л (cos kx)
Условие* | г | < 1.
OO
•• 2 {* to} - l{'i} I® ^x- T ’• “>1-
k= 0
m^&j/ .'fStn A (OH
OO OO/>—1 f gf/ j f I >1
2 V P’n — r f \ lcf,s xf ( U /
fcZ» ks (cos fex) Г (s)0' 1 2re^ cos x 4-
[jc:jE:O, Res>0] или [jxl^O, Re»>ll-
ot>
« V fs*n £x) .. _ , «_.Г (smx) , 10)1
3. У r* ! , > =(1 — 2rcosx4-ra)-4 Jzr { ? + {.?!•
(cosfcxj ' L Icosxl (111
fe = o
OO
Л-9
• k = 0
5 4.0.1
6 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
737
о»
_ V .ь(яп*х) r fzt .-Jsnx) • (ОН
r (cosfexf“(I — 2rcosr4-r2)J|_ {cosx} <cos'^(i}j*
k— i
GO
у r* J8®1 M, _________
JU fan-h” Icoefexf
fc—0
1
_ t 1 у (cos [Л (x+2*л)/fflll arctg sin (fr-Ь 2&я)/ж1 *v
e“mr®/m |sin[«(x4-2fci>/mjf a щ 1 —/1/я,соэ{(х4-2Ы)/тГ'"
fe =o
{ m - <
1 У (ып (й (x+?foi)/mn f _
~ 2mrnlm 2 |сов|л(х+2*л)/ту \
к «9 *
1 _ 2,l/« сад 4-
m j
/ f
((e-lVwl *
т«(л-т) У
к — i
' ($(n—«>=»! при л>т, 6(л—m)=0 при я^т. т>0; 0<х<2я].
во
у г* (sin feci _______
Хы fen—«Icosfecj
fe-U
fn}M ”y ’ (cos (Mx+2bi)/nm arcte A” sin [(x+2fei)/nfl ~
* a 2 tsin(n(x4-2fec)/mlf g 1 — z1/?rtcosi(x4-2fei)//wj
fe =o
1Я * I *
z«/m « zsin[rt(x4-2fec)/mh »n/i_9fV«rnRfi^ i.
Zi iael«(x+2>b)/ml/ “V m + Л
fe^O ,
fn/mt __ w
j- V - * - fS’n 4 (я/m^LO, 1. 2, ...; m>0;
” 2L fen—n Icos kxj
l k=0 /
у (—0*rk
km
k = 0
ao
sin^ri у r* (sin* (x 4- n)i
cos kxj ~ km t n (cos k (x-j- n>J
fe=o
-у (t l)*r*
2л k+n
b = l
rn — 1
( b l)fe V ( * l)'1*1 r« *
sin kx—-^ 2 ------------------------
Lfe I
sin kx-f-
. t sin x 1
4-cos nx arctg - ± „
- X " I » too
sin nx in (1 + 2r cosx4-r2)J.
(»l>ft — я<ж<я].
Г* . (±i)«
-CO8*X=—
n
11
fe=l \
•;сов(£—l)x-p
fe = i
Ч-sin nx arctg , jSS*n * ; ^ 4 cosnx In (1 т 2rcosx4-r2)l.
I —$— r COS X X- , I
738
12.
13.
14.
15.
16.
17.
1.
♦
2.
3.
4.
5.
ГЛАВА ПЯТАЯ- РЯДЫ
15.4. ГО.
оо
V fk • . / fSHix \
7 .sm Лх= arctg 1 т- •—____г ).
k г cosxj
k=i
СО
r^coskx——2 in (1 — 2rcosx4-r2). f
л = 1 —
V f2fe l /яп fet) , * х farctgf 2r fsin (x/2))TV __
Zi 2^4-1 jcosw “ 2 008 2 (Arthl 1 + r2 (coszx/2)j 11
_ 1 . x Mrth Г 2r (cos (x/2)) 1)
4 2 S,n 2 (arctg(sin (x/2)JJj‘
у (— 1)* r3fcH Jsin kx\ _ 1 x (Arth Г 2r Jsin (x/2)]1) __
2^4-1 (cqs fexj — 2 008 2 (arctg (1 <- r* (cos (x/2)f ]J
Л4= O
‘ 1 sin x farctgr 2f faMx/SQ
2 2 (Arth Ц -i (sm (x/2)JJJ*
Zr“*H Jsin (2&4-1)x|________1 Г 2г Jsinill
2k 4-1 (cos (2k 4-1) xj 2 аГС & |J + r2 (cos xf j’ " *Z ,
V (—l)fe<2*" Jsin (2^4- Dx) 1 hr rir Г 2r Jsin 41 - ’
Z 2^4“ 1 (cos (2k 4-1) xj 2* r2 (cos x] j*
fe-0 ‘ r-
OO
у г* Jsin (£х4-яЦ _ r cos x Jan (r sin хЦ- a)
k\ (cos (kx 4- a)J ~ (cos (r sin x 4- a)j
V y2* fs,n *4 — Is*1 cos (*^)1s,n s,n
(2£)! (cos kx] ~ (ch [r cos (x/2)J cos [r sin (x/2)]j *
J?=o
00
v (~o*f2fe j8*® *4—_ ^2^ cos
Za (2£)! (cos AxJ ~ 4 (ch [r sin (x/2)J cos |r cos (x/2)]J ’
л^о
у r2fe+1 Jsin^xJ________Jch (rcos (х/2Ц sm [/ sin (х/2Ш x_
Л (2fc4~ 1)! (cos fexf ~ (sh [r cos (x/2)] cos [r sin (x/2)]J 006 2 **"
ч
sh [r a» (x/2)] cos [r sin (x/2)D sjn
ch (r cos (x/2)] sin [r sin (x/2)]J
x
2'
CO
у (—l)fe r2fe+l f sin fet) _T sh [r smXx/2)] cos [r cos (x/2) Д x _ .
Z, (2^ 4- /)! (cos AxJ “ [di [r sinJx/2)] sin (r cos (x/2) J J C°S 2
k— о
. Jch [r sin (x/2)] sin |r cos (x/2)]( gin £
4 (sh [r sin (x/2)] cos [r cos (x/2)] J 2
6.4.12.]
5 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
739
оо
Vt г1 2 ***1 (sin (2fc4-l)x| (sm (г sinx) ch (гcosx))
Zi (2&+1)! (cos (2&4-1) xj (cos (r sinx) sh (r cosx)J ‘
7.
'sin (2£-f-1) x| _ Jcos (r cos x) sh (r sin x)l
cos (2^4-1) xf ~ (sin (r cos x) ch (r sin x)J ’
У ZL (*• **) _ 1 exp p- cos л) “ W»)h
£Q(nk)l\coskxj n «/Icosp^sinfx/n)])
A11ex₽ (—rl/n C08
x \ (sin [Л« sin (x/n)Ji
n / (cos [г1/л sin (x/n)p
/ 1/я 2Лл T x
e^p Ir' cos-----------—
.[ Un 2fer4-x\
sm {r ' sin------!—
\ n 1
/ iin .... 2^л-I-x\
cos I r ' sm-----!—
\ n ]
_ t un 2kn—x
чГ exp I r4 * cos —-—
10.
Z*° |sm(2fc-H)x)
#(£4-1)! (cos (2*4-1) xj
= 4 {I } l/i (2r<ri*> * 7i (2^*)].
I.
5.4.11. Ряды вида
Условие: | q | с Г.
оо
fe^-Q
2 ’ fa (х, «)Г
2“ (])*r2*+l
* = 0
1*1-11
2.
оо
*=0
UMx/2, <7П
2 к(х/2, ?)/
5.4.12. Ряды вида Va^rka/ЯП
(cosfcxj
СО
1. V (Jit)*е~ка sin kx=----
„ 2 cos х + ch a
fe = l /
OO I
2. У (jLl)*g-4c08fex«4 E Ag ‘---------4
> 2 ch a T cos x 2
k = 1
олй
740
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.4.11.
со
а. У Sin(2fe + l)x=-s^. W-
uu ' ch 2u 4 cos 2х (sh af
fe = 0
OO
4. У (t <» cos (2fe+1) x^ . , C?—и- Г? °)-
JU ch 2a T cos 2x I ch a J
k=o
aa
к ¥(*•)* м • * sinx
5. 7 e-ftd sm4x=—arctg---------—
k i cosx^e®
fe = t
xx>
V (+1)^кл ,
У —e**a cos4x —
a — ~ In [2(cha + cosx)].
£ ш
eo
7 У fsin (244-0*1 1 . Г_1_pinxH
Z 244-1 (cos (24 4-1)4 2 8Lshakosxn*
fe=0
о V’ (-* 0* g-izk+u a JMn 0 *) _
2Jt-|-l (cos(244~ 1) xf ~
fe —0
1 . / . . (япх)\ 1 , f , (sinx)\
e==-7 In cha-H }l—r In I ch a—< }l.
4 \ \to5X)J 4 \ (cosxj/
- . г. V _ь fsin 4x1“
5.4.13. Ряды вида /aki*< s- .
|CQS KXj
• V r* f sin / X]2flI
* • ~L I I 4 e
ju k Icos 4x1
fe=l
m
2 (~1>‘',(т-л)1п(1“2гС“Ь+Г,>_^(^)1п<,_Г)
fe=l
fc-i <£<!].
co
2. V sin2«+14x=
fe = i
m
J_ У (- .pt^+nytte rrin(»+l)x
г2"» r\m—k) 81 reqs (24 4-1) X
3. У LL!)LLf?COS2«+i4Xs=
«u 4
fe=l
m
= :r 2^ 2 Гт- '1)1”11 +2ra»(24+l>*4-TaJ
fe=o'
[^-1 r < 1J-
6.4.I4J 5 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 741
(—I)*”1 г* fsin feci2”»_
k (cos kx] ~~
ft=l
= ak 2 (Tl)*(m2mfr)l»(l+2reoe2Jx+^+A.(^,)ln(l+r)
fe=‘l
OO [m/2] _
« У £(eto<?le>r=oi/"«2i--mi V jj^sUx
k\ lcos(fex-f-a)J ± k\{m—к)! •
*=0 fe=o
л П—(—
xexp [rcos(/n—2fe) xjcosfa sin [(/n—2fe)xH-(m—2fe)a—4 | q ||.
2anqa (pin nxi
। » qma (coswrl
GO
Обозначения: (fe), и—~я^** ^e~ | f
я - 0
Условия: |flr< 1, |fe}<21.
1- oo fc=u i Lr/r,j««dne»e 1 l-f-g» smznx _ 4^tgxj * 2я* 1(1— fe2) sn a nc a nd a J . (I Imx j<Re(—
2. » oo y, Л^л (H)»?” . o __ 1 (tgx) 1 v Jsn a dn a ne«¥ ]_£.(—* 4(ctgxJ““2n [cnand*ansujL [2 | Im x t < Re (—In «1-
3. oo (x, 9П1 d (r, 9H f [_Ч2Я ЙП 4 dv - [2| Imx|< Re(— ln$)]»
4. oo V (*1)Я9В о 1 if/мГ ^ПИ * 1 z 1 ~ - -cos2«r— — . }——- 2л U I—fesndttj 4 [2|Imr < Re(—lii^)|
5. GO / F |у» д2Л 1 [Ctg X) _ 1 „ _,v f , CS U Ъ А-..-У sin 2rtx=± } T К (fe) Г; > l-j-^2n 4 ItgxJ 2я (F l— fe2sc«)
Л —’i (> lm x, < R^ (— In q)
F 6. N43 zLnn9an I (Oj (x, q)]~! id (91 (X, q)\ _ 1 Jctgx) 1 —?2П S»n nx 4 dx 4 {[gxl
n=i { 12 ImV|<Re(—In?)].
7. co V —-*cos 2nx =» -^7Г К2 (fe) (1 —fe2 sn2 u)—5^y К (fe) E (fe) 1 — q*-n i xJt" лл-
n=l I [2| lmx,<Re(— In?)].
742
ГЛАВА ПЯТАЯ РЯДЫ
[5.4 14.
со
«• 2 О» 2«=^- (К (*) [К (t) - Е (А)| - nd и Д
л=1
[2|!Шх <Ref— Ing)].
со *( * t »
Xi па2п • I 1
«• 2t^COs2/!X=:8 cosec®x+ ^K(*){K(*)ll-ns8«F-E(W
«—1
[> Imx) < Reaping)],
oo '
л Qa 1** x **
,0‘ Sin2nX^ 2 amU— 2’ [2|Imx|<Ref-ing}].
n—1
11.
oo
2 n(i+«*)t”att~'2 ‘"(2 A*v‘cose(j<snu
я —1
[21 Im x, < Re (— 1» g)].
12.
OO 9
V (• 1)”<?я
cos2nx=
n—1
= lln/*“
2 lenu’
sin x
1 tateA”*)
[2| Im x | < Re (— In g)j.
co
13.
я—1
[2j Imx । < Ref— Ing)J.
14.
I
oo
Z n(l-9«) c°s2'“-$
tl -1
1 (In sin x—1п^(ж/л)Е*
2 Vncosjt“ In 2(а/л))
[ilm v(< Ref—Ing)].
15.
oo
\1П)1Я1йп(2л+1)х=
"’"M 2яУ« 1—«.ssda
M — 1
[2| Imx |< Ref—Ingfl.
OO
16.
V MCW, rcn«-
t^Q 1 -- Q2*1 1 2л!' q ted u!
imx; < Re In g)j«
CO
17 2-ГГ^Т8‘п<2п+1>х=±4и,8я:л‘т^К«{т^
n—1 '
[|Imx <Re(—
n—0
[21 ImxI< Ref— to4)1*
5.4 15-j
5.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
743
5.4.15. Ряды вида У, «fesin [ cosJ&gft.
00 к
1 у Jfel^Smfetsmta=llnPlt<x+y)/21cosec[(x-»)/21l*
• Zi к W 4 \cos[(x+y)/21sec[(x-y)/2]f
к—1
Г/х±^^О, 2л, 4rf, ...ЛТ
Ц-еХУ^л, Зл. 5«r...jj*
ОЭ
2. У ^-~~-coskxco&ky=— | In (4 (cos х^ cos,)2]
k l
2л, 4Л,
3.1, 5л
У £ sin kx cosky =^. (л—2,)/4,
А=1 (ft—x)/2,
0<x<jt,
x=y,
y<x<n
К><0<Я].
i * V 1 • A • *. / x(a—y)/2, — y^x^u,
4" 2 y^x^2a-y
fe=i
'»5. •- sn kxsinky-~-
*=1
_ v 1 fc К 1 / 3^4-3 (у—л)2—я*
6- -^coskxcmky— 12 | 3^+3(X_Я)2^Я2э
fe—1
O^x^y,
y^x^a
V»
V (-0*
<o&kx:cB^ky=-^
3(x2-bj^)-ryc\ — (л—y)^x^a-^y,
3 (r—Л)2 —л)3—rtV-n—y^x^a^y
Ю<у<л].
» GO
'8. У Axcos^=S“(«2—x3 —3г/2)
: «=i
_ V • Ь • А. 1 1 4gsin3 [(хЧ-у)/2}4-(а— I)2
®- 2i ТЯПЬСЯП^~ 4 1П 4osin2Kx-y)/2H-(a-l)a
fe=i
[|х±«Н<я]-
♦
[0<а<1].
у -LLUigL^nfecsin^^lln М(х-Н)/2, yl
Z £(1-<?2‘) * 4 1П % [(х-у)/2, </]
к=1
И
ОО
2(±l)*g2* . fc . <
k^l
_ 1 ь М(х+Й/2» <71
- 4 1П 0, [(х-^/2, .у]
*1 . fsin [(t+V)/21 со3601(*~*₽)/2П
4 W( cos[(x-]-y)/2]sec[(x—y)/2] f
Г1=Ш; |lmx| + |lmy(<— | Reln?j.
744
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5.4.15.
12.
оо
V 1 sin #хйп2&/ =
( л/4,‘ 0<Zx<2y,
I 0, 2y с x с л
[0<х; £<л].
СО
-т^ sin ky sm ky coskz=
K>
fc=l
{2 (л—y)xt 0<x<zy—z,
(x4-y—z)a—2xy. y — z<x<y+z,
2 («—x)y, y-j-z<x<n
V (—I)*"1 - . . t, . , xyz
14. 7 3—s— an яп ty s,n &z=--x-“-
к3 z
fe=i
[Точка (x. y, ?> лежит ввутра многогранвика |*Ц-|р1+|2|<л).
СО
V 1 . . *. лх
15. 7 vy sm2fex sxn2ky^ ^
fe=i
Ю^*С^Сл/2).
со
1 "АГ. • а . ЛХ
16. У sin*kx ЯП4ky—-^-
ашЛ It? ®
fe-=l
[0<з<р<л/2].
[O^jf + 2*. ^л].
со
17. V sin* kx sin3 ky=~^-.
Й=1
eo [(л —i)/2J
*«• 1 <-,)i(Z)4(',~2*>£]-
fe^l k^O
[0<х<2л прв л—1; 0<Сх^2л/л прв «>>[•
w. £-Ц^яп«+*»&с=^~6да,.
fe=i
[|Х|<Л/(2п»-|-й); Л=1,2, 3, —t
<n n 4 2m n
jfe=l /-1 1-1
r n «+2m
|я>1; У при m=0; V при tn>°
L »=i ' i=l
। 5 4.16) 5.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 745
; 5.4.16. Разные ряды, содержащие тригонометрические
'функции. ,'е
со
1. V Зьйп3-Л- = ~ (х— sinx).
J» 4
fe=l
CO
2. У 22* sin* -Л-=x2 — sin3 x.
fc—1
00 > 2fe » *
о V f I Г * тл \ ь х(12—х)
* 2 Н”ж1=^
k =-l \»l —1 /
co
4. V cos3 3*a:= cosx.
U 3* 4
k=\
co
«• 2S'!:^'C<,S,2‘X=’^_‘4COS“2<!’
fe=l
«- V - 2 W*
k —1
fl* I <4].
{—л/3<х<л/Э}.
_ V 2frcos*x , / л\*
7. 2 t.-•”ь=(»--г)
t—1
co 2fe
* V l|COS'2^r=23=T1,+(_1)'22'1'
jm LI ллт’ «j
fe=»j 1
(Л/3 < t < 2л/3].
€O
,0- 2 2^SeC2 2X* ==C°Sec2X~^*
fc=l
co
11. У (_t iy* cosec (nx+a)=± К (k)
Д&—00
[* =—1ЛК' (fc)/K (ft), a = IK' (fe) -* 2aK (feRJi; j Im (u/K (fe)) | < Re (K' (fe)/K <*>»•
a»
fe—Ц
_______y1 ^2)(T^^2)(^ 1)»*ЯдлЯдд_гт
I(72A-l)[l+(K2-l)2eJ"0 (2fe)l(2rt~2fe+2)l 1
' la«l. 2. 3. —J.
\
74&
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
[5 5.1.
13.
fe=l
м- 1 ^*8-^ = 4-^
k=о
оо
« 2 72^ТТр‘8^Г1яГ5=€(3“2^)-
fe = Q .
ОО
,6- 2 23rtg,^=cosec2j:-7i - 3 -
k~0
л (34-х)
(1+4а
(I vj< П-
оо
18. 2 (-1)*с‘8('*+«)=-^-К(»)<1п<«
[см условие к 5.4.16 11].
Я»
оо Sfe
»• 2 ibwr=-:-*•
k - I Пс— 1
H ;
21.
OO
Z1 , , kn я (
2^+T“ 2 {
k -1
- l/(2«4-l),
x кратно 2n/(2«4-l),
x не Kparnio|2|/(2/f 4-
[m—целая часть (2л-£ 1)т/(2л); n^l-, 0<лг<2гг].
5.5. РЯДЫ С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ОБРАТНЫМИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
5.5.1. Ряды вида У] ak Inb^.
1. 2 ;ylnto=Us)lna-4'(s).
fe=i
oo
2 lnk=2^-st (s)In 24-(l —21-s) (s).
t’ -i
3. V lnAi=Cln2--l^. 4. У -Ир In k =0.096615*
k 2 *4-1
k=l k=2
5.51 |
6 5 ЛОГАРИФМ. И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИИ ФУНКЦИИ
747
оо
k = 0 '
оо eo
6. V frJ?-ln(2fe4~l)a= —-* f to/sech tdt.
4 • , 4 4 J
fe — O 0
oo oo
7. 2 fen-ln [(»+4—2* ( T"ch^<
k~0 1
oo 1
*• S jx‘ln(*+i)-------( |п(т~т)т£7
4Ы к J \ »—* / “*»
fe-H 0 .»i- . .
BxKIJ.
» 1Р*Ж--Ч4г,_'и’|"(1+^
t л = 1 г . * . . ?
10.
11.
’ t
12.
13.
n
t, I
00
I
1П-? + j -i»-0(1-xO»-^7
i ’
1
У M+*-ipln*±« _.+ С(/л_/»)(1_ж0-я *
AU \ k * 1 8~t-b , О J t in Г
fe-1 I 0
OO 1 ’
у г<*+«) |п(Л + 1)=Г(а) f (1-0-^-^-
fc l 0
«М»
[ess-1].
/
2(2fc-l)B
kt 2* (2fe+1)
fe--0
arccos/ _
—j—-—at.
In/
14.
(-П*
V2k+1
In (2k +1) =— (л —X—2 to 2л)
8
ln(H-l)«= £ 1П 9
* M
co
15- У f®-ln-^-\=Ca+lnr(a + l).
\« « /
fe^=i
oo
16. У ( у — to “у—j = 1° cosec лл).
^#-0 1
OO \
V\ . ь-^/л . ЛЧ-л\ •> / 2 . ал\
A—Ufc!1 д—In T ) = ln( — tg-^-L
Д V* « / \raz2 ]
k——oo \
k^O \
A
748
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
28.
28.
27.
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
(5.5.1.
оо
V
I ~ ln^V+tI )~C+111 <°+ 1)’
{ 1 . £4-в-Н \ .
* Ж - In («),
во
V Г. /ь . .4» 2*4-31 I
2 Г ^ + ,),П2НТ1 2
*=о
(In 2-1).
(О
V (2-(2*+2»+1>|ta ia 231+<2а~ о1п а~21пГ (а)-2а.
fc=e
во
2 <Л ‘^[^-a+l 1п <»-“+ »» * 2fe-i- o 4-1 С*+а+ »«1 “
к=0 J
% ' « ?г*4
«gOna-Q^^l-l (In hictgtg-^jdL
<»
У | sm£xln£a=-
fc=i
1 . . a \ , я , I I . x ,
== ь (*—Я)‘С—In - 4- In sm л -j-л kil l 7^—1
2' \ 2.1/ 2 |я 2‘ \2л/
[0<«<2я].
V —kx In Aa—
k 2
fe=i
C-ln
в \
2л) +
1(л-х)/(2л)1
(— я<л.<я].
л
2
oo
У ofrVi S” (2*+,)xln(2*4-l)a=
Ллт *
k^O
=:(|я^-с+,п‘«2-2Ь1Г[(я1/ЭТ)
OO
у sin (2*4-1)х1п-г^-|-==~с05х-|-[ф( X VfC4-ln2«] sin x
i~ * A L к / I
л=о
[0<х<яЬ
5.5.2.) 55 ЛОГАРИФМ. И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИИ. ФУНКЦИИ
749
5.5.2. Ряды вида ak arctg bk.
oo ' сю
• V (—. л , я f 1 . tn j.
1. j 7 arctg 4a= — Q + 9 I cosech — dt.
1
co
л V / nt . « 1 *. ! . «31 \
2. 2 (~l)*«dg 2fe+r= 2 ardg Г T/-
’ “ Г /
3. X гМт-У” ~£^b argrcfr+ia)
fc = 0
[b + ia^tO, —l, —1
4 V (t- 1U Lrcte ( -a \ - *1 - J arcfe <th fl3b ctg bn) I - arete *
^\k-j~b) fej (arctg (sh ал cosec bn)f ® h'
k — ~oa
{^Q
5.
OO
2 <i>)‘ arctg +^_^ = arctg
k I
a ( arcts? (th ал ctg bn) ’
b (arctg (sh an cosec bn)t
co
_ хт a .a
6. 2, arctS й2+(2^+ 1) £+«2-b**+* “ *ctg b *
* = o
oo
7- 2 (_,)*arctg^TT^^arGt8a“n*
к— 1
oo
e. 2 arctg ^-^-^arctg^
4 = 1
9-
у , (»+2ft+l>o “
Z. * *> arC*B*>+(2»+l)*+»a+»—o1 8 ь
4=0
,o- i а^+аИ-Л^Ь>^°”8(Г (t»+ta)r (О-с+1-оЦ.
k= I
n. 2 (t«),a,c‘g ±”{t}’
4=1
co
CO
•3- У lgM-
4 = 0
ГЛАВА ПЯТАЯ. РЯДЫ
М. 2 <-')*"ctg^^=arctg(sh
fe ~0
оэ
l5- S <2^+ 0 arct£ (25ГП)2=4n arctg 0r'”t).
00
16. (—ly* arctg qa+1,i — -|- arcsin k
fe —0
L I К (fe) J J
*
5.6. КРАТНЫЕ РЯДЫ
ao oo oo oo
2 2w=ln2- * 2 2?тё?=гЬ’
fe = 2/-l fe=2/^2
oo oo
* = n = i
oo oo
2 2
fe = O/_0
oo oo oo
V V V <^+<+m)t Wm 1
Lt it Li «им- ' i-зх
fc=O I —Gm —0
(— К лК I/2].
*
(— i<xxJ/3J.
oo oo ,
У V 1
30
fc^l/=l
co oo
Ж у У_______!___=_!^
Zi Zfe6(fe2+^) 28350
k=H^i
11.
oo oo
22 (2fe+lH l(2fe+l)2+(2/ + l)2]
я*
Г2*
5 6. КРАТНЫЕ РЯДЫ
751
12.
ео оо
fe = 0/ = 0
______________1________________7л»
(244- !)• [(244-1)24-(2/4- О2] “ 23040*
со со
13. У уЛ1Л_«
Z Z (/34-4а)г 4 •
* = i z== I
14 V V (2/-Q*-(24-l)* я
' Z 1(2/—1)а4~(24—1)2J3~ 16“
fe= 1 I = 1
oo oo
V v (2I-1P-(2»F I Г. . I „/I'J
,s’ Z Z [<2Z—l)»4-(2*)8J2 1б|_ +
k = 1 I = 1
16.
v V (2/)»—(2k— ip
z z [(2/)24"(24—l)2]3
k — 11= i
re
/ 1 \1
W/J
OO OO 1 •> 4 к
,7- 2 2 (a)<^W' x>y-F»<a- ₽. r, x.»)
tl*l. Ilf|<IK
e
co co j ( fl
fe = 0/ = 0
14 V V («МаЪФЫИ/Ц-г /« «' ft A' w г ,л * *
,9- 2 2 (тйТ4Й! = a . ₽. 0 . r. x. y)
0Z=-0
(I x'll <!<!].
CO CO « i
»• 2 2a(7P«?!/=f‘(“' *7’:x-0 {1^1+w<'i*
k~Q 1 = 0 ' t g
Другие ряды вида (17)—(20> см. г [1), т. 1, стр. 219. •
СО 00
2|-2 н
fc-_ u = o * ’
22.
со сп
/44-/-1\/44-*-1\ W , j
\ 4 )\ I )k+l-}*
1 _ л2«
4|4^...43-(2/14-01’
х—у—К1 — 2 (х4-!/)+(*—И*
I '
f
(—1)^1 +*2+ ••• + *„ fe fc *
_____ .. . -- — - - - х» • х^я =•
kxlk^l ...4П!Г (4i4’424--"4-4n4-v4* О
= (xi-|-x2+...4-x/i)-v 4 Jv(2/xi4-**4-«..4-Xh)-
J
Глава 6. ПРОИЗВЕДЕНИЯ
6.1. КОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
6.1.1. Степенная и алгебраические функции.
Л
I. К (4+<1)5=((а+1).р.
fe-1
3.
fe— t
2. [ [ #=(n!)s.
k — i
k+b) (6-М)д •
€
n
8- П(,-^)=й'(,+в)’<!-в)»-
fe--l '
й[‘-^]-к:).гсг).т-
A- l
a2
Й2 h+-—)•
’ 11 /^4-1 3 V л2+я/
fe -2
П П 1
6.1.2. Тригонометрические функции.
n — 1
। П /яп '«)П =2i-« /s,n nx 1
* I I (cos (x 4- (Ал/я)]) (sin [n(2x4-n)/2JJ*
k a
2. |^| an ~=2l~an.
fez=l
6.2.1. J
6 2 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
753
«Л-МЧ
3.
Прял £4,! ар»1/а ]
\сов (ЫЩ * { i+(-!)« „1/2 . 1 -(-!)«
fe = i (—2-------n +------2----J
n — i
| | pin (x 4- 2nfc/n() / 2u-n Jcos I” С2*—л)/21 — cos (лл
11 (cos[x+2xk/ntf r (—cos(ил/2)4-cosnx
М» - D/2]
5 IT Jsm({2fc4-D«/(2»)n Ml-Bi/efl •¥
* II Vos((2*4-„1/2.1+(-l)"F
ft_o J g n +-------2--J
2/i-l
в. || сов^=2>-“[(-|)»-Ц. ’• '
к — 1
п — I
7. | | la2—2a6cosfx4"~~^+^2l=e2n—2eeHcos*W4-i>2e<
*~gl
о 1 f » a «ft , О2®—I
8. I I 2»eos---Ь И — —5—r*
1.1 \ n ' }
к- i
л 11 / a о . A a2® '1 —1 ! ,
t
Ь.2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ . ‘
6.2.1. Степенная и алгебраические функция.
OS оо
ИНН- UK'-ib"-
ft- 1 ft—2
GQ
»• ||[1-К-1)*^] = 2-й>^«г ^Д&+2)/2, ^_a4_t)/2]- *
k - i
k = 1
•; | | Г1—_fl8 L- Г P + 1’ *-M Г
HL (fc-wl LH-e+l, Н1Г
k— I
II li _____________1 {sh ла)
|| \ — ft2 / ~ ла \sm ла)
fc--t
OO
’•11
fe = 2
754
8.
10.
II.
12.
13.
14.
15.
18.
17.
18.
19.
20.
21.
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ПРОИЗВЕДЕНИЯ
16.2.1.
со
. t fl8 1 __ Ich (ла/2) 1
I)2 J— icos (я^/2)/’
oo
oo
— = 1 — cosec8 я& (sh V
(ft4"»rJ (sin naj
k = — oo
oo
a
k 4-&
oo
fc=i
k—bj
sin л cosec ла.
oo
1 \ 1
Зя
яКз
2
fe =
oo
k=l
sin ла „ Г b, c I
я L6+1C+2'J $ S
oo
a Lo->n?M
4-1/ ла
TT *(t+a+W Rfc .
IJ (*+«)(*+₽) = 5+5
oo
Joi, —-1» —*2,
oo
Л*
*=o
1 fch }л2 ла—cos
2л2а2 (2 sin ла sh ла
(2^4-D<
k
A = 1
a
a
*
»
1
i
ao
Ш1+__________’____lh______L__U 16nf5
^ (4£-l)2—1 |L • (4£4-n*J я2 \4
А, —I
>
t
ro
II
k= 1
= —’-TT____!___
\ kn) & JLI г (— a**)
2Л1/Я; П=2|Х ♦. .. I»
ПГ1 (~n* 1- 1 fnY”+1ir г
[ (2fc4-l)2«^J 2(2л)!\2/ 2и1‘
Jk = l
6.2,2.}
6.2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
755
(Я'21
= srpftS <2 *• ех₽ (21Ш cos " )U [1 -2«t сев (*+Р,)+“И’/*Х
Л=1
хр-^иЦ-^+ЧР
(Q<6< 1; aft=ехр (— 2ла sin [(2fe — 1) л/n]), р*=2ла cos[(2& — 1) л/п]|.
s \ Г(а+1)
a>
«• ПОЧ )*(>+;-Г=г<>+,>-
fe=l
6.2.2. Произведения, содержащие (1±хя)т,
Обозначение: х=ехр [— лК' (k)/K (fe)], 0 < fe2 < 1.
со
ПГ 4 liXti
(1 — J^)= - Л (1 - fe2) К6 (fe)
П = 1
°° ' ’ L
2. | J (1 +«»)«= *- r~1/2fe1/2 (1 -fe2)1^.
Л = 1
со *
3. Р( (I —x«)»=*4jr3jrMfe1/2( 1 —fe2) К3 (fe).
n~=i
со
« X)L=O.
п — 1
со
5. | | (14-x^)e= ’ x‘1/2fe(l—fe2)'1'4.
n = l
£
A
». | [ (I— х“)»=2п-’х^1/24(1— f)12K»(t).
CO *
7. ] [ (l+x2»+i)e=2xl'4fe-1/2(l-fe2)-l/a.
n —0
8. ] J (1 —x2n+1)e=2x,/*fe“V8 (1 —fe2)1/a.
»=1
r
756
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[6-2.3.
ОО
9.
1У (1+ах2«+х*«) =
П = 1
- x~l/e (2Л)1/3 (1 — fe2)178 X
Xcosec arccos f— К(k)fij arccos^- х]Цв» (6, x)|6 J*.
= (16хАг2)-1/6 (1 — A2)"1/12 sec f* arccos « Va (1 «coos £ , x j V (0, x).
10. П (* +«2Я+Х + х*«+2)г=
n=0
= (1 • ,Lf(i x).
\ * £ /
e2V«xV»2r1/e(l-fe2)-1>«e4riarccos(-^V xlsr‘(O, x).
L “ \ ^ / I
И- (14-x^) (1 —x"+1)=(^)1/2x*1/,e[feK(fe)J,/2.
n=0 ’ ’ '
12. JJ (1 -x)2* (14-xa^1P== 64 (0r x).
k= i
co
li II* и- П ^=’.(0. xx
«=0 n=J
'S. ]J - ba»)-**-W^K WF’.
n~ 1 y
л = 1
I
60
<7- JI (т^УЦх-"‘*1'’(>-*>-’'*•
K.JL / £
n— 1
l8-|I(iiE^I)1=^x-v*p'»K(<!).
ft = l
co co
«IKiSS.H'”- -•Шйет'-'1-""’-
fi=i n—0
6.2.3. Показательная функция.
i. IId+^)=bZi
fr = O
6 2 4.]
6 2 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
757
оо
2. || (1 * (1 4-ctha)
k = l
fe=i *=2
4. fj (1-г-2я^^)=:31/‘е-л1Лз/18.
<
оо * - , " , * «
5. Л (14-^<2*п>Я| —2,/4г'Л/и.
*-=о
со
*• П«”
(г--<
7 Ilf ы •-»/(*+*> — _ИЙЕ_
JU\ +H-frr Г (а4-^)
fe = O
оэ
*> IF ЛЦл^+ЭДвовеслЬ
k — —«о
9. 11 Л ? V *в/* = — sm зш»
II \ k} яа
fc = — ОО
k / о
”• II ('-2^)'"“««У-
k-----со
6.2.4. Тригонометрические функция,
со
1. 11 MJC 2 = 8>70003663.
к = „
ОО
2- || +1)^^=0.18055054.
к
* Ц('-^)^^=».®885^-
к- i
*• П-2^ "J"<“
к — <
^11/. 4.,х\япх ।
fe-i
р
> *
Приложение ]. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА *
I. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ « :
* 1г #
1. Некоторые соотношения. *
sin Х = — Sin (— х) = У 1 —COS2 X — » у/ | (1—cos ЭД = I \
_9 _е^е~1Х
\2 4J l+tg2(x/2) ~ 2i •
--------j 4
cosx=cos(—x)=±V\ — sm2 х~j J/ (14-cos2x) = *
о . x i 1 —tg2(x/2) е™А-е-‘х
2.^ 2 ~ TpFW ” I’P77-’
* *.^z \ smx , —s-----r sin2x
tgx=— tg (— x)=---= ± V sec2 X— 1 = T—:-=
cosx 14~cos2x
__1 —cos2x __ i Л1—cos2x 2tg(x/2)
sin2x ~~ ~ r l+c<s2x~ 1—tg2 (x/2)
Ctg X== — ctg (— x) — = ± F COS C2X—1 = =
* ' sin x ' sm 2x
— sm 2x _ b t+cos2x _ 1—tg2 (X/2) _. e^f
1— cos2x ~ ~~ у 1— cos2x~" 2tg(x/2) ~1 е*'—е~‘х
sec x=sec (—x) ~---
cosx
l+tg2(x/2) *
l-tg2(x/2)* •
I
cosec x= — cosec (—x)<=-
' sm x
2 tg (x/2)
w
8
Sin2x4-COS2X= 1. see2 X—tg2 X—1. cos
2. Формулы дифференцирования.
£™£=cosx, ^=sec»x. 1^1£ = Д£
dx dx dx cos2x
dcosx . „ detgx _ 4cosecx cosx
dx dx dx sm3x
I
L1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
759
3.
Формулы Эйлера и Муавра.
• (cos х-Н‘ sin х),
(cosx+i sinх)я=cos nx-H sm nx ₽» =o.
Связь с гиперболическими функциями.
sm (<x) = i sh x, cos (ix) =ch x,
tg (ix) = t th x, ctg (ix) = — i cth x,
see'(tx)=sech x, cosec (ex) — — i cosech x.
Формулы сложения.
sin (x *- y) = sin x cos у Jr sin у cos x,
CQS(X * ^)=COSXCOSJf TSDIXWIJ’
sin (x Jr iy) = sin x ch у Jr i sh у cos x,
cos (x r iy) —cos x ch у т i sin x sh y,
fa »- rtgy rb'ix i- = 1 -rtg*1**
fg( —У) l^tgxtgy’ _ tgx * tgy ’
/*• -Ь ЙЛ — tgs 1 tthy _ sin2x± tsh2y
8* — 1 41 tgx th у cos2x-J-ch2y ’
{ ;/Л _ 1 «rictgxctgy sin2xq-ish2y
w *- ctgx-}-1 cthу ch2z/ —cos2x
COS(x —1)ЯСО8Х,
ctg (X *~ ил) =ctg X, »
/ 2/t—I— 1 \
cos' x ± —л j = T (—1)я sin x.
tgx,
6. Формулы приведения,
яп (x j- лл) = (—1)я sin x,
tg(x_tn«)=dgx,
f 2л 4-1 \ .
an [x ± —/— л) = _t (—1)« cos X
. f 2л 4-1 \
tg (X Jr —лj = - ctg x,
* / л \ 1^2
sinlxt -г-) — -jr-(sinxrtcosx),
\ 4 /
{ _ л\ ’ K2, _ . .
COS(XJr. ] = “(C0SX-4- smx),
\ 4 / 2 '
. 7 л \ sin x h cos x tgxtl
tg I X ±L -T- ) --——-— 7 -7-,
\ 4/ cos x sm x 1 -» tgx
, ( л\ • cosx r sinx. ctgxTl
s\ “ 4 / sin x _t cos x 1 Jrctg-x
7. Суммы и разности тригонометрических функций.
, о • * ± U XT У Л
• sinxjr sin у=2 яп—cos—
cosx fcosi/= t2/COs[fx+^)/21CO8[(X“^)/2n
У (яп [(x+|f)/2] sin I(X—Jr)/2jj *
tg x Jr tg y==p*^ (x — У) ctgx_tctg^ =— ДД (* * У)^
cosx cos у ’ “ ЯП X ЯП If
i cos x sm у
acolx-f-6 sinx=r sin(x-|-q))=/- cos(x—ф).
760
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
где ___________
г =pa34b2» sinq>=«/r, соеф=6/г, 81пф = 6/г, со8ф=о/г,
snPx— sm2y— cos2!/—cos2x= sui (x + //) яп(х— y)t
sin2x cos2y=— cos (x-j-y) cos (x—y)t
sec2 x 4* cosec2 x—sec2 x cosec3 x.
8. Произведения тригонометрических функций,
sm x $in у -- ~ [cos (x—y)—cos (x+//)],
cos X cos у = * [cos(x—у)+cos (X+$/)],
sinxcosy=-^ [sin (x—#) + sin (x-{-t/)J.
9. Степени тригонометрических функций,
л— I
pinxp* >1 V / nn i- /2»\ n/ .v . i /2n\
< / — г 7 (* /. jcos2(л—£)х-Ьоу„ ( I.
(cosxj Й2”1 \k J ' ' 22lt\nr
k = o
J sin х(2/и1 _ 1 V 1\я-* [2n+ * \ /sin (2n—2fe -f-1) xl
(cosxj —2ЗЯ \ k J Icos (2n~2&4-1)xp
fe=0
- I - о . 1
x| =4-2eos2r+7,
x)3_ __ 1 pin3x) 3 Jsinx)
(cocxj F 4 (cos3xj"*~ 4 (cosxj*
€ixH 1 . _ 1 _ 3
} — 0coslx4-0cos2x-f-
sxj 8 2 8 ’
fsinxp_ 1 pin5x| _ 5 Jsin3x^ 5 isinx)
(cos xj ~ 16 (cos 5xJ 16 (cos 3xf ‘ 8 (cos xj *
[sinxl® _ 1 „ ,3 . 15__n .5
w =-^авй£+1бСО94х" fe^^+ie-
10. Тригонометрические функции кратных аргумен
той.
ап лх = У (—1)* j J sin:*+‘ х cos®-2*-*1 xt
fe = 0
((л-1>/2)
»=snx (—1)*
fe=0
п—L— 1
k
COSHX= У (—!)*(" J sin3*xcos^2**,
\**/
fc=0
Kn—2)/2J
_2.-.^x+± 2
кжО
1.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
761
ein 2ях= 2л cos x sin x + У (—1)* ----- 4* sm2**1 x
A —1
(2fe— 1)!
tt
22л-2fe—1 gj|2a—2ft—Ijg Ь
fe=l
k=i
4fc sin2* x
(—1)« |23«“l sin3» x—2-a^n sin ^x-J.
n -|
+« у (-»&=*=!)<*-*-=»Г-(гп-^+D^^1
' ЛшЛ I kl I
ft-=? J
an (2л +1) x=(2n + l)x
» *
X Sin x+ V(-»»K2^-J)^l t(2n+.y-^- ОТ|
fc5l ( П- ь J
Л!
e= (—Е» I22» sin2rt+1x—22n~2 (2n4-1) sm2»~xx-{-
n
•+^+L у (.у x
k^2
cos (2n 4-1) x=cos x X
J । + j? (_ ])> »2n+|>г-|г» f<2n+ 'F-^! - №«+ IP—<2lt— 1F| Aa x
A=1
и= (—1)« cos x |2-я sin2" x—
n
_ V P»-*) О—*-1)-(2л-2Л.+1)2м_е1
hei k\
k- i
an 2x=2 sinxcosx, cos2x—2cos2x—1,
fsin 3x) _ t j* fsin xf _ fsin x(3
(cos3xj “ |cos xf4 (cosxf ’
sin 4x=cos x (4 sin x— 8 sin3 x),
cos 4x=8 cos* x — 8 cos2 x -J-1,
,sin5x) _isinx( ()Л Isin x(3 , (sinxP
cos5xf (cosxj (cosxj (cosxj •
762
ПРИЛОЖЕНИЕ I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
sin 6r= cos (6 sinx—32 sin3x-j-32 sin3 x),
cos 6x=32 cosPx—48cos4x4-I8qps2x—1,
t«2x = -2lg* t«Зх = 3<е*-*8,« te4, _ 4tgx-4tg»x
g l-tg»x’ 8 l-3tg>* 1 g l-6ts’x+tg«x’
I
If. Тригонометрические функции некоторых углов.
t. sin пл=0, eosftit=®(—Ip1, tg»;ri=(k
Jsm (ЛЛ/2П = пГя/2] 1 (—!)« . ял _ t-(—!)*
(cos («л/2)J ' 1 2 • 8 2 14-(—!)«*
3. sin "« t (-i)Wsr|
О 4
5
«—четное
n—нечетное.
cos s = (-!)!<»+ 0/313H-1)<<» + 1>^
o 4
n—четнбе 'll
n — нечетное]] •
[n— четное],
Jn—нече-люе].
f
•fn—четнйе]»
[я—нечетное].
' (n—четное],
<*
[n—нечетное].
8 4 ' Г ГД-четнМ.
= (—0l(2n fn—нечетное].
5. Sin g? ~ (—L~(zzOL/2 yi0-~^i)l^2j 2f5 [n-четное].
, i+(-^t<,r~11'51 У ю_ (L^12
cos ?? _ /_l?10T2)/3l>f5+(-l/"”l
5 4
(n—нечетное],
(n^O. ±5, ±13, ...].
6. siri™ = (-^?[l-(-i)H«+l>/3J]
[n—четное],
pi—нечетное^
J I ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
763
COS (_])«« + 2)/6] 3 + (-l)b"+iV3]
= (-«/*'•+ 'WJ t3[| -(-!/«+- 1W1J
«g“ = (-!/”« 1^(1 - (-!)««+ »/3Jj
sin7 = (-l)t<»+W3| •
О j*
= (_ 1)Г«/8] * /2—(—1)К"+,)/40'2
At
ПЛ
COS 8~
tg~ = l)h20 ~h )>/8] 2-(—l)[ra/<i-(—])(<*»-M)/4]
8 ~
[n—четкое]»
[n—нечетное],
]n—четное],
I»—нечетное].
I«—четное],
*
In— нечетное],
[n—четное],
[n—четное].
In—четное],
i
In—нечетное].
& si0 io
COS^= * /10+2 |/5,
^^ = /5+2/5,
®nifT ^4 O^+O, *
' cos^ = | I/ 10—2/5,
ctg ^ = 1/5—2^ 5.
lctg(n/12)f
[sin (7Л/12Й _ 1 /.
[cos(7a/12)j 2J/2* ~
(tg(7.i/12)l_ K-
№(7л/12)/ - 24 rdl
Jsin (5л/12)1 _ V 3 ь 1
(cos (5n/12)f “* -2 j/2 *
(tg(5n/12) )
Ictg (5л/12)/ ~
Г sin (11 тс/12)1 _ 1_/ .
lcos(llre/12)J 2^2
(18(111/12)) /-
tctg (11л/12)/ 2
10. sin = 1 [- /3 (И5 -1)+/io"+2 К 5],
.Ш11= 4 в-*'®) <2 /3-/Ю-2 |Л5),
764
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
ctg|§= ^(1+К5)(2Кз+Уг10-2^5).
sin = ^-кз (/5+ О-V10-2 / 51.
to о.
<юЛ| = |(/5+1 + Г'з к 10-2 Kb),
15 о
I<3 + *'S> (-2 Уз +У|0+2lz5),
ctgS = 1 (К5- О (2 Кз+ V10+2F5).
1Э 4
к
И. fsin ^,6Ч = 1 VVt /2 4- /2
(cos(a/16)/ 2 r F *
{ХЯ “ К2|/2+?2 т (К2+,К
Сav 16)} “ 2 Г2тУ2-к'2,
^tub ^0*1/ iV/J Л *
{Ш'м=К2К2Г^ ’ (/2-°-
“• {™<;S}=тг <rs+v 10-2>г®>-
{dX°0)}=/®+'*>;5+2>'®’
{S в=т(КЙ+2Г*+'т
(tg (Зл/20) |__у_ . 3-I/5_о lz5«
vtg(Зл/20)J~rb U K 1 215
**• Й^Ь^24^2^'
О=^т
fsin (5л '24)( ? l/2 l/iZTpi
(cos (5л/24)| 5 ' *
fig (5л/24) I J ч / . 3 »л2\
(ctg(5n/24)f “ V + Г 2b
14. sin = 1 [- (|Г5 + 0+Кз К10-2 F 51,
I k3(F 54-0 + J/'f0-2| 5],
OU о
‘6^=4 (Кб- О (И10-Й2К5-2 Кз),
dg^= ! (3+>лб)(^ 10+2/5+2 Кз),
sinS « I-(^б“0+Кз/10+2 Ks],
OV о
1.2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
765
cos ~ 3 +^10+ 2 |51 •
oU о f
tg~== 1
OU *
ctg?J = т(3-/5)(2/3+У 10-21/5).
IS. - g- [/iT/2 /10-2^5 Т /2т/2 (I + /б)[,
tt/40)}= J ( t« T/5+2/2) [1/10-2/5 T К2Г5-1)].
M. ££ Д = IK (2 J- /3) (3 - /5) T /(2 T V 3) (5+Г 5)] ,
{ct*(}/60)} “ + (2 4 /3) (± I +2 )' 3 -T /5)(/Ю-2/5 3 2).
1.2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ функции
1. Некоторые соотношения.
sh x— — sh (—x) ~ _t Vch2x— 1
ch x=ch (—x)=}/ sh2 x4-1
ex—&~x
-1
2
,. .. , . shx sh 2x ch2x—1 e*—e~A'
th x= — 1 h’(—х)=-7— — —rr — —r~n— =
' 1 chx ch 2x4-1 sb 2x e*4-^*
,, ... .chx sh2x ch 2x4-1 ev-[-e~v
cth x=-ctl,<- X)= cT2^ = -та- = jfTF«•
d sh x .
—-— = cnx
dx
dchx .
—-j——shx
dx
d sech x
dx
' sechx=-r—, cosech x=—г—«
ch x sh x ’
ch3x—sh3x=l, th2x4-sech2x=l, cth2 x—cosech2 x—1,
(sh x 4- ch х)я ~ sh nx 4- ch nx l»=o, 41, ±2,
2. Формулы дифференцирования.
d cosech x chx
dx ~ sh3 x •
dtlix
—t—-=sech2x.
dx
dcthx . *
—;—=—cosech2 x.
ax
shx
ch2 x*
3. Связь с тригонометрическими функциями.
sh (ix) = f sin x, ch(ix) = cosx, th (ix) ~ i tg x, cth (ix)~ — i ctgx.
4. Формулы сложения.
sh (x jt y) — sh x ch у ± sh у ch x,
ch (x ± y) = ch x ch у ♦- sh x sh yt
766
ПРИЛОЖЕНИЕ I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
sh (х ± iy) =sh х cos у dr i sin у chx,
ch (x zt iy)=ch x cos у *- i sh x sin y,
. th x j- th у sh 2x *: sh 2y
(x±y) Idzthxthy ch2x4-ch2y*
.. . .. th x dr i tg у sh 2x ь i sin 2y
th (X zt ty) =-:-r-77- ~ —r-^—:-----,
1 ' 1 1 th x tg у ch 2x-|-cos 2y
... . . sh 2x т i sin 2y
cth (x Jt ty) = —j-s--x-2-.
' ' ch2x—cos2y
5. Суммы и разности гиперболических функций.
l . ли-Х±У».ХТУ
shx dr sby=2 sh—s-^ch—
л» л»
chx
cnx_cny Z^sh [(x4 y)/2)s|] Цх—y)/2jf*
xl *. sh (x d- &) ’ .. .г • ’ ' Sh (x ± y)
thx±thy=—cthx±cthy=Jt—<r—r-^»
9 ch x ch у sh x sh у
>sh2x—sh2y=ch3x—ch2y=sh (x-|-y)sh (x—y),
sh*x-peh2y=ch(x-f-y)di(x—y). ‘ '
6. Произведения, гиперболических функций.
sb x sh у—-% [ch (x-|-y)—ch (x—y)[,
chxchy= *[ch(x+y)-bch(x—y)J,
sh x ch y—-%(sh (x+y)4-sh (x—y)l
7. Степени гиперболй^ескнх функций.
я—1
'sh xl 2« _ 1 vt
ch xf “ 22»'1 Z*
k = Q
n
2л\ ко/ ал . (Т1)"/2я'
*)ch2("-»>»+W-U
sh xV**1
chx J
fe=o
'2n-f-1\ fsh (2л—261) х
k Дch (2л—2’.-М)х
4 (sh3xT 3shx),
chx}* = ¥(ch4l*'lc’,2x+3)’
fshxl® 1
ch xf = i6 (sh 5x + 5 sh 2x+ Ю sh x),
shrl* 1
VJ = A (Ch бхт 6ch Гх+ch 2x T 10).
СП Xf ил
I 3 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 767
8. Гиперболические функции кратных аргументов.
[(«— D/2J
shnx= V ( ДзЬ2**1* ch'1'"2*-1 к»
Xj \2Л+,1/
Л=0
1(л-П/2]
t±=shx У ty-k-ir1 * ЦсМ-2*-1*,
Л = 0
[«/2]
ch пх— У [ ” j sin2fe х cos2“"^*х,
Ш \2kJ ' । •
fe=p
[n/2J
™ | 1 \ ft м /
fe=O
sh2x=2shxchx, ch2x=t2ch2x—1,
. » Jsh 3xl_ . Jshxl3 (shx)
(сЬЗх/-” (chx/ — (chxj* *
'sh4x«=eh x(4shx-}-8sh3x), ch 4x=8ch*x—Sd^x-j-l,
fsh5xl (shxl5 (shx)3 . _ fshx)
{ , _ 5-= lot ? ± 20 { ._> 4-5< . z,
(ch5xj (chxj (chxj -(chxj’
sh Gx=ch x (32 sh5 x-{-32 sh3 x4-6sh x),
ch6x=32ch6x—48ch*x4- 18ch2x—1.
1.3. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Некоторые соотношения.
Главные значения обратных тригонометрических функций определяются
неравенсгсами
. л. Л
—л/2 sg; arcsin х ; 0<arccosxjя *— л/2 < arctg х < л/2; 0 < arcctg х < л arcsin (— х)=— arcsin х, arctg (— х) = — arctg х, sin (arcsin х)=х, tg (arctg х)=х, arcsin (sin x)—x—2пл =—x4- (2a 4-1) я arccos (cos x)—x—2яя =—x-J-2 («4-1)« arctg (tgx) =x—ял arcctg (ctgx) =x—пл l:m arctg x=± л/2, x-*_t CD X [— вв<х<<ю]. arccos (— x) = л—arccos x, arcctg (— x) = Л— aicctg x, cos (arccos x)—x, ctg (arcctg x)—x. (2дл—jt/2 < x 2n Л 4- л/2]. [(2п |1> Л — я/2<х<2(в+ 1>л+ л/2J. . [2ft«<r^(2n4 £(2n-pi) я^х^2 (n-j- Пл], [ал — X/2 <x <ял -|- Я/2], (ел < х < (п 4- 1) я]. S lim arcctg х = л/2л чГ я/2. :-* +ОО
768
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
2. Связь с логарифмической и обратными гипербола*
чески ми функциями.
arcsin z= — i In (fe-f-Kt —z2) --=? —i Arsh(fe),
arccosz = — i in (z-f-Kz3—1 )=—t Archz,
arctgz =— In i Arth (fe),
. 2 1— iz ' "
i iz — 1
arcctg z=— - In ——=i Arcth (fe).
£ IZ I
S. Ф ормулы ди фференцировання.
d . 1
— arcsin x=₽— <
dx У 1 —x3 ’
d . 1
diarctg^TT^*
d И
- arcsec x=—.. -----
dx . xj'x3— P ’
d H
- arccosec x= -z^z_=
dx хУ Xе—1
d 1
dx Г 1-x?
d 1
□ arcctg X——T-,—
dx 1-f-x*
IU}<—{THi
[{ о'2}<*г<!с^кл<{яй}-
4. Связь между обрати
функциями.
я
arcsin х= 9 — arccos х,
£
== arccos 1^1—х3
s=x — arccos if 1—X3
=arctg-,-——.
Kl—x3 *
•= arcctg - —--
x
=»= arcctg-— --я
= ^ агсяп (2x Г 1—x3!
£
= о — 1 arcsin (2xKi—
£ £
= — — 1 arcsin (2x 1^1 —Xs)
£ £
ми тригонометрическими
ч Др<х<1),
(—
[**<!].
(0 <«<!}.
[—к X < 0].
(x« C t /2J.
(LV2 <x< th
(—i<x<—t/ffl»
arccos x= 2 —агсяпх
= arcsin К1 —xs
=я —аг₽яп К1 —x^
[0 < x < 1].
(—К * < °J*
ie < i i]<
4j 13. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 76?)
КГ—X*
arccos к=л+arctg —-— (—1 с * <oj,
_arcc'gp==
= ~ arccos(2х2 — I) 1о<г<ц,
= я— 4 arccos(2х2— 1) Г-1 <к <;щ.
&
. Я t
arctg х=« ~9—arcctg х,
£
з= arcsin
i
=arccos
=—arccos
л
° x
I-«ctg A.
*arcctg -—я
= r — агс1§ГГ
4 »1-|-
* * 3
= — f л—axc'g
2 arctg (—p
1 2k . Я
2
л
2
1 2«
- 2 =‘ct«rr?-
ac — я — £ aicsin
2*2
“ 2
arcsin
'----— arcsin 1
2 2 1
1 1—x2
2 arCCOS 1ТИ
— arccos
2
fc <01.
fr><4.
lx >0b
[*<.01»
(к>-1].
[I XI < Ц,
(Х>Ц.
(x< — 1],
к < - Ц.
[x > 4.
»
lx >01,
(v<01
25 А. П. Прудников и др.
770
ПРИЛОЖЕНИЕ I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
arcctg*=у—arctg х,
е= л 4- arctg —
[б
[*>4.
1*«и.
5. Суммы и разности обратных тригонометрических
функций.
arcsinх 4-arcsinу=arcsin (хУ1 —у*4-уУ1 —х2) или г*4-«*<0.
— ± л— arcsin (х Ki —у2 4~У К Г—х2)
= ±! arccos [К (1 —X2) (1 — у-)—ху]
Н*.
V, у <0/j»
ggarctg-/ —- у..Тчт7?тг-
Г (1 — х2)(1 — у-)— XJ
. хУТ^+я/Т^х*
== arctg < 1 э—---
V (1—х2)(1-у2)-лу
[ху < 0 вли л* -4- у* < J],
arccos х 4-arccos у=2л arccos [xy—V(1 — х2) (1 — ^2)J
H‘ + y>GH
r + »<8jr
arccosх—arccos у=т arccos [ху+У(1 — хл) (1 —
arctg х 4- arctg у » arctg
*+У
i— xy
=±«+arctg
x+y
1— xy
arctg x—arctgy=arctg
x—y
l+xy
-in+arclg^l
[{^c}
txy > — П.
1.4. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Связь с логарифмической и обратными тригономет-
рическими функциями
Arsh г=1п(z-bKz2 }-!)—— iarcsin(iz)>
АгсЬг=1п(г+У2-—l)=t arcccez»
1,4. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
771
Arth г=~ th — — i arcctg (iz),
| г4-1
Arc th z=—In —— i arcctg (— iz).
Z Z L
2. Функции отрицательного аргумента.
Arsh(— г)——Arshz, Arch(—z) = Archz,
Arth (— z) — — Arth z, Arcth (— z)=—Arcth z.
3. Формулы дифференцирования.
d . . x I
— Arsh —= -F-__
dx a ухг-1-а*
— Arch ~
dx ar x2—a®
iArth
x a
~a a2—x2
d . x a
j- Arcth — — —r-—r-
dx a а2~лх®
[Arch (x/a) ^0, x/a>l],
[x*!>a»l.
4. Связь между обратными гиперболическими функ-
циями.
Arshx =Arch iCx2 -[-Ь Arch x?= Arsh J^x2 — 1,
«Arth-^—^-, ^Arth14—
У x2 -bl x •
Arth x=Arsh -7—x _,
Kl-x2
! =An h -7-- - -,
Kl-x2
=Arcth -1. , t *
5. Суммы « ргазирстМ обратных гиперболических
функций. ___
Arsh х ± Arsh у=Arsh (х V1 +у2 F1 +х2),
Arch х + Arch у=Arch [ху ± V(х2— 1) (у2— 1) }»
Arth х ± Arth у—Arth * ,
1 J!—
Arsh х Arch у=Arsh [ху ± К(х2+ 1) (у2— 1)]»
=АгсЬ[уУ/х24-1 ±.xVt^ — 1],
Arth х dt Arcth у—Arth ~~~,
•f -S— А»
25*
772
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.5. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
ЛА (—!)* _ Д(а—1) - (Д—*+0
\Ь/ Al
1*=1. 2. 3, ...].
М\ f а \
\Ь/ “ \я—b]
(*= 1. 2. л =£-4. —2. -3. ...J,
ft—l, 2.... лЬ
[t——J, —2. —3» — мв А>лК
'в\ Г(д+1)
>/ Г(*+1)Г(о-*+1)*
[Ьф-к, k+a, где 4®-1, -X -3, ...Ji
n+a\f b \ (b\/b—n\__ lb\/b—a\
► Л A«+a/*”W\ л )\a)\ a J*
-1/2^ _ W (2n —»»
, n I 2м \n/~’ r (2n)!! •
l/2\ (-1У>-Ч2п~2\ „ (2n-3>ll
, я)~ л2“"» \n—1/ ' 1 ^2n—2)ttn•
f д \ г2**! /2»у> (n\—^LI • \
J/2/ я \n) * \л/2/ я \(n—1)/2/
1.6. СИМВОЛ ПОХГАММЕРА (в)*
<а).=а(а+1) ...(«+*-1)=Е^>-М)‘-Г^=^,
(1/2)»= 2-“^, Р/2).= 2-а^±12,
<^ЧШЧ1Ь"(в-±гЛя’‘- (Ч1)»
\ П Jk \ П Jk \ Я ]k \ i /я \ л ]к
(a+^^iiSi, (в+*)»=^, (fl+H)»^^^*^,
<“7я»й WA W«
II.I. ГАММА-ФУНКЦИЯ Г(г)
773
(a—mk)nk = (—l)m* (а)п*_от* (1 — а)тк
— /_i>л* о—°u*
(а— *)*=(—!>*(*-<),. (о-т)>=
V1 “ — к)т
(я т].
/л । __(р)п Ik ln-Lb\ ______
tp+mih-a,------
(а-*)л-*=
(-0*(дМ1-в)»
(1—О —/02Д
Приложение II. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
11.1. ГАММА-ФУНКЦИЯ Г (?)
со
Определение: Г (z)==( t^er^ Л [Rez>®j.
0
При Re г< О функция Г (?) определяется как аналитическое продолжение ин-
теграла.
Г (z)—аналитическая функция во всей z-плоскости, за исключением точен
?=О, —1, —2, ..., в которых она имеет простые полюсы.
Г<?4- 1)=2Г(г>, Г («4-1)=п!, Г(1)=Г(2)=1.
г(4-»)=(-'>"^^г- г(-1)=-2К»-
г(< + | )=:*'*'7'у -- -г (!)•• г(|)=2дав808...^
Г("+ т)° 2~ &а»<ЗЛ~~)'Г (4) • .<..r(|)=I.3S4tt8r...
Г (л + | j = •9 Г j , Г (1^=3,625600....
г(я+3) =3-7.U^.) r j 3 г( | j= ,.223417...
Г(?)Г(—?)=----?—. Г(?)Г(1—z)=-^—,
v / ' 1 z sin яг* v ' аплг*
rf---f-z^r f-sr—zl₽=——
\ 2 / \2 / cos яг
Г(г4-1) = / *\ Г(?4-Я) =
Г (ш+1) Г (г—®+1) {w/f , Г (г)
. я — t
Г0г)=рЛ)“-»>'‘Я*г-*/г£| г(г+4).
I
ПРИЛОЖЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
932-1 / t \
!’(2z)=v^r(z)ri2+-L\
Ул \ 2/
Г(3*)=Ц5-г(4г(г+4)г(н4).
Ir*'^'*=xshnx' |Г(^+“)] “Ллх'
|г<,+“>'а=^’ Г(1+“)г (4-*)°<ь-^Йта
11.2. ФУНКЦИЯ ф(г)
ОифУ Д е л е в>и е: i л • 1 Ш
ф (г)—аналитическая функция во всей г-плоскостн, за исключением точек
г—О, —1» —2....в которых она имеет простые полюсы.
” П—1 ” 1
ф(г+я)=ф(г)4- У ф(г-»)=Ф(г)~ У
к —0
Я>(г+1)“Ф<г)4-|- •
*
Ф (г)—ф (— z)—— л ctg яг—,
ф(г)—ф (1—z)=— л ctg«27
ФО+z) — Ф (1— г) = 7- л ctg яг»
Л
п-1
♦w-j 2 Нг+«)+1яп*
к— о
Ф ( 2 +г)- -г^=Л tg яг.
I
t ₽г)=| ♦ W+4 ♦ (»+|)+te2-
Re ф рх) = Re ф (1 — »л),
Im ф Р*)=^+ g С1Ь я*-
Im ф (1 -НХ)=*=—* cth ях,
1шф{ g-Mxj= - th яг.
*<«+»)=-с+ 2 4.
Л=1
ф(1)=-С.
я — 1
*(> ±”)=-С-2»п2+2 sb. ♦(!)=-C-2to2-
Л 3 । о
2/3 2 ,П '
- ta3.
2
♦(т)“-с-|-3,п2.
t(3)=_c+£-ata2.
II .3. ФУНКЦИЯ 9(2)
775
[(?-0/2]
f p\ _ .«4 V л . ря . _ v 2pkx. . kn t
^(7)=—C-In (2?)—y ctg — 4-2 £i C08“Z~ lns,ny
' 7 fe=i *
[p = l. 2.q — 1; q—2, 3, 4, ...J.
00 . f
I i
♦(«)=-€+<«-•) 2 »+dm s,z-5Л-”-
fe —0
00
CW-(->i 2 (I+W
fe=O
(1)=(—1)«+1 n! £ (n+1) ... . 2. К ...J.
* Г Л
♦’(')=$. Г"'(«+!)=(-!)" ml |-C(m+1)+ jsn .
L fe=i J
fl — t m — I
fe=l fe=O
t'"' "I (2^*-1) C ("+1)
\ 3tS — X V I
^("2 — П/ 2 "b4 (2k— 1)»’ * \2/ 2*
fe®i
(?+!) = $<«» (z)+(—1)" n! z-«-\
(i _2) + (_!)«« (?)=(—!)« n *Lctg да.
**11.3. ФУНКЦИЯ ₽ (?)
Определение:
L 4 7 4/4 (м •* *1 « »
1
г ts-x
₽(*)=} Гнл
о
OO
>»- 2 Й?
fe=0
co
₽(г)= 2 (2fe+z)(2fc+z-iM - j *
ft=0 " ’ .
₽(*+i>=4—₽<*). <й«-*)1=ет**’ю.
pt ® 1. 2» 3* ...Jt
Я»
ПРИЛОЖЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
k—0
п
Р(л + 1)=(-1)"1п2+(-1)» 2 Р(1)=1п2.
л = 1
, „ К«-В/2]
и ау «.gtHLSta2_2«.ещ15\
\Я/ 2кт(рл/4) Ал 9 \ Я !
fc = O
u>=i. хг....«-»; «=2. з, 4. ...j.
11.4. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА £
Определение:
СО
[Rez^>l).
k= 1
При Re г 1» z ¥= I» С (4 определяется как аналитическое продолжение
итого ряда.
О2п-1«2л
5<2п>=^'|дм|
td-2«)=-^
[fl = 1, 2, 3, ...],
С(-2л)=0
С'(Щ=-4 In 2л.
[«=1.2, 3. -J,
««)= 2 Ь
k-l
[и =*2» 3. 4.см. 5.1JJ.
г—1
11.5. МНОГОЧЛЕНЫ ВЕРНУЛЛИ >А(к)
Определение:
fe = O
л
а.ю= 2 (")»*«**
4-0
В,(х)=х—4» *+»•
в,(ж)-*»-4**+4*
- [ем- Н.61.
11.8. ЧИСЛА ЭЙЛЕРА Ел 777
в,(0=х>—e»W-*-a*+4**—5*»+д.
в»(«>=в». в.(^)=-(1-2*-»)Вж.
ПЛ ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ в.
Определение:
^7= 2 в&
к —О
в»= 2 (*)в* в,=|' в-“в«<о)>
к = 0 к
Ва.=(^7-^иг«).
в,=|. в,—в,=|. в,=-±, В,=1,
я ’ я 5 я ®*
в"=бв' 1’в=—2тго‘
11.7. МНОГОЧЛЕНЫ ЭЙЛЕРА £й(х>
Определение:
W=b Ei (х)=х~, Et (х)=х*—х>
Л
В, (4‘-ж’—2-х"+4’ £.«=-‘‘~2х3+х.
£.«=*—в.(4=*,-а«ч-&?-ах.
J ПЛ ЧИСЛА ЭЙЛЕРА £.
Определение:
57= 2
л==0
Еа=2пЕа ^-g-^ t £»+»=0»
£о=1. £а=-1» ^4=5, £<=-61, £,=1385»
£м=—50521, Ft,=2702 765.
778 ПРИЛОЖЕНИЕ III. ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ yf в
Приложена Ш, ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ V/ и Уг
Обозначение:
r—p!q\ р и q — взаимно простые натуральные числа; т~2р + q 4*1; я«
q — 1
u+= V (—р д(р« ai)« д (?> *1);
1 Z /! п л'4д(р. Ci), А(?, 1-Ь/) Г
/ = о
(—0ft F+f/ F /Ь Д(Р. 4), Ар, ^); г\
2 Z hl 1Л AW. с2) )•
h = О
р — 1
V-= V <—F-z/й Р Д ДО*
1 Zi hl я я-ЦА(р, 14-ft), А(?, Cj)
h = 0
О-t
I/-_ V V ' Р -tfV P *» г-*ук» “*/»
Va Z /I Ь^У n Л-ЦA Q), A(g, 14-/)
/=0 t V <
<7—1
?-2
1=0
p-1
I, Д(?. OiY, г-
ИЧ. !+/)- ,
ft = 0
р-1
. (I, А (<7, Oj); г\(? Л
9\b(<bbJ }•
*
<
г
z
Л = 0
<7-1
/ = 0
q — 1 .
/h.A<ft oi). ^(P, &д), A^, Ci);
/t (p, di)» A (p, ci), A(q, l-Н/)
/ = 0
p-1 . r ’
2(—0ft p fl> ^(р, 02), A (p, 62), A (<7, c2);
At sFm m*4A(P. l+ZO, A(p, da), A(<7, Ca)
k = Q
p— 1
V !) П4..А F f1’ Д(Р’ Д(р’ Д(?’ C’); г\
Z A! Cjy mГт~1\А(Р, 14-Л), A(p, d3), Д(<7, •
h — 0
p —1
V <~‘> F-„« F P- °*)’ * <₽• **>• ,ш M:
Zl Л1 <+*). «У, Дй> <0 1
ft= о
*
ПРИЛОЖЕНИЕ ш. таблица функции Vf Vp
р — 1
— V <— *)' J? Р’ А^’ А<Д’ **>’ А^‘
L ~~Ы~кй* тЛт-ЦА(р, J-R), А(р, d5), А(9, /’
h —О
G79
q — 1
_ (—1р н, А(р, а*}, А(р, М. A to «Л
я “ ®"Ца(р, <У, А(р, ej, Aft, 1+/) /•
i=0
и|+*=£}+у*л (;*г) »-». =. з.«.
^+t=E-,+^. (:* £ ;* d‘: г”) »-•> * > ч.
»
Vi-_'V ( 0f р+ s*n Ьг 0f4~Ц — Q] I,.+а 2
ia“Zf Л 12 sin[(Zr + a)nJ У ’
2=0
СО
Vf»= 2 г ‘*п ('т)
^0
а>
v**= 2г (^) ап р+°71 (~1)/ г>^‘
i—o
V-^____Д_ V 0—Ph < Ьг F_ sin [у (а-1 Ч-r ф-/- П)1 -+г (А_7_г>_е
12 sin у Л ** ЯП [(аЧр/ф— I — 1)^л}
/=0 ‘
2№ tzD! ₽+ sjn((Zr+a-OT) trira^
ll 14 (J — о)/ sin [(fr-j-а) л] sin7 •
/=0
OO
n- 2 <~}VE‘‘
/ = 0
sm ОТ) г Г(а—f—>)/r
sin у [1 —в—(a—/ — l)fr
2(-1У sin[(tt-Zr/2-ftf/2-I)T) Л0-ЬА)/2
Ляпу 14 sin [(а—(&-4-Лг)/2) л) [1 — о —
OO
2=0
OO
n.=" 2
2 = 0
&in{(/-H>Tlr[to+0/2, A-2(a+/)/r
sin у [1 — o—(a-f-/)/r
on (l-j-ft) sin [?(1 — a—Zr)|
sin ?, sin у sin [(а -НО Я)
oo
+ — ” V Z iu sMfy)sfo|^4« —
" r 1 sin X siir)(a—Z— IJ3V*J sftf у y 1
l^o
780
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш. ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ У, к
у- =я V / 1ySin^.Osin[T(a-r-?r-l)l
11 ' soil sin у sin [(a — r—” *
i—о
v- = fL У i iy510 S1'n I*''1*'-«—01 „_7_*
17 г ha 1 ? sink sin у sin [(a + 0 n/r] 9 *
/=0
V+ = У e\ (« + /г — 1)cos (y(« +fr.—2)l -+l>^4
89 /I u sin2 у sin [(a4-/r) nJ
Vt.= 2 <-1/£ЬГ (S-LJ)
oo
--У/ |VF_r/a + M+,)cosfr/+2Y) ,ri-4
21(~,Х 18 \ T~) rin2f F ‘
i=6
V- n У ("^(t-p)/f«->(i-p+0-l]cos[y(a-f (i-p+0-2)]
° 2 sin2 у Z* Z! sin [(a —г (1—p*H)) nJ«111 *!>'*“14
l -=0
oo '
V* = У ₽ </r4-q-Qcos(T(/r-bg-2)l
£® ll ±0 sin2 ysin [(fr-f-a) «j (1“<0л b *
oo
П.= 2 t-We»
/±=0
/cos(Iy—r) r(a—/—l)/r ]
sin2^ 1 Li— g~ («—i~ 1)/и ‘
r"=24r'c“x
/ = 0
(g-r(7i-|-0/2-l)cos(Y(«-r(/t+Q/2-^2)] r[(14-/i)/2 t
sin2ysin f(a—r (ft + 0'2) л] Z^u,/z,*"a £1— a—(Z.4-/i)/2
_ _ У Z_1UP_ (/Ч-1)собЩ+2)т1гП«-М)/г, /:-2(a+0/rl
81 hai ' 21 Sin2? Li “° — («4*0/*" J
Z —0
4- f1 у / IV sin -i~^)005 tv (a H- /<—2)1 (I —g—Zr)
8a= 2 * 8inXsm2ysinl(g4-</,)nj ’
z=o
oo
+ — я_ У / «vf O7S (t sin l (g—/—i — <)]
2r ) sin X sin8 Y sin ((a — I — 1) л, <]
z=o
I7-_£L У iv(g—r—f?— i) sm (V)cos[T(g—<—r/—2)1
2 hi' ' - sink sm2? sin [(a — lr~ r) nJ
Ilf
<•=’. . e=T
z : i
I-tf [s/(l -«)]
0 = ' 0 = 4
•«XiT'tf Z (J)’ J в=”л
1 — 0 lz/(l —b)l
0 = 4 . 0=4
.f J _.A
V i-a &({-«)]
,f ‘<0V *(’« *<0V *('+! Wtarfortv
\i :(*» **)V ‘I/ d
o=' o=4
J (;)a X -«A
n 1-0 fe/Ci—«OJ
•c
(v4-< *<0v '&> M)V Vfl Яййй/Н
MW d
о=ч .
J (»
I—d
0 = 4
♦/ О <6)V **)? ‘(4-H <rf)V^df^ im /5ee _J4_ T’
V te« ‘^)v V» ^)v ‘J J \ л
I—a
12‘Iе 41 0==f
( (f-H ^)V Ч*Р ‘b)v •<0v\rf+je,t+fc s 0+ия-Л- T =<+иА
V 4’^ **)v •<*» **)v ‘I/ d ’« *я d4i—) & л
i— 0
f/+l 4d)v ‘C?
1(1д *b) v ‘I/
"+‘Z4<1S.^“3-^ J -«A
I—»
* _ _____________________________________M
0=4
(» ‘*>V ‘(v+l ‘<0v)<i+e.t+» 7 =k,
I —tf
„ 0 = 1
-________(1£(»4-/¥-M)]ub_______и fy ==K
B-HY~Hj)a.]soj(i—»+/¥+«</) +^Xl—) л *
oo
• в (к(»+лг+-»Й1аР ,f„ It <T _,r.
(((_ю+п+^)4]ир -Яft-) ik +Л
OO
0=1
• p/м G4-»)J<Bs4,8nBYins f .
l(Z—»—“PC^+^sMl + tf ** kY i£ ~л
<»
18£
J 4 и *л иигошлф vYiHirgvi 'ш аинажо1ги<ш
782 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш. ТАБЛИЦА ФУНКЦИИ У{
[(я-!)/21 я-1
2-
fe=o /=0
/1, Д(<7, aj, Д(^, &2): г\
Х2?+1^ч2Р^д Wt 1 + /)> д&> Д(рг Д(р/еа) /’
[<я-1)/2] <7-1
2 •[:)2fc?'-^-
Г(я—1)/2]
jss.u
/1, А(?, аз), Д(<7, &э); - ?\
1+/)> Д(д> д^ Д(р, ₽з)
Г(я—1)/2] , “ ‘ .
•— 2 'Л‘г!"-гая.
*=о /=о
[(я —1)/2] 'со
2 ‘(I)2nr£»r[& ]s”sind'-
fc = 0 1 = 0
{ «Я l)/2] *.*»<_ 1)ft /1, Д(ф, etX' ‘
2 \k) 2 “hTf4»sф «+1ГЦд(р, *i), i+ft) /•
k=o h=0
K« «/21 / й \ I)/ B „ p (l, Д (p, a^t A fra); ag\
Vft=s 2 2 "7T-£ftSf W9U(?.i+/) ’ J*
fc=0 /=0
Кя-1)/2] ,лур ' (_1)» в „ /1; •* г\
V42= 2 eU/ 2 ~ЫГЕ^ ф 1F*»*\A(p,lfft>,A(p,ai)r4(?,frJГ
, fc = 0 ' -
[<я-1)/2] .
У е
fc = 0
ft = 0
/=0
ъ л
(
f
ЛИТЕРАТУРА
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.—Мл
Наука, 1965» т. 1; 1966, т. 2; 1967, т. 3.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований.—
М.: Наука, 1969, т. 1; 1970, т. 2.
3. БрычковЮ. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования
обобщенных функций.—М : Наука, 1977.
4. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций, ч. I.—М.: ИЛ, 1949.
5. Гр а д ш те й н И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений.—Изд. 5-е. —М.: Наука, 1971.
6. Два нт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. —
Изд. 4-е. —М.: Наука, 1973.
7. Диткин В. А., Пр у дни ков А. П. Справочник по операционному
исчислению.—М.: Высшая школа, 1965.
8. Диткин В. А., П р у д н и к ов А. П. Интегральные преобразования и
операционное исчисление. — Изд. 2-е.—М.: Наука, 1974.
9. Е г о р ы ч е в Г. П. Интегральное представление и вычисление комбина-
торных сумм. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1977.
10. Зинин Н. Н. Различные приемы приведения кратных интегралов и
главнейшие применения этих приемов.— Варшава, 1892.
II. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения.—Изд. 2«.—
М. — Л.: Физматгиз, 1963.
12. М а р и ч е в О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функ-
ций (теория и таблицы формул). — Минск: Наука и техника, 1978.
13. Математические таблицы / Под ред. В. В. Карпенко, Е. Т. Колесова,
Ю. С. Яковлева. — Изд. Зе,—Л., 1978.
14. Смоля н ск ий М. Л. Таблицы неопределенных интегралов. —М.: Наука,
1967.
15. Сонин Н. Я. Ободной формуле приведения кратных интегралов.—Вкн.:
Варш. унив. известия. Варшава, 1889.
16. Справочная математическая библ иотека/Под общей редакцией Л. А. Лю~
стерника и А. Р. Ямпольского. Математический анализ (дифференцирова-
ние и интегрирование).—М.: Физматгиз, 1961.
17. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками н мате-
матическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган.—М.:
Наука, 1979.
18. Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций.—М.—Л.: ГТТИ, 1948.
19. Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа.—Изд.
2-е. —М.: Физматгиз, 1962, т. 1; 1963, т. 2.
20. Ф и х т е и г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления, т. 1—3.—М.: Наука, 1966.
21. Хаджи П. И. Функция вероятности / Ин-т прикладной физики АН
Молд. ССР. — Кишинев, 1971.
784
ЛИТЕРАТУРА
22. ЯнкеЕ., Эм де Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, гра-
фики, таблицы.—Изд. 3-е. —М: Наука, 1977.
23. Bromwich Т. J. An inhoduction to the theory of infinite series.—
London: Macmillan ann Co. Ltd, 1949.
24. Byrd P. F. and Friedman M. D., Handbook of elliptic integrals for
engineers and physicists.— Beilin: Springer-Verlag, 1954.
25. Davies H. T. Summation of Series. — San Antonio: Texas, 1962.
26. Gould H. W. Combinatorial identities, a standardized set of tables lis-
ting 500 binomial coefficient summations. —Morgantown: West. Wirg. Univ.,
1972.
27. Grobner W., HofreiterN., Integraltafel. Teil I, Unbestimmte Integ-
rate.—Wien und New York: Springer-Verlag, 1975.
28. Grobner W., Hofreiter N., Integraltafel. Teil II, Bestimmte Integ-
rate.—Wien und Innsbruck: Springer-Ver lag, 1958. *•*
29. Hansen Eldon R. A table of series and products. — Englewood Cliffs. —
London: Printice-Hall, 1975.
39. Jolley L. B. W. Summation of series. —N. Y. Dover Publication Inc.,
1961.
31. Lewin L. Dilogarithms and associated functions. —London: MacDonald
and Co., 1958.
32. Luke Y. L. Integrals of Bessel Functions. —New York: McGrawHill Book
Company, 1962.
33. Magnus W., О b er h e 11 i nger F., SoniR. P. Formulasand Theo-
rems for the Special Functions of Mathematical Physics.—3 ed.— New
York —Berlin: Springer-Verlag, 1966.
34. Mangut is V. Handbook of Series for Scientists and Engineers. —N. Y.:
Academic Press Inc., 1965.
35. Mathai A. M., Saxena R. K. Generalized Hypergeometric Functions
with Applications in Statistics and Physical Sciences.Leet. Notes Math.,
348, 1973.
36. OberhettingerF. Tabellen zur Fourier Transformation. — Berlin:
Springer-Verlag, 1957.
37. Obergettinger F., Badii L. Tables of Laplace Transforms.—Ber-
lin—Heidelberg—New York: Springer-Verlag, 1973.
38. OberhettingerF. Fourier expansions. A collection of formulas. —
N. Y.: Academic Press, 1973.
39. OberhettingerF. Tables of Mellin Transforms. —New York—Heidel-
berg— Berlin: Springer-Verlag, 1974.
40. R a m a n u j a n A. S. Collected Paoers. — N. Y.: Chealsea Publ’shing Co.,
1962. ‘ *
41. R i ordan J. Combinatorial Identities. —N. Y.: John Wiley and Sons Inc.,
1968.
42. Sc h watt I. J. An Introduction to the Operations with Series. —N. Y.:
Chealsea Publishing Co., 1924. »
43. Slater L. J. Generalized Hypergeometric' Functions.—London — New
York: Cambridge Univ. Press, 1966.
44. Wbeeton A. D. Tables of Summable Series and Integrals Involving Bes-
sel Functions.— San Francisco: Holden —Day Inc., 1968.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
I. Гобсон E. В. Теэрит сферических и эллипсоидальных функций. — Мл
ИЛ, 1952.
2. Г р е й Э., М э т ь ю з Г. Функции Бесселя и их приложения к физике н
механике. — AL: ИЛ, 1953.
3. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — М.: Наука, 1977,
ЛИТЕРАТУРА 785
4. Д ё ч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лап-
ласа и г-пресбразованпя. — М.: Наука, 1971.
5. Д и т к и н В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление по двум
переменным и его приложения. — М.: Физматгиз, 1958.
6. Журавский А. М. Справочник по эллиптическим функциям. — М.;
Л.:'изд-во АН СССР, 1941.
7. Кампе де Ферье Ж-, Кемпбелл Р., Пет ьо Г., Фогель Т.
Функции математической физики. — М.: Физматгиз, 1963.
8, К о р е н е в Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. — М.: Наука»
1971.
9. К о р н Г., К о р и Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1977.
10. Кратцер Л., Франц В. Трансцендентные функции. — М.: ИЛ, 1963.
11. Кузнецов Д. С. Специальные функции. — М.: Высшая школа, 1965.
12. К у з ь м и н Р. О. Бесселевы функции. —М.; Л.: ГТТИ, 1933.
13. Люк Ю. Специальные математические функции и нх аппроксимации. —
М.: Мир, 1980.
14. М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г. Методы теоретической физики. — М.: ИЛ»
1958, т. 1; 1960, т. 2.
15. Оберхеттингер Ф- Преобразования Фурье распределений и нх об-
ращения. — М.: Наука, 1979.
16. С е г е Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.
17. С и к о р с к и й Ю. С. Элементы теории эллиптических функций с прило-
жениями к механике. — М.; Л.: ОН!И, 1936.
18. С н е д д о н И. Преобразования Фурье. — М.: ИЛ, 1955.
19. Слейтер Л. Дж. Вырожденные гипергеометрические функции. — М.:
ВЦ АН СССР, 1966.
20. С о н и н Н. Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальны^
полиномах. — М.: Гостехиздат, 1954.
21. Титчмарш Е. Дзета-функция Римана. — М.: ИЛ, 1947.
22. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.: Гостехиз-
дат, 1948.
23. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической фи-
зике. — М.: Гостехиздат, 1956.
24. Э ф р о с А. М.» Данилевский А. М. Операционное исчисление и кон-
турные интегралы. — Харьков: ГНТИУ, 1937.
25. Я н у ш а у с к а с А. И. Двойные ряды. — Новосибирск: Наука, 1980.
26. А р р е 11 Р. Sur les foncttens hypergeometriques de plusieures variables. —
P.: Gaulhier-Villars, 1925.
27. Appell P., Kam pe de Feriet J. Fonctions hypergeometriques et
hy perspheriques. — P.: Gauthier-Villars, 1926.
28. Ar t i n E. Einfuhrung in die Theorte der Gamma-Funktlon. — Leipzig, 1931,
29. Bailey W. W. Generalized hyporgeometric series. — Cambridge, 1935.
30. В i ere ns de Haan D. Nouvelles tables d'integrates definies. — N. Y.:
Hafner Inc., 1957.
31. Buchholz H. Die konfluente hypergeometrische Function. — B1.:Sprin-
ger- Ver lag, 1953.
32. Campbell G., Foster R. Fourier integrals for practical applications. —
N. Y.: \an Nostrand, 1948.
33. С а г 1 i t z L. Generating functions. — Duke University, 1969.
34. Colombo S. les transformations de Mellin et de Hankel, applications
a la physique mathematique. — P.: CNRS, 1959.
35. Colom bo S., Lai о t ne J. Transformation de Laplace et de Mellin. For-
mulaires. Mode d’utilisation. — P.: Mem. Sci. Meth.» 1972.
36. Doetsch G. Handbuch der Laplace-Transformation. — Basel, Birkhauser
Verlag. 1950—1955. Bd. I—IV.
37. D о e t s c h G., К n i e s s H., Voelker D. Tabelten zur Laplace-Trans-
formation. — Berlin; Gcttingen, Springer-Verlag, 1947.
786 ЛИТЕРАТУРА
38. Е г d ё 1 у i A. Operational calculus and generalized functions. — N. Y.:
Holt, Rinehart and Winston, 1962.
39. E x t о n H. Multiple hypergeometric functions and applications. — Chiches^
ter (Sussex): Horwood, 1976.
40. Exton H. Handbook of h> pergeometric integrals: theory, applications, tab-
les, computer programs. — Chichester (Sussex): Horwood, 1978.
41. К a m p e de Feriet J. La fonction hypeigeometrique. —- P.: Gauthier-
Villar, 1937.
42. Knopp K. Theory and applications of infinite series. — L.: Blackie and
Son, 1951.
43. К n о p p K. Infinite sequences and series. — N. Y.: Dover Publ. Inc., 1956.
44. Lindman C. F. Examen des nouxelles tables d’integrales definies de M. Bie-
rens de Haan. — N. Y.: Hafner Publ. Co., 1944.
45. At a g n u s W., Oberhettinger F., S о n i P. R. Formulas and theo-
rems for the special functions of mathematical physics. — N. Y.: Springer-
Verlag, 1966.
46. M с В г i d e E. B. Obtaining generating functions. — B.t Springer-Verlag,
1971.
47. McLachlan N. W. Bessel functions for engineers. — Oxford: Clarendon
Press, 1955.
48. M c L a c h 1 a n N. W., Humbert P. Formula ire pour ie caleul symbo-
lique. — P.: Gauthier-Villar, 1950.
49. M c L a c h 1 a n N. W., H u m b er t P., P о 1 i L-. Supplement an formula-
ire pour le calcul symbolique. — P.: Mem. Sci. Math., 1950.
EO. M e у e r zur C a pel 1 e n. Integraltafeln. Sammlung unbestimmter Inte-
grate elemcntarer Funktioncn.— Berlin; Gottingen; Heidelberg, 1950.
51. N e v i I 1 e E. H. Jacobian elliptic functions. — L.: Oxford Univ. Press, 1957.
52. N i e 1 s e n N. Handbuch dec Theorie der Gammafunction. — Leipzig: Teub-
ner, 1906.
53. N i e 1 s e n N. Theorie des Integrallogarithmus and verwandter Transzehden-
ten. Leipzig: Teubner. 1905.
54. N or 1 u n g N. E. Sur les fonction hypergeometriques d’ordre superior.—-
Kobenhavn, 1956.
55. Oberhettinger F., Magnus W. Anwendung dcr elliptischen Func-
tionen in Physik und Technik. — B.: Springer-Verlag, 1949.
56. Pierce В. O., Foster R.M. A short table of integrals. — Fourth ed, —-
Ginn, 1956.
57. P e t i a u G. La theorie des fonctions de Bessel. — P.: CNRS, 1955.
58. Rainville E. D. Special functions. — N. Y.: Alacmillan Co., I960.
59. Roberts G. E., Kaufman H. Table of Laplace transforms. — Toronto:
McAinsh and Co.; Philadelphia; London: W. B. Saunders Co., 1966.
60. Sneddon J. The use of integral transforms. — N. Y.: McGraw-Hill, 1972.
€1. T r i с о m i F. Elliptische Functionen. — Leipzig: Academische VerlagsgeseH-
schaft, 1948.
62. T r i с о m i F. G. Funzioni ipergecmetriche confluentL — R.: Edizioni Cre-
monese, 1954.
63. Voelker D., Doetsch G. Die Zweidimcnsionale Laplace Transforma-
tion. — Basel: Birkhauser, 1950.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ПОСТОЯННЫХ
' - ?
А (х)—алгебраическая функция или степенная функция с произвольным показа*
гелей
ат и
атв=ат(и. I)—эллиптическая функция Якоби, u— ? ----------------— —
J /I— fe»sin«<p
arccos 2, arccosec г, arcsec 2, arcsin г. arcctg z, arctg г—обратные тригонометрические
функции
Arch2, Arcosechz. Arsechz, Arshz. Arcthг, Arthz — обратные гиперболические
функции •£«•,. . '
arg z —аргумент комплексного числа г (z = | г|е,аг£г)
Вп — числа Бернулли
Вп (?) — многочлены Бернулли г ! /
beiv(z>, berv(z), fcei (z) = bei, (z). ber (z) = berfl (z) (berv(z)4-(beiv (z)=-
«И — функции Кельвина
С =0,5772156649 ...—постоянная Эблера
х
С (х) =—-Д —dt — косикус-цнтеграл Френеля
VI » .
оо
С(х, o) = J ta~la»tdt f Re а < 1J—обобгцениый косинус-интеграл Фреаедц< *
х О *
1 (2М„ ( 1 * —г\
С- (г) = —ri (—я, я 4- 2А; К+ -к-: —5—) — многочлены Гегенбауэра
* ь. • Я! А. Л Z /, у
cd в = "сп и— cos (am а) — эллиптические функции Якоба
ап и
ch г—гиперболическая функция ч
< ‘Г » * »
X .
f ch t_1 "
chi (xj =С + In х 4- \-----dt — интегральные гиперболический ко^ииув
. о
<ю
ci(x) — —-с<^—dt — интегральный косииуо
ь х
* • It,
z
С / *
С1, (г) = — \ In 12 sin ) dx — иитеграл Клаузена
о
ДОЗ2, cosec2=—Actgг—тригонометрические функции
cosech z = . ", cth z — гиперболические функции
Su Z
788 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ И ПОСТОЯННЫХ
я/2
D(fr) = ( 51пф</ф—j=d /g — волныВ эллиптический интеграл
J /1— \2 J
9
$sln* <р dtp
л ==• — эллиптический интеграл
/1 —к»51Пгф
Dv (z) = 2v^2e 2*/4у 4’ 4 ’ 4г) — Функция параболического цилиндра
— dnu-Zl-VsinMam u), ds и=4~П “ ~эллиптические функции Якоби
СП М С.П ЯД •
Я/2
Е(й)= J У"1—А*81п*ф<Гф—полный эллиптический интеграл 2-го реда
О
Ф
Е(Ф. fe)=^ 1^1—ft* sin* фг/ф—эллиптический интеграл 2-го рода
О
числа Эйлера
Ея (z)—многочлены Эйлера
я
Еф(4= 45 slnzв»»ФМф—функция Вебера
О
.^(г. 10= 2 r(ji,+*P~*> функции Мкттаг-Лерфлем
fc=O
С /
Ei(x)= 1 интегральная показательная функция
—со
И =2,718281828459 ...
«лг=ехр а—показательная функция
—явтсграл вфоатноств
ей
erfc(jc)—>—erfж= —Д- ( дополнительный иатегра» вероятности
’'"1
г
erfi(x)——Д- ( Л—интеграл вероятиости мнимого аргумента
^0
с
1?(ф, й)= \ _ •— мливтичееквй интеграл 1-го рода
г V1—1*Йп»ф
V-» (•*)> (Wb
F{a, Ы п z)=ztFt(a, to ««)= > , —гт-5 ьг — пшергеометрическая функция
й=0
Гаусса
/,(*»••••'/*г — »г )-о <!»,.....*4 ) (М»“
обобщенная гипергеометрнческая функция
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ И ПОСТОЯННЫХ
789
*F((a; 6. z) = > * —вырожденная гипергеометрическая функция
(о)*6'
4 = 0
Fj (...; z, £) (i = 1. 2. 3. 4] —функции Аппеля
(Ь)ь №'>ь 2*{/
Fi(a, fe. fe’; а г, £) = -*+<*-* — (|л|, |С1<П
4. /=0. “ k+l
. <*>*<*%
2 —тЬАНтПГ tl»l+ltl<U
4» I = О * 1
чгт VO/f CA*)»
'.<«.«'• S "<L, ТПГ tl’I-lCK'l
4, 1=0 *+r
F*fr. b; r, c’;z. 0 = V —лy""-gHT +HU<»1
V7A W fj K* И
4. 1 = 0 * *
°® ь
^~T 11
C= >, ;az~, ... =0,9<a9G55942 ...—постоянная Каталана
ЛшЛ (2в4-1г
4 = 0
о z»\v4-^ 1
• в„(г) = —( — ) —«И-------3^2* *4-3/2: — zr/4)— функция Струве
V Уя\2/ Г(т+3/2)1а
Hv>(z) = /v<?>4-«Vv(2|, Hy'(z> = Jv(z) — £VvU) —функции Бесселч 3-го рода
<фуцкциц Ганке л и L-ro и 2-го рода)
Н (z) = (— 1)лег* —— е~г* — многочлены Эрмита
® rfz®
Vv<4=^li?-v"^0> м+3/2: *‘~v+2’ 2г>
УлГ(}*— а 4- ПГ(|*4-т+ 1) Г . -in(v — Ц)Я „
--------тгпт;---. д ' ' I * V *2’ 4----------Kv
2**ПГ (|*4-3/2) I v л cos цл »
h:iv(z). herv(z). _ b~i (z) = hetjfz)»
-Я‘‘Че3л1,^>) — фул.сш.и Кельвина
her (z) = her,(2) (her^(z) 4-1 he1v(z) =
7v(z> = r<vTl)' (”)V *F* (V , Z* ) —e~V3li^Jv(z^tif^—модифицированная функ-
ция Бесселя 1 го рода (функция Бесселя мнимого аргумента)
1тг —миимтя часть комплексного кисла z = x4*tp (Imz=sf)
/ 21 /
АЛ2) \ 2 ) г (*’4- n ®F 1 v +11
— функция Бесселя i-го рода
л
Jv(2)=^ cos (уф—zsin®) d®—функция Ангера
О
я/2
К(4)= J
О
dtp = F / Л
Kl—4«stn*®
4)—полный эллиптический интеграл 1-го рода
790
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ И ПОСТОЯННЫХ
я[/„(г) — /v (z)l
KVW=--------2stnVjt----- Кя(2)= Jhm /^(2) |п=0»±1.±2.-1—
функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя 3-го рода)
к, к' |0 к 1; fe' — К1 — fe2) — модуль и дополнительный модуль в эллиптических
интегралах
kv(z)=—wv/2, i/2<2z>~ функция Бейтмена
keiw(z). kerv(z), kei (z) = keie(z), kcr (z) = kerfl (z) (kerv (z) + ikeiv(z) —
=e— V3l,/2/(v (ejl,7‘*zjj — функции Кельвина
X
L (x) = — J In cos tdt — функция Лобачевского
О
*¥(г) = е <v + *>3U/2Hv(eJl,V2z}— модифицированная функция Струве
Ln (2) = £^(т) —многочлены Лагерра
,V,„. 2~veg d*
L»u)“Tr^
(zn!ve ^—обобщенные многочлены Лагеррн
z*
LJa<2>= S P-
fe=l
2 T
\ —>—— |Res>fc I afg(l—z) (<Я}— яолилогарн>м иорядка •
1 fSj J t
о e —z
x
]j (z) — Ei (In z). li (x) = -интегральный логарифм, Hz— to f Z f 4 z arg z — naty*
0
ральиый логарифм fz = 12 e* (argZrf-Satfe), Й = = в^±Л,±2»—.|-
JHK>|t(z) = z*l+*^e——x-f-K 2|*4-1; z) — вырожденная гвпергеомстриче*
ская функция Уиттекера
, 1 . Т 1 ,
ген» nd u, liSM, ncu =-------, ne« = -r--, ns»=—-эллиптические функции
СП и CPU. SHM
Ям>бн
/п___________________ь_|м
О <z)=— 7. -------п—~ I —многочлены Неймана
» 4 JH \2/
fc=O
2-n da
р (z)= ----— (z* — 1г*— многочлены Лежандра
• я! dz"
*v(?>=^<*> = Л (-’• 1 +* к -Цг1) < л}—функция Лежандра
,1-го рода
^v^^rTi-p) (т=4)*1/2 л (~v’ ,+х ‘•“•s *|arg(2~ *>»<*)»
^v^^rTi1 ..ч (~у» 1 + *• *—f—l<x< О—присоединен»
иая функция Лежандра 1-> о рода
Р^' (z)=<~1— (1 — z/^il + z)~^ [(I—Z)af* 0 -f многочлены Якоби
п 2nat dr*
{г) = Qv <г>—функция Лежандра 2-го рода
^(2}= Г Р*+’Л11 г*-**(2*-1)»^Л «М-»+ НА й»-фУМ2-Ф*. *+
” 2**'* L *“> *^/* J
43/2; г-*) [)arg(2±l)|. |argzj<Mj,
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ПОСТОЯННЫХ
Qv Ю = £ «“ ‘ЦЛ [е “*Я/29у (*+Л> + efu"/2Q* (г - (О)] -
~ 2ып*цл [PV (*)cosил —г[* [—К* < Ц-присоединен-
пая функция Лежандра 2-го рода
Л(х)—рациональная функция
* е
Rez—действительная часть комплексного числа z — x-\-iy (Rez = x)
X
1 С sin f
S (х) =-—= I —— Л—синус-интеграл Френеля
/2ЛJ Vt
О *
со
S(x, а)= f ia~1sinfdi [Rea<l]— обобщенный синус-интеграл Френеля
г *j- ‘
-z*/4)+2«*-i х
X Г [“*’ —jf—ft + *“•“ 2±/4) “ фуикция Ломме л я
jp+i
’ру<г>=ЙГЗ?4йГйГ^^ -«VO-функция
Ломиеля
х
Si (х) sa $ -5-л - _ интегральный синус
° I
оо
sj (ж) = Si (г) — =—1 dt — интегральный синус
£ «I *
X
— i Si (ix) — интегральный гиперболический синус
* f ч
зес £ ----—тригонометрическая фуикция
cos к
. 1 ,
sech гиперболическая функция
, i, х>о,
egnx = J 0. х = 0,
shz—гиперболическая функция
х
shlx-J
О
sinz—тригонометрическая функция
sn u= sin lam «) —эллиптическая функция Якоби
Тя (z) — cos (п arccos z)= ~ [(z + У^“-Л)я + (z — Kz« -1)“] — многочлены Чебышева
1-го рода
= —тригонометрическая функция
CObZ
thz—-^т— —гиперболическая функция *
СП Z
(f (z) — sin ar9£(^Zl —^многочлены Чебышева 2-го рода
Д'
Ki—2»
со
Uv(z, 0= 2 (-D1
fc = O
W (z)=zM’ + ,/2e“*ar/24y(l/2—х+и. 2м4-1; 2)—вырожденная Ррггергёометрнче
екая функция Уиттекера
v-f-2fc |
| /у+2йЮ—Функция Ломмеля двух беременный
792
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ПОСТОЯННЫХ
COS VJt Jv (2) — J_ v (2)
yvfz>=’-------ihTVS------- Yn&= lim Vv(*> И = ±L ±2.
функция Неймана (функция Бесселя 2-го рода)
Уя(г) — многочлены Бесселя
В («. 0)= - бета-функция
1 (а + р)
*<’>= И* -♦(>)]
оо
Г (г) — f iz ~~ ,е“ dt [Re ar> 0) — гамма-функция
О
оо
Г (а, х) — J ~ * dt— дополнительная неполная гамма-функция
х
х
у (а, х) = Г(а> — Г (а. х)=| ~ ,е~ * Л — неполная гамма-функция
О
т
Г АП П Г<0»)
r«t.....fc--l____________
Г|&.......bn I- г»
k
2
я* — символ Кронекера
т — п.
а а 4
Д(2. в)=^
v.4!:
00
t(s)= У [Res>l)—дзета-функция Рвмаиа
k=l feS
оо
f(St u) = V ---!- [Res>r, о 5^0, — 1, —2, обобщенная дзета-функция
*=o(° + fc>s
Римана
е»(о, л) =14-2 У (—D*e—fc,n,xсозрел.
Л = 0
6» <з. х)=2 У (— l)fce~<fc + W«‘*sin(2k4-1)
fc=0
&(». х)=2 у е— <ь + ,/2>‘я®х СО$(2Й4-1)ОЛ,
Jb=O
оо
0S (о, х) = 14-2 У е—ft*«*xcos 2fcv5l»
fe=l
в4(у, х)г£в«(э. х) — эллиптические тэта-функции
а
А(х, а)=|х“"*Г(/4-1)Л
О
? xt
v(x)x= J Г « 4- 5 Л
О
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИЙ И ПОСТОЯННЫХ
793
ф d
П(®, п» &) = ( — — эллиптический интеграл 3-го рода
j (1 —I» Sin* ф) VI—fe2 sin1 ф
к
Фи, s. v)= У ——- (Iг 1<1; Р^О, -1, —2. ...|
й=0 <’ + *>
S°° fc(aa)<?. fe — (°rh. A fe _ -
W.ft^.fe • (^.ft
гфа(вг er •—V bv bv
ный гипергеэметрнческвй ряд
0 [»«=!» 2, 3,
о=1.
V(a, Ь; Я)=гГ J ^ liFJo; а а)4-гГс 2— с, z>—вырож-
j L я J
денная гнпергезметрцческяя функция
Ф (г) = Пп Г (г)]' = —всн-функция
фС’) (г) =——ф (а)
dzn
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СИМВОЛОВ
(а)й=а (а +1>... (а -f- fc — 1) [6 = 1, 2, 3, (а)а = 1 — символ Похгаммера
л1 = 1-2-3 ... (л — 1)я, 01 = 11 = 1
(2л)!1 =2-4.6... (2я) = 2пл1
(2» +1)1! = 1-3-5... (2я4-1)=^—-Г(л4~—] = [—) 2*
/я к 2/ \2jn
(264-1)11, л = 264-1, 01 ~ ‘И’—1
fn\ «(я — О — (я — *4-1) «I (—l)fe(—п)ь *
(д\—_ _______ ___________— * - g — бнномиальныа коэффв
\6_/ 6! 61 (л—6)1 61
ццеаты
©-
Rea. Reb>e означает Rea>e и Re&>6
(г] = л [д<л:<;л4-1. л=0, ±1. +;2, ...]—целая часть чнслая
a=jt — iy [z=x4-4f]
|г|=У*‘4-1/*
| *<0
П <«б=влвл^ 'ля !«>«!
6=т
=1 [«<«!
оо п
П Яь(*)=» Пт П
6 = 1 * «-OOfe=:l
£ °6=em+amu+- + e« Гя>'п1
6 = Л1
=0 [я <. mj ,
У «и £ «*(«>
6 = ! * «-*«6 = 1
УКАЗАТЕЛЬ РАЗЛОЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
В РЯДЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
»1 |x)v 4.2 3 1, 5.129.12—13, 5X2.1—10,
5.2.10.8» 5.2.11.17
(1-хГл 5-2И-3
(1— x)t«/2 5.2.13.1—2, 5.2.13.6
(>4-х‘4-...х“Р 54.18.12
е* 5 2.7.2
o' 5 2.7.3
sb ж 5.2.7.6, 5.4X8, 5.4X24-25-
sh3,,1x 4.3.1.8
slr2nx 4.3.1.10
cb х 5.2.7.5, 5.4X1—2, 5 Л.6.28-27
ch'^x 4.3.1 12
co^chx 4.3.2, 5.IJ5, 5.1J7X 5X5.8,
5 3.6.7, 5.4.5,5. 5Л.5.8
cosech* х 5.3.6.7
sech ж 4.3 2,5.1.26
th л 4.3 2. 5.1.26, 5.1.28.1
cthx 4X2, 5.1.25, 5.1.26.16, 5.1.27.3—4,
5.3.8.4—6
«*•<**• sb (rshx) 5.3X2
ff ch x ch (r sh x> 5 3X2
sh ax scch у 5.4.6.24 ,
ch x scch у 5.4.6 27
sech x sec x 5.3.7 10—11
-X th x 1g* 5X8.3
X*
cth x ctg x 5X9.5
sine 5.2 7.6, 5.4.3 4—6, 5.4X8, 5.4X19-20,
5.4X24—25
sin3 * 5 *’x 4.4.1.IX 5.2.18.8
Sin2"11* 4.4.1 17. 5J 13.10
cosx 5.2.7.5, 5.1.3 4-5, 5.4X1—2, 5.4X21—22,
5 4.16.4, 5.4.6 26-27
cos* л л 4.6-25» 5-1-16.5
SOS* ж 4.4.1.16-18.5 2169
e* sin x 5.2.7Л
5 2.7.13
5.2 7.7
5.2 7.7
5 J 7.Ю
5.2.7 15
5 2.7.11
5.2.7.10
5.2.7 13
e* cos x 5.2 7 4
sh x sin x
chx ып x
sh x cos x
cb x cos x
shx — sin x
sh к 4- sin x
chx cosx
chx — cosx
sin x
cosx » cha
1
5.4.12.1
5.4.12J
COS X j» ch a
e — cos a sift(sjnx), e— cos r cos(sinx> 5.4.7.1—2
sinex sec у 5.4X24
cos x sec у 5 4.6.27
(COS xy-*/2 sin * 5ЛХ30
(cos xJ— ’/2 co? ~2 5.4.6.30, 5.4X6
cosec x 5.1.25, 5.127, 5.2.3.5-Х 5.3.5X
5.4.5X 5.4X8, 5.4.16 10, 5.4.16 16
sec x 5 1.26.3, 5.1J6
tgx 5.1.26
ctgx 4.4.7.1. 4Л.7.4, a.i.6.4, 5.1.25.4. 5.1.25.22,
5.4.16.14
COS* X
4.4.7.17
COs”x
h»(l±x) 5.2.43—4, 5.34.4
(1 — x") In (1 — x> 5.2X2—7
(1— x>-* ln<> — x) 52.174
b»(i — x4-*2) 5.2.18.7
5 24X 5.2 4.13
ln(l — 2r ccsx4-r*> 5.4.9.13
796
УКАЗАТЕЛЬ РАЗЛОЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИИ В РЯДЫ
(1 4- xZ)p In (1 + х) 5.2.18 6
In* (I— x) 5.2 17.2
In (t x) In (1 —x) 5.2.17.4
In sinx 5.4.2 9
In cos x 5.4.2.10
in ctg x S.4.6.7—8
sin x In sin x 5.4.6.15
cos x In cos x 5.4.6.18
cos x in sin 5.4.5.T
cos x in tg ~ 5.4.5.10
A
sin xMr«tg* x 5.4.3.13—14
cos x In ctg1 r 5 4.3.13—14, 5.4.5 10
In*cosx 5.4.16.6
«resin x 5.2.13.10
(1 fx*)’/2 arc=in v 5.2.14.2, 5.2.14.5
arcsin* x 5.2.14.3
arc.-in*x 5.2 17 16
arctg Xя 4.4 9.6—7
arctg* x 5.2.17 5
<l+x*)p aretgx 5.2.18.5
in (1 -|- x*) arctg x 5,2.17.7
in ( j-ZTj) arcts 1 5-2 17 8
Arsh r 5.2.13 10, 5.2.13,19,5.2.14.1-5.5.2.16.3
(1 f Arji x 5 2 и 2, 5.2.14.5
Ars’i* r 5 2.11.3
Arth r 5.2 5 8—15, 5.2.6.T
Arth*x 5.2.17.5
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
am u 5.4.14.10
Bn 5.1.2.2, 5.1 2.4. 5.1.4-1
Bn (x) 5.4.2.5-8
bei (x) 5.2.10.5, 5 2.17.14—15
bei' (л) 5.2 10.4
x—vLeiv{x) 5.2.10.15
ber (x) 5.2.10.3, 5.2.17.14—15
ler'(r) 5.2.10.6
x~v fcerv (r) 5.2.10.15
x"2* [1 er| (x) + beiJ (r)] 5.2.12.1
x"2vl |berv (x) Ьегу(х> — bereft) teiv (x)]
5.2.12.2 • *
x1“sv (berv (x) LeTy (x) + bei^ (x) beiy (r)]
5.2.12.3
C (x) 5.2.8.17
C*(cos*) 4.4.1.26 ’
x"C*(—\ 4.1.7.20
C^“e(x). 4.1.7.24,4.2.10.17
C“v — l/2(i-2r) 4.2.10.15
xncl~v~n(- 4.2 10.19
" \ x /
x"c’“e+»'2U-®\ 4.2.10.13
n \ x /
^*С2п~V~2П ( V* --7) 4-2-10-14
Hv (x) 5.2.10.22-23
H«(x) 5.2.15.3, 5.2.15.6—8
xH. (x) 5.2.15.1 *
H, (xt 5.2.15.2, 5.2 15 5
x"v-1Hv(x) 5.2.10.10
Xя [e + « (- 4 41.717
ЯН X ] n+l \X / I
Xя W + 4.1.7.13, 4.2.3.33
Ял(г) 4.17.13
4.1.7.12,4.2 7.45
e*VvU> 52!82
Уя(г) 5Д55.1. 5 2.10.1
,'vr) 5.2.10.13
x-vJ¥(r) 5.2.10.7
5.2.16.2
5‘2|6Л
x (x)VJ 5-2-16-5
X24 •1 [ J-n 4-1/2 Ui + l/2 (x)J 4.1.7.21
Jn + iEn (£t) 5'210 10
Jv (r) cos nv4- Ev (x) nn яу 5.2.Ю12
x П P« (lx)£Hn U V)1 5-2-10-11
5.2.10.1
x“'7v(O 5.2.10 7
e± 4V <x) 5 2 14 27. 5 2’. 16.1
5.2.10.3, 5.2.10.5
ЛГО+ЫП 5.210.4
Jo(t) + /£(x) 5.2 10.6
5.2.12.4
x-2\rv (X) /v (X) 5.2 12.1
УКАЗАТЕЛЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИИ В РЯДЫ
191
KWE(k) 5.3. 6.5
К (к) 5.1.9.2, 5.1.9.4, 5.2.16.6, 5.36.3 5.4Л8,
5.4.14
fcK W 5.3.4.1, 5.36.4
К (к) tin и 5.3.3.4
дл4-1/2йл/(п+1/2^ 4.1.7.19
кег(х) 5.2.17.14—15
1«.х> 5.2 15.5
лГ^ЦСх) 5.2.Ю.9
*Я + iy2['-«-l/2<*>-4+J/2 <*>1 ШЛ
L*U) 4.1.7.11
1ля(х) 5.33.3 5.2.5.4. 5.2.5.13, 5.2.6»
5.2.17.3, 5.2.17.9
XntlO/j(x) 4.1.7.15
Ря<х) 4.1.7.23» 4.2.10.18» 4.4.1.25
Ря(1-4-2х) 4.2.7.12
Х*РЯ 4.2.7.11» 4.2.10.20
х"Р „(1--Л 4.2.10.10
я \ х /
ж"Р 4.2.7.38» 4Ji.10.16
»\ 2х /
0-x)nPn(yi£) 4-2.76
4.1.7^5,4.2.10.11
Р2я (^Г^х*) 4.2.78
PV(O 522.13,28
Р“(х> 34.8.9
(х—W (х> 4.2.7.30
<?** (X) 5.4.8.9-10
S(x) 5.2.8.19
^,v(x) 5.2.18.1
Shi (г) 5.2.8.15
Sj(x) 5.2.8.15,
г«(’~т) 4X, ae
г.(т) 6X3-«
4 2.10.12
*" тл 4.1 7.22. 4.2.3.28
17а(1—х) 4.1.7.27
(4") 4-2-3’7*
Vv(x, 0) 5.2.7.21,5.2.11.8—9
0(х) 5.1.3.6, 5.1.5.1, 5.1.6.5, 5.1.6.10, 5.1.15.5,
cw. также 4.1.2.7—9, 4.1.3.2—5, 4.1.4.1,
4.1.4.8, 4.1.4.11, 4.1.5.1, 4.4.8.16, 5.1.3.6,
5.1.6, 5.1.15, 5.1.21.3, 5.1.25.10, 5.1.25.13.
5.1.25.24, 5.1.263, 5.1.26.17, 5.1.26.33
р(п> (х; 5.1.3.6
Р(Ь) —8(a) 5.1.6.2
х~^у(а,х> 5.1.31.1, 5JJB.1
хяГ(л,х) 5.2.8.2
е*Г(1»»х) 4.1.7.10
£(х) 5.1 Л 1
(г1"1*— 1)С(х) 5.15Л
(l-2“-r)^(x) 5.1.4Л
t(x, о) 5.1.3.1» см. также 4.1.2.6, 4.1.31,
5.4.2.1—2
ft(r, <?) 5.1.29.10, 5.3.2.5, 5.3.2.16» 5.4.11.1
0х(х»«} 5.1.29.10, 5.3.2.3, 5.32.6, 5,3.2.16,
5.4.11.1
0, (х, <71 5.1.29.11, 5.3.2.1-2. 5.3.2.15, 5.3.33.
5.4.11.2
04 (х, 9) 5.1.29.11, 5.32.2, &&2.15, 5.4.11.2
ф(х, s, d) 5.2.3.1—2
ф(х) 5.1.6.10» см. также 4.1 J.2—5, 4.13.2—6»
4.1.4 1, 4.I.4.7, 4.1.4.9, 4.1Л.1, 4.310.28,
4.4.815, 51.32, 5.1.6.2. 5.1.6.12, 5.1.6.1&
5.1.15.2—3,5.1.15.9» 5.1.21.3, 5.1.24.1,5.1.25.2»
5.1.25.13,5.1.25.28,31^6.12.5.1.2‘Г J235.5.1.19,
5.5J2.3]
♦<я>(х) 5.I.3.2
—51.6.2
*>**(i) 5.5.1.27
УКАЗАТЕЛЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
<?(х) 1.5 53.3
С(х,а) 1.5.41.21
Clt (х) 1.6.4.6—7. 1.6.10.16, 1.7.4.13
chi (х) 1.4.21.8
ci (х) 1.3 3 34. 1.5,41.13, 1QA 2.5.29.1
Dv(x) 2.3.6.12
E (fe) 2.2.5.18, 2.5.19.13, 2.5, 1W-2|
Ev(x) 2.5.27 3, 2.5.27.14
Ei (x) 1.3.2.14, 1.3.2,22. L3.2.33, 1.3.3.13»
15 1.15, 1.6.10.3, 2.3.4.3, 2.3.4.T, 2.3.18 3»
2.3.19.8. 2.5.28.2, 2 6.33*8. 2,7.6.2-
Et (r) Ei f—x) 2.6.24.8
erf (x) 1.3.2.16, 1.3.3.1, 2.4.15.2. 2.5.445
2.3.6.4
erfc(x) 1.3.2.19, 1.3.3'Э, 2.3.4.5
erfc2 (x) 2.3.6.3
erfi (x) 1 3.2.15, 1.3.3 J
tFt (a; b; x) 2.3.6.1, 2Д.6.18
Hv(x) 2.5.6.1, 2.5.8.2
8$' (x), (x) .2.3.SL5, 2.3.6.17. 2.4.18 14
2 3.15.10
n
IV(X) 2.3.5.1, 2.3.6.2. 2.|.3.9| 2.4.3 11
/f/4(x) 2.4.3.12
Jv(x) 2.3.5.3, 2.3.16.8, 2.5.6.1—2. 2.5.S.2,
2.5.27, 2.5.55.1—7 !*
2.5.7.3
Jv(r) 2.5.27.16
Jv(x) —Jv(x) 2 3.11.2, 2.4.18.9. 2.S.12.8
K(fe) 2.2.5.18. 2.5.16.47, 2.5.19.20—26, 2.6.8.1,
2.6.8.10, 2.6.14.8. 2.6.38.10—11, 2.6.39.18
*v(x) 2.3.5.4, 2.3.5.7. 2.3.6.7, 2.3.10.5,
2.3.11.8—12,2.3.16.1, 2.S.6.4,2.5.9.11, 2.5.11.6,
2.5.23.7, 2 6.22.9
Kv + 1/4 <*) *v-1/4 (*> 2-3-11.8, 2.4.18.7
*1/4 (О 2.3.73
*1/4 < О *3/4 <0 2.3.7.7
*1/4<0 yl/4<0 2.5 9.7
Lv(e) 2.4.3.11
bv(rt —/VW 2.5.6.3. 2.5X3, 2.7.3.4
L“(r) 2.5.7.11—12-
Lis(r) 1.6.5.9,1.6.6.8,2.3.14.5
li (x) 1.6.2.3
Ря(х) 2.5.16X2.5.16.44
Pv(r» 2.4КГО, 2.4.6.28, 2.5.48.7, £5.49.4
2.4.6.1
(t) 2.4.M.1, 2.6.484
S(x) 1.5.53.3
S(K»a> 1Х41.Я, •
fhi (x) 1.4.21.8- 9, 2.5.44.2
Si (x), si(x) 1.3.2.34, 1.5.41 12, 1Е.ЮД
2.6.33.5
si4 (x) + ci* (x) 2.6.24.7, 2.6.33.2
Vv(t) 2.5.6.2, 2.5.B.4, 2.5.54.2, 2.5.54 7
1'1/1(0+Л/|(«> 2.3.7.12
Г 1/4(0 Jl/4<0 2.5.8.S
У„1Х1 — Ho (x) 2.6.25.5
₽(x) 2 2.4.1, 2.3.12.6, 2.4.105, 2.5.12.27»
2.6.31.3, 2.7.4.3
Г (а, x) 1.3.2.4, 1.5.40.20, 2.3.4 2
?(а, г) 1.3.2 3, 1.5.40.19, 2.5.44.4
C(x) 2.3.14.2, 2.3.14.6, 2.4.10,4?, 2X5.8»
2.6.19.4, 5.6.31.8, 2.7.Э.2
£(x, ») 2.3.13.22, 2.4.10.13, 2.4.12.5, 2.4.22 7.
2.6.5.T, 2.6.Э.6, 2.7.9.3
Ф (x, s. ») 1.2.4.2. 2.3.13.21 l4
t(x) 2.2.4.20, 2.2.5.17» 2.2.12.2, 2.2.1214»
2.3.19.1—2, 2.3.19.6, 2.4.22.5-6, 2.6.13.15,
2.6.17.19, 2.6.17.45, 2.6.18.14. 2.6.31.1,
2.6.31.5, 2.6.34.14, 2.6 34.17. 2.6.34.20,
2.6.39.16
V (a, bt x) 2.3.6.6, 2 3.6.9
Анатолий Платонович Прудников
Юрий Александрович Б р ы < к о в
Олег Игоревич М а р и ч е в
ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
М., 1981 г., 800 стр.
Редакторы Т. И. Кузнецова. Е. В. Шикни
Технический редактор В. Н. Кондакова
'Корректоры Г. В. Подвольская, Л. С. Сомова
ИБ № 11245
* Сдано в набор 29.10.80. Подписано к печати 13.05.81. Т-20002. Бумага 60X90*/i«. тип М 1.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 50. Уч.-над. л. 77,15. Тираж
70 000 экз. Заказ А» 1603. Цена книги 4 р. 30 к.
Издательство «Наука»
'Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
'Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР но делам издательств, поли-
графии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
И 7071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати:
Прудников А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., М а р и -
чев О. И ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ. СПЕЦИАЛЬ-
НЫЕ ФУНКЦИИ.
Книга содержит неопреде пенные и определенные интегралы
от спецпапьных функций, конечные су ямы, ряды и произведения
со специальными функциями Она является наиболее полным ру-
ководством и содержит результаты последних лет
Справочник может быть полезен научным работникам, инисе-
нерам и другим специалистам, использующим в своей работе спе-
циальные функция.