УДК 519.6	jY	Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.194	I* dip и: Российского фонда фундаментальных
5 39	^^ ** ^^ исследований по проекту 05-01-14003д
Брычков Ю. А. Специальные функции. Производные, интегралы, ряды и другие
формулы. Справочник. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 512 с. - ISBN 5-9221-0705-4.
В книге приведены производные, неопределенные и определенные интегралы, конечные
суммы, ряды и другие формулы, содержащие специальные функции. Она включает в основном
новые результаты и является ценным дополнением к существующим справочным руковод-
руководствам.
Книга предназначена для широкого круга специалистов в различных областях науки и
техники, а также для студентов высших учебных заведений.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0705-4	© Ю.А. Брычков, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................	14
Глава 1. Дифференцирование ....................................	15
1.1.	Элементарные функции ......................................	15
1.1.1.	Общие формулы ............................................	15
1.1.2.	Алгебраические функции .......................................	15
1.1.3.	Показательная функция .......................................	18
1.1.4.	Гиперболические функции ......................................	19
1.1.5.	Тригонометрические функции ....................................	20
1.1.6.	Логарифмическая функция .....................................	24
1.1.7.	Обратные тригонометрические функции .............................	25
1.2.	Обобщенная дзета-функция Гурвица ^(i/,z) ........................	26
1.2.1.	Производные по аргументу ......................................	26
1.2.2.	Производные по параметру ......................................	26
1.3.	Интегральная показательная функция Ei (z) .......................	27
1.3.1. Производные по аргументу ......................................	27
1.4.	Интегральные синус si (z) и косинус ci (z) .........................	27
1.4.1. Производные по аргументу ......................................	27
1.5.	Интегралы вероятности erf (z) и erfc (z) ...........................	28
1.5.1. Производные по аргументу ......................................	28
1.6.	Интегралы Френеля S(z) и C(z) ................................	30
1.6.1. Производные по аргументу ......................................	30
1.7.	Обобщенные интегралы Френеля S(z,is) и C(z,v) ...................	30
1.7.1. Производные по аргументу ......................................	30
1.8.	Неполные гамма-функции "/(i/, z), r(i/, z) ..........................	30
1.8.1.	Производные по аргументу ......................................	30
1.8.2.	Производные по параметру ......................................	31
1.9.	Функция параболического цилиндра Du(z) ........................	32
1.9.1.	Производные по аргументу ......................................	32
1.9.2.	Производные по порядку .......................................	34
1.10.	Функция Бесселя Jv(z) ......................................	34
1.10.1.	Производные по аргументу .....................................	34
1.10.2.	Производные по порядку ......................................	36
1.11.	Функция Бесселя Yu(z) ......................................	37
1.11.1.	Производные по аргументу .....................................	37
1.11.2.	Производные по порядку ......................................	38
1.12.	Функции Ганкеля H^1}(z), Jf^2)' (z) ..............................	39
1.12.1.	Производные по аргументу .....................................	39
1.12.2.	Производные по порядку ......................................	39

4	Оглавление
1.13.	Модифицированная функция Бесселя Iu(z) .......................	39
1.13.1.	Производные по аргументу .....................................	39
1.13.2.	Производные по порядку ......................................	41
1.14.	Функция Макдональда J?u(z) .................................	42
1.14.1.	Производные по аргументу .....................................	42
1.14.2.	Производные по порядку ......................................	45
1.15.	Интегральные функции Бесселя Jiv(z), Yiif(z), Kiu{z) ..............	46
1.15.1.	Производные по аргументу .....................................	46
1.15.2.	Производные по порядку ......................................	46
1.16.	Функции Струве Н„(;г), Ll/(z) .................................	47
1.16.1.	Производные по аргументу .....................................	47
1.16.2.	Производные по порядку ......................................	48
1.17.	Функции Ангера 3„(г) и Струве EI/(z) ...........................	50
1.17.1.	Производные по аргументу .....................................	50
1.17.2.	Производные по порядку ......................................	51
1.18.	Функции Кельвина ber^z), heiu(z), kerv(z), kei^z) ................	51
1.18.1.	Производные по аргументу .....................................	51
1.18.2.	Производные по порядку ......................................	54
1.19.	Многочлены Лежандра Pn(z) .................................	55
1.19.1. Производные по аргументу .....................................	55
1.20.	Многочлены "Чебышева Tn(z), Un(z) ............................	57
1.20.1. Производные по аргументу .....................................	57
1.21.	Многочлены Эрмита Hn(z) ...................................	59
1.21.1. Производные по аргументу .....................................	59
1.22.	Многочлены Лагерра L*(z) ...................................	60
1.22.1.	Производные по аргументу .....................................	60
1.22.2.	Производные по параметру .....................................	61
1.23.	Многочлены Гегенбауера C^(z) ................................	61
1.23.1.	Производные по аргументу .....................................	61
1.23.2.	Производные по параметру .....................................	62
1.24.	Многочлены Якоби PiP'a\z) ..................................	62
1.24.1.	Производные по аргументу .....................................	62
1.24.2.	Производные по параметрам ....................................	65
1.25.	Эллиптические функции K(z), E(z) .............................	65
1.25.1. Производные по аргументу .....................................	65
1.26.	Функции Лежандра Р^(;г) ....................................	66
1.26.1. Производные по аргументу .....................................	66
1.27.	Гипергеометрическая функция Куммера ±F±(a;b;z) .................	67
1.27.1.	Производные по аргументу .....................................	67
1.27.2.	Производные по параметрам ....................................	68
1.28.	Гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, 6;z) ..................	69
1.28.1.	Производные по аргументу .....................................	69
1.28.2.	Производные по параметрам ....................................	70
1.29.	Гипергеометрические функции "Уиттекера Мцу1,(г), 'W(jJu(z) ...........	70
1.29.1.	Производные по аргументу .....................................	70
1.29.2.	Производные по параметрам ....................................	71

Оглавление
1.30.	Функция Бейтмена kjj(z) .....................................	71
1.30.1. Производные по аргументу .....................................	71
1.31.	Гипергеометрическая функция Гаусса 2-^1 (сь, Ь; с; z) ..................	71
1.31.1.	Производные по аргументу .....................................	71
1.31.2.	Производные по параметрам ....................................	74
1.32.	Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z) . ..........	74
1.32.1.	Производные по аргументу .....................................	74
1.32.2.	Производные по параметрам ....................................	75
Глава 2. Пределы .............................................	81
2.1. Специальные функции .......................................	81
2.1.1.	Функции Бесселя Jv{z), Yy(z), Iu{z), Kv{z) ..........................	81
2.1.2.	Функции Струве Hu(z), Lu(z) ...................................	81
2.1.3.	Функции Кельвина Ъети(г), heitJ(z)J keiv(z), kei1/(z) .....................	81
2.1.4.	Многочлены Лежандра Pn{z) ....................................	82
2.1.5.	Многочлены Чебышева Tn(z), Un(z) ...............................	82
2.1.6.	Многочлены Эрмита Hn(z) .....................................	83
2.1.7.	Многочлены Лагерра L^(z) .....................................	83
2.1.8.	Многочлены Гегенбауера C^(z) ...................................	83
2.1.9.	Многочлены Якоби Р^р'а)' (z) ....................................	84
2.1.10.	Гипергеометрические функции ...................................	85
Глава 3. Неопределенные интегралы ...............................	86
3.1.	Элементарные функции ......................................	86
3.1.1. Логарифмическая функция .....................................	86
3.2.	Специальные функции .......................................	87
3.2.1.	Функции Бесселя Ju(z), Я^}(ж), /„(г), Kv(z) .........................	87
3.2.2.	Функции Струве Hu(z) и Lu(z) ...................................	89
3.2.3.	Функции Эйри Ai (z) и Bi (z) ....................................	90
3.2.4.	Разные функции ............................................	92
Глава 4. Определенные интегралы ................................	94
4.1. Элементарные функции ......................................	94
4.1.1.	Алгебраические функции .......................................	94
4.1.2.	Показательная функция .......................................	97
4.1.3.	Гиперболические функции ......................................	99
4.1.4.	Тригонометрические функции ....................................	102
4.1.5.	Логарифмическая функция .....................................	110
4.1.6.	Обратные тригонометрические функции .............................	129
4.2.	Полилогарифм Ыг(г) ........................................	148
4.2.1.	Интегралы, содержащие hi2(z) и алгебраические функции .................	148
4.2.2.	Интегралы, содержащие hi2(z) и тригонометрические функции ..............	149
4.2.3.	Интегралы, содержащие Li2(z) и логарифмическую функцию ...............	150
4.2.4.	Интегралы, содержащие hi2(z) и обратные тригонометрические функции ........	150
4.3.	Интегральные синус Si (z) и косинус cl(z) .........................	150
4.3.1.	Интегралы, содержащие Si (z) и алгебраические функции ..................	150
4.3.2.	Интегралы, содержащие SI (z) и тригонометрические функции ...............	151
4.3.3.	Интегралы, содержащие SI (z) и логарифмическую функцию ................	152

6	Оглавление
4.3.4.	Интегралы, содержащие Si (z) и обратные тригонометрические функции ........	152
4.3.5.	Интегралы, содержащие произведения Si (z) и ci (z) ......................	152
4.4.	Интегралы вероятности erf (z), erfi(z), erfc (z) . .....................	153
4.4.1.	Интегралы, содержащие erf (z) и алгебраические функции .................	153
4.4.2.	Интегралы, содержащие erf (z) и показательную функцию .................	153
4.4.3.	Интегралы, содержащие erf (z) и тригонометрические функции ..............	154
4.4.4.	Интегралы, содержащие erf (z) и логарифмическую функцию ...............	155
4.4.5.	Интегралы, содержащие erf (z) и обратные тригонометрические функции ........	155
4.4.6.	Интегралы, содержащие произведения erf (z), erfc B), erfi (z) ................	156
4.5.	Интегралы Френеля S(z) и C(z) ................................	157
4.5.1.	Интегралы, содержащие S(z) и алгебраические функции ..................	157
4.5.2.	Интегралы, содержащие S(z) и тригонометрические функции ...............	157
4.5.3.	Интегралы, содержащие S(z) и логарифмическую функцию ................	158
4.5.4.	Интегралы, содержащие C(z) и алгебраические функции ..................	159
4.5.5.	Интегралы, содержащие C(z) и тригонометрические функции ...............	159
4.5.6.	Интегралы, содержащие C(z) и логарифмическую функцию ................	160
4.6.	Неполная гамма-функция ""/(V, z) ................................	160
4.6.1.	Интегралы, содержащие 7(|/? z) и алгебраические функции .................	160
4.6.2.	Интегралы, содержащие ji^, z) и показательную функцию .................	160
4.6.3.	Интегралы, содержащие тС17? z) и тригонометрические функции ..............	161
4.6.4.	Интегралы, содержащие "){^, z) и логарифмическую функцию ...............	162
4.6.5.	Интегралы, содержащие ^(i/jz), erf (z) и erfi (z) ........................	162
4.6.6.	Интегралы, содержащие произведения 7(I/? z) ..........................	163
4.7.	Функция Бесселя Ju(z) .......................................	163
4.7.1.	Интегралы, содержащие Jv{z) и алгебраические функции ..................	163
4.7.2.	Интегралы, содержащие Jv(z) и показательную функцию ..................	164
4.7.3.	Интегралы, содержащие Jv{z) и тригонометрические функции ..............	164
4.7.4.	Интегралы, содержащие Ju(z) и логарифмическую функцию ................	165
4.7.5.	Интегралы, содержащие Ju(z) и обратные тригонометрические функции ........	166
4.7.6.	Интегралы, содержащие Jv(z), Si (z) и ci (z) ..........................	167
4.7.7.	Интегралы, содержащие произведения Jv(z) ..........................	167
4.8.	Функция Бесселя Yv(z) .......................................	170
4.8.1.	Интегралы, содержащие Yv{z) и алгебраические функции ..................	170
4.8.2.	Интегралы, содержащие ^fv{^z) и специальные функции ...................	170
4.9.	Модифицированная функция Бесселя Iu{z) ........................	170
4.9.1.	Интегралы, содержащие Iv(z) и алгебраические функции ..................	170
4.9.2.	Интегралы, содержащие Iv(z) и показательную функцию ..................	171
4.9.3.	Интегралы, содержащие Iv(z) и тригонометрические функции ...............	173
4.9.4.	Интегралы, содержащие Iu{z) и логарифмическую функцию ................	175
4.9.5.	Интегралы, содержащие Ii/(z) и обратные тригонометрические функции ........	176
4.9.6.	Интегралы, содержащие Iu{z) и специальные функции ....................	176
4.9.7.	Интегралы, содержащие произведения Iu(z) ..........................	177
4.10.	Функции Струве Н„(г), Lv(z) .................................	179
4.10.1.	Интегралы, содержащие H^z), Jju(z) и алгебраические функции ............	179
4.10.2.	Интегралы, содержащие Hl/(z), Jju(z) и гиперболические функции ...........	181
4.10.3.	Интегралы, содержащие Hl/(z), Jju(z) и тригонометрические функции .........	181
4.10.4.	Интегралы, содержащие H|/(z), Ln,(z) и логарифмическую функцию ..........	182
4.10.5.	Интегралы, содержащие Hl/(z), ~Lu(z) и обратные тригонометрические функции . .	183
4.11.	Функции Кельвина beiv(z), heil/(z), ker^z), kei^z) ................	183
4.11.1. Интегралы, содержащие berI/(z), be'iu(z), kerl/(z), keiu(z) и алгебраические функции	183

Оглавление
4.12.	Функции Эйри AI (z) и Bi (z) ..................................	184
4.12.1. Интегралы, содержащие произведения Ai (z) и Bi (z) ....................	184
4.13.	Многочлены Лежандра Pn(z) .................................	185
4.13.1.	Интегралы, содержащие Pn(z) и алгебраические функции .................	185
4.13.2.	Интегралы, содержащие Pn(z) и тригонометрические функции ..............	188
4.13.3.	Интегралы, содержащие Pn(z) и логарифмическую функцию ...............	191
4.13.4.	Интегралы, содержащие Pn(z) и Kv(z) .............................	192
4.13.5.	Интегралы, содержащие произведения Pn(z) .........................	192
4.14.	Многочлены "Чебышева Tn(z) .................................	194
4.14.1.	Интегралы, содержащие Tn{z) и алгебраические функции .................	194
4.14.2.	Интегралы, содержащие Tn(z) и тригонометрические функции ..............	195
4.14.3.	Интегралы, содержащие Tn(z) и специальные функции ..................	200
4.15.	Многочлены "Чебышева Un(z) .................................	200
4.15.1.	Интегралы, содержащие J7n(z) и алгебраические функции .................	200
4.15.2.	Интегралы, содержащие Un(z) и тригонометрические функции ..............	200
4.15.3.	Интегралы, содержащие Un{z) и Kb>(z) .............................	204
4.15.4.	Интегралы, содержащие произведения Un{z) .........................	204
4.16.	Многочлены Эрмита Mn(z) ...................................	205
4.16.1.	Интегралы, содержащие Hn(z) и алгебраические функции ................	205
4.16.2.	Интегралы, содержащие Hn(z) и показательную функцию ................	206
4.16.3.	Интегралы, содержащие Hn(z) и тригонометрические функции .............	206
4.16.4.	Интегралы, содержащие Hn(z), erf (z) и erfc (z) .......................	208
4.16.5.	Интегралы, содержащие Hn(z) и Ku(z) .............................	208
4.16.6.	Интегралы, содержащие произведения Hn(z) .........................	209
4.17.	Многочлены Лагерра JL^(z) ...................................	211
4.17.1.	Интегралы, содержащие Ьп^) и алгебраические функции .................	211
4.17.2.	Интегралы, содержащие Ln(z) и тригонометрические функции .............	211
4.17.3.	Интегралы, содержащие L^(z) и erfc (z) ............................	212
4.17.4.	Интегралы, содержащие произведения Ьп^) .........................	212
4.18.	Многочлены Гегенбауэра C^(z) ................................	213
4.18.1.	Интегралы, содержащие Cn{z) и алгебраические функции .................	213
4.18.2.	Интегралы, содержащие Cn{z) и тригонометрические функции .............	213
4.18.3.	Интегралы, содержащие произведения C^(z) .........................	217
4.19.	Многочлены Якоби PiP'a\z) ..................................	218
4.19.1.	Интегралы, содержащие Pn'a{z) и алгебраические функции ...............	218
4.19.2.	Интегралы, содержащие Pn'a(z) и тригонометрические функции ...........	218
4.19.3.	Интегралы, содержащие произведения Рп (z) и ^p(z) ..................	219
4.19.4.	Интегралы, содержащие произведения Рп'а (z) .......................	219
4.20.	Полный эллиптический интеграл К (г) ...........................	220
4.20.1.	Интегралы, содержащие K(z) и алгебраические функции .................	220
4.20.2.	Интегралы, содержащие K(z), показательную, гиперболические и тригонометриче-
тригонометрические функции .............................................	221
4.20.3.	Интегралы, содержащие K(z) и логарифмическую функцию ...............	223
4.20.4.	Интегралы, содержащие K(z) и обратные тригонометрические функции ........	225
4.20.5.	Интегралы, содержащие K(z) и hi2(z) ..............................	228
4.20.6.	Интегралы, содержащие K(z), shi (z) и Si (z) .........................	228
4.20.7.	Интегралы, содержащие K(z) и erf (z) ..............................	228

Оглавление
4.20.8.	Интегралы, содержащие K(z), S(z) и C(z) ..........................	229
4.20.9.	Интегралы, содержащие K(z) и 7(^5 z) .............................	229
4.20.10.	Интегралы, содержащие K(z), Jv(z) и Iu{z) .........................	229
4.20.11.	Интегралы, содержащие K(z), Hj^z) и L^z) ........................	231
4.20.12.	Интегралы, содержащие K(z) и Ьп(ках) ............................	231
4.20.13.	Интегралы, содержащие произведения K(z) .........................	231
4.21.	Полный эллиптический интеграл E(z) ...........................	232
4.21.1.	Интегралы, содержащие E(z) и алгебраические функции ..................	232
4.21.2.	Интегралы, содержащие E(z), показательную, гиперболические и тригонометриче™
ские функции .............................................	236
4.21.3.	Интегралы, содержащие E(z) и логарифмическую функцию ...............	238
4.21.4.	Интегралы, содержащие E(z) и обратные тригонометрические функции ........	241
4.21.5.	Интегралы, содержащие E(z) и Ll2(z) ..............................	243
4.21.6.	Интегралы, содержащие E(z), shi (z) и Si (z) .........................	243
4.21.7.	Интегралы, содержащие E(z) и erf (z) ..............................	244
4.21.8.	Интегралы, содержащие E(z), S(z) и C(z) ...........................	244
4.21.9.	Интегралы, содержащие E(z) и ^{у, z) .............................	244
4.21.10.	Интегралы, содержащие E(z), Ju(z) и Iu(z) .........................	245
4.21.11.	Интегралы, содержащие E(z), H|,(z) и Ll/(z) ........................	246
4.21.12.	Интегралы, содержащие E(z) и Ь^(аж) ............................	246
4.21.13.	Интегралы, содержащие произведения E(z) и K(z) .....................	247
4.22.	Полный эллиптический интеграл D(z) ...........................	249
4.22.1.	Интегралы, содержащие D(z) и элементарные функции ..................	249
4.22.2.	Интегралы, содержащие произведения D(z), K(z) и E(z) .................	251
4.23.	Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z) . ..........	252
4.23.1.	Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); z) и алгебраические функции ..........	252
4.23.2.	Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); z) и тригонометрические функции ......	252
4.23.3.	Интегралы, содержащие pjPg((ap); Fg);z) и логарифмическую функцию ........	254
4.23.4.	Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); z), K(z) и E(z) ...................	254
4.23.5.	Интегралы, содержащие произведения pFq((ap); (bq); z) ..................	255
Глава 5. Суммы ..............................................	257
5.1.	Неполные гамма-функции -7A/, z), T(u,z) ..........................	257
5.1.1.	Суммы, содержащие 'уС17 ^ kj z) ...................................	257
5.1.2.	Суммы, содержащие произведения "у{и ± к, z) .........................	257
5.1.3.	Суммы, содерж:ащие Г(|/ dz fe, z) ..................................	258
5.2.	Функция Бесселя Jv(z) .......................................	258
5.2.1.	Суммы, содержащие Ji/±nfe(^) ...................................	258
5.2.2.	Суммы, содерж:ащие произведения Jt/±nkiz) ..........................	258
5.3.	Модифицированная функции Бесселя Iu{z) ........................	259
5.3.1.	Суммы, содержащие 1и±пк{г) ....................................	259
5.3.2.	Суммы, содержащие произведения Jt/±nkiz) и ^iy±nk(z) ...................	259
5.3.3.	Суммы, содержащие произведения Ii/±nk{z) ..........................	260
5.4.	Функция Макдональда Kjj(z) ..................................	261
5.4.1.	Суммы, содержащие i^j/infcC^) ...................................	261
5.4.2.	Суммы, содержащие i^"i/=bnfeB') и специальные функции ...................	261
5.5.	Функции Струве HIJ(z),Ll/(z) ..................................	262
5.5.1. Суммы, содержащие H^^l/(z) и L/e^l/(z) .............................	262

Оглавление	9
5.6.	Многочлены Лежандра Рп (z) ..................................	262
5.6.1.	Суммы, содержащие Pm±nk(z) ...................................	262
5.6.2.	Суммы, содержащие произведения Pm±nk(z) ..........................	267
5.6.3.	Суммы, содержащие Рт((р(к, z)) ..................................	267
5.6.4.	Суммы, содержащие Pje((f(ki z)) ..................................	269
5.6.5.	Суммы, содержащие произведения Рт((р(к, z)) .........................	269
5.7.	Многочлены Чебышева Tn(z) и Un(z) ............................	269
5.7.1.	Суммы, содержащие Tmjtnk(z) ...................................	269
5.7.2.	Суммы, содержащие произведения Tmjtnk(z) ..........................	271
5.7.3.	Суммы, содержащие Тп((р(к, z)) ..................................	271
5.7.4.	Суммы, содержащие Um^-nk(z) ...................................	272
5.7.5.	Суммы, содержащие произведения Uk{z) .............................	275
5.7.6.	Суммы, содержащие C/n(y?(fe, z)) ..................................	275
5.8.	Многочлены Эрмита Mn(z) ....................................	276
5.8.1.	Суммы, содержащие Hm±nk(z) ...................................	276
5.8.2.	Суммы, содержащие Hm±nk(z) и специальные функции ...................	278
5.8.3.	Суммы, содержащие произведения Hrn^nfs(z) .........................	279
5.8.4.	Суммы, содержащие Hn(ip(k, z)) ..................................	279
5.8.5.	Суммы, содержащие Нт±пк((р(к1 z)) ...............................	280
5.8.6.	Суммы, содержащие произведения Нт±пк((р(к, z)) ......................	281
5.9.	Многочлены Лагерра Ln(z) ....................................	281
5.9.1.	Суммы, содержащие L^nk(z) ...................................	281
5.9.2.	Суммы, содержащие L^l^zk(z) ....................................	282
5.9.3.	Суммы, содержащие L^^k(z) ...................................	284
5.9.4.	Суммы, содержащие ^т:^ ,(z) и специальные функции ...................	288
5.9.5.	Суммы, содержащие произведения Ьт± ,{z) ..........................	289
5.9.6.	Суммы, содержащие Ь^ркк((р(к, z)) ...............................	291
5.9.7.	Суммы, содержащие Ьт±п k(<p(k, z)) и специальные функции ...............	292
5.9.8.	Суммы, содержащие произведения ^т=Л)/г(<1р(^) z)) ......................	293
5.10.	Многочлены Гегенбауера G^(z) ................................	294
5.10.1.	Суммы, содержащие C^nk{z) ..................................	294
5.10.2.	Суммы, содержащие C^l±pk(z) ..................................	295
5.10.3.	Суммы, содержащие C^±*k(z) ..................................	296
5.10.4.	Суммы, содержащие Ck(z) и специальные функции .....................	303
5.10.5.	Суммы, содержащие произведения Ст± к{%) .........................	306
5.10.6.	Суммы, содержащие С^ркк((р(к, z)) ...............................	309
5.10.7.	Суммы, содержащие Ст_^1 k((f(kj z)) и специальные функции ..............	315
5.10.8.	Суммы, содержащие произведения Ст±1д.(??(&> z)) .....................	317
5.11.	Многочлены Якоби P^'^f» ..................................	318
5.11.1.	Суммы, содержащие Рп '°" \z) ...............................	318
5.11.2.	Суммы, содержащие Р^^а±чк)\z) ..............................	319
5.11.3. Суммы, содержащие Р^_ткхг (z) и специальные функции ............... 325
5.11.4.	Суммы, содержащие произведения Р^-?пка iz) ...................... 326
5.11.5.	Суммы, содержащие P^±li'a±qk){^{к, z)) ........................... 327

10	Оглавление
5.11.6.	Суммы, содержащие Р^тк*1 Ч (<f(^^z)) и специальные функции ........... 330
5.11.7.	Суммы, содержащие произведения Р^^^^ Ч (^(k^z)) ................. 332
5.12.	Функции Лежандра Pjf (z) ....................................	333
5.12.1. Суммы, содержащие P^(z) ...................................	333
5.13.	Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера i.Fi(a; Ь ± к; z) . . . .	333
5.13.1.	Суммы, содержащие iFi(a; b dz к; z) ...............................	333
5.13.2.	Суммы, содержащие iFi(a zb mk; b zb пк; z) и специальные функции ..........	334
5.13.3.	Суммы, содержащие произведения ii?i(a;6± к; z) ......................	334
5.14.	Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми #(a,fc»;z). .......	334
5.14.1.	Суммы, содержащие Ф(а, b; z) ...................................	334
5.14.2.	Суммы, содержащие Ф(а, 6; z) и специальные функции ...................	335
5.15.	Гипергеометрическая функция Гаусса 2-^1 (сц Ь; с; z) ..................	335
5.15.1.	Суммы, содержащие 2-^1 (a ± ifc, 6 ± гаА;; с ± п/г; 2) ......................	335
5.15.2.	Суммы, содержащие 2F\{a ± ifc, & ± тпА;; с ± пк; z) и специальные функции ......	336
5.15.3.	Суммы, содержащие произведения 2-^1 (a ± Z&, 6 ± га/г; с ± nfe; z) .............	337
5.16.	Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z) . ..........	338
5.16.1.	Суммы, содержащие pFq{{ap) db mk; (bq) dz пк; z) ......................	338
5.16.2.	Суммы, содержащие pFq((ap) dz mk; (bq) ± nfc; y?(A;, z)) ...................	341
5.16.3.	Суммы, содержащие pFq((ap) ± ?nfc; F9) ± rife; y?(ife, z)) и специальные функции . . .	343
5.16.4.	Суммы, содержащие произведения pFq((ap) dz mk\ (bq) dz пк; (р(к, z)) ..........	344
5.16.5.	Различные суммы, содержащие pFq{(ap) + тк\ (bq) + пк; z) ...............	345
5.17.	Кратные суммы ............................................	346
5.17.1.	Суммы, содержащие функции Бесселя .............................	346
5.17.2.	Суммы, содержащие ортогональные многочлены .......................	346
Глава 6. Ряды. ...............................................	348
6.1.	Элементарные функции ......................................	348
6.1.1.	Ряды, содержащие алгебраические функции ..........................	348
6.1.2.	Ряды, содержащие показательную функцию ..........................	348
6.1.3.	Ряды, содержащие гиперболические функции ..........................	348
6.1.4.	Ряды, содержащие тригонометрические функции .......................	349
6.2.	Пси-функция ф(г) ...........................................	350
6.2.1.	Ряды, содержащие ф(ка + 6) ....................................	350
6.2.2.	Ряды, содержащие произведения ф(ка + 6) ...........................	360
6.2.3.	Ряды, содержащие ф'(ка + 6) ....................................	363
6.3.	Обобщенная дзета-функция Гурвица Q(u^ z) ........................	364
6.3.1. Ряды, содержащие С (Ж z) ......................................	364
6.4.	Интегральные синус Si (z) и косинус ci(z) .........................	364
6.4.1.	Ряды, содержащие Si(<p(k)x) ....................................	364
6.4.2.	Ряды, содержащие ci(<p(k)x) ....................................	365
6.4.3.	Ряды, содержащие Si (cp(k)x) и тригонометрические функции ...............	366
6.4.4.	Ряды, содержащие произведения Si ((p(k)x) ...........................	366
6.5.	Интегралы Френеля S(z) и C(z) ................................	367
6.5.1.	Ряды, содержащие S(x) и С(х) ...................................	367
6.5.2.	Ряды, содержащие S(x), C(x) и тригонометрические функции ..............	369

Оглавление	11
6.5.3.	Ряды, содержащие 5(ж), С(х) и Si (ж) ..............................	371
6.5.4.	Ряды, содержащие произведения S(x) и С(х) ..........................	372
6.6.	Неполные гамма-функции ^(i/, z), F(i/, z) ..........................	372
6.6.1.	Ряды, содержащие j(v, z) ......................................	372
6.6.2.	Ряды, содержащие произведения 7(^5 z) .............................	373
6.7.	Функция параболического цилиндра Dv(z) ........................	373
6.7.1.	Ряды, содержащие Du(z) .......................................	373
6.7.2.	Ряды, содержащие произведения Dv(z) .............................	373
6.8.	Функции Бесселя Ju(z), Yu(z) ..................................	373
6.8.1.	Ряды, содержащие Jnk+v{z) .....................................	373
6.8.2.	Ряды, содержащие две функции Бесселя Jnk+v(z) ......................	375
6.8.3.	Ряды, содержащие три функции Бесселя Jnk-±-is{z) ......................	377
6.8.4.	Ряды, содержащие четыре функции Бесселя Jn^jrlJ(z) ....................	378
6.8.5.	Ряды, содержащие Jl/((f(k1 z)) ...................................	379
6.8.6.	Ряды, содержащие Jv(kx) и тригонометрические функции .................	381
6.8.7.	Ряды, содержащие произведения Ju((p(kix)) ..........................	381
6.8.8.	Ряды, содержащие произведения J^^cp^k, ж)) и тригонометрические функции .....	382
6.8.9.	Ряды, содержащие Ju(<p(k,x)) и Si (кх) .............................	382
6.8.10.	Ряды, содержащие JJ/((p(kix))i S(kx) и С(кх) ........................	383
6.8.11.	Ряды, содержащие Jk^+^i^fik, z)) ................................	383
6.8.12.	Разные ряды, содержащие Ju(z) .................................	384
6.8.13.	Ряды, содержащие Yu(z) ......................................	384
6.9.	Модифицированная функции Бесселя Ib>{z) ........................	385
6.9.1.	Ряды, содержащие Ink-\-u(z) .....................................	385
6.9.2.	Ряды, содержащие произведения Ink-\-u(z) ............................	386
6.9.3.	Ряды, содержащие /пд._|_^((п& + v)z) ...............................	388
6.9.4.	Ряды, содержащие произведения 1nfc+/л((п^ + u)z) ......................	388
6.10.	Функции Струве HJJ(z) и \ju(z) ................................	389
6.10.1.	Суммы, содержащие Hfc+1/(z) и Lfc+I/(z) ............................	389
6.10.2.	Суммы, содержащие Wl/((p(k)x) ..................................	389
6.10.3.	Ряды, содержащие Н„(^ж) и тригонометрические функции ................	390
6.10.4.	Ряды, содержащие Ш^(кх) и Si(kx) ...............................	390
6.10.5.	Ряды, содержащие Ни(кх), S(kx) и С(кх) ..........................	391
6.10.6.	Ряды, содержащие M.t/(ip(k)x) и Jp,{kx) .............................	391
6.10.7.	Ряды, содержащие произведения Ши(кх) ............................	392
6.11.	Многочлены Лежандра Pn(z) .................................	392
6.11.1.	Ряды, содержащие Pnk+m(z) ...................................	392
6.11.2.	Ряды, содержащие Pnk^m{z) и функции Бесселя ......................	393
6.11.3.	Ряды, содержащие произведения Pnk+m(z) ..........................	394
6.11.4.	Ряды, содержащие Pnk+mi^ik, z)) ................................	394
6.12.	Многочлены "Чебышева Tn(z) и Un(z) ...........................	394
6.12.1.	Ряды, содержащие Tnk~\-m((p(k, z)) ................................	394
6.12.2.	Суммы, содержащие Tnjs^.m{z) и функции Бесселя .....................	395
6.12.3.	Суммы, содержащие ?/пд.+т(у?(&, z)) ...............................	396
6.12.4.	Суммы, содержащие Unk+m{z) и функции Бесселя .....................	396
6.13.	Многочлены Эрмита Hn(z) ...................................	398
6.13.1.	Ряды, содерж:ащие i^nfc+m(^) и функции Бесселя ......................	398
6.13.2.	Ряды, содержащие произведения Hnjijrm{z) ..........................	398
6.13.3.	Ряды, содержащие Нпк^.т((р(к, z)) ...............................	399

12	Оглавление
6.13.4.	Ряды, содержащие Hn^j^fn^ip^k, z)) и специальные функции ...............	399
6.13.5.	Ряды, содержащие произведения Hnje^.rn(ip(kJ z)) ......................	400
6.14.	Многочлены Лагерра L*(z) ...................................	400
6.14.1.	Ряды, содержащие L^^m(z) ...................................	400
6.14.2.	Ряды, содержащие L ^, (z) и специальные функции ...................	401
6.14.3.	Ряды, содержащие произведения L>nk-\-m(z) ..........................	401
6.14.4.	Ряды, содержащие произведения L^(kx) ............................	401
6.14.5.	Ряды, содержащие L^^km((p(k, z)) ................................	402
6.14.6.	Ряды, содержащие Lmk , n(<p(k, z)) и специальные функции ................	402
6.14.7.	Ряды, содержащие произведения Ьтк , п(<р(к, z)) ......................	402
6.15.	Многочлены Гегенбауера G^(z) ................................	402
6.15.1.	Суммы, содержащие C^f^km(z) ..................................	402
6.15.2.	Ряды, содержащие Cnk_,rn{z) и спеЦиальные функции ...................	404
6.15.3.	Ряды, содержащие произведения ^^(^j ..........................	406
6.15.4.	Ряды, содержащие C^^m{ip{k, z)) ................................	406
6.15.5.	Ряды, содержащие Cnk_^rn{ip{k, z)) и специальные функции ................	407
6.16.	Многочлены Якоби Р^р'а) (z) ..................................	407
6.16.1.	Ряды, содержащие Р$?±?%'а±чк) (z) ...............................	407
6.16.2.	Ряды, содержащие ^„finfe'^ ч (z) и специальные функции ...............	408
6.16.3.	Ряды, содержащие произведения Р^±^к'а q (z) ......................	409
6.16.4.	Ряды, содержащие P^±nki<r±qk\(p(k, z)) ............................	409
6.16.5.	Ряды, содержащие Р^^пС Ч (^(^' z)) и специальные функции ............	409
6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z) . ..........	410
6.17.1.	Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); z) ...........................	410
6.17.2.	Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); z) и тригонометрические функции ......	414
6.17.3.	Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); z) и специальные функции ...........	416
6.17.4.	Ряды, содержащие pFq((ap); (bq); ip(k, х)) ...........................	417
6.17.5.	Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); —(p(k)z) .......................	421
6.17.6.	Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); —ip(k)z) и специальные функции .......	422
6.17.7.	Ряды, содержащие произведения pFq((ap(k)); (bq(k)); —(p(k)z) ..............	425
Глава 7. Формулы связи ........................................	426
7.1.	Элементарные функции ......................................	426
7.1.1. Тригонометрические функции ....................................	426
7.2.	Специальные функции .......................................	426
7.2.1.	Пси-функция ф(г) ...........................................	426
7.2.2.	Неполные гамма-функции F(i/, z), ~f(y,z) ............................	426
7.2.3.	Функция параболического цилиндра Du^z) ...........................	427
7.2.4.	Функции Бесселя Ju(z), Iu(z), Ku(z) ...............................	428
7.2.5.	Функции Струве Hu(z),Lu(z) ...................................	429
7.2.6.	Функции Ангера Ju(z) и Вебера Е„(г) ..............................	429
7.2.7.	Функции Кельвина heru(z), be'iu(z), keiv(z), kei1/(z) .....................	430
7.2.8.	Многочлены Лежандра Pn(z) ....................................	430
7.2.9.	Многочлены Чебышева Tn(z), Un(z) ...............................	431

Оглавление	13
7.2.10.	Многочлены Эрмита Hn(z)	432
7.2.11.	Многочлены Лагерра L^(z) ....................................	433
7.2.12.	Многочлены Гегенбауера C*(z) ..................................	433
7.2.13.	Многочлены Якоби Р^р'а) (z) ....................................	436
7.2.14.	Многочлены с мнимым аргументом ................................	439
Глава 8. Представления специальных функций .......................	440
8.1.	Полные эллиптические интегралы K(z) и E(z) ......................	440
8.1.1.	Полный эллиптический интеграл К(^) ..............................	440
8.1.2.	Полный эллиптический интеграл E(z) ..............................	441
8.2.	Гипергеометрические функции .................................	441
8.2.1.	Гипергеометрическая функция Гаусса 2-^1 (а, Ь; с; z) ......................	441
8.2.2.	Гипергеометрическая функция 3-^2(ai, «2? я-3 5 bi, 62; z) ....................	459
8.2.3.	Гипергеометрическая функция 4^3(ai, a2, аз, 04; bi, 62» Ьз;^) ................	465
8.2.4.	Гипергеометрическая функция 5-^4(ai, . . . , «5; 61, . . . , 64; z) . . . . . . . . . . . . . . . .	470
8.2.5.	Гипергеометрическая функция 6-^5(ai, . . . , «6 5 bi, . . . , 655 z) . . . . . . . . . . . . . . . .	471
8.2.6.	Гипергеометрическая функция 7-^б(«ь . . . , «7 5 bi, . . . , 6g; z) . . . . . . . . . . . . . . . .	471
8.2.7.	Гипергеометрическая функция gFj(ai, . . . , as; bi, . . . , 67; z) . . . . . . . . . . . . . . . .	471
8.2.8.	Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера ijF\(a;&;z) ............	472
8.2.9.	Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, 6; z) .............	472
8.2.10.	Обобщенная гипергеометрическая функция pFp((ap); FP); z) ...............	474
8.2.11.	Гипергеометрическая функция 1^2@1; fei, 62; z) ........................	475
8.2.12.	Гипергеометрическая функция 2-^3(ai, 02; 61, 62, 63; 2;) ...................	477
8.2.13.	Гипергеометрическая функция 4^rri(«i5 • • • ? a4? b\\ z) .....................	479
8.2.14.	Гипергеометрическая функция oF%(bi,b2,b%; z) ........................	479
8.2.15.	Гипергеометрическая функция 2-^5@1, аг; 61, ..., 65; z) ...................	480
8.2.16.	Гипергеометрическая функция 4^rV(ai5 • • • ? a4? bi, . . . , 67; z) ................	480
8.2.17.	Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z) ...............	481
{пь"Л		482
8.3.	Представления через гипергеометрические функции .................	485
8.3.1.	Элементарные функции ........................................	485
8.3.2.	Специальные функции ........................................	487
Список литературы...............................................	498
Указатель обозначений функций и постоянных .............................	501
Указатель обозначений символов ......................................	508

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является продолжением серии справочников по специальным функциям,
объединенных общим заглавием «Интегралы и ряды» [1—5]. Она содержит, в основном,
новые результаты, полученные в последние годы. Некоторые известные формулы добав-
добавлены для полноты изложения. Особое внимание уделено формулам дифференцирования
элементарных и специальных функций и формулам связи между специальными функция-
функциями, обобщенными гипергеометрическими функциями и 6г-функцией Мейера.
Глава 1 содержит формулы дифференцирования произвольного порядка по аргументу
и производные первого порядка по параметрам для элементарных и специальных функций.
В главе 2 даны предельные формулы для специальных функций, зависящих от параметра.
В главах 3—6 приведены формулы интегрирования и суммирования для элементарных и
специальных функций, причем рассмотрены новые классы интегралов, сумм и рядов. В гла-
главе 7 даны формулы связи между различными элементарными и специальными функциями.
Глава 8 посвящена представлениям полных эллиптических интегралов, гипергеометриче-
гипергеометрических функций и G-функции Мейера через другие специальные функции при различных
значениях параметров и аргумента, а также представлениям элементарных и специальных
функций через гипергеометрические функции. Аналогичные формулы, не вошедшие в эту
книгу, можно найти в [1—3].
Основному тексту предшествует подробное оглавление, с помощью которого молено
отыскать нужные формулы. Используемые обозначения, как правило, общеприняты в ма-
математической литературе и приводятся в указателе в конце книги. Во всех главах j, к, I,
га, п = 0, 1, 2, ..., если не указаны другие условия.
Ю. А. Брычков

Глава 1. Дифференцирование
1.1. Элементарные функции
1.1.1. Общие формулы.
2.
fcl=O
п - ki - • • • - кт~2\ -(fem_i), ч Ап-к1-...-кт_1),
3.	Dn
fe=O
4.	Dn[^n"V(^)] = (-lr^^'Ffi) , если Dn[/(z)] =
5.	Dn[/i(^)/2(^).../TOD
6. Dn[zm+nafi)
L	\z
если Bn[a(z)Dm[f(z)}] = F(z)
1.1.2. Алгебраические функции.
1.	Dn[zx] = (-l)n(-\)nzx-n.
2.	Dn[za{a - zf] = n\anza-n{a - zf-«р^-п./з-п) Л _ 2г\ _
v a /
3.	Dn[*a(a - г)"] = n!2a(a - ^-np
4.	Dn[za(a - zf] = n\za-n{a - zf P^a
5.	DV(. + «

16
Гл. 1. Дифференцирование
[1.1.2
7 nnr -А-1/2/	чЛт _ ?^2
7. D [z	(a-z) ]_2
8т\пт А/	\n —2A —1
. D [z (a-z)
^2п	Bп)!
\n | п/2 Х — п/2/	\— 2А — 1 г-ч —
(а -
9.	D-[z-2A(« + ^)A]=h7J nl
10.	Dn[z^A~
11.	Вп\гп~г
! ^
(g z)x] = nl
2 (_A-l/2)n
(a ~~ Z) n^2n+]
\ A-n/-tA-n+l/2
12.
2
(Л + Ijn
g^2n Bn)! -1/2
!_ +
i
~i — A — П
J2n
14. Dn[zn(a + z)/2] = nlan/2(a
2a
15. Dn[zn(a
16. Dn[^n(a
17. Dn[zn(a
18.
19.
= nlan(a
a +
20. Dn[^-n-1(a + z)n] = (-l
oi т\п\ n —1/2/ . \— n — l/2i / -,\те i —1/2/
21. D [z 7 (a + z) 7 j = (—1) n\z ' (ft-
22. D"[«"-1/2(a + г)"] = n!(-a)rl«-1/2P2
23.

1.1.2]
1,1. Элементарные функции
26. Dn\zn'
\те-1/2]
) /]=
\-1/2г
) 7
97	Гьп\гп+1/2(п -у^/2] — ( Л\п( \ nn+1/2(n -И/'
J7.	U [z	\a>-z)	J — V—xJ y^) a	\a-z)
00	тлпг n —1/2/ , \n —l/2n /1\ n —1/2/ . \-l/2m
28.	D [z ; (a + z) ' \ = I - 1 a z 7 (a + z) 7 T2n
29.	Dn[zn
30.	Dn[zn'
Q -I		 /	-| \ Tl f	\	/	I	\ 	^
tjJL.	— I—JL I I — I yCL ~\~ Zj
*!*>	1ПтеГ ^те"~1/2 / п 1 ^\"~"n"l _
«JZi.	L/ [Z \Qj ~t" Zj j —
33.	=(^l)nf^
34.	Dn[zn'
35.
/ 4-1/2/ , Ч-П-1/2ГТ7
i | ?, —|— _|_ I #
g 1/2
(a
C/2)n
36. Dn[{a - zA)x] = {-2a)nn\-
37.
(а2 -
гг + 1
38. D2n+1[(a2 - zY1] = Bn + 1)!а~^(а2 - z2)^^
40.	Bn[(a2 + z2)^1/2] = (^l)-n!(a2 + z2)^(^+1)/2Pn ( Z
41.	Bn[(a2^z2)n] = (^2a)nnlPn(^),
; + z)
тег/ 2	2\n —l/2n
[(a - z ) 7 ] =
42. Dn[(a^-
\n/l\ / 2	2\-l/2m / ^ \
) к (« - ^ ) Tn I -) .
17
OK nnr n-1/2/ , чп + 1/2-i	/1\ n+1/2 -1/2гт7	( \л \
25. D [z	(a + 2)	J = I - I a	z 12n+i W1 + -
\ A/ n	\ у	II

18	Гл. 1, Дифференцирование	[1.1.3
43. Dn[(az-z2r-^] = (-ar(l) (az - z^^t
44.	Dn[(a2 - z2)n+1/2] = (_2а)п?^Ца2 - z2I/2Un (-
45.	D"^"-1^2 - ^2)n] = (-2a)nn!^-n-1
46. D"^-"-1^ a2)A
- a2)A] =
(п-2\)п
1.1.3. Показательная функция.
1.	Dn[zxe~az] =n\zx~ne~azLxTn{az).
2.	Dn
3.	Dn
Г	i / 21	/o	-, / 2
4.	Dn\zn-1ea/z j =inan/2z^n^1ea/z Яп
5.	Dn[e^az2l = (-l)na1 '"
6.	D
z
w. d-[."
И- Вта
г	п	П + 1/2
' D Г 6	J " 2"-i/*y/Z
71+1/2 ,-.- w.	/a
^-n-l/2
дп+1/2
14. Dn|z n ±7/e a/vz | = -—. ^ _z ^ ¦ " nn+i/2| r

1.1.4]	1.1. Элементарные функции	19
1.1.4. Гиперболические функции.
1.	EHsech (а,)] = 2(-а)" ± ^^ ++ ^Г^ ? И
fc=O	l	;
2.	D"[^sh(az)] = ^*A-[e"LA-"(-az)
3.	Dn[zAch(as)] = ^zx-n[e"L^n(-az)
4.	Dn[sh(az2)] = Ь$1а»/*е°**нп {i^z
А
. D [ch(az )\ =	a ' e Hn (iy/az) +	a ' e
A	A
6.	D"[sh (a
7.	D-[ch(a
rsh(a^)! /- /a\«+i/2 A+2n)/4
9> Dn|-^v^i =v^r ^ay+*'* z-{i+2n)/4}
10. Dnrsech^] = (^l)nn?7r( Л Г х
3 1 iy/z	1 iy/z 1 iy/z	1 гу^
' 2' 2	тг ' " ' ' 2	тг ' 2	тг ' " ' ' 2	тг
1o	• f~	о	_• /ТГ q	_• f~Z	*J	л /^3"
О	ь yj Z	о	v yf Z О	?¦ ^/ 2	О	^ "\/ Z	^
22тг	27г2тг	2тг
Пт\п COSeCJl у/Z , \n+l Tl" i -"V / ^"
. D 	-j^r1-— = (—1)	+1 H	^— x
- iy^	i\/z iy/z	iy/z
12. Dn
yfz J x x \tt^+4z/
^ „v~	^ i%/z 1 iv^	1
'2	тг ' " " ' 2	тг ' 2	тг ' " ' ' 2
,2	тг ' " " ' 2	тг'2	тг ' " ' ' 2		 '
+
i^Tz
iy/z	1 _ гл/z	iy/z	iy/z #

20	Гл. 1, Дифференцирование	[1.1.5
14. Dn\zn~1s
Ж D-[,»-'¦ 8h(-|)] =(_
IT. D-[.-"d,(^)] .(-
1Q nnri / 4/~M	^/^	n+1/2 (l-6n)/8V^/ i\fe ~fc Г(п + &) -fc/4 r
18. D [sh(a^z)]= 22n+1/2a + 7 2:1 j/ ^C^1) a k\F(n-k)Z h-n
k=o
19. D^chla
20. D"
^_ n+l/2 -(l+6n)/8 V^/ ¦.¦vfc--* Г(П
ТТДа	г	Z^l) a k\r(
k\r(n-k)
fe=0	l	;
21. D"[f1
L	J
1.1.5. Тригонометрические функции.
1. D [sin (az)\ = a sin lazH—^~ ) •
/ 1^ -fe r(fl+jfe) -к/4 т	/л
k\r(n-k)Z Ь-п-гЖа
2.	Dn[cos(az)] = anc
3.	ОЧвес(аг)] = (-^^
l^lzlTJ [[12], D7)].
4. =(-l)K"+1^a»f:^(; + 1) t (?)(*-2m)"
?n=0
p=0

1.1.5]	1.1. Элементарные функции	21
к
5. =(-lf^a«sec(az)j:± ? (-1)" (
fe=O	m=0	'
p=o
6- =2(<a)" t
fc=O
=1-(-1>"; [12], F7I.
J
Baz + тг)"
4тг ) V \ 4тг
п	и	к
Zl	«/ О к V JU _|_ I / Zl	«/ V т*^ *
fc = l	m=0
9. =H
E (-1)PBp + 7)Ctg2P+7^) [7=^-^-; [12], A30)]
10 =(-i)n+1 w! + a У	)ф(
{ '	»+1 B)"+! Г V 2 ) V \2ir
2тг / r V 27I-/J
11.	Dn[tg(a*)] =
= (^l)^n^ + Ч2а)та >^	sin \(k — l)az -\	тг )> (^l)m I
/ j 2	4	^	V
fc = l	тп = 1
[[12], A3)].
12.	= f-l)[n' "
^2)/2]	, k-1 \	Г l + f-ir	1
x У (-l)P(o	Jtg2"-^^^) 7=	о J i [12], B4)

22	Гл. 1, Дифференцирование	[1.1.5
14. Dn[ctg(a*)] = (-l)I(n
E
k=0	m = l
15.
16.	D [z sm (az)J = — ? [e Ln (—iaz) — e Ln (iaz)
17.	DV cos (az)] = yZA-" [eiazLxn-n(-iaz) + e-iaz L^n (iaz)]
18.	D"[sin(a*2)] = IzlTa"/2e("-
19.	Dn[cos(aa2)] = t^-an/2en*t
20.	D z sin— =( —a) z	sin I
1
2 /
21.	D \z cos — = (—a) z	cos I—h — 1
L	Z J	\ Z	A /
on nnr • / /—\i	^/a\n+1/2 (l-2n)/4 т
22.	D [sin(av^)] = V?r ^J	^	Ji/2^n
23. D [cos(aV^)] = (-1) л/тт y-j	z
(l-2n)/4
zl j/
nrsin(ayi)l	n /- /a\"+i/2 A+2n)/4
Vz J
25.
26. Dn[sec^z] = п!тгГ^	1^ x
Dn Fcosecyii =	+1 Ju 2(-1Гп!
тр	I ?2'2 7г'**"'2 тг'2 тг ' " * * ' 2 тг
X 2n+4^2n+3 I 1 3 \/^	3 \fz 3 лД	Зл/^
ч 2' 2 тг ' " ' ' 2 тг'2 тг ' " ' ' 2 тг '
1,	, . . . ,	,	, . . . ,	, 1
7Г	ТГ	7Г	7Г

1.1.5]	1.1. Элементарные функции	23
29. D
I_^	I^^ I + ^E	I + ^?
'2	7Г '""' 2	7Г ' 2	7Г ' " " ' 2	7Г
з^	3__^ 3 ^	3 ^
,2 тг ' •"' 2 тг ' 2 + 7Г ' •"' 2 + тг ;
1 ,	, . . . ,	,	, . . . ,	,1
ТГ	7Г	7Г	7Г
1-^,...,1-^,1 + ^,...,1 + ^
ТГ	ТГ	7Г	7Г
30
. D \z sm— = (-1) л/ж I -J
n —1/2 ¦ "	/— / a \
"	Sm^l=V"i2i
Г
32. D
33.	D-^-^cos-
34.	Dn[sln(a^)] =
fc) fc
z
^^	k\\ in — к)
35. Dn [cos (<i yz )] =
[n ^ 1] ,
36.	Dn
' ^^ J
""" ^'"~ ' Г^"М *"	[n^l].
37.	Dn
38. D4" [( Sh г Si" ^ 11 = (-4) {
LI ch z cos z J J	I ch z cos z
39. D4n[(
LI ch z cos г
40. D4"+2 [( Sh г Sin Z )} = ±(-l)2n+1 (	}
LI ch z cos z J J	I sh z sin z J

24	Гл. 1, Дифференцирование [1.1.6
At т-\4п + 3 Г f sh z s'm z 1 ]	/ -, \n+lo2n+l/ 1 • __ i \
41. D ^ к H	=( — 1) 2 (chzsmz =F shzcosz).
LI ch z cos z J J
42. D4n f( Sh Z C°8 * I = (-4)" { Sh Z C°S Z
LI ch z sin z J J	I ch z sin z
43. D4n+irfshzmsz|i = (_4)n((^ ^
LI ch z sin z J J
44. D4n+2
ch z sin z
45. 4+3rr
Z COS Z \] = =p(-l)n22n+1 { Ch Z Sin Z X
z sin z IJ	I sh z cos z I
ch z sin z
46	[
. D» [sh (a^) { 81П ^f J }] = (Tl)^ f ^)n+V2 z(—)/4 x
L	J\cos(a^)j\	V^2/
Г. FП + 3OГ,	, /—v	FП + 3OГ, .	, ^—J
x sin ^	^^ ber±nTl/2 (aV2z ) + cos ^	^^ bei±nTi/2 (aV 2z j .
[	8	8	J
[	icos(a^)JJ	\лД/
Г. Fп + 3)тг„ .	, /—.	Fтг + 3)тг,	, /—J
х sin	beiTn±i/2 (av 2z j - cos	ЬегТте±1 /2 (av 2z j .
[8	8	J
48. D»
Г. Fп + 3)тг,	, r— v	Fп + 3)тг, .	, /—J
sin	berTnTl/2 (av 2z j + cos	beiTnTi/2 (av 2z j
[8	8	J
x sin
49. D
x cos П )Ж her±n±1/2 (aV2z) - sin П )П hel±n±1/2 (a^2z)
[8	8	J
1.1.6. Логарифмическая функция.
1. Dn I In a + ^11 =(n- ly.a2"-1*
2.	D" L-1 In ?±^.1 = (_i)»(n _ 1)!«г"-3/2(г - d2)-"^-',2""' "n) f 1 - —) [n ^ 1] .
L	a - y/z J	V	z J
3.	Dn L1/2(a2 - z)n D" L" In f^^S-ll =0	[n > 1] .
4.	D" L"-1/2(a2 - z)n D" [in ^||| =0	[n ^ 1]
5.	D" L-1/2(a2 - z)n D" L"-1/2 In a +
4
6. D» L"+1/2(a2 - zT D" L/2 In ^±#11 = ^ In
a-

1.1.7]	1.1. Элементарные функции	25
7. Dn\zn
1) а2п(а2 -
Л — -у Z
8. DnL"-1/2Dn[(a2-«)n-1/2ln|±^ll =
' 2nz-1/2(a2 - z)-n-1/2	Ь?
= (-1)" Г-) a2nz-1/2(a2 - z)-n-1/2 In
V 2 /
) az(a z)	In
9.	Dn [zn^(l - az)n Dn[ln A - az)]} =0	[n > 1] .
10.	Dn [A - az)n Bn [У* In A - az)]] =0	[n > 1] .
11.	Dn[zn+1(l^az)^1Dn[z^1(l^az)nIn(l^az)]] =
= (-l)n(n\fan(l - az)-"-1 In A - az).
12.	Dn [zn+1(l - az)n Dn [z^1 In A - az)]] = (nlfan In A - az),
1.1.7. Обратные тригонометрические функции.
{ZJ(n - l)\an(z - a*z2)-"'2Pn-i
i
z^1 arcsin -^ = —	(n - l)!anz(z - a2)"n/2Fn^i	[n ^ 1] .
Vz J	^	\2avtt2 — z )
3. Dn [zn^1/2(l - a2z)n+1/2 Dn [A - а2^Г1/2 arcsm(a^)]] = (i) a2nz^1/2 arcsln(a^) .
4. Dn[()[(^)]]
= (-) a2n(l - a2
2/
5.	Dn[z^1/2(l^a2z)[()
= Bn)! (-^)
6.	Dn [zn+1/2(l - a2z)n+1/2 Dn [z/2(l - a2z)/2 arcstn(aV^)]] = a2n(n!J
7.	Dn[zn+1/2(l^a2z)/2Dn[z^1/2(l^a2z)^1/2arcsm(av^)]] =
= Bn)! (>-)П A - a2zyn^ arcsin (ay/z) .
8.	Dn[z1/2(l^a2z)n^1/2Dn[zn^1arcsm(a^)]] =0	[n > 1] .
9.	Dn[zn/2(l^a2zI/2Dn[(l^a2z)narcsIn(a^)]] =0	[n > 1] .
10.	Dn[zn^1/2(l^a2z)n^1/2Dn[arcsIn(a^)]] =0	[n > 1] .
11.	Dn[arctg (а>/^)] = (n ^ 1)! az1/2^n(a2z + lJ^P^i "n' ^n)Ba2z + 1)	[n ^ 1] .
4

26
Гл. 1, Дифференцирование
[1.2.1
[1
Z arctg —=r
V% J
/ 1 \n	/1 2	\
V X/ /	iM n —3/2/ , 2\—n o(l/2-n, —n) I za , i l г \ ii
=	(ra — ly.az ' (z + a ) Р„_1	I	h 1 I [ra ^ 1J .
13.	Dn[z1/2(l + a2z)nDn[zn^1 arctg {алД)}] = 0	[га ^ 1] .
14.	Dn [zn^2(l + a2z)n Dn[arctg {a\fz )]] =0	[n ) 1] .
15.	Dn[z-1/2(l + a2z)nDn[zn~1/2 arctg (ay/z)]] = Bга)! (-^П z1 arctg (aA
16.	Dn[zn4'
17.	Dn[zn"
= (~) ft nz A + a z) n arctg (ад
18.	D \z	D \z A + q. z)	arctg (a-\
;arctg(a^)JJ=Bn)!(-T
arctg (a
= (^J «'"(I + «22)-"-1/2 arctg (вл/i) ¦
1.2. Обобщенная дзета-функция Гурвица СС17?
1.2.1.	Производные по аргументу.
1.	Dn[C(^, az)] = (-а)пИ„С(^ + п, az).
о т^те Г п —1>/ аМ п/ \ -п-1/./ , а\
2.	D ^z Ц1/, -JJ = а (i/)nz C^ + w, -J.
1.2.2.	Производные по параметру.
Bn7rJfe ^
(-l)fc2Bfc-l)!
n/	BптгJ*
} /_t_x _ ()()
Vn/	BJ*
х J2 cos
> I) |.=_an+1
3±1
[m < n; [42], E)] .
, A7)] •
J |.=_2n+1 =
±
У3A-3-2")тг
.=_2n+1 = ± 8A - 3i-^)
1п3 о ,	(
[[42], A8)].

1.4.1] 1.4- Интегральные синус sl(z) и косинус cl(z)	27
д / 2±1\|	 A-2-2")тг
I si 	:	 )
|
ds V 4 /L=-2n+i	4n
22n~l
1.3. Интегральная показательная функция Ei (z)
1.3.1. Производные по аргументу.
fe=o
4. =(-l)n(n-l)!^-1e-^L;(|)
n — 1 / -ixfeii
5. Dn[eaz EI (-az)] = aneaz EI (-az) + an ^ ^ (fcfi
6. Dn[zn-1ea/
n-l
fc=o
7т-чпГ — 1 ™azT-xnr n aZf-T/	\ii	/ i\«./ i\ 2 — n —1 тт /	\
. D [z e D [z e Ei (—a^)JJ = (—1) (n!) z	Ei(—az).
8. D^^e-^^^e^Ei (-J)]] = (^l)n(n!J EI (-J) .
9.	Dn [zne^az Dn[eaz EI (-az)]] = n\an EI (-й2).
10.	Dn \zne^a/z Dn f/^e^2 EI (-^11 = n\anz^1 EI f-^) .
L	L	JJ	V
, A9)] ¦
;nln2 +
ol-2n\
	lC'(_2n + l) [[42], B0)]
1.	D"[Ei(-az)] = (-l)n-1(n-l)lz-ne-"J2^-	[n ^ 1].
2.	=(n-l)!z-ne-azL;!!1(a2)	[n ^ 1].
3.	D"[«n-1Ei(--)]=-(n-l)b-1e-e/*?^^	[n^l].
= (-al^^^e^ EI (-^) + (^1)пап^^^п ^(^l)fcfe! (-) [n ^ 1]
1.4. Интегральные синус si (z) и косинус ci (z)
1.4.1. Производные по аргументу.
Dn[si(az)] = ^^-z-n[ei"L-21(-iaz)-e-i"L-21{iaz)]	[n ^ 1].

28	Гл. 1, Дифференцирование	[1.5.1
2. D-^-eig)	(^)l^^
3.	D"[ciM] = -^il!x-»[e««L^1(-*a«) + e-<"L-^(io«)]	[n > 1].
4.	D-^-d(f)	^^^
1.5. Интегралы вероятности erf (z) и erfc (z)
1.5.1. Производные по аргументу.
(?f1fl	2 2
1.	Dn[erf (ог)] = (-l)"-1^^" z Hn-i{az)	[n ^ 1].
Л/7Г
r» r\nr r/ /~M (n "" lj'tt 1/2 —n -a2z ,1/2-n/ 2 \	r v -.i
2.	D [erf (aV*)] =	T=^z	e Ln-i (a z)	ln > 4-
3.	0"[г"-1егГ(а^)] = ^^е-о2гЯ2п_1(в^)	[n ^ 1].
4.	D"[-^erf(ev^)]=t|^-n-1/27(n + i,a2*)	[n ^ 1].
5.	D-^-'e
7.
8. D \z erf ( — ) | = (-1) 	—	z e	Ln^ [ —
Г 2 2 1 2 2 9(	)/	2
. D e erf (az) = (—га) е Hn(iaz)	^=—п\(—а) е
L	J	утт
10.
13. Dn[«n

1.5.1]	1.5. Интегралы вероятности erf (z) uerfc(z)	29
i л г\п n + 1/2 a2 /z тлп n — 1 -a2I z п ( а \\\	/ i \п / 1 \ In —п — 1/2 п ( а
14.	D \z ' е ' D \z е ' erfi —= I — \~ч \^laz	er" ""^
L	L	Vv^/JJ	\л/п	Хл/г
15.	Dn[zn+1/2e^a2zDn[z^1/2erfi(a^)]] = (|) а2пе"а2* erfi
16.	D"[«-"".--'.D
17.	Dn[2n+1/2e-a2j:Dn[2-1/2eo2zerf(aVi)]] = п\апz^-1 erf(o-y/i).
18.	D" [г"-1/2е"а2/г D" L"-1/2ea2/z erf (-^)|| = n\an erf Г-^) .
Г 2 2	1 9O + 1)/2	2 2
19. Dn ea z erfc(az) =	n!(^a)nea z /
L	J	7Г
on nnf n-1 a2/^2 f (a\\	2(n+1)/2	n ^n^! a2/B*2)
20. D z e ; erfc I — 1 = 	——nla z e /K }
L	\z/j	\/tt
O1 T\n\ n-1/2 а2г г / ^ч!	2" / n! / 1 \ -1/2 a2
21. D z 7 e erfc(aV^) = 	1=—(«) ^ e
«. d-I,--.* ?j =
2ап _„_! _ov/^ Г(п + к) ' ^n+fe
k=Q
mcr тг\тг Г —1/2 -а2г гч" Г n — 1/2 a2z г / /—\11	/ -. \п i /1\ ^п^1 г» /
25.	D \z ' е D \z ' е erfc (ау^) = (—1) п\ [ - ) z	erfc (a
L	L	JJ	\А/ п
26.	D" Ы+^е-оа/' D" [г-1/2еа2/г erfc Г^Ц = (-1)пп! (-) erfc f -
22. Dn\z-1/2ea'/z erfc (-?=)] = (-1)" Т+\'У^ (-) x^1'2^''/{2z) D_2n-
27.	Dn \z1/2ea z Dn [г" erfc (спД)]\ =0	[n > 1].
28.	D z 7 e D z 7 e erfc (ayz) = n\a erfc (a>
«ткп глп п — 1/2 -a2/z тлп п — 1/2 а2 / z с I а \\ \	i 2п —п — 1 с I a
29. D|z 7e /D|2; ;e7 erfc ^^ 111= w!a z	erfc ( —^z

30	Гл. 1, Дифференцирование	[1.6.1
1.6. Интегралы Френеля S(z) ш C(z)
1.6.1. Производные по аргументу.
-1 гчпгл/ \i	U [Т1 1). 1/2 —п Г гаг г 1/2 —п/ • \	-гаг г 1/2~п/. \1	г ч 1п
1.	D [S(az)] = J— 2. ' z ' [е Ьп'_г {-гаг) - е Ь^_г (гагЦ	[п ^ 1].
2.	D"^"-1^)] =
= (-ir^^^Z-3/2\e'^L^r^-e-^Ll/^{^)\ [n > 1].
3.	D»[C(az)] = JZ B^r
1.7. Обобщенные интегралы Френеля S(z, v) и C(z, i/)
1.7.1. Производные по аргументу.
1.	Dn[S(az,v)} = -^^a"z»-n[eiazLr-7(-iaz)-e-ia*Lr-i(iaz)]	[n ^ 1].
2.	D-f^-^d^)] =(-1)"-1^^Ма"г — '[e^Lnj-^-e-'U
3. Dn[C(a2, i/)] = -^^^!aV" [eia2ir_;(-i«z) + e-iazL^(iaz)]	[n Ss 1].
4 ПпГгп-1Г/'а
4-D r cli'
1.8. Неполные гамма-функции 7A^, z), r(i/, z)
1.8.1. Производные по аргументу.
1.	Dn[7(^, ог)] = (n-l)!o"/"ne"ozC;(oz)	[n ^ 1].
2.	D-^-S^, J)]=(-l)n(n-l)!a^-"-1e-^L^?(J)	[n ^ 1].
3.	Dn[^"'/7(^ ог)] = (-l)n2"l/"n7(^ + n, az).
4.	D-^-S^I^^-S^ + n,!).
5.	D"[e(j/, az)] = A - 1/)п(-а)ггеа27(^ - n, az).
6.	Dn [«"-'e'/^^ I)] = A - «/)non«-n-1ea/*

25. D"[TA - n, az)] =
26. D"[,-1r(l - „, I)] =
1.8.2. Производные по параметру.
1. ^{v,z)=1(v,z)\nz-^2F2( ";"''* )¦
ОУ	V1	\V + 1, У + 1/
1.8.2]	1.8. Неполные гамма-функции j(у 1 z), Y(y,z)	31
7.	XF\zn-veaz4{v, az)] = ^av iFi(n + 1; i/ + 1; az).
8.	D z e ; 71j/, - 1 = (-1) —a z	1F11 n + 1; i/+ 1; - 1 .
9.	Вп[^+Пе^ Dn [2;-"eaa!7(i/, az)]] = n!an7(i/, az).
10.	D
11.	D
12.	D
13.	D"!/-^"" Dn [^-^7A/, az)]] = (^l)nn!(l - i/Jn^'^S^, az)
14.	Dn[z2n
15.	Dn[zn-"e-ax Dn[eaz1(iy1 az)]] = an(l - u)nz~u^(u, az),
16.	Dn [zn+l/e^a/z Dn [^"^^T (i/, ^)]] = an(l - ^^
17.	Dn[F(i/, az)] = -(n-l)la1/zl/^ne^azL"nZi(az)	[n ^ 1].
18.	Dn [^"^(i/, J)] = (-1Г" V - lJIa^-^'e-^L^I^oz)	[n > 1].
19.	Dn[z^r(>, az)] = (^l)na"z^"^nr(i/ + n, az).
20.	D z	Гh/, - =a ^ Г11/ + n, — 1 .
21.	Dn[eazr(i/, az)] = A - u)n{^a)neazV{u - n, az).
22.	Dn \zn-^ealzY{v, -)] = A - v)nanz^1 ea/zr(v - n, -
L	\z/J	V	z /
23.	Drl[2""'/eazr(t/, az)] = n!(l - ^)na'(n + 1; i/ + 1; az).
24.	Dn [г"-1ев/

32	Гл. 1, Дифференцирование	[1.9.1
1.9. Функция параболического цилиндра Du(z)
1.9.1. Производные по аргументу.
3.	Dn[ea*z'/4Dv{azj\ = {-а)п (-и)пеа
4.	Dn\e-a2*2/4D4a
5.	D
6.	D-^^e-
7.	Dn[«n-"/2-1ee2
8.	D
10. D"LeZ?1Y^l =
11.	D"
12.	DnLn
-1у1 z+/V/()d , Г ^
Vvz/
2п
13. Dn\z-1e-a2z/4D.2n.1(a^)\ = (-1)" 2~п-112 ^ z~n~x erfc ( a J ?-
14. D" \zne-a*'MD-2n-1 (-^\\ = 2-п-г'2^ erfc
15.
16. D"
n- nn Г n + 1/2 -a2z/2nn[ —1/2 a2z/4 ж^ / /™"\11	/ 1 ~~ v \ fa\
17. D z ^ 7 e ; D z 7 e 7 ^^(aV^) = ^^ I "^T ) e
L	JJ\Z/n\^

1.9.1]	1.9. Функция параболического цилиндра Dу {z)	33
18. Bn\zn^1/2e^a2/{2z)Bn\zn^1/2ea2/i4z)Dl (' —
21.
22.
23.
24.
2 Jn\ 2
19. D
(у
20. L+1/2a/B)L1a/D)j^)ll
2 /n V 2
25. Dn[z"
ЛЬ, U \Z	"
27. D
L	L
28. Dn L2n+,+i/2ea2/B,) D»i «-(,+i)/2e-«VMD / a
V- ¦ -/2nV 4
2 Ю.А. Брычков

34	Гл. 1, Дифференцирование	[1.9.2
1.9.2. Производные по порядку.
]_# 	 \Du(z)Dh,(e%7r^2z
^ei7r/2Gr + 2C + 41n2)/12/4(^r) +(тг - 2С - 4 In 2)/!1/4 ( ^- ) | [z > 0] .
1.10. Функция Бесселя Jjj(z)
1.10.1. Производные по аргументу.
L. Dn[Jv(az)] = (±|
3.	Dn[Ju(a
4.	Hn[z±ul-
5.	Dn[z{
6.	Dn[z{
[n > 1]
/ _ \ 1	i n	,„.....	/ _ \ k	/ _ \
9. Dn /"^
10. D ^z	J^^_Jj-^±2
12. Dn\z
J Bn-5)/4

1.10.1]	1.10. Функция Бесселя Ju(z)	35
4 nn Lc6™-1)/4 т ( a
. U Z	Jn
n+l/2
= (-1) >/i (- j	z Jn+1/2 (^ j J_n_1/2 ^
19.
71"
/7Г
26. Dn[zn Jn_1/2(a
/7Г
-n-1/2
J ( a W - A)/7п-1/2^-Fп+1)/4 j	Ba
«/l/2-n I ^^	— 	^^«	^	Jl/2-n I ^^
/ ( \ J ( W - ()/7/^(+)/ j
/n-1/2 I ^^ «/l/2-n I ^^	— 	^^«	^	Jl/2-n
(f\ \n —1/2
14.	Dn[«—1/2e±iaVn_1/2(oz)] = ^V	^"'e"'"	[n > 1].
у 7Г
15.	Dn[«-1/2e±<e/Vn_1
()	[ ]
-у 7Г
/« \n —1/2
16.	Dn[zn^1/2 sin (az)Jn-1/2(az)] = ^^=	z"" sin Baz).
утг
/о \п —1/2
17.	D [z 7 cos (az) Jn^i/2(az)J = -—^	z cos Baz)	[n ^ 1].
18.	Dn[zn^1/2sm(az)J1/2^n(az)] = (^l)n+1 ^Q^	z^1 cos Baz)	[n > 1].
on т^пГ -1/2 • a т	/a\l	(^l)n /о \та-1/2 -2п • 2a
20.	D z ; sin -Jw-i/2 - j = ^- Ba) 7 z sin—.
z	\z/	утг	z
21.	D1^-1/2 cos -Jn_i/2f-)] = t^Bar-1/2«-2"cos—	[n > 1].
Z	V Z /	у 7Г	Z
22.	D"[J2(a
n-1/2
23. Bn[zn^1/2J2n^1/2(a^)] = ^^zB^3)/4J_1/2Ba^)	[n > 1].
n —1/2
24. Dn[^-1/2J12/2_n(a^)] = -^^aBn-3)/4Jn_1/2Ba^)	[n ^ 1].
n-1/2
25. Dn[^-1/2Jn_1/2(aVi)Ji/2-n(av^)] = ^^^Bn^3)/4J1/2_nBa^)	[n ^ 1].
от гл« Г -1/2 т2	f a ll	(~1) n-1/2 -Fn+l)/4 т	/ ^a \	Г \ il
27.	D z ' Jn^i/2 -^ I	= / a ; z l ^ j/ Jn^i/2 -^ 1	[n ^ 1].
r>o n« [ -1/2 r2	( Q ^1	(^1)П	n-1/2 -Fn + l)/4 т	/ 2a \	r	,
28.	D z J1/2~n\ ^^	= 	1=—«	z	Л-1/2 ^^	[n > 1].
L	V^J	ж	\zJ

36
Гл. 1. Дифференцирование
[1.10.2
30. О»|^п_1/а(-^)Jn+1/*
1.
1.10.2. Производные по порядку.
dJ»{z)
dv
Jn+1/2
2.
dv
dJu{z)
= \l — [sin z ci Bz) - cos z SI Bz)].
4.
dv
dJu{z)
/=-1/2
= 4/ — [cos z ci Bz) + sin z SI Bz)].
/=n+l/2
fe-1
*E-
p=0
= ci Bz) Jn+1/2(z) - (^1)те SI Bz) J-n-i
5.
dJv(z)
= ci Bz) J1/2-n{z) - (^l)n SI Bz) Jn-1/2{z) -
2 ^ fc!(n-fc)
p=0
6.
dv
-n-l/2
i/=±n±l/2
n —1
(n - fe)!(^
-n + 1/2)
{sinzi fsinzi ./n ч fcoszi „./л Ч1
Ki rcl 2z + • rSl 2z +
coszJ icoszJ	ismzJ	J
. cos z ) l cos z -
n —1
\(
l
^ k\(n -2k- l)T(k + 3/2)Г(А; - n + 1/2)
1\\ rcoszi rslnzi	rcoszi . i
1 . f-1	pi 2z T . fciBz) n^l.
I Sin Z J	I COS Z )	I Sin 2 J	J

1.11.1]	1.11. Функция Бесселя Yv(z)	37
1.11. Функция Бесселя Yv{z)
1.11.1. Производные по аргументу.
1. Dn[Y,,(az)]=(±±)
3.	Dn[z±»/2Yv(a
4.	D"[^2"
5.	D"[,<2"
v
У_п_
п_1/2
1 У_п_1/21
7. DV/'Ma	(f)X:	^n_^
fc=O	* ^	^
[n > 1] .
n[ n±i//2-iv / \1 _ /4.\J
Z«»-*VW_, „ ° = -U (%) ' a""
' sin
а
e D L	n
12. Dn[zn/2e±iazF1/2^n(az)] = (^1)те+1Й^!^
13. D"
14.	Dn[zn~
15.	Dn\zn~
I
утг
n-l/2
/тг
,n-l/2
/7Г
[п > 1].

38
Гл. 1. Дифференцирование
[1.11.2
16. Dn[znYn_1/2(a
п-1/2
п-1/2
2а
U > П
1». U
»[-i/2
Г n_i/2
20. Dn[^n
-Fn+3)/4
.,71-1/2
2a
21. D
пг п-1/2
[n 2 1].
22. Б"[^
23. D"[«" Jn_1
24. Dn[^
25. D
ль. и z
1-1/2
г —1/2
n —1/2
.-Fп + 1)/4 т
Jl/2-n
2a
n+i)/4 j
2a
Лг-1
28. D
а \	/а
U/2-n
6n+3)/4	/^a_
иап^1/2^^Fп + 3)/4^
1.11.2. Производные по порядку.
• те — 1
1.
2.
dYv{z)
dYu(z)
i/=±n
i/=±n±l/2

1.13.11
1.13. Модифицированная функция Бесселя Iи (z)
39
1.12. Функции Ганкеля Н^1}(г), Н^2)(z)
1.12.1. Производные по аргументу.
i)] = (±f
2. D» [a»*^ (-^)] = (±|
[j = 1, 2] .
[j = 1,2].
1.12.2. Производные по порядку.
dHiJ)(z)
i ci Bz) - SI B*)] + (^l)Ji7rsIn z} [j = 1,2].
2.
[ci
i SI
(-1)^тг cos z}
1.13. Модифицированная функция Бесселя
1.13.1. Производные по аргументу.
Dn[Iv(az)] = (f )П Ё
4.	Dn[z
5.	D"[^
6.	D"[
7.	D"[,
sh
= ^ (f
k\r(n-k)
10 D"
-^-^1 - ( IV z-^'V2-11 , ( a

40	Гл. 1. Дифференцирование	[1.13.1
13. D [г
/9 \—n —1/2
15. D"[Z"-1/2e-a2] i^
\n —1/2
9	/
20.	Dn^n/2 sh (az)In_1/2{az)} = ^L=	z" sh Ba«).
/9 \n —1/2
21.	Dn[zn^1/2 ch (az)/n_i/2(a^)] = -^V	^ ch Ba^)
22. D-
/9 \n —1/2
Мт-чтег n —1/2 dzaz r / \] lZ?i'/	n —1 ±2az	г
• D [z ; e /n_i/2(a^)] = ™—'-=	z e	[n
16.	D» [s-
17.	D"[z-1/2e±a/z/n_1/2f-)l = t^Ba)n-1/2z-2ne±2a/*	[n
L	V z / J	утг
18.	D-
23.	D"^-1/2 ch |/n_1/2 (I)] = (^(га)"-1/2^2" ch ^	[n ^ 1]
24.	D"[/2(a
пп-1/2
ЛЬ. U \z	-/1/2-T1.I

1.13.2]
1.13. Модифицированная функция Бесселя Iu(z)
41
27. Dnizn
28.
29. U
,,"-1/2
n-l/2
= I -- z
v 2/
^n-1/2
31.	DnU/2/2.
32.	Dn
33.	Dn
34.	Dn
35.	Dn
36.	Dn
in-l/2
)П n-l/2 -Fn + l)/4 j	I 2a
-^^a	z	in-i/21 —/=
/7Г	V V^
[n > 1] .
[n ^ 1] .
[n ^ 1] .
in-1/2
l
in+i/2
n+1/2
i) Ba)" s'e""IAaz).
П
>+\) Ba)nz--n-1e-
(^2a)nz^l/eaz/I/(az).
2a
37. Dn[«n+^e2a/zD"[«n-''-1e-a/z/,(|)]] = {\-
38. Dn[zn ^e azDn[zl/eaz/l/(az)]] = ^- -i/J Ba;
n г~"е~а
39.	Dn\zn+2"e 2a/z Dn zn " 1ea^zIu f — J = f- — i/j Ba)n z17 n xe "^/^
L	L	\Z/JJ\Zi / n
40.	Dn[zn+2"e2azDn[z^I/e"az/l,(az)]] = (i/+i) (-2a)n z"eazIu(az),
L	L	\ z / j j \ Л J n
1.13.2. Производные по порядку.
, n-l
1.
2.
»¦
dh{z)
i/=±l/2

42
Гл. 1. Дифференцирование
[1.14.1
4.
= i Ei (-
Ei
i/=n+l/2
p=0
5. =
i[chi Bz) - shi Bz)][I.n-1
А
[chi Bz) + shi Bs)] + | ?(-!)""* (l)(n - к - 1)!
fc=O
x {(—1
fc=O
fe-1
p=0
6.
dv
/=l/2-n
= i[chi B*) - shi Bz
^^[chi Bs) + shi Bs)] tfn_1/2(s) - ^
^"l /	/o\fc-r
| n
E -
+ /fc-n
7.
= n-1/2 r- -„
-„-1/2
„=±„±1/2
n-l
ez Ei (-2г) T e'z Ei B«)
3/2)Г(А; - n + 1/2)
ф(к - n + i)) {^} - e^ Ei(-2z) T e~' Ei
1.14. Функция Макдональда Kl/(z)
1.14.1. Производные по аргументу.
fe=O

1.14.1]	1.14- Функция Макдоналъда Кv(z)	43
3.	Dn[z±v/
4.	D"[
5. D"[,-
6.
-
„ nn[ (en-i)/4^	/ a A] 1 /a\»+i/2 1/2 2
9.	Dn[zn-1/2eazKn+1/2(az)] = {-l)n{2n)\^{2a)-n-1/2z~n~\
10.	D"[^+1/2ea^m+1/2(aa)] = (-l)m+"m!^FBa)"-m-1/2Lr-2nmBa^)	[m > n].
11.	Dn[zn-1/2eazKm+1/2(az)} =
= (-l)m{m + n)!^Ba)-m-1/2«-m-1L-2T1Ba2) [m > n].
12. DIl[2-m-1/2eo^m+1/2(a2)] =
[	e J<m+i/2{az)\ = (—1) т'утг (za)	e Lm	(zazj.
14.	DIl[^-1/2e-°^m	/21^1
15.	Dn[«-"-1/2e-"A
16.	D |^2 ' e 7 m+i/2^jJ
= (-ir+n(m + n)\V^Ba)-m-1/2zm-nL^rn-1{^) [m > n].
17.	Dn[/V/(!)]
lo. и \z	e
L	¦" ' ' \z J J	'	"" " \ z
[m ^ n].
19. Dn\z~1/2e~a/zK
20.

21. Dn \zn~m~1/2e~a/zK
44	Гл. 1. Дифференцирование	[1.14.1
m + 1/2
22. [l(V)](^)
23.	D^^^/^
24.	Dw[znK^1
9r r>nLn-1J<'2/' tt W (aY v-n/2-l\T* (n\^ ( п \ W	( п
*>« 1ПП I ~~L/'Z ЬГ"Л	I "* 1 I — /Сл^1/2 ^~"Fn+1)/4 is	I
X	/ \ 1	/о
iln-l/2	/— "п + 1/2 /— I
Zo. JJ Z	in_
29. U Iz 4-1/2 ^^ лп_1/2 ^^ =
30.	Dn[e IazDn[zn -
31.	Dn[z2ne^2a/zDn
32.	Dn[e2a^Dn[^n/
33.	Dn[z2ne2
34.	Dn[zn m e az Dn[zm eazICTO+i/2(az)] = (—m)nBa)nz m e azKm+1/2(az
35.	Dn
	 \fT^ ~T~ Tlj. ,	ч n rn + l/2 az j
ml
n\ n-2m-l 2a/z n\ n + m —1/2 —alz	/ AЛ
L	L	\ Z У
(m + n)!

1.14.2]
1.14- Функция Макдональда Ky{z)
45
ЧЯ. гчпг n + 2m+l —2аг nnr -m-1/2 az г/	/ \п
Jo. U [z	e и [z	e Km+1/2{az)\ =
_ (m + n)!	+1/2
— 	:	\ш) z	e /\„
39.	Вп
40.	Dn
41.	Вп
(га
^Ba)nz^m^n^/2e^a/zl
m+1/2
= {-1)пУ-
Dn
1.
2.
1.14.2. Производные по порядку.
dKv{z)
dp
= 0.
ди
4.
5.
dv
dKu(z)
/ = ±1/2
dv
dKv{z)
= Г^1)те^Е1(^
p=0
6. = f-l)n-rchlBz) -shij
<
n!
- (-1) y
(-2)fc
fe=0
p=0
7.
fe=0

46
Гл. 1. Дифференцирование
[1.15.1
4- f_i
1
-ezEI(^2z)] +
(~l)fe(n~J^l)!B:/2Jfe
x [e~z (ф [к + |) - ф[к - n + i
i)) - ez Ei (-
1.15. Интегральные функции Бесселя Ji1/(z), Yiu(z), Kiv(
1.15.1. Производные по аргументу.
2.
3.
1.
2.
1.15.2. Производные по порядку.
4.
5.
6.
7.
du
dYiv
dKi
dp
dJiy
du
dYiy
du
dKiv
(z)
(z)
»
(z)
(z)
~Jio
= 0.
Jh(z) + -Jo(z).
Z
du
dJiv(z)
(n-
p=0
n-k-1

1.16.1"
1.16. Функции Струве Hu(z), Iju(z)
47
8.
dYiu(z

m=0
9.
р=0
2n — fc — m k + тп — n
m
;' Р=о
1.16. Функции Струве Ш^(г), Liu(z)
1.16.1. Производные по аргументу.
2.
Г(А;
3.
= -^ (f Г
e D L
п[ Bп-5)/4т
L
6.
2/
= 77 Z
ln
7.
8.
^ T{y + n - к + 1/2)
-—V
9.

48
Гл. 1. Дифференцирование
[1.16.2
10 nn[rn^l//2^1T ( а
Ш. U \Z	Liu\—
L	VV
— \——\ Z
v 2J
11.
r(fc
1.
2.
7Г \2у
1.16.2. Производные по порядку.
1, 1
(i/+ n - fc + 1/2)
/ 4z
V a2
ди
dUu(z)
2' 1? 1? 2
г)П-1 — П
	Ь24 —Г
1/2, 1/2
1/2, 1/2, п, О
Ъ1 (V2)*
n ^ A/2)„_л
r>n —1 ^, —n
= (-1) -Jn(z) + (-1)
*!(„-*)
4.
5.
6.
/=1/2
/ О ГУ	"Ч
= У — | С + In - + sin z[SI Bz) - 2 SI 0)] + cos z[ci Bz) - 2 ci (z)] \ .
¦ {cos z[SI Bz) - 2 SI (z)] - sin z[d Bz) - 2 ci
= [SI Bs) - 2 SI
(-1)ПИ Bz) - 2 d (*)
"J^fc^l
(z/2)
n-1/2
fc=0
p=0
[J1/2-P{z) -

1.16.2]
1.16. Функции Струве Н„(.г), Ь„(.г)
49
i/= — n —1/2
= (-l)n[2 ci (z) - ci B*)] Jn+i/2(z) - [2 Si (z) - Si Bz)] J_n_i/2(z) -
f ^ E
ki '
4 E ${(-1)"Л-*
8.
dv
= Ko(z) --^G?JZ4
1, 1
I, 1,1,1
2 2
9. =-
10.
1,1, I, з
4' 4
I,I,i,i,I, ^
2' 2'	4 4-
[J1/2-P{2z) - 21/2-pJ1/2_p(z)}}.
1/2, 1/2
0, 1/2, 1/2, n
11.
12.
dv
1/2, 1/2
0, 1/2, 1/2, n
(-*/2)»
fe=0
13.
14.
15.
— {-(С + In -) + 2 sh z[shl Bz) - 2 shl (z)] -
7TZ	2
- 2 ch O)[chi Bz) - 2 chi B)]}.
In - [/_n_
n!
+ T
= \l—{chz[shlBz) -2shi(^)] - sh B)[chi Bz) ^2chl(z)
= [shl Bz) ^ 2 shi (z)} In+1/2 (z) - [chi Bz) - 2 chi (z)] /_n_1/2(z) +
n+1/2
{-z/2f
/ 1\r	/1 \i
r(n + -) [3C + 21n2 + ф[- - n)\
fe=0

50
Гл. 1. Дифференцирование
[1.17.1
- 2p/2/p_1
16.
dv
u = — n —1/2
= [2chi (z) - chi {2z)]In+1/2(z) + [shi Bz) - 2shi
Y^ E rlF
2 ^
fc=O
fc-i , чр
Р=о г
¦h+i/2(z) +
1.17. Функции Ангера Ju(z) и Струве EI/(z)
1.17.1. Производные по аргументу.
п^ ^п^к^и + 1\ ( 2 хк
2/ тга
о глпг —1//2т / /™"\1	/ а\П —(х/+п)/2т	/
2. D [z ' Ju(ay/z)]= ^--J z l ^ J/ Jl/+n(a
D
п[»-./2-ь
V 2/
/а\n sin (^тг) _(
1\ /2^z \
/Д a )
U \Z
nLn+I//2
\Z
— y^J Z
(-1)
а\п sin (|/тг) (v_n_i
/ v
5.
2 N*

1.18.11
1.18. Функции Кельвина heru(z), heiu(z), kerl/(z), keiu(z)
51
6. Dn[z
тга 42
n - A; + i/
/— I
a\fz j
7 nnlyn
7e D L
-i)"
(-!) cos(i/tt)]
fc=O
k\ a J
1.
1.17.2. Производные по порядку.
n\ ^ B/z)n
(l/2)fc
2.
fe=O
3.
fc=O
n —1
fr-M fc^1
4.
1.18. Функции Кельвина beiv(z), beiI/(z), ker^(z), keil/(z)
1.18.1. Производные по аргументу.
/i a\n (±u-n)/2 Г	О717Г ,	, ^v	. 6ПЖ .	, п
= \±-j z{^ }/ \cos——heruTn{ay/z)-sm——beiuTn{ay/z)

52	Гл. 1. Дифференцирование	[1.18.1
/ a\n (±i/-n)/2 Г . Зптг	. у—.	Зтгтг . , >—л
«5. О z
/ /7\ / /7\	3Bп1)тг / /7\ . / /7
sh I a4/- cos oW- + cos -*	—*— ch aW- sin aJ-
l J	\ V I J	5	\ у ^ /	\ И
4. D"[^2"
x
, 3Bп-1)тг , / fz~\ ( [z\ . 3Bп-1)тг , f ,«
х cos^	—^sh aJ- cos aW- - sin-^	—^— ch aW-
5. D"[
, . 3Bп-1)тг , / [z\ . / /i"\	3Bп-1)тг , / fz\ ( [z~
x Ism	sh ( ay 2 JSinlaV 2 J ^€°S	8	 \ V 2 J cos ( a\/ 2
6. DV2"
, 3Bп-1)тг . / /7\ . / fz\ . 3Bп-1)тг . / fz , , ,^
x I cos	sh [aJ- sin ( aj- j + sin	ch ( aj- J cos ( aA/-
I/ z /
f 3Bга + 1)тг Г,
x < cos	 bern+i/2
l	L
.	fay/z\ .
~~ bein+1/2 ^— bei_n_i/2
\ A J
2
bern+i/2( -|— )bei_n_i/2
bein+i/2
. . ЗBп + 1)ТГ Г,
x ^ sin -^	—'— I ber
rn+1/2
- bein+i/2( ^— lbei_n_V2
Bп + 1)тг
bern+1/2 ^^ bei_n_i/2
\ A J
+ bein+1/2
n[ n-1/2 az/y/2 { . ^Z	ttZ .
z	e	I sin-г^ bern_i/2(a^)+ cos-^ bein_i/
v2	V2
ev sin —	—	hv2az [n
о

1.18.1]	1.18. Функции Кельвина berv(z), heiu(z), kerl/(z), ke\u(z)	53
in r*ra Г n-1/2 az/лД (	az ,	/ \	• a<2; u •	/ \ll
10. Dp ; e ; I cos ^^ bern^!/2 («z) — sin —=r bein^i/2 (az) 1 =
11 тл«Г n-\li( , aZ	aZ u	/ \	i, aZ • aZ i. •	/ Л1
11. D z ; I sh —^cos —^ bern_i/2(a2;) — ch —^ sin —^ Ье1та_1/2(а^) I =
L	V v2 V2	V2 V2	/J
_ Ba)w-1/2 ,
n —1
Ls 3Bуг8 ^ж sh (V2 az) cos (i/2 az) - sin 3Bn§ X) Ж ch A/2 az) sin (^2 az)] .
x Ls
12. Dn I zn 1/^2 ( ch ^^ sin ^^ bern^i/2(a2:) + sh —= cos -
\/2 л/2	V2
/9 чп-1/2
x
x sin —	—-—
v "
sh (л/2 az) cos (л/2 az) + cos —	—-— cos (л/2 az) sin (л/2 az)
13. Dw[z^
. 3Bп-1)тг, .
sin-^	®—— bei
8
n —1/2
^B
14.	D"[«n-1
Г. 3Bп-1)тг, .. ,-. x 3Bп-1)тги .	^1
x sin-^	——hern^1/2Bay/z) + cos ^	—'— bein^1/2{2ay/z ) [n ^ 1] .
[8	8	J
15.	Dn[z±I//2keri,(aV^)] =
/,a\n (±„-п)/2[ Зптг	( rx . Зптг . . гл
= ( ±-J 2;1 ;/ Icos —-— кег1/Тп(ау-г j - sin —-— keilJTn(a^/z j I .
16.	Dn[z±lj/2keit/(a^/z)] =
fia\n (±u-n)/2\ . ЗПТГ	^	З
= [± —J zl ;/ sin —-— kerlJTn(a^/z) + cos
17.	О"[г^1)/4
18.
19.
1^7Г V ZiZ /
Г 3Bп + 1)тг Г 2 (<>»/z\ 1 .2
x ^ cos -b	—^— ker2 +1/2 ^^ - kei2
+1/2 ^^ - kei +1/2
\ z /
3B^ + 1)^,	/ад/iV .
- 2 sm -^	^^ kern+1/2 ( ^^ J kein+1/2

54
Гл. 1. Дифференцирование
[1.18.2
лит г\п Г —Bn+3)/4i
20. D [z { + j/
(-1)те / a \w+i/2
х < sm ¦
ker
n+1/2
+2 cos
- kein+1/2
ker
n+1/2
kei
n+1/2
oi nw Г n —1/2 i
21. D [z 7
:	(п /Г\1 _ ( i\"V " „п-1/2
n —1/2 Bте — 3)/4
X COS
Bn-lOr
• Bn-lOr
- sm
22.
х cos
BП-1OГ
BП-1OГ.
+sin	ке1п
8
23. Dn[zn~1/2
nn-l/2
/Ж
3Bп-1)тг
^	—^
8
. 3Bп-1Oг
- sin-^	—'—
8
24. Dn[zn"
2L
n-l/2
• 3Bn-lOr
3Bn-lOr
^	—'—
8
1.18.2. Производные по порядку.
1.
2.
dherv(z)
du
v=n
dhe\u{z)
du
7Г
2
7Г
bein
n!
1 2
s
- кегте (
(z/2)fc
k\(n-
ein{z)
z)
-r
+
) Г' 4
+sm
n! ^4 (z/2)k~n Г 5(fc-nOr
У Е ЩтГ) [COShelk
. 5(fc-nOr
3.
dh^Jz)
du
- kero(z).
4.
= Yber°(z) ~ keloB:).
5.
д кет и(
nl \r^ \z A)

1.19.11
1.19. Многочлены Лежандра Pn{z)
55
6.
д keil/(z)
ди
7Г
~~2
n! ^ (^/2)fc-n Г 3(Л - п)тг
ker k(z) + cos
1.19. Многочлены Лежандра Pn(z)
1.19.1. Производные по аргументу.
1. Dn[Pm(az)] = {In - l)V.a"CZ+-T(az)
[т ^ п].
2.
3.	D2njzn(
4.	D2n4
5.	Dn|z^(n
6.
= (-1)" (^ a2n(z - a^2)""" 1/2P2n f -±
п п/2(
7 Оп
7. D
(m — n)!
an/2z(m-n),2{
z + а
8.
— I 1J
n/2 (
m
Itt Z J ±m+n
- a
2Jaz
10. Dn
11. Dn
Bm)!
A/2 - m)n Bто- 2n)!
2a -^
Bm)!
A/2-m)n Bm-2n)!
^(a-^)
(m-n)/2l
2yz2 — az
2a -
[m ^ n]
[m ^ n] .

56
Гл. 1. Дифференцирование
[1.19.1
12. Dn
13. D2nzn(a-
2z - a
2\fz2 - az
= ( ^njrn + ny.^
хте2п + 1/1
15.	D2n[zn
16.	D2n\zn-
17.	D2n|
18. D2n+1
"i i~\ тл2ti I жух ~~~ 2Tfi — X / 2	2 \ тп j~i
19. Dp	(a — z ) P^
-a)
[m ^ n] .
[m ^ n + 1] .
20. D2"+1L—(a2-,2rP2m(T=L=
[m ^ n] .
[m ^ n + 1] .
21. Dn[zn^1/2A - a2z)n+1/2 Dn[(l - a2z)n
22. Dn[(^-a2)n+1/2DnLm(^-a2)n-TO-1P2mr-|r)ll =
zm~n(z ~~
23. Dn [zn Bn [(a - z)mPm (^f)] ] = (-mJn(a -
24.
2n (
-^) [m > n]
2 те m/	\-ro-n-l
a z (a ^)
\2 те m/
)na z (a - ^

1.20.11
1.20. Многочлены Чебышева Tn(z), Un(z)
57
25. Dn\znDn\(a~zym^1Pm(®
1.20. Многочлены "Чебышева Tn(z), Un(z)
1.20.1. Производные по аргументу.
1. Dn[Tm(az)] = 2n^m(n - l)lanC^n(az)
2. Dn
3. D2" [(a2 - z2)mTm
= (-2mJn(a2 -
4 j^2n I .,2n-2m-l/.2 ^2xmm /^ +a \|	Jn
(z — a ) ln
2n / o \
= a (-2mJn x
— 2m — 1/ 2	2\m —n
г	(г -a )
,2 _
[m ^ n] .
[m ^ n] .
[m ^ n] .
5.
6. D2n+1 (a2 - z2)mT2
7.2 _
72 _
7. D2n (a2-
2m+l
/a* - zA
= (-2m - lJn(a2 - z2)m-n+1/2T2m-2n,
[m ^ n] .
[m ^ n + 1] .
[m ^ n] .
r\2n 2ti, — 2m — 1/ 2	2\тппп
. D \z	(z - a ) T2rt
9n2n+l 2n — 2m/ 2	2\mrri
- D ^ \z	(z - a ) T2m
( o^,\	2n+2 —2m —1/ 2	2\т-п-1Гг
= ( — 2mJn+l®	Z	(Z — a )	U2m-2n-2
гл2п I 2n-2m-2/ 2	2\m + l/2rji
. U \Z	[Z — a )	I2
m+1
[m > n] .
[m ^ n + 1] .
[m ^ n] .
11. Dnzn^1/2Dn
[m > n].

58
Гл. 1. Дифференцирование
[1.20.1
12.	D
— О	(	*?ТГ1 I о ft "У	(fl 	 У ]	rt1
13.	Dn[zn+1/2Dn[z^1/2(a^z)^mTm(^|)]] = 2^2nBrnJn(a - z)~
14.	Dn [zn~1/2 Bn [zm+n-1/2(a - z)-mTm (^f)]
= 2^2nB?i
[m ^ n].
(a + z\
n ra —1/	\—m —П
a ^ (a z)
(a — z)
15.	Dn[
16.	D2n\z(a2-z2)mUn
гтг — n + 1
(-2m - lJnz{a* -
17.
m + 1
гтг — n + 1
In —2m —2 / 2	2\m — nj
(—2m — lJnCL z	(z - a
y2 _ n2
i»
18.
D \z(a -z) C/2ml-===
L	\v« —^
2w
2m ~~ 2n + 1
(-2mJnz(a2 -
2п / 2	2\m,r
\z(a z )
-i л тг\2п / 2 2\
19. D \z(a - z )
2m+ 1
2m - 2n +
20. D^
m+1
D \Z
= J^n (-2m - lJn^(a2 - z2)m^n+1/2U2m-2n+i I . * 2
-2n-2m-2(z2-o2)m[/2
(-2mJna2nz-2m-'2(/-a2
22.
a2)m+1/2U2m+i
m + 1
m — n + 1
(m - lJn
2те —2тп —3/ 2
X a Z	iZ
[m ^ n] .
[m ^ n] .
[m ^ n] .
[m > n]
[m, ^ n]
[m ^ n] .
[m ^ n] .
[m ^ n] ,

1.21.1]	1.21. Многочлены Эрмипга Hn(z)	59
23. Dn[zn-1/2D
= 2"(-2то - 2Jnz-m-3/\a - z)m-nUm-n
24. Dn[zn1/2[
= 2-2n(-2m - 2Jnz1/2(a - z)m-nUm-J^^) [m > n]
\ (I Z
25. Dn[zn+1^[++1/2
2n + 1)!
Bm+ 1)!
= 2 n——	———(a — z) m n Um+n[	)•
Bm + 1)!	\a — z)
1.21. Многочлены Эрмита Hn(z)
1.21.1. Производные по аргументу.
1. Dn[Hm(az)] = ^ Ba)nHm^n(az)	[m>n].
2.	Dn[z~1/2H2m(ayfz~)] = (^1)т+п22тт\ (| - m) z~n~1/2L^n~1/2(a2z).
3.	Dn[H2m+i(ay^)] = (^l)TO+n22m+1m! (-| - m) az"n+1/2L^n+1/2(a2z).
5.	В"[г"-т-3/аЯ2т+1(а^)] = ,o BШо+1)' ,г"-3/2Я2т_2п+1(а^)	[т > n] .
(ш — In + lj!
6.	Dn[g"-Ig()	!
=	Bа)г
a M / n Bm)!
= A}
8. D ^z	H2m+1 ^ j j = (-1) {2m2n + 1),^	Я2т_2п+1 ^ j [ж ^ n] .
9. D" [,»
10. D"\z"-iH2m+1(^)}=(-ir22™+1m\(-1--m) az'3'2Lmn+1'2 (
L	\VZ J1	\ 2 /n	\ z
11. Dn[e-a2*2Hm(azj\ = {-a)ne-a*z'1 Hm+n{az).

60	Гл. 1. Дифференцирование	[1.22.1
12. D
13.	Dn[z-1/2e-a2zH2m(a^)] = {-l)m22m{m + n^z^
14.	В
15.	D
16.	D
17.
18.
in ГЛ« Г -m-1/2 -a2/zn f a \\	^ -m-n-1/2 -a2 /'z
ол глп —m —1 -a2/z rr	I tt 1	^ —m —n —1 -a2/z rr
20. D ,	e /tf2m+1f_j =_*	e	Я2т+2п+1
1.22. Многочлены Лагерра Ln(z)
1.22.1. Производные по аргументу.
9. Dn[e-"L^(a^)] = (^a)ne^zL
^zLx+n
az).
I
. U [z	e Lm(az)\ =	z e Lm+n(az)
2.	= L*(z) - L^+1(z).	[39].
3.	D [Lrn(Kaz)\ = (—ft) Lrn__nydZ)	[m ^ тт.] .
4.	D [z Lrnyaz)\ = (—1) (—A — vri)nz Lrn (az).
5.	Dn[zn^m™ Lm(az)] = (—A — m)nz^m^ Lm^n(az)	[m ^ n] .
6.	Dn[zn^1Lmf^)l =anz^1LL_.f^)	Гт^п1
7.	Вп[гп^А^^
8.	D

1.23.1]	1.23. Многочлены Гегенбауера C^{z)	61
1 о глпГ п — 1 — а/z т \ / ^ \-\	п — a/z т A-j-n ( ® \
12. D [z е ' Lm(-)] = a e ' L^ (-).
Z	\ Z У
14. Dn[
1.
1.22.2. Производные по параметру.
dLx(z) у: 1 lX
1.23. Многочлены Гегенбауера Cn(z)
1.23.1. Производные по аргументу.
2. Dn[zA+TO+r
5т\п г n-ro-3/2/iA	/ /—\i / \ \ -m-3/2/iA+n	/ /—\	г \ i
. D [z	' C2m+1(ay/z)] = {X)nz ' C2Z^2n+i(aVz)	[m ^ n] .
6г\п г тге-j-Ti —1/2/-1	2 \Л — l/2r-f^
. и [z	{I — a z)	O5
_ o-n(ra + w)? Bm-
-2 ^^Bm-1)!!
7. D"[^+"(l - a2zf-1/2CL+i(
_ (m + n)!Bm
2
Л_п_1/2
>
-2 ^^Bm+ 1)!! {l-\)n
8.	D"^"-1^(")] = (-2a)"(A)nz-n-1C*tnn(J)	[ш ^ n] .
9.	D[
_ n {in + n)! A - 2A - m)n n_2A	л_п_1/2 A-n Л «
 ~Sn	A - A)n Z {a~ Z)	c™+n^--
10. Dn[(a^z)n Cm(^^—^JJ =2 n(A)nan(a^z) n Cmtnn (	z)]	[m^n],
г1 n«[A-i/2/	^n^2\^\(a + z^
a ~~ z j
, + n)!BA)m(l/2-A)n x~n~i
j m! BA-2n)m+n ^	(U Z) °m+
12. D" \zmCxm (-?=)] = {-l)m{\)nzm-nCx+n_2n (-?=)	[m^n].
L	\z J	z

62
Гл. 1. Дифференцирование
[1.23.2
[т ^ п] .
14. Оя
m!	Bm-1)!!
O2m+i
i/» r\« m/2/	\n —m —l/-tA | ^ + а \
16. D z ; (a - z)	Cm[ — =
.-2\-т)п п/
~а '
A - A - m)n(X)m^r,
z + a
a\2Jaz
[т ^ п] ,
17. Dn \z^A^m/2(a^zy
l n/2 -A-(m+n)/2
a z
\a — z)
2Jaz
1.23.2. Производные по параметру.
-2k
[[56], E0)].
2.
П + \)
2n)] C"{
3. =
[п/2]
-Е-
fe=i
4.
д\ [ (А)„ J (А)„ ?^
[[56], D9)].
1.24. Многочлены Якоби P^p'a){z)
1.24.1. Производные по аргументу.
1. D [Pfr'\z)] = P + ^+^ + 1 [
_
^- —
2p + n-nz {Pta)
\2

1.24.11
1.24. Многочлены Якоби Р^'с(
63
з.	=
5.	Dn[P^"\az)]=(p
6.	Dn[{l+ az)*PX-\a
7.	Dn[(l + az)n-m-1PLP
8.	Dn [A + az)p+lT+m+n
9.	Dn[(l-az)p(l + az)'
10.	Dn[(l-oz)m+n+"(l
11.	Dn[(az
12.	D
13.	Dn[zn~
14.	Bn[zn^
15.	Dn[
16.	Dn
17.
^
[m > n]
= (-a)n{-a - m)n(l
)p+a+mP^+n'a)(az).
= (-2a)"
= nlBp\%an{aZ~1JP[C^1/2
( —2p — lJn
(p-n, 1/2-m+n)
(p — n + l)
—)	[m ^ n] ,
z J
-)} = an{-a - m)nZ-'T-1{z + af
z J
[m ^ n] .
(* + a)	Pm	(-J .
n —p — <
18. Dn z
n -p-tr-m-1/
= „

64
Гл. 1. Дифференцирование
[1.24.1
n \z~zp~l
19. D"
20. D^/
22. Dn
Zo. D \Z	i
24.	Dn[zm(a^
25.	Dn\zm(a^
(р, -п-1/2)
\n — 2p — n — 1/
P> <T+n)
^(l-f) [m>n].
[m ^ n\ .
' a)
- -)] = 2n(^a - m)nzm(a -
n/	\ то — n /	о \—m — l n(p+n, cr) /.,	^ \	г
= a (-о- - w)nz (a - 2z)	P?_n ' ; ^1 - - J [
26. DnUm(a^
27. Dn
28. Dn zn
29.
= 2n-
n -p-a-m-1
= 2"
30. D- iz-^-'P^ -"
L
- Щ = n!
o-i n2n Г 2n-2p-2p(p, 1/2-т-п)Л	^\ 1
1)та \8
( —2p — Ij
2n -2p--2 p(p —n, 1/2 —m+n)
32. Dw
=w!
!
Bp+l)n

1.25.1] 1.25. Эллиптические функции K(z), E(z)	65
33. Dn|z p (z — a)nРДР> p n	i	J] —
/ , i \	Г
7p+l/2 | д _ ~
1.24.2. Производные по параметрам.
+ 2n + 1) - ф(р + <j + n + 1)] P^p'CT)
n-l
v	p + a + 2k + l	(a + k + l)n-k (P|(r)
tbl (пА:)(р + <т + /c + n + l)(p + <T + A; + 1)„_л fe V ^ L J-
2. "fnfl W=Wp-
k { >
3. т^
da [ {p+l)r,
(p+^t:
da [(p + a + n + l)n_
/	-, \	П —1
1.25. Эллиптические функции K(z), E(z)
1.25.1. Производные по аргументу.
/ 1 \ 2
Z. JJ HI — ttZj JU Z	JPk.\KU\/ Z )\\ = {— I) [ ~ ] Z	XVyUy Z
\ A / xi
2 n-l n	( 1\ /1\	fl2n
/ 1 \ 2 o-1/2^n
5т-чте Г 2/1 2 \n — 1 г\П Г n —3/2xti/ /—\Ц / л\п ( 1 \ z	хт» /
. D [z(l-az) D [z 7 E(aV^)jj = (-1) ™x) l	^Щ®л
6. Dn [zn(l - c^z)^1 Dn \A — a2z)n^2E(aVz I1 =
^/ -nnfi^| f^\ 2nfi _ 2 \-n-3/2j
3 Ю.А. Брычков

66
Гл. 1. Дифференцирование
[1.26.1
7.	Dn [zn(l - a2z) Dn [A - а2г)п
8.	Dn[zn(l-a2z)n+1Dn[(l-a2z)-1E(a
9.	Dn [гA - a2*) Dn [гп+1/2A - a2«)E(a^)]] = (-1)" (-
10.	D"[(l - a2z)n+1Dn[zn-1/2(l - o2?)-^^)]] = (-l)
. D [z ^ A-a z) D [D(aV^)]J = Ul U) a zl}{a
\ Z / n \ A / n
12.	D-^-^l-a^rD-^DCai ?
13.	Dn[^(l-a2«)nDn[^n-1/2D(
14.	Dn[«-1(l-o2«)nDn[
15. Dn [zn+1 D" [A - a2z)n/2D(aVi)]] = (-1)" (J) a2nz A -
1.26. Функции Лежандра P^ (z)
1.26.1. Производные по аргументу.
D" [(a2 -
2. D" [(a2 -
[\zjal < 1}
3. DnL
л, —n n/2/
= 2 a 7 (
1 /
(a ^
u —n)/2 r>u —n
4.
5. Dn \zn
П /
[\z/a
[\z/a
[\z/a

1.27.1]	1.27. Гипергеометрическая функция Куммера 1F1 (a; b; z)	67
6. Dn\zn+^-u)/2~\a- z)-»/2P? (J^\\ =
= (~2rnan/V^)/2^(a - zy^+n)/2P^: (Ж\ [\z/a\ < 1] .
1.27. Гипергеометрическая функция Куммера iFi(a; 6; z)
1.27.1. Производные по аргументу.
1.	Dn[iFi(a; b; cz)} = cn^ iFi(a + n; b + n; cz)	[[б], 6.4.10] .
(P)n
2.	Dn[za+n-\F1(a,b; cz)} = (e)»/ ifi(a + n; 6; сг)	[[б], 6.4.11].
3.	D-fz^iFiCa.fc; сг)] = (-1)"A - Ь),:1""-' iFi(a; 6 - n; с*)	[[б], 6.4.12] .
4.	Dn[e-"iFi(a,ft; с*)] = (-с)" (& ~ a)n e~cz 1F1(a; b + n; сг)	[[б], 6.4.13] .
5.	Dn[^b-1e-cz1F1(a, 6; c«)] = (-l)n(l - b)nzb~n-Ye~cz х^(а - n; 6 - n; cz).
6.	Dn[2i>"a+ne""iFi(a, 6; cz)] = {b - a)nz'"""VC! iFi(a - n; 6; сг) [[б], 6.4.14] .
7.	D-^-'iFifa.i; |)] = (-c)"^^" x^ (a + n; b + n; |) .
8.	Dn[«-eiFi(a,b; |)] = (-l)n(a)na-o-n xFi (a + n; 6; |).
9.	D-^-SF^a, 6; |)] = A - б)^ х^ (a; &-";§)•
10 n«[ n^! ^c/z it» / i CM	n(^^a)n -n-1 -c/z jp ( i ,	c\
10.	D z e 7 1F1 a, b; - = с —у——-z e ' 1F1 a; 6 + n; - 1 .
L	V	z/J	(b)n	V	z/
11.	Dn[2;a-be-c/afiFi(a, 6; -)] = (^l)nF - a)nza^ne^c/z 1F1 (a - n; 6; -) .
L	\Z/J	V	z /
12.	D2"+CT[1F1(i-n;6;^)] =
= (_4)" A/2)"^ + 1/2)" г" xFx (n + a + 1; b + n + a; z2) [a = 0 или 1; [57]].
(C»)n+1	\	Z	/
13.	^^"[z^F^-a-n- b- z2)] =
= (-4)" C/2)ni?" ~ 1/2)" г1'" iFi (n + |; 6 + n; z2) [«r = 0 или 1; [57]].
14.	D2"+CT [z2» xFx (б - a - n + |; 6; г2)] =
= (-1)CTA - 2bJn+aZ2b-"-2n-11F1 (б + i; 6 - n; z2) [o- = 0 или 1; [57]] .
v A	J
15.	D2"+CT[/6-21F1F-n-i; 6; z2)] =
= (-l)aB - 26J„+^2"-ст-2п-2 xFi (б - i; 6 - <r - n; г2) [<т = 0 или 1; [57]] .

68	Гл. 1. Дифференцирование	[1.27.2
1 п тгч2п + сг Г J-, ( 1 2\] п2п + 2сг/ \	а г~, ( ,	,	. 1 2\
16. D ^ [lFi^a; -; z Jj =2 ^ (a)n+aZ iFi^a + n + a; ^+2' z J
[<r = 0 или 1; [57]] .
17.
18. D	e iFifa + n^ -; a;
L	\	Z
(a + n; f - ^; ^2)	к = 0 или 1; [57]].
fa - i; a + n + ^; z2) [a = 0 или 1; [57]] .
19. D2n+CT [ге-22 lFl (a + n + <т - |; a; z2)]
20.
= (-1) A - 2aJn+a2	e 1F1 (-n - -; a - n; ^ 1 [cr = 0 или 1; [57]] .
,	^	2\1
rc + cr --; a; 2 1 =
(^) [c = 0 или 1; [57]] .
+(l)	2 fo-n; a + J; z2) [<r = 0 или 1; [57]].
V	Z	/
23. D2"+[(; ^)]
= (-4)n(^-a)n^^e-221F1(a-n-c7; | - a; г2) [ст = 0 или 1; [57]]
1.27.2. Производные по параметрам.
fe=0
(a — к — IJ \	a — к, а — к
[a^0,±l,±2, ...].

1.28.11
1.28. Гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, Ь;,
69
2. Da 1
i z
a=n+l/2
к\ п~
3. Da x
4. De
a; z
а;
	n
2
= 3/2
(/2)п4
М/2)п4
L, 1; -z
г,--к
2
x 1F1
ь + b
п - 6 + 1
— ш Z\ X
1 — 6 —
— 6 —
(-l)n(n!J*-n
чп?	Ел	г г
6.
2 ;
n + 1
1а = (п-Ь+1)/2
х iFi|
b + n + 1	1'
2 'W^l
n, 0, n - - у	fc=o l j l	j	\
1.28. Гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, Ь; z)
1.28.1. Производные по аргументу.
1.	Оп[Ф(а, 6; cz)] = (^с)п(а)теФ(а + п, 6 + щ cz) [[б], 6.6.11] .
2.	Dn [^а+п~1Ф(а, 6; cz)] = (а)п(а - b + l)nza^1#(a + n, 6; cz)
3.	Dn [^ь~1Ф(а, 6; cz)] = (^l)n(a - 6 + l)nzb"n^1#(a, 6 - n; cz)
4.	Dn [e"~cz#(a, 6; cz)] = (—c)ne^cz#(a, 6 + n; cz)
И, 6.6.13]
И, 6.6.12]
И, 6.6.14]
[6], 6.6.15]

70
Гл. 1. Дифференцирование
[1.28.2
7.	Dn z~c
8.	DnLn^
9.	Dn\zn~
b; |)] = (^l)n(a)n(a - b + l)nz~a~n#(a + n, b; |
b; |)] = (a - b + 1)пг"ь
, 6^ n; |
10. Dn[za e c ^{a.b; J\^za necz^[a n, b; ) .
1.28.2. Производные по параметрам.
) + Щ z) ¦
v д. 7Г cosec (бтг) ( b + к] z
1, 1; z
2,2-b-k
2. Бо[Ф(а, 2a+ 6;
1-6
, 2n
, O2n-1 I — n z
+2 n\z e
fc=0
;!(n-A;)
1-6 .	, Ь
	, Is — n Л—
2 '	2
— n. —
1.29. Гипергеометрические функции Життекера M/J,jlJ(z), W^^u
1.29.1. Производные по аргументу.
2.
3.
n/2, u_n/2{az).
5.
6.
-i \fi ju. — 1 —az/'Ajir	/ \
-1) z^ e 7 Wp+n,v{az)
Z те ^ ^	/ те

1.31.1]	1.31. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,6;c; z)	71
1.29.2. Производные по параметрам.
1.
= ±
и=±п/2
	\-к- ,
1.30. Функция Бейтмена k^(z)
1.30.1. Производные по аргументу.
1т\п г n — vl1 — \ az i / \l / ч\п1ч ^ \ —vl1 — \ az
. D [z ' e ku(az)\ = (-1) [l-—)z ' e
2.	DIl[^+"/2-1e-oz^(a2)] = (-l
3.	D \z ' e ' ku[-)\ = [l--) z ' e ' ku-2n
1.31. Гипергеометрическая функция Гаусса 2-Fi(a, Ь; с; z)
1.31.1. Производные по аргументу.
1.	Dn[2F!(a, b; с; z)]= ^)n^n 2F1(a + п, Ь + щ с + щ z)	[[б], 2.8.20].
2.	Dn[^+n-12F1(o, 6; с; г)] =(a)n^-12F1(a + n, 6; с; ^)	[[б], 2.8.21] .
3.	Dn [г"'1 2Fi(a, Ь; с; г)] = (-1)пA - с)^'"" 2Fi(a, 6; с - n; z)	[[6], 2.8.22].
4.	D"[(l-*)o+"-12Fi(a, 6; с; г)] =
= (-1)"(а)"(с~Ь)"A - z)"-1 2Fl{a + n, b; с + щ z) [[б], 2.8.25] .
(е)п
5.	Dn[(l-z)a+b-c2F1(a, b; с; z)] =
= (С ~ а)Д(С ~ &)п A - z)a+b-c-n2F1(a, b; с + п; z) [[б], 2.8.24] .
(С)п
6.	Dn[zc-1(l-z)b-c+n2F1(a, b; с; z)] =
= (-l)n(l - c)nze-n~1(l - z)b-c2F1(a -n,b; с - n; z) [[б], 2.8.26] .
7.	Dn[zc-1(l-z)a+b-c2F1(a, b; c; z)} =
= (-l)n(l - c)nze-n~1(l - z)a+b-c-n2F1(a -n,b-n;c-n; z) [[6], 2.8.27] .
8.	Drl^c-a+"-1(l-z)a+6-c2F1(o, b; с; г)] =
= (с - a),,/-""^! - г)°+«-с-» 2Fi(a - n, b; c; z) [б], 2.8.23.

72	Гл. 1. Дифференцирование	[1.31.1
тг\«> Г n —I i-i / i	1 \ ~|	/ -, \п {а)п{Ь)п -п-1 r-i ( ,	i ,	,	1\
. D z 2^1 а, 6; с; - = (-1) , ч z	2^1 а + п, о + тг; с + п; - .
L	V	Z/J	(с)п	V	z/
10
. Dn \z^a 2Fi (а, 6; с; i)] = (^l)n(a)nz^a^n 2Fi (a + n, 6; c; i) .
11.	Dn [zn^c 2Fi (a, 6; c; i)] = A - c)nz^c 2Fi (a, 6; с - n; ^) .
12.	D ^z (z - 1)	2Fi ^a, 6; c; -JJ =
(a)n(c-6)n ^a^n/ va_i /	1\
13.	Dn[^c-a-b+n-1(^-l)a+b-c2Fi(a, 6; c; -)] =
= {1)
{c)n
14.	Dn[z-b(z-l)b-c+n2F1[a, 6; c; i
= A - c)nz-\z - \)b-c 2Ft (a - n, ft; с - n; ^) .
15.	T>n\zn-a-b{z - i)a+b~c 2F1(a, b; c; i)] =
= A - c)n^-°-6(^ - !)«+»-«=— 2Fi (a - n, ft - n; с - n; i) .
. Dn[z-b(z-l)a+b-c2F1(a, 6; c; i)] =
= (-l)n(c - a)n«(^ - l)"+6-c-" 2Fj (a - n, 6; c; i) .
16
17. О2"
с + n
[[58], C6,40)].
18.	D n+a
= (-4)n(|) U-\) ^^z1^2F1(n+^b + n;c + n;z2) [[58], C4, 41)] .
19.	D2n+a \z2c^ 2Fi (c - n - G + |, 6; c; z2)] =
= (-1)^A - 2cJn+(j z2c^2---^1,
20.	D2n4
- 2сJп+ст г2с-2п-ст-2 2Fx (c-\,b;c-n-ff;z2) [[58], C5, 39)] .

1.31.1]	1.31. Гипергеометрическая функция Гаусса 2^1 (a, b; с; z)	73
21. D— [A - О»-1" Л (с + „ - 1,6; с; ,2)] = (-4)" (|)п (. + \)п х
х (С~Ь)"+^-<гA - г2)»-""-1/2 2FX (с - I 6; с + п + а; *2) [[58], D8, 52)] .
22.	D теЧ~ |z(I - z~)	"'^'ilc + n + cr - -, 0; с;
:-6)n x	2чЬ-п-3/2
[а = 0или 1; [58], D6, 50)].
23.	D \ z A — z )	2 Fi (ii + <j — —, 65 c]
{ 1\<т/1 о \	2с-2п-сг-1/-,	2\Ь —с —п —1/2 in /	1 i	2\
= (-1) A - 2сJп+<т z	l1^ )	2Fi ^-n- -, Ь-n; с-щ z J
[о- = 0 или 1; [58], D5, 49)] .
24. D2-+- [z2c^2 A - *2)b-c+»+i/2 2Fl („ + I, 6; с; z2)] = (-1)'B - 2сJп+<т х
X Z2(l ^)	^ ^n ^ + ^
[а = 0или 1; [58], D7, 51)].
25.	О2я+"[2^(а, 6; |; z2)] = 22-+2^(a)n+ff x
x F)n+?r za 2Fi (a + n + a, 6 + n + a; i + a; z2) [[58], D2, 44)] .
26.	D |z2Fi(a, 6; -; г Jj =2 (а)п(Ь)пг 2Fi ^a + n, b + n; - - <т; г J
[[58], D1,44)].
27.	О2п+ст[A-22)°+()-1/22^(а, 6; i; z2)} = 22n+2<J (-- a) x
L	\	2 /J	\2 / n+cr
28. D*n+*\z{l-zy+b-1'\F1(a,b;l;z*)]=2tn(l-a) (| - ft)
L	V	2 /J	\2 /n+crVz /n+(j
6-an-.r-3/2
29.	D2n+a[(l-22)o+n+a-12Fi(^a, a + a-i; |; г2)] =
= (-4)»п+стA - a - a)n+<r **A - г2)--1 2FX (a + a, a + «r - i; a + \; z2)
[[58], E8,60)].
30.	D2n+CT [«A - г2)-1"»-1 2Fi (a, a + a + i; 5; г2)] = (-4)»n+a(l - a + <r)n+a x
X z1~a(l - г2)а-'г-ст-1 2Fj (a - <r, a - a + -;	<r; z2) [<r = 0 или 1; [58], E8, 62)] .
31.	D	A — z )n+CT 2Fi A, a; -; z I =
= (_4)"+-(n + a)!(i-a) гст 2FX (n + a + 1, a; a + \; z2) [[58], E7, 59)] .
V А	У n+cr	V	A	/

74
Гл. 1. Дифференцирование
[1.31.2
1.31.2. Производные по параметрам.
L Dai2Fl( a + 6 )\= (a + 6J 8М a + 6 + 1, a + 6 + 1 j"
2. Da[2F1(i,l; a; z)]|e=1/2 =
[A + 2л/1) In A + л/1) + A - 2л/1) In A - л/1) - In A -
2a + с
' П — С + 1 ,	П — С + 1
. 	j & н
X 2Fi	2	2
Г(п-Ь
*) ГF)Г(	)Г(	js.n(-^-Wj
1 — n — с 1 + n — с '
1 O,
2^
' n + с + 1
2
n — с + 1 '
X 2Fi
6 + 1;
x 2Fi
1 — n — с , , 1 — n — с
	, 1г + 6Н	;
?	A
k + 1
1.32. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z)
1.32.1. Производные по аргументу.
1 Пп I <уг Г?
1. D U pFg
(bq
(fc - П
(ap), A(m, r + 1); .
[г ф n — 1, n — 2, n^3,
(ap) + ra — r, ra + 1;
:fe^n+r [r = ra — 1, ra — 2, ra — 3,

1.32.2]	1.32. Обобщенная гипер геометрическая функция pFq {{a p);(bq); z)	75
Q T\'z
3. D
4. D2n+1\pFq(M; z2)]=22n+1z^ П(вр)п
1 , 3 2>
¦ 1, тг+ -; z
1.32.2. Производные по параметрам.
D^+iF,(a, (aP); F,); г)] |«=o = (-l)n«! f) ^ ^
2.
b -
П(°р)
тжу
n-fc,
3. D6
n — 1	/
-k, (ap);
4. Da
(ap), a, b — a; z
6	b
+ 22n^1fi!™ V 2
Г Q
^ + k-n)
, - - n, -^+2к-щ z
5. Da
= [^(a + n) - ф(а) + ^(a + b) - ф(а + b + n)] x
- a)n(a + 6)n ^
+ j
!(п - к)(a + ife)(l - b - n)h
-к, а + к-п, (ар); z

76
Гл. 1. Дифференцирование
[1.32.2
6. Da |3F2( 2
a, 2
a=l/2
= —[In A + VF) [4 +
+ In A - yfz) [-4
- In A ^ z)] +
In A - *) - 41n A - л/z)]] •
Т. Da 3F
a, a, a; z
a + 1/2, 2a
a=l/2
= -4к
1 + VI
8. Da
a, a, a; ^z
a + 1/2, 2a
-K
a=l/2
Т - 1
гК
+¦
2 In-
+ 1 + 1
- 1
0. Dd
— A v 7Г ¦
2a + 1, 2d + 1, 2a - 2d + 1; г
^55 2
1
	a, —a, l^a^6^c, l^
2
0, 0, --, ^2a, ^2
2'
1
c, —
' 2
a H—, a + 1, a — 6 + c, a + 6 + c
2?	'
2a+ 1, 2a+ 1, 1; 2
10. Da 4F3
a^ a + 1/2, a + b — c, a + 6 + c; z
2a, d, 2a - d+ 1
/d/2, (d + l)/2, h^
4
a=d/2
6 - - + l) + 2C] x
¦d/2; z\ , ,_! ^r(d)r(c^6^d/2 + l)
	, 	, 1	, —, с — b	hi
2 '	2	2' 2'	2
0, 0, -i, 1-d, 1-d
11.
12.
13.
Da
Da
Da
\1F2(a; Z)}
^ V 1, 1 /-1 a=1
\1F2(a; ~Z)]\
2sh
a = 3/2
ch

1.32.2]	1.32. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	77
14. Da\lFJ *-*
L \а + 6, 2а + с
а=(п-с+1)/2
те — с + 1
6+	,п
+ n\z~n/
С + П + 1	71 + 1
2 2
1 с+те+1
О, п. —,	о
' ' 2'	2	>
15.
fc=O
а + 6, 2а + с
1 - те - с
Н
k + 1, k + b-
71 - С+ 1
2 5
71 - С+ 1
71 - С+ 1
с + 1
с — 26 + 1
1 — 71 —
1 — 71 — с
к + 1, А; + 6
-; z
1 — те — с
а, 2а + 6/J a=(i_5)/2
2 ' 2
О, О,
2 '
17. D
18.
J 2F2 ( f' °^
L \l?a +
= - [ez ^ 1 + B + ez) (C + In z) - 2 El (z) - ez El (-
> 0].
[z > 0].

78
Гл. 1. Дифференцирование
[1.32.2
19. Da
2
(
F2
I
a,
t
a
_l_
2
+
6; ,
2a
-)-
.-c + l
¦те — c + l те — c + l
2 '	2
n + 6 - с
2
1, n + 1
-(-!)"-
b —
C+l C+l
2 ' 2
n n с — b
к + 1, к + 1 ¦
1 - с-те
2 '
6 — те — с
20. Da
2F2
a, a + b; ^
-, 2a + с
.-c + l
ь)+*(!
+ 6 — С
n — с + 1
-6; -x
h 1,
r-n/2
— c+l
;-c+l
c+l c + l . n
— о,
2 ' 2	"'	2
те те те + 1 с -— b
1 - c- n
!J(n - k)r(k
/ .	1 — С — П .	-	1 - С - 71
« Н	, к + о +
A; + 1, Aj + 1 +
2
b — те — с
21. Da[2F2f a> ^ Z
L \a + 1, 2a +
г 2
/те — 6 + 1 те — 6 + 1 \
n - b
2 ' 2
те- 6 + 3
w/2
6+1 6+1 '
2 ' 2
те те 6 — 1
/fe-^ + 1
(Jb!J(n - ife)Bife - ri - 6-
A; + 1, к +
2 ' 2 ' 2
те + 6 + 1^
2 '
3- те- 6

1.32.2]	1.32. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	79
22. dJ2F2( "'a; ~* '
L \а + 1, 2а + 6 у
' П — 6 + 1 П — 6 + 1
2 ' 2 '
тг-6 + З
6 + 1 6 + 1 n + 1
n n 6 — 1 n + 1
"' 2"' 2 '	2~«
z*T
1 — 6 — n . 1 — b ^ n
k +
-п-Ь + 1)
L, ^ +
2
3- 6- п
; -z
a, a H—;
23. Da 2F2	2
a=(n-6+l)/2
' n ¦— 6 + 1 n -— b
2 ' 2
п- 6 + 3
п —1 (—у\
1 • "У
6 6 + 1
2' 2
n n 6 — 1
2 ' 2 ' 2 7
^ , . 1 - 6 - тг . п + 6	л
^ Ч	1	, к	h 1; z
k=0
lJ(n - k)Bk - n - b + I)
2
к + 1, к-
2
\-n-b
, a, a H—; ^z
24. Da 2F2	2'
a + 1, 2a+ 6
— In z — ф
n-b
П ^ Ь
• п — 6 + 1 п -— b
2 ' ^Г
те-6 + 3
¦1; ^
б + тг + l
2 '	2 ' 2
1 6 + тг- 1
О, n, —,
' ' 2'
' 4
2	2
l-6-n
?!J(n - A;)Bife - n - 6 + 1)
2F2
, к
к + 1, к
3 - п - 6
25. Da
а, аН—; z
а + 1, а + 1, 2а + 6
-6
га - 6 + 1
n-6 + l тг-6
-1П2-
", П + 1

80
Гл. 1. Дифференцирование
[1.32.2
2Г
2' 2
те те 6—1 6—1
2 ' 2 ' 2 ' 2
-»'
Л + 3-n-frN
х 2F3
1 — 6 — П . 71 + 6
—-—, к—^—
26. Da
a, a H—; z
a + 6, a + 6 H—, 2a + с
a=(n-c+l)/2
= [- In z + 2ф(п + 26 - с + 1) - 2ф(п - с + 1) + 2ф(п + 1)] х
/	те — с+1?г — с	\
2 7 2
те — с + 1 , п ~ с . l . -1 ,1
	-	 + Ь' ^^ + 6 + 1' П + 1,
-^22 ,
Ж24 I
С С+1
2' 2
те те с-26 с-26 + 1
2 ' 2 ' 2 ' 2
" ^ 0»J(п - А;) ГB^ - п + 26 - с + 1)
27. Da
2F3
а, а -\—; ^z
А
а + 6, а + 6+ -, 2а + с
2	/
()/
= [- In z - 2ф(п - с + 1) + 2^(п + 26 - с + 1) + 2^(п + 1)] х
2 ' 2	7
71 — С + 1	, 71 — С
	+ 6, 	+ 6 + 1, п + 1
2	2	у
с с + 1
Г(п-с
-^22
J35
z^n/2 V
2' 2 ' 2
те те с-26 с-26+1
~2"' 2°' 2 '	2 '
ГBА; - п - с + 1)
(к\J(п - к) ГBк - п + 26 - с + 1)
х 2F3

Глава 2. Пределы
2.1. Специальные функции
2.1.1. Функции Бесселя Ju(z), Yu(z), /„(z)> Kv(z).
1.
2. Mm v
u—^-oo
<"+1>/2.
1 \u	1
3. lim^(-l)nn|sin in2z + — J Jn+i/2(
(n2z	—J J^n^i/2(w2z) I
^) + cos (n2z
FZ\те
—- [sin z Jn+1 /2 B;) - cos z7n+i/2 B)] =
5. lim ( —) [cos zJn+1/2(z) - sin zYn+1/2(z)] =
6. Mm
7. Mm
2sgn(z)
a v ( z Y~1/2 "is t \ ,
8. lim -—	e ^(z) = ±
2.1.2. Функции Струве Hl,(z), LI/(z).
^(^ + 1)/2	I ^z2
1.	Hm —7—г—Hvftzy/is) = ^^ e z erfi(z).
i/(l/+1)/2	1
2.	Mm
1 2
z
ez)"
1 2
bv{2zy/l}) = ^=ez erf(z).
l V ; ^2?	l ;
2.1.3. Функции Кельвина berl/(z), be!I/(z), kerl/(z), keii/(
1 r I 2 Y ^+1/2 Г 3|/7Г u / \ 1 • 3l/7r u • / \1	1
1. lim — и ' cos	ber^fzj+sm	heiv(z)\ = .	.
^ooVez/	L 4	v 7	4	v 7J ^2тг
2	1
cos —.
7TZ	2Z
> 1]
arg z < 7Г
z < 0
2. lim I-—I
v-kx>\2i/ /
ker^^z) + cos
7Г . 7Г
-sm-.

82
Гл. 2. Пределы
[2.1.4
2.1.4. Многочлены Лежандра Pn(z).
1 г	1/2 nil о
1. hm п ' z ' Рп
2. Hm
3. lim (
n—>oo
»1Аа (*\ _ cosBz)
4. lim (-l)nn1/2P2nf?)
5. iim(-i)
6. lim Pn(l
7. Jim Pn
8. H
у2
9. Mm
10. Mm Pn
+ Z2
n + z
= /(>(*)•
2.1.5. Многочлены Чебышева Tn(z), Un(z).
1. Hm (z - V^
Tn(z) = i
2
[Re z > 1] .
2.	Mm Bzn)"nTn(l + nz) = -e1/z.
3.	Hm (^l)nT2n (-) = cos Bz).
n->oo	\n/
4.	Hm (-1)пТ2те+1 (-) = sin Bz).
n->oo	\n/
5. Hm Tn(l+ 4
n->oo	\	П^
6.
7.
Hm
Hm
n—>oo
T 1
vn2
+ z2
-z2
= ch B*) .
8. Hm Tn 4/1 +— =chz.

2.1.8]
2.1. Специальные функции
83
9. Mm Tn
10.	lim (z - Vz2 - l)n Un(z) = B - 2z2 + 2z\/z2 - Г
11.	lim B*ra)~n?/n(l + nz) = e1/z.
12. Mm (^l)nl72n f-) = cos Bz) .
n—>oo	\ fl у
13. Mm (^I)nt/2n+i (-) = sin
fl
14.
15. lim -f/n p-
^^2/
16. lim (
17. limIf/n
18. lim ^I7n ,
n	\VH2 + Z2
2.1.6. Многочлены Эрмита Hn(z).
1. lim	H() ^z /4
lim	^
n^oo Bnz)n
2. lim (-l^-
x 7 D
3. lim (-l)n-
4^J=21/2cosBz).
n+if^)=21/2sinBz)
Dfl)n+1/2
2.1.7. Многочлены Лагерра Ln(z).
1.	lim rT Ln
2.	lim \^n/2Ll (Л--
3.	lim s^n/2L
/s - t
2.1.8. Многочлены Гегенбауера Cn{z
CZ(z) =-Tn(z).
n
1. lim
A-»0
2. lim
A—>oo
[Re z > 1] .
[61].
[54].
[[59], C)].

84
Гл. 2. Пределы,
[2,1,9
Ч lim r,x-*zn
3. hrnn z
4. lim
5. lim (-2z)-n
n>oo
6. lim (~2
n—>oo
7. Km(-i)-ni
8. hm (-1) n C2n+i [ —
9. lim (-l
10. Ji
11. Hm C2nn+11/2 ( -?= ) = - erf (z
13. Hm n1
Г(Л)
2.1.9. Многочлены Якоби P^P}(t)(z
1. Hm р-пР^'<г-р-п)(р^)
2.	lim
cr^oo
3.	lim
4.	nm
5. lim
n--»OG
6. Hm i
n-->OG
7. Hm n
n-—>oo
2
(P, -n-p/2-1/2)
erfi

2.1.10]	2.1. Специальные функции	85
8. lim n-^P^J2' -1/2' (l + -) = ^e*2/2 erf
An	\	) z
9. lim
n/ Г(р)
10. lim „-"P<"- —«.-P-D (l + ?) =	m!	L^m (f) .
И. ЛтП-М-"ст-''-1)( ^)
2.1.10. Гипергеометрические функции.
1. Hm s~a iFi(a; 6 + s2; s2 - sz) = ez2/4D^a(z)	[24].
2. Hm в-а/22^(а,6 + в; c+|; i- ^) = e*2/4D_a(z)	[[54], F)] -

Глава 3. Неопределенные интегралы
3.1. Элементарные функции
3.1.1. Логарифмическая функция.
ах + b	(n + 1)а
(l) . п-к/	,\т.	(аХ
I] (—ш 1п аж + & Llfc+2 ( "Г
_. , In ж In (аж + b)	а Г	In ж
2.	^^ dx =
(еж + d)n+1	nc J (ах + 6)(еж + d)n
2 Г In ж In (аж + 6) ,	1 In ж In (аж + Ь)
Н	-,	а	 ^ж	7	—а
J ж(сж + а)п	пс (сх + а)п
, 1пж1п (аж + 6) , п Г In ж In (ax + 6) .
О.		;	гт	—	 аХ = 	 	;	™т	~~	 пХ +
( + 6)т+!	] ( + Ъ)т+г
In ж In (аж + 6) ,	1 1пж1п (аж + ft) г	,
, 	-,	™т	аж	—	 \п ^ 1 ,
та J ж(аж + Ь)т	та (ах + Ъ)т
. , In ж In (аж + b) In (еж + d) с Г In ж In (аж + 6) а Г In ж In (еж + а*) .
4. 	—	ах = — \ 	—	¦—-— dx -\	гт	—^— dx +
n
1 Г In (аж + b) In (еж + d)	In ж .	л .	л	г	1
^г^	 dx	In (аж + Ъ) In (еж + d)	\п ^ 11 .
п+1	пжп
п J	жп
^ I In (аж + b) In (еж + d) . с Г In (аж + Ь) .
5. —^	^тт^	'- dx = — \ -—^	—fr dx
п J жп(еж + d)
а Г In (еж + d) dx^J_ln (аж fe) 1п (сж
' In2 ж 1п2(аж + 6) _ 2 Г In2 ж In (аж + Ъ)
' ( + 6)-+!	J ( + 6)-+! "
(аж + 6)-+!	n J (аж + 6)-
2 Г In ж In2 (аж + Ъ) , 1	1 2 1 2 / ,г\г
1	- dx	;	г—In ж In (аж + ft) \п
па J ж(аж + Ь)п	па(ах + b)r
7. | In ж 1пп(аж + Ъ) dx = —	In ж 1пп(аж + Ъ) -
(I
— n In ж 1пп^1(аж + 6) а*ж	1пп(аж + b) dx.

3.2.1]
3.2. Специальные функции
87
3.2. Специальные функции
3.2.1. Функции Бесселя Ju(z), Н^(х), /„(z), Kv(z).
Обозначение: Zu(x), Z(x) = Jv{x) или Yu(x)
1. f х"+2п+1Л(х) dx = (-2)nn\x»+n+1 J^ ^T (f У J,+n-k+i(x) .
2.
3. ж^+1 In ж Jo (ж) Ju(x) dx =
4.
5.
6.
Jv(x)
in+l
X [J-u{x)\
7. I —"_ . . ¦, dx = -
2n \Yu(x)
Г	1
8. \xnvZ™ (ж)ZI/_l(ж) с!ж = —xnyZ™(x).
9.
10.
11.
12.
13. | -
ж
-x~n
= — In Zu(x) + i/ In ж.
[тг(|/ + l)[Ju(x)Y0(x)
+ 2(i/In ж + In ж - l)Ji(a) J^+ifa)]} - ^
Ju(x)
2ni/
x Zu-\[x)Zu+i\x)
7	}'[
Zv-\\x)
JiH-пСж) С?Ж.
- + 1,^±,|/
2 ' 2 '
+ l, i/ + l, 0, 1,

88	Гл. 3. Неопределенные интегралы	[3.2.1
15
(Zu{x)\n
J
x
^	dx=	_	_	(
[Zu(x)]n+1	nx[Zl(x)Zv(x) - Zu{x)z'v{x)] \Zv(x)
= F
19 тм
20.
2 J к
fc=0
21. \x\nx
(-
fT\ _ т?(т\	Tn(r) /i (r)}
2
«,2
f m/ n-1	1
J	l/	n
О А	—ПЬ> тП — 1/ \ т	( \ I	J- —nv тП / \
24. ж 1^ (жI1/+1(ж) аж = —ж /^(ж).
25.
26.
27. [е±ш lnxK0(x)dx = xe±x(lnx^ 2)[K0(x) ± Кг(х)] ± e±xK0(x).
29
dx =	(MeL
[Kv{x)]n+1	nx[Il{x)Kv{x)-Iv{x)Kl{x)]\Kv{x)
30.	" ^\j д^ж = -\пКи(х) -1/1пж.

3.2.2]	3.2. Специальные функции	89
dx = ~lnK1J{x) + v\nx.
Ku[x)
32. [ xnv'KT1\x)Kv-x{x) dx = --xnuK?(x).
J	n
33.
34.	| Kn(x)Kn+1(x) dx = (^ Kl{x) + (-l)n+1 ^(
Г
35.	x pK^{x)Ku{x) dx = I(p, /i, n),
36. /(p, /x, i/) = ~ +|/^_ 1[/(P - 1, /x - 1, i/) + /(p - 1, /x, i/ - 1)
37. /(p, /x, i/) = +|/^ +1[/(P - 1, M + 1, i/) + /(p - 1, /x, i/ + 1) +
38. 7A, M, i/) = -
39. =
40. /A, га, га) =	l(-l)mKo(x) + 2 Y] (™l)i+mi^f (ж) + 7Г^(ж)]	[m ^ 1] .
3.2.2. Функции Струве H1/(z) и LI/(z).
n-l
fI^
. ж ^ Ь1/(ж)с1ж = n\
Z^ f _ A^^
(n - k)\{2n -2k + l)V{u -k + 1/2)
ОП-1/+1
¦. — ?/-1-1 тг	/ \	^	2
2ж
3. | ж In ж Lo(sc) <^ж = ж In a?Li(aj) — Ьо(ж) Н	.

90
Гл. 3. Неопределенные интегралы
[3.2.3
3.2.3. Функции Эйри Al(z) и BI(z).
Обозначение: у = a AI (ж) + &BI (ж), а, & — постоянные
1.
2.
3.
у — (п — '.
+ (га - 1)(га - 2) xn~6ydx
= xy' -у
Г	Г
4. x3j/dx = ж У - 2ху + 2 j/da:
5.
6. | ж V
7. | у2 dx = ху2 - у'2
8. ху2 dx = - [х2у2 - ху'2 + уу'}
[[37],	D)].
[[37],	F)].
[[37],	G)].
[[37],	(8)].
[[37],	(9)].
|(п - 1)(п - 2) | жп"У da:] [[37], A1)].
[[37], A2)].
[[37], A3)].
9. I х у dx = — [ж |/ — ж у1 + 2хуу' — у ]
10. I xny3dx = xn~1y2yr -
[[37], A4)]
|(n - 1)(п - 2)
[[37], B4)]
1	9	9
П| п 3 i п —1 2 / L (п	ii\ п^2 3 ^ п^2 /3 .	^ / г»\ п^З /2
. \ х у ах = х у у — н^	~~ И)ж У ~ ^х У +	~^\п ~ 2)ж УУ
У	о	о
	/эт ______ *)\(<п _ 4Wn^4i#2i/ -I	f-n — 9Vn — Ч\(п — 4Wn~57i3 4-
о	У
+ ?(»-2J
-±(n- 2)(n - 3)(п - 4)(п - 5) | ж^^3 dж [[37], B7)] ,
12.
13.
л л
14.
15.
2	10
' + о 2/2/' + ^ \УЛ dx
32/ 17 23 22/3,4	,2 2 2 / . 40
2/2/- —ж у - -х у + -жуу - х2/ У + ^г
У	о	о	о	У
! ^ = ж4/?/' - ^V " i^l//3 + ^2УУ2 + Sxi/2^ - %3 - ^y'3 [[37], C0)] .
«JO	О	«J
[[37], B5)]
[[37], B8)]
1.B9)].

3.2.3]	3.2. Специальные функции	91
tn	n 4 i	1	о п + 1 4 ^ n 2 /2 . г» п —1 3 / .
16. \ х у ах =	 Зж |/ — 6ж у у + 2пж У У +
J	5п + 3 [
+ ^(п - 1)(п - 2) f ж71/ Лс - 3(п - 1) [ хп~2у'4 dx\ [[37], C8)]
п 4 i	-'-о п + 1 4 /-» те 2 /2 . /г	о\ п —1 3 / , о п —1 /4
у ах = Зж у ох у у + (on 3)ж у у + Зж у
-1 fw	П 4 i	"*- о П + 1 4	/-» те A IA . /r	o\ n —1 3 / , о n — l /4
17. I ж i/ dx = — Зж 1/ — 6ж у у + (on — 3)ж у у + Зж t/ —
_____ -г I /v*| 	 I 1 /-уь	fb $ fit §		 ™™~ I ^K"S 	 ill ^ь ITl 	 "€ 1 O^	^ЭI	| ^^ I /ут| 	 I If iy% 	 # 1 /**э	л |
<tj\ § $j	1 1 гДу	^/У	l#O	J_J|tJ#?'	О I tX/	О	~y™	III/	illll/	Ad j Л/	О
4	4
-l)(n-2)(n-4) Ln^52//4rfx + I(n-l)(n-2)En-3) f^n^3|/4dxj [[37], C9)],
18. J xyi dx = -[3a:V - 6xj/2y" + 2s»V + 3j/'4]	[[37], D0)]
19. f ж2/ dx = ±- [Зх3у4 - 6x2y2y'2 + 7хг/У + Зху'4 - Зуг/'3 - \у4]	[[37], D1)]
J	Id l	4 J
20.	жп|/; dx = xny - n xn^ydx	[[37], A0)] .
21.	Li/^ = ^!/2	[[37], A6)].
22.	J жг/г/'^ж = ^2//2	[[37], A7)].
23.	\x2yy'dx= \\\x2y2 + xy12 ^yy1]	[[37], A8)],
J	О LZ	J
Г	1	n (
24.	\ x у у dx = —x у — — ж у dx	[[37], C4)] ,
-so. \ x у у ax — —x у —— \ x у ax	Ll^'j? liUJJ ¦
«n,r»	n /2 i	J-	n + 2 2 . те+1 /2 . / . o\ n / "" /
zd. \ x у ax -	ж г/ +ж г/ + \п + ^ж г/г/ о in
+ \{n- l)n(n + 2) I xnt/2 dJ [[37], B0)]
27. | г/'2 йж = i [-жУ + жг/'2 + 2»»']	[[37], B1)]
2г/'2 + Зжг/г/ |г/2
28.	| жг/'2 <Ь = I [-жУ + ж2г/'2 + Зжг/г/ - |г/2]	[[37], B2)]
29.	| х2у'2 dx=X- [-жУ + ж3г/'2 + 4х2уу' - 4у'2]	[[37], B3)] .
30. [ ж"г/у'2 dx = \хпу2у' - ^хп-гу3 - \ f xn+1y3 dx + |(n - 1) f х-2»3 ,
[[37], C4)].

92	Гл. 3. Неопределенные интегралы	[3.2.4
31.	| х3у2у' da; = ±х3у3 - ху2у' + ±у3 + ^у'3	[[37], C6)] .
32.	^ хуу'2 dx = ^у'3	[[37], C7)].
оо Г п 2 /2 i	1 п 3 /	п п —1 4 If n+1 4 i	та /	-, \ Г п —2 4 »
»"¦»"¦ т* tin п т — 	т* nil 	 	т* II 	 	 \ т ii п т 	 	I tj 	 11т* II пт
«J«J. IX у у ИХ — X у у	-in	У	Q \	У	19^	/	"
J	^	1Z	О J	1Z	j
[[37], D7)].
Mn /3 i ^ n+1 3 , п /2 ^ п —1 2 f . ^ / -, \ п —2 3 ,
1 лр /||	jrf /уъ 	 	 __ /уъ	' q | 	I	 /уъ q s q a		 __ rp	q g q s 	I	 __ I *! 	 I I **?*	Q § 	I
l А у UJj —	X	у -\~ X у у	X	у у -\~ « V'i 1)'L	У '
+ iGn + 4) | жп|/3 с!ж - J(n - l)(n - 2) I жп^3|/3 dx [[37], B6)] .
35.	J |/3 da = --V + yy'2 + -jyddx	[[37], C1)] .
36.	xyf3 dx = --x2y3 + ж|/1//2	1/2!/' H	ж|/3 da;	[[37], C2)] .
оо	^ /3 i	-1 n 2 /2 ^ n —1 3 / -A- n+1 4 .	n /	Л \ n-2 4 .
• »rS	T* 7/7/ /7 T* — 	1* II II 	 	1*	11 7/ 	 	1*	71 —^		In 	 I IT	11 —I—
«jo. I л с/(/ их — ^x у у	а х У У	.^ У \	9А ^	'
паЛ А^ 	 	(п 	 ~\\(п 	 9^ ^n""^i#4rfT» ГГчт! Г4Я^1
у UX	\	/V	/	У ^Х LL J' \ /J *
39.	[ Ж V4 d* = 7^-гт [3x"+32/4 - 6x"+2»2»'2 + 2(n
J	3(n + 1)
-\{n + l)(n + 2)Жпг/4 - En + 13) | жп+2г/4 da; + J(n + l)(n + 2) | ж"/ da;
[[37], D2)].
40.	jV4dz = ±x*y< - \x\2y'2 - ^xy3y' + ^xy + ^yy'3 + ^	[[37], D5)] .
3.2.4. Разные функции.
fc=O	^	''
2. I exV2{u, x) dx = -[/Г(^, ж) - ГB|/, ж)] + ежГ2A/, ж).
Г(и) [7A/, ж)

3.2.4]
3.2. Специальные функции
93
4.
Du(x)
Dl{x)J [ Dv(x)
6. I Pfl(x)Pl/(x)dx =
5.
Li Iх/ ~~ r v^/J •
-(/|-фРм(ж)ВД].
7. \[Pu(x)fdx =
Г(п + a + 1)Г(п + /3 + 1)
9. I ж1пжК(ж)Aж = (ж In ж - In ж - ж + 1)К(ж) + (In ж - 2)Е(ж).
10. | ж In ж Е(ж)
= - ( х2 In ж — '
о
™ж — — )
о	о /

Глава 4. Определенные интегралы
4.1. Элементарные функции
4.1.1. Алгебраические функции.
Условие: а > 0.
в —и-
J
0	\ 2 7 2
[Rea, Re/3 > -1; | argD - a2b)\ < ж].
2.
[Re//< -1/2; |argD-a26)| < тг].
3.
4	n
[а > 0].
г	/
j	—1/2/	\l/2n i /	\il/2 i	p "
4. ж 7 (a — ж) ' [1 — ож(а — x)\ ' dx = ab I —
|argD-a26)| <тг]
5. I х-1/2(а - х)-1/2[1 - Ьх(а - х)}1'2 dx = 2Е f ау/Ъ
|argD-a26)| <тг]
6.
- Ьх(а - х)
7. х^1/2(а - Ху1/2[1 - Ьх(а - ж)]^1/2 dx = 2К
ал/b
- Е
<тг].
| argD — a 6)| < тг].
8. ж 7 (а — х) ' [1 — ож(а — х)\ ' ах =
-1/2 i
' ах =
-К
<тг].

4.1.1]
4.1. Элементарные функции
95
9. аГ1/4(а - Ху3/4[1 - Ьх(а - х)]^1 dx =
о
1/2
1/2'
10. ж~1/2(а - ж)~1/2[1 - bx(a - ж)] dx =
о
11.
2 J	V	2 У
2тг
<тг].
<тг].
12.
13.
14.
ж А/л а-ж
-l/2
1 + ^1 — 6ж(а — ж)
dx
6D^
ал/Ь\ пг% (а\ГЬ
dx = 2K ( ^ ) - 2D
. 2 + a\fb 2 , / a2b
In	— Н	-In 1	—
2 - а^б аб \ 4
<тг].
|argD-a2b)| < тг].
|argD-a26)| <тг].
15.
16.
17.
1Ч- \/1 — Ьх(а^ ж)
(
b \ 2
1 + ^l-bx(a-x)
^
|argD-a2b)| < тг].
|argD-a2b)| < тг].
[Res > -1; |argB + ab)\ < тг] .
18.
19.
/x(a~x)}n dx = л/2 ж (l -
n/2
/2-ab .
argB + a6)| <тг]
п1/2
dx =

96
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.1
It
20. аГ1/2 [1 - b^/x(a - x)]1/2 dx = л/а + —== (l - —)
In
л/2 -у/аЬ
<тг].
21. \x-1/4(a-
,1/2
dx =
22. \x-3/4(a-
0
23.
24.
25.
26.
27.
B^аЬ)КЫ^ \+2(ab^
а-ж)] dx = 23/2E
dx = —^	(l + —1 In
\/2b3/2 V 2 /
,-1/2 ,	^~
]argB-
I argB ¦
-ab)\ < тг].
¦ab)\ < тг].
1-1/2
+л/аЬ
- Ьу/х(а - х) ]
-1/2
I T
0
.-ж)]	dx = 23/2K
|argB + a6)| <тг].
|argB
тг]
- я,) 1"' dx =
J
28. b1/2^
о
29. ж ' \l — bWxla — x)] dx =
J	L V	J
30.
31.
2	. /afe
,	=¦ arcsin 4/ -— — 1
/abB - ab)	V 2
<tt]
=¦ arcsin у —
аб)	V 2
dx = ^L U _
argB-ab)| < тг]
<тг]
l^1 л	27Г
|argB

4.1.2]
4.1. Элементарные функции
97
32.
33. \х-1/4(а-,
О
34.
35.
36.
37.
38.
1-3/2
|argB + a6)| < тг].
1-3/2
dx =
^ \{аЬ-2)к(№)+*Е(М
Ъ(аЪ-2)
[1 — Ъ\/х(а — х) ]	dx = -
| argB - аЪ)\ < тг] .
dx =
4(аЬ-1)
dx =
2 - ab yfb B - аб)
з/2
. — Ьл/х(а — ж)]
39. аГ1/2[1-Ь^/я(а-я)] ; dx =
" B - abf/2
_ ттD^аЬ)
~ B - а6K/2
а F - ab)
3B - abI
[|аг6B-а6)|<тг].
fab
rgB — а6)| < тг] .
аЬ)| < тг] .
<тг].
<тг].
40.
A-х2)-1'2
2ах + a2)s(l + 2Ъх
s,
4.1.2. Показательная функция.
Условие: а > 0.
о
X
^—е п Jerfc —¦= Нп[ —— + у
2	\2л/Ь/ \2VbJ t^i
2. ж^а - ж)^1е6ж(а^ж) dx = ав+*-1 В (s, tJF2
t S + t + 1
[Re b > 0] .
[Res, Ret > 0].
4 Ю.А. Брычков

98
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.2
3.
4.
=« fee''1"* erf (^
2 V о	V 2
к I 2 ьх(а-х)
5. же 1
a2b
26 2а
-re ' erf
-1
6.
/2еЬх^х) dx = жеаЧ/81о (— ) .
7. [ (а - a.I/^»^-») dx = ^еаЧ'*10 (°^-
8. \х1/2(а-
О
9. х
о
3/2/
10. ж ' ехр( аж —
о
11.
[[47],
аЬ\
~2 |
[Res
B-
>
21)].
12.
13.
° v l ; аж =
ао/z г/ / аб
6е erf Vt
14.
2372
15.

4.1.3]
4.1. Элементарные функции
99
16.
17.
18.
1 ( l\ l ¦
2^Г+ 2) ~ 2'
[Im z = 0; [48]] .
[Rez >0].
-dx =	h
p..
4.1.3. Гиперболические функции.
Условие: а > 0.
a
1. [ /^(a - ж)^1 sh F^я(а - ж)) da = as+t^b В (s, tJF3
1	1 a262
2	2 16
3 s + t + 1 s +1
+ 1
2 7 2
[Res, Ret > 0].
2. sh (by ж(а — ж)) dx = —/if—J.
3. I x~1/2 sh
0
ab/2
- ж)) dx = J^ \eab/2 erf
4. J^ sh (by/x(a ^x))dx = — J-tt/i (y) Lo (y J + /0 ( — ) [2 + ttLi (— ) \ }
5.	\x ' (a - ж) ; sh
о
а
6.	[ж1/2(а - ж)-1/28Ь (Ь
О
а
7.	[ ж^1/2(а - Ху1/2 sh
J
dx = ^L0(y
—
2
а	.
8.	\ х~ ' (а — ж)~ sh (b\Jх{а — ж)) с!ж = 1/2 erf ( у — J erfi
о
а	.
9.	[Ж-3/4(а - x)-3/4sh [Ъу/х(а-х)) dx = J^ 1?/^) •

100
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.3
10. ж (а — ж) sh (b^/x(a — ж)) dx =
J
о
11. \х-ъ/\а-.
О
2
ао/_
(аЪ\	2 /а&\1
!/4( — ) — ^з/4 ( -j")
12. ж8(а - x)s+1/2 sh F ^ж(а - х)) dx =
о
13.	I* ж^1/4(а - жI/4 sh (б4/ж(а-ж)) rfx = ^Lo UJ^
о
а
14.	[ ж/2 sh (б4/ж(а-ж)) с!ж = 7m1/2/i ( Ьд/^ ) .
—Li I 6W - J .
15.
16.
sh
dx = л/2 ttL0 f b J^
17. ж/2(а - ж) sh (b^/x(a - x)) dx =
18.
19.
20. ж ch I
о
ch iby хуа — ж) ) dx = а,	В (s, t) ^
j' 2 '
I)]}-
[Res, Ret > 0] .
x))dx= ^l-i (y) ¦

4.1.3]
4-1. Элементарные функции
101
21. j x2 ch {b^x(a -x))dx = ^ [8abL0 (^) + (a2b2 - 32I* (y) -
0
22.
/К /i i \ ab/2 г I / ^ 1 i / l i i \ ^ab/2 n
'—з (afe-l)e ; erf I л/— J +(ab + l)e ; erfi
60 L	\v z /
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
- xI/2 ch
ch
dx = ^о(у
/2 ch (Ьу/х(а - x)) dx = тг/0( —) .
ch (fc^(a-x)) fe = ^2 тг ch ^/0
ch (by/x(a-x)) dx =
30. \xs(a - x)s+1/2 ch (btfx{a - x)) dx =
о
o-2s-l ^~ 2s + 3/2
= z	v« а	-
ab1
2'	2
[Res > -1] .
31. ж1/2 ch (by/x(a-x)) dx =
о
262

102
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.4
32.
= у^тгЬ-Л bJ- ) .
33.
жа /, /а
34. ж~1/4(а - ж)~3/4 ch (Ьу/х(а-х)) dx =
о
4.1.4. Тригонометрические функции.
sln2n ж + cos2n ж ^^ 4 '
2. I sin17 (а — ж) sin (их) dx =	 sin17 a
3. | sin17 (а — ж) cos (ух) dx = 	sin17 а cos а
4. (cos x — cos аI7 1 cos (их) dx = 2V 1 В (i/, 1/) sin2l/ 1а
о
тг/2
6()
5.
dx =
^dx
sln° ж	40
о
тг/2
6.	sm[(n + l)x\—r\—Ldx=^—(n + l).
J	Sin Ж	о
о
тг/2
_ Г	Sin [BП + 1)ж] .2/ ч . 2г/ , ,\ 1J	W7r/ , -,4
7.	—о	™sm (na;)sin [in + 1)ж]dx = 	(n + 1).
J	sin ж	8
[а > 0; Rei/ > 1].
[а > 0; Rei/ > 1].
[a, Re и > 0].
9. I ж ~'-cos
о
— + ах - - + j | dx = 2тг3/2 AI (а + Vb) AI (а - >/б)	[[47], G)].
10. \ Xs (а — x)f sin (Ь^х(а — ж)) dx = as+t feB(s, iJft
1 1 a262
+ -, t + -;
I2 /6
.2' 2 '^ +
[а > 0; Res, Ret > -1/2].

4.1.4]
4-1. Элементарные функции
103
11. sin (b^x{a — ж)) dx = —J\ f — J
J	A \ A /
12. ж 7 sin (б-\/ж(а — ж)) dx =
о
aft	ab\ „fab
а&
13. ж ; sin Fy ж(а —
—(	\\ j o Ы Г • ab (ab\	ab (ab\
*(a-x))dx = 2yjT ^SinTC(TJ-cosT5(TJ
14. ж^ sin (б\/ж(а — ж)) с!ж = ^^ <^ ttJi ( — J Ho \^™)+^of — ) '
2 -
15.	ж 7 (a — ж) ' sin (б\/ж(а — ж)) dx = -— абНо ( -—-) — 2Hi
J	4o L V 2 /
0
a
16.	[ x1/2(a - Xy1/2 sin (by/x{a - x)) dx = — Ho ( —)
J	A	\ A /
0
СГ
17.	I ж~1//2(а — ж)//2 sin (бу/ж(а — ж)) с?ж = тгН0 ( —
iq f -3/4/ \-3/4 • /, Л7	r\ , /7Г36 2
18. ж 7 (а — ж) 7 sin Fу ж(а — ж)) аж = у ^г—J!/4(
19. ж
о
20.
21.
1 sin (бу/ж(а — ж)) о?ж =
[a > 0].
[а > 0].
[а > 0].
Ш
[а>0].
[а > 0].
[а >0].
[а > 0].
sin (Ьу/х{а - х)) dx =
^) + jf/4 (^)] [а
2' 8 I [а > 0; Res > -5/4],

104
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.4
ZiZf.	X	bill 1С/ -у O/^Ct — Xj I UX — ——
J	^ь
0
23. I x~1/2rnn(btfx{a-x))dx = тга1/2 Ji ( bj-
24.
[a > 0].
[а > 0].
sinFV»(a-a;))rfaj= -=-U0[bJ-	-—Hi 6W- [a > 0].
y/2 \ У z у	°	\ V z у
25.
26.
- жГ3/4 sin
in F ^/а(а - x)) dx = лДттШ0 [ bj-
[a > 0].
1 sin {b \Jx(a — ж)) с!ж =
f)h,
[a > 0].
27. ж5 (a — ж)* cos {b\Jx{a — ж)) dx = as+t B(s, ^) 2-^3 I -• ,
.2
s, t; --
a
28.	[ cos (by/x(a - x)) dx = — H_i (—)
J	2	\ 2 /
29.	f ж cos (bv^(a - x)) dx = ^^H^i ( —)
[a, Res, Ret > 0] .
[a > 0].
[a > 0].
30. f ж2 cos (by/x{a-x)) dx = ^ [sa6H0 (y) - (aV + 32)Hi (y) + 6o6H2 ( y
O1	-1/2 /, r^(	\\j о /^ Г ab /ab\ . ab fab
31. ж ; cos Fy ж(а — ж) J с?ж = 2w — cos—C(—j + sin—54 —
[a > 0].
[a > 0].
32. Ж1/2(а - жI/2 cos (Ьл/х{а^х)) dx = ^ [2 Ji (y) - a6J2 (y)]	[a > 0].
[a > 0].
33. ж1/2(а - ж)~1/2 cos (by/x(a-x)) dx = yjo (y
0

4.1.4]
4-1. Элементарные функции
105
34.
- Ху1/2 cos
(Ъу/х(а - х)) dx = тгJo( —
ab
[а > 0].
35. ж~1/4(а - ж)~1/4 cos (by/x(a-x)) dx =
о
36. ж ' (а — ж) ' cos (&-\/ж(а — ж)) dx = -у2тг cos —-Jo f —— j
37.
dx =
[а > 0].
ЧЯ	np^fo ^'\s + 1/2 nna (h ^/nr>(n rf\ \ Лор —
OO.	X ^tt — Xj	LOb I О -у bL^tt — Xj I ttx —
0
i,2s+™
2'	2
[a > 0; Res > -1] .
39. x ' cos (fe ^ж(а — ж)) dx =
Aflk	-1/2	/i 4/ 7	\\ j	/- TT I i / ",
40. ж ; cos ^oy ж(а — ж) J аж = va7r-H-11 oy—
о
41.
\—1/4 /i 4/
) 7 cosF
ft \	7П2
[a > 0].
г	л,
[a > 0].
42.	ж/4(а - ж)/4 cos (b ^/x(a - x)) dx =
о
тг/2
Г
43.	cosM ж cos (аж)A + fecos жI7 dx =
0
[a > 0].
[Re/i > —1; | arg A + b)\ < тг].

106	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.1.4
тг/2	.	I
Г	2 и	2^2п^г „	(n+-,n-i/\-t
44.	cosBnx)(l + asm x) dx = 	¦—жа (-v)	2F1\	2
J	п\	\	2п + 1
о	v
[|arg(l + a)| < тг].
п + 1 п
. . -^ . . . .-.,.	2
0
[|arg(l + a)| < тг].
45. cos (пх)A + a cos жI7 с!ж = 	р—	г	соБ^^ъРг
46. sin^ x I Sin ^J 1A + 6 sin2 x)v dx
]	{ cos (ax) J
sin (атг/2) 1
cos(a7r/2)j
2	'2	/
[Re/x > -1; |arg(l-
тж
Г
47. < ; ;>(l + 6sina;j dx =
а	\ cos (ттга/2) J	I |_^ 1 +—
о	\ 2' 2
/ 1 _#_ '
.о Г (sin(a^)l ... ч	2sin(m7ra/2) f sin (штга/2) 1	I X' 4
48.	\ ) \\co^(bsmx)dx= 	^	L^- \ ) '' } 1F2\	a	a
J [соз(аж)]	а	[ cos (тжа/2) J	I \ _ 2l \-\--
о	\ 2'	2
ГП7Г
i	1 f sin (аж) 1 /f ч .
49.	{ ) ; } sm(bmnx)dx =
J	sin ж [ cos (аж) J
о
26sin (тжа/2) J sin (тжа/2) |	[ 2' ' 4
f sin(m7ra/2) 1 ^
\ cos (ттга/2) J
а
\2' ^ 2'^'2,
т	/ 1
Г	-ах/ .2 ^ 1~е~тжа I ~u> 2'1' ~Ь
j	A+ sin ж) ж^ - 3i?2l га га
о	\х г» ' -1 ^ о
2 7	2 /
arg A + 6)| < тг при I/ ф 0, 1, 2 . . . ] .
1 _ р^^тга	I	1;	™~
F\	4
ol. e cos (оsin ж) аж = 	if 2
J	a
о
т«	( \ л- -ь—
Je ах 6 _TO7ra\	I 9 4
—	sin F sin ж) d# = — A — е )	i i^2 I Q
smx v ; av ;	1^ i_l^. 1 + —
0	\ 2' 2 ' 2
53. | edx ^iFJ I
2 ' + 2 '

4.1.4]	J^.l. Элементарные функции	107
mw	I 1 1- h \
54. I 1 Sm yX\ 1 ebsin2 x dx = - sin ^^ 1 Sm )a'2J, \	2F2 2 ' \
J [ cos (ax) J а 2 [ cos (тжа/2) J	\i__i_i__/
о	\ 2' 2 /
¦Ш7Г
55. [e~ea:+bsin2x& = i(l-e"m7raJF2	2
i
_ 1 . A
2' '
?	i	-«/,-, 1; -Ь
56. |e-(l + 6sin^rx = I3F2	2
rx 32
о	X1 - ' l + -
2 7	2 '
[|arg A + 6)| <тг при i/^0, 1, 2...]
57. I e ax sin (bsin ж) бЬ = " iF2 I « ¦' Л • I	[Rea > 0].
0
2 7 2
1; ^
I	x	7	~	i	2a	га '
о
59.	sin(bsinx)dx = -2F3I Q 2' .' 4 .	[Rea > 0].
Jsinx	a I _ 1 _ 1^ 1 _i_ 1^
0	\2' 2 ' 2
00	/ 1 1 » \
60.	e аж+ m жа|ж = -2F2	-	[Rea > 0].
j a ^_^il+^y
61. I sinM ж ,
cos (аж)
о
sin(a7r/2) 1	I	2 ' 2
cos
2	' 2
¦ — ib — у ib — v '
62. I ch1" xeasecn~x cos (bx)dx = ^	тГ(^	^)Г(::::	- ) 2F2 I 2 ' 2
; a
о	\ 2' 2
[Re 1/ < 0].
TO7r . .	/ 1.
^.rt f f sin (ax) 1 /f . ч 2 sin (ттт/2) f sin (тжа/2) 1	I -^5
63. < v ' ^ ch F sm ж) с!ж = 	^	— ^ ) '	iF2
J [ cos (аж) J a [ cos (гатга/2) J	I 1 _ _
0	V 2? " ' 2

108
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.4
64.
1 ( sin (ах)
sin х \ cos (ax)
sh (b sin ж) с/ж =
26 sin (ттга/2) Г sin (тжа/2)
{sin (тжа/2) 1
cos (тжа/2) J
ак f 1 (sin (ax) \ , Г^^\ • (и Г^^\ j
65.	—	<	, >sn (ovsin x 1 sin (ovsin x J dx =
J	sin ж [ cos (ax) J
о
_ 2b2 sin (ттт/2) J sin (тжа/2)
a	X cos (ттга/2)
гптт
66.	< , ; > ch (bVsin ж ) cos (oVsin ж ) с!ж =
J [ cos (ax) J v	J K	f
0
2 sin (тжа/2) J sin (ттга/2) 1
a	X cos (тгпга/2) J
2F3
, 2'
1
2'
1;
а
2 ;
6"
T
) 1 ~T
a
2
3 5 3 _
,4' 4' 2'
64
a n
2'
v-b-
'64
1 3
4'4'
64
a
2'
¦Ш7Г
r
67. \ e~axcos(bsinx)dx =
J
0
±5
. 4
2 '
6 аж	6
68. | —	sh (b sin ж) с?ж = — (
69.
а
2' ' 64
E55
4' 4' 2'
70. e аж cos (oVsin ж ) cos (bVsinx ) dx =
0
е
a	II
51_
' 4'	2 '	2
71.
1;^
~ T' 1 + T
[Rea > 0].
72. —	sh (bVsinx ) sin I
i2
dx = —
a
1	- 6
—, 1;
2	64
4' 4' 2' 2
[Re а > 0].

4.1.4]
4-1. Элементарные функции
109
еаж cos
о
(Ьл/s'm х ) dx = — i F4I -to
[Re а > 0].
74. ch17 x cos Fж) cos (csechx) dx =
0
—ib — v ib — и с
Г(-«/) V 2
75. I ch17 ж cos Fж) sin (евеспж) dx =
2f
1	I/ 1 - I/
[Re i/ < 0].
27 2
\ — ib — v \-\- ib — v
;±Tz?)'« 3 ,!
'	V	С
!' 2 ' ~ ^' ~T
[Re и < 1].
т/2
76. I cos FcGsa?) cos (csin Bnx)) dx = —- Jo(b) Jo(c).
77. sh (Ьл/х) sin (б^л ^ ж ) с!ж = —(abJ.
J	8
о
жаЬ
78. | (а — ж) 1/2 sh F^/ж ) cos (b\/a — x ) dx = 	.
79. ж ' (a — x) ' cos (Ьл/х ) cos (&V« — ж ) dx = тг.
0
тг/2
80. sin Bпж) sh (a sin ж) sin (a cos ж) dx = (—1)
n + l
4Bn)!'
тг/2
Г	тга2те
81.	sin Bпж) sh (a cos ж) sin (а sin ж) dx = —f—тт.
J	4Bra)!
0
тг/2
82.	sh (a sin ж) sin	(a cos ж) dx = — [To Bа) + Jo Bа)] — —.
7Г/2
p
83. cos (a sin ж) cos	(a cos ж) с?ж = —- [Jo Ba) + Jo Ba)] + —.
J	8	4

110
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
тг/2
р
84.	ch2(acosx) sin2 (a sin ж) dx = — [/о Bа) — Jo Bа)] .
J	8
о
тг/2
85.	sh (а cos ж) cos (а sin ж) dx = — [/о Bа) — Jo Bа)] .
J	о
о
тг/2
р
86.	sh2(asina;) cos2 (a cos ж) dx = — [/о Bа) — Jo Bа)] .
8
87. cos (a sin ж) sin (a cos ж) dx = — [/о Bа) — Jo Bа)
J	8
о
_ j
J
о
cOS(n*) Г sin [a sin (пх)П2 dx= пп
[ cos [asm (nx)\ J	2 2
4.1.5. Логарифмическая функция.
2.
In2 ж , 7тг
dx =
216
4.
г.1/2
5. [ / In A - х) dx = ^- [ж In 2 - 8G - 4тг In (l + л/2)] .
6- 1 {} *H\ln(l-x)dx =
1 s- z
I. /
[Res > 0; |1 -
7.
12
8. [ —— In A + ж3+лД) dx = ^j C - У32 ) + i In 2 [in 2 + | In C + V8 )}
Jl + ж	24	zLz	J
[43].
[43].

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
111
9. —!—ln(l
1 l + ж v
dx = ^B - л/15 ) + In 1 + V^ In B + Уз ) + In 2 In (л/3
12	2
[43].
10.
1 + ж
= 777E - ^96) + ^ In A + л/2 ) In B + л/3 ) + ^ In2 [in 2 + ^ ln E + л/Ш)] [43].
24	2	2 L	2	J
11.
+ ж
12. 	ln(l
1 l + ж v
12
dx = —D - л/63) + In 5
12	2
+ 1п21п(У5 +У7) [43].
ln B + УЗ) + ln 2 ln C + л/7)
[43].
l
13. [ —^ In A + x11+Vm)dx = ?-A1 - V480 ) + i In A + V2 ) In D + л/15 )
1 + ж	24	2
1 + ж
24
i In B + Уз ) ln C + л/lO ) + ^ In 1+2^5 ln E + л/24) + i ln 2 [ln 2 + | ln A1 + л/Ш)
14. I	ln I
1 + x
15.
) dx = ^F - л/Ш) + In
12
[43].
[43].
A5
^In2[ln2+ ^in(i3 + yi68)l [43].
2 L	2	J
16.
1 + Ж
in A + ж14+^^) dx = ^G - л/195) + ln i^^ ln B5 + W39) +
17.
lnD + л/15) + 1п21п(л/15 + УТЗ) [43].
1, 1, s, t;
= as+t~1bB(s1 tLF3	4
[a, Res, Ret > 0; | argD - a2b)\ < тг].

112
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
18. \\пA-bx(a-x))dx = Л=(\-*^
J	л/b \	4
о
19. \x In A — bx(a — ж)) dx = ~2arcsln —-—
-2а
[а > 0; |argD- a2b)\ < тг].
[а > 0; |argD~ a2b)\ < тг].
20.
21.
—7	 In A — bxla — x)) ax =	arcsin
x(a-x) l	\	))	a
— bx(a — х)) dx = 2тг In :
[a > 0; |argD^a26)| < тг].
[a > 0; |argD- a2b)\ < тг].
4тг,
22. ж/2(а - ж)/2 In A - bx(a - x)) dx = -^ (л/4 - a2b - 2
[a > 0; |argD^a26)| < тг].
2тт
23. x^1/2(a - x) л/2 In A - bx(a - x)) dx = — (л/4 - a26 - 2
24.
х . ж + 26ж + с
In
ж2 + а2 ж2 — 2Ьх + с
= 2тг arctg ¦
+ л/с - б2
25. -
о
1, ж2 + 26ж + с
жжх	dx = 2ж arctg ^^
ж ж^ — 2ож + с	Vе
[а > 0; |argD-a2&)| < тг].
[Ь2^с; [30], D2)].
[б2 ^ с; [30], D3)].
26. -
о
27.
1, Ж2 + 2&Ж + С
ААА о .	ми, = arccos2 ^^ — arccos2 —^	\Ь2 ^ с; б2 ^ d: [30], D7)].
ж ж2 + 2йж + е	^с	^с
In A - Ьу/х(а-х)) dx = _2
ГBя
[а > 0; Res > -1; | argB - ab)\ < тг] .
28. ж1/21пA^
J
о
dx =
! — ab arcsin
96
{ЬаЪ + 6) [а > 0; | argB - а6)| < тг].

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
113
а
29. I aT1/2 In A - Ьу/х(а-х)) dx = -^ л/2 ~~ аЬ
аЪ \ /—г
arcsin( \1 — I — Vab
[а > 0; | argB — ab)\ < тг].
30. |ж ' (а — ж) In (l — b\fx{a — х)) dx =	^ arcsln у —
[а > 0; | argB — ab)\ < тг].
31. ж1/4(а - хУ1/4 In A - Ъл/х(а - х)) dx =
о
[а > 0; | argB — ab)\ < тг].
32. I х~1/4(а - хГ3/4 Ы A - Ьу/х{а-х)) dx = 23/2тг In (- + iJl - —
ab
2 ' 2 V ~ 1°
33.
[a > 0; | argB — ab)\ < тг].
L In A - by/x{a-x)) dx = — (л/2 - ab - л/2)
о»
[a > 0; |argB - a6)| < тг].
1	1
34. I х8~1(а - xf^1 In (Ьу/х(а - х) + y/l + Ь2ж(а - ж)) dx = as+tbB (8+ -, t+ -j x
' 1 1
1,1
-, t-\- -:
2'	2'
2' 2'	2'	2'	4
3 s+t s+t+1
[a, Res, Ret > 0; | argD + aV)| < тг] .
35. ж In (b\/x(a — ж) + л/l + 62ж(а — ж)) с!ж =
о
а / а262
1 +
/4 +а2
[а>0;
36.
In
а - ж)) dx =
37. х1/2(а - Ху1/2 In (b^/x(a - ж) + л/l + 62ж(а - ж)) dx =
Т [Ll2(~"j ~ 2(~2~)J [а> ;
тг].

114
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
38. ж"+1/2(а-ж)п(б^ж(а-ж) + y/l + Ь2^х(а - ж) 1 dx =
о
ab2'
I -| 'А.ч -\	I	I - - *Лл -I	• -
_ 9^2S^3/2_l/2
= 2-^-й/^7г1/^а^^ь_
39. I ж^1/2 In | b ^/x(a^
о
[а > 0; Res > -5/4; | argB + ab2)\ < тг] .
dx =
[а > 0; |argB + a62)| < тг].
40.
Lln ( byx(a - ж) + у1 + 62уж(а - х) \ dx =
[а > 0;
41.
о у 1 + 62-у/ж(а — ж)
In I Ьл/х(а — x) + y 1 + Ь2л/х(а — x)
4v 2 bd
ab2
[а>0;
тг].
42.
43.
In ( b \ x
{a — x) + у 1 + &2\/x{a — x)
v	; V	v v	;
тг л t ab
In [ 1 + —
[а > 0; | argB + ab )| < тг].
In
(а - ж)
ab2Gab2 - 12) + 2CaV - 4аГ + 12) In 1 + —
[а > 0; |argB + a62)| < тг].
44.
Г.-1/2
о у 1 + 62-у/ж(а — ж)
In I Ьл/х(а — x) + y 1 + Ь2л/х(а — x) 1 с!ж
45.
¦In
(а — ж) + y 1 + Ъ2л/х{а — ж)
27Г	/, /« 1	Г
^arctg ( &t/- ) [« > 0;

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
115
46.
47.
48.
49.
50.
-x2)*-1 1 + х	^ Г»
1П T^dx = "У
1/2
)
1/2)
[Res > 0; |1 - а| < тг] .
1 +
и, s, s; —с
1
[a, Res > 0; Rei/ > -1 при b < 0; | arg(l + а6)| < тг] .
- In2(vab + y/ab + 1)	[a > 0; | arg(l + аЬ)| < тг].
1	л/а + л/а — х » 1 .2 ГТ
	— In —	—	ах = — arcsin vab
1 — ох	л/ж	о
[а > 0; |arg(l — а6)| < тг].
К1 i 1 } л/а +1/^^
51. -г:	:—гт7 In	=
6A - аЬ)
[а > 0; |arg(l + ab)\ < тг].
arcsin Va6 [a > 0; | arg(l - а6)| < тг].
5z.
ко
53.
54.
55.
56.
/1 +
¦In-
/а + л/а - ж
dx = 2л Т arctg (л/аб ) — т- In A + аб)
V о	о
[а > 0; |arg(l + ab)\ < тг].
1 л/° + V« - ^ , Га. 1 + л/аб 1 .	.
In	^	с!ж = 4 / -г In	;=¦ + - In A — аб)
г/ж
ж	л/а
^^^ In -—
[а > 0; | arg(l — ab)\ < тг].
ж = —-j [vo6 (аб — 3) arctg vofe + 2 In A + аб) + ab]
[а > 0; |arg(l + a6)| < тг].
3&2
- 6ж
In
ab (аЬ + 3) In l + ^^_ + 4In A - ab) - 2ab\
[а > 0; |arg(l - а6)| < тг].
dx =
2тг
b 63/2
In
[а > 0; |arg(l + ab)\ < тг].

116
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
57.
[х , у/а + \/а — х . тгл/п 2тт	.
¦ In	—	dx =	\- , о /о arcsin
1 — Ьх	у/х
h	ЬЗ/2
58. | JL^in^ + ^ZZda; = ^
+ bx	Jx	Jh
ab
\a > 0; | arg(l — ab)\ < тг].
[a > 0; | arg(l + ab)\ < тг].
59.
1 - bx
In	—	dx = —= arcsin vab	[a > 0; | arg(l — ab)| < тг].
60.
¦In-
— d x = —
2 [у ab + l
ln
[a > 0; |arg(l + a6)| < тг].
«. . ж ' л/а + V« - ж , тг / / a 1	. /—г
61. I 73	^^77 In	p=	йж = — ( 4 /	г Н	^ arcsin Vab
1 - ab xfh
62. ж8 г(а - xf 1\n\
о
3
(a — x)
[a > 0; |arg(l - a6)| < тг].
= 2a^6B(e+i,t+|;
2iX
63. In ¦
о
2' 2 ' 2
da; =
[a, Res, Ret > -1; | argD - а262)| < тг] .
[a > 0; |argD~aV)| < тг].
64. Uln^ ' ^7^^1с|ж=^B + У4^а262) '	[a>0; |argD^a262)| <тг].
-1	I / /
1 — by/x\a — x
65. | x2 ln
l-by/x(a-x)
йй Г -i, l + b^fx(a- x)	. ab
66. x In		=— dx = 2тг arcsin —
J	1 — Ьл/х(а — x)	2
[a > 0; |argD-aV)| < тг].
[a > 0; |argD-aV)| < тг].
„ f 1	1 + &Уж(а^ж)	4тг . аб
67. —т	г In		—аж = — arcsin -—
]ж(а-ж) 1 - 6^ж(а - ж)	а	2
[a > 0; |argD~aV)| < тг].

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
117
, ж у 1 + ж + V1 - х	тг ( ,
68. \ , „ .In —	^^da.= (i_a)
а^ 1].
{
	,	па о
(
5 ab2
[а > 0; Res > -1; | argB - ab2)\ < ж] .
70. aT1/i!ln-
о
¦dx= ^ (л/2 - ^2 - а&2 )	[а > 0; | argB - а62)| < тг].
71. \х1/гЫ-
о
_ 2
[a > 0; |argB-a62)| < тг].
-o f -1/2/ ч-ii 1 + b^/x(a - x)	4тг . Л Га
72. ж v (а - ж) In	;,	г- с!ж = —^ arcsin \bx -
J	l	^	bt/()	\fc	V V 2
[a > 0; |argB-a62)| < тг].
73.
^ т\(п — т)
[Re а, Re 6 > 0].
74.
- In (
z2 + ж) с!ж =
тг г . az _ /az\	fl^,, /az\ . az. _ /az\ ,, . az . ^r f az
= ^K/o ITrsm "Y^of — J - cos—Уо! —J +4cos — In zJ0( — J +4sm — InzFof—
(az\ г a^	az	л	/az\ г a^	az	л l
+ 2Jol — J cos —- ci (az) + sin —- hi {az) — 2Yo( — ) sin —- ci (pz) — cos —- hi (az)\ >
[Re a, Rez > 0] .
75.
4o
[a > 0].
76. I j^cosech2^ - — J\nxdx= — - -1пBтг).
77. I chFx)lnQ + Va"	^с!ж = ^[7r/o(a6)Li(a6)^7T/i(a6)Lo(a6) + 2/o(a6)l [a > 0].
ж	4

118
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
78. I х2 ch (Ьх) In
1
dx = ^-[7г/о(аЬ)Ь1(аЬ) - тг/i (ao)L0(a6) + abh(ab)}
26^
79.
QS ^ In A - ж2) dx = — У0(а) - -[In Bа) + С] J0(a)
/1 — ж2	4	2
[а > 0].
[а >0].
уж2 _|_ ?1 + ж)
80. | -		-	sin (аж) In (^ж2 + z2 + ж) dx =
23/2
[Re,>0].
81. I ~		;	cos (аж) In (л/х2 + z2 + ж) dx =
-oz/2
[Re z > 0].
7Г/2
82.
sin ж	1 — a sin ж
f 1	1	.2
вН—, гг Ч—, п + 1; а
3
ч	2'
<тг].
тг/2
83. cos17:
о
cos (аж)
dx=
2)
2
-3. ,2
' 2 '
3 i/ + a + 3
агбA-62)|<тг].
84. sin17 ж sin (аж) In	—:	dx =
1 — 6 sin ж
,/^^Д + 3\ /!/ + а + 3\
V 2 / V 2 У
o ч х
-,1, - + l, ^±3;
I _2a + 3 Ла
qk f	1 f зт(аж) 1 ( . 2 x ,
85.	—т.— < ) ; > In (l + o sin x) dx
J	sln^ ж [ cos (аж) J
о
26sin(mW2)fsin(mW2)|4F>( V^~b\ [| arg A + 6)| < .].
а	[ cos (ттга/2) J	\2 1—-1 + -/
\ '	2'	2/

4.1.5]
J^.l. Элементарные функции
119
ж/2	-„-з
86. cos17 ж cos (аж) In A + 6 cos2 ж) а'ж = —, _	г—, , 	ч-
х 4F3
	+ 2, — +2
2	' 2	>
i/>-3; |arg A + Ь)| <тг].
F/2
87.
cos (аж)
у 1 + b2 cos2 ж
cos(a7r/2)
1 — а
з-а
2 ' 2
88. sin" ж \ Sm )aX{ \ In A + b sin2 ж),
J	[ cos (аж) '
о
89.
sin17 ж	Г81п(аж
VI + б2 sin2 ж 1со8(аж)
>1п 6 sin ж + VI + 62sin^ ж
] V	)
ж =
2) f
(a7r/2)) „ Л' lj | + lj
[ 4 31 3
[
4 31 3 i/^a + 3 1/ + а + 3
2 '	2 /
[Rei/ > -1; |arg(l
nn , . v Г вт(аж) . .
90. sin ж < ) ; > In [b sm ж ¦
cos (аж)
sin (атг/2)
-Q + 3\ \cos(a?r/2)
2 /
'1 1 I/
гр I Z A A	A
[Reи > ^2; |arg(l + 62)| < тг].
91. I J_/sin(,oa;)Hn.
sin ж \ cos (аж)
. 46sin (ттга/2)
dx = 	^	L^- X
{sin (?7гтга/2) 1
cos (ттга/2) J
о7 27
<тг.
2' 2
9,
1/2
2 ' 2
[a > 0; Res > -1] .

120
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
93. xs г cos (bx) In ¦
0
94.
а — \/ а2 — х2
dx =
46
I 1+1
[a, Res > 0].
i-Jo(ab)Hi(ab)]	[a > 0].
95. | cos (bx) In
—
(a6) + 2J0(a&)]
[а >0].
96. I ж2 cos (Ьж) In
97.
98.
¦In
-,	26 ,
-аж= — A-е
(ab) - тг Л(аЬ)Н0(а6)
ш	ia
2 '	2 '
[а > 0].
[Re а > 0; | arg (I + b) | < тг] .
sin ж 1 — b sin ж	a
' 1	1 1 -,	,2 ^
2	2 2
3	ia	ia
^2'	Y'	Y^
99.
3 1 — ia 1 + ia
2(а2
2	2
i,i,i,§; ь2
3	— ia
ia [Rea>0; | arg(l - 62)| < тг] .
2 ' 2
100.
- b sin ж	а2
3 + га
2 ' 2
[Rea > 0; | arg(l ~~ Ъ2)\ < ж] .
A 1 LA
-, -, 1, 1; о
2 2
О	•
?	I — —	I -\- —
9 '	9 '	9 у
[Rea > 0; | arg(l - 62)| < тг] .

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
121
102.
In
in x) dx = — t
a
[Re a > 0; | arg A + b) \ < тг] .
103. \xs sh (bx) sin (bx) In ¦
о
-2 s + 2 a464
1' 4' 2' 4
3; Res > -2].
104. ж5^ ch Fж) cos Fж) In
о
a2 +
¦ dx =
2sF
4' 4' 64
1 1 3 s+2 s
[' 2' I' 4 ' 4
[a, Res > 0].
105.
106.
107-
2 21 -1
36
108. I^|(l-|b1_x
1-4-t*\2 тг2т21
4 | ^=875
Ле= 	^		Rea>0; 30 .
a — arete a a1
110.
6 / i Ж1 1 "Г Ж \ 7ГЖ
22548
336875
111.	In A + 2аж + a2) In A + 26ж + b2) dx = 2тг Li2(ab).

122
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
112. I ж" 1(a-x)t г In2 (by/x{a - x) + л/l + b2x(a - x)) dx = as+t 162B(s, t)
аЧ2
1, 1, 1, 5, t; —
,2' ' 2 ' ~~2~
, Ret
<тг] .
113.
(а-ЖI/21п2(
"" l/4 + a262)ln
16&2
114. Ж1/2(а-;
О
a - x)) dx =
- aV Li2 - ^f- - а262 [а > 0; | argD + а262)| < тг]
а2?
a - x)) dx = ^ Li2 (-
[а > 0;
a b )\ < ж].
115. x1/2(a - xy3/2 In2 (by/x(a - x) + ^/l + b2x(a - x)) dx =
о
- 4 In
a > 0; | argD + a262)| < тг].
116.
In2
(a - x)
а - x)) dx = -- Li2 (-^
[а > 0;
a b )| < тг].
117. ж~1/2(а - ж)~3/2 In2(Ьу/х(а - х) + ^1 + Ь2х{а - х)) dx =
о
_ 2тг
[а > 0; |argD + a262)|
118. \х 3/2(а-ж) 3/2 In2 (b\/x(a - х) + y/l + 62ж(а - ж)) dx =
= ^[a6arctg^-ln (l + ^)j [а>0; | argD + aV)| < тг].
а
119. \xs{a^x)s+1/2\n2(btfx{a^x) + д/l + б2^(а - ж)
1
^,2,2.+ !
2' '	2
[а > 0; Res > -3/2; |argB + a62)| < тг]

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
123
120.
(a ^ ж) \ dx = —^LI2f^ —
[а > 0; |argB + a62)| < тг].
121. х1/4(а-ху1/4\п2(Ъ^/х(а-х) + у 1 + Ь2у/х(а - х) ) dx =
о
ab2"
ah1 - B + аГ) In 1
Li2 -
a > 0; | argB + аЪЛ)\ < тг]
122.
)	(
а/	\а
loo f -1/21 /1 l м \/а + Va — х j
123. ж 7 In A — ox) In	—	dx =
. 1 + л/1 аЬ Л 4тг .
In —^-^	1 + — arcsin
2	/ у Ь
[а > 0; | arg(l - аЬ) | < тг].
124. [1
] х
о
+ 2 In
- аЪ) In2 (л/ab
ab) Li2(l + 2а6 +
- 3Ы3A + 2аЪ
(C) [а > 0; |arg(l + a6)| < тг].
125. | i In (I - ж) In 1+yL—— dx = - [7CC) - 2тт2 In 2].
126. ж^3/21пA + 6жIп-
о
2ж Г1
л/а L
In (Vab + Va6 + l)] [a > 0; | arg(l + а6)| < тг].
127. [ яГ3/2 In A - Ьх) In
}
о
у/а
- Vl-ab - л/^b arcsin
[а > 0; | arg(l — ab)\ < тг].
128. | ж In
In	 dx =
1-bx
2' ' 2 '
2' 2
l,
, ;
[а > 0; Res > -1; | arg(l - a2b2)\ < тг].

124
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
129. ж In-
о
1 + 6ж
In	— dx =
1 — ож
2Ь2
arcsin(a6) — 4arcsln
1/2
¦аЬB-
[а > 0; |arg(l - а262)| < ж].
1, 1 + VI - X2 , 1 + Ж ,	7Г2
130. - In
J Ж	X
о
¦In-
= — In 2.
2
1-х	2
131. I ж^1 In (бж + л/1 + b2x2 ) In а + ^	— Лг =
'2' 2
- -а2!J'
1 S + 1 S + 1
з
2' 2 +
V	2 ' А> 2
[а > 0; Res > -1/2; | arg(l + а262)| < тг].
132. In (bx ¦
In
dx =
= — [LI2 (—габ) — Li2 (габ)] + — In A + a 6 ) — a arctg (аб) [а > 0; | arg(l + а 6 ) | < тг].
Аи	Аи
133. [ In (
J v
In Х + ^ ~ Ж2 da; = G - - + - In 2.
ж	4 2
134. 1 ж2 In (bx
In
dx =
= — [Li2(-iab) ^LI2(ia6)] + -^ [a6(a262 + 9) arctg (ab) ^41n(l + a262) - 5a262]
±A	ot30
[a > 0; |arg(l + a262)| < тг].
135. | ж2 In (ж + Vx2 + 1) In г + л/1 ж2 da; = ^-A2G + 5тг - 8 In 2 - 10).
Ж	(А
136.
1п(бж
dx =
i + 1 S + 1
2,2
; —а о
' ' 2 ' 2
? ?+i ?±з J
2' 2+ ' 2	/
[а > 0; Res > -1; | arg(l + а262)| < тг].

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
125
137. ,	In (bx + л/Ь2х2 + \) In ¦
dx =
[a > 0; | arg(l + aV)| < тг].
138.
/b2x2 + 1
In (bx
In
- dx = ^
x	4
(—габ) — Ыг(габ)]
[а > 0; | arg(l + а262)| < тг].
139.
1 , , гу-т,, 1 + УГ^? л ttG
—.	In (ж + ух2 + 1) In	dx = 	.
ж^2+1 v	J	x	2
140. 1 Z In (ax + Vl + а2ж2 ) In X + "^J^L dx =
V	; 1 - Vl - x2
1 5 + 1 5 + 1
2	2
-, - + 1
2 2
2	2
2\
141. I In (аж + \/a2x2 + 1) In
1- л/1-х2
[|arg(l + a2)| < тг; Re s > O] .
¦ = —г[1л2(га) — Ыг(—га)] — 2arctga +
+ - In (а2 + 1) [| arg(l + а2)| < тт] .
142. 1 xs-i ln ^^ ln ^ ¦ v ^ -
a — ж 1 — Vl — ж2
5 + 1 5 + 1
2' J
-3F2
2' 2 +
2 ' AJ 2
[|arg(l + a™2)| < ж; Re s > O] .
143. ln ^-^ In ¦
I - Vl - ж2
7Г
~2
0
1
144. [ж1п^Ь^1п1 + ^1^ж^ж = 27Г^ !L.
0
145. —In	In
1
1 _ Vl - ж2
2
dx = тг In 2.

126
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
146.
1 - VI -
147. \xs г\п
о
а + л/а2 - х2
l, 1, 1, | + 1, | + 1; -a
2
dx =
[a > 0; Res > -2; | arg(l + a2b2)\ < тг].
148.
dx =
тт,
(ab)] ~~ f arctg (ab) [a > 0; I argfl + a262)| < тг]
о
149.
150.
= —^-3 [48arctg (ab) + $ab(a2b2 + 9) In A + aV) - 9a%3 LI2(a262) - a6(llaV + 48)]
21663
a > 0; |arg(l + aV)| < тг]
151. | x2 In2 (x +
In 1 + ^X	— dx = — D8тг + Зтг2 + 120 In 2 - 236) .
x	864v	J
152. ж In (bx + ^62ж2 + 1) In	dx = ——[Li2(—габ) — L'i2(iab)] —
-ттбarctg (аЬ
[а > 0; | arg(l + а262)| < тг].
153. [ ж^2 In2(ж
J
о
In
154. жаA^
о
dx =
2а+п~
Г(-
[Re а > 0] .

4.1.5]
4-1. Элементарные функции
127
155.
¦ 1пте	dx =
1-х
156.
157. I ха{1 - ж)-3а/2C - ж)а
158.
[-1 < Re a < 1/2],
[-1 < Rea < 0].
За\ ¦
~2~/
[Re о > -1].
A-хN
cos(?ra)rBa + 2)]
r(i-
159.
¦	^cfe =
4-ж	3
22оГ(а
[-1 < Re a < -1/6].
[Re a > -1
160. \ха{1 -
J
- ЖJа+1 \пп
D
V3/
а + 1)г(-а- i)l [-1 < Rea < -1/3].
хаA -
1-я;
162. \хаA~
163.
г -
ч-о/3-1/2/
H<Rea<-l/3].
22asec— Г(а + 1
[-1 < Re a < 3/2].
[-1 < Rea < -1/3]

128
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.5
164. хаA -
> 1 П
In ¦
A-хJ{х-
¦ dx =
9ГB/3) а
Rea < -1/6].
165.
1-х
{ {2 + {л/2^1)х) а
¦dx = 7rDna
166.
\-За-3/2
/4-х
^ a
л2а+1
[-1 < Rea < 1/2].
-i -3aV
2	/
[-1 < Rea < -1/6].
167. жаA^ж)а/2(Ж + 3Jа1пте
168.
73
A-х)
In"
/— тлтг
[-1 < Rea < -1/6].
¦ dx =
ГD/3) n
2-2-12а33а+3/2со8Bатг)
169. жаA^жKа(9^-
о
170.
171.
172.
lnn
[-1 < Rea < -1/6].
[Rea > -1].
ln" ^(l-») dx = ?^L D«
I J7 —- yd, I	^J
12
[Rea > -1] .
[Rea > -1] .
1пте
1 —
= D^ [22a-2b+1 В
^-^, 6^ аI [-1 < Rea < ^Re6] .

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
129
173.
In 	In 	тг dx =
2^ ж B- жJ
[Rea, Re 6 > -1] .
174. I ха-\1 - х)ъ~2а{1 + ж) lnm ^^ lnn	^
1 + х A-х)
[-К 2Rea- 1< Re6].
175.
26
4.1.6. Обратные тригонометрические функции.
[а2 — х2)^1'2 arcsln(te) <^ж = — [Li2(a6) + Li2(—аб)]	[
[Re a > 0; [14], B1)].
<тг]
о Г/ 2 2ч1/2 . /, ч » afl —a6 1 + a6	г . . ,	, .,
2. (а — ж ) 7 агс81п(ож) ах = -— < —^—— In	 + ab[Li2(ab) — Li2{~ab)\ — 1
J	4o [ 2ao	1 — ab
о
Г	2
3. ж(а2 - ж2I/2 аге81п(Ьж) с!ж = ^-[
J	^b
о
- A - 3a262)K(a6)]
4. \ x{a2 -
о
dx = a26[K(a&) - D(ab)]
) dx = J
6.
7.
¦ агсз1пFж) dx = — In
1 + 6
ln	-
4 1 — 6
- arcsin ж dx =
4 s2F(s)
[|arg(l-a262)|<7r]
| arg(l - a262)| < тг]
[Res > 0; |1 - z\ < тг]
5 Ю.А. Брычков

130
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
8. \xs 1(a-xf г arcsm(b^x(a - ж)) dx = as+t6B (s + -,t+ -
X 4F3
11	1.1 a2b2
-, -, s + -, t + -;
2' 2	2' 2 4
3 5+t+l s+t
1
[a, Res, Ret > -1/2; | argD - aV)| < тг] .
2' 2 ' 2
a2b \жг /ab
9.	агс81п(б%/ж(а^ж)) с!ж = — [к ( —) - D ( —I	[a > 0; | argD - aV)| <
О
a
10.	[жагс8т(б^ж(а^ж))с1ж= — [к ( —) - D ( —)] [a > 0; | argD - a262)| <
11 f 1/2/	4-1/2	• /1 Г^	\"\ 1	a Гт • /a^\ г- / flft
11. ж 7 (a - x) ' arcsm(&y x(a - x)) dx = — ^2 (—J — L12 (
10	-1/2/	4-1/2
12. ж x (a — x) '
0
13.
[a > 0; |argD~aV)| < тг].
c(a-x))dx = U^(y) ~U2\y)
[a > 0; |argD~aV)| < тг].
в!п(б^ж(а — x)) dx =	 In | 1	—
[a > 0; |argD^aV)| < тг].
14.
15.
16.
17.
у/1-Ь2х(а-х)
¦ arcslnFуф^ж)) с/ж = — In	 [а > 0; | argD — а262)| < тг].
arcsln (кЬ\/х(а — ж)) с/ж = — In	 [a > 0; | argD — a262)| < тг].
/Ill
(x + a)	. 6(ж + а)	тгб
^-r——r-jT^ arcsin	to = -~ ^2i о
(ж2 + а2I/2	^Ж2 _|_ а2	2аз 11
2? 2' 2	[а >0; | arg(l - 262)| < тг].
т^тг-arcsin ;v	; rfa; = — [К (у2Ь) - D (у2
K/2	^2 2	«L v ;	V
[а > 0; |arg(l-262)| < тг].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
131
18. xs I (a — x)s arcsinF \J x(a — x)) dx = !
X3F2
2 2	2 2
[a > 0; Res > -1; | argB - аЪ2)\ < тг] .
19. I ж ' arcsinF yj x(a — ж)) <ix =
(За2Ь4 - 4а62 -
О
21/2
EаЬ2
"а > 0; |argB^ ab2)\ < тг].
20. \ х1/2 arcsln
о
21.
lnF ^/х(а - х)) dx = ^— Г(а62 - 2)к( bJ^- ] + 2Е f 6Л^
[а > 0; |argB - а62)| < тг]
ч1/4
а1/2
26 I 23/2aV26
In-
T • I I /I	T • I	I /
77 |Li2{ 6Л/— ) -Li2l -bJ-
[a > 0; |argB - ab2)\ < тг].
22.
slnF ^x(a - x)) dx = л/2 \b
L
23.
)
[a > 0; |argB~a&2)| < тг]
22 + 12) +
24.
dx =
2Ca264 + 4a62 + 12) In A - — J [a > 0; | argB - аЪ2)\ < тг]
¦ arcsln F \/x{a — ж)
2
25.
о у 1 - 62^ж(а - ж)
¦ arcsln (б ^/ж(а — ж)
¦-^ln 1-
V2b \	2
а > 0; |argB - а62)| < тг].
ab2"
[а > 0; |argB-a62)| < тг].

132
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
26.
— arcsm(o у ж(а — ж) J аж = —=- ш ¦
i Jl-b2y/x(a-x)	^a
[а > 0; |argB^ ab2)\ < ж].
тг/2
27. cos17 ж cos (аж) агс8тFсозж) dx =
0	" V 2
а + ЗЛ р/1/ + а + 3\
ТГ х
' 1 1 -, , v I/ + 3 ,2'
-, -, 1 Л—, 	; о
2	2'	2' 2
3	?/-а + 3 1/ + а + 3
[Rei/ > -2; | arg(l — 62)| < тг].
к/2
2 7 2
О-2п-1 /
28.	 агс8т(автж) dx = (^1)п-
п!Bп + 1)
A	1	1 2
пН—,пН—, п Н—; а
22	2
n+-,2n + l
т/2
29.
sin ж\/1 — a2 sin2 ж
arcsin(asin ж) dx = (™1)та-
¦cos — х
1	2 >
. Н—, п + 1, п + 1; а
3
2'	у
30.
< ;
sin x { cos (ax)
SbTcsmwsmx) ах =
. ттга J sin (тжа/2)
1 Л
2' 2' 2' 5
3,1_«,1+«
^2	2'	2 '
|arg(l- 62I < тг].
31.
sin ж л/1 — б2 sin2 ж
{sin (аж) 1
4 ; \ arcsi
cos (аж) J
arcslnF sin ж) ^ж =
/ 1 .
26 . ттга Г sin (ттга/2) 1 _ I г' ' ' '	I п /•, «.2ч. i
\2'	2'	2/
32. sin ж< / ч > arcsinfosin ж) ах =
J	[ cos (аж) J
о
1/ +2)
2 /
со8(атг/2) \ aFs\ 3
1	1 - . i/ г/ + 3 ,2'
2	' 2 ' Х + 2 ' ^"; Ь
[Rei/ > -2; |arg(l-62)| < тг].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
133
' cos(nx) . (	,
33. I	 arcsin(acossc) ах =
2 П7Г
S
' тг + 1 тг + 1 п + 1
п + 3
2 '
[|arg(l-a2)j<7r].
sin17 ж	Г sin (ах
{sin (ax) 1
cos (аж) J '
34. I —	<	> arcsinF sin ж) da? =
>/l - б2 sin2 x {cos (ax) j
^^« + 3\ r/i/ + a + 3\
2 / V 2 /
81п(атг/2)"
cos(a7r/2 I	1 •*
[Rei/ > -2; |arg(l-62)| < тг].
35. |	arcsm(bsinx)dx= -(l^e^m7Ta) 4F3l „
2' 2' 2' '
2' 2 ' 2 '
36. —	arcsinFsinsc) dx = — (l — e
J sin ж	а v
о
2' 2' 2Ji' "
3 ^ га ^ га
-, 1	, П
^2' 2 ' 2 '
37.
^^ arcsin (o sin ж) аж = — A — e	J 4 J
^ я»	а
sin ж\/1 — b2 sin" ж
^ 2	2	2
38.
2 ' 2
[Re a > 0; | arg(l - 62)| < тг] .
39.
8' 2' 2' '
Rea > 0; I arg(l - 6 )| < ttI .
40.
	.	arcslnFsin ж) dx = — 4F3 I o	•	-I
slnx^/l ^ 62sln2 ж	а I3 1 ш 1 + га I
s жу 6 s x	V2'1" Y'1 + Y/
[Re а > 0; | arg(l - 62)| < тг] .
41. In ж arcsin(asc) dx = — I 2 — 2Vl — «2 — a arcsin а + In
J	a \	2
0
^a2)| <тг].

134
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
42. In х arcsln x dx = 2 — —- — In 2.
о
43. I ж In ж arcsln ж dx = — (In 2 — 1).
44. ж2 In ж arcsln x dx = — A4 — Зтг — 12 In 2).
45. — In x arcsln x dx =	(тг2 + 12 In2 2).
J ж	48
о
46. I ж(ж2-ж4Ипп(ж2-ж4)агс81пжс1ж =	D^
[Rei/ > -1].
47. hc^Mn-
о
X
arcstn(te) dx =
lKF2
' 1 1 S + 1 2»2N
2' 2
¦ 1 5 + 1 8 + 1
2,2
; а о
\	2 ' A' 2
[a > 0; Res > -1; | arg(l - aV)| < тг] .
48. In ¦
о
• fu \ j au- ( 1Л T- f 1Л1 a 1 + ab 1 , /-, 2,2ч
	arcsm(tej ax = — [L12 {ab) -— L12 (—aojj	in	In A — a 0 j
ж	2	2 1 — do 26
[a > 0; |arg(l^a262)| < тг].
Г
49. ж In
J
0
In
arcsm(bx) dx = —[Li2(a6) — Li2(^a6
12
\ab(a2b2 ^ 9) In X + a^ - 8In A - a2
[a > 0; | arg(l - а262)| < тг].
50. I ж2 In 1 + л/1
ln ж dx = — B0 + Зтг2 - 32 In 2) .
144 v	;
51.
/1 - 62ж2
In
arcsinfoa;) аж = — |Li2(ао) — Li2(—ао)|
4
а > 0; |arg(l~aV)| < тг].
52.
ж	. а -
¦ In —
• tu \ j жа тг 1 + аб тга	2»2ч
¦ arcsmFx) б?ж = — - -— In	 - —- In A - a 6 )
а > 0; | arg(l - а262)| < тг].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
135
53.	г In	arcsln x dx = — A — In 2).
J vl - x2	x	2
о
54.
Ж™1 , 1 + у/1 - X2	.	,	7Г3
¦In-
arcsln x dx = —.
ж	16
1 | ^1 X	^	^
		arcsln x dx = —	2 In 2.
1 - Vl - x2	4
55.	In
о
1
56.	\ ж2 In г + ^ ~ Ж^ arcsln ж da = — B0 + Зтг2 - 32 In 2) .
о
1
57.
/1 - а2ж2
¦In-
. — у 1 — ж
— агсзт(аж) а*ж = — [Li2(a) — Ыг(—а)] [| arg A + а)\ < тг].
58.	ж(а2 — ж2) "^ 2 arccos x dx =	аЕ f —
J	zi	v а
о
1
59.	A — а2ж2)и1^2 arccos x dx = —[Lb(a) — Li2(—a)]
о
1
гч\ \ (¦%	2 2\—3/2	j	1	1 + а
60.	A — а ж ) ' arccos х ах = — In
J	2а 1 - а
о
1
г
61.	ж^1 sh (ax) arccos ж dx =
1 ?
s +
2 ' 2 ' T
3 s + 3 s + 3
2' 2 ' 2
<тг].
<тг].
[Res > -1] .
62. sh (ax) arccos x dx = — [/о(а) — 1].
о
63. х sh (аж) arccos x dx = —^ [aL_i (а) — Lq (a)] .
о
64. Xs г ch (аж) arccos ж dx = 	 х ч
I	-2ГE)
s 5 + 1 # а2
2' 2 ' Т
Is	s
к2' 2 '2
[Re s > 0] .
65. ch (аж) arccos ж с!ж = —Lo(a).
о

136
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
66. I ж ch (ax) arccos ж dx = —^ [1 — /о(а) + al\ (а)] .
67. a?s sin (аж) arccos ж а*ж =
\2 J p \ 2 '
3 5 + 3 5 + 3
[Res > -1] .
68. sin (аж) arccos ж dx = —[1 —Jo(a)].
о
69. I ж sin (аж) arccos ж dx = —2-[Но(а) — aH_i(a)] .
ACL
70. xs cos (аж) arccos x dx =
о
-r(i)
s s + 1 # a^
2' 2 ' T
Is	5
2' 2	2
[Re s > 0] .
71. I cos (аж) агссозж а*ж = — Ho(a).
72. I ж cos (аж) arccos x dx = —- [Jo (a) + a Ji (a) — 1] .
73. \ xs In A + аж ) arccos ж dx =
I
1,1,
2,-4
v 2
5 + 3
- + 2, ™
-2	2
74. I ж In A + аж ) arccos ж dx = — 1 — Vl + a + (a + 2) In
4a
[Re s > -2; | arg A + а) | < тг] .
[|arg(l + a)| <тг].
75. I ж In A — ж ) arccos ж dx = — (In 2 — 1) .
тл f 1 i /i	2ч	, тг Г, 2 1 + л/1 + а от .
76. — In A + аж ) arccos ж б!ж = — In	2 Li2
J ж	4 [	2
[|arg(l + o)|<7r].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
137
77.	illn(l + x2)^ccosxdx = ^\ln2^^~2U2(^^)}.
J x v	;	4 [	2	V 2V2 /J
о
l
Г 1	тг
78.	- In A - ж2) arccos ж dx = — A2 In2 2 - тг2) .
J ж	z4
0
79.	— In A — ж ) arccos x dx = —	4G.
J ж2	4
0
1
г _ a + ж
80.	жв	In	arccos x dx =
J	a — ж
о
3 5 + 3
2' 2
^ 5 + 1 S
' ~2~' 2 ' a
s+3 s+3
^	2 ' 2
[Res > -1; |arg(a2 - 1)| < тг]
oi fi а + ж	j	(	ГЪ7 , i
81. In	arccos x dx = 7г[ a — у a1 — 1 + a In
J a — x	\	2a
0
[|arg(a2-l)|<7r]
3 In a
82. I x2 arccos ж In ^^ Лс = — 14a3 + 9a - Da2 + 8) Va^^T + 12a3 In
a — x	36
2a
e—11
83. I xs L In (аж + Vl + а2ж2 ) arccos x dx =
0
,.iKpJ 2 2
1 s + 1 s
2' 2 ' 2
' 2
V 2 ' 2 ' " .
[Res > -1; |arg(l + a2)| < тг]
84. In (ax + Vl + «2ж2 ) arccos x dx =
К
85. f In (ж
о
ж2 ) arccos x dx = -
86. I ж In (аж + л/1 + а2ж2 ) arccos ж Aж = — [#f-a2, 2,
а2, 2, -I
|arg(l + a2)| <тг]

138
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
Г			Q	^
87. х In (ж + \/l + ж2 ) arccos ж dx = —— —.
.
88. х In (ах + Vl + а2ж2 ) arccos x dx =
о
4	2	а \ , 7
9а3
a2)|<7r].
89. ж In (ж + v 1 + х2 ) arccos x dx =
о
I
— In (аж + \fl + а2ж2 ) arccos ж с!ж = --^l ^а , 3, т^ #	[I arg(l + а )| <
J ж	8V	2/
90. -
о
91. — In (ж + л/t + ж2 ) arccos ж с/ж = —.
J ж	32
о
92.
¦ In (аж + Vl + а2ж2 ) arccos ж dx =
~+l
3 5 + 3 5 + 3
2' 2 ' 2
[Res > 0; |arg(l + a2)| < тг] .
93.
¦ In (аж + Vl + а2ж2 ) arccos ж dx =	LI2 (^а2
а2ж2 l	j	8а П
|arg(l + a2)| <тг].
о
94.	г In (ж + Vl + ж2 ) arccos x dx = —.
0
95.	— In (аж + Vl + а2ж2 ) arccos x dx =	 [(a2 + 1) In (a2 + 1) •
о
[|arg(l + a2)|<7r].
96. I	г In (ж + Vl + ж2 ) arccos ж dx =
/1 + ж2
97.
1 + ж
In (
ж2 ) arccos ж а'ж = —B41п2 - тг2).
192

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
139
98. xs In (ax + л/l + а2 ж2 ) arccos x dx =
о
'i, i, i, °^4
2L^3
-,2,-
2' 2
-24F,
2
5 -а
[Res > 0; |arg(l + a2)| < тг]
99. ж In (аж + v 1 + а2ж2 ) arccos ж dx =	-Га + (a +l)Li2(—а
1	v	7	16а2
100. ж In (ж + л/l + ж2 ) arccos x dx =	.
J	v	J	96 16
|arg(l + a2)| < тг]
101. ж3 In2 (аж + л/l + а2ж2 ) arccos x dx =
[4а2 - 15а4 + 8(а2 + IJ In A + а2) - 12(а4 - 1) Ы2(-а2)] [| arg(l + а2)| < тг].
512а4
102. ж3 In2(ж + \/1 + ж2 ) arccos ж da = 	C21п2^ 11).
103.	— In2 (аж + л/l + а2ж2 ) arccos x dx =
J ж v	7	8
о
1
104.	— In2 (ж + \/ж2 + 1) arccos x dx = — СC).
|arg(l + a2)| <тг]
105. жв агсз1п(аж) arccos ж с!ж =
о
1
2 '
2'
1
2 '
?±1
Res > 0; | arg A - а2)\ < тг] .
106. | arcsin(aa;) arccos ж dx = —[2(а2 — 1)К(а) + 4Е(а) — 7г]
|arg(l-a2)| <тг].
107. I агсз!п(ж) arccos ж ^ж = 2	.
А

140
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
108. жагс81п(аж)агссо8жс1ж = ^[ф(а2, 2, I) -ф(а2, 2, §11	[| arg A - а2)| < тг].
J	1оL \	2/	V	2/1
109. ж arcsln ж arccos ж dx = -.
J	4
о
110.
[Fa4 - 5а2 - 1)К(а) + 7(а2 + 1)Е(а) - Зтг
|arg(l-a2)| <тг].
111.	ж arcsln х arccos x dx = —	.
J	^ • У
о
1
112.	— агс8га(аж) arccos x dx = —Ф (а2, 3, — J
J Ж	о V	/j /
|arg(l-a2)| <тг].
Г1	7
113. — arcsln ж arccos ж с!ж = —
J х	8
о
114.
^^ arcsinfaa;) arccos ж с/ж =
r^v	2(e +
3 5+3 s+3
[Res > 0; | arg A - а2)\ < тг].
115.	агс81п(аж) arccos x dx = —Li2(a2)	[| arg (I — а2)| < тг].
J л/1 — «2ж2	8а
о
Г	1	7Г
116.	г arcsln х arccos x dx = —.
J л/1- ж2	48
о
117.
arcsln(ax) arccos x dx = 3 [A — а ) In A — а ) + ЬЬ (а )]
|arg(l - а2)| <тг].
Г ж2	тг3
118.	г arcsln ж arccos ж с/ж = —.
J Vl-ж2	96
о
119.
In A + 2аж + а ) arccos x dx = —Аи Ыз (а)	[| arg A — а ) | < тг].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
141
120. | х^г(а2 - х2I/2 arctg(bx) dx = — [l - Va2
121. х^(а2 - х2у1/2 arctg (bx) dx = ?- In (ab + Va262 ¦
J	Ad
122.
/ 9 ,—^v arctg ж йж = -—_- In A + а)
ж(ж2 + а2)	2а2
123. [—?—arctg
J 1 + ж2
= -^ In2 In C +
16	v
2
¦ ab In (afe -
[а > 0; |arg(l + a262)| < тг].
)
[a > 0; iarg(l + aV)| < тг].
[Reо > 0; |arg(l + a)| < 7r].
[43].
[43].
lnB + >/3) - ™^ In 2 In E
J О
125.
Ц
- arctg f ж11+ ° ) dx = — - In (l + л/2) In D -
- I In B + >/3) In C + л/Ш) + +| In 1 + V^ In E + ^24) + ^ In 2 In (ll + >/l20) [43].
о	(у	A	Id
i
f	1	,	.	 v	Q
1 ОГ»	x I 13+V168 \ j	«-> ! /-i . /n\ I
126.	 arctg ( ж	J аж = — - In A + v2] In ¦
127.
1	ax
	777V arctg ——
^ In B + л/3) In A5 + ^224) + -^ In E + л/24) In (8 + ^63) [43].
[Reb > 0].
тг . а + V«2 + 462
"^T7 In
, 2 2	-r arctg [(a2 + l) ж + а2ж3] с!ж = — In ¦
о
а)(а
2а
[Rea > 0].
129.
arctg (б^ж(а - ж)) dx = as+f6B
- х
-, 1, s + -, t + -;
2	Д 2
2' 2 ' 2
130. I arctg (by/x(a-x)) dx = —
[а > 0; Res, Ret > -1/2; | argD + a2fe2)| < тт] .
-2)	[а > 0; |argD + aV)| < тг].

142
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
131. \xa,rctg(by/x(a-x))dx = ^
[а > 0; | argD + а262)| < тг].
132. ж^1 arctg (Ьу/х(а -
— + W1 +	 j [а > 0; | argD + а2Ь2)
[а > 0; | argD + а2Ь2)\ < тг].
133. \х г(а-х) 1 arctg (Ь^/х(а - х)) dx = — \п ( — + J1 + -
[а > 0; |argD + aV)| < тг].
134. [ хв+1/2(а - x)s arctg (b^x(a^x)) dx =
2 | [а > 0; Res > -1; |argB + a62)| < тг].
135. x1/2 arctg
[2(ab2 - l)V2a62+4 - Заб2 + 4]
[a > 0; |argB + a62)| < тг].
а
p
136. ж^1/2 arctg (b tjx(a - x)) dx = - (Va62 + 2 - л/2)	[a > 0; |argB + a62)| < тг].
137. [ яГ1/2(а - ж)^1 arctg
J
о
1 3 1
138. I ^	arctg х dx = — In 2	.
е2ттх + 1	4	2
тг/2
[а > 0; |argB + a62)| < тг].
139. cos1" ж cos (аж) arctg F cos ж) dx = (иа + ^—Д/ + а + 3> х
Г
1	v
3 i/ — а + 3
2'	2
тт/2
n ._	, COS BПЖ)	, / . xi
140. I 	;	arctg (asm ж) dx =
2 / V 2 /
2 ' „ I [Re и > -1; |arg(l + 62)| < тг].
|arg(l + a2)| <тг].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
143
141.
1 ( sin (ах)
sin x \ cos (ax)
arctg (b sin ж) с/ж =
1 1
_ 2b . тжа ( sin (гатга/2) 1	/ 2' 2
F3
о	2 \ cos (ттго/2) j 4 ' I 3	a	a
\ О '	О '	О >
sin (аж)
142. | sin17 ж <! """ у*-"/ i arc|-g (к sjn x\ ^x _ _
^ cos (аж) J	P
2^17г6Г(> + 2)	f si
i/-q + 3\ /i/ + a + 3\ 1 со
sin(a7r/2)
со8(атг/2))
,1, + 1,;
2	2	2
3 i/ - а + 3 1/ + а
[Rei/ > -1; |arg(l + &2)| < тг].
2' 2
143.
жа) 4F3
- - 1 1- -б2 '
3 1 _ ш 1 j_ ш
2'	2 ' + 2 <
144.
3 — га 3 + ia
[Re а > 0; |arg(l
< тг] .
145.
	arctg F sin x) dx = — .
sina;	а
' i, i, l, l; -6я '
3>:l_*ajl+*a
[Rea > 0; |arg(l + 62)| < тг] .
146. ж^Мп
о
¦ arctg Fж) dx =
^ 1 -, S + 1 5 + 1	2,2 '
—, 1, 	, 	; —а о
2	2	2
3 5	5 + 3
2'2+ '~2~
[а > 0; Res > -1; | arg(l + а262)| < тг].
147. xs In		arctg (аж) dx =
о
'1	3 + 1	2
—, 1, 	 —а
2	2
2 2
1,
2 ' 2
5 5 + 3
2
: —а
\	2' 2
[Res > 0; | arg(l + а2)| < тг].
148. 1 х In
1 - VI - ж2
arctg
-2)

144
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
(	S	9 9 >
1, 1, 1, - + 1; aV
149.	\xa~1(a2-x2)t~1&rcsin2(bx)dx = ^as+2tb2 В (- + 1, t) 4F3
I	A	\ A	/
о	V2'^'2^'Ti/
[a, Ret > 0; Re s > -2; | arg(l - a262)| < тг] .
Г	а2	1
150.	(а2 ^ж2I/2 arcsin2(bx) dx = 	 Li2(aV) - (—- - Ijln(l^a262) -1
неги I/ 2	2\—1/2	• 2/i \ i	^ т • / 2i2\
151. I (a — ж ) ' arcsin (ox) ax = — Li2(a о )
[a > 0; |arg(l-aV)| < тг].
[a > 0; |arg(l-a262)| < тг].
152. ха~г(а - ж)* arcsin (b^fx(a - ж)) dx = as+t+1b2 В (s + 1, t + 1) x
о
a2b2
1, 1, 1, s + 1,
x
' 4
[a > 0; Res, Ret > -1; | argD - aV)| < тг] .
153.
2' ' 2
,HV2
1662
byx(a — ж)) dx =
[/	2l2\
a262 + D - a262) In A - ^- 1 + a2fe2 Li2
V	4 /
^ 2,2
a262
a > 0; argD-a2b2)| < тг].
1 к ^ I 1/2/	\ —1/2	• 2/1 /—7	Г\ i	TTft т . / fl &
154. I ж ; (a — ж) 7 arcsin (by x(a -ж))аж= — Li2 I
155. ж / (a — ж) / arcsin Fy x(a — x)) dx =
о
[a > 0; |argD~aV)| < тг].
[a>0;|argD-aV)|<7r].
		/ 2 l2
i кг» I -1/2/	\ —1/2	-2/1 / 7	Г\ i	ty	I a O
156. I ж x (a — ж) 7 arcsin (oy ж(а -ж))аж= — L12 I —-—
[a > 0; |argD^aV)| < тг].
157. ж^1/2(а-ж)^^2агс81п2F%/ж(а-ж))с1ж= - \ab\n
о
2 In A -
тг
~а |	2-аб ' ""* 1^ 4
2,2
[a > 0; |argD- a b )\ < it].

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
145
2тг
Г _3/2/ ч^з/2 . 2/, г(\u 2тг Г 2 + аб	/
158. ж ; (а — ж) ' arcsin (by/х(а ~~ ж)) dx = — а& In	 + 2 In I I
[а > 0;
a2b2
<тг1.
159.
In (b у х(а — x)) dx =
1, 1, 1, 2« + 3; ^
2' ' S 2
[a > 0; Res > ^3/2; |argB^a62)| < тг].
160.
ч-1/4
arcsm (b ^/х(а ^ х)) dx =
[б2 + B - ab2) In ^1 - ^j + ab2 Li2 ^ ) | [a > 0; | argB - а62)| < тг].
161 1 r~1/4fo - rl
,-x))dx = ^=rhi2(^—
v 2 \ z
[а > 0; |argB^ аЪ2)\ < ж].
162.
5F,4/^^))с1ж^^1п-
I С/ Л/ el/ 1 О/	el/ I I СХеЛу 		-— 111
_ Zpj [а у 0; | argB - ab2)\ < ж].
163.
1 . 2 Цж + а) тгб2 Г 1 1 + ^26 1	2
х	7 с/ж = 	 _ In	—	— In A — 26 )
2 [^ 6	^ 6 2fe2 l	;
_ In
х2 + а2	2а [^2 6 1 - ^2 6 2fe2
[а>0; |argA^62)| < тг].
164. I ж In
¦ arcsin Fж) с/ж =
'h 1, 1, f+ 1, f+ 1; «2
8 +3
[a > 0; Res > ^2; | arg(l - aV)| < тг
'A 2 '
165.
— arcsin2 (b sin x) dx = — (l — e тжа\
sin" ж	а
-, 1, 1, 1, 1; ft \
-,2, 1-—, 1 + —/
^ 2	2	2 /
[Rea > 0; | arg(l - 62)| < тг].

146
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.1.6
166.
о	1
arcsin (о sin ж) ах = — 5^4
a
[Rea > 0; | arg(l — Ь2)\ < тг] .
167. In
а + v« — %
=^ \П2(аЧ2) + 2 In A - аЧ2) - 4l + ^ In ^4
4	26 1 — ао
[а > 0; |arg(l - а262)| < тг].
168. [ In
J
о
	arcsin2 ж dx =	Ь (In 2 — 1)тг.
x	24
169. \хА In ¦
о
-»2 _ ^2	-Л3
¦ arcsin Fж) dx =
^г [За6(а262 - 9) In A - aV) - 24 In ] + ay + 48a6 - Ila363l
„oo*5 L	1 — a6	J
[a > 0; |arg(l^aV)| < тг].
21663
arcsln2 ж da = (Зтг2
170. [ х2 In 1 + л/1	— arcsln2 ж da = — (Зтг2 + 96 In 2 - 74).
171. I —- In
1
• 2/, ч , &7Г Гт • / l\ т • / l\ !
arcsin (ox) ax = — ъжао) — Li2(^ao) — In
2 L
1 — ab
- — In A - aV) [a > 0; | arg(l - aV)| < тг].
2a
tt/2
172. cos17 ж cos (ax) arcsln Fсо8ж)с1ж= —-;—^—
/ 1,1, 1,
2; 6
o
2
1 Р?(Ъ	\ • U	J O1JL1 \""^i I	• 2/1 •	\ I	^	^6 1 (I/ + tjj
173. Ism ж { ) ; > arcsin Esma)&= (v-a	^	'- ¦ ~	^X
ы
ice
cos {ax)
sin (атг/2) 1
r(	+2)r(	+2)
1,1, h
' ' '
. cos (атг/2) J
' 2
2; b
>-l; |arg(l-6)| <tt].
'2' ' 2 ' 2
174.
sin x [ cos
arcsin (b sin ж) с!ж = 	sin
262 . ттга Г sin (ттга/2)
{
cos (ттга/2)
X5F4
-, 1, 1, 1, 1;
2
а
1+

4.1.6]
4-1. Элементарные функции
147
175. — In
1 + л/1^Х^	. 2	ТГ3
	arcsin (ж) аж = —	тг In 2.
176. xs arcsin (ax) arccosж dx =
о
1,1,1,
^4 3 3S	9
V -, 2, - + 2; а2
\2' ' 2 '
177.	— arccos ж arcsln (аж) dx = — Ыз(а )
J ж	8
о
1
178.	— arccos ж arcsln x dx = —?C).
J ж	8
о
1
Ж г 2 . / 2
1, 1, - + 1, ^^
2 '2
, +2,
4' 2 ' 2
2; a
[Res > -1; |arg(l~a2)| < тг] .
[Res > -1; |arg(l — а2)| < тг] .
179. ж arccos ж arcsln (аж) dx =	 [а + (а — 1) LI2 (а )]	[| arg A — а ) | < тг] .
J-Ud
о
1
180. ж3 arccos ж arcsln2 (аж) dx =
= —^[4а2 + 15а4-8(а2 - IJ In A - а2) + 12(а4 - 1) Ы2(а2)] [|arg(l~a2)| < тг] .
512а4
181.	ж3 arccos ж arcsln2 x dx = 	.
J	51z
о
i
г
182.	xs^x arccos ж arctg (аж) dx =
о
2
; —а
2 ' 2
3 5 + 3
[Res > -1; |arg(l + a2)| < тг] .
183. | arccos ж arctg (аж) dx = — f Vl + a2 — In	1 ) [| arg(l + а2) | < тг] .
Ad \	A
184. ж2 arccos ж arctg (аж) dx =
4 -
^ - 9) + 12In
|arg(l + o2)| < тг] .

148
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.2.1
185.
5тг
5тг3 тг5 15тг
4.2. Полилогарифм Li2(z)
4.2.1. Интегралы, содержащие Li2(z) и алгебраические функ-
функции.
1, 1, 1,
J' ' 2
1,
[a > 0; Res, Ret > -1; | argD - a2b)\ < ж]
2. I ж ; (а — ж) ' Li2{bx(a — х)) dx = тга Li2 I 	 1	In
[a > 0; |argD-a2fe)| < тг].
2 2-
3.
/2 Ы2Fж(а - ж)) Aж = 2тг Li2 f	——— ) - тг 1п:
V	4
[а > 0; |argD-a2&)| < тг].
4.
[а > 0; |argD^ a2b)\ < тг].
5. ж"(а - жM+1/2 Li2Fл/х(а - х)) dx =
о
X 4F3
2, 2?
[a > 0; Re s > 3/2; | argB - ab) | < тг].
6. ж г'2 Li2(бу^ж(а — ж)) с/ж = 4а1^2 I arcsln2 у — + 2л/ —- — 1 arcsln у — —
а > 0; |argB - а6)| < тг].
7.
Li2 (Ьу/х(а - х)) dx =
[а>0;

4.2.2]
4-2. Полилогарифм hi2
149
8. ж /4(а - Ху3/4 LI2 (Ьу/х(а - х)) dx =
о
21/2тг
4.2.2. Интегралы, содержащие
функции.
[а > 0; |argB - а6)| < тг].
и тригонометрические
1 J sin (аж) 1 .
sin2 ж \ cos (аж) j
1. I —~—< ) ; >Li2Fsin х) dx =
sin ж [ cos (ax)
о
2b . тжа ( sin (ттга/2)
= — sin ¦	J
{sin (ттга/2) 1
cos (тжа/2) J
а	2 [ cos (тжа/2)
2' x>i> i>i!
а > 0; |arg(l - 6)| < тг].
о Г . х/ Г sin(aaj) 1 . , . 2 ч ,
2. sin х{	>Li2(osm х) ах =
J	[cos (ах)}
о
Г sin(a7r/2) 1
\cos(a?r/2)) J
2; b
[Re и > -1; |arg(l-6)| < тг].
7Г/2
г
3. cos17 ж cos (аж) Li2(&cos x) dx =
0
4.
1,1,1,
2,2,
2 ' 2
2; 6
^ + 2, ^±^+2
2	2	/
[Re i/ > -1; |arg(l-6)| < тг].
2' ' ' ' '
221-^1 + ^
5.
ln ж) dx =
~ б 4 I
-Л -,l,l;
2'2'2'5'
3 3 З^га 3 + ia
2' 2' 2 ' 2
4(а2
ст
1,1,1,1,5; ь \
9 9 3 ~ ia 3 + ia
' ' 2 ' 2 /
[Reа > 0; |arg(l-62)| < тг] .
6. | -r-2—Ll2Fsin ж)clж=™5J
-, 1, 1, 1, 1; b
2' ' ' ' '
Re а > 0; |arg(l~62)| < тг] .

150
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.2.3
4.2.3. Интегралы, содержащие hi2(z) и логарифмическую функ-
функцию.
1. \х In-	pi	Li2
1, s + 1, s + 1; аб
1, 1, 1, s + 1; aft
1, 1, s + 1; аб
. 3
[а > 0; Re s > -2; | arg(l — а6)| < тг] .
i*	.
2. In	—	hi2(bx) dx = |2a + -- ) arcsln (va6 ) + 6a\ —— 1 arcsln(vo5 ) — 7a
J	уж	V о/	У ab
о
[а > 0; | arg(l — ab)\ < ж]
3.
= —= ( y/ab arcsln y/ab	— In	h 2л/1 — afe — 2 ) [а > 0; | arg(l — а6)| < тг]
V« V	2	/
4.2.4. Интегралы,	содержащие Li2(z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
1. ^
J ж
о
ж U2(x)dx = -^[8 In3 2 - 2тг2 In 2 + 12(C)].
12
2. I ж" arccos
о
'1,5 + 1,
dx =
3^
X I 3F2|	2 1 -
s + 2, s + 2; а
2,
3
2
-2; а
2, 2, s + 2; ay
[|arg(l-o)| <тг]
4.3. Интегральные синус Si (z) ш косинус ci(z)
4.3.1. Интегралы, с о д е р ж а щ и е SI (z) и алгебраические функции.

4.3.2]	4-3- Интегральные синус SI (z) и косинус ci(z)	151
4.3.2. Интегралы, содержащие SI (z) и тригонометрические
функции.
тг/2
Г
1. cos17 ж cos (ах) SI (b cos ж) dx =
о
A I/ . - I/ + 3 б2
3 3 i/^g + 3 t/ + ft +
2' 2'	2	2
lla2
9
2.
Bn
7Г
3. sin ж< , ч > Si F sin ж) dx =
J	[ cos (ax) J
о
1 v	v + 3 б2
sm(a7r/2) 1	I	«> ^ + 1?
2 ^ 1тгЬГA/ + 2)	J sm^aTr/zj I с, I	27 2
^-о + З^/^ + а + зу 1 cos(a7r/2)) J	3 4 3 3 i/ - а + 3 , 1
I 	 I 	 I ^ v iff)	i _ _	\- i
V 2 / V 2 /	\2' 2' 2	'
2
[Re i/ > -2].
fcosfna?)™^	ч ,	2™n7ran+1	nn _ I о ' о ' "T"
4. 	^	'- Si(acosx)dx = -,	гтт	r cos	2^з 7	7
J cos ж l	;	(n + l)!(n + l)	2
о
2 ' 2 '
Г 1 f sin(aaj) 1 . . ч
5. 	< , ; > Si F sin ж) dx =
J 8ШЖ [ cos (ax) J
о
26 . тжа J sin (ттга/2) ^ I 2?2? ' 4
_««	3|3 31_а1а
,2' 2'	2'	2.
1, 1, 1; - —
6. II	SiFsm^)da; = -(l-e-m'Ta) -=¦ ' 2 2	4
J sin ж	а
о	\ 2' 2' А 2 '
i 2
_SiFsina:)dx=^3F4| я я^ ¦' .п 4 .„ |	[Rea>0].
&111 гЬ	U
о	\ 2' 2' " 2 '
~"~1с „/1-1/-г6\„/1-г/ + г4
_ _1	.
8. f ch" x cos Fx) Si (csechx) dx = * " crA~"~ib) rf
1 1 — I/ — ib I^i/ + i6 с
2 7	2
3 3 1-х/	I/

152
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.3.3
4.3.3. Интегралы, содержащие SI (z) и логарифмическую функ-
функцию.
1. ж" In
о
a + yr — x2 _.
s_i . a -t- v«- — v- c. fL ч ,	V71" s+i,
'-	Si (ож) йж = ^^a o-
ж
' 1 e + 1
(	]
2' 2 ' 4
2' 2' 2
a2b2
2 ' 2 '	4
3 ?	g + 3
2' 2 '2
[а > 0; Res > -1] .
2. ж In
о
a + у a2 — x2
SI (Ьж) dx = —{2ab[abJ0(ab) - Ji(ab)] +
+ тг(а262 - 1) [Ji(ab)H0(a6) - J0(a6)Hi(a6)]} [a > 0].
3e \x*\na + y/a2-x2-Si(bx
^
{2ab[ab{a2b2 + 1) J0(a6) - (aV + 5) Ji(afe)]} +
9) [Ji(a6)H0(o6) - Jo(ob)Hi(o6)] [a > 0].
4.3.4. Интегралы, содержащие SI (z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
2(e + l)r(i
' 2 ' 2
3 3 s +
2 7
2' 2' 2 ' 2
[Res > -1].
2. агссоэж SI (ax) dx =
о
= ^ {^2 + 2(a2 + 1) Jo (a) - 2aJi(a) + 7ra2[Ji(a)H0(a) - J0(a)Hi(a)]} .
4.3.5. Интегралы, содержащие произведения SI (z) и ci(z).
1. ж* [sin (ж) ci Bж) - cos (ж)81Bж)]2
о
O-s^4
I I tt2s[3 — cos (tts)] sec	\- 4тг[1 + cos (its)] cosec	h
[-2 < Res < 0].
2. I ж* [sin (ж) ci Bж) - cos (ж) SI Ba)][cos (ж) ci Bx) + sin (ж) SI Bж)]^ж =
— [cos (tts) + 3] cosec	\- sin — Ыф' (	J — 4ф''(s) — ф1 f —
\-l < Res < 11.

4.4.2]
4-4- Интегралы вероятности erf (z), erfi(z), erfc (z)
153
1 1 «264
3. shl
о
2 2 256
3 5 3 3
,4' 4' 2' 2'
[a > 0].
4.4. Интегралы вероятности erf (z), erfi(z), erfc (z)
4.4.1. Интегралы, содержащие erf (z) и алгебраические функ-
функции.
1. [ Xs-1 (a - хУ~г erf (by/x(a - x)) dx = -jLas
J	V"
2.
+
* , t + -)
2	2/
' 1	1,1
[a, Res, Ret > 0] .
2' 2 ' 2
dx =
/I,2s + ^;_^!\
x 2F2 2 „ 2 2 [0, Re Bs+ 5) >0].
ab2Io (^\ + (ab2 + l)h №
4. x
0
-1/2 r/i4r^	\\ j	P^ , ^ab2/4[r fab2\	fab2\)
1 erf [by/x(a-x))dx = J—abe ' \I0 I -r- J + /11 —r- 1
[a > 0].
[a > 0].
4.4.2. Интегралы, содержащие erf (z) и показательную функ-
функцию.
a
Is —1/	\t —1 6 аз(а —аз) е ( l / 7	7 \ j
. I ж (a — ж) e v ; erf [byx{a — x) J dx =
f
21	2
+ 1
3. [ ж-V2*(*-*) erf (by/x(a - x)) dx = ж erfi
[a > 0].
[a >0].

154
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.4.3
4. х-1 {а ^ x)-1eb2x{a-x) erf (Ьу/х{а-х)) dx = — erfi ( —)
а	\ 2 у
[а > 0].
5.
/x(a-x)
erf F ^ж(а — ж)
[а, Re Bs+ 5) > 0].
6.
erf (btfx{a^x))dx= 4sV~ [2 ^ a62 + 2(a62 ^ 1)еаб2/21 [a > 0].
7. \ х-Ч*еъ*у/*(*-*) erf (б^/ж(а^ж)) dx = ^^- (V5'72 - l)
[a > 0].
8.
e yx^a x> erf F \Уж(а — ж)) dx = ^^ erfi I 6*/ —
л/а	V V 2
[а > 0].
4.4.3. Интегралы, содержащие erf (z) и тригонометрические
функции.
(
2
1 Л _h2
2' '
^a 3+a
2 ' 2
2.	 erf (a cos ж) dx =
¦1 n + 1	2^
-, n ¦
erf(asmx)dx =
n!Bn
7Г/2
Г
4. cos17 ж cos (ax) erf F cos ж) с!ж =
о
/I/ - а + 3\ /i/
I 2 J V
2'	2' 2 '
3 v — a + 3 i/ + a + 3
[Rei/ > -2
2 J V 2' 2

4.4.5]	4-4- Интегралы вероятности erf (z), erfi(z), erfc (z)	155
K f . i/ Г вт(аж) 1 ,	,
5. sin x< \ > erf (ft sin ж) ax =
J	[ cos (аж) J
о
V 2 / V 2 /
fsin(a7r/2)l
\cos(a7r/2) J 3 3
Г	2'
3 i/-o-f
2 /
[Re 1/ > -2].
/2
b2 cos2 ж
6. cos17 ж cos (аж)е cos x erf (b cos x) dx =
0
(" 1 ii17 ^ +3 ,2
(
3
¦2J	2 '	2
7Г
Г . ,, (sin (ax) \ b2sin2x r/L • \j
7. sin xl ) i}e	erf (ft sin ж) dx =
J	[ cos (аж) J
0
sin(a7r/2) ]
3 3
2-у^6Г(|/ + 2)	f si
rfl/^a + 3lrft/ + Q + 3l l.co
V
.cos(a7r/2))
2 '	2 7
8. 1 e~ax erf F sin x) dx = ,- ™	-2F2[ „2. Q1.	[Rea > 0].
i,i;-«
о	\ 2 ' 2 /
oo	/	2
9. J e-a*+b2sin2*erf(bSmx)dx = ^_ (^ + ^ 2F2f 3 _V? 3&+ ia j	[Rea > 0] .
0	z	z
4.4.4. Интегралы, содержащие erf (z) и логарифмическую функ-
функцию.
2' 2 ' 2	/
[a > 0; Res > -1] .
4.4.5. Интегралы, содержащие erf (z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
^ie	|(a ' -'12
0
1
2
2. I ж arccos ж erf (аж) dx =
U4 + За2 + 6)e--/2/o ( ^ ) + a\^ l)e~*''*h ( ^- ) - б| .
0
V71" I /„4 , o^2
36a3

156
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.4.6
i
За1 х1	с/ \ j	"V^ Гтп* / 2\ г» 1
е arccos ж erf (аж) аж = —— [ш (а J — 2 In а —
4. \хеах arccos ж erf (аж) а'ж = ^Цн2еа - а - Ei (а ) + 2 In а + С - :
о
5 1	.о/ \ I	V " I -1 I а~ ГА \ ( "А 1 \ г / ^ 1	2 т I &
. I arccos ж era (аж) аж = —— < 1 + е 7 (а — 1Iо I ^г™ I — а li I —
2а I	V 2 /	\ 2
_ V!L J i , о«2/2 / 2
Г 2
6. ж arccos ж erfi (ax) dx =
¦\/ 7Г \	л	о	^ /о
= ^^ Dа4-3а2+6)еа /2i
1
7. е^а ж arccos ж erfi (аж) а'ж = —— [С + 2 In а — EI (—а
- а2Dа2
^) - 61 .
8. ж е	arccos ж erfi (аж) а*ж = ——^ 2е а —а — EI (—а )+21па + С — 2.
о
4.4.6. Интегралы, содержащие произведения erf(z), erfc(z), erfi(z).
[а < b] .
1. I ж erfi (аж) erfc (bx) dx =	ttvw In
4тга262 b — а 2жаЬ
2. [ - erfi (аж) erfc (bx) dx = - \hi2 (f) - Li2 f-fll
ж	TrLVo/	V о / J
— erfi (ж) erfc (ж) dx = —.
о
4.	erf (б^ж ) erf (bл/а^х ) dx = — (e^a
о
a
5.	erfi (b\fx ) erfi F\/a — ж ) с!
11 -"b2+ab*-l)
[a >0].
[a >0].
6. erfi (Ьл/х ) erf (by/a — х) dx =
J
о
= а2&2[/о(а62)-4^
-^/Даб^ЬоСаб2)] [о>0].

4.5.2]
4.5. Интегралы Френеля S(z) и C(z)
157
7.
ab^
2
[a > 0].
8. xs (a — ж)* erf (b \Jx(a — ж)) erfi (b \Jx{a — x)) dx =
1 , , 1
^ +
3 3 5
L' 2' 4' 2 '2
[a > 0; Res, Ret > -1/2] .
9. e°
о
= 2ae
ab
>2/9, r ( ab
[a > 0].
10. e2b x erf (b^/x ) erfi (by/a^x ) dx = —^- [ch (ab2) - l]
о
[a >0].
4.5. Интегралы Френеля S(z) ш C(z)
4.5.1. Интегралы, содержащие <^{z) и алгебраические функции.

. ж (а — ж) Ь [by х(а — х) J ах =
о
3	3,3 a2b2
q y — B(s + 7't+7) 3F4I „ 7 ?
3 V 7Г V 4	4/	13 7 2,
,2' 4'	4	'	4
[a > 0; Res, Ret > -3/4] .
2. xs+1/2(a - x)sS(b ^x(a - x)) dx =
о
o2g + 9/4i
4'	4 ' 8
2' I' T
[a > 0; Res > -11/8] .
4.5.2. Интегралы, содержащие ^iz) и тригонометрические
функции.
тт/2
-/S^asin x) dx =
3	7
—, nH—,

158
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.5.3
7Г
Г . „ Г вт(аж) } , . ч
2. sirr ж < , ; > 5F sin ж) dx =
J	[ cos (ax) J
зг
/2и -— 2а + 5\ „ /2м + 2а + 5\
(	i	)Г(	4	)
sin (атг/2) 1
cos(a7r/2)J
3
2'
3 2/
4'
7 2/.
4'
i + 5 :
Л2аН
4
2/л + 7# Г
-7 2/i + 2а
4
[Re/i >
\
/
-5/21.
1 Г 8ш(аж) 1 , . .
—^— \ ) \ }b(bsmx)dx
sin1*7 ж [ cos (ax) J
23/2 . тжа ( sin (тжа/2)
За	2 \ cos (тжа/2)
13	fe2
2' I' ' ~T
4' 2' 2
4. I —т-т^—S(b sin x)t
sin1*7 ж
l^e"
За V 7Г
1 3	62
2' 4'	5 4
3 7	<a	^
2' 4'	2	2
5.
I
3a \ 7Г
2' 4' ' 4
,2' 4' ~ Y'	Y
[Re a > 0] .
6. ch17 ж cos FжM(сзесЬ ж) dx =
о
'3 3-2i/-i6 3-2i/
4'	4	'	4
3 7 3-2i/ 5-2i/
[Re и < 3/2].
4.5.3. Интегралы, содержащие S(z) и логарифмическую функ-
функцию.
1. жв~Мп
о
a +
3/2
4 /
3
4'
25
3
?:
4
7
4
-3
2s
а'
+ 5
4
'25 + 3 25+ 3^ а2 Ь'
~4 ' 4 ' Г
3 25 + 5 25 + 7
2' 4 ' 4
[а > 0; Res > 3/2] .

4.5.5]
4.5. Интегралы Френеля S(z) и C(z)
159
4.5.4. Интегралы, содержащие C(z) и алгебраические функции.
1. х3^г(а - xf'^C^y/x^a-x)) dx =
о
1	1
I' S 4'
5 2s + 2
.2' 4'	4	'	4
[а > 0; Res, Ret > -1/4] .
2.
- ж)) dx =
4a2s+7/4b1/2-
2i*3| -j 5 4' u8 I [a >0; Res > -9/8].
2' 4'	4
4.5.5. Интегралы, содержащие
функции.
т/2
1.
-C(asin ж) dsc =
Bn)!Dn-
ш тригонометрические
5.2П + "
4
2. s!nM ж
0
{sin (аж) 1
cos (аж) /
C(bmn x) dx =
\ r/2/i + 2a + 5\ V 7Г
/ V	2	/
з!п(атг/2) 1
3 4
(/)	4 j
(атг/2) J 3 4 I I 5 /i - a + 5
5 —
Л" 4'	2 '	2
[Re/x > -3/2] .
1 | sin (аж)
cos (аж)
GF sin x) dx =
ттга f sin
t
(ттта/2) \ (b\1/2
1 . b1
5 1_ « i + l I'
,4'	2'	2.
1 1 62
,4' 2 ' 2
5.
1/2
4	4
А1 ~Т' T
[Re a > 0] .

160
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.5.6
6. ch1" х cos (bx)C(csech x) dx =
о
4'	4
1 5 l-2i/ 3-2i/
[Re i/ < 1].
4.5.6. Интегралы, содержащие ^B:) и логарифмическую функ-
функцию.
'1 25 + 1 а262
'2s + l 2s
4 4
4 ' 4 7 4
27 4
[а > 0; Res > 1/2] .
4.6. Неполная гамма-функция 7С17? z)
4.6.1. Интегралы, содержащие ^{и^ z) и алгебраические функ-
функции.
s+t+2i/-l» i/
1. ж3 (а — ж) 7(^5 &ж(а — ж)) dx =
о
I/, s -\- ищ t + I/;
4
В (s + i/, t + и) х
[а, Rei/, Re(s + i/), Re (t + i/) > 0] .
2
2. \xs+1/2(a -
dx =
2)
[a, Re 1/, Re(s + i/) > 0]
4.6.2. Интегралы, содержащие 7(|/? ^) и показательную функ-
функцию.
s+t+2u-lhu
ж (a — ж) e l 7117? ож(а — ж)) аж = 	В (s + i/, t -\- is) x
i i s + t i 5 + t + l
i/ + 1, ^^ + i/,	+ i/
[a, Re i/, Re(s + i/), Re (t + i/) > 0] .

4.6.3]
4-6. Неполная гамма-функция j(i/, z)
161
(" + 1/2)
v + —,
2' 4
[a > 0] .
3.
2)
[a, Re i/, Re(s + v) > 0] .
4. ! „-V2,
ab/2
Г(*
4.6.3. Интегралы, содержащие
функции.
ттт
Г Г sin(aa;) I . _2l/ , , • 2 ч ,
1. < ; > sin ж 7(^7 о sin ж) аж =
J [()J
[a, Re i/ > 1/2] .
г) и тригонометрические
2Г
	sin
{sin (ттга/2) 1
cos (ттга/2) J
тг/2
2.
'жсо8(аж)е cos X/y(u1 bcos2 x) dx =
а J [Re i/ > 0] .
+ 2i/ + l)
i/Г
a + 2\
[Re i/, Re(/x
0].
2
2
3.
cos (аж)
(i/, 6 sin2 ж) dx =
Г^^2"тг6"Г(/1 + 2|/ + 1)	Г sin (атг/2) 1
iy"-д + i) г(м + 2^ +дТТу Icos(а7г/2) Jх
1,
[Rei/,
0].
4.
cos (аж)
2bv . ттга ( sin (ттга/2)
( sin (ттга/2) 1
\ cos (ттгтга/2) J
ua	2 \ cos (ттгтга/2)
1	>
2' ' '
1,1-^,1 + ^
[Re v > 0] .
6 Ю.А. Брычков

162
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.6.4
5.
e"m7ra)
[Re v > 0] .
6. [ е
~ах тп
7.
\	'	~2~'	~2~
I/, i, 1; Ь
[Re i/ > 0] .
[Re a, Re i/ > 0] .
_ ax + bsin x • —1v	/ i . 2 \
8. e	sin ж 7(i', о sin ж)
о
4.6.4. Интегралы, содержащие
функцию.
г_гага\
2	2 7
[Re a, Rei/ > 0] .
и логарифмическую
1. жв~Мп-
о
7A/, bx) dx =
X 3F3 (	!
, S U -, 8
a, Rei/, Re (s + i/ + l) >0 .
Г s_i ^ж , v^ + vtt — x ( l \ j 7г 7 as
2. ж e In	-=	7A/, ож) ож =
1, s + 1/, s + 1/; a6 \
x 3F3 (	x	К R-ei/5 R-e
+ 1, ^ + ^+2' ^ + ^ + 1/
4.6.5. Интегралы, содержащие 7A/, z), erf (z) и erfi(z).
>0].
1. erf {y/b(a — ж)) 7A/, 6ж) с/ж =
о
2Г(|/
[a, Rei/ > 0] .
2. еож erfi 1
о
3 ,
—; а о
2'
[a, Re и > 0] .

4.7.1]
4-7. Функция Бесселя Ju(z)
163
a2b2
3. e2bx erfi (y/b(a - x)) 7A/, bx) dx =
0
5/2)
а^/2Г+1/2еа%
4 7 4
[a, Re 1/ > 0] .
4.6.6. Интегралы, содержащие произведения 7A/, z).
dx =
i;
a2 62
[a, Re/x, Rei/ > 0] .
L' ^'	J
1.
4.7. Функция Бесселя Ju(z)
4.7.1. Интегралы, содержащие Л(г)и алгебраические функции.
J (ex) dx ==
(ж4 + ах2 +
(.Xjm + M
(l/2)m(m + 1/2)р §(
p; u± = 2^1 (a
2.
l)r(
2s +
1F2
I/ + 1, 2s +
1/ + 5
[а > 0; Re(s + i//4) > -1].
3.
л	и/4/	\(и-
4. ж ' (а — жI
о
(а-х)) dx = 2Bl/
_1/2 (b J|
[a >0].
dx =
,Bi/+l)/4,-l/2
г	/I
5. яГ 1/4(a - ж)/4Л F ^ж(а - x)) dx = 21/2тг J2/2 ( bJ-
[a > 0; Re 1/ > -2].
[a > 0; Rei/ > -1].

164
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.7.2
6.
I. ж Jo yo -у xya — x) j их — —-— sin i 0\j —
,-2v^bcos
[a > 0].
[a > 0].
8.
xl/4
9.	x~1/4(a - жI/4 Ji (б^ж(а^ж)) da: = ^ k/2 sin f 6 J^ J - y^
«J	L	\ V /	, _
о
[a > 0].
a
10.	ж (a — ж) Ji(b y/x(a — ж)) dx =	1 — cos ( b* ~ )\	[a > 0].
J	Vab L	V V 2 / J
о
4.7.2. Интегралы, содержащие Jv(z) и показательную функцию.
1
1. ж
о
т-\-(п —1
1

2/ . \(п — 1)/2 —рх j ( / о i	\ J
(ж + zy И е р Jv [Ых2 + xz) dx =
= (-1) 2 с D^Dp
\и± =
pz/2
/4; ReBi/ + 2m + n) > 2; Rep > | Imc|; |argz
4.7.3. Интегралы, содержащие Jv{z) и тригонометрические
функции.
. ж ; (a — ж) sin (oya — ж J J^ (су ж ) аж =
о
2. sinM ж
о
¦р^гп Г» /, 2 , 2\^Bm + 2fc + 2i/+3)/4 т	/ / /»2 ,
fsin(aaj)! _ /f . ч .	9-m-K/,"W»x,ixi^
i / г «Л/(о sin ж) аж =
[ cos (ax) J
f sm(a7r/2) 1
К \со8(атг/2))/
[a > 0].
2F3
ju + v — a
2 ' 2	'4
[Re(/x + i/) > -1].

4.7.4]
4-7. Функция Бесселя Ju(z)
165
тг/2
Г
3. cosM ж cos (ax) Jv(b cos x) dx =
о
х 2F3
+ 1/ + 1 /Lt +
4
-1].
f	^v	2~Ап~и~1жа2п+1/ ( n+i;-^»
4. cos Bпж) sin™17 ж J^fasln x) dx = —;—;	^—1-^2 I	2' ^
J	п!Г(п + 1/ + 1)	\n + i/ + l, 2n-
5. e ax sin ^ ж .Л, F sin ж) dx =
0
F/2)"
2	4
6. e~axi
0
x J^bsin x) dx =
2	4
'' ~~2~' T
[Re a > 0] .
7. fcos2ma:(a2 - 62 sin2 ж)п/2 Jn f л/a2 - b2 sin2 ж ) dx
-62Г X
[0 < 6 < a] .
8. со8?пж(а +6 +2а6созж)те/ Jn (V«2 + b2 + 2ab cos ж ) dx =
J
0
АЛЛ, Интегралы, содержащие Ju(z) и логарифмическую функ-
функцию.
L. \ x\nx Jo(ax) dx = —[Jo(a) —'.
J	tt
0
Г 2^ |л ^p	J
2.	—Jp(bx) dx = yjsin (a&) In a + sin (ab)[cl Bab) — cl (ab)] +
J v«2 ж2	о
+ cos (a6)[Si (ab) - SI Ba6)]} [a > 0].

166
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.7.5
3. \ xs In	Jv(bx) dx =
s + u s + ut a2b2
2 ' 2 '	^F
2 ' 2	'
[a, Re (s + ?/) > 0] .
4. In ¦
о
	 2>z	J_
-Ji(bx) dx = - [C + In (afc) - cl (a&)]
[a > 0].
5. ж In	Jo(bx) dx = — [1 — cos (a6)]
о
[a >0].
6.
J0Fa;)dic= ^r[3a6sin (aft) + D - a262) cos (ab) - 4]	[a > 0].
ж	о4
7. жт+тее^рж In xJn(ax) dx =
о
,-1/2
2(p2
-C
[Rep > | Ima|].
4.7.5. Интегралы, содержащие Ju{z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
1. ж5 1 arccos ж Ju(ax) dx =
о
e + i/ e + i/ + l
' о '
[Re (s + i/) > 0] .
г	1
2. arccos ж Jo (аж) dsc = — SI (a).
J	а
о
3. ж arccos ж
J
0
^J42J-2^JiyJH2J-
f 2	1
4. ж arccos ж Jo (аж) dx = — [2 sin а — a cos ft — SI (аж)] .
J	&
5. arccos ж Ji (аж) dx = —- 1 — Jq (^r 1

4.7.7]
4-7. Функция Бесселя Ju(z)
167
6.	ж arccos x Ji (ax) dx = — [Si (a) — sin a] .
J	®
о
l
7.	— arccos x J\ (ax) dx = SI (a) -\— (cos a — 1) .
J ж	a
о
4.7.6. Интегралы, содержащие Jv(z), Si (z) и ci(z).
oo
с
1. a* [sin (ж) SI Bx) + cos (ж) cl Bx)]Ju(x) dx =
0
= -,г1/»Г(«Л. + 1)ГB " S) C°S ("') X
1- 8-
[0
2. xs [sin (ж) cl Bж) — cos (ж) SI Bж)] Ju(x) dx =
J
о
:)i
1. Ja(x) Ju(a — x) dx =
/1 + I/
cos a	4
T7TT3 4 i м-
asm a	/	4
3^4	о ,
+ 2
3/2].
[-1/2 < Re (s +i/) < 3/2].
4.7.7. Интегралы, содержащие произведения Ju(z).
(o/2)"+" ^
[a > 0; Re/i, Re 1/ > -1] .
a
. — J^x) Jv(a - x) dx = — \	-
J X	ZipL L jLA JL
fj, -j~ JL
[a > 0; Re/i > 1; Re 1/ > -1].
1
x(a — x)
-^J^yX) Ji/ (a — ж) с!ж =
2[ii/a
[a, Re/i > 0; Rei/ > 1].

168
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.7.7
4.
1
х2(а — ж)
-^Зц{х) Jv (а — х) dx =
2/ii/a2 L (/x — 1) (г/ — 1)
[а > 0; Re/x, Rei/ > 1].
5^>Bп~)/4/л	^Л17/2 Т	, (h Гч>\ Т (п+/~п	~ф\ fine*
•	Ж	yd — Ju J	<^n — 1 /2 \"V ^ ) "|/|ьуи — XI UX —
^(лйЪ
[а > 0; Rei/ > -1].
6.
W^) dx = (^i)m+n2m+n+1b^cl/ x
о
[а > 0; Re/i > -m - 1; Rei/ > -n - 1].
x
a
8.
/б2 - a2
[n ^ 1; a > 0; Re i/ > -1].
[a, b > 0].
9.
J0(fe-a;)Ji(>/a;2 ^ а2
= -[jo(b - a) - J0(Vb2
7Г/2
г
10. со8Bиж)81п м ^ ж J^(asinic) Ji,(asina;) dx =
о
^ + г/ + 1)
п!Г(п + /х + 1)Г(п + и + 1)
3F4
[a, b > 0].

4.7.7]
4-7. Функция Бесселя Ju(z)
169
11. cos (nж) cos м и х Jfj,(acos x)J„(acos x) dx =
о
Г(п/2 + 1)Г(га/2 + /х + 1)Г(п/2 + v + 1)
/ те + /1 + 1/ + 1 тг + д + I/	тг + 1
cos(mr/2)	I	2	'	2	' ~~2~;
Г(п/2
12. sin (аж) sin м ^ ж JlД6sInж) Jj/Fsln ж) с!ж :
о
F/2)"+"sinGra)
+ v + 1
¦1, 1, |; -&2 '
. 3-а 3+а
2 7 2
13. е ах sin м ^ ж JM F sin ж) Ji/F sin ж) с!ж =
о
14. е аш sin м ^ ж JM F sin ж) Jv (Ь sin ж) с!ж =
о
¦ 1 1 1# _^
' 2' '
15. ж1п-
о
J%(bx)dx = ^j-[2abJ0Bab) - JtBab)]
2a6)] [a > 0].
16. \хй\п-
о
g
gFa;) dx = ^-[2ab(a2b2 - 2)J0Bab) - (a2b2 - 4) JiBa6)] ¦
DaV - 3) [JiBa6)H0Ba6) - J0Ba6)HiBa6)] [a > 0].
17. (а2 - :
о
х D
a ,—¦—2
-Vw + с2
A
/J
[a > 0; Re i/ > -1] .
i
Г	2	1 Г 2	2	1	1
18. ж In ж Jo (аж) с/ж =	Jq (a) + J\ (a)	Jo (a) Ji (a) •
J	A L	Q,	J

170
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.8.1
19. I x\nxJf{ax)dx = —[1-(а2 + 1) Jo (а) + aJ0(a) Ji(a) - a2 J({a)].
Ad,
20.
Ji(ax) dx = --!- [За ~~ 2аDа2 + 1)J0Ba) + Da2 - :
ba
2а) Н0Bа) - J0Ba) HiBo)].
4.8. Функция Бесселя Yu(z)
4.8.1. Интегралы, содержащие Yu(z) и алгебраические функ-
функции.
4.8.2. Интегралы, содержащие Yu(z) и специальные функции.
оо
1 ' Л аЛ	[0<а<Ц.
1. xJi
о
In I 1 — —
4.9. Модифицированная функция Бесселя Iu(z)
4.9.1. Интегралы, содержащие Iv(z) и алгебраические функции.
1. \ xs (a — ж)*
о
(
s+t+f s+t+v+1
z. ж {а — х) 1и\
о
3.
[a > 0; Rei/ > -1].
[a > 0].
4. ж^1/2(а^
о
dx = nil (^
[a > 0].

4.9.2]
4-9. Модифицированная функция Бесселя Iu(z)
171
5. xs(a - x)e+1/2Iu(b^/x(a-x)) dx = 2e-3l'/2-1vWe+(l'+3)/V
6.
7.
8.
[a > 0; Re i/ > -3].
x(a-x)) dx = 2^
- x)) dx =
[a > 0; Re i/ > -2].
[a > 0; Re и > -3/2].
9. \x1/2h(b^fx{a^x))dx = -i- к/2 (аб2 + 2) sh (bJ-J -2^/abch (bJ-
о
10.
11.
23/2
nrshl4/i
[a > 0].
[a > 0].
12. I x~1/4(a - xI/4h (b tfx(a ~ x)) dx = ^ly^bch (bJ^ \ - л/2 sh
13.
)-1/4
h (b t/x(a - x)) dx = ^Lj [ch
[a >0].
[a > 0].
4.9.2. Интегралы, содержащие Iv(z) и показательную функцию.
v р
; Г(|/ + 1)
[a, Re(s + i/), Re (* + i/) > 0].

172
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.9.2
2.
3.
^— еЬх{а^х)IQ{bx{a - ж)) dx = х[^- erfi (а\ -
а — х	V 2о	\ V 2
ж(а - ж)) с!ж = J^Bea2'/2 - а26 -2)
[а > 0].
[а > 0].
4. I ж е l ^/^(^^^(a^ x))dx = -d — е
а26/4
а?Ь
4
[a, Rei/ > 0].
5. f х-1 (а - хГгеЬх^хЬ4Ьх(а - ж)) dx = 1лЩеаЧ** \lv.1/2 (^) - 1„+1/2 (^
I/ V 2
6.
7.
8. \x2ebx{a~x)Io(bx(a~x))dx =
о
aJ-
А
	J— erfi [ad - - —е ;
о	V Z0	\ V Z / 50
9.
10.
6а;(а - ж)) ^ж = ^С26^672 ~ «2|? ~ 2)
a ^ x)) dx = ^ \еаЬ ~~ (^ - аб)
о
а
11. [ ж-1/2еь^Я!(а-Я!) /0F^@ - ж)) с!ж = Л^ erfi (л/^Ь)
[а, Re и > 0].
[а >0].
[а >0].
[а > 0].
[а > 0].
erfi (va6) [a > 0].
[а > 0].
12.
13.
-1/2 буЯМ
[2еаЬ - 2 - V^fe erfi
/х{а х) j^ ^-у/ж(а — ж)) dx =
[а > 0].
[а >0].

4.9.3]
J^.9. Модифицированная функция Бесселя Iy(z)
173
4.9.3. Интегралы, содержащие Iv(z) и тригонометрические
функции.
тг/2
Г
1. cosM х cos (ax)Iи(Ъ cos x) dx =
о
1 б2
1; Т
[Re (// + !/) > -1].
2. smM ж < ; ; > 7^F sin ж) dx =
J	I cos (ax)j {	)
3. sin х{ , \ >Iu(bsmx)dx =
J	^сов(аж) '
о
2 л.^ штга / sin (ттга/2) \ F/2I/
^ cos (тжа/
/2I
/2)/
1 -, ь
о' ; Т
2'iT2
4.
_ 2 ттга f sin (ттга/2) ] (Ь/2)
_
а	2
i' 5' !' 1; Ь
х i _ « i _ ° i + ° i + °
4 4 4 4 >
5. j e s.n
^ + 1'	2 ' + 2
6.
7. е аш sin ^ a?7i/Fsin ж) с?ж
J
о
I х- Ъ1
2' ' 4
ia	ъа
[Re а > 0] .

174	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.9.3
, ~ax + bsin2 х • -2v г /l • 2 ч ,	(О'/ I)	I	2 2	1
о. е	sin xlviosm х)ах=-Г/—, „ч з^з	•	•
о	\- ¦ -> - 2 7 " " 2
[Re a
. . „ Г sin (аж) 1 . . х . . . 2 ^тг]
9. sin ж< ; > cos F sin ж)/оF sin ж) ах = —7—z
сояСаж) J	г [Y_	°L j_ i
2
2 /
. sin(a7r/2)\ / I' I' "^-'1+ 2;
XSos(a7r/2)/4^41 1 I , , il^a	,
Г	{ ' ( \Л
10. sinM ж <	{ > sh Fsina;)/vFsina;) dx =
J	[ cos (аж) J
о
+ i/ + 2)
о
f sin(a7r/2) 1
\cos(a7r/2) J
{sin (аж) 1
cos (аж) J
4^5 I О	О
¦2' ' 2'	2 '	2 /
[Re(n + u)>-S].
11. sijx ж <	> ch F sin x) 1и(Ь sin x) ax =
2"irbT([x + v + 1)	/sin(o7r/2)
X
X 4-^5 I О	q ,, _1_ ,, _ л J_ Q ». _L i/ _L л J
\ 2	2	2
7Г/2
г
12. cosM ж cos (аж) sh F cos ж)/^ F cos ж) с!ж =
о
2 /4 2
,2
(
3
ц + i/ + 3t ,2
3	% „Л
2'	'	2'	2

4.9.4]
4-9. Модифицированная функция Бесселя Iu(z)
175
тг/2
Г
13. cosM ж cos (ах) ch (b cos ж)Iu(b cos ж) dx =
о
+1/+
x 4Fn
14. chM ж cos (bx) 1„(с sechx) dx =
С l 'VC Ttb)
1)Г(*/-
i/ — ft — ib и — fj, + ib с
2	7	2
v - ii fj,- t
4.9.4. Интегралы, содержащие /z/(^) и логарифмическую функ-
функцию.
а +
-Iu(bx) dx =
s + i/ 5 + v a2b2
2. I In
J
ж = i [chl (afe) - In (ab) ~~ C]
6
[a > 0].
, a + ^a2 - ж2 . . cos (a6) -
3. I ж In	Io(bx) dx = 	^-^
Ж	0^
4. xs In
о
a + \Ja? - x2
¦Io(bx) dx = tt[(fl
-4]	[a>0].
5. ж In
0
1 + y/1 - X2
/о(аж) dx = — sh2 —.
ft	^
6. ж5 е жIn -
о
i/+ -, s + i/, s + i/; 2a6 \
2	x	I [a, Re (s + i/) > 0].

176	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.9.5
4.9.5. Интегралы, содержащие ^(z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
1
8 — 1
1. xs arccos ж Iu (ах) dx =
о
/ s + v
Л ' 4
1
2.	arccos ж/о (аж) dx = — shi (а),
о
i
3.	ж arccos х /о (аж) dx = —li \~) Н	Л (—) ^\
о
1
Г	1
4.	ж	arccos ж/о (аж) а*ж = — [ach a — 2sha + shi (a)] .
J	&
о
1
^ Г 1	r/\i	1 • / \ l^cha
5.	— arccos ж/i (аж) аж = shi (а) -\	.
J ж	а
о
1
6.	arccos ж /i (аж) da; = — /q ( — ) — 1 •
J	2а L V2 / J
о
l
г	1
7.	ж arccos ж /i (аж) dx = — [sh а — shi (а)] .
J	a
о
4.9.6. Интегралы, содержащие Iv(z) и специальные функции.
оо
1. х3~гех EI (-2ж)/^(ж) о'ж =
о
2-V/2
sec(i/7r)r| I	2i/ 3F2( i/ 1 2i/
[Re (e - v) > 0] .
2. еЬж erf (^26(а-ж)) /0(Ьж) da; =
0
\V2r
[Re a > 0] .
3. e1 erf (^26ж ) I0(b(a - ж)) dx = J— eab	— erfi (\/2ab) .
J	у О7Т	At)
0

4.9.7]
4-9. Модифицированная функция Бесселя Iu(z)
177
4. e^bx erfi (y/2bx) I0(b(a - x)) dx = ^— erf (V2a7b) - \j -? e^a\
5.
^Г(/1 + и + 2)
[а > 0] .
6. е ах sin и х Ju (bVsin x) 1^ F Vsln ж ) с/ж =
о
= {1е )	2
2 ' 2 ' A'
!?,i + !?
2'2
7. е аж sin v x Ju (p Vsln x) It, F Vsln ж ) da? =
о
2' ' 64
, + 1
2 ' 2 '
-,! + -
2 ' 2
[Re a > 0] .
Т717Г
f f sin (аж) 1 . _u ( i . ч / / . ч ,
8. <	> sin x Jts{bvsin ж J ltj[bvsin ж J аж =
о
t j" sin (mira/2) ] (&/2J^ ^J	2' 1; ~64
\ cos (тжа/2) j F2(i/ + l)a I v + 1 ^11 i/ _i_ i 1 — ^ i + ^l
\ 2 ' 2 '	'	2'	2 /
9.
4 ' 4 ' 64
2 ?+21,
2 ' 2	' 2 ' 2
'
1
[Re (s + 2i/) > 0] .
4.9.7. Интегралы, содержащие произведения Iu(z).
x^ia — x) Iu.{bx)Iu[b{a — ж)) dx = ap 7 \ — В
1	l/ 2тг
1	1
) I i 2(a
[а > 0; Re/x, Re i/ > -1/2].
2. I /о(Ь\/ж(а-ж)) с/ж = alo(ab) + —[/0(a6)Li(a6) - h(ab)L0(ab)}	[a > 0].

178
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.9.7
2	2
3. | xlS(by/x(a-x)) dx = у/0(а6) + ^|-[7o(ab)Li(ab) - h(ab)L0(ab)]	[а > 0].
4. I I*(by/x(a-x)) dx = \h[ab) - alo(ab) - — [70(a6)Li(a6) - /i(ab)L0(afe)] [a > 0].
5.
= 2a1/2I0(b\f2a ) + тга
1/2
6.
7. ж/4(а -
о
8.	Ж-3/4(а-;
О
а
Г
9.	ж~1(а- ж)
о
23/2
—
a )L0(b\/2a )] [a > 0].
[a > 0].
- ж)) /i(b^/a(a - х)) dx =
23//2
(а - ж)) da; = —^
10. xv{a - x)IJe2bxIt/(bx)It/(b(a - х)) dx =
о
/l" + 1 i 21/ аб	Г(|/ -
[а > 0].
[а>0].
[а > 0].
[а > 0; Ret/ > -1/2].
а
11. [ е2Ъх h{bx)h{b{a - ж)) dx = aeab\l0Bab) + -70Bab)LiBab) - -7iBab)L0Ba6)l .
12. [ ж In xlo(ax)dx = -[I*(a) - I%(a) + ^70(а) 7i(a)].
о
13. | ж1пж/!2(аж)^ж = —-[1 + (a2 - lOo(a) - alo(a) h(a) - a2/2(a)
Aa

4.10.11
4-. 10. Функции Струве Hu(z), Ijv{
179
14. ж In
о
а +
lo(bx) dx = ~-\2abI0Bab) - hBab)] ¦
2b
+ -—[/oBaft)LiBaft) - /iBab)L0Ba6)] [a > 0].
А
15.
-ll(bx) dx = ^j-[2ab(a2b2 + 2)/0Ba6) - (aV + 4)/iBa6)] ¦
4а262 + 3) [/0Ba6)LiBa6) - /iBab)L0Ba6)] [a > 0].
16.
1 a264
;
2 16
[a > 0].
17. xK
о
1	1 a2fe4
2'F+2; 16
2 ' 2
[a >0].
18. ж
0
ж) uJu{by/x)J-u(by/x)Iu{by/a — x )I-u(by/a — x) dx =
1	1 a264
^ . 1 ,1
J 2 ' ^
[a > 0].
4.10. Функции Струве H^(z), Jju(z)
4.10.1. Интегралы, содержащие
функции.
и алгебраические
'(a Ж)* Н" ^ (
X3F4
3 , 3
2	2 '+ 16
¦ + 2
[а > 0; Re(s + i/), Re (t + 1/) > -2].

180
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.10.1
л. X	\^U — Xj
О
(a — х)) dx =
ab
3. \ Lo F^ж(а - ж)) da; = | [ch (у) - l]
[a > 0] .
4.
2
[а > О;
5.
93/2 Г	/ /—
x{a - x)) dx = ±—U-Cos\bJ-
[a > 0] .
6.
/	\\ j	4 с- 1и 1а
(a^x))dx = ^^bi ( bxj-
[a > 0] .
7.
) da: =
1 -co
8.
da; = -^ sin UJ| J - 2
23/2
[a > 0] .
9.
dx =
10.
^— \cos (bJ-
[a > 0] .
11.
shl
[a > 0] .

4.10.3]
4-. 10. Функции Струве Hu(z), Ijv(
181
12. \х-1/4(а-,
О
dx =
13. х-3/4(а -
О
и (Ь $/х{а - х)) dx = -JL sh UJ| j - 23/2
[а > 0] .
14.
[а > 0] .
4.10.2. Интегралы, содержащие Hl/(z)J Ll/(z) и гиперболические
функции.
!• ^=:sh(^^
4.10.3. Интегралы, содержащие Hl/(z),
ские функции.
г/2
cos Bnx) sln
in ж) с!ж =
1 1# а2б4
2' ' 256
3 5 3 2и + 5 2i/ +
,4' 4' 2' ~~4~' "Т"
[а >0; Rei/ > -5/2].
и тригонометриче-
1	, , ал
¦ -, п + 1;
2	4
2. cos (пж) cos "
о
1 ж Ht/(a cos ж) dx =
Г(Т)Г(Т + ^)
п + 1 те	а
z	l ¦'"¦-, п-
3.
i/-a + 3\ r//x + i/ + a + 3\ р/|/+ 3\
sin (атг/2)
cos (атг/2))
1 F 4- 1
2 ' 4
/i + i/ + a + 3

182
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.10.4
в1п(аж) I т /i • \ i	2 м 2l/ 1Vtt6i/'
) >Ly (о sin ж) «ж = —-——	-j—q-г	—
соз(аж)]	г (у+у-а+ б\ /fi_
2	J V
L [8т^ж(81п(аЖН
J	\cos (аж) /
о
sin (атг/2) 1
-^7^ x
3\
27
М + ^ ,
cos(a7r/2))J	I «i
2 " "' 2 '4
/i + i/ + g + 3 , 3
2	'2,
[Re (/x 4
5. sin ^ 1жз1п(аж) < _ ^Д	: } dx =
J	I L4&sms) J
о
s\ — v
]
6. I sin u жсоз(аж)
Hi, F sin ж)
Lj/Fsln ж)
= sin (гатга)
7. е~ахШ1
—-аж • —f —
i f H^Fsm ж) 1
ж < _ .	. > аж :
[ Li/F sin ж) j
= (l-e-"
I+
2' ' '4
3	а i , а
,2'l/ + 1'1^2'1+2,
i, I, l; T^
2' ' ' ^ 4
3
.2'
,1 + ^
2 '	2
8. I e sin	х
Li, F sin ж)
2' ' ' ^ 4
¦3/2)а *'*l 3
,2'
[Re а > 0] .
4.10.4. Интегралы, содержащие HI/(z), Iju(z) и логарифмическую
функцию.
а*ж =
s + i/ + 1
^r x
23 ;+, 2 j+^ +
+ 1
a -J_ л/л 2 	 <y>2	1
2i i "^ V1*	TT/f\I	Г I	*/I
. I x In	Но(ож) аж = 7^[a" "~ sm (a^
[a > 0] .

4.11.11
4.11. Функции Кельвина berv(z), heiu(z), kerl/(z), keiu(z)
183
3. | ж In	Ъо(Ьх) dx = TTrfsh (ab) — ab]
x	bA
[a > 0] .
4.10.5. Интегралы, содержащие Hu(z), LI/(z) и обратные тригоно-
тригонометрические функции.
Н„(ажI
1,
s -\- v
2 ' 2
¦ i; T^
[Re в > 0] .
2. I arccos жНо (аж) с!ж = — [С — с! (а) + In а]
3. | — arccos scHi (ax) dx = С — 1 — ci (а) + In а -\— sin а
ж	а
4. I arccos жЬо (аж) с/ж = — [chi (а) — С — In а] [| arg a < ж] .
5. | — arccos xlii (ax) dx = 1 — С + chi (a) — In a	sh а [| arg а < тг] .
arg а < тг .
[|arga < тг] .
6.
(I \ и-l-i/Л
aby* i
[а > 0; Re/i, Re i/ > -3/2].
4.11. Функции Кельвина beiv(z), beiI/(z), ker1/(z), keil/(z)
4.11.1. Интегралы, содержащие heru(z), heiu(z), kerl/(z), keii/(z) и ал-
алгебраические функции.
2.
" bei
/2
^
[a > 0] .
[a > 0] .

184
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.12.1
3.
4.
dx=\
2 —
кег„/2 ( ^- ) кеи,/2 ( ^-)
\ 2 /	\ 1 J
[а > 0] .
[а > 0] .
4.12. Функции Эйри Ai (z) и Bi (z)
4.12.1. Интегралы, содержащие произведения Ai (z) и BI(z)
/1^2S\
) Г
V 6 /
х Ai
0
2.
3.
4. J„- Ai
2^BS+5)/e
_
I 3 i 1 3
12
(e-5)/e
Л-з\
V 6 /
[О < Res < 1/2; [47], B.16)].
[Res > 0; [47], B.7)] .
[Re s > 0] .
Ai
[Res>0; [47], D.5)].
5. | Xs
0
(-Ж)] dx =
JL
[0 < Res < 1/2; [47], B.28)].
8.
6; 1/4
[[48], B-27)]

4.13.11
4.13. Многочлены Леэтандра Pn{z)
185
10. Ai{-x)W\2{-x)dx =
Г2A/3) Г B/3) /1/6,1/3
2 1
бтг2	25/3тг2
1
6] 1/4
[[48], C.7)].
11. Af(x)El(x)dx =
24тг
[[49], C.7)].
12.
12тг
[[49], B.18)].
13. | AI (-ж) В13(-ж) dx = —
JLZTr
[[49], D.7)].
14.
[41].
15.
[41].
16.
1024^/9ir4 V3/ 1287Г3 V3
35/6
[41].
4.13. Многочлены Лежандра Pn(z)
4.13.1. Интегралы, содержащие Pn[z) и алгебраические функ-
функции.
[Re а > 0] .
2. J(a^;
о
[Re a > 0] .
3.
,/2Pn(x)dx = :Г^
-1
1
n+1
I argDa — 1) < тг]
5.
X1) -In —It 2 . -,\-n-l/2
«	(а +1)
-In —It 2 . -,\
«	(а +1)
[Rea > 0].

186
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.13.1
6.
2n+i{x)dx= '	а	(а +1)
[Rea > 0].
7.
-!(!-,
- a^2)—3/2 В
(п
- 2а262) [а > 0] .
. (a — ж ) A — о ж
о
п(ож) ах =
(8-l/2,0)
[a > 0] .
9. j(l-
о
2п(Ьх) dx = /—A - aV)—1/2P2n+1(ab).
in + 1
10.
1 - x[
1 1
A — ж)
[1 _ P /
3/2 i1 .Tnl
3/2
12. j Р„(
0
13. (a - хУ~г(
о
2Bn)!
as(l + абГ^С^'^ГТ^) [а > 0] .
Г
14. (a - Ху1/2A
J
0
dx =	-A + abyn^1
In + 1
[a > 0] .
15. |ж/2(а-
= (-1)птг
1 -
[a > 0]

4.13.11
4.13. Многочлены Леэтандра Pn{z)
187
16. xs^(a - x)s^1/2Pn(l + Ьу/х(а - x)) dx =
ab *
17.
18.
19.
3/4Pn A + fe^Ca - ж)) d» = ^2 тг | Pn ( ^ 1 + ^
ab
~ bx(a ~ x)) dx =
20.
21.
dx =
n( \Jl-by/x(a-x) )dx =
22.
5 Y 1 - Ьу/х{а - x)
1 — Ьл/х(а — x) J dx =
23.
1 — b^x(a — x)
C/2)n
24.
25.
[a > 0; Rei/ > 0].
[a > 0] .
[a > 0] .
[a > 0] .
ab-2
[a > 0] .
[a > 0] .
[Re a > 0] .

188	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.13.2
4.13.2. Интегралы, содержащие Pn(z) и тригонометрические
функции.
. . м ( sin (ах)
1. I Sin X \
cos (аж)
7Г
о Г • a» fsin(aa;)l	... .	/ .п
2. snr ж < , ; > P2n+i(bsmx) dx = ( —1)
J	[соз(аж)]
/
sin (атг/2)
/^_а + 3\ /д + а + зч
V 2'	2
3.
cos (аж)
о
П 1 - 71 /Lfc - 71 + 1 /Lt - 71	t-2
4. 1 sinxsin(aa;)P2f\/l + fesin2a!) д?ж = тп^жа) 3f?2 I	2' 2
-n n+i -• -b
'	2' 2'
^ ^ 1^а2 ^Ч З^а 3 + а
О	\	9 ' 9
ттт
5. \ < ) \> P2n{bsmx)dx =
J [cos (аж) '
о
2 rmra f sin (ттга/2) ) (l/2)n /-n, n + i, 1; 62
= (_1) _sm__||__3F2
2' 2
ТП7Г
¦ , sin (аж) 1 _ , ч _ 2 ттга fsIn(m7ra/2)
6. \{ \ ; ^Pn(cosx)rfx = -sin	 J l 7 ;
I	1
О
ТП7Г
соз(аж)]	а	2 [ cos (штга/2) J	I l _ а, 1 + а
_ Г	1 f sin (аж) . . ч
7.	{ ) \}P2n+i(bsmx)dx =
J	sin ж [ cos (аж) '
о
, .п . иьпи j sin (ттта/2) 1 26 /3^
2' ~^'	2"
_ f 1 f sin (аж)
8. 	< l ;
cos ж [ cos (аж)
о
2 ш,тга Г sin (тптга/2) 1 _ / п'п+9'9'
2 \ cos (ттга/2) /

4.13.2]	4-13. Многочлены Лежандра Pn(z)	189
9. 7
J
cos (ax)
2 . ттта f sin (тжа/2) 1
\	/
2 \ cos (тшга/2) /
3
i ! h
ю. ,,
k cos (аж)
о
(.11.
— п, п + -, -;
1 — — 1 + '
2'
ГП7Т
11 f	1	f sin (аж)
11.	< ) \
о
)dx =
2 . ?п7га f sin (гатга/2)
a	2 \ cos (тжа/2)
(n 1 — n 1
(n 1 — n 1 ,\
~2' ^T1 2'
ттг
1О f	f sin(asc) 1 . п о / Ъ \
13.	< ) ; sm жР„(-	Ыж =
J	[ cos (аж) J	\sinx J
о
птга J sin (тжа/2) 1 (l/2)n , ,n
2 \ cos (гмтга/2) j n!a	^^^i ^^^ 1 —— 1+ —
штга f sin(m7ra/2) 1 (l/2)n	I 2' 2 ' 2'
ТП7Г
Г Г sin (аж) 1 п ( 1 л
14. <	cos жРте
J [ cos (аж) J	\со8ж/
п 1 — те 1
2 . тятга J sin (тжа/2) 1	/ 2 ' 2 '2
a	2 [ cos (тжа/2) J	1 i__ 1+ —
\	2'	2 v
¦ттг
Г Г sin (аж) 1 . 2n о / x 2 \ ,
15. < , ; > sin ^Pn(ctg ж) а^ж =
J [ cos (аж) j	v	;
0
^n+i . тжа ( sin (тжа/2) 1 (l/2)n _, / ^n^ ^n' 9
= 2 sm	< ;	> ^^7^ 4^3	л
2 [ cos (гмтга/2) J n\a	\ —2n 1 ——
2n 1 - 3l
'	2'

190
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.13.2
16.
— п, п + -, 1; Ь2
2
1+
17.
3 1	,2
—71, 77.+ —, —, I; О
га ' га
2'	2 ' + 2
, 3 1 . -1
2	2
19.
f	л 1 Ь >
-п, n + 1, -; --
20.
'	11,
—n, n H—, -; ^c
2 ' 2
21.
- b sin2 ж
— n, n -\—, -;
2 2
22.
bsin2 x
23. е^аж81ппЖРп ^™
vsm x
п 1 — п 1 , >
' 2'
°' 2 ' 2'
i^,i,i;fc
2
_2 ^
га
^2 П?	2 '	2 '
24.
n 1 — n lt и
~2"' 2 ' 2'
i-T'1 + T'
25.
26.
—^' ti + —, 1; 6
2
2 ' 2
[Rea>0]
27.
3
-)!;

4.13.3]	4-13. Многочлены Лежандра Pn(z)	191
oo	/	. 3 1	,2\
f е"аж	C/2)пЬ I ^П" П 9' 9' ' 1
28.	^	P2n+i(fcsina0 dx = (~1)п W^nO 4F3 „	2 2 .	[Rea>0].
J sin ж	nla	I ? i _ ^ i i VL I
о	\2J2'2/
7e—	1 (-»>»+lhb\
29. 	P2n+i{co^x)dx= -3F2	. 2 2.	[Rea>0].
J cos ж	a I 1 га i I га I
'-n, n + l5 -; --
30. |e — Р„A + Ьвт^)^ = -3^	ia * ia ]	[Rea>0].
31. e ажР2п( Vl + fesln2^! J dx = -3F2	. 2 2.	[Rea>0].
0	^	2	2 /
00	/,31.4
32.	^ __р2п+Л Vl + &sin2a;j dx = -3F2	ia	ia	[Rea>0].
oV	sin ж	у i ^_5i+^_y
00	/ П 1 - П 1	, \
33. |e-(l + 6Binax)-/aPn(^=4==)d« = i,Fa' 2 '2;
0	•	\ - 2 7 ~ ' 2 7
[Re a > 0] .
, _2 ^
6
34 1 c^ax ",inn тР I u ) dт - vx/ ";n f2fe)n,, F. 2 2 2	[Reo>0l
J	\8шж/	nla	\L—ni —— i-\-— I
2	2
1 - те 1 >
35. I е"ажсо8пжРп(	)rf^=^3F2 2'-2 ' 2- I	[Rea>0].
1	KcosxJ	a \	*a	га I	L	J
00	( 1 \	( ~n —n - 1* 2 \
36. e~ax sin2w xPn(ctg2 ж) dx = 2 / ^та 4_p3 I	#^	I	[Rea>0].
4.13.3. Интегралы, содержащие Рп(^) и логарифмическую
функцию.
Условие: a > 0.
[Pn+1(a) - Pn.1(a)] - 4 Pn(»)
n{n + Ij
[n > 1; a > 0].

192
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.13.4
, л/а + л/а- х f	,
3. | In —	j=	PnO- + bx) dx =
п(п + 1N
4. In ¦
о
5. In ¦
о
) dx =
1	Г (n-
^p;
n+l
+ у/а- х
^ Ьх
П-Ьх
ах =
4.13.4. Интегралы, содержащие Рп(^) и Kv(z).
l
1.
2-
P2n+1(x) dx = (-1Г
[а > 0].
3.
dx = {^l)ni
[Rea > 0].
[Re а > 0] .
[a > 0]
4.
4.13.5. Интегралы, содержащие произведения Pn{z
1.
n - rf« =
a2n+1
[a > 0].
3.
1
1
Г 1
4. ^
J ж
^^+1
2т

a
[a > 0] .

4.13.5]	J^.IS. Многочлены Лежандра Pn(z)	193
f l	(X\ - г
' ] x2 n n\a/	a
a
7Г/2
cos17 x cos (ax) [Pn (Vl + b cos2 x )] dsc =
о
/	1 i/ +1 i/	\
9. [ l;\
J [ (ax)
0
0
- f . и \ sin (ax) 1 fo / r	, . 2 Л]2 ,	2^ужТ(и + 1)
J	[cos(a^)JL V	Л	т(	+llrf + +1)
0	12/12/
sin (ax) \	2	2. штга / sin (штга/2) 1	I "^ n + ^ 3 ' Г
cos(aa?)J	а	2 {cos (ттга/2) J	1 1 1 _ _ 1 1 _
\ '	2'	2
sin (тжа/2) 1	/^n' n + !> 3 ' 2'
V	2'	2
Ю- je — [Pn(cos,)fdx = i(l-e —) 4F3 (	« 2
, -j	1	1 . -j
111+
/ , 1 1 г
I —n, n + 1, -, -;
"») 4F3	,„22
2 '
-n, n + 1, -, -; l
2 2
2 2
\ 1, 1—, 1 + —
0	\ '	2	2
?
12. e^aa3[Pn(cos^]2^=^4F3	2 2	[Rea>0].
J	a \ 1 11 + /
4-1	• Л
13. j e-ea>[Pn(Vl + bsin2x)| dx=i4F3| n>" J 2> 2',-„. I	[Rea>0]
7 Ю.А. Брычков

194
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.14.1
14. \[Pm(x)}2[Pn(x)]2 dx=	г
2т + 2п + 1
ini ( - )
A11 1 3 - 2m - 2n . \
— 771, —771, —72, —72, —, —,	— fll — 72,	— 772 — 72, 	1 1 \
''''222 2 4	]
1,	772,	772,	72,	72, ~772 — 72, ^712 — 72,	/
' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 4	/
4.14. Многочлены Чебын1ева Tn(z)
4.14.1. Интегралы, содержащие Tn(z) и алгебраические функ-
функции.
Г7Г e"a"
[Rea > 0].
[Rea > 0].
3.j(a'-
О
4.
5. ж"
о
6.
c^2n — l/n \l S —1/2/1 i	L\^«
= 2 BпIа ' A + аЬ)
9/I1/2
2
- хУ1/2A
7. jaT^a-;
о
dx = тгA + a6)"n
dx = (-l)n| Ipjl -
8. f ж-1/4(а - ж)-3/4ТпA + fcV^a - ж)) da; = ^2 тг
+ у
[а > 0].
/\ + ab) [а>0].
1 + аб) [а > 0].
[a > 0].
[n > 1; a > 0].
[а > 0].
9.
+ 6ж(а — ж)
[а > 0].

4.14.2]
4-14- Многочлены Чебышева Tn(z
195
10. \xa(a- x)s^1/2T2n(bt/x(a - x)) dx =
о
[a > 0; Res > -1/2] .
12s+^
2'	2
11.
= (-!)"-
¦3/2)
[a > 0; Re s > -3/4].
12.
dx =
2-2s 1/2 2
о у 1 + by/x(a — x)
2
Г B,+ 3/2)
-n, n + 1, 2e + l; —- \
1 2s+3	[а>0;Нев>-1/2].
2'	2	'
14.
-ab)	[a>0].
[а > 0].
4.14.2. Интегралы, содержащие Tn(z) и тригонометрические
функции.
-1	• U
1. sirr ж
о
( sin (ax) \
{ cos (аж) J
(b sin ж)
/	/Z + 1 /i	2 >
	 sin(a7r/2)l	f-n'n'^-' 2+1; 6
1^ + 1\ \ cos (атг/2) J43|l Д - a . . /i + a
2' 2
1
[Re/i > -1] .

196	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.14.2
Г . „ Г вт(аж) \	,	,
2. si/ж	) \ }T2n+i(bsmx)dx =
J	[ cos (аж) J
, г 2^1Bп + 1OгоГ(М + 2) [8т(атг/2))	/ ""> n + A> г + lj ^5 & 1
1 j г/М^« + 3\г/М + Д + 3\ 1 cos(a7r/2) [ 4 3| 3 /x - a + 3 м + Д + 3 I
V 2 / V 2 /	^ 2'	2 '	2	/
[Re/x > -2].
• ( \ I "~"^5 ^? l? —; ~™o \
2nV	/	1-а243|13^а3 + аГ
о	\ 2' 2 ' 2
sin (тга) ^ I ~n> n + X> ij о
1 1 3 ,\
~n> n + X> ij о' ~
2' 2 ' 2
7Г
к Г . и Г sin (ах) 1 / 6 \
5. smM ж < , ; > Тп[	 dx =
J	[ cos (аж) J Vsin ж/
/ П	1 — Tl /i — П + 1 /X — П	l —2\
/	/Q\ ^	/	ч		 ч 	 ч 	 ~Ь li 0	\
i oill l О.7Г / Z J I _. I 97 9	9	9	I гт-%
x { , ,n MF3 2 ^	1	Re/x > -1
1 cos атг/2 f	t	^/i^a^w^/i + a^n.	L
f [ sin (аж) | ,	v	/ хте2 . штга Г sin (штга/2) 1	/ -n, n, 1; 6
6. M ) y ^T2n(bsinic)daj = (-1) -sin-—	v	7 ; I 3F2	a 1 , a
J [cos(aa?)J	a	2 [ cos (ттга/2) J	I 1	Ц—
ГП7Т
_ .	1 f sin (аж) , /f . ч
7.	< v \}T2n+i(b8mx)dx =
J	sin ж [ cos (аж) '
0
2 [ cos (ттга/2) J a	\_i_^i + ^
2' 2' 2
ТП7Г
_ i .' sin (аж) 1	2 . ттга Г sin (ттга/2) 1	/ -n, n, 1; 1
cos (аж) J	a	2 [ cos (тжа/2) J	I 1	? 1-|—
9. I 	 \	} \ > l2n + l
cos ж I cos I аж j I
0
2 . тжа ( sin (w,7ra/2)
= ~sin	} v 7 7
а	2 \ cos (пгтга/2)
1 •	\
f sin (аж) 1 _ / , . 2 \ i 2 . игтга f sin (ттга/2) 1 _ I ^n' n? ' ^ 9 1
} \\\Tn l + 6sln2x )dx = ^sln^— i ) * [ } 3F2I	a	^ •
[соз(аж)] v	7	а	2 [ cos (ттга/2) j	I ^^^ 1 + - I
\ 2'	2 /
10.
[()]	[ (/) j	^	1 +
0	\ 2'	2

4.14.2]	4-Ц- Многочлены Чебышева Tn(z)	197
11.
О
ГПТТ
12.
о
cos (ax)
J [ cos
0
2 . тжа f sin (гатга/2) 1 _, / ^n, n, 1; —b
cos (ттга/2) J	I 1	,Ц—
2 . тжа Г sin (штга/2) 1 л / -п, п + 1, 1; -6
— sin - J	l - ^ '
{sin (тжа/2) 1
cos (тжа/2) J
2	2
ГП7Г
13.
о
2 . ттгтга Г sin (тптга/2) 1 _ / 9 ? 9
= aSm^-{coS(m7ra/2)/3F2 i_«
V	2'
ТТП71
14.
ТП7Г
Г I Gin IrtTl I	/	1	\
15.
cos (аж
о
n t ¦— n
I si
[се
ГП7Г
Jf sin (аж) 1
ч , x > cos n xT2n(itgx) dx =
{ cos (аж) J
2 . ттга f sin (тжа/2) 1 _ / 9» 9 ? lJ 1
cos(m7ra/2)J 3 21 ^ « . . «
3F2
2 ттга f sin (пига/2) \
2' 2
ГП7Г
17.
cos (аж)
о
2n . тжа Г sin (ттга/2)
= — sm	}
f sin (штга/2) 1 „ [ ~n' 2 ~ П> 2' 1; 2 I
[cos(m7ra/2) J 4 3 l г _ 2n 1 _ 1 1 + « I
\	2	2 /
a	2 [ cos (тжа/2)
ТП7Г
18. [ е-"Т2„(^т,)&= (г1ГA_е-«—) sF
Jo	a

198	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.14.2
¦ттг	/	1	2 \
ел
2п+1()	(Г(	)
о
ттг
— ах г
20. е T2n(cosx)dx=-(l-e	) 3F2	ia	ia
v 2 '	2
т
i- J
о	V	2 '
¦ттг
—п, п, 1;
22. ' ^'^аХгТ1 (Л 	1	 k^nz ™\ А™ -^1/1 	 гу-тпжа\ _ J77_ I	2
О
ттг
23. \ e~axri
о
¦ттг
р~ах
24. '
- л/1+ 6 sin2 ж	^	/	av	^ 1-^,1 + ^
ттг
е A + 6 sin х) T^j, I —,	I с/ж =
о
(
	,
2 2
n 1 - n	, >
, 1; ^o
1 +
26. e sin жТп —
\Б\ПХ/
(п 1 — те 1
2' 2 '2!
2 '
/ п 1 — п
27. I e^cosnxTf^^W = ^ (l ^ e^m7ra) 4F3 ^ 2
1 * 1
о
e^aa;sm2n^T(ctg2^)d^ = (le"m7TaLF3	2
1	1 -, o
—n,	n, -, 1; 2
2	2
а	\ 1 о 1 га	га
\ 1 — 2п. 1	, 1 И
о	\	2	2 у
9
^^, гг, 1; 6
[n ^ 2] .
Г fl)	I ^, гг, 1; 6 ,
29. е^ажТ2п(б81пж)с1ж = ^	^3F2	ia	ia)	[Rea > 0].
J	a V i	-.in—
о	V	2 '	2 '

4.14.2]	4-Ц- Многочлены Чебышева Tn(z)	199
ею
30.	\ e^axTn(cosx)dx = - 3F2( ^n]n" ' # )	[Rea > 0].
J a VI — га, 1 + га/
о
Г	1 / ~п, п, 1; 1 \
31.	е	a;cT2n(cosx)daj = -3F2 fa га	[Rea>0].
J а \1	, И	/
о	ч	2	2 7
32.	[ e^aa;T2n+1(fesin x) dx = (^1)те ^2П2+ lf 3F2 I ^lnia 3'+L )	[Rea>0].
J	a + i \ 	 	 /
о	ч 2 ' 2 7
7 e-a*	5 /-n, n + 1, i, 1; 62\
33. 	T2n+iFsina^)da! = (-l)nBn + l)-4F3 Q	. 2 . I	[Rea > 0].
J sm x	a ! i га i i га I
о	\2'2'2/
Г e	1 I ^, n + 1, 1; 1 \
34. 	T2n+i(cosa;)daJ = -3F2	io	io	[Rea>0].
J cos ж	a \1-—?1 + — /
?	1	/-n, n, 1; --\
35.	e^aa;Tn(l + 6sIn2a:)da! = -3F2	-	2	[Rea > 0].
J a \l-^ ,1+ —/
0	\ 2	2 ^
00	/-- 1 ~ П 1* -б\
36.	e A + 6sin ж) Tn\	= dx = -3^2	-
0	\	2 '	2
2 7	2 7
[Re a > 0].
1 / -n, n, 1; -
37. е^ажТ2п(у1 + Ь8т2ж)с1ж = -3F2[ "ia ' "' ia]	[Rea > 0].
J	^	'	Q> \ 1 — —, 1 + —
0	V	2 '	2 '
Г	е~аж / / 9 \ 1 /	-тг, n + 1, 1; -i .
38.	T2n+i f V1 + bsin^ ж j da; = — зF2 I ^а ^а | [Rea > 0].
oo	/ П 1 — П 1
39.
		a	\i_n1-— 1-^— /
о	\J-'bJ-25-L^2/
[n ^ 2; Rea > 0].
oo	/ П 1 - П	\
Г	1	II	' 	' ' \
4П	P~~ax pf\cn t>T i 	 I Arp — 	 . jro I 2 2	I	rr>p л \ ol
^tU*	I С	V/VjO ftl^ J. Th I	I CJy«X/ 		4 -^ e3 I	"	I	lit/ LI* ^ \J .
о	\ A~ У ±-h " /
00	/ _ 1	1 . л \
41.

200
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.14.3
4.14.3. Интегралы, содержащие Tn(z) и специальные функции.
L. K!(ax)T2n+1(bx) dx =
о
2. х^1/2(х - ay1/2P2n+i(y^)T2n ( J- ) dx = 2an(l - а)
ч1/2
[0 < а < 0].
3.
- a)-1/2P2n+2(V^) T2n+i J- dx = 2an+1/2(l - aI'2	[0 < a < 0].
4.15. Многочлены "Чебышева Un(z)
4.15.1. Интегралы, содержащие Un(z) и алгебраические функ-
функции.
L. J («- - =
0
dx = (_l)»|pn(l "
[а > 0].
2. j (а2 -
О
3.
п-1С/2„(|) dx = (-1)"|F2 - а2
^n C/2)n -2n-3/ 2
[a > 0; \a/b\ < 1].
[Re a > 0].
4-
^ C/2)n
-2n-3/ 2
[Rea > 0].
5.
2п(>\Лс(а - ж)) dx = (-1)птгР„A-
аЧ2
[а > 0].
4.15.2. Интегралы, содержащие Un(z) и тригонометрические
функции.
7Г
L. sin'* ж < ) \ \ U2n
J	[ cos (ax) J
(bslnx)dx = (^l)n-
fsln(a7r/2)l _ /~n' n + 1' ~~5~' i + 1; 6 1 rri
[cos(a7r/2)j	1 ? M ~ a ¦ -^ M +Q ¦ -^ J
V 2' 2	'2	/

4.15.2]	J^.15. Многочлены Чебышева Un(z)	201
Г . „ Г вт(аж) \	,	v
2. sin^ ж < , ; > {/гп+ибвтж) а^ж =
J	[ cos (аж) J
о
+ 2)	атг Г sin (атг/2) 1 Z"n'n + 2' I + Х' ^' 6Л
а + Ъ\	2 \со8(атг/2)/ 4 М 3 ц-a + Z у + а + 3 J
2 /	^ 2'	2
[Re/i > -2].
i • / /i • 2 \ /о ixSlnGra) / -^, ^г-
о. sin ж sin (аж)и2п V1 + о sin х ах = Bга + 1)—	тт з^2
I	I	/	/ ]_ _ а2	i
о
4.
sin ж sin (аж) гг / /	. , 9—Л .	,	ч sin (тга) ,_, / ™та? га + 2, 1; —6
l /-^/2+i Vl + fesin2^ )ds = 2(n + l)	3F2	3	3 +
/ /
3 + а
5. Ып^ж "шр( (/п
J	[ cos (аж
о
/ П 1 — 71 Д — 71 + 1 fJ, — П
r/2)l /
> га - 1].
-га,-—-—^ + 1,^^—- + 1 I
¦ттг
. . .' sin (ах) I гг /, . ч ,
6. < , ; > I72n(fesmx) с/ж =
J [ () '
[cos (аж)
о
(су
—га, га + 1, 1; 6
1	, 1 Л
тж
1 ТТ
172п
_ Г f sin (аж) 1 ТТ ( л
7. <	172п(со8ж)с1ж =
J [соз(аж)]
о
A	n
-га, га + 1, -, 1; 1
о
- 1-- 1 + -
2'	2 '	2 '
¦ттг
о Г	1 Г вт(аж) 1 гг ... ч ,
8.	< v ^^> U2n+i(bsmx)dx =
J	sin ж [ cos (аж) J
о
(
3
1
A	2
-n, n + 2, -, 1; b
3 1-" l+°
2'	2'	2
ттг
I	1 f sin аж . , .
9. 	I ) \\ U2n+i(cosx) dx =
J	cos ж [ cos (аж) '
0
A	>
-n, n + 2, -, 1; 1
2'	2'	2 >

202	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.15.2
10.	< ) ; > UпA + 6sin х) dx =
J	[ cos (аж) j l	J
о
/	2 1 . _Ь'
. ттга J sin (тжа/2) 1 в + 1 I nj n~r , ^, > 2
- sm 2 | cog ^m7Ta/2) J a 4 3 I 3
2'
lle Г f sin (ax) 1 ginn xUn f_b_\ dx =
J \ cos (ax) J	vsinsc/
о
(n 1-n 1
?' ~2~' 2' ;
(
_n 1 _ *a	га
2 '	2
2 ' 2
12. ^ v /}U2n(yl + bsmIx)dx =
J [ cos (ax) J V	/
о
. ттт J sin (тжа/2) ^2n + l ^f fl?ri^ ?2? ?
- 2	2	2
¦ттг
13.
о
. тжа ( sin (штга/2) 1 2(n + 1) / ^w' n + 2' 2 ' 1; ^6
2 \ cos (ттга/2) J a 4 3| 3
sin (аж)
2 \cos(m7ra/2)
] 2(n +
J a
ТП7Г
0
n 1 — n 1
{sin (тжа/2) 1
cos (?7гтга/2) J
. .....«, j sin (тжа/2) ^n + 1 ^ | 2' 2 72
:=:: z sm
, -, 1; -I
2
15. , ч
cos (аж)
о
2 \ cos (тжа/2) j a	1 5 1 _ 21 1 + 21
^ 2'	2'	2
stn(m7ra/2I 2n+1 ^ / ^n' ^9 ^ w' 9' ^ 2
4^3 I
2 \cos(m7ra/2)J а Д-2п - 1, 1 --, 1 + -
0	^ " ~ ~2~'	Y
J sin x	a	1^1 ^a 1 1 ^a
0	\ 2' 2 ' 2 y

4.15.2]	J^.15. Многочлены Чебышева Un(z)	203
2n + г (л —^ /-w, n + 1, |, 1; l
—^—A-е	) 4ft L	.	^
11+
ТП7Г	/ I O 1 1
r p — ax	I 	 — тптга	/ —fl, 77- + Z, —, 1; I
19. 	U2n+i{^x)dx = {n + l)	4F3 о	. 2 .
J cos x	a I _ 1 _ 1^ 1 _i_ 1^
0	\2' 2'2
ттг	/ i о 1 i
J	/ —П, П + Z 1;
ax(	2) ( )^^
(	)	^з	a	ia
0	a	I 2'1"i'1+i
гптт
21.	e^axU2n[Vl^bsm2xjdx = Bn + 1)	4ft 3
о	\ г'1"!'
22.	—l72n+i(Vl + fesin2x) dx =
J	yl + 6sln2x	^	^
, -, 1; -b
3 ^^
2' 2 ' + 2
rrm
23.
.-\/l + b sin2 ж .
(_П 1-71 1-	_,\
2' 2 ' 2'	; I
3 ia	ia I
2' 2 '	2 '
mix	/ —— -1- ~ П I 1. ft~2\
о/i	f -ож ¦ n	( ^ \ j	B6)П /	—ттта\	I 2 ' 2 ' 2 ' '	1
j&4. e sin ж(Уп{	I dx = 	A — e	) 4^3 I	.	I .
J	\sinxJ	a v	; 1 „ 1 w 1 1 m I
m7r	/ r> n ^ ^ 1 • 9 \
25.	е^аж8ш2пж17те(бс1ё2ж)с1ж = — (l ^ e^m7ra) 4F3	2 {2 {\.
о a \-2n-l, 1- —, 1 + y/
26.	\ e^ax U2n(b sin x)dx= ^ sF2l \a ' \a J	[Rea>0].
0	V ~ Y' + Y /
? _	2(n + lN /-n, n + 2, 1; b2\
27	p I Jo 111 Лч1*п ti r/т = I —1 1 —-	— q F-i I о • о i • 1	Rp л > 01
J	a^ + l	^_^,_^у
?	2n + l f-n,n + l, i l;l\
28	p~ f/o^fcosrWr =	ziF^	.	Шеа > 01
0	\ 9' 9 ' 9 /

204
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.15.3
29.
^пч п + 2, -, 1; б2
„	. 2 .
i* i _ 15 i j_ 15
2'	2 ' + 2
[Rea > 0].
30.
2n+i (cos ж) <1ж=
(п -4-11
-п, гг + 2, -, 1; 1
2	2
7	о	П + 1	(~П,П + 2, 1,1; -^
31. е^аж?/пA + 58т2Ж)йж= ^—4F3 3	ia 2 ia 2
о	^2	2~'	Y '
[Re a > 0].
[Re a > 0].
32.
33.
6 sin2
b sin2 x
34.
35.
~п п + 1 - 1- -6
2	9	9 ^
[Re a > 0].
П' W ' 2' '
3	ia	ia
2' 2	2
[Rea > 0].
. + 6 sin ж
n 1 — n 1	, >
—, 	•> —, 1; —0
2	2 2'
3	га	ia
2' Y' + Y >
П 1 - П 1
[Rea > 0].
[Rea > 0].
e sin xUn\bctg ж] аж =
1	1	>
—n, -—n	, —, I: Z
2	2
4.15.3. Интегралы, содержащие Un(z) и Ku(z).
°°	2
[Rea > 0].
[Rea > 0].
4.15.4. Интегралы, содержащие произведения Un(z).
^ Г	Г sin(aa?)	i rrr . 4l2
1.	I / ч	Н^п (cos ж)
J	[cos (аж)	'
о
. тжа ( sin (гмтга/2) 1 (n + I)
2 \ cos (тжа/2)
1 (n + '
} ±
l-n,n + 2, -, 1; 14
2,1,1;!

4.16.11
4-. 16. Многочлены Эрмита Hn(z)
205
2. e~ax[Un{cos ж)]2 dx =
о
-га, п + 2, -, 1; 1
3	ia	ia
4 2 '	2 '	2 '
™^5 n + 2, 1, 1; 1
3. e^ax[Un(cos x)Y dx =
о
-га, га + 2, -, 1; 1
,i,i +
2	2	2
-n, n + 2, 1, 1; 1
[Re а > 0] .
4.16. Многочлены Эрмита Hn(z)
4.16.1. Интегралы, содержащие Hn(z) и алгебраические функ-
функции.
1. х8~1(а - хУ~1Ы2п(Ьл/х(а-х)) dx =
о
_х	[а, Res, Ret > 0] ,
' 2 ' 2
2. \ха 1(a-x)t 1H2n+i{b\/x(a- x)) dx =
о
l)!2b +t
1	a B
2'	2 ' 2
[а > 0; Res, Ret > -1/2].
3.
4.
n\ 4 ) '"~ " "п"х\ 4
Bга)! тга г ^а262
ra! 2
[n ^ 1; a > 0].
[a > 0].
5.
[a >0].

206
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.16.2
6. H2n+i {Ьу/х(а — ж)) dx = (—1
1(a2b7
(n + 1)! 4 n\ 4
7.
8.
(а - ж)) dx =
(n + 1)! 8 n\ 4
^l-2./Z „2.-1/2 BП + 1)! JW	^ „ f "n' 2S'
9. ж^^а - ж)^1/2Я2п+1(б^ж(а - x)) dx =
I1 2
[a > 0].
[a > 0].
[a, Res>0].
10.
11.
[a>0].
4.16.2. Интегралы, содержащие Hn{z) и показательную функ-
функцию.
ОС
-1 1/2	2\п —3/2 -62ж2 гг /I \ i	О2п —1 2п.л /	1\ -a2b2
1. ж(ж — a ) ; е	Я2п(ож) аж = 2 а оГ ( п — - ) е
J	\	А /
а
[а > 0; | arg fe| < тг/4; п ^ 1] .
оо
BaJnr(W-)e^a2b2 [a>0; | arg6| < тг/4].
2.
3. [ жте^1е^аж2ЯпFж) dx = (п - 1)\а^п/2
[Re а > 0].
4.16.3. Интегралы, содержащие Hn{z) и тригонометрические
функции.

4.16.3]	J^.16. Многочлены Эрмита Hn(z)	207
2. Jsina;si
3.
о	\2' 2 ' 2
ГП7Г
sin(aa;)
. ттга f sln(m7ra/2)l (~4)n /1\	/ -n, 1; b2
. Г 1 f sin (ax)
4.	< v ;
ГП7Г
sin ж [ cos (аж)
/ -,\n92n+i^ . ттга (sin (ттга/2) 1 /3
~~ \ )	~sm о 1 -—-. z'-^, — ~ /о\ I I о I 'лл"л I 3	а	а
-2' ~ ^' + ~2>
sin (ах) 1 . 2n rr ( b ^
. <	sm xH2n	 аж =
J { cos (аж) J	Vsin ж/
о
= 2sin^rsin(rnW2)lB6)!:4F2/-'b"'i1;
2 [ cos (тжа/2) J а	1	i _ _ i _i_ _
\	2'	2
ТП7Г
Г J sin (аж) 1 . 2n+i и ( b \
6. \ < ( 4>sin Ж//2П+11-	 аж =
J ( cos (аж) J	Vslnж/
8
2 \cos(w7ra/2) J a
ГП7Г	/	9
(-4)n /i\ / ^^? i; b
о	V	2 '	2
sin ж
0	\2'i"T'i"r"
—n,	n, -, 1; ^^
a	1	1 _ *а	ш
о	V	2 '	2
10. | e~axsin2n+1xH2n+i(^-)dx =
Vsin ж/
—гг, ™гг	, -, 1; ^6
'	2' 2' '

208
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.16.4
11.
13.
9
-п, 1; Ь
[Rea > 0] .
-п, -, 1; б2
-2' ~ У	~2~'
'-„ 1-я I 1- -Ь'
2 '	2
[Re a > 0] .
[Re a > 0] .
'-n -n-i i 1- ^^2N
i _ ^ i . 15
2 ' 2
4.16.4. Интегралы, содержащие Hn(z), erf (z) и erfc(z).
1.
[Re a > 0] .
]	j < ff
2.	erfc [ax)H2n+i{bx) dx =	—
о
oo
Г
3.	x erfc (ax)H2n+i(bx) dx = (^l)n
о
л f
4. je
0
тг/4] .
1)!
рC/2>-п-1/2)Л _ 26^
n-a 0A/2, -n-i) /3a +2
=РД /	( 2 + 2
)Я2п+1(ж)сгж A) ==РД
4.16.5. Интегралы, содержащие Hn{z) и Kv{z).
L. ^0(аж)Я2п(&ж)с1ж = (™1)теBп)!тг-
o
arga| < тг/4] .
[Reo>0].
2.
[Rea>0].
3. J K1(ax)H2n+i(bx)dx = (-1)пBп + 1)!тг
0
"
[Rea > 0] .

4.16.6]
4-. 16. Многочлены Эрмита Hn(z)
209
4.16.6. Интегралы, содержащие произведения Hn(z).
[а > 0] .
2.
—га;
[а > 0] .
3. (а — ж) ' Н2тп+1 {Ьл/х ) Н2п (by/а — х ) dx =
о
[а > 0] .
4—1/2/	\—1/2 и /i / \ и (г /	\ j
\ X	yCL — X)	Ii2m{0y X ) ri2n{^\/^ — Ж I ЙЖ =
5.
= (^2)т+п{2т - 1)!!Bп - 1)!!Ьт+п(а62) [о > 0] .
п ^
' 4
L 1
2'
[a > 0] .
e.j(a-x)
О
^^) dx =
а fr
7.
sin (аж)
cos (аж)
> H2n(b\/sin х ) i/2n(ife
с/ж =
24n+1 . штга f sIn(w7ra/2) 1 /1
	sin	J	u
2 \cos(m7ra/2) j V2/n
—га, тг Н—, -, 1; —
1 1 3	a	a
Д' 2' 4'	~2'	~2 .
f 1 f sm аж 1	/ /-:	ч	, r^	ч
8. —	< ; ' ? Я2п+1 ovsm ж Я2п+1 hovsm ж йж =
J sin ж [ cos (аж) J
3 1	64
"^lcoS(m7ra/2)|^l2in4F5| ^ 3^ 5^ г _ a ^ ^ + a I "
n+3 . . тжа J sin (ттга/2) 1

210
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.16.6
9. е ах Н2п (by/sin х ) Н2п (ibVsln х ) dx =
о
2 An ,-\
) (
, 1 1 1	б4
—п, п Н—, -, 1;	—
2' 2'	4
1 3 га	га
Л' 2' 4' ~ ~2~'	~2~
10.
Н2-П
+1
da? =
l2
г
= A_e-m,aJW^r
3 1 1 б4
— 71, 71 Н	, — , 1:
'	2' 2' ' 4
о с	•	•
3 3 5шга
Л1 4'4' 2 ' + 2
11.
1 1 л р
—71, 71 Н—, -, 1; —
2 '	2
[Re а > 0] .
12.
(bVsin х ) Н2П+1 (гЬл/sm х) dx =
, 3 1 б4
-„,„+-,-,1; т
3 3 5	га	га
Л1 I5 I' Т' + Y
[Re а > 0] .
оо
13. J erfc(x)Hn(x)Hn+1(x)dx = 2n^nl + [(^l)n - 1] ^^ 1)! (f1^] l) -
14.
15. e~x H2r)
о
\л/2
- п)
16.
17.
-m, -n, 1/2; 1
1/2 - m, 1/2 - n
1 1	2
18. 1е-^

4.17.2]
4-17. Многочлены Лагерра Ln(z
211
4.17. Многочлены Лагерра Ln(z)
4.17.1. Интегралы, содержащие Ln(z) и алгебраические функ-
функции.
1 т8~1(п — тI^1 F;X(hr(fi — r)) dr — r7S+t^1 R (ч t) •
-га, s, t; —
A + l,
8 + t + l
2 '	2
[Res, Ret > 0] .
2.
3. Ln(bx(a ~ x)) dx = (~l)n-
aVb
г А+1/2
[Re A > -1].
4. \x8(a-x)8'
о
x{a - х)) dx =
5.
2	/ /об
6 2n+1lVT
[а > 0] .
4.17.2. Интегралы, содержащие Ln(z) и тригонометрические
функции.
1.
sin (аж)
cos (аж)
LnFsln ж) с!ж =
2 . ттта ( sin (ттга/2) 1 (А + 1)п
3 3
2.
(sin (ах) 1 Л/ . 2 ч ,
ж < , ; >LnFsm x) dx =
[ cos (аж) J
cos(aW/2)/
) \
cos (аж)
dx =
2 . гпжа ( sin (гатга/2) 1 bn ,
а	2 \ cos (тп7га/2) J ra!

212	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.17.3
тж	I -п - 1- Ъ \
4. f e~axLx(bsin2 ж) dx = A - е~тэто) ^Л ^ ^w 3^з 1	' 2^а ' ia I .
о	\^ + 1-> 1 ~ У' 1 + у/
7Т17Г
5.
-1
2
sin2aj/	n!a V	7	I	, га	га
V	2 ' + 2
, _ га	га
о	V	2 ' + 2
_ 1 ^ . ,
'22
о
/	л	1	1 \
J	/ пп / —п, —Л — п, —, 1; — \
e-axSm2nxLxn(^)dx=^^4F2{	. 2. Ч	[Rea>0].
те\81п2ж/	п\а	1	*а	^	I	L	J
п\а	1	-, _ *а , , ^
о	^	2	2
8. ж* In	—	Ln(bx) dx =
о	lfc;z^A \* т" 2У	v- ¦ -7 - ¦ 2
[а > 0; Res > -1/2].
4.17.3. Интегралы, содержащие Ln(z) и erfc(z).
[Re a > 0] .
о
4.17.4. Интегралы, содержащие произведения
1. жЛ(а - ж)мЬ^(&ж)Ь^ F(а - ж)) с!ж =
о
(in + тг)!
B(A + m + l, /i + n + l)aA+M+1L^n+1(a6) [Re A, Re/x > -1].
ж ^а. — ж] hnyuxjЬп у—О^а. — х)) ах =
о
а2 б2
аЛ+м+1 -, Г А + п + 1, /х + п + 1]
О»J
sin (ax) \ rA/
+ 1, /х + п + 1] „ I	п; Т	I го \ о	и
^	1^2 л ,	л , , о	ReA, Re/x > -1 .
< ; ч > Ln(—bmnx)Ln(bmnx) dx =
J [ cos (аж) J
2 ^ mwa f sin (ттга/2) | Г(i/ + l)wI 2 F(	-n, A + n + 1, -, 1; —
a Sm 2 \ cos (штга/2) J [ n! J 4 s | Л^ А	а	а
2 7 2	2' 2

4.18.2]
4-18. Многочлены Гегенбауэра Cn{z)
213
4. е axL^(-bsmx) Ь„(Ьsin x)dx =
о
1 1 1 6
—n, Л + n + l, -, 1; —
(nlfa
А + 1Л
,
га ., га
-,l + -
5. e
о
LnFsinж) dx =
-п,
(п\Jа
1, -, 1; —
[Re a > 0] .
6 1 2A — ж
. \ x e
(miniJ
dx =
I I I
2Jm\2Jn
/-m, -n, A+ 1/2, 1/2; 1
^п4 3\ 1/2-ш, 1/2-п, А + 1
[Re A > -1/2].
7.
dx =
Bm)!n!(n-m)!	(A + l)
4.18. Многочлены Гегенбауэра C^{z)
4.18.1. Интегралы, содержащие Cn(z) и алгебраические функ-
функции.
1.
dx = (-iJ-
4(п + 1)!
а Ь
4.18.2. Интегралы, содержащие Cn(z) и тригонометрические
функции.
^^, ^ + 2А, 1, ^;
Г" 1 _ 2 4F3 1 з~а 3
'	\Л+-, 	, —
V	2 2

214	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.18.2
Г . „ Г sin(a#) 1 л ( . х
2. sirr ж { ) ; > C2n(bsmx) dx =
J	[ cos (аж) J
о
-^Г(М + 1)(А)„	fSm(a7r/2)-|
^ + l)T(t^ + l) \cos(a,/2)j4
2	/ V 2
J
о
/-n, Л + n,
2 2	2	7
> -1].
(sin (ax) \ x
\ cos (as)/ n
Г . ^ (sin (ax) \ x /i • ч , f л\п 2тг6Г(/1 + 2)(A)n+i
J	\ ()/ n+U	;	l ;	(АДа + 3)(м + о + 3)
ттт
4t f f sin (ax) \ ^А
J \соз(аж)
о
n . mna ( sin (ттта/2)\ (X)n „ f-n, A + n, 1;
2 [ cos (ттта/2) J nia	I 1	, Ц—
	< ) />C2n+i(bsinx)dx =
sin ж \ cos (аж)
о
2
\п ^:^ m7Ta / sin (W7ra/2) \ (A)n+i P f ~ni А + п + 1, 1; 6
ГП7Г
I 1 Г sin (аж)
6. 	<
<
cos ж [ cos (аж)
=	ттга fsin(m7ra/2)] BAJn+1	/-n, A + n + 1, -, 1; l
Sm 2 \cos(m7ra/2) j Bn + l)!a4 3\ A, I x_a -, , «
\	2'	2'	2
ГП7Г
_ Г Г sin (аж) I „a / Л	1—Г^—\ .
7. N ) ;Л С2ЛП VI + 6sm2 ж & =
J [со8(аж)]	V	/
о
ттга fsin(m7ra/2)] BAJn /-n, A + n, -, I; -
Sm 2 \ cos (ттта/2) J Bn)!a 4 3|A+I x_« 1+«
\	2'	2'	2
8. [	2
J v7!+ & sin2 ж
. ттга I 81п(ттга/2I BАJте+1	/-n, A + n + 1, -, 1; -б'
2 [cos(m7ra/2) j Bn )	!
\	2'	2'

4.18.2]	J^.18. Многочлены Гегенбауэра Cn{z)	215
2^' 2' 1;
9. 1 {*™(*Х\\A + Ъ*т*хГ'*С*(-г г	)dx =
J {cos(ax))	^	2 J
2 X cos (ттга/2) j n\a
ТПЖ
10. \ <	sin xCn	 dx =
J [ cos (ax) J	Vsin x/
2' 2' 2
\	2	2 -
ТП7Г	/	9 >
f	x	(AL ,	.	I -n, X + n, 1; 6
J	n-a	\ 1	, 1H
о	х	2	2
ТО7Г	/	л .	. -, 1 -, | 2 N
f е"и А	Ь(Л)п+1/	л	/-п,Л + п + 1, -,1; 6
JL*6d*		UOn 4_i ll/blllXJ Uul/ — Zi I — JL I 	;	 I JL — С	I 4 JP 4 I	o
^I^™'v	7	v 7	»л L \	/	I	Л	о.п.	t.fi.
ТП7Г
13.
0	\ 2'	2 ' ' 2
/	n л	1 hi	-. \
о	V 2 '	2 '	2
C^n+iCcos^) ^ж = A — e т7та)т^	TYP4j^3	1	'	'
(In + l).a \ A + -, 1	, Ц	/
\	n '	ел i	e\ /
cos ж
о	\ + 2'	2
— П
15. 1 e^axslnnxriAI " ^-- V'l/Tt^^n'i .-™^«\.^i	2 2 2
1_	,_
' 2> '
I 1 \ 1 га га
\ 1 — A — n, 1	,H
0	\	' 2 ' 2 '
шж	/n 2\ + n I l- -^\
J	n^1+ Sm Ж^	n\a ^^6	^4 3|A+I !_1^ 1 + ^r
0	\A^ 2' x 2 '	2 '
тж
—n, A + n, -, 1; —6
17. 1 e—c^j vi+ 681^*]^ =¦,:¦¦;;¦¦;_ .-—.,.„: , J ia
0
ТП7Г
18. f	в °Ж G2л
J	2
2n+l
A+ -, 1	, Ц
2'	2 '	2
l, -, 1; —6
' 2

216	Гл. 4- Определенные интегралы	[4.18.2
тж
19. [ e-ax(l + bsm2x)nnC^(	*	) dx =
\ у 1 + b sin2 x J
G1 1 - П 1
— i 	1 — •> i; —о
2 2 2
2'	2 '	2
20. \e^axCL(bsmx)dx = (^l)n^p3F2l 7 ia ' \a	[Rea>0].
J	n!a I i _ _ i + _ f
о	V	2 '	2
oo	/	2 \
Г _ax A	.	n 26(A)n+i	/-72, A + 72 +1, 1; 6 \
J	2n+1	n!(a2 + lK 2l —, — J
о	ч	2 ' 2	7
Те— ,	(A) +16 /-n, A + n + 1 i, 1; 62 \
22.	C72An+1(fesm^) dx = 2(^l)n l 71 4F3	„	2.	[Rea>0].
V 2' 2 ' 2 /
23. e^^C2An(coSx)^=^^4F3	г	{/ ы \	[Rea>0].
0	'	\Л+ 2' l^ Y' 1+ Y/
/In
-n, A + n + 1, -, 1; 1
24.
о	х'г'г'г'
oo	/	71 1 — 71 1	, _2
25. е^аж81ппжG„ ^^ Ua = ^f^B6)n4F3	J J J.	.	[Rea>0].
2 2
о	^"^П''2/
7	2	BA)n /-n, 2A + n, i, 1;	--\
26.	е"ажС„ (l + 6sin2 ж) б?ж = -—r^- 4F3 I 1 .	. I	[Rea > 01 .
J тг!а I \ i га i	га i
0	"	\A+ 2' Y'	Y/
1
-n, A + n5 -, 1; -6
27.	"	"		"
0	\	2	2	2 /
00	/ 71 1 — 71 1
28. I е^аж/1 ' ^™z ™\nrznA I	^	U™_ v-"/n . i^_ 1 2 2
0	•	\--'27™27™'2/
[Re a > 0] .

4.18.3]	J^.18. Многочлены Гегенбауэра Cn{z)	217
¦yA/
4.18.3. Интегралы, содержащие произведения Cn(z).
тг/2
cos"* cos (аЖ) [C>(Vl + bcos*x)}2 dx =
-n,X,2X + n,
„ f „ Гsin (ax) ] г^а / /—, . о м2 ,
2. sm"a^ v ; Hc*(VH-6sin2a:) da; =
J	\()jL V	7J
/-n, Л, 2A + n,
Г Г sin (ax) 1 г x,
3. M ; 'v > [Cn(cosx)
J [cos (ax) J
о
2 g.n ттга f sin (ттга/2) 1 ГBA)^1 2 f / ~". n + 2A- A' 2' 1;
8'"	[	J 5 4 1
gn	1 ГBA)^1 2 f /
a8'" 2 \cos(m7ra/2)J [ n! J 5 4 1 2A A+i 1-- 1 + -
\ ' 9' 9' 9
4#
cos (ax)
о
1
2 . гшга Г sin (ттга/2) 1 ГBА)^12 /-", " + 2A, A, -, 1; -6Ч
8'"	\	L J " 4L
Г
,(mffa/2)/L "! J S 4 2A A + I
a . a
rrnv
5.
_	ГBА)П12	/ -"> Л'
L"! J Wh--- ,
\ _i_ _ 21 1 	 _ 1 4- _
6. e"
о
a	L
-n, n + 2A, A, 1,1; -6
, A, -, 1;
7.	e— [Спл(со8Ж)]^х=-р^^4	1	га	га	[Rea>0].
Й L ¦ J \2A,A+-,1-T,1 + T/
? охг л/ /	г^—Nl2	l[BA)nl2 / -n, n + 2A, A, 1, 1; -6 \
8.	je -[C^Vl + ftsin^jj dx = -[—-j 5F4I	1	ia 1+«1
0	\ '	2	2	2 /
[Re a > 0] .

218
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.19.1
dx =
(А)т(А)таBА)т+те
ra!ra!(A)m+n
х и
/	\
—rra, —- in, —ra, —ra, A, A, —A — тга — ra, —A — тга — ra, —ra, —ra, ~ffcj ™"w)
A, A, ^A — rra — ra, ^A — rra — ra,
m+n 1-ra-n	л	.	л	л
	, 	, 1, 1 ^ A — rra, 1 — A — ra, 1 — A ^ n, 1 ^ A — ra,
191	191	A + TO + 71
-ra-n, - -га-га,	- у
[Re A > -1/2]
4.19. Многочлены Якоби
4.19.1. Интегралы, содержащие PnPi° \z)
функции.
и алгебраические
2.
= 6^s(a6 - 2)р+?Г+те В (-р - a - n5 s)F^s'cr)(l - ab).
4.19.2. Интегралы, содержащие PJf' (z) и тригонометрические
функции.
1. I < , ; > PI 4cosx)dx =
{cos аж J
= 2 sin
sin (тжа)
cos (?П7га)
-n,
p + 1, 1 — a, 1 + a
2.
3.
(-1 ! i ! '
-n, p + G + n + l, -, 1; -
- 1 + -
2'	2
1
' 2' '
L, 1 — id, 1 + ^ft
ттг	/—n + a + ra + 1 - 1- -^
4. f е-ахР<?> а)(сов2 x) dx = (l- е~тжа) (p^"J)w 4^3 1 ""' ^ °" ^ '2'ia'2

4.19.4]	4.19. Многочлены Якоби PJp'a)(z)	219
1
к Г -ахг>(Р,*), ч, (P+I)n /-га, р + <т + га + 1, -, 1; 1\
5. е Р^' ;(со8ж)аж = ~	г^4^з	2	Rea > 0 .
J	^!a	\	+ 1 1	1 +	/
о
6. Te-/>C->(coe^)dx=<^.F,f'P	'^5 Ц	[Rea>0].
7.
[Re a > 0] .
4.19.3. Интегралы, содержащие произведения Р^'а (z) и JP(z).
4.19.4. Интегралы, содержащие произведения Р^'а (z).
WITT
n(ax)
/ ^\пп . чьпиь I sin (тжа/2) 1 (р + 1)п(сг + 1)п
= (-1) 2 sin —:— < , ',Л } ^	^—^о	— х
2 \ cos (тжа/2) J	(n!J a
/_ р + ^ +1 p + g ^	-^ 1-
ТП7Г
2.
^^/-п,^—, V + 1'" + ' + n + 1 '2'
¦ттг
3. e""M P^p' CT) (- >/l + 6 sin2 ж ) P^' CT) (д/l + 6 sin2 ж
0
(
П, ^	, ^-— + 1, p + O + n + l
2	2	2
1	>
1; -6
2

220
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.20.1
4.
яГ(р + 1)Г(<г-
j	(nlfa
1
' 2'
[Re а > 0] .
5.
6 sin2
¦f 6 sin2 ж ] с!ж =
р + сг + 1 p + о"
l+
[Re а > 0] .
4.20. Полный эллиптический интеграл
4.20.1. Интегралы, содержащие K(z) и алгебраические функ-
функции.
,.
—; a
2' >
2. жA-ж2
о
з.
) dx = —arcslna
[Re s > 0; | arg A - a)| < тг] .
[|arg(l-o2)|<7r]
— i/, s, s; a
2'	2
[Re s > 0; | arg A - a) | < тг] .
11	ci b'
i	+ i / /	\	7Г	_l+ i	loo	/I
j	s — I/	\t— 1С/" I Jk If	\ \ A 	 "R / 4-\ st' — J- тр i A A	4
1, S~^
5. К(б\/ж(а — ж)) dx = j- arcsln —
о.
	T\ j 7га . аб
(а — ж) J dx = ™~~ arcsin —
Ли	Л
2 '	2
[Res, Ret > 0; | argD - a262)| < тг]
[|argD-aV)| <тг]
[|argD-a262)| <тг]
7. [ ж2К(ЬЛ/ж(а-ж)) dx = ^з [nbW 1 - ^ + (За2б2 - 2) arcsin
|argD-a262)| < тг] .

4.20.2]
4-20. Полный эллиптический интеграл К (г)
221
8.
x(a - х)) dx = ^
а
9. \ х~1/2(а - ж)/2К(бл/ж(а - х)) dx = — фг (^-
|argD-aV)|<7r].
|argD-aV)| <тг] .
10. ж5+1/2(а - x)sK(b^/x(a - х)) dx =
о
' 1 1
X3F2f 2' 2'" '^ 2
ГBя + 5/2)
[Res > -1;
11
11.
1'2 / ab
23/2i
1) arcsin
12. ж ' К (б ^ж(а —
13. ж1/4(а^ж)"
о
14.
ж)) с?ж = —-— arcsin \Ь\1 —
/	ч \ » a71 L fab2\	fab2
(а - ж)) dx = —=¦ \2фг ^^ 1 - ф2 ^г~
4V2 L \ z /	l
{а - ж)) dx = ^фг ( —
л/2 \ 2
16.
17.
Г.-1/2
гК
8^2 тг
з
:- x))dx = ^Г
6 \/х{а — х)
АЯ^ЛШ-
<тг]
|argB - ab2)\ < тг]
[|argB-a62)| < тг]
[|argB + afe2)| < тг] .
4.20.2. Интегралы, содержащие К(г), показательную, гипербо-
гиперболические и тригонометрические функции.
1.
s, s; a
[Re s > 0] .

222
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.20.2
2. xs
о
_! Г sh(a\/x) I
\ sin (ад/ж ) J
K(y/l-x)dx =
тгаГ'
2F3
1	1 , а1
¦ -, s+ -; ±^
2	2 4
[Res > -1/2].
2r
¦(•4)
4.
5.
—
6.
7.
-x)dx= — \Jlf[ - J ^^^B) Ч2) ~ Лl\2j
8. ж 7 cos (а
о
7Г/2
9.
/1	\ J
1 — ж J аж =
— Jo ( — 1 -
A \ A '
71 + 1 71 + 1 71 + 1	2
п + 1, 2гг + 1
тг/2
10. cos x cos (ax)K(b cos x) ax =
I
11. | sin
ху J sin (ax)
cos (аж)
^
'
^+a [Re«/>-l;|argb|<w].

4.20.3]
4-20. Полный эллиптический интеграл К (г)
223
12. ^ v \ }K(bmnx)dx = -sin—-— < v 7 ; ^ 3F2 i - - -
J [cos(ax)J	a	2 [ cos (ттга/2) j	\i_^ 1 +-
о	\ 2'	2
13.
14.
^" /i	—ттта
тптга ( sin (mwa/2) 1	I 2' 2' 2	\
ft	ci I
2'1+2/
arg(l - 62) I < тг] .
|arg(l - b
1 1 1
I I I б2
2 ' 2 >
[Reа > 0; |arg(l - Ъ2) | < тг] .
4.20.3. Интегралы, содержащие ^(z) и логарифмическую функ-
функцию.
-.
А
2.
¦In-
32
¦2 In 2.
3. ж3^11пA + аж)К(^Г^^;
тгаГ2E + 1) Л, 1, s + 1, 5 + 1; -a
3	3
[Re a > -1; | arg(l + a) | < тг] .
4.
In A - ax)K(VT^) dx = 2тг[A - a)K(v^) - E(>/a)]	[| arg A - a) | < тг] .
5. x^3/2 In (I
о
0
^х~) dx = 2ж(а
К
¦E
I arg(l + a) I < тг] .
11	1	1
x 4F,
[Re s > -1/2; | arg(l + a2) | < тг] .
7. In (a\fx
0
^?) dx =
[|arg(l + a2)| <тг] .

224
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.20.3
8.
тгаГ (s
In
i)
X 4F3I
1	1#
2' S 2'
[Re s > -1/2; | arg(l + a2) | < тг]
2»
9.	,	In (a\fx + Vl + a2x) К (л/1 - ж) б?ж = — In
J Vl + a2x	2a	2
о
[|arg(l + a2
10.
In (а^ж + Vl + a2x) K(y/l-x)dx = — In (а +
| arg(l + а
П.
1 —
[Res > -1/2; |arg(l - а
12.
1 —
< тг
13. 1 - In
1
In ^
ж 1-л/ж
1 1 5 S
^
2 2
[Res > 0; |arg(l - а2) | < ж
15. ж In		К(аж) с!ж = — (a arcsln а + Vl — a2 — l)	[| arg(l — а
J	JL у J- Ж
0
az
<тг
16. [ж^11па + л/а2 ж2 КFж)
1,1,1,1;
2'2'2'2'
1,	, + 1 /
' 2 ' 2	/
[Res > 0; |arg(l^a262)
<тг
17. ж In
о
а + Va2 — ж2
КFж) dx = —2- [аб arcsln (аб) + л/l — a2b2 — l]
<ф

4.20.4]
4-20. Полный эллиптический интеграл К (г)
225
ic i з, a + \/a2 - x2 ( ,	тг
18. I ж In	КFж) с!ж =
726V1 - a2^2
7Г г^ , /л 21 2
[3a6Ba262 + 3) arcsin (ab) - 16] [| arg(l - a262) | < тг] .
19.
ж3	а
¦ In
К
7264
/Ъ2х2
[3abBa2b2 - 3) In (ab
dx =
/ 2,2 , 1Л\ .
(а Ь +16) +
- 16] [| arg(l + a
20.
ж	. a -
¦ In —
/62ж2
-К
/62ж2
dx =
| arg(l
i
21. \x\n±±^±^K(x)dx = -\l-E(a)\
J	1 ~~ ал/1 - ж2	a L2	J
| arg(l - a) | < тг] .
22. ж8 In2 (ал/ж
о
7ra2r2(s
X
2r4s + 2,
, 1, 1, 1, s + 1, s + 1; -a2\ _	, 9
X5F4( з	з	з I [Res > -1; |arg(l + a2
2' ' ^ 2' ^ 2 /
23. ж/2 In2 (ал/ж + Vl + а2ж) К (vT^i") dx =
о
^|lna2 + In(l-
-^x 1 + VI + a2
- a2 ) In	2 L12
[|arg(l + a2)| <тг] .
24. ж/2 In (ay/x + л/l + a2x) К
о
-a2 +aln(a
|arg(l
25.
Г2C/4)
D"
[Res > -1].
4.20.4. Интегралы, содержащие ~^-(z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
8 Ю.А. Брычков

226
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.20.4
2.
3.
4.
ттаГ2
,, + ;
[Res > -1/2; |arg(l - а ) | < тг].
5.
6.
7.
in (ал/ж )К(л/1 — ж ) ^ж = — arcsln а	[| arg(l — а2) | < тг]
/1 — а2ж
^^	stn(a^r )К(л/1-ж ) da = - — In	—
/1 - а2ж	2а	2
К(аж) с!ж =
2 ' 2	/
[Res > 0; | arg (l - а2) | < тг] .
8. arccos х К(ж) dx = — In 2.
о
9. \x arccos x К (ax) dx = —[2i/?2(a'2) — фз(а2)] [| arg(l — a2) | < тг] .
10. x arccos x К(ж) с?ж = 4тг Г ( т ) •
11. ж arccos ж К(ж) с/ж = —In 2.
J	16
Гагссояжгтг	]	тг Г г	, , 1 + л/1 - « J ri /i 2\ ^ и
12.	 - - К(аж) Ыж = - VI - а2 - In	1 [| arg(l - а ) | < тг] .
J X	L Z	JZ[	Z	J
О
1
13. I	= arccos х К (	=¦ 1 dx =
(i)
' 1 1 S S + 1	2
, Ч + Ч + 1
-1/2; |arg(l + a2) | < тг] .

4.20.4]
4-20. Полный эллиптический интеграл К (г)
227
14.
/а2ж2 + 1
15. xs
О
16.
а2х2 +1
^) dx =
—
2a
[|arg(l + a2)| <тг].
[Re s > -1/2; | arg(l + a2) | < тг] .
п ) - тг [|arg(l + a2
1 + a2 / J
17.
18.
19.
20. ж
о
-1/2
(ял/г Ж(\/1 ^ т! Г/Т —
| arg(l + a'
[Re s > -1; | arg(l - a2) | < тг] .
1 + ч/l - a2
[|arg(l-a2)|<7r]
О1	—3/2 • 2/ /~ \ts~ ( ft	\ J	2/ fi о" i	•	i\
21. ж х arcsin (ауж jK^v 1 — ж J аж = тг (VI — « + а arcsin а — 1J
о
22. ж~1/2 arcsln2 ^ж К(^Г^1г) с!ж = — (тг2 - 12 In2 2) .
о
23. I ж^3/2 arcsln2
dx = —(тг - 2).

228
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.20.5
4.20.5. Интегралы, содержащие K(z) и hi2(z).
1, 1, 1, s + 1, s + 1; az
2 2 s+^ s+5
2' 2
[Re s > -1; | arg(l — a2) | < тг] .
2. x
о
~s/2
= 2тг [2(а -
|arg(l - а
3.
2Е
^Tl)  [|arg(l + a2)|<7r].
4.
5. x~
о
^^) dx =
|) - 2тг2.
4.20.6. Интегралы, содержащие K(z), shi (z) и Si(z).
l
[ Si (а
27 27
3 3
[Res > -1/2].
2. SI
о
4.20.7. Интегралы, содержащие K(z) и erf(z).
1	/— т-,9 / . 1
Г
1. х*~г erf (ал/ж)К(л/1 - ж) с!ж =
о
-,
[Res > -1/2].
2. jx e
О
1 _L	_i_	A
^ « + 1 в + 1
[Res > -1/2].

4.20.10]
-20. Полный эллиптический интеграл
229
4.20.8. Интегралы, содержащие K(z), S(z) и C(z).
1. I xa~1S{ay/x)K{y/l^x)dx = -!/ — ¦
3	3 3	a1
-, s + -, s + -;
4	4' 4	4
3 7 ,5	5
2' 4' 4' 4
[Res > -3/4].
2.
Г2
1	1. _a^
4' ^ 4' S 4' 4
15 ,3 ,3
-, -, S + -, 8 + -
2' 4 4' 4
[Res > -1/4].
4.20.9. Интегралы, содержащие ~^(z) и тС17? -^)-
l
г
1. жs™ 7(i/, аж)К(\/1 — ж ) с!ж =
, s + i/, s + I/; —а
1	1
[Re (s + i/) > 0] .
2.
1, s + i/, s + i/; а
2y	v	l,8 + V+-,8 + V+-
4.20.10. Интегралы, содержащие K(z), Ju(z) и Iu(z).
и	и а
I/ + 1	I/ + 1
[Re Bs + u) > 0] .
2.
a \ Ho(a)
3.
4.
Tr^) rfx = -[Ho(o) - aH_i(o)] .
Zr^) dx = -^[aL_i(a) - L0(a)] .

230
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.20.10
К	™S^1f3aX Т (ni>\\C (а/Л	ф
От	IX	С	I I/ {(Ids j-"- I V 1 	 Л
I
(I)"
2l/ + 1,
-, 8 + 1/, s + и; 2а
1 . .1
[Re (s + i/) > 0] .
7. Ji (ал/х )К(л/1 - ж ) da; = — [cos Ba) - 1 + a SI Ba)
J	&
8. I Ii(ay^x)K(Vl-x) dx = —
a - ashl Ba)].
9. | ж Jo (ал/аТ)К(л/1 - x) dx = —^[5slnBa) - 6acosBa) + Da2 - 2) SI Ba)
10. | x ll(ay/x)K{y/l -x)dx = 	^[-5shBa) + 6achBa) + Da2 + 2) shi Ba)
11. -Ji(ay/x)K(y/T^x)dx = С	^
j x	A 4a
¦ — sin Ba) + —?¦ cos Ba) +
lnBa) - ciBa)
12. -/12(а^
J x
- -^ sh Ba) + ^ ch Ba) - In Ba) + chl Ba).
13. x Ji(a^/x )K(Vl - x) dx = r^^[10acosBa) - 11 sin Ba) + Da2 + 6) SI Ba)].
14.
1 [10a ch Ba) - 11 sh Ba) + F - 4a2) shi Ba)].
-Иэа

4.20.13]
-20. Полный эллиптический интеграл
231
4.20.11. Интегралы, содержащие K(z), HI/(z) и Jju(z).
f^Y2 (s + V + "*") (a/2Y+1
K(Vl — x ) dx = —
Ь1,(а
[Re Bs + u) > -1].
^^)daj = -[1-J0(a)].
-f
a
4. жН0(а^ж)К(^1 - ж) с!ж = ^[«2 - 4 + 4A - a2)J0(a) + 8aJi(a)].
= ™^[4(l + a2)/0(a) -8a/i(a) -a2 -4].
4.20.12. Интегралы, содержащие K(z) и Ln(ax).
l
3 3
-n, s, s; a
4.20.13. Интегралы, содержащие произведения K(z).
i	22	/ 1 1 g g, fl2 \
'Л/i ^"\ J™ — ^	^s) . itl I 2 2	1
[Re s > 0] .
1, s + -, s + -
^ '	2'	2'
[Res > 0; |arg(l-a2) | < тг]
. — x) daj = — [Li2(a) — Li2( —a)
X ~j tt
[|arg(l-a2)|<7r].

232
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.1
5.
6.
256
7.
8.
rK2(x)dx=7r
64
\ 4' 4' 4' 4 /
(-3 3 3 3	n
4' 4? 4' 4' '
5 5 5 5
4' 4' 4' 4 '
/11	2\
Г2(<*\	I о? о? s' S5 -a 1
[Res > 0; |arg(l + a2) | < тг] .
9.
:K
da; = ttG.
10.
11.
о
тг/2
12.
dx = —.
'111155ч	/5 5 3 3 9 9 >
8' 8' I' 4' 8' 8' ' \ _1L I? ( 8' 8' 4' I' ' 8' 8'
3 3 3 3 7 7	о 7 6 7 7 5 5 11 11
Г 8' 4' 4' 8'
8' 8' 4' 4' 8 '
4.21. Полный эллиптический интеграл E(z)
4.21.1. Интегралы, содержащие E(z) и алгебраические функ-
функции.
1.
7Г
2"'
1/2, з
+ 3/2; a
[Re s > 0; | arg A - a) | < тг] .

4.21.11
4-21. Полный эллиптический интеграл E(z)
233
2.
Щах) dx = -^з [ЗаBа2 + l)Vl - а2 + 3Dа2 - 1) arcsln а]
<тг].
3. xs
о
4.
(а — х)) dx = —В (s, t) as+t 4^3
a, Res, Ret > 0; | argD ~ a&2)| < тг] .
^ arcsin ^ + у 1 - ^ ) [a > 0; | argD - a2&2)| < тг] .
i ti/, / /	\\ , »«, , 2	. a& / a262
5. ж Е о\/ж a — ж) ) dx = 	 — arcsin	\- \ 1
8 \ a&	2 V	4
[a > 0; |argD^ а262)| < тг] .
a
Г	г
6. х2ЩЬл/х{а-х)) dx = —- 4Ca:
-l) arcsin
7. ж1/2(а^
о
8.
dx = ^^ D - a
a262\ a2 62
a2&2
4
[a > 0; |argD-a262)| < тг] .
a262
[a > 0; |argD^ а262)| < тг] .
2,2
a b %
__ ^	^* \(A — ti
^2-2^ a262 , /aV
[a > 0; |argD~aV)| < тг] .
9. ж^
о
dx = ^ [D - aV
ci b , fab
[a > 0;
< тг] .
11.
1
1 — b2x(a — x)
~E(by/x(a — x)) dx =
/4^a2b2
' 2 ' 2
[a, Res, Ret > 0; | argD - a2fe2)| < тг] .
[а > 0; |argD^a262)| < тг] .

234
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.1
12.
1 — b2x(a — х)
~7~~~~———————— .
(a — х)) dx =
[а > 0; |argD-aV)| < тг] .
13.
1 — Ь2х(а — х)
8D-a2b2)
B + a
2,2
^а b
a2b2 fa2
4 f 4 r v 4
[a > 0; |argD-aV)| < тг] .
14.
-I H-
15.
1 — b2x(a — х)
4D-
1 — Ь2х(а — х)
2D ~
dx =
3a262
\а > 0; |argD-aV)| < тг] .
ж)) dx =
а262^
a2b2\ a2b2 , fa2b2
[а > 0; |argD-aV)| < тг]
16.
dx = 2
Д 2, + 2; ^
2' 2'	' 2
а > 0; Res > -1; | argB - aV)| < тг] .
17.
16&3
/
[а > 0; |argB-aV)| < тг]
а
18 \ T^1/2E(bt/r(o - т)) dr - Жл^ Г
2 l&Va^'TVlJ+V1" 2

4.21.11
4-21. Полный эллиптический интеграл E(z)
235
19. х1/4(а - ху1/4Е(Ь^/х(а - х)) dx =
[а >0; |argB-aV)| < тг]
20. ж~1/4(а - ж)~3/4Е(&^ж(а - х)) dx =
о
.2 г/ „,.24 /^2х atf_ (atf\_atf_ (ah2*
2 1	О	\ О /	Q	I '
/	\	/	\ л
[а > 0; |argB-aV)| < тг] .
21.
1 — 62у ж(а — ж)
(а — ж) j dx =
' 1 3
ab2
X 3F2
a > 0; Res > -1; | argB - а262)| < тг] .
22.
23.
ж(а — х)
.-1/2
1 — 62\/ж(а — ж)
[а > 0; |argB~aV)| < тг]
[а > 0; |argB~a2&2)| < тг]
24.
(а — ж)
Е F ^ж(а - ж)) dx =
25.
1 — Ь2\/х(а — ж)
F уж(а - ж)
2б/2
26.
,Е
6 ^ж(а — х)
[а
тг].
ab2\ ab2
[а > 0; |argB-a2fe2)| < тг]
dx = тг
2 + ab2
[а > 0; |argB + a262)| < тг]

236
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.2
27.
7ts2T(s)
— i/, 8, s + 1; a
2'	2
[Re s > 0; | arg A - a) | < тг] .
4.21.2. Интегралы, содержащие ^(z), показательную, гипербо-
гиперболические и тригонометрические функции.
[Re s > 0] .
2Г
[sm(aV^
[Res > -1/2].
' ' 4
[Re s > 0] .
5- \х[
о
6.
7.
	\ j
- x) dx =
о
1
8. i sir
о
1
9.
о
тг/2
Г
10. cos Bnx)~E(a sin ж) dx
о
п + 1, 2п
[|аг8A-а2)|<тг|

4.21.2]
J^.21. Полный эллиптический интеграл E(z)
237
тг/2
г
11. cos17 ж cos
J
с!ж =
fи 4-
тг/2
X 4^
13. sin ж < ; ; > EFsinaj) dx =
1)	f sin (атг/2)
2	/42
- - t/ + 1 1+ -• &2\
2' 2' 2 '	2' I
2 ' ' 2 /
1 3 I/ + 1	I/ 2 '
2' 2' ~~2~'	2'
arg(l _ б2
sin (атг/2)
со8(атг/2))
15. cos (пж)Е(асозж) с^ж = ^2
о
2 / V 2 J cos2 — х
X3F2
; — 1 П + 1 П + 1 2^
2 ' 2 ' 2 '
n . ..
16.
sin (аж)
тг . ттга f sin (тжа/2)
a	2 [ cos (ттга/2)
1 x x- л2>
' 2' 2'
2' 2 ^
аж E(bsinx)dx =
| arg(l -
18.
1	1 3 ,2
25252?
2a

238
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.3
-- - -• Ъ2
2^2*2'
19. e~axE(bsinx)dx = ™3^2
о	V1^ Y' 1 + Y
[Rea > 0; \arg(l-b2) | < тг] .
4.21.3. Интегралы, содержащие E(z) и логарифмическую функ-
функцию.
1. \x(l-x2)~3/2\nxE{x)dx = | -
о
о f -ii m_l Mrf /i
2. ж 1пA + аж)Е(у1 - ж
3.
l,e + 2; -о
3	5
+
[Re s > -1; | arg(l + a) | < тг] .
- тг2 [| arg(l + a) | < тг] .
4. ж^3/2 In A - ax)E(y/l-x) dx = 2тгЕ (а) ~~ тг2
о
5. ж* In
о
- x ) dx =
| arg(l - a) | < тг] .
X4F3I2'2' 2' 2'	I [Res > -1/2; |arg(l + a2) | < тг] .
6. In (а^ж ¦
о
-x)dx =
2(~a2) - 4(a2
| arg(l + а2) |
7.
1
- In (n-xPr 4- \/i 4- in2nf \ Kf^/i — т ^ /fir —
2 + «2 " 2VTT^ + 2а2 In
| argfl + а2) | < тг|
8.
In [ал/х + л/1 +
тг
- х) dx = —(л/l + а2 - 1)
2аv	;
[|arg(l + a2)| <тг]

4.21.3]
4-21. Полный эллиптический интеграл E(z)
239
9. ж8]
о
1 —
-,1,
2
-,
2
[Res > -1/2; |arg(l~a2)| < тг]
10. | In
1 —
= -^з [Зтг«2 + 4(а2 - 1)К(а) + 4A - 2а2)Е(а)]
|arg(l - а2) | < тг]
11.
27Г
12. ll
ж 1 — ауж
Е
13. [ - Ы
J
Ы
ж 1 -
14.
= — [(а2 - 1)К(а) + Е(а)]	[| arg(l - а2) | < тг]
= 2тг.
f I 1 S S 2 >
~2J 2' 2' 2' tt
^ o+l
' 2 ' 2
[Res > 0; |arg(l^a2) | < тт]
15. ж In		E (аж)
= -^ [За arcsln а + (а2 + 2)л/1 - а2 - 2]
16.
17.
ж	1 + \/1 - ж2
I
¦In
а2ж2 1 - VI - ж2
Е
dx = —r-(
- 1)
| arg (I + а2) | < тт] .
18. | ж"'1 In a + V ^ E(fex) rfa; = — "" V2
1 1
[а, Re s > 0; | arg(l - а262) | < тг] .

240
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.3
19. [ х In
J
о
20.
) dx = j^ [Заб arcsln (ab) + (aV + 2)\/T^a42 - 2]
[a > 0; |arg(l-aV) | < тг] .
х [15а6Dа2Ь2 + 3) arcsln (ab) + E4aV - 13а V + 64)л/1 - а2б2 - 64]
21.
Я/2
г 7
In-
[a > 0; |arg(l - a2b2) | < тг] .
Vi.^.f + W
[a, Re s > 0; | arg(l - a2b2) | < тг] .
22. I . ]n n In a + VQ- х'щЬх) dx = ZL^l(aV)	[a > 0; | arg(l - a262
23. К ?9 91па + л/а' ж2ЕFж)с1ж=^A^ Vl^a262^
[a>0;
24.
1-ж2
25.
In
E
/fe2^2
da; =
1262
[ЗаЫп (аб
[a > 0; |arg(l + aV) | < тг] .
26.
bx
x In (ab -
+E4a464
^64
[a > 0;
27.
Tra2(s + 1)Г2E + 1) /l, 1, 1, s + 1, s + 2; -a2
5
2' 7	2'	2
[a > 0; Res > -1; | arg (l + a2) | < тг].

4.21.4]
4-21. Полный эллиптический интеграл E(z)
241
1
г	/
28. х^/2\п2(ал/х + л/1 + а2ж)Е (л/1 - ж) da; = тг2 ( л/l + a2 -In
1 + VI + а2
[а > 0; |arg(l + a2) | < тг].
4.21.4. Интегралы, содержащие E(z) и обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
¦111	3_ 2>
2'
[Res > -1/2; |arg(l-a2) | < тг] .
2.
-x)dx = ^— [4(a2 - l)^i(a2) + 4Ba2
^
3.
4. I ± агс8т(ал/^)Е(л/Г^аТ) dx = ^-ф2(а2).
5. }1
0
6.
т(ал/ж )Е(л/1 - ж ) о?ж =
x 4F3
'l, 1,
-, s+^;
[Re s > -1/2; | arg(l - а2) | < тг]
7.
1 + VI - а2
<тг
8.
т(ал/ж )Е(л/1 — ж ) dx = —(l — л/l — а2

242
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.4
9. ж* arccos ж Е(аж) dж =
о
11 ?1
2 J.iF\ 2' 2' 2' 2
2
[Res > 0; | arg (l - а2) | < тг] .
10. I arccos ж Е(ж) dж = — A + 2 In 2) .
11.
ЙИ^)
12.	ж arccos х Е(ж) dж = — E + 4 In 2) .
о
1
13.	х8~ л/l + а2ж2 arccos ж Е ( -
dж =
1 1 5 5 + 1^	2'
[Re s > 0; | arg(l + а2) | < тг] .
^*	1	2—о™ аГССО8Ж "^(аЖ) ^Ж =
13
[Res > 0; |arg(l - а2) | < тг] .
15.	—- arccos ж Шах) dx = — arcsin а
J 1 — а2ж2	2а
о
1
|arg(l^a2) | < тг1 .
16. } ^ arccos Ж Е(ж) .ж =
о
Г т2	тг2
17.	 arccos ж Е(ж) da; = —¦ C - 2 In 2) .
J 1 — ж^	16
о
1
)] .
18.	|г arccos ж Ef	=¦ | dx = ^-In (а + л/l + а2 ) [|arg(l + а2) | < тг] .
о
1
19. | ж^1 arctg (a>/aT)E(Vl - х) dx =
о
/1 х
w I? I 2' ' ^
2' ^ 2'
+ 1, 5 + 2
Re s > 0; | arg(l + а ) | < тг] .

4.21.6]
4-21. Полный эллиптический интеграл E(z)
243
20. arctg (ay/x)E(y/l - x ) dx =
о
12а3
З*^	/ a
[|arg(l + a2)| <тг].
22. -arctg (a
о
23.
24.
к
l, s + 2; a'
-^) dx = тг2 1 - Vl - a2 + In
[Res > -1; |arg(l-a2) | < тг]
1 + л/1 - a2 '
25. ж^3/2 arcsln л/х Е(л/1 - ж ) dx = тг2A^1п2).
о
4.21.5. Интегралы, содержащие E(z) и Li
1
1,1, 1,
¦2; а
5
[Re s > -1; | arg(l - а)
4.21.6. Интегралы, содержащие E(z), shi (z) и SI(z).
1. ж
\ Si(ay/x)
' 1	1	3 , a1
+	+ ±
27 т? М 27
1, e + 2
[Res > -1/2].
2. Si(а
о
——^ а Jq ( 77 ) ~~ 2а Jo ( 77 ] Л ( 77

244
Гл. 4- Определенные интегралы
l)r2(s
s + -,s+-; a
1	z
2. jx e
0
1)Г2
l, e+I, в + |; а2
\ 2'	'
4.21.8. Интегралы, содержащие E(z), S{z) и C(z).
l
'3	3	7_ a2
I' S 4' S I' 4
3 V 2
J
0
15 ,3 ,7
4.21.9. Интегралы, содержащие E(z) и j(i/, z).
*" 7A/, аж)Е(\/1 —
2.
1, s + i/, s + i/ + 1; a
з^з I _ ,	l , ,3
[4.21.7
4.21.7. Интегралы, содержащие E(z) и erf(z).
1
Г
1. ж^1 erf (ал/ж)Е(л/1 - х) dx =
[Res > -1/2].
[Res > -1/2].
7 4 5 4 94	[^s > -3/4].
[Res > -1/4].
0].

4.21.10]
4.21. Полный эллиптический интеграл E(z)
245
4.21.10. Интегралы, содержащие E(z), Jv{z) и Iu(z).
i
v + 1)Г2
[Re (s + i//2) > 0] .
2.
3.
4.
5.
\dx = — [aH0(a)-Hi(a)].
v^)E(Vl — ж) с!ж = —Li(a).
'a
6. 1х3
о
7.J.-
0
9"/ 3 3
/t—\ dr -
'+ -, s + i/, s + i/ + 1; 2a \
[Re (s + i/) > 0] ,
[Re Bs + /i + i/) > 0] .
8. Jo(a>/^)E(>/l-»)da; = ^^[310B0) - 2acos Ba) + 4a2 SI Ba)].
0
9.
- ж ) dx = —- [6a cos Ba) - 3 sin Ba) + 4a2 SI Ba)].

246
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.11
10. j -Ji^
0
- ж) dx =
™ 1].
Г	1
11. I%(a>/x)E(y/l - х) dx = —-[2achBa) - sin Bа) + 4а2 shl Ba)].
12.
^x) dx = —g[6achBa) ~3shBa) - 4a2 shl Ba)].
13. -Ii(ay/x)E(y/l-x) dx = —^[ch Ba) - 2a2 - 1].
2a2'
4.21.11. Интегралы, содержащие ^(z)? Hv(z) и ht/(z).
ay
2/
4
-1]
2.
3.
^) da; = -T[2aJ2(a) - 2Ji(a)+a
4. ^
J
= 7r[aJo(a) - А{а)] + ^[Л(а)Н0(а) - J0(a)Hi(a)].
5. I -
^?) dx = тг[а/о(а) - h(a)] - —{h(a)L0(a) - /„(a)Li(a)].
4.21.12. Интегралы, содержащие E(z) и Ln(ax).
~n, s, s + 1; a
-i \ о А Л
,
[Re s > 0] .

4.21.13]
4.21. Полный эллиптический интеграл E(z)
247
4.21.13. Интегралы, содержащие произведения E(z) и
1
dx = \]
11	, 1 2
-, -, s, s + 1; a
2' 2' '	'
1 + +^
[Res > 0; |arg(l-a2) | < тг]
2.
—, -, s, s; a
2 2
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
1 1
s+l e+l I
[Res > 0; |arg(l - a2)
< тг]
dx = ^- \a
1 - a , 1 + a
1-a
4a I a 2a2 1 + a
з
16
In	h Li2(a) — Ыг(а)
I arg A - a2) I < тг
[I arg(l - a2
< тг]
1 3	2
-, -, s, s: a
Zi Zi
\X' ^2' ^2/
[Res > 0; |arg(l-a2)
< тг]
К
dx=
ln
2a 1 — a
'13
[Res > 0; |arg(l + a2) | < тг]
11.
-E
афс
, r
K( v 1 —
= — arete a.
a

248
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.21.13
12.
гК
vv	J	4 Г(в + 1/2)Г(в-
x 4F3 I 2 ' 2 ' ' г '	[Re s > 0; | arg(l + a2) | < тг] .
V X'S+2'S+2 /
13.
. 2
(ai ~ l)arctga - ^ [Ы2(га) - 1л2(-га)] [|arg(l + а2
14.
15.
16.
17.
18.
Е
x	г \ [Re s > 0; | arg(l + a2) | < тг] .
19.
о*ж =
1 1
2' 2'
i,
[Res > 0; |arg(l-a2) | < тг]
20.
^х) dx =
тг [За
8а 2а
2а2
1 		и
¦ In	h Li2(a) — Li2(—a) [| arg(l — a ) | < тг]
1 + a	J
21.
32 4'

4.22.11
4.22. Полный эллиптический интеграл
249
22. хЕ(у/х)Е(у/1 - x) dx =
о
ZL + IL.
64 8
23.
24.
1/2)Г(в
2 2
[Res >O; |arg(l~a2) | < тг] .
25.
26.
2
тг Г 1
= Т^ I3	2
-^з [(а2 + 1) In \^ - 2а] [| arg(l - а2) | < тг
4Ю L	J_ Q/	J
dx =
arctga	[Li2(ia) -U2(-ia)] > [|arg(l-a ) | < тг]
ft	J
[I arg(l - a2) | < тг
28.
29.
E
4.22. Полный эллиптический интеграл D(z)
4.22.1. Интегралы, содержащие ~^{z) и элементарные функции.
1 3
а262
\dx= ~B (e, t)as+t 14F3\ 2\%t\\t%
2 ' 2
[Res, Ret > 0; |argD^ aV) | < тг]
2.
fB-

250
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.22.1
3. \xB(by/x(a-x))dx = ~^B-
|argD-aV) | < тг] .
4. х1/2(а - хI/2В(Ьу/х(а - х)) dx = 2L^_ L^if^j-j - 4ф2 ( ^- ) + фЛ—^
[|argD-aV)| <тг] .
5. \х~1/2(а~;
о
dx =
| argD - a2b2) | < тг] .
6. f Ж/2а - хУ1/2ЩЬу/х(а-х)) dx = ^
О
| argD - а262) | < тг] .
7.
dx =
X3F2
2 2	2
[Res > -1; |argB-a62) < тг
q
8.
ah2
|argB - аб2) | < тг]
9.
~^x))dx = 1ral/2(l + Jl- —
<тг]
10 г^г/4(о — T^^Dfb \/r(n -t)Wt-
„-7/2 2
= 2 / тг а
- 4^2
11.
dx =
^\ - ф2 (^f
|argB^a62) I < тг] .
12.
' 1 1 3 ,2 ^
9' 9' 9'
zi zi Z
1-^,1 + ^
2	2 '

4.22.2]
4.22. Полный эллиптический интеграл
251
13. e~axB(bsinx)dx =
2b2
14. xs arccGS ж ТУ (ax) dx =
га га
2 ' 2
- 1
[Reа > 0;
| < тт] .
482Г -
E)
[Res > 0; | arg (l - a2
< тг] .
15. arccos ж ТУ (ax) dx = —^ [a arcsln a + л/l — a2 — l]
о
16. l ж51па + л/а2 ж2в(бж)сгж =
17.
[a, Res > 0; |arg(l - a262)
[a > 0; | arg (l — a b
< тг]
18. ж In-
о
t^/l \j	ж (л ГлТТУ^ ¦ i
D(fac) dx = ^^r I 1 — v 1 — a b2 + In
2cr \
[а > 0; |arg(l - а2!?2) | < тг]
19. \x3\n1 + Vl-X Щх)Лх = ^--1.
J	ж	8 о
о
4.22.2. Интегралы, содержащие произведения D(z), K(^) и
тг2 F2(s)	( -» "' s' s' «2 \
о	\'S2'S2/
2\
2.
(^T^^)rfa; = -^ [in A - o2) + aln ——
АЛ L	JL ft
Г
3. D(av^)K(\/l - ж) dx = тг!п2.
[Res > 0; |arg(l - a2) | < тг]
|arg(l - ft ) I < тг
¦ 1 3
4.
da? = Ti
\ ' й^2' й^2
[Res > 0; |arg(l - a2)
< тг]

252
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.23.1
5.
6.
7.
ж
2°"
7Г
32'
а -1, 1 + а
In-
1 - a
|arg(l - a ) | < тг] .
4.23. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z)
4.23.1. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); z) и алгебраические
функции.
1 тв~1(п — тI^1 F
J-. \ х {а X) p^q~
о
s + t e + t + i I [«, Res, Ret>0; |argD^a2
2
V[2s)
2s-i/2
1/2)
x p+iF4+1	z	[a, Re s > 0; | argB - ab) | < 7r].
\(bq),2s+1-)
4.23.2. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); z) и тригонометри-
тригонометрические функции.
JL.
sin (ax)
cos (аж)
(ap); bsm x
Я Ж —
2 . ттга f sin (ттга/2)
а	2 Icos(m7ra/2)J
о	а
F^), 1 — ^,1-+-^
\	2	2 '
"
3. sin ж
sin (ax)
cos(аж)
1-a2
fsin(a7r/2) 1
\cos(a7r/2) J
3 - a 3 + a

4.23.2]	J^.2S. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	253
тг/2
4.
dx =
, „ f sin ax l _ /' (av): b sin
5. |sin ж	\ PFJ p/\
lcosaжJ	\ (bq)
2-7ГГУ + 1)	fsin(a7r/2)
K), ^1,^ + 1;
[Re 1/ > -1].
г
6. cos
J
0
I dx =
Г(п/2 + 1) C°S-2
ПМп
/2
5 а
7Г/2
7. cos17 ж cos (аж) pFg((ap); F9); 6соз2ж)а1ж =
2/ + 1 U
2 ' 2
го	11
[Re i/ > -1] .
8
O.
(ap);
(Op) (Op) + 1
M Fg) + l	ia	ш
2 ' 2	2 '	2
6A -
о,
(bq)	3 «3
^ + 1' 2" у 2
9-
(ap);bsin2x

254
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.23.3
10.
р
г=1
Я
¦ гм
3 = 1
-, 1; —^-
2 ' 2	2 ' 2
(ар) + 1 (ар)
1, 1;
2 7 2 " ™7 ~7 49~р+1
(feg) + 1 Fg)	3 — га 3 + i
2
2
(ap);
(Ья)
(ар); 6sin ж
[Re a > 0] .
[Re а > 0] .
4.23.3. Интегралы, содержащие pF(?((ap); (bq); z) и логарифмиче-
логарифмическую функцию.
Fg((ap); (bq); bx) dx =
<ip), s, s; a.6 I
S+ 2' S + 1/
4.23.4. Интегралы, содержащие pFg((ap); Fg); 2:), K(z) и
1. ^^^(л/Т^ж ) pFq(((ap); (bq); ax) dx =
0
7Г
2":
(ap), s, s: a
i
F,),
[Ree>0].
2. Jxs ^(Vl-x) PFq((ap); (bq); ax) dx =
0
_ 7Г	Г(я)Г(в + 1)
(ap), s,
3/2)
Л	A

4.23.5]	J^.2S. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	255
4.23.5. Интегралы, содержащие произведения pFq((ap); (bq); z).
a
1.	x8~1(a- aj)*iFiF; s; wxIF1(c1 t; w(a - ж)) dx = B(s, t)^*^1 iFi( C' ^ )
J	V 5 + t /
0
[a, Res, Ret > 0] .
a
г
2.	x8~1(a — ж)*™1 iFiF; s; wx) iFiF; t; —w(a — ж)) с^ж =
J
о
s, i)a
i+t-i
o;
l + t s + t + l [a, Res, Ret >0].
— 1	/ —1
3. ж (a — ж) iF2F; c, s; гож) iF2F; c, t; ^го(а — ж)) dx =
о
= B(s, t)as
с
?'
с
S c "~
+ 1
2 '
b;
16
h t i
•2
-t + 1
2
г	[a, Res, Ret > 0] .
4.
i;
/j CX) UiX —
^zrf^j, Г(^)°ь D^mD^{v 1/+те x 2 J(v+n^i)/2 [л/а (Vti2 + v
С	\ A/ k
x J(I/+n-i)/2[\/a (V^2 + v - u)]}
5. [ж(п+")/2(а-ж)т/2о^1(| -A;; _6(a - ж)) 0Fi(i/; -еж) =
о
V 1)	^m/ \"	nfcfil/2n,2mnnf (v + n — l)/2 T	X Г~ ( Г~Ъ—i	 . \1
""	{ \y) v-x Db\b iJu 134^	J(v+n-i)/2[Va {Уи +v + ^jj x
x J^+n-!)/2 [Va (Vu2 + v -u)]}}	[a>0].
x (l-i/-n)n^fc6Jc
(i+fc)/2
[a > 0].

256
Гл. 4- Определенные интегралы
[4.23.5
7.
D
и
l — u)/2
— /
u=b
w = c
[a > 0].
8. \ х (и — х) iFi^u] —I
о
-;
.-1
9. x
l
/ —тп. —тп. —in — —ix
-"-—22F2	j	2
\	m. ^2m — 1
\ 2
^n	; x
2
10. (a - xf^1 0Fi(i/; a6 - bx)pF1
p+i
; -еж
= 0
a > 0; 0 < с < 46; Re (y + ^ ap - ^ 6p+i < -ll .
11. a?s (a — ж) n:
о
= 0.	В (s, 6 -
x_
а
iap)'i WX
(ap), s, s — с + 1; aw
(bq), S — С — П + 1, S + 6-—C +
[a, Res, Re F™ c- n) > 0] .

Глава 5. Суммы
5.1. Неполные гамма-функции 7(I/? z)? r(i/, z)
5.1.1. Суммы, содержащие ^{v^zk^z).
2.
3.
i
- 2, s) "
(a-n)fc(
, a-n
5.1.2. Суммы, содержащие произведения 7A/± ,fc, z).
In
(Л
fc=O
z
П H	,71 + 1, I/ + fi;
2	'
= {2п + 2)\
C z
71 + -, 71 + 2, I/ + 71 + 1;
Ю.А. Брычков

258	Гл. 5. Суммы	[5.1.3
5.1.3. Суммы, содержащие F(^ifc, z).
fe=o
i - ^;
, — 1)!
fc=O
4.
5.2. Функция Бесселя Jv(z)
5.2.1. Суммы, содержащие Ju±nk(z).
k=0
[n/2]
П7Г\
3- t{nk
, + n+i;^
2'
5.2.2. Суммы, содержащие произведения Jv±nk{z).
l{) \
• i/) JjJ+I/(^) = 2 J-+i(^) [*^+2(*) " 2
J Jv+n+l{z) [2(l/ + П + l)J^+n+l(^) - ^Л+п4
fc=O
2n+l
3. ^ Bn - 2Jfe -
fc=O

5.3.2]	5.3. Модифицированная функции Бесселя Iu(z)	259
5.3. Модифицированная функции Бесселя Iu{z)
5.3.1. Суммы, содержащие Il/±nk(z).
[п/2]
' 2^ 	М	^ I±k/{z)=
2. l^Bk-
fe=i
n
3. ?(-i;
fc=O
5.3.2. Суммы, содержащие произведения Ju±nk(z) и 1и±пк
1/2-n(w + iz) + (w- iz)n+1/2 J1/2-n(w - iz)].
2- E(
fc=O
iz)n+1/2 Jn^1/2(w + iz) + (го — iz)n+1/2 Jn^i/2(w — iz)
/27TZ
9Bn+3)/4
X
Г . FП + 3) 7Г	, /- v	FП + 3) 7Г .	, /- v
sin ^	^^ ber n+1/2 (V2 ж) + cos ^	^— bein+1/2 (V2 x)
L	8	8
[x > 0].
_2_	,
fe=o
Г . FП + 3) 7Г	/г ч	FП + 3) 7Г .	, /- Л
sin ^	 y ber 1/2_n (V2 ж) + cos ^	 ; beii/2^n (v 2 ж) [ж > 0].
L	о	8	J
9Bn+3)/4
ll ^_ x
fe=O
Г . FП + 3) 7Г	, /- v	FП + 3) Ж .	, /- J
x sin ^	-^— ber n+1/2 (V2 ж) + cos ^	^— bein+1/2 (V2 ж) [ж > 0].
[8	8	J
2Bn+3)/4
^ X
Г . FП + 3) 7Г	/ /^ \ ,	FП + 3) 7Г , .	, /- vl
sin ^	^^ ber ^n^t/2 (V2 ж) + cos ^	^^ bei_n_i/2 (V2 x)\ [x > 0].

260	Гл. 5. Суммы	[5.3.3
JL	, /г)\	9Bп+3)/4
7. УЧ-1П ") Jk-i/2(x)Ik-n-1/2(x) =	х
х cos	ber „n_i/2(v2ж) — sin	bei_n_i/2(v2sc) [ж > 0].
L	8	8	J
" ,пч	2Bп + 3)/4
• Z.UJ 1/2-*^ n^fc + 1/2 Ж	^_
х U (fa + 3) ^ ber _П„1/2(^2Ж) + cos (fa + 3) Ж Ъе\.п.1/2{у/2х)\ [ж > 0].
о	о
L	J
^ / <n \	qBti-|-3)/4
х cos	—ber _n_1/2(V2 ж) — sin	—Ье1_п_1/2(л/2ж) [ж > 0].
[8	8	J
9Bп+3)/4
ж	/\	/ ^ \ Г), "
10.
fe=o
11. 2^
fc=0
sin ^		bei n+1/2 (V 2 ж) - cos ^		bern+1/2 (V 2 ж) [ж > 0].
L	8	8	J
Г . Fn + 3) 7Г . ,/- x Fn + 3) 7Г	/ AT \
sin	—^— bei i/2-n (v 2 ж j - cos	—^— berx /2^n (v 2 ж j
L	8	8
m
х sin
L
sin ^		bei n+1/2 (V 2 ж) - cos ^		bern+1/2 (V 2 ж) [ж > 0].
L	8	8	J
64
b(J	H(i/ + 1) V2J	l . , 1? izn + 1^ i/n |
\	2	2
5.3.3. Суммы, содержащие произведения Iu±nk(z).

5.4.2]
5.4- Функция Макдональда Kv{z)
261
г(м-
fl + V — П
2	Jn\ 2
' /i + I/ + П + 1 fJL + 1/ + П
X 2F4
/1+1, J7 + W + 1, /i + IZ+1
3-
2F3
— П	2
5Z
2n+l
4.
» (_1)*/„чГ	/ z \ 2	/ г \1
2n^^2n^lLl /•J <5то,те - (~l)m— [m < n]
Ш7Г	7TZ
5.4. Функция Макдональда Ku(z)
5.4.1. Суммы, содержащие Ku±nk(z).
Z* * /(*) =
2.
5.4.2. Суммы, содержащие Ku±nk(z) ж специальные функции.
• - w)n+1/2Kn^1/2(z ~w)±{z + w)n+1/2Kn^1/2(z
E С) О" ^
k=0

262	Гл. 5. Суммы	[5.5.1
п
3. *y{-l)kkIk+u(z)Kk-u{z) =
fc=O
= {-l)nl[In+v(z)Kn-u+1(z) - In+u+1(z)Kn-v{z)]
4.
fc=O
5.5. Функции Струве H^z), L^(
5.5.1. Суммы, содержащие
fc=O
2. 2^-
fc=O
'-a + 3/2)n J ^, "-"T"-r-, y
- + + -	+ -
5.6. Многочлены Лежандра Pn(z)
5.6.1. Суммы, содержащие Pm±nk(z).
1 2
2. ^Bfe + 1) Pk(z) =
fc=0

5.6.1]
5.6. Многочлены Лежандра Pn(
263
"A/2-n)
(a)n
1 — a — n
-n, -n,	, 1-
4z-4-
2	4 ' z+1
1, 1 — a — n, 1 — a — n
8-
*
П 1 — 71 1
q —n
1	(л	2
1 ^ 2 •
(l/2)n
7
- 1
2 ' 2 ' 2
1, 1; 4A- z2 + zVz2 -1"
(a)*
l)K2-«)fe
(n!JBn + l)B-a)n
	n, 1 — a — n
»¦
(п\УB-а)пB-Ь)п
(H1)"
-n, -n, 2 - a - b;
13.
A/2)*
{a)n_z-2n
—n, —n,
1 - 2a - 2тг 3 - 2a - 2n
1 1	,
— , — — ft — 71. I — ft — П
2' 2

264	Гл. 5. Суммы	[5.6.1
«.о
„ о , 9ч-п / —п,	и, 	, 1	: 4 — 4z
TZ !~z	4^3	2	2	2
) V	;	\	1,1-a-n, 1-a-n
l)(n)fc	,,_ C/2)n
1 - 2о - 2n 3 - 2а - 2п
-п, —п, 	, 	;
-,	a ~ n, 1 — a — n
2' 2
+ 3) (n
,3F2f
n!Dn-l)Dn + 3)	M 1_ 5_
\ 4 ' 4
22 \ v i\K ( '" \	"v ' "	A/^Jfc
fc=O
/ "^5 ~ni 1;
n!Dn-l)Dn + 3)^	; M 1_ 5_
\ 4 '4
= 2(g)wF)n(l/2)n+i , _ z2,n з^ I -w, -n, - - а - 6; ^—^

5.6.1]
5.6. Многочлены Лежандра Pn(z
265
4fc + 3
g („-*)!(„ +6/2).
2n + 3 ^2n+
2n+l
h 2
1 — o — na + n..-2
	2	'	2~;
(a)n \-2
—fit —fit
3 - 2a - 2ra 5 - 2a - 2?i 4z2
-, 1 — a — n,	a — n
2'	' 2
27.
(а)„
1 1 — а — п ., а -
1, l^a^n, 1 — а — п
29.
(n!)
!J
2, -
' 2
5) (n + 5/2),
2n+1
2
4 '4
31.
fc=O
M
I n> I
49
2(a)nF)nC/2)n+1	w
l	;32
r»!E/2-o)nE/2-6)n
-e-n, 1-6-n

266
Гл. 5. Суммы
[5.6.1
33.
[n/2]
fe=O
(-n-l/2)fe
= -2
2m+i(n-2m)!/l
I
34.
35.
[n/2]
fe=O
[n/2]
fe=O
(-n-l/2)fe
k!
(tt + 1/2)n
[n/2]
[n/3]
36.
- 6k + 1 / 2n + 1
A;!
3 Jk
//П ^^
,1^ 1^4тгч
^ 3 ' 6 -1
37.
38. 2^ Dгг - m
fc=O
*
-(-4).
—n, —n, —
4n
Bn)!
+ 3
6	Jk
ife!f-n-i)
V	2Л
6 ' 4^^
1	1
—n	, -—n -\—
4'	4
3 3
Bn
ij 3 Г2	3	x
1		in 			/n
\	4	4
, ^m, -, 1 — a — m; 2(l — z + z\/z2 —
X3F2I ' 2'	' l
1, l^a^m^n
[m ^ n] .
40.
(m
(-m - n -
fe!(m - A;)!(n - fc)!
(l/2)TO(l/2)n
- n)k
^-Pm{z)Pn{z)
fcС)
(V2)n
^l - 3).

5.6.3]
5.6. Многочлены Лежандра Pn(z
267
5.6.2. Суммы, содержащие произведения Pm±nk(z)-
к=0
2.
5.
2к
- 2zPn(z)Pn+1(z) + [Р„
1)!C/2-п)*
9E/2J
8(п!J
,557-
—n, n H—, -, -
2 4 4
-,2, ^;
2 2
, 7 7 9>
—Tl, 71 -\- — , — , —
U
5.6.3. Суммы, содержащие Prn((p(k, z)).
2-
4-
6- E
„ (п-
п (к + п)\ К'
, ,чт A/2),
[m < n].
[n ^ m] .
C/2Ьп	. mC/2)m_
C/2)mdm'n l iJ m!
A/2),
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .

268
Гл. 5. Суммы
[5.6.3
п.
14.
16.
18.
19.
Bm+ 1)! m'n
А; + z
m + 1/2
C/2Jm r,2m 2ro+l
Bm+ 1)! Z
A/2J,
Bm)!
Bm + 1)!
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
~{Az)m	[n^m],
= (—l)mm!Em,n —
C/2),
[n ^ ?n]
2k+ z
.A/2),
k+n (k + n)!

5.7.1]
5.7. Многочлены Чебышева Tn{z) и Un{z)
269
5.6.4. Суммы, содержащие Pk(ip(k, z)).
? (-1
= -ь
2к + z
n_i , (b2-abz)n/\ ( 2b~az
2.
па + Ъ	\2^b2 -abz
кп + 1
A/2),
n!Bna + l)
3.
k=0
Пк)(ка + 1Г-к'2-\ка
Рк
5.6.5. Суммы, содержащие произведения Pm((f(k, z)).
[2т
2.
= m!(-l)"
5.7. Многочлены Чебышева Tn(z) ш Un(z)
5.7.1. Суммы, содержащие Tmjrnk{z).
" k(n\T ()_A 2	2)n/2T ( 1 + tZ
k=o ^k' k	nWl + 2tz +
(т!)"
t2
1 - 2a - 2n 3 - 2a - 2n '
(l/2)n\l-z
11	.	4z - 4
-,	a — n, 1 — a — n;
2 2	z + 1
з.

270	Гл. 5. Суммы	[5,7,1
4. J2(n2 - k2)T2k(z) = l_ [2nT2n(z) - zU2n-i(z)].
5. 2^
fc=O
Bz)
{n - к)\{п + к)\Т2к^ 2Bn)! ' 2(nlJ'
7- zJ(-r
k=0
1	1 - 2o - 2n 3 - 2a - '.
,
A	1 - 2o - 2n 3 - 2a - 2n
—n,	n,
2
(
n,
11
11
-, --a-n, 1 - a - n; 4 -
n
9. ^T2fc+1(z) = -
fc=O
fe=O
2n
12. ^ (n - fe)(n + fc + l)T2fc+1(z) = J_ [Bn + l)T2n+i(z) - zU2n(z)] .
fc=O	^	'
E (n _ fc)!(A + n + i^+iW = Bn
- D-d'(n_ ,)УЛ
4 3
1	1 — 2<i — 2ti 3 — 2ct -
-n, —n	, 	,
2	4	'	4
-,	a — n, 1 — a — n: 4 — 4z
2' 2

5.7.3]
5.7. Многочлены Чебышева Tn{z) и Un{z)
271
(а)к
«(!
17.
¦ Bп)Г
A + а + п)к
1	3 - 2а - 2п 5 - 2а - 2п '
П' 2 ~ П'	4	'	4
3	3	4z2
2'	'2	' z2^l
19.
fc=O
[n/2]
fc=O
[n/3]
fc=O
[n/2]
fc=O
n
fc=O
5.7.2.
(n — k)l(k + n + 1)!A — a — п)д.
<>2[n/2],n
'[n/2]
>/2]УA-а-п)[п
/2]
(l/2-n)fc
1
+ 2
Суммы, содержащие произведения Tm+nk(z).
1
4(-l/2)n(l/2)nl
2.
9 | о
' 2n+3
1 v ' 2Bn + 3) ^"^	; 4
5.7.3. Суммы, содержащие Tn((p(k, z)).
[m < n].
n) (-г)"

272
Гл. 5. Суммы
[5.7.4
3.
4.
8-
9-
12.
2m-l 2m
A; + z
\m+l/2
k + .
= (-l)TO+1m!Bm-
5.7.4. Суммы, содержащие Um+nk{z).
fc=O
2.
3-
.-к
k + 1
'1 + 2tz + t2
(n-k)\(k
Bn-
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .
[n ^ m] .

5.7.4]
5.7. Многочлены Чебышева Tn{z) и Un{z)
273
4.
(a)k
-Al-z)-kUh(z) =
Bn-
_1_ 3^2а^2те 5 - 2a - 2n ш Az - 4 <
l' ^2 ~ П'	4	'	4	' z + 1
3	3
-, 1 — a — n,	а — n
2'	' 2
fe=O
Bn
3 1	3
2'	2
n + 2)\{2k + 1)BA; + 3)
Uk[z) =
^-n-l/2
7.
(n - A;)!(A; + n + 2)!C - а)лC - b)k
=	2n-1(a)n(b)n
Bn + l)!C^a)nC^6)nl
C/2J Bn
Uk(z) =
/	1	2
/ —n, — n	, 3 — a — b:
3F2\	2'	l +
I	l^a^n, 1 — 6 — n
8.
9.
1	/ —n - 2, 72 + 1;
^1 (	1
fe=O
»¦
fe=O
1	3 - 2a - 2n 5 - 2a - 2n '
^П' 2 ~ W'	4	'	4
3 1	3	, . ^2
-, 1 - a - n, - ^ a ^ n; 4 - Az
л	л
C/2)n'
l-2a-2n 3-2a-:
— 71, —71	, 	,
2'	4	4
4z2
a 1
-,	a — n, 1 — a — n;
2' 2	'	z2 -

274	Гл. 5. Суммы	[5,7,4
16- У
?j (n - к)\(к + п + 2y.iK+^> ~ Bn + 1)!'
к
'z) =
1 3 - 2а - 2п 5 - 2а - 2п >
A '6 — la —
—п, —п	,
2' 2
3 3
-, а п, - а
1	3 - 2а - 2п 5 - 2а - 2п л
22п(а)п г^2п(	2,п	| ^П' ^2 ~ П"	4	'	4
—, 1 — а — п,	а — п: —п
2	2	z2 - 1
17
(» - *)!(* + » + D!B - a)„B - b)k
Bn)!B^a)nB^6)nv ; oz\ i _ а _ n, i _ Ь _ п
[п/2]
fe=O
[n/2]
19. ^(-l)fc(n-2^-
fe=O
[n/2]
= —2 m—7	гт~~(¦""""¦w ~~ 1) _i_i A ~~ z ) С™2тЫ [2т?г :
(n + 1)!	m+
[^] r-n-l/2U	....
21. V (-l)fcB^ - 4k + 1)^	^^n^fcf» = (-2)nBn ¦
fe=O
22- 2^
fc=O
n
23. ^t

5.7.6]
5.7. Многочлены Чебышева Tn{z) и Un{z)
275
2-
5.7.5. Суммы, содержащие произведения Uk(z).
(n + 2f[Un(z)}2 - 2{п + l)(n + 2)zUn(z)Un+1(z) + (n
C/2 + n)fc
¦2)!C/2-n)fc
22"n!(l - г2)
г2)
¦[ftnW -А+1Й
5.7.6. Суммы, содержащие Un((p(k, z)).
!¦
[m < n].
2-
kz) = n\{-2z)n
3.
- E
= nl(-2z)mSm,n -m-
[n ^ m] .
[n ^ m] .
5.
- z)mU
- (m
[n ^ m] .
6-
[n ^ m] ,
7.
= {-l)m{2zfm+1m\5m,n - 2{-l)m{m
8-
10.
11.
^) =2(-l)m{m + l)\Sn,n-
[n > m]
[n ^ m] .
[n ^ ra] .

276
Гл. 5. Суммы
[5.8.1
12.
(к + z)mU2
= (~l)m+1m\Sm, n-Bm + \)zm	[n > m] .
14.
= 2(-l)m(m
I к
к + z
чт + 1/2,
J2m+1
, п - 2(^1)т(т + l)zm+1/2 [n ^ т]
= (~1)тт\Bт + 1Nт,п - (~z)m	[n > т] .
IT
-*) =
5.8. Многочлены Эрмита Hn(z)
5.8.1. Суммы, содержащие Hm±nk(z
fe=O
or
2
rl/2-o-n/ 2
A/2-n). __2fc
2
(l/2)
-n,	n, 2, . . .2
1, • • • , 1, —2;
те l — ii
fc=O
13 1
1 - 2a - 2гг 3 - 2a -
1 1	x	^2
-, 1 — a — n,	a — n: Az
^2'	2	'
fe=O
LJ ( \ _

5.8.1]
5.8. Многочлены Эрмита Hn(z
277
(
1 - 2а - 2n 3 - 2а - 2п ¦
/ П 1 — П	4 ^
(n-A;)!Bife)!
I' 2' 4
11.
fe=O
C/2)n V 4
(-!)*(<*)*
4 7	4
3 3
-, 1 — а — п,	а — п
А	А
,
;
И
,C/2)„ i_2
' 2
п 1 — п
2F3
2' 2 '
3 5 3
4' 4' 2
(a),
_ 9_(X)n i-2n
3- 2а-2те 5-2a- 2n
_9(a)n
4 ' 4
3 1	3
-, 1 — а — п,	а — •
2'	' 2
A 2
; 4z
V-
(а)*
-n, ---n, 2, ...2
= (-1) ^TLn

278	Гл. 5. Суммы	[5.8.2
/ :) = 2	^z П2^з|	3 5 3	Г
V 4' 4' 2 /
-ц что+те <г}2т т — п —1/2 / 2\
/п\ (а + тп)к	.	. . ш A — а)п I ^^п — п, a; z \
Vк/ Bк + 2т +1)!	m	(m + n)! I _ а^п I
\ 9 '	/
k) (k + m)} H<2k+<2m+1 (Z> = (-1> 2 zLm+n
2h+2m+l{) { ] ?^^2\ \,a-n
[^]	2~2k	BzJn f-n,--n,a--
27' E ,U0 лили Л H2n-4k(z) = ^-fSF1\ '2	2
fk\B-Ak)\(a)h	Bn)!	^ 2a - 1; -2z~2
зо. 2^
fc=0
"' 2	'	2
2а -1; -2г~2
\ 2; -2г
(Г)?^Ш	^!	[[25], D4)].
fc=0	\	/•
5.8.2. Суммы, содержащие Hm±nk(z) и специальные функции.

5.8.4]
5.8. Многочлены Эрмита Hn{z
279
2.
[n/2]
3- E
E („ _ 2fc)!(A
5.8.3. Суммы, содержащие произведения Hm±nk(z).
¦ Ё (D
Am (-1/4)*
[
2 1/2_„ 2
- ^-e*2 ertc(z)Hn(iz)
4.
5.
m-2k{z) = (-4)nn\Ln(w2 + z2).
n
6. ^ (")Я2П_2*(«;) H2h+1(z) = {-l)n22n+1nlzL1n{w2 + z2).
(l/2-n)fc
22n 2
h=0
T
n!Bn
• Ё
t "
I2n
(w2 + z2)n+1/2U2n,
5.8.4. Суммы, содержащие Hn((p(k, z)).
[т < n].
2.
fe=O

280
Гл. 5. Суммы
[5.8.5
3.
= (~A)m+nn\{m + n)\zn*
fc=O
( I)" ^ n
n)\zn
\m+lo2m+l
} 2
6. V(-i)fcf"
fe=l
m--n
\2n+l \ л n
)	1 ff
_ n _ fc)!(
Bm)\n\
Z \
fe=O
.-m-.)fcz
!	A „	A/2-m)* /4a \
a ° / j ak+n~(	, | 4/	777 1 77 J
frl	(n + fe)()U
777 1
(-l/2-m)fe
¦
2.
C/2)TO	^	f_
5.8.5. Суммы, содержащие Hm±nk((p(kJ z)).
f z \ _ {^\)пЬп^г 	Г_
2
a-l/2bn+l/2	, /fl
3-

5.9.1]
5.9. Многочлены Лагерра Ln(z)
281
4.
'
'
[n ^ 1] .
(fca
а"
B*)
Bn)!(no
! 2k
5.8.6. Суммы, содержащие произведения Hm±nk((f(k, z)).
[2m < n].
*
ДТТ
'
f^o Bk
"
2к+1
Ш
+ z2
5.9. Многочлены Лагерра L^i
5.9.1. Суммы, содержащие L
(-г)" 2п
fe!(fc + т)! L-(^) - (	L
X±nk /
(
2-
fe=O
[m ^ n] .
[m ^ n] .
! (A
l)m(A-a
т!(А
-тп, X-a + n + 1; z
A + n + l.A-. + l
6.
(m + n)!

282	Гл. 5. Суммы	[5.9.2
{а + т + п)к Т\+к( ч (А + 1)т /-га- n, a + га;
8. 2^ ^ ^	л + m + i
п\{т + п)!(А ¦
fc=O
10. ^(
fc=O
i\f\	r/ \ (A + l)m(a- A)w „ / -га, А - а + 1; 2;
) UJ(l-a-n)/m (Z)^	2F2
_fc/n\ (-A-ra)fc(a + ra + n)fc л-fe/ ч {~z)m „ (-m - n, -\-m, a + n
(a)*.	ra!	V	a; -
«¦ E
15. 2^;
fc=O
fc=O
(A + a + m)n(~z)m / —га, —A — 771, 1 ™ A — a — m
m!(a)n	\ 1 — A — a-m — n; —z
J + m + lWfe + lI"» {Z)-
5.9.2. Суммы, содержащие
n"~1
2- E
-n, -щ z

5.9.2]	5.9. Многочлены Лагерра Ln{z)	283
п	I	X —а — п-\-\ X —а — п	. \
О. / (—1) 	Lju\Z) :=: 	 2^2
(те 1 — те	2
~2"' 2 '
^±1,*+1,А +
^ \^^m	ГА/„\„ v^/	с |^w,^n^A,2,...2;^z
Л-a-n + l Л - a - те + 2 >
	о	' 	2	'
2	J
(тг 1 — те	2
~?J 2 ' ~Z
(A+lJn
^ГП>\ (fc + m)! л
fe=O
/^ {Jfc+m (k + ш)! n^fe^ ^ "~ (x _i_ n _i_ i)—Z^ ^~ ^ jfe!(m — ife)!
fc=O	fc=O
n	/ /i\fe	/ ^\'m / —тп, —A — тп. n -\- — \
15-?(^|(S)i<-A-"'^->W=W>«	.. ,-, 2
"	/_4\fe	f-z)m I -m, -X-m, n+ -
16. Л	(~^ ~ m)fcb^^fc(z) =	—3FL	о
fc=o n ¦	W-n-	\	25 ^Z '
[m ^ n] .

284	Гл. 5. Суммы	[5,9,3
5.9.3. Суммы, содержащие ^m±pkiz)-
(а + ^М)	_	(^!)n	гЛ-a-n+l
L(
4. E(.).(-,)-'«-w = <iMz^z,ft( ; __
fc=O
5. ?(-A - l)*(-z)-*Lj-*(z) = {-\)n{-z)-nLl-n+\z).
fe=O
7
)Kl-A-n)* * l j n!(A)n-
(-1)*	,>->,,_ (-^)"	/ n 1-n	4
L BKF4a
Y^ (n - fc)n fc A_fc
A-fcf ьИ)пН"п „/	-n,l;z	\
k {)	nl(a-n) 2 2U-n + l, A-n + l/'
n	_д,
Z
^ (l/2-a-n)fc -kTx-kf
2a	n!(
—n, a: z \	/ —n, a; z
+ F

5.9.3]
5.9. Многочлены Лагерра Ln(z)
285
(—А — l/2)fc
{-X)n{-z)~n
2(A-n + l)(
r A —n+1/2/
15.
—n,	n; z
2
- -n + 1, A-2n
^ 2	y
Bn-2A-lJ
Bn)! _2n_2A_4n+i,
(n - ife)!(l - a - X)k(l -b- Х)к(п - A + 1)л
n!(l-o-A)n(l-6-A)n'
18
(А
—n, l^a^ft^A; z
1 — a — n, 1 — b — n
[[25], D2')]-
19.
(a)fc	fc V ; n!(a)n
ptfeL^2fc(z) = n\{-t)n Ь$Г*п
( AJn(-^-n3F3|
^2n, 2n + 2a — 1, ^A
a; ^z^1
y^ Byi^2fe + a)(^A)fc^^/;
^ (n — k)\(l — a — n)k
n\(a)n
X — a
	n,
n: z
- 2k)
n\(a — XJn

286	Гл. 5. Суммы	[5.9.3
25 у_\^	(-A)fc	z~kLx~2k(z) =
f-A)n+i , ,-п „ (	-п,1] z	\
26. >,
к=0
4- 1 >
• E (!T-*)B*
I n-*( } *	C)^!2FH 2.A
'	22П	A-l)/2-2np\]2
V2/
зо- eC)^
2np\]
/c=0
(A-n + l)m L-+"(z)'
-m-n,o,-A-m
(TO + n)!
33. ^
ЧА V^	(~4z)fc гп+к-1/2, ч / ,,m("+ l/2)
34" Z,(n_fe)!Bfc)!L-* W = (-!) Bm)!n!
- E (?) *T2L"+-*<*> = (n + iKn+2) t^w + (»+ч^"w - Cr'w]
[m ^ n] .

5.9.3]
5.9. Многочлены Лагерра Ln(z)
287
П\кг1 х+к
)к L
л+п
[га ^ га;
Е (!
, - га)!(-Л - т)пЬ^~п(%)	[т ^ п] .
40.
M
2n+l/
l

(A + m + l)n
[m ^ n] .
2F2
-m, A/2; z
A, A/2 + 1
_„\п + 1
lJn
Л
— ?n + 1, n H	hi; z
2
[га ^ га] .
44-
(А + 1)п /-га, а -1/2; 2z
[п/2]
45. ]РD^ + А)-
fc=0
(a)fc(A/2)fc
^ (A/2 - a
2fer A+4fc/ ч _
A + l
— а;
46.
fe=0
lit. — Агь III —ft — _L / Zi I fc
[n/3]
—ra, —; —
3 4
A A + l
^ 2"' 2 '
48.
(A + l)m(A
[m ^ n] .

288
Гл. 5. Суммы
[5.9.4
5.9.4. Суммы, содержащие Lrn:j^pk(z) и специальные функции.
1. V ,(~Ч ,Ма - к, z)L?-k(-z) = (-Vr^-il
Е-
fe=O
3
4. V
- к,
a)n
- га,
fe=O
fc=O
A-2n+2fc + l/2
п!(-А-1/2)а„-
3)
2-"Bп)!
(п!K
3 '
-n, -ra, -A-ra
2n + i(tO^z) ,
C/2)та
1
-П, -
2

5.9.5]
5.9. Многочлены Лагерра Ln{z)
289
+ z)n ^
C2n
l/2)n
2n+1
5.9.5. Суммы, содержащие произведения Lm±pk(z).
±k(z
»¦
D
3.
-n,-A,-/.-,,; -L)
4-
л
fc(w) -*
2ц;
6-
П 1 — П
2 ' 2
2
V )fc
(№)Z {
A-2n/
-2fcrrA-2fc/
A —
V i^Z)
fe=O
10 Ю.А. Брычков

290	Гл. 5. Суммы	[5.9.5
19 \^ V Z) i-A+fc/ wA-n+fc/ ч _ I 1) / х	ч гА-n/ \	г •> -I
2^—&]— т yz)bn~k i~z) — —^]—{~л — т)пьт [z)	[т ^ п\ .
к=О
\^ II)	Хк	к
fc=O
fc=O
16.
К I
fc=O
х+к f^\Tx^n+kf^\
m^k(Z)Ln^k {Z)=
fc=O
[га ^ п] ,
17. ^Д i! ICtWiJT H = ^р^+Л(г)	[m > n]
/m + A;\ A_fcr ufc_m_A_ir ч _ (-A-m)n A f ,	,	,
k = 0
20. > Bfe + AO
/ А Л + :
'2' 2
A; 4to^2z
hiT (-7)' «•*'"'"' = ^(' + 7)"
21.
/"Л — /?	1 m/o/ \i/i	\	\—7i	\	\— k \z)*Jk \—z) —
k=0
(X 1-Х
'	' 2 ' 2
a + —, —Л; —j
2	z
23- Е (w_fe

5.9.6]	5.9. Многочлены Лагерра Ln(z)	291
5.9.6. Суммы, содержащие Lm±pk((p(k, z)).
2. ±(
n
to
4. E(
n V^ n
5- E (-1)
6. 2^-
fc=O
i:(fca + 1)n;V
(n-fe)!	fe u	; ; n!(na + l
^)!L"-*(fc ' ~ '2Щ + ^TLn \~z)
11	\ A	F
Пв ЬЛ (fcT^)!Ln^(fc Z) ~ 2{n-l)V
12	\^/,2fc^4 z т2к (Ь27\^
bfe (jbTTOl Ln~k{k Z) ^%{n^ 2)! + 2(n - 1)! *
2 ч _ ?
^	(ife + n)! n~k[ ] " 72(n - 3)! 32(n - 2)! + 2(n - 1)!"
	2		2	/	-i	2
%, af-n,l;-a
2 2
2(n!)
10*

292
Гл. 5. Суммы
[5.9.7
16.
п! 9(га-1)Г
IJ
is.
2 I 3- m 3+ ш
19. ?BЛ-
fe=O
(A),
11/1,2 '
20.
(n-k)\(\-
-A-1-
23.
(-a) 6
5.9.7. Суммы, с о д е р жа щ и е Ьт^рк((р(к1 z)) и специальные функции.
1.
BA-lJtl+2
2
чп-1/2
3(n
л_1/2
2n+3

5.9.8]
5.9. Многочлены Лагерра Ln(z)
293
3.
B*)!
(-A-n)fc_ А
*-E-
fc=O
•¦ Е
(—A —
л
5.9.8. Суммы, содержащие произведения Lm^lk((p(k7 z)).
2.
„ Vr л\к(п\кттх( z
4.
^ (
-(-1Г
(m!J
[2m < n].
[n ^ m] .
[n ^ m] .
+ n + l)
[3F0(-n - 1, -A - 1, -/x - n - 1; гу Xz x) - l]
(n + 1)!(A + n + 1) (/i + l)n(A + n

294
Гл. 5. Суммы
[5.10.1
r- Е TTTL^
= Е
fc=O
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
5.10.1. Суммы, содержащие Ст п (z).
^^ (-П)к(п)к	к^т( ^ , ,т (~-тJп /%ш-2п с,
1. > ,,.чо,, . .. Ст (^) = (-1) _,/Q^XfBz)	2Fi
2.
(a)fc
т	1 — т
.-A-o-m)n / --, —5—, 1-A-a-m-
—:	\	3-Г2
4
= (-1)Г
^^2 (А)
(-3/2, А-3/2)
(
= / 1чт(А)т(а-Л-т)п /-ш, А + т, А-а + т +
1 j	"г!(«)	3 2{l\ +	+ l>
(l/2-A-m)fc
k[^-A-m) A-
/ к
¦A + fe-2m, fe-n-1/2) /^^ + 1
[т + n ^ r]
7.
Bm)!(A + l/2)m+nv	'
i-fe —1/2, fe —n —1/2) /o 2 -, \ г i \ 1
¦n-k	Bz — 1J [ra + n ^ r\ ,

5.10.2]	5.10. Многочлены Гегенбауера Cn(z)	295
8 sr(n\	i^h	(~* ukrx+k<z)- (A)'»A-g2) ;:
?^Qyk)(\ + m + l/2)k(k + l)[Z Ч °2m (Z)- 2(n + l)(\ + m-l)X
+ 2m-l >-!,. 22m+1(m + n + 1)! (Л-з/2, -п-з/2), а Л
14
[т ^ п] .
, ^mo (А)та+1(а^А^т^1)те /-т,
12 \^f l)fcfnl	^ ^к	Cx+k (z) =
^ } U/(A + m + l/2)fc 2m+l1 j
= 2г^2т
C/2)m(A + l/2)m+n
22r7t+1(A)m
+1
[m + n
BXJm+iz
X
[m + n ^ r]
k=0
f2A + 2m^ 1^л-1 / ч _ 22m+1(m + n + l)!z р(л^з/2, -n-i/2)/9 2
тг + 1)!(А + m + l/2)n m+n4
5.10.2. Суммы, содержащие
BАJп
	 I 	 I	Q Г О I
1 - п - Л, -2п - 2А

296
Гл. 5. Суммы
[5.10.3
(VP^l-z)^
п-к
X [-
П + 1
^A-n-l, 2Л-П-2)
")]¦
ч
n + l)fcBA - a + l)fcBA -6
4.
га!(А + l/2)nBA - а + l)nBA - b + l)n
n, 2
1 — a — Ti, 1 — b — тт.; —
(n - k)\{\ + l/2)fc(A + n-
n!(A + l/2)n
5. y-1) B* + A)
6.
C/2),
7.
)!(m + A2A;)
(n — in — A + Ijfe
= ~22n(m - 2n)l(\)n(~m - A)n+1(l
^/JfeJ
[m — n — A + l)k
= -22m(n - 2m)!(A)m(-A -
5.10.3. Суммы, содержащие Cm:^pk(z).
[m ^ 2n]
[2m < n]
A/2 -A)n / 2 \"A fc(-n)fc
^°n (A-n
^ fcrBn - fc) A - 2A)fc
1, (n _ A)! (i _ X)k
3-
7i VT
(.1 — Ajfc
a + 1, 1-2A
* Л
1-	-1	fe

5.10.3]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
297
5.
(A+n-l/2,-2A-2m-n)
7.
2 ) (A + l/2)m w
'-n, i-n, 2, ..., 2;
Vl + zr
C/2)п
fc=O
n-l
- Л - п, 1, . .., 1
9-
2n v
13
•EC)
пл	A/2),
ra + 1
1 i. 2
2' '
,i
(A-n-3/2, -n-3/2)/9 2
fe=O
(l/2-A)n/ z
n!A/2)n ^
1-n	1
^ 4' 4' 2'
a-3/2, -a-n+l/2)/9 2 _ ^\
fc=O

298
Гл. 5. Суммы
[5.10.3
C/2)та
А-п-З/2, -п-3/2)/9 2
in
(
n 1 — те . 1 . >
	1 	1 A, — — A
2' 2	2
1 Q 1
- - -• z4
4' 4' 2'	*
y- (^l)fc(l - a - n)k z-2
-n, A — n,
2A-1 2A + 1-
(п — к)\ A — АJ
2A(a)n _z-2n F
— 71, A — П + 1,
2a
- A + 1
ra!(l-A)n'
\
(l/2-A)fc(l/2)fc
3
-,a,
-^ Dk - 2А - l)DJfc - 2A + 3) (га - к)\(п - А + 3/2)fc(l - AJfc
2A/2-A)n
nlDn - 2A - l)Dra - 2A + 3)A - A),
"A-2:2) " 3^2
F l
3*2 2A
2Л + 5
23
Bm)!
— 771, A + 771,
2Л - :
3ifM 2A + 3 . 1 , 2
/71 — 771 + 1, A + 771 + 72 + 1, flH
fz2 _ !)n+1 „FJ	4
l^	-1/	3^2 I	o\ 1 т	*}
™;
[m ^ n] .
24.
(A)*
(A),
¦2^^r(-n)feE; -1J .
—1/2, k — n — 1

5.10.3]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
299
i).
ТТЛ
m)\ (- ^
\ 2
1/2га
2 V n / [(m + га)!
\ Г n! p(n,-n
/ [(m + га)!
-n-i/2)/Q 2
[rra ^ га] .
——C2n_2h(z)-
t с-»" С)
-a + l) (A)m /-m-n,a-m
^T^	3F%
A-A)fc
—тп — n, ci, A + rra
а-п, 1; г2
33-
04
-a + m)n(A)
ro, 2
2fc+l
/ ч _
\z) —
C/2,A-n-3/2)
—rra — га, а — rra,	А — rra
a-»"-n, -;
A
; ^
A Z — I
-n, -i-n, 2, ...,2
„fi

300	Гл. 5. Суммы	[5.10.3
37# V^	г	(^ ^-л^л-л (^ _ 2\z(l/2-\)n
f^0(n^ k)\(l - Х)к Х	J ^2fe+1^; " n!C/2)n
n
38. V
к=о
2(A)n+l 2n+l V^, ,¦.* к ( — п)к( —1/2 — Tl)k -2
"n\	C/2)fc	, 2 ^-ib^A-ife , x 2A
fe=O
3E/2)та ^A^n^l/^^ / ^n p(A-n-3/2, -n-l/2)/Q 2
[С23 (г) " (} гР	Bг
Ail	2
—n, a, A + 1; z
fc=O
z) = z 1 —
45 V	(-1/2 -
45" Zj(*)!(iA
	, 	, Л + 1,	Л
2 2 2
око
- - -¦ Z
4' 4' 2'	'
4fi f-	4fc - A + 1	(l/2-A)fcC/2)t	, Jrt >tt
^Dfe2Al)Dfe2A + 3)(fc)!(A + 3/2)(A)l г'
- A)n+i, ,.-n /-«- 1, A-n
^1^ 3^ [ ™±
_ n, ^±^ _ n
4	' 4
47
47.
fc_0	.-.v- .-/лге	л!A — 2A)A — Aj2n+2
3 .	, . 5'
Гг2 ч-n-i A_2n_2 , A - 2A)C - 2A)E/2 - AJ f ""' » ~ Л' n ~ ¦
'* -i) c2n+2 W- 2(п!JA_л)(г2-1) 3F2f

5.10.3]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
301
48
48.
6(п
г!A^2А)A^АJп+2
3	5'
-n, - - А, п- А+ -
-m-n, a ^
50
(l-q)w(A)
ro+i
-m-n, o, A + m + 1
3/2)fc
A-A)fc
(l/2-n, Л-1
53
Bш)?(А)тA/2^А^т)те
(A^n)m(^A^2m)n
fe=0
Bm + 2fc
Bт-
- A - m)n	2 n A^n
I12 j ^
(А — n)m+i(—A — 2то — 1)та
2z{z ~
п. а — m,
2
(A)fc
m?(l^A)TO^v ; \к
.-kt

302	Гл. 5. Суммы	[5.10.3
о	()
^^^	(i) (
2/fe
_"!* p(n,l/2-n) Bг2 _ x) _ J_p	(Z)| [m J> „]
[n/3] 1 . q
&У- / , 	71	о	 <^n-3kKz) ^ ^ ЛГп
2\2fc
\
1	1
2' ^W+ 2
f -; 2 - 2z"
2'
Ш
/	1	1
2n+i ^ I	'	2	2
3 2
i;
[n/2]
62. ? (8. + 2A -
(. x 2Л + 1
—n, n + A,	a; 1 —
' '4
63. ^ (8* + 2Л - 1) л + 3	1
( 2Л + 1
—n, 7i + Л + 1, 	— a.
^±l,A_2a+I;1_^

5.10.4]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
303
[n/3]
64.
12* -
'"
2А-1 .
—га, 	, А + га
^n+l F I	6
Bп)! 3 2 I 2Л - 1 2А + 1 3~3z2
[n/3]
65,
4-
-t-
1	\ '
	га
2	/зк
2А- 1 .
—га, 	, А + п + 1
Bп-
-zsF2\
4 ' 4 ' 4
5.10.4. Суммы, содержащие Ck{z) и специальные функции.
A-А)/"-^
,пA/2)П1
= 2Г>
—п, —гг, А
2	2
.2 _!Ч-1/2
-,	п:	w(w — 1)
,2' 2 '2 2 l	;
2. 2^(w^vto2
fc=0
"Az(to2^l)n/2:
—n, —n, A + 1
3 1	Z2	Z2 ( 2
-,	n;	гу(гу —
,2' 2	2 2 v
3. 5>2-:
fc=0
/	, 3 x
F2( -П'"+5'2
" 3-^2
1,1; (l-
4
, 5 x
2' 2
1,1; (l^
2\k
3/2)fc(l/2-n)
ll-w
2k+1
-n,
4 4
1, i, -', (I~w2)(l~z2)
' 2 2	y

304
Гл. 5. Суммы
[5.10.4
(„
ll~w
^2fc+2 / ч _
,«35
3)Bfc
= (га + l)(n + 2)Bn + 3)n/1 - w2 z 4F3
4 4
h ^k	C/2)
fc=O
x T2k+i
10.
C/2J
2fc+3/2
Bn + 3)Vl -
¦2Fl
E/2J
11.
E/2Jfc
fc=0
Bn + 3) z
(n
C/2J
1-
(^l)n
n^2fc (z) =
C/2Jfc
fc=0
(k + n
2'

5.10.4]	5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)	305
A/2-Х)п_гпA_г)-„ р ""' г
(
2'
,A_n+
1	2/-,	—2\
—n,	n; w A — z )
fe=O
^Bn-2* + l)!(l-A)fc'
i ^n-> ^n	5 tij2(l — z 2)
г A"г) 2F\ \X-n + ±
\	2'	2
x 2/i
—n, — n	; w A — z
= 4АЮЙ^^^A-а)--^ГП'"Г5	1
—п.	п: w(l — z 2)
'2	' l	;
1Г^ (Л n)fe /	2
2^ i	^л—V1 ~ z
k=0 ^ ^k
/i , ,\ /1/9 .Л	/ ^n> ^ra	i w(l "" г
(A + L)n(L/Z — fi)n _2n+l/_2 ,\-" ri I	2
20 Vf4i^ 2Л
20- Z.I4* - 2A
= 2M	n!C/2)	г ^ ~ ^ 2/?2
, 14 (l/2-A)*(l/2)fc
(n-A + 3/2)fc(l-AJ
_ 2A/2 -A)n+i г_л/ ад
21 VDfc - 2A + 1) (^-A)*^/2)* ( w )k L2k-*+1/2(w)^x-
' ^	'(n-A + 3/2)fc(l-AJfcV«2-l/ "-fc l j
_ 4As(l/2-A)n+i г-л-1
—	7 л^	L'n

306	Гл. 5. Суммы	[5.10.5
п,, 2ц + 71, ^А
99 ГЛ )PVr«( I^+'П BM)n
22. ^2 Ы*(——) Ь* (w)C^_fc(z) = —— 3Fi
23.
[n/2]	Г,Л	/ --, —,
k=o	'	\1 — [л — п;	о
11) Z J
1 -.
-n, 2/i + n; to
[п/2] / ч	/ ч
26.
л 1
A/2-/х)„ / wz \	'	'2
„!(l/2)n	MMn+;
2
27.
2я+1
;
2	w
[п/2]
28. ^Bife^n^ X)(^n^ Х)кЬ^2Н
5.10.5. Суммы, содержащие произведения
[[51], B3)].
^2п\(л о \ (A)nBA + l)n rfrx-x/if ч rrKil /Оу|м
= 2 All —271)-;	г™™;:—;	:—О9эт	\Z) 51, B4) ,
1	y(A + l/2)nDA-lJn
2А-:
m+n V n
Щ [20], C)]

5.10.5]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
307
>/1+;
/-1 _
V1
' 2
—^i ~~ — П. Л
2
.-А)*
—^i ~~ — ^i X
7- U(l-.
fe=O
A - A)*
-i,A-
2
k\(\
A+I,2A
9
A
—7i, A, 2A + n H—
2
A+i,2A;(l-№2)(l-
1П
10.
A)fc!BA
2A+2H-1/2/
-n, Л,
4Bn

308
Гл. 5. Суммы
[5.10.5
_ Л)|(п - 2А + 2)*A/2 - п)к °2п
3 1
A^2А)C^4АJта ^ f ^П'П^2Л+2' 2^Л
Bn)!
1-г2
13.
fe=0
. - X)l(n - 2A + 2)fc(-l/2 - n)fc 2n^2fc"
_ B - 4AJn+2w
~ 2Bra + l)!
(A + n
3 2
BAJn
Л А+1
+i
2Bn)!
, ;
fe=0
x a
А Л+1
2Bn
Л
fe=0
A+2fe+3/2/
2A2(A + 1)BA-
Bn)!
-n,
2
A + l A

5.10.6]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
309
16.
(A + 2k
3/2J
(A + n + 2)fc(-l/2 - n)kBX + lJfc
X G
Bn
5.10.6. Суммы, содержащие
3^
A+1 A . 1
—n, 	,	hi,
' 2 '2 '
, *))•
!¦
2-
6-
8.
Q
9.
10
1U.
[m < n].
nlBX)m+n
n V 2
l/2)
2)k V 2/
|) = (-1ГBА)т<5т,п -
^ Z
[п ^ га] .
[га ^ га] .
[п ^ т] ,
Bт + 1)! m'n
2m+1
Bm)!
~Bm + l)!l/TO
т
[п
[п
[п
[п
Bт +
[п;
!
^ т]
^ in]
^ т]
^ т]
1)!
> га]

310
Гл. 5. Суммы
[5.10.6
12
12«
fe=l
, n!(A)TO(A-
Bm-2n)!
-B*)
/fc+n
2n - 2mJfe
[п^т].
Bm- 2n + 1)!
n (fe + n)](n - 2m-A)*
15.
17.
20.
(A + m + l)m_n /O^2m_2n+i 'v^1 _n	Bn - 2m - lJfe (^„\-2k
[n ^ ra] .
22.
Bm + l)\^'2m+1Um'n Br
Bm)!
Wr,
[n
[n ^ m] .
= (^1)m /9ffW I 1 \I BAJm+l<5m, n ~~
2(A)m+i
г
[n
m] ,
A
2m+l
= (-1)
1 aI^ A-1 F*\ - ( l\m(\\ r
(ka + b)n
!L)n
(na + 6)A — A)n

5.10.6]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
311
«¦
2\z
+ с - «•) -
' ^ A-А)„(п + 1)(о-п) п
(_1Г2П+1Л^1-П	д_
24. V-
k=0
In
fc=O
n-k)\(\-\)k
(-2A)n(n + l)BA + l) k
(ka + z + l)n^ ~ Ck ~~ (ka + z) =
26. 53.
k=Q
2n)!Bna + l)(l- A)n'
Bn)!
2' a z
-A - 2n + 1, - + 1
\п-к-1/2п\
)	C2n-2k+i
A 1
2' a'
-A-2n,I
a
2' a' 2:
fe=i
fe = l
32.
33.
Bn-
¦и)-^
A/2).
Bn
A/2J
)!(^ - 1/2),
[П ^ 1] .
(n^ 2)! J "
Bn + 5)zj
8(ra-2)! J '

312
Гл. 5. Суммы
[5.10.6
34.
Bn + l)Bn + 3)Bn
l)Bn + 3)z2 Bn
35.
V^ » 2fe-6	(l/2Jfc
(A; + n)!(^n -
128(n-2)!	4(rc- 1)!
,2 \ _
- к z) —
2n + 3)Bn + 5)z2 Bn + 3
576(n-3)!
36- Т.ТГ—2ПГ
^^ k2 + a2 (A; -
/2 ч _
n\2 {n + l)\Bn-l)z
128(n-2)!	4(n - 1)!
-n- 1, n- -, 1
г a
2n-2fe+l\
a
"ra!2"
38.
39.
—n — 1, n H—, 1
га, ^ia; a2z
^^ + V2
C/2Jfc
(A; + n + l)!(-n - l/2)fe y/1 + BJb + IJ
40. ±Bk + 1)
41.
C/2J
(A; + n
42.
A/2)
fc=0
fc^2fc+3/2/ /i i
20Bn
4Bn + 3)Bn + 5)z2
n! 81(n-l)!	225(n-2)!

5.10.6]
5.10. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
313
43.
C/2J
(A; + n + l)!(-n - l/2)fe ^1 + Bk + IJ,
44.
¦lJz) = Bn + 3)b
C/2J*
+
B*
225(ra-2)!
—n, 1, n H—: a z
2 ' 2
C/2J
IJ + a2 (fe + n
2 ' 2 '
46
47
J	(k + n)\(l/2 —n)k 2n 2k
l
= g2/^1^ {Bn + 3) z з^о B - n, 4, n + ¦
П — I
n!AC/2)n
3Fo( 1 - n, 4, rc + -; 2;
f.2fc + 2
до
(n-2)!
0(i - „, 4, n + |;
49
n + l)k(l/2-n)k
2* Ш)-
n!A(l/2)n
(-6)" .>-»
C
^-nlla

314
Гл. 5. Суммы
[5.10.6
52.
{п-к)\A-\)к
az — b
53.
- Л)п
az — b
54.
Bn)!(rm
56.
fe=O
n + l
fe=O
(n-*)!(!-A)*
2(n + l)!(A-l)
(a
2(-l/2)n(A-l) n
p(A-n-
J Г».
-1 -
57
A-A)n(n
a + 1/ a -
э(А-п
^
a + 1
1	ra^A-n/	^
(l-A)n(a-n)
fc=O
^2 + jfe + i
X '2ATlC2n
i
(-A)n(n
n-A)(o-n) 'n
60.
A/2-A)w
Bn)!(rm + i;

5.10.7]
5.10. Многочлены Гегенбауера Сп(
315
Bга-
)П / 4
+ 1) V z
}k/2
Bп)!Bпа
64. У-
65.
(п - к)\A - Х)к
Ш(па
5.10.7. Суммы, содержащие
ц и и.
" га!(гаа + 1)C/2)п"
, z)) и специальные функ-
(n-ife
-с^-Ч z
- fc)!(l - А),
-k ( % \
*+1 V7f J

316
Гл. 5. Суммы
[5.10.7
~к
-H2Jw
^п — 1, —п	, Л
A/2 —
2n"
/?ТТ
^n — 1, — n	, Л
-1
7.
чп^1/2_
/FTT
™1, —72	, Л — 1
1	-2 2
—: ^го z
2'
О О h I 1
^n — 1, ^n	5 A
9.
^fc^l (-72 -
(-n-A)fc
10.
4n-fe-l(-n- A)fc
\_

5.10.8]
5.10. Многочлены Гегенбауера Сп(
317
^п — 1, а — 1
2F2I	!	„ | -1| .
)
-п — 1, /i
A/2 - ,
2гу/
-n)fc
«¦
1)»
Q)n
+i
-n-1, Л-1;
/x, -1/2
5.10.8. Суммы, содержащие произведения Cm±^k((p(k, z)).
= 0
2.
11 + -к
[2т < п] .
[т ^ п] .

318
Гл. 5. Суммы
[5.11.1
3- ^7T^V(*-
-rc - 1, 2A + ra - 1, /a - 1
4.
v- Wk
1)!
'-(wz)
-ra - 1, 2Л + ra - 1,
I,A-i;-Hf!
2	2	2
5.
(A)*
y2fc + l
/fc+T
(AJn + 1
Bn + 2)!1
(AJn
+2
l,-n-i,M
i, -A-2n
— 71 — 1, ~П	, fl
1	72
-, -A-2n-l; —2
5.11. Многочлены Якоби FiP?<j)(z)
5.11.1. Суммы, содержащие Р^р±к'а±к)(z)
k=0
[m ^ n] .
4-ec
l)
rn+n
[m-\- n ^ r]
fc=O
Z)\ •

5.11.2]	5.11. Многочлены Якоби PJp'a)(z)	319
л V^/ i\k(n\ {-(T-m)k
p
Bn,<r), ч
{ }
2
[m ^ n] .
Я
(-Q-- m)fc
[m ^ n].
+ ] m	() m\(p + m + l)nPm+n+1	{z)\
j(p	)k l + z	(p)n
5.11.2. Суммы, содержащие P^nk'" Я (г)-
Vf2fc + о + a + П(р + <7 + 1)*Л("'<г)Ы - (" + г) (Р + g + !)n+i л(р. .г),
3
fc=O
4.
3F2f
n!(b)n 2^ a-6-n + l.
n!(p + l)n V 2 J
^up»p"n>'"n)(^-f)-

320	Гл. 5. Суммы	[5.11.2
(n-*)!(p+l)* *	W- Bп)\ЛЖ
8 у-	(~Р~п)к	/ 2 у р{р,а^к)	(р+1)п ( 2 )П х
^ (п-k)\(p + l)k(-p-(т-п)к\1-z) к	п\(р + а + 1)п VI - z/
п 1 — п
2 ' 2 ' F ' 4
2
n 1 — n
F | 2' 2 ' P'
-, —р — <т
а, р — п + 1;
12 V( 2
_ . _ _	_	_ , к
—п, 1, р + сг — г
а + 1, р - п + 1;
	Pn_k	(z)-
ml(p + n + ljm ^

5.11.2]	5.11. Многочлены Якоби PJp'a)(z)	321
iilh
'.'^
_n,_
V^ (g + fi^ l/2)fc(p + (j + l)fcofc/<v
Z	w 2 (z"
k=0	v	' x
1	/-2n, 2ra + 2a - 1, p + cj + 1
= nl 3i?2 I	1- 1-;г
y^	(l/2^a^n)fc	/ 2 \fcp(p^fc;C7^fc) =
= (a + l/2)w(-p)w / 2 ч"
2an!(^l/2)n(^p^cr)nVl^z/
—n, a, p -\- cr — n -\- 1 \ ^ I ^fi,a,p + cr^n + l
a	, p — n ¦
2' F
k
21.
(-p)n / 2 4»	/-n, p + ff-n + 1,2, ...2
1 ^	1 _ г
1	1
22
23
4»	/-n,
7 m+1 ^m
1/ + ^p-
7 '
o-l,a—a-n+l)/
n	n—k+l
25. Y^—^
a + l)n/z-l\n
)
n!(p + l)n V 2 У	у -p-G-n, 1, ..., 1
11 Ю.А. Брычков

322	Гл. 5. Суммы	[5.11.2
2 Y p(p-a-n+l,a+T-l)/
n
(
n-l\z-l
p — a — n
,
(	y^(
n\(-p-a)n\z-1/	у p + 1, —a — n + 1, p — a — n + l; 2 —
29, ?Bк-р)Тл	^4^
^	(l)()
4^r
-a-p)fe(-p-G)fc
п!A-а-р)„(-р-(т)п U-
2 \та /-n, -n-a,
3 2
a, p 2n;
i Р (z)
2 \к
fe=O	V
(
(n - k)\{a)k{-p -a)k\z-l
/ a+p—n a+p—n+1
(-pJn	/ 2 x» r/-n'^^' 	i	,
n\(a)n(-p-*)n\l-
fc=O
2 Y
n!(^p™ (j)n Vz - 1/
- - n + 1, p- 2n;
2	' F	'
2	7 r 7 2
-fe
1] ( a a)n V 2 ,	. ^^	n, ^—	n
V	2	'2

5.11.2]	5.11. Многочлены Якоби PJp'a)(z)	323
о,
h
Bfc-G)(a)feF)fe(-G)fc/ 2 \fc ip,
n\(l-a-<r)n(l-b-<r)n(-p-
/ 2 \n
<r)n\l + z) 3 2
V (M
^ V П - к J
fe=O
fe=O
_, ,т(т-а + 1)п(<т + 1)т (-m-n,a-m,p + v
- У1) 	/_ » ^м	 3^2 I	_ л 1
а — in — и, <
2
40. 5^(?)т	—	—	т-(	) ^i+mfc'p)(z) =
fe=0	^	^к
2 \п „гпг_
UJU + li	()U + li m+n
fc=0
42. * ^/ПЛ 1"<7"<
\-^ /n\(a^p^cr^T7i + n^l)fe /1 — ^\
43- SU	^	(^-)
^к
45.
fc=0
^1-Z\""ir^ fc/ ч / Z \- „rfe-p-o—2m-l,
11*

324	Гл. 5. Суммы	[5.11.2
46- Т{-1
k=0
= (m - n)\(-a - т)„Р<?:?
47- Е
k=0
48 V" (п\{р + (т + т + 1)к /z + l\k
4S- ?AJ	I
[п/2]	(п-2к)\(-п-
= 2n f - ] Pnp> p n Bz — .
[n/2] '— (n -2* + П2(г> -2kV f i ^	nl	, /
1 ч n	I —fl. —fl — —, —fl — О
z-\
oz. > ^—l) 	—	[p -f- a ~f- n ~f- L),
fc=O
1
—2n — 1, <t + 1; z + 1
[n/3]	,	ч
3
—n, —p — fi, —
2	'	2 ' 2 - 2z .
[n/3]
54. 2^^
fc=O
— 	:— 3^2
n!

5.11.3]
5.11. Многочлены Якоби Р^;а)
325
5 "I "I О	/™1	Т~Ъ ( /5 it fC . О" it fC ) / \	1
.И.о. Оуммы, содержащие *n±mk \z) и специальные функции.
те	( \
1. > Vw2 -1-го
fc=O
/2 Jrn™fc
—п, —п, р + (Т + 1
•1, - -n; ^	:i--
2	4	4
2 .4-1/2 *
- /2	-1 \
го (го — 1)
(p_w_i/2>fr-n-l/2)/
(
n VI-
—n, — n — cr;
z + 1
w'(z-l)
5.
7.
fc=O
-, p-n
/ —n, —A, —p — n
,F1\	2
' ги(г - 1) ,
l, -Л
1)
nV 2
= (-p)n(A + l)w /z + 1Л-
n\(a + l)n \z-lJ
-n, -n - (т;

326	Гл. 5. Суммы	[5.11.4
9.
fc=O
к
Л+fc/
{-p)n \w(l + z)~\"	-n, -n - \, -n - a
[	J 3 M	1 1^
1
^2
1-2A.P
1;
1 — го
w2 i)k ^k cx+k
1
\	2'	' 2Х
14
x+k
k=0	{
A
-n,-n--,
A+I,a+1;IA
2	2
BA)n
-l/2, X+tr-1/2) r
(
5.11.4. Суммы, содержащие произведения Р^±пУка (z)-
к=0

5.11.5]
5.11. Многочлены Якоби PJp'a)(z)
327
fe,fe+l/2)/ ч p(p+n-k,n-k-l/2), ч _
1 j
(-2m)n(p + l/2)n(p + l)mBp + 2m + 2)n(^p -
n- 2m,
2
p + n + 1, 2p +
1^
\z) -
n)\ р(р-п,<т-п),
m	{
р
ini m+n
1)fc
Jfej
!^
)/ ч _
(z) ~
n)? p(p,<r-n)/ ч
7.
5.11.5. Суммы, содержащие
-n, fi, fi + -, 2/
2/i, p + 1, 2/x - p;
, z)).
fc=O

328
Гл. 5. Суммы
[5.11.5
з.
/Z\m	vnn!(
т — п
§Г" Е
4-
5.
fe=O
z
(т — ть)\(р + 1)ш.
¦ п)\(п — 2т — р — а)
-—) [п ^ т] .
6.
V
G2 К).[ р CF ) к
+
z){l + {ka + l)z) = —г
9-
(n + l)\(p+i
+ n+
_ p\p~~ni
(п — р — а — 1) (а — п)
2(n!)
^n — 1, a + n, 1
"I
га, ^*а;
' 2
«¦
{a- + n + l)fc
"§м
(n - 2)!
2)z3F0B-n, 4,
3; |)
-п, 4, cr + n + 2; |

5.11.5]	5.11. Многочлены Якоби PJf'^jz)	329
1, V" , 2fc-2 (О" + W + l)fe
13 1*
14
4(ra-l)!
(a + n + l)(cr + n + 2)(cr + n + 3)z3 5(cr + n + l)(cr + n + 2)z2 (a + n
.г-
576(n™2)!	128(n-2)!	4(n - 1)!
»i" (-1)'p'"-•'°1'1+<2t+•>*•> - ^-
;
f)" «¦-'" + <2t +1J'>" л
А; + га + 1)! V 2/ п к
(cj + n + 2)((j + n + 3)z2
_ 1 20(c + n + 2J
225(n-2)!
(-га, 1, о- + га + 2
3-ia 3 + ia a2 z
2 ' 2 ' ~2~.
ьп
n! " (na
22- Е?Уа^6)ТГ(^ + *)*
7^~ ^#с — гъ;;^ ~т" л.} fc	V Z + fe /	ffltt + 6)(<Т + l)n	V Q.Z — 6
23 V	(^1)	(ka
Ua + 1/ n!(na + l)(p+l)nV 2

330
Гл. 5. Суммы
[5.11.6
-0 + !)П-
+ a + 1\ _|	1	 p(p^n,a)
— a — 1 / (n + a) {a — n)
z-a-l
5.11.6. Суммы, содержащие ^nimfc^ Ч Ч^С^? z)) и специальные
функции.
(,:
*Pk
2.
A/2 -n)k	„	/ w
* \ -*"* 2n — 2fc
jfc+1
pBWJ^+2z^1
1
2'
о
h
t. i
(~n-l/2)fc
H2n-2k+1
(n-A;)!(p + l)fc
pBWJn+3z^1
3
-n — 1, — n	,
P5 r^2
2p(X)n+1(wz)
2^2 1	WZ
' P;	2"
5.
k=0
(P+l)*
6-
A, p; -

5.11.6]
5.11. Многочлены Якоби
331
-0 + l)fc 1L*±kk((n- k)w)
,_l(-A-n)*rA ^ W \ r>iP,<r-k)
—fi — 1, —A — n — 1, p -\- cf
z
p; ^^
-i
9. V (к
V k + 1/
"(-t)I
(n
l)n(p
—n — 1, A — 1, ^p — n — 1
--, -p- o- - 2n- 1; --
11.
/JfeTT
- 3F2
—n — 1, A — 1,
,
(n + l)!(p + o- + l)n(p + n + 1)
¦ — 1, A, — p — n — 1; —-
1
2'
-1
13. 5:
(p + СГ + П + l)fe
A - A),
(*¦
,((»+«!, O- + fc)//,
/ —n — 1, A, p + cr + n\
3F2 I	!	„,2Z	- 1

332
Гл. 5. Суммы
[5.11.7
14
1 + f =
- 22"fn I I)-1	(AJ"+1	Г2-2"Bп)!(п + 1)(А) (p,g
" (П+ ' Bn)!BA + 2n + l) [ (AJn+1(p+l)n+i n+1
2Л + 2п
-п-1, --п,р
r,2n+2/
J2n+2
2теBп + 2)! (A)n
1H
	—I
^1 + 1^
-n-1, -n--,
16.
"
sn-k+1/2
fe=O
(p+l)n
V 27
(p+l)n
fcrA+n^fc
2k+1
5.11.7. Суммы, содержащие произведения Рп±тк'а Ч уРШч z))-
1 = 0
[2m < n].
{к
3 2
-1

5.13.1] 5.13. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера \F\(a\ Ъ ± k\ z) 333
5.12. Функции Лежандра P?(z)
5.12.1. Суммы, содержащие
[arg(l ±z)< k]
[arg(l ± г)< тт]
5.13. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера
iFi(o; Ь±к; z)
5.13.1. Суммы, содержащие \F\{a; b ± к; z).
S	U^^	()	a + щ z
	..	Ц z \ _ ^z ^ (Ъ - а, 1 - с; -z
^ Z^ \ к ) (b)i A — г. ~~ п)г 1Г1 I h
fe=O
\^(П\^2
fc=o	\ /n
k=o	{ ~ c ~ n^k
^ z

334	Гл. 5. Суммы	[5.13.2
5.13.2. Суммы, содержащие iFi(a ± mk; b db nk; z) и специальные
функции.
Л^М^	a; z \	Un(l-b)n f a; z
o
n
(
*•?¦
4-
а — п
1"
-к)	п\	V Ь;
a-k;z\ {аУп п /a + n;z
Ь-ife ) = ЩЬ)пг lF4 6 + n
n\{a-b + l)n 2
5.13.3. Суммы, содержащие произведения iFi(a; 6 =Ь A;; z).
a, \ + l\ z \
n7 A-n + 1/
к ) {Ь)к{а~Ь~2п + 1)к г 1\b + 2n-kI
_ 2w(l/2)n(a)n(fr-a)w
2	2	'2
5.14. Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, Ь;
5.14.1. Суммы, содержащие Ф(а, 6; z).
fc=o
2 Vr^l (~г)" 4-(a;Z)= ('1Г -I'fa~ra^
¦^^Mb-«)fc V6 + fe/ (b-a)n \ b; z )'
з.

5.15.1]
5.15. Гипергеометрическая функция Гаусса 2.F1 (a, Ь; с;
335
»l*t)-(•>••( V,")-
5.
'
B-b-n)k \b-k
(а)„ „ /a + n;z
Ь1)
/a + n;z\
V 6 + n /
5.14.2. Суммы, содержащие Ф(а, 6; z) и специальные функции.
fe=O
fc=O
5.15. Гипергеометрическая функция Гаусса 2-Fi(a, 5; с; z)
5.15.1. Суммы, содержащие 2Fi(a± Ik, b ± mk; c^znk; z).
^	а,Ь; z\ _(c--d)^ /a, b, c^d +
ч X^( i\k(n
(a)n
c;z У
(a)n(b)n
On	\ c + n; z J
a-n,b

336
Гл. 5. Суммы
[5.15.2
6.
7.
8.
9.
10.
(с)д
с;
с + к	)	(с)„
к,Ъ + к\ z\	/ a, b
JB-c-
n),2F4C- k
r (a)nF)n	fa + n, b + n
) (c)n(c-l)n2F4
fa + n, b
c + n;
z ) 2 1\c-k
гал(
(с — a — о)те	V с — n
5.15.2. Суммы, содержащие 2^i(a =Ь /А;, 6 =Ь гмА;; с ± n^; z) и специаль-
специальные функции.
3.
c — n; z
p
p
fa + k, b + k; z\
с - n; z
с;

5.15.3]	5.15. Гипергеометрическая функция Гаусса 2.F1 (a, b; с; z)	337
(b)n(c-a)n	/a,
n\(c)n {~Z) 2FK
n\(c)n	Vc + n;
fc=O
(a)n(c-b)n	/a + n,b
- n\(c)n {Z) F
9. г^A-с)^'4-п+о+'-11-2г)(а
fe=O
10. J2(
fc=0
fc=0
c;
с + щ z
fc=0
n\(c)n	Vc +
a,b \
I-
+ n; z/
5.15.3. Суммы, содержащие произведения
2-Fi(a±/A;, bzkmk; czLnk; z).
^Vjfe7(a + 6 + l/2)fc(a + 6 - n + l/2)fc '
,a + fe56 + ^;z\	/	a, 6; z	\	/ 2a, 26, a + b; z
x 2Fi	i 2Fi	i = 3F2	1
+ fe + ^ + y \ + 6^n + fe + -y	\2a + 26, a + 6™ n+ -
zl	zl

338	Гл. 5. Суммы	[5.16.1
3.
¦zh
+ , + ;	/ a, 6-1; г \	/ 2a, 26 - 1, a + 6 - 1; 2;
x 2Fi(	1 2F1	1 = 3F2	x
+ 6 + feу \a+6^n+fc	у	\2a + 26- 2, a + 6^ n
/a + /г, 6 + к: z\ la + n — k.b + n — к: z
X 2F1	1 2F1	!
Ba)nB6)n(a + 6)_ /2a + n, 2b + n, a + b + n;
ч Fo I	1
{a)n(b)nBa + 2b)n \ 2a + 26 + n, a + 6 + n + -
/n\ (a^fr + l/2)fc / M* /a - 1/2, 6; Л / a, 6 - i; z '
71 ' '' ¦ '4 ' ' ' ч U '	' a + 6 + fe У2 Mo + b-n + fc
2a, 26, a + 6^ -; z
k2a + 26- 1, a + 6- n
A/n\	(a)fcF)fc(l/2 - a- 6^ n)fc
/ + , + к] zX ( a+^^b+p z
x 2Fi	l 2F1	2	2 1
\6^y ^i
Bа)пB6)те(а + 6)те _	1/2 ^ /2a + n, 26 + n, a + 6 + щ г
(а)теF)пBа + 26)те1 Zj	3 2 (^ 2a + 26 + n, a + 6 + n + i
6 Vf i^^^ (Q l/2)fcF)fc(la6fi)fc
* ^l } U/C/2-a-n)fc(l-6-n)fc(a + 6)
/a, 6+i; z\ / a, 6+i;
x 2Fi	2' 2FX	2'
I
a + 6 + n — к
Ba - l)nB6)n(a + b - l/2)n ^ ^n_x ^ ^ /a + n - 1, 26 + n, a + 6 + n - ^;
. — 1, а + 6 + n
5.16. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z)
5.16.1. Суммы, содержащие PFq((ap) ± mk; (bq) ± nk; z).

5.16.1]	5.16. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	339
2
-т, [ар);
(bq), c + J
m\(c)n	f-m + n, (%>); z
(m - ra)!	\ Fq), с + n
kfn\(a)k rp /Op), a + k] z\ (c-a)n
(ap), a, a - с + 1; z
(bg), a-c-n + 1
4.
fc=O
a,
fe; z
. П(^-1)
о — n — 1, (ap) — 1
g| F,)-i;^
(^yt)fc кЩаР)к „ fk-n, (ap) + A;; az\ _
ГК1 ~
p+1
a
; z
(bq) + k, a
"q-{-3
П(ар)п+1
' 2 '
(bq) + n + 1, a + 2n + 1, 6 + 2n + 1, ^— + n, 6 - a
h=0
(b9)
A;/ (a — п)и
(ap); z
= (-l)n{2-a-c)np+1Fg+2
(ap), a + с — 1; z
Fg), c, a + c~n~l

340	Гл. 5. Суммы	[5.16.1
_ (а + с — 1)те	/(ар), а + с +га — 1;
~ (^ ^lF'+2(, F,),с,а + С-1
(М; « ' " / =
= 2-1p+2F9^n'1/2'(ap
4 VH2]
"п/21	,	ч9	.	/ ч\	/	3 /
¦^ /п\ (п - 2ife + 1)^	/2Дг - га, га - 2^ + 2, (ар)\ _ n jr ( ~П' 2'^°"'
S^^ ^^^ + 1	Ч	(Ь9); *	/	"\ Fg); 2z
14 ^ " v « vvk с . . I v^p); ^ 1 _ z I KapJ" j? . i (ap/ ~т n\ z
? (n-*)!(*+ n +1)!
'' 2 ' 2 /
22"	„ / (aP);
/ >*п. л	/f \ , \	2 П F,-1)^-
¦
(ap) + fc, a
X|"+l/fel (b,)-2;z
/ (ap)
q+1
(

5.16.2]	5.16. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	341
-k, (ap);
19. 2^(-1\
_ (а - Л)„	j? ( ^п? (ар); z
a + nfi + n — 1 P q \(bq) , A — a — n + 1/
/-га, (ар) - га, 2, . . .2
д+тп —
_/ 1чп(^г + п)!A - b- m - n)m „ (-m, (ap); z
ГП\{Ь)гп + п	V (bq), Ь + П
99 \^(n\ zk n(Qp)fc it Ла
g
(ap) — 1, a\	((ap) ~ 1? a ~ n ~ 1
1 f[(tti _ i) L V(b,)-i. «;	V (M-i. «
(aP); « \ =
' 2+k)
22" „ / K);
;' 2 '2
5.16.2. Суммы, содержащие PFq((ap) ± ?nfe; (bq) ± nA;;
p
k-n, (ap) + k\
*-*•
(bq) + k; kz
k2k^4zk Yl(aP)k „ fk^n, (ap) + k;
p	p
2 n«.(«. + i)	П

342
Гл. 5. Суммы
[5.16.2
*
k~3zk П(аР)к „ [к - п, (ор) + fc; Bfe + if z\ _
(bq
1
п!
4,
'
fe-n,
I -n, (ap), -;
6-
-m, (ap); -
\m-\-l n
k+n
[m ^ n] .
8.
P+1PP
-к, (op)
(bP); f
-n, (ap)
fk \ az
-fc, (ap)
-n, (ap) -
(&,) - 1;
a + l.
10.
-k, (ap)
h ka + 1 ,
I'
2n+l
fe/2n + l
к 1- к
= 0.

5.16.3]	5.16. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	343
5.16.3. Суммы, содержащие PFq((ap) ± mk; (bq) dt nk; tp(k, z)) и спе-
специальные функции.
^ (l/2-n)fc,
-к, (ар)
п \	Z
2wwwz-i ть -1)
; ггт
-п - 1, -п - 1/2, (ар) - 1
(^П^ l/2)fe
-к, (ар)
я
-г П(
-n-l,-n-3/2, (op)-l
_ 1
¦ "f
-«, (ар)
-п, (ар)
f^Q (n - к + Щ2к)\
.„
<*
-п, (ар)
5.
fe=O
ife + 1
p+2
1 * + 1/
— n — 1, ^Л — n — 1, (ар) — 1
_ 1
J
6.
^* ((n -
(WZ)" ПЫк
-fc((

344
Гл. 5. Суммы
[5.16.4
7.
g
к\
" * + D-'-^
(п-
-к, (ар)
-fe, (op)
п + 1 .
h р I -к, (ар)

— A;, (ap)
fc + 1.
п)Л z У
. — Л — п)к
10.
fe=0
-k, (ap)
)!(!-A-n)
п)к\ z )
5.16.4. Суммы, содержащие произведения
pFg((ap)±m^; (bq) ± nk; <p(k, z)).
+ А;, а
п + 1
a-b+1
(
~п — 1, (ар), 1 — 6 — п
«.,); j ¦ -
гг + 1
-п - 1, (ар)

5.16.5]	5.16. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	345
-n + k + 1, (ap) + k\	(-k,(cr
(<*.);
~Т~	. ^ 1—г /1 \	/ . i	i	i \ -"- /	1	i т—г / -.	\ vt J- ¦"¦ ч ¦ / j \
' п + 1/
n + 1
5.16.5. Различные суммы, содержащие pFq((ap) + mfc; Fg) + nA:; z).
4
(c - d + l)n
e-a-6) > 0].
fc=0 ¦-¦	;> + 1/2)*Bа)*A/2J*
-и, А; + 1, А; + Л, А; + п + 2а
*-* •
fc(a + l/2)fcBa)fc
К 77» ? nJ "т" -L 5 «^ "т"
ife + - k + a ife + n + 2.
2'	'
¦2, А; + а -\—, к + 2а; 1
. A8)]

346	Гл. 5. Суммы	[5.17,1
-, ^ то, х у
Bп)! о
n!BaJn 2nl
~очл;/ (« + 1/2)fcBa)fc	I А; + 1,а + А; + 1? А; + 2а, 2ife + 3; 1
5.17. Кратные суммы
5.17.1. Суммы, содержащие функции Бесселя.
Условие: ki = 0, 1, 2, . . .
Е П hJ^
[n > 1]
2га+1
га+1
П r
21^	II jy "«i-V^v—/	n|
х Kn_1/2(zi + . . . + zm).
5.17.2. Суммы, содержащие ортогональные многочлены.
Условие: ki = 0, 1, 2, . . ..
m
4- E П^т

5.17.2]	5.17. Кратные суммы	347
т
5- Е П L?(*o = ^i+-+Am+m-1(*i + • • • + zm).
[ri = 0, 1, . . . , n; r = n + . . . + rm; и = z\ + . . . + z
m
7- E nc*iW = c»1+""+Araw-
fci + ... + feTO = n i=l
2^ 11 (k--2\-)b С*И^- fn^2Ai	-2Л ) n	^'
К1 -+-. . . -f- К ffi—П I—X
m
9. y, П ^Г"**'^"*0 w = p^"*1^"^^)
fci + ... + fcTO = n г=1
[p = pi + . . . + pTO; cr = (Ti + . . . + o-

Глава 6. Рмды
6.1. Элементарные функции
6.1.1. Ряды, содержащие алгебраические функции.
^	fcll(ap)fc _
6.1.2. Ряды, содержащие показательную функцию.
Обозначения: с = К (к') /К(к) , к' = у/l - к2
[[63UT1.2)]
1	fcK(fc)
2	1П ^^
4-
6.1.3. Ряды, содержащие гиперболические функции.
Обозначения: с = К (fc;) /К(&) , А;' = Vl — fe2
« ^/ чп cth (птгс) -1	тгс 1
2. ^(-i)»_L_J	 = ^_^^

6.1.4]
6.1. Элементарные функции
349
о.
cosech (пжс) же 1 4 А/'
п	~ 12 ~ 6 П^Г
v^. ,n cosech (пжс) тге 1 А;А;'
* ^~ '	п	= 12 + 6 °^Г
1
^ 1 - th (пжс) же	кК(к)
5. / 	 — — — In
^	п	2	2тг
n cosech [Bп + 1)тгс] _ 1 .
}	2n + l	" 4iUk
8.
9. /J(—1)те cosech (пжс) cth (птге) =
2fe2-l
Зтг2
sech
(-1Г
[[63], (Т1.4)].
[[63], (Т1.3)].
[[63], (Т1.5)].
[[63], (Т1.8)].
[[63], (Т1.9)].
[[63], (Т1.10)].
[[63], (Т1.18)].
, Bр + 1)тг
Bn
^ Bр+1)!Fт-2р)!	3
[16].
6.1.4. Ряды, содержащие тригонометрические функции.
sin (kx) cos (ky)
l } 2Bm-l)! ^
2ro-2fe-3	m —fe —1
/
2Bm-2fe-3)!
g (-D^CBm-2i-2*-
[-7Г < ж < тг; |ж| < 2/ < 2тг - |ж|; [52]] .
™ 1)!
з=о
^v / BЛ + 1)!
!т+3СBт - 2j -2k - 2)]
[-тг <ж<тг; [ж|-7г<2/<тг- |ж|; [52]] .
1/2) sin ^/(fc + 1/2J7г2 + о2 тг
^ (fe + 1/2J -
+ 1/2Jтг2 + a2
4.
/к2 + а2 х) =
12аЗ Sin (аЖ) - ^2 COS (аЖ)
[^тг < ж < тг]

350	Гл. 6. Ряды	[6.2.1
00 f^i)k			х	ж2
5. /^ , о cos (л/к2 + а2 х) = — sin (ах)	cos (ах)	Г—тг < х < ж] .
^ к2	v	; 4а v ' 12
к=1
6.2. Пси-функция ф(г)
6.2.1. Ряды, содержащие ф(ка + Ь).
оо
1. ^гкф(к) = 	[C + ln(l-?)]	[\t\ < 1] .
к=1
г lntln2 A -t} - CLb(t) +
+ In A - t) Li2 A - t) - LI3 A - t) + Li3(l)] [|^| < 1] .
7- E ^i^(A + m) = CC) + TV(m) - -V" (m) + С ^'(m) - —j - ? —
8- ^J'
к=1
9.уЬ
, A5)].
[[22], A9)].
fe=l
00 .fe	-.
13. V ^ф(к) = - In tin2 A - t) - С LI2(t) + In A - t) LI2A - t) - LI3 A - t) + (C)

6.2.1]
6.2. Пси~функция ф(г)
351
13
16.
oo
17- E ГТГТ
= 1 - С
6(ln2-l)
a)(l-2a) a(l-2a)
[[22], G)]
g {к
^ (fe + a)
1
20- E^
fc=l
oo ( i \k
= ^c[t + lnA"t}"*lnA"
i [?r2t + 3(t - 1) In2 A - t) -6tlntln(l-*) -
23" E fc(fc
1
= - 2 (! - *)
- C)[t + A - t) ln A - t)]	[|t| < 1].
oo
24. V^
E
= у1 ~ т'с + сC)"
[[42], A3)]
1260 2
27. ^ ТТ^(^) = 2С - е* EI (-?) - EI (?) + (е* + 1) In t.
fe=i

352
Гл. 6. Ряды
[6.2.1
«¦
= -i [1 + t - е* - 2СA + t) + е Е! (-*) + A + t) El (t) - A + t + е*) In t] .
29-
+cosVt
30- 2^*4
fe=l
33.
= — [тг2 + 14 - 56 In 2 + 24 In2 2 + 12C(ln 2 - 1)
n1
A - г^-^ССгп + 1) - г" 5]B2fc - l)B7rJfc|B2fc|CBn - 2k + 1).
39- ь^
к=0
-| -1	jl
2'
40. 2^Х?^1
fe=l

6.2.1]	6.2. Пси~функция ф(г)	353
42- ^2
50. 2^-
fc=0
54. V
+ :
46- Ё (fc + 2)!(А + 2)
f398
fc=o
в )
5)-;"-<=-
12 Ю.А. Брычков

354	Гл. 6. Ряды	[6.2.1
fc=O
- Е [A+21)^(* + ^) = J [С (тг - 4) + 2тгAп2 - 1) + 4C - 4In2)] .
60- Е (I'l\;))Kfc+Jy(fc + ^) = ^[3C(8'37r) -1MIn2-l) + 8A2Ы2-
61.
63.
243тг3
64. Y^tri
¦15тг-45С-901п2]Г4Г-)	^[78 - 7тг - 21C - 42In2]
J \4/ 27tt3L	j
2
[shBVz)lnz - 2shBi/z)chlDi/z) + 2ch Bi/z) shl
"¦ a) = (a — 1) [ф(а — 1) г/)'(a — 1) — ф/г(а — 1)]	[Rea
k=0
68. ^ ^^гкф(к + а) = A - 1уа[ф(а) - In A - t)]	[\t\ < 1] .
fe=O

6.2.1]	6.2. Пси~функция ф(г)	355
ОО n — k I I	t
69. > ——:—ф[к + а) = \(а — 1)ф(а) — 11 h/?I — 1 — ф\	1 +
^ (а)к YK	} Ll	^1 ; J L^V2/ ^V 2 )\
-«№¦
72.
7в' 2-Р
fe = l
fe=O
78.	^i
fc=O
ОО
79.	J2(
k=0
[Re a < 1] .
*- D] } [Rea < И
73. ?(-i)'=Bfe + a)M
B^; ) [Rea<l/3]
+1)t2fc+1
i In A + t2) [4C + In A + t2) - 4] } [|t| < 1].
12*

356
Гл. 6. Ряды
[6.2.1
81.
1
¦ а) =	\t_ ln ?_+?_)_ In1
= l±t; \t\<l].
2k+l
f2k
83.
(~1)Ч2
2A-a)
fc=O
X
ч-(о+1)/2
I —u[t cos (аи) + sin (аи)] + r0(a)	In A + t2) -\— [cos (аи) — t sin (аи)] >
[и = arctgt; \t\ < 1] .
a ln t+ - tZa ln *_ + (tla - t+a)^(a)] [t± = 1 ± t;
) a/2{
{2ucos (аи) - [In A +t2)-2ф(a)] sin (аи)} [и = arctgt; \t\ < 1]
/	-1 \fe j-4fc
00
86" Е
00 / -nfc/
4
[t > 0]
[t > 0]
88-
{A -
ln
[2C + 41n2 + ln A - t2)} }
90.
fe=0
[Re a

6.2.1]	6.2. Пси~функция ф(г)	357
00	1	1
[Re a < 1] .
^ Ck-
fc=O V
^ 1п 3 + 2^(а) I ~ Ч sm
3	6
CO	/ ч
93. V(-i)*-I^
fc=O	v ' r
(а + 1)тг
¦ sm ¦
[Re а < 2] .
(а + 2)тг Г	4а-6	Oe/,/^l . ^ о;„ (а + 2)^
[Rea<2].
96. y^(-l)fc^{^fc Ф(^±1) =^^ [2тг + з72 1п2 + 3(^2 + 2^3) (С + 2 In 2)] .
fe=o	(ok). \	I/	18
97. f](^)k^L{2}3k фЫк - \) = l [тг^ 3^2 In 2+ 3(^2 + 2v^) B ^ С ^ 21n 2)] .
CC - 8) + тг + бCл^ + ^3) In2] .
99. g^(^)=(^ + ^)cC)-^ + 7rgfcCl2B^)	[[44], F)].
E *#*<»*) = (t - ^) ^ + if+w gfe сь
2ir + — + A2 - тг) In 2 - In2 2 - 16.
6

358	Гл. 6. Ряды	[6.2.1
2
= (л/3 - 1) — - 2 In 2 In (л/3 + 1)
+
2
2
A - V3) — + 2 In 2 In (л/3 + 1) - 2 In2 2.
2
= C-4>/2) — +3 In 2 In (л/2 + l) - In2 2.
i.2
= (л/15 - 2) ^ - 21n21n (УЗ + Vb) - 2In A+2^) In B + л/3) .
= B-V15) — +21n21n(V3 +^5) +2 In A + л/Ъ\ In B + л/з) ^2 In2 2.
6	\ 2 /
- - — ) тг2 + -1п21пE + 2л/б) + In A + ^2) In B + л/з) - In2 2.
3 12/	2
7) -2
in
л/35) ^- + 21n21n(V5 + л/7) +2In 1+ 1п(8 + Зл/7) -2In2 2.
D	2

6.2.1]
6.2. Пси-функция i/j(z)
359
i i 8 + v63 ^ , I
-Ф[ 	2	k+2 " =
= (^63 -4) — - 2 In 2 In C + л/7) -2 In ^—^—In B + л/з) .
= D- л/бЗ) — + 2 In 2 In C + л/7)
U
^2 In2 2.
л/Ш
л/120 ,„ , 1
= (V480 - 11) ^- - In B + л/3) In C + л/10) - In (l + л/2) In D + л/15) -
- -In 2 In
120) -ln1 + ^ In E + ^24) - In2 2.
= A1 - л/480) — + In B + л/3) In C + л/lO) + In (l + л/2) In D + л/15) +
о	i I /r"
+ - In 2 In A1 + Vl20) + In —'-
A	A
In E+ ^24) - In2 2.
= (д/ш - 6) — - 2 In 2 In (л/11 + л/13) - 2 In +V In A0
?
-л/Ш
= F- i/l43) — + 2 In 2 In (л/ll +л/13) +21п^
13 + а/Ш 1
2	2
In A0 + Зл/ll) -2 In2 2.
2	-j	-.
= (V672 - 13) — - - In B + л/3) In A5 + ^224) - - In E + л/24) In (8 + л/бЗ) -
- -In 2 In A3 +л/168) -In—^	In A4
^ (^l)fc Г . /13-л/168 . Л ./13-л/168, 1\1
gnrK^2—* + 1J^2—*+2JJ =
= A3 - V672) — + - In B + л/3) In A5 + ^224) + - In E + ^24) In (8 +
-In 2 In A3 +л/168
A
In A + ^2) ^

360
Гл. 6. Ряды
[6.2.2
2	2
^21n21n(Vl3 +л/15) ^21п3 + Л^13 In D +л/15) - 2 In * + ^5 In B5 + V39) .
2	/ т \ 2	2
2
— + 21п21п(>/13
In B5 + ^39) -2 In2 2.
VE)
- ^ In 2 In E + >/24)
iln21n(ll + >/l20) - ^
л/2) In D + л/15) - i In B + л/3) In C -
+ |lnl^lnE + V24;
= i In B + >/3) In A5 + ^224) + i In E + V24) In (8 + УбЗ) - | In 5+^ In (l + ^2) -
	In 2 In A3 +•
4	v
125- У^ 17 i ^2fc+1 У^ ^^(m+ -) = C(C + 21n2) (t ^arctgt) - - arctg3 t -
^—^ Ik + 1	/—-^ in V	2/	о
^ (C + 2 In 2)
6.2.2. Ряды, содержащие произведения ф{ка + b).
+ l)[|t| < 1]
1].

6.2.2]	6.2. Пси~функция ф(г)	361
2
2. V \ф2{к + 1) = -С2 In A - *) - С In2 A - t) -
k
V
3. У"

fc=l
- I In3 A - t) - [2C + In A - *)] LI2(t) + Lis(t) [|t| < 1] .
о
4. ^^-^^2(^+2) = 4(С + 21п2)[7г2-4(С+21п2Iп2]-^СC)	[[22], A9)]
s- E j?**w = w + ?f- -2СС{3)	[[22]> (9)]
к = 1
°°	1	7Г2
6. 5^тт7	r^2(ife) = С2 ^2С + — + 1	[[46], D.16)].
k = l
8. ^T?^2(fc + -) = ^ + ^(C + 21n2J-7(C+21n2)CC)	[[22], B2)]
9. 5^^r^2(^ + «) = --cosec(a7r)	[Rea < 0].
fc=0
"¦
12' Ё t!(('/I>'il!»'(t + i) = S I"' + 24B1° 2 " 1)С+6С' + 24B1n2 - 1)"] .
fc0 "^	''
13. ]T ^^(^ + a) ^ (A; + b) = B(-a, b) [ф(-а) ~~ ф(а) - ф(Ь - а)]
fc=0
[Rea < 1; a, b / 0, -1, -2, .
CO	, v
14- I] TiTXTfT^^ + a) № + X) = 7	7^2 Ь2С - * ctS (а7Г) + Л* ^ «) cosec2(a7r)
+ [2(a - 1)C + тт(а - 1) ctg (an) - 1] ф{а) + (a - 1) [^2(a) + ^'(a)] }
[Rea < 1; a / 0, -1, -2, .
1) = 7Г2 ^ 4C + 2C2 + 8 In 2A - In 2).

362	Гл. 6. Ряды	[6.2.2
1)	[З24С + бС2
16. V /Т^^ )ф(к + 1)
( + 1) V 2	9
= - [ЗС2 + 2С (9 In 2 - 7) - Зтг2 - 56 In 2 + 24 In2 2 + 56] .
- С [— - 8C - 2 In 2 + In2 2) I + 4[8 - 7(C)] .
20. 2^7T
fe=0 ^
- 106 In 2 - 3C2A2 In 2 - 7) + 4тг2C In 2 - 4) - 252(C) + 458]
OO	,ч
+ [2(a - 1)C + тг(а - 1) ctg (an) - 1] ^(a) + (a - 1) [t/?2(a) + ^'(a)] }
[Rea < 1; a / 0, -1, -2, . . .]
fe=0
= — [тг2 + 24B In 2 - 1)C+6C2 + 96B In 2 - 1) In 2]
fe=0
1\ ^ г„^^ . _,_ л ., 9 . 24B1n2^1J] .
= — [6C2+4CA21n2-7) + 7r2
У7Г
oo
25. V	^2(fc) ^ (A; + 2) = i [2тг2 + 6C3 - 24C2 + (тг2 - 42) С + 12(C)] .
k=i { ~^~ '
j r v- .-1) = - {[-2C - 12B In2 - 1)] C2 +
fc=0
+ [тг2 -24B In 2-lJ] С + 2B1п2-1)тг2+4[81п2F1п2-41п22-3)] +СC)}.

6.2.3]	6.2. Пси~функция ф(г)	363
oo
27. V ,^,'Ч\,фЦк + -)ф{к + 2) = — { Г-6С3 +24B-3 In 2)С
/ ^ k\(k-\-\\\\ 2/	Зтг
fc=O
+ 3(тг2 + 128 In 2 - 96 In2 2 - 56) С + 4C In 2 - 1)тг2 -
- 96[7 + 4Aп 2 - 2) In 2] In 2 + 12(C) + 192} .
+ 4С2[9 + тгAп2-1) -121п2]+2С [тг2 + 2тгAп2 - IJ - 16D - 9 In 2 + 6 In2 2)] +
+ 2тг2 D In 2 - 3) + 8 [20 - 64 In 2 + 72 In2 2 - 32 In3 2 + (C)] } .
6.2.3. Ряды, содержащие ф'\ka + h).
00 ( \
1.	]P^pi//(fc + a) = -cosec(aTr)	[Rea < 1; a / 0, -1, -2, . . . ].
fc=0
2.	f] «fcV'(A + 1) = - y + j-r;Pn * In A - *) + Lb A - «)] •
k = l
oo	2
з. ?(_i)V(fc + i) = -^.
fe=l
oo
4. ^-^'(fe) = 2CC)	[[46], D.12)].
5. ^-^(Hl) = 2(C)
+ In [t(l - t)] Li2 A - *) - Li3(*) - 2 Li3 A - t) [\t\ < 1] .
К
k=l
*'<*) !	[M, D.14)]
ЩП)
г + 1) = -— + — arcsin — - — arcsm —	[|t| < 4] .
g
arcsin2
i^T) *V' (* 4) = ^ -sin VI - ^ arcsin^ V*	[|t| < 1] .

364
Гл. 6. Ряды
[6.3.1
12. V
A/2)*
y/i
sin v t —
	y/l — t arcsin2 y/i	— arcsin3 y/i [\t\ < 1] .
+ 8[20 ~~ Sit + 20Dt - 1) y/l-t] + бУ1 [A04 + Этт2) t - 24] arcsin y/i -
-72D* - 1) V1-* arcsin2 >/t - 72t3/2 arcsin3 л/г } [|*| < 1] .
14. ]Г Щ?ф(к + «) ^'(^ + a) = -- csc(aTr) [2C + ф(-а)
k=O
[Rea < 1; a / 0, -1, -2, . . .]
6.3. Обобщенная дзета-функция Гурвица C(I/? z)
6.3.1. Ряды, содержащие ({к, z).
, Z)
ds
2.
	\ JJ ( и ) ~~Е	^^fe+i(z) [^(^ + 1) — t/>(A; ¦
fe=0
6.4. Интегральные синус SI (z) и косинус d(z)
6.4.1. Ряды, содержащие S'i{cp{k)x).
У, ,/, /.ч Si (B* + !)«) = Si (ж) - 2sin ж
("О"
, z)
c]
[-тг/2 < ж < 7г/2] .
2.
3.
X	Ж	i ^ i . /^\
= ^7^7 + 7^7 cosech — shi —
2b2 2b2	a	\ a J
Ж	7Г	07Г	/0Ж\
ттг? ~ ттг? cosec — ^! —
262 262	а V а /
Г-7Г < Ж < 7Г1
Г — 7Г ^ X ^ 7Г1
Г — 7Г ^ Ж ^ 7Г1

6.4.2]
в.4- Интегральные синус Si(z) и косинус ci(z)
365
Ж Г . ОТГ . . (ОХ\	. . (ОХХ . ОХ _Л Ггх ^ ^ ,
—^ th —shi ( —) -chi ( —) +ln —+ C 0< ж < тг
6. V-
¦si
7. V-
ж г Ьж /bx\	/bx\	bx l
— 77^7 ^ё	 Si I 	 I + CI I 	 I — In	С	[0 ^ Ж ^ ТГ] .
46 L 2a \ a /	V a /	a	J
¦ SI (BA; + 1)ж) = 3 SI (ж) + тг ci (ж) - 2 sin ж - тг In ж - тгС
[0 < ж < тг/2] .
8.
9. V
—sj
2а
—тг < ж < тг .
SI (Vfe2 + а2 ж) = ^^ [C - ttV) SI (аж) - 3sln (аж)] [-тг < ж < тг] .
ю.
(-1)*
¦SI
- а2 ж) = — SI (аж) [-тг/2 < ж < тг/2] .
4а
6.4.2. Ряды, содержащие с\((р(к)х).
^ок2(к2а2±Ь2)
г •/I \ in I ж2	1 L 2
[ci(kx) -Ink] = ±ш + ——\6а2
8Ъ2 12Ь4 [
12Ь4
Г cosech (Ьтт/а
тт/а) 11
ж/а) J J
(гл , , ч атг
х (С + In ж =F —г
2ЬЛ
атг f cosech (бтг/а) 1 Г_	6ж Г chl (bx/a)
1	А ; / И С + InI \ J
f	(/) _	6ж Г ch
—г 1	А ; / И С + In	I \
2ЬЛ { cosec (отг/а) J [	а I ci (bx/a)
\ cosec (Ьг
[0 < ж < тг] .
2- Е
к = 1
= —- cosech (атг)
2а2
1
атг cth (атг)(С + In ж) — ci (аж) — а2тгж
'1 1 а2ж2
2' 2' 4
1Л
' 2' 2
[О < а < тг] .
2а2
i^ + 1)
cosech (атг) [sh (атг) In а + атг(С + In ж) — sh (атг) ci (аж)] [0 < а < тг] ,

366
Гл. 6. Ряды
[6.4.3
7Г
861
- fbx\	Ьж г b
— + 2а th — in	chi
a /	2a I a
[СХЖтг].
> — In BAj + 1)] =
Ьж г b . fbx^
7Г f _ fOX\ ,r _	,	О7Г Г. 6	/6Ж\]1 г	,
—r- \ 2a Si — + Ь[тгС-2х + тг In ж + 2a tg -- In	ci — Щ 0 < ж < ж .
&3 I	V a /	2a La	Va/JJ
8&3
- ^"	[° < x < ^/4 •
oo
8-E
(-1)*
fc=O
-[ci (BA; + 1)ж) - In Bk + 1)] = -^- \c + In f + ci BжI
)	ID L	Z	J
[О < ж < тг/2] .
6.4.3. Ряды, содержащие Si (у?(/г)ж) и тригонометрические функ-
функции.
^^rSl(^) = (-1) 2Bm-l)!Bm-l)
EX
.. , . Bfc + l)!
Bfe + 1)
ro-fc-1
(-1)'г Е (-l
2j
[m ^ 1; 0 < ж < тг; ж < t/ < 2тг — ж] .
2-
-Е
_ 22''+2*-2™+3f Bm - 2j - 2ife - 2)]
[m ^ 1; ^тг <ж<тг; |ж
6.4.4. Ряды, содержащие произведения 8i((p(k)x).
fe=i
m —2
_ 2^+^-^+^Bm - 2j - 2k - 2)
[m ^ 1; —ж < x < ж; |ж| — тг<2/<тг — |ж|] .
fe=l	i=l
Жг > 0; 2_^ Xi < Ж .
г=1	J

6.5.1]
6.5. Интегралы Френеля S(z) и C(z)
367
6.5. Интегралы Френеля S(z) ш C(z)
6.5.1. Ряды, содержащие S(x) и С(х).
1. V
2. y,-
fc=O '
(-1)*
~S{kx) = S(x) ~~ -a — Bж + 3зтж)
)	6 V 2тг
-S(kx) =
[-7Г < Ж < 7Г1 .
2 /ж\3/2 , а1/2тг	, &7Г Г / /ЬЛ
( — ) + /ft.4K/o cosech — егп у — 1 — erf /
т \2/	B6M/2	a [ \Va/	\Va
(f)"
a1/27r
[-7Г < Ж < 7TJ .
[-7Г < Ж < 7Г] .
-S{Bk + l)x) = 4S(x) + тгС(х) - W — (тг + sin ж)	[0 < ж < тг] .
x-l/2
fc=0
6.
7.
f
f
=o B* + 1)
5/2
8. V-
— 5(Bfe + l)a:
[^тг/2 < ж < тг/2] .
[^тг/2 < ж < тг/2] .
[-тг/2 < ж < тг/2] .
1 / X \1/2
2ft2 V2tt/
[0 < x < тг/2] .
x л1/2
fc)
^ —
fc = l
CO
E
[^тг/2 < ж < тг/2] .
[-7Г < X < Ж] .
[-7г/2 < х < тг/2] .

368
Гл. 6. Ряды
[6.5.1
1 / X
Ж	. Ьж
COSGch
б^ V 27Г ' 25/2al/263/2 — о
шС(кх) = ±
—	[-7Г < Z < ТГ] .
Ьж /Ьх
а \ а
у
1-7Г < ж < тг| .
15.
"¦
[О < Ж ^ 7Г] .
[О < Ж ^ 7Г] .
[^тг/2 < ж < 7г/2] .
19. ?¦
O7/2 1/2 A3/2
Ьж
a '
^ ) + Ith	1)erfi V^
a J \ a / \f a
[-тг/2 < ж < тг < 2] .
20.
Е
Е (jfe2
тг/2]
[—7г/2 < х < тг/2] .
23. J2
k = l
(-1)к
ол ./2 I B7Г V - З)С(аж) - Зл/ ^^ cos (аж)
24а5/2	V тг
gQ B* + 1)(B*+ 1)
-Я" < Ж < ТГ
[-ж/2 < х < тг/2] .

6.5.2]
6.5. Интегралы Френеля S(z) и C(z)
369
2-
6.5.2. Ряды, содержащие S(ж), О (ж) и тригонометрические функ-
функции.
[ж, у > 0; ж+ 2/ < тг] .
[ж, г/ > 0; ж + у < тг] .
з- Е §Й5й<*»> = (-*)'
Bfc + l)!Dfc + 3)
m — k — l
j=O
о i
[m ^ 1; 0 < 2/ < тг; |/ < ж < 2тг — у] .
2m-l/2
Bт-1)!Dт-1)л/2тг
2fc	m-fc-1	2i
6-
^ СО8(^Ж)
[гм ^ 1; ^тг <2/<тг; |t/| — тг <С ж <С тг — \у\] .
[ж, 2/ > 0; ж + у < тг] .
[ж, у > 0; ж + 2/ < тг] .
27П-3/2
(-1) — 1-
B2ra-2fe-3
V
Р2^
m —2	ofc
(Лж)
2/
2то-3/2
1; 0 < 2/ < тг; |/ < ж < 2тг — у] .
• д. т — к — 1
V г-1
».2i
[m ^ 1; -тг < 2/ < тг;
ж < тг -
;BJfe + lI/2
С (BА;
1
= 2ж sin жС(ж) - cos xS(x)	 Ьтг/2 < ж < тг/2] .
2тгж

370	Гл. 6. Ряды	[6.5.2
10. \J 7 1/2/7 2	r[sin (kx)S(kx) + cos (kx)C(kx)] = — (ж cos ж — sin ж) S(x) —
к I [k - 1)	2
1	/ Ж
	(cos x + ж sin ж) С(ж) + 3-t / — [—7Г/2 < ж < тг/2] .
2	V о1"
00 (—"Л*
le Е М/2Ь2,
к1 К \К ~г а
cosech— e**/aerf h/ — )+е^ж/аегй
a
[-7Г < Ж < 7Г| .
5 (kx)S(kx) — sin |
K"/-|fir —I— /¦#.— I
fe=l
4 /ж\3/2
- Еk
1	1	/ ж
= — (ж cos ж — sin ж) S(x)	(cos ж + ж sin ж) С(х) + 3W — [—7Г/2 < ж < тг/2] .
2	2	у 8тг
L ? ¦-
114 /ж\3/2
= — — (ж sin ж + 2 cos x) S(x) + — (sin x — x cos ж) C(x)	-=¦ ( — )	[—тг < x < тг] ,
2	2	Зл/тг V 2 /
°° Г2А* +"П~3/2
* Е ,/Т %ч [cos (BA; + 1)жM(BА; + 1)ж) - sin (Bk + l)x)C(Bk + 1)ж)] =
k=i { ~^~ '
= [4 cos ж + Bж — 7г) cos ж] 5(ж) — [4 sin х + (тг — 2ж) cos ж] С(ж) + у2тгж [0 < ж < тг/2] .
~ Г2А- + П~1/2
- Е I/I , \ч Ип (B* + l)*)S(Bfe + 1)ж) + cos (Bk + 1)ж)С(B^ + 1)х)] =
k=i ^ '
А2ж"
= [2 sin х + (тг - 2ж) cos ж] 5(ж) + [2 cos ж + Bж - тг) sin ж] С(х) - J — [0 < х < тг/2] .
00	f 1 \к
[^тг/2 < ж < тг/2] .
18. Е^1)*^! U
fc=o	v
= --^[sin Bж)ЯBж) + cos Bж)СBж)] [-тг/2 < х < тг/2] .

6.5.3]
6.5. Интегралы Френеля S(z) и C(z)
371
19.
[cos (Bk + l)x)S(Bk + l)x) - sin (B* + l)x)C(Bk + 1)ж)] =
[cos Bx)SBx) - sin Bж)СBж)] [-тг/2 < х < тг/2] .
27/2
20.
fcl J
k(k
[cos (B* + l)x)S(Bk + l)x) - sin (Bk +
1- Е
^	i
=o B^ + 1)
¦1)х)] =
= 2{[cos ж + ж sin ж] S(x) — [sin ж — ж cos ж] С(ж)} [^тг/2 < ж < тг/2] .
)ж) - sin (Bк + 1)х)С(Bк + 1)ж)] =
= -\\1^Г [-V2 < « < тг/2] •
22.
x [sin (BA; + l)x)S(Bk + 1)ж) + cos (Bk + l)x)C(Bk + l)x)] =
[О < ж < тг/2] .
fc=O
х [cos (BA; + \)x)S(Bk + 1)ж) - sin (Bk + 1)ж)С(BА; + 1)ж)] =
Г—1г
2U7I
cos (л/к2 + а2
[О < ж < тг/2] .
[sin (аж)Я(аж) + cos (аж)С(аж)] [^тг/2 < ж < тг/2]
(—Л г
(Л г
25' S 7^2	2W4 tcos Ык2 + a2x)S(Vk2 + а2 ж) - sin (Vife2 + а2 х)С(л/к2 + а2 ж)] =
7Г
2а3/2
[cos (ажM(аж) — sin (ах)С(ах)] [—тт/2 < ж < 7г/2] .
6.5.3. Ряды, содержащие 5(ж), С(ж) и Si (ж).
[ж, 2/ > 0; х + у < ж]
[ж, у > 0; ж + 2/ < тг] .

372	Гл. 6. Ряды	[6.5.4
6.5.4. Ряды, содержащие произведения S(x) и С(х).
°° (-Л\к	2т-1/2 3/2
1- Е fcU	я /
- 1OГ
j=0	v J ' 7 v"
[m ^ 1; —тг < x < ж; |ж| — тг <С t/ < тг — |ж|
_.2ш-1/2 1/2
к=1
п т — 2
2m-2j-2fc-
BA: + 1)!Dfc + 3)
[ш, ^ 1; ^тг <ж<тг;
т-2
2
УГi 92j + 2fc2m + 3>/9	?	?,
Т)^2	CBm-2,-2fc-
4- E
fe=l
[т ^ 1; ^тг < х < ж; \х — ж < у < ж — \х\
п/2 п	п
к=1	г=1
6.6. Неполные гамма-функции 7С17? z)? r(i/, z)
6.6.1. Ряды, содержащие ^{и^ z).
1.	/_^	7(|/ + л, ^) = (^ ™ l)z е — (i/ — l)(i/ — z — 1O1|/ ~ 1? z) •
fc=O ^ ^к
2.	JJ t 	—	^{и — к, z) = e^try{u1 z — t)
fc=O
oo	2„	/ ^; ^Z2 \
?j*!(<0*
1 К

6.8.1]
6.8. Функции Бесселя Ju(z), Yu(z)
373
6.6.2. Ряды, содержащие произведения
' 2'
6.7. Функция параболического цилиндра
6.7.1. Ряды, содержащие Dv(z).
f; ?
2; [59]i (зл)]
2-
k\
6.7.2. Ряды, содержащие произведения Dv(z).
[|t|<l/2; [59], D.2)].
1. Е W
fe=0
A;!
= 2"D2v{y/2z
[i/ > 0; \t\ < 1; [59], C.2)].
[«/ > 0; [59]] .
6.8. Функции Бесселя «/^(z), Yu(z)
6.8.1. Ряды, содержащие Jnk+v{z).
2
2. Yt(-1)kBk + ufj2k+,(^)
k=0
T(i/-2)
' и	2и — 1 21/ +
~2 ~ ' 4 ' T
™5 ^z
3 4
2' 2'	2'	/
• v -\ 2i/ + 1 2i/ + 3	2^
"^~J ""^' ^^; ^^
3.
(г/2)*
l; -y

374
Гл. 6. Ряды
[6.8.1
и — a v — а-\-\ z
2 2
;, ,;,„:.;,
5.
/X, V
•¦
J±u
0*1 < N/2]
/	1 \
' 2i/ - 1 21/ + 1 jj, + i
4	2
1	Д + i
2' ' 2
+ 1
4
2' "T"
' ' +2'
l/2)fe
~2' ^T
2 ' 2,
9.
2 )k\2 )k\2Jk
10. ^(-1) B* + „)
I e 2^2
2i/-a
и
11.
2T(y-l)
v	, 2i/ — a — 6 — 1; 2iz
i,

6.8.2]	6.8. Функции Бесселя Ju(z), Yyjz)	375
л/3 2 ,2ч Г , /(f/^)*^)^
22/з	/	V	22/3
•-а + 1/2; --
^2'
3z2
15.
fc=O
i/ 3^
3' 16
6.8.2. Ряды, содержащие две функции Бесселя Jnk+v(z).
2.	y^(
fe=O
оо
3.	^(
fc=O
оо
4. 53BЛ + 3L+3/2 W = — [cos Bz) + 2z2 - l] .
fc=o
6. f^{
fc=O
r. g

376	Гл. 6. Ряды	[6,8,2
fc=O v	;
it/2
~ (-\-~\\к	9
ю. ]Г-
fe=0
11 V^r л*B")*,а ГИ (г/2)
o
12. f;(
3 _
"' 2 ~
2' 2'
„. g(M+.,if ^,„.^(!)-(;Ч;;
1	2
1Q \™^/ 1\^	^	\ )>
ОО	/1	\
2Q# \ л(	1)^-~	—J __k.(z)J 4-k(z) =
22а-8г2,	Г2(а)Г(а + ^-1/2)	(a + u-^-z
PC
2 Л
a
21. 2^(
fc=0
-o + l

6.8.3]
6.8. Функции Бесселя Ju(z), Yv(z)
377
2Г(|/
1/2т
^ - a + l)fc
(z/2)"+"
и -\- \ a — fj, — и
Bv)k{2v-a
Ща)к
(z/2J
о,
2,
fc=O
Г(а
-^r(f)
x2F3
27.
1
E
Г2
6.8.3. Ряды, содержащие три функции Бесселя Jnk+v{z)-
-Jl(z)J0Bz)-
2' ' 4' ' 4'

378
Гл. 6. Ряды
[6.8.4
2.
Ё
2'
3.
i г * (
- j ^
0
4.
fe=O
1 — x
J1Bwx)dx.
6.8.4. Ряды, содержащие четыре функции Бесселя Jnk+v(z).
1. л 2"
2.
- -• -Az2
2>f
3.
1 Г 1
I-ж2
H«,B«;a!)HoBza!)<te.
4.
fe=O
1
—
5.
1 Г 1
I
J1{2zxI1o{2wx)dx.
6.
8.
1
7Г/2
— JoBzsln х) JqBw sin (nx)) dx.
^ J
о
9.
\
7Г J V 1 ™ Ж2
0
J2t,Bwx)J2uBzx) dx.

6.8.5]
6.8. Функции Бесселя Ju(z), Yv(z)
379
10.
1 Г 1
11-
— JfJl('w)J()\
2
7Г/2
=— — JfJl('w)Jl/(z)-\	 J2MBto sin ж)
2	7Г J
0
dx.
12. V, Jk(zi)Jk(z2)Jk(z3)Jk(z4) = --Jo(zi)Jo(z2)Jo(z3)Jo(z4)
k=l	l
—
J Jof у z
cos ж J Jof у z\
J rfa;.
6.8.5. Ряды, содержащие Ju(ip(k, z)).
[m < 2n; 0 < ж < 2тг] .
2.
)
[m < 2n; 0 < ж < 2тг] .
О. / j К,
27Г
/I
4.
[m < 2n - 1; 0 < x < 2тг] .
am+2n-l/2 2n —1/2 —m —1/2
^ ^"
fc0
p=0

380
Гл. 6. Ряды
[6.8.5
к
O.
«>m+2n —l/2_2n —1/2^, —m —1/2
[ А	7Г	JL
E?>2n-k
p=0
Bn
7
9m+2n + l/2 2n+l/2 -rn-1/2
Bn
p=0
)
9-
i-""
fc
(-1)*
S 2 7172
1	r
~ 1л(ж)" 2Л+1(ж)
2nwfc
[m < 2n - 1; 0 < x ^ 2tt] .
11.
2ti —1/2 т	//il i 1 \ \
Jl/2-mKK*K + lJXj =
-т. —1 /9 2»г
[m ^ 2n; 0 ^ x ^ тг] .
12.
fe=0
+ IJ
14.
[m ^ 2n; 0 < x < тг] .
[Re и > -3/2; -тг/2 < ж < тг/2] .
~Jv{{2k + 1)ж) = 2жЛ+1(ж) - Л (ж)
[Rei/ > -3/2; -тг/2 ^ ж < тг/2] .

6.8.7]
6.8. Функции Бесселя Ju(z), Yu(z)
381
Z
/U Л
^ Г Г th Fтг/Bа)) \f (bx\_( U{bx/a) 11
[tg(b7r/Ba))J Ча/ \ Н^бж/а) J J
[Re i/ > ^3/2; 0 < ж < тг] .
" E |fcTT
fc O
[Re i/ > -3/2; 0 < ж < тг/2] .
6.8.6. Ряды, содержащие Jv{kx) и тригонометрические функ-
функции.
Е
т? ^
7г; Re^> -3/2].
2-
- 2k - 3)!
m — k — 1	2i
1 Ем:'
3=0
[m > 1; 0 < у < тг; t/ < x < 2тг -
21
[m ^ 1; Re i/ > 3/2 - 2m; -тг < |/ < тг; |2/| — тг < ж < тг —
6.8.7. Ряды, содержащие произведения Ju(ip(k, ж)).
Z,
h
[Re (/i + u) > -2m — 1; —тг <ж<тг; |ж| — тг < i/ < тг — |ж|] .
Х J'() Л() [2( + ^л() ^()]
fel ^	fl '
[Re и > -1; -тг ^ ж ^ тг] .
[Re/, > -1/2; -тг < я; < тг]

382
Гл. 6. Ряды
[6.8.8
(-1)*
12
[2{и
— ж a
[Re и > -3/2; -ж < х < ж] .
5. V-
fc=O "
[Re и > -1; 0 < ж < тг/2].
6.8.8. Ряды, содержащие произведения Ju(ip(k, ж)) и тригономет-
тригонометрические функции.
Х\УIЧ
[ж, |/ > 0; ж + |/ < тг; Re (/х + и) > -1} .
2-
[х, у >0; х + у < тг; Re (д + v) > -1].
з
fe=l
X
(/X
[m > 1; 0 < j/ < тг/2; |/ < ж/2 < тг - у] .
2(m - l)!(
m — fe — 1
X E (-1
2 7
- 2j - 2fc - 2)
[m ^ 1; Re (/x + i/) > 1 - 2m; ^тг/2 <у < тг/2; 2||/| - тг < ж < тг - 2\y\] .
6.8.9. Ряды, содержащие Jv (ip (к, ж)) и Si (Л;ж).
i=o
+ С Am — 24 — 2k — 2n
[m ^ 1; — ж < x < ж; |ж| — ж < 2у < ж — |ж|] .

6.8.111
6.8. Функции Бесселя Jv{z), Yv(z
6.8.11. Ряды, содержащие Jk^+u((f(k, z)).
z	,/tt:
Обозначение:
1 + VI - .
2
4 U__
^га, га
2.
arcslnBz)
16(X_ ^2O/2
4 64
fe=i
+
fc=O
oo
fc=O
27
243
9.
2
1
-
- ё ^г
22^2
383
6.8.10. Ряды, содержащие Jv(<p(k, ж)), S(kx) и C(kx).
-2]
[Д(г)
[A(z)
[A(z)
[ABz)
[ABz)
[ABz)
[A(z)
[A{z)
< l]

384	Гл. 6. Ряды	[6.8.12
7гсо8ес(тга/2)
2а2	4а
2z
J-a/2(az)Ja/2(az) + ,	,
2^з I 3 3 — a 3 + a
>' 2 ' 2
[Д (*)<!]•
fc=O "	^	'
6.8.12. Разные ряды, содержащие Jv(z).
1. 2^ Jk(wi) Jk(w2) Jo(kz) =
fe=i
0
1
4W^ (Bfe + 1)*) =
E
fe=O
1/- 1/2)
0
(^2 - ж2)"-3/2НоBго sin x) dx.
fe=l	i=l	l	^ i=l
6.8.13. Ряды, содержащие Yu{z).
1 Г 1
sin
l^^
o
1 f 1
2()J()Y()
2. 2^ Jfc+1/2(w)Jfc+i/2(z)Yfc+i/2B:) = -	2 ^B^ж)НоBгож)с1ж.
fe=o	0
3. ?
fc=O
oo
4. ^] Л(ял)Л(я;2)П(жз)П(ж4) = - -
fe=i
7Г
	Fo f у xi + ж| ~ 2ж1Жз cos ж J Yo f \/ж| + ж| — 2ж2Ж4 cos x ) dx
< жз, ж2 < ж] .

6.9.1]	6.9. Модифицированная функции Бесселя 1'v(z)	385
6.9. Модифицированная функции Бесселя Iv(z)
6.9.1. Ряды, содержащие Ink+v(z)-
о
fc=O
оо
4. ?(
fc=O
{2v)k
2i/- a-
тг/2
о
z2
ОО	/	1 \	/
Q VV ilfcfoL i ,A	V 4 )k{2)k T	/ ч o^-iri/2 V 4 У
2/fc V 4
и. Y
13 Ю.А. Брычков

386
Гл. 6. Ряды
[6.9.2
6.9.2. Ряды, содержащие произведения Ink+u{z)
Е
е-
1 3 2
2' 4' Z
7.
я
2z F
9.
12.
— [ch Bz) - 2z2 -

6.9.2]	6.9. Модифицированная функции Бесселя Iu(z)	387
*!
-+^2
2 /
, ,B^B»/- a + 1)»
]	Ш
Bi/)fc(a)fcF)fc
^+ 1, 2v - а + 1, 2 г/ - 6 + 1
ОО	/ ч
иг—-ч	i [ П.\1-
19.
fc=O
20.
k=0
fe=O
!,„ + !, „+3.4...^
2' 4' 4'
-1	/« /o\2^ /^H—,^H—, ^ H—;4z
^w + ^^ 2
-,
ОО \ I	( *v\ T
ZtJ. > ±k-\-v \Z)l u — k — l
fc=O	" v" 7^ v" ' ~;	\ -,
°°	,!	/? ?. 4Z2\
24. Tll(z)lLAz) =
fe=O
tt/2
~ 2	2	1 2	2	If
25. Л,/fc(to)/nfe(z) = -Jo (to)/o (z) H	 /oBzsln ж)/оBго sin (nx)) dx.
13*

388
Гл. 6. Ряды
[6.9.3
26.
--Io(w1)Io(w2) Н	(^2 - ж2) 1/2Io[Jwl + w\ - 2101102 cos ж )
Z	7Г J	V V	/
27.
28.
тг/2
•— JoBw sin x)IoBzsin (nx)) dx.
0
	Уо ( \/xi + Ж1 ~~ 2Ж1Ж2 cos ж ) Ко
2тт J V »	/
- 2Ж3Ж4 cos ж J dx
[Xi < Ж3; Ж2 < X4] .
6.9.3. Ряды, содержащие 1пк+^((пк +
Обозначение: A(z) =
1].
1].
г2
4
1* —az
-L,	U Z,
— ia, ia
6.9.4. Ряды, содержащие произведения 1п
Обозначение: A(z) =
{{пк + и)z).
1 + л/1 + z2
. !O/2
5zb
256 4
[Д(г) < 1].
[Д(г) < 1].
[A(z) < 1].
[Д(г) < 1].
[A(z) < 1].

6.10.2]
6.10. Функции Струве M^jz) и Lu(z)
389
8.
9-
==
^ +1
In
[*(*) < 1].
6.10. Функции Струве HI/(z) и L^
6.10.1. Суммы, содержащие Н
2 5
3 5 3 2i/+ 3
4' 4' 2' 4 '
6.10.2. Суммы, содержащие Hu(<p(k)x).
[Re i/ > -7/2; ^тг < ж < тг]
о
3-
з/2)
5" Е
[Re и > —7/2; — ж < х < тг] .
[Rei/ > —7/2; —тг < х ^ тг] .
2ж)
[Re и > ^5/2; ^тг/2 < ж < тг/2] .
[Rei/ > -7/2; -тг/2 < ж < тг/2] .
00
Е
[Rei/ > ^5/2; ^тг/2 < ж < тг/2] .
) [Rev > -3/2; -тг < х < тг]

390
Гл. 6. Ряды
[6.10.3
8.
- тг2а2]
[Rei/ > -7/2; -тг < ж < тг] .
6.10.3. Ряды, содержащие Ш1/(кх) и тригонометрические функ-
функции.
1#
тгГ(|/ + 3/2) \
[ж, у > 0; ж + у < ж; Re и > -3/2] .
[-тг <ж<тг; |ж| - тг < 2/ < тг - |ж|; Re г/ > -2m - 1/2]
(kx)Hl/(ky) = -
J
[x,y>0;
cos (kx)
^—v cos (kx)
22 fc3m+,-lH"
m — k-1	2j	1
* Е (-l)J(|y|CBm-2i-2fe-2)j
[О < у < тг; у < х < 2тг - ж; Re i/ > 3/2 - 2m] .
*Л„/<^2* + »'+1
(-i)*(y/2)
2Г(ш + 1/2)Г(т + i/ + 1/2)
m — fc — 1	21
х Е (-i:
i=o
^ T(Jfe + 8/2)r(jfe + i/ + 3/2)
lm+3CBm - 2j - 2k - 2)
-тг < 2/ < тг; |2/| — тг < ж < тг — \y\; Rei/ > 3/2 - 2m] ,
6.10.4. Ряды, содержащие Н„(кх) и Si
2Г(т + 1/2)Г(т + i/ + 1/2) ?^ r(jfe + 3/2)r(fc + i/ + 3/2)
E

6.10.6]	6.10. Функции Струве M^jz) и Lu(z)	391
m — k — l	2j + l
x ^ (-l)j . X .	[1 - 22j+2k-2m+3CBm - 2j -2k- 2)]
i=o
[m ^ 1; — тг <|/<тг; \y\ — тг < ж < тг -- ||/|] .
6.10.5. Ряды, содержащие Н^Aсж), S(kx) и С(кх).
1/2)Г(ш + v + 1/2) V тг ^ Г(/г + 3/2)Г(й + v + 3/2)
m-fc-l
E (-l
[т ^ 1; ^тг
E j
¦ 1/2)Г(ш + и + 1/2) V тг ^ Г(А; + 3/2)Г(к + i/ + 3/2)
г [1 - 22i+2fem+3CBw - 27 - 2А; - 2I
i=o
[m ^ 1; ^тг <|/<тг; |г/| — тг <С ж <С тг —
6.10.6. Ряды, содержащие Hi/((p(k)x) и J^(kx).
~ (-i)fe , ,и„	<~,wt..,w+i
[ж, у > 0; ж + у < тг; Re (/г + и) > -2] .
Е
/ 2	2\v — \l2 j /r% • \ j
\z — x ) ' JiBw sin x) ax.
0
q
• 1/2)
0
fc=0

392	Гл. 6. Ряды	[6.10.7
k = l
¦ 1/2)Г(/х + 1)Г(т + у + 1/2) ^ Г(А; + 3/2)Г(А; + у + 3/2)
^ l ; i'irfi* _|_ ^ _|_ 1) L	si	j	;j
[w ^ 1; ^тг < 2/ < тг; Ы - тг < ж < тг - |j/|] .
+ /х + у - 1)
3/2)
[т ^ 1; ^тг < ж < тг; |ж| — тг < 2у < ж — \х\
6.10.7. Ряды, содержащие произведения Ии(кх).
1. 2^-
_ v
Г(ш + 1/2)Г(|/ + 3/2)Г(т + /х + 1/2) ^ Г(А; + 3/2)Г(А; + /х + 3/2)
[m ^ 1; ^тг <ж<тг;
\k n
f_\\	y
2- E Ь^7 П *Mfe^) = - nn4«(v + 3/2) П <
6.11. Многочлены Лежандра Pn(z)
6.11.1. Ряды, содержащие Pnk+m{z).
1; [31]].
[-1 < x < 1; [31], A5)].

6.11.2]
6.11. Многочлены Леэтандра Pn{z)
393
6.11.2. Ряды, содержащие Pnk-\-m(z) и функции Бесселя.
2.
fe=O
3.
+ 3) J2k+s/2(w)P2k+1(z) = J-^- sin (wz).
4.
5.
6.
• 1) Jk + l/2(w)Pk(z) =	i^ Sin |
Г(|/ + 1)ГC/2-1/) у 2
3 5
¦2' 2
8.
9.
fe=o
- 2wzJ5/4(wz)} .
10.
3)Jfe
- 2wzJ7/4(wz)] .
11.
12.
Ik+1/2(w)Pk(z) =
13.
h=0
ch(wz).

394
Гл. 6. Ряды
[6.11.3
14.
3) I2k
^	2w ur \
z) = у— sh(wz).
|; 1; 2™ -
16.
3)
4z
ГC/4)
6.11.3. Ряды, содержащие произведения Pnk-\-m{z).
у, 2fc + l		4_
-; 1; 2го - 2toz^
- 1
2.
3.
[-1 < ж ^ 2/ < 1].
oo
4. ?B^ + 1) Л + а
fe=O
5.
1[Pfc(z)]a=™i-L2F]i['i.|;»V-^
2w
-wh BwVz2 - 1) Lo BwVz2 - 1) + wlo Bw\/z2 -
6.11.4. Ряды, содержащие Рпк+т((р(к, z)).
fe=o
00 ,k
2. Vtr(
2k + z + 2
6.12. Многочлены Чебын1ева Tn(z) ш Un(z)
6.12.1. Ряды, содержащие Tnk+m(ip(k, z)).
fe=O

6.12.2]
6.12. Многочлены Чебышева Tn(z) и Un(z)
395
-2n-l 2n (n ,
4 ^
k=Q
3.
bx	Ьтг
sin — cosec —
a	a
Г — 7Г < Ж < 7Г1
4-
- 7—гт— ub — cos — cosec —
Bn)!2 lb a	a 1	2
6.12.2. Суммы, содержащие Tnfe+m(z) и функции Бесселя.
1. V(-l) J2fc(w)T2fc(z) = - [cos (wz) + Jo(
		^
fc=O
1 .
2Sir
3.
4.
5.
fe=O
6.
8.
9.
10.

396
Гл. 6. Ряды
[6.12.3
11.
оо
12. ]Г ll/2(w)Tk(z) = - [IoBwz) + Il
fc=O
13.
= - [loBwz)
fe=O
6.12.3. Суммы, содержащие Unk+m(<p{k •>%))•
v
(-1)*
2a2 - b2)n+3/2
~ (к2а2 ^Ъ2)
¦tjtt sin kx f72n+i
1га
'к2а2 - Ь2 .
Ж	^2п + 1 \ , Ьх	Ьж
-7	г;	rDft sin — cosec —
Bn + l)\2ab b I a	a
\—7Г < X < Ж \ .
n + 3/2
- COS kx C/2n
d'"+1 [i cos — cosec —1 - (n +
Lo a	a J
[Bife + IJ - a2]n+3/2
1)!26 b Lb™ a w°^ a
^2n + l
[-тг < ж < тг].
IJ - a2
6.12.4. Суммы, содержащие f/nfc+m(^) и функции Бесселя.
W
= j cos (
2.
sin (wy/1 - z2 ) .
3.
fc=O
4.
Л = ^sm(wz).
5.
- sin (гу v 1 —
6.
J2k+1(w)U2k(z) = j
fe=O
= j sin

6.12.4]
6.12. Многочлены Чебышева Tn(z) и Un(z)
397
8.
о. W
з-
9.
11.
1)J2k+1/2(w)U2k(z) =
12.
l)Jk+l/(w)Jk^l/+1(w)U2k(z) =
- 2)
2 - ^
2; ~
13.
fe=0
= —- JiBwz) — wJ2Bwz).
14.
1;
15. 2J Jk^i/2(w)Jk+3/2(w)U2k(z) =
fc=O
16.
17.
18.
о.
_2)
20.
k=0
l)Jl+1/a(w)U2k(z) =

398	Гл. 6. Ряды	[6.13.1
оо
21. ?(-l)*(fc + l)Jk+i(*>)U2k+i(z) = jJiBwz).
k=0
22. J2Bk + !) Ik+iMw)U2k(z) = J^e~w + 2wze2wz2~w erf (V7^ z) .
23.
fc=O
24. ^(
fc=O
oo
25. ^(fe + 1) hk+2{w)U2k+i{z) = j sh (ш).
fc=O
26.	^(-l)fc(^ + 1) Ik+i(w)Uk(z) = ~z-e wz.
fc=O
oo
27.	?(-!)*(* + 1) h+i(w)U2k+i(z) = wzew~2wz\
fc=O
28. Y,
fe=O
29. 5]Bfc + l)I2k+1/2(w)U2k(z) =
fc=O
oo
30. Y, (k + i)/2+iMtf2*+i(*) = ^
fc=0
6.13. Многочлены Эрмита Hn(z)
6.13.1. Ряды, содержащие Hnk+m{z) и функции Бесселя.
6.13.2. Ряды, содержащие произведения Hnk+m{z).
4t-l
2. Е^ГГ1
[|*l < 1/4].

6.13.4]
6.13. Многочлены Эрмита Hn(z)
399
g
4.
1 6 2
е х у cos Bxz) cos Byz) Io(8zyixy) dx
[\t\ < 1/16; [25]] .
x ^y sin Bxz) sin Byz) Io(8z\/ixy} dx
[\t\ < 1/16; [25]] .
6.13.3. Ряды, содержащие Нпк+т((р(к, z)).
00 гк	_
sh
?TI/ 2ш21
= ^— [ch
A; + 1 / wz
-ch B
[t = гое^;
Г j	to
ew+1\
6.13.4. Ряды, содержащие i:/nfc+rri((^(fe, z)) и специальные функции.
Е-
fc=O
,(* + D»)
о
-(Л-
1 w)H2
1
J l/'
-1
BЛ + 1)!'
00 / /o\fe
5.
2Г(|/)
00
- E
(*
/?+T
-1

400
Гл. 6. Ряды
[6.13.5
!¦
6.13.5. Ряды, содержащие произведения Hnk-^-mi^ik, z)).
^п+1 (Bп)!J 2вт-7у4т-\п + 1/2)т_1
n! ^ (n-A;)!DA;)
-fc)!Dife)! \П+ 2Jk
W g (-1
2.
,,(Bn + l)!J
[m ) 1; 0 < j < л/я7! у2 < x < 2n - у2] .
3/2)TO_i
2m-2fe-3
m — k — 1
(-D* E и
3=0
[m ) 1; 0 < j < л/я7; 2/2 < ж < 2тт - у2
6.14. Многочлены Лагерра Ln
6.14.1. Ряды, содержащие L^
i. V
A - t) Ln (z - tz) - (-t)
n x~^ (—A — :
,к j \+n — k/\ I г| .1 . -1]
1 Ln (z) I [\t\ < lj
h x i \ /1 ,\-A-n-l tz/(t-l)
00 +k
5. VlrJ
25

6.14.4]
6.Ц. Многочлены Лагерра Ln(z
401
6.14.2. Ряды, содержащие Lnfe+m(z) и специальные функции.
^ 1
Л
5. 2j2Jfe^A)H
fc=O
1 - A , A tu2
1
6. ^ tkPk(w)Lk(z) = v
6.14.3. Ряды, содержащие произведения Lnk+m{z).
»+_kk(z - t)
[m < n]
2. f;
fc=O
3.
fe=O
[25]
6.14.4. Ряды, содержащие произведения
2Bm - 1)! 2Bт - 1)!
(n!) t*o kl
i=o
- 2j - 2А; - 2) [m > 1; 0 < х < ж; х < у < 2тг - х]
J

402
Гл. 6. Ряды
[6.14.5
6.14.5. Ряды, содержащие
00 +к	^^~w
,.
k=0
, z)).
w\ A+1	-1
Z /	J
= wew/z; \wew+1\, \w/z
6.14.6. Ряды, содержащие Lmk+n{(p{k1 z)) и специальные функции.
(Л
[1-Г(Л-
E (An
k=0
1 - oF2 ' 4
г1
6.14.7. Ряды, содержащие произведения
2.
[t = we-}
JJ
[t = we \
6.15. Многочлены Гегенбауера Cn(z)
6.15.1. Суммы, содержащие C
i

6.15.1]
6.15. Многочлены Гегенбауера Сn{z)
403
2. у t*A~2A~"J*c?-*(z) = A - 4i)A/2(l - 4t +
1, Л + j + 171
2'	'
4
k=O
3=0
(A+ 1/2),
2Fl
-m +j + 1, Л + j+w + l
J 2»
8-
.2 t - 1 -
ZtZ

404
Гл. 6. Ряды
[6.15.2
6.15.2. Ряды, содержащие Cnk^m(z) и специальные функции.
cos (wz).
2.
¦ А + 1)J2k+X{w)dk+1 (z) = {W/2)X -'-
h=0
3. 2^Bfc + A)-
fc=O
J2k+x(w)CZk(z) =
\A-2А)/4 Г(А+ 1/2)
>	Г(А)
4.
(А+ 1/2)*
к
D.
[Z -
(Z) —
/z2 -1
6.
- AJ
( 2
(г) =
7.
A/2)*
fe=0
(A+ 1/2),
X(w/2)}
Л
A
+ 1
2 '
+ \
A
2
2
1; w
¦1, A-
2
Z
-v
-w2
+ 1
8. 2^Bk + A-
fe=O
9. VDifc-2A + 1)№^
g
{l-2\)(w/2)
1/2-A
2 ' ^ 2 '
1
2' ^ '
^(nOC^ (z) =
3-2Л 5-2Л
1 - A, i/ + 1, - - Л - i/

6.15.2]
6.15. Многочлены Гегенбауера Cn{z)
405
10. )Dk-2\-
11.
12.
(z) = ^^- ch (wz).
13.
sh
14.
Л)
r(A)
Jx~i/2(w\/z2 - l) .
2	.A-2А)/4Г(Л
Z	Ч
Г(Л)
16. ?D^ - 2A
2BA+7)/4
—7i—^rr
Г( ~ i
(i-2A)/4 ^
e
^ 2A
V1 Ah
2BA+ll)/4
! -Л;
1 — z2
18.
/ A + l 2
1 „ ^T; w

406
Гл. 6. Ряды
[6.15.3
X±lk
6.15.3. Ряды, содержащие произведения Cnk+m{z).
fc=O
A/fe
[w_ = 1 - 4t(w + l)(z - 1),
--A, --Л; 1-2Л;
Ш
Л, Л + 1;
3.
Г(А)
4.
V(
к=0
Л + 1) ,[3/2)k J2k+x+i(w)Cx
2fc + l
Г(Л + 1/2)
J\-l/2 I TV! — .
5.
A
2k
2l-A/2
IW2I
'Л Л + 1 А
2 2 2
: 2w — 2wz
Bife
-го тр I 2 ' 2 '2
1; 2w-2wz2
|, A + |, Л
6.15.4. Ряды, содержащие C^+m{ip{k, z)).
fc=O
t = —e ; we | < 1
Zi2^	J
2.
: = -we \

6.16.11
6.16. Многочлены Якоби Р^ '° (
407
в.
4.
-1]
- 1
го	го + 1 I ^. 11
е ; гое I < lj .
: - 1
6.15.5. Ряды, содержащие
[' i	w	го + l I ^. 11
t = ™гое ; we \ < lj .
z)) и специальные функции.
2' 4
~2A, i/
- 1
V
A-l; --
1
2'
- 1
A;--
6.16. Многочлены Якоби P^p'
6.16.1. Ряды, содержащие
OO	/	\
tk K~P~ П)к P{p-h' °+k\z) =
tk
z) = A - tyP^"' a)(t + z- tz)

408	Гл. 6. Ряды	[6.16.2
^	} ( + + l) V 2 / т	К }	ml	^^kJ\bJ
j=0	\	> J ' 9
У2 tk P(^i(:) = c'ifi(piJll.pil. Ф-i)
' 2(t-l)
(-(r; -p-a; t)
jy	Ж л . к!	\™JJK	т-»| ?>— К. СГ — К 1 / \	/^ . «^^	" \	in I	'	'
t - t^ - 2 >
2
6.16.2. Ряды, содержащие ^}т±пк°' Ч (z) и специальные функции.
2 /2\^/2 _
2N"/2	/i^; ^L
-) e^iFi 2 ' 1-
w/	у -р-а
2. VBfe + р + а + 1) , IT, JfcJfe+aHJfc+P+.-n+i(W)P^ a\z) =
Г(а + 1)Г(р + сг - а+ 2) 1 a + i7p + i;P + (J^a + 2
~р)к ( 2 \к	(р~2к,а)
I 1^Р ,	Р. ^2
Г(а + 1)ГA ^ р ^ а)
а + 1, _р _ ^ 1 _ р _ а

6.16.5]
6.16. Многочлены Якоби Р^ '° (
409
4.
+ a + n + l)k n~z\k
A \\,	\ 9 /
2fe
n! I 2
2'
CW^+M)W =
, p +n + 1, p +a+ n + l
+1
6.16.3. Ряды, содержащие произведения
ОО	I. I / _ i _ i -| \
^2{-1)кBк + р + <т + -1
Г(а
- а + 2)
+ 1,
+1, сг + 1, р
6.16.4. Ряды, содержащие
Обозначение: t = —w
а±Чк) i^
i z))-
wew+1\ < 1
°' Ч
(z)-
2 V
-р-1; --
(p + сг)
W + Wa
6.16.5. Ряды, содержащие
ц и и.
a Ч
j z)) и специальные функ-
функ-<г-1; --
^p — G — 1,

410
Гл. 6. Ряды
[6.17.1
Е-
fc=O
р + сг; — ¦
р, v
- * -
2(р+1)Г»
4- Е, /г\ (fc
— P — G — 1,1/
- 1
5- E |тт^
-1)
2<т(гу/2)"
6.
i
<7, i/
6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pi?g((ap); Fg); z)
6.17.1. Ряды, содержащие pFq((ap(k))\ (bq(k)); z).
V
II
— к, — к	.a: z
2
	А;, а + 1
2	'
PFT1 I T I '"V1 /7 Т 7 \
*,i)C)
2(t2z)a
k\ z
). 2
К); г
(bq),b-k
(ap);z-tz
[9].

6.17.1]	6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	411
у' (-*)* ПКЬ Р ((ар1
7	| .	-г-ж / . \ V " V
f4 A;!
= 1.
(ар)
(bq) + A;
па - о
fc=O
(ар) — т; (к -\- а).
(bq) — т
— гр+i^g+i
(ap),l;z
(Ьд), Ь + 1
(ap) + k;z
(ap),b-l;z
(-l/2)fc
1
2а
Ba-l)p+iF9+i
(%>
(ар), а; z
in
P "
(ap) + k; z
2	2
Fg), a, 6, a + 6 -
HflM it Лар) + Л; ^
g-P+i
/&g\ /&q + 1\ 6 6 + 1
Л 2 / ' V 2 / ' 2' 2 '
v.
(ap) + к, a; z
2	2
2 ' 2 ' 2' 2
1
A;, a; 2;
(ap), a + 1; z

412	Гл. 6. Ряды	[6.17,1
¦ p+2-Tg+l I	1
\\ я)	? tt	g,
((ap), 2a, 26, a+ 6; z
1
2'
м-
17
' 2 '
OO / I \ /L\ / \
Bk + a^ 1) —	l	;fcl ; l ; 	 x
p) , a — 6 — c;
fcEI(Qp)fc о
U(b)P q
(, ч a + b — 1
20 V (z) П(аР)<с р (	(ap)
' i	+3
(aP); |
21 V (g) n(ap)fc p /	(ap)
22
fc=O
a-1	I (ap), 1; z
p+i^q+2	a a
\F<?)' 2' 2 >

6.17.1]
6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); F9); z)	413
24
P P
» (ap) + k\ z
4Fg) + A;, a+ 2
(ap), 6 — 1;
(ftp), a-1, bj'
a -— с a — с + 1
a - 2) к\(аJк
« ~ l)(o ~ l)t(a ~ b)h
(bq) + k, a + 2k
;' 2
/, 2 ,
+ A;; 2
c, a + 2ife
a(a - 2)
a — b ¦— 1 a — b
2 ' 2 '
v a a + 1
Ы + к;
(bp) + k,a
oa
h
р
{ap) + 2k;z
= (a-l)pFp+1\
(ap), a -1/2; 2
h z
2k;z
[Re 2 < 0, если р = <7 + 1] .
2
31-
(a + l/2)*F - a

414
Гл. 6. Ряды
[6.17,2
00	Jlk
32. V , , Z4,
^pJk
- 9k h 4- 4& 4 4- 41? Л 	 9
П (hi - 1)
П(
г=1
(ар) -1,
-Б 26-3
4 ' 4 '
'2 ' 2 '
зз.
(а/3)* з*П(вР)з*
к=0
(ар)
(ар), з' Т
6.17.2. Ряды, содержащие
ские функции.
2.
^^ к F(/i + ku)F(fj, — ku) p
v^ (—1)	sin (китг)
[ap); z
и тригонометриче-
тригонометричетгA — I/)	/ (ap);
2Г2(М) р g+2
[Re/i > 1/2; 0 < i/ < 1] .
(ap); 2;
Fg), /i + A; 1/, \L — kv
(ap); z
p^+^l^T';/,,) [R*A* > 0; 0< 1/< 1/2] .
/1, /xy
3.
X pFp+2
¦ BJb + l)i/)r(/x- BA;-
(ap); z
/, /i - B* + 1I/
ж	f (ap);
p p+2
[Re/i > 1/2; -1/4 < i/ < 1/4].
00 / i\fc
(-1)*
fc=0
BA; + IJ T(/i + BA; + 1)|/)Г(/х - BA; + l)i/)
(ap); z
•9), /x + BA; + l)i/, /x- BA; + 1)j
4r2(/i)pF<?+2ViGgj,/i, /iy
[Re/i > 1/2; -1/4 < 1/ < 1/4].
fe=0
BA; - 1)BA; + 3)
7Г Sin Bl/7r)
1/)Г(/х- BAj + 1)i/)
x + BA: + 1)i/, /x- BA; + l)i/
(%);
Z	) [Re/i >0; -1/4 < 1/ < 1/4].

6.17.2]	6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	415
^ Bк - г)Bк + 3) Г(М + Bк + ^Мм - BА; -
(«р);
X рР
ж sin Bi/tt)
> 1/2; 0< i/< 1/2].
BA;
Bk - l)BJb + 3) T(/i + Bk + l)i/)r(/x - BA;
x F
p Ч+2
4Г(/г + 21/)Г(/х - 2v) p 4+ \{bq),
~ (_l)fcBA; + l)	cos[Bife
О. /
{2k - l)Bfe + 3) Г(/х + Bk
p 4+2\(bq),
.cos B,.)	^+/	М;^	) [Кем > 1/2; -1/4 <,< 1/4]
4Г(/х + 2|/)Г(/1 - 2и) р q^ \{bq),
cos (fci/тг)	/	(%);
+2
9+2
wcsc(bwfa) cos [A — i/N?r/a]
а	а /
[Re/i > 0; 0 < v < 1] .
cos (fci/тг)
ч+2
тг cscF?r/a) cos (Ьиж/a)	I	\ap)"i z
a	a
п. V—^-
к	sin (A;i/tt)	/	(ap);
7rcscF7r/a)sin[(l-i/N7r/a]	/	{aP); z
/a)F(fjL — bu/a) p	\ io ), fi-\	, fi
\	a	a

416
Гл. 6. Ряды
[6.17.3
12
sln(kuw)
p g+2
тг csc(&7r/a) sin (i/Ьж/а)	I	(ap/5
/, \i - kv
; 0 < i/< 1/2]
a	a
sin[Bfe
lJa2 - б2] Г(/х + BA;
* F
P q
- BA; + l)i/)
7rsec[67r/Ba)]sin[6i/7r/a]
*
6„/а)Г(М - fei//a)
	cos[Bfc +
a	a /
[Re/x > 0; -1/4 < i/ < 1/4].
^ [BA; + lJa2 - b2] Г(М + Bife + l)i/)r(/x - BA; + l)i/
7rsec[67r/Ba)] cos [bi/тг/а]
=
oFq+21 (a^z bv \
\ '	a	a /
[Re/x > 1/2; -1/4 < v < 1/4] .
6.17.3. Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); z) и специальные
функции.
.i
2fc+i
A;,
л 3
), -
2
1	/(op);
2" '+11
4
V z"
[[{bq)k

6.17.4]	6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	417
(ар); ад
8- ?тБ1ггЧ^ь(^) ()(
~(ф(А + 1)*.	Vc + jfe/	V с,
№	U	\	'
9
((а ) + !• w2-
Ad UJ /C/	i	i -Ж--Э / /	\ \ i	f -w-1 / / * \ . ^ /^ь.4 I	I" t—i / / * \ . -й /^ь.4 t? ¦*¦ 0~j~ 1 I	1	Q
\ я) 2' 2
2 \
ч q ' 2
(ap); w2z
), -
A
6, с — a, A -
J-tJ»
k~o	V 2' ' z ^1
, / 6, с ^ a. p + а л
= (l-z)-bsF2
(г) П(с„Ь	/fc,(ap)\ /(Ср) + А;г\_
6.17.4. Ряды, содержащие pFg((ap); Fg); </?(/г, ж)).
1.
14
Обозначение:
E(-i)%^
Ю.А. Брычков
d =
Re
/p+i
Vi=i
-A;2a
i=l
Л 1
a« 1.
[Re6, > 1; d > 1/2; 0 < x < тг2/4]

418	Гл. 6. Ряды	[6.17,4
К); -к\
2n + l
fe=O
[Re bj > -n - 1/2; Re <ц > 2n - 2 + A ± l)/2; d > 2n + 1/2; 0 < x < тг2] .
_ (^1)П+1„2п~1/2
X
bj > -n- 1/2; d > 1/2 - 2n; 0 < x < тт2/4] .
262 2a6 [ctgFTr/a) J
ППЫШГ f(bP+i) + i]
LZ J	IT7
p+l^p+2
(/ ч 1	62ж\
Ю +«»!; ±— I
/ x i за
(&p+i) + -j - /
[Rebj > 1/2; d > -3/2; 0 < ж < тг2] .
1 , тг f cosech (бтг/a) I	/(ap);±—^\
2o2 2ao [ cosec@Tr/a) J	1 Fp+i) /
[Re&j- > 1/2; d > -3/2; 0 < ж < тг2/4]
>
(-1)*
3=1
f, cos (Ay)	/(ap); fcx\ _
1)	9. oV+(l) 2J (l
2Bm-2fc-3)!	^
[Re6j > 3/2 - m; d > 2m - 5/2; m ^ 1; 0 < x < тг2/4; 2-Jx < у < 2тг - 2л/ж]

6.17.4]	6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	419
(ap); -(
(ар);-а2ж
5ГПГ[(ар)-1/2]ПГ[Fр
[Rebj > 1/2; d > 1/2; 0 < ж < ж2) .
о
(ар); ^(к2 + а2)х
[Rebj > 1/2; d > 1/2; 0 < х < тг2/4] .
10
10-
р
j ^ж) [Reft, > -1/2; d > -3/2; 0 < х < тг2/4]
> -1/2; d > -3/2; 0 < ж < тг2/4]
(op); -B*
8	2
> -1/2; rf > -3/2; 0 < x < тг2/4]
PFP+1
[Rebj > -п; d > -In - 1/2; 0 < x < тг2/1б]
14
1/2]ПГ[(Ьр+1)]
_
,.;.'*
[Rebj > -1/2; d > -3/2; 0 < ж < тг2/4] .
> 0; d > -1/2; 0 < ж < тг2/1б]
14*

420
Гл. 6. Ряды
[6.17.4
(-1)*
{ар); -(
-1; d>-l/2; \x\ <тг2/1б].
it
К);-(
(ар); -ж
(Vn)
р+1
Yl
3=1
1 [Rebj > -1/2; d > ^3/2; 0 < ж < тг2/4]
- 2p+iFp+2
(ttpj; — [Ik + Ij
(bP+i)
^(ap), 3/2; -ж'
I (bp+i), ~
— рГр
-n; d > -1/2; 0 < a; < тг2/1б]
19.
lJa2±b2
(а„); -Bfe + l) ж
ji_fth[b7r/Ba)]l
4a6\tg[67r/Ba)]J p p
K);
РЛ -1- 2
l ±^
2a2
BJfc-l)B*
[Re6j > -1/2; d > -3/2; 0 < ж < тг2/4]
2п_2	/(ар); -4ж
nF+1 {
[Re bj > n; d > 2n - 1/2; 0 < x < тг2/1б]
E-
(ap); ^(
(ap); —4ж
> n - 1; d > 2n - 5/2; 0 < x < тг2/1б]

6.17.5]	6.17. Обобщенная гипер геометрическая функция pFq ((a p);(bq); z)	421
22 V ^1^ F ¦ Aflp)' -((Ы + 1J + а2)х\ _ ж ^ f(ap);-a2x"
[Refc, > 0; d > -1/2; 0 < ж < тг2/1б] .
kcos(ky)	f(aP); ^k2x
23- EH'S^
= {-!)«
Yl(ap)m-1
m-2 k
i=o
- ад - 2* - 2)
\m ^ 1; Reai, Re I
/p+i
a» I > 2 - 2m; 0 < ж < ж2/4; 2^ж - тг < |/ < тг -
6.17.5. Ряды, содержащие pFq((ap(k)); (bq(k)); —(p(k)z).
Обозначение: A(z) =
1 + VI -
i-E
{ар) + к; -к2г
Ы, 1; ^ 1
(Ьр)
(ap)
к, 2к + 1) 2
з. у
fe=l
(op) + l, 4;
IS Bfc)!
p+1
(ap)
[Д(г)
32
(а» + 2)
[A(z)
Y\(,av)k
~ a2)
P
- &; —A;
¦A;, 2A: +
1 — p+ij

422
Гл. 6. Ряды
[6.17.6
7.
>+i
[|ABz)| < 1].
_
8
"•"
< 1].
9.
ПК)*
![BA + IJ + a2
A,
(aP), l;a2
F)
2 ' 2
-fe, (ap);
fe + 1 =
П'
П(«« -
i* = -
<1 .
6.17.6. Ряды, содержащие p-P9((ap(A;)); F9(A;)); —^>(fe)^) и специальные
функции.
2.
-k, (ap);
Г<">	П («.-D
>У '4-1
Ь,) - 1, v )

6.17.6]	6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	423
UMk w {M + k;
¦ PFq
^ _x П (*i -
го z j=i
(ap) - 1;
bq) - 1, --
00 Л
v
/^тт; u(bq)kpI'q{ P (bqHk
П (bi - 1)
(ap) — 1;
-1
5 2
5. V-
+
q
П
(ap) - 1; wz
-1
-A;, (ap);
p+1 g
A,
7.
{ } 2k
2{А-1}П(а--
г = 1
P+1 9
(%) - 1, A- 1;
fc=O
(l-A)*
= («,г)-
П (at ~ 1)
1 = 1

424
Гл. 6. Ряды
[6.17.6
9.
?j A-A)fc \2w) ^k
, ri(ap)fc F f(ap) + k;
kP 4 (M-
LAW
1-
2
g)-l, -2A
fc; (fc + i;
- Дfe
(p + <t
П (^ -1)
1
12-
w-k-
nto-i)
fe=O
(k + \)z
¦-1, ^2A
14.
2z

6.17.7]	6.17. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap);(bq); z)	425
г=1
6.17.7. Ряды, содержащие произведения PFq((ap(k)); (bq(k)); —(p(k)z).
i / \	W \
q	s
Yi(bi -1) П (ci -]Ч
= (ш)"^	^
(bq)-l,(d8)-l
i=l	3=1

Глава 7. Формулы свмзи
7.1. Элементарные функции
7.1.1. Тригонометрические функции.
^ k\(l-n)h
=0 Х )к
к
п — 1 /-«	\ /1 I \
2.	sin 2nz = п cos z ^2 	(J-. -ч.—^22fc+1sin2fc+1
7
3.	slnBn + \)z = Bn + 1)^
4 cosnz- - V 2 (^n)
fe=O
6.
2
fc=O	^ ^*
7. sin Bn arcsln z) cos (Bn + 1) arccos z) + cos Bra arccos z) cos (Bn + 1) arcsln z)
= (^i
7.2. Специальные функции
7.2.1. Пси-функция ф{г).
2. 1
7.2.2. Неполные гамма-функции Г(г/, z), 7A/,
e ^(
fe—О

7.2.3]	7.2. Специальные функции	427
п-1
2. r(i/ + n, z) = (u)nF(u, ^-^-V^a-iz-n
7.2.3. Функция параболического цилиндра Dv{z).
fe=O
к
X V^
m=0
K2m- ' z"

428
Гл. 7. Формулы связи
[7.2.4
7.2.4. Функции Бесселя «Л, B), h(z), Ku(z).
Е
> П
j=2k+l
2.
fe=O
3. J1/2.n(mz) =
fe=O
2fc
/
П
4. Jn
5. = —
wz
к\[(п^к)\]2
[[7], 7.5.2C0)]
Bk
~~ 2k - l)!
(f
arctg |
arctg У-
sin ( -^-— arctg ^ ) Jn-k-i/2(x)h-i/2(y) +
+ (-l)n cos (—-— arctg —J Jfe-n-i/2(»)/i/2
feB/) 11
Е
fe=O
С) (f )fc
,n~fe . /2n + l	j/
) sio(^^ arctg -
¦ 1	v \
— arctg -J Jfe-n+i/2(^)/fe_i/2B/) +
1 + 1	, ^ f
—— arctg - Jn^fc^i

7.2.6]
7.2. Специальные функции
429
8. /;!+1/2(*)-/1п-1/2(*) = ^-
9	-	(»!J -2n-l L-2n-l(
k)\
fe!(rc - k)\{2z)k I '
10.
11.
12.
:т)
(m-l)/2
pi+...+pm=n
Pi
!...«_!
)-" (irzI/2
1/2
fe=O
7.2.5. Функции Струве H^z), Li/(^).
2)
3.
4.
fc=O
5.	H^n^1/2(z) =
6.	L_n_i/2(^) =
7.2.6. Функции Ангера Ji/(^) и Вебе pa ~Eu(z).
©.(i-»).(-?)'
-<-')¦=-<•'
4.	3-u(z) =
5.	Л„(г) = J

430
Гл. 7. Формулы связи
[7,2,7
k-1
>-mJ
-(-1)
(-1)"'
/]
[Jn+l/2{z) + (-l)nJ-n-
(-)'
к \z)
--У
*? Zli	j
k-1
+ ("I)*"Jl/2-m(*) [(-1)*Jl/2-n+fc(«) - (-l)nJn_fe_1/2(*)]} +
+ [Ji/2-n(«) - (-l)nJn-1/2(z)]S(z) + [J1/2-n(z) + (-l)nJn-1/2(z)}C(z).
7.2.7. Функции Кельвина berl/(z), be!I/(z), keiv(z), keii/(z).
Условие: z > 0.
/ \ P^ ( • 3?r u z	z	3?r u z • z \
1.	ber1/2(^) = 4/ — sin — sh —=r cos ^^ — cos — ch --=¦ sin ^^
ok- f \ Г^ ( • 37Г u z • z ,	37ruz	z^
2.	beii/2(^) = \ — sin — ch —^ sin ^^ + cos — sh —^ cos ^^ .
7 v ' V тгг V 8 V2 V2	8 V2	/2/
. Зтг
.
4. bei_i/2(^) = 1/ — I cos — sh —^ sin —^ — sin — ch
7 l ' V 7r*V 8 ^2 ^2	8
к
5.
6.
I Ж -z/y/2
-z/y/2
e
7. ter-1/2(*) = J?e-
8.
7Г	__2;/^/2	.
- e ' sin
f-
VV2 8
7.2.8. Многочлены Лежандра
2.	=
3.	=P<?'0)(z).

7.2.9]
7.2. Специальные функции
431
-1
6.
(-1/2,-2п-1/2)
Y	_ z%™ p@, -2n-l/2)
8.	F2n+i(z) = z(z2^l)nPy/2'^2n
О	_ 2n+lp@,-2n-
*7.		 X>	J n
7.2.9. Многочлены Чебышева Tn(z), Un(z).
2.	=(-l)nT2n' /:l"Z
3.	= Tin
5. = ? lim ic^fz).
\z).
7.	T2n(z) = T
8.	=(^l)n
9.	=2T,J(z)
T2n
11.
12. =
(n + l/2)n
2n+l
14. =(^l
15.
(n + 3/2)n"
[n > 1] .

432
Гл. 7. Формулы связи
[7.2,10
16.
17.	=
18.	Tl{2
19.
20.	Un{i
21.	=
2п+1 р(-1
(l/2)n
>-iP
C/2)„
2n+i(
/i ~2
24 ^
25. =
26. = 4^
27.	f/2n+1(z) =
28.	= (^l)n
29. =--
2(n
y2n+l
30^ = n\{n + lj! /2rJn+1p^1/2' ™2") [A _ x^l
3i. ^(г) = [1тп+1(г)].
i — z
32. T2n(z)T2n+1 (Vl - z2 ) + zT2n+1(z)l72n^i (Vl
7.2.10. Многочлены Эрмита Hn{z).
[n > 1] .
2.	H2n(z) = (-l)n22nn\L-1/2(z2).
3.	Я2п+1(г) = (-1)п22>г+1п

7.2.12]
7.2. Специальные функции
433
4. Hn(z1z2 . . . zn) = n! (z!Z2 . . . zn-i)
[n/2] [n/2]-fei
fe1=O fc2=0
X
1
[п/2]-КГта_2 /n-1
П
л (п-2Кп^)\"п-
7.2.11. Многочлены Лагерра Ln(z).
2-
4.	L"n(
5.	Ln"n
6.	Ь^п"
7.	Ln
/2
8. L
9.
1П
10.
-2n-l/ \т-2п-1/
fe1=O fe2=0
E
ki\
[1 ^ m ^ n] .
= ifei + k2 + ... + kj]
\ki
п.
fc1=O ^2=0
^Kn^2 /n_i _K.
E_ox!_
П
7.2.12. Многочлены Гегенбауера С„(г).
kj]
2. = (-2Гте
(A + 1/2)T

434
Гл. 7. Формулы связи
[7.2.12
3.
5.
6.
7.
8.
BA)W
(A + l/2)n-
2n (A)w
BA)W
(A + l/2)nV 2
\np(A-l/2,-2A-2n)
П p(A-l/2, ^2A^2n) /3 — Z\
^I - 3) .
С-А-п,-A-n)
z2 -
-2z2).
10.
11.
12.
13.
14.
(A)n
(l/2)n
C/2)„ J"
2(A)w+i
C/2)n
n!
Bn + l)
¦(A)n+iBz)
- 2,
l-z
2"+1р<л-1/2-л-2"-1»
15. С72-п^Г(г) = С2-гГГ1п(
16. lim \c*(z) = -Tn(z)
A->0 Л	П
17.	C
18.	С
= Pn(z).
n —
19. Ci(«) = Un(z).
ZZ. О„. \Z = I — Z1 I
(г2 - l)n/2Tn
(n + 1)!1
[m > 1] .
[n > 1] .

7.2.12]
7.2. Специальные функции
435
l/2-2n/ ч _
(n + l/2)w
28.
on
30.
si.
32.
A
Ув!(^т. — 1/2)та
c2m
9 2
(z) = -
2(n
• C2nii 2n(z) = ™Dn + 3)-
n
. С2те+1
36 T^
^b- °2n +
37.
\n+l n-n-l/2
) C
n! \ z +
2n^l C/2)n
z2 +
n+1
- 1 -
ii.
39. C
fe1=0fe2=0
С Co'—
(—Л — п)те^кп_1

436
Гл. 7. Формулы связи
[7.2.13
40. Ct+i(ziZ2 ...zn) = (^l)n+1(X)n+1(z1z2 . . . zn^fn+1 x
n n — k\	n — Kn^2 /те —1 — 2Kj_ /-,	2\
\~^ \~^	\"™^ I тгтг Z-	A — Zi)
X > > ... >	-^	V1	^
fe1=0fc2=0
1
(—Л — п)те^л:тг_1
7.2.13. Многочлены Якоби P^'
2. .
з. =(-i)"
5. = (-If
n/2
6. Fi1/2'^(^ =
7. = ^
C/2)n
C/2)w
2n+1
\n+l/2
9. =
10. R
(p,-p-2n-l/2)/ ч _
nlBp + lJ
n /Z + l
V	о
n \ 2
p+i/2
12.
13. = -
Bn
Bp+l)n \2
15. = (-1

7.2.13]
7.2. Специальные функции
437
17 n(
(р,-р-т-п)( , _
[Z)
P^'n-m\z).
э(Р> -р-т-п) / ч
п!	Г(ш-
2
:Ш
р(/з, -m)
m+n
(z).
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28. Р^:
29.
30. Pf'
31. р,!0'
О А. Гп
A{2nZ + Z + 71 + l)Pn(z) - nPn-!(z)]
7Un(z).
(-l/2,-1/2)/ ч _
(Z)
(l/2)n
(i/2W 2
- 3
33. P
@,-2»-8/2)f ^_
Bn)!
[m ^ 1] .
[n ^ 1] .
[n ^ 1] .

438
Гл. 7. Формулы связи
[7.2.13
ос
ЛЬ.
36.
37. = (-1
38.
(z) -
\п+1/2
)
A-z)
Bп-
n\{n -
40. Pi
41. Pk
42.
43.
44.
45.
46.
W = ("I)
n C/2)n
n!Bn + l)\ 2
~2
t/2n
\z) — \~2
- z2)n+1/2T2n.
+i
гг + 1
~~^n^2 /n —
48.
49.
fei=0 fc2=0	fcn_i=0 \i=l
x (p + <j + n + !)/<-„_! Pn-Kn~i'a
, . . . Zn + 1) = (p + l)n(ziZ2 • • • Zn^\)n X
fc1=0 fc2=0
E П
„^1=0 \i=l
Zi (i- — Zf

7.2.14]
7.2. Специальные функции
439
7.2.14. Многочлены с мнимым аргументом.
Z
3.	T2n+i{iz) = (~l)nizU2n(Vl + z2 ) .
4.	U2n{iz) = 4^=T2n+1(y/T+z*).
5.	C/2n+i
6.	Я2п(г
7.	Я2п+:
8.	C^fix
i+i I
[n > 1] .
[n > 1] .

Глава 8. Представления специальных функций
8.1. Полные эллиптические интегралы K(z) и E(z)
8.1.1. Полный эллиптический интеграл K(z
2. К
3. К
4. К
ж1/2
1ч /1
4-
:и
6. К
з
•¦"(Л^5)-<$ЗРг(!)гA)
10. К
п.
2 + V2 о/1
-i6i=i^r
)•
[32].
[32].
[32].
[32].
[32].

8.2.1]
8.2. Гипергеометрические функции
441
V.
' к
15. К
16.
C-2^5) (V5- 2
'
2 - УЗ) C - V5) (у/3 -
- 1) Г2A/15) Г2D/15) ГB/3)
3) [ J'
ГB/15)Г(8/15)ПA/3)
8.1.2. Полный эллиптический интеграл
T К»
2.
2 -
8.2. Гипергеометрические функции
8.2.1. Гипергеометрическая функция Гаусса 2^1 (a, b; с; z).
1. 2F1(a^nJ b; с; z) =
F1{a1 h + k> с + k; z) .

442	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.2.1
2. 2F1(a + j, b + m; с + п; z) = 1/ Д^1 Z( 	—- x
j+k
^1)* (T) ^ + fe)!(a -6 -w)—fc E ^ -
P=o
3. (H
p	1 _ 2^ y
fc=O	'	p=0
x ^|fc_pP 'c	3 n P A — 2z) Dn+P[(l — z)^+ cFi(a,b; c;
4. 2Ft(a - j, b^ m; с + га; z) = у	^—, , /I , \ /	П	IV~ x
(c - a + ra)j(c - b + ra)m(c - a)n(c - 6)n
x >
fc=o ' " ¦	p=o
хБ"+р[A-гу+6-с2^(а, 6; с; г)].
5.	2Fi(a + j, 6 + га; с ™ n; z) = , , , .—т-	r— J^ ( J (a — b — m)m^k x
j + k	.
p=0	^
6.	2Fi(a + j, 6 - m; с - га; z) = -r^—	 ^'f 	-r- x
xz^-
fc=O
7. 2F1(a^j,b^m; c^n; z)=
i+fc	. ^
p=0	P
{c-a- n)j(c -b- ra)m(l - c)n
E—A -
l(b — a —
3 n p\l~2z)Dn p[zc^ 2Fi(a, b; c;
(	1	1 \
8. 2F1 f a, a + m ~\—; n -\—; z\ =
v	/
(o + l/2)m(-2aJn	^ ft!
(-1) Ь P!(fe + nFl)!Ma)fc+^B^) A + ^)

8.2.1]
8.2. Гипергеометрические
443
9.
fe + n-1
¦ Ен
p=i
x (-m - n - a)m^fe $^ zp(* + n) Q	[Ba)pB^F
p=0
p-i /
— p —2a
-1I
— p —2a
10.
1,
2
(
p
k\ n~h
p=0
x fi-o-
V 2
E
11.
l (a, a + m + 1, 2a - n + l;
Efc+m /Hm\ /1
( p Ж""
p=0	F
Q (-a - 1
- - a-m
V,
12. 2Fi(j + 1, m + 1; n + 2; z) =
k=0
k\
™+p
p=0
. n+p
72 я,./ x-2^
2л/г(г-1)

444
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.1
14.
15.
j + 1, m + 1; ra+ -; -г) =
-n-l/2 m
fe=O
x (-m)m_fe
v=o
n+p
n+p
r/2
7 + 1, m + 1; - - щ zj =
+ m+n^n —1/2
\—n —1/2
[(i).
i+fe
p=0
n+p
i+fc-f
arcsin\/2+-
V 2
1\	.r-l/ Z \~Г/
2) + % Vl	z)
16. 2Fi(i + l, m + 1; - -n; -2;) =
j + k
p=0
x^n^l/2
¦E
C)
n+p
k-\-j
E
- 2Z) x
- 2*) - (-i
p
p=0
p«
>-(l-z)

8.2.1]
8.2. Гипергеометрические функции
445
1
20.
(-
р=0
+
-, m
-;
n+p
n+p-r
21.
i+fc . ,
(
(
+ P " ^Kl " i "
y'-m+n
p=0
23. 2Fi (| - j, m + 1; I + щ -2) =
_ (-l)''Bn + l)_
}
(
p=0
(

446
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.1
24,
2j!m!(-l/2)n ^
р=0
-1/2
In
1 -
25.
[(I
2/n-* :
arctg yfz
(r -1)! (^ - j
2*)]
26.
3 + k
(-m)m-k
p=0
x arcsin \/z FW4
27. 2F!(i + i5 m+i;
p=0
z) Pn
+P
1^1
<r%
28.
-, - -m; n+ -;
m!C/2)n
x arcsin y^z Pn+p
*
2z-l
™n™l/2)ri
I1
p=0
2z-l
2iy/z(l-z)
2z-l

8.2.1]
8.2. Гипергеометрические
447
29.
m!C/2)n
к\
j + k
р=0
X Pn
¦+P
30.
2'	2'	2' / (j
^(n+1)/2 _
i+TO+n/a
т — к
Е
к=0
x ] arcsln v^ P
р=0
22-1
/<->
-z)
31
1	Ш ^ - П + - -Z) - (^
2	2	2	(j
р=0
m+n/2
32.
1 3
р=0
2A/2),
-fc-D X
33.
I. 5
2' 2
/ i
р=0
• — 1)! х
X A - j -
(п+р-1)/2/
34.
2' 2 "^ 2
i+fe (л
х >
Р=о '
;i + ^)?x
\-3-k
к=п — 1
p-fe-l/2,m-i-fc+p+l/2)/1

448
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.1
{I —
т+р .г_1
35.
. 11	3
7+ 2' 2 ^m' 2 ^П' ~;
p=0
p!
(ra + p)! x
36.
3	x r^1>im+nti.!r^1/2
~ - n:
г; zj
(-l)m+nn\z
k\
p=0
9
z2\r/2
- 2z)Pr.1
2z-l
'W-z)
37.
k=0
x ^-Г
fc + rn
p=0
2^z(l + z)
38. 2*\(а, 6, 2'г]-
«+ 1/2, 6 + 1/2
2а, 26; о + 6 + i;
, 26; о + 6 + \;
A
n . f 3 \	1	[a -1/2, 6-1/2]
39. 2F1(a,6;-;,) = i^Fir[ J^^ jx
х I 2F1 ( 2а - 1, 2ft - 1; а + Ь - i;
2а - 1, 26 - 1; о + ft - i;
40. 2F!(-n,ft; 26; z) = (-l)»
41. lim 2Fi(-n, a; 2a; z) = (^l
2x/T^

8.2.1]
8.2. Гипергеометрические
449
42. 2Fl{-n, 1; 2; *) =
(-l)-(l - z)
-2
2\/l — z
z — 1
45.
2(ft-l/2)n.
+1
\z^tf
46. 2Fi(-ra, n; 1; z) = - [Pn(l -
A
47. яЛ (-n, n; f; ,) =
48. 2Fi (-n, i - n; i; *) = (z - l)nT2n (J^b[)
[П ^ 1] .
49.
50.
51. 2Fi (-n,	n; -; zl = (z -
z-1
52.
56.
L(-n, -n; 2~n> z) =
A/2)»
,n/2
)
57.
, -| -n; ^2n; z) =
58.
41/2E/ / 2ZV2
*V2 + 1
15 Ю.А. Брычков

450
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.1
60.
61.
62. =|A-
\ —1/2-,
1 + л/г + 1
\-1/2
63.
65.
66.
ТГ3/2
ч1/2
Kh/IMI+K^./1^
67. 2Fi(i ]; i; -2;)
\4 4 2 /
тЗ/2
-К
1	1
2	~ 21
68.
Г2A/4)
К
'1 + Vz
-К
/1-лД
_r2(V4), , ,
2V*TT )+2E(v^^Vz-
1 1 /z
1 1 /z
2 2 У z
[| argz| < тг] ,
ТО.
5 2
' 4' 2'
ч-1/4
к
1	1
2	+ 21
1	_ I 1^
2	~ 21
х к
[Re г > -1/2].

8.2,1]
8.2. Гипергеометрические
451
72 F(l X. 3- А ^3/2Г2C/4)Г / /Г
7X 'Mi' 2' 4' Zi = 7^7IFIK IV 2
zl/4
2 zi/2 _|_ i
[0 < 2 < 1].
"¦
1 1 3 \
4'4; 4;Z)
Г2 C/4)
"^^2z + l)/4x
х К
- 2? -22
vl/2
- 2? -22
vl/2
[Rez < 1/2].
/113 \
74. 2Fi(-, -; -; ^z
\4 4 4 /
7Г3/2
[Rez > -1/2].
75.
3_ 5_
4' 4'
Г2A/4)
4tt3/2(z2 + 2I/4
-к
[Re 2 > 0].
.1/4
1/2 '
1/2
,-1/4
к
(i + VT^
\V2
79.
v-1/4
К
,1/2
80.
15*

452
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.1
(!-,/?
82.
4'
.-1/4
х К
2-1/2г1/4
83.
2
Г2A/4)
-K
2-1/2^1/4
x|kiJI+ №1/4
-K
1	2~1/2z1/4
84.
x К
1 2~1/2z1/4
/3 7# 5>
V8' 8' 4'
-K
vl/2
1	2^!/2^1/4
vl/2
86. 2Fx ^: t;
87.	2Fi(a, b; c; -1) = 2 a 2Fi (a, c - 6; с; i) .
88.	2Fi (a, a + 6 + m + 1; a H	\- m + 1; -1^ =
m m-l
la _1_„-» 	 1
Fi (a, --; a + - + m + 1; -)
\	A	A	A /
p=0
n, b-k)
1
90.
!,
[[34], C.1)].

8.2.1]	8.2. Гипергеометрические функции	453
92. 2F, (а, 1 - 2а; |; |) = A sin (^ - тга)	[[34], C.2)].
93. 2^(о,2-2о; |;^) = v^—p	ТТ^ТЧ	Г	[[34], C.3)] .
1ПЯа/зг/ +	2а + 5\ /2\ /3
94.
9,
/1 3. 1. 84 [(V2-l)(V6+V2-ljJ Г'A/24)ГA/4)	ггчч1Г412I
¦ 2FlV8' 8' 2' 9/ "	2W75	ГA/12)ИA/8)	[[33]' DЛ2)]
103-
(, 1
а + п, Ь: -
17 I	Z	| _	\	Z	/ \ л oft / '" 1	х ^ ^ fc/2
99 FE7-3-8) 3Bу^у^1)(^)()
\2/к/2\	2	) к/2
[[26], B.6)].

454
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.1
106.
1П-
107.
*± сум
fe=O
a, —n --a; 6; — 1 = 2 л/ж п\
1\
)
а — 6 — га + 1\ /' b — а — т + 1
\ /6 - а - га + 1\
)т\	2	Л
1 — а — о — m
р=0
fc\ p /b^a^k + l\ r/a + 6^fc + l\
x]p2 fcf j(a)fe(a-2b)feF-a--ra)n-fe^:
fc=O	p=0
(а
- 26 + fc)m x
V 2	У V	2	У
109. 2Й (а, а — 26 — n; a — 6; — J = fi!^7r	—;
a)k{a — Ib)k x
1
110. 2Fx (m + 1, п + 1; f + г;
| + г - l)
A;!
i=o
g=0
- E
p=0
[s, t = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . . , n — 1; n = 2, 3,
ill /7 (I I- I- l
' 2 Чб' 3' 2' 2
(y/2 + 2)] Г2A/24)ГA/3)
ГA/12)Г2A/6)
112
2 5. 3. 1\
з' 6' 2' 2/
5. 3. 1\ = [(л/6 - 2) Ey^ - 7)]1/2 ГA/24)ГA/6)ГA/3)
213/4тг
ГA3/24)
[[33], E.19)].
[[33], F.11)].

8.2.1]
8.2. Гипергеометрические
455
114. 2Fi(i,o; -2a±n+|; i) =
1	±2п + 3	±2п + 5
— — ft, 	 — ft, 	 — ft
2	4	4
3	±2n + 5
	ft,	ft,
Pi(l) = P2@) = 0, Pi@) = P2(l) = 1,
[П/2] •-"	(*-!)¦	[\-a)k
(n - 2k)\(Zk - п)\ A-а)к
Pi(±n)-
±2n + 3	±2n + 5
1 - ft,	a,	ft
4	4
±71 + 1	±71	,3
—2	a, —-a + 1, --a
2	2 2
71	71 — 1	71 — 2
ft("»)=^. n3-! 3	I3 1
\ 2 '	2 ' 2 ' '
[(] i
4fc
[n > 1] ,
[n > 1] ,
[n ^ 1] ,
[n > 1; [62]] .
115.
\{rn+\,
a;
I
\
+ !
^2ft + i
v3/ A
(-2
x -—
i +
ml
72)
ft +
1 +
2'
n-
3;
A2-2"
fi)p(-;
)m — p \ *
' m v
ZZVm
I. L \
' 2' 6' \
118
118-
2 X. 7- 1\ 21/3ГГA/3I-
з'2' 6' )-~~[f7J
2'
"' 9
V-41)
2a + 3\ /2a + 5\
6 / V 6 /
120.
1 - ft 3ft+ 5
3o + 4x /5Л
6 / 46/
_2a+w+p+s; i
[[48], (A7)] .
[[48], (A8)] .
[[34], A.1)] .
[[34], A.2)] .

456	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.2.1
121.
, J *; ) = ^^^^	М. (»» •
123. л(„.+ ,
124.
125. ,«(_„, _n + Ii2n + ,
4' 4' 2' 64/ 71/4BтгI/2	Г2A/4)
136. 2F^-, -, -, -J -	2з/ю51/4	ГG/20)ПC/40)
128 гГ1 '¦ "- "|-3A + ^)^)Й)	ГП,1 G 411
128. ,Ft(-, -, j, jj	j	?l)
[[33], C.13)].
1 !.	3. 49ч 3A
l' 2'	4' 81) = 8-71/40Fj
1 3	1 80ч _ S1/2{SV5 +4^2 +1I/2 Г2G/40)ГC/20)
-, -,	-, -J -	2з/ю51/4	ГG/20)ПC/40)	[[Щ' ( )J'

8.2.1]	8.2. Гипергеометрические функции	457
/1 1,	1ш	121 \ _ (л/5 - 1I/2 ГA/15)ГD/15)ГA/30)ГA9/30)
* 2 l! "' 3'	2'	125/ ~ 23/231/25i/4	Г2A/6)Г2A/3)
г	о	Ю1 • с5/4/г /F 1 i\V2
О	О	1Z1
J' 6'	2'	125
- v *
139 аЛ(
139. 2F^-, -, -, -	гг
40/ V40
1 5.1.98ч 1 + V2
l2' 12' 2' 125i = -^7^
/1 5. 1. 121ч _ лУ15A + х/3)Г3A/3)
141. 2F^-, -, -, — j - __=___	[32J.
146- ^(|« I' I ш) = 'ь.^'^Ш	И' <в-10)]-
150. lFl(i,i; 1,4.^-..) = j
151. ,F,( 1. 1; 1; -16B6 -
1,2 „/1 1
152. jF.^j, j, 1,
4' ' 8 ;
3-1/4

458	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.2.1
159.
\ 21'2 (	1107\1/4
162.	2Fl{ v -; 1;	^ j = ^ (J82 + -^ j Г'[ . ) .
1 5 ! 3514 + 988^2
163.	2FH-,-; -;	^
_ 3/4A + л/6) /5 + 2^2\1/4 ГA/24)ГA1/24)
[32].
164. 2^A, 1; 1; -96 + 56v^) = ^^/f	[[33], C.9)].
165.	2^A, 1; |; 144V3 (л/5 -4L) = ^B + 75)	[[33], C.11)].
166.	2^(±, |; |; ^|тA6^2-13J) = |(бУ2+4I/2	[[33], D.9)].
167 рЛ J J 3A7^6 -22J
167- aFl
170. 2^(-п, -2n-|; ^; -8) = (-27)nj|^	[[28], C.7)]

8.2.2]	8.2. Гипергеометрические функции	459
m.
[п>1; [28], C.9)].
173.	iFl(-n, ^; |; -8) = 2 • З^^2 cos (^f1*)	[[28], C.12)].
174.	,
(п+1)/2„(Зп-1)/2г	. / 1\п/2„Зп/2-1 Г-, . оA/2)п/2 1 х
3K	Ol,n-2[n/2] + (-1) 3	1 + 27T7^i	 O0,n-2[n/2]
[n>2; [28], C.13)].
175.	2Fi(-2n, -n--; -; -8j = (-1)"—		[[28], C.14)]
176.	2F1(-2n-l)-n-|;|;-8)=(-l)n+1^l	[N,C.15)]
177.	2Fl(-2n-l,-n-7-; 7-; -8) = (-1)"+1 5 'f^ , ^	[N,C.16)]
178.	2Fi(a, 6; c; z) x
x [2Fi(—a, 1 — 6; с — a — 6 + 1; 1 — z) — 2Fi(l — a, 1 — 6; с — a — 6 + 1; 1 — z)] +
+ 2Fi(a, 6-1; c; z) 2Fi(l - a, 1 - 6; с - a - 6 + 1; 1 - z) = ^, ^ ~ ° ~ ^ + ^ [23] .
Г(с — а)Г(с — 6 + 1)
179.	z2Fi(a5 1-a; 6 + 1; z) 2Fi(a5 1 - a; 6; 1 - z) +
+ A — z) 2Fi(ci, 1 — ci; 6; 1 — z) 2Fi(a, 1 — а; с + 1; 1 — z) = —	—	 [[38]].
8.2.2. Гипергеометрическая функция 3F2(ai, a,2, «з; 6i, 62; z).
(x /aa + la + 2_	27z
a, 6, 1 — 6; 2; \ 1+8z 1 "ч' ч ' ч ' ~7i /плз"
' 	L_ I 4A — 4z)a I ft + 0 a — 0
2 ' 2 /	\	~2~J 	2
' a - 1 a	a + 1	27z
2 '	2
a, 6,3^6; z \_ (a + 6-l)F-a-2)
+ 2	(
2	/
a a + 1 a + 2	27z \	/a-laa + 1	27z
(
3' "г"' ^; ^(T^^F F -3-' 3'
a + 61 ab	|^3 2
(
a + 61 ab	|	|	a + fel a6
/	\	2 ' 2
[-1/8 < z < 1/4; [35], F)].

460
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.2
/-га, -га, -га; z\ / zyf n\	([ 1
\ i -га, -2га у V 4У Ц1/2^ \V *
4. 3F2
2' 3' 3'
27z(l~zy
4
3 3
2' 2
чЗ/2
5. 3F2
-, 1, 1; z
21 2
г arcsin y^
I 	 г arcsin у/z	.	.
In	-.	^^ + 4г LI2 (-е*arcsin ^ )
]_ _|_ ег arcsin Vz	\	/
6.
3 3
2' 2
+ 4LI2 -
-4Li2
7. 3F2
3 3
2' 2
8.
3 3
2' 2
[2 arctg v^ In \fz + Cl2 B arctg yfz ) + Cl2 (тг - 2 arctg
¦ 111.
9. 3F2( 2' 2' 25
10.
'111
4' 4' 4;
1 3
2' 4
x К
11.
Г4C/4)(
x |K
2-V2^1/4	\	/ /1
,1/4
2-1/2^1/4
\1/2
2 2V2
к[ ji-
2 2V2
12. 3F2
-3 3 3 _ л
4' 4' 4; Z
5 3
4' 2 у
Г4A/4)
1	2^V2zi/4
2
Л/2

8.2.2]
8.2. Гипергеометрические
461
8тг3
+ z - z
vl/2
1 1 3_
14. 3F2| 4' 2' 4'
1, 1
1	A- л/1 ^ -
2	"
2z
1/2
15.
' 1 1 1> >
2' 2' 2'
3 5
I' 4 '
x К
1
2V27TZ1/4'
2-1/2^1/4
-1/2
2-1/2^1/4
¦1)V2
16.
' 1 1 1>
2' 2' 2'
3 3
2' 2
IT. ,F2
•111
2' 2' 2; ~*
3 3
2' 2
+ л/1 + z ) In (
- Li2(l - y/z -
18.
1, 1, 1;
3 3
2' 2
xdx
у z — sin2 x
19.
1, 1, 1; ^
3 3
2' 2
xdx
\/ z — sinh2
20.
•111
••i
Ту Z
К(ж)
21.
¦111
22. 3F2
a, 6, 1 - 6; -
4
-1-6 + 1 a —¦ b
[[35], (i)].

462
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.2
23. з-^2
а, Ь, 1-Ь; - \ Т
'4 __
а + b а-6 + 1 I ~
a/T(^)r(^|±1)
ЗГ(а)
Г(-
V б / \ 6 /
[[35], (И)]-
24. ,F2
ft, 6, 3 — Ъ\ —
4
+ 6 + 1 а -— b
ЗГ(а)
,/« + 24
4 3/
\ г/а^36 + 6\ • р/а + 36^ 1\ г/а^36 + 8\
/ V 6 / V 6 / V 6 /-
[[35], (Ш)] -
25.
^Зп — т, а, 1 — а: -
4
а — Зте — га + 1	а + Зте + т
[m = 0, 1, 2; [35], (iv)] .
26.
^3n — га, а, 1 — a; -
4
я. — 3fi — ire 1 — л — Sn — тп
[m = 0, 1, 2; [35], (v)] .
27. ,F2
.!
[[35], (vi)].
28. 3F2
a, 1, 2; -
a	a + 3
>2+ ' ~2~
o + l
[[35], (vii)].
29.
27 7 7 4
3 3
^ 2' 2 '
3 3
30.
a —
— п^ e — n
A -
:- к; 1
31.
Г(с) Г (d + e - a - c) r(d + e - 6 - c)
F, / и- ь,е с, и, Т" с и, и с, ± \
.21,	,	,	1
[Re с, Re (d + е - а - Ъ - с) > 0] .

8.2.2]	8.2. Гипергеометрические функции	463
f Ь — а — an + те + 1'
s -*	II rsr% i 1 1 I #Ti i ill
I	—ra, a, b;
ХЧ
[[28], A.9)].
2те 1 - 2n 2 - 2n \
*>*>• 3^2 I	i	I — "T^— I - J ^n	^2) '
' 2	/
2 '	2
те 1 — те
(.w.2b>2b.a)
(л _ л Рп
V1 "/п
(Щ •
-, a;
3 7	3 /
' тг ,	n + 1 >
^^5 —Ь «,	h a; 1 .	,../yiI
2	2 I _ Z ^! p(~4a/3~n,2a~l)/ ^ ^ ГГоя] ? (З.е
3 ' 3
1 - 2n 2-
37.	3F2 3 ' x3	3	\=^2n2F1(^n, 2^2a-2n; a; 4)	[[28], C.17)] .
38.	= f ""
ЗУ (a). -
те 1 — Ti 2 — те
(те 1 — Ti 2 — те \
~3' 3 ' 3 ' I =3"n2Fif-n, a- i; 2-2a-n; a; 4)	[[28], C.18)],
a, 2 — 2a — n J	V	2	/
40. =
Ba-l)n n
/ n 1 — Ti 2™те ч
3^2 '
41. 3F2[ 3' 3
[[28], C-19)].
/	2те + 1 271 + 3 \
42. 3F2 ^W' ^7',^; = t?TnU/e-n
V	2' 6	/
Bте 1 - 2n 2 - 2n \
~3~' 3 ' 3 ' 1 3^nn?(^l/2)TC ^n^i/2 ( 2
!	-j_	I = 	7—rr^	Ь9„ I ^^
2^n>5	/
/ 2те 1 - 2n 2 - 2те	, \
2 ' 2

464	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.2.2
, ~2n, 2n + l, -; 1\	I #*, ,v i -, -,
46. 3F2	2' = 3F2	2' 2'
1 - 2a, l + 2a /	I 1 - a, 1 + a
47.
' 1 1 1 \
2' 2' 2 ^
3 3# 1 ,
^2' 2' 2/
'111
' 2'
' 2'
Г?
' 2' 4
ГM7Г	I
2' 2' 4 /
1
/ ^, 1, 1 \ 1
53.	3F2 2	=-[8G-7rlnB + >/3)]	[[35], (viii)] .
1 6 6t 1 1 3
V2' 2' 4/
54.	3F2( 3'^; x 1= g
—' '4/
55.
1 5 5	\
' 4' 4	\ _9 9 2/3
7 7	_- + ^=Г y
4' 4'	/
/ 2' 1: г \ 16 , тг^З 2^5 1
56" 3F2 1 3 1 =й + ^Г-^1п
/	ill
7 F	4' 3' 3

8.2.3]
8.2. Гипергеометрические
465
8.2.3. Гипергеометрическая функция 4-^з(я1> @>2, <я-з, о,а.\ &1? ^2, 635
1	2	27^
За За + 1 , . .«
2.
[И, |27^A-^Г3/4|<1; [[28], E.13)]] .
12	27z
а, а Н—, а Н—, а — п:	.. .
' 3' 3' '	4(l-z)d | _
За За-
:, а — п + 1
3.
1	5	7 1
„+-,„+-,„ + -,-
бте + 3 бте + 5 3	27z
(Зп-1)!
4 2 4A-.
4. 4F3
1	111
2'	6	6 2
п - 3 6п - 1 1	27^
(Зп-1)!
C/2Kп-1
4 2 4A-z)
5.
-п, -п, -п, i -
-2п,-2п,1;г
"
6. 4F3
7
8. 4F3
9. 4F3
— 77-, —П. —П. — — П
2
1	1
< ~ П" 2 ~ П' 2' ^ у
1 1 3 \
>' 2' '
3 3
1 3 3
1, -, -; z
' 2' 2'
1	1	3
-n, j-n, ^^n, ^
	2n,	2n, 1;
^ 2	2
A/2J
Bп)!
A/2Jп
1 - V1 -
1 -
1 + VI -
п + 1

466
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.3
10.
1	1
-п, ---п,---
2	2
I
11.
(n + 3/2)n
f 1 - 2n 3 - 2те 1 '
—тг, 	, 	, -
4 ' 4 ' 2
1	1
A/2)»
3-
12. 4F3
113
1	3
v ~2n> 2 ^2П' 2' *
2ra-
A 1 1	N
— 72,	II,	72,	72
' 2 '4 '4
1 3
	2тг, —1 — 2t2, -; z
2 ' ' 2' >
16
n+1/2
U2n-
+1
-г + 1
14. 4F3
_
l6J
[n > 1] .
A 1 1	N
^W,	II,	72,	72
' 4 '2 '4
1 1
	2n, -2ra, -; z
2 ' '2'	>
_ 9-4n-l n+l/2rp
+ 1
1 - VI -
T2n
+1
1 + y/1 - Z
n 1 — n
16. 4F3
I, i, ;
4' 2 4
2a-n/ l/4\ ,
2n ^ i +
ri/4
17. 4F3
те 1 — Ti те Ti +
2 ' "V^'"*
4' 2' 4

8.2.3]
8.2. Гипергеометрические
467
1 о С1
18. 4/<з
те
2'
1
—
2
3
4
те
5
V
те
2
3
25
4(п + IJ
Т
2п+2
1Q
19.
те 1 — п те + 1 тг
' ~~2~' ~~2~' ^
9П р
3
те 1 — те те + 3 те
"' 2 ' 2 ' 2"
4' 2' 4' ^
21.
2> 2> 2iz/
22. 4
1, 1, 1, 1
2' ' '
: — {-21n3(i/z + \fz + 1) + 61n2(-/z +
+ 6ln (yfz + л/я + l) Li2(l + 2z + 2^"
115 7
2' 2' 6' 6
3 5 3	27z
,4' 4' 2' 4A-;
1-лЛ
3г(C)]
[-1/2 < z < 1] .
24. 4F3
4(l-z)'
3 3 13 17
4' 4' 12' 12
13 7	272
3A -
4,3/4
$' 8 ' 4' 4A-z)
[И,
- z)-3/4\
3 5 3>
*4' 4' 2'
	r^
- z)
г + 2z ln
- 2г

468
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.3
27. 4
28. 4
29. 4F3
30. 4F
'113
2'1'1'*
-2n,
= *к(Л-±)к< п 1
2, -, 1; 1
2 2
= 4F3
2 2k
-n, n + 1, -, 1; l
[k = 1 - 2z - 2\
-, l-2a, l + 2a
''-In,
, -, 1;
= 4F3I
—n, n + a, -, 1; 1
з г
-2г, 1 + 2
1, 1, а, Ь;
, a+ i
П 1 — П
31. 4F3
32. 4F3
2 ' 2
, a, —a; 1
Ь,1-Ь-п,-
2
1, 1, 1, а; 1
2, 2, 3-а
33.	= с(з)
/	п 1 — п 2 — п
34.	4F3| „ , , 3' 3 ' 3
тг
g" " CB, 2 - a,
[[15], A.9)].
28], C.22)].
[а < 2] .
[а = 1] .
3 ' "' 3 ' "' 3
п 1 — п 2 — п
= Bуг)?Cа + 1)п (o_i/2> _n_i/2)/1\
(За + 1JпA/2)п "	V27 '
35. 4F3|
, a; 1
3' 3 ' 3
— n 3 + a — n 4 + a — n
-n,
' 4
36. =
37. 4F3
38. 4F3
гс-а-!),»^'*-1
2а+ п - 2 a_i
	:	^п
те 1 — 71 2^тг 1 \
q ' 3 ' 3 ' 2' I (— ) " г»
3 - 2тг 5 - 2тг 7 - 2тг I	= (_1/2)п
^6^' ~6~' ^6^/
n 1 — n 2^
I	\
' 2; M _ 12"/2п!E/2)„ / 7
2n
E/2Jn
6 7 6 7 6
И 1 — 71 2 — 71 3
39. 4F3 I 3 3
7-2n 9-2n
6 7 6 7 6
те 1 — 71 2 — тг
40. 4F3 3 3
[n ^ 1] .
[n ^ 1] .

8.2.3]	8.2. Гипергеометрические функции	469
Bп 1 - 2п 2 - 2п 1
	,
3 3
38^
1	\
	, — — An: 1 \	Qn/i /о\2
I
A-4п)(-1/2Lп
\ з ' з ' з
Bn l-2n 2-2n 1
	1 	1 	1	— An:	I \ о^+1/2//1„ i i\/i /o\2 / r>
3 3 3 2 '	I	= 3 7 Dn + l)(l/2Jn+i / 2 ,
1 — 8n 3 — 8n 5 — 8n	I 2f2fi -' л ч ^ ;"x 2n+i 1 /r I-
	 	 		I z,{zn
3 ' 3 ' 3	/
/ l + 2n 2n l-2n 1	\
/ 1 + 2п 2п 1-2п 3	\
44 ^("^"'""«"'"З"'"^" ^ M=3w-1Dn + 3)C/2)S /54
/	a, 6, c, 2c — 2; —1	\
4 He- 1, 2c-a-l, 2c-b-l)
6 7 6	7
ГBс-а-1)ГBс-6-1)
ГBс-1)ГBс-а-Ь- 1)
[Re(c-a-b) > 1/2].
/1 1 1 1
4Fs
3 3 3.11 216"
47. 4F3( з1'1'1^1! )=CC)-|ln32.
, 1, 1, 1, 1 \ 4
48. 4F3( з 2 ' '_1 )
v 2' ' ' 4
49.
1, 1, 1, 1
з
2' ' '
, 1, 1, 1, 1 ,
52. 4F3[ з 2> 3 1 =
• - ' ' ' 4 ¦'
/1,-,-,-\
53. 4F3 1|'2 =9тг1п2.

470	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.2.4
8.2.4. Гипергеометрическая функция 5^4(^1, • • • , «s; 6i, . . . , 64; z).
1 а
-п, о +
\ /2а
1. 6F4	a* *	\	= Ч VW2N		И, F-3)].
V -3", -,2a + 3n + l, -;9 /	Ы„Ы„
/	a, 6, c, 2c- 2, -i; 1	\
2	1? I	2	I —-
1 ^	 1 9^	 9^	 л 	 i 9^	 I, 	 i I
\ L- JL , ли —, ZiG I* JL , ли (i i /
rBc - i) ГBс - a - 1)ГBс - 6 - l)rBc - a - 6 - i)
= -^	^	1—	j^	^- [Re Bc - a - 6) > 1/2] .
ГBс - 1) rf2c - a - -J ГBс - b - -j ГBс - a - 6 - 1)
/ a, 6, 6 + 1, a — 6 — 1, 2a — 2; 1 \
3. 5 JP4 I	I =
Va — 1, a + 6, 2a — b — 2, 2a — 6 — 1 /
46^а+1^Г(а + 6)ГBа-6-2)ГBа-6-1) [D
—	—	-^	 [Re (a — 6) > 1] .
/ а, а, 6, 6, 2а + 26 - 1; 1 \ _ Г2(а + 26)Г2Bа + 6) / 2а, 26, а + 6; 1
* 5 41а + 26 а+ 26 2а + 6 2а+ 6/ ~ Г2(а + 6)Г2Bа + 26) 3 2
/ 2а, 26, а + 6; 1 \
\2а + 26, 2а + 26/
a + 26, a + 26, 2a + 6, 2a + 6/ Г2(а + 6)Г2Bа + 26) V2a + 26, 2a + 26у
[Re (a + 6) > 0] .
(a, 6, c, 2c- 2, i; 1	\
з	2
с - 1, 2c - -, 2c - a - 1, 2c - 6 - 1 /
ГBc - -) ГBс - a - 1)ГBс - 6 - l)rBc - a - b --)
ГBс - \)v{lc - a - ^) rBc ~ b - ^) ГBс - a - 6 - 1)
[Re Bc - a - 6) > 3/2] .
—2n, —2n, — 2n, —2n,
—2n, —2n, 3n + 1\ , ,n [Cn)!]3 Dn)!
2' 2' 2' 2' 4'
1, 1, 1, 1, 1 \ 17тг4
8.

8.2.7]	8.2. Гипергеометрические функции	471
8.2.5. Гипергеометрическая функция 6*5(ai, • • • , «в; fc>i, . . . , 65; z).
(
а» а+ «' 6' 6+ О' ~~9~' 	9	' * 1
А А А А	I
1 , , , , , 1 2а + 26 + 1 2а+ 26 + 3 I ~
-, а + 6, а + 6 + -, 	, 	/
2' ' 2' 4 ' 4	/
/ аа + 16 6 + 1
9 1 9"' 9 ' 9' 9 ' Z
"~ 4 3 I 2а + 26 + 1 2а+ 26 + 3 1
^	4	А	7 2/
(а + 1 а	6 + 1 6
"^-' 2+1'^"' 2+1;
2а+ 26 + 3 2а+ 26+ 5 3
4	'	4	' 2
2.
/	а, о, с, а, е, ze — z; —1	\ _
Че- 1, 2е-а-1, 2е-Ь-1, 2е-с-1, 2e-d- I/ ~
_ ГBе - с - 1)ГBе - d - 1) /с, d, 2е - а - Ь - 1; 1\
~ ГBе - 1)ГBе - с - d - 1) 3 2V2e-a-l, 2e^6^1/
[Re Bе - с - d) > 1; Re (Зе - а - b - с - d) > 3/2] .
, 1, 1, 1, 1, 1,
3. в*Б 3	1 I =
2 2 2 2-
*2' ' ' ' ' 4^
8.2.6. Гипергеометрическая функция 7*б(а1, . . . , a*j\ 6i, . . . , бе; z).
I	—n, a, b, с, —\-1,1 — b, а — с-\-п-\—; 1	\
тр I	3	2	1
1 "	-, а - 2с +1, а + 2п + 1, 2с - а - 2п/
,	+ 1,
«3	А	А
2п\ 2	/гЛ 2	/п
(^2гг — т, а, Ь, с,	\-1, а — Ъ -\—, 2а — с + 2п + т + 1; 1
^,26, 2а - 2Ь + 1, а - | + 1, ^±1 - п - ^, 1 + « + n + ^
[m = 0,1; [28], A-8)]
8.2.7. Гипергеометрическая функция 8*V(ai, . . . , as; &i, • • • , ^7; z).
(-n, -n--,a, a+-,6, 6+-, -a-6-n--, -a-b-n+-; l\
z	2	z	4	4	1
1	1	1	1	3 I ~
-, -a-n, - — a — n, —b — n, - — b — n, a + fe+-, a + 6+- /
2	1	2	4	4 7
= Da + lJnD6 + lJnBa + 26 + lJn
~ Ba + lJnB6 + lJnDa + 46 + lJn "

472	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.2.8
(a	a b b + 1 6 + 2 с с + 1 с + 1ф	\
6 ' ?' 3' 3 ' 3 ' 3' 3 ' 3 ' ~	1 =
а о-Ь+1 а-Ь + 2 а-Ь	а-с+1 а-с+1 а-с	I
?' 3 ' 3 ' 3	' 3 ' 3 ' 3	'
(Д
\ 2' 3 '
8.2.8. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера
iFi(a; fe; z).
1.	1F1(a + m; Ь + п; z) = }~Г (^}ln ^ E Tf ^-V^-^) В^еГ^а; 6; г)].
2.	^^a-m; b + n; z)= {	^j
F-a + n)mF-a)n
3. iFi(a + m; b-щ z) =		— x
k=0
4.	iFi(a —m; b — n; z) =
/ -| \ti i а — b-f-1	те fc
= (* - -La - 4.e* ? *r L-*~n<-*> DHra[/""+m"lerfi(fl; b; *)]-
1	1/2 —a	n
5.	iFi(a; 2a + n: z) = Г( a	) ( — )	ez^2 >^(^l)fe ( ) x
fc=O
Bо-1)„ /	1\	/г\
Ba + n)t V + 2 i /°+*-1/2 { 2 J '
в ¦, Fi(a- 9n n- v\ —V\ n n - W — 1	^z/ \	v
о. 1гда, za — n, zj ^ i i a — n — ^11^1	e 2^ I #. I x
fe=O
Ba^n)fc V	2
7.	iFi(m + 1; b; z) = (b - I)z1^bez )Г Ц-^_^_Л.(-^O(Ь + A; - 1, z).
8.	iFi(m + l; n + 2; z) =
k=0 kl
k=Q
8.2.9. Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми
Ф(а, b; z).
(—l)nn!z"~a™'n+1 %пл zfc

8.2.9]
8.2. Гипергеометрические
473
2.
{О
(a, fe; z)].
3. Ф(а + ш, 6 - n; z) =
(а — b -j- l)m(tt — 6 + тп + l)n
^kJ(b-a-n-
4. Ф(а - т, 6 - п; г) =
b; z)].
5. Ф(а5 а + n; z) = (^l)n (n — '
6. Ф(а, а - п; г) = (-1)"[егГA - a,
7. Ф(а5 2а + n; z) =
fc=O
*-p
p=0
8. Ф(а, 2a - n; z) =
E-
fe=O
k\
p=0
9.
\k	k
k\
p=O
11. Ф(ш + 1, b; z) = j^^- ^bezT(b - 1, z)L^b(^z) - g I j
6-fe-l/

474
12.
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.10
Р=1
13.
к+m
Е
p=i
k=l	J
к+п — 1
Г(А; + n + r)
r	. n, r	,
16
т f1	!
- -n; z) =
p=l
8.2.10. Обобщенная гипергеометрическая функция
pFp((ap); FP); г).
га > n
-n, a, 2, ...2; 1\_ n! ^ к {a)k(b - a)n_fc
j2(l)
2. PFP
a + 1, a + 1,
a, a, . . . , a;
k=Q

8.2.11]
8.2. Гипергеометрические функции
475
8.2.11. Гипергеометрическая функция 1^2@1; 6i, 62; z).
l; 6, 6+i; z) =
-l; 6, i; z) - 2F - 1) ch B^) iF2 (fe - i; b+\, |; z) .
2. =
0-26-6^1/2-6
2 ;Z
x |rC - 26)
4. iftfa; a + 1, -; z)
- 2, -2>/J) - e2^+bwiFBb - 2,
+7r[cosec(&7r)shB^z) + г sec(bw) ch By/z)]} [z > 0] .
i a
; a + 1,
5.
2a -
; a,a+\] z) - ch B^) XF2 (l; a+i,a + l;
7.
«x V(-l
f, с;
i=0
Ьс_г_р_5/2
BА;-2г
. iF2(n- i;
- i; n + 1, 2n
22"+1(n!J
1/2_n
f /„-i(v^) 1 2 _ f /„-i(v^)/»(Vi) 1
\Jn-i(Vi)J Un-i(v^yn(v^)J
1-2П

476
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.11
+ ¦
1 2
(Т1)гх
V2
10. и
+ erfi (л/2 z1/4)
sh B^) 1
J
(-j - fc - 1/4),
Г erf (V2z1/4) - erfi
X I	-23
1/4)
) 1	j f sh B^1) 1
j + 4fc
^ Dj+4fe-4p-
-B«+i)/4
Bn-2i-l)/4
Х| ^ \sinB>A)j ^ Di + 4fc-4p-l)!!(±lfoj

8.2.12]
8.2. Гипергеометрические функции
477
f ch BVI) 1
)!!_
3)!!1 ;
Dj+4fc + l)!!
sin BлД) J ^ Di
(	'
;^7^" „(±i6z)-"-1-
/» 	 Д<г» 	 I I * *
Ak
1
14. iF2(a; a - m + -, 2a ~~ n; ±z)
2
	a- m
2
( -J- 1 /9^
l / j
/	( ^
—a)m\\ —la)n\y/z
i/A; + m\/l \	(л/z
V г /12 )k+m-i\2
15.
I m + -; a - n, 2 - a; ±z) = (-1 m+
V 2	/
— a) cosec(a?r)
- a)n \ 2
16. ^Я(а; а-п,Ь; ±z) =
8.2.12. Гипергеометрическая функция 2^з(«1, a2; &i, 62,
a, a H—j
2
— ®,, b — a -\—;
2
a-b
-a + h b-a + 1; z
6+6 + 1
, A2)]

478
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.12
2.
а,
2'
2b ^ 1 sh {2y/z)
b — a, b ~~ a -\—; z
' 2' "'2 /
b ~~ a H—, 6 — a + 1; z
A
13
v	2' 2	>
[[20], A2)]-
3.
-n, n+ -;
113
Bn)!
4. 2F3
—n,
3,
2'
3 5 3
4' I' 2
Bn
5. 2F3
6.
«>!; z
¦ 2' ' >
1	1
-,	-; z
9	9
Zi	Zi
l,	i, l
= -[1
7.
1 r2
8.
\2, 2, 2/ z\
9. 2F3
2' ' Z
3 3 3
>2' 2' 2'
11.
12. 2F3( з з
^2' 2'
13. 2F3
^ - 2
>2' 2' '

8.2.14]
8.2. Гипергеометрические функции
479
14
15.
n, nH—; z
га + 1, n + 1, 2га
8.2.13.	Гипергеометрическая функция 4^\(fli5 • • • , «4; 61; z).
/	1 1 3 \ ^_ ^_
! тр \	'4 '2 '4 I ( z \п тг I 4/4 \ тт /,4/4
±. 4^1 1	1 I "
1	1	1	\
—n.	n,	n,	n
2	4	4
уп+1/2
4/4
YI
8.2.14. Гипергеометрическая функция oF%(bi, 62, 63; z).
3 5ш
4тг
[ber_1/3B3/2,1/4)
2.
3. 0
bei_1/3B3/V/4) bei1/3B3/2,1/4)]
-2 Jo B ^
5. o
1, \, |; -,)
- Ai B1/332/V/e) Bi (-21/332/3«1/e)] .
,1/8) - Vs Ai (г1/3^3,1/6)] x
Ai (-21/332/3г1/6) -Bi(-21''332/3«1/e)]
6. oF3(^, |, |; -г) =
3
J/3 [3AiB1/s32/sz1/e) Ai (-21/332/3г1/6) - Bi B1/332/V/e) Bi
7. 0Fs(|,|, |;

480
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.15
8.2.15. Гипергеометрическая функция 2^5(^1? o>2\ &i> • • • ? ^55 z).
/	1	\
а, а + -;
,.+ ,
1
а, а -\—; —z
2
^2	4	4
+ cos (Затг) [Ьег2а^з/2
bei2a_1/2B tfz ) + bei 2a_3/2B tyl) ber 2a_1/2B ^~z )]}
[[60], A3)].
4. 2F5
x {sin (Затг) [Ьег2а^5
^ cos (Затг) [ber 2a^5
ber 2a^3
[[60], A4)].
8.2.16. Гипергеометрическая функция 4^7@1, . . . , «4; 61, . . . , 67; z).
a,
™-,a+™,a+--;
11	1
-, 2a, 2a + -, 6, 6+ -, 2a - 6 + -, 2a - 6 + 1
?	A	A	A
[[60], A1)].
2. 4F7
7
Ц, 2a, 2a-i, 6, 6+i, 2o-6+i, 2a-
ГBЬ)ГDа - 26+1) _1/4_tt
4a ~ X
[[60], A2)].

8.2.17]
8.2. Гипергеометрические функции
481
3. 4F7
1	1 ,3
a,a+-,a+-,a+-; z
^,2a,2a+i,6,6+i,2a-6+i,
, A1)]
4.
,1,1,3
а. а -\—, а -\—, а -\—; z
'	4'	2'	4'
ч-, 2а, 2а- -, 6, 6+ i, 2а-6+ -, 2а-
1/4_а
2Dа-1)
[[60], A2)]
8.2.17. Обобщенная гипергеометрическая функция
PFq((ap); F,); г).
m\ —1	mn — 1 n
В (a», rrii) fei=o
(cLp-n), (an) + k^ z
2.
ap), 1; z
П (bj - i)
P
i=0
1-1
- 1,1;
3=0
4.
П r(^) P+1
p+i	Z-^
П Г(ал) *=i
? !
p
П
1 + afe - (b) , ak; z
/p+1
= (ai, a2,
fe_i, ak+i, . . . , ap+i); 0 < argz < 2тг].
5.
/(ар); гх + гг + ...+*„
oo oo	oo	/n — 1 ki
~~ \^ \^ X~^ i О Zi
— / / " " " /	111 	J
fc1=0fc2=0	fcTl^i=0 \i = l %'
^1; zn
если р =
... + \zn\ < 1,
0, —1, —2, . . . для г = 1, . . . , n].
16 Ю.А. Брычков

482
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.18
6.
—m, (ар); z\ + Z2 + . . . + zn
(М
п п — к\
n
-m + ATn_i, (ap) + A"n-i
7.
со со	00 /n — 1 fe
г=0 k2=0
XpF?l	(Ья) + Kn-i; zn
(bq); (-1) zn
8. p+lFq
\Ря)
•••Zn \	, ,	vm
= m\ (Z1Z2 • • .Zn-i) x
E
1=O fc2=0
n 1
О
ll
\k-
~ Zif г
it-*
(m — /Cn_i)!
^w + /fn-i, (ap)\
8.2.18. G-ф У н к ц и я Мейера
Q
a,
-i:
a-Ь
).bj
fc = l ^
Res
а-Ьпт+1,п
G
г = 1
(Op)
b, (bg)
f[
ft Пт + s) ft r(l-bj-8)
i=n+l	j = m + l
\q>\\ O^n^p^q; 0 < m < g; a - 6 = 1, 2, . . . ;
afc - b ф 1, 2 . . . для fc = 1, . . . , n; [13], B.1)].
2. G
¦m+l, n+1
p+1, g+2
, n+1
1; 0 < n < p < g; 0 ^ m < q; a - 6 = 0, -1, -2, . . .;
afc - 6 / 1, 2 . . . для к = 1, . . . , щ [13], B.2)].
a, (ap), 6\ _ u,a-brm+i,n/ (aP), «"
(**),* J ^( j p"+1 Г (bq)
[g^l, 0^n^p^g,0^i7i^g; a^6 = 0, —1, ^2, . . .;
ak - b ф 1, 2 . . . для к = 1, . . . , n; [13], B.4)].
l, 2n
2p,2g+2
(ap), (ap)
0,
2, 1/2
Bap)
0, Bbq
7т+1, n
JP,g+i
Bap)
0, B6g
ai+p-m-n + l; [20], B1)

8.2.18]
8.2. Гипергеометрические функции
483
5
1, 2п
(ар), (аР)+ 1/2
1/2,
"I, '
P,q+1
= 2~Tn~piGTtl\n I 2*e"i/2z1/2
1/2, 0
0, Bbq
= qr-p+1; p=
Bop)
0, B6,)
-т-п + 1; [20], B1) .
J
O,(bq
e	^
(ap)/2, (ap)/2 + l/2
0, Fg)/2, (&g)/2 + l/2, 1/2
(ap)/2, (ap)/2-l/2
0, Fg)/2, F<)/2 + 1/2,-1/2,
g	a	1
n; a = y2bj - V] a» + p - m - n; [20], A9)
т z^12 I ^ 4' 4' 4
1	/члО
8.
9. Gil\z
10. Gi3
1 1 Г21
11. Cr13
3
1, 1, 0
1
2
0, n, 0
1
2' 2'
5
<>•§•;.
3
2
1, 0
13. G33 1
14. G5
15. Gil I z
1,0, 1
2' 2'
о, о /	U/
[z > 0] .
[0 < z < с»].
к
16*

484
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.2.18
16. GU
2n + l
17. G2s(z
n + 1, n + 1, 0
(n-k)\
(n -— k)l(n — A;)
Ei(-z) [*>0]
1 8 Г<22 I
18. Cx34
19.
1,1,1
2
111
2' 2' 2
0, 0, 0
1	1
2	~ 2'
|argz| < тг]
К
1	1
2	+ 21
20. Gq4
0, -, -, -
6 3 3
1
2
0, 0, n
23.
1 \
4 4' 4' 27
— sin De z Jci \Аекг z J + sh De
i /j 7ri/4 l/4\ 1 . /„ ттг/4 1/4\
— ch De ' z ' j shi De ; z 7 J
¦/4) chl De7ri/4^1/4) -
(а жг/4 l/4\ о- (л тгг/4 1/4\1
- cos De ; z 7 j Si De 7 z 7 jj
24.
25.
7 /^40 i
I . Cjt24 I Z
1,
1
2'
0,
0,
a-
1,
1
2
0,
0,
»5
1,
1
2
0
1
2'
.)
\
l
J
1
2 >
, —
2z
= 2i/7T
j =4тг
/
1
-, 1
2'
I _ I,
2^2"
+ IC

8.3.1]
8.3. Представления через гипергеометрические функции
485
28. GfAz
4 4
I I 1 1 I
2' 2'
8.3. Представления через гипергеометрические функции
8.3.1. Элементарные функции.
3 3
3.
4.
5.
6.
7.
= iF0(-i/; z) .
iz iz iz
1, 1; -1
1 iz	1
о'	о'
I ж	А
1, 1;	-1
2, 2; -1
1 •
^2 1 +
iz I iz 1 iz 1
7Г	л 7Г	Л 7Г	Z
8.
9. ch
in
10.
I 3 5
Л
z3/4
5' 4' 4' 256/ 6	U' 2' 4' 256/
/5 3 7, z x
3U' ' '
113 z \
4' 2' 4' 256/
3 5 3 z \
4' 4' 2' 256/
/ 1 Ё I_ii 1^!^л
4тг	I ' о' о	'о
12" sech2 = ^Ti^4F31 I з_« lA.!i
^ 2' 2 7Г ' 2 тг '
/1, - —, —; -1
13. cosechz = -3F2I ' f ' 7r> .
[Re(iz) < 2тг/3].
[Re (iz) < 7тг/6] .
14. thz =
%z
-4z2
'	1 iz	1 i^ ^
'	2 ~ "л7'	2 "тг"
3 iz 3 ^ -,
^ 2	7Г ' 2	7Г ' '

486
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.3.1
/ i, _!?, 11
15. cth* = -3F2	L ж' L
16. slnz = z3J
7Г
z z
1, Ij 1
17. cosz = - (z - —
7Г	7Г
2, 2; -1
1 г 1 г 1
2' n ~ 2' ^ ~ 2 ] -
1, 1; -1
'. + 1,1 + 1,1 + 1
18.	sir
19.	CO!
20.	sir
3 5 г \
i; i; —
гЗ/4
> 3 7^ z >
I' 2' 4' 256>
[Re г < 2тг/3] .
[Rez < 7тт/6] .
22.
23.
25. secz =
_ 1/4
oi42'4'4' "ё
^31 z 1 z >
13 z 3 z >
г3/4
5 3 7.
' 2'4'
26.
1,-1,1; -Л
7Г	7Г
27.
28.
29.
30. In
F I ' 2 тг' 2 тг
'3 2U-?,^ + ?;l
V 2	7Г 2	7Г
^	ТГ	7Г	/
, 1; 2; -^) .

8.3.2]
8.3. Представления через гипергеометрические функции
487
31.
32.
33.
34.
35.
, 1; \\ -г).
1, 1, 1; -г
3
2
1 —
, 1; —; z) .
2 /
36. arcsin
L, 1, 1;
2'
37.	a
38.	sin {y arcsin <
39.	cos [y arcsin -
40.	sin {y arcsin yfz ) = v \fz iF\\\	, 1-\	; -; z)
=¦ cos (y arcsin -
» ~~2~~; 2' J '
-^J ^; -; zj .
41.
42.
43.
8.3.2. Специальные функции.
l j{n)f \ _ , /_ ч-n-l	о	( ^i Zi Zi •
V
3. 7(i/, z) = — iFi(i/;
' 2' ^
¦ I
a + 1, a + 1, . . . , a + 1
; z).
1; z) .

488	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.3.2
7. e2erf(^) = ^1F1(l; §; z) .
ferf(^)l 2^ „/115 ?\_2?^ /3 3 7 ?ч
\erfi(^)J 0F Х 44' 2' 4' 47 + 30F U* 2' 4' 4/ '
2 1/4 / 3 5. z\ 4 3/4 „Л. 5 7.
= 7^ lFaAJ±W ^H1' 4' 4'
/1	Z л
4z1/2	о-1!;
10. ert (\f z ) его (у z ) = 	2П о г о
7Г	1 «3 Э «Э
11.	Si(^)	^(; |,§
12.	S(Vi)y	F^
13.
14. sin^5(^)+cos^C7(^) = ,/«1F2(l; |;
4 4 4
15. Sin^C(^)cos^5(^) = ^//1F2(l; |, \
4 4 4
\I{^)}~ 2T(«/ + 1)° 3V2' 2 '2+'256/
20-
/3 i/	^3 ^4
° 3V2' 2 + ' 2 ; 256/
21. e»7v(Z) = !^^y1(;
(¦2i/ + 3 2;/+ 5
f,«/+l,«/+

8.3.2] 8.3. Представления через гипергеометрические функции	489
23 jw"v«"^v«/i_ 	^_	 Fi 4 ' 4	1
Z I yl/ -j- lj	I _ _|_ _ «у _i_ I I
V 2'	2'	/
25.
26.
27. Jj/(v^ )l-u{y/z ) = 	о^з1 1 - -? 1 + 77' о 5
1/7Г	\	Z	Z Z
sin 1/тг !/2 /3 — 1/ 3 + 1/ 3 z
" " " 2 ' 2 ' 2' ^64
28.
29. /^-1
30. e*Kn+1/2{z) = Bn)!^ Bz)-n-1/2 tFi (-n; -2n;
3 3*
2' 2' TI
32.
33. Lw+1/2(v^) /-w-i/2(v^)	, V-sFo(n,
8
721-у 7Г
1/2	1	4
i 1
1	/I/
34. EJ^z) = —(l-cosi/7r)iF2(l; 1	,
i/тг	V	2
; -?
4
2 ' 2 ' 4
sin i/тг ^ с7 Л 3 — i/ 3 + i/ z
37-
3Vsr(l/3)
2 z3\ 31/6z	/4

490	Гл. 8. Представления специальных функций	[8.3.2
'1 4Г
ос \\г(~\ -— ж V-1-/ w/	с7 I о 9 I	z C7 I 2 9
38. A. (z)- 25/335/6^3/2 1^1 12 "^	It
3' 3 /	V 3' 3
ГE/6)г2
24/331/в7гЗ/2 1J
3' 3
2 4
3' 3 /	\ 3' 3
/5 4z3
3 ; z /5\ „69
24/3^3/2 ^6J 1jP2 I 4 5
V 3' 3
O-4/3	I	1	«^8/3^2
44U. /\1 I Z I /\1 I Z I	/п /о\0гЗ -I о г I	1_1О / , / ч 0^3
.6
\	о —8/3 2	I —
324
12 5 1 Г2Г4/.^и''31 2 7 4
Г2D/3)
,3' 3' 6/	\3' 6' 3,
z
э-1/З	|	1	rj-5/3^2
41 Ri fr^l Ri Г^г^ =	F	324 1 3 ^ F	324
fix. DMziDn zj ""--of3i i n r I Г2D/3) ° 1 2 7 4
~" 6' 3,
42. Ai(±,)Bi(T,) = !^MoF,A245
,3' 3' 6,
4
43. ber^)=C°rSg71/4)(f)\F3f
2 '2
324
4 3 5
^1/2z4 „ I 324
i 3
J' 2' 3,
«5-13/6 2
^	^ p	324 -2 c^	324
Г2D/3) ° 3U 7 4 p,,0 3 1 5 7
6' 3/	\2' 6' 6,
.2^ij"' 2,

8.3.2]
8.3. Представления через гипергеометрические функции
491
л л
44.
sinCi/7r/
z4
256
2 7 2 7 2
cos Ci/tt/4)
z4
56
2 ' 2
45. ber^(z) =
3*/7Г
46. bel'(z)
31/7Г
4
1 I/
' /i '
2 ' 2
16
4 ' 16
1	1
2'	'2
i i? I
3
z
64
2+1'
	, v + \, v -\—, -
2 '	'	2J 2
31/7Г
21/ + 3 21/ + 5
4 ' 4 '
' 4 '
— >2+1'V + 1
16
— >2+1'V+2>l' + 1>2.
z
16
z
64
47. ber,(z)bell/(z) =
21/ + 1 2i/ + 3
16
48.
49.
51.
52.
53.
54.
3 3
2' 2,
-n, n + 1; 1; -|
(_П)_п; _2„; -2г)
, -n; 1;
2Fi(-n, n+|; 1; -г).

492
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.3.2
55.
60.
61.
62.
/Т+.
57.
58. F2n
59.
- + z
-. i i= -)
-P2n4
z)n/2Fn
r
63. [P4
66. F2n+i
67. F2n+1
^аЛ(-п,-п;|;г).
n, n, 2, zj
: - 1
1	\	,_, / 71 1 — 71
^n. n + 1, -
"П, —71,
\-п,-Ъ
113-
n\ \z/
2' 2' '
,335'
l?  -;
'22
1	1	1
-71, -- -П, -- -71, - -П
2	4	4

8.3.2]
8.3. Представления через гипергеометрические функции
493
68. Р2те
1 + л/1 - .
- VI - z
69. Рп
76.
77.
7o.
TO
79.
3-
70.	T2l
71.	T2i
74. Tn
-n, n; i;
-l)nBn + l)y/z 2Fi f-rc, ra + 1;
V I' 2 ' 1™П;
9n-l -n/2 p
2 z	2-f*i
n; i; -|) .
-n, |-n; l-2n; -2^
-n, n; i; -^
I2n+1\
= 2Fi (-n, n + 1; -; -z) .
*2F1[^n, --щ 1^2щ -i
_ 92n -n-l/2
1 - 2n 3 - 2n 1
п \ 4 '
i-n,i_n,i
2 ' 2
A
80. (z^l)nT2n
81. (z - l)n+1/2T2n
/ 1	1 \
LV n> 2 ™П; 2' Z/ '
+1
= Bn
(-n, | - n;

494
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.3.2
82.
/ П 1-
83.
1 Т
3 ~ V1 ~ Z
1 ~
1
h 4
1
h 2
3	N
	n
-;
[n > 1] .
85.
-n, n
86.
= (-l)n2(n + 1)л/1 2Ft (-n, n + 2; |
87. [/„
!. 1 — П
! ' ~~2"
-; —n; z I .
88.
89.
90.
1 3
"П^2; 25
91.
= Bn
92.
^
2; |; -
93.
94.
2Fi ( -n, -n - -; -2n - 1;
95. U-:
96. (z^l)n+1/2(/2n4
98.

8.3.2]
8.3. Представления через гипергеометрические функции
495
99. U2n
1 + y/l-Z
l-y/1-Z
1	1	3	>
100. U2n+i
l-z
и2п.
+1
1-Vl-z
101.	Я2,
102.	#2i
103.	Hn
104.	е^2
105.	e^z
106.	Я2,
чпBп)!
1F1 -щ -
i •)
= 2
2 ' 2 '
/11 \
(П+2;2;-г)
|>
4' 2' 4
[
3
—n, n H—
3 5 3 z
113
1'4~П'ГП'4
г,	п
4
3
' 25 ^ >
109. Я2п+1 ( tl-z ) H2n+i (i {I- ) =
110. Lxn{z)=
(^n; Л
3	1	In
— 72,	— 12,	— П.	— 12
4	'2 '4
1
	2п: Az
2	'
111.
(-n; ^A^n; -z).

496
Гл. 8. Представления специальных функций
[8.3.2
112. е"
113.
114.	l;
us.	c{
116.	d
117.	с;
118.	G;
119.	с;
120.	(l^z)nC
121.	С2ЛП(^Г +
122.	, 1 С
n + l; Л + 1; -z).
-га, A + n + 1; -
±i,+l,
2 2
-n, -- - n, —	n, ^A - n
^A - 2n; Az
1; | z)
(A)n.n^n/
-", 2A + n; A + i; -|) .
-n,\-\-n; l-2A-2n; -2
Bга-
123.
124.
125.
126.
-n, i-X-n;l-X-2n;-z
127.
128.
Bга-
^n, A,
?
{P +J)n
-n, p
A+I,2A
n + 1; p

8.3.2]
8.3. Представления через гипергеометрические функции
497
129.
130.
131.
i)
^Bzy
р - п; -р
p + cr + ljo + o-
-n,	, —^—+ 1, Р + О- + П + 1; -5
133.
134.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Монографии
1.	Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементар-
Элементарные функции. — М.: Физматлит, 2003.
2.	Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные
функции. — М.: Физматлит, 2003.
3.	Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 3. Дополни-
Дополнительные главы. — М.: Физматлит, 2003.
4.	Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev О. I. Integrals and series. Laplace transforms.
New York-London, Gordon and Breach, 1992.
5.	Prudnikov A. P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and series. Inverse Laplace
transforms. New York-London, Gordon and Breach, 1992.
6.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1965.
7.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1966.
8.	Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими
таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.
9.	Хаджи П. И. Функции вероятности. Кишенев: Ин-т прикладной физики АН Молд.
ССР, 1971.
10.	Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and theorems for the special functions
of mathematical physics. New York—Berlin: Springer-Verlag, 1966.
11.	Rainville E. D. Special functions. New York: Macmillan, 1963.
12.	Schwatt I. J. An Introduction to the operations with series. New York: Chealsea, 1924.
Журнальные статьи
13.	Adamchik V. The evaluation of Integrals of Bessel functions via G-function identities //
J. Comput. Appl. Math., 64 A995), №3, 283-290.
14.	Adamchik V. A class of logarithmic Integrals // Proceedings of ISSAC 1997, ACM, New
York, 1997.
15.	Al-Saqabi B. N., Kalla S'. L., Srivastava H. M. A certain family of of infinite series associated
with digamma functions // J. Math. Anal. Appl., 159 A991), № 1, 361-372.
16.	Berndt B. Analytic Eisenstein series, theta-functions, and series relations in the spirit of
Ramanujan // J. Relne Angew. Math. 303/304 A978), 332-335.
17.	Brychkov Yu. A. A generalization of the Cooke's duplication formulas for Bessel functions //
Fract. Calc. Appl. Anal. 4 B001), №4, 543-548.
18.	Brychkov Yu. A. Evaluation of some classes of definite and Indefinite integrals. Integral
Transform. Spec. Func, 13 B002), №2, 163-167.
19.	Brychkov Yu.A., Geddes К. О. Differentiation of hypergeometric functions with respect to
parameters // Proc. Int. Conf. on Abstract and Applied Analysis, Hanoi, Vietnam, 13-17
Aug. 2002, World Scientific P.C., Singapore, 2004, 15-28.
20.	Carlitz L. The product of two ultraspherical polynomials // Proc. Glasgow Math. Assoc, 5
A961), 76-79.
21.	Carlson В. С. Some extensions of Lardner's relations between о^з and Bessel functions //
SIAM J. Math. Anal, 1 A970), 2, 232-242.

Список литературы	499
22.	De Doelder P. J. On some series containing ф(х) — ф(у) and (ф(х) — Ф(у)J for certain
values of x and у // J. Comput. Appl. Math., 37 A991), W 1-3, 125-141.
23.	Elliott E. B. A formula Including EK; + KE; - KK' = тг/2 // Messenger Math., 33 A904),
31-40.
24.	Feldheim E. Alcuni risultati sulle funzioni dl Whlttaker e del clllndro parabollco // Atti Ace.
Sci. Torino, 76 A941), 541-555.
25.	Feldheim E. Relations entre les polynomes de Jacobi, Laguerre et Hermite // Acta Math.,
75 A943), 117-138.
26.	Fox С. The expression of hypergeometrlc series In terms of similar series // Proc. London
Math. Soc, 26 A927), 201-210.
27.	Froehlich J. Parameter derivatives of the Jacobi polynomials and the Gaussian hypergeo-
metric function // Integral Transform. Spec. Punc, 2 A994), №4, 252-266.
28.	Gessel I., Stanton D. Strange evaluation of hypergeometrlc series // SIAM J. Math. Anal.13
A982), №2, 295-307.
29.	Gosper R. W., Ismail M. E. H., Zhang R. On some strange summation formulas. Ill //
J. Math. 37 A993), №2, 240-277
30.	Grosjean С. С. Some new integrals arising from mathematical physics. Ill // Simon Stevin,
43 A969), 3-46.
31.	Gustavsson J. Some sums of Legendre and Jacobi pollnomlals // Math. Bohem., 126B001),
№ 1, 141-149.
32.	Joice G. S., Zucker I. J. Special values of the hypergeometrlc functions // Math. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 109 A991), №2, 257-261.
33.	Joice G. S., Zucker I. J. Special values of the hypergeometrlc functions. II // Math. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 131 B001), №2, 309-319.
34.	Karlsson P.W. On two hypergeometrlc summation formulas conjectured by Gosper //
Simon Stevin, 60 A966), №4, 329-337.
35.	Karlsson P. W. Clausen hypergeometrlc series with variable 1/4 // J. Math. Anal. Appl.,
196 A995), №1, 172-180.
36.	Kanemitsu Sh., Kumagai H., Yoshimoto M. Sums Involving Hurvltz Zeta function //
Ramanujan J., 5 B001), № 1, 5-19.
37.	Kelber Ju.7 Schnittler Ch., Ubensee H. Integralformeln fur Airyfunktionen // Wiss. Z. TH
Ilmenau, 31 A985), №4, 147-156.
38.	Karatsuba E. A., Vuorinen M. On hypergeometrlc functions and generalizations of Legen-
dre's relation // J. Math. Anal. Appl., 260 B001), №2, 623-640.
39.	Koepf W. Identities for families of orthogonal polynomials and special functions // Integral
Transform. Spec Func, 5 A997), №1-2, 69-102.
40.	Krattenthaler С., Rao К. S. Automatic generation of hypergeometric identities by the beta
integral method // J. Comput. Appl. Math. 160 B003), 159-173.
41.	Laurenzi B. J'. Moment Integrals of power of Airy functions // Z. angew. Math. Phys., 44
A993), №5, 891-908
42.	Miller J.j Adamchik V. S. Derivatives of the Hurwitz zeta function for rational arguments //
J. Comput. Appl. Math., 100 A998), №2, 201-206.
43.	Muzaffar H., Williams К. S. A restricted Epstein zeta function and the evaluation of some
definite Integrals // Acta Arithm., 104 B002), № 1, 23-66.
44.	Ogreid O. M'., Osland P. Summing one- and two-dimensional series related to the Euler
series // J. Comput. Appl. Math., 98 A998), №2, 245-271.
45.	Ogreid O. M'., Osland P. More series related to the Euler series // J. Comput. Appl. Math.,
136 B001), № 1-2, 389-403.
46.	Ogreid O. M., Osland P. Some Infinite series related to Feynman diagrams // J. Comput.
Appl. Math., 140 B002), Ш 1-2, 659-671.

500	Список литературы
47.	Reid W. Н. Integral representations for producs of Airy functions // ZAMP, 46 A995), № 2,
159-170.
48.	Reid W. H. Integral representations for producs of Airy functions. Part 2. Cubic products //
ZAMP, 48, 1997, № 4, 646-655.
49.	Reid W. H. Integral representations for producs of Airy functions. Part 3. Quartlc prod-
products // ZAMP, 48, 1997, № 4, 656-664.
50.	Rottbrand К. Finite-sum rules for MacDonald's function and Hankel's symbols // Integral
Transform. Spec. Func, 10 B000), №2, 115-124.
51.	Sanchez-Ruiz J. Linearization and connection formulae Involving squares of Gegenbauer
polynomials // Appl. Math. Letters, 14 B001), № 3, 261-267.
52.	Stankovic M.S., Vidanovic M. W., Tric7kovic S.B. Some series over the product of two
trigonometric functions und series involving Bessel functions // Z. Anal. Anwendungen, 20
B001), №1, 235-246.
53.	Toscano L. Sulle derivate dei polinomi di Laguerre e del tipo ultrasferlco rispetto al
parametro // Boll. Un. Mat. Ital., 8 A953), 193-195.
54.	Toscano L. Le funzionl del cillndro parabolic© come caso limite delle funzionl ipergeomet-
riche // Boll. Un. Mat. Ital. C), 9 A954), 29-38.
55.	Toscano L. Su una formula limite tra funzionl ipergeometrlche di Kummer e funzloni del
cillndro parabolico // Boll. Un. Mat. Ital., 10 A955), 239-243.
56.	Toscano L. Contributo alia formazione del formulario dei polinomi ultrasferici // Giornale
di matematiche di Battaglini E), 89 A961), 85-109.
57.	Toscano L. Formule di derlvazione su partlcolari funzionl Ipergeometrlche di Gauss i di
Kummer // Matematiche (Catania), 20 A965), 156-167.
58.	Toscano L. Formule di derivazlone per le funzioni ipergeometriche di Gauss // Riv. Mat.
Univ. Parma B), 8 A967), 163-180.
59.	Toscano L. Sulle funzionl del cillndro parabolico // Matematiche (Catania), 26 A971),
104-126.
60.	Tmmbley R., Fugere B. J. Products of two resricted hypergeometric functions // J. Math.
Anal Appl., 198 A996), №3, 844-852.
61.	Tricomi F. Sulla formula d'lnversione di WIdder // Rend. R. Ace. Naz. Lincei, 25 A936).
62.	Vidunas R. A generalization of Rummer's identity // http://arXiv.org/abs/math.CA/0005095.
63.	Zucker I. J. Some infinite series of exponential and hyperbolic functions // SI AM J. Math.
Anal. 15 A984), №2, 406-413.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ПОСТОЯННЫХ
Ai(z) = I./I ЛГ1/3 (Н гЗ/2) _ функция Эйри.
arccosz, arcctgz, arcsinz, arctgz — обратные тригонометрические функции.
Arch z, Arcthz, Arshz, Arth z — обратные гиперболические функции.
arg z — аргумент комплексного числа z [z = |z|e*argz) .
Bn — числа Бернулли.
Bn(z) — многочлены Бернулли.
bei|/(z), beiv(z), hei(z) = beio(z), ber(z) = bero(z) — функции Кельвина.
Bi (z) = t/f \l_1/3 (I z3/2) + /1/3 (^ z3/2)] - функция Эйри.
С = —i/jA) = 0,5772156649... — постоянная Эйлера^Маскерони.
ж
„/	If cost
С (ж) = —т=г —jz^ at — косинус-интеграл Френеля.
у2тг J л/t
о
оо
С(ж, и) = t^^1 cos tdt [Re i/ < 1] — обобщенный косинус-интеграл Френеля.
X
C*(z) = 	— 2-^1 |"~"'гг? п + 2А; АН—; 	1 — многочлены Гегенбауэра.
C^(z) = г	2^1 y-v, 2A + i/; А + -; "^—) — Функция Гегенбауэра.
ch z = 	 — гиперболическая функция.
Л
х
chi (ж) = С + In ж + 	dt — интегральный гиперболический косинус.
J *
• / \ [ cos * J,
ci (ж] = — 	at — интегральный косинус.
J t
= — In 12 sin — J dt — интеграл Клаузена.
о
cos z = ch (iz), cosecz = —	тригонометрические функции.
sin z
cosech z =	гиперболическая функция.
sh z
cosz
ctgz = 	 = tctn(tz) — тригонометрическая функция.
sin z

502	Указатель обозначений функций и постоянных
ch z
cth z = 	 — гиперболическая функция.
sh z
ж/2
тлп\ Г	sin2tdt
D[k) = —,	— полный эллиптический интеграл.
J Vi - k2 sin21
Dv(z) = 2V> e~~~z ' Ф I	, —; — ) — функция параболического цилиндра.
тг/2
= у 1 — к2 sin2 ? eft — полный эллиптический интеграл 2-го рода.
о
Еп — числа Эйлера.
En(z) — многочлены Эйлера.
ж
E|/(z) = — sin (yt — z sin t) dt — функция Вебера.
7Г J
О
x +
f e
Ei (ж) = — dt — интегральная показательная функция.
J t
—-oo
e = 2,718281828459. . . — число е.
ez = exp z — показательная функция.
X
rf (ж) = ——- e~*
dt — интеграл вероятности.
2 Г _f2
erfc (ж) = 1 — erf (ж) = —= e dt — дополнительный интеграл вероятности.
2 f .2
егп(ж) ^ 	 e dt — интеграл вероятности мнимого аргумента.
о
Vе/	\с; я/ ~^Q (с)к к\
1
= Г С	i6^ - t)c~b~1(l - tz)~a dt	[Ree>Re6>0; I arg A - z)\ < тг]
[b,c-bji
о
— гипергеометрическая функция Гаусса.
>i, . . . , ap; bi, . . . , 6g; z) = pF<7((ap); Fg); z) = pFq[ 1!""> P' ) =
V oi, . . . , bq J
(ap); z\ _	/ (op) \ ^ (ai)fe(a2)fc • • • («p)fc 2:fc
— обобщенная гипергеометрическая функция.
i-Pi(ci; 6; z) = Л 	 — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера.
G = V —^	^—- = 0,9159655942. . . — постоянная Каталана

Указатель обозначений функций и постоянных	503
G
т, п
Р, Ч
Q,\ , ... , ftp I ______ /~im, n
= G
К) 1 _
hi p'g
1, . . . , Oq
1 ГрГ Ь\ + 5, . . . , bm + s, 1 — «i — s, . . . , 1 — an — s 1 _
2?ri J Lan+i + s, . . . , ap + s, 1 — 6TO+i — s, . . . , 1 — bq — sj
L = L-too, Lice, — G-функция Мейера.
H{x) = < ' ""' ' — функция Хевисайда.
[0, ж < 0
Н"(г) = ^ (f )"+1 r(, + 3/2)l
- 5. -_
2' ^ 2' 4
//J, '(z) = Ju(z) + %Yv(z), HI, {z) = Ju{z) — iYy{z) — функции Бесселя 3-го рода (функции Ганкеля
1-го и 2-го рода).
2 dn 2
Hn(z) = (¦— l)nez 	e~~~z — многочлены Эрмита.
dzn
Ii/(z) = 	I — J o^l ( v + 1; — I = е~~1/7гг/2 Jv {eK%''1 z) — модифицированная функция Бес-
Бесселя 1-го рода (функция Бесселя мнимого аргумента).
Im z — мнимая часть комплексного числа z = х + гу (Im z = у)
1 /' z\u	(	z2\
Jv{z) = 	 f — J qFi l и ~\~ 1;	J — функция Бесселя 1-го рода.
7Г
Ju(z) = — cos (yt — z sin t) dt — функция Ангера.
7Г J
О
oo
Ли(х) = Ji/(t)— — интегральная функция Бесселя 1-го рода.
J	*
X
тг/2
K(A;) = —,	— полный эллиптический интеграл 1-го рода.
J г/l - к2 sin21
Ku(z) =	—:	 \у ф n], Kn(z) = lim Kv(z) [n = 0, ±1, ±2, . . .] — функция Мак-
2 sin vk	v—^n
дональда (модифицированная функция Бесселя 3-го рода).
ku{z) = —-—	zWu/2 1/2B2) — функция Бейтмена.
ГA//2 + 1)
keii/(z), ker,y(zM kei (z) = keio(z), ker (z) = kero(z) — функции Кельвина.
со
Kiu{x) = Kjj{t)— — модифицированная интегральная функция Бесселя.
Jjy{z) = е~~^1/~^1}7гг/2Ш!и {e*x'^z) — модифицированная функция Струве.
Ln(z) = b^(z) — многочлены Лагерра.
Ln(z) =	(zn e~~~Z) — обобщенные многочлены Лагерра.

504	Указатель обозначений функций и постоянных
оо
z Г ttJ"'1 dt
= —;—7 —1	 Ре ^ > 0? I arg A ~~ z)\ < я"] — полилогарифм порядка и.
V(u) J el - z
о
h'i2(z) — дилогарифм Эйлера.
In z = In \z\ + i arg z — натуральный логарифм	[z = |z|e^arg z+2wk), k = 0, ±1, ±2, . . .].
¦ 1; zj — вырожденная гипергеометрическая функ-
ция Уиттекера.
Pn(z) =	(z —¦ 1)п — многочлены Лежандра.
Pv(z) = Py{z) = 2F1 (-и, 1 + v\ 1; —-—J [|arg(l + z)\ < тг] — функции Лежандра 1-го рода.
Л
[| arg (z ± 1)| < тг; ^ ф т; m = 1, 2, . . .]
d \m	. .	г.	/	ч.
— J jP|/(z)	[| arg (z — I)) < тг; т = 1, 2, . . .]
dz /
^W	[-K ж < 1; т = 1, 2, . .
— присоединенная функция Леж:андра 1-го рода.
= 	— 2^1 (~~та, р + <т + п + 1; р + 1; 	) — многочлены Якоби.
те! V	2
Qv(z) = QJJ(z) — функция Лежандра 2-го рода.
[|argz|, | arg (г ±1)| < тг; ^ + 1/2, M + i/^-l, -2, -3, . . .]•
[|arg(z±l)|, |argz| < тг; /х + i/^-1, -2, -3, . . .]•
гО) + e^^Q^x - Щ =
2sinjLi7r
[-1 < x < 1; ^ ±m; /i + i/ ^ -1, -2, -3, . . .]
f
присоединенная функция Лежандра 2™ro рода.

Указатель обозначений функций и постоянных	505
/	2 \
X 2^1 [n + 1, р + п + 1; р + <т + 2?г + 2; 	J	[| arg (z dz 1)| < тг]
— функция Якоби 2-го рода.
Re z — действительная часть комплексного числа z = ж -+- iy (Re z = х).
X
п/ \	1 Г sin t
Ь{х) = /— —-=- at — синус-интеграл Френеля.
л/2тг J л/t
о
оо
г
S(x, и) = tv~~~ sintdt [Re v < 1] — обобщенный синус-интеграл Френеля.
ж
п — тп	/ . | 1 \	о
S^ = JJ (~1) 1	) (	l^n-m+fc — числа Стирлинга 1-го рода.
k=Q
	, 	;	) — функция Ломмеля.
sec z = 	 — тригонометрическая функция.
cos z
sech z = 	 — гиперболическая функция.
ch z
Sgn Ж :
sh z =
= о,
Ul,
ez - e~
X =
о,
о,
0.
ги
гиперболическая функция.
А
х
shi (ж) = 	dt = —i Si (гж) — интегральный гиперболический синус.
J t
о
ж
о. / х Г sint
bi (ж) = 	at — интегральный синус.
О
оо
si (ж) = Si (ж) — — = — 	dt — интегральный синус.
2	J t
X
sin z = —i sh (iz) — тригонометрическая функция.
Tn{z) = cos (fiarccos z) = F f--n, n; —; 	J — многочлены Чебышева 1-го рода.
sin z
tg z = 	 = — ith{iz) — тригонометрическая функция.
cos z
sh z
th z = 	 — гиперболическая функция.
chz
sin [(тг + 1) arccos z]	/	3 1 — z\
Un{z) = 	j===	 = (n-\-1J^1 \^ni n + 2; —; 	1 — многочлены Чебышева 2-го
v 1 — z2	^	2 2/
рода.
Уиттекера.
[ц — >с-\	,2/1 + 1; z| — вырож:денная гипергеометрическая функция

506	Указатель обозначений функций и постоянных
Yu(z) = COS^J-(Z)J^(Z) {u ф n] Yn{z) = lim Yu(z) [n = 05 ±1 ±2 _] _ функция ней-
sini/7r	v^n
мана (функция Бесселя 2-го рода).
оо
Yiu(x) = Yu{t)	интегральная функция Бесселя 2-го рода.
J	t
(«, 0) = FSa)F{f2 ~~ бета-функция.
Г(а + C)
В.,
X
5(а, Р) = [ta(l-t)^^ [Rea > 1; ж < 1].
= 	2^i(«, 1-/3; а + 1; ж) [| argaj|, | arg(l — ж)| < тг] — неполная бета-функция.
а
F(z) = tz^ e^1 dt [Re z > 0] — гамма-функция.
о
r(i/, ж) = tv~~ e~~ dt = е~~~жФA — i/, I — и\ ж) — дополнительная неполная гамма-функция.
{у, ж) = Г(г/) — F(i/, ж) = \tv e dt = — \F\{y\ и + 1; —ж) [Re v > 0] — неполная гамма-
о
функция.
П r(afc)	р
ai, . . . , ap _ fc=i		r	, _
Г	=—	,	r[oi, ..., ap]=
пгF|)	fc=1
1=1
Ь • • • , apl
, >	Г(ар) =Гаь ..., ap .
l, • • - , bq J
) (Ор)) = Ы, (ap)
?	10, m ^ n	J7-
Om,n = i	— символ Кронекера.
[15 m = n
— [Re z > 1] — дзета-функция Римана.
((z, v) = JJ	— [Re z > 1; v^O, —1, —2, . . .] — обобщенная дзета-функция Гурвица.
^ ,	/ ,	\	V^ (a)fe(a Mfe)fe W Z	ri I / 11
=i(a, a , 6; с; ад, z) = ^ 	7^	T7J7~	i\w\ < 4-
^ (c)	fc!l!

Указатель обозначений функций и постоянных
507
^2(«, Ь] с; го, z) =
^ (a)k(b)k wkzl
h%Q {c)k+i kill
:n — числа Стирлинга 2-го рода.
[\w\ < 1].
, s, v) =
f0 (v + Vs
oo
(a, 6: c: w. z) = >
k\l\
< 1; v ^0, -1, -2, .. .]•
< 1].
^
A
#2F, 6'; с; го, z) =
iFi(a; c; z) + Г	Lz1~ciFi(l + a - c; 2 - c; z)
1 + a — cJ	L a J
гипергеометрическая функция Трикоми.
вырожденная
"A-х2J
6; с, с'; », г) = V ^
(k)-A-Зж2)К(ж
| < 1].
ip(z) = [Inr(z)]; = ——	пси-функция.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ СИМВОЛОВ
(а) = ai, <22, ... , ад; (ар) = cti» «2, • • • , ctp — специальные векторы.
(ар — 6Р) = ai — 6i, «2 — 62, • • • , ар — bp
(а) + 5 = ai + s, «2 + s, . . . , ад + s; (op) + s = ai + 5, . . . , ap + s
(a)f — a,j = a\ — dj, . . . , cij-i — dj, Oj+i — «j, • • • , ал — «j	[1 ^ j ^ A]
(dp) — cij := o,\ —¦ cij, • • • , a>j — i — Q>j) aj+i ~ aj ) • • • ) ap ~~ aj	[1 ^ i ^ p]
(а)д. = a(a + 1) . . . (a + к — 1) [A; = 1, 2, 3, . . .], @H = 1 — символ Похгаммера.
n! = 1 • 2 • 3 . . . (n - l)n = (l)n, 0! = 1! = (-1)! = 1
Bn)!! = 2 • 4 • 6 . . . Bn - 2Jn = 2nnl
Bn + 1)!! = 1 • 3 • 5 . . . Bn + 1) = ^ Г (n + J) = (|) 2n
7Г
!! {	0!! (l)!! l
\BAj H- 1)!!, n = 2ife + l,
n\ n(n-l)...(n-fe + 1)	n!	(-l)fe(-n)fe /n
1	'
= 1 — биномиальные коэффи™
k\	k\(n-k)\	k\
циенты.
Re a, Re b > с означает Re a > с и Re 6 > с.
[ж] = n[n ^ x < n + 1, ii = 0, ±1, ±2, . . .] — целая часть числа х.
\ (х х ^> 0
х_|_ = < '	' — усеченная степенная функция.
10, ж < 0
I, Г ж, ж ^ 0,
|ж| = <	— модуль числа ж.
I —ж, ж < 0
~z = х — iy [z = х + г 2/]
| = уж2 + |/2
р	о©
n(ap)fc = П (aj)fe
P
P[((ap) + b)k = Y\ (aj + b)k	^2 afe = am + «mil + • • • + fln	[n > 77l],
Y\ «it = ат«т+1 • • • «n [n ^ m],	=0	[n < ra]
= 1	Гп < т]
О if
fe=l
n
Snak
oo
fe=l
^z) = lim II afe(
= «TO + «TO + 1 + •
= 0
n
(z) = lim V^ «fc
n—>oo ji-—'
k=l

Научное издание
БРЫЧКОВ Юрий Александрович
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ, РЯДЫ
И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ. СПРАВОЧНИК
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 30.03.06. Формат 70x100/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 44,48. Уч.-изд. л. 54,7. Тираж 300 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv