Автор: Брычков Ю.А. Маричев О.И. Прудников А.П.
Теги: вычислительная математика численный анализ математика
ISBN: 5-9221-0324-5
Год: 2003
Текст
УДК 519.6
ББК 22.194
П85
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ря-
ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. - 664 с. - ISBN 5-9221-0324-5.
Книга содержит неопределенные и определенные интегралы, конечные суммы и ряды
со специальными функциями. Она является наиболее полным справочным руководством,
включает результаты, изложенные в аналогичных изданиях, а также в научной и периоди-
периодической литературе.
Книга предназначена для широкого круга специалистов в различных областях знаний,
а также для студентов вузов.
Первое издание — 1983 г.
Библиогр. 37 назв.
Научное издание
ПРУДНИКОВ Анатолий Платонович
БРЫЧКОВ Юрий Александрович
МАРИЧЕВ Олег Игоревич
ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ
Том 2
Специальные функции
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Л. Т. Варъяш
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 04.11.02.
Формат 70x100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 53,8. Уч.-изд. л. 78,1. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0324-5 (Т. 2)
ISBN 5-9221-0322-9 © ФИЗМАТЛИТ, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................... 20
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ....................... 22
1.1. Введение. ................................................. 22
1.2. Неполные гамма-функции j(a,x), Г(а,аз) и бета-функцим Вж(«,/3) ....... 22
1.2.1. Интегралы вида \ хА < 1К ; } dx ............................... 22
J {Г(а,ах ) J
1.2.2. Интегралы вида j f(x)y(ct, ^(ж)) dx ................................ 22
1.2.3. Интегралы вида J /(ж) В х(а,/3) dx ................................ 23
1.3. Интегральная: показательная функция Ei (ж) ....................... 23
1.3.1. Интегралы вида j жА Ei ( — ax — b) dx ............................... 23
1.3.2. Интегралы вида |жАесж Ei (-ах - Ъ) dx ............................. 24
1.3.3. Интегралы вида J f(x) Ei (—ax) dx ................................ 25
1.3.4. Интегралы, содержащие произведения функций Ei (—ax) .................. 26
1.4. Интегральные синус si (ж) и косинус ci (аз) ......................... 26
\
J
/(аз)<
J yd (ax)
1.4.3. Интегралы, содержащие произведения функций si (ax) и ci (баз) .............. 27
1.5. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж) ........................... 28
f f erf (ах) 1
1.5.1. Интегралы вида аз < > dx ............................... 28
J [ erfc (ааз) J
Г Г erf (ax) 1
1.5.2. Интегралы вида ххеЬх < К } \ dx ............................. 29
J [ erfc (ааз) J
1.4.1. Интегралы вида \ х { > dx ................................. 26
J ici(ax)J
1.4.2. Интегралы вида /(аз)< > da; ................................ 27
J yd (ax))
\ erfc (ааз) „
1.5.3. Интегралы вида ххе~ь2х2 \ ^ \ ш\ \ dx ........................... 29
1.5.4. Интегралы, содержащие гиперболические и тригонометрические функции и
(егГ(аж) 1 зо
[ erfc (ааз) J
1.5.5. Интегралы вида жл In ж < > da; ............................. 31
J [ erfc (ааз) J
1.5.6. Интегралы вида j x erf (ааз) erf (баз) dx ............................. 31
1.6. Интегралы Френеля S(x) И С(х) ................................ 32
1.6.1. Интегралы вида аз < . . > das ................................. 32
J [C(ax))
1.6.2. Интегралы вида f(x)< { \ dx ................................ 32
J LC(aa;)J
1.6.3. Интегралы, содерж;ащие произведения функций S(ax) и С(Ьх) ............... 33
4 Оглавление
1.7. Функция параболического цилиндра Dl/(x) ........................ 34
1.7.1. Интегралы вида J xxe±a x ^4Du(ax) dx ............................. 34
1.7.2. Интегралы вида j f(x)Dl/(x) dx .................................. 34
1.8. Функция Бесселя Ju(x) ....................................... 35
1.8.1. Интегралы вида j x Jy(x) dx .................................... 35
1.8.2. Интегралы, содержащие степенную, показательную, тригонометрические функции и
Ju(x) ....................................................... 36
1.8.3. Интегралы вида ж Jn(ax)Jy(bx) dx ............................... 37
Г f(x)
1.8.4. Интегралы вида dx .................................. 39
J Jp{x)Jv(x)
1.9. Функция Неймана Yu(x) ...................................... 39
1.9.1. Интегралы вида I ж Y'u(x) dx .................................... 39
1.9.2. Интегралы вида J ххе±гхУ1/(х) dx ................................. 40
1.9.3. Интегралы вида J xxYfJ,(ax)Yl/(bx) dx .............................. 40
Г f(x)
1.9.4. Интегралы, содержащие —- dx ................................ 41
J Уи{х)
1.9.5. Интегралы, содержащие Ji_l(ax)Yl/(bx) .............................. 41
1.10. Функции Ганкелм Н^(х) Ш Н^(х) ............................. 41
1.10.1. Интегралы вида J хх Hi?'(x) dx .................................. 41
1.10.2. Интегралы вида J ххерхнУ\х) dx ................................ 42
1.10.3. Интегралы вида —Д dx ................................... 42
1.11. Модифицированная функция Бесселя 1и(х) ....................... 42
1.11.1. Интегралы вида j ж Iu(x) dx ................................... 42
1.11.2. Интегралы вида j ххе±х^(х) йж ................................. 42
1.11.3. Интегралы вида J ххIц{ах)Iy{bx) dx .............................. 43
Г /О)
1.11.4. Интегралы вида dx ..................................... 43
J Iv{x)
1.11.5. Интегралы вида I ж Jt/(ax)I1/(bx) dx .............................. 43
1.12. Функция Макдональда Kjy(x) ................................. 43
1.12.1. Интегралы вида j ж Ки(х) dx ................................... 43
1.12.2. Интегралы вида J xxe±xKu(x) dx ................................ 44
1.12.3. Интегралы вида I ж KfJj(Kax)K1/(ybx) dx ............................. 44
1.12.4. Интегралы, содержащие JfJ,(ax)Kl/(bx) или 1/л(ах)К1/(Ьх) ................. 44
Г f(x)
1.12.5. Интегралы вида dx .................................... 45
J К(х)
1.13. Цилиндрические функции Zjj(x) ............................... 45
1.13.1. Интегралы вида j xxZjj{x) dx ................................... 45
1.13.2. Интегралы вида J xxZ^ (ax)Z^ (bx) dx ............................ 45
1.13.3. Интегралы вида j xxZl(x) dx ................................... 46
1.14. Ортогональные многочлены Лежандра Рп(х), Чебышева Тте(ж), 17те(аз), Ла-
герра Ьп(х), Ь"(а5), Эрмита Нп(х), Гегенбауэра С^(ж) и Якоби Рп (ж) • • • • • 46
1.14.1. Интегралы, содержащие Рп(х) ................................... 46
Оглавление 5
1.14.2. Интегралы, содержащие Тп(х) и Un(x) ............................. 46
1.14.3. Интегралы, содержащие Ln(x) и Ь"(ж) ............................. 47
1.14.4. Интегралы, содержащие Нп(х) .................................. 47
1.14.5. Интегралы, содержащие С^(х) ................................... 48
1.14.6. Интегралы, содержащие Рп (х) ................................ 48
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .......................... 51
2.1. Введение. ................................................. 51
2.2. Гамма-функцжм Г(аз) ......................................... 52
2.2.1. Интегралы, содержащие Г(е + ж) @ < ж < оо) ......................... 52
2.2.2. Интегралы, содержащие Г (а ± ж) ( —оо < ж < оо) ....................... 53
2.2.3. Интегралы, содержащие 1пГ(а + ж) ................................ 55
2.2.4. Интегралы, содержащие Г (а + гх) ................................. 56
2.3. Пси-функщия ф(х) ........................................... 56
2.3.1. Интегралы от ф(х) ........................................... 56
2.3.2. Интегралы от ф^пЦх) ......................................... 57
2.4. Дзета-функция Римана С(ж) ................................... 58
2.4.1. Интегралы, содержащие ((х) @ < ж < оо) ............................ 58
2.4.2. Интегралы, содержащие ?(s),no прямой G — ioo,7 + *сю) .................. 58
2.5. Интегральная показательная функция Ei (ж) ....................... 59
2.5.1. Интегралы общего вида ........................................ 59
2.5.2. Интегралы от А(х) Ei (еж + d) .................................... 63
2.5.3. Интегралы, содержащие А(х),ерх и Ei (еж + d) ......................... 64
2.5.4. Интегралы от жае^ж' EI (еж) .................................... 66
2.5.5. Интегралы, содержащие е*^х' и (р(х) Ei (bx) + %(ж) Ei (еж) .................. 66
2.5.6. Интегралы, содержащие гиперболические функции и Ei ( — еж) ............... 67
2.5.7. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и Ei (еж) .............. 67
2.5.8. Интегралы, содержащие е~~рж,тригонометрические функции и Ei (еж) ........... 67
2.5.9. Интегралы от ха 1пп ж Ei (еж) .................................... 68
2.5.10. Интегралы от хае^рх 1пп ж Ei (еж) ................................ 68
2.5.11. Интегралы от ха Ei (Ьх±г + d) Ei (еж) .............................. 69
2.5.12. Интегралы от ж"е/(ж) Ei (Ьх±г) Ei (еж) ............................. 70
2.5.13. Интегралы от ха \пп хЕ12(сх) ................................... 71
2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус с! (ж) ......................... 71
2.6.1. Интегралы общего вида ........................................ 71
> и А(х) Si (еж) ........................... 74
сЦсж) J
г Г si (еж) 1 г
2.6.3. Интегралы от хае^рх i ) [ } и жае"рж Si (еж) ...................... 76
Id (еж) J
2.6.4. Интегралы, содержащие степенную, тригонометрические функции, < > или
Id (еж) J
Si (еж) ....................................................... 77
2.6.5. Интегралы, содержащие показательную, тригонометрические функции, < > или
[ci (еж) J
Si (еж) ....................................................... 79
v ; \ .................................. 80
ci(cx) J
2.6.7. Интегралы, содержащие < > или si (bx) ci (еж) ................. 80
I ci (bx) ci (еж) J
6 Оглавление
I SI I СПР 1 1
2.6.8. Интегралы от ж" Ei (-bxn) I > ............................... 81
Lei (еж) J
2.7. Интегральные гиперболические синус shi (аз) и косинус chi (аз) ........... 82
2.7.1. Интегралы общего вида ........................................ 82
2.7.2. Интегралы от А(х)\ S * ,{ I .................................... 82
[chi(еж)J
2.7.3. Интегралы от жае"ртт< S ^сж^ L ................................. 83
[chi(еж)J
2.7.4. Интегралы, содержащие е~~~рх ,гиперболические функции и < >......... 83
Lchi(еж)J
I SOI I €*IP 1 I
2.7.5. Интегралы, содержащие е~~рж,тригонометрические функции и < >....... 83
[chi(еж)J
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж) ............................ 84
2.8.1. Интегралы общего вида ........................................ 84
2.8.2. Интегралы от xot{z±xf |егГ^ж) I ............................... 91
[ erfc (еж) J
Г erf (еж) 1
2.8.3. Интегралы от xa(z ± ж у < >.............................. 92
(erf((p(x)) I
2.8.4. Интегралы, содержащие ха и < >........................... 93
lerfc(<p{x)) J
2.8.5. Интегралы от хаерх±т { \ \ ^ ................................ 94
1 erfc (еж) J
2.8.6. Интегралы от жае/(ж) | вГ ^^ 1 ................................. 96
[ erfc (еж) J
2.8.7. Интегралы от xa(z ± xf epx2 /erf (сж) 1 ............................ 97
1 erfc (еж) J
2.8.8. Интегралы от xa(z2 ± xAf ерх I K, \ ........................... 98
I erfc (еж) J
2.8.9. Интегралы от Л(ж)е/(ж) |erf ^(ж^ I .............................. 99
[erfc((p(x)) J
2.8.10. Интегралы, содерж:ащие ерх ,гиперболические функции и< \ ......... 100
[ erfc (еж) J
2.8.11. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и< >.......... 100
1 erfc (еж) J
Г erf (еж + d) 1
2.8.12. Интегралы, содерж:ащие тригонометрические функции и < >....... 103
[ erfc (еж + d) J
оою ti f er^ (^(sinaj, собж)) 1
2.8.IS. Интегралы, содержащие < . > ....................... 104
[ erfc (<^(sin ж, cos ж)) J
2.8.14. Интегралы, содержащие ж", ерх тригонометрические функции и < > 104
[ erfc (еж + d) J
2.8.15. Интегралы, содерж:ащие гиперболические, тригонометрические функции и erfc (еж + d) 106
2.8.16. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию и< >........... 106
1 erfc (еж) J
2.8.17. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции и < > . . 108
1егк((р(х)) )
2.8.18. Интегралы, содерж;ащие Л (ж) и JJerf ((р^(х)) ......................... 108
к
2.8.19. Интегралы, содерж:ащие ерх и FTerf (у?^(ж)) ......................... 110
к
2.8.20. Интегралы, содерж:ащие О erfc ((fk(x)) ............................. Ill
к
Оглавление 7
2.8.21. Интегралы, содержащие ГТ erf (у?д.(ж)) erfc (t/?| (ж)) ...................... 112
Г erf (еж) I2
2.8.22. Интегралы, содержащие гиперболические функции и < > ............ 114
1 erfc (еж) J
2.8.23. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и произведения функций
erf (Ьж),ег&(сж) ................................................. 114
2.8.24. Интегралы, содержащие In x и произведения функций erf(bx), erfc (еж) ........ 115
ers I е т* I I
>........................ 116
erfc (еж) J
( si(bxn) I f erf (еж) 1
2.8.26. Интегралы, содерж:ащие < и > ....................... 117
fc (еж)
2.9. Интегралы Френеля S(x), С(х) ................................. 118
2.9.1. Интегралы общего вида ........................................ 118
f S(cx) 1
2.9.2. Интегралы от А(х)< ^ ..................................... 121
1С(сж) J
г f S(cx) 1
2.9.3. Интегралы от жае"рж < v ; > .................................. 122
[С(сж) J
2.9.5. Интегралы, содерж:ащие е рж тригонометрические функции и< > ....... 125
[С(сж) j
2.9.4. Интегралы, содерж:ащие тригонометрические функции и <{ ri/ ч f ............ 123
1}
2.9.6. Интегралы, содержащие произведения функций S(bx), C(cx) ............... 126
2.9.7. Интегралы, содержащие < r,\{ , s\ .......................... 127
[с1Fжг) j [C(cx) J
Г erf (bxr) ) ( S(cx) 1
2.9.8. Интегралы, содержащие <J r/j ГчМ , >......................... 128
) J [ G (еж) J
2.10. Неполные гамма-функцжи Г(|/, ж) ж ^(i/, ж) ........................ 128
2.10.1. Интегралы общего вида ....................................... 128
2.10.2. Интегралы от А(х)\ ^' СЖН ................................... 133
1т(^сж) J
2.10.3. Интегралы от Л(ж)е/(ж)< ^' СЖЦ ............................... 134
171^ еж) J
{Г(г/, еж) 1
> .......... 136
7(^,еж) J
{Г(г/, еж) 1
> ....... 137
j{v,ex) J
2.10.6. Интегралы, содержащие произведения функций Г(/л, Ьж) и 7С17) сж) ••••••••••. 137
Г r(i/, еж) 1
2.10.7. Интегралы, содерж:ащие Ei Fж К ' >........................... 138
[ 71^ ex) J
Г erf(bV^)! Гг(^ежI
2.10.8. Интегралы, содерж:ащие < /_. ? < . >...................... 138
ierfcF/^)j 17(^, еж)]
, еж)
2.11. Функция параболического цилиндра Djy(x) . ....................... 139
2.11.1. Интегралы общего вида ....................................... 139
2.11.2. Интегралы от A(x)Dv(cx) ..................................... 142
2.11.3. Интегралы от А(х)ерх2 Dv(cx) ................................... 143
2.11.4. Интегралы от А(х)е^х^ О^(сх) .................................. 145
2.11.5. Интегралы, содержащие гиперболические функции и Du((p(x)) ............. 146
2 f sin bxn 1
2.11.6. Интегралы от хаерх { п }Du(cx) ............................. 146
[ cosbx J
2.11.7. Интегралы от А(ж)[13/1(^(ж)I)|/(сж)]±1 ............................. 147
2.11.8. Интегралы от f(x)DfJl(bx)Du(cx) ................................. 148
Оглавление
( erf (bx) 1
2.11.9. Интегралы, содержащие < > и Du(cx) ......................... 149
[ erfc (bx) J
2.11.10. Интегралы по индексу, содержащие Dx(c) ........................... 150
2.12. Функция Бесселя Ju{x) ...................................... 150
2.12.1. Интегралы общего вида ....................................... 150
2.12.2. Интегралы от ха Jv(cx) ....................................... 156
2.12.3. Интегралы от xa(z ± x)Pju(cx) .................................. 156
2.12.4. Интегралы от xa(z2 ± x2)^Ju(cx) ................................ 158
2.12.5. Интегралы от жа(ж4 ± z4)Pju(cx) ................................ 161
2.12.6. Интегралы от А(х) Ju(cx) ...................................... 161
2.12.7. Интегралы от A(x)Ju(<p(x)) .................................... 163
2.12.8. Интегралы от Л(ж, ерх, Ju(cx)) .................................. 164
2.12.9. Интегралы от xae~px±r Jv(cx) .................................. 166
2.12.10. Интегралы от A(x)ef^ Ju(cx) .................................. 168
2.12.11. Интегралы от А(х)е~рх Ju(<p(x)) ................................. 169
2.12.12. Интегралы от Л(ж)е/(ж) Ju(ip(x)) ................................ 170
2.12.13. Интегралы, содержащие гиперболические функции и Ju(cx) .............. 170
2.12.14. Интегралы, содержащие Ju(cshx) и Ju(cch ж) ...................... 171
2.12.15. Интегралы от ха\ 8тЬх \jv(cx) ................................ 171
[ cos bx J
{sin bx 1
> и Ju(cx) ...................... 174
cos bx J
2.12.17. Интегралы от .А(ж)< \Ju(cx) ........................... 175
[ cos (a + bx) J
2.12.18. Интегралы от xa J sin (<* + *>**) \j^cx) ............................ 176
1 cos (a + bx ) J
2.12.19. Интегралы, содержащие жа< >Л(сж) ........................ 177
[ cos byx J
2.12.20. Интегралы, содержащие ха< >^(сж) .................... 178
[ cos Fж + а/ж) J
I sin (by a2 — ж2 I 1
2.12.21. Интегралы от A(x)l ) { \ju(cx) ........................ 179
I cos (Wa2-^2J J
sin (by x2 — a2 I I
2.12.22. Интегралы от А(х){ ) t { >J»(cx) ........................ 179
cos I oy a?z — az I I
f sin (b\/x2 + z2\ )
2.12.23. Интегралы от A(x)l X, ' \ju(cx) ........................ 180
I cos (byx2 + z2 ) J
2.12.24. Интегралы от А(ж) sin (a + 6ж)Л,(<р(ж)) ............................ 181
2.12.25. Интегралы, содержащие ерх , тригонометрические функции и «Д, (еж) ......... 181
2.12.26. Интегралы, содерж:ащие тригонометрические функции и J^^shx) или ^(ссЬж) . 183
2.12.27. Интегралы, содержащие показательную, тригонометрические функции и
Ju((p(sinxicosx)) ................................................ 183
2.12.28. Интегралы от А(х) In (p(x) Jv(cx) ................................ 184
2.12.29. Интегралы, содерж:ащие показательную, тригонометрические и логарифмическую
функции и Ju((p(x)) .............................................. 185
2.12.30. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции и Jv(еж) ...... 186
2.12.31. Интегралы от ха JfI(bx)Jl/(cx) .................................. 186
2.12.32. Интегралы от A(x)JfJk(bx)Ju(cx) ................................. 188
2.12.33. Интегралы от А (ж) J^ (a ± еж) Л/(еж + d) ............................ 190
2.12.34. Интегралы от ха JM (bx±r) J^(cx) ................................ 191
Оглавление 9
2.12.35. Интегралы от A(x)jJb\fz2 ± ж2 \Ju(cx) ........................... 192
2.12.36. Интегралы от ха JM(y?(jc))ЛДх(ж)) ............................... 193
2.12.37. Интегралы, содержащие J^(cx)/Ju(cx) ............................ 193
2.12.38. Интегралы от хае~рх J^(bx) Jv{cx) ............................... 193
2.12.39. Интегралы от A(x)ef^JfJ,((f(x))Jiy(cx) ............................ 198
2.12.40. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и J^Faj)j|/(еж) ...... 199
2.12.41. Интегралы, содержащие Ju(csinx) ............................... 202
2.12.42. Интегралы от ха J\(ax) J^(bx) Ju(cx) .............................. 202
2.12.43. Интегралы от A(x)Jx(<f(x))J^(x(x))JI,(cx) .......................... 206
п
2.12.44. Интегралы, содержащие || Jvk(<Pk(x))in ^ 4 ........................ 207
k=i
2.12.45. Интегралы по индексу, содержащие Jv±x{c) или Jix(c) .................. 208
2.12.46. Интегралы, содержащие Г(ж) и Jv{cx) ............................. 209
2.12.47. Интегралы, содержащие Ei (ср(х)) Ju(cx) ............................ 209
2.12.48. Интегралы от ха 1 S1 ; ХJ \ju(cx) ............................... 210
[с1Fжте) j
2.12.49. Интегралы, содержащие < чч > и <Л/(х(ж)) •••..•••..•••....••••• 211
lerfc(y>(a;)) J
2.12.50. Интегралы от ж°Ч ) { >Jv(cx) ............................... 214
[ СFж ) J
2.12.51. Интегралы, содержащие < ' n > Ju(cx) ......................... 215
I -I (А*j Ьх ) J
2.12.52. Интегралы, содержащие ?)^(с^(ж))Ju(cx) ........................... 215
2.13.1. Интегралы общего вида, содержащие < v t ч> ....................... 218
[К(сх)}
2.13. Функция Неймана 1^(аз) ..................................... 218
v t ч
Ки(сх)
2.13.2. Интегралы от ха(х + z)^Yu(cx) .................................. 229
2.13.3. Интегралы от xa(z2 ± x^Y^cx) ................................ 231
2.13.4. Интегралы от A(x)Yu(cx) ...................................... 234
2.13.5. Интегралы от A(x)Yl/((p(x)) .................................... 235
2.13.6. Интегралы от хае^рхПYv{cx) ................................... 235
2.13.7. Интегралы от A(x)ef^YI/(if(x)) ................................. 237
2.13.8. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и У^Дсж) ............. 238
2.13.9. Интегралы, содержащие ерх тригонометрические функции и ^(сж) .......... 240
2.13.10. Интегралы, содержащие УхДсвЬж) или Yu(cchx) ...................... 240
2.13.11. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и ^(^(sin ж, cos ж)) ..... 240
2.13.12. Интегралы, содержащие \naxYu(cx) .............................. 241
2.13.13. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции и Yv(еж) ...... 241
2.13.14. Интегралы, содержащие ip(x)Ju(еж) + xix)Yv(cx) ..................... 241
2.13.15. Интегралы, содерж:ащие JfJ,(bx)YtJ(cx) ............................. 242
2.13.16. Интегралы от A(x)Jfl(ip(x))Yt/{x(x)) .............................. 244
2.13.17. Интегралы от у>(ж)[а^(сж) + bY^(cx)]^1 ........................... 245
2.13.18. Интегралы, содержащие ерх и J^(bxr)YIJ(ycx) ........................ 245
2.13.19. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и J^{bx )Yy{cx) ...... 245
2.13.20. Интегралы от xaYfl(ip(x))Yiy(x(x)) ............................... 247
2.13.21. Интегралы, содержащие тригонометричекие функции и УмFж )Yu(cx) ....... 248
2.13.22. Интегралы от A(x)Jx(ax)JfJl(bx)YJ/(cx) ............................ 248
2.13.23. Интегралы от ж"/Л(^(ж)Ум(х(ж))У1/(сж) ........................... 251
2.13.24. Интегралы, содержащие Д(ж) JI ^л.Fд.ж)У|у (еж) ...................... 251
к
2.13.25. Интегралы, содержащие ха Jx{ax)Y!_l{bx)Y1j{cx) ....................... 252
10 Оглавление
2.13.26. Интегралы от ха Jv{bx)Jv{cx)Yv{bx)Yl/{cx) ......................... 253
2.13.27. Интегралы по индексу, содержащие Yu+ix{c) ......................... 253
2.13.28. Интегралы, содержащие Ei (bx±n)Yv(cx) ........................... 253
2.13.29. Интегралы от ха\ S* ^ \yv(cx) ................................ 254
L ci (баз) J
2.13.30. Интегралы, содержащие < \Yu(cx) ......................... 255
[егГсFжг) J
2.13.31. Интегралы от ха\ , \ \yv(cx) ................................ 256
[ C{bx) J
2.13.32. Интегралы, содержащие < ' n \Yv{cx) ......................... 256
2.13.33. Интегралы, содержащие DfI(bxr)Yl/(cx) ............................ 257
2.14. Функции Ганкеля Н^1} (х) и Н^2) (ж) ............................. 258
2.14.1. Интегралы, содержащие элементарные функции и Н„'{сх) ................ 258
2.14.2. Интегралы, содержащие элементарные функции и Н„'{<р{х)) .............. 259
2.14.3. Интегралы, содержащие Jy{bx) и Н13)(сх) ........................... 260
2.14.4. Интегралы по индексу, содержащие H^ix(c) ......................... 261
2.15. Модифицированная функция Бесселм 1ц/(ж) ....................... 261
2.15.1. Интегралы общего вида ....................................... 261
2.15.2. Интегралы от A{x)Iu{ip{x)) ..................................... 269
2.15.3. Интегралы от хае~рх 1и{сх) .................................... 270
2.15.4. Интегралы от А(х, ерж)/1/(сж) ................................... 272
2.15.5. Интегралы от А{х)е^рх2 Iv{cx) .................................. 272
2.15.6. Интегралы от A(x)ef^x)Iv(cx) ................................... 273
2.15.7. Интегралы от А(х)е^рхIv{ip(x)) ................................. 275
2.15.8. Интегралы от A{x)ef^I1/(ip(x)) ................................. 275
2.15.9. Интегралы, содержащие гиперболические функции и Iu(ip(x)) .............. 276
2.15.10. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и 1и((р(х)) ........... 276
2.15.11. Интегралы от хае^рх{ Sm X \lu(cx) ............................. 277
[ cos bx J
2.15.12. Интегралы от хае^рх{ Sm ^l \lu(cx) ............................ 279
[ cos by/x J
2.15.13. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию и Iu((f(x)) ............ 279
2.15.14. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции и 1и (еж) ...... 280
2.15.15. Интегралы от А(х) Jp(ip(x))Iu(cx) ............................... 280
2.15.16. Интегралы от жае~рш" JmFje)/i/(cie) .............................. 281
2.15.17. Интегралы от хае~рх J^byfx')Iv(cx) .............................. 283
2.15.18. Интегралы от ж"е^ржТгУмFж)/1/(сж) .............................. 283
2.15.19. Интегралы от А{хI^{(р{х)Iи{сх) ................................ 284
2.15.20. Интегралы от хае~рхП 1^(ЬхIи(сх) .............................. 285
2.15.21. Интегралы, содержащие произведения трех и более функций 1и((р(х)) и Jv{x[x)) . 287
2.15.22. Интегралы по индексу, содержащие 1и±х{с) .......................... 287
2.15.23. Интегралы от f(x)/Iu(x) ..................................... 287
2.15.24. Интегралы, содержащие Ei ((p(x))Iu(cx) ............................ 287
2.15.25. Интегралы от хае^схI ^ X[ \lu(cx) ............................. 288
Г erf (bxr) I
2.15.26. Интегралы, содержащие < \lu(cx) ......................... 288
[ erfc {bx ) J
f S(bx) 1
2.15.27. Интегралы от хае^сх\ ) [ \lv{cx) ............................. 290
{C{bx))
Оглавление 11
Гj(u,bxnI
2.15.28. Интегралы, содержащие < >Iu(cx) ......................... 290
[Г(/1,6жп) J
2.15.29. Интегралы, содержащие Оц(ЬхгIу(сх) ............................ 291
2.16. Функция Макдональда Ки{х) ................................. 292
2.16.1. Интегралы общего вида ....................................... 292
2.16.2. Интегралы от xa(z ± хI3 Ки(сх) ................................. 306
2.16.3. Интегралы от xa{z2 ± x2)?Kv(cx) ................................ 307
2.16.4. Интегралы от А(х)Ки(сх) ..................................... 309
2.16.5. Интегралы от А(х)Ки((р(х)) .................................... 310
2.16.6. Интегралы от хае^рхКу(сх) .................................... 310
2.16.7. Интегралы от xa(z ± xf' ерхKv{cx) ............................... 312
2.16.8. Интегралы от хае^рх±ГKv{cx) .................................. 313
2.16.9. Интегралы от А(ж)е/(ж)Ки(сх) .................................. 315
2.16.10. Интегралы от A(x)ef№Ки(<р(х)) ................................ 316
2.16.11. Интегралы от ха\ S Х \ки(сх) ................................ 317
[ ch bx J
2.16.12. Интегралы от А(ж)е~ря!( ^^l ^ (еж) ........................... 318
[сЬ^(ж) J
2.16.13. Интегралы, содержщащие гиперболические функции и ^^(^(sh ж, ch ж)) ....... 318
2.16.14. Интегралы от ха\ Sm X \ки(сх) ................................ 319
[ cos bx J
2.16.15. Интегралы от ха\ Sm Ж , >/С^Гсаз) .............................. 320
^2) 1
>
ж2 ) J
f sinF^^) 1
2.16.16. Интегралы от А(х){ . >Ки(сх) ........................ 322
У cos (by z2 — 2 ) J
2.16.17. Интегралы от i Sm Х \ки(ч>(х)) ................................ 323
[ cos bx J
2.16.18. Интегралы, содержащие ерх тригонометрические функции и Ки(сх) ......... 323
2.16.19. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и Kv^cshx) или
KI/(ccos±1 ж) .................................................. 324
2.16.20. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию и Ку(сх) ............. 324
2.16.21. Интегралы от ха Jfl(bx)KlJ(cx) .................................. 324
2.16.22. Интегралы от A(x)J,J,((p(x))Kt/(x(x)) .............................. 327
2.16.23. Интегралы от хае~рхП Jfl(bxr)Kl/(cx) ............................. 329
2.16.24. Интегралы от ха< \J^{bx)K1J(cx) ............................ 330
2.16.25. Интегралы от ха\ smax [ju(bx)Ku(cx) ........................... 331
[ cos ax J
2
2.16.26. Интегралы, содержащие Yq(cx) Kq(cx) .......................... 332
тг
2.16.27. Интегралы, содержащие Уц(Ьх r)Kv(cx) ........................... 333
2.16.28. Интегралы от А(хI1Л((р(х))К1,(х(х)) .............................. 335
2.16.29. Интегралы от хае^рхП I^{bxr)Kl/{cx) ............................. 336
I SO Cl IT 1
2.16.30. Интегралы от ха{ }Iil{bx)Ku{cx) ............................ 338
[ ch ах )
2.16.31. Интегралы от ха\ smax l/ 1Л(Ьх)К1/(сх) ........................... 339
[ cos ax J
2.16.32. Интегралы, содержащие 1\{х)/К\(х) .............................. 341
2.16.33. Интегралы от A(x)Kfl((p(x))K1/(x(x)) ............................. 341
2.16.34. Интегралы от xaefix)Kfl(bx±n)Kl/(cx) ............................ 343
12 Оглавление
I SO CIjIT I
2.16.35. Интегралы от ха{ }Kl_l(bx)Ky(cx) ........................... 346
[ ch ax J
2.16.36. Интегралы от xa\ smax \К^(Ьх)Ку(сх) .......................... 346
[ cos ax J
2.16.37. Интегралы от xa Jx(ax)JfI(bx)Kt/(cx) ............................. 347
2.16.38. Интегралы от xa Jx(axrn)Jfl(bxn)Kl/(cx) ........................... 350
2.16.39. Интегралы от xaJx(ax±m)Yfl(bx±n)KlJ(cx) ......................... 351
2.16.40. Интегралы от xaJx(ax±r)I^(ip(x))KlJ(x(x)) ......................... 352
2.16.41. Интегралы от хаY^(by/x)^(by/x)Kv(еж) ........................... 354
2.16.42. Интегралы, содержащие ха 1х(ахI(л(Ьх)К1У(сх) ....................... 354
2.16.43. Интегралы от xaJx(ax±q)K^(bxr)K1J(cx) .......................... 355
2.16.44. Интегралы, содержащие xaYx(ax q)K^{bxr)Ku{cx) .................... 357
2.16.45. Интегралы от хаIx(ax)KfJ,(bx)Kl/(cx) ............................. 357
2.16.46. Интегралы от хаKx(ax±1)KfI(bx±1)Kl/(еж) ......................... 358
2.16.47. Интегралы, содержащие четыре и более функций J^(bx) и К^(сх) ........... 359
2.16.48. Интегралы по индексу от произведений К{х(с) на элементарные функции ...... 360
2.16.49. Интегралы по индексу от произведений К{х (с) на специальные функции ....... 361
2.16.50. Интегралы по индексу от произведений < %х > на элементарные функции 363
2.16.51. Интегралы по индексу от произведений < ' +гх > на специальные функции 363
[lmK1/2+ix(c) J
2.16.52. Интегралы по индексу от произведений K^^.irx(b)Khf±ix(c) на специальные функции 364
2.16.53. Интегралы по индексу от произведений /C^t_|_jra.F)/C1/_|_j?C(c) на специальные функции 365
цие A:iasF)|
'
2.16.54. Интегралы по индексу, содержащие Kix(b){ ' > ............... 365
lmK1/2+ix{c) _
5. Интегралы по индексу, содержащие { " и^1*\ I +»« i __ > ^ _ ^ ^ ^ ^ а ^ _ 366
^ Im Kv±ix (b) Im K1/2+ix (с) j
2.16.56. Интегралы по индексу, содержащие Kirx{a)Kirx{b)Kix{c) ................ 366
2.16.57. Интегралы, содержащие Ei (bx±n)Kv(cx) ........................... 367
2.16.58. Интегралы, содерж:ащие < \Ку{сх) ........................... 368
lei Fж) J
2.16.59. Интегралы, содерж;ащие < >Ки(сх) ........................ 369
lerfc(y?(a;)) J
Г 5Fж) 1
2.16.60. Интегралы, содержащие < >/Ci/(ca;) .......................... 371
{C(bxr) j
Г 7(/1,6ж±п) 1
2.16.61. Интегралы, содерж:ащие < , }Kty(cx) ....................... 372
[Г(/х6ж±п) j
2.16.62. Интегралы, содерж:ащие D^^bx r^Kv{cx) .......................... 373
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х) ................................. 375
2.17.1. Интегралы от (zm ± xmfPn(cx) ................................. 375
2.17.2. Интегралы от xa(z2 ± ж2)/3Рп(сж) ................................ 377
2.17.3. Интегралы от (ж ± a)a(b ± ж)/3Рп(^(ж)) ............................. 379
2.17.4. Интегралы от (ж ±a)a(b±xf(d± жOРте(сж) ......................... 381
2.17.5. Интегралы от А(х)е~рх±тРп(сх) ................................ 382
2.17.6. Интегралы от А{х)е^х)Рп{сх) .................................. 384
2.17.7. Интегралы, содержащие < }Рп(х(х)) ......................... 386
[cos^(x) J
2.17.8. Интегралы от А(х)Ы(р(х)Рп(сх) ................................. 388
2.17.9. Интегралы от А(ж) Ei (a + 6жт)Р„(сж) ............................. 389
Оглавление 13
2.17.10. Интегралы от А(х)\ S1 ^ж" \рп(сх) ............................. 390
{ci((p(x)) J
2.17.11. Интегралы, содержащие < вГ ^ж" 1рте(сж) ........................ 391
{erfc((f(x)) )
2.17.12. Интегралы, содержащие < 1/^ж" >Рте(еж) ......................... 393
1 1„((р(х)) J
Г УЛф(ж)) 1
2.17.13. Интегралы, содержащие < >Рп(сж) ......................... 396
1/С„(у>(а:)) J
2.17.14. Интегралы от Л(х)Рт(Ьх)Рп(сх) ................................ 398
2.17.15. Интегралы, содержащие Pm(ip(x))Рп(сх) ........................... 401
2.18. Многочлены Чебышева Тп(х) и Un(x) ........................... 404
2.18.1. Интегралы, содержащие Тп((р(х)) ................................. 404
2.18.2. Интегралы, содержащие Un(cx) .................................. 407
2.19. Многочлены Лагерра ?,*(аз) ................................... 408
2.19.1. Интегралы общего вида ....................................... 408
2.19.2. Интегралы от А(х)Ь^(сх) ...................................... 412
2.19.3. Интегралы от А(х)е^рх L^(cx) .................................. 412
2.19.4. Интегралы от xaev^L^(cx) .................................... 415
2.19.5. Интегралы от хае^сх\ 8Ш Х +r \L^(cx) ............................ 417
у cosbx J
2.19.6. Интегралы от хае^сх lnm (p(x)L^(cx) .............................. 418
2.19.7. Интегралы, содержащие El (bxm)L^(cx) ............................ 419
2.19.8. Интегралы от хае^сх\ ^ ) Хг{ \ь*(сх) ............................. 420
{ci(bxr) J
2.19.9. Интегралы, содержащие < >L (еж) .......................... 420
[ erfc (bx ) J
2.19.10. Интегралы от хае^сх\ ) Хг\ \ь^(сх) ............................ 421
[C(bxr) J
2.19.11. Интегралы от жае~сж /v^' ; }L^(cx) ........................... 422
[ Г(/1, bx ) J
2.19.12. Интегралы, содержащие < ^ >Ь^(сж) ......................... 422
f У (Ьж11171) 1
2.19.13. Интегралы, содержащие < М , /ч }L^(cx) ........................ 424
[ K^{bx±r) J
2.19.14. Интегралы, содержащие L^n(a + Ьж^)Ь^(сж) ......................... 425
2.20. Многочлены Эрмжта Нп(х) ................................... 427
2.20.1. Интегралы общего вида ....................................... 427
2.20.2. Интегралы от А(х)Нп(сх) ..................................... 433
2.20.3. Интегралы от хае^Нп(Ь + еж) ................................. 434
2.20.4. Интегралы от А(х)е^с2х2 Нп(сх) ................................. 436
2 ( sin bxm I
2.20.5. Интегралы от хае^рх { m }Hn(cx) ............................ 439
[ cosbx )
2.20.6. Интегралы от ж^е^2*2 Inm ^(ж)Яп(сж) ............................ 440
2.20.7. Интегралы от хае^х) Ш(Ьхт)Нп(сх) .............................. 441
2 2 f si (bxm) 1
2.20.8. Интегралы от хае^с х \ ) т[ }Нп(сх) ........................... 442
[ci(bxm) j
2.20.9. Интегралы от ж" j еГ \ + \ >Яп(сж) ............................. 443
[ erfc (а + ox) J
14 Оглавление
Ж)I
(«)) J
2.20.10. Интегралы от хае^хЧ VAA /; }Нп(сх) .......................... 443
2 2 f S(bxm) '
2.20.11. Интегралы от жае~с ж ^ V m; \Hn(cx) .......................... 444
I ^ {®х ) .
2.20.12. Интегралы от хае^с х { 'у' ' }Нп(сх) ......................... 444
2.20.13. Интегралы, содержащие Jll(bx±m)Hn(cx) .......................... 445
f
<
f Y" (bx^) 1
2.20.14. Интегралы, содержащие < ^ ±m\ г^"-(сж) •••••••••••••••••••••••• 446
2.20.15. Интегралы, содержащие L^^bx )//п(сж) ........................... 446
2.20.16. Интегралы, содержащие Нт{ах + b)Hn{cx + d) ...................... 447
то
2.20.17. Интегралы, содержащие ГТ //п. (саз), га = 3, 4 ....................... 450
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп(х) ................................ 451
2.21.1. Интегралы общего вида ....................................... 451
2.21.2. Интегралы от (ж ± а)а(хт ± 6т)/Э!С*(<р(ж)) .......................... 460
2.21.3. Интегралы от —— С^Гсж) .................................. 463
2.21.4. Интегралы от (хт ± am)a(bm ± жт)/3(с1т ± жтOС^(сж) ................. 465
2.21.5. Интегралы от А{х)е~рх±тС^(сх) ................................ 469
2.21.6. Интегралы от А(ж)е^(ж)С^(сж) .................................. 471
2.21.7. Интегралы от А(х)\ smip^ \с*(сх) .............................. 476
[ cos (f(x) J
2.21.8. Интегралы от А(х) In (p(x)C^(cx) ................................. 478
2.21.9. Интегралы от A(x)Ei (а + 6жт)С^(сж) ............................. 479
2.21.10. Интегралы от А(х)\ Ш , ,{{ >С^(сж) ............................. 481
{ci{ip(x)) J
Г erf Шх)) ) А
2.21.11. Интегралы, содерж:ащие < чч >О„(сж) ........................ 482
[erfc ((р(х)))
2.21.12. Интегралы, содержащие < >Сте(сж) ......................... 485
2.21.13. Интегралы от Л(ж)К1/(^(ж))С^(сж) ............................... 489
2.21.14. Интегралы от А(х)Рт(Ьх)С^{сх) ................................ 492
2.21.15. Интегралы от А(х)Рт((р{х))С^{сх) .............................. 495
2.21.16. Интегралы, содержащие Ь^(а + Ьхк)С^{сх) ......................... 498
2.21.17. Интегралы, содержащие Hm(ip(x))C^(cx) ........................... 500
2.21.18. Интегралы от А(х)С^(Ьх)С^(сх) ................................ 501
2.21.19. Интегралы, содержащие C'Jn{ip{x))Cп{сх) ........................... 504
2.22. Многочлены Мкоби Р^р^ (х) .................................. 509
2.22.1. Интегралы общего вида ....................................... 509
2.22.2. Интегралы от (ж ± a)a(b ± xf Р^р'а)(еж) ............................ 518
2.22.3. Интегралы от (х ±а)а(Ь±хI3PkP'a)(cx) ........................ 520
ж - у
2.22.4. Интегралы от (ж ±a)a(b±xf(d± жOР^р'<т)(сж) ...................... 521
2.22.5. Интегралы от А(ж)е™ржР^р!Сг)(сж) ................................ 524
2.22.6. Интегралы от А(х)е^ PJf'a) (еж) ................................ 524
,cosy?(jc) ,
2.22.7. Интегралы от Л(ж)( 81П^Ж) \р^р'а)(сх) ............................ 528
[ cos (p(x) )
Оглавление 15
2.22.8. Интегралы от А(х) In (р(х)Р^р'а) (х) ............................... 530
2.22.9. Интегралы от A(x)Ei (а + Ъх)Р^р1<т) (еж) ............................ 531
2.22.10. Интегралыот Л(Ж){81(/6л/^±^Iр^'ст)(СЖ) ........ ................ 531
I ci (Ь\/х + а) \
{ вГ 14Р><г)
14
J
2.22.11. Интегралы, содержащие { вГ , ,., 14Р><г)(х(ж)) ..................... 532
[егГсО(ж)) J
2.22.12. Интегралы, содержащие < "^irv"v/ \Р^р'(Т)(сх) ....................... 534
1 1„((р(х)) ,
2.22.13. Интегралы от А(х)Ки(<р(х))Р^р1<г\сх) ............................. 536
2.22.14. Интегралы от A(x)e^bx L^a + Ьх)Р^р>а) (сх) ........................ 539
2.22.15. Интегралы от А (ж) е^ь х Нт(Ъу/х + а)Р^р'<Т\сх) ...................... 539
2.22.16. Интегралы, содержащие С^п{а + Ьх)Рп '°" (еж) ........................ 539
2.22.17. Интегралы от Л(ж)С^F\/ж + a)P^pi<r\cx) .......................... 543
2.22.18. Интегралы от Л (ж) Р^ (« + 6ж)Рп (еж) ......................... 545
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................ 549
3.1. Введение. ................................................. 549
3.2. Двойные интегралы ......................................... 549
3.2.1. Общие формулы ............................................ 549
3.2.2. Интегралы, содержащие Г(ж),Е1(ж) или erf (ж) ......................... 549
3.2.3. Интегралы, содержащие функцию параболического цилиндра Du(ж) ........... 550
3.2.4. Интегралы, содержащие функцию Бесселя Ju(x) ........................ 551
3.2.5. Интегралы, содержащие две функции Бесселя Ju(x) ..................... 553
3.2.6. Интегралы, содержащие три функции Бесселя Ju(x) ..................... 555
3.2.7. Интегралы, содержащие функцию Неймана Yu(x) ....................... 555
3.2.8. Интегралы, содержащие модифицированную функцию Бесселя 1и (ж) ........... 555
3.2.9. Интегралы, содержащие две модифицированные функции Бесселя /^(ж) ......... 557
3.2.10. Интегралы, содержащие функцию Макдоналда Ки(х) .................... 559
3.2.11. Интегралы, содержащие функции Кельвина ber u (ж) или bei v (ж) ............. 560
3.2.12. Интегралы, содержащие ортогональные многочлены ..................... 561
3.3. Тройные интегралы .......................................... 562
3.3.1. Интегралы, содержащие гамма-функцию Г(ж) ......................... 562
3.3.2. Интегралы, содержащие функцию Бесселя Jv(x) ........................ 562
3.4. Многомерные интегралы ...................................... 563
3.4.1. Интегралы, содержащие функции Бесселя Jv{x) и Макдональда Kv(x) ......... 563
3.4.2. Интегралы, содерж:ащие ортогональные многочлены ..................... 563
Глава 4. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ .................................. 564
4.1. Введение. ................................................. 564
4.2. Функции Бесселя «/^(z), Iv(z), Неймана Yv(z) и Макдональда Kv{z) ...... 564
4.2.1. Суммы, содержащие Jy(z) ...................................... 564
4.2.2. Суммы, содержащие Y^^z) ...................................... 565
4.2.3. Суммы, содержащие Iu(z) ...................................... 565
4.2.4. Суммы, содержащие Ku(z) ...................................... 565
4.3. Многочлены Лежандра Рп(х) .................................. 566
4.3.1. Суммы вида ^ а^Р/г|+то(ж) ..................................... 566
4.3.2. Суммы вида ^2 akY[pkli+mi(x) .................................. 566
16 Оглавление
4.4. Многочлены Лагерра JL"(ce) .................................... 566
4.4.1. Суммы вида J2akLk?+^(ж) ..................................... 566
4.4.2. Суммы BM^J2akY\Lkk^^l(xi) ................................. 567
4.5. Многочлены Эрмита Шп(х) .................................... 568
4.5.1. Суммы вшда, ^^ akHki^m((f(k)x) .................................. 568
4.5.2. Суммы вида ^ак f\ #ы.±т.(ач) ................................. 569
4.5.3. Суммы, содержащие специальные функции и Нп(х) ...................... 569
4.6. Многочлены Гегенбауэра С^(аз) ................................. 570
4.6.1. Суммы вида 53 а*С?(<р(а:)) ..................................... 570
4.6.2. Суммы вида^а*.р[С?|.(ач) .................................... 570
г
4.7. Многочлены Якоби р1"'Э)(ж) ................................... 571
4.7.1. Суммы вида У^ак к \х) •••••••••••••••••••••••••••••••• 571
4.7.2. Суммы вида 5>* Ц''w.+mf •*7«+**)(ЯЧ) 571
Глава 5. РЯДЫ. .............................................. 573
5.1. Введение. ................................................. 573
5.2. Неполные гамма-функции *у(°Ч ж)? Г(ск, ж) .......................... 573
5.2.1. Ряды вида \J a^C^fc? ж) ....................................... 573
5.2.2. Ряды вида \^ тС^/г? ж) .................................... 573
^^ ка^Ь
5.2.3. Ряды вида ^З aktkj(^k, ж) ..................................... 574
5.2.4. Разные ряды, содержащие j(ak, ж) ................................. 575
5.2.5. Ряды вида ^ aktkF(ak,x) ..................................... 575
5.3. Дзета-функция Римана C(z) .................................... 575
5.3.1. Ряды, содержащие C(z) ........................................ 575
5.3.2. Ряды, содержащие произведения C(z) ............................... 576
5.4. Интегральные синус Si (ж) и косинус с! (ж) ......................... 576
5.4.1. Ряды, содержащие SI (ж) ....................................... 576
5.4.2. Ряды, содержащие с! (ж) ........................................ 577
5.5. Интегралы вероятности erf (ж), erfI (ж) ............................ 577
5.5.1. Ряды, содержащие erf (ж) ....................................... 577
5.5.2. Ряды, содержащие erfi (ж) ...................................... 577
5.6. Функция параболического цилиндра Dv(x) ........................ 578
5.6.1. Ряды вида ^2 akDjj±k(x) ...................................... 578
5.6.2. Ряды вида ^2akDnk(x)Dl/^nk(x) ................................. 578
5.7. Функция Бесселя Jv(z) ....................................... 578
5.7.1. Ряды вида J](±l)fc Ju±nk(z) .................................... 578
5.7.2. Ряды вида ^{±1)к{ка + Ъ)т Jnk+1J(z) .............................. 579
Оглавление 17
5.7.3. Ряды вида ^ Jnfc+l/(z) .................................... 582
Q\k)
5.7.4. Разные ряды вида 2^, akJnk+v{z) ................................. 583
5.7.5. Ряды вида ^(ка + b)tk Jnk+V(z) .................................. 584
5.7.6. Ряды вида JJ , г Jfc+i/(z) .................................. 585
tk
5.7.7. Ряды вида ]Г <4+Л^) ................................. 586
5.7.8. Ряды вида V — —— tkJnk+v(z) .......................... 586
"^^^ I (/ее + «jl (/се + /J
5.7.9. Ряды, содержащие гиперболические функции и Jv(z) ..................... 587
5.7Л0. Ряды вида Vafc{Sm;a+ ;ijnfc+l,B:) ............................ 588
^^ [cos(fca + 6)J
5.7.11. Ряды вида ^{±l)k J^±nk{w)JJJ±nk{z) ............................. 589
5.7.12. Ряды вида ^(±l)fe(fca + 6)lJM±mfc(w)Jl/±nfc(z) ....................... 591
5.7.13. Ряды вида ]Г —— J^±mk(z)JI/±nk(z) ............................. 593
5.7.14. Разные ряды вида ^^akJ IA±mk(z)J1J±nk(z) .......................... 594
5.7.15. Ряды вмда ^2 akth J^±k(w)Jl/±k(z) ............................... 596
5.7.16. Ряды, содержащие три и более функций Ju(z) ......................... 596
5.7.17. Ряды вида У2ак\ ,, , ,ч f Jmk+fi(w)Jnk+u(z) ..................... 596
^-^ { cos (ka + b))
Б.7.18. Ряды вид^^2ак\ тПп +s bl]J^+kA^)J^kAz) ...................... 598
^^ { cos (fea + b) j
5.7.19. Ряды вида \J akjjj{kx) ....................................... 599
5.7.20. Ряды вида J^ akJv(Bk + 1)ж) ................................... 601
5.7.21. Ряды вида У~] ак Jnk+V (zVka + b ) ................................ 602
5.7.22. Ряды вида ]Г akJn(x^(ka + бJ ± с2 ) ............................. 603
5.7.23. Ряды вида \^ ак\ Sm п \ju{kx) ................................. 603
Z—J Л \ cos ka j
5.7.24. Ряды вида ^^akJtJ,(kx + a)Jb>{ky + b) .............................. 604
5.7.25. Ряды вида У^ akJk+^(zVka + b)Jk+u{z^/ka + 6) ...................... 606
5.7.26. Ряды вида ]Г akJ^{x^J{ka + бJ + с2 )Ju(xyJ(ka + бJ + с2 ) ............... 606
5.7.27. Ряды вида J^ akJ^W^x2 + a2 + Мхж + a) Jv{\fk2x2 + a2 + М2ж + с2) ...... 607
5.7.28. Ряды вида Vafei Sm ° i JM(A;a;)Л(/еу) ............................ 607
^^ [ cos fca J
5.7.29. Ряды вида VafcJ Sm ° iЛ(у?(А;я;))Л(х(А?ж)) ........................ 607
^^ [ cos fea J
5.7.30. Ряды вида ^akJklJt+lJ(kz + b) .................................. 608
5.7.31. Ряды вида ^afeJfeMl+l/1 (fez + bi)Jk^2+l/2(kz + 62) ..................... 609
5.7.32. Ряды вида VaJ ШП a \jk(kz) ................................. 610
^^ [ cos ka J
5.7.33. Ряды, содержащие нули функции Бесселя Jv(z) ....................... 610
5.8. Модифицированная функция Бесселя Iu{z) ........................ 611
5.8.1. Ряды вида ]Р akll/±nk(z) ...................................... 611
2 А. П. Прудников и др., т. 2
18 Оглавление
5.8.2. Ряды вида ]Tafc^/nfc+l/(z) ................................... 612
5.8.3. Ряды вида J^ aktk 1„±пк(г) ..................................... 613
5.8.4. Ряды, содержащие гиперболические функции и Iu(z) ..................... 614
5.8.5. Ряды вида ?а *{ "" (*° + ^I'mW*) 614
5.8.6. Ряды вида ^afc/M+fcl/(w)/p+fccr(z) ................................ 615
5.8.7. Ряды вида ^afcj^^^H/^fc^^)^^^) ....................... 615
5.9. Разные ряды, содержащие функции Бесселя Ju(z), Iv(z), Неймана Yv(z)
ж Макдональда Ku(z) ........................................... 616
5.9.1. Ряды вида ^akYkfI+1J(kx + у) и ^akKkfI+lJ(kx + у) ................... 616
5.9.2. Ряды, содержащие произведения функций Jt/(z),Yu(z),It/(z)iKv{z) ............ 616
5.10. Многочлены Лежандра Рп(х) ................................. 618
5.10.1. Ряды вида ]Р акРпк+т(х) ..................................... 618
5.10.2. Ряды вида ^ ак f\ Рк(х{) ..................................... 620
г
5.10.3. Ряды, содержащие специальные функции и Рп(ж) ...................... 620
5.11. Многочлены Лагерра Ь"(ж) ................................... 621
5.11.1. Ряды вида 2_2 akJ~j<k-\-nix) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 621
5.11.2. Ряды вида ^2 aktkL^+n(ka + ж) ................................. 621
5.11.3. Ряды вида ]Г akbg+n(^)bf (у) .................................. 622
5.11.4. Ряды вида J^ akL^kk^m{x) ..................................... 623
5.11.5. Рядывида^ал^*+^(Ж)^*+^2(у) ............................ 624
5.11.6. Ряды, содержащие специальные функции и Ь"(ж) ...................... 624
5.12. Многочлены Эрмита Жта(аз) ................................... 624
5.12.1. Рядывида^а^Я^+^^ж)) ................................. 624
5.12.2. Ряды вида ]Tafe[]Hn.fc+m.(a4) ................................. 627
5.12.3. Ряды, содержащие специальные функции и Нп(х) ...................... 627
5.13. Многочлены Гегенбауэра С^(х) ................................ 627
5.13.1. Рядывидь^2акС?к+т((р(к,х)) ................................. 627
5.13.2. Ряды вида ]Га^С^(ж)С^B/) .................................. 628
5.13.3. Ряды, содержащие специальные функции и С^(х) ...................... 629
5.14. Многочлены Мкоби Р^"'Э)(ж) .................................. 629
5.14.1. Ряды вида J2akPnt+L(x) ..................................... 629
5.14.2. Ряды вида ^айР^^й;7)(ж) ................................... 631
5.14.3. Ряды вида X)a*^^+fcl/)(«) ................................. 632
5.14.4. Ряды вида ^кР^к^+ки\х)Р^^х+к^\х) ...................... 632
5.14.5. Ряды, содержащие специальные функции и Рп (ж) .................... 633
Оглавление 19
Приложение I. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ (а) И СИМВОЛ
ПОХГАММЕРА (а)к ............................................ 634
(CL \
I .............................. 634
¦ Ъ*
1.2. Символ Похгаммера (а)& ...................................... 634
Приложение П. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА .................................... 636
II. 1. Гамма-функцжм T(z) ......................................... 636
11.2. Бета-функция В (а, Ь) ........................................ 637
11.3. Пси-функция ф(г) .......................................... 637
11.4. Дзета-функция Римана C(z) ш C(zjv) ............................. 638
11.5. Интегральная показательная функция Ei(z), интегральные синусы
si(z), Si(z), shi(z) и косинусы ci(z), chl(z) ............................ 639
11.6. Интегралы вероятности erf (z), erfc(z), erfi (z) ж интегралы Френеля S(z),
C(z), 5(z,i/), C(z,i/) ............................................ 640
11.7. Неполные гамма-функции 7A/, z), F(i/, z) .......................... 640
11.8. Функция параболического цилиндра Dl/(z) ........................ 641
11.9. Функции Бесселя Jv{z)j Неймана Y^(z) и Ганкеля Н$, (z), H^ (z) . ...... 641
11.10. Модифицированная функция Бесселя Ijj(z)^ и функция Макдональда
Kv(z) ....................................................... 643
11.11. Ортогональные многочлены Леясандра JPn(z), Чебышева Tm(z), Un(z), Ла-
герра Ln(z), L^(z), Эрмита Hn(z), Гегенбауэра C^(z) ш Якоби f4p'ct)(z) ...... 644
Список литературы ............................................... 654
Указатель обозначений функций и постоянных ............................. 656
Указатель обозначений символов ...................................... 664
ПРЕДИСЛОВИЕ
Разнообразие задач, при решении которых возникает необходимость вычисления инте-
интегралов и суммирования рядов, вызвало появление большого числа справочных руководств
в этой области классического анализа. К числу таких справочников, наиболее полно отра-
отражающих основные результаты на период составления, принадлежат известные «Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений» И. С. Градштейна и И. М. Рыжика. Эти таблицы
содержат формулы, которые были получены до конца 40-х годов. С тех пор интерес к этой
области математического анализа не уменьшился, а требования практических приложений
привели к необходимости издания более полного справочного руководства, в котором были
бы отражены новые результаты. В связи с этим в 1981 году появилась наша книга «Инте-
«Интегралы и ряды. Элементарные функции», содержащая интегралы и ряды с элементарными
функциями и существенно перекрывающая соответствующие разделы упомянутого спра-
справочника.
Предлагаемая вниманию читателя книга содержит неопределенные и определенные,
в том числе кратные, интегралы, конечные суммы и ряды со специальными функциями.
Она написана с целью удовлетворения запросов широкого круга специалистов в различных
областях науки и техники и включает результаты, содержащиеся в аналогичных изданиях,
а также в научной и периодической литературе, изданной в последнее время. Ряд результа-
результатов публикуется впервые.
Основному тексту предшествует достаточно подробное оглавление, с помощью которого
можно отыскать нужные формулы. Используемые обозначения, как правило, общеприняты
в математической литературе и приводятся в указателях в конце книги. При ссылках
запись вида 2.2.4.3 обозначает формулу 3 из пункта 2.2.4. Во всех главах к, I, т, п =
= 0, 1, 2, 3, ..., если не указаны другие ограничения.
Для компактности изложения используется сокращенная запись. Например, фор-
формула
_i J sin ex 1 .
(cos exJ
с > 0; -{ \ - Re и < Re a < 1/21
представляет собой сокращенную запись двух формул:
[с > 0; -1 - Re v < Re a < 1/2]
(берутся только верхние знаки и верхние выражения в фигурных скобках) и
J [( - а - i/)/2, l + i/- a
(берутся только нижние знаки и нижние выражения в фигурных скобках); по определению
21
Различные представления одного и того же интеграла записываются под разными
номерами, но без повторения левой части.
В приложениях содержится справочный материал, который может быть применен при
вычислении интегралов и суммировании рядов, а также при преобразовании их к виду,
содержащемуся в книге.
Список основных литературных источников, использованных при составлении настоя-
настоящего справочного руководства, помещен в конце книги.
Мы будем весьма признательны всем читателям, которые обратят наше внимание на
неизбежные в работе такого объема недосмотры.
Авторы
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе содержатся неопределенные интегралы от специальных функций, а также
определенные интегралы, у которых один из пределов интегрирования является перемен-
переменным, в случаях, когда подынтегральная функция от него не зависит; постоянная интегри-
интегрирования для краткости опущена.
Некоторые формулы при определенных значениях параметров теряют смысл. Если эти
значения следуют из структуры формулы, то соответствующие разъяснения опускаются.
Выражения для интегралов при соответствующих значениях параметров, как правило,
даются в последующих формулах.
1.2. НЕПОЛНЫЕ ГАММА^ФУНКЦИИ 7(«, ж), Г(«, ж)
И БЕТА-ФУНКЦИЯ Вж(«, /3)
Условие: Re a, Re а > 0.
г ( ( v \ ~\
1.2.1. Интегралы вида жА< , ' ,.{ > dx.
J [Г(а, ах ) J
-*¦•
Г(а, ах")) \ + 1\Т{а,ах")) (А + 1)а
о
I 7((Л + аи + l)/i/, аж") ] Г(а + (А + 1)/и) ( 0 ] Г Г Re (Л + av) > -1 1
\r((A + ai/ + l)/i/, аж")/ (А + 1)а(л+1)/- \l/ [ \ Re(A + а//), ReA > -1 j ' ^ ''
f/7(«, аж)\ |7(а,а1I_1|7(а + 1,а1I Г(а + 1)|01
J\T(a, ах)] \Г(а,ах)} а \ Г(а + 1, as) J а \ 1 /'
о
Г Л7(а,(ах + 6П "*
-J \г(а, («ж + 6)")
х Uax + Ь)к+1 < ') '; iT7 « + , (ах + 6
| [Г(а (аж + 6)^) J V ^
b, Re(n + ai/ + 1) > (Г. ,
6 > 0
1.2.2. Интегралы вида \ f(x)/y(aJ
. I е ОЖ7(С|!5 аж) ^ж — ;— l(aJ ах) + т I Г I l(ai ах
J о о V a + о I
о
. f
к){2^) Х
^ Ь \2
1.3.1] 1.3. Интегральная показательная функция EI (ж) 23
3. [жеа2ж27(а, (аж + hf) dx = -^ е^Чк (аж + бJ) - ], еь27Bа, 2а6ж 2
Г 2 2
4. exj (а, ж) а*ж = exj (а, ж) жа7(а) х) ~\ тB«, ж).
J а а
1.2.3. Интегралы вида /(ж) В ж(а, /3) о*ж.
Г 1 жЛ+1 1
1. жЛВж(«, /3)о*ж = VTTB-(a' ?)~ VTT Вж(« + А + 15
J А -г 1 А т 1
f П — OL + l П
2. хп~а Ва(а, р) dx = -В,(а, /3)
J п—а+1
г V(
Г ч A - т1А+1 1
3. j(l-x)xBx(a,l3)dx = -{ х+'г Bx(a,/3) + j-^ Вх(<*,
5. \ха^A - xf-1 Вя(а, /3) dx = i В2ж(а, /3).
6. [-Вя(а, /3) с!ж = 1пжВж(а, ^) - ~ВЖ(«, Р).
J Ж Ott
7. | ^ В ж(а, /3) с!ж = - In A - ж) В я(а, /3) + щ В ж(«, /3).
1.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Е1 (ж)
1.3.1. Интегралы вида ж Ш(—ах — Ь)йх.
Условие: а, 6 > 0.
Т х хх+1 1
1. J xx Ei (-аж) dx = ^^ Ei (-аж) - + л+1 7(А + 1, аж) [ReA > -1].
о
7 х ТЛ+1 1
2. j жл EI (-ax) dx = j^j EI (-ax) - + +1 Г(А + 1, аж).
3. [
J
о
х ГA — А, аж) -
(n + A)
4. [ хп EI (-аж) а"ж = EI (-аж) + П' п+1 е^ах ]Г ^f-.
п ,
Г п • / \ • / ¦ ж—^ ¦ • ~ '- п-
l\«+1 л п ( л\п-к un-fc к
+ ^ 7 /
fc=O ггг=О
24 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.3.2
оо
Г 1 1
6. — EI (-аж) dx = -. ггт г х
хп (п — 1)\(п — 1)хп~~~1
Г -1 ^ k)
х < [(га-1)! - (-аж) ] Ei (-аж) + е 2_^{п - к - 2)!(-аж) > [п ^ 2].
L fc=o J
е~ьх
г 1 _
8. EI (—аж) dx = ж EI (—аж) Н— е аш.
J а
Г ж2 1
9. ж Ei (—аж) dx = — Ei (—аж) Н A + ах)е
J 2 2а2
Г 1 Г 1 -
10. — EI (—аж) а*ж = In x EI (—аж) — — е аж In ж dx.
J ж J х
х 2
12. | \ EI (-аж) dx = - [A + аж) Ei (-аж) + е"аж].
13. [ \ EI (-аж - 6) dx = i Le^5 EI (-аж) - - (ax + 6) EI (-аж - 6I.
J ж о [ ж J
1.3.2. Интегралы вида ж есж Ei ( — аж — b) dx.
Условие: а, 6, с > 0.
Г \ 1 \ _
1гпЛ гу СХ Т?\ ( п гп\ А гуг Т» /Э Т?Л ( П ф\
J e
1 А г
(а + с)^ЛГ(Л, аж + еж) + - хх^1е^сх EI (-аж) а*ж.
с с J
Г п -ex w- w'
2. ж е EI (—аж) а*ж = 1 EI (—аж — еж) —j e EI (—аж)
fc=0
к к-1 , ч^
^^ гга!
т,=0
3. [ е^сж EI (-аж) dx = - [EI (-аж - еж) - e^cx EI (-аж)] [а ф -с].
J с
4. [ е±сж EI (=раж) а*ж = Т^ [Ei (=R^ ± еж) - е±сж EI (^ах)\.
J с
ж
5. [есжЕ1(-аж) dx =-- fei (еж - аж) - есж EI (-аж) - In (l - -I [а > с].
о
x
6. [ е±аж EI (=раж) rfx = ±i [е±аш EI (тах) - In аж - С].
J a
1.3.3] 1.3. Интегральная показательная функция EI (ж) 25
7. f xxe±ax EI (+аж) аж = -жл+1 V ( Д^ [I + (Л + А + 1)(ф(к + 1) - In аж)]
J fco^ + A + l)
ReA> -1, ^
1 а > О
X
Г 1
8. хеах EI (-аж) dx = — [С - аж + In аж - A - аж)еаж EI (-аж)].
J а
о
9. [ хеах EI (-аж -b)dx = -(x-^-\ eax EI (-аж - Ь) - — [ж - - A + Ь) In (ах + 6I.
J а \ а) a I a J
10. [ хесх EI (-аж -b)dx = -(x--) ecx EI (-аж - Ь) +
J с \ с J
%~ctx~ -| (а -|- Ъс)е~~ с'а EI
+ с +
с(а — с)
11. [ - е^сх EI (-ах) dx = EI (-ах) EI (-еж) - [ ^ е^ах EI (-еж)
J ж J ж
оо
Г 1 _
12. - е сх EI (-аж) йж = [С + In еж - EI (-еж)] EI (-ах) -
J ?
. l-e~axEi
J ж
13. l-eEi(ax)dx
J 2
1.3.3. Интегралы вида /(ж) EI (—ax) dx.
Условие: a, b > 0.
. J хЛ In х Ei (-ax) dx = (д + 11)аД+
х
)A+1 Ei (ах) 7(А + 1 ах)] + f ?
х [(ax)A+1 Ei (-ах) - 7(А + 1, ах)]
2. жп In ж EI (-аж) dx
J Л (аж) (} _
n
Z. к1
H ж + In ж ^т Ei (-аж).
n + l[ n + l an+1J v ;
3. In ж EI (—ax) dx = [A ~ 1° ж)е"аж + A + аж — ax In ж) EI (—ax)].
J a
4. f ж In ж EI (-аж) dx = —^ 1 + A + аж) In ж A + аж) е^аш -
J 2a [ 2 J
1 + - a2x2 - aV In ж ) EI (-аж).
5. е х In ж EI (—аж) а*ж = — In ж[Е1 (—аж — bx) — In (аж + bx) — С] —
— — [е In ж — EI (—bx)] EI (—аж) + — In ж — — 2_^ ~
1 Г 1
- T \ - e ax?A (-bx) dx [см. 1.3.2.11-12].
b \ x
26 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.3.4
_ Г Г smbx 1 _,. . ч .
7. < f > Е1(-аж) а^ж =
J [ cos bx J
= =F~| "° "^ !> EI (—аж) + [EI (—аж — ibx) ± EI (—аж + ibx)}.
b { s'mbx J 26
1.3.4. Интегралы, содержащие произведения функций Ei (—аж).
Условие: а, Ь > 0.
Г 1 жЛ+1
1. ж EI (-аж) EI (-bx) dx = EI (-аж) EI (-bx) -
J A + 1
- —^ I xxe~ax EI (-bx) dx - —^ f xxe~bx EI (-аж) dx [см. 1.3.2.1].
A-f-lJ A-j-lJ
2. [жпЕ1(-аж)Е1(-6ж) а*ж = EI (-аж) EI (-bx) — f ™Л~г + ^7
I YX, —I— 1 ТЬ H™ 1 \ ft''1' Un
x EI (—аж — 6ж) + ' е^аш EI (—6ж) ^ ^—^ \- ' e
n A xk n k^1
l fp.i / n^.^1 IT1,; flii»^ //^ — /*. PT.i f—./i'rl F.i fib'rl 4-1 I Ri ^Лт —- лтЛ ¦
J» I J_Jl ^ LLJLi J J-Jl ytftb j LLdj X J_Ji ^ \JbJb j J-Jl \\JJb j 1 I _ I J-Jl \%J Jb LLJL J
J у О ft у
i е^аж EI (Ьж) - i еЬж EI (-аж) [а > 6].
Г 1 _
4. EI (-аж) EI (аж) dx = ж EI (-аж) EI (аж) + - [e ax EI (аж) - eax EI (-аж)].
J ft
Г x2 a2 + 62
5. ж EI (—аж) EI (—bx) dx = — EI (—аж) EI (—bx) EI (—аж — bx) +
J <Z Ad и
—^A + аж)е ах Е1(-6ж) + — A + bx)e bx EI (-аж) H -.
3 ~n
6. [Е13(-аж) с!ж = жЕ13(-аж) + -е"ажЕ1(-аж)- - - е~2ах EI (-аж)
J a a J ж
1.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СМН?С si (ж) И KOCMHYC с! (ж)
ч a t Тж Г а Г si («ж) 1 .
1.4.1. Интегралы вида ж < ; ' > аж.
J [ci(ax)J
Условие: а, Ъ > 0.
Г х(в\(ах)\ жА+1 (ш(ажI 1 fS(x,\ + l)\
Г \ d (аж) J А + 11 с! (аж) J + А + 1 \ С(ж, А + 1) J *
xn+1 J si (аж) 1 n\ ^ (ажI8 J sin [аж + (n - /г + 1)тг/2]
n + 1 \ cl (аж) J + an+1(n + l)^ k\ \ cos [аж + (n - A; + 1)тг/2]
3. ——
жп ( cl (аж)
I / i\! / \n-i ^ - I I si(aa.;
= 7 ГТ77 ГТ :r (n - 1)! - (-аж) cos—-—7Г < .; ; } ±
(n - l)!(n - 1)жп^1 L 2 ][с1(аж)
1.4.3]
1.4- Интегральные синус si (ж) и косинус ci (ж)
27
Г Г si
. N .
J [ ci
Г Г si (аж)
. ж< v
J [ ci
(аж)
; :'
(аж)
(аж
(аж)
i / \n-i • п - 1 (ci(ax)\
± (-ах) sin тг^ v Г >
2 I si (аж) I
i
к
J
1 1 Г Г э
} -\{
J 2a^[[c
+ > (га- A; - 2)!(аж)
fe J sin (аж + ктт/2) 1
cos (аж + ктт/2) j *
si (ах) 1 . 1 г cos ax
а(аж)] а Ismas
ж2 f si (аж)
—{ ) {
этаж
cosaa?
. \-l .
J ж [а
ж = { ) {
2 [ ci (аж)
fsi(aa?)l fl f sin аж 1
; :\ dx = inж< .; : }- \-\nx< > dx.
(аж)] [ ci (аж) J J ж [cosaxj
\\.
?JJ
3i (аж + 6)
1 f si (аж)
х1 { ci (аж)
а Г Г sin 6 1 . . ч , Г cos 6 1
= — I < > ci (аж) ± { , > i
{ sin 6 J
1 Г Г si (аж)
ж|Дс1(аж
sin аж
созаж
1
—
6ж
ci (аж)
si (аж) J *
сцаж
1.4.2. Интегралы вида /(ж
J
Г 1 ^Ьж f
-е ^
J ж [
si (аж)
1
-е ^ . :^
ж [ ci (аж)
= Ei(-bx)
si (аж)
cl(aж)
а*ж.
1
-E
x
sin 6ж 1 . . ч
, > ci (аж)
cos 6ж J l ;
sin 6ж 1
cos ож J
sl а
If cos 6ж 1
6 \ sin 6ж J
1 f cos 6ж 1
6 [ sin bx J
1 Г ci
26 \ si
dx.
(аж + 6ж) + ci |аж — 6ж| 1
(аж + 6ж) + si |аж — 6ж| J
26 \0
1 f si
2o [ ci
а, Ь > О
'аж + 6ж) — si |аж — 6ж| 1
^аж + 6ж) — ci |аж — 6ж| /
1 ( ° I
26 \l j
In
a ~ b
a + 6
ГГ«,ь>о
LI «, b > 0; a
ФЬ
! (аж)
; ;
sin ах а (ах)
Г . . ч Г з!паж si (аж) 1 1
аBаж)±2^ ; ; > =р 1паж - In 2 =р С
[ [ cos аж а (аж) J J
[а > 0].
1.4.3. Интеграл ы, содержащие произведения функций si (аж) и с!Fж)
Г 1
ci (аж) ci Fж) dx = x cl (ax) ci Fж) Н [si (аж + 6ж) + si (аж — 6ж)] +
J Ла
+ —- [si (аж + 6ж) + si Fж — аж)] sin аж ci Fж) — j sin 6ж ci (аж)
ad аи
Г 1
si (аж) si Fж) а*ж = ж si (аж) si Fж) [si (аж + 6ж) + si (аж — 6жI —
J 2o
[a, b > 0].
J
— — [si (аж + 6ж) + si Fж — аж)] -\— sin аж si Fж) + j cos 6ж si (аж)
la a b
si (аж) ci Fж) а*ж = ж si (аж) ci Fж) -\— cos аж ci Fж) —
a
[a, b > 0].
1 . . . / ч а + 6#/ ч а — Ь . , . ч
— — sin 6ж si (аж) — ci (аж + 6ж) Н j- ci (аж — 6ж) [а > b > 0].
о Аао Аао
28 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.1
1.5. ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ erf (ж), erfc (ж)
1.5.1. Интегралы вида \ х> I еТ[{"х) Л dx.
J L erfc (ax) J
J I erfc (ax) j 2(Л + 1)о2 J \ erfc (ах) J
АЛ ^А { erf (а
{ \ ±
\erfc(ax)J a0F
о _?^_ ferf(aa:) \ I /A 22
" А + 1 \erfc(aa;)J Т(А + 1)а*+1^°Л2 + '" *
[Re A > -C±1)/2; А ф -1].
Л + 1 \ erfc (аж)
Г 2п [erf (аж) 1 ж
4. ж < х f \ dx = —
J [ erfc (аж) J 2?
5 1 ОТ* 4Г \ /i Of^ „________________________„ </ \. I
» l гЬ \ я / \ I Udj „ .„\ я / \ f -L-
2"+1 ГегГ(аЖ) \ , n! _o^2 " (ажJ*
I _^ _. f - ^ %Zs Ж
А;!
\ег?с(аж)/ 2n + 2 \ erfc (аж)
Bn + l)!!s a2,2 A Ba^) Г(п + 8/2)
2-+1a2-+1(n + l)^F ^B^ + 1)!! + 2(n + l)a2-+2^
f
= -, г^ (аж + 6)n+1 erf (ж) ~=r- — \_\ I » 1 ( г ) 71 ? ж2 I •
7. \J_hrf(ax) 1 ^= 1 [егГ(аЖ) | ±
J ж2п \erfc(aж)J Bn — 1)ж2те \ erfc (аж) J
y/w(n - l)!Bn- 1)
i [^/егГ(аж) \ dx = L/erfH \±
J ж2п+1 \erfc(aж)J 2тгж2п \erfc(a»)J
± ^-tt—, . ,^ e^a x \^(-l)fer( n- k + - )a2kx2k^2n^1 ±
erfc (аж) J \ erfc (аж) J а^/тт
-i* f ferf(aa;) 1 f ж2 ferf(ax) 1 1 , t ч
10. ж I x ' \ dx = — < \ > ^-p^erf (аж) :
J {erfc (аж) J 2 [ erfc (аж) J 4a2
лл A (erf (ax) 1 . . ferf(ax) 1 2a Г. ^а2ж2
11. - < , >а'ж = 1пж< f =p-= In же dx.
J ж [ erfc (аж) J [ erfc (аж) J утг J
Г ж2 — b x a 2
12. ¦— -r^erf (аж) с^ж = ^^ r erf (аж) + -=¦ ea Е1(-а2ж^
J (ж2 + бJ ж2 + 6 V^
1.5.3] 1.5. Интегралы вероятности erf (x), erfc (ж) 29
1.5.2. Интегралы вида жАе6ж < „ , \ > dx.
J { erfc (аж) j
Г Л bx(erf(ax) 1 1 Л Ъх (erf (аж) 1
1. ж е < х f )dx = -xe \ п\\)-
J { erfc (аж) J b { erfc (аж) J
Г\1 ***?= Ue dx.
erfc (аж) J бутг J
n 6ж J erf (аж) 1 , .n n! Ьж J erf (аж) \ v^4 (~^
I erfc (аж) I on+1 I erfc (аж) I ^^ I
2an! y. (-6)^ I „ a^+bx
Г ^ / erf (аж) 1 1 Ьх(етЦах) \ly/Da^(erf[ax-b/Ba)] 1
J \erfc(aa;)/ ft \ erfc (аж) J + 6 \ erfc [аж - Ь/Bа)] J '
4.
- e&2/Da2) f (Л - 1) erf (aa - A) _ ^ c-Ba.-6/a)»/4
6 \2a2 6/ V 2a/
1.5.3. Интегралы вида [жЛе^2ж2 I CT^f X\ \ dx.
J [erfc(ax)J
1. жле^ь x erf (аж) dx = — жл^1е^6 x erf (аж) +
J 252
f
J
i/7r(A + 2) \ 2 2 2
3. [х^/^^
J [ erfc (аж)
2ажА+2 / А 3 Л22\ Г((Л + 1)/2) /ctg(A7r/2)
-—2JP2A, - + 1; -,-+2;Таг
А + 1
[ReA<0; |arga|<7r/4].
. f л ±a2x2 (erf (ax) X 2a A+2 / A + 2 3 A 2 2
4. ж e < \ У dx = x ^ 2F2I 1, ^7^; ™, 7Г+2; ±a ж
J [еггцаж)] V(A + 2) \ 2 2 2
. f л ±a2x2 (erf (ax) X
. ж e < \ У
J [еггцаж)]
0F(A + 2) ^ Ч 2 ' 2' 2
[Re A > -2].
5. J x-e-'-' erf (аж) .ж = Ш -^ \\ erf 2(аж) -
/7Г
п —1 , , 1 п —1
^а^ж^ г/ \ \™~^ ™- /л 2 2\к 1 ^2а2ж2 \Г~^
же erf (аж) > Dа ж ) е > ¦
^Й ^а2ж2 г/ \ V^4 ^! /л 2 2xfc
30
Гл. 1. Неопределенные интегралы
[1.5.4
3. lx2n+1e~a2x\rf(ax)dx=^^\^
_ I е-2-2 erf (ах)
2 ( '
Г a2x2 (erf{ax) 1 , ,V*_
J [ erfc (аж) J 4a
erf (аж)
erfc (аж) J
8.
Г
9 '
10.
erfc (аж)
f erf (аж)
2a2 { erfc (аж)
e~b x Г erf (аж)
262 I erfc (аж)
+ с)
х erf ( ж^а2 + б2
/a2 + 62
J erf (аж + с)
\ erfc (аж + с) j
11. — e erf (аж) аж = e erf (аж) — erf (аж) -\ — Ei (
J x1 x 2 утг
12. [ae~a erfFж) + 6e™ x erf (аж)] dx = erf (аж) erf (bx).
1.5.4. Интегралы, содержащие гиперболические и тригонометри-
тригонометрические функции и
.. \ш
= — ch bx
„ \ ч >.
erfc (аж) J
ferf(ax)
^-e A ; erf аж + — + erf аж-™ J .
26 [ V 2a / V 2aJ
егтс(аж)
1 ferf(ax) 1,1 62/Da2)[ r( i Ь\ (( Ь\\
т sh 6ж < . \ \ > _ —- е 71 ч erf аж Н 1 — erf ( аж .
6 \erfc(aa;)J 26 L V 2а / V 2а) \
= — shbx
b
4. 1 cos bx
erfc (аж)
Гerf(aж)
[ erfc (
dx =
26
) | erf ( аж — i — 1 + erf ( аж + ъ —
2а ] \ 2а
ах) ^
1 . Г erf (аж)
= -smbx < f _ ¦
b erfc (аж) I 26
,K
erf
2a
2a
5. e x sin еж erf (аж) dx = —j^ -e ж(ссозсж + 6 sin еж) erf (аж) •
1 _ eF2^c2)/Da2) |C + ife ei6c/Ba2)
erf I аж
b + ic
2a
1 -ibc/Ba^) с
¦ e /K J erf аж +
6 — ic
2a
1.5.6]
1.5. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
31
_ Г ^Ьж2 Г sin еж2
6. же < _
J [cos ex1
erf (аж) с!ж =
4F-гс) LVa2
ic){B erf (аж
^ 4(b + ic) L^o1
Г f 4* ( \ 1
1.5.5. Интегралы вида ж 1пж< „ , ч >
J [ erfc (аж) J
L. I жЛ1п^ л
J [ erfc (аж
=• erf (x\/a2 + b + ic) — e *¦ +4С^Ж erf (аж) .
erf(a^) 1
х < к \\ dx =
[ f (аж) J
1 [ л+i, / erf (аж) 1
— ж ^ In ж \ \ \}±
+ 1 [ { erfc (аж) J
1 л ^а2х2 1 Г
—= же а х \пх- \
Г erf (аж)
[ erfc (аж)
> с/ж =F —^ ж е
r dx:
2.
erf (аж)
erfc (аж)
2а2(А-
J-Г A-2ferf(aaJ) 1
JJ \ erfc (ax) J
dx
2a2(A + l)
A \ J erf (аж
л-21пж[егГ(аа!)
erfc(aa!)
x -a2x2
2a2 J [erfc(ax)J a^
жА+1 (erf (ax)
3.
4.
2a2(A + 1) 1 erfc (аж) J 2a2(A + 1)
j /i 1J ferf(aa;) 1 , 1 ^^XA 1 _,.,
f dx = Aпж- 1) ж< \ J }±—— e =F P^-'
ч erfc (аж) J LI ег^с (ax) J a\r^ J
J erf (аж)
\ erfc (аж)
±
Чпт iJerf^) 1 +
j in л i) \ c , ч / m
[ erfc (аж) J
з~а2ж2B1пж- 1)=F -^erf (
1.5.6. Интегралы вида жЛ erf (аж) erf (bx) dx.
1. xx erf (аж) erf (bx) dx = жл+1 erf (аж) erf (bx) —
J A + 1
2 2 2а Г 2 2
жл+1е^ь ж erf (аж) а*ж — жл+1е^а ж erf Fж) с?ж [см. 1.5.3].
2. erf (аж) erf (bx) dx = х erf (аж) erf Fж) —
/а2 + б2
erf(Wa2 + fe2)
1 [J
¦ е^а2ж2 erf (Ьж) + —=¦ е^ь2ж2 erf (аж).
оутг
Г 1 / *?
3. erf 2(аж) dx = жerf 2(аж) \ — erf
J a f f
4. L2nerf2(ax)a ^^
J
-\
An -j- 1
4(n!)
Bn
\
g ^ ^ j _ _ e
I \ ^—
fe ) 8k
32
Гл. 1. Неопределенные интегралы
[1.6.1
5.
Bга+ 1)!
BаJп+2п\
— е~а2х2 erf (ах)
- Dа2х2)к
J_ -2
A {2a2x2)r
7. erf (аж) erf (гаж) dx = x erf (аж) erf (гаж)
X
8. ж erf (аж) erf (гаж) а*ж = —
J тг
h le~a2x2 erf^i
J v
dx =
2а(/х-
1.6. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ S(x) Ш
л[ S(ax)
-^= е""**2 erf (гаж) %-= е**** erf (аж).
аутт аутг
/1 1 + 4 4^4 1 + 7 л4^4
(Л + 3) 3 \2' ^^5 4' 4' 2' ^^5 ^Г
[Re А > -3].
erf/x+1(аж). 10. -^— dx = ^^ In [erf (аж)].
J erf (аж) 2а
Г
' J
1.6.1. Интегралы вида |ж
S(ax) \ dx _ xx+1 J S(ax)
dx.
1
A + 11 С(аж) J + (A + l)a
2xn+1/2 f S(ax)\M ra!
2ra + 1 \ С (ax) J 2n + 1
S(ax, A + 3/2) ]
^(«^, A + 3/2) J "
п^ / cos (аж + кж/2) \
(ra - ife)! afc \ sin (аж + ^тг/2) J "
5(аж)
G(аж)
* J |
Г 1 ( S(ax)
. \—j=\n) \
J уж yCyax)
_
5(аж)
fC(aa;)
1%)
[сояаж
cos аж
)
C(ax
X FY (cosax \
) V тг« L sin аж J
1.6.2. Интегралы вида | f(x
S(ax)
1.
2 ^
6
C(ax)j ' blS
i 2 \
аж — iby/x — — ) =F
dx.
- ^- +51 аж - г
4а/
4а
cos[52/Da)]
sln[62/Da)]
— С ( аж + ib\fx J + С ( аж — ib\/x J +
ft V 4a / \ 4a;
f
4a
f
4a
cos [ft
1.6.3]
1.6. Интегралы Френеля S(x) ИС{х)
33
cos bx ( S{ax
Г f
3. cos 6ж<
4. —=8inby/x i
J Vх Iе
f S(ax) 1
\С(аж)Р
V^ Г 1 f 5(аж + Ьж) 1 sgn {a-b) f S{\a - b\x) 11
b" [^^Ь5 \C{ax + Ьж) J + ^Г^Ц 1С(|а - Ь|ж) J J '
S{ax) 1 sink f 5(аж)
. > rt.7* = <
C{ax)j X b \C{ax)
C{ax + Ьж) 1 sgn (a — b) j C{\a — b\x)
1
I _ j
b
C{ax)jdX^ b"
b2 f S{ax ¦
4a [ С(аж ¦
S{ax + Ьж)
S{ax
л С{ах
¦ Ь2/Dа)) + S{ax - b^ + 62/Da))
a^b\ \S{\a-b\x)
e j _
. b2
2 •
= ъ sm
-ЬлД + 62/Dа))
&2/Da))
1 . б2 Г S{ax + b^ +b2f{4a))-S{ax-b^ + 62/Da))
' b Sm 4a" j С(аж + Ь^ + 62/Dа)) - C{ax - b^fx" + 62/Da))
1 Ь С(аж + byx + 6 /Da)) — C{ax — byx + 6 /Da))
it — COS \ / v / / v v / v / /
6 4a | 5(oa; + 6^ + 62/Da))-
^ = 2^1nxE;aa!>)-4^(^aX|
\С(аж)/ \С(аж)
_ Г^гсояаж! , /~2~ r cos аж I . /~2~ f ci (аж)
V тга I sm аж J V тг« I sin аж J V тго [ si (аж) J
1.6.3. Интегралы, содержащие произведения функций S{ax) и С(Ьж)
J Уж
±24
{::
= 2л/х S{ax)S{bx)
/2 i о/ ч
—- cosbxS(ax) —
тгЬ v ;
Ь{ах + bx) —
/2тга6
(а
ч1/2
а — Ь|
1/2
/2тга6
¦5(|а-Ь|ж).
2 .
^а + 6^ С(аж + bx) + sgn (a - 6) ^ &^ С(|а - Ь|ж).
2Ь
2жаЬ
2
аж)G(аж) + у — ГсояажСЧаж) — 81
СBаж)
3 А. П. Прудников и др., т. 2
34 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.1
1.7. ФУНКЦИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА Du(x)
1.7.1. Интегралы вида I xxe±a2x2/4Dl/(ax) dx.
1. J x^-'^D^x) dx = { ^A + " + J
J
I A ~ i/ + 2
. [ЖАе±а2ж2
" 1
т.; о'
(А + 2)Г(-1//2)
оо
1 TAp=t:a ж /4 D (от) Нг —
J
2'42'2'2' 2
2 3Т1 " 3 А + 4 aV
^ 1
Т 77 5 ^
2 ' 4 ^ 2' 2' 2 ' 2
3=р1 и 3 А + 4 а2^
' 4 2' 2' 2 ' 4
\(Re(X + u) <-l; |arga| < Зтг/4 1 _ /2_! Г А + 1, -(А + i/ + 1)/2]
[\|arga|<W/4 |^+-2 Г^ ^ ^ j,
[\|
п+1
¦К"
7. J^e-V4z?4a;) ,ж = { 1/C + ,)
8. f Ж-"-3еж2/4О,(Ж) dx г
J
t~
9. lxu-2e-x2/4Du(x) dx = -xu-1e-x2/4Du-2{x).
1.7.2. Интегралы вида \ f(x)D^(x) dx.
1. ?>?(ж) d» = i/ f D^_i(x) rf« - DI/_i(a;)Dl/(aj).
2.
{ "/Bn+ 1} } J^-^^
1.8.1] 1.8. Функция Бесселя Jи(х) 35
1.8. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ Ju{x)
1.8.1. Интегралы вида ж Ju(x) dx.
[Re(A + i/) > -1].
3. lxxJv{x) dx = xxj1/+i(x) - (A - v - 1) f xx 1Jy+1(x) dx.
4. = xxJt/+1{x) + (Л - i/ - l)xx~1Ju{x) - [(A - IJ - и2] \ жл~2Л(ж) da;.
6. [xn+1/2Jm+1/2(ax) dx = n|3/2 J- [si
J 2^ Cn^2k{a>x)
z k=o J
n > m; Cn = -1, Cn^fc^i = (-l)k[Pk+i - (n - fe)Cn_fe], Л = 0, 1, . . . , n - 1;
при Л = 0, 1, . . . , m, Pfc = 0 при Л > m
ife!(m- fe)!
w?rx ^-2)/2]
7. = —-тЦ-ггл/— Isin (аж-
sin [ax -^f) Y, Сп-ы-^ах)"-™-1 +cos (ax - ^
L fe = [(n+l)/2]
+ (~l)[n/2]C-! (sin ^^ 7Г si (ax) - cos ^^ ж ci
(
, ? ( i\>/2l /2 . П7Г / Ш7Г . W7T
+ d^n i(^l)L 7 Ji/ — sin cos si (ax) — sin ci
' v ; У жа 2 V 2 v y 2
p_ i . .
n < 0; m 7^ 0; Cn^m+i
= ^vf h (аж - T) g c-»-
-т + Г '"-Г--Г- n^w + ife + l
A; = 1, 2, . . . , m - n - 2; Ffc см. в 1.8.1.6
m/2]
[(
A11 7Г \ \^ \n1k
ax —J 2^ Cn^2k{ax)n Ik +
k=Q
/ i\[n/2]/D , / -.чп + 1^ ч/. W + П .. , W + n
(^1)L ' J(Pn+i + (^l) ^ C_i)(sin—-—7rsi(ax)+cos—-—
\ A A
0 <: n ^ m; Cn = -1, Cn_fc_i = (-l)k(Pk+1 - (n - k)Cn^k), fc = 0, 1, . . . , n - 1;
4- P i
: i rm — k I ?
36 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.8.2
А; = 1, 2, . . . , m - п - 2; С-\ = 0 при n = m - 1; Рк см. в 1.8.1.6 .
9Т (™\ J™ — 9 \ л
• I *J V \"->) U"L ?i J <
10. Jtj\X) dx = «Л/+2п(
J J
X
11. Jn(x) dx = (n — l)xJn(x)s~ijn~i(x) — xJn~i(x)sojn(x).
0
Жг I n-1
12. J2n(x) dx = Jo (ж) dx — 2 } J2fc+l(ж) [см. 1.8.1.14].
J J ,n
о о fc=0
14 Jn , i (т>\ fine — 1 1^(nc\ *) \ ^ Jn,. /-трЛ
14. Jo (ж) б?ж = xJq(x) H—— [Jl(ж)Ho(ж) — Jo(x)H.i(x)].
0
0
Ж2
17
о
1 1 Г 2 nml
18. \-J2n(x)dx = —\l }(
x 2n\ x ^i
L fe=0
0
22
( л Л
16. Ji(x) dx = I \ =F Jo(a?)
}X^J(x)dx-X^J+AX)-2X^JM fRO-21
Г 1 1 Г Г 4 n 1
19. — J2n+i(^) с?ж = Jo (ж) dx — J\(x) } kJ2k(x) [cm. 1.8.1.14].
J x 2n + l|J ж,1 J
о о k=1
°? i t2 / r2\
20. - Jofa) ^ж = — 2F3II, 1; 2, 2, 2; J -In С [х > 0].
J Ж о \ 4 / Z
I 1 f 0]
' J-'W0*-" J"±1^j+2"-ir(i,)\lJ LI «/ любое
Г -1 r- A \
\ v 1 (v} rlv — 9 л/тг F I — 4- i/ т[ J Гт^ТТ i Гт^ J 1 f тЛТТ Гт^1 [DPI, \ 1 /91
J V ; \2 у L l ; v ; v / v /J
0
23. жЛ[1 - Jo(x)] dx = -Д 2F3| 1, ; 2, 2, ; -— J [Re A > -3].
J 41A ~t~ о) \ zl zl J
0
1.8.2. Интегралы, содержащие степенную, показательную, триго-
тригонометрические функции и Jv(x).
1. xxelxJv{x) dx = ^— —— 2F2U+-; A + I/ + 1; 2i/ + 1, А + и + 2; 2г
[Re(A + i/)>-l].
1.8.3]
1.8. Функция Бесселя Jи(х)
37
X
2. \xxe±ixJv(x) dx = xe±iX7T/2 \
J |_
°
и ~г 1
± iJI/
i^ ~г 1
е±гхЛ(х) [Re(A + i/) > -1].
ГГ11е1/> -1/21
LI 1/^1/2 J
Г 2
ж"+1еая! ЛFж)
J
о
Г v Г sin ж 1 / ,
J [cos ж]
bueax2
= [?Л,+1Bгаж2, 6а) + г?/„+2Bгаж2, Ьх)] [Reг/ > -1].
+1 Г Г sin ж 1 / , f cos ж 1 . Л
—N >Л(ж)Т1 . ^Л+1(ж) .
+ 1[1со8ж] lsInжJ J
и+1 f sin ж 1
= Х { Л + 1-
[сояж]
ж
Г ^з/2 Г sin ж 1 . . 2^ж г cos х \ ( Л
ж ' < \Ju(x)dx = ^—%—-\ . \Jv(x)
J [ cos ж J 2u2 — 1 I sin ж J
г cos ж
<
созж J LBi/ - 1)л/ж
Г i/+i f sin ax2 1
ж < 2 г^Fж) dx =
J [ cos ax j
о
= Bа) ^ V C/^+iBаж^5
И
J J
sin аж
[Re и > -C±l)/2]
1.8.3. Интегралы вида |ж Ji_l(ax)Jiy(bx) dx.
X
х Jlj,{x)J1/{x) dx =
Г л
ж
J
f _
ж
J
dx =
A — /i —
A + Д + I/ - 1
Л — /1 — I/ + 1
-1].
аж.
= =Ь
I
Ь _
2A
- ^2+
38 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.8.3
f Г ±2i/+l 72/ 4 1 1 2±2х/г j2/ \ , т2 / чт
l*-|, I f~p f I /"VS 1 /"Ж /"VS ——- ________________________^^ /Tp f I /"У8 I _L_ f I /"У* 1 I
X
f T2 1 [sln2x sir
6. «/3/2(ж) аж = —
J 7г ж а
0
7. I Ju{x)Ju-\-
с!ж =
о J/\J ( \ rl T ( \ \ T f \ Q
0 fc = 1 0
Г ж
10. xJuiaxjJyibxj dx = — — \(iJu+i\.Q>x)Ji/\bx) — bJu\.CLx)Ju-\-i{bx)\.
J a^ — b2
f ж2 1/ u2\
J ^ 2 2 I a2 J v
о
t2
19 I «. ^/лф^ /for» — __ Г J2fonr»>l -— J -, (ni>\ J , -. (na>X\
2
. xJu(ax)
о
i г Г 2 r2 / ч , 1 \x2 X 5.2 . i o . /o x . J
15. ж ^з/2(ж) dx = — 1 sin 2ж sin x + In 2ж — ci Bж) + С .
J 7Г I 2 2 2 J
о
-tft Г -*¦ У2^^ Л^. _ ^ J2f^^| -I- Ж / , , Гт! 1 (v\ 1 (v\ J MfT\
J ж 21/ 21/ \_ du du J
ж
Г 1 if те 1
"I 'T' § J ( rp I fj Гр — I 1 I F / Гр I [ F / /у» I __ О Ik J I Гр J I frt^ *^> 1 1
J ж 2n[ ^ J
J «^
18. — Jn{ax)Jy{ax) dx =
J ^
2г [м+1()^() ЛД)^+1()]
H J^(ax)Jv(ax).
Г 1 1
19. - JM+n(^)Л+П(ж) cte = —¦ —~ x
J ж /x + i/ + 2n
П-1
i/) — J^(x)Jv(x) dx - Jll{x)Ju{x) - Jv,+n(x)Ju+n(x) - 2 ^2
x fe=i
2
Г1 9 Г Г 1 I
— J2(r) dr — I \tJ' (t\A- - 1 (t\\
# J X2 J^^x) ax - Dl/2 _ 1)ж I [жJ^x) + 2 ^ ^J
1
r2 - iy2 4- - 1 /2Гт
4/
21.
22- I ^2 ^3/2(«)dir= — - — [J1/2(ic)-
1.9.1] 1.9. Функция Неймана Yu(x) 39
Г 1 1
23. — Jn-i(x)Jn(x) dx = -
J xA
Jn^1(x)Jn(x)
2x
\S(x) + 2J2 4(x) - (n - 2)Jl_1{x) ~(n~
k=1
Г 1 1 1
24. — Jm{x) Jn(x) dx = — ¦ —— Jm{x)Jn{x) - у ;
J x2 (m + n + l)x {n + m
{ mJ —
2x
(m + тг + l)[m2 - (n - IJ] (m + n + l)[n2 - (m - IJ]'
Г 1 2 _
J Ж П\П
26. —Jm(x)Jn(x) dx =
1 I t (v\ I (v\ -A- T (t) I i (<r>\
1
ж |~«/п-з(ж)«/т(ж) n — ш — 4 , ,
•Я — (n — 2J (n — m)[m2 — (n — 2J] n m
n - m + 4 r
(n — m)[n2 — (m — 2J] n2 — (m — 2J
1.8.4. Интегралы вида \ dx.
J «/м(ж)Л,(ж)
Г dx тг У|/(ж) Г dx ж Ju(x)
J xJ2(x) 2 еЛДж)" * J xJu(x)J-u(x) 2slnj/7r J_i,(a;)'
Г A^|/2/ж2) da; _ тг УЦх)
' J x[Jl{x)f ~~ 2 Jl{xY
1.9. ФУНКЦИЯ НЕЙМАНА Y^(x)
1.9.1. Интегралы вида ж Yu(x) dx.
Л-1/
:; i — ^j
2 V 2 / V 2
a;i = 0, ж2 = ж; Re Л > | Re i/| - 1
xi = ж, ж2 = oo; Re A < 1/2
2
о
жлУ^(ж) dx = (Л + I/
о
. ж1/У1/(ж) da; = 21/^1^Дт1 и + - Ja;[yi/(a;)HI/_i(a;) - У1/^1(ж)Н1/(ж)] [Rei/ > -1/2].
3
о
40
Гл. 1. Неопределенные интегралы
[1.9.2
4. L1±I/yi/(a;) dж = ±ж1±l/Уl/±l(ж)¦
oo
J x ~ f^ ¦
5.
[±Rei/ > -1].
[Re i/ < -1/2].
X
Г 7ГТ
7. Y0(x) dx = xY0(x) + — [Fi(x)H0(^) - yo(a;)Hi(a
1.9.2. Интегралы вида |ж e lxYu(x) dx.
1. жАе±гжУЛж) da^xe*^7
Л + v -f- I
^/2) ±
2.
1.
2
v+lix
^
[Re Л > |Rei/| - 1].
[Re i/ > -1/2].
Г ( \y (h \ H — X
J ^ a2 - 62
3. |~Ум(аж)У1;(аж) dж =
[aYu+1(ax)Yu(bx) - bYu(ax)Yu+1(bx)].
/i2 — i/j
} x 2u[
¦ [У/Л+1(аж)У1/(аж) - Y^(ax)
ax) ?u{ax)
| + —р^УДаж)П(аж).
5.
6. ж У;
A-1 I 2 /A-l
С^Ж = ; U —
Л Г V 2
, 1 A-l
2A
ч
I ж2
7. xYv (ax) dx = — [У^ (аж) — V^-i
о
8. Jly-(?
Re i/ < 21.
dx = ^
ax —
2 - v2 + i^y2
4 /
1.10.1] 1.10. Функции Ганкеля HJ1] (ж) И HJ2) (ж) 41
Г /(ж)
1.9.4. Интегралы, содержащие , , д?ж.
тг Л (ж) 2 f A - |/2/ж2) da; _ ж fu(x)_
1. Г<^
J ^
) 2 Yu(x)' ' J x[Yl(x)]2 2
-и2/х2) dx _ тг
1 *¦ V \"J I
= 2 1Цх)-
1.9.5. Интегралы, содержащие Jtl(ax)Yt/(bx).
. j x^±IJ+1 JIJL{x)Yu{x) dx = ±2(
J
. xJu(ax)Yu(ax)
X
Г 2 ж
. ж^(аж)УоFж) ^ж = —т-г TY + т^5 о
J 7г(о^ — от) о2 — а^
ж2
dx = ——
4
о
. — Ju.{o,x)Yu{ax) dx =
ах
Г
J жЛ(
dx _ тг
ж)У1/(ж) ~ 2
1.10. ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ Н^1} (ж) И 1?52
Обозначение: j = 1 или 2.
1.10.1. Интегралы вида ж Н„(х)Aх.
о
х
3. ^х"Н^(х) dx = 2"
О • I П iy | Ж J u X — I Jj j/ _i_ 2 fi V / ^*"**^ i" "" / -" i/ -U 2 fe -f-1 v
UP $ I lift I el/ J IX «X/ —— A»J eX/ J J A I ely I A^ ^ XI ^ / **^ -* -*¦ 1 I «^y I *~^ X 01 **^ / *
1 Ж
^^2 [JM+i(a^)yi/(a^) JM(aa;)yi/+i(aa;)] \
6. | i Л(ж)Уп(ж) dx = ^^ ро(ж)Уо(ж) + Jn(^)yn(^) + 2 ^ Jfc(x)yfc(
+ (Л + и - l)xH{J){x)SX-i,u-i{x) - жЯ^21(жMА,.(а;) [ReA > |Rei/| - 1].
X
2. J Я^ж) йж = жЯ^(ж) + Ц- [Яр»(ж)Но(ж) - Я^)(ж)Н1(ж)].
о ч ' [Ret/ > -1/2].
4. [^^ 1±^
42 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.10.2
1.10.2. Интегралы вида fxxepxH{J\x) dx.
dx = ('2:e^(CAOS+7/)^1 et-^-1^""^^ + и + 1)Г(А -„
A -I/
А + i/ + 1
f f(v\
1.10.3. Интегралы вида
Г fix)
^Ж 7Г ЯГ(ж) of ^ _ 7Г Я^(ж)
dx тг Я^ (ж)
I \ / (~j \ — # A J. А / "| \ *
1.11. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ
1.11.1. Интегралы вида ж Iu(x) dx.
А + г/ +1 ^ ' ^ l/+1
• |Rei/| - 1].
4 ^
л I Л г / \ I —4Лтт/2 Г/ л |^ -« \ г / \ / г7г/2\ |^ г / \ / 47г/2\"|
J ^l A-l,i/-lV I/-U A,i/i
ж
Г 1 / 1 \
З^»17!" /гг.\ Лог» — 9^~ ч /-п- Г 1/4- I т» Г /" Z'т» М -.f'l'll /" л ( ф\Л ( ф\\ ГР?» I/ N. 1/91
» X 1 i/yJL J UX — Z -у 7Г 1 I i7"!" ~ I JL[1 i/yJL JlJi/ — lyds } — 11/ — ]_ yJL J 1j v yJL J ^ [iXG V ^> — 1/ Zj.
J \ /
0
ж
Г 7ГЖ
4. /о(ж) da? = ж/о(ж) + — [/о(ж)Ь1(ж) — /1(ж)Ьо(ж)].
о
к fi±«/r/4. lii/r /ч 1 /01 rfRei/>-lll
5' Г ^(-)^ = - 7^W-2^i>)(l/ [{,-любое/J-
6.
1.11.2. Интегралы вида ж е xIl/{x)dx.
+ 1} 2F2(^ + |; A + , + 1; 2, + l, A + „ + 2;
о
2. = ^— ^—e /i,(x)/iA!i,+i(^e )±
± ше-аА'1/,+1(Ж)/гл,,(жеа'т) + т-^ — e±xh(x) \ке (Л + и) > -1, 5 =
A + i-' + I L
ЖГ 4. ж|/+1е±ж
3. ж1/е±ж/1/(ж) dx = [h[x) T Iv+i(x)] [Rei/ > -1/2].
1.12.1] 1.12. Функция Макдоналъда Ки(х) 43
р П
4. е" /п(ж) rfx = xe~x[In(x) + /n+i(»)] + тг[е"ж/0(ж) - 1]
о
О
1.11.3. Интегралы вида \х I^{ax)Iv{bx) dx.
о
2
J
( / 1/ + 1 Г /i + 1 Г(i
о
_,/Л + /Х + 1/ + 1 /X + I/ + I
[Re(A +** + !/) > -1].
ж
Г х
3. xlu(ax)lu(bx) dx = — — [а/1(,+1(аж)/1/Fж) — Ыи(ахI„+1(Ьх)] [Rei/ > -1].
о
4. [ж/2(аж) с!ж = -^[/;(аж)]2 + ^(ж2 + ^ )ll(ax) [Rei/ > -1].
Г /(ж)
1.11.4. Интегралы вида с?ж.
Г /
J /»/
Г rf?C ^(ж) Г A + i/2/^2)
J xll(x) ~ ~ 1и(х) ' J x[Il{x)f
1.11.5. Интегралы вида \х Ju(ax)Iu(bx) dx.
X
1. [xxJv(x)Iu(x) dx =
О A+2i/+l / \ i о i 1 11
= 5 1 Fzil + + • I/ + 1 ^ +
021//\ i о,, i 1\ТР2/», i i\ I /1 ' ' ' г> '
2 ' 4 ' 64
[Re(A + 2i/) > -1].
Г ж
xJu(ax)Iu(bx) dx = — — [aJu+i(ax)Iu(bx) + 6J1/(a^)/l,+iF^)] [Rei/ > —1].
J CL "T" U
2
0
1.12. ФУНКЦИЯ МАКДОНАЛЬДА Ж"у(ж)
1.12.1. Интегралы вида \х Ки(х) dx.
J
2. j xxKu(x) dx = К[ + ^ (
. j xxKu(x)
j + 2 5 Т
о
2
44 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.12.2
3. xvKv(x) dx = 21/7тгГ| i/+ - )ж[Аг^(ж)Ь1/_1(ж) +Ar1/_i(aj)LI/(»)] [Rei/ > -1/2].
о
ж
4. | Ко(ж) dx = ж^о(ж) + ™ [К0(хIл(х) + ^1(ж)Ь0(ж)].
о
X
К т1^11* К (т\ Иг —- —-Tlztl/ ЙГт j- fVl 4- Р^^ГИ 4-1/1 Г+ Rp I/ "•> —11
0
ж
"•"" n + 1 "UW1 4 2 ' 2 ' 4
0
1.12.2. Интегралы вида ж е хКи(х) dx.
. [
J
=F
К1/(ж) с!ж = Р ei^4^)^A,,+i(^
A + v + 1
о
=F же"**А7Г АГ„+1(ж)/1л, ,(a:ei57r) + ^ е±{В^(ж) [lie A > | Re i/| - 1, Я = (
2. ^х"е±хК4х) dx = X"^ll \К„{х) ± Kv+1(x)] T ^^^^ [Re" > -1/2].
О
7 ж^+v
3. х~1/ехК1У(х) dx = [Ки(х) + Ku-i(x)] [Rev > 1/2].
ж
1.12.3. Интегралы вида ж KiJi(ax)Kl/(bx) dx.
оо
Г Ж
1. xKu(ax)Ku(bx) dx = — — [aKl/^\{ax)Ky{bx) — bKv{ax)Ky~i{bx)]
[Re(a
п / 9
/ 9 \
. f xKl{ax)dx = ^[Kl{ax)f ^\{х2+ ^ )К1{ах) [Rea>0].
J 2 2 \ az J
3. f - К„(х)Ки(х) dx =
Ж fl U
х
1.12.4. Интегралы, содержащие Jfl(ax)Ku(bx) или IfJl(ax)Ku(bx).
X
. xJu(ax)Ku(bx) dx =
1
о
2.
/,(аа;)^Fа;) с!ж = [f2 2 ^ 2
О fl О ft
0
3. |ж/4аж)К4^)^ж=^[А+^^/4аж)К4«ж)^/;(аж)^ ^
0 [Rei/>-l].
1.13.2] 1.13. Цилиндрические функции Zv(x) 45
х
4. — Ill(ax)Ku(ax) dx = — [I p, (ax) КI (ax) — K1/(ax)Ifi_l(ax)] [Re/i > | Rei/|].
J x и — /i
x)_
(x)
f f(x)
1.12.5. Интегралы вида „ . ч da;.
_ /^(ж)
xIu(x)Ku(x) Ku(x)' ' J xKl(x) Kv(x)'
1.13. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Zv(
Обозначения:
с) — комплексные постоянные.
1.13.1. Интегралы вида \xxZl/(x)dx.
1. [жА^(ж) dx = [и2 - (А - IJ] f xx~2Zv(x) dx + жА^1[ж^+1(ж) + (А - и -
р ОО
2. ZI/(x)da; = 2^ZI/+2fe+i(ic).
J fc=O
1.13.2. Интегралы вида \ххZ{^(ax)Z{2)(hx) dx.
1. [icAZ^1)(aj)Zi2)(aj)da; = - гХ
J A — /x — i/ + 1
2. ^x±^+1Zl1\x)Zi2\x) dx = ±2{
3. xZi1}(ax)Zi2)(bx) dx = . Х у. [aZ^^c
J a2 — о2
4. [ж^1}(аж)^2)(аж) с!ж =
_ ДЖ Гг/С1) ( \ >уB) ( \ _ уС1)/ \ уB) / \1 д. 1 7A) / \ уB)/ \
/i2 — I/2 M^ ^ "•" /i + I/ P
6. f i zi1)(ax)Zl2)(ax) dx =
w
. f I zP
J x
1 1 Г Г 1
x ^ fi + is + 2n [ J ж
n —1
fe = l
46
Гл. 1. Неопределенные интегралы
[1.13.3
9.
= bxZ^)(ax)Z{2l1{bx) - axZ{^l1{ax)Z{2){bx) + (/x - v)
1.13.3. Интегралы вида \xxZ2{x) dx.
){ax)Z{2\bx),
\xZ'u{x) - ^± Zv(x)Y +
L2 -
Zl(x)
2.
3. I i
4. \^
dx =
[^
dx = ~ \z%{x) ^ Z2n{x) + 2 Y, Zl(x)
1.14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА Рп(х),
ЧЕБЫШЕВА Tn(x), Un(x), ЛАГЕРРА Ln(x), ?°(ж), ЭРМИТА Нп(х),
ГЕГЕНВАУЭРА С^(ж) И ЯКОВИ Р^13)(х)
1.14.1. Интегралы, содержащие Рп(х).
См. также 1.14.5-6; Pn(x) = сЦ2{с) = Р,10'0)(ж
1 Р (т) Нт — —
Д
- Pn-l{x)
dx = --(l-
[п = 1, 2, 3, ..
[п = 1, 2, 3, ..
. fin
J
1 -
п + 1
1
n{n
1 + X
-2Pn(x)
1.14.2. Интегралы, содержащие Тп{х) и Un(x).
См. также 1.14.5—6;
гр / \ _ су2п У1-) р(-
Un{x) = Сп{х) = 22"+l[i!
Bп
2.
3.
4.
5.
= 2
2n+l
(-3/2,-3/2)/
l
— 1
n + 1
2(п-
1.14.4] 1.14- Ортогональные многочлены Лемсандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита 47
г 1
Г га v ; v ; l / j-
8.
х) dx {\ x)Un+1(
n + I
1.14.3. Интегралы, содержащие Ln(x) и Ь"(ж).
х
[Ь() ЬЦ)] Ь() L()
Г
J
!ж
fl ~т~ 1
о
2.
о
Х2
3. \ xXL%(ax) dx = ± \ft ч a?A+12F2(-n, A + 1; а + 1, А + 2; аж)
J га!(Л + 1)
га!(Л + 1)
= 0, ж2 = ж; Re A > -1
= ж, Ж2 = оо; Re А < — п ¦— 1
ж
. [жаЬ^(
J
4. [жЬ^(ж)с1ж
J n + а + 1
о
5.
L(a;)dx х^!^).
n + а + 1
6. Je-^^da^e-^/^aO-L^!^)] [„ = 1, 2, 3, ... ].
a?2
7. f жАе"ажЬ^(аж) da; = zb ^ Чпч жл+1 2F2(a + n + 1, A + 1; а + 1, Л + 2; -ax) +
J n!(A + 1)
(a-A^ ГСП ГГЖ1=О,Ж1 = Ж;ЯеЛ>-1| 1
n!aA+1 l ;[lj LUi = ж, ж2 = oo; Re a > 0 J J
8. [жае^жЩж) с!ж = ~жа+1е~ш1Д(ж) [n = 1, 2, 3, . . . ].
9. [жа+п^1е^жЬ^(ж) dx = - xn+ae^xL^1(x) [n = 1, 2, 3, ... ].
J ТЬ
= _ 1 a.2(«+a)e-2«[L«(a.)]2 _ П4_? Ж2(,г+а)е-2,[ь._1(а;)]2 [n = 2> 2j 3> . . .
1.14.4. Интегралы, содержащие Нп(х).
(См. также 1.14.3; Я2п+г(ж) = (-1)п22п+?1г!/ЬГ1/2(ж2) [е = 0 или 1].)
ж2
. жЛЯ2п
22п+е
Г Г Ж1 = и, Ж2 = ж;
е = 0 или 1, <
I [ я?1 = ж, Ж2 = оо;
= 0, ж2 = ж; Re А > -е - 1
Re А < -2п - е -
48 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.14.5
3. lxHn(x) dx = X Hn+1(x) - — j^-—^Яп+2(ж).
22п+?авжА+в+1 / j
? 2 2
5. zAe-a " Я2п+?(аж) da; = ±(-1)"
J
A+e+1 V 2
Ж 1
1 Л + е + 3 22
-, ; ^а х
2n+e-l ^A^
if !Чп/О\ 2n+e-l
III
II V 2 /n V 2
LeA > -e -
|arga| < тг/4
Г л ^ Г Ж1 = 0, ж2 = ж; Re Л > -е -
\е = О или 1, <
L [ xi = ж, ж2 = оо;
6. [е^ж2
7. [жп
Г if 2 2 2 1
8. erf (аж)Яп(аж) с!ж = —; -г erf (аж)Яп+1(аж) Н = е^а ж Нп(ах) .
J 2а(п + 1) [ у тг J
. [ е^ж2егП(ж)Яп(ж) da; = =¦ Нп(х) - е^х<2 егП(х)Нп^1(х).
J пуж
9 [ ()п()
10. [жЯ^(ж)С;ж = ^я"(Ж)+ \ Н2п+1{х).
J 4 8(п + 1)
11. \xe-aHl(x) dx = -i e-2x2H2n(x) - | е
1.14.5. Интегралы, содержащие С^(
См. также 1.14.6; С^*) =
J;(a!) dx =
3. Jc^/2(x)da; = Prl+i(x). 4.
5.
6.
. [(l-x2
7. j(i x) Cn{x)dx-
0
1.14.6. Интегралы, содержащие Р^ (ж).
(x)dx ^ (x)
2. J(l - x)a(l + xfP^^(x) dx = ~ A - ^)a+1(l + ^^Р^Сж)
[n = 1, 2, 3, ... ].
1.14.6] 1.14- Ортогональные многочлены Лемсандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита 49
J
(-fn)»-1
)
W т < п;
4.
dx =
Tllfl
-п,
N = п
N = ш + 1
Х
' 2
Ж1 = 1, жг = ж; RejU > О
Ж1 = ж, Ж2 = сю; Ке (л < — п
5.
*з^2 | а + п + 1, —/3 — n, /i;
i, ~р — /х — ri
= 1, ж2 = ж; Re/x > О
6.
nlfJL
7.
(
X 3F2 I —n, — n — /3, — n — /i; ^2n ™a^
-Г х, р -г jl,
[ж > -1; RejLi > О]
[ж > —1; Re/x < — n]
8.
-а-n, П + /3 + 1, //; /3 + 1, /х + 1; ^^ +
Ж1 = —1, Ж2 = ж; Rejtt > О
xi = ж, Ж2 = 1; Rea > —1
, —1 < ж < 1 .
1С 2
. f A - ж)'*-1
dx =
nlfi
—п, —п — р, /i; а + J
Ж1 = —1, Ж2 = ж; Re /x < —г
Ж1 = ж, Ж2 = 1;
4 А. П. Прудников и др., т. 2
50 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.14.6
Г а и-1 (а в) 2^те Га + /3 + 2п + 1]
/ 2
х 3^2 I —ex. — га, ^а — /3 — п, —а — fi — щ —а — /3 — 2га, ^а — /i — га — 1;
ж + 1
= — 1, Ж2 = ж; Re а > — 1
= х, Х2 = оо; Re (а + /х) < — n J
. [
J
11 \ (Л — т\^^1A л- V\a+P^^n p\<*iP)(v\ И^г —
Ж, Ж, » I 11 sly J II [ еАУ | J ^j I sly I О/еДу
J
Ж 1
3^2(а + п + 1,а + ^ + п + 1, /х;а + 1, /х + 1;
1 + ж/ \ ж +
0 1 2
|
2а+/3+та
Г Г ал = ж, Ж2 = 1; Re и > 0
|Д Ж1 = -1, ж2 = ж; Re (/x - а ¦
• , -1 < x < 1
[ i xi = —l, Ж2 = ж; ite {{i ~~ a — p) < n + 1 J
a?2
12.
^2"+- в (j8+n+1, м) \\ж;: !11;2Ж2==1;^;>и _, [. -к - < i
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе содержатся определенные интегралы от специальных функций. Интегралы,
у которых один из пределов интегрирования является переменным, в случаях, когда подын-
подынтегральная функция от него не зависит, помещены в главе 1. Интегралы, содержащие произ-
произвольные функции, имеются в [12] (п. 2.1.2). Отметим, что многие определенные интегралы
могут быть вычислены с помощью преобразования Меллина [10]. Указанные в формулах
условия сходимости интегралов обеспечивают их существование либо в обычном смысле,
либо как несобственных интегралов, либо в смысле главного значения.
Некоторые формулы при частных значениях параметров теряют смысл, так как в их
правых частях возникают неопределенности; раскрытие неопределенностей позволяет по-
получить формулы, справедливые при этих значениях параметров.
В начале разделов, как правило, помещены интегралы общего вида, у которых аргумент
одной из подынтегральных функций зависит от параметра г > 0. При рациональных
значениях этого параметра правые части равенств выражаются через обобщенные гипергео-
гипергеометрические функции. Частные значения интегралов общего вида помещены среди формул
последующих пунктов.
В качестве примера найдем некоторые частные значения интеграла общего вида
со
/(г) = \xa~1e~pxrJu(cx) dx.
о
В силу формулы 2.12.1.5 при г > 1 имеем
Т (v I = \ — —
[Rep, Re(a + i/) > 0; |argc| < тг].
После перехода к пределу при г —ь 1 + 0 с учетом формулы для Y{z + 2k) из приложения
II. 1 получим
с\" _Л_„Г(а + 1/) ^ f-l)fe /a + i/\ /a + i/ + l\ ofc / с2 xfc
2
используя определение гипергеометрической функции 2 ft (а, 6; с; z), последнему
нию можно придать следующий вид:
2' 25^ + 15
(см. 2.12.8.3); при этом условия сходимости интеграла Rep > 0, arg c\ < ж следует заменить
на Rep > | Imc|. Отметим, что то же выражение для рассматриваемого интеграла можно
вывести и исходя из формулы 2.12.1.5 при г < 1 с помощью перехода к пределу при г —> 1 — 0.
Преобразовав теперь гамма-функцию по формуле для Y{z + к) из приложения II.1
и воспользовавшись определением вырожденной гипергеометрической функции, можно
получить
52 Гл.2. Определенные интегралы [2.2.1
(см. 2.12.9.3).
Рассмотрим еще случай, когда г = 2m/n, где га, п — взаимно простые целые чи-
числа и 2т > п > 0. Представим индекс суммирования к в виде к = ml + j; j =
= 0, 1, 2, ..., га — 1; 1 = 0, 1, 2, . . ., и разобьем сумму по А; на га бесконечных сумм по I:
/2тЛ угс>~(а+1/)п/Bта) у^ \^ (^1)
V п
""-"
42ml + 2i
X Г П + In 777
\ 2га / \2рп/(^
С помощью формулы для Y{z + fife) из приложения П.1 и формулы для (пк + га)! из
приложения 1.2 получаем соотношение
г2 Y
п
X
Y^ ((a + I/ + 2j)/Bm))i((a + i/ + 2j)/Bm)
f^Q ((j + l)/m)i((j + 2)/m)i . . . ((j + m),
. . . ((a + i/ + 2j)/Bm) + (n - l)/n)/nn'
(A + i/ + j)/m)i(B + i/ + j)/ra)j . . . ((ra + v + j)/m)im
Используя теперь символ обобщенной гипергеометрической функции, приходим к окон-
окончательному выражению
V V г
1)
п )~ 21/+1mp(Q+1/WBm> 2L/ у 4рп/т ) j\T{v + j + 1)
(a + u + 2j \ ( 1, А(п, (a + i/ + 2j)n/Bm)); ( -,)**( c \2m (п
ХЧ 2ш »J»+^^^ A(m,j + l),A(m,u + j + l); ( 1] V2mJ U
где
A, ч aa+1 a+n^l
A(n, a) = -, , . . . , .
n n n
2.2. ГАММА-ФУНКЦИЯ Г(ж)
Таблицу интегралов по прямой G — *оо, j + гоо), j = Re s, см. в [10, §10].
2.2.1. Интегралы, содержащие Г(с + х) @ < х < оо).
оо
1. (ж - а)"™1^ б?ж = Г(а)/х(Ь, а - 1, а) [а, 6, Rea > 0].
J ГA + ж)
[6 > 0].
t2 + TVA
0 ' ' -co
г 1 ж
3. — dx = b^vib, c^ 1) [6, Rec>0].
J Г(с + ж)
о
оо
4. J ^^у ^ = Г(а)м(Ь, а - 1) [6,Rea>0].
О
2.2.2] 2.2. Гамма-функция Г(х) 53
оо
5. -^ г- dx = F(a)b1^cfi(b1 а ~~ 1, с - 1) [6, Re с, Re a > 0].
о
о
оо
_ Г вттгпж с!ж 1 — (^1)п 22с™3 . , .
7- '^^Г(с + х)Г(с-х) = 2~П2с-1) [Rec>l/2].
J Dili /I X 1 I L n^ el/ J1 I L A I ?t 1 I Z>C II
0
oo
dx _ ГDс — ;
о
oo
Q f СОЯТГЖ 1
J [Г(с + Ж)Г(с-Ж)]2 dX= 4Г[2с-1, с, с] [Rec>l/2j.
о
2.2.2. Интегралы, содержащие Г(а ± ж) (^оо < ж < оо).
оо
Г Г
. Г(а + ж)ГF-ж) dx = =р21"а"Ьтг*Г(а + 6) Re(a + 6)<
J L
Im a, Im b > 0
Im a, Im 6 < 0
2. =0 [Re (a+ 6) < 1; Im a • Im 6 < 0].
oo
3. [Г| + |с!ж = 0 [Ima^O; Re(c-a) > 1].
J LC + ^J
oo
- J
r , ^fai + ж, a2 + ж] 2ir2i „ |~ci + c2 - ai - a2 - 1
5. 1 . . аж = ±-—; г—1
. or» /^o -4— ОТ* 1 ЧИП I /1 <i — /"In 1-ТГ 1 /^i — /I -i /^-i — H о /^o — /I i /"*o — /If о
«X/ « ^^ j^ «^ I olll I Сл/_2 ^* X / '* I ^1 ^ X 5 '--'X ^ Л 5 ^ A ^ X 1 ^.Z ^Zi
f Imoi < Ima2 < 0
Re (ci + c2 - ai - o2) > 1, ^
[ Im «2 < Im ai < 0
6. =0 [Re(ci+c2 - ai - a2) > 1; Imai, Ima2 > 0].
oo
Г г , fli -|-fti, fli + &2) ^2 ~h Ь\. U2 ~\~ &2
7. i[ai + ж, a2 + ж, Oi — x, 02 — x\ dx = 2тгм
™oo
[Re (ai + a2 + 6i + 62) < 1].
oo
8.
- ж, c2 + ж, d - ж J T[d + ci - 1, (d - c2)/2, (ci - a + l)/2]
a = C2-ci-d + l, Ima^O; Re (d + ci) > 3/2, J m a
L [ Ima < 0
da;
F[ci + ж, С2 + ж, di — ж, d2 — ж]
3
1 ^W 1 +И
^ 1, c2 + di - 1, c2 + d2 -
54 Гл.2. Определенные интегралы [2.2.2
ю. Т Щх) dx =
r[ci + ж, С2 -Ь ж, d\ — ж, б?2 — ж]
+ С2 + d\ + d2 — 3
+ rfl — 1, С\ + rf2 — 1? С2 + dl — 1, С2 + б?2 "™
" о
[Re (ci + с2 + di + d2) > 3; R(x) = R(x + 1)].
l
"• =r\< ±amo I 1am-> Гл T]lR(t)cos2t + C'~dlndt
l[(Ci + «ij/2, (C2 + «2j/2, Ci + «2 — lj J 2
0
[ci + d2 = c2 + di; Re (a + c2 + di + d2) > 2; Я(ж + 1) = -R(x)].
f
12. е^р[2(ттп +(p)xi]F(a + x)F(b-x) dx =
ti/ i L\/iri \—a — b (b-a)ipi \ /1\ 2ттпЫ / \ —2ттпаг\
= 2жгГ(а + b)Bcosip) el ;?^ ЫпF)е — rjn(—a)e
ж w (nn(z) = O, если A/2 — те) Im z > 0
Re (a + 6) < 1; < Lp < —; те целое , < , ' , , ч / ,
K J 2 Y 2 \т|„(г) = sgn(l/2-n), если (l/2-n)Imz < 0
[a + x~\
dx =
c + x\
1| . ( l\ Bcosy?)c^a^
0 J \ 2 J Г(с — a)
[Re(c-a) > 0; -тг/2 < у? < тг/2; n = . . . - 2, -1, 0, 1, 2, . . . ; ±(n + l/2)Ima < 0].
oo
Г е^ж f 11 [2c(
14. — — dx = < >
^°° Г f — 7Г < 9? < 7Г
oo . 1
Г ^(ж)е^ 7ГП ??^Ж* [2 COS ((p/2)]C (d —c)wi/2 f "
15. dx =:: 6
-oo 0
[Re (c + d) > 1; -тг < ip < тг; те целое ; R(x + 1) = R(x)].
16. | — ; г dx = 0
[Re(ci +c2 + di +d2) > 2; Imo = Img- = 0; \a\ > \g\ + 1].
17. I -p— в11Г* ^-г^ =
1 [ci + ж, C2 + 2ж5 ai — ж, «2 — 2ж]
:i + C2 + d\ + ^2 — 3)/2 1
:i + di)/2, C2 + 6?2 — 15 2ci + 6^2 — 2J
[2(ci - di) = C2 - d2; Re (ci + c2 + di + d2) > 3].
is. i „, . L. A^\dx=[*cos(bmr<-4«nV\
oo
[</? = b(d - c)/2; -тг < b < тг; Re (c + d) > 1].
19. = 0 [6 > тг или 6 < -7T-; Re (c + d) > 1].
2.2.3] 2.2. Гамма- функция Г (ж) 55
sin J Г(с + x)V[d -х) = Л Г(с + d-
22.
Г[С1 + Ж, C2 + X, «i — X, «2 — Ж] [ COS ЖХ
1 J sin <^ 1
~ 2r[(ci + di)/2, (c2 + d2)/2, ci + d2 - 1] \ cos y? J
[(p = ?r(di - ci)/2; ci + d2 = c2 + di; Re (ci + c2 - di - rf2) > 2].
008@,+^+^ dx= 1
ж, c2 + 2ж, di -x,d2- 2x] 2Г[с2 + d2, 2ci + d2 - 2, 2di + c2 - 2]
[ci +c2 +di + d2 = 4].
sin(ci -rfi + 2ж)тг^ =
^ =
F[ci + ж, С2 + 2ж, di — ж, <i2 — 2ж]
— оо
<i2c]_ — C2 — 3
= ± ^ , r^T^ 7 [2(ci - di) = C2 - d2 + k, k = ±1, ±2].
V?r(cc + d + l/2)rBc + cl2) L l ; J
sin(ci-rii+2a;Or dx = ±33ci+d2^4 p |ci - di + ci2 - 2
r[ci + ж, e2 + Зж, d\ — ж, d2 — Зж] 4тг |_с2 Н~ ^2 — 1, 3ci + d2 — 3J
— оо
[3(ci - di) = С2 - d2 + А;, Л = ±1, ±2].
2.2.3. Интегралы, содержащие 1пГ(а + ж).
о
а+1
2. 1пГ(ж) Aж = а In а - а+ П^ ^^ [а ^ 0].
J ¦"
а
3. [ In Г (а + х) dx = У] (а + k) In (а + fc) - па + - In Bтг) _п\п^г> [а > 0].
4. f^-Mnfv^rf Ж17 ]) dx= o/ff^r^/oxC^ + l) [0<Rea<l].
J V [ж + 1/2]/ 22a:+17r0;cos(a7r/2) sv ; L J
0
1
5. [е27ГПЖМпГ(а + ж) dx = -^—[In a-e^2wnai Е1Bттnai)] [a > 0; n = ±1, ±2, ±3, . . . ].
J лжпг
6.
m [ f sin2тгггж 1 . _, ч . 1 f 2С + 21пBтгпI
7. N 1пГжЫж= 1 l M n = 1,2,3,....
Дсо8 2тгпж/ l ; 4тгп\ тг J L ' ' ' J
0
1
{ { sin 2ттпх 1 , _,, ч, lfflnal f cos 2ттпа 1 . /Л ч
8. N НпГ(а + ж)сгж = N > + { >ciB7rna)=F
]\со8 2тгпж/ 1 ; 2тг?г [I 0 j \sin27rna/ l ;
о
Г sln27rna 1 , Л
=F S n >siB7rna) а > 0; п = 1, 2, 3, ... .
[cos27maj J
56
Гл.2. Определенные интегралы
[2.2.4
2.2.4. Интегралы, содержащие Г(а + гж).
1.
[a > 0].
оо
2. f ГA + гж) dx = —.
J e
—-оо
оо
3. [ |r(ai +гж)Г(а2 + гж)|2 dx = 21~2а1~2а27г3/2Г ai?
4.
а + "
dx = 22с"
2"' С " " " 1/21
2с—1,с —a J
оо
. [
J
r _,
[аь а2 > 0.
[0 < а < с - 1/2].
[a, b > 0].
6.
Г - +ix)\ dx = 4ttG.
4
оо
7. ж2сЬттж|Г(а + гж)|4 с?ж = — Г [а + 1, а + 1, 2а]
[Rea > 0].
2.3. ПСМ^ФУНКЦЖЯ ф(х)
Интегралы, содержащие ф(х), могут быть также получены путем дифференцирования
по параметру соответствующих формул из раздела 2.2, так как имеет место равенство
—— In Г(а + х) = ф(а + ж).
aa
2.3.1. Интегралы от ф(х).
J
а + с
а+1
3.
[a, 6, с > 0].
|_Ur "Г С j
хф(х) dx = a + In Г(а + 1) In Bтг) [а ^ 0].
J 2
'x + a)dx = n In Г(гг + a) — ^ (a + A;) In (a + k) + na — — In Bтг) Н
4. 1'жа[С + ^
о
оо
5. ха^1[ф(х + a) - -0(ж + Ь)] dx = ^^— [(A - а, 6) - (A - «5 «
J sin атг
о
1
6. \ е2жпх1ф{х + a)dx = e^2wnai EI [2жпаг)
k=0
1)] dx = - . ^ (A - а)
sinTra
а ^ 0; n = 1, 2, 3, . . . ].
[-1 < Rea < 0].
[a, b > 0; 0 < Rea < 0].
[а > 0; п = ±1, ±2, ... ].
2.3.2] 2.3. Пси-функция ф(х) 57
- Г . , ,/ ч , ^f1! ГГб = 2тгп, n = l, 2, 3, ...
ffsln27rna;l .. х . . /п ч Г ci Bттпа) 1 . /п ч Г si
8. \< }ф(х + a) dx = тпBжпа){ ; ' }- ± cos BтггсаК
}\cos2wnx )YX J v ;\slB7rna) J v ;\е1
о
[a ^
9. sln?rx ^\тгпхф{х) dx = In
J 4t Л T JL
0
10.
11. I X(l - X) СО8 7ГЖ^(±Ж) dx = =F^J CC)
о
1
12.
о
1/2
13.
О
о
15
о
о
17
14. sin Ьх[ф(а + ъх) — ф(а — ix)] dx = жге а A — е ) [a, b > 0].
о
оо
ха~1\\пх - ф(х + 1I dx = —-— (A -а) [0 < Rea < 11.
J sinaTr
f п-л Г ( lM 2lma-l
16. ж 1пж--0ж + -Ыж = CM [0<Rea<ll.
Y _ 7Г Г l]
. ж [In (ж + 1) — ф(х + 1I с!ж = — C(l — a) H [0 < Re a < 1].
J sinaTr I aj
о
oo
18. cos 6ж[1п x — ф(х + 1)] dx = - In -0 j hi) [6 > 0].
J 2 1 ATT \ АЖ J J
0
7+ioo
19. ; [In z — ф{г + 1)]^™S dz = ^2/wie^slT%C[s) [—1 < 7 < 0].
2ж% J
7-ioo
2.3.2. Интегралы от ф^п\х).
oo
Г Г1 1 ( 1\
1. ж"^1 ф'{х + 1) dx = ^у* ~ j (B - а) [1 < Rea < 2].
J [x J sinaTr
о
oo
Г Г 1 1 fi^if il
2. ж"^1 ^'(ж + 1) dx = Ж\ ~ j СB - «) Н [0 < Rea < 2].
J [ж + 1 J sin атг [ a — 1J
0
a+l
Г n+1 (n)/
J
58 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.1
/о = In Г(а + 1) + а - - In 2тг.
т
4. \ хп+1ф(п)(х + a) dx = Jn [а ^ 0; т = 1, 2, 3, . . . ],
о
Jn = mn+V(n-1)(™) - (n + 1)Jn-i,
Jo = га In Г(га + а) - V (a + A;) In (a + k) + ma - — In Bтг) + Ш
In Bтг) +
А Л
k=0
oo
5. \x фк '{x + 1) dx = (—1) —Ц ^ (A + n — a)
J sin атг
о [0 < Rea < n; n = 1, 2, 3, . . . ].
2.4. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА Cf»
2.4.1. Интегралы, содержащие С(х) @ < ж < oo).
+ *ж^) С (-
-ix , тп/1 • \>/l л. \ , ТГ"' 5/4 n ^ь/4 v^ /
2. 7Г совбжП - + гх\A - + 2гх j dx = -—^- \ef - 2e ' \^ exp (-1
0 k=1
2.4.2. Интегралы, содержащие C(s)j по прямой G ™ ioo, 7 + ioo).
Условие: |argz| < тт.
7+гоо
1. | F(s)C(s)z-s ds = -J^j [7>l].
7-гсхэ
7+гоо
2. I F(s)(Bs)z^s ds = 7ri^3@, ez) - Tti [7 > 1/2].
3. = ж{0з(О, ez) - 1L^L _ 7,-^ [7 = 1/4].
7+гоо
4. —^ z~s ds = 2i[lnz — ф'A + z)] [0 < 7 < 1].
7-ioo
7+гоо
5. I ^^—ds = 2г[2 1п2-я-1пГA + г)] [О < 7 < 1].
J SSinTTS
7-ioo
7+гоо
6. f Г(в)ГF - s)((s)((b ^s)ds = 2wiT(b)[C(b - 1) - ((&)] [1< 7 < Re6 - 1].
y-ioo
7+ioo
f
7. f Г(в)ГF - s)(Bs)(Bb - 2s) ds = 2тггГF)[A - 2^b)B(b) - (B6)]
T"io° [1/2 < 7 < Re 6™ 1/2].
2.5.1] 2.5. Интегральная показательная функция EI (ж) 59
2.5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ EI (ж)
2.5.1. Интегралы общего вида.
Г \
^ Ык [р + (а + к) /
о ^—1
[а, г, Re а, Re/З > 0; | argc| < тг].
00 °° / -,\к
2 Г OL — 1/ Г Г\/3 —1 ТПТ / \ I « + Г/3 —Г1-|//Э\ \T^ V "Ч IP
Ж [X — п J ГЛ ^ — СЖ] ЙЖ = 12 I [р) У ———— 1
а к = 1
. r-r/3-c, \^ A - /3)/сГ(а + j3r - г - кг) . ,гк
;; fj
[а, г, Re^, Re с > 0].
оо
3. ^^V V
{х- + z-)p v —) — - г(р) ^ к]к -
о fe~~1
:z)fe + сгр"а \^ —-^ ¦—-т (cz)rfc +
[г, Re а, Re с > 0; r\ arg z| < тг].
4 1 p-Pi I Pt\ fj'iT —
J ^-f l ;
0 °° , l\k / , I \
a—r \—^ (—1) / a -f- к \ ч д.
= —7Г1/ / etg I тг J (ct/J + <
fc=l ¦ ^ '
ттуа~г атг Г ( ч 2атг]
— г.т.Р" ft 4-f m /??/1 — Лтг r.nspr.
ctg \rC + r In (ci/) — 2тг cosee [r, y, Re a, Re с > 0].
r [ r J
. \ха^1е^рхГШ{^сх) dx = U(r) [r, Re a, Rec, Rep > 0],
5
r(a + rfe) ( p\k
cr
17A) см. в 2.5.3.1-12.
oo
6.
^ Г(а - fer)
(-pc ) + ^Ч^ Г \\n(pc ) - ф( + rC
ГА V Г / L \r/ J
[r, Rec, Rep > 0].
60
Гл.2. Определенные интегралы
[2.5.1
7.
1е±сх EI (тех) dx = ^
[a + k)/r +
x М'—) " 1> (^^ + Р) ~ гф{к + 1) + г In (ас)} ^^
V / \ Т I \ К.
a,r,Rea,Re/3>0,
оо
8. \ ха^г(хг - аг)^ге±сх EI (тех) dx =
к\к
к\
9.
е± EI
J\ k\
-^r-r-A;r)^ LV ' ' J Нас]
[ ctg [(A;r + г - а — /9г)тг] J
[а, г, Re/З > 0; Re (а + fir) < г + 1, 1 ' &rg С' < Ж 11.
L U > 0 JJ
Г(а - тр - гк) \
A;!
г > 0; 0 < Re a < r Rep + 1; И arg z\ < тг,
с > 0
10.
(тех)
n cosec2 ^^ п
к\ [ г
н„ (ч,,] + «" | г(„ - г -,«
?: ;
ОО
11. [ Жае"ржГ
J
г, Re а, Rep >
0, ( ' aFgC' < Ж 11,
lc > о J J
см. в 2.5.3.1-12.
2.5.1]
2.5. Интегральная показательная функция EI (ж)
61
. 7 ж-1
J
( ж)
(a- rk)(c*p)k
I 7 ^
\ctg[(a-A;rOr]
Е^^П-:
kl
13.
cos bxr
6, г, Re с > 0; Re a > -r?; <f =
W{r) =
sin [(a + А;)тг/Bг)]
2r r V 2 2r
И/A) см. в 2.5.7.4.
14. I ха~1е~рхГ^
¦ }m-<
[r > 1],
[r < 1],
6, r, Rec, Rep > 0; Re a > -r?; <f =
0/ '
X(r) =
/ Stt a + к P \ c /<5тг а р
x cos I -— arccos —, —, \- cos -— arccos —, 1 x
2 Г
2 Г
1 / Stt a p
H— tg arccos —. 1 arccos -
r V 2 r ^/b2 + p2
[r > 1] или [r = 1; |c|
[r < 1] или [r = 1; |c|
oo
15. f xa^e±cx sin 6жг EI (тех) dx = YA,
loo
ojj'
, Г) =
> V7 Г
r ^ k\ \ r
2r
-A;
2cr
T
[r > 1],
62
Гл.2. Определенные интегралы
[2.5.1
Y(S, г) =
a-k-rS-1 Bcr
COS 7Г
-k/r
2rk) ( cosec (а
оо
. Г
ie. j *•
0
Y(S, 1) см. в 2.5.8.4^5.
е±сж cos bxr EI (тех) dx = У @, r)
h, r > 0; 0 < Re a < r + 1,
2fc
arg с
с > 0
_
JL--J А I —СХ I ИХ — п Z
5, г) см. в 2.5.1.151.
A;Or/r]
ttz" атг Г _ Г 01 . атг атг г . , Л
cosec гС — < >тг sin ж ctg h г In (cz) +
ar r \_ [1J r ra J
(a - kr)
ф(а) + In (с)
а
[г, Re с, Re а > 0; r| arg z| < тг].
18.
Ei (-5.') Ei (-с*) dx = -6
g
19.
алг \г / [ \ г / crj
[г > 1 (или г = 1, \с\ < |Ь|); Re a, Re 6 > 0; | arg с| < тг; при г < 1 — замена xr = t].
b
EI (^с
Г(а - fcr)
ЕГ(а-кг) rk ba/r
к\к(а — кг) а2г
Г (а
i а/r \ "^ 1
/ .v k\k(a + Jfe)
1 агС — г
¦«¦(-?)]
[аС — ar + r — агф(а) + a In Fcr)l [r, Re 6, Re с > 0].
QLZCa
20. Г
= Z(r)
r, Re а, Re6>0,
( |argc| < тг
lc>0
x ^(k + 1) - - ф
1 r
- In —
r
ф( + In +
r \ r I r cr a + к \\ b
[r>l],
z(r)
r(a + rib)
: [(а + кгOт\ 1 / о \
1 b 1 J cosec атг 1
J c^J [ctgaTT J
2.5.2]
2.5. Интегральная показательная функция EI (ж)
63
dx =
21. f ха~1е±ЬхГ±сх EI (Tbxr) EI (тех)
° _ ттЬ^а/г у, (±1)к (а + к\ Г cosec [(a + к)ж
~ г ^ к\ \ г ) \ctg[(a + к)ж/г
/г]
к/г
Г f I are: 61 ! arer el < тг1 1
\r > 1 (или г = 1, \с\ < |6|); 0 < Rea < г + 1, < >, при г < 1 — замена xr = t .
oo
22. Г жа^1е^ЬжГ+сжЕ1Fжг)Е1(^сж) dx = U(r) [b, r > 0; 0 < Rea < г + 1; |argc| < тг],
2тт 2(а +
— cosec —
г г
а + к
fe/r
г \ г
: — г — кг
b ^-^ sin (а — г — кг)тг \ b
с \
b I
И+1} -rV;(Q+fcr)+nr ctg (a+kr)n+in т] Ш
(-l) fclctg тгГ
k=0
2.5.2. Интегралы от A(x) EI (еж + d).
oo
f 1
. Е1(-ежЫж = ^-
J с
oo
2. I xa^1El(-c
о
oo
Г
3. J x" Ei (-с»)
0
oo
4. f ж^1/2Е1(-с
J
dx = -
1сД
dx = -2W-
Vе
5. 1 ^ C^j dx = -ecz El (^
J { + J
[Re с > 0].
[Rea, Re с > 0].
[Re с > 0].
[Re с > 0].
[Re с > 0; | arg z\ < тг].
. [жа(а-ж)/3Е1(-сж) dx = -aQ+/3cB (a+1, /3KF3(a + l, 1, 1; «+/3 + 1, 2, 2; -ac) +
+ aa+/3^1B(a5 /3)[^(a) - ф(а + /3) + In (ac) + C] [a, Rea, Re^ > 0; |argc| < тг].
oo
. f ж^^ж - af^1 EI (
(-еж) da; =
1, 2, 2; ^
64
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.5.3
+
1 ^
1 — а — р
2F2A ^ /3, 1 - а - /3; 2 - а - /3, 2 - а - /3; ~ас) +
аа+/3~1В(/3, 1-а-/3)[^A-а) - фA - а - Р) +\п(ас) + С] [а, Re^, Rec>0].
8.
(а + 1, р - а - lKF3(a + 1, 1, 1; 2 + а - р, 2, 2; ez) +
2F2(p, p - а; 1 + р - а, 1 + р - а; cz) +
р — а
a рВ(а, р- а)['0(а) - -0(р - а) + In (cz) + С] [Rea, Rec > 0; |argc| < тг].
9. I , *"". „ EI (-с*) ^ = ^^ ec*/2,
о
[Re а, Rec > 0; |argc|<7r].
10. EI ( — еж) с!ж = тг|/а ctgaTr — EI (—с
J ж — 2/ Lsm2a7r
О 1
с Г(а — 1)
Н —^ ^ 2F2A - а, 1; 2 - а, 2 - а; -су) [у, Rea, Rec > 0].
1 — а
oo
11. | ж" EI (^сж - b) dx = ~b{a^1)/2c^aF(a)e^b/2WHa+1)/2^a/2(b)
о
[Re c, Re а > 0; | arg c\ < тг].
°° if n 1
12. f жп EI (^сж - 6) da: = 7 V^T (-6)n+1 EI (-6) - e У" (n - ib)!(-&)fc
Jo in + ijc L fc=0 j
[Rec > 0; |argc| < тг].
13.
14.
k=0
i=o
15.
Г(р -
[Rep > 1; | arg6| < тг].
16. Г ха^г[еЪх
EI (^
- bz) + e^bx EI
- bz)] dx =
[6,Rez>0i0<Rea<l].
2.5.3. Интегралы, содержащие А(ж), ерж и EI (еж + d).
I. Je-Ei(-c
0
oo
= --In
[Re(p + c) > 0; |argc| < тг].
a(c ±p)°
Re а > 0,
J
c) > 0; | arg c| < тг
1 Re (c - p) > 0
2.5.3]
2.5. Интегральная показательная функция EI (ж)
65
3. \ х~1/2ерх EI (-еж) dx = -2J^ arcsln J?-
J V p V c
oo
4. [ ^-V^.-p. и (_ca
J
= _2 /Ё
V
vc
oo
5. f же~рж EI (-еж) с!ж = —^—- - J- In (l +
J pfp + c) p^ V c
о
6.
х 1есх Ei (—еж) dx = .
са sin an
[с > p].
[Re (p + c) > 0; | arg c| < тг].
[Re(p + c) > 0; |argc| < тг].
[0 < Rea < 1; | argc| < тг].
. Жпе"рж
J
oo
8. f е^рш EI (еж) dx = -- ln (?- - l)
J p Vc /
к \р =р с
10
11
12
13
oo
Г Q,_i -
j X
О
оо
О
оо
р
О
оо
J же
о
оо
. j .-<-
— оо
оо
. Г ж"^1есжЕ1(^сж^6)
с(р — с)а~г
= -./- In 2
- с)
p — c
b — ic
Ei(-cx)dx = Li2{--
X \ C
14
15.
16.
5 А. П. Прудников и др., т. 2
^сж - 6) da; =
_b/2f
> c> 0
Re(p + c) >0,
[Rep > с > 0].
1; 2 - а; —
[Re а > 0, Rep > с > 0].
[0 < Re а < 1; с > 0].
[Rep > с > 0].
[Rep > с > 0].
[Im6 = 1т с = 0].
¦) [0 < Re а < 1].
Юр>о].
66
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.5.4
2.5.4. Интегралы от жае/(ж) EI (еж).
оо
. [ ха-1е~р/х EI (-еж) dx = Г(^а)ра ^^ 2F3A, 1; 2, 2, а + 2; ер) - ф(-а)
J I а + 1
о
¦In (cp) I ^ iF2(-a; 1 - «, 1 - «; cp) [Rec, Rep > 0].
1(^сж) dx = -iJ^
OO
*i f -V2 -
2. jx e
0
oo
3. f ж~3/2е~р/ж EI (-еж) dx = 2i[^ EI (-2*/cp)
J у p
0
oo
4K—<-—=>
oo
f -3/2
5. j* e
ОО
. f
J
Ei (-
[Rec, Rep > 0].
[Rec, Rep > 0].
[Rec, Rep > 0].
х EI (±сж) dx = J^ [e2v^ EI (^
EI
Г1/2есж^ь/ж
6. f яГ1/2есж^ь/ж EI (-еж) dx = 2W- [cos2^6^ si
J V c ¦-
0
0,
\Re(p + c) > 0, |argc| < тг J J
- sin2^6^ ci Bл/бсI
[Re 6 > 0; |argc| < тг].
OO .
7. f ж/2есж"ь/ж EI (-еж) dx = 2 J| [cos 2^6^ ci Bл/Ъ^) + sin 2^6^ si B>/бс)]
[Re 6 > 0; | argc| < тг].
2.5.5. Интегралы, содержащие e ^ж^ и <р(х) EI Fж) + %(ж) EI (еж).
[0 < Rea < 1; | argc| < тг].
. I xa^1ecx[
J
(l-a)c v ' \ с
[0 < Rea < 1; Re F - c) > 0; |argc| < тг].
¦-у
о о,
4. [ е~рж2 [EI (-еж) + EI (еж)] dx = - J- EI ( —
J Z у р у 4tp
5. |е^рж2[есжЕ1(^сж) + е"сжЕ1(сж)]с1ж= \J^ exp f ^ ) Ei f —C"
. exp f
2 у p \4p
OO
6. f е^рж2 |еF+с)ж/2[Е1 (-bx) + EI (-еж)] + еЧ6+с)ж/2[Е1 (bx) + EI (еж)]} dx ¦¦
= A/- exp
t; p
У > 0
2/ <0
[Rep > 0].
[Rep > 0].
[Rep > 0].
2.5.8] 2.5. Интегральная показательная функция EI (ж) 67
2.5.6. Интегралы, содержащие гиперболические функцией Ei(—еж).
оо
1. ch bx Ei (-еж) dx = — In [с > b > 0].
J АО С + О
О
оо
2. -shba;Ei(-ca;) da = - Li2 ( -- 1 - Li 2 - с > fe > 0 .
J ж 2 [ V с) WJ
о
2.5.7. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
и Е1(сж).
Обозначение: 8 =
Tfsl
. N
J [с
о
^Ei (-еж )dx = -—^
соябж] 26 [2aretgF/c)
., , , 1 fln(l + 6cI
i (-еж )dx = -—^ v ; > 6, Rec>0.
26 [2aretgF/c) J
___1
2. Ei (—еж) dx = — 2 > arctg Rec>0.
J sins l ; ^ 2k + l с L J
о k^°
oo
Г sin Bn + 1)ж _.. . ч . 1 v^ 1 2A; .
3. — Ei ( — еж) ax = > — arctg — Rec > 01.
J sin ж с ^ k с
о fc~
Г a_i j sin ox i , ч
4t. X ^ , ?ЬЦ CX J ttX —
J
0
x з^2 ( —^—, ^^. ^+ ' 2 ' 1 + ^^; ^^ I f6' Rec>°5 Re«> -*]•
5 1 itt-t/ \i *- i I ч , ™
. жсов6жЕ1(-сж) da = —т-ln (l+ — ) - 7^ ^ [6, Rec > 0].
J 2oz \ cz J bz + cz
0
. жятб^ж EI (—еж) йж = — — erf ( —— J + -J- exp ( — ™— ) [6, Rec > 0].
J cr \2y/c J bye \ 4c/
6
0
oo
Г «—l I sin b\/x I . ч 2& Г(ск + S/2)
7. ж < . ^>Е1(-ежЫж = , -,V0/0 L-^-
J [cosfev^J v 7 ca+s/2Ba + <5)
о / c j ,
X 2F2I a+ -, a + -, - + ?; a + - + 1; ^"p [6, Rec > 0; Rea > -6/2].
\ Л A A A 4C /
00
8. f x^1/2 co^b^fx Ei(-ca) dx = ^^erf (—— ) [b, Rec > 0].
J 0 \2y/c J
0
2.5.8. Интегралы, содержащие е рж, тригонометрические функции
и Е1(сж).
г
. Г _рх(8тЬх\„ч w 1 [(И, У(р + еJ + Ь2 /р\ . 6
1# е 1 i. Г El(~cx) dx = - 2 1 о 1 fln^ Ti,^ arctg—
J [ cos bx j p2 + &2NpJ с 16 J p +
0 L
[6, Re(p + c) > 0; |argc| < тг].
2- e 1 а Г El (сж) ^ = ~ 2 , u2 П fln^ T , arctg
J I cos 6ж J P + & IP J c ^^ P — c
0 L
[b ^ 0; Rep ^ с > 0].
68
Гл.2. Определенные интегралы
[2.5.9
3. есх<
о
4. \ ха~ге±сх sin bx EI (тех) dx = 17A)
о
--Т- r(a-l)sin^-
С А
— Г(а - 2) cos ¦
b > 0; -1< Re a < 2
<* 3-а Ь2
[Ь > 0; | argc| < тг].
Г |argc| < тг 11
'loo }]•
-;
А
1,
-, ^—;
А А
' 2' 2' 2 '
5. f жа^1е±сж cos 6ж EI (тех) dx = U@)
о г
6 > 0; 0 < Re а < 2,
с > 0
см. в 2.5.8.4].
J
2.5.9. Интегралы от ха lnn x EI (еж).
оо
. [
J
dx = - A + C + lnc)
с
[Rec> 0].
оо
2. f ж" In ж EI (-еж) dx = Ia,
(-1 + 2C + 21nc),
00 г
J dan \ аеа
о
2.5.10. Интегралы от хае^рх 1пп хШ(сх).
оо
1. [ е~сх In х EI (-еж) с!ж = — [(B) + (С + In с) In 4 + In2 2]
[Rea, Rec>0].
L J
[Rec>0].
2.
о < Re«
Чоо
/1 = ^тг
Г(а) fcosecaTr
<
d» /^Г(о) Г
'а) — In с — тг
J
<
ca { ctg атг
= - [(In (p + c) + C) In (
p[ V c
fctgOTr 11
< > .
I 2 cosec 2атг J J
5 2,
0; |argc| < тг].
4. f е^рж In ж EI (еж) dx = — [2 LI 2 f- -"\ + In2 - + In2 (Cp - Cc) - In2 (Cc) +
J 2p[ \ pj p 3
[Rep > с > 0].
2J.11]
2.5. Интегральная показательная функция EI (ж)
69
5. f ^^e^ln^Eif-ca;) dx = --^_ _J^1_ ф f _P_? i? a
J aan I (c-{-p)a \p + с у
о
[Re a, Re (p + c) > 0; | argc| < тг].
6.
[Rea, Re(p + с) > 0; |argc| < тг],
/« =
Г(а)
f f P \ ( P
— { In (p + с) ™ шаиФ! 5 1, а I + Ф[ , 2, а
а[ VP + c J Vp + c
n
С + In (p + c) - V
)п+1
2.5.11. Интегралы от жа EI (&ж +с!)Е1(сж).
оо
1. [ Ei(-caj)Ei(caj) dx = 0
oo
2. jx E,(-C!B)Ei(.
0
oo
3. f Е1(^6ж)Е1(=рсж)
о
oo
yi f a —1 TT 2 / \ i
4. ж bi ( — еж) аж
dx =
^^ In F ± с) - \ In с =F - In 6
ос о с
Г(а) ./1 1
¦Ф -,1,а
2ааса \2
оо
5. f ж"^1 EI (-Ьж) EI (-еж) с!ж = /а
[с > 0].
[0 < Re а < 2; с> 0].
J Re F + с) > 0
I Re b > с > 0
[Re а, Re с > 0].
[Re F +с), Re а > 0],
/а =
Г(а)
а + 1N
, 1, а + 1, а + 1; 2, 2, а + 2; -?) + I [I - ^(а) - С + In
!]}¦
fe2 + с2
In 6 In с 1
x In 6 In с
n! f 1 I с
-TT In-
}¦
a
6. f Ei (ж - a) EI (-ж) dx = 2(C + In a)e^a - 2A - aC - a In a) EI (-a)
- aICB) + (C + In aJ] - 2a ^
fe=i
[a > 0].
70 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.12
оо
7. \ EI (а - х) EI (-х) dx = е~а[1п 2 + е2а EI (-2а)] + - [(С + In аJ - 2(B)] -
О °° к
— а(С + In a) EI (а) + a In 2[Ei (—а) — EI (а)] — EI (—а) + а \J fefc
fe=i
1 -2^(ife + l) +In (be)
1-A;
[Re 6, Re с > 0].
9. aT^Ei -- )Ei(-cx)dx = -4J- A + 2V6c) EI (-5
J \ ж/ V c L
0
[Re 6, Re с > 0].
2.5.12. Интегралы от xaef{x) EI (Ъх±г) EI (еж).
oo „
1. efcca; Е12(^сж) dx = —-— [fc = 1, 2; Re с > 01.
J 6kc
о
2. f е"сжЕ12(^сж) dx= -\^- -2U2(\) + 2 In 2 In3 - In2 з] = с -1,228558...
J с [ о \6J J
oo if2/
0
oo
0
OO cy
5. f е"сжЕ1(^сж)Е1(сж) dx = ^— [O 0].
J lzc
0
00 /2
б^,""^""^* TT!i ( гт\ p,i ^т^ /7t — 9а"-%/тг r~a r+o- Г2 I inFJ • —• ?-—
I Л С EjI ^ CX J EjI ILX J ttX — Z. V7*1- ^^ft ^ A 1^J-^11 ^?n,'n5 о
2 2 cz
[Re с > 0].
3. j е^^Е1^(^сж)с1ж=т^т|^ + Ы2(^^)| [|argc|<7r].
о
4. e Ei еж йж = —
4c
о
о
c«+! g^ I 2 J2 4 2 ' 2 ' 2'
0 [Re a, Re с > 0].
8. [ xe~cxEi2(~cx) dx= \\^r -2Li2(^) + 2 In 2 In 3 - In2 3 - In 3| = cT2 -0,129946 . . .
J с I b \SJ J
0 [ReOO].
oo
. f [е^сж + ex EI (^сж)]2 da = — A - In 2) [Re о 0].
J 3c
9
о
2.6.1] 2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус ci (ж) 71
II Л — (Ь+С)Х Л. / I \ Л' / \ I А " i 1 * ° 1 ^ ' ° 1 ° i Т • I
10. е 1 ; Ei ( —ож) Ei (еж) аж = — In -— In — In — + Li 2 I
J \ j \ j 6 + c[l2 26 b b \
[c, Re 6 > 0].
00 2
11. f e{b^c)x EI (-bx) EI (-еж) dx = — + - In2 2 - LI 2 (l - —) + In 2 In ^
0
[Reс > 0; |arg6| < тг].
oo
12. Г xne^px EI (-bx) EI (-еж) dx = In [Re {b + с + p) > 0],
— Li 2 I 7 1 + In b In с — In (b + с + p) +
In (- In (c + o) — \^ — I 1 I In ¦
f 1/ p yl
0
13. f x-V*e°*+b/' Ei (-^ Ei (-ex) dx = -^- e2^ Ei (-2Vbc)
b
argc < тг .
2.5.13. Интегралы от xa lnn ж EI (еж).
oo
. f 1пжЕ12(-ж) dx = -CB) -
о
2
. f жа^11ппжЕ12(^сж) d»= -^-[ Г{а^ &(-, 1, «11 [Re«, Rec>0].
J l ; dan I2a^1aca \2' ' I \ L J
о
oo
3. I xa^1lnxEl2(-x) dx = Ia [Rea>0],
21-a
2.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СИНУС si (ж) И КОСИНУС с! (ж)
2.6.1. Интегралы общего вида.
Обозначение: S = < >.
v ci (еж)
0
O*. \P/i /j (л /o 1 c\ /c /0 I l\li
72 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.1
(
2г Г 7 г
oo
л г • / \ \ a + r/3 + o
2.
В (/3, - 1 [а, г, Rea, Re/3 > 0].
\ Г
Г ~ (^g2c2/4)fc ri_0_(a + j + 2fc)/rl
2r
, r-rg-« у A ~ ?)*Г(г/9 + <* ~ r - rk) I sin [A - /3 - a/r + к)гж/2] \ kr
^ k\{rP + a^r^rk) \ cos [A-^- a/r + к)гж/2]}{ }
[a, c, r, Re/3 > 0; Re (a + fir) < r + 2].
' J (i' + ztlci(a)j 2гГ(р)
1 F 7 \cos[(p-a/r + fe)r7r/2] J
^^ A;!(a — rp — rk)
[c, r > 0; 0 < Re a < rRep + 2; r| argz| < тг].
, ж"™1 Г si (еж) 1 . жс8уа~г+8 (^ (-с2у2/4)к а + 8 + 2к
\
- у \ ci {ex) J 2r
0
+ 2 ctg тг d + A - d) С + In (cy) cosec > -\ -f ctg =p
r[ \ r r J \ j 2r r
cr^a ^ (ус)гкГ(а^г-кг) ( sin [A - a/r + к)гж/2] 1
T r k^Q (l-a/r + k) [ cos K1 - «/r + ^)^тг/2] J
[c, r, t/ > 0; 0 < Re а < r + 2].
oo
5. [ ж06-^-^ [Ш^Х\\ dx = U(r) [с, г, Rea, Rep>0],
о
t/(r) = -с
U(l) см. в. 2.6.3.3.
2.6.1]
2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус с! (ж)
73
6.
x-l^-px ¦ ) -V — / I j _
ь ci (еж) J 2г
+2Г
V
(-1)*
0(
с_°_ ~ (-pC)fc г _ Г sin [(a - rk)n/2
г ^^(к — а/г)к\ \ cos [(а — гк)ж/^
«\
- I а-i . » г Г si (еж) i , ,
7. I ж smbx { . , ; } dx = 1/A, г)
/2]J 2r v r,
[с, г, Rep > 0, Re а < 2].
[Ь, с, г > 0; -г < Re а < 2],
|/G, т) =
^ (А; + <5/2)A/2-
с \2fc 2к + а + <5 — rj ( а + 8\ а + 8 — г^
х I ^тт^ I cos L ж + 2Г [ I cos L ж х
2г
J + A - J) [ С + In ти- H
1 J\ b1^ 2r
tg
2r B 2r
г \г))\\ 2ba/rr \rJ 2r
> 1],
17» r) - -
b1
[r < 1],
oo
8. ха~г cosbxr \ Sl
J {ci
0
(cx)
9.
sin 0ж' < . ) ; } dx =
k ci (еж)
¦ Г7 + 2rk) { cos [(a + rj ¦
V(j, 1) см. в 2.6.3.5-6.
), r) [6, c, r > 0; 0 < Re a < 2; ^G, г) см. в 2.6.1.7].
[6, с, r, Rep > 0; Re a > -г],
-If
I ?_ J
x Г
77Г a + <5
cos
r J \ 2 г
Ь2+р2 J 4k(b2
Jlk
/77т a
I
1 , c2r 1
— In — H— arccos ¦
2t о~ -\- v t
+ p2
. TL.SL,
' V 2 r
[r > 1] или[г = 1; |с|2 < |62+p2|],
Wh) = _c-« V (-We + rfc) Г sin [(« + rk)n/2] 1
x cos [ ——h Aj arccos ¦
[r < 1] или[г = 1;
74 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.2
оо
10. \ х е^рх cosbxr < .; ; > da; = W@) [b, с, r, Rep, Re a > 0; W(j) см. в 2.6.1.9].
J [ci(c«)J
0
11 \ r \r\ (т -\- г ) < \ с\т — ~Y (Л\ \с г "> О- О <" Rp rv <" 9*
о
^ ^ ~ с" ^ к(гк - а) \ cos [(a - гк)ж/2]
8 а+Л^ (-l)k(cz/2Jkcos1^[(a + S + 2k)n/r]
¦ o)fe(a + о + 2&) sin [(а + о + 2к)ж/
(a + S) sin [(a + <5)тг/
<57r2zQ;cos1(a7r/r) rF(a) (sin (an/2) 1 [l , , ч ;/ . тг т1
+ ^ { J \[+Ы (c) " ^ T tg
2asin(a7r/r) аса {cos (атг/2) J [« 2
, ; } dx = У@) [с, г, z > 0; 0 < Re а < 2; УG) см. в 2.6.1.11].
ci (еж) J
о
оо
13. [ Z si (bxr) I S1 [CX\ } dx = Z(l, r)
J [с1(сж) J
0 [b, c, r > 0; 0 < Re a < r + 2; при 0 < r < 1 — замена xr = t],
ЯG, г) = т
xcos
^ Bife + S)Bk + a + J)(J + l/2)feife! 22kb2k/r
a + J + 2k — rj 4
7r+
2;7r+^4^Jcos2;
f tg
2r 2r
Г cos ^
т Г — cos —^ тг [r > 1 ,
/r Vr/ 2r L J
Z(j, 1) см. в. 2.6.7.1-5.
00
14. [ /4 ci (bxr) I S1 [CX\ \ dx = Z@7 r)
0 [6, c, r > 0; 0 < Re a < r + 2; ?G, г) см. в 2.6.1.13].
{si (еж 1 1
.v ; > и A(x)Si(cx).
ci (еж) J
Обозначение: S = < >.
Л ? f si (еж) 1 , 1 f ll r
J [ci(cx)) с [0j
0
00
л Г a-ifsi(ca;)l . Г(а) f sin (атг/2) 1
2. ж N ., ;>с!ж = -^^^ l, 7.M c>0;0<Rea<2.
J \ci(cx)j aca \cos(a7r/2)J L J
0
2.6.2]
2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус ci (ж)
75
оо
. \ xa~1Si(cx)
J
dx = -I^sin —
aca 2
[0 0; -KRea < 0].
4.
Ж ~т~ Z
[c>0;
5.
6.
Sfffl X
— si
ж - 2/
x - у
x\) dx = ttcI (c\y\)
= —7rsgnysi(c|2/|)
[c > 0; i/ ф 0].
[с>0]Уф0].
5 3/2+ E, 2
' 2
)
[а, с, Re а, Re^ > 0].
1, 1 + 5/2, 1 + (a +
2, 3/2+ 5, 2 + 5/2,
-аУ/4 \ , a"+2^-V
+2/3 + 5^2 ё
(!-¦
i V(l - f) - i
- f - P) +
5тгаа+2'3-2
x 2F3
9-
2-p- a/2, 2 - /3 - a/2, C - a)/2 - /3
[a, c, Re^ > 0; Re (a + 2/3) < 4]
2 + 5 a + 2-2p+5
1,1 + 6/2, (a
2, 3/2 + <J, 2 + 5/2, 2 + (a + <J)/2 -
p-a/2,p; cV/4
1 + p - a/2, 1 + p - a/2, A - a)/2 + p
[c, Re z > 0; 0 < Re a < 2 Re p + 2]
76 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.3
i(-«) [c,Rez>0].
о
11. —?¦ 2 S1 (СЖ) dx = ~~^2 1С + 1П (CZ) ~ И (^CZI IC' Re Z > °]'
J Ж -г Z Lz
0
oo
Г ж""" Г si (еж) 1 7tc2+<5i/q:+<5 a + «5
12' j ^3^(с!(сж)| rfa;=4(l + 2J)B + 5)Ctg^-7rX
2, 3/2+ 5, 2 + 5/2
x ctg 7г[о + A — о)(С + In (су) — тг cosecttTr)] Н ctg h
2 4 2
+ с2-*Г(а-2) f sin (атг/2) 1 ^g / 1, 1 - a/2; ~c2y2/4
«^2 \ cos (an/2) J 2 3y 2-a/2, 2-a/2, C-a)/2
[с, у > 0; 0 < Re a < 4].
OO
Г 1 Г ж si (еж) 1 . . тг (ci(cy)
13. ^ ^^ К )\dx = ±-\ \У)
J ж^ - ул [С1(сж) J 2 [2/ l si (су)
о
2.6.3. Интегралы от хае~рх < \шхае^рх Si (еж).
[ ci (еж) J
1. f в'"' \" (;Ж} 1 dx = l- {&rCtf(p/c) 1 [с, Rep > 0].
J \ ci (ex) J p \ In y/l+p*/c* J L J
0
OO
2. f е~рж Si (еж) с^ж = - arcctg - [с, Rep > 0].
J p e
[«(еж)
0
2
cos(a7r/2)l _/а + 1 а + 1 а + 2 3 а + 3 р2\
S q го I ' — # I —
(/) j 2V ' ' '' ' 2/
. рГ(а + 1) fcos(a7r/2)l _
-4- / S q го I
(« + !)€«+! \ sin (атг/2) j 2V 2 ' 2' 2'2' 2' с2
Г(а) fsin(a7r/2)l ^ (а а а + 1 1 а ^ р2\
~^^{ , /оЛзй т,т,^Г;7,т + 1;~ с, Rea, Rep>0.
acQ [cos(a7r/2)J \22 2 22 с2/
оо / 2 \
4. Г же^шС1(СЖ)^ж=^^^/?1ПA+^] [с, Rep>0].
J p2 + c2 2p2 V с2 /
00 / / 9 \
Г _ 2 1 /тГ / с \
5. е рш ci (еж) dx = -w— Ei ^^^ [с, Rep > 0].
J 4 у р У 4р/
о
\c\(cx)jdX~ 4
( 1,6/2 + 1, (a + *)/2 + 1; -c2/Dp) \
% 2 5/2 2 3/2 J )
2, 5/2 + 2, 3/2 + J ) 4p(«+«>/*
2.6.4] 2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус ci (ж) 77
7. же™рж2 si (еж) rfaj = -— erfc ( —*— ) [Rep > 0].
J 4р \Ъу/Р J
8. J.-./..-^.,(<!.)lfa = _,1/E|[i.s(g)]1+['.o(g)]'} ,е. „.„>„,.
9. I ± е-'* { « <"> Ьх = ± 1 { ?* ^ } [с, ШР > 0].
J ж2 [«(еж)] р [kerB^pe)j
о
2.6.4. Интегралы, содержащие степенную, тригонометрические
, Г si (еж) 1
функции, < , {} или Si (еж).
(с1(еж)]
Обозначение: S = < >.
оо
Г Г si
. N
J [ с
sin bx si (еж) . , .
, .) \}dx = O [0< b<c].
cos bx ci (еж) ¦
о
oo
2. l{ —-v—/ i dx = -^ [0<c<6].
0
I «in /*т> «l I г*1>\ I тг
[c > 0].
OO
Г J sin 6ж si (еж)
J X cos bx ci (еж)
Г J sin еж si (еж) 1 тг
I 1 гпч от с\ (от\ I 4/^*
0
oo
ИГТ1Ч Ht^IiotiI 1 Г In i/) —I— o\(h о i
• ь •/ ^ = -77 , ; A2/, \. 2,, ,A 6,oo; 6 =
sin ож ci (еж) J 26 i In [1 — mm (o, c)/ max^(o, c)\ '
о
oo
5. fa;a-1Sm6x(Si5Ca;H dx =
J lci(cx)J
о
с5+2ГB + a + 8)
-a-j-o 9
1, l + J/2, (a+ 3)/2, a/2 + 5 + 1; е2/62
2, 2+ <5/2, 3/2+ <5
\ 2 2 6
<5тгГ(а) a — 7
-^^- cos L тг 0 < с < 6; -1 < Rea < 2 ,
26" 2
, (a + 7)A «/2 + 7;
[0 < 6 < с; -l<Rea< 2].
6. I /4 cos 6ж I O11"";4 !> dx = 17@) [6, О 0; 6 7^ c; 0 < Re a < 2; U(j) см. в 2.6.4.5].
J [а (еж)/
о
cos bx { ) {
7. I isinbxSifca;) dx = -^2G) -U2(-t)] lb^ c > °1-
J ж 2 L \b/ v 6/J
78 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.4
оо
8. | Дг sin - SI (еж) dx = ?r[l- JoB\/bc)} [6, с > 0].
J Xz X АО
0
л Г a-i[f sin еж
9. ж <
J
J |_1СО|ЗСЖ
о
.f . г cos еж 1 .f Л тгТ(о) fsec(a7r/2) 1
ci (еж) =р 1 . г S1 (сж) «ж = =Ь ^^ < / , ч г
1 sin еж/ v ;J 2ca \cosec(a7r/2) j
[с > 0; 0 < Re a < 1].
оо
Г 1 Г г cos еж] ., |Ч . Г sin еж 1 . . |Ч~| _
10. \{ > ci (с ж ) ± sens < > si (с ж ) аж =
J ж —l/[^sIncжJ [cos еж] J
Г 1 Г sin 6ж si (еж) 1 . 7Г Г sh &z 1 _. , х
"¦ J^T^{coS6,ci(J)}da;=2^{ch64El("C2) [0<6<ciRe,>0].
о
12. =±— e^bz[El (bz) ^EI(^cz) - El (cz)] + — ebz El (^bz) [0 < с ^ b; Rez > 0].
oo
13. ^^—^-81п6жс1(сж) dx = -^sh62;EI(-cz) [0 < 6 < c; Rez > 0].
J Ж + Z A
о
14. = -e^6z[EI(-6z) + EIFz) -Ei (-cz) - El (cz)] - -shbzEl(-bz)
ж2 + z2 \х cos bx
о
[0 < с ^ b; Rez > 0].
|| |1(Ь)^Е1(^сг)]} [0 < 6 ^ c; Rez > 0].
16. lZ \ b
=±jlZ \ e~bz[Ei (cz) -Ei(-cz)] [0 < с ^ 6; Rez > 0].
17.
a - cos ж v ; " 26(r - l)(r2 - 1) \ 2 - r»
0
= с =F n; r = a+ \/a2 — 1; a > 1
1Я 7ГГ fr"+1 \ Г/с-п-К6<с-п\ ,й/|1-
18. =^77 гт™^ r< in > < >, г см. в 2.6.4.17
b(r - l)(r2 - 1) \ 1 + r - гп+х J Llc + w<6<c + fi + lj
oo
Г/ 2 2чв^1 Г Г совеж ] ., ч . f sin еж 1 . . Л .
19. \(х -аГ N >с!(сж)±^ ^si(caj) \ dx =
J [ I sin еж J [cos еж] J
= _ /3-1/2 1/2-
2^/2 соВес/Зтг[Уэ_1/2(ос) - %_1/2(ac
[a, c> 0; 0 < Re/3 < E ± l)/4]
Г / 2
20. ж(ж -
J
/ 2 2ч?-1 Г fcos cx 1 •/ \ , f sin еж 1 .,
(ж - а )^ N ^ ci (еж) ± ^ > si (еж)
llEincx ) [cosеж]
2.6.5] 2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус ci (ж) 79
2.6.5. Интегралы, содержащие показательную, тригонометричес-
(si(cx)X , Л
кие функции, < ч > или Silca:).
{ci(cx)j
oo
Г ^рх Г sinbx 1 ., .
1. е < > ci (сж) аж =
J [ cos ox J
о
2F2 + p2
[c > 6 > 0; Rep > 0].
2pc
о ? -Px , ./ ч , 1 [6. p2 + (& + cJ (
2. e p cos Ьж si (еж) dx = - —^ - In , ^ + p arctg
J 2F2+p2)[2 p2 + (b — eJ
p + гб 1 p — i6
arctg—:— [Ь, с, Rep>0].
7 - 1 f 2с \/р2 + 4с2 \
3. е~рж sin сж si (сж) б!ж = — I с arctg \- pin — I [с, Rep > 0].
J 2(р2 + с2) ^ р Р J
oo
. Г _paj Г , (sincxl . , ч fcoscx} „( Л
4. е ±< > ci (сж) + < > si (сж) dx =
J |_ Icos сж J ^sm cx ' J
0 / , \
1 i (v 1 2c Г с I \/v ~\~ 4c I
= 2 , 2 if arcts — ^{ }ln Iе' ReP > °1-
p2 + c2llcJ p [pj с I
oo
„а-ГГвтеж! .. ч f cos сж 1 . / Л , 1 fcl. с
p N >С1(сж)Т1 . \*\{cx)\dx= —z r< In- c, Rep>0.
[ [ cos сж J I sin сж J J pz + cA \ p J p
_ Г a_i ^ржГ(81псж1 .. ч гсоэсж! . . Ч1 тгрГ(а + 1) f cosec (атг/2) 1
6. ж е р < > ci (сж) =F { > si (сж) с/ж = , -,—- { , , ' > х
J [\ cos еж/ v ;^18тсж/ v ;J 2с«+1 \ sec (атг/2) j
Г
5. e
J
о
3 P2\ , тгГ(а) (8ес(атг/2) 1 /a ^M 1 p2
J ± /2FlU
'2' с2/ 2с« I гочесГг>тг/2И V 2' 2 '2'
i 5 — 2 2 —a —5p/ j_x 9^ TT7 i 1 1 A- ^9 Л "• ^
\ ' ' 9 '2' 2'^2
c, Rea, Rep > 0, <f =
_ f -1/2 -рЖ [f sin (ex/2) 1 . . ч Гсов(сж/2). , ч
7. ж ; е р К , ;; , > ci (сж) =р < ; ' ' > Si (сж)
J [\ cos (еж/2)/ l ;^ \sin(ca;/2) f l ;
о
Dp2 + c2)
00
Г — 2
8. е~рж [созсж ci (сж) + sin сж si (сж)] dx =
4p/ [
я(сж)]
dx =
гс
,)+Ei
IF (
- exp 1
v V
Up )
]
)Ei
[Rep
K^pJ
[Rep
>
>
0;
0,
argc
argc
80
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.6.6
10.
ll.
(Ьж) + ci (еж)] + sin
i (Ьж) ± SI
v
cos(cx/2)
тГ f _г , Г Г sin 2_ 1 . /o ч f cos z^ 1 /
7 e z+\< \ciBz+)t{ . Si 2z+
z f sin z^ 1 /
{cosz- J
±2p); c, Re 6 > 0; Rep ^ o].
1.
2.6.6. Интегралы от ха In
dx = In
ci (сж) j
[c > 0; 0 < Re a < 1],
dn ГГ(а) fsin(a7r/2)
Jl =
tn [ aca X cos (атг/2) j J '
Г(а) Jsin(a7r/2)\ [1 A _ тг Г ctg (атг/2)'
^C P{a)T 2 ltg(a7r/2) /J-
cos (an/2) И о
2.6.7. Интегралы, содержащие
Обозначение:
oo
1. si Fж) ci (еж) dx = —
J 2c
Si F;
Ci F;
¦ж) si (еж) 1
>ж) ci (еж) J
Ь2-с2
2.
= -In 2
с
"i Fж) ci (еж)
тг
26
4.
ci (еж)
c2+sF(a + S + 2)
dx = U(l)
или si (bx) ci (еж).
[b, c>0; Ьф с].
[6 = с > 0].
[Ь^ОО].
[0 < с < 6; 0 < Rea < 2],
sin[G-aOr/2]
a + S + 2) \ cos [G - а)тг/2]
1, 5/2 + 1, (a + J)/2 + l, а/2 + 5 + 1, (а + 3)/2; С2/Ь2
2, <5/2 + 2, (a + J)/2 + 2, <f + 3/2
sin [G - а)тг/2] \
+
(a
cos [G - а)тг/2] J
5. ж" ci (bx) { ) { } dx = G@)
J lei (еж)/
о
[0 < с < 6; 0 < Rea < 2; 17G) см. в 2.6.7.4].
2.6.8] 2.6. Интегральные синус si (ж) и косинус el (ж) 81
оо
6. \ жа[812(сж)+с12(сж)] dx = ^^cosec— [0<Rea < 2].
о
оо
J [со
0
7. \ { 1 Hsi (еж) + ci (еж) с!ж
J [соябж/ L l ; l л
0 [Ь,с> 0].
8 f г"! &inbX \ Wi2(ct) + c\2(ct)] dr - -— Па - 2 J 8'" (а?г/2) X x
J [cosbxj1 { >+ [ >l с2 Ч j \ cos (an/2) j
0
L, 1, 1, 3/2; 62/c2 \ 7rbsr(a + S) J sec (атг/2)
4i '2,2- a/2, C - a)/2 J (« + S)ca+5 \ cosec (атг/2)
"~2~' "^"' 2+6; 6+Г ^T + 1' 7*1 lb'c>°-'-
OO
9. [совсж ci (еж) + sin еж si (еж)] dx = — [c > 0].
J 2c
0
00
10. N.. ^С1Fж)±^ sik . а еж)±
J |_ I sm ож J [ cos ox J J LI sin еж J
0
. Г 81ПСЖ 1 . , Л 7Г 6
±<^ > si (еж) Ыж = -^ Tln- 6,0 0; 67^ c.
[совсж J J 2F ^ с) е
2.6.8. Интегралы от xa El(-bxn) <S1}CX^>.
Обозначение: S = < >.
T 1 b 1 / c2\
1. El (-bx) si (еж) йж = - arctg - + ^ In ( 1 + — ] [c, Re 6 > 0].
J о с zc \ o^ /
00
f 1
2. El (-еж) ci (еж) dx = — (ж + 2 In 2) [O 0].
J 4e
ж
о
, 1, Я/2 + 1, (а + <*)/2 + 1, (а + 3)/2, a/2 + J + l; -c2/62
X 5 .F 4
2, 3/2 + S, S/2 + 2, (a + J)/2 + 2
C + ^(a)--+ln^ )| + Z17 Iе' Re6' Re«>0].
ci (еж)
о
4 4
*/2+ !,(« +*)/2 + l, (a + 5)/2 + l; -c2/D6)
V 2 /4 4\2, 3/2 + 5, 5/2 + 2, (a /
c5 fa + 6\\ ( 1 /a\ 1 с \] Sir /a
[Re 6, Re a > 0].
6 А. П. Прудников и др., т. 2
82
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.7.1
2.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИНУС shi (ж)
И КОСИНУС chi (ж)
2.7.1. Интегралы общего вида.
Обозначение: 8 =
{;}¦
1.
9-i f shi(еж)
\
-х- г ч ,.; : > dx =
I chi Г
i (еж) 1
(еж)J
2r
^ A/2
[a, r, Re a, Re^ > 0]
2. Xй-1 е
о
shi(еж)
^ chi (еж)
dx =
S/2)(l/2
[г > 1; Rep, Re а > 0] или [г = 1; |р| > |с|; Rep > |Rec|; Re a > 0]
ii (еж)
о
г > 1; Rep > | Im6|; Re а > -г] или [г = 1; |с|2 < |62 +р2|; Rep > | Rec| + | Imb|; Re а > -l],
^ 1
2r(b2
^ (д. + 8/2){1/2
X
- 21
cos
r J \2
77Г
p
+
^2 J 22fcF2+p2)fc/r
5 + A-5)( -^f-1 +
Л2г
1 с r I p J7T а р
— ш То о ^— arccos —-j^=^= tg arccos —^^^^=
2r 62 + p2 Г ^2 + p2 12 Г ^2 + p2
4.
chi (еж)
[г > 1; Rep > | Im6|; Re а > -г] или [г = 1; |с|2 < \Ь2 +р2|;
Rep > | Rec| + |Im6|; Rea > 0; U(j) см. в 2.7.1.3].
„ „ л / \ (shi (еж) 1
2.7.2. Интегралы от А(х)< ) : >.
[chi (еж) j
сЫ(сж)
б?Ж =
1, 1 + 5/2,
2,3/2 + ^,
a2e2/4
2.7.5] 2.7. Интегральные гиперболические синус shi (ж) и косинус chi (ж) 83
а, Re а, Re Д > 0; <f = <J
2.7.3. Интегралы от жае™рж < ;
ч chi (еж) J
Обозначение: 8 = < >.
oo
Т fshi(Ca!)l J_fln[(p + C)/(p-c)]-l
11 J \сЫ(СЖ)/ 2р\ 1п[с2/(р2-с2)] J [ReP>
0
1 ^ ^ \ chi(еж)
о
'1, <f/2 + !,(« + 3)/2, a/2 + <5 + 1; c2/p2
Г+г Г ^ ) (
2
ln ~ + ^(Q) + C)l [Rea>0; Rep > |Rec|].
p2 — c2 2p2
о
/ 2 \
3. f же^ржсЫ(сж) dx = o Х o ^-ln ( ^r- -1 ) [Rep > |Rec|].
J p2 — c2 2p2 V c1 J
4. e^px chi(cx) dx = -* —\Ei( — ) -nil [Rep > 0; |argc| < тг].
j 4 у p L V4P/ J
5 [Ж«-1С-^[8Ы(^)ЬЖ_ ^ rfQ + <5 I Ay,
J \ chi (еж)/ 4E + 2)(l + 25)(«+'5)/2+i V 2 + '
0
•1; e2/Dp)
О Q /O I X X /O i О
Z, O/Zt 0, 0/ZtZ
? + (l-J)(C + - -01 — ) + ln-^- ) [Re a, Rep > 0, |argc| < тг].
\ 2 \2/ л/Р J\
2.7.4. Интегралы, содержащие е рж , гиперболические функции
{shi (еж)
chi (еж)
oo
Г ^vx Г f sh еж 1 . . , ч Г ch еж 1 . . , Л _ 1 Г с 1 . с
1. е р \< % ^сЬ1(еж)=р< , >shi(cx)\ dx = — ^< > In - Rep > 2 Re с.
J [[chcx j {sh еж J J p2 - c2 {p J p
о
0
¦ i ] /c2\ / c2\
ч , >exp -— I Ei --— ) [Rep > 0; |argc| < тг].
p [c/pj V4P/ V 4pJ
2.7.5. Интегралы, содержащие е рж, тригонометрические функции
{shi (еж) 1
chi(еж)J
е
/81п6ж1 1 Г,ГР\ +
1 а Г chl (сж) ^ж = ^7о^—^ \М к Г arctS^
[costej 2F2+p2)[ 16 J p
J [j (p)[ p — b2 ~~
о
84
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.1
ць
Чр
In-
оо
г. Je-
cos bx shl (еж) dx = —-; —г arctg
b — ip
[b > 0; Rep > |Rec|, с ф 0].
b + ip nip
g ~~c" 2(p2 + 62)
[6 > 0; Rep > | Rec|, c^O].
2.8. ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ erf (ж), erfc (ж)
Некоторые интегралы, содержащие функции erf (ж), erfc (ж), можно получить из формул
раздела 2.10, поскольку
I / V / ? /
^ erfc (ж) j "
2.8.1. Интегралы общего вида.
[ erfc (еж)
= ±-
0] ааН
[а, г, Re/З > 0; Rea > -A ± 1)/2].
2.
erfc (еж)
_J_
/
Е-
(гА; + г — г/3 — а)
- /3 - BA + a
—^—
+
з.
¦, Re/З > 0; |argc| < тг/4,
а > 0; Re (а + r^) < r
а > 0
(жг
(еж)
-а)
г > 0;
< тг; |argc| < тг/4,
4.
1 f erf (еж)
xr — yr \ erfc (еж)
у^ (-c2t/2)fc
Z^ ^i(j^ _|_
-1 < Re а < г Repi
Re a > 0 j
/ж^гк + г-а~\ 2
Г , ; Г-1 < Rea
г, у >0; argc < тг/4, ^
L I Re а > 0
ctg
г г
< r
2.8.1] 2.8. Интегралы вероятности erf (x), erfc (x) 85
оо
Г г ( erf (ет) 1
5. /" е рж I V \\ dx = U(r) [r, Rep>0; |argc| <тг/4; Rea>-(l±l)/2],
J [ erfc (еж) J
о
U (г) = ±-
f ( )(
r Z^ (fc + i/2)jfe! V r J\P
1/r
2
k=o """ '" ' ~"
17B) см. в 2.8.5.6.
( _„г / \ "^
6. ха~1е~рх
[ erfc (еж)
о
-^ ж v \ ^ JK/ у, I -¦- I ^ ' '" I
v fe=O х '
Rep > 0; Re a < 0
7. fx^axYV/!^
J [erfc (еж)
о
2a1+°+^-'-C ^ M^ ГBА + a
rAF ^C/2)* LBfc + a
к erfc (еж)
Г\ — В — Bk + a ¦
^o C/2)fc
0) a°+-g- ~
4W^
fe!
г Г1 - Р - Bk + a)/rl _ f i 1 cr-rfi-a
Y^ A - /3)fe sinA±1)/2[(r - a - r/3 + гк)ж/2] fa^r + rp - r
^ A?! cos [(r - a - r/3 + г^)тг/2] \ 2
[a, r, Re Д > 0; Re (a + r/3) < r + 1; | arg c\ < тг/4]
J (жг + zrY [erfc (еж)
о
l-l/ r0F
r
0Fr(p) ^ C/2)fc V r / v r
rfc - а)тг/2] /а ^ rp ^
/а ^ rp ^ rfc\ r fc
\ 2 / C ^
1J 2 ^ ^!cos[(rp + r^ - аOг/2] \ 2
[r > 0; -A ± l)/2 < Rea < r Rep + 1; |argc| < тг/4; r| argz| < тг^
86
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.1
10.
_еТс2ж2 f erf (icx)
\ erfc (еж)
-ctg:
x Г
a — r — rk
п.
U(r) =
erfc (еж)
2c
^ C/2)fc
2 *-J cos[(r - а + гк)ж/2]
[г, у > 0; -A ± l)/2 < Re a < r + 1; | arg c\ < тт/4].
[r, Rep > 0; |argc| < тг/4; Rea > -A ± l)/2],
,2/r
V
2fc
,1/,
[r>2],
1
k\
[r<2],
17B) см. в 2.8.5.6.
12.
I erfc (еж)
l/rx2fc _
13.
f Sin bfr
{cosbx
t/G) = (-1)
7-1
erf (еж) dx = U(l)
¦V-
[r, Rep > 0; |argc| < тг/4; Re a < 1].
[6, r > 0; | argc| < тг/4; -(r ± r)/2 - 1 < Rea < r],
sin [Bfc + a + 1)тг/Bг)]
¦1/2)
b2'r) ba'rr \r )\cos [an
l-7 /a\ Г sin [атг/Bг)]
ba'r \ )\
[r > 2],
U(y) = (-1) ¦
x Г
1 + a + r<5
sin [атг/Bг)]
r J \ cos [атг/Bг)]
r < 2; <5 =
U(j) при г = 2 см. в 2.8.11.18.
2.8.1]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
87
14. I xa^
J
0
15.
cosbx
erfc (cx)dx = U @)
[6, г > 0; | arg c\ < тг/4; Re a > -(r ± r)/2; (/G) см. в 2.8.1.13].
erf (еж) dx =
VG) = (-1)
x Г
7-1
[6, r, Rep > 0; |argc| < тг/4; Re a > -(r ± r)/2 - 1],
» / i\fc
X
COS 7Г
4 r
,- , Г(а/г) /1±1 a p
¦ A — 7) . cos 7Г arccos —.
(ZlTy, 1
[r > 2]
/l±l
cos —-— 7г + к arccos
I 4
с|4
/62 + p2 \
x I - -* H
r )
cos
r(y/b2+p2)a/r \ 4
1=Ы а р
cos —-— 7Г arccos
\ 4
p2
[r < 2] или[г = 2, |с|4 > |62+p2|].
16. [ ха-1е
J
-1е-рхГ I Sm ^
I Sm ^^ 1 erfc (еж) dx = V@)
[cos ox J
[6, r, Rep > 0; |argc| < тг/4; Re a > -(r ± r)/2; 1/G) см. в 2.8.1.15].
oo
17. [ /^e^2 I Sm Ыг X erf (гсж) dx = Ш1)
J [cos bx )
о Г f 1
6, r > 0; -1 - Jr < Re a < r + 1; | arg c| < ?r/4; 8 = <
2c
Ы C/2^
sln[B^ + a + lOr/Br)]
cos[B^ + a + lOr/Br)]
VbVr
M2fc l-7 y- 1 /2fc + a\ Г sin [Bk + а)тг/Bг)] 1 /_c
J Kb1/'
[r > 2],
x;(-i)G+1)*
sin [(a - 2k - 1)тг/Bг)] 1 fb1/
+
Pb5
fe=0
cos[(a^2k^l)n/Br)]j\ с
b
+
[r<2],
при г = 2 см. в 2.8.14.13-14.
18. I /~xec ж i"""'"r\erfc(cx)dx = W(Q)
J [cos bx j
0
b, r > 0; -5r < Rea < r + 1; |argc| < тг/4; И^G) см. в 2.8.1.17; S =
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.1
19.
cosbx
Ь, г, Rep > 0; Re a > -1 - r5; |argc| < тг/4; 5 =
о/ '
2(-1Гс
х cos
Ь2+р2 ) (Ъ2+р2)к/г
I COS .
r J 2
[r > 2] шш[г = 2; |с|4
2ca ^> k\
sInT[(a + rifeOr/2]
cos [(a + гк)тт/2]
x Г
2 / \2
к
/ cJtt
cos 1
I 2
[r < 2] или [г = 2; |c|4 > \b2 +p2|].
20.
21. ж°
о
- J sin bxr
\ cos bxr
erfc (сж) da. = x@)
6, r, Rep > 0; Re а > -r<5; |argc| < тг/4; ХG) см. в 2.8.1.19; S =
; f erf (еж) d» = y(l)
Г
г > 0; -1 < Re а < 0; | arg c\ < тг/4,
< 7Г
>0
1 + а — rk
22.
23. жа Хе с
J
о
2 7 L" \ 2
> erfc (еж) dx = У @)
?° — zr I
- а) * V 2
-2 In с
cosec (an/r)
a \ctg (
In
г-г _ уг
r, Re a > 0; |argc| < тг/4,
аж = Z(l)
z > 0
}¦
Y(j) см. в 2.8.1.21
г > 0; | Rea| < 1; | argc| < тг/4,
f*| arg z| < 7г
z > 0
2.8.1]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
89
ZG) - 2( 1)^<*в+1 g
(c*J* f cosec
\
¦a + l)n/r]
ctg {Bk + a + l)n/r]
1 7j
rl^^'lx
aOr/r f
^ a) \ctg[Bk+ a)w/r] ) 2ca ?^ к \ 2
sm7[(rk — а)тг/2] i7r /a\ sIn7(a7r/2) [sin1
24.
In
25. x
0
cos[(r^ - а)тг/2] ' 4ca \ 2 ) cos (an/2) [ cos (атг/2)
> erfc (еж) dx = Z@)
J
> 0; 0 < Rea < 1; |argc| < тг/4, |rlargzl < ^ \
i erf (еж) da; = (/A)
¦*(!)-
21nc .
см. в 2.8.1.23
,_! ferf(fcBp
X erfc Fж
> 0; I arg 6|, I arg c\ < тг/4,
-1 - r < Rea < 0
Rea>-1
= ±-
¦l)Bk + a
1-7 r
2r
2r J \l) ау/тгса \ 2
17G) при r = 1 см. в 2.8.18.3, 2.8.20.5, 2.8.21.4.
[r > 1],
[r < 1],
26.
27.
^1 (
\ } erfc (еж) dx = U@)
[r > 0; |arg6|, |argc| < тг/4, Rea > -(r±r)/2; 1/G) см. в 2.8.1.25].
erf (
erfc
= ±
(-1)"
r > 0; |arg6|, |argc| < тг/4,
2k + a + r + 1
-1 - r < Rea < 1
Rea > -1
2r
2r
= ±
2A; - a + 1
2r
i7 sIn7(a7r/2) р/ск
0 I 2ca cos (атг/2) \2
± -=r-
E-
fe=0
(a + r)/2) sl
a + г)тг/2]
+ 1) cos [Brk + a + г)тг/2]
r7 \lJ2c«(
/sin7(a7r/2) /q\
K cos (атг/2) V 2 У
[г < 1],
при г = 1 см. в 2.8.19.5, 2.8.20.12, 2.8.21.14-15.
90
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.1
rp ^ Dp /j <T 1 1
r >0; |argfe|, |argc| < тг/4, { n__^ >, V(j) см. в 2.8.1.27|.
Re a >
29.
f erf
{ erfc (ож
.c dx =
r > 0; |arg&|, |argc| < тг/4,
Rea| < 1 + r
-1 < Re a < 1 + r/J'
2r
a + lOr/Br)]
¦7
X 2^ttJ
fc=O
1 /2fc + a\ (tg[(a + 2fcOr/Br)] | /
Jb! V 2r J lsec[(a + 2ifeOr/Br)] J
1 J 26«/rr
С \2fc
sin7[(a^r^2rfeOr/2] ^c2r
cos [(a — r — 2гк)тт/^
> 1],
x
tg [(a - 2k - 1)тг/Bг)]
Ьг/Г\ j —i 1 i7fe
h
a + r\ sln7[(a + r+ 2г
2 J cog ^Q + r + 2r
lrf a\sm7[(a
ife! V 2/ cos[(a
30.
31. ж°
0
Х(г) = ц
[r < 1],
X erfc Fжг)
[г > 0; |arg&|, |argc| < тг/4; -(r±r)/2 < Re a < r + 1; ^/G) см. в 2.8.1.29].
W{pf) при r = 1 см. в 2.8.19.7, 2.8.20.14.
x) dx = W@)
/erf (еж)
к-г-ч г:;:;:д} ** = ^w
[r, Re 6 > 0; |argc| < тг/4; Re a > -A ± l)/2],
K^ + l/2)Bfc + a + 1)
6\fc fll 1 r/a
XB) см. в 2.8.25.3.
2.8.2]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
91
32. ха~г€
J
о
1П
dx = Y(r)
[r, Re 6 > 0; |argc| < тг/4; Re a > -A ± l)/2],
2c
62/r
' ^2k-a + l
fc=0 '
a-2k- 1
2ca f^k\k \ 2
Л 1 ftg(a7r/2) 1г/а\Г2Г ,(а\ 7rrsInTl(a7r/2)
1 j 4ca \ sec (атг/2) j \ 2 / |_ \2/ cos (an/2)
У B) см. в 2.8.25.4.
oo
f a_i (si(bxr))
33. ж < , r; > erf (еж) с!ж = Z(l) [6, r > 0; -1 < Re a < 2r; I arg c| < тг/4],
J {d(bx ) j
о
ZG) =
cos [BA; + а + 1)тг/Bг)]
с2 \к
_r/a^/sln[a7r/Br)]
=
r/ [cos[«7r/Br)]
+
a + 1 + rS
1] 7 r/a\(sm[a7r/Br)]
Я/ a6a/r V r J X cos [атг/Bг)]
0 J 2ас« V 2
ZG) при г = 2 см. в 2.8.26.6-7.
34. ж°
о
а_1 Г si (bxr) I
1 cj Eжг) J
2.8.2. Интегралы от жа(
a_i J erf (еж)
\ erfc (еж)
[6, г, Re а > 0; | arg c\ < тг/4; ZG) см. в 2.8.1.33].
J erf (еж)
[ erfc (еж)
-1 < Re а < 0
Re а > 0
2 I т^Чт а)^1 /ег?(сж)
л» X IX — ft I
\ erfc (еж)
, -; 2'
92
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.3
4-
V
3 — а — /
2
/
а
0
х з
с1
^A
3 1
' 2
Р
1 о /
о 1
/
, /о
з -
-а-
1
3-
rfc(c
1 + 1
2 '
г Г
-0L
а + /3
2 '
/3
-0,0
x)J dX
а + 1
2
а
а
)
2
2
2 2
+ /3
а
5
\ /
) 1 а<
. з о
+ /3 +
2
2
а
.*
, 1
- а
+ /3
!.."
к + /3
2
—
3
Р
+
р
2
C)
в)
1,
i_
г(а
ч
а -^
2
3
2'
а
2
+
a:
2
/3 -
2
> 0;
> 0
с2)
;
+
[a, Re/3 > 0; Rea > -A ± l)/2].
, ^ 1 Г erf (еж) 1 , . 2cz1+a р _ . ч
4. 7—^^^ /, \^ж = ± = В(а + 1, р-а-1) х
{x + z)p [erfc(cж)J 0г
1 а + 1 ol 3 + а-р а-р 3 22\, ср~а rfa + 1^P^l
2' 2 ' ? 2 ' 2 ' 2' ^С Z ^~' Г ~ Х
2' 2 ' 2 ' 2' 2
5.
[01 а^Ро/ ч Г , I /, f-l<Rea<Repll
~х f erf (еж)
f (
ж — |/ [erfc(ex)J с
dx = =p ctg атг erf (ci/) ±
с
— a) \ 2
2 2
а 1- 9 Q
2' ' 2'
t/ > 0; |argc| < тг/4,
6.
erf (с
= ^2iy^ce~c2z2 erf (icz)
' ctg an
Г | Rea| <
1 Re a > 0 /J"
O; с > 0].
2.8.3. Интегралы от xa(z2 ± x
a(z2 ± x2f
{ eric (с
а + 1 1
/7Г V 2 '
/D 3 ^2 „2
[а, Re/З > 0; Rea > -A ± 1)/2].
2.8.4]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
93
2.
J erf (еж)
I erfc (еж)
f ¦
ж г(х2 — а2) г erf (еж) dx = -т—^ 1 —
a
oo
Г a-1/ 2^
j x (a + bx ,
0
oo
ж"™1 J erf (еж)
ж2 + z2)^ \ erfc (еж)
exp f -
[a, Re/3 > 0; |argc| < тг/4]
Z Z Z Ш
[Re a > 0; |argc| < тг/4]
0FBp-a
erf (еж)
•В
2 '
2 ' 2' 2' 2
-;
2
1 ^ 2' 2
¦; | arg c\ < тг/4,
2 2 i |
2
; с
жerf(cж)
1 C2Z2
dx= -r[l-e erfc (cz)
erfc(cz)
J -1 < Re a < 2 Re pi
1 Re a > 0 J
[Re z > 0; |argc| < тг/4]
[Rez > 0; |argc| < тг/4].
[Rez > 0; |argc| < тг/4].
x2 — y
1 J erf (еж)
еж)
а
2'1;
« 2.2
-Г
-Ctg-
-1 < Re a < 2
Re a > 0
2.8.4. Интегралы, содержащие ха и < „ , . * ,.
[erfc ((р(х)) J
жа™ [erf (аж + b) — erf (еж + d)]
о
x \c~
[Rea > 0; |arga|, |argc| < тг/4]
94
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.5
erf (ax + b) — erf (еж + b) a r /I4
dx = In — erfc (b)
X С
xa erfc ( еж ± — 1 dx =
ах/ж \ с
2.8.5. Интегралы от хаерх±т (ег^ж) I
I erfc icx) J
^erfc (ca
x-i ^Px J erf (еж)
arga|, |argc| < тг/4].
[6 >0; |argc| < тг/4].
|argc| < тг/4; Rep > О
|argc| < тг/4
1\Г(а)
1
ert
^px f erf (еж)
\ erfc (еж)
dx = In
. f Rep > 0; Rea > -1
are с < 7Г/4, <
5 7 ' 1 Re а > О
' ' 2' 2' 4e2
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
f Rep > 0; | arg c| < тг/4
1 |argc| < тг/4
h =
¦exP| T^J lerfc(^
л/ттср1
In =
±\ -
oo
5. epx erfc (еж)
v ; dpn [p \4c / ^2c^ IP Jj
г [ | arg c\ < tt/4; Re (c2 - p) > 0].
erfc (еж)
= ±
dx =
7 a 1 *2 C"Q /a + 1
ж e erfc (еж) dx = — ГI
J Од/тг \ 2
2' 2 ' 2' P
[Rep > 0; Rea > -A ± l)/2; |argc| < тг/4].
a a + 1 a p
?' 2 ' + ' c2
[Rea, Re (с2 - р) > 0].
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
2.8.5]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
95
erf (еж)
erfc(еж)
Rep, Re (с2 + р) > О
Re (с2 + р) > О
OJ V/2'
1 Vp \ _
1 /c
(-lymifQi (-1)'
l2m+1= 2»-+i il \± —
10.
oo
11. жа" ec х erfc (еж)
о
Г(а/2) атг
—^-^—- sec
2ca 2
1 2 2 1 + 2c2 2 с
12. —т ec erfc (еж) с?ж = ec erfc (c) —
ж*5 2 л/тг
оо
13. f ж3e^pж4erf(cж) dx =
erfc (еж)
ехр
2сра
4/4
_. 1Л _ /1 3
r(-a-l)iF3 -; -,
\ 2 2
|Rea| < 1; |argc| < тг/4].
[О < Re a < 1].
[|argc| < тг/4].
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
-; -, —^—, 1 + ^5 f
2 2 2 2 4
T
2' 2' 2' 2 ' 4
1 — о 3 — ^ -i ^ ^ ep
2 ' 2 ' ~ ?' 2' ^^F/ ' I 1
. . 1А Г Rep > 0; Re а < 0
argc < тг/4, ^
[ Re p > 0
is.
erfc (еж)
Г
133
2' 2' 2 '
I argc| < тг/4,
oo
dx =
J Rep > 0; Re a < 0
[Rep > 0
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
17. ~е"р/ж erfc (еж) dx = -Е1(^2с^р)
J ^
о
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
96 Гл.2. Определенные интегралы [2.8.6
оо
. Г х~пе~р/х2 erf (ex) dx = In [Rep > 0; |argc| < тг/4],
19
о
h =
Е
2.8.6. Интегралы от Жае/() { "! ^Л
ае/(я!) {
{ eric (еж)
-|J) [«erf (I) +Ei (?)] [ReP > 0].
2. f e^P^c2-2 erf (еж) dx = ^- exp (-?-) erfc 2 f -^) [ | arg c\ < тг/4].
J 4c \4c^/ \2V2c/
. . V2V2c
erfc (еж)
о
г 1 p1-"^ - 1) / 1 3-a a p2
2F2V ' 2; "^~'1" 2; ±4^
ПГ(о/2) ftg(aW/2) \ F(?L.L+j
/ 2ca \sec(a7r/2)J 1 1\2' 2' 4
-г1_р_ /aH-l\fctg(air/2) 1
1 J2c«+1 V 2 /\cosec(a7r/2)J x
. 3 p2
'2' 4c2
2 '2' 4c2
[Rep > 0; |argc| < ?r/4; Rea > -A ± l)/2].
OO
4. f жпе"ра!"с2а!2 erf (гсж) о!ж = !„ [Rep > 0; |argc| < тг/4],
2
J V
i i i о i 2 2
: + I I «5 I с р
^T1 2' 2' 2' ~T' 46
2 +1J#1\2 +1' 2' 2' 2; 6 ' 46
[Re a > -1; Re 6, Re F + c2) > 0]
или [Rea > -1; Re b = max@, -Rec2); Rep = 0],
или [-1 < Rea < 0; | argc| < тг/4; Re b = max@, - Rec2); Rep = 0],
или [Rea < 0; Rec2 < 0; Re b = max@, -Rec2); Rep = 0].
6. | л, о 1 JC / \
[ erfc (еж)
о
2.8.7]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
97
Т. х~пес ~~ 'х erfc (еж)
= 1п
[Rep > 0; |argc| < тг/4],
- Уо BcVb)],
h = ^ [Н0(
2.8.7. Интегралы от xa(z ± xfe"*2 { еТ{^Х\ \.
[ erfc (еж) J
sin Bс Vb) ci Bс V6) - cos Bс^&) si BcVb)],
I та~1(о — ¦
J l
= ±-
з-1 с2ж2 / ei*f (сж)
\ erfc (еж)
¦В(а + 1,
dx =
' 2 ' 2 '2' 2 '2
, Ju I a+/3-l R /
+ 1; а2с2 1 +
2' 2 ' 2 ' 2
[a, Re/3 > 0; Rea > -A ± l)/2]
2.
гс2ш2 Г erf (ic
& \
¦ z)p [erfc (еж)
dx =
-1 хЫ
/tg[(p-aOr/2] 1г^-^2Й(Р
lj 2 \sec[(p-aOr/2]J V 2
f г 1 cp^a+1zp fa-p- 1\ ( ctg [(a -
\ 1J 2 V 2 J \ cosec [(a
x *
2' 2 ' 2' ' 2
- PW2]
с2
2 ' 2 ' ' 2' 2
2 2 i .
" r 1-4-
a-p 2 2
3.
е erf (гсж) «ж = е
+
Re a < Rep + 1; | argc| < тт/4; | argz| < тг].
-1 < Rea < 2; |arg2:| < тг; |argc| < тг/4]
4
ж — |/
Тс2ж2 Г erf (гсж) 1 a_i Тс2 г Г erf (гсу) 1
[ erfc (еж) J \ erfc (су) J
1/2 V 2 / [ cosec (атг/2)
±
2 '
2 42
5.
x + z
erf (гсж) dx = 7ri
[у > 0; —A dz 1)/2 < Rea < 2; |argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4; \тпгф 0].
7 А. П. Прудников и др., т. 2
98
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.8
6.
е се \ j 7ri { -cV -,ч
—. г erf (гсх) ах = — (е — 1)
х{х-у) у
2.8.8. Интегралы от ха (z2 zL х2) ерх
[у > 0; |argc| < тг/4].
1.
erfc (еж)
\ erfc (еж)
L. 3 а + 1д 2 2
'2 2 '
/тг \ 2
¦в(-, /3)iFi(-; -
е erf (гсж) с!ж = — erf (ас)
— xz 2а
¦¦Ы
J fb \/ С*
О
а
J. Jx(a
О
а
Г т, о о ( c»rf f
I «1/ Г Т I t'l i \ >-"Л/ I I ,
1. ес <! „ \ ;ч !> б?ж =
[а, Re/З > 0; Rea > -A ± 1)/2].
[а > 0].
2 2\/3 —1 -с2х2
dx ±
I erfc (еж) j 2c
0
a
. Ж-2^(а2 - хУ-'е"''' erfc (ex) dx =
J
-а2с2 /2
erfc (ас)
[a, Re^ > 0].
[а > 0].
[а > 0; 0 < Re/З < 1/2].
6.
X erfc (еж)
' 2 ' /
[а, Re/З > 0; Re (a + 2C) < 3; |argc| < тт/4].
7.
ж" ТС2Ж2 Г erf (гея)
erfc
¦В
2 '
2 ' 2' 2
а а
l+
[Rez > 0; -A + 1)/2 < Rea < 2Rep+ 1; |argc| < тг/4].
8.
—- е erf (гсж) б!ж =
2cos(a7r/2)
ex
[-l<Rea<3; Re z > 0; |argc| < тг/4]
2.8.9]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
99
9.
— ес ж erfc (еж) dx =
Ж2 + Z2
2cos(a7r/2)
[О < Re а < 3; Re z > 0; |argc| < тг/4].
10.
е с ж erf (icx) dx =
[Re z > 0; |argc| < тг/4],
г
/0 =
C/2),
т ^^ c2z2 с ( \
h = — е erfc (cz).
Zi
11.
¦ е с ж erf (гсж)
[Rez > 0; |argc| < тт/4],
, Л =
а;2 { erf (*СЖ) 1 da; - - w" te — e^»' I erf (iCJ/) 1
\erfc{cx)j 2У g 2 \erfc(cj/)J
ljsina7r
2.8.9. Интегралы от
r( I) { LfJi2
l/ 2 V2 V\sec(air/2)J V ' 2'
[у > 0; | arg c| < тг/4; -A ± l)/2 < Re а < 3].
1.
^рх ( erf (еж + Ь)
\ erfc (еж + Ь)
=f_ir
дрп [р \ erfc F)/
erfc (b + ?
2.
( erf (еж + Ь)
(еж + 6)
()П 9П 1-егНЬ) +
f 0| п!
{ 1J 2рте+
. f ж""^0^2 erfc (еж + 6) ^ж= Г/а) rfj—^,
J Bе)"утг \ 2
4. же рж [erf (еж + 6) ± erf (еж — i
о
V
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
ехр
erfc
[Rep > 0; |argc| < тт/4].
[О < Rea < 1; |argc| < тг/4].
; Rep > 0; |argc| < тг/41.
100
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.10
5. \ х3е~рх2 [erf (еж + 6) + erf (еж - b)] dx =
р2(с2+рM/2
6. [ же~ря;2 erf (сх ± -^ ^ж = — exp h2
J \ х J 2р
± с)
с2 + р
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
+ Р / 2Р
[6, Rep > 0; |argc| < тг/4].
7.
: — ) с!ж =
X ,
[6, Re(c2+p)
2.8.10. Интегралы, содержащие ерх , гиперболические функции
J erf (еж) 1
\ erfc (еж) J
Л Г
1. I e
2 [p —
r/ x , 1[ 1
erf(cж)dж=- г exp
2 [p &
т^Тьехр
4e2
erfc
V 2c
2. \ е рх sh 6ж erf (еж) dx = exp ( — J erf
о
oo „
Г _рж2 п 2
3» е sh bx erf (еж)
dx =
2c
[Rep > | Reb|; |argc| < тг/4].
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
с
arctg -
[Rep > n| Re6|; |argc| < тг/4].
2.8.11. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
J erf (еж) 1
\ erfc (еж) j
Обозначение: 8 = < >.
оо
_i Г sin 6ж 1
1. ж
о
{ } erf (еж) dx = U(l)
[cos bx J
[6 > 0; |argc| < тг/4; -1 - 5 < Re a < 1],
a „ e 1 a + <f ^ 6
2. i /4 ( Sm 1Х } erfc (еж) dx = U@)
{cos bx J
7Г(а) ( sin(a7r/2) 1
ba X cos (атг/2) j
[6 > 0; |argc| < тг/4; Re a > -5; U(j) см. в 2.8.11.1].
2.8.11]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
101
Г Г ж sin bx \ . .
3. < _i > erf (еж) ах
} [х cos bx J
6(l±l)/2
4.
5. H in , \ erfc (еж) dx =
. cos bx J
1 \Bn\ b
j - ^ |l - exp (- —
[b > 0; |argc| < тг/4].
[6 >0; |argc| < тг/4].
22nb I V n / л/тге
чУ
erf *o
2n \ #2
exp ^o o
V e2 / \ с
[b > 0; | arg c| < тг/4; n = 1, 2, 3, . . . ].
И- 2n+l
(Tl)
n+fc
0; |argc| < 7r/4J.
f • 2n i
7. | ж < 9„. , ? erfc (еж) аж =
2п
f • 2n+li
8. 1 xa^ < 2n+i » } er^c (cx) dx =
' 2 ' 2' 2 ' A' v" "•
[6 > 0; Re a > -n =F n; | arg c\ < тг/4; n = 1, 2, 3, . . . ].
, - + 5; - + S,
1\262
П
; |argc| < тг/4|.
oo n Г
л Г 1 2n+l » о/ \ j o-2n^l V^ f^71 + A рЧ
9. — cos 6ж erf (еж) аж = —2 2^ 1 jl 1 Ei
[6 > 0; |argc| < тг/4].
1
ж2
Г sin2 bx ( ч 1 Г 6 f b2
11. erfc (еж) с/ж = - С + 2 In Ei -
J ж 4 [_ с \ с2
о
[b > 0; |argc| < тг/4].
[6 > 0; |argc| < тг/4].
102
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.11
12.
cos (bx + a)
• (еж) dx =
lffcosai / b \/(cosa
6 1 sin a/ I 4c2/ 11 sin a
sin a ] c i tb
> erf —
cos a J V 2c
1 f sin (bx + a) 1 / 62 \ ( sir
-4 ; ; ^erf (еж) с!ж =-Ei I -—г Н
ж [ cos (ox + a) J
— oo
oo
14. ж^п(соз аж — cos bx) efr (еж) dsc = In
[a, 6, с > 0].
[a, 6 > 0; |argc| < тг/4].
[а, 6 > 0; |argc| < тг/4],
1 f этаж sin 6ж
x
15. -«{ ^
: I cosajccosfeaj I
= ГЧ ^~
sin 6ж
cos bx
2 ? erf (еж) dx =
±ln
6 + c2 + c\/2b
6 + e2 -
F +a)
4c2
[a, 6 > 0; a^6; | arg c\ < тг/4].
+2 arctg
17. [ {SmV2
J [cose xz
6^c2j
[6 > 0; |argc| < тг/4].
[c > 0].
18. ж'
J
о
X 3i
l-1 Г 81п6ж
<
4 ' 4
4 ' 4
'
_ п(атг/4I
2' ^c4] T2H21 V2"^\cos(a7r/4)J
[6 > 0; -B±1) < Re a < 2; |argc| < тг/4].
1
19. — sin bx erf (еж) dx = ^^ arctg —
¦2 ' V 2тг aFCtg 6 - c2 ' 2 V 2тг '" ft + C2
1
H—
2
In
b + с2 -
^л Г [81п6ж21 г/ ., fill c(Vb2 +
20. ж< , о / erfc (еж) с!ж = < S^^^
J \б2/ l ; \^
2 + с4)
[6 > 0; |argc| < тг/4].
[6 > 0; |argc| < тг/4].
оо
21. f ж cos2n+1 6ж2 erfc (еж) dx =
*=o ^/c4 + Bn - 2fe + 1J62
4 + Bп - 2к + 1J62
[6 > 0; |argc| < тг/4].
2.8.12]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
103
22.
1 1 sin F/ж )
OjTe \sm{cV2b)j
23. tg 6ж erfc (еж) dx
ir^(-i)*
»'.»tl k
exp -
ln2
[6 > 0; |argc| < тг/4].
[6 > 0; |argc| < тг/4].
(Г <m 1 \ si " I /I h \ filth
n — 2 — I T- > ^ exp — erf
v •• - • L2J/ 6 ^ Ik \ 4:C2 J \ 2e
Ifc = < ' ' ' ' ' Ь > 0; |argc| < тг/4 .
25.
26.
27.
28.
cos bx
совбж
rf ж =
:- 1, n = 2, 4, 6, ...,
1\262
[6>0; |argc| < тг/4].
_
[6 > 0; |argc| < тг/4].
жвтбж
Ж COS ОЖ
erf (ax) - erf (еж) dx = In - + > Ei — - Ei
с ^ L V c \
rf (аж) — erf (еж)] с!ж = In —h
[6 > 0; |arga|, |argc| < ?r/4].
[6 > 0; |arga|, |argc| < тг/4].
on 7 X f ^ 6Ж 1 Г г / ч г / м л !, «i1^/
29. --{ 2 Herf (аж) - erf (еж) dx = - \п-±-\Ei [ -?
J ж [ cos 6ж j 2 с 4[ \ а2
[6 > 0; |arga|, |argc| < тг/4].
2.8.12. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
Г erf (еж + d) 1
\ erfc (еж + rf) J
C3O
. Г Г sin 6ж 1 / ч fill r , v
1. < > erfc (еж + a) dx = < > —erfc(a)
J [ cos bx J [ 0 J b
-iab/c r I • ^
1 eric I a — г —
2e
7(sm2nbx\ 1 \Bn
J [cos ож J 22n о [\ n
k=0
n — -fc V /г
2»\_Г (n-AJ62
exp
[6, с > 0].
[a, 6, с > 0].
OO
3. cos2n+1 &ж[erf (еж + a) — erf (еж — a)] dx =
_ 1 ^-v 1 /2n + l\ Г Bn ¦
- 22n-i6z.2n-2fc + i ^ fc ;exp[
7^
4c
[a, 6, с > 0].
104
Гл.2. Определенные интегралы
[2.8.13
2.8.13. Интегралы, содержащие
Г erf (ш(sin ж, cos ж))
[ eric ((p(sin ж, cos ж)) J
тг/2
±1/2 с
2 ferfc(c)
о WT к */ • w 22-"ссо82-"(&7г/2) /1
3. cos bx erf (с sin ж) ах = =-; )L—-L—- 2^2 ( —, 1;
J утг A — о2) \2
• — 6 3 " b 9
—¦ —¦¦ -<
4. sin пж erf (с sin ж) dx =
J
о
к Г 1 г/ с si
5. erf
J з!пж \а + 6
о
П7
6. f
J
гГ( — )iFi(—; n + 1; —с
n!v2/\2
о-
dx =
2 ' 2 ' ' 2 ' b2 - a2
[<7 = 0 ИЛИ 1].
а > 6 > 0; О 0 .
dx = (~l
0
П7Г
7. f ~^— erf (ccos ж)
J cos x
^5 -l; ^ «; ^c •
-w2)c2F2f-, *; 1, -; -c2V
\ 2 2 2 J
2
2.8.14. Интегралы, содержащие жа, ерж , тригонометрические функ-
ferf(cж + ci) 1
Ции и ,1чГ-
[ erfc (еж + a) J
-
oo
Г 2
2. же~рж cos teerf (еж) dx =
¦ exp -
2^с2р^р2/ У2^Р.
[6, Re (с2 - p) > 0; | arg c| < тг/4].
erf
[6, Rep > 0; |argC| < ./4].
3.
Slnbxerf(cx) dx = (^l)n+1i
Lp
-^ erf
4/
OO
4. e™c ш sin bx erf (гс
J
ехр (
2с
[6, Rep > 0; |argc| < тг/4].
[6 > 0; | arg c\ < тг/4].
5.
erfc
ехр
Ei[-62/Dc2)j
[6 > 0; |argc| < тг/4].
2.8.14]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
105
6.
{ 81П \Х )
{ \ )
{ cos 6ж J
erf (icx) dx = U(l)
r/2)
b > 0; -1 - <5 < Re a < 2; | arg c| < тг/4, <f =
3-a , а
1
о/ '
7. i xa-ye
2ca+s
-1 c2x2 Г sin &ж
V 2 Д sin (атг/2) j |sec(a7r/2) J1 Я :
4c2
< , > erfc (еж) dж = U@)
I cos 6ж I
b > 0; -J < Re а < 2; | arg c\ < тг/4, <f = <j |>, ?/G) см. в 2.8.14.61.
о I A -Лс"*- , г /. ч , ТГг / 6
8. — е cos ож erf (ъех) ах = —- егте
9.
1 2 2
— е^ sin 6ж erf (гсж) dж = /д.
/i = глЛт с 11 - ехр ( ^^^ ) | + — erfc ( — ),
-1 ?'
1 — erf
4 Г "" \2V2c,
рх sln2n+1 bx erf (еж) dж =
+ у ж гс erf I -— I — tc exp — -—r- erf
[к = 1, 2; 6 > 0; |argc| < тт/4].
[b > 0; |argc| < тт/4],
Y-
2n+l /p ^L^V
VF fe=0
erf ibc-
11. [ e"c2 sln2n+1 &ж erf (icx) dx = ^
2^c2p + p2
\2V2
b, Rep > 0; |argc| < ж/A].
k=o
к
X exp
12. — e sin 6x erf (гсж) da? = —— erf I -
J ж 4 \c
0
13.
[6 > 0; |argc| < тг/4].
[b > 0; |argc| < тг/4].
f i 2 л
Эс~1е~с I 2 ^ erf (гсж) d^r =
[cos bx J
6 > 0; -1 - 28 < Re а < 3; | arg c\ < тг/4, <5 =
^ , 135-аЗ-а Ь2 \
'W'vv—>—> — )+
(_iOb(8-a)/2 /e_3Wa.n[(a + lW4] ^
4 '
cos (an/2)
4 ' 4
2' c4 /"
106
Гл.2. Определенные интегралы
[2.8.15
14. ха~г€
J
о
15. же рх
J
о
( l 2
I cosbx
{sin bx I
cos bx j
erfc (ex) dx = V@)
6 > 0; -
0; -28 < Rea < 3; |argc| < тг/4; <5 = J i, VG) см. в 2.8.14.13
± с2 ±р
16. ес ж cos bx erfc (еж + a) dx = ^^ ехр ( —- J EI ( ^а J
J 2фгс \4с2/ V 4с2/
о
[6, Rep > 0; |argc| < тг/4].
17.
2c
4c
— erf2 f —
V2c
[а, Ь > 0; |argc| < тг/4].
[Ь > 0; |argc| < тг/4].
2.8.15. Интегралы, содержащие гиперболические, тригонометри-
тригонометрические функции и erfc (еж+ d).
. < > erfc (еж) da; = - < \C((p)Ts .
J [ch6«cos6a?J 6Llcos^J [s
о
oo
. <
J [
cos^
rgc| <тг/4].
_ ( ( shax cos &ж 1 . / ч
2. < > erfc (еж)
J [ ch ax sin ox J
26
сов[62/Bе2)]] fi
}
c2\cos[62/Bc2)]J±\sm[62/Bc2)]} \ 0
oo
L Ushbx\
J [chtej
^ л ! /! 1 r / ч 1 /&2 i
-а)^ = --|0|еНс(а) + -ехр^ )х
x ±еаЬ/с erfc [ а + — 1 + e^ab/c erfc а - —
2c/ V 2c
|argc| < тг/4].
|argc| < тг/4].
2.8.16. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию
J erf (еж) 1
\ erfc (еж) У
1. fжа^1Innжerf(eж) dx =
л
u /__][]п«д1 2с
a + 1 3 a + 3
2' 2 ' "*' 2 ' 2' 2 ''"' 2 '
[Reа > -1].
2.8.16]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
107
Л • Ж 1О Ж 6Г1 I
J V
о
оо
3. 1пп ж erfc (еж) dx = In
С1Ж =
_ I
[-1 < Re а < 0; |argc| < тг/4].
|argc| < тг/4],
1 ГС
1 + — + Incj, h = -7=- — + C(lnc + 1) + — + 2 + lncB + lnc)|,
1 Г Ч 9 /ТГ2 \ 9
-=- С3 + 6C2 + С ( — + 24 ) + ж2 + 48 - ф"A) +
+ FС2 + 24С + тг2 + 48) In с + 12(С + 2) In2 с + 8 In3 с I.
4.
B — ajv71"
(a + l)cos(a7r/2)
i I
/l
2 2\2'
2 ' 2' 2 '
a a 3^
- ¦9-, 1, 1; 2, 2 - —, ;
7TZ°
a sin (атг/2) *
5.
6. In
J
о
erfc (еж) /
z > 0; |argc| < тг/4, j -1 < Rea < ° I ^( ч см> в 2.8.16.41.
[ 0 < Re a ' '
x2 + y2
erfc (еж) dx =
4^
V71"
[shi (С*У2) ch (c22/2) - сЫ (С*У2) sh (c
0; | arg c\ < тг/4].
oo
. f /^e""^ In Fж) erf (еж)
dx =
/а + 1\Г//а + 1
а + 1\ а а
(c2+p)a/2
2 V 2' 2 ' ^ с2
1 а> а
х2' ?' 2"
2еа „ /1 а а а а
р
а(с2+р)«/2 а ZV2' 2' 2' 2 2 ' ' с2 + р
[Rep, Re а > 0; | arg 6| < тг; | arg c\ < тг/4].
.
8. же рх In (сж) erf (сж) dx =
= -^?+2Ь.
^ 2 In с + In (c2
P) J
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
108
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.17
2.8.17. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические
, ( 1
функции и
,1; ,2;-с2)т^Л[^;^;-с2
I
у Г a_ijarcsin?cl ( . _ Г11 Сл/ж ст /1 а + 1 3 а + 3 2\
" JX 1 arccos ж }1СЖ] \0J а~+Т V2' ~~2~5 2' ^^5 ^С ) Т
kerfc(^(ж)) j'
Г Г arcsin ж 1
L < > erf (еж) ах =
J [ arccos ж J
с Га/2 + l 1 /1 а + 1 а
[( + 3)/2j 3 3\2'
2 ' 2 ' 2' 2 ' 2 '
[Rea > -
о
Г«/2-
erf (еж) dx = {~ \^L^ 2F2( 1, ——; -, ——; с
arccos ж J i; lOJa + lV 2 '2' ° '
'
а + 1 а
3 O + 3 O + 3 2
X
4. arccos ж erf (c\/l — ж2 ) dx =
—; 2; —c
2
Q
I — ^^^^ ^ r/ / o\ j nl — 'ld 'Act —\ I'А тп I A ^ о " 2
5. I 7^ ^тз erf (cVl - ж^ j dx = 2 ж с 2r2 I -, - - (r; 2 - cr, -; -c
-l
l
13
-, -
[o- = 1/2 или 1].
f 2 2 7Г 2
6. e^c x arccos ж erf (cyl — x2 ) dx = A — e^c ).
J 2c
— l
oo
7. ж* arete ж erf (еж) dx = -^ rw 2
J 2sIn(a7r/2)
1 a + l 3 a + 3 2
[-2 < Rea < 0; |argc| < тг/4].
2.8.18. Интегралы, содержащие Л(ж) и Oerf (у?д.(ж)).
00
1. xa~ erf (еж)
(а + 1)тгса
2.
+1)
[-2 < Rea < 0; |argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4].
3. f ж" erf (&ж) erf (еж) dx =
2c
. q + 1 а З а + 3^ <
!' 2 ' 2* ' 2' 2 ' ~62У а^тгс« * \ 2
[-2 < Rea < 0; | arg6|, |argc| < тг/4].
2.8.18]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
109
4. — erf (Ьх) erf (еж) dx = —=- I с In
b+л/Ь2 + с2
¦bin-
| arg&|, | argc| < тг/4].
»ао+4"-2с2„ /а+ 2
5. [ж" (а4 - х4)^1 erf (ex) erf (icx) dx = — — В (
J 7Г V
О
,/3 x
0+2
о + 2 a4c4
[а, ЕеД > 0; Re a > -2].
г ^^^^ 1
6. ж erf (v 1 — ж2 ) erf (ж) dx = —.
J <"в
о
оо
7. [erf (ах) ~~ erf Fx)][erf (еж) — erf ( dx)] dx
/а2 + d2
+ с2
b2
oo
0
oo
h [[1-ei
arg&|, |argc|, |argd| < тг/4].
^; -1 ) [Rea > 0; |argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4],
V5
4
oo
10. J[l-erf»(
^7Г С
и
oo
11. [erf (аж) — erf (bx)] erf ( — J dx =
- - [1 - erf 2
С
V^c
erfc
|argc| < тг/4].
1- -e
.-2«c 1 л-26с
тг 6 а а
12. [ Д- erf (аж) [erf (-^ - erf (-)] dx =
1 Г1 1 1
f- 2c El (-2ac) - 2c El (-26c)
[|argo|, |argb|, |argc| < тг/4].
_. , . ,- e 2ас + 2аЕ1(^2а6) - 2аЕ1(^^
7T \ С О О С
13. ^r erf (ex) dx =
12c2
In
[|argo|, |argb|, |argc| < тг/4].
[|argc| <тг/4].
Г 1 4 / с
14. —- erf (аж) erf (bx) erf (еж) dx = — I ab Arsh — + ас Arsh ¦
а \ 2/2 ^^ 2 <^с 2 ^1?
+ ос Arsh . — — a arctg —— + о arctg —- + с arctg ——
V62 + с2 J л/ж \ ь а А ь ЬА ь с А
А = л/а2 + б2 + с2 ; | arga|, | arg6|, | argc| < тг/4 .
110
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.19
it Г ri г2/ м2 i 2у2 / у2
15. II — erf (еж)| ах = . тг — oarctg ——
J 7г4/2с V 4
16. f erf (icx) [1 - erf n (ex)] dx = In
i , 2^2i , 2 + ^2
[|argc| < тг/4].
[|argc| <тг/4],
3^2 г
у/ж с тг3/2с 2 - л/2 ' \/'
2.8.19. Интегралы, содержащие ерж и ||ег:
. \ xne~pxerf2(cx) dx = (^1)те
о
J
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
- arctg -
/с2 + '
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
оо
3. ха^ е^рх erf (icx) erf (ex) dx
о
оо
4. ж пе~рж erf (гсж) erf (еж) dx =
о
оо
5. ж"^ е^ ж erf (ibx) erf (еж)
2ic2
1 а + 2 a v 3 3 5> с^
2' ' 4 ' 4 ' 2' 4' 4' р2^
[Re а > ^2; |argc| < тг/4; Re (р - с2) > 0].
arg c\ < tt/4; Re (p - c2) > 0].
dx =
'* erf 2(гс
L' 2 ' 2
а
а + 3 3^ I
2 ' 25 ^с2^
[-2 < Re а < 1; |argb|, |argc| < тг/4].
26« S 2 \2J
— АД
2c V 2
4
оо / 1 \
7. f а.а-1е-(ь2+с2)я2 erf (гбж) erf (гсж) dx = ^C J_1 Г ( ^^ ) ctg —
J утг oa+1 у 2 / 2
|argc| < тг/4].
3 — а с
[ | Rea| < 2; |argfe|, |argc| < тг/4].
8. жпе рж erf Fж) erf (еж) dx = /п [д = у7^2 + с2 + р ; Reр > 0; | arg 6|, | arg с| < тг/4|,
о
/-2 = -I C In
/р + с2
1
+ 6 In ¦
с + А
УрТб2
arctg
1 &с
/о = arctg ¦
^^^ arctg
p Vе2 + p
с 6
arctg
c2+p
2.8.20]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
111
оо
. \ /^е"^ erf (icx) erf (еж)
dx =
к+2)/4 - у 4
1 а + 2^3 5 З^е4'
2' ' 4 ' 4' 4' 2'
erf (гу2 еж) erf (icx) dx = —
10.
11. же рж erf (аж)егГ (bx) erf (еж) о?ж = — х
о
[Re a > -2; Rep > 0; |argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4].
а ^ be
х 1 , arctg ^_
/а2 +р
6 ас
с аб
А = у а2 + б2 + с2 + р ; Rep > 0; | arg а|, | arg 6|, | argc| < тг/4 .
2.8.20. Интегралы, содержащие jjerfc ((fk(x)).
00
L. [ erfcn(еж)
dx = /n
V7Г С
, -/2 —
"' /з = ^7?17ГA^
[|argc| < тг/4],
, л/2 1
arctg ^^ ,
/4 = 3/2 тгB - 3^2) +6^2 | 2 arctg — arctg — | .
оо ,
Г 6 + С — у б2 + С2
2. erfc Fж) erfc (еж) dx = ^7 [ I arg^l? I argc| < тг/4].
о
оо
Г 2 2 1
3. ж erfc (еж) dx = —^^ [|argc| < тг/4].
J Зутг с**
о
оо
4. жа™ erfc (еж) dx =
1 а + 1 «
' ~2~'
[Re а > 0; |argc| < тг/4].
ОО
5. ж" erfc (bx) erfc (еж) dx =
2с
2 z bz J аоау7Г \ z
[Re а > 0; |argb|, |argc| < тг/4].
6.7 П erfc (с,ж) ^ = -L A + 1 + 1 + 1) _
J1I 0FVd с2 сз с;
х ( - - arctg
- arctg
+ arctg
[I, га ф j; I, га ф к; \ argc*;| < тг/4].
112
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.21
7. erfc (еж + a) dx = erfc (a)e erfc (а) \ — erfc (ау2 )
J у тгс с е у тг
8. erfc I — 1 erfc (еж) dx =
о
V7T
argc| < тг/4].
arg&|, | argc| < тг/4].
9. ж2 erfc ( — J erfc (еж) dx =
be - 2b2c2) - 4&V EI (-
10. f epx
J
da; = ± - - exp f^?l - 2erf (*-\ + 2erf
argb|, |argc| < тг/4].
-erf2
oo
f 2 2 1 /
11. ec x erfc Fж) erfc (еж) dx = —=- In A ¦
J Сл/ж V
0
oo
12. /" ec ж erfc (bx) erfc (еж)
[|argc| < тг/4].
|arg6|, |argc| < тг/4].
• ^ж =
2c
LJ 2 ' 2
> -S- + 1;
2 ' 2' 62
^, ^^; ^ + 1; I» J [Rea >0; |arg6|, |argc| < тг/4].
oo
13. f e~px2 erfc (Ьж) erfc (еж) dx =
1 / 7Г 6 С
—- — arctg ^^ — arctg ^^ + arctg
2 6^Р ^
+ c2 + p)
arg6|, |argc| < tt/4; Re (p + с2 + 62) > 0].
14.
Ь2+с2)ш2
erfc Fж) erfc (еж)
Г(а/2) /атг
, ^ х ^^ /д sec I
oo
15. Г жес2ж2 erfcn(eж)
4 2
= /„
q + 1 3 ^
2 ' 5 25 ~&2
:(<-
1 3-.
Л 2 )*' х\ 2' 2 ' б2
[О < Re а < 2; | argb|, |argc| < тг/4].
|argc| < тг/4],
4-тг 3B-л/^) 12A-л/2) 24i/2 л/2
2тгс2 тге2 тге2 тг2с2 2
7 = 10B -Зл/2) 60i/2 /, j y/2 л„у/2*
-\ ^г 2 arctg — arctg
2.8.21. Интегралы, содержащие Oerf (с^^(ж)) erfc (ф
Г 1 2
1. — erf (еж) erfc (еж) dx = — G
J Ж 7Г
0
|argc| < тг/4].
2.8.21]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
113
2. fx" erf (гсж) erfc (еж) dx = -L—Г|^-!- ) tg—
J a^cQ V 2 7 4
3. erf {Ьх) erfc (еж) йж = -=r-
J У 7Г ОС
о
oo
4. ж"^ erf (Ьх) erfc (еж) dx =
[-1 < Re a < 2; |argc| < тг/4].
[|arg6|, |argc| < тг/4].
1 a + 1 a 3 a + 3 e2
2' 2 '22' 2 ' b2
[Re a > -1; |arg6|, |argc| < тг/4].
оо
5. - erf (&ж) erfc (еж) dx = — з^2( -, -, 1; -, -; -^
о
оо
6. erf п (еж) erfc (еж) dx = /п
| arg6|, |argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4],
r ^2 -1 V2 / л/2\ F 6л/2_Л . i/2 + v- .
/i = ^ , /2 = ^zJu?Z I ^ - 6arctg — I, /3 = ^7^ ( 2arctg ^^ - arctg — J.
7. erf (еж) erfc2(еж) с!ж = — ^—arctg [|argc| < тг/4].
о
8. erf (еж) erfc2(еж) dx = - g/2 ( ж + 12arctg 12arctg ^— J [|argc| < тг/4].
00
9. erf (гсж) erfcте (еж) йж = /n [|argc| < тт/4],
_ г _ г _ iy/2 2 + ^2 _ _г Зг'л/2
1~/^ГС 2^^Fc 7г3/2сП2^2' 3^V^c 3/2 П
^ л/2)'
10. жа erf (гбж) erf (&ж) erfc (еж) с?ж = 3/2 .
^ + 2
х Г
1-е"
11. erf I — 1 erfc (еж) dx =
I V т
J Vх
0
12. [ ^-[erf (-) -erf f-^1 erfc(ca;
2'' 4' 4 '4 '4'4'2' 4'4i
[Re a > -2; |arg&|, |argc| < тг/4; Re (с2 - 62) > O].
oh
[| arg6|, |argc| < тг/4].
[
7T о
|arg6|, |argc| < тг/4].
oo
Г 2 2 1 / h2 \
13. e6 x erf Fж) erfc (еж) dx = Fln l-~ [Re(c2 - b2) > 0; | argc| < тг/41.
J 26V7T \ c^/
8 А. П. Прудников и др., т. 2
114
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.22
14. J z-V2*2
dx = ™ г(| + l)
ОО
15. f /^e0^2 erf (bx) erfc (еж) da; =
а + 1 а а + 3 3#cJ
_, /а a + 1 а е2 \ Г(а/2) атг
-у Н -, I • —L- 1 * I -I— Х ' ' Орр
2 / \ 2 ' 2 ' 2 ' Ь2 2са 2
[ | Re а| < 1; | arg&|, | arg c\ < тг/4].
2.8.22. Интегралы, содержащие гиперболические функции
j erf (еж) 1
\ erfc (еж) J
b \4c2 )\В )
2.
erfc (еж) dx = у ехр ( —— 1 <
о \ 4с / I о
= 1 - ехр | | - erf 2 ( —-=- ), ? = 2 erf ( — 1 - 2 erf
PV 4C2; V2v/2c;' V2c '
зЬ6ж12 2/ ч , . 1 — л/2 1 Ь2/с2\ е[Ь\ с ( Ь
\ »-г„ (сх^ ^х _ _|_—_^_ 1 е / |erf [ _ | _ erf f
26
; |argc| < тг/4 .
[|argc| < тг/4].
2.8.23. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и
произведения функций erf (bx), erfc (еж).
[6 > 0; |argc| < тг/4],
1. [ /sm^l [l-erf2(ca;)]dx = /n
J [соябж]
2т\
иг J уттс
j^ i exP ^(m ~ fe) ~2 erf lh~
m — k \ k J \ c21 l
Bk
2. cos 6ж[1 — erf (ax) erf (еж)] ^ж = — - exp f — — J erf | —
b2\
iab
;bc
[b > 0; |arga|, |argc| < тг/4].
2.8.24]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
115
3. f cos2n+1 bx[l - erf (ax) erf (еж)]
2n
2/ a2
rl' 2n-2A: + l\ / . lVr r/. ,2n-2A;
x erf ( гос , ) + exp — I n — к -\— I — erf I tab
> erfc2(еж) dx = /n
cos bx
2) с2
[Ь > 0; |arga|, |argc| < тг/4].
[b > 0; |argc| < тг/4],
/2 m =
22m~1
^(™-*) ^J [erf ^
— erf I ib
m"fc /2m + l\(A)
2k + 1{ k )\Bj
л i Г / i 1 \Ь I _ /. 2m2H
Л = 1 — exp — T7i — к H— —- eric го =
L V 2/ c2J V 2л/2с
Я = -2гехр|-(т-А;+-) — ||erf(i6
V 2/ e2-
2c
— erf [гЬ
V
2s/2
5.
i er [X) i
[ erfc (bx) J
exp
iab
[a > 0; | arg6|, |argc| < тг/4].
7 Г sin аж I2
6. < > erfc Fж) erfc (еж) dx
} { cos ax J
be
2a
г I ъа \ с
erf -— — erf
\b )
2a
erf — I — erf , .
с / V сл/Ь2 + с2
iab
[a > 0; | arg&|, | arg c\ < тг/4].
Hsh 6ж cos 6ж I r 2 / ч i 1/
. . > erfc (еж) аж = —- (sin ш ± cos ш — 1) +
chbxsmbx J 26
л/2 Г/ .
+
[(р = Ь2/Bс2); |argc| < тг/4].
2.8.24. Интегралы, содержащие In ж и произведения функ-
функций е^Fж), erfc (еж).
1
1. жа^ In ж erf (icx) erf (еж) dx ¦
4ic2
/1
5V2
+ 2 q + 2 3 5 3 а + 6 а + 6 с^
4 ' 4 5 4' 4' 2' 4 ' 4 5 4
[Re a > -2].
116
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.8.25
oo
2. f жеш2 In ж erfc2(ж)
2.8.25. Интегралы, содержащие Е1(~6ж )
оо
erf (еж) ] , ,1
erfc (еж)
<
[ erfc (е
,}¦
±2 Л erf (еж
2 ¦ ( с \
О У Л/7Г6 \ V6 /
±i
oo
2. f ж El (^6ж2) erf (еж) da;
2bc 4c2
2c
1 . л/Ь + с2 — с
In —=
+ е
[Re 6 > 0; |argc| < тг/4].
[Re 6 > 0; |argc| < тг/4].
. f ж" El (^&ж2) erf (еж) с!ж = ^—
J V71" (tt
1 a + 1
ч2' 2 ' 2 ' 2' 2 '
Г 2 2 2с
1. ж"^ ес ш EI (^6ж ) erf (еж) da; = —
о
а + 1 а + 1 3 а + 3
[Re a > -1; Re 6 > 0; | arg c\ < тг/4].
X 3F2 1,
2 ' 2 ' 2' 2 '
[Re a > -1; Re (b - c2) > 0; | arg c| < тг/4].
Г -рш2 • 2
5. же Ei (—6a;
о
аж = —In
P
¦In-
+ y"c2 + Ь
6 + p
6.
рус2 + b
Ei I 1 erfc (еж) da; = In
[Re (b + p) > 0; | arg c| < тг/4].
[Re 6 > 0; |argc| < тг/4],
/з =
26
4
oo /
7. f EI(^6ж2)erf2(cж) daj= , 4 In [ ,
II /2 _L /2C2+6
4 c-
-z=— In
b 2 c
arctg
oo
8. EI (^6ж2) erf (icx) erf (еж) da; = —^
J V7T
0
00
9. EI (-аж ) erf (bx) erf (еж) da; =
2 + б2
. л/б + с _ x e
с In — 2c arctg —
[Re b > 0; |argc| < тг/4].
1 Л^^2"
—In
b-c*
[Re F - c2) > 0; | arg c\ < тг/4].
+ e2
¦In-
\/a
In
c+
/a + 62
+
2.8.26]
2.8. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж)
117
л/тг с \ ^а + Ь2
, \/Ъ2 + с2 + \/а + б2 + е2 , 6 + л/а + б2 + с2
In — In ,
¦ arctg •
6с
[Re а > 0; |argb|, |argc| < тг/4].
{si (bxn) 1 f erf (еж) 1
ci (bx ) J [erfc (еж)]
оо
a_i Г з!Fж
ci Fж
1 erf (еж) dx = 17A)
> 0; -1 < Re а < 2;
< тг/4, <5 =
¦2c5)
"' 2 ' 2
l'2+1;2'^-
a) ( sin(a7r/2)
,
2. х°
о
_i f si(; ж) I
{ci(bx) J
2^1 2
[6, Re а > 0; |argc| < тг/4; t/G) см. в 2.8.26.1].
3. [ - ci Fж) erf (еж) da; = -i I (B) + ( С - 2 In —
J ж 8 | V b
о
[6 > 0; |argc| < тг/4].
4. — [si (ax) -si(bic)]erf (еж) dx =
J Ж
1133 Ь2\ а
1 3 3 а2
а2
—
. si Eж) erfc (еж) Же = - ехр (
J о [ \
) - 1 - ^^ erfc ( —
[a, 6 > 0; |argc| < тг/4].
[6 >0; |argc| < тг/4].
[6 > 0; -KRea< 4; |argc| < тг/4],
q + l\[sin[(q + lOr/4]]
2 J \ cos [(a + 1)тг/4] J
/1 а + 1 а + 1 а + 3 1 5
4 3\4' ""^' ~1~' ;
; 2' 4' ^П; 62
sin [{a - 1)тг/4]
3 а + 3 а + 3
4' ~1~' "'
2 у \cos[(a-lOr/4]
¦5ш 3 a+ 7 7 с
~' 2' ~~4
дх 1-7 r/a\/sin(a7r/4)
4 b2 J aba'2 \2/ [cos(o;7r/4)
118
Гл.2. Определенные интегралы
[2.9.1
7
7. ж
J
Г * (Ь 2
"1 Ш X
erfc (еж) dx = V@) [b, Re a > 0; | arg c\ < тг/4; V(j) см. в 2.8.26.6].
ci Fж )
8. f e~c2x2 si (bx) erf (icx) dx = ^^ El f --^-
J 4c V 4cr
9. j-e—
0
b b
[b > 0; |argc| < тг/4].
3 3_ b2
2' 2' ^4d
[b > 0; |argc| < тг/4].
2.9. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ 5(ж), С(ж)
2.9.1. Интегралы общего вида.
Обозначение: S = \ ?.
5+1/2
2
2.
DA;
a + <5 + l/2)/r + /3J У 4
[a, r, Re/3 > 0; Re a > -<J - 1/2].
cos [(r + rk — rB — a + 1/2)тг/21 1
• г/ » л /J ,J ? [о, с, r, Re^ > 0; Re (a ¦
sln[(r + rk - rP - a + 1/2)тг/2] J L
cS)}diB = -
1/2)**!
26
/
4.
f S(cx) 1
'\G(СЖ)/
.^а)"Г\ Г^ ГР+ 2) \ sin [(rife + rp - a + 1/2)тг/2]
[с, г > 0; r| arg z| < тг; -S - 1/2 < Re a < rRep].
2a + 2S
g
2r
.
2/ [ sin [(rk + r - a + 1/2)тг/2]
[с, r, 1/ > 0; r - ? - 1/2 < Re a < r].
2.9.1]
2.9. Интегралы Френеля S(x), С(х)
119
оо
5. \xa~1e~px{S^X\\dx
J (С{сх) )
[с, г, Rep > 0; Re a > -5-1/2],
2k
2r
1 у (-l)T(rfc + a + l/2) [cos [A/2 - a - rfc)rr/2] 1 ЛР \*
V^f^ (rk + a)kl \sm[(l/2-a-rk)n/2]f\cr)
[r > 1],
[/A) см. в 2.9.3.2.
1 ^ (-1)*Т(а -гк + 1/2) J cos [{гк - а + 1/2)тг/2]
\ sin [(rA; - a + 1/2)тг/2]
[c, r, Rep > 0; Rea < 0].
[6, с, r>0; -r-<5-l/2
x Г
¦28-
Tr
v( ч
/a\ a - r7
\)C°S
2r
J'
8.
9. \ ха~1е~рхГ sinbxr
J
2r7 - 1)тг/4] \ / 6
2-lOr/4] J \2cr
V(<y) при r = 1 см. в 2.9.4.3-4.
x = V@)
[6, c, r >0; -5-1/2 < Rea < r; VG) см. в 2.9.1.7].
^X\\ dx = W{1) [6, c, r, Rep > 0; Rea> ^r - 5 - 1/2],
C{cx)j
77Г 4к + 2а + 28 +1 р 1 с^
х cos I arccos ¦
2 2r
[г > 1] или [г = 1; |сГ < \Ьл+рл\1
120
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.9.1
W{>y) = —
¦a + 1/2)
'cos[(l - 2rk - 2а)тг/4]1 ( jtt
x < rL; f ' ' ; } cos J h A; arccos
i[(l2A2)/4]J \ 2
{co
si
sin[(l-2rA;-2aOr/4]
к
2
\-«/Br)
2r
1?)
, ^ , . 7?r a
J_ | — J cos I — arccos -
2 r
[r < 1] или [r = 1; |c|2
10.
11. ж°
0
рхГ cos bxr
5/!
С (ex)
in (ж
+ z
dx = W@)
[b, c, r, Rep > 0; Rea > -<f - 1/2; ^G) см. в 2.9.1.9].
ix = X(l) [c, r > 0; -5- 1/2 < Rea < 0; r|argz| < тг],
k=Q
2a
/2жс
rT(a + 1/2) Jcos[
-a)
f cos [Bkr - 2a + 1)тг/4]
[ sin [Bkr - 2a + 1)тг/4]
тг 2a T 1
12.
г г
S(cx)
С (ex)
dx = X@)
[c, r, z > 0; -5 - 1/2 < Rea < 0; ^G) см. в 2.9.1.11]
1/r
|"b, c, r > 0; -5 - Cr + l)/2 < Re a < 0, при r < 1 — замена ж = t
УG) =
r) ^ A/2
x Г
sin
B6 +
27
2a + 2S)/4)kl
2r /IV4 4r
с \^ft Г(а + 1/2) Jcos[(l - 2а)тг/4]
тг x
[A - 2а)тг/
[r > 1],
Y(j) при r = 1 см. в 2.9.6.1-2.
14. xa~1C(bxr)
= У@)
[6, с, г > 0; -5 - (г + 1)/2 < Re а < 0; У G) см. в 2.9.1.13].
00
Г f S(cx) 1
15. / егГFжг)< V \ \ dx = Z(l) [c, r > 0; -1 =F 1/2 - r < Rea < 0; |arg6| < тг/4],
J [ G(еж)J
2.9.2]
2.9. Интегралы Френеля S(x), С(х)
121
2r
rBrfe + a
^ Qc« I cos [Ba + 1)тг/4] /
sin [Drfe + 2a + 2r + 1)тг/4]
8т [Ba + 1)тг/4]
A (
2r >/ { 1} V2^ac« \cos[Ba + l)?r/
при г = 1/2 см. в 2.9.8.1-2.
1/2J'
l ' J>
16. ж"^1 erfc (bxr)l ~,) ; \ dx = Z@)
J { С (ex))
0 [c, r > 0; Re a > -1 =p 1/2; |arg6| < тг/4; Z(j) см. в 2.9.1.15].
2.9.2. Интегралы от Л(х)
Обозначение: 8 =
< ?.
S(cx)
G(cx)j°
1. x°
J
о
2.
"{??)}
Г(а + 1/2) f sin [Ba + 1)тг/4]
l
[с > 0; -1 =F 1/2 < Re a < 0; а ф -1/2].
_ifl ( S(cx 1] . Г (a+ 1/2 (sin 2a + 1 тг/4 1
L \C(cx))\ \
3.
J4c(k)-CHJ 2 с
0
5. a.«-1(a2-xY-4^CiCHdaJ=5—=
J l ; \C(cx)) V2^
с > 0; 0 < Re a < 3/2 .
lb> c > 0].
x 2F3
1 25
r5 + l/2 / , e Г
, 1 5 + 25 a + 5
4' 4 ' " ' 2' 4 ' 2 ' 4 ' "' 4
[a, Re/3 > 0; Re a > -5 - 1/2].
Г a_i . 2 2
" 4
2^A-/3,1-/3-1; 2-
f,
[a, c, Re^ > 0; Re (a + 2/3) < 2].
122
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.9.3
7.
8.
-±1/2
+ <5 1
S(cx) \dx= cs+1^za+s-2"+1/2 .
C{cx)\ BE + 1)л/2тг
1 + 25 a + S 15 + 25 1 r 5 a + S
\/2nBp-a) \ cos [(Ba
T4' 4^' 2T"'4T 2
sin[(Ba + l)/4-pOr]
a
-+a-2p x
3 — 2а 1 — 2а
^2-r2
-,
dx =
7Г Г 1
[c, Rez > 0; -5 - 1/2 < Re a < 2 Rep],
[c, Rez > 0].
9.
J V ; l dx = -/±i/4( — IATimI —
с, Rez > 0].
10.
da? =
а-- х
2,
f sin [Ba + 1)тг/
\ cos [Ba + 1)тг/
a 7-2a 5 - 2a ^ cV
2а
' 4 ' 4
J + l , 1 28
±
[c, 1/ > 0; -1/2-5 < Re а < 2].
11.
12.
32z2) . . . (ж2 + Bn + lJz2)
dx =
2.9.3. Интегралы от хае рх
Обозначение: 8 =
2. U-V-^}
л/2п - 2A; + 1
[с, Rez > 0].
+ c2
[с, Rep > 0].
2E + 1 2a+ 3 2a+ 1 2E + 5 1 ^«
4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 2' ~j
[c, Rep > 0; Re a > -8 - 1/2].
2.9.4]
2.9. Интегралы Френеля S(x), C(x)
123
о.
-e-pN ^Г\ } dx = -U fcarctg ^ ± In C~^P+P
_ С (ex) J 4^?fp \ p — с с + у 2ср + p
[с, Rep > 0].
. 7
J
+ с2 — р
1/2
5.
2<5 + 1 2а+ 2E + 1 2E
4 ' 4 ' 4
ОО
. \
[с, Rep > 0].
1 сг\
-; 1 [Rep > 0; Re a > -S - 1/2].
[Rep>0].
[Rep > 0].
К COS (fi
sin y?
9. x~2e~
=c); Rep > 0].
[c, Rep > 0].
2.9.4. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
' S{cx)
Обозначение: 8 =
{»¦
1. sin bx\ ^ „. ч
J L2 1С(сж)
0
26 46 ! V6T^ /F3^
1 / sgn (с - b)
1
2. cos bx I ^ —
0
3.
/У
[1 _ | 5(сЖ) 11
[2 \C{cx)j\
dx =
c\ 1
46
1 1 1
(и \ Г /i
-c| isgnF-c)j л/Ь + с
[6, с > 0; 6^ с].
[6, с > 0; Ьф с].
C{cx)
[6, с > 0; -3/2 - 5 < Re a < 1 при 6 ^ с, -3/2 - 8 < Re a < 1/2 при 6 = с],
ж BS + 1N«
1/2) f sin[B7-2a-lOr/4]
tcos[B7^2a^lOr/4]
2a+ 3 2a+ 1 , c 2<5 + 5 c 1 c2
[0 < с ^ 6],
67Г(а + 7 + 1/2) ( cos [A - 2a - 27)тг/4]
a + 7)ca+^ \sin [A
- 2а - 27)тг/4] 1
- 2а - 27Oг/4] j
124
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.9.4
b< с].
4.
С(сх)
[6, с > 0; -1/2 - 8 <Rea < 1 при b ф с; -1/2 - 5 < Re а < 1/2 при b = с; U(j) см. в 2.9.4.3].
~1/2\ZbXxC(cx) } dX = УTb [О 6 > 0],
= 1 /V|0
4 V 2с 1 1
Г 1 Г cos bxS(cx)
J ж \ sin bxC(cx)
о
¦ = т In
-^ тагсвш^-
2 V л/с
/С + Ь 7Г
/с — 6 i
О
9.
2 1 С(ся:) \ I ^ ~ 26 8b^ J±1/4\8b J ^ \8Ь
? 2±1
10. 1 ж cos 6ж2
-- Г 1 , ^
11. - cos буж
J ж V
о
«/±1/4 ( ^7
1Г . /б2\ /б2
аж = ci ( — I =F S1 I —
1 Г 5(сж)
, 1Л б б
< ) \ \ \ dx = - 1 - cos — ± sin y~
2 [ С (ex) j J 6 \ 4c A
[Ь>с> 0],
[с > Ь > 0].
[с > 0].
[с > 0].
7Г ) [6, С > 0].
[6, с > 0].
[6, с > 0].
[6, с > 0].
= 2[
6[
fe \fcos[62/DC)]| / & \/sin[62/Dc
^y\[2/()] V^\[2/(
[
— sin —
ж ж [2
15. — cos — -
J ж ж [2
о
G(сж)
С(сх)
- [si
2
= -i [ci B^6^) ± si
+ El (^
El (-
[6, с > 0].
[6, с > 0].
[6, с > 0].
2.9.5]
2.9. Интегралы Френеля S(x), C(x)
125
16.
г cos еж 1 (
< . >S(cx)
I sin еж J
dx =
cosec [A — 2а)тт/4]
-.- Г a
17. ж
J
о
18.
Г{1-а){ sec[(l-2QW4]
1 , Л f
- - S(cx) )± <
2 у l
Г (а) Г sec[A^2aW/4] 1
= .;. ; { Ur/ \ /Л с> 0; 0< Rea
23/2c«\cosec[(l-2aOr/4] J L
COSCXl/l Л]
\[--C(cx))\dx =
2 /J
smc3?J\2
sin еж
cos еж J ^ 2
3 + 2E
(COSCX} (\
I sin еж J V 2
19. ж(ж2 - а2I3 г
}(\-S(cx))±{
[a, c>0; 0 < Re Д < C
. \[-- С(сх))\ dx =
sin еж J V 2 ' '
0+3/2-8 3/2-0-8
B
9Л
1/2].
3^5, /3+i/2
(ac) [а, с > 0; 0 < Re/3 < B ± l)/4].
2.9.5. Интегралы, содержащие е рх , тригонометрические функции
' S(cx) 1
Мех)}'
{ s'm Ьл/х S(c
}dx = h
c
[6, ОО].
L' J
-1/2 -6
ж ' е
dx =
— 1 erfc
^ ехр ^-|- j erfi
3. j .-»'.-
о
со8сжС(сж) ± з1пеж5(сж)
е)
л/с
[6, с > 0].
VH
In
[с, Rep>0].
-I I —1/2 — ICK/aF
4. ж ; e PV
(^ ( СЖ j
±s
126
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.9.6
2.9.6. Интегралы, содержащие произведения функций S(bx), C(cx).
Обозначение: 8 = < >.
[6, с > 0; -2- ё < Re a < 0],
2е5+1/2Г(а + ё + 1) /cos [A + 2а -
; - 27)тг/4] 1
- 27 W4] j
2а
2a
5 с2
2' 4 ' 4 ' i
L Г(а + 1/2) f cos [A - 2а)тг/4]
\sin[(l-2aOr/4]J-
2.
[6, с > 0; -8 - 1 < Re a < 0; 17G) см. в 2.9.6.1].
oo
. f
J
= — k/6 f In
2тг L
¦ arcsm \l - ] +
b
+ V С In
1
С 7Г
+ ~™
2
> с > 0].
4.
/2тг
/с In
+ arcsm 4 / - + Vfe I In
+
oo
M
dx = 4/— In (>/2 + 1)
V 7Г
7.
oo
Mi'
0
10.
oo
11. f
12.
= -[1-егГ
lb~c
1 1^1 Г(а + 1/2) атг
5(сж) | f dx = ^_—^™^ sec ¦
[c> b> 0].
[c > 0].
[c > 0].
[c > 0; 0 < Re а < 1].
[с > 0].
[с > 0].
[с, Rez > 0].
[0 ^ с ^ b < 2с].
[с > 0; 0 < Re а < 1].
2.9.7]
2.9. Интегралы Френеля S(x), C(x)
127
13. х~
J
о
1 _ Г S(cx) I
2 \C{cx)i
da; =
f
14. Ismbx - -C(cx
J L2
-1/2
dx =
1] 1
О
[с > 0].
\(b>2c) 1
LU<2cJ J
к;
< с < b
< Ь < с
:) [6,0 0].
17.
dx =
1
—== \y/b + c + sgn (b - c)y/\b- c\] [6, с > 0].
2у2ттЪс L -I
^ тж (si(bxr)} ( S(cx))
2.9.7. Интегралы, содержащие < ; г{ }\ , \ }•
[ci(bx )j {С(ex))
( i 1
Обозначение: § =
{:}¦
=
[b, с > 0; -5- 1/2 < Re a < 2],
sin [B7 - 2а - 1)тг/4] '
v in) = -
±
^F B<5 + l)Ba + 26 + lN«+*+i/2 \ Cos [B7 - 2a - 1)тг/4]
+ l 2a + 2<f + l 2a+ 3 2a + 1 . _ 1 2<5 + 5 2a + 25 + 5 c2
+ 5 ^+
[c < 6] или [с = 6; Rea < 1],
2^2^G + 2)(a + 7 + 2)B7 + 1)с«+т+2 [ sin [A - 2a - 27O1-/4]
1 ^
76Г(
bT(a + 3/2) f cos [Ba + 1)тг/4] 1 Г (a + 1/2) f cos [A - 2a)?r
?(a + l)ca+1 I sin [Ba + 1)тг/4] j + ^2?ac« \ sin [A - 2а)тг
/4]
г/4]
. ^ , , Г(а) а — 7
¦ 7Г - In - ^ Н ^ COS ^
4 И J 2а6« 2
S(cx)
С (ex)
[Ob].
da; = V@) [6, с > 0; -5 - 1/2 < Re а < 2; VG) см. в 2.9.7.1].
[6, с > 0].
128
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.9.8
f erf(bxr) I Г S(cx)
2.9.8. Интегралы, содержащие { erfc (^} }{ с(сж)
с > 0; -C± 1)/2 < Re а < 0; | arg 6| < тг/4; <5 =
l7j
тгB<5 + 1)Bа + 2<5 + 1N
а + 1 ,2E + 1 2а + 2<5 + 1 . 1 28 + 5 2а + 2E + 5 с2
—+ *, -J-, j ; « + -, -j-, j ; --
Г(а + 1/2) Г sin [Bа + 1)тг/4]
~ 7 " I cos [Ba + 1)тг/4]
-+ 1,
2.
Г Г S(cx) 1 1 /
3. erfc (еж) < > dx = —^^~
0
оо
г г stcx) } 1
4. erfcFa;)j [ йш = ^ y^-
[с >0; Re а > -1 =F 1/2; | arg 6| < тг/4; 1/G) см. в 2.9.8.1].
2\) [с > о].
- (Ч—L
±b2) - (Ч—L- [0 0; |arg6| < тг/4].
[0 J V2?rc
2.10. НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ Ff>, ж) И 7(^9
2.10.1. Интегралы общего вида.
¦Г(/3)х
f /3\ \oj r v ; \r
а, г, Re (a + i/), Re/5 > 0, 1
Re а > 0
Rei/ > 0
2. ж" (жг — ar)
1-? _
r — /3r — a)
r/3-r
0J r
a, r,
f Re с > 0
> 0, {
1 Re c, Re v > 0; Re (a
< r
гГ(р)
P
2.10.1]
2.10. Неполные гамма-функции Г(и, х) и j(i/7x)
129
0 J г
г, Re(a + i/), Rec>0; r|arg2:| < тг,
и, Re (г р — а) > 0
4.
(i/, еж)
(i/, еж)
= ±
7ГС у
г, у, Re (а + i/), Re с > 0,
1 1 7Г2/""#ГA/) атт
о/ ^ ctgV
Re a > 0
Re I/ > 0; Re а < г
5. /"^"^
о
(i/, еж)
(i/, еж)
dx = U (r)
r,Rec,IUp,Re(a + ,)>O,|Ite|/>o|,
I7(r) =
t/(r) = ±c~a '
1/r
[r > 1],
[r < 1],
17A) см. в 2.10.3.2.
a
3. f^-^-ay-V^r
/, еж) dx =
k]
(a + l/ + k)lr
т.
[a, r, Re a, Re^, Re (a + v) > 0; | argc| < тг].
l-(a + k)/r
¦r(/3)
{acf
8.
ГA — i/) ^^ fe'sln (a + i/ — r + Br — rk)w
[a, r, Re/5 > 0; Re (a + v + r/3) < r + 1; |argc| < тг].
ruV{p) ^o(l + v)
a + v + к
_c^a+l/"rpy^ M rfa + l/ + fc jrfp^
тгс'г-в ^(^l)fc(p)fcr(a^rp^rfe)(cz)
ГA — i/) ^ kl sin (a + и — rp — гк)тт
[r, Re a, Re (a + v) > 0; Re (a + i/ — rp) < 1; | arg c|, r| argz| < тг].
9 А. П. Прудников и др., т. 2
130
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.10.1
9. ecaT(i/, еж) dx =
J xr-yr x J
0
^
ГA — v) ^-^ sin (u + a — r — гк)тт
+ g7ctg 7r +
ги ^ A + и) к г
г ,
г, у, Re a > 0; 0 < Re (a + i/) < r + 1; argc < тг .
oo
10. f ха-1е-рхГ+схГ(и, ex) dx = V(r) [
r, Re a, Re (a + u), Rep > 0; |argc| < тг],
r )\p
up"
j/ OO 1
_E V -
a + i/)/rr Z^ (l + i
: + !/ +Ai\ / с
pl/r
> 1],
a + i/ — 1 — fe\ / p
r(a + rife)
с°ГA — i/) ji—-^ A;! sin (a + v + гк)тт
см. в 2.10.3.2.
< У,
. J.».-
l ;
саГA - i/) ^ A;! sin (a + i/ - г^)тг
[r, Rep > 0; Re (a + i/) < 1; | argc| < тг].
7A/, еж)
= т-
f Re с > 0 11
' eP ' [Rec, Re i/ > 0; Re a < 0 jj
13.
7A/, еж)
6, r, Re с > 0; Re (a + v) > -r,
Re a > — r
Re и > 0; Re a < r
x cos
fc=o
¦ — a — и — к
2r
(а/г)
- COS 7Г
> 1],
2.10.11
2.10. Неполные гамма-функции Г(и, х) и j(i/7x)
131
+
01 Г(и)Г(а/г) rj - а
} / , —- cos — ж
2г
< 1],
при г = 1 см. в 2.10.4.1-2.
14. | xa-1cosbxr\L^ СХ\} dx = W@)
(i/, еж) ^
b, r, Rec, Re(a + i/) > 0, ^ в" > [> , Ш7) см. в 2.10.1.13
V ; ' Re 1/ > 0; Re a < r f
15.
^e"^ sin bxr
7A/, еж)
6, r, Rep, Rec > 0; Re (a + v) > -r,
Rea>-r
Re 1/ > 0
, 77Г a +1/ + Is p \ с
x cos arccos —. —. h
2 r /^(#?)fc/
Г(и)Г(а/г) hyn a p
, —) -— cos J arccos .
0 I г(у/62+р2)«/^ I 2 г гД^Т^
- cos ( h A; arccos
2t
[r > 1] или [r = 1; |c|J < |62 +p |],
2 + Р2
F(u)T(a/r) I j7i a
— cos arccos -
Wr I 2 r
[r < 1] или [r = 1; |c|2
16.
', еж)
6, r, Rec, Rep, Re (a + i/) > 0, { e ° > ° I . X(j) см. в 2.10.1.151.
I Re i/ > 0
17.
6, r > 0; Re a > —r<5; —r<5 < Re (a + 1/) < r + 1; | arg c\ < тт, S =
Y( \=
fc=0
^ 1 / a+j^ + jfc \ / sin [(a -
^ (a + i/)fe V r / I cos [(a-
А;)тг/Bг)] J
> 1],
132
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.10.1
У(г) =
a + i/ - A; - 1"\/ sin [(a + i/ - A; - 1)тг/Bг)]
cos [(a + v-k- 1)тг/Bг)]
УA) см. в 2.10.5.1.
[г < 1],
18.
у/ ч _
l7j _
rjr(i/, еж)
(i/, еж)
dx =
г, Re с, Re (а + i/) > 0; r\ arg z| < тг,
J Re a > О
\ Re i/ > 0; Re a < 0 /J'
+ !/ +
cos 7[(ft + ^ + /г)тг/г]
sin[(a + i/ +А:)тг/г]
Z (cz) ±
19.
In
i/, еж) 1
i/, ex) J
-a)
ф(а + i/) In с | +
= z(o)
) COS1 7(of7r/r) a
¦ ^
a sin (аж/г)
r, z, Rec, Re(a + i/) > 0, ; — ~ ' " ^ , ZW см. в 2.10.1.18|.
1 ; ' ^ Re и > 0; Re a < 0 J '
20.
CX f In (
l 1П1
(cz)fc f cosec
a)l ctg[(
cosec [(a + i/ + &)тг/г]
^ A + i/)fc(A; + a + i/) \ ctg [(a + i/ + А;)тг/г]
(cz)*
21.
саГA — i/) ^ A; sin (a + ?/ — гк)ж
x [^(a) — 7гс
r, Re a, Re(a + i/) > 0; Re (a + i/) < 1; largcl < тг, i Г' arg
L U > 0
(i/, еж)
а sin (а + |/)тг [ 1 —
x [^(а) — тг ctg (а + и)ж — In с]
< тг
7(i/, еж)
с/ж = РA)
г, Re 6, Re с, Re (а + i/), Re (a + гд + v) > 0,
Г Re а,
0
pG) = i(-i
¦ V-
, Rei/ > 0
при г < 1 — замена ж = t1'r
I (Л
РG) при г = 1 см. в 2.10.6.1-2.
[г > 1],
2.10.2] 2.10. Неполные гамма- функции Г (V, ж) uj(i/7x) 133
22.
оо
Г _1 (Г(и сх) 1 Г
23. ж" Е1(-6жг)< ;' ; > dx = Q(r) г, Re6, Rec, Re (a + и) > 0, л п,
J [7О, еж) j L iRei/ > 0 JJ
о
j ОО / _|_ _|_ ?. \
Г^ ~~ АСо + И/г / -/ U\(U i , Л/L i л. i ГХ I II I \ ~~ иЛ /г I I Q
г, Re6, Rec, Re/x, Re (а + г и + i/) > 0 / Re (а + ^г) > ° \ РG) см. в 2.10.1.2ll.
[ Re i/ > 0; Re о: < 0 J J
[r > 1],
Q(l) см. в 2.10.7.1.
7, еж)
у, еж)
о
' Re а > — г
f
r, Rec > 0; Re (a + 1/) > -r; |arg6| < тг/4, ^
Rei/>0;Rea<0jJ
ас°
R(j) при г = 1/2 см. в 2.10.8.1-2.
оо
25. [ ж" erfc Fжг)( Г^' СХ\ \dx = Я@)
J 1т(^ сх) J
о
г, Rec, Re(a + i/) > 0; largbl < тг/4, I G° > 1 , ЯG) см. в 2.10.1.24
L I Re v > 0 j
{Г(и ет) 1
/' ^А-
7(i/, еж)]
оо
Г а-i fr(i/, сж) 1 . . Г(а + 1/)
1. ж < > ах = zh [Re (а + v), Re с, dz Re а > 0].
J [ 1\У, сх) J acQ
о
2.
О
х 2F2(i/, а + i/; i/ + 1, а + /3 + */; -ас)| J 1аа+/3 ХГA/) В (а, /3)
' Re а > 0
a, Re/3, Re(a + i/) > 0, I
1 Re 1/ > 0
134
Гл.2. Определенные интегралы
[2.10.3
3. lx"-1(x-a)
J
о
В(/3, l-a-^-i/Ji?2(a + ^, i/; v + 1, а + /3 + i/; -ас) =F
1
O
L Re/З > 0,
Rec, Rei/ > 0; Re (а + Д) < 1
4.
В (а + i/, p — a —
с
=F Г(а + 1/ —
p-a
J^2A/, a + 1/; i/ + l, 1 + a + i/ — p;
a, p; 1 + p — a, 1 + p — a — i/; cz)
5.
1 ;F' CX\
1 ; \
ж-2/ [7A/, еж)
dx = ±жуа^1 ctg (a + i/)tt7(i/, cj/)
Г(а + 1/ - 1JF2A - a, 1; 2 - a, 2 - a - i/; -cy) -
оЬ
L, Re(a + i/) > 0,
Re a, Re с > 0
Re c, Re i/ > 0; Re a < 1
2.10.3. Интегралы от A(x)e
f{x)
7(
^ СХ\\.
1/, еж)]
[Rec,Rep>0;Re,>-(l±l)/2].
2. j j-vl1!01! Ua; =
0
^r 2Fi(i/, a + u; i/ + l; + < л >
Rec, Rep, Re (a + 1/) > 0,
I. жа есжГA/, еж) da; = ;—-( г—
J с" sin (a + 1/)тг
о
а
1. жм|/(а — ж) ecxj(u, еж) а*ж = В (/3, г/)а c1/eacj(f3 + i/, ас)
J
Re и > 0 .
[Re а, Rec > 0; 0 < Re (а + i/) < 1].
5.
[а, Re^ > 0; 0 < Re i/ < 1].
eF1!!/ /^^l /У T* — /I I™11 I/ 1 R I /™V m и Рч (ry • /~y -i~ /?¦ /I ^» J
ж. \ ЁУ. !>«// J LI/«I/ IX J- \ 1У j 1-3 I LX « L/ I \ А \ \ С-Ж * CJt. j^ L/ ^ CX tv I
-^-B(^, a + i/JF2(a + i/, 1; v + 1, a + /3 + i/; ac)
[a. Re a, Re/3, Re (a + v) > 0; | argc| < тг].
2.10.3]
2.10. Неполные гамма-функции F(i/, ж) и j(i/7x)
135
3. \xa~1(x-af~1ecxF(u, еж) dx = а^+^ГО) В (/3, 1 - а -/3)iFi(a; a + /3; ас) -
¦В(/3, l-a-/3-i/JF2(a + i/, 1; и + 1, а + /9 + i/; ае) -
/^ 1 ^-L ,05 ¦" ^- г-'? acj
7.
z)
sin (a + /3 + 1/)тг [l^17
[a, Re/3 > G; Re (a + /3 + */) < 2; | argc| < тг].
¦ есжГ(|/, еж) dx = za^pV(u) В (а, р - а) iFi(a; 1 + а - р; -ся) -
¦ В (a + i/, p — a — u) 2^2@ + 1/, 1; i/ + l, 1 — p + a + i/; ^
8.
I/
sin (a + i/ — р)тг
[Re a, Re(a + i/) > 0; Re (a + i/ - р) < 1; |argc|, |argz| < тг].
есжГ(|/5 еж) dx = —жуа~ есуТ{и) ctg атг + тгуа~ е~су ctg (а + 1/)тг7('/, су) —
ет г а
sin (а + г/)тг
[у, Re а > 0; 0 < Re (а + и) < 2; |argc| < тг].
7A/, еж)
2 2 ' 2' 2 ' 4p
2 '
' 2' 2 '
00
10.
11.
/, еж)
с"Г(|/)
' Re а > 0
^' I Rei/ > О
[Rec, Rep > 0; Re v > -2].
-pv^ 1 A I17' cx)
[7A/, еж)
2рГ(а + v + 1/2)
1, §; ^ ) т
1
2'
13 3 /\ [ 11 2ГBа)Г
25 2' а+ 25 4cJ + \0j p2"
Re с, Rep, Re (a + 1/) > 0,
Re a > 0
oo
¦J
О
oo
¦I
(|/, еж) da = ^^ exp ( ^-
217 XP \8c
_2«, f -p=- )
\V2c/
Re и > 0
[Rec, Rep, Re v > 0]
( p
exp i/тгг + ^-
\ 4c
!„еГ
2 4cy
[Rec, Rep, Re v > 0].
136 Гл.2. Определенные интегралы [2.10.4
оо
— 1 — / I *- {^ СХ) I С Ю
14. ж е ' < / л > с!ж = =р Г(^а — i/) \Fi{y\ и + 1, 1 + а + г/; ср) ±
I/
о
, Г(а + 1/) ^ , , , ч
± —^ ^ 1-Г2( —ск; 1 — си, 1 — а — I/; сю) + ,
ас" 10
Г^ f Re с > 0
Rep > 0, {
I [Re с, Rei/ > 0; Re а < О
оо
15. — е~р/хГ(и7 сж) с!ж = 2cl//2pl//2Kl/B^cp) [Reс, Rep > 0].
J ж
о
оо
x^2l/i/7r J ГBг/, 2^ср)|
Г Re c> 0
-> и,
16. »-I/-d/iSe-p/iB^ ' !> dx =
J [7(^, сж)
о
Rep > 0, ^ 4.
iRec, Rel/ > OjJ
' J \7(|/,сж)/ Cp"-i/2 \7Bi/-l, 2Л/ЪрI
о
. Re с > 0
Rep > 0, {
1 Re с > 0; Re и > 1/2
18
. f жаесж"р/шГ(|/, сж) с!ж = 22"а1/ГA - а - i/)c"a/2pa/252^+a-i, -аBу/Бр)
0 [Rep > 0; Re(a + i/) < 1; |argc| < тг].
2.10.4. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
6, Re с > 0; Re (а + и) > -1, J ва м,
1 Re 1/ > 0; Re а < 1 J J
(а
7 а
/ cos6ж(Г^' СХ\
2. ж^созбж^ ' ^ж = 1/@)
J 170л сж) '
о
6, Re с, Re (а + t/) > 0, < } , ?/G) см. в 2.10.4.1 .
1 Rei/ > 0; Rea < 1 J '
3. ж sinova? { , ; > аж = 1/A)
1 ' "(i/, сж) '
V ; 7 ' \Reiz >0; Re а < 1/2 Jj'
' л, I ' . л, I ' I 1 л, I
2.10.6]
2.10. Неполные гамма- функции Г (i/, х) uj(i/7x)
137
4.
б, Re с, Re (а + I/) > 0, { ^ " > ° 1 , V(y) см. в 2.10.4.3
\Rei/ > 0; Re а < 1/2 / ' v/;
> °
Rei/ > 0; Re а < 1/2
2.10.5. Интегралы, содержащие есш, тригонометрические функции
№}
Обозначение: S =
< >.
а + 1 а а +
1 а
+ |/)тг
1 а + i/ + 1 а +
2'
2' ^'
{sin [(a + i/)tt
cos [(a + i/)tt
/2]1/ i/ 3-i/ 3-a-i/ a + u^ b1
/2]J3 2\ ~ 2' 2 ' ' 2 ' 2~5 ^c^
[6 > 0; Re a > -5; -5 < Re (a + i/) < r + 1; | arg c\ < ж[
2.
-• -• —
2 ' 2' 4c
; ^l2F2fli/,l;2ai/,a^;
cos (a + i/)tt J \ 2
[b > 0; Re a > -5/2; -5/2 < Re (a + */) < 3/2; |argc| < тг].
oo
/, еж)
v) exp
/
[6 > 0; Re i/ < 3/2; |argc| < тг].
2.10.6. Интегралы, содержащие произведения функций Г(/х, 6ж)
и 7(|/> сх)-
1. xa 1Г(/х,
J
0
(i>, сх)
, Re i/ > 0
_ l_-\\~
*•
138
Гл.2. Определенные интегралы
[2.10.7
л» I х 7\/-^5
о
[Re 6, Re с, Re ^, Re (a + ^ + i/) > О, j ^ } , ^%) см- в 2.10.6.1
L [Rei/ > 0; Re а < Oj V ;
оо
Г a_i ™рж
J
F2
/, /х, I/;
be
1, 1/ + 1; ,
V V
[Re 6, Re с, Rep, Re/i, Re i/, Re (a + /i + i/ > 0)].
{Yiu
7A/,
ex)
еж) J
i/, a + i/,
l, a
Re 6, Re c, Re (a + 1/) > 0,
G ° >
оо
г. Je-Ei(-
; |f ф(^, 1,
bt/+l \b
3.
A; \b
Rei/ > 0
[Re F-с), Rei/ > 0]
[Re (b- c) > 0; n = 1, 2, 3, . . .
2.10.8. Интегралы, содержащие
7A/, еж)
< /_ >< ; : >.
[ eric (оуж ) J [ 7A/, еж) J
Re с > 0; Re (a + i/) > -1/2; | arg 6| < тг/4,
Re a > ™Х/ |]
Re i/ > 0 J J
17 7 =
2.
л / 1 c
3F2 1/, a + 1/, a + 1/ + -; 1/ + 1, a + 1/ + 1; -va
у 2 6^
а + 1/^)
'
' СХ\
dx = U@)
оо
Re с, Re(a + i/) > 0; |arg6| < тг/4, <j Re " > ° \ , ?/G) см. в 2.10.8.11.
/, сж) dx =
2
[Re(a + 1/), Rei/, Re F2 - с) > 0; | arg 6| < тг/4].
2.11.1]
2.11. Функция параболического цилиндра Du(x)
139
4. \ xa~1el>2x erf (by/x)F(i/, ex) dx =
, а+ -,
le 3 3_ b2
2' 2' а+ 2' 7"
[Re a, Re (а + i/) > -1/2; Re (с - б2) > 0; | arg Ь\ < тг/4].
оо 2
5. ж" erfi (by/x) erf F\/ж )Г(|/, еж) dx = г— — х
J тг(а + 1)са+1
1 а + 1
l
1/ + 1 а +1/ 3 5 3 а + 3 б4
2 ' ^^+ 5 4' 4' 2' ^Г; ^
[Re а, Re(a + i/) > -1; b, Re с > О].
2.11. ФУНКЦИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА D»{x)
2.11.1. Интегралы общего вида.
а
О
х Г
]A±1)/2
00
J
I \k
V2^ ac) [a, r, Rea, Re^ > 0].
rU3)aa+rf)-r x
fcj
- (a
- , ±
V.
А;! V 4
г, Re /3 > 0; | arg с| < B ± 1)тг/4,
< r
a> 0
(a + fc)/r, p - (a + fc)/r
{-l)k(p)kY(g -rp- rk)
k\
f-a x
± Q =F
rfe
r > 0; |argc| < B ± 1)тг/4; r|argz| < тг, <
Г 0 < Re a < Re (rp - г/)
Re a > 0
4.
A;!
X ctg-
140
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.11.1
rk
0; |argc| < B ± 1)тг/4,
< Re a < г — Re v
оо
. \
dx = U(r)
A;!
, Re a > 0
[r, Rep, Re a > 0; |argc| < B ± 1)тг/4],
к
A — i/ dz ife/2)
> 2],
f;
A;!
x Td
{;}?=?
¦v -2k
k=0
17B) см. в 2.11.3.2.
2c2
2],
6.
'
0; |argc| < B±1)тг/4,
J Rep > 0; Re(a + v) < 0
[Rep > 0
7.
1 sin ксг1ЛДсж) ^ж = 1/A)
6, r > 0; | arg c| < B ± 1)тг/4,
—r < Re а < r ¦— Re i/
Rea>-r
A — г/dz ife)/2
2r
> 2],
Г(а + Г7 + 2rfe)
:?¦
1,2 \ *
oo
| ft(a + «/)/rr A^ J^I
J fc=O
FG) при г = 2 см. в 2.11.6.4-5.
e c x ' cosbxrDts(cx) dx = V@)
[б, r>0; |argc| < B ±1)тг/4, { ^ < ^" < '
I 1 Re a > 0
Л-пг) [Г<2]'
}¦
см. в 2.11.1.7
2.11.1]
2.11. Функция параболического цилиндра Du(x)
141
Г a-l - хг±с2х2 /4
). \ х е р ' sin bx Djj(cx) dx =
А;!
_, . (a + fc)/r 1 / 7?r a + к . b
x Г ; ,. . cos arcsin ¦
[6, r, Rep > 0; Re a > -r; |argc| < B ± 1)тг/4],
2Tk/2ck
[r > 2] или[г = 2; |с|4 <4|62+p2|],
x Г
S> ib!
j cos I h A; arcsin ¦
/b2 + p2
— а — г/ 6
arcsin
[r < 2] или [r = 2; c\4 > 4\b2 + p2|].
10.
11.
f жа-1е"ря'г±с2я!2/4со8ЬжгЛ1/(сж) da; = W@)
0 [6, r, Rep, Rea > 0; |argc| < B ± 1)тг/4; W(j) см. в 2.11.1.9].
1 In (хг
dx =
г > 0; |argc| < B ± 1)тг/4; r|argz| < тг,
0 < Re а < - Re I/
Rea > 0
OO I I
ife)/2) sin [(a + А;)тг/г]
±1 ^^T<
1 T 1
fc=0
+ ^
12.
13.
[a^'Mnla
о
_ ln ^ |.
r, z >0; largcl < B ± 1W/4, @<Re«<^Rei/l X G) см. в 2.11.1.11
[ Re a > 0 J
^^(bx^D^cx) dx = Y(l)
r > 0; | arg 6| < Зтг/4; | arg c| < B ± 1)тг/4,
0 < Re a < - Re A/ + r/x) 1
Rea > 0 J '
при r < 1 — замена ж = tr ,
142
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.11.2
УG) =
Е-
А;!
± А; -
а)]/Bг)
хГ-«-
+
[г > 1; у? = (а + /ir)E - 1/2) + /хA - 7) -
УG) при г = 1 см. в 2.11.8.2-3.
1],
14
. Г жа-1е-ь2х2г/4±с2я!2/41)А4(Ьжг)?>1/(сж) dx = У@)
0 [г, Re а > 0; |arg6| < тг/4; |argc| < B ± 1)тг/4; У G) см. в 2.11.1.13].
оо
15
ZG) = (-1
' erf {bxr)D1/{cx) dx =
-, Re 6 > 0; I arg c| < B ± 1)тг/4,
— r < Re а < — Re 1/
ZG) = -(-1)'
^г^ Г(а + г + 2г&) -1-1 / — I/ :
!(А + 1/2)
Q+")/r ^,fc![fc-(« + I/)/2]
+ A-7):
2 4
' г!
2r
2c2
с" х ' \ 2 4
при г = 1 см. в 2.11.9.1-2.
< 1],
16
а-1 ±с х /4 г (hTr)f) (CT\ JT — Z@)
° [r, Re а > 0; |arg6| < тг/4; |argc| < B ± 1)тг/4; ZG) см. в 2.11.1.15].
2.11.2. Интегралы от A(x)Du(cx).
00
2. f x~1/2Du(cx) dx =
' 2 ' 2 ' 2у
[Re a > 0; |argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4].
2.11.3]
2.11. Функция параболического цилиндра Du(x)
143
3.
[Du(-cx) - Dv{cx)} dx = -л
2.11.3. Интегралы от А(х)ер
2.
J
5.
оо
3 \х-"-
5- Jx
О
оо
г. J«-
8.
[Rez > 0; |argc| < тг/4].
[Re (с2 + 4р) > 0].
+ а _
„/а
2F1 -,
-1 \-\- ol — v с — Ар
ч~2' 2 ' 2 ' 2с2
[Re a, Re (с2 + 4р) > 0] или [Re (с2 + 4р) = 0; 0 < Re a < ~~ Re и].
ll/4
-Bi/ + 3)/4\ V 16р2^с4
[Re (с2 + Ар) > 0].
2 /Ж
(y/c2+4p
[Re (с2 + 4р) > 0; Re v < l].
[Re (с2 + 4p) > 0; Re i/ > 2n - l].
[Re (c2 + 4p) > 0; Re v < -l].
¦Г
3\ /с2-4р
(c2+4pK/2 * у" ¦ 2
_ T(u) cos (i/tt/4)
[Re (c2 + 4p) > 0].
[Re и > 0; |argc| < тт/4].
oo
j ж е ^(сж) ж -
о
oo
LO. [ жа-1ес2х2/4Я1/(сж) йж =
о
оо
Г а_1 ^с2ш2/4
J Ж
- sin ( :— )тг [Rei/ > -2; |argc| < тг/4].
11
12.
ра:2[?),(-сж) ± ?>4сж)] da; =
r((l±l-2i/)/4)
. a, -(a + i/)/2l
\v J
[0 < Re а < -Rei/; |argc| < Зтг/4].
а + «-)/2}
[Re а > 0; |argc| < тг/4].
[ReDp + c2) > 0].
144
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.11.3
а
13.
dx =
Г/2-
а + 1
. a 1 a a2c2
"' 2*' 2' ?+^' ~2~
v 3Т1 а + 1 3 а + 1
14.
dx =
' ~V_~
[а, Re а, ЕеД > 0].
[а > 0; 0 < Re/3 < -Re и/2].
Л1//2-1
х В
1-а
oIck _ . а с
2;2'2+/3;±^"
Зт1 а + 1 З с
оо
16. [ х"
Re/5 > 0; |argc| < B ±1)тг/4,
da; =
а > 0; Re (а + i/ + 2/3) < 2
а > О
' l о > О
I/ l=Flal a
+1+
х В
2 '
с2-2
-р; т-
4 ' 2 ' 2' 2
ol±v ^ a 1 — a
J' ^
| arg с| < B ± 1)тг/4; Re z > 0,
0 < Re а < Re Bp - и)
Re а > 0
18.
[Rez > 0; Re i/ > -1; |argc| < тг/4].
2.11.4]
2.11. Функция параболического цилиндра Du(x)
145
19.
dx =
[Re и > 0; Re z > 0; |argc| < тг/4].
20.
¦ctg
; «; ±-
4 ' 2' 2
3/2
¦tg
4 ' 2' 2
1-9 a
,1, 2--,
^n I iwo-l^ //i /0< Rea < 2^Rei/
y>0;|argc|<B±lOr/4,|Rea>0
21.
n(cx) dx = ±(^l)niv/2^n!
argc < тг/4,
\mz < 0
2.11.4. Интегралы от
dx = 2^a±l/)/2^
a±j/ 3 ± 1
|argc| < B±1)тг/4,
Re a, Rep > 0
Re a > 0
OO
г/ l=Fl a a + 1 1 c2p2
+ ; + 1;±
i-; 2+1'
2 ' 2; ±"
1=Fl. I Q 1~a
' 2'
+
10 А. П. Прудников и др., т. 2
146
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.11.5
argc < B±1)тг/4, <
[ Re р > О
^ I о — а а о с р
~4~' 2 ' ~ ?' 2' ~~8~
0; Re (a + v) < О
\ ха^ге^рх 2±c2x2
ii,. + f. 1,
Щ; ^ f;
¦ +
1 =р 1 а 1 — а ср
|argc| < B±1)тг/4,
[Rep > 0;
u) < О
[Rep > О
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
с!ж =
dx =
х ехр
2B6 - с2
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
= 22/3-2а"-1С/Э-1Г(/3)О,-2/3(аС)
[а, Re/З > 0; |argc| < тг/4].
[i/, Re 6 > 0; |argc| < Зтг/4].
/26 - с2
2.11.5. Интегралы, содержащие гиперболические функции
и Du(ip(x)).
= 2^
f сЬ6жес28ь2ж1)
2.11.6. Интегралы от
рш2 Г sin 6жп
[Re i/ < -|Reb|; | argc| < Зтг/4].
[|argc| < тг/4].
cos 6ж
J
(еж).
оо
f xa~1e±c2x2
= 17A)
b > 0; |argc| < B ±1)тг/4,
-1 < Rea < 1 - Rei/
Re a > -1
2.11.7]
2.11. Функция параболического цилиндра Du(x)
147
fllc^i
\0/ 6«+"
2 ' 2
7 - " -
3zbl
4 '
v \ — v ol-\- v 1 — a — у b
2. I ^"'e^^^coskcD^ca;) ^ж =
J
о
0; |argc| <B±1)тг/4, { 1<Rea<1 Re " 1
[ Re а > О J
См. в 2.11.6.1
S.
л a — I ±czxz /4 • i 2 гл / \ i
4. ж e 7 sin ож Du\cx) dx =
о
AC
6 > 0; |argc| < B±1)тг/4,
27-a _ _ / i/ l=Fl «. 1 _c:
[6 > 0; |argc| < тг/4].
^2 < Re а < 2^ Re i/
Re а > -2
2 '
jsin^
з г
oo
5. f жае±с2ж2/4 cos bx2Du(cx) dx = V@)
b>0; |argc| < B =Ы)тг/4,
1 Re a > 0
±i
1
j
, в 2Л1.6.4].
J
2.11.7. Интегралы от A(x)[DA(ip(x))D1J(cx)]± .
1. Dn(cx)Dy{cx) dx = —; —
J c(/x — i/) Г
2.
[|argc| <тг/4].
[|argc| < тг/4].
oo
Х
oo
J
f a_i ,
B + a^
[Re a > 0; |argc| < тг/4].
[0 < Re a < -2 Re i/; Re с > 0].
10*
148
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.11.8
i I та~1\П2 ( —7>тЛ — D2 (irT)]
OO
7. Dm(cx)Dn(cx) dx = —
J с
п + (а - 1)/2, A - а)/2
[п > 0; 1 - 2n < Re а < 1; | arg c\ < тт/4].
[|argc| < тг/4].
8.
9.
10.
(<P* A / il •" — ОТ8 ^ 1 / # I /Г* Т* 1 /T *T* "~~" — * / ——
2 /x
dx = XI^
2 z
2 с
2.11.8. Интегралы от f(x)D^(bx)Du(cx).
[а > 0; Re/x < -1; Re i/ < 1].
[с, Rez > 0; i/ < 0].
[с, Rez > 0; v < 0].
26c
[Re F2 + c2 + 4p) > 0; | arg 6|, | arg c\ < тг/4].
OO
J
с/ж = 17A)
| arg 6|
arg c| < B ± 1 )w/4,
a a + 1 i/
1
' 2'
+ 7"
M 1 -
1 - Q -
3. I xa^1e^b2±c2)x2/4D^(bx)D1/(cx) dx = U@)
[Re a > 0; |argb| < тг/4; |argc| < B ±1)тг/4; (/(т) см. в 2.11.8.2].
. [
J
-1)! V p
[n, Rep > 0; |argc| < тг/4].
2.11.9]
2.11. Функция параболического цилиндра Dv(x)
149
5. sm bx[D_n(-tcx) - D^n(icx)\ dx =
_
exp
b2
[Ь, п > 0; |argc| < тг/4].
dx =
Г I sin бж
6. ж< , 2
J [COS 0Ж
2.11.9. Интегралы, содержащие < V, > и
{ егтс (ox) J
±g!
+ 462
oo
. [ ха~ге±с2х2
(/G) = (-1Г
= U(l)
Refe > 0; |argc| < B ±1)тг/4,
-1 < Re a < - Re и
Rea>-1
1 а + 1 а
1. , 262\ [1] (-1)^Су
' с2 / \о/ V?(a + i/N«+-
fl,
|
2.
3.
4.
„(еж) da; = 17@)
[Re о > 0; |arg6| < тг/4; |argc| < B ± 1)тг/4; (/G) см. в 2.11.9.1].
n+l/2
[Re Ь > 0; |argc| < тг/4].
о о,
е^с2ж2/4егГсFс)[1)|/(-сж) -
2^+3)/2csin(i/7r/2) /а
a + 1 a „ v
Rei/ 7^ -1
Rei/ > -1
¦3 с2
1; 2' 2 '
6. же°
о
^2 2^2 2 ,
2(х/+1)/2с
J' 2
[Re a, Re Bb2 + c2) > 0; | arg 6| < тг/4].
|arg6|, |argc| < тг/4].
150
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.11.10
OO
. f е"с2ж2/4 erf (bx)[Du(cx) - Du(-cx)] dx = - -
м-
О
8.
cV{u/2 + 1)
| arg&|, | argc| < тг/4].
erf
4сГA -
[с > 0; Re i/ < 0].
OO
9. f e^b2x2 erf (ibx)[D\(-icx) - Dln(icx)] dx =
c* V ' 2' ' 2Ь2 + с
[|arg6|, |argc| < тг/4; n = 1, 2, 3, . . . ].
2.11.10. Интегралы по индексу, содержащие Dx(c).
с2 cosb\ ГГО < b < n/2
¦I
о
7"
f ж
о
7+ioo
-< >
exp
da; = 2тг*ехр j ac
6 > тг/2
5 |arga| < тг/4].
3.
4.
5.
аж mn MJ 2г ^ / afe - с \ ^ / ac -
7+гоо
4г
[-2 < 7 < 0].
7+гоо
¦ [D_a._i(-6)?)a.(-ic) + D-x-!(b)Dx(ic)] dx =
21л/Ък Г (а2 - 1)F2 -с2) -4гаЬс
ехр ^
-ехр -
4(а2
[-1 <7 <0; |arga| < тт/2].
2.12. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ ./„(а?)
1 3
При и = dz —, db —, ... функция Jv{x) сводится к элементарным, в частности,
А А
/ 2 Г sin еж
V [ COS CX
соответствующие интегралы см. в [12].
2.12.1. Интегралы общего вида.
Обозначение: ё = < >.
1. ]жа '(аг xrf \
о
t/(e) =
[a, r, Re^, Re(a + i/) > 0],
2.12.1]
2.12. Функция Бесселя Ju(x)
151
2. j xa-\xr ar)
a
dx =
[a, c, r, Re^ > 0; Re (a + rC) < r + 3/2],
:гг/з
x Г
1 - Bk + a + u)/r
a2c2^k
2V2
- a)?
(u + a- rk + rp - r)/2
{u - a + rk -rf3 + r)/2 ¦
1 /ocx-
- lj V 2 /
x
.a-l
3. I —^ — Ju(cx) dx = W@) [c, r > 0; -Rei/ < Re a < r Rep+ 3/2; r|argc| < тг],
J (жг + zr)p
0
с z"
2^rV(p)T(u-
¦E
1
ХГ V
2B)
k=0
{y + a - rp - rk)/2 1 (czy*
1 (
lj V
4.
ot-\-v — т
r \ (
k\(rp + rk - a)? \_{y - a + rp + rk)/2 + lj V 2
[с, г, у > 0; -Re i/ < Re a < r + 3/2],
¦ Ctg
¦l)feBfc + i/)'
1 /2\ a^r f, 1 Л (i/ + a - r - r*)/2
2\cj ^ (r + rfc - aY (i/ - a + r + r*)/2 + 1 I V 2
5. f жае"р{вГЛ(сж) dx = Y@)
[r, Rep > 0; Re (a + v) > 0; с > 0 при г ^ 1, | argc| < тг при г > 1],
с p
¦ V-
2p1/T
oo
с pl
z(e) = F7!>T
[r > 1],
[r < 1],
У@) при г = 1 см. в 2.12.8.4.
' da = Z@) [c, r, Rep > 0; Re a < 3/2],
(-l)fc
1
(и + a - rk)/2
2r
152
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.1
7.
\ cosbxr
[6, с, г > 0; -rS - Re v < Re a < 1/2 + max (r, 1); -rS - Re i/ ^ Re a < 1/2 при r = 1, 6 = c],
a+I/)/rcI/ J^ x
cos[B^ + a + i/Or/Br)]
Г
-a-r^)/2 + l-r^J V с
[r > 1],
2fe
P@) при r = 1 см. в 2.12.15.3-^4.
[г < 1].
8.
a_i _рж^ J sin bxr
1 cos &жг
>Л(
ж = Q@)
[6, r, Rep > 0; Re (a + i/) > —<5r; с > 0 при г ^ 1, | arg c\ < тг при г > 1],
/Ч i
ёж 2к + а
2 г
р
22fcE2+p2)fe/r
[r > 1] или [r = 1, \c\2 < \b2 +p2|],
fc=0
x cos ( h к arccos I I —— 1 [r < 1] или [r = 1, c\2 > |62 + p2|].
2 у 62 + p2
L r, Re(a + i/) >0; Re a < 3/2; /rlargzl < ^ 11
L U > 0 jj
Д(е) = (^1)?
1Г--Л
Г cosec [BА; + а + u)ti/г
¦a + v) \ ctg [BA;
z + а + J7)?r/r] 1
h а + 1/)тг/г] /
2a^1 y> (Tl)fc
fe=i ^
оо
10. f ж" ^Fжг)Л(сж) с?ж = 5@)
[6, с, г, Re (а + и + г/х) > 0; Re а < (Зг + 1)/2 при г > 1, Re а < C + г)/2 при г < 1;
Re о; < 2 при r = l,6/c, Rea<l при г = 1, 6 = с; при г < 1—замена х = i ],
2.12.1] 2.12. Функция Бесселя J„(ж) 153
S(e) = fallyj ]1C\ f^ ^7 <Vy^ w x
k=0
5@) при r = 1 см. в 2.12.31.1.
11. 1 xa~1JfJ,[ -^ )ju(cx) dx = T@) [6, c, r > 0; -3r/2 - Rei/ < Rea < 3/2 + rRe/x],
о
[(/ir — a. — v — 2k)/Br)
. p
'• (i/ — a + /ir)/2 -
12. Г ж"^1Е1(^6жг)Л(сж) dx = X@) [c, r, Re 6, Re (a + i/) > 0],
- a + u)
[r > 1],
ca
?^ k\k(a + rk)e [(i/-a-rife)/2
2C +re [—I—] +r# (—^ + 1 +21n-
Г ; i I 2C+r^(^) +r^(+ 1) +21n
a?ca [(v - a)/2 + 1J [ a rV 2 / rV 2 / cr J
[r < 1],
X@) при г = 1 см. в 2.12.47.2.
oo
13. f ха~1е±ЬхГ El(^bxr)Jl/(cx) dx = Y@) [c, r, Re 6 > 0; - Re i/ < Rea < r + 3/2],
To ^1
2J 26^(гЛ + г_
[r < 1],
У@) при r = 1 см. в 2.12.47.11.
154
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.1
14.
ci(bx
[6, с, r, Re (a + v) > 0; Re a < r + 1/2 + max (r, 1)],
Z(e) =
2а + *г-1Ь*
су
2)
Z
/2к + а + i/\ f sln[Bk + а + и)ж/Bг)] \/ с \2к
J'
¦1/2)к(8г-
{и + а-
. К^ , ^ I у,, у/ - Г Л/ I _
_l + (i/-a-5r)/2-iferj V^
R) {О
2 У 2 V 2
Z@) при г = 1 см. в 2.12.48.2.
-ol)/2
-
2
15. I ж <! „ :, г' > Л(сж) dx = 17@)
erfc
Ll /, Г ^r^ Re i/ < Re a < 3/211
с, r >0; arg6 < тг/4, \ Н,
[ Re (а + i/) > 0 J J
rr/ Ч _
X Г
2k + a + и + r
2r
2*-1 [(i/ + a)/2
)e« [
U{e) = ±
b B
fe=0
x Г
- a - r)/2
-1 Тб2ж2г f
е {
[r > 1/2],
1/2],
Ui/yCX) dX —
[c, r > 0; |arg6| < тг/4; -Rei/ - A± l)r/2 < Re а < r + 3/2],
17@) при г = 1/2 см. в 2.12.49.8.
V(e)
-Ш;
^){
x —г —1лг —a
sec[Bfe + a + i/)tt
-Г
261/-
- a + r)/2 + 1 + kr\ \2rb
r \ 2fc
> V2],
2.12.1] 2.12. Функция Бесселя Jv(x) 155
- a - r)/2 - rk + l
1/@) при г = 1/2 см. в 2.12.49.18.
оо
Г _i f S(bxr) 1
17. \х < ^ г }Jv(cx) dx = W@) [b, с, г > 0; -B ± l)r/2 - Rei/ < Re a < 3/2],
J [СFж )J
о
^ k\{y + l)k{2k + i/)eBfe + а + и)
x Г| 1 + — ¦¦" + '/>\ ( cos ((»-/2 - " - " - 2АIг/Bг)_] ]_ ^_с_
г у \ sir
2 + r ) \ sin [(r/2 -a-u- 2k)w/Br)] J
2fe
b \2k
W{0) при r = 1 см. в 2.12.50.1.
18. ха~1<
о
k + i/)?(a + i/ + 2ife)
^^ ~
г
оо
ГA/ + а + Мг + гЛ)/2 1/ 2^^ f0l2^ U,(- + «)/2]
X@) при г = 1 см. в 2.12.51.1.
h [ ж"^1е±ь2ш2г/4?)мFжг)Ju(cx) dx = У@)
с, г > 0; | arg 6| < B ± 1)тг/4,
19
о
- Re i/ < Re а < 3/2 - г Re [л 1
Re (а + и) > 0 j
156
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.2
^
Oj ca+^r ^ klBrk - fir - a)?
х Г
(у + а + rfi)/2 — гк
[г > 1/2],
К>
^
L(»/-a-rfc)/2 + lJ
2.12.2. Интегралы от
oo
1. Ju(cx) dx = —
J с
2.
3.
-ir-i т f м j
a/2
[r < 1/2].
[c > 0; Re i/ > -1].
[c> 0; -Re i/ < Re a < 3/2].
[c > 0; -2 < Re a < 0].
2.12.3. Интегралы от xa(z ± ж)/3Л(сж).
a
^a + i/ a + i/ + 1
2 '
a
f !
J ^
о
a
Г жте
\ т
2 ' 4
[a, Re^, Re(a + i/) > 0].
[a > 0; Re i/ > -1].
(a\n+1/2 ^^ /n
У^ =Ж\2 2
[a > 0; Rei/ > -n - 1].
oo
!~^
3-a-p-i/
2' 2 ' 2'
x 2F3
i/ a + C + v a2c2
2 2 ' 4
[a, c, Re /3 > 0; Re (a + C) < 5/2]
2.12.3] 2.12. Функция Бесселя J^jx) 157
оо
5. Jy(cx) dx = — \Ju(cz) ~~ Jv(cz)] [c > 0; Re v > -1; \argz\ < тг].
J X + ? Sin 1/7Г
0
oo
Г 1
6. —— Jo(cx) dx=^~ [Ho(cz) - Y0(c2)] [c > 0; |argz| < тг].
J Ж + Z Z
0
oo
7. [ —— Л(сж) с/ж =
[c > 0; -Ret/ <Rea < 5/2; | arg^| < тг
Я / (гт\ JT — "" Ш (Г7) _ у (rrW
J ж + z v ; 2cosi/7r L v ; v л
0 [c > 0; -1/2 < Re i/ < 3/2; |arg^| < тг],
oo
9.
0
+ i/ a + i/ + l a + i/^p 1 + a + i/^p
2 ' 2 ' 2 2
+ 1 1 p^ и - a p +
^; -,1 + ,1+
a-p-2 l + p-a p [(a + I/ - P - l)/2i
„/p+1 p , - 3 3-a-i/
2 ' 2 ' 2' 2 ' 2 '4
[с > 0; Re(a + i/) > 0; Re (a - p) < 3/2; |argz| < тг
x1F2[l;2-i^,2+il^;-^j-7r^-1ctg(a + i/OrJ,(cy)
[c, |/ > 0; -Re i/ < Re a < 5/2].
2IT(V + l/2)
ж — у 2 cos wk у тг cI/+1
0
[с, у > 0; -1< Rei/ < 1/2].
Г ж 7Г1/
11. Jv(cx) dx = [sin i/тг Jj,
} x — y 2cosi/7T
Г хи тту1*
12. Jyicx) dx = fsini/7rJi/(c2/) — cos ui:Yu(cy) — Н-
J Ж — |/ 2 COS 1/7Г
0 [c,y> 0; -1/2 < Re i/ < 3/2].
158
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.4
2.12.4. Интегралы от xa(z2 ± x2HJu(cx).
а
J V« —
Л (еж) ote = ^J*/2(^
А ' \ A
2.
[а > 0; Rei/ > -1].
[а > 0].
г к?
а + i/ о; +
2 ' 2
[а, Re^, Re(a + i/) > 0].
4.
1)пГ(/3)а
2n+2/3 + i
[а,
5.
6. [ж"+1(а2 -
^
. хг~и(а2 - x2)l3~1JIJ(
J
cx) dx =
[а, Re/3 > 0].
[а, Re^ > 0; Re v > -1].
[a, Re^ > 0].
[a > 0; Re i/ > -1/2].
9. jx>2 -
10.
а
п. [-?:
[a > 0; Re i/ > 1/2].
j / \ j 1/2—и / " TT
¦ Jv{cx) ax = а а/ тг~ "iz-i
13.
a
Г
J 7^
т / \ j 7га т
(сж) ^" (F
¦ Jo (еж) с!ж =
[а > 0; Rei/ < 1/2].
[а > 0].
[а > 0; Rei/ > -2].
[а > 0].
2.12.4]
2.12. Функция Бесселя Ju(x)
159
15.
16.
¦ Ji(cx) ax =
[а, с > 0].
[а, с > 0].
2 ' ' ' 2
[а, с, Re^ > 0; Re (a + 2/3) < 7/2].
dx =
[a, c, Re^ > 0; Re B/3 ± i/) < 3/2].
18.
oo
Г ж±1/(
19.
20.
xyx2 — a2
2Л(^Ж(^)
)dx = ---Si{ac)
' I [а, с> 0; | Re i/| < 1/2; z = ас/2].
[а, с > 0].
ж2 + г2 J-(caj) dx = ^— cosec " Y^
_ a)B - i/ - а)Г
[c, Rez > 0; - Re v < Re a < 7/2].
-l ( COSI/7T
{
22.
23.
24.
25-
^—,JlJ{cx)dx= —г""
2 sin i^tt
Jv(—icz) — 2cos — Iu(cz)
2
ZA)
dx =
}—
oo
J v^
2z2 L ^
-a (cz\k (cz
z) - L2n+i(cz)
[c, Rez > 0; Re i/ > -2].
[c, Rez > 0].
[c, Rez > 0].
[c, Rez > 0; Re i/ > -1].
160
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.4
26.
27.
=¦ Ji(cx) dx = —
[с, Rez > 0].
¦ Ju(cx) dx = :
v a + v
2 ' 2
x iF2( p;
28.
29.
ju{cx) dx = 2p^l
f ¦ 2 ,h ¦ - 2 ' 4
c, Rez >0; - Re i/ < Re a < 2 Rep+ 3/2].
[c, Rez > 0; -1 < Re v < 2 Rep - 1/2].
r (Vz)
I (i
--^ (i/ - p + l)\8v-p,i-u-p(icz) \ [c, Rez > 0; Re Bp + i/) > 1/2].
^ J J
30.
31.
/ о , о Л(сж) dx = J-.
/ж2 + z2 V 2c
32. [ г 2Jv{cx)dx=
J ж У
2
~~ У
[с, Rez > 0; Re v > -1/2].
]
[c, Rez > 0, Re i/ > -1/2].
[c, t/ > 0; Re i/ > -1].
33.
x 1^2A; 2 — 52 —;
34.
x т f \ j ^У
Jv{cx) dx =
ж2 — I/2
oo
35. -I—
J ж2 - ;
2 COS 1/7Г
= -^ yvYv{cy)
— H_!/(c2/)]
36.
37.
2 ° 2
[c, |/ > 0; -Re i/ < Re a < 7/2].
[c, |/ > 0; -1/2 < Re i/ < 5/2].
[c, 1/ > 0; -1< Rei/ < 3/2].
[c, t/ > 0; Re i/ > -5/2].
¦ Jn(^) dx =
7/ ПК
[n = 0, 1, 2; ymj n — корни уравнения Jn(y) = 0, га = 1, 2, 3, . . . ;
«m,0 = —Jl(ym,o), «m, 1 = 2/m, l^ofem, lM «m, 2 = «/lB/m,2)]-
2.12.6]
2.12. Функция Бесселя Ju(x)
161
1.
2.12.5. Интегралы от ха(х ± z f Ju(cx).
Ju(cx) dx = 2a 4p 1c4p aI
а +1/ 1 — а — I/ 2 +1/ — а
Р +Р +
4 '
' 2 ' 256
1 . a + -
— а с'
,4 4
4 ' 256
[с > 0; |argz| < тг/4; - Re i/ < Re a < 4Rep+ 3/2].
2.
ж4 + г4 M™)dx =
ker (cz)
kei (cz)
[c > 0; |argz| < тг/4; Re i/ > -(l=p2)/6].
[c > 0; |argz| < тг/4].
4.
6 — i/ — а 6 + i/ —
4' 4
g
5.
Ж 1 7Г
4_ 4 Jo(cx) dx = - K0{cy) - - Y0(cy)
X у A i±
2.12.6. Интегралы от A(x)Ju(cx).
ь
= 2й
/6 + a \ (b- a
а с4|/4
' 2 ' 2 '256
[c, 2/ > 0; - Re i/ < Re a < 11/2].
[c, 2/ > 0].
[0 < a < b; Re и > -1/2; |argc| < тг].
J (x2 + z2)^ с«+м~2г [l+ r+(i/-a-/i)/2j
0
ll —a —i/ —
(a
v — a — \i c2z2\
r+ 2 ^; ~T~ '
11 А. П. Прудников и др., т. 2
162
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.6
3 3 - а - /1 - и
г,
-2а+м 1{Т^I 2rcvz
a+A,+I/_2rr, \2r- fi-a-i/, (a + I/ + fi =F
-2r,
о
4. ж1
J
о
оо
5. [ж°
J
о
1 2 ' 2 ' " ' А' А ' 2 *"' 2 '4
[г = 0 или 1/2; с, Rez > 0; Re (±/i - /i - i/) < Re a < 2r + 3/2 - Re/i].
— Ju(cx) dx = —-
/ж2 +
6.
7.
00
. [
J
10.
11.
12.
_ , , , 1
Ju(cx) dx = - e
с
J (ex) dx -
[c, Rez > 0; Re A/=p м) > -li-
-life, Rez > 0; Re 1/ > -1].
2 ' 2 '^ 2 "A '^ 2 '^^' 4
[r = 0 или 1/2; с, Rez > 0; - Re v < Re a < 2r + 3/2 =p Re/x].
z2 - a) Jo(c») d» = h ^7 (cze cz + e cz - 1)
с с5
c, Rez > 0; Rei/ > -1; ± Re ^ < 3/2].
[c, Re^ > 0].
с ас L \ 2 / \ 2
[c, Rez > 0].
/ж4 +
[с > 0; |argz| < тг/4; Re/x < 3/4].
2а2ж2
ЙЖ = lo C
2а2ж
- Jo (еж) с!ж = Jo с
q\ С
[0 ^ b < а; с > 0].
[0 ^ а < 6; с > 0].
Ju(cx) dx =
2.12.7]
2.12. Функция Бесселя Ju(x)
163
13.
2 у—Д-у 2
[0 < a < 6; с > 0; Re v > -1/2].
14. ж
о
ас [1 + I/, 1 + и
I *Тр _JL q ж f f§ Zt _____ rp Zt 1Г _±_ I ггэ __ а л I fb Z _____ /уэ Z r
Ju{cx) dx =
;i + «/-/i)/2
Ju(cx) dx =
;)л.-,
is. i (ж + л/ж2 аТ)м„+(ж. Va;2 а2)мл(сж)сгж =
./(*
[a > 0; Re(/x- i/) < 1].
[a > 0; Re(/i + i/) > -1].
v
[а, с > 0; Re/л < 3/2].
16.
= -г [_Z i/±i-i/2[fsin(ac/2)
+ i/ |Д cos (ac/2)
Ju(cx) dx =
(?)
ac>| _j_ J cos (ac/2)
sin (ac/2) J'^/'V 2
[a, c> 0; Re i/ < 3/2^1].
2.12.7. Интегралы от А(ж)^(у?(ж)).
i
1. X<X~1JU( Сж) dx = 7(I/+a)/2(c)/;Cr(I/_a)/2(
0
oo
2. I ж" Ju (ex --) dx = 1(и-а)/2(с)К(„+а)/2
J V x/
о
О.
4. ж Ju[cx -\
ж
5.
[с > 0; Rei/ > -1; Re a > -3/2].
[с > 0; Re i/ > -1; Re a < 3/2].
а)/2 (с)/СA/-а)/2 (с)
[с > 0; Re i/ > -1; |Rea| < 3/2].
{l/+a)/2(c)Y{lJ^a)/2(c)]
[c > 0; | Rea| < 3/2].
X Ма/2,1//2(|)м_а/2,1//2(|)
6.
11*
,
т
О 0; I Rea| < |l + Rei/|].
0; | Re а| < 3/2].
164
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.8
2.12.8. Интегралы от А(х, ерж, Ju(cx)).
dx
Jo(x)
= 1,101140... 2.
Ji(x
= 1,418865...
оо
i. \e-pxJu(cx)
J
dx =
[Rep > |Imc|; Re i/ > -1].
Re(a + i/) > 0; Rep > |Imc|; /г =
- р/
ГI/2],
a + v a + i/ + lt
2 ' 2 '
/ 2 . 2\—
= (p +C )
+2 =
2i/ i/-
p + Vp2 +c2
+ c1
= 2
K(*),
/p2 + c2
[Re i/ > -1/2],
[Re i/ > -1],
[Re v > 1],
[Re i/ > 0],
[n = 1, 2, 3, . . .; Rei/ > -n],
¦ [2E(fc) -
[8A - 2
1 /A-2**)
^^^ [2B3 - 128JT
- E -
- C1 - 144fe2 + 128ife4)K(A;)],
¦ [A -
i—1/2 _
1/2
,3/2 1
1 / A-
4,
j
2 l-2k
1
Ywp»(i-fca)
2fe2M 2
= [2A - к2 + jfe4)E(ife) - A - Дг2)B - к2)К(к)],
2.12.8]
2.12. Функция Бесселя Ju(x)
165
i/2 =
2
-jU^=.[(l-*a)B-.
- 2A - 2к2)Щк)],
ife2(l-
[2A - k2
[B + 5^2 - 8*4)K(*) - 2A - 2^2)A + 4k2 - 4*4)E(*)],
l\'2 =
k2(l —
[B
7
- k')K(k) -
- 2A + 7k2 -
4,/p
¦ [A -
П' =
,3/2
l-2fc2
¦[(8-:
fe2+3fc4)(l-fc2)K(fc) - (8-
Г 1 г)
5. - A - е^рж) Jo(c^) da; = In P
J ж
о
oo
6. [ -e^px[l^J0(cx)] dx = -In
Ь L l n
[c, Rep > 0].
[Rep > 0].
J
к:
^ p < с
< с < p
8.
oo
h I xa~1e±icxJ4cx)dx= ) e±t7r(a+i/)/2rUi/, a - i/, i - a sin (i/- а)тт
11
4
0) nc
OO
. f - eip8Jn
J x
oo
12. \ x ' e p Jn+1/2(cx) dx= < >ъ
[c, Re (a + u) > 0; Re a < 1/2].
-c < p < с
Ь1>с
—с < p < с
bl >c
—с < p < с
bl > с
13. I Л(сж) с1ж = — e-iczH^\cz)
[c > 0; |arg2;| < тг].
166
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.9
14. [ - [е^ах ~~ Мех)] dx = ln^~
J х 2а
[а, с > 0].
15. ха (а — х) е %сх Jv{cx) dx = а ' ^ '" ^ ( — I Г I ; ' ' л . J х
о
/ 1 \
X 2^2 ( v Л—, а + v\ 2у + 1, а + р + i/; ±2iac 1 [а, с, Re^, Re (a + v) > 0].
X iFi( - + j/ - /3; 1 + 2i/ - /3; 2шс | [а, с > 0; 0 < Re/5 < Re i/+ 1/2].
\2 /
17.
Ж и и I
a
2.12.9. Интегралы от xae~px±rJv{cx).
. [е~рх2Л(сж
OO
. f xoc~1e~px2 Ju(cx)
1 I 1 / C^
= - 1-exp -¦
dx = A
ехр
8р
- I(-
[Re i/ > 0; Re a > |Imc|].
[Rep > 0; Re и > -1; | argc| < тг].
[Rep > 0; | argc| < тг].
[Re p, Re (a + v) > 0; | arg c| < тг],
' 4p/
[Re i/ > 0],
[Re и > -n- 1],
[Re i/ > -2],
;
2
42n+l _
cpn
oo
2a-l/2
ca + l/
2a
1
1
.p fA
2 г 1 (з
«-l/2p3
1 1 3
Л-
2 3
2
2 ' 2 ' 4' 2' 4' 64c2;
a-2i/ l + 2a + 2i/#l 3 5ш
4 ' 4 ' 2' 4' 4'
a-i/ 1 + a + 1/, 3 5 3, p4 \
2 ' 2 ' 4' 4' 2' 64c2/
+ 2a^2i/ 3 + 2^ + 21/^ 5 3 7^ p4 \
^ ' ^ ' 4' 2' 4' 64c2 /
[c, Rep, Re(a + i/) > 0].
2.12.9]
2.12. Функция Бесселя Ju(x)
167
OO
ч
О
OO
Ч
О
ч
v2c
[с, Rep > 0; Re и > -1/2].
[c, Rep > 0].
T V V
J3/2(Ca;) dx =
Ъ^ \ 2' 4с/ \ 2' 4с
8.
[c, Rep > 0].
[c, Rep > 0].
[с, Rep > 0].
10.
- a)/2
c2p2
3 3^F^a 3 +1/ - a
"р/я!
11. -е
J ж
о
12. I Л е"*
[c, Rep > 0; Re a < 3/2].
[c, Rep > 0].
J1(y/2cp)K0(y/2cp)]
13. ^<
J х6
о
14.
2с
Р '
[c, Rep > 0].
[c, Rep > 0].
11 l/ + a 1
2[ ~2~'
2
С р
15.
2 \ 1/3
^~ [с, Rep > 0; Re a < 3/2].
с2 ч 1/3
J ; с, Rep > О
4 /
168
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.10
2.12.10. Интегралы от Д(ж)е/(ж)Ju(cx).
~px~
px~b/x
JJcx) dx = 2JJz-)KJz+)
\z± = V2b(y/p2 + c2 ±pI/2; Rep > |Imc|; Re b > o].
2.
a
J Va2 - ж2
'x Jo (еж) da; =
exp (ipya2 — x2 )Jq(cx) dx = /(p, c),
±pI/2; Rep > |Imc|; Re b > o].
/(p, c) = (p + с ) ; [exp (iaVp2 + c2 ) + 2if/0(aVP2 + fi2 - aP5 ac) - iJ0(ac)]
[a, p > 0].
a
4 Г n+1/ 2
i. ж (a
л i ti-\-l/ 2 2\(m —1)/2 /• / о o~ \ t / \ i
4. I ж (a — ж )l ;/ exp (грл/az — xz ) Jn{cx) dx =
= (-l)nc"e
n n —гмтгг/2
m / n \ n
/(p, c) [a, c, p > 0; /(p, с) см. в 2.12.10.3].
оо
5. exp (^р-^ж2 + z2 )Ji(cx) dx = — [e~pz — p(p2 + c2)^1'2 exp {—z\fp2 + ж2 )]
J с
0
[Rep > |Imc|; Re z > 0].
dx = W- cu
V 7Г
6. f ж^1 exp i^P
J
[Rep > |Imc|; Re z > 0; Re i/ > -1].
OO
7. ж exp (^pVa?2 + z2 )Jq{cx) dx = p(p + с )~ ' A + zyp2 + c2 ) exp (-zyp2 + c2 )
[Rep > | Imc|; Re z > 0].
. exp (—рл/х2 + z2 ) , .
8. 1 ^v Д = ^ Л (еж) da = A*
[Rep > |Imc|; Re z > 0; Re i/ > -1; 2z± = z(\/p2 + с2 ± p)l,
9. ж"
(a
1Л , 1/+1вхр(-р^ж2 + z2) , ч
10. I ж — —г Ju(cx) dx =
/ж2 +
[Rep > |Imc|; Rez > 0, Re (a + v) > 0].
[Rep > |Ime|; Re z > 0; Re i/ > -1],
J50 = (p2 + c2)^1/2 exp (-zy/p2 + c2 ),
= c(p2 + e2)~3/2(l + zy/p2 + c2 ) exp (-zi/p2 + c2 ).
2.12.11]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
169
П.
12.
ехр (~рл/х2 — z2)
dx = (/ + CY1/2 exp
Rep > | Im c|; arg у x2 — z1 = тг/2 при ж < z|.
/ж2 + z2 ± z)M exp {~p\fx2 + z2 ) Ji/(еж)
13.
[Rep > |Imc|; Rez > 0; Re (i/ =p fi) > -1].
¦ z2 )Jv{cx) dx =
v{ / 9 ! 9~ . \—v/ 2 . 2\—1/2 / / о I о" \
— c (vP + c + p) \P + c ) exP(~^vP + c )
[Rep > |Imc|; Re z > 0; Re i/ > -1].
oo
14. — (Уж2 + z2 + z) ~v exp (^рУж2 + z2 )Ju(cx) dx =
J \/x2 Ч™ z2
0
= (cz)"l/e™pz7(i/5 z^p2 + c2 - pz) [Rep > |Imc|; Rez, Re v > 0].
2.12.11. Интегралы от А{х)е~рхJu(<p(x)).
oo
. Iе Jo(cyxA + xz ) ax = (p + с )
-1/2 f P^ •
; exp '
+C
[Rep > | Im c|; | arg z| < тг].
±p); Rep > |Imc|; Re (i/+ 2p) > 0;
- p + l)(p2
[Rep > |Imc|; Re(i/ -
4.
5.
ж
„"/2-1
2 J
[Rep > | Imc|; Re v > 0; | argz| < тг].
¦e pxJu(cVx2 + xz) dx = — (p + ^p2 + c2 ) ^ x
x exp
pz — z^fp2 + c2
[Rep > | Im e|; Re v > —1; | arg z\ < тг].
170
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.12
6.
7.
8.
/2 — / 1 / С \ v
1 е рх Jty(cy х2 + xz ) dx = —= ( — J
л/тг V 2 /
[Rep > | Im e|; Re v > —1; | arg z\ < тг].
= epz/2h/2(z-)K,/2(z+)
4z± = z{\/p2 + c2 ± p); Rep > | Imc|; Re v > —1; | argz| < тг
, /-5- 2 Г (pz-zy/jfi
i (cv ж2 + xz ) о = — 1 — exp
/ж2 4-Ж2 cz I 2
9. (ж2 + ж^I; е"ржЛ(с^2 + ж^) rfx =
J
о
2 V F + c J exP I ^ I
[Rep > | Imc|; | argz| < тг].
[Rep > | Im c|;
2.12.12. Интегралы от A(x)ef{x)Ju(ip(x)).
1.
2.
гехр
2cx
9 9 I " u 1 "9 9
a1 ~ xz J \ a1 — xA
2 + a2
dx = — -
2c
±ab); a, 6, c, Re (a + i/)
exP ^6^5 9 M^
2cx
dx =
хл — a*
a^1 „ Г1 + Kv -
z± = а^г{\/а2Ь2 + с2 ±a6); a, 6, c> 0; Rea < Rei/+ 2].
3.
exp
;+:
dx =
2c U + ^ ! + ^
: = zmlFz± \/b2z2 - c2 ±bz); 6, c, Rez > 0; - Re и < Re a < Re i/ + 2I.
2.12.13. Интегралы, содержащие гиперболические функции
и Ju(cx).
sh 6ж
[Re 1/ > -1; Re 6 > |Rea| + |Imc|].
? 2n+3 n+l
2. жп+1 sh (cVa2 - ж2 )Jn{cx) dx = — —- [a > 0].
J. =¦ ch (cVa2 — x2 )Jn(cx) dx = ry:
[a > 0].
2.12.15]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
171
ch bx
1
5. — e sh bxJo(cx) dx = — In ¦
J ж 2
о
6.
/ж sh - Jo(cx) dx = ^ J1By/bc)K1By/bc)
x с
Г 2 1
7. е~рж sh6a;2 Ji(ca;) dx = - exp ( —
J с
sh ¦
6c2
Re 6|; u± = ye2 + (p dz 6
[c, Re 6 > 0].
[c, Re 6 > 0].
[Re(p-6) > 0].
2.12.14. Интегралы, содержащие Ju(cshx) и J^ech г ж).
oo
Hsh 6ж 1 , , __ lr /c\ /c\ (c\is
U L Mi/(CSh Ж) ЯЖ = — Ци-Ь)/2 1 77 J ^О + Ь)/2 I о J ™F Ци+Ь)/2 I 77 J ^-(i/-
ch ож J 2L \2/ \2/ \2/
2. sh 6ajJo(csh ж) dx = — sin — K^
J 7Г zi '
0
oo
3. J сЬ6жЛ(ссЬж)сгж = -^[/A/+ь)/2(|)^_6)/2(|)
[О 0; Re i/ > -C ± l)/2; | Re 6| < 1/2].
[c > 0; |Refe| < 1/2].
# ? g-px-bthxj /M_^ = 1 r |(l + i/
J ^чсЬж/сЬж с [l + i/,
X M^p
^C2)M^p/2)I/
2.12.15. Интегралы от жа< sm ж L
[ cos ож J
- c2
[OO; |Refe| < 1/2].
[6, c>0; |Rep| < Rei/
1.
Обозначение: S =
i
' втсж
cos еж
dx =
sin(c-A;7r/2)\
cos (c - ктг/2) J
Re(a
oo
Г fslntel , . . 2 ,2ч-1/2 Г sin [i/arcsinF/c)] 1
2. < , >Л(сж) с!ж = (с - b ) 7 <^ . ' /J > 0 < 6 < с; Rei/ > -1 - 5 ,
J [соэбж] { cos [i/arcsin (b/c)] J
о
y f cos(i/tt/2I
I j—« 4 ,1^, §•** —. /"Ill
¦ F +
^l/Jcos(i/7r/2)
sin (i/tt/2)
3. j a;-1!
0
X
-; -2
AC
[0
c; -5-Rei/ < Re a < 3/2].
172
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.15
4.
5. xl
о
6.
/ , \ /О] \ Г ,
I OL ~~т~ U 17Г / Л\ I \ U ~т~ CU
Yen + i/W/21 I \v-\-l
a + v a + и
J si
[ cos bx
17
(-6) с Г\1/
2 ' 2 ' ' ' i
[О < с < b] -8 - Re i/ < Re a < 3/2].
,2 i 2\—i/ —5 —1/2
[0 < b < c; -5 - 1/2 < Re i/ < 1/2 - <5].
7. ж
J
о
i/+(iTi)/2
Г ®'
^) sini/7r(fc2 - c2)—«-
2
[0 < с < 6; -8 - 1/2 < Re v < 1/2 - 5].
ul-8
_
ax —
¦-I/-1/2) v ; +
[6, с > 0; fe^c; -1 < Re i/ < ±1/2].
8. i —
2
1 f si
i
{ cos bx
9.
|y(iv2 - 1)F +
bx
cos 6ж
; — b2 j sin 11 b ( cos ? 1
— 1 \costj u{u2 — 1) X sin t J
0 <
'}
[0 < 6 < c; Re i/ > 1 - 5; t = v arcsin F/c)].
Ь2-с2) f cos (i/tt/2)'
1 Г sin fi/arcsin F/c)l
i/ [ cos \y arcsin \b/c)\
11.
+
12. ж ^ sin bxJv{cx) dx =
о
'sin(i/7r/2) 1
^cos(i/7r/2) J
21"
C [C — 0 )_|_
, ^in 6ж _ . ч , f arcs!
13. |-_л(ав)АЕ = |1г/2
arcsin F/c)
v 7 ;
oo
7Г
15.
16
[0 < с < b; Re i/ > 1-5].
[0 < 6 ^ c; Re i/ > -5].
[0 < с ^ 6; Re и > -8].
[b, c> 0; 6^ c; Re i/ > 1/2].
< 6 < с
< с < b
/l — 1г2 ) — E(\/l — fc2 )]
0 < 6 < c; As = V6 + с/л/2с].
0 < с < 6; A; = л/6 + с/\/2с1.
Г
J
[2A -
- A - ife2)B -
- 2A - k2 + ^4)E(Vl -
< 6 < c; A; = Vb + с /л/2с I.
17.
18. ж"
о
(cx)
COS 6Ж J
0 < с < 6; к = л/Ь^с/л/2с].
Ь, с > 0; As = v7^
2.12.15]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
173
Л? = -^
тг
К(к)]
J
[6 < с],
А\ = \х1^\{1-кА)Щк)-{1-:
3 V тг L
Ак [с
U [8A - 2к2){Щк)
Т C -
± к2G -
- E -
) =F
Wil-ea-*2
[Ь < с],
[с < 6];
[Ь<с],
[с < 6];
[Ь<с],
[с < Ч;
2 =
2
[A - Jfe2)B + 5fc2 - 8fe4)K(ife) ± ^2A - Ilk
- 2A - 2ife2)(l +
~к2) ~
) =F
]
< 6];
\= [±2B3
утгс L
15утгс
- 128k2
C1 -
A5 - 112k2
- k2
A - 2k2)A5 - 128k
2B3 -
105
- [A -
7Г
=F k2{bl -
- C -
± Е(л/1 - к2
А1 =
A - 2^2)C - 128k2 + 128ife4)E( f 1 -
- 2A - Jc2)B7 - 128Jfe2 + 128ifc4)K( у
< 6];
[b < c],
[c < 6];
174
Гл.2. Определенные интегралы
[2.12.16
Aj = ^ [тA - к2)B + Ш2 - 1Мк4 + 128к6)Щк)
945
945у тг
к2A - 1(Ш2 + 2Шк4 - 128к6)Щл/1 - к2 ) ±
=F E(Vl -
А2, =
19.
= [
± 2A + 71г2 - 135Jb4 + 256^6 -
[A - ^2)A - 2^2)A + 128к2 -
[Ь < с],
- B + 14Г - 270Г + Ы2кь - 256Г)К( - ) | [с < 6].
к
1 + v - a J \ cos [(a + */)тг/2]
оо ^
20. ж™17 sin сжЛ(сж) dx = y+1pf
г
[О 0; -8 - Re i/ < Re a < 1/2].
[с > 0; Rei/ > -1/2].
{ш Ti h 'Т1
{ш Ti h Т 1
> и Jyi
COS ОЖ J
Обозначение: 8 = < >.
а
1 Г sln&x 1 . , Г 01 тг
M) d
1-Ь
ОО
+ тг ^](-l)fe J2fc+4^) Jk+(*+S)/2 ( у) J(*-6)/2-k ( y) [a > 0; Re i/ > 1 ^ 5].
2.
fe=i
= 1/ Г si
ж2 + z2 1 cos 6ж Г
sin6»
cos 6ж
[0 < с ^ 6; Re ^ > 0; Re i/ > -B т l)/2].
. 7 ^+7A
J ж2 + z2
,ж = /+2n
ch bz
4-
5.
[0 < b ^ c; Rez > 0; -n - 1 < Rei/ < 2 ± 1/2 - 2n].
2
- с2
7/ ., fll 6 + V&2 - с2
Jo (ex) dx = < л > In
0
Г 1 — COS 6ж _ , x , 7Г6
6. Jo(cx) dx = — - с
X I
7.
= \/c2 — b2 — с + 6arcsln -
с
[О < с ^ 6; Re z > 0; Re v > 2n - S - 5/2].
К с ^ 61]
1 < b < с J J *
[0 < c^ 6].
[0 < 6 < c].
1 — cos cx
2Bra + 1)Dn
2.12.17]
2.12. Функция Бесселя Jv(x)
175
9.
bx-smbx
о
Ъ + л/Ь2 - с2
, Ьх — Sin Ьх _ , ч . 7Г62 _ 7ГС2
10. 1 Jo(eж) dx = — 6c + —
11.
3 , 2
= - ovr — о2 ~~ ос Н
4
+ с" . 6
arcsin -
4 с
, s'mbx Гч j f \i j [0] &
12. I 1 — Jo (еж) \ ах = < > arccos -
X 111 С
. cos bx r . X1 6 + -
13. I [1 — Jo (еж)] с!ж = In —
14.
15.
16.
2b
с
'2b
Г cos bx lOl/ b i \
17. — [1 — Jo (еж)] dx = < > I b arccos vc2 — b2 J
) x 11J V c /
Г Sin Ьх г _ . Ч1 _ 7ГС
18. — [1 - Jo(cx)] dx = —
Ж о
19.
in
= i \SbVc2 - b2 - жЬ2 + Bb2 + с2) arcsin -
4 [ с
Г 1 С
20. — [cos 6ж — Jo (еж)] dx = In —
J ж 2о
о
2.12.17. Интегралы от
1. f^^^
J [ cos (а -
cos (а +
{и
< с
[О < с ^ b].
[О < 6 < с].
<( с ^ 6
< b < с
[О < с ^ Ь].
[О < b < с].
[О < с ^ 6].
[О < 6 < с].
<c^b
< b < с
[О < с ^ 6].
[О < b < с].
[Ь, с > 0].
а, Re (а + v) > 0; <5 =
fe=0
BL = aJ2n+s(a) ± (-l)»2
L+i = aJ2n+1+s(a) ± {-l)nBn + 1)
П — l
± 2 ^ (-1)
T 2 ? (-1)* J2fc+e(o) 1 ,
J
176
Гл.2. Определенные интегралы
[2.12.18
1 -4- Л 9
B° = -^f- Jv+S(a) + ±
a
2. sin (a — ж) Ji(x) dx = sin a — aJo(a)
о
а+тг
3. ж™ 8™ (ж "" а) «Л) (ж) с?ж = ™4V
тг Jo(« + 7г)
[,/1/2],
[a > 0].
[«/о(а) = 0; а > 0].
4.
5.
6.
Ж + Z [ COS (Ж + Z)
Jo(x) dx = ^ J0(y)
oo
Г Ж
7. sin(bx+ bz)J0(cx) dx = 0
J X + Z
[0 < с ^ 6; Rei/ > 2n-3/2;
[0 ^ 6 < c; Imz 7^ 0].
8.
IT 7/1 7Г
^х У) Jv(x)dx= ^
2/ 2/
2.12.18. Интегралы от ж°Ч 8Ш ^ Ж2^ >Л(сж).
I cos (a + ox ) j
0; Rei/>-3/2].
sin a 6 1 V 26 '
oo
caste
sin\
cost
?fsm
. N
J \со
0
3. N . 2 Mi (еж)
J \со8бж2/ u ;
0
[t = (i/ + 1)тг/4 - c2/(8fe); 6, c> 0; Re v > -2 =p l]
2. c2 fcos[C2/(86)]l
sin— J l /v / j i
86 I sIn[c2/(86)] f
= -sin
с
6, с > 0 .
L , J
4.
f 2
\cosbx2
dx = 2->-4
r ^/l lr [
cos [(a + i/)tt/4] J L^
C
,,,
2.12.19] 2.12. Функция Бесселя Л (ж) 177
5.
B6)-+! [sin у,
[<р = с2/D6) -i/tt/2; 6, с > 0; -C±1)/2 < Re i/ < 1/2].
2 1 „ / Г ( ^^^ ~ Л / Л2 "
в. fJein^,b.(Ca!)dx = ^t/i[(c?e*'W-i,/2(g)T{^}j
¦у> = с2/(86) - 7Г1//4; 6, О 0; Re i/ > -3 =F l] •
[6, с > 0].
0
26 I sin [c
8. Jo(cx) dx =--m [ — ) 6,c>0.
о
oo
Г 1 2
9. sin2 6ж2 Ji(cx) dx = — cos —- [6, с > 0].
J 2c 86
[а > 0; Rei/ > -1].
о
/ 2 \ /2
+ sina26t/l/+(i±i)/2(^-, 0 Tcosa26l7I/^(lTl)/2 ( —, 0I [а > 0].
1 -^(ж -a ) f
[b, с > 0; Rei/ > 1/2].
cos F — 6ж ) [ B6)I/+1 1 sin (p J
0 v i
\(p = b + c2/D6) - i/tt/2; -1 < Re i/ < 1/2; 6, с > 0].
2.12.19. Интегралы, содержащие xa^ u j— >Ju(cx).
COS
е
S a + u 8 11 r3 b4 \ ь8+2 B\а+5/2^г
+ +5 j(J
Л- Л J- 1 X Ч Ч К h^ \
ХГ|'-- -'" "<bFsl 2^ +1' 2 4' 2' 4+<5> 4' 4^J
b, с > 0; -5/2 - Re i/ < Re a < 3/2; <J =
2. и1/4{81П75Ьт1/4(са:)^ = ^:E) ./±s/4(J-) [ь,оо].
о
12 А. П. Прудников и др., т. 2
178
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.20
1/4
3. ж
J
о
I _i/4 I smby/x X
cos oy ж J
dx =
1 /тгб
cVT
^^ » г / » 9 \ / » 9
г -1/2 г- ^ Г fb \ (ь
5. ж ' sin буж Jo (еж) о*ж = — Mi/4 — — V1/4 [ —
J 4c L \8c/ 7 V8c
oo
•¦J"
[6, с > 0].
[6, с > 0].
[6, с > 0].
6. I ж ~'™cos
0
oo
7. L-1/2sin
0
= ^ {Y1/4(z)[Y1/4(z) - J1/4(z)] - J1/4(z)[J1/4(z) + У1/4(г)]}
[z = b2/(8c); 6, с > 0].
Sin CX 1 . . /7Г /6 7Г ,
>^о(сж) dx = a — cos ™— ±-Uo.1p
собсж I У 2c V 16c 4/ V 16c
[6, с > 0].
8. 1 x 1/2 cos Ьл/х <
^fsincxl.
xl >J0
[cosca?J
(cx)dx = —-J—
2v2c
Л Bint 1 (Щ
[cost] \!6сЛ
t = 62/A6с)-7г/4; b, c>0].
2.12.20. Интегралы, содержащие х
a J sin (bx + а/ж)
cos Fж + а/ж)
x_ Г a-,|8in(iW
a+1//c\"f sin [(a+ i/)tt/2]1 Г-1/-а
У Г[
У
о + i/ 1 + a + 1/
+^~' + ' 2
62c2
, с > 0; -1 - Re i/ < Re a < S + 3/2; <5 =
OO
f 1 Г sin (а/ж) 1 . . ж т ( n\ \Isi
2. -sink ) 7 ^^ >Л(сж) dx = — Ju{z+y/a)\\
J ж [cos (а/ж)] 2 LIcc
n
' cos (i/tt/2)
sin (утт/2)
^
sin (i/tt/2)
cos(i/7r/2)/t/|/l
cos (i/tt/2) 1 ,
sin(i/7r/2) J
0 < с < 6; а > 0; z± = л/b + c ± -
b - с
з. [1
J Ж
0
f sin (а/ж)
[cos (а/ж)
2
sin(i/7r/2)
cos (г/тг/2) 1 ,
sin (i/tt/2) J
sin(i/7r/2) 1
cos (i/tt/2) J
0 < с < 6; а > 0; z± = л/6 + с ± y/b - с
. 1 J sin Fж —
ж [cosFж —
а/Ж) 1
ах))
Jv{cx)dx = 2\ —)-1' "Ah{z+^)Kv{z^^)
1 cos [иж/2) J
0 < с < 6; а > 0; z± = л
2.12.22]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
179
.If ®\n(bx +
5. -<
x \ cos(bx +
a/xI^
a/x) J
-{
Ju(z-y/a) -
COs(l/7r/2)
cos (i/tt/2)
sin (i/tt/2)
^(^_-s/a) [о < с < 6; a > 0; z± = •
2.12.21. Интегралы отф)
/^^*)
;
cos ov a — ж^
[a>0;
a p
2. ж sin (feVa2 — ж2 ) Jo (еж) dx = — -
J V / b2 + c2
n L
— cos ay о + c1
cos ovfl — хл
a,
Г cos (Ьл/а2 — x2 ) 1 1 / > \
4. =—- Ji (еж) с!ж = — cos ab cos ayb2 + c2
J \/a2 - x2 ас ас \ /
, p
[a > 0; Rev > -1].
[a > 0].
^Ju(cx) dx = a — a ' с (b + с
a2 — x2 V 2
cos (by1 a2 — x2 ) sin
6. I ж \ —'- Jo(cx) dx =
л/b2 + с2
sin ( Ьл/х2 — a2
Л+1/2(ау62 + с2
[a > 0; Re i/ > -1].
[a > 0].
1.
/ { >Л(сж
I I /9 9 \ I
cos ( by x1 — a1 1 j
-(e2 ^ 62)^1/2 cos fa Vc2 - 62
[a, 6, c> 0; 6 ^ c].
о Г i™^ • /k ^^ 9~\ т ( \ J Iе З/2-i/i -i// 2 ,2\B^-3)/4 / ^^ r^ \
2. ж sin ( ovxA — aA 1 Jv\cx) ax = a — a ' be (c ~o )+ Jv-3/2 f «V e^ — oJ I
[a > 0; Ъфс] Re i/ > -1/2].
00
6
3.
dx = ±(^)±1/2«I/
V 2 /
|Ь2-с2
-B„+3)/4 f У-+3/2 («Vc2 - 62
„+3/2 (aVb2 -c2)
1 < 6 < С
1 < с < 6
, a > 0; Re 1/ < -1
4.
- a2
Ju(cx) dx = cos — /^/2
ix* — az 2
u/2
[0 < с < 6; a > 0].
12*
180
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.23
5.
6.
cos oy яг — cr
ill
0 < b < с
0 < с < b
, a>0 .
8.
oo
f 1_l/co8(by/x2-a2) /^F
7. ж -—- Ju(cx) dx = * — a
J \/x2 о.2 V 2
о
OO ( •11 / 9 9"
г пЛ-v sin ov xA — a^
"T—21 -1 2
^ж^^ I (ж — a ) cos (
x exp i —b\Jz2 + a2 ) Iu
I sli
2.12.23. Интегралы от А(х)
l/2-uc-v,2_
I /2 A2
[a, 6, с > 0; c^ 6].
[a, 6, с > 0; Ь^с; Re v > -1/2].
1. ж
sin f b\f x2 + z2 J
cos ( Ьл/х2 + z2 J
[0 < с < 6; a, Rez > 0; Re v > -D=p l)/2].
ju(cx).
7г\ fCOSI/TTi^.
/ I Sin 1/7Г J
. sin рж
[0 < с < b; Rez > 0; -1 < Rei/ < -1/2].
2.
3.
,2\-
- D J
sin f by x1 +
cos (bVx2 + z2
т)
[0 < 6 < c; Rez > 0; -1 < Rei/ < -1/2].
); 0 < с < 6; Rez > 0; Rei/ > -ll.
1 I sin (b\fx2 + z2 j I -if sin 6z — sin (z\/b2 — c2 )
4. 1 I ) {}J1(cx)dx=—l ) {
/x2 + z2 [ cos [b\/x2 + z2j j cz [ cosbz - cos [zVb2
5.
6.
1 \ ( sin bz\ @
iCosozrli
sin f b\fx2 + z2 J
-zVC — 1
> Ju(cx) dx =
[0 < с < 6; Rez > 0].
[0 < К с; Rez > 0].
[0 < с < 6; Rez > 0; -1 < Re f < 1/2].
2.12.25]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
181
7.
8.
9.
10.
11.
х j sin (Ъл/х2 + z2 )
z I cos f Ьл/х2 + z2 J
2
ТоЛ
- б2 J
[О < 6 < с; Rez > G; -1 < Rei/ < 1/2].
> Jo (еж) с^ж = ±—=
&2 -
62 ^
sin f Ьл/х2 + z2 J
[0 < с < 6; Rez > 0].
[0 < b < c; Rez > 0].
>)dx = < \zuKv(cz)
[0 < 6 < c; Re z > 0; -1< Re i/ < D ±l)/2].
oo
2 4- 72 - Z
sin f Ьл/х2 + z2 J
cos ( Ьл/х2 + z2 J
[ sin 9?
L = z v/62^^2" + ^тг/2; 0 < с < 6; Re z > 0; Re i/ > -ll.
12.
13.
I /919
—. exp -zvr — bz
сл/с2 - b2 \ > I cos i
^^+i
sin (б^ж2 + z2 )
ж2+С2 Уж^ + z
^_^ j,(c^)^ = r< 2
[^ = i/arcsinF/c); 0 < 6 < c; Re z > 0; Re v > -1].
f|arg(e2^^2)|<
0 < 6 < c; Re z, Re | > 0; -1 < Rei/ < 5/2,
14.
r.^+1
T2 I «t2
+
J Л (еж)
1.
[ cos ^V^2 ^ C2
0 < 6 < c; Rez, Re? > 0; -1 < Rei/ < 3/2,
2.12.24. Интегралы от Л(ж) sin (a + bx) Ju{jp{x)).
oo
sin 6 (ж — у)
x-y
¦ Jo
[6, c, t/, Rez > 0].
2.12.25. Интегралы, содержащие ерх , тригонометрические функ-
функции и Ju(cx).
sin 6ж 1
kcos bx Jc
1
2 + F + cJ
^ cJ
cJ \ /2; Rep> | Im 6| + | I
182
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.25
оо г i —- "I
I. е~рх cos bx J\ (еж) dx = - 1 — ——— cos @ — 77)
J С IX
о L J
[R4 =
- 62J + 4fe2p2, tg0 = b/p, 2bpctg2i] = c2 +p2 - b2; Rep > \lmb\
3. I xa^1e^pxlSmb1X\jJcx)dx = Ia \кер> |Im6| + |Imc|; Re (a + 1/)
J [cos bx J L
0
n Bu + l)f] 1
Oil'
cos B^+ 3L
/o = ^- [(p+RcosVJ
p + Я cos r]
[Re и > -A
[Re и > -8/2- 1],
[Re i/ > -5],
; Я, 77 см. в 2.12.25.2
Г 1
4. — е^рж si
J
) с!ж = arcsln —
r
; Rep> | Im 6| + | Im c|j.
00
r Г 1 ^рж Г sin bx 1 . л с Г 6 + Д sin 77 1
J ж \coste/ (р + Rcosf]J + F + it!sln?7J \ р + Rcost] )
Г 1 _ 1
6. J — е sin ЬжЛ (еж) da; =2^2
о
[Я, т; см. в 2.12.25.2; Rep > |Imb| + |Imc|].
sin @ + (p) — (b + p ) sin 20 +
с l Я sin <
^arctgl-
sin в \
I
[Я, г/, ^ см. в 2.12.25.2; Rep > |Im6| + |Imc|].
00
Г a_i ^рж f sin еж 1 ( л
7. \ x e p { }Ju(cx) dx ¦¦
J { COS СЖ J
р^агоутг
X 4F3
2 ' 2
8.
1 1
c, Re p > 0; Re (a + 1/) - ?; <f =
}
> = p2/A6c) -тг/4; с, Rep > 0].
9. e sin bx Jx (еж) da; = - exp I - sin —гт
J с \ 462+4p2/ 4F2+p2)
0
10.
[6, Rep > 0].
буж J
3 5 Г б4
4 5 2' 4' 45
2.12.27]
2.12. Функция Бесселя Jу(х)
183
2а~1/2Ь
2a - 2г/ + 1 135
4 ' 2' 4' 4'
а + ё^и х 13
2 ' 2 ' ' 2' 4' 4 ' '
е > 0; Re (a + i/) > -5/2, | arg 6| < тг/4, <S =
11.
Ьо(сж) d, = А 7 (?) к (Ь1_
J 2с 7 \4с/ ; \4с
2с
[с > 0; |argfe| < тг/4].
2.12.26. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и
Jx/(cshsc) или ^(
Т
2. sin bx Jo(cshx) dx = — sh — К%ь/2 ( ~ )
0; Re i/ > -C ±
[6, с > 0].
[6, с > 0].
2.12.27. Интегралы, содержащие показательную, тригонометриче-
тригонометрические функции и .Л/(^> (sin ж, cos ж)).
sin(&7r/2)
[6, с > 0; Rei/ > (-3=Fl)/2].
7Г
. l
J
о
7Г
Г
J
о Г р
J
0
2т х т / . ч , 1 Гш + гг +1/2, п - гм +1/2
g - J2n(cmnx)dx= -Г '
2 С
[
J
4. cos 2пж Jo ( V a - 6 sin ж ] с(ж = (-1) ж J
ж ] с(ж = (-1)
z± = р ± Vp2 - с2
а — Va2 — b2
. 2\
- о smz x ) dx =
flVa2 - b2
Г cos2na? / r^
5. Ji у a
J V «2 ^ b2 sin2 ж v
6. cos nx Jo (л/a2 + b2 + 2a6 cos ж 1 с?ж = (^1)п2тг Jn(a)JnF).
[0 < 6 ^ a].
= a ± \/a2 — 62 ; 0 < 6 < a
184 Гл.2. Определенные интегралы [2.12.28
Г sin (ж/2) sin [Bn + 1)ж/2] 1 / 7 \
1 ; ' ' Lr) ' /q Л Va4 62 + 2a6 cos ж Ыж =
[cos (ж/2) cos [Bn + 1)ж/2] J V /
2тг
7.
/а2 + b2 + 2ab cos ж
о
-[Jn(a) Jn+iF) T Jn+i(a) JnF)] [a 7^ ±6].
о \ v / /
[a, b > 0].
7Г/2
J M M
<р(ж) = ^2(a2eix + 62е~*ж) cos ж ; Re (/1 + i/) > -1 .
2.12.28. Интегралы от A(x) In у(ж) Ju(cx).
ь
1. hcln — Jo(cж)dж = — [Jo(ac) - JoFc)] - - Ji(ac)ln - [0 < a < 6].
J Л- С Ctt
a
1
1 OP I Tl *^Р #/^ 1 /* ПГ1 1 /f ^T1 ___, # * I /"* 1 1
• § el/ 111 «Ay t/(J I tv<L€/ J U>«X/ g^ «i(J I LI X •
J cA
0
00
. In ж Jv(ex) dx =- In - + ^j J [c > 0; Rei/ > -1].
J c[ с \ 2 J\
00
. \ inxJo(cx) dx = [In Bc) + С] [с > 0].
J с
0
oo
f 1 A 1/. С \
' J cl 2 /
0
00
ж" 1пте ж Jv (ex) dx = In [c > 0; -Rei/ < Re a < 3/2],
1
2
J
о
4
0
5
о
6
¦1
Г 9
7. In (ж2 + z2)Jl(cж)clж = - [/Co(cz) + Inz] [c, Re^ > 0].
J с
0
? / z2 \ 2 Г1 1
8. ж In [ Ц )J0(cx)dx = -\ zKAcz)\ [c, Rez > 0].
2.12.29]
2.12. Функция Бесселя Jv(x)
185
оо
9. [ In A + x4z4)Л (еж) dx = - ker (- )
J С \ Z /
oo
10. In ( xz + ^r^T^^z2" J Ji (еж) dx = -/of — J i^o 1 —
J V / С \AZ/ \AZ
0
11. ж In-
0
Jo (еж) dx = —\1 — e
12.
13.
14.
In (T _i_ Л/Т2 _i_ r2 \
III 1 JU п^ у J/ n^ Aj I
V /
•In-
x . \fx4 + z4 + ж2
¦ In
= Jo(cx) dx = Ko
z2 — x
[c > 0; |argz| < тг/4].
[с, Rez > 0].
[с, Rez > 0].
[с, Rez > 0].
[с, Rez > 0].
[с > 0; |argz| < тг/4].
15.
— 1
In
о2 — 1 + ^?J Jo (еж) с?ж = 2a6/Co(ac)i:CoFe)
[y> = Ba6)^1(a2 + b2 + ж2); а, 6, c> 0].
2.12.29. Интегралы, содержащие показательную, тригонометриче-
тригонометрические и логарифмическую функции и Jts((p(x)).
f -px
0
'•I
0
СХЭ
4
= (р2
[Rep
2T1 / e2\ Г с 1 /e2
= exp In EI —
P \ 4p/ [ 2p 2 \4p
[Rep > 0].
In (рж ^о(сж)с!ж =
= ?^TEexpf-^>)fEi(r^)-ln^ + 16expf-^)-8| [Rep>0].
4. ж
о
ехр (^р^ж2 +
+
¦ In f ^ж2 + z2 zb z J Jo (еж) с/ж =
— - erz EI (-2rz)j + - <| > [erz EI (-r^; - pz) - e^rz EI (rz - pz)]
r = vp2 + c2 ; Rep > | Im c|; Re z > 0 .
5. e рш In ж Jo f с^ж2 -j- xz ) dx =
J
- Ei (-
2 / L V 2
\r = \/c2 + p2 ; Rep > | Im c|; | argz| < тг .
186
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.30
6. е рж1п(ж + z)J0
J
о
— exp
dx=- [exp (Pz~rz) ln E
r L V 2 /
: + rz
2r
J; Rep]
oo
7. f cosbxlnaxJ0(cx)dx = -^ (fe2 -
8.
9.
; |argz| < тг
[0 < с < 6].
[0<6<c].
1
10. [ In Jn(x)dx = An, Ao = ^0,086734..., Лх =-1,735351..., Л2 = ^4,108958 ...
о
2.12.30. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические
функции и «Л,(еж).
а
Г ж"^1 / хх
1. =¦ cos (/larccos — ) Ju(cx) dx =
+ !> («
¦l)/2, (a-jx + i/ + l)/2
a
4
x 1F3 а + i/; I/ + 1,
cos [/iarccos (ж/a
Т/Ч1 тг _ / ac\ T (ac\
Jv(cx)dx= - J(.+Ju)/2 (— M(^M)/2l—)
00
3. ardgx2 Ji(cx) dx = kei (c)
J с
2.12.31. Интегралы от хаJll(bx)Ju(cx).
L. f xa~1J^{bx)Jv(cx)d
dx =
\b, с,
[a > 0].
f v) > 0; Re a < 2; fc = 2v^ /F + c)],
^ + /i + tt v —- /i + tt <
2 ' 2 ' ' i
[0 < с < 6],
a -\- fj,-\- is a + /i — 1/
[0 < 6 < c];
"~l)/2
[0 < с < b; Rep, Re i/ > -1],
[0 < 6 < c; Re/i, Rei/ > -1];
2.12.31]
2.12. Функция Бесселя J^(x)
187
1+ = 2" сов (^/2) Л/ + 1 \ 2 _ 2
M1
[0 < с < 6; Re/л < 1; Re B/x + i/) > -1],
_ 2"
" с
Ар, v = 2м УЪ^
2 ,
(с2 - б2);-"-1
[0 < 6 < c; RGju < 1; Re Bjz + i/) > -1];
[6 ^ c; -1 < Refi < Re i/];
Ж { Sin 1/7Г J
1/2 ^[1/4+^ + ^
< b < с
< с < 6
i/) < 0 ;
К',1 =
ки =
Аа =
[0 < с < 6; Re(/x + i/) > -1/2];
/w^>
[О < с < 6; Re (/х + i/) > -3/2];
а 1 46с
I' ^+ 2' 2|/ + 1; F +с]
«/2 1р±, _
l±v-a/2\ ^a/2{\c2^b2\
А0 ~^(Ь
^"-2^U
л-1 & + СГ/^2
c2)E(fe)-F-CJK(fc)];
2
;[(Ь-с)(Ь2
- (b
§, 2 =
15тг63с2
- c)Bb4
- (b + c)B&4
^c; -2 Re i/ < Re a < 2];
[6^c; 0 < Re a < 2];
ГГ0<6<е| 1
LlO < с < 6j' J'
[0 < b < c; Re i/ > 0];
[0 < с < 6];
[0 < 6 < с];
< b < с
< с < 6
л 26
(
7ТС2 V С
; Re i/ > —те — 1 ;
[0 < b < с];
[0 < 6 < с];
188
Гл.2. Определенные интегралы
[2.12.32
*'2 =
B±1)/41 2
]F
- (b + cf(b4 + 4&V - 24c4)E(ife)];
^\1/21
[О < с < b].
ОО
2. xa~1JtJ,(cx)Ju(cx)dx =
26
1 + (// - i/ - а)/2, 1 + (i/ + /х - а)/2, 1 + (i/ - /х - а)/2J
[Re а < 1; с, Re (а + /х + i/) > 0].
Г 1 2
3. — JfJt(cx)Ju(cx)dx =
J ^
0
. v - /i
-Sin 7Г
tt(i/2 - /i2) 2
4.
1
^Н ~г J-
ОО
5. [ - [1 - Jo(bx)] Jo(cx) dx=\*\\n-
J ж ^ и J с
о
6. ^ [1 ¦
0
ОО
Г 1
7. —
J ж
о
4с
h
— Jo(cx)]2 dx = In -
с
[c, Re (ax + i/) >0].
[c > 0].
0 < 6 < с
0 < с < 6
[0 < с < b].
[0 < b < с].
[6 > с > 0].
2.12.32. Интегралы от А(х
ОО
^(сж) dx = -^ Ju(cz)Yv(cz)
± Z А
И
'"Г>о"
а
а + /х + I/
2.12.32]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
189
,2)
- и + 1 ix + v
Zi
22
1; -а с
[а,
и) > 0].
4.
5.
а
о
а
Г 1
J хл\/ал — хА
J? (СЖ) dx =
2а
J2 (еж) с!ж =
4а5с2 2 6
[а > 0; -1 < dzRei/ < -1/2].
^^^0(асI/Л+1Bас)
[а > 0; -1 < Rei/ < -1/2].
[а > 0].
- J2Bac) - 2acJ3Bac) [a > 0].
сю
з f а —1/ 2 2\в —1 т / \ 7 / \ J
з. ж (ж — а ) Jц{сх) Jjj(cx) dx = —
а
[(о + /х + и) 2 -
2-/3 +(/x-i/- а)/2, 2 - /3 + (
- а)/2, 2^^ + (i/^/i^ a)/2
1 - (a + /x + i/)/2, 1 + /i, 1 +
2 '
oo
h Ix1
10- [/ 2Ж, 2ЧР Jv(cx)Jv(cx)dx= Ы^JР "
[а, с, Re^ > 0; Re (a + 2/3) < 3].
MvBac) [а, с > 0; Ret/ > 1/2].
Х [(/х-*/-а)/2 + р+1, (/x + i/-a)/2 + p+l, (i/-/х - а)/2 + р +lj X
1 — a
p;
+ i/ + a
i + i> — а
V — fl — QL 2 2\ , ^
2
/Lt + I/
а + fi + v a + fi + u 22\
—2—; i-p+ —2—' /i + 1?l/ + 1'/i + l/ + 1;czJ
[с, Rez, Re(a + /x + i/) > 0; Re (a - 2p) < 1].
190 Гл.2. Определенные интегралы [2.12.33
11. [ —2 ^— МЬх)Л(сх) dx = {-\)пх^"+2пh{cz)К^{bz)
J X -j- Z
0
[0 < с < 6; Rez > 0; -l-n<Re/i<Rei/ + l- 2n].
oo
12. [ X 2 ЛFж)Л(сж) с!ж = (-l)nz
J ж + z
^ Jp 1
I/ ; V Д/ ;
I,/ ; ч V Д.,/ ; ч 0 < c< 6; Rez > 0; Re i/ > n - 1 .
13. f —^—- -тг^(сж) da; = i In Bcz) -ф[1/-\--
0 [c > 0; Re i/ > -1/2; |argz| < тг].
2.12.33. Интегралы от A(x)JfA(a ± еж)Jv{cx + d).
2
2
о
3
о
5. \xa~1Jfl(ca - cx)JlJ(cx)dx = ( - v-/«- . ,
J \ С J 7~п ™- L ^ ' '
[a, Re (a + i/) > 0; Re ji > -1].
a
6. — J^(ca — cx)Ju(cx) dx = — Jfj,+v(ac) [a, Rei/ > 0; Re/x > -1].
J Ж U
Jfi(co> — cx)Ju(cx) dx = — У (— 1] Jju+i/+2fc+i(ас) [a > 0; Re/i, Rei/ > —1].
a
Г 2
Jo(ca — ex) J и (ex) dx = — Uv+i(ac1 ac) [a > 0; Rei/ > —1].
J с
о
a
J^jj(ca — ex) J и (ex) dx = [a > 0; | Re i/| < 1].
J e
о
a
Г 1
4. Ji_v(ca — еж) Jv(ex) dx =— [Jo(ac) — cos ac] [a > 0; —1 < Rei/< 2].
о
2V^(-1)* Fa + . + fc-
о
7.
о
X (a + fi + i/ + 2fe)Ja+M+l/+2fe(ac) [a, Re/i, Re (a + i/) > 0].
a
8. —; г Ju(ca — cx)Jjj(cx) dx = Ju+v(ac) [a, Rei/, Re/i > 0].
J x(a — x) ajiu
о
9. ж"(а - ж)м+A±1)/2 JM(ca - еж) Л (еж) с!ж =
J
у2тгс
-,1/+ -J ^+1/+1/2(ас) [а > 0; Re i/ > -1/2; Re/x > (-3=Fl)/4].
Г "+i/ \m+i г / u, u 1 ^[/1 +3/2, i/+ 3/2]
. x ^ (a - x)^ J^(ca - cx)Jl/(cx)dx = Г ^ ; x
J V 2тг I /i +1/ + 2 J
о
X ам+"+з/2с-з/2 ^+„+!/,(ос) - 2(^ +°° + 2) JM+,+5/2(ac)] [a > 0; Re^, Rev > -1].
2.12.34] 2.12. Функция Бесселя Jv(x) 191
лл Г "+i/ ч-^-2 ж / \f/ u 22|/+1 fi/ + 3/2, /x^i/^l]
11. ж ^ (а - ж) J^ca-cx)Ju(cx)dx =—^Г ; х
J v ^ L jla +1/ +1 j
о
X ( — 1 \Jij,(ac) JfJb+1(ac)\ [a > 0; Ке(ц- v) > 1; Rei/ > -1].
V z / |_ /^ ~т~ ^ ~т~ 1 J
12. [ж"(а-ж)-"-^(са-сж)Л(сж)Жс = ^^ Г \U + 1/2j ^ ~
[a > 0; -1/2 < Re i/ < Re/z].
a
Г 1 Г 1
13. — J0(ca - cx)Ju(cx)dx = ———-- Л(ас) — Ji,+i(ac)
0
ax)Jtj(ac +ax) _ /2тг
0 [a > 0; Re i/ > 1].
iA
X F- cI/2~y'~v J^u-x^iab - ac) [a, Re (/x + i/) > 0, b > c> 0].
2.12.34. Интегралы от ж"J^F^±r)Ju(cx).
oo / 2
о
2.
/ 2 \
1. I J2v(by/x)jv(cx)dx = - Jv\-r) [6, c> 0; Rei/ > -1/2].
l(u~a)/2-fi/4 + 1, /i +
(ol — и a a + i/lii + lii ^ &
' f+ —2—' 2'
- a + l)/2 - /i/4, /i/2J X
/i i/ + g + l /x 3 /i
+ 4 ' 2 + 1' 2 ' 2 + h
[6, с > 0; - Re (t/ + /x/2) < Re a < 7/4].
3. v^^±i(bv^)^(ca;)da; = ^ Л±1 f — J [6, с > 0; Re i/ > (=Fl - 3)/4].
oo
4. \ -^rrJu(-]Ju(cx)dx=< ^1\j2vh\fbc\ [6, c>0; Rei/> -1/2].
J ж1:±:1 \ж/ 1CJ ^ ^
0
oo
5. - Ju-1(-)jt/(cx)dx = ^= J2v-if2V/6c) [6, с > 0; Rei/ > -1/2].
J ж \ж/ V6 v /
0
6. jx - J*{x)Mcx)dx-22it_a+ir^ + lAfi + i/_a)/2 + 1\x
+ l, 5+ 1, 5+ 1; ^
\ 2 2 lo
. "T"
Г , -, , , , wo , -, 0F3 lu + 1,
2 ' ' 2 ' ' 16
[b, с > 0; - Re v - 3/2 < Re a < Re ц + 3/2].
192
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.35
7. ж1/2^ J1/2_v - Л (ex) dx =
J \X У
0
/ v—-1
\u± = V/6c/2e±7ri/4; 6, c> 0; -1/2 < Re i/ < з].
2.12.35. Интегралы от A(x)JfI (b\fz2 ± ж2 J Ju(cx).
2v+1
[a > 0; Re i/ > -1/2].
a
. JV+2n+1(a2
oo
3. f xv+\x2 - а2
[a > 0; Re v > -n - 1; Re /i > -те - 1].
j [0 < с < b; a > 0; Re/a > -1; Re (/i + i/) < -1].
4.
— cos /i?r JM+I/+i f ал/с2 — b2 J [0 < 6 < с; а > 0; Re /i > -1; Re (/i + i/) < -1].
oo
. f x(x2 - a2)n/2Jn(^ci/^2-a2)j2n+i(c^) dx = (c2 - a2)+/2 Jn (a
oo
. f ж^'Сж2 - a2)M/2 JM ^bVx2 - a2 ) Л (еж
[а, с > 0; a^ c].
(c — о )_|_ Ji/_M_i I avr — o2 1
[a, 6, с > 0; Re/x > -1; Re (/x - i/) < -1].
7.
¦ JM f b\fx2 — a2 J Jx/ (еж) da
oo
. f (ж2 + z2)
. T ж^^
~v/2
Ju
[0 < с < 6; a, Rez > 0; -n < Re/n < 4 - 2n + Rei/].
j!(cx) dx =
2Ч1//2
JjzVb2 -c2) [0<c<b; Rez > 0; Re v > -1].
V / L J
) Jv(cx) dx = 2>/ „^^ Mbz)
[0 < 6 < c; Re z > 0; 0 < Re i/ < Re /x + 2].
2.12.38]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
193
10.
п.
12.
X Sin
(z/b2 _ C2 \ _ cog уж J (Z\/b2 - C2
у J V- v у
[О < с < b; Rez > 0; -1 < Rei/ < -Re/z].
13. J^+V
о
[0 < b < c; Rez > 0; -1 < Rei/ < -Re/z].
_ C^Z У М , 2 2\(/z-i/-l)/2
[6, c, Re z > 0; 6 ^ c; -1 < Re г/ < Re д].
) da? =
7Г Г(/1 + 1) ""-V^V-/
[0 < 6 < c; Rez > 0; -1 < Rei/ < Re/x + 3].
14
_
0 < 6 ^ c; Re C, Rez > 0; -n < Re и < Re/i + 2,
|arg(Z2-C2)|<7r
2.12.36. Интегралы от xaJp(v(x))Jv(x(?)).
oo
f _-
J
x Г
iz + q/2, (l-a),
1 + i/ — a/2 J V I cos ^^
^ sin и ж
[b, Rez > 0; -2 Rei/ < Re a < 1]
2.12.37. Интегралы, содержащие J^,{cx)/Jv{cx).
j?i = 1,914485..., Л?, о = 0,279773..., А%л = 0,127718 ...
2.
3.
xJv(cx)
[с > 0].
[с, Rez > 0].
;(x2 + z2)Ju(cx)
о
2.12.38. Интегралы от жае^ржJ^(bx)Ju(cx).
сю
1. е^рж Jfj,{bx) Ju(cx) dx = /Mj jy Rep > | Im b\ + | Im c\; Re (/л -\-1/) > —1;
fc = sin <p = 2-s/Vc /dp2 + (b + cJ , sin ^ = p/ Jp2 + F - cJ
13 А. П. Прудников и др., т. 2
194
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.38
жу be
26с
/0,0 — —j= K(fc),
жу be
[Re и > -1/2],
[{:::}]¦
жкуЬс
[B-k2)K(k)-2E(k)],
2р
/з,з =
[A28 -
- 8B - к2)Щк)},
- 2A28 - 2
/4,4 =
ШБжк
=^ [F144 -
7л/Ьс L
) - 32B -
2. ж е F Jnybxj
)dx = A°u
Re (a + /j + i/) > 0; Rep > |Im6| + |Imc|; A;, (f, ф см. в 2.12.38.1; 2кь = М - VI - b2j2)
1/2
да _
x
, 27 = ^p2 + F + сJ
p2 j p2
1, v
2ic
2 2
= 7^1/2Г
2/x —
¦1J V 4
Л 4
1
z
[Re (/i + i/) >-C±l)/4],
2.12.38]
2.12. Функция Бесселя Jу(х)
195
1/2
i,^i,
[Re/x>-C±l)/4],
2i/-2/x-m-n
x [(p + ib
. P J
2k+2u+l
x 2Fi( fi + k + -,
x
1 n л 46c sin2 ф
2;2l' + n;1"^^2V
[Re (
-21/+П+1 _
41/ + 1
k\
f i/) > -(m + n)/2; m, n = 1, 2, 3, . . . ],
(-wJfe X
1 i/+i;
2 2
1 1 о
-, 1/ + -; 2v
2 2
Aiw = -^
[Re 1/ > -(n
Ъ^ Qu-i/2
[Re 1/ > -(n
,3/2
/2 v „
= 1/-0 с
7T
Re 1/ > —1],
ff 6 < ell
[{b>c\\'
2c2)
Ь>
^1,0 =
8тг65/2с3/2A-А;2)
[^"(Г - c^ - p )E(fe) + 4ftc(l -
p^3
. 0 =
- k2)(b2 - c2 -
13*
196
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.38
[2к2(к4р2 - A - к2)(Ь2 + с2))Щк)
+ A - jfe2)(86c(l - к2) - к2{2 - Jfe2)p2)K(fc)],
71" 7
,1/2 _
= [E(fc6) - A - .
rf[(!-2'
- 2A - 2к1)Щкь)} [8A -
[2A - k2b +
][2Е(ЛС)-
)] [A - к2с)Щкс) - A - kl
1/2
2, 2
OO
3. f e
0
- A - kl){2 - kl)K(kb)] [A - A;2)(l - 8Jb2)K(fec) - A -
4 г О 9
- 2A - 2kt)(l + 4^5 - 4^)ЕAЬб)] х
х [A - Aj2)B + 5ife2 - 8^е)К(^с) - 2A - 2,
pxJli(cx)Ju(cx)dx = B^u [Re(^ + i/) > -1; Rep > 2|Imc|; fe = 2c/^p2 + 4c2 ],
d 2(i/ + n-l)
5+ ^>+2
-l)r
: iJv + n-2, v
1 L
7ГС ' \ 2C2
p 1
с J
[Re 1/ > -1/2],
[Re 1/ > -1],
1 р
2с 2тгс2
^2
¦(n + l)Qn+i/2
Bo,o =
7ГС
4
2> о =
[C2 -
- 2A6 -
#n+i/2,n-i/2 = — arcctg-
ЖС AC
2с2 Г
2.12.38]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
197
п+3/2, n-l/2 =
& + —
2c же
oo
1. f xa~1e~pxJtJk(cx)Mcx)
dx = C?t
[Re (a + JLA + i/) > 0; Rep > 2|Imc|; A; = 2c/\/p2 + 4c2 , 2 = ^/p2 + 4c2 /p],
/X + l,
X 4F3
2 ' 2
+ 1,
4c2
TBi/-
1 1 4c2
2^+25 I/ + 1; -^-) [R*i/>-1/4],
[Re 1/ > -1/4],
[Re и > -3/4],
1,
2c2
1,
iu+1/2
> -3/2],
4c
[A -
-D + Jfe2^6Jb4)E(fc)] - |,
pk(p2 + 4c'
[4A - fc2)K(fc) - D -
3,2 —-
^Jfe2)(8 + Jfe2)K(Jfe) - C2-
7Г Cp
^2,0 — ~2~ 3
жсрк3
4тгA- ife2)c3
-8(l-Jfe2)B-ife2)K(Jb)],
198
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.39
0,0 — о Lv° ~~ M
жср2 L
Cl i = ^^ [C1 - к2)Щк) - A - 2J^2)E(»],
^3/2 _ P + V>2 + 4c2
'-1/4, 1/4 У ^p2 + 4c2) ' ^-1/4, -3/4
2.12.39. Интегралы от Л(ж)е/(ж)JfM((p(x))Ju{cx).
[6 > c].
- J e
3. же рш Ju(bx)Ju(cx) dx = — exp ( . ^ .
OO
4. fx3e"pa!2Jn+2Fa;)Jn(cx)dx =
fc + (a + д +
HX
[Rep, Re (a + /x + i/) > 0].
[Rep > 0; Re i/ > -1].
6p2n(n + 2) + Dpn + c2N2 + fe4] In (^) | exp Г-
4p
[Rep > 0].
5. e Juice ' x)Juice ' x\dx =
о
OO
¦» I a —1 -»ж 7 / \ 7 / \
Э. Ж б Jfj,(CX)Ju{CX) i
2p
_ 2 » ^ 1c^+t/p («+m4
[Rec, Rep > 0; Re v > -1/2].
2 ' 2
1,
7- J ?e
о
8.
[Rep, Re (a + /x + i/) > 0].
[Rep, Re i/ > 0].
[c, Rep > 0; Re i/ > -1/2].
OO
4
2
16c
[с, Rep > 0].
2.12.40] 2.12. Функция Бесселя Jv(x) 199
10.
/ 9 i 9
0 \JP + c2
[Re v > -1/2; Rep > |Imc|].
oo
f ^ / h2y. \ / Л2^ \ p^c'
11.
Ж^
0
[6, e, Rez > 0; Re i/ > -1/2].
2.12.40. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и
оо
1. [ imaX\jn(bx)Jn(cx)dx = In L 6, ОО; 2к = J±a2 т (Ьт сJ /Vbi],
J [cosaxj L v J
/o = —-/= K(A;) [6-c<o<6 + c],
7TV 6c
TTV &C
OJ 7Гкл/bc [
-2E(A;)] [6^c< a < b + c],
h = \: }—±j= \2кЩ \\ + A - 2к2)жA)) [a > 6 + c];
/2 = {?} ^^ГC-16^2 + 16^4)К( ^ ) +8(l-2fe2)fe2E( i I [0<o< 6-c],
/2 = \= [8A - 2fe2)E(fc) - E - 8^2)K(fe)] [Ъ-с<а<Ъ + с],
Зтгубс
I) + 8A - 2^2
W
- 2^2B3 - 128^2 + 128^4)E( у j I [0 < a < 6 - c],
/3 =
,2 /qq -I oo i 2
A5 - 128^2 + 128Jb4)(l - 2^2)K( f ) I [a > 6 + c].
f sinax
2.
[ cos аж ^
[0 < a < c-b] b > 0; -1 < Re i/ < Rep + A ±l)/2].
\ cos аж _
[0 < a < c- b; b > 0; 0 < Re и < Re/i + E ± l)/2].
200
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.40
оо
4. sin axJiy(bx)JI/(ex) dx = —-=¦ Pu
J 2Vbc
u-1/2
ь2 + г - г
26c
5.
жуЪс
Qu-1/2
26c
[6, с > 0; |c - 6| < a < 6 + c; Re 1/ > -1].
[0 < b < c; a > 6 + c; Re 2/ > -1].
00
6. cos ax Ji(bx) Jq(cx) dx = J
a, 6, с > 0; 2ifc = ^a2 - {b- сJ /л/Ъ&\,
J-l
¦ч
2c . I с — a __,. ч
arcsin 4/ , к М ==¦ K(«)
Ь + Н' j ^
SVcK fc
[0 < \c- b\ < a < c + 6],
[6, с > 0; a > 6 + c],
[0 <\a-c\ < a + c<b].
oo
Г f sin ax 1 2 / ч , . 1 f cos i/TT 1 /a2
J [cosaa^J 7rclsmi/7rJ \2c2
о
oo /2
8. \ cos ax J^v (ex) Jv (ex) dx = < >—Pu-i/2\ —о ~ 1
J 10 J 2c V2c2
oo
Г / \ т / \ 2ft 1 Г/ 4
9. I sinaxJi(cx)J3{cx) dx = —r- — -—— ^^ Da -
J с2 6тгс4(а + 2c) L
[0 < 2c < a; Re 1/ > -C ± l)/4].
0 < a < 2c
0 < 2c < a
00
10.
[ex) Jn (ex) dx = /m, n
1
2c жс(а + 2c)
ВД,
[а, с > 0; A; = л/8ас/(a + 2c)j.
а, с > 0; к = v/8ac/(a + 2c)j,
K(ife) - (a + 2с)Е(А:I,
/2,3 = ^- - ^^ [Ba4 ^ a2c2
2c 2тгс5 L
2тгс3 | a + 2c
- c(a + 2c)Ba2 + 7с2)Щк)].
11.
S = I X 1; k = 21/2 (Va + 2c - л/а-
га /с\м+^ _a_/z_1/ Г a + /x + i/
^v \2) п [/i + 1, i/ + l
а, с > 0;
sin [(a + /1 + i/)tt/2]
/a + 2c - Va^
-J; Re a < 2;
1 + /i
-, 1-
' Ac
-; 1 + /x + i/, 1 + i/, 1 + /i; —
[0 < 2c < а] или [a = 2c; Re a < 1],
a + 6 — /jl —
/ - a - 6)/2, 1 + (i/ - /i^a^ J)/2, 1 -
¦ — V — OL —
1 + OU QJ
2.12.40]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
201
а- 1
с [sln(a7r)/2j |Д1 + 1/-/х;/2, A + /Х-.
\ — \i — v 1 — i/ + /i 1 — /J,-\- is д + i/ + 1 1 3 ^ a
' 2' 2 '
2
2
2^a ^2
2
2' 4с2
DсJ
J COS 2i/7T
a4l/+1 cos i/TT [z/ + 1, 1/2 — v\ \ sln2z/7r
[0 < a < 2c];
4c2
1 1
2' 2
[0 < 2c < a; -(? + l)/4 < Re v < 1/2],
2
/3/2
2 + 2i/, —v /11 a
l/2-i/ J 2 X \2 + F' 2 + 2l/' X + l/' 4c
[0 < a < 2c; -(<5 + l)/4 < Re i/ < 1/2];
^ = 0 [0<2c<o],
,3/2
cos I ( 2i/ - - ) arccos —
тгаDс2 — а2) \\ 2 / 2c
io,o
•к2й)
A,i — -
[0 < а < 2c];
[0 < 2c < a];
[B - ife2)E(fe) - 2A - к2)Щк)]2
[0 < 2c < a];
1/2
2,2 =
12
X [A - Jfe2)A6 - 16Jfe2 - k4)K(k) - 2B - Jfe2)D - 4Jfe2 - k4)E(k)] [0 < 2c < a].
. ж1^1 sin ax J m{cx) Jn{cx) dx = Alm^n a, с > 0; к = л/8ас /(а + 2c) ,
о
г a a + 2c r( 2 , 2\t?/l\ / \2ж(ь>\\
A2% = - - Q + 24C [(a - 2cJ(a2 - с2)Щк) + Dc4 + 9a2c2 - a4)E(k)},
§ 2 = — + ^^ [(a - 2c)Cc4 - 5a2c2 + 2а4)Щк) + (a + 2c)Cc4 + 13a2c2 - 2a4)E(k)}.
2c ЗОтгс5
. sin (аж + az) / чг
13. I ; J±n±l/2{CX)Jn
X + Z
) С/Ж = 7ГJn+1/2(cz)J±n±1/2(cz)
[0 < 2c ^ a; Im z ф 0].
14. ж
о
{si
C
i /L \ т / \ J 1 т f bc\ f COSy?!
Ju{bx)Ju(cx)dx = —- JJ- < . >
2a \2a/ [ smcp J
[a, 6,c>0; y? = F2 + c2)/Da) - иж/2; Re i/ > (=pl - 3)/2].
202
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.41
15. ж
J
о
B-*/)/з
< 2 }JBv~i)/e(bx2)Jl;(cx)dx = (Щ^
f sin ш 1
1 Г х
[ cos у? J
; 6, с > 0; Rei/ > -G
1С f -1/4 Г sin ад/ж ] 7 / w/ ч ,
16. ж 7 < ^- >J-u±1/4(cx)Jt/{cx)dx =
J I cos ау ж I x
= i/-a-3/2 e-w</8I
±1/8,±i/8
[а, с > 0].
17.
R
ab2
b2c
a, 6, с > 0; a ^ с; Re i/ > -C ± l)/4;
J sin 2/ l при a <
I cos у J
.2 2
Г cos у
18. [ A + ДЛ cos
J \ 2 J
x/ \x/
4|c2 - a2
\ sin у
= (c2 - a2);1/2J2.BVc2^a2)
при a > cl.
J
[a, с > 0; a^c; Re i/ > -1/2].
2.12.41. Интегралы, содержащие «Д, (с sin ж).
тг/2
1. sm2a^1xcos2xJiJ/(csm2x)J1/(csm2x)dx =
о
/i +
2
[ReBa
), Re B/3 + ц, + i/) > 0].
7Г/2
. Г tgMm|/+
ж J^
(сsin 2ж) dx
J
[Re(/x + l), Rei/ > 0; см. 1.8.1].
2.12.42. Интегралы от хаJ\{ax)J^(bx)Jv{cx).
1. J\{ax)JpL{bx)Jv{cx)dx= Г
J С " |^ /Л "т" J- j f* "т" -L 7 \ -L
+ ^ - А - /х)/2
с> а + 6; а, Ъ > 0; Re (Л + /х + i/) > -1; 2c2z± = ±а2 Т Ь2 + с2 + ^(а2 + б2 - с2J -
оо
2. f Л(аж)ЛFж)Л(сж)с1ж = PU
J 11 J с
O
i a2 + ь2 - г
= — arccos
7гс 2ab
\а-Ь\ < с < а+ 6; а, Ь > 0].
2.12.42]
2.12. Функция Бесселя Jу(х)
203
оо
1. Jm(ax)Jn-m(bx)Jn(cx)d.
x = /
1 =
жсп~1у/4а2Ь2 ~~ (с2 - а2 - б2J
а — b\ < с < а + b; (p = arccos -
[a, b, с > 0],
- а2 - Ъ2
/ = 0 [в остальных случаях].
оо
5. ха~г Jx(ax)JfJt(bx)Ji/(cx) dx = Ia [a, b, Re (a + A + ц + v) > 0; с > a + b; Re a < 5/2],
о
¦*¦ a — ¦" Л U С A ' \ i i
At i)
=0
[-1 < Re i/ < Re (A + ft)+ 1/2],
I/
A + l,/i-
oo
. f
J
J4cx) dx =
arcs!nA
~~ (a + 6J - 1/c2 - (a -
c> a + b; a, 6 > 0; Re (/x + v) > -1; 2c2z± = ±a2 + 62 + c2 + ^/(a2 + 62 - с2J ^ 4a2b2).
. J /
[0 < с < |a- 6|; a, 6 > 0; 2a6chv = a2 + 62 - c2; Re (/x + i/) > -1; Re i/ < 1/2].
|a - b\ < с < a+ 6; a, b > 0; 2a6cos v = a2 + b2 - c2; Re (/i + v) > -1; Re i/ < 1/2].
B^ + 1)^/2 чи-«/-1/2 n^+1/2 /
10
[c> a + b; a, b > 0;
. ж2^17 Ju(ax) Ju{bx)J1J(cx) d
J
= c2 - a2 - 62; Re (/x + v) > -1; Re i/ < 1/2].
x = I —sin
4
I
4aoc \ с
[a, 6, с > 0; с < a + 6; Re i/ > 1/2; Re/x > —3/2; у? — угол треугольника, стороны которого
равны a, 6, с, заключенный между сторонами а и 6].
оо
11. \ хг^У Jpb(ax)JIJb(bx)Jv(cx)dx = 0 [0 < с < |a - 6|; a, 6 > 0; Re/i > -1; Re i/ > -1/2].
iг»
13.
a - 6| < с < a + 6; a, 6 > 0; 2a6cost; = a2 + 62 - c2; Re^t > -1; Re v > -1/2].
¦ l
'c > a + 6; a, 6 > 0; 2a6ch-u = c2 - a2 - b2; Re/x > -1; Re i/ > -1/2].
204
Гл.2. Определенные интегралы
[2.12.42
оо
14. ж17 Jv{ax) Ju{bx) Ju(cx)
dx = 0
[0 < с < \а - Ь\ или с > а + Ь; а, Ь, с > 0; Re i/ > -1/2].
~{a~ )
2^ —1 д 2i/ —1
[|a - 6| < с < a + 6; a, 6, с > 0; Re v > -1/2,
16
A — площадь треугольника, стороны которого равны а, 6, с].
оо
. \ xJfj,(ax) Jfj,(bx) Jo(cx) dx = / [r± = ±(a2 + b2 - c2)/Bab)],
1
/ = (r?. - \y1/2
тгао
\a - b\ < с < a + b J ' '
/ \-"
"_ + \ r2^ — 1 I [c > a + 6; a, b > 0; Re jla > -1].
oo
17. J\{bx)J^{bx)Jv{cx)dx
0 < 26 < c; Re(/i + A + i/) > -1; A; = (c - ^c2 - 462 V/2 Л/2с, г = л/с2 - 462 /сj,
(-а., a*, i/) = -c
^^ K2(fe), Л@, 0, 1) = -, A(l,
7TZC С
A(l, 1, 1) = 0, A@, 0, 2) =
+ 2/x)>-l],
[Rei/> -1],
, 0, 0) =
ЛA, ij2) = ^2[(l-.
AB, 2, 0) = -^-^ [B - 3fe2)(l - Jfe2)K(fe) - 2A - 2к2)Щк)]2,
ЛB, 2, 2) = ^L_ [2A - к2 + Jfe4)E(fe) - A - ^2)B - Jfe2)K(ife)]2,
2, 2, 4) = in^2M [B + 5k2 - 8k4)(l - к2)Щк) - 2A - 2fe2)(l + 4Jc2 - 4к4)Щк)]2,
5 3, 0) = -
, 3, 2) = 4С [(8 -
OlOTT О
- С1 -
- (8 - 19^2 + 9к4 -
и.
.9.
2.12.42]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
205
оо
20. Г ж" Jx(bx)Jfl(bx) Ju{
ex) ax =.
, (a + /x + A + i/)/2 1
_ 1 + /х, I + Л, 1 + (i/ - а - /х - A)/2j 4 3
462
[0 < 26 < с; - Re О + i/ + Л) < Re a < 5/2].
21.
A + jx - А)/2, A + А - /х)/2, (i/ + 3 - а)/2_
1 - А - /х 1 + А - /х 1 - А + /х 1 + А + /х 1 3 ^ а ^ f З^а + i/ с2
. l-a-i/, (a + A + /x + i/)/2
1 + (д + А - а - i/)/2, 1 + (/1 - А - а - i/)/2, 1 + (А-/х-а- i/)/2, I + i/_
X 4Г
2 '
7
22. J ж1
23.
24.
25.
26. жЛ
- А)/2, (A-
dx =
[О < с < 26; - Re (/х + i/ + Л) < Re а < 5/2].
Р,, 1 ,
[6, с > 0; сф 26; Re /х > -1/2; Re (/х + i/) > -1].
[6, с > 0; с ^ 26; -1 < Re i/ < 1/2].
3i/ + lt2i/ -I/-1
^ D62 -
^_
[6, с> 0; с ^ 26; -1 < Re и < 1/2].
,2 _ 2.-Х/-1/2
0 < с < 26
О < 26 < с/'
Rei/| < 1/2
D62 -
с + i
+ (с - i
= — D62 - ,
же
[6, c> 0; с ф 26; Rei/ > -1].
206
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.43
27. J xJ(l/+n)/2(bx)J{^n)/2(bx)Jl/(cx) dx=— Db2 - c2)+1/2Tn (^
о
[6, с > 0; сф 26; Re v > -1].
«2
оо _ , <-j . _
28. [ xJl(bx)J0(cx)dx = —Db2 - с2у1/2 cos L arccos A - -vj )
^^" - 462)~1/2 f
[0 < с < 26; Re/i > -1].
f c2 -
[0 < 26 < c; Re/i > -1].
oo
30. f xJJbx)J0(bx)J0(cx)dx = — Db2 - c2O1/2cos (fj,arccos ^-) [6, с > 0; с ^ 26].
J 7ГС V ZO/
31. 1 - J2(bx)J0(cx) dx = I " H - arccos ^ - -^v^ - c^
11/1 с с
> — arccos — - —
0 I \ 7Г 26 462
0 < с < 26
0 < 26 < с
0 < с < 26
0 < 26 < с
32. [ x^1/2J2(bx)J0(cx)dx = I г \ ^^ (arccos 4" - ™4^V462 -с2)
J I 0 J тгу с V 2o 4o2 /
о
tStS. I Ж t/ д I uX ) — tJi^iOX ) tJи iCX J пХ :=:1 . Sill fJjTT i С — 40 )_i_ i i /л I —777 — J.
[b, c> 0; сф 26; | Re/i| < 1; Re v > -1/2].
2.12.43. Интегралы от Л(ж)^(^(ж))^(%(ж))Jv(cx).
1.
ж2 + ,
[а > 6 + с; 6, с, Re z > 0; Re и > —щ Re ^ > 2тг - 9/2].
2. ж^/4~мFж2
оо
. ж^/4Fж2)Л
—
/1 I а-1 т ( Ь\ т ( Ь i , , ,
4. ж Ja I — I «/и I — I Jv(cx) dx =
[м± = ±гс2/(86); 6, с > 0; Re i/ > -1/2].
[6, с > 0; Re i/ > -1].
0
(i/ + a-A-/x)/2
' - a + A + /x)/2 + 1, A + 1, /i + 1
1, +/i^a + F +1, A + l, /x + 1, ;
2 ' 2
' 4
хГ
i/ + 1, (a + A + /i + */)/2 + 1, (a - A
a + v + 1 a + + A + +
2 ' 2
a + A - д + i/
h 1;
V 1,
+ 1, (a + A - /x + ^)/2 +
a — A + /z +
1,
•1,
' 4
2 ' ' 2 ' ' 2
[6, с > 0; Re (a + i/) > -1; Re (a - A - /x) < 3/2].
2.12.44]
2.12. Функция Бесселя Jv(x)
207
5.
?)^Q^
_
[6, с > 0; |Re/x| < 1/4].
оо
о
=
oo
. f ж"+1 JM
Ab
8.
= — Db2 -c2)
[a, b > 0; О a + b; 0 < Re v < 2 Re д +5/2].
¦ z2 + bx\jv(ex) dx =
¦i п ( 1 о , 462 - с2 Л
[6, c, Rez > 0; c^ 26; -1 < Rei/ < Re/z].
Ju(cx) dx =
[6, c, Rez > 0; с ^ 26; Re 1/ > -1].
n
2.12.44. Интегралы, содержащие jj JUje
n ^ 4.
1.
сю
n f 1
. ж
2тгЬс \2' 2' ' 16&6c2
1 2i/ —1
o < 6 < с < 6л/з].
2тгс
3.
BcJ
/, i/
4. ж 7 J1/4(bx)J1/4(cx)dx =
J
0
7Г3/2 [3l/, I/ + 1/2
Г2A/4)
К
2c
[0 < 6 < с; Re i/ > 0].
[c, Re 1/ > 0].
[0 < 6 < c].
5.
dx = Ia
fe = l
[n = 2, 3, 4, . . .; cfc > 0, к = 1, 2, 3, . . . , n; cn >
- Re(i/i + . . . + i/n) < Rea < n/2 + 1; д = a
cn_i;
+ i/n],
/a =0
т(п-1) / /^ /x ...... -I .. , 1 . Cl cn^l \
I 17» 17 ~ I/«' 1/1 H- 1, . . . , i/n-i + 1, 3-, . . . , ^^ I,
П
[0 < Rei/n < Re(i/i + . . . + i/n-i) + n/2 + 1],
[a = i/n — i/i — . . . — i/n_i + 2w + 2;
-m - 1 < Re 1/та < Re i/n < Re (i/i + . . . + i/n+i) + n/2 - 2m - 1].
208
Гл.2. Определенные интегралы
[2.12.45
6-
jv(cx)dx =
bk, Rezk > 0; к = 1, 2, . . . , щ с > У^ bk
k=i
Av = 2"-1
^+2 =0
0 < Rei/
Rei/
(n + 3)/2
Т.
6fe, Rez > 0; к = 1, 2, . . . , n; с > ^bk; 0 < Re i/ < n Re /i + (те + l)/2 .
fe=i J
2.12.45. Интегралы по индексу, содержащие Ju±x(c) или JiX(c).
oo
. f e'"J.(c)dx = e'"'
J
^7T или a > 7Г
2. = 1/2
oo
f cosech (тгж/2)
3.
4.
sechGra^)/2
^2i cos (cch 6) 1
2sin(cch6) j
оо
И
о
cosech (тгж/2)
sechGra?/2)
E (с Т J-ix с
ficosfcchfe)!
[ sin(cchfe) J
oo
Г 1
6. cos7rxJx(cx)J^x(cx)dx = —-j^=^^
J 4v 1 — c2
7. I ~^r [cos ex Jx (ex) J^x (ex) — 1] dx =
oo
^oo
oo
Г
. j
[а = ж; О 0].
[b > 0; с > 0].
[6, с > 0].
[6, с > 0].
[0 < с < 1].
[с > 0].
ехр
2 cos E(
7Г ИЛИ p ^ — 7Г
2.12.47]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
209
оо
го. }
{;}¦
Ju^x(c) dx = <j ^ J» cos bJn+u I 2ccos -
Г Г |6| < -7Г "I
Li [6i =* 7Г/'
Im 6 = 0; Re (jj. + u) > 0 при [6j = тг; Re (/л + f) > -1 при |6|
11.
X 4F5
х+Л + 1, Л + /х + 1, /X + I/ + 1
ж + Л +/1 + I/+ 1 ж + Л +/1 + I/+ 1 ж+А-
+ 1,
X
ж+А-
[c > 0; Re(>
+ 1;
/) > -1].
2.12.46. Интегралы, содержащие Г(ж) и Ju(cx).
1.
„* + 2п-1/2
¦ Jv(cx) dx = 0
[с ^ тг; -1 < Re v < 2а - 2п - 7/2].
2.12.47. Интегралы, содержащие Ei (у?(ж))Ju(cx).
" с +V&^T^2
. f EI (-Ьж) Jo
J
= --In-
с
[с, Re 6 > 0].
оо
2. ж" Ei (-Ьж)Л(сж) dx = ——
ol + v a + и ol + v + \ ol + v
' 2 '
2 ' 2
Ъ
3. ж Ei (-Ьж)Л(сж) dx = — ( ^^^^^ -
J с^ \ у Ь2 + с2
о
4. I Ei f -- )J1(cx)dx = --
J V x J c
о
5. Ei (—bx ) Ji
о
оо
6. \ ж"^1 Ei (-Ьж2)Л(сж) rf.
1 I л С" (С
йж = --|С + 1п—-Ei[ —
[с, Re 6 > 0; Re (a + v) > 0].
[с, Re 6 > 0].
[с, Re 6 > 0].
[Re b > 0].
ХГ
2' 2'
7.
9
. жп
[Re 6, Re(a + i/) > 0].
[Re 6 > 0; Re i/ > -1].
[Re b > 0].
14 А. П. Прудников и др., т. 2
210
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.48
h Г
>)ы
еж)dx = —
exp (^z6 — z\/b2 + с2
\ "Т~ V I / V "Г
[c, Re 6, Re^ > 0].
oo
xa^ e x Ei (=p6ж)Jг/(cж) с!ж =
=-^(frr[a:r
a + i/] | cosec (a + j/)tt | (ol-\-v ol-\-v-\-\
^Л^Г" 2 5
/ 1 3a
3 4 2' 2
62V
+ ^r
a + i/
— а с
2' 2 ' 2 ' I
[c, Re 6 > 0; - Re v < Re a < 5/2].
11
oo
J Ж
El
Ida; =
i/Or/2]
2йA,1;2-^,^ + 2;4
6
2 ' 2
[c, Re 6 > 0; - Re i/ < Re a < 5/2].
12
13
. [ a^+V*2 El (
J
da; = ^
El (^
. [ же6ж
J
о
oo
14. ж In ж El (~6ж )Jo(cx)dx =
) da; = \ exp ( ^
2b V 46
1 exP ~r
У46У
[с, Re 6 > 0; -1 < Re i/ < 1/2].
[c, Re 6 > 0].
= л ln wr " El [-71
6 1П^
15. f
J
lnV
с [ 46
EiU
6
[Re 6 > 0].
[Re 6 > 0].
[Re 6,
2.12.48. Интегралы от ха\
oo
L. si Fж) Jo(cж) dx = ^< >-
J [ 0 J с
— arcsin -
с 6
i < с < b
i < 6 < с
2.12.49]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
211
J {ci(bx))
[b, с > 0; - Re v < Re a < 5/2 при 6 ^ с; - Re i/ < Re a < 3/2 при 6 = с],
b a v /c\ vr[a + f] / sin [(a + v)k
a + t/\2/ [ v + 1 J \cos[(a + i>)v
x 3F2
/2]
/2]
v а + и ct + и
[0<c<6],
U = —
1 , /a + u\ 1 , f и — a
2 V 2 / 2 V 2
Ida = -- Si —
с V 46
3. fsI(&x2)J
0
oo г / 2 \
4. | ci Fж2) J{1±1)/2(cx) dx = -c ci (^ j + Щ С
2
In у
[6, с > 0].
[6, с > 0].
5.
ciFa;2
{sin [(a + ?/)тг/4] 1 (ol + v a-\-1/ a + i/ + 2 1 i/+ 1 i/
cos [(a + i/)tt/4] j 3 4\4' 4' 4 '2' 2 ' 2 '
a +
4 ' 6462
{cos [(a + i/)tt/4
sin [(a + ^)тг/4
6. ж
ci Fж2
2 ' 4 6462
2 / sin y? 1
c2 \ 1 — cos (p j
3
1; 2'
[6, с > 0; - Re v < Re a < 5/2].
); 6, OOl.
2.12.49. Интегралы, содержащие < > и
[егГс(^(ж)) j
, Г f erf Fж) 1 F . ч , 1
L 1 f /к \ ?Л(сж)с1ж = -
J [ erfc (bx) J с
о
oo
2. I ж"] л \, { >Л(сж)с/ж =
с ( с > 0; I arg6| < тг/4
arg 6| < тг/4
Г /O0; -l-Rei/<Rea< 3/211
arg6 < 7Г/4, < , > .
L I Re(a + i/) >0 /J
14*
212
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.49
з.
с2 тг Г О 0; -1 < Rei/ < 1/211
462' larg I 4'1 Rei/ > -1/2 jj
4.
5.
' 462^
[с > 0; Re и > 1/2; |arg6| < тг/4].
С2\_ /с2
ехр "
. J
0
00
. f
8. ж°
о
erf FЖ) J3/2(Ca;)
erf (^
1ж = /n
[Rei/ > -1; |arg6| < тг/4].
[с > 0; |arg6| < тг/4].
[с > 0; |arg6| < тг/4],
OO
172 erf
. Ll тг Г -1/2- Re I/ < Re a < 3/2 1
OO; |argb|<1,| ^ + ^ > q |j .
1\ / 115 64
^ 2F1 1/+-, -; -;
2/ V 244 c2
OO
10. f ж1//2егГс(ЬУж)Л(сж)с1ж =
2"+1с1/ГA/
11.
0
[с > 0; -1/2 < Rei/ < 1; |arg6| < тг/4].
1 1# 5ш i"
2' ^ 4' 4' I
[c > 0; Rei/ > -1/4; |arg6| < тг/4].
[|argc| <тг/4].
12. J^erf (А)Л(
О
2 '
/1 3 3-a-
iF3(-; -,
13.
2' 2' 2 2 ' 4
c , ч > Jo (еж) <ix =
erfc Fж) j
2 2 ' ' 4
[c > 0; | arg 6| < тг/4; - Re v < Re a < 5/2].
[c > 0; |arg6| < тг/4].
2.12.49]
2.12. Функция Бесселя Jv{x)
213
14.
[ erfc (bx)
i
( i\ cv Г(а + 1/)/2] Г tg[(a + i/Or/
= I 1 I 2l/+1ba+1J \ и + 1 I sec \(a + и)тт
J
1 . 3-a-i/ 3 - a +
2 2 ^462
[c> 0; | arg 6| < тг/4; - Re i/ - A ± l)/2 < Re a < 5/2].
. | xe*"* erfc (to) Jo(
16. xve x erfc (bx)Ju(
о
oo
17. x е ж erfc Fж) Jv(cx)
- ^ exp f ^Л erfc (^
exp
[c > 0; |argfe| < тг/4].
rt2
/ —1//2, i//2
dx =
[c > 0; -1/2 < Re i/ < 3/2; |argfe| < тг/4].
1
18.
[c> 0; -1< Rei/ < 1/2; |arg6| < тг/4].
-Ju(cx) dx =
fil c1" ra + i/]ftg(a + i/Orl [ a +1/ a + i/ + l <
1 I 1 1 I 2 -* 1 I I ^ H~" 1 i
erfc
i }2a/2c3/2"ar[Bi/ + 2a-3)/4] ^ /3 5 7 - 2f - 2a 7 + 2i/-2a# c2
4' 4' ' 4 ' 4 ' ^?
[c > 0; -Rei/ - A± l)/4 < Re a < 2; |argfe| < тг/4].
19. ^
J
0
6 ffi [erf (*6ж + d) +erf (*&ж - d)]J0(ca;)daj = Trierfc(d) [2bd > с > 0].
***
20. — e^6 ж [erf (гбж + d) + erf (гбж - cf)]Л(сж) ^ж = — e z erfc Fz + d)Iu(cz)
J ж + z z17
0
[2bd > с > 0; Rez > 0; Re i/ > 5/2].
00
21. жа™ < > erfc (bx) Jy(cx) dx = -.
J [ cos ex J (a +1/
Bc)
'+8
x Г
4F4
4 ' 4
, e 1 a+F+^
22. [erfFaj)Jo(cx)Ji(ca;)da: = ^-2F2(i i; 1, 1; -^ j
J 2c \2 2 0^ /
¦ l;-f
arg6| < тг/4].
[с > 0; |argfe| < тг/4].
214
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.50
оо
23. Г erf'с (bx)Jl(cx)da
ь-2-1^
X 2F2
. Г
24. Г ж21/ erfc
) dx =
1)тг641/
+1
L' ~ь*
' + 1/2
()
[Rei/ > -1/2; |arg6| < тг/4].
arg6| < тг/4].
25. } «-* erfc F.)
¦1,
и + 1 а +/i + i/+ 1 a
+1; -^2 ) [Re (a +/i + i/)
тг/4].
26.
erf I —
x
i-a)/2, C-a)/2
1 a 3 3- a 3-a 3-a f2
[c > 0; -2 Re i/ < Re a < 2; | arg Ь| < тг/4]
2.12.50. Интегралы от ха
[6, с > 0; -B± l)/2- Re v < Re a < 3/2 при b ф с, -B ± l)/2 - Re i/ < Re a < 1 при b = c],
'cos[(l-2a-2i/Or/4]l
A - 2a - 2i/)tt/4] J X
^2a + 2i/ + l 2a + 2i/ + 3a + i/ ,a + i/
г <
c .
1; p ) +
[0 < c^ 6],
~
Bi/ + 2a + 28 + l)/4l
B!/ - 2a - 2<5 + 3)/4J
. f
J
rzlIj-^F^arccosn'^l [0<6<c]-
= с2/D6); 6, с > 0].
2.12.52] 2.12. Функция Бесселя Jу(х) 215
о
(а + I/ + 1)/4] Г cos [A - а - 1/)тг/4] 1
i/ + l \ \ sin [A - а - 1/)тг/4] j
'9' 9 ' 9 ' А '
Zi Zi Zi 1
'}
cos [A + a + j/)tt/4]
sin[(l + a + г/)тг/4]
3 i/ _ */ + 3
4 ' 2' 2 ' 2 ' 4 ' 6462/
[b, с > 0; -2 =p 1 - Re i/ < Re a < 3/2].
5.
sin (p
0 V ч 'J ,--... > . f^ = c2/D6); 6, с > 0].
2.12.51. Интегралы, содержащие ^ /v
1 ж""
о
X
fl|2^ Гм,; fc,Re6,Re(a + , + l/)>0/}l.
\0J a |()/2 + lJ L l Н(а + г/)>0 /J
2т ;г^
х 2F2
2 'M+ 2 'F + 1' 2
, ч f с, Reu > 0; Re a < 3/2 1
Re 6, Re(a + i/ + 2^) > 0; I ' Fx ' ч ' \\.
I Re(a + i/) >0 JJ
3. ж" i/+ -, 6ж^ )Ju(cx)dx = y—cu~lerfc -^ [c, Refe > 0; Rei/ > -1/2].
о
4
/ 2 \
. f «"""S^ + l, 6ж2)Л(сж)с1ж = ^2^l/^1cl/EI f-|- J [c, Refe>0; Rei/ > -1].
5. ]х^П-„, b^)Mcx)dx = -^f exp (g) Ei (-J
[c, Re 6 > 0; Re i/ > -1].
2.12.52. Интегралы, содержащие DfJl((p(x))Ju(cx).
. f ж"^1е±ь2ж2/41)м
i/ + 1
216
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.12.52
X2F2
а + и + 1 3±1
,
H*-lfcM
. ,, , , ч , Г с > 0; -Ret/ < Re а < 3/2 - Re/xl
arg6 <B±1 тг/4, <^ o/^wn fh
I Re (а + i/j > 0 J J
oo
2. \ x"eb2*2/4Dll(bx)Ju(cx)dx = Ip
[-1/2 < Re v < 1/2 - Re /х; | arg 6| < Зтг/4],
^)D-2"-1il) [Re, > ^1/2],
I-2u =
c
[Re, > -1/2],
be"
OO
. f x"+1eb2x2/iDfl(bx)JI/(cx)dx = J»
[-1 < Re v < - Re ц - 1/2; | arg 6| < Зтг/4],
,2
J-2u-l =
oo
smi/7rrBi7 + 3) / c2
—^n—«рЬ
Л(са;) da; = /M
с
46^
[Re i/ > -1],
[Re i/ > -1/2],
[-1 <Reu < -5/6].
[Re i/ > -1/2; |argfe| < тг/4],
2
2^ + M)/4,B^™^)/4 7
262/'
5.
262|/ COS 1/7T
J = c%/
217+1 262-+1cosi/7Tl
' Dfj,(bx) Jru(cx) dx = ,
exPl~i^»M^
[Re i/ > -1; |arg6| < тг/4],
252 /'
2.12.52]
2.12. Функция Бесселя Л (ж)
217
1 COS УК
exp (-
з _г__
2; 5 262 i'
в.
zb
2
62с2
X 1F3
' 2'^ 2 '
+ a-l)/2
C + i/-a)y
Rea<~;
2
oo
2/1^3 3-a-i/ 3 + i/-a 62c2
~' 2' 2 ' 2 ' ^"™
B±1)тг Г c>0
4 ' \ с > 0; Re (a + ^ - A*) >
ex) ax — 1ц
[Re i/ > -1/2; |argfe| < тг/4],
OO
(еж) dx = JM
[Re и > -1; |arg6| < тг/4],
л, =
oo
J ^c
0
00
10. Г Du-1(^bx)Dv(±bx)JQ(cx)
|arg6| <тг/4].
dx =
218
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.1
(-1)
оо
11. Dn(bx)Dn+(T(bx)Ji~(T(cx)dx ¦
оо
12. Г xa~1D-IA-1{by/x)DIJL{by/x)Ju{cx)dx
n + cr + 1
[a = О или 1; | arg Ь| < тг/4].
13.
14.
4F3
2 '
a + /л + i> a + v — /i + 11 4c:
' 2 ' 2 ' ~"&2
[c, Re (a + u) > 0; | arg Ь| < тг/4].
AC2
b2
ib
-1/4
/b4 + 4c2
2c
[6, с > 0].
15.
'-1/-1/2
16. | x1/2Dv.
v.1/2
2c -
[6, c> 0; Rei/ > -1/2].
(i/+ 1/2)
[6, с > 0; Re i/ > -3/4].
[с > 0; |arg6| < тг/4; Re i/ > -2].
2.13. ФУНКЦИЯ НЕЙМАНА Y»(x)
1 3
При и = ± —, zb —, ... функция У1,(ж) сводится к элементарным, в частности,
2 г cos еж '
^ . ч /if cos еж 1
У±1/2(сж) = =Fi/ 1 . f-
7 V ттсх I sin еж J
При вычислении интегралов от У„(ж) можно использовать формулу
Yu(cx) = Г«Л/(сж) cos i^tt — J_b
Sin 1/7Г
2.13.1. Интегралы общего вида, содержащие
\v ф 0, ±1, ±2, ... ].
Yy {ex)
[a, r, Re/3 > 0; Re a > |Rei/|],
2тгг
¦Г(/3)
{'
2.13.1]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
219
(a - и + 2k)/i
[i/ф ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
*сгC~г
x Г
2жг
(а + п + 2&)/г
2 / « + П + '
-0Г/г + 1) + t/>(n + к + 1) + -ф\в-{
г \ г
2e
2.
a, r, Re^ > 0,
Ы
Г Re (a + r?) < r + 3/2; с > О
1
X
Re с > О
= 1 /c
11 } 2ttV2
cos [(i/- a
тг/2
г!)тг/2]
i/ + a - r(l - /3 + I)\ /a - у - r(l - C + I)\ /acyl
[и ф . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ; rl - 2k - а - j3r + г ф и, -v\ к, I = О, 1, 2, . . . ],
2тгт I 7Г J -z—^ А?! V 2 / ^—^ ж;—^
v ^ Lfc=O m=0 J 1=0
27ГГ
2/
acl /ac\2
„а-1 f v
Yu(cx)
[rl - 2k - a - rC + г ф п, -щ k, I, n = 0, 1, 2, . . . ].
(Re (а -г о) < 3/2; с > 0
г > 0; Re а > Re i/ ; r arg z < тг, <
[ Re с > 0
2fc ~
1=0
т.
V
1 V" (^
'to
Г(
=1) Гс
A! L fe(
X
2тг1! (rp + rl — a)?
х Г
a — v — rp
cos \(y — a + rp + г!)тг/2] 1 /cz\r'
2 Л тг/2 | V 2
\rl
[i/ # . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ; rl - 2k - a + rp ф и, -v\ fe, / = 0, 1, 2, . . . ],
220
Гл.2. Определенные интегралы
[2.13.1
k\
m^ V* 2
ф
r
2га + п г
2
4.
r-yr\Kl/
cx)
+
, ,-"¦?(?)
[rl - 2k - a + pr ф п, -щ k, I, n = 0, 1, 2, . . . ].
Л г» о i [Rea <г + 3/2; с>0
г, у > 0; Rea > Re i/ , ^ 7
I Rec>0
t, + a-r-rl
cos [(i/ — a + r + г!)тг/2] 1 / cj/ \H
,г/2 /Ы
[i/ 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ; rl - 2fc - a + r 7^ i/, -i/; A;, / = 0, 1, 2, . . . ],
J +lD
fe!
(Tl)m
+ n + 2m
2 J m!(m + n)!Bm + n)^
x \ф(т + 1) + -0(n + m + 1) H
[
cosec 2 тг — 2 In — I -^-
г г 2 J \ 2
cosec 2тг 2 In I I
n + 2то г г 2 J \ 2 /
[rl -2k - a + r ф п, -щ k, I, n = 0, 1, 2, . . . ].
5.
г, Rep > 0; Rea > |Rei/|,
с > 0
Re О О /J'
(=Fl)*
1/rY
J
[г > 1; I/ ^ • • • , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
W"
+
[r > 1; n = 0, 1, 2, ... ],
2.13.1]
2.13. Функция Неймана Y^jx)
221
??0 k\(kr + a)
У„@) при г = 1 см. в 2.13.6.3, 2.16.6.3.
„ f a_i
6. ж е
J
Ku(cx)
dx = Zu(
r, Rep > 0,
2гр
Rea<3/2;c>0
Rec>0
F (,A=
(-l)e /a+i/-fl\ /a-i/-H\ / cos [{a - и -
a - и - г/)тг/2] 1
т/2 J
Г
[i/ 7^ . • • , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ; rl - 2k - а ф и, -и; к, I = О, 1, 2, . . . ],
Gm =
2е ^2Ыср^}(ср^2т
г ) п + 2т 2 !\ 2
[rl - 2к - а ф п, -п; к, I, п = О, 1, 2, . . . ].
7. \xa-1
J
6, c, r > 0; |Rei/| - <fr < Re а < 1/2 +max (r, 1), <S =
О/ '
л (u\ =
к{ }
fe = 0
{2кУ
sin [(a + 2fc - 1/)тг/Bг)]
г > 1; v ф . . . , -2, -1, О, 1, 2, ... ],
sin [(a
2bl/r
f/
"
^
^fe! A/2
— a — Jr —
[r > 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
г \
+ J X
j^)
t/«/G, 0) при r = 1 см. в 2.13.8.2, 2.16.14.3.
222
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.1
8
о.
{cos ох
0)
6, с, г, Rep > 0; Re a
Re i/1 - re, 8 =
,2ife
x cos
p en
2 2
[r > 1; |c|2 < |62 +p2| приг = 1; i/ 7* ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
v = _
2ч-(а + п)/Bг)
/b2 + p2 2
2fe + n
2 p /a + n + 2fe p ?тг\ . с
— arccos —. tg arccos —, — I — In
x
2) 4F2+p2)Vr_
r > 1; |c|2 < \b2 +p2| при r = 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
a + и + rk\ ^ (a ^ и + rk
— a — rk
x cos к arccos
V
P Sir]
+ p2 2 A
[r < 1; |c|2 > |62 +p2| приг = 1].
9.
с, r > 0; I Re i/| < Re а < 3/2; W
-2к-<хфи, -v; k, l ф 0, 1, 2, . . . , 1 '
< 7Г
> 0
feW=VT
1=0
cosec \(a — v -j-
v — a + r
• + 1) 2
хГ(
• 7Г X
2 ^cos'-^-тгх
[i/ ^ ..., -2, -1, 0, 1, 2, .
2.13.1]
2.13. Функция Неймана Уу(х)
223
Hf.
?
1=0
ml (m + га)! Bm + га + a)Brra + га)
a + 2m + n 2m + n
27ГГ ctg[(a +
r \2cosec[2(a
2 J V 2 J L~ — 0, 1, 2, ... j.
10
oo
. Г ж" ^(Ьхг)У„(сх) dx = Uv(l, 0)
0 [6, c, r > 0; |Rei/| -rRe/i < Re a < (r + l)/2 + max(r, 1)],
[Ek(u) + cos- v* Ek{-u)\
2l/r
[r > 1; v ф . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
jfc!
Ьг/Г
— n — a — 2k
[r > 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
17 l7' j -
A;!
x cos
п.
a — и + fir +
rk
f/i/G, 0) при r = 1 см. в 2.13.15.4, 2.16.21.1.
c, r > 0; Re a > H Red + I Rei/|,
6 > 0, Re a < (r + l)/2 + max (r, 1)
Re 6 > 0
2l/r-]
224 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.1
''у cos [(а + 2к-1лг- «/)тг/Bг)]
X 1 | — J1 \ — | [Г > I, I/ jfc . . . , -^, -1, U, 1, ^, . . . j,
2
r/g + 2fc^/ir + n\ f cos [(a + 2к - fir + п)тг/Bг)] 1
V 2г Д 1 /
+ 2fc + fir +
2г
а + 2fe — дг + пл
[Г > 1; П = 0, 1, 2, . . . ],
г-16ч2*
X Г( ^— +rfe] cos7 7Г [r < 1; д 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
\ Zi / Zj
nr i , \ m oo
±2 b) V ^^ T(a + l/ + mr + rib) x
r J ^k\( + k)\( + + 2k)? \ 2 )
/ a — и
1
2er
mr 1
hfej cos7
,/al^ + mr \ ,/a-i/|mr \
"" Г W I о hffe —7*^4 h rfe 1 +
2rk + inr + а
[г < 1; m = 0, 1, 2, . . . ],
7T + 21n
Up, „in, 0) при r = 1 см. в 2.13.20.2, 2.16.27.2, 2.16.33.1.
12. f xa~1Ei(-bxr)l Y?(°X\\ dx = Uu@) \r, Reb > 0; Rea > | Rei/|, I C>° n,
J I Ku(cx) \ I [Rec>0jJ
о
A
с ) {l-v)k{v-a-2k){2k-vY \ r
[r > 1; i/ ^ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
2.13.1]
2.13. Функция Неймана Y^jx)
225
k\
с! (п + к)\ (а + п -
[r > 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
x
a - i/ +
К cos [(a-i/ + rJfeOr/2] 1 / 2r6
>а^2 'ol + v\ fa - v\ /cos[(a - ^)тг/2] 1
2 /V 2 / \ тг/2 j
^@) при r = 1 см. в 2.13.28.1, 2.16.57.1.
oo
13. Г ха^ге±ЬхГ El(^bxr)Yi/(cx)dx = Uv(l, 0) [c, r, Re6 > 0; |Rei/| < Rea < r + 3/2],
fe=0
fc^i/\ Г cosec [(i/ - a - 2^)тг/г] 1
Д ctg[(i/-a-2A;Or/r] JJ
fe!
r - ay l V
_./a — i/ — r — rA;\ ^a^i/^r^rfe
x Г cos7 —
2 ) 2
[r > 1; i/ ^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ; г1-2к-афи, -v\ k, 1 = 0, 1," 2, ...'],
п(Ъе) =
7Г-
ctg [(a + n + 2^)тг
27Г f ctg [(
a + n + 2^)тг/г] 1
[2(a + n + 2ifeOr/r] j
[r>l;n = 0,l,2,...;rl-2t-a + r/n, -n; fe, / = 0, 1, 2, . . . ],
15 А. П. Прудников и др., т. 2
226
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.1
х cos7
Го//. , 1Х , 2ег (а + у + гк
тг 2ф(к + 1) + —¦—- - гф
+ jrwtg
+ rk T\ 2
a — и + кг
а — у + гк
2
к
14.
2 2ГЬ\\ ст
Uu(i, 0) при г = 1 см. в 2.13.28.6, 2.16.57.4.
Y( Пф\ Игр I/ (Л С\\
I/IL-Jy I и>%Ь — V у I -L , U J
, с, г > 0; | Re v\ < Re a < 1/2 + г + max (r, 1); S =
+
[г < 1],
и '
L— а/г
fc7
k=0
\ с
f sin[(a + 2fc-i/Or/Br)l 1
[ cos [(а + 2к - и)ж/Bг)] j
> 1; // ^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ,
fc=O
26!/r
к\ (п + А;)! (а + п
sin [(a + 2Jc + п)тг/Bг)]
2е
2ife-
2 2
2fc
[г > 1; п = 0, 1, 2, ... ],
(-1)*
^ А;! A/2 + 6)кBк + J)(a + ёг + 2rfe)?
х cos7
а — v + Jr + 2гк
^
тгГ
hrfe Г
а — и + <5r
?i С / Л L 1 tx п^ С/ / I
а — i/ + <fr
х cos'
2
- i/\ ~ а - i/
v , (а. —
угж а ¦— и Л сг
tg тг - In ,
2 2 2ГЪ\
Vv(n, 0) при г = 1 см. в 2.13.29.1, 2.16.58.1.
г > 0;
тг/4; Rea > | Rei/| - A ±
Re а < 3/2; с > 0
О 0
2.13.1]
2.13. Функция Неймана Y^jx)
227
F
k
[r > 1/2; и ф ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
-yc\n
{-if-yc
+
[r>l/2;n = 0,l,
e) =
_
x Г
Z
16. | ^-'
О
VA*1, 0) при г = 1/2 см. в 2.13.30.1, 2.16.59.1.
1(сх)<1х = Х„A, 0)
6, с, r > 0; | Re i/| - B ± l)r/2 < Re a < 3/2; <5 =
L-a/r
7г
-I/ + 2k\ ( sin [(r + 2а - 2i/ + 4А;)тг/Dг)]
г J \ cos [(г + 2а - 2i/ + 4А;)тг/Dг)] /'
^^ rf Q + l/)rf Q ~ F) cos7 ° ^ ^ тг [г > 1; I/ ^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ],
а)?жса \ 2 J V 2 / 2 L ' ^^ J'
/1
V2
х 'i « + n + :
2 г
sin [(r + 2a + 2n + 4А;)тг/Dг)]
cos [(r + 2a + In + 4А;)тг/Dг)]
2 2/1
0U+
2
2A;
15*
228
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.1
г + 2а
4г
¦ тг - 2 In
[г > 1; п = О, 1, 2, . . . ],
v W? ?J —
/2
X COS '
а — и + гб г
'1 + 28+ Щ
: + и + г J r
2 ' I + rfcM 2 +-4+rk)x
x 1
(a~U-
[г < 1],
17. J х-
О
y bx
V 2
Х1/G, 0) при г = 1 см. в 2.13.31.1, 2.16.60.1.
Yu(cx)dx = У„A, 0)
, Г Re /i > 0; Re a < 3/2]
с, г, Re 6 > 0; Re (а + ru) > Rev\, I ' }\,
1 Re а > |Rei/| JJ
1] 2°
с J {l-v)k{y-a-2k){2k-u)
а + i/ а — i/i ~ a. — v
(-а)?7тса
¦rU
-2, -1,0, 1, 2, ...],
A;!
^
ф(к + n
_
^ / a — i/-\-ur-\-kr\ у a — и + ur
x Г ( ^ I cos7 ^
с ч2*1
26^i )~Bn
[r > 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
2rb
I j а?жса ' Г7 2 ' 2
KG, 0) при r = 1 см. в 2.13.32.1, 2.16.61.1.
oo
18. Г ха~ге±ь2х2г/4Df_l(bxr)Yt/(cx) dx = Zu(l, 0)
| Re i/1 < Re а < 3/2 - r Re fi 1
C' Г ' ^ |Rei/| < Re a J
, |arg6| < B±1)тт/4
2.13.2]
2.13. Функция Неймана Y^jx)
229
Tzrr
жЬа'гг
00
Е
2A;
^ к\ Bгк — иг — а)?
X COS'
/a + iz + мг \ /a
4 2 ) \
2r
[r > 1/2; i/ ^ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
Е-
fe=O
к\
У \
r±i I iTl _ a + n + 2k±rt
2r
[r > 1/2; n = 0, 1, 2, ... ],
^G, 0) при г = 1/2 см. в 2.13.33.3, 2.16.62.3.
2.13.2. Интегралы от ха(х + z)^Yv{cx).
oo
1. I Yu(cx)dx = --tg^
J С А
[c>0; |Rei/| < 1].
2
2.
оо
x = 0
[c > 0; |Rei/| < Re a < 3/2].
[c> 0; |Rei/| < 1/2].
230
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.2
4. [ —^ Yv (еж) dx = -^— [Е„ {cz) + Yv {cz)] + 2 ctg иж [3V {cz) - Л {cz)}
J x + z sin уж
0 [с > 0; | Re И < 1; |argz| < тг].
5.
da; = H0(cz) - yo(
[c>0; |arg2:| < тг].
6.
«»
X + Z
2
7. Yv{cx)dx = z^^i -
J X + Z [2
8.
2 \ 2 J \ 2
[c > 0; | Rei/| < Re a < 5/2; | arg^| < тг].
1 — H^(cz)] cos i/7iT(l — ,
? -1 (C*)l
[c > 0; -3/2 < Re и < 1/2; |argz| < тг].
¦ Yu(cx)dx = - - cosi/Trr x
V2/ тг [ p J
и + 1
a + i/ — p 1 + a + v — p с z
2 ' 2
.r.">P-" + ">"-"|x
_. /a — i/ a. — v + \ . . a — p — и 1 + a — p — и с
x 2FS( ^5 ; l-i/, 1 + 1 , ^ ; ^^
2.V27 C°S 2
p p + 1 1 1 , p-v-a
1 +
2tt
9. 1 Yl/{cx)dx =
2 ' 4
[c > 0; |Rei/| < Re a < 3/2 +Rep; \argz\ < тг].
¦y4ci/)]+27rctg%7r[.
[с, 2/ >0; |Rei/| < 1].
-in
- У (OL-V
. тгГ I
2 '" V 2 /'I 2 |^-<*,"(с2/)|
[с, у > 0; | Re v\ < Re a < 5/2].
11.
x у
21~v 1
+ nJv{cy) cos?/tiTA - 1/Mх/-1 i/(су) > [с, у > 0; -3/2 < Re v < 1/2].
7Г J
2.13.3]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
231
12. У^сж^ж = yh
х —
о
2.13.3. Интегралы от xa(z2±x2
j2 /«с
[с, з/ > 0; -1/2 < Rei/ < 3/2].
Г 1 тг
1- I 2 _ 2 Yu(cx)dx = -
о
2 /сьс
[а > 0; |Rei/| < 1].
2.
¦ ctg рж X
' '
2 ' 4
, i/, (a - i/)/2l (a-v
jlF4
'^
[а, Re/З > 0; Re а > |Rei/|].
а
4.
da: = а^
а
,. j х (а
[а, Re/З > 0; Re v > -1].
cos 1/яТA — y)Sp+v-i,p-v (ас) —
[a, Re/3 > 0; Re i/ < 1].
2 4 2 / 4 2 )
[a > 0; Re^ > -1/2].
а
Г ж1~~|/ / ж
3. —===¦ У!у(сж) йж = а1'2^1" J^ {ctg 1/тг[Н1/_1/2(ас) — У1/_1/2(ас)] — ^-1/2@0)}
0 [а > 0; Rei/ < 1].
Г xy+1 a ^F
7. —===Yu(cx)dx=— a — [cos i/TT^+1/2(ac) ^ H^^^i/2(ac)]
J V« — Ж2 Sin 1/7Г V AC
8.
[а > 0; Rei/ > -1].
[а, с > 0].
7 « + I/+2
-к а —1/ 2 2\/3 — l\s / \ j a
I. ж (х — а ) Yu(cx) ах = —.
ctg vn x
х ГГ '
!
с/ 2тг
а <
2 '
4 / + 2тг
232
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.3
10.
11.
12.
оо
\хиЛ
а
Ix1-
а
оо
\хг-
а
оо
Г V{
\
.-ft2-0-^,2-/J+^;-^
[а, с, Re/З > 0; Re (а + 2C) < 7/2].
¦ = % Г(/3) [sin /ЗтгЛ+/3 (ас) + cos/ЗтгУ^+д (ас)]
ср
[а, c>0;0<Re/3< C - 2Rei/)/4].
da; =
ж = -^ГA/+ - Jc^17^1 sin ас [а, с > 0;
утг V 2/
[а, с > 0; 0 < Re^ < B Re v + 3)/4].
1/2].
dx = 2v-2a2
[а, с > 0; |Rei/| < 1/2].
dx =
15.
16.
¦ Yu{cx) dx = J^ аУ
[а, с > 0; |Rei/| < 1/2].
[а, с > 0; Rei/ < 1/2].
Yu(cx) dx = ^ sec Ц- у ^ tg
17.
18.
2 ' 2 ' 4
Yv{cx) dx = --sec— Kv/i — А-,,/2 —
[c, Rez > 0; |Rei/| < 1].
[c, Rez > 0; |Rei/| < 1].
19.
20.
ж2 + z-
¦ Yy(cx) dx =
da; = ±^1/
2 2 4
OL ~\- V О — I/ ____о (% — V
- cosec 7г ctg тг/j/ (cz) — za cosec тгКи (cz)
[с, Re z > 0; | Re v\ < Re a < 7/2].
iz) -Iv(cz)\ ^2Kv(cz)}
[c, Rez > 0; -5/2 < Re i/ < 1/2].
[c, Re z > 0; -B ±l)/2 < Re i/ < C =F 2)/2].
2 COS 1/7Г
2.13.3]
2.13. Функция Неймана Y^jx)
233
2 ' 4
/c\2P~a 1 (v-ol
p
V — OL С
,2 .,2
—,
[c, Rez > 0; |Rei/| < Re a < 3/2+ 2 Rep].
oo
- J
' 4
2p sin
^P
¦ ГA - p)[/I/_p+i(c2;) - 2cosp7rArv_p+i(cz)]
[с, Rez > 0; -1 < Re i/ < 2 Rep - 1/2].
24.
+ Z1
—
7ГС
- ecz El (-
[c, Rez > 0; 1/2 - 2 Rep < Re i/ < 1].
cz)] [c, Rez > 0].
25.
К (ex) dx = ^{M
[с, у > 0; |Rei/| < 1]
27.
X — у
7Г?
2 sin i/TT
, „,5„ ctg,
тг J-u (су) [с, 1/ >0; |Rei/| < Re а < 7/2].
1 — Г —1^
Ju(cy)-2U K~ }— V{u + 1M-^-1
7Г
[a = 0 или 1; с, у > 0; -A + a)/2 < Re i/ < E - 2<r)/2].
[с, у > 0; -5/2 < Rev < 1/2].
234
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.4
2.13.4. Интегралы от А(х)Уи(сх).
ь
1. (V^[F2 ^x2)(x2 ^a2)]1J^1/2yi/{cx)dx =
Т^1 ^„2 2ч„ / . 1\ , /Ьс + ас\ ж /6с-,
[а, 6, с > 0; Rei/ > -1/2].
2.
4-
иг
X 2
AГ
. у- \i-ol
Sin
7Г1
2тг 2 V 2
1 + /х 1 — М S — fi — а — у 3 — /х — а
2 ' 2 ' 2
¦ fi — a
2тг
- cos -
¦2г-
cos 1/тг cosec
2
г; 4
х Г
— I/, 2г — а — /х — I/
1 - М - (а + i/)/2, 1 - (а + i/)/2
г,
х 2F3
2 ' 2 '
Г
2
14 —I/ —2Г
2 2
/х + а + у с z
2 ' ^Г
у аи
-,^-; l-i/,
а-\-fi - у c2z2
,12r+;
[г = 0 или 1/2; с, Re z > 0; | Re v\ < (Re a + /z =p /x); Re (a + /z) < 2r + 3/2]
3.
(
[c, Rez > 0; | Rei/| < 1 =F
4.
4-
X Z^^^ COS -
U 1=F
— г х
+ a zb
; T
x cos i/TT cosec
x 2F3
- 2zr^'
2г — а — i/=F/x| а
l^r+(a + i/
. а + у±
2 ' 2
2 5 "T
2.13.6]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
235
2r + v - a =p /x
cosec 7Г x
l - r + (a - i/ T /-0/2, 1 - r + (a - i/ t /-O/2
v ol-\-\ — v a. — v ± u,
11+Ё1
5.
/ж2 + z2 ±x
[r = 0 или 1/2; с, Re^ > 0; |Rei/| < Re a < 3/2 =p Re/i + 2r].
(cz
(-„irO/2 (y) ^(^tm)/2 ( y) [
6.
Sin 1/7Г
(ж + i/ж2 — a2 )M + (ж — л/х2 — a2
[c, Re ^ > 0; I Re i/| < 1; ± Re /x < 3/2].
2.13.5. Интегралы от
oo
1. xa~1Y0
ж
2 a7r
dx = —cos^—
тг 2
-2 / \
0
J \b + ax J
[a, с > 0; |Re/x| < 3/2].
[с > 0; | Rea| < 3/2].
[c > 0; I Rea| < 3/2].
= тг[^/2_а(а)Л/2+аF) - VI//2_a(a)yi//2+aF)] [a, 6 > 0; |Rea| < 3/2].
2.13.6. Интегралы от xae~px'nYlJ(cx).
-I Г -pxi/ / \ i / 2 , 2\—1/2 \ V , / / о ! 9" . 4—^ ^ / / 9 I 9~ i 4^
1. e Yv\cx) dx = (p + с ) ! с ctg уж\\/pA + cz + p) ; (v P + c + P/
J I olil is si I
[Rep > |Imc|; |Rei/| < 1, v ф 0].
2.
2 , P + V P2 +
¦ In
[Rep > |Imc|].
J. f жае"р{ВУ1/(
Rea > |Rei/|; Rep > |Imc|; fe = 2/2(V/P2 + c2 +pI/2/(p2 + c2
2 ' 2 ' +l/' ~i
2 ' 2
sin атт Г (a — v)
ж sin (a + i/)tt (p2 + c2)a/2
236
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.6
/р2 + с2
с2)"а/2
Г(а
/р2 + с2
VP2 + с2
Г(а - v) „
¦* а-1
- to =
sin иж
: + с2)
2 |р
с 1 Р+ '
¦ In
гб/2 _ 1 {№-!)*
/о -V тгр^ ^
Bfc2 - IO
4 V тгр7
[2B3 -
тгр*5
— E — 8Aj
г) - C1 - 144Jb2
- IM
4^
Bk2 - IO
x [C -
[A - 1г2)A - 8к2)Ж(к) - A - 16^2 + 16А:4)Е(А;)],
- C -
x [B + 5k2 - Sk4)(l - k2)K(k) - 2A - 2^2)A + 4k2 - 4A;4)E(ife)],
,7/2 = 1 Bk* -I?
2 4к2Aк2)У жр7
х [B + 15Jb2 - lUk4 + 128Jfe6)(l - к2)Щк) - 2A + Ik2 - ПЪкА + 256Jb6 - 128А;8)Е(А;)].
оо
4. егржУо(сж) dx = ^^^^^ arcsin — [0 ^ р < с].
J тг^с2 - р2 с
О V ^
1 2г р — \/р2 — с2
5.
6.
^ПМ dx = ~ж
[0 < с < p].
x [2 cos аж cos i/тг =F * sin (а + ^)тг]Г a + i/5a^i/5-™a
[c > 0; Rea> |Rei/|; Re a < 1/2].
2.13.7]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
237
. je -n(
8.
[Rep > 0; |Rei/ < 1].
-«/;-g) [Rep > 0; Re« > | Re.j].
X Ctg УЖ /(„_1)/2 M " /(„+l)/2 К- -
2тгр
Я2\ / Л2
El
[Rep > 0; |Rei/| < 2, i/ ф 0, ±1].
[Rep > 0].
2.13.7. Интегралы от A(x)ef^Yu((p(x)).
Обозначения: и± = v2b (\/p2 + c2 ± p) , z± = z{\fp2 + с2 ± p).
ж = 2Yv(u-)Kv(u+)
OO
2. [ \e~px~b/xYQ(cx)dx = 2c\— Y0(u^)
J x2 [u^
[Rep > |Imc|; Re 6 > 0] или [р = 0; c, Re 6 > 0].
+ — Y1(u-)K0(u+
[Rep > |Imc|; Re 6 > 0] или [р = 0; c, Re 6 > 0].
¦z2)
4.
¦ exp (™р^/ж2 + z2 )Уо(сж) с/ж =
4-1/2
¦ [exp (-
1].
El (^_) - exp (z^p2 + c2 ) El (-*+)]
[Rep > | Imc|; Re 2: > 0].
D»
— exp {^p\/x2 + z2 )Yu(cx) dx =
1 „„>±aO
[Rep > jlmc|; Re г > 0; | Re i^| < lq=Re/i]
6.
x-l/2
?
)]
[Rep > | Im c|;
238
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.8
7.
х2 + xz
[Rep>|Imc|; |argz|<7r].
2.13.8. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
и Yu(cx).
[6, с > 0; |Rei/| < C±l)/2],
= 2/ arcsln F/с); 0 < 6 < с; i/ 7^ 0].
2 X cos (p J
Iu = —
cosec (г/тг/2)
2?\
7 J
C2 [ sec(i/7r/2)
-№
( А Л
Io = -
[(ь + Vb2 — c2 )u тcos ^тг(& — Vb2 — c2 Y\
(с2~Ь2Г1/2жстп"
[0 < с < 6; i/ ф 0];
[0 < 6 < с],
2 Ъ + л/Ь2 - с2
^1п
тг с
2.
I c
6, с > 0; | Re v\ ~~ S < Re a < 3/2, 8 =
2«+*-i&« Г8т[(|/-а)тг/2]
f sin[(i/-aOr/2] \ /a + i/ +J\ /a
\cos[(i/-aOr/2]J V 2 J V
+ 6 а- и
c^cosi/tt f sec
[(a + ^)n/2] 1
[( )/] J
2
— i/
I. f
2' c
o; 721 [о<ь<с]5
17 \ cosec [(a + i/)tt/2] J [ 1 - a -
1 + a + i/ a + i/ ., < "
1&I/ " J sec [(a — 1/)тг/2] ]
cv X cosec [(a — i/)tt/2] J
x Г
-1/ — a
+ a- 1; а- и
[0 < с < 6],
; |Rei/| < 1/2 + 5];
B6M
= =p sin иж; 0 < b < с
= l; 0 < с < b
3. — sin bxYu(cx) dx = tg — sin I v arcsln -
J ж v 2 \ с
о
, -1/2 < Re и <
[0 < b < c; |Rei/| < 1].
4. = -—sec — [cos i/7r(ft - Vb2 - c2 )" - F + Vb2 - c2f] [0 < с < 6; |Rei/| < 1].
K f sin fta; .. . , , f 0 1 .
5. Yo(cx) dx = < > In
It» 111
0
[{I
< b < с
< с < b
2.13.8]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
239
6.
cos еж 1 аутг [ cos [(и ~~ а)тг/2]
x Г
(а + i/ + J)/2, (а - i/ + 6)/2, 1/2 - а
с > 0; | Re v\ - S < Re а < 1/2, <S =
A + ё - и - а)/2, A + S + и - а)/2
_ Г f sin 6ж2 1 ( ч 1 /тг" v-k Г f sin tp 1 / е2 \ f cos ф 1
J [соябж J 4y 6 2 Llcos^J ; \86/ [sin^J
с1 и - 1 с2 3i/ + 1 , ,
(p = 1 тг, Ф = тг; b, с > 0; Re v < 2 ± 1 .
86
8. жсоэбж Yq(cx) dx =
о
86 4
2
с \ с
. Sin —- - I 7Г + SI I —- COS -
46 / 46 V 46 Л 46
1}
9.
sin
COS
У±1/4(сж)а1ж = --у ^- Н-ы/4 f —
[6, с > 0].
[b, с > 0].
10. ж ; cos
0
ж < >Уо(сж) аж =
[cos еж J
1 /Fffcosvl,, A 62
2 V 2е
11.
sin (а/ж)
cos (а/ж)
yi/(ca;) <ix =
[<р = 62/A6с)-7г/4; 6, с > 0].
sin(i/7r/2) j
sin(i/7r/2)l _ , N 2 f cos (i/tt/2) 1 r^ , Л
; ' { }iu(u+) + —< ; ;, ; \Kv{u+)\
cos(j7tt/2)J tt [ sin (i/tt/2) J J
a > 0; 6 > с > 0; it± = л/а (л/6 + с ±л/б- с); |Rei/| < 2J.
оо
12. [I
J ^
0
cos (а/ж)
ТГ . J J COS (|/7г/2) 1
2 [\ sin (i/tt/2) J
sin (j/tt/2)
cos (ук/2)
г^, Jf cos (|/тг/2I r , N 2 f sin (i/tt/2) }t^ t Л
-Ku(u-)\\ . ) /,;«++- ) ' '\\Ku (u+)\
I { sin (j^tt/2) J тг [ cos (i/tt/2) J J
[a > 0; 6 > с > 0; it± = л/а (Vb + c ±y/b- c); |Rei/| < ll.
a
13. [ Ж cos Fл/а2 -ж2)У0(сж) dx = ^ F2 + e2)^1/2{sin y?[ci (z+) + ci (*_)] -
J у a2 — x2 тг
о
— cos (p[Si (^+) + Si (z-)]} 9? = ayb2 + c2 , z± = 9? ± аб; а > 0 .
14.
x|c2^62
i^^i/2(aV62^c2)
1 < 6 < с
1 < с < 6
, а > 0; Rei/ > -1/2 .
240
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.9
1 J sin (ал/с2 - b2 )
\
\с2 ~Ь2\ \ ехр (^ал/Ь2 - с2 )
> 0; 0 < с < 6; |Rei/| < 1; 2и± = г(Ь± л/б2 - с2 )
2.13.9. Интегралы, содержащие ерх , тригонометрические функции
и Yu(cx).
оо __
е я > Yv\cx) dx = - r-т^г х
[cosеж J 4тгл/2
256c2
Bа + 1)/4, Bа + 3)/4, 1/4, 1/2, 3/4, 1, (а - i/ + <5 - 1)/2
а + и + 8 а — v + ё а — и + 5 — 1 a^i/^^ + 1 а + i/ — 5 + 1
Re а
- <У; с, Rep > 0; <f =
2.13.10. Интегралы, содержащие Yu(cshx) или Yu(cchx).
ч . 1 Ьж __2
оо
Г f
• J (
оо
. j
3. cos 6жУо(свЬ x) dx = ch — Kib/2\~)
[с > 0; |Refe| < 1/2].
[6, с > 0].
2.13.11. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
и Yi/((p(smx1 cos ж)).
. cos2nscYo(v ft2 —
а - л/а2 -Ь2
*п
/a2 - b2
[0 < b ^ о].
2.
cos 2nx
i a2 — b2 sin x
Y1(y/a2~b2sin2x)dx =
o2 - b2
/^:62; о
2.13.14]
2.13. Функция Неймана Yv(x)
241
о
3. Г cos nxY0(Va2 + b2 + 2ab cos ж ) dx = (~l)n27rJn(a)YnF)
sin (ж/2) sin [Bn + 1)ж/2] 1
cos (ж/2) cos [Bra + 1)ж/2] J X
Г^[Л(а)Уп+1F)т^
[0 < a < 6].
4.
о
x
2abcosx)dx =
о =F a
5.
a2 + b2 + 2a6cosa?
[0 < a < b].
[0 < a < b].
2.13.12. Интегралы, содержащие
. \\nxYu(cx)dx = ?- - ^-tg^ 21n-+7
J 2с2с2[с
^ (еж).
0;
1].
2.
3.
Х 2 yo{cx)dx = ^Y" [Lo(cz) - Jo(cz)] inzKo(cz)
[c > 0; |Rei/| < Re a < 3/2].
[c, Rez>0].
oo
4. со8&ж1пажУо(сж) ^ж = — (с2 — Ь2)
[0 < 6 < с;
< тг].
5.
= (Ь2 -
In (b2 - с2) ^ In у ]
[0 < с < Ь; | arg а\ < тг].
2.13.13. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические
функции и Yu(cx).
Г cos (ban
7Г
= 2" [ctS
Re i/| < 1].
f cosBn
- J ^1
narcsina:)
2.13.14. Интегралы, содержащие (р(х)Ju(cx) +
1. ,ж-з/2е-^1|8тСЖ
(СОБСХЛ
< . >
I sin ex )
4 Г J cos (i/tt/2)
~ ^^7Гр [I sin С1771"/2)
16 А. П. Прудников и др., т. 2
sin (i/tt/2)
cos (vk/2)
ei2-
c, Rep>0.
242
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.15
и (ex) dx =
±
cos (Vtt/2)
[c, Rep > 0].
oo
. -«{ ., >Jo(cx)±< . \Уо(сх) \dx = 7rJo(v2bc)Yo(V2bc)
J x [cos F/ж) J L {coscx J isinaJ J
2.13.15. Интегралы, содержащие JfJ,(bx)Y1/(cx).
1.
2.
2с
[6, с > 0].
[с > 0; Re г/ > -1/2].
f 1 / bz
I L (hfWn(fr\ Hf — In I 1
'• tJ % yUJu I I Qll^JL I UJu — ~ III I J- — ~
J 7Г0 V CA
0
oo
i. [ ж" J (b
J M
0<C<6
[0 < 6 < с].
b, c>0; |Rei/| -Re// < Re a < 2; fe = (c - л/с2 - b2 I/2/BcI/2 при с > 61,
4a — --
2Fi
a + д +
[0 < 6 < c],
/, (a + /x-i/)/2 1 (ol-\i-v
2i4
[0 < с < 6];
4Q _
2a^l
атг
[0 < 6 < c; -2Rei/<Rea<2; Rea> 0],
— e sin ¦
7Г
[0 < с < 6; -2 Re i/ < Re a < 2; Re a > 0];
[0 < 6 < c; 2 Re v < Re a < 2; Re a > 0],
2.13.15]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
243
^а/2
2 il/ir
— е cos иж sin ——
7Г 2
~С2
OL-1V .
1,2 | 2
О + С
U + I/ + 1
[О < с < 6; 2 Re и < Re a < 2; Re a > О];
О < b < с
О < с < b
, Re/i > -1; Re(/x
К
< b < с
< с < b
, Re/x > -1; Re(i/ - /z) < 1 ;
1*/2 = 1_!
тг2\/с \4
здесь и ниже О < 6 < с],
з/2 _ 2Г2C/4)
2 /3
1 I 4
Г2 ( - ) К2 - 3^2)A - к2)Ж(к) - 2A - 2Aj2)E(Aj)],
Г2 ( - ) К1 - к2)Ж(к) - A - 2А;2)Е(А;)],
тт г2( 7 iK1 ~ ^2)K(ife) - A - 2А;2)Е(А;)],
- B — А;2)A — i "
Г2 Q) [B
- k2)K(k) - 2A -
5. \xa^1
00
3. f ж"^1[
I dx = cos
тгс" 2
тг x
' (a + /x + i/)/2, (а + /х- i/)/2, 1 - а 1
XII , \ /о 1 i / \ /о с> 0; Rei/ - Re/x < Rea < 1 .
. + (/x + i/-a)/2, 1 +(^ - i/- a)/2j
г"^1 ^ [a/2 + i/, a/2-i/
l-a/2
7.
ж2 + г2
-a/2e-i^j
[6, с > 0; 2|Rei/| < Re а < 2].
[0 < 6 ^ с; Rei/ > -п - 3/2].
~~2 2 «//х(ОЖ) COS
I Ж "у" Z L
[л - и
+ Sin
. a + /x - i/
1У\СХ) \
J
nYyicx) dx =
[0
Rea < 3].
16*
244
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.16
2.13.16. Интегралы от A(x)JfJl((p(x))Yi/(x(x)).
™ sec(i/7r/2)r • — /' ~2
L. j xJL
О
oo
1. } Л„
с )YI/(cx) dx =
46
с \4c
3.
4. ж Jj/1 — ] Yu(cx) dx = «j fc_]_
J \ж
о
[6, с > 0; Re i/ > -1].
[6, с > 0; Rei/ > -1/2].
[6, с > 0; Rei/ > -1/2].
[6, с > 0; -1/2 < Re i/ < C ± 2)/2].
5.
f/2
< с < 6
; a > 0; -1 < Re/x < Rei/ .
oo
3. f ж"+1(ж2 ~~ a
- a2)Yl/(cx) dx =
7.
8.
[О < 6 < с; а > 0; Re// > -1; Re (// + */) < 0].
[0 < с < 6; а > 0; Re/t > -1; Re (//+ i/) < 0].
[6, c, Rez, Re| > 0; -1/2- n < Rei/ < 3 - 2n + Re/t; | arg (±^2 =F^2)| < тг] •
oo
9. [ xa~1Jv{bVx2 + z2 ± bz)Yu{bVx2 + z2 т bz) dx =
0 u + a/2
l-a
oo
[6,Rez>
z) dx =
O;2{iae;l}
<Rea<l].
[6, Rez > 0; 2Rey<Rea< 1].
2.13.19]
2.13. Функция Неймана YI/(x)
245
11. [ xa~1J-i/(bVx2-\-z2 + bz)Yu(by/x2 + z2 - bz) dx =
о
1 /z\<*/2 \a
UJ Г I
1-a
X J^
a/2Bbz) +cosi/7rsln (— + j/Wy_a/2B6;z)l [6, Rez > 0; 2|Rei/| < Re a < 1].
2.13.17. Интегралы от (p(x)[aJ^(cx) + bY*(cx)] \
1.
Ju{cx)Yy{bx) —
x[J2(cx) + Y2(cx)]
A \o
[0 < с < 6].
2.13.18. Интегралы, содержащие ерх и
oo
. f жпе"рж
= /n
[Rep > 2|Imc|; k = p/v/p2 + 4c2
/2 = -Щг [A
/з = --^т [2A -
тгр'
- A + 2*2)E(fc)],
+ B + fc2 + 8A;4)E(A;)].
oo
2. \ g \J lex iY~ (be
J
0
oo
J. I e^px[J0(cx)Y0(bx)
0
oo
I Г 2i/ + l
Iх e
0
oo
>. j же
У5с
26c
[Rep > |Im6| + |Imc|].
гК
p2 + F - сJ
p2 + F + сJ
[Rep > |Imb| + |Imc|].
JlJ{cx)Yv{cx)dx = -
[с, Rep > 0; Re i/ > -1/2].
6.
/ 2 . 2x^1/2 /
= (p + с ) ' exp -
1 = exp
dx =
b2p
[Rep > 0].
2.13.19. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
и ±1
1. sin axJo(bx)Yo(cx) dx = —-= F j arcs!
j «We l v
b + с-а .
arcsin i/ — ? * -
— F I arcsin
2b
, I
0 < с <Ь^щ a> 0; 1 =
F + cJ - a2 .
246
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.19
2.
1 Fl arccm.i/a + C^ Л F I arczim Г + t\-
тгДг-ч/Ь^ I I V a+6+e' I I b + Hc' '
0 < e < a-fe; 6 > 0; t = y^2 - F + cJ /y^2 - F - сJ , к = у/а2 - F - cJ/\/46c .
3. = ;= F i arcsin 4/ , - I — F I arcsin
V V a + b + c' Ij у
1
4.
F I arcsin v 2c
¦,/|-F^arc8iny 2c
[0 < |a — 61 < с < a + b; l см. выше].
[c > a + 6; a, 6 > 0; I см. выше].
oo
5. sin ax[Jo(cx)Yo(bx) + ЛFж)УЬ(сж)] <ia
0 < a < 6 + с
a > 6 + с
, 6, с > 0 .
ОО
6. соваж./п(Ьж)Уп(сж) dx = 1п
а, Ь, с > 0; к = Jа2 — (Ъ — сJ /л/4Ьс ,
J
/o = -
Ж(к)
7TV ОС
K{k
ГГ|6-с|
L1 «
< a < c-6J Г
< a < 6 + c"
/i =
жл/bc
1
1\ 2 A
^ = ^7^ К5 "
/.=m
-8A-
1
[\b-c\ < а < 6 + с],
[a > 6 + c];
< a < 6 - ell
<а<с-Ь)У
[\b-c\ < a < 6 + c],
[а > 6 + с];
[C1 - 144Jc2 + 128fe4)K(Jfe) - 2B3 - 128Jfe2
/з = 0
Г Г 0 < a < b- с
[\\b-c\<a<b +
[0 < a < с - b],
128ife4)E( |
oo
7. sin ax[Ji(cx)Yo(cx) + Л(сж)У1(сжI с?ж = oK( — )
J тге^ \2с/
[a > 6 + с].
[0 < a < 2c].
2.13.20]
2.13. Функция Неймана YI/(x)
247
3. ж < }Jv(cx)Y1J(cx)dx = I а, с > 0; -2Rei/ - 6, -S < Re a < 2; <5 = J 1,
J I cos аж J L 10 J J
о
(a + J)/2, i/ + (a-
I + v - (a + <5)/25 A + a
x 3F2
1
-J 1 .a2
2 ' 2
1 1 + a a
— [0 < a < 2c],
!' 2 ' 2 '
/c\2l/ cosftt f sin [(a + 2и)ж/2] 1 ГГ^^, « + 2i/"|
V2/ 7raQ:+2^ \ cos [(a + 2i/)tt/2] J [ 1 + i/ J
—2" [0 < 2c < a].
i
1 + — I sinf- -ax)\jv(cx)Yu(-) - Ju(-)yu(cx)] dx =
X2 J XX / I XX/ \XJ J
0 < a < с
0 < с < a
Rei/| < 1/2 .
2.13.20. Интегралы от жаУм
1. УоFж)Уо(сж)б?ж = ———r
J 7ГF + С)
К -
ci 7ГС \C
[0 < b < c].
n OCX — X L^Lt ^.
2. xa~ Yn{bx)Yv{cx) dx = 2 cos/ittcos —
: + M —
¦ 7Г X
x Г1-aj,
2
a — a —
¦ cos ¦
2
¦7Tl>, O + I/-/X^ «-I/-M, x
oo
2
l Г l
2 7 2
[0 < b < c; |Re/i| + |Rei/| < Re a < 2].
2c cos 1/7Г I 4c / sin
4. |a;±1-1yI,^)yv(ciB)da: = -{^_1
0
oo
5. fin.
J л
0
oo
6 f т^^У С
= -^=J2,+iBV^)
— 6z) da; =
4c,
[6, c> 0; |Rei/| < 1/2].
[6, с > 1; |Rei/| < 1/2].
6, с > 0; -3/2 < Re i/ < 1/2].
[6, Rez > 0; 2|Rei/| < Re а < 1].
248
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.21
2.13.21. Интегралы, содержащие тригонометричекие функции
±1
оо
. cosaxYo(bx)Yo(cx) dx
а, 6, с > 0; к = ^{Ь + сJ - а2 /\/46с ,
жкл/bc
[{"-.
[0 < а < |6-с|],
< а < 6 + с
оо
2. cosаж[*/оFж) Jo (еж) + Yo(bx)Yo(cx)] dx = —
J тг
46с
[0 < а < |6 — с|; 6, с > 0].
3.
= -(\/а2-(&-сJ +
Ж
а2 - (Ь - сJ ^
4. 1 + — cos a
О
1-х2
YJcx)Yu(-) dx
\х/
р2 — а2
5.
4COSI/7T
тг^аЯ^^с2"
2.13.22. Интегралы от
[а > |6-с|; 6, с > 0].
; - а2)
[0 < а < с; |Rei/| < 1].
[О < с < а; |Rei/| < 1].
L. f
[a, 6, с > 0; Re (/i + v) > -1; -1 < Re д < 1/2; 2acw± = ±(a2 + c2 - 62)],
COS /17Г B^+1)^/2/2 _ irBM+l)/40M+l/2f , , ,
/ = --
2 _ 1ч^Bй+1)/4
-B/x+lOrt/2OAi+l/2/
/ =
(I-'
+ I
7 = -
оо
[a, b, с > 0; Re i/ < 1/2; Re /i, Re (/i + v) > -1;
cosмтг
[6 < a™ c],
[0 < с - a < 6 < a + c],
[« < c, 6 > a + c].
= ±(а2 + 62-с2)],
<|о-6Г
2.13.22]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
249
± cos v«
[\a- b\ < с < а + 6].
oo
. x ~v' Jtj,(ax)Jfjl(bx)Yu(cx) dx = /
0 [a, 6,c>0; Re v > -1/2; Re /x > -1; Re (i/ - /x) < 1; 2abz± = ±(a2 + 62 - e2)],
J "~
oo
oo
7.
oo
0
e
I = --
2 vBv-l)/4 B^-1)^/2
+
1 2хB^-1)/4п1/2-.//
I1 ~ z+) vlz
T3/2r
[|a- 6| < с < a + 6],
) [Oa + 6].
. = _/1\j_^2_14-l/2
, a, 6, с > 0; | Re v\ < 2; 2a6z = a2 + 62 - c2 .
с < | a — 61 или с > a + 6
a- b\ < с < a + b
dx = I [a, 6, с > 0; Re v > -1; 2acw± = ±(a2 + c2 - 62)],
rfO<6<c-a1j
[\0<6<a-cjJ'
[0 < |a - c| < 6 < a + c],
/ = A — li, i )"" ' sin (Varccos
тгас
I = —
[6 > a + c].
/c2 - 462
[0 < 26 < c; 2Re/i > |Rei/| - 1].
¦2 _ АЛ2 \ /л/^2~
/C^ ^
/c^ - ¦
2
- A-
7Г1
(а + Л
[0 < 26 < c; |Re/x| < 1].
[6, с > 0; | Re v\ - Re (A + /x) < Re a < 5/2],
+ i/)/2, (a + A + /x-i/)y
1 + A, l + /x
, 1 -
A + /x a + A + /i + и a + A + /x —
/ =
x 4F3
2 ' 2
1 + A51 +
[0 < 26 < c],
1 - /x - A 1 + /x - A 1 + A - /x 1 + A + /x 1 3 - 1/ - a 3 + 1/ - a c2
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2' 2 ' 2 ' I62
250
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.22
2a-V
Л-/х /х-А
1 +
ol + v n a — и с
2 '" 2 ' 4i
1 - a - i/, -i/, (a + A + /i + u)/2
h (A + /i - i/ - a)/2, l + (A-/x-i/- a)/2, l + (/x-A-i/-a)
a; + i/ — /x — A a + ?/ + /i--A a + i/ + A — /x a + i/ + A + /i
2 ' 2 ' 2 ' 2 '
a + i/ 1 + a + i/ c2\ 2a6l/^a
' 2 '
- а,
(Л + /x + i/ - а)/2,
' - /x - a)/2, l + (/x + i/-A- a)/2
-A a + A^/i^i^ a + A+M^i/
9.
3"+162"c-"-1 , 2
/ 2 .,2\-i/
(c -46 )+
10
/ =
OO
ха~г J\(ax)Jll(cx)Yt/(cx) da
[6, c> 0; 2b ф с; |Rei/| < 1/2].
[а, с > 0; | Re i/| - Re (Л + ^) < Re a < 5/2],
; + l', l + (A + ^-M-a)/2j X
x 4F3
1 +/x — 1/ . fi — и
,1 +
4c2
2 ' 2
2 ' 2
-i/, (a + A-
+ 1, -"^
2
4^
a2
[0 < 2c < a],
a . /x — i/
sin тгГ
же 2
1-/X-I/ 1 +1/ - /x
/X-I/ 1 3-A-a 3 + A-a a2
; ;
2 ' 2' 2
+
^,1 + ^, ^,2^ ^,2+^, —
/x-i/ Г 1 - a - A, (a + A +/x + i/)/2, (a + A +/x - i/)/2
A, 1 + (/x + i/ - A - a)/2,
2.13.24]
2.13. Функция Неймана YI/(x)
251
X 4^3
си + А + /х + i/ а + А
2 ' 2
1+а+А а+А
[0 < a < 2c].
2 ' 2 ' ' ' 4i
oo о i 1 2 — —1
11. xu+1Jv(ax)Ju(cx)Yl/(cx) dx = - C ^ (a2 - 4e2)~l/~1/2
J л/ж ГA/2 - и)
[a, с > 0; a ф 2c; | Re i/| < 1/2].
oo
12. xJ2v(ax)Ju(cx)Yu(cx) dx = (a2 - 4c2)^1/2 [a, с > 0; аф 2c; Rei/ > -1/2].
j ж а
о
oo , -i 2
13. Г xJ0(ax)Jl/(cx)Yl/(cx)dx = -^ —cosuw(a2 -4c2)~1/2(a2 - 2c2 + ал/a2 - -
14. = -— Dc2 -a2)/2sln L/arccos f 1 - -%¦ )
oo
15. — JfJb(ax)Ju(bx) cos—-—тг^(сж)+sin—-—7rYu(cx) \ dx
I Ж H™ /2 L zl zl J
[0 < 2c < a; Re i/ > -1].
[0 < a < 2c; Re i/ > -1].
[c> a^rb] a, 6 > 0; Re a < 9/2; Re (a + /i), Re (a + /i + 2i/) > 0].
2.13.23. Интегралы от хаJx{<p(x))J^{x{x))Yv(cx).
oo
1. x J{J/4(bx2)I^iy/4(bx2)Yl/(ex) dx = Twz sec ~~г х
°° 1 / 2
2. J4v(a\/x ) Ju(cx)Yu(cx) dx = J2 (
J iC \ IDC
[6, с > 0; |Rei/| < 2].
[а, с > 0; Rei/ > -1/4].
3. J4t/(a^/x )Ju(ex)[sin иnJl/(ex) — cos vttYv(cx)] dx = —J^ | l^-^l
[a, с > 0; Re i/ > -1].
oo
4. f xJ24a^)Jl,
bz) dx =
о 2
= D62 -a2)^1/2sm(zV462 -a2) [0 < a < 26; Rez > 0; Rei/ > -1/2].
тга
о
5. = (a2 - 462)^1/2 exp (-zVa2 - 462 ) [0 < 26 < a; Rez > 0; Rei/ > -1/2].
тга
2.13.24. Интегралы, содержащие Л(х) || JM
oo
. f ж^Fж)Л(сж)У;(сж)с1ж = 0
2.
[0 < 6 < c; Rei/ > -1/2].
0 < 6 < сУ
0 < с < 6
, Rei/ > -1/2 .
252
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.25
а + А — v ( . . а + А — и , х,
i тгJu(cx) + sin 7rYu(cx) ax =
п п
А = 2^ (лк; с > 2^Ьк; Ьк > 0; 2 Re а < п + 7; | Re v\ < Re (а + А) |.
к=1 к=1
2.13.25. Интегралы, содержащие x°tJx(ax)YfJ,(bx)Yu(cx).
оо /2
1. \ xJo(ax)Yo(cx) dx = ~4~ Dс2 - а2)~1/2 arcsln ( 1 - Дг
J тг2а V 2с2
о
а2 - 2с2 + ал/а2 - Ас2
2.
/2 j 2\—1/2 1
¦ (а — 4с ) ; in ¦
2с2
[0 < а < 2с].
[0 < 2с < о].
оо
L ж^+ ^(аж)[ЛFж) Jo(cx) + Yo(bx)Yo(cx)] dx =
4а-
T3/2[a2_(ft_cJ]x/+i
/ 1, 3,
Ч '2' 2'
2' ' 2' а2 ^F^
оо
1. xJo(ax)[Jo(bx)Jo(cx)-\-Yo(bx)Yo(cx)]d
-сJ-а2 7F +сJ -а
- In [7F - сJ - а2 + 7F + сJ - а2 ]}
5.
6.
7.
7а2 - F - сJ 7F + сJ - а2
46с
2 cosec уж
тга
/а2 - 4с2
Arsh
а2 ^F +сJ
46с
< о < 6 + с].
[а > Ь + с].
— 4с2
оо
J
У,2(еж)] dx =
а2 - 4с2
2^
/а2 — 4с2
[0 < 2с < а; Re ц, > 2|Rei/| - 1].
X (а2 - 4с2)"B^+1)/4РЛ72/2 (^ "
? 2 2 ^2Н
J| I rp / _. I /1 /уэ |# I /"Э /тр | | |/ I /т» лр | // гр —
J
[0 < 2с < о; 2| ReH - 2 < Re^ < 1/2].
тга sin итгл/а? — 4с2
х [(а - Va2 -4c2)^2" - (а + л/а2 -Ас2)'2"
[0 < 2с < a; |Rei/| < 1].
2.13.28]
2.13. Функция Неймана Y^jx)
253
2.13.26. Интегралы от xaJi/(bx)Ju(cx)Yi/(bx)Yu(cx).
'2-1/, 2i/+ 3/2
1 Ч Ь2 \
X 2Fij i/+ -, 3i/ + l; 2i/+ -; — J [0 < 6 < с; -1/3 < Rei/ < 1/2].
zl А С J
оо
2. [ ж Jo(fea)Л(сж)Уо(Ьж)Уо(сж) d
J
О
3. \
a; = In
J&7T ОС С и
[0 < b < с].
x) dx =
К(А?)
[о < 6 < с; к = (с - \/с2 -Ь2
. f Ж3/2 J1/4(bx) J1/4(cx)Y1/4(bx)Y1/4(cx) dx =
J 2у
х [A - к2)Ж(к) - A - 2
2.13.27. Интегралы по индексу, содержащие Yu+iX(c).
^л ^ Х
— к2)A - 2к2)
[0 < 6 < с; к см. в 2.13.26.3].
[с > 0].
2-
Ju+ix\c)
2.13.28. Интегралы, содержащие El (bx n)Yl/{cx).
xr(w + i
+ 1
13 3 _6^\
"' 2; 2' 2; cV +
+ V . _ Q — ,
1?1' Ai' 2'
xcos—2~ ^k^^—J +^(^
[с, Re 6 > 0; Rea> |Rei/|].
7 -, о 1vhv'-OL>i1T(\
2. ж"^1 El (-bx*)Yv(cx) dx = —j- —
254
Гл.2. Определенные интегралы
[2.13.29
cv cos vkY{—v) ( ol-\- v\ (a + v a + u a + v
2" (a + 1/)тг&(«+")/2 4~2~J 2^2 V~2~' ^5 -^~ + 1'
3. I xEl(^bx2)Y0(cx)dx = ^
J 7гс2
00 , .
4. Ei I ]Yi(ca:)da: = --Y0{V2bc)K0(V2bc)
J V хУ с
~ ) El ( ^-
4b J \4b
[c, Re 6 > 0; Re a > |Rei/|].
[c, Refe>0].
[c, Keb > 0].
OO
5. f ж" е±Ьж EI (=р6ж)У; (еж) dx = 17A)
21/Г(и)Г(а — v) [ cosec (y — а)ж
ba^l/c1/ \ ctg(i/ - а)ж
[с, Re 6 > 0; |Rei/| < Re a < 5/2],
OL — V OL — V -\-\ . (™1O<
2^1
тгГ
тгГ 1 Г 1
2 V 2 /42 /
. j x
1 I Q О
L' ' 2' 2~' 2~
/ 4ifcl
1 ^+~2~/
62
86 j Ж-("+3±1)/2' "/2 ( 46
2.13.29. Интегралы от
2C±1)/26(l/+3±i)/2c
[C' Re fe > °5 -D ± l)/2 < Re i/ < -A ±
\ciFx)
[0 < с ^ 6; | Re v\ < Re a < 5/2 при с < 6; | Re v| < Re a < 3/2 при 6 = с],
(a -
in [(a - »)k/2] 1
os [(a - г/)тг/2] J
a — и a — и a — i/+ 1 a — i/ (™lO+1c2
2"(a + u)-n:ba+v
sin [(a + ф/2]
cos [(a + v)n/2]
O+1c2
2.13.30]
2.13. Функция Неймана Yv(x)
255
Г erf (bxr) 1
2.13.30. Интегралы, содержащие < r >Yu(cx)
{ eric (ox ) J
| arg b\ < n/4; Re a > | Re „| - A ±
О 0
. л
cv cos7 vk
2. xc
0
x 3F2
2a - 2v
4' 4; 4' 25
2a -
\ 3 7 3 (-1
"' i; i' 2; ;
/012" x /a + i/\ /a-i/\ 7a-i/
< > Г Г cos7 тг.
\ 1J жса V 2 / V 2 / 2
[c > 0; | Re i/| - A ±l)/2 < Re a < 5/2; | arg 6| < B =p 1)тг/4],
cosec (а + |/)тг
x Г
2 '
г sec [(a —
sec[(a-i/Or/2]l (a. - v
cosec(a^i/Or J1 Я 2 ' '
462
-; ±-
462
256
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.13.31
4.
,2 2 1Q
erf (ibx)Yu(ex) dx =-t
[c > 0; -3/2 < Re i/ < 1/2; |arg6| < тг/4].
oo o
f ,2 2 С f С \ I С
5. ж1" e ж erfc Fж)Уг/(сж) die = 1— F(i/ + 1) exp I -—¦ 1Г1 — i/, -rr^-
о ^ V / V у
[с > 0; |arg6| < Зтг/4; -1 < Re i/ < 1/2].
6.
e eric(bx)Yu(cx) dx = ^—-
¦ exp
862
[c > 0; |arg6| < Зтг/4; -2 < Re i/ < 3/2].
2.13.31. Интегралы от жа
1.
{C(bx)
= U(l) \b, 0 0; |Rei/|-B±l)/2< Re a < 3/2, 5 = ( 111,
L 10 JJ
x 3F2
2E
4' 2 4' 4
"'2+5;
{7A1 &жп) 1
т-1/ 1 n{ ?Yu(cx).
T(fi, bx ) J
, , (Re/i>0; Re«<3/21
c, Re6>0; Re(a + /x > Rei/U F ' ' \
[ Re a > I Rei/| J
2a+f*-1bfi „/a-
fl7TCa^
T a + /i — и
COS Г E 7Г X
x3F2(^,
-* — + 1 -' " ~
' 2 ^ ' 2' c2
±
x 3F2
3 3 (-1O62
2 2 ' 2' c2
COS 7Г.
c, Re6>0;
. f RejLA < 0, Re a < 3/21
{ Re a > I Re v \ J
И/G) =
X 2^2
(i/ - а)тгс- ' V^ ' 2
— i/ a — и а — и
(-lOc2\ c17 cos7 1/тгГ(-1/)
¦ 1, 1 — ^5 tt I =t -—; : ;—Г7—;—пт: X
2.13.33]
2.13. Функция Неймана Yu(x)
257
х Г
2 ' ^ ' 2 ' 2
(-i)V
46
а — ил ~ a — ,
3.
) bx2)Yv(cx) dx =
n-iV-"-1-1 r[3/2 + n, C + ^)/2 + nl /c2
[с, Re 6 > 0; Re /i < n + 3/2; Re i/ > -n - 3/2; Re (i/- fi) > -n - 3/2].
oo
4. f xa~1ebx2F(fj/, bx2)Yv{cx) dx =
2/X
¦ Г | cos i/TT cosec ¦
1 - /x I 2
тг х
/X- l) X
-,2-fi-
2 " ""^ ^' ^ ~ *" ' 2 ' " ^ 2 ' 46
[c > 0; |argb| < тт; Re a > |Rei/|; |Rei/| < Re (a + 2^) < 7/2].
2.13.33. Интегралы, содержащие 1)мFжг)Уг/(сж).
oo
da; = GA)
с > 0
a-и «-»/
4 ' 2
3±1
. (-1Гс
с2
а + и)
3±1
(-1Oс
x
7^2
U J 7ГС \
а + ц - и
7Г X
2 ' 2
v а + /i — i/ # (—lOmlc
' О ' О 1.9
oo
J
17 А. П. Прудников и др., т. 2
с > 0; |argb| < Зтг/4; -1/2 < Re i/ < 2/3].
258
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.14.1
оо
. \ xa^1e±b2x/
dx =
Re a > |Rei/|; |arg6| < B ± 1)тг/4,
с > 0;
< 3
e > 0
\
ol-v 2a-2v + l а - i/+ 1 2а - 2и + 3
~ F'
7±1±2/х a-i/3±l±2/x а-1/ш 4(^
8
2 '
+ 1/?
2 ' б4
Г(-1/)ГBа + 2i/) x
1 а + |/ + 1 2а + 2г/ + 3
Oс2\ Г11
J "\0J
2а -
3-/х
5
2а -
4' Г 6^
. 2а - 2i/ + /х
sin7
sin7
3-/х /х 5-/х 6^
""^' 4' ^П;
sin
4 / 4
6 - 2а - 2i/ - /i 3 4
i ; r
ж х
2.14. ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ Н^1} (ж) и Н^2) (х)
Функции HlJ"(x), j = 1, 2 связаны с функциями «/^(ж), У|/(ж) формулой
Hij)(cx) = Jv[cx) - (-lLYv(cx), j = 1, 2.
2.14.1. Интегралы, содержащие элементарные функции и Н„(сх).
Обозначение: j = 1, 2.
оо
1 Г 1 —f/ 2 2\/3 —1 гг
1. j х [х -а )
а
оо
2. \ е~рхHlj) (ex) dx =
) dx =
(~l)Ji (р +
[а, Re/З > 0; (-Inline < 0].
+ с2 sin 1/тг
3.
| da; =
оо
*• j ХС Я0
1 +
- 2%
ж
2(-1)
7Г
Р+ -
(Р +
[Rep>
^/р2 + с2
с
+ ^р2 + С2
С
уУ+ c2)"J
| Im с ; | Re и <
[Rep
1
j 7Г(Р2+С2)
[Rep
1;
>
^Ф
Im
Im
0].
c|].
2.14.2]
2.Ц. Функции Ганкеля HJ^ (ж) и HJ2) (ж)
259
оо
. [
J
5. хе~рхЩ3) {ex) dx = —
о
Р2 + С2\ J^ + с2 \ 7Г
|
6.
7.
8.
) dx =
Р
¦ arccos —
/-2 _ «2 с
,,!+ (-!)''
— с2 тгуР2 — с2
¦In-
¦/о (еж) с!ж =
х е
^/2 с
1//2
8Р; тг
оо
10. f ха^ге^рх2 Hlj
J
11.
12.
V4p
: — Г
С / 7ГС
[Rep > | Imc|].
[О < с < р].
[с > 0].
[Rep > 0; |Rei/| < 1].
[Rep > 0; Rea > |Rei/|].
exP -uz P^« ^:
[Rep > 0; Re a > 1].
P (cx) dx = (-1)'
(-1K in C
4p
[Rep > 0; Re i/ < 1].
[Rep > 0; (-Inline < 0].
14 — p^p-
о
2.14.2. Интегралы, содержащие элементарные функции и H\?\ip(x))
Обозначение: j = 1, 2.
1. je-"^")
О
оо
2. f xe-pxHtf\cVx*^b*)dx =
1-
exp (^6
[6 > 0; Rep > |Imc|].
[6 > 0; Rep > |Imc|].
oo
3. I 1/ж2 - б2
о
exp (^6-^p2 + с2
V Р + с2
С I 7ГС
[6 > 0; Rep > |Imc|].
17*
260
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.14.3
оо
1. f eipxH{oj)(
cVb2^
/с2 + р2
exp[
= 0; 0 ^ (^l)i+1 arg \/b2 - х2 < тг; 0 ^ (^l
5. | е"*-»*Hij)(Vа2 + Ъ2 + 2afechж
cos 2nx
[a, b > 0; th ip = bsh x/(a + bch ж)].
/9 19-2
' a2 — bz sin ж
(-1)ят
H.
- (a - Va2 - &2 )Jn
+i
a - л/a2 - b2
n+i \ 2
a + Va2 - b2
[0 < 6 ^ a].
7.
8.
-Jn+2(a)HiJ)(b)}
= |si
5 Ж [СО
sin (ж/2) sin [Bn + l)x/2]
^«2 + 62 + 2а6со8ж I cos (ж/2) cos [Bra + 1)ж/2]
6 =F a
oo
4
[0 < a < b].
[0 < a < 6].
[а, с > 0; 0 ^ (^l)i+1 arg (b2 - x2) < тт].
H\j){x)dx =
Т Jn
In
11.
[0 < 6 ^ a].
[0 < a < 6].
2.14.3. Интегралы, содержащие Jv{bx) и Н„\сх).
Обозначение: j = 1, 2.
оо
+1(«+M—D/2
21
' 'c2
2.
/x +1 J21\2' 2
< |c|; Re (ic + (-l)i+1i6) > 0 при Re (a + /x ± i/) > 0; Re (ic + (~-l)i+1i6) = 0
при Re(a + /i±i/) > 0, Re a < 2].
l)dx =
[0 < 6 < c; Rez, Re (//- v) > 0; Re д > -1].
3. [ Дг
J X2 \X
4^
7ГЛЬ
[6, Re с > 0; |Rei/| < 1/4].
2.15.1] 2.15. Модифицированная функция Бесселя 1\,(х) 261
2.14.4. Интегралы по индексу, содержащие H^J_ix{c).
Обозначение: j = 1, 2.
1. |е(-1K™/2 cos bxHg (с) dx = {-lLe{--1)i+lic*hb [о 0].
О
— оо
= 6еТр/2 + се±р/2; 6, с > 0; Imp = о].
3. [ xe»*FL H%(b)H%{c) dx = -*рИ- [е'('-«) Ей (-2*6) + е^ Ei (-2«c
J СП 7ГЖ 7Г^(С — О)
[6, О 0].
4. f е™ cos ажЯ^^Я^ (с) da = Ш$\y/b2 + с2 + 2bccha ) [а, 6, с > 0].
. f же7ГЖ8ЬтгпжГA/ + гаж)ГA/^гаж)Я^)F)Я^)(с)с1ж = /п(а) [6, с, Rei/>0],
5
о
/i(l) = iBbcY(b + c)^"V^ ГA/ + 1/2)АГ„(Ь + с),
9^+1^3/2 •
/2A) = гA/2 ^ (с - Ь)-Н12)(с - Ь) [Об; Rei/<l/2],
/i[-J=2 тгг(Ьс) F
2.15. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ /„(ж)
1 3
При I/ = ± —, it — , ... функция It, (ж) сводится к элементарным, в частности,
/ ч / 2 Г sh ex \
7 V 7ТСХ
\chcx j
При вычислении интегралов от 1и(х) можно использовать формулу
Iu(cx) = ъ~и Ju(icx).
2.15.1. Интегралы общего вида.
а
JL• I Ж ^О> Ж j ijjyCXj (JjX —
^У / г ч г[, Bfe + a + ^/r I^V
^ A;! (i/ + l)fc [Bfc + а + i/)/r + fi\ \ 2 7
[a, r, Re^, Re (a + i/) > 0].
с
2.
о
. j ж ^а ж j е ^
3
о
[Rep, Re (a + u) > 0; r > 1 (r = 1 см. в 2.15.3.2)].
262
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.1
oo
1. j ж" \xr-ar)fi \
- а - гA - /3 + к), 1/2 - а + гA - /3 + fe)l fc
l + i,-a + r(l-/9 + Jfe) Г j
[a, r, Re с, Re/3 > 0; Re (a + r/3) < r + 1/2].
5.
•e cxIu(cx)dx =
BcY
A;!
а + v - гр - rk, 1/2 - а + rp + rfel rfc
1 + и - a + rp + гк J
[г, Re с, Re (а + и) > 0; Re (а - гр) < 1/2].
6.
хг — уг
Bc)r"a ^ [a + v-r-rk, 1/2- a + r + rk
фг ^ L l + i/-a + r + rfc
[r, |/, Rec, Re (a + v) > 0; Rea<r + 1/2].
oo
7. f жае"ра'Г"са'/1/(са;) dx =
U
[г, Re p, Re (a + i/), Re с > 0],
U =
U=[-
n(l-2a)/Br) '
2с
> У,
г\/2жс
2a-2fc-l
2c
/5F Bc)« ^^ A;!
1 Га + v + кг, 1/2 — a — k
Id [
l f p \k
\ \ 2rcr)
[r < 1],
oo
U при г = 1 см. в 2.15.3.2.
Р V "^ (i^ '
rFfiy -+- Л\ ^ A*' f'
x (^2
V^F Bc)« ^ А^!
л Г а-1 -ржг Г Sin &ЖГ 1 . .
9. ж е р < r >/1/(сж)с1ж =
J [cos bx j
[r, Rec, Rep > 0; Re a < 1/2].
¦гГа + ж/ + 2^х
2.15.1]
2.15. Модифицированная функция Бесселя Л, (ж)
263
х cos
ёж
р
62+ 2 J22fcF2+p2)fc/-
6 > 0; Re (а + и) > -<5r; Rep > 0 при г > 1; Rep > | Rec|, \cf < \ЬЛ +р | при г = 1; <5 =
10 a-1 -esc 1 вШОЖ 1 . v _
J [COS OX J
b, r, Re с > 0; Re (а + г/) > -?r; Re а < г + 1/2; <5 =
¦а + и)ж/{2г)]\( 2с
cos р + а + и)ж/Bг)]
[г > 1],
| sin [Ba - 2k - 1)тг/Dг)] 1 fb1/r
\ cos [Ba - 2k - 1)тг/Dг)] J \^
2r
k lS
¦Е-
х Г
а + I/ + гё + 2rfe, 1/2 - а - г J - 2гк
1 -\- is — а — гё — 2гк
U при г = 1 см. в 2.15.11.8.
< 1],
11. ] xa-1e->'r-™l*inb*l\l»(cx)dx = W
cos 6жг
6, г, Re с, Rep > 0; Re (a + v) > -Sr; S =
0/ '
(c
~ V2
„
x Г
[r > 1] или [r = 1; 4|c|2 < |62 +p2|],
k\
2r
ёж
x cos
2
2r
Bc)"
^
a + v + rfc, 1/2 — a — rk
1 + и — a — rk
2rcr
[r < 1] или [r = 1; 4|c|2 > |62 +p2|].
ctg [(
[(a + i/ + fcOr/r]| A
a + i/ + к)ж/г] J1 j
264
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.1
^ ?i к
-гк
"Г Г f " + а' 1/2 al [^(i/ + а) + ^A + I/ - а) - ^A/2 - а) - In Bc)
| 1 + J
oo
13. Г жае"сж^Fжг)/х/(
о
\r, Rec, Re(a + i/) > 0; Re а < 1/2, j rlarS*l <Ж\).
х = X [6, г, Re с, Re (a + I/ + г/х) > 0; Re а < (Зг + 1)/2],
\У Н~ l/^)fc л (^М + ^ + ^ + 1^)/ \^т) \ ( ^ ^ i
—— 1 I 1
с! Bi/ -f- ljfc 1 И™ {.via — ol — v — Jc)/Bt) \ о ' r J
[r > 1],
2Bа^3т—1)/Bг) ~
y\_ ^ -в/п-. 1\ //гъ__\ уЛ
fc=O
Ы
-*"
b1/r
+
-2a + 2A; + l)/Dr)J \,21+1/гсУ ' са+^гл/ж Г(/х
a + i/ + /xr + 2rfe, 1/2 — a — /ir — 2rlc
x Г
A;!(
2fc
< 1],
при r = 1 см. в 2.15.16.3.
14. Г жае"Ья;Г"СЯ!/дFжг)/1/(сж) dx = Z
о [r ^ 1; Re 6, Re с > 0; - Re (fir + i/) < Re a < (r + l)/2],
A;!
+ (« + " + Л)/г, 1/2 - (a + i/ + k)/r
x Г
v fc=0
a + i/ - r/2 - rA;, A + r)/2 -
[r > 1],
«-\r~{^
1 + i/ - a + r/2 + fer
при r = 1 см. в 2.15.20.6.
(еж) dx = Up
,,Rec>O;Re(a + ,)>HReMl,{6>°;R;eV>t + 1)/2}J,
- («/ + 1/2)* „
''S*11
x Г
a + i/+ A; + дг\ /a + i/+ A; — дг\ (i±i)/2 ol + i/ + A; — fir
2.15.1]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1\,(х)
265
Ь
^
kW~
2Ba-5r-l)/Br)
Г(/л) ra + i/^
k\
It
Yr
г < 1; ^^••4-2,-1,0,1,2,...; I - 2гк ф а + fir , a - fir ; I, к = 0, 1, 2,
A A
X2cYa
x \ф(к + 1) + ф(п + A; + 1) - 2гф(а + и + nr + 2гк) + 2гф ( а - nr - 2rk ) -
[r < 1; I - 2rifc 7^ a + ^r - 1/2, a - fir - 1/2; /, A:, n = 0, 1, 2, . . . ],
I7M при r = 1 см. в 2.15.18.1, 2.16.29.2.
oo
16. Г ж" El (-bxr)Iu{cx) dx =
[r ^ 1; Re(a + i/) > 0; Re 6 > 0 при r < 1; Re 6 > |Rec|, \c\ < \b\ при г = 1].
00
17. [ xa~1e~cxFA(-bxr)Iv{cx)dx = X [r, Reb, Rec, Re (a + v) > 0],
V2/
^
2c
l J'
=
^
2c
{2cYa y, (^l)fc Га + iz + rfc, l/2^g^rfe] ( b xk
х/тг ^ k\k 1 + v - a — rk
Г Г" + V' 1//2 [C
[ 1 + v — a J
r^(a + i/) + r^(l + и - a) - гф{1/2 - a) - r In Bc) + In 6]
[r < 1],
X при r = 1 см. в 2.15.24.8.
oo
18. Г xa~1e±bxr~cxFA(-^bxr)h(cx)dx = У [r, Re6, Rec, Re (a + i/) > 0; Rea < 1 + 1/2],
266
Гл.2. Определенные интегралы
[2.15.1
i/)fc
2с
k=0
ctg [(a + i/ + А;)тг/
а + iz-r-rA;, l/2-a
r> ^ (l/2 + i/)t(l/2-i/)fc Ba-2k-l\
1 [a + i/ + rife, 1/2 - a -
ctg[Ba-2*-lOr/Br)] J V 2c
x [^(A; + 1) — гф(а + i/ + rA;) — 7A + i/ — a — rk) + гфA/2 — a — rfc) +
У при г = 1 см. в 2.15.24.9.
19.
, г, Re с, Re (а + и) > 0; Re а < 2г + 1/2; ? =
0/ '
6-(О+.)Л
Г(г/ + 1) Ы
l/2)fc
Г(г/ + 1) Ы ^ fc! Bг/ + l)fc(a + г/ + к)
2c
¦i/)fc(l/2-i/)fc /2a-2fe--
L-2a + 2^) \ 2r
sin [Bа -2к- 1)тт/Dг)] 1 / Ь^
cos [Bа - 2А; - 1)тг/Dг)] ) \ 2с
\а +и+ г8 + 2гк1 1/2-а - г8 -
х 1
2c \
(-1)*
! BA;
v-a-r8-2rk
-h i/ — a — r
r < 1; Д = C-
0 J 2
а
1 +1/- a
- а) - In
при г = 1 см. в 2.15.25.1.
20. Г жаЧ erfc {hxr)h{cx) dx =
[r > 1/2; Re(a + i/) > 0; |arg6| < тг/4 при г > 1/2; Re б2 > |Rec|,
\c\ < \b\2 при г = 1/2; также см. 2.15.26.3].
oi f «-1 -сЖ Г erf (bx ) 1 , ,
21. ж e <^ v / \h(cx)dx
J [ erfc (bx ) J
°
= u
0,
Re a < 1/2; Re (a + i/) > -r
Re (a + 2/) > 0
j, |arg6| <тг/4
2.15.1]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
267
(i/ + l/2)fc
х Г
k+r+ a + ,
2r
'¦^A/2 + v
*у+{1}Чгг\а+г+1-:а'\ [->1^
- u)k
4r
x|17' ±
fc!Bfc-
, 1/2-a-r- 2rk
01 Bc)^ Га + i/, 1/2-a
[r < 1/2],
G при г = 1/2 см. в 2.15.26.5.
22.
6, r,Rec> 0; Re (a + i/) > -B ± l)r/2; Re a < (Sr + l)/2; S =
0/ '
V = —
¦ X" .
A/ + 1) ^ A;! Bi/ + l)k(a + и + k)
( c
\si
cos [(r - 2v - 2a - 2JfeOr/Dr)] 1 / 2c
sin[(r-2i/-2a-2ifeOr/Dr) W
1 /
2r
а + i/, 1/2 - a
1 + i/- a
V =
A/2 + i/)fc(l/2 - i/)fc r/r + 2a - 2fc - Г х
cos [(r + 1 - 2a + 2A;Or/Dr)] 1 (Ь1/г\к
sin [(r + 1 - 2a + 2А;)тг/Dг)] J \ 2c
x Г
i/2)fc(l + 2ё + 4А;)
a + и + r<5 + r/2 + 2rk7 1/2 - a - r/2 - r<5 - 2rk
1 + и - a- r/2 - re - 2rk
V при r = 1 см. в 2.15.27.1.
[r > 1],
< 1],
23.
¦rU
26Vr
[r > 1; Re (a + i/ + /ir), Re (a + v) > 0; Re b > 0 при г > 1;
Re 6 > | Rec|, |c| < |6| при r = 1; также см. 2.15.28.1].
(еж) с?ж = VF
( Re и > 0; Re a < 1/21
r, Re 6, Rec, Re (a + i/+ r/z) > 0, ^ F ' ч 7 Н,
[ Re (a + i/) > 0 J J
268
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.1
W =
(l/2
х Г
a + v + k\( 2c
b1/7
/i, a + t/, 1/2 - a
l + i/ - a
[г > Ц,
fe(l-2a)/Br)
2c
k\(l/2-a
?¦
¦Г(М+ I x
1 Га + i/+ ^г + гА;, 1/2 — а —/хг — гА;
тг Bс)а+^г ^ А;! (/х + А;)
0\ Bс)— Г/х, g + i/, 1/2-а
[Г < 1],
VV при г = 1 см. в 2.15.28.3.
oo
25. Г xa-1e~b2x2r/4DIJl(bxr)Il/(cx) dx =
Ь(«+^)/гггA/+ 1)
xrf
А;! (у + l)fc
BA; + a + i/)/r
+ r + a + i/ — r/x)/Br)
: 1/2; Re(a + i/) > 0; |argfe| < тг/4 при г > 1/2; Re б2 > 2|Ree|, 2|c| < |6|2 при г = 1/2].
oo
26. Ix*'1*
'Xr)I (ex) dx = X
r, Re с > 0; | arg 6| < B ± 1)тг/4,
<Reo<-rRe^ + 1/2 11
Re(a + i/)>0 JJ'
l/2)fc r/a
il — l/Br) \ ^ f t Л
A;!
x Г
> 1/2],
-?)> /2a-2fc-
V 2r j V 4
4r
2l-l/Br)c
1(-/x) 1 y, ? Га + F + r^, 1/2 - tt - rife
/ J^^! l + v-ot-rk
4 ^ 2
X при г = 1/2 см. в 2.15.29.4.
[r < 1/2],
2.15.2]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
269
2.15.2. Интегралы от А(хIи(<р(х)).
а + 1/ а + I/ + 1
OL + V +
2
[а, R
-у + /ЗЧ
2
.е/3, Re(«
-1 а2с
' 4
a + i/) >
J
01.
а
Г хп
7ПГ=х
о
a
Г 1
J Vfl —
/, еж rfg = -/g/
a
J Va2 - ж2
/].(сж) dx =
ch ac — 1
ac
[а > 0; Rei/ > -п - 1].
[а > 0; Rei/ > -1].
[а > 0].
5.
2 ' м ' 2 '
[а, Re^, Re(a + i/) > 0].
[a, Re^ > 0;
7.
9.
11
12.
а
Г 1
J уа
о
а
J л/а1
= a1/2-\/?- Lv-1/2(ac)
V ^c
Л
13. Ja?1—'(ft2
жа
= т"
sh ac
(ac
/2 It
[а > 0; Rei/ > -1/2].
[а > 0; Rei/ > 1/2].
[а > 0; Rei/ < 1/2].
[а > 0].
[а > 0; Rei/ > -2].
[а > 0].
\x2-aA)u-YrAIu{cx)dx =
[a,6>0;Re,>-l/2].
270
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.3
14. х
J
о
a
15. j,'
0
16.
-„ (а
)" + (а ~ У«2 ~ ^2 Y
Iu(cx)dx =
[a > 0; Re(/x- v) < 1].
(ж + гл/аг — хА Y + (х — tyaA — xl Y
— x^
2
= тга
Iu(cx) dx =
(у) /(,-м)/2 (у) [а > 0; Re (м + i/) > -1].
1.
2.15.3. Интегралы от хае рх 1
00
Ida; =
[с, Rez >0; - Re i/ < Re а < Rei/ + 2
[Rep > | Rec|; Re v > -1].
oo
) dx =
Re(a + //) > 0; Rep > |Rec|; к = у/2с/у/рТс
a + i/
2 '
p
u+1_
/5F (p2 - c2)
+2 =
F (p2 - с2)-+з/2
(p + u\/p2 — c2)(p — л/р2 — с2 ]
/° = ^(P+^^
(p + Vp2 -c2)-(p2 - c2K/2
/1/2 _
11/ —
[Re i/ > -1/2],
[Re i/ > -1],
[Re и > 1],
[Re i/ > 0],
[Re i/ > -n],
[Re и > -2],
[Re i/ > -1/2],
2A-,
32A™ ,
[B3 -:
- 4A - Jfe2)B - A;2)K(ife)],
2.15.3]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
271
/Г1/2 = У ^ [B - к2)Щк) - 2A - *2)К(*)],
J-3/2 _
2A - к2)л/Ъгс
[B-кЛ)Щк)-2A-кЛ)К(к)],
1-5/2 _
8A-
2 4 / 2c
15
,1/2
= ^з J— [A6 -
ол V ГС
[2A - k2 + k4)B(k) - A - Jfe2)B - к2
[A6 - 16Jfc2 + ife4)E(jfe) - 8A - Jfe2)B - j ~
— 8A -— Дг2)B -— ,
2Jfe(l - к2)л/2жс3
[A6 - 16^2 + к4)Щк) - 8A - к2){2 - k2)K(k)],
1-5/2 _
8A - ife2) V2ttc5
[A6 - 16ife2 - k4)(l - k2)K(k) - 2B - k2)D - 4к2 - к
32A-.
=¦ [4B - 2k2 - k4)(l - k2){2 - к2)Ж(к) -
- A6 - 32Jb2 + 9k4 + 7k6 - 8к8)Щк)],
h 10395 Vrf^[A28^
- к2)Щк) -
- 2A -
= ^^ [A28 - 128fe2 - k4)(l - k2)B -
- 2A28 -
^ = *яг- К128 -
2A;8)K(ife)],
4 - 7k6 - к8)Щк)],
- 2A - k2)A2S - 128k2 + 27A:4)K(A;)],
- k2)K(k) - 2A28 - 128Jc2 + 23A;4)E(A;)],
j3/2 _
/2тгс3
/7/2
J3
8*A
32A
-fe2J^
A;
-A;2K\
/27ГС5
/27ГС7
[A28-
[A28 -
=¦ [A28 - 256k2
- 2A - Jfc2)A28 - 1281с2 + 27к4)Щк)],
- 2A28 -
- 7k6 -
- к2)Щк) -
- 2A - Jfe2
5k6 + 2A;8)K(ife)].
272
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.4
oo
J. \xa~1e~cxIu(cx)i
l + i/ - a
2.15.4. Интегралы от А(х, epx)h(cx).
dx = aa
[Re с > 0; - Re и < Re a < 1/2].
х Г
а + /9 + I/,
oo
p
[а,
+ i/-l, 3/2-а-/3
2 - а -/3 + 1/
/; ±2ас)
/
+ i/) > 0].
1, - - a - P; 2- a - p - v, 2 + v -
. — a — i/, v + 1
X 2^2 ( a + i/, i/+ ^; a + j3 + v,2v + l\ -2ac) [a, Rec, Re/3 > 0; Re (a + C) < 3/2].
2 /
3. 1 Iq(cx) dx = ecz Kq(cz)
J x -\- z
[Rec> 0; |argz|<7r].
о
oo
0
x 2F2 ( 77 + P - «, p; 1 - 1/ - a + p, 1 + 1/ + p - a; 2cz
> — a — 1/, a + v\ я („,1 , -14-
l; 2c:
5.
»¦
cxIy{cx) dx =
[-Rei/ < Re a < Re p + 1/2; Rec > 0; |argz| < тг].
^^су-Р/ъ-у '2- ' 2y
X eczW{1^p)/2jl/+il^p)/2Bcz) [Rec>0; Rei/ > -1/2; Re (p - 1/) > 1/2; |argz| < тг].
1
2.15.5. Интегралы от A(x)e px Iu(cx).
a
j Ж
0
oo
f "P*2
J 6 ^ Ж Ж ~
0
00 _ / 9 \ i
3. е^рш /i(еж) ^ж = — exp ( — J — 1
J c[ \4pJ J
[Rei/ > 0; Re a > |Rec|].
[a > 0; Rei/ > -1/2].
[Rep > 0; Reu > -1; |argc| < тг].
> 0; | argc| < тг].
2.15.6]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
273
oo
1. \х е~р Iu(cx) dx = Аи
[Re p, Re (a + v) > 0; | arg с\ < тг],
BрГ
А
/+2п
"ехР I — )Ln\ ~:
Л2 "
hu-Л
[Rei/ > 0],
[Rei/ > -1],
[Rei/ > -n- 1],
[Rei/ > -2].
2.15.6. Интегралы от
) 1и(сх)
2Р2\а^и, a + u] - - +а; — ) -
АЛ I
[Re 6, Rec, Re (a + i/) > 0].
2.
xexp
f —
. 7
J
4. I 1
exp (?-) K0 (?-
[Re 6, Rec>0; Re i/ > -1/4].
[Re 6, Rec > 0].
0 z± = a/6(v/pT~c ± Vp^^c); Refe > 0; Rep > |Rec|
oo
5. [ \ e~px~b/xI0(cx) dx = 2c[zZ1Io(z^)K1(z+) - z^1 h(z-)Ko(z+)]
J X
z± =
0; Rep > |Rec|
oo
¦» ск — 1 —еж — b/x j
J
18 А. П. Прудников и др., т. 2
274
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.6
7. x~*IAe
о
-3/2-сх-Ь/х
I0(cx)dx = J^ [Jo(
и; 1 + v + а, 1 + 2f; 26с
[Re 6, Ree > 0; Re a < 1/2].
[Re 6, Re с > 0].
8. exp(~
о
о
оо
9. f ж"+1 exp (-?
z2
/ 9 *J \ ^P-Z
/6 у ju /
CV P2 — c2 " " ' ' c
2 „+3/2 1// 2 _ 2ч-B^+3)/4
[Rep > | Ree|; Re z > 0].
1йж = ,/-р^+3/2с"(р2-с2)-'"
X К„+3/2(гу/р2 - с2 ) [Rep > | Rec|; Re z > 0; Re i/ > -1].
OO
-i л I / / 9 i 9" \r/ \ j /2 2 \ — 3/2 / -1 , / 9 9" \ / I 9 9" \
10. ж ехр (-руж^ + zA )lo(cx) dx = p(p — с ) A + z\J pA — cz ) exp (-^yp — c^ )
[Rep > I Rec|; |Rez| > 0].
11.
exp (—p\/x2
^Rep > | Ree|; Rez > 0; Re v > -1; 2± = - (p ± \/p2 - ¦
U = Iv/2(z-)Ku/2(z+), Лг = — [exp(^zi/p2 - c2 ) - e~p*].
12. x
0
*_i exp (—
fc=0
/ж2 +
x |АГ(а+1/_1)/2+л(р2;) [Rep> |Ree|; Rez, Re (a + u) > 0].
)dx = Bv [Rep > | Rec|; Rez > 0; Re i/ > -1],
Bo = (p2 - c2)-1'2 exp (-zл/р2 - c2 ),
1
= cexp(-zyp2 ™ c2 ) — +
1 пЛ — cz
14.
15. жж
J
о
- c2 ); Rep > | Ree|; Rez > 0; Re (i/ =p A*) > -1 •
exp (~pVrT?)/j/(ca;) с/ж =
[Rep > | Rec|; Re z > 0; Re v > -1].
exp (—z^p2 — c2
/p2 - с2 {р+л/р2 -с*)"
2.15.8]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
275
2.15.7. Интегралы от А(х)е
J
- ж2 ) dx = - Г
2, Vji g {л/р2 + 1 + p)j М1/2^а5 ,,/a g (i/p2 + 1 ^ p)j
[a > 0; -Rei/ < 2Rea < 2 + Rei/].
oo
¦ ¦ Je-/0(
X \ z
c\Jx2 + xz)dx = —, exp — (p —
-\-
[Rep > | Rec|; | argz
= г(р± i/p2 - c2)/2; Rep > |Rec|; Re Bp + i/) > 0; |argz| < тг .
4.
х(р2-с2)Bр^1)/4еР
5.
[Rep > | Rec|; Re(i/ - 2p) > -2; | arg z
¦e lu\cv xl + xz ) аж =
X exp f — (p — Vp2^^2")) [ReP > I Rec|; Re i/ > -1; | argz| < тг].
р2 - с2 ) "
oo
; + xz) dx =
/+1/2
[ReP > I Rec|; Re i/ > -1; |arg^| < тг].
7.
8.
9.
--1/2
/i(cvr
zI/2e"pa;/i(c^
/9 9 \ 4 /9
(p — c^j^/^
2.15.8. Интегралы от A(x)ef{x)Iv(<p(x)).
z± = - (p± \Jp2 - c2 ); Rep > | Rec|; Re v > -1; |argz| < тг .
) dx = — jexp у- (р - л/р2 - с2 )J - l|
[Rep> | Rec|; |arg2:| < тг].
с?ж =
I Re c|; | arg z| < тг].
Г ск —1
L \4 2
az — жМ V az — ж
dx =
2c
x
= о(а6± \/а262 -с2); аб > с> 0; а, Re (а + и) > о].
18*
276
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.9
2.
¦ехр ( —b
2еж
dx =
2c
z± = a~1(ab± \/a2b2 -с2); ab > с > 0; a > 0; Re (a - z/) < 2].
ж"
t
dx =
; 6, Rez > 0; - Re v < Re a < Re 1/ + 2].
2.15.9. Интегралы, содержащие гиперболические функции
и Iu((p(x)).
/ + 2
акж
a
2. [ ch Fy°2 ~ X
J Vfl2 — ж2
спаж
сЬж
-px-bth«, / с ч dec 1 Г(Цч/ + р)/2, (l + i/-p)/2
C 1 l \
[Rei/ > -1; Re 6 > |Rea| + |Rec|].
- ab)
[a > 0; Re 1/ > -1].
[с > 0; | Rea| < 1 + Rei/].
Г -px-bth«, / с ч
J \спж/
ch ж / ch ж с
X М__р//2, u/2(vb2 + с2 + Ь)Мр/2, 1у/2(уЬ2 -\- с2 -— Ь) [с > 0; | Rep| < Re i/ + 1].
2.15.10. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
и /„(^(ж)).
1 J sin bx
\ cos 6ж
J Va2 - ж2
Iv{cx) dx
J I Jo(«6)/,2/2(y) +nJ2(-
J
a
X /(i/+<5)/2+fc ( ^ ) h^-$)/2-k { -
>Iu(cx) dx =
[a > 0;
Re 1/ > -C ± l)/2; Я =
f sin ac/2 1 f r , ч f f co
lcos(ac/2)j J { si
о
cos (ac/2)
sin (ac/2)
h+i(x)dx\ a>0; см. 1.11.1.
1. ж sin (bVa2 — x2 )Iq(cx) da
a; = J| al/+3/26cl/F2 -
bs'm (a\/b2 — c2 ) a6cos (a\/b2 — c2
-V0z - c^ J
[a > 0; Re i/ > -1].
[a > 0].
2.15.11]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
277
а
Г cos (Ьл/а2 -
J уа2 — ж2
cos (Ьл/а2 - ж2 )
9
2
Г cos (bVa,2 - x2) / x 1 r / /73 r-. ,
6. -—- l\(еж) dx = — [cos avo — c2 ) — cos aol
J л/a2 ~~ x2 ac
о
xv Iv{cx) dx = J— av ' cv'(b — с )~
cos (b-\/a2 — x2 ) ( л sin (a-\/b2 — c2 )
= a(b± л/b2 -с2); a > 0; Rei/ > -l].
[a > 0].
о
Г
8. jx
4
о
a
J
0
a
/б2 - с2
Ш. fa-
0
h{cx)dx =
2I/+1T(i/ + 3/2)
ГГзшЬж) , . ч fsinF7r/2)
11. < , I, CSini dx = 7Г J
J [ cos 6ж J
0
cos (бтг/2) /J
[a > 0; Rei/ > -1].
[a > 0].
[a > 0].
[a > 0; Rei/ > -1].
(l)
[6 > 0; Rei/ > -C±l)/2].
13
о
а2 + b2 - 2abcosx)dx = (-1)те2тг/п(а)/п(&)
[a, b > 0].
о
2тг
14.
15.
\/a2 + 62 — 2a6 cos ж
sin ж sin (n + 1)ж
/a2 + b2 — 2ab cos ж
sin (ж/2) sin [Bn
1 ;
Mivfl2
J l
- b2 — 2abcos,x s
b±a
0;a^ 6].
— 2а6созж ) dx =
¦ [/n(a)/n+2(b) - /n+2(a)/nF)] [a, 6 > 0; a ^ 6].
2.15.11. Интегралы от жае рх< >1^(сж).
I cos ож
Обозначение: <5 =
< >.
oo
L. |е^рж
cos 6ж/о(сж) dx =
Я2 + p2 - b2 - c2
2R4
Я4 = (p2 -b2 -с1I +Ap2bA] Rep > | Rec| + |Imb|].
278
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.11
2.
>Iu(cx) dx = Aa [Rep > I Reel + I Im6|; Re (a + v) > -A
2/si
22^
- )(г + 166 с ) < ^
2 / [ cos <р J
^) (И
2 /
BсГ / , / 2 , л 2^"/ Sill(9l
-—— (г + Vr2 + 4с2 ) < >
I/ I COS в j
[Re i/ > -C±1)/4],
[Re v > -E±1)/4],
[Re i/ > -(l±l)/2]
r = л/2 {b2 +p2 - с2
+ (p + cJp2 + (p - cJ
25
25
= Bi/ + 25 + 1) arctg —
r
r V rz —
25
, ф = Bi/ + 3) arctg — 4
r
= v arcsin
/
r V rz —
oo
f -1 <~) I
3. — е^рж sin 6ж/о(еж) с!ж = arcsin— [Rep > I Reel + I Im 61; г см. в 2.15.11.2].
J ж г
Г 1 1
4. ^e рж sin bxli(cx) dx = - (.Rsln (p — b)
J x с
[R4 = (p2 ^62 ^c2J +4p262,
= p2 - 62 ^c2; Rep > |Rec|
f 1 _ 1
5. — e px cos bxh(cx)dx = - (p- Rcosip) [Я, у> см. в 2.15.11.4; Rep > | Rec| + | Im6|].
J ж с
6. | —e рж sin bxli(cx) dx =
r 2
[R4 = (p2 ^b2 - c2J +462p2, tg0 = 6/p,
oo
Г ^cx ( slnbx 1 . .
7. e < . >/о(сж) dx :
J [cos bx J
sin (^> + в)] +
с / R sin y? + \/p2 + b2 sin ^
ГТ7 arctS
%/26(&2+4c2)
= p2 - b2 - c2; Rep > |Rec| + |Im6|].
F +V&2+4c2)±1/2 [6, Rec>0].
2 ' 2
cos [(a + ^)тг/
1 . 4c2
F3
3 2i/ + 5# 3 3^ 4<
~? 4 ' 2?l/+ 'F+2' 6
[0 < 2e < 6; -S - Re v < Re а < 3/2].
9.
а + ^ + <5, 1/2- a - 6
^ —2
2.15.13]
2.15. Модифицированная функция Бесселя Iи(х)
279
+
3-2J7 1 5-2a 3-2a
^^5 2' ~~4~' ^^5
-* /cos[(l-2aOr/4]^r^_3^)x
f
X 4^3
2.15.12. Интегралы от
Обозначение
BCK/2v^lstn[(l~2aOr/4]
2i/ 3-2i/ 5 + 2*/ 5-2*/ 3 7 - 2a 5 - 2a 62
4 ' 4 ' 2' 4 ' 4 ' 4c2
[0 < 6 < 2c; -5 - Re i/ < Re a < 3/2].
е: <5 = < >.
жае^рж|
sin
COS
-a,
[6, Re с > 0; Rea < 1; Re (a + v) > -8/2].
2.
Sin
cos
x exP ( ~J^)WE^)/2'(v^$)/2l^;
« 7 -1/2 _c*
J
[6, Rec> 0; Re i/ > E - l)/2].
/^" ( b2 \j Io(b2/(Wc))
4/ exp < / 9 lf хч
V 2c FV 16c Л Ко (b2 A6c
/о(сж) dx = 4/exp< / 9 lf хч
l ; V 2c FV 16c Л Ко (b2 A6c f
о l J [6, Rec>0].
2.15.13. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию
и Iu(ip(x)).
ь
1. ж In — /о (еж) dx = ^г /о Fс) /о (ас) /i (ас) In—
J ж с^ с^ с а
а
1
2. ж1пж/о(сж) dx = — /о(с).
о
оо
3. \ е~рх In ж/0(сж) dx = (р2 - с2Г1/2[1п (р + л/р2 - с2 ) - In (р2 - с2) - In 2 - С]
[0 < а < 6].
[Rep > |Rec|].
4.
4
x = ^— ехр( — ) 2 In ^ + EI ( ^ —
4р \4р/[ с \ 4p
[Rep > 0].
280
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.14
6.
Z2 ±z)Io(cx)dx =
-с2 , А = - [erz Ei (~rz-pz) - e^rz Ei (rz - pz)}; Re z > 0; Rep > | Re c\ \.
r J
Г -РЯ5
J
3. le^pxln(a
.r. /
л ! P^
ax = - eF
r
pz\ _Ец_
-rz/2
i
In
— Ei
/
i
x = - epz/2 \e^rz
rz/2 In
2r
| 1^^. |argz
- erz/2 EI (^rz
> | Re c\; | arg z\ < тг I.
9. —r-In/о (ж) da; =—.
J ж2 2
о
2.15.14. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические
функции и /^(сж).
1
It.. I L\ /О I
2
Г cosFar
/ с
V 2
[Rei/ > -1].
2.15.15. Интегралы от A(x)JfJb((p(x))It/(cx).
а
1. (V+1(a2 - ж2)м/2 J^bVa2 - х2 )Iv(cx) dx =
- с2
а > 0; Re^, Rei/ > -1].
а
2. ж (а
2 2\—1//2 —1
1» i '
т ( / 2 2\г / u
J,(c^ - х* )Iu(cx) dx =
[a > 0; -1 < Re i/ < Re/j].
3.
x
,2Л2
a
1. f ^"^"^a2
a
. f 1-й, 2^ 2vM/
= 2"
^^
[a, Re(a + v) > 0; Re jw > -1].
-у .Л /o 1
/z ' -1 J
[a > 0; -1 < Rejw < Rei/].
с v ^ Ju-\-i(x) dx
[a, Rei/ > 0; Re fi > -1].
2.15.16]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
281
6.
McV^^^)I0(cx) dx = 2
2)
[а > 0; Re/i > -1].
7. |ЖТ>2 - x2)±l/-1/4J±2^1/2(cVa* - х* I„(сх) dx = 2T"-i/V1±1)/2 x
О
X Г*1 (и + ±) а±2"С±"-1/аЛ (у) J±, (f) [« > 0; ± Re и > -1/4].
2.15.16. Интегралы от хае~рх" J^(bx)h(cx).
1/2
Rep > | Rec| + |Im6|; Re (u + v) > -1; fc = -= 1 ==
7Г
^2,2 =
2
^2
fe) - 2A - 2fc
жл/bck
:)™5/4[(8 - 23Jfc2 + 23ife4)E(Jfe) - A - ife2)(8 - 19Jfe2 + 15A;4)K(A;)].
dx = B^} v
Rep > | Rec| + |Im6|; Re (a + /x + i/) > 0; r = 2™х/2{р2 + с2 - 62 +
^/(p2 + 62 -c2J +462c2
x 2F1 ( —к, —и — к;
/r2 - b2
Bl . = ^ JL
3/2
-1/2],
2p
- A2)K(A)],
- А2Г3/4[(8 - 15fe2 + 3fe4)(l - k2)K(k) - (8 - 19fe2 + 9fe4 - 6Jfee)E(A)].
oo
i/ + 1, (fji-a- i/)/2 + 1
a + i/ - /x
2i/ + l 2i/ + 3 1
1
2'
4c2
282
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.16
6"+^+! [v + 1, (l + д - a - i/)/2j
3 Ac1
4.
|> + )//]
[( - «)/2 + 5/4J
2 ' 4 ' 4 ' 2'^ ' ' ' 2' 6
[0 < 2c < 6; Re(a + /x + i/) > 0; Re a < 2].
5 /x + a 5 /x - а ф
4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 2' 4 2' 4 2 '
2 1\ [(/i + a)/2-3/4|
4 У L()/2 7/4j
3-2i/
3 7 /x + a 7
4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 2' 4 2~' 4 + 2 '
2М^а [1/2-a-/x, /i + i/ +
1 I
2 ' 2
/x + i/ + a /x + i/ + a 3 /x + a 1 /x + a
5 + +
oo
0
oo
J
(ft2
'
[0 < b < 2c; Re(a + ^ + */) > 0; Re a < 2].
[6, Rec> 0; Re и > -1].
-Л, -v - k\ /x + 1; - —
[Rep, Re (a + /x + v) > 0].
.«.„, , [Rep > 0; Re i/ > -1].
4F ; \2p ' lf' j
'ш ^+2(Ьж)/п(сж) с?ж = —^— exp I J
- bcDpn + 8p + b2) Jn^i ( — ) + [1пр2п(п + 2) + Dpn - c2)b2 + b4} Jn
- I -px- т /и \т ( \ J 1 fc2 - Ь2\ т f be
7. же Jjj^bxjlt.ycx) dx = —exp
8.
2p
OO
. f
J
) 16c(c2
4p) Jn
bcDpn + 8p - c2) Jn^i f ^ J - [16p2n(n + 2) - Dpn + 62)c2 + c4]Jn (^-
10. f
J
= -^- Jo j —
4pd \ 2p
[Rep > 0].
+
[Rep > 0].
[Rep > 0].
2.15.18]
2.15. Модифицированная функция Бесселя Iи(х)
283
2.15.17. Интегралы от жае
v(cx).
J
^=exp (
6у2тге V oc
3.
2a+3"/20r
[b > 0; Rep > |Rec|; Re v > -1].
[b, Rec > 0; Re v > -1].
At/2 J
1 +
a,
&2
—
[6, Re c, Re (a + v + fi/2) > 0; Re a < 5/2].
4.
^^
1/2
oo
. f x(±
0
. \ xK И e Jsu-i/2(by/x)Il/(cx)dx
. J ж-(
(cx) dx =
exp I- —- J Kv
IDC
[6, Rec> 0; -1/6 < Re i/ < 1].
2 exp Г-^ /а„
[6, Rec > 0; Re v > -1/2].
2.15.18. Интегралы от жае"ржТг
2+")
4c2
¦7ГГ
а-ц
, (с*-// + */
2f + 3 2гу + 5 _, 3 3 4c2
-j-, -j-; , + 1, ,+ -, -; - —
[6, Rec > 0; Re (a + i/) > |Re/x|, Re a < 2]
284
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.19
ОО
. l
J
4р \2р
[Rep > 0].
2.15.19. Интегралы от А(хI^((р(х)Iи(сх).
= 2 а,
а + и + и а + и + 1
2 ' 2
1; /3
22
1; а с
[а,
i/) > 0].
2.
dx =
Л2
[а > 0; -1 < Re(/x + i/) < 0].
3. \x2"(a2 - x2)~l/2Iu-1(cx)h(cx)dx = -Г[- - Л(асI hBac)
a
4. f ^ /? (ex) ^ = -i- h Boc) - i
J жл/а2 - ж2 2a^c 2o
a > 0; 0 < Rei/ < 1/2].
[a > 0].
5.
Il(cx) dx =
- J2Bac) + 2acJ3Bac) [a > 0].
sh ac
а
6. /^(ае — схIи(сх) dx =
о
а
Г 11
7. 1\-и(ас — cx)Iu(cx) dx = - ch ас /о(ас)
J ее
о
a
8. xa~1IfJl(ac - ex) I и (ex) da
[a > 0; |Rei/| < 1].
[a > 0; -1 < Rei/ < 2].
a
Г 1 1
9. — 1и(ас — ex)I„(ex) dx = — /»+1/(ac)
J ж i/
0
10. la(
Jo-ж
[a, Re(a + v) > 0; Re jw > -1].
[a, Rei/ > 0; Re /i > -1].
ac — ex) Iи (ex) dx =
a + u + k
A;!
хГ
"T"
(a
11
a
J ж(а —
• — ex) I и (ex) dx = Ia+u(ac)
[a, Reu, Re(a + i/) > 0].
[a, RejLA, Rei/ > 0].
2.15.20]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
285
а
12. Г ж" (а-
1±1/2, v + 1/2
/2тгс
[а > 0; Ша > -C±1)/4; Re* > -1/2].
13.
а
14. ж (а
+ c
2r(M+"+1)/2
[а > 0; -1/2 < Rei/ < Re и].
/M+l,+i(aV62 + с2 ) [а, Re6, Rec > 0; Re^, Re i/ > -1].
2.15.20. Интегралы от хае рх 11Л{ЬхIу{сх).
ОО р
1. е~рхIu(bx)Iu(cx) dx = Л^ Rep > |Re6| + |Rec|; Re v > -1/2; к =
{ I
46c
- F - cJ '
2 _____ i 2 _____ 2
/v-1/2l4 26^
1
AQ =
nkybc
2. lx*-1e-*°Ubx)Iu(cx)dx= *\+ r\ « + ^ + 4
J MV ; l ; 2^+I/po:+^+I/ L/x + 1, i/ + l
x F4
[Rep > |Re6| + |Rec|; Re (a + /i + i/) > 0].
CO
oo
oo
5. l ха^ге^рх1^(
dx =
- (b + cJ + ^p2 - F - cJ ; Re(^ + i/) > -1/2; Rep > |Re6| + |Rec|
[Rep > 2|Rec|; Re (/i + u) > -1],
рУ 2c
p / \ p
) ^^ = C^ u
1, I/ + 1
_, . ^ + i/ + 1 д + i/
Re (a + /i + i/) > 0; Rep > 2| Rec|; z =
a + /i + i/ + 1
/p2 - 4c2
P
4c2
286
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.20
Ac'
1/2 -
° - P
p> /2c\ / 4с*\ /2c\ 1
p
[Rei/ > -1/4],
[Re v > -1/4],
2c
J
I I
P / P \ P
x 3F2( a + м - ?/, a + u + is, 11+ -: a + u+ -, 2u + l: -- 1 +
1 2 2 c;
1 # 3 _ 3 _
V' 2 ' a' 2 a + ^' 2
7.
f
J
8. же рш Iи (bx) Iи (ex) dx = — exp
4p
[Re F + c), Re (a + // + t/) > 0; Re a < 1].
Ц + к + 1
[Rep, Re(a
[Rep > 0; Re i/ > -1].
M б2
9.
OO
- bc{Apn + 8p - 62)/n^ f ^
\2p
)б?ж = 2 M " xc
¦')'-(i)-
n(n + 2) - {Apn - c2)b2 + b4]In (^
\2p
[Rep > 0].
11. ^
J
12.
2 ' 2
рж /2 (еж) Gte = — exp ( — ) | /,( — ) + 2 ;
[Rep, Re(a + ^ + i/) > 0].
[Rep, Re и > 0].
[Rep > 0; Re i/ > -1].
2.15.24]
2.15. Модифицированная функция Бесселя 1и(х)
287
2.15.21. Интегралы, содержащие произведения трех и более функ-
функций 1„((р(х)) и Ju(x(x))'
оо г-
. \ e~{2b+c)xIo(bx)Io(cx) dx = 4V2
J 7T2CV
= с~1(\/26 + с - V/26)(v/26 + 2c -
оо
. f
J
а
с ,
. хJ^cx) Ju(cy/a2 - ж2 )/м(
J
- к2 )
); Re&, Rec > о].
[Rec>0].
а2 - ж2 ) с/ж = (-
-)
2Г[/х + 1,
lF4
2 ' ^ ' ' ^ 2 ' 16
[a > 0; Rejw, Re v > -1].
2.15.22. Интегралы по индексу, содержащие /г/±ж(с).
[Rec > 0].
2. cosfea;/I/+a.(c)/I/-a.(c) & = ~ w2l/ ( 2ccos -
2.15.23. Интегралы от f(x)/Iu(x).
OO I/ —1
, ч dx = 7Г cosec -
1о(ж) 2
1 < 6 <
6 > 7Г
— к-й положительный нуль ,/о(ж)].
2.15.24. Интегралы, содержащие Ел((р(х)Iи(сх)
оо
Г 1С
1. El (-bx)Io(cx) dx = arcsln -
J CO
о
2. f xaEi(-
[Re (Ь- с) >0].
ol + v а + и а
2 '
3. a;Ei(-
J
о
OO
4. Js-Eil
2
6
[Re F- с), Re(a + i/) > 0].
[Re (b- с) > 0].
J
7
Ei (-6
2 ' 2 '
j dx == f 1 j ть\
- exp
с
' 45
f2 1 / г2
[Re b,
k + i/) >0].
[Re 6 > 0].
OO
. ж Ei [-6B + уж2 + z2 )}I0(cx)dx = -
exp [
L
F
[Re F- c), Re^ > 0].
288
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.25
оо
Г. p"Ei(-
О
оо
** J
)dx = --
(СХ ) б?Ж ^= —
9.
1 2е
X 3F2 ( a + i/, a + i/, г/ + -; a + г/ + 1, 2г/ + 1; -— ) [Re6, Rec, Re (a + v) > 0].
/I 0
2c
T
/ 1
V 2 &
а + 1/-1, 3/2-al _ / n 3 o o .2c
3f2 И i a; 2-a-i/, 2-a + i/; ± —
2 + v - a \ \ 2 b
[Re 6, Re c, Re (a + i/) > 0; Re a < 3/2].
оо
10. f a^eF~c)a; EI (-Ьж)/„(сж) da = --
.Г|--,|х
2с
El (^
. f xvecx
о
oo
. f жаЧ El {-bx2)I^{cx)h{cx) da
0; |Rei/|<l/2].
[Rec > 0; |Rei/| < 1/2].
x 4F4
а + д + I/
(a
2 ' 2
л
h 1,
2.15.25. Интегралы от
2 ^ ' b
же < . ;, ; >1и(сх).
2 ' 2
[Re 6, Re (a + /i + и) > 0; | argc| < тг].
sin[(a + i/Or/2]
cos [(а + 1/)тг/2]
X 5F4
2i/ + l 2i/ + 3 а + i/ а +1/ + 1 а + i/ ol-\- v
4 ' 4 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2
cos [(а + ^)тг/;
1 1 4c2
-, ,, + 1, -; _
3 3 4c2
2' 25 "ftT
2.15.26. Интегралы, содержащие < г
[ егтс (ож )
оо
1. erfc Fж)/о(сж) с!ж = — erf (г—)
J с V 2о/
2 ' 2
[6, Re с, Re (а + */) > 0; Re a < 5/2].
f erf (b
lu(cx).
[|arg6| <тг/4].
2.15.26]
2.15. Модифицированная функция Бесселя Л, (ж)
289
2.
г/ a + i/ + l a + i/ с
,^—;^- + !,„ + !; —
[Re(a + i/) > 0; |arg6| < тг/4; Re с > 0].
Т
2a
4 ' " ' iJ 2 ' ^' 64
< тг/4; Re (a + v) > 0; Re (b2 - c) > 0].
4.
f erf Fж)
[ erfc Fж
4 4
а + I/ + 1 а +
+ i;
з
2'
'2' bV"\0/ 0F
[ 1 + u-a \ [ ' 7 '\ Ке(а + г/)>0 /J
a + ., + 1/2
OO
6. Ja;-1/
О
oo
7. ж^е^
о
-,а + 1/+-,
erfc
/; а
Rec>0; |arg6| < тг/4,
In A + ff
2тгс V ®
-Re i/-1/2 < Re a < 1/21
Re (a + v) > 0 J J
и (сх) dx =
[Re с > 0; |argfe| < тг/4].
[Re с > 0; |arg6| < тг/4; -1/2 < Rei/ < 0].
oo
8. xv^ I ecx erfc (\/2cx )Iu(cx) da
J
9.
x2F2[«/+-, ; ^^
[Re i/ > -(
[Re с > 0; -1/4 < Re i/ < 1/2].
X
' , 3i/ ± v + 3 c2
2 ' 62
arg6| < тг/4].
19 А. П. Прудников и др., т. 2
290
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.15.27
* erfc (ЬХIЛ
J4F4~2~ + 1> 2 ' 2
1+ 1
[Re (a + /i + i/) > 0; |arg6| < тг/4].
- Т^
4 ' 4 ' 4 ' iJ 2 ' 2 ' x>" ' x' 646V
¦ 0; | argfe| < тг/4].
2.15.27. Интегралы от жае
"сж{
J
a-1 -еж
в
а + I/ + 1/21 Г cos [A - 2а - 2i/)tt/4]
J
sin К1 - 2a -
3 а +1/ а +
' 2'
-2
cos [A - 2a - 2i/)tt/4]
i/ + 1
sin [A - 2a - 2i/)tt/4] \ ^2i/ + 3 2i/ + 5 2a + 2u + 3 2a + 2u + 5
3 3
2 5 2
4
а
[6, Rec > 0; -B ± l)/2 - Rei/ < Rea < 2].
00 — —
. jx r(At,6x)/,(ca:)dx=^T77(-) Г^ v + i j
; ^ + 1, , + 1;
i/), Re(a + t/) > 0; Re 6 > |Rec|].
, Re (a + i/) > 0].
x 3^2
2
/, a + i/; a + i/+ 1, 2i/+ 1; -"r ) +
Ц 0 J Vtt
2.15.29]
2.15. Модифицированная функция Бесселя Iи(х)
291
„[ц, a+ v, 1/2-а] Г , ч f Re/i > 0; Rea < 1/21 ]
ХГГ' ' Re 6, Re с, Re (а +/х + z/) > 0, \ ' ч Ч-
[ 1 + 1/ -а J [ V ; 1 Re (a + i/)> 0 /J
2.15.29. Интегралы, содержащие DfA(bxr)Il/(cx).
00 —Г 4-Ч
J ^ 6
-\- и а + и + 1 1 + а + и — /х
; ^т^ [Re(a + i/) > 0; |arg6| < тг/4].
оо
г. Jx-c
da; =
¦I/ а + i/ + 1 2i/ + l 2i/ + 3 1 1 1 + а + i/ - /х 2с2
~' 2 ' 4 ' 4 ' 2' ^+ 2' ^+ ' 2 ' "W
« + I/ + 1
+ 1, (а + 1/-М)/2 +
+ 5. 3 ^ , 1 ^3 а + i/^/i , Лш 2с2
[Re с, Re (а + */) > 0; | arg 6| < тг/4]
3.
и'е~ь2х'''/4~сх
) dx =
ОО
1( ) | /X X _ 2
)v {
;}¦
±2^ , 4c\
+ а + v\ ±— I
2, A-/х)/2-а
l + i/ - а - /х/2
x 3F2 \-?,
1 — д 1 —
4c
; —
oo
Rec > 0; |arg6i < B±1W4,
)с!ж =
0 j
62а+2г/ L17 + !> (а + М + ^)/2 + 1, (а + I/ - /х + 1)/2
2 ' 4 ' 2
а^м + 1/ + 1 4<
+1,
2
r on
[Re(a + i/)>0; Re (b2 - 2c) > O].
19*
292 Гл.2. Определенные интегралы [2.16.1
. f x~1/2D^v^{b^x )Dv(b>/x )h{cx) dx =
6.
0
р
52 J^i/4 ^ 52
2.16. ФУНКЦИЯ МАКДОНАЛЬДА К„(х)
1 3
При i/ = zb —, zb —, . . . функция Ku(x) сводится к элементарным, в частности,
При вычислении интегралов от К„(х) можно использовать формулу
KJcx) = —^ \I-Jcx) - IJcx)] [и ф 0, ±1, ±2, ... ].
2 sin итт
2.16.1. Интегралы общего вида.
(Интегралы, содержащие Ки(сх), см. также в 2.13.1.)
а
1. [xa~1(ar-xrf~1e±cxKl/(cx)dx = Ut [a, r, Re/3 > 0; Rea > j Re i/|],
=
2r
fc=O
;/1 [2^...,-2, -1,0,1,2,...],
^ tj.
2r v^7 ^^ A;! v 7 n! V 2 / ^^
¦ fe=o fe=o
хГ
./3 + (,a + n + fe)/rj [ ' ' \2 )
1 / л/ _L n _L I» \ 1 / л>, I >n I L \
(±2ac)
17;
-(-1) 2y/*Bac 2^к]{2п +
oo
. f жа-1(жг - cT^V^i^Cex) с/ж = V^
Г
a a, r, Re/3 > 0; rl - k - a - r/3 + г ф v, -v; k, I = 0, 1, 2, . . . ,
Г Re (a + r/3) < r + 1/2; | arg c| < ж 11
I Re c> 0 j J'
2r
fe=O
A/2-»/)*
_ г_гЭ_а ^ (l-^^fa + «/ - A - /3 + l)r, a-v-(l-0 + l)r]
2.16.1] 2.16. Функция Макдональда К'и(х) 293
х [sec (а- A - /3 + 1)г)ж cos иж]{1±1)/2 BасIг [2и ф . . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . . ],
1=0
_ 2Bп)!/ асу A/2 + n)m ^[1-/3- (ш + п + а)/г]
m ~~ ,»! I О / /rv,! /^ i О^М 1 /^ I «о I ^\ 1гг.
Г / ч /1 \ 1
х ^ч га + 1) + -0(га + 2п + 1)^^ ™±гг±ттг ^
V 2 / г
^ М
3.
( )
0 г
\r > 0; Re a > | Re i/|; r| arg z\ < тг; rl — k — а + грфи^ —v\
0,l,2,...,{Re(a-r")<1/2;|
I Re О О
fe=0
2 \T
[sec (а - rp- lr)w cosi/7r]A±1)/2Bcz)lr [2i/ ^ . . ., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
m=0 J 1=0
Q _ 2Bn)!/ cz\^ A/2+ п),
m п! V 2 / га! (т + 2п
хГ Р 1
-) -0A + ra) + -0A + ra + 2rc) -t/jf-zbrainj -
- ^ 1 + - -0 (P ln Bc^) (±2c
rv r / r V r / J
294
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.1
4. [ — e±cxKJcx) dx = Xt
J xr-yr l ;
г, у > 0; Rea > \Reu\; rl - k - a + г ф v, -v; k, I = 0, 1, 2, . . . ,
Re a < r + 1/2; | arg c\ < ж "
Re с > 0
¦}]•
Mfe(l/) = I —
VC2/
Ctg
1=0
7Г,
x [sec (a - r - IrOrcosi/7r]A±1)/2Bc|/)r [2i/ ^ . . ., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
oo -4 oo
Рт =
2Bra)!
2ra)!/
n! V
2 J т\{т + 2п)\
'1
ctg тт[фA + m)
r
g fc!(
(n + fc)!
2тг а + га + гс
— cosec 2 тг — in Bcy)
г г
fc1 ^
} + g
OO
. f ха^1е^рхГ±схКу{
J
Rep > 0; Rea
2с
[ Re с > 0
2r
1/r
± _
n ~
^1 Rk(n) fM 2c \k , 2Bn)!
ife!
1 . Л 1
2 )
- In
2c 1/ 2c
> 1,
2с
2c
2.16.1]
2.16. Функция Макдональда Ки(х)
295
fe, a — у + rk
- a.-\- rk
У^ при г = 1 см. в 2.16.6.3.
6.
г, Re» > 0; rl - k - а ф г/,
а/г °° -1
1г=0 '
Г
-v\ k, I = 0, 1, 2, . . . , {
Rea < 1/2; largcl < тг
Rec>0
1=0
[2v ф ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
m=0 -^ 1=0
n)
/ а
! V
P
^l/ о l/r\k/ i\n
/«т.
l/r\n+l/2
7 ) 7
7.
r }Kv(cx)dx = -*- С/„@, О)
J 2
Г a-1 - xr f
8. \ x e p <
J [cos ox
0
9.
соябж
, r, Re с > 0; |Rei/| - (r ±r)/2 < Re a; Uu{l, e) см. в 2.13.1.7].
-i ж — 2 И ? J
), r, Re с, Rep > 0; Re a > | Re v\ - r(l ± l)/2; КG, e) см. в 2.13.1.8].
I 6, r, Re с > 0; Re a ;
0/ '
296
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.1
л (,л= /261/гуГИA/2-^ (а-и-
\ с J (l-2z/)fe V г
sin [{a + к- |/)тг/Bг)
[r > 1; 2i/ 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
Vn{y)=b^lW^
2r I to
A;!
2c \fc 2Bn)!
sin [(a + тг + А;)тг/
а + п + А;
2г
1
г
2с 1 / 2с
ITT^ lr > 1],
fc=0
2c
x Г
a + n + A; + 1/2^ / sin [(a + n + A; + 1/2)тг/Bг)]
г / [ cos [(а + п + А; + 1/2)тг/Bг)]
'i/тг ^ (^l)fc
1/ Jc_
A 6v-
[r > 1],
Bс
х Г
*+-* ^ofe!(l/2 + <5)fc
а + и + r<5 + 2rA;, a. — v -
1/2 + а + гё + 2'
х
A-7)-
A/2
2гк)ж х
.г/2а-2*-1'
Г sin [Bа - 2к - 1)тг/Dг)] 1 / Ь1/г\
Х 1 cos [Bа - 2^ - 1)тг/Dг)] j \~te~)
Vu(j) при г = 1 см. в 2.16.18.1.
2г
к
< 1],
10.
\ cosbxr f
6, г > 0; | Rei/| - r(l ± l)/2 < Rea < r + 1/2; |argc| < тг, ^G) см. в 2.16.1.91.
_i Г1п(ж
тг
11. | /"N Г^ + ^ ^/^(ca;)da; = --^@, 0)
In |ж — z | J 2
о
г, Re с > 0; | Re v\ < Re а; rl - 2k - а ф i/, -t/; Z, A; = 0, 1, 2, . . . ,
|Г arg2:' < ^j, W,G, e) см. в 2.1ЗЛ.9].
oo
12. [ xa^1J^(bxr)Ku(cx) dx = --Uu{0, 0)
0
[б, r, Re с > 0; Re (a + fir) > \Reu\; Uu{l> е)см. в 2.13.1.ю1.
2.16.1]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
297
14 f ^ra^1p±cx J (h-rr\K (
x) dx = У?
\b, r > 0; Re (a + fir) > | Rei/|,
2а/г ~ i ~
fc=0
Re a < Cr + l)/2; | arg c\ < ж
Re с > 0
21/r~1c
[г > 1; 2i/ ^ ..., -2, -1, О, 1, 2, ... ],
А;!
2l/r-l
n)fc
n)/{2r)
,/1 , , Л 1 ,//ir + a + fc + n
^ — -0 - dz n dz A; I ф\ —
r\2 I 2r*\ 2r
1 f /ir — a — к — n
1 - In ¦
-k=o
±-
[r > 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
^QklBn + k + l)l [(цг-а-к-п- l/2)/Br) + 1
> 1],
1/2 + а + fir + 2rk
x [sec (a + fir + 2гк)тт cos i/тг]
OJ r^i ЬBа-1)/Bг)
14.
CO
15. Jx-J
oo
16.},-,
r, Re с > 0; Re а > r| Re /л\ + | Re v
dx = -- 17+@, 0)
b > 0
' 1 Re 6 > 0 /'
[Г < 1].
, e) см. в 2.13.1.11 .
[r ^ 1; | arg 6| < тг; Re с > 0 при г < 1; Re (с - 6) > 0 при г = 1;
Re (a + ftr) > | Re i/|; ?/^"G, e) см. в 2.13.1.10].
Vtt op ^^ 1
dx = ; ; r
x Г
a + v + /ir + 2rA;, a — и + /ir
[r ^ 1, | arg 6| < тг; Re с > 0 при г < 1; Re Bc - 6) > 0 при г = 1; Re (a + j^r) > | Re u\].
298 Гл.2. Определенные интегралы [2.16.1
оо
Re с > О
fc
1 ~ ~ / 21^1/ггЛ
о / \ __ i " " I ^ у /\'/ "-1 •" /к ip|i^ i (си + & — f)/r, l/2 + (i/—-a—-«j/r
± _ 2(r^1)/2^a ^ (l/2 + /x)fe(l/2-/x)fc [a + i/ - r/2 - rife, a - i/ - r/2 - rfc
2 A/2 + м)>A/2 M)t Г a + „ r/2 rk, a и г/2 г к]
/2^ 2^ jfe! L (l)/2 + fc J
1(i±D/2/2'-1Cr\fe
r / г ч 1(i±D/2/2'-1Cr\fe
sec a — — — rk 1 ж cos i/тг :
I \ 2 / J \ о J
r / г ч
x sec a — — — rk
I \ 2 /
[r > 1; 2i/ # . . . - 2, -1, 0, 1, 2, . . . ; l-b-r/2-a/i/, -i/; Aj, / = 0, 1, 2, . . . ],
6Vr
„/ с W2n)! ^ (l/2 + n)fe Г/1+ (a + fe + ra)/r, 1/2 - (a + A; + n)/r .
fe=O
|_ \2 / r \ r
r I 2 r
fc=O
r/x+(a + fc + n + l/2)/r,l/2-(Q + fc + n + l/2)/rl/ 2^c\\ . ^ .,
1+ — ( -\- k -\- + 1 /2) / I ^V^ /I ^r ^
'i\ г^1-20-1-)/^» ^ (i/2+ i/)fc(
о
Г/i + (a - к - l/2)/r, A + r - 2a + 2fc)/Br)l / 6 \
L i + +(i/2+ fc)/ JV 21Vr/
fe, a — v
с«+гтхГ(^ + i) Z^ jfe! B/i + i)fc [ 1/2 + a + r/i + rit
x [sec(a + r/i + rfcOrcosi/7r]A±1)/2(^ I [r < 1],
\ 2r cr/
Zt при r = 1 см. в 2.16.29.4.
2.16.1]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
299
18
Е! (тЬхг)К4сх) dx = --0„@, 0)
О г
г, Re b, Re с > 0; |Rei/| < Re a; Uu(j, e) см. в 2.13.1.13
oo
19. Г ха^гe±cx El(^bxr)K1J(cx) dx = Xf [r, Rec, Re/5 > 0; Rea > |Rei/|].
b~a/r y, 1
fe=0
r(i/)(l/2-i/)fc
g + fc-i/
x Г
fc=0
a + n + A;
-"У V
261/"-/ n!
[r > 1; 2i/ 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
"B^)!f (l/2 + n)fc
¦фBп + к + 1)-ф[1±п±к)+ г
\ 2 / a + n + «
2c 1 Л 2с
(n + A;)!
^ Jfe!Bfi + A; + l)!(a + n + A; + 1/2)
61/
Г
n + l/2
[r > 1],
2c
[r > 1; n = 0, 1, 2, . . . ],
a + i/ + rA;, a — и -
a + 1/2 + rfe
" Bc)a f^klk
x [sec (a + гк)ж cos i/тг]
x (sec аж cos i/тг
"Г
Bc)« L "+ 1/2
С — гф(а + i/) — гф(а — v) — гф ( — =p a ) —In —:—
\2 / 6
, J1! ^ hd-2a)/Br) у A/2 + i/)fc(l/2 - v)h Ba ~2k~
\0]У2с ^ A;! A/2 - a + A;) \ 2r
2c
[r < 1; rl-кф 1/2 - a; A;, Z = 0, 1, 2, . . . ],
^ при r = 1 см. в 2.16.57.5.
oo
20. f /"^^^ EI {-bxr)Kv{cx) dx =
r, Re 6 > 0; Re a > | Re v
¦{
Re a < r + 1/2; | arg c| < тг
Rec > 0
2r
(l-2i/)fc
k-v
^Cq + fc - ^Or/r]
(Q + Jfc-i/Or/r] '
300
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.1
а + v — г — гк1 а — и — г — гк
х [sec (а — г — гк)тг cos иттр '' ( —-
1/2 + а — г — гк
-{Ёт^П^
[г > 1; 2i/^..., -2, -1,0, 1, 2, ...],
»Bп)!
г у sin [(а + п + А;)тг/г]
7Г a + fi
^ + - Ctg
r \ r I r r
7Г +
¦A-7)-1
ЛО I ЛС 1 I 1/±/ \
2г 1 ^^ А;!
lfc=O
[г > 1; г/ - к - а + г ф и, -щ I, п = 0, 1, 2, . . . ],
2с хк
(п + Л)!
cos1[(a + n + к + 1/2)тг/г] / 2c
[r>l; rl-fc-a + r^n + 1/2, -те - 1/2; I, n = 0, 1, 2, . . . ],
Bc)« ^ A;! [ 1/2 + a + rife
x [sec (a + г1г)тг cos иж]^1±г^2 \ф(к + 1) — гф(а
— гф(а — и
-In
2гсг1 / 6
6 V 2^сг
ff3/a ~
2а - 2к - 1\ cos1^7[Ba - 2к - 1)тг/Bг)] ( Ъ1/г\к
2r у sin[Ba-2A;-lOr/Br)] \ 2c
[r < 1; rl-кф 1/2 - a; A;, / = 0, 1, 2, . . . ],
VJ. G) при г = 1 см. в 2.16.57.6.
оо
21 I та~1Р~ЬхГ±сх m (hTr)K (гт)^т^
J
r, Re b > 0; Re a > | Re v
¦{
Re a < r + 1/2; | arg c| < тг
Re с > 0
см. в 2.16.1.20 .
22.
ciFa!r)
= -f^@,0)
[б, r, Re с > 0; Re a > |Rei/|; КG, в) см. в 2.13.1.141.
2.16.1]
2.16. Функция Макдональда Ки(х)
301
23. [ xa^1e^cxlmSbtXr
J lci(bx
о
n ( \=
= Zu(l) 6, r, Re с > 0; Re a > |Rei/|; <5 = J I ,
L 10 J j
[r > 1; 2v ф .
j E177) -4
1 1
fc=O
sin [(a + к + nOr/Br)]
g
. , -2, -1, 0, 1, 2,
¦n)k
1
2 "
2c 1 / 2c
^^|n+2 -6^
(n + fc)!
а + к + n +
^ A;! Bn + A; + l)!(a + A; + n + 1/2)
sin [{a + k + n + 1/2)тг/Bг)] \ ^ 2c ^
cos [(a + A; + n + 1/2)тг/Bг)] _
^
хГ
«+5- ^ A;! A/2 + S)k(k +
a + F + ^r + 2rk, a - и + er
1/2 + а + <5r + 2rife
а + I/, а - 1/1 /СО8 1/7Г\1-7
а+ 1/2 JlJ
cos7 (a + <5r + 2гк)тт х
1/2 + а + Sr \ \ R
V b(i-2«)/Br)
25 X
A/2 + i/)fc(l/2 - i/)fc /2a - 2fc - 1\ Г sin [Ba - 2k - 1)тг/Dг)] 1 / &1/r
fe!(l/2a + ^) \ 2r y\cos[Ba-2A;-lOr/Dr)]J V 2c
24. ж
J
0
/ 1\ 2rcr
r < 1; Я = С + гф(а + i/) + гф(а ¦— и) — гф \ а -\ ] — A — 7)^^ tg атг — In ¦,
V 2/ 6 1
^1/G) ПРИ г = 1 см- в 2.16.58.2.
1 еж f Si (ЬжГ) 1 / \ j /7 /n\
e < . ; r' >Ku(cx) ax = Zv\{y)
[сЦбж ) J
[b, r, Re с > 0; | Re i/| < Re a < r + 1/2; Zv(i) см. в 2.16.1.23].
r, Rec> 0; |arg6| < тг/4; |Rei/| - A ± l)r/2 < Re a; ^G, e) см. в 2.13.1.15].
302
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.1
оо
26. Г ха~1е±сх erf (Ъхг)Ки(сх) dx = Ut[l)
г, Re с > 0; |arg6| < тг/4,
|Rei/| -r < Re а < 1/2 1
Re а > |Rei/| -r j J'
^
Bс)" [ а+ 1/2
[г > 1/2; 2i/ ?* . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
с W2n)! w
(l/2 + n)fc
2r
k\ , 2c
2r r V 2r
-In-
J
—1/> ( - ± n ± к
+ 7V* [r > 1/2],
«+7 / ^ \n + l/2 oo
2c
E
fe=O
(n + ife)!
k\
x Г
r + a + n + ^ + l/2\f 2c
2r
Bc)c
ь + 1/2 + a + fe)
¦1/2, OL-n- 1/2
a+ 1/2
[r > 1/2],
Bc)«+r ^^!(j^ + i/2) [ l/2 + a + r + 2rife
x [sec (a + r + 2гк)тг cos i/?r]
x A/2 + i/)fc(l/2 - i/)fc r /r + a - к - 1/2\f b1^
E-
OO
. f ха~ге±сх erfc (Ьж
2r J V 2c
7^G) при г = 1/2 см. в 2.16.59.6.
[r < 1/2],
27
28. ж
о
29
г, Re с > 0; | arg Ь| < тг/4; Re a > |Rei/|; ?/^G) см. в 2.16.1.26 .
,_Л5(Ь/
[6, г, Re О 0; |Rei/| - B ±l)r/2 < Re a, Хи(^, е) см. в 2.13.1.16].
-1e сж< . r, \KV
(cx)dx = Uu(
b, г, Re с > 0; Re а > | Re i/| - B ± 1)г/2; <5 =
0/ '
2.16.1]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
303
. v.
k,
2c
Г sin [(r + 2a + 2fe - 2i/)tti
\ cos [(r + 2а + 2к- 2и)ж
/Dг)]
/Dr)] j '
JXU 2Bc)a ЧсозатгУ ж[ « + 1/2
_ 6^a/r f2^1 (-l)fc^ / o- x*
[r>l; 2^^..., -2, -1,0,1,2, ...],
-21 -^) ^^x
2Ъг/г) п\
sin [(r + 2a + 2A? + 2п)тг/Dг)]
2 r
ж т1 г + 2а + 2к + 2п , 2с 1 / 2с
t ]\{
[г > 1],
(^l)n / 2c
fe=O
X
f sin [A + r + 2a + 2к + 2п)тг/Dг)] \( 2c
\ cos [A + r + 2a + 2k + 2га)тг/Dг
n+l/2
+ n +1/2\
I
r J
[r > 1],
X
а + и + 8r + 2rk + r/2, a - v + Sr + 2rk + r/2
r)/2
s7 x (- + <5r + 2rk + al 7Г x
2r+1cr
¦A-7)"
¦E
A/2+^
x Г
2a - 2k - 1\ ( sin [(r + 2a - 2fc - 1)тг/Dг)] 1 / blf
2r
s[(r + 2a-2fc-1)тг/Dг)]] V 2c
при r = 1 см. в 2.16.60.3.
[r < 1],
30.
6, r > 0; |Rei/| - B ± l)r/2 < Re a < 1/2; |argc| < тг; Uu{l) см. в 2.16.1.29|.
r, Re6, Rec > 0; Re(a + fir) > |Rei/|, j ***''* f " , к Yu(y, e) см. в 2.13.1.171.
V P ; ' [Rea > |Rei/| J V" ; J
304
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.1
32. l*--*
О
r, Re 6, Re с > 0; Re (a + fir) > | Rei/|,
Re fi > 0 1
Re a > |Rei/| j
A - 2i/)fc(K - a - k)
M7) = 7^f
Bc)Q VcosQTr
i, a-\- i/, a — i/
a+ 1/2
[r > 1; 2i/
-2, -1, 0, 1, 2, ... ],
^ .г(„+в + * + * IX
x |ф(к
1 / a + fc + n^ 2c 1 / 2c \fc\ /11
r \ r J o1/rJ yb1/7^J J [0J
G) [^ > 1],
2c
n+1/2
klBn
)! (a + A; + n + 1/2)
2c
Bc)"
x Г
a + i/ + /ir + r&, a — i/ + fir +
a + 1/2 + fir + rk
cos7 (a + /zr + гк)ж х
2rcr
x Г
Дт) [r- < 1],
при r = 1 см. в 2.16.61.3.
33.
= ^@)
ЬтГ)
r, Re 6, Rec>0; Re (« + ^r) > |Rei/|, ( Re^>0; Re a <i1/2|,
[ Re a > I Re v \ J
см. в 2.16.1.32
2.16.1]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
305
34. Г xa-1e±b2x2r/4D,i(bxr)Kt/(cx) dx = -| Zu@, 0)
[г, Re с > 0; Re a > |Rei/|; | arg 6| < B ± 1)тг/4; ^(т, е) см. в 2.13.1.18].
35.
, Re О 0; Re а > | Re i/|; | arg Ь| < B ± 1)тг/4],
±1
ol-V к — v
2r
X Г
k=0
- fir — 2rk, a — и + fir — 2rk
1/2 + a + fir - 2rk
cos7 1(a + fir — 2гк)ж I —
22r+lc2
[r > 1/2; 2i/ 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ],
fc! V
lcy Bn),
^
- In
4 ' 2r
/2l/Br) + ]
^G) [r>l/2],
X > — .
(n + fc)!
"
— Г
20 А. П. Прудников и др., т. 2
306
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.2
хГ
A/2 + l/)fc
2a-2A;-l
X* G) при г = 1/2 см. в 2.16.62.4.
оо
3 Гт«-1Р±ь2х2г/4+с«?) (а-п*- ГгтЫт-Х±Г0)
J
r,Rec>0;
| Rei/| < Re a < 1/2 — r Re/i J
2.16.2. Интегралы от xa(z ±x)pKy(cx).
см. в 2.16.1.3б1.
J
OO
1. \Kv(cx)dx = —sec
J 2c 2
| Rei/| < 1; Rec > 0].
OO
J
0
a
dx = 2a^2c^a
a — i/ 1 + a —
[Rea
, а - и) х
; Rec>0].
2 '
-; l-i/,
2 ' 2
a + и 1 + a + i/
2 ' 2 '
2 ' 4
, a + i/) x
4.
1
' 2'
2 2 '4
[a, Re/3 > 0; Re a > |Rei/|].
a + jg + g/-^r/a + )g-i/-r x
2 / V 2
1-/3 1 /3 1 3-a-/3-i/ 3 + i/- a-^ a2c2^
/3 3-/3 3 o i/-a
2'-2-' 2'2+ 2
2
+ 2"-1aa+/9-"-1cT1T(i/)B(j3, 1 - a - /3 + i/) x
a. - v l + a-v а + в-v I + a + в - v a2c2
_
X 2F3
; —
[a, Rec, Re/3 > 0].
5.
1
ж + z
7Г 2
= — cosec i
[Rec > 0; | Rei/| < 1;
тг].
2.16.3]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
307
6.
z)p
-.гB±рг)г(«1^г)
p-v-a.
2 ' —
_2а-
р+1 р 3 3 + p^i/^a
А А А
2 ' 2
+ 2i/™1c~l/za~p~I'T(i/)B(a — */, р — а + i/) x
о. — v 1 + а — I/ а — I/ — р 1 + а — i/
2 ' 2 'A-'A1 2 ' 2 '4
+ 2^Vza+I/^r(>^)B(a + i/, p - а - и) х
¦I/ а + I/ + 1 ^ , .. 1 , а + ^~ р 1 +а + I/— р
х 2F3
2 '
/, 1
2 2 '4
[Re с > 0; Re a > | Rei/|; | &rgz\ < ж].
7.
х-у
г,а-зл1-аг,/'а + ^-1>\г/'а-^-1
3^1/^а 3 + 1/^а с2!/2
2 ' 4
[ctg(a
-ctg(a -
[j/, Rec > 0; Rea
2.16.3. Интегралы от xa(z2 ± x1)^Ку(сх).
[a > 0; |Rei/| < 1
2. [жа^1(а2-ж2
а + i/ а2с2
. \хх-и{а* -
J
dx =
\ 1/ + 1, /3 + 1;
' ^ ' р^ 2 ' 4
[а, Re/З > 0; Re а > |Rei/|]
[a, Re/3 >0; Ret/ < 1].
4.
[a > 0; Re i/ > -1/2].
20*
308
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.3
5.
[a, Rec > 0].
оо
. [ ха-\х2 - a'
Kv(cx) dx =
"-2^r(-z,)B(/3, 1-/3-
2 '
;
-1 x
2 ' 4
[а, Rec, Re^ > 0].
oo
7. f х1±1У(х2 - cff^K^cx) dx = 2^1af3±l/c^^F(f3)Kl/±^(ac) [a, Rec, ReC > 0].
a
8. Г xv {x2 - a2y-1/2Ku{cx) d
J
) K2U (—
2/ \ 2
X 7Г
9. | АГо(сж) ^ = — e^ac
/x2 - a2 2c
[a, Rec > 0; Re v > -1/2].
[a, Rec > 0].
10.
"•
12.
2 Kv(cx) dx=^ sec ^{tg ^ [Л„(с^) - Jv(cx)] - Eu(cz) - Yu(cz)\
[Rec, Rez > 0; \Reu\ < 1].
[Rec, Rez > 0; |Rei/| < 1].
2 '
l-i/, 1-
2 ' 4
a +
13.
14.
2 ' A ' F 2 ' 4
[Rec, Rez > 0; |Rei/| < Re a].
[Rec, Rez > 0; Re v > -1].
[Rec, Rez > 0; Re а > |Rei/|].
2.16.4]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
309
15.
¦ Kv(cx)dx =
~c СуОо 1У7Т
[MTl/(cz) - YTl/(cz)] [Reс, Rez > 0; ±Rei/ > -1/2].
16.
2
о(еж) dx = - [sin cz cl (ez) — cos cz si (cz)]
[Rec, Rez> 0].
17.
ж2 — |/2
К и (ex) dx =
i/ - а с
2 ' ' 2 ' 4
4 sin иж
ctg —-— Ttlu(cy) ~~ ctg —-— жI-U(cy)\ [y, Rec > 0; Rea > | Rei/|].
18.
ж2 — y2
Ku(cx)dx =
[LTi,(c|/) - /Т1/
[у, Rec> 0; ±Rei/ > -1/2].
о
2.16.4. Интегралы от А(х)Ки(сх).
ь
х „ , ч , тг т (be - \а
ж
= KqIcx) dx = — /o I ^
y/(b2 - x2)(x2 - a2) 2 \ 2
c\ (bc
2.
i
2 ' 2 ' 2
3 „
; - -2r,
+ 2°
2r i/
CZ
- ^ a - г/
-i/, i-2r
^ (« + M T M ~ ^) /2, I/-a-
l-(/x±/x-i/ + a)/2
a + д - i/ 1 + a + д - i/
=F M) A 2r^tt^/i^l/
2 »-¦-»--¦ 2 > 2 » 4
[г = 0 или 1/2; Re z, Re с > 0; Re (a + /х =F /x) > | Re u\].
3. ж"
о
A
4.
4. -Л
[Rez, Rec>0; | Re u\ ± Re /л < 1].
¦ Ки(сх) dx =
¦ — г х
310
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.5
92г+2«/-а-2,_ ч1-2г -и a
v, Г+ {v - Q=F/l)/2, О. - 1/
92г-21/-а-2/_ xl^2r «/
5.
2 ' 2
/ж2 + z2 ±хУ
r+S lr+1;
[r = 0 или 1/2; Rez, Re с > 0; |Rei/| < Re a]
u(cx) dx =
- a2 )M + (x -
7. ж
^M (a + Wx2 - а2 у + (a - iV^2 - а2 У
м^ y v —
—
г, Re c> 0; |Rei/| < 1].
[а, Re с > 0].
[а, Re с > 0].
2.16.5. Интегралы от A(x)Ku(ip{x)).
2. х
ха~1Ки(- - ex) dx = —^
J V Ж / 4 Sill
1Ки(сх - -Jdx= —-?
V Ж / 4 Sin
4 Sin I^TT
1
ж
X
/
!^-— )
+ am/
2.16.6. Интегралы от жае pxKv(cx).
dx =
[Re с > 0; |Rei/| < 1].
[Re с > 0; |Rei/| < 1].
[Re с > 0].
[Re с > 0].
[а, Ь > 0].
/^" (СЖ) с/ж :=:::
7ГС
2 sin 1/жл/р2 — с
ж cosec иж
/c2 - p2
=¦ [(P + VP2 -c*)u-(p- Vp2 ~ c2 I =
in fi/arccos — J [Re(c + p) > 0; | Rei/| < 1, i/ 7^ 0].
2.16.6]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
311
2. f e~pxKo(cx) dx =
CXJ
3. \xa~1e~pxKv(cx)dx = С
1 i P +
arccos (р/с)
[Re(c + p) > 0].
> 0; Rea > | Rei/|; A?i = Vp - c/Vp + c, A;2 = л/с - р/л/2с],
Ia =
а — I/, a +
а+ 1/2
а — i/, а + i/
а + 1/2
p-c
,
р"-.
In-
с(р2 — с2) (р2 —
с . р + V Р2 ~ с2
777 In
/п1/2 = 24/-^К(*!)
/о8/я =
P с
j5/2 _
°
Jo —
J° = 2(p2 - с2J
[(р + с)Cр +
(c2-p2)V2c
л/-к{р + с
-(р + с)К(Л2)]
c)K(A;i)-4pE(A;i)]
/7/2
v
- B3p2
[2cB3pJ + 9c )E(A;2) - (p + c)A5p2 + 8cp + 9c
¦ [pE(fci) -
, 2 ,, ^-
(c2 — p2)v2c
^- [(P
2c
/i^ =
[2(p2
)-с(р + Зс)К(Ая)]
- (p + c)(p +
[0 < с < p],
[0 < p < c];
[0 < с < p],
[0 < p < c];
[0 < с < p],
[0 < p < c];
[0 < с < p],
b)] [0 < p < c];
[0 < с < p],
[0 < p < c];
[0 < с < p],
[0 < p < c];
312
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.7
/Г/2 =
+ 29c2)E(A5i) - сCр2 + 24ер + 5c2)K(*i)] [О < с < р],
4(с2 -р2K
/25/2 =
2с(с2 — p
j
[(р + е)Cр2 + 24ср + 5с2)К(^2) - 2рCр2 + 29с2)Е(^2)] [О < р < с];
2 [Фс* + 3сР " 4p2)K(*i) " 4РBс2 " P2)E(^i)] [О < с < р],
[(р + с)Eс2 + Зср - 4р2)К(^2) - 8рBс2 - р2)Е(^2)] [О < р < с].
[Rec>0; Rea
oo
Г rt_i rTr/ , ч , cos vi
5. ж е cxKu(cx)dx =—=r-
J утг
oo
Г |Ж -e-"-K (с
'[a + i/, a - i/, 1/2 - a]
[Re с > 0; |Rei/| < Re a < 1/2].
[Rep < | Rec|; Re v < 1/2].
x
ж - _ р2^
™оо
2.16.7. Интегралы от xa(z ± хI3ерхKv(cx).
Г а —1/ \/3 —1 ±сш гХ / \ j о^ —1 a + jQ —I/ —1 — i/t-i ^j Pj a ~ \
J L + ^J
x 2F2 ( i/, a — u] 1 — 21/, a + /3 — v\ ±2ac J + 2 a cv\
X 2F2| - + i/, a + i/; 1 + 2i/, a +/3 + v\ ±2ac ) [a, Re/5 > 0; Rea > |Rei/|].
2.
x 2F2 f a - i/, - - u; 1 - 2i/, a
a + f3 - 1/2
2~a~P;
a, Re^ > 0,
Ree > 0
Rec> 0; Re (a + C) < 3/2
00
4.
5.
/2тгс
c Im
^~1)/2"</ [ B(?> V2 + ^ ~
xe
[а, с, г > 0].
_ „ Г0 < Re/3 < Re 1/+ 1/2
a, Rec > 0, | Re/3 > 0 /
2.16.8]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
313
6.
z)p
= y^F Bc)p^a(cos i/тг sec (p - а)тг)A±1)/2Г [а + V
L a +
(i±i)/2r[a + ^ ^ P, ol-v-
1/2- р
x 2F2 I - + p - a, p; 1 + p - a - 1/, 1 + p - a + 1/;
^ /l_i/ja_j/; i.^
/, а + и;
+ 2v, 1 + а + и - р; ^2c
Rec> 0; Re(a-p) < 1/2
Rec>0
7.
8.
9.
(ж + z)^ V 2c L P J z
x — у
e cxKu(cx)dx = ^ Ky(cz)
[Re с > 0; Rep > 1/2; |argz| < тг].
[Re с > 0; |Rei/| < 1/2; |argz| < тг].
cos i/TT sec атг
r(i/)ctg(a-i/OriFif--i/; 1 - 2i/;
> 0; | Re i/1 < Re a,
Rec> 0
Re с > 0; Re a < 3/2
2.16.8. Интегралы от xae px Kv(cx).
eTac/2 f е±ж[^(
'¦ Ku+i(x)] dx [a, c > 0].
2!. xu+1eicx /{2а)К^(сх) dx = eiac/2 [Kv(x) + iKu+1(x)] dx [а, с > 0].
a ac
OO ^__ / 9 \ / 9 \
L е^рж Ku(cx) dx = —a — sec exp ( — 1 iiT^/2 ( — 1 [Rep > 0; | Rei/| < 1].
J 4yp 2 \Sp J \8p J
0
00 Cl —a)/2
J 2cV2/\2/\8»,
0
OO V ( \
J A p
[Rea > |Rei/|; Rep > 0].
[Rep > 0; Re i/ > -1].
314
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.8
? 2
6. хе~рх Ко(сх) dx
J
1 (с2\ ( с2
ехр ( — ) Ei ( ^ —
4р \4р/ V 4р
С) - к° (С
[Rep > 0].
[Rep > 0].
8.
Х 2 3
' ' ' ' ' 2
2 ' 4' 2' 4' 64с2/
^
3 5 р4
' 2' 4' 4' 64с2
+ a-vt 3 5 3^
2 ' 4' 4' 2'
+
/ 5 3 7
5 4' 2' 4;
[ReC>O;Re«>|ReH].
оо
. f xa~1e~p/xKl/(
3 3-а-.
2' 2
¦2 pa+ с r(-i/)r(-i/-aHF3( l + i/, !+—2~» % 5 ~^
2 ' 16
2p2
> - a)oF3 1 - i/, 1
a — i/ 1 + a — i/ c2p2
2 '
' 16
oo
-I
2p
С
[Re с, Rep > 0].
[Rec, Rep > 0].
11. [ - e~p/xK0(cx) dx = 2KG{
12. I 4e-f
[Rec, Rep > 0].
= 2i ^ {ker [л/2ср)[ken(л/2ср) - keh(y/2cp)]
У TV
oo
13. Г xa~1e~p/x2Ku(cx) dx =
1
keli(%/2cp)]} [Rec, Rep > 0].
ol-v c2p\
? 1 ^—, ~— ) +
c, Rep
2.16.9]
2.16. Функция Макдональда К„(х)
315
14.
16. ^
о
1/3
и
~4
[Re с, Rep > 0].
[Re с, Rep > 0].
[Re с, Rep > 0].
2.16.9. Интегралы от А(х)е^х) Kv(cx).
1. 1 - e^vx^b'xKv{cx) dx = 2/^B+)/^B-)
z±
= Vb
), Re6 > о].
oo
2. [ 4 e~px~b/xK0(cx) dx =
^± = л/б
), Re
3.
a; ±2bc
- a) iF2 Q - i/; 1 - 2^, 1 + a - ^;
4.
cosi/7rsecQ7rJ Bc)a L a+ 1/2
= 2W ^ i^2i/(
о
5.-е ;
J ж
о
6.
7.
d(cx) - Ко(сх)] dx = -\/ [?г{л/Ш) - Н_1(л/8Ьс)]
[Re fe, Re с > 0].
[Re b, Re с > 0].
[Re b, Re с > 0].
[Re 6, Re с > 0].
]
[Re b, Re с > 0].
_ , exp (^р^ж2 + z2) ( ч 1 i/тг /г+\г/ /^-\
8. I , ^ Кu (ex) dx= - sec -^- ^/2 ( — J ^/2 ^ — J
2 2 ; V 2
Rez, Re(p + c) > 0;
9.
exp U
; 1; z± = z(p±Vp2-c2)\.
Kq(cx) dx= ^ [ezR El (-z+) - e^zR El (-*_)]
0; Я = v p2 — c2 ; z± = z(p it \/p2 — с
316
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.10
10.
(\/r»2 I y2 4_ ~\u OVr\ ( r\\/^2 _i_ y2 \ ?f lV-Л Лпр —
=r ^VJ, ~r ? IE ZJ exp ^—рЛ/Л ~~T Z Jl\jj\^CJyJ UX —
2R
[Re г, Re(p + e) > 0; Re i/ < 1; Д=
, z.) - 4"е*л
c2 ; z± = z(p ±
11.
/ж2 + z2
/ж2 + z2 db z)M exp {~
0;
- aJ
a, 6, c> 0; |Rei/| < 1/2].
2.16.10. Интегралы от A(x)ef{x)Kv(ip(x)).
R^2 Ei (-^) - eR^2 Ei (-
Re (p + c) > 0; | arg z| < тг; Д = \/p2 ~~ c2 5 z± = z(
~
Jp2 — c2 )
2.
/l/2-p, и/2
0; |argz| < тг; 2 Rep
= z(p ± ¦
e рж /Cj/ (cVa?2 + xz ) с!ж =
2cos(i/7r/2) "'
Re (p + c) > 0; | arg z| < тг; | Re v\ < 1; z± = z(p ± ¦
у л
5- "f 2
J Ж2 - |/2
exp I -
Re(p + c) > 0; |argz| < тг; Rei/ > -1; Я = \/p2 - c2 ; z± = z(p± Vp2 - c2 ) |.
2сж
y2 — x2
dx = -
4c
x 1
b, y, Re с > 0; Re a > |Rei/|; t/± = 6 ±
6.
ж" / ж2 + 1/2
ж^ — у1 \ ж2 - |/J
„.« —1
^ -5 « I dx =
x у
6, t/, Re с > 0; Re a < | Re v\ + 2; y± = Ь ± \/b2 -
2.16.11]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
317
f sh bx 1
2.16.11. Интегралы от ха{ >Ku(cx).
{ ch bx j
оо
f f sh 6ж 1 тг Г
1. Si, >Ku(cx)dx =— <
J \ ch 6ж J l ; 2Vc2 - 62 1
2. sh bxKo(ex) dx =
arcsln F/c)
- 62
cosec (i/tt/2) sin (/?
sec (i/tt/2) cos y?
[V? = i/ arcsin F/c); Re с > | Re 6|; | Re i/| < C ± l)/2].
[Re с > |Reb|].
3.
4. ж
*_i J shbx
i
a + 5 + i/ a + 5 — v
m-i/2/sh6a;\
X
2 / V 2
Re с > |Re6|; |Rei/| < Re a-
\chbxjn{
= J™ [Re c> |Re 6|; rn-n > -1^1/2; A; = Vb + c/v^cl,
Jo=Jf
2(c2^
- (c - b)K(ife) ± (c
2cE(Vl-A;2)],
4(c2 - 62;
c)Cb + c)K(Vl-A;2)],
2(c2-
[(c-6)(c-36)K(A;L
± 86cE(Vl - ^2 )
[2c(9c2 + 2362)E(^) - (c - 6)(9c2 - 86c
± (c + 6)(9c2 + 86c + 1562)K(Vl - k2) =p 2c(9c2 + 2362)E(Vl - \
[(c - 6)K(fc) + 2E(A;) ± 26E(Vl - к2 ) т (с + 6)К(л/1 - A;2 )],
4(c2 - <
[2Cc2
- (c - 6)Cc - b)K(k) ±
± (c + 6)Cc
T 2Cc2
-A;2)],
[Ec2 - 246c + 362)(c - b)K(k) + 26B9c2 ¦
±
±
- k2 ) =F Ec^ + 246c + 362)F + c)K(Vl - k2 )],
4(c2 -
[Ec2 - 36c - 462)(c - 6)K(A;) + 86Bc2 -
±86Bc2 -,
Г 1 i i r^ / \ i ^ 1S7T . f .6
5. — sho^iljJex) «ж = —sec — sin I j/arcsin—
J ж 21/ 2 \ с
о
c)Ec2 + 36c - 462)K(>/l - A;2 )].
[Re с > |Refc|; |Rei/| < 1].
318
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.12
— shbxKo(cx) dx = — arcsln -
X 2 С
2.16.12. Интегралы от А(х)е рх\ . . ч >Ки(сх).
Условие: |argfe|, |argc| < тг.
^2 ,,_
[Re с > |Re6|].
Г ch (Ьл/а2 — х2) ,
; 9 9 АГ„(
J ya — ж2
= — cosec —
4 I
a > 0; | Re v\ < 1, i/ ^ 0; 2z± = a(
6I.
с { а ' к{
о
оо
Т1±1У сЬ (h\/r2 — а2 Ж (er)dr^
J
сж) dx = - [/o(^)Ko(z+) + /o(*+)#(>(*-)]
a > 0; 2z± = a(
6I.
[a > 0; Re c> | Reb|].
4. I ж
ж2 — a2 ) , ч
—'-Ku(cx)dx =
5. | ж
ch (Ьл/х2 - a2
[a > 0; Rec > |Re6|].
[a > 0; Rec > |Re6|].
- e~px sh bxKo(cx) dx =
x
c)>|Re6|].
2.16.13. Интегралы, содержщащие гиперболические функции
и Ки(ip(shх, chx)).
[Rec > 0].
[Rec > 0].
/2,v/2(ic)W^/2jI,/2(-ic)
[Rec > 0; |Rei/| + Re/i < 1].
2c
2иЫа2 + b2 + 2abch x) dx = 2Kv+c(a)Kv-c(b) [Re a, Re6>0].
2.16.14]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
319
2.16.14. Интегралы от ха\ >Ки(сх).
{ cos ox J
оо
f(slnbx\ ( , ж ( cosec (vn/2) I 1
L. < \Ku(cx)dx = —\ ч ' ' f-==
J [ cos bx J 4c17 [ sec(F7r/2) J y62-|-
. sin бж/^оСсж) с/ж = — In
J V 62 + c2
=F (V&2 + с2 -бI"
b + V62 +
[Rec>
C±l)/2, i/^O].
[Rec > |Im6|].
3. x
a_i J sin bx
\cos bx
OL + S
sec [(a — 1/)тг/2]
cosec [(a - i/)tt/2] / L^ W&2 + c2
fW-
4.
5. ж1
J
о
\ cos bx I
a_i/2 fsinfta; 1 .
Rec > |Im6|; | Re i/| < Re a + <5, ё =
2/
Re с > | Im 6|; Re v > -1/2 - S, S =
Sin 6ж1 _ m
>/\.п1сж) ax — in
COS 0Ж J
Rec > | Im6|; m-
/Ь2 + с2
2V62 + c2
/о =
- 2jfe2)(E(jfe) ± E(VT3P )) -
- E - 8fe2)K(fe) ip C - 8^2)K(Vl-ife2)],
. - 112^2 + 128^4)K(Vl- k2) =p
=F C1 - 144A:2 + 128ife4)K(^) - 2B3 - 128Jc2 + 12Нк4)(Щл/1 - k2) =F Щк))],
- SOk2
- C -
- 256Jb6)(E(Jb) ± Е(л/1 - A;2
320
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.15
ll = \^ A - ^2I/4[A - Jfc2)B + bk2 - 8к4)Щк) ± k2(l - Ilk2 + 8fc4)K(vT^fc2 ) -
\3/4п2ц _
ip A —
- 2A - 2k2)(l + 4k2 - 4k4)(E(k) ± :
2 - 520k4 - 128к6)Щл/1- к2) т
oo
3/2
Jo = -
- 2A + 7kz - 135fc4 + 256Г - 128/ей)(ЕA - Г) T E(fc))].
_ , .„ . , ,, , 6 + v/PTc
— On
Rec > | Im6|; к =
2л/Ь2 + с2
- 2EA - A;2)],
- A - к2)Щк)
h = 1^ A - А;2Г1/4[2A -
7.
[Rec
oo
8. x~v sin ax sin bxKu(cx) dx =
^ а6ГC/2 - и)
x 0F1
5-2i/ 3-2i/ 3 4a2&2
oo
'* J (
4 ' 4 ' 2' (a2 + 62 + c2J
сж) dx =::: ~~z
[Re с > I Im o| + I Im 6|; Re v < 3/2].
' ' 2 ' ' ' 2 ' 2' ,
2.16.15. Интегралы от ха< , +r >K^(cx).
{cosbx J
[Rec > |Im6|; Re a > |Rei/| -2].
1.
Г f si
J [с
sin bx
, 2
соябж
00 00
sln(ac/2)l f rx , ч , f cos (ac/2) 1 Г r^
cos (ac/2) J J [ sin (ac/2) j J
7Г3 j/тг Г J sin (pi fc2\i/ cos ^
-^85 2 [\cos^J и/2\&ъ) \siny?
[6, Re с > 0; | Re v\ < 2 ± 1; ^ = -<:
3. ж cos bx Kq (ex) dx = — sin —- cl I —- J — cos — si ( —- |
J 4b L 4b \4b J 46 \46/J
[a, c > 0].
86
¦ {у ¦
[b, с > 0].
2.16.15]
2.16. Функция Макдональда Kv(x)
321
4. х
a_i J sin bx
1 cosbx2
a +
sin [(a + i/)tt/4]
cos [(a + i/)tt/4]
!1 i/ 1 + */. c^
"' 2' + 2J 2 ' ^86
J sin [(a - i/)tt/4] \ , A /a-i>\
\cos[(a-i/Or/4]J l j V 2 /
-1//2/ sin [(a — i/)tt/4]
cos [(a — i/)tt/4]
a - г/ a - г/ + 2 1 ^ i/ 1 - ,
OS [(a + I/)tt/4] 1 p/ ^ _ ^рЛ + « + ^ \
in [(a + i/)tt/4] j \ 2 /
COS
sin
3
1'> Г
OS [(« - 1/)тг/4] 1 _ / + О~^\
in [(a — i/)tt/4] J V 2 /
^ 3 3 -
1; 2' "^
2;
[6, Re с > 0; | Re v\ < Re a + 1 ± 1].
5. U^lISm
1 1
4' 2
6. ж
0
Г (еж)с
7. ж™1^2 cos b\fx К и (ex) dx =
6, Re с > 0; | Re i/ <
4^j ^L±1/4(^
6 \ .. /6
4IX
2, S =
[6, Rec > 0].
8.
_1 Jsin(ft/a;)
cos (b/x)
i^^^l/2
62c
[6, Rec> 0; |Rei/| < 1/2].
2
x Г(—i
24 -!-*,<>+* „ Г sin [(a-
62c2
a + и
a
1 ' ' 2 '
cos [(a — ^)tt/z
16
x 0F3 l-i/, 1-
— i/ 1 + a —
16
6, Rec > 0; | Re i/| < Re a + 1, <5 =
21 А. П. Прудников и др., т. 2
322
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.16
о
оо
10. \ х
J
о
(sln(b/x)
\ cos (b/x]
Y0{V2bc)
[6, Rec > 0].
[6, Rec > 0].
§ Gifl [ f}\/ *У HP I
2.16.16. Интегралы от Л(х)< , \Ku(cx).
J^cos (by z2 — x2)
a
cos (Ъл/а2 — x2) ( ч 7Г2 r
^(СЖ) dx = [/
Г cos (b^/a2 —
J уЯ^х~
о
a
f cos (Ьл/а2 - x2 )
2- / 2 2 ^o(
J yr — ж2
[о < с < 6; a > 0; | Re v\ < 1, i/ ^ 0; 2z± = aF ± \/б2 - с2 ;
э(сж) с1Ж = ^— [J0(^+)y0(z-) + J0(z-)y0(z+)]
к < с < b; a > 0; 2z± = a(b ± \/&2 - с2 )] •
3. cos (bVa2 — х2 )Кр(сх) dx =
J у a2 — x2
r ' '" ч - si Bz-)\ - sin w[ci Bz+j + ci
|0 < с < 6; a > 0; и = a\/b2 - с2 ; 2z± = aF ± л/Р - с2 ) I.
= -(b2- c2y1/2{cos u[si
OO
sin (Ъл/х2 -а2
X KTl/^3/2(ayb2 + c2 ) [a > 0; Rec > |Imb|].
t
a >0; Re c> |Imfe|; 2z± = a(^/b2 + c2 ±6I.
J
. cos FV^2 - a2) . , 1 , . . x
6. I v —^ Ku(cx) dx = - Ku/2(z+)Ku/2(z-)
2 2 ^
a > 0; Re с > | Im 6|; 2z± = a(\fb2 + с2 ± 6I.
g =
8.
9-
cos (б^ж2 — a2
[a > 0; Rec>
c2 ) [a > 0; Rec
a > 0; Re с > | Im 6|; 2z± = a(\/b2 + с2 ± 6)].
2.16.18]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
323
10.
+ z2
х2 + z2 1 cos {Ъл/х2 + z2 )
Кu {ex) dx =
/2 2-
Tsec
8 2
Re z > 0; Re e > | Im b\; | Re i/| < 1; 2z± =
с2 ± 6)].
11.
sin (b\/x2 + z2 )
ж2 + z2 1 cos (Ьл/х2 + z2 )
2.16.17. Интегралы от
l
> 0; Rec > |Im6|; tp = z\/b2 + c2 ; 2z± = z(\/b2 + c2 ±6I.
T^(ср(ж)).
)< >
{cosbxj x
[6, у, Rec, Rez > 0].
2.16.18. Интегралы, содержащие ерх , тригонометрические функ-
функции и Ки(сх).
Обозначение: 8 =
1. | ха-1е-сх[тпЪ^ \ку(сх)йх = V^ Bcya^sb5r\a + S + !/: a+/ V
{cos ox J L a + o + 1/2
+ v . «. a + i/ + 1 a — i/ . ,. a — i/ + 1 1 . „ 2a+ 3 2a 4
2.
2 ' 2
=
2 ' 2 ' ' 4 ' 4
[6, Rec > 0; |Rei/| <
. \
J
3. j ж/2е"с
о
= \— exp ( ]/0 (
V 2c \ 16c/ \16c
[6, Rec > 0; | Re v
2 \ / l2
[b, Rec> 0].
4. - е~оуж cos
о
5.
sin I
cos b \fx J
1-
a,
[b, Rec > 0; |Rei/| < 1/2].
*1
- x
21*
324
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.19
, /" п-м ГcosecaTT 1 1/2 + i/, 1/2 —
±Jr&izacosi/7r \Y\ i ' ' Ix
v sec ctir J ^ Act
6.
буж
00
. f
J
2c
X 2F2( - + is, i/; a, 1 - a; — j [6, Re с > 0; | Rei/| - 8/2 < Re a < 1].
t 2 2 2 oc /
1/2-21/
[6, Rec>0; -A =F l)/4 < Re v < B ± l)/4].
exp ( — Wo [ — ) [6, Rec>0].
2c V 16c/ у 16c/
1.
2.16.19. Интегралы, содержащие тригонометрические функции
и Ku(cshx) или Ки(сcos ж).
[6, Rec > 0].
о
тг/2
. J
о
7Г/2
[6,Rec>0].
2.16.20. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию
и Ки(сх).
[c > 0; | Rea| > Rei/].
oo
2. f со8Ьж1п(аж)Аго(сж)?/ж = - (&2 + c2)™1/2 [in — - С - In F2 + c2)] [a, 6, Rec>0].
3.
ж2 — 1
[6, Rec> 0].
2.16.21. Интегралы от x<*JfJ,(bx)KI/(cx).
oo
1. \xa~1Jl!b(bx)Kl,(cx)dx = A°tV
¦c) ,
2.16.21] 2.16. Функция Макдональда К'„(ж) 325
а + /х + I/ а + /z —
± I/ + 1)F2 +
^ - E - 8
Al о = 4^ [2B3 - 128Jb2 + I28k4)Mk) - C1 - 144ife2 + 128к4)Ж(к)},
b(
2b cz bA
^ fe2
(&2 2+Ьс2J , ^1,0 = -^- [A - 4fc2)K(fc) - A - 8fe2)E(fc)],
о jl5
± p 4ft2)(l 16fc2)K(fc) - C - 88k2 + 128k4)E(k)],
p 4ft)(l 16
Aa.0 = д|з [B + fe2)K(fc) - 2A
2,0 = ^ [B + fc2)K(fc) - 2A
l,o = |j [B + 7fc2 - 24fc4)K(fc) - 2A
W [(8 +
22W [(8 + 3fe + 4
<o = g|s [(8 - 5fc2)K(fc) - (8 -
l.o = ^ [(8 - 5fc2)K(fc) - (8 -
A 3fe2 + 4fc4)K(fe) - (8 + 7fe2
_о = — [(8 + 19Л2 + 60fe4 - 192fc6)K(/s) - (8 + 23/fc
А|>0 = A
A-3
) - 4A - k2)G - Ш
bbc
[C37 - 2784Jfe2 + 5504k4 - Ж2к6Щк) - 8A - k2)B9 - 176k2 + 192fc4)K(fc)l,
b7c
b
\{tl = \[E(k)-(l-k2)K(k)], A21A =
>li,i = ^ [A " fe2)K(fe) - A - 2Л2)Е(Л)],
4k3
K1 8^2)(Х
326 Гл.2. Определенные интегралы [2.16.21
4
^- [A - Jb2)C - SOk2 + 128к4)Ж(к) - C - 134fe2 + 384Jb4 - 256
К2 " к2Шк) - 2A - к2)К(к)], Al,i = J^ [B " *2)Е(*) " 2A - к2)К(к)],
А\Л = -^ [2A - к2){1 + 2к2)Щк) - B + З^2 - 8А;4)Е(А;)],
^ = ^- [2A - к2)A + 61с2 - Ш4)Щк) - B + llife2 - 136Jfe4 + 126А;6)Е(А;)],
\ ^ К» - 3fc2 - 2fc4)E(fc) - A - fc2)(8 + fc2)K(fe)],
[(8 - 7fc2)E(fc) - (8 - 3fc2)(l - k2)K(k)],
Alt2 = -^ [2B - к2)Щк) - A - A2)K(fc)],
Л^2 = A— [2A9 - 44fc2 + 24fe4)E(fe) - A - fc2)B3 - 24
[2A58 - 923Л2 + 1408Л4 - 640/ce)E(fc) - A - fc2)B11 - 848fc2 + 640/c4)K(fc)],
_ k2)C - 4k2)K(k) - C -
о i.3
,2 =
[A - Л2)E - 68fc2 + 64ft4)K(fc) - E - 123ft2 + 248fc4 -
Al,a = ^r Id - k2)B - 3k2)K(k) - 2A - 2fe2)E(fe)],
Al,2 = -^ [2A - к2 + кА)Щк) - A - fe2)B - k2)K(k)],
= y^ [A - k2)B + Ък2 - 8к4)Ж(к) - 2A - 2^2)A + 4k2 - 4ife4)E(A;)],
[B + 15^2 - 144^4 + 128^6)A - к2)Щк) -
- 2A + 7k2 - 1Ш4 + 256A:6 - 128A;8)K(A;)],
Щк) - (8 - Ш2 + 3*4)E(*)],
l2 = ^^ [A - fe2)(8 - 9к2)Щк) - (8 - 13^2 + 3*4)E(A;)],
[A - k2)(8 - 9к2)Щк) - (8 - Ш2
2 = -^j- [A + fe2)(8 - Ш2 + 8^4)E(fe) - A - k2)(8 - к2 -
- 4A - ife2)B - A;2)K(A;)],
[B81 - 985ife2 + 1080ife4 - 384fe6)E(ife) - 4A - fe2)D4 - 93ife2 + 48J
A?,3 = -^ [B + 7k2 - 2k4)E(k) - A - fe2)C + A;2)K(A;)],
[A5 - 43fe2 + 24A:4)A - ^2)K(ife) - A5 - 1(Ш2 + 128А:4 - 48fc6)E(ife)],
2.16.22]
2.16. Функция Макдональда К'„(ж)
327
- B - 7к2 -
[F - 9k2 + 19fe4 - 8к6)Щк) - 2A - ife2)C - 3
[(8 -
= A
= 7^ [A5
л = -?— [A - ^2)B - 9k2 - k4)K{k) - 2A
с к
- A - k2)(8 ~~ 19к2
- к2)Щк) - (8 - Ш2 + 9^4 - 6ife6)E(A;)],
- A - k2)G1 - 71k2 + 24
4
15c к
[(8 -
Uk6)E(k) - A -
T Г2A/4)
[К@ - Е@],
k2 + A;4)E(A;)],
Jfe2 + 45A;4)K(A;)],
())
- 2A + ?
тгсу/3(о2 + с2)
- 9I2 -
- A - /2)B -
- 2A + 12)A - б!2
2.16.22. Интегралы от
О ^-Ар
8и
16(i/2 ~~ 1)
4 ' 4
-a)/4 J
[Re a, Re (a + 2i/) > 0; | arg c\ < тг/4].
v v a
21 +^' +1
3 3-1/ 3 + 1/
ri 64
4 ' 2' 2 ' 2 ' 4 F' 64
1, P
,1-
[Re a, Re (a - 2i/) > 0; | argc|, |argz| < тг/4]
328 Гл.2. Определенные интегралы [2.16.22
2 Г /-1 / (Ьт2)К (гт)^т - o(«-")/2-4«r(«+'')/2,,«'rT~I/' (« + 2/i + |/
2. j я JMF^ )К4СЖ)^^2 6 с Г |1 + (а + 2
о
- а - 2/х i/ + a + 2/i 1 г/ 1 + i/ с4
; 1+5
4 А А А
'-у -1, B + 2/x + a + i/)/4
2м 3 3 + v „ , I/ <
.2(а + ,)/2-46(,-«)/2с-,
4 ' 4 ' 2' *~ 2J 2 ' ^6462
+ 1/, B + 2/х + а-*/)/4
х
3 3-1/
4 ' 2' 2 ' 2' 6462
[6, Rec > 0; Re (а + 2/х) > |Rei/|].
оо о о ,
' \ и/2 v 86 [ "^^^б/ -1//2\4&,
о
[6, Rec > 0; Re v > -1].
Г 2т /, 2w/ / \ i Trccosec (|/тг/2) Г /с2\ v Л
4. ж J(u-i)/2(bx )Ku{cx)dx = -^—L-L H_(I/+i)/2( ^7 I - У-(и+1)/2[ -
[6, Rec > 0; Re v > -1].
7Г r fb2\ 7ГТ /62^
5. J2u(by/x)Kv(cx) dx = — Iu( — ) - ^L^( — ) [Rec > 0; Rei/ > -1/2].
J 2c \4c/ 2c \4c/
oo
6. f xa^1Jfl(b^)Kt/(cx) dx =
(a -
, A» Q-^ + l /x 3 u M + 3 6
+ -, + -, -, - + 1,
-, + -, -, - + 1, —,
[Rec > 0; Re/i > 2jRe;/j -2 Re a]
0
7. |iB1/2J2l/_1(bv^)^(ca!)da; = ^[^-lfy -U-lfyi [Rec> 0; Rei/ > -1/2]
8.
J
о
. 7 Ж—J, f ±) Kv(cx) dx = 2—V+"cT
/ a- n + i/ a + n + i/ b2c2
x 0F3 (l + i/, 1 + ^ , 1 + ^ ; ——
\ 2 z Id
2.16.23]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
329
2 о с 1
0F3 1-t/, 1-
X 0F3
^ ~
2 ' * ' **; 16
-1
/х + г/ — a
[6, Rec>0;Rea> Rei/|-3/2].
r +1-1 fb\ Ac-1} -/2
J Vxl 16 J
0
oo .
10. f ж2"^3/2Л+1/2( - )^(сж)^ж = ^^6
J \ x) cv
[b, Rec> 0; |Rei/| < 3/2 ±1].
"-1/2
[6, Rec> 0; Re v > -1/3].
С , I
11. X Jv+1/2 I
J V
- J Ku{cx) dx =
x J
[b, Rec> 0; Re и > -1].
12.
[6, Re с > 0; Re i/ < 1].
oo
13. ж (ж — а )^; JIJj{byxz — az )Ku\cx) dx =
c2 ) [a > 0; Rec>|Im6|;
14.
^-/»2 -y2)dx =
15
[Re с > | Imb|; Re ц > -1; Rei/ < 1; Imy = 0; arg уж2 - i/2 = 0
при ж > |/, arg (ж2 — y2)^ = тир при ж < у].
J
Г ^" ^' A:a/2Bcz) [Rez > 0; |argc| < тг/4; Re (a + 2i/) > 0].
2.16.23. Интегралы от хае^рх J^(bxr)Kt/(cx).
oo
1. [ x~1/2e~px Jm{bx)Kn{cx) dx = Am,n
о
= 2a^
Re(p
1 + ^/1 + c272
1/2
, I =
2 / 7"
[B - fc2)K(^) - 2E(*)][E@ - A -
330 Гл.2. Определенные интегралы [2.16.24
х [A - 12)B - 312)КA) - 2A
[B - к2Шк) - 2A -
A2,i = ^ уз v - [A6 - 16Г + Г
- 8A - Jfe2)B - к2)Щк)}[2A - I2 + 14)ЕA) - A - 12)B - .
- 2B - k2)D - 4k2 - k4)E(k)][(l - I2)B + 5I2 - 8I4)K(I) -
I2 4Z4)
- 2A - 2I2)A + 4I2 -4Z4)E(Z)].
3. \ есхJo(b^/x)Ko(cx) dx = —^= ехр ( — ) erfc \ —=\ [6, Rec > 0].
J &Утг3с \8с/ \v8c/
оо
ж"^ еТсж Jp,{b\fx )K,j{cx) i
/ ! 1 2^«^зм/2 /^ r с-а-м/2г |>/2 + a + i/, м/2 + a - i/
\ /7rsec(a + /i/2Or J [ /x + 1, a + (/x + l)/2
i + l 62
3- /х
ReBa + ^) > 2|Rei/|,
' 2 "' 2 "'2 "'8c
Rec > 0
:5/4
2.16.24. Интегралы от ха{ EhaX X JJbx)KJcx).
{ ch ax J
. f sha^J0Fx)Ki(cx) da; = i Le(J^) - К(к)Щи
J с [
а{ X JJbx)K
ch ax J
sn (ц) dn (
en (гл)
Re с > Re ex| —|— | Im 6|; en и =
2 ^a2 ^62J+462c2 - (c2 - a2 - b2)]1/2 '
OO
2. \ xsh ax Jn(bx)Kn(cx) dx = An [Rec > | Rea| + | Im6|; к см. в 2.16.24.1],
L \3/2
= a[ ?
2.16.25]
2.16. Функция Макдональда Ки(х)
331
FсK/2
- k2)~d/4[(S - 15Г + ЗА?4)A - Г)К(» - (8 - 19А
oo
3. chaxJn(bx)Kn(cx) dx = Bn
[Re с > |Rea| + |Im6|; к см. в 2.16.24.1],
- A - k2)K(k)],
- k2)B - Зк2)Ж(к) - 2A -
^= A - к2у5/4[{8 - 23k
lbvbck5
2 + 2
- A - k2)(8 - 19k2
°° с1_„
4. \x ' sh cxJl/+i/2(bx)Ku(ex) dx = —(b + 4c )~ '
о
2.16.25. Интегралы от ха< n >Ju(bx)Ku(cx).
{ cos ax J
oo
1. x sin ax Jn(bx)Kn(cx) dx = An
I ( a2 . C2
Re с > |Ima| + |Imb|; fc = -^ [ 1 -
b, Re с > 0; Re v > -3/2].
1/2
; Лп см. в 2.16.24.2 .
oo
2. cos axJn(bx)Kn(ex) dx = Bn
[Reс > |Ima| + |Im6|; к см. в 2.16.25.1; Бте см. в 2.16.24.3].
Л i ry-i i sin ax i _ , ч ж^ / ч , a a' „/a^ f sin (атг/4)
3. ж < 2[Лсж^ся dx = — Г (- H \ Ч.^х
J [cosax ' л- х Q l
о
Sal i/ i/ с
"' 4"' 2' ~ ^' + 2"'
/а чГсо8(атг/4I
V2^ y\sin(a7r/4)J
-I/, i/ + a/2l f sin [B*/ +а]
I/ + 1 J \ cos [Bu + а'
тг/4]
:тг/4]
X 2^3
/2i/ + a l + i/ a . v 1 +1/
V 4 ' 2 ' 4' A ' 2' 2 Ji ' "' 16a2/
[a > 0; I arg c\ < тг/4; Re a, Re (a + 2*/) > -1 =p 1].
4. ж 81паж Jo (еж) Kq (ex) dx = — i^o | -^r— J [a > 0; | argc| < тг/4].
J 4a \^a/
00 Г / 2 \ /2\1
5. ж cos аж2 Jq(cx)Kq(cx) dx = — To ( — J — Lq ( — J la > 0; | argc| < тг/4].
J 8a L \2a/ \2a;j
332
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.26
2.16.26. Интегралы, содержащие Yq(cx) Ко(сх).
тг
1. I ж3(ж4 - a4)^1 \yo(cx) - | Kq(cx) \ dx =
a4/3 cosec /Зж
/3,
1/2-/3, 1/2 —/3J
[а, с > 0; 0 < Re/З < 3/8].
оо
Г Г 2 1
2. [(z2 + ix2)9'1 + (z2 - ix2)^1] Yo(cx) - - Ko(cx) dx =
J L * J
2Р
- р)
c~pzPle~ip7T/4Kp(ei7T/4cz) + eip7r/4i^p(e^i7r/4cz)] [c, Rez > 0; Rep < 3/4].
2 1 1
Kq (ex) \ dx = ker (cz)
7Г Z^
[c > 0; |argz| < тг/4].
4.
[с > 0; |argz| < тг/4].
5. ж-
o
6. ж-
J
о
,, / ч 2 / Л 1 ( cz X ( . cz cz X
Yo(cx) Ko(cx) \ dx = — exp I — 1 I sin —j=r — cos —=r I
[с > 0; |argz| < тг/4].
z4 + ж2I" + (л/хА
/ж4 +
о 2»/ ^7Г / CZ \ Г . l/Ж ( CZ X 1/7Г f CZ
= 2z cos - KU ^ j [»n - Л ^ j + cos - П (^
Г 1 Г 9 1 1 / г
7. — sin bx2 Уо(сж) Kq(cx) \ dx = — cl ( —
J ж [ ^ J 2 V46
о
[c > 0; | arg z| < тг/4; | Re v\ < 3/4].
[6, с > 0].
Г 1 • 2 L 2 Г^ , ч 2 r^ . Л J 6 . /е2 \ 6 е2 с2 . (с2
8. — sin ox Yq(cx) /Со(еж) аж = — ci I —г- Н— cos —- Н si
) х6 i ж J 2 у 86 /2 86 16
о
9. же рш соврж Уо(сж) Ко (еж)
о
[6, с > 0].
= -л/2 рDр4 + с4у3/4 со
сю
10. e^pa;cos (рж + —) УЬ(сж) К0(сх)\ dx
J V 4/ [ тг J
« arctg —
2 2p^
[с > 0; |argp| < тг/4].
с4 +2р2I/2 [0 0; |argp| < тг/4].
2.16.27]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
333
11 I *V 1П T* Va ( P 1* I — Ji^n I P1* I f/ T* — _ Vn i /^ ) —L -_—..
J~ J~ • I еДу 111 sly I у I \sdu I J\ Q 1 C^eX/ I I CX db ~ 1 Q I L I \^ ~
J L ^ J c жс
0
[|argc| <тг].
12. ж In
yo(cx) - - Ко(сх
7Г
С
i7r/4
13. ж In
14.
Yq(cx) Kq(ex) dx = Ji(ac
7Г J С
0
/ж4 + z^
In
[с > 0; |argz| < тг/4].
[а, с > 0].
•^(сж) К"о(сж) dx = Jq(cz)Kq(cz)
[c > 0; |argz| < тг/4].
r)
2.16.27. Интегралы, содержащие УмFж гI1Г1/(сж).
| Уо(М^о(сЖ) dx = --==к(-^=: С
О
[Re с > |Im6|].
— 2
ш # I tAy JL it I L/ еду J JL sl |_/ 1 trf* еду I \AJ 9АУ —— ^^ щ^,
J 7Г
X
a + i/ — fi ol — v —
: COS МТГГ —IX,
a + a + и
2Fi
2 ' 2 ' ' ^' i
[Re с > |Imb|; Re a > |Re/x| + |Rei/|].
—
3. xot~1Yi/(cx)Kl/(cx) dx =
J тгса
2a^3 a - 2i/ „fa a + 2i/ a - 2i/
тгГ —,
[2
2' 4 ' 4
[Re a > 2| Rei/|; |argc| < тг/4].
.2 Л
00 Г / 2 \ / 2 \
4. xYl//2(bx2)Kl/(cx)dx = ^ созес^Н^^/з^ ^ J ^ sec ^ J^^/2 ( j^ J -
[6, Re с > 0; \Reu\ < 1].
5. Y2u{by/x)Ku(cx)dx = — cosec2i/7rL^iy I — j — ctg2i/7rLI/ ( —
J 2c |_ \4c/ \4c
Г
6. ж
^2ь^ г
^ cos/хтгГ -/х,
а + I/ — /i а — v —
¦ V — OL Ь CZ
-r^5 -
a + /i-
2
-, 1 -
2
a + /x - .
16
6V
16
334
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.27
x qF
oo
'¦ J'
0
x qFi
ba~
1 A 1 a ~
/ 1 \
cu
•(*
/X -
2
-1=Ы\х ( v \ ts f \
с Yu 1 — 1 Ku(cx)
sin
cos
a +
+ i/, 1 +
" ^ 1
dx =
Ci/tt/2)
Ci/tt/2)
2
f/i
2
2
- /i — v #
2
ei2v Bл/
, 1
h
i
Vc)
м-
M +
) С
16 y
-{
2
2
i/ —
2
)
cos
sin
a \i
+ 1У
a v —
+
62
2
16 У
A*
2
[6, Rec
Ci/7r/2)
Ci/tt/2)
}
— a
> 0;
ken
]«
Re a > Re i/1 — 3/2].
"I
J
-ib
[6, Rec>0; | Rei/| < 3/2 ±1].
8.
9.
2 COS 1/7Г
X y2^+(i±i)/2(V^bc)Ar2l/+(i±i)/2(V^bc) [6, Rec>0; Re i/ > (-2 T l)/3].
)jFC (cx) dx ^^
K2v-i(V2bc)[Ji-2v(V2bc) - J2^i(V26c)] [6, Rec > 0; Rei/ < 1].
oo
10. Г ж^^е^Уо^л/ж)^^»)
dx =
x exp ( —- jvy_2 0
? exp f
l + 2i/
[6, Rec > 0; -1/4 < Re v < 3/4].
11. [ x^1/2ecxY0(b^)K0(cx) dx = ?= exp f ^-) Ko (^-] [b, Rec > 0].
J V2c \16c/ \16c/
^л a-i sin аж i _. , ч _. . ч ,
12. ж < 2 >Yv(cx)Ku(cx)dx =
J [ cos ax l
о
v . , i/
1+
1/7Г J cos (атг/4) 1 / a
S"\sin(a7r/4) J V + i
2i/ + a
2 2v
c COSi/7rx
с4
sin [(a - 2i/)tt/4]
cos [(a - 2i/)tt/4]
l-i/ a
J L ' ' 2 J
и l — i/
2 ' 4' 4 ' 2' 2 ' ' 16aV
[a > 0; | arg cj < тг/4; Re а > 2| Re v\ - 1 =F !]•
2.16.28]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
335
с2а / -2
13. I x1+2a cos ax2Ya(cx)Кa(cx)dx = ^ ——тт^г К®
2.16.28. Интегралы от Д(
оо
1. [ ха~гIIJt(bx)Kl/(cx) dx = В^и
[o* = 0 или 1; a > 0; | arg c| < тг/4].
[Rec > |Re6|; Re (a + i/) > |Rei/|],
^^,iy = i **^/*, i/(*fr)> ^, i/(^) = ^м, ^ см- в 2.16.21.1, ?»^п получаются из А^?те с помощью
формул
K(Z) = Л о ¦
^ /'
с2 - б2
/2 I 2
¦ (с — о
+ 62
> o0 0 — —г-z
с(сг
с(с2 - б2;
2с2 tb
2b
с2 — б2 V с /
(с2 — б2J '
ь
б2 \с
(c2 -
2- J -I
О
оо
3. }Ж«
О
оо
J Ж
О
оо
5. J/2
О
оо
e.j,
С/ б2 V С/ V С
2«^2 Г (а + /1 + i/)/2, (а + ^ - i/)/2, 1 - а
[Rec> |Re6|]
са [1 + (fj, + i/ - а)/2, 1 + (/х - I/ - a)/2j
[Rec > 0; | Re i/| - Re jla < Re а < 1].
V 2
2c V 4c
[Rec > 0; Re v > -1/2].
dx =
, (a -
336
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.29
x 2F3
4 ' 2
а
/i. 1 /i + 1 /X х, fe \
4 ' 2' 2 ' 2 ' 64с2 /
/х/4, (а - и
2+4; 2' 2+1'^
[Re с > 0; Re/i > 2|Rei/| - 2 Re a].
J
о
oo
а
oo
4cr
4c
4c
[Rec>0;
10.
2 ^
[a>0; Rec> |Re6|; Re M > -1].
dx =
[a, Rec > 0; -1 < Kept, < Re i/ - 1].
/ ^ ue ж M ' \c —b у ** }/ Н1/_(л_1(у\/с2 — b2)
[y > 0; Rec > | Re6|; Re/i > -1; Re i/ < 1; arg \Jx1 - у2 = О
при x > у, arg (ж2 — y2)^ = тг(р при ж < у].
oo
п. J,-;
- cz)Kv(c\fx2
dx =
2.16.29. Интегралы от жае рхПIpb(bxr)Kv(cx).
OO /—
Г _i/2 -ЮЖг /, ч г^ / ч » V<i COSM7T
1. ж ; е 1^,{Ьх)Ки{сх) dx = -; г-
М^^+ 2 I x
= p2d2;
- 1/2; Re(p + с - 6) > 0].
2.
„
x 4FS
-*/ 2/x
462
-,
X 4F3
М + 1
¦1 2/1-
3 3
4 ' 4 ' ^ ' ' ^ ' 2' 2' с
[Re 6, Rec > 0; Re (a + ц) > |Rei/|].
2.16.29]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
337
oo
Ч
О
oo
'¦J
I0(cx)K0(bx)] dx =
- (b - cJ
[Rep> |ReF-c)|].
I dx =
/, a -\- fi, — v\ f cos i/тг sec
И cos иж sec (a + /х)тг 1
— 1/; - + a
Oj 2<*^fZ ' [ 3/2 +fi-a
3 '^ ¦Re6>0;
\ + u,\-u,l-a;
5. J,-
0
oo
6. j*
0
6 + с
Re с > 0
> 1/2; Re с > 0].
^l -юз;
e F
) dx = 2 ^
r p
//i + i/ + l /i + i/ , a + /x + i/ a + /x + i/ + l
x 4F,(—^—, -^- + 1, —j—, j ;
l + i/, 1 + /i, 1 + ц + i/; —7- I + 2I/~M™1cM~l/pl/~M~QT '
P / 1 + /x
1 -\- fl — I/ \l — V OL + \L — V OL + \L — V + \
2 '
4сГ
; 1 - 1/, 1 +/x, 1 +д - 1/; —2-
p2
[Rec, Rep > 0; Re (a + /1) > |Rei/|].
00
. f
0
00
. f
2
/ viT, / ч , 7Г See 1/7Г „ / О —
1 + /-^(ся;)]/^„(сж) с!ж = — P^-i/2 '
2c
j v */ —1/2 I o о
4 cos2 j/тг \ 2c^
2c2
[Rep, Rec > 0; |Rei/| < 1/2].
[Rec, Rep, Re a, Re (a + 2u) > 0],
[Re и > -1/4],
-1/4
p + 2>
1
pDc2 — p2
_ p1/4 / ^/i™1/4 f ^1
¦ = i/4c2 ^p2/Bc); Rei/ > -1/4|,
-2c)E(ife) -2pK(A;)],
OO
9. f xe^px2[Io(bx)Ko(cx) + Io(cx)Ko(bx)]dx = — exp
J 2p
[Rep > 0].
22 А. П. Прудников и др., т. 2
338
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.30
10. 7 х*-^-**' U
J
+ г/
J X
о
oo
Г i *. 2 o
Xой еГ I (bx )K
J м
„(c*) dx =
[Rep > 0; Re (a + jti) ^
1\ /c2\ /c2
Г[|/+Мехр ™ Ж_,/2 i//2( —
1 2/ \2p/ ' \ p
[Rep > 0; Re i/ > -1/2].
\dx =
(a
x 2F2 ( ^—^ - /x, ^—^ + /x; 1 + i/,
i/c2
' 86
2C,-a)/2-
[
—и а —и
' 2
Г
^~Q ^~
oo
. Г
13. jx
0
Z Z
21Л+1"+1е~Ьх2
, Rec>0;
dx =
+
[2k = -3/x- i/ - 1/2, 2m = /z + i/+ 1/2; Rec, Re 6 > 0; Re^ > -1/2; Re Bpi + i/) > -1]
oo
14. f xa-1e-cx
; fi + 1, a
; —
Z oC
J
[Rec> 0; Re (a + ji/2) > jRet/j]
2.16.30. Интегралы от х
I nil /| Гр
а{
oo
. f
J
= - \иЩк) - К(к)Щи)
с [ en и
[en2 ti = ^262(y/(a2^62 + c2J^4a2c2 + a2 - fe2 - c2),
= 1 + (a2 - 62 - c2)((a2 - b2 + c2J - 4a2c2)/2; Re c> | Re a| + | Re 6|].
2.16.31]
2.16. Функция Макдональда Кv(x)
339
оо
2. f х sh ах In(bx) Kn(cx) dx = Вп Же с > \Rea\ + |Re6|; k =
« L
О
* = 8A - * W' К2 "
(Ь + сJ - а2 1,
OO
3. \ ch axIn(bx)Kn(cx) dx = Cn
о
Со = 4
2kVbc
С2 = —1= [D - fe2)D - 3fe2)K(fe) - 8B - fe2
63
2 4 2 - 2A28 -
- 2A - fc2)A28 - 128fc2 + 27k4)K(k)].
[Rec > | Rea\ + | Re6|; к см. в 2.16.30.2],
[B - 2
[A28 -
С a =
[F144 - 122881b2
• Шк8)Щк) - 32B - fe2)(96 - 96k
2.16.31. Интегралы от
a( smax \
x < r \
{ cos ax j
1. sin axIn+i{bx)Kn{cx) dx = Pn
Rec > |Re6| + |Ima|; к = Vbi/^\b + cJ + a2 = sina, sin/3 = a/
2c2
же
-
OO
2. x sin axIи (bx) Кtj (ex) dx
Rec > | Re 61 + |Ima|; Re v > -3/2; к = 2Vbc/x/a2 + (b + cJ
+ c2
Лте = ,Bn при A; = 2\fbc /л/а2 + F + сJ
OO
3. cosaxIu(bx)Kiy(cx) dx = Du
Г
[см. 2.16.30.2].
Rec
; Re v > -1/2; fc = 2\fbc / ^a2 + F + cJ
Dn = Cn при А; = 2^/Ьс/л/а2 + F + с)
[см. 2.16.30.3].
22*
340
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.31
4. х cosaxIo(bx)Ki(cx) dx =
о
16A - k2)c{bcf/2 L
Re с > | Re 6| + | Im a\\ к =
^а1^ Ь2)Щк) + 46сA - кл)Щк)]
сJ1.
5. f ^
о
6.
Re с > | Re 6| + |Ima|; к = 2Vbc / ^а2 + (Ь + сJ = sin a, sin/3 = a/^Ja2 + F - сJ .
= 2_A4_I/_ia_a_AX_I/c/i+I/ f sin[(a + /x + i/Or/2] 1-р Г —^5 a + jti +
~ \cos[(a + /x + i/Or/2] J [ 1 + /1
а + {1 + I/ 1 + а + jn + и 1 + /i + и
+ и 4с
——; l + i/, 1 + /x, 1 + /x + i/; j"
zl ft
?I/_M_i v-p-a 1л~у f sin [(a + д — ^)тг/2]
\cos[(a + /x-i/)?r/2]
-/i
1 + a + fi, — is 1 + fi — is fi — v 4c
2 '—2—.i + -2-;i-".i + m,i + m-";-^-
[a, Re с > 0; | Re v\ - Re д - A ± l)/2 < Re a < 2].
J I cos ax I ' у а
о
8. x
о
~1/2
/о(еж)/Со(еж) с?ж = —^^
cos аж | х/тта
Va2 + 4c2
[a, Rec > 0; Re i/ > -C±3)/4].
/1-Р)тКЩ]
a, Rec > 0; 2fc2 = 1 - л/2а /{a + \/a2 + 4c2 )].
9. I — cos аж/п+1 (еж)/Cn(еж) ^ж = Cn
a, Rec > 0; fe = 2c/\fa2 + Ac2
жа
[4A - k2)(8
- C2 - 12k2 - 23fc
OO
1 fi f a-i f sin ал/х \
10. ж < ^- ^
j [ cos ауж J
) с?ж =
2, (a + /x-
4, (a + /x -
¦5/41
ft1
rp F /x — i/ — a <5 /i + i/™a <5 ol + \l + v 8 a + fi — ,
X4FbU 2 '4 2^ ' 4 + 2 '4 + 2~"
28 + 1 28 + 3^ a4 \
' '
2' 2 4' 4' 4' 4 ' 256c2/
- ^/2? <5/4 + (a + /i + 1/ + l)/2, Я/4 + (a + /x - *> +
(l + /x-i/-a)/2-J/4, (l + /x + i/-a)/2-J/4
r
2.16.33]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
341
— ii — v ё
2 '4 2 '4
2a -j- ё 1 + а ё 2ё + *:
i/ + l#3
2 ' 2' + 4 ' 2 + 4' 4 ' 4 ' 256с2
1 Bа-
3-а
с I cos атг J х ' \ 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2' 2 '
а 3 — 2а 5 — 2а а4 \ а4™2а ( 2 2\/ sin атг
2' 4 4 256с2/ 8с2 \ cos атг
: — 4) х
а 3-а 5 - 2а 7 - 2а а4
2' 2 ' 4 ' 4 ' 256с2
'1
a, Re с > 0; |Rei/| - Re/x- <5/2 < Re а < 3/2, ё =
п.
cos ау ж
х W,
, ±1/8
dx =
а2\.. /а2
g^ I M-i/±l/8, ±1/8 I
± {/4
[а, Re О 0; Re i/ < B ±1)/4].
2.16.32. Интегралы, содержащие 1\{х)/ К\(х).
1. Г — 14ж — In ( 1
J
2.
КЦх)
тг
~2~
1 = —^г« I * I — z
3. ж arctg
о
dx = %-
2.16.33. Интегралы от А(х)К^((
оо
1. [ жа^1^Fж)^(сж)с1ж = А^}1/ |Re(fe + c) > 0; Re a > | Re//| + | Rei/|; k =
= F -
а + а — и
be L2'2+ '2
С2
26c
2У V 2/
2 _
[Re«>2|Rei/|],
1],
342
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.33
2 ,2^/2^2
2с2 -Ь2
In с — In 6
[Re и < 1/2],
26F2 - с2)
[2ЬК(А:)-(Ь
¦ln-
c
rg [26C6 + c)K(fc) - Gb2 + c2)E(fc)];
[6C6 - 2c)K(Jfe) - B62 -
A$tl =
¦[C64 + 762c2^:
36с - 2с2)Щк)};
Г2A/4)
з/2^ Г2 C/4)
<n =
A*/2 =
-2kl)
43/2 _
^1,0 —
262 A - 2fcg)
6Г2A/4)
8^21? A - 2fc2)fc§(i _ kl
[2Е(А;ь) - :
[A - к2с)Щкс) -
2.
^E(ifec) + E(V1 - k2c) - КЖ
+ a + и a + a — is a -
00
3. К2и(Ьу/х)Ки(сх) dx
0
00
4. J,-*A
[0 < с < 6],
1 )] [0 < 6 < c].
a — д — i/i
2 2 2 J
[Re с > 0; Re a > |Re/i| + |Rei/|].
X 3*3
"' 2 '4'
a + i/ fi a — is /il /il + /i ^4\
2 + I' 2 + I; 2' + 2"' 2 ' 64c3J
. — x
[Reс > 0; |Rei/| < 1/2].
+
f a + is [i a — и /il fi 1 — fi b4
2 3V^ 4' "^ 4; 2' ?' ^^
i'^2^ + ilx
2.16.34]
2.16. Функция Макдональда Ки(х)
343
4' 2 4' 2' 2 ' 2'
a + jy + 1 fi ol — v -\-\ fi
2 I' 2 I
/X OL — V -\-\ II 3 3 —
2
5.
4' 2 4' 2' 2 ' " 2' 64c2
[Re с > 0; 2 Re a > |Re/x| +2|Rei/|].
OL -\- V — fl OL — V — fl~\
+ 2^
a +/x +
a + /x — 1/ 62c
x
2Л2
' 16
v — а. у — fi —
2 ' 2
i 2 2 N
-]
-1±1 •
f
6. x~L±LKu - KJcx) dx = ж{ ;_!
J \x J I b
о
7.
Ъс)
[Re 6, Re с > 0].
[Re b, Re с > 0].
о
= л/2тг
оо
, р-.|
- = 0 или 1; Reb, Rec> 0].
х - y\)Kv[x) dx =
i - /x, /x + i/, |i - i/l ^,(
9.
V > 0; |Rei/| < Re/x < 1/2].
Kv(z)
l тг; Re/x :
10
00
. Г ха^1К1/(сл/х
= 4fi
z2 + cz) dx =
11.
тг f*Y*/2r|"a/2-i/, a
(a +
/Ci (с л/х2 + z2 + 2xzcosb)
x/x2 -\- z2 -{-
[Rec'
bK0(cz)
czsm6
[|6| < тг; Rec, Re z > 0].
2.16.34. Интегралы от жае
оо
1. [ x^1/2e^pxKfI(bx)KlJ(cx) dx =
\/d cos fiir cos i/тг
cos (fi + j/)tt cos (/x - i/)tt \2
0; | Re/x| + | Re i/| < 1/2].
344
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.34
2.
ге( ^с'хК^(Ьх)Ки(сх) dx =
:— [cos уж sec (a + /х)тг
' i 1 л
х з^2 ( - + /х, а + /1 + I/, а + /х - и; 2/х + 1, а + /х + -; ±-
Z Z С
а - /х + 1/2
1 1 , Ь\
~~ — tij а + и — /х, о — f — /х; 1 — 2/х, сх, — ц + —\ zh™ I +
2 2с;
COS/iTT
^
1
-,
1
-,
1 , 1 з , з б
1 - а, - +1/, - - I/; - +/х- а, - - /х - а; --
Rea > |Re/x| + |Rei/|,
Re с > О
Re b, Re с > 0; Re а < 1
3.
= 2"
- 2 л/тг о с I
a — /i — v
a - и + 1/2
— i^, а — д — i^; 1 — 2i/, - + a — i/; —-
[ReF + c) > 0; Re a
4.
ba vcv cos/1тгГ —i/, /i — a — i/, —/x — a — i/, ™ + a + i/| x
1 1
ba vс У cos/хтгГ \v, [i + I/ — а, I/ — fj, — а, — + а — is\ x
— л/; 1 — 2i/, 1 + a + /х — i/, I + ql — у, — v\
[cos i/TT sec
,«-,w—r [-"•« + - ;¦«-'-¦
- + /x - a, - + /x; 1 + 2/x, 1 + /x - i/ - a, 1
z z
- a;
+ 2 V71" 0
r / . \
[cosi/Trsec (a +/ijTr
7
[ 1/2 + a + /1
x 2ft ( - — a — /x, - — /i; 1™ 2/x, 1 — i/ — /x — a, 1 + 1/ — fi — a; +4bc
Rea > |Rei/| - 1/2,
Re с > 0
Re b, Re с > 0; Re a + | Re /x| < 1/2
2.16.34]
2.16. Функция Макдональда К'и(х)
345
5.
= 2-а-1
/х, а — fi; 1 — 2/i, 1 + /х — i/ — а, 1 + /х + i/ — а; 46с ) +
2 2 у
1/2 +а-/х
х 2^з I —Ь /х, —Ь /х — а; 1 + 2/х, 1 — а — /х — i/, 1 + i/ — /х — а; 46с
\2 2
- а - «л -Д - <* - «
1/2 — си — I/
- + *Л -
а + i/ + д; 46с
l/2 + i/-a
i/, - + a - i/; 1 - 2i/, 1 + a - /x - i/, 1 + a + /x - i/; 46c ) [Re 6, Re с > 0].
6.
x I cos /Х7Г sec ¦
A + Q + ,)/2
1 + а + v ,
1
2(a^3i/)/2 + 2
^^ 4HI
1 3-i/-a3 + i/-a с2
Re a > 2|Re/x| + |Rei/|,
Re 6 > 0
Re c> 0
7.
,
a — и be2
2 ' TT"
346
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.35
. (а-И/2 -
(у - а)/2, (l/ - а)/2 - /i
1 + а —i/
6c2
Re 6 > 0
2.16.35. Интегралы от xa I }Ka(bx)Kv(cx).
{ ch ax J
oo
= /n
[ReF + c) > |Rea|; k = (a2 - F - cJ)/D6c)],
71 = 8^
oo /
2. chaxKo(bx)Ko(cx) dx = —^^K|
J 2vfec V
V 46с
и
oo
3. ж2те+2 shaxKn+i(cx)Kn(cx) dx = Jn
[Re F +с) > | Rea|].
[2 Re с > | Re a|; к = a/Bc)],
Jo =
Jl =
OO
4. x2n+1 chaxKn+1(cx)Kn(cx)dx = Rn
[2Rec>|Rea|; k = a/Bc)],
2.16.36. Интегралы от жа< sin аж I ^ ^ж\^/сж\
[ cos аж J
oo
1. x sin axKu(bx)Кu(cx) dx = Iu
0
|ReF + c) > |Ima|; |Rei/| < 3/2; fc = ^a2 + F - cJ /^a2 + (b + cJ , I = (a2 + 62 + c2)/B6c)
_
2 iri/2p-i
i
/ 2
— «
;;2(;cK/2
oo
2. со8ажАг1/Fж)А'1/(сж) dx =
[ReF + с) > | Ima|; | Rei/| < 1/2],
Ju =
7Г
be
= —\\-r- K(Vl - Ь
2 у be
k = Ja? + (b- cJ / Ja2 + F + cJ , n = I - Vl2 - 1 , I = (a2 + 62 + c2)/B6c) I.
2.16.37]
2.16. Функция Макдональда Kv(x)
347
3.
, (а
/2, (а + S - fi + i/)/2, (a + J - /x -
. — i/ a + J — д + i/ a + «f ^ м ^
1 a + 1 a a2 \
2 Re с > |Ima|; Re a > | Re/x| + | Re v\ - S, S =
4.
5. i ж1/2<! ШПаХ \K0(cx)K1(cx)dx =
2 Re с > | Ima|; к = ~^=r 1 -
л/2
1/2
-*2)тВДх
- к2) - A -
. ж2те+2 sin аж11Гп+1 (еж) К"та (еж) с/ж = Jn
[2 Re с > | Im o|; А; см. в 2.16.36.4].
2 Re с > |Ima|; fc = а/л/a2 + 4c2 1,
Jo =
Jl = тгх: К1 ~ к
oo
. ж2те+1
/o =
2ac
'n+i(cx)Kn(cx) dx = /n
- 2A - 2^2)A + 4ife2 - 4ife4)E(A;)].
2 Re с > |Ima|; к = a/\/a2 + 4c2
- C^13fe2+8fe4)E(fc)].
oo
4
^1/4,i
2a
^1/4, v
2a
9.
L (г
ШаГ"\2а
и x
4 /
a > 0; |argc| < тг/4; |Rei/| < 1/2].
2a^
[a > 0; |argc| < тг/4].
2.16.37. Интегралы от хаJ\(ax)JfI(bx)KlJ(cx).
oo
L. J\(ax)Jfl(bx)Kiy(cx)dx =
0 Л^м f
•Г
A + /x + i/ A + /x — i/
; fi + 1; «,), ti =
A + 1, /i + 1
c2 - a2 + fe2 - vV-a2 + b2J+4a2c2
1 + a2 - b2 - Л/(с2 + а2^62J+462с2
i/| - 1 .
348
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.37
I. \ xa~1J>t(ax)Jtl(bx)Ku{cx) dx = Ва(Х, ц, v)
[Re (а + \ + ц) > |Rei/|; \с\ > \а\ + |6|; Re с > |Imo| + |Im6|; и = (а2 + б2 + с2)/Bа6)],
(Л, д, «/)_
i/ —/х+2
(A, /i, v) = 2х+1/ м 4м
А + 1, Л + 1/ + 1, I/ + 1
x (chy? -
Re Л, Re /i. Re i/, Re (Л + v) > —1; а + ic = ib ctg
Ф + i^f
2 '
с ch у? sin t/?
т. e. — =
b ch2 9? — cos2 ф
a cos i/? sh ip
A + cost/? chip ¦— ship sin i/?),
г, /х, i/) =
¦ exp
6 ch2 у? — cos2 '<
1
"~2
A + cos ф ch (f — sh cp sin t/?) ,
/, i/, v) =
[Re/x, Re(/i + ?/) > -1],
[Re i/ > -1/2],
/X, l/j
(r2 - 62K/2
lXH-aV)-"-1/2 v /И - 262r2 + a262
exp -
i7TD/X-2l/
-i)"
\2bcz = a2 + c2 - b2, r = \jab{u+ л/и2 - 1); Re^, Re (/z + i/) > -1 ,
Б (м + i/, /i, i/) =
B2(l, 1,0) = -
B3@, 0, 1) =
• = \jab(u+ yV - 1); Re/x, Re (/x + i/) > -1 ,
x, /i, 0) = гГ1?^1^ ^ n)M(r2 + n)^
ri = A/(a - bJ + c2 , r2 = J(a + 6J + c2 ; Re/x > -l],
J
-i .
ОО
J. [ ж"^1 Jx(bx) Jl,{bx)Kl/[cx) dx = Ла(Л, /i, i/)
> |Rei/|; |c| > |26|; Re c> 2|Imfe|; z = лМ2 + с2 /с, к = 2b/(л/4b2 + с2 + с) ,
2.16.37]
2.16. Функция Макдональда Kv(x)
349
А (А.М,")=
2"-2Ьл+" Г (а + Л + ц + и)/2, (а + Л + ц - u)/j
2"с
¦D62 + с2)(^
л/ж" С^
+ с2
[Re/z > -1; -1/2 < Rei/ < Re/x + 1],
С2)~"~1/2 [Re и > -1/2],
/i, i/) =
Re И - 2],
4»
(-М-1, М, i/) =
| Re i/|
^
Sin Д7Г 1/7Г
47Г 2
1],
- 3],
@, 0, 0) = ^K2(fc), Ax(l, 1, 0) = -?- [K(fc) - E(fc)]2,
^B, 2, 0) = ^J^ [B + fe2)K(fe) - 2A + ^2
llC'3'°)=2225^F[(8 + 3fc2
4к4)Щк)^(8 + 7к2 ¦
[A + -
л1C'3'2) = зш^«8-
, 0, 0) =
A2@7 0, 0) =
- k2)E(k) - A - ife2)(8 -к2 - 4fe4)K(Jb)]2,
1
жЪс2
, 1, 0) =
сл/Ab2 + с2
, ^A,1,0) =
-Jfe2)K(^)-2(l +
А2C, 2, 0) =
Л2@, 0, 1) =
гК(А;)[2Е(А;)-A-
х [(8 + З^2 + Ак4)Щк) - (8 + 7к2 + 8А;4)Е(А;)],
z — 1
350
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.38
[К(к) - Е(*)][A + к2)Щк) - A -
7TCJfeV462 + C2
Л2B, 2, 1) = jL. ^ [2A - fc2 + fc4)E(fe) - A - fc2)B - k2)K{k)] x
'A,0,2)=^^[A + ^)-A-
AxB, 1,2) =
2bV4b2 + c2
Зтгс4^4
x [2A - к
SJJ X
2 , i
^ 2, 2) = 26^4624|вС2 [2A - k
x [A + k2)(8 - Uk2 + 8k4)E(k) - A - ife2)(8 - Jc2 - 4A;4)K(ife)],
2b2
• [A + 14^2 + к4)Щк) - A - к2){1
A2(l, 1,3) =
2.16.38. Интегралы от ж"JA(aa?m)Jf,(bxn)K1J(cx).
1.
2 3
4 ' 4 '2' 2' ^ 2'
x Г
{и2 - 1)аа/2+г
„ . ~ г а 1 + /x «33-1/3 + i/ с4
2^3 — h —, *
2 4' 2 + 4' 2' 2 ' 2 ' 16a2
-+-1,1-+-
1
2.
4' 2 ' 4 ' 25'2' 2 ' ' ' 16a2;
[a, Rec, Re(a + 2/x), Re (a + 2/x + 2i/) > 0].
м_м/2,,/2(^)и/_м/2,,/2(^
[a > 0; |argc| < тг/4; Re/x, Re (/i + v) > -1].
7
. ж Jo(aa?2) J у {ex) К и {ex)
J
1
dx = — 7^
/2
4a
[a > 0; |argc| < тг/4; Re v > -1].
^2 '
оо
5. ж^
с )Ju{cx)Ku{cx) dx = —
[a > 0; |argc| < тг/4; Re i/ > -1].
«2 ¦
[а > 0; |argc| < тг/4; Re 1/ > -1].
2.16.39]
2.16. Функция Макдональда Kv(x)
351
oo
6. ж27 J(y-i)/2(fla;2) J и (ex) К и (ex) dx =
о
/J\
/ I — I — L
oo
7. ж Jv(ax )Jv(cx)Ku(cx)dx = —^ exp f
о
oo
. Jz5JiC
С
a
8. I x~Ji[ax
о
oo
9.
J
oo
10. f xJu/A(bx
;)ЙЖ = 8^еХР(~2а
dx =
[a > 0; |argc| < тг/4; Re t/ > -1].
[a, Rec > 0; Re v > -1].
[a > 0; |argc| < тг/4].
2 + i
X W-^v/
¦К
2
[6, Rec > 0; |Rei/| < 2].
/2
2.16.39. Интегралы от ха
oo
. f xl/+1[JM(ax)y^M(&x) + J^^(bx)
dx =
'2abz = a2 + 62 + c2; Re с > | Im o| + | Im 6|; Re /z, Re i/, Re (// + «/) > -l].
OO
2. xJo(ax)Yo(cx)Ko(cx)d,
о
oo
J. xJu(ax2)Yu(cx)Ku(cx)
о
oo
J
¦In-
4c4
[a > 0; |argc| < тг/4].
dx = ^
4тга
2c2
[a > 0; |argc| < тг/4; Re v > -1/2].
[a > 0; |argc| < тг/4].
/2
5. ж^(аж2)У1/(сжI1Г|/(сж) dx = — — sec — Kv/2 I —
6. ж1/+2Л(сж)УA/+1)/2Fж2)^(сж)^ж =
0
7.
2(^+5)/2^ + 3/2
XI \X
vr\2b) ±vfl\2b
2
с
[a > 0; | argc| < тг/4; | Rei/| < 1].
[6 > 0; |argc| < tt/4; Re v > -1].
[6, Rec > 0].
352
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.40
8.
[6, Rec>0].
2.16.40. Интегралы от хаJx(ax±r)I^((p(x))K1J(x(x)).
оо
1. [ ж" Jx(ax)Itx(bx)Kt/(cx) dx = Ba(X1 /i, и)
[Re(a
; \с\ > \а\ + |6|; Re с > | Re 6| + | Im а\; и = (а2 + Ь2 + с2)/BЬс)],
В"(А,
?f (аб)"
+1
ехр -
(l/, I/, I/) =
[2abv = с1 + a1 - bz; Re/x, Re (/x + v) > -1],
[Re i/ > -1/2],
+ *)>-1],
[Re i/ > -1],
B2@, 0, 0) =
i, 0, 0) =
v ' ' ; ~ 26c
B3@, 0, 1) =
2b2c2(u2 -1K/2'
l? 1, 1) =
oo
(cx)^(c^) dx = Aa(\, /x, i/)
[a, Re с > 0; Re (a + Л + /i) > | Re i/|; Re a < 5/2; A; = a/(\/a2 + 4c2 + 2c)l,
- Л
, H
2 '
2a-2 ,-a-^ u
I/,
— A —
1 - i/, 1 + /x, 1
4c2
2-
a2
у/2 [ BI/-2/X-
"^TT exP
[Re/x > -1; -Refi < Rev < 1/2],
2.16.40]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
353
1/2
а2 + 8с2
AW ( v + I, „, Л = а-'-1'\4сI'-1Ыи + \ I Р_„_- 2 2
1 2 / V 2 / \ 4cv a2 + 4c2
a2 + 4c2 \ ^ / Va2 + 4c2
[Re/i,
i/, /i, i/) =
aVa2 + 4с2
(а + Va2
[Re/x,
[-1/2 < Rei/ < 1],
i/) > -1],
i/) > -1],
Лх@, 0, °) = ^7^^зз(|
\
1, 1, 1
1/2, 1/2, 1/2
Л A,0,0) = -In
In
ЛхB, 0, 0) =
¦[2E(ife) - A - Jfe2)K(fe)][(l
lx(l, 1, 1) = 0,
/1 - k2 ) - 2E(Vl-A;2)],
Al^ !' 1) = ^i_fc2) [(A + *2)EW " С1 " ¦
х [A
-2A + ^2)E(^)] x
х [2A + к2)Щл/1-к2) - ife2K(Vl-ife2)].
Л1 /n 9 9\ —
. ^U, Z, Zij —
oo
of, Гп
О "
/ 2 \
X И/(„^м)/2 (i/+/Lt)/2 ( Б~ ) [a, Re с > 0; Re /i, Re (/i + i/) > -1/2].
\8c/
7 1 / a2 \ / a2 \
4. J4v(ay/x)Il/(cx)Ku(cx)dx = — /Л )^( К Rec > °; Rei/ > ^i/4]-
J 2c Vloc/ \16c/
о
oo
j
oo
0
oo
o
oo
2c
[Rec > 0; Re i/ > -1/2].
[Rec>0; Rei/ < 3/2].
2c
[Rec, Rei/ > 0].
[Rec > 0; Re i/ < 1/2].
ZC
AC
23 А. П. Прудников и др., т. 2
354
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.41
Г 16
9. ж Jo(b^/x)Io(by^x)Ko(cx) dx = — cos—
J c^ 2c
10. — Jo(-]lv
J 1 /
[Rec > 0].
[a, Rec > 0; Re v > -1/4].
oo ^___
11. —zJo(-)I±1/4(cx)K1/4(cx)dx= exp(-2y/ac)\ Sm ^ I [a, Rec>0].
J ж^ \ж/ V«3c [coszyac J
0
oo
12. x Ju{ax)Ivi2{c\/x2 + z2 — cz)Ku/2(cVx2 + z2 + cz) с!ж =
о i /
exp(-zVa2 +4c2 ) [a, Rec, Rez > 0; Re i/ > -1].
ay a2 + 4c2
2.16.41. Интегралы от ж^
[Ьу/х )Ки(сх).
X cosec иж Hi/2-t, f —— ) Ч- cos иж J^i/2 ( ^~ I + sin i/тг V^-i/2 ( ^~ ) [6, Re c, Re i/ > 0].
2.16.42. Интегралы, содержащие хаI\(ax)IiJ,(bx)Kl/(cx).
(сж) dx = Aa(\, /x, i/)
ei/|; |c| > |a| + |6|; Rec > |Reo| + |Refc|; z = (b2 + c2 -a2)/Ba6)],
Fc)'
/i, u) =
I
[Re/x,
-1],
[Re i/, Re(/x + v) > -1].
oo
2. f xa^1Ix(bx)Ifl(bx)Kiy(cx) dx = Ba(X, ц, и)
[Re(a +A + /x) > |Rei/|; |c| > 2|6|; Rec > 2|Re6|; z = \/c2 - 462 /c],
V+^ ^ Г (a + A + /i + i/)/2, (a + A + /i - i/)y
(Л, д, «/)_
A + /i a + \ + pi + и а + А + /x - i/
~~2~' 2 ' 2 5
, Л + 1; -^-
2.16.43]
2.16. Функция Макдональда Kv(x)
355
В1
с 2 С")/
}, 0, 0) = —К2
7ГС
i/| < 1],
3.
7Г C"T* L ^ + 3/2
о
[Re с > 0; Re i/ < -1/2; | Re (i/ -
2.16.43. Интегралы от ж"Л(аж±д)/СмFжгI:С1/(сж).
< 2 + Rei/].
1. ж" х Ja{ах)К^{Ьх)Ки(ex) dx =
с«+ЛГ(Л
а2 б2
. f
+ А) > | Re/x| + |Rei/|; Re F + с) > |Imo|].
[Re/i > |Rei/| - 1; Re {b + c) > |Ima|; u = (a2 + 62 +c2)/B6c)],
^@, ") = ,^1... (^ "
4&CSln 1/7Г
l, 0) =
Л@, 0) =
1
1
| Re i/| < 1],
2b2c(u2 -1) l^/u2 -1
а Г 1
1П (W + Vii2 — 1 ) ,
In (ti + л/и2 - 1) - 1 ,
In (u + V^2 - 1) .
oo
ж"™1 ^(аж)^м(сжI:С1/(сж) с?ж = Aa(A, ^, v)
о
[Re (а + Л) > |Re/x| + |Rei/|; 2 Re с > |Ima|; k = a/(\fa2 + 4c2 +2c), ^ = \/a2 + 4c2 /a\,
V, /i, i/) =
• -v)/2, (a + A-
a + A, A + 1
, (a + A — /x — ,
2 ' 2
a+A a+A+1
2 '
2
[Re/i > 2|Rei/| - 1]
23*
356
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.43
i, U, V) =
J
2ег
> 2|Rei/| - 2],
[Re (i, Re {ц - 2i/) > -1; Re (/* + 2i/) > -3],
-rl^U-U.02^^ [|Re,|<l/2],
4fc
^O, 0, 0) = — K2(k), ЛхA, О, 0) = i In
a a
a2 + 8c2 \
2 a + V^2 + 4c2
~Jc
\2, 0, 0) =
1D' °' 0) =
3, 0, 0) = — In —Ц-, Л2A, 0, 0) =
azz z — 1 ал/а2 + 4c2
A2C, 0, 0) =
-Ac2
\K(k) -
- 2A
A2@, 0, 1) =
ел/a2 + 4c2
¦K(k)[2E(k) ~ A ~ k2)K(k)],
Л2B, 0, 1) =
1
[K(k) - Щк)][A + k2)E(k) - A - Л
Л2D, 0, 1) =
ck2\/a2 + 4c2
[B + ^2)K(jfc) - 2A + к2)Щк)] x
« + 4c2
x [2A - к2
[A + k2)E(k) - A -
- A - k2)B -
- A - &2)K(AO],
A2B, 1,2) =
x [A
к4)Щк) - A - k2)(l + 7A:2)K(A;)],
Л2D, 2, 3) =
x [A - k2)B - 21k2 - 108k4 - 6k6)K(k) - 2A - Ilk2 - 108k4 - Ilk6 + A;8)E(A;)].
1 j fa\ r^2/ x , 27Г
4. —г- Jo I — ) Ku(cx) dx = K<ii/B\fac )[sin vnJivBл/ас) + cos i/ttY2i/B
J ж \ж/ a
0 [a, Rec> 0; |Rei/| < 1/4].
5.
6.
— ) 1^2/4(сж) dx = —; exp (—
kl/4l
a\/2ac
[a, Rec>0].
4c2
1С
~2a
[a > 0; |argc| < тг/4; Re fi > |Rei/| - 1].
2.16.45]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
357
7
8.
— чес —
\ ЯB) ( —
Я(
xsec-H,/2(
K/2
[а > 0, | argc| < тг/4; | Rei/| < 1].
2(^^5)/2?гЗ/2а1/^3/2
X
[а > 0; | argc| < тг/4; | Rei/| < 1].
9.
dx =
а + i/ а — i/ 1 /х ц b
2 ' 2 ' Г ~2"' +;~16c2
2
2
2 ' 2' 2 ' 2 ' 16c2
—/x, (a + /i + ^)/2, (a + /x — j^)y
[Re(a
i/), Re с > 0].
10. f xuJ2y-i(by/x)K2u-i[by/x)Ku{cx) dx =
= 2^^^ 7Г ' 6 ^^ c^ ^^ ' cosec i/TT Ш1/2^и I — 1 — Vi/2_i, I — ) I [Re c, Re v > 0].
2.16.44. Интегралы, содержащие жаУл(е&ж д)/СмFжт')
2. |sin-
J
о
»62
[a, Rec > 0; |Rei/| < 1/4].
[Rec > 0; |Re(/i + i/)| < 1],
...
2.16.45. Интегралы от ха 1\{ах)К11{Ьх)Ку{сх).
оо
1. J I,(bx)K,(bx)K4cx) dx = -^
- Pv/_\/2
[о < с < 26; г = \/462 - с2/B6);
2{z)Q-%(z)]
v| < 1; 2Re/j > \Reu\ - ll.
358
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.46
2.
О < 26 < с; С = л/с2 - 4Ь2 /с; \Кеи\ < 1; 2 Re/x > | Rei/| - ll.
Г l
3. J Io(bx)Ko(bx)Ko(cx)dx = ^
4.
e2 — Ab2 \ I с -\- \/с1 — АЬ2
^ IK1 L
[О < 26 < с].
1 + А
/Х А + fji а + А + /i + i/ а + А + /х —
2 '
-; 1 + А,
А + ^-Н+2
, (а + Л-д-
1 + А
— /х А — /х a + A + i/^(
2 '
[Re с > 0; Re (а + Л) > |Re/x| + |Rei/|].
5.
6. \ ха I\(ax)KpL(cx)K1J(cx) dx =
о
хГ
а + А, А + 1
X zii
2, (а + A +
^i/ a + A
[Re 6 > 0; | Re И < 1/2, 2Re^ + 1/2].
, (а + Л -/x -
a + A + 1
[Re(a + Л) > |Re/x| + |Rei/|; 2 Re с > |Rea|].
2.16.46. Интегралы от хаKx(ax±1)Kfl(bx±1)Kl/(cx).
dx = —^- [A(X,
-Х, -ц)],
х F4
a + A
2 iA + 1,^ + 1;^,
[Re a > |ReA| + |Re/i| + |Rei/|; Re (a + b + c) > 0].
2.16.47]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
359
2. | К1Л{Ьх)К1/{сх) dx = т— sec /хтг sec —- x
о < с < 26; z = л/4b2 - с2 /B6); |Rei/| < 1; |Re/i| < 1/2J
7Г 1/7Г
3. = —- sec —¦ cosec z/itt x
4c 2
4.
5.
о(сж) da; = —
АО
[о < 26 < с; С = \/с2 ~~ 462 /с; |Rei/| < 1; |Re/i| < 1/2].
I [0 < с < 26].
7Г
2с
с — л/с2 — 4b2
2c
с+л/с2 - 4b2
2c
[0 < 26 < с].
6.
dx = 2a^b^ac^v x
"i/, (а + А + /i - i/)/2, (а + /х - Л - i/)/2, (а + Л - /х - i/)/2, (а - Л - /х - i/)/2]
XII IX
OL — V
4_^
i 6
xl
¦и-\)/2, (а + А-
2, (а + i/ - А -
X 4F3
2
ol-\- v 1 + а + 1/
' 2 '
7.
—
С
' 4Л2 I [Rea > |ReA| + |Re//| + |Rei/|; Re B6 + c) > 0].
[Re6, Rec>0].
2.16.47. Интегралы, содержащие четыре и более функций J^(bx)
и Ки(сх).
L. I x2u+1Jy(bx)Ju{cx)Ku(bx)Ku(cx) dx =
[0 < 6 < с, Rei/ > -1/3].
Г 7Г
2. J xJ0(bx)J0(cx)K0(bx)K0(cx) dx = —
о
[0 < 6 < с].
360
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.48
f» -1 I
3. xJ0 (bx)K0 (ex) dx = —— arctg -
J Ibc с
о
7 a-1 П
о J'=1
[6, Rec> 0].
i oa-2
dx = 2 с
a-2 —a — X
с
i=i
6?
; Re c> J^ IIm 6i
2.16.48. Интегралы по индексу от произведений KiX(c) на элемен-
элементарные функции.
Условие: с > 0.
Л= Y^fij] Re(a
. j Kix(c) dx = \ е"с. 2.
oo
dx = (-1)"|
3.
5.
6.
7.
8.
9.
4.
= e~cchtK0(zt) dt.
[Rep > -тг/2].
сЬ(тгж/2)
Kix(c) dx = ^ [/C0(c)L_i(c) + ATi(c)L0(c)].
сЬтгж
Ktx(с) dx = -
- nce2c erfc
shax shbx
ch аж ch bx
ch (c sin a sin b)
10
11.
00
. J
^ J e-«co"
t)
dx = sina
о
о
12. | *??^e(c)dx=|e<!<:o"erfc(
сЬтгж
о
13.
л(^М te(c) |(с
t2
[Re a + Re 6 ^C тг/2].
[Rea < тг/2].
[Re a ^ тг].
[Re a ^ Зтг/2].
[Re a ^ тг].
2.16.49]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
361
14. I x th — Kix (с) dx = cK0 (с).
A
15. | sh ax thwx KiX(c) dx = — e erf f yzc sin —
A \ A
16.
сЪжх
j shaxshbx 1 (Adx--\eccos{a+b)eYic(\f2c~
a — b
a + 6
2
Re a
[Re a
<: -к/2].
Зтг/2].
17.
18.
sh 6ж
sh аж Штгж
sh 6ж
= 26 ^C^ + T^^
fe=l
с!ж= jL^ccos(a+b)erf
+ e"ccos(a"b)erf
+
a — b
19.
20.
cos bx
г/2].
| Rea| - |Reb| ^ тг/2].
тг/2].
shexsinte 1 =
ch аж cos bx J
^-ccosachb{
sin (csln ash b) 1
cos (csln ash b) J
| Rea| + |Im6| < тг/2].
21. thTrxsinbxKia.^) с!ж = ^e^cch6erft ( лДс sh -
о
2.16.49. Интегралы по индексу от произведений KiX(c) на специ-
специальные функции.
Условие: Ъ, с > 0.
1. жэптгж
о
оо
г
2. жэптгж
J
о
гх
Y
Г "+ ^
[0 sC Re^ < 1/4].
3. [Re Jte F)] Kix (
sin аж Im Jix(b)
cos ax Re J%x{b)
I < С < 6
| < b < с
'¦Ш
Kix(c) dx = I
1 = 0
с] z± = \fb2 -c2 ±2bcsha],
[c < b; 2bcsha < b2 - c2],
[c > 6; 2bcsha < c2 - b2],
[26c sh a > |&2-c2|].
362
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.49
5. \x Im [^+^/2F)^-^/2F)] A:isB(c) da; = TVVVDb1 + c')^1/2(c + V462 + c2
J
0
6. ^ xsh^Re[Jix/2(b)Y^ix/2(a)]Kix(c) dx = ^
?
9.
2с Г
c2 + 4a6 I
(c) dx =
^lm[Jix{b)Y-ix{b)]Kix(c) dx = \ exp (^ - с) erfc %
/4аЪ - с2 \2л/аЪ
( a + b ,
—^=y 4ab — c2
c+л/с2 ^
О < е < 2л/аЬ
с > 2л/аЬ
4а6 /Bл/а6 I.
J
оо оо
10. J [Jfx/2(b) + Yl/2{b)]Kix{c) dx = | H^/2{b)HfJ/2{b)Kix{c) dx =
с - Vc2 - 462
11. | ж8Ь^[^
dx =
12. x th tv x[J2x(b) + Y2x
J
0
= [ xihжхН\
J
ix{c) dx = exp f ^ - c) erfc
Г
13. xlm[Iix/2(a)Iix/2(b)]KiX(c)dx = -
f 1
01 л/4аЬ - с2
- ch
0 < с < 2л/а6
c>
14.
dx =
2.16.51]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
363
2.16.50. Интегралы по индексу от произведений < v %х >
[ Im Ku+iX(c) J
эле
Услс
oo
¦II
элементарные функции.
Условие: с > 0.
2.
_f ReK1/2+ix{c) 1
ReK1/2+ix(c) dx = yecerfc(^2^).
oo
'¦H
0
ch hx Re ^1/2+^ (c) 1 _ ?r
Im /С^Л) / 2
f cos F/2I
bin F/2)/
sech 7гж Re j
th.7TX Im Ki/2+ix(
6.
ch(l/2)
7. [ ^^ReK1/2+ix(c) dx = ^sm^eccosberfc (л/Тс cos -^
J яптгж 2 2 \ 2/
8.
9.
1 f ch7TxReK1/2+ix(c)
ch 2тгж + cos 2жи \ sh 2тгж Im K-^^+ix (c)
9
x2lmK1/2+ix(^
7 f cos 6
' }\8mb
7 f cos 6ж Re /Ci/2+г^ (c) 1 =7r
' }\blK()j X 2
bxlmK1/2+ix(c)
7rfch F/2I
2 \ sh F/2) f
11.
dx = ^
2.16.51. Интегралы по индексу от произведении
специальные функции.
Условие: с > 0.
[0 < 6 < tt/2].
Re i/1 < 1/2].
|Im6| < тг/2].
[6 > 0].
<
{ImK1/2+ix(c)
1.
2.
1 Г Re^1/2+i,
{xlmKl/2+i
{c)
хе c/2VK_Bl,+iT2)/4, -B^-1/4)(с) [Rei/ > -(lTl)/2].
Г(т + у
364
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.52
3.
4.
[Re 1/ > ( —1 dz l)/2].
[6 > 0].
2.16.52. Интегралы по индексу от произведений Kfj,+irx(b)Ku±iX(c) на
специальные функции.
оо
. J e(*
3.
4.
5.
с2 + 26с dip)
[ | argb| + | argc| + | Imp| < тг].
[А, В и С — углы треугольника, стороны которого равны а, бис].
fl7rKi(l/^tJ,)(b- с) [А = 0;0<с<6].
^^^(Ь + с) [Д = тг; |arg6| + |argc| < тг].
dx = — K2yi 2c cos — J
[2|argc| + | Rea| < тг].
о
тг
6. chaxKix(b)Kix(c) dx = — K0(y/b2 + с2 + 26c cos a) [| Rea| + |arg6| + | argc| < тг].
J 2
о
7.
= -? Ei (-2c)
[C > 0].
8. | x shaxKiX(b)КiX(c) dx = sinaKi(z)
,
9. xsh7TxK2ix(b)Kix(c) dx = -\ ^- exp (-— - с
J 4 V 2c \ 8c
10.
11.
12.
—¦ е™Ь™с
2 0 + с
z = yb2 + c2 + 26c cos a; 0 ^ a < тг .
[|arg&| < тг/4; с > 0].
[ | arg 6|, | argc| < тг].
[0 < с < 6].
[0 < 6 < с].
тг
13. cos axKix(b)Kix(c) dx = - К0(л/Ь2 + с2 + 2bccha)
J 2
о
Г . 7ГЖ /i\r^ / \ i /^ / С2
14. jcsin—- Kix/2{b)Kix(c) dx = с\ — exp -^77^
.12 V 2о \ 8о
o| + |argfr| + |argc| < тг].
[|argc| < тг/2; b > 0].
2.16.54]
2.16. Функция Макдональда Kv(x)
365
15.
n + v + гх
Kv+ix{b)Kv-ix{c) dx = ж21п
16.
oo
Г f
J [
shTrajsinfexl
тг2 Г J0(z) \
4 \Y®(z) )
[0 < 6 < c].
[0 < с < 6].
[6, с > 0; z = 2cshF/2)].
2.16.53. Интегралы по индексу от произведений
специальные функции.
Условие: а, 6, с > 0.
L xsh(nnx)\r(i> + irx)\ Kix(b)Kix(c) dx = In,r,
о
/2,1 =
ГA/2 -.
-c) [Rei/^O],
[0 ^ Rei/ ^ 1/2],
) [Re v ^ 0].
2.
3.
|ГC/4
и/ /о\т г /
сЬ(тгж/2Iт Jia.(
Г (shGTx/2)ReYix(b)
J \ ch (тгж/2) Im Угж F)
о
5. J a?sh
тг Г sin z
4 [cosz
. 7Г f COS Z
dx = --\ .
4 I smz
= b2 Bc)].
J
a-b 2 , ,,1/2 (с < 2л/аЬ )]
= —==¦ с2 - Aab 1/2, I ,— \\.
2л/^Ь [c>2Va6jJ
6. [ xthwxRe[Iix(b)]Kix(b)Kix(c)
J
о
7.
^^^ c) erf
v2c
+c
2.16.54. Интегралы по индексу, содержащие KiX(b)
Условия: 6, с > 0.
oo
Re K1/2+ix(c)
0
ж1т%+гжс
dx =
366
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.55
К
г /2+ix (
[О ^ а ^ *]
ехр | с
2.16.55. Интегралы по индексу, содержащие
Условия: a, 6, с > 0.
оо
Г Г
J [
0
ш (с)
Im Ku±ix(b) Im
Im K-i/2+ix (Ь) Im i^i/2+ix (с)
тг
4
тг
4
^K1/2+iX(b)ReK1/2+iX(c)
тг a
7ch™
4 2
6 + с
+26ccha
cos ax Re [K1/2+ix (b) K1/2+ix (c)] dx = - ch - Ko (z)
z = \/b2 + c2 + 26cch a
AT
1/2+ix
(c) ^ =
exp -c --—/»,—-
l 4c/ \4c
[Rei/ > -1/2].
cth ж x Im [I ix(b) К ix(b)] Re Кг/2+^(с) dx = -J— exp f с
2.16.56. Интегралы по индексу, содержащие ^^(а)
х sh жхКirx (а)Кirx(b)Кix(с) dx = Ir,
^2\
[|arga|
¦|argc| <тг/2],
с > 2л/^Ь 11
2. x sh ^ Kja;/2 (a)Kia;/2 F)Kia; (c) rfa; =
exp ( -
2\fab
[ | arga| + | argb\ < тг; с > 0].
2.16.57]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
367
Kix/2(ai)Kix/2(-ai)KiX(c) dx =
7ГЖ r^2
2
ch — ^4/2
5. xsh7rxKu+ix/2(b)Kl/-iX/2(b)KiX(c) dx =
J
( / \2|/1
(с — vc — 462 )
0 < 26 < С
0 < С < 26
тг2
= — ехр
4
ertc
[а, 6, с > 0].
п
dx =
x th7ГxKfx(a)Kfx(b) dx = ^— El (^2a — 26)
2.16.57. Интегралы, содержащие El Fж пIС1/(сж).
ж) dx =
2
2
1 3 3
' 25 2' 25
a + и
' 2
+
!-"Ч*Г
261
с
[Re 6, Re с > 0; Rea> |Rei/
Z El (^6
с!ж =
cv{v - a)
a — I/ a — I/ a^-
a + is
v a + v
с
/; 46
2 ' 2 ' 2 ' '
[Re 6, Re с > 0; Re a > |Rei/|]
El (--} Kt(cx) dx = ^ Ко(еж'/4л/Ш)Ко(е~ж'/4л/Ш)
\ xj с
[Re 6, Re с > 0].
368
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.58
4. 1 a^e^Eii
dx = -- 17@)
[Re 6, Rec> 0; Re a > |Rei/|; U(j) см. в 2.13.28.6].
5. f ха~1е±сх EI (-Ьж) АГ„(сж) с/ж =
7Ч
(i/ — а)су
о - F' а ~ »> а ~ »> а ~
2
2с
Ъ
ia + и)
2с
[Re 6, Re с > 0; Re a > |Rei/|].
6.
ге{Ътс)х EI (-
Re 6 > 0; Re a > |Rei/|,
Re с > 0
Re a < 3/2; |argc| < тг/J'
V(j) = — ГA/)Г(а - u)
sin (a - u)tt
x 2Fi [ i/, a - i/; 1 - 2i/;
V2
- + I/,
2
O0F f 1
)a^1b {cos иж
cos иж sec аж
Re 6 > 0; Rea> |Rei/|,
Re с > 0
Re a < 3/2; |argc| < ж
7.
а-1-(Ъ±с)х
Ei(bx)Ku(cx) dx = 1/@)
Reb>0; Rea > |Rei/|,
Re с > 0
Re a < 3/2; |argc| <
см. в 2.16.57.61.
CXJ
8. f x~1/2e{b~c)xEi(~bx)K0(cx)dx =
5/2
9. x~3/2eb/x~cx Ei ( -- ] Ko(cx) dx = ~
J \ XJ
Vb
s0
[Re 6, Re с > 0].
[Re b, Re с > 0].
{si (bx) 1
, { ?Ku(cx).
ci(bx) J
1.
., . . ^I/.^w. dx = V@) [b, Rec > 0; Rea > |Rei/|; УG)см. в 2.13.29.1].
ci (bx) 1 2
oo
2. J a!'»-1e— { ^{ЬьХх)}кЛсх) dx = V(l) + { J
6, Re с > 0; Re а > | Re u\, S =
0] Г
2.16.59]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
369
VG) = -;
3.
oFx)J
5/2 +а
а - i/+ 3 . 8
i+
2 2 2
5 +2a . r 7 +2a <5 . rt л 3 . r 62
v тг"^ Га + i/, a- i/
" " a+ 1/2
cos 1/тг Г? г, ч Г 1
\У@ +<
|
Х 5 4
8ш[Bа-1)тг/4]
2 J I cos [Ba - 1)тг/4]
1-2*/ 3-2*/ 1-2а#1 5 - 2а 5 - 2а 3 - 2а ^ б2 \
' ' ' ' ' ' ' ^^J
4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 2' 4 ' 4 ' 4 '
/ ^3\ fcos[Ba-lOr/4]'
V 2 Д i [B 1)/4]
2BcK/2C-2a) V 2Д8т[Bа-1)тг/4]
3 + 2*/ 5 + 2*/ 3-2i/ 5-2i/ 3 - 2a ш 3 5 - 2a 7 - 2a 7 - 2a ^ b2
4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 2' 4 ' 4 ' 4 ' ^4?
[б, Re с > 0; |Rei/| < Re a < 3/2; 1/G), V" см. в 2.16.58.21.
2.16.59. Интегралы, содержащие < „ , , \\ >Ки(сх).
{erfc (ip(x)) j
[Re с > 0; | arg Ь| < тг/4; Re a > | Re i/| - A ± l)/2; 17G) см. в 2.13.30.1].
2. | xerf (bx)K0(cx) dx = ± exp fe) к (^) - Ko(^
[Re с > 0; |arg6| < тг/4].
о a-1 Ъ11 \UV^/ |r// \ j n
J \erfcFv^)I 2
0
[Re с > 0; |arg6| < тг/4; Re a > |Rei/| - A ± l)/4; V(t) см. в 2.13.30.2].
, , тг
"(C!B) ~2
[Re О 0; I arg 6| < B =р 1)тг/4; Re а > | Re i/| - A ± 1)/2; W(j) см. в 2.13.30.3].
5. \ xv e x erf (ibx) К и (ex) dx =
0
[Re с > 0; | arg 6| < тг/4; Re i/ > -3/2].
24 А. П. Прудников и др., т. 2
370
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.59
6. f ха~1е±сх erf [by/x)Kv(cx) dx = Х{1)
0
. . f|Rei/|-l/2 < Rea < 1/211
Rec>0; arg b < тг/4, ' J 7 7 H,
[ | Rei/| — 1/2 < Rea JJ
26 Га + i/ + 1/2, a - is + 1/2] j cos i/тг cosec атг
1[ ]{
Bс)а+1/2
1 1 Ч Л2
-,a-*/+-; а + 1, -; ±—
z z z Ac
[11 (^1O261лГ(а) /1 1 1 3 1 &2Л
1 n Г —Afvi ^^ 3F2I - + i/, - -i/, - -a; - -a, 1-a; —
10 j V2c(l-2a) \2 2 2 2 2cy
/1 x ^7Г _ Г a + I/, OL — V~\ ( COS 1/7Г Si
+ A — 7)-7^—Г . N
1 u Bc)a [ a+ 1/2 Jl 1
7. f ха^ге±сх erfc(by^)K4cx) dx = X@)
[Re с > 0; |arg6| < тг/4, Re а > |Rei/|; X(j) см. в 2.16.59.6].
[Re с > 0; | arg 6| < B =F 1)tt/4; Re а > | Re v\ - A ± l)/4],
\1J L
isec(a-*/W
[Re с > 0;
10. [ - е(ь2^с)ж
< B =p 1)тг/4; |Rei/| - A± l)/4 < Re а < 1; У G) см. в 2.16.59.8].
сж) rfx 27Г^2с arcsm
АС
[Re Bс - б2) > 0; |6|2<2с]
[Re с > 0; |arg6| < B Т 1)тг/4; Re а > |Rei/| - 1/2]
a-aJa + iz-lA a-iz-1/2
a
Г» I 1 1 ** ^ 1
2^з| 1, l^a; - ^|/^a' 2
0\ л/тт Г a + i/, a - i/
ljBc)« [a+ 1/2
3
^'2;
2.16.60]
2.16. Функция Макдональда К'„(х)
371
cos иж
COSttTT
- -a; l-v-a,
2
с ±
Г — I/ I J i sec (а + |/)тг 1
[l + а + и\ \ cosec2(a + и)ж J
x iF2 Q + i/; 1 + 2*/, 1 + a + i/; =p(-l
12.
tsec(a-i/Or
cosec2(a - i/)tt
х 1F2 ( - - i/; 1 - 2i/, 1 + а - i/; т(-
= Z@)
[Re с > 0; | arg 6| < B =p 1)тг/4; | Re i/| - 1/2 < Re a < C ± l)/4; ZG) см. в 2.16.59.11].
/ I \
erf (iJ- ) K0(cx) dx = 2жИо(сл/2)Ко(сл/2)
\ у x J
oo
Г 1
13. ^ е^с(ж+
J ж
0
oo
14. f - eb2/x~cx erfc (-^=) Kv(cx) dx = /* *
J x \V% J 4cosi/7r
0
[Rec>0].
оо
15. |-е(
о
erfc
[Re 6, Re с > 0; |Rei/| < 1/2].
— )/Сго(сж) dx = 2/Со(^+)^о(^™)
L± = Jbl2 (a± \/a2 ^ 4c2 ) : Re a, Re b. Re с > 0 .
f S(bxr) 1
2.16.60. Интегралы, содержащие I \ r{ \Ки(сх).
{C(bx )J
2. x~1/2C(b^)K0(cx) dx= -W—
J 2 у 2c
[6, Re с > 0; Re a > | Re i/| - B ± l)/2; [/G) см. в 2.13.31.1].
[c > 62 > 0; b > 0].
3.
6, Re с > 0; Re a > \ Re i/| - B ± l)/2, <5 =
о/ '
v{1) = {±\y-1-
'a + 6 + V + l/2,a + S-u + l/2-\ ^
2a
2a -
4 '
4 ' 4 '
~=T(a) Jsin(a7r/2)
5 4
3-2i/ 1 - 2a 1 5-2a a 1-
~~4~' ^^5 2' "~^J I' ^
24*
372
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.16.61
X к Fa
1 /; 8C^2а)с3/2
3-2i/ 5-2i/ 3-2а 3 7-2а 3-а
4' 4' 4' 4' 4' 2' 4 ' 2 "' * 2' <
4.
[6 > 0; | Re i/1 - B ± l)/2 < Re а < 1/2; | arg c\ < тг; V(j) см. в 2.16.60.3].
1.
2.16.61. Интегралы, содержащие < ' + \Ки(сх).
= ~V@)
Re 6, Rec > 0; Re (a + u) > |Rei/|, ^ ""^ "' , >;
[ Re а > | Re i/1 J
CM. B 2.13.32.l
9 ^a"~1
0
^(сж) fe = W@)
Re6, Rec > 0; Re (a + 2/x)
, { eM > 0 1
{ Re a > I Re i/1 J
Re 6, Rec > 0; Re (a + д) > |Ret/|,
^ 2.13.32.2
Re/x > 0
Rea > |Rei/| /J'
s(a-
a +
1-7
/, a + /x - i/; a
a + /x + 1/2
1
\l/Bc)a V(
b
' 2с
, Rec>0; Re (a
5.
' 1 Re a > |Rei/| J '
f cos i/TT sec атг 1
о; + i/, a -— и
a+ 1/2
L J
Bc)al 1
2.16.62]
2.16. Функция Макдональда Kv{x)
373
ХГ
/, a — lA
1 b
л/ж 6м Г cos 1/тг sec (а + /х)тг 1 Г а + /i + i/, а + д — i/I
х 3F2 ( 1, а + /х + i/, а + /х - i/; - + а + /х, /х + 1; + ^ ) ~
V 2 2с/
I П I /o / i \ 1 n \ 9 9 9
^ и j у Ac cos (o; + /х)тг |_ — p J \^ ^ ^
Re 6 > 0; Re a > |Rei/|; Re (a +/x) > |Rei/|,
arg с\ < тг; Re (а + ц) < 3/2 1
Re с > 0
/J-
6. Jx e 1^, -j/M
\/tt ( cosi/тг secaTr l Г/i, a + i/, a ™ i/l
_. Гек + i/ — /x, ск — i/ — /il f cos vk sec (a — м)тг
ХГ[ l/2 + а-м j{ 1 >X
x 2F3 ( - + /x - a, 1; /x + 1, 1 + д - i/ - a, 1 + д + i/ - a; ±26c ) +
sin (/x — v —
iF2 ( - + i/; 1 + 2i/, 1 + a + i/; +2bc
^ y - al ip f1
_3/2 b/x-c
7. ж ' e '
J
Re6>0;Re(a-^)>|Re,|-l,{|argCi<7r;Rea'Re(Q^)<1/2}|.
[ Re с > 0 J J
b\ . ч 21~2*1у/т: „Г 1/2 - /x, 1/2 -
и
[Re 6, Re с > 0; Re ц < 1/2].
2.16.62. Интегралы, содержащие Вц{Ьх r)Kl/(cx).
х)К^(сх) dx = -— 17@)
[Re с> 0; Re a > | Re i/|; | arg 6| < B ± 1)тг/4; <У(т) см. в 2.13.33.1].
1/+о-Fж)АГ1/(сж) dx =
2. ж сте
J
о
7Г С
2" ~Ь
[о- = 0 или 1; Re с > 0; Re i/ > -B - о-)/2; | arg fe| < тг/4].
3.
4.
тг
[Re с > 0; Re a > |Rei/|; |arg6| < B ± 1)тг/4; 1/G) см. в 2.13.33.3].
[Re О 0; Re а > | Re i/|; | arg Ь\ < B ± 1)тг/4],
374
Гл.2. Определенные интегралы
[2.16.62
=
, -;
or + и + 1/2, а-ч + 1/2] ±1 ^1 ±1-2I
+
^fe /cosi/7r\
V
1,
2+".2-"'^Т
5.
6.
= W@)
Rec > 0; |arg6| < B ±
)^/4, (
Re "' < Re" < A-
| Re i/1 < Re a J
^Щ --а,1-а;Т^
см. в 2.16.62.4
dx = -
X (b2-Ac)
-Ac)^+S)/iP^l2(-^\
^l
(^\
[Reс > 0; Re/, < -1; iarg&j < 3^/4]
7.
2 ' 2
; ±
C-i/ - а)Г
±г
г Ч
4 ' 2'
Re с > О,
3 3 — v — а 3 + 1^ — a be
2 ' 2 ' ^^
1е (а — /х) > | Re i/| I
arg6| < тг/4 j
2.17.1]
2.17. Многочлены Лежандра Рп{%)
375
dx =
3/2
[Re с > 0; |argfe| < тг/4].
2.17. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА Рп(х)
Многочлены Рп(х) являются частными случаями многочленов Гегенбауэра и Якоби:
поэтому интегралы общего вида, содержащие Рте(ж), можно получить из п. 2.21.1 и п. 2.22.1.
При вычислении интегралов от Рп(х) может оказаться полезной формула
р (_т\ _ (_-\\пр (т)
2.17.1. Интегралы от (zm ± xmfPn(cx).
— [е = О или 1; а > 0; Re a > -е].
zt^uc -r t;/^.;n+l
>n[ — )dx = 0 [a > 0; 7i - га = 2, 4, 6, . . . ].
3. | L,mPn(-) dx = 1ШуП [а>0],
/т> п = 0 [га + тг = 1, 3, 5, . . . , или т + п = 2, 4, 6, . . . и п — га = 2, 4, 6, . . . ],
п + 3)/2)Г((ш - п)/2
4.
. j(x-a) Pn{T
[га + тг = 0, 2, 4, . . . ; п - га ^ 2, 4, 6, . . . ].
[а > 0; Re а < -тг].
[-Ь < а < b; Re а > 0].
[-6 < а < 6].
* ? х о /ж\ ^ 2^26 . L , 1Х . /Ь-а]
7. Р„ - с!ж = sin Bп + 1) arcsin \ —-—
J уж — а \о/ 2п + 1 V 26
г» L. J
6
. f F -
J
^) dx = j^ (b
a/ (p)n+i
±a
b
- x \a
ha < b < a; Re/3 > 0].
[-а < 6 < а].
376
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.1
ю.
11. Рп (- ) dx = (-1) -——
J уж + tt ^a^ 2n +1
— а
а
12. [7 Ц- Рп(^) ^ж = Jp
J (ж + z)^ Va/ P
[а, Re а > 0].
[а > 0].
[а>0; |arg(z2^a2)| < тг]
р + n, n + 1; 2п + 2;
2а
1)ап
18.
— y
2
n
15.
16.
+ а)Р \aJ
P. (?
- p)n+i
¦BаI"
[а > 0; у ^ [-а, а]]
[а > 0; -а < у < а].
[а > 0; Rep > тг + 1]
[a > 0; Rep > ri + 1; jarg(z - а)| < тг].
J {X -Т Z )
t2n[-)dx = -Л-
v<2/ 2(П -
19.
20. \(a2-x2)mP2j-)dx =
[a, Rez > 0].
[a, Rez > 0].
o2/3-13JF2(-n, n + 1, /3; 2/3,1; 1)
[a, Re^ > 0].
2m1
(m — n)B
a
21. f (a2 - х2Г3/4Р2п(сх) dx = -L= Г2 (])c1j4Ba2c2 - 1)
[a > 0; тг < га],
[a > 0].
2.17.2]
2.17. Многочлены Лемсандра Рп(х)
377
2.17.2. Интегралы от xa(z2 ± ж2)/3Рп(сж).
х 3F2 ( -п, -
3; а с
[е = 0 или 1; а, ЕеД > 0; Re а > -е].
а
. L—2"(а2
= \ В Q - /3, /З^а^^У^
[а > 0; 0 < Re/5 < (п + 1)/2].
2(п!)
4.
а
О
а
J \% it Ж J
[е = 0 или 1; о, Re/9 > 0].
2?Й) в(/3, n^/3 + e + i
[е = 0 или 1; а>0; 0<Re^<w + e + 1/2].
[а, те > 0].
, -,
1 + а — е а2
п; Т^
а
Г ж"™1 /ж\
7. ^ Р2п+е ( — 1 dx = I
J ж2 — |/2 \а/
о
Г а, Rez > Oil
е = 0 или 1; Re а > -е, < }\.
X z > а > 0 J J
[е = 0 или 1; а, у > 0; Re а > -е],
У tg
i-f Л 1 « + ? 3 а
X 3F2 1, 1 п,
\ А А
3 —а _ а|/
Щ ——, 2 - -; ^
А Аи
[а < У],
[у < а].
8.
а а + 1 1 + а - е а +
, -, ^^; п, —^
378
Гл.2. Определенные интегралы
[2.17.2
-/3-п,--е-п; - - е - 2п, 1 -
- п; -
- J
(
[е = 0 или 1; 6 > а > 0; Re/З > О].
(-1)"(C - « + е)/2 - /3)п +2/3_2
-
/3, е+ -;
[е = 0 или 1; 6 > а > 0; Re^ > 0]
10 Г
10. j
J ya2 -
2(n!)
[b > a > 0; Re/3 > 0].
[e = 0 или 1; a > 0].
p- e - n- 1/2
[e = 0 или 1; Re a > 0; Re p > n + e + 1/2].
-2(
в
x
[а > b > 0, Re/3 > 0; Re (a + 2/5) < 2 - те].
14
e)/2-p)n+1
1 — a + e
-—;
p- -,
z
a 1 — a
a
Rez > 0
¦ > z > 0
15.
x2 — y2
/ж\
2n+e ~
\a/
naa((l-a + e)/2)n
: 0 или 1; Re (a - 2p) < -2n - e, { a'
[e = 0 или 1; a, у > 0; Re a < 2 - 2n - e],
-1 1 + a-e , a + e
2((a
2.17.3] 2.17. Многочлены Лежандра Рп{х) 379
2.17.3. Интегралы от (ж ± а)а(Ъ ± xf Рп((р(х))»
ъ
-у/(ж - а)(о - х)
b> a; V2z± = I 1 + abc2 ± у/A - а2е2)A - 62с2)
6
. \{х - а)а^\Ъ - xf^Pn ^
2. \{х - а)а^\Ъ - xf^Pn ^ dx = E (а,
I, a; a + /3, 1; ) [6 > a; Rea, ЕеД > 0].
2а J
b
3. f(x - а)»-"(Ь - Ж)'3-1РП (?) <te = ^ГУ" F - а)пР^ (
J \а/ nlsin/Зтг \а
[6 > а; 0 < Re/З < п + 1].
ь
4.
(р - т)п+1
х 3F2(l-0, 1 + т + п-^, т-р-щ 1 + т-Р, 1 + т-Р;
2а
-а < b < а; ЕеД > 0].
Г /ж \ 2теA/2)
5. \ (Ь — ж) (ж + а) Рп 1 — ) <^ж = : В A + п — т, Р)(а -\- b) x
J \а/ п!ап
а
г, ( п 2п
х з^2 I —га, ^гг, т — р — щ —2п, т — п;
A — т)п+1
, 1 - г - n; ^y J [6 > а > 0; Re/З > 0].
а + о /
6
6. [(ж - а)"^ - aO^Pn (^) ^ж = В (а, р)(Ъ - аH6^ х
; 1, а + /3; -^ ) [-6 < а < b; Rea, Re^ > 0].
2b J
т. ]<* - а)-(Ь - ^-рп(?) dx = ^-^ {ь - are,--
[6 > a; 0 < ReyS < n + 1].
6
8.
. [(ж - а)ат1(ж + &)"TPn (|) dx = (-l)n В (a, r - a)(a + 6)a"T x
(a — rjn+i
x 3F2 ( 1 — a, 1 + r + n — a, r — a — n; 1 + r — a, 1 + r — a; —-—
[b > a > 0; Rea> 0].
380 Гл.2. Определенные интегралы [2.17.3
ь
9. \{х^а)Т~п~2{х + ЪутРп(^ dx =
}Ч^10) ($) [Ь > а > 0; Rer > „ + 1].
A-т)„+1 v
а
10. (ж + а)а^1(а — ж)^1/
— а
[а, Re а, Re/З > 0].
° 12
11. (а + ж)п (а — ж) Рп ( — 1 с/ж = : —:—-— Га > 0; 0 < Re /3 < тг + 11.
a
12. (a - xf~1(±x т z)-ePn (*) dx = %=^i Ba)'3(±a T ^)"9 x
J Va/ (Pjn+i
— a
x 3F2(e,C,/3; C-n,/3 + n + l; ^-) [a, Re/3>0,
V аг/ L
/22,
Uarg(z -« )l < 7г
а
13. f (x + a)"^ db xYePn {^) dx = (-1)WA-a)w Ba)a(z T a) x
J ^«^ (ajn+i
— a
X 3F2 ( a, a, 6>: a — n, a + n + 1; J [a, Re a > 0; I arg (z2 - a2)\ < тг1.
V а + z/
ОТ» (||
— а
Г Г 771 ^ 71 1 , . Л
^ V a>O,y^ -o,o .
[{m = n + 1 J J
a
15. f (а^Ж)/3 ' Pw(^) с1ж = / [a, Re/3>0],
J ж — у \а/
) У (га) х
\a/ (p — ljn+i
X 3F2(l, 2 + n^/95l^/3^n; 2^/3, 2^/3; ^^) [-a < у < a],
1= , Aw^lW BQ)^3F2fl,/3^; /3 - n, /3 + n + 1; -^-) [y < -a].
(a2/)(^) V a-2//
16. Г (Ж + а) Pnf^) dx = / [o>0; Rer>n],
J x-y \aJ
a
I = (-l)n+1 .(T +. 1)n Ba)-T3F2(l, т - n, т + n + 1; т + 1, r + 1; ^±») [-о < у < o],
- TJn+l
х 3^2 ( 1, 1 - т, 1 - т; 2 + п-т, 1-т-гг; —— 1 [|/ > а].
17. \{х-а)а^1{х + аутРп(^\ dx = В (а, т - a-n)Ba)a^T 3Р2(-п, -n, a; 1, т - ra; 1)
J ^«^
[a > 0; 0 < Rea < Rer - n].
2.17.4]
2.17. Многочлены Лежандра Рп{%)
381
18.
^) dx =
A — с/ — Tjn
+i
[a > 0; ReF>
>g + r;
la
arg f> - a)| < тг
= B(a, в- ^Са-
-n, n + 1, a; 1, 1 + a - в;
гО.
, —п, т — a — n; т — n, ™2n;
[a > 0; 0 < Re a < Re в - щ | arg (a + z) | < тг]
2теA/2)тар/ _л_|Л«+«-т
—v t^7 В (а, т — a — n)(a + 6) ^ x
26
21.
[a > 6 > 0; 0 < Rea < Rer - n].
= В (а, т — a)(a — 6)a T3F2 j —n, n + 1, 1 — r; 1, 1 + a — r;
26
22.
1 П
[a > 6 > 0; 0 < Rea < Rer - n].
- B^ + e™ IJ
a
23. L^Pn
x + a
2^лж"
[e = 0 или 1; a > 0; Re p > 2n + e].
[a > 0; Rea > те/2].
24.
2a + x
с!ж =
[0 < Rea < 1/2; |arga| < тг].
ч2^а(а + ж)
2.17.4. Интегралы от (х ± a)a(b ± xf (d ± хI Рп(сх).
а
J \fl/
/
+ 1, n + 1,/3; 1, 2 + n — a;
n\ sin атг
x 3F2 [a, a, a + y5 — n — 1; a^n, a^n;
z + a
a, Rea, Re^ > 0; | arg (z2 - а2)| < тг]
a
4
(ж + а)п^
ж ^ У
382
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.5
xa/3+n^1(a + |/I^3F2fl, 2 + n^/3, 2 + га ^/3; 2-/3, 2^/3; ^—^
— /14-1 /1 — 1 / V \
+ 7rctg/37r(a + y) p^(a-y)p Pn [-) [-a < у < a; 0 < Reft < n + 2].
\a/
. f (х T a)a^
±
= (±lj В [a, p){Ia) [a ± b) [b + aj x
Re а, Re^ > О,
1, га + 1, а; 1, а
b > a
-а < b < a
4.
= В(а,
2.17.5. Интегралы от А(х)е~рх±тРп(сх).
, га + 1, /3; 1, а +/3;
а-6
а
Г «Р
. е
— а
а
. f е"
J
— а
ею
/2тга n7ri/2 F / ч
= W е ; Jn+1/2(ap)
/„+i/2(ap)
a + 6
[6 > a > 0; Re a, Re^ > 0].
[а > 0].
[a > 0].
~n, га
4.
5.
= J—:^n+i/2(ap)
2apy
[a, Rep > 0].
[a, Rep > 0].
dx =
fllpoc + e
]_ 4c2
-; —j
A p
[e = 0 или 1; Rep > 0; Rea > -e].
. [(Ж + а)а^1е"ржРп(^
J ^a
n Ba)aeap2F2(a1 a; a + n + 1, a ~ n; -2ap) [a, Rea > 0].
i
7.
8.
X 2i?2(^w, ^n; 1 — a — ra, ^2n; 2ap) [a, Rep, Rea > 0].
A - г)та + 1
— r, 1 — r; 2 + n^r, l^r^n; ™2ap) +
2.17.5] 2.17. Многочлены Лежандра Рп(х) 383
+ 2а"ГA + п-т)A/2)п T-n-lettt,
nlBa)n
9. \ха~1е~рх2Р2П-
T-n-lettt,2Fa( _n; _2щт_п. _2ар) [a)Rep>0].
2((a + e)/2)n
о
_,/aa + ll + a — e a + e . 2
x 2F2( -, ——-; n, -——+n + l; ^a p
[e = 0 или 1; a > 0; Re a > -e].
10.
о
g +
e, a g; е + -; — ) [е = 0 или 1; Rep > 0; Rea > -e].
-»¦ ¦+*+и
[е = 0 или 1; Rep > 0].
12. \ х е Р2п+е(-1
(а + е)/2)п
+1
B?г + е)!а2те+ер(«+е)/2+те V 2
х 2^2 I — п, -™е^п; ™^е™ 2п, 1 — п —; —а р) [е = 0 или 1; а, Rep > 0].
\ I 2 1 J
13. 1
2((a + e)/2)n4
о
[e = 0 или 1; a, Rep > 0].
a _2
14. x^n^e^px~2 Pn(-) dx = —|i T^XT^nf — ) [a, Rep > 0].
J \a/ 2n+1pn/2+1 \ a /
о
15.
(a + е)/2)„+1
-n,
[e = 0 или 1; a > 0; Rea < -2n - e].
384 Гл.2. Определенные интегралы [2.17.6
2.17.6. Интегралы от Л(ж)е??(ж)Рп(сж).
а
1. [ (х + а)"'1 ехр (-р(" ~ Х)? )рп (-) dx =
J V а + х ) \а)
— а
= (~1)WA " а)п Ba)ae?p2F2 (-а-п,п-а + 1; 1 - а, 1 - а; ^т^^
+ (-l)nr(-a)Ba)aepaeep2F2(-n, га + 1; 1, а + 1; - ^_е
[е = О или 1; а, Rep > 0].
а
2.
a + x J v a
-exp
~ Bа)(-+1)-р-+1 F V 2а J п\Bа)^^
а
3. (ж + а)^п^ (а — ж) ехр ( —р ) ^ ( — ) с^ж =
J уи + жуха/
— а
= (^1)ПГ(^ + n)Ba)/3^/3g^ne^1p^^^n exp f ?P ~ P) 2F2 (-п, -п; 1 - /3 - п7 1;
[е = 0 или 1; a, Rep, Re/3 > 0].
а
4.
a + x J \a
+ (-1)ПГ(/3 -п- 1)рп^/У+1Bа)/^^^?+П?^1 ехр |
/ v \
X 2F2 n + 1, п + 1; 1, п - ^ + 2; ^ [е = 0 или 1; a, Rep, ReC > 0].
а
И II *ТР —J— /""J 1 ^*^ I jT^ _____ о^ J ^"^ fn**'\rT^I I ——— QHk „„„„.„„„.„„„.„„„.„„„.„„^^ I §-~^ I _____ 1 j^y /уъ —
_F • § I ел/ | 1Л I I ЯЛ/ еду I \^-fV. JL/ 1 JL/ I J- 'J^, I I La/ еду —
J \ a — x J \a/
+ Г(^/3)Bа)п^Э+^ер/3 exp (?P ~ P^) 2F2 f n + 1, n + 1; 1, /3 + 1; P
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re^ < n + 1].
: — аж =
. f (x + a)-'3-'l-1(a - xf-1 exp f-p ^t^) Pn f ?)
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re/3 < -n].
oo
Г a_! / (ж + а)е\ fx\
7. (ж — a)a~ exp I — p- — 1 Pn ( — ) <ia? =
J V x — a J \aJ
~*П " —71, 71
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re a < —те].
2.17.6]
2.17. Многочлены Лежандра Рп{%)
385
8. \{х + а) ехр I —р
а + х
п(-)
[е = 0 или 1; а > 0; Rer > п + 1].
9.
Pn[-) dx =
а.
?
(-l)w(l/2-а)п а+1/2 / 1 13 3 1 ар2
/ ,, /9ч Bа) P2F3I а+-, а+-; -, а + п + -, а - п + -; —
[a, Rea > 0].
¦f
— a
a
[а > 0].
)п
(a)n+i
(-l)nB-a)«,o ,e_:
n; I, a
(а - 1/2)и
2' 8<
3
a' 2
3 Зш
*» 2 ~a> 2'
[a, Rep > 0].
12.
, — ж) Х ехр ( —
а — х
а + х
PJ-
а
13. [ (х + а)п-0(а
J
ехр
Pn (?
= (-l)rl+1rB/3-2n-2)anp2(rl-/3+1JF3rn + l, п + 1; 1, п - /3 + 2, | + п - /3; ~^-
1
2 4
J -^T
14.
^n, ^n; 1, /3 + 1, /5
[a, Rep, Re^ > 0].
[a,Rep>0; Re/3 < -n].
25 А. П. Прудников и др., т. 2
386
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.7
15
. f (x + a)n-0(a - xf-1 exp (-pJl±l)pn (?) dx =
J \ \ a — x J \a/
F3 In + 1, n
1; /3 + 1, /3 + -, 1;
[a, Rep > 0; Re^ < n + 1]
16.
X 2F3( -n, ^n; ^2n, l^o— n, -^a^n; ^— ) [a, Rep, Rea > 0].
17. \(x - а)"-1 ещ> ( 7J=)pn(-)dx =
J \ уж — a J Va/
-n, n + 1; I, a + I, a + -; -^— J [a, Rep > 0; Rea < -n].
2 8a /
18.
- BaI"T2F3(l-r, 1-r; 1 - r - n, 2 + n - r, -; ^ I +
2F3 ^-n,-n; -2n,r-n,r-n--; —
n/0 чЗ/2-r
Bq) 7
3 3 3 5
--r, x-r;-, - + n-T, --r-n;
2 2 Z I A A
3 ap'
~2"
[a, Rep > 0]
19.
— a / Va
>n[-)dx =
A-t)m
; I, T, r; |-
13 1 1
[a > 0; Rer>n + 1].
2.17.7. Интегралы, содержащие
Обозначение: <5 =
< >.
<
[ cos (f(x)
1.
sin 6жР2п+1(ж/а)
cos bxP2n(x/a)
[a > 0].
2.17.7]
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х)
387
- J \ c
х\,_ (~1)п(A~а~
| ах ..
с а+1 1+а+ё-е
1 а + § + е
а'Ъ1
3. х
>_i Г sin 6ж 1 _
{ . ?^Г2п+е1 —
I cos 6ж I V а
1 2' 2 ¦•-—> 4
[е = 0 или 1; а > 0; Re а > -8 - е].
aa+5b8 х
4.
Щ
2 ' 'ь ' ^и ' 2' 4
cos [(а + е)тг/2]
Bп
sin [(а + е)тг/2]
cos
6 S
-, a+-;
. f -^(^{J^ +
J ^x + z [ cos F\/ж +
„ f 1 1 о - а 1-а а^б'
х 2^з( -п, - -е-п; - - е - 2п, 1 - - - е - п, — щ —^~
[е = 0 или 1; а, b > 0; Re а < 1 - 2п - е].
_ (-1)"A-а-*/2)п Bа)а+«/26* х
I i
2' 2
+i
a2b2
-
[a > 0; Re а > -<5/2].
Г 1 Jsin(bi/x + a)| /ж\
* / , S /, / ; ч f^ri[ — )
J \fx + a |cos(ov^ + a)J Va/
Уп+1/2(%+
1/2
; г > a >0
7.
a)
— o/2)
^^ Ba)a~
n+l
[a, 6 > 0; Re a > -1/2].
a /
Г I
э / I \n-j3/ _ \/S-lJ
sin FVa — ж /\/а + ж )
cos (by/a — x /л/а + x ]
- 2n -
cosp?r
2
4
25*
388
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.8
х 2F3
2' н ' 2' 2 ' н ' 2 ' н ' ' 2'
[а, 6 > 0; -5/2 < Re/З < п + 3/2].
9.
sin (
cos (
+ 2
± -
-а)
A + <5/2^т)п+1
— Bа) 6
х 2F3 j -n, -n; -2n, r-n,r-n--; —
„-а 2
[6 > 0; Нет > n +1/2].
¦5/2)п
- -1,
A - т - <f/2)n+1
- J - - —
f2' +2' 8а
Ba;
I-t-6/2,*
b° x
ReT>l
11.
12.
о
2тг
7Г Bn\Bn
13. sI
2(ш - га + 1)(га - га + 3) . . . (га + га - 1)
(т — п){т — п + 2) . . . (га + и)
= 0
14. ;—— sin ж Fn(cosx) ax = ж
J sin (ж/2) V 2 /
0
тг/2
Г
15. ж со8жРп(з1пж) б?ж =
(п-2)!!
[Т71 ^> 71, 771 + Т1 — 1, 3, 5, . . . ],
[т ^ п или 7М + 71 = 2, 4, 6, . . . ].
[а > 0].
[n = 1, 2, 3, ... ].
оо
16. в Р Р2п+е 1 , , > ЫЖ = /2те + е
Rep>
hn + e —
П
p2 ± Bk + e - 1J62
;±52)е А А р2 ± Bife + еJ62 '
1 in -п -4- h
l0 = -, i1 =
_„2±Ь2> р(р2±462)-
2.17.8. Интегралы от А(ж) In (p(x)Pn(cx).
J 2a Va
[a, Re а > 0; а ф 1].
2.17.9]
2.17. Многочлены Лежандра Рп{%)
389
J
Г
2. In
J
;Рп(
2а \а
п(-) dx =
п(п + 1)
[а, те > 0].
3.
x 4F3 I 1, 1, 1 + a, 1 — a — n; 2, 1 + a — n, 2 — a;
2a
a ± a
'— Ba)a In (z T a) a, Re a > 0,
arg(z - a) I < 7Г
z > —a
4.
In
x 4F3 ( 1, 1, 2 - r, 2 - t; 2, 2 - r - n,
2a
n\(r — n — t)an
3F2 ( —n, —n, r — n — 1; т ~ n7 ~2n;
^ r;
CtgTTT
2a
a > 0; Rer > n + 1, <
arg(z - a) I < 7Г
z > -a
5.
'•4
a+3 o 3+a-e
- n,
a + e a
2 ' Tz2
(a + e)/2)n
-In;
+i
e = 0 или 1; a > 0; Re a > —
¦•{
Re z > 0
z>0
6. ж
In |Ж2 - z
Л
x 4F3M, 1, 1
2n+Ha
" T 2(l + (a + e)/2)n+1
+ e 3 + e — a a 3 — a
n, + n; 2, 2- -, —^—;
1
— In a
= 0 или 1; a > 0; Re a < -2n - e,
Rez < 0
z > 0
2.17.9. Интегралы от A(x) El (a + bxm)Pn(cx).
. [ (x + a)" El (~a6 - bx)Pn(-)
J Va/
-) dx =
(a + l)n+i v У
x 4F4A, 1, a + 1, a + 1; 2, 2, a - n + 1, a + n + 2; -2ab) -
V- L_^+lnBa6) [a, Re a
(-l)"(l-a)n
(a)
1
2.
те(-) dx = (-l)n /T ~ ^n
Va/ B - rjn
390 Гл.2. Определенные интегралы [2.17.10
х 4F4A, 1, 2 - г, 2 - т; 2, 2, 2 - т - га, 3 + п - т; -2аЪ) +
Н ,, ^т sFsl-n, —п, т — п - 1; г — га, г — га, —2га; —2а6) +
га!(т — п — 1)ап
^П - ? ^
, к.»
3.
(а + ?)/2)„+1^о ^
[е = 0 или 1; а > 0; Re а > —е; | arg 6| < тг].
4.
"
(a + ?)/2)n+1 ^0
22"+гA/2Jп+г
2
„ / 1 « + е 1 о - OL + e a + e 2
х з^з1 —ть, — — s — га, — га; — — € — An. I — — га, I — — га; —а о
л\ ' 2 '2 '2 ' 2 ' 2
[е = 0 или 1; a, Re 6 > О].
2.17.10. Интегралы от А(х)\81уу))Лрп(сх).
1«О(ж)И
— OL — 8 —
2 ' ^' 2 4
Rj 4((а + e)/2)n+i
п ^ п-1 ^
= С - У^ — \^ — Ь In (ab) \е = 0 или 1; а > 0; Re a > -е].
f^2k + a + e f^2ka + e + l K } L J
fe=O fc=O
'' ¦ —- а — ё —
_ Г a_i Г si (bx) I „ /х
J [ciFa?)J Va
1 + , ^,
3O 5 3 + a
. „ a + S + e
; 2,
2.17.11]
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х)
391
a + e
2
I22n+eA
e)!(a + ?
n- 1
/2Jп+?Г(а + е +
a + e 1
2 "' 2 "
П 1
fc=O '
2n) ( sin [(a H
-In | cog J^a _
""' 2
n-1
? fc=o 2fe ~ l
be)
be)
- n
/1
1
Л +
7Г/2]
17Г/2]
, 1
? + 1
1
2
(-]
- +
- e
i
ln(
I 71
— n;
l((a -
fib)
1
2 ? П'
4 J +
^)/2)n+i
[е = 0 или 1; а, 6 > 0; Re а < 2 - 2тг - е].
5- f(« + ar1{e!
J I ci
+ а)
/ -i\n+l/ ? /o\ L<$ + 2f)a+35/2--l a + 5/2 + 1
(_—± j (—a — о / l)nb A ' a '
vF6\\,
2T"' 2
,2
Я
- ™ a)n
[a, Rea > 0].
L' J
4. (ж + а) < ^^^^ }Рп (-
х 4F6 ^1, 1 + ^, 2 + ^ - г, 2 + ^ - г; 2, | + J, 2 + ^,
±(^l)n
п!(г — гг — 1)ап
{Sin Т7Г 1
COS Т7Г J
—7i, —n, r — 7i — 1; ^2n, т^п^т^п^т^п ;
A + ^/2^г)те+1
n
2 fe=o ^ ~ T
1+1
fc=O
[a, b > 0; Rer > n].
2.17.11. Интегралы, содержащие < r / / w fPn(cx).
[егГс(^(ж))|
1. ж°
о
л/ж (а + е)п\Ъа+?
a + 1 a
2.
г + 2
^ 2 ' 2 ' "' 2 ' "' 2 ' ^' I
[е = 0 или 1; Re а > —е; | arg 6| < тг/4].
6 /2jy^3/4^n+3/4(a252) [a > о].
392
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.11
а
f a-i Г erf (Ьж) 1 (х\
*. Ж < р\. \ }Р2п + е[ ~
J \erfc(bx) J Va/
a + 1 a
e + 3
-, —^—, - + 1; -,
(a + e)/2)n
+i
a
. L2m+e-
J
[e = 0 или 1; a > 0; Re a > (=pl - l)/2 - e].
-i \m+n —1 2n + e+l i 2n — 2m + 3
1 ) ft 0
л/тг(п + е-
- 2m)(n - m + 1)!
x
x з^з( - + n — m, wH —, 1 + n + -; - + n — m, 2n + e + -, n — m+ 2] —a2
A A A ? A
[e = 0 или 1; a > 0; 1 — e ^ га ^ n].
5. ж
x_i Г erf (bx)
\ erfc Fж)
_, /1 a + 1 a
x3F3(-,—,-
a-e _ 3^ _ 22
2 W' 2' a
+ n x
—n, e — n, n; 1 e — n, s — 2n, n; —a b J +
A A A A A
= 0 или 1; a > 0,
Re 6 > 0; Re a < -2n - e
Re 6 > 0
6. I (x - a)^1 erfс (bx - ab)Pn(^) dx = ^Ln г( ^— 1 x
a
Г. (ж + а
X 4^21 — П, П
va-1 I
a, Re a > 0; |arg6| < тг/4].
'2' 2 ' ^ 2 ^^
~r" OX ) I _ / Ж \ , . I ~
, и \(Pn\~) dx = ^
+ bx) J Va/
1 a + 1 a a + 1 a 3 а — тг + l a^n a + n
2' 2 ' 2" ' 2 ' 2" '2' 2 2 ' 2 '
-l)nBa)a^ ~ а^те [a > 0; Rea> -A ± l)/2].
2
|erfcFV^T^) J Va
n+i
-,«+-,«+-; -, -
A A A A A
, - + а-щ -2
A
[tt>O;Re/3>-(l±l)/4].
1 3
- + n — m, n + 1, n + 1; - + n ™ m, 2n + 2, 1 + n-m; —2
2 2
-2m)
[a > 0; m < n].
2.17.12]
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х)
393
10. \(x-a)a-1erfc(by/x~=i)Pn(-) dx=
jh x
2,
-га, га + 1, a
11. \{х + аут
2' ^'"-^ 2ab
Pnl-) dx = ±^n+~
[a, Re a > 0; |arg6| < тг/4].
Jn+l
2'2~T'2^T; 2'2+n^T'2^T^fl; ~"
2теA/2)пГC/2 + n - r)fe2r~2n~2
nl^/ж (r — ra — l)an
db
x 3F3 1 —n, ^n, т — ra — 1; ^2n, т — n , r — га; ^
+
a > 0,
I arg 6| < тг/4; Re r > n + 1
I arg6| < тг/4
-) dx =
12.
,_, 1 „ a + 1 a „ 3 a — ra
XsFsjl, —2-, - + 1; -, -^—
, (« + n + 3)/2
[a > 0; Rea> 2[n/2] - n - 1].
a
13. |(, + a)-e
A 14 1 Я>
15«+2'а+2' 2'2+°^П'2+а + П;
2.17.12. Интегралы, содержащие < и }Рп(сх).
{ 1{<р(х)) )
[а > 0; Re а > -1/2].
а
Г а_х
J
2.
a + 1/ + 1 a + F
2 ' 2 '
а + е + v
га + 1,
- m;
2 ""' ' 4
[е = 0 или 1; а > 0; Re (а + и) > -е].
, .« . _ (^ir+1aa+-r((l^a + g^i/)/2)n
2n+e I J O,X — - ГТТ7 ГТГ^ 777 ГТ x
2 ' 2 ' ' 2
, 24"+2E+°-1(l/2Jn+3 r|
Bra + e)\a2n+?ba+?+2n [1-
-ra, - -e-ra; - - e - 2ra, 1-
1 + a-e + i/ a262
о n5 7—
i/— а — е
га, 1 + га; -
га, 1 +
[е = 0 или 1; а, 6 > 0; Re а < 3/2- 2п - е].
394
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.12
4.
— а — е
п,
,
](
1
> 2
. (ж + а) г
J I 1и
{Ьу/х + a)
а + s - v а + е + v b
[е = 0 или 1; а, 6 > 0; Re а > -3/2 - е].
sm^ [о, 6>0].
[a, ReBa + i/) > 0],
6.
7.
a Bn + 1)
2'"^2'
[(n + l)J2n-
L, «+ 2+n'
TV
feBn + l) LV
nlanb2a+2n [l + i//2 - a - n
-n, -n; -2n, 1 - - - a - n, 1 + - - a - ra; —
[a, 6, Re Ba + i/) > 0; Re a < 3/4™ n].
a
+
n\a
\an
2г-2п-2г Г 1 + П - T + I//2
[
v/2 + т-п
X 2^3 ( —n, ^n; —2ra, hr-n, r n; J [a, b > 0; Rer > n + 1/4].
.Z zl A /
x 2F3( -n, n
/I
2.17.12]
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х)
395
1 }
~+и-а, - - а - га;
А А
9.
а I \а
х 2F3j -n, п
- - а, 1 + - - а; - —
А А оп
[а, 6 > 0; Re a > -3/4].
¦а ; — [a, b > 0; -3/4 < Re а < Rei//2- те].
2 8л ,
10. (ж + а) < >Рте — 1
J 1 /^F/1/ж + а) I \a)
[а > 0; Re (г/ + 2т) > 2п + 2].
а
11. }(Ж + а)
P\ n (
a + x J \a
12. f (x + a)n-0(a - xf-xJv (bj?—^- ) Pn(-) dx = Г
J \ \ a + x J \a/ [
ап + 1о2/3 + 2г,
[а, 6, Re B)9 + 1/) > 0; Re/3 < 3/4-те],
\Pnl-)dx=\A-p-l//^\\
а + ж
га!
1, n
13.
14.
I/ и Ъ
п~ Р - ^ п- р ^' "J
[а, 6, Re B)9 + 1/) > 0; Re/3 < 7/4 +те].
[а > 0].
а
¦ж = :— е [а > 0].
"(а) dX = ^7^7e"a6[/oBa&) + /n+iBa6)] [a>0].
16.
cos bx
l ^^ г- /ж\ n/2 рка ( 4 2ч
Jo cVa2 - ж2)Рп(-) da = (-1) 7 w— (b +c )
J Va/ V ^
-1/4
/b2 + c2
a > 0, n =
1, 3, 5, ...
0, 2, 4, ...
396
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.13
r. JV5/2J2n
+3/2
'»(-) dx =
2 2 2i
^ а с )
тгп
2
а, 6, с >0; 6 ^ ас].
18.
- а2с2 /а)
n
а, Ь, с > 0; 6 ф ас; п =
1, 3, 5, ...
0, 2, 4, ...
19.
[а > 0].
20. l{x + ar-i
J
Pn[-)dx =
a/
¦ а - п, М + 1, i/ + 1,
l) [a, Re Ba + /x + i/) > 0].
2.17.13. Интегралы, содержащие < v , . {{ }Рп(сх).
\Kv(ip(x)))
[а > 0].
2. Jo(by/x + a)yo(&V^ + a)Pn( —] dx =
[a > 0].
3.
v и
ab2
/; —
A A
^— I [a > 0; 2 Re a > |Rei/|]
4.
5.
[a > 0].
rJa+3n —1
2.17.13]
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х)
397
v v ab
-гс, -щ -In, 1-п^ а^ -, 1+ -^ а^щ ^ —
[a, Re 6 > 0; 2 Re а > |Rei/|].
6.
)Pn(^ dx=
|-г) х
- - - т) 2^з I -п, -щ -2п, ^"
аЪ2
-, 1
и
- -г,
и
- -т;
ab
[а, Re6
X 2^3 I ^^, П ¦
{_1)п2а+:
2
-; —
2 8а/
(а - 1//2)„+1
2+п-а; 1 + ^,1+2
8.
-n,
-^,
2
2 8а
9.
х
i 2
1 [а, Ее 6
X
[а, Re 6 > 0; 2Rea < -| Rei/| - 2n].
xr(i/JF3(r-n-|-l,
-|, l-i/; —
(—i/) x
-,r+-,
A A
8а
а
10. (ж + а)"/3~п(
1^. (bj- ) Pn
\У +
[а > 0; 2 Re т > | Re v\ + 2те ¦
1^2
- X
398
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.14
а
11. [ (ж + а)п
J
[a, Refe > 0; 2Re^ > |Rei/|].
Pn[-)dx =
) (
а + ж у \а
¦ - - - n - 1) x
2' 4
A-I//2-,
sin (/3 + i//2)tt
' - i//2)tt
1,2 ^
[a, Refe > 0; 2Re/3 > |Rei/|].
а
12. .
J Vж + a
а)Ко(Ъл/х + g)Pnf —
^ a
[In(bV2a)Kn(bV2a) + In+1(bV2a)Kn+1(bV2a)} [a > 0].
2.17.14. Интегралы от Д(ж)РтFж)Рп(еж).
Ix = 0 [a > 0; m - те = ±2, ±4, ±6, ... ].
[a > 0].
'• ['•(!)]'
3.
(_X)m + nBw + g + г^2уг _ g)A//2 + ?)m(^g/2)nq
2Bn -2те- e)Bn + 2то + e -
, f..-,
ж^/Р2те+1(ж/а)
a
[e = 0 или 1; a > 0].
fe((l + *-e-a)/2)n v
0
^ ( 1 a + 1 a 1
x 4Fsl-m, - + e + m, —^—, ^ + e;
тг (m + n)\aa
!((а + <5 + e)/2)n
2'
- n, Ц h n; 1
e = 0 или 1; a > 0; Re a > — e ¦— S, S =
2am\n\ [(a - m - n + l)/2, (a + m + n)/2 +
a — m — n + 1
; -m-n,
; mn, ;
[a > 0; Rea> 2[m/2] + 2[n/2] - m - n].
2.17.14] 2.17. Многочлены Лежандра Рп(х) 399
п.
— — -г- -*l + 1
6. I
О
-га, -га, -; 1, h 1; 1 ) [а > О].
7 1 m-f-n — i т~% I ™ \ т~ъ i "-1 \ j уТТЬ -j- П ±). rnJrn
х Pm [ — ]Рп\ — ] dx = ; :—{- а а > 0; m + п ^ 1 .
8.
о
а
0
a
9. Ж P2m + e[ Tji
0
[ Р2п(ж/а)
0
„ / 1, , a +1 a , 1, l + a + e-<5 . , a + <5 + e , a2
x 4F3I -m, - + e + m, -^—, ^ + ?; 2 ' 2 Щ 2 '62
= 0 или 1; b > a > 0; Re a > -e - ?, <5 = <
10. f Pm(^)pn(^
11.
12.
— a
(±i)m+n(i-p)n ,r
— га, га + 1, /9, /3; 1, /3 + п + 1, /3 — п; 1) [а, Re^ > О].
+1
'-)Рп(-
14. |(Ж + а) |П(_Л dx- n!C/2Jn а ia>°J-
15. \ (х + а) Pm(-)Pn(-) dx = 0 [а > 0; m > п].
16. I -^pm(-)pn(-)dx = -2pm('L)Qn('L) + -^Tdm<n+l [ш<п + 1;а>0].
17. PTO - )Pn - Ыж = ^2|/Pm - Qn - + — c^m, n [m ^ n; a > 0].
— a
400 Гл.2. Определенные интегралы [2.17.14
а
Г Тт
18' J ^
2 (» + !)(»+ 2) 2 п(п-
+
+ 2Bп + 3) 2Bп -
19. [ (^))J*)J*)]\J*)
—-a J I \a/ \a/J L \a/ \a/J na
[a, 2/ > 0; те ^ те].
ь
, _ bn^1(b2 - a2) / ra - ra 1-m-n a?
[b > a > 0].
ь
21. J,-^m+.(:
6/ [ Р2п(ж/а)
1 а + 1 а 11 + а + е-<5
-,^-,-+e;e+-, щ
AJ6 A/2Jя + д(A + g Q J)/2 n)w
Bn + e)la2n+s((a + J + e)/2 + n)m+i
1
+
x 4,гз(^п, o^n, h tm — n, ^w — n
\ A A
\
oo
22. [
,on,h tm n, w n;
A A A
= 0 или 1; 6 > a > 0, S =
\ 2 S ^^ 1^ё
(—m, — ?n, r + n ^ m, r — гм — n — 1; ^2m^ t — m, т — m; 1)
[a > 0; Re r > те + n + 1].
*,« f a-lp [X\(P2n+l(x/a)\
J V6/ [ P2n(x/a) J
S - a - e)/2 - m)n
Bm + s)\h2m+?{{a + 6 + e)/2 + m)n
+ 1
x 4F3( -ra, | - e - m, 2 ^—- - m + n, ^m - n ; 1 - — - e - m,
1 1-a 62\
e — 2ra, ra; —r- I e = 0 или 1; a > b > 0; Re a < ^2те — 2n — e — 6].
2 i -^ i
l
24.
-l
ra
p- к J\p-k/
2.17.15] 2.17. Многочлены Лежандра Рп(х) 401
2.17.15. Интегралы, содержащие Рт((р(х))Рп(сх).
а
1. [ (х + а)а^Рт{2Ьх + 2аЪ - 1)Рп (?¦) dx = (~1)т+п ^ ~ а)п {2а)а х
х 4^з(^т?г, тга + 1, а, а; а + га + 1, 1, а — га; 2ab) [а, 6, Rea > 0, 2ab < 1].
Г /2ж + а~ Ь\ /ж
• ММ гт—ЬРп -
г/^ _1_ га + IV
х 2Fi I тга — га, —тга — га — 1; — 2п; ) [6 > а > О].
1 а + b !
ь + Ь)т(т + га + 1)!
х 2^1 ( га — тга, —т — п — 1; -2т; 1 [6 > а > О].
n(l-a)ro(&Tfl)a
——г х
x 4F3 I —ra, ra + 1, a, a; 1, a + тга + 1, a — тга; | Re a > 0, <
\ 2a /L [a>6>0
ь
5. (ж + а) Pm —— )Pn[-) dx =
J \a + o/ \a/
a
= ^l )n BaI"TF + 1 1 1 2 + 1 1
BaI"T4F3 -m, m + 1, 1 - r, 1 - r; 2 + n - r, 1 - r - n, 1;
^, BaLF3 m, m + 1, 1 r, 1 r; 2 + n r, 1 r n, 1;
A - r)n+i \ a+ 6
| (^l)-2-(l/2)n(r^n)m(a + b)—+1 )(
n!an(l + га — т)т+1
x 4F3 I —ra, ™n5 r + f7i^n, r — тга — ra — 1; ™2n5 t — га, г — га; 1 [6 > а > 0].
\ а + о J
х 4F3 ( —га, га + 1, 1 — г, 1 — т; 2 + иг — т, 1 — тга — т, 1; —— ) +
Н
ш!A - г + m)n+i(a + &)m
х 4^3 I ~m, —тга, г + га — m, r — тга — га — 1; ™2т, т — тга, т — т; 1 [6 > а > 0].
1Ь )
7. \(х + Ъ) ТРт^ fl + 6 JPnFJda;- я!5пA + n ^ Tjm+1
26
x 4F3 I —ra, —ra, r + in^n,, r — тга — ra — 1; ^2n, r — ra, r — ra;
a + b
a>6>0; Re т > m + 71 + 1].
8.
ттаЦ! + тга - Tjn+i
а
26 А. П. Прудников и др., т. 2
402
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.17.15
х а
9. [ (х + а)
J
lbm 4F3, ( —rra, —rra, r + ra — rra, r — rra — ra — 1; ~2m, т — т. т — rra; )
2a6/
[a > 0; 2a6 > 1; Rer>m + n + 1].
+еA _ ?/2 _ Q)
х 4^з ( — т, - + е + т, а + -, а + -; а + - + п + 1, ? + -, се + - — п; 2ab2
ю.
п.
«¦
13.
14.
= 0 или 1; а, 6 > 0; 2ab2 < 1; Re а > -е/2].
1
l' 2
[е = 0 или 1; а > 0; Re а > -е/2].
(-l)m2n(l/2)n(-l/2-n)m(e + &)"+1 ^
an(m + n + l)!
1 1 2a
—ra, w — ra , ^m — ra — 1; ^2n, ra; -
2 2 a + 6
V» т )dx =
а> 0].
m\{m + ra + l)!(a + b)m
— — rra, ra — rra, ^m — ra — 1; — — 2rra, ^w;
[b > a > 0].
(a + e/2)r
x 4F3( -ra, ra + 1, a, a+-;l, — a-rra, a+-+m + l; —-—
e = 0 или 1; Re a > -e/2,
6 > a > 0
a > 6 > 0
4F3( -m, -¦
rra,
2a,
, — ra
2
i e 12a
2 2 a + о
[e = 0 или 1; 6 > a > 0].
2.17.15]
2.17. Многочлены Лежандра Рп(х)
403
-п,п + 1, --т, 1-т;2 + - + т-т, —-т-т, 1; —
i {2m+ e) V
е/2 + т - т)п+1(а
lee e
—m, ? — m, r m + n, r ra — n — 1; r гм,
1 e a + 6\
e — 2ra, r ra; —— J [e = 0 или 1; b > a > 0].
16. (ж
J
а )Рп (-) dx =
Bm + e)!(m + e/2 - r + l)n+1
1 3,e
— — ? — га, т — — — тп -\- п. т — — — m — n — 1;
2 2 ' 2
? — 2ra, r — ra , r — ra ; ^
2 ' 2' 2' 2a62
[e = 0 или 1; a > 0; 2a62 > 1; Re т > те + те + е/2 + l]
17.
п,
е - 1
¦т - n)m(a + 6)
п-т+1
n!6w(l + n + e/2^r)m+i
? i 9 X 26
A A a + о
[e = 0 или 1; a > 6 > 0; Re т > m -{- n -\- e/2 + 1]
18.
- r — n TOfl
х
тг, —п, \-r-\-m — п, г — т — п 1; ^2п, т ^ п , г — п; 1
Zj Zi Zi
[е = 0 или 1; а > 0; Re т > те + п + е/2 + 1].
¦•¦+•*
20. fPm(-)P-(-)P,(-)P,(-
J \a/ \a/ \a/ Va
= 2а
2т
26*
404
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.18.1
— 2к
j - 1)!!
[а > 0, р- ,
g; p + g + тег + те = 2, 4, 6, ...].
а
™,
1; 2'
'
; -а 6 [а > 0; Re/З > -1].
а
22. | (а - х)^~г erf (by/a^x)\pn(-)]2
J L Va/J
n+i
1 3
2 2
[a > 0; Re^ > -1/2].
2.18. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА Тп(х) и Un(x)
Многочлены Тп(ж), Un(x) являются частными случаями многочленов Гегенбауэра
и Якоби:
Т (т) - П Urn ГаГАГт^1 - П1 p
2 а^о L J A/2)п
(-V2,-i/2)/
/ х
-»V-y " -nV-У " C/2)n ^n
поэтому для вычисления интегралов, содержащих эти многочлены, можно воспользоваться
формулами из разделов 2.21, 2.22.
2.18.1. Интегралы, содержащие Тп(<р(х)).
"e~1 rn(^)dx = ^r
а
, (а — п ¦
J
n (I) rfX = I [K (f
[a, Rea > 0].
[6 > a; n = 1, 2, 3, . . . ].
a
. [(ж + а)а^1(а^ж)/3^1Тп(^) dx = Bа)а+э^1 В (a, ^KF2f-n, n, /3; i a + /3;
J V ft / у 2
а
к Г 2 гг (х\ j ж тт (У
J ya2 - ж2 ж -1/ Va/ а ^а
a, Rea, Re^ > 0].
[a, Rea > 0].
1/2, a - n + 1/2
[-a < у < o; n = 1, 2, 3, . . . ].
6.
а" г|"A-а + п)/2, A-а-п)/2
1 — а
7. [ е~ржТп f ^) с!ж = in+1aOn(iap)
\a/
[а > 0; Re а < 1 - те].
[Rep > 0].
2.18.1]
2.18. Многочлены Чебышева Тп(х) и Un(x)
405
а
Ж 7Тр
ар\
— J I(l~2n)/4 f^ — J
а
9. [ . г eipxTn (-) dx = innJn(ap)
J л/a2 — x2 Va/
— a
a
• f -т4=^ е~рхт» (-)dx = (-1)птм«р)
J Vfl — x2 Va/
10
11.
12.
14
15.
J Va2
о
a
. l(x + ayn^3/2(a
Щ D_n_1/2 f J^
4-1/2
/
exp ^
1
Tn -
V
n
x) Va
an+1pn
a
ML \-=
¦Tn(-) dx = Im
Va/
'¦ = г
26+7Т
a
Г
18. cos Fv a — x2
dx =
= (^l)n7raJ2n+(i±i)/2 yaVb2 + c2 J T2n,
a
19. f^^Lln^Tn(^) rfx =
[a > 0].
[a > 0].
[a > 0].
[a, Rep > 0].
[a, Rep > 0].
[a, Rep > 0].
[a, Rep > 0].
[a, Rep > 0].
[a, Re 6 > 0],
' 2тг
[a > 0].
[a > 0].
= ^аа^1/гГ
(-n)k(n)k
[a, Rea > 0].
406
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.18.1
20.
J Уд2^Г^2
< >i2n+ll
J Va
[а > 0].
а —1
21. [ /f erfFg)rw(-) da;
J уа2 - ж2 Va/
а + 1
a + 1 a 3 a + n a-n
+1 + 1
[a > 0; Rea> 2[n/2] - n - 1].
22.
-) da =
a
[a, Re a > 0; |arg6| < тг/4].
а
erfi (bx)
nf ±a262/2
2 6
[а > 0].
24.
о
— x2
у тг а о .
X 3F3 ( 1, ^±i, f + 1; f, ^ + 1, ^ + 1; а
2а [(а + п)/2 + 1, (а - п)/2 + 1_
[а > 0; Re а > 2[п/2] - п - 1].
25.
7Г
= ^ «/(^+п)/2 | "у I J{u-n)/2 I y
27
28
dx =
4n2 -
An2 -
о
• [ т1{-
а
J Vo.2 — х
а
¦ !(ad
а > 0; Rei/ > 2[п/2] - п - 1].
[a, Re 6 > 0].
im I — I in 1 —
2 \aJ \a
a > 0,
[a > 0].
n > 0
те = О
Ba)V2-/3
[a, Re^ > 0].
a
30. {
(ж + а)т±п^3/
^Bm-l)!Bn-l)!
а > 0,
m > те
2.18.2]
2.18. Многочлены Чебышева Тп(х) и Un(x)
407
31
о
J
^(b2~x2)(x2~a2)
жЬп
m ~~ п + 1 1 — m — п
a
"b2
[Ь > а > 0].
32.
2a-
[b>a>0; n = 1, 2, 3, . . . ].
2.18.2. Интегралы, содержащие Un(cx).
a
1 / , \a — l / \j3 — ljj f ^_\ J
J n\aJ
— a
= Ba)a+^^1(n + l)B(a, /3KF2( -n, n + 2, f3; a + /3, -; 1 ) [a, Rea, Re^ > 0].
a
— a
a
i I Ui(cx)
J Vfl — ж2
— a
a
J ж — у \а/
a \aa+1/2 [a,Rea>0].
a
. e F Un —
J ^«
Jn{ap)
6. J Vx2 - a*e-pxUn(^) dx =
7.
c2 + a2 V a
P
7r(n-l)t/2
[a > 0].
[-a < у < a; n = 1, 2, 3, . . . ].
[a > 0].
[a, Rep > 0].
[Rep > 0].
a
г
¦ x exp
fx\
n I — J
9. e^pVx^aUn{±) dx =
2n
[a, Rep > 0].
[a, Rep > 0].
a
exp (pVtt2 — x2 /ж) ± 1 ^л
408
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.19.1
а
11. sin (bva2 - ж2 К TT / / / > dx
/b2 + c2
a > 0, <5 =
a,
12. [ (x + a)^1^
J
a)Unl-j dx =
~а)пBа)а+1ЬГ
a + n + 2
l 13
[a > 0; Re a > -1/2].
13.
a
—m, m + 2, /3, /9 — —; —,
[a, Re^ > 0].
¦ l)a5/2
Bm + 2n + 3)Bm
- 4(m - n)
[a > 0].
15.
g) Un (|
16. f (ж + а)т-п-1/2уЪ^
^ Um (|) t/n (^) d» = 0
17.
- )Un{ - ) dx = | a25m,n
[a > 0].
[m > 7i; a > 0].
[a > 0].
2.19. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА 1
2.19.1. Интегралы общего вида.
а
А;!
ОО
Г
<п « — 1/ г г\в — 1 —сх т\/ \ j
2. ж (ж — а У е Ln(cx) dx =
fc! l [ l-(a + k)/r |l aC) +
r — rfi — n/ °°
k\
[a, r, Rec, Re/3 > 0].
2.19.1]
2.19. Многочлены Лагерра L*(s)
409
T<*-i
3. I 7 г- е~схЬ^(сх) dx =
7
(хг + zr)p
^
*!
ж<х-1 ^сх ,
— - е схLn(cx) dx = —-
ct
[г, Re с, Re a > 0; r\ arg z\ < тг].
Сс И~ АС / \к ,
H
k=0
5.
L*(cx) dx = U
[г, 2/, Rec, Re а > 0].
[r, Rec, Rep, Re a > 0],
nlr
п — а ^
k\
6.
х—1—рх -сх ;
U при г = 1 см. в 2.19.3.2.
JD х ""^ (-L "т" /Л "т" Аъ ) 7т,
= ^7/^ jfei
fc=0
[г, Rec, Rep > 0].
7.
r, Rec>0; Re a > ^Sr, S =
0 J J
v =
k\
¦ Л)п ^^а + ^^ / sin [(а + *)тг/Bг)] 1 / с_
6
V при r = 1 см. в 2.19.5.1.
8.
+ А + к)п j cosec [(а + /г)тг
fe!(a + A;) \ ctg [(a + к)ж/
/г]
- a + A + r + rk)n
Г(а ^ r ^
'?^г(л) [^(а) - g ?^та -ln c] h
Rec, Rea > 0,
r|
>0
410 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.1
оо
9. f xa~1e~bxr~cxLli(bxr)L^(cx) dx = W [r, Re6, Rec, Rea > 0],
J
о
7
W при r = 1 см. в 2.19.14.9.
oo
10. f xa~1e~cx Ei (-bxr)Ln(cx) dx = X [r, Re b, Rec, Re a > 0],
о
!
X при г = 1 см. в 2.19.7.2.
оо
f _i +ь г_ А Г
11. \ ха е х сх Ei (^fbxr)Ln(cx) dx = Y r, Rec, Rea > О,
J L
0
,, о ' 7Г ^-^ A + A + k)n ( a + к \ I cosec I (a + fejTr/rl I / с \fe
T ^—rr У k\{l ^ ol + A + r + rk)nT{a - r - rk)( T^r ) lr
nlb fo V bl
fc
fc=O
Г П 1 Л 1 / h \k
У при г = 1 см. в 2.19.7.3.
оо
12. [ ха~1е~сх151^Хг\\ь^(сх) dx = Z [6, г, Rec, Rea > 0],
J {ci(bx ) J
о
y = &^a/r f^ A + A + k)n (a + k\ f sin [(a + feOr/Br)] ] / c_\*
n! ^ ife!(a + ife) V r /\cos[(a + ifeOr/Br)]J V ft1/^ [r > J'
(а),
при г = 1 см. в 2.19.8.1.
2.19.1]
2.19. Многочлены Лагерра Ln(x)
411
13
\ erfc (bx"
^a/r ^ A + A + k)n /c*
f^n\^ к\(а + к) I
fc=O v ' x
l °° / i \ к /i
О \™-^ ( — 1) A — QL -\-
т n)ra+r 2-*/ k.Uk 4-
n(cx) dx = U
[r, Re с > 0; |arg6| < тг/4; Re а > -r(l ± l)/2],
с )к , (l](l-a + A)w
Г(а) [г>1/2],
1/2)
_\» + |0|A-а + Л)и
< 1/2],
17 при г = 1/2 см. в 2.19.9.4.
0
¦!(а + А;) \ г 2
sin [Bа + г + 2fe)?r/Dr)]
6, r, Re с > 0; Re a > -r(? + 1/2), <5 =
fc . A - а + Л)п
2(n!)cQ
У =
15.
_
= ±-
Г(/1, bx ) J
(-l)fc(l - а + А - гб - г/2 - 2гк)„
к\(ё + 1/2)к(ё + 1/2 + 2к)
х Г (а + гё + г/2 -
У при г = 1 см. в 2.19.10.1.
г. Re 6, Rec, Re (а-
> 1],
< 1],
A - а + А - fir - гк)п
Г(а + jt^r + rk) x
[r > 1],
[r < 1],
W при г = 1 см. в 2.19.11.1.
с!ж = X [6, г, Re с, Re (а + дг) > 0],
)
tr\k/r
. V
b^X"i
2cr
2гА;)( —-
АС
при г = 1 см. в 2.19.12.3.
[г > 1],
[г < 1],
412
Гл.2. Определенные интегралы
[2.19.2
17. f ха~1е~сх11Л[Ьхг)Ь^(сх) dx = Х+
J
о
а~1е~
1е~сх{ Y?
18. \ х
J
о
2a/r-2 ~
д Tba/r\ ^
ir, Re с, Re (a + цг) > 0; | arg 6| < тг; Х+ см. в 2.19.1.16 и 2.19.12.3].
b > 0
dx = Ua
k\
2r
Rec>0; Re a >r|Re/i|,
2l/r
Re 6 > 0 /J'
k=0
Р\тг
b J A -
[r < 1; д 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2,
x A - a + Л - rnr - 2rfe)n[^(^ + 1) + t/?(A; + m + 1) - 2r^(a; + mr +
b2 \k
2cr] / b
+21"-rj(vTi
[r < 1; m = 0, 1, 2, . . . ],
Up при r = 1 см. 2.19.13.3.
2.19.2. Интегралы от A(x)Lxl(cx).
)п В (a, /3JF2(^n, a; a + ^, Л + 1; ас)
[a, Re a, Re^ > 0].
а
. \xX{a-xf^1Ll{cx) dx = aC+XB(f3, Л + п + 1)L^
[a, Re/3 > 0; ReA> -1].
3. ж (ж — ay Ln{cx) dx =
J
<-
х
4.
X В (/3, 1 - а - pJF2(-n, а; а + @, Л + 1; ас) [а, Re/З > 0; Re (а +/3) < 1 - п].
^ Z P(A+1)
t
, p^aJF2(^n, a; Л + l, 1 + a-p; -cz)
[Rea> 0; Re (a - p) < -Щ |argz| < n].
2.19.3. Интегралы от А(х)е^рхЬ„(сх).
., A + n + 1; A + 1;
[Rep > 0].
2.19.3] 2.19. Многочлены Лагерра L*(s) 413
2. f ха^е^хЬХп{сх) dx = ^ Pf'"-^"-11 (l - —) [Rep, Re a > 0].
J pa V p J
о
3. хле~рхК(сх) dx = V- ¦ '->»- Г^ [Rep>0; ReA>-l].
J nlpA+n+1
о
oo
4. I a^e-^/yVczU* = 22АГ(А + 1/2) ,,„ , „ , ^a+i/^, 2c
[Rep > 0; Re A > -(n + l)/2].
5. [ ж0"^8^^) cfa = A ~ °[ + Л)п Г(а) [Rec, Rea>0].
0
3. ]Жа x(a xf ге cxLxn(
аа+эA + А)п
6.
о
¦ В (a, /3JF2(a, 1 + A + n; a + /3, 1 + А; -ас) [a, Rea, Re^ > 0].
7. (ж — a) e Ьте(сж) dx = д e Ln p(ac) [a, Rec, Re^ > 0].
J t-
a
oo
8. [ ха~г{х - ^^"^"^^(сж) dx =
n\
A; -ac)
^1) х
9.
0
X 2F2A — /3, 2 — a — Д + А + п; 2 — a — /3, 2 — a — /3 + A; — ac) [a, Rec, Re/3 > 0].
cc — 1
10.
= l , )n В (a, p-aJF2(a, 1 + A + n; 1 + a - p, 1 + A; cz) + — x
n! n!
x A - a + A + р)пГ(а - pJF2(p, 1-a + A + p + n; 1-a + A + p, 1 - a + p; cz)
[Rec, Re a > 0; |argz| < тг].
^сжЬ^() d
x-y
0
¦ B - a +А)„Г(а - 1JF2A, 2^a + A + n; 2 ^ a, 2 ^ a + A; -cj/) -
[y, Rec, Rea> 0].
11. ж (a -x)p e Ln(cx)dx = ^y™ '—B{-,p)
о
X
; -, I+/5, -^-,1+2; —
414 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.3
А 3 + А а2с2
2 ' 2 ' 2' 2 ' н^ ' 2' 2 ' 4
[a, Re а, Re^ > 0].
12 [ ж^Гж2 - а2)/3е"сжЬлГсж) da - аа+2/3 2A + А)п вA_а_
nla л 1 + А A a2e2
2' 2 ' ' 2 ' 2' 2 ' ^' 2 ' ' 2' 4
C - a - 2/3 + А)пГ(а + 2/3 - 2KF4 M - /3, Д+ 2 + - /3,
, 2_ I -/3,^-/3
[a, Rec, Re^ > 0]
о
al+A+n A+nl a 1+A A <
; o' i + TT-p. —s—* ! + T7; --
2' 2 '' ' 2 ' 2'^ ' 2 r' 2 ' x ' 2' 4
2(n!) V 2 ' ^ 2
+ n 3 + A + ti 3 3 + q; . A 3 + A
-p,l + -,__; -
2 ' 2 ' 2 '2'2 F'2'2' 4
1 — a + A + n
j— A — о + A — 2p)nF(o: — 2p) 3F4 I p,
n! \ ^
: — A — n 1 — a + A „ A — a ^ a 1 — a
+ p; о + p> x + ^^^ + P» x + p ~ ^'
2' 2 ' ri 4
[Rec, Rez, Re a >
7rj/QcB + A)n A an „ / A + n 3 + A + n 3n A 3 + A c2t/2
tS2F4 +^~' 2 ; 2'1+2'^~; "Г
,2
3-а„ а 3-а + А„ Л-а с2г/2
2 +;
, 3а„ а 3а + А„ Ла сг/\
1'—2~'2~2' 2 ' +~2~; 4 J [2/, Rec, Re а >О]
? 9 a+(j3-l)/2/i | \\
15. /^(Va ^ ^)/3е"сжЬ^(СЖ) da; = — l + jn В Bа, /З) х
о
^, 1 + A + n; а + ^-, a+ ^——, 1 + А; -ас J [a, Re a, Re/3 > 0].
2.19.4]
2.19. Многочлены Лагерра Ln(x)
415
16.
~ e^cx
dx =
га!
^B(l-2ct-P,p)x
А + щ
1
*,- + <*,.,„,..,, 2 , ^, 2
.(i-^)/2-«/3-/3 Л _/ . /3-1
a +А Га
1-P л P 3-/3 1 3-/3 3-/3
^^5l~i5^~« + A + n; -,-3--a, -3--а + А; -ас
_l-a-/3/2
17.
2га~р'/2
1
к, а+ -,
п;
-A + n; —, 2 — a h А, 2-ск ; -ас
[a, Re с, Re^ > 0].
В Ba, p-2a)(l +A)n x
- 7^ —^ h a, 1 + A; -cz
b' 2'
- -a + A
| - а, 1 - а + А + |; -
18.
Vх ^ л/У
, | + 1,
dx = ^
n; 1 + А; -су)
х 3 3 + р 3 + р л
+ А + п; -, ^^ - а5 ^^ - а + A; -c
[Re с, Re а > 0; |argz| < 2тг].
A + A)n ctg Bатг) х
-'|-. + л
/з з з
х 2F2 ( - - а + А + п, 1; - - а + А, - - а; -су
¦n, 1; 2 - a + A, 2 - a; -cy)
[y, Rec, Re a > 0].
2.19.4. Интегралы от хаev{x)
2a + 2ra) x
— п; — — а — га,
— п; —
2.
—ra, —A — ra; 1 — a — ra, — — a — ra, — — a — ra; ——-
^ A AIC
[Rep, Re а > 0].
[Rep, Re а > 0].
416 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.4
оо
3. ха~1е~р/хЬ„(сх) dx = ~ т-^- Г(-а)ра iF2(-n; а + 1, Л + 1; -ср)
J п\
о
[Rep > 0; Re а < -п].
ОО
о
oo
0
oo
[Rep > 0].
7. J^e^Mda;=JrBQ)iF^n;Q + liQ+i
о
[Rep > 0; Rea< -n].
8.
0
2 ' 2 ;2?+2' 2 5
[Rep, Rea > 0].
9. J a'-V^ —LS(c*) rf, = F(Q)AnTc: + A)n 2F2 (а, а - A; i, а - A - n;
0
_ /1 + Л + n Л + n а 1 + Л Л 1 c2
x з^з , 1 H —, —; —-—, 1 + 7) и' Г
\ 2 z z 2 2 2 4p
сB + А)та /a + l\ /g + 1 A + n 3 +A + n 3 A 3 +A
V 2 ;+
[Rec, Rea > 0].
Гт-1)/2 pv^-ca
10. lx{m^1)/zePVX^cx/zL™(cx)dx =
0
Ят+те -^zr Яте -^zr [Rec> 0].
11. [ x'-'e-^-"^^) dx = A ~ " + Л)" Г(а) x
J fl!Ca
0
2 2 ,452 , p3
- + a, з+а-А; -, -, - + a - A - n; - —
п!с«+!/з \ 3 / I 3
\ / \
x
I + a, | + а - A; |, |, | + а - A - n; -^ ) [Rec, Re a > 0].
2.19.5] 2.19. Многочлены Лагерра L^(x) 417
оо
12. \xa~1e~p/x~cxLx(cx) dx= РаA + Л)" Г(^а) iF2(l + А + n; 1 + а, 1 + А, ср)
п!
+ A + n; 1 - а, 1 - а + А; ср) [Reс, Rep > 0].
/ 1 \псл \/2+п
13. хх+п~1е~р/х~сх L^(cx) dx = ± tyj^ КхB^) [Reс, Rep > 0].
о
оо
14. J a-V/-a-"LS(c*) d* = Ра/22(AП+Л)" Г(_|) х
° 1 + А + п Л + п 1 а 1 + А 1 , А с2р\ ср(а+1)/2B + А)„
2 '1 + ^^; 2'1 + ^'^->1+2; "^J 2^
1\ / А + n З + А + п 3 3 + а А 3 + А с2р
а
2~'
—а 1^
15.
о
а + 1 ^ + а, 1 + А; -^
2 4
рГ(а-1/2)^3 , Л р f3 ,\. 33 3 . х '
а + A + n; 2, 2 а, 2 а + Л; -
[Rec, Rep > 0].
2.19.5. Интегралы от хае^сх\ Sm ,Ж+Г, >Ь^(сж).
[cos 6ж J
Обозначение: 8 = \ ?.
^(сЖ) dx = П1-«-Д + А)„
v ; n!ca+5 v ;
о
_, /a +1 а 1 + а™А а^А 1 l + a^A™n а — А — п . б2
х ^3^-2—, - + *, ,—г- + 8; S+-, , + д; -^
[6, Re с > 0; Re a > -Я].
2 I rxe-cxi Sm bX \ I A (rr)Hr - Р"*("+*)/2 Г(А + п + 1)
J [cosbxj nX } 2(n!)
0
X bn[(c - гб)"^" + (^1)п+6"(с + i&r^^1] [6, ReOO; Re Л > -1-5].
оо
ч cos буж J тг!са+<5/2 \ 2 Jn \ 2
о
Х2^2(а+-,а+--А;^+™,а + --А-?г; -77 ) [6, Rec>0;Rea>-
\ А А А А л
27 А. П. Прудников и др., т. 2
418
Гл.2. Определенные интегралы
[2.19.6
4.
Ъ\/х
ь, Rec > 0,
5
о.
; 1 + a, - + a, 1 +Л; —
2 4
[6, Rec > 0; Re a > -1/2].
e.
.-./V-
7. [ x
1
с ' e cos оуж Ьп(сж) dx = ( —1) Л — exp \Ln ' —
V с I 4c/ \4c
[6, Rec> 0].
[b, Rec > 0].
ae cx lnm (
2.19.6. Интегралы от xae cx ln
«^! -cx i ( \t^( \J
x e ln(cx)Ln(cx)dx =
[Rec, Rea> 0].
2.
3.
— In (cx)Lxn(cx) dx =
dx =
Г(Л + m
[m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n ^ 1; Rec > 0].
)" Г(а) х
4.
5.
dx = (_1
t2(m!)(n-m-l)!
[m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n ^ 1; Rec > 0].
7rza A + A)n J cosec атг 1
,1-1,4
A + n, a; a + 1, 1 + A;
±
¦ B - a + А)пГ(а - 1K^3A, 1, 2 - a + A + n; 2, 2 - a, 2 - a + A; ±C2
I arg z\ < тт
z > 0
2.19.7]
2.19. Многочлены Лагерра L*(x)
419
а 1 + А + тг
1 а
(«тг/2)
n/2) |
1 + Л . A c2z2
1+ Т
2 '^ 2 ' 2' 2 ^' 2 '^2' ^ 4
ttczq:+1B + A)w Г sec (атг/2) 1
T n!(a + l) \ tg (атг/2) J X
A + n 3 + A + w_3 a + 3 A 3 + A_ c2z2
2' 2 '2' 2' 2' 2 ' 4
¦C-a + A)nr(a-2LF5fl, 1, 3 ~ ° ^ Л + П ,
A a + n ш а 6 a
i+ 2 'Ai 2' 2 '
2'
2A-а + А)„
2.19.7. Интегралы, содержащие EI Fжт)Ьп(сж).
Ei (~bx)Ln(cx)dx= \
(n + ljc
Re2>0
[Reb>0].
(
X 3F2 1 + A + 71, a, a; 1 + a, 1 + A; --
V b
c)x El (Tbx)Li(cx)dx =
ctgaTr
[Re6, Rec, Rea > 0].
c
n, a; 1 + Л; ±-
6
, 1, 2-a + A + n; 2 ^ a, 2 ^ a + A; ±f
0
Rec, Re a > 0,
< ж
b > 0
)ж El i^hx)Ln{cx) dx = —
гт-^—гт 2F1 f 1, n + 1; n + 2; 1 - ?
6G1 + 1) V 6
[Rec > 0; |arg6| < ?r].
е
A + A)n г(<*\
2 l \ 2 )X
2'
nla 1 + A Ac2
5 2' 2 +1' "^-' 1+ 25 4b
,
a + 1 a + 1
A 3 + A c2
2'^5 46
[Re 6, Re a > 0].
27*
420
Гл.2. Определенные интегралы
[2.19.8
6.
х-1 ±Ъхл-с
1+A+n 1 А+п
1 +
; 2' '1+
sec (атг/2) 1
(атг/2)
Л с2\ ,
г тТь) ±
tg(a7r/2) j
3 А 3 + Х^
'2' + 2"' 2 '
2 '
с2
arg Ь| < тг
2.19.8. Интегралы от хае
-сх Гsi(
\ci(
L*(cx).
1. ж
J
о
a —1 -—с
sin
cos
х
а а а
-, -,
—*—
сГ(а
ьф 1 a A A + lt с%
"' 2' ~2~ ~^ 2"' 2 ' ~~ Р"
п Г cos (атг/2)
!6a+1(a + 1) \ sin (атг/2)
X 5
а + 1 а
2 ' 2 ' 2
А
' 2°'
АЗ + А c2
2 ' 2 ' 2' 2 ' 2°' 2 '
[6, Ree, Re a > 0].
*+2 S
a+^-A; 2, 8+ \, 2+ 5-, 1 + a + S--\ - щ ~
ft*(l-a-J/2 + A)n
l) AOгA-а + Л)пГ(а)
fl| 10/ 2(n!)C-
2.19.9. Интегралы, содержащие < п , r\ }Ln(
{ erfc (Ьх ) J
1. ж" erfc (б^ж )Ln(cx) dx =
о
= + T^A + ^ 3
^n? «, |+a; 1 + a, 1 + A; ~|
2 b2
[Rea > 0;
тг/4].
2.
dx =
ГC/2 +
7гп!A + A + n)cA+l
[Rec > 0; Re A > -1].
3.
F<E)J
2.19.10]
2.19. Многочлены Лагерра Ь„(х)
421
а + 1 1 + Л + п
1 а 1 + Л 1tA с2
+1 1+
5 2' 2
Г
±
±
а
' 2
4.
=
[ReOO; Re а > -A ± 1)/2; |arg6| < тг/4].
Л)и /IN
V 2
I,
I 1
5. \ x ~~ t
о
[Re с > 0; Re a > -A ± 1)/4; |argfe| < тг/4].
,+ 1)пГ(а) 2Fi (Л + п + 1, а; Л + 1; -|
!62acosa7r V b2/
C/2-а + Л)„Г(а-1/2)
cosa7r
1 3
3 3
;--a,-
с
[Re с, Re а > 0; |argfe| < тг/4].
6.
[Re с > 0; Re A > -1; |argfe| < тг/4].
2.19.10. Интегралы от жае~сж(
Обозначение: S =
х 5^4
2а+ 1 . 2Я + 1 3 + 2а - 2Л 1 + 2а - 2Л
4 4 4
2а - 2Л - 2п
[6, Re с > 0; Re а > -<* ~~ 1/2].
а + Л Г
а х
2E
2E
2<5
1 2E
[6, Re c> 0; Re а > -B<Я- 1)/4].
422 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.11
2.19.11. Интегралы от хае^сх{7^' ЬхЦ \ь*(сх)
Щ/х, bx ) J
хае^сх{7^' Ьх
Щ b
, а + fi, 1 + Л + щ 1 + а, 1 + Л; ~
о
i \ n+Л
2. 1 е^сж7(Ж bx)L^(cx) dx = ~ v^,' '"' ( —— J [Re 6, Rec, Re A > 0].
о
1 + A + n A + nl al + A Ac2\,
cB + A)n /1 + a
± 4 +
2 +
a +1 , A + n 3 + A + n 3 3 + a , A 3 + A
' ~ + M' + ~2~' ^^; 2' -г"' J + 2' —;
-1 -csb/tCM»
e <
}
Л -
2.19.12. Интегралы, содержащие < J1 f ( _ >Ln(cx).
—ti, ^A — n; 1 — a n, 1-aH n; —-
2 2 4c
[6 > 0; -Re/x < 2 Re a < 3/2 - 2n].
2. \*JJL)* i±±*k(!L) a\ »/*
0
X iF3(-n; 1 + A, l + a + ^,l + a^^; -—^ J [6 > 0; -3/2 < 2Rea < Re/x-2n]
V 2 2 4/
2.19.12]
2.19. Многочлены Лагерра Ln(x)
423
3. j xa-1e-e"{ Г,
0
V
— A a + /i — A
2 '
-Л-
2
Rec,
0,
6 > 0
4.
Re (с - 6) > 0
[6, Rec > 0].
2n+2
k=i
ki 2* (ac) [a > 0].
[Rep > 0; Re A > -1; | arg6| < тг],
exP ^ 4p J L"
4pc _
, (±1)"
a — I ~сж
x e
—r[V+i/2]x
а + ^-,а + 7^-~ A; aH A — n, /x + 1; ^~-
[Re c, Re Ba + /x) > 0; | arg 6| < тг].
8.
n Xexp ( =Ft" l^nl ±T" I [Rec > 0; Re A > -1; |arg6| < тг].
V 4c/ V 4c/
9. J xX^e^cx
о
dx =
[Rec > 0; Re A > -1; |arg6| < тг].
b2c
J
^,1-а + ^ + Л; —
[6, Rec > 0; Re a > -3/4]
424
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.19.13
u. }(.¦
Ln(cx + d) dx =
^а I
-ac; a > 0; Re Л > -1
12
l "( )
p (-l)fc T\n-k + 1/2, к + 1/21 / _ 2c\
[Rep > 0; Re A > -1/2; |arg6| < тг].
13.
14.
[Re с > 0; Re A > -1/2; |arg6| < тг].
dx =
- A —ra + n
4c /
exP ^1T x
[Re с > 0; Re G + Л) > -1; |arg6| < тг].
2.19.13. Интегралы, содержащие < м ± >Ьп(сж).
f
f
X 2F2 ( -n, -A - n; 1 - a - -^ - n, 1 - a + ^ - n; -— ] [Re6 > 0; 2Rea >
2.
x iF3(-n; Л + l,
3. J Ж е |^(Ьж)|Ьп(СЖ)^^
о
/x a-» 1 + A
- -; [Re6 > 0; 2Rea-
2 ms [(a - /х)тг/2]
-2n].
¦ A)n fa -
X + nt 1 1 +A A> (f
— fi + l\ J 2 sin [(a — /х)тг/
A + n 3 + A + n> 3 A 3 +A^ c^
Re с > 0; Rea> | Re/x|, ^
I Re F + c) > 0 /J"
2.19.14]
2.19. Многочлены Лагерра Ь„(х)
425
4.
dx =
n!Bfe)a
1 с
, 1 + А + п; 1 + А, - + а; -¦гг
2 26
+ /i, a — fi
a+ 1/2
[ReB6 + c) > 0; Re a > |Re/x|].
5.
=
х 2F2 ^а - |5 а - | - Л; 1 - /х, а - | - Л - n; T^J T
[Нес > 0; 2 Re а > |Re/i|; |argfe| < тг; при
а-i -cxw ( Ь \ л
ж е л» —т=г Ь„(еж) ах =
\/х J
/i, а + ^- - \ - щ Ту-
= 0, 1, 2, . . . см. 2.19.1.18].
х
2/
-
4
[Re6, Rec>0].
2.19.14. Интегралы, содержащие
L. j x [a X) Lm(ca aX)Ln(cX) dX -
)L
)Ln(cx).
a
2. Lm(ea - cx)Ln(cx) dx = - [Lm+n(ac) -
J с
[a > 0; Re7, Re A > -1].
[a > 0].
a
I. LA(a-
- cx)L^(cx) dx = aT+A+2G + 1)G + A + 1)
4.
[a > 0; Re7 > ^2; Re A > -1].
^ [Rep > 0].
5. ха~гe~pxLl{bx)Ll{cx) dx =
{
426 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.14
оо
6. J x\-^LUbx)LiHcx) dx = iA+JM|+ikr(A + 1)(р - ЬГ(Р - с)" х
О
„ / л - be
X *( А + 1
т!п1рт+п+Л+1X
/ ю(ю — 6 — с) \
х 2F1[ -т, -п; -т - п - А; ,И '— [Rep > 0; Re А > -1].
V (p-b)(p-c)J
Af6gUb, d3. _ ГBА + 1)Г(п + А + 1) А (-1)"
n(bx)Ln(cx)dx- ^3XTI ^ ________ х
¦^ к\Г(Х - к + 1)
yh - ,c\n-k x+1/2(p2 + {b + c)p + 2bc\ ^hrx^ 1/91
XII — I О , и I ; ч I Нею > 0: Нел > —1/_ .
/ /
8. [ x^e-^LKbx)^) dx={1
J
о
X 3^2 I ™w5 a, a — Л; 1 + 7, a — Л — n; - ) [Re c, Re a > 0].
00
9. f xa-1e-{p+c)xL'1m[bx)L^(cx) dx = -~a ^^|m C1 ~ « + А)пГ(а)
X3F2 a,a-A,l + 7 + m; a - Л - n, 1 + Л; -- J [Re (b + c), Re a > 0].
10.
0
7 ->*/2, (h\T ( \H
. Je Lm{bx)Ln{cx)dx =
¦v ^\ /
^n) b
fc=0 ^
4c
V/
[Re
\k/m
b) U
[Re с >
'mwn
с > 0:
[Re 6
0; 6 =
; Re A
I
!
> 0; 6
= 2c; n
7^ 2c],
. ^ m].
[Rec> 0; Ьф 2с].
2~n~1 /n\
13. = 1 J [Rec> 0; 6 = 2c; m^n].
с \гм/
oo min fm n) ot.
14. e~pxLm(cx)Ln(cx) dx = -—m+n+1— Jj ( 1 ( , ) ( # ) [Rep > 0].
о k=0
oo
Г _i i
J
0
= — :—: 3F2(™in5 a, a — A; 7 + 1, a — A — ra; 1) [Rea, Rec > 0].
т\п\са v ' ' ' ' ' ' ; L ' J
oo
Г x~m~n~l ~cx 7 Л
J m n
0
cm+n^A(l + m + n)n(l + 7 ~ A + m + n)m+n
= j—ту— г Г(А — m — n) [Re с > 0; Re A > m + n].
2.20.1] 2.20. Многочлены Эрмчта Нп{х) 427
оо
17. [ х^1 е^схLUcx^Lhcx) dx = ^+,7]m Г(Л) [Reс, ReA>0].
о
оо
18. [ x1+xe^cxLll{cx)Ll{cx) dx = ^Г," G + Ш) ( Л + П V G + А + 1)
J C7-t-A-t-i \ fi / \ m /
о
[Rec > 0; Re G + А) > -1].
19. xXe^cxLXa{cx)Ll{cx) dx = * v" ' ^ ^; <5m,n [Rec > 0; ReA > -1].
0
00
0
J— \ -J— \ -J- 1 1 -J— \ \
"T" /\ "T" »*' ^* ~T~ »i Сл Сл СИ A J- "г" /\ /\
2 ' 2 "^ 2 '
2 ' 2' 2 f ' ^ 2' 2 ' 46
21. e sin by x LiJ (ex) Ln (еж) ^ж = \ / —г- —
-T-w, 1 + -, —2~; — 1 [Re b, Rec, Re a > 0].
oo -1/2 -еж
J
[6, Rec > 0].
2 \ / i 2
-A-l/2/ wA/ \ 1 Z71" f 0 \T-l/2-\(O \ t * I ° I
(СЖ)Ьп(СЖ)с1ж = ^ехР^^Ьп ^_JLn^-j
[6, Rec > 0].
23.
0
— л +—+a +1 (^ + ^1)^1 •••(! + Am)nm(Ai + . . . + Am)! x
x F^n)(Ai + . . . + Am; -ni, . . . , -nm; 1 + Ai, . . . , 1 + Xm; 1, . . . , 1)
[Ai, . .., Am =0, 1, 2, ...; Rec > 0].
2.20. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА Hn(x)
При вычислении некоторых интегралов, содержащих многочлены Эрмита Нп(х), мож:но
воспользоваться соотношением
Я/ \ / 1\Пп2п+? I е г ?-1/2/ 2\ г п 1 п
2п+е(ж) = (-1) 2 ^ п!ж Ln ' (ж ) [е = 0или1].
и формулами из раздела 2.19.
2.20.1. Интегралы общего вида.
Обозначение: 8 = < ?.
. f.-V
о
х>:-Чт-(*+*+^) rLv;;;;: ¦ у' касг кг,Ке/з>о^еа>-5].
428
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.20.1
2 I та^(тг оП/3-1
2. \х (х -а) е
к + 5 + \ ) х
1 - /3 - B* + а
fe=O
2Л (_ )П 2n+,-i Р
- 0 + 1) - а + S + 1
Г ха г С2Х2 (Н2п+1 (сх)
J (xr + zr)p { Н2п(сх)
о
[а, г, Re/З > 0; |argc| < тг/4].
k=o
jfej
гр + гк — а + S ¦
2
[г > О;
< тг; Re a > -6; |argc| < тг/4]
4.
H2n(cx)
x ctg
+ rfe — а + <5 +
5.
H2n{cx)
> dx =
U
(a+8)/rr
k=0
[г, |/ > 0, Re а > -5; |argc| < тг/4].
[г. Rep > 0; Re а > —<f; |argc| < тг/4],
[г > 2],
[г < 2],
п2/г
17 при г = 2 см. в 2.20.3.4.
6.
H2n(cx)
2.20.1]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
429
ca fet^!l 2
[г, Rep > 0; |argc| < тг/4].
7. х
о
*-1 -с2ш2 / sin &ж^
I cos &жг
|я2те+в(сж) dx = V
[е = 0 или 1; 6, г > 0; Re а > — е — Sr; | arg c\ < тг/4],
5.4 г
sm[Bk + a + е)ж / Br)]
> 2],
1
1 + e — а — Sr
х Г + гк )[--—z
< 2],
V при г = 2 см. в 2.20.5.4.
8.
cosec [BА; + а + е)тг/^
n\ ctg[BA; + а + е)тг/г
а + е — г — гк
22п + е-
_ V
-2 In с
[e = 0 или 1; r > 0; Re a > — e; | arg cj < тг/4; r| arg г| < тг].
9.
^1^
H2n{CX)
[г, Re6>0; Rea>^<5; |argc| < тг/4],
x Г
a + S + r +
22п+5~1 /а_$
k=0
' при г = 2 см. в 2.20.7.2.
430
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.20.1
10.
El(^bxr)H2n+e(cx) dx = U
\e = 0 или 1; г > 0; Re a > -e; | arg c\ < тг/4,
arg 6| <
b > 0
fc=0
cosec [BA; + a + е)тт/г]
ctg [BA; + a + е)ж/г]
fe=0
g
¦>2],
•>-i-
[r < 2],
ii.
17 при г = 2 см. в 2.20.7.4.
= V
[e = 0 или 1; 6, r > 0; Re a > —e\ \ arg c\ < тг/4],
\n+l
22n+?cg
1\
2)
2],
1
1 — a + ? — Jr
x I r - ¦
a + ? + Sr
62
~4c^
erfc (bx
fc=0
при г = 2 см. в 2.20.8.2.
= W
- Sr + 1
[r < 2],
[e = 0 или 1; r > 0; Rea> -?- r(l ± l)/2; | arg6|, |argc| < тг/4],
2.20.1] 2.20. Многочлены Эрмита Нп{х) 431
(-1)п22п+?с? ^ 1 / , Г
ш
2
(-1)те22п+е^1 (е - а + 1
И/ при г = 1 см. в 2.20.10.2.
2те+е(сж) dx = U
[е = 0 или 1; 6, г > 0; Re а > ^е - гB ± 1)/2; | arg c| < тг/4],
1 Л 1"
X Г
.(_1)-2!1^л
•l/2)fcDA; +2<5 + 1)
'2а + 2е + г + 2^r + 4rfe\ / Ь2 \fc
4 /Л 4 ...
[г < 2],
U при г = 2 см. в 2.20.11.2.
оо
J [r(/i, 6ж ) J
0
\e = 0 или 1; r, Re 6 > 0; Re (a + ur) > -e, < G^ L I argcl < тг/4 ,
L lRea>-?J J
[r > 2],
x I
fe=0
¦ + /xr + r
V при г = 2 см. в 2.20.12.2.
432
Гл.2. Определенные интегралы
[2.20.1
15.
[fe, r
—1Л<5
k=0
х Г
Г
¦ - 1 х
(/xr - 2A; - a - <J)/Br) + I
W = W-
argc| <тг/4],
[r < 2],
16.
17.
5 - a - fir - 2rfc
И/ при г = 2 см. в 2.20.13.5.
Я2п+1(сж)
Н2п(сх)
[0 < r < 2; Re (a + ^r) > -5; | arg 6| < тг; | arg c| < тг/4;
FF+ см. в 2.20.1.15, VV+ при г = 2 см. в 2.20.13.5].
= 0 или 1; г > 0; Re а > r\ Re /х| — е; I arg с| < тг/4,
b > О
Re 6 > О Г I'
, сов
Г(/х)
[г<2; а^-2, -1,0, 1, 2,
(а + е - ^г + 2гк\
2 )'
к\{к + т)\
е — а — гт — 2гк + 1
хГ
е + гт + 2гк
Г
17М при г = 2 см. в 2.20.14.4.
2
+ П
[г < 2; m = 0, 1, 2,
2.20.2]
2.20. Многочлены Эрмита Нп{х)
433
18. ха~г€
J
о
т{ох
Н2п{сх)
— V
— v
[г, Re 6 > 0; Re a > -6; |argc| < тг/4],
с2 *
(fc
- о - rk
2 Л V 2
V при г = 2 см. в 2.20.15.2.
[г > 2],
L" < J'
f dx =
i2n{cx)
[r > 0; Re a > -S - rm/2 + r[m/2]; | arg6|, |argc| < тг/4],
W=
/ 1\n+
[m/2]
при r = 1 см. в 2.20.16.13.
2.20.2. Интегралы от А(х)Нп(сх).
Обозначение: S = < >.
J I H2n{cx) J
; \ / i\ /
2F2 l-n,
2.
A
H2n(cx)
A A A
[a, Re/3 > 0; Re a > -5].
[a, Re/? > 0].
3.
jp (
;
a, Re^ > 0; Re (a + 2^) > 2 - 2n - S].
4.
McV+i-2p(d + -| x
[Rez > 0; -5 < Re a < 2 Re p - 2n - S].
28 А. П. Прудников и др., т. 2
434
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.20.3
2.20.3. Интегралы от хаер{х)Нп[Ь + еж).
Обозначение: 8 = < >.
оо
_ (-l)nBn + S)\Bc)s
2.
™v»/-~ ра+п ^ fc!(n-2fc)!
_, , п 1 — п 1 — п — а п + а р2
X2F2 --,—-; ,1-
' 2 '
2 ' 4с2
3. j e
о
2(п,)рП+1/2
= i^/^r(a + n) x
[Rep > 0; Re a > 2[n/2] - те].
[Rep > 0].
4. ж
о
5.
в.
а —1 -
1 -рх2 \ №п +
е I я2п
(еж)
а а + 1 а — J + 1 с — р
2' ^^5 2 П; ^^
Г9г»Л! / г \
n+i{
8.
в.
10. ж
11
— п-У7Г р Iе)
Т
J
Я2П(СЖ)
!pn+«+l/2
n!p
12.
13.
[Re а > -6; Rep > 0].
[Rep > 0].
[Rep > 0; n = 1, 2, 3, . . . ].
[Rep > 0].
[Rep > 0].
[|argc| <тг/4].
[Rep > 0].
г
[Rep>0].
[Rep > 0].
¦ - p2
/ 1 \
1 j
cx)
n 2n-\-S
P
Г(п + S
rn-
2'
argc| < тг/4].
2.20.3]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
435
14. ж" е
J
о
ск —1 — рх-— с х
2' 2 '
-
ХГ
' 2' 4с2
¦ 1
а + 2 а - 2п + 2 - S 3 р2
; 5
'2с2 п\с
16.
17.
'-v?Hn(cx) dx =
[Re а > —ё; |argc| < тг/4].
[6 > 0; |argc| < тг/4].
[у, Rep>0].
[у > 0; |argc| < тг/4].
H2n{cx)
Q. + 5 I Г , Х I
Р И+ о I х
2' 2 ' 2 '4
19.
H2n{cx)
[Rep > 0; Re а < -2п - .
; _pc2\ [Rep>0;
/
20.
'2' 2 ' 2 ' 4
21.
22.
28*
3
; -.
lHn(cx) dx = 2п
а 3 — а с2р2
2"' 2 ' Г~
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
Ii. + I,5±
436
Гл.2. Определенные интегралы
[2.20.4
2п-а
а 2
С
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
23.
+ <5 2п + 3 2п + 1 _ . 1 3 1 с4 \
-—, , + J; 6+ -, -, -; — I -
4 4 4 4 4 2 4ру
2 ^ с
—2 <5+2
с
31 r
2/
353
24.
2n{cx)
[ReP>0;Rea>-5].
^ Г L
2y V
x 2F4
x 2F4
4 4
г г 1 3 a + <5 1 c4p
cf; 6 + -, -, — Ы, -; ^^r
4 4 4 2 4
4 4
. . 3 5
e; 6 + -, -,
4 4
, , , ; ^
4 4 4 2 4
^ a 3^
c4p
[Rep > 0; |argc| < тг/4].
2.20.4. Интегралы от Л(ж)е~с ж Нп(сх).
Обозначение: 8 = < >.
а
f ха^(а - xf^
J
dx = ^1
гсё В (/3, а + J) x
[а, Re^ > 0; Re а > -5
а
J
/3,
z
2
; -а с
[а, Re^ > 0; Re а > -5
а
J
Я2те(сж)
г + 3 2п + 1
~4 ' 4
2
4 ' 4' 4
4 ' 2' 4
2.20.4]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
437
3\
2 ' Х
2га+ 5 2га+ 3
+ <5 + 2 5 3
~i~; 4' 4
4 ' 2' 4
[а, Re/З > 0; Re а > -5].
) е
da; =
~Vb(/3, 1-а-/3-<
1 а +1 а а + /3 а + Д + 1
2' 2 ' ? + ' 2 + ' 2
1 2 2
¦ -; -ас
1 ^ б-а-0
, 1--,
r,2n+<5-l 2-а-уб
3-а-/3
"г"' 2 '2;"вС
х 3F3( 1- -,
3-
+п;
2
-,2-
-1
2
-; -а с
2 ' " 2 ' 2
[о, Re/З > 0; |argc| < тг/4].
5.
-V -
о2п+8 — 1
с X
_ Л
6.
2n(cx)
[a, Re/5 > 0; |argc| < тг/4]
dx =
= (_1)п22п+«-2аа+4/3+5-4с« g | /3> j _ ^ _
2n + 3 2n
o2n+5-2
-2 .5+2 -
4 ' 4' 4 ' "' 2' 4
2-a-S Л/, 3
2n + 5 2n
5'2;
x SF4 1-^,
/3;
5 - a
-/?,
4 "' 4
[а, Re/З > 0; |argc| < тг/4].
438
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.20.4
7.
ж = ^1y22n+5c5za+S^p В (а + 6, р - а - 6) х
1 а +1 а а~р а — р + 1 1 22
1 + S + р —
х
1 +
+l
Я2п(СЖ)
; 1 ^5 ^—?, -; ^c
[Re а > —5; |argc| < тг/4; |argz| < тг]
п д
2 '
> 0; Re a > -?; |argc| < тг/4].
9.
10.
-г е^с2х" Н2п+1[сх) dx = М)те^ [2пп\ - Bп
[Rez > 0; | arg ж| < тг/4].
(ж4
2х2|Я2п+
1 Н2п
(еж)
, /а + J а + ^\ / „ . 1
2п
Н;^-
п,'2п + 5 2п + 3 „а + 5 + 2 353 г2-а-<5 cV
х 3F4( —^, ^ + 5, ; -, -,- + б, Р; - —
4
3-а
11.
х - у
dx = ^ir+122n+
-; J+-;
[Re а > ^<f; |argc|, |argz| < тг/4].
«5 — a
+ 1 Г
2.20.5]
2.20. Многочлены Эрмчта Нп{х)
439
X 2F2 (l,
П + 1; 1 - f,
12.
2п(сх)
I 1 1 2 2
Х1^(п + ^-;5+~; -с2у2
3 — а + ё _ 3 — а а ^ 2
2 П' 2 ' ~ ?' ™С '
[|/ > 0; Re a > -^; |argc| < тг/4].
ctg
> 0; Re a > -E; |argc| < тг/4].
oo
13. \ Jf—
2n(cx)
|, i + *;
2n + 5 2n
53 . 3 c4y4
+ ё ;
4 ' 4 ' 4' 4 ' 2' 4
— 2 ) х
5-a 6-a 7-a a c4j/4
2;
[y > 0; Rea> -5; |argc| < тг/4]
2.20.5. Интегралы
Обозначение: 8 =
i T
{ cos b
< >.
J
(сх).
2. е
з.
[Rep > 0].
4.
cos bx
da; =
[e = 0 или 1; 6 > 0; Rea > -tf-s; | arg c\ < тг/4]
5
440
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.20.6
а + 2 а . а-е-2п + 3 а - е - 2п + 1
4 ' 4 ' 4 ' 4
5.
4 ' 4
: = 0 или 1; 6 > 0; Re а > -28 - е\ | arg c\ < тг/4].
1,2
Яп(сж) с!ж = ехр
cn+1
4с2 / I <
2.20.6. Интегралы от жае™с 1пт (р(х)Нп(сх).
оо
1. е^х21пхН2п(х) dx = -^IL (с + 2 In2)
b2 \ (sin (тгга/2) 1
2 [(/) J
/
|argc| <тг/4].
2.
3.
[n = 1, 2, 3, ... ].
х2 In xH2n+1(x) dx = (-l)»*-^"-1
4. е ж In xH2n(x) dx =
о
5.
6. 1 е ж 1п2жЯ2п+1(ж) dx =
7.
,/1
( о
[n = 1, 2, 3, ... ].
= (-1)п-
{cosec (a + е)тг 1 „/a + e 1 la + e
ctg(a + eOr J \ 2 2 2 2
-cV I ±
2' А' 2
(_!)»:
2
О2п+е^2
KF3fl, 1, п
221 / -1 \ П
; -с г - (-1)
X
~,2п+е-2^2
o _
1 -
' 2 ' " ~ ) v ~' с" I 2
Q — ? — 3 3 — Q О 22
2 5 5 q 5 ¦" п ! ^
n —1
8. ж0"^ ж
In
[е = 0 или 1; Re а > — е; \ argc| < тг/4; | argz| < тг].
cosec (a + е)тг/2 \ (a + e
ctg (а + еOг/2
а + е
1 а + е
x
2
; r
2 2
2'
2.20.7]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
441
1, hw; z, z , ; ±c z
2n+e^l /]_ _ a _|_ \
1
J
e" \ 2
[e = 0 или 1; Re z > 0; Re a > -e; | arg c\ < тг/4].
2.20.7. Интегралы от хае^х) Ш(Ьхт)Нп(сх).
Обозначение: 8 = < >.
оо
1. ха~ге~с х Ei(—6i
о
С+1
a р . 3 3 a-<5
+l
¦ + 1 х
x 4F4A, 1, - + 1, ^^; 2, 2, -,
, n; — ) +
.(_!)«-
a + S\ (I - a + 8
2/1 2
[Re a > —5; |arg6| < тг; |argc| < тг/4].
2. f xe-VcJeJ El (^
J
H2n(cx)
_ JL 1
2/ x
V 2
2 ' 2 '
[ReF + c2) > 0; Re a > -S].
з. \x^e-^m(-bx*){n^:f}dx = (-ir
x Г
Н2п(сх)
+ ё а + 8 2п + 3 2п + 1 1 3 1 а + 8 с4
X 4F4
2n
3 5 3
4 ' 4 ' 4 ' 4 TU'2'4'4T' 4 '46
[Re b > 0; Re a > -5].
a~1e{±b~c2)x
2)x2
4. I /^e110"^^ Е1(т6ж )Я2те+в(сж) dx = (-1)
о
X
n+1
22n+?"S
e H—
2
= 0 или 1; Re a > -е; | arg с\ < тг/4, J ' arg '
I о > 0
442
Гл.2. Определенные интегралы
[2.20.8
О. X с
J
О
El (тЬх4)Н2п+е(сх) dx =
1 }
2j
а + е 2га + 3 2га
13 1 с4
22п + ?-27гс?+2 / з
е + ^\ Г
а + е + 2 2п + Ъ 2п + 3 .353 с^
4 ' 4 ' 4 ^?' 2' 4' 4+?' Т46
' 4
4 ' 4 ' 4 '
2.20.8. Интегралы от
е = 0 или 1; Re а > — е; | arg с| < тг/4, <
Яп(сж).
arg6| < 7г
6 > 0
SI (ОЖ j
ci Fжт)
22n+,-26«+2 ,?_а_5_1
¦' 2Ti'
i;2,i + M
= 0 или 1; 6 > 0; Re а > -е; | arg с| < тг/4; <5 =
2.
Я2п + е(сж) С?Ж =
_
а + е){ ^2 К 2 Д cos [(а + е)тг
[(а + е)тг/4]
131
Е; 2' 4' 4
п \ 2 Д sin [(а
2п
е)тг/4]
3 5
4 ' 4
3 a + g + 6^ ^c^
4 ' 4 ' ™62
[е = 0 или 1; 6 > 0; Re а > -е; | arg c\ < тг/4]
2.20.10]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
443
2.20.9. Интегралы от ха\ еГ„ \ \ }Нп(сх).
{ erfc (а + bx) J
1. [erf (еж + d) — erf (еж — d)]H2n(cx) dx =
2n+l
Bn
2. [erf (сж + d) -erf (cx)]Hn(cx) dx =
(n
[|argc| < тг/4].
[|argc| < тг/4].
x 3F2[-2n-S, —^-, - + 8; 6 +-,
Re а > —<5; | arg 6| < тг/4; <5 =
2.20.10. Интегралы от хае
oo
1. \e-c2x2er{(bx)H2n+1(cx)
aeip{x) {
Яп(еж).
argb|, |argc| < тг/4].
2.
X erfc (bx) j
2In+?c?
ni-ir^-1
— a + e
ca \ 2
[e = 0 или 1; Rea>-?-(l± l)/2; |argb|, |argc| < тг/4].
)
i f «-i -c2*2/ erf (&ж ) X jj ( xj
3. \x e ( 2 >Я2п+в(сж) da? =
J erfc Fж )
о K
2 2n + 3 2n
1\
2/
1 3 1
X 4i?41 ^T' 4 ' ~~4Г> ^^ ' o> 2' 4' 4 ' &' T"
x 4F4
4 ' 4
•1,
4
it,
3 5 3
4 ' 4 r?; 2' 4'
V
,0 1 ca \ 2 /_ V 2
¦ = 0 или 1; Re a > —e — 1 =p 1; | argfe|, | arg c\ < тг/4].
4.
X
2a + 3 1 5 2a - 2e + 3
^; 2' 4' 4
64
15 4^
444
Гл.2. Определенные интегралы
[2.20.11
(-1)2п+?Ь3 /2е-2а-1\ /2а
4 )п1{ 4
3 2а+ 3 2а+ 5 3 7 2а - 2е + 5 б4
' —i~' -4-; 2' 4' I П; 4?
- а + «
[e = 0 или 1; Rea > -e - A ± l)/4; | argb|, |argc| < тг/4].
5.
*** [erf (еж + d) - erf (еж - d)]H2n(cx) dx = ^— e"d2/2 #2n-i
c
|argc| < тг/4; n = 1, 2, 3, . . . ].
oo
6. J e'"'"' [1 + erf (еж)] erfc (cx)H2n(cx) dx =
2.20.11. Интегралы от xat
Обозначение: 8 = < >.
n +
, n + |; |; i
|argc| < тг/4].
J 1яп(сж).
) J
\ }н2п
C{bx)j
dx =
- { }
4 )п { 4
2а+ 3 2а+ 1 . . 1 28 + 5 2а + 28 - 2е + 8
~i~' ^ + ^ ^+ 2' ~i-' 4
[г = 0 или 1; 6 > 0; Re а > -е - B ± 1)/2; | arg c| < тг/4].
о
хГ
2
2.20.12. Интегралы от хае~с х
2п+с(с
2<5 + 1 а + 3 а , а + 1 , а + 2 сс 1 25 + 5
—4->-Г> 4+1'^ + <5'^+^^+2'^'
а^2п^е + 2 а^2п^е Ь2
4 *" ' 4 h ' ^с1
[е = 0 или 1; 6 > 0; Re а > -е - 2 =р 1; | arg c\ < тг/4].
,2^2 J 7(д, Ьж"
- а + е -
а+?+р
« + м + 1 1 ц а + ц - е + 1
2^ ; 2' 2+1' 2
а-М /а
2^ )пГ\
2.20.13]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
445
+{l}(-1)n^A^)
I1 J C \ L /n
e = 0 или 1; Re b > 0; Re (a + /z) > -e, i
Re/z > 0
Rea>-?
, |argc| < тг/4 .
2.
;
22n+ece ^ Г
?+2f X
5 6
2;?+2' —
= 0 или 1; Re 6 > 0; Re (a + 2/z) > -e, < >, largcl < тг/4
[ Re a > -e j
2.20.13. Интегралы, содержащие J^(bx m)Hn(cx).
oo
2
rJn + Q-1 П
dx = , , Г
п 1 — п
[Ь > 0; 2[ге/2] - п - Re ц < Re а < 3/2 - п
2.
^ Н2п+С{сх) dx = (-1)2п-а-1Ьв+все (е + |
¦ ?
b2c2
'-' " 2' 2 " ' 2 ' ' 4
: = 0 или 1; b > 0; -e - 3/2 < Re a < Re ft - 2те - e]
о «-1-е а
о. X e
0
X
4-
^2п+е(сж) б!ж = (™1)П-
2 ' 2 2 "' ^4c2
[e = 0 или 1; Re (a + ц) > —e; | arg b\ < тг; | arg c| < тг/4]
2-^2-1 Г /i + a + 1/2 1 (_&_\
cM+(n+a)/2 [/i+B + {J^n)/2jeXP V 8c2 J X
X МBМ+те+3с7)/4, BМ~п+?т)/4 ( j^- 1 [о- = 0 или 1; Re /1 > -A + а)/2] | arg c\ < тг/4]
ХГ
а + 2/х + 1 а
2 а + 2/х + 3
= 0 или 1; Re (a + 2/x) > -e; | arg c| < тг/4,
4 ' Tc4
6 > 0
< 7T-; Re(c2 - 6) > 0
446
Гл.2. Определенные интегралы
[2.20.14
Г Y (Ьх±т) 1
2.20.14. Интегралы, содержащие < м ± >Нп(сж).
1^Fж )
i2n+Q-2 n
п 1 — n а
1
2'*2; 4
[Re 6 > 0; Re а > -тг + 2[n/2] + |Re/x|].
2.
ХГ
( 2
a + e
1 a + s+JJ. Q + e - fi , , о с
; e+-, + 1, + 1; —
[е = 0 или 1; Re 6 > 0; Re а < -2п - е -
К,{Ъх)
{
4-
Х{ . JF2(^'2;^ + 1' 2
[е = 0 или 1; Re а > | Re д| - е; | arg 6| < тг; | arg с\ < тг/4; при д = 0, 1, 2, . . . см. 2.20.1.17].
о2п+(Зе+а)/2-3 е
2
2 2
я2„+?(сЖ) d» = T(-D"
X Г
2 sin —
2п + 5
4 ' 4 ' °' 4 ' 4 ' 2' 4' 4 ' °' Ti
f Re c2 > I Im 61
= 0 или 1; Re a > 2| Re /zl — e; I arg 61 < тг; I arg cl < тг/4, < 9
I Re F + с ) > 0
2.20.15. Интегралы, содержащие Ь^Fж )Нп(сх).
Обозначение: 8 = < >.
' 2' ^5 2'
2.20.16] 2.20. Многочлены Эрмита Нп(х) 447
г,
2 ' " т 2' 4С2 У ш!с°+1 V 2 А 2
Y+m а + 1 „ а 3
[Re а > -5; |argc| < тг/4].
оо
2.
о
[Re F +с2) > 0; Re a > -ё].
3.
о
JH2U+1
Ч н2п(
4 ;n v 4
131
X
3 + +2-а-
4
4 + ' 4 ' 4 7' 2' 4'
4 4 46
оо
Г .ill «in Лт I « I
4.
[ COS 6ж j [ Н2п(сх)
о
2.20.16. Интегралы, содержащие Нт{ах +b)Hn{cx
Обозначение: J = < >.
1.
о
1 _
— X
1 р(р — Ь2 — с2) ,
-т, ^п; ^т - га - д + -; j- j^j^ -^ ) [Rep > 0].
2.
[Rep > 0].
oo
3. [ e~px2Hn(icx)Hn(cx) dx = 2n~1n\en7vi/2i[^Pn (—} [Rep > 0].
J у P \P J
о
448
Гл.2. Определенные интегралы
[2.20.16
4.
Н2
(СХ)
2п{СХ)
= + + /F
— оо
min(m,n)
g
2Ьс
5. I е^рж2Я2тоFж)Я2п+1(сж) dx = 0
[Rep > 0].
Г
b. J е
^
7. j e
8. I e-c'x'Hm{cx)Hn(cx) dx =
; 2 ^С2
_ w)/2),c
m+1
|argc| < тг/4,
0; m + n = 2, 4, 6, . . . ].
m-n = 2, 4, 6, ...
m < n
|argc| < тг/4].
9.
dx = ^1
|argc| < тг/4; m + n = 2, 4, 6, . . . ].
22
10. e"c " Ят(а + сЖ)ЯпF + еж) da; =
*?n / (tn-
[|argc| < tt/4; m ^ n].
11. [ e~px2 [Hm(b + ax)Hn(d + еж) + Hm(b - ax)Hn(d - ex)] dx =
о
min (ra, n)
fe=0
х (р-.
p — a2
[ReP>0].
12. ж
о
13.
а —1 —
1 -рш2 Г
6 I
H2m(bx)H2n(cx)
1
J
_
(-l)m+nBm
1 с 1
г, -п, — + д; - + д, - + д; —, - J [Rep > 0; Rea > -2<J].
dx =
2+5
2.20.16]
2.20. Многочлены Эрмита Нп(х)
449
-8 1 + а + <5 1
— g
1
2 ' 2 ' 2 ' ' ' 2 ' 2 ' ' <
[e = 0 или 1; Re (б2 + с2) > 0; Rea> -5 -e].
14. же рж ЯтеЧ
о
dx =
^ к\(к + Щп - к) \ р
[Rep > 0].
15. I xa~1e~c2x2Hm(cx)Hn(cx) dx =
F\ I —m, —n;
а — m — n + 1 1
2 ' 2
16.
Hm{cx)Hn{cx) dx =
17. I e~{x~y) Hm{cx)Hn{cx) dx =
min (то, п)
18.
[Re с > 0].
|argc| < тг/4].
- р2
[те ^ n].
19.
- ехр
\ ifc !4
fe=0
20.
/ -j \то+те
2+"
X 4f 4
|argc| < тг/4].
4 ' 4 ' 4 ' 4
2 + а + 8 - 2e
,n+5+^2c5+2 /3 X /2e-S-a
а + 8 2n + 5
?353 . n
o; -,-,- + 0,l-
'244
4 '244 4 462
[e = 0 или 1; Re a > -5 - 2e; | arg 6| < тг/4].
29 А. П. Прудников и др., т. 2
450
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.20.17
21.
22.
• e Hn+i(cx)Hn(cx) dx =
{к
[Rez>0; |argc| < тг/4].
cos ЬхНп+2т{сх)
х =
23.
24.
25.
dx =
4(п + l)c
[|argc| < тг/4].
|argc| < тг/4].
da; =
26. e^c ж erf {cx)Hn+2m+i{cx)Hn{cx) dx =
2m+n+3/2Bm
|argc| <тг/4].
27.
'-Vе'
2m+n~1
ажЬа
2
x 2
(-1) А!
la с
5 2' I+ ; ^62
[Re a > 0; |argb|, |argc| < тг/4].
m
2.20.17. Интегралы, содержащие || Я?^. (еж), m = 3, 4.
2c2x2Hl(cx)Hm(cx)Hn(cx) dx =
2. e~c ж Я|(СЖ)Ят(СЖ)Яп(СЖ)с1Ж =
argc| < тг/4,
-m + n = 2e- 1 = 1, 3, 5, ...
-m + n = 2s - 1 = 2, 4, 6, . . .
[Z + m + n = 2, 4, 6, ...; стороны с длинами I, m, те составляют треугольник; | arg c\ < тг/4],
= 0 [в остальных случаях; | arg c| < тг/4].
2.21.1] 2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп(х) 451
оо
3. е^с Hi+m+n(cx)Hm(cx)Hn(cx) dx = (Z + ra + n)!
J с
~°° [|argc| < тг/4; Z = 1, 3, 5, . . . ].
oo
4. [ e'^^erf (icx)H2n+1(cx)Hln(cx) dx = 2 % F3 ( n + M [|argc| < тг/4].
0
00 ч
5. [ес2ж2егГ(гсУ2ж)Я2п+1(сж)Я22п(сж) dx = 2— Ш^-l: [|argc| < тг/4].
J 3c L n! J
0
°° rn+n /— min (m,n)
2.21. МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБА?ЭРА С?(аг)
При вычислении интегралов, содержащих многочлены Гегенбауэра Сп(ж), могут ока-
оказаться полезными формулы
С-{Х) = (Л+ 1/2)» ^
2.21.1. Интегралы общего вида.
(Также см. 2.22.1 при р = а = Л - 1/2.)
Обозначение: 8 =
< >.
а
1. ж (а - ж ) 7 F - х )р С2п+е у-) dx = а Ър BAJn+s x
к! I (a + e + rfe + l)/2 + A + nJ \ 2
[е = 0 или 1; а, г > 0; b > а; Re А > -1/2; Re а > -е].
\ —е —1
X
[e = 0 или 1; a, r, Re/3 > 0; 6 > a; Re a > —e].
ь
" V 2)*/^^ -У-1^^) rf ^^^^ Г(Л+ 1
3. J>" V - a2)*/^^ - Я-У-1^^) rf. = ^^^Г^УГ Г(Л+ 1)BАJ"
- A - n
2 ^ Ы
)n+e A/2 _ Л _ n)fc
t fe!
Ь2А-2^ + 2п- 1)/г
[е = 0 или 1; b > а > 0; г, Re^ > 0; Re А > -1/2].
29*
452 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.1
л а —1/ г r\B-l/i2 2\Л-1/2/-,Л (Х
4. ж (ж - а )р (Ь - х ) ' С2п+е [^
=
2/^ A!
b ^р BЛJте+е х
х 62А-е-1,хч, , wm \^ УЧА - п - л)к^1 1 - /3 - (а + е + 2k)/г] A
k=0
[е = 0 или 1; b > а > 0; г, Re^ > 0; Re А > -1/2].
^2k
л: Ч : ;- - - ¦ ^- .-2n-2fe-i)/r
[е = 0 или 1; а > b > 0; г, Re/3 > 0; Re (а + 2А + r/3) < r - е - 2п + 1].
о« + 2А+г^--г--1 / -1 \
(l^/3)fcrr(l^a-e^r/3 + r + rfe)/2-A^fi]/l^a + e + r + rfc-r/3^ ^64rfe
kl ' l + {r + rk-*-e-rP)/2 \\ 2 )n{a
[e = 0 или 1; а > 6 > 0; г > 0; Re Л > -1/2; Re (a + 2Л + r/3) < r - e - 2n + 1].
a
. — (a
[ Z 2 2^-1/2^ /Ж\
7. — (a — x ) ' 62те+е I — I dx = I
0
[e = 0 или 1; a, r > 0; Re a > -e; Re Л > -1/2; r| argz| < тг],
?-q-rfe
fe=0
xi'lP —г—1Н + Л + |
r
A;! [(a + e-r^-rp + l)/2 + A + nJ V 2 Jn\a
[\z\ < a].
00 -l
8. f , Ж° , (x2 - a2)x-1/2CL+e (-) dx = I
J (xr + zr)p v ; ^n+eVa7
a
[e = 0 или 1; a, r > 0; Re A > -1/2; Re (a + 2A - rp) < 1 - 2n - e; r\ argz| < тг],
2.21.1] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 453
[(laerfe)/2Anl/lQ + erfc\ /ayk
2
v^ li/z-n-лд /а + е + 2Л + 2п-2А;-
: > " A;!
хГ(р- -¦-¦ — ¦ -»-2fc-l\ (A + ? + n _ ^ /a\2fc ^ > a]^
2Bп + ?)! BХ^+*Г{Х + 2 j
- а - e + r/o + rfc)/2 - А - п] /1 - а + е + rk + rp
7 = 2Bп + ?)! (^+*
ГA - а - e +
ХГ[ 1 + (гк + гр-а-е)/2
9. }^2Y
0 [е = 0 или 1; а, г, у > 0; Re a > -e; Re Л > -1/2],
x
fc=O
(^1)П+122те + ?7Г 2A^e^l a+e-r/^ ^ A/2 — \ — Tl)k (OL ¦ x ^ , -.. .
J = /^ 1 \i tt У Wn+e У — 71 — Ctg 7Г X
Bw + e)!r ^—' A;! ~
/\2fc (^1)П « + 2Л-Г-
^e^a + rfe + r + 1
(a)
[e = 0 или 1; a, r, t/ > 0; Re A > -1/2; Re (a + 2A) < r - e - 2n + 1],
Л l
We4 +2
/ , x , ix . /a + e + 2A + 2n^2fe-l Wa\
x (e + A + n - k)n ctg I 7Г I I - [|/ > a ,
x |4"A - a - e + rk + r)/2 - A- n] ^ e - a
x
fc=O
El 1 — «
454 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.1
а
11. ж (а -ж) е C2w+e ^- j rfs = 2 + а BАJте+еП Л + - 1 х
о
^1Г {a + e + rk)/2 ]fsark + l\ k
9
[e = 0 или 1; a, r > 0; Re a > -e; Re A > -1/2].
oo
-* «~% 1 сл — X/ 2 2\A —1/2 — %)x x™? A / i i / r% \ \ in I \ i
12. ж (ж -a) /ep C2n+e {- I dx = BАJп+вГ А +
J \ d / ?{?ТЬ "у" ?" 11 \
2
л2п+е A —a —e —2A —2n)/r
_fc)n
r
[e = 0 или 1; a, r, Rep > 0; Re A > -1/2].
13
о
. f/^ffl2-^2)^^^ r^2An+?f^l dx= / 1^4, aa+2ABAJn+?rfA + ^ x
J Va/ 2Bn + e)! \ 2J
/ V ar/
x Vlr[ {a + erk)/2 Л(еа + гк + 1\ ( P \k {
f^kl [( + - rk + l)/2 + Л + \ V 2 y4 r)
x a
[e = 0 или 1; a, r, Rep > 0; Re A > -1/2].
14. l^^^-aY-^e-" ¦c2V4^j^ = ^^TBAJn+er(A+i)?lx
2
[e = 0 или 1; a, r > 0; -1/2 < Re Л < A - Re a - e - 2n)/2].
a
f/^2 2xA^l/2f 8Ш6ЖГ1 Л @>
J [ cos bx ) \x
~ Г
2 Г Jn \ 2
[e = 0 или 1; a, r > 0; Rea>-?- <5r; Re Л > -1/2].
ID. I Ж (Ж — CL J < r /C^2n+e I — J "^ :=: 7 \7™ ^ \^^Jта4-еА I A + — ) X
[ cos ox J \a/ 2Bn + e)!
^ (-l)fe -\(l-a-e-Sr)/2-X-rk-n
2.21.1]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
455
е-а-6г
22гИ
fc=O
А;!
¦ (g + А + п - fc)n x
-rf
- 2к -
1\ Г sin [(а-
У 1 cos [(a -
17 fr^fo2
- g + 2A + 2n - 2ife - 1)тг/Bг)]
-e + 2A + 2n-2fc-lOr/Br)]
[e = 0 или 1; a, 6, r > 0; -1/2 < Re A < (r - Re a - e - 2n + l)/2].
Г Г f» I агег z <
e = 0 или 1; a, r > 0; Re a > -e; Re A > -1/2, I '
< тг
i-
g - а - г -
2, А + 1/2
> a],
/ i \n
a
+ 2Л —Г —1
(a + e ^ r — rk)/2 1 /g — a + r -
[a + e-r-rk + l)/2 + A + n\ \ 2
(a + e)/25 A+ 1/2
4Bn-
(^l)n22n+e7ra2A"e™1zQ:4
^ 2j - a + g + 1
°° (l/2-A-n)fc
fc=0
+21na
1С f <*-l, 2 2хА-1
18. ]Ж (х -а) {lnlx_zlj()
\e = 0или 1; a, r > 0; -1/2 < Re A < A - Rea - e - 2n)/2, ( r'argzl < ж X1
L I ^ > 0 JJ
x Г
A - а - g - r - rfe)/2 - A - n] /g - а - r - rA; + 1
22п+?тг
2
-A--
456 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.1
cosec [A - а - е - 2Л - 2п + 2к)тт/г] 1 /а\2к аа+2Х~гг
ctg [A - а - е~ 2Л - 2п + 2к)тт/г] UJ + ^
Х [ 1 - (а + е - т-- r-fc)/2 JV 2 )п\а)
aa+2A-V , . /1-а + е\ [А + 1/2, A - а - е)/2 - Л - п
.-(а + е)/2
1
<а].
. j х (а ~х) > Ш{~Ъх )C2w+e^-j dx = 2/2п + ?ч, а b{2\Jn+? x
О
хГ[А+;
е — а — г — гк
х BЛJп+еГ
2 Л1 У 2{2п
е)/25 Л + 1/2
[е = 0 или 1; а, г > 0; Re а > -в; Re Л > -1/2; | arg b\ < тг]
^v 1 г[^ ~~ а ~~ е ~~ г ~~ г^)/2 — А — пЛ (е — а — г — гк + 1\ . г .л
fc=O те
А + 1/2, A - а - е)/2 -Л-п]/е-а + 1
a2n+ei A —а —е —2А —2n)/r
A/2 - Л - n)fe(e + A + n - fe)n p/'a + ? + 2Л + 2n - 2fc - 1\/ ,i/A2k
4 J \ab )
r
[e = 0 или 1; a, r, Re 6 > 0; Re Л > -1/2].
. *«-V-
J
21
J
о
i \n + l / i Л
' ла + 2А + 5г+2г-1,« + 2/9л\ Г » \ _L \ v
2.21.1]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
457
+ l)!(«5 + 3/2)*Bfc
e — a — 6r
г-г*
X BЛJп+еГ
2 ) 2{2n
1
A+2
4Br
Г
2„+
e — a — 6r + '
(а + е)/2, А + 1/2
r
2 VV 2
[е = 0 или 1; а, г > 0; Re а > -г; Re Л > -1/2].
22. I ж
¦ BАJп+е X
A — a — e — 6r)/2 — X~r~rk~n
1 — (a + e + 6r)/2 — r — rk
е-а-бг
агЪ
A/2 - Л - п)к(е + Л + п - к)п Г fa. + ? + 2Л + 2п - 2к -
E{±/ ? — Л — П)к{? ~\- Л -
klBk-a-e-2X-
2п
k\{2k
' sin [(a + e + 2A + 2n - 2k - 1)тг/Bг)] \ 1/r 2k
cos [(а + е + 2Л + 2в - 2^ - 1)тг/Bг)]
2Bn
2 _ A _
Sr)/2
1 — a + e — 6r
x Г
A + 1/2, A - a - e)/2 -A-nl/l-a
-(a + e)/2
2
n —1
^J 2 j - a + e + 1 v 7
[e = 0 или 1; a, 6, r > 0; -1/2 < Re A < Br - Re a - ? - 2n + l)/2].
23. ж (а
J
"-V,,2 2vA-i/2f erfFar)
2ai/2/()
[erfc (bx ) J
/ж\
n+e —
с/ж =
xrf
e^a-r + 1 \ rL,2fe
rife (a
2, А
[e = 0 или 1; a, r > 0; ReA > -1/2; Re a > -r(l ± l)/2 - e].
458 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.1
22п + еьA-е-«-2А-2п)/г(д)я+е ~ A/g _ д _ n)fc(g + д + „ _ ^
^"Bn + e)!a2^+? ^ ife!Bife - a - e - 2A - 2n + 1) X
x Г
e = 0 или 1; a, r > 0; Re A > -1/2, ,
2
Re 6 > 0; Re (a + 2A) < 1 - 2n -
/ 2 2чА-1/2/ Jv(bx) 1 A /Ж\ (^l)n a + 2A+i/r-l,i//ox\
(a-*) (МкО)Сь+?(-)Л=2„+1Bп + ?)!« 6BЛJп+гх
X
26.
[e = 0 или 1; a, r > 0; Re (a + i/r) > -e; Re A > -1/2].
ot+2A+i/r™l ii/ г л .-I /о "I
(l-a-e-t/r)/2-A-rfe-nl /e-a-i/r + 1 Л farb\2k
\{ 2 AW/
92n+e-l/\\ / l \ (l-a-e-2X-2n)/r
к?& (I)
к+.)?&¦• (I)
27. J^-'^-
Г (a + e + 2A + i/r + 2n - 2Jfe - l)/Br) 1 (аГЬ\2к/г
[l- {a + e + 2\-ur + 2n-2k- l)/Br)J \ 2 J
[e = 0 или 1; a, 6, r > 0; -1/2 < Re A < Cr/2 - Re a - e - 2n)/2].
a: = Т a°+2A
a: = та1BпТе)!2
0
2
[e = 0 или 1; a, r > 0; Re a > -e; Re A > -1/2].
28. j,-V " ^-''Vb-'L^OC^.© -x = ^bf^ a— BЛJ„+? х
0
^ (a + e + rk)/2 ] /e - a - rife + l
= 0 или 1; a, r > 0; Re a > -e; Re A > -1/2].
2.21.1] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 459
29. j *-V - aV-'V" ^(^)^
х
m\{2n + e)\2 \ 2
A - a - e - 2n - rk)/2 - A
[e = 0 или 1; a, r, Re 6 > 0; Re Л > -1/2].
a f A / / \ 1
10 1та^г(а2 т2)Х^1/2Но ^ (brr)I C2n+^X'af l лт^
J I C^/a) J
m!Bn
(-т)к [д-ег-а + 1 Л Г rfe + (а + 5 + ег)/2
A/2 +
[е = 0 или 1; а, г > 0; Re а > —ег -8; Re Л > —1/2].
J [ С2п(ж/а) J
1
6 BАJп+5Г ^А + -
[е = 0 или 1; а, г > 0; Re a > -re -5; Re Л > -1/2].
C?n(x/a)
/ 2
2r
f ...
33.
о
4" + 2 J g *i U
g
460 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.2
l + 8-a-er Д Г (a + 8 + er)/2 + rk
2
[e = 0 или 1; г > 0; 6 > a > 0; Re a > -S - er; Re A > -1/2].
ь Г л 1
fr"^2 nV^1/2fft2r т2^^-1/2Г7 ^жГ У ^n+iC^/a) 1 _
. ж (ж -fl j {о — x ) b2m+e — К x > ax —
J V6 / [ C2n(x/a) J
2m+e-l
( U 'М(^G)-,Г(А + I) g
ё-ег-а \ r(i-a-J-er)/2-A-rA;-nl/a
2'*)Л l-r*-(a + « + er)/2 JU
2rfe
+« Х
er-a-2A-2n-5
(a + J + 2A + 2n + er - 2k - l)/Br) 1 /a\2fe
x Г
1 ( + f + 2A + + 2 + + 2 - 2k - l)/Br) + 7J Vb>/
[e = 0 или 1; b > a > 0; r > 0; Re 7, Re A > -1/2].
(у2т+е — 1 / \ /*i\\ a + 2X-\-2jr+2rm + er — r — l / ¦% ^
"A I Л + - I X
1/1 \. , , ,. /la + <5er + r Л
U7~m G + e + w- A;)m I jr - rm + rk I x
¦ (l + r^<5^a^ er) /2 + rk — jr — X — n — rm~\ f bx
x 1
1.
0
1 + rk — rm — jr — (a + er + 8 — r)/2 J \a
[e = 0 или 1; r > 0; a > 6 > 0; -1/2 < Re A < A + r - 2rm - 2<yr - Re a - § - er - 2n)/2].
2.21.2. Интегралы от (х ± а)а(хт ± bmfCn((f(x)).
+Acx) dx = (~1Jni(-Ae)wn,+'C' a"+2^-2 В (^±1, /?) x
[e = 0 или 1; a, Re^ > 0; Re a > -e].
2
f 2A-2/3+2n+e-l/ 2 2\/3-lr,X / \ j ^ о / \ /Q /3\ гЛ+гп+е^г^А^/З / ч
. ж ^ (a - ж ;r G2П+е(сж) dx = - В (A - Д, (i)a ^2n+e(ac)
[e = 0или 1; a, Re/3 > 0; Re (A -/5) > -e/2 - n].
CL+C (f) dx = ^ a— (AW (A - , + I
[e = 0 или 1; a, Re^ > 0].
3. J ^ - Xy-CL+C (f) dx = ^ a— (AW (A - , + I) Г
о
2.21.2] 2.21. Многочлены Гезенбауэра С^(х) 461
а
\a/ Bn + e)?
о
X (\-р + -} г[^' A + fl^ + ?l [е = 0или1; а > О; О < Re/3 <ReA +
V 2 L A J
о
xf- 1 J В f A + fl+ ^, ° j [e = О или 1; о > 0; Rea > -e; Re A > -1/2].
. I xm(a2 -Ж2)Л^1/2С^(-) da; = 0 [n - m = 2, 4, 6, . . .; a > 0; Re A > -1/2].
7. Joe - a)x-\b - xf^C^icx) dx = n\T L
/ ,/
V2z± = Il + abc2±^(l^a2c2)(l^b2c2) J ; Re A > 0
l/2
8. f (x T a)a-\b - xf-1^ (-) dx = ^f- BА)„ В (а, /3)(b T а)"^ х
J V а / п\
±а
X з^2( -п, 2А + п, а; а + /3, А+ -; J [6 > ±а; а, Rea, Re^ > 0].
\ 2 2а /
• —- x i o«I — i «ж —
= Л-)9 - 1/2, а = Д +А™ 1/2; ^а < b < a; Re^ > 0; Re А > -1/2]
X (a + 6JA+n-ip?\-/3-i/2,A-i/2)| ^ j [^a<6<a; Re/3>0; Re BA - /3) > -n].
ь
J
[6 > a > 0; Re A > -1/2; Re^ > 0].
6
12. \(x - a)a^(b - xf^C^l^) dx = ^f B(a, 0)(Ь - а)а+р~г х
1 lii
X 3F2 j -n, 2A + n, /3; А+ -, а +/3; -^^ ) [-6 < а < 6; Rea, Re,0 > 0].
ь
13. |(в-в)^.-1(ь_яГ1сл(*)^
> 0. ReBA-/3) > -П].
462 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.2
14. ]( ГЧ )
а
X Р^р'а)(^) [р = А + а- 1/2, cj = Л-а- 1/2; -6 < а < 6; Re Л > -1/2; Re а > 0].
а
15. IVy^
2A, /3; 2/3, Л + ^; l) [a, Re/? > 0].
16. | (а2 - х2)^2-1^^) dx = ^a^lj +/12)/2]С'»/2Bв2с2 " Х) [а' ReA > 0]-
17. [ (а2 - x2)A-1/2C^(J) rf« = 5n,0^a2ArrAA+1f] [a > 0; Re A >-1/2].
а
18. [(ж + а)а^1(а-ж)/3^1С^(^
J \ CL
/ 1 \
В (а, ^)з^2 ~п, п + 2Л, /3; а + /3, А+ -; 1 [a, Rea, Re^ > 0].
V 2 /
19.
— а
= j— I НА — р 1 1 l^a] La? Hep > 0; ReA > —1/2].
a
20.
. f (x + a
2A
21. I (ж + a)a (a — ж) Cn ( — j <^ж = (-—l)n j—
a, A+ 1/2
22. I xm(a2 - x2)X~1/2Cn(-) dx = /m,n [a > 0; ReA > -1/2],
— a
-Jm, n = 0 [m + n = 1, 3, 5, . . . , или га + n = 2, 4, 6, . . . и n — га = 2, 4, 6, . . . ],
BЛ)пУ^т!гГ A+ 1/2 1 m+2A
m'n n!2- Ja
[ra + n = 0, 2, 4, . . . ; n - m ф 2, 4, 6, . . . ].
f 2 2 A (ix
I "ж — Г7fvЛ (AJn+e X
0
X (A + p- ^) ГР^ ' [е = 0или1; Rea > 0; Rep > n + e + 1/2].
2.21.3]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
463
24. ж
2А-20 + 2
[X a) С2п+Ла)
= 0 или 1; а, Re/З > 0; Re А < 1 - 2те - е].
25.
— 1 аж =
а
а + 2Л1 v
а х
xr|-(l-n-a)/2-A A + „-а)/2,А + 1/21 [a > 0; Re(a + 2Л) < 2 _ n; ReA > _1/2].
1 — a
26.
^B(a r-a-n)Ba)a-rx
Г?.'
X з^2 ( —w, а, Л — щ Л Н , т — п; 1 ] [a, Re а > 0; Re (а — т) < — п].
27.
" BА)ПГ
[a > 0; Re A > -1/2; Re (r - A) > те + 1/2].
CO
28. J(, - a)—-2(x + a)-C7*(f) d* = ^
1/2)п
[а>0; l-n-
- 2те].
29.
хГ
a, 1/2 - a - A - nl а+л^1/2
1/2-A ( j
[а > 0; 0 < Re а < 1/2 - Re A - те].
[a, Re A > 0; Re a > те/2].
31.
32.
2у а(а — ж)
/а(а + ж)
а-А-п/2
i\
¦ BА - а)п В A- А, а)
[a, Re a > 0; Re A < 1 - те].
BA-a)nB(a, A - a)
[0 < Re a < Re A; | arga| < тг].
2.21.3. Интегралы от
[е = 0 или 1; а, у > 0; Re a > -e; Re Л > -1/2],
464 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.3
_ (irg A + е-а\ Г Л + 1/2, (а + ?)/2
—е а2
х 3F2^1, -, —^—; + Л + п, п; -^) [а < у],
_ (-1)"+с+1У-У «_«_! +е_2 ,._! атг
J — ^j а J/ (,Ajn+etg -^- х
х 2Fi Q - А - п, | + е + n; i + е; ^ J +
+ы' ?_а + 3\ ГЛ
2Bп BЛJ+ЧЛГ[
. [ (Ж + а)Л ' 2 (а^ж)^^1^^^) </ж = / [а, Re/3 > 0; ReA>-l/2],
J x у \aJ
x - у
[-a < j/ < a],
x 3F2 j 1, /3 i + /3 - A; i + /3 - A - n,\ + P + A + n; ^^ ) [у < -а].
A A A (l у
3.
х -У
--а
п!(А-
х 3F2( 1, 2А-/3 + П + 1, A^/3 + w+l; A-/3 + I, 2^/3; ^ ^ "
2 5 " ' Г» " " ' I
-а < |/ < а; ЕеД > 0; Re (/3 - 2А) < п + 1].
л | — / z zxa-i/z^a I •" \ 1 V " - A/2 —АOгг А —1/2 т/ 2 2\BА —1)/4 w
4. I (а - х ) Сп [ — ) их = ——т е1 а 7 2/ (I/ ^ а ) х
х — у \а/ Г(А)
— а
x 0A-i/8 m _ f 01 п!21-ал-у 2
V"+A-1/2Vj \1/Г(А)Г(А + п + 1)
I m ^ n I o > o; j, ^ [_Oj o]; ReA > -1/2
. f -i
J ж —
4BA - l)n+1 [^] 2fc
2.21.4] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С„(х) 465
6. \^^rL
[е = 0 или 1; а, у > 0; Re А > -1/2; Re (а + 2А) < 3 - 2га - е],
^1 1 + е-аЛ ГА + 1/2, A - а - е)/2 - Л - п]
--Л-га, 1-Л-е-га;1-А-е-2п;— ) [а < у],
А 1
2 - (о + е)/2
/ 3 + е-а 3-а-е а 3-а ?/\
X 3^2 fl5 + Щ А - п; 2 - -, -^-; ^ ) [у < а].
7. ^ L (х + аутСп [-) dx = I [а > 0; Re А > -1/2; Re (А - т) < 1/2 - те],
1 х — у \а/
+ 1/2, г-А-га + 1/2
т + 1
X з^2A5т~А™п+^,т + А + п+- г + 1, т + А+|; ^^ ] [-а < у < а],
= ж tg (A - т)тг(а + |/Гт(|/ - а)л~1/2С
Bа)л^т+1/2(т + А - 1/2)пBА)п г Г А + 1/2, г - А - п - l/2
r
.l-r.l-r-A; | + А + „ - г, \ г А - „; -^-) [у > а].
8. Т (х^ {х + а)л-1/2сл (?) da. = _ff c
J х — у \а/
А-а)п Га-1, 3/2-а-Л-г»
BЛ)пГ [
n! wnl[ 1/2-А
3 3 3
1, —h А + п-а, А — а — щ —ЬА^а,2^а;
[у > 0; Rea> 0; Re (а + A) < 3/2™ n].
2.21.4. Интегралы от (xm ± am)a(bm ± xmf(dm ± хтуС^{сх).
1.
о
хв(/3, —
[e = 0 или 1; b > a > 0; Re^ > 0; Re a > -e].
30 А. П. Прудников и др., т. 2
466 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.4
а
\ + 1/2,(а + е)/2 1 / а а + 1. о + ? + 1 , л , ^ а-е + 1
\е = 0 или 1; Re а > -е; Re Л > -1/2, J а' G ^ >
L 7 1 z > а > О
6
3 ха~1(х2 — а2)^"F2 — ж2)Л~™1//2GЛ I — | с/ж =
а
3 + e — a _ 3 — a _ л л а а
/3 + /3 2/3
2 "^^-^-^J 6^"
а + е 1 1 а + е 1 а^
2 ' 2+е + П' 2 ~ ' ~~2 h 2 +е' 6^
[е = О или 1; 6 > а > 0; Re/З > 0; Re Л > -1/2].
4. j,—"-V - аУ-(б' - *r-*»C^) dx = ^f^- В (A + I, ,) x
6
5.
А+ 1/2 A а-е)/2-А-„-
2Bn + ?)! BAJ"+? ^ 2 Л [ 1 - (a + e)/2
o«l + «l + Q-e 1 + a + e
х з^2 | А - п, —- -Х-/3-п, 1-е-Х-п] 1- е - Х-2п,
- А - п; ^- ) [е = О или 1; b > а > 0; Re^ > 0; Re Л > -1/2].
ь
6
±а
. [(жта)а-1(&-ж)/3-1(а±ж)А~1/2Сп(?) rfx= (±1)"BЛ)" в (а, /3) x
J \а/ гг!
±
Rea, Re/3 > 0, <| 6>а
1 -а < b < a
ъ
J ^«^
±a
2.21.4] 2.21. Многочлены Гегенбауэра Сх(х) 467
= (±1Н2Л)п В (а, р)BаJХ+п-?(а ± Ь)~а(Ь Т аH*" х
F (а А п - 2А п- а в X -• ЬТп\
Х 3 2\ ' 2' Щ а р, 21 h±a) Ь« < < «5 е«5 еР > J-
ь
8. [ (ж + а)л/2F - жУ3^ - ж)~тСп (-) da; = 0Щ± В(р,т-0)х
J V а/ п\
— а
xBa)A^1/2(a^6)^3F2^T, | - А - n, A + n+i; A+|,/3-r + l; ^
+ (А + т^/3 + 1/2)п BЛ)^Г Г А + 1/2, /3 - г 1 /3+А_т_1/2 х
1 1 1 а - b
'2 2 П' 2 2а
[-а < b < а; Re/З > 0; Re А > -1/2].
ь
9
. [(ж - а)
в G+л
х 3F2 ( i - Л - п, 1 - 2Л - n, i + т - ^ - Л - п; 1 - 2Л - 2n, i + т - Л - п; -^т ) +
А + 1/2, г - „ - А - 1/2 j Bа)л-.+1/2(а + b)/»-i x
X sfJ\-P, 1-т 5_т_А; ^ + А + п-т, 5-т-А-п;
'2 '2 '2 'а+6
[6 > а > 0; Re А > -1/2, Re^ > 0].
-in I/ \ с* — 1/iL \ /3 — 1/ | jl\^ —1/2 /-f Л ( \ 1 \ )п T~t f о\ / f\i.\ ^ —1/2/1 \o;-f-/3 — 1
10. (ж — а) (о — ху (ж + о) ; Сп[-г)ах = -—{—В (а, р)Bо) ' (о — а) ^ х
J \D/ n!
а
X з^2 ( /3, А — n, - + А + щ а + /3, А Н ; | [6 > а > 0; a, Rea, Re^ > 0].
ь
11
. \(х - a)a-\b - хH-\х + ЬJХ+п-а-рСХ (|) dx = ?^L в (а,
, 2A + n, i + А + щ а + /3, А + ±;
2 2
+ А + щ а + /3, А + ; ^
2 2 а +
[Ь > а > 0; Re a, Re^ > 0].
ь
12. \(х - а)а~\Ъ - х)х~1/2(х + Ь)-ТСХ (?) dx = (~1)Г>[2Л)тг В (а, г - а)B6)А/2 х
J V о / п\
''2 «., 2 . - i -, - . 2, - ¦ - ., 2ft
)А ~ 1/2 О' — т _х_ \ т/о
[1/2 + A + tt + fi — tJ
1 1 1 a+fe
[6 > a > 0; Re a > 0; Re A > -1/2].
30*
468 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.4
ъ
13. |(Ж-а)г-А—3/2(Ь-х)х-1/2(х+Ь)-ТС* (|) dx = BЛ)ПГ
х Bb)x-T+n+1/2(b - а)т-п-\Ъ + а)-А-п-1/2Р^-п-1' х^'
[6 > а > 0; Re (г - А) > п + 1/2; Re A > -1/2].
а
14. f (ж + аH1'1 (а
— В (/9, о, — 2А — 7i)Ba) \z + ft) \z — cl) x
25 A+2'
(-l)n(A^ a + 1/2)„ _Га, 2А + n - a"
п!(А + 1/2)п Г[ 2Л
х 3^2 (а, - + а - Л, а + /3-2Л-п; 1 + а - 2Л - п, - + а-А-п;
[a, Re a, Re^ > 0; | arg (г2 - а2)| < тг].
а
15. f (х + а)а-г{а - х)А/2(г
a + A -
а, Re а > 0; Re Л > -1/2; | arg (z2 - а2)| < тг].
х В U, 3~^~g - /3 - Л - п\ 3F2 Q - А - п, 3'^'? - /3 - А - п,
16.
1 — Л — е — щ А — п, l^A^e^ 2п: —^
2 а2
[е = 0 или 1; а > b > 0; Re/3 > 0; Re (а + 2А + 2/3) < 3 - 2п - е].
17. | Жа-V - а2)А-1/2(Ж2 - by-'cL+e^
A А+ 1/2, C - а - е)/2 -/3 - А - п]
[е = 0 или 1; а > 6 > 0; Re А > -1/2; Re (а + 2Д + 2А) < 3 - 2тг - е].
Х^ /
(e)U t - re-a , ^ JA + 1/2, (l - a - e)/2+ p - Л - n
2Bn + ?)! BA)" '
2.21.5] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 469
/ 1 + е — а 1 — а — е х а 1 — a 2
р, + р + п + р Ап; 1 + р
+ р + п, + р Ап; 1 + р , ^ +р;
[е = 0 или 1; a, Rez > О; Re Л > -1/2; Re (а + 2Л - 2/э) < 1 - 2п - е].
19. ()( )( )
J
ГА + 1/2, в + г - А - п - 1/2] 1/2+А_*_т
[ \{2а)
-A-n-ie + T + A + n-i;^ + r, в + т + Л-i; ^--
Л A A Ad
[а > 0; Re А > -1/2; Re (Л - 0 - т) < -п - 1/2; |arg(z-a)| < тг]
аЛ / \а —1/ , \Л —1/2/ . ч— 0 /-iX (^\ I \^А]те . „ ч
20. (ж — а) (х + а) 7 (ж + z) Cn[ — )dx = 1—р—В(а, 6> — а) х
J V а/ п!
, I + A + n,J-A-n;J + A, I + а - в; ^
2 2 2 2а
A/2 + Х + ва)п Га-0, l/2 + 0-a-A-nl а+л_в_1/2
(-1) ^ BА)ПГ^ 1/2д jBo)
1 + 6»AQ:n, 6>;l + 6»a,i + A + 6la; ^t
2 2 2a
[a, Re a > 0; Re(a + Л - в) < 1/2 - n; jarg(a + ^)| < тг
21. I (ж - a)a-l(x - Ь)Л-1Г'(х + b)-TCi, (V\ dx =
В (a, I + r - a - A - n) (a +
x 3F2 ( A ^ n, 1 — 2A — n, - + r — A — a — n; -+r — A — n, 1 — 2A — 2n;
2 2 2 a + о
[a > 6 > 0; Re a > 0; Re (r - A - a) > n - 1/2]
+A + w, - - A-n; A+l +
A
r, - +A + w, - An; A+-,l + ar; —-
z A A Ab
/ тчп A/2+ r + A^a)n Га-r, 1/2 + r-a-A-n]. va+A_T_i/2
(-1) ^ BА)пГ^ 1/2л jB6) x
э 1 1 л 1л Ь^п
?, —hr +А + п-а, —hr-a-A-n; 1 + т^а, —h А + г-сс; —
2 2 2 26
[а > Ь > 0; Re а > 0; Re (т - а - А) > тг - 1/2].
2.21.5. Интегралы от А(х)е~рх Сп(сх).
л
^л+п(ар)
[а >0; Re A > -1/2].
а
J \а/ п! те [/З + А + тг + 1/
470 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.5
х Bа)"+A-1/2e-°p2F2 f/3, /3-A+i;/3 + A + n+i,/3-A-n+i; 2ap
[a, Re/3 > 0; Re Л > -1/2].
a
3. f (x + a)a-\a - x)
^j dx =
X 2F2 «, a-AH—; a + A + n H—5 a - A - n + -; — 2ap J [a, Rea > 0; Re A > -1/2].
4. | x-'e^CH dx =
a + 1 a л 1 4c
- + e,n + A + e; ? + -; —
x 4Ft ( -n, —-—, — + e, n + A + e; e + -; —— ] [s = 0 или 1; Rep > 0; Rea > -г].
OO
J l ;
5
±
X 2F2 ( -n, - - Л - n; 1 - a - n, 1 - 2A - 2n; ±2ap ) [a, Rep, Rea > 0].
[a, Rep > 0; Re A > -1/2].
7. \(х- а)х^г\х + а)-те-рхС? [^) dx =
(Г + А^1/2)" BЛ)ПГ fA + 1/2? Г " A " П " 1/21 Bа)л-
/ ч ч ч
х 2F2 I 1 — г, т — А: —h А + п-г, т^А^тг: ^z
2\ 2 '2 '2
т-Л-п-1/2 ар
х 2F2 ( 1 - 2А - п, - - А - п; 1 - 2А - 2га, - + т - А - щ -
А А
[а, Rep > 0; Re А > -1/2].
о. И ж — а) [х + aj e On I — I аж =
_ (-l)n(A - a + l/2)nBA)n ^[a, 1/2 - a - A - n] ,o a+A-i/2 _«P v
" Ы X[ 1/2-A JBa) e X
a, - + a - A; - + a - A - n, - + a + A + n; 2ap j +
2"(A)nr(a + A + w-l/2) 1/2_a_A-n _«p v
+ ri^ p e
13 \
- - A - n, 1 - 2A - n; - - a - A - n, 1 - 2A - 2n; 2ap [a, Rep, Rea > 0].
2 2 I
2.21.6] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 471
9. J x e G2n+?{cx)dx^ p{a+?)/2ni
( a + e 1 с2 \
X 3ft -n, —-—, A + n + e;e+-; — [e = 0 или 1; Rep > 0; Rea > -e].
V 2 2 p/
о
Л
[e = 0 или 1; a > 0; Re a > -e; Re A > -1/2].
oo
11. f "'! 2A1/2p*2A(^)
- (a
2n + e-l (l-a-e)/2-A-n
1 Q
2^2 I — — A — n, 1 — A — e — n; l^A^e™ 2n5 A — n; —a p
\2 2
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re A > -1/2]
-V 2 2ЧА-1/2 -p*V ГЬ (l
о
f «-V 2
A+ 1/2, (a + e)/2 1 „ fl-a-e 1 + e-a 1-a a p
(-1Г2* \a2X_t_1 ,a+s)/i
n!
x 2F2^--A-n, - + e + n; -+e,
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re A > -1/2].
-10 I a —1/ 2 2\A —1/2 -рж/^А /ж \
13. ж (ж - a ) 7 e C2n+e ( -
2 ;„Г [ 1 - (a + e)/2
— a — ? 1 + e — a 1 — a
A+
2A»,2+ «;,i2;
[e = 0 или 1; a > 0; Re A > -1/2; Re (a + 2A) < 1 - 2n - e
2.21.6. Интегралы от Л(ж)е??(ж)G^(сж).
a
. \(x + a)-0-n-\a - xf-1 exp (-p^~X)') C^(-) dx = {-^f- BА)ПГ(/3 + n) x
exp (?LZ?) 2F2 (_n> 1 _ Л - n; 1 - f, - n, I + А; ф
[e = 0 или 1; a, Rep, Re^ > 0]
472 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.6
а
. f (х + af^+^ia - xf-1 exp (-pli^l
J \ a ~\~ x J
W-) dx =
a ~\~ x J \a
-?)„ Г/3, 2A + n - /31 f2ol2A+n-i (sp
Ч JBaj eXpl
п!(А + 1/2)„ Ч 2A
x 2F2(/3, ^
¦ ^ xi, jl i ^ ^^» ' о ^ ' f^ \l
УЛ^+П exp f ^^^
V 2a
) x
2a
x 2F2 ( I + A + n, 2A + n; i + A, 1 + 2A + n - /3; ^
[e = 0 или 1; a, Rep, Re/3 > 0].
a
. f (Ж + а)а-г(а - x)x-1/2 exp (-p^—^1) C^(-) dx =
J \ a ^ x J \a/
x 2F2 (^ - a - n - A, i + A + n - a; 1 - a, i + A - a; ~ Ba)i-E)+^p BА)„Г(-о) х
|А„;А+,а + 1;^
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re A > -1/2].
a
. f (* + a)"+2A-/3-1(a - xf-1 exp ("_р(а + ж)Л Ca /?\ ^ =
J \ a - x } \a>
rc!(A-
x 2F2Q + A + n-/9, 2А + П-0; 1-/9, ^ + A-/9; ^_g ) +
n p exp
a
Г/ , ч-/3-п-1/ ч^З-l / (а + Ж)е\^А/Ж
. (ж + а) м (а - ж)р ехр -р± '— ]Сп[ —
] \ а — х J \а
V 2a
x 2F2 [ I + A + n, 2A + n; @ + 1, | + A; ^g
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re (/3 - 2A) < n].
CAf^) dx =
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re^ < -n].
6. (ж + а)
BА)пГ(А + 1/2) ^Р-Р\ , a-i/2 / Р
^ V 2а
[е = 0 или 1; а, Rep > 0; Re А > -1/2].
2.21.6]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
473
7.
7N-) dx =
_ (т + А-1/2)те [А + 1/2, г - Л - п - 1/2] А_т+1/2
BЛ)Г[ JBa)
1
2'
1
-2;Г'Т-
2' Ba)^e
[e = 0 или 1; a > 0; Re A > -1/2; Re (r - A) > n + 1/2]
оо
о Г/
8. (ж
I
ча-1/ , чЛ-1/2 /
- а) (ж + а) 7 ехр I -р
( —
V (Jj
x e
1/2-a-A-i
1/2-A
111 p
^^Л^^?^ + Л + ^5 о + A' « + 1; /o u_e
2 Z Z v""^/
[e = 0 или 1; a, Rep > 0; Re (a + A) < 1/2 - n]
а
. 1(х
а)А-1/2(а -
|) dx =
/3,А + 1/2
+ Л + „ + 1/2
Bа
J,/3-A+i;/3 + A + n + ^/3-A-n + ^i;^)-
[о, Re/З > 0; Re А > -1/2].
a
in Г / i \«™!/ \^™!/2 f P V
10. (ж + a) (a — ж) 7 exp -=^ i
J \ \Jx + a /
(-1)"
, i-A-n; i
а, ^
(А - а + 1)„BА)„Г[* " ^Д>. + 1/21 +Л-1р
[a + A + fiJ
— ol — \ — п, 1 + А + гг — а; - — а, 1 + А — а, -; -—
2 2 оа
[a, Rep > 0; Re А > -1/2].
474
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.6
11.
12. [ (х + а)п+2А-'3-1(а - xf-1
ехр (-
-п, -- Х^щ Л+-,1-/3-п, - -/3-п; ^^
[a, Rep, Re^ > 0].
*\ dx =
а/
-/?)п Г/3,
2А
,\ + п+ 2
2л+п-1
{2а)
п!(А + 1/2)„
+ /3 - А; 1
(А-/3)п Г/3 + 1/2, 2А-/3 + П-1/2
х 2F3 Г/3, | + /3 - А; 1 + /3 - 2А - п, i + /3 - А - п, 1; -^Л -
2А
- А; |, 1 + /3- Х-п, ^ +/3 - 2А - n; -^-j [a, Rep, Re/? > 0]
а
13. [ (х + а)-^-"-1(а
J
ехр
*(-) dx =
[а, Rep > 0; Re^ < -п].
а
14. f (x + аГ+2Х-0-\а - жУ3-1
J
ехр (-р
n!(A + l/2)n
2А
— ] dx =
а;
x/IPfi i \ /Q О\ j /Q1 /Q i \ /Q P Л , BА)ПгJЛ+гг
х2^з™ + ^ + А-Д, IX + n-p; -,l-p,- + \-p] —r- I 4 ^2 x
v I II 4 J nl
ii_ о \ _i_ я^. 1 _i_ /Э _ _i_ /Q _ _i_ \ • i
A + A - Р)п{2аJХ+п^гр \j3^ 1/2, 2A^/3 + w + l/2]
n!(A + l/2)n [ 2A J X
А-/3 + П + 1, 2Л-/3 + П+-; - - ^, 1 + Л - ^, -; ^^
[a, Rep > 0; Re (/3 - 2A) < те].
oo
15. J(zTa) <
—n, - — n — A; 1 — 2A — 2n, 1 — a — n, - — a ™ n; T^r"
[a, Rep, Re a > 0].
2.21.6]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
475
; а
i Л+i;
Z Z
[a, Rep > 0; Re a < -n].
17.
(А + т-1/2)„
BА)П
— J dx =
1/2, r-A-n-l/2"|,o^A_T+1/2
.-г, --Т-А; ^^r^A^n, -¦
, 2п+1(А)пГA + 2п + 2А-2т)
, ;
х 2F3 [ 1 - 2А - п, i - А - п; 1 - 2А - 2п, i + г - А - п, г - А - п; Щ-
+ 1А г - Л - п - 1] BвI+л.Т
k BЛ)пГ [ А + 1А г Л п 1] BвI+л.Тр
|-г, 2-г-Л; ^,2 + п
[a, Rep > 0; Re Л > -1/2].
18.
2п+1(Л)теГBа + 2Л + 2гг -
x 2F3 ( ^ - A - n, 1 - 2A - n; l-2A-2n, --а-A-n, 1-a-A-n; -— j +
(^l)n(l/2 + A - a)wBA)n Га, 1/2 - a - X - n] a+x^1/2
+ n\ [ 1/2-A JBa) X
x 2F3(a, -+a^ A; -,- + a^A^n, -+a + A + n; -^ ) -
(-l)n(A-a)n [a
1/2-A
Ba) P
x 2F3 ( a + -, 1 + a - Л; -, 1 + a - A - ra,
n; ^^™ J [a, Rep, Rea > 0].
19.
-) dx =
а, 1/2 ^ a ^ A ^ n
Ba)
1/2-A
[a, Rep > 0; Re (a + A) < 1/2- n].
476
Гл.2. Определенные интегралы
[2.21.7
20.
-) dx =
(т + Ь-тп BЛ)пГ ГЛ + 1/2, г - А - » - 1/21 Bв)л-,+1/2 х
(Л
,г)" BЛ)„ х
[а > 0; Re Л > -1/2; Re (т - Л) > п + 1/2].
2.21.7. Интегралы от А(х){ 8 ^\
{COS (fi(X)
Обозначение
: <5 = < >.
f/ 2 24A-i/2/
J у
2 24A-i/2/sin6a:C2An+i(aj/a)
a ж) 7 <^ A
cosbxC2nix/a)
dj!
1)птг f a ^ [2Л + 2n +
[a > 0; Re Л > -1/2].
n, <5 + -, + A + n;
[e = 0 или 1; a > 0; Rea>-?-E; Re Л > -1/2].
3.
x 2F3I- + 6,
¦{2XJn+s
2 '
Bn + s)\a2n
Г А + 1/2, A - а - S^ e)/2 - A - n]
Г X
n,
1 аА
2' 4
sin [(a + e + 2А)тг/2]
x 2^3 I X — n, 1 — A — e — щ l^A^e^2n, e — A — n,
2»2
1 - — - A - n; -—2~"
[e = 0 или 1; a, b > 0; Re Л > -1/2; Re (a + 2Л) < 2 - 2n - e].
4-
„ (
x 2^з( a + -,
x
- A;
a + A
a - A - n,
-;
[a > 0; Rea> -5/2; Re Л > -1/2].
2.21.7]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
477
5. \(х + а)*-1 (а - ж)л^1/2( Sln F/v^ + a) W(^)
J | cos {b/y/x + a) \ n\a/
„ /1 + 5 л 1 + ^л ^ <J 1 + <J _ . 1 62
x 2F3I — a - X - n, — hA + n-a; 1 + - - a, — \-X-a, 5 + -; -¦?-
Z A ALA oft
COSttTT
1 1
-,A-n--; a+-,a
A A A
+ 2' 8a
[a, b > 0; Re a, Re A > -1/2].
6.
_x J sin F\/a — ж /у/а
с* -
cos (/3 — 2А)тг
-; Л+-,
I. ^
2' 4
7.
2
N_r J sin Fy/x + a )
cos f b y/x + a )
[a, b > 0; Re/3 > ^<5/2; Re (/3 - 2A) < n + 1/2].
BA)n
-5/2
Ba
~Tb5 x
x 2F3 ( 1 + - - r, — r - A; ^^ + A + n - т, — A - r - n, <5 + -; — ) +
(-1)п2тИ
r-2A-2n-li
A — n, 1 — 2A — n; 1 — 2A — 2n, —|-т~ A-n, r^A^n;
[b > 0; Re A > -1/2; Re (r - A) > n].
8.
sin [by/x — a )
cos {by/x — a]
_(^1)те2п+1(А)теГBа + 2А-
_ Г cos (a + Х)ж 1
\ sin (a + А)тг J
x 2F3 ( - - X - n, 1 - 2A - n; 1 - 2A - 2n, - - a - A - n, 1 - a - X - n; —
Л -
а) BА)ПГ [«
;
a - A - n,
a + Л + n,
+ a + Л + n, 5 + ;
[6 > 0; Re a > -?/2; Re (a + A) < 1 - n].
478
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.8
—)dx =
х 2F3 Т-Л-П+
—,
<5
^, т + Л
А
2 'v^2' 8a
[Re A > -1/2; Re (A - r) < (S - l)/2 - n].
10.
sin (b/y/x — a)
cos (b/\fx — a)
1/2-A
- a, — a - A - n; ^^ + A - a, 1 + - - a,
-; ^
x2F3(j-A-n, I
+ n; + A, +a,l + Q;
[6 > 0; Re (a + A) < A + <5)/2 - n; Re a > -1/2].
2.21.8. Интегралы от Л(ж) In (p(x)Cn(cx).
. \(x + a)"-1 (a - x)
J
In
2a
— J ?^ж ==
^ 2j - 2a + 2А + 1
i=o ^ J
a, Re a > 0; Re A > -1/2].
2.
(-l)"BA)n
A + l/2, a-1
+A+1/2
)
X
Q
X4F3II, 1, -+a^A, a^A^fi; 2, - + а-Л-п, 2-a; T
2 2 2 2: — a
1) г
3.
= ±-
BA)n
a, Re a > 0; Re A > -1/2,
2, r-A-n-3/2
a, A+ 1/2
+ А + П + 1
arg(z - a)| < 7Г
z > -a
1, 1, ^-r-A, 2-r; 2, --r-A-n, -¦
' ' 2 ' ' ' 2 '2
(Tl)-2n+17r(A)n(z - a)A"T+n+1/2 Г sec (r -
sec (r — А)тг 1
tg(r-AOT J
2.21.9]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
479
х з^2 [т - Х-п , А - га, 1 - 2А - п; - + т - А - га, 1 - 2А - 2га; =F——
z > -a
4. \xot~1(a2-:
ra! ... ' ' L T
a > 0; Re A > -1/2; Re (r - A) > n + 1/2,
= ±
(-l)naa+2A+1
С2та+^ - ) dx =
1/2, (а + е)/2
X4F3A, 1, |
а _ 3+а „ 3+а-е 3+а+е
+ A + n; =F-
/ i\n a+2A-l
(-1) a
е = 0 или 1; а > 0; Re a > -e; Re A > -1/2,
Re^ > 0
z > 0
pr a —1/ 2 2\P
5. ж (ж — a )
Jln^2
2, C - а - е)/2 - А - га
3-а-е
3 + е - а
X4F3II, 1, 2 -A-n, " ' ; "+n; 2,2-^,
2' 2 ' Т^
х ф
.-(a + e)/2
П-1
e = 0 или 1; a > 0; Re A > -1/2; Re (a + 2A) < 1 - 2n - e,
Re z > 0
2.21.9. Интегралы от А(ж) El (a + 6жт)G^(сж).
a
Г / т» \
1 I / 1 \ Q; — 1/ \A —1/2 тпт / 1 1 \/^i^( \ Л
L. Iж + ttl (a — ж ) JIjI (—ao — 0ж)Оте I — I аж =
_ П Г а + 1, Л + 1/2 1 Bа)а+л+1/2б
3 3
х 4F4( 1, 1, а + 1, а - А+ -; 2, 2, а-А-п+-,а
Л А
(-1)"
n! BA)n(A-a + -) Г
а, А+ 1/2
Bа)
3_
2' "
a+A-1/2
2 / ^^ 2 7 - :
i=o J
-1пBа6)
[a, Re a > 0; Re A > -1/2].
480
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.9
I. I (х- а)х^1/2(х + аГт El (^ab - bx)Cx(-) dx =
J ^a^
BА)„Л , 3\JA + l/2,r-A-n-3/2
х 4F4|1, 1, А^ г, 2 - г; 2, 2, X - т - щ - + Л + п - г; -2
г; - + т - \ -
x Ba)^
- + т - X
- п, 1 - 2\ - 2щ -
-1пBа6)
[a, Refe > 0; Re A > -1/2].
3.
L' ^' 2 ' 2
е-а-1\ ГА
| Г|
5 - + 1; 2, 2,
п; -
А+ 1/2,
[е = 0 или 1; а > 0; Re а > -е; Re А > -1/2; | arg 6| < тг].
4.
aa+2X+1
-a-l\ [A + 1/2, -(« + ? + l)/2 - A - n
2Bn
x C-
— A — n
J+ V 2
+ A + n x
2n + ?)!(l-a-?-2A-2n)a2"+E V 2
x 3^3 I - - A - n, 1-A-e-n, A - n; 1 - A - e - 2n,
\ zl zl
^ - A - n, ^ - A - n; -a26 J [e = 0 или 1; a, Re b > 0; Re A > -1/2].
2.21.10]
2.21. Многочлены Гегенбауэра С^
481
( si i
2.21.10. Интегралы от Л(ж)<
Обозначение: 8 = < >.
1. I ха^1(а2 — х2)х~г
-а-д-1
-, -
; 2,
^ [ (a
d + 3
+
¦1/2, (а + е + <5)/2 + 1
f <5 + 3)/2 + А + п
"П> + 2' 2 + '
5-e
2Bn
4Bn
[s = 0 или 1; а > 0; Re a > -e; Re Л > -1/2].
1/2, ^A + а
_ / 1 , S
4^5 1, 1+ -,
2+<5 + 1;2' 2
Bп + е)!A - а - е - 2А - 2n)а2те^
2' 2
V + 2n-l)
щ
2' 2 '
а2^
COS [(а + ? + 2Л)тт
\ sin [(a + е + 2Л)тг
/2]
/2]
п /1 л 1 - а - е л Л х 3-а-е л
1 — А — е — 2п. е — А — п, 1 А — щ
2 2 4
А + 1/2, A - а - 6^ ё)/2 ^Х^п
R
-а\ [А + 1/2, A - а - е)/2 - X - п
Л L
п —1
3.
[е = 0 или 1; a, b > 0; Re А > -1/2; Re (a + 2А) < 3 - 2п - е].
- \dx =
32Sn\
31 А. П. Прудников и др., т. 2
482
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.11
А + 1/2, а
п, - + <5, 2+ -, —
¦ А - а I Г
/
V х
i=o
[а, Re а > 0; Re A > -1/2].
4. (ж — а) 1'2(x-\-a) т<
ci i
А/Ж\ BА)П/ с5 +
С7П [ — I dx = — ос , г + А
1/2, Т-А-П-(<5 + 3)/2
+ 0 , О + О л B0
^^r^A^n,^ + A + n^r; ^ —
w (А)п
1 }
ГA + 2п + 2А - 2г)&2^2Ате ( cos (т - А)тг
п\{2т~2Х~2п~1)ап \ sin (т - А)тг
A^n,r^A^n ,1^2А^п; 1^2А^ 2п, —\- т — А — п,
Zl Zj Zl
x Г
X + 1/2, r^A^n^(<5 + l)/2l ,ОлЧЛ-г.
X-r+l/2
i=o
[а, 6 > 0; Re A > -1/2; Re (A - r) < 1/2 - n].
2.21.11. Интегралы, содержащие
1. Z erfc Fж)С2Лте+в(сж)
/тт п\(а + e)ba+?
x 4F2( -n,
+
la 1
1;Й
2.
' 2 ' ' 2
[e = 0 или 1; Re a > -—е; | arg b\ < тг/4]
А+ 1/2
[а>0; ReA>-l/2].
2.21.11]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
483
а
,(etf(bx)
X erfc (bx)
-)dx =
2 In
1 1 + a a 3 a — e
A A A A A
0
Л+ 1/2,
П + 1; -aV
e-a\ Г A+ 1/2, (a + e)/2
[e = 0 или 1; a > 0; Re A > -1/2; Re a > (=pl - l)/2 - e].
4
4.
X erfc Fж) J ? \a
-«\ „ГЛ + 1/2, -(a + e)/2-A-n
o2n+et 1 —a —e —2A —2n/
±
„ /1 , 1 л 1 a
x з^з 1--Л-П, 1-A-e-n,
A - rc;
e — A — n, 1 — A ^ e — 2n, 1 — A — n — —¦; —a 0
\lj2Bn + ?)!
e-a\ „ГА + 1/2, A-a - e)/2-\-n]
III
= 0 или 1; a > 0; Re A > -1/2,
Re 6 > 0, Re (a + 2A) < 1 - 2тг - е
. [ (ж + a)"^1 erfc (ab + 6x)C7^ f ^
J \a
(-l)nBA)nr/a
, -,
la .
^, - + 1;
Re 6 > 0
[a, Re a > 0; |arg6| < тг/4].
J
^ erfc (ab + 6ж) J n\a/
= ±
(—l)nBA)n
+Л+8/а
2
a
а
+ A + fi + 3/2
1 a + 1 a 2a-2A + 3 2a-2A + 5#3 2a - 2A - 2n
2' 2 ' 2~ + ' 4 ' 4 ' 2' 4
2a-2A-2n + 5 2a + 2n + 2A + 3 2a + 2A + 2n + 5 . 2,2
] ' л ' л 5 ^4« о
+А_1/2
1/2
[а > 0; Re А > -1/2; Rea > -A ± 1)/2].
7.
-)
31*
484
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.11
x3fi -,
(Л - а)п
-,
-А; -,1 + а-Л-п,
a + A + n + 1 J
1 -Х- т Л- r\ —I— \ • f)nhz' I J—
а, А+ 1/2
[а > 0; Re А > -1/2; Re а > -A ±1)/4].
8.
±а
а,
-; а
1, Л+ -;
[а, Re а > 0; |arg6| < тг/4]
9.
f erfFv^T^
1 erfc (b\fx + а
r + A-l)n2A-r+2I
— J dx =
-, 2 - г - А, - - т; -,2 + А + п-т, 2 - т - А - п; -2а62 j ±
А А А
± , Р}2 '" 2 " 2^ 1) п зРз [ \^ А ~ П" Х ~ 2Х ~ П"
1 1 о^
т - Х-п ; 1 - 2А - 2п, г - Х- п, - + г - А - n; -2ab ) +
А А
J п!
I | arg 6| < тг/4
a
10. f x<*-V -
2*2 erf
аа+2А6BА)„
+ , + /
[(а - n)/2 + 1, (а + n)/2 + A + 1
а + 1 а .З
-^—, - + 1; 2^
[a > 0; Re a > 2[n/2] - n - 1; Re A > -1/2].
11.
2ж erf
1
x3F3(l,a+-,a-A
-J dx =
а + 1/2, А-
4
l; -,a-A-n
+ l, a + A + n + 1; 2ab
[a > 0; Re A, Re a > -1/2]
2.21.12] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 485
2.21.12. Интегралы, содержащие
а
Г а-1 2 2 А-1
L" J ^ ^ "^ }
, . I ^ ' & "- | Г| А + 1/2, (а + е + и)/2 ,
¦ ^ZAj2n + e o J X L. , 1 /1 , Л. , ^ , ,.\ /о . \ i ^ Х
щ
а2
[е = 0 или 1; а > 0; Re (а + и) > -е; Re Л > -1/2].
а —1/ 2 2\А —1/2
(ж -а ) 7
о Г а —1/ 2 2\
2. ж (ж -а )
1, 1 - (о
1 + а + i
\ (а + U + 6 ^ 1)/2 + Л + П 1
2п+е1 |C + )/2 л j х
Bп + е)\а^
х 2ft I А — п, 1 — А - е — щ 1 — Л-е — 2га,
л 3 + и — а — е л
- Л - п, Л - щ -¦
2 2 4
[е = 0 или 1; a, b > 0; Re Л > -1/2; Re (a + 2Л) < 5/2 - 2п - е].
а
3. Ix^'ia2 - x2)x-1/2jJ^)cL+c(^) dx =
аЛ Г (a + e-i/)/2,A +
J/ \ и + 1, A + а + е - ^)/
2 J/ \ и + 1, A + а + е - ^)/2 + А + п
l + v — а — е л 1 + е + i/ — а . n i/ — al + i/ — a &2
А-п, + n;I/ + i,i + _5_>_5_;-_
(-1
2а+1п\ l( )/ \
х 2F^-+e + n,-- A-n; -+е> 1 + ^^,1+^^;- —
[е = 0 или 1; а, 6 > 0; Re Л > -1/2; Re а > -3/2 - г].
(-1)[п/21BА)„2Ао2А-1Г(А
Г _Л-2/ 2 2\А-1/2 т / Ь \Г^^(Х\ J
4. ж (а - ж ) ' Jx+n \-)Cn[-)dx =
J \ж/ \а/
\ж/ "Va/ yfnnlb^1
о
X \ Sm ,/,а{ } la, fe > 0; -1/2 < Re Л < 1 ±1/2, п =
[ cos (b/a)J [
1, 3, 5, ...
5 1 I OlT8 1 jTv 1 шш g% л. / ^Y% j /^ Iff I _____ I /s Of& — ^ / \ / II I \/
» ^X-f-itj «ii/IC/V«^'i"'i^/nl — I ""^ — ¦ Го—4Г9 /о i
±a
A2
[a, b, Re Ba + v) > 0; Re a < 3/4™ n].
486
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.12
е.
и/2-а
. f
x 2F3( -ra, 2\ + щ ^ + А, 1 + а+ ^, 1 + а^ ^; ± —
"a, b > 0; Re а > -3/4; Re (i/ - 2а) > 2те].
:g=()ni2A)wAiil + A-a^ x
, А+ 1/2
- + а, —
a - А;
а + А + п, — ha-Л-п, i/ + l; T^-
[a, Re Bа + i/) > 0; Re А > -1/2].
r
+ ^/2, А + 1/2
о+А+A/_1)/2
х 2^з /3-А
[a, Re B/3 + и) > 0; Re A > -1/2].
9/ \ Л —1/2/ , \ — т j /1 I ] \ /~i л I \ j
(ж — а) ' (ж + a) jj/ (оуж + a JGn ( — I ax
"А+ 1/2, т^А^п^
BA)n
х 2F3( 1 + - -т, ^^ т ^ А; ^^ г - А-га,
л_г+A/+1)/2
Л| аб2
А + га - г, v + 1; —
- ^ A - ra, 1 - 2A - ra; 1 - 2A - 2ra,
T _ л - га,
т - A - га; ^
[а, 6 > 0; Re А > -1/2; Re (А - т) < 1/4 - те].
10. (ж — а) (ж + а) 7 Ju(b\/x — a)Cn[—
J \ CL
X 2аЧ
л 1/ 1 +1/ л l +
- A, a+ -; — ha-A-n, —
, (A)n22a+2A+3^i Г(|/^1)/2 + а + А + п] _п.1_2а_2л-2п
х
ab
, 1/+ 1; —
1 — 2А — га, — — А — га; 1 — 2А — 2га, — А — а — га, — а — А — га; ——-
.Z ^ А А
[а, 6, Re Bа + v) > 0; Re (a + А) < 5/4 - те].
2.21.12]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
487
?*(-] dx =
и/2-а 1ал-1/262ах
j
, - - А-п; - + А, 1 + а--^,1 + а+^; - —
А А А А оп
х 2F3( — h
, —
а - А - n;
12.
--a, — Ь А - а; - —
z z 8а
[a, 6 > 0; Re A > -1/2; Re a > -3/4].
^ _ BA)n
-трГА + 1/2, (f-1)/2 + t- A-ra
- r — A — n,
х
A
т + A,
1Q f/ \«™V 1 \А-1/2 т ( ^ \гу^[Х\ J
13. (ж - а) (ж + а) Л Сте I — 1 ах =
J \у/х- а ) \а/
Ц+ г + А + п; т + ^, Ц
z А А
[а > 0; Re Л > -1/2; Re A/ + 2т - 2Л) > 2п + 1].
v/2-OL
+ о + ^/
1 1 1
2 П' 2 ~ ~ Uj 2
¦ + A-a 2
x Г
n! V 2
a - i//2, A + i/)/2 - a - A - n
i/+ 1, 1/2-A
2'^" 2' 8a
x
v x
-^— + A + n - a, — a - A - n; —^~
14. J^ + aJ-^-^a-^-1^^^
[a, 6 > 0; Re a > -3/4; Re Ba + 2Л - v) < 1 - 2n].
— J с?ж =
ж/ Va
[а, 6, Re B/3 + 1/) > 0; Re/3 < 3/4-
a
15. |(, + аГ
ijn+2A —I/ —1
i/l + l/ I/
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.12
+ п\
х 2F3BA
те 2
- 2Л - П
2A + n-l,2BA + n-/
a Ь
i + A + n; i + А, 1 + 2А + п - Р - ^, 1 + 2А + п + ^ - /3; ^-
А А А А 4
[а, 6, Re B/3 + i/) > 0; Re (/3 - 2А) < 3/4 + те].
а
16. [(а2~
\~V2
Ja (c\/b - х )
Y\ I сл/b — x
x\ 2тг
а/ га!
,1/2
а > 0; Re A > -1/2 .
J
.т.
2 F2 + c2)V2
18.
2 24-1/2 2A-1.-A A-l
—
Vb2 -a2c2
a 2 J " \ b
[a, 6, с > 0; b ф ас; Re A > -1/2]
19.
20.
n!
x Г
in (Vb2 — a2c2 /a) |
2 T^l 1 \ I П
~a C /a) J
sin
COS
a, 6, с > 0; 6^ ac; Re A > -1/2, n =
1, 3, 5, ...
0, 2, 4, . . .
/a — x) I Va
3, A+ 1/2
[a, Re B/3 + /1 + 1/) > 0; Re A > -1/2].
2.21.13]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
489
2.21.13. Интегралы от A{x)Ku(ip(x))Cn(cx).
±а
х Г
, — п; 1 — 2А — 2п, 1 — п — а , 1 -\ а — щ +
[a, Re 6 > 0; 2 Re а > | Re i/
±а
х 2F3( -n,
1
и
-,
и Ь2
г; - + А, 1 +
[а, Re b > 0; 2 Re а < -2п - | Re i/|]
а
2, А
BА)„
2 ' " ' 2
9/3 + A+(i/-3)/2r[ V, /3 — v/2, X + l/2 1 /3 + Л_A/_|_1)/2^_^
? + A + n + A - ^)/2j
1 - ^ л . 1 - ^
x 2F3(/3^ -, ^^+/^^A; !-^ ^^ + ^^ A^n, ^^ + ^ + A + n; -
[a > 0; Re Л > -1/2; 2Re^ > |Rei/|]
-)dx =
- - A - n, 1 - 2A - n; 1 - 2Л - 2n,
¦i/ , 1 — i/
^ + r- A-n, ^—
x Г
и, А + 1/2, (i/ - l)/2 + r - Л - nl {1-u)/2+x-Th-
^^i1—^V"r~A;i^'?
3 - i/ . аб2
, — Л - т - ra; —
x г
1/2, r^A^n^(i/
t-iz/2
1 + - - r, — r - A; l + i/, ^^ + A - т + n, — A - т - n; —
[a, Re 6 > 0; Re Л > -1/2].
490
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.13
5. \(х- а)а^(
— ) dx = ^^—
А — га, 1 — 2А — п; 1 — 2А — 2га, А — а — п, А — а — п; ) +
п/1-*/ , л
x Г
га! \ 2
а + i//2, A - и)/2 - а- Х- п
1/2-А
x 2F3
+ i/ ч i/ ,l +
h«-A,a+-; i/ + 1, —
1 + ^ л аЬ,
, — \- a + A + n; ^— ) +
x Г
а - и/2, A + i/)/2 - а - А - га
1/2-А
v
1-1/ . I/ 1-1/ л l-i/ . аЪ2
— h а - А, а - -; 1 - i/, — h а - А - га, — h а + А + га; - —
[а, Re 6 > 0; 2 Re а > |Rei/|].
6.
— 1 dx =
[a, Re 6 > 0; Re A > -1/2].
7.
y/2z± = b1/2(z± л/z2 ™
х Kx+n(z+)K\+n(z~)
а, Re 6 > 0; Re A > -1/2; |argz| < ж).
8.
x + a / \a
ax
"' 2
i/, A-
x 2F3
л i^17, i/
a - A - n, — hA-a + n; l-i/, 1-a--,
z z
l -
62
; —
oa
x 2F3
1 x - а
— a — A — ra,
z z
v 1 +1/ л 62
n-a; 1 + 1/, 1 + — — a, — hA~«; -—
z z oa
[a, Re 6 > 0; Re A > -1/2].
2.21.13]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
491
9.
_ / b \ xfx\
\\fx + a J n\a/
±)dx = ^tT + X--f
x 2F3I r- A-ra
1/2, т-Л-П-
r-i//2
^ + 1
+
v ч ^ + 1 . b2 \
^A-r-Ci/+l)/2
x Г
n! V' ' " ' 2
y, A+ 1/2, г-А--
^- 1 ,
— 1 i/ л
—; r+-, A + r
Z Z
X
и
—
2
1
8a
[a > 0; Re A > -1/2; 2Re(r-A) > |Re
1].
10.
x 2F3
-a- A-n
1/2-A
+ i/ l + i/ i/l + i/ b2,
— hA-a + n, — a - A - n; i/ + 1, 1+ - - a, — h A - a; -— +
Z Z Z Z Oft ,
n(l-V
r>a + A + 3(i/^l)/2
x 2F3
1/2-A
1 — v x 1 — и . . и 1 — и л i, .
— 1- A + n - a, — a - A - n; 1 - i/, 1 - - - a, — hA-a; -— +
Z Z Z Z Oft .
, -
и и b2
2' 2' 8a
[a, Re 6 > 0; 2 Re (a + A) < 1 - | Re i/| - 2n]
w; - + A,
111
11.
a
12. [
(^l)nBA)n22/3+n~
' x
-п, i-A-n; i + A,
I a — x
a + ж
[a, Re 6 > 0; 2Re^ > | Rei/|"
(-1)"BА)„ ^
; - + A,
A
492 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.14
- i//2, п + 2\- ft - и,
2\
х 2F3 /3+-, -4— +/3-А;
1 Л+? А_Л2ал+»+,-аг^ + ^/2,п + 2А-/3 + ^/21а 2л+п-1&-,х
[a, Re6 > 0; 2Re/3 > j Rei/j].
2.21.14. Интегралы от Л(ж).Рт(&ж)С*(сж).
a"-Vl/W^rr А -1/3. , [а>0;ЕеЛ>1/2,
Ма-1^Л2 J,A-l/2p p\I C2An+l(^/«) I
= (_1)^+п2е-1аа+2Л+?-1A/2)гп+?BЛJп+д ^ _ Q + ^ _ ?
A + 1/2, (a+ 5
2+е'2П;2+ Л + »
? = 0 или 1; 6 > а > 0; Re Л > -1/2; Rea>-e-E, <5 =
3. jx F -ж) ^^(jj д
(-1) ^2 а ^ 6 (Л)п+д(A - а - 6 + g)/2)m /1 1
J77 Г^—^ 4^3 o^^^^j^
2 2
a + 1 a , j. - 1 l + a + <5-e a + ^ + e, a
-^-'2+*;*+2' 2 m'-T + m + 1|
e = 0 или 1; 6 > a > 0; Re a > -e - 8, 8 = <
n+1cn
4 fP 2 ГЖЬл(сх)^- Wnan+1cn (-л-п,л-з/2)Л ^_\
J ^л^ (l/2)n_m+i(l — Л — n)m \ azbz J
[a > 0].
5.
x 4F3 ( —гг, 2Л + n, a, a; A + -, a + m + 1, a — m; 1 J [a, Rea > 0].
в. [(Yn,(^^(
J a/ \a
2.21.14] 2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп(х) 493
X зР2(п - га, 1 + га + тг, А + тг+ -; 2А + 2тг + 1, п + 1; 1 ) [а, п > 0; Re A > -1/2].
( (-ir(l/2)rn+nBA)n0Fa2A+"+2"'
\ i i /o
+ '2
[
л j \ a /
8. j^ + a) (ax) ^•»U/°4a>'da!~ n! [/3 + Л + n + I/2
x Ba)/3+A/24F3 f-m, m + 1 i + ^ - A, ^; li+/3 + A + n,i
[a, Re/3 > 0; Re A > -1/2].
9. | (x + ^^ А3/2 (^)А (|)
/(9 42A-1
A JBa)
¦72, - + А + 72, 72 + 1; 72 + 2, 72 + 2, 2А + 272 + 1; 1
[а > 0; Re A > 1/2].
_ РАМ" ,fc2 л
[6 > а > 0; Re A > -1/2].
b
11.
(f) CA
_,. 72 — 772 + 1 1 — 772 — 72 ч 3^ tt.
X 2Fi( A+ , ; A+ -; 1- — ) [6>a>0; ReA>-l/2].
x
I, A-a-S -е/2)- Х-п] ^ ( 1 а + 1
Bn + <5)!a2-+5((a + if + e - l)/2 + A + n)m+i
X 4F3 ( « — A — П, 1 — A — J — 72, hl + Wl- A — 72,
\1 2
1 — a — <5™e 1 \ г о 1 \ аЗ-а а
A^m^n; l^A^d^ 2тг, 1 — A — тг — —-, — о — A — n; —
А А
Amn; lAd 2тг, 1 A тг , о A n;
Л А А и
[e = 0 или 1; b > a > 0; Re A > -1/2].
494 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.14
ь
чА~1/2„ (Х\ I С2п + 1{х/Ь)
(^1)-+--12^1аа+?62Л"е(Л)п+4A + е - S - а)/2)Г1
х
ra + I; — H
^2\ / i\nrJm+e-lta+2A+2m+e-l
Г Л
1
X 4F3| -771, - - ? - 771, 1- П - 771, Л - 771 - 71;
e — 2m, 771, 1 e — m; -r [e = 0 или 1; b > a > 0; Re A > -1/2].
2 2 2 cr /
14 I xa~1(x2 - а2)Л~1/2В> _l ( - W vzn^lv"'/ ^; к dx -
+ 5-a-e \„ГЛ + 1/2, A - a - e - 5)/2 - Л - m - n
4т1Г[ )
1 1+6-a-e , 1-a-S-e x
, - — e — m, hn-m, A — m — n;
A A A
a 1 1-q 62
1 - 2- - e - m, - - e - 2m, -^- - m; -2
[e = 0 или 1; a > b > 0; Re A > -1/2; Re (a + 2Л) < 1 - 2m - 2n - e - ?].
IK f <*-!( 2 L2a-1/2D /Ж\ j С2п+1(ж/6)
15. J, (, -6) ^(Jj
- a - 8)/2 + 1 - A - n)
Bn + <5)!62-+5((a + <5 + e - l)/2 + A + n
)m+i
x 4F3I A — n, 1 — A — «f — n, bl^A + m — n,
1 - a - e - J 3 - a 1 \ г о 1 л а б2
A — 77i — n; 0 — A — n, 1 ^ A — 0 — 2n, 1 — A — n ; —
A A A a,
[e = 0 или 1; a > 6 > 0; Re (a + 2A) < 1 - 2m - 2n - e - ?].
00
16. |(x - а)А-1/2(Ж + a)-TP(^
a
= 22"I+A-r+1/2(l/2)mBA)n(r + Л - m - l/2)naA-r ;;
mini
„ГЛ + 1/2, r-A-m-n-1/2] _/ |Л| 1
ХГ ' ' 4F3 -7П, -771, Г + Л + П - 771 ,
L т^т \ \ 2
t — A — m ~ n — —; -2m, r + A — w— о ' r ~ r?1'
[a > 0; -1/2 <ReA<Rer-m-n- 1/2].
2.21.15] 2.21. Многочлены Гегенбауэра Сх(х) 495
2.21.15. Интегралы от А(х)Рт((р(х))Сх(сх).
(-) dx =
_ (Tl)m+nBA)n(l/2 + A-Q)n Г q, A + 1/2 1. .в+Л_1/а
~ n\ l[a + \ + n + l/2\Ba)
х 4 i^s I — 1тг, га + 1, —Ь«^А, а; 1, а + Л + пН—, —ha-A-n; 2ab
[а, 6, Re а > 0; 2а6 < 1; Re Л > -1/2].
6
\A-i/2D /2ж + а -
1-2А-П, - + га-А-п,
2
(-1)тBЛJпA/2-Л-п)то мл+п+1/2 9 „
f/9 ^пг\ _l 1 /9\ (а + о) з^21 12АП,
п!Bа)п(А + 1/2)т+та+1 \ 2
- А - га - п ; 1 - 2А - 2п, А - п; —^— | [6 > а > 0; ReA > -1/2].
2 2 а + о)
(-i)3m+A+1/2(l/2)m(A - т - 1/2)пЪх+т+1/2
х з^2 -га, А + га - га - -, -га - га - А - -; -2га, А - га - -;
2' 2' ' 2' 26
[6 > а > 0; ReA > -1/2]
ь
4.
(~l)m(±l)nB\)n(l ~ а)
-^А^п, - + А + п, а, а; а + га + 1, а ^ т, 1; —-—
А А Аа
п (Ь > а > 0
Re а > 0, <
[а > 6 > О
1.1
2, т - А - г» - 1/21 1/2+д_7
т
Bа)^+А^ х
^i3 11 3^^i 3i i2a
-m,m + l,--r-A,l-r; -+п + Л-т,--А-г-п,1; ^^
(^1)т2п(А)те(т - А - га + 1/2)т(а + bI/2+x+n^T
n\an{\/2 + п + X - т)т+1
X
1 1 л л 1
™^А^п, 1™2А^'п5 —+т + гга — А — га, г — А — гга — га— —;
А А А
1 ,1 л 2а \
-2га, -+ г - А - га, - + т - А - га; 6 > а > 0; Re А > -1/2 .
'2 '2 а + Ъ) L 7 J
496
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.15
6.
Г^(Ь + x)-PmBХ + Ь-а)C>(f) dx =
\ a + b J \b /
¦(a + b)^T x
га!A - r)m+i
, 1 - г, 1 ~~ т;
(_1)«23то+А-т+1/2A/2)тоBЛ)п(Л + т - m - 1/2)п
х 4F3 ( Л - п, - + А + га, 1 - т, 1 - т; 2 + т-т, l-m-т, Л+-; ° ) +
хГ
Л + 1/2, 1 + ш -т
r}b1/2+x+m^4F3Lmi -m,
т — л — m — п ; —2т, Л + т — m , т — т; ——
1
т + п-т- -,
[b > a > 0; Re A > -1/2].
7.
2ж + b — а
CZ =-
8.
а + 6
— т — п ;
A
Ь
91 9 г \ 2Ь
. — AA — An. — — Л — га; г
2 a + 6
[a > 6 > 0; Re A < -m -n- 1/2].
А — п, 1^2А^п, —hr + m-А-п, т^А^пг^гг ;
1 - 2Л - 2тг, - + г - А - га, -+ г - А - га; г
2 2 а + 6
[а > b > 0; Re (т - А) > m + п + 1/2].
-) dx =
9. I (х - а)х~1/2(х + а)~тPmBbx
J
23m+A^r+1/2(l/2)TOBA)n(r + A - m - l/2)n _ Г A + 1/2, т-\-т-п- 1/2]
:—: 1 X
x а
ro+A-T+l/2,
10
1 л 1
— 771, —771, 7* + A + П — 771 , T — A — 171 — П ;
— 2m, t + A — тга — —, r — m; -—- 1
2 lab J
[a > 0; 2a6 > 1; Re A > -1/2; Re (r - A) > m + n + 1/2].
J m n \aJ
(-l)TO+n(l/2)m+eBA)n((l - e)/2 + A - a)n _ Г A + 1/2, a + e/2
i.\n\
2.21.15]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
497
-т,
А
m,
А А
а - Л - п;
+ а + Л + п, + е,
Z A A
[е = 0 или 1; а, Ь > 0; 2а62 «С 1; Re а > -г/2; Re A > -1/2]
11.
(-l)mBAJn(-A-n)m(a-
1 — 2А — га, т — п — A, ^
\ г 1 91 9 \ 2a
, — ra — Л — —; I — zA — An. —Л — га;
2 a + 6
[b > a > 0; Re A > -1/2].
12.
т)тBЛ)те(Л - т - l/2)n
п!(Л + l/2)m+n+i(a + 6)w
„ /1 л , 1 л 1 1
х 3F2 [--ш, Л + п-ш--, -А-т-п--; ™-
[6 > а > 0; Re A > -1/2].
13. J(xTa) (a±x)
- - А^ га, -
¦e)/2-a)mFTa)aBa)A-1/2
Ш{а^?/А)т+1
11 .1-е
°'a+2; 2+A'^
= 0 или 1; Re а > -в
6 > a > 0
' \a > 6 > 0
14.
x a
¦ 1/2, т - A - ra - (e-
r-e/2
9л-Т+(Зв+1)/2
4^1 -m, - + e + m,
2a
А + га -
x 4^3 | A — ra, 1 — 2A — ra, —hr- A
. — 2A — 2ra, —hr-A-n, r — A — ra; -
2 a + b
— гг, т — w — n — А
;
[е = 0 или 1; 6 > а > 0; Re A > -1/2].
32 А. П. Прудников и др., т. 2
498
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.16
о
15. \[Ь -ж)
A-l/2/
Р2
!х + Ъ
, -
--r, l-r;2+- + m-r,
3-е
1 a + fc
х 2A + 3m-r+Ce+l)/2^A + m-T + (e+l)/2/ _
1 с- _l_ 1
—га, ? — га, A + r^m + w^
Л
3 1
;
Л
e+1 a+6
[e = 0 или 1; 6 > a > 0; Re A > -1/2].
16.
v A
x a
,2m + ?
0 1
1/2, Т-\-т~П-
t -m- e/2
—m, ¦T~s~m1
A
17.
1 0 , . ? + 1 ? 1 \
--e-2m,r + A-m-—,r-m--; ^J
[e = 0 или 1; a > 0; 2ab2 > 1; Re A > -1/2; Re (r - A) > m + n + (e + l)/2].
ix + b
lm+e
a + b
n\bn{{l + e)/2 + X^
x 4F3( i-Л-п, 1-2Л-П, |-
n- r)
m+i
(a+ 6)
l/2 + A+n-r
— А — гг, т — А^ш, — гг
—;
A
1 n>
1 - 2Л - 2n, r - Л - n, - + r - A - n; r
2 a + о
[e = 0 или 1; a > 6 > 0; Re (r - A) > m + те + (e + l)/2; Re A > -1/2 при а = b].
2.21.16. Интегралы, содержащие L^n{a + bx )Cn(cx).
(-l)"o°
-m, ^5
2,
П' 7 '
[e = 0 или 1; a > 0; Re A > -1/2; Re a > -e].
2.21.16] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 499
а
2. ^ха-\а2 -х2)х-^2е-ь^LUbx2)CL+e{l) dx =
(_1Гаа+3л-1 /1 + е-а\ Г А + 1/2,(« + ?)/2 1
х з^з A + 7 + ^г, ^, о °; ~~ - п, 1 + 7, -—| h A + га; ^а26
\ l l А А
[е = 0 или 1; а > 0; Re Л > -1/2; Re а > -е].
оо
За —1/ 2 2\А —1/2 —Ьж г Т /l 2\/-tA / % \ j
92п+?_1АA_а_е)/2_А_„ ^^^ р-"-? + 7 _ л - n) x
m\{2n + e)\a^+
x Г (а+2~1 + A + n) 3F3 Q - A - n, 1 - A - e - n,
¦ 7 — A — ra, 1 — A — e — 2ra, A — га; —а 6
A
+ 1/2, A - a - e)/2 - A - ra]
1 m!Bra + e)!2 V 2 Л L 1 - (a + e)/2 J
[e = 0 или 1; a, Re 6 > 0; Re A > -1/2].
a
4. ['(ж + а)а(а-ж)А/2е:с^(а6 + 6я;)С^(-) da; =
-" _(-!)"(!+ 7)mBA)n/4 , Л Л J A+ 1/2, а 1 .„ ,а+А-1/2 v
х е 3Рз 1 + 7 +"г, - + а - А, а; 1 + 7, - + а - А - п, - + а + А + п; -2а6
[a, Re а > 0; Re Л > -1/2].
/ 1 1
х ea62F2 I 1 - 2А - гг, - + 7 - А - га + т; 1-2Х^2п, - + 7 - А - га; ^
[a, Re 6 > 0; Re Л > -1/2].
6. \(х- а)х^1/2(х + аГТ'е^ЬхШаЬ + Ьх)Сп (-) dx =
J v«^
+ 7)ГBА),/+т_А гГА + 1/2,г-А-„-1/21
т\п\ V 2Л L т
з з з
-^т^А, 1 + 7 +m, I - г; ^^r^A^n, 1 + 7, -
1/я+д_Те„Ь
2"(A)w(l/2 + 7 + г - А - n)m г/1 \ А-и-1/а ь
m!n,!an \2 /
х з^з ( « - А - га, 1 - 2А - га, -+7 + ^-A-n + m;
1 - 2Л- 2га, -+7 + Т-А-П, - + т - Л - га; -2аЬ] [a, Re6 > 0; ReA > -1/2].
32*
500 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.17
2.21.17. Интегралы, содержащие Ыт((р(х))Сп(сх).
Обозначение: 8 = < >.
^ (_1jm + n22m+2e-l
[ 2п(
m + e x 2
Г
„ / 1 + аа 1 1 + а + е - <5 1 + а + е + <5 2 2
х з^з -т, , — + е; - + е, п, Ь А + щ а Ъ
\ А А А А А
[е = 0 или 1; а > 0; Re Л > -1/2; Re а > -е - S].
J
2. f *-V - x2ri/2e-b2*2H2m+?(bJ ^r;(ff 1 rfx =
0
m+e x 2
Л+ 1/2, (a + cf + e)/2 1/1
2 ' 2 '
1, 1 + a + J + e , . , 2,2
n? 2 ' 2 П' ™a
2n? 2 ' 2
[e = 0 или 1; a > 0; Re Л > -1/2; Rea>-?- S].
о. Ж 1Ж — U ) е /12т + е\0Ж1\ л / ЙЖ —
' 2 ' "' 2 '
1 2
п, - + е; -a b
-a-S Л
+ l
^/а + е + ^1 л \ _. /1 л . л . е — а — S . .
х Г( hA + n]3F3( Л - п, 1 - Л - J - п, hl-A-n + m
1 — Л — <5 — 2п, 1 — А — п 5 <5 — А — щ —a2
[е = 0 или 1; a, Re b > 0; Re Л > -1/2].
4. [ (ж + а)"-^ - х)х^1/2е^ь2хН2т+е{Ьу/^Т^)С*(-) dx =
= (-1) BЛ)
2+?| Х
— ha-A,a+-; — ha + A + n, — ha-A-n, 2+?' ~2a
[e = 0 или 1; a > 0; Re Л > -1/2; Rea > -e/2].
2.21.18]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
501
5. \{х - а)
1
(-1ГBА)„
х Г
1
2 ЛД2
A + l/2, r-A-n-(e + l)/2l л~гч
-) dx =
22т+Л+(Зе+1)/2^т
i, ^^ - r - A, 1 + - - r; - + e,
' 2 2 ' 2
2
x
^p + A + n - r,
n2m|?|ft/ 2т-2Л-2п-1
- -Л-n, 1-2Л-П, -+r-A + w-n;
1 9
1 - 2Л - 2n, r - Л - n, - + т - Л - n; -2a6
[e = 0 или 1; a > 0; Re Л > -1/2; |arg6| < тг/4].
2.21.18. Интегралы от
2(m!)
A- 1/2
n + n - 2[ra/2] + 1/2
fn_i BA)mBA)nI!
[a > 0; Re Л > 1/2].
x a'
+ -,
2' 2
3.
4.
m!n! V2
—m, —n, A; 2A, h 1; 1
[a > 0; Re A > -1/2].
BA — 1)т+пл/^ p, [ A ^ 1/2] та + те+4Л^2 r n о л 1 /ol
;—7ТП :—:— 1 , \Cb a > 0: Re A > —1/2 .
2m+n+2Am n A L ' J
/3, A+ 1/2
+ A + n + 1/2
Ba)
2'7+2' 2+/3^^
[a, Re/3, Re G -
> 0].
a
. f (x + a
J
) dx =
a
л _ ^
502 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.18
-га, 27 + т, /3, ?-А+ -; 7+о,? + Л + п+-,/3-Л-п + -;
^ z> A А
[a, Re/3 > 0; Re Л > -1/2].
в. | (х + afx+m+n-^2(a - Ж)А-1/2с4 A)* (J)
У?BА)т+те
. + l/2)m(A + l/2)nra!n! [ 2A, 2A + m + n + 1/2
[a > 0; Re A > -1/2, A - 2m - 2n)/6].
7.
J x
= (-l)1 + "-m 7гBЛ)пA/2 - A - n)m p Г А + 7П - П - 1/2] 2A+m-«-l
^/тгга^п- ra)!(l/2 + A)m [ A, 1/2 + m- n J
[a > 0; те > m; Re A > 1/2 + те - т].
a
8.
г\п\
ГЛ + 1/2, 2Л + п, 1/2 + Л + т + п, 1/2 - Л + п - т]
L 1/2-А, l/2 + A + n-m, 1/2 + ЗЛ + т + п J I». KeA > 0J.
'"•I [a > 0; n > те; Re A > -1/2].
in f/2 24A^1/2^A (Х\пХ (X\ j л/ттBХ)п [A + 1/2] 2A e
10. (a — ж ) Gml — )Gn I — J аж = — —-г-1 a dTO,n
J \Cb/ \CL/ fll\n + A) L J
[a > 0; Re A > -1/2].
Il-
Ilia, Re A > 0].
a
[a > 0; Re A > 1/2].
±o. | v ж -|- aj ^ а Ж| |и„. | j| аж —
a > 0; Re Л > -1/2, A - 4n)/6].
[2А + П + 1/2, А
оо
14. |(ж-аГ+А-1(Ж + в)-ТС^(^)с7А(^) ЙЖ =
2л + 1/2,г-А-7-т-п
х а 1^Т 4 ^з( — — 7
2.21.18] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 503
1 — 27 ~~ 2т, т + А — "у — т, - + т — 7 — m"i 1 ) [а > 0; 0 < Re G + А) < Re т - га - тг].
15. (а - х ) С;_2т — 1Сп(сж) dx =
G)n-m+i(l"A-n)m(n-2m)!
[а>0,Нв7>-1/2].
b
. — I dx =
1Й Г/ 2 2\A-l/2/i2 2ч7
16. (ж -а ) ; F -ж O
Z\"Y + A in I .
^а O+A2F1G+
2anm!n!
772 72 "г" J- 1 172 7
2 ' 2^" " ; f 2 ' 2
[b > a > 0; Re 7, Re A > -1/2].
i- I a-l/ 2 2xA^l/2/,2 2ч7^1/2^7 /X\J ^2n+l(^/a) I ,
17. | ж (a - ж J @ - ж j ^2т+е1т;м /-»А/_/.ч Гш~
¦ 6
о
ш!Bп + E)! V,;mtev-«y^to^ 3
Л + 1/2, (a + J + e)/2 ] _ /1 1 , , 1 + a
е = 0 или 1; b > а > 0; Re А > -1/2; Re a > -e - 6, S = <
6 ' сх ( I \
io. ж iж — a i to — ж i o9rri I , i — j < „\ , , ч / «ж —
m Г (
x
+1/2, (i_a-J-e)/2- Л - nl „ /1 1, , 1 + а а
1_(а + Л + е)/ J4F3^7-+? + W
1, 1 + а +
2+?' 2
/ ^7719271 + 5-1 ia
I XJZi Ci
l i i i г е — о; —¦ <5» ^ л
А — п, 1 — А ™ о — п, hl + ?n^A — п,
а + <5 + ? а 3 — а а2
— A — j ~ т — п ; 1 — X — о — 2п, 1 — А — п , о — А — щ —
6 = 0 шли 1; 6 > а > 0; Re 7, Re A > -1/2, S = 1
19 (жа-1Гж2-а2)А-1/2('ж2-62O-1/2G'г i С(/) I
19Т ( ' ( } С2т
504 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.19
Bт + е)\Bп + бIЬ*»* BА)*»+'(?Ь™+« Х
^ + 1-T-Wlr[ C-a-J-e)/2-7-m
п /1 . J — а — е
х 4^31 х ^ 7 ^ m? 1^7™e^rri7 « \- 1 + п ~ j ~ m,
\ A <Z
^-щ^^ . — ? _ /у _ т? х _ /у _ ? _ 2т, 1 — -у — тп. — -~-; —
А А А (I
е = 0 или 1; а > b > 0; Re А > -1/2; Re (a + 2j + 2\) < 2 - 2т - 2п - е - ё, ё =
2.21.19. Интегралы, содержащие Ст(^(х))Сп(сх).
а
L ® II JL г™ (л/ I I (л/ JL I IX A/ i) %J Ju I
(-1Г+"B7М2Л)п/1 ЧГ аЛ + 1/2 1 А_1/2х
w!n! V2 Л L« + A + n + 1/2J
~П 2' 2 7? 2
[а, 6, Re а > 0; 2а6 < 1; Re A > -1/2].
\ A A A A A A
ь
2.
\о ~~ х) ит I —— I оп 1 — 1 аж —
\ а + о ) \а/
(а+ 6)
(-l)wBAJnG - A - n)mBj)m г Г 7 + 1/2, A + 1/2 1 ^ + 6)A+7+n
тЫBа)п
х з^2 ( 1 — 2А — п, 7 + гп ~ ^ ~ п? ^А — j — т — щ 1 — 2А — 2тг, 7 ~~ А — п;
а
[Ь > а > 0; Re A, Re 7 > -1/2].
6
3
. и ж — а] (о — ж] om I —7—I П\Х/ ""
г(А^7^^)пBА)п р Г А + 1/2, 7 + 1/2
w!n!(a + b)m
а + 6
m, +тг^7^^, - ^7^^г^^; 1^27^2w, - 7 - m; 2&
[6 > a > 0; Re A, Re 7 > -1/2].
!n!
а, 7 + 1/2
- a ) B7)тГ L. , ^. , _ , n /o I Ba) F T a) x
2' ' ; ' 2' ; 2' 2 ' ; ' ' 2' 2a
,a > 6 > 0
2.21.19] 2.21. Многочлены Гегенбауэра С^(х) 505
ь
5. ( )
= (-l)mB7)mBA)w / д 1\ г[А + 1/2, r^A^n^l/2
mini \ 2jn
х BaI/2+A"T(a + 6O/24F3f^7-^, i+7 + m, |-г-Л, 1-r;
\ -Z Zl Zl
—h n + A - r, A^r^n,
2 ' ' '2 ' ' ' 2' a + 6/ ' m!n!a"
A+n_T
4
L 1 + 7 + A + m + n-r
F3 I A — n, 1 — 2A — n, Г + 7 + ТП — A — n, r — A — 7 — m — n;
2
1 - 2A - 2n, т + 7 - A - n, - + r - A - n; —^-r | [6 > a > 0; Re A, Re7 > -1/2].
2 a + 0 J
6
6.
-l)"B7)mBA)n [т + гуЛ г [7 + 1/2, r - 7 - m -
mini V ' 2Ут L
x B6)A-1/2(a + 6I/2+7-T4F3Q _A-n, A + n+i, |-T-7, 1-t;
3 1 a + b A
+ A+
/1
X 4 ¦* 3 I 7Г 7 ТП5 J- ¦"/y TTL5 A ~t~ 7" ~т~ 72 7 77l5 T 7 ^ ^^ ^5
2 2b J
7. 1 (ж — aO^1/z(x — b)A^1/zCJ ( *"" ' j (jx (x
1/2-X-n
[a > b > 0; Re 7 > -1/2; Re (A + 7) < -m - n].
m a + 6 / n \ b J
I + r — A — n
x (a + 6O+A+n^T4F3f^ -Л-n, 1-2Л-П, 7 + r + m-A-n,
1 , 26
t — \ — 7^ m — n; 1^2A^ 2n,
2 a + 0
[a > b > 0; Re 7 > -1/2; Re (r - 7 - A) > m + n]
506
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.19
9. \(х- а)х^1/2(х + аГТ(Ьх + аЪ -
J
2ab -
-)dx =
А
10. f (ж + a)a(a -
— (г + А - 7 - ^г)пГ
г fty+m-i/2 4 ^ / _ 7 _ т? х^27^'ш, г + А ^ 7 + п — тч
¦ — X — j — т — щ 1 — 27™ 2га, т + А — 7 ^ m? «+r^7^m5 ^^" I
z lab J
[а > 0; 2а6 > 1; Re А > -1/2; Re (г - 7 - А) > m + п].
(_1)-+пG)т+еBЛ)п^1-е
2
+л_
А + 1/2, a
Ь 2
г, —he, h a — А — и; 2а&2
[e = 0 или 1; a, b > 0; 2a62 < 1; Re a > -e/2; Re A > -1/2].
11.
\7+A —l
J
x
Cn
а/
(-1)»»+»G)т+вBА)„/1-е
x 2
!n!
а+А+7+е-1ла+А+7-1
а ^
2
- Х^а
7 — т, -
2 J '2
ее
-,l + -
ha
~ A - n; 1
[e = 0 или 1; a, Re (A + 7) > 0; Re а > -e/2].
0
12. f (x т а)а-г
±a
J2m+e
Г 7 + l/2,« + e/2 1
n\{2m + e)\ \ 2 /m [a + 7 + m + (e + 1)/2J
x F T a)a+7/2Ba)A/24F3 Q - A - n, | + A + n, a, a + |;
2+A, 2 а т,а + 7 + т +
e = 0 или 1; Re а > -e/2; Re A > -1/2,
+ 1 a
b > a > 0
a > 6 > 0
ь
[(г ^)
. и ж — а;
(-l)mB7JmBAJn
Bm)lnlBa)n
7 + 1/2, A+ 1/2
l+A+7+m+n
2.21.19]
2.21. Многочлены Гегенбауэра Сп{х)
507
1 — 2А — n, m — n — A, — m — n — A — 7; 1 — 2A — 2n, —A — n;
2а
[6 > a > 0; Re 7, Re A > -1/2].
14.
(-l)nGJmBA)n
(A-7-m)nr
1/2, 1/2
Bm)!n! v" ' ¦"/"" L l + A + 7 + m + n
x 3F2 ( 1 — 7 — m, n + A — 7 — ra, ^A ^7^in^n; 1^7^ 2ra, A — 7 — ra;
(а + &Гт x
26
[b > a > 0; Re 7, Re Л > -1/2].
15.
(-1ГG)т+еBЛ)п
x 2л~гЧ
Bm-
x (a ¦
1/2,г-А-п-(е
2 " 2
(a + &O"(e+1)/2 4F3 Q - 7 - m, I + e + m,
1 3 + e л 2a
+ А + п-т5 - + e, — т - A - n; ——
2 2 a + 6
' + 1/2, (e + l)/2 + Х + п-т
i-A-n, 1-2А-П, ? + т + ш-А-п,
^in™n™A^7 5 1~2A^ 2n, —hr-A-n, т — A — n; -
2 2 а + b
[e = 0 или 1; b > a > 0; Re 7, Re Л > -1/2].
16.
- (f) ^ =
x B6)A-1/2(a +
e -
7 + 1/2, T^7^m^(e-
r-e/2
113
A^n, —h A + n, r, 1 — t;
zj zl A
3-е
1
(-l)nBA)n
' 2/n
--7-m, l-e-7-m,
1~e
Г-7-m + n--, Г-А-7-m-n--;
1 о
, l^e™7™ 2m,
-;
= 0 или 1; 6 > a > 0; Re 7, Re Л > -1/2].
508
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.21.19
17. I (х - а)
аЪ2 -
^ dx =
Bm + e)\n\
™ 1 f)A + 7+3m~r+f
^J^m^2)n2
+ 1/2, r-7-Л-т-:
т — 77
18. (х - a)
[е = 0 или 1; а > 0; 2ab2 > 1; Re А > -1/2; Re (т - 7 - А) > т + п + е/2].
а/ж\ л _ 2те(А)пB7J„
¦«¦'"ЦУШ)*©*
A — n, 1^2A^n, —\~ т + m — \ — n, т — X — j — m — n ;
1 О A
1 — 2A — 2n, r^A^n, —hr-A-ii; -
2 a + 0
[e = 0 или 1; a > 6 > 0; Re7 > -1/2; Re (r - 7 - A) > m + n + e/2].
19.
2a
V2 Jm \ T
^) dx =
7 + 1/2, r-A-7^m^^^ ^/2
-A-n
,7+А^т
— A — 7 — w — n ; 1 — 2A — 2n, r — A — n, —hr~ A-n; 1
20
[e = 0 или 1; a > 0; 0 < Re G + A) < Кет - m - n - e/2].
a
. f (* + a)A/2(a - xf-1 erf (a6 - bx) Ы (-)T dx = К?*Ы_2'9+А+3/V+A+1/26 x
J L \a/J V7rn!
— a
/3 + 1, Л + 1/2 ] /1 /3 + 1 /3 3 /3 + A + n , 3 /3 + A + n , 5
j3F4+1 + + V ab
2 + 4' 2 + V ~a
[a > 0; Re^ > -1; Re A > -1/2].
21. [ (ж + а)Л^1/2(а - xf^1 erf (б^^
^)] dx =
[а > 0; Re,0, Re А > -1/2].
2.22.1 ] 2.22. Многочлены Якоби PJp'a) (ж) 509
2.22. МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ P<fi<r)(x)
При вычислении интегралов, содержащих многочлены Якоби Рп' (ж), может оказать-
оказаться полезной формула
2.22.1. Интегралы общего вида.
Обозначение: 8 =
ь
. Ux + a)a-1(a-x)p[(a
^ dx =
[—a < b < a; r, Re a, Re /3 > 0].
a
2. (ж + a)a™ (a — x)p[zr — (a + ж)г]~ P^p' ( — ) dx =
J ^«^
— a
00 <^/3\ Г i i. 1 /1 \ r^
^ A;! ^ Г L« + P + ^^ + ^ + 1J V ^ /
[a, r, Re a > 0; Rep > -1; | arg z (z - 2a)\ < ж].
о
3. l(x^a)p(x + ayT[(a + bY - (a ¦
- ) dx =
k=0
2a
»! ( }
[b > a > 0; r, Re/3 > 0; Rep > -1].
b
4. |(Ь-ж)"(ж + 6)-г[F + ж)г-(а + Ь)г]аР^ст)(|) dx =
x I —2&~ ' +^^l^r -1ЧР + П + 1) > , ?, (r + rfe + cr + r^arj^x
ar-r-rfc-r + 1 /a + o\
^^^ [6 > a > 0; r, Rea > 0; Rep > -1 .
p + ar — r — r« — т -\- n -\- 2j \ 2b J
5. 1 (ж - b)p(x + byT[(b + xY - (a + bYr^1 PLP'аЦt) dx = ,/о,ч r(ft) x
l^a^ (p^r^ A; + n + l)/rl / 26 xfe
fc=O
[a > 6 > 0; r, Rea > 0; Re (p + ra - r) < r - n - 1].
510 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.1
а
6. f (а - х)р(х + а)а^1(а + х)г + гТМ"'*0 (^) dx = I
[а, г, Re а > 0; Rep > — 1; r|argz| < тг],
- n + 1) y. (cr + 0r + rk — a + l)n x
fc=O
a — Or — kr 1 / z \rk
[N<2a],
//' .I
xr|a + p + rA; + n+i К — ) [1^1 >N-
7 1 [ <тг» /1111" —I— rt i Г| or» _|_ /7| _|_ у 1 D\F' / I I /-//j» — /"
\ a /
[a, r > 0; Re p > -1; Re (p - r - r0) < -n - 1; r| arg z| < тг],
— ¦ Г(р + n + 1) 2_J (cr + r + r<9 + rfe)n x
x r r + rfe + rfl - p¦ - n - 1 / г у* [И < 2O],
¦?¦
п!гBа)теГF>) ^
хГМ-
a
[a, r, Rea>0; Rep > -1],
fe=0
¦ p — r — rfe + n +
[^a < у < a],
2a xrk
- p + гк + n + 1\ \a +
[У > a].
) т (PjOr)
x \
— ) dx = I [a, r > 0; Rep > -1; Re (p - r) < r - n - 1],
a/
a
/= Ba)P !" Г+1Г(р + п + 1) V(eT + r + r + rfc)nrl
n! ^^ r + r + rA:
fc=0
[-a < у < а],
2.22.1 ] 2.22. Многочлены Якоби PJp>a) (ж) 511
2a
2a
7Г
nlrBa)n ^ k\ r \a + у
[У > a].
a
10. [ (x + aH1'1 (a ^ х)ре~р{х+аГ P^a) (-) dx = ^^ {2a)a+pV{p + n + 1) x
J \a/ n!
— a
^jt—^ + ^L^^Hn + l]'-2^ [a,r,Rea>0;Rep>-l].
a
11. [ ' {+ГГ^) (|)
a + p — rk + n
War) n\r v ; ^o kl V r /КТаГ
[a, r, Rep > 0; Rep > -1].
12. (x — a)p(x + a)~Te~p^x+a* P^f' (~) dx = -—— Г(р + n + 1) x
fe=o -
[a, r, Rep > 0; Rep > -1].
13. \{х^а)р{х + а)~те~р{х+а) r P}f> a) (-) dx = Ba) V+ Г(р + n + 1) x
J a/ n!
[a, r > 0; Rep > -1; Re (p - r) < -n - 1].
J [ cos b (x + a) j Va/ n!
[a, r > 0; Rep > -1; Re a > -
oo
15. [H ^rinb(' + f}^)(?)
512
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.1
/ р — т — к + п + l\/ sin [(р — г — А; + га + 1)тг/Bг
V г J\cos[(p^ т - ife + n + 1)тг/Bг
[а, 6, г > 0; Rep > -1; Re (р - т) < г - п - 1].
16 f (x + а)^1 (а - х
-] dx -
а, г, Re о; > 0; Rep > —1
cosec [(a + к)ж/г] 1 / z \k
"ar + k)ir/r\ \\2a)
Г r|argz| < тг
±
2а)а+р^гггГ(р + п + 1) х
а _ r _ r/j
+ р — г — гА; +
' В (а, р + п + 1)(сг - а + 1)п х
п —1
(а) — ^(а + р + п + 1) —
1
n + 1) x
a - a + j + 1
a-r-rk
lnBo) [N<2a],
2a V
—
z J
17.
I = ±
x Г
= ±
¦ (сг — а — г — гк + 1)таГ
+ (~^| Г Bа)а+рA - а + <т)те В (а, р + п + 1) In z
-zr]
[\z\ > 2a].
T(ln[(x + a]
~a) \\n\{x + a]
Г | Г1
РЦ'-'Ч-] dx = i
a, r > 0; Re p > -1; Re (p - r) < -n -
n - 1, ^ Г
I arg z\ < тт
> 0
Ba)
fe=0
r + r + r«™p™n™.
Ba
-—
" T+1
2a/
B(p + n + 1, r - p - n - 1) x
n —1
x | ф(т - p - n - 1) - ф(т)
1
+ .
т - In Ba;
(га)^1-^
X Г
т ^ p ^ r ^ rk — n — ll /2aV ttZ'
т — r ¦— rk
i=o
Т* Г к J fi X
¦& р-т+те+1
z\ < 2a],
xE
(-P-
^)fc(cr + p — A; + n + l)n f cosec [(r — p + A; — n — 1)-з
!(r - p + A; - n - 1) \ ctg[(r - p + к - n - 1)тг
-п-1)тг/г]1 /2а Y
/r] ]\z)
+ ¦
¦ (G + т)„ В (p + n + 1, т - p - n - 1) In 2 [|z| > 2a].
2.22.1 ] 2.22. Многочлены Якоби PJp>a) (ж) 513
а
. [
J
18. [ (х + а)^1 (а- х)р EI (-Ь(х + а)г)Р^ а)(-) dx = ^^
J \а/ п\
— а
~ а ~ r - rk + !)" г
lJ
(-—1)п Г
^—f— (<т - а + 1)п В (р + п + 1, а)Bа)а+р С + гф(а) - гф(а + р + п + 1) -
п-1 ^ -I
-1пBгаг6) [а, г, Re а > 0; Rep > -1].
)fx\ Bа)р~т+г+16
19. \ (х — а) (ж -j- а) EI (—Ь(х -j- а) ).Рп ' I — ) dx = : Г(р + п -\- 1) х
1 \а/ п!
^ ((т + т-г-г^пг.Гг-р-г-гЛ-п-!]. or^r,xfe , Ь(т~р~п~1)/г
Щт-p+k-n-l)
Ba)p~T+1
+ -—^i B(p + n + l, r-p-ra- l)(a + r)n x
nl
n-l
С - гф(т - p - n - 1) + r^(r) - V + In Brarb)
j^o + r + 3
[a, r, Re 6 > 0; Rep > -1]
: + а) )
^ ^ (—l)fc(cr — « — rS — 2r — 2rk + l)n Г а + rS + 2r + 2rk .
a+ +r<5 5 f 1 1
v J
~ S 2(nl) Bа)а+Р?г B (P + ^ + !5 <*)(<T - а + l)n,
n-l
а + p + n + l L(T_a + j + i+n2a
[a, r, Re a > 0; Rep > -1].
_T\si{b{x + ay) \D(p,a)/x\ ,_ Bay+Sr+2r-T+1 ,s+2 ^
*>1
-a) )J Va
тп/ ->\"\л\ jl # t # i «-* v» ¦"* ^' |г; у п -л " jO ОТ* ziT" AT к Tl .Li
xr(p + n + i)>^ l/L; ^^^^ , ^ ^oL, x, ^ r[ F^ ^ ^ OmL |x
arb\ b^T p n 1)/r ^ (^p^n)fc ^ .
H J7—ч / J 777 j г (cr + p-—« + fi + ljn x
,'р-т-А; + п + 1\ f зт[(р-т-А; + п + 1Oг/Bг^ u r r
r
33 А. П. Прудников и др., т. 2
514
Гл.2. Определенные интегралы
[2.22.1
Bn)p+Sr~T+1hs
> + т - ёг)п В (р + п + 1, T-p-6r-n-l)\\\-
{Н)
""" (<т + т)пВ(р + га + 1, т - р- га - 1),
2(п\)
R = С - г^(т - р - п - 1) + гф(т) -
: + In Bгаг6)
7
> :
fc=o J
[а, 6, г > 0; Rep > -1; Re (p - т) < 2г - п - 1].
22
" J l j l
— а
о©
х Г(р + п + 1) \"
erfc F(ж + а)
(а - а - г - 2rife + 1)ПГ
[a, r > 0; Rep > -1; Re a > -A ± l)r/2].
)w
j
l j
В (p + П + 1, T - p - П -
a, r > 0; Rep > -1, I
{ |arg6| < тг/4
24.
25.
хГ
р^т+г/г—1/+1
Т-./Г-2Г*
r —n —l^(r —p —n —l
+
jfej
п!гап
)пГ
(i/r-p + r + ife-n-
[a, b, r > 0; Rep > -1; Re (p - r) < 3r/2 - n - 1].
2.22.1 ]
2.22. Многочлены Якоби PJp>a) (ж)
515
26.
а/ mini
Bа)а+рГ{р + п + 1) х
27. [ (ж - а)р(х + a)-Te-b(x+a)
J
? ( + И
6(r-p-n-l)/r o^ (~p~n)k
m\n\rBa)n ^ k\
X Г
[а, г, Re а > 0; Rep > -1].
-т4-1
-) dx = Bа), ]
а/ mini
[а, г, Неб > 0; Rep > -1].
28.
-Ыж =
а)^+^Г Г(р +
х (or - а - re^ 2rk + 1)ПГ
[е = 0 или 1; а, г > 0; Re р > -1; Re а > -re].
a4fk
29.
т(ур+ге+2т-\-е — г+1
га!
ом
г - re - 2rk)n
х
2 [ 2k J
[e = 0 или 1; a, r > 0; Re p > -1; | arg Ь| < тг/4].
a
30. \ (x + a)a(a - x)p[l - 62(ж + аJг]7/2О27то+еF(ж + а)г)Р^а) (-) ^ж =
— a
/ 1\го+паа+р+г?+2т+е a + p+re °°
п\Bт + е)\ ^ I
x ±
2
[e = 0 или 1; a, b, r > 0; 2a61/r < 1; Re a > —re и Rep > —1
(или Re (p + 7) > -1/2 при 2a61/r = 1)].
33*
516 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.1
ъ
ъ
31 j
г + re — а — к\ Г (re + а + к) / Bг)
е = 0 или 1; г > 0; Re а > -re; Re 7 > -1/2, . , , r . , 7 Т .
7 ' а > b > Oj I сг J ' х [р
2a
> a >0] f pi , (a
ъ
Л1. [х — а] [(а + о) -— [а -
2a
¦т-ге-2гк)пГ\
¦п + 1)„ х
• -r-A; + n + l)/Br) ]/ 2а xfe
2r /to [
[e = 0 или 1; r > 0; 6 > a > 0; Rep > -1; Re Л > -1/2].
ь
((^)" ) f
33. |[(Ж + бJ1- - (а + ЬГГ1/2(Ь - хУ(х + ЬГгС2т+е ((f^)" ) ^"' ^ (
I
7 + ^
n!2rBm + e)!
- к — t\ Г(г + т — re — fe — l)/Br) — m — 7I /а +
J l(rer + fc + l)/Br)
- 1)г+2т+?--т+1|)р+B7+е+2т-1)г-т+1
( / ~^~ m^fc (e _|_ 7 + m _ ^)т(сг + T + r + 2fcr - 2r7 - 2rm - re)n x
fc=O
p + 2r7 + 2r?n + re — r — 2r^ — т + n + 2J \ 26
[e = 0 или 1; а, 6, r > 0; Rep > -1; Re7 > -1/2].
34. I (x-a)p(x + ayT[b2(x + afr - 1]7^1/2С^т+еF(ж + а)г)Р^р' а) (-) dx =
^ (I/2-7-m)fc ,
x J> — (e + 7 + m — к)т\т + <j + r + 2гк — re — '.
fc=0
\ т + r + 2rfc — re — 2r7 — 2rm ^ 0 ^ n ^
хГ
1 + + 2A - re -
e = 0 или 1; a, r > 0; 2a61/V > 1; Re p > -1; Re (p - r + 2^7) < r - n - 2rm - re - lj.
2.22.1 ] 2.22. Многочлены Якоби Р^^ (ж) 517
оо
35. J [(i + 4)" - (о + Щ"Г-Ч*(г -ЬПг + *)"С;т+, ( (^|)') *'"(?)<<* =
"Г (а г ^^ о+> - * +.+п. х
r + re + r + ^-p-n-l\ \(г-ге + т + к-р-п- l)/Br) - 7 - ra~| / 26 xfc
[е = 0 или 1; г > 0; а > b > 0; Re7 > -1/2; Re (р ~~ т + 2г7) < г - 2rm - re - п - 1].
36. | (ж + а)" (а - asHl - Ь(х + а)г]хР?' ">BЬ(я! + а)г - lJP^') (^) dx =
/_ i\m+n °° /„у, _
l j Bо)а+"Г(р + п + 1) V l W
^^ к\
k=0
(г/ + к
[а, 6, г, Rea>0; 2ab^r < 1; Rep>-ll.
L J
+ (a + Jfc)/r + m + 1 I \ 2a
( h "**> a >> C\} f n л
r, Re a > 0; Re Л > -1,
[a>6>0
38. j(z - a)p[(a + 6)" - (a + x)r]A(a + x)~rp?- v) ((^
fc=0
n\m\rBa)n ^ k\
Л Г }( 2a
| ^ | Л
[b > a > 0; r > 0; Rep, Re Л > -1].
b
39.
Bb)p(a + Ь)Хг-т+1Г(Х + m + 1) x
mlnlr
r+1(a + Ь)-тгГ(р + n
518 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.2
оо /л \
х J2 о (A + i/-ife + m + l)m(<7 + т + rife - rX - rm)n x
fe=O
_, Г rm + rX — t — rk + 1 "I /a + 6\ r
ХГ — ) 6> a >0; r >0; Rep, ReA > -1 .
40. \{x - a)p(x + ayT[b(x + a)r - l]xp?> u)Bb(x + a)r - 1)P^'"} (-) dx =
J Va/
mini
_, 1 ,^ (-A - m)k ( x , .
Г(р + n + 1) 2^ ^ т^—J— (y + A + m - к + l)m x
x (a + r ^ Xr^mr + rk)nF\ Ff Brar6) fe
[ r + r« — Ar — mr J
a, r > 0; 2a61/r > 1; Re p > -1; Re (p - r + Ar) < -mr - те - ll.
41.
J- ~~r~ I T p ~\~ К ТЪ 1 1 / Г
[г > 0; а > b > 0; Re A > -1; Re (p - т + Ar) < -mr - n - 1]
2.22.2. Интегралы от (ж ± a)a(b ± х)^ Рп' (сх).
1. (ж =р «)Q:™1(fe — х) гРп' \~) dx = -—р- (ср + 1)п В (a, /3)(b =F а)"+ х
±а " ?"
х з^2 —п, р + <т + га + 1, а; а + /3, у
a > 0; 6 > ±a, Re a, Re/3 > 0, y> =
' 2а
2.
— а
[-а < 6 < а; Re^ > 0; Re a > -1].
6
J П ^«^
— а
= В (/3, р + сг — /3 + fi + 1)(а + Ь)п
[-а < b < а; Re /3 > 0; Re(p + а — /3) > —п — 1]
4.
— n, —/3 — p — щ —p — cr — 2n; I [6 > a > 0; Rep > -1; Re^ > 0].
a + 0/
2.22.2] 2.22. Многочлены Якоби Р^р'а)(х) 519
ь
К \ (п» л,\а~~1 (h nf*\@~~1 p(^> °~ЧI Am* — (Р + ±)п ту (
О• \\Х — "J \" — JL) ¦* п \ "V I ""^ — i D 1A,
J V о / га!
X з^2 ( —га, р + а + га + 1, /3; р + 1, а + /3; 1 [-6 < а < b; Rea, Re/3 > 0].
\ /
ь
6. 1(х ~ а)р+а^^+п(Ь ~ х)^1 Pip>a) ^ dx = B{p, p + a~p + n + l){b~a)p+<T+n x
а
X р^Р^-Р-п-1)(^\ [-ъ < а < 6; Re^ > 0; Re (p + ст - /3) > -те - 1].
6
7 1/ \СК — 1/1 \ 0 Г%( О &} ( \ 1 Т» /
I I /тг» л If) rn\r LJKI-'i /I I rf оч К j /-V /1 _J_ n-i .
m I ^Jy Uj y(J Jb J 1 n 111 ^t*y ¦'-* V ' « '
[-6 < a < 6; Re a > 0; Rep > -1].
a
8. f (x + a)a-1(a - xf-'Pi"' ст) f ^) dx = (p+,1)>1 В (а, /З)Bа)а+/Э-1 х
J \a/ n!
— a
X 3F2(-n, p + a + n + 1, /3; p+ 1, a +/3; 1) [a, Rea, Re/3 > 0].
a
9. I" (x + a)a(a - xf^PJ?' a) (^) dx = (p ~ ^ 1)n B(/3,a + n + l)BaH+lT
— a
[a, Re^ > 0; Re a > -1].
10. [ (ж + а)р+а-Р+п(а - х)^гР^а) (-) dx =
p+CT+n [a > 0; 0 < Re/3 < Re(p + о-) + те + 1].
'in
a
J n \a/ n\
™a [a, Re a > 0; Rep > -1].
a
12. (x + a)m/2{a - x)l/2Pil'm)(-) dx = 0 [те = Z + 1, Z+ 2, . . .; a > 0].
J V ft /
— a
oo
JLtJ» IX — ft! I J/ т « J -* n I — I CIX — : Dla, T — ix — ГI II Ли I A
J \a/ ra!
a
X 3F2(^n, a, ^n — a; p + 1, т — ra; 1) [a, Rea > 0; Re (a — т) < —те].
oo
f
14.
n + 1, t - p- ra- l)Ba)p^T+1 [a > 0; Rep > -1; Re (r - p) > n + 1].
o
15. f (x - a)r+p+<'+r-1(x + a)-TP^ "» f-) dx = (~1ГB^ " (a + r)n x
J \a/ ra!
X В (p + a + r + ra, —p - tr — ra) [a > 0; Re (p + <j + r) > -n; Re (p + cr) < -2n].
16. f(x^a)a^1(^ + a)<TP^'<T)f^) dx= (р^а,+ 1)та В (a, ^a - <r - n)Ba)a+"
J \a/ ra!
[a > 0; 0 < Rea < -Reo- - n].
520 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.3
тк
2.22.3. Интегралы от (ж ± а)а(Ъ ± xf Р^р' а)(сх).
х - у
а
J x - у
-) dx = I [а, Re/3>0; Rev > -1],
aJ
)" B (/3 - 1, a + n + l)^)^"-1 x
a/ n!
, p - /3 + n + 2, 1 - $ - a - n; 2 - /3, p - /3 + 2; ^-^) [-a < у < а],
a — у
x sF2(l, 0, P-p\ P-p-n, p + a + n + l\ -^— ) [t/< -a].
V a 2//
2.
ж -
— a
7
n!
x 3^2
- /3 + 2)„ В (/3 - 1, p + «г - /3 + n + 2)an+p+/3-1(a + y)"
a
. [
J
[-a < у < Щ Re/3 > 0; Re (/3 - p - <r) < n + 2].
-) dx = I [a, Rea>0; Rep>-1],
aJ
x-y \a
I = -ж ctgair(a + y)a-\a - y)pPiP' a) (?) + tlL (ff - « + 2)„ В (a - 1, p + n + 1) x
x Ba)a+p^13F2 fl, 1 - a - p - n; (j^a + n + 2; cj^a + 2, 2^a; ^tJA
V 2a J
[-a < у < а],
/= ^-Ц (a^a + l)nB(a, p + n + l)^ x
n! a + у
x 3F2 ( 1, a, a — <t; a + p + n + 1, a — <j — ra; 1 [2/ > a].
V a+ 2//
Г[ п + ^^ + 1 )Г(п+^^ + 1 ] x
A
_. / I + 771 I — 771
X2F1 U ^— + 1, n + ^^^ + 1; 2n + 2;
a — у
. Жт(Ж + аГ (a - ХУР^'Ч?-) dx = -2ym(y - а
] x — у \a/
— a
[m = 0, 1, 2, . . . , n; a > 0; | arg (y2 - a2)\ < tt; Re v, Rep > -l].
6. I (Жа) (ж + а)-'гр^»<у)^>) ^ж = / [а > 0; Rep > -1; Re (p - r) < -n],
J ж у \а/
2.22.4] 2.22. Многочлены Якоби PJp'a)(x) 521
/ = -. — В (р + n + 1, т -— р ¦— п)Bа)р т х
п\
X з^2 A, т — р — п, сг + т + п + 1; г + 1, сг + т + 1; J [—a<y<a],
V АО, /
I = тг ctg (т — р)тг(а + |/) т(у — cl)pРп*'
—-—— В (р + п + 1, т - р — п — 1) х
п!(а + 2/)
/ 2а \
х з^2 1, 1 — т, 1 — сг — т; р — г + п + 2, 1 — сг — т — гг; [у > о].
V а + у)
7. I (Ж ~ а)" (ж + а)аР^ а) (-) dx = ^тг ctg аж(у - аH1'1 {у + а)аР^ а) (У-
1 х — у \а/ \а
_l_ VP N в (а — 1, 1 — а-сг — п)Bа)а+ст^1 х
п!
р^а + п + 251^п^сг^а; р^а + 2, 2^а;
2а
[2/ > а; Re а > 0; Re (а + а) < 1 - п].
2.22.4. Интегралы от (ж ± а)аF ± ж)/3(с1 ± жOР^р'ст)(сж).
а)а+/3 13F2( а, -^ - п, у? + п + 1; ^ + 1, а +/3; ^
Re а, Re/З > 0, < > а
[-а < b < a
ь
±а
( + l)-(^ + l)n ,,+^/3 + n + l, , М-а,Л=с ча+)9-1у
= j г> (а, pj(zo;J (а zh oj (о + а] X
6 +а
[-а < b < а; Re а, Re/3 > 0; у? = ( J
L |- с
b
J n \aJ n\
— a
/ i >
x 3F2 ( 1 - r, -cr - n, p + n + 1; p + 1, /9 - r + 1; ^-— ) +
^¦B(<r + n + l, /3- r)Ba)/3+CJ"T x
n!
r-^ + 1, p + r-^ + 1; ^—
[-a < 6 < a; Re^ > 0; Re «r > -1].
b
4. {(x-a)p(b-xf-1(x + a)-TP^tr)(^j dx =
. j(s aj
= (P+r,/t^,+ 1)n В (p - r + n + 1, /3)(a -
522 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.4
—р — га, —р — а — п, т — /3 — р — щ —р — а — 2га, т — р — щ J +
+ -—^-j (<т + r)n В (р + га + 1, г - р - га - 1)(а + Ь)^ x
2а
X з^2 1-/3, 1 - т, 1 - т - сг; р-г + п + 2, 1 - т - <т - га;
а +
[6 > а > 0; Rep > -1; Re^ > 0].
ь
5. [(Ж-а)а-1F-Ж)/3-1(а; + 6)?ГР^а)(|) rfa;= (p+,1)nB(Q, p)Bb)"{b - аH1^'1 x
J \o/ n!
a
X 3F2 f-<T - n, /3, p + ra + 1; p+ 1, a + /3; -^ ] [6 > a > 0; a, Rea, Re^ > 0].
ь
6. [()()
= (p+,1)n В (a, /3)Bb)"+^Q+n+1F - a)a+/3-1F + a)"'3 x
72:
X 3F2\ /3, p + <7 + n + l, p + n + 1; a + /3, p+ 1; ^-r) [6 > a > 0; Rea, Re^ > 0].
V a + bj
ь
J
n ,b J ra!
b. . -. . i ,i . i a + 5
x з^2|1^т, —p — ra, o" + ra + 1; <r + 1, а — r + 1;
- -—г- (<т + r - а + l)n В (p + ra + 1, а - т)B6)а+/? т х
га!
а + b
[b > а > 0; Re а > 0; Rep > -1].
ь
8.
[Ь > а > 0; Re(r - р) > п + 1; Rep > -1].
а
9. [ xm(x + a)a(a-x)pPiP'a)(-) dx = Im [a > 0; Rep, Rea > -1],
J ^a/
Im = 0 [m = 0, 1, 2, ..., n- 1],
, G
u v, В(р +
n!(m — n)!
x 2Fi(n - m, p + n + 1; p + cr + 2n + 2; 2) [m = n + 1, n + 2, . . . ].
10.
2.22.4]
2.22. Многочлены Якоби
523
1; р+ 1,
11. | {х
«, а — а,
=F ^
— р — а — п — 1; ol — р — <j — fi,o — <т — n]
z — а
z + а
[a, Re а, Re/3 > 0; | arg (z2 - а2)\ < тг].
j — В (/3, о- + п + 1) х
, 0, 0 - р; 0 - р - п, 0 + а +
2а
а, Re/З > 0; Re a > -1,
< -а
12.
^) dx = ^
(а - а + 1)п В (а, р + п
х Ba)a+p(z=pa
2а
а, <9, а^сг; а — (т — п, а + р + п + 1; ¦
[a, Re а > 0; Rep > -1; | arg (z2 - а2)\ < тг].
13.
-\ dx =
а
В
14.
в + т-р-п-1,0 + т + (т + щ О + т.в + т + а; ^
2а
[а > 0; Rep > -1; Re (р - 0 - т) < -п - 1; | Re (г - а)| < тг].
^) dx = (р+,1)та В (а, 6> - а)Bа)а(а + z)a^0 x
a J nl
а, р + п + 1, —сг — щ р + 1, а — 0 + 1; ——)
ла у
+
X 3i
n + l, в-о--а-п, в; в-а + 1, р + 0 - а + 1;
2а
15. (ж-
(а + &)
а р г
[а, Re а > 0; Re (а + а - 0) < -щ |arg(a + z)| < тг].
{р + а + П + 1)пВ[а1т^а^р^п)х
2Ь
^р™^, —р — а — п, т — р — а — щ т — р — п, —р — а — 2п;
а + b
[а > b > 0; Re а > 0; Re (т - р - а) > тг].
16. \ (х - аH1-1^ - Ь)~т(х + Ь)°Pip>a) (?-) dx= (р+,1)п В (а, т - а)BЬПа - бH8" х
J V о/ fi!
1 - т, р + п + 1, -<т - га; р+1, а-г + 1;
b — а
——f '— В (а-г, т -а-а - п){2Ь)а+о
524 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.5
х з^2 1/3, т + р — а + га + 1, г — а — а — га; т — а + 1, р + т — а + 1;
\ 2b
[а > b > 0; Re а > 0; Re (г - а - сг) > п].
2.22.5. Интегралы от А(х)е^рх Р^р' а){сх).
X 2^2(/3, /3 - р; /3 + сг + га + 1, /3 - р - га; 2ар) [а, ЕеД > 0; Кеа > -1].
2. | (х Т ar-^-^P^') (|) dz = (р+^+П + 1)п Г(а + n)p"eTap x
(-и, —<^ — га; 1 — а — га, —р — а — 2щ ±2ар) [a, Rep, Re а > 0; 99 = {
L I
±а
X
3. \(x-a)p(x + a)-Te-pxPiP'<r)(-) dx =
J
a/ га!
х 2-^2A — г, 1 — сг — г; р — т + п + 2, 1™сг — т — га; —2ар)
X 2^(^р — сг — га, ^р — га; —р — сг — 2тг, т ~ р ~ щ ~2ар) [a, Rep > 0; Rep > —1].
00
4. [(ж-аГ-^ж + аГе-^Р^'^Г^) dx = (р^а,+ 1)п В (а, ~а - а - п){2а)а+(Те~ар х
J \а/ га!
а
х 2F2(a, а-р; а-р-га, а + сг + га + 1; 2ар) + ^ —-^- '— х
nl(zajn
х Г(а + сг + п)р"а^""тее"ар х
X 2^2(™сг — га, —р — а — га; l^a^cr^n, ^р — сг — 2n; 2ap) [a, Rep, Rea > 0].
2.22.6. Интегралы от А(х)е^{х) Р^р' а)(сх).
, ч-/3-п-1/ чуЗ-1
(a-xf
X 2^2 -га, -р - га; 1 - /3 - га, сг + 1; ^ 1 [е = 0 или 1; a, Rep, Re/3 > 0].
а
2. \(х + аУ+°-?+п{а - xf-1 exp f-p^^H Р^ ст) f ^) ЙЖ =
J \а + ж/ \а/
= {-^Р^ В (/?, р + а - Р + п + 1)BвГ-+- exp
х 2F2 (в, Р - р; Р - р - а - п, /3 - р - п; -ЩТ^
п!
сг + 1)„Г(/3 -р-сг-п-1)х
х Ba)^+?("+CT^+n+1Ip''+<r/3+n+1expf^^^) x
l; (т
[е = 0 или 1; a, Rep, Re^ > 0].
2.22.6] 2.22. Многочлены Якоби PJp'a)(x) 525
а
. \(х + а)а-\а - х)"
J
ехр
'Н-) dx =
^) Р^Н) dx =
[a -f- х) J \ а / п\
(а,р + п| 1){2а)а+ре?р х
( V \
х 2F2 -а-p-n, сг - а + га + 1; 1 - а, сг - а + 1; - +
V Bа) /
{о- + 1)пГ(^а)Bа)р+а?рае?Р2Р2 (а + п + 1, ^р - щ а + 1, а + 1; - ^
[е = 0 или 1; а, Rep > 0; Rep > -1].
. f (x + аУ+°-е+п(а - xf-1 exp (-pi°±*!l) P^ "> f ?
J \ а — х J Vа
х aF2 Гр - /3 + n + 1, p + cr-/3 + n + l;l-/3, p - /3 + 1; Bg^i-
exp
^ Г(Р)BаУр exp (^
n! V la
x 2
[e = О или 1; a, Rep > 0; Re (^ - p - с) < n + 1].
a
. f (s + a)-?-n-\a - xf-1 exp (_р(а + ж
J \ a — ж
[e = О или 1; a, Rep > 0; Re^ < -n].
6. f (x + a)'(a - x)—2 exp (-рЩЩ P^ ') A) dx =
/?p - pу / p
P J
V 2а
[е = 0 или 1; a, Rep > 0; Re a > -1].
(х =р а)а ехр [ =рр-^ — I Р^'а ( — ) с!ж = -—р— (<р + 1)ПГ(—а) х
J \ ж =F а / \а/ п!
x B
= 0 или 1; a, Re p > 0; Re a < -n; <p = ( ^ 11.
I cr J J
8. \(x- a)p(x + a)"T exp (-p^a~x^\ p<f> ^ (*) dx =
J \ a-\- x J \aJ
= (r+,'T)" B(p + n + l, т-р-п- 1)Bа)"-т+1еер х
( V
x 2F2f т - p-n- 1, <j + r + n; r, <t + t; ~/2au
[e = 0 или 1; a > 0; Rep > -1; Re (r - p) > n + 1].
526
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.6
9.
х Ba)a+ae~?P2F2(-а - а - п, р - а + п + 1; 1 - а, р - а + 1;
V
^ F(^a)Ba)a+a?pae~?p2F2 ( -а - n, p + n + 1; р + 1, а + 1; ^g
[е = 0 или 1; а, Rep > 0; Re (а + <т) < -п].
а
10. [
J
(ст^а+1)п В (а,
-) dx = -^
а, а - ст; а + p + n + l, а-<т-п, -; — ) -
» х
1
13
1 ар2
11.
+а У ^а^
-) dx =
—, а — сг —
[а, Re а > 0; Rep > -1].
- (сг - а + 1)п х
х В (а, р + п -
, (-1Г(<Т + 1)п
1; -,
/1
+
2
333
3p2
2a'{Ja+2' 8a
[a, Rep > 0; Rep > -1].
а
г. ^х + аге—^а-
ехр
_ ) ^х _ v / v ' ^
а/ п!2пап+1
2F3(-n, -n-p; * + 1,1-/3 -n, \-Р-Щ ~
[a, Rep, Re^ > 0].
13.
, cr
1 - 2р - 2сг - 2?г - :
L; <т + 1, р + сг — /3 + п +
5;
х 2F3 ( /3, /3 - р; /3 - р - а - п, /3 - р - п, -; -^ ) -
2.22.6]
2.22. Многочлены Якоби Р^р'а) (х)
527
1;
i.
а
14. [ (ж + а)
-аО^ехр -
(
[a, Rep, Re^ > 0].
Ы P+- +1- -5-
2' '4
[a, Rep > 0; Re^ < -те]
а
15. f (x + аУ+°-е+п(а - xf "J ехр (-р^°±
I \ V
)n B(/3, p + a-C + n + \){2a)p+"+n x
-,
[a, Rep > 0; Re (^ - /9 - cr) < n + 1].
oo
16. (ж^а)а~1<
±a
a)
(P-
1 ap^
?; -p - <r - 2n, 1 - a - n, - - a - n; T^™
[o, Rep, Re a > 0, y> = ( J
oo
17. |(ЖТаГ-
exp
х T
-) dx =
x 2F3( -n,
1
2' ^+ ' T8aJ
a, Rep > 0; Re a < -те, 99 = ( P
I- rr
18. (ж - а)р(ж + а) тс
x Ba)p-T+12F3(l-T, 1-<t-
72!
dx = _t В (p + 72 + 1, T — p ^ П ^ t) X
1 CL%
- 2r + 2n
x
528
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.7
1 ар2
—р — о" — и, —р — га; —р — d — zra, т — р — га, т — р — га — —5
А А
— В1р + га + 1, т-р-га--1 Bа)
\ ^ /
3
; -,
5 3
-,-
ар2
; —
[a, Rep > 0; Rep > -1].
19.
Рп \) dx =
1л-. I 1 \
-ГBа + 2(т-
2n-1nlan
x
—а — га, ^р — сг — га; ^р — сг — 2га, 1 — а — а — п, а — а — га; ) +
)n В (а, -а - a - n)Ba)
ol- p\ a- p- n,
, -; —
-5 -a-a-n- i
p X
^ -; --^
20.
-) dx =
а
гг!
А
+ 1)^ в (а, ^a^cT^n)Bar+%F3(-a-(T-w, p - а + п
!
1 р
х 2^з( -ст - гг, р + гг + 1; а + 1, а+-,р+1; -
2
oft
21.
[a, Rep > 0; Re (а + ст) < -п].
(^ + Т)п „
^^в(р + п + 1,г^р^п^1)BаГ^1/2
p X
1ш 3 1 1ш |J
[а > 0; Rep > -1; Re (т - р) > п + 1].
2.22.7. Интегралы от
Обозначение: 8 =
{;}¦
^\\р
cos(p(x) J
L. \(a*-xr\SinbhX
J [COS ОЖ
'n \a)
¦(f)"
X Г(сг + n + l)Jcx+n+i/2(ab) a > 0; Re a > -1; n =
2m
2.22.7]
2.22. Многочлены Якоби
529
3.
а-<*/2 + <т)пв(а + -, p + n + l)Ba)a+5/2+p65 x
-a - -<t- a - n la - - <r - ra J - - —
[a > 0; Re a > -8/2] Rep > -1]
' I — о =
, p-n;
n!
I 4 - Ь
2' ^
n + 1; a + 1, a + cr •
(a + l)naVofSinOTlx
[ COS СИ7Г J
2 '
[a, 6 > 0; Re a > -1/2; Rep > -1].
a
1 Ux + a)
cos [fe(a — x) ' (a + ж)
sin (/3 — p - a)n
cos (/3 - p - а) ж
3 6
2' T
+ |, P + <t-/3 -S- + n + l)Ba)"+'+nbs x
2 A I
XXX X
-,^+--p;^+--p-n, ^ + --p-<7-n, 5
[a, 6 > 0; Re^ > -S/2; Re(/3 - p-a) < 3/2 +те
1 h^
-; —
K
5.
) —-
cos (буж + a
x\
aJ
-B(p + n + l, r-p-|-n- l)Baf+5/2^T+V x
— /т — T" -4- I • л -4-
2
1 a62\ (^l)n"
x 2F3( - -r + 1, - -G-r
.2 A
cos (p — г)тг
„ . o 1 a62
x 2^з( —p — n, ~p ~ a ~ n; —p~o-~2n, т — p — n, т — p — n — —; —
[6 > 0; Rep > -1; Re (p - т) < -n - 1/2].
34 А. П. Прудников и др., т. 2
530
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.8
6.
X<T j sin (b\/x — a)
cos (by/x — a )
(-1)"
2п-1п\ап
¦1)пГBа + 2<т + 2га)Ь~
2n Г sin (a + сг)тг 1
\ cos (a + а)ж j
X
_a_n _p_ff_n. -р-^-гп l-a-a-n l-a-a-n- —
2'a+2"P;a+2-p-n'
1 аб
-; —
[6 > 0; Re а > -5/2; Re (а + <т) < 1/2 - п].
7.
cos (о/уж + а ) I V а
2+n'T+2''J + r+2' +2'^8a
[Rep > -1; Re(p-r) < S/2~n- 1].
8.
p{p,a) I ^_
cos (о/уж — a ) I va
(P-
1, - - а - о- - п; р+ - -
z A
1, -
A
-; — =F
A OQ,
+Vb2a /_ + 1 |1
\ 2 8а
[Ь > 0; Re а > -1/2; Re (а + сг) < Я/2 - п].
2.22.8. Интегралы от A(x)\n<p(x)PJf'a)(x).
а
. [
J
^-а + 1)п В (a,
2a *" \aJ ra!
X [-0(a — cr) + ^(a) — -0(a — a — n) — ф(а + p + ra + 1)] [a, Rea > 0; Rep > -1].
^¦B(p + ra + l, a-l)x
!(z — а)
1, 1, а - о- + 1, 1 - а - р - п; 2, а - <т - га + 1, 2 - а; =р
2а
Bа)а+рA - а + (т)п В (а, р + га + 1) In z
a, Re a > 0; Rep > -I,
r|arg(z-a)| < тг
I z > -a
2.22.10]
2.22. Многочлены Якоби
531
= ±-
, т-p-n-
п\G _ п\ хг '
IV. I Х> tl> J
1, 1, 2 - т - <7, 2 - т; 2, 2^r^<j^fi, р^т + п + 3;
(^1)птг(р + о- + п + l)n(z - a)p^T+n+1 Г cosec (r -
(т - р)тг 1
гг!Bа)те(т — р — п — 1)
т — р — п — 1, ^р — п, ^р ^сг^п; т — р — п, ^р — а — 2щ
, Bа)'"т+1 , ,
2а
s — а
х
2а
z — а
1, т — р — п -
711
Г ( \arz(z - а)\
а > 0; Rep> -1; Re(p-r) < -п-1, ^ ' V Л
2.22.9. Интегралы от Л(ж) EI (a + Ьх)Р^р'а)(сх).
а
Г
I I I ор -4— л 1 I /~$ — ор 1 Ил I — л о — о 'rp I ш-^ \г 1 /| ___ 1 rf rp _
= ^ J- (<7 - a)n В (p + n + 1, a + l)Ba)a+p+16 x
71!
X4F4A, 1, a-j + l,a + l; 2, 2, a-o--n + l, a + p + n + 2; -2afe) -
^ ^T" (^-« + l)nB(a,p + n + l)Ba)a+^ x
71!
Г ^ i "
x С + ф(а) ^ ф(а + p + тг + 1) — 2_^ : 7 + 1° Bafe)
L i=o ^ ~ a + J +
[a, Re a > 0; Rep > -1].
2. (ж -
EI (^аб -
¦B(p-
r-p-n-
х 4^4A, 1, 2 - G - г, 2 - т; 2, 2, 2^сг^т^п, р^т + п +
п v ;
71. (T p 72
' — p — 71 — 1, —p — 71, —p — <7 — 71J T — p — 71, T — p — 71, —p — <7 — 2 715 —^
+ (fJ+,T)n В (p+ 71 +1, т-p-n- l)Ba)p"r+1
71!
n-1
X I С + ф(т) - ф(т - p-n-1) ~У^ : +lnBa6) I [a, Re 6 > 0; Rep > -1].
^2 :
2.22.10. Интегралы от A(x)^
Обозначение: S =
a • . \
J |d(&V^ + a) J n va
Р'
34*
532
Гл.2. Определенные интегралы
[2.22.11
aa+"+^2+1b5+\F5 (l, a + | - а + 1, | + 1, а + |
\ zl zl А
2,
-,-
Bа)а+"тг(<т - в + 1)„ В (р + п + 1, а),
2.
i=o
-) dx =
[a, Re а > 0; Rep > -1].
1, 2-r + |;
A
+2
sin (p —
cos (p —
!(r
т)тг 1
Tj7r j
- 2. + 2n + 2) x
(-p-n, r - p-n - 1, -p-<t - n;
a&2
1 a& \
- p- <t - 2n, г- р-п, г- p-n- -; -— j +
r-p-n
= С + |
p - n
¦ - In Bab2
3=0
[a, b > 0; Rep > -1; Re (p - r) < -n].
2.22.11. Интегралы, содержащие 1 ei* у у \\\ Р^
[erfc ((fi(x)) J
2fl + 2
[a > 0; Recj > -1].
a
Г
J
>
erfc (ab + bx) J
1 (Р)?т)/ж\
>/^ M — 1
= ±
»г 4Г|О: + р+2 a + p+1 l vx
— Z B OX
n a + p + n + 3
+ x
2,2\ ,
5 ™4a b +
2.22.11]
2.22. Многочлены Якоби
533
О 1 (-—t)n
1J га!
[а > 0; Rep > -1; Rea > -A ±
3.
= ±-
1 1
-, а+2
1J га!
оо
J
erfc (b\/x + а) I V а
14
2; 2'
-) dx =
[а > 0; Rep > -1; Reo > -A
2
[a, Re а > 0; | arg 6| < тг/4, у? = (
5. (ж — а)р(х + а)
erf {b\fx + a )
erfc (Ьл/х + а
3
3 3
5 3 l2\
2'2^{J^T^n' ~ J
niv^r (г — р — п — 1)Bа)п \2
1
т — р — га — 1; ^сг — р — 2п5 г^р^п^™, т ~ р ~ щ ~2
1 га!
|argb| < тг/4
6. жа (а — х)п
J
о
dx =
ап(р+1)п Л ,1\ „ ( , 1 ,, ,, 1
[Rea > 0; |arg6| < тг/4].
а
. f (ж + а)а^г{а - x)peb'Ix
- ) dx =
-; -,
-,
A
-; 2а62
A
[а > 0, Rep > -1; Re a > -1/2].
534
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.12
2.22.12. Интегралы, содержащие
сю
1. I (хта)а^^4Ь\/^Т^)Р^а)(-) dx =
Ti (
х 2^з I — га, —(р~
\
ц ~р — а — 2п, 1 — а — — — га, — — а — п-\- 1; ±——-
А А А
a, b, Re Bа + и) > 0; Re а < 3/4 - те, уз = ( J
2.
±а
Т
х 2F3( -n,
[о, b > 0; Re а < -3/4; Re Bа - i/) < -2п, у? = |
3.
у + I)
2
и . а&2
l, a+ --a-n, i/+ 1; Т^-
[a, ReBa + i/) > 0, Rep > -1].
4.
^)PiP'CT)(-) dx =
(т
(р + (I + П + l)n
п\(а)
\(а)п
+ ^/2 - Г + П +
т + i//2 - р- га
r+--p-n,r---p-n; ^ —
[а, 6, Rep > -1; Re (p - т) < -п - 1/4].
5. (ж-i
n!Bo)"
— ] с?ж =
™2а+<т ^^ В ( а + —, —— — а — а — n\aot+(J+1J' bv x
и и и ab2 >
Г|
2.22.12]
2.22. Многочлены Якоби
535
, v v ah
х 2Гз\—р — g — п, —g — п\ —р — а — 2га, 1 — га — а — а , а — g — п -\-1;
А А
а
. f (х + а)"^1 (а - *)',/„ f ^^—) Р^' а) (-)
J XVх + a / ^а^
хГ
,а g п \1;
А А А
[а, 6, Re Bа + и) > 0; Re (а + а) < 3/4 - те].
(-) dx = Ц^ (а + l)n2^2" x
L, a- -+ 1, а+ -+ 1; - —
2 2 8а
га!ГA/ + 1)
f- -а + п + 1, -
V 2 /
[а, 6 > 0; Rep > -1; Re а > -3/4].
7.
X В \р + п-
Jv(b/y/x + a) \р(р,а)(х\
т (к/ /—IE—^ ( п I j ""^ —
э-т-1//2 + 1,1/ j
2^т+1
-> 2 F - '
[а > 0; Rep > -1; Re Bp - 2т - и) < -2?г - 2].
8. I (x-a)a-1(x + aYJu(-FJ!==\pl!>'<T)[-} dx = ^Р +рп 2a~2aaab2a x
J \vx —а J ^а^ п-
а
у/2 - а 1 „ ( . _ _ v _ v _ Ь
х Г
l, -(т-п; р
(а-^^-а
2
' 8а
%v х
, - - а - <т - п; р+ - -
А А
1, -
А
1; — )
[а, 6 > 0; Re а > -3/4; Re (а + ст - и/2) < -п].
^')(f)- =
(-1Г
И.-1Г
_v/2-P-n-
х 2F3 ( -п, -р - п; <т + 1,
1; —
4
[6, Re B^ + 1/) > 0; Re/3 < 3/4-n].
а
10. f (x + а)р+"-0+п(а
J
а -\- х
' \ — ) ах =
\а/
(-1)'
Э-р-о—n-2
-p-a-n-l
536
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.13
га + 1; ст + 1, р + а - j3 - и/2 + га + 2,
6\
р + ст + I//2 - ^ + п + 2; — 1 [а, 6, Re B/3 + и) > 0; Re (а - р - а) < 7/4 + п].
J 1 1(л(Ьу/а ~~ х Iи(Ъу/а — х) I \a
_
1#
^^-р-п.м + 1^ + 1,
2.22.13. Интегралы от
2 ' 2 " - - ' 2
¦ 1; =p2a6 [a, Re B/3 + /x + v) > 0; Re cr > -1].
1.
хГ[а — — Н-га^-^з!—ra, — y> — n; ^p^cr^2n, l^n^a , а — ra + 1; =F
Zi / \ A A A
±a
\a, Refe > 0; 2 Re а > | Re i/|, (p =
x 2F3 -n,
n + l; y? + l, a-- + l, a+- + l; T^
fa, Re 6 > 0; 2Rea< -2n - |Rei/|, y? =
a
. [ (ж + a)"-1 (a - x)pKJ
J
-) dx =
-\- <r -\- — — см r(i/) В I p + fi + 1, o; — — |ft 6
A J n \ A /
x v v v v ab2
x 2^з[а™™, а---о-; а--+р + га + 1, а---сг-га, l-i/; -y"
4. I (x - a
1
^ (-) dx =
V а
[а > 0; Rep > -1; 2 Re а > |Rei/|].
x r^
-n,2(r-p-n-l)
X
i/ и abx
-p - ra, -p - G - ra; -p - cr - 2ra, - - p + r - га, г - - - p - ra; —
2.22.13]
2.22. Многочлены Якоби
537
в
(р + га + 1, -+T-p-n-ljap u/
(о-+ r - i//2)n p.
, 1---т-сг-п; —~
l, r-^-p-ra-
[a, Re 6 > 0; Rep > -1].
5.
x 2^3
СГ + П + l)n 22а+2сг+п-1
(U \ / и \ _n _2fo; + cF + n)
oH h^ + nlria hcr + tila b x
2 / V 2 /
I/ f ftfe
—a — n, —p — a — n; —p — a — 2n, 1 — a cr^n, 1-aH cr^n;
2 Z 2
(p — a — и/2 + l)n a+a^1J/2_i „ / , i/ ^ \
n!
a + cr + i//2 i v
-;
1, a + - - p - n,
г/
-
bv x
i 2 "
2~
x a
a — v /1 i — v
17 I/
^' a~ 2;
a — n — p
и и ab
2"' " ^ ~ 2* ^ ' ^^2
[a, Re 6 > 0; 2 Re a > |Rei/|]
6.
ax
' 8a/
-a - - - p- n,
2
A
2
+
x
x 2F3(--a-p-n, G-a + -
\ z 2
n i/ n i/ 1 b2
¦1. 2"a + 1' 2"a + <7 + 1; 8^
[a, Re6 > 0; Rep > -1].
7.
^2p+3"/2-T(i/):
x 2F3 ( r - p - V- - n - 1, a + r - V- + n; r - ^, a + r - ^ 1 - V; - | +
Т„," -2p-3l//2-Tr(-v)
--p-n-llx
538
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.13
А А А
[а > 0; Rep > -1; 2 Re (р - т) < -|Rei/| - 2п - 2]
8.
(р - а + U/2 + 1)п ^а + у-Ъу/Ч-!^
п!
l5 - - а - <т - n; i/ + 1, - - а + 1, р + - - а + 1; -^-
Ч_а_Ц_а_
2 2
(I 2
i/ i/ v v Ь
р-а-- + п + 1, -а - - - <т - n; l-i/, 1-а--,р-а-- + 1; -^-
G-1/, р + п + 1; р
"^ ^ + 1' "+ 2" + 1' ^8^
[a, Re 6 > 0; 2 Re (а + ст) < -|Rei/| - 2п]
а
. f (х
J
x 2F3( -i/, -p-n;
— ) da? =
— n —I i —2/3 —2п
-n, 1-/3 + ^-n; - —
[a, Re 6 > 0; 2Re/3 > |Rei/|]
a
10.
a + x
l; G
x2F3 /3 + ^,
l] - —
[a, Re6 > 0; 2Re/3 > j Rei/j]
2.22.16]
2.22. Многочлены Якоби PJp7a)
539
2.22.14. Интегралы от A(x)e~bx L^a + Ьх)Р^р' а)(сх).
а
. [ (х + а^Ча - х)ре^ЬхLUab + bx)P^ a) (-) dx =
J ^^
? «^сг, а;
2.
^) dx =
X з^з('1 — т — сг5 7 + т + -L? 1 ~ Т5 1 ~~ т ~ °* ~" ni
((I + р + П + 1)пG + г - Р - Гс)т -р/
т\п\Bа)п
[а, Rea > 0; Rep > —1].
<У '^хе х
^г + п + 2; -2аЬ)'
bT^P^ieab x
х
2.22.15. Интегралы от
т ^ р ^ п; ^2ab) [a, Re6 > 0; Rep > —1].
сHm{b\/x + а )Рп'(сх).
X
х (<т-а- - + 1
2°
-, а - сг + -,
2.
/ ? \ _L _L /О Ь^
В/ I I ill С* I Р I е /-^ JLe а®
V А
[е = 0 или 1; а > 0; Rep > -1; Re a > -е/2].
(-) dx = -^Р (а + т ^ |) х
, | -г-(т + 1, | -т
— —т — <7 —
А
¦р- г ¦
— р-п) х
А
е -1
1
m-n; —р — а — 2п, т — р — га, г — р — га — —; ™2
[е = 0 или 1; а > 0; Re р > -1; | arg b\ < тг/4].
2.22.16. Интегралы, содержащие С^(а + ^ ^
xBa)
/3+"+7-1/24F3Q~7-^, l + 7 + m,/3-р,/35^ + ^ + n + l, |+7,/5-р-п;Л
[а, Re^ > 0; Re G + сг) > -1/2].
540 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.16
а
2. (ж + аO а (а — х)р С^ъ ( — ) Рп' ( ~ ) ^х = i— ^ (Р? <т + п + 1) х
J V а / V п / in!
l ' (р + <т + п + 1)п+1A/2 + 7)п+1(п + 1)!
з з
^+n — m — 'j, - + m + n + 7, p + n + 1, n + 1; n + 2, p + cr + 2fi + 2,
- +7 + га; 1 ) | [а, Rep > 0; Re G + <т) > -1/2].
- + n — m — 7, -
4
[а, те > 0; Rep > -1; Re G + <т) > -1/2].
m!n!
B(p + n + l, r-p-7-m-n )a1+p r+1/2 x
x 4F3 ( - — 7 — пг, 1 — 27 — m, - + r + cr — 7 + n-m, т-р-7 — w — тг— -;
1 — 27 — 2m, —(-t + <j^7™ m, —h т — 7 — m; 1
[a > 0; -1/2 < ReG + p) < Rer -m - n- 1/2].
a
. [ (ж + аГ^Ча - ж)рA - ab - bxV^^CUlbx + 2а6 - 1)F^' a) (-) dx =
J ^«^
— a
= l ' , 7jm A + a - а)„ В (р + n + 1, a)Ba)Q+" x
win!
x 4F3 la, 7-+7 + ТП, --7-m, a-(j; -+7, a + p + n + 1, a — <r — n; 2
\ A A A
[a, 6, Re a > 0; 2ab < 1; Rep > -1].
6. J(, - a)>(b - xV^Cl (^f^) Pit» '> (f)
1 1 1 2a
2
; - p - a - 2n, ^ - p - n
2 2 2 а + о
[Ь > а > 0; Re7 > -1/2; Rep > -1].
ь
7
J \ a + 6 / \b
2.22.16] 2.22. Многочлены Якоби P^'^jx) 541
ХA+<Т_7_„
V2
х 3^2 I 1 — 27 — га, ™ + сг + п™7^ ГГ17 ~7 ~~ Р ~~ т ~ п ~ 7Т 5 1 ^ 27 — 2т,
\ zl zl
1 а + 6\
- + а - 7 - т; —— [Ь > а > 0; Re7 > -1/2; Rep > -1].
zJ Аи J
+ „ /1 + т . N B7)тГ[ 7 + 1Л « 1 „.,,,, T „,„.,-„. x
ran! \z / a + 7 + m + l/z
-; a + 7 + w+-5 - + а - 7 - ra, ^ + 1; ^r—
Zi Zi Zi Zjtt
9
. (* - «)
J
¦ (r + <т)п В (p + n + 1, r - p - n - l)BaI+p^T(a + 6O^1/2 x
x 4^3 I — — 7 ~~ fnj "^ Н" 7 H~ ^^5 1 — 7" —- <j, 1 — r; 2 + n + p — r, 1 — <т — т — n,
1 ^^i (l)
2 "' a + 6/ m!n!Ba)"
x 4F3 I — p — n, —p — cr — n, т + 7 + m — p — n — -, r — p — 7 — m — n— -; — p — cr — 2n,
т + 7-p-n- -, т — p — щ r J [b > a > 0; Re7 > -1/2; Rep > -1].
2 a + o/
10. j(*-ar^(ft_x)P(b + x)-c?(
3 3 3 a+b
__T_7)l_T;_ + 7 + m_r)__TO_T_7>ff + l;__
1 j l7
ini V2 Jn \ '2
т-7-p-m-n--; 1^27^ 2m, -+cr + r^7^m, ™ + r^7^m; ^^
[6 > a > 0; Re7 > -1/2; Rep > -1].
542
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.16
11.
2
m\n\Bb)n
x(a + by+p+n+1/2sF2 (-p-0- n,
¦ m — p — n , ~p — 7 — m — n ;
1 26
-р-<т-2га, 7-p-n--;
2' a
[a > b > 0; Re 7 > -1/2; Re G + p) < -m - n- 1/2].
2ж + 6- ал
+ 1/2, r^p^7^m^n-l/2
x (a +
1
F3I —p — П, —p — (T — Tl,
1
2'
1
-;
2
1
2
26
13.
pw; ——
a + 0
[a > b > 0; Re 7 > -1/2; Re (т - 7 - p) > m + n + 1/2]
-) dx =
Bp + n + 1, r-p-7-m-n--x
V 2/
л
T_p_7_m_n__;l_27-2m, - + T + a-j-m, -+r-7-m;— j
[a > 0; 2ab > 1; Re p > -1; Re (r - 7 - p) > m + n + 1/2].
a
14. [ (ж + аПа - ж)^^1 erf (ab ^ bx)C^+1/2 (-) P^ a) (-) dx =
J \a/ \a/
(p + l)nB(T + l)n
P .1 3
, - + 1; -,
+ 1; ,
, CJ + 1
+ 1,
22
; ^a b
[a > 0; Re^, Re a > -1].
15. (ж + а)<т(а —ж) erf F\/a — ж )C^+ ' ( — ) F^pl °"м — J dx =
J Va/ \a/
(p + l)nBg + l)n2
|; -ab
+ 1/2, a + 1
[a > 0; Re/3 > -1/2; Recr > -1].
2.22.17]
2.22. Многочлены Якоби
543
2.22.17. Интегралы от А{х)
а
. | (х + аH-1 (а - х)рA - аЬ2 - Ь1Х
а)Р^р' а\сх).
^) dx =
(-1
?р G)m+? (l + а - а - ?-)п В (р + п + 1, а +
1
-7 - mi 2
— + a — a — n; 2ab
a
J {x + a) ( '
1в(-1)т+п ,.л
-5 -+a- a; -
e = 0 или 1; a, 6 > 0; 2ab2 < 1; Re a > -e/2; Re p > -l].
2a
- - 7 - m, -+ ? + m, a + -, - + a
[e = 0 или 1; a > 0; Re a > -e/2; Re G + p) > -1/2].
±a
x 4-P3 j —
-n, c^ + n + 1, a, a+-; ^ + 1? —« a — m7 a ¦
A A
m-\
—; ——
A AQj
4.
e = 0или 1; Rea
47^1/2^7
-e/2; Re7 > -1/2, j > a > °\, <p = \ P\, Ф =
[a>6>0j ^crJ
7+p+n + l/2
v ;
1 1 2a
— -p-<7-2n, -p-n--; ——
2 2 a + 0
-p - cr - n, m - n - p - -,
[b > a > 0; Rep > -1; Re7 > -1/2].
Bm)!n!
.i
x 3F2 I 1 — 7 — m, - + П
7 — ?n, — p — j — m — n — -;
1 a + 6
[6 > a > 0; Rep > -1; Re7 > -1/2].
544
Гл. 2. Определенные интегралы
[2.22.17
6.
^ dx =
(-1ГG)т+?
п In!
х^з^-Т"™, -¦
2~^
e 2a \ (-l)mB7Jm+e /e^l , .
x Г
7 + 1/2,
C + e)/2-
(а+ 6)
x 4F3 ( —p — 71, -p — a — n,
т- р-п, т- р-п
2 '
1 2a
[е = 0 или 1; 6 > а > 0; Rep > -1; Re7 > -1/2].
0
Г. J(s-a)
jx + b
7 + 1/2, т^7^^~
5)
6/
xl/2+7^r
3 . 3+e 3-е л a+l
-n, --r, 1-r; ^^+7 + ^^^, -^ r^m, 1 + <j; ^^~
В (р + гг
^a + 1
1-е
' 2
— т ] х
—,
е - 7
8.
[e = 0 или 1; 6 > a > 0; Rep > -1; Re7 > -1/2].
— I dx = -7 ——г x
X T
T — 7 — p— ?7l — П ¦
г+п+ 2 ,т 7
- e - j -
e+1
; 1 — e — 7 — 2m,
- (J — 7 — 7ft H , T — 7 — 7ft + ¦
1-е 1
2 ' 2a62J
[e = 0 или 1; a > 0; 2a62 > 1; Re p > -1; Re (p - r + 7) < -m - ra - (e + l)/2].
9.
2.22.18] 2.22. Многочлены Якоби PJPj(t)(x) 545
ХB7Jт + Л^ \-Т-р-п\ Г 'r__n_/2 X
( i 1\7+Р+та-т + 1/2 jp ( ?-1 , , ? + 1
х(а + оO И ' 4^з( —р —га, —р —<т —га, — Ьт + m — р — га, г — р — j — m — n —;
\ А А
1 26
— р — а — 2га, т^р^гг™-, г — р — га; :
[е = 0 или 1; а > Ь > 0; Re7 > -1/2; Re (p + 7 - г) < -те — п - (е + 1)/2].
x BаO+р^т+1^24^з ( — P^n, —p — a — n, — hr + m-p-n, r^p^7^m^n —;
~~ p — a — 2ra, t — p — n— -^т — р — щ 1
л
[e = 0 или 1; a > 0; -1/2 < Re G + p) < Кет - m - те - (e + l)/2].
2.22.18. Интегралы от A(x)P^ "}(a + bx)P^ a)(cx).
n - 1/ - m + l)n ft ,ff
l)
n + lJn+i
[a > 0; m > n; Re cr > -1].
J
x Ba)/3+"+l/4F3(-m - 1/, Л + m + 1, ^ - p, /3; /3 + <r
[a, Re^ > 0; Re (<j + 1/) > -1].
a / V a/ mini
x Ba)/3+"+l/4F3(-m - 1/, Л + m + 1, ^ - p, /3; /3 + <r + n +1, A + l, /3-p-n;
3.
x
= -Ц^у A + А + n)m(-m - !/)п В (р + га + 1, о- + n + l)Ba)"+p+cr+1
х sF2(n — rra — i/, А + m + ra + l, р + га + 1; р + <т +2га + 2, A + ra + 1; 1)
[а, те > 0; Re p, Re (i/ + <т) > -1].
Г /жм2 ГСсг + 1) I2
1. \ (х -{- а) а(а —- х)р Рп'а (~~" 1 dx = :—— В (р + 2п + 1, 2<т + 1)Bа)^ °"
J L \а/\ [ n! J
^а [а > 0; Rep > -1; Re a > -1/2].
. — ) с!ж =
5. j (x + a)" (a - х)л+"Р1л- "J (f) P<" CT> (J)
^ f^ C1 + ^^(l + * - «)n В (a, p + n + l)Ba)a+p+A x
mini
x 4^з(^^г — A, i/ + m + 1, a — о", a; a + p + n + 1, i/ + l, a — <r — n; 1)
[a, Re a > 0; Re (A + p) > -1].
35 А. П. Прудников и др., т. 2
546 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.18
6.
и + п)т(-т ~A)nB(p + n + l,(T + n + l)Ba)p+<T+A+1
x
х 3^2A1 — m — A, i/ + m + ra + l, <7 + п + 1; p + <7 + 2rc + 2, i/ + rc + l; 1)
[а, п > 0; Re (Л + р), Re a > -1].
7. ^(х + аГ(а-хГ"[Р^^^)\ dx=\*-^\ ВBр + 1,а + 2п
[а > 0; Rep > -1/2; Recr > -1].
а
8.
— т)!
т)\
ХГ| ' ' " ' "• '"''-"' ' .-¦-, -.»-.-,- - f * 1 [o Re,,, Rep>-1].
[р + <j + n + 1, р + v + m + п + 2, 1 + m - а + I/ - raj
9.
l, т-A-p-m-n- 1)BаI+л+р"т
х
x 4^з(™А — иг, —v — A — m, T + cr™A + n™ гтг, г — А — р — гм — гг — 1; — i/ — A — 2m,
r + cr — A — 771, r — A — m; 1) [a > 0; -1 < Re(A + p) < Rer - m - n - 1].
a
10.
J
ж — 2/
— a
y } .у{уПу )ХЧ№(
n + 1, p +<7 + 2ra + 1J Va/ Va
[те ^ n; о, у > 0; Rep, Re cr > —1].
a
11. f ^
] x
—- у
— a
— 2(у — а)р(у + а)ауп т Рт' ( ~ ) Qn' а ( ~~ I [тп < п; о, 2/ > 0; Re p, Re сг > —1].
Va/ Va/
Г 1 (а л
1 *> (v 4- п\а~ (п — <г\р Р^-^ЧЬт 4- nh ¦
-h р + га + 1, I/ + I, a^cr^n; afe)
[a, 6, Re a > 0; a6 < 1; Rep > -1].
13. j" (ж + a)"-1^ - x)p(l - ab - bx)xP?" v){2bx + 2ab - 1)Р^р'а) (|) da; =
mini
Рз(~т — A, j/ + га + 1, a^cr, a; a + p + ra + 1, i/ + 1, a^cr^n; 2a6)
[a, 6, Re a > 0; 2ab < 1; Rep > -1].
2.22.18] 2.22. Многочлены Якоби P^'^jx) 547
14. j(x - а)ЦЬ - *)*Р?- "> BЖ++7Ь) Р<» '> (f) dx =
а
= (~1Г(Р,+,ГоV + 1)п ("-р-п)тВ(\ + т + 1,р + п + 1)(а + б)^^1 х
х з^2 ( ^р — о" — тг, и — р + т — п, —X — р — т — п — 1; —р — а — 2га, v — р — п\
а + Ь
[Ь > а > 0; Re Л, Rep > -1].
1). в +
2, т-п + Л-сг + 1; Л + р + 2; ) [6 > а > 0; Re A, Rep > -1].
V 2а /
= -t^ Bb)p+x+m+1(a + &)^m(i/ + Л + т + 1)т(<т - Л - ш)п В (р + п + 1, Л + ш + 1) х
mini
х з-^2|—^ — A — m, cr + n^A^w, —А — р — m — n — 1; — i/ — А — 2гм, сг — А — т; ^™т—
\ 2о
[а, 6 > 0; Re A, Rep > -1].
17 f (х т а\а-1(Ъ х)х
17. j(xT«) (С х)
(
n(l + i/ - a)m В (А + m + 1, a)Ba)^F T а)а+Л х
га + 1, a, a^i/; a + A + fn + 1, a — i/ — 7n, ^> + 1; —r—
2a
18.
а -
= V Д A + 1у)т(т + о-)п В (р + п + 1, г - р - га - 1)BаI+р^т(а + 6)А х
тга'га!
х 4-^з I —А — тга, i' ~Ь тга + 1, 1 — т — 0 1 — ^5 2 + fi + p — т, 1 — <т — т — га, f
, , ;
a +
k (r + v _ p _ n)m в (Л + m + 1, 1 + n + p - r)(a + b)x+»-T+n+1 x
x 4F3 I ^p — n, —p — d — 71, r + i/ + m^p^n, r — p — А — 7П — n — 1; ^p — tr — 2n,
^p^n, r — p — ra; I [6 > a > 0; Re A, Rep > —1].
a + b J
35*
548 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.18
19.
^7
т!тг!
)p х1
Bb)p(a + Ь)х^Т+1A + а)п(т + i/)m В (Л + ш + 1, т - Л - m - 1) х
х 4^3 ( ^P - w, <т + га + 1, 1 — т — i/, 1 — т; 2 + А + m — т, 1 — m — т — i/, <т + 1; —— ) +
'-1' ^MP+A+m-r+i^a + 5)^^(|/ + А + m + l)m(c + г - А - га)п х
— А — 771, т — А — р — in — га — 1;
— и — А — 2т, а + т — X — т, т — А — т; —— ] [6 > a > 0; Re A, Rep > -1].
АО 1
20.
п1)п (" - Р - n)m В (А + m + 1, -р - А - m - п - 1)(а + 6)л+"+гг+1 х
?тг!?г!Bо)
/
X 3^2 I ~Р ^СГ^П, I/ + 171 — р — 71, ^р — Л — 771 — П — 1; —р — СГ — 2п, V — р — Щ
21.
a + Ь
о > 6 > 0; Re А > -1; Re (р + А) < -га - п - 1].
ж
~ m!n!B6)" v~ ' ' r "'m
x 4F3 I ^p — гг, —p — о" — га, и + т + т^р^п1 r^p^A^m^n^l; ^p — a — 2ra,
V
i/ + r — p — ra, r — p — ra; r 1 [a > 6 > 0; Re A > -1; Re (p + A - т) < -те — n — 1].
a + b J
00
r
J
a
^^ I |у I sib \ A. I ffb / . \ X т~\ / 1 1-1 \ -i\/n\/3 "T~ A -™" T ~t~ Tfh ™T~ 1 I A "f~ Tt%
= —: (t + <7 —A —m)n В (p + ra + 1, r —p —Л —гаг —ra —l)(za) о х
win!
Л Ш' ^ ^5Т + ^ +w ш^ P m n , и m,
т + a — A — m, т ™ A — m; —7 ] [a > 0; 2a6 > 1; Re p > -1; Re (p + A - r) < -ra - тг - 1].
Adi) I
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе помещены двойные, тройные и многомерные интегралы, содержащие не-
некоторые специальные функции. Основным способом вычисления этих интегралов является
сведение их к повторным интегралам, которые находят путем последовательного интегри-
интегрирования по каждой из переменных в отдельности. Кроме того, часто используется метод
замены переменных интегрирования. Ряд формул общего характера, с помощью которых
кратные интегралы могут быть приведены к одномерным, имеется в книге [12].
3.2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.2.1. Общие формулы.
оо
"-'- Г
Обозначение: /(р) = е^рх f(x) dx.
о о
oo oo
2.
OO
f(xy) dx dy = 2 I KQB^pqt)f{t) dt.
/(уж2 + у2) dx dy = —
3.2.2. Интегралы, содержащие Г(ж),Е1(ж) или erf (ж).
OO
Обозначение: f(p) = е^рх f(x) dx.
о
Условия: a, Rep, Reg > 0.
3.
oo oo
J
0
J П
0
oo oo
I г
J
0
oo
Г
J
J
0
J Г(
0
1
f
J I V
0
= -! _q
ya*
[ax + 1)
x + n
У
1 I 1 \
550
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.2.3
4.
6.
7.
о 1
оо ею
Цх)
dx dy =
\nq)'
5.
Г(х)
dx dy =
q(p + In qJ'
m x + n
x у -P*-*ydxdy =
о о
oo oo
0 0
OO OO
El (axy) dx dy = — \e^pq/a El №) - In ^ -
8тта „.
8. 1 I x-*/2y-*/*e-vl*-*Uv El (-axy) dx dy = ^^ El j -JSqy/Ep 1.
о о
oo oo
"^^'Eif^Eif-i/) dxdy= "in 2^ -^—- -Vln2(p+1)- 4- LI 2 ^
p op2 p2 p2 \p +1 /
о о
oo 2/ oo oo
С С Г Г тг^
10. Ei (-у) Ei (-ж) Ei (ж - у) dx dy = Ei (-у) Ei (-ж) Ei(y-x) dx dy = 2 In 2.
о
oo oo
11. I I Ei(-x)Ei(-i/)Ei(-|iB-i/|)da:dy= — -41n2.
0 0
oo oo
12. I I 4e-p*-4
13.
0 0
oo oo
' erf (axy)f(x) dx dy = — [f(p) - f(p -
erf (axy) dx dy =
о о
oo oo
3.2.3. Интегралы, содержащие функцию параболического цилин-
цилиндра ^(ж).
Условия: a, Rep, Reg > 0.
-i i i -3/2 u — 2 —x,
\. \ \x ' у е
Dv(axy) dx dy =
exp
о о
oo oo
2.
oo у
3. I e
о о
У
Dn(y/2(y - x) )Dn(iAf2(y - x)) dx dy =
\m + n — четное .
3.2.4]
3.2. Двойные интегралы
551
3.2.4. Интегралы, содержащие функцию Бесселя Ju(x).
оо
^ Г _
Обозначение: /(р) = е рх f(x) dx.
Условия: а, 6, Rep, Reg > 0.
у
-чу е^рх jQ(a^JXy - ж2 )/
о о
2
2.
dx dy =
о о
оо оо
" '
оо
>. J j^
dy =
о о
оо у
6.
7.
8.
9.
10. e
У
1 1л(ах)
dx dy =
иJu(clx) dx dy =
t т ( i \
J V2/ - ж
о
1/
1
JijaVx2 -b2)
dx dy =
0 6
oo t/
abq
0 6
oo oo
J v^^
aq
12 I e
13.
«/i(oVa;2-62)
dx dy =
0 t/
abq
dx dy =
- q)
[Rei/ > -1].
[Re и > -1].
[Rei/ > -1].
[Re i/ > -1/2].
[Re и > -2].
+ а2
552
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.2.4
14.
15.
16.
О
oo oo
о о
oo oo
y JQ{x + y) dx dy =
qyJt{x + y) dxdy =
о о
oo oo
17. I e~px~qvJ0(a^/xTy)dxdy =
0 0
oo oo
18.
19.
20.
21.
о о
oo oo
0 0
oo oo
9y Jo(
dx dy =
dx dy =
1 - q) p(p - q) '
# 22
a(p - g)
1 I P
q2 + а2
1
о о
oo oo
p2 + 1 + (q - p)^p2 + 1
о о
oo oo
¦2xy
- 4+ \/ч2 +
22.
о о
oo oo
о о
oo oo
M-4-1 1
ж 2/ e ~ Ju{axy) dx dy =
i/+3
о о
oo oo -
xu'у ve px qy Ju{axy) dx dy =
о о
oo oo
Г Г m_i_n__i m+i _ д.— 2
26. I I ж i/ e Jm(axy) dx dy =
¦•"'•Ч-'-з-У
[Re i/ > -1].
p2 /a2 (I p2q
-ep q/ Г --y,^f
\I az
[Rei/ > -1/2].
ГBт + п)
27.
= a/yApq + a2 , i^2 = «/(V 4pg + a2 + 2y/pq); Re i/ > — min (I, ra) — 1 ,
4 1/ + 1, 1/ — 2П + 1
[Re i/ > -1],
3.2.5]
3.2. Двойные интегралы
553
A,+l,l~n =
- п/2
и—п+2 п—2
[Re v > п - 2 при 71 = 1, 2, . . . ; -1 < Re I/ ^ 0],
а 2т — п+1, п+1 п2т — п/ i\ n — 2m-2 т — п * 2га + 2
T-yj, — /j I 772! )CL (J гъ-^ j
±i/2,±i/2
ак\
«mo I I ^+3 v + 1 —px —ay j / \ j j
28. ж у e p чу Jv(axy) dx dy =
4Г C/4)
^^^
l)], ^2^ =
[К(А2)-Е(А2)],
4p2Dpq + а4) *
о о
оо оо
[Re и > -1].
29.
30.
о о
oo oo
г
V
)
0 0
oo oo
31. xye~
о о
32-
sin axy Jo(bxy) dx dy =
[Dpg + a2 - b2J + 16&2pg]3/4
4pq + a2 - b2
л/2
[2Е(Л)-К(А;)]
1/21
a2 ~~ b2J + Wb2pq
cos аж2/ Jo(bxy) dx dy =
[Dpq + a2 -
K{k)
[к см. в 3.2.4.31].
33.
— e
cos axy Ji (axy) dx dy =
4bp
[Dpq + a2 - I?2J + 1662pg]1/4[4pg + a2 - b2 + v/Dpg + a2 - 62J + lQb2pq}k2
X [E(ife) - A - ife2)K(»] [ife см. в 3.2.4.31].
3.2.5. Интегралы, содержащие две функции Бесселя Ju(x).
Условия: а, 6, Rep, Reg > 0.
1. Jo[2i-y//i(a — х)(Ь — у) ]JoBi<y/—ixy ) dx dy = bel Bva6).
о о
554
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.2.5
2.
3. j ,*..-J
о ь
oo у
^2 - б2
[*,„>„].
[Rei/ > -1].
4. e~g2/ J0BJ(y - x)x)J0{2y/bx) dx dy = — exp ( T^—).
J J q2 + l \ q2 + lj
о о
oo oo
_
¦''' —
6.
7.
dx dy = Iu
pq
Jt(axy) dx dy =
A; =
\ Re i/ > -I
о о
00 00
Xy) dxdy=
о о
oo oo
8. | I ж
|/ ^ e px qy
Ju(axy)J^l/(axy) dx dy =
о о
oo oo
И__ 2 _ 2
xye px qy Ju(axy) Jl/+\{axy) dx dy =
о о
[Re 1/ > -1].
[Re и > -1/2].
Rei/ < 11.
10.
11.
12.
pq
dx dy =
pq
[Re 1/ > -3/2].
napq
-E(fc)]
fe = a/(\/pq + a2
J^ix/^d xy)Jl/(\/^2i xy) dx dy = J- Qiy^1/2(pq) [Rei/ > -1/2].
о о
oo oo
о о
oo oo
Г Г
13. же"
о о
dx dy =
dxdy=
1
1 2 I l2
(ж2 + |/2) Jo(ax)Jo(by) dx dy = - sin
К
+ 1) \У Р
[р, q,pq-l> 0].
[B- к2)Щк) - 2Е(А;)]
р, g, pg - 1 > 0; Je = у/2 /y/pq + ll.
[a, 6 > 0].
3.2.8]
3.2. Двойные интегралы
555
3.2.6. Интегралы, содержащие три функции Бесселя Ju(x).
Обозначение: к = 4cvab /^/Dpq + Aah + е2J + W(aq — bpJ .
Условия: а, 6, Rep, Reg > 0.
оооо 2тг
f(x)J0(xy)Jn(ay)Jn(by)dxdy= — f (\f а2 + Ъ2 — 2ab cos (p)cosmp dtp.
2ж J
о о
oo oo
2.
3.
4.
о о
oo oo
жсуаЬ к
K(k).
- 4аЪ + с2J + 16(aq - bpJ - I6abc2]k
1 г/~ »2
[{2 ~ к2)Щк) ~ 2Щк)].
3.2.7. Интегралы, содержащие функцию Неймана У^(ж).
Условия: а, р, g > 0.
оо оо
1. I I e~px2~qy2Y0(axy)dxdy = ^
о о
oo oo
2.
p2 + q2 + a2'
о о
3.2.8. Интегралы, содержащие модифицированную функцию Бес-
Бесселя 1и(х).
Условия: а, 6, Rep, Reg > 0.
оо у
vv'Iu(ax) dx dy =
о о
оо у
[Rei/ > -1/2].
2.
dy =
abq
3.
4. е
У
- b2
о
оо оо
1
— б2 ) dx dy = —
} У aq
aq V уд2 - а2
5. I I х'у'"е
о о
me px qy In(axy) dx dy = A1^1
abq
\Pi 4i ^pq — a > 0; к = a/\/4pq ,
556
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.2.8
4±1/2,±1/2
(P9)V4
2 ± l\ j 2Dpq - а2
~4~Д 1
К
\
\Л^
4pq
4pqk(l - к2)
[Е(к) - A - к2)К(к)],
I%p2q2k{l-k2f
1
= "к
.з 1
-PJLV
— [A + 7^2)Е(^)^A^
.-1/2,-1/2
492А;A-А;2)
Е
1 1 1г а-
2 2]
4pq
к^)
к
to \\
\->-
4pq
[A -
- 2A -
^2,0
41'1 =
3
'j?^ [B - 3Jfe2)(l - к2)Щк) - 2A - 2А;2)Е(А;)],
^ к2J
зу [(8 - 7fe2)E(fc) - A - Г)(8 - 3^)К(А;)],
[(8 - 9Jb2)(l - к2)Щк) - (8 - Ш2 + ЗА;4)Е(А;)],
4-1,3
43
12g2fe3(l -- Дг2)
[(8 -
ife2)K(A;)],
- (8 - 3^2
45k3
[(8 -
Лз 3>' = Y5^fe3 К8 " ^ ~ 2Л4)Е(Л) - (8 + fe2)(
Аз'3 = чЛи К8 + 3^2 + ^4)Щк) - (8 + 7Г
- A;2)K(A;)],
3.2.9]
3.2. Двойные интегралы
557
6
о»
7 I I тК,тр^Рх2^яу2
I » IX U С
_
(ijj ад —
shаху 1'n(bxy) dx dy = Bn'm(a)
[a, b, p, q > 0; 4pq > (a + bJ; k2 = Sby/pq /(By/pq + bJ — a2)],
1/4
W)E{k) -
- 2)K(*)]-
8.
[a, b, p, q > 0; 4pg > (a + feJ; к2 = 86л/рд /(By/pq + bJ - a2)],
«V4
K2 - *2)ВД - 2Е(*)],
C2l2(a) =
- 4)C^2 - 4)K(fc) + 8(fc2 - 2)E(fc)],
" k2)A5k4 - 128k2 + 128)K(fc) - 2B3fc4 - 128k2 + 128)E(fc)].
m _ря.2_ г
-iBn'm(ia)
[6, p, q, 4pq ~~ b2 > 0; см. 3.2.8.7-8].
3.2.9. Интегралы, содержащие две модифицированные функции
Бесселя Л,(ж).
Условия: а, 6, Rep, Reg > 0.
Xkyle-P* ~^
1 4i РЧ — «2 > 0; 1г2 = (Vpg — y^g — a2 )/By/pq) ,
1 — 9k2
— k2
- к2)Щк) - A -
558
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.2.9
У*
[A - к2)К(к) - A - 2к2)Е(к)]2,
\\\ =
А\\\ =
[Щк) - A -
3 =
V*3 =
- *а)к<*> - d -
x [2A - к2 + kA)E(k) - A
- 2A - 2к2)Щк)],
- A;2)K(fc)],
¦ [2A - k2 + k4)E(k) - B - fc2)(l - k2)K(k)} x
x [B - 3fc2)(l - k2)K{k) - 2A - 2k2)E(k)],
,.ц ^ [2A - Л2 + fe
22b7rk6(l~k2Ky^pq
315тг1с6A —
1 — 2J^2
- A - k2)(8 - 19к2 + 15к4)Щк)]2,
[A ~ 2k2) (8 ~%к2 + Зк4)Щк)~A-к2) (8 ~ 15k2+ Зк4)Щк)]2,
— 2A — 2j "
[A - A2)B
x [(8 -
- 19k2
-|
x [A - Jb2)(8 - Uk2
3A;4)E(A;)].
2.
[р> а; <7 > 6; (p-a)(<j-6) > c2/4; fe2 = 16а6с2[4(р + а)(9 - 6) - с2][4(р - а)(9 + 6) - с2]]
ksDp2q - 4a2g - с2р)
к
lj3 _
oi.s _
8тгA - Л2)(а
fc3[Dp2g - 4а2,? - с2рJ + 16&2(р2 - а2J - а2с4]
( h
[B - к2)К(к) - 2E(fc)],
1'3
3.
d<r. dy =
о о
oo oo
a2l/Vl6p2g2 + a4
v
4. ye~
j J
о о
qy Jm(axy)Im(axy) dx dy =
1
r[m+-.^_TO_1/2 a
(
_т_1/21
\ a
3.2.10]
3.2. Двойные интегралы
559
3.2.10. Интегралы, содержащие функцию Макдоналда Ки{х).
Условия: a, Rep, Reg > 0.
K0(axy) dx dy =
2
- а2
In
2 ^
а2 V a2
[А; = B^/pq — ®)/(^л/рЯ + «)],
, М = ,п ^Ж, .ля,о [Щк) -:
OO CO
_ Г Г 1 -рЖ-0
2. -е рж q
J J У
о о
з.
dx dy = —H
2P L
о о
оо о©
Р J \ P
^К2т(е^ж/4^/^Р^)>
4.
dx dy = A^J1
a, 6, Rep, Reg > 0; fci =
- bJ - a2
+ 6J - a2 ;
k2 = ^fa2 - (
[\2y/pq - b\ < a < 2л/рд + 6],
5.
[\2y/pq - b\ < a < 2^/pq + 6].
) [a < \2^, - b\],
6|< a < 2v^? + 6],
l, ^2 см. в 3.2.10.4].
6.
oo oo
о о
sin (axy)K0(bxy) dx dy =
cos (axy)Ko(bxy) dx dy =
+ fl2]3/2fc2 [K(A) -
fe =
K(fe)
8. xkyle~{x +y )/2Im(axy)Kn(xy) dx dy = Ak^n
о о
+ ^ + д 2
[А; см. в 3.2.10.6].
a2 < 4; fc = B - ^4 - a2 )/4],
560
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.2.11
4W1 - к2
0,0
2кл/1 - к2
- ^ЩЩк)Щк) ~A"
-к2)Щк) - {1-2к2)Щк)]1
о,о _
4и'и —
А2,о —
А2,0 —
ак{1 -
- A - к2)Щк)][{1 - к2)Щк)
- A - к2)Щк)][A - к2)Ж(к)
ЗакA-
- к2
[A^к2)Ж(к)^A^:
х [A - k2)(l - 8к2)Щк) - A ~~ 16k2 + 16A;4)E(A;)],
2
¦[A^к2)Ж(к)^A^:
х [A - 8к2)A ~~ к2)Ж(к) - A - 16^2 + 16А;4)Е(А;)].
3.2.11. Интегралы, содержащие функции Кельвина berj/(a?) или
bei (х 1
Условия: a, b, Rep, Reg > 0.
1.
ж 1/
а4у4
dx
1 тг /
dy = -—(е
2.
dx dy =
2ауЩ
3. j j хуе
о о
оо оо
Г Г
4. жз/е
о о
оо оо
5. ж1/+1
2 2
~pjB ™g!/ bei (axy) dx dy =
Ьег (axy) dx dy =
о о
оо оо
16p2g2 + a4#
_ ( aP \ v ^P^ s'm (З^тг/4) + a2 cos Ci/tt/4)
V 2 / 16p2^2 + a4
[Re i/ > -1].
6.
о о
oo oo
7.
ЪеГи{аху) dx dy =
dx dy =
4 2/
[Rei/ > -1].
3.2.12]
3.2. Двойные интегралы
561
8.
9.
2
О О
оо оо
10.
ber (axy) dx dy =
ОО ОО
11.
о о
оо оо
12.
ber (ажу) dx dy = Ж— J
0 0
оо оо
13. xyKo(ax)Ko(by)(herxhery - bei ж bei у) dx dy = 2 ^ ,2
J J \_fl' ~i -L/\" I" -L/
[Re a2, Re62 > 1/2].
3.2.12. Интегралы, содержащие ортогональные многочлены.
2/3+1
sln2/3 жР?*'д) B| cos a cos 6 + ?/eia; sin a sin Ь|2 — 1) dx dy =
2.
""
а + 1/2, /3 + 1/2J р^а-1/2,/3-1/2) (_1)Pj(Q-l/2,/3-1/2) (
- В), 26= V/A
3.
\/l — X2 — y2
v
оо оо
4. | f e^px^qyl
о о
oo oo
у) dx dy =
1
рП+1дП1Цр_д)
— [in zz: 7x — четное число],
[в остальных случаях].
[pn+1(?-l)n-?n+1(p-l)n].
6.
Пт
р{т)
[Re а, Rei/ > -1].
А~а~^ х
-ni, . . . , — nm; «i + l, . . . , ат + 1; —, . . . , ^J
[Re a, Re/3, Re A, Re (a + /3 + /i) > 0].
36 А. П. Прудников и др., т. 2
562
Гл. 3. Кратные интегралы
[3.3.1
3.3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
оо оо со
"¦" Г— ~ Г Г — —
Обозначения: f(p) = e~px f(x) dx, /(p, q) = е~рх~чу f(x, у) dx dy.
о оо
Условия: a, Rep, Reg > 0.
3.3.1. Интегралы, содержащие гамма-функцию Г(ж).
1.
yn+x-lzX-l
dx dy dz =
0 0 0
оо оо у
~qy~rz
qn In (qr)'
dx dy dz = — v\ 1.
°rq
Г
0 0 0
3.3.2. Интегралы, содержащие функцию Бесселя Ju(x).
1. [ [ [ -^г- J0(y)J0(z)f{y + z)dxdydz = 2\ л/Y^t sin tf{t) dt.
J J J \/x J
x+y+z^l 0
2. e
3.
-rz -qy
/о(ж) dx dy dz =
ooo
OO CO
r(q
oo
J i*<
1 , , , , , , 1 ,
— Jo (ж) ax dy dz = -— In
X )ftv*
2qr a2
4.
1
/r2 + a2 (q - л/г2 + a2
Jo(aVz2 - x2 )f(x, y) dx dy dz = f(Vr2 + a2 , q).
vr + a1
6.
7.
8.
9.
10.
0 0
oo oo
II
J J
0 0
oo oo
11
J J
0 0
oo oo
II
J J
0 0
0
z
e~qy~rz Г
J
0
z
г
e
J
0
z
e~qy~rz Г
J
0
oo oo oo
11'
J J
0 0
e-4V-rz
J
0
oo oo oo
е-ЯУ~г
? I/) <^ж dy dz = -jf I r + —, q I.
= -/(r, g)
a a
-/(?)].
2
Ar'
— ж2 )f(x, y) dx dy dz = —/(r, g) f(yr2 + a2 , g).
qr(a2r — b2q)
1 >^
Jo(axfxy)Jo(b\/3cz)f(x) dx dy dz = —f
qr
4r
3.4.2]
3.4- Многомерные интегралы
563
3.4. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.4.1. Интегралы, содержащие функции Бесселя Jv{x) и Макдо-
нальда Ки(х).
Обозначение: cfx = dx\ dxi . . . dxn.
oo oo
2.
X\X2 • • • Xn
[OO; Re i/ > 1/2 - 2/(n + 1)].
[Re с > 0].
3.4.2. Интегралы, содержащие ортогональные многочлены.
Обозначения: Ьх = Ь\Хг + 62Ж2 + . . . + bnxn, die = dx\ dxi . . . dxn.
. J.
2'
4.
5.
= 0
, Rea2, • • • , Rean > 0; ai + . . . + an = 1].
. + gn)dx= Д^^ ПГ(«О
[Reai, Rea2, . .., Rean > 0; ai + . . . + an = 2].
n
Re A, Re (a + 1), Re {C + 1) > 0; ]T a\b\ = 1
fe=i
[0 ^ m ^ /].
[m > I],
a + 1 = А + те/2; Re(a + 1), Re (A+ 1/2) > 0;
1
= 1 .
a + l = A + n/2; Re (a+ 1/2), Re A > 0; ^ a\b\
36*
Глава 4. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе помещены некоторые конечные суммы, содержащие различные специаль-
специальные функции. При вычислении конечных сумм иногда может оказаться полезной следующая
формула замены индекса суммирования:
П2 П — П1
^2 ак = Y1 ап-к->
к = п\ к = п^П2
в частности,
k=0 k=0
Всюду в этой главе I, га, п = 0, 1, 2, 3, . . . , если не указаны другие условия.
4.2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ •/„(*), Iv(z), НЕЙМАНА Yv(z)
И МАКДОНАЛЬДА Kv(z)
4.2.1. Суммы, содержащие Ju(z).
1 Г
1- ^?jJu±2k{z) = ±- \[JvTi(t)-Jv±2k±i(t)]dt [
2. ?(-1)* J2k(z) = \ COSZ + 1 J0(z) + (-l)nU2n+2(z, z).
k=0
3. Y,(-l)kJ2k+1(z) = ±smz + (-l)nU2n+3(z,z).
k=0
4. Y,(-l)kkJ2k(z) = |[(-1)ПЛп+1(«) - Mz)].
fe=l
5. ^Bk + 1) J2fc + l(z) = I - (П + 1)Z \- J2n + 2{t) dt.
k=l I
n
6. ?(-l)*B* + 1 |
7. 2^(-1)кBк
fe=i
п
8. VV-l)fc(V-
fe=O
4.2.4]
4-2. Функции Бесселя, Неймана и Макдональда
565
12.
f1 "
fe=O
{-l)nz-n-^2{2n)\
15.
+ 1
-n\(zy
fc JI2J
("l)n
2.
fe=O l
4.2.2. Суммы, содержащие Yu(z).
1
5] У4) ±
= I [Yo(z) + (^l)nF2n
3-
fe=0
4.2.3. Суммы, содержащие Iv{z).
2.
3.
h[z)
4.2.4. Суммы, содержащие Kv{z).
z)Ju(z) -
[m > n].
[Re 1/ > 0].
[Re и > 0].
566
Гл. 4 ¦ Конечные суммы
[4.3.1
2.
1 f d \n
4.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
4.3.1. Суммы вида У^ акРы+т(х).
ж-1
[(m + n
A
dx
2.
3.
4 \ I \( x) Ph(x) = A x )n P (
fe=O
5.
2.
;)-Pm(x))].
[cr = 0 или 1].
1-П+1/
6. У^ cos (n — k)xPk(cosx) = yiPn(cosx).
4.3.2. Суммы вида ^ afc |~[ Рд^+тД
ITT
к + 1
2.
= | Р„+1(я!) In
1 ~- x
4.4. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА L%(x)
4.4.1. Суммы вида ^k^
1].
2.
4.4.2] 4-4- Многочлены ЛЪгерра L^(x) 567
п 1 Г 1
3. У - Lfe(a;) = - [Ь„(ж) - 1] dx + <ф(п + 1) + С.
k=i J
)
i(*)K/J)L|l(!B)""G9)rLn (
fc=O
6\. ^ \r^ "т" -"-/к j- esc / \ \H "r~ ")n rp ( „, /Э i i л i 1 /Э i о
fc=o ^a ^fe w'
8. J2 [ (-1)" r«^_ (-1)"
fe=O ^ ^'^
k=0
-.)„ iKK ' (а/2 + 1)„A/2)„
\
Ж
^ (a - n + l)fe Vfe/ гтг!(а - n +l)n
- Е,» _ м
17. *?
k=
4.4.2. Суммы вида ^ о* Ц Lhhf'+^(xi).
i
n ^
^2 Lk(x)Lk(y) = [Ln(x)Ln+1(y) - Ln+1(x)Ln(y)].
ж y
fe=o ж y
2. ^[МЖ)]=(п-
fc=0
3. 53 ЩаО/^Ы = L«+/3+1(^ + y).
fc=O
568
Гл. 4 ¦ Конечные суммы
[4.5.1
к\
а + 1 / ч га / \ т ос-\-1 / \п
n (ж) - Ln+1(x)Ln_1(x)j
(а + 1)п
Ln(-a;)
7. ?¦
fc=O
n
8. J\
fe=O
10. ^
(^1)A
т а-\-в /
9.
kt, k2, ....
4.5. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА Hn(x)
4.5.1. Суммы вида у"
1)!
Bn + l)!
22n+c
\ ^
/ 1\ппп
Bn +
E
7-
k=0
n ( i \Aj
a2n
2
9.
(^ж) = (-4) .
+ Ж2 + • • • +
1, x2)].
[<7 = О ИЛИ 1].
[<t = 0 или 1].
[cr = 0 или 1].
—2k
ж
- 2ka
n!(na
4.5.3]
Jf..5. Многочлены Эрмита Нп(х)
569
11.
4.5.2. Суммы вида у] аи \\ Нк1{±т{ (xj).
Е
fc=O
2- Ё Ш
fe=O
3.
4.
п+г(х)Нп(у) - Нп(х)Нп+1(у)].
'-У)
v)-Hn(x)Hn+2(x)].
min (га, п)
в.
- Ё (S
х - у
к=0
Е
ki+k2 + .-. +
kt,k2, -.., k
2у2).
¦ ¦ ¦ Нкт(хт) =
+ al + • • • + «m)n/
tin
+ «2Ж2 + . . . + amxm
a\
4.5.3. Суммы, содержащие специальные функции и Нп(х).
{x2-l)y2
Ё
fe=O
fe=o ^-;
570 Гл. 4- Конечные суммы [4.6.1
4.6. МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБА?ЭРА С?(х)
4.6.1. Суммы вида \J
(nfc)!(n + I + ff + 1)fc
v4 ,4ft(г/+ g)feBfc + г/+ <т)
(п - к)Цп + v + * + 1)к(и - ц + 1)„ С^+^Х>
=
л \^ Ъ ^.v, \ -L /,, л. . .2\n/2^vl 1 — tX
fc=O
n-1
5. У^ cos (n — А;)ж Cfc (cos ж) = ^—
fc0
*il _ _ _
¦ B sin ж sin|/)™nC^™n(cosx)G^™n(cos|/).
n!
Bn-A:)!Bi/)fc
' 22теA/2)те
4.6.2. Суммы вида /^ Qfc || C^\. (xj).
%
In n
k=0 fc=O
3e S(*+|/)С7*(я!)С7я-*П(у)=^^2П(ж-у)П-
V
^ (n - k)\Bu + aJk{n + v + (T + l)
m + 2n П(Ж)
/
Ж|/+ ^
fc
2 2
+ 2/
(I/ + 1/^Jn
2/ - 1) О2те + , - [G = 0 ИЛИ 1]
\ 2 + 2 1
I/
2
4.7.2] ^.7. Многочлены Якоби Р^аф) (х) 571
4.7. МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБМ Р^т(х)
4.7.1. Суммы вида ]Г akP(ka±kl^±km) (х).
(a + 2)n / а + 1
aF2f п, п + а + 2, ^^; а
fe=O
2.
4. 2^"
fe=O
n ( i\k
5. y, 4^ — ^Г ч^) = (-1)п-
fe=O
fi
7
8. 2^
fe=O
9 \ k
9. Чл : I Z I p("-fc./3-fc)^^ _ X f Z 1 p(a+7-2n+l^-n)/
fc=O
i
2-
4.7.2. Суммы вида ^ a, f] ^f.+^f'^+^'(^)-
VP{a'a)(\P{0'0)() a + f3
- k)
( — oc, —a) / \
1
(a
nV 2
У n
(a + /3 + n + l)n(a + /3
n!(a + 1)„(/3 + 1)
^0(fe + « + /3
1 (x-y\n
572
Гл. 4- Конечные суммы
[4.7.2
(а
х 3F2(-п,
а + 1,
2; 1).
fe=O
Глава 5. РЯДЫ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе приведены суммы рядов, содержащих некоторые специальные функции.
При преобразовании таких рядов, в частности при приведении их к форме, которая принята
в этой книге, можно воспользоваться формулами из приложения П.
Ряд формул общего характера, которые могут оказаться полезными при суммировании
рядов, имеется в книге [12].
5.2. НЕПОЛНЫЕ ГАММА^ФУНКЦММ 7(«, ж), Г(«, ж)
5.2.1. Ряды вида У^ akjjttk, ж).
1 V— ГА; - —
k=Q ' a
со
Е1 X
Х^ 1
fe=O
—, х I.
fe=O
оо
= — 2F2(a, 7 ~ ^; а + 1, 75 ^
ка + b
t
5.2.2. Ряды вида >1
^1\ /1 M
In A - ¦
4. ^-
fc=O
574
Гл. 5. Ряды
[5.2.3
-e-1/t\Ei(-x + - 1 -Eil -
2 It/ \t
Arth (tx) [\tx\ < 1].
5.
1 fe / ,ч 7rsin(a + feOr / , i
ж jla — к, х) = . ;—-— 7@; + о, ж
5.2.3. Ряды вида
-erf f-^- -
V2
--V« .
»2fc + l
fe=O
L, x) = л/ж erf (tu)e^u du.
о
^(-1ПА: + п)! fc /f ч n! 1/tL/ 1\ ^( 1
6. f)(-l)*(o)*t*7(fe + 1, ж) = Г°е1/( Г7Л _ a, a: + i) -
fe=o
- о i
7.
E*
oo
E
1/2)
1
2'
1
= 2et[erf
+erf
hx) =
fe=0
»-E-
fe=O
"¦ t (-ч1
: + a, x) =
' "¦ 2 ' 2 ' "' 4
— II ( X \
< 1].
{\tx\ < 1].
[a > 0].
5.3.1] 5.3. Дзета-функция Римана ((z) 575
5.2.4. Разные ряды, содержащие j(akj x).
+2 \ Г / i \ ft
P^2ia 1 Lrf I /7 4 p^ia I 4- prf I -
2- ;L^rsir
fe=O
- exp (L e-«- j Jerf ^ - | e-ia j + erf (|
^ e^2'^^ sh
5.2.5. Ряды вида ^Jafct Г(ад., ж).
-\ -Ei(-x)\ [\tx\ < 1].
fe=O L V */ J
2. J iferBJfc, Ж) = i [e^ El (-x + ^) + e1/v^ El (-x - -^ V 2 El (-
[|| 1].
TBft + 1, x) = 1 [e-1^ Ei (-* + -L) - e1^
3. ^t*rBk + l,x) = f\e-""Ei[-x+^)-e1"tEi[-x-^]\ [\tx\ < 1].
fe=O
fc=O
fe=O
oo
yl^tl/Z» 2fc V7T I e-t/cosud.
arccos(t/x) [t > 0; 0 < arccos(t/«) < тг/2].
oo
8. ^ tkr(k + a + !' ж)г(^^ - а, ж) = Г(а + 1)е"*Г(-а, ж - t).
fe=0
oo
9. 2_^ — Г(п, А;ж) = — du [x > 0; n = 2, 3, 4, . . .].
5.3. ДЗЕТА^ФУНКЦЖЯ РИМАНА C(z)
5.3.1. Ряды, содержащие ((z).
576 Гл. 5. Ряды [5.3.2
4. J2tkC(k) = -Ct-ti/>(l-t) [\t\<l].
fe=O
6. \jt2fc+1CBJfe +1) = tctgt7r-Ct-t^(t + l) [|t| < 1].
A A
7- 2_^ "t C(*0 = inr(i -1) - ct [\t\ < 1].
00 t2fc
8. \^ —— С(Щ = In (?rt cosec t?r) [\t\ < 1].
Ic
fe=l
~ ! !
9. V — t + (Bk + 1) = - ln (тг* cosec t?r) - ln V(t + 1) - Ct [\t\ < 1].
fe = l
10.
fe=l
fe=0
fe=0
5.3.2. Ряды, содержащие произведения
Ё V CB^)[A - 2*)с(л) - ч =ln (- Пsec f
5.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СИНУС SI (ж) И КОСИНУС с! (ж)
5.4.1. Ряды, содержащие Si (ж).
00 1 / 1 лтг + l 2n+!
V г si г^ж) - ( ^ V
Bn-
[0 ^ ж ^ 2тг; n = 1, 2, 3,
3. ^J ™—— Si (А;ж) = ^тг cosec атг SI (ах) [—тг < ж < тг].
л "Т" ft
fe = —со
4-
5.5.2] 5.5. Интегралы вероятности erf (x), erfi (x) 577
[-тг/2 < х < тг/2].
)Jc , ч тг Г cosech атг shi (аж)
1 2 Sl ^Ж = ^1 С/ /
± а2 2 [ cosecaTrSi (аж)
_л^ Г sech (атг/2) shl (ax) 1
+ 1W" 4а | sec (атг/2) SI (аж) J
fe=l
5.4.2. Ряды, содержащие с!(ж).
00 I с* °° iii
L^t 4 2' * ^ 24*
fe = l fc=O
^ . /2fc + l \ In 2
3. > ci тг = .
h v 2 ; 2
5.5. ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ erf (ж), erf 1 (ж)
5.5.1. Ряды, содержащие erf (ж).
1. JJ — е ж [erf (a + ikx) + erf (а — ikx)] =
fe=1 / 2 \ 9 2
= I h ж2 I erf (а) -\ — е~а (тг — аж) — 2Утг ж [0 ^ ах ^ тг].
V 3 / л/ж
2. yj -—"^ е~ ж [erf (а + г&ж) + erf (а — г'А;ж)] = | ж2 J erf (а) +
к=1 V " / V "
[^тг/2 < аж < тг/2].
со
е6
ж
тге6 1
[erf (a + bx) + erf (a - 6жI - -^ erf (a) [-тг/2 < аж < тг/2].
о2
= _ , f [erf (a + bx) + erf (a 6жI ^
2osho7r о2
5.5.2. Ряды, содержащие егП(ж).
со
1. Y1 (^)к^кЧ2 erfi (А;ж + а) = 0.
fc = —со
00 1 9
2. \^ — е^ [2 erfi (&ж) — erfi (кх + га) — erfi (кх — га)] = тг erf (a) H г=- ж(е^а — 1)
3. У^^Ц е^к2х2 [2 erfi (кх) - erfi (kx + ia)- erfi (А;ж - га)] = -^L (I - е"°
со .
4. ^](-l)fc+1 е"^ж2 [2 erfi (кх) - erfi (кх + га) - erfi (кх - га)] =
[0 < аж < тг].
°2)
[^тг/4 < аж < тг/4].
2х2 [2 erf (bx) - erf Fж + а) - erf Fж - а)] [^тг/4 < аж < тг/4].
5. 2_] 7~% е [^ег^ (^ж) ~" ei*fi (^ж + *а) ~ ei"fi (^ж ~ *а)] —
fe=l
(тг2 + 2ж2) ^ е^а (тг2 + 2ж2 + 2а2ж2 — Зтгаж) — тгж2 erf (а) [0 < аж < тг].
37 А. П. Прудников и др., т. 2
578 Гл.5. Ряды [5.6.1
5.6. ФУНКЦИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА Du(x)
5.6.1. Ряды вида У^
2 \ v ~ /к iKD (х) =
fe=O
5.6.2. Ряды вида
Ё^^П^П ^W^1^) i
[ж, у > 0; —1 < t ^ 0; Re и ^ 0].
boo < х < оо; 0 <: у < оо].
5.7. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ ^(z)
5.7.1. Ряды вида ^(±1)кJl/±nk(z).
Обозначения: V{z) = \ J0(t) dt = zJ0(z) + ^ [Ji(z)H0(z) - J0(z)Hi(z)], <5 = | J
2. У] Jn±k{z) = 1. 3. У (-l)kJn±k(z) = (-1)".
ОО
5. 2 (-'---'-) *Jк-\-1 /2\Z) ^^ Су \Z) it OyZj.
4.
6.
7.
8.
9.
11
fe=i
оо
оо
fe=O
fc=O
оо
Y J2fe + 2n4
fe=O
оо
. ^ J2fcd
fe = —oo
0
fe+l/(^)
Z'~ 2
-iW =
z2n + l(^
2 JL
1 f
1 ^
9 F(Z) ~ Z^ J2fe+H
Z fc=o
oo
) = 0. 12. 53
fc = — oo
-1; Re(i/-Ax) > 0].
[n > 1].
10.
13. Y, (-l)^2fc±2n+iW = (-l)nsin^. 14.
1 f 1 1 1
5.7.2] 5.7. Функция Бесселя Jty(z) 579
15. ±(±irj2k+l{z)=1-{VJZl}. 16.
' I
21. ^J8k(z) = Icos^ + Icos2|+2 J°(')- 22" Z)j8ib+4(*) = I008'! ^4COS^'
fc=O VZ k=Q VZ
5.7.2. Ряды вида ^(±1)к(ка + b)mJnk+1J(z).
z
Г ^^ f1!
Обозначения: V(^) = Jo(t) <it = zJo(z) -\—— [Ji(z)Mo(z) — Jo(z)Hi(z)j, 8 = < >.
J ^ 10 J
z
Z Z Г
: - Jx/(z) + - [Л(^) ±J,,+i(?)] <it [Rei/ > -1].
«=u 0
oo oo
*^ X I? J / -y^ n у Q л
fe = —oo fc = ]
oo
4. ^(±l)fc(zT^T i/)Jfc+l/(z) = ±|
fe = l
5. f)(±l)* (fc + i) Л+1/2(*) = л/f cos (z ± J) + г5B) ±
fcO ^ ^ *
fc=O
6. ^(±l)Bk + v)JM+u(z) ju-1(z) + {
i J {-
J {;::
[Re i/ > -A ip l)/2; см. 2.12.17.1].
8. ]TBJb + 2n
fc=O
ii.
37*
580 Гл.5. Ряды [5.7.2
13. |(-l
14. ^fkJ4k(z) = -^J1(z) + ^;V(z). 15.
fe=l
со oo
16. V^BJc + 1)JAk+i{z) = — V(z). 17. \^(
fe=O fe=O
oo
18. 2_^(^ ~^~ A0(^ + ^ ~~ z)Jk+v(z) = —-— zJv(z) — Ji/+i(^).
fe=l l l
00 If
19. Л ( —1) /г(A; + \i)Jik+v(z) = — tJu—u.(z — t)Ju(t) dt [Re (i/ — ц) > —1; Re /j > —2].
r—f 4 1
20. ^(
21. ^(-i) BЛ;-
fc=O
¦И.4-Л —1
fc=O
CO i- / 1 \
k = 0
rj.-1-Л —1
-2 ^ (-l)kJ2k+1.6{z)±(-l)nJ2n.1+s(z)\
k=Q -I
S =
23. f;(±l)**2JfcW = у ± f [-/о(г) - zMz) + zV(z)].
24. > {2k + vYJik+Az) = it Ju-i{z) + — Jv{z) + — I Ju+i{t) dt
А А Л
fc=0
25. ^(^l)feB^ + ^J J2fc+,(z) ,/„_!(*)
fe=0
0
z
uz . z Г
0
[RejLi, Re О - /x) > -1].
27. ^Bfc + lJJ2fe+1(*) = § [Jo(«) - zMz) + zV(z)].
fc=0
сю
28. ^(-l)feBHlJJ2fe+iW = ™cosz.
fe=0
29. V 2H (J + J2W+1/2 2 = ^ л + о \ Г ^/=1 •
J2W+1/2 2 = ^ л + о \ Г
/ ^ ^ ; l^W J 2 V 2tt [cosz
5.7.2] 5.7. Функция Бесселя Jv{z) 581
oo , ,2
30. ^(—1) [2& + <J+-J J2k+s+i/2(z) =
fe=0 ^ ^
34. ?(
fe=0
35. J] k3J2k(z) = ^ [гJo(«) - z2Ji(z)
36. J](-l)'=/e3J2fe(Z) = -^Jo(«). 37.
fe=l
38. ^(-l)fcBfc + IK J2fe+i(^) = | Jo(«) -
fe=0
39. Y,Bk + S + -
z)j 4V 2тг \coszj + 2^F Islnz
42.
fe = l —<t fc=0 m=i
\2n+«r
2 у 2тг [ cos
31. Yl k*Mz) = I [*Jo(*) - z2 Ji(z) + z2 + A + z2)F(z) + 1].
fe=l
32. Y,{-l)kk3 Jk(z) = Z- [zJo(z) - z2J,{z) + {z1 + l)V(z)} - ?i
fe = l
oo I
33. ?Bfc + vfjM+u(z) = ^W2 + z2\Jv^{z) + —^ z2Jv{z) + | (z2 + 1) Jv(t) dt
f
2Jv{z) + | (z2 + 1) Jv(
2 J
fc=0
[Re i/ > -1].
x BA; - 2m - cr + 2) n+a [o- = 0 или 1; n + o- = 1, 2, 3, . . .]•
oo
43. V(-l'
oltl1
m=l
4fc + 2
n = 1, 2, 3, . . .; S = {
582
Гл. 5. Ряды
[5.7.3
5.7.3. Ряды вида
2.
Jnk+v(z).
оо
fe=O
*) = Kln I+ c
)Mz) - \ Yo{z)-
оо
4- Е
\\
тг/4
6.
00 / 1 \ к с
Е 91.-1- 1 j4fc+2B:) = cos (z sin t) dt - - J0(z).
к=о Ш + l { 4
[Re i/ > 1].
^о Bга-2m- 1)! '
тт/2
2 Г 2
То = - t cos I
7Г J
о
Bn)!
T2n+1
»¦
тг/2
E ^
zs'mt) dt.
"¦
[Reи > -1
fe = l
E:
fe=i
5.7.4]
5.7. Функция Бесселя Jv{z)
583
- Ё Qk
t
Cife + i)Cjfe + 2)
5.7.4. Разные ряды вида
^r(fe + ^) J2fc+t/(z) = 2"
(l/2)fc
fe=O
J J(-!)/2 ( 2 J
Sin(z/2)
4.
- g
9.
0; Re (^ - i/) < 1]
[,/0,-1,-2,...]
Re,
[Re,
= 2, 3, 4, . ..].
10
fe+I/l ;
тг/2
- Ц
1 t dt
[Re (Л + /x) > 0; Re Bi/ - A - /x) > -1].
- A
" A + 1
тг/2
Л_/1_ 2
[Re (A + /x), Re (y -— /x) > 0].
584 Гл. 5. Ряды [5.7.5
ею ,
12. ?<=
О
sln2^1 tcost dt [Re(A + //), Re(i/ - A - д + 1) > 0].
i/ - iH 'Kt ; TV// -
^ Bfc + иЩк + i/) 2_
+ Г» Wyv{z) - 29J^ - Jv{z){ip(v + 1) + C)l [i/ / 0, -1, -2, ... ].
L J
00 / i\fe/o
« , у -/ y-- i" ^jl 1Л
т/2
-.2/
= У (м +i1) \ J^Z8m2t)Jv-v-i(zco82t)8m2li+1 tcost dt
о
[Re/x > -1; Re О - /i) > 0].
oo , , i w \
> , .,, x , x (I/ — A + l)fc(J/ — Д -
20. ^ ^_Д^* Л*+Л^) = (" - M)^"-" j *"-2"J,-i(t) dt
21. gizll!(
fe=0
[/x, i/, i/ - /x ^ -1, -2, -3, . . .].
5.7.5. Ряды вида У^(ка + b)tkJnk+l/(z).
oo
1. ^2 ^'Jk+v(z) = e*I/7T//2t^I/[l7l/(—itz, z) + iUu+i(—itz, z)],
fc=0
z
Г 2
= z^e*^2 жУе~4ж Ji/-i(ic) с!ж [Rei/ > 1].
о
fe = —oo
00 Г / f 2
fe=0
5.7.6]
5.7. Функция Бесселя
585
4.
, z).
sh[(a2 ~~
6.
fe=O
7.
8.
9
5.7.6. Ряды вида V]
?—J
k=0
2. E^-7"-*
fe=O
+
Jfc+l/(z).
[0 ^ t < 1; z ^ 0].
[\2t\ < z].
[\2t\ < z].
¦ = 0 или 1].
[Re/x > 1].
[Re i/ > 0 или i/ = 0, ±1, ±2, . . .]
fe=0
п.
[cm. 5.7.1].
586
Гл. 5. Ряды
[5.7.7
[см. 5.7.1].
5.7.7. Ряды вида
2.
kl(ka-
¦Jk+»{z)
[At, i/^O, -1, -2, ...].
E
fz/2)fe
- E fc
о
[тгНо(г) - 2].
fe=O
5.7.8. Ряды вида E r(fcc+ d)r^c +/)
[Ret/ > 1].
5.7.9]
5.7. Функция Бесселя
587
2.
2.
ф v + 1; i/ф -1, -2, -3,
*¦ Е
(-1/2)*
fe=O
ею
-(-
Л2
A/2)*
Т. V
A/2)*
= 2"
1
l, и/2 +
Bfc-l)!!
fe=o
{z/2fk+lJV{k + a + и/2)Г(к + р + i//2)
fe=O
тг/2
р
= 2 sln2"^1 tcos2^1 tJu(zsmt)Ju(zcost) dt [Rea, Re^ > -Rei//2].
J
о
5.7.9. Ряды, содержащие гиперболические функции и Ju(z).
588 Гл. 5. Ряды [5.7.10
3.
jch(a/2)sh[zsh(a/2)]\
г .г л п о ^ f sin (A;a + Ь) \
5.7.10. Ряды вида } ак< ,, , ,. }Jnk+iy(z).
^^ { cos (ка + о) J
оо if
1. y^(±l)*sinfeoJfc+w(«) = ±- (— ±cosa) sin [(г - t) sin a] Ju(t) dt [Rei/>0]
o v^ fslnfeal . ч f sin {—na + z sin a) 1
2. >^i , \Jk+n\z) = < >.
^^ [cosfeaj [ cos (na - z sin a) J
oo If
3. \J(±l)fc cos kaJk+v{z) = — coseca sin [(z — t) sin a]
х
о
х [cos 2a Jи (t) ± 2 cos a j'u{t) - Jl/+2(t)] dt [Rei/>0].
1 f cosfzsin(a/2)l 1 1 T , ч
6. > cos B/s + ljaJ2fc+i (^) = —7=~ —7=======^^ «/о I z sm "" I at.
^ 4V2 J vcos2a — cost \ 2y
2a
oo ( - i
Y^/ -a J sin «a
fe=0
= ^fsm(a/4)lr , ^В
2 [cos(a/4)JL V 2
4/ V 2
cos (a
2 [sin
os (a/4) 1 r / a\ _ / 2a\ / tt\^/ 2aM
. ; ^( Hsin zcos^ 5 2zsin2T ^cos zcos^ GBzsin2T L
in(a/4)JL V 2/ V 4/ \ 2/V 4/J
V2 Г sin Ca/4) I Г / ал / 2 а ч _ / ал / 2 a N
2 \cosCa/4)JL V 2/V 4/ V 2/V 4/
+ T
{cos (За
sinCa/
( 2 ± 1 \
9. ^(^l)fc cos ( 2k + —- J aJ2HB±1)/2(z) =
\/2 f sin (z cos a) 1 „ / 2 a\ ^2 f cos (z cos a) 1 _ / 2 a\
-г- ; 'AC 2zcos -Jip—-^ . v ; >S 2zcos -).
2 [ cos (z cos a) J V 2 / 2 [ sm (z cos a) J V 2 /
5.7.11] 5.7. Функция Бесселя Jv {z) 589
4 [sm
z i sin a cos (z cos a)
2 \ cos a cos (z sin a) J'
12. 2_. t s'm kaJk (z) = exp It J —¦ cos a sin \\t-\— J — sin a .
fe=^oo L\ t J 1 J [\ t J 1 J
13. ^(±l)k cos ka cos kbJ2k(z) =
_ 1 f cos [z cos (a/2) sin F/2)] cos [z sin (a/2) cos F/2)] 1 1
~ 2 | cos [z cos (a/2) cos F/2)] cos [z sin (a/2) sin F/2)] j ~ 2 °
sin (z sin a cos 6) cos (z cos a sin 6)
sin (z sin a sin 6) cos (z cos a cos 6)
[0 ^ a < 1; b > 0].
15. 2^ e cos feaJnfe (z)
fe l W
[a > 0; те = 1, 2, . . . ; k± = ±[(птг =р а)/Bтг)]; a& = 1 при А; 7^ A;±,
ak± = 1/2 при (птг =р «)/Bтг) = . . . , -2, -1, 0, 1,2,.. .,
afc± = 1 при (тетг =р а)/Bтг) 7^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ].
5.7.11. Ряды вида
) Jk(z) = - J0(w T z) ~~ - Jo(w)Jo(z).
fe=l
2. Y, (±l)kJk(w)Jl/+k(z) = Jl/(zTw) [\w\<\z\].
3. Yl (^)kJk(w)J^k(z) = Jl/(z±w) [\w\<\z\].
fe = —00
00 n
4. ^](^l)fc Jfc(z) Jfc+n(z) = - JnBz) --^ Jfc(z) Jn^fc(z).
fe=l fe=0
5. y^ Jk+iJ,
fe=l ~vf^ ' 7
V^ 2 f 1 2/ 1 2/
6. У Jkxv(z) = i/ \ — Ju(t) dt Ju(z) [Re 2, Rei/ > 0; см. 1.8.3].
tr j * 2
7. ^(±1)*Л+*(г)Л_*(г) = -i Jl{z) + i ,
fe = l
8 N Yd=l)KJ C^)»/ fz) = —— I " """"" i _____ z.
5{лBг)}| ?
9. Е(±1)^) 5{лB)}|^). ю- ?
590
Гл. 5. Ряды,
[5.7.11
11. JT(±l)kJ2h/2(z) = \ + \ Jl(z) ± \ Si Bz).
12.
13
13.
14.
00 111
15. ^2(-l)kJk+1/2{z)Jk+3/2(z) = — s\n2z + -HiB*) - -.
16.
17.
= -= y/t Mt)Jli
- 2t) dt
[-1/2 < Re 1Л < Re i/ + 1/2].
18.
19.
1 ..
20. Л^ J2k+v(z)J2k-v(z) = "j sin иж sin i/tts^i, 2vBz) H— Ju(z)J-v(z).
21.
fe=0
= sin
7Г
- Ju(z)J-u(z).
22.
fe=o
23.
( }
25.
— 1
= 777^ slni/тг
4l\V — IjTT 7Г
n
8(z) = T J JnBz) ± - ^ Jfc(z) Jn^k(z)
fc=0
+ j- [J^{z)Jn{z) - J0(z)Jn+1(z)} - S
/ \ т / ч т / / о о ч
2w 2fe+^A±w
1
- J1/(z)J2-u(z).
Z
S =
- - Jl{z
[Reu > 0].
26.
1 [2
dt
5.7.12] 5.7. Функция Бесселя Jv{z) 591
5.7.12. Ряды вида ^(±l)k(ka + bI J^±mk(w)Jiy±nk(z).
[Mw)J0(z) Т Mw)J!{z)].
fc=l
OO
2. J2
-Mz)
ди
OO
3. ^ kJk+v(z)Jk-u{z) = ~j [Mz)J!-u
2D^ _ 1} ~vw-»k*>, 4B|/ + 1} ^iv^-.-iv
OO
4. ^(-1)*ЛЛ+„(г)Л-Л*) = -f [Л(г)Л-Л«) + J,+i(^)J
fe=l
00 2 f 1 1
5. ^(±1)ЧЛ2(г) = Z- [Jl(z) + Jl{z)]\ 4 - I J0(z)Mz).
fe=l ^ ^
OO
6. 53 W»(«)J»+i(«) = J [1 - Jo(z) - Jl{z)\-
fe=l
OO
7. ^ kJk+n(liz)Jk+u(yz) = , , [JfI+1(fiz)Jl/(uz) -
k=l A^ v)
OO
8. ^^ kJn^k(nz)Jm^k(mz) = n(8m,n - Sotn).
k = — oo
9. J2(±l)k ( Л + 2 ) Л + 1/2(^)Л + 1/2(^) = У^ v Sin A17
fe=O ^ ^ I + i
k=0
13. ?(-i;
fe=O
2'2'4'2' " У [" "" 10
14. yjBJs + i/)J2fc+i/(w)J2fe+i/(^) = —/—2^ ^r [го^(го)J^^i(z) — zJu-\(w) Ju(z)].
fe=i ^ '
\^ 2 ^2 2
'to + ^ 2/г+" ^ ~ 4
oo 2
16. V Ulk{z) = -- J0(z)J!{z) + *- [Jo2(г) + Jl{z)].
* ¦*' 4 о
592 Гл.5. Ряды [5.7.12
2 4- 1
- X/ (
18. Y,
ОО
19. ]P(~l)feDfe + 2 ±
fe=O
\u2Uw,z)lCOSW)TU1Uw,z){sinW\\.
I I sin го J { cos го j J
23/2^o~ _
со oo 2
20. V^ fe2 Jk(w) Jk(z) = —т r Ji(w-2;). 21. \^^2JfcB:) = —•
fe=i ^ ' k=i
со со 2
22. X^(^l)kk2jl(z) = ^ JAz). 23. V
| fcJfc+,(z)Jfc_4z) 4 A_ 2)_¦
24.
25. V fe2j2±fe(z) = fl2 + ^.
fc=^oo Z
oo / i
ib. > (-—I) [к Н—
^^ V 2
fe=0 V
CO
Z- */ 16(H7 — Zi 16(го " Zi
fe=i
no \ V_i\fc l к J- —
fe=0
oo
29. V к3 Jl{z) = — [Dz4 + $z2L(z) + Dz4 + z2) J?(z) - 4z3
3i. ^(-i)^34w = ^^ 4W + y J?W.
fe=i
on XL^F (^\ J
«5Z. > к JfciyiZlJi
fe=l
oo
„„ VjH/2m-2
fe=l
°° z 4z2
«541;. > ^—lj Л e/ji^^ZJ = J\y?ZJ -y- [JoyZiZJ — t/2 y?Z JJ.
fe=l
35. \^ Jfe2n+2J2(z) — Z X^Bk + 1)]-4Z \ \^ C^1) (U 1 i i\2n+2
5.7.13]
5.7. Функция Бесселя Jv{z)
593
36.
5.7.13. Ряды вида
+ 1)n 2. ЛBЛ
«//x±mfc(z)«/i/±nfc(z)-
ln2t
J2uBzt)dt
2
fe=O
3 3 3
4.
^ -sini/тг
тг/4
7Г/4
dt—- Ju(z)J-u(z).
4
6.
7Г
-(Z)JM^Bfc+i)-(z) = 1 Jl(z)
[Re/i
2k
- cos 2t
sin 2*
тг/2
f
9-
10.
= \ J°2(z) -1Jo(z) Ji
00 Г—1^fc 1 Г
[Re/x > -1/2; -1< 1/ < 1].
38 А. П. Прудников и др., т. 2
594 Гл.5. Ряды [5.7.14
Хл ^ (Oh i 1\2_
fe=o l/« + i;
[Re/i > -1/2; -1/2 < i/ < 1/2].
¦ -1/2; -1/2 < v < 1/2].
JLU JLU О
5.7.14. Разные ряды вида У^ аи Jp,±mk{z)Jv±nk{z).
СО / \ \
fe=O
2F,
2-
4- E /
fc=O "
7. > —^-r Jv+k{z)Jv-k{z) =
[Re, > 1/2].
fe=l
9. Е(
к = 0 ... • [Rel/>Q]_
2
[Re 1/ > 1/4].
5.7.14]
5.7. Функция Бесселя Jv{z)
595
v Ju(w + z).
14.
A;!
2/x
2тгГB|/
16.
1
11 3. _ 2
4' V ^ 2' ^ ' V 2' ^
[Re/i > -5/4; Re (i/- ^) > 1/4].
"¦E
2 ' 2
2
18
k\[Bk
k\{\)k
(z/2)
IJL-\-tJ
2 ' 2
¦- ^)fcO - */ - A)*
i a,
, A
A, i/ - 2/1 + 2A
- "''?--л
22.
kl(X)k
2F3
[1/ = 0, 1, 2, . . . или Re (/x + I/ - 2Л) > 0].
, A; -z
2
38*
596
Гл. 5. Ряды
[5.7.15
5.7.15. Ряды вида У^ aktk J^±k(w) Jv±k(z
. f; (-i)Vfcjfc2(,) = jo[(t +
2.
5
[Jv+i(tz)Mz) - tMtz)Jv+i(z)].
3. > ' eikaMw)Jk+v(z) ='Z We
«¦
Jv{-\/w2 + z2 — 2ioz cos a '
при v ф 0, ±1, ±2, . . .].
< 1 при i/ ф . . . , -2, -1, 0, 1,2,.. .].
OO
[t, x > 0; Re (/z + */) > -3/2].
5.7.16. Ряды, содержащие три и более функций Jv{z).
тг/2
оо ' 1
J2uBw sin t) cos (z sin t) dt--Jl(w) Jo(z)
тг/2
oo ^ i
2. ^J(—1) «/i/+fe(^y)«/i/-fe-i(^)«/2fe+i(^) = — J2»/-iB«; sin t) sin (zsin t) dt
3.
[Re i/ > -1/2].
[Rei/ > -1/2].
4.
\ e-*
1, 1/2
[Rez2, Ret/ > 0].
5. У^B1с + /i + i/)Jk+fJ,(w)
5.7.17. Ряды вида
0, 1 - (/x - i/)/2, 1-(i/-
f sin (ka + 6) 1
"\ cos (fea + 6) j '
1
- Jo(V
2.
fe= —OO
i f
= ± sin ( v arcsin
л/w2
2wz cos a
/ /—r ч
Jv (v wA + z^ =p 2ioz cos a )
, |we~"*a| < \z\] условие опускается при и = 0, 1, 2, . . .].
5.7.17]
5.7. Функция Бесселя J'v(z)
597
3. > (±1) cos kaJk {w)Jk+v (z) = cos I v arcsin
X Jjy (\/ги2 + z2 =p 2wz cos a
-
л/w2 + z2 =p 2ioz cos a .
, |we^*a| < \z\; условие опускается при i/ = 0, 1, 2, . . .].
oo
4. ^ cos leaJl{z) = - Jo(^2zsIn^J - - Jq(z).
5.
7.
8. Y^ cos kaJnk(w)Jnk(z) = — Y^ a*. Jo I ую2 + z2 — 2wz cos j — - Jo(w) Jq(z)
[n ^ 1; A;± = ±[(тгтг =F a)/B?r)]; a^ = 1 при ifc 7^ ifc±,
afc± = 1/2 при (titt =p a)/B?r) = . . . , -2, -1, 0, 1,2,.. .,
ak± = 1 при (птг =р а)/Bтг) Ф . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ].
оо
9. ^^
1 J
V2wz \
/cosec a [cos Bz sin a)CBz sin a) + sin Bz sin a)SBz sin a)]
/sec a [cos Bz cos a)CB2; cos a) + sin Bz cos a)SBz cos a)]
1
2ttz [
/cosec a [sin Bz sin a)CBz sin a) — cos Bz sin a)SBz sin a)]
/sec a [sin Bz cos a)CBz cos a) — cos Bz cos aMBz cos a)]
11.
12.
\ т / \ т / \ I
l)aJk+1/2(w)Jk+1/2{z) = -
7Г J V^2 — w2 — z2 + 2wz cos 2a
2 + z2 — 2wz cos 2a ; ?2 —
fc cos (n + k)aJk{z)J2n+k{z) =
00
14. ]T(^l)fc cos BA; + l)a Jk+v+i/2(z)Jk-v+1/2(z) =
2vBz cos a)
598
Гл.5. Ряды
[5.7.18
5.7.18. Ряды вида
sin (fca + 6)
cos (Ы + 6)
cos kaJu+k{z)Jv.k{z) = \
sin Bk + l)a
cos 2fe + 1 в
OO
3. ^ cos lea J^+kv (z) Jfj,-ku (z) = —
k=l
sin al
—
[Re /i > -1/2; Re v > 0 при о = 0, ±i/tt; /e± = ±[(i/7r =F а)/Bтг)];
afc = 1 при A; ^ k±, ak± = 1/2 при (i/тг =p o)/{2iz) = . . . , -2, -1, 0, 1,2,.. .,
afc± = 1 при (i/тг T а)/Bтг) ф . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ].
4.
si
/ J
fe=l
oo
oo
fc=o2
к
1
!A: + 1
\k + l
z \ Iu J
[Re/i > -C=Fl)/4; 0 < i/ < C±l)/4].
= ^ Jl(z)
[Re/i > -1; 0 < i/ < 1/2].
7Г
-
> -1/2; -1/4 < i/ < 1/4].
и2 т ( ,d2J^z) ,
[Reft > -1/2; -1/4 < i/ < 1/4].
7T [JfJ,-l/(z)JfJ,^.l/(z)]
[Re/i > -1/2; -1/4 < и < 1/4].
cos Bk
2Ж Sin I/IT J^^ и (z
7r [J/n-i/(^)«//x+i/(^)]
[Re/i > -1/2; 0 < v < 1/2].
[Re/x> -C=Fl)/4; -A T l)/8 < v
sin Bk
[Re/i > -1/2; -A
5.7.19] 5.7. Функция Бесселя Jv{z) 599
1Q ^ (±1)* х ff ГЛ±1
13. > -^—^r cos kuTiJa+kv{z) Ju~kv(z) = —^ JAz) cosec аж cos г/)атг|х
^—' к^ — ft^ 2а^ 2а V 2
fe=i L v
X Jp+aviz) J^^aij(z) [Re/x > -E =F l)/4; 0 < 1/ •
14. \^ —г cos kv7TJu,^kv{z) Ju+kv(z) = —о Ju(z) + ^—о cosni/7rJu~nv(z)^
^^ k1 — fi2 2n2 4n2
fe=l
[Re/x > 1/2; 0 < i/ < 1].
15.
- — [7TSlni/7TjfA^t/(z)Jfl+t/(z) - COSI/7T— (J^y (z) JM+l/ (z))]
[Reax > -1/2; -1/2 < i/ < 1/2].
00 / 1 \ к
S Bfc + 1J _ Q2 sin Bfc + 1)l/7r^-Bfe+i)»/(^)«//x+Bfc+i)i/(^) = ^sec^sinai/7r x
fc=O ^ ^
X JM^ai/(z)JM+ai/(z) [Re/x > -1; -1/4 < i/ < 1/4].
fc 7Г . Г/lzbl \
— — cosecaTrsin I — v I атг х
A fe . . (i/ + 1)tt
fc=i
- -Sinni/TT-^- [JM-m/(^)«//z+ni/(^)] - — sinni/7r^-ni/B)^+m/(;2;)
[Re/x > -1/2; 0 < i/ < 1; n = 1, 2, 3, . . .].
19. > \o ;
+ — cosi/ttJm^i/(z)Jm+i/(z) + - sin j/tt— [J/x_I/(^)JAl+I/(^)]
[Reax > -1/2; -1/2 < i/ < 1/2].
COS
= --sec —cosai/7rJM^ai/(z)JM+ai/(z) [Re^ > -1/2; -1/4 < i/ < 1/4].
—"
16 M 16 p, v li v ^
[Re/i > -1/2; -1/4 < i/ < 1/4].
5.7.19. Ряды вида Л
cfn,o + 2^(^4Jb7r)cos|2fiarcsm^^ J
2 ' fci V ж /
[m — целое число, для которого 2ттг < ж < 2(т + 1)тг].
600 Гл. 5. Ряды [5.7.19
2. f^(-l)hJ0(kx) = 1 [0<х<ж].
fe=0
ею
3. ?
[т — целое число, для которого 2ттг < ж < 2(т + 1)тг].
[п = 1, 2, 3, . . . ; 0< ж < C ± 1)тг/2].
2"
[-A Т 1)тг/2 < ж < C ± 1)тг/2].
1 т ,, ч ж
k=i
00 / i \k
7' XI д.з Лп+1(А;ж) = — I do,n --di,n I --^-Оо.п |-тг ^ ж ^ тг|.
i ... Brc + 2m - 1)
[m, n = 1, 2, 3, . . .; 0 < ж < 2тг].
[n = 1, 2, 3, . . .; Rei/ > 2n- 1/2; 0 ^ ж < 2тг].
oo
10. ^(^l)kk2n^J,(kx) = 0
fe=l
[n = 1, 2, 3, . . .; -1/2 < Re i/ - 2n ^ 1/2 при 0 < ж < тг, Re i/ - 2n > 1/2 при 0 ^ ж ^ тг].
ж —
2 ; J Г> + 1/2) \0
[Rev > -1/2; m — целое число, для которого Bm - A =F 1)/2)тг < ж < Bт + 1 + A ± 1)/2)тг]
wL ч _ 2~'/-3ж-+2 , 2-"-атгУ f 2) ЧГи-ХуРИх^х \\\
Г(^ + 2) ± ЪТ{у + \) \l/ r(i/ + 3/2) \0j
[Re i/ > -5/2; 0 < ж < C ± 1)тг/2].
14 V г j r/rr->- (^1)П+1ж2П+1/ yr[ n-(fe-l)/2
fc — 1 fc—0
[n = 1, 2, 3, . . . ; Re v > -2n - 1/2; 0 < ж < 2тг^
fc^
[Re i/ > -2n - 1/2; -тг < ж < тг].
5.7.20]
5.7. Функция Бесселя Jv(z)
601
птг f
T9i9
k2 ± a2
2a
— <
2a { coseca?r J2n(ax)
^.) - Е2п(аж)
1
2a2
17.
2
-—
^—
, 2 _ J2n
/¦ ч fc + 1 I
^2 2~
к — ft
Тл 2
ёЪ ~~~ lib
/ -i\k j
J2
- <50,n ^ J [«/2n+l(^
kx) = — cosecатгJ2n
1
= -E2n+i(ma;) - -— J2n
Jm& 4t lib
0 < Ж < ТГ .
-7Г ^ Ж ^ 7Г .
[0 < ж < 2тг].
[-7Г < Ж < тг].
[m ^ 1; 0 < x < 2тг].
»¦
25.
[0 < x < 2тг].
[{ 0<
LI 0 < ж <С тг;
ж < 2тг
Rev > -5/2
[Re и > 1/2; 0 < ж < тг].
—^ Ju(kx) = — а п cosecawJu(ax)
[Re i/ >2n- 5/2; n = 1, 2, 3, . . . ; О < ж < тг].
5.7.20. Ряды вида У^ akJ^(Bk + 1)ж).
°° 1 1
2F+T J2n+l(B^ + 1)ж) = 2Bп
1J
7Г Ж /—= ^ 7Г
— тг + v ж2 — тг2 —тг arccos —
8 2 ж
[п = 1, 2, 3, ...; О< ж < тг].
[-тг/2 < х < тг/2].
[тг ^ ж < 2тг].
602
Гл. 5. Ряды
[5.7.21
Х\Х
»¦ Е
= -^ J2n+iBx)
9.
= тг coseca7r[cosa7rJ2n+i(Ba + 1)ж) — sin a7rE2n+i(Ba +
ю-Е
fe=0
з)
12.
3/2
[-тг/2 ^ ж ^ тг/2].
[О < ж < тг].
[-тг/2 ^С ж ^ тг/2].
)] [0 < ж < тг].
[-тг/2 < ж < тг/2].
[Re i/ > -3/2; 0 < ж < тг].
[Rei/ ^ 2n + 1; 0 < ж < 2тг].
fe=O
Е-
fc=O
Bn)!
16.
17.
2fc + l
: + 1J^а2
= ^ ctg ^
тг атг ( .
= -— sec — J2n+i(a^J
4а z
[0
[-тг/2 ^х ^ тг/2].
[0 < ж < тг].
тг Г (-1)" sech (атг/2)/2п(аж)
4\ sec (атг/2)е/2п(аж)
[^тг/2 < ж < тг/2].
5.7.21. Ряды вида \j akJnk+v{z\/ka + b).
со
5.7.23]
5.7. Функция Бесселя Jv{z)
603
*
a a
4'
—г Jk+v(zVka + 1) =
хь /1
5.7.22. Ряды вида V akJn(xy/(ka + ЬJ =Ь с2 ).
ОО
2-Е
fc=O
Ч х /г
[0 < ж < C±1)тг/2].
(-1)*
[0 < x < тг].
Ju(ax)
[Rei/ ^ 0; 0 < ж < C±1)тг/2].
Е
[Rei/ > -5/2; 0 < ж < тг]
[п = 2, 3, 4, . . .; О < ж < тг].
7 (грх/Ь.1 Л2 \ _
тг cosec бтг
- а2
-^ Л(жУб2 - а2 ) [Rei/ > -5/2; 0 < ж < тг].
5.7.23. Ряды вида ^«fc< . \ju{
^^ { cos ка J
_ f
Г f <j = те; 0^а<ж1
< >; m + 1, n + 1 — натуральные числа, для которых
[ [ сг = 0; а>ж>0 J
2тетг < ±х =F а < 2(ш + 1)тг и 2тетг < ж + а < 2(п + 1)тг
2. JJ cos lea Jo Aсж) =
fe=i
+
+ > {
-a2 f^ ^/ж2 - [2Ы + aJ j I 0
= m; a>x>0
: m. n см. в 5.7.23.1
604 Гл.5. Ряды [5.7.24
о v4 i\k f sinfea 1 , x ^ ( sin A; (a + тг) 1 , x
3. > (-1) < [Jo Ь = L 1 l/ , JoN-
^ [cosfcaj ^ \ cos к (а + тг) J
{о/
[Re v > -B =f l)/2; 0 < ж < C ± 1)тг/4].
- бтгж + 2тг2
[Re и > -D =p l)/2; 0 < ж < C ± 1)тг/4].
ж™^ 1 ГА; sin kb 1 ,7т fa sin а(тг^6Iж/ 1 fO
^ к2 - a2 { cos kb J 2a [ cos а (ж — b) ) 2a2 { 1
[0<6 + ж<2тг; 0<6-ж< 2тг].
. ^ (=bl)fc" г^1^ тг _,,_! Гсо8а(ЖтгI
7. 7 i о ^^CQS kxJuikx) = от^7 г- a cosecaTr< >Ju(cx)
^ к2 — а2 а2Г(|/ + 1) 2 [ соваж J
[Re и > -D Т 1)/2; 0 < ж < C ± 1)тг/4; ].
5.7.24. Ряды вида /^ akJ^jkx + a)Ju{ky + 6).
°° 2
*) J(*) AГ+"+1
°° 1
[m = 0, 1, 2, . . . ; n = 1, 2, 3, . . . ; 0 < x < тг].
— ( -\\n\ Я \ Го ^ ^ 1
- 1~^ I /^ , л\ъ„ ~ 4 dn'°J [0<ж<тг].
2
^ A; [(I + 2mnJ — т2]тг
[n = 1, 2, 3, . . . ; m = 2, 3, 4, . . . ; I = ±1, ±2, ±3, . . . ; то + I — нечетное число; 0 < x < тг].
[n = 1, 2, 3, . . . ; 0 < ж < C ± 1)тг/4].
[n = 1, 2, 3, . . . ; 0 < x < C ± 1)тг/4].
[О < ж < C±1)тг/4].
оо
fe=l
\_уТ(у + 1/2) 2 \2 1/' 2' ^ ' |/2
[Re/Lt, Rei/ > -1/2; 0 < ж < у < тг].
о» / I -II л ь/1/1АСЖ ) t
fe=l v ;
[Re i/ > —1/2; ж, у > 0; ж + |/ < тг; Re г/ > 0 при ж + |/ ^ тт]
5.7.24] 5.7. Функция Бесселя Jv{z) 605
ю. 2^
fe=i
— [ ~™ 1 л/тг Г , . . [Re и,, Re i/ > — 1: 0 < ж < тг1.
V 9 / ## 4- Ч /9 i/ 4- Ч /9 ## 4- i/ 4- Ч /9
OO
fe = l
[-1/2 < Re (д + i/) - 2n ^ 1/2; 0 ^ ж < тг/2] или [Re (/x + i/)-2n> 1/2; 0 ^ ж ^ тг/2].
°° fc ^^2 1
J--«. / v V -^ / "" J иугьХ) J 1/\гъХ) — 'ттт ; ГТТТ7 ! ГТ ^ «^ X
fe = l
1Q \ 7 1\KJZ J fj^ J (Un\ — 9^M^^^
^M^I//lrtM+I/
: a ** v 1Ju(ax)Ju(ax) [Re (/л + i/) > -3; 0 < ж < тг/2].
2 sin атг
^--^ ife2 — a2 2ft 2ft2f/
fe=i
[-77/2 ^ X SC n/2].
-ш w Ж "Л V"^ T/I\T /I\
(аж) J-u-1/2(ax)]
[0 < X < 7Г].
X! J/(fe^) = ~~^~ coseca7rJl+1/2(ax) [0 < x < тг/2].
2
a
j 3/2
00 j 32
17. y^(±l)fc7^ Ju(kx)J-i/+i/2(kx) = — cosecairJu(ax)J-l/+i/2(ax)< >
+ ^7^ J^1/2{ax)J^l/{ax)\ l\ [0 < ж < C ± 1)тг/4].
00
- E 2]fcTl J"+"
fe=0
[n = 1, 2, 3, . . .; 0 < ж < тг].
1
fc=0
2Bn-
[n = 1, 2, 3, . . . ; 0
»¦ f sV
k=o
(m + nn — m y2\
X 2 -г l I , ; n + 1; — J [m + n^ четное; ж + у < тг].
606
Гл. 5. Ряды
[5.7.25
l)x)Jn-v({2k + l)x) = ^ si
Аи2 - 1)тг
[-тг/2 ^ ж ^ тг/2].
[^тг/2 ^ х ^ тг/2].
00 i
»¦ gprr
X 2-Г1
b + l)x)Jn(Bk-
m + n — 2 n — m — 2
2 ' 2
п-2)/2
n + 1, (ra — n
X2 J 16 16
[m + n — четное; х -\- у < тг].
(-i)*
fe=O
32 '
25.
ж ^ тг/4].
Sini/7r <fo,n + ^ Jn+l/Bx)Jn-vBx) - - Jn+lJ(x)Jn^lJ(
loi/ Id о
28. ?¦
^ Bk + l)Bfe +3)Bib + 5) J
Tb '*'
4cos(a7r/2) #*v / v /
[Re (/i + u) > -2; 0 < ж < тг/4].
[-тг/2 < ж < тг/2].
[-тг/2 < ж < тг/2].
29.
fe=0
[Re (jtt + i/) > -2; 0 < ж < тг/2].
5.7.25. Ряды вида У^ аи Jk+fi(zVka + b)Jk+^(zVka + b).
2.
= 0.
5.7.26. Ряды вида
ak J^(x^(ka + 6J + c2 ) Ju(xy/{ka + 6J + c2 ).
J(b)
V / 2
[0 < ж < тг/2].
(^1)л
- а2 ) = —-— Jfj,(ax)Jv(ax)
[Re (/i + i/) > -1; 0 < ж < тг/2].
5.7.29]
5.7. Функция Бесселя Jv(z)
607
3.
7Г
IJ + а? ) = | ./„(
[0 < ж < тг/2].
5.7.27. Ряды вида ^ ahJu{y/k2x2 + а2 + ^ж + ci) J^(Vk2x2 + а2 + М2ж + с2).
^2 + а2 - а) = ^-^j J Ь02Bа)
[п = 1, 2, 3, . . . ; 0 < ж < C ± 1)тг/4].
2.
x2 + а2 - а) =
— J | —Л+1Bа) JuBa)\ [Rei/ > -3/2; -тг/2 < ж < тг/2].
л B о
3.
fe=O
1Jж2 + a^~a) = j So,nJlBa)
[-тг/4 < ж < тг/4].
(-1)*
fe=O
Ж S6€ T
- а) [-7Г/4 ^^ тг/4].
a2 + a)Ju{y/{2k
a2 - a) =
[Rei/>-l; 0<ж<тг/4].
6.
7. V
BA;
; + 1Jж2 + a2 - Bk + 1)ж) =
= — Jl{a) [^тг/4 < ж < тг/4].
^ fc2 - б2
fe = l
Ж
~ 2Ь
kx)Jv(y/k2x2 + a2 - А;ж) = —^ J2(a) -
6ж\ juU/ai + Ъ2х2 - bx) [Re и > -5/2; 0 < ж < тг/2].
к м- по -о Т^ f sin ka 1 ,
5.7.28. Ряды вида > afc< yj^l
^-^ { cos lea J
[|ж| + li/l < 7Г - |тг - a + 2тг(а/Bтг))|].
2.
7Г - |тг - a + 2тг(а/Bтг))|].
<
5.7.29. Ряды вида \^afc< f >Jv(Lp(kx))Jv(x(kx))
^^ { cos «a J
608
Гл. 5. Ряды
[5.7.30
к+ /, \ 1
У ак[х2 - Bктт + аJГ1/2 J2u -^2~ Bйтг + аJ ) - -
2.
3.
k=i
sin 2kxJ4Vk2x2 + а2
[Re и > -1/2; Re v > 1/2 при ж = ±a; k± = ±[(x =F а)/Bтг)];
= 1 при к ф h±_, a&^ = 1/2 при (ж =p а)/Bтг) = . . . , —2, —1, 0, 1, 2, . . .,
afc± = 1 при (ж =р а)/Bтг) ^ • • • , -2, -1, О, 1, 2, ... ].
1'
,(v« ж + а^ — кх) = — ^^(а)^ > — xJu\a)
[Re i/ > -B =р 1)тг/2; О < ж < C ± 1)тг/8].
2 _ c
5.7.30. Ряды вида
Обозначение: А =
cos 26ж
ехр л/l — z2
^Va^ + ft2^ + 6)J,(Va2 + 62ж2 - 6)
[Re i/ > -D т l)/2; 0 < ж < C ± 1)тг/8].
2z
exp л/l —
2.
^ ^
4.
5.
6.
7
^
9-
10.
= ~cosecanJa(az) - —2
[|А| < 1].
[|А| < 1].
[-1 < х < 1].
[п^О].
[-1 < ж < 1].
[а = 6 — zsinb; |A| < 1].
[|А| < 1].
[Rea>0; |A| < 1].
[|А| < 1].
[|А| < 1],
1)
2
32
5.7.31]
5.7. Функция Бесселя Jv{z)
609
12.
ГТ7 ___
rp _____ %_ ГТ1 _____ Z_ _____
2^2' 4^2
18'
81 450'
1 + аг 1 — ai
14.
oo
' E fc
fe=0
[i/ ^ 0, -1, -2, . . . ; |A| < 1; |Ai| < 1].
И
5.7.31. Ряды вида У^ ak Jk^t+vt (kz + bi)Jk^2+V2(kz + 62).
Обозначение: A =
1 + y/1 - z2
exp л/t — z2 ,
1 +
exp \fl — Az2 .
2л/1 - z2 2
2.
3.
1
= —6m,n
ТЪ
- E bJl~n{kz) = b
1
5- Ei2J*(
fe=i
oo
6 X!
fe=i
[IAI < 1].
li i j
[|A|<1].
; |A| < 1].
8.
/1 - 4z2
39 А. П. Прудников и др., т. 2
610
Гл. 5. Ряды
[5.7.32
_ _ о_ _ v—v (sin ка 1
5.7.32. Ряды вида > ак< . >Jfc
^^ [ cos to J
Обозначение: t — z sin t = a, Im a = 0.
Условие:
¦ exp v 1 —
< 1.
. Г к sin ка
2.
3-
У к
lfsinntl
= 1,2,3,
5.7.33. Ряды, содержащие нули функции Бесселя Ju(z).
Обозначение: 7^, fe — полож:ительные нули функции «/^(ж), причем 7^, fe+i
= 7o,fe-
Условие: 0 ^ ж < 1.
pr
*
_ x
" 2"
Ju(ax)
2a2 [ Л (a)
g
Ша)
[0 ^ « < e < 1].
40-
о _
(i/ + lK(i/ + 2)(i/ + 3)'
11
2560 + !L<> + 2J(^ + 3H + 4)
5.8.1]
5.8. Модифицированная функция Бесселя 1~ v(z)
611
fe=1 7i/, fc
m+2'" 4
_/1
2'"~W
Т'-= 2
11
15. 2^
ОО
16. ]Р
fe=O
oo
17. V
=
72-а2МЫ 2 2Jo(a)'
G2 -«2
1 1
' ~ 4"
1 1
Ниже Afc — положительные нули функции zj'u(z) + fiJt/{zI Xk+t >
19.
= - Ju(ax)
5.8. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ Iv(z)
5.8.1. Ряды вида У~^ akh±nh(z).
2.
3.
5. > /.
WB±i)/2
(z) = j e2 erf (
6.
fe=O
erfi
7.
8.
[0 ^ ж ^ 1].
[Rei/>0; см. 1.11.1].
39*
612
Гл. 5. Ряды
[5.8.2
9.
10.
11.
12.
13.
± /„(*)
(^ - k)Iu-k(z) = -| [/„+i(*) db
[Re i/ > -1; см. 1.11.2].
fc=l v ' ro=l
= i^0(^) + i(ln| + c)/0(
2 ~1>0^ 4 ^F2
7Г
12
ln Bz)" Ei
nKn(z) + [in | _^(n + l)]/n(*)- у
Al__/f l-/0(t)
"l(ZJ^I^2j t
_ n)
/*(*)
5.8.2. Ряды вида
2-
-1, -2, . ..
-1, -2, . . .
5. V
[i/, 1/2 ±i/ 7^0, -1, -2, . ..
2'
[Re i/ > -1/2].
> 0].
5.8.3]
5.8. Модифицированная функция Бесселя lv(z)
613
6.
/; 2z).
9.
A; + i/
¦Bi/)fcBi/-A-
1
21/-1,1/+-; A,
fe=O
5.8.3. Ряды вида
ГИ\2
tT
exp
2.
3.
k
5-
6- bfc?
fe=O
7.
fc=o
fe=O
OO /
fe=l
OO
10. V
k\k2
> 1].
..., -1,-2,...].
[Re i/ > 0].
[t^O].
t, z — любые
|2t| < \z
614 Гл. 5. Ряды [5.8.4
п- Е mik + iv h{z) = Г[2sh z (c + ln {2z)) + e~z Ei {2z) ~е* Ei {'2z)]-
fe=O
12- Е nfol i\2 /fcW = ^ ch ^[2 - С - In Bz)] + - [e-z Ei Bz) + ez Ei (-2г)].
fc=O
«¦
=0
- Е Цл^ ^(^) E 7 = -2 f 7 Е/о
fe=l " 1=0
fe=l " 1=0 о
5.8.4. Ряды, содержащие гиперболические функции и Iu(z).
v4 . Nib, i i г /Ч , z f sh(a/2)sh[zch(a/2)l 1
^ 4 [ ch (a/) [ h (/)] j
4.
5. ^(±1) ch*a/fc(Z)
/2) sin [z sh (a/2)] j
sh ach
г о г о v^ f sin (A;a + 6) 1
5.8.5. Ряды вида > afe< ) 7 H
^-^ [ cos (ka + 6) J
oo . 2
Jca/fc+4z) = =b^ I e±{z^t)cosah[t) dt [Rei/ > -1].
0
1 \
fea/fc(z) = ^slna e"tcosa
J
2. ^
fe=i o
3. ^(±l)fccosfea/fe(z) = i e±zcosa
fe=i
a ^ i r / \ ! V^ / 2^?r + a\ 1 .
4. > cos kalkn (z) = — > «fc exp I z cos I + - 10 (
ln ^ n J A
> «fc exp I z cosI +
ln kk ^ n J A
[k± = ±[(птг =F о)/Bтг)]; afc = 1 при /s 7^ Л±, afc± = 1/2 при
r) = • • • , -2, -1, 0, 1, 2, . . . , ak± = 1 при
(тетг =р а)/Bтг) ^ . . . , -2, -1, 0, 1, 2, ... ].
ch fz cos (a/2)l 1 1 F / ч
5. g(±l) «»*»/„(,) 2{hUi(/2)]} 2
5.8.7] 5.8. Модифицированная функция Бесселя lv(z) 615
6. f>l)* Coskalk/2{Z) = I e-*( ' +r; ^ «-«) } _ I h{z).
^ 2 ^ erfc (v 2z cos a) J 2
т. в±1)-Bн1)«/к+1/2йе(;.f
2 { f B sin a)
8. f(±l)coSBfc + l)a/fc+1/2W
5.8.6. Ряды вида ^J afc/iU+fct/('?i;)/p+fcgr(z).
( — 1)^ 1 7Г
2. ^ з _ 2 Itjl-ku(z)Iti+ku(z) = j^ ll{z) - —pWn+i)
fe=i a a a
[Re/i > -3/2; 0 < i/ < 1].
к о т гъ V^ ( S"lYl (^a + &)
5.8.7. Ряды вида }^aki ) >
го sin a
= =p s'm ( y arcsin I Iu(Vw2 + z2 =b 2wz cos a ) [\w\ <
\ yw2 + z2 ± 2wz cos a ,
oo
2. ^ (±l)k cos kalk(w)lk+t/(z) =
w sin a
= cos I v arcsin ~^^^^^^=^^^^^^=- JIu (yw2 + z2 ± 2wz cos а
\ \/w2 + z2 ± 2toz cos а /
3. \^(il) cos kalk(w)lk(z) = — /o(v to2 + z2 dz 2wz cos а ) Iq(w)Iq(z).
k=i 2 2
oo
fe=i
= — V /of Jw2 + z2 ^2wzcos2fc7F + a | - -7оЫ/оЫ [fe± см. в 5.8.5.4].
2nfct^ \V n J 2
5. ^(zblJ^osfca/.-fc^/.+fc^) = \ /2^2z{ ^^ }j^ i Il{z) [Rei/ > -1/2].
sin BA; + l)a
g сое BА + l)a
OO
7.
fe=i 2l/ fc=fe^ ^ 2u J 2
[k± = ±[(i/?r =p а)/Bтг)]; Re /i > -1/2; Re /i > 0 при а = dzi/тг;
ад. = 1 при А; ^ А;±, afe± = 1/2 при (i/тг =р а)/Bтг) = . . . , —2, —1, 0, 1, 2, . . .,
ак± = 1 при (|/тг =р а)/Bтг) Ф . . ., -2, -1, 0, 1, 2, ... ].
oo ^-f-
цг—-> китт , х 1 1г~"
¦^ ^ 2 2и ^~~
k=l к=к
[Re/i > —1/2; Rejn > 0 при а = 0, ±жи; к± см. в 5.8.7.7].
616 Гл. 5. Ряды [5.9.1
ос
9. У
[Re/i > -C=Fl)/4; 0 < и < C±1)/4].
cos (у — 1)атг
— -— cosec атгJ
> -E=Fl)/4; 0 < i/ < C±l)/4].
ii V^ ^ -i г мг / \ ^ f sin(i/- 1)атг1 / xr , x
11. > t^ ™smfei/7r/jU^fel/(z)lM+fel,(z) = -—cosec атг< . Км-аЛ^ W42
^ kA — az 2 [ sin i/атг J
[Re/i > -C=Fl)/4; 0 < i/ < C±l)/4].
5.9. РАЗНЫЕ РЯДЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ J^(z),
I^iz), НЕЙМАНА yJ(z) И МАКДОНАЛЬДА К^{г)
5.9.1. Ряды вида ^akYkfi+^(kx + у) m^akKki_l+1/(kx + у).
ехр [| (* + I)]
о ^ , ,^ , f л 1/, 4тг \ 1 Al I f ll ^1
2. V cos^aFo {kx) = - In c +^У 7 + ^" n / 7~
I1
-аJ-Ж2 l\* = 0;a>x>0J'
натуральные числа, для которых 2тетг < а — х < 2(га + 1)тг и 2«,тг < а + ж < 2(п + 1)тг I.
3. ]P(~l)fc cos ^аУо(^ж) = ^ cos ^ (а + тг)У0(^ж).
fe=i k=i
4. V cos kaK0(kx) = —т^= + - (С + In —U -
^ V ' 2Vx* + a2 2V 4tJ 2
7г - аJ
5. > (-1) < >Kfe+i/2B:) = =f — < ) '\}e erfc V 2 z cos - ).
^ [cos 1га J 7 2 [ cos (a/2) J V 2/
5.9.2. Ряды, содержащие произведения функций Jv(z), Yl/(z), Iv(z),
Kv(z).
= - Y0(Vw2 + z2 T 2wzcosa) + - J0(w)Y0(z)
\z\].
2. V^ (il) cos kaJk (w)Yk+v(z) = cos ( v arcsin —=
2toz cos a
X У; (Vw2 + z2 =F 2wz cos a
5.9.2] 5.9. Разные ряды, содержащие функции Бесселя, Неймана и Макдональда 617
о V^ /^i\fe • j т / ws f \ • ( • го
3. > (±1) sin kaJk (w)Yk+v\z) = sin I v arcsin —=
Z^ \ \/w2 + z2
\/w2
2wz cos a
X Yu (Vw2 + z2 =F 2wz cos a ) [|weia|, |we~ia| <
4. ^ cos kaJkn(w)Ykn(z) =
fe=O
1 k+
— ^
П kk
5.
6.
1 , 4V/
- Jo(w) го (
z
[к± = ±[(п7г =F а)/Bтг)]; Q-к = 1 ПРИ k Ф k±i
ак± = 1/2 при (пж =р а)/B7Г) = • • • , -2, -1, 0, 1,2,.. .;
afe± = 1 при (птг =р а)/Bтг) ^ • • • , -2, -1, О, 1, 2, ... ].
*2
cos tz rft
- с2 + 26с cos 2а - ?2
= с - 6, t2 = л/б2 + с2 + 26с cos 2a; с > 6
" П
8. 5^[Г* + (-t)*]Jfc(z)/fc(^) = Jo Uy t - - ) - Jo{z)Io(z).
^ f sin ka 1 . ч ( ч f sin i/t/j 1 ^^—r
9. > < , >/fc(w)i^fc+i/B:) = s . yKjyiVw2 + z2 -2wz cos a)
^^ I cos fea J I cos i/i/? I
k = — oo v y \ г у
ф = arcsin (го sin a/y/w2 + z2 — 2wz cosa ); |гиега|, |гое *а| < \z
10.
- 2wzcosa) + - I0(w)K0(z
схэ ^+ / /
11. \>os ka 1kn{w)Кkn(z) = -1- У) A-o f Jw2 +
12. 2J±ircosfcaJ2fc(z)K2fc(z) =
fe=i
\
2wz cos 2fe?r + a | _ 1 /0(w)/<-0(г)
n J 2
[k± см. в 5.9.2.4].
cos (
,1/2
cos (a/2)
14.
sin B/г + l)a
cos B/г + l)a
cos a
г^ /\ ъ\ T ( [ sin a 1 \ _ / f sin a
%1/2 г = - /о 2г И - Lo 2^
-r / v / 4^ у [cosa j / \ [ cosa
618
Гл. 5. Ряды
[5.10.1
15.
-J + J_2l,(-2i;zcos-J - 2 cos иж!^2у f 2z cos -J - - /^I/
[Re v < 1/2].
16. ]P(-l)fe cos Bk
4 sin 2i/7r
17.
18. ^(-l)fe cos BA; + l)a[/fc^I/
k=0
19.
у
[iJ2l/Bizcosa) — iJ2l/(^2iz cos a) + 2 sin i/7r/2l/Bzcosa)] [Rei/ > —1/2].
[Rei/ > -1/2].
= 2 sin ижKivBz cos a) [Rei/ > -1/2].
/x-i/ !-/_ + */ # 4
2 2
9 9 1*
„2j/2 '
20.
21.
4тг '
5.10. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА Рп(х)
5.10.1. Ряды вида \^ акРпк+т(х).
[ж, t/, z, Rei/ > 0].
0, 1-^-^/2, Ц-(/г-1/)/2
2.
з
3.
00 ik
4. V V
Vi
A
1
1
- 2?ж +
- 2tx 4
0
_?2K/2
< 1].
< min ж it \/ж2 — 1
< min x i уж2 — 1
l-tx
°° 1 / / 9 \
5- Егттр*(я:) = 1п 1 + vd~ •
fc=0 ^ \ V /
v^ 1 _, ч . г. ж/ ж\1 .ж/ . ж\
6. >, т ^ (cos ж) = "~ cos ж 1° sm "~ 11 + sm "~ ) | 2 sin — II — sin — 1.
5.10.11
5.10. Многочлены Лежандра Рп(х)
619
fe=0
9-
< 1; -1 < ж < 1; р = у7! - 2?ж + i2 L
Si =ln
p + ? — x
1-х
So см. в 5.10.1.2,
S2 = (t — x) In
2
П2
p + t — x
У' Л о / \ I -n-lr> (
¦ 1-p,
= \/l -2tx + t2\.
f-1 < x < 11.
11.
0, ±1, ±2, ...].
[-1 < ж < 1].
13- 2^m-
fe=0
00 ,k
15. V^.
и.
18.
1 1
= Ф2( -, -; a; tu-, tu+
>, -, 2
P2fc(^) = 2(a^l)|^
[-1 ^ x ^ 1].
'1'
t2
-1 ^ ж ^ 1; S =
= ж ± \/x2 - 1;
= x ± \fx2 - 1;
[-1 < ж < 1; a > 5/4].
[-1 < ж < 1; a > 1].
fc=0
00
fc=0
(a)k(b)k
Ж) = F4 a, ft; 1, 1;
— t tx -\-1
2 ' 2
620 Гл.5. Ряды [5.10.2
/о = V1 - 2tx + t2
23. 5^D* + 1) )a)fa'fc P2,(cosx) = Ц^ [sm2eGr - ж)
f—' E/2 + a)k{S/2 — a)k smiaTr
fe=u m ^ ^ л
[0 ^ ж ^ тг].
24. f> + 2n - 1) (/,2,)*.(" "м/2)>1 *Wn-i(«) = 4Sl"(" ""?'i ¦
^ A;!(A; + n)! путг Г(п — 1/2)
25. В4, + 2СТ + 1)^±1М|^^Ь
fc=O '"-\^/л
= —=-Г Ж A — ж) [<х = О или 1; —1 < ж < 1].
утг [а ~~ °* ~~ 1/2J
26. VDib + : "~л '"
fe=0
2k+i{x) = — arcsina;.
7Г
28. >^l)fcDfc + l)| ^7J/W 1 P2fe(cosx) = -^K(sinar).
29.
5.10.2. Ряды вида У^ак ]~[ Pfc(a?i).
: 1; u± = Jl — 2t cos (ж ± y) + t2
L
2^ + 1 „ , 4r
= 2 In 2 - 1 - In [A -
fe=i v '
l2 If совесж "
— i) cos ^к -f- ljttL.rfc^cos xj —
fc=O
3. ^(^l)fccosBfe + l)a[Ffc(cosx)]2 = -| сшесж |к(со8есж cos±1 a)
0 < ж < тг; I
cos a < sin ж
cos a > sin ж
2 - y2 - z%lf\
4. ?)B* + l)Pfc(a:)Pfc(y)Pfc(z) = - A + 2xyz - x2 - y2 -
fc=o ж
5.10.3. Ряды, содержащие специальные функции и Рп(х).
Обозначение: р = (w + z — 2wzcosx) ' .
fe=0
°° /2z
2. 5^BЛ + l)Ik+1/2(z)Pk(x) = y — ^Z hi ^ ж ^ 1].
fc=0
5.11.2]
5.11. Многочлены Лагерра Ь"(ж)
621
2 /1117 Г
3. ^(±1)к Jk+1/2(w)J±k±1/2(z)Pk(cosx) = -*- 1
I, А * V
J slnp I
cosp j
4.
5.
[i = 1, 2;
2-
5.11. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА
5.11.1. Ряды вида yj <2|гЬ^+п(ж).
fc=O
lA 1
fe=O
1
3. ^TLfc(^) = -1пж-С
fe=i
4. ?^Т^(Ж) = ^ежЕ1
5-
[ж > 0].
[a > 0].
[x > 0].
[ж > 0; а > -1].
fe=O
_
[х > 0].
с, с — & — a — ll
^a^l; с-б^а; ж) +
ГГ'~ " "• :|iFiF; а + Ь-с + 2; ж) [-К Rea < 2Re(c - 6) - 1/2].
[с — о, с — а — 1J
i \ §
[Re а > -1; ж > 0].
[Re а > -1; Re b < min (Re a + 1, BRea + l)/4); x > 0].
5.11.2. Ряды вида ^J <ifctfc L^+n{ka + ж).
622 Гл.5. Ряды [5.11.3
2. Y, т^— Ь^ж) = №Га-г(<*, ^т) [R*« > о; 1*1 < 1; * > о].
fe=O
fe=l
5. V t Lg(x) = r(g n
^ (a — n + Ik
fe=o v ; k=o
fe=O ^ ' ^ ^
CXJ / ч
fe=O ^° ^^fc
[-1 ^ t < 1; Rea > -1; ].
00 /1 \
8- E ( , П )tkLl+n{x) = A - t) —-1e-*a!/
fc=O v f
V^ (^l)fcQ^fc/2(sin(fc7r/4)
а, /3 - 1;
fc=O x 7
OO / 4
-a/2
fe=O ^ ^fe
"• / ~~? \— " к I J ^= \~7 \—7~ъ "ск\
fc=O r. oz 1 az -11
14. \^-Ц -A ^fcI
IK Y^,fcfSm^alr / \ pix(t-cosa) \( —1 + tCOSa 1 ... . ч
15. > t < _ >Lfc(a?) = peF l J\< t . sm ptesma
^^ I costal I tsina I
fe=0 K J L l J
{tsina 1 f Л г оч-п
> costptosina) p = A - 2tcosa + t^) x
1 — tcosa J J
5.11.3. Ряды вида ^J afcLfc+n(a;)L^(
fe=O
~ 1 _ l E
fc=O
5.11.4]
5.11. Многочлены Лагерра Ь^(х)
623
к]
/3-а
к\
fe=O
5.
6.
[rj(t) = 0, t < 0; r/(l) = 1, t > 0; 77@) = 1/2].
[ж, t/, a > 0; ?|(t) см. в 5.11.3.3].
„\ fc/2
U
fc!
'¦ E
A;!
?-1
J(x)LfeB/) = а(ж|/)"а:еж+|/7(с, ж)Г(а5 у)
fcГ I 7/ I ^^ 1П( ЛК —I— 1 si 1 — / I I t^VI! I N
,\ fc/2
[0 <
5.11.4. Ряды вида
\ J-J<n \X LXj. л5» / Ljn yX j — ^t Ж^
5. x)^*fc^-n(«)=
fc=0
k=0
¦ L^n^a(x— —
1 — av
6.
т.
8.
О ^ffcra-2fc/v_ 1 /1 + л/Г
fc=o V ~i~ V
exp
[t =
-2tx
1 - It + VI - 4*
. - л/1 + 4*
exp I ж
(/5)*
= -— exp
(a/2 + l)fc
fe=0
00
»¦ E
»• Er;
00 / 1
¦c—^ / П -\- ft,
14. V I T
к
(^) = Фз(^а; /3; -*, -tx).
= 0].
624
Гл. 5. Ряды
[5.11.5
3; -t,
00
' E
18.
* Lk \x)=
1 — tx — и
1
2.
3.
4.
5.11.5. Ряды вида
.к т сх-к / \ г k-n/ \ _ .n/+ , ,\a — n —tx т a — n
t Lk {X)Ln {y) — t {L^rt) e Ln
p,-a- p; l;
dr [u = A + 2t(jc + 2r) +
- + t
f;
'^('t)Fj'? k(n\ — пИпA — tii)a nPtxyjia n i _l
LgOr)L^(j/)= ^ + 1)"e»1F3(i8 + n-
l,/3
OO
- E
, 1
7.
, txy).
[ж > 0; Re a > -1].
= Г(а
5.11.6. Ряды, содержащие специальные функции и L"(x).
°° 1
• Е Г(к + а
кк\Bк + а
/fe+(Q+1)/2(z)L?0z)L?(-:z) =
2
Е Г(к + а
T((a + l)/2)
OO
3. J2 tkPk{x)Lk{y) = pexp (p2%(t - x))J0(p2t|/Vl-^2)
fe=0
5.12. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА Hn(x)
5.12.1. Ряды вида У^акНпк+т((р(к, ж)).
р = A - 2?ж + t2)'
t = ze"
5.12.1]
5.12. Многочлены Эрмита Нп(х)
625
- Ё ТГШ Н
4tV"V
00 tk
k=Q
4. Х"^Н2к+п(х
?. ¦¦¦/ h* !
1/2].
7- E T^r
^zк
*)"erf (ж "
8- E
= ^te*2erf(ж)" ^re'2[erf{x + b)+erf(x"
- ^ в^2 erf (
2tx
»•?
= fe'erfc{
14.
/ -1 \ К
= 0 или 1].
40 !/2 А. П. Прудников и др., т. 2
626
Гл. 5. Ряды
[5.12.1
32а?3ж
3ж3
4t2 - Sat2)
4*2
23. 2^
fe=O
00 +k
24- E^o
fe=O
00 ,fc
Ж2ГA/4)
2A - 64t*)V2
1/4
)
, 2.
1
1 xz^zt.
25'
fe=O
f
28.
'1/4
2t = ze~az; laze1™02! < 1
ж
fc!
/ifea + 1
l. l
a' a
k\
к
t = -
2z(bx^a)
[условие см. в 5.12.1.28].
[условие см. в 5.12.1.28 при а = 6].
А;!
LJ ^ ка + х \
Ик\ /11 = e
+1
32. ^^
33- Е ^
" !)* cos
2a a
[условие см. в 5.12.1.28].
34.
к, 1=0
5.13.1]
5.13. Многочлены Гегенбауэра СД
627
5.12.2. Ряды вида ^ ак ]~[ Hnik+mi (xj).
exp
min (m, n)
fc=O
1
Uxy - U2(x2 + y2)
l~4t2
у - 2tx
< 1/2].
fe,I=O
kill
x exp
2 . n 2\^2
-4(t + ti
- 4(taj + uy)'
x — 2tx — 2uy
1 ^ 4t2 ^ AU1
5.12.3. Ряды, содержащие специальные функции и Нп(х).
г , ч sin2aa?
fc=O
ею
2. ^
оо
з. V
1 -
к=0
к\
2л/1 + t2
erf aVl
fe=O
5.13. МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБА?ЭРА С^(
5.13.1. Ряды вида Л а^С^+т(^(^, ж)).
2.
-гт- Ск(
] a;
erf aVl + t2 -
2 ' 2
1 + t2
—; ^
* < П
, -|
= x dz уж2 — 1; \tu± | < 1 .
40 i
628
Гл. 5. Ряды
[5.13.2
7.
»¦ Е
9.
¦
fe=0
fe=0
Tl/2-i/
B./)*
[-1 < ж < 1; 2д < i/ + 1 при i/ > 0; 2ц < 2i/ + 1 при - 1/2 < i/ ^ 0].
[-1 < x < 1; i/ > -1/2].
- 2ix
- tx
1 1 - ? - ¦
2'
i/i; ^+ 2'
t2
\t =¦ ze az] aze a
1 1
i/, —5 2i/, —
a a
^ Bi/)fc(A;a + l)
5.13.2. Ряды вида
00 JM
[t = ze az; \aze
1 11.
= ze az] \aze~1 az\ < 1
2' ^ 2' ^ 2'
5.14.1] 5.Ц. Многочлены Якоби Р^а-0)(х) 629
5.13.3. Ряды, содержащие специальные функции и
k=Q
fe=O
6.
fe=O
8. ^
fc=0
2 Vf2fc + H A/2)
x exp (p2tx(t -
5. f]
\Zv{z) = Ju(z), Yy{z), Я^'2)(г); р= ^2 + ^2
0, —1, —2, . . . ; \w exp (±i arccos ж)| < |z| при Zv{z) ф Ju(z)\.
[My{z) = Iy(z), ei7VVKu(z)\ p = \fw2 + z2 -2xwz; и ф 0, -1, -2, . . .;
| w exp (dz arccos ж) | <
(z
5.14. МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
5.14.1. Ряды вида ^^l
Обозначение: р = Vt2 — 2tx + 1.
630
Гл. 5. Ряды
[5.14.1
Ж, _ , . . —
-« х ) —
га! V 2
F2 [ а + п + 1, -/3 - 2п, 1; а + 1, п + 1;
1 - ж t+ frc
~~2~' ^г^
3. V
ifc+i
1
a
Dfco>o)(*) = — (i-i + p)-a(i + * + p)-
fc=O
00 J.k
>• E
0, -1, -2, ...].
O, -1, -2, ...].
- 2 . 2ix-
—; /5 + 1; t^t
E
= Г(а
(а+/3)/2
(х- iya/2(x
fc (a,/
l)(t + 1) „/« + /3 + 2 Q + /3 + 3 ,, 2t(a;-l)
^F!^ ;e + l; {t1J
^ E-
G)*
2 ' 2
tx — t tx -\-1
^ + 1; "~2~J ^^
ю-E^
n! V 2
F4 [a + n + 1,
l; 7, a + 1;
2t
ж + 1 ж + 1
11.
^ (« + l)fc(/3 + l)fc fc
= 2Fi[7, a + ^-7 + 1; a + 1; X^^F ) 2Fi ( 7, a + /3 - 7 + 1; /3 + 1;
(a + /3 + l/2)fc
5.14.2] 5.Ц. Многочлены Якоби Р^ф) {х) 631
14. 2^Bк + а~
fe=O
5.14.2. Ряды вида
оо
k=0
оо
2. Vl
7-1
fe=O
)^ y7V / 1-ж tx
o
4.
5.
оо
fe=O
оо
]Р
оо
{а + L)k
wJfe
[* = "
7.
[z см. в 5.14.2.3].
CO , i i\ / » , . \ /3 — Ct — n — l / ey , ,\
Q \~^ [ ^'^ \,кр(а,/3-к)/ \ _____ (f _i_ -\\—P I -I __ ~*~ I p(«> /3) / ^Ж — ZX — t
fe=o ^ ^ ^ ^ \ ж
^ ^ tx ^ t
9 — 9#
fc=O l~~ ' ^'re x
10.
55 2 ' 2
л , 1 2*ж + 2?
x F2 n + a + 1, 7 - -, -^ - n; 27 - 1, a + 1;
2' " ' ' ' ' ' tx
632
Гл.5. Ряды
[5.14.3
5.14.3. Ряды вида
= teav].
2.
fc=0
00 ifc
fe=O
- E
8.
(t,o_t) / 2
v
2v = -t(x -
1;2a+l;_?l_^
{-P; -a-P; t).
txl -t
cos [t(l - ж)/2] 1
sin [t(l - ж)/2] /
1-a 2-a ?, 1-a-ft 2-a-fi t2\ Г fl
j [5
f Sin [t(l - X)/2] \
a 1-a 1 a + /3 1-0-/8 t^\ 2^at f co
--, —?-; -, —, - ; --4-^ =F -^T^S" \ si
2' 2
_^. _a _ p. _
bx
[2w = -t(bx + l)eaw].
5.14.4. Ряды вида
у, fc!(g+/3 + l)fc fc
1.^ + 1)^ + 1)/
я;)(Ц-у)
(<* + !)*
K + yg + l)(l —t)
5.14.5] 5.Ц. Многочлены Якоби Р^аф) (ж) 633
. + 1, а + 1,
1I/2| + \t(x _ 1}1/2| + {y_ !|l/2 < |y + 1|l/2j_
oo . .
\^ fe! ,fc p(a, /3-fc) / \n(a,7-fe)/ \_
fe=O ^
а + /3 + 1, а + 7 + 1; а + 1;
4wv
'it = 1 - *(ж + l)/2, v = 1 - tB/ -
+ a + 1, -a, -/3, ,7 + 1,
[w = 1 - (ж + 1)B/ + l)/4, г; = 1 - (ж -
5.14.5. Ряды, содержащие специальные функции и РДа'^(ж).
2. f)(-l)*BA: + a + /3 + 1) ("(
f)(l)BA: + a + /3 + 1) (^
: t
( Г () (о К: t
4. ? *''°tf/'': i*e)i-S»
".2,1
41 А. П. Прудников и др., т. 2
Приложение I. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
И СИМВОЛ ПОХГАММЕРА (а)к
.1. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ (?)
= {_1)kt^=a(a-l)...Ja-k + l) [fc = 1, 2, 3, ... ]•
f ^1 =0 [А; = -1, -2, -3, . . . или ife > п].
/п\ ( п \
(*) = („-*) [п^0]-
/а\ , vfe/-a + A:-l\ fa\ = Г(а + 1)
\к) { } { к У' Ы ГF + 1)Г(а-Ь + 1)'
f ^) = ( а 1 ) [Ъ ф -к, к + а, где А; = -1, -2, -3, . . . ].
\ о/ \а — о/
а \ а (а — 1\ а~Ъ/а\ [ а\ ( а \ /а + 1
6+1/ 6+1
/п + а\/ b \(b\fb-n\ (Ъ\(Ъ-а
V га у \п + ау \пу \ а
n ) 22n \ n j v ' Bn)M '
1/2\ _ (-I)" /2n - 2\ _ . _,.„_! Bn - 3)!!
п) 22^-1тг \ гг — 1 У v ; [2п - 2)\\п
п + 1/2\_ п 4п.1Bп\ /2п + 1/2\ _ 2п/4п +
2га + 1 / \ га / \ га / \ 2га
га \ 22те+1/2п\^1 ( п\ 22п ( п
\12)~ тг \п) ' \n/2j~ ж \(п-1)/2
1.2. СИМВОЛ ПОХГАММЕРА (а)к
( Л ( j. Л ( 4.*. П Г(а + ^) / 1Л* ГA-а)
(ttlfc = ttia + 1) . . . уа + л — 11 = —-— = (—11 — -
Г(а) ГA — а — к
(а)о = 1, (а)-к =
Г
I (a)
(l)fe = A;! (l/2)fc = 2 ^j^' C/2)fc = 2
(га — 1)! А;! к!
(a)n+fc = (a)n(a + га) д., (a)n^fc =
(l-a-ra)fc'
а\ /а + 1\ /a + n^l\ nfc , , _ /а\ /а + 1
/'Ч п )кП ' laj2fe-l2/,
1.2. Символ Похгаммера (а)к 635
, B*). = (I) *!2».
\2Jk
k
ппк, Bfc + l)!(^
\2jh
{a + mk)nk = ^) {a + k)h = , (a + m)k=;\
(а)тк {а)к {а)т
(а - тк)пк = (^1)тк(а)пк^ткA - а)тк
(a - A;)fc = (-1) 1 - a)fc, (a - m)fe = )-
A — a —
/ , M (a)n(a + w)mfc±ifc , v
(a + mk)n±ik = ^^ , [cl + K)n-k
(-l)lfc(a)w(l-a)mfc
(a - w/c)n±ifc = —r- г , (a - k)n^k =
A a n)kik
rг, (a k)n^k =
A - a - n)mkTik A - a - nJ
41*
Приложение IL НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
II.1. ГАММА^ФУНКЦЖЯ T(z)
Определение:
оо
tz~xe~l dt [Rez > 0].
о
При Rez ^ 0 функция V{z) определяется как аналитическое продолжение интеграла.
F(z) — аналитическая функция во всей z-шгоскости, за исключением точек z =
= 0, — 1, —2, . . ., в которых она имеет простые полюсы.
r(z + l) = zr(z), Г(п + 1) = п!, ГA) = ГB) = 1.
r(z + k) = (z)kr(z), Г(г -к)= (У*
У
' - 1 \ пк
п ,
F(z-nk) =
2-
2 /Д 2 /,
r(z + 1) / z х
Y{w + l)T(z — ii; + l) \гу/
T{nz) = Bnf-^n—^ П Г (z + J) , ГBг) = ^ Г(,)Г
II. 3. Пси-функция tp(z)
637
\Щх)\2 =
сЬтгж
II.2. БЕТЛ^ФУНКЦИЯ В (а, Ь)
Определение:
В
(а, Ь) = ji
dt.
dt
[Re а, Re b > 0].
/1 n\ _
\2' 2) ~
> (m + n + iy/
.(n-2)!! „/3
' 2
(n-2)!!
25 n = 2, 4, 6,
тг, n = l,3, 5,
II.3. ПСИ-ФУНКЦ1Я
Определение:
^(z) — аналитическая функция во всей z-плоскости, за исключением точек
= 0, — 1, —2, . . ., в которых она имеет простые полюсы.
= -C
/ 1 \
= -C, С = lim V--Inn =0,5772156649...
) = -С - I - 31n2, ^^ = -C + | - 31n2.
ф Ml = ^C - In Bg) ctg ^^ + 2
\qj 2 q
In sin —
[p = l, 2, ..., qf-1; 9 = 2,3,4, ...].
фA -\- z) — фA — z) = 7Г CtgTTZ.
638 Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
k=i
Ф(пг) = I 53 ^^ + ^ + Inn, ^Bs) = i ^(z) + i ф^г + 0 + In2.
^ + ж )
1 1 °° 1
= 1 сШтгж, Im'0(l + ix) = 1 Ш \J
AX A AX А
1сШтгж, Im0(l + ix) =1сШтгж = ж \J .
AX A AX А к "г" Ж
—h ix) = — th 7ГЖ.
2 / 2
•?oik+z)n+l-
1 m~l / h >
-—7 / f j H n = l,2,3,
fe=O V
ф(п)A) = (~l)n+1n\((n + 1) [n = 1, 2, 3,
/1 \
Ф{П) ( - = (^l)n+ n!Bn+1 - l)((n + 1) [n = 1, 2, 3,
II.4. ДЗЕТА^ФУНКЦМЯ РИМАНА ?(z) И С(«, v)
Определения:
oo oo
,) = V-L = ^_ у ! [Rez>l].
; / v j^z ][ 2""z •'/ f2ife 1)
C(z, г;) = 53 /ь, w [Rez > 1; i; ^ 0, -1, -2, . . . ].
k=o ^ + ^i
При Rez ^ 1, z ^ 1 функции С(^)? C(^? v) определяются как аналитические продолже-
продолжения приведенных рядов.
C{z)-> C{zi v) — аналитические функции во всей ^-плоскости, за исключением точки
z = 1, в которой они имеют простой полюс.
II. 5. Интегральная показательная функция, интегральные синусы и косинусы 639
С@, «) = --«,
«, C(n,«) j^, С(«) A) ^у, СA2п)
C(-2n) = 0, фп) = ^1\В2п\ [„ = 1,2,3,.
П.5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ E!(z),
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СИНУСЫ s!(z), Sl(z), shl (z) И КОСИНУСЫ
cl (z), chi (z)
Определения:
X OO
f e* f e-t
El (ж) = — dt = - dt [x < 0].
J с J ^
—аз
' e* - 1
= С + In x + | Л [ж > 0].
о
si(x) = - \^dt. Si(x) = |+Si(a;) = j^dt.
0
) X
• / \ I COS t Jj- r* . 1 , Г COS t —- 1
ci (ж) = ~~ I dt = С + In x + dt.
t J с
0
ж
shi (ж) = -— dt. chi (ж) = С + In ж + dt.
J ^ J ^
о о
Ha z-плоскости эти функции определяются как аналитические продолжения приведен-
приведенных интегралов с помощью рядов
' 'i. 3 3. z^
2' 2 ' 2' 4
chi (z) j 4 \ 2 4
si (-z) = -7Г - si (z), SI (-z) = - SI (z).
cl (e±7Ttx) = cl (ж) ± ni [x > 0].
shl (z) = —г SI (iz), chi (z) = cl (iz) —.
dz
d /shi(z)l _ 1 f shzl
I J z \chzj
si (z) 1 if sin z 1
cl (z) J z\ cos z J
_ shi(z)
dz X chi (z)
640
Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
П.6. ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ erf (z), erfc(z), erf! (z)
И ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ S(z), C(z), S(z, i/), C(z, i/)
Определения:
erf (ж) =
2 Г 2
erfc (ж) = 1 — erf (ж) = —=¦ e~* eft. erfi (ж) = —i erf (ix) =
Ж
2 Г 2
—=- e1 cit.
Vtt J
^ —pr- dt,
о/ \ ! Г sin*
Six) = ^ —-=r dt.
w ^2^ J ^
dt.
cost
Ha z-плоскости эти функции определяются как аналитические продолжения приведен-
приведенных интегралов с помощью рядов
erfi(z) J ~~ У? Zl 1\2'2'TZ J' eTC^Z^y^€ \2' 2' Z
2^ „ /3 3 7 z2\ л/ ч /27 п/1 1 5 z2^
C(z,u)
erf (z) = v^eT7ri/4[C(±iz2) ± i5(±iz2)].
__1 f 7A/2, z2
[ erfc (x
erfc (z)
, 2 ^Z2
= ±^^ e
S(*
1 _ 1 fsinz]
_l__llf^, 1/2I
O(z)j 2 v^F\c(^l/2)J-
?(z,0)l =_fsi(^)l
7(z, 0)/ lci(z)/-
II.7. НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
Определения:
'^e^ dt
D^*/4
z), T{v, z)
[Re и > 0].
у, ж) = r(i/) — 7(V, ж) = t17
II.9. Функции Бесселя Ju{z), Неймана Yjj(z) и Ганкеля Hi (z), Hi (z) 641
На z-шгоскоети функции 7(*Л z)j Г"(|/, z) определяются как аналитические продолжения
приведенных интегралов с помощью рядов
v
7(г/, z) = — iFi{v, " + 1; -z).
V(v, z) = e-z^{l-v; 1 - is; z).
7A/ + 1, z) = г^7(гл z) — z"e~z.
Y{v + 1, z) = uT{u, z) - zve~z.
П
f 7A/2, гI f erf(Vi)
\ГA/2,г)/ V7r\erfc(^)
Г@, z) = -Ei(-z).
II.8. ФУНКЦИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА Dv(z)
Определение:
'2' 2 V 2 ' 2' 2
*
Г[A^|/)/2]± L\ 2' 2' 2) V{^u/2) L L\ 2 '2' 2
"v ; ' Г(-1/)
II.9. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ J^(z), НЕЙМАНА Yv(z) Ш ГАНКЕЛЯ
Определения:
642 Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
Yu(z) = [Jv(z) cos vie - J-u(z)] \v ф ±n].
Yn(z) = lim Yv(z) =*Jn(z)\nZ-- I ^(" * 1]' f
h№>(z) = Jv{z) ± »У„(г) = ±^- le^Mz) - J-V(z)}.
Sin J/7T L J
J^n(z) = (-l)nJn(z), Y-n(z) = (-l)nYn(z).
H(ln2\z) = (-l)nH?'2\z), H{Sp\z) = e^'H^iz).
Ниже Zv^z) — любая линейная комбинация функций Jl/(z)^ Yu(z), H^ (z), H^ (z)
коэффициенты которой не зависят от z и и.
4vZv{z) = zZv+1{z) + zZu-!(z).
z^ Zv{z) = ±vZv(z) T zZu±1(z).
az
1 d \ г ±ь
J/ тп 7Г г \ muTii j ( \
Jn{^z) = J-n(z), Jn(iz) = inln(z).
; K ' LI 7r/2<argz^7r
Y±t/(zemwi) = e~mt/wiY±l/(z) + 2isinm{ Ctgl/7T \
{ cosec i/TT J
(+1)i/2 ^/2 [-тт < argz ^C тг/2]
±() { \()
{ cosec i/TT J
7Г
r/P/m^n _ iF^tSinmi/Tr „({?})/ ч _ sin(mTl)^ „({2})/ ч
Пи I-Зс I — +c ; Ну I Z I -f- ; П у \Z J
sini/тг sini/тг
[m = . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .]
z)TiH№\z) [H
M
Mz)Yv+1(z) - Jv+1{z)Yv{z) = - — .
wz
d\ (\\unz\\ _ /2 \f sm(z-nw/2)\
x
11.10. Модифицированная функция Бесселя lv(z), и функция Макдональда Kv{z) 643
[^] k cos (z - пж/2)
^ Bk)l(n - 2k)\BzJk \sIn(z + mr/2) J ^ Bk
ч Л^ Г si
V 7TZ { CO
l/slnzl /coszil
z { cos z J I sin z J J
sin
{ COS Z
[ z
«/±5/2C) = у— U-i г^1
7 V 7Г2: [ \ z2 J { cos z J z I sin z
У = 1, 2].
11.10. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ
И ФУНКЦИЯ МАКДОНАЛЬДА Ku(z)
Определения:
. ^ (г/2)«+"
1 п-1
2
k=0
п+2к
О Z- ¦/
к=0
fc=0
Ji/(^jJ = ^ ii/i|il(zj, —- [Z Ai;(
clz L
I AY\±-/ (zI = z±— / _ (z) (I AYlz^K (z)] = (~l)mz
z dzj L ^ ;J "+ml /? V^ dzj L -v /J v /
2 2
h(z) = h(z) + Io(z), Ki(z) = - KAz) + K0(z).
z z
644
Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
ij/^ze ) —
Ku(ze ) = e
Ku(z) — гтг—:
sin утг
Г/
-к < a
7Г/2 <
тг/2
^ тг
i п
h(z) = e-vni/2Jv{ze*i/2)
ГГ
LI
[-7Г < argz sC тг/2]
[тг/2 < argz sj т]
-тг < arg* < w/
7Г/2 < argz ^ тг
z
shz
ch z
/~2"Г/2 \fshz! 3fchz11
/±5/2 ^ = J— +1 M , ~- Ь Г '
7 Vtt^LV^ /[chzj z[shzJJ
11.11. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА F«(
ЧЕБЫШЕВА Tn(z), Un{z), ЛАГЕРРА Ln(z), L^(z), ЭРМИТА
ГЕГЕНБАУЭРА C*(z) Ш ЯКОБИ Fip5<T)(z)
Определения:
22n
2k
n J V n - к
cos \(n — 2k) arccos z\
— многочлены Ле»:андра;
[n/2]
= cos (n arccos z)
— многочлены Чебышева 1-го рода;
[n/2]
(\ \^ f \fc \П ~ fei! (\n2k
/-I 2\ —1/2 • r/ i 1 \ I
= A — z ) ' sin [(n + 1) arccos zj
— многочлены Чебышева 2-го рода;
11.11. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. 645
к! \п-к
[Re Л > -1
— обобщенные многочлены Лагерра (при А = 0 — многочлены Лагерра Ln{z) = Ln(z));
[п/2] /i^
k=o v ;
— многочлены Эрмита;
[n/2] ( 1\к(\\
k\(n-k)\
cos L(n - 2^) arccos zj
[n/2]
2
= — cos (n arccos z)
Co° (г) = l"
— многочлены Гегенбауэра;
— многочлены Якоби.
dn
1 d
Формулы Родрига fn(z) = -—щ —{p(z)[g{z)]n}
[Re A > -1/2; A#0],
[пфЩ,
[Rep, Recr > -1]
fn(z)
P«(z)
Tn(z)
Un(z)
Ln(z)
Hn(z)
n{ )
Pk"-°\z)
Ьп
(-l)n2nn!
(-l)n2n(l/2)n
n!
n!
(-1)"
BA)
(-l)n2nn!
p{z)
1
А -г
z e
_ 2
e
A z2)A^1/2
(l^z)^(l + z)CT
1
1
1
1
1
2
-z2
2
Z
Z
1
^2
^z2
Четность, частные значения
p«(«)
Tn(z)
/n@)
0, n = 2m + 1
(-1Г/2Ш
I 1, n = 2m
\ m
0, n = 2m + 1
(^l)m, n = 2fn
646
Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
fn(z)
Un(z)
LXn(z)
Hn{z)
CU{z)
C°n(z)
n/0
p(p5 a) ( v\
M-z)
(-i№M
(-1)"Л„(*)
и Л
{-lTP^\z)
/„A)
n + l
BA)n
nf
2
n
(p + l)n
n\
{
(<
I (
\ °
) r
I (
/
I
o,
n
)
71
1 ^
o,
/n@)
72 = 2 772 -
(A + l)n
n!
= 2m + 1
m! ' T
= 2m + 1
72 = 2m 4-
772
- 1
2m
- 1
U0(z) = 1,
(z) = 1 +
H0(z) = l,
{z) = z, T2(z) = 2z2 - 1;
Л - *, L2A(z) = I [A + Л - z)C + Л - z) - 1 - A];
P^ a) (z) = 1,
= | [(p + ct + 2)z + p - a],
Соотношения между многочленами
_ p(O,O)/ ч
(p
-1/2,-1/2)/
2)
2) -
2)].
= zUn-i(z) - Un-2{z),
= 2-1[Un(z) - Un-i(z)]
11.11. Ортогональные многочлены, Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. 647
U2n(z) =
эA/2,-1/2)/9 2
(l/2)n П
Lxn(z)= lim P^^ll^
2z2-l).
Hn(z) = n\ lim
I,
/J
= (-l)n22n+1nbLn/!V).
l/2-A
2
n
(X)nnl22n (A_V
Bn)!
_ (A)n+1n!22-+1
ч _ ( — 2) (A)n ,2 _ 1x
^j — /o ч . \ \Z 1)
A-l/2,l/2)/Q 2
Bz
Bz -1)
P^~1/2)(z) =
г + 1
-a
2n+1
„A/2,-1/2)/
„A/2,1/2)/
¦^ n \^
„(-1/2,1/2)/
C/2)n
¦C/2n
~2~
2
//+1
[А ф 0],
[A / 0],
[А ф 0],
[А ф 0],
(-P-O—2n-l,<r)
z-lj'
648
Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
1 - Z
Представления через функцию Гаусса
fn{z) =
a, b; с; h(z))
Pn{z)
Pn{z)
Pn{z)
Pn{z)
Pn(z)
P
2n(Z)
P2n+l(z)
Tn(z)
Tn(z)
Tn{z)
Tn{z)
T2n(z)
TWz)
Un(z)
Un(z)
Un(z)
Un(z)
U2n{z)
U-2n+l(z)
g
(±i)n
Bn\(zTl\n
UA 2 )
(Z±1Y
V 2 )
Bn\ /z\n
\ n ) \2/
n
Z
n (l/2)n
v A; n!
C/2)n _
n!
(±i)n
2-(,Т1Г
/z± l\n
V 2 J
2п-1гп
(-1)"
(-1П2„ + 1),
(±l)"(n + l)
2-(гТ1Г
./z±l\n
{2zT
(-1)"
(-!)»(„+ 1J,
a
n
n
n
2
n
2
n
n
2
^n
-n
n
n
n
2
^n
^n
b
n + 1
n
1 - n
2
1-n
2
1 m
to
3
1 (П
to
n
1
2
1
2
1-n
2
n
n + 1
n + 2
1
П 2
1
2
1-n
2
n + 1
n + 2
с
1
1
1
2 ^
1
1
2
3
2
1
2
1 9-n
1
2
1 n
1
2
3
2
3
2
9n 1
3
2
1
2
3
2
it*
2
2
it*
*T 1
z±l
1
z2
1
z2
2
z2
it*
2
2
it*
*t i
z± 1
1
z2
2
Z
2
it*
2
2
it*
*t i
z±l
1
z2
2
z
2
Z
11.11. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. 649
(—n; 1; z), Ln(z) —
(A
(-n; Л
2п+?(г) = (-1)" Bn + g)! Bz)\F1
Рекуррентные формулы
Cn(z)
Cn(z)
C*{z)
PkP'a)(z)
(P Or)
n V /
(±l)n BA,)n
n!
2"(A)n
n! v^ "^ A;
BA)n/«±l\n
n\ { 2 )
w; Bz)n
nl
nl
nl
nl
{p + a + n + l)nfz^l\n
nl \ 2 )
nl { 2 )
a
^n
~n
~n
n
2
—n
— n
~n
^n
—n
b
n + 2\
2 X П
1-n
2
n + A
n + A + 1
n + p + <r + 1
n p
—n — a
с
1
1
1 A n
1
2
3
2
p + 1
—2 7i — p — o"
P ~h 1
h(z)
2
2
1
„2
Z
z2
z2
1 - z
2
2
1-^
2-1
2 + 1
[e = 0 или 1].
Tn(z)
Un(z)
Ln(z)
Ln{z)
Hn[z)
Cn(z)
Pn}(l){z)
2{n +
x (n
«n
71 + 1
1
1
П+ 1
71 + 1
1
n + 1
1) X
+ p + a +
x Bn + p
1) X
+ ^)
) = (/3n +7n^)/nB:)
0
0
0
2n + l
2n +A + 1
0
0
Bra + p + a + 1) x
х(р2^ст2)
- <Wn-lB)
7n
2n + l
2
2
-1
-1
2
2(n +A)
Bп + р + <т)з
rj
2(n +
X B7
en
n
1
1
n
ii + A
2n
+ 2A-
p)(n +
г + p +
1
<r) x
<J + 2)
A - z2)Un-!(z) = zTn(z) - Tn+1(z).
42 А. П. Прудников и др., т. 2
650
Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
?() ()^m(z), Lxn{z) =
zLxn+1{z) = (n + \ + l)L*(z) -(n + l)L*+1(z)
= {n + \)Lxn_1{z)-{n-z)Lxn{z),
(n + A + l)Ll{z) = (n + l)L*+\(z) - (n + 1 -
nCx(z) = 2\[zC*±\{z) - cZ±l(z)],
= BЛ + n - l)zC^{z) - 2AA - z2)C^
(n + 2\)Cfo) = 2A
2AA - z2)C^l(z) = BA + n -
= (n + 2X)zC^(z) - (n
(n + ^ +
- nzC^(z),
).
p + l)P(np'°\z) - (n
Bn
Bn-
L""{z) = {n
r-1)(«) = (n
-(n-
+ (n-
Производные многочленов
U{Z)
Pn(z)
Tn(z)
Un(z)
Ln(z)
zxLx{z)
A -z г Л/ ч
Я2п+1(^)
1-яГ^Г
{2m-l)\\C™+^\z)
2т-1(т-1)\пС^т
2mm\C™+^(z)
{-l)mL™_m{z)
(n — m + A + l)mz
(т + п)!_л л
n! ^ 6 j1
(_l)2n+1 fn - то +
V
»
/ n
3
/2-
\ nfz1/2—L^2—(z)
/m
Услс
m ^
m ^
m ^
m ^
771 ^
•вие
? ^
J n
? ^
11.11. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. 651
«(*)-?- Mz) = H{z)fn{z) + 7(*)/n-i(*)
P«(z)
Tn(z)
Un(z)
Ln{z)
Ln{z)
Hn(z)
C*(z)
Р^'Ч*)
a(z)
1-z2
1-z2
1-z2
z
z
1
l^z2
Bn + p + <r)(l - z2)
/9(z)
-nz
n
n
0
ra[p — a — Bra + p + <t)^]
n
n
n + 1
^n
—n — Л
2n
П + 2Л-1
2(n + p)(n + <j)
Lxn(z) = (n
- (n + A
\mn-zrA+m/
dzr-
Xn(z)} = (-l)m(A + n-m + l)mz-n-x Lxn_m(z)
1 j X + m I J-
dzr'
d
" - m + Л +
clz»1
rfTO
dzr>
,-^-1e-1/aLi(-jj=(-l,
Bn)!
Bn-2m)!
[n > m],
[n > m],
[n > m],
42*
652 Прил. II. Некоторые специальные функции и их свойства
-(} Bn-2m + l)!2 Н2п-2т+г
- z2)-^ C*(z) = (n + 2\)zC*(z) - (n
— bn±1{z)-z—bn{z)^^ ^ \bn{z),
- 2Л -
m-2A/
Z {
dzr'
dm
dzr-
(m + n)l Bm + 2n-l)H гп
= l^1) j TVx C2n^2m+tWZ) [fl ^ m].
J ill yAJffi
n! Bn + l)!! 2-(
I1 + z) ^n {z}^ ^ {n — m +a + L)m{L +z)
j-Z [A + zr-^PJf-'^z)] = (-l)m(-n - a)m{\
A + *r+tl+*+CTP^CT)B)j = (-l)m(-m - n - p
A - z)"(l + zrP^°\
11.11. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. 653
— z\m+n+P(\ _i_ zY P^p' a^ (z) = ( 2)т A — z)n^p(l ¦
dz"
п Г
„т-1 р(р, о")
) Л _ 2 A] = (n _
р'СТ)^ 1 - ^1 = (^1)т(п - т + р + l),,^-^^^-^ CT+m) f 1 - ^ ,
1 -
Z;
[п > то],
(-n - p)mzn(l -
jm Г /9
I —n —p —o- —1/^ \cr p(p,tr) I - A
чт+п+о-
j
чт+п+о- p(p,cr) / -| _ 1 I —
9
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1965, Т. 1;
1966. Т. 2; 1967, Т. 3.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. — М.: Наука, 1969, Т. 1;
1970, Т. 2.
3. Б'рынков Ю.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функ-
функций. — М.: Наука, 1977.
4. Ватсон Г. П. Теория бесселевых функций, Ч. I. — М.: ИЛ, 1949.
5. Градилтейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. —
Изд. 5-е. — М.: Наука, 1971.
6. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. — М.: Выс-
Высшая школа, 1965.
7. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисле-
исчисление. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1974.
8. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление по двум переменным и его
приложения. — М.: Физматгиз, 1958.
9. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — Изд. 2-е. — М.-Л.: Физматгиз,
1963.
10. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таб-
таблицы формул). —Минск: Наука и техника, 1978.
11. Математические таблицы / Под ред. В. В. Карпенко, Е. Т. Колесова, Ю. С. Яковлева. —
Изд. 3-е.— Л.: 1978.
12. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные
функции. — М.: Наука. 1981.
13. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими
таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.
14. Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа. — Изд. 2-е. — М.: Физматгиз,
1962, Т. 1; 1963, Т. 2.
15. Хадтси П. И. Функция вероятности. — Кишинев: Ин-т прикладной физики АН Молд.
ССР., 1971.
16. Янке Е.у Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — Изд.
3-е. — М.: Наука, 1977.
17. Colombo S. Les transformations de Mellin et de Hankel, applications a la physique
mathematique. — P.: CNRS, 1959.
18. Colombo S., Lavoine J. Transformation de Laplace et de Mellin. Formulalres. Mode
d'utlllsatlon. — P.: Mem. Sci. Math., 1972.
19. Doetsch G. Handbuch der Laplace-Transformation. — Basel: BIrkhauser Verlag, 1950—1956.
Bd. I-IV.
20. Doetsch G., Kniess H., Voelker D. Tabellen zur Laplace-Transformation. — Berlin, G5ttingen:
Springer-Verlag, 1947.
21. Exton H. Handbook of hypergeometrlc Integrals: theory, applications, tables, computer
programs. — Chlchester (Sussex): Horwood, 1978.
22. Hansen Eldon R. A table of series and products. — Englewood Cliffs. — London: Printice-Hall,
1975.
23. Luke Y. L. Integrals of Bessel Functions. — N.Y.: McGraw Hill Book Company, 1962.
24. Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and Theorems for the Special Functions
of Mathematical Physics. — 3 ed. — N.Y.; Berlin: Springer-Verlag, 1966.
25. Mathai A. M., Saxena R. K. Generalized Hypergeometric Functions with Applications in
Statistics and Physical Sciences // Lect. Notes Math. - 1973. - Ш 348.
Список литературы 655
26. McBride E. В. Obtaining generating functions. — Berlin: Springer-Verlag, 1971.
27. McLachlan N. W. Bessel functions for engineers. — Oxford: Clarendon Press, 1955.
28. Oberhettinger F. Tabellen zur Fourier Transformation. — Berlin: Springer-Verlag, 1957.
29. Oberhettinger F. Tables of Bessel Transforms. — N.Y., Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag,
1972.
30. Oberhettinger F. Fourier expansions. A collection of formulas. — N.Y.: Academic Press, 1973.
31. Oberhettinger F. Tables of Mellin Transforms. — N.Y., Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag,
1974.
32. Oberhettinger F., Badii L. Tables of Laplace Transforms. — N.Y., Heidelberg, Berlin:
Springer-Verlag, 1973.
33. Oberhettinger F., Higgins T. P. Tables of Lebedev, Mehler and generalized Mehler Trans-
Transforms. Math. Note, № 246, Boeing Scientific Research Laboratories, Seattle, Washington,
1961.
34. Roberts G. E.7 Kaufman H. Table of Laplace Transforms. — Toronto: McAInsh and Co.;
Philadelphia; London: W. B. Saunders Co., 1966.
35. Slater L. J. Generalized Hypergeometrlc Functions. — London, N.Y.: Cambridge Univ. Press,
1966.
36. Voelker D., Doetsch G. Die Zweidimensionale Laplace Transformation. — Basel: Birkhauser,
1950.
37. Wheelon A. D. Tables of Summable Series and Integrals Involving Bessel Functions. — San
Francisco: Holden-Day Inc., 1968.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ И ПОСТОЯННЫХ
А(х) — алгебраическая функция или степенная функция с произвольным показателем
= am (и, к) — эллиптическая функция Якоби, и =
K I z3/2
/ - к2 sin2 t
At (z) = —a - K1/3 I - z3/2 I — функция Эйри
7Г Y О \О /
arccos z, arcsln z, arccosec z, arcsec z, arcctg z, arctg z — обратные тригонометрические функ-
функции
Archz, Arshz, Arcosechz, Arsechz, Arcthz, Arth z — обратные гиперболические функции
arg z — аргумент комплексного числа z f z = z e% arg z )
Bn — числа Бернулли
Bn^z) — многочлены Бернулли
bel v(z), her v(z), bel (z) = beio(^), ber (z) = her o(z) f ber u(x) + i bel u(x) = ^(
функции Кельвина
7 Г, /2 з/2 V ,J2V 3/2
С = 0, 5772156649 . . . — постоянная Эйлера
X
„, х 1 Г cost
G(ж) = —г=- at — косинус-интеграл Френеля
о
оо
С(ж, I/) = t" cost di [Rei/ < 1] — обобщенный косинус-интеграл Френеля
ж
Cn(z) = -—™^ 2^11 —п, п + 2А; А -\—; 1 — многочлены Гегенбауэра
п\ \ 2 2 J
cd и = , спи = cos (am и) — эллиптические функции Якоби
dnw
ez + e™z
ch z = гиперболический косинус
ж
chl (ж) = С + In x + dt — интегральный гиперболический косинус
о
х
• ( \ ! C°St J4-
ci (ж) = —- at — интегральный косинус
J ^
о
cos z = ch (iz) = тригонометрическая функция
cosec z = — тригонометрическая функция
Указатель обозначений функций и постоянных 657
cosech z = гиперболическая функция
shz
ctg z = = icth(iz) — тригонометрическая функция
sinz
., chz e + e
ctn z = = гиперболическая функция
shz ez — e^z
7Г/2
sin2 t dt
D(k) = = Dl—, k) — полный эллиптический интеграл
J Vl-fc2sin2t ^
D((p, k) = —-^^^^^^^^^ — эллиптический интеграл
J \/l — k2 sin2 t
о ?
Du(z) = 2y'2e~z ^4Ф| , —; — J — функция параболического цилиндра
dnw , I , о . о / , dnw
i dnw . /. ,9-2/ \ , dnix . _ r
dcu = , dnu = \ 1 — k1 sin (am u) , as и = — эллиптические функции Якоби
СП U V Sn 1i
тг/2
Е(А;) = v I ~~ k2 sin t dt — полный эллиптический интеграл 2-го рода
, к) = у 1 — fc2 sin2 t dt — эллиптический интеграл 2-го рода
о
Еп — числа Эйлера
En(z) — многочлены Эйлера
1 г
Ei/(z) = — sin (yt — z sin t) dt — функция Вебера
тг J
El (ж) = — dt — интегральная показательная функция
J ^
e = 2,718281828459...
ez = exp z — показательная функция
ж
erf (ж) = —=^ \e~l dt — интеграл вероятности
2 Г 2
erfc (ж) = 1 — erf (ж) = ^^ е~* °^ — дополнительный интеграл вероятности
ж
ж
его (ж) = ^р^ е at — :
2
\ dt интеграл вероятности мнимого аргумента
, А;) = —^^==^ — эллиптический интеграл 1-го рода
J л/l - к2 sin2 t
658 Указатель обозначений функций и постоянных
, ,1 \tb~1(l-t)c~b~1(l-tz)~a di [Rec>Refe>0; |arg(l-*)| < тг]
b, с- bj J
о
— гипергеометрическая функция Гаусса
р', Л ^ (ai)fe(a2)fe...(aP)fc ^fc
I = 1 T^P IT
, . . . , ap, 6i, . . . , bq, z) = ppqi I = 1^ (h \ (h \itT^P IT
— обобщенная гипергеометрическая функция
00 / \ к
iFi(a; b; z) = ^J , . вырожденная гипергеометрическая функция
Ькк
fc=o
^(a, fe-i . . . , bn; ci, . . . , cn; zi, . . . , zn) =
fci> ^=0 (ci)fcl . . . (сп)кп
— функция Лауричелла
^n)(a, 6; ci, . . . , с„; zi, . . . , zn) =
— функция Лауричелла
Fj(. . . ; z, Q [j = 1, 2, 3, 4] — функции Аппеля:
F,(a, a', 6, 6'; c; ,, 0 = E
к, 1=0
F4(a, b; с, с ; z, () = 2. (c
G = У2 j\—Цг = °' 9159655942 • • • — постоянная Каталана
, . . . , ap\ „
— G-функция Меиера
i, . . . , bq J
; i>l/+i; -т)-функцияСтруве
^1'(z) = Jv{z) + iYu(z), H}?'(z) = Jv(z) — iYl/(z) — функции Бесселя 3-го рода (функции
Ганкеля 1-го и 2-го рода)
Hn(z) = (~-l)nez —— e — многочлены Эрмита
M^^ + 2,/i + i/ + 2; 2z
Указатель обозначений функций и постоянных 659
( — 1 o^i I ^ + 1; — I = e 1J7T% Jj/(e z) — модифицированная функция
1и^ = г( i 1U
Бесселя 1-го рода (функция Бесселя мнимого аргумента)
Im z — мнимая часть комплексного числа z = х + ъу (Im z = у)
z\v ( z2
j ftU + 1
Jl/(z) = — cos (ut — z sin t) dt — функция Ангера
тг J
z\
; ~~T ) ~~ ФУНКЧИЯ Бесселя 1-го рода
ж, у) = 1 —- е у е 1оBл/у1) dt
о
тг/2
К (А;) = —р
J V1
V1 - k2 sin2 t
= ^ \ —5 ^) — полный эллиптический интеграл 1-го рода
V 2 /
— функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя 3-го рода)
kt/(z) = r/ /o -n ^/2,i/2Bz) — функция Бэйтмена
keII/(z), kerI/(z), kei (z) = keio(z), ker (z) =
(кег^(ж) + ikeii/(a?) = e'^*/ Ки(е*г' ж)) —функции Кельвина
ж
Ь(ж) = — In cost dt — функция Лобачевского
о
Jjjj^z) = e Hi/(e7r* z) — модифицированная функция Струве
Ln(z) = bn(z) — многочлены Лагерра
Ln(z) = ; — \zn+ e~z | — обобщенные многочлены Лагерра
п\ dzn \ /
J-Jn
LI,
1 ; п\ dzn \
оо k
/==1
оо
z t
Г» J e* -
0
— полилогарифм
'Л
- z
порядка
[Rei/>0;
II (z) = El (In z), II (ж) = интегральный логарифм
J lnt
о
In z = In \z\ + iargz — натуральный логарифм [z = |z|e^argz ж , A; = 0, ±1, ±2, . . . ]
M^jM(z) = zM+ ' e^z^ 1F1 /i-xH—; 2/i + 1; z J — вырожденная гипергеометрическая
функция Уиттекера
new, ndw, nstt, new = , ndu = , nsu = эллиптические функции Якоби
спи an и snu
660 Указатель обозначений функций и постоянных
, \ _ п \~у (п к 1). /z\2
On(z) = — у j т\ ( ~~ ) — многочлены Неймана
fc=O
п — п jn
Pn{z) = —г- -г~^ (z ~~ 1)П — многочлены Лежандра
Pu{z) = Pjj (z) = 2^11 ™^5 1 + v\ 1; —-— J [| arg A + z)\ < ж] — функция Лежандра 1-го
рода
(Ж) = ГA - м) V T^
ненная функция Лежандра 1-го рода
присоеди-
P^a){z) = t^ (I - zyp(l + zya^ [A - zf+n(l + zY+n] - многочлены Якоби
Qv(z) = Q°(^) — функция Леж:андра 2-го рода
[|arg(,
/2 1
• гО) + e$jU7r Qv(x ~ *0) =
2sin/xir
присоединенная функция Лежандра 2-го рода
2 \
X 2Fif п + 1, а + n + l; а + /3 + 2п + 2; у^ ) [|arg(z±l)| < тг
— функция Якоби 2-го рода
Re z — действительная часть комплексного числа z = х + iy (Re z = ж)
синус-интеграл Френеля
о
[п/2]
^)=у^п-4^Г-\ , so(z) = :
fc=O
оо
S(x, v) = t17^ sint dt [Rei/ < 1] — обобщенный синус-интеграл Френеля
— функция Ломмеля
/ [1 — V + 3 /i + I/ + 3 ^ii гг
, ; 1 — функция Лом-
Указатель обозначений функций и постоянных 661
х
Si (ж) = dt — интегральный синус
о
оо
si (ж) = Si (ж) — — = — dt — интегральный синус
2 } t
х
sec z = тригонометрическая функция
COSZ
sech z = — гиперболическая функция
chz
{1, ж > О,
О, ж = О,
-1, х < О
sh z = гиперболическая функция
х
shi (ж) = dt = —i Si {ix) — интегральный гиперболический синус
J t
о
eiz — e~iz
sin z = ^ish Uz) = тригонометрическая функция
2г
sn и = sin (am it) — эллиптическая функция Якоби
Tn {z) = cos {n arccos z) = — [{z + Vz2 — 1 )n + (z — Vz2 — 1 )n] — многочлены Чебышева 1-го
рода
tg z = = —г th iiz) — тангенс
cosz
th z = = гиперболический тангенс
chz ez + e^z
TT , Л sin [(n + 1) arccos z] TT
i/n(^) = ——у ? — многочлены Чебышева 2-го рода
оо / \ 2к-\-ь>
UiJ{z1 Q = J^(—1) I ~z I »/2fe+i/(C) — функция Ломмеля двух переменных
КB;, С) = cos f | + ^- + ^J + U2-u{z, С)
VF^ M(z) = z^+1'2e~z'24i\ [л — ж -\—,2/i + l;z| — вырожденная гипергеометрическая
V 2 )
функция Уиттекера
z) ^ J~4%) \уфп^ Yn{z) = lim Yu{z) [n = 0, ±1, ±2, ...]
oiil 1/7Г i/—m
— функция Неймана (функция Бесселя 2-го рода)
2/п(^) = 2^о| -"""П, п + 1; j — многочлены Бесселя
В (а, /3) = Щ^Щ ^ бета-функция
X
г
Вж(а, /3) = ta™ A — t) dt — неполная бета-функция
662
Указатель обозначений функций и постоянных
F(z) = tz~1e~t dt [Rez > 0] — гамма-функция
о
оо
F(i/, ж) = \ tv e dt — дополнительная неполная гамма-функция
x
X
/y(i/7 x) = Г(|/) — Г(|/, ж) = t17 е <it — неполная гамма-функция
о
га
П г(о»)
. , a
1
., ат\ =
П г(ь,)
1 = 1
а + к -
От,п = \ —символ Кронекера
[ 1, т = п
— [Rez > 1] — дзета-функция Римана
К
К
(г:, v) =
_0 \v
-— [Re z > 1; u/0, —1, —2, . . . ] — обобщенная дзета-функция Римана
0i(x, q) — эллиптические тэта-функции
со
0о(ж, д) = 1 + 2 Л (— 1) q cos2kx
k=i
0i(ж, g) = 2^(-l)fcg(fc+1/2JsinB^ + i;
fc=C
оо
0*{х,я) = 2^
k=0
оо
<9з(а:, q) = l + 2j2<lk
fe = l
04(ж, g) = 6>0(ж5 g)
Ло(^5 ife) = -\B(k)F((p, V
7Г L
"*r(t + l) dt
dt
^W) - K(k)F(<p,
l)
Ti(w, a . k) = \
J (l-a2sin
— эллиптический интеграл 3-го рода
Указатель обозначений
и постоянных
663
Ф(г, s, v) =
to
#i(a, b; с; z, () = ^ ^
^0 (c)fc+l
o; c;
, -1, -2, ...
Ф(а, с; z) = r\ г С .
денная гипергеометрическая функция
*i(a, 6; с, с;; z, () =
- a — с; 2 — с; z) — вырож-
у
— пси»функция
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ СИМВОЛОВ
(а)*. = а(а + 1) . . . (а + к — 1) [к = 1, 2, 3, ... ], ао = 1 — символ Похгаммера
п! = 1-2-3...(га- 1)га, 0! = 1! = 1
Bп)!! = 2 • 4 • 6 . . . Bп - 2Jп = 2пп!
~~ ' 0!! = (-1)!! = 1
( 1 = : = —rz гт = : — биНОМИаЛЬНЫв КОЭффи-
\к/ к\ кип - к)\ к\
к\(п-к)\
циенты
/ чл I аА, а>0,
(а)+ = <
[О, а<0
Re а, Re & > с означает Rea>ceRe6>c
[х] = п [п ^ х < п + 1, п = 0, ±1, ±2, . .. ] — целая часть числа х
~z = х — iy [z = х + iy]
\z\ = Vx2 + y2
x, x ^ 0,
— x, x < 0
| | пк = O"mO"m-\-i • • • ате [п ^ т]
= 1 [n < m]
CO П
nak(z) = lim ГТ ak(z)
fe=l fe=l
n
Л» ttk = «то + O-m+l + • • • + Q"n [n ^ m]
= 0 [n < те]
со n
Eafcf2;) = lim > flfefz)