Текст
/ ?//&
С. П. ФИНИКОВ----
ВЕКТОРНЫЙ
АНАЛИЗ
19 3 2
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИК ОТ ЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
Проф. С. П. ФИНИКОВ
ВЕКТОРНЫЙ
А Н А Л ’И 3
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
к ГОС УДА РСТВЕННОЕ
ТЕХНИК О—ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
Москва 1932 Ленинград
ТТ 11—5—2
Читатель! Сообщите ваш отзыв
об этой книге (ваши замечания
о ее недостатках и желательных
изменениях в следующем изда-
нии) по адресу: Москва, Иль-
инка, проезд им. Владимирова,
4, Государственное технико-
теоретическое издательство
(в секцию организационно-мас-
совой работы).
Редакционную работу по этой книге провел В. И. Контовт. Издание оформила В. Ф. Зазуль-
ская. Корректуру держала А. X. Артюхова. Наблюдал за выпуском В. П. Петров. Рукопись
сдана в производство 9/1—1932 г. листы подписаны к печати 26/.V, Книга вышла4 в свет
в количестве 5 000 экземпляров, на бумаге формата 62x94. Печатных знаков в листе 47 824,
листов 15’/<- Книга отпечатана в 5-ой типографии «Пролетарское слово» треста «Полиграф-
книга». Москва, Каланчевский туп, 3/5, Заказ тип. 6141. ГТТИ № 45. Уполн. Главлита Б-21307.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Стр.
. . 7
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
Глава I. Сложение векторов ......................................... 9
§ 1. Векторы и скаляры . ........................................—
§ 2. Сложение векторов...........................................10
§ 3. Вычитание векторов ................................; . . 13
§ 4. Умножение вектора на скаляр................................,14
§ 5. Разложение вектора на компоненты........................... 16
§ 6. Алгебраическая теория векторов . . . . ,...................19
§-7. Сложение векторов, заданных своими координатами............21
Глава П. Скалярное умножение векторов................................ 24
§ 1. Скалярное произведение векторов.......................—
§ 2. Основные свойства скалярного произведения.............25
§ 3. Скалярное умножение векторов, заданных своими координатами 28
Приложения............................................29
Упражнения ................................................ —
Глава III. Векторное умножение .......................................33
§ 1. Внешнее произведение..................................—
§ 2. Аксиальные и дополнительные полярные векторы..........34
§ 3. Векторное произведение................................37
§ 4. Основные свойства векторного произведения.............38
§ 5. Векторное умножение векторов, заданных своими координатами. 44
§ 6. Замечание о вычислении векторного произведения , .... . 46
Упражнения..................................................48
Глава IV. Произведения нескольких множителей..........................50
§ 1. Скалярное произведение трех множителей..................—
§ 2. Векторное произведение аксиального и полярного векторов . . 53
§ 3. Скалярное и векторное произведения аксиальных векторов . . 59
§ 4. Заключение ............................................... 62
Упражнения .................................................63
ЧАСТЬ II. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Глава!. Диференцирование векторов............................ 65
§ 1. Переменные векторы.........v..........................—
§ 2. Производная вектора..................................66
§ 3. Правила диференцирования.............................67
§ 4. Единичный вектор.....................................69
§ 5. Вторая производная. Ускорение........................70
§ 6. Основные формулы диференциального исчисления.........72
4
СОДЕРЖАНИЕ
Глава II. ДифСренциальная геометрия пространственных кривых ... 73
§ 1. Длина дуги кривой, касательная, нормаль.................—
§ 2. Соприкасающаяся плоскость..............................75
§ 3. Сопровождающий основной трехгранник....................80
§ 4. Формулы Френе..........................................83
§ 5. Кривизна, кручение....................................87
§ 6. Приложение формул Френе................................92
Упражнения ............................................96
§ 7. Приложение формул Френе.............................. 97
Задачи..........'................................... 100
Глава III. Элементы теории поверхности .........................103
§ 1. Касательная плоскость, нормаль, линейный элемент поверхности. —
§ 2. Развертывающиеся поверхности..........................105
§ 3. Кривизна кривой на поверхности . . . .................107
Задачи..................................................Ш
§ 4. Криволинейные координаты в пространстве . ............113
ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
Глава I. Потенциальное поле . ..................................И?
§ 1. Скалярное поле ...........................................—
§ 2. Производная в заданном направлении........................—
§ 3. Градиент................................................119
§ 4. Поле градиентов ........................................120
§ 5. Работа поля ............................................122
Примеры ................................................126
§ 6. Поле, имеющее потенциал................................127
§ 7. Аналитический признак существования потенциала.........130
§ 8. Оператор Гамильтона..............*.....................132
Глава II. Дивергенция..........................................136
§ 1. Векторное поле...................................... • •
§ 2. Поток векторов через поверхность. Замена переменных в двойном
интеграле ...............................................I37
Примеры..................................................1*1
§ 3. Теорема Гаусса-Остроградского...........................
§ 4. Расход поля (дивергенция)................................1^
§ 5. Линии тока..................’...........................1£х
§ 6. Применение оператора Гамильтона.........................1&4
Глава III. Вихрь поля..............................................
§ 1. Теорема Стокса...........?..............................
§ 2. Теорема Стокса в векторном анализе................. • ’
§ 3. Поле вихрей....................................../..•••
§ 4. Влияние вихревого кольца на работу поля . ............• •
§ 5. Другое геометрическое истолкование вихря............• • •
Упражнения ........................................’
159
161
163
166
169
Г
в а И. Определение векторного поля по заданному расходу и
вихрю поля . ............................................ 171 §
§ 2 Форм°^щН ГвринаТ°^Н0Г° П°ЛЯ На потенЧиальнов и соленоидальное
§ 3. Ньютонианское поле тяготения с одной материальной точкой в
начале -координат..................* . .....................178
СОДЕРЖАНИЕ
б
Стр,
| 4. Определение потенциала поля, заданного распределением источ-
ников (дивергенции поля)..................................182
| 5. Физическая интерпретация полученного решения ........ 188
§ 6. Случай, когда геометрическое место точек нарушения непрерыв-
ности образует поверхность................................... 190
§ 7. Поверхностный слой и двойной слой.......................195
§ 8. Заключение-.............................................200
§ 9. Определение соленоидального поля по заданному распределению
вихрей ...................................................... 203
§ 10. Вихри, расположенные на поверхности ....................206
§ 11, Определение общего векторного поля по заданному распределе-
нию расхода и вихря поля .....................................210
§ 12. Эквивалентность вихревой нити и двойного слоя........211
§ 13. Энергия................................*................214
ПРИЛОЖЕНИЕ I.
Плоское поле.
§ 1. Логарифмический потенциал ..............................220
§ 2. Соленоида л ьное поле................................. 221
§ 3. Уравнения Лапласа.......................................222
I 4. Функции комплексного переменного........................223
ПРИЛОЖЕНИЕ II.
Векторный анализ в произвольной системе координат.
§ 1. Подвижной трехгранник ............................224
Примеры............................................226
§ 2, Градиент скаляра..................................227
§ 3. Дивергенция.......................................228
§ 4. Вихрь ............................................229
§ 5. Уравнение Лапласа . . * .......... ♦ . . .........230
ПРИЛОЖЕНИЕ III.
Электромагнитное поде.
§ 1. Электромагнитное поде в пустоте ..................231
§ 2. Поле стационарного тока . ........................232
§ 3. Магнитное поле тока...............................234
§4. Влияние диэлектрика...............................235
§ 5. Влияние магнитной проницаемости...................236
§ 6. Основные уравнения электромагнитного поля...........—
ВВЕДЕНИЕ.
Основные идеи векторного анализа имеются у двух оригиналь-
ных математиков: Грассмана (Gressman, 1809—1877 гг., Штеттин
в Германии) и Гамильтона (Hamilton, 1805—1865 гг., Дублин в
Ирландии). Грассман выпустил в двух изданиях (1834—1861 гг,)
основной труд „Ausdehnungslehre". В первом издании он ограни-
чился только словесным изложением своих принципов без формул;
во втором он рассматривает сразу пространство п измерений. Он
рассматривает отрезки, т:е. части прямой, „плоские величины", т. е.
части плоскости, части пространства (объем) и т. д. Исходя из
точки, определяемой п координатами, он последовательно двумя
точками определяет отрезок, тремя—часть плоскости и т. д. Он дает
своеобразное исчисление отрезков, площадей, объемов.
Основное учение Гамильтона изложено в его „Lectures on Quater-
nions" (Дублин, 1853 и Лондон, 1866). Он строит комплексное
число с четырьмя независимыми единицами. Если откинуть первую
действительную часть его как скаляр, то мы будем иметь в нем пол-
ное подобие вектора с тремя компонентами. Произведение двух век-
торных (мнимых) частей комплексного числа будет опять содер-
жать и действительную часть и векторную. Первая составит вну-
треннее произведение векторов, а вторая—внешнее произведение.
Наконец, у Гамильтона мы встречаем достаточно развитое поня-
тие векторного поля под видом кватерниона как функции точки, и
именно ему принадлежит введение оператора „набла" V-
Как учение Грассмана, так и гиперкомплексные числа Гамиль-
тона завоевали себе нескольких горячих сторонников, но остава-
лись чужды широким кругам математиков. Введение векторов в
обиход науки, несомненно, было вызвано потребностями физики.
В сущности уже Стевин (Stevin) около 1600 г. пользовался
изображением сил в виде отрезков, высказывая принцип парал-
лелограма сил. Столетие спустя Ньютон (Newton) в своей второй
аксиоме движения, утверждая, что сила и ускорение всегда оди-
наково направлены, тоже в сущности говорит о векторах. Вся
последующая аналитическая механика строится на этом понятии,
хотя обычно механики говорят отдельно о трех компонентах
вектора.
Развитие в XIX в. учения о потенциале создало целый ряд
теорем потенциального поля, но более всего содействовало раз-
витию векторного анализа учение об электричестве и магнетизме.
Слово „поле" впервые встречается у В. Томсона (W. Thomson)
в учении о магнетизме. Учение Максвелла (Maxwell, „Treatise on
8
ВВЁДЕНИЁ
Electricity and Magnetism**, 1873) было первой большой теорией,
изложенной целиком в векторной форме. ।
С тех пор элементы векторного анализа нашли себе прочное
место в курсах электричества.
Гиббс (I. W. Gibbs, 1881) в Америке, Хивизайд (Heaviside, 1894)
в Англии, А. Фёппль (A. Foppl, 1894) в Германии выпускают в
разных формах элементы векторной алгебры и анализа в прило-
жениях к своим курсам электричества. Собственно этим авторам
мы обязаны тем объединением идей Грассмана, Гамильтона и
элементарных физических представлений, из которых сложился
векторный анализ.
Внутреннее обоснование понятие вектора получило в теории
инвариантов \ основанной на понятии группы преобразований
[Софус Ли (S. Lie) и в особенности Клейн (F. Klein, „Erlangen
Programm", 1872)]. '
XX в. принес новое развитие векторного анализа. Созданное
Леви-Чивита (Levi-Civita) и Риччи (Ricci) (в конце прошлого
века) абсолютное диференцирование освободило от зависимости от
координатной системы; этими идеями воспользовался Эйнштейн
(A. Einstein) для развития своего нового представления о мире.
Подобно электромагнитной теории Максвелла, теория относитель-
ности Эйнштейна потребовала создания нового метода—тензор-
ного анализа, который является далеко идущим обобщением век-
торного анализа, и еще более, чем знаменитая теория электриче-
ства, заставила широкие круги математиков и физиков изучать
новый анализ. Это обстоятельство в свою очередь много содей-
ствовало распространению метода векторного анализа в тесном
смысле слова. Не только специальные теории электричества, но й
классическая механика и диференциальная геометрия нередко
излагаются теперь с помощью векторов. *
1 См. Klein, Vorlesungen Ober die Entwicklung der Mathematik im
XIX Jahrhundert, II, стр. 27—49. '
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Глава I. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
§ 1. Векторы и скаляры. Арифметика вводит понятие числа
для измерения величин. Длина отрезка, угол, площадь, объем,
масса, плотность, температура и т. д. могут быть заданы числом
(конечно, при условии, что дана единица измерения). Это число
может быть целым, дробным, иррациональным, иногда положитель-
ным и отрицательным—вообще это любое действительноечисло.
Встречается, однако, целый ряд величин, как, например, ско-
рость, ускорение, сила, отдельные значения которых отличаются
между собой не только количеством (протяженностью, напряже-
нием), но и направлением в пространстве. Простейшим примером
такой величины является отрезок прямой ОМ, который надо
рассматривать как путь, пройденный точкой из точки О в точку if.
При этом точка О есть начало, точка М — конец отрезка. Как
известно, скорость, сила и т. д. в механике обычно изображаются
такими отрезками.
Величины такого рода называются векторами; в противо-
положность им те величины, которые могут быть определены только
одним числом (хотя бы положительным и отрицательным), называ-
ются скалярами.
Это еще не определение вектора, но мы лучше поймем его,
когда дадим условие равенства векторов. Векторы равны,
если:
1. Равны их абсолютные величины. Абсолютная величина,
иначе модуль, длина или скаляр вектора есть то число, которое
измеряет длину отрезка ОМ, величину скорости, дает напряжение
силы независимо от их направления. Это — скалярная величина,
которой иногда удобно бывает приписать положительный или отри-
цательный знак.
2. Если они параллельны, т. е. расположены на параллельных
прямых. Векторы можно переносить, сохраняя направление. Поэтому
все векторы мы будем считать исходящими из одной точки.
3., Если они одинаково направлены. Вектор имеет начало и
конец. Переменив их между собой, мы получим уже другой (про-
тивоположный) вектор.
Таким образом в понятие вектора входят три момента: скаляр
вектора, направление, т. е. прямая, на которой лежит вектор, и
смысл движения на этой прямой.
Числовое значение любой скалярной величины можно предста-
вить в виде отрезка на прямой линии (на оси). Для этого, как
известно, надо выбрать на ней начало, положительное направление
и взять определенный масштаб.
10
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Подобно этому всякий вектор может быть представлен в виде
отрезка прямой в пространстве. Для этого мы выберем некоторое
начало *- точку О, будем проводить из этой точки прямые по задан-
ным направлениям и на них откладывать числовые значения век-
торов в определенном масштабе.
Геометрическое изображение числовых значений скалярной
величины настолько распространено, что в современном анализе
нередко говорят „дана точка" вместо того, чтобы сказать „дано чис-
ловое значение". Это замечание еще в большей степени относится
к геометрическому представлению векторов. Нередко под словом
„вектор" подразумевают тот отрезок прямой, который служит его
изображением. Так как никакого неудобства от этого не произой-
дет (по крайней мере, во всей первой части курса), то для про-
стоты'мы так и будем делать.
Обозначения. К сожалению, в векторном анализе еще не уста-
новились единообразные обозначения.
В Германии для обозначения векторов приняты буквы готиче-
ского алфавита, скаляр вектора обозначается одноименной буквой,
латинского алфавита. Эти обозначения совершенно не применяются
в латинских странах и в Англии. Здесь различные авторы или
употребляют для обозначения векторов жирный (черный) шрифт, или
ставят над буквой стрелку (например А). В русской литературе у
различных авторов до сего времени встречались все эти обозначения.
G 1 сентября 1931 г. Всесоюзным комитетом по стандарти-
зации при Госплане выделен обязательный стандарт векторных
обозначений (ОСТ 2691).
Выбор обозначений еще не представляет больших трудностей
при печатании книги: и готический алфавит, и жирный шрифт
выглядят достаточно хорошо в наборе. Этого совершенно нельзя
сказать относительно рукописного воспроизведения знаков. Между
тем, весьма существенно, чтобы читатель мог повторить на бумаге
те выкладки, которые приводятся в книге. Ввиду этого мы оста-
новились на обозначении векторов с помощью стрелок над
буквами.
Итак, вектор, идущий из точки О в точку М, мы будем обозна-
А -->
чать двумя буквами: ОМ или просто одной буквой, которая
стоит в конце вектора; следовательно, мы будем писать:
М = ОМ, а = Оа и т. д.
Если начало вектора не совпадает с выбранным началом О, то
во избежание недоразумений в таком случае мы будем всегда
употреблять две буквы: АВ.
Та же буква без стрелки означает скаляр (абсолютную вели-
чину, длину) вектора, т. е. М есть скаляр вектора М = ОМ.
§ 2. Сложение векторов. Мы переходим теперь к определению
основных действий над векторами.
_ _______________СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ_________ 11
Известные из механики законы сложения направленных величин
(скоростей, ускорений, сил) служат основанием следующего опре-
деления сложения векторов.
Определение. Суммой'двух векпюроз А и В называем, такой
третий вектор С, который служит диагональю параллелограмм,
стороны которого суть слагаемые векторы (черт. 1).
Записываем: А + В = С.
Возможность построения вполне очевидна. В частности,
если два вектора А и В лежат на одной прямой, то сумма их С
равна их алгебраической сумме (т. е. сумме или разности в зави-
симости от того, направлены ли они в одну или в разные стороны)
и лежит на той же прямой.
В какой же мере это „сложение" похоже на обычное сложение?
В какой мере оно удовлетворяет основным аксиомам, которые
характеризуют сложение чисел?
Для сложения мы имеем два основных д о
закона: у
1. Переместительность: / /
а + b = b 4- а, /
„сумма не зависит от порядка слагаемых",
2. Сочетательность: J
(а + Ь) -f- 'c = а 4- (Ь + с), ЧерТ
„чтобы прибавить сумму, надо прибавить каждое слагаемое от-
дельно".
Первая аксиома, очевидно, удовлетворена, это прямо следует
из того, что чертеж совершенно симметричен по отношению к век-
торам — слагаемым:
А + В = В + А.
Чтобы перейти ко второму закону (сочетательности), надо оста-
новиться на понятии суммы нескольких слагаемых. Для этого
удобнее будет несколько видоизменить самое построение суммы
векторов.
Мы условились считать эквивалентными векторы равные и
параллельные (одинаково направленные). Следовательно (черт. 1),
векторы:
В = ОВ=АС
равны между собой, как противоположные стороны параллелограма.
Отсюда следует такое построение суммы:
Правило сложения. В конце первого слагаемого строим второе
слагаемое. Вектор, замыкающий эту ломаную, есть сумма. Начало
его совпадает с началом первого слагаемого, а конец — с концом
второго.
12
- ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Это правило нетрудно теперь будет распространить на любое
число слагаемых.
Пусть нам надо найти сумму (черт. 2):
1 + В + С = Р.
Мы будем под этим подразумевать результат последовательного
прибавления сначала В и затем С.
Пусть . '
А+В = Е,
тогда по определению
D = E + C.
Строим по предыдущему правилу сумму А + В, т. е. в точке А
строим вектор АЕ — В и соединяем точку О с точкой Е:
ОЕ = Е = А+В.
Затем к полученной сумме прибавляем вектор С, т. е. в конце
. Е ее, в точке Е, строим вектор ЕВ — Си. соеди-
у---наем Т0,1КУ О с точкой Л:
\ Тогда
----у >
и\ OD = D— ОЕ + ED = А + В + С.
\ Отсюда следует такое правило:
Черт. 2. Чтобы построить сумму любого числа век-
торов, надо в конце первого слагаемого век-
тора построить второй, в конце второго — третий и т. д. Вектор,
замыкающий полученную ломаную линию, и есть искомая сумма.
Начало его совпадает с началом первого слагаемого, а конец—с кон-
цом последнего.
Закон сочетательности для сложения. Мы докажем его для
суммы трех векторов. Совершенно так же он доказывается и для
суммы любого числа слагаемых.
Итак, нам надо доказать:
. (А И- В) С = А (В С).
Здесь скобками указан порядок сложения (как в обыкновен-
ной алгебре).
Строим на одном чертеже (черт. 3) первую и вторую суммы.
Даны три вектора:
А = ОА, в = бвг С = ОС.
Первая сумма: в точке А строим АЕ = В, и в точке Е строим
еЪ = с.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
13
Вторая сумма: в точке В строим BF = С, получаем:
0F = 0B + BF = B+'6.
Затем в точке А строим АВ' = OF:
ОА + ДО' = ОВ’ =~2+(В + С).
Надо показать, что точки В' и В совпадают (как изображено на
——4-
черт. 3). Для этого достаточно показать, что АВ равно и парал-
лельно OF. Это можно сделать различными способами. Проще
всего, пожалуй, будет заметить, что вся фигура OAEBCFBK есть
параллелепипед, где АВ и OF—диагонали противоположных
граней.
Из той же фигуры параллелепипеда
видно, что можно получить тот же вектор
суммы ОВ, складывая в произвольном О
порядке основные векторы А, В и С.
Итак, и переместительный, и сочета-
тельный законы справедливы для суммы
любого числа векторов.
По отношению к обычной сумме чисел • ,
существуют еще различные законы (мо- С
нотонности) о сравнительной величине qepT 3
слагаемых и суммы (простейший из них:
сумма больше каждогб слагаемого). Все эти теоремы не имеют
смысла для суммы векторов, ибо понятия „больше1* и „меньше"
неприложимы к векторам.
§ 3. Вычитание векторов. Вычитание обычно определяется -как
действие, обратное сложению: по сумме и одному из слагаемых
ищется другое слагаемое.
Определение. Разностью двух векторов А и В называется такой
третий вектор С, что сумма В и С равна А:
А — В = С, если В + С = А.
Итак, пусть даны векторы Л и В (черт. 4). Рассматриваем Д
- >
как замыкающую ломаной линии, одним звеном которой является В.
Второе звено ее будет, очевидно, ВА. Это и будет искомая раз-
ность:
. А—В = ВА,
ибо
ОВ + ВА = ОА = А.
14
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Это построение можно видоизменить, сделать его более стройным.
Продолжим прямую ОБ в обратную сторону (за точку О') на
отрезок ОБ’ = ОБ. Дополним, с другой стороны, треугольник О АВ
до параллелограма ОВАС. Очевидно, вектор АС — ВО как проти-
воположные стороны параллелограма, и следовательно,
АС = OB'.
Точно так же искомая разность
А — В = ВА=дС.
Мы видим теперь, что:
ОС = ОА + АС = ОА + OB' = А+ В'.
Отсюда правило:
------------------------->
Чтобы вычесть вектор ОБ, надо прибавить равный и противопо-
ложно направленный вектор OB'.
Применяя построение суммы к векторам
ОБ и OB', найдем без труда:
ОБ + ОБ' = О,
где нулем обозначен особый вектор, у кото-
рого начало и конец совпали в точке О.
Воспользуемся теперь обычным определением
относительных (положительных и отрицатель-
ных) величин.
ОБ' = — ОБ, если ОБ + б& = 0.
При этом условии правило вычитания может быть высказано
коротко в обычной для вычитания чисел форме:
Чтобы вычесть еектор, надо прибавить его с обратным-, знаком.
§ 4. Умножение вектора на скаляр. От сложения нескольких
равных векторов не трудно перейти к повторению вектора не-
сколько раз, т. е. к умножению его на целое число.
По определению:
п А — А • п = А + А + . . . +~А,
В' О В
Черт. 4.
Обозначим:
п — целое число.
Так как все слагаемые параллельны (один и тот же вектор),
• то все они будут лежать на одной прямой, значит, произведение
. п • А будет иметь то же направление, что ц множимое А, только
длина вектора при умножении увеличится в п раз.
Нетрудно теперь ввести понятие деления вектора на целое
число.
СЛОЖЕНИЕ. ВЕКТОРОВ
15
По определению:
—. А = В, если Л = п • В.
п
Отсюда сейчас же следует, что оба вектора А и В имеют одно
направление (лежат на одной прямой), но длина А в п раз
больше, чем В. Следовательно, при делении вектора на целое число
п направление его не меняется, а длина уменьшается в и раз.
Отсюда легко переходим к умножению вектора на дробь —
это значит умножить на р и разделить на q — и к умножению на
несоизмеримое число х. Во всех случаях направление вектора не
меняется, — меняется только его длина: она умножается на х.
Наконец, если х — число отрицательное, то согласно условию
предыдущего параграфа, кроме изменения длины вектора надо еще
изменить его направление на обратное.
Таким образом устанавливается умножение вектора на любое
действительное число.
Распределительный закон умножения. По отноше-
нию к этому умножению распределительный закон сохраняет свою
силу.
Коротко его можно записать таким равенством:
(А,+ В) • х — А • х А- В • х.
Чтобы доказать это равенство, достаточно заметить, что от
умножения на скаляр (действительное число х) меняются только
размеры векторов, т. е. масштаб чертежа; фигуры остаются
подобными.
Если векторы
А, 1? и А + В —С
образуют стороны и диагональ параллелограма, то, умножив все
члены на х, т. е. изменив размеры всех векторов, мы получим
снова параллелограм, т. е. сохранится равенство:
Ах + Вх = Сх,
а это и есть распределительный закон ^умножения, стоит только
заменить С через А + В.
Единичные векторы. Пользуясь введенным понятием умно-
жения вектора на скаляр, можно всякий вектор представить в виде
произведения его скаляра (его длины) на единичный вектор (век-
тор длиной единица) того же направления.
Обозначим скаляр вектора А той же буквой, но без стрелки: А.
16
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Обозначим одноименной строчной буквой а единичный
вектор того же направления, как и вектор А, т. е. вектор, располо-
женный с ним на одной прямой и с тем же смыслом движения —
положительным направлением на прямой, но длина которого (его
скаляр) равна единице.
Тогда из определения умножения на скаляр следует:
А = А ot.
Действительно, от умножения на скаляр А направление вектора
не изменится, а длина увеличится в А раз. Длина вектора а была
равна единице, после умножения она станет А, т. е. мы получим
в точности вектор А.
§ б. Разложение вектора на компоненты. Мы теперь переходим
к чрезвычайно важному в теории векторов представлению вектора
в виде суммы его компонентов. Все значение этого способа
разложения вектора станет ясным, если мы скажем, что здесь мы
переходим от одной — геометрической—теории, которой мы до сих
пор держались, к другой — алгебраической.
Вся теория векторов, весь векторный анализ состоит из соеди-
нения этих двух теорий, может быть, даже лучше сказать, — из
соединения этих двух сторон одной теории. Взаимно дополняя
друг друга, они и создают то, чем так выгодно отличается вектор-
ный анализ; геометрическая теория дает возможность широко
использовать геометрические представления (геометрическую интуи-
цию), алгебраическая сторона позволяет вести все выкладки.
Чтобы перейти к этой алгебраической теории, нам надо уста-
новить разложение вектора на компоненты. Мы пойдем к этому
тремя теоремами, которые и сами по себе представляют большой
интерес.
ТЕОРЕМА 1. Если А—любой вектор их — скаляр (число), то
М — хА (1)
>
есть вектор, расположенный на одной, прямой с вектором А, и
в стой форме (1) может быть представлен всякий вектор, лежа-
щий на этой прямой.
" Первая часть теоремы непосредственно следует из определения
умножения вектора на скаляр,— при умножении на скаляр меняется
только длина вектора, или при умножении на отрицательное число
его направление меняется на обратное. Во всяком случае после
умножения вектор остается на той же прямой.
Вторая часть теоремы (обратная теорема) тоже вполне понятна.
Если оба вектора имеют общее начало О (что всегда можно пред-
положить), а концы их суть А и М (черт. 5), то за число х надо
принять отношение их длин:
, ОМ
х —----,
ОА ’
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
17
взяв его со знаком плюс (+), если оба вектора направлены в одну
сторону, и со знаком минус (—), если они направлены в разные
стороны.
Меняя х, мы заставим конец вектора, точку М, пройти всю
прямую. Нетрудно заметить, что х является координатой точки М
на прямой, если принять точку О за начало, ОЛ-г-за единицу длины1
и направление О А считать за положительное направление на оси.
ТЕОРЕМА II. Если А и В — дза вектора, не лежащие на одной
прямой, и х, у — скаляры, то вектор
О А М
Черт. 5. Af = хА 4-' уВ (2)
лежит в плоскости, определяемой векторами А и В; всякий еектор,
лежащий в этой плоскости, может быть представлен в форме (2).
Вектор хА по предыдущей теореме лежит на прямой О А (черт. 6),
вектор у В — на прямой ОБ. Пусть это будут векторы
Mi = хА, М2 = уВ.
Вектор / /1
М = Мг^М2 в[/ !
есть диагональ параллелограма, построенного на ]/ /
векторах Mj и М2 как на сторонах, следователь- в А
но, во всяком случае лежит в плоскости векто. Черт. 6.
ров Mj, М.2 или, что то же самое, в плоскости
векторов А и В.
Таким образом первая половина теоремы доказана.
Переходим к доказательству второй половины (обратной
теоремы).
। Даны в одной плоскости векторы, не лежащие на одной^прямой,
А и В, и произвольный вектор (в той же плоскости) М = ОМ.
Через точку М (черт. 6) проведем прямые, параллельные векто-
рам А и В, до пересечения с продолженными прямыми ОА и ОВ
в точках Мх и М2. Мы получим, очевидно, параллелограм
ОМ1ММ2, и следовательно, по определению суммы:
м = м1 + м2.
На основании теоремы I вектор М1} как лежащий на одной пря-
мой с вектором А, может быть представлен' в виде:
Мг = хА,
Векторный анализ.
18
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
где х — подходяще подобранное положительное или отрицательное
число.
Аналогично:
М2 = уВ,
где у — тоже подобное же число.
Отсюда непосредственно следует:
М = хА + уВ.
Замечание 1. Меняя хи у, мы представим в форме(2)любой
вектор на плоскости. Нетрудно заметить, что числа х и у
являются координатами точки М на плоскости, если за оси
^координат принять прямые ОА и ОВ и выбрать по оси х за еди-
ницу длины отрезок О А и по оси у — отрезок ОВ. ,
Замечание 2. Вектор М лежит в плоскости векторов А и В,
если выполнено соотношение (2). Этому условию можно придать
несколько другую, более общую, форму.
Перенесем М в другую часть (с обратным знаком) и умножим
обе части на произвольное число г:
— Mz + Axz 4- Byz = 0.
Если еще ввести новые обозначения:
А = N, В = Р, — z = a, xz = b,yz = с,
то наше условие примет вид теоремы:
Три вектора М, N, Р лежат в одной плоскости в том и только
в том случае, если при подходящих числах а, Ь, с
Черт. 7.
аМ+ЪЕ + сР = 0.
ТЕОРЕМА III; Если А, В, С — три век-
тора, не лежащие в одной плоскости, то всякий
вектор пространства М может быть пред-
ставлен в форме: (
М = хА + уВ 4- zC, (3)
где х, у, z — скаляры.
Из точки М (конец вектора М) проводим
прямую МР (черт. 7) параллёльно вектору С до пересечения
—> —>
в точке Р с плоскостью О АВ векторов А и В.
Очевидно,
ОМ = ОР 4- РМ,
но
рм = ом3,
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1»
как векторы равные и параллельные, а
ОР = ОМ х +,ОМ2,
если ОМуРМ^ есть параллелограм.
Итак,
ОМ = ОМГ + ом2 + ОМ,,
или, иначе:
М = М, + М2 + М3. . (4>
Теперь остается только заметить, что каждый из слагаемых
векторов Мь М2 и Ms расположен на одной прямой с основными
векторами А, В, С, чтобы в силу теоремы I можно было написать:
Mi = хА, М2 = уВ, М3 = гС.
Подставляя эти выражения в формулу (4), мы и получим иско-
мое равенство:
М = хА + уВ 4- zC.
Это равенство можно было бы получить немного быстрее, если
воспользоваться теоремой II, но тогда мы не получили бы равен-
ства (4), а оно само по себе очень интересно. Оно показывает,
что всякий сектор можно разложить на компоненты, на сумму
трех слагаемых, по трем произолано заданным направлениям.
§ 6. Алгебраическая теория векторов. Как мы уже отмечали,
теоремы предыдущего параграфа дают возможность перейти к алге-
браической теории векторов.
Формула (3) предыдущего параграфа уже сама по себе дает
возможность определить любой вектор М тремя числами х, у, z,
если даны три основных вектора А, В, С. Эти три числа суть
координаты точки М (конца вектора М) в той своеобразно®
системе координат (декартовой), где направления осей совпадают
с направлениями основные векторов А, В, С, и на каждой оси
взята своя единица длины, равная длине соответствующего вектора
А, В или С. Конечно, гораздо удобнее выбрать основные векторы
так, чтобы масштаб на всех трех осях оказался один и тот же;
еще лучше расположить эти векторы так, чтобы система коорди-
нат была прямоугольной.
Итак, выбираем взаимно' перпендикулярные еди-
ничные векторы. Так как они теперь постоянно у нас будут
встречаться, то удобно будет ввести для них наиболее простое
обозначение. Мы будем их обозначать буквами i, j, к без стрелки
наверху.
2*
20
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Итак, имеем три взаимно перпендикулярных еди-
ничных (длина равна единице) вектора г, j, к. Они считаются
заданными в том же смысле слова, как это говорится о задании
системы координат.
В таком случае всякий вектор М может быть определен тремя
числами х, у, г так,-что
М = ix + jy -f- kz.
Теперь х, у, z суть декартовы прямоугольные координаты точки М
в обычном смысле этого слова. -Мы будем называть их коор-
динатами вектора.
Мы можем притти к той же формуле из равенства (4) предыду-
щего параграфа.
Пусть даны три основных вектора г, j, к. Всякий вектор М
можно разложить на компоненты по этим трем направлениям:
Я=Д+Д + Д
Если», j, к — единичные векторы этих направлений, то в силу
.теоремы I
Мх = iMu М2 — jM2, Д = кМ3,
л следовательно,
М = iMi + jM2 + кМ3. '
Здесь М2, М3 согласно нашему условию означают скаляры
/ (длины, абсолютные величины) одноименных векторов Мг, М2, М3,
j но взятые со знаком минус, если положительное направление век-
I тора не совпадет с направлением основного вектора i, j или к.
Они, очевидно, играют ту же роль, как ранее координаты х, у, z.
Мы так и будем обычно обозначать координаты вектора.
Замечание. Есть существенная . разница между компо-
нентами вектора и его координатами. Координаты вектора
суть три числа М2, М3, — это декартовы координаты конца
вектора, точки М. Компоненты суть векторы Д, Д, Д,. сумма
которых равна данному вектору М. В одной системе координат
(при одних ,и тех же заданных основных векторах г, j, к) между
компонентами и координатами существует следующая простая
зависимость:
М2 = jM2, М3 — кМ3,
т. е. компонент получается умножением координаты на основной
единичный вектор; другими словами, координата есть скаляр ком-
понента.
Обозначения. Условимся, как общее правило, обозначать компо-
ненты вектора тцй же буквой с добавлением значка внизу, т. е.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
21
компоненты вектора А мы будем обозначать через Л15 Л2, А3;
в таком случае координаты будут обозначаться той же буквой со
значками, но без стрелки, т. е. Аи А3, А3.
Вместо полной записи:
A ^=SA1 + jAz + кА3
мы нередко будем употреблять сокращенную:
1 А = { А}, А2, Л3}.
Например:
M = 2, — 3} = i + 2j — Зк.
Замечание. Все то, что сейчас сказано, одинаково отно-
сится и к прямоугольной, и к косоугольной системе координат,
т. е- мы должны предполагать, что основные векторы г, р, к еди-
ничны (длина равна единице), но могут быть и не ортогональны
(не взаимно перпендикулярны). Ортогональность основных векто-
ров будет использована только позднее, при умножении векторов
(§ 8 и следующие).
§ 7. Сложение векторов, заданных своими координатами. Итак,
мы перешли теперь к новому способу определения вектора—с по-
мощью трех чисел. Мы можем даже сказать коротко, что вектор
есть совокупность трех чисел. Правильнее, конечно, выразить эту
мысль так: вектором называется величина, определенная тремя
числами в декартовой системе координат, если эти три числа яри
повороте осей^координат меняются по тем правилам, которые вы-
ведены для преобразования координат при повороте системы.
Мы должны теперь пересмотреть все наши действия над век-
торами с точки зрения этого нового определения векторов, т, е.
мы должны себя спросить, как составляются координаты
суммы векторов, произведения вектора на. скаляр,
если даны координаты слагаемых, множимого.
Обращаемся к построению суммы. Здесь исходной точкой
является известная теорема о проекции ломаной.
Лемма. Проекция ломаной равна проекции ее замыкающей.
Речь идет здесь о проекции отрезков на прямую параллель-
ными плоскостями. Проекцией отрезка АВ на ось Ох называется
отрезок оси между точками а и Ъ, в которых ось пересекается
22
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
параллельными плоскостями Аа и ВЬ (черт. 8). Очевидно, лемму
достаточно доказать для случая ломаной с двумя сторонами АВС,
ибо тогда переходом от п к « 4-1 она распространяется на
ломаную с любым числом сторон.
Проекцией ломаной АВС называется сумма проекций ее сто-
рон (черт. 9) ab + be.
Проекция замыкающей есть ас. Следовательно, наша лемма сво-
дится к утверждению:
ab + Ъс = ас.
Это равенство очевидно, если Ь лежит между а и с. Оно спра-
ведливо и в том случае, если Ъ лежит вне отрезка ас, ибо проек-
ций понимаются в виде направленных отрезков; в этом слу-
чае Ъс имеет направление, обратное направлению ас, и следова-
тельно, при сложении вычитается (черт. 10).
Из этой леммы непосредственно вытекает правило сложения
векторов.
Правило сложения векторов. При сложении еектороз коорди-
наты их складызаются.
Действительно, компонент вектора есть, очевидно, проекция его
на соответствующую ось.
Рассмотрим сумму векторов (черт. 11):
£' х А+В + С + . ..+ d = м:
/ \ Это сложение выполняется по-
с д / \ строением ломаной ОАВ'С... D',
\ /----~Г-----^8* г где:
\ _^^^дА=А,АВ'=В,В'С'^С,...,бв'=М.
, ~ Проектируем всю фигуру на одну
/ из трех осей (определяемых век-
1 торами г, j или к). Пусть проек-
Aq цией ломаной являются отрезки
тг ,, Оа, аЪ', Ъ'с....,cd'. Тогда:
Черт. 11.
Оа + ab' -f- Ъ'с' + c'd' = Od'.
Но проекция вектора есть его компонент. Отсюда и следует пра-
вило сложения.
Правило вычитания векторов. Чтобы сычесть сектор, надо вы-
честь его координаты.
Правило умножения вектора на скаляр. Чтобы умножить еек-
тор на скзляр, надо умножить все его координаты на скаляр.
Эти теоремы непосредственно следуют из правила сложения.
Примечание. Алгебраическая теория векторов, кото-
рую мы начали излагать, представляет много общего с тео-
рией высших комплексных чисел — чисел, построенных на
нескольких независимых друг от друга мнимых единицах.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
23
Пожалуй, можно сказать даже сильнее: эти две теории на
разных языках говорят одно и то же. Это в особенности ста-
нет ясно, если остановиться на знакомой нам области обыкно-
венных комплексных чисел. Им соответствуют векторы на
плоскости. Выбирая два основных вектора i и j в этой плос-
кости, мы представим всякий вектор, лежащий в ней, двумя
компонентами, двумя координатами. Нетрудно проследить, что
все рассмотренные нами действия совершаются но одним и
тем же правилам как для векторов, так и для комплексных
чисел. Эту связь можно проследить и далее.
ч
Глава II. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
§ 1. Скалярное произведение векторов. Мы теперь переходим
ко второму (и последнему!) циклу действий над векторами—к умно-
жению вектора на вектор. Заметим сразу же, что здесь мы всту-
паем в совершенно новый круг идей. Насколько сложение векто-
ров; вычитание их, умножение вектора на скаляр было просто и,
я бы сказал, естественно, в алгебраической теории как бы подска-
зывалось непосредственным обобщением действий над обыкновен-
ными комплексными числами, — настолько здесь при установлении
умножения векторов нам придется встретиться с совершенно
новыми явлениями, со свойствами парадоксальными, если сопоста-
вить их с операциями над действительными числами, лучше ска-
зать, с результатами, не имеющими аналога в этой знакомой нам
области.
Чтобы подтвердить это хоть одним примером, достаточно ука-
зать, что мы имеем здесь два вида умножения векторов — скалярное
и векторное, которые являются совершенно независимыми между
собой действиями, и не имеем ни одного деления, ибо действие,
обратное умножению (тому или другому—все равно), не приводит
к единственному результату.
Мы начнем с изучения операций скалярного умножения. Рас-
смотрим предварительно такую задачу, часто встречающуюся в
различных областях механики и физики.
Найти работу силы F, если точка, на которую дей-
ствует сила, совершила перемещение ОА=А. •
, Если точка двигается по направлению силы, то работа силы
по определению равна произведению величины силы на длину пути
(перемещения):
А • F.
Если точка двигается под углом «у) к направлению силы
(черт. 12), то работает только та слагающая силы OF, которая
направлена по линии О А, а перпендикулярная слагающая уравно-
вешивается каким-то сопротивлением. Проектируя силу на путь,
получим:
OFt = OF cos д>.
Следовательно, работа силы будет равна:
A -F • cos д>.
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
2&
Мы имели здесь два вектора F и А, в результате мы получаем
скаляр
А • F cos <р. *
Этот скаляр вполне определен, если заданы векторы F и А.
Мы назовем^его скалярным произведением этих векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется
произведение их скаляров на косинус угла между ними.
Обозначение. Скалярное произведение обозначается одним из
трех способов:
А- В = АВ = (АВ).
Итак,
А
АВ = АВ cos (А В), (1) q
Л , ч
где под А В подразумеваем угол между положитель- Черт 12
ными направлениями векторов А п В.
§ 2. Основные свойства скалярного произведения. 1. Скаляр-
ное цроизведенйе всегда имеет единственное определенное
значение. Оно обращается'в нуль, если один из векторов
равен нулю или если векторы перпендикулярны, ибо тогда
cos (А В). = 0:
, А В = 0, если A _L В.
Скалярное произведение всегда меньше” произведения скаляров АВ
и достигает своей наибольшей величины — равняется произведению
скаляров, если векторы параллельны:
АВ = АВ, если А || В.
2. Переместительность. Скалярное произведение переме-
стительно:
—> —> —>—>
АВ=ВА.
Это непосредственно следует из определения:
А В = АВ cos (А В), В А = BA cos (В А),
но
. cos (А В) — cos (В А),
ибо при изменении знака аргумента косинус не изменяется.
Скалярное произведение векторов есть скаляр, а не вектор.
Поэтому нельзя говорить о скалярном произведении трех векторов
в смысле последовательного’ умножения (далее мы увидим, что
ему придается совсем другой смысл),' и сочетательный закон
умножения не применим к умножению векторов.
3. Распределительность. Тем более значения имеет
распределительный закон. Заметим прежде всего, что и в обыкно-
26
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
венной арифметике он имеет необычайно большое применение.
Вот его формулировка:
„Чтобы умножить сумму, надо умножить каждое слагаемое
отдельно и сложить полученные произведения11:
(а + Ъ) с = ас + Ъс.
Совершенно очевидно, что умножение многозначных чисел
® арифметике или умножение многочленов в алгебре основано
именно на этом свойстве умножения.
Совершенно такое же основное значение имеет этот закон и
в алгебре векторов,—как только он будет доказан, мы можем при-
менять к векторам правило умножения многочленов.
Переходим к его доказательству.
ТЕОРЕМА. Для всяких трех векторов А, В. С справедливо
тождество:
(A + B)-C^AG + ВС.
Рассмотрим прежде всего случай единичного вектора с. Ска-
лярное произведение любого вектора Р на единичный вектор с по
определению равно:
А
Рс = Р cos (Рс),
проекции вектора Р на направление вектора с. В таком случае
равенство
А(А+В)7=4с + ВсГ
или1 (черт. 13)
!О с OD с = О А • с + AD • с,
Черт. 13.
есть просто другое выражение теоремы: проек-
ция на ось Ос ломаной OAD равна проекции ее замыкающей OD:
пр OD — пр ОА + пр AD.
Таким образом для умножения на единичный вектор теорема
доказана. Чтобы распространить ее на произведение любых векто-
ров, заметим, что умножение на любой вектор С можно заменить
умножением на единичный вектор того же направления с с
последующим умножением на скаляр С:
РС = (Рс) С.
1 Очевидно:
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
27
Действительно, по определению:
РС = PC cos (PC),
Pc = P cos (Pc),
-> A A
и при одном направлении С и с угол PC = Рс.
Разложим теперь умножение нашей суммы А + В на вектор С
на эти две операции, т. е. умножим ее сначала на единичный
вектор с, а затем на скаляр С. При первом умножении распреде-
лительное свойство сохранится по доказанному:
(А + В) с = А с + В с,
а при втором умножении мы имеем дело уже с умножением чисел,
и справедливость его следует из законов арифметики:
(Ас + Вс) С — АсС + ВсС.
Итак,
(А + В)с-С= ~АсС + ВсС, '
откуда прямо следует:
(А +В)С =АС + ВС.
4. При доказательстве предыдущей теоремы мы должны были
воспользоваться вспомогательным положением, которое, однако, и
само по себе очень интересно:
РС = (Рс)С.
Чтобы умножить вектор скалярно на вектор, надо умножить его
на единичный вектор того же направления и полученное произве-
дение умножить на скаляр вектора. Эту теорему можно предста-
вить в несколько более общей форме:
ТЕОРЕМА. Чтобы умножить (или разделить) скалярное про-
иззедение векторов на скаляр, достаточно умножить (или разде-
лить) на этот скаляр один из множителей:
(АВ)т — А • (Вт).
Чтобы доказать эту теорему, достаточно вычислить отдельно,
левую и правую части этого равенства:
(А В) т = АВ cos (А В) • т,
А • (Вт) = А • (Вт Ъ) = АВт cos (А Ъ),
при этом углы равны:
А А
АВ = АЪ,
так как векторы В и Ъ— одного направления.
28
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
В этой- форме мы имеем сочетательный закон умножения.
§ 3. Скалярное умножение векторов, заданных своими коорди-
натами. Теорию действий «ад векторами можно излагать или гео-
метрически, пользуясь представлением векторов в виде направлен-
ных отрезков, или алгебраически, определяя их координатами. Обе
эти теории, как мы уже говорили, должны развиваться параллельно.
Мы только что построили геометрическую теорию скалярного
умножения векторов,—теперь нам надо перейти к алгебраической
стороне ее. Мй увидим, что наша задача сейчас же получит
решение на основе теоремы о распределительности умножения.
Итак, пусть наши векторы даны своими координатами:
Л = {Л1, 42, л4з}, В— В2, В3}.
Как вычислить скалярное произведение их?
На этот основной вопрос отвечает теорема.
ТЕОРЕМА. Скалярное произведение векторов равно сумме пар-
ных произведений одноименных координат:
АВ = А)В1 + А2В2 + А3В3. (2)
Действительно,
А В = (Aji-ф A2j + 43fc) (Вхг -ф B2j -ф B3fc).
В силу теоремы распределительности суммы векторов умно-
жаются, как многочлены.
Значит:
А В — AjB-jii -ф A^Bji -ф A3Brki -ф
-ф ArB2ij -ф A.BJi ф- A3B2kj -ф
ф AjB3ik -ф A2Bsjk -ф A3B3kk.
При этом мы воспользовались теоремой об умножении скаляр-
ного произведения векторов на скаляр. Скалярное произведение
перпендикулярных векторов равно нулю, а наши основные векторы
г, j, к взаимно ортогональны. Значит, в таблице пропадут все
члены „кроме тех, что стоят на главной диагонали:
ij = 0, jk = 0, ki = 0.
С другой стороны, наши векторы i, j, к — единичные, и по
определению скалярного произведения [формула (1)]
г • г = 1, j • j = 1, к • к = 1,
так как в этом случае угол между двумя множителями (угол век-
тора с самим собой) равен нулю, а его косинус равен единице.
Таким образом непосредственно получается формула (2).
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
29
ПРИЛОЖЕНИЯ.
I. Скалярный квадрат. Прилагая обычное определение степени,
мы назовем скалярное произведение вектора самого на себя его
квадратом. Собственно, надо было бы добавить: скалярным квадра-
том, так как кроме скалярного существует и векторное произведе-
ние, но мы увидим, что векторное произведение двух одинаковых
векторов всегда равно нулю, следовательно, говорить о векторном
квадрате не имеет смысла. Мы будем поэтому скалярный квадрат
называть просто квадратом.
Применяя формулу (2), имеем:
Л2 = А А = Лх2 + Л22 + Л32.
С другой стороны, по определению скалярного произведения (1)
имеем: *
л2 = л-л = л2.
Таким образом мы имеем формулу для определения скаляра
вектора:
Л2 = А? + Л22 + Л32., . (3)
Примечание. В векторном обозначении мы имеем
любопытное равенство:
Л2 = Л2,
и значит,
л=/л. («
Здесь нельзя извлечь* квадратный корень; причиной этому
является невозможность определить обратные действия в век-
торном анализе (см. далее).
II. Определение угла между векторами. Формулы (1) и (2) по-
зволяют определить косинус угла между векторами по их коорди-
натам.
Пусть даны два вектора Л и В, тогда в силу формулы (1)
Л • В = АВ cos (АВ).
Отсюда
. л АВ ,
cos (Л В) = —— , ‘
АВ
или по формуле (4):
cos (ЛВ) = —.
ГЖ^
30
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Если сюда подставить полные выражения (2) и (3) для скаляр-
ных произведений, то .мы получим формулу аналитической гео-
метрии:
cos (АВ) = - - А1В1 + л---------------
/AS + AS + AS /BS + BS + BS
Упражнения. Полученные формулы дают возможность решить
некоторые задачи.
1. Показать перпендикулярность векторов:
2= (1,-2, 1), В = (2, 3, 4).
2. Найти угол между векторами:
А = (2, 3,-3), В = (—3, 1, 1).
п А з/Г
О т в е т. ч cos (А В) =----4j-j-— .
3. Показать, что при изменении параметра t конец вектора М
опишет прямую, параллельную вектору а и проходящую через
точку А, если
M = A+^-t. (6)
Равенство (6) можно назвать векторным уравнением
прямой.
4. Составить векторное уравнение прямой, проходящей через
. две точки А и В, соответственно заданные векторами А и В.
Ответ. М = А + t (В — А).
5. Найти угол между прямыми:
2И = A -J- <х £, N = В -р fit)
если координаты этих векторов даны таблицей:
i j к
А 1 2 1
В —1 1 1
а 2 —2 —1
Р 1 2 2
Z4 А 4
Ответ, cos (afi) = ——.
6. Найти угол между прямой М = A+a-t и прямой, соединяю-
щей точки А и В, если координаты всех векторов даны таблицей
задачи 5.
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
31
О т в ё т. cos to = —-.
з/ 5
7. Показать, что конец вектора М, удовлетворяющего уравне-
нию
Ма=р, (7)>
—>
лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору а; плоскость про-
ходит на расстоянии
Р
/ а2
от начала координат.
Уравнение (7) можно назвать векторным уравнением
плоскости.
8. Показать, что конец вектора М при всех значениях пара-
метров и и v лежит в плоскости, проходящей через точку А,
—> ——>
параллельно векторам а и Д, если
М = A 4-ua + v
9. Найти угол между прямой 4
М = А + a t
И ПЛОСКОСТЬЮ д &
~N& = p, Черт. 14.
если все векторы заданы координатами таблицы задачи 5.
л • 4
Ответ, sm ф ------.
, 9
10. Найти точку пересечения прямой (6) и плоскости (7).
Ответ. Точка лежит на прямой (6) со значением параметра.
—> —>
р-А-а
V — •
11. Дан треугольник ОЛВ'(черт. 14). Тогда
АВ = АО + ОБ;
возведем в квадрат обе части:
ЛВ2 = (АО + ОБ)2 = АО2 + 2 АО ОБ + ОБ2,.
или по формуле (1):
АБ2 = О А2 + ОВ2 + 2ОА OB cos АОВ.
32 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
_ - .- -------------&-----------------------------------
Здесь чертой над буквами (а не стрелкой) обозначена абсо-
лютная величина вектора..
Вывести таким же образом формулу для квадрата стороны
четырехугольника.
12. Дан параллелограм ОАСВ (черт. 15). Тогда
--------------> ——> —>------> '--> —>
ОА = ВС = А, ОВ = АС = В,
ОС = ~А+В, АВ = В — А. (
Истолковать геометрически формулы:
<______ С - - -> -
[\~Х] * (А + В)^ + (А — В)2 = 2 (А2 + В2)1
[/\! (А+В)2—(А— В)2 = 4АВ,
д В _
Черт. 15. (А +В)(А —В) = А2—В2.
Какой вид примет последнее из этих равенств для ромба,
когда А = В?
Глава III. ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ.
§ 1. Внешнее произведение. Мы переходим теперь ко второму
виду произведения векторов—к так называемому внешнему или
векторному произведению. В векторном произведений мы имеем
высшую ступень действия над векторами, и вместе со скалярным
произведением оно представляет как. бй ключ ко всей векторной
алгебре. Можно сказать более: в противоположность скалярному
произведению, результатом которого является скаляр — уже изве-
стная нам величина, здесь мы имеем расширение той области, которую
мы рассматривали. Векторной произведение выводит нас из того
круга идей —(Скаляры, векторы, — в котором мы вращались, оно
родит понятие нового, так называемого плоскостного или акси-'
а л ь н о г о в е к т о р а (в противоположность линейным или пол яр-
пым вектора®,' которые мы до сих пор рассматривали). В этом,
смысле скалярному и векторному произведениям можно дать назва-
ние внутреннего и внешнего произведения.
От скаляров мы перешли к линейным (полярным) векторам,—
это было первое расширение области рассматриваемых величин.
Сложение скаляров или векторов оставляет нас в той же области,
к которой принадлежат заданные величины. Сумма скаляров есть
скаляр, сумма полярных векторов—полярный вектор. В ином по-
ложении находится умножение. Произведение скаляров есть ска-
ляр, но произведение линейных (полярных) векторов уже не при-
надлежит к той же области векторов; оно или возвращает нас назад
к скалярам, — это внутреннее, или скалярное произведение, или вы-
водит нас за пределы рассматриваемых величин, дает новое обоб-
щение—плоскостные (аксиальные) векторы,—это внешнее про-
изведение.
Мы пришли к скалярному произведению, рассматривая конкрет-
ную задачу—определение работы силы при заданном перемещении ,
точки. Такой же путь приведет нас к созданию и векторного про-
изведения, и здесь наша задача еще облегчается, — мы можем
остаться в области чисто геометрических представлений.
Пусть даны два вектора А я В (черт. 16). Эти два вектора
определяют параллелограм ОАСВ. Мы уже пользовались им при опре-
делении сложения векторов, но тогда мы из всего построения брали
только диагональ ОС, которая и давала нам сумму векторов. Теперь
нам понадобится сам параллелограм как некоторая фигура, как
определенным образом направленный в пространстве кусок пло-
скости.
Векторный анадшв. 3
34 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
До сих пор мы рассматривали векторы как направленные отрез- 1
ки прямых, — нельзя ли распространить это понятие на куски 1
плоскостей? I
Понятие вектора, мы видели, содержит три момента: |
1) скаляр вектора—длина, отрезка, 1
2) положение (направление) вектора; определяется той прямой, 1
на которой лежит вектор, j
3) смысл движения; определяется положительным направлением 1
на прямой (направление вектора на прямой). 1
Все эти элементы можно найти в том куске плоскости, который ;
нам задан в виде параллелограма ОАСВ.
1. Скаляр вектора, конечно, будет определяться величиной пло-
щади параллелограма.
2. Положение (направление) вектора в пространстве опреде-
ляется той плоскостью, в которой лежит наш параллелограм.
3. Труднее всего заметить положительное направление вектора
или, лучше, возможность двух смыслов движения, но и это сейчас
же можно установить. Положительное направление отрезка уста-
д £ навливается движением от начала вектора к его
*7 концу. Будем считать, что наш параллелограм
/ тоже определен движением — именно движением
п —точки вокруг нашей площади по контуру па-
Черт. 16. раллелограма (по его периметру). Из какой бы
точки контура ни начинать этот обход, его
можно делать только в одном из двух направлений: если одно
будет по движению стрелки часов, то другое — в обратном
направлении.
При этом, очевидно, самая фигура параллелограма не имеет
значения. Вместо параллелограма мы можем взять, например, ква-
драт или круг с той же площадью. Параллельные плоскости,
•как ранее параллельные прямые, будут считаться эквивалентными
в смысле.своего положения в пространстве (йаправлении).
Таким образом два вектора А и В определяют некоторую но-
вую величину, некоторый вектор другой природы — вектор-плбскость,
а не вектор-прямую. Те векторы, которые геометрически изобра-
жаются отрезками прямой, которые мы до сих пор рассматривали,
называются полярными векторами. Те новые векторы, к кото-
‘ р'ым мы теперь пришли,— векторы, геометрически изображаемые
куском направленной плоскости, носят название аксиальных
I векторов. Примером таких векторов могут служить: скорость вра-
щения, момент пары сил и т. д. Во всех этих случаях нетрудно •
! заметить плоскость, в которой лежит вектор, положительное напра- ’
вление—положительный обход (вращение) в плоскости и величину
(скаляр) вектора.
Аксиальный вектор, определяемый двумя полярными векторами,
называется их внешним произведением.
§ 2. Аксиальные и дополнительные полярные векторы. Внешнее
произведение полярных векторов приводит, как мы только что вщ
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ' 35
дели, к новым — аксиальным векторам. Таким образом мы стоим
перед задачей рассмотрения основных свойств этих' новых векторов,
определения основных действий над ними, введения для них коор-
динатного определения.
Все это можно было бы провести по тому же плану, как мы
ранее сделали для полярных векторов, но мы можем'это сделать
гораздо быстрее и проще, если воспользуемся понятием допол-
нительных векторов. Вместе с тем и само по себе это понятие
чрезвычайно важно,—оно в сущности позволяет совершенно исклю-
чить из рассмотрения аксиальные векторы. Все дело в том, что в
нашем трехмерном пространстве каждой плоскости можно поставить
в соответствие одну строго определенную прямую — перпендикуляр
к плоскости. Заметим мимоходом, что это обстоятельство представляет
счастливую особенность трехмерного пространства,—в четырех-
мерном, например, этц_уже невозможно. Итак:
1) если дан аксиальный вектор, кусок направленной плоскости
(например параллелограм ОАСВ), то мы восставим к этой плоско-
сти перпендикуляр, — он даст направление (положение в про-
странстве) дополнительного полярного вектора;
2) скаляры обоих векторов должны быть равны. Конечно, каж-
дый из этих скаляров измерен в своих единицах: площадь
аксиального вектора — в квадратных единицах, - длина полярного
вектора —в линейных, и равенство скаляров есть равенство их
численных величин, измеренных в каком-либо выбранном мас-
штабе; наконец
3) надо установить положительное направление (смысл движе-
ния) полярного вектора, и это можно связать единственным обра-
зом с положительным направлением (положительный обход) акси-
ального вектора. Для этого надо выбрать нормальный координатный
трехгранник.
Все прямые Трехграпные углы нашего пространства делятся на
два класса—правые и левые. Трехгранные углы одного класса
могут быть совмещены непрерывным движением, трехгранные углы
двух разных классов не могут быть совмещены. Будем называть
три ребра нашего трехгранного угла х, у, г. Мы можем всегда со-
вместить непрерывным движением положительные направления
двух прямых — например две оси абсцисс наших трехгранников.
Вращая один из них около своей оси абсцисс, мы достигнем того,
что положительные направления осей ординат совпадут. При этом
обе оси аппликат (оси г) будут лежать на одной прямой—на общем
перпендикуляре к осям ж и у, но на этой прямой эти оси з могут
иметь одно направление или два противоположных. Если они имеют
одно направление, то два трехгранника принадлежат к одному
классу; если они направлены в противоположные стороны, то
два трехгранника не могут быть совмещены, — один трехгранник
является в таком случае зеркальным отображением другого (изобра-
жение в зеркале).
Невозможно точным определением или описанием выделить один
из этих классов т. е. нельзя рассказать, какой трехгранник
3*
36
ВЕКТОРНАЯ алгебра
I
Z
X
oj
о,
У
правый
/у левый
Черт. 17.
правый и какой левый. Можно только дать чертеж (чёрт. 17) или
указать на какой-либо известный предмет. Так, большой, указа-
тельный и средний пальцы правой руки могут быть приведены в ’
положение ребер правого трехгранника, левой руки—-левого трех- :
гранника. . -
Условимся считать в плоскости ху положительное вращение <
(положительный обход) от положительного направления оси абсцисс ;
к положительному направлению оси ординат.
При таком условии положительное направление оси
аппликат дает направление дополнительного по-
лярного вектора. ' :
Эту связь между вращением (положительный обход аксиального '
вектора) и поступательным движением (положительное направление .
дополнительного полярного вектора) можно иллюстрировать правым
(обыкновенный буравчик) или левым винтовым движением. Ветви '
ели или сосны располагаются на ство- '
ле, следуя тому или другому из этих =
двух движений. J
Как видим, чтобы установить един-
ственным образом положительное на-
правление полярного вектора, Дополни-
тельного к данному аксиальному, надо
выбрать определенную (правую или ’
левую) систему координат. 1
В этом отношении нет прочно уста-,
новленного обычая. В Англии употре-
бительна правая система координат, на континенте — преимуще-
ственно левая, ио в Германии за последнее время стали пере-
ходить к правой системе. У нас в математических сочинениях
встречается левая система, в работах по механике нередко упо-
требляется правая.
Условие. Условимся в выборе левой системы .координат.
При этом условии дополнительный полярный вектор может быть
определен следующим образом:
Определение. Полярный вектор, дополнительный к данному акси-
альному вектору, имеет:
1) скаляр, численно (в масштабе, заданном системой координат) .
равный скаляру аксиального вектора,
2) расположен на прямой, перпендикулярной к плоскости акси-
ального вектора, и
3) положительное направление его выбрано так, что с вершины
(конца) полярного вектора положительный’ обход аксиального век-
тора виден в виде вращения в положительном направлении, т. е.
по движению стрелки часов.
Очевидно, что этим условием мы каждому аксиальному вектору
ставим в соответствие единственный дополнительный полярный *
вектор; более того, каждому полярному вектору соответствует в
силу этого условия единственный аксиальный вектор, который
тоже можно назвать дополнительным к данному полярному вектору.
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
3?
Вот это понятие взаимно дополнительных векторов чрезвычайно
облегчает установление основных действий над аксиальными век-
торами. Вместо того чтобы заново говорить о сумме или разности
аксиальных векторов, мы построим к ним дополнительные полярные
векторы, сложим или вычтем эти последние по установленным пра-
вилам;- а затем к полученной сумме или разности построим допол-
нительный аксиальный вектор. Этот аксиальный вектор мы и будем
называть суммой или разностью аксиальных векторов.
Таким образом можно установить, например, что всякий акси-
альный вектор может быть разложен на сумму трех компонен-
тов— его проекций на три плоскости координат и т. д.
Понятие дополнительного полярного вектора позволяет еще
иначе формулировать положительное направление аксиального век-
тора, именно: можно говорить о двух сторонах плоскости (подобно
двум направлениям прямой), считая положительной ту сторону, ко-
торая обращена к дополнительному полярному вектору.
Упражнения. 1. Даны два аксиальных вектора А и В. Показать,
что аксиальный вектор
хА +уВ
при всякой величине скаляров хну лежит в плоскости, парал-
=t =5
лельной линии пересечения плоскостей основных векторов А и В.
2. Три аксиальных вектора А, В и С суть боковые грани трех-
грапной призмы, причем положительные стороны их суть внешние
стороны этих боковых граней./Показать, что
=$ =i'
А + В -j~ С = О.
§ 3.* Векторное произведение. Внутреннее или скалярное произве-
дение двух полярных векторов А и В есть скаляр (АВ); внешнее
произведение их есть аксиальный вектор С. Его обозначают, за-
ключая множители в квадратные скобки:
[Л В] = ?. -
Аксиальному вектору С соответствует единственный дополни-
—>
тельный полярный вектор С. Этот вектор можно назвать вектор-
ным произведением векторов А и В и обозначить косым
крестиком:
А х В = С.
Полное соответствие между аксиальными и дополнительными
полярными векторами (каждому аксиальному соответствует один
полярный и наоборот) позволит нам совершешю изгнать из упо-
58
. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
требления аксиальные векторы, т. е. во всех случаях заменять
их дополнительными полярными векторами.
Таким образом для простоты в дальнейшем мы будем без раз-
личия называть внешнее или векторное произведение:
- [АВ] = АхВ.
Определение. Внешним или векторным произведением двух век-
торов А и В называется такой вектор С:
[АВ] = А х В ==С, .
который, во-первых, имеет скаляр, численно равный площади парал-
лелограма, построенного на векторах А и В, т. е.
С = АВ sin (АВ), (1)
во-вторых, лежит на прямой, перпендикулярной к каждому из
множителей А. и В, и
в-третьих, имеет на этой прямой положительным такое направлелие,
что с конца вектора С вращение от вектора Л к вектору В (че-
рез острый угол) видно в положительном направлении (т. е. по
часовой стрелке), иначе говоря, три вектора А, В и С образуют4
нормальный (левый) трехгранник.
Примечание. По существу внешнее произведение есть
аксиальный вектор, который мы заменяем дополнительным по-
лярным вектором. Этот полярный вектор не тождественен со
своим дополнительным аксиальным. Это видно хотя бы из
того, что с изменением координатного трехгранника с левого
на правый все дополнительные полярные векторы изменяют
свое направление.
§ 4. Основные свойства векторного произведения. 1. Из опре-
деления векторного произведения, именно из формулы (1), сейчас
же следует, что векторное произведение обращается в нуль, если
sin (АВ) = О,
т. е. если векторы А и В параллельны:
ЦБ] = 0, если А || В.
Векторное произведение обладает наибольшим-скаляром, если
его мйожители перпендикулярны. Его скаляр равен в этом случае
произведению скаляров своих множителей:
С —АВ.
Во всех остальные случаях скаляр векторного произведения
меньше произведения скаляров множителей.
/ .
йёкто?ноё Умножение
2. Чтобы умножить секторное произведение на скаляр, доста-
точно умножить на этот скаляр один из его множителей.
Действительно, нетрудно заметить, что от изменения скаляра
того или другого из множителей /Направление произведения не
изменится, а его скаляр умножится на то же число. '
3. Переместительность не-сохраняется.
ТЕОРЕМА. От перестановки множителей векторное произе-
дение меняет знак:
[АВ] = -[ВА]. (2)
Действительно, положительный обход в плоскости аксиального
вектора [ЛВ] устанавливается от вектора .А к вектору В, т. е. от
первого множителя ко второму (черт. 18): Если мы множители пе-
реставим, то и направление поло-
жительного вращения в плоскости
изменится на обратное, и аксиальный
вектор изменит знак. Дополнитель-
ный полярный вектор изменит свое
направление на обратное.
Это следует также непосред-
ственно из определения векторного
произведения, данного в предыдущем
параграфе.
Таким образом по своим свой-
ствам векторное произведение рез-
ко отличается от обычного арифметического
4*5 ..
Черт. 18.
произведения. Тем
более приятно, что теорема распределительности для него сохраняет
свою силу.
4. ТЕОРЕМА (распределительности).
Для любых трее секторов А, В, С справедливо тождество:
(A -f-В) х С = А хС + ВхС. (3)
Примечание. Переставлять множители нельзя!
Эта теорема имеет такое же большое значение для векторного
произведения, как и для скалярногб. Поэтому мы дадим здесь два
доказательства. Одно будет рассматривать внешнее произведение
как аксиальный вектор. Оно очень просто и остроумно, но требует
некоторого знакомства с аксиальными векторами. Второе опери-
рует только с полярными векторами и потому несколько более
сложно.
Первое доказательство. Мы начнем его с небольшой
леммы, которая почти очевидна.
ЛЕММА. Сумма аксиальных векторов равна нулю, если сумма их
проекций на любую плоскость равна нулю.
Эта лемма непосредственно следует из правила сложения век-
торов, заданных своими компонентами. Компонентами аксиального
вектора являются его три проекции на координатные плоскости.
40 , '
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Сумма одноименных компонентов слагаемых есть компонент суммы
векторов. По условию сумма проекций векторов на любую плоскость
равна нулю. Следовательно, всё компоненты суммы равны нулю,
и сумма векторов равна нулю.
Перейдем теперь к доказательству самой теоремы.
Пусть (черт. 19)
А = ОА, В = Ар (5= ОС^ AE = DF
суть данные векторы. Следовательно,
OD ^ОА + AD = А +В
— сумма векторов А и В. Формулу (10) можно переписать также
в виде: - , '
ODxC = dAx~C + ADxC. (3х)
Перенесем все члены в одну часть, изменив знак (т. е. вычтем
-В из обеих частей равенства (3х) OD х С):
п/L \ ОА xC + ADxC + DO хС = 0. (4)
\ \ \f Очевидно, ,
\ У 7 - DO х С = — OD х (Г,
С £ ибо с изменением знака OD все произведение изме-
Черт. 19. нит знак (изменится порядок обхода в плоскости
аксиального вектора).
Каждое из произведений в левой части равенства (4) предста-
вляет направленный параллелограм:
дАхдс=дТЁс,
ADxC = ADxAE = ADFE,
DO хС = DO^-x DF — DOCF:
при этом порядок букв в правой части означает направление по-
ложительного обхода в плоскости аксиального вектора. Пользуясь
правилом построения дополнительного полярного вектора, можно
сказать, что у первых двух параллелограмов О А ЕС и ADFE поло-
жительная сторона — передняя, а у параллелограма DOCF положи-
тельная сторона—задняя. Иначе можно сказать, что положительной
стороной является внешняя сторона боковой поверхности нашей
призмы.
Добавим теперь к нашей сумме (4) два равных и противопо-
ложных аксиальных вектора — основания нашей призмы:
ODA + С ЕЕ = 0,
ВЕКТОРНОЙ УМНОЖЕНИЕ 41
причем за положительную сторону примем опять внешнюю сторону
поверхности призмы, т. е. верхнюю сторону треугольника ODA и
нижнюю—Треугольника CEF.
Таким образом-нам предстоит доказать равенство:
ОАЕС + ADFE + DOCF + ОРЛ + CEF = 0;
но это равенство непосредственно следует из нашей леммы. Дей-
ствительно, спроектируем всю нашу фигуру (призму) на какую-либо
плоскость, например на плоскость нашего чертежа. Сам черт. 19,
если его рассматривать как плоский чертеж, представляет такую
проекцию. При этом, очевидно, каждая точка нашего пятиугольника
0CEFD есть проекция двух точек поверхности призмы. Иначе го-
воря, этот пятиугольник покрыт проекцией дважды: две передние
грани ОАЕС и ADFE и верхнее основание 0DA проектируются
на положительную сторону плоскости пятиугольника, — если счи-
тать положительной ту сторону чертежа, которая обращена к нам;
задняя грань D0CF и нижнее основание CEF проектируются на
отрицательную сторону плоскости пятиугольника. Лучше сказать,
первые три аксиальных вектора в проекции дают векторы с поло-,
жительным обходом — по часовой стрелке (при нашей точке зрения
на чертеж), два последние дают векторы равной площади, но с
обходом против стрелки часов, т. е. другого, знака. Значит, сумма
проекций равна нулю, а в силу нашей леммы и сумма рассматри-
ваемых аксиальных векторов (полная поверхность призмы) есть
нуль. Отнимая обратно два основания (которые в сумме равны
нулю), придем к тому равенству, которое нам надо было доказать.
Второе доказательство. В первом доказательстве мы
пользовались понятием аксиального вектора, но можно обойтись
и без него, и так как в дальнейшем мы будем говорить только
о полярных векторах, то естественно будет и при доказательстве
этой теоремы обойтись без ссылки на векторы другой природы. .
И это доказательство мы можем разложить на несколько шагов.'
1. Заметим прежде всего, что теорему достаточно доказать для
умножения на единичный вектор (скаляр которого или длина его
равны единице), чтобы она была доказана в общем случае.
Действительно, два произведения
А х С и ~А х ~с,
где ~с — единичный вектор того же направления, как и С:
—два эти произведения отличаются друг от друга только величиной
скаляра; оба произведения (полярные . дополнительные векторы)
расположены на одной и той же прямой, перпендикулярной к обоим
множителям Ли С и, следовательно, перпендикулярной и к век-
тору с; положительные направления того и другого произведения на
42 ЙЁКТОРйАЯ аЛГЁВРА; ;...
этой прямой совпадают, ибо определяются по одному й тому же
правилу (ибо положительные направления С и с совпадают). Что
касается скаляра, то он, конечно, не один и трт же у обоих про-
изведений. Скаляр первого произведения А х Ъ равен
AC sin (АС). "
Для второго произведения А х с угол останется тот же:
ЛА '
АС — Ас (ибо направление вектора с .то же), но скаляр вектора с
равен единице, а потому скаляр произведения Л х Т будет мень-
ше в С раз:
A sin (АС).
Значит:
1хС = [2Т]с. . (5)
Пусть теорема доказана для умножения на единичный вектор с: ‘
(А 4- В) х с*= А х с + Б х ~с.
Умножим обе части равенства на скаляр С-..
(А + В) х~сС = А хТс + В х сС,
и в силу формулы (5) непосредственно получим:
(А+Б)хС=АхС^ВхС.
2. Рассмотрим теперь подробнее, как строится векторное произ-
ведение при умножении на единичный вектор. Как мы видели,
скаляр произведения А х с равен:
A sin(4c; — A cos.\ — — Ac Y
\ 2 J
Значит, мы можем получить этот скаляр, проектируя вектор А
на плоскость (Р)/ перпендикулярную к вектору с (черт. 20).
Действительно, очевидно, '
' /АгОА = /АОс-,
•ч
ОАЬ проекция ОА, вычислена по формуле:
ОА1 = ОА cos (AflA).
ВЕКТОРНОЙ УМНОЖЕНИЕ
43
Вектор ОА (проекция вектора О А на плоскость Р) имеет скаляр ,
нашего произведения А х с, но не имеет необходимого направления:
-->
ОА]. перпендикулярно к вектору с (ибо лежит в плоскости Р, пер-
пендикулярной к с), но не перпендикулярно к вектору А.
Чтобы получить необходимое направление (перпендикулярное
и к с, и к Л), нам надо только повернуть ОА\ на прямой угол
около точки О в положение ОА2. Тогда ОА2 будет перпендикулярно
к плоскости АО А] и, следовательно, перпендикулярно и к век-
тору А. Новый вектор сохранит перпендикулярность к вектору с, ибо
попрежнему будет лежать в плоскости Р.
Наконец, нетрудно заметить, что, поворачивая его по часовой -
—>
стрелке (если смотреть с вершины вектора с), мы получим поло-
жительное направление произведения д
с X Л,
поворачивая его против часовой
ки, — положительное направление
ведения
стрел- -
произ-
4? = с х д /
Л X С.
Черт. 20.
Итак, векторное произведение
вектор с
любого вектора Л на единичный
Л х с
можно получить таким построением:
а) вектор Л проектируем на плоскость Р,"перпендикулярную
к вектору с, в положение Лх,
Ь) проекцию Л1 поворачиваем около прямой с на 90° против
часовой стрелки в положение Ла:
Л2 = Л х с.
3. Теперь доказательство нашей теоремы не представит труда.
Пусть
A + B=D,
следовательно, А а В суть две стороны параллелограма OADB
черт. 21), a D — его диагональ.
44
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Умножаем все три вектора А, В и D на единичный вектор с .
Нам надо доказать, что \ -
Axc+Bxc = Dxc,
т. е. что эти три вектора А .х с, В х с и D х с составляют две
стороны и диагональ некоторого параллелограма.
Но это очевидно!
' * —> —> —> )
Действительнр, чтобы умножить векторы А, В, D на вектор с,
надо:
а) спроектировать эти векторы на плоскость Р, перпендикуляр-
ную к вектору с, „и
Ъ) поверну» их на 90° против часовой стрелки, если смотреть
с вершины вектора с.
При ортогональном проектировании параллельные линии проек-
тируются параллельными. Следовательно, параллелограм OADB
Че^т. 21.
гебраической теории; она
спроектируется в виде парал-
лелограма,О1А11)1.В1. Тем более
он останется параллелограмом
OjA^D^ после поворота на 90°.
Таким образом векторные про-
изведения А X с, В х с и D х в
образуют параллелограм, и сле-
довательно, теорема доказана.
§ б. Векторное умножение
векторов, заданных своими ко-
ординатами. Как и для скаляр-
ного произведения, теорема рас-
пределительности открывает
здесь путь для построения ал-
яет дать правило вычисления
координат произведения, если даны координаты множителей.
ТЕОРЕМА. Векторное произзедение дьух множителей
А — гА1 -f- jAa + kA3,
В = iBY -j- jB2 4- kBa,
равно:
A X В — i (А$В3 — AgB2) -J- j (AgB-L —A^Bg) 4- k (AjB2 — A^B^). (6)
Для доказательства перемножим наши два вектора А и В, рас-
сматривая их как суммы компонентов. В силу теоремы распреде-
лительности эти суммы будут умножаться как многочлены, т. е.
каждый член первой суммы будет умножаться на каждый член вто-
рой (только нельзя переставлять множителей!).
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
45
Мы получим таблицу, подобную таблице па стр. 28:
А х В = (гЛх + Ма + ^з) X (iBt + jB2 + кВ2)
= AtBt i xi + A^BJ x i + A3Bxk x i +
+ AiBii. X j + A2B2j X 7 + A3B2k X 7 + (7)
+ AjB3i X k'+A2B3j xk +A3B3k xk.
При этом скалярные множители везде вынесены вперед. Это
возможно, ибо мы можем вместо умножения на вектор А^ умно-
жить сначала на единичный вектор того же направления i и
затем на скаляр вектора Av
Мы знаем (§ 4, п. 1), что векторное произведение параллель-
ных векторов равно нулю." Следовательно,
iX» = 0, - jxj = Q, kxk = 0,
и в вашей таблице останется только 6 членов.
Далее, для наших трех единичных ортогональных векторов мы
имеем:
i X j =k, j х к. = г, к X i = j,
jxi = — к, kxj = —i, ixk — — j. (8)
Действительно: , - '
1. Наши векторы ортогональны; значит, Скаляр векторного про-
изведения равен произведению скаляров множителей (§4, п. 1). Наши
множители единичны (-скаляры их равны единице). Следовательно,
и скаляр произведения — единица. Этому формула (8) удовлетво-
ряет. /
2. Векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к обойм
множителям. Это тоже выполнено в табл. (8), ибо все наши век-
торы г, 7, к взаимно перпендикулярны.
3. Остается только выбор знака, т. е. установление положитель-
ного направления на выбранной прямой. Для этого существует
несколько правил.
Например: с конца векторного произведения вращение от пер-
вого множителя ко второму видно в положительном направлении,
т. е. ^гак же, как с положительного направления третьей оси видно
вращение от. первой оси ко второй.
Наши векторы г, j, к имеют расположение осей нормального
трехгранника (выбранной системы координат). Следовательно, и это
требование выполнено, если множители идут в определенном по-
рядке [первая строка табл. (8)]. При перестановке множителей,
естественно, знак произведения меняется [вторая строка табл. (8)].
Вносим теперь в табл. (7) значения (8), и мы получим:
А х В = * — кА2В£ + М3-®1 +
. + kAiB2 * — 1А3Ва —
— 1АгВ3 + iA2B3 *
= ? (ЛаВ3—-43Ва) + j (А3Вх — A]BS) -[- к(А]В2 — A2Bj). . (6')
46
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 6. Замечание о вычислении векторного произведения. Полезно
обратить внимание на составление формул (8) и в особенности
последней формулы произведения (6).
Основная идея, которая здесь проведена и значительно облег-
чает запоминание их, есть идея круговой подстановки.
Начнем с формул'(8): '
i X j — к, j х к = г, е к х i — j. (8')
Они содержат три буквы г, j, к. Представим себе окружность (черт. 22),
вдоль которой написаны буквы i, j, к. Повернем окружность на
120°, — там, где была буква г, станет
буква j; на место j пойдет к, и на ме-
сто к — буква г. Такая замена называ-
ется круговой подстановкой.
Нетрудно заметить, что вторая форт
Черт. 22. мула (8) получается из первой именно
такой подстановкой.
Новый поворот на ,120° приведет к на место j, i—на место к}
j—на место г; из второй формулы (8) получится третья.
Еще' один поворот приведет нас в первоначальное положение.
Таким образом надо запомнить только первую из этих формул, —
две остальные можно писать прямо: они получаются круговой
подстановкой.
Тот же прием применим и к правой части формулы (6):
А X В — г (А'2В3 — А3В2) + j (Л3В; — А]В3) + к (А]Ва — А^В^. (6) -
Мы теперь напишем вдоль нашей окружности кроме букв i, j, к
", 3 (черт. 23). Каждый поворот на 120° за-
еще три цифры 1, 2,
меняет одновременно
i на ;, j на к, к на i и
в то же время 1—на 2,
2 —на 3, 3 — на 1.
Если оставить А и
В на месте неизмен-
но, то эта подстанов-
ка из первой скобки
правой части (6) дает вторую скобку, еще одна подстановка ^новый
поворот на 120°),— и мы получим третью скобку.
Таким образом и здесь достаточно запомнить только первую
скобку, — две остальные напишутся круговой заменой.
Можно заметить некоторую правильность и в написании первой
скобки
i (ASB3 AaBs).
Так, второй член получается из первого перестановкой цифр 2 и 3
(или, что то же самое, перестановкой букв Л'и В). Достаточно запо-
мнить первый член, чтобы можно было сразу написать второй.
Наконец, и первый член
i-4aB3
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
47
напишется просто: припишем букве г указатель 1, j — указатель 2
и А; — указатель 3. Тогда в первом члене эти три указателя будут
стоять в натуральном порядке:
Эту идею можно развить. Припишем,< как мы условились, ука-
затели буквам i, j, к во всех членах:
Мы видим:
1) все члены получаются перестановкой указателей 1, 2, 3;
2) эти указатели переставлены всеми возможными способами:
мы имеем всего 6 членов; это как раз число всех возможных пе-
рестановок из 3 элементов:
Р3 = 1 • 2 • 3 == 6;
(9)
притом расположение этих указателей в каждом члене различное;
3) наконец, можно отметить, что перестановка двух соседних
указателей меняет знак. Например, первый и второй члены (ука-
затели 2 и 3); второй и предпоследнвй члены (перестановка указа-
телей 1 и 3) и т. д.
Составленное по этим правилам из 9 элементов выражение но-
сит название определителя, или детерминанта. Оно запи-
сывается условно так:
, . i j к
А X В = Ai Az А3
Bi В2 Ва
В нем три строки и три столбца. Каждый член выражения-(6)
содержит по одному элементу из каждого столбца и из каждой
строки,это прямо следует из наших трех правил.
Выражение (6) представляет разложение определителя
по элементам первой строки.
Условимся называть определителем второго порядка выражение:
-^2-^3 _ л р __ л р •
р* = ^2пз — ^з-^з,
оно состоит, как мы видим, из двух произведений с разными зна-
ками, взятых по двум диагоналям нашего квадрата.
В таком случае формулу (6) можно записать так:
, i j к
~~r ТТ7 . . -4 2 3 I п 1 3 I А* 1
Л х В = Ах л2 А =ъ ВаВз| J в.в.^
.Di л52 х>з
Нетрудно заметить, что каждый из элементов первой строки
умножается на определитель второго порядка (так называемый ми-
н о р), который получается вычеркиванием той строки и того столбца,
в которому принадлежит этот элемент. Например, для эдемерта »:
i г : j к
; Al • А-2 А3
| Bi \Вг Bs
JBj В2 ва
В3
^2-^3
В^ В3
_ l2
В2
48
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Знаки перед элементам^ по очереди меняются. 4
Этим приемом можно пользоваться, чтобы составлять векторные
произведения при числовых заданиях. Нет надобности тогда выпи-
сывать весь определитель: сами заданные множители, подписанные
один под другим, уже дают две последние строки его, как это легко
увидеть на прилагаемой схеме:
_> i j k
A = 5i — 3j + k 5 — 3 j
ё£ = 2г-Ь4у — 3fc 2 4—3
Мы вычеркиваем (мысленно) столбец, соответствующий опреде-
ляемому компоненту, и перемножаем крест-накрест попарно осталь-
ные координаты, взяв второе произведение « обратным знаком. Для
компонента j оба произведения еще меняют знак.
Например, для первого компонента имеем схему:
А — :5г; — 3; + к
i i X
Н = 3fc
Получаем:
. А х В = i (9 — 4) + 7 (15 + 2) = к (20 + 6) = Ы + 17; + 26*.
Упрежнения. 1. Вычислить произведения:
'• А х В = Зг + 7; + 8*, А Х ~С = — 6г — 6;,
В х C = 6i — 2j +8fc,
если множители А, В, С заданы таблицей:
А 2 — 2 1
В 3 1 — 2 2
С —2 2
2. Показать непосредственно, что векторное произведение А х В
перпендикулярно к каждому из множителей А и В (показать, что
скалярные произведения вектора С = Я х В на вектор А и на век-
тор В равны нулю).
Для векторов А и В взять числовые значения: .
1
2 3
В — 2 1
3
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
49
3. Даны две прямые векторными уравнениями:
Jtf == А
М = В + Д«.
Показать, что прямая
М —~а X
перпендикулярна к обеим заданным прямым.
4. Через точку 4 провести прямую, перпендикулярную к прямым
М — a t, М = ft t.
Векторы A, a, fi даны таблицей:
4 2 1 — 2
а 3 3 3
Т — 1 2 1
5. Из начала координат опустить перпендикуляр па ^плоскость,
заданную уравнением в параметрической форме: >
2И = А Ви (Jv
А 1 — 2 .2
В 2 1 1
С 3 2 1
' Ответ. N = (—i + i + tyt.
Векторный анализ»
4
Глава IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕМ
||
§ 1. Скалярное произведение трех множителей. Если мы умножим
скалярно два вектора Ли В, то произведение их будет скаляр,!
а не вектор. Он будет далее умножаться, как простое число, и ни-1
чего нового при дальнейшем умножении мы не получим. Другое!
дело, если мы перемножим два вектора векториально: А х BI
есть снова вектор, притом, как мы видели, вектор по существу!
другой природы (аксиальный). Поэтому представляет большой интё-|
рес исследовать дальнейшие произведения этого вектора на поляр-
ные и аксиальные векторы.
Рассмотрим прежде всего скалярное произведение аксиального
вектора А х В на полярный вектор CJ. Такое произведение назы- i
вается скалярным произведением трех векторов А, В, С и обозна-
чается так:
(АВС) = [АВ]С. ' (1)
'д*В=Е Прежде всего нам надо показать, что
действительно все. три множителя входят
- сюда равноправно, что мы в праве назы-
вать его произведением трех множителей,
/1 / / / легк0 получим этот результат,
/ \ / / / выяснив геометрический смысл этого
л I/ ! / , м / произведения. , ,
А Внешнее произведение [А В] есть пло-
$ щадь (направленная) параллелограма
Черт. 24. OADB, построенного на векторах А и В
(черт. 24).
Мы заменяем его полярным вектором
~Е = А х.В.
Это вектор, перпендикулярный к плоскости параллелограма.
Скалярное произведение
[АВ]С=ЕС
есть произведение скаляра первого множителя Е на длину проек-
ции второго вектора С на первый. Эта проекция Ct, как проекция
вектора С на перпендикуляр к плоскости, равна расстоянию точки
С (конца вектора С) от плоскости параллелограма OADB.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ 51
Построим параллелепипед на векторах А, В, С как на сторо-
нах. Высота этого параллелепипеда есть наша проекция С1( а пло-
щадь основания (параллелограм OADB) численно равна длине век-
— >
тора Е (т. е. в нашем масштабе измеряется одним .числом).
Итак, произведение
'ес = ес1
равно произведению основания параллелепипеда на его высоту, т. е.
измеряет объем параллелепипеда. При этом существенно важно
отметить, что наше скалярное произведение дает объем параллеле-
пипеда иногда с положительным, а иногда с отрицательным знаком.
Положительный знак получается, еслд угол между векторами Е и С
острый, отрицательный, <- если он тупой. При остром угле между
Е и С вектор С расположен по туже сторону плоскости ОЛИВ, что и
вектор Е, и следовательно,, с его вершины С вращение от А к В
будет видно тай же, как и*из точки Е, т. е. в положительном на-
правлении, (по часовой стрелке).
Иными словами, произведение (ИВС) положительно, если век-
торы А, В и С образуют нормальный трехгранник, т. е. такой,
что его можно непрерывно преобразовать до совпадения с выбран-
ной системой координат, не обращая в нуль наше произведение,
т. е. без того, чтобы во время преобразования один из векторов
оказался в плоскости двух остальных.
Итак, имеем теорему.
ТЕОРЕМА, Скалярное произведение трех множителей
(АВС) = [АВ] С
равно в выбранном масштабе объему параллелепипеда, построенного
на векторах ~А, В, С как на ребрах. Знак произведения положите-
лен, если векторы А, В и С образуют нормальный (у нас левый)
трехгранник.
Из теоремы следует, что абсолютная величина произведения
(АВС) = [АВ] С
останется та же, в каком бы порядке мы ни брали множители А, В, С.
Что касается знака, то он будет в одних случаях положителен, в
других отрицателен, — это зависит от того, образуют ли наши три
вектора, взятые в определенном порядке, нормальный трехгранник.
Заметим, что оси левой системы координат расположены так, что
они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть
62
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
с вершины трехгранного угла (черт. 25). Порядок следования ш
нарушается, если мы начнем обход со второй оси или с третьей
лишь бы он совершался в том же направлении, т. е. против часо-(
вой стрелки. При этом наши множители- переставляются в кру4
гойом порядке. I
, Итак, имеем теорему: 1
ТЕОРЕМА. Круговая перестановка трех множителей скалярнога
произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседний
множителей меняет знак произведения: ’
(АВС) = (ВС А) = (САВ) — (АСВ) = — (ВАС) = — ,(СВА).
Эта теорема оправдывает название скалярного произведения трех
множителей, — мы видим, что здесь существенны только множители
и направление кругового обхода, но не важно, какие векторы ум-
ножаются векторно и на какой из них умножается затем скалярно
полученное произведение.
Формула для вычисления скалярного произведения трех векто-.
ров. Пусть наши векторы даны своими координатами:
А = {л1г А3, А3 }, В = {в1г В2, В3},С = {clr C3f С3}.
Черт. 25.
Вычислим последовательно наше произведение:
(АВС) = [АВ] С = А [ВС].
По формуле для векторного произведения имеем:
i j k
[ВС]= В.В3 в3 .
С другой стороны, скалярное произведение
вектора
(2)
E = iEt + jE3 + kE3
на вектор А равно:
АЕ — + А3Е3 -|- А3Е3,
т. е. мы получаем его, заменив в разложении вектора Е на компо-
ненты основные единичные векторы i, j, к соответствующими коор-
динатами вектора А.
Применим этот прием к умножению вектора (2) на вектор А.
получим:
(АВС) = A [ВС] =
Ai А3 А3
-®2 ^3
с1с2с3
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ
58
Примеры. 1. Вычислить (АВС) непосредственно и по формуле (3).
Л 1 2 1
в 0 1 2
с 2 -1 2
Ответ. 10.
2. Найти объем параллелепипеда ABCDEFGH (где А и Е,
В nF и т. д. — соответствующие точки нижнего и верхнего основа-
ний), если даны координаты векторов:
ОЛ.= Л 2 — 2 3
бв = в 1 2 — 1
ОР = Р 2 2 2
ОЕ = Е — 2 1 -1
Ответ. [(В — A) (D — А)(Е -7)] = — 35.
Примечание. Хотя скалярное произведение, которое мы
рассматривали в этом параграфе, есть скаляр, однако этот скаляр
несколько другой природы, чем другие скаляры, например, по
сравнению со скалярным произведением двух полярных векто-
ров. Обычно скаляр, как число, не зависит от выбора системы
координат. И здесь скалярное произведение трех множителей
остается тем же при всяком повороте или переносе системы
координат, но оно меняет знак, если мы левую систему коор-
динат заменим правой.,Такой скаляр иногда называют псевдо-
скаляром.
§ 2. Векторное произведение аксиального и полярного векторов.
Мы рассмотрели скалярное произведение аксиального вектора [ЛВ]
на полярный С; теперь нам надо перейти к векторному произве-
дению их:
[ЛВ] х С.
Там мы получили прекрасное геометрическое истолкование произ-
ведения, но сравнительно мало сделали для облегчения выкладок.
Зато здесь мы дадим формулу — одну из немногих в векторной ал-
гебре, — значительно облегчающую вычисление.
ТЕОРЕМА.
Л х [ВС] = В(ЛС)-С(ЛВ).
(4)
Мы дадим два доказательства э^ой теоремы; одно из них про-
водится простыми векторными операциями и очень остроумно)
другое представляет простую поверку равенства (4) и может рас-
сматриваться как упражнение.
54 • * ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Первое доказательство. Оно состоит из трех частей.
1. Мы исходим из положения, что векторное произведение пер-
пендикулярно к обоим своим множителям. В частности произве-
дение
Е = А х\В^]
перпендикулярно ко второму множителю [ВС], но этот множитель
сам есть векторное произведение, т. е. перпендикуляр к своим
двум множителям В и С. '
Итак, три вектора Е,В и С перпендикулярны к одному вектору
[ВС]. Следовательно, они лежат в одной плоскости
(ибо все они имеют общее начало).
В силу теоремы о векторах, лежащих в Одной плоскости (гл. 1,
§ 4), мы имеем (это первый шаг):
Е — х^ + уС, ’(а)
где х и у суть скаляры.
2. Теперь потребуем, чтобы наше произведение В было перпен-
дикулярно в своему первому множителю А. Для этого мы можем
воспользоваться основным свойством скалярного произведения:
скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда
множители взаимно перпендикулярны.
Следовательно, мы имеем:
ЕА = 0, '
или, подставляя вместо Е его выражение (а):
(xB + yC)A=O,
или в силу сочетательности умножения:
' х(АВ) + у(АС} = 0. (Ь)
Итак, неизвестные пока скаляры х и у удовлетворяют уравне-
нию (Ь). Мы можем разрешить его с помощью вспомогательного
неизвестного е.
х = е (АС),
у = -е(АВ). (с)
г Нетрудно видеть, что выражения (с) удовлетворяют уравне-
нию (Ь) при всяком 6.
Подставляя эти выражения в формулу (а), мы получим:
Е = е {B(JC) - С(АВ) }. (d)
3. Заметим прежде всего, что знак t не меняется, как бы мы
ни меняли множители А, В, С .
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ
55
Действительно
E^AXfBG]
меняет свое направление на обратное при изменении направления
одного из множителей, т. е. при перемене знака у скаляра А, В
или С; но тогда и скаляр вектора
F = B(aG)—С(1В)!
меняет свой знак, а следовательно, е сохраняет прежний знак.
Значит, чтобы определить знак е, достаточно определить его
для какого-либо' наиболее удобного расположения’ векторов А,
и G,—при всяком другом расположении знак а будет тот же самый.
Возьмем, например, векторы В я Свзаимноперпендикулярными
(черт. 26) и вектор А совпадающим по направлению с вектором G
и, следовательно, перпендикулярным к В.
Тогда Е, как перпендикулярное к А (а значит, и к О), совпа-
дает по направлению с В, как видно из черт. 24, и значит,
* Е= АСВ,
ибо при перпендикулярности множителей скаляр векторного про-
изведения. равен произведению скаляров множителей.
С другой стороны, в этом случае
(ЛВ) = 0, (AG)=AC,
и значит,
F = BAC, ' I----^-^-в
т. е. . / "
E=F Аг
И Черт. 26.
8- + 1.
Итак, е всегда положительно. Покажем, что оно всегда равно
единице. . . . 4 .
4. Мы докажем, что скаляр Е и скаляр F равны между собой.
Для этого достаточно показать, что соответственно равны ска-
ляры их трёх компонентов по трем некомпланарным (не лежащим
в одной плоскости) направлениям. '
Эти три направления мы выберем следующим образом: разло-
жим вектор А на три слагаемых:
А =А]^ + А2 + А3,
причем ~Аг будет перпендикулярно к плоскости векторов В и
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
66_______
(т. е. параллельно произведению В х 4 и7, лежат в плоско-
. сти ОБО и соответственно перпендикулярны А2е В и Л3 к С.
Вектор
Е=Ах[ВС]
разобьет'ся тогда на три слагаемых:
В X(ВС) + А2 х (ВС) + А3 X (ВС),
и вектор .
F = В (АС)—С (АВ)
тоже будет состоять из1 трех частей, которые получим, подставляя
вместо А поочереди А1г А2 и As.
Нетрудно теперь заметить, что скаляры трех слагаемых Е и F
соответственно равны друг другу.
Так, первые слагаемые Ег и Ft оба равны нулю, ибо, с одной сто-
роны, Ai параллельно (ВС), и следовательно, векторное произведение
Аг х [ВС] = Ег есть нуль, а с другой стороны, Аг (перпендикуляр-
ное к плоскости ВС) перпендикулярно к каждому из векторов В
и С, следовательно, оба скалярных произведения (А^В) и (а2Ъ)
равны нулю, и значит:
' = В (АуС) — С (ЦВ) = 0.
Далее, А2 лежит в плоскости ВС, т. е. перпендикулярно к вектор-
ному произведению [ВС]. Значит, скаляр получится простым
-►-> л
умножением скаляра произведения [ВС], т. е. ВС sin (ВС), на ска-
ляр А2:
Е2 = А2ВС sin (ВС).
С другой стороны, в выражении
F2 = B(A&-tf(A2B)
второе слагаемое есть нуль, именно:
(2Э) = О,
—> —>
так как Аа по условию перпендикулярно к В. Что касается первого
слагаемого
F2 — В(А2С),
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ 57
то его скаляр получится умножением скаляра В на скаляр произ-
ведения (а(С), т. е. на Л2С cos (Л2С):
= А3ВС cos (Л2С),
но
cos (Л2С) = ± sin (ВС),
так как Л2 перпендикулярно к В и лежит в плоскости АВС.
Следовательно, по абсолютной величине
В2 =В2,
и так же докажем, что *
В3 = F3.
Итак, скаляры трех компонентов векторов Ви В соответственно
равны между собой, а так как они одинаково направлены, то ра-
венство скаляров векторов В и В установлено. Значит, 8 = 4-1.
Замечание. В сущности последний шаг, сделанный в этом
доказательстве, достаточен, чтобы убедиться в справедливости
теоремы. Надо только добавить, что и направления трех компонен-
тов Вх, В2, В3 и трех компонентов Вь В2, В3 совпадают, что легко
усмотреть из чертежа.
Второе доказательство. Это доказательство представляет
простую поверку формулы (4):
f А х [ВС] = В (АС) — С (АВ), (4)
т.е. для доказательства теоремы мы вычислим отдельно левую и
отдельно правую часть равенства и обнаружим их совпадение. .
Чтобы облегчить выкладки, мы можем расположить более удобно
оси координат, ибо, очевидно, справедливость формулы (4) не за-
висит от выбора осей.
Выберем первую ось совпадающей с вектором (Z Тогда
0 = 0^.
Вторую ось возьмем в плоскости ВС; тогда
В = Вхг 4- Ва?.
Этим третья ось уже определена, и для вектора А мы имеем об-
щее выражение:
А — Aji 4- А^ 4* А3к.
Переходим к вычислению.
Левая часть формулы (4):
[Ж] = (Вхг 4- BjJ) х c\i =. BjCji X i +B3C1j х i = -~B3O1k,
58
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРА
ибо
г X j = к,
j хг = — к. '
А X [ВС] = (Aj + Aj + Ask) х (— В2Сгк) =
= — А^В^С^ь x к АдВ^С^у x к А^В^С^к x к =
ибо
i X к — — j,
j X к = i.
Правая часть формулы (4):
(AC) = (A^i 4* A2j 4* A$k) Cyi = AjClf
(AB) = (Aji 4- Aj + Ask) (Bji 4- B2?) = АгВг + Л2В2,
В (AC) — С (AB) =
— (Bi'i + B2?) A1C1 — Cxi (A1B1 4- AJB%) —
— i (-^iBjC^ — AjBjCi -.— 42B2C^) 4- jA^B^C^ — — iA^B^C^ 4“ jA^B^C^.
В левой и правой части получаем одно и то же выражение, что
й доказывает теорему. '
ТЕОРЕМА (переместительности). Мы видели, что скалярное
произведение (двух множителей) допускает перестановку множи-
телей, векторное произведение меняет при этом знак. Скалярное
произведение трех множителей тоже допускает перестановку мно-
жителей, но только круговую перестановку. Впрочем, при двух
множителях всякая перестановка есть круговая перестановка.
Следовательно, можно сказать, что скалярное произведение и для
двух и для трех множителей обладает свойством не меняться при
круговой замене множителей. При этом для двух множителей все
перестановки круговые и, следовательно, знака не меняют, а для
трех множителей кроме круговых есть и некруговые перестановки
(перестановки, меняющие порядок ч обхода), и эти перестановки
меняют знак произведения. Подобно этому и свойство векторного
произведения менять знак при перестановке множителей можно
обобщить на случай трех множителей.
Мы запишем Это свойство векторного произведения в виде фор-
мулы:
[4В] 4- [Й] = 0.
Для двух множителей полный цикл круговых перестановок состоит
из двух членов. Для трех множителей он содержит уже три члена.
Значит, наше равенство должно иметь вид:
А X [ВС] 4- В х [04] +с х [ТВ] = 0. (5)
Доказательство этой теоремы не представляет труда.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ
5§
По основной формуле (4) мы имеем:
А х [ВС] = В(АС) — С (АВ)
+ В х [СЯ] - С(ВА) — А(ВС\
С х [АВ] = А (СВ) — В(СА)
А х [ВС] + В х-[СА] 4- С [АВ] = 0.
При сложении все члены в правой части взаимно уничтожа-
ются.
Примечание. Формула (4) дает векторное произведе-
ние аксиального и полярного векторов в виде разности двух
полярных векторов. Отсюда следует, что векторное произве-
дение аксиального и полярного векторов есть полярный
вектор. *
§ 3. Скалярное и векторное произведения аксиальных векторов.
Мы переходим к последним формулам векторной алгебры. По-
сле того как мы рассмотрели произведения полярных векторов
между собой и произведения полярных векторов на' аксиальные,
нам остается рассмотреть произведения аксиальных векторов на
аксиальные.
Мы рассмотрим поочереди скалярное и векторное произведения
аксиальных векторов.
1. Скалярное произведение. Здесь мы встречаемся со второй из
двух основных формул векторной алгебры—первую мы видели в
прошлом параграфе [формула (4)]. Следует еще обратитт/внимание
на самый вывод этой формулы—вывод, где мы пользуемся только
векторными преобразованиями, не обращаясь к рассмотрению ко-
ор^шат векторов.
ТЕОРЕМА. Для всяки® четыре® векторов А, В, С, D справед-
ливо тождество (тождество Лапласа):
[АВ] • [CD] = (AC) (BD) — (AD) (ВС). (6)
Примечание. Следует обратить внимание на распо-
ложение букв в правой части равенства (6). В первом члене
в одни скобки собраны одноименные (первый и первый,
второй и второй) множители из квадратных скобок левой части;
во втором члене—разноименные.
Доказательство. Обозначим одной буквой первое из век-
торных произведений
E==[CD]. (а)
Искомое произведение J принимает тогда знакомый вид скаляр-
ного произведения трех множителей:
J = [AB] [CD] = [АВ]Е = (АВЕ). „ (b)
60
ВЕКТОРНАЯ алгёвра
Воспользуемся теперь основным свойством этого произведения не
меняться при круговой замене множителей
J = /[BE]. (с)
Обратим внимание "на векторное произведение в этом выражении.
Если написать его полностью, т. е. заменить Е его выражением (а),
то получится: '
[ДЁ] = Вх[СР], (d)
векторное произведение трех цолярных множителей, к которому
можно непосредственно применить формулу (4) предыдущего па-
раграфа:
[Bl] = В х [CD] = С (ВО) — D (ВС). (е)
Теперь остается только подставить это выражение в формулу (с),
чтобы получить окончательный результат:
J = А {с(BD) — D(BC)} = (AC) (ВО)—(АО) (ВС).
Заметим, что при умножении (скалярном) фигурной скобки на
вектор А умножать скалярно надо векторные множители, например
2 и С, а скалярный множитель (BD) останется без изменения.
Замечание. Если ввести координаты наших векторов:
А = iAi 4* jA% +
то наша формула (6) примет вид преобразования определителей.
Левая часть:
г j к
Л-1 А% А3
В^ в2 в3
г j к _JA2A3| |С2 С3| Аз| \С± С81 . |АМа| . \Сх С21
Ci с2 с3 ~|в2в3| ’ !в2ВзГ|в1Вз| * |в1в3г|в1в2| A Дн *
Di JD% В3
Правая часть:
(А^ + А2С2 + Аз Оз) (B1Dl + B2D2 + B3D3) -
-ЦЛ + A2B2 + A3B3) (BiCx + B2C2 + B3C3) =
__lAiCi 4~ A2C2 4~ A3C3, BiCi 4* B2C2 -j- B3C3 I t
jAjBi + A2B2 4" A3B3, BjBi 4~ B2D2 4- B3D3 I
Итак,
I AiA2 I I CiC2 l_il A2A3 I I
I BAI |В1В2|+|В2Вз I 1
_IAjCj 4- А2Са 4* A3C3,
4~ A2jD2 4* A3B3,
t?2C3 I , lAaAil I СзСг I
B2B31 IB3BX I I BgBi I
B1C1 4" B2c2 4* B3(73 I
B^Dx 4“ B2D2 4~ B3jD31 •
В такой форме и было получено это тождество Лапласом. Его можно
доказать, непосредственно развертывая все определители.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ
61
2. Векторное произведение аксиальных векторов. Здесь резуль-
таты гораздо менее значительны, хотя все же получаемая формула
значительно облегчает выкладки.
ТЕОРЕМА. Для всяких четырех векторов А, В, С uD справед-
ливо тождество:
[ЛВ] х [СВ] = С (ABD) — D (АВС). (7)
Доказательство этой теоремы мы проведем таким же путем век-
торных преобразований, как и в случае скалярного произведения.
Обозначим, как и раньше, одной буквой первый множитель
Е = [ЛВ]. (а)
Тогда наше произведение примет вид векторного произведения
трех множителей:
, 7= [ЛВ] х [CD] = Ё"х [СВ],
к которому можно применить формулу (4) предыдущего параграфа:
J = Е х [СВ] = С (ЕВ) — В (ЕС). (Ь)'
Каждое скалярное произведение в правой части преобразуется •
в скалярное произведение трех множителей, если вместо Е подста-
вить его выражение (а):
(ВВ) = [ЛВ] В = (Л'ВВ), (
(ЕС) == [АВ] С— (АВС). (с)
Подставляя их обратно в формулу (Ь), мы представим ее в иско-
мой форме:
J = С (АВЦ— D (АВС).
Замечание 1. Следует обратить внимание на порядок букв
в правой. части формулы (7). Буквы С и В в двух членах с раз-
ными знаками идут в своем порядке, т. е. в том порядке, в каком
они входят в векторное произведение в левой части формулы (7).
Множители в скалярных произведениях тоже идут в своем есте-
ственном порядке, т. е. так, как они встречаются в левой части.
Замечание 2. Вместо того чтобы обозначать буквой Е
первое векторное произведение, можно было бы обозначить второе
или, что то же самое, можно было бы переставить эти два множи-
теля. Мы получили бы тогда аналогичную формулу:
[ЛВ] х [СВ] = — A (BCD) + В (ЛСВ). (7')
Следствие. Сравнивая формулы (7) и (7'), получим зависимость между
любыми четырьмя векторами пространства:
С (ABD) — D(ABC) = — 4 (BCD) + В (ACD).
62
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Отсюда следует:
^(РВС) + g (ADC) + ^(АВР)
(АВС) (АВС) (АВС)
)
(8)
В этой формуле знак перед вектором В изменен, и одновременно в скаляр-
ном произведении (ЛCD), которое стоит при нем множителем, изменен порядок
обхода: (ADC).
§4. Заключение. Мы начали с рассмотрения полярных векторов и ска-
ляров. Скалярное произведение полярных векторов есть скаляр, но уже векторное
произведение привело нас к рассмотрению векторов другой природы—аксиальных,
которые мы только искусственно привели к полярным векторам. Введение аксиаль-
ных векторов потребовало рассмотрения действий над ними, в частности рассмо-
трения произведений аксиальных векторов между собой и с полярными векторами.
Основным здесь является вопрос: не потребуется ли при этом введение новых
величин, подобно тому как векторное произведение полярных векторов привело'
нас к рассмотрению аксиальных векторов. .0 этой точки зрения основной вы-
вод из всех предшествующих рассуждений тот/что новых векторов вво-
дить не приходится,—все действия могут быть выполнены в области уже ранее
введенных величин.
Впрочем, это замечание не совсем верно. Скалярное произведение полярного
и аксиального векторов привело нас к рассмотрению скаляра несколько иной
природы—псевдоскаляра, который меняет знак при замене левой системы
координат на правую. Но этим и ограничиваем введение новых величин. Мы
видели, что векторное произведение полярного на аксиальный вектор есть
снова полярный вектор.
Скалярное произведение аксиальных векторов
[ЛВ] [СВ) =(ЛС) (ВВ) —(ЛВ) (ВС)
выражено через скалярные произведения полярных векторов, следовательно,
есть скаляр первого рода (не псевдоскаляр).
Наконец, векторное произведение аксиальных векторов
[ЛВ] х [СВ] = С (ABD) — В (ЛВС)
линейно выражено через полярные векторы.
Впрочем,- было бы поспешно заключить, что это произведение есть поляр-
пый вектор. Дело в том, что коэфициентами при них стоят скалярные произве-
дения трех векторов, т. е. псевдоскаляры. Это меняет дело. Все наши рассуж-
дения проведены на основе замены аксиальных векторов дополнительными
полярными. Нетрудно, однако, отличить такой вектор, происшедший из акси-
ального, от подлинного полярного вектора. Дополнительный полярный вектор со-
ответствует единственным образом аксиальному, но при условии выбора
определенной системы координат. Если заменить левую систему
координат правой, то дополнительный к аксиальному полярный вектор изменит
свое направление на обратное, ибо изменится самое определение его положи-
тельного направления. В то же время все остальные полярные векторы, ко-
нечно, сохранят свое прежнее направление при всякой системе координат.
Таким образом мы имеем простое средство узнать, представляет ли данный
полярный вектор по существу полярный вектор или это только дополнительный
к аксиальному вектору. Именно, чтобы отличить дополнительный вектор, надо
заменить левую систему координат правой. Все полярные (по существу) век-
торы сохранят свое направление, а векторы, дополнительные к аксиальным,
изменят его на обратное.
Применим этот критерий к нашему векторному произведению
[Л В] х [СВ] = С (ABD) - D (АВС). ' (7)
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖИТЕЛЕЙ
Полярные векторы С и D сохранят свое направление, но псевдоскаляры
(ABD) и (АВС) изменятзнак. Следовательно, весь вектор (7) изменит знак
или, что то же, изменит свое направление на обратное.
Итак, мы здесь имеем дело с дополнительным к аксиальному полярным
вектором, а следовательно, по существу векторное произведшие аксиальных век-,
торов ecTj> аксиальный вектор.
Итак, векторное произведение двух или четырех множителей есть аксиаль-
ный вектор, векторное произведение трех—полярный. Во всяком случае ника-
ких Других кроме полярных и аксиальных векторов не получается. Поэтому
мы можем не рассматривать дальнейшие произведения большего числа множи-
телей, исо это попрежнецу будут произведения полярных или аксиальных век-
торов, т. е. нового ничего не получим.
Этим вообще заканчивается векторная алгебра. Деление векторов не опре-
делено. Естественное определение деления как действия, обратного умножению,
не приводит к одному определенному результату. <
Действительно, если определить вектор X равенством:
А х X = М,
то мы можем прибавить к нему любой вектор, пропорционально й А, не меняя
произведения, т. е. при любом скаляре t
7х(Х+ tA) = А х X + tA х! = Д,
ибо
1x1 = 0.
Точно так же и со скалярным произведением. Если
(АХ) - ж,
где т—скаляр, то и
A (XiB)=AX+AB = m,
где В—любой вектор, перпендикулярный к вектору А, ибо в тадром случае:
лв = о.
Упражнения. Вычислить нижеследующие выражения, если вхо-
дящие сюда векторы заданы таблицей:
А 2 0 1
В —1 2 2 1. [Л В] X С = — г+ 14/4-17 й:.
С, 3 —1 '1 2. [Л С] [BD]=9.
D 1 1 1 3. [ЛВ] х Е+[С(% х [BF| = 26«+6/+24fc.
Е ' 2 —1 2 4. [РЕ] X (G + [BE] x С) = 42 (i — j + к).
F —2 0 0 5. [ЛВ] • ([PE] + [Л G] х [ЕЕ]) = — 2.
G 1 2 1 6. Проверить справедливость формул (5), (6) и (7).
64
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
7. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
М = А + Bt,
M = C + Dt.
Для векторов Л, В, ~б, D взять значения из предыдущей
таблицы.
Ответ. (А —С) [BD] = 3.
8. Найти расстояние точки Е от прямой АВ, где точки А, В и Е
определяются соответственно векторами А, В, Е (см. предыдущую
таблицу).
, / 27
Ответ. 1/ 14.
9. Пересекаются ли прямые?
М = А + &,
М=В +Dt.
Значения 2, В, С, D взять из предыдущей таблицы.
10. Найти уравнение прямой, проходящей через начало О, пер-
пендикулярной к прямой
М — А + Bl
и пересекающей прямую
М = В + Ct. '
Ответ. М = {В(ВС) — CBz}t.
11. Даны четыре вершины тетраэдра векторами А, В, С и D.
Найти уравнения прямых, соединяющих середины противопо-
ложных ребер.
тГг А + В С D
Ответ. М —------!--------5---t.
2 -2
п. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА
ПО СКАЛЯРУ. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
обстоит так. Задать
Глава I. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ.
§ 1. Переменные векторы. До сих пор мы рассматривали век-
торы как постоянные величины. Все они исходили из одной точки,
или, лучше сказать, равные и параллельные векторы считались
эквивалентными, так что всякий вектор можно было передвигать
параллельно самому себе.
Мы сохраним и в этом отделе эквива-
лентность параллельно сдвинутых векторов,
но будем рассматривать векторы меняю-
щиеся.
Итак, пусть вектор М, сохраняя одно и
то же начало О, меняет свою величину и на-
правление (черт. 27). При этом, очевидно,
конец его М описывает некоторую кривую
JOft, — если изменение зависит от одной
независимой переменной t.
Эта независимая переменная величина
является скаляром. Мы всегда можем
представить дело так, что эта независи-
мая переменная t есть время.
С изменением времени t вектор М, из-
меняясь, описывает конус МОМХ, а конец
его — точка М — идет по кривой ММГ
Если изменение вектора М зависит от
двух независимых скалярных переменных и
и v, то конец вектораМ описывает поверх-
ность MNQP и т. д. (черт. 28).
С точки зрения аналитической дело
вектор М значит дать величины его трех координат (М1; М2, М3).
При изменении вектора координаты его меняются, и наоборот.
Следовательно, дать вектор М как функцию переменного t значит
дать три произвольные функции одного переменного:
Ж « /АО, М3 = /а (t), М8 = /3 (0. (1)
Векторный анализ. б
66
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Вместо этой записи (1) мы будем коротко писать:
Я =7(о, . (2)
или еще проще:
Я=Я(о. (2z)
Очевидно, по отношению к функциям (1) можно- говорить о ко-
нечности, однозначности, непрерывности и т. д. При выполнении
этих условий конец вектора М будет описывать кривую (или по-
верхность). Вообще точки М образуют геометрическое место точек,
которые могут и не заполнить кривой (поверхности).
Мы будем предполагать, что функции (1) удовлетворяют всем
этим требованиям. В таком случае каждому векторному уравнению (2)
соответствует определенная кривая в пространстве. Диференциальное
исчисление векторных величин так же (и даже более) связано
с диференциальной геометрией пространственных кривых, как
обычный анализ с теорией плоских кривых.
§ 2. Производная вектора. Пусть нам дан вектор
М = Ш1(0+УМ2(«) + Ш8(0 (а)
как функция независимого переменного t.
Дадим t приращение h и рассмотрим соответствующее врира-
щение вектора И:
ЛМ=М (t + h)- M(t) =
= г {Mj (t h) —(i)J -f- / {M2 (i + h) — M2 (J)} -}-
+ k{M3(t + h)-M3(t)}. (b)
" Разделим это приращение на приращение независимого пере-
менного h (это скаляр, а на скаляр делить можно):
h ' h ~+} ~h +
/cM8(t + fe)-M8(0
h
Перейдем к пределу для h = 0. Если три функции
Mx(t), М2(0,’М8(0
обладают производной для этого значения t, то каждый член правой
части дает в пределе производную по t:
lini ——— -----= Mi (J)
h = 0 ft
И T. Д.
Вся правая часть дает новый вектор:
. . о7(о+/м8(0+&Я8(о.
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
67
Этот вектор мы будем называть производной переменного век-
тора М по t и будем писать:
~ м = М = iMy + jM2 + Ws.
at
(3)
Геометрическое значение векторной производной. Уравнение
М = M(t) (2,)
определяет, как мы видели, некоторую кривую в пространстве —
геометрическое место концов вектора, точек М.
Каждому значению^ независимого переменного t соответствует
некоторая точка на этой кривой. Пусть значению переменного t
соответствует точка М (черт. 29), значению « + — точка
М*.
Черт. 29.
соответствует точка М (черт. 29),
Следовательно,
jtf (0 = ОМ, M(t + h)= ОМ*.
Наша разность
ЛМ= М (« + К) —M(t) = ом* — ом
есть вектор, соединяющий точки М
и М*, именно идущий из точки М
в точку М*-.
AM = ОМ* — ОМ = мм*.
Разделим этот вектор на 7г, т. е.
умножим на — . От умножения на
h '
скаляр направление вектора не ме-
няется, изменяется только его длина. При малом h хорда ММ*
при умножении на вырастет, но новый вектор — AM будет от-
ложен на той же прямой—секущей ММ*.
Будем приближать h к нулю. Точка М* будет приближаться
к точке М. Хорда ММ* будет стремиться к нулю, но вектор— AM
может сохранить и в пределе конечную длину. Во все время изме-
нения h он откладывается по секущей ММ*. В пределе секущая
обратится в касательною (по определению касательная есть предел
секущей). Следовательно, lim — AM = М есть вектор, отло-
,л = о h
женный на касательной к кривой ММ*.
Механическое значение векторной производной. Мы можем пойти
несколько дальше цо пути интерпретации производной от вектора.
5*
1
h
68
ДИФЕРЕНЦИРОВАПИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Пусть переменная t есть время, отсчитываемое от какого-то
начального момента, а уравнение
M = M(t) (2)
дает закон движения точки по кривой ММ*.
Хорда 1 ММ* бесконечно мало отличается от дуги кривой ММ*.
Более того, предел отношения хорды ММ* к дуге ММ* есть еди-
ница:
.. ММ* ч
lim = 1.
Ь~°ММ*
Следовательно, абсолютная величина нашего вектора — ДМ
h
имеет общий предел с отношением дуги кривой ММ* к прираще-
нию времени h:
.. ДМ г ММ* г О*.. ММ* .. ММ*
lim —-— = lim —-— = Inn--lim —=— = lim---,
л n h fe
MM*
но дуга кривой ММ* есть путь, пройденный точкой в промежуток
времени h (ибо в момент времени t точка была в положении М, а
в момент t + h — в положении М*), следовательно, отношение пути'
ММ*
ко времени —— есть средняя скорость, а ее предел
h
.. ММ*
lim---
л = о h
есть скорость точки в момент времени t.
Итак, абсолютная величина (скаляр вектора) нашей производной
г
М — lim-------
л = о h
равна скорости движения конца вектора М по кривой ММ*. Если
к этому еще добавить, что направление скорости совпадает с на-
' • I * —>
правлением касательной, т. е. с направлением вектора М, то имеем
теорему:
ТЕОРЕМА. Производная от вектора М по времени есть вектор
скорости движения конца вектора — точки М.
’ Здесь прямая черта вад буквами ММ* означает прямолинейный отрезок,
взятый по своей длине (абсолютной велпчипе), в отличие от дуги кривой ММ*.
ДИФЕГЕНЦИГОВАНИЁ ВЕЁТОЁОВ ,
69
§ 3. Правила дкференцирования. Из формулы (3) предыдущего
параграфа
- — М + + к-^- * (3)
dt dt dt dt
следует, что производная вектора есть сумма производных ее
компонентов.
Отсюда непосредственно вытекают:
I. Правило диференцирования суммы. Производная суммы равна
сумме' производных.
Легко увидеть справедливость и второго правила диференциро-
вания, знакомого нам из классического анализа. Здесь оно будет
иметь еще больше значения.
II. Правило дифереицирования произведения. Производная про-
изведения равна сумме произведения производной переого множителя
на второй множитель и произведения первого множителя на про-
изводную второго.
Это правило справедливо и для скалярного и для векторного
произведения:
= 1 (4)
dt dt dt
d r* dy^r , dM
— <jpM = —M + <p--------,
df dt dt
, T[O| = ——xJV+Mx ——,
dt dt dt
где ф есть скаляр.
В последней формуле нельзя переставлять множители!
(5)
(6)
Доказательство этой теоремы вполне аналогично обычному доказательству
такой же теоремы анализа бесконечно-малых. Мы рассмотрим только случай
векторного произведения,—для скалярного оно повторяется без всяких изменений.
Приращение произведения есть разность
A[MN]=(M + AM) х (K + JN)— М X N;
вставляем два члена равные, но с противоположными знаками (следовательно
взаимно уничтожающиеся):
J [MN] = (М + /Ш) X (N + AN) — М X (N + AN) +
+ М х (N + AN) - М х N*.
Первые два члена имеют общий множитель (N + ANприменяя обратно
теорему распределительности, мы можем его вынести за скобку.
Совершенно так же из двух последние членов выносим за скобку М-.
=(М + ДМ — М) X (N-HA)-Sx (N + JN — N) =
= ДМ X (N + AN) + MxAN.
При вынесении за скобку нельзя переставлять множители!
70
ДИФЕРЕНЦИРОВАПИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Делим теперь па h. Чтобы разделить на скаляр произведение, достаточно
разделить один из множителей, ибо от этого скаляр всего произведения разде-
лится на h. Пользуясь этим, представляем частное в виде:
X (2?+ AN) + М X .
h h h ,
Теперь остается перейти к пределу при h = 0. По основной теореме о пре-
деле произведения и суммы, которая сохраняет свою силу и для векторного
произведения, получаем:
lim — = lim AAL x lim (N + M x lim АА„,
n. h h
или t
A [MS] = хй-|Ах -A.
dt dt dt
Следствие:
~M2 = 2M -dA. .
dt dt
§ 4. Единичный вектор. Из полученных формул (4), (5), (6)
можно вывести несколько интересных предложений.
ТЕОРЕМА. Производная единичного вектора перпендикулярна
к нему.
Напомним прежде всего, что единичным называется вектор,
имеющий скаляр, равный единице. Он может менять свое напра-
вление, сохраняя свою длину. Именно о таком изменении его и
идет речь в-высказанном предложении.
Итак, пусть вектор т есть единичный вектор. В таком случае
скалярный квадрат его равен единице:
т2 = 1, (а)
ибо квадрат вектора равен квадрату его скаляра. Это равенство (а)
есть тождество, — оно сохраняется во все время изменения век-
тора т (ибо он все время остается единичным). Поэтому равенство (а)
можно диференцировать.
Пользуясь обычным правилом диференцирования степени, имеем:
о -+dm
2 т~.—— = 0. (Ъ)
dt
—>
тт - dm -*
Итак, скалярное произведение производной —— на вектор т
dt
равно нулю,—отсюда следует, что эти два вектора перпендикулярны.
Замечание 1. Эта теорема, полученная нами как приложение
общих правил диференцирования, геометрически очевидна.
Действительно, длина нашего вектора т все время равна еди-
нице. Это значит, что точка т—конец вектора—находится все время
ДИФЕГЁНЦИРОЬАПИЁ ВЕКТОРОВ
п
на расстоянии единицы от начала О, т. е. точка т все время дви-
жется по поверхности шара радиуса единицы. Кривая, описанная
точкой т, лежит на поверхности этого шара.
Производная имеет направление касательной к кривой тт*,
at
т. е. касательной к шару, поскольку кривая лежит на поверхности
шара. ,
Касательная к шару перпендикулярна к радиусу в точке ка-
сания. Если теперь еще дополнить, что сам вектор т имеет напра-
вление этого радиуса в точку касания (и совпадает с ним), то тео-
рема становится вполне очевидной.
Замечание 2. И первое—аналитическое, и второе—геометри-
ческое доказательства этой теоремы предполагают не столько еди-
ничность вектора т, сколько постоянство его скаляра. Поэтому
наша теорема имеет силу по отношению ко всякому вектору, со-
храняющему при сврем изменении постоянную длину.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула (5) допускает очень простое истолкование. Всякий вектор М можно
представить в виде произведения его скаляра М на единичный вектор т того же
направления:
Л? = Мт.
Диференцируем это тождество:
dM _ dM w М^.
dt dt dt
Мы видим, что скорость точки М, т. е. производная является суммой
dt
двух векторов, иначе говоря, разложена на два компонента. Первый из них
dt
имеет направление вектора т, т. е. самого рассматриваемого вектора М. Этот
компонент скорости направлен от точки О к точке М, т. е. по радиусу-вектору,
dM
и потому называется радиальной скоростью. Его абсолютная величина равна——,
U и
т. е. производная от скаляра М от радиуса-вектора точки.
Второй компонент
mJ™
dt
имеет направление-^-. т.е. он перпендикулярен к вектору М, перпендикуля-
dt
рен к радиусу-вектору.
72
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
§ 5. Вторая производная. Ускорение. Производная от произ-
водной есть вторая производная. Она обозначается '
d2 М $
dt2
Так же определяются третья и следующие производные.
Механическое значение второй производной. Первая производная
—— = М есть скорость точки И в момент времени t.
(% t
Возьмем второй момент t 4- h. Ему соответствует второе поло-
жение точки М* и другая скорость М (t + h), где в скобке написано
значение аргумента этой функции M(t).
Разность двух значений скорости есть ее приращение за время Ъ:
+ (t).
Разделив на, протекшее время h, получаем по величине и
направлению среднее ускорение
ЛМ
h ’
а в пределе для й == 0:
1ттп 4^ _ д/
h
— ускорение в момент времени t.
Таким образом вторая производная вектора М по времени естъ 4
вектор ускорения в движении конца вектора—точки М.
Совершенно так же получим, что третья производная есть второе
ускорение (ускорение второго порядка) и т. д.
Нормальное и тангенциальное ускорения. Применим ко второй
производной то разложение на два компонента, которое мы приво-
дили в конце прошлого параграфа по отношению к первой произ-
водной.
С этой целью выделим скаляр v нашего вектора скорости
точки М = v и единичный вектор одного с ним направления т,— ,
это единичный вектор касательной, с которым мы будем
иметь много дела в следующей главе.
Мы имеем:
М = о т. (а)
Диференцируем это тождество:
dv-+, dr
М = —т + v----.
dt dt
(7)
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
73
г> о dv-+
Здесь первый член — т имеет направление вектора т, т. е. ка-
dt
сательной. Это—тангенциальное ускорение.
—> ->
„ „ dr dr -*
Второй член v — имеет направление вектора —, но т — еди-
dt dt
яичный вектор. Его производная к нему перпендикулярна.
Перпендикуляр к каоателъной называется нормалью.
Отсюда название нормального ускорения.
Интересно еще остановиться па значении скаляров первого и
второго компонентов ускорения. Мы вернемся к этому' вопросу
в следующей главе, после того как будет введено понятие радиуса
кривизны.
§ 6. Основные формулы диференциального исчисления. Поскольку
основные формулы диференциального исчисления — теорема Ролля,
Лагранжа, ряд Тэйлора, Маклорена—линейны относительно
рассматриваемой функции, они применимы и к векторам, ибо при-
менимы к каждому компоненту.
Рассмотрим, например, вывод ряда Тэйлора для вектора:
М (t) = (t) + /2И2 (t) -f- 7Ш3 (t).
Допустим, что каждая из трех функций Мг (t), М2 (t), Ma (t)
имеют конечные и непрерывные производные до n-го порядка
включительно.
Для каждой из них имеем разложение в ряд Тэйлора:
d hn~'1 ~ d”-1
(t + h) = (t) + ft—(t) + ... + ———(t) +
dt (ivly. dt
1,” (ln
+ eh),
n'. din 1 ’
d dn~~x
Afa (i + Ю = -7^2 (O + h — M2 (t) + ... + - — - Af2 (t) 4-
d t (n 1 j ’ d i
d Ъп^ dn~x
M3 (t + h) = M3 (t) 4- (t) +... + ------- --- M3 (t) 4-
at (n —1)1 dt х
Ъп dn
— (t +0"fc).
n\ dt
74 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Умножая первую строчку на i, вторую—на j, третью—на к и
складывая, мы получим:
М (I + й) = М (I) + h ±M(t) + ... + -±-—A—(0 +яи, (8)
at (п —1)1 dt }
где остаточный член Rn имеет вид:
= — J i——M1(t + 6 h) + /•—-М2(/ Q'h) ;Ь
n! I dt dt
+ k~M.(t + e"h)] .
dtn J
Мы будем предполагать в дальнейшем, что рассматриваемые
нами векторы, как функции переменного t, разложимы в ряд Тэй-
лора -в рассматриваемой точке.
Глава II. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАН-
СТВЕННЫХ КРИВЫХ.
Мы видели, что теория векторов как функций одного незави-
симого переменного тесно связана с теорией пространственных
кривых. Мы остановимся поэтому в этой главе на диференциальной
геометрии кривых в пространстве. Это дает нам возможность
освоиться с основными понятиями векторной алгебры на одном из
наиболее удобных приложений, хорошо интерпретирующих основные
зависимости векторного анализа одного переменного. С другой
стороны, это дает нам запас геометрических сведений, необходимых
для исследования теории поля в последнем отделе.
§ 1. Длина дуги кривой, касательная, нормаль. Кривая задается
уравнением:
' M=M(t). (1)
Мы будем предполагать, что три компонента нашего вектора М
суть функции от параметра t, разложимые в ряд Тэйлора — по
крайней мере на рассматриваемом участке кривой.
Переменное t имеет теперь для нас значение произвольного
параметра. Мы введем вместо него новый параметр s, специально
подобранный, который будет иметь для нас особое значение.
Именно, производная вектора М по параметру t '
есть вектор не единичный; производная по новому параметру s вы-
числяется как производная сложной функции:
dM dM dt dt~*
—-----= v — т .
ds----------dt ds-ds
Выберем теперь s как функцию от «, так, чтобы эта произ-
водная была единичным вектором, т. е. чтобы
Отсюда:
ds
dt
76 ДИФЕРЕПЦИР ОВАПИЁ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ _________
ИЛИ
(2)
/ \ Cv t J
Скаляр вектора
^5 , 4 s = О А— s
равен единице. Это значит, что предел отношения приращения
переменного s к хорде ММ* равен единице. Этим свойством опре-
деляется длина дуги кривой (на плоскости и в пространстве).
Итак, введенный нами новый параметр s имеет значение длины
дуги, отсчитываемой от какой-либо точки кривой. .
Диференцирование по длине дуги s (в отличие от всякого дру-
гого параметра t) мы будем обозначать штрихом, а не точкой.
dM dM -л
ds dt
Длина дуги кривой определяется равенством (2).
Производная вектора М по. длине дуги есть единичный вектор
касательной т:
dM г* -*•
-~— — М=г. (2')
ds
Итак,
' т2 = 1.
Диференцируем по длине дуги:
2?±? = 0.
ds
Следовательно, вектор перпендикулярен к касательной т.
ds
Прямая, перпендикулярная к касательной, называется нормалью
кривой — одинаково для кривой на плоскости й для кривой в про-
странстве, но в пространстве к прямой в данной ее точке можно
провести не одну перпендикулярную прямую, а бесчисленное мно-
жество. Все они образуют плоскость, перпендикулярную к заданной
прямой. Такая плоскость, перпендикулярная к касательной, назы-
вается нормальной плоскостью.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 77
Вектор —— занимает особое положение среди всех остальных
as
нормалей. Эта прямая называется главной нормалью кривой.-
Так как
7= мг,
то главная нормаль определяется второй производной по
дуге:
= М".
ds
§ 2. Соприкасающаяся плоскость. Итак,^ вторая производная
вектораМ по дуге s определяет направление главной нормали
кривой. Посмотрим, как будет расположен вектор второй произ-
водной по произвольному параметру t. По правилу диференциро-
вания сложной функции имеем:
М =М' —
dt
d d f r* ds\ dUd' f ds\2 , d2s
dt dt \ dt J ds \dt / dt2
Следовательно,
M=M"
ds\2 , -Л, d2s
dt) dt2 ‘
Отсюда следует, что вторая производная М по произвольному
параметру t (ускорение) всегда расположена в плоскости, опреде-
ляемой векторами М' (касательной) и М" (главная нормаль).
Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль,
называется соприкасающейся плоскостью. -
Прежде чем итти далее в построении основных элементов, свя-
занных с данной кривой в какой-либо ее точке М, нам надо будет
остановиться на значении соприкасающейся плоскости для кривой.
Мы формулируем основные свойства ее в трех теоремах, из ко-
торых каждая может быть принята за определение соприкасаю-
щейся плоскости.
ТЕОРЕМА I. Предельное положение плоскости, проходящей
через касательную и бесконечно близкую точку кризой, есть сопри-
касающаяся плоскость.
Наша плоскость, очевидно, проходит через данную точку кривой М.
Чтобы определить ее положение, достаточно определить направление
перпендикуляра к этой плоскости.
78
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Итак, рассмотрим плоскость, проходящую через касательную
к кривой в точке М и через соседнюю точку кривой М*, соответ-
ствующую значению параметра t 4- к.
В этой плоскости лежат два вектора: касательная М и
хорда ММ*. Прямая, перпендикулярная к ним (а следовательно,
и к плоскости), может быть определена векторным произведением:
М х ММ*,
или
М х ДМ, - (а)
ибо 4
ММ* = М* — М = М (I + К) — М (0 = ДМ.
Разложим теперь приращение ДМ в ряд по строке Тэйлора,
ограничиваясь двумя членами:
•<-> -- **> Ь2
ДМ = МП -ь М , (Ь)
*1-2 v
где Мв означает вторую производную, взятую для некоторых средних
значений /:
Мв = iM (t + е к) + j Mz (t + О'К) 4- км3 (t + &’h).
Подставляя разложение (Ъ) в формулу (а), получим:
—у 2Д. L2
М X дм = М х\Мh + Мв —
или в силу распределительности умножения:
—ь -7)2 *, 24
hM х М + ~ М х Мв .
а
Первый член есть нуль, так как оба множителя параллельны
(совпадают); итак, перпендикуляр к нашей плоскости определяется
вектором:
L2 24
—МхМ.,
2 е>
fe2
или по сокращении на скаляр —,
вектора:
М хМв.
что не меняет направления
(с)
Здесь первый множитель взят для значения параметра I, а второй— -
для средних значений t, t +6h,t &h, t -f- &"h.
ДИФЕРЕНЦПАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 79
Будем теперь приближать точку М* к точке М, т. е. будем
бесконечно уменьшать h. Вектор (с) попрежиему во все время
изменения будет определять прямую, перпендикулярную к плоскости,
проходящей через касательную и точку М*. В пределе для h = О
наш вектор (с) примет вид: ,
МХМ, (d)
где оба множителя вычислены для значения параметра t.
Вектор (d) перпендикулярен к касательной Мик вектору
(ускорения) М. Эти два вектора определяют соприкасающуюся
плоскость. Следовательно, в пределе наша плоскость совпадает
с соприкасающейся плоскостью.
ТЕОРЕМА II. Предельное полооюение плоскости, проходящей
через три бесконечно близкие точки кривой, есть соприкасающаяся
плоскость.
Пусть эти точки М, М* и М** соответствуют значениям пара-
метра
t, t -р h' и t -р №.
Наша плоскость определяется прямыми:
ММ* ММ**,
т. е. векторами
MM* = M(t-p Ь)—M(t)
и
ММ** = М (t -р h’) — М (t).
—-►
Пусть N — вектор, перпендикулярный' к плоскости ММ*М**,
следовательно, перпендикулярный к обоим векторам ММ* и ММ**.
Тогда ’
, аГ-ММ* = 0, N-MM**=-0,
или
N{M(t + h')—M(t)} =0,
N{M(t-P?i")—M(t)} =0-
Обозначим скалярное произведение через
Ф (/i)=N{M(t-p/i) —М(<)}. (е)
Очевидно, npjit7i = 0 оно равно'нулю, а кроме того, оно обра-
щается в нуль при h = h' и h = h".
Если функция два раза обращается в нуль—при Н = 0 и h — h',
то по теореме Ролля ее производная равна нулю для h = Иг', т. е. для
80
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
какого-то значения между 0 и h'. То же самое для h = hs’, где 7i3'.
лежит между 0 и h".
Ф' (fe/) = О, Ф' (V) = 0.
Производная Ф'(й) тоже два раза обращается в нуль —для
h = h1' и h — h^' — значить, ее производная, т. е. вторая произ-
водная Ф" (h), равна нулю для какого-то среднего значения между
V и V'? пусть для h —
Ф"^г') = 0.
Будем теперь приближать точки М* и Id** к точке М по любому
закону, т. е. будем приближать h' и h" к нулю.
. Мы получим в пределе:
Ф (0) = О, Ф' (0) = О, Ф" (0) = 0.
Первое равенство есть тождество. Диференцируя формулу (е) по h
при постоянном t и подставляя h — 0, мы получим:
Черт. 30.
Итак, наш вектор К перпендикулярен к пло-
скости, определяемой векторами первой и второй
производной, т. е. к соприкасающейся пло-
скости.
Это и доказывает теорему.
ТЕОРЕМА III. Соприкасающаяся плоскость есть - плоскость,
имеющая с кривой касание второго порядка.
По определению плоскость имеет с кривой касание второго по-
рядка, если расстояние от точки, лежащей на кривой, до плоскости
есть бесконечно-малая третьего порядка по сравнению с расстоя-
нием ее до общей точки кривой и плоскости.
Пусть М (черт. 30)—общая точка кривой и плоскости,*М*—
точка на кривой, бесконечно близкая к точке М. .Точка М соот-
ветствует значению параметра t, Id* — значению t 4- h.
Пусть п — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости.
Расстояние точки Id* от плоскости, т. е. длина перпендику-
ляра М*Р-, опущенного из точки М* на плоскость, равно проекции
хорды ММ* на перпендикуляр к плоскости п._ Следовательно,
искомое расстояние d равно скалярному произведению:
d = п • ММ*.
Расстояние ММ* есть скаляр вектора ММ*.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 81
Разложим вектор ММ* в ряд Тэйлора:
ММ* = М* — М =
= M(t +h)—M(t)= (f)
= + — + ----------------------
1-2 " Д-2-3
Здесь M# означает третью производную, вычисленную для не*
которых средних значений (t + Q 7г).
Из формулы (f) следует, что вектор ММ* того же порядка
малости, что и приращение параметра h (если М не равно нулю;
М может равняться нулю только в отдельных „особых" точках,
где касательная становится неопределенной).
Итак, нам надо потребовать, чтобы расстояние, d было бесконечно-
малое третьего порядка, если h считать бесконечно-малым первого
порядка.
Умножая равенство (f) скалярно на п, имеем:
—> —> _> ч _____> 2Д. L2 _>—> L3
d =пММ* = (пМ)п + (пМ)-—~ +(пМ^)—— • (g)
1 * 1 ’ (У ' О
Отсюда следует, что d будет бесконечно-малое третьего по-
рядка, если
nM = 0,nM = Q. \
Итак, вектор п перпендикулярен (ибо1 скалярное произведение
равно нулю) к векторам М и М; значит, наша плоскость парал-
лельна им (и содержит их, ибо проходит через точку М), т. е.
это — соприкасающаяся плоскость.
СЛЕДСТВИЕ. Кривая располагается по обе стороны соприка-
сающейся плоскости.
Действительно, скалярное произведение
d = п • ММ* = (пМ& )<——
1 • 2 • 3
положительно, если угол пММ* острый, и отрицательно, если он
тупой. Оно меняет знак при изменении знака h (ибо содержит
7г3— нечетную степень 1г, а произведение пТИ^при малом к имеет
тот же знак, что и при h = 0, ибо в нуль вообще в точке М не
обращается).
Векторный анализ. 6
82 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
‘ ' /
Итак, угол пММ* то острый, то тупой. Значит,, И* переходит
через плоскость при изменений знака й..
Замечание. Формула (g) показывает, что вообще кривая пе-
ресекает плоскость (проходящую через точку М). Если
п2И=0,
т. е. если плоскость проходит через касательную (параллельна
вектор| -^)> то не меняет знака при изменении h (ибо содер-
жит № в наинизшей’степени, от которой зависит знак d). Такая
плоскость называется касательной плоскостью (касание пер-
вого порядка). *
Итак, всякая касательная плоскость кроме со-
прикасающейся располагается по одну сторону
кривой.
§ 3. Сопровождающий основной трехгранник. Со всякой кри-
вой в общей (не особой, — точка особая, если М равно нулю)
точке ее связан прямой трехгранник, вершина которого лежит
в данной точке: Qh имеет основное, фундаментальное значение во
всей теории пространственных кривых.
Три ребра этого трехгранника—три взаимно перпендикулярных
направления—суть: ,4
1. Касательная — вектор касательной т:
—> —>
т = М',
— производная вектора М по длине дуги.
2. Главная нормаль есть нормаль (т. е. перпендикуляр
к касательной), которая лежит в соприкасающейся плоскости.
Главная нормаль имеет направление вектора производной от
Единичный вектор главной нормали v равен:
v = t'q=M"q,
1 -t ' ' • -
где — есть скаляр вектора -
3. Бинормаль, или вторая нормаль, есть нормаль, перпен-
дикулярная в соприкасающейся плоскости, а следовательно, к глав-
ной нормали. Так как векторное произведение перпендикулярно
к обоим множителям, то единичный вектор бинормали /Г можно
положить:
Плоскость, перпендикулярная к касательной Т, называется нор-
мальной плоскостью (черт. 31); она содержит все нормали кри-
вой (в том числе главную нормаль и бинормаль).
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 83
Плоскость, перпендикулярная к главной нормали v, называется
спрямляющей плоскостью; она проходит через касательную”?
(следовательно, это одна из касательных плоскостей) и через би-
нормаль /?.
Плоскость, перпендикулярная к бинормали Д есть соприка-
сающаяся плоскость; она тоже проходит через касательную
(значит, это тоже касательная плоскость, но касание второго по-
рядка) и через главную нормаль v.
Положительные направления основных векторов.
Существенно важно, что приведенные формулы:
т — М, v = ~oJ = tXv ' (3)
ds
(е положительно) определяют не
только положение, но и положи-
тельные направления этих основ-
ных единичных векторов!
Какие положительные напра-
вления определяются таким об-
разом?
1. Вектор касательной т есть
производная, т. е. предел отноше-
ния хорды к длине дуги:
dM ММ*
Т —---= 11П1 -
ds ММ*-
Нетрудно видеть, что положительное направление идет в сто-
рону возрастания длины дуги $ (ибо тогда ММ* положительно).
Если кривая задана уравнением: ( 1
jtf=lf(t),
то положительное направление на .кривой считается в сторону воз-
растания параметра t. Длина дуги s определяется формулой (2):
(£) = №, (2)
\dt J
« ds „
при этом — считается положительной, т. е. длина дуги воз-
dt
растает туда же, куда возрастает заданный параметр t.
2. Чтобы выяснить, что принимается за положительное напра-
вление главной нормали
d т
v — — Q = М Q
ds
6*
84
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
(е положительно), воспользуемся формулой (g) предыдущего па-
раграфа. Эта формула давала расстояние d точки кривой М* от
некоторой плоскости,' перпендикулярной к вектору п.
d = п • ММ* = (n -M)h +(п • М)-?- +(п • М&) — • (g)
1*2 1•2•о
Мы будем определять по этой формуле расстояние соседней точки
кривой М* — M(t + h) от спрямляющей плоскости. Спрямляющая
плоскость перпендикулярна к главной нормали, значит, нам надо
взять:
-+ dt
п = — = М .
ds
Выберем, кроме того, за параметр длину дуги s, и наша фор-
мула (g) примет вид:
d = (nM')h + (пМ")-г + (nMt =
—> —> > /)2 —> —> 7)^
= + (М"М") — + (М"М& ) ~
2 6
=М"2-^- + (М"м.)А,
—> —> I
ибо М'М" = 0 в силу перпендикулярности касательной и главной
нормали.
Отсюда видно, что рассматриваемое расстояние всегда положи-
тельно, т. е. кривая лежит вблизи точки М по одну сторону от
спрямляющей плоскости. В этом нет ничего для нас нового,—
спрямляющая плоскость проходит через касательную; это—каса-
тельная плоскость, а по отношению ко всякой касательной пло-
скости (кроме соприкасающейся) кривая (вблизи данной точки)
лежит по одну сторону. Для нас интересно теперь отметить, что
первый член (определяющий при малом h знак суммы) положи-
телен. Это значит, что
d=>M"-MM*
всегда положительно (при малом h), т. е. угол вектора М" и хорды
ММ* — острый.
Итак, положительное направлением", т. е. положительное
направление главной нормали, есть то, которое идет
от спрямляющей плоскости по ту сторону ее, где
расположена кривая.
ДИФЕРЕИЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 85
3. Положительное направление бинормали определяется фор-.
мулой:
по данным направлениям, касательной и главной нормали. По опре-
делению векторного произведения эти три направления так же
взаимно расположены, как три оси нормальной (левой) системы
координат.
§ 4. Формулы Фрейе. Три основных направления, связанные
с кривой в данной ее топке М,— касательная, главная нормаль и
бинормаль — образуют ’ три ребра прямого трехгранника, вполне
подобного трем осям нашей системы координат. Эти три прямые
нередко и принимают за оси новой (подвижной) системы коорди-
нат. В этой системе координат очень удобно выражать все то, что
относится к кривой в данной ее точке, но для того чтобы ею
можно было пользоваться, необходимо иметь формулы для произ-
водных от основных векторов т, v, ft.
Эти формулы, известные под именем формул Серре-Френе, имеют
совершенно основное значение в теории пространственных кривых;
более того, мы увидим, что вообще вся остальная теория кривой
непосредственно вытекает из этих формул.
1. Первую из этих формул мы уже имеем. Вектор главной
нормали v определяется формулой:
—>
. -* dr
v= у-е,
ds
где —- есть скаляр (всегда положительный) производной — (ибо
Q ds
г*— единичный вектор)..
Отсюда имеем первую формулу Серре:
2. Рассмотрим теперь прямо третью из этих формул: производная
—>
от вектора бинормали /?, как всякий вектор, может быть разло-
жена на три компонента по трем некомпланарным (не лежащим
в одной плоскости) направлениям т. v и /?.
Обозначая через а, Ъ и с подходящие скаляры, имеем ра-
венство:
—>
— = ат + bv + с$. (а)
ds
86 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Нам остается определить эти неизвестные скалярц, а, Ъ, с.
1°. Докажем, что
с = 0.
Это очевидно, — есть единичный вектор; следовательно, его
производная перпендикулярна к нему, т. е. лежит в плоскости
касательной 7 и главной нормали it Компонент (координата) по
бинормалй с равен нулю. /
Действительно, умножая равенство (а) скалярно на 0, по-
лучим:
7-^ = <77+ bv/T+ с 77
ds
но наши векторы ортогональны:
77== 77= о,
и единичны: Д2«1; значит, мы имеем:
7^=с; ' •
ds
между тем, диференцируя равенство /?2 =* 1, мы получаем:
27— ** О,
ds
т. е. опять
X С =3» 0.
2°. Так же докажем, что
* а = 0.
—
Умножаем равенство (а) скалярно на т:
~+dB .
т — = ат2 + Ьтр-|-ст/?,
ds
или
* — = а,
ds
ибо:
т р = Т|9 = 0
в силу ортогональности векторов и т2 = 1 в силу единичности.
Диференцируем теперь основное равенство
ДИФЕРЕИЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 87
по длине дуги:
^7+ 7dJ= о.
ds ds
Отсюда
-*dd dr-*
' a — т —- =---------------------/?.
ds ds
d?
Подставим сюда найденное уже значение производной — по
ds
формуле (4). Имеем:
а —-------- = О,
е
ибо v р = 0 в силу ортогональности основных векторов.
3°. Итак/
Здесь Ъ—скаляр вектора—, ибо единичный вектор. Действи-
।
тельно, возвышая в квадрат, имеем:
Обозначая Ь, = —, имеем третью формулу Серре:
т
Замечание. В свое
—>
нормали v уравнением:
d/?___v
ds г
время мы определили вектор главной
(5)
-> dr
v = —
Поэтому мы могли положить, что Q положительно. Если бы
мы взяли р отрицательным, то это значило бы, что мы переменили
направление v?
Равенство (5) мы получили уже, когда направление v было
dp ‘ .
определено, направление -- тоже вполне известно, поскольку мы
ds ,
88 ДИФЕРЁЙЦИРОВАПИЁ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
знаем направление 0 = т xv. Поэтому г мажет быть положи-
тельно, но может быть и отрицательно.
3. Переходим теперь к последней формуле, которая должна
занимать второе место в таблице формул Френе.
Это — формула, определяющая производную ; мы могли бы
i ds
получить ее тем же путем, какой мы применили для вывода фор-
dfi ' * ~
. мулы — , но, конечно, проще получить ее из других соображении.
ds
Три вектора ~т, v, р образуют три оси нормального (левого)
трехгранника. Следовательно, каждый из них может быть получен
как векторное произведение двух остальных (лишь бы они шли
в нормальном порядке):
7 = 7х J, 7 = Хх Ь /= т’х'у. ' (6)
Диференцируем вторую из этих формул, как векторное произ-
ведение:
dv _ dfi
ds ds
dr
ds
Подставляем теперь сюда — и — из формул (4) и !(5). Имеем:
ds ds
dv
ds
или по формуле (6):
v x"r = —[тгГ= — /Г
/? х v= — (v#J.=— т-
Следовательно, окончательно:
d v _ т /?
ds q г
Итак, вся таблица формул Серре-Френе имеет вид:
—> йт __ —-> V
ds 4» e
dv __ T
ds e r
d@\_ A —> V 'k
ds r 4*
ДИФЕРЕИЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 89
§ 5. Кривизна, кручение. В таблицу формул Френе кроме
основных векторов т, v, ft входят еще два скаляра q и г. Несо-
мненно, что они должны иметь существенное значение для кривой.
Нетрудно было бы непосредственно показать, что они не меняются
с изменением системы координат. Мы придем к этому резуль-
тату гораздо проще,—выяснив геометрический смысл этих ве-
личин.
1. Кривизна. Вспомним,как определялась кривизна плоской
кривой. Кривая отличается от прямой тем, что меняет свое направле-
ние; ее направление в точке Й определяется направлением каса-
тельной. Изменение направления между точками М и М*—искри-
вление кривой — определяется углом между касательными в этих •
точках — углом смежности А а. ,
Отношение этого угла смежности к длине дуги As = MM* назы-
„ „ А а
вается средней кривизной—, а предел отношения, когда точки
A s
М и М* совпадают, — кривизной кривой в данной точке;
1 . Аа
— hm —
Р А 8 - оА 8
Обратная величина кривизны р есть радиус кривизны.
Все это сейчас же распространяется на кривую в про-
странстве.
Вот две бесконечно близкие точки кривой М и М*. Касатель-
ные к кривой в этих точках не параллельны, — кривая изменила
свое направление, и, чтобы измерить ее искривление, надо опре-
делить угол между этими касательными. Но теперь эти касатель-
ные не лежат в одной плоскости, и, чтобы определить их угол,
надо из какой-либо точки, например из начала О, провести пря-
мые, параллельные им. Пусть это будут два вектора т" и т*, концы
которых суть-m и т*.
При движении точки М по кривой вектор т, проведенный из
начала координат, будет непрерывно двигаться — вращаться, сохра-
няя свою длину (ибо это вектор единичный!). Его конец т опи-
шет новую кривую, которая целиком: лежит на сфере радиуса еди-
ница, ибо расстояние От всегда есть единица (вектор ~г— еди-
ничный).
Эта кривая носит название сферической индикатрисы
(указательницы) касательных.
Две точки шит* лежат на этой индикатрисе. Это точки, со-
ответствующие точкам М и М* кривой. Угол смежности касатель-
ных в точках М и М* есть угол тОт*.
90
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Итак, кривизной кривой в точке М следует назвать предел от-"
ношения:
Вычислим
Проведем
,. тОт*
hm-----
ММ*
этот предел,
через
Т*
точки тит* дугу большого круга - тп'т*.
~ Кроме того, через эти точки проходит
дуга индикатрисы тпт* (черт. 32).
Центральный угол тОт* (угол двух
радиусов) измеряется дугой большого
круга тп'т*. Значит:
тОт* тп'т*
ММ*'
ММ*
т п
Черт. 32.
Теперь
ждество:
запишем
такое очевидное то-
тп'т*
тп'т*
'тт* тпт*
ММ* тт*
тпт* ММ*
хорды, проведенной между точками т и т*.
где тт* есть длина :
Тождество очевидно, ибо по сокращении общих множителей
в числителе и знаменателе правая часть совпадает
пределу, когда точка
Теперь переходим к
с точкой lil:
с левой.
М* совпадает
,. тп'т* ,. тп'т*
lim----= lim------
ММ* тт*
ибо:
,. тт*
hm___
тп'т*
lim
тпт*
ММ*
,. тпт*
hm----
ММ*
М
= 1
,. тп'т* ,. тт*
hm-------— lim
тт* тпт*
как отношение дуги к хорде (хорда у дуги индикатрисы и у дуги
большого круга через точки т и т*, очевидно, общая).
Итак, кривизна кривой:
,. тОт* ,. тпт* ,. До
hm-----— lim---= 1шт ,
s Д s
ММ* мм*
t
ДИФЕРЕИЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЁТРИЙ ЙРОСТРАНСТВЁННЫХ КРИЙЫХ 91
где о—длина дуги индикатрисы, a з— длина дуги кривой. В пре-
деле отношение приращений дает производную: ч
do
» ds
Как же Определить длину дуги индикатрисы?
Йо общей формуле дуга кривой определяется формулой:
/ds\2 (dM\*
— ) = М2 = ------] •
\dt J \ dt J
Теперь уравнение индикатрисы есть:
т = т.
Вот что должно, следовательно, стать на место радиуса-век-
—>
- тора М.
Роль параметра t по отношению к индикатрисе будет играть
длина дуги нашей кривой з. Следовательно:
/da\2 /йт\2
I — I ,
\dsj \dsj
т. е. в силу формулы (4):
dr7
ds
v
6
(4)
имеем:
dcr\2_ V2
ds) р2
1
е2 ’
' do
Знак кривизны — остается ; неопределенным. Мы будем его
> ds
считать всегда положительным. Следовательно,
.. mOm* о 1
lim-----— — = — •
' мм* ds Q
Обратная величина кривизны есть радиус кривизны, следова-
тельно, первый скаляр, входящий в формулы Френе, Q есть ра-
диус кривизны кривой.
2. Кручение. Направление плоской кривой вполне определяется
ее касательной. Для кривой в пространстве характерна не только
прямая, которой она касается, но и плоскость, с которой она имеет
касание наивысшего возможного — второго порядка, т. е. соприка-
сающаяся плоскость.
Мы можем сказать: плоская кривая все время сохраняет^ одну
соприкасающуюся плоскость, — это та плоскость, в > которой она
92
ДИФЕРЕПЦИРОЁАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
лежит; кривая пространственная меняет направление своей сопри-
касающейся плоскости, — она закручивается в пространстве. Ме-
рой кручения будет служить угол между соприкасающимися плос-
костями в точках М и 2И*,— это полное кручение на дуге ММ*.
Среднее кручение есть отношение этого угла к длийе дуги, а кру-
чение в данной точке М, иля просто кручение, есть предел этого
отношения.
Угол двух плоскостей есть двугранный угол. Его можно мерять
линейным углом, но во многих случаях удобнее рассматривать
(равный ему) угол двух перпендикуляров на эти плоскости. В на-
шем случае перпендикуляр к соприкасающейся плоскости есть
бинормаль. Таким образом приходим к мысли измерять кручение
углом между бинормалями:
Чтобы определить этот угол, мы будем проводить из начала
координат бинормали совершенно так же, как ранее проводили
касательные.
Угол двух бинормалей из начала координат:
ft = On и fl* = On*,
т. е. угол пОп*, и определяет кручение:
1 .. пОп* •' ।
— = lim-------.
г ММ*
Пусть точка М движется по кривой,, вектор On, следуя за би-
нормалью (т. е. поворачиваясь так, чтобы оставаться все время ей
параллельным), опишет своим концом п новую кривую, которая
целиком лежит на сфере (ибо скаляр вектора On = fl есть еди-
ница).
Это есть сферическая индикатриса(илиуказательница)
бинормалей. '
Такие же рассуждения, как и раньше, приведут нас к заключе-
нию, что кручение равно пределу отношения дуги индикатрисы
к дуге кривой:
пОп*
lim----
ММ*
= lim
пкп*
ММ*
Действительно, проведем через точки пип* дугу большого
круга пк'п*. Тогда
пОп* = пк'п*,
так как центральный угол измеряется своей дугой.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 93
Далее,_если пп* есть общая хорда дуги круга пк'п* и дуги
индикатрисы пкп*, то
пОп* пк'п* пк'п* пп* пкп*
hm--------= шп-------= hm--------------------=
ММ* ММ* пп* пкп* ММ*
,. пк'п * пп •
— hm------ hm-----
I пп* пкп*
пкп* пкп*
lim----hm------
ММ* ММ*
Последнее преобразование основано на том, что предел отноше-
ния хорды к своей дуге равен единице:
пк’п* пп*
hm-----— = hm ~ 1. -
пп* пкп*
Пусть о' есть дуга индикатрисы бинормалей, -так что:
» Л s — ММ*, До' =. пкп*.
Очевидно:
пкп* Да' do'
hm —.----= hm — = — .
' мм* Js ds .
Итак, нам надо определить элемент дуги индикатрисы бинор-
малей. Эта кривая определена уравнением:
—> —>
—> —>•
Подставляем 0 вместо М~ в формулу:
\dtj \ dt £
и полагаем, что параметр t есть длина дуги кривой s; получаем:
ЛМ2_ 7<W .
\ds J \dsI
Подставляем сюда —из таблицы формул Френе (1):
ds .
dft _ V
do г
о
94 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
(8)
ра-
Два
или
(2')
Мы получим:
do'\2_ / V \2_ V2 _ 1
ds) \ г ) г2 г2 ’
ибо v2 = 1 (г — единичный вектор).
Отсюда:
da'___1
ds г ’
из двух знаков ( + ) мы выберем плюс, т. е. будем считать,
что кручение
do' = 1
ds г
того же знака, что п
Эта величина г — обратная вектора кручения — называется
диусом кручения по аналогии л радиусом кривизны.
§ 6. Приложение формул Френе. Формула (8) вызывает
вопроса, связанные между собой.
1. Как определить величину и знак г?
% 2. Какой геометрический смысл имеет положительный
отрицательный знак кручения?
Мы здесь ответим только на первый из этих вопросов. Ответ
на второй вытечет сам собой из рассуждений следующего пара-
графа, когда мы постараемся представить течение кривой вблизи
данной точки М по заданным инвариантам кривой Q и г.
Итак; как же определить величину и знак г?
Путь к этому лежит, конечно, через таблицу формул Френе (I),’
ибо там мы ввели в первый раз искомую величину г.
Именно, мы можем вычислить т по формуле:
dM -*
—- = т>
ds
затем из первой формулы (I) получим v и q:
dt _ v
ds Q
Зная V, определим ff:
fi=txv, *
и, наконец, последняя формула (I) дает нам г:
d/?_ 7
ds г ’
ибо все остальное уже известно.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ. 95
Такой путь, однако, слишком длинен и неудобен, особенно, если
кривая задана в произвольном параметре t.
Пользуясь таблицей (I), можно легко притти к формулам, го-
раздо более удобным для выкладок, потому что они дают непо-
средстверно величину радиуса кручения г и притом в функциях
произвольного параметра t.
Мы начнем все же с предположения, что кривая задана в функ-
циях длины дуги $, и будем .выражать последовательные произ-
—>
водные от радиуса-вектора М через основные единичные век-
торы т, v, fi и инварианты q и г.
Заметим еще, что эти формулы дадут нам возможность полу-
чить целый ряд интересных заключений в следующем параграфе.
* Итак, по формуле (2') имеем:
ЛГ =7.
Диференцируем теперь эту формулу по' s. В силу формул
таблицы (1) имеем:
Й- = ^=7.
ds Q
Диференцируем еще раз по s, опять применяя формулы таблицы (1);
ЛГ" = — + т(—) = (— - — A1 +Vfl) ,
ds Q \ Q / \ Q r J Q \Q /
ИЛИ
м"' = — 7—+7f—) — T—.
es \ q / or
Это диференцирование можно продолжать и далее:
Л =7,
М"=7-1, (9)
м'" = —7 — +7 (—)—7—.
е2 \ Q J QT ч
Ка$ мы говорили, эта таблица дает основание к целому ряду
интересных заключений; к ним мы перейдем в следующем параграфе,
а пока применим ее к наи!ей ближайшей цели—определения г.
Составим для этого скалярное произведение трех множителей
(М' М' М'").
Заметим, что основные векторы т, v, р и единичны и ортогональны, т. е.
обладают всеми свойствами координатных векторов г, j, 7с. Мы могли бы повто-
, 96
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
рить по отношений к ним все правила действий, выведенных по отношению
к координатным векторам г, j, к.
Следовательно, наше произведение ( 5удет равно:
» 1 0 0
0 _L 0 1
(АГ М" М,п)^ 1 Q @2Г
" е2 ’ \ е / QT
К этому же результату можно притти (пожалуй, еще быстрее) непосредствен-
ным перемножением:
(М' Ми АГ”) = [М' АГ] АГ
но
[7Т] = /£
следовательно,
-> 1 _>/ -> 1 ->/ 1 V -4 11
(АГ АГ АГ")-—р{— Т— -4- г( — } —
е2 \ е / еН
Перемножая почленно, и получим в силу ортогональности основных векторов:
(М’ М" М"’) = —
е2г
Отсюда:
- - = — е2 (аг м" м'"). (Ю)
г *
К этому еще надо добавить, что в сиду первой формулы Френе (I): :
f —> 2
= ’ т- е- 4 = ^"2- <10>
е2 • \dsj е2 «
Теперь делаем второй шаг — переходим к функциям произвольного пара-
метра t
Ищем производную от М по t
По правилу диференцирования сложной функции (как уже мы в свое время ’
делали) имеем: *
М = — = — — = М s, Л (а)
dt ds dt
где, как и раньше, точка М означает производную по t, и штрих М' — произ-
водную по s.
Диференцируем формулу (а) еще раз по t; при этом АГ как функцию s
придется диференцировать, как сложную функцию, т. е. диференцировать по s> ч |
умножая на s • j
Имеем:
м -d.s s +m’s =M"S2 + M's. (b) ]
ds dt
•4
•1
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 97
Диференцируем еще раз по t:
м = dl s2 +м" —. § + M,,ds =
ds dt dt ds dt , .
(C>
= M"' s3 -±-M" 2s s + M" S-St +M'S— M'" s3 4- 3M"s s + ~M' s.
Теперь составляем скалярное произведение трех множителей
(м М М).
Подставляя формулы (а), (Ь) и (с), имеем:
(М М М) = (if' s • (м" s’2 + М's ) • (М"' s’ + 3 M” SS+ M'’sj).
Раскрываем теперь это произведение по правилу умножения многочленов
(каждый член на каждый) и отбрасываем все те члены, которые содержат хотя бы
два одинаковых векторных множителя (ибо скалярное произведение трех мно-
жителей, где хотя бы два множителя равны, есть нуль, — как параллелепипед,
у которого все ребра лежат в одной плоскости).
Имеем:
(М М М) = (М' М" М'") $6.
—> —>• —> 1 ,
Подставляя отсюда (Mz M,z М"') в формулу (10), имеем:
1 02 дд 2;
— = — +-ММ М).
у S6
Далее из формулы (Ь) имеем:
, -> 4 1 s 4 1 -4 s
И" = м---------М' — = м — м~ .
s2 s2 $3
Внося это в формулу (11), получим:
\2 *• , \ , .. Д. ..
^-1 \ M2s2—2ММ ss+M2s2 . (d)
М-.----M-.-l =-----------------------------
s2 s3 J se
Заметим теперь, что по формуле (2) (на стр. 76)х
s2 = М2,
и, следовательно, диференцируя^ получим:
85 — М М.
Внося это в формулу (d), инеем:
1 _ М2 s2—2s2s2-f- s2 s2 __ М2 s2 — s2 s2
q2 s3 S3
Или
1 _ М2Ма— (мм)'
о2 —>
е М* .
Акторный аж ажиз.
7
98 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Замечание. Интересно отметить, что в числителе мы имели бы, с точки
зрения обычной алгебры, тождественно нуль. На самом деле вычитаемое и умень-
шаемое не равны. Это вытекает из неприменимости теоремы сочетательности
к произведениям векторов.
Итак, для вычисления всех элементов кривой мы имеем нижеследующие
таблицы формул:
А. Параметр — длина дуги з.
7 = м',
^ = M"Q, ~ = М"2,
с
7 = — •=
М"2
В. Произвольный параметр t.
7=м?~, з2 = м2,
S ° 2
ММ2 — м(мм) 1 М2М2 — {мм)
v=---------, =--------------------А------
' —> 0^ —>
. м* мв
м хм JL, JL =— (лгали) ф
*3 г м2м2 — {мм)
Упражнения. 1. Доказать, что уравнение
М — i (<ij t2 И- -|- Ci) 4~ j (a2t2 -|- b2t -J- Cj) 4- & (/W2 H- ~b ®з)
определяет плоскую кривую, каковы бы ни были постоянные
а, Ъ, с.
2. Показать, что касательные, главная нормаль и бинормаль
конической спирали:
М = ef(i cos t + j sin t 4- k)
составляют постоянные углы с осью г (ось конуса).
Замечание. Эта спираль начерчена на конусе ®2 4- У2 = я2;
на плоскость ху она проектируется в виде логарифмической спи-
рали Q = e'? (в полярных координатах).
3. Доказать равенство радиусов кривизны и кручения кривой
М = i cosh t +j sinh t 4-4ftt
4. Найти радиус кручения кривой:
М = i со? t 4-У sin t 4- к cosh t.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 99*
Ответ.
cosh2 i
sinh t
5. Найти длину дуги тфивой
~М = i - + / — + kt,
6 2 ’
отсекаемой плоскостью х = у.
п Л
Ответ. 7—.
2
—> —> —>
6. Найти основные векторы г, г, @ в точке t = —
2
М — i (cos t -£ sin21) 4- j sin t (1 — cos t) — к cos t
Решение. Ищем производные в заданной точке
М = г(— sin t 4- 2sin icos t) 4- j(cos t — cos2£ 4- sin2f)'+ к sin t =— i + j + k„
M = i(— cos 14- 2 cos 2t) 4- j (—sin 14- 2 sin 2t) 4- к cos t = — 2i —/.
Следовательно, ,
и
г —2/ 4-3/c
-> — 5 г — 4j — к
v -fix т =-------— ---
§ 7. Приложения формул Френе. Мы переходим теперь к приложениям
другого рода, имеющим более геометрический характер. Соответственно этому
мы будем принимать за параметр длину дуги $.
Исходной точкой ^являются формулы (9), дающие производные от радиуса
—> • г
вектора М: >
M'
(9>
М' == т,
2И" = v
9
-+ 1
= — т —
е2
Эту таблицу легко продолжить. Диференцируя третью производную, найдем
1Y — ( 1 ¥’ -^7 1 ¥ I
М"" = — т t — ) 4- И — — 8 I — —-----4- - I —- —------,
\ ₽2 / \ Q J \ Qr / ds р2 d$ \ q j ds qw
или в силу формул таблицы (I):
и Т. д.
7*
100 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ,
Очевидно, диференцируя последовательно и пользуясь формулами Френе (I),
мы представим любую производную порядка к от радиуса-гвектора М в виде:
=A^ + B^+Clt,
где Ак, В kt С к зависят только от е, г и их производных. Возьмем, какую-либо
начальную точку Мо. Пусть этой точке соответствует значение дуги $0 = 0. Мы
всегда можем расположить оси координат так, чтобы они совпадали с тремя
основными векторами кривой в начальной точке:
—> —> —>
i = j = ^о» ft == Ро*
Любая производная М будет зависеть только от значений инвариантов
q п г и их производных в точке s = 0. Пусть нам даны эти инварианты как
функции длины дуги $:
Q = е($), г = г($);
х тогда мы будем знать все коэфицценты Ак, Bki С к, а следовательно, и все
производные М и сможем написать уравнение кривой в виде бесконечного
ряда: ,
. g2 . $3. ,
М = Mo + sM'o + >"о + •• о • + • • •
1 • хь 1*4*0
—>•
Мо здесь будет произвольный постоянный’’вектор. е
Кривая вполне определена, — мы можем только ее передвигать в простран-
—>
стве, меняя вектор Мо, или вращать, выбирая иначе основные координатные
векторы г, у, к. Имеем теорему.
ТЕОРЕМА. Кривизна и кручение (~~ и определяют кривую вплоть
\Q r J
до перемещения в пространстве.
Возвращаемся к формулам (9) или даже лучше к разложению (а).
Формула (а) есть равенство векторное; оно распадается на три равенства
для трех координат вектора М (отдельно равны коэфициенты при г, j и к в левой
и в правой частях равенства). 4
Обозначим координаты вектора М буквами х, у и z.
Положим, кроме того, Мо = 0.
Эти три равенства напишутся в форме:
Q* 6 Q \ Q ) 8 +
(14)
< При составлении этих формул мы, конечно, пользовались формулами (9) и (9х),
Для первой формулы (х) мы выписывали коэфициенты при г (— г), умножая
на соответствующие степени $ [см. формулу (а)]. Для простоты записи мы опу-
стили указатели при q и г, т. et везде следовало писать р0 и т0.
Формулы (14) дают возможность представить расположение кривой вблизи
данной точки Мо.
Именно., нетрудно написать уравнение проекции нашей кривой на любую
координатную плоскость, т. е. на соприкасающуюся плоскость, спрямляющую .
ДИФЕРЕНЦЙАЛЬНАЯ ГЕО^ЕТФИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 101
и нормальную, ибо оси координат совпадают с основными векторами т, v, (S
в этой.точке.
1. Например, получим проекцию вашей кривой на соприкасающуюся
плоскость. Это—плоскость, проходящая через векторы Т(=г) и7( = j).
-
Только этц два компонента и будет содержать проекция йашего вектора М на
эту плоскость. Следовательно, мы получим уравнения
искомой проекции, отбрасывая третью координату:
1 S3
' X = $ — +
е2 6
(a)
У =
(b)
'г
(О
Кривая (а) касается оси х, ибо у— бесконечно-малоеf второго порядка,
а х — первого порядка. Она лежит по одну сторону касательной, ибо у при
$2
достаточно малом s всегда положительно (младший член — содержит $ в четной
степени). Она лежит по обе стороны нормали, ибо с переменой знака s коор-
дината х меняет знак.
Итак, кривая (а) вблизи точки М имёетвид обычной параболы . 2-й степени
(черт. 33). ।
2. Проекция на спрямляющую плоскость. Эта плоскость содержит
два вектора Т ( = г) и X ( = &)• Эта проекция получится отбрасыванием второй
координаты. Искомые уравнения будут:
1 s3 .
х~& ег 6
er 6
кривая (Ъ) касается оси х (касание второго порядка), ибо z—бесконечно-
малое третьего порядка, а я —бесконечно-малое первого йорядка.
Она лежит по обе стороны касательной, ибо z меняет знак вместе с изме-
нением знака $.
Она лежит по обе стороны нормали, ибо и х меняет знак вместе с $.
Мы имеем обыкновенную точку перегиба /(черт. 34).
3. Проекция на нормальную плоскость. Эта плоскость содержит.
——>• •' ►
векторы v ( = j) и /?( = &). Эту проекцию найдем, отбрасывая пёрвую коор-
динату: '
$2 /IV$3
у = 2е>+ \q) в
1 8s
£ = ~ ~ „ 4- • •
от 6
Кривая (с) касается оси у, ибо порядок малости z выше, чем порядок
3
малости у, но это касание дробного порядка ~ . (Если считать у за бесконечно-
х 1 3 \
малое первого порядка, то з будет порядка -- и z — порякда )
2 2 /
Это уже показывает, что мы имеем в начале особую тЭчку.
*• 'Ji
102 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ ]
Кривая лежит по обе стороны касательной, ибо z меняет знак вместе с
изменением знака $. $
Кривая лежит по одну сторону нормали, ибо у всегда положительно.
Начало есть точка возврата (черт. 35). 4 1
Геометрический смысл знака кручения.
Нам нетрудно теперь установить, какое значение имеет положительный или j
отрицательный знак кручения.
Лучше всего для этого воспользоваться проекцией (Ъ). Если кручение |
положительно, то отрицательному s соответствует положительное z, и на- (
оборот. При положительном кручении кривая переходит с J
положительной стороны соприкасающейся плоскости на £
отрицательную; при отрицатель ном — наоборот.
н? Отложим по главной нормали в положительную сторону радиус кривизны q. $
Эта точка называется центром кривизны. Проведем через центр кривизны |
прямую, параллельную бинормали, — это оськривизны. - - f
Черт. 35.
Кривая закручивается около оси кривизны подобно винтовой линии. Она
всегда обходит ось кривизны слева направо, — если смотреть от оси кривизны
на кривую. При этом, если кручение положительно, то кривая идет сверху вниз;
если кручение отрицательно, то кривая поднимается.
^Примечание. Мы представили течение кривой вблизи точки 2И0,
где кривая не имеет никакой особенности. Если кривизна или кручение
обращаются в этой точке в нуль, мы будем иметь для нашей простран-
ственной кривой ту или другую точку перегиба. Вид кривой будет другой.
1. Стационарная касательная. Пусть, напри мер, кривизна — =0,
/'IV 1
но ее производная (— и кручение не нули.
\ Q / т
Наши три проекции будут:
х — s 4-...,
(а)
(Ь)
(с)
соприк. пл.
Кривая лежит по обе стороны спрямляющей плоскости (касание второго
порядка) и по одну сторону соприкасающейся (касание’ третьего порядка). Кривая
ДИФЕРЕНЦИ А ЛЬНАЯ ^ЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 103
имеет касание второго порядка с касательной. Каса-
тельная стационарна (черт. 36).
2. Стационарная соприкасающаяся
плоскость.
Пусть теперь кручение нуль: — =0, но его про-
т
1
взводная — и кривизна — не нули.
\Т/ Q
Наши проекции будут:
соприк. пл. 1 $3 . х — S— 4-... е 6 S2 ( 1 Y S3 9 = 2(> + W "б + '' • (а)
спрямл. пл. t 1 S3 х = з — - — 4-.,. . е2 6 1 / 1 \'s* (Ь)
норм. пл. II II • I л /О H _|_ А 1 i | <*, + + (с)
Кривая располагается по одну сторону спрям*
ляющей плоскости (касание первого порядка) и по
одну сторону соприкасающейся (касание третьего
порядка). Соприкасающаяся плоскость
стационарна (черт. 37).
3. Наконец, можно отметить точки воз-
врата, где
М'=ф.
1
Задачи. 1. Найти эволюту кривой М,
т. е. кривую N, касательная к которой явля-
лась бы нормалью кривой М.
Решение. Точка N лежит в нормальной плос-
кости (на нормали!) кривой М. Значит:
N = М + + ср.
Ее касательная пропорциональна вектору N' (дифе-
ренцируем по дуге кривой М):
= М' 4- b' v + Ъ v + с'р + cP' = * f 1 — (W + + ~р(с' — —
\ QJ \ . rj А т4
отот вектор лежит в нормальной плоскости, значит:
1—- = 0) 6==Р1
104
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА^ ПО СКАЛЯРУ
ъ
о —
г
он проходит через точку М; отсюда:
Ь'+ -
г
& с
Ответ. Точка N лежит на оси кривизны (Ъ = (>), так что угол
Л с\ d® 1
ср = \NM, v J tg <р = определяется уравнением — = —.
/ \ Ъ j , ds г
Эволют — бесчисленное множество.
2. Найти эвольвенту кривой М, т. е. кривую N, так, чтобы нор-
маль к N была касательной к М.
>
Решение. Точка N лежит на касательной к М. Значит:
N = М + а т.
Касательная к N (диференцируем по дуге s кривой М)
> а —>
N' = М'-\- а’ ъ + ат' = т (1 +а/) 4- — v
——> —> * —>•
перпендикулярна к т (ибо т есть нормаль для N).
Значит:
(Тю = о,
т. е.
1 о/ — 0.
Ответ. Надо взять точку К на касательной к кривой М так,
чтобы ___
MN s = const.
3. Найти две кривые М и N так, чтобы у них были общие
главные нормали (кривые Бертрана).
—>
Решен ио. Точка N лежит на главной нормали к М.
Значит:
N =х М + b~Z
Касательная к N (диференцируем по дуге $ кривой М)
N’ » М' + Ь'7’+ = — +~vb' —
/ —> ~>
перпендикулярна к v (ибо это главная нормаль N):
—> —>
V N' = О,
т. е.
у=0, b—const.
>
Далее, v есть главная нормаль N, следовательно, лежит в ее соприкасаю-
щейся плоскости:
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 105
Но
Следовательно,
= 0
Ответ. Кривизна и кручение кривой М (равно как и JV) связаны
линейным соотношением:
' ± + B=C.
Q r
Расстояние между соответствующими точками М и N постоянно,
и касательные образуют постоянный угол.
4. Найти центр N и радиус В соприкасающейся сферы в данной
кривой М, т. е. сферы, имеющей с кривой касание третьего порядка,
(расстояние соседней точки кривой 2И* от сферы есть бесконечно-
малое четвертого порядка по отношению к приращению ММ* — К).
Р е ш е н и е. Расстояние d точки М* от сферы меньше ее расстояния ат
центра сферы на длину радиуса К.
Значит:
(d-h В)2 = (М*—2V)2.
Если
то
N — M + ат + bv + cfi,
Г-+/ й3
(d 4~ R)3 — т ( — л 4~ & •—4~
L\ бе2
h3 \T
4* P (—c— a + . • •)
\ бег /J
fc2 М/
+ 2i+ б(
fe8 у
бег"^ ” j
d2 4- dR 4- В2 = а2 + Ь2 4-с2 — 2ah 4- №
Отсюда следует:
+ Д3
а
_3(>г
В2 = а2 + ^2 + С2,
и так как d— бесконечно-малое четвертого порядка, то
& л а Ь /1 \' с л *
а = 0,1— ~ =0, 4- — == 0.
q Здг . 3 \ q / 3$г
Ответ. Центр соприкасающейся сферы лежит на оси кривизны
Z 7 \ d/p __ О
(а = О, Ъ = р) на расстоянии с = — г — от соприкасающейся пло-
ds
Д2 = е2+г2^¥.
\ds )
скости.
с —
Глава III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ.
Мы рассмотрели довольно подробно теорию кривых; зато теории
поверхностей мы коснемся совсем вскользь.
§ 1. Касательная плоскость, нормаль, линейный элемент7 по-
верхности. Если радиус-вектор М есть функция двух переменных
и и v, то геометрическое место концов его М образует поверхность
(конечно, при выполнении условий конечности, непрерывности и т. д.)
Мы будем писать:
V). (1)
Полагая в уравнении (1) - v = const, мы получим уравнение
кривой — линии и, ибо М будет функцией одного переменного и.
Давая v различные постоянные значения, мы получим семейство
кривых и, которые покрывают поверхность.
Аналогично, давая и различные постоянные значения, получим
второе семейство линий v. •
Задавая значение и и значение v, мы выделяем одну линию v
и одну линию и. Пересечение этих линий определяет нам точку.
Мы будем предполагать, что в той области поверхности (для тех
значений и и v), которую мы рассматриваем, две линии и и v
пересекаются только в одной точке, так что пара значений (и, v)
вполне определяет точку.
Параметры и и v называются криволинейными коорди-
натами точки на поверхности, а линии w и v — координат-
ными линиями.
Уравнение кривой. Чтобы получить уравнение произвольной
кривой L (на поверхности), надо задать мио функциями какого-
либо нового параметра t:
и = и (t), v = v (г). (2)
Тогда М будет сложной функцией от t.
'Вектор касательной к кривой L получим, диференцируя урав-
нение (1) по t:
д it du , д 5* dv
ди dt dv dt
Для краткости мы будем обозначать частные производные по
и и v значком внизу:
м, = -д-м.
“ ди dv
)
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ
107
Кроме того, нам удобнее будет рассматривать бесконечно малый
вектор касательной (т. е. диференциал), который имеет то же на-
правление, что и производная, ибо получается умножением ее на
скаляр -dt:
dM = Ми du + M„dv. (3)
Здесь диференциалы du и dv должны быть вычислены из урав-
нения (2).
Касательная плоскость. Будем брать различные кривые через
ту же точку М. Касательные к ним будут выражены той же фор-
мулой (3). Производные и М,, очевидно, останутся те же, только
диференциалы du и dv будут вычисляться из других уравнений (2).
Вектор касательной к любой кривой выражается линейно через
два вектора Ми и М„; следовательно (стр. 18), эти три вектора
компланарны.
Итак, вектор касательной к любой кривой на по-
верхности S, проходящей через ее точку М, лежит
в плоскости, определяемой векторами и
Эта плоскость, содержащая все касательные к поверхности
в точке М, называется касательной плоскостью.
Мы будем предполагать, что Ми и Мс не равны нулю (точка
обыкновенная).
Нормаль. Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости
в точке М, называется нормалью поверхности.
По свойству векторного произведения (векторное произведение
перпендикулярно к обоим своим множителям) вектор нормали (не
единичный) есть
' S = M.xi,. • (4)
Мы условимся называть направление вектора (4) положительным
направлением нормали. Оно зависит от порядка, в котором мы взяли
параметры и и ®.
Линейный элемент поверхности. Длина дуги какой-либо кривой
на поверхности определяется по формуле:
Нам удобнее будет вместо производной рассматривать диференциал
длины дуги. .
В силу формулы (3) мы получим:
ds2 = MW = dM2 = (Ми du + Mv d v)2,
или
ds2 —Ml du2 + 2MuM,du dv-f- Ml dv2 = E du2 + 2Fdudv + Gdv2. (5)
108 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
В этой формуле коэфициенты:
Е = F=MUM,, G = NF . (6)
не зависят от выбора нашей линии (2) и остаются одни и те же
в данной точке поверхности для всех кривых на поверхности;
Меняются только диференциалы du, dv, вычисляемые из уравне-
ния (2).
- Выражение (5) называется лйнейНЫМ элементом по-
верхности.
Формулы (6) показывают, что средний коэфициент линейного
элемента равен нулю, если координатные линии ортогональны, й
только в этом случае. Действительно, равенство нулю скалярного
—>•
, произведения: = 0, показывает, что векторы касательных (не
единичные) к линии и—Ми и к линии v—Мъ перпендикулярны.
Уравнение поверхности может быть дано в неявной форме
в виде уравнения между координатами вектора М:
О, У, г) = 0. (1')
Для вбйкого бесконечно малого перемещения по поверхности вектор
касательной
dM = idx dy + к ds (a)
удовлетворяет тождеству:
Exdx + Fsdy+Fzds = O, (b)
которое получается, если брать полный диференциал от обеих
частей уравнения (1').
Уравнение (Ъ) имеет вид скалярного произведения двух векторов
dMnN: Nd М = 0, (с)
где второй вектор N равен:
N=iFx + jFy + kFz. (4')
Мы снова видим, что все касательные (а) к кривым на поверх-
ности в данной точке лежат в одной плоскости, перпендикулярной
к векторуN. Это — касательная плоскость поверхности, а следова-
тельно, N есть нормаль к поверхности.
§ 2* Развертывающиеся поверхности. Так называется поверхность, обра-
зованная касательными к какой-либо пространственной кривой L.
. Обозначим буквой v длину дуги нашей кривой:
L = L (v);
и пусть и есть отрезок касательной от точки касания L до точки 31. В таком
, —>
случае текущий радиус-вектор М какой-либо точки М поверхности будет пред-
ставлен в функции двух параметров и и v следующим образом:
(M = L4-£m,
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ
109
иди <
М '= L + и т. (а)
—-> ’ —>
Здесь т есть единичный вектор касательной кривой L и зависит (так же,
как и L) только от так же и далре все величины v, q и т. д. будут отно-
—>
ситься к кривой L и будут зависеть только от длины дуги этой кривой v. Про-
л л dL
взводные по v будем обозначать штрихом L = —.
dv
Диференцируем формулу (а), чтобы определить элементы поверхности:
——> —>- —> t
dM = т du + (L' + ит') dv,
или в силу формул Френе (1) и (2х):
—> —> /—> и—>\ ~
d М — т du -h т + — v \ dv. (Ъ)
• \ Q /
Из этой формулы вытекают основные свойства развертывающихся поверх-
ностей.
ТЕОРЕМА I. Касательная плоскость касается развертывающейся по-
верхности вдоль целой образующей.
Действительно, вектор нормали N к поверхности^ есть
и-+х -*и -?и
N — Ми х Mv = т х т + — 1>)=тхт + тх?- — £ - . (с)
\ е / ее
Мы видим, что при изменении и (при движении вдоль касательной — по
образующей поверхности) вектор N не меняет своего направления /3 (меняется
только скалярный множитель и). Это и показывает, что вдоль всей образующей
(касательной к кривой L) касательная плоскость одна и та же.
Мы можем добавить, что касательной плоскостью служит соприкасающаяся
плоскость кривой, ибо нормаль N параллельна бинормаликривой.
ТЕОРЕМА II. Развертывающаяся поверхность налагается без складок
и разрывов на плоскость.
Найдем линейный элемент нашей поверхности:
ds2 = dN2 =
-> /-> u->\
т du + ( т + — v }dv
\ е /
= r2du2 +2т % + ) dudv + (~r + — v^ dv2, (d)
или
/ и2\
ds2 = du2+ 2 du dv[1-\-dv2.
\ pV
Будем менять кручение нашей кривой L, оставляя, ту же самую кривизну
(как функцию от v). Наша поверхность (геометрическое место касательных)
будет сильно меняться, но линейцый элемент ее всегда будет вычисляться по
формуле (d). Между тем в эту формулу входит только радиус кривизны кривой р,
и не входит радиус кручения. Следовательно, длина любой линии на поверх-
ности при этом не будет меняться, ибо она будет вычисляться на обеих по-
верхностях по одной и той же (буквально) формуле (d).
Такое преобразование поверхности, когда меняется ее форма, но длины всех
линий на ней остаются без изменения, называется.изгибанием поверхности.
Итак, меняя кручение линии L без изменения кривизны ее, мы изгибаем
поверхность касательных. '
11Q ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Возьмем теперь кривую с той же кривизной и кручением, равным нулю» I
Это будет плоская кривая. Все ее касательные будут лежать в этой плоскости» Я
Следовательно, поверхность касательных (а) будет теперь плоскость. Я
Длины всех линий (соответственных, т. е. с теми же значениями параме* Я
тров и и v) останутся и в этом случае равны. Наша поверхность наложится на я
плоскость. |
Примечание. Рассмотрим семейство поверхностей S', — семейство, I
зависящее от одного параметра. Две поверхности семейства S и >SX Пересе- у
каются по линии. Если бесконечно приближается к] S и в пределе со- 1
впадает с 8, то наша линия, преобразуясь на поверхности & займет неко- |
торое предельное положение. Это предельное положение называется ха- f
рактеристикой, а геометрическое место характеристик—о гибающей
семейства поверхностей t
Если мы возьмем семейство плоскостей, то линия пересечения двух
плоскостей будет прямая. В пределе мы получим тоже прямую. Следова-
тельно, все характеристики будут прямые, и огибающая будет образована v
ЭТИМИ ПРЯМЫМИ. v ;
Три поверхности — теперь три плоскости — определяют точку. В пре-
деле, когда три плоскости семейства совпали, мы получим некоторую точку>
лежащую на характеристике. Геометрическое место этих точек есть кривая,
лежащая на огибающей. Она называется ребром возврата огибающей.
Можно доказать, что ребро возврата касается всех характеристик.
Таким образом огибающая составлена из касательных к некоторой кривой 1
(к ребру возврата) и, следовательно, есть развертывающаяся поверхность.
Плоскости семейства суть касательные плоскости развертывающейся по-
верхности.
§ 3. Кривизна кривой на поверхности. Имеем кривую L на поверхности;
она определена уравнением Вектор (единичный) касательный к этой кривой
есть
dM< _ du -> do z ’
+ (a) t
ds ds ds |
где ds — линейный элемент кривой, определяемый формулой (5). *
Диференцируем еще раз по длине дуги кривой а:
Т г* /du\2 dudv (dv\2 , d2u d2v
= Muu ( -j ) + %MUV. . , + ) + Mu 4- Mv • (b)
q \ds/ ds ds \dsj ds2 ds2
Здесь мы заменили по формулам Френе (1)
d2M_~^
ds2 Q
где v и q суть вектор главной нормали и радиус кривизны рассматриваемой I;
кривой L.
Умножим теперь обе части равенства (Ь) на вектор нормали к поверхностям
и даже лучше возьмем с этой целью единичный вектор нормали н* к по-
верхности: л
4
п v п Мии du2 4-2 nM^dudv 4- п M^dv2 d2u d2v
---------------------+"м-” “
dsa
Здесь Мии и т. д. суть вторые производные:
Й °,Jf
ди2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ
111
Два последних члена пропадают, ибо нормаль п перпендикулярна ко вся-
—>
кой касательной — и к Ми и kMv.
' Далее, скалярное произведение единичных векторов п ~v есть косинус угла
А *
а = nv между нормалью к поверхности п и главной нормалью v кривой, т. е.
угол нормали к поверхности с соприкасающейся плоскостью кривой.
Итак*
cos a nMuudu2 dv+'nM^dv2
q = ds2 (C>
Здесь коэфициенты
D Muu, D' =^n MUVi D" = ~пМ^ (7>
не зависят от выбора кривой; это — коэфициенты, характеризующие поверхность.
Правая часть формулы
cos « D du2 + 2-D' du dv + Pzz dv2
q Edu2 + 2Fdu dv + Gdv2
содержит, кроме того, только еще отношение диференциалов du: dv, опреде-
ляемое уравнениями (2)* но все кривые, имеющие общую касательную (3),.
имеют одно и то же отношение диференциалов $u:dv. Следовательно, левая
часть одна и та же для всех кривых с общей касательной. В левой части кроме
радиуса кривизны q мы находим а —угол соприкасающейся плоскости кривой
с нормалью к поверхности. Отсюда теорема.
ТЕОРЕМА I. Все кривые на поверхности с общей соприкасающейся пло-
скостью имеют одну и ту же кривизну: шу же кривизну имеют плоские
сечения поверхности этой соприкасающейся плоскостью.
Эта теорема позволяет нам сосредоточить наше внимание только на плоских
сечениях поверхности,— они дают кривизну любой кривой на поверхности.
Теперь мы сделаем еще один шаг и от произвольных (наклонных) плоских
сечений перейдем к нормальным сечениям, т. е. сечениям поверх-
ности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности.
ТЕОРЕМА II. Центр кривизны косого сечения поверхности есть проек-
ция на соприкасающуюся. плоскость центра кривизны нормального сечения
с общей касательной. ,
Рассмотрим сечениеповерхности плоскостью, проходящей через нормаль
к поверхности и че^ез ту же касательную (3).
dM = Mudu+Mvdv.
Отношение диференциалов du: dv для этого нормального сечени> останется
то же, что было и для косого сечения (8). 0 другой стороны, угол соприкасаю-
щейся плоскости с нормалью теперь:
а = 0 или а = л.
Следовательно, по формуле (8) радиус кривизны нормального сечения R
равен:
1____Ddu2 + 2D'du dv +D"dv2
R Edu2 4- 2Fdu dv 4- Gdv2
Знак (4-) соответствует a = О, знак (—) соответствует a = л.
Сравнивая (8) и (8'), имеем:
а
cds a = 4- —’
“ R
или
С = ± R cos a.
(9)
112
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯР^
Отсюда и вытекает теорема II, ибо центр кривизны помещается на главной
еормали кривой на расстоянии радиуса кривизны от соответствующей точки
кривой.
На прилагаемом чертеже (черт. 38) МА — нормальное сечение, ME — косое
сечение через ту же касательную МВ,
С — центр кривизны нормального
сечения:
МСХ = q, МС = R, СМС^ = а,
В силу уравнения (9)
МС^МС cos а,
/\ п
т. е. CCiM= и Ci есть проекция С
на плоскость ЕМС2.
Примечание. Если мы будем
вращать секущую плоскость около
касательной МВ, то центр кривиз-
ны будет все время помещаться на
своей нормали, т. е. в плоскости,
нормальной к касательной в той'
точке, куда падает перпендикуляр
из С. Легко видеть, что центр кри-
визны косого сечения опишет
при этом окружность с диаметром МС (ибо прямой угол ССгМ опирается
на диаметр).
Итак, нам остается изучить, как меняется кривизна нормального сечения,
если мы будем поворачивать касательную (поворачивать секущую плоскость
около нормали). ,
В формуле (8х) знак (+) или (—) надо выбрать так, чтобы правая часть
оказалась положительной, ибо R положительно. Мы введем новое условие: бу-
дем приписывать радиусу кривизны нормального сечения знак и выберем ею
так, чтобы В было отрицательно, когда направление главной нормали совпа-
дает с направлением нормали к поверхности (а = 0). Следовательно, в фор-
муле (8Э надо выбрать знак минус:
1 Ddu2+%D’du dv + D"dv2
В ds2 '
Выберем теперь систему координат так, чтобы оси г и j лежали в касатель-
ной плоскости поверхности в точке М, и примем за параметры и и v первые
две координаты векторам, так что
1 —>
М = iu 4- jv + кМ3.
du „ я
Тогда — будет первой координатой единичного вектора касательной:
ds
. du . dv , ,
М~г — — + кМ3',
ds ds
e . dv
e. будет равно косинусу угла (р касательной с осью г; аналогично — равно
US
синусу этого угла:
(Ю)
~ — cos 92, ~ = sin <р,
ds ds
ибо касательная лежит в касательной плоскости, т. е. в плоскости векторов г и j.
Пусть
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ
113
Уравнение (10) примет вид:
= Deos2 9? 4-2D'cos?? sin?? 4-D"sin29?,
t2
или
D (t cos <p)2 + 2D't cos 99 t sin 99 + D" (t sin 9O2 = ± 1,
или
Dx2 + ZD'xy 4- D"y2 = ± 1, (11)
если положить
£ cos 99 = ж, #sinz9? = 2/.
Уравнение (11) есть уравнение конического сечения в плоскости г, j, т. е.
в касательной плоскости и с центром в данной точке М. При этом t есть
радиус-вектор соответствующей точки этого сечения.
Кривая (11) называется индикатрисой Дюпена.
ТЕОРЕМА III. Радиус кривизны нормального сечения равен квадрату
радиуса-вектора индикатрисы Дюпена, имеющего направление касательной
кривой.
Примечание. .Существенно различны три случая.
1. Кривая (11) есть эллипс. Чтобы он был действительным, надо выбрать
определенный знак (4- или —) в правой части. Все R одного знака; все главные
нормали идут в одну сторону от касательной плоскости. Вся поверхность — по
одну сторону от касательной плоскости. Точка эллиптическая. Пример — шар
(черт. 39) или эллипсоид. ' -
2. Кривая (И) — гипербола; вернее, мы имеем здесь две сопряженные гипер-
бол j для двух знаков в правой части. Радиус кривизны R имеет разные знаки.
Главная нормаль кривой идет то вверх, то вниз от касательной плоскости. Гра-
ницей служат асимптоты гиперболы. Они делят касательную плоскость, а вместе
и поверхность вблизи точки М, на 4 области. В двух из них поверхность
лежит выше касательной плоскости, в двух других—ниже. Асимптотам соот-
ветствует R = 0, т. е. кривизна нуль. Точка гипе рболическая. Пример (черт. 40) —
гиперболический параболоид (или гиперболоид однополостный).
3. Кривая (11)—парабола или лучше пара параллельных прямых (ибо всегда
центр в точке М). Все радиусы кривизны R одного знака, но есть одно на-
правление, когда R == 0, т. е. кривизна нуль. Точка параболическая. Пример
(черт. 41) — цилиндр (или конус).
Чтобы вычислить по формулам (7) коэфициенты D, D', D", которые играют
существенную роль в теории поверхности, надо найти единичный вектор нор-
* >
мали п. Очевидно:
Следовательно, надо найти скаляр вектора
Возводим в квадрат:
/
Вектррцый авздиз.
N = М„ х Mv.
(4)
8
114
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
но по формуле скалярного произведения 4 множителей:
[ЛВ][СР] = (AC) (BD) — (AD) (ВС).
Следовательно,
л» = [м„ ад [м„ад = м2„ m2v - (адад2,
или в силу формул (6):
N2^EG —F*.
Итак,
. Ми -X Му
п ~ ’
и, следовательно, по формулам (7):
D = н Мии = (MuMvMutl)f
(^Яад), \ (7)
D' = /Ёв —F5 (М«2М»Мт) •
Задачи. 1» Вычислить коэфициенты D, D'f D" для развертывающейся по-
верхности (см. предыдущий параграф). Показать, что все точки ее параболи-
ческие.
Решение.
*М = '~L + ит> D^= Мии '—
Ми — т, тГ MUV = Q,
и Mv = т + -- v, Q D"= и п Mvv = — — er
N = р —; п = Р, /
Q
2. Линия, касательная к которой совпадает с асимптотами индикатрисы
Дюпена, называется асимптотической. Показать, что соприкасающаяся
плоскость асимптотической линии совпадает с касательной плоскостью по-
верхности.
Решение. Вектор касательной какой-либо кривой на поверхности:
dM du dv
= ми-~ + Mv —•
ds ds ds
Вектор главной нормали:
f dudv -+ /dv\* d2u ; d2v\
v =T““U) +2М»^Тз+МстЫ +Ми^+м’Ж'
Бинормаль
ft = T X v
должна быть перпендикулярна к касательной плоскости, т. е.
Тад-о,
ДМ,- о-
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ПОВЕРХНОСТИ 116
Оба равенства приводят к одному условию:
(MUMVMUU) du2 + 2 (MUMVMUV) du dv + (МмМД^) dv2 = 0,
которым определяется направление асимптот индикатрисы.
Можно было4 те же выкладки провести проще, предполагая, что линия и есть
асимптотическая.
3. Линия, касательные к которой совпадают с главными7 направлениями
индикатрисы Дюпена, называется линией кривизны на поверхности. По-
казать, что нормали к поверхности вдоль линии кривизны образуют разверты-
вающуюся поверхность.
Решение. Если нормали N вдоль линии и образуют развертывающуюся
поверхность, то на каждой нормали существует точка L, в которой она касается
—> *
кривой L:
L - М + aN,
где а —подходящий скаляр.
Касательная
= Ми + «К Н~ Nuu
направлена по нормали, следовательно, перпендикулярна к касательной плоскости:
С Lu = М2 +aMuNu - 0, (а)
Mv it = + aMvNu = 0.
Выберем параметры и п v так, как это сделано <на стр. 106 (причем вектор i
направлен по касательной к линии кривизны в точке М, чтобы предыдущие
рассуждения имели силу). Тогда
MUMV = 0,
ибо координатные линии в точке М ортогональны, и уравнение (а) дает:
мХ = о.
Продиференцируем по и тождество:
MvN = 0.
Мы получим:
MUVN + MVNU - 0.
Итак,
и, следовательно, уравнение индикатрисы (11) имеет вид:.
Вх2+В'У = ±1.
Индикатриса отнесена к главным направлениям, т. е.' линия и есть линия
кривизны.
4. Линия, главная нормаль которой совпадает с нормалью к поверхности,
называется геодезической линией. Показать, что геодезическая линия
определяет кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности.
Указание. Геодезическую линию выбрать за линию и и отнести поверх-
ность к ортогональной системе.
Решение. Пусть и—длина дуги геодезической линии. Вектор касатель-
ной е§:
7 =
116 ' ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Диференцируем по дуге и геодезической линии и применяем обычные обо-
значения основных векторов:
—> —>
дт v —>
Мии.
ди Q
Так как? —нормаль к поверхности, то
v Ми = 0, v Mv = 0,
т. е,
ДГДГИИ = О, М,Мии = 0.
Первое дает тождество:
д ->2
- №^=0’
бо
Диференцируя по v, имеем: *
^u^-uv ~
и в сумме со вторым получим:
Н“ МуМии — ~ 0,
MuMv==<p(v).
Если линия и = 0 выбрана ортогонально к v = const, то
MUMV = 0,
и вся система ортогональна:
ds2 = du2 + Gdv2.
Длина дуги между двумя точками (и = 0, v = 0) и (и = ulf v = 0)
Ui
s = f du2 + Gdv2,
• b
лчевидно, будет наименьшей при dv=0, т. е. если пойдем по геодезической
иинии.
§ 4. Криволинейные координаты в пространстве. Если вектор'М
есть функция трех переменных и, v, w:
М—М (и, v;w). (1)
то конец его М может совпадать с любой точкой в пространстве
(в известной области).
Задавая три числа (w, v, w), мы определим точку М; поэтому
эти величины называются координатами точки в пространстве, при-
том координатами криволинейными.
Полагая w = const, мы будем иметь М функцией двух пере-
менных и и V- Точка М при этом будет описывать поверхность.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ
117
Для разных значений w получим семейство поверхностей. Таким же
образом имеем еще два семейства поверхностей и=const и v= const.
Эти поверхности называются координатными поверхностями.
Каждые две поверхности пересекаются по линии. Например,
поверхности w = ^nst и v = const пересекаются по линии и. Можно
сказать иначе: меняя только параметр и, мы заставим точку М
описывать линию и.
Пересечением трех поверхностей и определяется точка М.
Если криволинейные координаты меняются, будучи функциями
одного параметра t:
и = и (t), v = v (t), w = w(t),- (2)
то точка М описывает кривую (вообще произвольную).
Бесконечно малый вектор касательной к кривой (2) есть
dM = Mudu + M„dv + Mwdw, (3)
где диференциальГйи, dv, dw определяются из уравнений (2).
•—> —> —>
В частности векторы Мй, М„ Ми определяют направления ко-
ординатных линий и, v и w.
Координатные линии ортогональны (касательные понарно обра-
. зуют прямые углы), если
ДЖ = о, ад„ = о, мами = о. «)
В этом случае система координат называется ортогональной.
Нетрудно видеть, что касательная к линии и служит тогда нор-
малью к поверхности и = const.
Элемент дуги кривой (2) определим, возводя в квадрат обе части
равенства (3): «
ds2 = dM2= (Mudu + Mvdv 4- Mwdw)2 =
= Ml du2 4- Ml dv2 -|- Ml, dw2 4-
4- 2M„Mwdv dw 4- 2MwMudw du 4- 2MuM„du dv.
Если система координат ортогональна, эта формула принимает
более простой вид:
ds2 = «J du2 4- a} dv2 4- а?3 dw2, (5)
где
al = Ml, a} = Ml, <% = №„.
Формула (5) дает диференциал дуги любой кривой пространства
(при подходяще подобранных диференциалах du, dv, dw). Поэтому
это выражение называется линейным элементом пространства.
ТЕОРЕМА. Координатные линии в три-ортогоналъной системе
служат линиями кривизны на всех координатных поверхностях.
Вычислим для доказательства этой теоремы уравнение индикатрисы Дюпена
Для какой-либо из координатных поверхностей, например для поверхности
w = const.
118 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ
Так как направление нормали к ней определяется вектором то урав-
нение. индикатрисы будет:
(MWMUU) я2 + 2 (MWMUV) ху + (ММ у2 = Я,
где Л —подходяще подобранный скаляр (он вошел потому, что Mw не есть еди-
ничный вектор нормали).
Нам надо доказать, что линии и и v определяют главные направления по-
верхности w = const, что индикатриса отнесена к главным направлениям, т. е.
что
—> —►
M.WMUV == 0* (а)
Диференцируем первое равенство (4) по w, второе по и и третье по v:
== О,
'Muv Mw + Mv Muw = 0, (b)
JM-QW Mw 0*
Складывая, получим (по сокращении на 2):
^uw И* MWMUV = О,
а вычитая отсюда первое равенство (Ь), будем иметь равенство (а), к
Ш. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
, Мы теперь переходим к наиболее интересной и важной части
курса, той части, ради которой была построена вся предыдущая
теория и которую по преимуществу можно назвать векторным ана-
лизом.
В первом отделе были даны основные определения вектора и'
действий над ними. Все векторы были постоянны. Это то, что со-
ответствует элементарной алгебре и что можно было бы назвать
алгеброй векторов.
Во втором отделе вектор был переменным,— он был функцией,
но независимым переменным — аргументом — был скаляр. Теперь мы
должны перейти к рассмотрению функций от вектора, функций,
у которых независимым переменным является вектор.
Сама функция может быть при этом или скаляром, — этот более
простой случай мы рассмотрим'в I главе, — или же тоже вектором.
Этой теоретической постановке вопроса сейчас же можно при-
дать более конкретный смысл.
Пусть
М — ix + jy Тег
есть тот вектор, который является независимым переменным. Он
определяет в пространстве точку М, но и сам вполне определен,
если дана эта точка.
Поэтому мы можем сказать, что наша функция от вектора есть
в то же время функция точки. Она дана в каждой точке
пространства (в известной, области).
Пространства с заданным в каждой точке скаляром или век-
тором называется полем.
Поле может быть скалярным, если задан скаляр, или векторным,
если дан вектор.
Эта тесная связь с нашим пространством объясняет необычай-
ную важность векторного анализа для приложений.
Наиболее существенные отделы.физики, можно сказать, почти
вся современная физика, покоятся на учении о скалярном и век-
торном поле.
Глава!. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ.
§ 1. Скалярное поле. Скалярным полем мы будем называть
пространство, в каждой точке которого задан скаляр.
Нетрудно привести примеры такого поля. Этим скаляром может
быть, например; температура. В каждой точке, например этой
комнаты, можем измерить температуру воздуха. Если дело происхо-
дит зимой, то около печи температура воздуха выше, около окон —
ниже. Во всякой точке мы имеем, следовательно, определенное
число, определенный скаляр. Мы имеем скалярное поле.
Другим примером является плотность тела в данной точке.
Отношение массы тела к объему в пределе, когда объем сводится
к точке, даст плотность тела в данной точке. Эта плотность может
быть во всех точках одна и та же, или можно себе представить,
что она меняется от точки к точке. Например, в этой комнате по
воздуху идут звуковые волны. Сгущения следуют за разрежениями.
Возьмем данный момент. Эти сгущения и разрежения расположились
в каком-то порядке. В области сгущения плотность больше, в области
разрежения—меньше.
Будет ли плотность постоянна или переменна, она дает нам
пример скалярного поля.
Эти примеры легко умножить. Электрический заряд в точке,
количество энергий, — словом, всякий раз, как мы имеем. в каждой
точке заданный скаляр, мы имеем скалярное поле. -
Обозначим этот скаляр буквой V. Мы часто будем его называть
потенциалом.
Скаляр V есть функция вектора
М = гх + jy + кг;
мы можем проще сказать, что V есть функция координат вектора М
или, что то же, координат точки М (ж, у, г):
. 7=7 (ж, у, (1)
Мы будем предполагать функцию. (1) конечной, непрерывной,
с непрерывными производными по всем аргументам (пока прямо не
будет оговорено противное).
§ 2. Производная в заданном направлении. Первый вопрос,
с которым мы сталкиваемся, — вопрос о производной.
Вполне понятно, что производные '
<Э7 d7 dv
дх д у ’’ дг
(а)
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ПОЛЕ-
121
нисколько для поля не характерны, ибо направление координатных
осей произвольно, и, изменив основные векторы i, j, к, мы получим
совершенно иные величины (а).
Поэтому нам надо будет постепенно итти к понятию, эквива-
лентному обычной производной. ч
Через точку М возьмем некоторую кривую (черт. 42)
, М = М(з);
следовательно,
x = x(s), y = y(s), z=z(s), (b)
где параметр з пусть будет длиной дуги этой кривой.
Дадим з приращение h. Мы перейдем по кривой в. соседнюю
точку М*-.
= (s-J-fc). /
В этой точке потенциал V примет новое значение: //''''*№*
V* ='V (х*, у*, я*). М/
Приращение потенциала: Черт. 42.
ДУ = 7*—7,
деленное на длину пути ММ* = h, в пределе дает производную 7
по з:
,. AV dV
lim---=- .
, h = o. h
Мы можем рассматривать эту производную как производную
сложной функции.
7 задано как функция х, у, я-.
У = У (х, у, я),
а аргументы ж, у, я суть функции от з:
ж = ж (s), y = y(s), я = я(з). (Ь)
Следовательно, по правилу диференцирования сложной функции:
у _l у _i_ у (2)
ds х ds 9 ds ’ ds' 1 '
(1)
Заметим прежде всего, что эта производная зависит
только от направления касательной к кривой Л (з).
так что для всех кривых с общей касательной производная (2)
будет одна и та же.
Действительно, частные производные 7Ж, 7?/, 7г не зависят от
выбора кривой (Ъ); следовательно, элементы кривой входят в фор-
мулу (2) только посредством производных
dx dy dя
ds’ ds’ ds'
122
ТЁОРИЙ ПОЛЯ
но эти самые величины являются компонентами единичного, вектора
касательной к кривой М (s):
г*, . dx . . dy , 7 ds
M — г----[-2 + k—.
ds ds ds
Следовательно, производная (2) зависит только от направления
векторам. Поэтому ее называют производной в заданном
направлении.
Формулу (2) можно записать в форме диференциала:
' dV ^dx+Vydy+VJs. (2')
Здесь диференциалы dx, dy, ds вычисляются из уравнений (Ь) и
являются координатами бесконечно малого вектора, определяющего
направление диференцирования:
dM —idx-\-j dy 4- kds. (3)
§ 3. Градиент. Итак, мы пришли к результату, что по всякому
направлению (3), исходящему из данной точки М, имеется своя
производная или, если угодно, свой диференциал:
dV = Vxdx + Vvdy + V,ds. (2')
По какому же закону происходит изменение скаляра V при
выходе из точки М? По какому закону меняется производная —,
х ds
когда мы вращаем вектор (3) около точки М?
Анализ формулы (2') покажет нам, что этот закон очень прост;
вместе с тем он приведет нас к основному понятию градиента.
Нетрудно заметить, что выражение
dV=Vxdx + Vgdy+Ved2 (2').
имеет вид скалярного произведения двух векторов. Один из них
есть вектор заданного направления:
dM = i dx + j dy + к ds, (3)
другой вектор iVx + iVv + kVz зависит только от заданного поля (1);
он называется градиентом скалярного поля и обозначается
начальными латинскими буквами этого слова:
grad V = iVx + iVv+ Vka.
Формулу (2') можно теперь записать в виде:
dV = grad V • dM. (5)
Не следует забывать, что градиент есть вектор (хотя над ним и не
ставится стрелка).
$
Л’.
I
<
(4)
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
1ЙЗ
Итак, в данной точке М мы имеем некоторый определенный
вектор (4)—градиент поля. Чтобы получить производную поля
в заданном направлении:
ArrdM
— = grad V
as as
надо умножить градиент скалярно на единичный вектор наира-
dM
вления —
ds
По определению скалярного умножения это значит: надо скаляр
градиента умножить на скаляр вектора и на косинус угла
ds
dM
между ними, но —----единичный вектор, значит, умножение на его
ds
скаляр (на единицу) не изменит градиента. Остается только умно-
жение на косинус угла, т. е. получаем проектирование градиента
на заданный вектор.
Имеем, следовательно, теорему.
ТЕОРЕМА. Производная поля в заданном направлении равна
проекции градиента на заданное направление.
Из этой теоремы можно вывести весьма важное заключение.
( Мы говорили, что сами^ло себе частные производные Vx, Vv, Vt
ничего характерного для поля не представляют, — повернем коорди-
натные векторы i, i, к, и они изменятся.
Естественно подойти с таким же вопросом и к градиенту:
grad V = i7x+jV^+kVs, (4)
координатами которого служат эти частные производные. Опреде-
ляется ли градиент вполне данным полем, или он зависит еще от
выбора системы координат? Этот вопрос очень существенен. В первом
случае он характеризует какое-то Свойство поля, он должен иметь
какой-то физический смысл, во втором—он определял бы только
выбор координатной системы, т. е. нечто для поля случайное.
Мы могли бы непосредственно проверить, что градиент как
вектор остается неизменным при всяком преобразовании иоординат,
хотя все координаты его меняются, но в этих несколько кропотли-
вых выкладках нет надобности. Доказанная выше теорема дает
определение градиента, не зависящее от системы координат, и, сле-
довательно, инвариантность (неизменность) градиента при повороте
координатной системы становится очевидной.
Еще яснее это станет, когда мы дадим геометрическое истолко-
вание градиента.
§ 4. Поле градиентов. Итак, в каждой точке скалярного поля-
существует вектор — градиент скалярного поля, строго определенный
по величине и направлению.
124
Тёоёия полй
Каково же это направление градиента и что покалывает его
величина?
Мы имеем формулу:
dF= grad F-dif, (5)
которая дает проекцию нашего вектора на направление dM. Проек-
ция равна нулю, если градиент перпендикулярен к направлению
dM (скалярное произведение равно нулю, если множители перпен-
дикулярны). Итак, выберем направление dM перпендикулярно к
градиенту. Тогда
dF = 0,
и, следовательно,
V = const. (а)
. Скаляр V задан во всех точках пространства (в известной
области). Соединяя точки с одинаковыми значениями V — с, мы
получим поверхность, определяемую уравнением (а):
F (х, у, я) = const. (а)
Такая поверхность называется потенциальной поверх-
ностью или поверхностью уровня.
” Итак, вектор dM (перпендикулярный к градиенту) расположен
так, что dV = 0, т. е. потенциал V не меняется. Значит, следуя
вектору dM, мы идем по поверхности уровня. Вектор dM есть бес-
конечно малый вектор касательной к поверхности уровня, а, следо-
вательно, градиент (перпендикулярный к dM) есть нормаль.
Этим направление градиента вполне определено. Нетрудно
увидеть и геометрический смысл скаляра градиента.
Возьмем теперь вектор dM по направлению градиента. Скаляр-
ное произведение в этом случае равно произведению скаляров, но
dM Q dV
скаляр----равен единице. Значит, скаляр градиента равен — :
ds ds
dV Л Т7
— == скаляру grad V.
ds
Итак, градиент направлен по нормали к поверхности уровня
и равен производной потенциала в этом направлении. Обозначая.
через п единичный вектор нормали к поверхности уровня и через -
dn
производную от F в этом направлении, имеем:
grad V = п
dV
dn
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
125
Итак, пусть нам дано скалярное поле. Это значит, что нам
известно значение скаляра V во всякой точке. Соединяя точки
с одинаковым значением V, получаем поверхности уровня. Градиент
направлен по нормали к этой поверхности. Если мы еще проведем
поверхности уровня через равные деления потенциала V, например
для V = 1, 2, 3 и т. д., то мы легко себе представим и скаляр гра-
л ~dV AV -г,
диента. Он равен производной —, т. е. пределу —. Если наши no-
ds As
верхности проведены достаточно часто, то без большой погрешности
можно принять равным разности значений V на двух соседних
поверхностях. В таком случае градиент будет обратно пропорцио-
нален As, т. е. расстоянию (по нормали) двух соседних поверхностей
уровня. Чем теснее они идут, тем больше величина градиента.
Наоборот, если поверхности уровня идут друг от друга на большом
расстоянии, то градиент мал.
Таким образом поверхности уровня, проведенные равномерно
(через равные приращения V), вполне характеризуют- и скалярное
поле и производное векторное поле градиентов.
Самое название поверхностей уровня взято от линий уровня.
При изображении пересеченной местности на плане обычно соеди-
няют линией точки одинаковой высоты над уровнем моря, например
через каждый метр. Получаемая сеть линий, огибающих возвышен-
ности, дает полное представление о неровности местности. Где
линии идут гуще, подъем круче; где они расположены, реже, мест-
ность положе. В сущности, мы имеем здесь дело с плоским
скалярным полем, где роль потенциала V играет высота мест-
ности над уровнем моря. Градиент везде направлен по нормали
к кривым уровня и тем больше, чем ближе соседняя линия семейства.
Если мыверпемсяк нашему примеру скалярного поля темпера-
туры воздуха в комнате, то надо представить себе такую картину.
Вблизи нагретой печи, облегая ее и тесно прижимаясь, идут одна
за другой потенциальные поверхности высокой температуры. Темпе-
ратура быстро падает; наши поверхности идут, уже выпрямляясь,
теряя форму печи на больших промежутках, навертываясь друг на
друга, как капустные листы, чтобы снова сгуститься, почти прилегая
к окошку, быть может, с намерзшим льдом на стекле.
§ 5. Работа поля. Векторное поле, к которому мы пришли,—поле
градиентов,—представляет собой одно из наиболее замечательных,
наиболее часто встречаемых и важных в приложениях полей. Оно
заслуживает того, чтобы на нем остановиться подробнее. Более того,
мы увидим, что вся теория векторного поля покоится на рассмотрении
двух полей — потенциального поля (поля градиентов) и второго,
все же несколько реже встречающегося, соленоидального поля,
о котором мы будем говорить впоследствии.
Чтобы выяснить наиболее характерную особенность поля гра-
диентов, которая еще раз с новой стороны связывает его с его
потенциалом — скаляром V, нам надо ввести понятие работы
прдя,
126
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Чтобы удобнее говорить, воспользуемся образом, взятым из
механики. Пусть наше векторное поле есть поле сил, т- е. вектор Ф,
заданный в каждой точке пространства, есть сила, действующая
в этой точке, например сила тяготения.
Возьмем в нашем поле кривую (черт. 43):
или в скалярной форме:
х = х(«). У=У(з), e = g(s),
где s есть длина дуги кривой.
Пусть некоторая точка, на которую действует сила этого поля,
• пробегает эту кривую от точки А (в —а) до точки В (з = Ъ).
Какую работу выполнит си ла, когда точка М пройдет этот путь?
Разобьем дугу АВ на п частей, и
пусть точки деления суть:
ф3. л М0 = А, И*..., ММ№ = В,
соответствующие значениям параметра
sb~ai si> s»_i> зп = Ъ.
1 Jm Соединим последовательные точки де-
ления хордами. 1
. Если точка Ж проходит прямоли-
' нейный отрезок — хорду и на
ш - »
J нее действует постоянная сила Ф, то
* Черт 43 работает проекция этой силы на на-
правление пути и работа си-
лы равна произведению этой проекции на длину пути. Именно
таким образом вычисляется скалярное произведение. векторов
. _________________________*
Следовательно, работа силы Ф,. на пути if равна Ф/ • Jtf ДИ/+1.
Допустим, что точка движется по ломаной линии AM-jM^...
Мп_гВ, притом на каждом отрезке действует постоянная
сила Фг., равная силе поля, например в начале хорды Ме. Вся работа
на этом пути выразится суммой:
П—1
i=°
нетрудно все это выразить в функциях параметра з. Первый мно-
житель непосредственно дан в функции х, у, г, которые в свою
—> —>
очередь на кривой АВ суть функции от з: Фг= Ф (зг.). Что- касается
второго множителя, то, очевидно,
Ж+;=-Я= Я(зт)-Я(зд
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ 127
или с помощью теоремы Лагранжа:
где Asz = s/+1—s2., й Af'2.e(sJ обращается в if' (s2.) в пределе при
ds2. = 0.
Итак,
п—1 \
нп~$Ф^М'в(8;)^,
г= О
или, обозначая через <p(s) скалярную функцию
, 9 («) = ф (s). М' (s), (а)
имеем:
П—1
г= О
где е обращается в нуль вместе с Js2..
Будем теперь неограниченно увеличивать число интервалов п,
уменьшая каждый интервал до нуля. Ломаная линия АМ1М2...
В будет иметь пределом дугу кривой АВ, движение по кото-
рой будет совершаться под действием переменной силы поля Ф.
С другой стороны, работа Нп будет иметь пределом интеграл:
ь
Н = lim Н„ = J® (s) ds. (b).
°
Притом этот предел не зависит от способа разбиения дуги АВ на
интервалы, от способа перехода к пределу и т. д. Предел (Ъ) назы-
вается работой поля вдоль криволинейного пути АВ.
Если мы подставим сюда вместо у (s) его выражение (а), то
получим:
» ь ъ
Н = f <f> (s) ds = /ф (s)M'(s) ds = /ф (s) dM(s),
a a . i
или просто '
H=f~$dM. (6)
a
Путь вычисления выражения (6) простой.
Пусть поле ф задано в компонентах X, У, Z,
Ф = гХ + УУ + kZ.
Если х, у, г—координаты вектора М, то
dM =idx + jdy + k d?, (3)
128
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
и скалярное произведение, стоящее под знаком интеграла, будет: 1
Ф dM = Xdx + Y dy -\-Zdz. 1
Здесь X, У, Z суть заданные функции от х, у, г-. I
X = Х(х, у, z), У =--У (ж, у, z), Z = Z(x, у, z). 1
Чтобы определить интеграл (6) |
Н — f X dx 4* У dy + Z dz, /
АВ f
надо еще задать путь ЛВ, по которому берется интеграл и указание
на который имеется внизу под знаком интеграла. Без указания пути
интеграл не имеет смысла. Кривая АВ может быть задана тремя
функциями х, у, z от любого параметра t (длина дуги s или одна
из координат х, или вообще произвольный параметр):
х = х (0, у = у (t), z =z (t). (а)
Подсчитываем диференциалы:
dx=xdt^ dy=ydt, dz=zdl,
где
• dx
х— -
dl
обычное обозначение производной по параметру «, и подставляем
в выражение Н:
Н = j (Хх + Yy + Zz)dt — p(t) dt,
AB “
если
/(O = Xi+ Yy+ Zz.
Через а и Ъ мы обозначаем попрежнему значение параметра t
в точках Л и В.
Примечание. Можно обратить внимание на значительную
аналогию криволинейного интеграла (6)
Н = pdM (6)
S’—'-
АВ
с обычным определенным интегралом
ъ \
(х) dx. |
а Я
При вычислении определенного интеграла имеется в виду отрезок Я
(прямолинейный!) оси абсцисс от точки х = а ^до точки х = Ъ. -Я
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ПоЛЁ
129
Он делится на элементарные части и рассматривается сумма произ-
ведений
г~п—1 (
»= о
элементарного интервала Лх. на значение функции / (ж.) в начале
(или вообще внутри) интервала.
Теперь вместо прямолинейного отрезка берется криволинейный
путь АВ. Он тоже делится на элементарные части, по каждая часть
д.Я = м^.+1
i t z+1
рассматривается как вектор, соединяющий две точки деления. Про-
изведение функции (вектора!) Ф берется как
ние векторов, хотя значение функции по-
прежнему берется в начале интервала (можно
брать и в любой точке внутри интервала,
на дуге или на хорде МгМ1н.х — все равно).
Примеры. 1. Дано поле
у ,
' - + к cos z,
.x2
Ф — г + 7
У
найти работу поля по одному витку А В вин-
товой линии в
& = acos4, y = asin4, z = bt, (a)
где А и В — точки, расположенные в пло-
скости xz, например, соответствующие зна-
чениям
скалярное произведе-
Черт. 44.
4=0 и 4 = 2 п.
)
Решение. Составляем подинтегральную функцию:
ж2 у
Xdx + Ydy + Zdz = — dx 4- - dy 4 cos z dz,
У x
(Ь.
или, подставляя формулы (а):
[a2cos24 a sin 4 "I
— —:—— a sin 4+--------- a cos t + cos bt • b rf4=[—a2cos24-f-a sint-4- bcosb4M4.
a sin t a cos t J
Следовательно:
2л
Н —a2 4- a sin t 4 b’cos bt dt —
о
2л‘
Г a2t a2sin2i . fl . n
== — -------— a cos t 4 sin bt \ = sin2^b— а2л.
L 2 4 J
о
Векторный анализ .
130
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
2. Найти работу поля Ф = ixy + jyz 4- kxz по замкнутой линии, ;
состоящей из двух прямолинейных отрезков в плоскости хг и yz, j
отсекающих на всех осях отрезки, равные единице длины, и дуги
круга с центром в начале ОЪ плоскости ху. На черт. 44 дуга АВО
и обходится в этом направлении.
Решение. Уравнения отдельных кусков пути суть: |
АВ: х = cos t, у = sin t, 2 ~ О, J
ВС: у + z = 1, х = О,
СА: х + 2= 1, у = 0. '
Весь интеграл разбиваем поэтому на три части:
1) по дуге АВ: ~ ;
п
2
f 1
I — sin21 cos t dt = — —;
J 4 3
0
2) по прямой ВС; берем за независимое переменное г:
3) по прямой СА; независимое переменное z:
Итого: ,
« *
___1____1___1_______2_
з 6 6 — з ' 4 |
§ 6. Поле, имеющее потенциал. Мы можем пройти от точки А |
до точки В различными путями. Работа поля по этим различным |
путям будет вообще различна, но можно себя спросить: не суще- J
ствует ли поля, работа которого по всем путям между двумя точ-
ками одна и та же? J
^~д Эта работа, конечно, меняется, если мы возьмем i
другие точки, так что лучше наш вопрос формули-
гу ровать так: не существует ли поля, работа которого
/ на всяком пути от точки А до точки В есть функция
/ только этих двух точек?
/ _______2 Прежде чем перейти к решению этого вопроса,
• которое приведет нас снова к полю градиентов, за- ;
метим, что наши условия можно формулировать еще X
Д иначе, пожалуй, несколько проще. i
Черт. 45. Пусть А и В — две заданных точки (черт. 45); |
АтВ и АпВ — два различных пути, их соединяющие. По условию |
работа поля по обоим путям одна и та же. Значит: I
J Ф<1М — J Ф<1М. 1
АтВ АтВ Я
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
131
Изменим прохождение второго пути на обратное; тогда интеграл
изменит знак (ибо dM будет обратного знака).
Следовательно:
J ФйМ = — J ФйМ,
АтВ ВпА
или.
[ ФйМ + [ ®dM = 0.
АтВ ВпА
Но эти два интеграла дают работу по замкнутому пути, кото-
рый начинается с точки А, проходит через точки т, В, п и кон-
чается снова в точке А:
<f <Ж = 0.
АтВпА ~~
Следовательно, наше условие эквивалентно следующему: работа
поля по всякому замкнутому пути равна нулю.
Очевидно, и обратно, если работа по всякому замкнутому пути
равна нулю, то работа полз по незамкнутому пути зависит только
от положения начала и конца пути.
Перейдем теперь к определению этого поля.
Будем сохранять неподвижным начало пути Л вменять конец—
точку М. Работа поля будет меняться, и так как для каждого положения
точки М она будет иметь вполне определенное значение, то, сле-
довательно, она будет функцией точки М [функцией координат
точки М (х, у, г)]. Обозначая эту функцию, буквой V, напишем:
м м
^G>dM~^(Xdx-[-Ydy-\-Zdz) = V(x, у, z\ (а)
А А
В скобках при V поставлены значения аргументов х, у, z этой
функции.
Выберем теперь некоторый определенный путь от Л к М:
х~ х (s), у = у (s), Z = Z ($) (Ъ)
и продиференцируем равенство (а) по параметру s. После выбора
пути и подстановки формул (Ь) интеграл (а) обращается в опреде-
ленный интеграл. Диференциал по верхнему пределу равен под-
интегральному выражению. Мы получим, следовательно:
X dx + Y dy -|- Z dz = dV. (c)
Здесь диференциалы dx, dy, dz должны быть вычислены по фор-
мулам (Ъ); а диференциал dV рассматривается как диференциал
сложной функции,—V дано как функция х, у, z, которые сами
зависят от s по формулам (Ь).
Те же рассуждения мы можем применить к любому пути (Ь),
исходящему из точки А в любую точку М. Следовательно, диферен-
циалы dx, dy, dz совершенно произвольны (предложение верно
9*
132
ТЕОРИЙ ПОЛЙ
для всех направлений из точки А), ив формуле (с) мы можем
рассматривать их как диференциалы независимых переменных.
В таком случае мы имеем здесь выражение полного диферен-
циала dV, и, значит, X, У, Z суть частные производные от V: *
X = -V , У - dV-, Z - dV , (7) 1
дх ду dz
а заданное поле Ф имеет вид: i*
т. е. это поле градиентов и V определяет исходное скалярное поле:
/ >
Ф — grad V.
Имеем теорему.
ТЕОРЕМА. Поле градиентоз и только оно одно обладает свой-
ством, что работа поля по всякому замкнутому пути равна нулю.
Работа отого поля есть функция точки.
Функция V, которая определяет работу поля, называется потен-
циалом, а поле называется потенциальным.
Нетрудно видеть, что уравнения (7) не определяют вполне
потенциала V. Всякая новая функция Ft: •.
Fj = V + const
снова удовлетворит системе (7), ибо V входит туда только посред-
ством своих производных.
Работа поля не зависит от выбора постоянного С.
Действительно, пусть работа поля от некоторой точки А до
переменной точки М выражена функцией V с некоторым' посто-
янным С:
м
\ф<1М^УмРС, (е)
А
где значок М означает, что функция V ьычислена для точки М.
Работа поля от той же точки А до точки N тогда будет:
N
^Фам = vN + c. ’ . (f)
А
Мы всегда можем представить себе, что путь AN идет через точку М.
В таком случае разность двух интегралов (е) и (f) определит ра- /
боту поля от точки М до точки N: ?
N N М
\фдМ=^ФдМ — \фдМ = Гл-Ум. (8) ?
МАА
Как видим, эта формула постоянного уже не содержит. J
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
133
Формула (8) допускает простое геометрическое истолкование.
Мы знаем, что скалярное поле V вполне определено поверх-
ностями уровня:
V = const.
Очевидно, пока точка М или точка X движется по той поверх-
ности уровня, на которой они находятся, работа поля по дуге MN:
^ФШ = УЯ-ГМ ' (8)
не изменится. Работа поля (8) меняется только тогда, когда точка N
переходит с одной поверхности уровня на другую.
Это, впрочем, вполне понятно и из элементарных соображений.
Вектор поля
Ф — grad V
направлен по нормали к поверхности уровня. Следовательно, дви-
гаясь в касательной плоскости, т. е. по поверхности V = const, мы
идем в направлении, перпендикулярном к силе.
Работа силы в этом случае равна нулю.
Таким образом, чтобы определить работу поля, надо только
знать, с какой поверхности уровня началось движение и на какой
кончилось.
§ 7. Аналитический признак существования потенциала. Можно,
наконец, задаться вопросом, каким условиям должны удовлетво-
рять координаты поля X, У, Z, чтобы поле
Ф = iX 4- jY + kZ
обладало потенциалом.
В. сущности, эти условия уже написаны. Они заключаются в
уравнениях (7):
Y——,Z — —^-. (7)
дх ду dz
Если существует функция V, удовлетворяющая системе (7), то
поле имеет потенциал.
Нетрудно получить теперь необходимые условия для суще-
ствования потенциала (т. е. функции V). '
Диференцируя первое уравнение (7) по у, а второе по х, мы
получим разными путями вторую производную -----.
дхду
d2V
Так как два эти выражения для ----- должны быть, конечно,
дхду
равны между собой, то мы имеем:
д2У дХ dY
дхду ду дх
134
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Таким же образом получим еще два условия.
Все они имеют вид:
= =0; -^-^- = 0. (9)
dy dx dz dy dx dz
Эти необходимые условия и достаточны.
Из первого уравнения (7):
находим:
X
V = J Xdx + cp(y, z), * (а)
хо
где <р — неизвестная пока функция от у и z} xQ— постоянно и х — независимое
переменное.
Подставляем выражение (а) во второе уравнение (7):
dy , •
следовательно:
X
д С д
—— I Xdx +——?>(?/, z) = Y.
ду J dy
x9
Диференцируем по у как по параметру под знаком интеграла:
С дХ J д , ч „
—— dx + —— <р(у, z) = Y,
J ду ду
и заменяем —— по формуле (9):
ду
С dY д
— dx + “ - ф (у, z) = У,
J дх ду
жо
или, выполняя интеграцию, имеем: .
. Y (х, у, z) — Y(x0, у, z) + ~~<р(У, z) — Y (х, у, z),
ду
где теперь полностью написаны у функции У все ее три аргумента.
По сокращении имеем*:
д
. Ч> (у, 2) = Y (х0) у, Z),
ду
т. е. уравнение совершенно не содержит переменной х> ибо xQ есть постоян-
ная. Интегрируем' по у:
у
<р(у, Z) = j Y (ж0, у, z) dy + j(z).
Здесь j (z) — произвольная пока функция, которая вошла при интеграции
вместо произвольного постоянного (она' не содержит у, ибо интегрирование
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
135
ведется по у и относительно у она постоянна; она не содержит х, ибо функ-
ция у не содержала ж); у есть независимое переменное и yQ — постоянное.
В силу, уравнения (а);
А / у
v = J Х(х, у, z) dx + у У Оо, У,^) dy + y(z). (b)
* и.
Подставляем в третье уравнение (7):
® у
д С , д С d
| Х(х, у, z) dy'+ —~ | У (xQ, у, z) dy + —- у <z) = Z.
dz J . dzj dz
®о Уо
Диференцируем под знаком интеграла:
Г dX(x, у, z) 1 CdY(x0^y, z) d z ч
----dx + —Ч--2- dy + ~—y>(z) = Zf
J dz J dz dz
fo Уо
или в силу уравнёния (9):
® у
f dZ(x, у, z) * f dZ(xQ, у, z} d „
----- a dx + ------- ? dy + -—y>(z) = Z,
J dx J dy dz
®o Уо
ИЛИ £
Z(as, y, z)~Z(x0, y, z) + Z(x„, y, z) — Z(x0, y9, z) + —— y>(z) = Z(x, y, z),
z dz
и, следовательно:
d .
‘ — v(e) = Z(x9, y0, 2); ,
OZ
наконец, интегрируя, имеем:
z
V (з) = Z (x9, y0, z) + С,
2o
C — произвольная постоянная интеграции, ^—постоянная произвольная, но
определенно выбранная.
Итак,
® у Z
е . V = J X (х, у, z) dx + J У (а?0, z) dy + J Z (л0, у^ z) dz + С.
®о Уо г»
Мы видим, что при выполнении условий (9) существует 7, удовлетворяющее
условиям (7). Следовательно, поле обладает потенциалом. Имеем теорему.
ТЕОРЕМА. Условия
дХ dY dY dZ _ n dZ dX _ n
dy dx dz dy dx dz
необходимы и достаточны, чтобы поле обладало потенциалом.
Примечание. Если условия (9) не выполнены, то-поле не
потенциальное. Интересно отметить, что вектор
./д¥ dZ\ , JdZ дХ\ , . (дХ дХ\
\ дз ду / \дх дз / \ ду дх J
136
ТЕОРИЯ ПОЛЯ'
инвариантно связан с полем, т. е. при повороте поля около
координатной системы поворачивается вместе с ним. Этот вектор
имеет большое значение в теории поля. Мы придем к нему из
других, более геометрических соображений, тогда и инвариантность
его будет очевидна. ~
§ 8. Оператор Гамильтона. Мы исходим из некоторого, скаляр-
ного поля:
V = V (ж, у, г).
Оно определяет некоторое векторное поле — поле градиентов:
. „ . dV , . dV , , dV
grad V = г-----1 ]----1- к---.
дх ду дг '
Это—векторное поле частного типа, так называемое поле, обла-
дающее потенциалом. Его потенциал есть функция V или отли-
чается от нее на постоянное. Наиболее характерное свойство этого
поля, — работа его по всякому замкнутому контуру равна нулю.
Иначе работа его по какому угодно пути всегда есть функция
только начальной иконечной точки пути.
Вернемся теперь еще раз к той операции, которая позволяет
перейти от скалярного поля к его градиенту. Эта операция по су-
ществу есть операция диференцирования, только своеобразно по-
строенная. Нам придется еще не раз встречаться с подобными же
операциями в применении к векторному полю, — и вот любопытно
отметить, что все они могут быть объединены, все они могут быть вы-
ражены с помощью одного оператора — оператора Гамильтона,
‘ который сам носит векторный характер. Можно сказать, что это —
вектор, но вектор символический — условный.
Итак, условимся в формуле градиента:
, . dV , . dV , 7 dV |
grad 7 — г-—-Н —- + & —
дх ду дг
. dV dV
символы диференцирования —, — и т. д. рассматривать как про-
дх ду
изведения. Тогда мы можем вынести V за скобку:
. „ [: д , . д 7 d V
grad F= г— +7 — + И.
\ дх ду дг)
Градиент представит’ тогда собой символическое (условное)
произведение скаляра У на трехчлен
. д . д , д -
г — -|- j — -|- к — ,
дх ду дг
состоящий из трех компонентов, следовательно,—вектор. Вот этот
символической множитель и носит название оператора Гамильтона,
по имени ученого, который его ввел.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
137
Он обозначается в виде йеревернутого треугольника:
_ .. д , . д , , d _
V— г — т 1 ——' (И)
дх ду dz
а читается „набла" — по имени еврейской буквы, с которой этот
символ имеет сходство.
Мы можем, следовательно, написать:
grad V = V7. (12)
Чтобы правильно применять это обозначение, надо всегда иметь
в виду то условие, при котором введен символ набла. Именно, за-
менив символ набла его значением (11):
grad V = — 4-fc —V,
\ дх ду dz) ’
мы должны затем перемножить так, как умножается вектор на скаляр:
' grad V = + j — V +к-~V.
дх ду dz
• dV
После этого вместо произведения —7 и т. д. надо читать
дх
dV „
производную—ит.д., и тогда мы получим правильный результат.
dx
Очевидно:
V (V + V) = v v + v V. (13)
Это следует и по правилу умножения вектора на сумму скаля-
ров, но
V(UF)^ VU-F+U- V.7. (14)
Это проистекает оттого, что оператор Гамильтона есть, в конце
концов, диференцирование:
_ ,mz. . dUV . . dUV , 7 dUV
V (U7) = г —— + j —— + к —- ,
дх ду dz
НО
i ^ = ^ + 0?
дх дх дх
j
dy dy dy
dz dz dz
(-dU . -dU . 7dU\T7 , TT , -dV , ?
V(U7)= г — + ; — + k~. 7 + П г — +? — + &— ,
\ dx dy dzj \dx dy dz]
откуда и следует формула (14).
138
, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
> _____________
Мы еще не можем теперь оценить тех удобств, которые, пред-
ставляет этот оператор. Это мы заметим, когда получим с такой же
легкостью из него величины, характеризующие векторное поле.
Мы покажем только, как из этого оператора получается производ-
ная скалярного поля в заданном направлении:
dV = grad V • dM.
Подставляем сюда вместо градиента VF:
dV = v V • dM.
Будем теперь это читать как (символическое) произведение. Тут
три множителя: вектор V: скаляр V и снова вектор dM. Мы можем
умножить скалярно векторы и их произведение умножить па скаляр V:
d7=(V . dM) V. (15)
Напишем полностью эту формулу. По правилу скалярного умно-
жения:
\7 dM = (i — + i — + & — ] • (г dx 4- j dy 4- к dz)=
\ dx dy dz]
~—dx—dy + — dz. z
dx dy dz
Следовательно:
dV = (— dx + — dy + — V.
\dx dy dz /
Очевидно, раскрывая скобки, мы и получим правильное выражение:
лтг dV, . dV, , dV ,
dV — — dx 4---dy 4---dz,
dx dy dz
d _ dV
где вместо произведения — V надо читать производные —-и т. д.
dx dx
Мы увидим, что над оператором Гамильтона можно производить
все действия, как над вектором. Если после раскрытия скобок
„произведение будем читать, как производные, то мы получим пра-
вильный ответ.
Необходимо, 'конечно, иметь в виду формулу (14).
f
Глава II. ДИВЕРГЕНЦИЯ.
§ 1. Векторное поле. Мы переходим теперь к исследованию
общего векторного поля.
В каждой точке пространства (в известной области) мы имеем
заданный вектор:
Ф = iX + jY +
Следовательно, нам заданы три функции:
X = X (ж, у, s'), Y = У (х, у, s), Z = Z (х, у, г),
которые мы будем предполагать, вообще говоря, конечными и не-
прерывными с конечными и непрерывными производными первого
порядка. Этих производных —«9. Их можно написать в виде таблицы:
дХ dY dZ
дх ’ дх ’ дх
дХ dY dZ
ду ’ ду ’ ду
6Х 6У dZ
ds ’ ds ’ ds
Каждая из них в отдельности не характерна для поля,—при из-
менении системы координатных векторов она может принять в дан-
ной точке любое значение, но вся таблица (1) в целом, очевидно,
что-то характеризует в векторном поле.
Мы можем вспомнить, что каждая из трех производных скаляр-
ного поля:
67 67 dV
дх’ ду' ds
была случайна (могла принять любое значение), между тем все
три определяли вектор:
, TZ .67 , . дУ . ,67
grad 7 = г—-Н — + «—>
дх ду ds
который определяет характерно^ свойство поля.
Таблица (1) содержит 9 величин и потому в целом может опре-
делять образование более сложное, чем обыкновенный вектор х.
1 Так называемый производный тензор второго порядка.,-
140
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Мы не станем останавливаться на этой широкой постановке
вопроса и будем стараться составить из величин таблицы (1) век-
тор или даже скаляр, инвариантно связанный с полем, т. е. так,
чтобы при повороте системы координат он сохранялся неизменным.
В этой главе мы будем искать скалярную характеристику поля.
Путь исследования мы изберем геометрический. Из общих свойств
поля мы получим скаляр, а затем и вектор, имеющие геометри-
ческое значение, а следовательно, инвариантные. А затем мы по-
кажем, что они сами определяют поле, следовательно, исчерпывают
все инварианты, составленные из производных первого порядка.
§ 2. Поток векторов через поверхность. Чтобы поставить вопрос
более конкретно, будем исходить из подходящей интерпретации
поля. В предыдущей главе мы рассматривали наше поле как поле
сил. Теперь нам будет удобнее воспользоваться другим образом —
из гидродинамики.
Пусть наше пространство наполнено жидкостью (или газом), и
каждый вектор поля определяет скорость движения соответствую-
щей частицы жидкости.
Эта интерпретация приводит нас к постановке такого вопроса:
сколько протечет жидкости в единицу времени через данный кусок
поверхности?
Рассмотрим сначала простейший частный случай. Возьмем кусок
плоскости—параллелограм, и пусть жидкость течет с постоянной
у скоростью Ф во всех точках поля.
В единицу времени параллело-
грампеРенесетсявнаправлении
\ вектора Ф на его величину в
и—у и~иГ положение L'. Параллелепипед
' 2 .3 с двумя основаниями L и L’ и
ерт’ ‘ с боковыми ребрами, параллель-
ными (и равными) вектору Ф, даст объем этой жидкости, которая
за этот промежуток времени успела пройти через контур L.
По правилу скалярного произведения трех множителей объем
параллелепипеда равен произведению:
ф da) — (Ф ds ds),
где
da) = [ds <fej
есть аксиальный вектор площади параллелограма L, a ds и 6s—
две его соседние стороны.
Очевидно, так же вычисляется поток через любой плоский контур.
Мы обозначили и площадь параллелограма L и его стороны
диференциалами, ибо в дальнейшем мы будем рассматривать кон-
тур L бесконечно убывающим.
Возьмем теперь (черт. 46) кусок кривой поверхности 8, ограни-
ченный контуром L.
ДИВЕРГЕНЦИЯ
141
Черт. 47.
параллелограм жидкость
Пусть она определена уравнением:
М — М (и, v),
т. е.
х = х (и, v), у = у (м, v), z = s (и, v\ (а)
где и и D — криволинейные координаты (параметры).
Проведем на поверхности, сеть линий:
и ~ иг, и = и — и3. . . .
V — «1, V = ?;2, V = v3, . . .
которые разобьют нашу поверхность внутри контура на п криво-
линейных четыреугольников (не считая неправильных частей, на-
ходящихся вблизи границы). Заменим
теперь (черт. 47) каждый криволиней-
ный четыреугольник, ограниченный
кривыми:
и — и., и — ui+1
x=Vj, v = vnl
параллелограмом, построенным на ка-
сательных к кривым и — ubv = vj в
точке их пересечения, со сторонами,
равными wzw<+1, VjVj+i.
Будем предполагать, что через такс
идет с постоянной скоростью, равной вектору поля Фу в точке
(м., ^.).
Векторы сторон нашего параллелограма как касательные к кри-
вым и и v суть:
Я Ku—Я (®y+i-®A
Следовательно, объем протекшей жидкости равен:
(Я Ми М,) (иг+1 —м,.) • (®, н1- «,).
Здесь скалярные множители вынесены за знак произведения.
Возьмем сумму этих объемов по всем плоским площадкам. Это
будет объем всей протекшей жидкости в том сложном искусствен-
ном движении, которое мы себе представили:
БЯЯЯи-ч^). (Ь)
о*
Здесь
dIt/ = «/+1 — щ., Avj = ®у+1 —
поле Ф нам дано в функциях от М (ж, у, г). Пользуясь формулами (а),
мы выразим его в функциях параметров и и v. Таким образом мы
получим:
(Ф,7 Ми М,) = f (ufv vy),
142
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
и наша сумма (Ь) примет вид:
S/(«« Avj- (С)
«У
Будем теперь неограниченно увеличивать число элементарных
площадей, уменьшая площадь каждой из них. Наша сумма (Ь) или,
что то же, сумма (с) будет иметь предел.
Действительно, возьмем вспомогательную плоскость с коорди-
натами и и V. На ней часть нашей поверхности 8 изобразится в виде
некоторой площади Р, ограниченной линией L. Сумма (с) распро-
странена на все правильные элементарные части внутри контура L.
При неограниченном увеличении числа элементарных площадей
сумма (с) будет иметь пределом двойной интеграл:
lim = JJ / (м> v) du dv,
распространенный на площадь интеграции Р, ограниченную линией L
в плоскости (и, ®).
Как известно, этот предел не зависит от способа перехода
к пределу, от выбора точек (и,-, и т. д.
Мы будем называть этот предел потоком векторов через
поверхность 8. 4
В силу определения функции / (и, «)(наш интеграл может быть
записан в виде:
(Ф Мf) du dv. (d)
„ pJ
Заметим еще, что по определению скалярного произведения трех
множителей можно написать интеграл (d) в виде:
р р
где duM есть частный диференциал вектора М при изменении
только координаты и, и dvM—такой же диференциал при изменении
только параметра v.
Возьмем векторное произведение двух бесконечно малых век-
торов, касательных к линии и и v:
[d^M d0M\ = dm.
Это произведение есть аксиальный вектор площади поверх-
ности dm. Это вектор, направленный по нормали к поверхности и
равный по абсолютной величине скалярному элементу площади.
Итак, поток векторов через поверхность 8 равен:
(2)
ДИВЕРГЕНЦИЯ
143
Правая часть формулы /(2) есть двойной интеграл по перемен-
ными и v, распространенный на площадь Р, ограниченную контуром L
в плоскости (и, v).
Левая часть могла быть написана и в координатах х, у, е, но
она получит смысл только в том случае, когда задана поверхность 8,
по которой производится интеграция. Отсюда название инте-
грала по поверхности, присвоенное такому интегралу.
Для того чтобы вычислить такой интеграл по*поверхности, надо
выразить текущие координаты точки на поверхности в функциях
двух параметров и воспользоваться правой частью формулы (2).
Следствие. Замена переменных в двойном интеграле.
Из формулы (2) вытекает правило преобразования переменных
в двойном интеграле.
Действительно, пусть поток идет через плоскость ху, т. е. по-
верхность S есть часть координатной плоскости. Тогда уравнение
поверхности будет:
М = ix + jy,
и наша формула примет вид:
X Y Z
Уи О
х, У, О
хиУи
X. У»
dudv.
Выберем на плоскости ху за криволинейные координаты и и v
декартовы координаты х и у. Тогда:
дх 1 дх п
= — = 1, = — = О,
дх ду
s _ ^=0 f - '”,-1
дх ду
и ваша формула примет вид:
ffz
J J ' УиУ.
Z
du dv
Z dx dy.
(3)
1 О
О 1
Эта формула выражает поток поля через плоскость ху, как бы
мы ни выбирали параметры и и v. Следовательно,- равенство
справедливо при всяких вообще переменных и и v.
Следовательно, она дает правило замены переменных
в двойном интеграле. Мы видим, что при замене переменных под-
интегральная функция умножается на определитель
. дх дх
д (ху) _ ди dv
д (uv) ду ду
ди dv
144
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
который называется функциональным определителем или
якобианом, по имени ученого Якоби (Jacobi), который дал эту
формулу.
Примеры. 1. Дано поле:
Ф = ix 4- jy 4- кг.
Найти поток ведсторов через боковую поверх-
ность круглого конуса (черт. 48), стоящего на плос-
кости ху, с осью Ог, если высота равна 1 м и радиус
основания 2 л».
Примем за параметры полярные координаты о и проекции Р
точки М на плоскость ху. Тогда х и у будут определяться по из-
вестным формулам преобразования декартовых координат в поляр-
ные. Что касается г, то оно может
быть найдено из подобия треуголь-
ников:
ДОЖсюДРЛ/^.
Пропорциональность сх одств н-
ных сторон дает:
РМ^РК
08 ОК'
или
г 2 — q
Т~ 2 ’’
Таким образом имеем параметрические уравнения конуса:
1
х = р cos ф, у = q sin <р, г = 1 — q.
Отсюда:
Mf = i cos <р 4- j sin у-— к,
2
Mv — — i q sin у 4- j q cos y.
Следовательно,
. 1 е cos (р р sin у 1 р
(ФМ,М,) = 1 COS Ф S1D Ф >
2
— gsincp pcostp = 0 *
вычитая вторую строку, умноженную на р, из первой и вынося из
последней за знак определителя р, имеем:
О 0 1
1
cos у sin у ——
— sin у cos у О
(ФМРМ₽) = р
= 4-е-
ДИВЕРГЕНЦИЯ
145
Следовательно, искомый поток определяется интегралом
JJр dg dtp,
- 8
распространенным на круг, в который проектируется конус. Инте-
грируя, получаем:
2 2гс 2
2?t .
= 4л.
о
Черт. 49.
0 0 о
Под знаком интеграла мы взяли элемент* площади в виде:
[Мв Mv ] dQ dp.
Первым взята касательная в сторону возрастания радиуса-век-
тора Q, — это направление образующей конуса вниз. Вторым мно-
жителем стоит касательная к параллельному
кругу в сторону возрастания полярного угла.
Поворот от первого множителя ко второму на
внешней стороне поверхности конуса идет по
часовой стрелке. Следовательно, положитель-
ная нормаль идет во-вне конуса. Поэтому ответ
показывает, что поток направлен во-вне ко-
нуса.
2. Найти поток векторов:
Ф = i ху + j yz 4- к zx
через все границы восьмой части
шара х2 + у1 + z2 = 1 в нормальном ко-
ординатном угле.
Кроме поверхности шара мы здесь еще имеем три плоскости
координат, но нетрудно видеть, что поток через эти плоскости равен
нулю, ибо на координатной плоскости остается не равным нулю
только один компонент поля, но и он лежит в этой плоскости и не
дает, следовательно, потока.'
Выберем на шаре (черт. 49) за координаты (криволинейные)
широту и долготу р и гр:
х = cos COS гр, у = cos р sin гр, z = sin р,
тогда
Мд, = — i sin tp cos гр — j sin p sin гр -J- к cos p,
Mv = — i cos tp sin tp + j cos tp cos гр,
, cos2 p cos гр sin гр cos tp sin tp sin гр cos p sin p cos tp
(Ф Mv) = — sin y cos гр — sin tp sin ip cos tp =
— cps p sin гр cos tp cos гр 0
~ — cos2 tp (cos2 tp cos2 гр sin гр -f- cos tp sin p sin2 ip + sin2 tp cos гр),'
и, следовательно, искомый интеграл:
— JJcos2 Ф (cos2 Ф cos2 ip sin гр -j- cos tp sin tp sin2 tp -f- sin2 tp cos tp)d<pdip.
Векторный авалив
146
ТЕОРИЙ ЙОЛЯ
Он распространен на восьмую часть шара. Значит:
2
cos2 tp sin ф + cos ф sin ф sin2 у +
о
О
л
2
+ sin2 д> cos ф) dp == —Jcos2
/ о
ф — COS2 ф
cos3ip ( cos ф sin д>
3 + 2 V ~
2
2
1
3
2
Ззг
1б
— i sin 2 sin2 Ф sin ip dtp —— fcos2^ ^cos2gp-H
2 1 .)
о о
4- ~ sin ф cos ф + sin2g) d(p = ~
Поток вычислен снаружи внутрь шара.
3. Найтипоток векторов:
ф = iyz -f-№ + к%У
через боковую поверхность пирамидтд (черт.50) с вер-
шиной
(2, 0, 0),
в точке S (0, 0, 2) и основанием О (0, 0, 0), А
В (О, 1, 0).
1) Поток через треугольник А 08.
Компонент по ндрмали:
Ф2 = jxz.
Элемент площади dx dz. Поток
2 2 — х г
— I | xz dx dz — — \ х dx I z dz ==-.
.U . ' 3
AAOS
О О
Черт. 50.
Знак минус поставлен, чтобы получить поток изнутри наружу
пирамиды, иначе компонент поля jxz дает положительное напра-
вление внутрь.
2) Поток через треугольник BOS. Можно вычислять так же,
как и раньше; покажем другой способ.
Уравнение плоскости BOS:
х = О,
иначе, полагая у и z переменными координатами, параметрическое
уравнение плоскости:
М — jy 4-
и вектдр поля в точках плоскости BOS:
—>
Ф—.iyz (ибо ж = 0).
ДИВЕРГЕНЦИЙ
147
Следовательно, считая первой координату г и второй у, чтобы
получить поток наружу пирамиды:
(Ф Мг Му) = (iyz • к /) = — yz,
и поток равен:
2-2»
С , 1
y\zdz= — -
— ^yzdydz =
лвдз б о
3) Поток через треугольник ABS.
Уравнение плоскости ABS (в отрезках):
v+s+._=l1
или
Отсюда:
z — 2—х— 2у.
и
М = ix + ТУ + к (2 — х — 2у),
Ф = гу (2—х — 2у) + jx (2 — х ~ 2у) + кху.
Вычисляем произведение:
2у — ху — 2у2 2х — ж2 -чг 2ху ху
(ФМХМА = 1 1 — 1
, О 0 —2
1
О
, ” О
или, прибавляя первый столбец к последнему:
2у '— ху — 2у2 2х — х2 — 2ху 2у — 2у2
0 0 =
1 —2
2х — х2— 2ху 2у — 2у2
1 —2 ~
= 2 (2а? — х2 — 2ху) 2у — 2у2 — 4x-f- 2у — 2х2 — 4ху — 2у2.
Следовательно, поток равен:
JJ (4х + 2у 2х2 — 4ху — 2у2) dx dy —
2 2
— 4ху— 2y2)dy = l.
О о
Итак, весь поток:
_г2_1
3 6
1
6
10*
148
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 3. Теорема Гаусса- Оетроградского. Мы теперь переходим к пер-
вой из двух фундаментальных теорем векторного анализа, которые
одновременно позволяют преобразовывать интегралы различных
кратностей и служат основанием для введения фундаментальных
понятий дивергенции (расход поля) и кёрля (вихрь поля).
Теорема Гаусса есть теорема о преобразовании тройного инте-
грала по объему в двойной интеграл по поверхности, ограничи-
вающей этот объем. В таком виде это—теорема классического
(скалярного) анализа. Так она и была даца Гауссом и на год ра-
нее Остроградским, но только в векторной форме в полной мере
выступает ее внутреннее значение.
В таком порядке мы и пойдем в изложении этой теоремы. Мы
докажем ее сначала в скалярной форме ее, а затем остановимся на
z
«•
Черт. 51.
ее значении в векторном анализе.
1. Начнем с простейшего случая, когда объем v, на который
распространяется тройной интеграл, ограничен поверхностью 8
(черт. 51), которая с прямыми па-
раллельными осями координат пе-
ресекается не более чем в двух
точках.
Пусть X, Y, Z суть произволь-
ные (с непрерывной производной)
функции трех переменных х, у и г.
Рассмотрим интеграл:
dY dZ\ , , ,
— -4----I dx dy dz,
ду dz J
распространенный на объем v.
• Мы разобьем его на три слагае-
мых, из которых одно (третье) будет:
Шdx dy dz-
Представим этот тройной интеграл в виде трехкратного, и пусть
первое (внутреннее) интегрирование будет по Порядок двух дру-
гих для нас безразличен:
Г(\ л dZ 1
I dx dy ---- dz.
J J J dz
Здесь zr— аппликата первой точки (MJ пересечения прямой
РМгМ^ параллельной оси z9 с поверхностью S, z2 — аппликата
второй точки пересечения М2. i
Двойной интеграл распространен на площадь Q проекции объ-
ема v на плоскость ху.
Первое интегрирование мы можем выполнить:
С dZ 7 „
I dz—Z (х, у, #2) У, ^i),
1
ДИВЕРГЕНЦИЯ
149
где в скобках написаны аргументы функции Z (х, у, г).
Итак, одно слагаемое будет иметь вид:
Z (х, у, г3) dx dy— j Z (ж, у, zj dx dy.
*Q 'q
Оба интеграла ‘берутся по площади Q — проекции объема v на
плоскость ху, но мы можем представить их еще в другом виде, —
мы можем рассматривать их, как интегралы по поверхности 8.
В самом деле, первый из них
JZ (х, у, z2) dx dy,
о
очевидно, представляет собой интеграл от функции Z (х, у, 2) по
верхней части S2 поверхности 8, ограниченной линией L, которая
проектируется в коцтур L' нашей проекции Q. За положительную
сторону S2 считаем внешнюю сторону ее:
j'Jz dx dy.
s,
Действительно, чтобы вычислить такой интеграл по поверхно-
сти, надо подставить в подинтегральную функцию координаты точек
поверхности 82, т. е. z — z2, и интегрировать по проекции поверх-
ности S2 на координатную плоскость ху. Эта проекция, конечно,
совпадает с проекцией Q всего объема v на ту же координатную
плоскость.
При этом положительная (внешняя) сторона поверхности 82
проектируется на положительную же сторону плоскости ху.
Иначе дело обстоит со вторым слагаемым:
— jjz (х, у, Sj) dx dy.
Q
И здесь мы имеем интеграл по поверхности — по поверхности
нижней части всей поверхности 8— от той же функции Z(x,y,z),
но теперь положительной стороне проекции Q (т. е. плоскости ху)
соответствовала бы внутренняя (вверх1.) сторона поверхности 8V
Мы воспользуемся знаком минус перед интегралом, чтобы рассма-
тривать и его по внешней стороне поверхности 8,.
Итак:
J[У dx dy dz — У ^Z dx dy 4- У Z dx dy.
V S2 Si
Но поверхности 82 и S1 составят всю поверхность 8, причем
внешние стороны их как раз соответствуют внешней стороне по-
верхности 8.
Итак:
УУУ - dx dy dz — У ^Z dx dy.
v dz ©
160
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Интеграл по объему v преобразован в интеграл по внешней
"поверхности 8, ограничивающей этот объем.
Совершенно так же:
JJJ dv = JJ ^s’
JJJ dx dy dz — J J X dy dz,
и, складывая все три, имеем:
B(^ + ^- + ^\dxdydz = N(Xdydz + Y dzdx + Zdxdy). (3)
y \ dx dy dz J d §
При этом интеграл в правой части берется по внешней по-
верхности & •
2. Перейдем теперь к рассмотрению объема v, ограниченного
произвольной поверхностью 8. Эта поверхность должна быть, ко-
нечно, двусторонней, т. е. на ней можно различить внешнюю и
внутреннюю сторону (и, кроме того, она должна
быть непрерывной и т. д.).
Разобьем весь объем v плоскостями, парал-
лельными координатным плоскостям, на более
или менее мелкие части. Граница каждой части
будет удовлетворять условию, поставленному для
поверхности 8,— прямые, параллельные осям координат, пересе-
кают ее не более чем в двух точках.
К каждой такой части будет применима формул! (3):
Черт. 52.
fff № + dJL + dJL\dxdydz = <\[(Xdydz + Ydzdx + Zdxdy). (3)
•jdd ydx dy dzJ Jg'
Сложим все такие равенства.
В левой части мы получим тогда тройной интеграл, распро-
страненный на весь объем v = + v2 4-...
Справа мы будем иметь интеграл по всем поверхностям 8ц 82..
ограничивающим наши частные объемы vv v2,...; но следует иметь
в виду, ,что граница, общая двум частям и о3 (внутренняя пере-
городка), будет по-разному расположена жо отношению к той и
другой части (черт. 52).
Если 8' есть общая граница для и о2, то внешняя сторона
8' по отношению к (верхняя сторона) будет внутренней для v2.
Изменение положительной стороны поверхности интеграции на
отрицательную меняет знак интеграла. Следовательно, двойной
интеграл по поверхности 8' войдет дважды: один раз 8' фигури-
рует как поверхность объема vv а другой раз из поверхности,
ограничивающей объем v2. Эти два интеграла войдут с разными
знаками в силу различного определения внешней (положительной)
стороны 8'. 'Они, следовательно, сократятся.
ДИВЕРГЕНЦИЯ
161
То жеможно повторить относительно всякой внутренней грани,
т. е. грани, общей двум частям. По сокращении этих интегралов
останется только интеграл по внешним границам, т. е. интеграл
по внешней поверхности >8 всего нашего объема v:
dx dy dz = J J (X dy dz + У dz dx Z dx dy).
v \
Итак:
ТЕОРЕМА ГАУССА. Для всякой (с предыдущим ограничением)
замкнутой посерхности S, ограничивающей объем и:
W(— + ^ + —\dx#ydg = ^(Xdydz + Ydzdx+Zdxdy), (4)
J фэ \ дх ду дг/ о о
причем двойной интеграл берется по внешней поверхности 8.
Замечание. Теорема Гаусса утверждает равенство тройного
и двойного интегралов. Мы видели, что тройной интеграл может
' быть приведен к интегралу поверхности (4). Ниоткуда не видно,
чтобы обратно интеграл по поверхности мог быть преобразован
в тройной интеграл по объему томно одним способом.
§ 4. Расход поля (дивергенция). Перейдем теперь к геометри-
ческому истолкованию формулы (4).
Начнем с правой части ее:'
JJ (X dy dz + Y dz dx -f- Z dx dy).
Мы уже видели, что этот интеграл по поверхности дает поток
поля
Ф — iX + jY 4- kZ
через поверхность 8 изнутри наружу. Таким образом правая часть
формулы (4) имеет геометрический смысл независимо от выбора
системы координат. Должна иметь такой смысл и левая часть (4).
Нетрудно отсюда вывести, что и подинтегральная функция
,• . дХ , dY , dZ
<р{х,у, *) = —+ —+ —
дх ду дг
имеет величину, не зависящую от выбора системы координат.
В самом деле, возьмем около данной точки М какую-либо замкну-
тую поверхность 8, ограничивающую весьма малый объем v,—
например сферу с центром в точке М радиуса R.
Если мы обозначим через наименьшее значение
Функции у> (х, у, г) внутри 8, а через т2 — наибольшее ее значение,
то очевидно:
<р (ж, У, #) dx dy dz < J JJ m2 dx dy dz,
152
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
или, вынося постоянные т1 и т2 за знак интеграла:
УУУ dx dy <УУУ У, 2)dx dy dz <^т2 dx dydz,
V V V
но тройной интеграл
JJJ dx dy dz — v
V
определяет объем । v, ограниченный нашей поверхностью 8. Деля
на v все члены нашего равенства, мы получим:
JJj* (ж, у, z)dxdy dz
1 v -
или, в силу теоремы Гаусса (4),
< - — JJ Ф d со < т2,
v
ибо средний член нашего неравенства дает поток векторов через
поверхность 8.
Будем теперь уменьшать размеры нашей поверхности 8, так,
чтобы она стягивалась в точку, и объем v стремился бы к' нулю.
Мы можем этого, достигнуть, например, неограниченно приближая
к нулю радиус В, взятой нами сферы.
Если функция у> (х, у, z) непрерывна внутри области 8, то ее
наименьшее значение mt и наибольшее т2 будут неограниченно
приближаться друг к другу и в пределе совпадут с ее значением
в точке М. Итак, обозначая через ж, у, z координаты точки М,
имеем:
(5)
Ф (х, у, г) = lim-
Правая часть равенства (5) имеет вполне определенный геоме-
трический смысл независимо от выбора системы координат. Следо-
вательно, и левая часть — инвариант относительно выбора системы
координат, т. е. имеет в точке М определенное одно и то же зна-
чение, как бы ни выбирать оси координат.
Эта величина
. . дХ dY , dZ
дх ду dz
называется дивергенцией и обозначается начальными буквами
латинского слова divergentia (подобно логарифму):
х дх dY '
4div Ф = -- - - 4- —
дх ду dz
(6)
ДИВЕРГЕНЦИЯ
153
На русском языке можно было бы передать это словом расход
поля в данной точке. Следовательно,
div Ф — lim-------•
»=о v
Пользуясь этим обозначением, можно записать теорему Гаусса
в виде:
Ф dm (7)
V 8 ,
— это векторная форма теоремы Гаусса.
Геометрическая интерпретация. Формула (5) показывает геомет-
рический смысл полученной нами-величины.
Будем рассматривать наше поле:
* Ф = iX + jY + kZ
как поле скоростей движения жидкости или газа, т. е. будем счи-
тать, что во всякой точке М (х, у, z) скорость движения частицы
жидкости определена вектором Ф.
Возьмем произвольную замкнутую поверхность 8. Формула (7).
определяет количество жидкости, которое из нее вытечет в еди-
ницу времени,—через некоторые части поверхности жидкость мо-
жет втекать внутрь, через другие вытекать наружу; формула (7)
дает алгебраическую сумму вытекающей и втекающей жидкости,
причем положительный знак, соответствует вытеканию.
Количество вытекшей через всю замкнутую поверхность жид-
кости надо разделить на объем, ограниченный поверхностью, и
перейти к пределу, когда поверхность стягивается в точку. Пре-
дел нашего отношения и есть дивергенция (расход) поля в данной
точке.
Несомненно, что здесь существует известная аналогия с опре-
делением производной как предела отношения приращения функ-
ции к приращению аргумента.
Чтобы лучше себе представить влияние расхода поля на харак-
тер самого векторного поля, допустим сначала, что дивергенция
везде тождественно равна нулю:
div Ф = 0.
В таком случае теорема Гаусса показывает, что поток через
любую замкнутую поверхность равен нулю, т. е. через нее столько же
жидкости вытекает, сколько втекает. Следовательно, количество
жидкости в любом выбранном объеме останется без изменения.
Мы имеем движение несжимаемой жидкости.
Итак, поле, расход которого равен нулю, можно интерпретиро-
вать как поле скоростей движения несжимаемой жидкости. Точно
154
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
так же, если мы имеем установившееся движение тепла,
электричества и т. п., то в силу определения каждый объем
будет содержать неизменное количество тепла, поток чёрез любую
замкнутую поверхность будет равен нулю, и поле скоростей
будет иметь дивергенцию, равную нулю.
Такое поле называется соленоидальным полем.
§ 5. Линии тока. Так называются линии, которые в каждой
точке имеют касательным вектором вектор поля. Это, очевидно,
линии, по которым двигаются частицы жидкости, если наше поле
есть поле скоростей жидкости. В зависимости от интерпретации
поля их называют также силовыми линиями.
Если дано поле
Ф = iJL /Т IcZf
то линии тока получатся интегрированием обыкновенных дифе-
ренциальных уравнений.
Действительно, если
м = м (9
есть уравнение линий тока, то касательная к ней определена про-
изводной или диференциалом:
—>
dM =idx-]-j dy 4- к ds,
а так как касательная совпадает с вектором поля, то
dM = ЛФ,
где Л —множитель пропорциональности (скаляр). Из пропорцио-
нальности векторов следует пропорциональность координат их.
Отсюда основное уравнение: \
dy ds
которое определяет линии тока.
Пример? Дано поле:
л i j к
Ф ~~ » .
X у S
Найти линии тока.
Решение. Линии определены уравнением:
— х dx = у dy = zdz.
Общий интеграл:
^ + ^ = 01, я2 + я2 = С2.
Это—линии пересечения круглых цилиндров с осями по оси z и поЧгси tf.
Общий интеграл уравнения (8) содержит два произвольных по-
стоянных. Следовательно, молено произвольно задать точку, т. е.
значения х, у, г, и из двух уравйений найти и Са, — через вся-
кую точку пространства проходит одна линия тока.
ДИВЕРГЕНЦИЯ
156
Силовая трубка. Возьмем в пространстве некоторый замкну-
тый контур С. Через каждую точку его проходит линия тока.
Геометрическое место их образует поверхность, которую называют
силовой трубкой, так как она образована силовыми линиями
(линиями тока).
Пусть наше поле соленоидальное, т. е.
div Ф = О
во всем поле. Рассмотрим объем v (черт. 53), ограниченный си-
ловой трубкой S и ее двумя сечениями и С2. По теореме
Гаусса:
div Ф г = d JJ Ф dtt) + Ф
V S С1 с,
но расход поля равен нулю, значит, весь тройной интеграл равен
нулю. Двойной интеграл по поверхности трубки 8 тоже будет нуль,
ибо вектор Ф всегда направлен по касательной к
поверхности 8, следовательно, скалярное произве-
дение Ф dec его на нормаль к поверхности равно
нулю. Остаются только два интеграла по двум
сечениям трубки Сг и Са. Оба берутся по внеш-
ней поверхности сечения относительно объема V.'
Следовательно, если один берется в положительном
направлении тока по линии тока, то другой—в
отрицательном.
Изменим положительную сторону одного из се-
чений, например Clt так, чтобы и С2 имели оди-
наковое расположение положительных сторон от-
носительно положительного направления линий
последний интеграл переменит знак, и мы будем иметь:
Cl
Черт. 53.
тока. Тогда
(9)
с. сг
Эта формула доказывает.почти очевидный факт, что в солено-
идальном поле поток векторов через любое сечение
силовой трубки один и тот же.
Отсюда сейчас же следует, что в соленоидальном поле силовая
трубка не может оборваться. Она или уйдет в бесконечность, или
окончится на границах поля, где, дивергенция не равна нулю, или
замкнется так, что каждая -линия тока будет замкнутой линиейГ
Обычно предполагают, что в бесконечности поле равно нулю.
Если, кроме того, поле везде—непрерывно, и всюду расход его—нуль,
то линии тока все должны быть замкнуты.
1 Возможно еще, что линии тока будут без конца навиваться в конечной
области без того, чтобы замкнуться.
156
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Таким образом характерной особенностью солено- |
идального поля является замкнутость его линий
тока. . .
Допустим теперь, что в некоторой точке нашего поля или даже
в некО1Орой области расход поля не равен нулю и имеет положи- #
тельное значение. Тогда поток векторов через поверхность, охва- *
тывающую эту точку (или эту область), не равен нулю. В такой
области силовые трубки будут возникать и итти в области с отри- Г
дательной дивергенцией. Если мы воспользуемся нашей интерпре-
тацией поля как поля скоростей движения жидкости, то надо f
сказать, что жидкость из области с положительным расходом течет |
в область с отрицательным. Отсюда название источник или |
„исток" для области с положительной дивергенцией. Область с
отрицательной дивергенцией можно назвать отрицательным
источником или „стоком". . ' >
§ 6. Применение оператора Гамильтона. Чтобы закончить эту |
главу о расходе поля, нам остается Доказать, как может быть по- 5
лучена дивергейция с помощью оператора Гамильтона „набла".
Мы знаем, что оператор Гамильтона
+ fc > (Ю).
дх ду дз'
если его применить к скаляру (скалярной функции точки)
V = V(x,y,3),
. дает градиент скалярного поля i
grad V =V7. (11)
Чтобы вычислить этот символ, нам надо перемножить алгебраи-
чески символический „вектор" (10):
А д , . д , , д \ TZ .dV , ,dV , , dV
vv — (г-----hl----h &—\V = г---H-----h к - ,
\ dx dy ds J dx dy ds
d TZ dV ,
и после этого произведения — V читать как производные — и т. д.
дх дх
Оказывается, и в этом весь смысл введения оператора Гамиль-
• тона, что в применении к вектору (векторной функции точки)
Ф = ф (ж, у, г)
тот же оператор дает дивергенцию векторного поля.
Даже более того, мы знаем только один вид умножения вектора
на скаляр — в частости символического вектора V на скалярную t
функцию V (х,у,з):
V V — grad V,
но мы знаем два вида умножения вектора на вектор, скалярное и ;
векторное произведения, — мы можем двумя способами применять
оператор Гамильтона к векторному полю Ф (х, у, з). я
ДИВЕРГЕНЦИЙ 157
И весьма замечательно, что оба раза мы получаем некоторую
величину—скаляр или вектор,—-внутреннимобразом характеризую-
щую заданное векторное поле.
Будем прежде всего рассматривать наше символическое про-
изведение как скалярное:
Л—(iX+jY + kZ).
' \ дх ду dz I
Применяя обычные правила скалярного умножения к этому
символическому произведению, мы получим:
д ’ dY dZ /iO
V$ =-----1---1--=div<2>. (12)
dx dy dz
Таким образом дивергенция есть результат скалярного. умноже-
ния V на вектор поля Ф. -
Как сказано выше, мы можем применить оператор Гамильтона-
векторно. Рассмотрим векторное произведение:
\ дх ду дг J
Применяя обычные правила векторного умножения, имеем:
.fdZ dY\ , . ( дХ dZ\ '/dY дХ\ “ ,1ОЧ
[V0]=H-—- в ------------— +М-------т- • (13)
\ду дг j \дг дх) \дх ду)
Рассматривая согласно нашему условию алгебраические произ-
д ' dZ • х
ведения — хит. д. как производные — и т. д., мы имеем в фор-
ду ду
муле (13) вектор, заданный в каждой точке поля Ф (х, у\ г). Мы
уже говорили об этом векторе выше (§ 7, гл. I). Равенство нулю
всех трех компонентов вектора, мы видели, есть условие, что
наше поле потенциальное, что это — поле градиентов. Мы перехо-
дим к рассмотрению этого вектора, называемого curl Ф (= вихрь
поля), в следующей главе.
?
I
Глава III. ВИХРЬ ПОЛЯ.
Для введения второй диференциальной характеристики вектор-
ного поля—вихря поля—мы изберем тот же путь, которым мы .:
следовали, вводя расход поля div<Z>. Обращаясь к физической
интерпретации поля, мы придем к вектору, имеющему конкретный .
физический смысл. - Этим самым будет доказана инвариантность
(неизменяемость) вводимого вектора—вихряполя—при изменении
системы координат, и вместе с тем мы получим некоторый кон-
кретный образ, связанный с математическим символом—вихрь поля.
Подобно тому как при введении дивергенции мы опирались на
теорему Гаусса-Остроградского, которая дала, нам возможность ?
обосновать неизменяемость расхода поля при повороте системы ’
координат и вместе с тем представляла основное преобразование .
дивергенции через поток векторов, так здесь основную роль будет
играть теорема Стокса. Это тоже теорема классического анализа
(скалярного). Она дает преобразование интеграла по кривой
в интеграл по поверхности. Свое полное значение она приобретает
в векторном анализе и служит фундаментом для введения понятия '
вихря поля.
§ 1. Теорема Стокса. Если X, Y, Z суть три произволь-
ные функции переменных ж, у, « — непрерывные и
с непрерывными первыми производными, то суще-
ствует тождество:
^(Xdx + Ydy
С
ЭУ\, /7 .
— ]dy ds +
dz )
dz dx 4-
dY
dx
dX
dy
(1)
Здесь интеграл в левой части берется на замкнутой кривой С
(не имеющей кратных точек, т. е. не пересекающей себя); интеграл
в правой части распространен на поверхность 8, ограниченную
контуром С. Поверхность 8 тоже не имеет кратных точек. Кроме
того, она, двусторонняя, т. е. на ней можно различить две
стороны, одну из которых мы будем считать положительной. Двойной
интеграл распространен на положительную сторону поверхности 8.
Заметим, наконец, что эта положительная сторона поверхности 8
связана с положительным направлением на ее контуре С таким
образом, что на положительной стороне 8 движение в положительном
направлении контура С определяет положительное вращение.
ВИХРЬ ПОЛЯ
159
Перейдем к доказательству этой теоремы. Оно проводится просто,
если воспользоваться теоремой о преобразовании переменных
в двойном интеграле. Пусть поверхность 8 определена уравнением:
М =* М (и, v),
х = х(и, v), у (и, v), г = z (и, ®), (а)
здесь и и v — криволинейные координаты на поверхности.
Примем их за независимые переменные и преобразуем к этим
переменным двойной интеграл в правой части формулы (1).
По общей -формуле преобразования переменных в двойном
интеграле:
f f/ (х, У) dxdy — f f/ [ж(и, v),y (и, «)] - du dv,
Л д(и, V)
a s
d (x, y) где якобиан —означает: ..
d (и, v)
dx dy
d (x, y) = du du
d (u, v) dx. dy
dv dv
Интеграл берется по той стороне поверхности 8, на которой
вращение от положительного направления линии и к положитель-
ному направлению линии v идет в положительном направлении
вращения.
Преобразуем по этому правилу интеграл, стоящий в правой
части формулы (1):
, ГГГ(dZ dY\, , , (дХ dZ\, . , fdY dX\ , , 1
1 = I \-------—\dyaz-\- -------1Й2<?а:+|------\dxdy =
J J [ \дУ ' °s ) \ dz dx) \dx ду /
дЛУ’3 + fiX—62' d(z,x) +
’ _ \ dy dz J д (и, v) \ dz дх ) d (и, v)
'dY d (ж, у)'
кдх dy )-d(u,v)
du dv.
Сгруппируем члены в выражении, стоящем под знаком инте-
грала. Расвмотрим, например, члены с производными отХ:
дХ d(z,x) дХ d(x,y) _
dz d (и, v) ду д (и, v)
dX /dz дх dz dx\ dX fдхду dxdy''
dz \du dv dv duj dy \du dv dv du
160
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
дх I
Соберем отдельно чле'ны с — и с —; мы получим:
ди dv
~ дХ ду дХ dz ' дх ’ дХ ду । дХ дх
ду ди dz ди dv ду dv dz dv ди
Если еще добавить два члена равных и с обратным знаком:
' дХ дхдх дХ дхдх
дх dudv дх dudv
то мы получим:
' дХ д (г, ж)
дг д (и, V)
_ " дХ дх । дХ ду । дХ дг ’ дх
дх би ду ди дг ди J dv
дХ дх дХ дх _ д (X, х)
ди dv dv ди д (и, v)
дХ д(х,у) =
ду д (и, v)
' дХ дх ' дХ ду
—-----1-----
дх dv ду dv
дХ dz 1 дх
dz dv ди
Итак:
Г Г Г дХ д (г, х) _ дХ д (х, у)'
J J дг д (и, v) ду д (и, v)
s
dudv =
dudv ~
S S'
Последнее преобразование, очевидно, выполнено на основании
той же теоремы о замене переменных в двойном интеграле, но
только примененной в обратном направлении.
Возьмем на нашей поверхности S сеть линий (черт. 54):
X = const и X = const
(линии х = const суть сечения поверхности плоскостями, перпен-
дикулярными к оси х) и допустим, что каждая из этих линий пере-
секается с контуром С только в двух точках. Если было бы иначе,
то, разбивая поверхность Я на части и применяя теорему к каждой
отдельной части, мы доказали бы ее и для всей поверхности S.
Преобразуем наш двойной интеграл в двукратный, выполняя
первую (внутреннюю) интеграцию по X:
Ii = ^dXdx= рж рХ.
S-- Xi
Пределы внутреннего интеграла X, и Х2. суть функции от х.
Это те два крайние значения переменной X, которые она прини-
мает для некоторого произвольного, но постоянного х, т. е. зна- •
чение X в двух точках пересечения линии х = const с контуром С .
поверхности S.
ВИХРЬ ПОЛЯ
161
переменная х принимает на выде-
е. значение х в двух точках АиВ
Черт. 54.
Пределы внешнего идтеграла и х2 суть постоянные числа. Это
два крайних значения, которые
ленном куске поверхности <8, т.
контура С слева и справа, где
линия х — const касается кон-
тура.
Очевидно, внутренняя инте-
грация может быть выполнена:
х»
dX = X2-X1,
X,
и, следовательно, наш двойной
интеграл примет вид:
= рХ2 dx —JXj dx.
гсх 4
4
Нетрудно видеть, что первый интеграл есть криволинейный
интеграл по дуге АтВ от функции X. Действительно, при изменении
переменной х от хг до х2 функция X принимает значения, соответ-
ствующие точкам дуги АтВ. - ‘
Совершенно так же второй интеграл взят от той . же функции
по дуге АпВ.
Ix = JJ dX dx = j* X dx— J Xdx.
8 АтВ АпВ
Меняя во втором интеграле направление обхода (переставляя
пределы) и одновременно меняя знак, мы получим: '
I1= § Xdx А § X dx = ф X dx.
АтВ ВпА С
При этом контур С обходится в направлении АтВпА. Заметим
теперь, что двойной интеграл
= JJdu dv = j’J dX dx
берется по той стороне поверхности S, на которой вращение от
положительного направления линии X (т. е. линии х = const) к по-
ложительному направлению линии х (т. е. линии X — const) видно
в положительном направлении, т. е. по часовой стрелке. Так как
положительное направление линии х есть то направление, в котором
параметр х возрастает, то, очевидно, обход контура С совершается ,
тоже в том же положительном направлении, т. е. по часовой
стрелке на положительной стороне поверхности 8.
Векторный анапкд Ц
162
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Такое же преобразование можно выполнить и над двумя другими
интегралами 12 и 13, на которые распадается интеграл Г.
I2 = $^dxdy—^dydz\ = £Ydy,
8 с
HfdZ , , dZ , ,\
— dy dz---dzdx\ — AtZdz.
\dy dx J J
s c
При этом в интегралах по контуру С положительный обход его
определяется тем же правилом: на положительной стороне поверх-
ности S он идет в положительном направлении—по часовой
стрелке.
Складывая эти три интеграла, получим:
I = Д + 12 + Ц = (fi(Xdx + Ydy -j- Zdz)-
о
Таким образом наша теорема доказана.
§ 2. Теорема Стокса в векторном анализе. Мы доказали теорему
Стокса как теорему классического анализа (скалярных величин), i
как некоторое преобразование интеграла по кривой в интеграл по
поверхности.
Однако все свое значение эта теорема приобретает (подобно -
теореме Гаусса) в векторном анализе.
Пусть мы имеем векторное поле:
Ф = iX -J- jY 4~ ItZ. •
В таком случае интеграл по кривой имеет определенный смысл: '
ф (Xdx 4-У dy + Z dz) = (f)&dM.
с ' с
Это работа поля по замкнутому контуру, которая иногда в ме-
ханике называется циркуляцией вектора по замкнутому
контуру.
Рассмотрим теперь новый вектор, составленный таким образом:
-* .(dZ dY\ , ./дХ dZ\ , .fdY дХ\
tp = t-----)+Н---------l + M-------• (2)
\dy dz J \dz dx J \dx dy j
. В таком случае правая часть формулы Стокса (1) — интеграл по
поверхности—тоже получит простой геометрический смысл:
3
dY\, , , fdX dZ\. , , fdY dX
----\dydz 4-----------\dzdx 4--------
dz J \dz dx j \dx dy
3
Это—поток векторов гр через поверхность 8-
ВИХРЬ ПОЛЯ
163
. Итак:
^ipdm = ф ФйМ, (3)
8 о
поток векторов tp через поверхность 8 равен работе поля Ф по -кон-
туру С, который ограничивает эту поверхность.
Нетрудно отсюда притти к заключению о геометрическом смысле
вектора ip .
Возьмем через данную точку 2И0 какую-либо плоскость и опишем
в этой плоскости вокруг точки Мо малый контур С—например
окружность малого радиуса. Тогда:
—> —>
ip dm.
° а
Первый интеграл взят по окружности С, второй по площади
круга <8. Теперь вектор dm во всех точках поверхности 8 (плоскости)
имеет одно направление — перпендикуляр к плоскости.
Если мы обозначим единичный вектор этого направления буквой п,
то мы имеем:
^3dM =
da) — п dm,
где dm— скалярный элемент площади.
((tpda> ~ JJ nd(a ~
' S В 8
где
ip1 = ipn
есть проекция вектора^ на это достоянное направление—да пер-
пендикуляр к выбранной нами плоскости.
По теореме о среднем значении интеграла можно выбрать такое
среднее значение (ipj)0 функции внутри круга S, чтобы
JJ-tPi dm = J Г (1P1)O dm = (v>i)o J J dm = (^)0S,
8 S 8
где 8 есть площадь нашего малого круга.
Внося это значение в формулу (3), получим:
(Vl)o = —a-------
Будем теперь переходить к пределу, полагая, что радиус круга 8
стремится к нулю таким образом, что круг стягивается в точку 2И0.
11*
164
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Естественно, что пределом (^1)0 будет значение функции
в точке Мо. Мы обозначим его ради простоты через
Итак:
-(4)
f3dM
’Pi = Hm —
8 = 0 О
Как видим, здесь имеется большая аналогия с определением рас-
хода поля (дивергенции) в точке Мо. Разница только в том, что
мы теперь получаем не самый вектор гр, а его проекцию V’i — про-
екцию на некоторое произвольно выбранное направление п (оно
—>
произвольно потому, что произвольна плоскость, к которой п
перпендикулярно).
Так как проекция вектора на любое направление остается
неизменной при изменении системы координат, то и сам вектор у
инвариантен (неизменен) относительно вращения системы координат.
Неизменность же проекции ipt прямо следует из формулы (4),—
она определена геометрически, независимо ни от какой коорди-
натной системы.
Итак, мы пришли к тому выводу, который нам был нужен,—
вектор ip, определяемый формулой (2), есть вектор инвариантный
относительно преобразования системы координат. Следовательно’
это—вектор, определяющий некоторое физическое свойство поля'
Этот вектор в английской литературе, а за ней и на конти-
ненте, называется к ё р л (curl), по-русски его удобно перевести словом,
вихрь, ибо он действительно указывает на вихревое движение,
определяемое полем. Его обозначим так:
n -g .fdZ dY\ , . ГдХ dZ\ , . (дХ дХ\ ...
спг1Ф = г -----— -Н --------— ] + к Н-----
\ду дг J \дг дх / \дх ду J
Следовательно, теорема Стокса в терминах векторного анализа
напишется так:
д>Ф dM = J j curl Ф dm.
о s
Здесь С есть контур поверхности S и обходится так, что опре-
деляет на положительной стороне поверхности. S вращение tro ча-
совой стрелке.
§ 3. Поле'вихрей. Постараемся теперь представить себе, какое ж®
физическое свойство поля определяется вихрем поля curl Ф. J
Это несколько труднее сделать по отношению к этой второй
характеристике поля—труднее, чем по отношению к дивергенции
ибо теперь мы имеем дело с вектором, а не со скаляром. Однако
ВИХРЬ ПОЛЯ
165
здесь можно дать геометрическое толкование и даже не одно, а два,.
Первое из них непосредственно вытекает из формулы Стокса. Здесь
поток вихрей преобразуется в работу поля.
Итак, допустим, что наше поле Ф есть поле сил, и спросим
себя прежде всего, что значит, что поле не имеет вихрей, что
curl Ф = 0.
Тогда, очевидно, поток вихрей
JJ curl ф dm = О
всегда равен нулю, через всякую поверхность 8; а следовательно,
по теореме Стокса, работа поля по всякому контуру С равна нулю
о
Мы знаем, что этим свойством обладает только потенциальное
поле. В этом случае существует потенциал V:
Ф = grad V.
Итак, необходимое и достаточное условие, чтобы
поле обладало потенциалом,есть отсутствие вихрей:
curl Ф = 0.
Нетрудно заметить, что это непосредственно вытекает из устано-
вленного нами (§ 7 гл. I) аналитического признака потенциального
поля. Лучше сказать, этот аналитический признак и состоит
в равенстве нулю трех компонентов вихря.
Перейдем теперь к вопросу, какой же эффект получится, если
в поле возник вихрь, если в какой-либо точке curl Ф не равен нулю.
Еще раньше, однако, надо спросить: может ли вихрь поля быть
отличным от нуля только в одной точке?
—> —>•
Итак, спросим себя, какое поле определяет вектор гр = curl Ф?
ТЕОРЕМА. Поле, вихрей есть соленоидалъное поле.
Нам надо доказать, говоря иными словами, что расход этого
поля всюду равен нулю:
div гр =div curl Ф = 0.
Эту теорему можно доказать разными путями. Прежде всего чисто
геометрически.
По теореме Стокса
fj* curl ФЛо> = ф ФйМ,
S о
166
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
поток вихрей через поверхность S равен работе поля Ф по конту-
ру С этой поверхности. Будем теперь этот контур сжимать и
обратим его в точку. Поверхность S, очевидно, обратится незамкнутую
поверхность, а работа поля Ф по бесконечно малому контуру С
в пределе будет равна нулю: /
JJ curl Ф da = 0.
s
—> —>•
Итак, поток вектора у = curl Ф через всякую замкнутую поверх-
ность S равен нулю. До теореме Гаусса:
JJJ div ipdv;
S *V '
, это значит, что- расход поля ip во всякой точке равен нулю, т. е. по-
—>
ле гр есть соленоидальное поле.
Еще быстрее это докажем, воспользовавшись свойствами опера-
тора Гамильтона „набла".
Мы уже видели [ем. формулу (13) § 7 предыдущей главы],
—>
что вихрь поля Ф может быть получен векторным умножением
оператора Гамильтона v
спг1Ф7=[Ф].
С другой стороны, расход поля ip получается скалярным умноже-
нием на оператор Гамильтона:
div ip — Vip.
Итак, искомая .величина
div curl Ф =V [\7Ф].
В правой части стоит символическое произведение трех векторов.
Мы можем, однако, к нему применять все правила обычнбго умно-
жения векторов. Основное свойство такого скалярного произведения
трех векторов
z (1 ВС) = А [ВС]
есть возможность переставить множители при условии соблюдения
одного и того же кругового порядка. Значит:
V [V0]=[VV] Ф-
Но векторное произведение двух равных векторов равно нулю
[VV] = 0.
Итак:
div curl Ф = 0.
ВИХРЬ ПОЛЯ
167
Наконец, это нетрудно проверить и непосредственным дйферен-
цированием.
§ 4. Влияние вихревого кольца на работу поля. Итак, поле вихрей
всегда есть соленоидальное поле. Это значит, что силовые линии
такого поля (при условии непрерывности) или замкнуты или уходят
в бесконечность. 4
Значит, нельзя допустить, чтобы вихрь поля был отличен от
нуля только в одной точке.
Возьмем малый замкнутый контур (например, окружность малого
радиуса) около точки М и проведем силовые линии вихревого
поля сиг! Ф в точках этого контура.
Мы получим трубку—вихревую / |
трубку, или в случае бесконечно ма- / j В
лого контура—вихревую нить. / ///у / '
Такая нить не может тогда обор- \^/ /// J Vy
ваться (при условии непрерывности н/ / н
поля). Она или уйдет в бесконечность, // / I
или замкнется. И / II
Такая замкнутая (или уходящая в Д\ / __//
бесконечность) вихревая нить и явля- '/х
ется тем элементом вихрей в поле Ф, Кз
эффект которого мы должны изу- I
чить.
Итак, допустим, теперь, что суще-
ствует (неравная нулю) одна вихревая Черт. 55. •
нить В (черт. 55). Всюду вне этой бесконечно тонкой трубки В
вихри отсутствует:
—►
curl Ф = 0.
Что касается распределения напряженности вихрей внутри трубки,
то оно подчиняется простому закону.
Поток вихрей через любое сечение трубки один и тот же.
Обозначим этот поток буквой д. Мы будем считать q конечной ве-
личиной, хотя бы сечение вихревой трубки было бесконечно-мало.
Среди всех замкнутых контуров можно выделить прежде всего
такие контуры (например, Сх, С2), которые могут ограничивать (на
которые можно натянуть) поверхность, которая бы не пересекала
вихревой нити. Работа по такому контуру равна нулю, ибо, по
теореме Стокса, эта работа равна потоку вихрей через поверх-
ность, ограниченную контуром, а на такой поверхности вихрь поля
везде равен нулю, если она не пересекает единственную вихре-
вую нить.
Нетрудно дать характерный признак всех таких контуров:
такой контур можно непрерывным изменением
свести в точку, не пересекая вихревой нити.
Действительно, при этом преобразовании наш контур опишет
некоторую поверхность £? — геометрическое место всех положений
168
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
контура. Эта поверхность ограничена заданным контуром и, очевидно,
не пересекает нити.
Кроме этих контуров существуют ещё другие, которые заце-
плены с вихревым кольцом подобно звеньям цепи. Их нельзя
свести в точку, не пересекая вихревой нити, но возможно, если
пересечь нить один раз. Таков, например, контур С3. При этом
преобразовании наш контур опишет поверхность 8, которая пере-
сечет только один раз вихревую нить.
Применяя теорему Стокса к контуру С3 и поверхности S, мы
преобразуем работу поля по контуру в поток векторов через по-
верхность 8, но теперь этот поток уже не равен нулю. Действи-
тельно, вихрь поля будет всюду на поверхности В равен нулю
кроме тех точек ее, где она пересекает вихревую трубку. Мы
обозначим через q поток векторов через любое сечение трубки
(ибо для всякого сечения это одно и то же число). Следовательно,
„ поток вихрей через поверхность <8 будет ра-
. 'вен ТОМУ же Ч0слу q.
Итак, работа поля по контуру С3:
Н 5 ]| <£ф<Ш = д,
\\ ''JJ и то же самое будет справедливо для всякого
'Х 1 контура этой категории.
IN Далее можно выделить такие контуры,
I которые охватывают два-три и более раз вих-
\ / ревую нить так, что они могут быть сведены в
44—S точку только после двукратного, трехкратного
q п и т. д. пересечения с нитью. Работа по таким
черт. 5ь. контурам будет равна 2g, 3g и т. д., вообще
будет кратна g (конечно, работа может быть отрицательна при
обратном обходе контура).
Таким образом при наличии одного вихревого кольца поле пе-
рестает быть потенциальным; найдутся контуры, по которым работа
поля не равна нулю.
Мы можем, однако, сделать это поле потенциальным, если мы
устраним те контуры, по которым работа не равна нулю.
Проведем какую-либо поверхность S (черт. 56), которая была бы
ограничена вихревым кольцом В, как контуром * Будем рассматри-
вать эту поверхность S каьг часть той поверхности, которая огра-
ничивает пространство, в котором имеет место векторное поле.
В частности, если других границ йет (если поле уходит в беско-
нечность), то мы будем рассматривать S как единственную границу.
При таком условии в новом полученном пространстве возможны
только контуры первой категории, работа по которым равна нулю.
Таким образом, добавляя новую границу нашего пространства —
поверхность 8, мы делаем наше поле потенциальным.
1 Мы принимаем здесь вихревое кольцо бесконечно тонким.
ВИХРЬ ПОЛЯ
1$9
Пусть V его потенциал, следовательно:
Ф = grad V.
Работа поля на пути MN, по общему правилу, будет равна раз-
ности потенциалов в начале М и в конце N пути.
Пусть теперь наш путь MN пересекает поверхность8 в точке т.
Работа по замкнутому- контуру MmNnM, пересекающему поверх-
ность 8, по условию, равна: -
ф Ф dM = q.
MmNnM
Разбивая этот интеграл на два, получим:
^'$dM = q— J ~$dM,
MmN NnM
а так как интеграл в правой части берется по кривой, не пере-
секающей поверхность 8, то он может быть вычислен так, как
если бы поле было потенциальным, т. е. он равен разности значений
потенциала V в точках NnM.
Итак, искомая работа:
J ^dM=q+vN~vM. :
MmN
Как видим, эта работа более той, которая должна была бы быть
в потенциальном поле при переходе из точки М в точку N,—
более на величину q. Мы можем представить себе дело так, что и
после пересечения .поверхности 8 мы остаемся в потенциальном
поле, но величина потенциала в каждой точке изменилась на д:
V^V + q.
При новом обходе потенциал еще вырастет на величину q и т. д.
Таким образом при наличии одного вихревого кольца поле
можно рассматривать как имеющее потенциал, но потенциал в виде
периодической-функции точки. При каждом обходе через кольцо Б
потенциал вырастает на величину q — период потенциала.
Нетрудно теперь представить себе поле, имеющее два или
более вихревых кольца. И это поле можно рассматривать как по-
тенциальное, но потенциал будет функцией с двумя, тремя и более
периодами. При проходе через каждое кольцо потенциал выра-
стает на свой период.
В пределе все поле будет заполнено вихревыми кольцами. Ра-
бота по замкнутому контуру будет зависеть от числа захваченных
контуром вихревых колец.
§ 5. Другое геометрическое истолкование вихря. Введенному
нами вектору curl Ф можно дать еще другое толкование, взяв за
основу другую физическую интерпретацию векторного поля. Это
170
ТЕОРИЙ поля
новое значение кёрля оправдывает то название „вихрь", которым
обыкновенно в механической литературе передается на русском
языке эта вторая характеристика векторного поля.
В предыдущем параграфе мы ^рассматривали наше поле как'
поле сил, и это привело нас к понятию, потенциала как периоди-
ческой функции точки.
Пусть теперь наше поле определяет движение жидкости. Пусть
вектор поля • ,
Ф = гХ + + kZ
есть скорость частицы жидкости в точке М.
Какой смысл будет иметь тогда curl Ф?'
Векторное поле имеет две диференциальные характеристики:
кёрль поля и дивергенция поля. Мы увидим в следующей главе,
что эти две величины при известном условии (граничные условия)
и определяют поле. Во всяком случае и, не забегая вперед, ясно,
что влияние одной из этих величин на строение поля будет более
, заметно, если мы устраним другую.
Итак, рассмотрим поле, не имеющее источников, т. е. до-
пустим, что
div Ф = 0.
— это так называемое соленоидальное поле.
Мы его рассматривали в предыдущей главе. Наиболее хара-
ктерное свойство его — замкнутость линий тока. Линии тока или
оканчиваются на границе поля, или уходят в бесконечность, или
же, если поле не имеет границ, всюду непрерывны и в бесконеч-
ности обращаются в нуль, — замыкаются внутри поля \
Будем рассматривать именно этот последний случай,—два
других предполагают, что на границах поля или в бесконечности
есть источники, а мы хотим устранить их действие.
Допустим, что наше поле обладает вихрями и притом в наи-
более элементарной форме, т. е. допустим, что в поле есть только
одно вихревое кольцо В. Как расположатся линии тока относи-
тельно этого кольца? • ч >
Возьмем какую-либо линию тока С. Пусть это — замкнутая линия.
Примем ее за контур, по которому берется интеграл
$Ф dM,
С
т. е. определим работу поля вдоль линии тока. Она не может быть
равна нулю.
>
Действительно, вдоль линии тока вектор Ф все время направлен
по касательной к пути интеграции, т. е. совпадает по направле-
1 Они могут, не замыкаясь, бесконечно навиваться в конечной части пло-
скости, заполняя части пространства.
вихрь поли 173-
нию с элементом пути dM. Наш интеграл можно представить
в скалярной форме:
(fads,
с
Ф — здесь скалярная величина вектора; ее можно считать положи-
тельной, если направление обхода совпадает с направлением век-
тора. Интеграл от существенно положительной функции есть ве-
личина положительная, отличная от нуля.
Применяя результаты предыдущего параграфа, мы придем
к заключению, что контур С и вихревое кольцо В зацеплены один
за другой подобно звеньям цепи.
Итак, всякая линия тока нашего поля замкнута, и все они
охватывают вихревое кольцо.
Таким образом вся жидкость вращается около .вихревого кольца.
Если мы представим вихревую нить в виде прямой, уходящей
в бесконечность, то картина движения жидкости еще более будет
напоминать явление смерча на море, водоворотов в реке около
устоев моста или тех вихревых столбов пыли, которые так бы-
стро образуются летом на неметеной улице.
Может возникнуть вопрос, вызывается ли это движение на-
личием вихревой нити или отсутствием дивергенции. Как будто бы
последнее обстоятельство играет еще большую роль, так как всякое
поле с дивергенцией, равной нулю, есть соленоидальное, и линии
тока его будут замкнуты (или уходить в бесконечность).
Таким образом как будто и при отсутствии вихрей соленоидаль-
ное поле определит вихревое движение. На самом деле это не
так. Если поле уходит в бесконечность, то и линии тока будут
уходить в бесконечность, и жидкость будет устремляться в этом
направлении. Если бы при этом линия тока С оказалась замкнутой,
то интеграл
' fadM
с
по этой линии был бы отличен от нуля; следовательно, поток
curl Ф через поверхность S, ограниченную кривой С как конту-
ром, тоже не равен нулю, т. е. поле имеет вихри.
Если же поле не имеет вихрей, и дивергенция всюду—нуль, и
притом оно не простирается в бесконечность, то оно не может
иметь линий тока ни замкнутых, ни. уходящих в бесконечность.
Значит, если поле' всюду — непрерывно, то оно всюду равно нулю.
Эту теорему мы докажем в следующей главе строго анали-
тически.
Наконец, можно заметить, что всякое поле можно рассматри-
вать как сумму, как наложение двух полей: одного — соленоидаль-
ного с дивергенцией, равной нулю, и другого — потенциального,
обладающего источниками, но без вихрей. Это основное предло-
ТЕОРИЙ ноля
жение будет доказано тоже в следующей главе. Если его принять,
то общая картина течении жидкости сложится в таких чертах.
Соленоидальное поле дает знакомый нам эффект вращения жид-
кости около вихревых колец, которых может быть сколько угодно.
В потенциальном поле линии тока пойдут ортогонально к поверх-
ностям уровня; они будут исходить из источников (точки с поло-
жительной дивергенцией). Таким образом это ноле характеризует
переливание жидкости из области с положительной дивергенцией
в область с отрицательной дивергенцией.
Действительное движение жидкости является результатом сло-
жения того и другого движения. Жидкость перетекает от положи-
тельных источников к отрицательным, но в то же время она вра-
щается около вихревых нитей.
Таким образом присутствие вихревых нитей непосредственно
указывает на вращательный характер движения, на наличие вихря,
понимая это слово в его повседневном значении.
Отсюда происхождение русского термина вихрь для вектора
curl Ф. , >
Можно пойти дальше и говорить о скалярной величине вихря.
Предположим для простоты, что вихревая нить обратилась в пря-
мую и вся жидкость вращается около этой прямой как целое, как
твердое тело. Тогда все линии тока суть круги с общей осью —
вихревой нитью.
Применим к одному такому кругу формулу Стокса:
ффйМ =JJ curl Фйол.
, св
Здесь С — окружность и S — площадь ее круга.
Применим к обоим интегралам теорему о среднем значении.
Обозначая нуликом внизу среднее значение функции в области
интеграции, имеем:
ф ФОА$ — J* f(curl Ф)о do,
с s
или, вынося среднее значение функции за знак интеграла и вы-
полняя интеграцию, получим:
, Фо 2лг = (curl Ф)о яг2,
где г —радиус круга.
' Отсюда
- ' Фо
(сиг1Ф)0 = 2—,
Г
но Ф есть скорость движения точки. Следовательно, , z
ВИХРЬ ПОЛЯ
173
есть угловая скорость вращения. Переходя к пределу для г = О,
получим значение вихря в точке г — 0:
curl Ф — 2[i.
Итак, вихрь по абсолютной величине есть двойная угловая
скорость вращения соответствующей частицы жидкости. По своему
направлению вихрь подобно скорости вращения откладывается по
оси вращения в положительную сторону, т. е. так, что вращение
видно по часовой стрелке.
Пример. Рассмотрим поле
f $ = .
х2 + у2
Составляя его вихрь по формуле:
/dZ dY\ /дХ dZ\ /dY дХ\ ,
сиг1Ф = г( —— + 1 Н — — + к ~г-),
\ду dz/ \dz дх/ \дх ду /
без труда получим:
—>
сиг1Ф — О/
Следовательно, поле обладает потенциалом. Однако, если определим работу
поля, например по кругу радиуса 1 с центром в начале, по кругу, расположен-
ному в плоскости ху, то получим:
г — у dx + xdy
J х2 + у2
Полагая здесь
х = cos t, у = sin i,
имеем:
2п
f dt = 2л.
о
Итак, существует контур, по которому работа поля не равна нулю. Это
показывает на наличие вихрей в» иоле. Если мы будем искать линии тока, то
из уравнения
dx __dy __ dz
— у х О
найдем без труда;
z = const, х2 4- у2 = const.
Следовательно, все линии тока замкнуты. Это — круги в плоскостях, парал-
лельных плоскости ху, произвольного радиуба, но с центром на оси z. Отсюда
можно заключить, что вихревая нить совпадает с осью z. '
Нетрудно видеть, что
х = 0, у = 0
s —->
дает нарушение непрерывности для вектора Ф, — числители и знаменатели
—>
обращаются в нуль. Этим и объясняется обращение в нуль curl Ф во всем про-
странстве,—вся ось z, как место точек разрыва, при этом сама собой исклю-
чается.
Если мы обратимся к определению потенциала, то найдем:.
у „ f — ydx + xdy
J Я2 + ^2 ’
/
174
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
если перейти к полярным координатам:
X = Q COS (р) У = Q sin 9?,
то получим:
V = §d<p = <р + const,
или в декартовых:
V = arctg“ •
х
Мы видим, что 7—периодическая функция. После всякого обхода около вихре-
вой нити потенциал вырастает на 2л— момент вихревой нити. з
Упражнение. Найти поток вихрей поля
—.
ф = iy+ кх,
через боковую поверхность круглого конуса, стоящего на пло-
скости ху, ось которого совпадает с осью я, если высота его
рарна 2, а радиус основания 1.
Ответ — п.
Решение. Пользуясь тем, что поле вихрей соленоидальное, можно заме-
нить дацную поверхность конуса любой другой с тем же контуром. Так как
контуром является окружность основания, то проще всего выбрать за такую
поверхность площадь круга основания конуса.
Еще проще воспользоваться теоремой Стокса и преобразовать двойной
интеграл по поверхности в криволинейный интеграл по контуру:
1 = JJcurl Ф = ^dM.
S о
При этом и подсчитывать сиг!Ф не придется, и искомый интеграл будет:
I = (ft (у dx-\-zdy + х dz).
с
Здесь С — окружность основания, конуса. 4Гак как радиус ее единица, а
центр в начале, то ее уравнения можно представить в параметрической форме
так:
х = cos t, у = sin t, z = 0.
Чтобы получить по теореме Стокса поток вихрей изнутри наружу конуса, надо
обходить контур в положительном направлении на положительной стороне по-
’ 'Верхности. Так как положительная сторона поверхности внешняя, то положи-
тельное вращение будет по часовой стрелке на плоскости ху. Это соответствует
возрастанию параметра t.
Подставляя в нашу формулу, получим:
2тс 2гс
p fcos2i —1
1= - I sinHdt— I --------dt = — л.
о о
Глава IV. ОПРЕДЕЛЕНЙЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЗАДАН-
НОМУ РАСХОДУ И ВИХРЮ ПОЛЯ.
Мы рассмотрели в двух предыдущих главах два основных ин-
варианта векторного поля: дивергенция (расход поля) и вихрь (кёрль).
Оба инварианта были найдены, так сказать, „ случайно “. Мы не
отыскивали всех инвариантов поля, а, рассматривая то или иное
геометрическое свойство, ту или иную физическую интерпретацию
векторного поля, мы получили скаляр (дивергенцию) и вектор (кёрль),
имеющие физический смысл (расход поля и вихрь поля),—тем
самым они уже инвариантно связаны с полем1.
Таким образом остается открытым вопрос, исчерпываются ли
этим все основные2 -инварианты поля, или можно составить из
производных первого или, может быть, высших порядков от ком-
понентов вектора поля еще такое выражение, которое не зависит
от выбора системы координат, или такие три выражения, которые
при повороте осей будут меняться, как компоненты неподвижного
вектора.
•Мы разрешим этот вопрос, если докажем, что по данной ди-
вергенций вихрю само векторное поле вполне определено. Пра-
вильнее сказать, что оно будет определено, если мы допустим, что
оно всюду непрерывно и в бесконечности равно нулю, или если
предположим, что вектор поля задан на границах пуля.
Из этой теоремы, которая является целью всей настоящей
главы, будет непосредственно вытекать, что дивергенция и кёрль
исчерпывают все диференциальные инварианты Поля.
§ 1. Разложение векторного поля на потенциальное и соленои-
дальное. Мы знакомы с двумя основными типами векторного поля:
потенциальным и соленоидальным.
Первое есть поле градиентов скалярного поля.' Оно геометри-
чески характеризуется поверхностями уровня (поверхности равного
потенциала). Аналитически оно характеризуется равенством:
л curl Ф — 0.
1 Напомним еще раз, что инвариантный скаляр — величина, не ме-
няющаяся, как бы мы ни брали систему координат, инвариантный или, пра-
вильнее, ков а риа нт ный (т. е. совместно изменяющийся) вектор меняет
свои компоненты с изменением координат так, чтобы па новые оси они давали
проекции того же вектора.
2 Очевидно, что любая функция от дивергенции, любая ее производная
есть снова инвариант, так же и с вихрем, например вихрь от вихря снова инва-
риантный вектор. В тексте говорится о таких инвариантах поля, которые не
могут быть получены только из дивергенции и кёрдя.
176
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Второе поле всегда можно рассматривать как поле кёрлей не- |
которого векторного поля — векторного потенциала. Геометрически 1
оно характеризуется своими силовыми линиями, которые замкнуты I
или уходят в бесконечность. Аналитически это поле характери- |
зуется равенством: «
div Ф = 0. (
Весьма замечательно, что всякое поле можно рассма- j
триватькак геометрическую сумму (наложение) двух |
полей—потенциального и соленоидального. |
В самом деле, пусть вектор поля Ф равен сумме двух век- |
торов Фх и Ф2: I
' ' Ф = Ф1 + Ф2. I
И дивергенция и кёрль составлены линейно из производных от i
координат вектора Ф. Производная суммы равна сумме производных. ?
Отсюда непосредственно следует, что и дивергенция и вихрь суммы |
векторов равны сумме расходов или сумме вихрей от каждого |
слагаемого, т. е. 5
div Ф = div Ф, 4- div Ф, . 1
. • (1) |
curl Ф = curl Фх + curl Ф2 , t
Допустим теперь, что теоремы, которые мы хотим доказать, i
верны, по крайней мере, для потенциального и соленоидального j
полей, т. е. допустим, что дивергенция вполне определяет потен-
циальное поле, а вихрь—соленоидальное. |
Добавим в равенствам (1) новые условия: '
curl Фх = 0, div Ф2 = 0. (2) I
Тогда наша система (1) и (2) примет вид:
1) для определения поля Фх:
dn^i=div<P, 1
(3) -
curl Фх = 0; ;
2) для определения поля Ф2: |
div Ф2 — 0, |
curl Ф2 = curl Ф. (4) |
Наши условия (2) говорят, что поле Фх—потенциальное поле, Ф2— 1
соленоидальное. Если наша теорема доказана для этих двух част- 1
ных полей, то равенства (3) определяют поле Фх, а уравнения (4)— я
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
177
поле Ф2, т- е- наше поле Ф будет разложено на потенциальное
и соленоидальное. Более того, пусть нам дано:
div# = 4:T(> 1
/ > (о)
curl Ф — 4лт Г
где q — заданная скалярная функциями т — заданный вектор (кёрль).
Коэфициент 4я введен ради удобства формулы.
Тогда наши системы (3) и (4) примут вид:
div Ф = 4лр, * div Ф2 = 0 | -
сиг1Ф1=0, сиг1Ф2 = 4лт I
Отсюда мы найдем Фх и Ф2, и, следовательно, и вектор Ф будет
известен.
Таким образом достаточно доказать нашу основную теорему для
потенциального и соленоидального поля, чтобы она была доказана
для произвольного векторного поля.
Можно пойти далее. Нетрудно убедиться, что эта задача (опре-
деление поля, по заданным дивергенции и кёрлю) приводится
к одному и тому же уравнению в обоих случаях, т. е. и в случае
потенциального и в случае соленоидального подя.
Действительно, чтобы знать потенциальное поле, надо знать
потенциал его. Итак, пусть1
Фх = — gradF.
Первый столбец уравнений (6) примет вид:
div graaF = — 4л@. (7)
Если воспользоваться оператором Гамильтона V, то
ф7= — VF, div<₽x = — V (VF) = — V2F.
Следовательно, уравнение (7) будет:
V2F =—4лр. (7')
Эта операция V2 носит название операции Лапласа и обозна-
чается Д.
Перемножая скалярно оператор
_ . д . д . д V = » — h 1 1- к - -,
мы получим: дх ду дг A=V2 = + 'И'
1 Мы принимаем согласно обычаю потенциал с противоположным знако^Т1,
чтобы градиент был направлен от точек с ,высшим потенциалом к точкам
с низшим. - 1 ' '
ВекторннВ анализ
12
178
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
: - 4лр.
Следовательно, наша проблема зависит от уравнения в частных
производных второго порядка:
Л дх2 + ду2 dz2
Это уравнение носит название уравнения Пуассона.
В частном случае, если р = 0, наше уравнение
дг = о
называется уравнением Лапласа.
К такому же уравнению мы придем, решая нашу задачу
-втором частном случае, т. е. решая ее для соленоидального
Действительно, соленоидальное поле определяется своим век-
торным потенциалом U:
(9)
и во
ПОЛЯ.
Ф2 = curl TJ,
(Ю)
или е помощью оператора Гамильтона:
Ф2 = [VU].
Подставляя это в уравнение (6), получим дЛя определения вектора U
уравнение:
V X 4VU] = 4лгТ ' (а)
Применим формулу (4) стр. 57 к сложному произведейию, стоя-
щему в левой части:
А X [вс] = В (АС) — С (ЛВ),
мы получим:
V X [VC] = V (VU) — (VV)U.
Мы пишем здесь вектор V на последнем месте, чтобы показать,
что все операции символических векторов применяются к нему.
Итак, уравнение (а) имеет вид:
grad (div U) —\J2U — 4лт. "(b)
Заметим, что вектор 17 не вполне определен уравнением (10). /
Если мы его разложим на потенциальный и соленоидальный, т. е.
положим
так что •
curl Сх = 0, div С2 — О,
то уравнение (10) примет вид: >
Ф2 = curl U = curl Uj + curl U2,
или
Ф2 = curl U2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
179
Таким образом первый компонент Ux остается совершенно произ-
вольным—он никакого влияния на образование поля Ф2 не имеет.
Ничто не мешает нам предположить, что этот компонент тожде-
ственно равен нулю:
—> —>
и = н2,
т. е. допустить, что векторный потенциал U есть соленоидальный
вектор:
divU = 0.
Наше уравнение (Ь) примет тогда более простой вид:
V2U = 4лт,
или, вводя оператор Лапласа Д = V2:
ДС7 = — 4лт. (11)
Это еще не есть уравнение Пуассона, ибо оператор Лапласа при-
меняется к вектору, а не к скаляру, но равенство векторов имеет
следствией равенство всех Трех координат вектора. Таким образом
уравнение (11) распадется на три уравнения Пуассона для трех
компонентов искомого векторного потенциала U.
Итак, определение соленоидального поля (т. е. его векторного
потенциала) по заданным вихрям его тоже приводится к уравнению
Пуассона, вернее, к трем уравнениям Пуассона для трех компо-
нентов векторного потенциала.
Таким образом наша задача сводится к решению уравнения
Пуассона. Мы рассмотрим это уравнение в простейшем случае,
т. е. для потенциального поля, где все решение может быть чрез-
вычайно наглядно истолковано, а затем в нескольких словах укажем,
как оно применяется в случае соленоидального поля.
§ 2. Формулы Грина. Интегрирование уравнения в частных
-производных второго порядка вообще представляет большие труд-
ности. Эти трудности увеличиваются, если мы ищем решение
при заданных условиях на границах. Тем более удивительно то
решение уравнения Пуассона:
ДГ = — 4лр,
которое мы .ниже приводим. Оно основывается на замечательных
формулах Грина. Они же позволят нам доказать, что потенциальное
поле вполне определено своей дивергенцией.
Формулы Грина получаются1 путем применения теоремы Гаусса:
s -
1 Грин нашел свои формулы раиЪше Гаусса.
12*
180 ' ТЕОРИЯ ПОЛЯ
к произведению скаляра U на потенциальный вектор с потенциалом V:
Ф = UVF.
Вычисляя дивергенцию
div$ = V(tfVK)
и применяя операцию Гамильтона к произведению U • VF по пра-
вилу диференцирования произведения [см/ формулу (14) стр. 137],
мы получим:
’ div Ф = • VF + 17V2F.,
Итак:
. j‘£f {v# • VF+l7V2Fj dv-
V
(1)
—это первая формула Грина. Здесь S—поверхность, огра-
ничивающая объем v.
Ее можно несколько иначе записать, если иметь в виду,.что
dco = nda)
есть вектор, направленный по нормали п- к поверхности 8, и что
скалярное произведение
VFda> = VF • ndm = ( V^)Fdtt) i
определяет производную скаляра F в заданном направлении.
Обозначая производную по нормали к поверхности 8 через 1
, dV
(Vn)F = -^- ,
dn
мы запишем первую формулу Грина в виде:
d® = £fj{vFVF + UV2F}do. (Г) f
Вторая формула Грина получается, если мы положим
в первой формуле
U = v-
Мы имеем тогда: /
ЛГ = (2)
S v
Эта формула позволяет нам доказать теорему о единственности
потенциального поля с данной дивергенцией.
ТЕОРЕМА. Потенциальное поле без источников (дивергенция
всюду равна нулю), всюду непрерывное и обращающееся в нуль в бес-
конечности, тождественно равно нулю. .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 181
Допустим, что V — потенциал этого поля. Так как его дивер-
генция равна нулю, то Р" удовлетворяет уравнению Лапласа:
AF = 0.
Действительно, '
div(gradF) = V (VF) = V2F = ДГ = 0.
Вставляя это во вторую формулу Грина, имеем:
.ffr ~ do> = fff (VF)4d«. ‘ (3)
Пусть S есть сфера радиуса В, который растет в бесконечность
так, что v в пределе есть объем всего пространства. Левая часть
есть интеграл по этой сфере. Дак как мы допустили, что поле
в бесконечности обращается в нуль, то и — , г. е. компонент
z dn
поля по нормали к сфере В, т. е. в направлении радиуса-вектора,
тоже в пределе обратится в нуль. Подинтегральная функция в этом
интеграле по поверхности 8 тождественно будет равна нулю, и,
следовательно, весь интеграл равен нулю, и мы получим:
fJJ(VF)2^ = °; '
VF есть вектор поля; его квадрат равен квадрату его скаляра,
т. е. это — существенно положительная величина. Если интеграл
от всюду положительной функции равен нулю, то, значит, под-
интегральная функция сама равна всюду нулю1, т. е. (VF)2 = 0.
Это показывает, что скаляр нашего вектора всюду равен нулю
т. е. поле тождественно равно нулю.
Если Ф, = — VFX и Ф = — VFa—два поля с одной и той же
дивергенцией, то поле Фг — Ф2 имеет дивергенцию, равную нулю, а
следовательно, Фх — Ф2 = О, т. е. дивергенция вполне определяет
потенциальное ноле.
Третья формула Грина будет иметь для нас наибольшее
значение, ибо именно из нее мы получим основную формулу,
дающую величину потенциала в данной точке, по заданному рас-
пределению источников.
Эта формула получается из первой формулы Грина исключе-
нием произведения VFVF.
1 Пусть —тот объем, где (VT)2 не равен нулю, и пусть т— наименьшее
значение (V^)2- Тогда
J > JfJ dv = mvl
V _ Vi- Vi
эта величина не может равняться нулю, если — не нуль.
182
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
(6)
Именно, напишем эту же формулу (1), поменяв местами два
скаляра U и V:
V7 + WT}<b,
8 v
^V\7U-dm==^{vU- X7V+V\72u}dv.
8 V
Вычтем теперь из первой формулы вторую. Мы получим:
JJ(UVF—7VU)<^ =jJJ(U V2F —7UV2)d7 (0
s • '
— это и есть третья формула Грина, но обычно ее применяют
в предположении, что одна из этих двух функций, например U,
удовлетворяет уравнению Лапласа:
V2U = 0. 1 (5)
Тогда наша формула принимает вид:
JJ(17 V7—V ^U)d~a>=
8
Здесь V— произвольная скалярная функция, V— какое-либо ре-
шение уравнения Лапласа (5); поверхность /8 ограничивает объем v,
причем, — и на это надо обратить внимание, — обе функции ’ U и
V —непрерывны и обладают непрерывными производными во всех
точках объема v. Последнее ограничение прямо следует из вывода
тебремы Гаусса, —он законен только в этом предположении, а
формулы Грина суть простые следствия этой теоремы. Поэтому
все места нарушения непрерывности для U или V или их произ-
водных должны быть выделены из объема v.
§ 3. Ныотонианское поле тяготения с одной материальной точкой
в начале координат. Мы переходим теперь к основному вопросу
этой главы. Мы видим, что он сводится к определению потенциала
поля, если дапа дивергенция его, т. е. к решению уравнения:
V2F = — 4яу.
Мы начнем с подыскания того решения Z7 уравнения Лапласа (5)
предыдущего параграфа, которое необходимо для построения
третьей формулы Грина (6). С этой целью-мы рассмотрим специ-
альный вид поля, имеющий, однако, очень большое применение,
даже более того,—поле, которое ляжет в основу и общей теории,—
это поле ньютонианского тяготения.
Пусть в начале координат помещается материальная точка
массы т. Как известно, материальная точка есть математическая:
фикция. Масса т занимает конечный объем, но если мы будем
" предполагать, что объем безгранично убывает, а масса не изме-
няется, то в пределе мы получим материальную точку. Мы увидим,
однако, что материальный шар равномерной плотности в точках,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
183
внешних к шару, вызывает такой же потенциал, как если бы вся
масса шара была сосредоточена в его центре.
Итак, допустим, что в начале координат сосредоточена масса т,
которая притягивает всякую другую материальную точку по закону
Ньютона, т. е. прямо пропорционально произведению масс, и обратно
пропорционально квадрату расстояния.
Сила, с которой она притягивает единицу массы, помещенной
в какой-либо точке М, может быть представлена вектором, идущим
из точки М в точку О, в начало координат, где помещается при-
тягивающая масса т.
Обозначим радиус-вектор ОМ буквой В:
ОМ = В.
Тогда единичный вектор из М по направлению к О получится
из ОМ изменением направления на обратное, т. е. переменой знака
и делением на скаляр ОМ, т. е.
- -В
99 - R
Сила тяготения будет пропорциональна т и обратно , пропор-
циональна В2. Обозначая через Я множитель пропорциональности,
получим величину силы в виде:
А т . ’
В2 4. -
Умножая единичный вектор <р на величину .силы, мы и получим
искомый вектор Ф, определяющий наше поле тяготения:
ф = — Am & t » (1)
В3
В этой формуле Я • и т—постоянные множители. Они нас
сейчас не интересуют, и мы положим их равными единице. Таким
образом вектор поля равен:
Ф = — R . (2)
В3 ’
Докажем теперь:
1. Что поле (2) — потенциальное поле. Для этого доста-
точно показать, что вихрь поля рцвен нулю:
curl Ф = [ V Ф] = — да | =0'
184
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Применяем оператор V к дроби по правилам диференцирования: |
л Л [VB] , 31VB-B]
curl Ф = — 1 - -J + ----1-;
. R3 R*
но - ' . ' .
R = ix + jy + кг, -i
где x, у, з суть координаты точки М, и |
[VB] = 0, :
а
V#2= 22?V-R= 2(йс + л/4-b) = 2fl, (3)
ибо
R2 = х2 + у2 + s'2-
Таким образом ;
[VB • В] = О,
и
curl Ф = 0.
Впрочем, гораздо быстрее мы получим тот же результат, непосред-
4 ственно показав, что поле (2) имеет потенциал; покажем, что
Ф = grad U = V U.
Действительно, из формулы (3) следует: I
R = R\7R,
и, значит:
В VB / 1 \
ф —-------=---------= v ( - । •
В3 R2 \ R J :
Итак, мы видим, что наше поле (2) — потенциальное поле,
и потенциал его равен > >
2. -Дивергенция поля (2) всюду (где она непре-
рывна) равна нулю. Действительно:
divФ=vФ = — -------,
• R3
Применяя V к дроби по правилу диференцирования:
1- Л VB ., 3VB . R
(11уФ = — .4—х------,
R3 В4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
185
НО
И
Следовательно;
V# = 3,
га 3 3R R п
div Ф = — 4------= 0.
R3 R3
Таким образом мы имеем уже готовое решение уравнения Лапласа:
U = 1 .
Сомнительным остается начало координат, ибо это точка нару-
шения непрерывности,—в начале знаменатель потенциала и век-
тора поля R обращается в нуль.
Для решения этого вопроса рассмотрим поток векторов через
поверхность, охватывающую начало координат, и докажем теорему.
3. Поток поля (2) через всякую, поверхность, охва-
тывающую начало,, равен—4л;.
Форма поверхности, очевидно, безразлична, ибо дивергенция
во всем пространстве равйа нулю, и мы всегда можем откинуть
какие угодно части пространства, не содержащие в себе точек
нарушения непрерывности начала.
Поэтому мы выберем за поверхность S, через которую опреде-
ляем поток нашего поля, сферу с центром в начале координат
радиуса г.
Искомый поток равен:
ff R Г
— И аю.
s RS
Так как поверхность 8 есть сфера, то ее нормаль идет по радиусу;
притом внешняя нормаль идет от центра. Следовательно, единичный
вектор нормали:
R
R
п =
и элемент поверхности равен:
R ,
асо = ао),
R
186 *
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
dm — скалярный элемент поверхности. Подставив это в нашу фор-
мулу, имеем (5):
Так как на поверхности нашего шара В = г радиусу шара и
JJ do) = 4№
равен поверхности нашего шара, то:
— f f R dm = —
kjjJ § Определение потенциала поля, заданного рас-
' /у~7 пределением источников. Итак, мы имеем функцию
У/ / V = -, (1)
УУУ * В
удовлетворяющую уравнению Лапласа всюду, кроме
Черт. 57. начала координат. Подставляем это выражение
в формулу (6) § 2р
ЛИГ-' >
При этом начало координат должно быть исключено из объема
интеграции v. Мы можем этого достигнуть, если выделим начало
координат при помощи сферы So малого радиуса г с центром
в начале. Мы будем предполагать, что радиус этой сферы г стре-
мится к нулю, так что в пределе будет выделена только одна
точка—начало координат.
Совершенно так же мы должны будем выделить все точки нару-
шения непрерывности искомого потенциала V. Мы будем допускать
нарушения следующих трех видов:
1. Отдельные точки, где частное значение потенциала не равно
предельному. Такую точку мы выделим сферой с центром в данной
точке бесконечно малого радиуса гг. Обозначим все такие сферы
буквой Sj.
2. Такие точки могут соединяться в целые линии L. Построим
в каждой точке нашей линии сферу малого радиуса г2 и рас-
смотрим огибающую всех таких сфер. Мы получим поверхность
(черт. 57), которая называется поверхностью канала и которая
облегает нашу линию, подобно футляру. Такую поверхность
назовем S2.
3. Наконец, геометрическое место 'таких точек нарушения
непрерывности может образовать целую поверхность 2. Так как
сугой и с другой стороны нашей поверхности 2 потенциал и его
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
187
. производная по предположению изменяются непрерывно, то и
вектор поля Ф = — grad V будет тоже непрерывен, но при пере-
ходе через поверхность 2? и потенциал V и нормальная слагающая
вектора Ф, т. е. —• , может изменяться скачком, т. е. предельное
значение потенциала сверху и предельное значение снизу (по обе
стороны поверхности S) могут быть не равны друг другу.
Мы построим в каждой точке поверхности S сферу малого
радиуса г3 и рассмотрим огибающую этих сфер (черт. 58). Таким
образом мы получим поверхность 83, которая содержит S внутри
себя, подобно футляру.
Наконец, чтобы охватить в пределе все пространство, введем
сферу В' большого радиуса т' и будем предполагать, что г' стремится
в бесконечность.
Итак, поверхность 8 в нашей —х.
формуле (2) состоит из поверхно-
стей о', 80, 8Х, В2, В8 а объем v есть \\
объем бесконечной сферы В' за вы- f'C'''' ''/К
четом сфер 80 и 81, поверхности ( fx XX
каналов В2 и объема, содержаще- \\\
гося внутри поверхности 83. Следо- \\\
вательно, внешней стороной поверх- Х/4?4-------
ности В' надо считать наружную, \ч..Хл
т. е. направление к бесконечно уда- ' Х_
ленной точке; внешней стороной ЧеРт- 58. z
сфер 80 и 8Х будет их внутренняя
сторона, т. е. внешние нормали 80 и 8г направлены к их цен-
тру. Точно так же внешняя нормаль В2 направлена внутрь к ли-
нии L, и внешняя нормаль 83— к точкам поверхности 2.
Итак, формула (2) принимает вид:
гр / VV , т7 К \ . г г/ VF тт- В \
i 1 I --"Т" V ~ । -Fill — Ч” ---------I dco Ч“
JJ \ В В3) JJ \ В В3 J
So
+ + V R 'l d~“>+ +Y-^\dZ +
Jjv В В3 J jj\ В В3 J
sx x s2 7
+ЖГ -K* "
s, «
Займемся теперь вычислением каждого из этих интегралов
в отдельности.
А. Интеграл по поверхности бесконечно большого радиуса S'.
Он распадается на два:
S’ S’
.188
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В известных предположениях оба интеграла стремятся к нулю,
когда радиус этой сферы г' стремится в бесконечность.
В первом интеграле проекция градиента на нормаль сферы есть
тг dV , „
производная V по радиусу — ; если dw — скалярный элемент
dr
площади сферы, то:
ffVF рр dV ,
JJ R dw JJ d-
S' - S' ---------
очевидно, на сфере S' скаляр радиуса-вектора R всегда равен
х, тг fdV\ л
радиусу сферы г. Допустим теперь, что есть наибольшая
\ dr Jm
величина этого компонента поля на нашей сфере, тогда, очевидно:
/dF\
д.
Здесь г' как постоянная вынесена за знак интеграла. Так как
поверхность сферы S' равна 4лг'2:
dw + 4л/'2,
"з"'
то мы получим:
, г , . . ,(dV\
I A I < 4л/ •
\ d>-
Итак, допустим, что наше поле обращается в беско-
dF х
нечности в нуль, притом так, что — убывает во всех
dr
точках сферы/8'как бесконечно-малое порядка выше,
1
чем— , т. е. допустим, чдо
• /
.. ,dV п
lim г — = 0.
_ г'* со ^Г
Очевидно, в таком случае первый интеграл в пределе обратится
ц. нуль.
Преббразуем второй интеграл:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 189
Мы уже видели, что d<n имеет направление внешней нормали
сферы S':
Вставив
R ,
аа> = da,
В
в наш интеграл 12, мы получим:
S' S'
/
Пусть (7)m — наибольшее значение потенциала V на поверхности
сферы S'. Так как на поверхности 8' имеем В = г' постоянным/то
ССй® = 4л(7)и..
Допустим, что в бесконечности потенциал V стре-
мится к нулю: .
lim 7 = 0,
г'->оо •
мы получим тогда, что и второй интеграл 12 обращается в пределе
в нуль.
В. Интеграл по поверхности бесконечно малой
сферы So. Выполняем те же преобразования над нашими двумя
интегралами 1г и 12 с тою только разницей, что теперь внешняя
нормаль поверхности направлена внутрь сферы, т. е.
В ,
da> = —— do).
В
Мы получим:
а ° Я
190
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
(dv\ ' ЗУ
Обозначив через — наибольшее значение — на поверх-
\ L dr
ности шара 80, мы получим опять:
т s\
(dv\
° л )
\ dr L
Будем переходить в пределу, полагая, что г0 стремится к нулю,
' X тт (dV \
т. е. наша сфера сжимается в точку. Предельное значение —
\ dr /
\ / т
будет просто частное «значение этой производной в начале коор-
динат. Это, во всяком случае, конечное число, ибо начало коор-
динат—обыкновенная точка для V и ее производных. Итак, второй
множитель конечен, а первый — стремится к нулю.
1г имеет пределом нуль.
Иначе дело будет обстоять со вторым интегралом 12-
По теореме о среднем значении можно выбрать такую точку
на'сфере 80, чтобы, обозначив через Vs значение потенциала V
в этой точке, иметь:
12 =
s0 s0
Вынося Ve как постоянное из-под знака интеграла и интегрируя:
мы получим:
JJ dto = 4гггв2,
s,
12 = - 4л7в.
Будем теперь сжимать наш шар <80 • В пределе, когда г0 = 0 и
шар сведется к одной точке—началу координат, среднее значение Vе
на поверхности шара совпадет со значением Ve в начале коор-
динат,—не забудем, что начало координат — обыкновенная точка для
функции V.
Итак, в пределе:
lim 1а = — .
С. Интеграл по поверхности бесконечно малых
сфер 8t. Преобразуем наши сферы.
Скалярное произведение теперь равно:
VF • dco= — dco,
dn '
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
191
где—-----производная.по нормали сферы т. е. компонент гра-
ни
диента в направлении к центру этой сферы. Следовательно:
$1
(V 1 dV ,
I I----dco.
jJRdn
Si
тт / 1 dV \ * „ '
Пусть I — - - ) —наибольшее значение подинтегральнои функ
ции на поверхности шара 8Х.
Тогда:
. . . 1 dF\ ff , f 1 dV\ . 2
U dnjJJ \R dn)m
Будем переходить к пределу при rt = 0, предполагая, что
сфера 8г сжимается в точку. R непосредственно обратится в рас-
„ тт / dV \
стояние этой точки от начала координат. Что касается — , то
\dnjm
это все же будет конечная величина, ибо мы допустили существо-
вание предельного значения V и ее производных. Между тем 4л<12
обратится в нуль вместе с гг.
Аналогично докажем, что и второй интеграл 12 обратится в нуль.
Действительно:
2’J
st
dR
dn 7
----dco,
R2 .
Si
Si
где попрежнему
к поверхности
-<— ~ >
da> = — < "
сферы SJ.
R по нормали
наружу ,♦ так ч1о
теперь к центру
dR
означает производную от
dn
сферы 8t (от центра сферы
nd оз, ибо внешняя нормаль направлена
' /
Обозначая через 1V ] — наибольшее значение этой вели-
\ / т
чины на'поверхности сферы 8Х, имеем:
/ ЙД\ /dRA
I Д I < И ) ftv / 4лг12-
/к m\R^m - :
„ f dR 1\
Здесь выражение !----остается конечным и в пределе.
' \ dn R2)m
192
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
когда г1= 0, ибо центр этой сферы не совпадает с началом коор-
динат. Если мы допустим, что значение V в пределе в центре
сферы существует и конечно, или даже менее того, если мы до-
пустим, что V но имеет предела и растет в бесконечность, но так,
что* 1
lim 7г,2 = О,
Г1 -»0
то все же 12 в пределе обращается в нуль.
D. Интеграл по поверхности каналов S2.
Здесь применимы совершенно те же рассуждения, что и по от-
ношению к интегралу St.
Все предыдущее доказательство основывалось на том, что наи-
большее значение подинтегральной функции оставалось конечным
и в пределе, а интеграл
.8,
давал поверхность шара 8, равную 4 л г,2, которая в пределе стре-
милась к нулю;
Применяя то же преобразование интегралов 1, и 72 по поверх-
ности S2, мы получим теперь:
I-G I < (1
1 ‘лк
7
<r\ Q
<*п L
1
R
т &
'1
R2
dR\ г
dn /«
1
2?2
I О г> .
dV
где попрежнему— и
dn
к поверхности S2,
по
внешней нормали
наибольшее значение
площадь этой поверх-
dV
и— остаются конеч-
dn
dR
-----производные
dn
символ (&)т означает
функции 6 на поверхности S2, и, наконец,
ности обозначена буквой S2.
Мы и теперь будем предполагать, что V
лыми в пределе, когда г2 = 0 и поверхность S2 обращается в линию. ,
Что касается площади 82, то она стремится к нулю, когда г2 = О,
ибо вся поверхность вырождается в линию.
Таким образом приходим к заключению, что оба интеграла
по поверхности S2 стремятся в пределе к нулю.
Отложим пока рассмотрение интеграла^ по поверхности или
лучше допустим на время, что наше полесие обладает нарушением
непрерывности в виде целых поверхностей состоящих из таких
точек разрыва. ' ’
. / < - \
1 Например, считая, что V обращается д бескодеуность порядка
s'"!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
193
Тогда нам остается только рассмотреть тройной интеграл в пра-
вой части равенства (2'):
Нам дана дивергенция поля, т. е. дано:
V2r” = — 4лр,
где о — заданная функция точки; подставим это в наш интеграл:
ШТ—Ш1"
В пределе, когда все радиусы г0, гу, г2 обратятся в нуль, а г'—
в бесконечность, наш объем v, на который распространен интеграл,
охватит все пространство за вычетом начала координат и точек
(и линий) нарушения непрерывности поля.
Мы получим окончательно:
— 4л70 = —4л И[4>
* i
ИЛИ
^-ШТ- <3’
Таким образом мы получаем значение потенциала V в начале
координат. Так как начало координат—произвольная точка, то мы
можем получить по этой формуле значение потенциала в любой
точке пространства.
. § 5. Физическая интерпретация полученного решения. Очень
интересно, что полученное решение имеет непосредственную интер-
претацию в том поле ньютонианского тяготения, которое мы рас-
сматривали в § 3.
Мы там пришли к заключению, что одна материальная точка
массы т вызывает в окружающем пространстве потенциал, который
для каждой точки определяется по формуле1:
1 Мы пришли на стр. 184 к формуле:
т- е.
отбрасывая постоянный множитель Ат в выражении вектора поля. Если его
ввести, то потенциал умножится тоже на Ат, и мы получим формулу текста.
игорный авалвв ^3
194
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
где R — расстояние рассматриваемой точки (в которой мы опреде-
ляем потенциал 7) от притягивающей точки. Множитель пропор-
циональности Я, конечно, зависит от выбора единиц длины, массы
и силы. Мы примем его равным единице.
Пусть мы имеем
€ массами тг и т2.
потенциалы суть:
теперь две материальные точки 212 г и М2
Каждая тоПка создает поле тяготения, их
V= у =
2?х
где Вх и R2 — расстояния рассматриваемых точек, например начала
координат, от точек 212 х и М2. Оба поля налагаются друг на друга.
Вектор результирующего поля равен сумме векторов поля, а так
как градиент суммы равен сумме градиентов, то и потенциал V
искомого поля будет равен сумме потенциалов обоих слагаемых
полей:
7=Лк + Л^..
2?х 2?2
Распространяя это на случай п раздельно лежащих точек ,
Jd2, ..., 2И„ с массами тп. и расстояниями от на-
чала 22х, 2?2,...,2?п, получим:
п
К-
(2)
Теперь нетрудно сделать переход к случаю массы, непрерывно
заполняющей пространство.
Пусть масса заполняет объем v так, что плотность массы
в каждой точке есть данная функция координат точки q = q (х, у, е).
Разобьем весь объем v на части Jo2, . . . ,
v = Jvx 4- Лк2 + . . . +
Допустим что в каждом элементарном объеме Ди>{ плотность
останется постоянной %, £), где — координаты
точки М{ внутри этого объема Тогда масса, заключающаяся
в этом объеме, будет равна:
= е
Допустим, что вся эта масса сосредоточена в точке Mg (§g, tj{,
Тогда потенциал поля будет определяться по предыдущей формуле (2):
F = ce(U,aJt<[
4-Х Ri
где И( — ОМ{ есть расстояние начала от точки М{. Будем теперь
переходить к пределу, предполагая, что число элементарных объемов ;
неограниченно растет, а каждый отдельный объем 4vg беспредельно
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 195
убывает. Очевидно, что таким образом мы придем в пределе к не-
прерывному распределению масс в объеме v.
Искомый потенциал будек
V = lim3 4vt= f f f — dv. (3)
Rt "JR
Мы видим, что полученная формула в точности совпадает с фор >
мулой (3) предыдущего параграфа, полученной как общее решение
задачи; найти потенциал поля с заданным распределением дивергенции.
Это дает нам основание отождествлять функции, встречающиеся
в обеих формулах и обозначенные одними буквами. Мы можем,
следовательно, назвать величину входящую в дивергенцию поля
*
сИуФ —
плотностью массы в данной точке поля. Само собою разу-
меется, что эти массы не надо себе представлять непременно мате-
риальными. Можно мыслить массы электрического заряда или
магнитные массы. Это особенно становится необходимым, если Q
отрицательно: массы электрического заряда могут иметь знак.
§ 6. Случай, когда геометрическое место точек нарушения
непрерывности образует поверхность. Перейдем теперь к рас-
смотрению отложенного (в § 4) случая, когда наше поле имеет
целую поверхность 2\ состоящую из точек нарушения непрерыв-
ности потенциала V или его производной.
Мы видели, что нормальная составляющая гектора поля, т. е.
grad V, может изменяться скачком при переходе через поверх-
ность 2?; также и сам потенциал имеет разное значение по обе
стороны поверхности 21.
Пусть на поверхности 2 выбрана положительная сторона, и
вектор положительной нормали ее пусть будет гГ. Если мы будем-
приближаться к какой-нибудь точке поверхности S с положительной
или отрицательной стороны ее, то мы придем туда с различными
предельными значениями потенциала V.
Обозначим через Уг. предельное значение V, если мы прибли-
жаемся к поверхности 2? с положительной стороны ее, и через Vz—
предельное значение, которое соответствует отрицательной стороне
поверхности. Следовательно, проходя через поверхность 2 с отри-
цательной стороны ее на положительную, т. е., в положительном
направлении вектора п, мы получим приращение потенциала
на величину
71-72 = 4^. ' (1)
Мы будем рассматривать ц как заданную функцию от координат
точки на всей поверхности 21.
Слагающая градиента по касательной к поверхности 21 может
быть вычислена диференцированием V по этому направлению; что же
13* -
196
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
„ „ dV „
касается нормальной слагающей —, то для нее на поверхности 2/
dn
мы опять будем иметь два предельных значения: —- —наполо-
\dn Ji
( dV \
жительной стороне 2 и ( — ) — на отрицательной стороне ее.
\ dn /г
При переходе с отрицательной на положительную сторону, т. е.
в направлении вектора п, мы получим приращение нормальной
„ dV
слагающей — на величину
dn
!dV\ ldV\ .
----------------------- — ----- — —
\dn/i \dnj2
Мы ввели знак минус в правой части для удобства дальнейших
формул.
Надо смотреть на о тоже, как на заданную функцию коор-
динат точки
Заметим,
(2)
на всей поверхности S.
что на
обеих сторонах поверхности S производная —
dn
взята в направлении положительной нор-
мали п.
Обратимся теперь к нашему интегралу
ГГ< VF , R \
•У \ я + 7 R3) da>'
который опять распадается на два сла-
гаемых:
er dF
a) dn3
г-—
R2
1 ,
- do),
R
JJ R
8.
тт Н J-’
V-----da
R*
8,
„ . dV
В обоих интегралах производные--------,
dn3
sa
dR
—- взяты
dn3 _
dR ,
---- do).
dn3
в направ-
лении положительной нормали к поверхности S3. Поверхность 83
образована таким образом: в каждой точке S мы взяли сферу
малого радиуса огибающая всех этих сфер и есть поверхность 83.
Она облегает, как футляром, поверхность S.
Всю поверхность 83 можно разбить на три части (черт. 59).
Нормаль к поверхности S в' какой-либо ее точке М пересечет
дважды поверхность 83. Одна точка пересечения будет лежать
—►
па положительном направлении нормали п, другая — на отрица-
тельном на расстоянии г3 от точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
197
Геометрическое место точек мы назовем поверхностью
геометрическое место точек 44 2—поверхностью 32. Обе поверх-
ности параллельны поверхности 2?, т. е. они имеют в точ-
ках Мг и М2 ту же нормаль п, что и поверхность S. При этом
внешняя нормаль идет к поверхности S, т. е. от точки 2ИХ
к точке М. Обозначая ее через «j, имеем:
—> —>
= —п.
Направление внешней нормали п2 поверхности (отМ2 к М)
совпадает с направлением п:
п2 = п.
Поверхности и -22не исчерпывают всех точек поверхности 83.
Очевидно, две параллельные поверхности и ^2 не имеют общих
точек; их будет разделять некоторая полоса поверхности 83 ши-
риной в половину окружности радиуса г3, которая идет вдоль всего
контура поверхности X Эту часть поверхности 83 мы назовем 8'3.
Таким* образом поверхность 83 распадается на три; части:
«з = 4* «'з,
из которых и 22 составляют крышку и дно, а 8'3 — боковые
стенки того футляра, внутри которого находится поверхность S.
На черт. 59 все поверхности изображены схематически в се-
чении, 2 и -£2— три параллельных кривых дуги. Что ка-
сается 8'3, то она изображена двумя отдельными дугами, замы-
кающими и
Рассмотрим первый из наших интегралов 1Х; мы можем рас-
пространить его отдельно на каждую из трех частей поверхности 83:
рр dV 1 , рр dV 1 , , ?edV 1 , , ppdP 1 .
1Х = i I ——- da>-= I I ------da> 4- I I —- — da> + I I------do).
J J dn3 R J j dn, R J J dnz R J J dn~ R
S, л 1 S, £ S', 3
1. Прежде всего можно показать, что последний из этих инте-
гралов
т/ ff dv 1 л
ii — Н--------аю
J J dn3. R
8'з
в пределе при г3 = 0 обратится в нуль. Доказательство вполне
совпадает с тем, которое мы применили для интегралов по поверх-
ностям jSj или S2 (см! В и С, § 4). Действительно:
.): <(^- Д |р»=й~4') s'-
\ dn% . R) т J J \ dn3 R / т
где (0)й1 попрежнему означает наибольшее значение рассматри-
ваемой функции 0 и 8'3 — площадь поверхности 8’3. Первый
множитель сохраняет в пределе конечную величину, а площадь 8'3
стремится к нулю. Действительно, если L—длина контура поверх-
198
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ности S, то S'& будет порядка 2л BL, т. е. для г3 = О обращается
в нуль.
2. Обратимся к первым двум интегралам:
ff dV 1 , , ср dV 1 ,
— -do) + -— — do).
J J dn, R J j dn2 R ..
Так как внешняя нормаль противоположна по направлению п,
а п2 совпадает, то1:
dV = _ (_dV_\ dV _ / dF \
dnt \ dn )-R dn2 \ dn J2
В пределе для г3 — 0 поверхности и S2 совпадут с поверх-
ностью S. Производные по нормали совпадут с предельным значе-
нием ее с положительной и отрицательной стороны поверхности S.
Интегрировать надо будет уже по поверхности S.
Итак, рассматриваемые два интеграла в пределе обратятся:
тогда в силу уравнения'(2):
Перейдем к рассмотрению второго интеграла, который тоже
распадается на три интеграла:
ГС (Т d -1-
I2 = I \ V 1 dm = — П V —- dm =
S3 83
1. Мы опять докажем, что третий интеграл в пределе при г3 = О
обращается в нуль. Действительно:
1 Через (Oh и (0)2 обозначаем предельные значения функции (О) по одну и
по другую сторону поверхности S.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
199
Площадь поверхности 8'3 в пределе обращается в нуль, и весь
интеграл исчезает.
2. В первых двух интегралах мы опять заменим диференциро-
вание по внешним нормалями п2 диференцированием по нор-
мали п е поверхности X. Принимая во внимание положительные
направления этих нормалей, мы получим в пределе для г3 = 0:
d -
___В
dnx
d —
R
dn ’ dn2
л 1 л 1
d — d —
R R
dn
В силу непрерывности функции-- на поверхности S предел
В
слева и предел справа будут равны между собой. Подставляя это
в наш интеграл и переходя к пределу для г3 — 0, когда Хх и Х2
совпадут с поверхностью X и значение потенциала V в первом
интеграле примет предельное значение (7)х, а во втором (Р)2, мы
получим:
или в силу уравнения (1):
d R
-----dco.
dn
(4)
Добавим также эти два интеграла (3) и (4) в общую формулу § 4 (2').
Мы получим:
Определяя отсюда 70, будем иметь:
Таково будет решение нашей задачи в общем случае. Оно опять
дает значение потенциала Vo в начале координат; т. е. в произ-
вольной точке при условии, что R есть расстояние от этой точки.
Как видим, оно содержит кроме интеграла по всему пространству о,
где дивергенция не равна нулю (за вычетом особых точек), еще л ва
200
!
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
интеграла по поверхности разрыва потенциала V или его произ-
водной-—. Посмотрим же, какой физический смысл будут иметь
dn
эти добавочные члены.
§ 7. Поверхностный слой и двойной слой. 1. Обратимся к первому
из добавочных членов:
Нетрудно заметить, что он имеет такую же структуру, как
основной член:
И
только распространен на поверхность, а не на объем. Можно пред-
видеть, следовательно, что его интерпретация будет вытекать
из физического смысла интеграла (2)7
Рассмотрим слой, заполненный материей с плотностью р. Пусть
этот слой ограничен, с одной стороны, поверхностью 2, с другой —
параллельной ей поверхностью 2', отстоящей от первой на рас-
стоянии (по нормали) h.
Мы можем тогда тройной интеграл (2) разбить на простое инте-
грирование по нормали п к поверхности 2 и двойное по поверх-
ности 2: . . 4
Рассмотрим внутренний интеграл
h
О
По теореме о среднем значении
множитель подинтегральной функции
интеграла можно вынести
1
— за знак интеграла с неко-
торым средним значением п между 0 и h. Обозначим это среднее
значение через f—:
л
Л
J q dn.
О
Обозначим оставшийся интеграл через а:
h
о.
и
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
201
Очевидно о есть функция точки на поверхности S, ибо по пере-
менному п интеграция выполнена.
Подставляя обратно, мы получим потенциал нашего слоя в виде:
V =.[[ст- 'j dm..
«У
Будем теперь предполагать, что высота слоя h убывает, а масса
его остается без изменения.
Очевидно, [ —) в пределе для h = 0 примет значение — в
\ R /е В
соответствующей точке поверхности S;
Что будет происходить с величиной ст?
Заметим, что объем слоя равен:
h
Jj J pdw = JJd® j q dh — JJod©.
» S о s
Следовательно, надо считать, что ст при этом переходе к пре-
делу при h = 0 не меняется.
В пределе мы получаем, так сказать, материальную поверх-
ность— поверхностный слой. Его потенциал:
—это как раз то выражение, которое мы имеем в формуле (1>.
Какой же смысл здесь имеет ст?
Мы видели, что масса слоя равна
JJ «Ли.
Г
Следовательно, отношение этой массы к площади поверхности
в пределе дает о:
lim Л = ст.
2' -г О V» С-
IP"
X
Итак, б — поверхностная плотность. Это — количество
массы, приходящейся на единицу площади поверхности.
Заметим, что поверхности, покрытые, таким образом, массой,
не представляют ничего физически невозможного. Как известно,
электрические массы (электрический заряд) сосредоточиваются
именйо на поверхности проводника.
202
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
2. Труднее будет подойти к геометрическому смыслу последнего
члена в формуле (5) предыдущего параграфа:
й"4>- <3)
£
Мы будем исходить и на этот раз из понятия ньютонианского
тяготения.
Заметим прежде всего, что две массы, равные по абсолютной
величине и противоположные по знаку, образуют поле, потенциал
которого в бесконечности стремится к нулю порядка выше первого,
а производная потенциала по радиусу-вектору стремится к нулю
даже выше второго порядка.
Рассмотрим же две материальные точки Мг и Мг с равными и
противоположными массами:
т2 = т и т2 = — т.
Потенциал образуемого ими совместно поля равен:
т т fl 1
---------— т, (---------
где ____ , ________
= OMV вг = ом2,
и О —точка, в которой мы определяем потенциал.
Разность
___1
R2 R2
есть приращение функции —, когда мы переходим из точки М2
R
в точку Мх. Это приращение можно представить с помощью гра-
диента V—, умножая его на вектор расстояния между двумя точ-
R
ками М2МГ:
-1---L_ = V— • M^Mi.
Rt Rz R
Здесь, очевидно, V — вычислено для некоторой средней точки
R
между М2 и М2-
Итак, искомый потенциал равен:
т • V— • MJM-l.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
203
Произведение массы каждой точки на их расстояние (как вектор) '
* --------—_
е = т • М2Мг
называется Моментом пары точек. Момент пары есть вектор, и
он направлен от точки с отрицательной массой к точке с поло-
жительной массой.
Мы можем теперь предположить, что две наши точки М2 и
сближаются и в пределе совпадают, и в то же время масса т каж-
дой из них растет так, что произведение т • MjM2 остается постоян-
ны и. Тогда в пределе масса станет бесконечно большой, расстояние
—>
обратится в нуль, но момент двойного источника в останется вполне
определенной конечной величиной, и потенциал точки двойного
источника будет:
V —-
Заметим, что оператор V применяется здесь в предположении,
что перемещается источник М, а не точка О. ,
Пусть теперь вся поверхность 2 покрыта такими двойными
источниками. Лучше представить себе, что параллельно поверх-
ности S по обе стороны ее проводятся поверхности и _S2. По-
верхность покрыта положительной массой с поверхностной
плотностью о, поверхность -S2 покрыта отрицательной массой, причем
поверхностная плотность ее в соответствующей точке, т. е. в точке,
лежащей на той же самой нормали к поверхности та же самая,*
что и у но, конечно, отрицательная — о.
Масса поверхности соответствующая элементу Лоз поверх-
ности .S, равна:
аЛаз,
где конечная функция о вычислена для одной из средних точек
этой элементарной области. Соответствующая масса, на повех-
ности
— о Доз.
Предположим, что они сосредоточены в двух точках Мх и Л2
поверхностей и лежащихгпа нормали поверхности
мы напишем потенциал, образуемый в точке О этой парой элемен-
тарных точек, в виде:
оЛаз • V * . М2М,
В
Сумма потенциалов по всем элементарным площадям повех-
ностей и равна:
S а(Лоз, • V • (М$т)е,
а в пределе, когда элементарные площади Лаз обращаются в нуль»
а число их неограниченно растет, мы получим, по общим правилам,
204
z ТЕОРИЯ ПОЛЯ
потенциал двух наших поверхностей и -S2 в виде двойного
интеграла:
о\7 - - •
R
s
Представим себе теперь, что точки М2 и и все точки
поверхностей и 2а сближаются и совпадают с точкой поверх-
ности S, но так, что одновременно произведение
о • — ц
сохраняет конечную величину. Мы получим тогда двойной слой,
состоящий из двойных источников, о которых мы говорили вначале.
Вектору направлен по нормали к поверхности S— от отрица-
тельных к положительным массам, г покрывающим, мы скажем,
поверхность S с ее двух сторон.
Если мы обозначим единичный вектор нормали поверхности 3,
идущей в направлении от точки М2 к точке — положительной
нормали поверхности 3, через п, то, очевидно:
ц = /л • п,
где /л уже скаляр.
1л есть поверхностная плотность моментов двойного слоя.
Потенциал такого двойного слоя с плотностью моментов /л равен:
Сравнивая это выражение с формулой (3), мы видим, что коли-
честву ;л [см. формулу (1) § 4]:
д = -1-(71-72)
в формуле (3) можно приписать новый смысл, — эта функция дает -
распределение моментов двойного слоя.
Итак, двойной слой в виде поверхности 3, покрытой с двух
сторон положительными и отрицательными массами с плотностью .
моментов ц, вызывает разность потенциала по обе стороны поверх-
ности 3 (скачок потенциала при переходе через поверхность) ве- '
личиной 4л:/л.
При этом потенциал возрастает при переходе от отрицательной
стороны, (покрытой отрицательными массами) поверхности к поло- ,
жительной.
Формуле (4) можно придать более простой вид, если воспользо-
ваться понятием телесного угла.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
205
Пусть мы имеем конус. Нетрудно заметить, что большее или
меньшее раскрытие его представляет известную аналогию большему
или меньшему углу, образованному двумя прямыми. Эта аналогия
еще дальше может быть проведена, если мы заговорим об изме-
рении этой величины. •
Проведем сферу радиуса единица с центром в вершине конуса.
Наш конус вырежет из сферы некоторую часть. Площадь сферы,
заключенная внутри конуса, измеряет телесный угол конуса
совершенно так же, как дуга окружности радиуса единица измеряет
центральный угол дйух радиусов.
Рассмотрим теперь нашу поверхность 2 и на ней элементарную
площадь До). Соединяя точки контура этой площади с началом О,
мы получим конус; он определяет телесный угол, под которым из О
видна элементарная площадь До). Чтобы вычислить этот угол, нам
надо вычислить площадь Д£2 сферы радиуса единица с центром в О,
заключенную внутри этого конуса.
Заменим кривые поверхности Да) и Д£2 касательными плоско-
стями. Переход от До) к Д£1 может быть совершен таким образом:
мы проектируем Дсо на плоскость, нормальную к радиусам-векто-
рам R (т. е. на направление касательной плоскости сферы), и затем
уменьшаем пропорционально квадратам расстояния обеих площа-
дей Дю и Д£ от точки О.
Пренебрегая бесконечно-малыми высших порядков, мы получим
такую зависимость между диференциалами площадей поверхности и
единичной сферы для одного и того же телесного угла:
А
do) cos (Rri) ...
/7(1 ______2 1 ( Н k
НО
Rn =R cos (Rn).
Следовательно:
d (—\
= -n-dm =-------da). (6)
R3 dn
Заметим, что формула (5) и следующая дают величину dQ со
знаком. Нетрудно заметить, что положительный знак будет в том
случае, если направление положительной нормали п к поверх-
ности 2 (вектора ~п) и направление радиуса-вектораR = QM обра-
зуют острый угол, т. е. если начало О лежит по отрицательную
•сторону поверхности 2.
206
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Вносим выражение (6) в формулу (4), мы получим:
Принимая во внимание знак формулы (6), скажем, что положитель-
ный знак интеграла (7) соответствует тому случаю, когда точка О
лежит с положительной стороны поверхности 2? (из точки 0 видна
положительная сторона поверхности).
§ 8. Заключение. Итак, наше изыскание об определении потен-
циального поля по данной дивергенции привело нас к таким
результатам.
Если дано:
1) распределение источников, т. е. дано значение дивергенции:
div Ф =
в каждой точке пространства;
2) поверхность •£, где нормальная слагающая поля испытывает
разрыв, и величина этого скачка1:
(dV\ /dV\ .
--- — I---- =
\dn J2 \dn д
3) поверхность S', где потенциал V поля испытывает разрыв, и
величина этого скачка:
71-Е2 = 4^,
то величина потенциала в любой точке пространства 0 опреде-
ляется формулой:
V S
последний член можно писать также:
JJ/x dQ,.
s'
Здесь В, — расстояние подвижной точки М от точки О, dot —
элемент площади поверхности, d2—элемент телесного угла, под
которым эта площадь видна из О.
Физическая интерпретация этой формулы может быть дана так:
Формула (1) определяет потенциал V поля, образованного:
1) массами, распространенными в пространстве V с плотностью
(объемной) е;
1 Формулу текста можно записать еще в виде:
dV dV ,
—— + —— = 4дат,
если nY и п2 — нормали, идущие к поверхности с одной и другой стороны ее*
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
207
2) массами по поверхности 'S с поверхностной плотностью о;
3) двойным слоем S' с поверхностной плотностью моментов ц.
Вычисление потенциала по формуле (1) вообще бывает затруд-
нительно по техническим причинам;—трудность интеграции; в про-
стейших случаях может быть получено гораздо проще из других
соображений.
Примеры: 1. Найти потенциал шара, равномерно заполненного
массой.
а) Потенциал внешней точки. Из соображения симметрии
следует, что направление вектора поля всегда будет по радиусу и
что потенциальными поверхностями будут концентрические сферы,,
в каждой точке которой напряжение поля будет одно и то же.
С другой стороны, мы видели, что поток векторов через любую
сферу, заключающую в себе один источник с массой т (материальная
точка с массой т), равен—4лт, п каждый новый источник внутри
сферы дает новый поток, который складывается с предыдущим. Таким
образом поток векторов через сферу#,концентрическую со сферой,
которая служит границей данного шара, равен — 4лМ, где М есть
полная масса шара.
Этот поток равен:
S S
ибо вектор поля Ф совпадает с нормалью к поверхности шара и
имеет противоположное направление; но Ф постоянно на поверх-
ности нашей сферы #; вынося его за знак интеграла, получим
уравнение: .
— 4лМ = — Ф J dco,
или, так как поверхность сферы # есть 4 лй2, где В — ее радиус, то»
4лМ = Ф 4л Е2
и
ф = А
в2 ’
откуда непосредственно следует (имея в виду расположение по-
' тенциальных поверхностей):
V = м
В
Итак, потенциал однородного шара во внешней
точке равен потенциалу материальной точки'той ж‘е
массы, расположенной в’ центре шара.
Ъ) Потенциал внутренней т о ч к и. Пусть наша точка М
лежит на расстоянии В от центра шара, и радиус шара пусть
будет г~^>В.
208
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В таком случае шар радиуса R, по отношению к которому
точку М можно рассматривать как внешнюю (в пределе точка
лежит на поверхности шара, но поле непрерывно, и, приближая
точку М извне к поверхности шара, мы получим на поверхности
тот же потенциал, что и вне шара),—шар радиуса R имеет в точке М
потенциал
7 = —t = —лрй2,
Я 3 ’
где —масса этого шара и q— плотность (постоянная).
Остается выяснить влияние той массы, которая находится в сфе-
рическом слое между двумя потенциальными сферами радиуса R и г.
Заметим, что и этот слой из соображений симметрии должен
иметь симметричное поле, но поток этого поля через любую сферу,
расположенную всецело внутри сферического слоя, т. е. внутри
сферы меньшего радиуса R, равен нулю, ибо внутри этой сферы
масс нет.
Отсюда непосредственно следует, что внутри сферы радиуса R
потенциал нашего слоя всегда равен нулю.
Итак, потенциал шара, для внутренней точки равен:
где R—расстояние точки от центра шара.
2. Найти потенциал двойного слоя в виде сферы с постоянной
плотностью моментов т.
а) Потенциал внешней точки равен нулю, ибо:’
V = = т JрШ =
*27 S
здесь т, как постоянная величина, вынесена за знак интеграла;
Si есть телесный угол, под которым видна поверхность S (наша
сфера) из внешней точки М, но шар из внешней точки пересечет
сферу как замкнутую поверхность в двух точках. Один раз с внешней
стороны поверхности сферы, а другой раз с внутренней стороны
ее. Угол Q один раз будет положительный, а другой раз тот же
самый, но отрицательный. Сумма их равна нулю.
Ь) Потенциал внутренней точки равен:
V = — 4лт.
Действительно, по той же формуле телесный угол £2 равен
полной поверхности сферы 4тг. Его надо считать^ отрицательным,
ибо сфера из внутренней точки видна со своей отрицательной
стороны.
Очевидно, эти соображения применимы к любой замкнутой по-
верхности, равномерно покрытой двойным слоем.
§ 9. Определение соленоидального поля по заданному распреде-
лению вихрей. Мы уже видели, что эта задача приводится тоже
к уравнению Пуассона—собственно к трем уравнениям Пуассона
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
209
для трех компонентов векторного потенциала. Следовательно, по-
лученное намц решение уравнения Пуассона для потенциального
поля можно почти непосредственно применить и к соленоидаль-
ному полю.
Мы этим и займемся в этом параграфе, но прежде покажем, что
и в этом случае решение будет однозначно. ' '
ТЕОРЕМА. Существует только одно поле, удовлетворяющее
уравнению:
div Ф = 0, curl Ф = 4ят, (1)
всюду непрерывное и в бесконечности обращающееся в нуль.
Действительно, если бы было два поля Фх и Ф2, удовлетворяющие
поставленным требованиям, то их разность
/ Ф = Ф1 — ф2
имела бы и дивергенцию и кёрль, равные нулю, т. е. эта разность
определяла бы поле потенциальное (curl Ф = 0) с дивергенцией, -
равной нулю. Такое поле, если оно всюду непрерывно и в беско-
нечности нуль, тождественно всюду равно нулю, т. е.:
Ф! = Ф2.
Заметим, что заданный вектор т, как вихрь поля, должен удо-
влетворять условию: ~ '
div т = 0.
Перейдем к определению поля по заданным уравнениям (1). Мы
видели (§ 1), что соленоидальное поле определяется векторным
потенциалом
Ф = curl U,
—>
причем вектор U обладает известным произволом; в частности- мы
можем предположить:
div U = О,
и тогда наше уравнение (1) примет вид:
или
V(V =
или так как-
VU = 0, .
то
V2 О =г — 4л т. (2),
Векторный анализ 14
210
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Если
U=iU1 + jU2+W&,'
т = гтх+ /т2 + fcr8,
то уравнение (2) распадается на три уравнения:
\/2U1 =—4:Лт1У =—4лт8, V2U3 = — 4лт3
— действительно уравнения Пуассона.
Их решения (при условии непрерывности U) суть:
НИВ МВ*”-
V V - V
где v означает всюду область, где вектор V не равен нулю. Сле-
довательно:
MBd”- ' (3)
V
Чтобы поле
Ф = curl U
удовлетворяло уравнению (1), надо только, чтобы выполнялось наше
предположение:
div U = 0.
Докажем это: вычислим div TJ:
div U = = Vo dv.
* V
Здесь оператор Vo содержит диференцирование по координатам
той точки О, в которой вычисляется вектор U. В правой части т
этих координат не содержит, — он содержит только'координаты
точки М, в которой рассматривается заданный вихрь поля; по этим
координатам совершается тройная интеграция. Зато R есть рас-
стояние между двумя точками — точкой О приложения вектора U и
точкой М приложения вектора т:
R = ОМ,
координаты точки О сохранятся как параметры и после интегра.
ции, и по ним и надо.будет диференцировать, применяя оператор Vo'
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО НОЛЯ
' 211
I Следовательно, диференцируя под знаком интеграла, получим:
Заметим, что если координаты точек М и О суть М (х, у, s)
и О (х0, у0, 2„), то
R2 = (x — х0)2 + (у ~ у0)2 + (z — г0)2.
Следовательно, обозначая через Vo оператор, примеренный ди-
ференцированием по координатам точки О, и через V тот же опе-
ратор, применяемый к координатам точки М, мы получим:
и, значит,
V0R = —VB,
Далее, по правилам диференцирования произведения:
-tv J J7L Л J
Здесь мы применяем оператор V к координатам точки Л£, от ко-
—>
торых зависит и вектор т и скаляр R.
Но вектор т определяет поле вихрей искомого поля Ф:
4 л т = curl Ф.
Следовательно, дивергенция его равна нулю:
. div г = v t = 0.,
Наша формула (а) принимает вид:
и, следовательно,
div
Преобразуем этот интеграл по теореме Гаусса:
V * S
Получим:
div U = —J J T~d&).
' о
(b>
14*
212
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Здесь S есть поверхность, ограничивающая объем v. Этот объец,
по условию, включает все точки, где вихрь поля г не равен нулю,
следовательно, на поверхности Ь’ вектор т тождественно равен нулю.
Двойной интеграл в формуле (Ь) есть нуль, и мы доказали требуемое:
div U = 0.
Тем самым доказано, что формула (3) определяет векторный
потенциал поля, удовлетворяющий уравнениям (1).
§ 10. Вихри, расположенные на поверхности. Мы применили
для определения векторного потенциала соленоидальнбго ноля
укороченную формулу решения уравнения Пуассона — формулу,
предполагающую непрерывность потенциала и непрерывность поля
(т. е. производных от потенциала). Допустим теперь, что искомое
поле допускает нарушение непрерывности. Мы видели, что точки
нарушения непрерывности оказывают влияние на вид решения
уравнения Пуассона только в том случае, если они заполняют
кусок поверхности. Мы рассмотрели тогда две возможности: 1) при
переходе через поверхность производная потенциала V (решение
рассматриваемого уравнения Пуассона) в направлении нормали
к поверхности изменяется скачком — получает конечное приращение,
и 2) при переходе через поверхность сам потенциал получает ко-
нечное приращение, — точнее, в обоих случаях предельное значение
на положительной стороне поверхности 2 не равно предельному
значению на отрицательной стороне ее.
Только первый вид нарушения непрерывности имеет значение
для соленоидального поля, — только его мы и рассмотрим в этом
параграфе.
Итак, решение уравнения Пуассона мы напишем в форме:
где *
V2 U = —
— заданный вихрь поля,
dV< 'dU; /dUA (dU;\
4-ло. = - -|---г- — —г- ) — (—г- (Ь)
dn2 \dn \ dn J г
—заданная разность значений производной по нормали к поверх-
ности разрыва S по ту и по другую сторону7 ее.
Составляя вектор U по трем компонентам (а), получим век-
торный потенциал нашего поля:
и= а)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
213
Какой-же физический смысл имеет второй член этой-формулы?
Формула (1), как всякая инвариантная формула векторного
анализа, не зависит от выбора системы координат. Поэтому, стремясь
выяснить физический смысл ее, мы можем выбрать ту систему
координат, которая нам будет более удобна.
Поместим начало координат в рассматриваемой точке поверх-
ности 2, примем касательную плоскость поверхности S за пло-
скость ж?/, .и, следовательно, нормаль к поверхности за ось г. Пусть
при этом положительное направление оси з совпадает с положи-
тельным направлением нормали к поверхности ~п по направле-
нию и 2 (черт. 59 на стр. 196).
Таким образом из формулы (Ъ) следует, йапример:
. л- I ди1 \ 7 dUi \
4710!= ----1- — -----1- )
\ дз /2 \ дз
Здесь индексы 1 и 2 показывают, что производная взята с по-
ложительной (1) или отрицательной (2) стороны поверхности S
(предельное значение сверху и предельное значение снизу).
Заметим, что в силу непрерывности компонентов О’,- при пере-
ходе через поверхность производные рт Ц,- в направлении каса-
тельном к поверхности, т. е. в направлении осей х и у на той и
другой стороне поверхности 2/, равны между собой; например:
(;= ( ^зЛ
\ дх ]3 \ дх
Таким образом уравнение (Ь) можно переписать так:
дх
(С)
. - . / dUt dU._
4л О, =-----4-
А дз
з \ ( дЦг
дх /2 \ дз
(d)
dU. V / <Я73
дз
dU3 у
ду дз )3
. ду
и аналогично:
4 л
Наконец: ,
, . / dU3 \ / dU3 У „
4 л d3 =--2- ) — (----2. =о.
\ дз )3 \ дз / х
Действительно, div U (по условию) равен нулю и на той и на
другой стороне поверхности. Следовательно:
' , \ _ ( ди1\ ( ди2\ • .
\ дз J3 \ дх )3 \ ду /2’
' ’ / dU3\ ( dUt\- ( dUz У 'f
дх \ ду
а так как производные по х и у (в направлении касательной к ’по-
Ч (^3 ' ' *
верхности) непрерывны, то и ——— имеет одно значение на обеих
сторонах поверхности.
дз
214 - ТЕОРИЯ ПОЛЯ
По условию, вектор поля Ф есть вихрь от U:
Ф = curl U.
‘Следовательно:
ф ф2=Лк__^, фз==Л^._.дС7_1 ,
\ ду с'z ds дх ’ дх ду
и уравнение (d) принимает вид:
4я £х — (Фг)г (^г)1>
4л <12 = (Ф1)1 —(Фх)2, ' (е)
поля
Ф
т. е. dx и d2 определяют приращение (скачок) компонентов
в касательной плоскости поверхности при переходе через эту
поверхность. Нетрудно
заметить, что компонент по Ъормали Ф3
изменяется при этом непрерывно. Дей-
ствительно, Ф3 составлен из производ-
ной по ж и по у, которые имеют одно
и то же значение на обеих сторонах
поверхности S.
Мы видим, что этот случай в из-
х вестном смысле представляет дополне-
ние к тому, который мы рассматрива- ,
ли при определении потенциального-
поля. Тогда испытывал разрыв непре-
рывности при переходе через поверх-
ность компонент поля по нормали к ?
поверхности, а компоненты в касатель-
ных направлениях менялись непрерыв- .
но. Теперь нормальная слагающая оста-
ется непрерывной, а касательные получают приращение при пе-
реходе через поверхность. 'Z
Если принять геометрическую интерпретацию поля как поля
скоростей течения жидкости, то нарушение непрерывности, которое ’
мы рассматривали, получает простое истолкование. Поверхность S
есть поверхность раздела двух жидкостей, которые двигаются вдоль ,
этой поверхности с различными скоростями.
В этом случае поверхность S можно рассматривать как место
поверхностных вихрей подобно поверхности с поверхностной плот- ч.
ностью, которую мы вводили для потенциального поля.
Возьмем, например, прямоугольный контур ABCD (черт. 60) со
сторонами, параллельными осям координат, который лежал бы
в плоскости ys, следовательно, перпендикулярно к касательной .
плоскости, и имел бы свой центр в начале координат.
Работа поля по этому контуру Нравна:
$ Ф dM = Ф2<й + J Ф3й > + j" Ф2й« 4- Ф3<й.
ABCD АВ ВС CD DA /
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
215-
Дг
-Ду ‘
Применяем теорему о среднем значении к каждому из этих
интегралов. Если обозначить вообще через (Ф2)Сд значение Ф>
в какой-то точке CD и положить:
АВ = DC = Ду, ВС = АВ = Дг,
то наша формула примет вид:
$Ф dM = [ (Ф2)ав — (Ф%)св] Ау + [ (Фз)вс — (Фа) ba] Az- (f)
По теореме Стокса, эта работа равна двойному интегралу от curl Ф
по площади нашего прямоугольника ABCD; притом положительная
сторона площади будет правая. По формуле (1) предыдущего па-
раграфа:
JJ curl ФЛсо = 4 л Jj т d со — 4 л JJr2d® = 4 л (тх)в ДуДг. (g)
Abcd abcd
Здесь через (tJo обозначено значение тх в какой-то точке
прямоугольника AI1CD.
Сравнивая формулы (f) и (g) и деля последнюю на Ду, получим:
4л (тх)в Дг == (Ф2)лв — (Ф2)св + (Фв)вс — (Ф3)ла
Предположим теперь, что наш прямоугольник сжимается в точку
так, что и Ду и Дг стремятся к нулю, а отношение •— остается
конечным. Тогда в правой части последний член обратится в нуль,
ибо:
lim (Ф3)вс = lim (Ф3Ш = (Ф3)0,
где через (Ф3)0 обозначено значение Ф3 в начале. Мы видели, что
Ф3—непрерывно, поэтому предел слева будет равен пределу справа.
Разность же:
(Ф2)лв — (Ф2)св
не обратится в нуль. Уменьшаемое дает предел Ф2 в точке О снизу,
т. е. (Ф2)2, а вычитаемое — предел сверху (Ф2)х, т. е. по формуле (1):
(^2)2 (Фг)1 = 4 лдР
Следовательно:
dx = lim / (т1)в Дг 1 = lim | тх Лг,
zfe=O \ J Jz=0 J
так же получим, что
d2 = lim I т2 dy.
л»=о J
Если т есть, так сказать, „объемная плотность" вихрей, то
/d = idx 4- ;d2.
216
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
даст плотность вихрей на поверхности 2. Мы, следовательно,
должны допустить, что наша поверхность раздела — несет поверх-
ностные вихри.
Подобно этому, если бы мы ввели еще поверхность 2'. где век-
торный потенциал испытывает скачок, то физический смысл ее мы
получили бы в виде двойного слоя из поверхностных вихрей, ко*
торый можно было бы рассматривать как предельное положение
двух параллельных поверхностей 2г и с равными и обратно
направленными поверхностными вихрями d, когда расстояние
' ' —>
между поверхностями стремится к нулю, а плотность вихрей 6
растет в бесконечность так, что их произведение остается постоянным.
§ 11. Определение общего векторного поля по заданному рас-
пределению расхода и вихря поля. Мы можем теперь дополнить то
разложение поля на потенциальное и солёноидальное, которое мы
начали 1.
Допустим, что наше поле Ф всюду конечно, даже и в точках
нарушения непрерывности. Тем самым мы исключаем возможность
двойного слоя, ибо в соседних к нему точках Ф растет в бесконеч-
ность. Пусть в бесконечности поле равно нулю.
Нам дано распределение дивергенции и вихря поля:
div Ф = curl Ф — 4л т.
Кроме того, нам даны поверхность 2и где нормальная слагающая
вектора испытывает нарушение непрерывности, увеличиваясь при
переходе через поверхность на величину 4ло, и поверхность 22,
где тангенциальные слагающие испытывают нарушение непрерыв-
ности, так что предельные значения вектора сверху и снизу по-
верхности (Ф\ и (Ф)2 удовлетворяют уравнению х:
«ГX I(Ф\ — (Ф)2} = 4л d.
Мы разлагаем поле Ф на потенциальное F и . соленоидаль-
ное G:
~$ = F+G.
Тогда: z
curl F = 0, div F = 1л@, — (F) nx = (F)n2 = 4л<т,
div G = 0, сигЮ = 4лт, nx {(G)i.— (G)a} = 4л d,
1 Разложим вектор (Ф), — (Ф)а на два компонента по нормали к поверх- '
нести и по направлению касательной плоскости. При умножении (векторном)
на вектор нормали п первый компонент пропадет, а второй повернется на
прямой угол в касательной плоскости и даст по- величине и направлению
вектор 4л д . См. формулу (е) предыдущего параграфа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
217
и оба поля вполне определены:
V . 271
V
Таким образом поле Ф вполне определено. Мы видим, кроме
того, что оба слагающих F « G также вполне определены. Следова-
тельно, всякое поле разлагается единственным образом на потенци-
альное и соленоидальное поле. Заметим, что эта теорема верна только
для поля, не имеющего границ (заданного во всем пространстве). В
конечной области это разложение может быть выполнено различными
способами. Например, в области, где и дивергенция и вихрь равны
нулю, поле можно по произволу считать или потенциальным
(вызванным массами, расположенными за пределом области), или
соленоида л ьным (происходящим от вихрей вне области).
§ 12. Эквивалентность вихревой нити и двойного слоя. Мы за-
кончим эту главу двумя замечаниями. Во всем этом анализе поля
мы совершенно не касались вопроса энергии, между тем во. всех
физических* вопросах подсчет энергии занимает одно из первых
мест. К этому вопросу мы обратимся в следующем параграфе,
а сейчас мы хотим отметить своеобразную аналогию между тем
полем, которое образовано вихревой нитью, и полем двойного слоя.
Мы уже видели, что при наличии хотя бы одной вихревой нити
работа поля по замкнутому контуру не равна нулю, по крайней
мере, не по всякому замкнутому контуру равна нулю,—если контур
охватывает нить (зацепляет вихревое кольцо), то рассматриваемая
работа равна потоку вихрей через поверхность, ограниченную кон-
туром, т. е. моменту вихревой нити. Таким образом этому полю
можно приписать многозначный потенциал, — при каждом обходе
через вихревое кольцо потенциал повышается на одно и то же число.
Если искусственно уничтожить такие обходы, затянув, например,
вихревое кольцо какой-нибудь поверхностью раздела S, имеющей
контуром это кольцо, то в оставшемся пространстве поле будет
иметь потенциал. >
С другой стороны, потенциальное поле с двойным слоем на по-
верхности S имеет эту поверхность поверхностью, точек нару-
шения непрерывности для потенциала. При переходе через эту
поверхность потенциал получает конечное приращение.
Мы видим здесь большую аналогию, и мы хотим теперь дока-?
зать полное тождество этих двух полей.
Начнем с соленоидального поля при одном вихревом кольце.
В этом случае вектор поля определяется по векторному потен-
циалу (см. § 9).
2J8
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Если:
Ф = curl U, 4лт = сиг1 Ф,
то:
V
Тройной интеграл распространяется на весь объем кольца. Раз-
биваем тройной интеграл на двойной интеграл по площади Q се-
чения кольца и по линии L вдоль кольца:
3=Ю7,,и’
L. Q
где Re — среднее значение R на площади Q.
Будем предполагать, что площадь Q поперечного сечения нашего
кольца сводится в точку, но так, что
О
остается конечным. Тогда мы получим в пределе вихревую нить
с моментом
4я • Я.
Эта величина—поток через поперечное сечение Q кольца—постоянна
для всего кольца. Следовательно, векторный потенциал поля будет:
Jr у r
L L
CD
ибо вектор Я и вектор dM имеют одно направление.
Вектор поля равен кёрлю от этого потенциала:'
но
следовательно:
J Rs
L
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
219
Заметит, что здесь вектор Ф получается сложением элемен-
тарных частей:
d Ф = + Я JdM •.
К3
По правилу векторного произведения векторы dM, В и йФ распо-
лагаются, как большой, указательный и средний пальцы левой
руки. Это совпадает с правилом. Ампера.
Рассмотрим, с другой стороны, двойной слой постоянной
плотности моментов ц на поверхности ограниченной конту-
ром L. Потенциал такого поля равен (см. § 7):
7 = ±дГ2, (3)
где Q — телесный угол, под которым из данной точки видна
поверхность S. Знак (+) или (—) соответствует - положительной
или отрицательной стороне поверхности, видимой из данной точки.
Чтобы не иметь с ним дела, припишем знак углуй.
Формула (3) показывает, что потенциал зависит только от кон-,
тура L поверхности S.
, Так как //, по предположению,—постоянная величина, то вектор
поля равен:
Ф= — VF = — fi\70Q.
Здесь Vo означает дифереяцирование в предположении, что
меняется точка О приложения вектора Ф. Если V означает дйфе-
ренцирование по координатам поверхности JS, то, очевидно:
Ф =/zV-2.
Непосредственно ясно, что изменение телесного угла Q произойдет
только при .перемещении контура L, но смещение на вектор ds
элемента контура dM дает элементарную площадь:
[d7dM].
Проекцию этой площади на поверхность сферы радиуса единица
получим, умножая скалярно на единичный вектор н. рмали этой
В
— и сокращая размеры площади в отношении 1: В2:
В
R[ds dM] _ d7[dMR]
В3 . ~. в*
Пользуясь свойством скалярного произведения трех множителей,
мы переставили множители в круговом порядке.
220
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Интегрируя по всей линии 4, полупим полное приращение
телесного угла от смещения 27 на вёйтор д s:
[dM R]
dQ=d s Ф ~ ~ p- •
J R3
L
Множитель d s вынесен за знак интеграла как-вектор постоян-
ный на линии L.
Таким образом вектор поля, образованного' двойным слоем S,
равен:
= (4)
Это в точности совпадает с формулой (2), если положить Я = р.
Это предложение составляет математическое содержание теоремы
Ампера1 в электротехнике.
После всего общего, что имеют эти два поля, следует отметить
и различие: поле двойного слоя имеет однозначный потенциал,
но имеющий поверхность 27 поверхностью нарушения непрерыв-
ности,— при переходе через 27 потенциал получает конечно^
Цриращение. Поле вихревой нити—поле непрерывное; на всякой
контуре работа поля возрастает непрерывно, но это поле с мно-
гозначным потенциалом, — при обходе по контуру, зацепляющему
вихревую нить, мы приходим Ь те же точки с работой, большей
на одну и ту же величину против прежней. Оба поля совпадают
только в предположении, что такие обходы исключены, т. е. если
поле рассматривается в области за вычетом точек поверхности 27:
§ 13. Энергия. Будем исходить из гидродинамической интер-
претации поля. Пусть вектор поля есть вектор скорости движения
частицы жидкости. Тогда элементарный объем dv будет обладать
кинетической энергией:
- ФМт = — Ф2 dm,
2 2’
где Ф — скаляр скорости и dm — элемент массы. Для нас плотность
движущейся массы не имеет особого значения, поскольку мы
изучаем самое поле, и движущаяся жидкость только служит
одной из возможных интерпретаций. Примем же эту плотность
за постоянную величину и равную — в согласии с тем, что
4л:
дивергенцию поля мы всегда обозначаем через 4jiq.
Тогда:
, 1 ,
dm = — dv,
4 л:
1 Магнитное поле тока I вполне эквивалентно полю листового магнита,
поверхность которого ограничена контуром тока I.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
221
(1)
и вся'энергия поля равна:
Интеграл распространяется на все пространство, гДе существует
поле, т. е. где вектор Ф не равен нулю.
1. - Формула (1) принимает другой вид для потенциального поля,
вызываемого распределением масс или дивергенции:
— >
div Ф — 4л(>.
В этом случае:
Ф = —V7, v27 = — 4л?.
Тогда:
(а)
Но по второй формуле Грина имеем:
JJ V doj = JJJV V2 Vdv + JJj (V7)2 dv,
8 v . v
где S— поверхность, служащая границей объема vf и -----произ-
dn
водная ею нормали к поверхности S. Удаляя эту поверхность
в бесконечность, мы получим для поля, обращающегося в беско-
нечности в нуль:
Jjj (VV)2dv= — JJj V^Vdv.
Внося это в формулу (а), получим:
или
. <2>
Интеграл распространяется на ту область, где дивергенция 4л q
не равна нулю.
Два выражения полной энергии (1) и (2) дают основание для
двух гипотез о местопребывании энергии поля. Действительно,
в первом случае интегрирование ведется по всем точкам, где
существует поле, сам вектор поля Ф или его точка приложения М
несет энергию поля; во втором случае интегрирование ведется
но точкам, где сосредоточены притягивающие массы; следова-
тельно, им приписывается содержание энергии. Оба выражения
эквивалентны, т. е. обе гипотезы равноправны, дают один и тот же
результат — одно и то же общее количество энергии.
222
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
dn.
V
dV TZ
------производные V по двум направлениям нормали
dn2
и
вид:
(3)
2. Если, поле обладает поверхностями S с поверхностной
плотностью расположения там масс 4ло, то предыдущий вывод
изменится.
Именно, при применении формулы Грина надо будет выделить
все поверхности нарушения непрерывности S подобно тому, как
мы это делаем в § 6. Переходя к пределу, когда выделенный
объем совпадает с поверхностью S (выделяющаяся поверхность
совпадает с двумя сторонами поверхности S), мы получим доба-
вочный член:
v2 dv + Ifj (VF)2dv= J J V (4V+-d~\ da),
V
dV
где — -
dnt
поверхности S, взятые по разные стороны ее.
Так как, по условию:
dV , dV .
-------------------------1- -—• = 4тга,
dnt dn2
то выражение энергии поля примет
V
3. Аналогично преобразуем выражение энергии и для солено-
идального -Поля, вызванного данным расположением вихрей:
curl Ф=4лт.
В этом случае поле обладает векторным потенциалом (см. § 9):
<₽=[VU1, V2U = — 4 л 7. (b)
По правилу диференцирования произведения:
V [ФЁ7]= V[®7] + V [ВД,
где значок Vc, Фс показывает, что на этот множитель операция V
не распространяется.
Переставляя множители в тройном произведении (с переменой
знака при несоблюдении кругового порядка), имеем:
v [0U] = u[v$]—едп],
где значок с опущен, так как порядок множителей не возбуждает
сомнения,—к какому множителю применяется операция V •
В силу формулы (Ь) получим:
Х7[ФП] = 4я 77—Ф2.
Применяем формулу Гаусса:
JJJ V[$7] dv = Jj [ФП] da,
v S
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
223
рли
—J JJ ФМv “ J[Фи] dm. (с)
v v S
При неограниченном удалении поверхности S последний инте-
грал обращается в нуль, ибо в бесконечности, по нашему условию,
и поле Ф и векторный потенциал U обращаются в нуль. Итак:
j Jj Ф2Ли — 4л Utdv,
V V
и, следовательно, формула (1) принимает вид:
V
Интеграл распространен на весь объем, где вектор поля не равен
нулю. Нетрудно отметить большую аналогию между форму-
лами (2) и (3).
4. Если поле обладает поверхностными вихрями, расположен
I •—>
ными на поверхности S с плотностью 4л4, то поверхность S
является поверхностью нарушения непрерывности для поля, и
формула (4) видоизменяется. ‘
В этом случае при применении формулы Грина придется выде-
лить точки поверхности 2 (подобно тому как мы делали в § 10).
Переходя к пределу, когда выделенная поверхность совпадает
с двумя сторонами поверхности 2, мы получим в формуле (с)
добавочный член:
2} dm. (d)
V v 27 '
4л J J J ^dv~ f J j Ф2 dv =
Здесь n—единичный вектор нормали к поверхности 2. Зна-
чок [0]х или [0]2 показывает, что вектор 0 взят по ту или другую
сторону поверхности S (предельное значение сверху и предельное
значение снизу). .
Преобразуем произведение, стоящее под знаком двойного инте-
грала, переставляя множители тройного скалярного произведения
(с изменением знака, если нарушен круговой порядок мно--
жителей):
+ П [Фик —П [Фи]2 = + [7ФЛ — U2 [пФ2].
Значки попрежнему показывают, с какой стороны поверхности S
вычисляется вектор.
—>•
Но, по условию, сам векторный потенциал U непрерывен на
поверхности 2, т. е.:
ut = ut.
224
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Следовательно, формула (d) принимает вид:
4л Ш v—ffi ф2 =—Л
® V л?
(е)
но:
[п Фх] — [/Гф2] = п х[AUJ — п х[^и2] =
= v (nU^ — CnV)^— v (nU2) + (W)U2.
Нетрудно заметить, что градиент нормальной составляющей вектор-
ного потенциала V (п U) непрерывен при переходе через поверх-
ность S. Действительно, по условию^ на поверхности S терпит ,
нарушение непрерывности только, производная потенциала по
нормали к поверхности, но производная по нормали от нормаль- '
ного компонента непрерывна (см. формулу (d) § 10, где нормаль
к поверхность совпадает с осью г). -
Сокращая член v(«^i) и — V (nU2) и замечая, что:
(V п) U = ——,
ап
имеем: - j
ж м dV dU . :
[п (Фх — Ф2)] = -----— = 4жГ
*
по формуле (Ъ) § 10.
Итак, формула (е) принимает вид: /
Ш ^dv ~ fН ®2 dv=~4 п
\ V V
Подставляя это в формулу (1), имеем:
+-1-JjtjTdw. "(5)у
Тройной и двойной интегралы распространены на области, /
где существуют вихри. '
5. Общее векторное поле, обладающее и вихрями и дивер- л
генцией: ?
div Ф = 4 utQ, curl Ф = 4лт
может быть, как известно, разложено на два поля:
Ф=/+(?, -
потенциальное F с данной дивергенцией и соленоидальное G
с данным вихрем: .
div F == 4тг()л , curl G = 4ят.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
225
Докажем, что энергия поля Ф слагается из энергии того и дру-
гого поля.
По формуле (1):
Возвышая в квадрат сумму векторов, получим:
FGdv.
Первые два члена дают но очереди энергию потенциального
поля F и энергию соленоидального поля G.
Таким образом нам надо доказать, что
\^FGdv = 0.
Интеграл распространен на' все пространство, где сущест-
вует поле.
Пусть потенциал поля F равен V:
F = -~VV,
тогда
V (VG) = G\7V + FVG = — FG, (f)
ибо, по условию:
div G- VG*=O.
Применяя теорему Гаусса, имеем:
div (VG)
или в силу (f):
FGdv = — f (w.
Перейдем к пределу, считая, что поверхность S уходит в беско-
нечность. Так как в бесконечности и V и G обращаются в нуль,
то последний интеграл в пределе будет равен нулю, т. е.
если интеграл распространен на все пространство.
Векторный анализ*
15
х
ПРИЛОЖЕНИЕ I.
ПЛОСКОЕ ПОЛЕ.
Нередко бывает, что в силу полного тождества условий при
перемещении параллельно некоторому направлению в пространстве
поле при таком перемещении не меняется. Будем предполагать,
кроме того, что вектор поля перпендикулярен к этому напра-
влению. 7
Тогда достаточно знать поле в одной плоскости, перпендику-
лярной к отмеченному направлению, чтобы знать его во всем
пространстве. Изучение поля можно свести к изучению его свойств
в плоскости. Такое поле называется плоским полем.
§ 1. Логарифмический потенциал. Рассмотрим прежде всего
потенциальное плоское поле и будем предполагать для простоты,
что оно образовано пространственным распределением масс с плот-
ностью Q. Тогда потенциал поля равен:
Г, rCf-g-Л.,= (•[(•
JjJ В JJJp/^ + ^ + 02
Будем предполагать, что ось z перпендикулярна к плоскости на-
шего плоского поля (т. е., двигаясь по оси, мы не изменим поля).
Тогда р -от z не зависит, и, разбивая тройное интегрирование
на интегрирование по направлению оси z и по плоскости ху,
мы получим:
• 4-00 •;
—со
где г = ]/®2 + j/2.
Быполняя интеграцию, имеем:
4-00 ’____
С . dz г . _______n.+°° z _|_ i/«a_i.r2
1 ,/—2 а = [1П я 4- ]/ г2 4- г2 ] =lim In —±_Е_±_ ==.
J L v IJ-oo ,_то -г+1/г2+та
—со г
=lim In
g >©о
— 2 lim In — + 2 In 2.,
T
ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
227
Предел равен бесконечности, и мы приходим к нелепости.
Это можно было предвидеть, так как наше поле, не меняясь
по оси s, в бесконечности не обращается в нуль.
Мы можем, однако, сделать предположение, что плотность q
сохраняет постоянное значение только в пределах —г <^ +г,
а далее равна нулю; здесь I — очень большое, но конечное число.
Тогда, пренебрегая бесконечно-малыми, имеем:
i
I —ЧГ= = 21п 21 +21П -ч
J I/ я2 + г2 г
— I
(1)
(2)
и потенциал примет вид:
V = 21n IJJ q dx dy -|- 2 gin — dx dy.
Первое слагаемое постоянно (при перенесении начала коорди-
нат, точки приложения вектора поля — grad V) и может быть
отброшено без изменения поля. Таким образом:
V = 2 р In — dx dy.
Строгий вывод этой формулы должен быть основан на решении
уравнения Пуассона:
d2V , d2V , d2V
дх2 . ду2 dz2 ,
которое теперь, когда V не зависит от z, принимает вид:
. d2V , ЭТ
•------------— _ 4 по.
дх2 ду2
§ 2. Соленоидальное поле. Пусть мы имеем:
div Ф = 0.
Это уравнение примет вид:
о® ду
Составляя вихрь поля, получим, так как Z = 0 и X, У не
зависят от г:
. £ ,(дУ дХ
curl Ф = fc I---------
\ дх ду
Так как вихрь всегда параллелен оси z, то и векторный
потенциал надо искать параллельно оси г:
ф = curl 17, U = kip.
(а)
. (Ь)
15*
228
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Отсюда следует:
х_ dip у _- । dip .
ду ‘ дх
(2)
Уравнение (а) удовлетворено, и уравнение (Ь) дает:
1 А 7 / d2W ,
curl Ф = к {—— 4-
\ дх*
д*!р \
§ 3. Уравнение Лапласа. Рассмотрим область, где поле не имеет
источников и не имеет вихрей.
В этой области поле имеет скалярный потенциал
7 = <р,
так что:
Ф = —VF, Х=—y=_-^L.
дх ду
Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
32у , д*ср = 0
дх* ду2
Поле имеет и векторный потенциал
U — kip,
так что:
Ф = [7Ё7], Х = —У=-^-.
ду дх
Функция у тоже удовлетворяет уравнению Лапласа:
д2<р д*<р _ q
дж2 ду*
Сравнивая равенства (а) и (Ъ), имеем:
д<р дир д<р дм
дх ду ’ ду дх
Уравнения (4) показывают, что
g> = const, ip = const
(а)
(3)
(Ь)
(3')
(4)
всегда пересекаются под прямым углом.
Первое из этих уравнений дает линию равного потенциала.
Следовательно, вторая из них дает линию тока. Поэтому функция V’<
называется функцией тока. ' >
Обе системы линий взаимны, т. е. можно принять (в новом
поле) линии \р = const за потенциальные линии, тогда линии
<р = const будут линии тока.
§ 4'. Функции комплексного переменного. Рассмотрим функцию •
от комплексного переменного х + гу.
ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
229
Производные:
при изменении только х:
,. Дю дю дф , .. дх
lim-----=-----= —4- г —i—,
Дх дх дх дх
ИЛИ ТОЛЬКО у:
,. Дю .дю . дф , дф
lim —— = — ъ------— — г —— -J-----2—
Дгу ду ду ду
вообще не равны, но если выполняются условия Коши-Римана-:
дф_____дф
дх ду ’
дф дф
дх дх
то
,. Ду)
lim
Дх
Нетрудно заметить, что в этом случае производная при любом
изменении х и у будет одна и та же:
дю , , дю .
----ах 4----dy
дх ду _
dx+idy
,. Дю
= lim -----.
Дiy
Дю
lim---------
Д (х + iy)
, ( дф , . дф '
(~—— 4" *--- v - • -
уд® ду J дф , . дф
=----------------'-------------—-------1_ г —— .
dx + idy дх ду
Такая функция называется аналитической функцией
комплексного переменного. Алгебраические функции вроде (х 4- iy)n
или знакомые трансцендентные вроде sin (ж 4- iy), 1g (ж 4- iy)
и т. д. суть аналитические функции.
Мы видим, что потенциал и функция тока суть действитель-
ная и мнимая часть некоторой аналитическойдфункции комплекс-
ного переменного. Таким образом теория плоского поля тесно
связана с теорией функций комплексного переменного.
ПРИЛОЖЕНИЕ II.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ.
До сих пор мы писали все формулы векторного анализа,
поскольку туда входила система координат, в декартовой прямо-
угольной системе координат. Между тем во многих задачах
бывает удобнее воспользоваться какой-либо другой - системой
координат, например полярной или цилиндрической (две полярные -
координаты в .плоскости ху и аппликата г), или еще более спе-
циальной системой координат, которая подходила бы к тем гранич-
ным условиям, которые составляют особенность данной задачи. , -
Поэтому весьма целесообразно иметь возможность переписать
все формулы векторного анализа в произвольной системе координат. <
Это распространение формул векторного анализа на произвольную
систему координат и составляет задачу этого приложения. Мы ]
только ограничимся все же системой ортогональной: именно, ’
если и, v, го—криволинейные координаты точки М И:
Х = Х (и, V, го), у = у (и, V, w), 2 — Z (и, V, го) (1)
— формулы перехода от декартовой системы координат к нашей ' j
криволинейной, так что вектор М есть функция и; v, w:- |
М = ix 4- jy + — М (и, v, w), (2)
то мы будем предполагать, что три вектора, касательные к коорди- !
ватным линиям и, v и го, взаимно перпендикулярны во всякой ]
точке пространства:
= 01 = 0, МД = 0. (3) . ’
§ 1. Подвижной трехгранник. В основе координатного опреде-
ления вектора лежит разложение его по трем направлениям, х'
лучше всего взаимно перпендикулярным. В декартовой системе
ч координат это были направления трех осей, одни и те же напра- <
вления во всякой точке пространства.
Теперь в произвольной системе координат мы уже не имеем /
таких трех избранных раз навсегда направлений. В каждой точке ' j
пространства эти направления мы будем избирать отдельно. Если «
наша система ортогональна, т. е. равенства (3) выполнены, л ]
то всего удобнее воспользоваться для этой цели направлениями
трех касательных к координатным линиям. Я
ЬёКторный анализ в произвольной системе Юординат 231
Итак, введем в данной точке М три единичных взаимно
перпендикулярных вектора elt е3, е3, которые мы будем писать
без стрелок наверху подобно единичным координатным векто-
рам г, j, к. Новые векторы вводятся при помощи равенств:
е = е = е —
1 Ми ’ 2 Mv ’ 3 ма • (}
Знаменатели введены, чтобы сделать векторы единичными.
Разлагая по этим направлениям вектор Ф, получим:
. Ф = Ф1е1 + Ф2е2 4- Ф3е3.
(5)
Скалярное и векторное произведения будут определяться через
координаты вектора Фх, Ф2, Ф3 по тем же правилам, как это мы
делали при пользовании декартовой системой координат.
Совершенно иначе обстоит дело при диферетщировании век-
тора (5) по какому-нибудь пути. Когда мы перейдем в соседнюю
точку М, изменятся не только координаты вектора Фх, Ф2, Ф3,
изменятся и те единичные векторы ех, е3, е3, по которым мы
раскладываем новый вектор. Следовательно, при диференцирования
формулы (5) надо диференцировать и множители elt е2. е3:
йф = е1йФ14* е2йФ2 4- 4- Ф<Де2 4- Ф3йе3.
Таким образом возникает вопрос: как же выразятся векторы
der, de3, de3, какими компонентами будут они обладать?
Пусть:
de1 = апе1 4- а12е2 4- а13е3,
dei = а21е1 + а22е2 + а2зез, (а)
de3 = ct31ex -J- азае2 “Ь аззез
Умножая первое уравнение скалярно на elf получим:
“и = О,
ибо
ех2 = 1, ехе2 = 0, ехе3 == О,
и, следовательно:
e1dei = 0.
Так же получим:
а22 ~ О, Я33 — 0.
Далее, умножая первое равенство (а) на е2, а второе на е3 и
складывая, получим:
е2йех + ekde3 = а12 4- а21,
но
ехе2 = 0, ехс?е2 4- e3dex — О,
следовательно:
а 12 “ a2U
и аналогично получим:
а23 а32> а13 «3! •
232
ПРИЛОЖЕНИЕ it
Остается, следовательно, вычислить три коэфициента:
Ct^2 == ®23 ^31 в1ЙвЗ •
Итак, диференцируем первое равенство (4) и умножаем по-
членно на второе:
а = edex = —. _М,_ = ^dM^---------------
Мт мим, м\м, .
Заметим, что в силу ортогональности координатных линий
[см. уравнения (3)] второй член пропадает. Числитель первого
равен:
M„dM№ = M,Muudu 4- M„Muvdv 4- MvMuwdw.
Введем обозначения:
ds2 = dM 2= (Mudu 4- Mvdv 4- M№dw)2 — a\du2 4 a22dv2 4 a2:idw2,
t. e.: , , , '
a\ = M2u, a\ = M\, a\ = M\ (6)
и 1
M„ = a1( M, = a2, Mw = aA.
Диференцируя второе равенство (6) по и, пэлучим:
М = «2«2И- (Ь)
С другой стороны, диференцируя первое равенство (3) по и,
имеем:
мтми=-mvmuu,
& диференцируя первое (6) по v: 1
МтМи = OjOi,,
и, следовательно:
ЯЯ<« = —«А,- (с)
Наконец, диференцируя равенство (3) соответственно по и,
v и и, складываем первое и третье и, вычитая второе, получим:
2<Яи = 0.
Итак:
M^dM* = — a^du 4- a2a2lldv,
и
а12 =----du 4- fl2M- dv.
а2 <4
1 М№, как всегда,—скаляр вектора М№.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 233
Таким же образом:
а23 =----------------------dv 4- -Яз<>- dw,
d%
а31 =--------й-— dw + ttlw- du,
и, следовательно: ci-^
de^ —— ^2 — - du 4- a2u al -dv + ез s J» e 1 13 1 11 du + dw
de2 = dv -f- ax a.2 -du + ез . dv-|- dw 1 (I)
de3 = ег ^f-dw+ ai alv a3 -du + e2 a3„ ^2 dw-j- a~- dv d3 •
Примеры. 1. Цилиндрическая система координат.
Формулы преобразования декартовой системы координат:
x — Q cos ф, у = р sin <р, з = в.
dM = i (cos <р do — q sin <p dtp) + у (sin ф dq + 9 cos <p dg>) + lc ds,
Черт. 61.
dM2 = dq2 4- Q2d<p2 -f- ds2.
Следовательно:
al — 11 ®2 — 9» a3 ~ 1’
= e2d<p, de2 — — e2d<p, de3 = 0.
Это нетрудно’получить и из геометрических соображений (черт. 61).
Линии <р здесь — крути с центром на оси г в плоскости, парал-
лельной плоскости координат, линии р — прямые в той же плоскости,
пересекающие ось в, и линии з—прямые, параллельные оси з.
Нетрудно заметить, что только при изменении д> трехгранник
вращается около оси з, — при изменении q или в он передвигается
параллельно самому себе.
2. Полярная система координат. Формулы преобра-
, зования (черт. 62):
х = (>cosg>cosip, у = р sin ф cosip, r = psin^,
' 1
234
ПРИЛОЖЕНИЕ И
откуда
ds2 = dQ2 4- q2 cos2 ip dtp2 + q2 dip2,
И
det — e2 cos p dip 4 e3 dtp, de2 — — e± cos ip dp 4 e3 sin ip dp,
de3 =—e±dp — e2sinip dp.
§ 2. Градиент скаляра. Дано скалярное поле V. Диференциал
его при переходе в бесконечно близкую точку:
dV = Vudu 4- V.dv + V„dw.
£ другой стороны, бесконечно малый вектор смещения есть
dM — Mudu 4- Mvdv 4- Mwdw = ep^du 4- e2a2dv 4- e3a3dw.
Нетрудно заметить, что dV есть скалярное произведение
dr — grad Г • dM,
(а)
где
, V V
grad V = VF = ex —u- 4- e2 ’
«1
J___дФ
a3 dw
(8)
(9)
(а)
(Ъ)
V
p w
. Таким образом приходим к формуле градиента в произвольной
ортогональной системе координат и новому виду оператора Га-
мильтона.
§ 3. Дивергенция. Мы установили вид оператора Гамильтона
в нашей системе координат:
„ Id, 1 д , 1 д
\7 — 4 -----1- в2----р с3--——
ах du а2 dv а3 dw
Применяя его скалярно к вектору
Ф = е1Ф1 4- е2Ф2 4- е3Ф3,
мы получим дивергенцию поля:
1 дФ . 1 дФ
div ф=е1-----у—+еа-------—
а± du а2 dv
Следует при этом иметь в виду, что теперь единичные векторы
ev eii e-j уже не постоянны, как были раньше координатные
векторы i, j, к, — они меняются с изменением криволинейных
координат и, v, w, и производные их даны в таблице (I) на стр. 233.
Собственно там даны полные диференциалы векторов, но, зная
полный диференциал, нетрудно составить частные производные,—
это коэфициент при диференциале соответствующего независимого
переменного.
Следовательно:
дФ | . и,, . а.„ » .
—— = er I Ф1и4----Ф2 4----Ф3 + е2
UU j d'2i
+ ^з[фз-—
%
^2и
4-
«2 J
(10)
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОЛЬНЕЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 235
дФ »
и ——. Вставляя эти выражения в фор-
дФ
и аналогично -—
dv
мулу (Ь), получим:
div ф = J-- ф1м+ X ф2с+Х ф3к _j. Ф1 + ЛзХ +
х а1 а2 а3 \ а1 а2 а1а3 /
+ Ф /^к + _?зЛ + ф/Л1»_ч (11)
\ О/% О>2 ^3 / \
Можно и непосредственно доказать, что
.влетворяет теореме Гаусса:
WW'M.1
е 8
выражение (И) удо-
to,
(12)
где dV означает элемент объема.
В криволинейных координатах элемент объема вычисляется
как объем параллелепипеда, построенного на бесконечно малых
смещениях по трем координатным линиям (собственно по каса-
тельным к этим линиям):
dV = (МиМеМа) du dv dw.
В нашем случае ортогональной системы координат три ребра
этого параллелепипеда взаимно перпендикулярны, и объем равен
произведению их скаляров. В силу форм уд (6) мы получим:
dF = a1a2a3 du dv dw,
и тройной интеграл в формуле Гаусса примет вид:
1 °2аз)м + (Ф2«1°з\ + (Ф3 “1 аз)«1 du dv dw.
Разбиваем его на три интеграла и в первом из них внутрен-
нюю интеграцию ведем по и:
JJJ (Фга2а3)и du dv dw = JJ dvdw J ^Фха2а3)и du.
Выполняя первое интегрирование в пределах от мх до и2, —
два значения соответствуют двум точкам Мг и М2 пересечения
линии и с поверхностью S, ограничивающей объем интеграции V:
JJJ (d\a2a3>ududvdw = ^1a2as)2dv dw— (Ф1а2а3)1йг? dw —
j Ф1а2а3 dv dw.
8
Здесь (Ф1а2а3)а есть значение этой функции для .ы = «2, т. е.
в точке М2, (Ф1«2а3)1 — в точке Mlf последний интеграл уже взят
как интеграл по поверхности <8. Производя аналогичное преобра-
зование с двумя другими интегралами, получим:
JJJdiv ФйГ = JJ №iaza3dvdw 4~ Ф-t^^dw du -|- Ф^а^и dv]. (с)
236 ПРИЛОЖЕНИЕ It
Так как элемент поверхности da> в криволинейных координатах
имеет вид:
—►
dco = е1а2а3 dv dw 4 е2аха3 dw du + е3а2 du dv, (13)
то формула (с) вполне совпадает с уравнением (12).
§ 4. Вихрь. Применяя наш оператор (9) к вектору Ф векторно,
получим выражение вихря поля в криволинейных координатах:
. 1
curl Ф — —
«1
дФ '
ди
дФ
dw
(а)
«1
1
$2
дФ дФ
аналогичные для---- и -----,
, dv dw
Подставляя сюда формулу (10) и
получим 1 1
curl Ф=^е1 Ф^»
_ а2 а3
1 1
+ е2 Фзи +
“1
1 1
+ ез Фо Ф, +
_ «1 а2
a3v Фз- a2w ф2 +
^2^3 и2 и3
aiw фх «3« Фз +
а1я3
а2л ф2 фд • . (14)
О-2 dj а2
Нетрудно и непосредственно показать, что выражение (14) удовле-
творяет теореме Стокса:
JJ curl Фda) = § ФdM.
s z
Действительно, пользуясь формулами (13) и (14), ймеемг
JJ curl Ф da = JJ {[(а3 Ф3)г — (а2 Ф2)и] dv ЙМ) +
Я
+ [(«1 Ф1)м—(«3Ф3)Д dw + [(«2Ф2)» — (®1 ФдХ! du dv}. (а)
Мы видим, что интеграл (а) имеет совершенно такой же вид,
как и в декартовой системе координат, если и, v, w заменить .
через х, у, z и положить, кроме того:
X — и2 Ф1, Y — и2 Ф2, % — ®з Фз-
Произведя то же преобразование интеграла, как и в § 1 гл. III,
получим:
Jcurl Ф dco = (Фх Oj du + Ф2 dv -f- Ф3 а3 dw}\
8 X
это и есть теорема Стокса, ибо в криволинейных координатах:
dM =е1а1 du+e2a2 dv + «8а3 dw.
1 Как и в случае декартовой системы координат:
«1 • е2 = еа, еа • е3 = ег, et • е, = ег.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОЛЬНЕЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 237
§ 5. Уравнение Лапласа. Если в формулу дивергенции (11)
вместо компонентов произвольного поля Фг, Ф3, Ф3 подставить
компоненты градиента (3), т. е. положим:
. 1 дУ
Ф1--------- t
ах du
Ф2 =
1 дУ
а2 dv ’ ..
1 дУ
as dw
то мы получим:
V27 = — —
а2х dw2
, dF 1
---------
dv а22
a ig ^2% dF 1 oi ,
, .1 д2У . 1 .
o “h
a22 dv2 a23 dw2 du a21 du
у , Ct-t СХ/л dig -J-?. , дУ~ 1 . ... aig
a2 -3— . (15)
dv dw a23 dw
Таким образом уравнение Лапласа, которому удовлетворяет
потенциал в области, где дивергенция равна нулю, имеет вид:
1 дТ , 1 dw , 1 д*У 1 д . а2а3 дУ ,
a\ du2 a22 dv2 a23 ‘ dw2 a\ du ar du
+ -L A _t+J_ jL J5L = o. (io)
a22 dv a2 dv a23 dw a3 dw
Примеры. 1. Уравнение Лапласа в цилиндрических коорди-
натах:
л1 + + ± ?Z._0. от)
<>е‘ д</,‘ ii> i
2 . Уравнение Лапласа в полярных координатах:
д2У 1 d27 ' 1 d^F ; 2 dF tgy dy
dQ2 p2cos2y> dtp2 q2 dip2 q d@ q2 dip
ПРИЛОЖЕНИЕ III.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ,
При выводе теорем векторного анализа, а еще более при уста-
новлении основных понятий в теории векторного поля мы часто
пользовались той или другой физической интерпретацией вектор-
ного поля. Так, к понятию дивергенции мы пришли, исходя из
рассмотрения движения сжимаемой жидкости, причем вектор поля
давал скорость движения соответствующей частицы жидкости;
понятие потенциала было получено из другой интерпретации поля
как поля сил и т/д.
Мы хотим теперь остановиться на том значении инвариантов
векторного поля, которое они принимают в теории электрического -
или, лучше, электромагнитного поля.
§ 1. Электростатическое поле в пустоте. Опыт показывает, что
присутствие „электричества" вызывает в окружающем пространстве
особые силы, которые приводят в движение легкие частицы.
Сила F, которая действует на данную частицу (например,
на бузинный шарик), зависит от электрического состояния ча-
стицы и от напряженности поля в данной точке. Опыт дает
формулу:
F = АС.
где А — скаляр, характеризующий электрическое состояние ча-
стицы, и С — вполне определенный вектор во всякой точке поля.
Поле С называется электрическим полем или специально
электростатическим, если „электричество находится
в покое".
Вместо этих, пока еще не имеющих внутреннего содержания,
слов можно дать конкретный признак электростатического поля:
из этого поля нельзя извлечь энергии, т. е. работа поля по вся-
кому замкнутому контуру равна нулю.
В формулах векторного анализа это значит:
curl С = 0, (1)
и, следовательно:
С = —gradg». (2)
Так как в бесконечности поле равно нулю, то оно должно
обладать источниками.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
239
Если поток через замкнутую поверхность S не равен нулю:
(j) (fi С dco — 4ле, (3)
s
то, как показывает опыт, внутри поверхности 8 есть наэлектризо-
ванные проводники. Величину в мы принимаем за меру находя-
щегося внутри поверхности 8 электричества, которую называем
зарядом.
Если в области V:
div С = 4лр, (4)
и на поверхности (нарушения непрерывности)
СП1 Ч- СВз = — 4л<7, (5)
где Сп, и СИа — компоненты поля С по нормали с той и другой
стороны поверхности S, то:
9 = + П do)‘
uJ К £ R
Отсюда непосредственно следует закон Кулона: два заряда
ег и е2, сосредоточенные в двух точках A/j и М2, действуют друг
на друга с силой:
где В12 = М1М2—вектор, соединяющий эти две точки.
Опыт показывает, что внутри заряженного проводника:
div С = 0.
Следовательно, поверхность заряженного проводника надо прини-
мать за поверхность нарушения непрерывности S с поверхностной
плотностью о, причем:
. оdco = е,
где в—полный заряд проводника. Вместе с тем эта поверхность—
одна из потенциальных поверхностей:
Ф = const.
§ 2. Поле стационарного тока.. Опытно устанавливается
закон Ома. Если две точки проводника находятся при разных
потенциалах <рг и ф2, то между этими точками устанавливается
электрический ток:
9"i —= (7)
где I — сила тока, т. е. количество протекающего в единицу вре-
мени электричества, и В — сопротивление:
240 ПРИЛОЖЕНИЕ III
Здесь I—длина проводника между выбранными точками, q — пло-
щадь сечения проводника и к— электропроводность—коэфициент,
зависящий от свойств проводника.
Так как:
ds
где С3 — компонент поля в направлении ds, то закон Ома при-
мет вид:
i = кС, (8)
где
» = —
3
есть плотность тока.
^ВекторТ, имея скаляром плотность тока i, совпадает по напра-
влению с движением электричества; следовательно:
—>
i = kC.
Если ток стационарен, то внутри проводника:
div г = О,
и на границе проводника компонент по нормали:
4 = о.
Следовательно, во всем пространстве:
div С = 0. (9)
Поле стационарного тока соленоидально.
Работа поля по замкнутому проводнику L:
(f)CdM = S (10)
L
называется электродвижущей силой.
Соленоидальное поле обладает векторным потенциалом:
С = --с— curl Н. (11)
4 л к
Здесь Н имеет значение напряжения магнитного поля, индуци-
рованного током, и с — универсальная постоянная, зависящая
от выбора единиц измерения С и Н.
—>•
§ 3. Магнитное поле тока. Магнитное поле Н вполне анало-
гично электрическому полю С, с той разницей, что поток через
замкнутую поверхность всегда равен нулю, т. е.:
divH = 0. (12)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
241
(И')
Уравнение (11) показывает, что
, 4 л г
curl Н =-----
с
т. е. вихревая нить поля образована током, индуцирующим
магнитное поле.
Векторный потенциал поля определен равенствами:
Н=сиг1Л, 4=—
Если назовем индукционным потоком поток поля > через по-
верхность S':
(13)
(И)
Ф = jJ Паю,
8
то, по закону Фарадея, в замкнутом проводнике L, который слу-
жит контуром поверхности 8, магнитное поле индуцирует ток:
= (15)
с at
Здесь--------производная по времени, а 1 и R, как обычно,—
at
. сила тока и сопротивление проводника. Направление поля пр кон-
туру L связано с направлением потока через поверхность 8, как
в теореме Стокса.
Если (см. § 2)
Ь
и сила тока на проводнике L постоянна, то*:
Ъ К" L К L
т. е. в силу (14) закон Фарадея напишем в виде:
fCdM = — —
ь с
или для покоящихся проводников
(f)CdM = —L
Ь с
— \\ паю,
dt
о
L и 8:
ff dH
I I----d co.
JJ dt
a
1Ибо-~=г, ids = idM, так как векторы ~Си dM одинаково напра-
—>
г ->
влены, — = С.
к
Векторный анализ,
16
242
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Отсюда следует, по теореме Стокса:
. -я 1 dH
curl С =---------—. (16\
с dt ’
Следует заметить, что формулы (10) и (16) относятся к токам
разного происхождения. Формула (10) имеет в виду токи, имеющие
причиной внешнюю электродвижущую силу (например, ток элемен-
тов), а закон Фарадея говорит о токе, индуцированном изменением
магнитного поля.
§ 4. Влияние диэлектрика. Все описанные явления происходят
в таком виде только в пустоте. Присутствие в электростатическом
поле непроводника (диэлектрика) при данном потенциале увели-
чивает заряд е, при данном заряде уменьшает потенциал.
Наряду с напряжением электрического поля С придется ввести
еще второй вектор D электрического смещения, так что:
D = sC.
Здесь е — скаляр, характеризующий диэлектрик, так называемая
диэлектрическая постоянная, вообще для данного вещества вели-
чина постоянная-.
Мы попрежнему имеем:
curl <7 = 0, (Г) С = — grad д>, (2')
но истинное электричество определяется потоком смещения:
ф ф Ddoi = 4яе, (3') div D = 4л(>. (4')
Поток вектора С определяет свободное электричество:
/<$Cd а>= 4яа', (3") div С = 4яе'. (4")
Итак, в пространстве, где нет зарядов, всегда:
curl С = 0, div D = 0. (17)
Внутри однородного диэлектрика, т. е. при постоянном е, мы
имеем также:
div С = 0, curl D = 0, (17')
но на границе раздела S двух диэлектриков, где s меняется,
будут расположены массы свободного электричества поля С и по-
верхностные вихри поля D.
Силовые линии поля С и D идут всегда вместе (ибо е есть
скаляр), но на поверхности -S они испытывают преломление.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ.ПОЛЕ
243.
§ 5. Влияние магнитной проницаемости. Аналогично по отно-
шению к магнитному полю всякое вещество обладает особым
свойством, которое характеризуется скаляром /z— магнитной про-
ницаемостью.
Наряду с напряжением магнитного поля Н мы должны рас-
сматривать еще новый вектор В—магнитную индукцию, так что:
В=(лН. (18)
Мы попрежнему будем иметь:
сиг1Я=4яг, (И')
с
но уже соленоидальность магнитного поля относится в безусловной
форме к магнитной индукции, поток которой должен был бы,
по аналогии с электростатическим полем, определять свободный
магнетизм (всегда равный нулю):
div В = О, В = curl А.
При постоянном ц, т. е. в однородном веществе, конечно,
div Н — div - — = 0.
, Совершенно так же полный индукционный поток Фарадея есть
поток магнитной индукции:
Ф — ш,
‘я
и, следовательно:
curlC = — . (16)
с dt
§ 6. Основные уравнения электромагнитного поля. Обозначим
через Се поле, вызванное внешней электродвижущей силой Ее:
= (f)CedM.
Тогда индуцированный магнитным полем ток равен разности
(J—С*. Эту разность и надо подставить в формулу (16) вместо С.
С другой стороны, если по проводнику L пробегает нестацио-
"" ►
парный ток, то div i не равна нулю; такой ток сопровождается
изменением количества электричества:
т. е, изменением напряженности поля Р. ю*
244
ПРИЛОЖЕНИЕ ГП
Мы можем сказать, что ток в проводнике i сопровождается
в этом случае током смещения в окружающем диэлектрике
1 dD
с плотностью-------------производная по времени.
4л: dt
Сумма этих токов
1 dD
4л dt
4л dt
(19)
определяет всюду соленоидальное поле:
div j = 0. (20)
Именно эту величину надо подставить в уравнение (11') вместо i
в общем случае.
Итак, мы имеем такие общие уравнения:
' D = 8 С, В =fiH, кС, div В = 0,
, т? 4л i' 1 dD , .7* т*. 1 dB
с с dt ' с dt
Исключая D и В, получим:
е dC 77 4лк
t с dt с
— fi ^H_cur| (22)
с dt ' 47
Цена 3 руб.
' ТТ П-5-2