Текст
Id1';
А И БОРИСЕНКО, И Е. ТАРАНОВ
Векторный анализ
и начала тензорного
исчисления
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Допущено
Министерствоя высшего о сродного
специального обраховаииа СССР
в иачоство учебного пособия
для студентов еысшнх технически!
учебных хаоедений
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МОСКВА - I33C
В книге излагаются основные сведения из
векторной и тензорной алгебры, понятия тен-
зорных полей и тензорный анализ, включающий
интегральные теоремы; содержится ряд задач
тензорного исчисления в применении к меха-
нике сплошных сред и электромагнетизму.
Все операции подробно разобраны в ор-
тогональных системах координат и дано обоб-
щение на случай произвольной криволинейной
системы координат.
Книга предназначена для студентов, изу-
чающих аэрогидромеханику, теорию упругости
и другие предметы, использующие тензорный
аппарат.
Предисловие к 1-му изданию
Необходимость применения тензорного исчисления в совре-
менной физике вызвана не столько удобством и наглядностью
математических формулировок законов, сколько объективными
свойствами изучаемых явлений.
Что касается предметов, изучаемых в технических вузах,
то в первую очередь в гидромеханике, теории упругости и элек-
тротехнике векторное исчисление давно уже широко применяется.
Успехи технических наук, углубление их теоретической базы
требуют знания основ тензорного исчисления, особенно той части,
которая связана с рассмотрением декартовой системы координат.
Современная научно-техническая литература изобилует
примерами широкого использования тензорного и векторного
исчисления. Лучшие учебники для втузов по специальным
дисциплинам учитывают эту тенденцию совершенствования мате-
матического аппарата современных естественных наук.
Программы по математике наших втузов включают необхо-
димый материал по важному разделу основ векторной алгебры
и векторного анализа. Однако иногда изложение этих разделов
носит относительно формальный характер, и это естественно,
ибо физическое содержание этого математического аппарата
наиболее полно может быть раскрыто в тех специальных дисци-
плинах, которые используют его.
Практика преподавания во втузе привела к выводу о жела-
тельности связать изложение теоретической гидромеханики
с систематическим ознакомлением с тензорным исчислением,
в первую очередь с векторным.
В этой книге собран материал, который может понадобиться
студентам инженерных специальностей. Авторам пришлось идти
по пути некоторого расширения излагаемых сведений, чтобы не
терять из виду физических основ аппарата и не стать на путь
преподнесения голых правил и приемов. Особое внимание обра-
щено на физическое содержание тензорного исчисления.
Поэтому книга в^ючает некоторые сведения, которые
являются предметом изучения на физических и механических
!• — 3
Предисловия
отделениях университетов. Большинство этих сведений (часть
тензорной алгебры) напечатано петитом. В то же время авторы
совершенно не касались общего определения тензоров, относя-
щегося к произвольным системам координат, и связанного с ним
понятия ковариантного дифференцирования. Эти сведения, необ-
ходимые в электродинамике и других разделах современной
физики, читатель сможет найти в более специальных пособиях.
Авторы считают своим долгом выразить глубокую благодар-
ность профессорам Я. П. Бланку, В. Л. Герману, Г. И. Дрин-
фельду и А. Д. Мышкису за сделанные ими ценные замечания,
значительно улучшившие первоначальный вариант книги.
Особую признательность авторы выражают профессору
Н. И. Ахиезеру, проявлявшему постоянный интерес и внимание
к книге.
Предисловие ко 2-му изданию
При подготовке 2-го издания, помимо пересмотра и уточне-
ния формулировок, были приняты во внимание замечания и
пожелания учащихся и преподавателей и, учитывая все боль-
шее развитие и применение тензорного анализа, добавлены
сведения о ковариантных и контравариантных составляющих
вектора и тензора, о дифференцировании и несколько расширен
раздел об операциях с тензорами: эти разделы, напечатанные
петитом, при первом чтении можно пропустить.
Существенные замечания по первому изданию книги про-
фессора П. К. Рашевского и профессора В. А. Марченко приняты
с благодарностью во внимание.
Предисловие к 3-му изданию
В третьем издании существенных изменений не внесено.
Добавлено несколько задач и примеров, более тщательно отре-
дактирован текст, устранены неточности и опечатки. Авторы
благодарны проф. Н. В. Ефимову за просмотр книги 2-го издания
и замечания.
Авторы
Глава первая______________________
Основные сведения из векторной
алгебры
В этой главе рассматриваются основные ал1ебраическне
действия над векторами, основанные па широко распространен-
ном определении вектора. В дальнейшем будет дано естественное
обобщение этих действий и основных понятий, составляющих
предмет тензорной алгебры.
7.7. Векторы и скаляры
Величины, для определения которых достаточно знать одно
число (положительное, отрицательное или нуль), называются
скалярами. Таковы—температура, плотность, масса, работа
силы. Сравниваться могут скаляры одинаковой размерности.
Два скаляра одинаковой размерности равны, если их знаки
и численные значения, получающиеся при измерении одной и
той же единицей измерения, одинаковы.
Часто приходится иметь дело с величинами, для определения
которых, кроме численного значения, необходимо указать на-
правление в пространстве. Таковы—перемещение, скорость,
ускорение, сила, момент силы, напряжение электрического поля,
диэлектрическая поляризация и т. п. Рассмотрение такого рода
величин приводит к понятию вектора*.
Действия над векторами подчиняются правилам векторной
алгебры, которые будут рассмотрены ниже.
Скаляр и вектор не исчерпывают классы величин, рассмат-
риваемых в математике и физике. Многие величины имеют более
сложную структуру, чем векторы и скаляры, и для определения
йх недостаточно знать числовые значения и направления. Они
называются тензорами (второго и высших рангов). Так, рассмо-
трение совокупности векторов упругих напряжений на всевоз-
можных площадку, которые можно провести через некоторую
- (*) Вектор—направленный отрезок, от латинского слова vehere—влечь,
тянуть.
— 5
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
точку в упругом теле, приводит к понятию тензора (2-го ранга)
упругих напряжений, рассмотрение деформации произвольного
элементарного объема упругого тела приводит к понятию тензора
деформаций.
Откладывая рассмотрение тензоров на дальнейшее, остано-
вимся более подробно на векторах.
Вектор А изображается отрезком прямой, направление кото-
рого совпадает с направлением рассматриваемой величины, а
длина в выбранном масштабе характеризует ее численное значе-
ние (модуль вектора Д = |4|).
Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен
нулю. Такому вектору нельзя приписать определенное направ-
Рис. 1.1.
а) Свободный вектор может быть перенесен параллельно самому себе;
б) скользящий вектор может быть перенесен по линии его действия, в)
связанный вектор
ление; ему может быть приписано любое направление в прост-
ранстве. Для обозначения нулевог-о вектора применяется обыч-
ный нуль.
Сравнивать можно только векторы, имеющие одинаковую
размерность, т. е. одинаковый физический или геометрический
смысл. При сравнении двух векторов одинаково существенны
как величины, так и направления их.
Два вектора А и В одинаковой размерности равны, если
модули их одинаковы и направления этих векторов совпадают.
Тогда пишут А —В.
Векторы свободные, скользящие, связанные. Иногда различают векторы
свободные, скользящие и связанные.
Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и при-
лагать в любой точке (например, скорость поступательного движения тела).
Свободный вектор (рис. 1.1, а) в пространстве полностью определяется
тремя числами, например, тремя его проекциями на оси декартовой системы
координат; его можно задать величиной (длиной отрезка, модулем вектора)
и двумя независимыми углами, образуемыми вектором с осями координат
и т. п.
Скользящие векторы можно переносить по прямой, определяющей
направление вектора (например, вектор силы, приложенной к твердому
1.2. Сложение и вычитание векторов Проекция вектора на ось
телу). Скользящий вектор (рис. 1.1,6) требует для своего определения в
пространстве пяти чисел, например, координат точки М пересечения прямой»
на которой лежит вектор, с какой-либо координатной плоскостью (два числа),
длины вектора (одно число) и двух независимых углов аире осями (два
числа).
Связанный вектор относится к определенной точке (например, скорость
и ускорение точки твердого тела, движущегося произвольным образом).
Связанный вектор (рис. 1.1,в) определяется шестью числами, иапример
координатами начала и конца вектора (точки М и N).
Свободные векторы являются наиболее общим случаем задания величин,
определяемых численным значением и направлением. Изучение скользящих
и связанных векторов можно свести к изучению свободных векторов.
Поэтому в дальнейшем мы будем изучать только свободные векторы.
1.2. Сложение и вычитание векторов.
Проекция вектора на ось
Сложение векторов и его свойства. Определением векторного
сложения служит следующее правило.
а) Сумма двух векторов 4 + В=С; б) Сумма нескольких векторов
=N, в) ассоциативность векторного сложения 'А 4-В) + С-А +
+ (В4-С)=Л + в + с
Суммой двух векторов (Л и В) является третий вектор (С),
изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на
слагаемых векторах (рис. 1.2, а)
Следствием этого определения является правило суммиро-
вания нескольких векторов
Суммой нескольких векторов (А, В, С, ...) являет я вектор (N),
представляющий замыкающую многоугольника, построенного на
слагаемых векторах (рис. 1.2,6)
Это правило приобретает ясный физический смысл, если под
слагаемыми векторами понимать последовательные перемещения
некоторой точки в пространстве тщда их сумма является ре-
зультатом этих последовательных перемещений и дает общее
перемещение точки.I
Из определения векторного сложения следует, что действие
Сложения векторов обладает характерными свойствами обычного
алгебраического суммирования, а именно:
— 7
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
1) коммутативностью, т. е.
д+в=в+л,
2) ассоциативностью, т. е.
(4 + В) + С = А + (В + С) — А + В+С.
Таким образом, при векторном сложении результат не зависит
от порядка слагаемых и сумму более чем двух векторов можно
писать без скобок (рис. 1.2, в).
Что касается сложения любого вектора с нулем, то спра-
ведливо правило
4+0 = 4.
То, что величина характеризуется численным значением
и направлением, является необходимым, но отнюдь не доста-
Рис. 1.3. Поворот сферы вокруг некоторой оси:
в/ направленный отрезок as не лежит в плоскости отрезков aj и ар б) два способа
перевода дуги из положен ня Д1В, в АгВг
точным признаком того, что данная величина является вектором.
Она обязательно должна подчиняться действиям векторной
алгебры, в частности векторному (геометрическому) сложению.
В качестве примера, иллюстрирующего это положение, рассмотрим
поворот твердого тела вокруг некоторой оси; он может быть представлен
отрезком, равным по величине углу поворота и направленным по оси
вращения, например, в ту сторону, откуда поворот виден против хода
часовой стрелки. Однако можно показать, что такие отрезки не подчиняются
правилу векторного сложения, причем их сумма зависит от порядка
слагаемых.
А. Пусть сфера (рис. 1.3, а) повернулась вокруг оси Оу на угол сц так,
что некоторая точка сферы из положения Aj переместилась в положение А2;
изобразим этот поворот в виде направленного отрезка а,. Пусть второй
поворот сферы совершается вокруг осн Ог на угол а2, так что точка перейдет
из положения А2 в А3; этот поворот тогда изобразится направленным
8 —
1.2. Сложение и вычитание векторов Проекция вектора на ось
отрезком а2. Тогда по определению введенных нами направленных отрезков
поворот сферы, переводящий точку из положения At в должен быть,
с одной стороны, суммой отрезков at и аа, а с другой —изображен отрез*
ком а3, перпендикулярным плоскости ЛХОЛ8. Поскольку а3 не лежит в
плоскости гОу, этот отрезок не может быть суммой ах и а2. Этот пример
становится особенно наглядным для случая
л
ai=a2 = j ‘
Б. Поворот сферы, переводящий некоторую дугу на ней из положения
Л1В1 в положение Л 2Ва, может быть осуществлен двумя путями (рис. 1.3,6):
а) поворот вокруг оси на угол а( (вектор «^-{-поворот вокруг
оси 0В2 на угол а, (вектор а2) ;
б) поворот вокруг осп 0В} на угол а*(вектор а2)+поворот вокруг
оси 0Ла на \юл ctj (вектор aj .
Несмотря на то, что слагаемые поворота равны по величине и изме-
нение их последовательности не меняет результата (дуга из Л1В1 перейдет
в Л2В2), нетрудно видеть, что изображение поворота в виде векторов
влечет за собой некоммутативиость суммы векторов, т. е.
ai+a2 +
В противоположность конечным поворотам твердого тела, бесконечно
малые повороты являются векторами (см. задачу 11 этой главы).
Вычитание векторов и нулевой вектор. Рассмотрим действие
вычитания векторов.
Под вектором —А (минус А) п<
щий величину, равную величине
прямо противоположное. Будем
считать в этом случае, что век-
торы А и —А противоположны.
Очевидно, вектор, равный свое-
му противоположному вектору,
есть нулевой.
Вычитание как действие, обрат-
ное сложению, сводится к опре-
делению одного из слагаемых (X)
по известной сумме (4) и друго-
му слагаемому—вектору (В): р
В + Х^А.
уразумевается вектор, имею-
вектора 4, а направление
. 1.4. Построение разности двух
векторов
Используя понятие противоположных векторов, отсюда нетрудно
получить
Х = 4 + (—В) = А — В.
Таким образом, вычитание векторов сводится к сложению
уменьшаемого с векторощ противоположным вычитаемому
(рис. 1.4).
— 9
Г лава первая Основные сведения из векторной алгебры
Проекция вектора на ось. Проекцией Аи вектора А на ось (и)
(рис. 1.5) называется длина отрезка, отсекаемого на этой оси
перпендикулярными к ней плоскостями, проведенными через
концы вектора 4, взятая со знаком плюс, если направление от
проекции начала вектора на ось к проекции его конца совпадает
Рис. 1.5.
а) Проекция вектора на ось: б) проекция одного вектора на направление
другого
с положительным направлением оси, и со знаком минус—в про-
тивном случае.
Ортом оси (и) называется вектор а0, направленный в поло-
жительную сторону оси и равный по величине единице, т. е.
Uo = | Uq | = 1.
Обозначим угол* между вектором А и ий через <р = (Д, и0).
Проекцию А„ вектора А на ось (и) можно вычислять по
формуле
Аа = A cos <р = Л cos (4, и0).
Действительно, легко видеть, что |4cos<p| всегда дает длину
отрезка оси (и) между плоскостями, проведенными через концы
вектора перпендикулярно к оси. Если <р <у, то направление
от проекции начала вектора к проекции конца вектора совпадает
с положительным направлением (и), в этом случае cos<p>0
так, что и Да>0. Если <р>у, то cos<p<0, и Ла<0 в соот-
ветствии с определением проекции.
Следовательно, проекция вектора на какую-либо ось равна
произведению длины вектора на косинус угла между вектором
и положительным направлением оси.
Нетрудно показать, что проекция суммы векторов на какую-
либо ось равна сумме проекций слагающих этой суммы на эту
же ось (упражнение 1 этой главы).
Угол между векторами всегда оерется в пределах от 0 до л.
10 -
1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов
1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная
зависимость векторов. Разложение вектора
Умножение вектора на скаляр. Произведение вектора А на
скаляр т представляет собой вектор В, модуль которого в | m | раз
больше модуля вектора А, а направление совпадает с А в случае
т>0 и прямо противоположно А в случае /п<0.
Таким образом,
тА = В; |В| = В = |/п|-|4| = |/п|Д.
В частном случае /и =— 1, векторы В и А противоположны.
Векторы А и тА(т^О) параллельны между собой. Они
представляют простейший случай линейно зависимых векторов.
Умножение вектора на число удов-
летворяет правилам:
т(пА) — (тп)А, / \ // \
т (А + В) = mA 4- тВ, тА Г Т у \
(т -f- и) А = mA 4- nA. \ \Д \
Линейная зависимость векторов. л \ /}—X—_ \
Векторы коллинеарные и компланарные. \ /ЛпВ \ /
Векторы А, В, С... (всего п) называ- х/' \/
ются линейно зависимыми, если суще- q - ''' $
ствуют скаляры clt с2, с3, .... сп, не все р
равные нулю, такие, что Рис. 1.6. Любой вектор D
может быть единственным
CjA + С2В-]-С3С -|* . . . ~VcnN =0, образом разложен по трем
некомпланарным векторам
т. е. если существует линейная комби- д, в, С
нация векторов, обращающаяся в нуль.
Два линейно зависимых вектора параллельны между собой.
Действительно, пусть причем, по крайней
мере, с2=#0. Тогда, обозначая — = — т, получим В=тА. Отсюда
следует параллельность векторов А и В. Такие векторы назы-
ваются коллинеарными.
Три линейно зависимых вектора лежат в одной плоскости
(или параллельны одной плоскости).
Действительно, пусть сгА 4-с2В + с3С = 0, причем, по крайней
мере, с3^=0. Тогда, обозначая — =—т,— = — п, получим
с3 сз
С-тА + пВ-
Отсюда следует, что вектор С лежит в одной плоскости
с векторами А и В (ибо С является суммой векторов mA й пВ,
коллинеарных А и В). Такне векторы называются компланарными.
- И
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Разложение векторов. Рассмотрим два принципиально важных
утверждения, касающихся представления любого вектора в виде
линейной комбинации двух или трех других векторов (разло-
жение вектора по двум или трем другим векторам).
I. Если два вектора А и В линейно независимы (не являются
коллинеарными векторами), то любой вектор С, компланарный
с А и В, может быть единственным образом разложен по этим
векторам, т. е. справедлива формула
С = тА + пВ. (1.1)
Поскольку векторы А, В, С компланарны, то имеет место равенство
с,Д-:-с8в-гГаС=0. (*)
Так как векторы Див но условию линейно независимы, то ся 0.
Разделив (*) на с3 и обозначив -- =—Гп, — ------и, пол\чим разложение
CJ
(1.1). Покажем, что оно единственно П>с^ь нарядх с (1.1) имеет место
другое разложение:
С = т' А-гп’В
Вычитая это равенство из (1.1), получим (т—т')Л + (п—п’)В=0.
Отсюда следует, что m = m', п = п‘, ибо по условию Див линейно неза-
висимые векторы.
Таким образом, разложение (1.1) единственно.
II. Если три вектора А, В, С линейно независимы (не яв-
ляются компланарными векторами), то любой вектор D может
быть единственным образом разложен по этим векторам, т. е.
справедлива формула
D — mA + пВ+рС. (1.2)
Отложим четыре вектора А, В, С, D от общего начала О
(рис. 1.6). Через конец вектора D проведем плоскости, парал-
лельные плоскостям векторов А и В, А и С, В и С: эти
три плоскости вместе с плоскостями векторов А и В, А и С,
В и С образуют параллелепипед. Одной из диагоналей этого
параллелепипеда является вектор D. Векторы А, В и С, исхо-
дящие из начала О, направлены соответственно по трем его
ребрам. В силу коллинеарности векторов А, В, С и mA, пВ, рС,
имеющих модули, равные длинам ребер параллелепипеда, можно
показать справедливость формулы (1.2).
Если наряду с разложением (1.2) имеет место также и раз-
ложение
D= т'А + п В+ р'С,
то
(т—т’)А + (п — п')В + (р—р')С = 0.
Отсюда т — т', п = п', р = р', ибо по условию А, В, С—линейно
независимые векторы.
Таким образом, из (1.2) следует: любые четыре вектора в
трехмерном пространстве линейно зависимы (см. 3.10, стр. 126).
12 —
1 3. Умножение вектора на скаляр Линейная зависимость векторов
Векторный базис. Система любых трех линейно независимых
векторов ev е2, е3 образует, по определению, базис трехмерного
пространства.
Тройка базисных векторов, в силу доказанного выше, обла-
дает тем свойством, что для вся-
кого вектора А существует разло-
жение
А = met 4- пег + ре3, (1.3)
причем коэффициенты разложе-
ния определяются единственным
образом.
Подчеркнем, что в качестве
базиса могут быть выбраны три
любых некомпланарных вектора.
Откладывая тройку базисных
векторов ek (k — 1, 2, 3) от общего
начала О и обозначая через 0хк
прямые, на которых лежат базис-
ные векторы (k—индекс, а не
степень; удобство такого
обозначения станет ясным
из дальнейшего), получим
Рис. 1.7. Координатный базис
косоугольной декартовой системы
координат
косоугольную декартову
систему координат с ося-
ми Ох1, 0хг, Ох3 и нача-
лом О (рис. 1.74; базисные
векторы называются ма-
сштабными векторами, а
концы этих векторов, от-
ложенных от начала коор-
динат,—единичными точ-
ками осей координат.
Если базисные векто-
ры вр ег, е3 взаимно ор-
х,
тогональны и модули их
равны единице, то они на-
зываются ортами прямоу-
гольной декартовой систе-
Рис. 1.8. Координатный базис прямоу-
гольной декартовой системы координат и
представление радиус-вектора точки
мы координат и обозначаются через /2, i3 для осей 0х1(
0хг, 0х3 (рис. 1.7).
Положение точки М в пространстве определяется ее радиус-
вектором г .Это вектор г (М), проведенный из начала координат
в точку М (рис 1.7 и 1.8). Координатами точки М в прямоу-
гольной декартовой системе координат будут расстояния (со зна-
— 13
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
ком) х2, х3 до плоскостей x20x3, x30xlt xtOx2 и поэтому
r = /1Xi + Z2x2 + i3x3.
Одним из важнейших достоинств векторного исчисления
является то, что уравнения, описывающие то или иное физи-
ческое явление, можно формулировать безотносительно к коор-
динатным системам. Однако при решении конкретных задач,
всегда связанных с вычислениями, каждую задачу обычно
преобразовывают к виду, содержащему скалярные величины.
Это можно сделать, пользуясь подходящей (удобной) системой
координат, когда векторное (тензорное) уравнение разлагается
Х1
Рис. 1 9 Криволинейные системы координат на плоскости:
а) полярная (координатные оси -лучи н касательные к окружностям); б) обобщенная
полярная (координатные осн—лучи и касательные к эллипсам)
на эквивалентную систему скалярных уравнений, содержащих
только скаляры (числа), подчиняющиеся правилам арифмети-
ческого счета.
Каждое такое разложение связано с выбором подходящего
базиса, который строится в соответствии с выбранной системой
координат. В подавляющем большинстве практически встречаю-
щихся случаев пользуются прямоугольными системами коорди-
нат—прямолинейной (декартовой) или криволинейными: цилин-
дрическими, сферическими, эллиптическими и т. п. В прямоли-
нейной системе координат базисные векторы одинаковы во всех
точках по величине и направлению; в криволинейных—направ-
ления базисных векторов меняются от точки к точке.
Рассмотрим сначала для простоты точку на плоскости—ее
положение полностью определяется радиусом-вектором г относи-
тельно некоторой фиксированной точки (полюса) О, который,
конечно, не связан и не зависит ни от какой системы координат.
Чтобы производить вычисления, нужно выбрать какую-либо
систему координат, и тогда положение точки на плоскости
будет определяться двумя числами-координатами: назовем их
14 —
1.3. У множение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов
р и q. Эти числа уже будут зависеть от принятой системы
координат, от принятой системы отсчета.
В прямоугольной декартовой системе координат, например,
это будут расстояния (со знаком) p = и q = x2 до двух
взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через начало
координат.
Если сохранять постоянным значение одной координаты,
Например, р — const, и изменять непрерывно другую, получим
Координатную линию. Через каждую точку на плоскости прохо-
дят две координатные линии. В прямоугольной декартовой
системе это будут прямые, параллельные осям координат.
Если определять положение точки на плоскости двумя такими
числами — расстоянием R (0=СR< + оо)ог некоторой фиксирован-
ной точки О на плоскости (полюса) и углом 0(О^0<2л) между
йрямой, проведенной из полюса О в рассматриваемую точку и фик-
сированной полупрямой из полюса (полярной осью), то получим
так называемую полярную систему координат. Координатные
линии—это окружности радиуса R — j/Gc? + х\ и полупрямые
(лучи) O = arctg—, и обратно: x1 = /?cos0, x2 = /?sin0 (предпо-
*1
в»
е;
1 10. Разложение век-
Рис
тора по векторам е19
^2»
лагается, что начало декартовых прямоугольных координат
совпадает с полюсом и ось Охг с полярной осью). В этой системе
криволинейных координат направления базисных векторов в
каждой точке различны, но пересекаются все они под прямым
углом—полярная система координат ортогональна (рис. 1.9, а).
Координатными линиями обобщен-
ной полярной системы координат явля-
X2 X2
ЮТСЯ ЭЛЛИПСЫ ua = ^r+ftT И лучи
О = arctg у у- (OsS и< 4- оо, 0=сО<2л;
а>»0; Ь> 0; а=й=&); обратно хх = аи cos О,
хг = Ьи sin О.
Подробно криволинейные коорди-
наты рассмотрены в специальном раз-
деле второй главы.
Подчеркнем еще раз, что при ре-
шении конкретных задач обычно поль-
зуются ортогональными системами ко-
ординат. Однако многие свойства их
становятся значительно яснее, если
рассматривать их как предельный случай обобщенных криволи-
нейных координат, базис которых не прямоугольный, а коорди-
натные линии не прямые линии. Поэтому в дальнейшем основные
свойства векторов (тензоров) будут рассматриваться главным
— 15
Гмва первая Основные сведения из вектооной алгебры
образом в декартовой прямоугольной системе координат, хотя в
некоторых местах будут применены неортогональные базисы.
Прямое и обратное преобразование векторов двух произволь-
ных базисов с общим началом. Пусть в некоторой точке О вы-
браны два векторных базиса (е1( е2, ея) и еД Любой из
векторов первого базиса можно разложить по векторам второго
базиса и наоборот (рис. 1.10).
Обозначим через а,*, а’, а,® (цифры вверху — индексы) коэф-
фициенты разложения вектора Ci по векторам базиса elt е2, е3,
будем называть эти девять (i == 1, 2, 3) величин коэффициентами
прямого преобразования, так что в соответствии с (1.3)
е\ = аЬв! 4- а*<е2 + аге3 = 2
ы
з
et = at>et + 4- а1'«я — 2 А>
fe=1
3 (1-4)
вз = (1з'в1 ~|“ (Хз'вя “Р О&з'вд = 2 ^з'^Л
или, в общем виде
в/ = 2
Аналогично, коэффициенты разложения вектора бу по век-
торам е\ ,е2з е3 обозначим через а) , af, а3 (/= 1, 2, 3) и эти
девять величин будем называть коэффициентами обратного
преобразования
2 ос/ в/?. (1*5)
fe=i
Между коэффициентами прямого и обратного преобразова-
ний существует связь. Подставив разложение каждого вектора ek
из (1.5) в (f.4), после перегруппировки слагаемых найдем
е,= а*>+ а-'в2+аг е8 = аМа}' е\ +<х? et + af ея)+
+а* (aj в1 +...) + ar (aj в\ +...) =
— (аА af 4-а* а, -|-а,?- а8) «1 + (аА а, -Ь...) е8 +
3 3
+ (аА aj +...) == е, 2 аАа* -1 ®г2 ®га? +•
/ = 1 1
+в3 2 a‘i,a{ = 2 2 а>’а‘ • (1-6)
k-l
16 —
1.3 Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов
Аналогичным путем можно найти
3 3 3
2 «Г аА + 2 ai' + 2 ««• а1 • =
/*1 /=1 /»1
3 3
= 2 ek 2 а*. (1.6a)
1 I =1
Отсюда ясно, что для каждого значения индекса i (i= 1, 2,3)
имеют место следующие 18 соотношений:
3 1 0, если i =^=/i
2 а,-а{ = \ 1, если 1 = /.
z=i 1
3 t | 2 а, а/- = s [ 0, если [ 1, если i¥=/, i = /. >
1 = 1 1 J
(1-7)
Эти соотношения будут использованы в дальнейшем.
1.4. Скалярное и векторное произведения
двух векторов
Скалярное произведение. Скалярным произведением А»В двух
векторов А и В называется произведение их модулей на косинус
угла между векторами.
Таким образом,
А»В — ABcos(A, В).
Отсюда также следует, что скалярное произведение равно
Произведению модуля одного вектора и проекции другого век-
тора на направление первого (рис.
1.5), т. е.
А»В= АвВ=--АВа.
Скалярное произведение векто-
ров обладает коммутативностью и
дистрибутивностью:
А»В — В*А (коммутативность),
А»(В+С)=А»В+А»С (дис-
трибутивность) (рис. 1.11).
Необходимое и достаточное
условие перпендикулярности двух
векторов А и В выражается сле-
дующим равенством
А*В=0.
Рис. 1.11. Дистрибутивность
скалярного произведения. По-
скольку ON — ОМ + MN, то
| А10N=\41 ОМ -Ь| 41 MN. т.е.
А(В+О = А-В + А-С
Необходимость и достаточность этого условия очевидна (если
Л±В, то cos (А, В) = 0; если один вектор есть нуль, то ему
можно приписать направление, перпендикулярное ко второму
вектору).
2- Заказ .V 3610
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Проекция вектора на ось равна скалярному произведению орта
оси на вектор:
До = 4«н0 = A cos(4, и0).
Это следует из определения проекции вектора на ось.
Если (xt), (х2), (х3)—оси прямоугольной декартовой системы
координат, то любой вектор А может быть разложен по ортам
<1, 1з этих осей, и можно
8=4*8 ___________ написать (см. формулу 1.2):
\ = ^2^2 ^3*3'
В силу взаимной перпен-
дикулярности координатных
Рис. 1.12. Векторное произведение осей имеем:
| 0, если / ф k,
— \ h (1-8)
* * ( 1, если /•=£.
Тогда
== Д^; Д*х31=5 Д2» А= Д3.
Таким образом, 4j, Дг, Д3 суть проекции вектора 4 на
координатные оси.
Итак, любой вектор 4 может быть записан в виде
4 = (4./J Z, д. (4./г) /2 + (Л •/,) is- (1-9)
Скалярное произведение векторов может быть записано через
произведения проекций этих векторов на оси прямоугольной
декартовой системы координат:
А*В = (A1i1 + Д2^2 “Ь A3i3)*(Biii 4- В2^г ~Ь В313) —
= 41В1 + Д2В34-Д3В3. (1.10)
Здесь использованы свойства дистрибутивности скалярного
произведения, формула (1.9) разложения вектора по осям де-
картовой системы и условия (1.8).
Векторное произведение. Векторным произведением Ах В двух
векторов называется вектор С^АхВ (рис. 1.12), направленный
перпендикулярно плоскости векторов-сомножителей в ту сторо-
ну, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на
меньший угол виден против хода часовой стрелки, и равный по
величине площади параллелограмма, построенного на этих век-
торах, т. е.
| С| = 14х В|= ДВ sin (Д,В). (1.11)
Таким образом, направление векторного произведения соот-
ветствует движению правого винта при его вращении от4 кВ.
18 —
1 4. Скалярное и векторное произведения двух векторов
В отличие от скалярного произведения векторное произведе-
ние не обладает коммутативностью, именно:
А хВ^= — ВхА,
но, как и скалярное произведение, удовлетворяет закону дистри-
бутивности, т. е. (рис. 1.13)
Дх(В+С)-ЛхВ+4хС.
Необходимое и достаточное условие параллельности двух век-
торов А и В имеет вид
4хВ=0.
Необходимость этого условия следует из того, что sin (А, В) — О,
если А П В, а при установлении достаточности следует помнить,
что вектору, равному нулю,
можно приписать любое на-
правление.
Если принять вышепри-
веденное определение вектор-
ного произведения, то для
ортов Zn i2. i3 правой сис-
темы координат, в которой
оси расположены, как пока-
зано на рис. 1.14, а, имеем
GXl2==:^3> ^2^^3 = ^1’
/3 X = /*2»
Zi х= i2 х 1% i^x. i$ — О,
или короче:
in*in = 0, (1 12)
где индексы k, I, т состав-
ляют циклическую* (четную)
перестановку чисел 1, 2, 3.
Можно было бы иначе
определить направление век-
торного произведения — про-
тивоположно вышеприведен-
Рис 1.13 Дистрибутивность векторно-
го произведения
Л X (НС) = Л X S-4-Л X С.
Спроектируем векторы В, С нВ+С
на плоскость Р, перпендикулярную к
А Стороны полученного треугольника
ОсЬ увеличим в I Д ' раз и повернем
полученный треугольник Odl на угол
л/2 так, чтобы направление поворота
и направление Д составляли правый
винт, до положения Од{е^. Введем век-
торы Odp Oelt tidf Из того, что
Od, ~ А X (В-г С), АХ С. Ое^
~АХВ> Odi—Oex + eyd^ следует
дистрибутивность векторного произве-
дения
ному, т. е. по движению не правого, а левого винта при вра-
щении от А к В. Тогда формулы (1.12) имели бы место в левой
системе координат, в которой оси расположены так, как показано
на рис. 1.14, б. При этом векторное произведение имело бы на-
правление, противоположное тому, которое определено для
правой системы координат (рис. 1.14, а).
* Циклические перестановки чисел 1, 2, 3 суты 123, 231, 312.
— 19
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Такие векторы, направление которых устанавливается со-
глашением и которые в силу этого изменяют свое направление
при замене правой системы координат на левую, называются
аксиальными (момент силы, угловая скорость и т. п.). Векторы,
направление которых определяется только физическим смыслом
(сила, скорость и т. п.) и которые в силу этого не меняют сво-
Рис. 1.14. Векторное произведение векторов
Л X В в левой и правой системах координат.
его направления при изменении системы координат, называются
полярными.
Для определения природы вектора можно представить отражение его
в зеркале, перпендикулярном к нему. Если отражение сохраняет иаправ-
а)
Рис 1 15.
а) Сила — полярный вектор Направление ее действия
из меняется на противоположное прн отражении в зерка-
ле. б) Угловая скорость — аксиальный вектор; вращение
сохраняет свое направление при отражении в зеркале
леиие величины, описывающей явление, то вектор аксиальный (рис. 1.15).
Более подробно об аксиальных векторах (псевдовекторах) и подобных
им величинах будет сказано в главе 3.
В дальнейшем всюду мы будем пользоваться только правой
системой координат.
Выразим проекции векторного произведения через проекции
сомножителей:
С— А х В — (Л ,1, И- A2i2 + Ая1я) x(Bi/i4_S2^2_I_ Дз^з)=
‘1 (А2В3 АяВ2) -j- i2 1 A^Bg) -|- /3 (А^В^ A2Bi).
20 —
1,4. Скалярное и векторное произведения двух векторов
Таким образом,
= (А х — А2^3 — ^з^2»
С2 ~ (Л х В)2 “ Л] в3;
С3 = (Л х 5)3 = Лх52 ^2^i »
или, короче,
Cf — AkBi Afik>
(1.13)
где (i, k, l) составляют циклическую перестановку чисел
1, 2, 3.
Отметим удобную запись векторного произведения в виде
определителя, которая следует из (1.13):
С-ЛхВ=
/1
В1
4 h
Л2 л3
в 2 ^3
(1.14)
Векторное и скалярное произведения тесно связаны со многими физи-
ческими понятиями.
Работа силы, приложенной к точке, измеряется произведением величины
перемещения точки и проекции силы на направление перемещения. Сила,
перпендикулярная к перемещению, как говорят, «работы не совершает».
В связи с этим, если F—сила, a s—перемещение, работа А силы по опре-
делению равна
А — Fxs = Fs cos (F, s) = F* s.
Если сила и перемещение составляют тупой угол (силы сопротивления),
то их работе приписывают знак минус, что полностью согласуется с опре-
делением работы как скаляриого произведения
Простейшим физическим образом векторного произведения является
момент силы F относительно некоторой точки О:
M« = rxF.
где г—вектор, проведенный из точки О к началу вектора F.
Направление вектора Af0 выбирается условно, точно так же, как и
направление вектора угловой скорости вращения, вызываемого этим
моментом силы Положительное направление определяется в зависимости от
выбора системы координат.
Если Е — напряженность электрического поля в точке, где расположен
электрический заряд е, то сила, действующая на этот заряд, равна F^~eE.
На электрический заряд е, движущийся со скоростью v в магнитном поле,
напряженность которого в точке, где расположен заряд, равно Н, действует
е
сила Fm~ — (vxH) Таким образом, полная сила действия электромагнит-
ного поля на заряд:
F=eE-l~ (vxH)
— 21
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Если за время dt заряд перемещается на расстояние dr, то работа
электромагнитного поля будет
F dr=F--^ dt=F-vdt = +у (vxtf) vdt.
Работа эта идет на изменение кинетической энергии U заряда. Так как
сила магнитного поля в каждый момент перпендикулярна скорости v,
то работа магнитного поля равна нулю и вся работа электромагнитного
поля определяется работой только электрического поля, равной за единицу
времени
Магнитное поле, не изменяя величины скорости, изменяет только на-
правление движения электрического заряда.
1.5. Произведения трех векторов
Здесь мы отметим два типа произведений.
Векторно-скалярное произведение (ДхВ)»С. В силу опреде-
ления скалярного произведения можно записать:
У==(ДхВ).С=|ЛхВ|Сдхв = | AxB\h.
Здесь Сдхв = Л — проекция вектора С на направление векто-
ра А хВ (рис. 1.16)—является высотой параллелепипеда, пост-
роенного на векторах А, В и С. Поскольку | А X В | — площадь
Рис 1 1Ь Векторно скаляр-
ное произведение трех
векторов
основания этого параллелепипеда, то
векторно-скалярное произведение пред-
ставляет собой объем параллелепипеда
со знаком ( 4-) или (—) в зависимости
от того, будет ли острым или тупым
угол между векторами Си Ах В.
Используя представления (1.10) и
(1.14), получим удобную запись век-
торно-скалярного произведения через
проекции сомножителей на оси прямоу-
гольной декартовой системы координат.
(ДхВ).С=
h
Л,
В,
^2 <3 ^2 ^3
А2 А3 •(Cii1A-C2i2 + C9i3)^ A At А3
В2 В3 | В, В3 В3
(1-15)
22 —
l.i). произведения трех векторов
Отсюда вытекает важное следствие о неизменяемости^ значе-
ния векторно-скалярного произведения при циклической пере-
становке его векторов:
(4хв)еС==(ВхС)*4==
=(СхД)>В. (1.16)
Если два вектора в век-
торно-скалярном произведе-
нии одинаковы (или парал-
лельны), то это произведе-
ние равно нулю
Рис. 1.17. Двойное векторное
произведение трех векторов
(ДхВ).Д = (4хЯ).В =
(Дх4)»В = 0.
Если три вектора А, В и С лежат в одной плоскости (ком-
планарны), то объем параллелепипеда, построенного на них,
равен нулю.
Отсюда необходимое и, как нетрудно видеть, достаточное
условие компланарности векторов А, В и С можно записать
в виде:
(4хВ).С=
А2 А3
вд Вд
С2 С3
= 0.
(1.17)
Итак, если А»(ВхС)=£0, то векторы А, В, С образуют ба-
зис. При этом, по определению, если А»(ВхС)>0, то базис
(4, В, С) называется правым, если А*(ВхС)<.0, то базис на-
зывается левым.
Тройка ортов правой системы декартовых координат обра-
зует правый базис, а тройка ортов левой системы—левый.
Двойное векторное произведение Дх(ВхС). Это произведе-
ние трех векторов представляет собой вектор, который лежит
в плоскости векторов В и С и перпендикулярен к А.
Поскольку векторы В и С неколлинеарны, то на основа-
нии (1.1) существует единственное представление вида
Ах(ВхС) = тВ + пС. (1.18)
Определим скалярные множители тип.
Обозначим
Е=4х(ВхС); D = (BxC).
Вычислим проекции Elt Ег, Е3 вектора Е на оси прямо-
угольной декартовой системы координат, введенной произвольно.
Согласно (1.13) получим
Ex = A2D3 — A3D3.
— 23
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Но в свою очередь имеем:
О2 == (В х С)2 — BgCl В^Сд',
D3 ~(ЕхС)3~ EjC2 52С\.
Таким образом,
Ei — А г (В tC2 B2Ci) А3 (В9С1 В[С3) =
= Bi (А А 4- А3С3) С< (Д tB3 + А3В3).
Добавляя и вычитая справа величину AACi, получим,
учитывая (1.10),
= Bi (ДА + А2С24- Д3С3)-^-С1 (Д1В1 4- А2В2 4- А3В3)^
= В1(Д.С)—С^Д.В).
Аналогично получим:
Е2 = В2 (Д.С)—С2 (А.В);
Е3 = В3(Д.С)-С3(Д.В).
Следовательно, т — А»С и п = — А*В.
Таким образом, окончательно получаем формулу
Дх(ВхС)=В(Д.С)— С(А*В). (1.19)
Как следствие, отсюда можно получить
(АхВ)хС=В(А.С) —А(В*С). (1.20)
Формула (1.19) может быть получена и без введения координатной си-
h. Е. Кочни «Векторное исчисление и начала тен-
Замечание о «делении» векторов. Ре-
шение уравнений обычно связано с действи-
ем деления, которое в векторном исчисле-
нии определяется неоднозначно. Действи-
тельно, определяя деление как действие,
обратное умножению, прежде всего нужно
рассматривать его отдельно для каждого
из приведенных типов произведений. Но
даже в простейшем случае скалярного про-
изведения уравнение, определяющее неиз-
вестный вектор х,
а-х = т (а=#0),
имеет бесчисленное множество решений.
Аналитически это уравнение определяет
только одну проекцию неизвестного вектора х на направление
вектора а (рис. 1.18). Поэтому в векторном исчислении предпо-
читают вовсе отказаться от операции деления на вектор.
24 —
стемы (см например,
зорного исчисления»).
1
Рис. 1.18. Уравнение
х-а = ахв=т
Это уравнение определя-
ет только проекцию не-
известного вектора х на
заданный вектор а
1.5. Произведения трех векторов
L6. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и
контравариантные составляющие вектора.
Сокращенные обозначения
Взаимные базисы векторов. Определение проекции некоторого
вектора А на оси прямоугольной системы координат с ортами
ilt in is сводится к определению скалярных произведений
4-/3. Эти скаляры определяют разложение заданного век-
тора по трем заданным взаимно перпендикулярным направле-
ниям, определяемым векторами ах. а3, если положить
j i== »di, i2 Л2 • @2» == аз • d^, после чего
3
Л = Ё (1-21)
fe=i X */
Задача разложения заданного вектора В по трем произволь-
ным некомпланарным векторам bJt &2, Ь3 сводится к определе-
нию трех неизвестных В1, В2, В3 (числа 1, 2, 3 — индексы, а не
степени *) из системы трех скалярных уравнений, получаемых
проектированием выражения В — В1Ь} B2b2 + B3ba на оси ка-
кой-либо системы координат.
Прямой путь решения этой важной задачи — использование
взаимных базисов векторов.
Два базиса (е1( е2, еа) и (в1, е2, е3) называются взаимными
(биортогональными), если их векторы удовлетворяют соотношению
О, если i Ф k\
1, если i — k.
(1-22)
Подчеркнем, что е* расположены друг к другу под произ-
вольными углами (косоугольная система координат) и модули
их могут отличаться от единицы.
* Из этого определения видно, что каждый вектор одного ба-
зиса перпендикулярен к двум векторам взаимного базиса, а
с третьим вектором, индекс которого имеет то же численное
значение, составляет острый угол**.
Таким образом, если на двух взаимных базисах построить
параллелепипеды с объемами |V, | = |в1-(в2хе3)| и |V'| =
= |€1-(вахе3)|, то ребра одного из них будут перпендикулярны
граням другого, и наоборот.
* Верхний индекс ь обозначениях координат, а впоследствии и векторов
е* не означает показателя степени. Удобство такого обозначения станет
ясным позже, при рассмотрении коитравариаитиых составляющих вектора.
*♦ Например, так как I |*| е11 cos (^lt г1) > 0, то cos(^lt е1) > 0 и,
следовательно, угол между и г1 —острый.
— 25
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Условие e3es — 1, например, означает, что
। «31 __________!_________ J.
1 1 | е31 cos (е3, е3) h
(1.23)
(рис. 1.19), т. е. модули векторов одного базиса равны обрат-
ным значениям параллельных им высот параллелепипеда взаим-
ного базиса.
Рассмотрим построение базиса, взаимного данному.
Рис. 1.19. Взаимные системы и
их параллелепипеды
Пусть дан базис (en е2, еэ).
Вектор е1 взаимного базиса должен
быть перпендикулярен к векторам
ег и е3, т. е.
в1 = ni(e2 хе3).
Скаляр т определяется из ус-
ловия
«г в1 = 1,
т. е.
^•(вгХва) = 1.
Поскольку et (е2 х е8) =#= 0 (век-
торы е„ е2, е3 составляют базис),
получим
g2xg3 _laX*s
«гС^Х^з) V,
Здесь | V, | = объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах базиса (е1( е2, е3).
Аналогично строятся векторы е2 и в3:
л2 СЗ.Х 6) . з g2Xg2
е у, . с у.
Эти соотношения можно записать короче:
ejXek
er(emxen) ’
(1.24)
где (i, /, k) и (/, т, п) составляют циклические перестановки
чисел 1, 2, 3.
Полученные формулы дают выражения для векторов е1, е2,
е3 через векторы еь е2, е3. Аналогично можно получить выра-
жения векторов первого базиса через векторы второго:
е*хе8 _е2х«3
el-(*axe3)~ V' ’
е3 х е1
®2 у’ >
е1хег
— yi •
26 —
1 6. Взаимные базисы векторов
где । V' ।—объем параллелепипеда, построенного на векторах
базиса (е1. е2, е3).
Сокращенная запись этпх соотношений имеет вид
<L25>
Отметим два важных свойства взаимных базисов:
1) Если elt е2, е8 —орты прямоугольной системы координат,
то взаимный к нему базис (е1, е2, е3) совпадает с основным,
т. е.
£>, = ₽* = /,; e2-e2-i2; es-=e3 i3.
Доказательство следует из свойств (1.8) и (1.12) ортов прямо-
угольной системы координат.
2) Взаимные базисы либо оба правые, либо оба левые. Это
следует из того, что 1 (доказательство этого утверждения
предоставляется читателю). Таким образом, если V' > 0, то V, Х> 0.
Для определения ВЬ из векторного уравнения
В = ВЧ>} + ВгЬ2 + Bab3 = 2 в**»*- (1-26)
где Ь19 Ь2, &3— некомпланарные векторы, умножим скалярно В на ^—век-
тор взаимного базиса.
Тогда
з
В’Ъ'— 2 (1.27)
k=l
Это и есть искомое решение. Так, например,
Таким образом, разложение вектора по базису выражается через про-
екции вектора на взаимный базис, т. е.
з
(В.Ьк)Ьк.
Используя построение взаимного базиса, можно легко решить задачу
об определении вектора Д, удовлетворяющего трем уравнениям
A*ax = mx‘t A*a2 — in2\ А*а3=т3, (♦)
где ах, а2, а3— некомпланарные векторы, mlt m2t — скаляры.
Единственное решение этой задачи имеет вид
д = тха14- т2а* + т3а3
Нетрудно проверить, что это решение удовлетворяет заданной системе.
Если А' — второе решение, т е
А^а^ — т^ Л’'а2 — т2, A'*a3 — ni^ (**)
— 27
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
то, вычитая из каждого уравнения системы соответствующее уравнение си-
стемы (♦»), получим
(Л — Л')-а, = (Л— Л')-а2 = (Л — Л')-а3 = 0.
Вектор А—А', перпендикулярный всем векторам базиса аР а2, а3, мо-
жет быть только нулем, т е А —А' и найденное решение единственно.
Сокращенные обозначения. В современной физической и ма-
тематической литературе принято считать:
1. Каждый буквенный индекс, встречающийся в выражении
один раз, может принимать значения 1, 2, 3.
При этом, поскольку для обозначения координатных осей
выбраны буквы с индексами (например, хь х2, х3 или л1, х2, х8),
под записью А,-, например, будем понимать совокупность трех
величин Ль Л2, Л3; запись Ailt означает совокупность 32 = 9
величин: Ли, Л12, Л13, Л21, Л22, Л23, Л31, "Л3,, Л33; запись
Д'*—совокупность девяти величин: Л11, Л12......Л88.
2. По дважды повторяющемуся в одночлене индексу подра-
зумевается суммирование от 1 до 3.
Таким образом, например, выражения Aih А/В', А(В*С оз-
начают
Ац~ S Л/; = Дп-т-Л22 + 43з,
i»i
Д,В'’ = 2 AtB‘ = Д^1 4- Л2В2 + Д3В8,
I» 1
Д,В*С' = В* 2 Л,С, = 5*(Л1С1 +Л2с2+Л3С8).
/«=1
Равенства (1.4) и (1.5) можно поэтому записать в виде
е, = a* ;
ву ОС/ &k*
Эти обозначения распространяются и на более сложные суммы,
например равенства (1.6) можно записать в виде
е\ = ar af ek;
е, = af arek.
Индексы суммирования часто называются «немыми» в том
смысле, что сумма, очевидно, не меняет значения, если заме-
нить «немой» индекс другой буквой, т. е.
Ан = Л**s Ли + Л24 + Лзз
и т. п.
Кроме этих общепринятых обозначений, условимся, что если
имеются две системы координат (/С) и (К'), то координаты ка-
28 —
Взаимные базисы векторов
кюй-то точки в системе (К) будем обозначать через (или х1,
если система (К) не является декартовой прямоугольной систе-
мой координат), а координаты той же самой точки в системе (К')
будем обозначать через x'i (или х'', если система (К') не является
декартовой прямоугольной системой координат).
Аналогичных обозначений будем придерживаться и для ком-
понент векторов (и тензоров, вообще).
Условность здесь заключается в том, что, например, Л, и
Аг суть компоненты одного и того же вектора А по первой оси
системы (К) и по первой оси
системы (/С) соответственно,
а отнюдь не компоненты двух
разных векторов в какой-то
одной системе.
Ковариантные и контраварн-
антные компоненты вектора. При
рассмотрении вопроса о взаимных
базисах было показано, что один
и тот же вектор (рис. 1.20) можно
представить разложенным как по
векторам основного базиса
А = А1ех + А*ег 4- А3е3=
з
= 0-29)
fe=l
так и по векторам взаимного ба-
зиса
Д = A -г А2е2 4- =
= 2 0 30)
Рис 1 20 Ковариантные и контравари-
антные компоненты вектора на плоско-
сти
Ковариантные компоненты Д, Л2 могут быть
найдены либо по составляющимД11 е1 • Д21 е*1
вектора А по направлениям взаимного ба-
м Д» Л-
зиса либо по проекциям —~ -—=-г- векто-
• I*» I
ра на осн основного базиса Коитравариант-
ные компоненты Л* Д-* можно найти из сос-
тавляющих Д1^ Даев по направлениям ос-
новного базиса а также нэ проекций на оси
взаимного базиса -р— - ,.
I е11 I е* I
(последние записи равенств даны
в сокращенных обозначениях)
Числа А* называются конт-
равариантными, а числа А^ кова
риантными компонентами векто
ра Д.
Читателю следует обратить
внимание иа рис. 1.20, где изо-
бражен вектор Д, лежащий в плоскости векторов н и его ко- и кон-
травариантные компоненты.
Названия компонент вектора связаны с тем, что прямое преобразование
ковариантных компонент выполняется при помощи коэффициентов а* пря-
мого преобразования, т. е.
Л' = а* Ak,
(1.31)
— 29
Глава первая. Основнъг сведения из векторной алгебры
а контравариантных компонент —при помощи коэффициентов а* обратного
преобразования, т. е
= (1.32)
Что касается обратного преобразования, то имеют место «обратные»
формулы
Ai = a!;'Ak- А^^.А'* (1.33)
Действительно, пусть в системе координат, определяемой базисом (ех>
£2, ез)» мы имеем корариантные компоненты 4, и контраварнантные А1 век-
тора А.
Определим в другой координатной системе с базисом (ev е2> г3)
ковариантные компоненты 4. (того же вектора 4!) через его компо-
ненты 4/ и контраварнантные компоненты 4'' через А1.
Заметим, прежде всего, что из (1.4) и (1.5) § 1.3 следуют выражения
для коэффициентов прямого и обратного преобразования:
a£ = e'.-e*; <tf' = ere'k (1.34)
Умножим обе части разложения A —Akek скалярно на вектор Полу-
чим A-ei=A/tei-elt.
В силу (1.30) и (1.34) получаем закон преобразования (1.31).
Аналогично, умножая разложение 4 = 4*^ скалярно на е'\ в силу
(1.29) и (1.34) получаем закон (1.32).
Читателю предоставляется самостоятельно получить формулы (1 33)
обратного преобразования.
В связи с понятием контравариантных компонент вектора важно отме-
тить, что косоугольные декартовы координаты точки следует писать с ин-
дексом вверху х1, ха, х3. Это становится ясным, если учесть, что эти коор-
динаты являются контравариантными компонентами радиуса-вектора этой
точки (см рис 1 7) так, что
г = х^^| -г хага -г х3ея = x*eft
Физические компоненты вектора. Следует отметить, с точки зрения
физика и инженера, довольно существенный факт, что размерности компо-
нент 4' и 4/ одного и того же вектора 4 = А1е{ = А{е1 различны, они опре-
деляются размерностями базисных векторов и соотношением еге1=^1.
При определении операций векторы рассматриваются геометрически
как направленные отрезки с длиной, пропорциональной величине вектора,
и физическая размерность их не принимается во нимание (за исключе-
нием основного правила, что все векторы, входящие в уравнение слагае-
мыми, должны иметь одинаковую физическую размерность).
Можно, однако, ввести так называемые «физические» (иногда «фактиче-
ские») компоненты вектора, размерности которых будут совпадать с раз-
мерностями рассматриваемого вектора. Для этого определим векторный
единичный базис е* и, соответственно, ему взаимный е*1 при помощи соот-
ношений
< = ГГ1: e*, = e‘\ei\, (135)
I rf I
и тогда
А = А*1е' = А'е*1, (1.36)
где 4м, 4* — физические компоненты вектора 4.
30 —
1.6. Взаимные базисы векторов
Связь физических компонент с ко- и контравариантными компонен-
тами найдется без труда:
* A-
А*1 — Аг]е/|; 4|S=—L (нет суммирования по/).
Как видно (рис 1.21), Л*' являются компонентами (параллельными
проекциям) вектора Д при разложении его по ортам е. основного базиса,
а А. —проекции (ортогональные) это-
го же вектора А на оси того же
базиса.
Можно за основу принять вза
нмный базис и определить единич
ный векторный базис соотношениями:
е**ь =—
(1.37)
Это дает
е***==г** cos (ek, ek)>
♦
ek
Рис
ek------FT—,
cos (eKt ek)
k cos (£*, eft)’
A**k— 4**cos (^*, £fc),
т. e. оба определения равнозначны
и все сводятся к выбору масштаба
для единицы.
Подчеркнем, что все вычисления
почти всегда производятся с обыч-
ными ко- н контравариантными ком-
понентами и только в конце, если
нужно, делается пересчет на физи-
ческие компоненты
* Связь между ковариантными и
контравариантными компонентами
вектора. Выражение ковариантных
компонент вектора через его контра-
варцантные компоненты и наоборот можно получить, если разложения
(1.29) умножить скалярно на а (1.30) умножить на е':
А-е^А^е^е-}
1 21 «Физические» составляю
щие вектора
(1.38)
Введем обозначения
&ik— Ski
ssz gl^= g^t
^•ei=g^ i>*
(1.39)
О, если ( Ф k\
1, если i = k
— 31
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Тогда нз (1.38) следуют формулы
Ai_=gmAk,
A'-g^A*.
(1.40)
(1.41)
которые н дают искомые выражения.
Девять величин glk (и соответственно gl* и g*==d*), как в даль,
нейшем будет показано, составляют тензор второго ранга—так называе-
мый метрический тензор. Здесь мы рассмотрим некоторые свойства этих
величин, ибо они являются основной характеристикой пространства, ариф-
метизированного введенной системой координат с базисом (ilt е2, е3).
Рассмотрим квадрат длины дуги As между двумя бесконечно близкими
точками х1 и xl + &xi в системе координат с базисом (elt е2, е3).
Получим:
As2 = I Ar |а = Аг • Аг = е^х1 • e^xk=efix' • е*АхЛ « ^Ах,- • е*АхЛ.
Используя обозначения (1.39), имеем:
As^g^Ax'Ax*, j
As^g^Ax/Ax*, (1 42)
As2 = Дх/Ах*, )
где Ах,-—ковариантные, а Ах'—контравариантные компоненты вектора Аг.
Формулы (1.42) определяют квадрат элементарной дуги в выбранной
системе координат нерез (или gA). Говорят, что величины gik (или gik)
определяют метрику пространства, арифметические свойства которого
устанавливаются введенной системой, координат х1, х2, х3.
Связь между величинами g^ и glk можно установить, если рассмотреть
выражения
Ai=gikAk 0=1. 2,3)
как систему трех линейных уравнений относительно Д1, Л2, А3. Решение
этой системы имеет вид
1
G,kAk
G
(1.43)
где
G = detg,A =
£11 £12 £1з
£21 £22 £23
£31 £32 £зз
Gik—алгебраическое дополнение, соответствующее
нанта G, может быть записано в виде
члену gik
детермн-
Qik_ I Spt
I £rj Srt
где индексы (i, p, г) и (k, s, t) составляют циклическую перестановку
чисел 1, 2, 3. Таким образом, например, имеем
би__ | ^22 ^23 I. g12 = I ^21 I G13 —I ^21 ^22 I
I £32 £з.з I I £зз £з1 I I £si £яг I
Сравнивая теперь (1.43) с (1.41), получим искомую связь.
(1.44)
22 —
1 6 Взаимные базисы векторов
Аналогичным путем можно получить выражение
Gin
G'
(1.45)
где
G'=det?».
С другой стороны, непосредственным вычислением, учитывая (1.39)
и (1.24), получим
=<•«*=• Л («рXег) (esхet) = I ер'е
г V I в- • в (
€p‘et I _ 1 I &ps Spt I '
er-et\ V* I grs *rt Г
Здесь использовано свойство (1 15) векторно-скалярного произведения
и выражение (1.19) для двойного векторного произведения.
Сравнивая это выражение для g** с (1.40), получим
G=-V3; (1.46)
В соответствии с принятыми определениями (см. § 1.5), знак у корня
в случае правой системы выбирается положительным.
Поскольку аналогичным путем можно получить
У'=±К(Г. (1.47)
то, учитывая H,7'el, получим, как следствие
G.G'==I (1.4)
Таким образом, объем параллелепипеда, построенного иа векторах
основного базиса, равен Кб» а на векторах взаимного базиса—равен КG'.
Случай ортогональных базисов. Случай ортогональных базисов рас-
смотрим особо, поскольку ортогональные системы координат наиболее рас-
пространены в приложениях.
Как уже было отмечено, ортогональный базис совпадает со своим
взаимным. В этом случае из величии g{ft согласно (1.39) отличны от нуля
только g1Xi g22, g33-
wТогда из (1.40) и (1.41) следует
A2c»g22Aa; (1-49)
Следовательно, 1 1 £^2 = g22 > 1 (1.50)
н, кроме того, имеем Asa=-^n (Дх1)2+ ^22 (Ах2)2+^33 (Ах8)2. (1-51)
Коэффициенты //, = (ие суммируется по 0 (1.52)
носят название коэффициентов Лямэ
В случае ортогональных координат физические компоненты А*1 и А]
совпадают. В прямоугольной декартовой системе координат физические,
ковариантные и контравариантные компоненты совпадают.
3 Заказ № 3610 — 33
Г лава первая Основные сведения из векторной алгебры
Замечание по поводу «верхних» и «нижних» индексов. В связи с введен*
иыми обозначениями существует правило, носящее в некоторой степени
мнемонический характер, которое может служить для контроля написания
формул. Это правило гласит: суммирование может производиться только
по разноименным (верхний и нижний) «немым» индексам.
Например, формулы А;В1, glkAk и т. п. означают правильно написан-
ные суммы. Но выражения AkBkt g'kAk не имеют смысла как суммы.
В связи с этим, о выражении Al = gikAh иногда говорят как об one
рации «поднятия индекса», а о выражении —как об опера
ции «опускания индекса» (оператор—совокупность 9 коэффициентов gik
или gik)
Эти замечания полезно иметь в виду и в дальнейшем, особенно при
алгебраических действиях с тензорами Все вышесказанное относится к
компонентам тензоров в системах обобщенных координат В прямоугольной
декартовой системе, конечно, допустимы записи CikAk и т. п (см так
же стр. 100).
1.7. Переменные векторы
Вектор-функция скалярного аргумента. Векторы, так же как
и скаляры, могут изменяться в пространстве от точки к точке
и с течением времени: A -A(r, t).
Здесь рассматриваются векторы, зависящие только от одной
скалярной величины—вектор-функции скалярного аргумента.
Ее определение строится аналогично определению скалярной
функции скалярного аргумента.
Если каждому допустимому численному значению скаляр-
ной величины t соответствует одно вполне определенное значе-
ние вектора А, то говорят, что задана вектор-функция от ска-
лярного аргумента t: A = A(t).
При этом, вообще говоря, все компоненты являются функ-
циями t: А{=- Aj(t).
Изменение вектор-функции означает изменение как вели-
чины, так и направления вектора.
Изменение вектор-функции от скалярного аргумента графи-
чески изображается годографом вектора.
Годографом вектора А называется геометрическое место,
образованное концами вектора при изменении t, если вектор
откладывать (рис. 1.22) из некоторой фиксированной точки
(полюса).
Если вектор меняется только по величине, то его годограф
прямая (рис. 1.23), если вектор меняется только по направ-
лению, то его годографом является сферическая кривая
(рис. 1.23).
Если вектор имеет годографом прямую, то в общем случае
он может меняться как по величине, так и по направлению
(рис. 1.23), но всегда может быть представлен в виде суммы
34 —
/ 7. Переменные векторы
постоянного вектора и вектора переменного только по величине:
A(t) = c + a(t),
где с, -ц—постоянные величины.
Векторная производная. Если для переменного вектора A(t)
при t—»tQ существует такой постоянный вектор До, что
Нт [4 (О-40 1 = 0.
то вектор До называется пределом при t—*tn вектор-функ
ции А (/).
dA
Производной от вектор-функции по скалярному аргу-
Рис. 1.22. Гео>
метрической ха-
рактеристикой
вектор-функции
служит ее годо-
граф— кривая,
описываемая
Рис 1 23
а) Годограф вектор-функцин. меняющейся только по величине
Л:|Л1=соп$1; б) годограф вектор функции, меняющейся только по
направлению |Л|=соп51, в) вектор функция, имеющая годографом
прямую, может быть представлена в виде Л(О=с + я(О. где
c = const и а . | а I = со list
концом вектора
менту (векторной производной) называется предел (если он су-
ществует)
Пт Ит £ « (1.53)
дг-о д/ Д/-о д/ dt
Поскольку вектор направлен по секущей к годографу,
то вектор , являющийся пределом при Д/ —► 0, направ-
лен по касательной к годографу вектора A(t) (рис. 1.24).
Векторная производная всегда направлена по касатель-
ной к годографу вектора A(t).
Если выбрать постоянные, не зависящие от изменения аргу-
мента t, оси декартовой прямоугольной системы координат, то
A(t) = Ak(t)ik,
где ik—постоянные векторы.
з*
— 35
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Тогда
dA__ . dAj,' (dA\ dAk
dt ** dt ’ \dt )k dt •
Компоненты векторной производной ~ являются производ-
ными от компонент вектор-функции A(t), если координатная
система не меняется с течением аргумента t. При этом вели-
чина векторной производной может быть вычислена по формуле
(1.54)
Если г — радиус-вектор материальной точки, a t — время, то
движение точки в самом общем случае характеризуется ее
Рис. 1.24. Производная
вектор-функции скаляр-
ного аргумента является
вектором и направлена
по касательной к годо-
графу этой функции
деления производной
уравнением движения или вектор-функ-
цией г = г(/).
Истинной скоростью V в момент вре-
мени t является вектор-функция
а истинным ускорением IV—вектор-функ-
ция
dt dt*'
Правила дифференцирования вектор-
функции устанавливаются из опре-
вектор-функции и имеют вид:
1)
2> +
з)
4» .
Рассмотрим, например, доказательство правила (4):
1 (Д х В) = Um <л + ал> X (Д+АЯ>—д х в _
ДГ -в 0
= Ип] (А4 X Д) + (4 X АД) + (А4 X АД)
= lim Гт-т х lim (ах + Нт х ДВ =
аг-.о \ / д/-.о V / at-в о
dA D , . dB
= 1Г *В±Ах^.
36 —
1.7. Переменные векторы
Заметим, что при использовании правила (4) следует всегда
учитывать некоммутативность векторного произведения.
Неопределенный интеграл от вектор-функции. Неопределен-
ным интегралом от вектор-функции А (/) называется вектор-
функция В(t)= A(t)dt, векторная производная которой
равна A(t), т. е.
Таким образом,
B(t) = \A(t)dt + C, (1.56)
где С—постоянный вектор.
Если выбрана неизменная (не зависящая от t) система коор-
динат, то компоненты неопределенного интеграла полностью
определяются неопреде-
ленными интегралами от
компонент вектор-функ-
ции, т. е.
B{—^Ai(t)dt +Ct (1.57)
Величины fiz являются
компонентами вектора.
Аналогично можно
ввести понятие определен-
ного интеграла.
Задачи с решениями
Задача 1. Получить форму- Рис. 1.25 Преобразование декартовых
лы линейного ортогонального координат
преобразования координат.
Решение. Пусть в пространстве введены две прямоугольные декар-
тойи системы координат (К) и (/С) (рис 1.25) Задача состоит в выраже-
нии координат (хь х2, х3) произвольной точки М в системе (К) через коор-
динаты (x'v Xj, Xg) в системе (К') и наоборот
Пусть г и г'—соответственно радиус-векторы точки Л4 в системах (К)
н (К'), орты которых (/,, f2, /3) и ( /', i2, Z3). Положение начала 0x си-
стемы (К'} в системе (К) определяется радиусом-вектором г01, а положе-
ние начала системы (/() в системе (К') — радиусом-вектором г0, так что
гох==—г0. Пусть, наконец, a(,k косинус угла между Z-й осью системы (К')
н Jfe-й осью системы (К), так, что
arfc = cos(xp xk) = t't.ik. (*)
Тогда (рис. 1.25)
е = Г' + г01;
— 37
Глава первая Основные сведения из векторной алгебры
Используя выражение для раднуса-вектора, получим*:
xkik^x^i^x^ ik-, (»*)
= + <• (***)
Умножая (**) скалярно на ih а (***) на и используя (1.8) и (*),
получим:
*/=('*• z<) xk+х?1=Чч x'k + xt1;
x'i=( ik-i'i)xk+xi0=<xi'kxk+x'i’>-
Эти выражения и представляют формулы линейного ортогонального
преобразования координат
Коэффициенты этих формул удовлетворяют условиям ортогональности.
Эти условия можно получить, используя формулу (1.9) для разложения
ортов ik системы (К) по ортам ik системы (К') и ортов ik по ортам ik
Полагая в (1.9) A — iit получим
< = if
Аналогично получим
Умножая первое разложение скалярно на ik, а второе—на получим:
«=<х/7а*7;
Z,..^ = a;7arr
Используя (1.8) и вводя символ Кронекера
_ | 1, если I /г;
0/ь — <
1 0, если i ф kt
получим:
al4al'k= 6ik-
Задача 2. Доказать теорему косинусов в треугольнике.
Решение. Изобразим стороны треугольника АВС в виде векторов
АВ^с, AC=bt СВ = а
Тогда
а + Ь = с.
Возводя в квадрат, получим
а2 з * + b2 -\-2аЬ = с2.
Используя понятие скалярного произведения, получим
a b — ab cos (a, &) = <7&cos (л— a) == — ab cos a,
где a= ACB.
* Следует помнить, что
з
АЛ -=- 2 Xkh~Xl^L Г 4*2 i"A3*3-
38 —
Задачи с решениями
Таким образом,
с2 = аа + Ь2 —2ab cos а.
Задача 3. Доказать, что
cos (а—Р) = cos a cos Р +sin a sin р.
Указание. Применить формулу
к двум векторам |а| = |Ь| = 1, лежащим в плоскости (ху) и составляющим
углы аире осью (х).
Задача 4. Выразить скалярное произведение двух векторов через ко-
вариантные и контравариантные компоненты
Решение. По определению
А • В = А • Bkek = А • Вке* == А -Bkek = А • Bkek gikAi Вк =.
ибо в силу (1.39)
Так как модуль вектора Д, например, равен
14| = Д=]/П= / = /м7.
то угол между векторами Л и В может быть найден по одной из следую-
щих формул:
cos (4, °)- _ - __ _Л1В'_____
VgikAiAkVgikBiBk V ftkAiAkV g^BiBb ^AiAiVBiBi
(числитель и подкоренное выражение записаны в сокращенных обозначе-
ниях).
Задача 5. Выразить векторное произведение двух векторов в косо-
угольной системе координат.
Решение.
По определению
кС=Л х B=A'efx В1е/ = (41е1 + 4а192+ЛЧ)Х(В1<91 + Ва<92 X В*е3)=>
= А1В1 х е1} + А1В2 (ег х X е3) + ДаВ1 (е2 X erf +... +
4- А3В3 (е3 х ея) = (е; х ef) (А^—А^В').
Но по (1.24) и (1.46)
Ve*=e,xe/; V,= VG.
Поэтому
С=А X В^Сьв*,
где
СЛ= Кб (А1В]—А]В<)
Так же можно показать, что
— 39
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Задача 6. Вывести основные формулы сферической тригонометрии.
Решение.
Возьмем иа сфере единичного радиуса сферический треугольник АВС
(рис. I 26), высекаемый трехграниым углом О А ВС. Пусть а, 0, у—углы
Рис. 1,26. Обозначения уг-
лов сферической тригоно-
метрии
этого треугольника, а длины его сторон рав
ны а, 6, с. Поскольку радиус сферы равен еди
нице, то а равно плоскому углу ВОС, Ь —
плоскому углу АОС и с—плоскому углу ЛОВ.
Установим зависимость между углами а,
0, у сферического треугольника и его сторо-
нами а, Ь, с (плоскими углами трехграниого
угла О АВС)
Введем единичные векторы elt е8
(рис. 1.26), направленные из центра сферы к
вершинам сферического треугольника.
Угол между плоскостями О А С и ОА В
(угол а) равен углу между нормалями к этим
плоскостям. Поэтому
cos х е3)
C05a“|«iX^|.|*xear
Переставляя в смешанном произведении числителя сомножители и рас-
крывая по (1.19) двойное векторное произведение, а также учитывая, что
| х е2 | = sin 6; | х е31 = sin с,
получим
= ег [е2 х (в! х <?3)1 _ (е2>е3)^е3 (er*i)l _
cos = sin b-sin c sin b-sin c
cos a—cos c-cos 6
“ sinft-sinc
Отсюда имеем
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos a.
Совершенно аналогично получаются формулы:
cos b = cos c cos a + sin < sin a cos 0;
cos c—cos a cos b -j- sin a sin b cos y.
Вторую группу формул получим, вычисляя синусы углов а, 0, у.
Например:
. 1 (gj X е3) X (ei х е3)1
1е, х х g3|
Читателю предлагается получить соотношения
sin a__sin 0 __sin у
sin sin d— sin c *
Задача 7. Составить уравнение прямой в векторной форме.
Рассмотрим несколько случаев определения уравнения прямой в про-
странстве
1. Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Л и В (рис. 1.27) в пространстве.
Решение. Пусть а и b—радиусы векторы заданных точек относи-
тельно некоторого начала Тогда условием того, что любая точка М (ее
40 —
Задачи с решениями
радиус-вектора г) лежит
векторов г—а и b—а, т.
на прямой, является условие параллельности
е.
г—а=Х (Ь — а).
Таким образом, если рассматривать Л как параметр, то уравнение
прямой в параметрической форме имеет вид
г = а + К(Ь— а).
Рис. 1.27
а) Прямая, проходящая через две заданные точки* б) прямая,
для которой заданы точка и направление; в) к нормальной форме
уравиеиия плоскости
Из этого уравнения, умножив его векторно иа b—а, можно исключить
параметр X. Тогда получим
(г—а) X (Ь—а)=0,
или
г X Ф — а) = а х b
2. Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку
А (а) параллельно данному вектору е.
Решение. Использовав условие параллельности вектора г—а и век-
тора е, получим
г = а + Ке,
где X—параметр. Этот параметр можно исключить, умножив уравнение
векторно на е:
г X е = аX е
3. Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Л (а) перпендикулярно двум заданным векторам и Л/2
Ответ
г « а + X (Л/i X А/2) ।
(г-а)Х(МЛУ=0.
Задача 8. Получить условие того, что точки А (а), В (Ь) и С (с) лежат
иа одной прямой.
Решение. Исходя из решения предыдущей задачи, это условие может
быть записано в виде
С2 Яд Cg Од
—а1 —а 2 —аз
где ah bit Ci—декартовы координаты соответствующих точек в некоторой
системе с началом в точке О.
41
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Показать, что искомое условие может быть записано в виде
(а ХЬ)4-(ЬХ <?) + (<? X а)«0,
и выяснить геометрический смысл этого условия
Задача 9. Составить уравнение плоскости в векторной форме.
Рассмотрим несколько случаев определения плоскости в пространстве.
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки А (а), В (b), С (с).
Решение. Уравнение плоскости получается из условия компланар-
ности векторов г—a, Ь—а, с—а и имеет вид в параметрической форме
г — а = К (&—а) + р, (г—а),
где X, р, — параметры.
Для исключения параметров умножим это уравнение сначала векторно
на с—а, а затем скалярно на Ь—а Получим
|(г—а) X (с— а)]-(Ь— а)==0.
Это можно было написать сразу, если учесть необходимое и достаточ-
ное условие компланарности трех векторов (1.17).
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А (а),
В (Ь) параллельно заданному вектору
Ответ.
|(r—а) X (Ь —= 0.
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (а)
параллельно двум векторам и е2.
Отв е т
1(г—«) х ^].^2 = 0.
4. Составить уравнение плоскости, если задано ее расстояние р от
начала О (рис. 1.27) и направление перпендикуляра к ней (орт п нормали
к плоскости).
Решение Если п—орт нормали к плоскости, направленный в сто-
рону, где ие лежит начало (О), то для любой точки г плоскости справед-
лива формула
r n^r cos (г, л) = р.
Это и есть уравнение плоскости (нормальная форма уравнения пло-
скости).
Задача 10. Пусть в тетраэдре с площадями граней sn s2, s3, s4 проведены
четыре вектора $2, $3, $4 такие, что их абсолютные величины равны
соответственно площадям граней |$/| = S/, а направления перпендикулярны
к этим граням Показать, что
$1 + $2 + $3 + $4 == 0
Указание. Использовать представление площади через векторное про-
изведение.
Задача 11. Показать, что бесконечно малые повороты являются век-
торами.
Решение. Рассмотрим первый пример 1.2 (рис 1.3, а).
Введем векторы ОДН ОД2, 0А3 Первый поворот сферы можно охарак-
теризовать смещением точки ее из положения Дх в Д2, а второй—из поло-
жения Д2 в Д3 Если считать углы а,, а2, малыми, то можно записать:
О А 2 — 0Дх "Е 4^Д2= 0Д14~ X ОД 1).
42 -
Задачи с решениями
(О
Действительно: | аг X 0Аг | = аг ОД1 = Д1Д2 = | Д,Д2| и, кроме того,
вектор «J X 0Дх направлен в ту же сторону, что и вектор Д1Д2
Аналогично
ОД 3 — ОД 2 4“ А2 Д 3 = О Д2 4~ (tt2 X 0Д2)
Подставляя сюда полученное выше выражение для 0Д2, получим
О Д3 — О А14“ (®i X ОД1)4-а2Х [О A14* (®i X О Д j) ] =
=-ОД!4- («14-а2) X 0Д14-аа X («i X 0Дг) =
^ОДх+ (<»i-ra2) х бд"| 4-а2 х («i х OAJ. (*)
С другой стороны, если ввести поворот а3, переводящий точку из Aj
в А3, получим ___ _____ _________
043 = 0414-а3Х041. (**)
Если а,, а2, а3—бесконечно малые величины, то тогда (и только тогда),
отбрасывая бесконечно малые второго порядка и срав-
нивая (*) и (**), получим
(Х3 = <Xj 4 ®2 ~ ®2 ~Ь •
Таким образом, бесконечно малые повороты являются
векторами, ибо они подчиняются законам векторной
алгебры (результирующий поворот является геометри-
ческой суммой слагаемых, величина которой ие меняется
от изменения порядка слагаемых)"
Задача 12. Найти распределение скоростей точек
твердого тела, имеющего неподвижную точку О (рис. 1.28).
Решение. Сместим тело из начального положе-
ния в близкое так, что его некоторая точка М (г) перей-
дет в положение М i Элементарное смещение Дг точки
М может быть выражено, согласно предыдущей задаче,
через вектор бесконечно малого поворота Дф следующим
образом:
Дг = Дф х г.
Разделив на Ы (время перемещения точки М в Мх) и
перейдя к пределу при Д/ —► 0, получим
х г,
где V= Нт ^—скорость точки М, а © = lim ^2 —мгновенная угловая
дг —оД/ д/^оД/
скорость вращения твердого тела
Эта формула носит название формулы Эйлера
Задача 13. Эйлеровы углы.
Как следует из формул линейного ортогонального преобразования
координат, положение системы (/С) по отношению к системе (К), имеющей
с ней общее начало, можно определить тремя независимыми параметрами
(девять косинусов углов между осями (К) и (К') должны удовлетворять
шести условиям ортогональности). В качестве трех параметров в кинема-
тике зачастую выбирают углы Эйлера.
Систему (/() в систему (К') можно перевести при помощи трех поворо-
тов (рнс 1 29): В на угол ф вокруг оси (х3) (угол прецессии); 2) иа угол
О вокруг линии ON (линия узлов с ортом л), где 0—угол нутации; 3) на
угол ср вокруг оси (%3) (угол чистого вращения).
Независимые параметры ф, д, ср называются углами Эйлера.
Рис. 1.28. Ско-
рость и осестре-
мительное ус-
корение точек
твердого тела,
имеющего непо-
движную точ-
ку О
- 43
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
Требуется выразить орты i', i2, i9 системы (К') через орты i9
системы (К) и углы Эйлера
Решение. В задаче 1 этой главы было получено
/1=аГ1Л + аг^2+агз/з;
4- a2,2Z24* а2'з^з>
Zj = «3'^] 4“аз'2^в + аз'з^3-
Из сферического треугольника, образуемого иа единичной сфере кон-
цами ортов п и i , согласно формулам, полученным в задаче 6, получим
Рис. 1.29. Эйлеровы углы
«1*1 = 003 (<н Z1) = cosipcos(p-|-
4- sin q sin ф cos (л—0) =»
= cos ф cos ф—sin ф sin ф cos 0.
Из других сферических тре-
угольников получим, выбирая
каждый раз одну вершину в кон
це орта п линии узлов:
af2 = cos(/p Z2) =
= cos q cos
4- sin q sin
f л , \ n
\^“2----j cos® =
= С05ф51п ф4-з1Пфсозф cos0;
• Я . . Л /Л Л\
ar3 = cos (Zv /3)==со5фсоз —4-sin(p sin-y cos!—0 1 =
«= sin ф sin 0.
Таким образом,
=Zi (cos ф cos ф—sin ф sin ф cos 0) 4-
4- Z2 (cos ф sin ф4- sin ф cos ф cos 0) 4- Z3 sin q, sin0.
Остальные формулы имеют вид:
Z3 = Zj (—cos ф sin ф—sin ф cos ф cos0) 4-
4- Z2 (cos ф cos ф cos 0 —sin <| sin ф) 4-Z3 sin 0 cos ф;
Z3 = Zi sin 4 sin 0—Z2cos ф sin04-Z3 cos 0.
Задача 14. Показать, что (см. условие предыдущей задачи):
Zj = (cos ф cos ф—sin ф sin фсоэ 0) 4- (—cos ф sin ф—sin ф cos ф cos 0) Z2 -F
4-Z3 sin ф sin 0;
Z2 = (cos ф sin ф 4- sin ф cos ф cos 0) Zj 4-
4- (cos ф cos ф cos 0 —sin ф sin ф) Z* —Z3 cos ф sin 0;
Z« = Zj sin ф sin U 4- Z3 sin 0 cos ф 4- i* cos 0.
44 —
Задачи с решениями
Задача 15. Момент силы F относительно точки О определяется
выражением
4f0 = r х Ft
где г— радиус-вектор начала вектора F относительно точки О.
Моментом силы F относительно оси (и), проходящей через точку О,
называется проекция 5f0 на ось (и), т. е
= X F)-Bq,
где «0—орт оси (и).
Показать, что величина Ми ие зависит от расположения точки О иа
осн (и).
Задача 16. Пусть в точках, определяемых радиусами-векторами rlt
Г2......г*, .... гп относительно некоторого начала 0, расположены
заряды, равные соответственно е2, .. , е*, ... , еп.
Дипольным моментом этой системы зарядов относительно начала О
называется вектор
п
/>=•2, ekfk-
fe = l
Назовем центром зарядов (по аналогии с центром масс) этой системы
точку С, определяемую радиус-вектором,
п
2 ekrk
п Р _ *=1
” п и
п
Эту точку можно определить, если 2 е* 0.
Л=1
п
Если У еЛ=0, то система зарядов нейтральна.
1. Показать, что дипольный момент нейтральной системы ие зависит
от начала, относительно которого ои вычисляется
2. Выразить дипольный момент через центры систем положительных
и отрицательных зарядов, составляющих нейтральную систему.
п
Решение. 1. Пусть 2 —дипольный момент относительно
fe = i
п ___
начала О, а р' = У —относительно начала О', причем 00' «г0.
fr=i
Тогда гЛ==гЛ + г0. Следовательно,
п п п п
& - £ ekr'k - 2 ek (r*4-r0)=ftS +r0 Д] «*•
, то:
Так как система зарядов нейтральна
п
п
2. Пусть 2 ^ = 0. Тогда в системе есть отрицательные заряды е" и
fe=1
положительные е £ Разобьем всю сумму зарядов на суммы положительных
н отрицательных, т е.
— 45
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
п
2 е*=2 еь "^2 еь
А=1
Тогда обозначим
По определению, центры положительных и отрицательных зарядов
находятся в точках, радиусы-векторы которых равны
2 rt
2
Z.ek
Тогда дипольный момент системы равен
п
р = 2 е*г*=2rt+2 e~kr*= *+ 2 et+в- 2 = а (*★ -в~>
Л=1
Задача 17. Столкновение частиц. Пусть две частицы одинаковой массы
до столкновения имели скорости и Г2, а после столкновения приобрели
скорости и Г2 (рис 1 30) Поскольку столкновение частиц происходит
под действием центральных сил, то, как известно из механики, их траек-
тории будут лежать в одной плоскости в системе координат, где покоится
центр инерции. Для такого столкновения справедливы законы сохранения
количества движения и кинети-
ческой энергии системы (потен-
ь циальная энергия дон после стол*
—у кновения равна нулю); поэтому
J n+v,=v;+v;.
Atf / I и+v\=v'*+и;*.
-----------------1. Выразить скорости после
/столкновения V, и Г* через на-
_—-**^***/ чальные скорости и V2.
p&L / ' 2. Показать, что относнтель-
—*** ные скорости
/ Vt,
*1 u'~v2-v\
Рис 1.30 Столкновение частиц до (U) и после (£7') столкновения
равны по абсолютной величине.
Решение I Система (*) представляет собой систему четырех ска-
лярных уравнений относительно шести компонент скоростей V2 Таким
образом, явное выражение У2 через и У2 может быть осуществлено
введением двух дополнительных параметров, характеризующих геометрию
столкновения [положение плоскости траектории в некоторой системе
(хь х2, х3)]. Это означает, что столкновение двух частиц может быть пол-
ностью охарактеризовано значением двух геометрических параметров. Эти
геометрические параметры мы введем при помощи орта Л(|£| = 1) по на-
правлению изменения скорости первой частицы (рис. 1.30), т. е.
(**)
46 —
Задачи с решениями
Два независимых угла, которые составляет k с осями системы (хь х2,
х8), могут быть приняты за геометрические параметры столкновения
Тогда из первого уравнения системы (*) следует
V'2-V2=-kA. (*♦♦)
Подставляя V1 и из (**) и (***) во второе уравнение системы (*),
получим выражение для А, Имеем:
VJ + V* = (V, + kA? + (Vt-kA)* =
= V* + 24 (Игй) + Л»+И’-2Л (Иа-Л) + Лг.
Отсюда
A^k-(V2~Vt) = k-U.
Тогда из (**) и (***) имеем
V' = V,— k(kU). (****)
Эти формулы и дают явное выражение конечных скоростей и
через скорости и V2 до столкновения и вектор k.
2. Вычитая из второго уравнения системы 4****) первое, получим
= 2Л (k-U). (♦****)
Возводя в квадрат, получим
IZ/2 = IZ2,
т. е. = (У—величина относительной скорости частиц сохраняется при
столкновении.
Нетрудно показать, что вектор k делит угол между U и —U' пополам.
Действительно, умножив (♦**♦*) скалярно на Л, получим
U'k= — U-k.
Задача 18. Рассмотреть столкновение частиц с разными массами т1 и т2.
Показать, что величина относительной скорости i/=V2— VL сохраняется
при столкновении.
Решение. Пусть p2 = /n2V2; где
Vl9 V2—скорости частиц до столкновения, a Vlf V2—после столкновения.
* Закон сохранения количества движения и кинетической энергии имеет
вид
2 , 9 Л । ,2 I ml\
р*+тр*^рг +трг {т = ^)’ С)
Вводя орт k соотношениями
р\ — Pi^kA, рг—рг=—ЬА
и определяя А из второго уравнения (*), получим
4=_2_fe.(mp8_pi) = I22L(fe.V).
Следовательно,
Pi =Pi + к 1к-(тр2 - />0] =/>! + j^ к (k-U);
— 47
Г лава первая Основные сведения из векторной алгебры
Pi=Pt— rr-z * IMmp»—POI = Pl —rTjz *
* I -f- ttl 1 -f- zn
Отсюда имеем:
mp2 —px=mP9—Pi—2k |b(mpa—Pi)],
или
IT = (J-2* (*•#)> (•♦)
где обозначено
U'~V2-V'r
Возводя выражение (**) в квадрат, получим
и’^и.
Задача 19. Показать, что если сила, действующая на материальную
точку, направлена всегда по касательной к траектории, то траектория
точки есть прямая.
(Рг
Решение. Сила равна Г*=т№ = т-^. Если она направлена по'Ка-
сательной, т. е. по , то aV = mWt или
dt
(Pr dr п
dt* + а dt =’°
Интегрируя, получим
dr . .
dT+<ir=ft-
Решение этого уравнения может быть представлено в виде
r=ct (<)Ч~.
О
где с—постоянный вектор, а /(/)—функция, удовлетворяющая уравнению
Г (t) + af (0-0.
Уравнение (♦) показывает (см. задачу 7), что траектория точки действи-
тельно прямая; f (t) определяет закон движения по этой прямой.
Задача 20. Показать, что траектория точки является плоской крнвойв
если ее уравнение движения r = r(t} таково, что
<*£. (^Г. у =,о
dt \dt* dt*)
Решение. Из условия задачи имеем:
d3r (Pr . .dr
dt* =а dt* +b dt'
где а, b—постоянные.
Интегрируя, получим
d2r dr . . .
d^=ad7+ftr+c-
Решение этого уравнения может быть представлено в внде
48 —
Задачи с решениями
где Ла—постоянные векторы, a h и f9—два независимых решения
уравнения
Уравнение (♦♦) является уравнением плоскости (см. задачу 9).
Задача 21. Показать, что траектория материальной точки, движущейся
под действием Ньютоновской силы притяжения, есть коническое сечение.
Решение. Уравнение движения точки имеет вид:
где a=const, , г0 = ~—°РТ радиуса вектора точки.
Умножнв это уравнение векторно на г и проинтегрировав по t, полу-
чим первый интеграл уравнения движения (ср. упр. 14,3):
гх K=ft = const.
Величина h может быть представлена в виде
.г . (dr t dr0\
= = (rro) = '-/BoX^ro + '’ •
Тогда имеем, используя формулу (1.19)
dV aro ( drQ\ dr 0
— x x ft= -ar0 x x -rf J =« .
Так как h = const, to
Интегрируя, нмеем
УхЛ=аг0+Р,
где const—постоянный вектор.
Отсюда имеем
(VXh)-r=ar + r^P — ar + rP cos0,
где 0—угол между переменным радиусом-вектором точки г==г(/) и посто-
янным вектором Р.
Так как, вследствие (1.16) имеем
(ГхЛ)г = Л-(гхИ==Л-Л=Л*.
точюлучаем
Л2=аг 4-гР cosO
Отсюда
Л8/а
г=----р------
14----cos 0
а
что и представляет собой, как известно нз аналитической геометрии, урав-
нение конического сечения (эллипс, гипербола, парабола) в полярных
координатах.
Упражнения
1. Доказать, что проекция на любую ось суммы векторов равна сумме
проекций слагаемых на ту же ось.
4 Заказ At 3610 49
Глава первая. Основные сведения из векторной алгебры
2. Даны векторы
Д = +2Z2 + 3/3; C=3/i +2/2 + 4;
В= 4Ц + 5Z2 + 6/3; D = ЬЦ 4- 5/2 + 4/3,
где Л, /2, i3— орты декартовой системы координат (хн х2, х3).
Найти:
1) суммы и разности векторов.
A + B+C+D-, A + B—C—D; A—B+C—D, —A^B—C + D,
2) углы, которые составляют векторы Д, В, С, D с осями координат;
3) модули векторов Д, Bt С, D.
3. Найти сумму трех векторов, имеющих длину а и проведенных:
1) из вершины куба по трем его ребрам;
2) из вершины правильной треугольной пирамиды по трем ее ребрам.
4. Зная, что центр масс С системы материальных точек определяется
радиусом-вектором гС1 имеющим вид
п
2 miri
Гс~‘~7Г~~ «
/= 1
где /п,—массы точек,
Г(—их радиусы-векторы,
п — число точек, определить:
1) центр масс системы точек, расположенных в вершинах квадрата
(длина стороны а), с массами 1г, 2г, Зг, 4г;
2) центр масс системы точек, расположенных в вершинах правильного
треугольника (длина стороны а), с массами 1г, 2г, Зг;
3) центр масс системы точек, расположенных в вершинах куба (длина
стороны а), с массами 1г, 2г, Зг, 4г (нижнее основание) и 5г, 6г, 7г, 8г
(верхнее основание).
Где будет находиться центр масс куба, если в его противоположных
вершинах сосредоточены одинаковые массы?
5. В параллелограмме острый угол равен , а стороны а=3 и 6 = 5.
Изображая его стороны в виде векторов а н bt определить:
1) векторы а + b и а—Ь (построить);
2) площадь параллелограмма;
3) проекцию каждой стороны параллелограмма на направление другой
стороны.
6. Для векторов, приведенных в упражнении 2, определить:
1) скалярное произведение суммы двух первых векторов иа сумму двух
последующих;
2) углы, которые образуют вектор Д с остальными векторами BtCnD\
3) проекцию вектора Л иа направление векторов В, С и D\
4) векторные произведения А X В, Л X С, В X С и углы, которые они
образуют с вектором D;
5) площади параллелограммов, построенных на векторах Д и В, С и D\
найти длины диагоналей этих параллелограммов.
7. Показать, что все векторы Д, В, С, D (упражнение 2) лежат в одной
плоскости.
8. Даиы векторы:
Д = /1+2/24-3/3;
fi=4i1+5f2;
0 ~ 3/j 4“ 2fa 4~ /3.
50 -
Упражнения
Какую систему (правую илн левую) образуют эти векторы?
Определить:
1) объем параллелепипеда, построенного на этих векторах;
2) векторы, изображающие две (исходящие из концов вектора Д) диа-
гонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, и найти длины
этих диагоналей;
3) площадь диагонального сечения параллелепипеда, проведенного через
вектор А.
9. Показать, что если соединить середины сторон произвольного четы-
рехугольника прямыми линиями, то полученная фигура будет параллело-
граммом.
Указание. Стороны исходного четырехугольника изобразить в виде
векторов a, b, с, d так, что a4-&4-r4-rf=0
10. Показать, что если а, Ъ, с и d—суть радиус-векторы четырех точек
и справедливо равенство [(d—а) X (с—-а)] • (Ь—а) = 0, то точки лежат
в одной плоскости.
11. Проверить, могут ли следующие тройки векторов образовывать
базис:
| == I -р 1*2 —3lg . ЬI === — 3/j 4“ 2/д
\ 02= /1 4/д / ^2 ~ Z3
\ o3 = 4i14~ —/3 ' b3 = 3ij 4“
Здесь /1Э f2, i3—орты прямоугольной декартовой системы координат.
12. Если blt Ь2, Ь?г—векторы (см. упражнение 10), проверить, будут ли
линейно независимыми векторы Blt В2, В3:
B1 = ‘2b1~3b2Jr Ь3
В2 = —ЗЬ2 4*
В% = 4^1 —5&2 +
13. Доказать, что
'(Л.(.ХО1- ^(вхс)+л.^хс') + л\вх^).
14. Доказать равенства:
С d2A dA
2) \AXd^dt^AX^^Cf (C = const)
^rxdT=c' есл" dP=rf(r}-
15. Используя формулу Эйлера У=(оХг, определить линейную ско-
рость центра прямоугольника, вращающегося вокруг одной из вершин и
имеющего стороны а = 2 см и Ь = 4 см в те моменты, когда мгновенная угло-
вая скорость имеет величину 5— и направлена по меньшей и по большей
стороне прямоугольника.
16. Определить момент силы, величиной в 5 я, направленной по одному
нз ребер куба, относительно всех его вершин и осей, проходящих через
ребра (длина ребер куба равна а см).
17. Кинетическим моментом относительно центра О (моментом количе-
ства движения) системы п материальных точек называется векторная сумма
£о= 2 ri
/=х
4* — 51
Г лава первая. Основные сведения из векторной алгебры
где rt-—радиус-вектор i-й точки, имеющей массу и скорость V{.
Определить:
1) кинетический момент двух точек с массами г, т2 = 2г, вра-
щающихся с угловой скоростью <в = 5 — вокруг оси (х8) и описывающих
окружности радиусом 3 и 6 см\
2) кинетический момент точек массой I г и 2г, движущихся в противо-
положные стороны со скоростью 3 смIсек по
двум противолежащим ребрам куба, относи-
тельно всех его вершин (длина ребер куба
равна а см)
18. Пусть а, Ь — два вектора, определяю-
щие стороны параллелограмма с диагоналями
а + b и а—Ь\ показать, что:
1) сумма квадратов диагоналей равна
сумме квадратов его сторон;
2) диагонали параллелограмма перпенди-
кулярны тогда и только тогда, если этот па-
раллелограмм —ромб;
3) площадь параллелограмма (4), постро-
енного на диагоналях другого параллелограм-
ма (В), в два раза больше площади этого па-
раллелограмма (В).
19. В точках Aflt М2.....Мп закреп-
лены пружины с жесткостями соответственно
Cj, С2, Сп, соединяющиеся в общей точке М (рис. 1.31).
Определить положение точки М при равновесии.
Ответ.
i с,Л
гм=±1Г •
S с‘
i = 1
где г,—радиусы-векторы точек
—радиус-вектор точки М.
20. Проверить справедливость тождеств!
а X (b X c)+b X (с X а) +<? X (а X &)==0;
(аХЬ)- (cXd)«
а • d
b. d
а • с
b • с
(аХЬ)Х (с Xd) = b(a-(c X </))—« (b-(c х d)) =
=с(а . (bxd))—d(a - (bХс)).
(axb)-(cx d)+(b X с) - (а X d) +(е X а). (b X d)=0.
21. Дан базис
/1= • 4/j-j-2/2; /2e3/j 4*3/2; /2 = 2/д,
где /1, /2, /3—орты прямоугольной декартовой системы координат.
Найти ко- и контраварнантные составляющие вектора, проведенного нз
начала координат в точку (1, 1, 1)
22. Найти выражение векторио-скалярного произведения через ко- н
контраварнантные компоненты вектора.
Глава вторая
Понятие тензора и закон
преобразования его компонент
2.1. Компоненты тензоров и их преобразование.
Равноправность координатных систем
В предыдущей главе были рассмотрены примеры скаляров и
векторов. Скаляр имеет одну компоненту, вектор—три компо-
ненты. Иными словами, какую бы мы ни выбрали систему коор-
динат, для полного описания скаляра достаточно одного числа,
а для такой величины, как вектор, необходимо три числа. Более
сложные объекты требуют для своего определения большего
Числа компонент. Так, для описания деформации упругого тела
в точке необходимо 38 = 27 чисел, а упругие свойства анизотроп-
ного тела требуют для полной характеристики 34 = 81 число.
Числа (или функции), которые полностью определяют вели-
чину в какой-то системе координат, называются компонентами
зтой величины.
Мы уже говорили, что с этой точки зрения удобно рассмат-
ривать такие величины, как тензоры различных рангов: скаляр
(3° = 1 компонента)—тензор ранга 0, вектор (З1 = 3 компоненты) —
•тензор ранга 1, величина, имеющая 32 = 9 компонент—тензор
ранга 2 и т. д. Тензоры могут быть самого различного ранга,
и, вообще, тензор ранга п имеет 3" компонент.
Компоненты могут быть функциями, например, времени и
координат. Но не эта зависимость, на которой мы специально
остановимся в гл 4, сейчас нас интересует.
В этой главе мы рассмотрим правила, по которым преобра-
зуются компоненты тензоров различных рангов в зависимости
от изменения системы координат.
Величины можно рассматривать в системах координат с раз-
личным началом и различным образом ориентированных. Ком-
поненты одной и той же величины (тензора) могут иметь раз-
личные значения в разных системах координат. Однако, в связи
с тем, что каждый раз эти компоненты определяют одну и ту
же величину, закон преобразования компонент при переходе из
— 53
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
одной системы координат в другую не может быть произволь-
ным. Этот закон должен вытекать как из природы рассматри-
ваемой величины (для скаляра один закон, для вектора—дру-
гой и т. д.), так и из свойств пространства, в котором выби-
раются системы координат.
Произвольность выбора начала (перенос) координатных систем
является опытным фактом и отражает так называемую однород-
ность пространства.
Равноправность любой ориентации (поворот) координатных
систем также является опытным фактом и означает изотропность
пространства.
Таким образом, в однородном и изотропном пространстве все
координатные системы равноправны в том смысле, что описания
величин или явлений (законы) не зависят от частного (вообще
говоря, произвольного) выбора системы координат.
Эго означает следующее. Пусть в однородном и изотропном
пространстве выбраны две произвольные системы координат К
и Д', которые могут иметь различные начала и различную
ориентацию. Тогда закон, сформулированный в системе Д’через
компоненты величин, относящиеся к этой системе, должен иметь
тот же вид, что и тот же закон, сформулированный в системе Д'
через компоненты, относящиеся к системе Д'.
Это требование к правильно сформулированным законам но-
сит название требования инвариантности.
Так, например, если длина какого-то отрезка, вычисленная
в системе координат Д, равна As, то, вычисляя длину этого же
отрезка через координаты его конца и начала по отношению
к любой другой системе Д', мы получим то же самое численное
значение его длины. Математически этот факт может быть выра-
жен тем, что величина
As2 = Дх,2 + Дх, + Дх’з (2.1)
имеет одинаковое численное значение независимо оттого, в какой
из прямоугольных декартовых систем вычислены Дхь Дх2, Дх3—
разности координат конца и начала отрезка
Подробней вопрос об инвариантности будет рассмотрен в 2.7.
Независимость описания от выбора системы координат не является един-
ственным требованием, предъявляемым к величинам и законам. В качестве
другого такого общего требования укажем на широко известное условие
независимости формулировки законов от выбора системы единиц измерения.
Физические величины имеют размерность. Однако выбор единиц изме-
рения этих величин остается произвольным Таким образом, отношение
двух значений одной и той же величины не зависит от того, в каких еди-
ницах эта величина измерена (этот факт используется в теории размерно-
стей при выводе основной формулы размерности)
Любой закон формулируется также независимо от выбора системы еди-
ниц измерения для величин, между которыми он устанавливает соответствие.
Как известно, независимость формулировки закона от выбора системы
единиц измерения обеспечивается одинаковой размерностью величин, которые
54 —
2.2 Тензоры нулевого ранга (скаляры)
входят в формулировку в виде слагаемых. В дальнейшем (см. 2.7) мы уви-
дим, что независимость формулировки закона от выбора системы координат
обеспечивается одинаковым рангом всех тензоров, которые входят в запись
закона в виде слагаемых.
В следующих параграфах мы рассмотрим последовательно
тензоры различных рангов в связи с законом преобразования
их компонент, обеспечивающим во всех случаях равноправность
координатных систем при описании величин.
Основные определения и формулировки будут даны по отно-
шению к прямоугольным декартовым системам координат. Тем
не менее, где это потребуется по ходу изложения, будут рас-
смотрены также компоненты тензоров и их свойства в системах
обобщенных координат.
2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры)
Выше уже отмечалось, что такие величины, как температура
объем, давление и др., называются скалярами. Приведем опре-
деление скаляра в связи с законом его
изменения при преобразованиях коорди-
натной системы.
Скаляр—это величина, полностью оп-
ределяемая в любой координатной системе
одним числом (или функцией), которое
не меняется при изменении пространст-
венной системы координат.
Скаляр имеет одну компоненту. *
Таким образом, если q>—значение
скаляра в одной системе координат, а
ср' — в другой, то
<Р# = ф-
Рассмотрим пример скалярной вели-
Рис. 2.1. Инвариант-
ность длины отрезка А В
лежит в основе вывода
формулы ортогонального
преобразования коорди-
нат
ЧИНЫ.
Пример. Пусть А и В — две точки в пространстве, координаты кото-
рых в системе (/() декартовых координат суть х% (6=1, 2, 3), а в дру-
гой декартовой системе (К'} — х'А, х£ (6=1, 2, 3) (рис. 2.1). Так как
длина As отрезка прямой по своему определению является скаляром, то
As'=As
Следовательно, для любых двух систем декартовых координат необхо-
димо выполнение равенства *
з з
£д^=£д4. (2.2)
______________ 6=1 6=1
* Здесь и всюду в дальнейшем мы будем считать, чТо единицы масшта-
бов в системах остаются неизменными.
— 55
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Здесь
Дх*=х£—х£ (й = 1.2,3);
bx'k = x'kB-xkA. (fe = 1.2,3).
Как известно нз аналитической геометрии (см. также задачу 1, гл. 1),
формулы преобразования декартовых координат имеют вид (применяя сокра-
щенные обозначения):
*i“ai'***+*Л *i=a»'ix't+4‘l
4=аг*х»+х?‘> *а=а*'» **+*:*.
хз~аз'Ххк~^ хз • x3~ak'3 xk + x3 •
или
<=аг*л*+х?1;
x,=aft7xj+xf (2-3)
(j = 1, 2, 3).
Отсюда
Дх; = а,,*ДхЛ. (2.4)
Здесь =cos (xft xk)—косинус угла между Z-й новой осью и fe-й ста-
рой осью.
Все коэффициенты af,k этого ортогонального линейного преобразования
не заинсят от координат, а между ними существуют соотношения:
Л J 1, если / = /?;
al'i al'k “ । о еслн / fc;
(2.5)
( 1, если / = /?;
az'/aV/“ о еслн
Ортогональные линейные преобразования обеспечивают выполнение
условия (2.2).
з
Действительно, вычислим 2А*?» используя (2.4):
/=1
3 3
2Дх? = Дх^Дх^Дх» Дх^^а,,,.
/=1 /' = 1
В силу соотношений (2.5) имеем:
3 , 8
2 л*? =дх» дх/дм= 2 л4-
/=1 Й=1
Таким образом, закон преобразования координат (2.3) обеспечивает
инвариантность длины отрезка прямой по отношению к любым ортогональ-
ным изменениям координатной системы.
56 —
?3 Тензоры 1-го ранга (векторы)
2.3. Тензоры 1-го ранга (векторы)
Векторные величины (перемещение, ускорение, сила и др.),
как уже указывалось, требуют для своего определения трех
действительных чисел или функций. Векторы—величины более
высокого ранга по сравнению со скалярами; они могут быть
названы тензорами l-го ранга.
Следует подчеркнуть, что вектор—это не набор трех ска-
лярных величин. Двумя числами (плотность и температура)
можно полностью охарак-
теризовать состояние иде-
ального газа точно так,
как двумя числами (раз-
ности абсцисс и ординат
двух точек) можно опи-
сать перемещение в плос-
кости. Но при изменении
системы пространствен-
ных координат плотность
и температура не меняют-
ся, ибо они являются ска-
лярами,и потому не могут
образовывать вектор, в то
время как разности коор-
динат изменяются при этом
по определенному закону.
Рис. 2.2. Изменение компонента вектора
при изменении системы координат
Три числа или функции, определяющие вектор, меняются
при изменении пространственной системы координат, но по
такому закону, что в любой из координатных систем они опре-
деляют один и тот же вектор.
Закон преобразования компонент вектора. Закон преобразова-
ния компонент вектора устанавливаегся на основании преобра-
зования трех чисел Дх, (см. 2.2). Если Дх,—разности декарто-
вых прямоугольных координат каких-либо двух точек в си-
стеме (К), то разности координат этих точек Axj в другой де-
картовой системе (К') определяются согласно формуле (2.4):
Дх/ = аг* Дх*,
где а/-* — косинус угла между Г-й осью системы (К') и k-ii
осью системы (К).
Если в пространстве задан вектор А, то его компоненты At
определятся, если выбрана какая-то система (К) декартовых
координат.
В другой системе координат (К') (рис. 2.2) его компоненты,
естественно, будут другими Л,, хотя сам вектор А остается
— 57
Г лава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
неизменным в том смысле, что Д( определяют тот же самый
вектор (например, скорость точки М).
Так как каждому вектору можно сопоставить определенный
отрезок в пространстве, то компонентам вектора будут соот-
ветствовать разности прямоугольных декартовых координат на-
чала и конца этого отрезка. Поэтому, чтобы понятие вектора
как некоторой величины не зависело от выбора системы коор-
динат, необходимо, чтобы его компоненты менялись так же, как
упомянутые разности координат.
Тогда в соответствии с законом (2.4) имеем для компонент
вектора в прямоугольных декартовых координатах
А( = ае>г Ak.
Этет закон и лежит в основе аналитического определения век-
тора.
Вектор—это величина, определяемая в любой системе коор-
динат тремя числами (или функциями) Ah которые при изме-
нении пространственной системы координат преобразуются в А,
по закону
Ai^arkAk. (2.6)
Три величины А,- являются компонентами вектора.
Обратно, если при изменении пространственной системы коор-
динат три числа А, изменяются по закону (2.6), то эти числа
определяют вектор.
Если компоненты вектора заданы в одной системе декартовых
координат (Д), то, используя закон (2.6) преобразования ком-
понент вектора, можно определить компоненты А\ в любой дру-
гой системе, оси которой составляют с осями первой системы
углы с косинусами а,'*.
Если три компоненты вектора обращаются в нуль в какой-
либо системе координат (вектор равен нулю), то они равны
нулю и в любой другой системе, вследствие однородности закона
преобразования (2.6).
Отметим, что это определение вектора эквивалентно определе-
нию, данному ранее. Однако оно позволяет естественным обра-
зом перейти к понятию величины более высокого ранга—тензо-
ров 2-го и высших рангов и с единой точки зрения остановиться
на тензорных свойствах физических величин.
Пример. Пусть в системе (К) координаты точки х, меняются
с течением времени t, так что
х; = х,(0-
Тогда за время Д/ точка продвинется по осям системы (К)
на расстояние
Xj(i -г AZ)—л, (/).
58 —
2 3 Тензоры 1-го ранга (векторы)
Эти три величины определяют вектор (вектор перемещения
точки), ибо, учитывая закон преобразования (2.3), в другой
системе (К'), получим
x'i(t+ M)—Xi(t) = ark [xfc(/-L дп—х*(0].
Рассмотрим отношения
х,.(/+Д0-х,(/)
------ы------• (*>
Три таких отношения (i = 1, 2, 3) составляют вектор. Дей-
ствительно в системе (К') имеем:
х'^г+м )-*;•(/')
м
Поскольку t' = t И = ТО
др Д/ ’
что и доказывает векторный характер отношений (*). Вектор (*)
называется средней скоростью точки за промежуток времени А/
в системе (К).
Совокупность трех пределов (если они существуют)
также определяет вектор.
Действительно, поскольку не зависят от /, то, переходя
к пределу при А/—>0, получим
v'.= lim „ .. Xk(t+txt)-xk(t) _ „
Vi Jim — ос/'й Jim *kvk,
ЛГ — 0 ai Д1-»0 ai
.Из этого закона преобразования пределов следует, что они
определяют вектор. Вектор (**) называется истинной скоростью
точки в момент времени t в системе (К).
Аналогично, определяя истинное ускорение точки в момент
времени t в системе (Ю как совокупность трех пределов:
можно установить, что они также определяют вектор.
Тогда, принимая, что во всех координатных системах выпол-
няется второй закон Ньютона
получим, что сила является векторной величиной.
— 59
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
2,4, Тензоры 2-го ранга
Как уже отмечалось, некоторые геометрические объекты,
а также целый ряд физических свойств, требуют для своей
характеристики больше трех чисел (или функций).
Это приводит к понятию величин, тензорные свойства кото-
рых сложнее, чем у векторов и скаляров. Эти величины, тен-
зоры 2-го ранга, не могут быть составлены в виде простого
Рис 2.3. Напряжение в сплошной сре-
де зависит ие только от точки, ио и от
ориентации площадки, и потому не яв
ляется однозначной функцией точки
точки и ориентации площадки,
напряжение, т. е.
набора векторов или скаля-
ров. Это—качественно но-
вые величины, отвечающие
физическому или геометри-
ческому смыслу описывае-
мы^ объектов.
Тензор напряжений. Рас-
смотрим пример, связанный
с описанием напряженного
состояния среды в точке,
которое привело к понятию
тензора напряжений*.
Напряженное состояние
среды в точке считается из-
вестным, если известно на-
пряжение на любой площад-
ке, проходящей через дан-
ную точку.
Вектор напряжения р в
среде является функцией
на которой рассматривается
р=р(г, п),
где г—радиус-вектор точки, п—орт нормали к площадке.
Зависимость вектора напряжения от ориентации площадки обычно
отмечается индексом внизу, указывающим направление нормали
к рассматриваемой площадке.
Вектор напряжения р принципиально не годится для харак-
теристики напряженного состояния среды в точке, ибо при этом
надо рассматривать бесконечную совокупность р на всевозмож-
ных площадках, проходящих через точку (рис. 2.3). Оказалось
возможным определить такую величину, которая является одно-
значной функцией точки, т. е. не зависит от ориентации пло-
щадки и в то же время позволяет вычислить напряжение на
любой площадке с нормалью га.
* Выражение «тензор напряжений» является тавтологией (tensio, лат.—
напряжение).
60 —
2 4. Тензоры 2-го ранга
Рассмотрим вырезанный в среде у точки М элементарный
тетраэдр, три ребра которого направлены по осям декартовой
системы координат (рис. 2.4). Обозначим площади граней, пер-
пендикулярных к осям (Xj), (хг), (х3) системы (К),' соответственно
через dax, da2, da3, а наклон-
ной грани с нормалью п через
daa. Действие среды на эти гра-
ни тетраэдра выражается соот-
ветственно в напряжениях^,!,
р_2, Р-з. Рп< приложенных
к граням. Здесь минус в инде-
ксах у напряжений означает,
что рассматриваются напряже-
ния на наружных сторонах
граней тетраэдра, внешние нор-
мали которых направлены про-
тивоположно осям (Xi), (х2),
(хэ). Вследствие равенства дей-
ствия и противодействия, силы,
Рис, 2.4 Напряжения на гранях
тетраэдра
действующие на внутренние стороны граней тетраэдра (p1dal,
p3da2, p3da3), равны по величине и противоположны по на-
правлению силам, действующим на наружные стороны гра-
ней. Отсюда имеем:
Pl Р-1' Pi— Р-3' Рз-----------Р-з
Если W—ускорение центра инерции тетраэдра, f—вектор
массовых сил, отнесенных к единице массы, то по закону дви-
жения центра инерции тетраэдра, массу которого обозначим
через dm, получим
Wdm =fdm+pnd0n +p_1d<j1 +p„2do2+р_з4а3 =
—fdm+pndan— pxdax — p2d<y2—p^da3.
В пределе, при стягивании тетраэдра к точке М, получим*
(вследствие того, что члены, содержащие элемент массы, про-
порциональной объему, являются малыми более высокого по-
рядка по сравнению с членами, содержащими элемент площади):
Pada„ =pxdax -J-Pjfl02 -|-p3dn3 = S Pi dOf,
1=1
Поскольку
doi=^don cos (я, х() — п^а„,
то
f=l
♦ В этих выражениях по индексу п суммирования нет.
— 61
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Проекции вектора напряжения р„ на площадке е нормалью
п на оси системы (К) равны:
Рис. 2.5. Тензор напряжений как
совокупность трех векторов на
пряжения />!, р3, р3 на взаимно
перпендикулярных площадках
Проекции этих векторов на оси пред
ставляют девять компонент тензора
напряжений
Здесь —совокупность девяти напряжений, нормальных
(при i = k) и касательных (при i#=&) на трех взаимно перпен-
дикулярных площадках у точ-
ки М (рис. 2.5.). Эти девять
величин, очевидно, никак не свя-
заны с ориентацией площадки,
на которой определяется напря-
жение рп, а лишь с данной точкой
среды; в то же время знание pik
позволяет вычислить напряжение
рп на любой площадке, если из-
вестна ее ориентация п. В каждой
точке среды однозначно опреде-
лена одна физическая величина,
определяемая девятью числами
pik, которая и служит исчер-
пывающей характеристикой на-
пряженного состояния среды в
точке.
Совокупность этих величин pik
определяет тензор 2-го ранга,
который иосит название тензора
напряжений.
Рассмотрим закон преобразования девяти величин pilt при
изменении системы координат.
Не ограничивая общности, можно считать, что i-я ось новой
системы координат (К') направлена по нормали п (ибо при
определении pik никаких ограничений на п не накладывалось).
Если /г, Z2, i3—орты системы (К), a Ъ, it, i3—орты системы
(К'), то
« = /’.
Проекция п на l-ю ось системы (К) равна ni = n-ii = i'rii=ai'i,
где аг/—косинус угла между i-й осью системы (/(') и /-й осью
системы (К).
Таким образом,
Рп =Pi=Pini = ar/Pz - animpim
Спроектируем это равенство на k-ю ось системы (/(')?
Рг4 = а/'/(*я-4)р/я,
62 —
2.4 Тензоры 2-го ранга
ИЛИ
Pik = &Г1 ak'm Plm-
Таков закон преобразования девяти величин pik при изме-
нении декартовой системы координат.
Тензор 2-го ранга. Прежде чем дать определение тензора
2-го ранга, остановимся еще на двух примерах образования
этих величин.
Пусть даны два линейно зависимых вектора А и В. Тогда
их компоненты пропорциональны:
Д/ = АВ.,
т. е. эти векторы коллинеарны.
В самом общем случае линейная зависимость между ком-
понентами двух векторов, один из которых (например, В) произ-
волен, в некоторой системе (К) может быть выражена при
помощи девяти коэффициентов [мы будем их обозначать через
a,*(i, /г=1, 2, 3)] формулами:
= а12б2 + а13В3;
^2 ~ ^21 ^23®8»
A3 ~ а31®1 + а32®2 + аЗзВз,
или сокращенно
(*)
В другой системе (К') будут другие компоненты у векторов
и другие числа aik, так что в системе (К') имеем:
Ai = aikBk. (♦♦)
Рассмотрим связь между числами а1к и aik.
Умножим каждое из уравнений (*) на а,-, и просуммируем
по I. Получим
а/-/Л/ = а/*а,чВл.
Тогда слева, согласно.(2.6), получим /-ю компоненту вектора Л
в системе (К'). Таким образом,
Л/= а;ла/-/Вл.
Поскольку (см. 2.3)
Вк — ат’кВт,
то
A'i = аг,- am'kaikB'm,
или, что одно и то же:
A't = ai4 ак-та1тВк.
— 63
Г лава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Сравнивая это выражение с (**), получим в силу произ-
вольности вектора В
alk — &i'l ak’m dig, •
Напомним, что справа стоит двойная сумма по I и т от 1 до 3.
Таков закон преобразования девяти чисел aik при изменении
пространственной системы координат. Их совокупность, опре-
деленная в какой-либо системе координат, всегда определена
и в любой другой системе.
Другой пример.
Из компонент двух независимых векторов А и В можно
составить девять произведений вида
4,-В» (i, fe=l, 2, 3).
При переходе к другой системе координат (К') эти произве-
дения будут иметь другие значения. Выразим их через старые
значения. Это всегда можно сделать, ибо мы знаем закон пре-
образования компонент векторов А и В. Используя (2.6), получим
A'lB'k = ai4At ak-mB„ = а/7 ak-m AtBm.
Таким образом, величины Д,В* преобразуются при изменении
системы координат по тому же закону, что и числа aik из пре-
дыдущего примера.
Величины aik, AjBk представляют примеры тензоров второго
ранга.
Тензор 2-го ранга—это величина, определяемая в любой си-
стеме координат девятью числами (или функциями) Дм, кото-
рые при изменении системы координат преобразуются в Aik по
закону
Aik = &t’i ak'mAim. (2.7)
Величины Atk являются компонентами тензора 2-го ранга.
Если компоненты (Alk) тензора заданы в одной декартовой
прямоугольной системе координат, то по формуле (2.7) можно
определить компоненты (Д/*) тензора в любой другой декартовой
прямоугольной системе, оси которой составляют с осями перво-
начальной системы углы с косинусами at>k-
Если все компоненты тензора обращаются в нуль в какой-
либо системе координат, то они равны нулю в любой другой
системе вследствие однородности закона преобразования (2.7).
Иногда удобно записывать тензор в виде таблицы (матрицы):
1М«П»
^11
Л 21
^31
^12 ^13
^22 ^23
^32 ^33
(2.8)
64 —
2 4. Тензоры 2-го ранга
Рассмотрим несколько примеров, из которых видно, как
некоторые геометрические и физические объекта требуют для
своего описания тензоров 2-го ранга.
Пример 1. Пусть X/—компоненты вектора, направленного
из центра поверхности 2-го порядка, находящегося в начале
системы декартовых координат, к точкам этой поверхности.
Тогда уравнение поверхности имеет вид
Числа Aik полностью определяют эту поверхность, причем
Aik~ Aki'
Если (К')—система, повернутая относительно (/С) на углы
с косинусами аГ4, то
Уравнение поверхности в системе (К') имеет вид
AtkXtx’k=l.
Из закона преобразования величин xh находим
Almxtxm = Ata at4 xtak’mxk = (Aln at>tak-m) xtx'k = 1.
Сравнивая эту формулу с предыдущей, получим закон пре-
образования девяти величин Aik:
Aik^&l'l ^k'mA^y
из которого заключаем, что величины Aik образуют тензор
2-го ранга.
Пример 2. Тензор моментов инерции.
Вектор момента количества движения системы материальных
точек относительно начала координат некоторой системы коор-
динйты (К) равен
N
Ь = 2 mB(rBX У„).
И = 1
Здесь т„— масса n-й точки, г„—ее радиус-вектор,
Vn—ее скорость.
Если расстояния ] г„—гр| между точками не меняются (систе-
ма представляет твердое тело) и если их расстояния до начала
координат также неизменны (твердое тело имеет неподвижную
точку в начале координат), то по формуле Эйлера (см. задачу 12,
гл. 1) их скорости могут быть выражены через мгновенную
угловую скорость системы <о:
У» = ®хг„.
5 Заказ № 3610.
— 65
Г лава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Тогда, учитывая (1.19), получим
W п
2 k„x(©xr„)]= s
п =М п = 1
или в проекциях (х({п) — координаты п-й точки)
/ - Уш /га г(н) V(n)__/'1>га
%i CO^X^ )•
n=i
Представив co,. = 6^cofc, запишем
n=l
где
I __ Y rn (K Y{n) V(n> V(n)
• ik' £1 ™n \^ikXl xl xl xk )•
n=l
(2.9)
Девять величин lik выражаются через моменты инерции
ItlV1, lXlX., ... , следующим образом:
Рис. 2.6 Каждой точке
твердого тела можно со-
поставить тензор момен-
тов инерции
/н= 2 m„[(x<"))2 + (x<",)2] = /tlx1;
П = 1
N
/„=2mXW’)!l = /w
П=1
/зЗ= S тп [(Х1П))2 + (Х2П))2] = G.JCp
Л = 1
/ 12 = Л1 = - Zj ^пХ\П} *2° = - I XlXi\
N
Лз = ^31~ } " — I x1Xi\
п = 1
^23 ~ ^32 --- Zj тпх{2} Х3П) = — / хгхз;
п = \
Покажем, что девять величин lik являются компонентами
тензора 2-го ранга. Этот тензор называется тензором моментов
инерции системы.
В какой-либо другой системе (К') прямоугольных декартовых
координат моменты инерции имеют вид (рис. 2.6)
Y т (К __У.{п) y'W\
lik ^n\^ikxl xl %k )•
n=i
66 —
2,4. Тензоры 2-го ранга
Рассмотрим закон преобразования lik в l'lk при изменении
системы координат.
Из закона преобразования векторов имеем:
/(Л) „'(«> _ „(") „(«)
Xj Xt - Xt Xt ,
'(n) '(«) . («) («)
X( Xk — гХч Xr
Из определения величин f>!k получим, что в системе (К)
= а в системе (К')—<xi'Sa.k-s = f>ik (см. 2.5).
Рис 2.7 Деформация упругого тела
Учитывая, что a*'S==a*>6Jr, получим
б/fe = OC/'s OLk'r dsr.
(2.10)
Таким образом, вследствие независимости аг* от координат,
имеем:
N
hk= S mn(ai>sakydsrxj,‘}x<in'>—arsak>rXi5’,)xlrn)) =
п-1
= а,ча*'Г2 гпп — х(5п)х(/‘') = аГ5аку/лг.
П=1
Это доказывает, что девять величин Iik образуют тензор
2-го ранга.
Закон преобразования (2.10) показывает, что величины dik
также образуют тензор 2-го ранга. Вследствие его особого
строения он носит название единичного тензора. Его матрица
имеет вид
ПЫ =
1 о о
О 1 о
О О 1
Пример 3. Тензор деформаций. Рассмотрим в упругом теле
две произвольные точки А и В, которые в результате деформации
тела заняли положение А' и В'. При этом до деформации их
рад и усы-векторы были равны (см. рис. 2.7) г иг-|-Дг, а после
5*
— 67
Глава еторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
деформации г+Щг) и г+ Дг + я(г + Дг). Векторы и (г) и
»(г4-Дг) называются векторами смещения точек (Л и В).
Относительный радиус-вектор точек до деформации был Дг,
после деформации стал равным Дг'. Вычислим изменение его
величины в результате деформации, т. е. определим разность
(Дг')2—(Дг)2. При этом мы предположим, что вектор смещения
и является непрерывной функцией точки, т. е. xg, х8).
Из рис. 2.7 имеем:
Д г' = Дг + й (г + Дг)—а (г),
или в проекциях
\х( = Дх,-+ и,-(Xj + Д*1, х24-Дх2, х3+Дх3)—и,(хг, х2, х3).
Пренебрегая малыми второго порядка, получим
Дх^ = Дх,Дхл.
Возводя в квадрат и замечая, что ДхДх, = (Дг')2 и Дх1Дхг = (Дг)’,
получим
(Д,Т-(Д,)>-2^Дх,Дх» + ^^Дх»Дх,.
Меняя индексы суммирования i и I во второй сумме и за-
писывая первую сумму в виде
2 з?-Дх.Дх*=Дх<Дх*+=
= ^Дх,Дхл + ^ДхдДх/,
получим
(Д,-)>-(Дг)-- (g + g + g g) Дх,Дх,= 2«,.Дх,Дх„
где
,. _ 1 (ди‘ । да* । д“1 dui\
'* ~~ 2 \dxfr ' dxj ‘ dxk дх;) '
Итак, изменейие расстояния между любыми двумя точками
целиком определяется, если известны девять величин uih.
Покажем, что uik образуют тензор 2-го ранга. Этот тензор
называется тензором деформаций.
В другой координатной системе (/(') имеем:
и’ { (ди‘ dUk ди‘ ди'1
tk 2 \дх* дх'г дх'к дх'(
68 —
2.4. Тензоры 2-го ранга
Используя формулу (2.6) для преобразования компонент
вектора д и формулы (2.3), получим
. д . .дхп д . vdxml
+ 57- («<'* «1) т-r 57- (a/-s«,) т-г H
охп dxk ахт dxt J
1 . дип . dus
-сЦ'та,к>п 2 + дхт + дхп dxj ~ a«'m
Эта формула преобразования итп в utk при изменении системы
координат и доказывает, что величины uitt являются компонен-
тами тензора 2-го ранга.
Обычно в линейной теории упругости пренебрегают членом
ди, ди,
д7„ и тогда
ik~ 2 + Л
Пример 4. Тензор скоростей деформаций.
Согласно теореме Гельмгольца*, на выводе которой мы здесь
останавливаться не будем, движение частицы жидкости или
газа можно разложить на квазитвердое движение (движение
частицы, как частицы твердого тела) и деформационное движе-
ние. Причем деформационное движение определяется тензором
скоростей деформации
V, = X (4. \ (2 11)
2 ydx^dxi)’ ^ *4
в том смысле, что скорость точки М частицы по отношению
к точке О, являющаяся исключительно следствием способности
частицы деформироваться (деформационная скорость), равна
(см. рис. 2.8)
^(М) = У1>(0)Дх*, (2.12)
где Дг = ]/(Дх1)2-|-(Дхш)2-|-(Дхз)2—расстояние между точками
М и О;
VA(Af)—деформационная скорость час-
тицы в точке М;
(О)—значение тензора в точке О.
Нетрудно проверить, что девять величин образуют тензор
2-го ранга (см. предыдущий пример).
Остановимся подробнее на физическом смысле компонент
тензора скоростей деформации.
* См. Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа, М. РИГГЛ, 1957,
стр. 48—51,
69
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
В частице жидкости (рис. 2.9) отметим две точки: А и В —
до деформации частицы: после деформации, совершившейся за
время Д/, положение этих точек пусть будет А' и В’. Положение
точек А и В по отношению к точке О до деформации определим
соответственно радиусами-векторами Дг и Д/?, а после деформа-
ции— радиусами-векторами Дг' и Д/?'. Изменение длин векторов
Дг, ДА? и угла между ними характеризуют деформацию частицы.
Рис. 2.8. Скорость де-
формации жидкой час-
тицы
Рис. 2.9. Деформация жидкой
частицы
Смещения точек А (вектор АА') и В (вектор ВВ') в резуль-
тате деформации частицы совершились по направлению дефор-
мационных скоростей этих точек УД (4) и У&(В). Поэтому
АА'— УЛ(А)Ы;
ВВ' = УЛ(В) Ы.
Тогда из векторных треугольников ОАА' и ОВВ' имеем:
Дг' = ДгН- УД (4) М-
Д/?' = ДА? + УД(В)Д/.
Выражая деформационные скорости через тензор скоростей
деформации по (2.12) и переходя к компонентам, отсюда получим:
Дх/ = Дх; + У,лДхлДЛ,
ХХ\ =ДХ;-Н vik^xkxt.
Здесь Дх,-—i-я компонента ради уса-вектора Дг, аналогично
Дх/, ДХ,, ДХ/ — i-e компоненты радиусов-векторов Дг', Д/?, Д/?'.
Значения производных в Vik берутся для точки О.
Составим скалярное произведение Ar’ &R'. Учитывая сим-
метричность тензора Vilt, т. е. Ущ = Уи, получим с точностью
до членов первого порядка малости относительно Д/:
Xr'-XR' — Дх/ДХ/= Дх,ДХ,-4-2У,|,ДхаДХ1.Д/. (2.13)
7U -г
2.4. Тензоры 2-го ранга
Теперь охарактеризуем деформацию частицы.
Пусть п—орт вектора Дг, a N—орт вектора Д/?, т. е.
_ Дг Дг. д. Д/? ДЛ
пТдгТ-дг ’ Л'_|дл|~д/?’
По определению, относительное удлинение частицы (за время Д/)
в направлении п равно
Дг' — Дг Дг' -
= —д7“= д7-1’
а скорость относительного удлинения в том же направлении
равна
е„= lim y* = lim
М о Ы -> о
Дг' —Дг
ДгД/
Пусть (р — угол между векторами Дг и Д/? до деформации,
а ср'—после деформации частицы.
Величины ёл характеризуют скорости линейной деформации
частицы, а величины у= lini —скорости угловой дефор-
мации частицы.
Разделив (2.13) на ДгД/?, получим
(I + е„) (1 + еЛ) cos <р' = cos <р + 2И^п^Д/,
ибо
Дх£ДХг__&r'&R' cos q/ ,
ДгД/? ~~ &r&R *
Оставляя в полученном выражении члены первого порядка
малости относительно 8, получим
(1 +8„ + eA.)cos<p' = cos<p4-2Viftn^/A/. (2.14)
Рассмотрим частные случаи этого соотношения.
1. Пусть точка А совпадает с точкой В и лежит на оси (хх)
до деформации. Тогда
<р <р' — 0;
Ar--= bR= iiAxf.
B = (Лг1^п1 = 1; iV2==JV3 = n2 = n3 = 0).
Из (2.14) в этом случае получаем
1-(-е|-}-е1 = 1+ 2РГ11Д/,
отсюда
е — I/ .
е,~ V11 d.v» •
— 71
Г лава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Выбрав точки Л и В до деформации, совпадающими вначале
на оси (х2), а затем на оси (х3), получим последовательно:
g __у ___ g ___у ___
е»~у^~дх3’ в, — |/за-дх* .
Итак, диагональные компоненты тензора скоростей дефор-
маций (Vllt V22, Vaa) представляют собой скорости относитель-
ного удлинения частицы вдоль трех координатных осей.
2. Пусть точка А лежит до деформации на оси (хх), а точка
В—на оси (х2).
Тогда
Ф = у; ж=ч; N=/2; Дг_1_Д/?.
Из (2.14) в этом случае получим
(1 4- е2 4- в2) cos <р' = 2V12 Д t.
(2.15)
Обозначим Yi2 = y—ф'—изменение прямого угла в частице
между отрезками, направленными до деформации вдоль осей
(Xj) и (х2). Тогда, рассматривая малые величины Уха» получим
Ух 2 « sin у12 = sin (у ~ф') = cos Ф'-
Отбрасывая в (2.15) величины 2-го порядка малости, получим
у12 —2У12ДЛ
Отсюда
л ,
• 2 dV
Hm -KT—2V^^7
At-», о al
Совершенно аналогично можно получить
v — 4- — 2V •
Yia“ дх3 + dxt /И1а’
v = — 4- — = 2V,»
Yaa дх3 ' дх2 ZK»’-
dV,
Зх^
(2.16)
Итак, недиагональные компоненты тензора скоростей дефор-
маций (V12 = V21, Vl3 =V31, Va3 = V82) представляют собой поло-
вину скоростей изменения углов между отрезками, направленными
до деформации по соответствующим осям, или, короче, половину
скоростей угловой деформации частицы.
2.5. Тензоры высших рангов
Выпишем законы преобразования компонент тензоров нуле-
вого, первого и второго рангов.
ф'—Ф; A'i—Л1чА{-, А'ц — чнч <*ь’т А(Л.
72
2.5. Тензоры высших рангов
Формула преобразования скаляров не содержит коэффициен-
тов в формулу преобразования компонент вектора коэффи-
циенты &i'k входят линейно (однородная функция первой степени
относительно формула преобразования компонент тензора
2-го ранга является уже однородной функцией второй степени
относительно а,ч-
Как обобщение, можно дать определение тензора n-го ранга.
Тензор п-го ранга—это величина, определяемая в каждой
системе декартовых координат совокупностью Зп чисел (или
функций) Aikt...(n—число индексов), которые при изменении
системы координат преобразуются по закону
A'im.. . =аРр ak’r<x.lls. ..Aprs- . (2.17)
Сумма справа является однородным многочленом (формой)
степени п относительно косинусов углов AlW...—компо-
, ненты тензора. Если они все равны нулю в какой-то системе
координат, то тензор тождественно равен нулю.
Рассмотрим несколько примеров тензоров высших рангов.
Пример 1. Если А, В, С—три вектора, то 33 = 27 величин
Вии ~ AfiiPt
составляют тензор 3-го ранга.
Доказательство этого факта предоставляется, читателю.
Пример 2. Пусть Allt и Bik—два тензора второго ранга, один
из которых (например, В/Л) произволен, и пусть между компо-
нентами этих тензоров существует линейная зависимость. Эту
линейную зависимость можно записать в виде
где К(Ыт—совокупность 34 = 81 коэффициентов.
Можно показать, на основании закона преобразования АЛ
и "Bik, что образуют тензор 4-го ранга, т. е.
^•Udm ~ &Ч'п ОЬк'р Oti'r Ctm's ^nprs'
Доказательство можно провести аналогично примеру 1 пре-
дыдущего параграфа.
Компоненты тензора 2-го ранга, образованного рассмотрен-
ной ранее совокупностью девяти произведений AzBA==Crt
* Формами переменных xlt ха, .... х„ называются выражения!
" Л Jk
cixi(as S cixi)~ *'й степени, У Zw*)-2-fl степени,
iе 1 ft e 1
QMXjXjpCf синхixkxi)—3*й степени н т. д.
— 73
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
(i, k—\, 2, 3) компонент А( и Bk векторов А и В, иногда
записывают в виде С—АВ (без знака умножения), которое
называется диодным произведением. Это произведение не обла-
дает свойством коммутативности, п матрица произведения ВА
является транспонированной матрицей тензора АВ. По анало-
гии с записью вектора в виде A—Aje' определенный таким
образом тензор можно записать в виде
С = AiBke?ell—Cillde* (1, 6=1, 2, 3)
Обобщая этот способ записи на случай тензора любого ранга,
можно записать тензор м-го ранга в виде
T = T'ik.pq с ек ... epeq ... (i, k....р, q, ... =-1,2,3)
где суммирование производится повеем индексам/, k,... , р, q, ...;
напомним, что в каждом одночлене произведение е‘ек.. .ереч ...
имеет определенный порядок *.
2.6. Преобразование компонент векторов и
тензоров при повороте координатной плоскости
вокруг перпендикулярной оси
Иногда приходится рассматривать частный случай преобразования
координат —поворот системы вокруг одной из координатных осей. Если
векторы или тензоры заданы в плоскости, то такое преобразование является
Рис 2.10 Поворот осей
координат
единственно возможным и определяется одним
параметром. Выберем в качестве параметра угол
ср, который составляет новая ось (х') со старой
осью (х), когда поворот координатной системы
совершается вокруг оси (г) (рис. 2.10). Тогда из
общих формул (2.3) следует:
х' = х cos ср — у sin ср,
/ = х sin ф + r/cos ср,
z' = z
Отсюда для комплексного числа x-^iyt определяющего радиус-вектор,
расположенный в плоскости (ху), получим формулу преобразования сле-
дующего вида:
/-Н/= (* + <!/)
а для сопряженного комплексного числа х—iy формулу
х' — it/' = (х—iy)
Если задан вектор Д (4X, Ау, Az)t то получим следующие формулы
преобразования для величин 4X4-MV, Ах— IAV, Az:
4^4- iAtJ=~ (ДЛ 4-Му) е'-
iA'y = (Ах^Ау)е^
(2.18)
* См. Лагалли «Векторное исчисление» М 1936 и Л. И. Седов «Введе-
ние в механику сплошных сред» М. Физматгнз, 1962.
74 —
2 6. Преобразование компонент векторов и тензоров
Введем обозначения:
Ax-}-iAy=A+l
Ах~‘ау-а'1
Тогда формулы преобразования (2 18) можно записать коротко в виде
Аи=А,ег*' (по а пе суммировать!)
где а принимает значения — 1, 0,4-1.
В случае AZ = Q вектор целиком лежит в плоскости (ху) и его компо*
иенты преобразуются также согласно (2.18).
Эти формулы можно получить и иначе, если записать комплексные
числа через модуль и аргумент:
.4 A_}—Ae~il
При повороте осей на уюл ф у комплексных величин меняется аргу-
мент; новый аргумент у' равен
Y'^Y-гФ
Тогда
А'+ j = Aety' = Ае'(е'*= Л+ }е'*
= 4е-'*'= 4е-''е-'-= А_
Если заданы два вектора А(АХ, Ау, Лг) и В(Вх,Ву, Вг), то справед-
ливы формулы преобразования:
Аа — А^е1^, Вп — Вйе1^ (по а не суммировать!).
Тогда для величин А^В^ устанавливаются следующие формулы:
АаВ& = АлВ^е‘ (* + 3)* (по а и Р не суммировать!), (2.19)
где индексы а, р могут принимать порознь одно из значений: —1,0, + Ь
При этом величины 4aBq связаны с компонентами векторов следующим
образом:
А 0*0 — AzBz‘t
4 + 1В+1 = (AxA-iAy)(Bx^iBy) = АХВХ—AVBV +
+ * (АхВу-\- АуВх)\
— i* — i = 1Ау)(Вх ~"1Ву) ~ А ХВХ АуВу
-цАхВ, + АуВху,
Л0Я+1 = 4;, (Bx + iBy) = AzBx-{- iA2By\
^o*-i = Az (Bx—iBy)=AzBx—iAzB^
A + lBq = (Ax-]' iAy) Bz -- AXBZ~{~ iAyBzt
A^1BQ = (Ax—iAv) Bz-~ AxBz~iAyBz\
A+1B_ j — (Лх -pMy) (Bx —iBy) — AXBX + AyBv —
1 (AXBV AyBx)\
A_iB + i —(4X—iAy)(Bx-yiBy)~AxBx 4- AyBy 4-
+ i\AxBy-AyBx).
(2.20)
Из формулы (2.19) следуют формулы преобразования величии, пред-
ставляющих некоторые комбинации компонент векторов Д и В. Так, в ча-
стности, при а«4- 1, р«=— 1 получим
75
Г лава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
или
^х5х4" АуВу * (А*Ву *уВх) = Ах&х 4" АуВу i(AxBy АуВх).
Приравнивая действительные и мнимые части, получим:
Л х&х + АуВу ~ АХВХ + АуВу
АхВу АуВ х = АхВу АуВх.
Первое из этих соотношений совместно с AZB'Z = AZBZ, получающимся
из (2.19) при а=£=0, означает, что скалярное произведение векторов
при данном преобразовании остается неизменным, как и при любом пре-
образовании координат.
Второе соотношение выражает неизменность проекции векторного про-
изведения АХВ на ось (г). Это можно было предвидеть, ибо при рассматрива-
емом преобразовании координат ось (г) остается неизменной.
Диалогичные выводы получим, рассматривая случай а==—1, р = + 1.
Теперь рассмотрим симметричный тензор второго ранга с компонен-
тами рхх> Pyyt Pgz, Рху~Рух* Pzx =Pxz* Pyz = Pzy
Если Pzz^Pzx^Pzy^Q* то о таком тензоре говорят, что он задан на
плоскости (ху). Таким тензором полностью описывается плоское напря-
женное состояние упругого тела, когда напряжения в теле ие зависят от
координаты г и все векторы напряжений дают иа ось (г) проекцию, рав-
ную нулю.
Из компонент этого тензора построим величины рл$ аналогично (2.20):
Р + 1+1 “Рхх Pyv + ^Pxy* Pqo = Pzz*
Р—1-1 = Рхх РуУ ^Р Ху* Ро + 1 = P + lO = Pxz 4" iPyZ*
Р + 1 — 1 “Рхх 4“ Pyv “ Р- 1 + 1’ Р0 — 1 “ Р —10= Pxz ~~iPyZ*
Тогда, применяя формулы преобразования компонент тензора второго
ранга в рассматриваемом случае плоского вращения системы вокруг оси (г)
можно получить следующую удобную формулу преобразования вели-
чин
Р^р» е,<®+3>’Рр<? (по а и ₽ не суммировать!).
Формула такой же структуры справедлива и для плоского тензора
любого ранга, т. е.
Ptfv ...=*'<a+3+V+ "),₽Pa₽V... (2.21)
(по a, Р, у. . . не суммировать!),
причем величины ра? связаны с компонентами тензора так же, как
величины ДаВэС7связаиы с компонентами векторов Д, Bt С, а а, р, у. • . . мо-
гут принимать значения +1, 0, —1.
Из этой общей формулы (2.21) имеем:
P+i-i = P+i-ii
Р + 1 +1 ee<t*pP+i + 1»
pi-l—i “*~*^P-1-1;
Роо ^Роо»
Ре + i-ez,,Pe+i;
pi-1
76 —
2.7. Инвариантность тензорных уравнений
или, расписав, получим:
Рхх + Руу~ Рхх + Руу'•
Рхх — Руу + 2‘Рху = (Р хх —Руу + 2*Рху)
Рхх Руу 2^Р ху ~ (Рхх Руу 2^Рху) &
Ptz^PtZ'
Рхх + ipyz =“ (Pxz+ipyx)
Pxz — ipyz = (Pxz -iPyz) t~iv
Первые три формулы широко известны и имеют большое значение
в плоской задаче теории упругости.* Из этих формул, записав
g2I'3 = cos 2ф4-х sin 2<р и отделяя мнимые и действительные части, получим
выражения для рхх—р'уу и рху через старые компоненты. Комбинируя этн
выражения, получим:
/’*(, = 2 Рп> sin 2ф + рХу cos 2ф.
2.7. Инвариантность тензорных уравнений
Закон преобразования тензоров при изменении системы
координат связан с понятием инвариантности уравнений отно-
сительно координат.
Под инвариантностью уравнения обычно понимается неиз-
меняемость его вида при переходе от одной системы координат
к-другой.
Преобразование координат сопровождается преобразова-
нием функций по закону, вполне определенному для каждой
функции: для скалярной функции один закон, для векторной —
другой и т. д.
Сопоставляется начальный, до преобразования координат,
вид уравнения с конечным видом его, после преобразования
координат. Вообще говоря, новые, преобразованные функции
будут удовлетворять новому уравнению, описывающему то
же самое явление в новой системе координат. Если это новое
уравнение имеет такой же вид в новых координатах, как и
* См. Н. И. Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математиче-
ской теории упругости, гл. I, § 8, АН СССР, 1954.
— 77
Глава вторая Понятие тензора и закон преобразования его компонент
первоначальное уравнение в старых координатах, то такое
уравнение называется инвариантным.
Инвариантность уравнений, описывающих тот или иной
физический закон, является их непременным свойством, ибо
закон должен иметь одну и ту же формулировку в любой
системе координат вследствие однородности и изотропности
реального пространства.
Для инвариантности уравнений необходимо, чтобы все тен-
зоры, которые входят в виде слагаемых в это уравнение, были
тензорами одного ранга.
Вектор не может быть сложен со скаляром, тензор 2-го
ранга—с вектором и т. п.
Это положение имеет такой же универсальный характер,
как и положение об одинаковой размерности слагаемых в
уравнениях.
Уравнение прямой в системе декартовых координат имеет
вид (см. задачу 7, гл. 1).
xk—ak~Ч = °-
Умножим каждое из этих уравнений на а,-* и просумми-
руем по k:
a.l'kXk — ОС; — Xocf'*efc = 0.
Так как xb ait et—компоненты векторов, то, вспоминая
закон (2.6), получим уравнение прямой в системе (/<'):
х'—dt— Ле' = О,
где х', а', е{—компоненты векторов в новой системе коорди-
нат (/С).
Уравнение прямой инвариантно, ибо все слагаемые в нем —
векторы—тензоры одного ранга.
Второй закон Ньютона имеет одинаковую силу в любой
из декартовых систем координат*. Следовательно, его форму-
лировка должна быть инвариантна. Инвариантность обеспечи-
вается тем, что скорость и сила — вектор, а время и масса
(вообще, переменная)—скаляры.
Имеем в системе (Л):
* Здесь справедливо более общее положение: закон Ньютона справед-
лив и имеет силу и одинаковую формулировку во всех инерциальных
системах (движущихся равномерно н прямолинейно друг относительно
друга).
78 —
2 8 Криволинейные координаты
В системе (/(') получаем совершенно аналогичную запись
в силу того, что
т = щ' V't = a, -kV^,
t = t' F'{ = аГкРк-
Инвариантностью обладают все правильно сформулирован-
ные физические законы.
2.8. Криволинейные координаты
Координатные поверхности и линии. Положение точки М
в пространстве, как было сказано, можно определить ее ра-
диусом-вектором г, относительно некоторой фиксированной
точки О. Этот вектор, не зависящий, конечно, от выбранной
системы координат, в пространстве трех измерений опреде-
ляется тремя числами q1, q2, q3 (числа 1, 2, 3—индексы, а не
степени), которые уже зависят от устанавливаемого способа
определения их, т. е. от принятой системы координат.
Несколько обобщая сказанное в 1.3 относительно координат
на плоскости, можно условиться, например, эти три числа
определять как расстояния, с соответствующими знаками, до
трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через
точку О, положив ql=xt, q2 — x2, q3 = x3, и тогда говорят
о прямоугольной декартовой системе координат.
Если положение точки М определять координатой г по оси,
проходящей через точку О, расстоянием R точки от оси и
углом ф между фиксированной полуплоскостью, проходящей
через ось г, и полуплоскостью, проведенной через г и точку М,
то получится цилиндрическая система координат z, R, ф
(рис. 1.9, а).
Очевидно, если задавать для одной из величин q‘, на-
пример
ql — const,
и изменять непрерывно две другие q2 и q3, то полученные
точки будут принадлежать некоторому семейству поверхностей.
Таким же образом, уравнения <?2 = const (<?’, q3 — перемен-
ные) и qa = const (ql, q2—переменные) определяют, соответ-
ственно, еще два других семейства поверхностей. Положим,
что эги поверхности таковы, что через каждую точку М про-
странства проходит одна и только одна поверхность каждого
— 79
Глава вторая Понятие тензора и закон преобразования его компонент
семейства. Тогда положение точки вполне однозначно опреде-
ляется пересечением этих трех поверхностей. Они носят назва-
ние координатных поверхностей, а величины q1, q2, q3 криво-
линейных (обобщенных) координат точки М. Вид координатных
поверхностей зависит, конечно,
от способа определения величин
q1 (рис. 2.11).
В прямоугольной системе ко-
ординат, как легко видеть, ко-
ординатными поверхностями яв-
ляются три взаимно перпенди-
кулярные плоскости.
В цилиндрической системе
координат, координатные поверх-
ности суть: z = const—плоскость,
перпендикулярная оси z; R =
const—круговой цилиндр радиуса
R с образующими параллельными
оси z; <р = const—полуплоскость,
проходящая через ось z под уг-
лом ф к фиксированной полуплос-
кости (рис. 2.12).
В сферической системе координат R, 0, ф (см. рис. 2.13),
координатными поверхностями служат полуплоскость, проходя-
щая через ось z под углом ф к плоскости отсчета, сфера ра-
диуса R и конус с углом раствора 20.
Рис. 2.12. Цилиндрическая система координат: координатные
поверхности: координатные лнинн (<p, R, г) н базис нх осей
Пересечение двух поверхностей дает линию. Очевидно, на
этой линии значения двух координат постоянны, а третья
меняется. Эти линии изменения одной из координат называ-
ются координатными линиями (рис. 2.11).
80 —
2.8. Криволинейные координаты
В прямоугольной системе координат это будут прямые.
В цилиндрической системе координат это будут: прямая
(7? = const, <р = const), прямая (q> = const, z—const) и окруж-
ность (/?=const, г — const).
В сферической системе координат координатными линиями
являются: окружность (R— const, <p = const), окружность
(/? = const, 0 = const) и прямая (<р = const, 0 = const).
Рнс. 2.13. Сферическая система координат: координатные
поверхности, координатные линии (R, 0. <р) и векторный базис
их осей
Условимся положительным направлением на координатной
линии ql называть направление, в котором перемещается точка
при увеличении q'.
Направления координатных линий определяют (рис. 2.11)
при помощи координатного базиса (et, е2, е3). Векторы этого
базиса касательны к соответствующим координатным линиям
и направлены в сторону возрастания соответствующих коор-
динат. Этот базис называется локальным (местным) базисом.
Важно отметить, что в общем случае векторы базиса не
взаимно перпендикулярны и не являются ортами (|е|#=1).
Касательные к координатным линиям, на которых установлено
положительное направление базисными векторами, называются
координатными осями криволинейной системы координат.
Следует отметить, что в случае декартовой системы коор-
динат (прямоугольной и косоугольной), базисные векторы
совпадают для всех точек пространства. Этим свойством обла-
дает только декартова система координат. Для любой криволи-
нейной системы координат, базисные векторы различны для
6 Заказ Л« дбЮ.
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
различных точек, пространства (см. рис. 2.14). В этом случае
координатный базис называют подвижным, ибо он меняется
от точки к точке.
Если векторы базиса взаимно перпендикулярны, то си-
стема криволинейных координат называется ортогональной.
Рис. 2.14 Местный базис. Только в декартовых системах
координат местный базис одинаков для всех точек пространства
В ортогональных системах касательные к координатным
линиям в каждой точке пересекаются под прямыми углами.
Цилиндрическая и сферическая криволинейные системы ко-
ординат являются ортогональными. Как уже упоминалось,
ортогональные системы наиболее распространены в приложе-
ниях, хотя, конечно, условие ортогональности системы не обя-
зательно для обобщенных координат q2, q3).
Основной характеристикой любой обобщенной системы координат
является ее метрика, т е выражение квадрата элементарной дуги (см. 1.6)
ds3 = glkdq'dqk
Здесь = — компоненты метрического тензора (см 2.9).
При помощи компонент метрического тензора можно определить основ-
ные элементы пространства, арифметизированного системой координат
<7а. </’)
Элемент дуги вдоль координатной линии будет:
ds,-= | Cf I dql = p4gifdq1 (нет суммирования по Л). (2.22)
Элемент площади в координатной поверхности дх = const
=--1 e2Xea | <fy2d<?3= V(eaxea)- (eaXe.) dq2dq 3 =
= V (*»•*») (^з-Сз) —(gg ga) (ga-ga) dq2dq3 =
= 8MS-.n—gl3dq2dq3
Аналогично найдем
d^-yf g3^-S]xdq3dq', $
= gngti — gi, dqldql,
Или коротко:
dty — 8 ifikk~~g*k dqJdqk (нет суммирования!) по
j и k, причем, i, /, k составляют четную перестановку
чисел 1,2.
82 —
2.8 Криволинейные координаты
Элемент объема получим, используя (1.46) из 1.6:
dr = dqldq2dq\ (2.24)
где
G = det i| .
В случае ортогональной системы координат, основными ее характе-
ристиками являются коэффициенты Лямэ, определяемые равенством
d^ = H\ (dq")* + Н2 (dq2)3 +Hl (dq3)2
Как было показано в 1.6:
Hi=V^gu, H3=Vg33', н3=]/~%33.
В этом случае
dSj—H,dq‘ (нет суммирования!),
da; = H jHkdqJdqk (нет суммирования!),
dt = Н lH3H3dqidq2dq3
(2.25)
Соответственно для декартовой системы прямоугольных
координат, для цилиндрической и для сферической систем
имеем
ds2 — dx2 + dx2 4- dx2,
ds2 = dR2+R2dy2 + dz2,
(2.26)
ds2 = dR2+ R2dQ2 4- R2 sin2 0d<p2.
Отсюда видно, что для прямоугольных декартовых коорди-
нат все коэффициенты Лямэ равны единице, для цилиндриче-
ской системы координат имеем
^ = //^=1, HZ==H, = R, Н3 = Н'=\, (2.27)
а для сферической
= = = Н3 = Н, = RsmQ. (2.28)
.Если непосредственно определить квадрат элемента дуги
представляется затруднительным, то можно исходить из более
общих соображений. Сопоставим каждой точке пространства
три числа q\ q2, qa\ это означает, что ее радиус-вектор можно
рассматривать как вектор-функцию аргументов ql, q2, qa, т. е.
r = r(ql, q2, q3).
Тогда проектируя радиус-вектор на оси какой-то декарто-
вой системы координат, получим три скалярные функции, уста-
навливающие соответствие между х, и qk:
*i=-4(<71. q2, qa), x2 = x2(ql, q2, qa), x3 = x3(ql, q2, qa). (2.29)
При этом, предполагая, что якобиан
— 83
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
не равен нулю или бесконечности, мы получим взаимно одно-
значное соответствие между х{ и </*, так что в дополнение
к (2.29) существуют функции
^1 = <71(х1, хг, х3), q* = q2(xlt хг, х3), qa = q2(x1, xt, х3). (2.30)
Например, в случае цилиндрической системы координат
имеем
R = ^1=|/rxJ4-x*, <f=q2 = arctg-^-, z==qa = xa; |
xt = R cos ф, x2 = R sin ф, x, — z, J
a в случае сферической системы выражения (2.29) и (2.30)
имеют вид
R==<71 = j/' xj+x’ + x».
l/' xj + x* х
0 = q2= arc tg ——------, фs qa= arc tg — ,
x, = R sin 0 соэф, x2 = R sin 0 sin ф, x3 = Rcos0
(2.32)
Вычисляя полное бесконечно малое изменение радиуса-вектора,
получим
, d'’ . i dr . 3 . dr . „ dr .
dr=— dq1 + —dqi + —-d<p^~1dqt.
dq1 dq* dq3 dq'
Отсюда, метрика:
dsa = (dr - dr) = dq'dqk.
dq1 dq*
Таким образом, векторы локального базиса равны:
дг
dq'
Следовательно, компоненты метрического тензора могут быть вычи-
слены по формулам
dr dr dxt dxL
8ik='dqi ‘ dq^dqidq*’
где XL = Xi(q\ q2> q3) есть функции (2.29), причем
(2.33)
(2.34)
r== iiXj +/aX2 + Z3X3.
В случае ортогональных координат коэффициенты Лямэ могут быть
вычислены по формулам
Читателю предлагается самостоятельно получить (2.27) и (2.28)
используя выражение (2.35).
84 —
2.9. Тензоры в системах обобщенных координат
2.9. Тензоры в системах обобщенных координат
Ковариантные, коитравариантные н смешанные компоненты тензоров.
В системе обобщенных координат, определяемой произвольным неортого-
нальиым базисом, вектор (тензор 1-го ранга) полностью определяется либо
его тремя ковариантными компонентами А/, либо его тремя контравариант-
ными компонентами А1. Величины Аг- отличаются от А1 законом преобра-
зования при изменении пространственной системы координат (см. 1.31—1.32).
A't = ^,Ak, А"' = <А*.
Тем не менее, эти величины не являются независимыми; связь между
ннми устанавливается формулами (см (1.40), (1.41)).
При этом коэффициенты gik(glk) определяют базис системы обобщенных
координат, в которых рассматриваются компоненты вектора (см. 1.3)
Аналогично, относя тензоры второго н выше рангов к общим системам
координат, можно рассматривать различного рода их компоненты. Этн
компоненты отличаются друг от друга законом преобразования при изме-
нении пространственной системы координат. Существуют также формулы,
связывающие различного рода компоненты между собой.
Приведем определение тензора 2-го ранга, которое не ограничено
применением только декартовой системы прямоугольных координат.
Тензор 2-го ранга—это величина, полностью определяемая в любой
системе координат 32 = 9 числами (или функциями), называемыми компо-
нентами. Компоненты тензора могут быть ковариантными A/fe, коитрава-
рнантнымн Alkt смешанными АД A\k. При изменении пространственной
системы координат эти компоненты преобразуются в А^, А"*, А/*, А'£
по закону:
А'ек = а‘'а^А‘т. I
Здесь а*, а* —коэффициенты прямого и обратного преобразования
(формулы 1.4—1.5).
Компоненты тензора, рассматриваемые в системе координат с метри-
кой rfs2 =^gi^idxkt связаны между собой формулами
Aik=gitgkmAlm, Aik=gklAii=giiA‘k.
А'{к=^ыАи, Aik=gitA‘k,
Al.k^^lAlk, A[k = gktAu,
(2.37)
Точка в обозначениях смешанных компонент подчеркивает порядок
следования индексов. Так в A'f первый индекс «ковариантный», а вто-
рой—«контраварнаитный»; в A[k порядок следования индексов обратный.
Пример. Покажем, что величины g/*, gikt gjk, определенные в 1.6,
являются компонентами тензора второго ранга. Этот тензор называется
метрическим тензором.
Прежде всего, используя (1.4 — 1 5), 1.3 и определение (! 39), полу-
чим законы преобразования этих величин при изменении пространствен-
- 85
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его кчмпонект
ной системы координат. Имеем
^*^вг«* = а^го^>» = 4 <^1т>
g'ik~ efi e'k — a1/ a^el^em - af a*2gZw,
g'.-k=:e're'k -- alit a^erem^ aj, a*' g'/”.
Следовательно, —ковариантные компоненты некоторого тензора,
gik—контравариантные компоненты, gf—смешанные компоненты
Покажем, что это компоненты одного и того же тензора. Для этого
достаточно показать, что они связаны между собой формулами вида (2.37).
Но из определения g^ и свойств векторов основного и взаимного
базиса следует
ei=-giie‘-
Тогда имеем
g,k - ei-ek = guei-gkme'”=giigitmei-em=giigkmglm.
g,k = guelek =gug'k-
и т. д.
Таким образом, величины gjh, glk, g'f действительно являются компо-
нентами одного тензора (метрического тензора). Его смешанные компо-
ненты совпадают по значениям с символом Кронекера 6ik.
Понятие тензора 2-го ранга может быть обобщено на понятие тензора
/1-го ранга, отнесенного к произвольной системе координат. Тензор л-го
ранга определяется как величина, определяемая 3" числами, которые
могут быть либо его ковариантами, либо контравариантными, либо раз-
личного рода смешанными компонентами.
Так, например, тензор 3-го ранга имеет всего 27 компонент и его сме-
шанные компоненты могут быть вида Д’^, А1 £ и т. д Закон преобразова-
ния их следующий:
А'к': « «‘МГ-
При этом говорят, что A'ikl— смешанные компоненты один раз контра-
варнантные н дважды ковариантные и т д.
Правило инвариантности тензорных уравнений, рассмотренное в 2.7,
теперь, очевидно, должно быть дополнено требованием, чтобы все тен-
зоры, которые входят в виде слагаемых в уравнение, должны иметь
не только одинаковый ранг, но н одинаковую «ковариантность». Иначе
говоря, ковариантные компоненты не могут складываться с контравариант-
ными, а смешанные компоненты могут складываться только тогда, когда-
они имеют одинаковое строение (А}*1 и и т. д.).
«Физические» компоненты тензоров. Случай ортогональных базисов. Поня-
тие «физических» компонентов векторов естественно обобщается и на
«физические» компоненты тензоров 2-го и высших рангов. В общем слу-
чае это следует из того, что компоненты любого тензора л-го ранга могут
быть представлены в виде суммы произведений компонент трех в трех-
мерном пространстве векторов (см. задачу 5 этой главы). Еслн считать
факт разложения тензоров на сумму произведений компонент векторов
установленным, то, в частности, «физические» компоненты и A*ik тен-
86 —
2.9 Тензоры в системах обобщенных координат
зора 2-го ранга определяются выражениями
ДА,/г = | е, |-1 efi | Atk — &tk (нет суммирования!), (2.38)
A.\=-i—ТТ—Г=—?=== (нет суммирования!). (2.39)
V gagkk
Эти формулы являются обобщением формул (1.37).
В случае ортогональных базисов из (2.37) и из (1.39) получим
Atk = gltgkkAik = (нет суммирования!),
Aik = g"gkkAlk~Atk (нет суммирования!).
Тогда из (2.38) и (2.39) следует, что оба вида физических компонент
тензоров совпадают А^ — А*'* и равны
А*,, =A,kH:Hk (нет суммирования!). (2.40)
Операция поднятия и опускания индексов. В связи с выражениями
(1.40), (1.41), (2.37) и им подобными в алгебре тензоров говорят об опе-
рации поднятия и опускания индексов у компонент тензоров. Под этим
понимают правило получения одних компонент через другие при помощи
оператора—метрического тензора Правило заключается в том, что «под-
нимаемый» («опускаемый») индекс переходит в метрический тензор, а на
то место, куда он должен быть поднят (опущен) становится «немой»
индекс суммирования; вторым «немым» индексом суммирования является
свободный индекс метрического тензора Например,
A,ki = ^SimSbn Am.1 = gimgitngirAmnr-
Иногда о тождественном преобразовании вида
Aik = 8ilAik
говорят как об операции «переименования» индекса
Ковариантные, контраварнантные и смешанные тензоры. Иногда при
первоначальном определении тензора как физической или геометрической
величины удобно исходить из каких-то определенных его компонент,
например из ковариантных. В этом смысле можно говорить о таком тен-
зора, как о ковариантном тензоре. Аналогично рассматривают контрава-
риантные и смешанные тензоры. Однако из каких бы мы компонент не
исходили, тензор л-го ранга, как единая величина, всегда определяется
только 3" независимыми числами. С другой стороны, если определены
какие-либо компонеиты тензора, то по формулам, аналогичным (2.37),
всегда можно иайтн его компоненты любого другого строения. Это явля-
ется следствием того факта, что в пространстве с заданной метрикой вся-
кая физическая или геометрическая величина может быть представлена
компонентами любого строения
Например, рассмотрим скалярную функцию /(х\ х2, х3) обобщенных
координат х1, х2, х3 Выясним закон преобразования ее трех частных про-
д/
изводных при изменении системы координат.
дх1
Учитывая, что х1 и х,{ являются контравариантными компонентами
радиуса-вектора одной и той же точки, получим по (1.32)
хА'= х'Ч
— 87
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Тогда
дх'‘ dxkdx'i l> дх*
Рис. 2.15. Тензор напряжений в обобщен*
иых координатах
Таким образом, можно сказать, что три величины —., преобразую*
дх1
щнеся по закону ковариантных компонент, образуют ковариантный век-
тор. В действительности, ко-
нечно, этот вектор (гради
ент—см 4.4) имеет как ко-,
так и коитравариантные ком-
поненты
Иллюстрацией появления
понятий ковариантных и дру-
гих тензоров может служить
пример тензора напряжений в
обобщенных координатах
Пример. Тензор напряже
ний. Рассмотрим в системе
координат, определяемой про
извольиым правым базисом (е(,
е?2, *з)» элементарный тетраэдр
(см. рис. 2.15) с ребрами
| е, | dx1, | е91 dx*, | е31 dx3, схо-
дящимися в начале координат,
н с «донышком» площадью dan Орт нормали к донышку обозначим через
п, а площади граней через dalt da2, da3
Тогда имеем
dOj = | e, Xe3 \dx* dx*,
<fo2 = |esX^i \dxPdx1, (•
l«iXe8 jdx'dx*.
Кроме того (см. рис. 2.15), имеем:
ada„‘=(eidx‘—ei dx*)x(»3 dx3—e, dx*)-=
= (e,Xe3) dx3 dx3 + (e3Xe,) dx* dx1 + (e,Xe2) dx1 dx*.
Вводя векторы e* взаимного базиса и учитывая (1.24), (1.46) и форму
лы (*) этого примера, получим, например,
еаХ^з”^1 G.
н, следовательно,
в1
(е, Хе8) dx* dx3 — -j—ry dcv
Тогда
»
nd0-«=2-T7jd0‘-
1=1 '
Отсюда, вводя ковариантные компоненты п, вектора л, получим
, da,
nidan = —r
88 —
Задачи с решениями
Как и в примере 2.4, вектор напряжения иа «донышке» тетраэдра рп
имеет выражение
з
/=1 л
Подставляя сюда значения do(* из (♦♦), имеем
з
P» = S Pi |<?'1 П<-
1=1
Поскольку в сумме справа стоят ковариантные компоненты П( вектора п9
то при рассмотрении компонент векторов pt-1 е11 (/ = 1, 2,3) мы обяза-
тельно должны брать нх коитравариаитные составляющие. Только в этом
случае (*) компоненты вектора рп будут преобразовываться прн измене-
нии системы координат по законам (1.33). Именно в этом смысле мы можем
говорить, что векторы pf | е*1 являются контравариантными. Обозначая
эти контравариантиые компоненты этих векторов через р1*, так что
Pi |е| |«»рЛе* (суммирование только по Л), получим
3
Рп= 2 Pikekni' (2.41)
А. /=1
Отсюда контравариантиые компоненты вектора напряжения рп равны
pJ“A- (2.42)
Девять величин pik являются контравариантными компонентами еди-
ной физической величины—тензора напряжений. Они позволяют в выбран-
ной системе координат определить в точке О напряжения на любой
площадке с нормалью п.
Коварнаитиые, смешанные и «физические» компоненты этого тензора
могут быть определены согласно общим формулам!
Pik=sgiiPtk‘. ... И т. д.
Задачи с решениями
Задача 1. Найти выражение для момента инерции системы материаль-
ных точек относительно оси (и) с ортом и.
Решение. Эту задачу можно решить двумя путями
Если ие использовать понятия тензора моментов инерции, а исходить
из элементарного определения момента инерции материальной точки как
произведения массы на квадрат расстояния до оси, то
N
п=1
где 2V—число точек,
тп—масса n-й точки,
гп—радиус-вектор n-й точки относительно некоторого начала О, взя-
того на оси (и) с ортом и (|я’| = 1), при этом |г„Хд| —расстоя-
ние n-й точки от оси (и).
— 89
Г лава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Преобразуем выражение для /Ufl, используя (1 16) и (1.19),
W /V
1 аи = 2 01пГП‘{и\(ГпХй)] =
w=i н = 1
/V
= S m»rn-lrn-a (/•„•«)] = 2 mn к’-(и гп)г]
л=] n-i
Если ввести систему (/() с началом в О, то получим выражение 1аа
через координаты точек х\п\ х^ (гв«х("^ + x^rt)f2 +х^/д):
/и«=2 -<#’“<)’) (’)
Л = 1
Это же выражение можно получить, если в (К) известны компоненты ilft
тензора моментов инерции
Действительно, если принять ось (и) за ось (xj некоторой системы
(К'), то по (2.7) имеем:
1UU s 1 — а1'/ tti 'k^ik-
Но
0^.= ^.
Поэтому
1 ии~ Iikliiuk‘ (**)
Подставив сюда выражение (2.9) для //ъ полечим формулу (*).
Задача 2. Показать, что кинетическая энергия твердого тела, имею-
щего неподвижную точку и вращающегося с мгновенной угловой ско-
ростью о», равна
7'=4«2<„,о>
где /пип — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения
(оси, совпадающей с <о).
Решение Используя формулу Эйлера (см. задачу 12 гл. 1),
получим
! \ J л 1 N
Т= у У т'Уп = 7 ^тп(шхгп)1 = тп (<охгпм<вхг„).
п=1 П~\ П=1
Учитывая (1.16) и (1 19), получим
1 Л/ ] N
Г = ’2 V m„<o.[r„x(a>xr„)| = -2 У т„<о r„(r„.<o)| =
П= 1 п- I
1 V
= 2 У гп)'|
П - 1
(О
Вводя орт мгновенной оси вращений <о° = — и учитывая выражение
для luut полученное в предыдущей задаче, получим
। * !
r = 7tu’^2 "!'»kn— (u>°-гл)21 = у иг/шш.
П=1
90 —
Задачи с решениями
Используя формулу (**) предыдущей задачи, можно представить Т
через компоненты тензора моментов инерции относительно неподвижной
точки и компоненты вектора со:
т • 41 •'>">=41 =41
Задача 3. Вычислить момент инерции системы относительно оси (и)
с ортом о, если ось (и) параллельна оси (и), которая проходит через
центр масс и относительно которой момент инерции системы равен 1ии
Решение. Выберем на оси (о) некоторое начало О, относительно
которого положение центра масс, находящегося на оси (и), определяется
радиусом-вектором
Если гп — радиус-вектор точки с массой тп, относительно начала О,
а гп — радиус-вектор той же точки относительно центра масс, то
Тогда имеем:
N Лг
2 тп 2 тп [(Gi+*)xv]‘=
Я N N
= 2 т«(ЛХ©)2+ 2 mn(r«X©)2 + 2 2 mn(RXv)-(r^Xv).
Л=1 П=1
Но
, N ,
2 mn(fnxvy= 2 т»<гпХо)‘=/иа;
п = 1 н = 1
f N
2 тя(ЯХ<>)-(ГпХ10==(*Х<>) [(2 т«гя)Х»]=-0,
Л = 1 Л=1
Л/
ибо v~u (оси параллельны) и 2 по определению центра
масс. Следовательно,
lVv=Inn + M\RXv\2',
здесь | RXv i — расстояние между осями, а М— масса всей системы.
Задача 4. Найти наиболее общий внд линейной зависимости между
кдмпонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформаций, если
среда изотропна.
Решение. Общая линейная зависимость между pik и Vik может
быть записана в виде
Pik ~
где v|^w—тензор 4-го ранга, описывающий свойства среды.
Поскольку свойства среды должны быть одинаковы в различных
направлениях, то компоненты этого тензора должны сохранять свои зна-
чения при любом повороте координатной системы. Тензором, сохраняю-
щим свои компоненты во всех координатных системах, является
(см. 3, 5, 3.6) шаровой тензор, компоненты которого имеют внд Abikt где
А —скаляр.
Следовательно, в случае изотропной среды тензор должен быть
представим через шаровые тензоры. Наиболее общее представление имеет
вид (в предположении его единственности)
^iklm = -iC6im6kl.
- 91
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Тогда
A Im + 1т + 1т *=
-A6ikVu + BVik + CVki.
Поскольку VibaVkb т°. обозначая В 4-С = 2ц и Д = ц', получим
Р/* = 2|хИ,*+ц'6/*Ий.
Коэффициенты ц, р! (коэффициенты вязкости) определяют свойства
изотропной среды. Полученная зависимость является основной во всей
гидромеханике, при этом тензор определяет только напряжения от сил
вязкости, ио не давления.
Задача 5. Показать, что любой теизор 2-го ранга может быть разло-
жен на сумму попарных произведений компонент трех векторов.
Решение Введем тройку взаимно ортогональных ортов их> и2>
Обозначим через ковариантные и контравариантиые компо-
ненты вектора и9 в рассматриваемой системе обобщенных координат.
Пусть в этой же системе определены, например, ковариантные компоиенты
некоторого тензора Tik
Рассмотрим скаляры
= Л'*и<а) и<р) • (2.43)
Умножим каждый из этих скаляров на u^pu^q и просуммируем по
а н 0:
2 2 ^1* 2 (2.44)
а, 3=1 / k = i а, 0=1
Однако по определению ортов а9 имеем
8
«.•«?=2 “(а)иФ», = в«р-
/=1
Умножим это равенство на и просуммируем по 0
з зз
2 6’3W(P)^2 и(ау 2 w<pv’w?0)*
a=i /=1 0=1
Или
з з
и(а)“ 2 w(a) 2 u<3)ia(0)*
1=1 0=1
С другой стороны, по определению
з
“(а) = 2 e'ia «(а)-
/=1
Поэтому нз сравнения этого выражения с (♦), получаем
«<*= 2 “<?»“(₽)• <2-45*
₽=1
92 —
Задачи с решениями
Тогда, очевидно, в (2.44) стоящая справа сумма равна
2 TihS р 8qk e Tpq-
i, А=1
Следовательно,
Тpq“ 2 3* и(®) PU№'
а. 0=1
(2.46)
Эта формула и доказывает утверждение о том, что любой тензор 2-го
ранга может быть представлен в виде суммы попарных произведений ком-
понент трех векторов. Из нее легко получить разложение для Tik и
Между прочим, выражение (2.45) является разложением смешанных
компонент метрического тензора по векторам.
Совершенно аналогично для тензора n-го ранга можно получить раз-
ложение
9
Tii• iu • •. ina 2 Леч a. ... On) h a(a>)G ‘ in‘
ana2, . .,0п«1
Задача 6. Найти разложение компонент и gik метрического тензора
по векторам.
Решение. На основании (1.40) имеем
(а)
Умножая каждое нз этих соотношений (а»1, 2, 3) на u^yi н сумми-
руя по а, получим
3 9 3
2 w(a)w(«)t= 2
/=1 a=i а=1
Но, учитывая (2.45), получим
9 9
2 8jk8i~ 2 U<»)*U<a>9*
f=i a=i
Илн
з
Sik~ 2
а=1
Аналогично получим
з
glk== 2 U(a)u?a)
а = 1
Задача 7. В декартовой системе координат /С (<ж, /8,
ненты тензора 2-го ранга
/8) даны компо-
II Д'* II = II Д :* II - II А‘.к || = II Aih II =
2 1 31
2 3 4
12 1
— 93
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
Базисные векторы координатных
базисные векторы декартовой системы
систем Kj и Кц выражаются через
по следующим формулам:
е2~ Л +
II ) ej — —Л +/д
^2“^2Т ^3
^3 “ 2^3
Определить ковариантные, смешанные и коитравариантные компоненты
данного тензора в системах /(j и
Решение.
Для случая I. По формулам (2.36)
A'ik = ali'ak'Aim<
где —коэффициенты прямого преобразования (I), т. е.
а}, --1, сф —О, а‘. =0,
«2—1. «|—1. «| —0,
aj, — 1, otg, = 1, aj, = 1,
таким образом:
A’ik, ... находим пб формулам (2.37), выражающим связь между смешан-
ными, ко и контравариантными компонентами тензора с помощью метри-
ческого тензора:
A'.‘k ^S,lA'ik-
По формулам (1.44) gl* определяется через
1 1 1
Теперь
11^11 = 11^-^11 =
1 2 2
1 2 3
I 2 — I 0
llg‘fel| = l -1 2 -1
II 0-1 1
|1Л"*Н =
2 ~1 -1 !|
0-2 3 ;|
-lllj
0 —2 -3
1 2 5
1 3 4
1 -2 3
0-3 7
-1-28
Для случая 11. Решение рекомендуется провести читателю.
94 —
3' п раж нения
Упражнения
1. Пусть система [К') из начального положения, в котором она совпа-
JT л
дала с (К), повернута па угол ~ вокруг оси (х3), а затем на — вокруг
О Z
оси (х*) так, что ось (х') совпадает с (х3) (рис. 2.16).
Найти:
1) Компоненты векторов
A — 3Z3,
В = 411 5: 2 -р 6/д
в системе (К').
2) Касательные и нормальные напряжения на площадках, перпендику-
лярных осям системы (/С), если в системе (К) тензор напряжений
имел матрицу
II Pfk L’
I Pi 0 0 |
|0 Р2 о'!
(0 о рЛ
3) Найти напряжение на площадке, проходящей через биссект-
рису первого квадрата плоскости
(хь а2) под углом ~ к оси (х3) в си-
стеме (К).
2. Тензор инерции прямого кру-
гового цилиндра относительно осей,
проходящих через его центр тяжести
[ось (х3) параллельна образующим],
имеет вид
1 о
0
0
II Л*1 =
0 0 |
/о <>i
0 /, 1
Рис. 2.16
Найти момент инерции цилиндра
относительно биссектрис координат-
ных углов.
3. Если Alftl— ковариантные компоненты тензора 3 го ранга, а ВМтп —
контравариантиые компоненты 1ензора 4-го ранга, покачать, что величины
AiMBklmn являются смешанными (один раз ковариантными, два раза контра-
вариантными) компонентами тензора 3-го ранга.
4. Если V,-—ковариантные компоненты вектора, х1—обобщенные коор-
dV;
динаты, то проверить, является ли совокупность девяти величин —• тен-
дхк
зором 2-го ранга.
5. Для преобразования координат
<7'=-Ч+*2, ?2 = -Ч—-Ч. <?3 = 2х3,
где (хь х2, х3) —прямоугольные декартовы координаты.
1) показать, что (qlt q*t q3)—система декартовых координат:
2) найти базисные векторы;
3) иайти компоненты gjk метрического тензора.
4) найти ко- и контравариантиые компоненты векторов,
2/v A = /i + /2, fi=2/;-3Zy;
— 95
Глава вторая. Понятие тензора и закон преобразования его компонент
б) вычислить детерминант G — det l| gih ||;
6) вычислить проекции АХВ в той и другой системах координат;
в. Для сферической системы координат показать, что векторы, контра-
" °’ гай) •
вариантные компоненты которых равны (1,
образуют тройку ортогональных векторов.
7. Для системы биполярных координат (q1, q2)t связанных с декарто-
выми прямоугольными (хг, х2) соотношениями
ash fl1 a sin q2
X1 = ch t/1 4-cos<?a ’ ~ch f?14-cos?2 ' (a —cons ),
найти:
1) базисные векторы (ортогональные ли они?);
2) ковариантные компоненты метрического тензора g^
3) ковариантные и контраварнантные компоненты ортов /2.
8. В прямоугольных декартовых координатах (хь х2, х3) тензоры Л и
Т имеют компоненты
А^х^
4, = 2х,—х*
Д3 = XiX3
x2Xi О
1
1
№
О
«физические» компоненты
Найти ковариантные, контрвариантные и
этих тензоров в сферических и цилиндрических координатах.
9. Показать, что углы 012, 023, 013 между координатными осями обоб-
щенных координат определяются выражениями
cos0la=-^=== , cosOS3=-7===, cos О,, = —.
У У g»ag33 У gssgn
Найти углы, которые образует вектор с компонентами Л1 с координат-
ными осями обобщенных координат
даФ
10. Выяснить, образуют ли величины —* тензор, если Ф=>
«=Ф(х1, х2, х3)—скалярная функция.
Глава третья
Тензорная алгебра
В этом разделе мы остановимся на основных алгебраических
действиях над тензорами (сложение и вычитание, умножение,
свертывание) и на некоторых свойствах тензоров.
В системе обобщенных криволинейных координат к алгебре тензоров
относится еще операция перестановки индексов и операция поднятия и
опускания индексов, рассмотренная ранее в 2.9.
Так как тензор определяется своими компонентами, то определение
действий над тензорами сводится к построению формул, выражающих
в каждой системе координат компоненты результата действия через компо*
ненты тензоров, над которыми производятся действия
3.1. Сложение тензоров
Пусть Aik и Bilt—компоненты двух тензоров 2-го ранга.
Составим числа Cik в виде сумм соответствующих компонент
тензоров:
Сц,=
Числа Cik образуют тензор 2-го ранга. Действительно, гак
как А1к и —компоненты тензоров, то
А/ъ = &i'iak’mAimi
B/k = <%l'/<Zk'mBim
И
Cik = A(k 4" B(k = 0^l'l^k'm(Aim ~b Bim) — <Xi'i Ok'/nClm,
t. e. Cik образуют тензор 2-го ранга.
Тензор с компонентами Си, называется суммой тензоров
с компонентами Aik и Bilt, а операция образования его компо-
нент—сложением этих тензоров.
Правило сложения относится к любому числу тензоров лю-
бого ранга.
Суммой тензоров одного ранга называется тензор того же
ранга, компоненты которого равны сумме соответствующих ком-
понент слагаемых.
7 Зак.4 Л. 3610
Г лава третья Тензорная алгебра
Таким образом, складывать можно только тензоры одного
ранга.
Аналогично сумме двух тензоров определяется разность двух
тензоров одного ранга и, соответственно, операция вычитания.
В случае отнесения тензоров к обобщенным координатам, при сложении
и вычитании тензоров одного ранга необходимо оперировать компонентами
одинакового строения Таким образом, правильными будут, например,
записи!
Л‘*+В'*=с/* л;*+в/=с;*,
И т. п.
Вследствие того что формулы преобразования компонент тензоров
при изменении координатной системы и в самом общем случае остаются
однородными относительно коэффициентов преобразования и линейными
относительно компонент тензоров, величины Clk, и т. д. предыдущих
выражений являются компонентами тензоров того же ранга и строения,
что и слагаемые.
3.2, Умножение тензоров
Пусть А1Л и Bik—компоненты двух тензоров 2-го ранга.
Составим в каждой координатной системе всевозможные произ-
ведения компонент одного тензора на компоненты другого.
Эти произведения будут зависеть от индексов, число которых
равно сумме рангов тензоров Aik и Blk. Обозначим
Ciklm Л fhB im.
Числа Ciklm образуют тензор 4-го ранга. Действительно,
так как
Afk — Cli'iClk'mAim',
Bik ~ Q>i'№k’mBim,
TO
Ciktm= AikBim — G’i'n&'k'p&rr&m's An?Brs =
= OQ'pOGfe'pOQ'rO&m'sCnprs.
Это доказывает, что Ciklm—образуют тензор 4-го ранга.
Тензор с компонентами Ciklm называется произведением тен-
зоров с компонентами и Bik, а операция образования его
компонент—умножением (иногда внешним умножением или
тензорным умножением) этих тензоров.
Нетрудно видеть, что
Ciklm — AikBim Clmik = AlmBik.
98 —
3 3. Свертывание тензоров
Таким образом, тензорное умножение некоммутативно.
Правило умножения относится к любому числу тензоров
любого ранга.
Произведением нескольких тензоров называется тензор, ком-
поненты которого равны произведениям компонент сомножите-
лей, Ранг произведения тензоров равен сумме рангов сомножи-
телей
В самом общем случае координатных систем произведением двух тен-
зоров, определяемых, например, компонентами A[kl и В1*, называется
тензор с компонентами, определяемыми по правилу
ni • тп_д1 птп
Ь-Н — Л klb
Используя общие законы преобразования компонент тензоров, нетрудно
показать, что величины C\'k'[nrl образуют тензор
Таким образом, перемножать можно тензоры любого ранга и строения.
3.3. Свертывание тензоров
В тензорном исчислении часто применяется операция свер-
тывания тензоров. Свертыванием называется суммирование ком-
понент тензора по двум каким-либо индексам.
Свертывание можно проводить над тензорами, ранг которых
не менее двух.
Пусть Aikl образуют тензор 3-го ранга. Произведем сверты-
вание его по двум индексам — i и k, т. е. возьмем только те его
компоненты, у которых индексы i и k равны, и составим из
них суммы:
з
Ащ = S ^lil — V/ + ^22/ + ^33Z-
Z = l
В результате свертывания тензора Aikl по другим индексам
получим суммы Ailti, Aiu. Таких сумм каждого вида будет три.
Например, для Aiit имеем:
Докажем, что любая такая группа из трех сумм, напри-
мер Aitl, образует тензор 1-го ранга, т. е. вектор.
Так как образуют тензор 3-го ранга, то
Aikl ~ Q‘l'mQ‘k'nQ‘i'rAmnr.
Отсюда, свертывая по индексам i и k, получим, учитывая фор-
7» — 99
Глава третья. Тензорная алмбра
мулу аналогичную (2.5):
Alii = СЦ'т&Тп ^I'r^mnr ^mn^'r^mnr = ^^'г^ттг'
Из этой формулы преобразования следует, что величины Аш
определяют вектор.
Сформулируем общее правило относительно свертывания.
При свертывании по двум индексам тензора ранга п полу-
чается тензор ранга п — 2.
Операцию свертывания можно применять к тензору несколько
раз, до тех пор, пока его ранг не станет меньшим двух.
Тензор четного ранга может быть свернут до скаляра, а
тензор нечетного ранга—только до вектора.
Умножение тензоров с последующим свертыванием по индек-
сам, относящимся к различным множителям—тензорам, назы-
вается иногда скалярным или «внутренним» произведением тен-
зоров.
Мы уже приводили примеры «внутренних» произведений
(см. гл. 2):
Im ^ik*
Скалярное произведение двух векторов является произведе-
нием двух тензоров 1-го ранга с последующим свертыванием.
При свертывании тензоров, компоненты которых рассматриваются в об-
общенных системах координат, важно помнить, что свертывание может
производиться только по парам разноименных индексов, т. е. один сверты-
ваемый индекс должен быть «ковариантным», а другой обязательно «контра-
вариантным». Это следует из требования о том, что результат свертывания
тензора должен оставаться тензором
Действительно, пусть, например, мы произвели свертку тензора Afl
по индексам i и Л; тогда величины А/1 будут компонентами тензора (век-
тора), ибо в силу (2.36) и (1.7) имеем
A'tu = а"а‘та‘г'Апт' ^А™.
Свертка же А\м по- индексам k и / дает величины, закон преобразова-
ния которых
A\*kk = А'птг
указывает иа то, что три величины А(кк не образовывают вектора.
«Внутреннее» произведение тензоров, отнесенных к произвольным си-
стемам координат, могут быть образованы только из компонент с разно-
именными индексами. Например,
ЛМВ*=Л',
тВ1т = ^.т В-?-\к<я В^-А^.
100 —
3.4. Свойство симметрии тензоров
3.4. Свойство симметрии тензоров
Понятие симметрии относится к тензорам ранга не менее
двух.
Тензор Sikl... называется симметричным по паре индексов,
например i и k, если компоненты, получающиеся при переста-
новке этих индексов, равны друг другу, т. е.
$1Ы ••• — ••• •
Таким образом,
S12<... = S2U ... ; S28Z = S32Z... и т. д.
Тензор Alkt называется антисимметричным по паре индексов,
если при их перестановке компоненты меняют знак, т. е.
Aim ••• — — ••• •
Таким образом,
•Aju ... ; А23[...= А321... ит. д.
У антисимметричного тензора компоненты с равными индек-
сами, по которым имеет место антисимметрия, равны нулю.
Если А1к1...=— Aklt... , то, например,
•4ц,= Ащ , т. е. А11?0.
Свойство симметрии или антисимметрии не зависит от вы-
бора системы координат.
Таким образом, тензор, симметричный (антисимметричный)
в какой-либо системе координат, остается симметричным (анти-
симметричным) в любой другой системе координат.
Доказательство этого утверждения следует из закона пре-
образования тензора.
Действительно, если тензор Т 1к симметричен в системе (К),
т. е. Ttk = TM, то
Т Ik — 0ki'iO.k'mT'itit—Cti4CLk'mTml — Т ki.
Аналогично показывается инвариантность свойства антисим-
метрии по отношению к выбору системы координат.
Симметричный Slk и антисимметричный Aik тензоры второго
ранга имеют матрицы следующего вида: ’
5ц S12 S18 0 Л12 Д13
l|S«ll = $12 Sa2 $23 ; II Л» 11 = Д12 0 Лаз
Si3 Sa8 S88 — ^13 ^23 0
Антисимметричный тензор 2-го ранга называется бивектором.
Любой тензор Tik может быть представлен в виде суммы
симметричного тензора Slk и антисимметричного А1к.
— 101
Г лава третья. Тензорная алгебра
Доказательство следует из очевидного равенства
Tik=+I <3-1)
Тензор
Sifc= у (Tik-]- Tki)—симметричный тензор, ибо Sik — Skl.
Тензор
Aik = у(Tik— Tki)—антисимметричный, ибо Aik = — Aki.
Утверждение доказано.
Перестановка индексов, симметрирование и альтернирование. Компо-
ненты тензора, например ковариантного Tjk, можно рассматривать как
элементы квадратной матрицы
^11 ^12
^21 Т 22 ^23 .
Т31 ^32 ? 33
Если в тензоре Тik поменять местами индексы, то получится новый
тензор матрица которого
11 ^21 Т91
^12 ^22 Т*32
13 23 ? 33
будет транспонированной по отношению к матрице (столбцы станут
строками); совокупность величины будет преобразовываться по фор-
мулам (2.7).
Таким образом, простейшая операция—перестановка индексов — при-
водит к построению нового тензора Очевидно, что для симметричного
тензора перестановка индексов приводит к тому же тензору.
Симметрированием называется операция перестановки пары индексов
и последующее сложение полученного тензора с исходным тензором. В ре-
зультате получается тензор, симметричный относительно принятой пары
индексов.
Альтернированием называется операция перестановки пары индексов
и последующее вычитание полученного тензора из исходного; при этом
получается антисимметричный тензор относительно принятой пары ин-
дексов
Из (3.1) следует, что симметричная часть тензора Tlk равна
половине от результата симметрирования, а антисимметричная А/Л—поло-
вине от результата альтернирования
Наличие у тензора свойства симметрии уменьшает число его
независимых компонент.
Число независимых компонент симметричного тензора
2-го ранга равно 6, антисимметричного 2-го ранга равно 3.
Примером симметричного тензора 2-го ранга может служить
единичный тензор bik.
Примером антисимметричного тензора 2-го ранга может слу-
жить тензор
Cik= AiBk—Affin
где At и В,-—компоненты двух векторов.
102 —
3.4. Свойство симметрии тензоров
Свойства симметрии и антисимметрии тензоров, отнесенных к системам
обобщенных координат, устанавливаются по парам одноименных (кова-
риантных или контравариантных) индексов. Так, тензор —симметри-
чен, a Bykl—аитисимметричеи, если
_ Д*'£ R 'I______
*ik ~Л ’ Dik aki
Все остальные положения этого параграфа имеют силу и для тензоров,
рассматриваемых в системах обобщенных координат.
Эквивалентность антисимметричного тензора аксиальному вектору. Нали-
чие у антисимметричного тензора только трех независимых компонент и
специфический закон их преобразования позволяют сопоставить такому
тензору некоторый аксиальный вектор, определяемый этими тремя компо-
нентами
Покажем, что формулы преобразования компонент антисимметричного
тензора сводятся к формулам преобразования некоторого аксиального
вектора
Пусть имеем антисимметричный тензор Тогда в новой системе
координат его компоненты будут:
^ik e ~ a/'i afe'2^ 12 + a/'2 aft'i^21 + a/'i 13 + a/'3 a*'i ^31 +
+ ai'2aft'3j4»» +ai'3ak'iA3i
Эту формулу можно записать, используя равенства = — Ат1 в виде
A'ik = (ai-lak-m-ai’mak’l)Al’n> (3.2)
где индексы / и т в сумме справа могут принимать только циклические
перестановки: 12, 23, 31.
Введем обозначения для компонент тензора:
^12“—А21з=А3, Л з1 = — А13=А2; А23 =—
нли короче
AtmtSiAn>
где индексы /, т, п составляют циклические перестановки.
Аналогично в новой системе компоненты тензора обозначим следующим
образом:
где индексы 1, Л, г составляют также циклические перестановки.
Тогда формулу (3.2) можно записать
&r = S (ai'lak'm aZ'ma*'/)^n- (3.3)
(/. tn. п)
Здесь индексы (г, /, k) и (/, т, п) составляют циклические переста-
новки чисел (1, 2, 3), а справа стоит сумма по циклическим перестанов-
кам индексов (/, т, п), т. е. всего три слагаемых.
Раскладывая орты новой системы (К) по ортам старой системы
получим il = ai4il
Поэтому, вычисляя векторное произведение ортов системы (3.3), по-
лучим;
— 103
Глава третья. Тензорная алгебра
где справа стоит сумма по всем эиаченням / и т. Умножая это выражение
скалярно на in9 получим
(h ai'i ak'm WeXi* )• in*
при чем при фиксированном индексе п здесь справа стоит только пара
слагаемых (если среди /, т, п нет одинаковых индексов), отличающихся
знаком).
Если старая система (К) была правой *, то
(<z at4ak,m-at,mak,t, (3.4 >
где индексы (/, т, п) составляют циклическую перестановку.
Если новая система (К') тоже правая, как и (К)**, то
itXik=ir
при циклической перестановке индексов (г, t, k)
Если же новая система (К') левая, то
при циклической же перестановке индексов (г, i} k).
Итак: 1) если рассматривается преобразование координатной системы
такое, что правая система переходит в правую же, то
(// X 1к) ‘inmtr-inmar'n
при циклических перестановках индексов (г, /, Л);
2) если преобразование системы (К) в (К') такое, что правая система
переходит в левую, то
Таким образом, формулу (3.4) можно записать в виде
аг'л “ ± (°ЧЧ ak'm ai'm ak't)»
где индексы (г, i, k) и (п, /, т) составляют циклические перестановки
чисел (1, 2, 3).
Возвращаясь к формуле (3.3), теперь получим
X Л = 1 /
Итак, при преобразованиях правой координатной системы в правую
имеем:
Лг~+аг'Л-
а при преобразованиях правой координатной системы в левую
Дг == arfnAn. * ***
♦ Или левой, в которой направление векторного произведения опре*
делено по правилу левого винта (см. § 1.4).
♦♦ Или «тоже левая, как и (К)» (см. предыдущую сноску).
*** Или левой системы в правую.
104 —
3 5 Единичный тензор Метрический тензор
С такими векторами мы уже встречались в главе первой при рассмот-
рении векторного произведения; это—аксиальные векторы.
Таким образом, компоненты антисимметричного тензора преобразуются
как компоненты аксиального вектора
Есть скаляры и тензоры более высоких рангов, формулы преобразо-
вания компонент которых меняют знак при преобразованиях, переводящих
правую систему в левую. Все эти тензоры называются псевдотеизорами;
на свойствах псевдотензоров мы подробно остановимся в 3.9.
3.5. Единичный тензор. Метрический тензор
В предыдущей главе было показано (см. 2.4, пример 2),
что известный из алгебры символ Кронекера является тен-
зором 2-го ранга с матрицей
110 0
ИМ= о 1 0
О 0 1
— СИ'&Гк —
если i=£k\
если i = k.
Тензор носит название единичного тензора.
По смыслу определения единичного тензора его компоненты
равны либо нулю либо единице во всех координатных
системах. Это следует из определения и (см 2.5).
Умножение на тензор с последующим свертыванием
часто используется в алгебраических выкладках. Например,
АщВк ~ АщВк bikBk — (Ailt 6rt) В„
(ибо В{ = д1кВк).
В определенном смысле метрический тензор является обобщением по-
нятия единичного тензора Прежде всего заметим, что квадрат линей-
ного элемента в прямоугольных декартовых координатах может быть
записан в виде
dsi^bikdxidxit,
в то время как в произвольных координатах имеем
ds^gikdx1 dxk.
Кроме того, из определения
следует, что компоненты б,* представляют собой косинусы углов между
осями одной какой-то координатной системы (декартовой прямоугольной).
Тензор может быть определен через аГк —косинусы углов между осями
двух произвольных декартовых прямоугольных систем (см. 2.5), причем
а
В случае введения произвольных базисов, определяющих системы
обобщенных координат, компоненты метрического тензора определяются
через всевозможные произведения векторов основного и взаимного базисов
— 105
Г лава третья. Тензорная алгебра
одной и той же системы координат:
8ijtc=ei-eiic= I11 I cos (ef. е*);
gih^gi.gk— | gi 11 | cos g*).
g-* = e,..e*= | e-, 11 e* | cos (e!t (P).
При этом, поскольку векторы и е1 не являются ортами, компоненты
gtkt g'.k определяют косинусы углов между осями базисов только
с точностью до множителей
Что касается коэффициентов прямого а* и обратного а* преобразо-
ваний, то они также с точностью до множителей определяют косинусы
углов между осями разноименных базисов двух различных систем координат!
а* = е\-ek— | ^z’ 11 ek | cos (e'i9 ek)\
a*'=e,-.e,fc = | 11 e'k | cos(^, e'k).
Через эти коэффициенты могут быть выражены смешанные компоненты
метрического тензора:
gik=a‘t a’l,. (*)
Это следует, например, из (1.5) и определений (1.39).
Умножив (1.5) иа е1, получим
<fre'=^ia/ -
откуда — равенство (*).
Из определений единичного и метрического тензоров следует:
1) единичный тензор симметричный (6^ = 6^);
2) метрический тензор симметричный (gtfl=gkl; gik=gki].
3.6. Главные оси тензора.
Приведение тензора к главным осям
Вопрос о главных осях тензора имеет важное значение
в физике.
Рассмотрим произвольный тензор 2-го ранга Tik. Если этот
тензор умножить на вектор А и произвести свертывание по ин-
дексу вектора и одному индексу тензора, то в результате по-
лучаем некоторый вектор В с компонентами
&1 = Ak.
Можно говорить, что тензор Tik, будучи умножен скалярно
на некоторый вектор А, преобразует его в новый вектор В
в том смысле, что из компонент вектора А определенным дейст-
вием получаются компоненты другого вектора—вектора В.
106 —
3.6. Главные оси тензора Приведение тензора к главным осям
Вектор В вообще отличен от А по величине и направлению.
Таким образом, тензор при умножении на вектор изменяет
длину этого вектора и поворачивает его.
Поставим задачу отыскать для заданного тензооа Тik такие
векторы А, которые бы не поворачивались этим 1ензором, а
только изменяли длину.
Тогда
где X—скаляр.
Физический смысл этой
задачи поясним на некото-
рых примерах.
Напряжение на площад-
ке с нормалью п равно (см.
гл. 2)
Pnk^Pik^b
причем, вообще вектор рПУ
не параллелен орту п, т. е.
на каждой площадке есть
как нормальные, так и ка-
сательные напряжения.
Интерес представляют та-
кие площадки, на которых
есть только нормальные на-
пряжения, а касательные равны
площадок
Рис. 3.1 Главные оси тензора напря-
жений рц в точке М, на площадках,
перпендикулярных к осям х2 , х3,
касательные напряжения равны нулю
нулю (рис. 3.1). Для этих
pjn или Ьп=рп=р{П1.
Тогда ориентация этих площадок (орты п) определится из сис-
темы уравнений
Если диэлектрические свойства среды определяются тен-
зором то возникает вопрос, как следует направить электри-
ческое поле £, чтобы электрическая индукция D была направ-
лена по вектору напряженности £?
Общий вид зависимости D от £ имеет линейный характер,
так что
Поставленная задача требует отыскания векторов £, удов-
летворяющих уравнениям
— 107
Г лава третья. Тензорная алгебра
Если существуют для тензора Tlk векторы Л, удовлетворя-
ющие уравнениям
^Ai = TikAk, (3.5)
то направления» определяемые этими векторами, называются
главными (собственными) направлениями тензора Tik. Оси этих
Рис. 3.2. Главные оси тензора момен-
тов инерции плоской системы матери-
альных точек
направлений носят названия
главных осей тензора.
Значения компонент тен-
зора в координатной системе
главных осей называются
главными значениями.
Прежде чем переходить к за-
даче отыскания главных осей и
главных значений компонент тен-
зоров в общем случае, рассмотрим
простейший пример тензора 2-го
ранга на плоскости.
Пусть Iift—тензор моментов
инерции (относительно осей с
началом в точке О) системы ма-
териальных точек с массами mnt
расположенных в плоскости (xlf
х2) (рис. 3.2). Этот тензор явля-„
ется плоским, он имеет только
четыре компоненты. Матрица этого тензора имеет вид
где
н N
; /,2= 2 тп(х1п>^ 5
П = 1 /1 = 1
1ц=— 2 т»х\п}
п = 1
Если вектор Л иапоавлеи по главной оси этого тензора, то согласно
(3.5) его компоненты Л2 должны удовлетворять системе однородных
уравнений!
ХЛ1 —/цЛ1 + (*)
ХА2 — /12^! + / 22 А 2
Эта система имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение только
в том случае, если
| /п—X
I Ля
Лэ
/ 22—X
=0,
или
^-х(Л1 + /м)+Л1Ла-/?2-0.
(••)
Следовательно, система (*) имеет отличное от нуля решение тогда и
108 —
3.6. Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям
только тогда» если или Х = Х2, где Xi н Х2—корни уравнения (*♦), т. е.
Xi=!u+z«+ p/pHESyTTT.,
Если /12 = 0, то тогда исходные оси (xj и (х2), как это следует из (*)
и (3.5), являются уже главными
Поскольку имеется два различных X, удовлетворяющих системе при
4/ 96 0, это значит, что имеется два различных главных направления, опре-
деляемых векторами Д(1) и Д(2) Направления этих векторов и определя-
ются из системы (*):
1 /12 — /22
tg<P2 =
^22) _Х2 —/ц
/Ц2) /12
/12
Здесь ф! и ф2 —углы, которые составляют главные оси тензора /,*
с осью (Xi).
Подставляя сюда значения Хг и Х2 и вычисляя tg 2<pj и tg 2ф2, получим
tg2<p, = tg2<j>J = 7-^—
1 II *22
Отсюда Ф2 = Ф1-г-2 » так что главные оси взаимно перпендикулярны.
В системе главных осей тензор /,* имеет компоненты:
/ц = х1;
/22^2; (•**)
/;2=о,
что можно проверить непосредственным вычислением. Это следуei и из
соотношений (*), записанных в системе главных осей:
м(2”'=/;и?,'+/;а4<”'.
Так как «| Л<1) |; Д(2П =0; /Ц2) «=0; А^' = | Л(в,|, то получим
выражения (*♦*). Используя этот факт, можно в данном случае проще
подойти к задаче отыскания главных осей тензора /#.
Зная, что главные оси взаимно перпендикулярны н что в системе
главных осей Г12 ^0, выберем новую систему осей (х*. хв) такую, чтобы
в ней компоненты тензора /1а обращались в нуль.
По общей формуле (2.7) имеем:
/12=аГ/0 2^/^-
— 109
Глава третья. Тензорная алгебра
Все косинусы arfc могут быть выражены через функции одного пара-
метра— угла ср, который составляет новая ось (Xj) со старой осью (хг).
Действительно (рис, 3.2):
aP1=cos(p; a1/2=sin(p;
a2'2 =cos Ф» a2'i = —sin q>.
Таким образом (ср. § 2.6),
1 2 1 ' 1 ®2* 1 ~ ' 2 ®2'2 ^22 T ^2'2^12 ^l'2 ^2Z1 ^21
= —sin cp cos cp/u 4-sin cp cos ф/22-г(соза ср — sin2 ср) /1а =
= — - *tl sin 2cp + / i2cos 2cp.
Чтобы /12 = 0, необходимо
Этим полностью определяется положение главных осей тензора /^.
Главные значения этого тензора /'п и /*2 равны:
Таким образом, в системе главных осей (хр х2) тензор lik имеет мат-
рицу
О Л* 11=
о
^82
Рассмотрим вопрос об определении главных направлений
и главных значений тензора Тik.
Согласно (3.5), компоненты векторов А, определяющие глав-
ные оси тензора Т{к, удовлетворяют системе трех однородных
уравнений:
TttA»-AAz = (Ttt-X6ft)Aft = 0,
или
(Г,, — X)Aj+ + Г13А3 =0;
7’2lA1 4- (Т22—Х)А24- ТгзА3 =0; (3.6)
lr’si^i + Г32Д2 -HT'ss — Х)А3 = 0.
Эта однородная система служит для определения А,, А2,
А3. При этом ищется отличное от нуля, или, как говорят, не-
тривиальное решение этой системы.
Как известно из алгебры, однородная система имеет нетри-
виальное решение только в том случае, если определитель ее
НО —
3 6. Главные оситензора Приведение тензора к главным осям
равен нулю, т. е.
Гц X Т12 Т13
Т21 ^22 ^23
7\1 ^32 Т’зз
(3.7)
Равенство нулю определителя (3.7) представляет собой ку-
бическое уравнение относительно X. Это уравнение называется
характеристическим уравнением тензора Tik.
Таким образом, чтобы удовлетворить системе (3.6), необхо-
димо и достаточно, чтобы X было корнем кубического урав-
нения (3.7). Корни этого уравнения, может случиться, не бу-
дут все действительными, и тогда его решение не позволит опре-
делить трех главных направлений.
При отнесении тензора к системам обобщенных координат можно ис-
пользовать его любые компоненты для определения его главных направле-
ний и значений Например, если определены ковариантные компоненты
тензора, то уравнение, определяющее собственные вектора А тен-
зора Tikt имеет вид (см. 3.5):
ХА^Т^А*. (3.7 а)
Отсюда в силу A; = g,-ftA* получаем систему линейных однородных
уравнений относительно 4* вида (см. 3.6)i
(Tit-Kgik)A*=O
Однако, чтобы привести эту систему к виду (3.6), необходимо пользо-
ваться смешанными компонентами тензора. Умножив предыдущие уравне-
ния (i = l, 2, 3) на , просуммировав по г, получим в силу (2.37):
(Т\- Kg!k)Ak=0 (3 7 6)
Тогда для определения собственных значений тензора получаем харак.
теристическое уравнение вида:
Т\ —X т\
7Л-Х т*» =0,
7?! т>,
(3.7 в)
Остановимся на рассмотрении только симметричных тензоров
второго ранга, отнесенных к прямоугольным декартовым сис-
темам координат, так что Tik = Tkl.
В этом случае все корни X,, Л2, Х3 характеристического
уравнения (3.7) вещественные.
Действительно, пусть X—какой-либо из корней уравнения (3.7) и пусть
ему отвечают в силу уравнения (3.6) какие-то величины А/, вообще комп-
лексные
Тогда, \ множив каждое (/=1, 2, 3) из тождеств
ХА,- s ТдАд,
— 111
Г лава третья Тензорная алгебра
на величины Л/, комплексно сопряженные с Л/, и просуммировав по 4, по-
лучим
ХЛ/Л / = TifcA fcAj. ( )
Так как Tik^Tkit то
kA kA i = у (ikA k A i + TikA kA i)“ у (TikA k A ।r kiА И i) "
==y Tik(AkAi-[- AkAj).
Отсюда видно, что сумма Т^Л^Л/вещественна, ибо все Тik вещественны
и выражение в скобках вещественно. Поскольку и Л/Л, == | Л t ] 2 +1 Л212 +
4-|Л8|2—тоже вещественная величина, то из (*) следует, что корень X
веществен При этом, конечно, все компоненты Ак тоже вещественны (это
следует из ХЛ^Т^Лд).
Итак, Xi, Х2, Х3—вещественные числа.
Заметим, что если Tik—ковариантные компоненты тензора, то, исходя
из (3.7а), умножая его на Л,-, суммируя по i и используя = ана-
логично предыдущему получим вещественность характеристического урав-
нения (3.7в).
Рассмотрим случай различных корней Xj =/= Х2 =/= Х8. Тогда
каждому из скаляров Х5 отвечает своя система чисел Д^, ^2S),
4зУ — компонент вектора 4(s), которые с точностью до постоян-
ного множителя определяются из системы уравнений (i •= 1, 2, 3):
(Т«-ЛДл)ДГ = 0.
Например, для Д’,1*, Д,1’ Д’/’ имеем
Д’1’ + Т1гА(" + Т1ЯА= 0;
Тг1А ’° + (Т22- А,) Д’” + ЛзД’1’ = 0;
Т31А <” + Т82 Д’” + (Тзз- X,) Д’,1’ = 0.
Отсюда получим
л у1___________________д</>___________ду
I Ти—Т»з I I Тгз Т 3i1 I Т21 Т22— А, I • (3.8)
I Ти Тзз—^11 I Т'зз—Tsil I Тн Тщ I
Эти равенства однозначно определяют лишь направление
вектора Aw, т. е. направление первой главной оси тензора.
Остальные два главных направления тензора Ttlt определяются
векторами Д’2’, Д’”.
Важное значение имеет тот факт, что все три главных
оси тензора взаимно перпендикулярны.
Для случая различных корней 5^Х8 это доказывается
просто.
112 -
3.6. Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям
Действительно, если корню X, отвечает вектор Д'1’, а
корню Л2—вектор Д(2), то
= КА?'-,
Т^АГ^АР.
Умножим первую группу этих равенств на Д(/‘, вторую —на
А/1}, просуммируем по i и вычтем одну сумму из другой:
др’др».
Так как Tik — Tki, то отсюда
имеем:
О = (Х1-Л2) Д?’Д?>.
Если Xj=/:X2, ТО Д/1)Д**) =
=д<1>.д<2> = 0, т. е. Д<1’ 1 Д<2>.
Если среди корней характерис-
тического уравнения (3.7) имеются
кратные, то существование трех
взаимно перпендикулярных главных
направлений доказывается следую-
щим путем.
Пусть —какой-либо корень
уравнения (3.7) и Дт —вектор, оп-
ределяющий главное направление,
соответствующее этому главному
значению тензора, т е
М*' = TikA^
Рис. 3.3 Три взаимно перпендикуляр-
ные главные оси симметричного тен-
зора. Их существование устанавли-
вается независимо от кратности кор-
ней характеристического уравнения
Рассмотрим плоскость М (рис. 3.3), перпендикулярную вектору Д(1>.
Если брать векторы из плоскости М, то тензор переводит эти векторы
в другие, которые лежат в той же плоскости М. Действительно, пусть
Р—вектор в плоскости М, так что
Тогда
TikA^P^~
Отсюда следует, что вектор Q с компонентами Qk — Tikpi ортогонален
к Дш (ибо Q*4^1,==0) и, значит, лежит в той же плоскости М
Введем декартову систему координат (х*, х*, х*), так что ось (х*) на-
правлена по а две другие оси лежат в плоскости Л4
В этой системе координат векторы Р и Q имеют только -по две ком-
поненты: Р*’- Р* и Q*, Q*, а тензор Т ik имеет компоненты, определяе-
мые матрицей,
11 rik\\-
т* т*
2 11 12
т* т*
2 21 2 22
8 Заказ зек»
Т =Т
2 12 2 21 >
— 113
Глава третья. Тензорная алгебра
.так как Р и JQ. лежат в .плоскости Л4, а вместо девяти компонент симметрич-
ного тензора Т(* мы вправе рассматривать только четыре его компоненты
(тензор на плоскости М), которые и осуществляют перевод векторов из
плоскости М в векторы, лежащие в той же плоскости (плоскость М-—ко-
ординатная плоскость (х*, х2)).
Теперь будем искать в плоскости Л! такие векторы Р, которые бы не
поворачивались тензором Т*Л, а лишь изменяли свою длину. Тогда получим
систему двух уравнений
Ы, = TikAk
и характеристическое уравнение второго порядка
I Т\г =о
II
Пусть Ха—корень этого уравнения, а вектор Л(2) соответствует Х2, т. е.
Тогда вектор Д(2) определяет второе главное направление тензора и,
поскольку он лежит в плоскости М, то
Построим вектор Д(3), перпендикулярный к и Д(2). Покажем, что
определит третье главное направление тензора
Действительно, вектор Т**/^/1* перпендикулярен Д(1), (потому что он
лежит в плоскости М) и перпендикулярен к Д(2), (так как T*kA]s)*A^* =
=» Х2Л^В)*Д}.3)* »0, поскольку векторы Л(2> и Д(3) взаимно перпендикулярны).
Следовательно, вектор с компонентами T*kA^* коллинеарен вектору Д(3),
н тогда, учитывая T*k = T*ki, имеем
1 л(з)*_т*
Это и означает, что Л(3> определяет третье главное направление тен-
зора Tjk.
При таком построении главных направлений Д(1>, Д(2>, Д(3> тензора Tik
нигде не требовалось, чтобы XlfX2 были различными. Таким образом, сущест-
вовав е трех взаимно перпендикулярных главных осей у симметричного тен-
зора Tjk показано независимо от кратности корней характеристического
уравнения (3.7).
Выясним связь между корнями характеристического урав-
нения (3.7) Xj, Х2, Х3 и компонентами тензора. Для этого при-
ведем тензор к главным осям, т. е. найдем выражение компо-
нент тензора в системе координат, оси которой являются
главными осями тензора.
Пусть ЛГП, N{3}—орты главных осей тензора
114 —
3.6. Главные оси тензора Приведение тензора к главным осям
Если (Xt), (Х2), (Хз)—главные оси (рис. 3.4), то:
т;Х’ ==М2’;
Запишем эти равенства в системе координат (Х1г Х'3, Х3),
т. е. в системе главных осей тензоров.
Имеем:
T'ikN^'=K3N^'.
Отсюда, полагая i= 1, 2, 3, получим девять равенств (учи-
тывая, что A7'/1' = N%y = N{33)' = 1 и NW =0 при т + п):
Т'и—^'i't —Тл =Т23 — Т33 — 0; Т32 — Х2; Т33 — Х3.
Следовательно, тензор
своих главных осей имеет
в системе
матрицу
II г;* ц=
0 0
0 о
0 0 18
Таким образом, корни Л2, Х3
характеристического уравнения пред-
ставляют диагональные компоненты
(единственные отличные от нуля) тен-
зора в системе главных осей-, они и
дают главные (собственные) значения
тензора.
Рис. 3.4. Главные осн сим-
метричного тензора
Для тензора напряжений его главные значения носят наз-
вание главных напряжений.
Пусть вектор Р переводится при помощи тензора Т ik в век-
тор Q, так что
Qi = TikPk-
В системе главных осей (Xj, Х2, Х3) тензора Tlk это урав-
нение имеет вид
Qi=T'ikP'k,
или
Qs = т’ззР» = Х2 Р2; г • (3 9)
Q» = T33P3 — ^3Р3. J
8*
— 115
Глава третья. Тензорная алгебра
Если A,! 5>s= Л2 =/= Х3, то у тензора Т{к не существует других
главных направлений, кроме тех, которые определяются кор-
нями Хг, Х2, Л3. При этом из (3.9) следует, что если Р не
совпадет ни с одним из главных направлений, то тензор Tift
не только изменяет длину этого вектора, но и поворачивает
его Если же, например, Р т. е. Ря — Ря — 0, то (? =
= XjP—вектор Р не поворачивается, а только изменяет свою
длину.
Рис. 3.5 Вид тензорного эллипсоида симметричного тензора. Главные оси
тензора — это главные оси тензорного эллипсоида:
а) случай различных корней 7: к2 Матрица тензора в главных осях
?£ ? II ; б) случай двух равных корней Матрица тензора
° ° к о о
в главных осях ||^^|| = || О* X, 0 || : ») случай равных корней — шаровой тензор
к,=к2=к,=к Матрица тензора в любых осях II T.J| =к к 0 ? О II
" | 0 0 1 1г
Если Х1 = А.2т^А.3 (один корень характеристического урав-
нения кратный), то из (3.9) следует (А^ —Л2 = Х):
Q1 — АР] ; Qt = Л.Р2> Qs — А3Рз •
Отсюда видно, что любой вектор Р'° из плоскости (Х1( Х2)
(т. е. когда Р“ =0) только изменяет длину при умножении
на тензор Tik, но не поворачивается, ибо при этом Q = XP0.
Значит, двойному корню характеристического уравнения отве-
чает целая собственная плоскость (Xi, Xs), перпендикулярная
третьему главному направлению; в этой плоскости любое на-
правление будет главным. Таким образом, если одно главное
направление определено (корнем Х3), а два других корня сов-
падают, то два других главных направления определяются
любыми двумя направлениями, перпендикулярными к первому.
116 —
3.6. Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям
Если = Х2 = Х3 = X, все корни характеристического урав-
нения совпадают, то из (3.9) для любого вектора Р имеем:
Qj-KPf,
Q2 = XP2; или Q = M>.
Q3' = XP3'.
Таким образом, в этом случае любой вектор при умноже-
нии на тензор Тik только изменяет свою длину, но не по-
ворачивается. Следовательно, в этом случае любое направление
у тензора Тik является главным. Такой тензор называется
шаровым (рис. 3.5, в).
Тензорный эллипсоид. Любому вектору А, можно однознач-
но сопоставить плоскость вида 4»г = Л,х'=1 в том смысле,
что три компоненты вектора - Д,- полностью определяют поло-
жение этой плоскости в любой системе координат.
Любому симметричному* тензору Tik = Tkl можно однознач-
но сопоставить поверхность второго порядка вида
Т;Ах‘х*=1.
Компоненты тензора Тik однозначно определяют поверхность
2-го порядка в любой системе координат. Эта поверхность но-
сит название тензорной (рис. 3.5).
Нетрудно видеть, что главные оси тензора являются глав-
ными осями тензорной поверхности, которая в системе глав-
ных осей имеет уравнение
л x(x;)2+(х3')г=(хэ*+ч (х2>+к (x3y -1,
или
«Г , (*,)’ , GQ’
4^1/ \^2/ \^3/
Если Х2, Х3 положительны (случай наиболее важный
в приложениях), то тензорная поверхность является эллипсои-
дом, a -f= , -J=—отрезки, отсекаемые на главных осях
А/ А, А,
тензорной поверхностью.
* Если Tjk — не симметричный тензор, то однозначного соответствия
между тензором и поверхностью не будет Действительно, согласно (3.1),
всегда можно записать
ik “ Sik + ikt ($ik = Ski • ik =* A ki)•
Но тогда
Tikx<>^=S,*x'x* + А ik^xk== 1.
Тензорная поверхность однозначно определяется только симметричной
частью тензора.
— 117
Глава третья. Тензорная алгебра
Если Х1 = Х2, то тензорный эллипсоид является эллипсоидом
вращения.
Если Л1 = Л2 = ХЭ (тензор Tik—шаровой), то тензорный эл-
липсоид—шар.
37. Инварианты тензора
Компоненты вектора меняются при изменении системы
координат. Однако при помощи этих компонент можно соста-
вить величину, которая остается неизменной при изменениях
прямоугольной декартовой системы координат, а именно:
лл=л? + л2, + л|=л;л;.
Эта величина носит название инварианта вектора, т. е.
Л/Л/=/ = 1П¥.
Инварианты можно составить и из компонент тензора любо-
го ранга.
Для получения инвариантов тензора второго ранга в общем
виде распишем характеристическое уравнение
определитель:
(3.7), раскрыв
Х3^Х2(Ти + Т.2 + Т33) +
4- Аг
722 732
72з 73з
7ц 721
712 722
7ц 7*3!
7\3 Т33
7ц
712 713
7^2 7*23
7^2 7 зз
= 0.
Поскольку X, А2, А,3 являются скалярами и потому не за-
висят от выбора системы координат, коэффициенты этого урав-
нения также не должны меняться при изменении системы ко-
ординат.
Таким
образом, величины *:
Л — + 7^ + ^33 (— Aq + А2 + А3)~ itiv;
• 22
Т\з
ь 7П Т21
712 722
-!-AlA34-A2A3)^inv,
7ц 712 Т13
72i 722 Т23
73i 732 Т3з
инвариантами тензора второго ранга.
?32
Т 33
7ц Т31
7i3 Т
( = *1Мз) =inv
2 ~
+
^3 —
являются
* Выражения Ilt /2, /3 через Xlf Л2, следуют из известной теоремы
алгебры—теоремы Виетта.
118 —
3.8. Признак тензорности величин
Используя эти инварианты (/х—линейный инвариант, /2 —
квадратичный, /3—инвариант 3-го порядка), можно составить
бесчисленное множество других инвариантов, представляющих
всевозможные комбинации Iv /2, /8.
Например,
n = (Ttir
и т. д.
Исходя из характеристического уравнения (3.7в), можно получить
инварианты тензора второго ранга через его компоненты в обобщенной
системе координат. Они имеют вид:
/3=detj|T/[|.
Те тензоры, у которых линейный инвариант /^О, назы-
вают девиаторами.
Любой тензор можно разложить на девиатор и шаровой
тензор:
Tjk — ?ik у Т ifcik + -у Т ifiik = D + у if
Тензор Dik—девиатор, ибо
= Du + D22 4- Озз = Ta §" ~ 0*
Тензор—-девиатор в системах обобщенных координат имеет компоненты
вида
О(Л = Т,*—
D:k = T-k—LgikT‘.
при этом, как легко видеть, его свертка _D/ = 0.
3.8. Признак тензорности величин
В дополнение к вышеприведенному определению тензора
как величины, преобразующейся по определенному закону, можно
дать другое определение тензора. Это определение обычно рас-
сматривается как признак тензорности величин.
— 119
Глава третья. Тензорная алгебра
Сформулируем признак тензорности для девяти величин,
являющийся определением тензора 2-го ранга.
Пусть Ah Bj—компоненты двух произвольных векторов’, если
при помощи девяти величин Tik можно образовать инвариант
вида
inv, (3.10)
то девять величин Tik образуют тензор 2-го ранга.
Действительно, в силу инвариантности выражения (3.10) и
закона преобразования компонент векторов Д, и В,- при пере-
ходе к другой произвольной системе декартовых координат
имеем:
TikAiBk — ТimAtBт = Тimcii'№k'tnAiBk
или
(T'ik—А(Вь = 0.
Отсюда в силу произвольности векторов А и В имеем:
k = &i'№k'mT im.
Эта формула преобразования величин Tik доказывает их
тензорность.
Аналогично формулируется и доказывается признак тензор-
ности, являющийся определением тензора любого ранга.
Кроме того (в случае системы обобщенных координат), если, например:
7^443*== inv, Г*4/Вл=1пу, T:*4'Bft-inv,
где 4,-, В,-—ковариантные, а А1, В1—коитравариаитные компоненты двух
произвольных векторов, то величины ТTlky Т(к являются, соответствен-
но, ковариантными, контравариантными и смешанными компонентами тен-
зора 2-го ранга
3.9. Псевдотензоры
При рассмотрении векторного произведения мы отмечали некоторую
неопределенность в направлении вектора АХВ- направление этого вектора
устанавливается условно, в зависимости от выбранной системы координат
(правая нли левая). Было показано (см. задачу 11, гл 1), что бесконечно
малые повороты, а следовательно, и угловая скорость твердого тела
являются векторами; однако направление этих векторов выбирается условно
В то же время направления таких векторов, как скорость, ускорение,
сила, не зависят от того, определяются ли они в правой системе или
в левой.
В связи с этим закон преобразования компонент первой группы век-
торов (векторное произведение, угловая скорость) будет отличаться от
закона преобразования компонент векторов второй группы (сила, скорость )
при таких преобразованиях координат, когда система правая переходит
в левую или наоборот (см 3.4).
120 —
3.9. Псевдотензоры
Все линейные ортогональные преобразования координат:
x. = ark xk-\-x f (прямое преобразование);
x^ak4х^ + xf' (обратное преобразование);
О./г/
' к , (ортогональность преобразования)
а/7 ak'i =
можно классифицировать при помощи значения определителя
det ||“/'»||вд=
“1'1 “1'1 “1'3
®2Z 1 а2' 2 а2' 3
аз'1 аз'2 аз'з
(3 И)
Этот определитель, составленный из коэффициентов общего ортогональ-
ного преобразования координат, имеет только два значения, а именно:
Д = +1, Дх=— 1
Действительно, используя соотношения (2.5) между косинусами и тео-
рему об умножении определителей *, получим
det IIM=det
3
£ a»'l
/=1
= det ||“г/ ||-det || =
Поскольку
= {det || p = A’.
== I,
то имеем:
Д2=1, Д = ± 1
В связи с этим все линейные ортогональные преобразования коорди-
нат могут быть разбиты на два класса
1. Класс преобразования движения (непрерывные преобразования).
Непрерывное преобразование (преобразование движения) координатных
систем состоит в непрерывном сдвиге и вращении системы (/С) из совме-
щенного с (/() положения в любое другое. При этом исходная система
и любая преобразованная система могут быть либо обе левые, либо обе
правые. Правую систему нельзя получить непрерывным преобразованием
из Левой, как и левую из правой Для этого класса преобразований ко-
ординат имеем:
Д=+1
* Если afk—элементы одного определителя (третьего порядка) и —
другого, то элементы определителя Д, представляющего собой про-
изведение двух первых (det с^ || = det || aik ||-det || ||), образуются по
одному из следующих правил:
cikaaifikr> cik== aii^kh cik*==ali^ik
(3 \
помнить, чтоа^^-^ )» см. А. К. Сушкевич. Основы высшей
/ = i '
алгебры, § 20, гл. II.
121
Глава третья. Тензорная алгебра
Действительно, тождественное преобразование = х2 — х^ л3~х3*
дает Д=+1. При непрерывном преобразовании системы (К) в (К') вслед-
ствие того, что определитель Д s== det || ar k11 является непрерывной функ-
цией от косинусов углов между осями, его значение ие может менять-
ся скачком от 4-1 к — 1
Примером преобразования движения может служить такое преобразова-
ние (см. рис 3 6):
Х1 “*1’
2. Класс преобразования отражения. Две системы (К) и (К'), осуще-
ствляющие преобразование отражения координат, не могут быть совмещены
друг с другом непрерывным их движением; две их одноименные оси можно
совместить так, что их положительные направления совпадут, а третьи
при этом окажутся зеркальным отображением одна другой. При этом если
система (К) правая, то (К')—левая, и наоборот
а) Преобразование вращения det || 1; б) пре-
образование отражения det || ।
Для этого класса преобразований координат имеем:
Д=—1
Примером преобразования отражения может служить такое преобра-
зование (см. рис 3.6):
Х|, х2 = х2, х3' = х3
В зависимости от закона преобразования компонент по отношению к
этим двум классам линейных ортогональных преобразований все тензор-
ные величины можно разделить на истинные тензоры, или просто тензоры,
и псевдотензоры
Псевдотензор—это величина, компоненты которой преобразуются по
закону,
= ^Ч'т &к'г &Гз • * • mrs* •• ($• 12)
где Д-det ||a,.ft||.
Закон преобразования 3" чисел, определяющих в каждой системе ко-
ординат псевдотензор n-го ранга, совпадает с законом преобразования
122 —
Р.9. Псевдотензоры
компонент истинного тензора того же ранга только при преобразовании
координат, относящихся к классу преобразований движения (непрерыв-
ных преобразований) В случае преобразований, переводящих правую
систему координат в левую, или наоборот, закон преобразования отли-
чается знаком.
Для истинного тензора закон преобразования компонент сохраняется
при любых линейных ортогональных преобразованиях координат и имеет
вид
Tiki,.. ai'm°'k'r ' ' Тmrs‘ .
Что касается алгебры псевдотензоров, то из законов преобразования
для тензоров и псевдотензоров можно установить следующие положения:
1) сумма двух псевдотензоров одного ранга является псевдотензором
того же ранга;
2) произведение двух псевдотензоров является тензором (истинным),
ранг которого равен сумме рангов сомножителей;
3) произведение псевдотензора на тензор является псевдотеизором;
4) свертывание псевдотензора дает псевдотензор низшего ранга.
Рассмотрим несколько примеров псевдотеизоров.
Пример 1. Если определением объема служит интеграл
’-Ш
dx^dx2dx3
то в другой системе координат, используя теорему о преобразовании пере-
менных в тройном интеграле, получим
Здесь якобиан равен
дх[ дх^ дх'
dxt дх2 дх3
д(х',х2,х2) дх2 дх^ dxj
d(xi> х2, х3) “ дх2 дхя
dxg дх2 дх^
дхг дх2 дхь
Он вычисляется на основании (2.3)
Поэтому
т' = т-Д.
Таким образом, согласно определению, величинатявляется псевдотен-
зором нулевого ранга, или псевдоскаляром Его называют иногда относи-
тельным инвариантом
В то же время, если за определение объема взять |т| =
= | dxjdxgdxgj, то объем будет скаляром, не изменяющим своего зна-
чения при любом ортогональном линейном преобразовании декартовых
координат. Отрезок прямой ds2 == ДхДк/ также не меняет своего значения
при любом преобразовании координат Эти величины являются скалярами;
их называют иногда абсолютными скалярами, или абсолютными инвариан-
тами
Пример 2. Рассмотрим компоненты С/ векторного произведения двух
векторов Л и В. В некоторой системе (К) декартовых координат получим
Q=- AiBk*
123
Г лава третья. Тензорная алгебра
причем индексы (/, kf /) образуют циклическую перестановку чисел 1, 2, 3.
В другой системе декартовых координат (/С) имеем
/^Лс==аЛ'т^|»» £/ = а/'л^и-
Поэтому
С т^1 Гп^ k'n^m^n “ (^к'т^Гп ^t'm ^k'n)
Справа стоит сумма по всем значениям индексов т и п, причем при
т = п слагаемые равны нулю. Запишем эту сумму в таком виде, чтобы
индексы тип первого члена в скобках, т. е. ak'mai’n, составляли цикли-
ческую перестановку, т. е. (12), (23) и (31). Тогда
С{ =а (ak>m О.рп Q,i'ma'it'n)(A тВп Ап&т)‘ (3.13)
Здесь индексы (т, п), как и индексы (/, kt I), составляют циклические
перестановки чисел 1, 2, 3.
Мы уже получали (см 3.4)
ak'mal'n alfmakfnK=s(h><hy^r^
где индексы (т, nt г} составляют циклическую перестановку. Но при этом
мы можем записать
АтВп-АпВт-Сг (3.14)
Если новая система (К') правея, как и (К), то,
ip
а если — левая, т. е. преобразование координат является преобразованием
отражения, то
i(
при циклической перестановке индексов (/, k, /).
Таким образом, можем записать
1/ = ^Д,
где Д—определитель (3.11).
Тогда
(/;х<)4г=(<4г)Д-аЛгД.
Поэтому, учитывая (3.14), формулу (3.13) можно записать в виде
Таким образом, векторное произведение двух векторов представляет
собой псевдовектор
Единичный псевдотензор. Единичный тензор 6ift имеет во всех декар-
товых системах координат одни и те же компоненты (нуль и единица)
Существует единичный псевдотензор е/Л/, антисимметричный по любой
паре из его индексов, который не меняет своих компонент при преобра-
зовании движения, а при преобразовании отражения те компоненты его,
которые равны единице, меняют знак
Двадцать семь компонент тензора е/Л/ оиределяются как всевозможные
смешанные произведения ортов координатных осей
В системе (К) с ортами f2, i3 его компоненты равны
в|М=(<,Х(3.15)
124 —
3 9. Псевдотензоры
Как следует из определения,
+ 1, если Z, k, I составляют циклическую перестановку;
— 1, если k, I составляют нециклическую перестановку;
е.^г==
О во всех остальных случаях, т е. если среди /, k, I
есть одинаковые числа.
Таким образом, отличные от нуля компоненты единичного псевдотензора
равны:
£ 123 = е231 “ е312= 1 *
6 132 ~ 6321 — е2 13 — 1
Покажем, что величины e/w образуют псевдотензор В системе (К')
имеем:
= (3.16)
Раскладывая орты системы (К') по ортам старой системы (К) и под-
ставляя это разложение в (3.16), получим
^ikl ~аГта k’n аГг
Если система (К), как и (К1) правая (преобразование координат отно-
сится к преобразованиям движения), то
(^/я Х/п) • ^г~^тпг
Если система (/() — левая, а (К') — правая (преобразование координат
относится к группе отражения), то
*^г— ^тпг
(индексы т, п, г составляют циклическую перестановку).
Таким образом, можем записать
(/даХ in) • ir= ^тпг А»
где Д—определитель (3.11).
Следовательно,
Это доказывает, что 27 величин elk! образуют псевдотензор третьего ранга.
Образование псевдотензоров различных рангов. При помощи единич-
ного псевдотензора можно образовать псевдотензоры различных рангов.
Если Г/*/—истинный тензор 3-го ранга, то величина
П ~ ikl
является псевдоскаляром. В этом можно убедиться, рассматривая закон
преобразования величины П.
Если —истинный тензор 2-го ранга, то величины
= &iktT k*
образуют псевдотензор. При этом, если Tkl = AkBh то величины
Hi =
являются компонентами векторного произведения Ах В.
125
Глава третья. Тензорная алгебра
Действительно, имеем:
Е 123^ 2^3 4" 6 132^3^2 —Л 2^3 ^3^2 11 Т А*
Если (р —истинный скаляр, то величины
tki ~ £ik№
образуют псевдотензор 3-го ранга
Аналогично при помощи тензорного умножения e/W на истинные тен-
зоры различных рангов можно образовать псевдотензоры всевозможных
рангов.
3.10. Линейное п-мерное пространство.
Векторы и тензоры в п-мерном пространстве
В математике зачастую приходится иметь дело с совокупностями
(множествами) некоторых объектов Эти объекты могут иметь самую
разнообразную природу; их называют элементами совокупности
Точка является элементом привычного трехмерного пространства.
Совокупность всевозможных точек образует трехмерное пространство.
Точка трехмерного пространства определяется тремя независимыми
параметрами (координатами) В то же время во многих разделах матема-
тики (линейная алгебра, геометрия, теория функций) и теоретической
физики (статистическая физика, теория относительности) приходится рас-
сматривать множества таких объектов, каждый из которых определяется
не тремя, а, в общем случае, п параметрами
Совокупности таких объектов, оказывается, обладают теми же свой-
ствами, что и привычное трехмерное пространство, а отличаются от него
лишь тем, что их элементы имеют не три, а п координат
Так, для элементов таких совокупностей имеется правило сложения
и правило умножения на число. Эти правила удовлетворяют тем же
условиям (аксиомам), что и правила сложения векторов и умножения
вектора иа скаляр: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность
и др (см. 1.2, 1.3) В такой совокупности можно ввести понятия нуле-
вого элемента, противоположного элемента и т. д
Такая совокупность объектов называется линейным (аффинным) про-
странством.
Приведем несколько примеров линейных пространств.
1. Совокупность решений однородной системы линейных алгебраи-
ческих уравнений образует линейное пространство (сумма двух произ-
вольных решений системы есть снова решение той же системы, произве-
дение решения на произвольное число дает снова решение)
2. Совокупность всех многочленов степени, не превышающей некоторого
натурального числа л, с обычными правилами сложения и умножения
их на число образует линейное пространство.
3. Совокупность свободных векторов на плоскости
4. Совокупность свободных векторов в пространстве.
5 Совокупность всех систем х = (хъ х2, х3, .. , хп} вещественных
чисел образует линейное пространство, если положить, что для таких
систем имеют место аксиомы 1) Хх = (Ххх, Хха, .. , Ххп), 2) х+# = (х1-|-
+У1> «, + г/г....*п + Уп)> где y=(uit уг, .. . уп)
Элементы линейного пространства называют векторами, хотя по
своей природе они могут быть совершенно непохожими иа привычные
нам направленные отрезки.
126 —
310 Линейное п-мерн. пространство Вект и тенз в п-мерн пространстве
Геометрические й*редставлеиия, связанные со словом «вектор», помо-
гают построению общей (абстрактной) теории линейных пространств. В
качестве примера можно привести введение понятия о линейной незави-
симости элементов пространства и о базисе пространства, которые ана-
логичны введенным выше для обычного трехмерного пространства (см
1.3).
Максимальное число линейно независимых векторов в линейном про-
странстве определяет его размерность: в л-мерном линейном пространстве
всегда имеется точно п линейно-независимых векторов и любые л-Н вектор
связаны линейным соотношением
Благодаря результатам 1.3, о разложении векторов в обычном трех-
мерном пространстве, такое определение размерности пространства пред-
ставляется естественным обобщением.
После этого можно говорить и о базисе в п-мерном линейном прост-
ранстве, как о совокупности п линейно-независимых векторов из этого
пространства, и об единственности разложения любого вектора по векторам
базиса, и о координатах вектора, как коэффициентах разложения этого
вектора по векторам базиса Кстати заметим, что-эти числа (координаты)
полностью и единственным образом определяют этот вектор в п-мерном
пространстве в каждом базисе
Если в линейном л-мерном пространстве в дополнение к правилам
сложения и умножения определить скалярное произведение двух векторов,
такое пространство называется л-мерным евклидовым пространством В
евклидовом пространстве можно рассмотреть такие понятия, как длина
л-мериого вектора, угол между векторами, ортогональный базис, взаимные
базисы и т. д
Кроме л-мерных векторов, определяемых полностью п действительными
числами, имеет смысл рассматривать более сложные объекты, которые
в каждом базисе требуют для своего определения п2 чисел, п* чисел, п4
чисел и т. д
Эти понятия (тензоры2-го ранга, 3-го ранга и т. д.) не есть отвлеченное
теоретическое обобщение, но являются необходимыми для описания мно-
гих реально существующих величин и явлений в физике.
Числа (компоненты), которые определяют данный объект в каждом
базисе, меняются при переходе от одного базиса к другому Однако, по-
скольку совокупность этих чисел каждый раз определяет один и тот же
объект, закон их преобразования имеет такие же особенности, как и в
случае 3-мерного пространства
Так, при изменении базиса компоненты вектора xt-(/ = l, 2........п)
переходят в xi (i = 1, 2, ... , п) и закон преобразования имеет вид:
п
ХГ= 2 а,-,ь хл О-1.2..........п),
ь -1 R
где |1а/**|1— матрица, определяющая преобразование первоначального
базиса
Компоненты тензора 2-го ранга в л-мерном пространстве преобра
зуются при изменении базиса по закону
п п
(«. * = 1. 2. ... , Я)
Таких компонент тензор 2-го ранга в л-мерном пространстве нмее!
всего л8.
— 127
Г лава третья. Тензорная алгебра
Наконец, вообще, тензор /n-го ранга в л-мерном пространстве имеет
пт компонент, которые при изменении базиса преобразуются по закону:
п п
im = ••• ai’nkmTkikt
Таким образом, на л-мерное эвклидово пространство переносится
почти без изменений большая часть * построений 3-мериого простран-
ства
Мы не предполагаем специально излагать в этой книге факты, отно-
сящиеся к тензорному исчислению в n-мерном пространстве, чтобы не
увеличивать объем книги Интересующийся читатель найдет эти факты
в ряде выпущенных у нас специальных пособий **.
Задачи с решениями
Задача 1. Выразить скалярное произведение тензоров (диссипативную
функцию в гидромеханике)
dvi
D~Pilt дхк’
где
V
dVi
11 6xt ’
через компоненты тензора и через Уп.
Решение. Заметим прежде всего, что
тензор
девиатор, ибо
Имеем
D~PikdTk~ 2
1 /- dVi . - dVk\
“ 2 {р‘*дГк+’
Так как plk= pk{-, то
D== Pik ^ik>
где
Vik = 1 (^2 + = U®* 4- 1 fi,* vn.
1Л 2 \dxk dXjJ tk 1 3 '* 11
* Такие векторы, как векторное произведение, ротор, как понятия,
связанные своим определением с 3-мерностью пространства, не пере-
носятся на n-мерное пространство и заменяются тензорами (см. 3.4)
* * См И. М. Гельфанд «Лекции по линейной алгебре»; Г. Е. Шилов
«Введение в теорию линейных пространств».
128 -
Задачи с решениями
Тогда имеем далее:
= + tflk Vlt + I Pa vu.
Pii = 2j.il -j- wd/; I ii — 3^Vii
Поэтому окончательно имеем!
D - + Wa~ 2И (VQikf + Z (V„)‘.
В случае несжимаемой жидкости (Ун = 0) получим:
D^V{kVifc^(Vifc)K
Задача 2. Выразить свободную энергию упругого тела
г 1
F Plkuik
О dU;
через компоненты тензора uv.k и через = —4, если
pik = 2huQik + Kuubik,
где
1 fdui , duk\
U^k^Uik — у &ik UU‘
Ответ.
F = и Q{k -J- -J uuuu-
Задача 3. Показать, что ось симметрии системы материальных точек
является главной осью тензора моментов инерции для каждой точки
этой оси.
Решение. Пусть ось (xi) является осью симметрии системы Возьмем
иа этой оси любую точку О и проведем две оси (х2) и (х3) так, чтобы (xj,
(х2), (х3) составляли систему (К) прямоугольных декартовых координат.
Покажем, что ось (х^ системы (К) является главной осью для тензора Ilk.
Если (XJ является осью симметрии системы, то это значит, что для
каждой точки с массой т{ и координатами х^, х^, x<z) в системе найдется
точка с той же массой mj=miy координаты которой будут х^«х^;
= — х^}\ х^ = — х(3°. Тогда имеем:
/у
N 2 * N
1ц = - У тпх\п>х^>-------2 2 <ntx^x^.
’ , = 1 /=y+i
9 Зака* № 3610
— 129
Г лава третья Тензорная алгебра
Здесь мы всю сумму разбили на две суммы по точкам, симметричным
относительно оси (xj). В силу вышесказанного эти суммы равны по вели-
чине и обратны по знаку. Поэтому Zi2 = 0. Аналогично получим: /1з = 0.
Таким образом, в нашей системе (К) тензор lik имеет матрицу
II Ы1 =
/и о о
О /22 23
О ^32 Л1З
что указывает на то, что ось (хх) системы (К) является главной осью
тензора lik
Задача 4. Показать, что любая ось, перпендикулярная к плоскости
симметрии системы материальных точек является главной осью тензора для
точки пересечения этой оси с плоскостью симметрии.
Решение. Пусть ось (хх) пересекает в точке О плоскость симметрии
тела. Выберем начало системы прямоугольных декартовых координат (К)
в этой точке Поскольку плоскость (х2, х3) является плоскостью симметрии
системы, то для каждой точки с массой /п,- и координатами х^, х^\
найдется точка с массой т^т{- и координатами
Л1 Л1 > л2 —Л2 ’ 3 3
Тогда
Н 2 W
/„=— 2 mn*’i'”4") = — 5m'xi)x<2°~ 2
i = l /=JV
N N
=— 2 mtxi} x(i + 2 m/xi0 *»’=°-
/ = 1 /=1
Аналогично покажем, что /i3 = 0.
Таким образом, в этой системе имеем
II Л* 11=
/ц0 о
0 /22/23
0 /32 /зз
Если теперь систему (К) повернуть вокруг оси (хг) иа угол (см 3.6)
1 х 2/гз
Ф=-« arctgf 7----Ц- ,
Z 1 22 — 1 зз
то в новой системе (Л'), ось (х^) которой совпадает c(Xi), получим
Ы1=
о о
о /;, о
° ° 1'зз
т. е. система (Kf) является главной.
Задача 5. Пусть система (К) есть система главных осей тензора момен-
тов инерции, причем начало этой системы совпадает с центром масс.
Показать, что для любой точки этих осей главные осн совпадают с (К).
130 —
Задачи с решениями
Решение. Так как начало системы (К) совпадает с центром масс, то
N N М
2 тпх^= 2 т»4")== 2 т»х»",==0- (*>
п = 1 п = 1 П = 1
Поскольку оси системы (К) главные, то
/12=/1з=/2з=0. (♦♦)
Рассмотрим систему (К') с началом в точке (xj = a, х3=х3 = 0), оси
которой параллельны осям (К). Тогда в системе (К') имеем:
/,*=— 2 4"’ <»**>•
п = 1
Но
x("J =»х^—а;
в.%•(»)•
Л8 Л2 »
4П,/=4П).
Подставляя эти выражения в 1 ik и учитывая (*) и (*♦), получим
/'^=0 (i k), т. е оси системы (К') являются главными.
Аналогично показывается, что сдвиг начала системы по направлению
других осей системы (К) приводит к тому же результату.
Задача 6. Исходя из геометрического образа, связанного с понятием
симметричного тензора 2-го ранга Тik— поверхности
ikxixk ~ 1 >
дать геометрическое истолкование инвариантов тензора /г, /а, /3 (см. 3.7).
Решение. Пусть а, 6, с—главные полуоси эллипсоида
^ikxixk = 1 •
повернутого произвольным образом относительно осей системы (хь хв> х3).
1. Находим величину полуосей эллипсоида а, Ь, с в направлении
осей (хг), (х3) и (х3).
*При х2 = х3«=0 имеем хх=а н Тца8 = 1.
Отсюда а=-7г=- Аналогично
Ктп
V 1 1
Ь = -7=; с^——.
К тм к т„
Следовательно,
Л = ти + Г„+ Тм=-=5+=,+^ =2 4--^+^ “inv.
Итак, сумма обратных квадратов трех взаимно перпендикулярных
полуосей эллипсоида не зависит от положения образуемого ими триэдра
и равна первому инварианту тензора, определяющего поверхность эллипсоида.
2. Уравнение эллиптического сечения х3=0 эллипсоида имеет вид
ixx i + 2Т + Т 32х8 «1.
?♦
— 131
Г лава третья. Тензорная алгебра
Главные полуоси этого эллипса равны у— и , где и —корни
у V а,2
уравнения
l^11—^12 [„.q
I ^12 ^22—^1
так что
Х1Х2 — Т 117*22 — Т*2.
Площадь этого сечения равна
F - *
Обозначим величины площадей остальных сечеиий (хг=«0 и *2=^)
через Fi н Г2- Вычисляя их, получим выражение инварианта /2 через
Л, ^2. F3:
/а = КэХ2+Х1Х84-Х1К2 = л2/— + — + — ) = +
\ Г 1 I 2 I 3/
Итак, сумма обратных квадратов площадей эллипсов, образованных
тремя взаимно перпендикулярными плоскостями, пересекающимися в центре,
не зависит от их положения и определяется величиной второго инварианта
тензора.
3. Объем тензорного эллипсоида равен
t/ 4л к
V = -х- abc
О
Определитель /3 в главных осях имеет вид
Отсюда
_16ла
73— др •
Итак, третий инвариант тензора определяется величиной объема тен-
зорного эллипсоида, которая одинакова в различных системах координат.
Задача 7. Найти разложение симметричного тензора 2-го ранга по
ортам собственных (главных) его направлений.
Решение. Пусть alt а2, а3—орты главных направлений тензора,
ковариантные компоненты которого равны T(k.
Тогда по определению главных направлений из (3.7,в) имеем 9 тож-
деств (a, i= 1, 2, 3):
(Tik а(«) =0,
где Ача)—собственное число, соответствующее вектору а(а>.
Умножая каждую группу уравнений на и суммируя по а, получим
з з
2 а\а)а<9)1 == 2 ^(а)^‘Л0(а)°(а)4*
а = 1 а = 1
132 —
Упражнения
Учитывая (2.45), получим окончательно
з
а = 1
что и представляет собой искомое разложение
Упражнения
1. Образовать скаляры путем свертывания
имеют вид:
тензоров, матрицы которых
1 0 5
0 6 3
2 4 3
5 0 1
3 6 3
4 5 4
3 5 3
4 4 4
3 2 6
2. Найти вектор, образованный умножением тензора иа вектор Л;
с последующим свертыванием по индексу вектора и: 1) первому индексу
тензора, 2) второму индексу тензора, если
II Л* 11 =
1 0 2
3 4 1;
1 3 4
Л = Л + 2/24-3/3.
3. Найти скаляр, образованный умножением тензора на векторы Л
и В с последующим свертыванием по индексу вектора Д и первому индексу
тензора и по индексу В и второму индексу тензора, если Tlk и Л заданы
условием предыдущей задачи, a £=4/1 + 5/24-6/3.
4. Дано:
1
2 3
5 6 ;
8 9
II Л-*ц =
4
7
А — Zi + 2i2 + 3/3.
Разложить тензор Tjk на
^•Л = —
♦ Наити:
симметричный и антисимметричный
Kikfyk* Sik&ik*
i}T!k-±bikTu-, ^Tilt-\bikTu^Ai-, (rik-jbikTa)AiAlt-,
5) показать, что если симметричный тензор, а К,*—антисимметрич-
ный, то 31ЛК^ = 0.
5. Найти инварианты тензора упражнений 1 и 4.
6. Найти главные значения и главные иаправлеиия тензоров.
1 0 0
0 2 3
0 3 4
1 2 0
2 2 0;
0 0 3
4 1 2
1 5 0
2 0 0
0 0 1
0 2 1
1 1 1
— 133
Г лава третья. Тензорная алгебра
7. Показать, что если —главные значения симметричного
тензора Tift, то
зз з
2 Ц=ТыТ1тТтк
1=1 1=1 1 = 1
8. Показать, что если А^аЧ/с; —скаляр при произвольных векторах
а, Ъ, с, то 4^ являются компонентами тензора 3-го ранга.
9. Показать, что если скаляр A^dx1 dxk dx1 =*0 при произвольных
дифференциалах, то
+ Л 231 + Л 3ia + 4 132 4-43з1 +
Дв1з —
Глава четвертая
Векторный и тензорный анализ
Физические свойства, имеющие тензорный характер, могут
меняться как с течением времени, так и от точки к точке
в некоторой части пространства.
Это приводит к рассмотрению тензор-функций скалярного
аргумента и радиуса-вектора точки:
Tlk = Tik(r, t).
Рассмотрение дифференциальных и интегральных операций
над тензор-функциями составляет предмет тензорного анализа.
4.1. Тензорное поле. Циркуляция
Тензор-функции скалярного аргумента. Если каждому допу-
стимому численному значению скалярной величины t соответ-
ствует одно вполне определенное значение тензорной величины
Tih, то говорят, что задана тензор-функция от скалярного
аргумента /:
T'lk — ТЛ (t).
Частным видом тензор-функции является вектор-функция
скалярного аргумента, рассмотренная ранее.
В некоторых случаях приходится рассматривать тензоры
второго и более высоких рангов как функции скалярного
аргумента.
Если напряженное состояние среды меняется с течением
времени, то в каждой точке надо рассматривать девять
функций времени р1* = Р1»(0> которые для каждого значения t
образуют тензор. По определению, производной по I от
тензора с компонентами pjk называется тензор, компоненты
которого (в неизменяемой с течением t системе координат)
вычисляются как пределы:
<&* .. Нт R* . (4 д)
dt Lt-. О д'
— 135
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Правила дифференцирования тензоров более высокого
ранга, чем векторы, по существу ничем не отличаются от пра-
вил, приведенных для векторов. Они всегда могут быть
установлены из определения тензора, его алгебраических
свойств и производной по скалярному аргументу.
Дифференцирование тензора по скалярному аргументу не
меняет его ранг.
Тензорное поле. Если каждой точке пространства или его
части (области) однозначно сопоставлен некоторый тензор, то
говорят, что задано поле этого тензора (или тензорное поле).
Частные виды тензорных полей—скалярное или векторное,
когда характеристикой поля является скалярная или соответ-
ственно векторная однозначная функция точки: ф = <р(г)
или 4 = 4 (г).
В атмосфере мы имеем дело со скалярными полями давле-
ния р = р(г), температуры Т=Т(г), плотности р = р(г).
Движение газа или жидкости приходится характеризовать
векторными полями скорости V=V(r), ускорения 1У=1У(г).
При изучении напряженного состояния среды необходимо
рассматривать тензорное поле напряжений p/ft = plfe(r).
Любое тензорное поле характеризуется однозначной функ-
цией точки, функцией радиус-вектора точки г.
Тензорные поля, которые меняются с течением времени,
называются нестационарными (неустановившимися). Их харак-
теристиками служат тензоры, являющиеся функциями точки
и времени:
<р = ф(г, I); А = А(г, /); pik = pik(r, t) и т. п.
Если тензор, характеризующий поле, имеет одинаковое
значение для всех точек, то говорят об однородном поле:
Ф = Ф(/); 4 = 4(Z); Р,* = Р,*(О и т. п.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать лишь непре-
рывные тензорные поля Тш. —Т1Ы (г). Это значит, что
разности
Тм (г-(-Дг)—(г)
по абсолютной величине могут быть сделаны как угодно
малыми при достаточно малом |Дг|.
Тензорный анализ является наиболее важной частью тен-
зорного исчисления, ибо именно тензорные поля, а не отдель-
ные тензоры, важны в приложениях. Тем не менее, конечно,
все операции тензорной алгебры справедливы и для тензоров,
образующих поля, если считать, что алгебраические операции
производятся над тензорами поля в каждой точке пространства.
136 —
4.1. Тензорное поле. Циркуляция
Рис. 4.1. Криволинейный интеграл и цирку-
ляция векторного поля
Например, сложение тензоров двух полей одинакового ранга
и размерности в каждой точке пространства приводит к построе-
нию нового тензорного поля того же ранга, являющегося
суммой двух полей слагаемых тензоров. Аналогично производятся
над тензорами полей в каждой точке пространства и другие
алгебраические операции (например, умножение, свертывание и
т. д.), которые приво-
дят к новым полям.
Циркуляция вектор-
ного поля. В векторном
поле А возьмем некото-
рую кривую AfjAfj
(рис. 4.1) и разобьем
ее с помощью точек г1(
г2.....гп на малые
участки:
= г i-i-
Составим сумму
п
/ = 1
где 4,-—значение вектора поля в какой-то точке участка Arf.
Предел этой суммы, если он существует при неограниченном
возрастании числа элементов Дг,. и убывании до нуля длины
всех элементов, называется криволинейным интегралом вдоль
МгМ2 и обозначается
п
lim V. = j A-dr = j А^х^ A£dx24- Aadx3.
Ari -»n ( = 1 м.м. м.м,
п -► «о
Здесь вектор dr направлен в каждой точке кривой по
касательной, а его модуль равен дифференциалу дуги кривой:
| dr | = Кdx* 4- dx* -{- dx* = dL.
Особый интерес представляют криволинейные интегралы,
которые берутся по замкнутому контуру (например, L на
рис. 4.1)
F=(j)A'dL. (4.2)
Здесь dL—направленный элемент контура, т. е. dL = tdL
(t—орт касательной, dL—дифференциал дуги контура).
Интеграл (4.2) называется циркуляцией вектора А по кон-
туру (L).
137
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Если вектор А представляет силу, то циркуляция этого
вектора по любому замкнутому пути дает работу силы при
перемещении материальной частицы по этому замкнутому пути.
Понятие циркуляции вектора тесно связано с понятием
так называемого вихря вектора (или ротора вектора)—это
будет показано ниже.
4.2. Теорема Остроградского и теорема Стокса
В этом параграфе мы рассмотрим две основные теоремы
математического анализа, устанавливающие связь между интег-
ралом по некоторой области и интегралом по границе этой
области.
Теорема Остроградского дает выражение интеграла по объему
через интеграл по поверхности, ограничивающей этот объем.
Теорема Стокса связывает интеграл по поверхности с криво-
линейным интегралом по контуру, который служит границей
этой поверхности.
Векторная формулировка этих теорем, на которой мы
остановимся позже (см. 4.4), делает их особенно наглядными,
и в таком виде они широко используются при изучении
скалярных и векторных полей.
Мы рассмотрим также ряд формул (см. 4.9), примыкающих
к теоремам Остроградского и Стокса и представляющих HHiepec
при изучении полей скаляров, векторов и тензоров 2-го ранга.
Теорема Остроградского. Если функции Р(хг, х2, х3),
Л ~ дР дО dR
Q(xlt х2, х8), R(xv х2, х8) и непрерывны внутри
объема х и на замкнутой поверхности S, ограничивающей т, то
J J J \.d*i Эх, 'dx3J
T
= УУ [Pcos(n, xJ + Q cos(n, x2) + Rcos(n, x8)]dS, (4.3)
s
где n—орт нормали, внешней к x (рис. 4.2).
Для доказательства справедливости формулы (4.3) достаточно
доказать, например, что
Rcos(«, x^dS.
Доказательство. Пусть любая прямая, параллельная
оси хи встречает поверхность S не более, чем в двух точках *
* Это ограничение несущественно, и от него легко можно освободиться
(см замечание 3).
138 —
4.2. Теорема Остроградского и теорема Стокса
М' и М” (рис. 4.2), в которых определены орты внешней нор-
мали п(М') и п (М№). Тогда, если S23—проекция поверхности S
на плоскость (х2хэ), получим для точек М' и М”, лежащих на
такой прямой
X S2s
Л
Рис. 4.2. К теореме Остроградского.
Теорема Остроградского справедлива для областей * ограни-
ченных кусочно-гладкими поверхностями любой формы. Область
может содержать «поры» (см t')
Но элемент dS23 проекции можно выразить через элементы
поверхности S у точек М' и М”:
dSl3=dS(M')cos[n(M'), xt] = —dS (ЛГ)-соз (я(ЛГ), xj.
Поэтому
SSS Kidx = SS ₽ ^dS (M)-cos [д (М), xj,
где точка М—текущая точка на поверхности S.
Аналогично устанавливаются формулы:
HJ^MW-cos(n’
X S
Т S
Теорема Остроградского доказана.
Замечания к теореме Остроградского.
1 Поверхность S, ограничивающая объем т, предполагается гладкой,
т. е. обладающей нормалью, которая непрерывно меняет свое направление
от точки к точке
— 139
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Теорема применима и в случае, если S—кусочио-гладкая, т. е. склеена
из конечного числа гладких кусков (например, поверхность призмы, пирами-
ды, цилиндра с донышками и т. п ). В этом случае теорему можно приме-
нить к каждой части объема т, ограниченной гладкой поверхностью, и
полученные результаты сложить *. Аналитически каждый гладкий кусок
кусочно-непрерывной поверхности при подходящем выборе системы коорди-
нат можно задать уравнением x3==f (xlt х2), где f—функция с непрерывными
частными производными 1-го порядка.
2. Поверхность S предполагается двусторонней, т. е. можно определить
положительное направление ее нормали так, что орт п, идущий в этом
направлении, указывает все время одну и ту же сторону поверхности.
3. Ограничение, состоящее в том, что прямые, параллельные коорди-
натным осям, пересекают S не более чем в двух точках, несущественно.
Действительно, если весь объем т не удовлетворяет этому условию
(например, т0 на рис 4.2), то его всегда можно разбить на конечное число
объемов, удовлетворяющих этому условию Тогда, применяя формулу
Остроградского к каждому из таких объемов и складывая результаты, по-
лучим слева интеграл по всему объему т0, а справа — интеграл только по
поверхности So, ограничивающей этот объем,_ибо интегралы по смежным
для составляющих объемов поверхностям (S, S на рис. 4.2) взаимно уни-
чтожаются, так как они вычисляются дважды, ио с прямо противополож-
ным направлением нормали.
4. Теорема справедлива также и для объемов с «порами», т. е. в слу-
чае объема (например, х' на рис. 4.2), ограниченного несколькими замкну-
тыми поверхностями (S', S", S'") Справедливость теоремы нетрудно уста-
новить, проведя внутри т' поверхность, рассекающую объем т' по «порам»
(например, плоскость на рис. 4.2), и применяя формулу Остроградского
к соседним объемам, которые уже не содержат «пор»
Пусть векторное поле А (г) в системе координат (хь х2, х8)
имеет компоненты:
W(*l. Х2> Хз)>
^2==Q (^1> Х2> Хз)’
Aa=R(Xl, Х2, х3).
Тогда формула Остроградского примет вид
X
= $ $ {Л, cos (га, х,) + 42cos(ra, х2) + 43cos (я, л,)} dS.
S
Если учесть, что компоненты орта внешней нормали п суть:
n^cosfn, Xj); n2 = cos(fl, х2); n3 = cos(rr, х8), то формулу
можно записать в виде
И-За)
т S
* См. замечание 3.
140 —
4 2. Теорема Остроградского и теорема Стокса
Выражение, стоящее в объемном интеграле, также имеет
векторную интерпретацию, на которой мы остановимся ниже
(см. § 4.4).
Теорема Стокса. Если функции Р (х1( х2, х3), Q (xt, х2, х3),
R (х1( х2, х3) и непрерывны на по-
' \Л1> 2. з/ j)Xi > $Хз > QXi > дХз gXi ’ gx2
верхности S в замкнутом контуре L, который является грани-
цей S, то
S
+ cos (л, x3)pS = ф Pdxl + Qdx2 + Rdx3, (4.4)
где п—орг нормали к поверхности S (рис. 4.3).
При этом важно условиться относительно направления об-
хода контура L и положительного направления нормали п.
Поверхность S предполагается двусторонней, а положи-
тельное направление нормали п на ней связано с положи-
тельным направлением обхода ее границы—контура L. Положи-
тельный обход контура L выбирается так, чтобы поверхность
Рис. 4.3. К теореме Стокса.
Теорема Стокса справедлива для кусочно-гладких поверхностей,
ограниченных либо одним контуром (см поверхность S), либо
несколькими контурами (см поверхность S') Положительное на-
правление нормали выбирается в любой точке поверхности так,
чтобы с направлением положительного обхода элементарного
контура у этой точки составлять правый вннт
оставалась всегда слева для наблюдателя, обходящего контур
так, что положительный орт п в точках у контура L направ-
лен от ног к голове наблюдателя. В любой точке поверхности,
таким образом, положительное направление нормали п с поло-
жительным обходом элементарного контура у этой точки состав-
ляет правый винт (рис. 4.3).
— 141
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Прежде чем переходить к доказательству теоремы Стокса,
рассмотрим случай, когда поверхностью 3 является плоская
область (о). Покажем, что в этом случае имеет место формула
И {^~^}d^-fPdxl + Qdx2.
о I
(4.4а)
Эта формула имеет
самостоятельное значение и выражает
теорему Грина.
Здесь Р (х1( х4), Q (х1( х2), ,
1/Л|
дР л. ,
-----непрерывные функции, а /—за-
мкнутый контур, являющийся грани-
цей плоской области а (рис. 4.4).
Предположим сначала, что контур
I пересекается прямыми, параллель-
ными (х2) только в двух точках.
Тогда в предположениях теоремы,
как известно из анализа, двойной ин*
теграл может быть представлен в виде
Ь (*1>
SS ^do==^^-dx1dx2^^dxl S ^dx2 =
ОП а ха=Ф1(х1)
b
= (*!, фа (хг))—Р (%1, фг (xj)] dxv
Но каждый интеграл в правой части представляет собой
криволинейный интеграл функции Р (х1( х4) по кривым АаВ и
ДРВ. Поэтому можно записать
УУ dо— У Р (Xj, х2)^— У Р (хъ x2)dXi.
0 2 AfiB АаВ
Меняя в первом интеграле направление интегрирования,
получим
У У = У (-^1» ^2) § Р (^i> ^2) =
a BfiA АаВ
= ф Р (х1( х2) dXj, (*)
1
где справа стоит криволинейный интеграл по замкнутому
контуру I, который обходится против часовой стрелки.
142 —
4.2 Теорема Остроградского и теорема Стокса
Аналогично предполагая, что прямые, параллельные оси (хх),
пересекают контур / только в двух точках, установим фор-
мулу
о I
Вычитая из (*♦) уравнение (*), получим формулу Грина
(4.4, а).
Переходим к доказательству теоремы Стокса.
Предположим, что прямые, параллельные оси х3, пересе-
кают поверхность S только в одной точке (рис. 4.3). Проек-
ция поверхности S на плоскость (х1( х2) даст плоскую об-
ласть о12, а проекция контура L даст границу области о12 —
замкнутый контур I. За положительный обход контура I при-
нимают направление обхода против часовой стрелки, так что
с положительным направлением оси х3 этот обход составляет
систему правого винта. Соответственно устанавливается обход
контура L, а положительное направление внешней нормали на
поверхности S таково, что ее орт п составляет с осью (х3)
острый угол. Тогда
do12 = dS-cos(ra, х3\,
cos (га, х3) > 0.
Преобразуем интеграл
<f Р(хъ х2, x3)dxt,
используя тот факт, что контур L принадлежит поверхности S,
уравнение которой может быть записано в виде х3 = /(х1( х2).
Поэтому, если заменить под знаком интеграла х3 на f(x2, х2), то
подынтегральная функция Р [хп х2, f(xlt х2)] будет содержать
только переменные xt и х2, которые для переменной точки на
крнтуре L имеют то же значение, что и в соответствующей точке
на контуре I. Поэтому интегрирование по L можно заменить
на интегрирование по I, т. е.
<f Р (xlt х2, х3) dxt = ^P [xlf х2, f (xlt х2)] dxt.
L I
Применяя к этому интегралу формулу Грина (4.4, а) и учи-
тывая, что х2 входит в выражение для Р как непосредственно,
так и через посредство x3 = f(xlt х2), найдем:
<f Р[хъ х2, f(xt, x2)]dx1 =
i
_____СГ [ dP [Х1. X». /(Xi, xaJ dP (Xj, xt, /(Xi, xa)] df 1 ,
~ J J L dxa + df
— 143
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Выражая элемент do 12 через dS и переходя к интегралам
по контуру L и поверхности S, получим
ф Р(Хи Х„ X3)dx2 =
ff сю(
J J L 0*3 |
S
Как известно*, косинусы углов, которые составляет внеш-
няя нормаль к поверхности x3 — f(xlt х2), с координатными
осями имеют выражения:
cos (га, х.) = —====.;
' 1 ± К1+р2+ <?*
cos (га, л») — —г т--;
’ ± / 1+р2 + ^
cos (га, х3)=—7===.,
где
л-Л- л-А
Р dxt ’ У дх2 ’
Отсюда, выбирая в формулах нижний знак (ибо cos(n, х3)>0),
имеем:
— cos (га, х3) =— cos (га, х2).
Тогда формула (***) примет вид
И Kcos (я, х2) — cos (га, хз)] dS.
L S
Рассматривая другие функции — Q(xb х2, х3) и /?(х1( х2, х3) —
и совершая циклическую перестановку координат х2, х2, х3,
получим две аналогичные формулы:
fQdx'=^ [g cos(«, x3)-gcos(ra, x,)] dS;
^fldx3 = Jj cos (n, xj—^ cos(n, x2)] dS.
L S
Складывая полученные формулы, получим формулу (4.4).
Теорема Стокса доказана.
В 4.9 мы дадим более наглядное, хотя и не такое строгое,
доказательство теоремы Стокса, исходя из ее векторной форму-
лировки. Здесь же мы приведем еще несколько замечаний,
* См., например, В. И. С м и р н о в. Курс высшей математики, т. 1, § 155.
144 —
4.2. Теорема Остроградского и теорема Стокса
относящихся в равной степени как к формуле Грина, так и к
формуле Стокса; эти замечания, в частности, снимают ограниче-
ния относительно условий пересечения поверхности S и обла-
сти а прямыми, параллельными координатным осям.
Замечания к теореме Стокса.
1. Поверхность S предполагается гладкой или кусочно-гладкой.
2. Поверхность S может быть как угодно расположена относительно осей
системы координат (xtx2x^ (см. So иа рис. 4.3), а также может иметь гра-
ницу в виде нескольких замкнутых контуров (например, поверхность S' на
рис. 4.3)
Поверхность So всегда может быть разрезана на конечное число под-
ходящих кусков, к которым применяется теорема Стокса, затем результаты
складываются (ср. замечание 3 к теореме Остроградского). Поверхность S'
можно разрезать, например, по АВ и считать за ее границы контуры L, Г
и два берега АВ. Тогда к такой поверхности можно применить формулу
Стокса. При «склеивании» по А В криволинейные интегралы по двум бере-
гам А В взаимно уничтожаются, ибо оии вычисляются в противоположных
направлениях, и останутся только интегралы по L и Т.
Пусть векторное поле А (г) имеет в системе (хп х2, х3) ком-
поненты:
4! = P(Xi, х2> х3)-,
Л2 ~ Q (*!» ^2> Хз)«
Ая = R (xlt х2, х8).
Тогда формула (4.4) примет вид
ST1) cos("’ Х1)+ (^Г—cos<"’ **) +
UXg С/Х3 J \ UX3 l/Xj у
+ cos(n. х3)}^5 = ^Л1^х1 + Л24/х2-|-ЛзЙХз. (4.5)
Если обозначить дифференциал радиуса-вектора вдоль кон-
тура L через dL = Z1dx1 + /2dx24-/3dx8, то правая часть этой
формулы может быть записана в виде
($A-dL.
L
Векторную интерпретацию левой части формулы мы приведем
позже (стр. 466).
Связность области. Преобразуя интеграл по контуру в интег-
рал по поверхности по формуле Стокса, надо всегда помнить,
что и контур L, и поверхность S, для которой контур L слу-
жит границей, должны целиком лежать в рассматриваемой обла-
сти, где выполнены условия теоремы Стокса. Однако могут быть
такие области, что не для каждого контура L, лежащего цели-
ком в рассматриваемой области, можно выбрать соответствую-
щую поверхность S.
Например, если область представляет из себя внутренность
тора, то дтя контура (рис. 4.5) нельзя подобрать такую
10 Зака а ЗбЮ — 145
О
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Двухсвявная область вне тора мо-
жет быть сделана одиосвязной,
если к ее границам добавить пере-
понку (2b закрывающую отверстие
кольца Двухсвявная область вну-
три тора станет односвязной, если
к ее границам присоединить перего-
родку (а)
поверхность, которая была бы ограничена этим контуром и
лежала целиком внутри тора. Если рассматривается область вне
тора, то для контура L2 нельзя выбрать поверхность, для кото-
рой границей служил бы только
этот контур и которая не пересе-
кала бы тора, т. е. находилась це-
ликом в области вне тора.
Односвязной называется область,
в которой любой замкнутый кон-
тур может быть стянут в точку
непрерывным образом, не пересекая
границ этой области. Односвязными
областями являются: все простра-
нство, вся плоскость, часть пло-
скости, ограниченная одной замкну-
той кривой, область внутри (или вне)
шара, куба и т. п.
Если вырезать из всего прост-
ранства некоторую кривую, замкну-
тую или простирающуюся на беско-
нечность, то в таком пространстве можно найти контур, ко-
торый нельзя стянуть в точку, оставляя его все время в рас-
сматриваемой области. Такое пространство дает пример двух-
связной области (рис. 4.6). Пространство внутри (или вне) то-
ра—двухсвязное (рис. 4.5).
Рис. 4.6. Одно- и миогосвязные области:
а) область вие шара является одиосвязной; любой контур L можно
стянуть в точку ие выходя за пределы области; б) двухсвязные области:
область вие трубки, плоскость вне выреза — контур L невозможно стя-
нуть в точку, не пересекая трубки (выреза); в) трехсвязные области:
область вие двух трубок, плоскость вне двух вырезов
Могут быть трехсвязные области (рис. 4.6) и вообще обла-
сти п-й связности. Область n-й связности может быть превра-
щена в односвязную область присоединением дополнительных
границ, «запрещающих» те контуры, которые не могут быть
стянуты в точку. Например, область внутри тора может быть
сделана односвязной, если присоединить к ней границу в виде
146 —
4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Оператор V
перегородки о (рис. 4.5); область вне тора будет односвязной,
если к ее границам добавить поверхность 2), закрывающую
отверстие кольца.
4.3. Скалярное поле.
Производная по направлению. Оператор ч
Поверхности уровня. Геометрической характеристикой ска-
лярного поля являются поверхности уровня.
- Рассмотрим скалярное поле величины <р в системе декар-
товых координат (Xi, х2, х3), так что
ф = ф(Г) = ф(хг, х2, х3).
Те точки, для которых скаляр ф принимает некоторое оди-
наковое значение С, образу-
ют поверхность
Ф(хп х2, х3) = С.
Такая поверхность носит
название поверхности уровня
или изоповерхности.
Придавая различные зна-
чения С, мы получим набор,
семейство поверхностей уро-
вня, на каждой из которых
скаляр принимает постоян-
ное значение (рис. 4.7).
Семейство поверхностей
уровня в некоторой степени
наглядно характеризует ска-
лярное поле. Места сближе-
ния изоповерхностей указы-
Рис. 4.7. Поверхности уровня ска-
лярного поля
вают на быстрое изменение здесь функции ф в поперечном на-
правлении.
Изоповерхности для однозначного поля ф не пересекаются,
ибо в этом случае в точках пересечения функция ф имела бы
несколько значений, что невозможно.
Наиболее существенной характеристикой скалярного поля
является дифференциальная его характеристика — градиент ска-
лярного поля.
Градиент скалярного поля и производная по направлению.
Дифференциальная характеристика скалярного поля является
обобщением производной по скалярному аргументу.
При анализе поведения функции f(t) скалярного аргумента
в некоторой точке — главную роль играют значения
ю*
— 147
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
df cPf , гт
производных ~и т. д. в этой точке. При этом производ-
ил
ная I J; ] , если она существует, позволяет судить о том, как
быстро изменяется функция f(t) при смещении из точки М по
оси аргумента t в положительном направлении этой оси. Как
известно, эта производная является численным значением бы-
строты изменения функции в точке М вдоль положительного
направления оси аргумента t.
В случае скалярного поля, определяемого функцией ф трех
переменных хъ х2, х3, составляющих вектор r= ii-Vi-r /2*2 +4*3.
можно ожидать, что совокупность значений трех производных
в некоторой точке поля М: — позво"
лит определить, как быстро меняется поле ф(хь х2, х3) = ф(г)
при смещении из точки М по любому направлению в поле.
Если в каждой точке поля ф(*1, х2» хз) существуют производи
dw д(р дф
ные дх ’ дх ’ дх ’то их совокУпносгпь составляет вектор и позво-
ляет найти быстроту изменения поля по любому направлению.
Ранее (стр. 95) было показано, что три величины образуют
вектор.
Этот вектор называется градиентом поля <р и обозначается
gradtp. Если /2, /3—орты декартовой системы (Д), то
Рассмотрим теперь, как при помощи grad q> можно опре-
делить быстроту изменения поля по любому направлению. Сред-
няя быстрота изменения поля
Ф при смещении из точки М в
М' по некоторому направле-
нию, определяемому ортом
характеризуется отношением
Ф (ЛГ) —ф(М)
(4.6)
Рис. 4.8. Производная по направ-
лению и по кривой. По направле-
нию поле меняется быстрее, чем
по I
где М'М—величина смещения
по направлению I (рис. 4.8).
Ясно, что это отношение
будет другим для направления
1г (см. рис. 4.8), ибо хотя
находятся на одной поверх-
<р (ЛГ) = Ф (ЛГ) (точки М' и М"
ности уровня), но М'М М"М.
Таким образом, по некоторым направлениям поле меняется
быстрее, по некоторым — медленнее.
148 —
4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Оператор у
Предел этого отношения, если он существует, когда точка М'
приближается по прямой I к М, называется производной от ф
в точке М по направлению I и обозначается :
dl м™м М’М •
Эта производная и есть численное значение быстроты измене-
ния поля ф в точке М в направлении I.
Если ф(Л4)==ф(х1, х2, х3), то
Ф(ЛГ) =
=ф[х1+ЛГЛГсо8(/, хх), x2 + M'M-cos(l, х2), x3+Af'Afcos (1> ^з)]*
Разлагая ф(ЛГ) в ряд Тейлора, получим
ф(М') = ф(Л4) + [^-cos(/, хх) + cos (/, х2) +
+ ^-соз(/, х3)1 М’М + О(М'М2),
0XS J
где 0(М'М2)—величина второго порядка малости относительно
смещения Af'Af.
_ dtp
Тогда, вычисляя получим
+ Ueos(l,x,) = /,g.. (4.7)
Это выражение может быть записано в виде
^ = Z-grad9. (4.8)
Следовательно, производная от ф по направлению I равна
проекции градиента ф на это направление.
Таким образом, если в точке поля определен grad ф, то
всегда можно найти быстроту изменения поля вдоль любого
заданного направления. Поэтому говорят, что gгadф является
мерой неоднородности скалярного поля ф.
Как видно, вектор gradф в любой точке поля определяет
бесконечную совокупность производных по направлению функ-
ции ф. В выражении для характеристика поля (однознач-
ная вектор-функция точки gгadф) и характеристика направле-
ния (орт I, не зависящий от поля ф) разделены.
Производная по кривой. Понятие производной по направлению тесно
связано с понятием производной по линии или производной по кривой.
— 149
I лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Рассмотрим кривую s, проходящую через точку М, в которой направ-
ление к этой кривой совпадает с направлением I (рис. 4.8).
Если вычислить предел __
d£= ljm ф(М')—ф(Л1),
ds = M'-+M As
где M'—точка на кривой (s), a As—длина дуги M'M по кривой (s), то
получим
Действительно, если уравнение кривой (s) записать в виде (s — пара-
метр, представляющий длину дуги кривой):
*i = *i(s);
x2 = x2(s);
то ф = ф[*1(8), x2(s)t x3(s)]. Поэтому, используя правило дифференциро-
вания сложных функций, получим *
^Ф _ дф dxt дф dx2 ! дф dx3 _
~ds~^Jx[ ds ' дх2 ds дх3 ds ~
ЧгхС05«' xj + ^cosf/, x,) + ^cos(Z. х,)=^.
„ с/ф „ Л
Производная называется производной поля ф по линии s. Она,
следовательно, численно равна производной по направлению, касательному
в рассматриваемой точке к данной кривой.
Свойства градиента скалярного поля. Для выяснения свойств
градиента поля запишем (4.8) в виде
§ = | grad <р | cos (/, grad ф).
Отсюда следует:
1. Быстрота изменения поля имеет наибольшее значение
в направлении gradф [когда cos(/, gгadф)=l] и равна
(u.=^ra^i=/(^’+(a)'+(ay-
2. Вектор gradф направлен по нормали к noetpюности уровня
в сторону возрастания функции ф.
Действительно, если орт I лежит в плоскости, касательной
к поверхности уровня, то по определению этой поверхности
[ф(хх, х2, х3) = const] для любой кривой, лежащей на поверх-
ности уровня и касающейся I, имеем ^ = 0, а вследствие (4.9)
dx ’
* Относительно равенства -^~cos(l, X/) см. задачу 1, гл. 4.
150 —
4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Оператор у
имеем ^ = 0. Значит вектор grad <р (| grad ср | =А 0) направлен по
нормали к поверхности уровня, а вследствие =
\ / шах
= I grad ф I > 0—в сторону возрастания значении ф (рис. 4.9).
Отсюда следует, что если п—орт нормали к поверхности
уровня, направленный в сторону роста <р, то
£ = |grad<p| и grad<p = ng.
(4.Ю)
мали к поверхности уровня
в сторону возрастания ф
Оператор V и другое определение grad ф. Векторное поле
градиента скаляра ф имеет ряд особенностей, на которых мы
специально остановимся в 4.10.
Сейчас нам важно отметить, что
для его построения надо проделать
над функцией ср ряд операций:
взять частные производные от ф,
умножить на соответствующие ор-
ты и сложить—тогда получим век-
тор grad ф. Обычно совокупность
этих операций обозначают одним
символом—оператор V (набла), ко
торый, таким образом, в прямоуголь-
ных декартовых координатах имеет
вид
v = fl5^+/i! Д + <4Л1)
Будучи применен к скаляру ф, этот оператор дает вектор-
ное поле градиента ф, так что в прямоугольных декартовых
координатах
V<p = grad<p = Zfc|2-. (4.12)
Вектор gradф может быть определен независимо от системы
координат. Применим формулу Остроградского (4.3, а) для спе-
циального вида векторного поля
4 = ^(xb х2, х3),
где с—вектор произвольный, но постоянный.
Подставляя это выражение для А в (4.3, а), получим вслед-
ствие постоянства с
Йга(^ф^т — J J cpnds) =0.
Поскольку вектор с произволен, то равенство нулю скаляр-
ного произведения на другой вектор означает равенство нулю
— 151
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
этого вектора, т. е.
55$ grad ф dr = cptidS. (4.13)
х s
Пусть теперь т малый объем, окружающий некоторую точку
М скалярного поля ф. Возьмем какую-либо из компонент §гадф,
например . Тогда по теореме о среднем имеем
fff = т,
X
где точка М'— какая-то средняя точка объема т.
Следовательно,
(Mk-Hhcos<n’
S
Будем теперь стягивать объем т к точке М так, чтобы его
поверхность S также стремилась к нулю. Тогда средняя точка
М' сольется с Л! в силу непрерывности и
VИ’’c°s(n’ x')dS-
Т->0 5
Так как аналогичные соотношения справедливы для других
компонент, то
(V<₽)Af = (grad ф)ж= lim 1 f С <pndS. (4.14)
S-Ю *
'Т-+ о *
Это равенство, если предел справа существует, может слу-
жить определением градиента скалярного поля. Преимущество
этого определения состоит в том, что оно не содержит ника-
кого указания на координатную систему и потому может быть
использовано для определения проекции градиента на оси лю-
бой системы координат (косоугольной декартовой, криволиней-
ной и т. п.).
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь
векторного поля. Дифференцирование вектора
по направлению
Векторные линии. Геометрической характеристикой вектор-
ного поля могут служить векторные линии
Векторными линиями поля А (г) называются кривые, в каж-
дой точке которых касательная имеет направление вектора
в этой точке (рис. 4.10).
152 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
Рис. 4.10. Векторные линии
поля А (г)
Векторные линии поля grad <р представляют собой кривые
ортогональные в каждой точке к поверхностям уровня <p = const;
это—линии быстрейшего изменения функции <р(г).
Векторные линии поля скоростей вращающегося твердого
тела представляют концентрические окружности с центрами на
оси вращения, а векторные линии
поля скоростей твердого тела, движу-
щегося прямолинейно—прямые линии.
Векторные линии поля скоростей
движущейся жидкости—линии тока—
в общем случае имеют различный вид
в разные моменты времени [ V— V(r,
/)]; в случае стационарного поля ско-
ростей [У=У(г)], т. е. когда движе-
ние жидкости установившееся, вектор-
ные линии имеют неизменный вид и
представляют траектории частиц жид-
кости. В тех местах, где линии тока
сгущаются, движение жидкости более интенсивно, скорость
движения здесь возрастает * **.
Если задано векторное поле Д = 4(г), то, по определению
векторной линии, ее элемент dr, направленный по касательной,
коллинеарен с вектором А в данной точке, т. е.
drxA = 0.
Это есть векторная форма дифференциального уравнения
векторных линий. Отсюда, учитывая пропорциональность ком-
понент коллинеарных векторов, получим в декартовой системе
координат
dXj _ dx3 _ dx3 .5
Л,(х,( х3, х3) AtiXi, х3, х3) ЛЭ(Х1, х„ х3) ‘ V • ;
Проинтегрировав эту систему двух дифференциальных урав-
нений, получим семейство векторных линий поля А (г).
В случае нестационарного поля А (г, t) дифференциальное
уравнение векторных линий имеет аналогичный вид: при этом
время t надо рассматривать как фиксированный параметр, оп-
ределяющий в каждый момент времени вид семейства линий
тока.
Если в некоторой точке, то через нее проходит
одна и только одна векторная линия, касательная к которой
* В сверхзвуковом потоке—наоборот, скорость в местах сгущения
векторных линий убывает.
** Теорема существования решения системы (4.15) требует, кроме
А / 0, еще и непрерывности А3, А3 вместе с их первыми производными
по координатам.
— 153
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Рис. 4.11. Поток векторно-
го поля через поверхность
в данной точке имеет определенное направление, т. е. совпадает
по направлению с вектором поля; уравнение какой-либо линии
тока выделяется из семейства определением постоянных инте-
грирования из условия прохождения через данную точку.
Если в какой-то точке 4 = 0 (все знаменатели (4.15) обра-
щаются в нуль), то направление векторной линии в этой точке
становится неопределенным; через эту
точку может проходить бесконечное
множество линий, может и не прохо-
дить ни одной. Такие точки являются
особыми точками системы уравнений
(4.15).
Векторные линии могут дать неко-
торые сведения о структуре векторно-
го поля. Более существенны диффе-
ренциальные характеристики вектор-
ного поля.
Поток векторного поля. Пусть дву-
сторонняя и кусочно-гладкая поверх-
ность S, замкнутая или незамкнутая, помещена в векторное
поле 4 = 4 (г). Рассмотрим ее элемент dS и определим в неко-
торой точке этого элемента положительный орт нормали п и
вектор поля 4 (рис. 4.11).
Потоком векторного поля 4 (г) через элемент dS называется
величина
A-ndS = AndS.
Потоком векторного поля А(г) через всю поверхность S на-
зывается поверхностный интеграл
JJ A-ndS — ^ AndS. (4.16)
s s
Этот интеграл определяется как для замкнутой, так и для
незамкнутой поверхности S. Поверхностный интеграл пони-
мается как сумма соответствующих интегралов по гладким
кускам, составляющим поверхность. Скалярное произведение
А'П выражает проекцию вектора поля на положительное на-
правление нормали п. Понятие потока векторного поля опре-
делено независимо от системы координат; в системе декартовых
координат поток может быть записан в форме
J J A'tidS= {^icos(x1, я) + 42cos(x2> и) + 43cos(x3, n)}dS.
s s
Смысл понятия потока векторного поля через поверхность поясним иа
характерном примере.
154 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
элемент аъ с внешней нор-
определяет элементарную трубку тока
Рис. 4.12 Поток векторного поля ско-
рости движения жидкости через по-
верхность численно равен объему жид-
кости, протекающей в единицу вре-
мени через эту поверхность
Пусть в пространстве задано стационарное движение несжимаемой
жидкости, заполняющей неразрызно данное пространство, так что вектор
скорости течения жидкости У=Г(г) есть непрерывная функция точки.
Определим количество жидкости, протекающей в единицу времени че-
рез некоторый кусок гладкой поверхности S (рис. 4.12JL
Рассмотрим на поверхности
малью л. Контур этого элемента
АВ — поверхность, образованную
векторными линиями, проведенны-
ми через точки небольшого замк-
нутого контура. Через любое по-
перечное сечение трубки прохо-
дит в единицу времени одина-
ковое количество жидкости Чтобы
подсчитать это количество, заме-
тим, что за единицу времени di
через dS пройдет объем жидкости,
равный объему цилиндра с основа-
нием dS и образующей | V | dt, а
высоту А этого цилиндра, очевид-
но, равна проекции вектора Vdt
иа нормаль к основанию, т. е.
А = | V\dt cos (л, V)l = l V-n\dt.
Следовательно, в единицу времени
через элемент dS пройдет в на-
правлении п объем жидкости,
равный
dQ = | V | cos (л, Г) dS = V ndS.
Полный объем Q жидкости,
протекающий в единицу времени
через всю поверхность S, получается интегрированием dQ по всей поверх-
ности, т. е.
V-ndS.
s
Таким образом, поток векторного поля скорости V несжимаемой жид-
кости через элемент поверхности dS численно равен объему жидкости, про-
текающей в единицу времени через соответствующую трубку тока, а поток
V через поверхность S (замкнутую или незамкнутую) численно равен объ-
ему жидкости, протекающей в единицу времени через эту поверхность.
Если жидкость несжимаема, то для подсчета массы жидкости, проте-
кающей через поверхность S в единицу времени, достаточно объем умножить
на постоянную всюду плотность жидкости, т. е.
т —pQ = p J J V*ndS.
s
В случае несжимаемой жидкости необходимо для подсчета задать ска-
лярное поле плотности, т. е. р = р(г). Тогда масса жидкости, протекаю-
щей в единицу времени через поверхность S. равна потоку вектора р (г) V(г)
через эту поверхность, т. е.
т
pV-ndS.
(4.17)
— 155
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Величина A-ndS положительна, если А и п образуют ост-
рый угол, и отрицательна, если эти два вектора образуют ту-
пой угол. Следовательно, в нашем примере Q = JJ V-ndS пред-
s
ставляет собой избыток жидкости, протекающей в сторону
положительной нормали я, а не абсолютное количество жид-
кости, прошедшей через S независимо от направления течения.
В связи с этим особо отметим случай замкнутой поверхно-
сти (30 на рис 4.12), ограничивающей некоторый объем т.
Условимся всегда направлять п во внешнюю часть простран-
ства так, что движение жидкости в сторону положительной
нормали п означает «вытекание» из объема т, а в сторону
(—ж)—«втекание». Тогда величина потока Q, вычисленная для
замкнутой поверхности, даст разность между жидкостью, вы-
текающей из объема, ограниченной этой поверхностью, и жид-
костью, поступающей в этот объем. Равенство нулю потока
скорости жидкости через замкнутую поверхность означает, сле-
довательно, что в объем т втекает жидкости столько, сколько
и вытекает. Если поток Q положителен, то в объеме т есть
источники, т. е. такие места, где жидкость как-то создается
(например, трубочки, из которых выбрасывается дополнительно
жидкость, куски тающего льда и т. п.). Если поток Q отри-
цателен, то в объеме т есть стоки, где жидкость как-то «унич-
тожается» (замерзает, испаряется и т. п.).
Если жидкость сжимаема, т. е. плотность р = р(г), то роль
источников для потока скорости могут выполнять места раз-
режения, уменьшения плотности, а роль стоков—места уплот-
нения, увеличения плотности. Действительно, поскольку масса
жидкости остается неизменной и уменьшение плотности озна-
чает увеличение объема, занимаемого жидкостью, то из мест
разрежения появится дополнительный поток жидкости, увели-
чивающий ее скорость.
Таким образом, величина потока вектора через замкнутую
поверхность позволяет некоторым образом оценить поведение
поля в области, ограниченной этой поверхностью. Однако такая
оценка для конечной области может оказаться весьма прибли-
женной. Например, равенство нулю потока поля скорости
жидкости через замкнутую поверхность может означать или
отсутствие внутри объема, ограниченного ею, источников и сто-
ков, или наличие источников и стоков равной мощности *,
или, по крайней мере, наличие такого распределения источни-
ков и стоков, что их общая мощность равна нулю.
* Пол мощностью источника (стока) понимается количество жидкости,
которое выбрасывается (забирается) в единицу времени источником (стоком).
156 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
В связи с этим оказывается удобным ввести в рассмотре-
ние локальную, точечную характеристику распределения источ-
ников и стоков в данном поле жидкости, так называемую ди-
вергенцию* скорости.
Рассмотрим подробнее понятие дивергенции векторного поля.
Дивергенция векторного поля. Векторная формулировка тео-
ремы Остроградского. Дивергенция векторного поля А (г) яв-
ляется скалярной функцией точки и, таким образом, образует
скалярное поле, построенное по данному векторному полю.
Фиксированную точку М векторного поля окружим произ-
вольной замкнутой поверхностью S, вычислим поток вектора
А через S и разделим на величину объема т, ограниченного S:
HP-"-'5-
При гидродинамической интерпретации потока вектора эта
величина может быть названа средней мощностью источников
и стоков в объеме т, приходящейся на единицу объема.
Может оказаться, что существует предел этого отношения,
когда объем т стягивается по произвольному закону к точке М
так, что площадь поверхности S, ограничивающей этот объем,
и величина объема т стремятся к нулю. Тогда этот предел на-
зывается дивергенцией поля А в точке М и обозначается (div А)м.
Таким образом, по определению
(div4)M= lim ^-CC4.«dS. (4.18)
Т->0 Т J J
s
Значение этого предела не должно, по определению, зависеть
от вида поверхности S.
. Не для всякого векторного поля А можно построить поле
дивергенции div А.
Дивергенция векторного поля А существует в каждой точке,
если компоненты поля Alt Д2, Аа непрерывны вместе с част-
ными производными по координатам.
Доказательство этого утверждения следует из теоремы
Остроградского. В предположении существования и непрерыв-
ности Аг, Аг, А3, из формулы (4.3,а) имеем:
OXi 0Х%
S т
* divergentia (лат.) —расходимость.
— 157
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Если область т стягивается к некоторой своей внутренней
точке М, то интеграл справа имеет предел, равный
. дА2 . <М3*\
' дх2 ф дх3 )м'
Тогда, следовательно, должен существовать и предел левой
части, который по определению (4.18) равен дивергенции поля
А в точке Л!.
Таким образом, div А в декартовых координатах вычисляется
по формуле
Рис. 4.13, Вычисление div Л в прямоугольных декар-
товых координатах
(4.19)
Это же выражение можно получить непосредственно, если подсчитать
поток вектора Д через поверхность бесконечно малого параллелепипеда
с гранями, параллельными координатным плоскостям. Выбор такой поверх-
ности не ограничивает общности определения div 4, ибо предел (4.18) не
зависит, по определению, от формы поверхности.
Пусть ASlt Д$2, AS3—площади граней бесконечно малого параллеле-
пипеда (рис. 4.13), перпендикулярных соответственно осям хр х2, х3. На
противоположных гранях орты нормалей равны lk и — ik, где ik — орт
оси (xk). Тогда
div4=» Пт -1П A ndS -
т-»о т J J
— 11m •i-{|/r4(x1+Ax1, x2> xs)—it.A(x!, xit x3)]ASt+ ...} =
== lim |[41 (XjAxj, x2, x3)—*4i(X|, x2, x3)J AS^-j-...} =
1 dAk
“lim T qx~
t-о A=1
158 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
Поскольку
= AXgA<Sg Т»
ТО
Л I дА* I дАз
v A = dxic дхг ~*~дхг ' дх3
Следует, однако, подчеркнуть, что скалярное поле div А вве-
дено независимо от координатной системы и в выражении (4.18)
правая часть, очевидно, не зависит от выбора системы коор-
динат.
Для того чтобы получить выражение div4 в любой другой
сцстеме координат, можно воспользоваться определением (4.18),
где в качестве бесконечно малой поверхности S выбирать по-
верхность, состоящую из кусков координатных поверхностей.
Используя понятие дивергенции, введенное независимо от
координатной системы, можно записать формулу Остроград-
ского (4.3, а) в виде
JJJ div4dt = JJ A-ndS. (4.20)
% s
В таком виде формула Остроградского имеет широкое при-
менение во многих разделах теоретической физики.
Таким образом, теорема Остроградского может быть сфор-
мулирована так:
Интеграл по объему от дивергенции векторного поля равен
потоку поля через поверхность, ограничивающую этот объем, если
компоненты поля вместе с их частными производными непре-
рывны в объеме и на поверхности.
Используя выражение (4.11) для оператора V, можно запи-
сать div А в виде
')i^=^‘=i>s7,-4=’-4- (<21)
Таким образом, в этом случае применение оператора V
к вектору А означает скалярное умножение символического
вектора V на данный вектор А.
Рассматривая выражения (4.14) и (4.18), мы можем придать
оператору V вид, не зависящий от системы координат:
V(...) = lim Iff л(...М5. (4.22)
х-*о 1
Эта символическая запись устанавливает, что применение
оператора V к некоторому выражению (...), скаляру <р или
вектору А означает вычисление определенного предела, стоя-
— 159
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
щего справа в (4.22), а именно:
Vq> = Пш С \ n<pdS;
V-Л = lim n-AdS.
Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих физический смысл ди-
вергенции векторного поля.
1) Дивергенция поля скорости жидкости. Рассмотрим стационарное
поле скорости У (г) жидкости. Выберем в нем некоторую точку М и ок-
ружим ее поверхностью S, ограничивающую объем т Если поток скорости
через эту поверхность положителен и, следовательно, ~ ГС r*/idS>0, то
s
это значит, что из области т через S вытекло жидкости по объему больше,
чем вошло. Если в области т нет ни источников, ни стоков, то тогда мы
должны заключить, что в области происходит расширение жидкости, т. е.
уменьшение ее плотности. Величина — V>ndS характеризует в среднем
s
это объемное расширение жидкости в области т в единицу времени, т. е.
она представляет собой среднюю скорость объемного расширения (или
сжатия, если она отрицательна) жидкости в об-
ласти т. Следовательно, предел
Рис. 4.14. Выделение
особой точки в нача-
ле координат
(div V)M = V ndSt
(Й -+ М S
если он существует, характеризует скорость изме-
нения объема жидкости в точке (М). Это означает,
что если частица жидкости в точке М имела объем
Дт, то через единицу времени ее объем будет Дт',
причем
Дт'= Дт (1div Г).
Естественно, что в поле течения несжимае-
мой жидкости, лишенной источников и стоков, в
каждой точке div Г=0.
2) Уравнение неразрывности. В случае стацио-
нарного движения жидкости в любую замкнутую
область в единицу времени войдет по массе столь-
......__, _______ н выйдет, если внутри этой области нет источников
н стоков. Таким образом, учитывая (4.17), получим
поверхности
ко жидкости, сколько
для любой замкнутой
р V-ndS = Q.
Если плотность и скорость жидкости в каждой
с течением времени, т. е. p=«p(r, f), V=V(r, /),
точке может меняться
_г_____________ , , , то в области т, огра-
ниченной поверхностью S, в единицу времени происходит изменение массы
жидкости, равное
ж
160 —
4 4. Векторное поле Дивергенция и вихрь векторного поля
Поскольку область т ан н мает некоторый фиксированный объем, то
X X
Это изменение массы жидкости внутри неподвижной поверхности
должно быть равно той массе, которая прошла в область т через поверх-
ность S, т. е.
т S
(Знак (—) здесь поставлен в связи с тем, что + JJn-pVdS определяет
\ s
массу, вытекающую из т, так как л —орт внешней к т нормали^
Воспользовавшись формулой Остроградского для преобразования пра-
вой части этого выражения, получим
Ш (я +dl’ р'')
т
Так как это уравнение имеет место для любого объема т, то при непре-
рывности подынтегрального выражения имеем:
|£ + divpV=0. (4.23)
Это—известное уравнение неразрывности аэромеханики.
3) Поле источников и стоков. Рассмотрим векторное поле вида
где <7 = const, г —+ радиус-вектор. Вычислим дивергенцию
этого поля. Получим:
дАх <7(га-3х*)
дх{ ~ г5 *
дД2 <7 (г2— Зх2)
дх2 ““ г6
дАа q(r»—3x*)
дх3 ~~ г6
Отсюда, во всех точках, кроме начала координат (г=0), имеем:
div4=^i+JL»+^=34-^=o.
дхг дх2 дх3 г3 г®
В начале координат div Л (впрочем, как и сам вектор Д) не опреде-
лена, эта точка не принадлежит полю.
Нетрудно видеть, что для любой области, не включающей начало ко-
ординат, поток через ее поверхность S равен нулю, ибо во всех точках
области div 4 = 0, н, следовательно, по теореме Остроградского (4.3, а)
и поток через S равен нулю.
11 Заказ № 3610 —— 161
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Вычислим поток вектора Д через замкнутую поверхность, окружаю-
щую начало координат.
Если поверхность S окружает начало координат, т. е. область т вклю-
- dAk
чает точку, где ни Д, ии х—- не определены, то непосредственное приме-
ох*
нение теоремы Остроградского невозможно. Для вычисления потока век-
тора Д через S опишем из начала координат сферу радиуса р с поверхностью
е (рис. 4.14), применим теорему Остроградского к области т, заключенной
между $ и 8. В этой области всюду сЬ‘уД = 0. поэтому
Д-ш/е = 0.
S е
Но на сфере (е) имеем:
д/й=д/г=?-=7р/р3;
Следовательно,
"/.== — Р/Р*
A-ndS
A*rute
-Jjpp/p"-p/p*-^Jj
de = 4л</.
Таким образом, поток векторного поля Д через поверхность, охваты-
вающую начало координат, отличен от нуля и равен 4лд.
Это векторное поле называется полем точечного источника (q > 0) или
стока (q < 0) (ср задачу 24, гл. 4) Общий характер векторных линий по-
лей точечного источника и стока показан на рис. 4.15 Обычно поле источ-
ника записывают в виде
Q г
А = ГЯ^’ <4-24)
где Q—мощность (обильность) источника илн стока, равная потоку век-
тора Д через поверхность, охватывающую место источника. Таким образом,
мощность источника (стока) определяется объемом жидкости, которая
выбрасывается (забирается) в единицу времени источником (стоком).
162 —
4.4 Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
Нетрудно показать, что поле источников, расположенных в точках,
определяемых радиусами-векторами гь г2, гп с мощностями Qn
Q2, .. , Qn имеет вид:
Л==4^ (|г-ги3 + Qa|r—г, F + ‘‘ • + Q" =
Q*ir—г/р •
Вихрь (ротор) векторного поля. Векторная формулировка
теоремы Стокса. Наряду е дивергенцией вектора важное значе-
ние имеет другая дифференциальная характеристика векторного
поля — ротора* вектора А, или вихрь вектора А. Эгот вектор
будем обозначать rot4.
Вектор rot А в точке М определяется как предел отношения
интеграла по поверхности от аксиального вектора к объему
1 ^(nxA)dS
при стягивании объема т к точке М.
Таким образом, вектор rot А является аксиальным вектором
(псевдовектором), равным по
определению
(rot4)M= lim ±-V\(nxA)dS.
J>Zm s (4.25)
Следовательно, формальное
определение вихря поля анало-
гично определению градиента
скалярного поля (4.14), дивер-
генции векторного поля (4.18)
в том смысле, что отыскива-
Рис. 4.16. Определение rot Л в точке;
положительный обход контура L и
направление I образуют правую
систему
ется предел отношения вели-
чины некоторого поверхност-
ного интеграла (в каждом слу-
чае своего) к величине объема,
ограниченного поверхностью
интегрирования, при стягивании области т к некоторой внут-
ренней точке. Предел этот, по определению, не зависит от
формы бесконечно малой поверхности.
Мы воспользуемся этим обстоятельством для выяснения
геометрического смысла rot А и возьмем в качестве поверхности
S поверхность бесконечно малого прямого цилиндра (рис. 4.16).
* rotare (лат.)—вращать.
11*
— 163
Глава четвертая Векторный и тензорный анализ
Образующая этого цилиндра имеет длину Д/ и ориентирована
по орту I некоторого направления (рис. 4.16), боковая поверх-
ность So, а донышки Sj и S2 имеют равную площадь (Sx —
= 52 = До). Пусть, наконец, на боковой поверхности орт внеш-
ней нормали п0, а на донышках—щ и га2, причем l = rii = — nt.
Рассмотрим проекцию rot4 на направление образующей
цилиндра I. Отбрасывая индекс М в выражении (4.25), получим
Trot 4 = rotz l‘(nlxA)dS1 +
H-Jj Z-(H2x4)dS2-J-JJ 1-(похА) dsj .
S2 So
Так как / = =—n2, то интегралы по поверхностям Sx и
S2 дают нуль.
В интеграле по боковой поверхности So воспользуемся свой-
ством циклической перестановки смешанного произведения:
l-(noxA) = A-(lxno) = A-(n1xno).
Тогда, замечая, что
dS0 = Д/dL,
(n1xn0)dL = dL,
где dL—направленный элемент контура основания цилиндра,
получим
S. L
Отметим, что в этом выражении в качестве L можно брать
контур поперечного сечения цилиндра, содержащего рассматри-
ваемую точку М.
Следовательно,
Z-rot4 = lim ^-(f)A‘dL. (4.26)
Это выражение может служить определением проекции век-
тора rot4 на любое направление I. Здесь следует отметить
соответствие положительного направления I направлению об-
хода контура L (рис. 4.19), а именно: направление обхода
контура L и положительное направление I подчиняются правилу
правого винта (для наблюдателя из вершины I обход контура L
совершается против часовой стрелки).
Итак, проекция rot .4 на какое-либо направление I в каждой
точке поля равна пределу отношения циркуляции по границе
плоской площадки, проходящей через эту точку, перпендикулярно
к I, к площади этой площадки, когда граница площадки стяги-
вается к рассматриваемой точке.
164 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
Так как проекция /-rot Л будет наибольшей тогда, когда I
совпадает по направлению с rot А, то и предел отношения цир-
куляции по границе площадки к площади этой площадки будет
наибольшим, если площадка перпендикулярна rot Л; это наи-
большее значение предела равно модулю rot Л.
Проекции вектора rot Л на оси декартовой системы через
проекции вектора А можно получить двумя способами.
Первый способ состоит в выборе поверхности S в виде парал-
лелепипеда с гранями, параллельными координатным плоско-
стям, и подсчете правой части выражения (4.25). В качестве
упражнения читателю предлагается получить этим путем проек-
ции rotxX, roty4, rotzX.
Второй способ состоит в использовании выражения (4.22)
для оператора \7. Определение (4.25) вектора rot Л показывает,
что rot А получается таким применением оператора v к вектору А,
которое соответствует векторному умножению символического
• д .
вектора 7 = ^^- на вектор А, а именно:
rot Л — lim у jj (ndSxA) = yxA.
Отсюда
Следовательно,
h *'з
d д _д_
дхл дхг дх3
Л2 Л2 А3
rotj[ А
rot2 А
rota А
=Э43_
дх2 дх3
_<Мз
дх3 дхх
дАг дД1
dxt дх2
(4.27)
Сокращенно i-ю компоненту псевдовектора rot Л можно за-
писать в виде
rot-Л = —'__
гох‘л дхк дх(
причем индексы (i, k, I) составляют циклическую перестановку
чисел 1, 2, 3.
Те точки поля, в которых вихрь не равен нулю, называются
вихревыми. Они могут образовывать целые области—вихревые
линии, трубки и т. п.
Вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела равен
удвоенной угловой скорости вращения.
— 165
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Действительно, как известно, поле скоростей твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки, имеет вид
где о—мгновенная угловая скорость.
Вычислим
rot V=rot (©xr).
Для проекции на ось (%!), учитывая, что (о не зависит от
координат, имеем:
„ . dV3 dV2 д . .
1 дх2 дх3 дх2' 1 2 2 17
—®1хз) = 2о>1.
Аналогично получим
rot2 V = 2<o2; rot3 V=2©3.
Следовательно,
rot V— 2<o.
В связи с введением понятия вихря поля и определения
его независимо от системы координат представляется возмож-
ным дать наглядное толкование векторной формулировки тео-
ремы Стокса (4.5).
Учитывая выражения (4.27) для проекций rot А, формулу
(4.5) можно записать в виде
$$n-rot AdS=(f)A-dL. (4.28)
S L
В таком виде формула, выражающая теорему Стокса, нашла
широкое применение. Сама же теорема Стокса, исходя из записи
(4.28), может быть сформулирована так:
Поток вихря rot А векторного поля А через поверхность S,
ограниченную замкнутым контуром Lt равен циркуляции вектора
А по этому контуру, если компоненты поля вместе с их част-
ными производными непрерывны на поверхности Suhu контуре L.
Дифференцирование векторного поля по направлению. Рас-
смотрим дифференциальную характеристику векторного поля,
подобную градиенту в скалярном поле.
Вектор градиента скалярного поля, заданный в какой-либо
точке, определяет бесконечную совокупность производных ска-
ляра по всевозможным направлениям.
В векторном поле под производной вектора А по направ-
лению I (рис. 4.17) будем понимать вектор определяемый
пределом
Л д^о д/
166 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
где I—координата, отсчитываемая по прямой, определяемой
ортом I. Следует ожидать, что величина, позволяющая опре-
делять в точке бесконечную совокупность векторов будет более
высокого ранга, чем вектор (градиент), определяющий сово-
dcp
купность скаляров -£.
Рассмотрим в векторном поле поверхность S, окружающую
некоторую точку М. В каждой точке этой поверхности отыщем
орт п внешней нормали и вектор поля А (рис. 4.18).
В каждой точке М векторного поля А
можно рассматривать бесконечную сово-
купность производных вектора по всевоз-
можным направлениям (/, I'. /* и т д.)
Рис. 4 18.
В каждой точке М векторного поля
можно определить три вектора пре-
делы которых при S -♦ О дают векторы
grad 4t. а проекции их образуют тензор
2-го ранга
Для каждой из трех компонент вектора А составим вектор
S
где г—объем, ограниченный поверхностью S.
Легко проверить, что девять величин (проекции этих трех
векторов) составляют тензор 2-го ранга:
AiTlkdS'
S
Векторы /?‘S) зависят от поверхности S, но их предельные
значения, если они существуют, по определению предела, не
зависят от вида бесконечно малой поверхности S, стягиваю-
щейся к точке М.
- 167
Г лава четвертая Векторный и тензорный анализ
Имея в виду выражение (4.22) для оператора V, эти пре-
дельные значения мы будем обозначать через y4z(i=l, 2, 3).
Таким образом,
уД,= lim /?Р= lim С С A^idS.
Следует, однако, помнить, что yAt—три вектора, а не один,
как это было в случае применения оператора у к скалярной
функции. В прямоугольных декартовых координатах примене-
ние оператора у к трем компонентам А( определяется следую-
щим образом:
л ( • д , • д , г д
dXi+h ax2 + z3 дх>
. дА; , . дА; , . дА; . дА;
+ 1 *3 дх^ ~ ** дГк •
Отсюда определяются компоненты векторов yAt; например,
первая компонента i-ro вектора у AL равна и т- п- Нетрудно
дА:
показать, что девять величин , определенных в прямоуголь-
ной- декартовой системе координат, — компоненты трех векторов
уД,-—составляют тензор 2-го ранга (см. гл. 2).
Действительно,
dA't dAt дх dAj
dx k dxk dx™ dx k dxm
гт dAi
Для выяснения связи между и производной вектора
dA *
по направлению воспользуемся тем же приемом, как и при
определении проекции rot А на направление I (см. стр. 163).
Выбирая в качестве поверхности (S) бесконечно малый цилиндр
с образующей по орту проектируя v4f- на / и производя
те же вычисления, что н при определении Trot4, получим
Эти три величины составляют вектор—производную вектора
А по направлению I. Ее можно записать в виде
1.уА = (Ьч)А = £.
(4.29)
Используя определение у А,-, найдем проекции
dAj____________i.n л __I । / 1 /
168 —
4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
Вспомним, что производная скаляра по направлению имеет
выражение
В скалярном поле бесконечную совокупность производных
дф
скаляра по направлению определяет вектор 4^—градиент
поля — он, как было сказано, является мерой неоднородности
скалярного поля <р.
В векторном поле бесконечную совокупность производных
вектора по направлению определяет тензор второго ранга \?А
dAi
с компонентами —его можно рассматривать как меру неод-
нородности векторного поля А.
Как пример использования производной вектора по направлению, рас*
смотрим поле ускорений движущейся жидкости. Поле скоростей Г=Г(г,/)
в общем случае неоднородное и нестационарное.
Пусть частица жидкости за dt
переместилась из М в М' (рис. 4.19),
получив приращение скорости dV.
Приращение скорости частицы со-
стоит (рис. 4.20) из:
1) ч^асти dVw определяемой не
стационарностью
скорость
времени
нится иа
Рис. 4.19. При перемещении частицы
из М в М' ее скорость меняется как
вследствие нестациоиариости, так и
вследствие неоднородности поля ско-
ростей
скоростей;
истечении
М'9 изме-
ПОЛЯ
частицы по
dt, из М в
Это локальное, местное изменение скорости (рис. 4.20);
2) части dVki определяемой неоднородностью поля скоростей, скорость
частицы при переходе из М в М' изменится на величину dV^ которая
определяется производной по направлению перемещения частицы, т. е. по
Рис. 4.20 Локальное и конвективное изменения скорости
частицы жидкости
направлению вектора V (вдоль траектории); это конвективное (переносное)
изменение скорости равно
Я17
dv^dTdl'
169
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
причем орт направления, по которому берется производная от V, равен
По формуле (4.29) имеем:
dV ( V I . ..
dl “ 1|И| ’VA ~|И
Так как d/ = | V | dtt то
= Vdt.
Таким образом,
dV
dV=dVa + dVk = ^ + (V-v) Vdt.
Следовательно, поле ускорений в жидкости имеет вид
— = —-г(И*и) V,
dt dt v; '
или в компонентах
5 = + (4.30)
dt dt dx^ ' '
4.5. Поле тензора 2-го ранга.
Поток, дивергенция и производная
по направлению тензорного поля
Рассмотрим поле тензора 2-го ранга Т(г), имеющего компо-
ненты Tik = Tik(r). Примерами полей тензора 2-го ранга могут
служить поле тензора напряжений в упругой среде и поле
моментов инерций в твердом теле.
Поток тензорного поля. Рассмотрим двустороннюю кусочно-
гладкую поверхность S, помещенную в тензорное поле Т(г).
Для каждого элемента dS этой поверхности определим положи-
тельный орт нормали.
Потоком тензорного поля через поверхность называется по-
верхностный интеграл, взятый от скалярного произведения
тензора на вектор нормали:
Поток тензорного поля является вектором, в отличие от
потока векторного поля (4.16), являющегося скаляром. Компо-
ненты потока тензорного поля равны
^/= И = И + T^n3)dS. (4.31)
s s
170 —
4.5. Поле тензора 2-го ранга
Если свертывание происходит по первым индексам, то
W^T^S.
s
Укажем несколько приложений потока поля тензора 2-го
ранга.
1) Пусть Tik = pik—тензор напряжений в упругом теле.
Выделим в этом теле некоторую поверхность и определим
равнодействующую Р всех сил напряжения, приложенных к
этой поверхности (замкнутой или незамкнутой). Если рп—напря-
жение у элемента dS с нормалью п, то равнодействующая
S
а ее компоненты
S
Согласно (2.7), имеем:
Pnk = Pik”i-
Следовательно,
S
Итак, поток тензора напряжений через поверхность, взятую
в упругой среде, равен равнодействующей всех сил напряжений,
приложенных к этой поверхности.
2) Вычислим поток единичного тензора б/7, через замкнутую
поверхность. Получим
S S
или
Поскольку ^radS —О (см. 4.8), поток единичного тензора
s
через замкнутую поверхность равен нулю.
Дивергенция тензорного поля. Дивергенция поля тензора
2-го ранга, как и поток этого поля, является вектором и опре-
деляется следующим пределом:
div Т— lim С С T-ndS. (4.32)
Т-+0 Т vj
Здесь поверхность S, ограничивающая объем -г, стягивается
к рассматриваемой точке так, что ее площадь вместе с величи-
— 171
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
ной объема т стремится к нулю. Предел не зависит от вида
бесконечно малой поверхности S.
Компоненты вектора div Т получаются путем дифференциро-
вания компонент тензора Т ik по координатам и свертывания
по тем индексам, по которым производится свертывание справа
в (4.32). Таким образом,
или (4.33)
тип^>. |
Используя выражение для оператора v, дивергенцию тензора
второго ранга можно записать в виде
div Т = v -Т.
Дифференцирование тензорного поля по направлению. Отыски-
вая производную тензора 2-го ранга по некоторому направлению,
определяемому ортом I, используя результаты предыдущего
параграфа, полученные при определении производной вектора
по направлению, получим (ср. 4.29)
47' « /р
Компоненты этого тензора в прямоугольной декартовой
системе координат получим, если учесть символическую запись
в виде
ik = (1 ё \ ik _г ^ik
dl mdxm'
r dTik
Бесконечная совокупность производных ~~ тензора 2-го
ранга по направлению определяется компонентами тензора 3-го
dTib
ранга
илт
Операция, соответствующая образованию вихря векторного
поля, к тензорным полям 2-го ранга не применима вообще.
172 —
4 6 Ковариантное дифференцирование тензоров
4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров.
Ковариантная производная вектора.
Символы Кристоффеля
Рассмотрим выражение дифференциала вектора через дифференциалы
его компонент.
В декартовой системе координат имеем
dA = d(ALiL) = ildAt.
Как уже отмечалось в декартовых системах координат (и только в
декартовых), векторный базис одинаков для всех точек пространства, по-
этому для любого базисного вектора dit=0.
Однако в случае отнесения вектора к системе обобщенных координат
векторный базис (еп е2, е3) является локальным, так что каждый базисный
вектор, вообще говоря, является вектор-функцией обобщенных координат
(мы будем нх здесь и в дальнейшем обозначать через х1, х2, х8), т. е.
^z=^z(x1, ха, х3); е1—е1(хг, х2, х3).
Вследствие этого имеем
dA = d(Alei)=eldAt + Atdel), 1
dd = d(4zez) = ezd4z+4zdez). j
(4.34)
Таким образом, абсолютный дифференциал вектора, кроме части, отра-
жающей изменение компонент вектора при переходе от точки к точке,
содержит еще часть A^de*, Aldelt связанную с тем, что базис введенной
системы координат также меняется от точки к точке.
Так как
dA — dxk,
dxk
то на основании (4.34) частная производная вектора Д по обобщенной
координате х* имеет вид
дА I । л &el dAL । м &ei окх
—l= + —ге1 + А1 “4 (4.35)
dxk dxk dxk dxk dxk
dA
Компоненты (ко- или коитравариантные) этих векторов—-(Л=1, 2, 3)
дх*
образуют девять величии, совокупность которых называют ковариантной
(абсолютной) производной вектора (ковариантного или коитравариантного).
п дА
Для совокупности ковариантных компонент векторов —- мы введем
дх*
обозначение
^-e^Aitk (4.36)
дх*
и будем называть ее ковариантной производной ковариантного вектора.
Совокупность контравариантных компонент векторов обозначим
дх*
через Al.k, т. е.
дД . Ai
в?'-*-*
(4 37)
— 173
Г лава четвертая Векторный и тензорный анализ
и назовем ее ковариантной производной контравариантного вектора.
В дальнейшем будет показано, что Л,; Л, Alk являются компонентами
тензора 2-го ранга.
Найдем явное выражение ковариантных производных через компоненты
векторного поля.
В соответствии
с определением из (4.35) получим
t дА дА{- А deJ \
Я/, k~----------ltA------ .g; I
дх* dxk дх* I
дА , дА‘ , мде/ i I
‘ дхк дхк дхк J
компоненты giI — ej-eJ равны либо нулю, либо единице,
(4.38)
Учитывая, что
получим
Ate, •*')=<)
дх*
Отсюда, дифференцируя, имеем:
деу , де,
€''dxk~ € ''дх*
(4.39)
Введем обозначение:
, . де,
дх*
Эти величины (нх всего 27 в трехмерном пространстве) носят назва-
ние символов Кристоффеля 2-го рода. Тогда, в силу (4.39) и (4.40), форму-
лы (4.38) примут вид
(4 40)
(4.41)
Из этих формул следует, что абсолютная (ковариантная) производная
векторного поля учитывает не только быстроту изменения самого поля,
(дА-
члены —- ,
дхк
дА^\
—- ) , но также и быстроту изменения локального базиса (вторые члены
дхЧ
в (4.41)). Если координатный базис не меняется от точки к точке (декар-
товы системы координат), то из (4 40) следует, что все символы Кристоф-
феля второго рода равны нулю. В этом случае ковариантные производные
обращаются в наборы частных производных компонент по координатам.
Таким образом, слагаемые —ДуГ^ и + Я^Г'^ обязаны своим происхож-
дением исключительно введению местного, подвижного координатного ба-
зиса. Поэтому символы Кристоффеля должны выражаться через производ-
ные от компонент метрического тензора. Найдем их явное выражение
ные от компонент метрического тензора. Найдем
Прежде всего заметим, что из (4 40) следует
де.
(4.42)
174 -
4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров
Таким образом, являются коэффициентами разложения векторов
де.
—г по векторам основного базиса.
дх*
Введем символы Кристоффеля 1-го рода Vijk. являющиеся коэффици-
де.
ентами разложения векторов —- по векторам взаимного базиса, т. е.
дх*
де у
*'ГМ* = ^ <4-43)
Тогда из (4.43) и (4 42) имеем
де.
ГлА = ^,--4. (4.44)
dx"
riJk=gu^ rlik = gilrt,f* (4-45)
Заметим теперь, что в силу (см. 2.33)
^= —— (446)
дх* дх* дх' dxJ дх* dxJ
из определений (4.40) и (4.44) следует, что символы Кристоффеля симмет-
ричны по двум нижним индексам (у эти индексы отделены запятой),
т. е.
Тогда, учитывая симметрию Г,-по j и k и свойства (4.46), получим
dej j / dej dek\
‘•lk ei'dxk dxk e‘' dxU
Ijr dx* dx* dxJ.
1
2 L dx* dx1 ' dx‘ dx* J
1
2 l <ix* dxJ
Таким образом, окончательно имеем.»
г _ 1 (dgi> d&ik d8kA
'i\dxk^ dxJ dx*) ‘'ki'
(4.47)
(4.48)
Символы Кристоффеля не являются тензорами. Это следует из закона
преобразования символов Кристоффеля прн изменении пространственной
— 175
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
системы координат:
, * / д „ д*т
Г/, /*“er^»earer5j»(^»a/')
=4<,a;,er +а\,а™ (eren) ==
, daZ
__nl птпп Г i nm ____L_ ft
а1,акл1'Ч,пттаЛ> ftxm Sin'
Диалогично имеем
дпп
v'l п1'птпп г* 4-ni'nm ____L
1 /Л“а/ aVa/'1nm + ana^/5^яГ ’
(4.49)
(4.50)
Ковариантные производные вектора являются компонентами тензора
второго ранга.
Действительно, учитывая (4.50), получим
<Ч: , ч
*= (о''л,) rfT* ~а’>'Аг г"т+“
=4«? ^/_Лпг?тра/.а-Л/.
л'< =£^2+л-/г'* =
‘к дх’к '*
• ==37й(а' л')^+а^л'(а' а”а" rt,+<«v &) =
= af + »л < ^-А‘т
да^ daJ'
Здесь использовано соотношение aj > которое полу-
чается при дифференцировании выражения af «?,=£/ (см. стр. 106).
Таким образом, величины Ар к преобразуются как ковариантные ком-
поненты тензора второго ранга, а величины A\k—как смешанные компо-
ненты.
Из определений (4.36) и (4.37), учитывая, что el^gllelt следуют соот-
ношения
An^SuA1^ A^g^-b. (4.51)
Таким образом, и и A\k являются компонентами (ковариантны-
ми н смешанными) одного и того же тензора, который и называется абсо*
лютной (ковариантной) производной вектора.
Ковариантная производная тензоров. Естественным обобщением фор-
мул для ковариантной производной вектора является определение кова-
176 —
4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров
риантного дифференцирования тензора 2-го ранга;
т ik pm________7\ pm V
1 ikU 1 тк1 и 1 kl*
^'-5-*+’'’‘Г’' + Т''Г-’ (4.S2)
/ k ml i m
Можно показать, что эти величины преобразуются при изменении
системы координат, как соответствующие компоненты тензора 3-го ранга
(T/^z—как ковариантные компоненты, Т4.^—как смешанные — дважды
контраварнантные, один раз ковариантные и т. д.).
Ковариантные производные тензора любого ранга определяются ана-
логично: первое слагаемое—это частные производные компонент тензора
по координатам; остальные слагаемые (их число равно рангу тензора) яв-
ляются суммами из компонент тензора и символов Кристоффеля 1-го рода,
причем индексом суммирования являются поочередно индексы компонент
тензора и противоположный (верхний или нижний—в зависимости от
«немого» индекса тензора) индекс символов Кристоффеля; эти последние
слагаемые входят с минусом, если «немой» индекс компонент тензора яв-
ляется «ковариантным» (нижним), и с плюсом—если «немой» индекс у
тензора —«контравариантный» (верхний).
Например,
ik л../рЯ । 1 ».л г/
Nik\m — ktn^Nik 1 пт*
Ковариантная производная от тензора п го ранга является тензором
ранга п + 1.
В частном случае тензора нулевого ранга (скаляра), его ковариантная
производная совпадает с частными производными по координатам
‘ дх’
Ковдриантная производная от скаляра является Ковариантным векто-
ром (ковариантные компоненты градиента скаляра).
При таком определении операции ковариантного дифференцирования
нетрудно вывести правила ковариантного дифференцирования суммы и
произведения тензоров, которые совпадают с правилами обычного диффе-
ренцирования. Например, для тензора 2-го ранга имеем;
(Aik + ^ik)a — 4- Bik'L,
(AjkBmn)'i — A^tiBmn + А(ьВтп-,[.
Справедливость этих формул можно показать простым вычислением
правых и левых частей и сравнения результатов вычислений между собой.
Теорема Риччи: ковариантная производная метрического тензора равна
нулю. Теорема доказывается простым вычислением. Согласно (4.47) и (4.48),
имеем:
a. —dgik „ Гт „ рт_ dgik г Г =
£/* I ~ Sim*kl U =* 1 bkl 1 kjr^
_Jgik £ fdgik dgU _ dgkl \ _
dxl 2 \ dxl dxk dx' )
(dgjk . dgfg
2 \ dxl dxl dxk /
12 Заказ № зею * ^7
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Отсюда, как следствие, имеем часто используемое соотношение
^- = r,-w + rVz. (4.53)
Аналогично можно показать, что
$=0-
Факт равенства нулю ковариантной производной от метрического тен-
зора позволяет обращаться с его компонентами как с постоянными при
ковариантном дифференцировании. Так, например, справедливы соотноше-
ния
SilA;k = (ShAl)-.k = Ai-.I,
ёиТ^^(ёиТ1т),к^Т^
T!k-.tgimgkn = (V* А/ = T™
и т. п.
Однородное векторное поле. Параллельный перенос вектора. Вектор-
ное поле А называется однородным, если оно не меняется от точки к точ-
ке. Ковариантная производная однородного поля равна нулю.
Действительно, пусть в бесконечно близких точках xi и x'~\-dxl век-
тор А имеет одну и ту же величину и направление, т. е. А (х1, х2, х3) =
<=A(x14-dx1, x2 + dx2, x3-J-dx3). Однако компоненты вектора в этих точках
будут, вообще говоря, различны, как различны в них и местные коорди-
натные базисы. Поэтому можно записать
А = А'е/ =» (A' + dA
Отсюда получим
е^+А^ + йА^^
или, с точностью до бесконечно малых первого порядка, имеем
^dA/+A^/«(/A = 0,
где dA—абсолютный дифференциал вектора А.
Тогда
или
4?fcdx*=0.
Так как приращения dx*—произвольны, то имеем для однородного
векторного поля А:
Д', = 0. (4.54)
Можно рассматривать однородное векторное поле как результат пере-
носа вектора А параллельно самому себе во все точки поля. Тогда об
условии (4.54) говорят как об условии параллельного переноса вектора.
178 —
4.7. Применение дифференциальных операций
4.7. Применение дифференциальных операций
к различного вида векторным и скалярным
функциям
Дифференциальные операторы в криволинейных координатах.
В предыдущих параграфах были введены дифференциальные
операции первого порядка над скалярами и векторами
V<p = grad <р;
V4 = div4;
V хА = rot А.
Применяя эти операции вторично к полученным в резуль-
тате первого дифференцирования функциям, получим следую-
щие дифференциальные операции второго порядка:
V(V-4) = grad div Д;
V • \?ф °= div grad ф = 7гф = Дф;
VX \7ф = rot grad ф = 0; (4.55)
V*(V* А) = div rot А = 0; (4.56)
vx(vx 4) = rot rot 4.
В этих формулах символический оператор «набла» имеет
выражение независимо от системы координат (см. 4.22)
V(...) = lim— И n(...)dS,
Т->0
а в декартовой прямоугольной —
Справедливость тождеств (4.55) и (4.56) в декартовых коор-
динатах может быть проверена непосредственным вычислением.
Оператор —оператор Лапласа (читается «лапласиан»).
В декартовых прямоугольных координатах он имеет вид
дх*+ дх22 + дхг3' ( '
Таким образом,
Лт_ _d2q> д2ф .
W-dxf'dxb дх^дх^дхг'
Вследствие своей линейности все рассмотренные операции
для суммы (разности) функций применяются к каждому сла-
12* — 179
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
гаемому отдельно. Таким образом, имеем
v (ф4-Ф)=?ф + 7Ф;
div (4 4- В) = div А + div В;
rot (4 + В) = rot А + rot В\
grad div (A 4-В) = grad div А 4-grad div В;
Д (ф4-ф)=Дф4- Д-ф;
rot rot (А 4- В) = rot rot А 4- rot rot В.
Что касается применения дифференциальных операций к про-
изведению функций
фф; ф4; А-В', Ах В, (*)
то их нужно применять к каждому сомножителю отдельно,
считая другой при этом постоянным. При этом очень удобно
пользоваться оператором V, ставя его всегда после множителя,
который в данном слагаемом принимается постоянным, и перед
множителем, который считается переменным.
Полученные таким символическим методом, путем опери-
рования с «вектором» V, выражения, с одной стороны, не
должны противоречить правилам тензорной алгебры, с другой
стороны, всегда следует помнить о дифференциальном харак-
тере оператора V и о том, что его применение сводится, по
сути дела, к вычислению частных производных по координа-
там и сложению этих производных (после умножения на соот-
ветствующие орты). Таким образом, такие выражения, как
<PV, 4-V, 4-(BxV) и т. п., если после них нет величины, на
которую действует оператор V, имеют смысл только как опе-
раторы.
Поясним эго применением операций ко всевозможным про-
изведениям (*), отмечая множитель, рассматриваемый постоян-
ным, индексом С:
1) grad фф = Уфф = УфсФ 4- ?ффс = фЛФ + ФЛф =
= ф7ф 4- Ф?ф = ф grad Ф + Ф grad ф;
2) div ф А — V-ф4 = у-фс44-У-ф4с — фсу-44-
4-4с-Уф = фУ«4 4-4• ?ф = ф div 44-4-grad ф;
3) div(4xB) = y-(4xB) = y-(4cxB) +
4-V-(4xBc)= —-4c-(yxB)4-Bc(VX4) =
= — 4-(yxB)4-B-(Vx4) = B-rot4 — 4-rot В;
4) rot<p4 = (y Хф4) = (УХфс4) + (?Хф4<.) =
= Фс(ух4)4-(7фХ4с) = ф(ух4)4-(7фХ4) =
— ф rot 4 4- (grad ф X4).
(4.58)
180 —
4.7. Применение дифференциальных операций
Вывод следующих формул предоставляется сделать чита-
телю (см. также задачи 11, 12 гл.4):
5) grad(AxB)=(A-V)B + (B-V)A + )
+ (AXrotB) + (Bxrot А); I
6) rot(AxB) = (A-V)B—(B-V)A + A div В— I (4.59)
— BdivA; I
7) rot rot A = grad div A — ДА. J
Весьма распространенным в приложениях является случай,
когда функции <р и Й являются сложными функциями от г,
т. е.
ф = ф(ИН);
4 = Д(Пг)),
где f (г)—некоторая скалярная функция.
Тогда применение операций к такого рода функциям дает
формулы
grad <p(f (r)) = ^| grad Д
div A (f (r)) = gradf-^ ,
rot A(f(r)) = grad fx^ .
(4.60)
Рассмотрим доказательство, например, второй формулы.
Имеем по определению
(div А)м = lim^Jj A-ndS. (*)
Разлагая под интегралом вектор А в окрестности точки М
и подставляя его выражение в (*), получим, учитывая
(div Л)„ = lim 1 (f) д, jj f ndS 1 ф rtS.
s «s
Отсюда, вспоминая определение градиента, имеем:
div A = ^-grad f.
Дифференциальные операторы в ортогональных криволиней-
ных координатах. Кпк уже отмечалось, в практических вычис-
лениях приходится пользоваться скалярными выражениями,
— 181
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
являющимися разложениями соответствующих тензорных урав-
нений. Приведенные выше дифференциальные операции могут,
быть записаны в проекциях на оси координат, если известны
проекции основных дифференциальных операторов (градиента
и ротора).
Рассмотрим вначале выражения градиента скаляра, дивер-
генции вектора, ротора вектора и лапласиана в ортогональных
криволинейных координатах. При этом нами будут использо-
ваны основные сведения 2.8, касающиеся ортогональных
систем.
Градиент скалярной функции Ф как вектор характеризует
величину и направление наибольшего изменения этой функ-
ции. Определяя проекции этого вектора на координатные оси
(производные скаляра Ф по направлению координатных осей),
/п дФ дФйа; 1 дФ
получим в силу (2,25) (без суммирования по
osf ocji asj n i otf j
i). Следовательно,
nrh— 1 дф 0° 1 1 50 z>» t 1 дф O<> (Л fin
В цилиндрической системе координат
«ф - el -4- — — -J- — й°
VSP — dReR+ R dff e* ' дг 6г‘
Через ей с соответствующим индексом обозначен орт коорди-
натной оси.
Для определения выражения div А в криволинейных коор-
динатах воспользуемся определением
div А = V ‘А = lim — VC «• AdS.
т->о т J J
Элементарный объем dx (в предыдущем выражении он обо-
значен через т) имеет выражение
dx = dSjdSfdsg = HiH2H3 dqldq2dq3.
Для определения интеграла найдем сначала по-
s J
ток вектора А через пару противоположных граней, например
через грани, перпендикулярные (<?1) (рис. 4.21).
На грани Л4345 нормаль п=—и поэтому поток век-
тора через нее будет равен
—e9i-Ads3ds2= —A^iHgdq^qg. (4.62)
Здесь через Дх обозначена проекция вектора на ось (qi)l т. е.
А^АеЧ.
182 —
4.7. П рименение дифференциальных операций
На грани 1276 выражение (4.62) получит приращение,
связанное с приращением координаты qt на величину dqlt и
так как направление нормали будет в?, то поток вектора А че-
рез эту грань равен
^JM^^Adq^.
\ J
Чз
Рис. 4.21. Вычисление потока вектора через по-
верхность элементарного объема в криволинейных
координатах
Определяя таким же образом поток через пары других гра-
ней и складывая все полученные выражения, найдем, разделив
их на элементарный объем,
div А = Н7йг, [^(ЛЛН,) + ±(Л,Н1Н,) +
+ ^(4,Я1Я,)]. (4.63)
Для цилиндрической системы координат
1 г д ад 1
Таким же самым образом, пользуясь определением вектора
вихря
rot А — lim — С С (п X 4) dS,
Т->0 т
найдем
г°*А = е' ЮГ, [£, k (Л‘Н‘>] +
+е>Юн, 1^А^)-^(Л,Н,)] +
+е:«М^(Л>Н!)-4;(Л‘н4 <4-64>
— 183
I лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Для цилиндрической системы координат
+Ж<лл)-^Н-
Для определения лапласиана скалярной функции заметим,
что
ДФ = у. уф = div grad Ф.
Применяя поэтому найденные выше выражения для div А и
grad Ф, найдем
Л<й_ 1 Н (НгНядФ_\ д (НгН3 дФ \
Hi дЧ1)~^ддг\ Н3 dqt
. д /Н3Н3 дФ \1
З<?3 \ Н3 dq3 /J
В цилиндрической системе координат
ла \ д (одФ\ . \ &Ф . д*Ф
^Ф~ R dR\$ dRJ+ R* 3<ра + 3z2 *
При определении проекции вектора АД на оси криволиней-
ной системы координат необходимо использовать выражение,
которое годится для любой системы координат:
A4=graddiv4 — rot rot А. (4.65,а)
Оператор А, примененный к скалярной функции, в цилин-
дрической системе координат имеет вид
л 1 д п 3 . 1 дг . З2 .. св.
Д ~ R dR # dR + Ra 3<ра + з?а’ (4-66)
Проекции вектора АД на оси цилиндрической системы
координат равны:
(дд)о=ддЛ—4г—
\ /К К £2 р2 дф *
(АД) =ДД ——•
Ra ' R2 3<р ’
(ДД)Х = ДДГ
Здесь оператор А определяется выражением (4.66), а проек-
ция вектора ДД вычислена на основании формулы (4.65, а).
Приведем выражение основных дифференциальных операций
в сферической системе координат R, 0, <р (рис. 2.13). Коорди-
натными поверхностями служит полуплоскость, проходящая
через ось (х8) под углом <р к плоскости отсчета, сфера радиуса R
и конус с углом раствора 20.
184 —
4.7. Применение дифференциальных операций
В этой системе имеем:
ds2 = dR2 + R2 dQ2 + R2 sin2 0 dtp2;
div^ + sin+ R^sinO ’
rot^-A =Rsin0 50 (^9 sinO) ;
rot’-A = RsiiiO ~d^~ ~R dR
r0*<P^=-R [dR И#/?) 50^] ’•
л^ч 1 Г д (n2 . п 5Ф\ . д ( адФ\ . д f 1 5Ф\1
Дф = ———;——I т—“ I Sin 0 уп ) 4“ ла ( SIH 0 -\д~ ) 4“ л— ( —1—гГТ" I •
R2 sin 0 La/? \ dRJ ' 50 \ 50 / ’ 5ф \ sin 0 5ф/J
Таким образом, в сферических координатах оператор Д,
применяемый к скаляру, имеет вид
. _ 1 d р2 d , 1 3 . „ 3 . 1 З2 .
R* dRK dR + R2 sin 0 39 Slrl ° 39 ~f‘ R2 sin20 ~дц? ‘ <4Ь/)
Проекции вектора ДА на
динат имеют вид:
оси сферической системы коор-
24. Л 2 дАа
—1 с+а 0______f_____? •
R2 ё R2sin0 3<p ’
A, 2 cos 0 3Ae
R2 sin20"3<}Г ’
/ЛД\ _дл "° ] 2 I 2cos9 дА<1
a/if /?2sin20T/?sjn0 Эф ^£asin2e Зф •
(Д4)д = ДАя-^-^
34,
30
(Д4)в —ДАв+ R2 R2Sin20
Эти проекции вычислены на основании формулы
A4 = grad div А—rot rot А.
Дифференциальные операторы в общих криволинейных координатах.
Понятия ко-, контравариантных и «физических» компонент тензоров, а также
правила ковариантного дифференцирования позволяют получить выражения
дифференциальных операторов в произвольных криволинейных координатах.
Градиент скаляра Ф(хг, х2, х3) определяется как вектор, ковариантные
5Ф
компоненты которого равны ----г (х1—обобщенные криволинейные коор-
дх1
динаты) Тогда в произвольных системах координат можно вести оператор
«набла» V
у--е'
3
дх1 '
(4.68)
- 185
Г лава четвертая Векторный и тензорный анализ
так что
= (4 69)
дх1
„ дФ ,
Ковариантные компоненты вектора vQ равны -------г , а «физические»
дх1
компоненты в силу (1.36)
(^ф)* =—L-(нет суммирования по ,,i“). (4.70)
1 V gii дх1
В случае ортогональных координат отсюда получаем
/ 1 дФ ’
ni дх1
Все свойства градиента, установленные в 4.4, остаются в силе и нет нужды
их переформулировать в системе обобщенных координат Заметим только,
что если Ф = Ф(хх, х2, х3), то в случае самых общих координат:
= dxl = rji£dr = eidxl,
дх1
Дивергенция вектора'определяется как свертка тензора второго ранга —
ковариантной производной контравариантного вектора (линейный инвариант
тензора ковариантной производной):
div А = А‘ = -^ + Д'Г'.
’* дх‘ 11
Найдем выражение суммы Г{.;. через компоненты метрического тензора.
Учитывая (4.45) и симметрию gikt пишем:
г‘ц ,7= Ieik (Г*.,/+Г,; Л/), (4.71)
причем, по теореме Риччи (см. 4.53)
Г*,,7+Г(1Л/=-^. (4.72)
Разлагая по известной теореме из алгебры определитель G = det || g^ || по
элементам z-й строки, получим:
G=gikGik (по i не суммировать!),
где Gik—алгебраическое дополнение, соответствующее элементу g^.
Отсюда, поскольку Gik не зависит от g^*.
-^- = Gik.
dg,k
Но» в силу (1.44)
Поэтому, учитывая (4.71), (4.72) и (4.73),
rz г-. 1 1 dG d8ik 1 <^G _ I dVG
4 2 G dgih qxj 2Q dx,J Уg dx^ ‘
186 —
4.7. Применение дифференциальных операций
и, следовательно,
di,3_«L + 3< *«£«.' Х(Л<Го>-
дх* V G дх1 КG дх*
= (в‘кАк Кб) = -4=-^т C~^= K<A ,
Kg ax' k Kg a*'\Kg,7 J
(4.74)
где Ai —физические компоненты вектора Д.
В случае ортогональных координат,
1 д (А]НгНгН3
Hi
d i v Д rr rj rr .
л in 2л з qxi
(4.75)
(4.76)
Лапласиан скалярной функции можно получить из выражения ДФ =
«= div grad Ф. Учитывая (4.69) н (4.74), имеем:
дф —__—г { у G —- ).
КG dx1 V дх J
В случае ортогональных координат,
аф- 1 * ЗФ \
^-Н^аНзЗх'Д Hi dxiJ-
Ротор вектора может быть определен как векторное произведение
вектора v<==^—- на вектор Д. Учитывая это замечание и результаты
дх1
главы первой, получим
rot Д= пХА^е1 -^-j-XAttek=(eixek') (—-^1^ =
дх' \ dx' dxk J
-з Tri ei f dAk dAj \
Kg lax* ax*/
где индексы (/, г, k) составляют циклическую перестановку чисел 1, 2,3,
Отсюда получаем контравариантиые и «физические» компоненты вектора
rot Al
(rot 4)7=
’ КG \ dx'
. i V~gii (dAt dAj
(rot A)i=-^-^ I ---------±
1 Kg \ dx‘ dxk
(4.77)
dx‘ dxk
(нет суммирования no i и k\).
В случае ортогональных координат имеем
(гои)/=я^я;[“^-----------------------•
(нет суммирования по i н k\).
В обобщенных координатах вместо единичного псевдотензора eZftz,
рассмотренного ранее в 3,9, вводят тензор третьего ранга с ковариант-
— 187
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
иыми компонентами e^lt определяемыми следующим образом:
^123 “ ^231 ^312 “
е132 —^13^^321—
е^{ = 0 во всех остальных случаях.
Контраварнантные компоненты этого тензораопределяются следующими
равенствами:
е1аз=еаз1 = е312 —
Ко”
е132_е213 = е321=
Ко’
ettz=0 во всех остальных случаях.
Тогда, векторное произведение двух векторов С=АХВ имеет ко- и
контраварнантные компоненты (см. задачу 5 гл. I).
C/=ert/A'S*,
С/=е»/д.в*,
где (/, z, k)—циклическая перестановка чисел 1, 2, 3.
Теперь компоненты rot А можно записать в виде
(rot t,
(rot (rot b
4.8. Интегральные теоремы векторного
и тензорного анализа
Интегральные теоремы устанавливают важные соотношения
между значениями тензоров внутри поля и их значениями на
границах поля. Они являются обобщением известной формулы
Н ьютона—Лейбница
ь
У^^ = А(&)-А(а),
а
выражающей интеграл от производной функции через значе-
ния этой функции на границах области (в предположении
существования и непрерывности производной).
В 4.2 мы уже останавливались на двух важнейших интег-
ральных теоремах векторного анализа—теореме Остроградского
и теореме Стокса. Их векторные формулировки имеют вид
(4.78)
т S
и-rot A(fr = ф A-dL. (4-79)
188
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
Эти теоремы имеют принципиально важное значение в
тензорном анализе. Они широко применяются во многих
разделах теоретической физики, особенно в гидромеханике,
теории упругости и электродинамике. Ниже мы приведем не-
сколько примеров использования этих теорем.
Формулы, выражающие теоремы Остроградского и Стокса,
позволяют непосредственно сформулировать при специальном
задании поля А ряд дополнительных теорем, примыкающих
к теоремам Остроградского и Стокса.
Теоремы, примыкающие в теореме Остроградского. Из фор-
мулы Остроградского можно получить ряд интегральных формул,
связывающих характеристики поля на некоторой замкнутой
поверхности с характеристиками поля в объеме, ограниченном
этой поверхностью. Все ограничения, накладываемые на поле,
подчиняющееся теореме Остроградского, переносятся с соответ-
ствующими изменениями в получаемые формулы.
Положим последовательно в (4.78):
1) Д = фС;
2) А = ВхС,
3) Д=С.Т(Дг = СЛТ/Л),
где С—постоянный произвольный вектор.
Тогда получим последовательно
div А = С-?ф;
div А = С-rot В;
div 4 = С-div Г.
1) А'П — С'^п,
2) Ап=С(пхВ),
3) А п=С (Т п),
(4.80)
Поскольку вектор С предполагается постоянным и произ-
вольным, то получим*, подставляя последовательно выраже-
ния (4.80) в (4.78):
<pradS=^§ УфЛ;
s' t
JJ(nx4)dS-J$Jrot4dx;
s %
s x
(4.81)
(4.82)
(4.83)
или
S т
. dS
0. По-
* Мы получим выражение вида С- j )
скольку С—‘Произвольный вектор, то из равенства нулю написанного
скалярного произведения следует: . dS — J J ... dx =0.
х
s
— 189
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Все эти формулы можно записать сокращенно в виде
равнозначности действия двух операторов на одну и ту же
величину (...):
JJ«(...)dS=$JJv(...)dT.
S х
Эти операторы применяются к скаляру, вектору (скаляр-
ным и векторным умножением) и тензору 2-го ранга.
Рассмотрим несколько частных видов формул (4.81),
(4.82), (4.83).
1. Если поле А таково, что div 4 = 0 всюду в области -г,
то из (4.78) следует равенство нулю потока поля через любую
замкнутую поверхность:
A'tidS — O.
2. Если внутри области т дивергенция поля равна нулю
всюду, кроме некоторой точки (где дивергенция либо не
существует, либо отлична от нуля), то поток поля не зависит
от вида поверхности S и будет одинаковым для всех поверх-
ностей, охватывающих эту точку, и равным нулю для всех
поверхностей, не содержащих внутри себя этой точки (ср.
пример 3 на стр. 161).
3. Беря <p = const, получим из (4.81)
ndS = Q
s
для любой замкнутой поверхности S.
4. Если поле А таково, что rot 4 = 0 всюду внутри области т,
то из (4.82) следует:
J$(«x4)dS = 0.
S
Теоремы, примыкающие к теореме С гокса. Из теоремы Стокса
можно получить ряд формул, связывающих характеристики
поля на некоторой незамкнутой поверхности с данными того
же поля на контуре, который служит границей этой поверхности.
Ввиду важности теоремы Стокса мы приведем еще одно ее доказатель-
ство, менее строгое, но более наглядное.
Рассмотрим замкнутый контур L, стягивающий произвольную поверх-
ность S (рис. 4.22).
Предположим, чго во всех точках этой поверхности заданы и непре-
д дА;
рывны компоненты вектора Д вместе с их частными производными .
190 —
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
Разобьем поверхность 3 на N достаточно малых частей 3/, ограничен-
ных замкнутыми контурами £/.
На каждом из элементов 3/ возьмем
направление обхода контура £,• соот-
ветственно направлению nt.
Тогда для какой-то точки Л1 из 3,-
согласно (4.26) мы можем определить
проекцию вектора вихря:
(л,-го1Д)л1,= Нт -L £ ArdL[.
S i -> о СТ
Li
Отсюда
(«/•rot А)S, = (fi Ai-dLj + eSh
Li
внешнюю нормаль л, и установим
Рис. 4.22. Участки 3, поверх-
ности 3, имеющей границу в виде
контура, имеют общие части кон-
туров £,-, которые обходятся
дважды в противоположных на-
правлениях
ячейкам 3/!
где е может быть сделана сколь угодно
малой по абсолютной величине путем
уменьшения диаметра ячейки 5,-. При-
нимая, что здесь имеет место равно-
мерная сходимость, найдем для любого
8 > 0 такое разбиение $ на М частей,
при котором max{eJ<Ce.
Тогда получим, суммируя по всем
v w
2 (Л, rot Л)л1(. S, — 2 ф AjdL;
Z=1 /(
<eS,
(4.84)
где 8—►(), когда N —► оо.
Но
2 (f Ai-dLi^rf) A-dL,
L
AdL.
ибо в этой сумме интегралы, не относящиеся к границе поверхности 3 —
контуру £, попарно взаимно уничтожаются. Это вызвано тем, что кон-
туры, разграничивающие ячейки 3,-, обходятся дважды в противоположных
направлениях.
< Тогда, увеличивая число N до бесконечности и уменьшая 3/ до нуля,
получим, заменяя сумму в левой части выражения (4.84) поверхностным
интегралом!
J J я* rot AdS«
s
Теорема Стокса доказана.
Теперь рассмотрим ряд интегральных формул, получаемых
из основной (4.79) определенным выбором вектора 4,
Положим последовательно:
1) Д = (рС,
2) Д = ВхС,
где С—постоянный произвольный вектор.
Тогда получим:
1) wrot4 = n*rot (<рС)= С-(лх Vq>); A-dL = C-q>dL\
— 191
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
2) «-rot Д = n-rot(BxC) = ((nxV)xB)-C;
A•dL = (Вх С)-dL = (dL X В)-С.
Подставляя эти значения д-rot4 и A-dL в (4.79) и сокра-
щая полученные выражения на произвольный постоянный
вектор С, получим следующие формулы:
(«XV<p)dS=^<pd£; (4.85)
s L
^((nxV)xA)dS = (f)(dLxA). (4.86)
S L
Заметим, что формулу Стокса (4.79) можно переписать,
введя оператор V в виде
J$dS(nxv)-4 = /d£-4. (4.86')
S L
Формулы (4.86'), (4.85), (4.86) можно объединить в одну
символическую формулу, определяющую действия разных опе-
раторов на одно и то же выражение (...):
J$(nxV)(...)dS=/(...)dL.
3 L
Выражение (...) может быть скаляром (см. 4.85) или век-
тором, на который оператор действует скалярно (см. 4.79) или
векторно (см. 4.86).
Отметим некоторые следствия из теоремы Стокса.
1) Поток вихря непрерывного поля через замкнутую по-
верхность равен нулю. Доказательство этого следует из факта
произвольности поверхности S, имеющей границу в виде
контура L.
2. В односвязном поле, если rot 4 = 0 всюду, циркуляция
по любому замкнутому контуру равна нулю.
Формулы Грина. Известные в анализе формулы Грина могут
быть получены как следствие из теоремы Остроградского.
Ввиду их важности мы рассмотрим эти формулы особо. Возьмем
в (4.78) вектор 4 в виде
4 = ф?Ф,
где <р, ф—скалярные функции, непрерывные вместе со своими
частными производными 1-го и 2-го порядков.
Тогда имеем:
div 4 — div (ф?ф) — ф Дф + 7ф- 7ф;
- . дф
4-л = фП-7ф = ф^.
192 —
4.8. Интегральные теоремы векторного.и тензорного анализа
(4.87)
Подставляя эти выражения в формулу Остроградского,
получим
УУУ (фд-ф ч- v<p-У'ф) dx =
г
Это первая формула Грина.
Положим в формуле Остроградского
Д = фУф—фУф.
Тогда получим вторую формулу Грина
£^(фДф-фДф)^ = (<р *£-ф *L)dS. (4.88)
Т S
Из этих основных формул следуют при частных значениях
Ф и ф некоторые важные соотношения.
В случае ф = ф формула (4.87) дает
УУУ[фДф + (?Ф)2]Л = (4.89)
т S
В случае ф = const формула (4.87) дает
<4-90)
I 6’
Из формулы (4.90) следует, что оператор Д^у-у может
быть представлен в виде следующего передела:
<4-9»
Следствие. Вторая формула Грина имеет одно важное
следствие, к выводу которого мы переходим.
Пусть в объеме т, ограниченном поверхностью S, задана
непрерывная вместе со вторыми частными производными
функция ф(хь х2, хз)-
Тогда можно определить значение ф в любой внутренней
точке М0(х10> х2о> х30) объема т, если известны значения у и ев
нормальной производной на границе этого объема и значе-
ние Дф в каждой его внутренней точке.
Пусть г—радиус-вектор, проведенный из Л!о в переменную
точку М.
Тогда
г = )/" (^1 —^ю)2 4" (^2 ^хо)2 4“ •
1/2 13 Заказ № 3610
— 193
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ'
Непосредственным вычислением можно убедиться, что
функция — удовлетворяет условию Ду = 0 во всех точках т,
кроме точки MQ, где г = 0.
Окружим точку Мо сферой с поверхностью е радиуса р
(см. рис. 4.23). Тогда для области (т') вне сферы, согласно
второй формуле Грина (4.88), имеем, положив ф = —:
Т' S
(4.92)
8
Здесь т'—область т за вычетом области сферы, исключаю-
щей точку Мо, т. е. т' = т—т,.
Поскольку внешняя для сферы 8
z'' \ (внутренняя для поверхности области т')
у м \ нормаль совпадает с направлением ради-
/ г/ \ - уса г, получим
/ v* / z I 8
__________-'"у е
Рис 4.23. Выделение (4.93)
особой точки Мо р
Вычислим предел этого выражения, когда р —>0, т. е. когда
сфера е стягивается к точке Мо. Имеем:
* 8
М'-+М„
Тогда из выражения (4.92) имеем:
4nT(M0) = -jjj-J-A<pdT-jj (4.94)
х s
Эта формула доказывает сформулированное выше следствие
из теоремы Грина.
Аналогичное следствие, касающееся выражения значения
некоторого вектора А во внутренней точке объема т через ДА
для внутренних точек и производную А по направлению п
194 -
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
для точек поверхности S, можно получить, если воспользо-
ваться формулой (4.83):
т S
Положим в этом выражении
Г. =Д. — (—____L
ik '^\ г / г дхк'
Тогда, повторяя рассуждения, приведшие к формуле (4.94)
для скаляра q>, получим для непрерывного в объеме вместе
с двумя первыми частными производными вектора А:
S
или
4лД (Мо) = — jjj -L bAdx—
X
-ШлА(-г)~rfo-VM}"- (4'94а’
s
Здесь вектор АД может быть выражен по формуле (4.65а).
Примеры. Теоремы векторного и тензорного анализа находят широкое
применение в механике сплошных сред Рассмотрим некоторые характерные
примеры использования интегральных теорем тензорного анализа
Пример 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Уравнения движения жидкости
В движущейся сплошной среде выделим ее часть, имеющую объем,
ограниченный поверхностью S При движении среды объем т и поверх-
ность S вообще меняются, но масса остается постоянной, так что
^7 J К выделенной части среды применим второй закон Нью-
тона, вычисляя количество движения ее и все приложенные силы.
Количество движения (импульс) выделенной части равно
ШрЕб/х-
X
Если иа каждую единицу массы действует сила /, то главный вектор
всех массовых сил, приложенных к выделенной части среды, равен
т
V, ТЗ*
195
Глава четвертая Векторный и тензорный анализ
Здесь f—интенсивность массовых сил (в поле тяжести /=gr, где g—уско-
рение силы тяжести).
К поверхности рассматриваемой части среды приложены еще поверх-
ностные силы, напряжение которых на элементе поверхности dS с внеш-
ней нормалью п равно Тогда главный вектор поверхностных сил,
приложенных к этой части среды, равен
S
и уравнение движения ее имеет вид
т X S
Поскольку масса любого объема Дт в силу уравнения неразрывности
остается постоянной, то — (рДт) = 0. Следовательно,
X X
Таким образом,
X X S
Учитывая полученное ранее выражение для pnt получим
Ш“Ш p/dx+Hркп"dS’ (4-95)
X X S
или в компонентах (/=!, 2, 3)
Шр^НЛр^+Пр'*л**5>
X X
где pik-— тензор напряжений.
Чтобы получить дифференциальные уравнения движения сплошной
среды, преобразуем поверхностный интеграл в объемный; согласно теореме
Остроградского (см 4.83), получим
S т
Тогда
X
Поскольку объем т произвольный, то в предположении непрерывности
подынтегрального выражения получим
р^=р/.+^
Р dt Р1,+ дхк •
о dVi
Здесь —полная производная, которая, как было показано в (4.30),
196 —
4.8, Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
выражается в виде:
(4.96)
dVi dv,-v dVt
~di=-di+VkdTk-
Таким образом, окончательно дифференциальные уравнения (их всего
три для i=l, 2, 3) движения сплошной среды имеют вид
dVi , dVt f dpik
Предметом гидроаэромеханики является изучение движения жидкостей
и газов. Для этого класса сплошных сред обычно принимается линейная
зависимость между тензором напряжений и тензором скоростей деформа-
ций (см. задачу 4 гл. 2) с выделением шарового тензора, отвечающего
гидростатическому давлению. Таким образом, в гидромеханике считают,
что выполняется следующее основное соотношение!
Pik——pfyk + ik + bbikVu.
Здесь р — гидростатическое давление (скаляр), а и b—коэффициенты
IZ dV( dVt , dV2 , dV3
пропорциональности; Уц= аз ч—i 4- + л свертка тензора скоростей
ох^ о Xi dXj ox з
деформаций, которая, очевидно, равна дивергенции скорости (Vzz = div Г).
Обычно в гидромеханике это соотношение (иногда его называют обоб-
щенной гипотезой Ньютона) записывают в виде
2
Pik = - Р 6 ik+2|*V,»—у
так что
Р11 + Рм + Рзз — —
где ц — коэффициент вязкости жидкости (коэффициент так называемой
второй вязкости принят равным нулю*).
В случае несжимаемой жидкости имеем (div Г=0):
р<>“ —p6,>4-2|xVrt,
а в случае жидкости, находящейся в покое и в случае идеальной жидкости
(лишенной трения), имеем:
Pik^ — Pbik-
Подставляя различные выражения для в уравнения (4.96), получим
уравнения движения:
а) идеальной жидкости —
0V/ । v dVl f дР
Р dt dxk ^'““дХ{*
или в векторной записи
р-^ + р(И-7) И=р/-?р:
(4.97)
б) вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье—-Стокса) (прн
р, = const) —
Wi . v Wi t дР d*Vi
Р di * dxk Р 1 dxj “1“^ dxkdxk
* Подробнее см Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа,
ГИТТЛ, 1957, стр. 463-466.
13 Закиз Л*8 36IQ 197
здесь учтено,
дх.
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
или в векторной записи
dV
р1Г + р (F’V) Fep/- VP + нД^- (4.98)
гаО
в) вязкой сжимаемой жидкости (при р, = const)—
dVi . 17 dVi _ я дР . ,1 d dVk
V dt+v k dxk ^xkdxk + 3 dx((h^k
или в векторной записи
dV 1
Р + р(У-V) V°p/— vp + nAK+^-jJtVdiv К
В случае обобщенных координат уравнение движения должно быть
сформулировано относительно компонент векторов.
Пусть поле скоростей есть функция времени t и обобщенных коорди-
нат х1, х2, х3, т. е. V*= V (х1, х2, Xs, /). Тогда приращение скорости час-
тицы жидкости прн перемещении из точки с координатами х1 в точку
х1 + йх1 равно
... dV .. dV . k
где аулок==-ду- at—локальная часть изменения скорости, a dVK0HB=^ dxR—
конвективная часть изменения скорости, т. е.
^L-d±.4.^LVk
dt дх*
Здесь VkK* —---контравариантиые компоненты скорости.
Отсюда, учитывая определение ковариантной производной (4.37), полу-
чим контравариантиые компоненты ускорения
dV Л V dv г t dv ivk dVi t ufn,i tA лд\
Таким образом, в случае обобщенных координат вместо (4.96) голучнм
Р^ + рИ% = рГ+/$. (4.100)
где р{£—свертка ковериантиой производной тензора напряжений.
В случае вязкой жидкости имеем
₽'*«= - р8'*+2ц0*—| iLgikVl.t, (4.101)
где компоненты тензора скоростей деформации имеют выражение
(VZ;m + VmW). (4.102)
При этом V\t—дивергенция вектора скорости.
Вычислим дивергенцию тензора напряжений.
Учитывая, что ковариантная производная от метрического тензора
равна нулю, получим
P{k = - P»*g'*+ 2^;*--у М*
198 —
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
Но
(У1т)^+-Т8а (v‘h-
()2VI pyl
Предполагая —-—- =—-—-, получим (^.7);Л=» (y.fe);/. Теперь под-
dx*dxL дх1дх* * ' 1 '
сТавляя р*% в (4.100), можно записать уравнение Навье—Стокса в обоб-
щенных координатах в виде
рdlL + pv^ft= Р^-^~к + | (V? <) +(V{m).k. (4.103)
Или, переходя к ковариантным компонентам:
р + PV%ft= Pti-—i+i-V- ri (V‘i)+^m <4Jfi4)
dt dxl ° dxl
Здесь выражение (V/;m);$ представляет собой ковариантные компо-
ненты вектора ДГ.
Пользуясь формулой (4.103) и (4.104) и вводя «физические» компо-
ненты векторов, всегда можно получить уравнение Навье—Стокса в любой
конкретной системе криволинейных координат.
Пример 2. Закон Архимеда. Сила, действующая со стороны жидкости
на погруженное в нее тело с поверхностью S, равна
S S
Отсюда
S
Если жидкость покоится (Г=0), то (стр. 197)
Pik^~ P^lk*
Vp=p/=p^ (массовые силы равны силам тяжести). (♦)
Т$гда R; = — priidS,
S
ИЛИ
Используя теорему Остроградского (4.81), имеем:
vpdr.
5 х
Подставляя vp из уравнения равновесия (*), получим
PSdx = — pdt = —
X т
13*
— 199
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Таким образом, сила, действующая со стороны жидкости на погружен-
ное в нее тело, по величине равна G—весу жидкости в объеме тела—н
направлена в обратную сторону.
Пример 3. Теорема импульсов в гидроаэромеханике. Эта теорема зани-
мает важное место в аэрогидромеханике, особенно в экспериментальной.
Она позволяет определить силу, действующую на выделенный объем
жидкости, зная только ее скорость (и плотность в случае сжимаемой
жидкости) на поверхности этого объема, а также силу, действующую на
помещенное в движущуюся жидкость твердое тело, по напряжениям и
скорости (и плотности) жидкости на определенной поверхности (так назы-
ваемой контрольной поверхности).
Количество движения жидкости, находящейся в момент времени
в некоторой фиксированной пространственной области т, равно
HSpVdT-
X
С течением времени это количество движения меняется, ибо через т
проходят различные массы жидкости. Скорость изменения его равна
X
Поскольку область т является фиксированной, то
X г
Переходя к компонентам, получим
X X X
Будем считать, что массовые силы отсутствуют (/==0). Тогда опреде-
Ф /А ОПЧ t
ляя из уравнения неразрывности (4.23) и р из уравнения движе-
ния (4.96), получим
X X
—№^pviv*-pik}dx-
X
Преобразуя интеграл, стоящий в правой части, по формуле Остроград-
ского (см. 4.83), получим
^№pvidx=~№{pv‘vk~pik}n*ds^~№ nlkn,lds’ (4J05)
Т S S
где
P^i^k Pik-
Слева в (4.105) стоит скорость изменения i-й компоненты количества дви-
жения жидкости в рассматриваемой неподвижной области. Эта скорость
определяется той же /-й компонентой потока тензора через замкнутую
200 —
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
поверхность S, ограничивающую область (т). Таким образом, величина
равна i-й компоненте того количества движения, которое в еди-
ницу времени уносится через элемент поверхности dS, протекающей через
т жидкостью. Тогда, очевидно, что величина П/Л есть /-я компонента
количества движения, уносимого в единицу времени через единичную
площадку поверхности S, перпендикулярную k-й оси. Тензор П/Л назы-
вается тензором плотности потока импульса. Весь поток количества
движения через поверхность равен потоку тензора П/Л через нее, т. е.
J J ^iknk
s
Следует отличать поток импульса от потока вектора pV, который
равен pV>ndS. Поток вектора pV, как уже отмечалось, определяет
s
массу жидкости, уносимую через т поверхность S в единицу времени, про-
текающей через т жидкостью. Вектор pV (количество движения единицы
объема жидкости) по величине равен массе жидкости, протекающей в еди-
ницу времени через единичную площадку поверхности S, расположенную
перпендикулярно к скорости. Поэтому вектор рГ называют плотностью
потока жидкости
(д \
\ , то из (4.105) получим
J J П(№ dS= J J (pViVk-pik) nk dS = 0. (4.106)
s s
Это уравнение выражает теорему импульсов, которую можно сформу-
лировать так:
При стационарном движении жидкости и равенстве нулю массовых сил
поток тензора pVjVk—р^ через любую взятую в жидкости замкнутую
поверхность равен нулю.
Теорема импульсов позволяет непосредственно выразить силу, дейст-
вующую на выделенный объем жидкости, через скорость и плотность
жидкости на поверхности этого объема. Действительно, поскольку массовые
силы отсутствуют, то
PiknkdS
s
дает i-ю компоненту главного вектора всех сил, действующих на выделен-
ный объем жидкости. Обозначим ее через F,-. Таким образом из (4.106)
имеем:
Fi~^pViVknkdS
S
или в векторной записи
pV(V-n)dS. (4.107)
Пусть в стационарный поток жидкости ^-—- = 0^ прн отсутствии мас-
совых сил (/==0) помещено твердое тело с поверхностью S (рис. 4.24).
Выберем в жидкости «контрольную» поверхность So, произвольную^ фикси-
рованную, но так, чтобы она полностью охватывала твердое тело. Приме*
— 201
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
ним к объему жидкости между поверхностью твердого тела S и «контроль-
ной» поверхностью So теорему импульсов (4.106), Получим
ЭД/»(лПл<*$ + ЭД ЭД ЭД pV,VAnftdSo=O.
s s. s s0
Первый интеграл дает выражение для компоненты силы, действующей
со стороны тела иа рассматриваемый объем жидкости; взятый со знаком
Рис. 4.24.
Сила, действующая в потоке жидкости на тело,
поверхность которого S, выражается через поле
скоростей и давлений иа контрольной поверхнос-
ти So
минус, он даст компоненту
Ri силы, действующей со сто-
роны жидкости на тело, т. е.
Ri — J Piknk dS.
s
Третий интеграл равен ну-
лю в силу отсутствия проте-
кания жидкости через поверх-
ность твердого тела (К«л=»
= ® на поверхности те-
ла S).
Следовательно,
R[ — f (Pik рУi^k) nk dSo
sQ (4.108).
Итак, чтобы определить силу, действующую на твердое тело в стацио-
нарном потоке жидкости, достаточно на некоторой поверхности So, кото-
рая может быть удобной для эксперимента, измерить напряжения поверх-
ностных сил, скорость и плотность жидкости.
Особенно простую формулировку приобретает теорема импульсов,
если можно пренебречь силами вязкости. В этом случае, как уже отме-
чалось,
Pik = ~ P$ik>
н выражение (4.108) приобретает вид
Ri = — ЭД (pn,’+ pViVfcnfc)dS0
$0
нли в векторной записи
«=-^1рп+рУ(у-*№*
So
(4.109)
Таким образом, в этом случае достаточно на контрольной поверхности
произвести замеры давления и вектора скорости жидкости, чтобы полу-
чить силу, действующую на твердое тело. Этот прием часто используется
в аэродинамических экспериментах.
В следующем примере мы покажем, как при помощи теоремы импуль-
сов (4.109) можно получить фундаментальную теорему гидроаэромеха-
ники—теорему о подъемной силе плоского контура, полученную
Н. Е. Жуковским.
Пример 4. Теорема Н. Е. Жуковского. Предварительно рассмотрим один
из случаев интегрирования уравнений движения жидкости (4.97).
Пусть всюду в жидкости, движущейся баротропно (плотность является
функцией только давления р = р(р)), выполнено условие rot V = 0,
202 —
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
а массовые силы f имеют потенциал (/==—?П). При этих условиях
уравнения (4.97) интегрируются.
Действительно, из формулы (4.59), № 5 при Л = В имеем»
grad V2 = 2(V. v) V+2Vxrot V.
Следовательно, уравнение движения (4.97) может быть записано в форме
(форма Громекн)
^-(Vxrot V)+grad .
Ut \ * / г
Рис. 4.25. К теореме Н. Е. Жуковского о силе, действую-
щей на твердый контур в стационарном потоке идеальной
жидкости
Поскольку rot V=0, то У==?ф, а вследствие баротропностн
Z£=aVC JL.
Р vJp(p)‘
Следовательно, уравнение движения может быть записано в виде
Отсюда видно, что оно имеет интеграл
где ф(/)—некоторая функция времени, определяемая из начальных усло-
вий. Этот интеграл называется в гидромеханике интегралом Лагранжа.
Отсюда в случае стационарного движения несжимаемой жидкости (р = const)
при отсутствии массовых сил получим
^+р=С, (4.110)
где С—постоянная.
Перейдем теперь к рассмотрению теоремы Н. Б. Жуковского.
Рассмотрим плоское (зависящее толькр от координат н х2)
стационарное течение несжимаемой жидкости, обтекающей плоский кон-
— 203
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
тур L (рис. 4.25). Пусть скорость жидкости вдали от контура постоянна
и равна V®, а всюду в жидкости rot V = 0, т е течение жидкости безвих-
ревое. Пусть, наконец, массовые силы отсутствуют (/—0).
Применим теорему импульсов в форме (4.109) к объему жидкости,
заключенному в цилиндре с высотой, равной единице, и с донышками
в виде части плоскостей между контурами L и LQ, где Z.o — окружность *
некоторого радиуса г. Тогда получим силу, действующую на единицу
длины бесконечного цилиндра с направляющей L в виде* **
Я=—pndLQ—(f) pV(V-n)dLQ.
Lo Lo
В это выражение подставим р из (4.110) Так как С н р постоянные,
то получим
Л = % (f) v*ndl0-р £ V(V-n)dL0. (*)
Lo Lo
Представим вектор V на контуре Lo в виде (см. рис. 4.25)
Здесь V* — скорость возмущения, которая создается в плоскопараллельном
потоке жидкости твердым контуром Lo. Относительно этой скорости мы
будем предполагать, что она убывает с расстоянием г от начала координат,
1
где помещен контур, как у.
Подставим разложение V на V® и V' в (*). Получим
руг
fndLt + p $(V^V,)ndL<i + £: £ V'*ndLQ-pV* ф (V'
Lq L0 Lq Lq
dL0-P^V'(V'-a)dLe.
Первый интеграл, как известно из курса анализа, равен нулю. Четвер-
тый интеграл равен нулю в силу условия несжимаемости жидкости, ибо
ои представляет поток жидкости через замкнутый контур. Третий и шестой
интегралы имеют порядок у; их сумму мы обозначим через О ^у^ .
Тогда
[(И«о.Пл-И'(Их.в)](/£0 + О^ .
^0
В силу формулы для двойного векторного произведения (1.19) получим
Л-ри. х (П X V’)dL0 + O (1) .
—Р
♦ Выбор £0 в виде окружности удобен только с точки зрения сокра-
щения некоторых дальнейших рассуждений.
** Интегралы по донышкам цилиндра пропадают, ибо на них = 0
. И pndS на донышках имеет разный знак и одинаковую
величину.
204 —
4 8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа
Поскольку
^И«Х(яХ V<c)d/.0= И® X (<fndL0 X Их)=0,
i>u Lo
TO
Их x(n X VydL^O (-1) =
LP
= рИхХ^(лХ V)d£0 + O 0-) .
Введем орт i3 по оси х3 и орт t по касательной к контуру Lo (рис. 4.25).
Тогда (см 1 12): n = tXi3',
nXV = (tXi3)X V^i3(t^V)-t(i^V) = i3(V4).
Обозначая dL3 = tdL3, получим
/?ж р V со X i3
ф H-dZ.o + o(y) .
to
Введе.м вектор Г=13ф V-dL3\ его величина
равна циркуляции скоро-
сти по контуру Lo, а направлен он пер-
пендикулярно плоскости контура Тогда
рИсо X /’Ч- о ‘ (**)
Поскольку движение безвихревое, то
циркуляция по контуру Ло равна цирку-
ляции по любому другому контуру, охва-
тывающему контур Л.
Следовательно, первое слагаемое в(**)
не зависит от величины радиуса R окруж-
ности Lo.
Теперь будем удалять контур Lo от
начала координат на бесконечность.
Теорема импульсов остается справедли-
вой, ибо часть интегралов (R и рГ® X Г}
остается конечной, а часть О[ — ) идет
Рис. 4.26.
Криволинейный интеграл от потен-
циального вектора не зависит от
пути интегрирования и.если контур
интегрирования замкнутый, равен
нулю
к нулю. Таким образом, при
г —► оо имеем:
tf=pVx ХГ;
Г=4 $ V-dL.
Эта формула и выражает знаменитую теорему Н. Е. Жуковского
о подъемной силе плоского контура. По величине эта сила равна рУ®Г
и направлена всегда перпендикулярно вектору Voo.
— 205
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
4.9. Потенциальное векторное поле.
Скалярный потенциал
Векторное поле называется потенциальным, если его вектор
А является градиентом некоторой скалярной функции ср, т. е.
•4 = grad<p = V<p. (4.111)
Величина <р называется потенциалом поля А. Потенциал
векторного поля определяется с точностью до аддитивной
постоянной, что следует из (4.111).
Потенциальный вектор А в системе прямоугольных декар-
товых координат имеет проекции:
А • А -<*₽ • А -Э<р
Л1~дХ1’ Л*~д73’ Лз~дх3-
Потенциальное поле является одним из наиболее простых
векторных полей, ибо оно полностью определяется одним
скаляром—потенциалом.
Отметим основное свойство потенциального поля.
Если потенциал ф поля А есть однозначная функция, то
значение криволинейного интеграла
м
J A-dL
м0
не зависит от пути интегрирования, а лишь от конечных
точек пути Af0 и М (рис. 4.26).
Действительно, если Л==?ф, то
м м м
j A-dL= j V<p-dt= j (^dxi +3^*2 +3^*3) =
M о Af о М о
М
= J 4/ф = ф(Л4)—ф(/И0).
м.
Отсюда следует, что в случае однозначного потенциала интеграл
от потенциального вектора по замкнутому пути равен нулю, т. е.
(f A-dL = $4<p‘dL = (p(M0)—<p (Afo) = O.
L L
Этот факт имеет большое значение в теории потенциальных
полей и зачастую принимается за определение потенциаль-
ного поля.
Выделение класса потенциальных полей очень важно. Если
силовое поле имеет однозначный потенциал, то вычисление
206 -
4.9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал
работы сил поля сводится просто к определению разности
потенциалов в начальной и конечной точках пути. Потенциаль-
ность скоростного поля жидкости значительно упрощает задачи
гидроаэромеханики, позволяет при изучении плоских потоков
использовать такой хорошо разработанный математический
аппарат, как теория функций комплексного переменного, пре-
образование годографа, метод характеристик и др. В связи
с этим важно определить критерий потенциальности поля.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы в одно-
связной области векторное поле А было потенциальным, является
выполнение равенства
rot 4 = 0.
Необходимость этого условия устанавливается просто. Пусть
4 = V<p. Тогда стоит только предположить, что потенциал поля
ф = ф(х1, х2, х3) имеет непрерывные первые и вторые частные
производные, т. е. что вихрь rot 4 существует и равенство
rot4 = rotv<p = 0 проверяется непосредственным вычислением.
Итак, всякое потенциальное поле является полем безвихревым,
независимо от связности области.
Достаточность условия может быть установлена только
для односвязной области. Действительно, если область поля
односвязна, то любой замкнутый контур в этом поле ограничи-
вает некоторую поверхность, лежащую целиком в этом поле.
Иначе говоря, какой бы замкнутый контур мы ни взяли
в таком векторном поле, всегда на этот контур можно «на-
тянуть» поверхность, которая будет целиком оставаться
в нашей области поля. Но тогда для произвольного замкнутого
контура L и ограниченной им поверхности S применима фор-
мула Стокса
В силу условия rot 4 = 0 для любого замкнутого контура L
поля имеем равенство нулю циркуляции:
f A'dL — Q.
L
Отсюда следует, что криволинейный интеграл
м
$ AdL
м,
не зависит от пути интегрирования и яри фиксированной
точке Мо зависит только от положения точки М, т. е. является
— 207
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
функцией ее координат. Это может быть тогда и только тогда*,
если выражение A-dL является полным дифференциалом неко-
торой функции, т. е. 4.d£ = d<p,
или AYdxx -|- A2dx2 + 43dxa = dxt 4-dx2 + ^хз-
Отсюда
Л- = Й = 3),
т. е.
Д = ?<р.
При этом
Af (Xt, х2, xs) М (х^ х2, х3)
ф(*1» x2i х3) = J d(p= J
Af0 М о
М (xt, х2, х3)
+ Л(£1> g2, £3)^з = $ A-dL.
м9
Эта формула дает способ построения однозначного потен-
циала в односвязной области безвихревого вектора А.
Итак, всякое безвихревое поле является потенциальным только
в односвязной области.
Теперь рассмотрим случай, когда область поля не односвязна.
В этом случае, по самому определению неодносвязной области,
в ней существуют замкнутые контуры, которые не ограничи-
вают никакой поверхности, т. е. i^a такие контуры нельзя
«натянуть» поверхность, целиком лежащую в области поля.
Следовательно, в этом случае уже нельзя построить однозначную
функцию потенциала в каждой точке. Поэтому в этом случае
иногда говорят о многозначном потенциале поля.
Рассмотрим пример многозначного потенциала. Напряженность маг-
нитного поля бесконечного прямолинейного проводника, расположенного
по осн (х3), имеет выражение
Я=^(<зХг),
где / — сила тока; г — Цх, + i2x2; г = Имеем:
Я1=_2/-^— •
Х1 + Х1
= Х|-.;
Я3 = 0.
Вектор Н (рис. 4.27) определен всюду, кроме оси (х3), где г = 0. По-
этому векторное поле занимает двухсвязную область (все пространство
с вырезанной осью х3)
* См., например, А. Я. Хинчин. Краткий курс математического ана-
лиза, § 124—125, ГИТЛ, 1953.
208 —
4.9. Потенциальное векторное поде. Скалярный потенциал
Можно проверить, что всюду в поле rot//=0; на оси (х3) rot Я, как
и Я, не определен.
Потенциал этого поля
ср = 2/ arc tg —
*1
[д7ГН" дГз J
является многозначной функцией.
Если вычислить криволинейный интеграл \ H*dL по контуру L, охва-
тывающему ось (х3), то изменение потенциала будет определяться измене-
нием угла (полярного) arctg—. Поэтому, выйдя из некоторой точки М0,
xi
мы после интегрирования, обойдя вокруг оси (х3), придем в эту точку не
с начальным значением потенциала, а со значением на 2/-2л большим.
Таким образом, несмотря на то, что всюду в поле rot Я= 0 существуют
такие контуры, по которым циркуляция ф H*dL # 0.
Многозначность потенциала отражается на векторных линиях
поля (рис. 4.28). Если
Рис. 4.27. Потенциал маг-
нитного поля бесконечного
проводника является неод-
нозначной функцией
потенциал однозначен, то векторные
линии его градиента не могут быть
замкнутыми, ибо тогда по таким
линиям jvcp-dL^O. У многознач-
ного потенциала возможны замкну-
тые некоторые линии его градиента.
а) однозначный потенциал не может иметь зам-
кнутых векторных линий векторного поля своего
градиента, б) градиент многозначного потенциала
имеет замкнутые векторные линии
Можно избавиться от многозначности потенциала путем
введения дополнительных границ области, преобразуя этим
ее в односвязную область. Дополнительные границы должны
исключать те контуры, которые нельзя стянуть в точку (рис. 4.5).
Тогда многосвязная область будет односвязной, в которой
равенство rot 4 = 0 влечет за собой потенциальность вектора А,
т. е. 4 = ?ф, с однозначным потенциалом <р.
— 209
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
4.10. Соленоидальное векторное поле.
Векторный потенциал
Векторное поле называется соленоидальным, если его век-
тор А является вихрем некоторого другого вектора, т. е.
A = rotW.
Вектор IV называется векторным потенциалом поля А. Соленои-
дальный вектор в системе прямоугольных декартовых координат
имеет проекции:
1 дхг дх3 ’
A -W.!;—™*-
Лг дх3 дх, ’
A
3 дх, дх3
Векторный потенциал поля определяется с точностью до
градиента произвольной функции, т. е. если IV—векторный
потенциал поля А, то W'— IV-J-gradf—тоже векторный потен-,
циал того же поля, ибо
rot IV'= rot 1V+rot grad f = rot IV.
Необходимым и достаточным условием соленоидальности
поля является равенство нулю его дивергенции, т. е. div4 = 0.
Необходимость этого условия проверяется непосредственным
вычислением. Действительно, если 4 = rot IV, то
div 4 = div rot JV=-57-f
, _d_ (dW, dUZ3\ d (dWt
dx3 \ dx3 dx, )' dx3\ dx,
dx3 J "t"
^=0,
dx2 J
Что касается достаточности этого условия, то для случая
поля, занимающего неограниченное пространство, она будет
установлена позже (см. 4.12). При этом надо потребовать
существования rot А убывания (rot А | на бесконечности как
, где е>0 и г = / x*+xl + xl.
Тогда можно построить однозначно векторный потенциал
IV поля 4 так, что rot 1V=4. В случае, если поле 4 занимает
ограниченное пространство, для отыскания векторного потен-
циала этого поля при условии div 4 = 0 всюду надо потребовать
дополнительных условий относительно производных на гра-
нице поля.
210 —
4.10. Соленоидалъное векторное поле. Векторный потенциал
Можно показать непосредственным интегрированием системы
ЭУ3 дУ2.
1 дх2 дх3 ’
А
2 дх3 dXi ’
3 дхг дх2
при условии
div 4 = ^11 + ^-’ + ^=0
дх! дх2 дх3
возможность построения векторного потенциала W поля Д.
Будем искать в виде функции от xlt т. е.
Тогда из (**) имеем!
= J А2 dXi + ф (х2, Х3),
а из (***)
Azdxt + tyiXi, х3).
О
(**)
(***)
**♦♦4
Здесь (р и ф—произвольные функции от х2 и х3, которые должны
быть подчинены условию, вытекающему из уравнения (*). Подставляя
в это уравнение найденные выражения для W3 н W^, получим
Но нз (****) имеем!
С ^2 dx 1 — С
1 J дх2 1 J дх3
Следовательно,
^1-^0
дх2 дх3
Таким образом, £(хх), Ф(хь х2), ф(х2, х3) произвольные, непрерывно
дифференцируемые функции (поле А непрерывно). Условие, накладываемое
на%ф и ф, является следствием того, что решение системы (*), (**), (***)
определяется с точностью до градиента произвольной функции.
Пример соле нон дал ьного поля. В плоской задаче гидромеханики несжи-
маемой жидкости (div У=0) векторным потенциалом поля скоростей слу-
жит вектор, равный по величине функции тока.
Функция тока ф(хь х2) определяется как функция, которая вдоль
векторных линий поля V—вдоль линий тока—сохраняет постоянное зна-
чение. Уравнение семейства линий тока, следовательно, может быть запи-
сано так1 ф(х1э х2) = const. Дифференциальное уравнение линий тока
в плоском случае (см. 4.15) имеет вид
Vi dx2—V2 dx! = 0.
Для того чтобы левая часть этого уравнения была полным дифферен-
циалом некоторой функции (функции тока), как известно, необходимо
и достаточно, чтобы
дХ1^^дХ1
дхх ~ дх2 ‘
— 211
Г лава четвертая Векторный и тензорный анализ
А это обеспечивается уравнением непрерывности
div V—
дхх дх2
Таким образом, можно ввести функцию тока ф(хь х2) так, что
Рис. 4 29.
Интенсивность векторной трубки со-
ленондального ноля постоянна вдоль
всей трубки. Векторная трубка солено-
Идального ноля не может оканчиваться
илн начинаться в поле
В то же время можно записать:
V —rot W, где W — /Зф, так что
Л ^2 ^3
v= ± ± Л .
dxY дх2 дх3
О 0 ф
Отметим, что в этом случае поле V может быть записано в виде
Г = Х/3,
а поле вихря скорости в виде
rot V = — /3 Дф.
Рассмотрим некоторые характерные свойства соленоидаль-
ного поля.
1. Интенсивность векторной трубки соленоидальноео поля
есть величина постоянная вдоль
всей трубки.
Возьмем в поле А некоторый
замкнутый контур L (рис. 4.29)
и проведем через его точки век-
торные линии поля. Образовав-
шаяся поверхность носит назва-
ние векторной трубки. Интен-
сивностью векторной трубки на-
зывается поток поля через ее
поперечное сечение (контур этого
сечения пересекает все вектор-
ные линии трубки).
Выберем произвольно два по-
перечных сечения трубки—
и S2 — и применим теорему Остро-
градского к объему, ограни-
ченному Sx и S2 и поверхностью о трубки между и S2.
Имеем:
J J J div Adx = J J n • Ado + n-AdSt + n*AdS2.
X a S2
Интеграл слева равен нулю, ибо div Д=0; первый инте-
грал справа тоже равен нулю, ибо на поверхности трубки
H_L«, так что Д-л|3 = 0. Перенося интеграл по влево и
212 —
4 11 Лапласово векторное поле. Гармонические функции
меняя в этом интеграле направление п на противоположное
(тогда поток через Si и S2 будет вычислен в одном направле-
нии), получим
J J n-AdS^ J J n-AdS2,
s; si
что и требовалось доказать.
2. В соленоидальном поле векторные трубки не могут ни
кончаться, ни начинаться внутри поля\ следовательно, они
либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют
бесконечные ветви (в случае неограниченного поля).
Этот факт следует из первого свойства трубок соленоидаль-
ного поля. Действительно, если какая-либо трубка заканчи-
вается в точке М (рис. 4.29), то в этой точке вектор должен
принимать бесконечно большое значение, ибо интенсивность
трубки постоянная, а ее поперечное сечение в точке М равно
нулю. А этого быть не может, ибо А непрерывен (по предпо-
ложению) во всех точках поля.
Если предположить, что трубка заканчивается в поле конеч-
ным сечением So, то в точках этого сечения поле А будет раз-
рывным, что исключено.
4.11. Лапласово векторное поле.
Гармонические функции
Векторное поле А {г) называется лапласовым, если в любой
его точке выполняются равенства
rot А = 0;
div 4 = 0.
Таким образом, лапласово поле является одновременно и
потенциальным, и соленоидальным.
Лапласово поле в односвязной области полностью опреде-
ляется' скалярным потенциалом <р, который является решением
уравнения Лапласа, т. е.
Дф = 0.
Это следует из того, что если rot 4=0, то в односвязной
области 4 = уф и тогда div 4 = div уф= Дф.
Изучение потенциала лапласова векторного поля основы-
вается на свойствах гармонических функций.
Гармонические функции. Функция ф непрерывная вместе
с производными первого и второго порядка, удовлетворяющая
— 213
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
уравнению Лапласа
Дф = О,
называется гармонической.
Примерами гармонических функций могут служить функции:
Ф = с; ф = 0*1 + + сх8; Ф = х*— х*; ф = х1х2;
2_, ,
Ф = х1х2х8; ф = (х!1 + х’)» jasin^arctg^j +
6cos (/г arc tg— И .
\ *1/ J
Особый интерес представляет гармоническая функция —,
где __________
r*=}f Х? + Ха2 + Хз = ]/xzxz.
Действительно, для производных по х,-, имеем:
д / 1 \ х, Э* / 1 \ Зх2 —г*
dXj\ г / г* ’ дх* \ г / г6
Поэтому
\ г / дх\\г J дхгг \ г / дх* \ г /
_3х* + 3х* + 3х»-3г»_
— гь —и-
Функция у—гармоническая всюду, кроме начала коорди-
нат (г =0). Функция In К я* + х2 также является гармониче-
ской функцией всюду, кроме начала координат.
Остановимся на некоторых свойствах гармонических
функций.
1. Интеграл по замкнутой поверхности S от нормальной
производной гармонической функции равен нулю, если в области,
ограниченной S, функция всюду гармоническая.
Это свойство следует из выражения (4.90). Если ф—гармо-
ническая функция (Дф = О), то из (4.90) имеем:
(4.112)
5
2. Если ф, ф гармонические функции всюду в области т, то
значения этих функций и их нормальных производных на гра-
нице S этой области связаны соотношением
214 —
4.11 Лапласово векторное поле Гармонические функции
Это свойство следует из выражения (4.88).
3. Функция гармоническая внутри области т, может быть
найдена в любой точке этой области по значениям этой функ-
ции и ее нормальной производной на границе области по фор-
муле
<4Л13>
S
Эта формула следует из выражения (4.94), примененного
к гармонической функции <р.
4. В применении к поверхности сферы радиуса R с цен-
тром в точке Мо формула (4.113) дает
= (4.114)
SR
ибо по первому свойству
и
дп \ r ) sD dn \ r ) r=R R* ’
*x
Формула (4.114) выражает теорему, утверждающую, что
значение гармонической функции в некоторой точке Мо равно
среднему значению этой функции на любой сфере SR с центром
в Мо, целиком расположенной в области гармоничности функции.
5. Гармоническая функция не может иметь ни максимума,
ни минимума внутри области гармоничности.
Действительно, если в какой-либо внутренней точке Мо
функция ср достигает максимума и если <р не является постоян-
ной, то найдется такой луч, проведенный из /Мо, в некоторой
трчке которого будем иметь <р(Л41) -С <р (Л1о). Пару точек Мо
и можно заменить аналогичной парой точек, лежащих на
том же луче и таких, что сфера с центром в Л10, проходящая
через Л41( целиком лежит в рассматриваемой области. Но тогда
на некоторой части (а) этой сферы по непрерывности будем
иметь ф(Л4)|в<ф(Л40).
Применяя формулу (4.114) к этой сфере, получим
ф(Л^о)= 4n(M0A4j)2 П Ф^МЗ.
SMMi
Отсюда следует
Ф (Л40) < шах <р (М) = ф (М9),
что абсурдно.
215
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Аналогично можно показать, что ср не может достигать ми-
нимума на внутренних точках области гармоничности.
6. Гармоническая функция, принимающая постоянные значе-
ния на границе некоторой конечной области, постоянна внутри
всей области.
Действительно, если на границе области ф = с, то, согласно
предыдущему свойству, по всей области максимальное и мини-
мальное значение ф равно с, ибо во внутренних точках функ-
ция ф не может принимать значений ни больших с, ни мень-
ших с. Значит, <р постоянная по всей области и вследствие
непрерывности ф = с всюду в этой области.
7. Уравнение Лапласа Дф = 0 имеет единственное решение
в области, на границе которой ф принимает заданные зна-
чения.
Допустим, что ф! и ф2—две различные гармонические функ-
ции, принимающие одинаковые значения на границе области.
Тогда функция Ф = Ф!—ф2 в силу линейности уравнения Лап-
ласа тоже будет гармонической, принимающей на границе
постоянное, равное нулю значение.
Тогда, по свойству (6), функция ф постоянна, а в силу не-
прерывности— равна нулю всюду внутри области. Значит,
ф1==ф2> т. е. гармоническая функция полностью определяется
ее значениями на границе области.
Задачи Дирихле и Неймана. Последнее свойство гармониче-
ских функций позволяет говорить о единственном решении
задачи об определении гармонической в области функции по
заданным ее значениям на границе области. Эта задача носит
название задачи Дирихле. Она заключается в отыскании в об-
ласти т решения уравнения
Дф = 0
при граничном условии
ф Is = f (^1» Хз)»
где S—граница области.
Если в формуле Грина (4.87) при ф = ф считать, что
на границе S области т, то получим, что гармоническая функ-
ция ф будет произвольной постоянной внутри области.
Отсюда следует, что две гармонические функции, имеющие
на границе односвязной области одинаковые нормальные про-
изводные = —ду = 0^, отличаются на постоянную ве-
личину.
Таким образом, нормальная производная гармонической
функции на границе односвязной области определяет (с точ-
216 —
4.11. Лапласово векторное поле. Гармонические функции
ностью до произвольного постоянного слагаемого) значения
этой функции во всех внутренних точках области.
Следовательно, можно говорить о единственности решения
задачи определения гармонической в односвязной области функ-
ции по заданным значениям ее нормальной производной на гра-
нице области. Эта задача называется задачей Неймана. Она
заключается в отыскании решения уравнения
Дф = 0
при граничном условии
Эл|$ Хз)-
Если же область гармонической функции многосвязна, то
надо знать не только на границе области, но и значение
циркуляции градиента поля J \7ф dL по тем контурам, кото-
рые не могут быть стянуты в точку. Если все эти контуры
имеют циркуляцию, равную нулю, то в решении задачи Ней-
мана никаких новых затруднений не возникает. Если заданы
отличные от нуля значения циркуляции по этим контурам, то
потенциал этого поля будет многозначным, увеличивающим
свое значение на постоянную (циклическую) при каждом обходе
по контуру. Но тем не менее задача будет иметь единственное
решение.
Действительно, пусть <рх, ф2—два потенциала, удовлетво-
ряющие уравнению Лапласа с заданными на границе нормаль-
ными производными. Но тогда ф = ф2—ф2—однозначная функ-
ция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и имеющая на
границе области нормальную производную, равную нулю.
Поскольку эта функция однозначна, то из формулы Грина (4.89)
следует, что ф постоянна всюду и, следовательно, ф, и ф2 от-
личаются на постоянную.
Имея в виду то, что гармоническая функция является по-
тенциалом лапласового векторного поля, мы теперь можем
утверждать следующее: .
Лапласово векторное поле полностью определяется в каждой
точке односвязной области либо значением его скалярного по-
тенциала, либо значением нормальной производной потенциала,
заданных на границе этой области; в случае многосвязной
области дополнительно к нормальной производной на границе
области необходимо задать значение циркуляции градиента
поля по тем контурам, которые не могут быть стянуты
в точку, не выходя за поле.
Рассмотрим несколько гидродинамических примеров, связанных с тео-
рией гармонических функций.
’А 14 Заказ № ЗОЮ
- 2П
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Пример 1. Задачи Неймана и Дирихле —это основные задачи безвих-
ревых стационарных потоков несжимаемой идеальной жидкости.
Если p = const, rot V — 0, то, как известно из гидромеханики, уравне-
ния движения допускают интеграл Лагранжа для стационарного случая
(см. также 4.8, пример 4)
2“ = const
(здесь р, р, V—соответственно давление, плотность и скорость жидкости).
Уравнение неразрывности имеет вид
div Г==0.
В силу rot И«=0 имеем И=уер
Рис. 4.30
На твердом контуре, обтекаемом невязкой жидкостью, нормальная компо
нента скорости Vn=-^- = 0; сам контур является линией тока ф = 0
Потенциал скорости ср является гармонической функцией в силу урав-
нения неразрывности
div div yep — Дер = 0.
На твердых контурах нормальная составляющая скорость обращается
в нуль. Отсюда граничное условие для ср:
Vn^ V>n = n-yep = = на твердых контурах
Так как div Г==0, то И в плоском случае имеет векторный потенциал
вида
^=/3ф,
где ф— функция тока (см. стр. 212), так что
V1 дх/ дх/
Из условия rot И—0, получим
Дф = 0.
На твердых контурах ф принимает постоянное значение в си),у того,
что они являются линиями тока, т. е. г|==с на твердых контурах
(рис. 4.30).
Итак, для ф имеем задачу Неймана, а для ф —задачу Дирихле.
218 —
4.12 Основная теорема векторного анализа
В гидромеханике для решения задач Неймана и Дирихле широко
используется метод конформных отображений.
В плоских задачах гидромеханики задаются твердые контуры (один
или несколько) в безграничной области потока. На бесконечности поток
является однородным, так что
V<P|e=’Z.-
На твердых контурах ^Е = 0
Каждый твердый замкнутый контур в плоском потоке увеличивает
связность области течения жидкости на единицу Поэтому для определен-
ности задачи Неймана необходимо задавать значение циркуляции ско-
рости V = vcp вокруг каждого из твердых контуров; значение этой цирку-
ляции выбирается согласно известному постулату Н Е. Жуковского
и С. А Чаплыгина так, чтобы острые кромки профилей были линиями
раздела струй
Пример 2. Пусть ср—потенциал безвихревого течения несжимаемой
жидкости, т. е.
v=v<p.
div И«=>0, Дср = О,
rot V=0
Тогда из свойств гармонических функций следует!
1. Интенсивность трубок тока (векторных трубок) постоянна по их
длине; сами трубки не могут ни начинаться, ни кончаться в потоке (см. 4.10).
2. В односвязной области, полностью ограниченной твердыми стенками
^на них ^ = 0^, не может возникнуть непрерывное безвихревое течение
3. Кинетическая энергия некоторого объема жидкости т, ограничен
ного поверхностью S, может быть вычислена (см. задачу 17, гл. 4)
Это следует из (4.89) и определения
4.12. Основная теорема векторного анализа
В векторном анализе имеет большое значение теорема
Стокса, особенно часто применяемая в аэромеханике и электро-
динамике, о расщеплении векторного поля А на два: потен-
циальное At и соленоидальное Аг. Речь идет о полях, опреде-
ленным образом исчезающих на бесконечности, — именно |Л1
обращается на бесконечности в нуль как a |div Д| и
|го! А |—как , |дев>0. Как будет видно из доказательства,
•/. и»
— 219
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
это. предположение необходимо для сходимости интегралов,
дающих выражение Д2 и А2 через А.
Теорема. Любое непрерывное векторное поле А (г), заданное
во всем пространстве и исчезающее на бесконечности вместе со
своими дивергенцией и вихрем, может быть единственным обра-
зом (с точностью до векторной постоянной) представлено в виде
суммы потенциального А1(г) и соленоидального Д2(г) полей, т. е.
где
Д==Д1 (г) + Д2(г),
rot Д2 = 0;
div А2 — 0.
(4.115)
Сделаем предварительно два замечания, а затем перейдем
к доказательству теоремы.
1. Поскольку
div4 = div41 и rot4 = rot42, (4.116)
то при разложении поля (4.115) получается, что все источ-
ники и стоки включаются в первую часть разложения Д1(
а все вихри—во вторую часть А2. Таким образом, конструк-
тивный результат теоремы (выражение At и А2 через div4
и rot Д) позволяет решить задачу определения поля А по за-
данному распределению его дивергенции dnM = 0(r) и вихря
rot А = О(г).
2 Мы называем поле At потенциальным, а поле Д2—со-
леноидальным, хотя нам известно только, что го(Д1 = 0 и
divД2 = 0. В процессе доказательства будет ясно, что век-
тор At всегда можно считать потенциальным, ибо если об-
ласть определения этого вектора окажется многосвязной, то
всегда можно провести дополнительные ее границы, уничто-
жающие многосвязность; для вектора Д2 будет построен век-
торный потенциал, так что Д2—действительно соленоидаль-
ное поле.
Доказательство. Для доказательства мы построим поле
Д! и Д2 по заданному полю А, а затем покажем, что такое
определение однозначно (с точностью до постоянного век-
тора).
Построение Д2. Для нахождения At имеем из (4.115) и
(4.116) уравнения:
rot Д2 = 0;
div Д^ div Д.
(4.И7)
Из первого уравнения следует, что
Дх= + С\,
220 —
4.12. Основная теорема векторного анализа
где Сг—постоянный вектор, а ср—однозначный потенциал
(если область определения многосвязна, считаем, что
проведены дополнительные границы, превращающие эту область
в односвязную).
Тогда второе уравнение (4.117) дает
div(Vq> + C1) = div А,
или
ДФ = div А.
Постоянная С для определения потенциала ср роли не играет.
Из этого уравнения (уравнение Пуассона), с известной
правой частью, можно вычислить <р, используя следствие
(4.94) из теоремы Грина. Применяя формулу (4.94) к неогра-
ниченному объему т, где отыскивается функция (р, мы полу-
чим, что поверхностный интеграл
обращается в нуль, если считать, что ф и стремятся к
нулю на бесконечности, причем стремится к нулю быстрее,
чем — .
г
Тогда, поскольку значение Дер во всех точках пространства
нам задано, значение <р может быть представлено формулой
где г—расстояние от точки (х,, лг, х3), в которой вычисляется
значение ф до произвольной точки (|1( |2, £3) области интегри-
рования, в которой вычисляется div А ji располагается эле-
ментарный объем dt. Интегрирование распространяется на
всю область определения div А.
Тогда
A^ + C^-lgradjjj^dT + G. (4.119)
Проекции этого вектора вычисляются по формуле
(*i> х2> *з) ~
1 д f С С Е3) , с
“ todxJJJ + + iX‘
(i = l, 2, 3).
14 -Заказ № 3610
— 221
Г лава четвертая Векторный и тензорный анализ
(4.120)
(4.121)
Построение А2. Вектор А2, как это следует из (4.115) и
(4.116), определяется системой уравнений
rot А2 == rot 4;
div Д2 = 0.
Будем искать решение этой системы в виде
А2 — rot W 4- С2,
причем векторный потенциал IV подчиним дополнительному
условию
div1V=0. (4.122)
Такое ограничение, наложенное на векторный потенциал,
несущественно, ибо он определен с точностью до градиента
произвольной функции. Так что если считать, что div IV =
= Фу=0, то можно рассматривать вместо IV вектор W —
— W+vf, который также будет векторным потенциалом
поля А2 (ибо rot IV' = rot W) при произвольной функции f.
Но теперь всегда можно подобрать так функцию f, чтобы
div IV'= 0. Для этого достаточно f определить из уравнения
div IV'== div IV + div vf = O,
или
-О=дД
Итак, мы можем всегда считать, что векторный потенциал
соленоидального поля также есть соленоидальный вектор. Но
тогда этот вектор определяется из уравнения, полученного
подстановкой (4.121) в первое из уравнений (4.120)
rot (rot 1V4-C0 = rot4,
или
rot rot IV = rot A.
Используя выражение для rot rot IV (см. 4.59) и учитывая
(4.122), получим
— A W=rot А.
Выражение IV через rot А может быть получено при помощи
формулы (4.94 а) точно так же, как было получено частное
решение уравнения Пуассона (4.118) при помощи формулы (4.94).
Постоянная С2 не играет никакой роли при определении IV.
Итак, имеем:
<4-|23)
222 —
4.12. Основная теорема векторного анализа
Тогда
(4.124)
Отсюда, например, проекция этого вектора на ось (хх)
равна
*2> *з)=
_± [Afff----------
4Л К(^1-^)2 + (^-$2)а-(*з-ёз)2
Интегрирование распространяется здесь на всю область опре-
деления rotA.
Таким образом, окончательное выражение для разложения
векторного поля А имеет вид:
Л - - « 8rad йj Л + S г°‘ Ш <4125>
Постоянные Сг и Сг здесь отброшены, ибо поле А по
условию должно исчезать на бесконечности. Формула (4.125)
дает выражение для восстановления поля по его вихрям и
дивергенции, т. е. когда известны только функции
div А = 0 (г),
rot Д = ft (г)
и требуется определить поле А (г).
Однозначность разложения поля. Пусть наряду с разло-
жением
Д = Д1+Д<!; rot Д1 = 0; div42=0
существует другое разложение
A — A't + A',-, rot Д1 = О; div4j'—0.
Тогда, поскольку div Д = div Дг = div Дь то div (Дг—Д^^О.
Следовательно, вектор Д! — Д1 образует лапласово поле, ибо
го!(Дг—Д1) = 0,
div (Д,— Ai) — 0.
Аналогично вектор Д2—As также образует лапласово
поле, ибо
rot (Д, — Дг) = 0,
div (Д2 —Д2) = 0.
14»
— 223
Глава четвертая Векторный и тензорный анализ
Согласно (4.119) и (4.124), эти векторы могут быть только
постоянными, т. е.
—A — const,
А2—At = const.
Итак, наше разложение действительно однозначно с точ-
ностью до произвольной постоянной.
Замечание по поводу однозначности в случае конечной области.
Можно показать, что непрерывное векторное поле в конечном объеме
однозначно определяется дивергенцией и вихрем во внутренних точках
и нормальной компонентой на границе области.
Действительно, пусть существует решение системы
div Д==0(г),
rot 4 = 0 (г),
при граничном условии
Д-л/s = f(r),
где функции 0, О определены для всех точек области, а /—для точек
границы. Функции 0 и /, естественно, должны быть подчинены условию,
следующему из теоремы Гаусса—Остроградского:
т S
Такое решение единственно.
Действительно, пусть Д'—второе решение той же системы. Тогда имеем!
div (Л—Д') = 0;
rot (Л— Л') = 0;
(4-4')./i/s= 0.
Вектор Д—Д' образует лапласово поле, т. е.
Д —Д' = v<p,
Дф = О,
причем ^“=0 на границе поля В силу свойств гармонических функций
ср = const всюду. Следовательно, Д = Д'.
Для того чтобы разложение для бесконечной области, приведенной
выше, было справедливо для конечной области, необходимо задать соот-
ветствующим образом граничные условия на поверхности S.
Пример. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла. Уравнения
Максвелла, описывающие электромагнитные явления, играют в электро-
динамике такую же большую роль, как, например, уравнение Ньютона
в механике Величины, которые характеризуют электромагнитное поле,—
это векторы напряженности электрического и магнитного полей £ н //,
каждый из них является функцией точки н времени, т е. E~E(r, t) и
H=H(rt t). Электромагнитное поле создается зарядами и точками, рас-
пределение которых характеризуется скалярной функцией плотности
распределения зарядов p = p(r, t) и векторной функцией плотности
тока /=/(г, t).
Рассмотрим электромагнитное поле в вакууме. Независимо от распре-
деления плотности зарядов р и тока J векторы напряжения электромаг-
224 —
4.12. Основная теорема векторного анализа
нитиого поля Е н Н связаны соотношениями, интегральная форма которых
имеет вид»
<4
JJff.ndS=O (Ц)
Множитель с=3-1010см/сек равен величине скорости света в вакууме.
Уравнение (I) утверждает, что изменение во времени потока магнит-
ного поля через поверхность Sl, опирающуюся на контур L,
SL
равно циркуляции электрического поля ф EdL вдоль контура L. Этот
L
интеграл в физике часто называют «электродвижущей силой». Первое
уравнение выражает известный закон электромагнитной индукции Фа-
радея.
Уравнение (II) показывает, что поток магнитного поля через замкнутую
поверхность произвольной формы всегда равен нулю. Оба уравнения
справедливы независимо от конкретного вида L и
Применяя формулу Стокса (4.28) к интегралу правой части уравне-
ния (I), можно написать
л*rot Е dS,
SL L SL
или
SS(7^+ntc)-"ds-<‘-
SL
И, в силу произвольности Si,
дН . „
5T=-^rotE.
П')
Преобразовывая интеграл по поверхности уравнения 11 в интщрад
по объему по формуле Остроградского (4.20), найдем
""МН
div Hdx = 0,
откуда, в силу произвольности объема т,
divtf=0. (II')
Уравнения (1—II) и (Г —1Г) называются однородной парой уравнений
Максвелла соответственно в интегральной и дифференциальной формах.
Связь векторов напряжения Е и Н с плотностью распределения заря-
дов р и тока J определяется неоднородной парой уравнений Максвелла,
— 225
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
которые также следует рассматривать Как опытный факт:
SL L SL
^E.ndS = 4n JJJpdr
X
(III)
(IV)
Уравнение (III) утверждает, что изменение во времени потока электри-
ческого поля через поверхность Si, опирающуюся иа L, равно циркуляции
магнитного поля вдоль контура I (умноженной на с) минус поток плот-
ности тока / (умноженный на 4л) через эту же поверхность Si.
Уравнение IV показывает, что поток электрического поля через замк-
нутую поверхность S., ограничивающую объем т, равен заряду (умно-
женному на 4л), находящемуся внутри объема т Оба эти уравнения (HI)
и (IV) справедливы при произвольных L, S и т.
Так же как и при рассмотрении однородной пары уравнений, при-
меняя формулу Стокса, можно написать для уравнения (III):
~ £-п = n-rot HdS~4л §§jndS
SL SL SL
и в силу произвольности
д£ . __ . Л
-gj- = crot//—4л/.
Для уравнения (IV), применяя формулу Остроградского,
И e-«dS=JJJdiv£dT = 4«JJJpdT
X
(III')
получаем
S т
т
н так как объем т произволен,
div В — 4лр
(IV')
Уравнения (НГ) и (IV') называют неоднородной парой уравнений
Максвелла в дифференциальной форме; системы (I—IV) и (Г—IV') пред-
ставляют собой систему уравнений Максвелла соответственно в интеграль-
ной и дифференциальной формах
Эта система уравнений описывает электромагнитное поле в вакууме.
Если учитывать влияние среды, то войдут дополнительно еще два вектора:
вектор, определяющий поляризуемостьеднницы объемасреды (вектор поляриза-
ции Р(г, /)), и вектор, характеризующий магнитные свойства среды —
вектор намагничивания Af(r, t). Для различных классов сред зависимость
этих векторов от £ и Н подробно изучается в курсах электродинамики
и теоретической физики.
В литературе, наряду с векторами Р и Af, часто вводятся вектор сме-
щения (электрической индукции) D = £-|-4nP и вектор .магнитной индукции
В=Н+4пМ. При этом уравнения Максвелла для среды приобретают вид
^ = -crotE, (Г)
div В—О, (II')
^ = crottf—4.1/, (ИГ)
divD = 4np. (IV')
226 —
4 12. Основная теорема векторного анализа
Приведенная система уравнений электромагнитного поля для среды
ие является замкнутой, так как в иее входят дополнительно два вектор-
ных поля P(r, t) й Af (г, t) или D(r, t) и В (г, t). Добавление конкрет-
ных уравнений, определяющих для данного класса сред зависимость
P(r, t) и Af(r, t) или D(r, i) и В (г, t) соответственно и /(г, t) от по-
лей Е, Н, дополняет рассматриваемую систему и образует исходную си-
стему уравнений для исследования данного класса сред. Так, например,
выражение для плотности тока j~aE (о —электропроводность) дает до-
полнительное уравнение—это так называемый закон Ома. Аналогично
для среды с диэлектрической проницаемостью е и магнитной р, устанав-
ливаются зависимости D = zE и которые дополняют систему
Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. Весьма
важную роль в электродинамике играют вспомогательные функции — так
называемые потенциалы: скалярный ср = ср (г, t) и векторный А = А(г, /).
Мы рассмотрим случай вакуума и введем потенциалы так, чтобы значения
их удовлетворяли прежде всего однородной паре уравнений Максвелла
|^+crot£ = 0, (Г)
div//==0 (II')
Так как дивергенция от ротора произвольного вектора равна нулю,
то второму уравнению можно удовлетворить, если положить
H(r. t) = ^A(r. i). (4.126)
Теперь, подставляя (4.126) в первое уравнение, получим
'"‘(75Г+£)=“ <4127>
Так как ротор от градиента любой функции равен нулю, то уравне-
1 5 А
иию (4.127) можно удовлетворить, если положить £ + = —Тф, где
ф—произвольная функция от г, i и, следовательно,
£=-l^-V<p. (4.128)
Заметим, что замена А на А+v/ и одновременно замена ф на
А не изменяют векторов напряжения электромагнитного поля Е и Н.
Действительно, // = rot A = rot (А-|~ vf) = rot А-Ьrot grad J = rot А н
c dt c dt V c dt)
c dt c dt У + dt c dt
Е =
Подставляя (4.126) и (4.128) в неоднородную пару уравнений Мак-
свелла (IIГ) н (IV'), получим уравнения, которым должны удовлетворять
скалярный ф и векторный А потенциалы:
~ Гф^ = с rot rot A (4.129)
dt \ с dt J
—7ф^ = —4лр, (4.130)
227
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Не ограничивая общности, можно воспользоваться отмеченной выше
формулой преобразования для потенциала введением произвольной функ-
ции f и наложить на ср и Д дополнительное условие (условие Лоренца):
div4 + —ч? = 0 (4.131)
С 01
Действительно, поскольку вектор Д определен с точностью до гра-
диента произвольной функции, то подчиняя его условию (4.131), можно
написать
div (Д+V/) 4—^ = 0, (4.132)
и функция vf, бывшая до сих пор произвольной, определится нз урав-
нения (4.132):
Af = -j-^-div4. (4.133)
Используя выражение (4.59)
rot rot Д = grad div Д—АД
и соотношение (4.131) н (4.133), получим из (4.129) и (4.130) уравнения
для определения Д и ср, а следовательно, Е и Н:
<4Л34>
Л(р-^^==-'411р- (4Л35)
Если ввести оператор (деламбертиан)
1 да
П=Д-с^’ <4Л36>
то уравнения (4.134) и (4.135) примут вид:
4л
□4 = -^-/; (4.137)
С<р = -4лр. (4.138)
Это—волновые уравнения для потенциалов; они подробно изучаются
в курсах математической физики.
Энергия и вектор потока энергии электромагнитного поля. Рассмотрим
сначала уравнения (I—IV) для вакуума. Умножим скалярно (Г) иа Н
и (ПГ) на £ и сложим полученные произведения.
+ Я • ^=с£то1Я-£.4л/-сЯ.го1£.
ot ot
Замечая, что div (£ X//) = //• rot £—£• rot Я, перепишем это равен-
ство в виде
[й<£х">]-'£-
или, интегрируя
X XX
228 —
Задачи с решениями
где положено
Л = (4.140)
Использхя теорему Остроградского, равенство (1.139) можно записать
в форме
т Sx т
Если ) = 0 и ^=0, то величина, стоящая в левой части равенства
(4.141), сохраняется: оиа играет роль энергии электромагнитного поля,
£2 4-Я®
плотность которой равна —5------ . Вектор Я, определенный равенством
оЛ
(4.141), называется вектором потока электромагнитной энергии (нли векто-
ром Умова —Пойнтинга).
В общем случае равенство (4.141) устанавливает, что изменение элек-
тромагнитной энергии в некотором объеме равно потоку вектора Пойн-
тинга В через поверхность ограничивающую этот объем т, и работе
электромагнитного поля над током в этом объеме.
При j = pV в выражении, стоящем под знаком последнего интеграла
(4.141), величина р £dx представляет собой силу электромагнитного поля,
действующую на заряд pdr; умножая ее скалярно на скорость У, получим
работу в единицу времени; она соответствует потерям на джоулево тепло.
Рассматривая уравнения (Г—IV") Максвелла в среде и соотношения
D = zEt и J = (4.14-)
можно получить аналогичным путем уравнение энергии электромагнитного
поля для этих классов сред в виде:
т 6Х т
п е£2 + р№
Выражение для плотности энергии имеет вид ------; для вакуума
8=1, |х=1 и (4.143) совпадает с (4.141). Роль потока вектора энергии иг-
с
рает по-прежнему /?= — £Х/7‘, последний интеграл соответствует поте-
/2
р^м на джоулево тепло: /-£=о£2 = у —количество тепла, выделяемое в
единице объема среды в единицу времени.
Задачи с решениями
Задача 1. Формулы Френе. Если иа пространственной кривой выбрать
начало отсчета и установить положительное направление отсчета дуг, то
радиус-вектор любой точки иа кривой будет вектор-функцией дуги $
r = r (s).
Пусть для каждой точки кривой можно определить однозначно три
взаимно перпендикулярные оси естественного трехгранника: ось касатель-
ной (ортт), ось главной нормали (орт л) и ось бинормали (орт Ь) (рис. 4.31).
Орт т равен т=»^" е
229
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
1аг 1’ слг
— l—lim — =1» а по направлению т
dr „dr „ .
и также совпадают, ибо направлен по касательной к годографу
r = r(s)
Орт п перпендикулярен к т, направлен в сторону вогнутости кривой и
лежит в соприкасающейся плос-
Рис 4.31. Орты осей естественного
трехгранника кривой
Рис. 4.32. Углы смежности каса-
тельных Де и бинормалей дф.
Предельным положением плоскости Р,
когда М* -► М, является положение со-
прикасающейся плоскости
Соприкасающаяся плоскость—это предельное положение плоскости,
проведенной через касательную в данной точке М параллельно касатель-
ной в соседней точке М', когда М' приближается к М (рис. 4.32). Плоская
кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости.
Угол между двумя смежными касательными Де называется углом
смежности касательных.
Орт b определяется векторным произведением
& = тХ«.
Поскольку в каждой точке кривой имеем свои значения ортов т (s),
n(s), b(s), то эти орты могут быть рассматриваемы как вектор-функции
скалярного аргумента—дуги s.
dx dn db
ds' ds ’ ds
Определить
Решен и e
. dr 1
1 -j-==л —
ds p
Докажем это. Имеем (рис 4.32):
911* Ag
l£’l= Um L*I>= lim lT|Sin .2^ lim ^ = 1.
I ds I as->o As As->o As As->o As p
1 dr I I
Эта величина I — I = — носит название кривизны кривой (р—радиус
кривизны).
Вектор лежит в плоскости Р, предельное положение которой явля-
230 —
Задачи с решениями
ется соприкасающейся плоскостью. Поскольку | т | == const, то, j^_LT и
направлено, как видно из рис. 4.32, в сторону вогнутости кривой. Значит,
dr
направлено по орту п.
Первая формула Френе установлена
Кривизна кривой — может быть вычислена по формуле
р | ds| I ds« I V \ds2 ) ^\ds» J \ds* J ’
„ db 1
2‘ ds “ T П'
Имеем (рис. 4.32):
2 | b | sin
lim ------------lim ,
As->0 Д8 As ->o Д$ T
Здесь Дф—угол смежности бинормалей, а величина называется
кручением кривой (Г —радиус кручения).
Кроме того,
ds ds \ds \ ds J ds
Следовательно, вектор должен быть перпендикулярен т и b (ибо ]Ь | =» 1)
одновременно, т. е. направлен по оси вектора п.
db
Из параллельности векторов п и следует, что соприкасающаяся
плоскость кривой поворачивается около касательной к кривой при движе-
нии точки по кривой. Мы будем приписывать кручению знак плюс, если
при возрастании s соприкасающаяся плоскость поворачивается в направле-
нии от п к Ь» и минус, если вращение происходит от b к п. Тогда
db 1
ds ~ Т П'
Вторая формула Френе установлена.
, dn_ т b
3‘ ds р+Т ’
Эта формула устанавливается простым вычислением!
Задача 2. Зиая уравнение кривой г = г(*), где s—дуга, найти круче-
ние кривой .
1 db
Решение. Из второй формулы Фрейе (см. задачу 1) имеем =-=—«• s— •
- 231
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
,. . dr d?r
Но Ь » СХЯ. Поскольку т = и л = р , то
—V —
. ds* ds* f dr
”*[ dr с^гУ^? \ds X
Ids Xds» I
Тогда им$ем!
* «_ л» *L . £ = o* — .
Г r ds* ds \ds *ds* ) p ds \ds» *ds* J ‘
Задача 3. Найти проекции ускорения точки на оси естественного трех-
гранника ее траектории.
Решение. Пусть уравнение движения точки имеет вид:
r-r(f).
Это уравнение является параметрическим уравнением траектории (па-
раметр /—время).
Тогда
скорость V и ускорение IV точки равны:
di ’ W dt*~ dt '
то всегда можно определить закон движения
точки по ее траекторий, т. е. s — s (£), где
$ “Дуга траектории. Тогда можно рассмат-
ривать
Если
задано
Рис. 4.33. Круговые
вектор-функции
r(O = r|s(OL
Отсюда получим
v=d2L^dJL^—xV
dt ds di TF*
.. ds
где У = ——скалярная скорость.
Используя первую формулу Френе, полу-
чим
н/ . dV
w'=’Tn+«t-
целиком лежит
в соприкасающейся плоскости
проекции
№* = 0.
Итак, ускорение точки
н имеет на оси естественного трехгранника
dV V2
UZ — — * ttZ == — •
’ п р ’
Задача 4. Круговые вектор-функции. В плоскости (хь х2) заданы две
единичные вектор-функции gi(<p) и £а(ф) в виде ортов (| gx | = | g2 |= 1).
составляющих углы ф и ф + у с осью хх (рис. 4.33). Найти их разложе-
dg\ dg2
ния по осям н и выразить ~ и через g1 и g2.
Решение. Из определения g1 и g2 имеем:
gi (ф) cos ф + i2 sin ф; g2 (ф) = — h sin ф + i2 cos ф.
232
Задачи с решениями
Отсюда получим, дифференцируя по ф н учитывая, что н Z9—постоянные:
с/ф ^а> t/ф '
Задача 5. Найти проекции скорости и ускорения точки, движущейся
в плоскости, на направление радикса-вектора (радиальные составляющие)
и иа перпендикуляр к нему (трансверсальные составляющие), если урав-
нения движения точки имеют вид
r = r(Z); ф = ф(О,
где r=|rj, а ф —угол, который составляет радиус-вектор с осью xv
Решение. Введем круговые вектор-функции ^(ф) и £г(Ф) так, что
г=:'Т1(ф)- Тогда
V=^=rri(<P)4-r V=rgi (чО + 'Йз(ф).
где
dr dw
= rgi + Ф + Й + /ф)Л + 'Ф* $
= (г — Гф2) g! + (2гф + Гф) gt.
Отсюда имеем искомые проекции:
Vr=r\ ttZf = r—гф2;
Уе = гф; №е = 2гф + гф = у (/-2ф).
Задача 6. Найти уравнение винтовой линии, которая представляет
собой траекторию точки, одновременно участвую-
щей в двух равномерных движениях: вдоль оси х3
и во вращении вокруг этой оси Найти длину
дуги винтовой линии у
Показать, что орт касательной к винтовой ли- _____________
нии образует постоянный угол с плоскостью (х^)
Решение. Введем круговую вектор-функцию -------------\
идущую по проекции на плоскость
(л*1, х2) раднуса-вектора г переменной точки вин 3 \
товой линии (рис 4.34). Тогда “ V* "т
Л • *
Г = (ф) + а (ф) 4.
где R — радиус окружности, в которую проектируй N
ется винтовая линия на плоскость (Х1Х2), а а(ф) —
проекция г иа ось х3.
По определению винтовой линии
Рис. 4.34. Винтовая
линия
Ф = (о/; a-=V/,
где V—скорость движения точки, описывающей винтовую линию, вдоль
оси х3, а (о —угловая скорость вращения этой точки вокруг той
же оси.
Тогда имеем;
V
г(Ф) = /?Г1(Ф) + — Ф*з-
— 233
Г лава четвертая Векторный и тензорный анализ
Это и есть уравнение винтовой линии.
При V==0 получим
r(<p) = /?e-i(<p)
— уравнение окр}жности в плоскости (хь х2) с центром вначале координат.
Найдем длину дуги s винтовой линии, т. е. путь, который пройдет по
винтовой линии точка, повернувшись вокруг оси л3 на угол ф. Получим
Ф ф
о о
Орт касательной т к винтовой линии равен
_dr _dr dtp
~ ds ~d<f ds ~ у/?a-f- (И:<о)» *
Имеем:
Л У:со
Т-/3“-тс=== ,
/>2 + (У:ю)2
т. е. орт т составляет с осью х3 (н с плоскостью (зд)) постоянный угол.
Задача 7. Показать, что кривизна и кручение винтовой линки суть
постоянные величины.
Ответ.
£ R 1
р “/?2 + (V:(o)2; Т -/?2 + (И:(0)2 *
Задача 8. Найти градиент поля ср = ср (г), где
r = V xj + x2 + x|.
Решение. Используя (4.60), получим
grad ср (г) = ^2 grad г ср' grad г.
Но
gradr = 4±=/^ = ^.
Таким образом,
grad ср(г) = ф,(г)у .
Если не обращаться к готовой формуле (4.60), то, непосредственно
рассматривая ср (г) = ф (г (хд)], получим, используя выражение для grad ф
в декартовой системе координат:
j / ч , дф к (**)] , d<P dr . f t х г
grad <р (r) = Л М-»” = (г)- = ф (г) — .
Задача 9. Найти дивергенцию поля Д==/чр(г).
Решение. Заметив, что
г! z v Л = d i v /-ф = ф div г-j-г-grad ф (г)
и использовав (4.60), получим
div 4 = Зф-|-лф'.
234 —
Задачи с решениями
Эту задачу можно решить, используя представление в декартовой
системе координат:
div(r<p (r)]=^hfc<p(r)]=3<p+x* =
О , XkXk , О . ,
— Зф4~~у^ф =3ф4-фг.
Задача 10. Найти вихрь поля А=гср(г).
Решение. Так как
rot 4 = rot гср (г)== ср (л) rot г —rXgrad ф(г) и rotr=0,
то по (4 60) имеем:
rot А = —г X у <р,('') = °-
Задача 11. Найти \ (А*В)
Решение.
По формуле двойного векторного произведения имеем:
c(a b) — b (а*с)—а X (Ь X с),
или
c(a-b) = (a»c)b + a X (с Х Ь).
Положим
а = Ас; Ь = В;
Тогда
V(4C.S) = (4C. V)*+4CX(V X В).
Следовательно, и
V V (ВС-А) = (ВС- y)A+BcX(VX А).
Окончательно получим
V (А-В) = (А- V) В±(В- V)A + A X rotfi+fi X rot А.
Задача 12. Найти rot (А X Я).
Решение. Имеем:
rot (АХ В) = V X (А X В) = V X (Ас X Я)+ V X (А х Вс).
Раскрывая двойные векторные произведения в таком виде, чтобы оператор
V действовал только на вектор, принимаемый переменным, получим:
V X (Ас X S) = Ar (V-fl)~(Ac. V) В-,
V Х(А X ВС} = (ВС< v) A-SJV-A)
Окончательно получим
rot (А X В)= (В- V) А —(А- V) A div Я—Sdiv А
Задача 13. Показать, что если ф гармоническая функция (Дф = 0), то
вектор гф удовлетворяет уравнению: ДАгф=-^д Дгф=ч- =0
иХ/ОХ/ oXjOXidXjdXf
(бигармонический вектор)
Решение. Последовательно вычисляем:
д2 ч дф дф , даф <и дф д2ф
дхЛдхЛ' т) “ ft "г л + dxkdxk““ k дх^Г dxkdxk
— 235
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
или Д (гф) = 27ф4-гДф.
Так как по условию Дф = 0, то
Д (гф)=27ф.
о д2
Вычисляя от этого выражения еще раз операцию Д и учиты-
д , д
вая, что операции Д и v = переставимы, получим
ДД (гф) 2Д vt|) = 2гДф=0,
ибо Дф~0.
Задача 14. Показать, что лучи, проведенные из фокусов и Л2 эллипса
в любую его точку М, образуют с касательной в этой точке одинаковые
углы.
Решение. Прежде всего заметим, что градиент модуля вектора Гддь
проведенного из фиксированной точки А (х°, х®, х°) в любую переменную
точку М (хь х2, х3), равен единичному вектору, проведенному от А к М.
Это проверяется непосредственным вычислением:
v x?)2+(*2 — -Ф2 + (*з— *“)2) =
+ (*2 — *2) G“H*3—Хз)1з Гддо
Теперь, заметив, что эллипс есть геометрическое место точек, сумма
расстояний которых до фокусов есть величина постоянная, имеем:
г„ м „л == const.
Так как grad 4- г^ам) направлен по нормали к эллипсу, в точке М,
то, беря орт касательной в той же точке, получим
('>1лР'ТЛ,г= — v ^ЛгалР*ТЛ1
или
Г/\лГТЛ1 в _Г/М!ЛЛ1
1ГГ,Л11 I ГЛ\.М I
Отсюда и следует, что углы между г^м и ТЛ1 и rF9M и ~ХЛ1 °Аинаковы
Если эллипс представляет отражающую поверхность, то луч света,
выйдя из одного фокуса, отразившись, придет в другой его фокус.
Задача 15. Пусть S—любая замкнутая поверхность, а г—радиус-век-
тор ее точки относительно некоторого начала О, не лежащего на S.
Вычислить поток вектора — через поверхность S
Решение. Здесь надо различать два случая:
1) точка О находится вне S, так что всюду на S имеем г 0.
В этом случае, применяя к области т, ограниченной поверхностью S,
теорему Остроградского, имеем
5 т
ибо div--j- = O:
г2
2) точка О находится внутри S.
236 —
Задачи с решениями
В этом случае, окружая точку О сферой е достаточно малого радиуса
гл и применяя теорему Остроградского к области х' между S и поверх-
ностью сферы Se, имеем
S 5, v
ибо н т' также г / 0.
Таким образом,
s st
Но на поверхности сферы Sfe имеем:
г
— ~—11\ Г = rt = const
г 1
Следовательно, получаем
SsS" ? “-И 7>',s-7y W45-?;
Интеграл п '^з имеет простой геометрический смысл: ои пред-
s
ставляет собой телесный угол, под которым из точки О видна поверхность S.
dv
Задача 16. Показать, что поле ускорений жидкости j- имеет потен-
циал Ф, если поле скоростей потенциально (v = vcp).
Найти потенциал ускорений.
Решение. Поле ускорений
dv dv , .
можно записать в виде (форма И. С. Громекн)
dv dv , с2 _ ±
ей=5T+V Т~’Хг0‘’’
если* учесть формулу, полученную в задаче И этой главы которая при
= имеет вид:
V (с,2) = 2 (г- V) v + 2v X rot v
Тогда, поскольку v= vcp, имеем
dv д .и* /дф , и2\
5Г=57 v<P+rT=r^+T).
dv
Отсюда следует, что поле -г- имеет потенциал Ф, равный
Ф
дф и2
+ 2
Задача 17. Выразить кинетическую энергию безвихревого движения
несжимаемой жидкост в односвязном объеме
15—Заказ Д»
— 237
Глава четвертая Векторный и тензорный ана таз
через интеграл по границе этого объема—поверхности S. Показать, что
если на границе S объема т жидкость покоится, то единственно возможным
безвихревым
Решен
движением является покой
не. Используя условия несжимаемости
div V — div V<p — Дф = 0
и формулу
div фЛ— Гф- Л-г ф div Л,
получим
v<p'v<pd-r=j div (<Pv<p) dT —
Г X
— £ yjj ф div v<p dT =у yjj div (ф Гф) dr.
% %
Преобразуя объемный интеграл в поверхностный по формуле Остроград-
ского, получим
е.
(★*
T = Y$$ <P(n.Vq>)dS = |jj<₽gdS.
s s
Если на поверхности S жидкость покоится, т. е. K|s = 0, то
дсо I
~ Тогда из (*) получим Т = 0, т. е. жидкость в объеме т
находится в покое.
Задача 18. Уравнение равновесия жидкости имеет вид
р/= VP.
где f—интенсивность .массовых сил (в поле тяжести f=g)
Показать, что равновесие жидкости может иметь место только в таком
силовом поле, где силовые линии (векторные линии поля/) ортогональны
к векторным линиям rot/.
Решение. Возьмем операцию rot от обеих частей (**) Получим
rot р/= VP Х/4-р rot/=0.
Умножая скалярно на / и сокращая на р, получим
/.rot/=0.
Таким образом, в каждой точке вектор / должен быть перпендикуля-
рен rot/. Так будет в плоском силовом поле (когда / располагаются в па-
раллельных плоскостях). Очевидно, равновесие возможно и в потенциапь-
ном поле (rot f= 0); при этом эквипотенциальные поверхности такого поля
являются и поверхностями одинаковой плотности (ибо ГрХ/=0), и по
верхностями одинакового давления (ибо vp Х/=0)-
Задача 19. Поле скоростей движения вязкой жидкости между двумя
параллельными бесконечными пластинками имеет вид
v = i1v1 = il hx2)-'rU-^ ~— 1
л2Ти2 »
где ось направлена вдоль нижней пластинки; h—расстояние между
пластинками, из которых верхняя имеет скорость иь а нижняя и2;
dp
р, --- — постоянные вязкость н градиент давления,
а*!
238 -
Задачи с решениями
Определить циркуляцию скорости по окружности радиуса /?, центр
которой находится посредине между пластинками.
Решение. Эту задачу можно решить двумя путями. Непосредственно
имеем:
г dxt $ (х* —hx2) dxt 4-
lr lr
+ ~-fi x2dxi+ut$ dxt.
lr lr
Выражая и x2 через полярный угол ср, получим
Xi = /?cosqp; х2 = + Я sin Ф*
1 огда.
2Л
ф dx{ — — R sin ф dcp = 0;
lr °
2Л
(j) х2 dxi = — К sin Ф^ sin Ф ^Ф = — л/?2:
lr 0
24
ф х2 dxx = — R § -j- R sin гр j sin ср dtp = — R*hn.
lr 0
Таким образом, получим
Г = „ Л12±2л/?з,
Л
Этот же результат можно получить проще, если воспользоваться теоре-
мой Стокса и в качестве поверхности S взять круг, ограниченный задан-
ной окружностью Тогда
“-Д [Йг£Л’-',,+“-т:а|ds-
R 2Л
==-jni^(/‘+2r SinT“ rdrd4—U-^*R*.
0 0
Задача 20. Вихревой линией называется векторная линия поля rot И.
Вихревой трубкой называется поверхность, образуемая вихревыми линиями,
проходящими через некоторый замкнутый контур
Показать, что поток вихря rot И через сечение вихревой трубки одина-
ков для всех сечений трубки (теорема Гельмгольца)
Указание. Используя условие солен'оидальности поля rot V. рас-
смотреть поток rot И через замкнутую поверхность, образованную двумя
произвольными сечениями вихревой трубки и ее боковой поверхностью.
15- — 239
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Задача 21. Интенсивностью вихревой трубки называется поток вихря
через ее поперечное сечеиие.
Показать, что интенсивность вихревой трубки равна циркуляции век-
тора по замкнутому контуру, пересекающему все вихревые линии трубки,
жидкости сох-
4 35.
поля А
составляющие векторную
т е. охватывающему трубку.
Указание Применить
теорему Стокса к контуру,
охватывающему трубку, и к
поверхности, ограниченной им
(к сечению трубки).
Задача 22. Рассмотрим в
движущейся жидкости, имею-
щей поле скоростей (г,
/), векторные линии другого
векторного поля 4 = 4 (г, /).
Это могут быть векторные
линии поля ускорений, поля
вихрей и др
Найти необходимое усло-
вие сохраняемости этих век-
торных линий, т. е. условие,
при котором эти векторные
линии будут все время состо-
ять из одних и тех же частиц
жидкости, не разрушаясь (те-
орема Фридмана).
Рис
Если векторные лйнии
раняются. то частицы _____ „
линию AfW в момент времени t, расположатся
в любой другой момен! времени Г так, что дадут
вновь векторную линию M'N' того же поля
Решение. Пусть MN—векторная линия—в момент времени t (рис. 4-35)
остается векторной линией и в момент —/4-ДС деформируясь в M'N'.
Таким образом, для двух произвольных частиц т} и /п2 имеем:
6/*ХЛ = 0 в момент времени /,
6r'X Л' = 0 в момент времени = + Имеем:
Л'=А + ^ Д<.
at
Из векторного четырехугольника abed (рис. 4 35), отбрасывая бесконечно
малые второго порядка и выше, имеем:
Л V
6г' = 6г4- V(r4-6г,/) Д/ — У(г, /) Д/ = 6г4- -г— 6хйД/ = 6г4-(6r-v) ИД/.
Таким образом, если ЛГ/V'— векторная линия, то
Л4-^Д/) X [6r4-(6r- V) УД/]==0
Раскрывая векторное произведение, отбрасывая малые второго порядка
и учитывая Л X 6г«О, получим
(^Хбг)-НАХ(бг-Т) И = 0
Учитывая, что 6г || А, получим искомое необходимое условие сохраняе-
мости векторных линий для поля Д(г, t):
[^-(4-V)vj XA-0
240 —
Задачи с решениями
Во второй теореме Фридмана * устанавливается необходимое и доста-
точное условие сохраняемости векторных линий А (г, t) и интеисивиости
векторных трубок. Оно имеет вид
^-(Л-V) v + 4div V = 0. (•)
Задача 23. Теорема об изменении цирку-
ляции по жидкому контуру.
Рассмотрим в движущейся жидкости час-
тицы, которые в момент t образуют замкну-
тый контур L/. Через время Д/ этот контур
займет положение + (рис. 4.36). Пусть
в движущейся жидкости определено Ггекториое
нестационарное поле 4 (г, /). Таким полем
может быть поле скоростей, ускорений и т. п.
Тогда в каждый момент времени
рассматривать циркуляцию этого поля
жидкому контуру, т. е величину
Г(Г)=>ф A(r, tydL.
Li
Рассмотрим полную производную
времени от этой величины,
симость от времени как контура интегрирования, так и подынтегральной
функции. Имеем
можно
по
ПО
учитывая зави-
об
Рис. 4.36 К теореме
изменении циркуляции по
жидкому контуру
dT ..
dt ~д™о
Д«тод^ / |Л(г, <+Д0-Л(г,
S + дг
ф A(r, t+M')-dL-(f)A(r,t)-dL
Lt+bt L‘
.dL—
'г+дг
4(r, tydL
• dL-у lim
дг -*о
7+д/
— (j)A(r, (•)
Lx /
Для вычисления предела в вышенаписаниом выражении рассмотрим
поток вектора rot Л через замкнутую поверхность, образованную «донышка-
ми» Sf, Sf+a/* натянутыми на контуры Lf, Lt+^(, и боковой поверхно-
стью $0, образуемой за время Д/ отрезками траекторий частиц жидкости,
образующих жидкий контур. Так как вектор rot А—вектор соленоидаль-
иый, то из теоремы Остроградского имеем
j j л-rot A dS+ J J л. rot 4dS + J J fi-rot 4 dS — 0.
5г + дг
Применяя к первым двум интегралам формулу Стокса (см. 4.79) и учи-
тывая, что иа доиышке St внутренняя к поверхности нормаль составляет
* См., напр., Кибель, Кочин, Розе «Теоретическая гидромеханика», т I.
— 241
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
п-rot A dS.
so
с направлением обхода контура правый винт, получим
(j) A(r,t)-dL-
Lt+hi
Замечая, что на боковой поверхности So существует соотношение
ndS = dL X VM,
и учитывая свойство (1.16), окончательно получим
£ A(r, t)-dL—(f)A(r, t)-dL=M С (rot Л X V) dL.
Li+ts.t L> Lt
Подставляя это выражение в (*), полхчим
Применяя вновь формулу Стокса (см 4.79), имеем
rot л-ьrot (rot A X ndS.
Обозначая rotd = S, расписывая ротор векторного произведения и
учитывая выражение (4.59), получим
•$/
Отсюда, учитывая, что контур Lt (и поверхность St) произвольны,
имеем: -^ — 0, /= const тогда и только тогх^а, если —(Я ?)Г +
at at
4-^ div И = 0
Вспоминая второю теорему Фридмана (см предыдущую задачу), полу-
чим формулировку теоремы:
Необходимым достаточным условием сохраняемости циркуляции поля
по любому жидкому контуру является условие сохраненич вихревых линий
и интенсивности вихревых трубок этого поля.
Как частный случай этой теоремы, получаем теорему Томсона—Кель-
вина:
Производная по времени от циркуляции скорости по контуру равна
циркуляции ускорения го тому же контуру
Действительно, полагая в (*♦) А — V и выражая V X rot V из формулы
(см 4.59, № 5)
v =(У-V) У + (И X rot И),
пол\чим
/ < I
г fV2\
ибо ф V ( J-dA = O как интеграл от однозначной функции по замкнутому
контуру.
242 —
Задачи с решениями
Задача 24. Пусть поле V скорости несжимаемой жидкости занимает не-
ограниченное пространство. Вследствие несжимаемости всюду div У = 0.
Пусть в некоторой области этого поля—на линии L имеем: rot V 0, так
что циркуляция по любому контуру, охватывающему L, равна Г. Тогда
линию L можно рассматривать как элементарную вихревую трубку, имею-
щую сечение dS, Требуется отыскать поле вне вихревой трубки (рис 4 37).
Решение. Согласно основной теореме векторного анализа имеем
-ММ 4^
т
(ибо div И = 0 всюду).
Если dr—элемент вихревой трубкн, ориентиро-
ванный по rot V, то
rot V dr = rot V dS | dr | = dr(/?-rot V)dS — dr Г,
ибо интенсивность вихревой трубки n-rotVdS равна
заданной циркуляции Г и постоянна вдоль трубки.
Тогда
Поскольку
вихревой трубки
то искомое поле определяется формулой
4л J г» •
L
где криволинейный интеграл берется вдоль заданной линии L.
Задача 25. Используя результат предыдущей задачи, найти поле пря-
молинейной вихревой нити и поле кольцевой (круговой) вихревой нити.
Задача 26. Определить потенциальное поле V (rot V=0) всюду, если
div Г = 0 всюду, кроме начала координат При этом считается заданным
поток вектора Г, равный Q * через некоторую замкнутую поверхность,
охватывающую начало координат. Такое поле называется полем точечного
источника (см. 4.4).
Решение Так как rot 4 = 0, то A — vcp.
В силу симметрии поля Ф = Ф(''). Тогда
Так как div Д = 0 всюду кроме начала координат, то из теоремы Остро-
градскою следует, что поток через любую замкнутую поверхность, охваты-
вающую начало координат, равен заданной величине Q Тогда, вычисляя
поток V через сферу радиуса г. получим
SL
— 243
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Отсюда
Й=_2_. ф____________о_.
dr 4лг2 ’ т 4лг
Следовательно,
Л 4л г»
Задача 27. Определить проекции скорости и ускорения точки иа оси
ортогональной системы криволинейных координат.
Решение. Если заметить, что полное приращение ради уса-вектор а
точки r = r(qlt q2, q3) может быть записано (см. 2.8) в виде
dr = ^dql + ~dqi + ^d(i3 = H1e1dql + H 2e2dq2 + Н 3e^q3,
то выражение для скорости можно представить через производные криво-
линейных координат по времени:
= = //i q^i + НН(*)
Отсюда, например, проекции скорости на оси цилиндрической системы
координат равны:
Vr = HtR = R; = Н 2<р = R& VXi « Я3х3 = х3.
Для определения проекций Wkt ускорения IV, напишем
dV 1 dr
dt 'Hkdqk-
Отсюда (no k не суммируется!)
* dt dqk dt\ dqk) dtydqb)'
(*•)
Но, дифференцируя (*) no qk, получим
Кроме того,
3 3 s
d dr у d (dr \ -. — V _d_ /dr \ * _ / у dr -______L dr — —
dt dq^ A* dqi\dqk)q,~ A*, dqk \ dq,} 4i ~dqkA* dq, q,~dqkdF dq*'
п /«.x dr dV d (dr \ dV
Поэтому, заменяя в (**) -г— на и -3-, т— на , получим
dqk dqk dt \dqkJ dq„' 3
\ d<?k / dqk dt dqk \ 2 J dQk\^J
или
k ^k\dt dqk dqj ’
yi 1
где T = y = j //2^)-кинетическая энергия единичной
массы
244 —
Задачи с решениями
Задача 28. Показать, что если г—расстояние от точки (х1, х2, х*) до
р(б\ ?, Р. /-у)
(V» Е2» Е8), то функция /(х1, Xе, х9)^-^-7---------— , удовлетво-
ряет уравнению 0, где в операторе □ берется дифференцирование
по х1, Xе, х®.
Решение. Вычислим А/. Имеем:
с 1 1
Vf =7 VP + PV 7.
Используя (4.60) и обозначая через р' производную по аргументу
t —7 , получим
Vf « — f —— Vr я» — ( Vr = — ( — ~ •
r \ c ) r2 \cr r2 J \cr r*J r
Теперь
Af = divVf----+ divr-r-v =
___,/pl . p\ L.(________p____2£_<L
\cr2 * * r \ c?r2 cr* cr* r* J &r *
Ho
p~ /2 с\г~д?~ dt*'
1 дЧ
Отсюда Af = 7 или Д = 0
Можно показать, рассуждая аналогично тому, как это делается при
получении решения уравнения Пуассона Af = p, что решение уравнения
□f=—4лр(х1, х2, х3, t) в неограниченном пространстве при конечном
распределении р(хр х2, х3, t) может быть представлено в виде
С ГС р к, b. b. /-у)
/(Ч. Xt, xa, O = jJJ—--------------dltd^dla.
где r^VXx-L—5i)s4-(x,—b)* + (*»—b)1 и интеграл распространен на всю
область определения р.
Таким образом, решения уравнений (4.137) и (4.138) могут быть запи-
саны в виде
5.. 5з.
—*------------------- dSi db db (4-144)
Шр(ь. h. b. /-7)
—------------------------- db db db- (4.145)
Эти решения показывают, что заряд и ток в точке (Ь> Ь> Ь) влияют
г
на потенциалы в точке (хь х2, х3) с запаздыванием иа время 7 Дей-
ствие потенциала запаздывает на время, за которое сигнал, распростра-
— 245
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
няющийся со скоростью с пройдет расстояние г между точками Эти ре-
шения называются решениями в виде запаздывающих потенциалов.
Задача 29. Показать, что при отсутствии свободных зарядов (р = 0)
в диэлектрике (/ = 0), скорость распространения электромагнитных волн
с
равна •• (ji, е — постоянные).
V ре
Решение Используя уравнения Максвелла (Г' — IV") при J = 0 и
р = 0, получим, беря, например, rot от третьего из них:
1 1 г, е х д£ е д . _
rot rot Н~ — rot — =— rot £.
с di с dt
Учитывая первое и второе уравнения, получим
(414б)
Аналогично можно получить
(4Л47>
Из этих волновых уравнений следует, что если в какой-то момент
времени /0 будут заданы функции £ г==/о = £0 (г) и Н i=^ = HQ(r)t то во
все последующие моменты времени будет наблюдаться волновой процесс,
с
причем скорость распространения волн равна .
V ец
Задача 30. Показать, что функция
(//„ = const) (4.148)
.. . , ш К Ив
удовлетворяет уравнению (4.146) при |Л| = —•
Решен и е. Вычисления дают
^=(/ы)2 Яое' — и?Цае1
ЬН= Н^е1 ~*-г) = Яое'й><Де-'Л-г
Учитывая выражения для скалярного произведения k*r=*kmxm и градиента
д
находим
-i (*-П _ - ikmxm -‘kmx,n = _ ie k e-ikmXm _ike-‘ (*‘r>
ye — ye == en e
Теперь
Ae"z(*’r,=» v* = (ik-ik) e~l —(fe-fe) e~l
A//=_(*.fe)W0? «*-*•') = —(k.k)H.
d2H
Следовательно, подставляя и ДЯ в уравнение (4.146), получим
. „ це д2Н ( «. «. I Ц£ Л I, п
246 —
Задачи с решениями
Отсюда имеем
1*1=-^
Вектор k называется волновым вектором. Величину волнового вектора
можно выразить через длину волны X — расстояние по направлению Л,
определяющее точки, где Н в любой фиксированный момент времени при-
нимает одинаковые значения. Действительно, длина волны X определяется
из равенства
= е 7 J =
2л
Отсюда Х& = 2л и X = —.
к
Рассмотренное решение носит название плоских монохроматических
волн. В них все величины являются простыми гармоническими функциями
времени, и поэтому любую волну можно представить в виде совокупности
монохроматических волн с различными частотами (о и векторами Л. Это
представление является ни чем иным, как представлением в виде ряда
или интеграла Фурье.
Волна называется плоской, ибо ее фронт (поверхность постоянной
фазы) является плоскостью из семейства £«r = const. Эти плоскости (см.
задачу 9 гл. 1) перпендикулярны волновому вектору Л, так что плоская
волна всегда распространяется в направлении, определяемом волновым
вектором k.
Задача 31. Найтн закон распространения плоских монохроматических
волн в проводнике с конечной проводимостью.
Решение. Внутри проводников иет свободных зарядов (р = 0),
а плотность тока на основании закона Ома пропорциональна напряжен-
ности поля Е, т. е. j~aE, где о—удельная проводимость проводника.
Учитывая эти замечания, из системы (Г — IV") получим (е, ц—постоян-
ные).
rot/7=
? дЕ . 4ло
ТдГ+~£
. Р н дН
rot Е== — ~ --гг
с dt
(1) divE = 0
(2) div/7 = 0
(3)
(4)
(4.149)
Беря rot от первого уравнения, получим
х l и ъ д l г? . 4ла . _
rot rot Н = — 37rot ЕН-------------rot Е.
с dt с
Учитывая второе и третье уравнения (4.149), получим:
. IfW дЛ-п
с» dt* с» dt
Аналогично получим
це д*Е . _ . 4лар дЕ п
_дс+—_=°.
Ищем решение, например, уравнения для Е в виде
Е=Ейе‘^ (4 150)
Подставляя это выражение в уравнение, получим для волнового век-
тора уравнение
— — со2 = 0. (4.151)
СЛ с*
- 247
Г лава четвертая. Векторный и тензорный анализ
Отсюда ядно, что величина |Л| должна быть комплексной, поэтому
вектор Ь будем искать в виде
kс=в -j-
Подставляя это выражение в (4.151), получим
b ь 4л^а(0
12 с2 cos 0 ’
где cos6= cos(An Л2), так что у<0<л (ибо ktk2 > 0).
Определяя отсюда величины kx и fe2, получим
1
1
Используя выражение для k, решение для Е и Н можно, записать
в виде
Так как вектор kx направлен в сторону распространения воли и
cos(>!, Л>) < 0, то поскольку Лгг>0, имеем Л2*г<0.
Таким образом, в рассматриваемом случае конечной проводимости
проводника плоские монохроматические волны представляют собой волны
затухающие.
Упражнения
1. Материальная точка движется согласно уравнению движения
r=»acos о/ +£> sin со/,
где а, Ь, о — постоянные; г—радиус-вектор точки.
Показать, что сила, действующая на точку, является центральной
(направленной все время к началу координат)
2. Показать, что
1) grad г «у ;
2) grad гп ~пгп~*г
(п * 2);
ь k
8) grad у----
где a, n, k—постоянные.
3. Показать, что:
1) dlvr«3;
2) div ar = 3a;
4) grad (a-r) = a;
5) grad [a-r<p (r)|-=
= «4> (/•) + (a r)-<t>^r);
6) grad In
3) div rnc — nrn~2(r*c)
(n * 2);
4) div A?«2(rc);
24b —
У пражнения
5) div (с X г) = 0;
6) div^=zO;
г8
7) div г"г ™(л4-3) г";
8) div г (с«г)»4 (с*г)\
4. Показать, что:
1) rot г = 0;
2) rot г (с-г)—с X г;
3) rot (г X /) = 2г;
9) div a (r-r) = div с (а-г) = а-г;
10) div (г X а) X е* —2(а-с);
11) div (г X а) X г — —2 (а* г).
4) rot с (а-г)=» а X G
5) rot [(с X г) X а] = а х с\
6) rot [(cXr)Xr]=3cXr
5. Найти дивергенцию и вихрь поля скоростей V и поля ускорений
1И твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, зная, что
х г: W=e х г 4-© X (ю X г),
где о», е—постоянные векторы.
6. Показать, что поток радиуса-вектора г через любую замкнутую
поверхность, ограничивающую объем т, равен Зт.
7. Вычислить циркуляцию по окружности радиуса R с центром
в начале координат векторных полей:
= ( —*2^1 + xxi2)\
/ х2 \
Я«-(*л + 1)/»4Д-^+х.+2) it-
8. Показать, что поля
4 = Зх‘ x*it 4- 4xJ x3i3 — Зх, x\i3 В= ?ФХ ?ф.
где (р и ф—скалярные функции, являются солеиоидальными
9. Найти общий вид функции / (г) такой, чтобы поле A=*f(r)r было
соленоидальиым.
Ответ: f (г) = с/г3,
где с —произвольная постоянная.
10. Показать, что поля
А = (6х,х, 4-х’) ii + (Зх, — х3И»4-(Зх,Хз— xt)i3, В=ф?ф,
где ф—скалярная функция, являются безвихревыми.
Найти потенциал поля 4.
Ответ. 4 = V (3xjx2 + ххх* —х2х3 + const).
11. Показать, что если поля 4 и В суть безвихревые поля, то поле
АХВ является соленоидальиым.
12. Вычислить поток вектора
А = 4х,х3/1 — x\it 4- xsx3Z3
через поверхность единичного куба, образуемого плоскостями
Xj=0, *! = !, х2=0, х2=1, х3 = 0, *з — 1.
Ответ. */2.
13. Вычислить поток вихря поля
А = (х* 4- х, — 4) Z, 4- 3x1xsZ14- (2х,х3 4- х|) i3
через поверхность полусферы х’4-х’4-х’»= 16, находящейся над пло-
— 249
Глава четвертая. Векторный и тензорный анализ
СКОСТЬЮ XVX2'
Ответ: —16л.
14. Показать, что
dgij dgjlt_r
15. Показать, что для ортогональных координат имеют место выраже-
ния! Г<Лс=0, если значения it j, k — различные,
г;.=1 —. in не, г‘,=^ —in не, г‘ ,
“ 2 дх, ” Ч 2 дх] ' И 2Hidxi
причем здесь не предполагается суммирования по дважды повторяющимся
индексам I ± j
16. Показать, что
-L(g Л.б7)= Л в< + А<в
дх*
17. Доказать, что ковариантная производная от абсолютной вели-
чины вектора равна
М I/»/ тхг
Оглавление
Предисловия..................................................... 3
[ лава первая
Основные сведения из векторной алгебры
1.1. Векторы и скаляры.......................................... 5
1.2. Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора на ось ... 7
1.3 Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов.
Разложение вектора..............................................11
1.4. Скалярное и векторное произведения двух векторов...........17
1.5. Произведения трех векторов.................................22
1.6 Взаимные базисы векторов Ковариантные и контраварнантные
составляющие вектора. Сокращенные обозначения...................25
1.7. Переменные векторы.........................................34
Задачи с решениями..........................................37
Упражнения..................................................49
Глава вторая
Понятие тензора и закон преобразования его компонент
2.1. Компоненты тензоров и их преобразование. Равноправность коор-
динатных систем.................................................53
2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры)...........................55
2.3 Тензоры 1-го ранга (векторы)...............................57
2.4. Тензоры 2-го ранга.........................................60
2.5. Тензоры высших рангов ................................72
2.6. Преобразование компонент векторов и тензоров при повороте
координатной плоскости вокруг перпендикулярной оси ............ 74
2.7. Инвариантность тензорных уравнений ........................77
2.8. Криволинейные координаты ..................................79
2.9. Тензоры в системах обобщенных координат....................85
Задачи с решениями..........................................89
Упражнения..................................................95
Г лава третья
Тензорная алгебра
3.1. Сложение тензоров..........................................97
3.2. Умножение тензоров.........................................98
3.3. Свертывание тензоров.......................................99
3.4 Свойство симметрии тензоров...............................101
3.5. Единичный тензор Метрический тензор ......................105
3.6 Главные оси тензора Приведение тензора к главным осям . . . 106
3 7 Инварианты тензора ......................................118
3.8. Признак тензорности величин...............................11С
— 251
3.9. Псевдотензоры ............................................120
3.10. Линейное л-мерное пространство Векторы и тензоры в п-мерном
пространстве ................................................. 126
Задачи с решениями .......................................128
Упражнения................................................133
Г лава четвертая
Векторный и тензорный анализ
4 1. Тензорное поле. Циркуляция...............................135
4 2 Теорема Остроградского н теорема Стокса...................138
4.3 Скалярное поле Производная по направлению Оператор V • . 147
4 4 Векторное поле Дивергенция и вихрь векторного поля Диффе-
ренцирование вектора п(^ направлению...........................152
4.5 Поле тензора 2-го ранга. Поток, дивергенция и производная по
направлению тензорного поля ...................................170
4.6 Ковариантное дифференцирование тензоров* Ковариантная про-
изводная вектора. Символы Кристоффеля..........................173
4.7 . Применение дифференциальных операций к различного вида век-
торным и скалярным функциям....................................179
4.8 . Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа .... 188
4 9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал .......206
4.10 Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал.........210
4 11. Лапласово векторное поле. Гармонические функции .........213
4.12. Основная теорема векторного анализа......................219
Задачи с решениями.........................................229
Упражнения.................................................248
Борисенко Александр Иванович,
Таранов Иван Евгеньевич
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕН ИЯ
Редактор Д А Тальский
Переплет художника В Лукьянова
Технический редактор Н В Яшукова
Корректор Р. А Уварова
Т-00307 Сдано в набор 13/VI II-65 г.
Подп.к печати 12/VII-66 г.-Формат 60x90/16.
Объем 15,75 печ л Уч.-изд. л. 15,23.
Изд. № ФМ-256 Заказ № 3610
Тираж 25 000 экз Цена 63 коп.
Тематический план изд-ва «Высшая школа»
(вузы и техникумы) на 1966 г Позиция № 44
Издательство «Высшая школа»
Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14
Отпечатано с матриц
Первой Образцовой типографии
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Мини
стров СССР, Москва, Ж-54, Валовая, 28
в типографии изд-ва «Волжская коммуна>,
Куйбышев, Сызранская, 201.