Автор: Кильчевский Н.А.
Теги: физика математика алгебра механика элементы тензорного исчисления векторное исчисление
Год: 1954
Текст
КАКИЛЬЧЕВСКИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕНЗОРНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
К МЕХАНИКЕ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
Н. А. КИЛЬЧЕВСКИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
К МЕХАНИКЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1954
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение • 9
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
А. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Скаляры и векторы 11
§ 2. Сложение векторов 14
§ 3. Скалярное произведение векторов 16
§ 4. Векторное произведение 17
§ 5. Комбинированные действия 22
§ 6. «Деление» векторов 24
7. Применение прямоугольной декартовой системы
координат 26
§ 8. Примеры 29
Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 9. Дифференцирование векторных функций скалярного
аргумента 30
§ 10. Интегрирование векторных функций скалярного
аргумента 32
ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
А. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА
§ 11. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора 34
§ 12. Преобразование компонент вектора 36
§ 13. Скалярное произведение в косоугольной системе
координат 39
§ 14. Зависимость между контравариантными и ковариантными
компонентами вектора 41
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 15. Векторное произведение в косоугольной декартовой
системе координат 42
§ 16. Псевдовектор 42
§ 17. Обобщение аналитического определения вектора.
Простейшие тензоры 44
§ 18. Общее определение тензора 46
§ 19. Метрический тензор . . . 48
§ 20. Симметричные и антисимметричные тензоры второго
ранга 48
§ 21. Мгновенная угловая скорость абсолютно твердого тела
как антисимметричный тензор второго ранга 51
Б. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 22. Перестановка индексов и сложение тензоров 53
§ 23. Применения действия сложения. Симметрирование и
альтернирование 54
§ 24. «Опускание» и «поднятие» индексов 56
§ 25. Умножение тензоров 57
§ 26. Свертывание тензоров 57
§ 27. Простейшие примеры применения тензорной алгебры . . 58
§ 28. Связь между тензорами и теорией алгебраических
поверхностей 59
§ 29. Второе аналитическое определение тензора 61
§ 30. Аффинные преобразования 62
§ 31. Оператор вращения (версор) 63
§ 32. Сложение вращений 64
§ 33. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве 67
§ 34. Криволинейные координаты в пространстве п
измерений 70
В.ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 35. Абсолютный дифференциал вектора 74
§ 36. Абсолютные дифференциалы тензоров высших рангов . . 77
§ 37. Параллельный перенос тензора, отнесенного к
криволинейным координатам 78
§ 38. Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля) 81
§ 39. Простейшие свойства тензора кривизны 84
§ 40. Тензорное поле 86
§ 41. Ковариантная производная 87
§ 42. Градиент скалярной функции 89
§ 43. Расхождение и вихрь вектора 90
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 44. Оператор Гамильтона 91
§ 45. Интегральные теоремы векторного исчисления 93
§ 46. Ортогональные криволинейные координаты 98
ГЛАВА III
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ
ТОЧЕК
§ 47. Уравнения движения свободной материальной точки
в криволинейных координатах 101
§ 48. Цилиндрические и сферические координаты 102
§ 49. Движение несвободной материальной точки 105
§ 50. Движение несвободной материальной точки по инерции 106
§ 51. Уравнения движения несвободной системы
материальных точек в криволинейной системе координат 108
§ 52. Уравнения движения физического маятника 115
§ 53. Неголономные координаты 119
§ 54. Уравнения движения неголономных систем 121
§ 55. О некоторых геометрических представлениях, связанных
с теорией движения голономных и неголономных систем 125
§ 56. Приложения к динамике твердого тела . . .' 128
ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
§ 57. Общие уравнения равновесия и движения сплошных сред 132
§ 58. Вектор смещений, тензор деформаций и тензор
скоростей деформаций 137
§ 59. Геометрия деформированной среды 143
§ 60. Уравнения движения вязкой жидкости в инвариантной
форме 145
§ 61. Основные уравнения теории упругости 149
§ 62. Функции кинетических напряжений 153
§ 63. Некоторые приложения к теории малых
упруго-пластических деформаций 158
Основнаялитература 163
Предметный указатель , . . 153
This page intentionally left blank
ПРЕДИСЛОВИЕ
Операции тензорного исчисления составляют
математический аппарат, постоянно применяемый при решении
различных вопросов механики.
Областью применения тензорного исчисления долгое время
была главным образом механика сплошных сред. Однако
развитие методов тензорного исчисления и многомерной
неевклидовой геометрии дало возможность найти новые
способы решения задач механики дискретных систем.
Само собой разумеется, что область применения
тензорного исчисления не ограничивается механикой; этот аппарат
широко применяется в геометрии и физике.
Настоящая книга является кратким введением в
тензорное исчисление, охватывающим основные понятия тензорного
анализа и указывающим основные области его приложений
к механике.
Необходимость отметить современные применения
тензорного исчисления в механике дискретных систем
материальных точек и некоторые приложения к механике сплошных
сред заставила ввести в книгу элементы многомерной
неевклидовой геометрии.
Первая глава имеет вводный характер. Основы тензора
ного исчисления изложены во второй главе. Приложения
тензорного анализа к механике составляют содержание глав
III и IV. Некоторые простейшие приложения к кинематике
абсолютно твердого тела указаны в главе II.
Приложения тензорного анализа к механике несвободных
систем материальных точек с интегрируемыми и неинтегри-
руемыми связями почти не рассматривались в учебной
литературе. Вообще вопрос о применении новых аналитических
методов к задаче определения реакций связей не
рассматривался до сих пор с достаточной полнотой.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Это же недостаточное использование новых аналитических
методов заметно и в механике сплошной среды, где чаще
всего ограничивались применением тензорной алгебры и лип!ь
иногда — тензорного анализа. Последнее было обычно
связано с преобразованием уравнений равновесия и движения
к криволинейным координатам.
В настоящей книге показано, что это понимание задач
тензорного анализа слишком узко. Так, например, тензорный
анализ и неевклидова геометрия позволяют найти общий
алгорифм введения «функций кинетических напряжений»,
обобщающих известные из статических задач теории упругости
функции напряжений.
С целью сделать изложение наиболее компактным в книгу
не введены особо часто встречающиеся в других
руководствах приложения тензорного исчисления к гидромеханике,
теории упругости и конкретные примеры преобразования
различных уравнений движения к цилиндрическим и
сферическим координатам. Одновременно с этим подготовлен весь
необходимый аппарат, позволяющий свести эти
преобразования к техническим операциям, вполне доступным
читателям, овладевшим основами математического анализа. В
тексте по этому поводу сделаны необходимые ссылки.
Указанные в книге приложения тензорного исчисления
следует рассматривать как иллюстративный материал, а не
систематическое изложение соответствующих отделов
механики. Здесь отмечены только некоторые стороны
механических явлений. Подробные сведения читатель должен
получить из соответствующих специальных курсов.
Киев, 1953
Я. Кильчевский.
ВВЕДЕНИЕ
В физике встречаются объекты, принадлежащие к группе
так называемых тензорных величин или тензоров.
Простейшими примерами тензоров являются скаляры и векторы.
Возникновение обобщенного понятия тензора стало
возможным после появления углубленных исследований по
механике сплошных деформируемых сред в середине
прошлого века. Здесь наряду с исследованиями Коши, Пуассона
и Грина большое значение имели работы М. В.
Остроградского (1801 — 1851).
Понятие о тензорах охватывает объекты различной
физической природы. Среди тензоров можно встретить величины,
характеризующие напряжения, деформации и скорости
деформаций сплошной среды; величины, характеризующие упругие
свойства тел; величины, определяющие динамические свойства
твердых тел (моменты инерции) и пр. Встречаются тензоры,
определяющие различные абстрактные геометрические свойства
пространства.
Все тензорные величины, независимо от их физической
природы, подчиняются определенным математическим операциям,
которые и составляют содержание тензорного исчисления.
Основной задачей тензорного исчисления является
нахождение математических формулировок законов физики, не
зависящих от таких посторонних обстоятельств, как частный
выбор координатной системы. Эти формулировки называются
инвариантными по отношению к преобразованию системы
координат.
Тензорный анализ рассматривает методы построения
инвариантных выражений, не зависящих от выбора
координатной системы. Задачу построения таких инвариантных
выражений тензорный анализ решает двумя основными способами.
Прежде всего в тензорном анализе рассматриваются действия
10
ВВЕДЕНИЕ
над тензорами без привлечения вспомогательных
координатных систем. Такое прямое геометрическое исчисление
оказывается удобным в применении к простейшим тензорам —
скалярам и векторам. При исследовании вопросов, связанных
с рассмотрением тензорных величин более сложного
строения, оказалось необходимым привлечение произвольных
криволинейных координатных систем и были созданы методы
построения выражений физических закономерностей, не
зависящих от выбора системы координат.
Изучение тензорного анализа мы начнем с
бескоординатного рассмотрения скалярных и векторных величин, а затем
будем постепенно расширять область наших исследований.
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
А. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Скаляры и векторы. Скалярами называются
физические величины, полностью определяющиеся одним
численным положительным или отрицательным значением или, в
более общем случае, функцией точки пространства,
принимающей действительные численные значения.
Если скаляр не зависит от выбора координатной системы,
то он называется абсолютным скаляром, или инвариантом.
Примерами абсолютных скаляров являются масса тела,
температура, работа, производимая силой, и т. д.
В дальнейшем, говоря о скалярах как о классе
тензорных величин, мы будем иметь в виду абсолютные скаляры.
Кроме абсолютных скаляров, мы встретимся ниже со
скалярами, зависящими от выбора системы координат. О них
будет итти речь ниже, при изучении
аналитических свойств тензорных
величин (гл. II),
Векторами называются
физические величины, которые можно Д
прежде всего охарактеризовать чис- Рис. 1.
ленным значением (модулем) и
определенным направлением в пространстве. Эти свойства
векторов позволяют изображать их геометрически направленными
отрезками прямых (рис. 1).
Векторы мы будем изображать жирным шрифтом: а, &,...
Начало отрезка, изображающего вектор, мы будем совмещать
с точкой приложения вектора. Иногда будем пользоваться
особым обозначением отрезков, изображающих векторы.
Например, вектор а (рис, 1) можно обозначать через АВ,
12 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 1
Длину отрезка, изображающего вектор, или модуль вектора,
мы будем обозначать так: |а| = л.
Два вектора называются параллельными, или коллинеар-
ными, если отрезки прямых, изображающих эти векторы,
параллельны.
Два вектора а и Ь называются равными, если они
изображают одну определенную физическую величину, имеют равные
модули, коллинеарны и одинаково направлены. В частности,
равные векторы могут изображаться совпадающими отрезками
прямых.
Не следует полагать, что наличие численного значения
и направления в пространстве у некоторого физического
объекта достаточно для отнесения его к группе векторных
величин. Наличие указанных двух признаков векторов
необходимо, но недостаточно для отнесения величин,
обладающих этими свойствами, к группе векторов. Величины,
являющиеся векторами, обладают также рядом свойств, которые
определяются правилами действий векторной алгебры.
Эти действия мы кратко рассмотрим в настоящем параграфе.
Следут различать векторы, связанные с некоторой точкой
пространства (точкой приложения), векторы, приложенные
вдоль некоторой прямой, но не обладающие определенной
точкой приложения, и, наконец, векторы, не связанные с
определенной точкой приложения.
Векторы, принадлежащие к первой группе, называются
приложенными, или определенными, ко второй —
скользящими и к третьей — свободными.
Примерами приложенных векторов являются векторы
скорости и ускорения материальной точки, а также вектор силы,
приложенной к точке. Примерами скользящих векторов являются
вектор силы, действующей на абсолютно твердое тело, и
вектор его мгновенной угловой скорости. Примером
свободного вектора будет вектор момента пары сил.
Действия векторной алгебры, рассмотренные ниже,
относятся к свободным векторам.
Правила действий векторной алгебры одинаковы для всех
свободных векторов независимо от их физической природы.
Это утверждение распространяется далее на все действия
тензорного исчисления. Поэтому для установления правил
действий векторной алгебры достаточно определить их для
любого частного вида векторов,
§ 1]
СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ
13
Действия алгебры свободных векторов распространяются
также на приложенные и скользящие векторы, имеющие
общую точку приложения. В результате действий алгебры,
произведенных над этими векторами, возникают также
векторы, связанные с общей точкой приложения.
Так, например, сложение сил, приложенных к
материальной точке, приводит к равнодействующей' силе, приложенной
к этой же точке; сложение скоростей точки позволяет найти
скорость сложного движения точки.
Более сложны те случаи, когда приложенные векторы
имеют различные точки приложения, а скользящие векторы
приложены вдоль непересекающихся прямых.
Действия векторной алгебры не всегда применимы
к приложенным векторам,, обладающим различными
точками приложения. Например, совершенно ясно, что
сложение сил, действующих на две не связанные между собой
точки, лишено прямого физического смысла.
С другой стороны, в механике рассматриваются
векторные суммы сил, действующих на дискретную систему
материальных точек.
Во всяком случае, применяя операции векторного
исчисления к упомянутым здесь приложенным векторам, надо
исходить из конкретных условий соответствующей задачи
механики и четко определять физический смысл результата,
полученного посредством этих операций.
Скажем несколько слов об алгебре скользящих векторов.
Каждый скользящий вектор а определяется равным ему по
величине и направлению свободным вектором а и радиусом-
вектором г произвольной фиксированной точки прямой, вдоль
которой направлен скользящий вектор а 5).
Таким образом, скользящий вектор можно определить
системой, состоящей из свободного вектора а и приложенного
вектора г 2).
Если скользящие векторы, приложенные вдоль
непересекающихся прямых, изображают физические величины,
характеризующие механическое движение некоторого твердого
*) Мы предполагаем, что читателю известно из курса
аналитической геометрии понятие о радиусе-векторе.
2) Г. К. Сусло в, Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946,
стр. 13. (Вектор г Г. К. Суслов рассматривает как свободный.)
14 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
тела, то посредством элементарных преобразований, известных
из курса теоретической механики, эту систему скользящих
векторов можно свести к одному скользящему вектору,
приложенному вдоль прямой, проходящей через произвольно
выбранную точку, и к одному свободному вектору.
Например, систему сил, приложенную к абсолютно твердому
телу, можно привести к силе, которая называется главным
вектором системы сил, и к паре сил, момент которой
называется главным моментом системы. Главный вектор является
скользящим вектором, а вектор главного момента—свободным.
Все сказанное позволяет распространить алгебру
свободных векторов и на скользящие векторы. Именно так и
поступают в курсах механики 1).
Однако возможно иное построение алгебры скользящих
векторов. Можно рассматривать скользящие векторы как
особые гиперкомплексные числа и установить правила
действий нелосредственно над ними, не прибегая к алгебре
свободных векторов. Так возникло винтовое исчисление —
особый отдел векторного исчисления. Из работ
отечественных ученых в этом направлении можно указать труды
А. П. Котельникова. Мы не будем рассматривать здесь эту
ветвь векторного анализа и огра-
,-*£ ничимся алгеброй свободных
векуя ^0^000^ ~*\. торов.
yf *"W/ § 2. Сложение векторов.
/ \ Типичным представителем векто-
/ \ Ров является отрезок, изображаю-
<f >Л щий перемещение в пространстве
° А* некоторой свободной точки.
Рис. 2. Пусть точка совершает ряз.
последовательных перемещений
OAv ЛгА^ ..., Ап^1Ап (рис. 2). Результат этих
последовательных перемещений, отрезок ОАп называется векторной
суммой отрезков OAv AXA2, ..., Ап_1Ап:
Шп=='ОА;+А^-\- .. . + А^Ап.
Построение результирующего вектора ОАп приводит
естественным путем к правилу многоугольника векторов.
*) Конечно, не все свойства скользящих векторов могут быть
эффективно описаны посредством алгебры свободных векторов.
§2]
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
15
Однако перемещение свободной точки нельзя
рассматривать как свободный вектор, так как оно определяется
начальным положением движущейся точки — точкой приложения
вектора перемещения.
Чтобы установить правило сложения свободных векторов,
нужно рассмотреть сложное поступательное перемещение
твердого тела, являющееся результатом сложения двух
поступательных перемещений абсолютно твердого тела:
переносного и относительного.
Напомним, что при поступательном перемещении все
точки тела перемещаются одинаково.
Пусть перемещение абсолютно твердого тела является
результатом сложения двух поступательных перемещений.
Рассмотрим перемещение произвольной точки М этого тела.
Относительное перемещение точки М изобразим отрезком
МА, переносное перемещение представим отрезком MB.
В результате переносного перемещения отрезок,
изображающий перемещение МА, займет положение ВМ\ Отрезок ~ММ
будет изображать абсолютное
(результирующее) перемещение A Mf
точки М твердого тела (рис. 3). /~ ~l^**fl
Из рис. 3 видно, что отрезок / ^0t00^^"^ /
ММ1 является диагональю паралле- /^^^^ /
лограмма, построенного на отрезках <&* +У
Жл и мв,; м в
Нетрудно видеть, что мы Рис. 3.
вновь пришли к частному случаю
правила многоугольника векторов, полученного нами ранее.
Чтобы и здесь притти к правилу многоугольника, очевидно,
достаточно рассмотреть сложение нескольких поступательных
перемещений твердого тела.
Итак, мы видим, что типичный приложенный вектор —
перемещение свободной материальной точки и свободный
вектор — перемещение точки абсолютно твердого тела,
движущегося поступательно, подчиняются общему правилу
сложения — правилу многоугольника векторов.
Так как все векторы, независимо от их физических
особенностей, обладают общими основными свойствами, мы примем,
что правило многоугольника, установленное нами для частных
видов векторов, определяет общее правило сложения векторов.
16 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
Правилу векторного сложения должны подчиняться все
векторы. Поэтому, доказывая векторные свойства некоторой
физической величины, необходимо убедиться, что эта величина
подчиняется правилу сложения векторов.
Правило сложения векторов определяет третье
необходимое свойство векторов. Это будет подтверждено ниже при
изучении аналитических свойств векторов.
Таким образом, вектором называется физическая или
геометрическая величина, которую можно изобразить
направленным отрезком прямой и подчиняющаяся действию
векторного сложения.
Вычитание векторов — действие, обратное сложению;
оно позволяет найти неизвестный вектор по заданной сумме
этого вектора и некоторого другого также заданного вектора.
Например (рис. 3),
~Ш = ММ< — W = MM'^W~A.
Вектор М1 А равен по модулю, но прямо противоположен
по направлению вектору MB. Эти свойства вектора М'А мы
обозначим равенством
Wa = —Шв.
Вообще равенство а = — Ъ будет означать, что векторы
а и b равны по модулю, но прямо противоположны по
направлению. Очевидно, их векторная сумма равна нулю.
Следовательно, действие вычитания сводится к действию
сложения:
а — Ь = а-\-( — Ь).
Мы не будем доказывать, что действие сложения обладает
свойством коммутативности и ассоциативности. Предоставляем
это доказать читателям.
§ 3. Скалярное произведение векторов. Произведением
вектора а на скаляр т мы будем называть вектор Ь,
равный по модулю т\а\> параллельный вектору а и
направленный одинаково с вектором а, если т > 0, и прямо
противоположно вектору а, если т < 0. Указанная
операция записывается равенством
Ъ = та.
(i.i)
§4]
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
17 •
Рассмотрим скаляр т = \а\~1. Очевидно, что вектор
еа = \а\~*а (1.2)
обладает модулем, равным единице. Этот вектор называется
единичным или ортом, определяющим направление вектора а.
Направление некоторой оси х в пространстве будем
определять ортом оси. Обозначим орт оси х через е.
Проекцию вектора а на направление оси х будем
обозначать ах и называть скалярным произведением вектора а
и орта е:
ах = а • е = \а\ cos (а, х). (1.3)
Здесь cos (а, х) — косинус угла между положительными
направлениями векторов а и е.
Аналогично определяется скалярное произведение двух
произвольных векторов а и Ь. Рассмотрим проекцию аь
вектора а на направление вектора Ь. Найдем:
аь==а% jyj = MC0S(e>6)-
Отсюда получим:
a- b = \a\\b\cos(a,b) = ab\b\ = ba\a\. (1.4)
Условие перпендикулярности векторов а и Ь имеет вид:
а 6 = 0.
Скалярное произведение обладает очевидным свойством
коммутативности.
Свойство дистрибутивности вытекает из известной теоремы
о том, что проекция векторной суммы на некоторую ось
равна алгебраической сумме проекций составляющих.
§ 4. Векторное произведение. Понятие о векторе
непосредственно связано с простейшими геометрическими
образами— точкой и прямой. Рассмотрим геометрический образ
более высокого порядка — плоскостной элемент.
Плоскостным элементом мы будем называть часть
плоскости, ограниченную замкнутым простым контуром с
фиксированным положительным направлением обхода.
Будем обозначать плоскостной элемент буквами ABC...,
соответствующими точкам контура элемента, расположенным
18 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. t
в последовательности, совпадающей с положительным
направлением обхода по контуру.
Два плоскостных элемента называются равными, если они
лежат в параллельных плоскостях, обладают равными
площадями и одинаковыми направлениями обхода по контуру.
Следовательно, не изменяя плоскостного элемента, можно
деформировать его контур, сохраняя ограниченную им
площадь и положительное направление обхода по контуру,
а также переносить плоскостной элемент в параллельную
плоскость. Поэтому рассмотренный
4^ плоскостной элемент является
свободным.
Плоскостной элемент
изображается отрезком прямой,
перпендикулярным к плоскости, в которой
он расположен, равным по величине
площади плоскостного элемента и
Рис. 4. направленным в ту сторону, откуда
обход по контуру элемента
представляется положительным (рис. 4). В дальнейшем будем
полагать, что положительное направление обхода по контуру
плоскостного элемента противоположно направлению хода
часовой стрелки. Из
сказанного видно, что точка
приложения отрезка ОЛ,
изображающего свободный плоскостной
элемент, может быть выбрана
совершенно произвольно.
Отрезок ОА полностью
характеризует свойства
свободного плоскостного элемента;
он называется моментом
плоскостного элементау или его
дополнением.
Установим понятие суммы Рис. 5.
плоскостных элементов.
Пусть в плоскостях Р и Q лежат два плоскостных элемента
(рис. 5). На основании свойств плоскостных элементов можно
без ограничения общности допустить, что контурами элементов
являются прямоугольники с общей стороной АВ = В А = h.
<D
§4]
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
19
Плоскостной элемент CDEF со сторонами CD( = h) и
DE назовем суммой плоскостных элементов,
расположенных в плоскостях Р и Q: CDEF = ABCD + BAEF.
Теорема. Момент суммы свободных плоскостных
элементов равняется векторной сумме моментов слагаемых
элементов.
Рассмотрим свободные плоскостные элементы ABCD и
BAEF и их сумму CDEF (рис. 5). Построим моменты
слагаемых элементов и момент их суммы. Эти моменты
обозначим соответственно ОМ, OL, ON. Соединим точки М, N, L.
Теорема будет доказана, если мы убедимся, что фигура
OMNL — параллелограмм.
По определению момента плоскостного элемента
ОМ == АВ . ВС, ON = AB • FC.
Далее, /_MON— /_BCF по перпендикулярности сторон.
Поэтому треугольники BCF и MON подобны. Так же можно
доказать и подобие треугольников FCB и NOL.
Следовательно, четырехугольник OMNL является параллелограммом.
Таким образом, имеем:
ON=OM-\-OL,
^^.С
что и требовалось доказать.
Итак, момент свободного
плоскостного элемента—свободный
вектор.
Построим на векторах а и Ъ
свободный плоскостной элемент,
имеющий вид параллелограмма ABCD (рис. 6).
Положительное направление обхода по контуру ABCD определим
направлением вектора а. Момент плоскостного элемента ABCD
(вектор с) называется векторным произведением векторов
а и Ь и обозначается так:
с = а*ХЬ.
(1.5)
Из приведенных выше соображений видно, что векторное
произведение свободных векторов также является свободным
вектором.
'20 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
Модуль векторного произведения равен величине площади
параллелограмма, построенного на векторах а и Ь\
\с\ = \а\ |&|sin(oT&). (1.6)
Если векторы а и Ь коллинеарны, векторное
произведение с равно нулю.
Закон коммутативности для векторного произведения не
имеет места:
аХЬ^-ЬХа, (1.7)
что непосредственно вытекает из определения векторного
произведения.
Закон дистрибутивности вытекает из доказанной выше
теоремы о сложении плоскостных элементов. Для
доказательства заметим, что векторное произведение с не изменится,
если, не изменяя взаимного расположения векторов а и &,
от которого зависит положительное направление обхода по
контуру параллелограмма, мы заменим параллелограмм ABCD
равновеликим прямоугольником. Обратимся вновь к рис. 5.
Имеем:
ОЖ = АВХВС; 61 = Е?Х ™ = ABXFB;
Ш=Е?Х^ = АВХРСЛ, FC==FB + BC.
Но _
ON^OM + OL.
Следовательно,
JBX(FB + ВС) == АВХВС + ABXF8-
Свойство дистрибутивности доказано.
Как известно, момент силы относительно некоторой точки
(центра момента) равен векторному произведению радиуса-
вектора точки приложения силы на вектор силы. Начало
радиуса-вектора совпадает с центром момента.
Если рассматривается сила, приложенная к абсолютно
твердому телу, т. е. представимая скользящим вектором,
то ее момент относительно некоторой точки будет
свободным вектором. Действительно, вектор момента силы
относительно некоторой точки совпадает в этом случае с вектором
момента присоединенной пары, возникающей при приведении
силы к центру момента.
§4]
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
21
Эти соображения, основанные на физических свойствах
сил, приложенных к абсолютно твердому телу, не относятся
к моменту силы, действующей на материальную точку; сила,
действующая на материальную точку, является вектором
приложенным.
Момент силы определяется взаимным расположением трех
точек: центра момента, точки приложения силы и точки,
лежащей в конце отрезка, изображающего вектор силы.
Плоскостной элемент, имеющий форму треугольника с
вершинами в указанных точках, уже нельзя считать свободным.
Мы встречаемся, таким образом, с приложенным
плоскостным элементом.
Для приложенных плоскостных элементов введенное выше
представление посредством направленного отрезка, вообще
говоря, не имеет места. Действительно, это представление
отображает лишь направление обхода по контуру и
величину площади свободного плоскостного элемента, но не форму
его контура и не его расположение в плоскости. Поэтому,
вводя в рассмотрение векторное произведение двух
приложенных векторов,—радиуса-вектора точки приложения силы и
вектора силы, мы фактически пользуемся моментом
свободного плоскостного элемента, дополняя его заданием
положения трех вершин треугольного плоскостного
элемента.
Так как две вершины треугольного плоскостного элемента
определены приложенным вектором силы, естественно связать
вектор момента силы с третьей вершиной треугольного
плоскостного элемента, — с центром момента, и рассматривать
вектор момента силы как вектор, приложенный в центре
момента.
Так обычно поступают в курсах механики. Однако нетрудно
заметить здесь некоторую условность, так как момент силы,
как физическая величина, все же связан с плоскостным
элементом в целом.
Если обратиться к секторной скорости и секторному
ускорению точки, то приведенные выше соображения
заставляют избрать точкой приложения этих векторов начало
радиуса-вектора материальной точки.
Но секторная скорость и секторное ускорение точки
физически характеризуют движение материальной точки.
Поэтому их можно прилагать и к движущейся точке. Тогда
22 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
теорема об изменении кинетического момента приводит к
заключению, что момент силы приложен к точке приложения силы.
Отмеченная условность выбора точки приложения вектора
момента силы, секторной скорости и секторного ускорения
связана с тем, что эти величины представимы геометрическим
объектом более сложного строения, чем вектор, — определенным
плоскостным элементом.
Подробное исследование свойств таких плоскостных
элементов выходит за пределы основ векторной алгебры.
§ 5. Комбинированные действия. Рассмотрим векторы
а, 6, с и образуем смешанное произведение
V = (aXb)-c. (1.8)
Нетрудно убедиться, что этот скаляр по абсолютной
величине равен объему параллелепипеда, построенного на
векторах а, 6, с (рис. 7).
Знак V зависит от взаимного расположения векторов
а, 6, с. Если векторное произведение аХ* и вектор с
образуют острый угол, то V>0.
1а*^ В этом случае систему трех
векторов а, 6, с будем называть правой.
При V < О векторы а, &, с
образуют левую систему.
Если произвести циклическую
перестановку порядка векторов а, 6, с
и рассматривать их в порядках 6, с, а
Рис. 7. и с, а, &, то правая система всегда
останется правой, а левая — левой.
Иначе говоря, в правой системе векторное произведение
&У\С будет составлять острый угол с вектором а, а
векторное произведение сХ# — острый угол с вектором Ъ. В этом
можно убедиться из рассмотрения рис. 7.
Отсюда вытекает важное свойство скаляра V: он не
изменяется, если изменять порядок сомножителей а, ЬУ с
согласно правилу циклической перестановки:
V = (aXb) с = (ЬХс) а = (сХа) ■ ft. (1.9)
Если отрезки прямых, изображающие векторы а, Ь и с>
расположены в одной плоскости, или компланарны, то
1/=(аХ*)-<?=0, (1.10)
и наоборот.
§5]
КОМБИНИРОВАННЫЕ ДЕЙСТВИЯ
23
Рассмотрим двойное векторное произведение
d=aX(bXc). (1.11)
На основании условия компланарности (1.10) легко видеть,
что векторы &, с и d компланарны, так как (&Х^),^==0
по определению векторного произведения. Поэтому можно
разложить вектор d на составляющие по направлениям
векторов Ъ и с:
здесь р и ^ — некоторые скаляры. Далее имеем:
d • а = |3& • a -j- -(С • а = 0.
Отсюда находим:
JL = i_=x
га &-а
На этом основании
d=\ [Ь{а • с) — с{а • &)}. (1.12)
Остается определить скаляр X.
На основании свойств векторного произведения, не
изменяя d, можно заменить векторы Ьис взаимно перпендикулярными
векторами Ъх и cv сохраняя их взаимное расположение и
величину площади параллелограмма, построенного на векторах Ь
и с. Вектор а можно заменить вектором av
перпендикулярным к векторному произведению Ьу^с. При этом вектор ах
будет компланарным с векторами 6 и с. Не изменяя
векторного произведения 6Х^» повернем прямоугольник,
построенный на векторах Ьг и cv в его плоскости так, чтобы
вектор Ьх совпадал по направлению с вектором аг. Тогда, как
нетрудно установить непосредственно,
d=. — сх \а1\ \ЬХ\.
С другой стороны, па основании формулы (1.12) найдем:
</= — Яг, | я, | | fr, | .
Итак.
k=l
независимо от выбора векторов аУ Ь, с.
Окончательно получаем:
»Х(6ХО -Ь{ас) — с{а- Ь). (1.13)
24 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
§ 6. «Деление» векторов. Рассмотрим векторное
уравнение
а-х=р. (1.14)
Будем предполагать вектор а и скаляр р известными.
Определение вектора х из уравнения (1.14) можно
рассматривать как действие, обратное скалярному умножению.
Нетрудно заметить, что одним из решений уравнения
(1.14) будет
* = р£ь> О-15)
где Ъ — произвольный вектор, не перпендикулярный к
вектору а. Далее можно заметить, что к вектору х можно
прибавить вектор, перпендикулярный к вектору а. Следовательно,
х = р^-ь + сХа, 0-16)
где с — произвольный вектор. Таким образом, уравнение
(1.14) неопределенно.
Рассмотрим другое векторное уравнение:
aXx = q. (1.17)
Векторы а и q связаны очевидным соотношением
а-?=0. (1.18)
Будем искать решение уравнения (1.17) в такой форме:
х = &Xrf.
Один из векторов, Ь или d, мы можем выбрать произвольно.
На основании (1.13) и (1.17) находим:
q = b(ad) — с (а • Ь).
Пусть вектор Ь коллинеарен с вектором q и а-йфО.
Тогда, воспользовавшись (1.18), найдем:
a-d
§6]
«ДЕЛЕНИЕ» ВЕКТОРОВ
25
Здесь d—произвольный вектор. Но, не изменяя вектор #,
к вектору х всегда можно прибавить вектор, коллинеарный а:
* = <ГХ-£а + га, (1.20)
где г — произвольный скаляр. Мы видим, что решение
уравнения (1.17), определяющее результат действия, обратного
действию векторного умножения, также неопределенно.
Этим объясняется отсутствие в векторной алгебре
действий «деления» векторов, т. е. действий, обратных
скалярному и векторному умножению *).
Однако система уравнений (1.14) и (1.17) имеет
единственное решение, которое непосредственно вытекает из равенств
(1.16) и (1.20):
Формула (1.21) определяет также простейший вид решений
уравнений (1.14) и (1.17).
Наконец, допустим, что вектор X определяется из системы
уравнений
«<•*=/>< (/=1, 2, 3), (1.22)
где векторы а{ — не компланарны. Воспользовавшись
решением (1.16), найдем:
г — п а2 X а,з , „ аз X at , at X а2 п 9оч
X~Pla1.(a%Xa9)^p*a2-(a9X*i)^Psav.(a1X<h)-KiM)
Этим мы закончим рассмотрение основных действий
векторной алгебры. Мы оперировали здесь векторами как
определенными геометрическими величинами, не пользуясь какими-
либо координатными системами. Полученные нами соотношения
не зависят от выбора координатной системы и, следовательно,
инвариантны по отношению к преобразованию координат.
Исключение составляет векторное произведение, о чем будет
итти речь ниже.
Анализ основных понятий векторного исчисления
показывает, что действие сложения определяет одно из основных
2) Действие «деления» векторов получает достаточное
обоснование в теории кватернионов. Отношение двух векторов равно не
вектору, а кватерниону. Этим объясняется то, что действие деления
в известном смысле выходит за пределы векторной алгебры,
26 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
элементарных свойств векторов (два других свойства — это
свойства иметь определенный модуль и направление в
пространстве). Выше мы назвали это свойство третьим основным
свойством векторов.
Например, мы доказали векторные свойства момента
плоскостного элемента, основываясь на действии сложения
векторов. Следовательно, и действие векторного умножения нельзя
формально распространять на любые направленные отрезки
прямых, если предварительно не доказаны их векторные свойства.
§ 7. Применение прямоугольной декартовой системы
координат. Вернемся к основным операциям векторной
алгебры, изложенным в §§ 1—6, но
1 х3 а М(хьхг,х3) рассмотрим их теперь с иной точки
/ зрения, а именно в прямоуголь-
е I ной декартовой системе координат
3\ / (рис. 8). Координаты некоторой точки
/ пространства мы будем обозначать
\1 через xv х2У хъ, а орты коорди-
JL ^—^ натных осей — через е{ (/= 1, 2, 3).
у Хг Система координат, изображенная на
е'Х рис. 8, называется правой. Поменяв
/ местами оси хг и д:2, получим левую
системуа).
Рис. 8. С выбором системы координат
связан определенный выбор
направления отсчета положительных углов. Так как в правой части
системы координат переход от оси хг к оси д:2, далее
от оси х2 к оси хъ и от оси хъ к оси хг происходит в
направлении, противоположном ходу часовой стрелки (если
соответственно смотреть со стороны положительного
направления осей дг3, хг и х2), то положительные углы в этой системе
мы будем также отсчитывать против направления хода часовой
стрелки. В левой системе координат направление отсчета
положительных углов совпадает с направлением ходя часовой
стрелки.
С выбором системы координат должен быть согласован
выбор положительного направления обхода по контуру
плоскостного элемента. В правой системе это будет направление,
противоположное ходу часовой стрелки.
!)_Ср. с § 5,
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ 27
Соответственно этому определяется и направление вектора,
равного векторному произведению двух векторов.
Если при преобразовании координат правая система
заменяется левой, момент плоскостного элемента, а значит, и
векторное произведение изменяют свое направление на прямо-
противоположное.
Векторы, изменяющие свое направление на прямопротиво-
положное при преобразовании правой системы координат в
левую, называются аксиальными или псевдовекторами.
Векторы, не изменяющие свое направление при указанном
преобразовании, называются полярными.
Всякий вектор можно представить в форме следующей
суммы:
з
а = е\а\ + еъЧ + еъЧ = 2 е{а{. (1.24)
4 = 1
Здесь
а{ = а-е{ (1.25)
суть проекции вектора а на координатные оси, а
произведения eiai — составляющие вектора а, параллельные
координатным осям.
Радиус-вектор г точки M(xv х2, д:3) (рис. 7) можно
представить также в виде разложения
з
г = 2*,*,. (1.26)
Из формулы (1.24) видно, что всякий вектор
аналитически полностью определяется своими проекциями на
координатные оси. Если проекции вектора на оси равны нулю,
вектор также равен нулю.
Рассмотрим сумму векторов а, &, с, ..., р. На
основании (1.24) найдем:
С + & + С+ ... +р = 2*<(о, + &< + с<+ ■ • • +ft). (1-27)
* = 1
Отсюда следует, что проекция векторной суммы на
любую -ось равна алгебраической сумме проекций состав*
ляющих.
28 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
Чтобы найти аналитические выражения скалярного и
векторного произведений, отметим следующие свойства ортов
координатных осей:
1°.
( 1, если i = k,
•«•* = *Но,если/** (К28)
(&ik — символ Кронекера).
2°. *<X** = *j. (1.29)
где /, k, j составляют циклическую перестановку чисел 1, 2, 3.
На основании формул (1.28) имеем:
з
ab= 2 «А- (1.30)
Отсюда, в частности, получим:
а-а = \а\* = 2 я •• (1.31)
Угол между направлениями векторов определяется по
формуле
г 4 = 1 г = 1
Соотношение (1.32) позволяет вывести формулы для
направляющих косинусов вектора а. Предоставляем это сделать
читателю.
Переходя к рассмотрению векторного произведения,
воспользуемся формулами (1.29). Получим:
с = аХЬ = е1 (а2Ь.д — аф<>) + Ч (аА — аА) +
+*8(«А—*А)- О-33)
Отсюда находим проекции вектора с на координатные оси
Ci = *j!>k — akbj' О-34)
где /, j, k составляют циклическую перестановку чисел 1, 2, 3.
Мы не будем излдгать комбинированные действия
умножения,
§ 8] примеры 29
§ 8. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры,
иллюстрирующие простейшие применения действий векторной
алгебры.
А. Скалярное произведение.
1. Дан треугольник ЛВС (рис. 9). Доказать теорему
косинусов.
Будем рассматривать стороны треугольника ABC как
векторы. Получим:
№==BA-\-JC; \BC\ = a, \AC\ = b; \ВА\ = с\
а* = ВС- ВС=^(ВА + АС) • (ВА + АС).
На основании свойств скалярного произведения получим:
a? = b*-\-c*-\-2BA -AC.
Но
ВА • АС = be cos (к — а) = — be cos а.
Следовательно,
a* = b*-\-c2 — 2bccosy..
2. Доказать, что
cos (а -|- Р) = cos а cos [5 — sin а sin t3.
Для этого достаточно воспользоваться формулой (1.32),
применив ее к двум единичным векторам а и &, лежащим
в плоскости Х}Х2 и составляющим с осью хг углы,
соответственно равные а и — J3. При этом будет
я, = cos а; ^1 = cos[5; £2 = sina; b.2 = — sin ,3; a.d = bs = 0.
Б. Векторное произведение.
3. Доказать, что
sin (a -f-j-J) = sin a cos f3 -|- cos a sin [5.
Вновь рассмотрим единичные векторы а и 6, о которых
шла речь в предыдущем примере. Вычислим проекцию
векторного произведения b X # на ось *з:
(& X #)з = ^ia2 — ^2fli — sin ^ cos [5 —[— sin [5 cos a.
30 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [гЛ. I
Но
(&X*)3 = sin(a + (3).
Этим исчерпывается искомое доказательство.
4. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую
где г1 и а — постоянные векторы, к — переменный скаляр.
Обозначим вектор, совпадающий с перпендикуляром к
прямой, через р. Имеем:
где Х0 — одно из значений X. Отсюда
р X а = гхХа.
Но
\рХ*\ = р<*.
Значит,
р== \пХа\
У а
В. Комбинированные действия умножения.
5. Найти
(aXb).(cXd).
На основании формулы (1.9) имеем:
(aXb).{cX<t) = c{dX(aXb)}.
Применяя далее формулу (1.13), получим:
(а X Ъ) • (сХ d)=.(a - c)(b . d) — (b - с)(а • d). (1.35)
Аналогично можно вывести формулу
(aXb)X(cXd) = b[a.(cXd)] — a{b.(cX<t)l
Предлагаем сделать это читателям.
Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 9. Дифференцирование векторных фунйций
скалярного аргумента. Ниже идет речь о переменных скалярах и
переменных векторах, т. е. векторах, имеющих переменные
модуль и направление. Мы будем различать независимые
переменные-— скаляры и векторы — и зависимые переменные или
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ 31
функции — также скалярные и векторные. (В математическом
анализе рассматриваются скалярные функции, зависящие от
скалярного аргумента.)
Рассмотрим теперь две основные операции математического
анализа — дифференцирование и интегрирование,
распространив их на векторные функции, зависящие от скалярного
аргумента. С такими функциями мы встречаемся при изучении
различных вопросов теоретической механики. Примерами
векторных функций скалярного аргумента (времени) являются
радиус-вектор материальной точки, вектор ее скорости,
вектор ускорения и т. д. По своим аналитическим свойствам
эти функции чаще всего непрерывны, однозначны и
дифференцируемы. Исключения связаны с особыми задачами
механики, в которых приходится, например, исследовать действие
внезапно приложенных сил, мгновенных сил и пр. Эти случаи
мы не будем здесь рассматривать.
При изучении свойств векторных функций известную пользу
может принести понятие о годографе векторной функции.
Пусть исследуется векторная функция
a = a(t). (1.36)
Проведем из начала системы координат радиус-вектор
r = a(t). (1.37)
При-изменении функции a(t) конец радиуса-вектора г опишет
кривую, которая называется годографом функции я.
Первой производной векторной функции a{t) называется
переменный вектор, определенный равенством
da ,. a(t + M)—a(t) ,. Да ,« QQ4
—- — hm ——!—т4 — = llm ~rr> (1.38)
если предел в правой части этого равенства существует.
Аналогично определяются производные высших порядков.
Докажем, что производная -т- является вектором,
направленным по касательной к годографу функции a(t).
Рассмотрим отношение -^—. Это отношение — вектор,
направленный по секущей ММГ годографа функции a{t)
(рис. 10). При уменьшении At до нуля точка № стремится
32 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
к точке М> а секущая — к касательной в точке Ж. Следо-
вательно, вектор —тг направлен по касательной в
соответствующей точке годографа функции a{f).
В качестве примера годографа можно указать
траекторию точки (годограф радиус-вектора точки). Скорость точки
-г- направлена по касательной к траектории.
Рассмотрим простейшие формулы дифференцирования
векторных функций.
Из определения производной (1.38) непосредственно
вытекает, что производная векторной суммы равна векторной
сумме производных.
Рассмотрим произведение
скалярной функции на
векторную:
в(0 = ?(0*(0. (1-39)
Имеем:
а + А« = (? + А?)(6 + А&),
откуда
Да = &Д<? -\- cpAft -|- Дер Д&.
Согласно (1.38) получим:
Таким образом, здесь сохраняется известное правило
дифференцирования произведения.
Аналогично можно доказать, что это правило сохраняет
силу и для дифференцирования скалярного и векторного
произведений. Например, рассматривая функцию
c{f) = a{t)Xb{t\ (1.41)
найдем:
dc da w * i v у db ,, ,л,
¥ = i"XHeX¥. (1.42)
§10. Интегрирование векторных функций скалярного
аргумента. Действие неопределенного интегрирования
векторных функций аналогично действию неопределенного
интегрирования скалярных функций.
§ 10] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ 33
Пусть
di
da =b(t). (1.43a)
Тогда
а = j b(t)dt-\-C, (1.43b)
где С—произвольный постоянный вектор.
Если мы рассмотрим определенный интеграл
U
fb(t)dt,
то под этим символом надо понимать разность
Разлагая интервал [tv t2] на элементы Л/; и переходя к
пределу, мы можем рассматривать определенный интеграл от
векторной функции как предел суммы
а(к) — а{^)= Г b{t)dt = lim 2 b(U)^(. (1.44)
У W->oo { = 1
Смысл обозначений здесь тот же, что и обычно в
математическом анализе.
На основании равенств (1.43а) и (1.43Ь) можно найти
некоторые соотношения, аналогичные известным из основ
интегрального исчисления. Например, можно найти формулу
«интегрирования по частям»:
j aX^fdt = aXb- j^-Xbdt. (1.45)
Этими сведениями из основ векторного анализа мы здесь
и ограничимся.
ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
А. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА
§11. Контравариантные и ксвариантные компоненты
вектора. При аналитическом изучении простейших свойств
тензорных величин мы будем пользоваться косоугольными
прямолинейными координатными системами. Координатный
трехгранник {базис) будем определять системой
некомпланарных векторов е^ (/= 1, 2, 3). Существенно заметить, что
модули этих векторов могут отличаться от единицы.
Условие некомпланарности эквивалентно условию линейной
независимости векторов е{. Координаты произвольной точки М
пространства будем обозначать через х1 (/= 1, 2, 3).
Приступим к изучению основного вопроса тензорного
исчисления — к аналитическому определению тензоров.
Сначала рассмотрим уже известные нам тензорные
величины— векторы. Как было указано в предыдущей главе,
каждый вектор можно аналитически определить системой
трех скалярных величин — проекций вектора на оси
прямоугольной декартовой системы координат. Далее мы будем
называть компонентами тензора скалярные величины,
аналитически определяющие вектор или вообще тензор.
Проекции вектора на оси прямоугольной системы
координат являются его компонентами в этой системе координат.
Очевидно, при изменении системы координат компоненты
вектора (и вообще тензора) изменяются.
Воспользуемся теперь косоугольной системой координат,
определенной векторами е{. Тогда любой вектор можно предста -
вить в форме разложения на составляющие, параллельные осям
координат:
з
a^e^-j-e^^e^^ %е{а*. (2.1)
§ ll] КОНТРАВАРЙАНТНЫЕ И КОВАРИАНТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ 3§
Величины а% — компоненты вектора а в косоугольной
системе координат. Эти компоненты называются контрава-
риантными. Смысл введенного здесь термина будет
разъяснен ниже.
Вектор а можно также аналитически определить системой
величин
ai = a-ei (/=1, 2, 3), (2.2)
которые называются ковариантными компонентами вектора.
Действительно, на основании равенства (1.23) получим:
• = ^«,+*$*«,+ *$*<■* (2-3)
где
У = е1.(е2Хеъ) (2.4)
— объем параллелепипеда, построенного на координатных
векторах eL. Векторы
где у, /, k составляют циклическую перестановку чисел 1, 2, 3,
образуют координатный базис, взаимный с базисом,
составленным из векторов в{.
Следовательно, равенство (2.3) может быть представлено
в виде
з
а = е1а1 -{- е*а2-}- еъН = 2 *Ц- (2.6)
Из формулы (2.6) видно, что ковариантные компоненты
относительно взаимного координатного базиса обладают
свойствами контравариантных компонент.
Из равенств (2.5) непосредственно вытекают соотношения
aj = a- e$\ (2.7)
затем, аналогично выводу формул (2.5), найдем:
Здесь V' — объем параллелепипеда, построенного на векторах
взаимного координатного базиса, числа j, /, k составляют
циклическую перестановку чисел 1, 2, 3.
36 Основы тензорного исчисления [гл. il
Из формул (2.5) и (2.8) вытекает, что
VV'=\. (2.9)
Для доказательства соотношения (2.9) достаточно вектор еъ
входящий в правую часть равенства (2.5), определить по
формуле (2.8).
В заключение заметим, что в прямоугольной декартовой
системе координат при условии | е^ | = 1 контравариантные и
ковариантные компоненты вектора а совпадают.
Ниже мы будем пользоваться сокращенным
обозначением действия суммирования, принятым в тензорном
исчислении.
Если суммирование производится по одной или
нескольким парам ко- и контравариантных индексов,
принимающих при этом попарно все возможные для них
значения, то знаки соответствующих сумм опускаются.
Например, формулам (2.1) и (2.6) можно придать вид
а = ерэ\ а = еы^
Это обозначение распространяется на двойные и более
сложные суммы. Так
2 2>AikaW = Aika<bK
Индексы, по которым производится суммирование,
называются немыми. Буквенное обозначение немых индексов
можно изменять произвольно, не изменяя количественные
соотношения, выражаемые формулами, содержащими немые
индексы.
§ 12. Преобразование компонент вектора. В
произвольной декартовой системе координат вектор определяется
системой трех алгебраических величин: контравариантных или
ковариантных компонент. Эти компоненты существенно
зависят от выбора координатной системы.
Рассмотрим зависимости между компонентами
вектора в двух различных координатных системах,
связанных формулами взаимно однозначного преобразования
координат.
§ 12] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА 37
Преобразование системы координат будем определять
формулами прямого и обратного преобразования
координатных векторов:
*j = aj4' (2.10а)
(2.10Ь)
е* = №.
W
Здесь е':—координатные векторы новой системы
координат, а* и (3|—коэффициенты прямого и обратного
преобразований. Между а* и р| существует зависимость; чтобы ее
установить, исключим из равенства (2.10а) векторы еу на
основании (2.10Ь), а из равенства (2.10Ь) — векторы е\ на
основании (2.10а). Получим:
Пользуясь линейной независимостью векторов ei и #',
найдем:
( 0 (J Ф1), I 0 (1фк),
В старой и новой системах координат вектор а можно
представить в форме разложений
а = е,а{ = е'л'К
Воспользовавшись формулами (2.10Ь), получим:
На основании линейной независимости векторов е': получим:
fl'' = Pfc* (2.12а)
и аналогично
а* = а*ка'*. (2.12Ь)
Таким образом, прямое преобразование контравариант-
ных компонент выполняется при посредстве
коэффициентов обратного преобразования. Этим объясняется
возникновение термина «контравариантные компоненты»,
38 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Рассмотрим формулы преобразования ковариантных
компонент вектора а. На основании формул (2.2) и (2.10Ь)
получим:
а. = а.е'$\
ИЛИ
ai = ?Wr (2.13а)
Мы получили формулы обратного преобразования.
Чтобы получить формулы прямого преобразования,
воспользуемся равенствами (2.11). Имеем:
или
a'j = ai/*r (2.13b)
Мы нашли формулы прямого преобразования ковариантных
компонент вектора а. Это преобразование выполняется при
посредстве коэффициентов прямого преобразования
координатных векторов е{. Отсюда становится ясным смысл
термина «ковариантный».
Найдем формулы преобразования векторов взаимного
координатного базиса. На основании формул (2.6) мы можем
представить произвольный вектор а в двух системах
координат так:
а = da, = е'ка'
На основании формул (2.13а) найдем:
Цеы'и = е'ка'к.
Это равенство справедливо при произвольных а'к.
Последнее возможно лишь при выполнении соотношений
е'к = $е*. (2.14а)
Прямое преобразование координатных векторов
взаимного координатного базиса выполняется при посредстве
коэффициентов обратного преобразования векторов
основного базиса.
Аналогично найдем:
е* = <&\ (2.14b)
§ 13] СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КОСОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ 39
Формулы преобразования компонент вектора позволяют дать
полное аналитическое определение векторных величин.
Вектором называется физическая или геометрическая
величина, определяющаяся тремя компонентами, которые
при изменении системы координат преобразуются согласно
формулам (2.12а) и (2.12Ь) или (2.13а) и (2.13Ь).
Компоненты постоянного вектора в косоугольной системе
координат будут действительными постоянными числами. Компоненты
переменного вектора — функции действительного независимого
переменного t, или координат точки пространства. С этим
случаем мы встретимся ниже, в приложениях тензорного
исчисления к механике сплошных сред.
Существенно заметить, что определение вектора в
некоторой частной системе координат позволяет найти вектор
в произвольной координатной системе.
Формулы преобразования компонент вектора линейны и
однородны относительно компонент вектора. Поэтому, в частности,
вектор, равный нулю в некоторой системе координат,
равен нулю во всякой системе.
Наконец, отметим, что формулы преобразования
координат вытекают из формул разложения вектора (2.1) и (2.6).
Последние являются следствием определенного выше
действия сложения векторов. Поэтому геометрическое
определение вектора как величины, которую можно изобразить
направленным отрезком прямой и подчиняющейся действию
векторного сложения, эквивалентно аналитическому
определению вектора.
§ 13. Скалярное произведение в косоугольной системе
координат. Скалярное произведение векторов а и Ь можно
представить в четырех основных формах.
На основании равенств (2.1) — (2.6) найдем:
а • Ь = е{- eyalbk = е{ • ekaibk = е{ • е1'а*Ьу = е* • ека{Ь1'.
Введем следующие обозначения:
Ъ-бк = £"/*; ** • ** = g**'> е{ • е* = g*. (2.15)
На основании формул (2.5) имеем:
* а* / 1 0'=*). ,„ 1ГЧ
Здесь 8* — символ Кронекера.
40 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Таким образом,
а • Ь = gikaW = ^ЧЛ = а% = aj>*. (2.17)
Квадрат модуля вектора а выражается так:
| а |2 = а • а == #ifc<Ai* = гл*Л = <Л*<. (2.18)
Косинус угла между направлениями векторов а и Ь
определяется формулой
Рассмотрим вектор перемещения Дг между двумя точками
пространства: М(х1> х2, х8) и Ж'О*1-}-Дд;1, х2 + Дх2,
х34-Дд;3). Имеем:
Дг = ^Ах*. (2.20)
Модуль этого вектора определяет расстояние | Д$ ] между
точками М и М'. Найдем:
| Дг |2 = /is2 == gih Д** Дл:* > 0. (2.21а)
Обозначим координаты точек пространства относительно
взаимного координатного базиса через х{. Тогда
| Дг |2 = Д*2 = &* Lx{ Ьхк = Д*« Дл:^. (2.21Ь)
Положительно определенная квадратичная форма (2.21а)
определяет расстояние между двумя точками пространства.
Назовем ее фундаментальной квадратичной формой.
Коэффициенты фундаментальной формы gilc определяют метрику
пространства, арифметизированного системой координат х*,
так как, зная эти коэффициенты и координаты двух точек
пространства, можно найти расстояние между ними.
Коэффициенты gik позволяют также определить угол между
направлениями двух смещений точки, заданных компонентами
Дх' и 8х«.
Установим зависимость между коэффициентами gik и gy.
На основании (2.5) и (1.35) имеем:
<*___ i ь _ faXgyJ • (gpXgg) _ (gx-gp) (ygJ —fo-*q) (y *P)
g — e • e y2 — y2
Здесь индексы /, X, jj. и &, р, о составляют циклическую
§14] ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОНТРАВАР. И КОВАР. КОМПОНЕНТАМИ 41
перестановку чисел 1, 2, 3. Из формул (2.15) получим:
о*1А ==z _ г
1/2
(2.22)
Мы возвратимся ниже к зависимости между
коэффициентами фундаментальных квадратичных форм.
§ 14. Зависимость между контравариантными и кова-
риантными компонентами вектора. Коэффициенты gik и gik
позволяют установить зависимость между контравариантными
и ковариантными компонентами некоторого вектора а.
На основании формул (2.1) и (2.2) получим:
или
а . ei = ег . ека*
*i = ft***-
(2.23)
Далее на основании равенств (2.6), (2.7) и (2.15) найдем:
d = gJ*ak. (2.24)
Формулы (2.22) можно получить, не прибегая к
равенствам (2.5). Для этого достаточно рассмотреть соотношения
(2.23) как систему линейных алгебраических уравнений
относительно контравариантных компонент вектора а$% Решая
эту систему уравнений, получим:
cJ -
Q3k
~g
Ч-
(2.25)
Здесь g — определитель, составленный из коэффициентов
фундаментальной квадратичной формы (2.21а):
fin £12 fts
S21 #22 5*23
ffai ffas «'аз
(2.26)
a G>* — алгебраическое дополнение элемента gjk
определителя (2.26). Нетрудно заметить, что G№ совпадает с
числителем дроби, находящейся в правой части равенства (2.22).
Сопоставляя равенства (2.24) и (2,25), получим:
frjk —
G&
1 dg
g dgjk'
(2.27)
42 основы тензорного исчислении [гл. и
Из сравнения формул (2.22) и (2.27) вытекает, что объем
V параллелепипеда, построенного на векторах е^ выражается
формулой
V=Vg. (2.28а)
Из формулы (2.9) следует:
V' = 4=. (2.28b)
V g
Знак YS выбирается соответственно знаку V или V'.
Обычно этот знак предполагают положительным.
§ 15. Векторное произведение в косоугольной
декартовой системе координат. Теперь не составит труда
определить векторное произведение в косоугольной системе
координат. На основании разложения (2.1) имеем:
с = аХ*> = е{Х ека1Ьк.
В двойной сумме, входящей в правую часть этого
равенства, фиксируем порядок индексов /, k так, чтобы он
соответствовал циклической перестановке чисел 1, 2, 3. Найдем:
с = аХЬ = е{Хек (а*Ьк — аЩ.
На основании формул (2.5) и (2.28а) получим:
Сг=аХЬ = У~ё(а*Ь* — а*Ь*)е1 (2.29а)
или
Cj = Y~g (с*** — aW). (2.29b)
Индексы у, /, k составляют циклическую перестановку
чисел 1, 2, 3.
Аналогично, применяя формулы (2.6), (2.8) и (2.28Ь),
имеем:
Ы=у=(а{Ьк — акЬ<). (2.30)
Формулы (2.29Ь) и (2.30) определяют ковариантные и
контравариантные компоненты векторного произведения.
§ 16. Псевдовектор. Возвратимся к затронутому в § 7
понятию о псевдовекторах, или аксиальных векторах.
Как было показано в § 7, векторное произведение
отличается от полярных векторов особым отношением к специ-
§ 16]
ИСЕВДОВЕКТОР
43
альному преобразованию декартовой системы координат,
превращающему правую систему координат в левую. Рассмотрим
этот вопрос более подробно.
Пусть векторное произведение с = ау^Ь определено в
некоторой прямоугольной декартовой системе координат,
причем |^| = 1 (/=1, 2, 3). Тогда Yg=z±l и контравари-
антные компоненты векторов совпадают с ковариантными.
Припишем YS положительный знак. Рассмотрим
преобразование координат, переводящее правую систему координат
в левую:
£i = e2; e^ = eY\ es = es. (2.31a)
Ему соответствуют следующие коэффициенты преобразования:
«? = P?=i; «J = Pi=i; «з = Рз = 1. (2.3ib)
Остальные коэффициенты прямого и обратного
преобразования равны нулю. Воспользовавшись формулами (2.12а), найдем:
fl'i=fl2; a't^a1; a'* = с*\ Ь'1 = Р; */2 = ^; #'3 = #3.
Применив формулы (2.29Ь), получим:
с[ = а'Ч'* — а'Ч'* = аЧ?* — а*Р = — с2.
Аналогично
Со^ — с^ сз = —с$.
Полученные формулы показывают, что с не является
вектором относительно преобразования координат (2.31а)
и (2.31Ь). Этим объясняется с аналитической точки зрения
термин «псевдовектор». Однако можно указать формулы,
определяющие с как полярный вектор.
Возвратимся к формулам (2.28а) и (2.28Ь). Нетрудно
заметить, что знак скаляра V, определенного формулой (2.4),
изменяется на противоположный при преобразовании
координат (2.31а). Поэтому V называется псевдоскаляром.
Если не приписывать}/ g фиксированный положительный
знак, а выбирать знак Y8 согласно формулам (2.28а)
и (2.28Ь), рассматривая YS как псевдоскаляр, то
формулы (2.29Ь) и (2.30) будут определять компоненты по-
лярного вектора*
44 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Все сказанное здесь позволяет уточнить аналитическое
определение векторных величин.
Очевидно, все векторные величины связаны с
определенными группами преобразования координат. Некоторая
физическая или геометрическая величина может быть вектором
для преобразований, принадлежащих к определенной группе,
и не быть им для преобразований, выходящих за пределы
этой группы.
§ 17. Обобщение аналитического определения вектора.
Простейшие тензоры. Возвратимся к основному свойству
векторов, определенному формулами преобразования его
компонент.
Укажем некоторые величины, которые с аналитической
точки зрения родственны векторам и в известном смысле
являются обобщением скалярных и векторных величин; мы
построим здесь эти величины формально. Ниже будут
указаны геометрические и физические величины, обладающие
свойствами, одинаковыми со свойствами построенных в
настоящем параграфе величин.
Предположим, что известны два вектора а и &, заданные
своими контравариантными или ковариатными компонентами.
Составим системы З2 величин, определенных формулами1):
Mik = a'bk, Mik = дА, М[к = а% М? = акЬ\ (2.32а)
Величины, входящие в эти системы, можно рассматривать
как элементы некоторых квадратных матриц. Например,
величины Mik можно расположить в форме матрицы 9№:
|| аЧ1 а>№ аЧР |
эд=|а?*1 а*Ь* &&]. . (2.32b)
I аЧ1 а*Ь* аЧ* |
Точно так же, если заданы три вектора а, Ь, с, то из
их компонент можно построить величины
М*** = cCb\\ Mi*} = а'ь\9.... (2.33)
которые являются элементами прямоугольных матриц.
Компоненты одного вектора а можно, конечно, также
рассматривать как элементы некоторой прямоугольной матрицы.
*) Здесь и дальше точка помогает обозначить место индекса,
§ 17] ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА 45
Рассмотрим формулы преобразования величин,
определенных равенствами (2.32а). На основании формул (2.12а) имеем:
a'tyfc = pjpzW
или
М'{к = $$Лр. (2.34а)
Аналогично получим:
A4 = afeUfiz (2.34b)
и
м'*к = 4$М+ (2.34с)
Если сравнить формулы преобразования (2.34а)—(2.34с)
с формулами преобразования компонент вектора, то можно
заметить ряд общих свойств этих преобразований.
Формулы (2.34а)—(2.34с) линейны и однородны
относительно величин М? M.j. Следовательно, если известны
величины Мэ%, ... в некоторой системе координат и заданы
коэффициенты преобразования, то можно найти значения
величин M'ik, ... в новой системе координат. Если в какой-либо
системе координат матрица Ш обладает всеми элементами,
равными нулю, то при преобразовании согласно формулам (2.34)
вновь получается матрица Ш' с элементами, равными нулю.
Этими свойствами обладают также более сложные
величины, определенные формулами (2.33).
Обратим внимание на основное различие в формулах
преобразования векторных величин и величин, определенных
формулами (2.32а)—(2.33). Чтобы выявить закономерность в этом
различии, привлечем для сравнения формулы преобразования
абсолютных скаляров. Абсолютные скаляры, как уже об этом
было сказано в § 1, не зависят от выбора координатной
системы. Поэтому «формула преобразования» абсолютного
скаляра имеет вид
?' = ?. (2.35)
Эта формула не содержит коэффициентов преобразования
координатных векторов, или, иначе говоря, ее измерение
относительно этих коэффициентов равно нулю.
Коэффициенты ос{ и Рг входят в формулы преобразования
компонентов вектора линейно. Измерение отдельных членов правых
4f) ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
частей этих формул относительно коэффициентов
преобразований равно единице.
В формулы (2.34а)—(2.34с) коэффициенты преобразований
входят в виде произведений и квадратов. Измерение
соответствующих членов относительно этих коэффициентов равно
двум. Формулы преобразования величин (2.33) имеют
измерение относительно коэффициентов преобразования, равное
трем. Очевидно, можно построить величины, формулы
преобразования которых будут иметь измерение относительно
коэффициентов преобразования, равное четырем, пяти и т. д.
Все сказанное заставляет нас притти к заключению, что
абсолютные скаляры, векторы и более сложные величины,
определенные формулами (2.32а)—(2.33), являются частными
представителями величин, которые можно объединить в одну
группу. Эти величины мы будем называть тензорами. Термин
«тензор» возник, вероятно, в связи с тем, что одной из
первых величин такого рода была изучена система напряжений
в некоторой точке упругого тела!). Тензоры, определенные
формулами (2.32а) —(2.33), принадлежат к категории
простейших, так называемых мультипликативных тензоров.
§ 18. Общее определение тензора. Все тензоры
определяются системой скалярных величин, которые называются
компонентами тензора. Примерами компонент тензоров
являются компоненты векторов и величины, определенные
формулами (2.32а)—(2.33). Абсолютный скаляр имеет
единственную компоненту.
Основные свойства компонент тензора выражаются
в законе их преобразования при переходе от одной системы
координат к другой. Этот закон один для всех тензоров
независимо от их физической природы.
Компоненты тензоров являются неабсолютными,
неинвариантными скалярами.
Тензоры классифицируют по их рангам и по их строению.
Различают тензоры нулевого, первого, второго и т. д. рангов.
Ранг тензора определяется на основании формул
преобразования и количества компонент тензора." Основное
значение имеет вид формул преобразования, так как общее
количество компонент тензора может не совпадать с количеством-
существенно различных компонент.
1) От латинского «tendere» — натягивать, напрягать.
§ 18]
ОПЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА
47
Ранг тензора равен измерению членов, входящих в
правые части формул преобразования, относительно
коэффициентов преобразования координатных векторов.
Ранг тензора равен также количеству индексов в его
компонентах.
Таким образом, абсолютные скаляры-—это тензоры
нулевого ранга. Векторы являются тензорами первого
ранга. Величины, определенные формулами (2.32а)—(2.33),—
тензоры второго и третьего рангов. Общее количество
компонент тензора /*-го ранга в трехмерном пространстве равно г)
7V=3r. (2.36)
По своему строению тензоры разделяются на контрава-
риантные, ковариантные и смешанные.
Величины, определенные формулами (2.32а), дают'
простейшие примеры этих тензоров. Так Mik— компоненты кон-
травариантного тензора второго ранга, Mik — компоненты
ковариантного тензора второго ранга, М\. и
Ми—компоненты смешанных тензоров второго ранга. Компоненты
тензоров мы будем обозначать в дальнейшем главным образом
большими латинскими буквами с соответствующими индексами.
Тензором будем называть совокупность всех его
компонент. В этом смысле надо понимать в дальнейшем
выражение: тензор Tik"\
Все сказанное здесь и в § 17 позволяет написать общую
формулу преобразования компонент тензора любого ранга
и строения. Имеем:
Г%... = Р>.Р& ... 7^v.... (2.37)
Точки на местах индексов показывают относительный порядок
контравариантных и ковариантных индексов.
Теперь мы можем дать общее определение тензора в
декартовой системе координат.
Тензором называется физическая или геометрическая
величина, определяющаяся системой чисел или функций
7^...! которые при изменении системы координат
преобразуются согласно формулам (2.37).
*) Более подробно вопрос о количестве компонент тензора
r-го ранга освещен в § 34.
48 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [гл. И
§ 19, Метрический тензор. Возвратимся к величинам,
определенным формулами (2.15), и покажем, что они
представляют собой компоненты некоторого тензора второго ранга.
Для этого достаточно доказать, что gik, gik и g^
подчиняются закону преобразования компонент тензора второго
ранга.
Рассмотрим формулы преобразования величин gik. На
основании формул (2.10а) имеем:
sik *Ч к г к j I
ИЛИ
Мы видим, что gik — ковариантные компоненты тензора
второго ранга. Аналогично можно доказать тензорный характер
величин gik и gik. Предоставляем это читателям.
Величины gik образуют ковариантный метрический
тензор.
Как уже было отмечено ранее, коэффициенты
фундаментальной квадратичной формы определяют метрику
пространства. Величины gik обладают очевидным свойством:
Sik == Ski*
Тензор с такими компонентами называется симметричным.
Величины gik и glk являются контравариантными и
смешанными компонентами метрического тензора. Они также
симметричны относительно своих индексов.
§ 20. Симметричные и антисимметричные тензоры
второго ранга. Метрический тензор является примером
симметричного тензора второго ранга. Вообще тензор второго
ранга называется симметричным, если выполняются
соотношения следующего вида:
Та=Ты. (2.39)
Аналогично определяются симметричные %контравариантные
и смешанные тензоры второго ранга.
Заметим, что свойство симметричности не изменяется
при преобразовании координат, т. е. является инвариант- .
ним. В самом деле,
Тцс = aiUkTji = а^адГ^ = Ты*
§ 20] СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ 49
Количество существенно различных компонент
симметричного тензора второго ранга в трехмерном пространстве
равно шести.
Тензор называется антисимметричным, если существует
соотношение
Tik = -Tu. (2.40)
Легко показать, что свойство антисимметричности
инвариантно. Действительно,
Ты = afakTji = — <*iakTjj = — Tki.
Компоненты антисимметричного тензора с одинаковыми
индексами равны нулю. Следовательно, количество существенно
различных компонент антисимметричного тензора второго
ранга равно трем.
Покажем теперь, что в трехмерном пространстве
антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору.
Чтобы доказать эту теорему, вновь рассмотрим формулы
(2.10а) и (2.14а). На основании этих формул заключаем, что
коэффициенты преобразования а^ и № представляют собой
контравариантные и ковариантные компоненты координатных
векторов новых основного и взаимного базисов:
а* = (ер*, Щ = (е'\ (2.41)
Введем обозначения
1 гр 1 *р 'Т'О *■ Т* *■
7F я = ~77 *' 77 31==~7Т
Т*=-+=Тп = —-\г-Тя. (2.42)
V g \ g
Рассмотрим формулу преобразования
rpr k а -р ). |j. rp |х л гр
* ik = ЛгаА-^/.|х = <*гаА: I jj.X = ОС^а^У^.
Здесь мы воспользовались свойством антисимметричности и
правом менять буквенные обозначения немых индексов.
Далее имеем:
J 1 / X и. a L т
ik = ~2Kai^k — ^i^k) /\a.
50 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИИ [ГЛ. II
Используя формулы (2.29а) и (2.41), получим:
Числа л, [л, У составляют циклическую перестановку чисел 1,
2, 3. Далее на основании формул (2.5) и (2.28а) найдем:
где /, k, l составляют циклическую перестановку чисел 1,
2, 3; gf— фундаментальный определитель, составленный из
компонент метрического тензора в новой системе координат.
Применяя формулы (2.41), получим:
г h i />• f о- ~у
Следовательно,
Чтобы выяснить смысл последнего равенства и, в частности,
способ суммирования, фиксируем определенным образом
индексы I и k. Пусть, например, /==2, & = 3. Тогда
Г1 = -4= Г»,«
W
1
-[р1Ъ, — р1Гз2 + р1Г31 —p;r13 + pj712 —pa^i].
2/^
На основании формул (2.42) имеем:
гг = р5К
Аналогично
Г2=р|7^, Г3 = р5г'.
Таким образом, величины, определенные равенствами
(2.42), — компоненты контравариантного вектора.
Если фиксировать знак У g, то полученный здесь
вектор будет псевдовектором.
В этом можно убедиться, применив к полученному вектору
преобразование координат (2.31а)—(2.31Ь), используя
равенства (2.42).
§21] МГНОВЕННАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА 51
Если не приписывать ]/g определенный знак, а
выбирать его согласно формулам (2.28а) и (2.28Ь),
рассматривая У g как псевдоскаляр, то вектор, определенный
равенствами (2.42), будет полярным.
§ 21. Мгновенная угловая скорость абсолютно
твердого тела как антисимметричный тензор второго ранга.
Мгновенная угловая скорость абсолютно твердого тела,
имеющего неподвижную точку, представляет собой простейший
пример антисимметричного тензора второго ранга. Во многих
курсах теоретической механики вектор угловой скорости тела
вводится формально. Угловая скорость рассматривается при
этом как первичная кинематическая величина,
характеризующая движение твердого тела.
Однако можно убедиться, что понятие об угловой
скорости тела естественно возникает при изучении распределения
линейных скоростей в теле и является понятием вторичным 1).
Методы тензорного анализа позволяют строго доказать
тензорные свойства угловой скорости.
Свяжем с телом, имеющим неподвижную точку,
подвижную декартову систему прямоугольных координат х*>
определенную единичными координатными векторами ег. Начало
системы координат поместим в неподвижной точке тела.
Радиус-вектор г произвольной точки М тела определится
равенством
г = е^ (1=1, 2, 3). (2.43)
Найдем вектор скорости v точки М:
v = xi^L^ (2.44)
Проекции вектора скорости v на оси системы координат xi
равны
vk = v.ek = x%.^f (2.45)
(/, k=l, 2, 3).
Заметим далее, что из равенств
' = £),
_{ 1 (Ь
'*' ** ~ \ 0 (i
1) См. Г. К. Суслов, Теоретическая механика, Гостехиздат,
1946.
52 основы тензорного'исчисления [гл. и
следует
^ <И~и' е* dt — ek~dtm { }
Рассмотрим следующие величины:
(0<* = ^ *S ' ш<* = — ш^ (2.46Ь)
Покажем, что величины, определенные равенствами (2.46),
являются компонентами тензора второго ранга. Пусть в новой
системе координат
Применив формулы преобразования (2.10а), получим:
г к fc dei i к /о лп\
<ол = ах ajek • -^ = *j*iui1f. (2.47)
Это равенство показывает, что величины coiA. представляют
собой компоненты тензора второго ранга1). На основании
равенств (2.46а) и (2,46Ь) заключаем, что тензор,
определенный равенствами (2.46Ь), — антисимметричный.
Введем вектор, эквивалентный этому тензору. В
прямоугольной системе координат, который мы пользуемся, можно
положить ]/*£•= ~|-1. Тогда на основании (2.42) найдем:
ш1 = Ш23 = — ш32> Ш2 = <"31 = — ю13» «>3 = а)12 = —Ю21- (2«48)
Формулы (2.45) можно представить так:
v{ — o)rX3 — со3д:2; v2 = со^д:1 — а^д;8; ^3 = а)1д:2 — а^д;1 (2.49а)
или
^^wXr. (2.49b)
Введенный нами посредством равенств (2.48)
псевдовектор ш называется мгновенной угловой скоростью тела.
1) Напомним, что в прямоугольной декартовой системе
координат контравариантлые и ковариантные компояенты тензоров
совпадают.
§ 22] ПЕРЕСТАНОВКА ИНДЕКСОВ И СЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ 53
Б. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 22. Перестановка индексов и сложение тензоров.
Тензорное исчисление изучает совокупность математических
операций, производимых над тензорами, в результате
которых вновь получаются величины, обладающие свойствами
тензоров. Этому условию, в частности, удовлетворяют
действия тензорной алгебры.
Основными действиями тензорной алгебры авляются
сложение и умножение тензоров. Кроме этих действий,
тензорная алгебра рассматривает как особые операции
перестановку индексов и свертывание тензоров.
Перестановка индексов — простейшая операция тензорной
алгебры.
Посредством перестановки мест двух индексов из
заданного тензора строится новый тензор. Например, рассмотрим
тензор Tik. Меняя местами индексы, мы получим новый
тензор Tki, обладающий матрицей, транспонированной по
отношению к матрице тензора Tik. Если тензор Tik
симметричный, то перестановка индексов сводится к тождественному
преобразованию. То, что перестановка индексов приводит
к построению тензора, т. е. величины, подчиняющейся
формулам преобразования (2.37),—очевидно.
Рассмотрим теперь действие сложения. Оно
распространяется лишь на тензоры одинакового ранга и строения.
Чтобы сложить несколько тензоров, достаточно
сложить их одноименные компоненты.
Например, суммой двух контравариантных тензоров Pik
и Qik будет тензор
Sik^pik^Qik, (2.50)
Тензорные свойства Sik очевидны, так как формулы
преобразования компонент тензоров (2.37) линейны
относительно компонент тензора и их правые части однородны
относительно коэффициентов преобразования. Именно эти
свойства формул преобразования не позволяют
распространить действие сложения на тензоры различных рангов и
различных строений.
Заметим, что действие сложения тензоров инвариантно
в том смысле, что тензор, равный сумме тензоров в
некоторой системе координат, будет равен сумме этих тензоров bq
всякой иной координатной системе,
54 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
§ 23. Применения действия сложения.
Симметрирование и альтернирование, а) Покажем, что произвольный
тензор второго ранга можно разложить на
симметричную и антисимметричную части.
Действительно,
Tik = j (Tik + Ты) +1 (Tik - Tki). (2.51)
(2.52)
(2.53)
1I(
Тс
В
зложи
)гда
Пус
этом
м:
гь тензор Tik
случае
Тц< —
будет
Ты
Vik-
-Uu+Viu-
1
1
1
J
мультипликативным
aih — аФг-
Этому тензору эквивалентен вектор, который определяется
по формулам (2.42):
VJ = -±= Vik - -]L (аА - аМ (2.54)
У g У g
а, £, * = 1,2, з).
Мы получили новую интерпретацию векторного
произведения, определенного выше формулами (2.30).
Ь) Симметрирование и альтернирование.
В тензорной алгебре рассматриваются также некоторые
комбинации действий перестановки индексов и сложения,
которые называются симметрированием и альтернированием.
Чтобы произвести симметрирование над некоторым
тензором, производится сначала перестановка пары индексов и
полученный тензор складывается с исходным. В результате
получается тензор, симметричный относительно указанной
пары индексов.
Очевидно, симметричная часть тензора Т^ равна -к от
результата симметрирования,
§ 23] ПРИМЕНЕНИЯ ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ 55
Чтобы произвести альтернирование над некоторым
тензором, нужно переставить пары индексов, а затем вычесть
полученный тензор из исходного. В результате получается
тензор, антисимметричный относительно указанной пары
индексов. Антисимметричная часть тензора второго ранга Tik
равна у от результата действия альтернирования.
Действие симметрирования будем иногда обозначать Т^Щу
а действие альтернирования — Т[Ы], т. е.
Т(Щ = Tik + Ты\ Тт = Т4к — Ты. (2.55)
с) Покажем, что всякий тензор можно представить
как сумму мультипликативных тензоров.
Это утверждение почти очевидно, если не ограничивать
заранее количество мультипликативных тензоров,
представляющих в сумме заданный тензор.
Представим, например, в виде суммы мультипликативных
тензоров тензор третьего ранга Tl,,j. Каждому компоненту
Tik (i) <*2 (j)
тензора T,,j поставим в соответствие три вектора: а, 0, с.
Определим эти три вектора в системе координат, в кото-
рой заданы компоненты тензора T..j :
(\jlIt~J (* = 0. <*V Л* («* = *). о')^П (v=y),
*' 10 (\Ф1); lO(ji^ft); Сч lO(v^y).
Знак = обозначает, что равенство имеет место только
в однойу определенной системе координат. В данном
случае это та система, в которой определены компоненты тен-
ik <*> <*> (Л
зора T..j. При таком выборе векторов а, Ь и с каждый
мультипликативный тензор, построенный из компонент этих
векторов, имеет лишь одну компоненту, отличающуюся от
нуля в данной системе координат.
Поэтому мы можем написать
7t*y == 2 a* bk с< = а* bkCj. (2.56)
Здесь сумма распространяется на все значения р} q, r от
единицы до трех,
56 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Так как действие сложения инвариантно, равенство (2.56),
установленное в некоторой частной системе координат, остается
справедливым во всех остальных системах.
§ 24. «Опускание» и «поднятие» индексов.
Возможность представления произвольного тензора в виде суммы
мультипликативных позволяет показать, что в метрическом
пространстве1) физическая величина, имеющая свойства
тензора, может быть изображена тензором любого строения.
Рассмотрим, например, тензор второго ранга с
контравариантными компонентами Tik. Представим этот тензор
согласно формуле (2.56) в виде суммы
—, (рЧФ
Т*к= 2 а*ЬК
(р) (Ф
Рассмотрим сумму
v, (Р) (Q)
g{Jik= Zgxxa<bK
На основании формулы (2.23) получим:
^ (р) «я ь
giJik= 2 «х **=ГД (2.57а)
(Р) (q)
Аналогично можно получить равенство
Tx^gfigbT*. (2.57b)
Мы «опустили» контравариантные индексы, превратив
контравариантный тензор в смешанный и ковариантный.
Чтобы превратить ковариантный тензор в смешанный или
контравариантный, надо воспользоваться контравариантными
компонентами метрического тензора и формулами (2.24).
В результате вычислений, аналогичных предыдущим, получим:
F« = gKgtoTik9 (2.58а)
T\ = giXTik. (2,58b)
Ниже мы рассмотрим ЭТИ операции над индексами с
другой точки зрения,
*) Пространство называется метрическим^ если в нем заданы
Компоненты метрическргр тензора,
§ 26]
СВЕРТЫВАНИЕ ТЕНЗОРОВ
57
§ 25. Умножение тензоров. Действие умножения
распространяется на тензоры любого ранга и строения.
Произведением нескольких тензоров называется тензор,
обладающий компонентами, равными произведениям
компонент перемноженных тензоров, расположенных в
определенном порядке, который указывается последовательностью
расположения индексов в произведении.
Как будет видно из дальнейшего, ранг произведения равен
сумме рангов сомножителей.
Рассмотрим, например, произведение тензора второго
ранга Aik и тензора первого ранга (вектора) а*.
Произведениями этих тензоров будут смешанные тензоры третьего
ранга
THj.=Aika3 и Tilk = ajTil{.
Эти произведения различны. Второе получается из
первого в результате перестановки индексов.
Рассмотрев формулы преобразования, можно убедиться
в том, что величины T\kJ. действительно являются
компонентами смешанного тензора третьего ранга. В самом деле,
7Y> • = АГ> а = °V a v Ц Ailfl
или
^Г/. . X i к q\ ^..j
Последнее равенство доказывает тензорные свойства
величин Т\и\ и позволяет установить ранг произведения и его
строение. В частности, видно, что ранг произведения равен
сумме рангов сомножителей. Последнее вытекает из простого
подсчета количества коэффициентов преобразования в каждом
члене правой части формулы.
Тензорное умножение некоммутативно.
Действительно, тензоры
Titf^Atjfl* и Tjdk = ajAik
не равны, отличаясь порядком индексов.
§ 26. Свертывание тензоров. Операция свертывания
производится исключительно над смешанными тензорами,
58 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Н
Чтобы произвести операцию свертывания над
тензором Тъ.$„., достаточно приравнять один из контрава-
риантных индексов одному из ковариантных и
рассмотреть суммы по приравненным индексам, \
Эти суммы образуют тензор, обладающий рангом, на
две единицы меньшим, чем ранг свертываемого тензора.
Докажем это.
Рассмотрим величины
™j .. — l . tj.. .•
Докажем, что они являются компонентами тензора и
установим его ранг. Имеем:
ГХ . . . лХ ]С J -р i • • •
Теперь положим Л == jx. Получим:
ГХ... qX k j ™ г ...
.Xv. .. = Р< аХ av • • * .kj... •
На основании формул (2.11) имеем:
*qx ( l (если * = *)»
а^-{ 0 (если 1фк).
Поэтому
' .Xv... = <*>*•../.#...•
Этим самым доказано высказанное выше утверждение
о результатах операции свертывания.
Можно производить свертывание по двум, трем и т. д.
парам индексов. При этом ранг свертываемого тензора
понижается на 4, 6 и т. д. единиц.
§ 27. Простейшие примеры применения тензорной
алгебры. С частными примерами применения действий
тензорной алгебры мы встречались еще до их изучения в общем
виде.
Приведем некоторые примеры, известные из предыдущего.
Здесь они получат новое освещение.
a) Образование мультипликативных тензоров,
определенных формулами (2.32а) — (2.33), является результатом
умножения тензоров первого ранга.
b) Зависимости между контравариантными и ковариант-
ными компонентами тензоров первого ранга, установленные
§ 28] ТЕНЗОРЫ И ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 59
формулами (2.23) и (2.24), можно рассматривать как
результат умножения метрического тензора (тензора второго ранга)
на вектор (тензор первого ранга) с последующим свертыванием
по паре индексов.
Это же замечание относится к формулам (2.57а) — (2.58Ь)
с той лишь разницей, что метрический тензор здесь
умножается на тензор второго ранга.
Вообще операция «опускания» или «поднятия» индексов
есть результат умножения некоторого тензора на
метрический тензор и последующего свертывания по паре
индексов. Эта операция может быть многократной. Пример
двукратной операции подобного рода виден из формул (2.57Ь)
и (2.58а).
с) Скалярное произведение двух векторов (2.17) можно
рассматривать как результат умножения двух тензоров
первого ранга и свертывания, если перемножаются тензоры контра-
вариантный и ковариантный. Если же перемножаются тензоры
одинакового строения, то это умножение надо дополнить
умножением на метрический тензор и произвести свертывание
по двум парам индексов.
§ 28. Связь между тензорами и теорией
алгебраических поверхностей. Рассмотрим ковариантный вектор а{ и
образуем скаляр
о = а • г = а^К
В этом равенстве г — радиус-вектор точки Ж (л;*),
определенный формулой (2.43), где под х{ следует теперь
понимать косоугольные декартовы координаты. Составим уравнение
д,*<=1. (2.59)
Если ai постоянны, то уравнение (2.59) определяет
некоторую плоскость, которая отсекает на осях координат
отрезки
Плоскость (2.59) можно рассматривать как особое
изображение вектора а. Вектору а, таким образом, можно
поставить в соответствие, с одной стороны, направленный
отрезок прямой, а с другой — плоскость (2.59). Это, очевидно,
частное выражение принципа двойственности, известного из
геометрии.
60 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Рассмотрим симметричный ковариантный тензор второго
ранга Tik. Образуем при посредстве умножения и свертывания
скаляр
Приравняв этот скаляр постоянному числу, например,
единице, получим уравнение поверхности второго порядка
Tikx*x*=l. (2.60а)
Предположим, что xi — прямоугольные декартовы
координаты. Как известно, в пространстве существуют три взаимно
ортогональные направления, которые, будучи выбранными
в качестве направлений осей координат, позволят привести
уравнение (2.60а) к канонической форме:
Г. .хЧх'* = 1. (2.60Ь)
При этом Tfik = 0, если / Ф к.
Указанные направления называются главными
направлениями для тензора Tik, а соответствующие оси — главными
осями тензора.
Инварианты поверхности (2.60а) называются инвариантами
тензора Tik. Особо важное значение в механике имеют
линейный и квадратичный инварианты.
Линейный инвариант I записывается в произвольной
системе координат в следующем виде:
1г = ё1кТш- (2.61а)
В прямоугольной системе координат
gik=
1 (i = k),
0 (1Фк)
Ii = 2,Tti. (2.61b)
г = 1
Квадратичный инвариант /2 можно записать в одной из
следующих форм:
h=TikTik = T4.jtti. (2.62)
и т. д. Заметим, что к этим выражениям /2 всегда можно
прибавить р/ь где р — произвольный скаляр,
§ 29] ВТОРОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА 61
Тензоры высших рангов связаны с алгебраическими поверх--
ностями более высоких порядков, чем второй, однако эта
связь пока не находит интересных приложений в механике.
§ 29. Второе аналитическое определение тензора. Выше
мы определили тензоры как физические (или геометрические)
величины, которые определяются системой чисел или, в общем
случае, функций, подчиняющихся формулам преобразования
(2.37).
Мы докажем следующую теорему:
Пусть ai, bk, . .. являются компонентами произвольных
и независимых векторов. Если при посредстве величин Т^\\,
можно образовать скаляр
? = 7?}.\\ a::bk..., (2.63)
то величины Та[^ща будут компонентами тензора.
Действительно, переходя к новой системе координат х'*,
на основании инвариантности © имеем:
j.. ,a bi. .. =zT,jt,taJbk...
Применяя формулы преобразования компонент векторов,
найдем:
?= Т.i...a Ь{. . . = T.:....aJipk. . .a bi
или
(7-'л::.-а$.. .г?;-::>Х.. =о. (2.64)
Последнее равенство должно выполняться при всех
произвольных компонентах векторов а, &, .. . Это возможно
лишь тогда, когда выражение в скобках равно нулю.
Действительно, выберем векторы a, b и т. д. так, чтобы
в системе координат хч у вектора а отличалась от нуля одна
компонента а'1, у вектора b — компонента Ь\ и т. д. Тогда в
левой части равенства (2.64) останется одно слагаемое с
фиксированными индексами i и /. На основании выбора
векторов а, Ь, ... получим:
7^::. = 4L..7?};;.. . (2.65)
k
Последнее равенство показывает, что величины Т.}'.".
представляют собой компоненты тензора.
62 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
§ 30. Аффинные преобразования. Рассмотрим результат
умножения некоторого тензора А,к и вектора хл с
последующим свертыванием.
Если рассматривать компоненты вектора хо как
координаты точки пространства, то этот вектор будет совпадать
с радиусом-вектором г точки М пространства.
Произведя указанные операции, найдем:
х* = А\-х* (/,;=1,2,3). (2.66)
Величины хч можно рассматривать как контравариантные
компоненты радиуса-вектора гг некоторой точки Мг пространства.
Для упрощения дальнейишх рассуждений будем
рассматривать прямоугольную декартову систему координат. Тогда
равенства (2.66) можно представить так:
х[ = Апх1-{-А12х2-{-А13х3у J
х2 = А21х1-\гА22х2 + Апхь> | (2.67)
хв = ^зЛ + Азгх2 + ^зз*з- J
Эти равенства, как и равенства (2.66), имеют двоякий смысл.
a) Если рассматривать х1 и хч или х, и хг. в формулах
(2.67) как координаты одной точки пространства в
различных системах координат, то формулы (2.66) и (2.67) будут
частным случаем точечного преобразования координат, о
котором будет итти речь ниже. В этом случае компоненты
тензора A]j совпадают с коэффициентами преобразования
координатных векторов р*.
b) Можно рассматривать формулы (2.66) — (2.67) как
зависимости между координатами двух точек M{xi) и М!' (х'э)
в одной системе координат. Тогда формулы (2.66) и (2.67)
определяют преобразование пространства или его движение.
Это преобразование называется аффинным1). Оно находит
применение в кинематике сплошных сред2).
*) Этот термин происходит от латинского прилагательного affi-
nis — смежный. Название восходит к Эйлеру, Смысл его заключается
в том, что бесконечно удаленная точка М переходит в бесконечно
удаленную точку М', т. е. «концы пространства» сохраняются. (См.
Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II,
ГТТИ, 1934).
2) См. Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи
математической теории упругости. Издательство АН. СССР, 1949,
стр. 35—39.
§ 31] ОПЕРАТОР ВРАЩЕНИЯ (ВЕРСОР) 63
Очевидно, результат двух последовательных аффинных
преобразований будет вновь аффинным преобразованием.
В связи с этим говорят, что аффинные преобразования
образуют группу.
§ 31. Оператор вращения (версор). Рассмотрим
конечное вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной
оси как результат некоторого аффинного преобразования.
Допустим сначала, что ось х3 неподвижной прямоугольной
декартовой системы координат совпадает с осью вращения.
Обозначим угол поворота тела через q. Пусть точка М тела,
имевшая в начальный момент координаты x]f л*2, х$, перейдет
в точлсу М' с координатами x'v xrv х'. Зависимости (2.67)
в этом случае имеют такой вид:
xrx = xt cos q — x2 sin q>
xr0 = xx sin q -\- x2 cos q,
х'г = х*
(2.68)
Компоненты тензора A*jt или в данном случае оператора
вращения, составляют матрицу:
» =
cosq —sin^ О
sing cosq О
О 0 1
(2.69)
Определив оператор вращения 23 в специально выбранной
системе координат, можно найти его компоненты в
произвольной системе, воспользовавшись общими формулами
преобразования компонент тензорных величин. Компоненты
оператора вращения в произвольной системе координат будем
в дальнейшем обозначать V.j.
Формула (2.69) показывает, что оператор вращения не
является антисимметричным тензором и, следовательно, не
сводится к эквивалентному вектору.
Если рассматривать равенства (2.68) как формулы
преобразования координат, то очевидно, что оператор вращения
осуществляет ортогональные преобразования.
С другой стороны, рассматривая равенства (2.68) как
формулы преобразования компонент вектора при фиксированной
64 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. И
системе координат, можно убедиться, что при таком
преобразовании сохраняется скалярное произведение двух
векторов:
а' Ь' = аЬ. (2.70)
Значит, при движении, которое определяется версором,
сохраняются длины векторов и углы между ними)
следовательно, версор определяет движение абсолютно твердого
тела.
§ 32. Сложение вращений. Поставим следующую задачу:
задано перемещение твердого тела, имеющего неподвижную
точку. Требуется построить соответствующий оператор
вращения.
Решение этой задачи эквивалентно доказательству
известной из кинематики твердого тела теоремы Эйлера-Даламбера:
произвольное перемещение твердого тела вокруг
неподвижной точки можно произвести посредством одного поворота
вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.
Сама же теорема Эйлера-Даламбера равносильна такому
утверждению: если в результате аффинного преобразования
единичный ортогональный базис е^ переходит вновь в
единичный ортогональный базис е[, то это преобразование
осуществляется версором,
В некоторых руководствах версором называют аффинное
преобразование, при котором сохраняется скалярное
произведение двух векторов, т. е. существуют условия (2.70)г).
Если стать на эту точку зрения, то доказательство теоремы
Эйлера-Даламбера излишне, так как условия (2.70) всегда
соблюдаются при движении твердого тела.
Покажем теперь, как по заданному аффинному
ортогональному преобразованию построить версор, т. е. найти ось
результирующего вращения и угол поворота.
Возвратимся к формулам (2.69). Разложим оператор
вращения 2$ на симметричную и антисимметричную части. Имеем:
& =
cos q
0
0
0
cos q
0
0
0
1
+
0
— sin<7
0
sin<7
0
0
0
0
0
.(2.71)
*) В. Ф. К а г а и, Основы теории поверхностей, Гостехиздат,
1947, стр. 47—48.
§32]
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ
65
Антисимметричная часть эквивалентна вектору V,
имеющему компоненты:
1^ = 0, К2 = 0, V9=s\nq. (2.72)
Вектор V направлен вдоль оси вращения лг3. Проекция
вектора V на ось лг3 определяет величину и знак угла
поворота.
Так как разложение тензора на симметричную и
антисимметричную части имеет инвариантный характер, рассмотрим
разложение оператора произвольного ортогонального
преобразования (эквивалентного движению твердого тела вокруг
неподвижной точки), переводящего триедр единичных векторов е±
в новый триедр единичных векторов e'v
Имеем:
V\к = cos (*'., хк) = j [cos(x'v xk) + cos (x'k, х.)] +
Компоненты вектора V будут:
^ = -2 [cos(*2, *3) —cos(*J, x2)]t 1
l/2 = i[cos(4 хг) — cos(^, xj], \ (2.73)
V3 = -2 [cos(A:{f x2) — cos^, xt)].
Правые части этих равенств являются функциями углов
Эйлера ^, 6, ср, определяющих положение осей системы
координат х'хх'2х'ъ1). Формулы (2.73) определяют по величине и
по направлению вектор V как функцию углов Эйлера <!>, в, ср.
Этим самым определена ось вращения и угол поворота q.
Рассмотрим результат нескольких последовательных
вращений твердого тела вокруг неподвижной точки. Пусть,
например,
(1) (0) (0) (2) (1) (1) (3) (2) (2) (Я) (П-1) (П-1)
х' = VUxl\ хк = V*s*?9 х1 = V\x\ ...,/^V^ x\ (2.74)
!) См. J1. Г. ЛойцянскийиА. И. Лурье, Курс
теоретической механики, т. I, Гостехиздат, 1948, стр. 338.
66 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
В результате последовательных исключений найдем:
(П) (П-1) (1) (1) (0) (0)
х*=У\...У1лУк.,У*гх\ (2.75)
Формулы (2.75) определяют перемещение тела вокруг
неподвижной точки. Согласно предыдущему это перемещение
вновь будет вращением вокруг некоторой оси. Следовательно,
мы можем написать:
(п) (п) (0)
х^^у^х\ (2.76а)
где
(п) (П-1) (2) (1) (0)
V*i = V^ .. . V?* Vfj-V?,. (2.76b)
На основании сказанного можно утверждать, что
вращения твердого тела вокруг неподвижной точки образуют
группу.
Последнее утверждение можно считать особой
формулировкой теоремы Эйлера-Даламбера.
Из формулы (2.76Ь) видно, что результирующее
вращение не будет суммой составляющих, а представляет собой
свернутое произведение.
В заключение рассмотрим бесконечно малые вращения.
Пусть
(р) (р)
V% = $ + *%. (2.77)
(р)а
Здесь 8Г>— символ Кронекера, a>.f,— малая величина первого
порядка.
Тогда
(п) (П-1) ^ (П-2) (1) (0)
v*t = (8f + «/>.) (8'х + оЛх) ... (b] + со*;) Щ + <<)
или, пренебрегая малыми высших порядков:
(п) п-Цр)
i>=l
Возвращаясь к формуле (2.76а), получим:
(п) . (0) (w) (0)
д^ в ^ _ ^ = ш^ ^ (2.79а)
§ 33] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 67
где
(п) п-\{р)
<*й = 2 °Ъ- (2.79Ь)
Здесь оператор результирующего вращения, определяющий
смещения точек тела, равен сумме операторов слагаемых
вращений. Дальнейшее исследование показывает, что
бесконечно малые вращения можно представить векторами. Это
исследование мы не будем производить.
§ 33. Криволинейные координаты в трехмерном
пространстве. При аналитическом определении тензоров мы
пользовались прямоугольными и косоугольными декартовыми
координатами. В последнем случае векторы координатного
базиса е{ по модулям отличались от единицы. Зависимость
радиуса-вектора от координат точки пространства M(xi)
имела вид
г = е{х\ (2.80)
Следовательно, в координатной декартовой системе радиус-
вектор есть линейная функция координат своего конца.
Из формулы (2.80), очевидно, вытекает соотношение
*, = д<г. (2.81)
Здесь мы ввели обозначение частных производных
*, = ■5?. (2-82)
Этим обозначением мы будем пользоваться впоследствии.
Координатные векторы е{ декартовой системы координат
постоянны. Будем называть здесь и далее координатными
линиями кривые, вдоль которых изменяется лишь одна из
трех координат. Через каждую точку пространства проходят
три координатные линии. В декартовой системе координат
координатными линиями являются прямые, параллельные осям
координат.
Векторы е{ направлены по касательным к координатным
линиям. Из равенства (2.81) видно, что вектор е{ определяет
быстроту изменения координаты х1 вдоль соответствующей
координатной линии.
Можно представить себе, что с каждой точкой
пространства М связана система векторов eit направленных по
касательным к координатным линиям, проходящим через точку.
68 основы тензорного исчисления [гл. rt
Эти векторы образуют локальный {местный)
координатный базис.
Теперь допустим, что точки пространства определены
системой произвольных параметров х{. Эти параметры будем
называть криволинейными координатами. Радиус-вектор
произвольной точки есть функция криволинейных координат:
г = г(х\ х*9 х«) = г(х*). (2.83)
Определение координатных линий не отличается от
приведенного выше. Однако теперь координатные линии не
обязательно будут прямыми.
Построим в каждой точке пространства местный
координатный базис, воспользовавшись равенствами (2.81). Конечно,
теперь векторы et не только имеют модули, отличающиеся
от единицы, но вообще являются функциями координат х*
и изменяются при переходе от одной точки пространства
к другой.
Рассмотрим формулы преобразования координатных
векторов eiy предполагая, что система координат xi подвергается
взаимно однозначному точечному преобразованию:
лг< = xi (х% х'э = х'э (*«). (2.84)
Имеем:
, дг дг дх*
или иначе
дх* дх1 дх*
3=ТТ*<- (2.85)
3 дх3
Сравнивая это соотношение с формулой (2.10а), мы видим,
что коэффициенты преобразования ос* в криволинейной
системе координат определяются так:
аА^^г. (2.86)
Аналогично получим:
дх'
Сравнивая равенство (2.87а) с формулой (2.10Ь), находим:
N = |£. (2-87b)
§ 33] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 69
Предоставляем читателю убедиться, что соотношения (2.! 1)
остаются в силе.
Сделаем общее замечание об алгебраических операциях,
производимых над тензорами, отнесенными к криволинейным
системам координат. Все операции тензорной алгебры,
рассмотренные нами выше, можно было связать с некоторой
фиксированной точкой пространства.
Действительно, эти операции не требовали сравнения
тензорных величин в двух точках пространства, даже бесконечно
близких.
Поэтому, пользуясь криволинейными координатами, мы
можем утверждать, что все свойства тензорных величин,
изученные нами ранее, сохраняются в местных координатных
базисах криволинейных систем. Местные координатные
базисы ei следует рассматривать как локальные базисы
косоугольных декартовых систем координат.
Мы должны были дать здесь определение векторов е{)
а также указать тот смысл, который имеют в криволинейных
системах координат коэффициенты прямого и обратного
преобразований. Это и было выполнено нами. Смысл et и
коэффициентов преобразования определяется равенствами(2.81),
(2.86), (2.87Ь).
Следует лишь заметить, что формула (2.21) может быть
отнесена лишь к бесконечно близким точкам, так как
криволинейные координаты xi уже не являются компонентами
радиуса-вектора.
Определяя вектор бесконечно малого смещения dr согласно
формуле (2.83), найдем:
dr^-^r dx* = eL dx\ (2.88)
(2.89)
(2.90)
Дальнейшее развитие алгебраических операций тензорного
исчисления в криволинейных координатах явилось бы
буквальным повторением изложения содержания предыдущих
страниц этой книги, Поэтому, применяя далее криволинейные
Далее
получим:
где, как и выше
rfs3 =
»
= dr
= <V
• dr =
ek =
' bik
dr
dxi
dx* dxk,
dr
' dx* '
70 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
координаты, мы будем пользоваться рассмотренными вып е
основными действиями тензорной алгебры, относя их к
местной косоугольной системе координат, образованной
векторами е{ = д{г.
Следовательно, действия тензорной алгебры в
криволинейных координатах относятся к тензорным величинам,
определенным (приложенным) в одной и той же точке
пространства, К ним относятся, в частности, приложенные
векторы.
Распространение действий тензорной алгебры на более
широкий класс тензорных величин, определенных в
криволинейных координатах, требует применения особого
аппарата параллельного перенесения, о котором идет речь
ниже (§ 37).
§ 34. Криволинейные координаты в пространстве п
измерений. В механике дискретных систем материальных
точек приходится встречаться с образами многомерной
геометрии. Поэтому ниже мы будем рассматривать операции
тензорного анализа в многомерном пространстве, не
ограничивая себя тремя измерениями, как это было принято нами
выше. Мы убедимся, что большинство операций,
производимых над тензорами в я-мерном пространстве, является
формальным обобщением тех действий, которые мы изучили в трех
измерениях. Исключения будут отмечены особо. Конечно,
занимаясь операциями тензорного анализа в пространстве п
измерений, мы постоянно будем возвращаться к конкретным
примерам в трехмерном пространстве.
Пространство п измерений определяется как
многообразие п координат (независимых параметров) х*.
Точкой М (х{) пространства называется определенная
совокупность координат х4.
Понятие о тензорах в многомерном пространстве введем
посредством определения.
Будем называть тензорами физические или
геометрические величины, характеризующиеся системами функций
координат точек пространства, если при изменении системы
координат эти функции подчиняются формулам
преобразования (2.37).
При этом коэффициенты преобразования определяются
соотношениями (2.86) и^(2.87) при расширении области
изменения индексов от 1 до п,
§34] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ П ИЗМЕРЕНИЙ 71
Эти определения позволяют рассматривать понятие тензора
как понятие внутреннее по отношению к многообразию
координат х1.
Фиксируем в пространстве точку О и назовем совокупность
двух точек: точки О и переменной точки М{х1)— радиусом-
вектором г точки М.
Чтобы определение радиуса-вектора г в многомерном
пространстве являлось непосредственным обобщением
определения радиуса-вектора в трехмерном пространстве, допустим,
что в многомерном пространстве можно ввести декартову
систему координат и в этой системе выразить контравариант-
ные компоненты радиуса-вектора равенствами
г*=^х*. (2.91)
Несколькими строками ниже мы отметим отличительное
свойство декартовой системы координат в многомерном
пространстве.
Мы можем положить в криволинейной системе координат
г = г(х\ х9, ..., х»)==г(х*). (2.837)
Согласно формулам (2.81) определим координатный базис е{
в криволинейных координатах следующими соотношениями:
et = dir (/=1, 2, ..., п). (2.81')
Очевидно,
дье< = д<ек. (2.92)
Теперь перейдем к метрическим соотношениям в
многомерном пространстве.
В трехмерном метрическом пространстве к первоначальным
понятиям принадлежат понятия о длине отрезка прямой и
угла между двумя направлениями. В многомерном пространстве
эти понятия также следует рассматривать как первоначальные
и ввести посредством определения.
Определим в прямоугольной декартовой системе координат
расстояние от начала координат равенством, являющимся
непосредственным обобщением соответствующей формулы для
трехмерного пространства:
| г |2 = (*i)2 -|- (я8)* +...-{- (*»)*. (2.93)
72 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Иными словами, в прямоугольной декартовой системе
координат в многомерном пространстве компоненты метрического
тензора определяются следующими равенствами:
gih = \ / (2-94)
Тензор gik, определенный равенствами (2.94), называется
единичным.
Из сказанного видно, что предположение о
существовании в многомерном пространстве декартовой системы
координат, естественно, влечет за собой предположение о
существовании единичного ковариантного метрического тензора.
Пространство, обладающее этим свойством, называется евклидовым.
Метрика, установленная формулами (2.94), позволяет ввести
понятие о скалярном произведении двух векторов и угла
между ними. Напомним, что в метрике (2.94) ковариантные
и контравариантные компоненты векторов совпадают. В
криволинейной системе координат координатный базис будет
определяться векторами eit а компоненты метрического
тензора— известными соотношениями
gik = erek (2.95)
(/, k= 1, 2 п).
Итак, мы замечаем, что переход к операциям в
многомерном пространстве влечет за собой применение соотношений,
ранее установленных для трехмерного пространства при
расширении области изменения индексов.
Отметим другие общие черты трехмерного и многомерного
пространств и различия между ними.
Анализ основных положений тензорной алгебры в
трехмерном пространстве приводит к выводу, что предположение
о трехмерности пространства влечет за собой постулирование
о наличии в этом пространстве лишь трех независимых векторов,
из которых мы построили координатный базис е{. Все
остальные векторы линейно выражаются через eit что и выражает
формула (2.1).
В л-мерном пространстве координатный базис содержит п
линейно независимых векторов е{. Следовательно,
равенство (2.1) сохраняется, но «немые» индексы могут принимать
рее значения от 1 до п,
§ 34] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИРАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ П ИЗМЕРЕНИЙ 73
К этому формальному обобщению и сводится
распространение большинства рассмотренных нами операций тензорного
исчисления на многомерное пространство. Исключение
составляют лишь те операции, соотношения и пр., где применяется
циклическая перестановка трех индексов. В частности,
векторное произведение не существует как вектор в многомерном
пространстве. s
В многомерном пространстве векторное произведение
заменяется антисимметричным тензором согласно § 23.
Определение векторов взаимного координатного базиса
по формулам (2.5) в я-мерном пространстве осуществить
нельзя. Введем эти векторы иным путем.
Формула (2.2) сохраняется в я-мерном пространстве.
Точно так же сохраняется определение ковариантных
компонент метрического тензора и, следовательно,
соотношения (2.23), (2.24) и (2.27).
Итак, имеем:
а = ejaJ = g^ejaa.
Следовательно, вновь находим:
а = е>аа, (2.б7)
где
e* = gj«ej. (2.96)
Применяя теоремы об определителях, можно доказать, что
существует равенство
■ **-^^* = ^{0 {лфку (2.97)
Отсюда видно, что сохраняется соотношение (2.7).
Введение векторов взаимного координатного базиса
формально позволяет распространить основные действия
тензорной алгебры, за указанными исключениями, на пространство п
измерений.
Сделаем еще один шаг на пути обобщений.
Допустим, что в я-мерном пространстве нельзя ввести
евклидову метрику (2.94). Примером такого пространства
является криволинейная поверхность, отличающаяся от
цилиндрической (я = 2). В этом случае нельзя ввести декар-
тову систему координат и пользоваться понятием о радиусе-
векторе,
74 OCFOBbI ТЕЬЗОРЕОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Возникшее затруднение можно преодолеть, если
представить себе в этом случае я-мерное пространство с
неевклидовой метрикой как подпространство в некотором пространстве
Евклида с числом измерений т > я, или иначе, как
гиперповерхность в этом объемлющем евклидовом пространстве.
Так мы и будем предполагать в дальнейшем. При этом все
основные заключения, сделанные в настоящем параграфе,
остаются в силе, так как в объемлющем евклидовом
пространстве можно ввести декартовы координаты,
соответственную им метрику и радиус-вектор как функцию точки
гиперповерхности. Ниже мы рассматриваем операции в
n-мерном пространстве. Если необходимость заставит ограничиться
трехмерным пространством, об этом будет сделана
специальная оговорка.
Наконец, отметим, что количество компонент тензора
ранга г в я-мерном пространстве определяется следующей
формулой:
N=n' (2.98)
(например, в четырехмерном пространстве тензор второго ранга
имеет 16 компонент).
Действительно, компоненты тензора г-го ранга имеют г
индексов. Каждый из них независимо от остальных получает п
значений. Фиксируя г— 1 индекс и придавая оставшемуся индексу
всевозможные значения, получим п величин с неопределенным
г—1 индексом. Фиксируя в каждой из этих величин г — 2
индекса и изменяя оставшийся, получим п2 величин с г — 2
неопределенными индексами. Продолжая этот процесс далее,
придем к формуле (2.98).
В. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 35. Абсолютный дифференциал вектора. Будем
рассматривать переменные тензоры, предполагая, что их
компоненты являются функциями скалярного аргумента. Допустим
далее, что тензоры связаны с переменной точкой
пространства, арифметизированного системой криволинейных
координат.
Тензоры нулевого ранга (абсолютные скаляры) не требуют
специального изучения, так как их свойства рассматриваются
в общих курсах математического анализа,
§ 35] АБСОЛЮТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОРА 75
Рассмотрим векторы — тензоры первого ранга. Имеем:
а = ег а*.
Предполагая, что изменяются компоненты вектора а1 и
точка его приложения, найдем дифференциал da:
da = e{dal -j- aidei.
На основании соотношений (2.7) и (2.97) найдем:
da • eJ = (day = daJ~\- а1еэ • de{. (2.99)
Величины (da)J называются компонентами абсолютного
дифференциала вектора а.
Преобразуем выражение (2.99). Имеем на основании (2.81'):
eJ . de{ = eJ . ^kdx* = el • , ff hdx*.
1 dxk дхг дх*
Введем обозначение
Величины Yik называются символами Кристоффеля второго
рода.
Таким образом, равенство (2.99) приобретет вид:
(da)' = da* -j- Г^д'лЛ (2.101)
Теперь рассмотрим ковариантный вектор а:
а = е*а{.
Как и выше, найдем:
da = eidai -{- aidei.
Следовательно,
(da)j = da j + aty -de*. (2.102)
Воспользовавшись соотношениями (2.97), получим:
ej. de{ = — e{ • dej
или, как и выше:
erdei = — Tjkd^.
Равенство (2.101) приобретет такой вид:
(da)j = Ai, — Т}ка4 dxk< (2.103)
76 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Формулы (2.101) и (2.103) определяют контравариантные и
ковариантные компоненты абсолютного дифференциала
вектора а.
Покажем, что символы Кристоффеля выражаются через
компоненты метрического тензора. Воспользуемся
равенствами (2.96). На основании формул (2.100) имеем:
N. _ р>£ . °"Г
И* — & С* dxi дхи •
Введем обозначение
е« ' дх^дх* ~~е* ' дхЪ~~1*' ik'
Таким образом,
Г« == g" Гв1 ik.
Отсюда вытекает обратная зависимость
IV/fc^ gafiik-
(2.104)
(2.105)
(2.106а)
(2.106Ь)
Величины Vaik называются символами Кристоффеля
первого рода.
Рассмотрим выражения символов Кристоффеля первого
рода. Имеем на основании (2.92):
L*,ik e« дхк ** дхг •
Следовательно,
г __ 1 (р . дег , дек\__
= ~2 [Их* (*« ' е<) + ~дх1 (е* * ек) — ег ' -^ — <*к ' J^ J = •
На основании формулы (2.95) получим:
Г — 1 ( d£°i I dggfc ^^Л /О 1П7Ч
Формулы (2.106) и (2.107) позволяют определять символы
Кристоффеля, если задана метрика пространства,
§ 36] АБСОЛЮТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНТОВ 77
Рассмотрим формулы преобразования символов Кристоф-
феля первого рода. Представляя величины Га> ik в
следующей форме:
г =J^L д2г
найдем после элементарных вычислений:
г' —Г l^L^L^LjLo- dxl д*х* (0 \с\ял
1 a.,ik — J- X, pv дх,л дх,ъ дх,к ~Г £Хи дх,а дхНЬхгЬ • \*~ ^О)
Формула (2.108) показывает, что символы Кристоффеля
первого рода не являются тензорными величинами.
Это заключение легко распространяется и на символы
Кристоффеля второго рода. Отсюда видно также, что
дифференциалы ковариантных и контравариантных компонент
вектора не имеют тензорных свойств.
§ 36. Абсолютные дифференциалы тензоров высших
рангов. Рассмотрим теперь абсолютный дифференциал
тензора произвольного ранга и строения.
Достаточно найти абсолютный дифференциал смешанного
тензора третьего ранга, чтобы установить общий закон
составления выражений этого рода для тензора любого ранга и
с произвольным расположением индексов.
Рассмотрим переменный тензор f[jk и произвольные
переменные векторы ait b3 и с . Составим скаляр
о^Т^а^с*.
Найдем дифференциал о. Имеем:
do = aibjckdT?jk + T%bjckdai + tjka/db> + tjka^dck.
Выразим da(, db3 и dc через компоненты абсолютных
дифференциалов векторов а, Ь и с на основании формул (2.101)
и (2.103). Найдем:
do = a{b3ckdT\ik + Т\&Ь*с* [{da)i + Г Ъаа dx\ +
+ T\ka/ [(db)j - Tib" dx°\ + rjkaibj [{dcf - T^dx9].
Производя далее очевидную замену немых индексов в
членах, содержащих символы Кристоффеля второго рода, найдем:
do = T\^ck (da)i + T]jk a/ (db)j + 7\W (dcf +
+ [dT% + TUrmjk dx* - V)J\k dx° - TU'.j, dx°] a(bJc\
^8 OCEOBbt ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [гЛ. U
Рассматривая полученное равенство, замечаем, что его
левая часть и первые три члена в правой части — скаляры.
Следовательно, и последний член в правой части будет
скаляром. Применяя второе аналитическое определение тензоров,
приведенное в § 29, заключаем, что выражения, стоящие
в квадратных скобках, являются компонентами некоторого
смешанного тензора третьего ранга. Этот тензор называется
абсолютным дифференциалом тензора Т1^, Обозначим этот
тензор DTl.jh.. Итак, имеем:
DT% = dT\:k + TlT-л dx' — Y]jU- dx° - VlaT'uja dx*.
(2.109)
Нетрудно написать общую формулу, определяющую
абсолютный дифференциал тензора любого ранга и строения,
заметив, что каждому контравариантному или ковариантному
индексу соответствует в правой части равенства (2.109) член
с символом Кристоффеля второго рода *). Контравариантным
индексам соответствуют члены этого вида со знаком плюс,
а ковариантным — со знаком минус.
Следовательно,
+ ... — Г£г!*;г...tf*a-njf ;;:.Ж- .. • (2.1 Ю)
§ 37. Параллельный перенос тецрора, отнесенного
к криволинейным координатам. Равенства (2.110)
позволяют заметить, что изменение тензорных величин,
определенных в некоторой криволинейной системе координат, можно
представить как сумму двух слагаемых, имеющих различный
смысл.
Слагаемые dT\kayi\ee зависят от изменения тензора
вследствие его внутренних свойств. Это изменение относительно
местной системы координат можно назвать относительным.
Члены, содержащие символы Кристоффеля второго рода,
зависят от изменения точки определения тензора. Если
положить dx° = 09 т. е. предположить, что точка определения
тензора не изменяется, то эти члены исчезнут. Члены,
содержащие символы Кристоффеля второго рода, определяют
[) Такой член фактически является суммой.
§ 37] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕПОЙ ТЕНОРА 79
«переносное» изменение тензора, если употребить здесь
кинематический термин.
Рассмотрим понятие о «параллельном переносе»
тензорных величин в евклидовом и неевклидовом пространствах п
измерений.
При параллельном переносе некоторого вектора в
трехмерном евклидовом пространстве, при условии сохранения
без изменения его модуля, абсолютный дифференциал
вектора равен нулю:
{day = О,
так как вектор, не изменяющий своего модуля и
направления, постоянен.
Примем это как исходный пункт для расширенного
определения параллельного переноса тензоров любого ранга и
строения в произвольной системе координат и, более того, —
в многомерном пространстве, которое может отличаться от
пространства Евклида.
Представим себе сначала, что вектор а задан своими
компонентами а1 и ari в двух смежных точках М(хЗ) и
М'(хэ-\- dxi). Мы будем говорить, что величины а* и а!*
определяют постоянный вектор, если между ними
существует соотношение
a —a =aa = — lua dx , (2.И la)
или иначе
8а' + Ги*хЛе* = 0. (2. И lb)
Условия (2. И la) и (2. И lb) обеспечивают обращение
в нуль абсолютного дифференциала вектора а,
соответствующего переходу из местной системы координат в точке М
в систему координат в точке М'.
Аналогично для вектора, заданного ковариантными
компонентами, найдем:
bai — T)kaidxk = 0. (2.И2)
Можно убедиться непосредственным вычислением, что
при обобщенном параллельном переносе, определенном
формулами (2.11 lb) и (2.112), сохраняется скалярное
произведение векторов а и 6, т. е. соблюдается равенство
а% = а'%',
80 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. И
если
где величины Ьа1 и 8^ удовлетворяют условиям
параллельного переноса (2. И lb)—(2.112). Проведение этих вычислений
предоставляем читателю.
Сохранение скалярного произведения подтверждает, что
условия (2.111а)—(2.112) обеспечивают сохранение
модулей векторов и углов между ними при обобщенном
параллельном переносе.
Аналогично условиям (2.111а)—(2.112) составим
зависимости, определяющие условия равенства тензора 7\^Y.'..
в смежных точках М и М'. Эти условия можно получить,
приравнивая компоненты абсолютного дифференциала тензора
Tl.k.':Y... нулю. На основании равенства (2.110) найдем:
37f;;;..+T*„r*:y,... dx"+тн„т%\ .. rf*°+
+ ... -T%Tm:ay..,dx°--TlTik.;■;•...dx°-... =0. (2.113)
Мы не будем рассматривать различные геометрические
интерпретации обобщенного параллельного переноса,
направляя читателей к специальной литературе х).
В заключение докажем теорему Риччи: абсолютный
дифференциал ковариантного метрического тензора равен
нулю. Иными словами, метрический тензор постоянен в
указанном здесь обобщенном смысле.
В самом деле, на основании (2.106Ь), (2.107) и (2.110)
имеем:
Dg.b = dg.b ~ T*g zdx3 — Г",g. dx* =
^\k &ik ij^ik kj^ia
Отметим особо равенство
-fj = r,-.*,- + lW (2Л14)
*) См., например, П. К. Р а ш е в с к и й, Риманова геометрия и
тензорный анализ, Гостехиздат, 1953.
§ 38] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ (ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ) 81
§ 38. Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля).
Найдем необходимые и достаточные условия, которым
должны удовлетворять компоненты метрического тензора gik,
чтобы метрика пространства была
евклидовой. Это равносильно вы- м' м1Г
явлению условий, обеспечивающих
существование в пространстве
декартовой системы координат с
единичным метрическим тензором, опре- м "^
деленным равенствами (2.94). 1
Рассмотрим два вектора смеще- Рис. И.
ний точки Ж: dx* и Ъх*'. Построим
систему пяти точек: Ж, Ж', М"\ Жр Ж2 (рис. И)1).
Точка Ж' определяет конец вектора смещения dx3, точка Ж"
получена в результате параллельного переноса вектора 8^
вдоль вектора dx3> точка Мх определяет конец вектора Ьх3
и, наконец, точка Ж2 получена в результате параллельного
переноса вектора dx* вдоль вектора 8дЛ
Следовательно, координаты пяти указанных точек таковы:
М(х*\ M'(xj+dx\ Ж^' + бД
М" [xj + dxj + 8л:5' + (V(k)M Ъх* dxk\,
Ж2 [xj + 8** + dx* + (г«^м dx*Sxk].
Сравнивая координаты точек М" и Ж2, замечаем, что эти
точки совпадают по крайней мере с точностью до малых
величин, имеющих более высокий порядок, чем второй.
Отмеченное обстоятельство существенно зависит от
симметричности символов Кристоффеля второго рода относительно
нижних индексов, так как только при этом изменение
порядка немых индексов в множителях вида dxabxk не
изменяет величину члена Yiitdx^bx1*. При совпадении точек Ж"
и Ж2 фигура, изображенная на рис. И, является в
трехмерном пространстве параллелограммом.
Перенесем параллельно самому себе некоторый вектор &,
приложенный в точке Ж, в точку Ж" или Ж2, перемещая
х) Для многомерного пространства этот рисунок имеет
условный характер.
Г~7-
82 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. п
его сначала вдоль ломаной ММ' М'\ а затем — вдоль
ломаной ММХМ2, и сравним результаты этой геометрической
операции. В евклидовом пространстве эти результаты
будут тождественны.
Последовательное выполнение операции параллельного
переноса укажем в приводимой таблице.
Точки
М
М'
М"
\мх
м*
Компоненты вектора
И*-0*»)* («•)****+••• |
+ (Щ,)махХ+- ■ -]№)x-<J+1l)M(*)Mdx*+.. .]Х
Мм-РШ^м****--- 1
X(«%-(rt»)jr(eSr)8x*+ ...] [<**' +(1^**8x4
Мы выписали компоненты вектора а, перенесенного в точки
М" и Л12, по различным ломаным с точностью, достаточной
для получения окончательных выражений этих компонент
в точках М" и М2, с погрешностью по крайней мере
третьего порядка малости. Отбрасывая малые третьего порядка
малости, получим следующее выражение компонент вектора а,
перенесенного параллельно самому себе в точку М"\
(«V = (Аг - (rf *)* («% <*** - < )ж («%8^ -
- &А >ж («" )ж dxx Ъх- + (Г'ч )ж (Г^)л (а«)лг «*** 8*' -
§ 38] тензор кривизны (тензор риМана-кристоффеля) 83
Аналогично найдем компоненты вектора а, перенесенного
в точку Ж2:
И*, = Илг - (Чи )м («% 8** - i% )ж Wm dx" -
- (Щх («%8^ dx>+арж (ем* («% s** dx- -
Найдем теперь компоненты вектора
(*«y = (*V —Иль-
Произведя вычитание и очевидное изменение в
обозначениях «немых» индексов, найдем:
(Да)' = (д,Г^ - <?ХГ>, + Г? Д- ГДО* (^ )л «**>> 8*. (2.115а)
Заметив, что выражение в первых скобках
антисимметрично относительно индексов X и v, представим найденную
нами формулу в ином виде:
(Да/ = (д д£ - дхТ^ + ВД*> - ВДх)мХ
ч/ dx* bx^—dx* Ъх* , 11Ч rrt 1 , сич
X 2 (й %' (2.115b)
Рассмотрим полученные равенства. На основании § 29
можно заключить, что выражение в первых по порядку
круглых скобках правых частей их представляет собой
компоненты некоторого тензора четвертого ранга *). Этот тензор
называется тензором кривизны пространства, или
тензором Римана-Кристоффеля, Причина возникновения первого
термина выяснится ниже.
Введем для тензора Римана-Кристоффеля обозначение
Ru.;{ - дJU - d}Vi + ИД1*, — ВДх. (2,116)
Множители
dSx" = 1 (</л;х олг' — dx" 8л:х)
являются компонентами некоторого антисимметричного
тензора второго ранга. В трехмерном пространстве величины
2]/"g*d5b определяют площадь параллелограмма ММ*м'>Мг
1) Для доказательства этого утверждения достаточно умножить
Да)3 на произвольный вектор Cj и произвести свертывание.
§4 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. tt
(см. §§ 15 и 23). В многомерном пространстве величины
2|/g"dSXv определяют в обобщенном смысле площадь
фигуры мм/м1м1 г).
Формула (2.115) приобретает вид
(Да)5' = (/&;,#* ASb (a»)M. (2.117)
При параллельном переносе вектора в евклидовом
пространстве (Да)3 = 0. Действительно, в евклидовом
.пространстве существует декартова система координат с единичным
метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоф-
феля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты
тензора Римана-Кристоффеля.
Но тензор, равный нулю в одной системе координат,
равен нулю во всех остальных системах (§ 18).
Итак, необходимым условием существования евклидовой
метрики пространства является обращение в нуль
тензора Римана-Кристоффеля.
Это условие также достаточно. На доказательстве
последнего утверждения мы не останавливаемся, направляя читателя
к специальной литературе1).
В неевклидовом пространстве тензор Римана-Кристоффеля
не равен нулю. Примером такого пространства является
криволинейная поверхность, отличающаяся от
цилиндрической.
Простейшим примером евклидова пространства двух
измерений будет плоскость. Так как основным отличием
между поверхностью и плоскостью является кривизна
поверхности, связанная с тензором Римана-Кристоффеля, то Этот
тензор называется также тензором кривизны.
§ 39. Простейшие свойства тензора кривизны.
Заметим прежде всего, что тензор кривизны антисимметричен
относительно индексов v и X. Это свойство непосредственно
видно из формулы (2.116).
Рассмотрим ковариантный тензор кривизны
*) См. П. К. Р а ш е в с к и й, Риманова геометрия и тензорный
анализ, Гостехиздат, 1953.
§ 39] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ 85
Преобразуем последнее выражение. На основании формулы
(2.114) найдем:
Далее
Следовательно,
S4/ (д Д + ВД,) - дЛ> - ВД-. „.
Произведя затем альтернирование по индексам X и v и
воспользовавшись формулами (2,107), получим:
р — l ( d2g)* I d2^V д2&\>- д2&« \
Н |ха — 2 ^ ^^ + дхХдхЛ дх,дх« dxxdxV. )
-Г^Г;>а, + Г^Г,-ах. (2.118)
Из формулы (2.118) видно, что ковариантный тензор
кривизны антисимметричен относительно индексов Ъ и jxa:
AXv, jxa = — AvX, (xat9 AXv, jxa =: /?Xv, ap (2.119)
Тензор кривизны симметричен относительно пар индексов
#х^« = /?^,ь. (2.120)
Возвратимся к смешанному тензору кривизны. Произведя
циклические перестановки ковариантных индексов и складывая
результаты, получим тождество Риччи
/?x;^ + ^,x{ + ^x,;f = 0. (2.121)
Это тождество можно проверить, воспользовавшись
равенством (2.116).
Свертывая тензор кривизны, найдем:
R^ = Яь. ;Х = ГХ#Н Р-«- (2-122)
На основании равенства (2.120) заключаем, что
R^=R^ (2.123а)
т. е. свернутый тензор кривизны симметричен 1).
х) Свернутый тензор кривизны иногда называют тензором
Рицки или тензором Эйнштейна,
86 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Найдем по формуле (2.61) линейный инвариант тензора
кривизны. Получим:
R=;g^, (2.123b)
Этот инвариант находит применение в механике сплошной
среды.
Наконец, заметим, что, принимая во внимание условия
(2.119) и (2.120), можно найти количество существенно
различных компонент тензора кривизны; оно определяется
формулой
М=Щ=^1, (2.1,24)
где п — число измерений пространства.
При п = 3 (в трехмерном пространстве) /V=6.
§ 40. Тензорное поле. Тензорным полем называется
некоторая область изменения координат xi, если каждой
точке М(х*) этой области можно поставить в однозначное
соответствие значения компонент тензора.
Как пример тензорных полей можно привести
потенциальные силовые поля. Их можно рассматривать как поля тензоров
нулевого ранга — силовой функции, потенциальной энергии
и как поля тензоров первого ранга — векторов сил.
В предыдущем изложении мы встретились с тензором
второго ранга — метрическим тензором, обладающим
компонентами, являющимися функциями координат точек
пространства. Пространство, арифметизированное координатами xi
с определенной метрикой, есть поле метрического тензора.
Очевидно, это же пространство будет полем тензора
кривизны и свернутого тензора кривизны.
Понятие о тензорных полях постоянно встречается в
механике сплошных сред.
Как известно, в механике континуума применяются два
способа изучения движения сплошных сред: способ Эйлера
и способ Лагранжа.
Понятие о тензорных полях соответствует способу Эйлера.
Координаты хз, которыми мы здесь пользуемся, — это
переменные Эйлера. В тех случаях, когда будем пользоваться
переменными Лагранжа, об этом будет сделана специальная
оговорка.
Перейдем к изучению операций тензорного анализа,
производимых над тензорами, образующими поля,
§ 41] КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 87
§ 41. Ковариантная производная. Рассмотрим сначала
поле тензора первого ранга — вектора. Возвратимся к
равенству (2.101).
Так как компоненты вектора являются функциями
координат точки поля, то можно положить:
daj = dka?dxk.
Следовательно,
(da)j ===(dkaj + T{ka)dxk.
Рассматривая это равенство, мы приходим к заключению,
что выражения в круглых скобках будут компонентами
некоторого смешанного тензора второго ранга. Для
доказательства этого утверждения достаточно построить скаляр
где Cj—компоненты произвольного вектора с, и применить
выводы § 29.
Рассмотрим тензор
Vkaj = dkaj-\-YLa\ (2.125)
Этот тензор называется ковариантной или абсолютной
производной вектора а.
Аналогично можно построить ковариантную производную
от вектора а, определенного своими ковариантными
компонентами. Воспользовавшись равенством (2.103), найдем
аналогично предыдущему:
^ = дк^ — 1%а{. (2.126)
Точно так же можно построить ковариантную
производную от тензора произвольного ранга г. Ранг ковариантной
производной будет на единицу выше ранга
дифференцируемого тензора.
Воспользовавшись равенством (2.110), получим:
ve7^;;:.. = d.7^
... — г;.г!*й:.. —г?Л;:..—... (2.127)
Укажем некоторые свойства ковариантных производных.
а) Производная от суммы тензоров равна сумме
производных. Это утверждение непосредственно вытекает из
формулы (2.127),
88 основы тензорного исчисления [гл. и
б) Правило дифференцирования произведения, известное
из основ математического анализа, остается справедливым
и для ковариантного дифференцирования.
При доказательстве этого свойства ограничимся
рассмотрением мультипликативного тензора второго ранга
М*к = а*Ьк.
Имеем:
VX* = V0a\ = Ькд,а4 + а*д,Ьк + Tia\ - Ц,я Д.
Отсюда находим:
V,a% = Ьк{д/ + lV) + a«(dA-r*A)=**Vee« + «*VA-
в) На основании теоремы Риччи (§ 37) ковариантная
производная метрического тензора gik равна нулю. Поэтому при
ковариантном дифференцировании тензор gik надо
рассматривать как постоянный.
Докажем, что ковариантная производная от контравари-
антного метрического тензора равна нулю.
Рассмотрим тензор третьего ранга
raik = vQgik.
Вычисляя ковариантные компоненты этого тензора, получим:
т.?, = gi^uj;ik = v,?,^*^* = v9gfek4 = v0^ = о.
Отсюда следует, что
Ve£** = 0.
Здесь мы применили соотношения (2,97).
г) Наконец, докажем, что при повторном ковариантном
дифференцировании результат зависит от последовательности
действий дифференцирования. Рассмотрим вторую
альтернированную производную вектора а:
Произведя вычисления, найдем:
+г/. (дки*+VI? ир) - Гы (ду + г4Д
§ 42] ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 89
откуда
VnV*]!*' - (d{TL - dkit+n«ri9 - П Л>* =
= #*UV- (2.128)
В евклидовом пространстве тензор Ru,*3. равен нулю и
результат повторного дифференцирования не зависит от
последовательности действий дифференцирования.
§ 42. Градиент скалярной функции. Из определения
ковариантной производной некоторого тензора согласно
формуле (2.127). видно, что ковариантная производная тензора
нулевого ранга — скаляра совпадает с частной производной:
V<? = d<?. (2.129а)
Частные производные д{о определяют ковариантные
компоненты тензора первого ранга, т. е. вектора. Этот вектор
называется градиентом скалярной функции о. Итак,
(grad <р),: = дд. (2.129b)
Формулы (2.129b) определяют градиент функции <р в
n-мерном пространстве в криволинейных координатах.
Предположим, что в пространстве задана кривая
xi = xt(s)y (2.130)
где 5 — дуговая координата точки кривой, отсчитываемая
от фиксированной точки на кривой в определенном
положительном направлении. Контравариантные компоненты орта т
касательной к этой кривой будут следующие:
ds
Найдем проекцию grad ср на направление орта т:
(g^-x.gnul*-*^* (2.132)
Здесь -j- — производная скаляра <р по направлению орта *:.
Теперь можно указать геометрический смысл вектора
grad<p. На основании равенства (2.132) видно, что grade?
характеризует наибольшую быстроту изменения скалярной
функции ср и направлен в сторону этого быстрейшего
изменения,
(2.131)
90 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. II
Действительно, предполагая, что т совпадает по
направлению с gradcp, мы, очевидно, получим согласно формуле
(2.132) max №\.
Можно и иначе охарактеризовать направление gradcp.
Для этого введем понятие о поверхностях уровня функции <р.
Поверхностью уровня называется геометрическое место
точек пространства, в которых о принимает одинаковые
значения. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид:
©(**) = £ • (2.133)
Очевидно, grad о направлен по нормали к поверхности
уровня. Это можно установить, заметив, что производная
-г5-, взятая по направлению, касательному к поверхности
уровня, равна нулю.
§ 43. Расхождение и вихрь вектора. Ковариантная
производная контравариантного вектора является смешанным
тензором второго ранга. Составим линейный инвариант этого
тензора:
/i = V.
Полученная скалярная величина называется расхождением
или дивергенцией вектора а. Она определяется согласно
сказанному равенством
diva = V4a« = ^fl< + r'«fle. (2.134)
Преобразуем сумму Т\а. Имеем:
1 га == S *■ у, га == "g" & ^j> г* \ *■ г, j*)-
Применим теперь формулы (2.27) и (2.114):
Г<. 1 tetai 1 <£ (2Л35а)
ш 2g dg{j дх« 2g дх« \ . j
Отсюда получим:
Делая подстановку выражения (2.135Ь) в равенство (2.134)
И заменяя немые индексы а на /, получим:
diva=: I dtiVga*), . (2.136а)
§ 44] ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 91
В трехмерном пространстве и в декартовой системе
координат равенство (2.136а) можно представить иначе:
Выполняя альтернирование над тензором V^, найдем:
^л = V* —V*a<. (2.137а)
Этот антисимметричный тензор второго ранга назовем вихрем
вектора а1).
Величины Qik можно представить иначе:
Qik = diau — Г5*я« — (дка{ — Tikaa) = дгак — дка{. (2.137Ь)
Отсюда видно, что компоненты вихря не зависят от метрики
пространства.
В трехмерном пространстве тензор Qik эквивалентен
вектору, имеющему согласно (2.42) контравариантные
компоненты :
Q1 = у= (d2as — д&2), Q2 = у= (^i — дга^9
Q^ = —=(d1a2 — d2a1).
(2.138)
Этот вектор и называется обычно «вихрем» вектора а.
Мы будем обозначать вихрь вектора символом rota.
Чтобы составить предварительное представление о
механическом смысле вихря некоторого вектора, рассмотрим в
декартовой системе координат линейную скорость точки М{х?)
тела, имеющего неподвижную точку. Положив в формулах
(2.138) a = v, определив проекции скорости по формулам
(2.49а) и приравняв |/^g-=l, найдем:
Q' = 2a>,. (2.139)
Следовательно, вихрь скорости точки твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки, равен удвоенному
вектору мгновенной угловой скорости тела.
§ 44. Оператор Гамильтона. Однократное действие ко-
вариантного дифференцирования повышает ранг
дифференцируемого тензора на одну единицу, увеличивая на единицу
!) Этот термин надо понимать лишь условно.
92 основы тензорного исчисления [гл. и
количество ковариантных индексов. Такое повышение ранга
имеет место при умножении тензора на ковариантный вектор.
Поэтому иногда рассматривают оператор ковариантного
дифференцирования Vt как ковариантные компоненты
некоторого вектора V. Этот символический вектор называется
оператором Гамильтона «набла».
Операции, приводящие к градиенту скалярной функции,
расхождению и вихрю вектора, можно рассматривать как
результаты «умножений» оператора Гамильтона на скаляр и вектор.
Имеют место следующие формулы:
grad <? = Vcp, (2.140a)
diva = V.a, (2.140b)
rota = VX*. (2.140c)
Последнее равенство относится лишь к трехмерному
пространству.
Существенно заметить, что операция символического
умножения имеет определенный смысл, если вектор а стоит справа
от оператора Гамильтона. Если же поставить вектор слева,
то мы получим новые дифференциальные операторы'.
(a-V) и (а XV).
В трехмерном пространстве и системе координат Декарта
эти операторы имеют следующий состав:
(«•?) = *, ^г+в^ + а»^, <2Л41а>
(вХ^ = в,^-«,^. (2.141Ь)
Здесь /, k, j составляют циклическую перестановку чисел
1, 2, 3.
Обозначение операций, производимых над некоторым
вектором, введенными здесь дифференциальными операторами
сводится к символическому умножению вектора на эти
операторы, причем знак оператора надо ставить слева. Например,
[(«•VWi^i^ + ^ + ft»^- (2-142)
Аналогично можно рассмотреть производные и операторы
(Wi$e высокого порядка,
§ 45) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 93
Мы рассмотрим лишь один из операторов второго
порядка, который встречается в механике сплошной среды,
а именно:
rot rot a = V X (V X а).
Применяя формулу (1.13), получим:
rot rot a = V (V • а) — (V . V) а.
Оператор V • V имеет в системе декартовых координат и
трехмерном пространстве такой вид:
д2 д2 д3
Этот оператор называется, оператором Лапласа.
Итак,
rot rot a = grad div a — V2a. (2.144)
Оператор Лапласа в произвольной криволинейной системе
координат определяется равенством
V2 = g'*V,Vfc. (2.145)
Отметим тождества, которые можно непосредственно
проверить:
rotgrad<?==0, div rot a sO, (2.146)
§ 45. Интегральные теоремы векторного исчисления.
Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых свойств
векторов в трехмерном евклидовом пространстве.
Рассмотрим предварительно интеграл
-ш
•&dx*dx*djflt
(t) '
где ср — скалярная функция прямоугольных декартовых
координат xi. Интеграл распространяется на объем V некоторого
тела.
Произведем интегрирование в направлении оси х1.
Предварительно заметим, что прямая, параллельная оси х1,
может пересекать поверхность тела в нескольких точках.
Обозначим точки входа этой прямой внутрь тела через Aj,
а точки выхода через Bj. Тогда получим:
J^\ f[2?B.-2?A.]<**2^.
§4 ОСНОВЫ ^ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [гЛ. И
Интеграл распространяется по площади S; — проекции тела
на плоскость х-х3.
Элемент площади ±dx-dx? можно рассматривать как
проекцию элемента dS поверхности тела на плоскость х2хъ.
В точках входа прямой, параллельной оси х1, внутрь тела
dS cos (я, х1) = — dx2 dx*,
а в точках выхода
dS cos (n, jc1) == я?лг'2 йл:3,
где п — орт внешней нормали к поверхности тела. Отсюда
'== [ J J£Ldxldx*dx* = [ [<р cos(nTxl)dS. (2.147)
(У) * W
Двойной интеграл распространяется на поверхность тела.
Заметив, что -—^ — проекции градиента функции ср на
оси декартовой системы координат, составим равенства (2.147)
для трех проекций gradcp на оси х1, х2> хъ, умножим каждое
равенство на орт соответственной оси и сложим. Тогда
получим следующее инвариантное, т. е. независимое от
выбора системы координат, равенство
j j j grad <p dV= j fnvdS. (2.148)
(V) (S)
Рассмотрим точку М в скалярном поле функции <?•
Охватим эту точку замкнутой поверхностью Sm и допустим, что
объем Vm части пространства внутри поверхности Sm
достаточно мал. Тогда, применяя интегральную теорему о среднем,
найдем:
(grad <р)м • Vm = Г Г я? dS -j- s VM-
Здесь (gradcp)jtf — градиент функции ср в точке Af, е
стремится к нулю одновременно с Vm>
§ 45] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 95
Таким образом, найдем:
Цщаз
feradc?)i¥= lim -^ . (2.149)
Это определение градиента не зависит от выбора
координатной системы.
Возвратимся к формуле (2.147). Положим:
cpJL av
Тогда найдем:
| \ \d^dxldx^dx^=- \ [осовел, x^dS.
&) Ь '(8)
Аналогичные зависимости можно получить для ^-| и ^-|.
Сложив почленно эти равенства, получим:
т
г С — — —
= [^cos^n, х1)-\-а2со$(пу л:2) -f- я3 cos (#> *3)]a?S,
(2.150а)
ИЛИ
f f j d\vadV= f j nadS. (2.150b)
(V) (S)
Равенства (2.150а) и (2.150b) называются формулами
Остроградского.
Аналогично выводу равенства (2.149) из формулы (2.148)
из равенства (2.150Ь) найдем:
Ия-
dS
(diva)M= lim (^-T7 . (2.151)
Мы получили определение расхождения вектора а,
независимое от выбора координатной системы.
96 6СН0ЙЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. И
Интеграл
Г Г п • a dS
(S)
называется потоком вектора а через поверхность S.
Этот интеграл встречается в теоретической гидромеханике.
Если положить a = v, где v—скорость течения жидкости,
то интеграл
Jn = j j nvdS (2.152)
(S)
определит объем жидкости, вытекающей через поверхность 5
за единицу времени.
Перейдем к рассмотрению rota. На основании формулы
(2.147) найдем:
(У)
Отсюда
J f J Sdxl dx*dx*e 1\a*cos (/^*2) dSf
(V) (S)"
J С f|^dA*d*ad*»= [ [a2cos(/C*3)tfS.
(Г)
= [tf3cos(fl, л;2)— 02cos(fl, x3)] tfS.
(S)
Аналогично можно составить еще два соотношения
посредством циклической перестановки индексов. Эти три
соотношения эквивалентны векторному равенству
j f j rot adV = j j n X a dS. (2.153)
(V) (S)
§ 45] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 97
Отсюда, как и выше, можно получить равенство
f fnxa
dS
(rota)jr= Hm {<S) . (2.154)
VM->0 VM
Это определение вихря вектора а не зависит от выбора
координатной системы.
Предположим, что объем Vm имеет вид цилиндра,
охватывающего точку М. Пусть пх — орт нормали к одному из
оснований цилиндра, нормальных к его образующим.
Пользуясь выражением (2.154), найдем, опуская индекс М:
Г f/*!•/* XadS
n.L • rota = lim — _ .
7->o v
Ho
n1-(nXa) = (ifA Xn)>a.
Интеграл I J сводится лишь к части, распространенной по
(S)
боковой поверхности цилиндра. Далее находим:
пхХп = х,
где т — орт касательной к контуру основания цилиндра.
Пусть высота цилиндра будет равна h. Тогда
dS — hda, V—h-S,
где da — элемент контура основания цилиндра, 5 — площадь
основания. Далее
Г Г пх • (п X a) d$ = А ф х • a do,
(в)
где в правой части интегрирование производится по
замкнутому контуру основания Цилиндра, и
ф т • a do
п{ - rota= lim J—^ . (2.155)
98 ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ь
Интеграл ф х • a d? называется циркуляцией вектора а.
Допустим, что в поле вектора а дан замкнутый контур С
и через этот контур переброшена криволинейная незамкнутая
поверхность 5 (рис. 12). Разобьем поверхность 5 на
элементы SA., ограниченные контурами зл.. Очевидно,
циркуляция вектора а по контуру С равна сумме циркуляции по
контурам элементов 5А., так, как криволинейные внутренние
границы смежных элементов проходятся дважды в прямо
противоположных направлен
ниях, Имеем:
ф х • a dz = 2 Г т • a *fo.
Применим теперь формулу
(2.155). Найдем:
Рис. 12. J х • а Л = я • rot а 5А. + *kSk.
Здесь п = п[ — орт нормали во внутренней точке элемента Sk\
fife стремится к нулю, если Sk стремится к нулю. Далее
находим:
р т т
ф х • a dz = 2 п • rot а5Л. -I- 2 s A-
J fc=l ' fc = l
Перейдем к пределу, увеличивая количество т элементов Sk
до бесконечности, а каждый элемент уменьшая до нуля.
Получим:
|ха^ = j jn- rotadS. (2.156)
(ff)
Это равенство называется формулой Стокса, хотя оно
является по существу следствием формулы Остроградского.
§ 46. Ортогональные криволинейные координаты. В
приложениях тензорного исчисления часто применяются
ортогональные криволинейные координаты, примерами которых
можно назвать цилиндрические и сферические координаты/
В таких системах векторы еь местного координатного базиса
ортогональны.
§ 46] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 98
В ортогональных координатах метрический тензор
удовлетворяет соотношениям
Щ (/ = *),
о {1Фк). (2Л57)
Коэффициенты
gu = И]
называются коэффициентами Ляме.
В ортогональной системе координат
sii n%
Символы Кристоффеля определяются формулами
rj L^i; Г< J_*fi<; г', = _!_*&, (2.l59b)
JJ 2*„ d*< '° 2gH dx* 2gii dxi }
(в этих формулах не следует суммировать по одинаковым
индексам!).
Символы Кристоффеля с тремя различными индексами
равны нулю.
В ортогональных координатах обычно пользуются не
контравариантными и ковариантными компонентами векторов,
а их проекциями на оси местного координатного базиса.
Единичные векторы осей местного координатного базиса
определяются так:
W K-I У in
Тогда
(0 У in
(не суммировать по Л).
(2.160)
(2.161)
100 основы тензорного исчисления [гл. и
Аналогичные формулы можно получить для тензоров
второго и более высоких рангов. Для этого достаточно
представить тензор в форме суммы мультипликативных тензоров
и применить к векторам, из которых построены
мультипликативные тензоры, формулу (2.161). Таким образом, для
тензора второго ранга получим:
Т{Ш = Г* Vtotok = 17==- <2Л62)
У gagkk
На этом мы закончим изучение основных положений
тензорного исчисления и перейдем к рассмотрению его
приложений в механике.
ГЛАВА III
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 47. Уравнения движения свободной материальной
точки в криволинейных координатах. Тензорное исчисление
позволяет находить аналитические выражения законов
механики в инвариантной форме. В частности, аппарат тензорного
анализа дает возможность составлять уравнения движения
материальной точки и систем материальных точек в
произвольно выбранной системе криволинейных координат.
Рассмотрим движение свободной материальной точки. Пусть
положение точки определяется радиусом-вектором
г = г(х\ л?, л*). (3.1)
Скорость точки выражается так:
На основании формулы (2.81) найдем:
v = eixi. (3.2)
Здесь и дальше мы обозначаем дифференцирование по
времени точкой.
Следовательно, контравариантные компоненты вектора
скорости точки v определяются по следующим формулам:
я< = х* (/= 1, 2, 3). (3.3)
Эти компоненты называются также обобщенными скоро*
стями.
102 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Рассмотрим вектор ускорения w материальной точки.
На основании равенства (2.101) имеем:
-чгУ-^+ч*
dvj i ni Л dxk
Ж'
Воспользовавшись формулами (3.3), получим:
4 dvi | -p,j i к d2xi , „j dx% dxk /n . ч
^ = -af+Wv =— + Vik——. (3.4a)
Применяя ковариантные компоненты вектора скорости,
получим согласно равенству (2.103):
dvA , ,.
Wj = ^f — ГW • (3.4b)
Чтобы получить уравнения движения материальной точки,
напомним второй закон Ньютона:
mw = F. (3.5)
Здесь F—вектор равнодействующей сил, приложенных к
материальной точке, т — масса точки.
На основании (3.5) имеем:
mwi = Fl9 ntWj = Fj. (3.6)
Следовательно, уравнения движения свободной материальной
точки можно представить в следующих формах:
m(^ + rk«V) = /9, (3.7а)
«fir-W^'V (з-7Ь)
Рассмотрим некоторые частные случаи этих уравнений.
§ 48. Цилиндрические и сферические координаты.
Рассмотрим цилиндрические координаты (рис. 13); в этих
координатах х1 = р, х2 = ср, х% == z-
Зависимости между цилиндрическими координатами и
координатами х> у, z прямоугольной декартовой системьГ
координат выражаются формулами
д: = р cos cf, ^/ = psin<p, z = z.
§ 48] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
103
Чтобы найти компоненты метрического тензора,
рассмотрим квадрат линейного элемента ds2. Найдем:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dp2 + f dv2 + dz2. (3.8a)
Сравнив это выражение с выражениями (2.89) и (2.157),
получим:
gn=H29=l, ?22 = Я==Р2, gta = H2M'=l. (3.8b)
Остальные компоненты метрического тензора равны нулю.
Из символов Кристоффеля согласно (2.159) отличаются
от нуля лишь два:
Г1*=-р, Г|1 = 11а==-1. (3.9)
Найдем контравариантные ком- ' Х1 '
ноненты вектора скорости
(обобщенные скорости). Согласно (3.3)
они равны:
^1 = р, <02 = <р, vs = z. (3,10)
Найдем проекции вектора
скорости ,на оси местного,
координатного базиса. Воспользовавшись формулами (2.161),
получим": -.
vw=ss% = '^ *(*>=%=?*• '*(*=%=*• (ЗЛ1>
Вычислим контравариантные компоненты ускорения.
Применяя равенства (3.4а) и приняв во внимание (3.9), получим:
... .. 2 • • •♦
wl =р — р<?2, ге;2 = ^ Ц-— р<>р, w* = z. (3.12а)
Р
Проекции ускорения н^ оси местного координатного бази,са
имеют вид:
W(D = W(?) = Р _ Р*2» ^(3) "=' W('f) — Р? + 2Р ?* ?8 =* *% = *•
(3.12Ь)
Таким образом, уравнения движения свободной материаль-
< пор,тючки в цилиндрических координатах таковы:
/»(р-рт8) = /?(р),',»(р$ + 2р<р)я=^ф;, m?'=,Fw. (3.13)
104 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Здесь F{,, F( v и F(z)— проекции вектора силы F на оси
местного координатного базиса.
Рассмотрим уравнения движения материальной точки в
сферической системе координат (рис. 14). Зависимости между
координатами Декарта и сферическими координатами такие:
A: = rsin^coscp» )
(3.14а)
= г sin 6 sin <p,
Mfr.nfl
У
2 = Г COS й.
Найдем ds2:
ds* = dx* -f dy* -f dz* = dr2 +
4-r2^2 + r2sin26<fo2. (3.14b)
у Из этого соотношения вытекает
g*a = H$ = r, (3.15a)
Остальные компоненты метрического тензора равны нулю.
Рис. 14.
На основании (2.159) получим:
1% = — г, Тп
1 Ti3
у I 113:
у, Гв8 = —'Sin**,
> (3.15b)
Г5з = —sin^cos^, r23==ctg^. j
Остальные символы Кристоффеля второго рода равны нулю.
Вычисляя контравариантные компоненты вектора скорости
(обобщенные скорости), получим:
v1 = г, г>-
.2-
<рэ = С5.
(3.16а)
Проекции вектора скорости на оси местного
координатного базиса определятся так:
= #ч1. *i =-71 —/-cpsin^, (3.16b)
*(D = V = ''
*<2> = *W
/"?. *>.«
:^
Переходим к вычислению ускорений.
Вычисляя контравариантные компоненты вектора
ускорений, найдем:
• * i . •. U . • .
wi _- j-—ГЦ2—ГСр2 sjn2 <^ тег2 == ^ —| rfy—sin 6 co§ <]><p2,
w
3_
» z • • • •
(3.17)
§ 49] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 105
Определив на основании формул (2.161) проекции вектора
ускорения на оси местного координатного базиса и пользуясь
равенством (3.5), получим уравнения движения материальной
точки в сферических координатах:
т (г — r<i2 — л?2 sin2 <J0 = F{r),
mr 16 -{- — rty — sin ^ cos 6<р2 J = F^,
///г sin 4* ( ?Ч~"" /"?-f 2^cpctg6J = Т7^).
(3.18)
Здесь /7(Г), Т7/^ и F(.\j)—проекции вектора силы F на оси
местного координатного базиса.
§ 49. Движение несвободной материальной точки.
Рассмотрим движение материальной точки по поверхности
/(*, у, г) = 0, (3.19)
где х, у, z—прямоугольные декартовы координаты.
Будем рассматривать поверхность (3.19) как идеальную
связь, относя силы трения, если они должны быть приняты
во внимание, к активным силам.
Арифметизируем точки поверхности (3.19) системой
координат дг<(/=1, 2). Эти координаты являются внутренними
гауссовыми координатами точек поверхности. Местный
координатный базис будет образован векторами е{ (/= 1, 2),
которые лежат в плоскости, касательной к поверхности, и
вектором £3, направленным по нормали к поверхности. Вектор ez
определим равенством
При посредстве криволинейной системы координат х1
(/=1, 2, 3) мы арифметизируем пространственную полосу,
которая образуется при движении местного координатного
базиса по поверхности (3,19) точками, принадлежащими оси хъ>
на которой отложены элементарные отрезки :±гДл;3. Модуль
| Ах"1 должен быть настолько мал, чтобы была обеспечена
однозначность арифметизации точек пространственной полосы
системой координат х* (1=1, 2, 3). В избранной нами
системе координат линейный элемент пространства определяется
формулой:
№ = gn (dx*f + 2gn dx} dx* -j- a, {doflf + (rf*»)«. (3.21)
106 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Компоненты метрического тензора gik(i, к = 1, 2) являются
функциями координат х* (/=1, 2) и д:3.
Будем рассматривать движение точки по поверхности
Тогда
^ = ^ = 0. (3.22)
Реакцию R поверхности представим равенством
Я = /?*8. (3.23)
Контравариантные компоненты реакции имеют такой вид:
#=#2 = 0, /?» = /?. (3.24)
Первые два уравнения системы (3.7а) могут быть теперь
записаны так:
-щг + (ItjWo -ж ЧГI = FK (3'25>
Здесь /, kf y = l, 2, так как члены, содержащие символы
Кристоффеля второго рода Г&3» выпадают на основании
равенства (3.22). F1 — контравариантные компоненты активных
сил, к которым отнесены и силы трения. Символы
Кристоффеля, так же как и компоненты метрического тензора, являются
функциями гауссовых координат xi (i= l, 2) точек
поверхности х^ = 0.
Чтобы определить реакцию поверхности, надо принять
во внимание третье уравнение системы (3.7а).
На основании соотношений (3.22) и (3.24) найдем:
Vl^o**** = F* + R (*■ У=1. 2). (3.26)
Значения символов Кристоффеля (Г|,)^=0 зависят от
кривизны поверхности хд = 0, по которой движется
материальная точка.
§ 50. Движение несвободной материальной точки по
инерции. Предположим, что активная сила F направлена rfo
нормали к поверхности лг3 = 0. Тогда /71 = /72 = 0, и
уравнения движения точки (3.25) приобретают следующий вид:
d-xi , /ТЛ{ ч dx^dxJ n ,Q Q7 ч
^ + (Г^)^оЖЖ-0 (3,27а)
§ 50] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ИНЕРЦИИ 107
или
w+<u>-=o*ir = 0- (3-27b>
В рассматриваемом случае говорят, что точка движется
по поверхности л:3 = 0 по инерции. Это нужно понимать
условно, так как на точку действуют силы, направленные
по нормали к поверхности.
Уравнения (3.27Ь) можно переписать в следующем виде:
Сравнение последних равенств с формулами (2.111а),
определяющими параллельное перемещение некоторого
вектора, показывает, что вектор скорости v при движении точки
по поверхности хь = 0 перемещается параллельно самому
себе в многообразии координат х{ (1= 1, 2). Но вектор v
направлен по касательной к траектории точки М.
Следовательно, траектория точки М на поверхности х6 = 0 обладает
тем свойством, что орты т касательных, проведенные к
траектории в различных точках, параллельны между собой в
обобщенном смысле, указанном в § 37.
Траекторией точки является «прямейшая» линия на
поверхности; эта кривая называется геодезической.
Уравнения (3.27а) определяют геодезическую кривую в
параметрической форме, где параметр — время t. Однако можно
избрать параметром дуговую координату s, отсчитываемую
вдоль геодезической кривой от некоторой начальной точки.
Чтобы преобразовать уравнения (3.27а) к новой
независимой переменной, заметим, что модуль вектора v
определяется по формуле:
м8=«■«<** ==(•§-)*
(напомним, что т>3 = 0).
При параллельном переносе модуль | v | остается
постоянным (§ 37). Поэтому находим:
dxl dxi ds_ dx^ . d2x* <> dx^
~W ~~diW~~~Vx~di; "dF T rfs2 "
Здесь vx — проекция скорости на касательную к траектории,
Очевидно, vx = ±\v\.
108 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
На основании полученных соотношений уравнения (3.27а)
получают следующий вид:
(/, k, j=l, 2).
Эти уравнения определяют систему геодезических кривых
на поверхности хд = 0.
Заметим, что в объемлющем трехмерном евклидовом
пространстве вектор v при движении «по инерции» не
перемещается параллельно самому себе. Это видно из
уравнения (3.26). Но модуль |г>| постоянен в объемлющем
пространстве, так как модуль вектора — абсолютный скаляр,
не зависящий от выбора координатной системы.
Приведем как пример разобранного частного случая
движения материальной точки движение точки «по инерции»
по поверхности сферы. Геодезическими на сфере будут дуги
больших кругов. Следовательно, точка, движущаяся по
инерции по поверхности сф^еры, описывает дугу большого круга.
§ 51. Уравнения движения несвободной системы
материальных точек в криволинейной системе координат.
Рассмотрим уравнения движения несвободной системы
материальных точек, обладающих массами т{. Арифметизируем
предварительно пространство декартовой системой координат
х, у, z. Затем рассмотрим систему переменных ^, которые
связаны с декартовыми координатами точек системы
зависимостями:
VmjXj = t9j-2> V^4yj = kj-v V~MjZj = kj (3-29)
t/=l, 2 я).
Переменные £А будем рассматривать как декартовы
координаты в некотором многомерном евклидовом пространстве Е$п.
В пространстве ЕЪп каждому положению материальной
системы соответствует положение некоторой точки Ж(^);
эту точку будем в дальнейшем называть изображающей.
Величины
Ущх{ = &*_2, УщУг = $*<-!. Ущ*г = & (3.30а)
подчиняются формулам преобразования тензоров и являются
компонентами контравариэнтногд вектора в многообразии
§51] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ ТОЧЕК Ю9
координат ij] этот вектор мы будем называть скоростью,
изображающей точки М, и обозначать v.
Точно так же величины
Ущъ = ё3г-2; УщУг = ki-v V~i*ih = %i (з.зоь)
определяют ускорение w изображающей точки.
Рассмотрим дифференциальные уравнения движения
свободной системы материальных точек в декартовых
координатах. Имеем:
т{х{ — Xi9 m^i = Yit т& = Z4 (i = 1, 2, ..., n).
Здесь Xit Yit Z{ — проекции равнодействующей сил Fit
приложенных к материальной точке mit на координатные оси.
Их будем рассматривать как ковариантные компоненты
векторов сил F{.
Перейдем к переменным ^-; будем обозначать
ковариантные компоненты многомерного вектора силы в системе
координат ij через Ф^-. На основании формул преобразования
системы координат (3.29), формул преобразования ковари-
антных компонент вектора (2.13а) и выражений
коэффициентов преобразования (2.86) и (2.87Ь) получим:
Фц-ъ = -±=Х,, Ф^_, = -^= Гу. Фад.=-к^.. (3.31а)
J у nij у trtj У mj
Определив отсюда Xj, Yj, Zx и воспользовавшись
равенствами (З.ЗОЬ), приведем дифференциальные уравнения
движения системы к такому виду:
5* = Ф*. (3-3 lb)
Эти уравнения определяют движение изображающей точки.
Из них видно, что массу изображающей точки надо
принять равной единице.
Предположим, что на систему наложены стационарные
идеальные геометрические связи{).
Пусть уравнения связей в параметрической форме имеют
вид:
tj = tj(x\ х* *лт)э^(*<) (3.32а)
(/=1, 2 Зл; /=1, 2 N).
*) О свойствах идеальных связей см. Г. К. Суслов,
Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946, стр. 293.
110 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ |ГЛ. Ill
Здесь N— количество степеней свободы материальной системы,
независимые параметры xi— обобщенные координаты точек
системы. Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению
г = г{х*) (£=1, 2, ..., N% (3.32b)
где г — радиус-вектор изображающей точки М.
Уравнения (3.32а) можно рассматривать как уравнения
некоторой гиперповерхности в объемлющем пространстве Ъп
измерений. Координаты хУ являются внутренними
координатами точек, принадлежащих гиперповерхности (3.32а).
Изображающая точка М движется по этой гиперповерхности.
Введем в объемлющем пространстве систему
криволинейных координат, положив согласно (2.81):
ej = djr (; = 1, 2, ..., N). (3.33а)
Векторы ej лежат в плоскости, касательной к
гиперповерхности (3.32а) в точке М.
Координатные векторы £дг+1»---> е$п направим так,
чтобы они были ортогональны к векторам ev ..., eN.
Нормируем их:
1**+11 = |**+2|=...=|**»1=1. (З.ЗЗЬ)
Не ограничивая общности, допустим также, что векторы
е$+1> •••> #зп ортогональны между собой.
Если отложить в направлении векторов ej достаточно
малые отрезки ±Ax3(j = N-\-li ..., Ъп) и затем
перемещать начало координатного базиса ev ..., еш по
поверхности (3.32а), то в пространстве, арифметизированном
координатами ^, образуется полоса, точки которой будут
определяться криволинейными координатами x*(j = 1, 2, ..., Ъп).
Отрезки ± Ах3 должны быть настолько малыми, чтобы
положения точек в образованной таким образом полосе однозначно
определялись координатами лЛ
Уравнения гиперповерхности (3.32а) в этой системе
координат имеют, очевидно, такой вид:
д*+1 = дЛ+2 = т t = хЪп = 0t (зз4)
§ 51] УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И1
Рассмотрим вектор скорости изображающей точки в
системе координат х3. Воспользовавшись равенствами (3.32Ь)
и (3.33а), найдем:
* = % = ер> (у=1, 2, ..., N). (3.35а)
Отсюда видно, что
и* = 0 (й = ЛГ+1, ...,3n). (3.35b)
Теперь составим уравнения движения системы в избранной
нами системе криволинейных координат.
Ковариантные компоненты вектора ускорения
изображающей точки определяются согласно формулам (2.103)
следующим образом:
dvj i
wj = -jr — TjkvivK
Определим ковариантные компоненты силы Ф:
*, = <!>.,,= Ф,0. (3.36)
Составим уравнения движения, заметив, что масса
изображающей точки равна единице.
Прежде всего заметим, что из выбора векторов
eN+i> ••" е*п и равенств (3.35Ь) следует:
*< = gin*11 - 0 (/ = N+ 1, .. ., Зл). (3.37)
Поэтому уравнения движения приобретают вид:
dv.
-^-Г><** = Л, (3.38а)
(;, /, к=\% 2, ..., N),
Yijkviv^ = -Xj (3.38b)
(] = N+lt ..., 3n; /, k=lt 2, ..., N).
Уравнения (3.38а) определяют закон движения
изображающей точки и, значит, закон движения системы. Уравнения
(3.38Ь) позволяют найти реакции идеальных связей.
Покажем, что уравнения (3.38а) совпадают с
уравнениями Лагранжа второго рода.
112 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. ИГ
Действительно,
Здесь
— кинетическая энергия системы. Далее
Т)кЮ&к = giaTjkVV* = Га> frtfV* =
1 /dgaj . dgak dgjk^ i dg дТ
2 V d.v* d^ dx« J 2 dxJ dx*
Следовательно,
■*Б-Б=Х> u=1'2' ■■■'N)- (3-40)
Мы получили систему дифференциальных уравнений
Лагранжа второго рода.
Так как уравнения (3.38а) инвариантны, инвариантны
также и уравнения Лагранжа второго рода.
Отметим в связи со сказанным существенное
обстоятельство.
Как видно из равенства (3.39), метрика пространства,
в котором движется изображающая тонка, определяется
выражением кинетической энергии системы.
Заметим, что известный из механики алгорифм
составления уравнений Лагранжа второго рода в свою очередь по*-
зволяет весьма просто вычислять символы Кристоффеля на
основании сопоставления уравнений (3.38а) и (3.39)х).
Из дальнейшего мы увидим, что применение уравнений
Лагранжа второго рода к вычислению символов Кристоффеля
возможно лишь для систем с интегрируемыми связями.
Остановимся вкратце на случае наличия нестационарных
связей.
1) Э. Картан, Геометрия римановых пространств, ОНТИ
1935, стр. 45.
§ 51] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ ТОЧЕК 113
Пусть уравнения нестационарных связей имеют вид:
1, = %(х\ х* xN, t) (3.40a)
(у = 1, 2, ..., 3/1).
Введем
Тогда
л341 = /. (3.40Ь)
lj = ^(x\ x\ ..., xN, xN+1) (3.40c)
(у = 1, 2, ..., 3/1).
Эти уравнения по форме не отличаются от
уравнений (3.32а). Аналогично можно определить радиус-вектор г
точки М(х\ ..., д;*+1).
Заметим далее, что
Вектор
^1=х7П1 = 1. (3.41)
направлен по касательной к траектории точки М (л;1, д:2 xN)
при фиксированных а:* (/ = 1, 2 N).
Отметим, что вектор £#+1 может линейно зависеть от
векторов elt .. .> еыг). Но в этом случае можно перейти
к новым независимым переменным х* (/=1, 2, ..., N) так,
что уравнения (3.40а) примут вид уравнений (3.32а), т. е.
мы опять возвратимся к уравнениям стационарных связей.
Действительно, пусть имеет место линейная зависимость
N
дг VI . дг
или
N
Ф = 2*4Ь <*e1' 2f .... Зя), (3.43)
где Xj — скалярные функции времени t и координат д:^.
*) Чтобы в этом убедиться, достаточно, например, рассмотреть
нестационарную геометрическую связь, осуществленную круговой
цилиндрической поверхностью, вращающейся вокруг оси симметрии.
l'H приложения тензорного исчисления к механике [гл. ш
Таким образом, функции ;А. удовлетворяют линейным
дифференциальным уравнениям с частными производными первого
порядка.
Общее решение уравнений (3.43) может быть
представлено так:
1ъ = 1к{х\ х\ ...,**) (3.44)
(4=1, 2, . . ., Зл),
где функции
** = *•(/, ЛГ1, . . ., Xh)
являются интегралами системы обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка, к решению которой
приводится интегрирование уравнений (3.43). Эти интегралы х1
и будут новыми независимыми переменными. Уравнения (3.44)
совпадают с равенствами (3.32а).
Итак, мы примем, что вектор eN,t линейно независим
от векторов £.(/=1, 2, ..., N); поэтому его можно ввести
в состав координатного базиса в объемлющем
пространстве Ъп измерений. Условия ортогональности и нормирован-
ности, введенные нами ранее для векторов £#+i, ..., е.дп,
для вектора eN+1, заменяющего eN+t, выполняться не будут.
Но для остальных векторов е$ (у = V—|-2, ..., Ъп) эти
условия сохраняются.
Найдем vN+1:
^+i=sSrif+i.^i (7=1, 2, ..., /V-f 1). (3.45)
Остальные контравариантные и ковариантные компоненты
вектора скорости равны нулю. Уравнения движения
изображающей точки, т. е. уравнения движения системы,
приобретают вид:
J—Г,'* *,** = *, (3.46а)
(; = 1, 2, ...,,Ny I, fe=l, 2, .... N, W+1),
~Г — Г*+1,7.- vtvk = XN+l (3.46b)
(t, k= 1, 2, ..., N, N-\-l),
r,jkviv" = ^Xj ' (3.46c)
<;; = jV-f2 Зи; /, fe=l, 2, ..:, Ы-\-\).
§ 52] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 11S
Уравнения (3.46а) определяют закон движения точек
системы при заданных силах. Эти уравнения, как и выше,
можно привести к форме уравнений Лагранжа второго рода.
Уравнения (3.46Ь) и (3.46с) определяют реакции
идеальных связей.
Сравнивая изложенный здесь метод исследования
движения несвободной системы материальных точек с
классическими методами аналитической механики, можно отметить
внутреннее совершенство первого метода.
Действительно, система (3.46а) — (3.46с) позволяет
полностью охватить задачу о движении несвободной
материальной системы, состоящую, с одной стороны, в определении
закона движения системы, а с другой стороны, — в
разыскании реакций связей. Чтобы решить эту задачу классическими
методами аналитической механики, приходится сначала
пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода для определения
закона движения, а затем уравнениями Лагранжа первого рода
для определения реакций связей.
Уравнения (3.46а) — (3.46с) наиболее полно отражают
разделение общей задачи о движении несвободной системы
на две задачи: задачу определения закона движения и задачу
определения реакций связей.
§ 52. Уравнения движения физического маятника.
Рассмотрим как простейший пример применения изложенной
выше теории к задачам динамики твердого тела задачу о
движении физического маятника.
Этот пример мы приводим лишь для иллюстрации общих
соображений, составивших содержание § 51, не больше.
Как известно, плоско-параллельное движение твердого
тела определяется движением его центра инерции и
вращательным движением вокруг центра инерции. Таким образом,
положение твердого тела определяется координатами центра
инерции хс и ус и углом поворота <р. Движение центра
инерции определяет поступательную часть движения твердого
тела. Мерой инертности тела для этой части движения
является его масса М.
Мерой инертности тела при вращательном движении вокруг
центра инерции будет момент инерции тела
J^Mfa (3.47)
где рр—радиус инерции тела относительно центральной оси.
116 приложения тензорного исчислЕйия к Механике [гл. hi
Равенства (3.29), относящиеся к дискретной системе,
в рассматриваемом случае будут иметь вид:
t10 = VMxo, ko = V^yC' «eo = VrV = V^Po?-(3-48)
Допустим, что через точку О тела проходит
неподвижная горизонтальная ось (рис. 15). Допустим, следовательно,
что движение происходит параллельно вертикальной
плоскости и активные силь сводятся к силе тяжести Mg.
Тогда перед нами будет физический
маятник. Кроме силы Mg, на маятник
действуют реакции связи Rx и Ry.
Согласно (3.31а) найдем:
Фо
%
ОС
=^Я„;
Ум
L
YmPc
Рис. 15.
= ,лхё (/?ж sin ?~Rv C0S ?)-
У мр0
(3.49)
Здесь LG—главный момент сил относительно оси,
проходящей через центр инерции перпендикулярно к плоскости хОу
(рис. 15).
Принимая во внимание связь, наложенную на тело,
получим:
Е10 = Ум • ОС • cos<р, £20 = У"~М • ОС . sin <?,]
Эти уравнения показывают, что точка, изображающая
движение маятника, движется по винтовой линии.
Найдем зависимость между длиной дуги винтовой линии
и углом ©. Получим:
(3.50а)
где
ds* == М (ОС* + р2с) d<? = ^ я??2,
— момент инерции маятника относительно оси Oz. Следо-
§ 52] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 117
вательно,
и, наконец,
= УТгу=:Х1 (3.50Ь)
л*
Е10=|/"Ж. ОС- cos
YZ
^0 = УМ- ОС- sin —= , гзо=: °
(3.50с)
/7/ ™ /т;
Уравнения (3.50с) соответствуют уравнениям (3.32а).
Координатные векторы ev ..., eN сведутся к одному
вектору e[f который совпадает с ортом т касательной к
винтовой линии (3.50с). Векторы е2 и е%, соответствующие
векторам £#+1, ..., еш общей теории, совместим с ортами v
и р главной нормали и бинормали к винтовой линии (3.50с).
Определив проекции т, v, p на оси декартовой системы
координат tj, мы сможем найти зависимости между ^ и
криволинейными координатами х{ (/=1, 2, 3) точек
пространственной полосы, расположенной вдоль винтовой линии.
Получим:
г— х1 л л* VMpc, л х1
l=VM • ОС - cos—=—л:2cos—=+ —-J^*3sin -=,
1 Yh тЧ Yh Yh
r— л:1 0 л:1 YM?r x±
?2=j/ M-OC-sin-^= — л:2sin-^p ^-J *3cos
Yh Yh Yh Yh
(3.51)
Ъ=Ум^ + Ц^х*.
* v Yh ^ Yh
Величины \* в декартовой системе координат являются
компонентами радиуса-вектора г. Заметив это, находим -г-у
и получим проекции вектора е на оси координат. Затем
находим gn:
gn = *i • *i = ; Ь -jr (*) + -г" • (3-52а)
Jg Jg Jg
Далее получаем:
dgu 2&-УМ.ОС) dgu_ МрЪ djn_
Ш~Тв ' J*-Ix 4' d* { 5 }
118 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
На винтовой линии при а:2 = хъ = О
Далее
v1 = i1 = 1Л/, ?; *, = ^п tri = ^ ?. (3.53)
Находим согласно (3.36), (3.49) и (3.51) Xj. Имеем:
v Mg-OC .
Хл= %__ Sin С2,
Х>:
Уж
==■ l(Mg -f- Я^) cos ? + R>, sin ?1»
р^+ос2
„ , , w , +-'" ' ., (fl,csincp —/? cosy)
(3.54)
Воспользовавшись уравнениями (3.38а) и (3.38b) и приняв
во внимание соотношения (3.52с), найдем:
или
лПГ " Mg-OC .
УЛ?= vr~sin?
•• I Mg-oc . п
(3.55а)
(3.55Ь)
Уравнение (3.55а) определяет движение маятника, а
уравнения (3.55Ь) — реакции связи. На основании (3.54) получим:
Rx cos cp -j- /?y sin cp = — Afg" cos cp — Ж • ОС • <р2,
/?~ sin о — /?,. cos с& = •
Р2а
Рс+ОСа
: Mg sin cp =
— ( 1 -j J Mg sin cp.
(3.56)
Эти соотношения определяют проекции реакции связи на
направление ОС и на направление, перпендикулярное к ОС.
§53]
НЕГОЛОНОМНЫЕ КООРДИНАТЫ
119
§ 53. Неголономные координаты. Рассмотрим некоторые
приложения тензорного исчисления к теории движения него-
лономных систем. Эти приложения весьма обширны. Особенно
значительны результаты, полученные советскими учеными;
в частности, следует отметить исследования В. В. Вагнера.
Временно обозначим обобщенные координаты точек
системы через q*. Рассмотрим местный координатный базис ef
в многообразии координат qi(i=\) 2,..., п) и подвергнем
его произвольному локальному преобразованию. Векторы
нового координатного базиса обозначим ea(a—\t 2,..., п).
Вообще для обозначения векторов нового базиса,
полученного посредством локального преобразования базиса е^ будем
употреблять индексы я, Ь, £,.. ., т. е. начальные буквы
алфавита1). Соответственно будем обозначать все величины
и операции, связанные с новым координатным базисом.
Формулы прямого и обратного преобразований будут
такими:
ea = nW> ei = rfiea. (3.57)
Коэффициенты преобразований (3.57) будем рассматривать
как функции координат q{.
Соответственно равенствам (3.57) можно найти формулы
преобразования контравариантных компонент вектора
элементарного перемещения dr\ получим:
dxa=:rfidq\ dqi = ajadxa. (3.58)
Величины dxa называются дифференциалами неголоном-
ных координат или квазикоординат. По поводу этого
термина необходимо заметить следующее: при произвольном
выборе коэффициентов преобразования как функций
координат ql величины dxa не будут, вообще говоря,
дифференциалами некоторых функций ха координат q*.
Поэтому можно лишь условно употреблять термин «него*-
лономные координаты».
Уравнения, связывающие dxa и dq*t будут интегрируемы *
лишь при выполнении дополнительных условий, которые
следует наложить на коэффициенты преобразования. Условия
интегрируемости будут указаны ниже.
*) Мы пользуемся обозначениями И. Схоутена и Д. Стройку,
получившими широкое распространение.
120 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Введем условно следующие символические обозначения,
основываясь на равенствах (3.58):
д< = Щ' д» = Ш" (3'59а)
**"-%=& ^-!£=««• <з-59ь>
На этом основании определим операцию
дифференцирования по неголономным координатам следующими равенствами:
*« = ««Ч' д, = $да. (3.60)
Возвратимся к рассмотрению свойств координатного
базиса еа.
Напомним одно из свойств базиса е^ установленное
равенствами (2.92):
<fy0*] = 0.
Здесь знаком [ ] обозначена операция альтернирования (§ 23).
Соотношения (2.92) являются необходимыми и
достаточными условиями, определяющими возможность представления
векторов ej в форме равенств (2.817)1). В связи с этим
условия (2.92) называются условиями голономности базиса е$.
Рассмотрим альтернированную частную производную от
векторов координатного базиса еа(а—\, 2,..., п).
Получим2):
д[ьеа) = 4 dj (<*£*<) — «a ty (<*&*<) =
= (4Ъ*1 — *1д/*ъ)$ес. (3.61)
Заметим, что имеют место соотношения, аналогичные
(2.11):
«ар; =&<*={. а#к = Ы = \ ..... (3.62)
I 0 (а Ф с); { 0 (j Ф К).
Соотношения (3.62) выводятся так же, как и соотношения
(2.И).
х) На доказательстве достаточности этих условий мы не
останавливаемся.
2) Подробности этих вычислений см. в книге: М. О. К1ль-
чевський, Курс теоретично!" механ!ки, т, II, Изд, «Радянська
Школа», 1952,
§ 54] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 121
На основании равенств (3.62) получим:
р? д/а = - 4 д$, р? д/ь = -4 д$.
После подстановки в равенство (3.61) найдем:
д[ъеа] = («а«ь д$ — aWa д$) ес.
Заменим во втором члене в круглых скобках немые индексы j
на i и наоборот. Изменив порядок альтернирования, получим:
д[аеь] = (д$ — д$) а3а*1ес. (3.63)
Здесь попрежнему д{ = -ч—.
Введем обозначение
Ы = д[$\*а*ъ. (3.64)
Функции 7«& будем называть коэффициентами вращения.
Они антисимметричны относительно индексов а к Ь.
Необходимыми и достаточными условиями равенства нулю
альтернированных производных д[авь\ является обращение в
нуль всех величин ^°аЪ. При таких условиях базис еа будет
голономным и формы Пфаффа, которыми определяются dxat
будут интегрируемы. Координаты ха будут существовать как
функции координат q1, т. е. будут голономны.
Заметим, что коэффициенты вращения *(аь не являются
компонентами тензора третьего ранга, так как закон их
преобразования при изменении системы координат не
соответствует формуле (2.37)1).
§ 54. Уравнения движения неголономных систем.
Уравнения движения систем материальных точек, на которые
наложены линейные неинтегрируемые (неголономные) связи, были
рассмотрены в 1897 г. С. А. Чаплыгиным, который
применил для исследования движения этих систем существенно
новые методы, отказавшись от метода множителей Лагранжа2).
Решая задачу о движении системы с неголономными
связями, Чаплыгин сделал ряд упрощающих предположений,
которые, однако, не затрагивают основную идею его метода.
*) И. А. С х о у т е н и Д. Дж. С т р о й к, Введение в новые
методы дифференциальной геометрии, т. I, ГОНТИ, 1939, стр. 71.
2) С. А. Чаплыгин, О движении тяжелого тела вращения
на плоскости, Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, 1948.
122 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Сущность метода С. А. Чаплыгина заключается в
непосредственном исключении зависимых обобщенных скоростей
из уравнений движения на основании уравнений неголономных
связей.
Если всмотреться в сущность методов, изложенных в §51,
то становится ясным, что при исследовании движения голо-
номных систем также производится исключение зависимых
обобщенных скоростей. Это исключение выполняется
посредством специального выбора системы обобщенных координат
х? на основании уравнений геометрических связей. В
результате получаются равенства (3.35Ь), (3.37) и им аналогичные.
Рассмотрим систему материальных точек, на которую
наложены геометрические связи и линейные неголономные.
Геометрические связи определим равенствами (3.40а) и (3.40Ь)
или (3.40с), заменив обозначение х$ на q3. Неголономные
связи в системе координат q3 определим равенствами
B1jdqj-{-BN+idt=0 (3.65а)
(ft=l, 2,..., /; у = 1, 2,..., /V).
На основании равенства (3.40Ь) можно представить
уравнения (3.65) в таком виде:
Bkjdqj = 0 (3.65b)
(ft=l, 2,..., /; ; = 1, 2,..., N, /V+ 1).
Введем теперь неголономный координатный базис и
неголономные «координаты».
Положим в формулах (3.58):
fi = Bai (3.66)
(а=1, 2,..., /; /=1, 2,..., АГ+1).
Остальные коэффициенты р? можно выбрать произвольно.
На основании уравнений связей (3.65Ь) и равенств (3.58)
найдем:
dxa = Bajdqj==0 (3.67а)
(д = 1, 2,..., /; У = 1. 2,..., /V, /V+1).
Следовательно,
w"=?==B^i=0 (3-67b)
(e = l, 2,..., /; y=l, 2 N-\-l).
§ 54] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 123
Теперь рассмотрим уравнения движения некоторой системы
с интегрируемыми связями, в координатах ср. Воспользуемся
контравариантными компонентами вектора ускорения
изображающей точки. Имеем:
$+r&VW- (3.68)
Воспользуемся неголономными координатами. Найдем:
Преобразуем левую часть этого равенства:
?* dt —/tfliM > dqbV * — dt J°aedqkV V '
Следовательно,
" i г Ь. * к ко.
q = v-bV ; q = aGv .
*" + (aja*p5r/* - «^ Щ) v^ = У. (3.69)
Введем обозначение
Г?с = «*«#?Г& - «K^. (3.70а)
Воспользовавшись обозначениями (3.59а), соотношениями
(3.60) и (3.62), получим1):
VabG = «£«№/* + ?5 <?са*- (3-70Ь)
Возвратимся к интересующей нас задаче. Составим полную
систему уравнений, определяющих движение системы
материальных точек, на которую наложены удерживающие
геометрические и неголономные связи, а также укажем
уравнения, из которых можно найти реакции идеальных связей.
х) Выражения (3.70Ь) приведены в работе: В. В. Вагнер,
Геометрическая интерпретация движения неголономных механических
систем. Труды семинара по векторному и тензорному анализу,
вып, V. 1941,
124 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Принимая во внимание уравнения (3.67Ь), найдем:
^ + Т%съЪъс = Ха (a,b,c = l+ltl+2t...9N,N+l)t (3.71а)
Tt.vvc = Xa (д=1,2, .../;*,* = /-{-1, .. ., N+ 1), (3.71Ь)
** = $¥ (<*, j=l,2,...,N, N+l), (3.71c)
rkqiqk = QJ (j = N+2, ..., Зя), (3.71(1)
Ха = $&; Qj = «iXa (я, У=1, 2, ..., ЛГ+1). (3.71e)
Часть коэффициентов J3J определяется по формулам (3.66).
Остальные коэффициенты (3j произвольны. Коэффициенты о^
определяются из зависимостей (3.62).
Уравнения (3.71а) совместно с уравнениями связей, которые
охватываются зависимостями (3.71с), определяют закон
движения системы.
Уравнения (3.7lb) определяют реакции идеальных
неголономных связей, а уравнения (3.7Id) — реакции идеальных
геометрических связей.
Уравнения (3.71е) позволяют находить зависимости,
связывающие активные силы и реакции неголономных связей
с обобщенными силами в неголономной системе отнесения.
Уравнения движения в форме (3.71а) и (3.71с) были
указаны Схоутеном.
Налагая те или иные ограничения на коэффициенты (3®,
оставшиеся произвольными, можно получить уравнения
С. А. Чаплыгина и другие, нашедшие применение в
механике неголономных систем. Например, можно положить:
(а = /),
0 (а ф i)
(а = 1+1, /+2, /V, /V+1; * = 1, 2, ...,/V+l).
При этом
dxa = dqa
(fl = /-fl, /+2, ..., Nt ЛЧ-1).
Отсюда на основании (3.58) следует:
1 (i = a),
$={l ;„^.; (з-72а)
о а Фа) (3-72Ь)
(а = /+1, .... ЛГ-[~1; t=l, 2 ЛГ+1)..
§ 55] О НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ 125
Остальные коэффициенты аа можно определить на
основании равенств (3.62) и (3.66).
Мы не будем здесь производить конкретные вычисления.
Следует, однако, иметь в виду, что рациональным выбором
коэффициентов преобразования, или векторов еа неголо-
номного координатного базиса, можно в ряде случаев
упростить интегрирование системы дифференциальных
уравнений движения1).
Вопрос об определении реакций связей при посредстве
исследования движения изображающей точки в многомерном
пространстве не изучался с достаточной полнотой. В
частности, не был рассмотрен вопрос о применении указанного
метода к изучению движения системы с неудерживающими
связями. Но эта проблема выходит за рамки настоящей книги.
§ 55. О некоторых геометрических представлениях,
связанных с теорией движения голономных и неголоном-
ных систем. Теория движения несвободных систем
материальных точек с неголономными связями позволяет сделать
ряд обобщающих выводов о гипотезах, лежащих в основе
геометрии многомерных пространств.
Основные свойства пространства определяются его
метрикой и условиями, позволяющими установить существование
равенства между значениями некоторой определенной тензорной
величины, заданной в различных точках пространства своими
компонентами.
Метрические свойства пространства определяются
метрическим тензором.
Судить о равенстве (или неравенстве) значений некоторого
тензора, определенного в двух смежных точках пространства,
можно на основании правил параллельного переноса тензоров,
указанных в § 37. Параллельный перенос определялся нами
выше посредством символов Кристоффеля первого и второго
рода, которые выражались через компоненты метрического
тензора формулами (2.106а) — (2.107).
Геометрия с метрикой, определенной квадратичной формой
ds* = gihdx*dx*>0,
и параллельным переносом, определенным символами
Кристоффеля, называется геометрией Римана.
!) См. работу В. В. Вагнера, указанную в предыдущем
примечаний.
126 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [гЛ. Ш
Как видно из предыдущего, пространство, в котором
движется точка, изображающая движение материальной
системы, является пространством Римана, если на точку наложены,
геометрические связи.
Рассмотрим пространство, в котором движется
материальная точка, изображающая движение системы с неголоном-
ными связями.
Здесь, как и при движении системы с геометрическими
(голономными) связями, метрика пространства определяется
величинами
ёаъ = еа.еь. (3.73)
Так как изображающая точка имеет массу, равную единице,
то кинетическая энергия в неголономной системе координат
представляется следующим образом:
Т= ?£***** = ?№*• <3'74)
Можно, следовательно, высказать общее утверждение:
метрика пространства, в котором движется изображающая
точка, определяется выражением кинетической энергии
системы. Следует отметить, что здесь не идет речь о
метрике объемлющего пространства.
Рассмотрим величины, определяющие параллельный
перенос тензоров в неголономных системах координат.
Основой для определения этих величин могут явиться
дифференциальные уравнения движения (3.71а). Если ЛТа=0,
то уравнения движения приобретают такой вид:
i£. + Ite*V = 0. (3.75а)
Эти уравнения определяют движение изображающей точки
«по инерции».
Будем называть траекторию точки, движущейся «по
инерции», геодезической в многообразии неголономных координат.
Это соответствует содержанию § 50.
Тогда соотношение
dva + YbcVhdxc = 0, (3.75b)
вытекающее из (3.75а), определит условие параллельного
переноса вектора v в неголономной системе отнесения. Но
§ 55] О НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ 127
таким образом определяется параллельный перенос всякого
тензора, так как равенство (3.75Ь) указывает коэффициенты
этого переноса, а именно Г"с. Коэффициенты Г"с определяются
равенствами (3.70а) или (3.70Ь).
Из этих равенств видно, что Ttc не будут символами
Кристоффеля второго рода, так как они асимметричны
относительно индексов а и Ь.
Действительно, альтернируя Ttc по нижней паре индексов
и применяя формулу (3.64), получим:
m\~dtf~~dqb) ° ° ^ ~^ (3'76)
Здесь -ytc — коэффициенты вращенияг).
Следует сделать одно существенное замечание.
Выражение vbvc симметрично относительно индексов b и с.
Поэтому в уравнениях (3.71а) и (3.75а) антисимметричная
относительно b и с часть Г&с выпадает. Можно утверждать,
что эти уравнения позволяют определять Г&с с точностью
до антисимметричного относительно индексов b и с
слагаемого.
В частности, преобразуя уравнения Лагранжа второго рода
к неголономным координатам, можно найти, что
где < } — символ Кристоффеля второго рода в метрике
пространства, отнесенного к неголономному координатному
базису.
Здесь
Г[?с] = -2тьс. (3.78)
Несовпадение (3.78) и (3.76) объясняется сделанным выше
замечанием.
Коэффициенты Ttc позволяют установить операцию кова-
риантного дифференцирования в неголономных системах
*) Эти величины иногда называют коэффициентами Риччи.
128 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
координат. Здесь имеют место формулы (2.110) и их
следствия при замене символов Кристоффеля второго рода
величинами Г^с
§ 56. Приложения к динамике твердого тела. В
заключение настоящей главы мы укажем некоторые простейшие
применения тензорного исчисления к вопросам динамики
твердого тела.
Рассмотрим основные величины, характеризующие
динамические свойства абсолютно твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной точки О, — кинетическую энергию Т и
момент количества движения /0.
Кинетическая энергия Т абсолютно твердого тела,
имеющего неподвижную точку О, может быть представлена
формулой
T^l^v-vdm, (3.79)
(М)
где интеграл распространяется на всю массу тела. При этом
согласно (2.49Ь)
*> = <оХл
где г — радиус-вектор элемента массы dm, имеющий начало
в точке О. Выполняя подстановку и пользуясь формулами (1.9)
и (1.13), получим:
2Т = Г ((о X г) • (<*> X г) dm — Г (о • [г X (<*> X г)] dm =
(М) (И)
= j {I w I2 \r I2 — (» • rf) dm. (3.80)
(M)
Предположим, что положение точек тела отнесено к
криволинейной системе координат. Тогда получим:
2Т= f {«ЧкР-(»^)(ш^)} Ал =
(И)
= а)Ч/(8*|/-|2 —r/)rfm. (3.81)
да
Здесь
10 Цфк).
§ 56] ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 129
Рассмотрим систему чисел
J*i = 8? J* \r\-dm — j /у* dm. (3.82)
(М) до
Нетрудно установить, что эти величины являются
компонентами смешанного тензора второго ранга.
Действительно, первый член в правой части равенства (3.82)
есть компонент тензора второго ранга, так как величины 8<
являются компонентами смешанного тензора второго ранга,
а | г |2 — абсолютный скаляр. При рассмотрении второго
слагаемого нужно помнить, что точка приложения
радиуса-вектора есть фиксированная точка О и коэффициенты
преобразования, определенные по формулам (2.12а), (2.13Ь), (2.86)
и (2.87Ь) в этой точке — постоянные числа.
Впрочем, тензорные свойства величин Jj вытекают из
инвариантного характера равенства (3.81), если принять во
внимание содержание § 29.
Итак, величины /*— смешанные компоненты тензора
инерции тела, определенного в фиксированной точке тела О.
Равенство (3.81), таким образом, приобретает вид:
2r = /.Wo*. (3.83)
Рассмотрим момент количества движения lQ твердого тела
относительно неподвижной точки О. Имеем:
10 = Г г X v dm = Г г X 0> X r) dm
(М) (И)
или
l0 = f {(о | г |2 — г(ы • г)} dm. (3.84)
(М)
В произвольной системе координат
1'0 = о)* J (8i | г f — n/i) dm. (3.85a)
(M)
Принимая во внимание равенства (3.82), получим:
/Ь/V. (3.85b)
130 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕРЗОРКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАЬ'ИКЕ [ГЛ. III
Укажем некоторые свойства тензора инерции.
1°. Из (3.82) видно, что тензор инерции симметричен:
2°. Линейный инвариант тензора инерции (§ 28)
определяется следующей формулой:
Ji = Ja = 2 f\r\*dm = 2У0. (3.86а)
ДО
Здесь J0—полярный момент инерции твердого тела
относительно неподвижной точки О.
3°. Уравнение поверхности второго порядка (3.61а) для
тензора инерции имеет в прямоугольной декартовой системе
координат такой вид:
Jikx*x*=l. (3.86b)
Уравнение (3.86b) определяет эллипсоид инерции.
Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями
инерции в точке О.
Рассмотрим динамические уравнения Эйлера.
На основании теоремы об изменении момента количества
движения получим:
{жУ = 1о- (3-87)
Здесь Lo — компоненты главного момента внешних сил,
приложенных к твердому телу, относительно фиксированной
точки О.
Свяжем с телом косоугольную декартову систему
координат с началом в точке О. Непрерывную
последовательность положений координатного триэдра этой системы будем
рассматривать как последовательность локальных
координатных базисов, которую проходит точка, изображающая
движение твердого тела, в некоторой системе координат х{.
Применяя правило абсолютного дифференцирования,
представим равенство (3.87) в таком виде:
d4 + rylod-£ = Lb. (3.88)
§ 56] ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 131
Далее на основании (2.100) имеем:
1 ik dt —* ' дх* dt ~~* ' dt'
Вспомним теперь, что в прямоугольной декартовой системе
координат векторы основного и взаимного координатного
базиса совпадают. Заметив это и основываясь на
формулах (2.46), получим:
Tik~ = *' • §' ='*•/ = - К. (3.89)
Здесь a>V — компоненты антисимметричного тензора
мгновенной угловой скорости тела (§ 21).
Принимая во внимание (3.85Ь), представим уравнения
(3.88) в следующей форме:
Jb*£ + M<* = lt>. (3.90)
Так можно представить уравнения Эйлера в произвольной
косоугольной декартовой системе координат, неизменно
связанной с движущимся телом. Переходя к прямоугольным
координатам с осями, совпадающими с главными осями
инерции, и принимая во внимание равенства (2.48), получим
уравнения Эйлера в их обычной форме.
Приведенными примерами применения тензорного
исчисления в динамике твердого тела мы и ограничимся.
Исследования В. В. Вагнера в этой области остаются вне рамок
настоящей книги.
ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
§ 57. Общие уравнения равновесия и движения
сплошных сред. Механика деформируемых тел издавна
является важнейшей областью приложения операций
тензорного исчисления.
Деформируемые тела иначе называются «сплошными
средами», так как при макрофизическом изучении их свойств
отвлекаются от молекулярного строения вещества и
предполагают, что материя, составляющая тело, непрерывно
заполняет некоторую часть пространства.
Еще Л. Эйлер сделал возможным введение в механику
понятия о скалярных и векторных полях (§ 40), определяя
плотность жидкости и вектор скорости ее частицы как функции
четырех переменных — времени и трех пространственных
координат. Эти переменные называются переменными Эйлера.
Таким образом, движущаяся жидкость является полем
скалярной функции — плотности и векторным полем
скоростей частиц жидкости. Переменными Эйлера пользуются не
только в гидромеханике. Они находят применение во всех
отделах механики деформируемых тел.
Кроме переменных Эйлера, в механике деформируемых
тел применяются переменные Лагранжа.
Переменные Лагранжа определяют положение отдельных
частиц сплошной среды как функции времени и трех
независимых параметров, позволяющих индивидуализировать
частицы деформируемого тела а).
!) Более подробно см., например, Н. Е. К о ч и н, И. А. К и-
бель и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, т. I, Гостех-
издат, 1941.
§ 57] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД 133
В настоящем параграфе мы будем пользоваться
переменными Эйлера.
Как известно *), уравнения движения элемента
сплошной среды в прямоугольной декартовой системе координат
хЛх^х^ имеют следующий вид:
^Н-Р^-Р^- (4.1а)
(£, ft=l, 2, 3).
Здесь iik — компоненты тензора напряжений, pF{ —
компоненты объемных сил, действующих на элемент сплошной
среды, р — плотность среды, v* — компоненты вектора
скорости элемента среды.
Будем предполагать, что zik, р/7*, vi и р — функции
времени и координат х1, т. е. будем считать, что эти величины
определены в переменных Эйлера.
К уравнениям (4.1а) нужно присоединить уравнение
неразрывности
0L-fdiv(p*)=^ + d,(p*«)=O, (4.2а)
выражающее закон сохранения массы — частный случай
общего закона сохранения вещества М. В. Ломоносова.
Придадим уравнениям (4.1а) и (4.2а) инвариантную форму,
справедливую для произвольной системы координат.
Для этого достаточно заменить частные производные по
декартовым координатам ковариантными производными, а
также dvk на (dv)k, где (dv)k— компоненты абсолютного
дифференциала вектора скорости. Получим:
VjtT** + PF» = P^i, (4.1b)
^ + V«(pz»«) = 0. (4.2b)
Покажем, что система уравнений (4.1а)—(4.2а) или
(4.lb)—(4.2b) эквивалентна некоторому тензорному уравне-
1) Н. И. М у с х е л и ш в и л и, Некоторые основные задачи
математической теории упругости, Изд. АН СССР, 1949, глава
первая.
134 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ (ГЛ. IV
нию в четырехмерном многообразии координат х1 и
времени t Временно возвратимся к прямоугольным декартовым
координатам.
Рассмотрим вектор -т-. Принимая во внимание, что
v* = <0*(x\ х2, х3, /) (4.3)
(1=1, 2, 3),
получим:
Но
Следовательно,
dvi dvi , dv* dxk
~df~~dr~Tdx^~dft
ь dx* /л ..
vk = -w <4-4)
-jf = -df + vbdkv\ (4.5a)
Вспоминая, что в декартовой системе координат
где Vk — символ ковариантной производной или обозначение
ковариантного компонента оператора Гамильтона, можно
также написать:
^-£ + ^-7!г + (*.У)*. (4.5Ь)
Последнее равенство не зависит от выбора системы
координат.
Итак, в прямоугольной декартовой системе координат
уравнения (4.1а) можно представить так:
или
дк (рг>4* - t'*) + JL (рФ«) - ¥ [i£ + дк (р**)] = pF'.
Но член, заключенный в квадратные скобки, равен нулю на
основании уравнения неразрывности (4.2а). Таким образом,
§ 57] уравнения равновесия и движения сплошных Сред 135
уравнения (4.1а) приобретают следующую форму:
дк (pv{vk — zik) -f- -Т7- (pv{) = pF*
(/, й= 1, 2, 3).
(4.6)
Присоединим к этим уравнениям уравнение неразрывности
Систему уравнений (4.6), (4.2') можно рассматривать
как тензорное уравнение в четырехмерном многообразии
координат.
Рассмотрим симметричный тензор второго ранга с матрицей
pv^v1 — zn pvlv- — т12 pvlvb — т13 pi/1
p?/V — т21 p^V — т22 pt»V-x23 р<я2
p^e.^,1 x01 p<p3<fl2 -32 p<(fivb T33 pif3
pi/1
pz>2
рт>*
(4.7)
Этот тензор известен под названием тензора энергии-
импульсов. Тензор % называется также тензором
кинетических напряжений 1).
Линейный инвариант 1Х тензора % выражается так:
/i_p_|_p|^|2_Tl
т22.
тЗЗ
Если рассматривать изолированную частицу с объемом,
равным единице, то линейный инвариант тензора %
определится следующим образом:
/' = р -j- р | v |2.
Правая часть этого равенства представляет собой сумму
массы частицы и удвоенной кинетической энергии.
С другой стороны, матрица (4.7) принадлежит к типу
окаймленных. Окаймление состоит из импульсов (количеств
движения) pvl и плотности р. Эти свойства тензора 2
объясняют его наименование.
*) Термин введен Леви-Чивита. См. Д. И. К у т и л и н, Теория
конечных деформаций, Гостехиздат, 1947.
136 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Положим, как это мы уже делали в предыдущей главе *),
x* = t. (4.8)
Обозначая компоненты тензора кинетических напряжений
Tik, мы можем представить систему уравнений (4.6)—(4.2')
в декартовой системе прямоугольных координат и времени л;4
так:
dkT** = pF<; pF* = 0 (4.9)
(/, ft=l, 2, 3, 4).
В произвольной криволинейной системе координат по- ■
лучим:
Vfcrf* = p/7*; pF4 = 0 (4.10)
(/, A=l, 2, 3, 4).
На основании равенства (2.127) найдем:
vkr<* = дкт*+гу**+г*,г-.
Но согласно формуле (2.135Ь)
г* =
1 дУ>
Отсюда,
дТгк _|- г* 7*» = дл7™ + 4- Ч^- ^'а •
К I aft Л I y^ ^
Производя очевидную замену немых индексов, найдем:
Итак,
Следовательно, уравнения (4.10) можно представить также
в виде
■~dk(VgTik) + rikT^ = pFi; p/* = 0 (4.11)
(/, k = \, 2, 3, 4).
]) Мы не предполагаем выходить за рамки классической
механики.
§ 58] ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ И ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ 137
Метрика пространства задается следующим образом ]):
ds* = gik dx* dxk + {dx*f (4.12)
(/, k= 1, 2, 3).
Уравнения (4.9)—(4.11) определяют движение элемента
сплошной среды независимо от ее конкретной физической
природы. Они одинаково пригодны для идеальной и вязкой
жидкости, для пластических и упругих тел.
Пользуясь уравнениями (4.11), можно составить
уравнения движения в какой-либо определенной системе координат,
например в цилиндрических, сферических и иных
ортогональных координатах.
В ортогональных координатах обычно пользуются не
компонентами тензоров, а их «проекциями» на оси местного
координатного базиса, которые определяются по
формулам (2.162).
Мы не будем приводить здесь конкретные примеры
соответствующих вычислений, так как принципиального интереса
они не представляют.
§ 58, Вектор смещений, тензор деформаций и тензор
скоростей деформаций. Уравнения (4.11) не позволяют
определить напряжения, скорости и плотности элементов сплошной
среды, если заданы силы, вызывающие ее деформации, так
как количество неизвестных функций превышает количество
уравнений.
Чтобы сделать задачу определенной, необходимо составить
дополнительные уравнения.
Эти уравнения можно составить, рассмотрев деформации,
возникающие в результате относительных смещений элементов
среды и установив на основании опытов и их обобщения
зависимости между напряжениями и деформациями или
скоростями деформаций.
Прежде всего следует изучить кинематические величины,
характеризующие деформации среды: тензор деформаций и
тензор скоростей деформаций.
Чтобы определить деформации сплошной среды, введем
две системы криволинейных координат.
Систему координат х* будем предполагать не связанной
с деформируемой средой. Систему координат у1 неизменно
*) См. предыдущее примечание,
138 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
свяжем с элементами среды и допустим, что до деформации
имеют место равенства
**%*. (4.13)
Знаком = мы обозначаем равенство, имеющее место в
недеформированной среде.
После деформации координаты xi элементов среды
изменяются, а координаты у{ остаются без изменения.
Координаты xi являются переменными Эйлера, а у1 —
переменными Лагранжа.
Рассмотрим некоторую точку М(х3) недеформированной
среды. Пусть ее радиус-вектор будет г0(х3). После
деформации радиус-вектор этой точки будет определяться
равенством
г = г0 (*') + »(*'). (4.14)
Здесь вектор и(х3) называется смещением элемента
среды М{х3) при ее деформации; х —координаты элемента
в недеформированной среде. Очевидно, деформируемая среда
есть поле вектора смещения а(х3).
Рассмотрим точку М* {х*-\-dxJ), бесконечно близкую
к точке М(х3). Найдем изменение вектора dr0 = MM
вследствие деформации. Имеем:
Далее находим:
дх* р дх' вшз '
где VjU* — ковариантная производная вектора и7.
Следовательно,
dr = (ej + ejju") dxj. (4.15a)
Обозначая контравариантные компоненты вектора dr
через dxri% получим:
dxH = (8j + 8*. V,ae) dxj - (8; + V/) dx\ (4.15b)
§ 58] ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ И ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ 139
Равенства (4.15Ь) показывают, что при деформации
бесконечно малая окрестность точки М подвергается
аффинному преобразованию (§ 30).
Оператор преобразования (аффинор) A'j имеет такой вид:
^/ = 8} + V/. (4Л6)
Тензор A'j равен сумме единичного тензора 8} и тензора
ф/ = у,и*. (4.17а)
Тензор Ф) называется дифференциальным расширением
вектора и 1).
Рассмотрим ковариантные компоненты
«дифференциального расширения»:
ФЯ = Ъ"<- . (4Л7Ь)
Разлагая этот тензор на симметричную и антисимметричную
части (§ 23), получим:
Фц = y (ty« + V<«y) +1 (fyi, - ViKj). (4.18)
Симметричный тензор
Цг = \ ( V* + V^) а \ (djUi + dtllj - 2LV.) (4.19)
называется тензором малых деформаций. Мы разъясним
ниже повод к введению такого термина.
Антисимметричный тензор
Q^ = - 9ц = y (V^ - ViUj) (4.20)
приводится к вектору — вихрю вектора а:
(rot я)* = ^у|( V* - V,«y) =-L= (^ _ <^). (14.21)
Индексы у, /, & составляют циклическую перестановку чисел
1, 2, 3.
*) Я. И, Френкель, Курс теоретически ме^знцки. ГТТИ.
1940, *-■■>.<* г .! .
140 . ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Вектор rot и определяет вращательное перемещение частицы,
как это видно из содержания § 32 и формулы (2.139),
связывающей скорость частицы абсолютно твердого тела с
вихрем вектора скорости v.
Обозначим вектор скорости смещения частицы
деформируемого тела через v. Тогда вектор смещения частицы а
за достаточно малый промежуток времени М можно
приближенно представить равенством
u = vbt. (4.22)
Тензор малых деформаций Dj4 примет вид
Aj = у (V<+ ?,*,)*<. (4.23а)
Антисимметричная часть тензора Ф^ будет выражаться
формулами
Ял = - Оу = \ (VjV{ - V{Vj) Af. (4.23b)
Симметричный тензор второго ранга
V4j = i (Vy*, + Vtvj) = 1 (djv{ + dtVj - 21V.) (4-24)
называется тензором скорости деформации.
Антисимметричный тензор второго ранга
«Л = — *<j = у Wjvi — Vty) = "2 (dJv< — divj) (4'25>
эквивалентен вектору -к У grot v.
Рассмотрим тензор конечных деформаций. Введение этого
тензора связано с тем, что в первообразную форму закона
Гука, основного закона механики упругих тел, входят
зависимости между напряжениями, с одной стороны, и
относительными удлинениями со сдвигами, — с другой.
Чтобы найти кинематическую величину, характеризующую
цз**енение расстояния между двумя точками сплошной среды
при ее деформации и изменение угла между направлениями
двух векторов dry и 8г0> исходящих из некоторой трчки М(х°)
§ 58] ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ И ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ 141
недеформированной среды при деформации последней,
рассмотрим изменение скалярного произведения dr0 • 8г0,
вызванное деформацией. Имеем:
dr0 = ej dxj; 8r0 = ek dxk;
dr0-br0==gjkdx:)bxk.
Воспользовавшись формулой (4.15а), получим:
dr • or = (ej -f- eJJjti*) • {ek-j-e$Vku?)dxJ bxk =
= gjk dxj bxk + (^V,/ + fte V,«" + £я? W) dx'J bx\
На основании теоремы Риччи (§ 37) получим:
dr-br — dr0 • 8r0 = (Va.h;- -|- V^A. -f V^V,./) dxj 8*\ (4.26)
Выражения в круглых скобках представляют собой
компоненты ковариантного симметричного тензора второго ранга:
Щк = V* + vkuj + vAv*»p- (4-27)
Равенство (4.27) определяет тензор конечных деформаций.
Если смещения малы, как чаще всего предполагается
в теории упругости, то тензор Djk будет приближенно равен
тензору малых деформаций D^.
Все вычисления мы провели здесь в переменных Эйлера,
полагая соответственно этому, что метрика пространства не
изменяется при деформации.
Теперь скажем несколько слов о применении переменных
Лагранжа.
До деформирования среды имели место равенства (4.13).
После деформирования получим:
х'=у* + <и>'(у*). (4.28)
Если система координат х° криволинейна, то величины wl
не будут компонентами вектора смещения. Лишь в том
случае, когда координаты х* являются декартовыми, можно
положить,
u^ = wi (£=1, 2, 3),
142 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕЬ'ЗОРЮГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
где и{ — контравариантные компоненты вектора смещения
в переменных Эйлера.
Равенства (4.28) можно рассматривать как формулы
точечного преобразования, позволяющие поставить в соответствие
точке N(yk) деформированного пространства, арифметизиро-
ванного координатами Лагранжа, точку M{xJ) пространства,
арифметизированного координатами Эйлера. Мы будем
предполагать, что такое соответствие взаимно однозначно и
функции wi непрерывны и дифференцируемы.
Найдем метрику в деформированной среде, отнесенной
к переменным Лагранжа.
Обозначая компоненты метрического тензора в переменных
Лагранжа в деформированной среде через g'ik и применяя
формулы (2.38) и (2.86), получим:
Так как, с другой стороны, арифметизация точек среды
координатами Лагранжа не изменяется при деформации, можно
рассматривать g'ik и gik как тензоры, заданные в одном, общем
для них многообразии координат у*. Поэтому разность этих
тензоров будет также тензором
А — ' _ — ^!_L ^!_]_ dxs^dw^ r4 9Q.
Uk "*" £{к gik — gab дуг ' £<p дук ' ^«P дуг дуЪ ' l4,i^
Величины bik определяют изменение внутренней
метрики среды при деформации; они являются
компонентами симметричного тензора второго ранга, который
называется тензором конечных деформаций в переменных
Лагранжа.
Само собой разумеется, что все сказанное о применении
переменных Лагранжа основано на предположении о
выполнении при деформировании среды обычных требований,
налагаемых на всякую арифметизацию материальных частиц
переменными у*. Так, между прочим, должно постоянно
выполняться условие обозначения двух физически бесконечно близких
частиц бесконечно близкими значениями координат у*. Эти
требования выполняются при достаточно малых деформациях
твердых тел,
§ 59] ГЕОМЕТРИЯ ДЕФОРМИРОВАННОЙ СРЕДЫ 143
§ 59. Геометрия деформированной среды. Координаты
Лагранжа у* определяют положение точек деформируемой
среды независимо от процесса деформирования, если
деформации достаточно малы, так что не нарушается непрерывность
арифметизации.
Поэтому координаты Лагранжа можно назвать
внутренними координатами точек деформируемой среды.
Внутренняя метрика деформированной среды
определяется равенствами (4.28). Как видно из предыдущего, эта
метрика порождается функциями w3 (yJ).
Мы предполагали выше, что пространство, арифметизи-
рованное координатами Эйлера х3, есть пространство Евклида.
Это дало нам право ввести радиус-вектор г и провести
вычисления, указанные в предыдущем параграфе.
Но пространство в деформируемой среде, отнесенное
к координатам Лагранжа, связано с евклидовым
пространством, отнесенным к координатам Эйлера, формулами
точечного преобразования (4.28), которые, по
предположению, взаимно однозначны. Следовательно, и в
деформированной среде можно ввести евклидову метрику, т. е.
пространство в деформированной среде является евклидовым.
Поставим теперь перед собой следующую задачу.
Допустим, что в деформированной среде задана
определенная метрика g'.k. Требуется указать условия, которым
должны удовлетворять функции g'ik, или, что все равно,
компоненты тензора деформации 6^, чтобы существовали
функции w3(yl)i позволяющие произвести фактический переход
от метрики g'ik к евклидовой метрике пространства,
отнесенного к координатам Эйлера х\
Ответ на этот вопрос можно дать, заметив, что в
евклидовом пространстве компоненты тензора кривизны равны
нулю (§ 38).
Выразив компоненты тензора Римана-Кристоффеля
(тензора кривизны) через компоненты тензора g'ik, или
суммы Siu^T^ik} и пРиРавняв их нулю, получим шесть условий,
обеспечивающих возможность перехода к евклидовой
метрике в пространстве, неизменно связанном с деформируемой
средой.
144 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАРИКЕ [ГЛ. IV
На основании формул (2.118) найдем:
1 U d'fta d%i ^2Й2 }
2 \ dyi ду* ду2 ду2 ду1 ду» /
— №, 22 + Г&У 12 = 0, (4.30а)
1 (о ^1» ^Ц »*88 )
2 \ ду*dy» ду»dy» dyi ду* J
— ВД-, зз + Tift, is - 0, (4.30b)
2 \ dy>dy» 'йу8ду8 йу*дуг/
— iilV, 33 + TLTj, 23 = 0, (4.30c)
1 f ^13 , &g'n &gn &iq )
2 \ dyi ду* ~+~ ду1 ду* ау2 дуз ayi dyi J
— TiiTj, ,3 + TLTj, a = 0, (4.30d)
1 ( а"^13 . д g-n Pgq д8>з ) ■
2 |ду*dyi ~г ду1 ду3 дуду* ду*ду*)
— vLVj, 23 + Г&Г,. 13 = 0, (4.30е)
1 -*2 ' -\2 f r»2 ' г»2 '
2 \ ду2 ду3 "*~ ду1 ду8 ду'6 ду'6 ду1 ду2 j
— Г/аГу, зз + 1^ГЛ 13 = 0. (4.30f)
При выполнении условий (4.30а) — (4.30f) существует
точечное преобразование (4.28), позволяющее перейти от мет-
рики gik к евклидовой метрике в переменных хг.
В теории малых деформаций, которые изучает теория
упругости, линеаризированные уравнения (4.30а) — (4.30f)
известны под названием условий совместности Сен-Венана.
Заметим, что можно рассматривать деформации
непрерывной среды, не вводя предварительно вектор перемещений и
или функции w3{y1)1). В этом случае можно изучить
аффинное преобразование бесконечно малой окрестности точки
*) Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи
математической теории упругости, Изд, АН СССР, 1949, гл, I,
§ 60] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 145
М{х'') общего вила
dx/i = i>fdxj (4.31)
и точно так же — общее преобразование компонент
метрического тензора деформируемой среды
gik = <$<*kg[>», (4.32)
где Ф'/ — произвольные функции координат Эйлера х3, а
а)—произвольные функции координат уг.
Полученные равенства заменяют (4.15Ь) и (4.28).
Преобразование (4.31), вообще говоря, неголономно, а
преобразование (4.32) порождает неевклидову метрику.
Однако эти общие деформации не нашли до настоящего
времени физического истолкования и о них мы больше
упоминать не будем.
§ 60. Уравнения движения вязкой жидкости в
инвариантной форме. Вязкая жидкость характеризуется рядом
частных физических свойств, позволяющих составить систему
дифференциальных уравнений, определяющих, совместно с
краевыми и начальными условиями, движение жидкости в
различных частных случаях. Здесь мы рассмотрим лишь основные
уравнения движения вязкой жидкости, имея в виду показать
некоторые применения общих положений тензорного анализа.
Краевые условия исследованы не будут.
Рассмотрим тензор напряжений т*л, о котором шла речь
в § 57. На основании известных свойств вязкой жидкости
тензор iik в прямоугольной декартовой системе координат
можно представить в форме следующей суммы:
т'* = —/>8л+ ■;''*, (4.33а)
где р — скаляр, который называется гидродинамическим
давлением, bik — компоненты единичного тензора:
1 0 (1Ф Л),
i,lU — симметричный тензор второго ранга, связанный с
внутренними силами вязкости жидкости.
Зависимость (4.33а) есть обобщение результатов
наблюдений и опытов над движением вязкой жидкости,
восходящих к И. Ньютону.
146 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Единичный тензор bik можно отождествить с контрава-
риантным метрическим тензором в декартовой системе
координат.
Заметив это, составим вместо равенства (4.33а)
инвариантное соотношение
т'* = —р^ + х'**, (4.33Ь)
где gik— контравариантные компоненты метрического
тензора.
Равенство (4.33Ь) имеет место в любой координатной
системе.
Установим связь между тензором i'ik и геьзором скоростей
деформации V^-. Предположим для упрощения выкладок, что
жидкость изотропна и однородна. Допустим далее, что
зависимость между тензорами iik и V^ линейна и главные оси
этих симметричных тензоров второго ранга совпадают
(§ 28). Это предположение связано с допущением об
изотропности жидкости.
Заметим предварительно, что метрический тензор gik
является шаровым тензором в том смысле, что для метрического
тензора поверхность (2.60а) будет поверхностью шара.
Поэтому для тензора gik все направления будут главными.
Это замечание остается в силе и для произведения
тензора gik на абсолютный скаляр. Например, для тензора
все направления являются главными, так как g*$Va$—
абсолютный скаляр.
Контравариантные компоненты тензора скоростей
деформации выражаются следующим образом:
Vt* = g**gWVat.
Приняв все сказанное во внимание, установим
инвариантную зависимость между тензорами х'* и Улу
,'«*=kg* vv„p+2№VV«p =
= (W + %V?)^. (4.34)
Здесь л и \i—скаляры, характеризующие вязкость жидкости;
в однородной жидкости эти скаляры постоянны.
§ 60] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 147
Зависимость (4.34) справедлива для произвольной
координатной системы.
Таким образом, тензор напряжений для вязкой жидкости
определяется так:
-ik = _ pgik _L_ (\gi*g* 4- Zv^gW) V (4.35)
Если л = |x = 0, мы приходим к тензору
гидродинамического давления механики идеальной жидкости
т<* = —pg<*. (4.36)
Рассмотрим линейный инвариант (2.61а) тензора •;'**:
Здесь мы приняли во внимание, что
£<**** = £.'« = 3.
Линейный инвариант тензора скоростей деформации
равен
Следовательно,
/1 = (3a + 2}*)(Hv^ (4.37)
Если принять, следуя Стоксу, что 1г = 0, но div^^O, то
Л = — ■§■!*- (4-38)
Коэффициент jx называется коэффициентом вязкости.
Приняв гипотезу Стокса, получим:
T« = _pg« + 2ii(^g-*? —^^Гр) V (4.39а)
заметим, что гипотеза Стокса дает определенное
истолкование гидродинамического давления р. Действительно, из
(4.39а) следует:
P = -jgtk**. (4.39b)
т. е. давление р равно -^ линейного инварианта тензора
напряжений с обратным знаком.
В декартовой системе координат
148 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Теперь мы можем исключить zik из общих уравнений
движения сплошной среды (4.lb).
На основании равенства (4.24) после очевидной замены
немых индексов получим:
т<* = -pgi* + ц (gbgW + giigb* -1 gitg**} Va^. (4.39c)
При подстановке (4.39с) в уравнение (4.1b) надо помнить,
что согласно теореме Риччи (§§ 37 и 41) метрический
тензор следует рассматривать при ковариантном
дифференцировании как постоянную величину.
Применяя правило дифференцирования произведения
(§41) и полагая согласно сделанным предположениям, что
[а = const, найдем:
W = ~ g*kbP + V- (gbg** + g*g** — | gikg^) VfcV.*p.
Ho (§ 42):
VkP = dkP = ferad P)u-
Заметим далее, что в евклидовом пространстве можно
изменять последовательный порядок ковариантного
дифференцирования (§ 41); поэтому
gilgk^^^ = g**g*l4JkVt = g**g*VkVj>t.
Примем также во внимание соотношение (4.5Ь).
На основании сказанного уравнениям движения вязкой
жидкости можно придать следующий вид:
pgVg**VkVj>2 + у gVVflW — g**dkp + pF* =
= p(^£+ **?**) (4.40)
или
V-g*'VkW + -j g '** V* V.tf« — £*Ч/> + P^' =
= P(^+ *****)■ (4-41a>
Заметим далее, что имеют место равенства:
Vau* = div v\ g"*e VfcV.v* = W,
где V2 — оператор Лапласа.
§ 61] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 149
Поэтому уравнения (4.41а) можно представить в
бескоординатной форме
jjlV2# -f- -^- grad div v — grad p -\~ pF =
= p[^ + (W)v]. (4.41b)
Присоединив к уравнениям (4.41а)—(4.41b) условие
неразрывности
g + V<({W*)eg + div(pv) = 0> (4.2')
получим основную систему уравнений движения вязкой
жидкости в инвариантной форме.
Уравнения (4.41Ь) называются уравнениями Навье-Стокса.
При |а = 0 уравнения (4.41а) и (4.41Ь) превращаются в
уравнения Эйлера механики идеальной жидкости.
Если 4:Ф0> к полученным уравнениям нужно
присоединить термодинамическое уравнение состояния.
Уравнения (4.41а)—(4.2') можно записать в любой
системе координат, воспользовавшись известными формулами
ковариантного дифференцирования. При применении
ортогональных систем координат следует пользоваться
формулами § 46.
§ 61. Основные уравнения теории упругости. В
предыдущем параграфе мы вывели основные уравнения движения
вязкой жидкости, положив в основу зависимости (4.33а) и
(4.33b) между компонентами тензора напряжений и тензора
скоростей деформаций) эти зависимости являются
результатом обобщения непосредственных наблюдений и опытов.
Точно так же в основе теории упругости — статики и
динамики упругих тел — лежит закон Гука, -устанавливающий
связь между компонентами тензора напряжений iik и
компонентами тензора деформаций. Закон Гука был установлен
непосредственными опытами для простейших случаев
деформирования.
Опыты и наблюдения привели к заключению, что в
изотропной среде главные оси тензоров напряжений и
деформаций совпадают.
Последнее заключение аналогично основному
предположению о свойствах вязкой жидкости, которое мы встретили
150 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
предыдущем параграфе; оно привело к зависимостям (4.34).
Аналогичные зависимости между компонентами тензора
напряжений и тензора деформаций мы получим в теории
упругости
т<* = (\g**g** + 2pgi«gW) £>e?. (4.42)
Коэффициенты л и ja характеризуют упругие свойства
тела. В однородных телах к и ji постоянны. Эти
коэффициенты называются упругими постоянными Ляме.
Обычно под тензором Dap понимают тензор малых
деформаций (§ 58). Поэтому мы в дальнейшем полагаем
А>ф = А*р-
Если упругое тело неизотропно, то равенства (4.42)
заменяются зависимостями более общего вида
х<* = x<*«PD.p. (4.43)
Здесь xifeaP — компоненты тензора четвертого ранга, который
можно назвать тензором упругости.
Тензор упругости имеет всего 34= 81 компоненту. Однако
ниже из энергетических соображений будет установлено, чта
количество существенно различных компонент этого
тензора не превышает 21.
Из сравнения равенств (4.42) и (4.43) следует, что для-
изотропных тел имеет место равенство
х<**Р = kgikg°? + 2\ig^g^. (4.44)
Как видно из равенства (4.44), компоненты тензора %ik°V
симметричны относительно индексов / и k, а и р и
относительно пар индексов Ik и ар.
Все-компоненты тензора x<feotP для изотропных тел
выражаются через два скаляра: к и jx — постоянные Ляме в
однородном теле *).
1) Вместо постоянных Ляме можно пользоваться модулем
упругости Е и коэффициентом Пуассона а:
Ез Е
X=(l-2s)(l+s)' ^=2(1+а) =G'
где О — модуль сдвига.
•§61] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 151
Если выразить компоненты тензора деформаций Dik через
компоненты тензора напряжений zik, то получим зависимости
А* = сшЩх*К (4.45)
Эти зависимости являются обращением равенств (4.43).
Величины Същ представляют собой компоненты тензора
четвертого ранга, который так же, как и тензор x*feaP,
характеризует упругие свойства тела.
Рассмотрим потенциальную энергию деформации. На осно-
Бании известных формул теории упругости найдем:
W= ~ **Dik = | x<WD,fcDep. (4.46а)
Отсюда видно, что потенциальная энергия W является
результатом умножения тензоров упругости и деформации с
последующим свертыванием по двум' парам индексов (§§ 26 и 27).
Воспользовавшись формулами (4.45), получим:
^=4W^p- (4.46b)
Следовательно, W есть квадратичная форма компонент
тензора деформации или тензора напряжений. Как показывает
<5олее подробное исследование, эта форма положительно
определенная.
На основании зависимостей (4.46а) и (4.46Ь) имеем:
Х,Ы = -ЪЩЯЪ' Са« = -дРк*- (4-47)
Нетрудно заметить, что тензоры у*ы$ и cika^ симметричны
относительно индексов ik и а(3, а также относительно пар
этих индексов. Элементарный подсчет показывает, что
количество существенно различных компонент тензоров у*к°$ и
^Лвр не превышает 21.
Возвратимся к случаю изотропного и однородного тела.
Будем рассматривать малые деформации.
На основании равенств (4.19) и (4.42) получим:
*к = у (*£*ГР + 2^?*Р) (Vatf ? + V«)-
После очевидной замены немых индексов получим:
т<* = kg*g*Wjii + Р (g*«gk* + g*W V««p. (4.48)
152 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. 1ЛГ
Теперь воспользуемся уравнениями (4.lb). Найдем:
Мы применили здесь теорему Риччи (§§ 37 и 41), а также
использовали возможность производить перестановку
последовательного порядка ковариантного дифференцирования в
евклидовом пространстве (§ 41).
Ограничиваясь изучением случая малых смещений и
деформаций, отбросим в равенствах (4.5Ь) нелинейные члены. Найдем:
dt ~ dt ~ дР ' l ;
Эти приближенные равенства показывают, что при малых
деформациях исчезает различие между переменными Эйлера
и Лагранжа.
Уравнения (4.lb) приобретают такой вид:
tirV"VfcVa«p + (х + |х) g**g*WkV,Uf + р/7' = р %£■ (4.50а>
ИЛИ
№**?№ + (л + ix) §<*VkV.«« + PF< = р ^£. (4.50Ь>
Заметив, что
g*eVfcVea* = W; ^fcVfcVeaa =. (grad div »)<, (4.51)
можно представить уравнения (4.50b) в бескоординатной форме
^V8a + (A + rtgraddiva + pF=p^. (4.52)
Уравнения (4.52) известны в теории упругости под
названием уравнений Ляме 1).
Уравнения (4.50а) и- (4.50Ь) позволяют составить
уравнения Ляме в произвольной криволинейной системе координат.
Эти вычисления не представляют принципиальных
трудностей и мы предоставляем их читателю.
При применении ортогональных систем координат следует
пользоваться содержанием § 46. При применении цилшпри-
ческих и сферических координат надо пользоваться
символами Кристоффеля, вычисленными в § 48.
*) П. Ф. П а п к о в и ч, Теория '.-пругости, Оборонгиз, 1939.
§ 62] ФУНКЦИИ КИНЕТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ 153
§ 62. Функции кинетических напряжений. Мы укажем
особый алгорифм, который позволяет находить выражения
кинетических напряжений или компонент тензора энергий-
импульсов (§ 57) через некоторые функции, являющиеся
непосредственным обобщением функций напряжений, известных
из статики упругого тела.
Как известно, функции напряжений позволяют
тождественно удовлетворять уравнениям равновесия теории упругости
при отсутствии объемных сил.
Точно так же функции кинетических напряжений
позволяют найти выражения компонент тензора энергии-импульсов,
тождественно удовлетворяющие уравнениям движения
сплошной среды (4.11) при отсутствии объемных сил. Из них как
частные случаи можно получить упомянутые выше функции
напряжений статических задач теории упругости.
Перейдем к рассмотрению алгорифма, служащего для
введения функций кинетических напряжений. Основой алгорифма
являются некоторые положения неевклидовой многомерной
геометрии, рассмотренные нами выне.
Возвратимся к уравнениям (4.11) и допустим, что
движение сплошной среды отнесено к системе криволинейных
координат xi (/=1, 2, 3, 4), мало отличающейся от
декартовой системы координат.
Пусть линейный элемент пространства в этой системе
выражается так:
ds* = gikdxUxk (4.53а)
(/, Л = 1, 2, 3, 4).
Здесь компоненты метрического тензора определяются
следующими равенствами:
й* = 8* + ?*(*0- (4.53b)
Величины hi1c представляют собой компоненты единичного
тензора:
Функции ^ijt(xJ) согласно сделанному выше предположению
имеют абсолютные величины, значительно меньшие, чем
единицы для всех значений хЛ
154 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Мы предполагаем, что метрика, определенная формулами
(4.53Ь), отличается от евклидовой.
Если положить
?«(*') = О,
мы возвратимся к декартовой системе координат в
евклидовом пространстве.
Рассмотрим симметричный тензор второго ранга, известный
из общей теории относительности г):
/** = /?<* —у g«7?, (4,54)
где Rik — контравариантные компоненты свернутого тензора
кривизны, определенного формулами (2.122), R — линейный
инвариант свернутого тензора кривизны, определенный
формулой (2.123Ь).
Тензор Pik определяется функциями &м(хЗ) согласно
§ 39.
Если положить, что Fi = 0 (/===1, 2, 3, 4) и
7™ = хР» = х (/?<* — 1 g**R\ (4.55)
(/, ft=l, 2, 3, 4),
где х— произвольное постоянное число, то уравнения (4.11)
тождественно удовлетворяются 2).
Пусть
?«(*0 = «Фа(*0, (4.56)
где е— произвольный постоянный малый параметр. Тогда,
применяя разложение по возрастающим степеням параметра,
представим компоненты Tlh\ определенные по формулам (4.55), так:
r** = Q$ + eQg+... (4.57)
Мы положили х = £-1.
С другой стороны, левые части уравнений (4.11) можно
также разложить по возрастающим степеням е. При отсут-
*) В. Паули, Теория относительности, § 56, Гостехиздат, 1947.
2) См. там же.
§ 62] функции Кинетических напряжений 155
ствии объемных сил получим:
<J,7™ + eS* = 0 (4.58)
(/, Л=1, 2, 3, 4);
здесь eSk — члены, содержащие г в первой и более высоких
степенях.
Уравнения (4,58) должны тождественно удовлетворяться
выражениями компонент тензора энергий-импульсов (4.57).
Выполнив подстановку, получим тождества
diQ$) + tUf1)+...SS0. (4.59)
Эти тождества справедливы при любых значениях е.
Положим е = 0.
Это равносильно возвращению к евклидовой метрике.
Тогда найдем:
<?,($ = 0 (/, Л=1, 2, 3, 4). (4.60)
Следовательно, если положить
Tik = Q% (4.61)
то уравнения (4.11) в декартовой системе координат будут
тождественно удовлетворены.
Мы приходим к следующему алгорифму введения
функций кинетических напряжений.
1°. Составляются компоненты метрического тензора
согласно формулам (4.53Ь) и (4.56).
2°. По формулам § 39 определяются компоненты полного
тензора кривизны, свернутого тензора кривизны Rik и его
линейного инварианта /?.
3°. Составляются компоненты тензора Tik по формуле (4.55),
производится разложение по степеням е и определяются Цщ.
4°. Величины Q1^ будут линейно выражаться через вторые
производные от функций Фцс(х^). Величины Ф^С^О являются
функциями кинетических напряжений.
Все эти вычисления несложны, так как приходится
определять лишь те члены разложений по степеням е, которые
содержат е в первой степени.
Рассмотрим два примера.
156 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
1) Статическая задача.
Положим в матрице (4.7) ч^ = 0. Тогда тензор % будет
равен тензору напряжений с обратным знаком.
Пусть линейный элемент (4.53а) определяется следующим
образом:
<&8 = [1 + *Фг (*, у, z)\ dX* + [1 + ЗФ2 (X, у, г)] dy* +
+ [1 + еФ3(*, у9 z)]dz*. (4.62)
Вычислим, пользуясь формулами (2.118), шесть
существенно различных в трехмерном пространстве компонент
тензора кривизны, ограничиваясь членами, содержащими s
в первой степени. Найдем:
*12.1* — — Ъ\-ду*-Т-'д**)'Тщ •••»
^13,13 — — y \ а-?2 "*" e^v т- • • •»
^23,23 —— 2 ^ "^ dW"1"""
_ « а»Ф, .
2 ауа«
#12. 23 = "2 ал: д*
^ 13. 23 — '
02Ф^
• д*Ф,
43,23— га-яду^"'
Затем по формулам (2.122) найдем компоненты свернутого
тензора кривизны:
_ t /дЩ , дЩ . 0>Ф, . дЩ\ ,
1X11 ~ 2\ ду* ' д# "*■ длг* ^ d*V "Г ' ' ''
_ « рФ2 . д*Ф2 , »ф8 , а»Фд ,
^22 — 2 vд# "^ а** "^ ay* "^ ayv"^ • • •'
__ £ /дщ , дщ , уф1 . а»Ф,\ ,
__La2£L , _ £ а*Ф2
п _ « **l
^ОЯ
423 — 2 ду dz
§ 62] ФУНКЦИИ КИНЕТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ 157
Линейный инвариант тензора R^, может быть выражен
так:
дх*
дхл ] ду*
и-
Составим по формулам (4.55) выражения компонент
тензора Tik, положив у = е~1. Первые члены разложений
правых частей соответствующих равенств по возрастающим
степеням е дадут функции Q** Согласно формулам (4.61)
получим:
Тп _ _ тп _ _ 1 /**« _. —3"l
Т22 _ _ -й _ _ ±(**« . **Л
Г88= — г»» = — -р2*1
.«!/•
Г12__-12_1_^!£з . Х18— -18— 1 ^Ф2 .
— L ~2длгду' — L ~2дхдг'
728 = _ х28 _ 1 ,й2ф«
(4.63)
2 дл: ду'
Множитель у здесь можно опустить.
Мы получили известные формулы Максвелла ]).
Если представить квадрат линейного элемента ds'2 в виде:
ds* = dx* + dy* + dz* +2&z(x9 у, z)dxdy-\-
+ 2вФ1(л;, у, z) dy dz + 2гФ2(х■, у, z)dxdz,
(4.64)
то получим формулы Морера1).
2) Простейшая динамическая задача.
Пусть квадрат линейного элемента равен
ds* = dx*-{-dy*-\-[1+2гФг(х9 у, t)]dz* +
+ [1+2гФ2(*, yt t)\dt\
(4.65)
!) См. А. Л я в, Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935,
стр. 99,
158 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
вменяя указанный метод, получим:
р(^_,п = _|.(ф1 + ф2)_^1(
pW_t» = _^№l + ^)_*g!,
p(vsf — г33 = — У2Ф2,
р^-^=а-^(Ф1 + Ф2),
p^l^/S х18 __ р^^З г23 _ 0,
рф1 = ет' r°=Tyit> pv*=0'
P--V^.
(4.6.6а)
(4.66b)
(4.66с)
(4.66d)
(4.66е)
(4.66f)
(4.66g)
Прямым вычислением можно убедиться в том, что при этом
уравнения движения сплошной среды тождественно
удовлетворяются.
Полученные здесь формулы определяют некоторое
движение сплошной среды в плоскости ху. Они являются
простейшим обобщением на динамические задачи известных
формул Эри.
В наиболее общем случае метрический тензор в
четырехмерном пространстве обладает десятью существенно
различными компонентами. Следовательно, наибольшее
количество функций кинетических напряжений Ф^ не превышает
десяти. Этому соответствует структура тензора Tik. В
состав тензора Tik входят шесть компонент тензора
напряжений zikt три компоненты вектора скорости ifi и плотность
среды р — всего десять функций.
Совершенно ясно, что указанный здесь алгорифм
введения функций напряжений легко распространяется на те
случаи, когда движение сплошной среды определено в
криволинейных координатах, а не в декартовых.
Весь указанный нами метод можно охарактеризовать
в целом как метод вариации метрики пространства.
§ 63. Некоторые приложения к теории малых упруго-
пластических деформаций. Между двумя указанными нами
выше видами сплошной среды — вязкой жидкостью и
упругим телом — существует ряд промежуточных переходных форм
агрегатного состояния вещества, Из них некоторые по своим
§ 63] МАЛЫЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ 159
физическим свойствам близки к вязкой жидкости, другие —
к упругим телам.
В дальнейшем мы имеем в виду среду, по своим
свойствам аналогичную технической стали, так называемую среду
с упрочнением *).
Мы не будем исследовать по существу различные
теории пластичности и следствия из них, а покажем лишь
преобразование некоторых основных соотношений теории
пластичности к инвариантной форме.
Разложим тензор напряжений на слагаемые так же, как
это было выполнено в механике вязкой жидкости.
Положим:
zik = 3gik _j_ 7ikt (4.67)
где ~Jk — девиатор напряжений — симметричный тензор
второго ранга с линейным инвариантом, равным нулю.
Отсюда видно, что имеет место равенство, аналогичное
(4.39Ь):
° = Т**** = ТЪ' (4'68)
Тензор 3g"'*, как отмечалось в § 60, является «шаровым
тензором».
Девиатору напряжений
~i* = xik — agik (4.69)
соответствует поверхность некоторого гиперболоида. Это
заключение вытекает из равенства нулю линейного
инварианта 1Х тензора zu'.
Рассмотрим квадратичный инвариант девиатора zik.
Согласно равенству (2.62) имеем:
4=W<*« (4.70а)
В прямоугольной декартовой системе координат xyz
72 = ~о\ +^ + 7i -{- 2zly + 2т£, + 24,. (4.70b)
]) А. А. Ильюшин, Пластичность, Гостехиздат, 1948,
гл. I— И.
160 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕРИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Следовательно, /2 — всегда положительная величина. Здесь
°х = °х — а> °у = а2/ — J' Gz = °z — °-
Приняв во внимание, что
после элементарных преобразований получим:
ЪГ2 = (ош - а,)« + (а~ - 5> + (о, -аг)2 +
+ 6 (4 + •& + V) = (а, - о/ + (аш - о,)» +
+ (°,-О8+ 6 (4,+ 4,+ *$,). (4-71)
Квадратичный инвариант /2 лишь численным множителем
отличается от квадрата интенсивности касательных
напряжений Т(у). Согласно цитированной работе А. А. Ильюшина
Ч^^УТ^^УЩ^ (4.72а)
Интенсивностью напряжений 3({) будем называть
величину
Ч» = ^УТ2 = ^У^ (4.72Ь)
Рассмотрим тензор малых деформаций Dik, определенный
равенствами (4.19).
Аналогично предыдущему представим этот тензор в форме
суммы «шарового» тензора и девиатора
£ft = W«+5«. (4.73)
Здесь
?=4^*Д.,=4^. (4.74)
Не повторяя вычислений, проводившихся при
рассмотрении девиатора напряжений, отметим выражения интенсивности
деформаций сдвига ^(г) и интенсивности деформаций е^:
§ 63] МАЛЫЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ 161
Здесь /2 — квадратичный инвариант девиатора
деформаций Dik.
Следуя А. А. Ильюшину, назовем направляющими девиа-
торами напряжений и деформаций тензоры, имеющие
следующие компоненты:
zii)
(Dik) = ^Dik.
(4.76)
Укажем зависимости между компонентами тензора
напряжений и тензора деформаций, которые позволяют составить
замкнутую систему уравнений, описывающих процессы малых
упруго-пластических деформаций.
1°. На основании опытов установлено, что между аи|
существует зависимость, одинаково справедливая для
упругих и пластических тел:
а = ЗАГТ, (4.77)
здесь К—модуль сжатия, причем
ff=X + |p, (4.78)
где л и |л — упругие постоянные Ляме.
2°. Направляющие девиаторы напряжений и деформаций
совпадают:
~а = £& gbgvbbi = g^ g**g>*D0. (4.79)
3°. Между аф и ец) существует зависимость, которая
устанавливается из опытов:
°«> = *(««))• (4-80)
Можно убедиться, что соотношения (4.77) и (4.79)
приводят к равенствам, обобщающим закон Гука.
Зависимость (4.80) установлена в ряде случаев для
состояния пластического равновесия. Однако при достаточно
медленном деформировании зависимость (4.80)
распространяется и на динамические задачи ]). Тогда уравнения (4.77)—
(4.80) совместно с общими уравнениями движения сплошной
среды позволяют составить систему уравнений для решения
динамических задач теории пластичности.
*) См. цитированную выше книгу А. А. Ильюшина, гя. VII.
162 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К МЕХАНИКЕ [ГЛ. IV
Необходимо отличать «процесс нагружения», или
активный процесс деформирования, по терминологии А. А.
Ильюшина, от пассивного процесса, или процесса разгрузки.
Различие заключается в форме функциональной зависимости
(4.80). Процесс разгрузки приближенно описывается
линейной зависимостью между а^ и е(().
Однако в нашу задачу не входит изучение различных
проблем теории пластичности, а лишь применение тензорного
анализа к выражению основных закономерностей теории
пластических деформаций в инвариантной форме, которая
позволяет составить в случае необходимости соответствующие
уравнения в некоторой криволинейной системе координат.
Эта задача нами решена в том небольшом объеме,
который соответствует назначению настоящей книги.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
А. Учебники и учебные пособия
1. Н. Е. К о ч и н, Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления, Изд. АН СССР, 1951.
2. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и бе ль и Н. В. Розе, Теоретическая
гидромеханика, часть 1. Гостехиздат, 1941.
3. М. О. К i л ь ч е в с ь к и й, Курс теоретично!' механжи, «Радяньска
Школа», т. I, 1950, т. II, 1952.
4. М. Л а г а л л и, Векторное исчисление, ОНТИ, 1936.
5. А. Л я в, Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.
6. П. Ф. Пап ко вич, Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
7. П. К. Р а ш е в с к и й, Введение в риманову геометрию и
тензорный анализ, ОНТИ, 1936.
8. К. И. Страх о вич, Механика вязкой жидкости, изд.
Ленинградского гос. университета, 1940.
9. И. С х о у т е н и Дж. С т р о й к, Введение в новые методы
дифференциальной геометрии, т. I, ГОНТИ, 1939, т. II, ИЛ,
1948.
10. Я. И. Френкель, Курс теоретической механики, ГТТИ,
1940.
Б. Статьи и монографии
И. В. В. Добронравов, Аналитическая динамика в неголоном-
ных координатах, Ученые записки МГУ, вып. 122, Механика,
т. II, 1948.
12. Д. Иваненко и А. Соколов, Классическая теория поля,
Гостехиздат, 1951.
13. А. А. Ильюшин, Пластичность, Гостехиздат, 1948.
14. Л. М. К а ч а н о в, Механика пластических сред, Гостехиздат,
1948.
164
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
15. Д. И. К у т и л и н, Теория конечных деформаций, Гостехиздат,
1947.
16. Н. И. М у с х е л и ш в и л и, Некоторые'основные задачи
математической теории упругости, Изд. АН СССР, 1949.
17. Дж. Синдж, Тензорные методы в динамике, ИЛ, 1947.
18. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, т. V,
Гостехиздат, 1941.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра векторная 12
— тензорная 53 и д.
Альтернирование 54
Анализ векторный 30
— тензорный 74 и д.
Антисимметричность тензора 49
Базис координатный 34
— — взаимный 35, 73
локальный (местный) 68
Вектор 11, 16, 39, 44, 47
— аксиальный 27, 42
— единичный 17
— полярный 27
— приложенный (определенный)
12, 70
— свободный 12, 13
— скользящий 12
Векторы коллинеарные
(параллельные) 12
— компланарные 22
— равные 12
Величина векторная см. Вектор
— скалярная см. Скаляр
— тензорная см. Тензор
Версор 63, 64
Вихрь вектора 91, 97
— скорости точки твердого
тела 91
Вычитание векторов 16
Геометрия Римана 125
Годограф функции 31
Градиент скалярной функции 89
Давление гидродинамическое 145
Движение несвободной
материальной точки 105
по инерции 106
Девиатор деформаций
направляющий 160
Девиатор напряжений 159
направляющий 160
Деление векторов 24
Деформации малые
упруго-пластические 158
Дивергенция вектора 90
Дифференциал вектора
абсолютный 75
— тензора абсолютный 77, 78
Дифференциалы неголономных
координат 119
Дифференцирование векторных
функций скалярного аргумента
30 и д.
— тензора ковариантное 87
в неголономных системах
127
Дополнение плоскостного
элемента 18
Жидкость вязкая 145
Закон Гука 149
Инвариант 11
— тензора 60
инерции линейный 130
квадратичный 60
линейный 60
Индекс немой 36
Интеграл определенный 33
Интегрирование векторных
функций неопределенное 32
Интенсивность деформации 160
сдвига 160
Интенсивность напряжений 160
касательных 160
Исчисление винтовое 14
Квазикоординаты 119
Компоненты тензора 34
ковариантные 35, 41
-^ — контравариантные 35, 37,41
166
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Координаты внутренние гауссовы
105
точек деформируемой
среды 143
— криволинейные 68, 70
ортогональные 98
— неголономные 119
— сферические 104
— цилиндрические 102
Коэффициент вязкости 147
— Пуассона 150
Коэффициенты вращения (Риччи)
121, 127
— Ляме 99
Кривая геодезическая 107
Линия координатная 67
Маятник физический 115
Метрика пространства 40, 125
Многоугольник векторов 14
Модуль вектора 11, 12
Модуль сжатия 161
— упругости 150
Момент плоскостного элемента 18
— силы относительно точки 20
— суммы свободных
плоскостных элементов 19
Направления главные тензора 60
Независимость векторов
линейная 34
Оператор вращения 63
— Гамильтона 92
— Лапласа 93
Опускание индексов 56, 59
Орт вектора 17
— оси 17
Оси главные инерции 130
тензора 60
Переменные Лагранжа 86, 132
— Эйлера 86, 132
Перенос параллельный тензора
78 и д., 107, 125, 126
Поверхность уровня 90
Поднятие индексов 56, 59
Поле вектора смещения 138
— тензорное 86
Поток вектора через
поверхность 96
Правило дифференцирования
произведения 32
— многоугольника векторов 14
— сложения свободных векторов
15
Преобразование аффинное 62
— компонент вектора 36
тензора 47, 70
Принцип двойственности 59
Проекция векторной суммы 27
Произведение вектора на скаляр
16
— векторное 19, 54, 73
в косоугольной декартовой
системе координат 42
двойное 23
— скалярное 17, 59, 79
в косоугольной системе
координат 39
— тензоров 57
Производная абсолютная (кова-
риантная) 87
Пространство евклидово 72, 84, 89
— неевклидово 84
— п измерений 70
— метрическое 56
Процесс деформирования актив-
, ный (процесс нагружения) 161
пассивный (процесс
разгрузки) 161
Псевдовектор 27, 42, 52
Псевдоскаляр 43
Радиус-вектор точки в
пространстве п измерений 71
Ранг тензора 46
Расхождение вектора 90
Расширение дифференциальное
вектора смещения 139
Свертывание тензоров 57
Символ Кристоффеля второго
рода 75, 99
первого рода 76, 99
Символ Кронекера 28
Симметрирование 54
Симметричность тензора 48
Система векторов левая 22
правая 22
— координат левая 26
правая 26
Скаляр 11
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
167
Скаляр абсолютный И, 45, 46,
47
Скорость изображающей точки
109
— обобщенная 101
— секторная 21
— угловая мгновенная 51, 91
Сложение векторов 14
— вращений 64 и д.
— тензоров 53
Смещение элемента среды 138
Составляющая вектора 27
Среда сплошная 132
— с упрочнением 158
Строение тензора 46
Сумма плоскостных элементов 19
Тело деформируемое 132
Тензор 46, 47, 61, 70 и др.
— антисимметричный 49
— деформаций 137
конечных 141, 142
малых 139
— единичный 72, 145
— инерции 129
— кинетических напряжений 135
— ковариантный 47
— контравариантный 47
— кривизны (тензор Римана-
Кристоффеля) 83, 84 и д.
— метрический 48, 76, 80, 125
— мультипликативный 46, 55, 58
— напряжений 149
— Риччи (Эйнштейна) 85
— симметричный 48
— скорости деформации 137
— смешанный 47
— упругости 150
— шаровой 145
— энергий-импульсов 135
Теорема Риччи 80
—i Эйлера-Даламбера 64, 66
Теоремы интегральные
векторного исчисления 93
Тождество Риччи 85
Точка изображающая 108
— приложения вектора 11
— пространства п измерений 70
Траектория точки 32
геодезическая 126
Трехгранник координатный 34
Умножение тензоров 57
Уравнение неразрывности 133
— состояния 149
Уравнения движения вязкой
жидкости в инвариантной
форме 145
неголономных систем 121
свободной материальной
точки в криволинейных
координатах 101
физического маятника 115
— Лагранжа 2-го рода 111
— Ляме 152
— Навье-Стокса 149
— Эйлера динамические 130
Ускорение изображающей точки
109
— секторное 21
Условие голономности базиса
120
Условия совместности Сен-Вена-
на 144
Форма фундаментальная
квадратичная 40
Формула Стокса 98
Формулы Максвелла 157
— Мор ер а 157
— Остроградского 95, 98
— Эри 158
Функции кинетических
напряжений 153, 155
Функция векторная скалярного
аргумента 30 и д.
Циркуляция вектора 98
Элемент плоскостной 17, 18
приложенный 21
свободный 18
Элементы плоскостные равные
18
Эллипсоид инерции 130
Энергия кинетическая системы
112
Н. А, Кильчевский. Элементы
тензорного исчисления и его приложения
к механике.
Редактор В. И. Левантовский.
Техн. редактор С. Н. Ахламов.
Корректор О. А. Сигал.
Сдано в набор 10/XI 1953 г.
Подписано к печати 5/1 1954 г.
Бумага 84х108/1в. Физ. печ. л. 10,р.
Услов. печ. л. 8,61. Уч.-изд. л. 8,27.
Тираж 6 000 зкз. Т-00203.
Цена книги 5 р. 15 к. Зак. № 899.
Государственное издательство технико-
теоретической литературы
Москва, Бол. Калужская ул., 15.
4-я типография им. Евг. Соколовой
Союзполиграфпромд Главиздата
Министерства культуры СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.